ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ

СОВРЕМЕННЫЙ УЧЕБНИК

Я.С. БугровС.М. Никольский

ВЫСШАЯМАТЕМАТИКА

Дифференциальноеи интегральное исчисление

Издание шестое, стереотипное

Рекомендовано Министерством образованияРоссийской Федерации в качестве учебникадля студентов высших учебных заведений,обучающихся по инженерно-техническим специальностям

DPO0Q

МОСКВА • 2004

УЦК 517.2(075.8)

ББК 22.161.1я73

Б90

Рецензенты:

кафедра высшей математики Московского государственного инженерно-физического института (технического университета) (зав. кафедрой проф. Л. И. Прилепко); акад. В. А. Ильин; чл.-кор. РАН С. Я. Похожаев; чл.-кор. РАН Л. Д. Кудрявцев

Серия «Высшее образование: Современный учебник»основана s 2001 году

Бугров Я. С.

Б90Высшая математика: Учеб, для вузов: В3т./Я. С. Буг

ров, С. М. Никольский; Под ред. В. А. Садовничего.— 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. — (Высшее образование: Современный учебник).

ISBN 5-7107-8420—6

Т. 2: Дифференциальное и интегральное исчисление. — 512 с.: ил.

ISBN 5-7107-8449-4 (т. 2)

Учебник (1-е изд. —1980 к) вместе с другими учебниками тех же авторов—«Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии» (том 1) и ^Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Рады. Функции комплексного переменного» (том 3) — соответствует требованиям Государственного образовательного сгацдарта высшего профессионального образования.

Книга содержит: введение в анализ, дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной, дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, ряды.

Для студентов инженеро-технических специальностей вузов.

ЭДК 517.2(075.8)

ББК 22.161.1Я73

ISBN 5-7107-8449-4(第2)

© ООО «Дрофа», 2003© ООО «Дрофа», 2003ISBN 5-7107—8420—6

© ООО «Дрофа», 2003

© ООО «Дрофа», 2003

99Содержание

9

9

11 редисловие

Глава 1.ВВЕДЕНИЕ 11

Предмет математики. Переменные и постоянные величины, множества 11

Операции над множествами 13

Символика математической логики 15

Действительные числа 16

Определение равенства и неравенства 20

Определение арифметических действий 22

Основные свойства действительных чисел... 29

Аксиоматический подход к понятию

действительного числа 31

Неравенства для абсолютных величин33

Отрезок, интервал, ограниченное множество 34

Счетное множество^ Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел 35

Глава 2.ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ39

Понятие предела последовательности 39

Арифметические действия с переменными,

имеющими предел 47

Бесконечно малая и бесконечно большая

величины 50

Неопределенные выражения 52

Монотонные последовательности54

Число е 58

Принцип вложенных отрезков 59

Точные верхняя и нижняя грани множества 61

Теорема Больцано—Вейерштрасса 66

Верхний и нижний пределы 68

Условие Коши сходимости последовательности 71

Полнота и непрерывность множества действительных чисел ,73

Глава 3. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ75

Функция* 75

Предел функции 88

Непрерывность функции 98

Разрывы первого и второго рода106

Функции, непрерывные на отрезке110

Обратная непрерывная функция115

Равномерная непрерывность функции118

Элементарные фзгнкции121

Замечательные пределы136

Порядок переменной. Эквивалентность139

Глава 4.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ144

Производная144

Геометрический смысл производной148

Производные элементарных функций156

Производная слоясной функции158

Производная обратной функции160

Производные элементарных функций

(продолжение)161

Дифференциал функции164

Другое определение касательной 168

Производная высшего порядка169

Дифференциал высшего порядка. Инвариантное свойство дифференциала первого порядка171

Дифференцирование параметрически заданных функций174

Теоремы о среднем значении174

Раскрытие неопределенностей182

Формула Тейлора 186

Ряд Тейлора192

Формулы и ряды Тейлора элементарных функций 195

Локальный экстремум функции200

Экстремальные значения функции на отрезке205

Выпуклость кривой. Точка перегиба207

Асимптота графика функции212

Непрерывная и гладкая кривая215

Схема построения графика функции217

Вектор-функция. Векторы касательной и нормали 222

Глава 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ227

Неопределенный интеграл. Таблица интегралов 227

Методы интегрирования232

Комплексные числа239

Теория многочлена n-й степени244

Действительный многочлен n-й степени ・.・・ 247

Интегрирование рациональных выражений250

Интегрирование иррациональных функций254

Глава 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ259

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла, и его определение259

Свойства определенных интегралов267

Интеграл как функция верхнегопредела ・・275

Формула Ньютона-Лейбница278

Остаток формулы Тейлора

в интегральной форме 284

Суммы Дарбу. Условия существования

интеграла286

Интегрируемость непрерывных и

монотонных функций289

Несобственные интегралы291

Несобственные интегралы

от неотрицательных функций 296

Интегрирование по частям несобственных интегралов300

Несобственный интеграл с особенностями в нескольких точках 302

Глава 7.ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ.

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ305

Площадь в полярных координатах 305

Объем тела вращения306

Гладкая кривая в пространстве.

Длина дуги307

Кривизна и радиус кривизны кривой.

Эволюта и эвольвента316

Площадь поверхности вращения 321

Интерполяционная формула Лагранжа323

Квадратурные формулы прямоугольников

и трапеций326

Формула Симпсона330

Глава 8.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ …・.335

Предварительные сведения335

Предел функции338

Непрерывная функция 345

Частные производные и производная по направлению350

Дифференцируемые функции356

Применение дифференциала в приближенных вычислениях 360

Касательная плоскость. Геометрический смысл дифференциала364

Производная сложной функции. Производная по направлению. Градиент ... 366

Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка372

Формула Тейлора378

Замкнутое множество380

Непрерывная функция

на замкнутом ограниченном множестве .... 386

Экстремумы 391

Нахождение наибольших и наименьших значений функции 397

Теорема существования неявной функции . 399

Касательная плоскость и нормаль 404

Системы функций, заданных неявно407

8. Отображения414

Условный (относительный) экстремум 416

Глава 9. РЯДЫ425

1. Понятие ряда425

Несобственный интеграл и ряд428

Действия с рядами430

Ряды с неотрицательными членами432

Ряд Лейбница438

Абсолютно сходящиеся ряды439

Условно сходящиеся ряды с действительными членами441

Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость 442

Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов451

8

Перемножение абсолютно сходящихся рядов458

Степенные ряды462

Дифференцирование и интегрирование степенных рядов467

Функции е% sin z, cos z от комплексного переменного 474

Ряды в приближенных вычислениях478

Понятие кратного ряда487

6. Суммирование рядов и последовательностей496

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 502

ПРЕДИСЛОВИЕ

В комплект учебников «Высшая математика» авторов Я. С. Бухрова и С. М. Никольского, выходящий в издательстве «Дрофа» в серии «Высшее образование: Современный учебник», вошли следующие книги:

«Элементы линейной алгебры н аналитической геометрии».

«Дифференциальное и интегральное исчисление».

«Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного».

Комплект получил широкое признание как в нашей стране, так и за рубежом （все книги переведены на английский, французский, испанский и португальский языки） и был удостоен в 1984 工 премии МВ и ССО СССР и ЦИК профсоюзов работников просвещения, высшей школы и научных учреждений, а в 1987 п — Государственной премии.

За короткий срок эти книги выдержали четыре витания и в настоящее время пользуются огромным спросом и популярностью у студентов вузов.

Данная книга является вторым томом комплекта у*|г（>ник（）в «Высшая математика». Здесь излагаются слслумицие ря щелы: «Введение в анализ», «Диффе- 1>снцмллы1（）с и HiiTcipobHOC исчисление функций одной neiKMeHHolb, «Ди（1х1）срснциальное исчисление функций нескольких переменных», «Ряды».

Материал, изложенный в учебнике, соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования.

Авторы учли, что в средней школе изучаются начала аналитической геометрии и математического анализа. В главе 1 несколько параграфов посвящено «действительному числу», хотя явно такого материала в программе нет — данные вопросы излагаются в средней школе. Эти вопросы следует повторить во вводных лекциях. Студент должен знать, что действительное число можно рассматривать как десятичное разложение. Умение доказывать лем- му2о неубывающей ограниченной последовательности десятичных дробей надо считать весьма желательным. Но при изложении материала можно ограничиться только § 1.7 н 1・8・ Безусловно, данную книгу и книгу «Элементы линейной алгебры н аналитической геометрии» надо изучать параллельно.

Отметим, что перед главой 8, посвященной функциям многих переменных, читатель должен ознакомиться с понятием m-мерного щ)остранства.

В свою очередь, для изучения самосопряженного оператора н квадратичных форм понадобятся свойства функций, непрерывных на замкнутом множестве (§ 8.12 данной книги). Параграф, посвященный экстремумам функций многих переменных, потребует знания квадратичной формы. В условном экстремуме используется представление об ортогональных подпространствахт-мерно- го пространства.

Авторы выражают благодарность первому заместителю председателя НМС по математике при Министерстве образования РФ члену-корреспонденту РАН Л. Д. Кудрявцеву н коллективу кафедры высшей математики Санкт-Петербургского государственного технологического инстшуга (технического университета) за обсуждение этого учебника и ценные замечания и предложения, которые, несомненно, способствовали улучшению его содержания. Они также признательны Ю. И. Волкову; М. Ш. Коссу А. М. Полосуев% Я. М. Тобольцев^ А. Ф. Шапкину и ряду других читателей за ценные конструктивные предложения.

ГЛАВА 1

ВВЕДЕНИЕ

Предмет математики. Переменные и постоянные величины, множества

Среди всех наук математика занимает особое место. Математика определяется как наука о пространственных формах и количественных отношениях реального мира. Конечно, если учесть современное состояние математики и разнообразие изучаемых ею структур, то пространственные формы и количественные отношения необходимо понимать в самом общем виде.

Математика дает другим наукам язык чисел и символов для выражения различного рода отношений между явлениями природы. Но пренеде чем применять математику, биолог, физик или экономист должны глубоко понять суть изучаемого явления, расчленить его на части, поддающиеся математической обработке.

Объектами изучения в самой математике являются логические модели, построенные для описания явлений природы и общества. Математика изучает соотношения между элементами этих моделей. Если математическая модель верно отражает суть данного явления, то она позволяет вскрывать и необнаруженные вначале закономерности, т. е. математика способна вскрывать и качественную сторону явления.

В силу большой абстрактности одна и та же математическая модель может описывать различные процессы. Например, одно и то же дифференциальное уравнение описывает и характер радиоактивного распада, и изменение температуры тела.

При изучении явлений природы и общества мы на каждом шагу сталкиваемся с изменением величин, с зависимостью одной из величин от другой. Поэтому понятие о переменной величине является основным в математическом анализе.

Под переменной величиной мы будем понимать величину, которая в процессе изучения какого-либо явления принимает хотя бы два различных значения. Величина, которая при исследовании данного вопроса принимает только одно значение, называется постоянной.

Ф. Энгельс отмечал, что введение декартовой переменной величины внесло в математику движение и диалектику.

Если все значения» принимаемые переменной величиной, объединить, то мы получпммножество значений этой величины.

Понятие множества также является основным в математике, это простое, первичное понятие, которое мы не будем пытаться определить через другие простые понятия.

Множество — это совокупность, собрание каких-либо объектов произвольной природы.

Так можно говорить о множестве студентов института, о множестве молекул в данном теле, о множестве телевизоров с цветным изображением в данной аудитории и т. д. Объекты, входящие в данное множество, будем называть элементами множества.

Мы будем обычно обозначать множества большими буквами А, В,..., X, У,..., а их элементы малыми буквами а, &,••♦, %, у^ ••» •

Если элементх принадлежит множествуА, то этот факт обозначают так: х е А. Если же х не входит в множество А

то пишут: х"е А. СимволомА и В (множество А включено в множествоВ) обозначают тот факт, что еслих е А, тох е В.

Множество А в этом случае называется подмножеством множества В. Употребляется также равносильная запись В п 厶(множество В включает в себя множество А). Символы и, п называются знаками включения.

Если множество не содержит ни одного элемента, то его называют пустым и обозначают символом 0. Ясно, что 0 и А, где А — любое множество.

Для обозначения множеств широко употребляют фигурные скобки, внутри которых тем или иным способом

описываются элементы, из которых эти множества сюстоят. Выражение N = {1, 2, 3, ...} обозначает множество натуральных чисел9 {О, 1, 2,…} — множество целых неотрицательных чисел, a Z = {…，-2, —1, 0» 1, 2, …} — множество всех целых чисел.Вот еще пример: А ={1> 2, 3,4,5, 6, 7, 8, 9, 0} — множество, состоящее из хщфр десятичной

системы счисления. Очевидно 2 е А, ~"е А.

Говорят, что множества А и В равны 9 и пишут А = В, если А и В и В и А На вопрос о том, равны ли данные множества, далеко не всегда легко ответить. Например, если А = {6, 8, 10, •・・},В = {р + д} есть множество сумм простых чисел р и q, больших чем 2, то ясно, что В и А Однако до настоящего времени не установлено, верно ли^ что Ас. В9 т. е. можно ли любое четное число》6 представить в виде суммы двух простых чисел, больших двух. В данном курсе мы в основном будем иметь дело с числовыми множества

ми, т. е. элементами их будут числа.

Операции над множествами

Для множеств можно ввести арифметические операции сложения и умножения, которые обладают свойствами, во многом аналогичными соответствующим свойствам операций сложения и умножения чисел.

Пусть даны два произвольных множестваА и В. Сум-

мой или объединением множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов множеств А и В; при этом пишут: С = А 十 В или С = A U В (рис. 1). Легко видеть, что А + & = А Произведением или пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, одновременно принадлежащих множеству А и множеству В. Пересечение множеств обозначается черезАВ илиА С В (рис. 2). Очевидно, нтоА С

С 4 = 4 Если АВ = 0, то говорят, что множества А иВ не пересекаются. Используя понятие равенства множеств, можно доказать, что: 1)А + В = В +А9 2) (А + В) С=АС + + ВС, 3) (АВ) С =а (ВС), 4)(А + В) + С = а+(В + С). Докажем, например, 2). Если х е (А + В) С, то, согласно определению произведения,х £ 厶 + В их £ С.Нз определения суммы следует, чтох Е А илих е В. Пусть для определенности х е А. Тогда х G АС, а следовательно, х е АС + ВС. Значит, (А +В) С с: АС + ВС.Если теперь элемент х £ АС + + ВС, то выполняется по крайней мере одно из соотношений х е АС, х е ВС, для определенности пусть х е АС. Тогда х е А + В и х е С, т. е. х е (А + В) С. Отсюда АС + + ВС и (А + В) С. Этим равенство 2) доказано.

Разностью множеств А и В называется множество R = А \ В, состоящее из элементов А, которых нет в В.

Рис. 3.Рис. 3.Заметим, что в общем случае (А\ В) + В^А(рис. 3). Но если В и с: А, то (А X В) + В = А (рис. 4).

Рис. 3.

Рис. 3.

aw"aw"Множества с введенными операциями сложения и умножения образуют своеобразную алгебру, где нет коэффициентов и степеней.

aw"

aw"

Рис. 4

1. 3. Символика математической логики

Для сокращения записи в дальнейшем мы будем употреблять некоторые простейшие логические символы. Если нас интересует не сущность какого-либо предложения, а его связь с другими, то это предложение будем обозначать одной из букв а, Р，...・ Запись а = 0 означает: «из предложения а следует предложение 0». Знаком а = 0 будем обозначать тот факт, что предложения аир эквивалентны, т. е. из а следует Р ииз Р следует а.

Запись Vx е А: а означает: «для всякого элемента х е А имеет место предложение а». Символ V называется квантором всеобщности.

ЗаписьBj/ е В: р означает: «существует элемент у £ В, для которого имеет место предложение р». Символ 3 называется квантором существования.

Символ а будем понимать как отрицание предложения <х или, коротко, <не а».

Построим отрицание утверждения Vx е А: <х

Если данное утверждение не имеет мест% то предложение а имеет место не для всех х е Л, т. е. существует элемент х е е А, для которого а не имеет места: Vx е А а <=> Зх е А: а .

Совершенно аналогично Vy с А 0 о Vy е В: р.

Таким образом, чтобы построить отрицание данной логической формулы, содержащей знакиХ/ иЗ, необходимо знакХ/ заменить наЭ, а знак 3 на V и отрицание (черту) перенести на свойство, стоящее после двоеточия. Например, отрицание предложения

ЭМ Vx е А: Дх) W М имеет вид

ЭМ Vx € A f(x) w Af = VM Эх е А:

Ях) w М о VM Зх е А: /(х) > М・

L4. Действительные числа

Понятие числа является первичным и основным в математике. Это понятие прошло длительный путь исторического развития. Множество натуральных чисел

N = {1, 2, 3,…，％ …} появилось в связи со счетом предметов. Затем под влиянием потребностей практики и развития самой математики были введены целые числа

Z = {…,一3, —2, —1, 0, 1, 2» 3,…} и рациональные числа

Q = {m/n}, где m, n е Z, п ^ 0.

Для однозначности записи рационального числа 6у- дем считать, что дробь т/п несократима, если не будет делаться оговорки на этот счет.

Введение рациональных чисел, однако, полностью не решило важной практической задачи об измерении отрезков. Ведь существует отрезок, длина которого не является рациональным числом. Примером может служить диагональ квадрата, сторона которого равна единице.

В связи с этим возникла необходимость введения, кроме рациональных чисел, и других чисел — иррациональных. Произвольные числа — рациональные или иррациональные —называются действительными или вещественными. Множество действительных чисел обозначают через R. Существуют различные способы введения (определения) действительных чисел. Мы остановимся на способе представления их в виде бесконечных десятичных дробей

a -— 土 ao，@]@2a3，"・.(1)

Здесь а° — целое неотрицательное число, ak при fe>0 — десятичные цифры. Таким образом, ak может принимать только одно из значений 0, 1, 2,... , 9. Знак 十 часто в этих записях опускают.

Чтобы представить не равное нулю рациональное число ± т/п (т>0,п>0)в виде десятичной дроби, производим процесс деления т/ на п по известному способу, которому нас учили в школе:

m| n(2)

%，％%•••

Заметим, что если этот способ применить к другой записи дроби ±тр/пр = ±m/n ① ＞ 0), то получим тот же результат.

Полагаем

±* = 士 ％, а/%…(3)

и правую часть (3) называем десятичным разложением числа 士 m/n.

Если знаменатель дроби имеет вид п = 2*5‘, где s, ± — целые неотрицательные числа, то процесс (2) заканчивается после конечного числа шагов и получается конечная десяг тичная дробь

土К =切з % …&м(«м ＞。)・(4)

Конечную десятичную дробь мы будем записывать также в виде бесконечной дроби:

±а。，а〕... а“= ±。°, а】••• а.。。••• = i^p» а】•・•。“(。).(5)

Но пользуются также и другой записью:

士а°, % ••• ^м = ±%，а】•・•。“—1 (а“ 一 1) 99 •••=

=土 ％，«1 — «м-1 {°м - 1)(9) (%И ＞。)，(5') хотя она ие возникает из процесса (2).

Итак, имеют место равенства

± %, % …а” ~ —旬,％ …&№ (0) = 土 ％, а[…а*](。屈 一 1)(9)

(am ＞。)。

Дроби ± %, % ... ам (0) и 土 ％, % …ам^ (ам- 1) (9) могут служить примерами периодических дробей. Первая из них после цифры ам имеет период 0, а вторая после цифры ам — 1 имеет период 9.

Пусть теперь знаменатель несократимой дроби не имеет вид Z'S'. Тогда процесс (2) бесконечный — на любом шаге возникает положительный остаток. Каждый остаток меньше п, и потому (после того, как цифры числа т снесены)

улсе среди первых п остатков окажутся по крайней мере два, равные между собой. Но как только возникает остаток, который уже был прежде, процесс становится повторяющимся ——периодическим. Поэтому десятичное разложение произвольного рационального числа имеет вид

—几——/)，а[…а〃Ь[…Ь&» ・.• b§ ...=

=土а。，。1 ••• ^м (匕 1 •••匕尋)(s < и).(6)

Pизложения (5) и (5') можно рассматривать как частные случаи (6).

Примеры:

1-6 1-7 2-9 71-6 1-7 2-9 7= 0,166 …= 0,1 (6),= 0,(142857),=0,22... = 0,(2),= 0,166 …= 0,1 (6),= 0,(142857),=0,22... = 0,(2),⑺⑺9999=0,0707 ... = 0,(07),=0,0707 ... = 0,(07),

1-6 1-7 2-9 7

1-6 1-7 2-9 7

= 0,166 …= 0,1 (6),

= 0,(142857),

=0,22... = 0,(2),

= 0,166 …= 0,1 (6),

= 0,(142857),

=0,22... = 0,(2),

⑺

⑺

99

99

=0,0707 ... = 0,(07),

=0,0707 ... = 0,(07),

設=0, 00707... = 0,0(07).

Разложение вида (6) называется бесконечной десятичной периодической дробью.

Итак, каждое не равное нулю рациональное число можно разложить с помощью процесса (2), а в случае (4) и процесса (5) — в бесконечную десятичную периодическую дробь с периодом, отличным от 9. При этом можно доказать, что разным рациональным числам соответствуют разные бесконечные десятичные разложения- Но и обратно: любая бесконечная периодическая дробь (6), с периодом, отличным от 9, порождается при помощи указанных процессов (2), (5) некоторым рациональным числом, которое вычисляется по формуле

~~ =—卜'4 …ам~~ =—卜'4 …ам+証里10-"9 ...9+証里10-"9 ...9

~~ =—卜'4 …ам

~~ =—卜'4 …ам

+証里10-"

9 ...9

+証里10-"

9 ...9

Здесь мы позволили себе через Рт -.. Ps и 9...9 обозначить целое число, записанное соответственно цифрами

Рр ... , Ps и 9...9.

699000699000Например, 1,237 (06) =1,237 + 0,000 (06)=

699000

699000

=1,237 + 仮10-3= 1 237 +99

Кроме периодических десятичных дробей, существуют непериодические, например 0,1010010001...; 0,121122Ш222….

Вот еще пример: если извлекать корень квадратный из 2 по известному правилу, то получим определенную бесконечную непериодическую десятичную дробь 应 =1,41.... Она определена в том смысле, что любому натуральному числу 论 соответствует определенная цифра а胆 стоящая на Л-м месте после запятой и однозначно вычисляемая соглас

но правилу извлечения квадратного корня.

Математический анализ дает много путей вычисления числа 力с любой наперед заданной точностью. Это приводит к вполне определенному бесконечному десятичному разложению я, которое, как оказывается, не является смешанной периодической десятичной дробью.

Дадим теперь определение иррационального числа, пока чисто формальное. Иррациональным числом называется произвольная бесконечная непериодическая дробь

а = ±а0, age/..., (8) где а0 ——целое неотрицательное число9 aaft (fe = 1, 2,...)— цифры, знак ме равенства • = > выражает^ что мы обозначили правую часть (8) через а. Впрочем, удобно говорить, что правая часть (8) есть десятичное разложение числа а.

Рациональные и иррациональные числа называются действительными (или вещественным^ числами.

Из сказанного следует, что всякое не равное нулю дей-

ствительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби (8). Если оно ра ционал ьное9 то его десятичное разложение есть бесконечная периодическая десятичная дробь. В противном случае, согласно нашему определению9 выражение (8)само определяет иррациональное число.

Не равная нулю десятичная дробь может быть конечной, но она не определяет нового рационального числа: в силу соглашений, выраженных равенствами (5), (5'), она может быть заменена указанными в этих равенствах бесконечными периодическими дробями.

Число а, где не всеakk=09 lt 2, ...равны нулю, положительно или отрицательно в зависимости от того, будет ли в (8) фигурировать «+ » или «—》；при этом, как обычно, ♦+» будем опускать.

Число 0 тоже может быть записано бесконечной десятичной дробью одного из следующих видов:

0 = + 0, 00... = 0, 00... = —0, 00....

Действительные числа определены пока формально, надо еще определить арифметические операции над ними, ввести для них понятие «>»и проверить, что эти операции и понятие «>» согласуются с уже имеющимися соответствующими операциями и понятием «>» для рациональных чисел, а также удовлетворяют свойствам, которые мы предъявляем к числам.

5. Определение равенства и неравенства

Зададим два числа а = ±а0,а1а2, & = ±р0, PQ?…，опРе- деляемых бесконечными десятичными дробями, не имеющими период 9. Будем считать, что ониравны между собой тогда и только тогда, когда их знаки одинаковы и

ал = Р* (fe = 0, 1, 2,...).

Пусть а и& — положительные числа. По определению а <Ъ9 или, что все равно, b >а, еслиа0 < Ро или, если найдет-

ся такой индекс (целое неотрицательное число)厶 что а在=0巾 (也=0, 1, ••• , 1)и а,*] < Pm*

Подчеркнем, что если мы хотим сравнивать десятичные дроби, одна из которых имеет период 9, то ее надо заменить дробью с периодом 0 и затем уже применить указан

ные правила сравнения.

По определению а > 0 или а < 0 в зависимости от того, будет ли а положительным или отрицательным; далее, по определению а < &, если а < 0, & > 0, или если а, Ь < 0 и |а| > |&|.

Если а=±а“ а2а2..., то по оцределению -а = +а0,修％ ・・・ и абсолютная величина ]а] = +а0, а^ …=а0, ага2 … ・ Таким образом.

|п| = |а| =|п| = |а| =[а(а》0), [—а(а<0).[а(а》0), [—а(а<0).

|п| = |а| =

|п| = |а| =

[а(а》0), [—а(а<0).

[а(а》0), [—а(а<0).

Как мы знаем из школьного курса математики, между действительными числами и точками некоторой прямой можно установить взаимно однозначное соответствие (一) по следующему правилу. Чис

лу 0 приводится в соответ- .二夕§*9".

ствие произвольная точка О Л0АП

на прямой, называемая нуле-р0c 5

вой точкой, и наоборот. Дли

на некоторого отрезка принимается за единицу. Каждому действительному числу ± а (а > 0) приводится в соответствие точка прямой, отстоящая от нулевой точки на расстоянии, равном а, справа от точки О для числа +Q и слева от точки О для числа—а (рис. 5). Наоборот, если А — произволь- нал точка прямой, находящаяся на расстоянии а справа от 0, то считают, что она соответствует действительному числу +а (бесконечной десятичной дроби). Если же точка 厶 находится слева от точки О, то она соответствует числу —а. Рассматриваемую прямую будем называтьчисловой прямой или действительной осью. В дальнейшем точки числовой прямой будем отождествлять с действительными числами,

которые им соответствуют, т. е. сами точки будем называть

соответствующими числами. Отметим, что расстояние между точками а и & равно |а - b| (определение разности см.

§ 1・6)・

§ 1. 6. Определение арифметических действий

Общие соображения . Для действительных чисел можно определить арифметические действия —— сложение, вычитание, умножение и деление. Как это делается, можно узнать из приводимых ниже мелким шрифтом рассуждений. Читатель, который найдет нужным познакомиться с этими рассуждениями, увидит, что арифметические действия над бесконечными дробями сопряжены с необходимостью совершать некоторые бесконечные процессы. На практике арифметические действия над действительными числами производятся приближенно.

На этом пути возможны и формальные определения этих действий. Об этом будет идти речь в § 1.8.

В следующем параграфе перечисляются свойства действительных чисел, вытекающие из сделанных определений. Мы формулируем эти свойства. Их можно доказать, но мы доказываем их лишь в отдельных случаях (полное доказательство см., например, в учебнике С. М. Никольского «Математический анализ», т. I, гл. 2). Эти свойства собраны в пять групп (I—V). Первые три из них содержат элементарные свойства, которыми мы руководствуемся лри арифметических вычислениях и решении неравенств- Группа IV составляет одно свойство (Архимеда). Наконец, груп- naV также состоит из одного свойства. Это свойство формулируется на языке пределов. Оно будет доказано, но позже —в § 2.5.

Стабилизирующиеся последовательности. Пусть каждому неотрицательному целому числу (индексу) и в силу некоторого закона приведено в соответствие число хп. Совокупность

⑴

называется последовательностью (чисел). Отдельные числа хп последовательности (1) называются ее элементами. Элементы хп и хж прит^п считаются отличными как элементы последовательности, хотя не исключено, что как числа они равны между собой (xn = хт).

Последовательность называется неубывающей (невозрастающеи), если хА W хА+1 (хк》хА+1) для всех 尼=О,

Будем говорить, чтпоследовательностъ (1)ограниче- на сверху (числом М), если существует число М такое, что xk^M для всех 左=О, 1, 2,

Последовательность (1)ограничена снизу(числом тп), если существует число т такое, что xk> т для всех 尼=О,

Если числахл последовательности (1) целые, то будем говорить, что она стабилизируется к числу &, если найдется такое 论°, что / = & Для всех Л > fe0, и писать хЛ 二 &•

Лемма 1. Если последовательность целых неотрицательных чисел не убывает и ограничена сверху числом М9 то она стабилизируется к некоторому целому числу J W М

Доказательство. Хотя количество элементов у нашей последовательности бесконечно, но она пробегает конечное число целых чисел. Ведь эти числа не превышаютМ. Пусть & — наибольшее среди этих чисел. Таким образом, & W М п существует такое натуральное s, при котором х9 = & Но наша последовательность не убывает, и потому xk = xs для всех 走》s, т. е. наша последовательность стабилизируется к числу & (хп 二 & W М).

Рассмотрим теперь последовательность неотрицательных десятичных дробей, не имеющих период 9:

(2)(2)«I = а^о，^11^12^13 •••»°2 = %о, а21a22a23 …，°з = азо，^з^зг^зз •••，

(2)

(2)

Правые части в (2) образуют таблицу (бесконечную матрицу)-

(3) како(3) какоБудем говорить, что последовательность (2) стабилизируется к числу а = у0, 丫1丫2・・・，и писать

(3) како

(3) како

если к-й столбец таблицы (2) стабилизируется м 丫々；

во бы ни было 左=О, 1, 2,…,т. е. ask 二 力 для любого фиксированного 论.

Лемма 2. Если неубывающая последовательностиь (2) десятичных дробей, не имеющих период 9, ограничена сверху числом М, то она заведомо стабилизируется % некоторому числу а, удовлетворяющему неравенствам

⑷⑷ап W а 这 М (п = 1, 2,...).

⑷

⑷

В самом деле, считаем, что дробь М = т^ тхт2 ... не имеет период 9. Целые числа нулевого столбца матрицы (2)

аю а20 азо

также не убывают и ограничены сверху числом М, поэтому, согласно лемме 1, они стабилизируются к некоторому целому неотрицательному числуу0 W М. Пусть эта стабилизация имеет место, начиная с номерап0, т. е. ап =у°, а”]%?. • • W М，几》几°・

Докажем теперь, что первый столбец в (2)

аи «21 аз1

также стабилизируется к некоторой цифре % и имеет место неравенство

Уо, Yi & М・

В самом деле, раз десятичные разложения чисел а〃 при п > п0 имеют вид

%，%科“2%3…^m{n> по)

и, кроме того, ал не убывает, то для указанных 几 цифры первого столбца artl (W 9) тоже не убывают и, следовательно, по лемме 1 стабилизируются к некоторой цифре у「Пусть эта вторая стабилизация наступает, начиная с номера п1 > 几°, т. е. при n > Hj

4=?0，У1%2%3。“4"

При этом очевидно, что

Yo«Yi < а„ « М (и > %).

Рассуждая теперь по индукции, допустим, что уже доказано, что столбцы матрицы (2) с номерами, не превышающими 瓦 стабилизируются соответственно к у。，％,・•• , yk и

Уо,为…力 & м(Yi> —»у*—цифры).(5)

Докажем, что (А + 1)-й столбец в (2) также стабилизируется к некоторой цифре ул+1 и имеет место неравенство

%，Yi - Y*hi W К(6)

В самом деле, раз десятичные разложения чисел ап при п^ пк имеют вид

а. =Уо, ％ …力a”.*.】，％,“2 …W М

и, кроме того, ал не убывает, то для указанныхи цифры anfc+1 (W 9) не убывают и, следовательно, стабилизируются при и W ил+1, где「“[Достатоин。велико, к некоторой цифре у虹卜 При этом очевидно, что

Yo>Yi -Y*+j & 4《М(п> 叫+J

и мы доказали неравенство (6). Положим a =",力丫2・・・• Очевидно, Нто ап二у①力力…。

Докажем первое неравенство (4). Сравним числа

%= ano, %]%2%3…，。=Yo**力为…。

Если все соответствующие компоненты обоих разложений равны (ам = у» s = 0,1, 2,...), тоал = а>В противном случае при некотором s

а”, = % (J = О, 1■…，s - 1), %s < %

При этом, если s = 0, то равенства в (7) надо опустить. Но тогда

% W у。，у】，…К W1M и мы доказали первое неравенство (4).

Остается доказать второе неравенство (4). Еслиа =%，¥[…加一

конечная десятичная дробь, то оно следует из (5) при к = N. Пусть теперь

a=%，%为… (8)

—бесконечная десятичная дробь и как условились М = =т^тх1п2-... Если допустить» что джазываемое неравенство неверно, то найдется такое 也，что

Y产勺0=0, 1,…，入-1), I%>桃J

Если 左=0, то равенства в (9) опускаются. Так как разложение

бесконечно, то найдется такое s, чтоул+5 > 0. Поэтому

yo，Yi…¥1%…X+s >¥o，Yi…%-ih=飞，人 … ^^)

> mG,m} ... mA_1(yfe + 1) = m09mx ... mk_Amk 99...，

> т09тгт2 — = M,

и получилось противоречие с неравенством (5)・

Опре де ле ние арифметических действий. Теперь у нас есть возможность дать определение арифметических действии над действительными числами.

Для произвольного числа a =^,«^2... введем егоп-ю срезку а(")= а。,а】••・ а〃 一 конечную десятичную дробь. Мы считаем, что операции с конечными десятичными дробями читателю известны.

Зададим два положительных числа

a 二 ^o»^i^2 •••* Ь = Bo’PiPz ••• *

разложенные в бесконечные десятичные дроби. Введем последовательность чисел

Q肉+濟=a。,％…a J Po，Pl・ Pl題，普…齊

(几—1, 2,

(мевидно, эта последовательность не убывает, кроме того, она ограничена сверху:

а⑺ + b⑺ W (а0 + 1) + (Ро +1) (〃 = 1, 2,...).

Но тогда на основании леммы 2 десятичные разложения нашей последовательности стабилизируются к некоторой десятичной дроби — действительному числу —Уз%% -■ • Зто число и называется по определению суммой чисел а и Ь:

а + b = Уо»У1Уг …•

Итак, мы определяем сумму а + b как число, к которому стабилизируется а(")+ №

а(〃)+ Ь⑺二 a + 瓦(Ю)

Чтобы определить произведение положительных чисел а и Ь, вводим срезку

(a<^fСП)

—конечную десятичную дробь. Последовательность этих срезок, очевидно, не убывает (при возрастании и) и ограничена сверху:

3⑺吗⑺ < (а0 + 1) (Ро + 1)(n= 1, 2,…).

Поэтому по лемме 2 выражение (11) стабилизируется к некоторому числу, которое и называется произведением ab:

W%gp =而.

Отметим неравенства

а《")=а。,。].・• ап < а0,а! ... ая... W о^,^ ... ая 99...==仪0,% …ая_1 (ая + 1) = а0,а! ... ап+ 1О'Л,

т. е.

产《а W а% ЮЛ

Величина а'“)приближается к а (при возрастании п), не убывая. Что же касается величины а(")+ 10~"，то она приближается к а, не возрастая:

a⑺ +10~"二aо,а[…0n99 …> 0t),% …%%+]98..=/7+ 10+").

Это обстоятельство будет использовано при определении разности и частного положительных чисел.

Если а > & > 0, то разность а — Ъ определяется как десятичная дробь (число), к которой стабилизируется последовательность конечных десятичных дробей:

a何一()何 + 10 ")二伍-b)； (12)

если а.6 > 0, то частное а/b определяется как десятичная дробь, к которой стабилизируется последовательность конечных дробей:

Надо учесть, что а⑺ при возрастании и не убывает, а 严 + + 10"“ не возрастает, и потому выражения слева в (12), (13) не убывают. Кроме того, они ограничены сверху:

М-俨>+10~")《…1,

%+1

Ро»Р1 …Ps

где s таково, что Р$ > 0. Поэтому по лемме 2 выражения слева в (12) и (13) действительно стабилизируются.

Положим еще

0 + а = а 士 0 =。， а・0 = 0=а —а = ¥ (а》0,匕 > 0). (14)

Мы определили для неотрицательных чисел а, Ь их сумму, разность, произведение и частное, предполагая в случае разности, что а > Ь, и в случае частного, что& > 0. Эти определения распространяются обычными способами на числа а и & произвольных знаков. Например, если a, 6W 0, то полагаем а+Ь=Ь + + а = ~(|а| +1&|). Если же а и b — числа разных знаков и |а|》|切, то полагаем а+Ъ^Ь + а^ ±(|а| - |b|), где выбирается знак, одинаковый со знаком а. В частности, имеет место

а + (-Q)= 0для любого а.

Подобные правила можно было бы привести для остальных арифметических действии, но в этом нет необходимости — они хорошо известны из курса алгебры.

§ 1. 7. Основные свойства действительных чисел

Свойства порядка.

Ij . Для каждой пары действительных чисел а иЬ имеет место одно и только одно соотношение:

а = А а > Ь, а < 氏

Из a < b и b < с следует а<с (транзитивное свойство знака «<»)•

Если а < Ь, то найдется такое число с, что а <с <Ь,

П.Свойства действий сложения и вычитания.

П]・а + Ь= b + а (переместительное или коммутативное свойство).

П2. (а + b) + с = q + (Ь + с) (сочетательное или ассоциативное свойство).

П3. а + 0 = а.

П4. а + (-а) = 0.

П-. Из а < & следует, что а + с < 6 + с для любого с.

Число а + (-&) естественно назвать разностью а — &, т. е* писать а —方=а + (—&), потому что, если его добавить к Ь, то получим а:

[а + (-fe)] + b = а + [(-》)+ &] = а + 0 = а.

Из приведенных свойств легко следует, что разность единственна. Можно доказать, что так определенная разность совпадает с разностью, определенной формулой (12) § 1.6.

Ш. Свойства действий ум ножени я и деления.

Шр db - ba (переместительное или коммутативное свойство).

Ш2. (аЬ)с ~ о(Ьс) (сочетательное или ассоциативное свойство).

Ш3. а * 1 = а.

Ш4. а ■ 1 = 1 (а*0).

Ш5. (а +&) с= ас + &с (распределительный или дистрибутивный закон).

П1б. Из а < Ь9 с > Q следует ас < Ьс.

Число а • ^ (b W 0) естественно назвать частным 普 (岩=аЦ потому что, если его умножить на 仇 то получим а:

(a# = a(") = a@4)=a l=a・

Из приведенных свойств легко следует, что частное от деления а на& единственно. Можно доказать, что так определенное частное совпадает с частным, определенным формулой (13)§ 1.6.

IV. Арх и мед о в о свойство. Каково бы ни было число с > 0, существует натуральное и > с. В самом деле, если с = a0,aja2 ... , то можно взять 几=а。+ 2.

Из архимедова свойства и некоторых предыдущих свойств следует, что, каково бы ни было положительное число Е, всегда можно указать такое натуральное и, что выполняется неравенство ~ < с.

В самом деле, согласно IV для числа 1/е можно указать натуральное и такое, что 1/е < и, что в силуШб влечет нужное неравенство.

Заметим, что для данного числа с ^ 0 в ряду 0,1, 2,… целых неотрицательных чисел, очевидно, имеется единственное т, для которого выполняются неравенства m W с < < /п + 1.

Свойство V. Если последовательность действительных чисел ap av a3,・・・не убывает и ограничена сверху числом М (an W ДГ), то существует число a W М, к которому эта последовательность стремится как к своему пределуг

Нш% = a W М.

ПТ8

Это значит, что для всякого как угодно малого положительного числа £ > 0 найдется натуральное число л。, такое, что

1° - %1° - %а ~ а〃 < £ для всех и > п0.

1° - %

1° - %

Доказательство свойстваУ мы не будем считать обязатель- ным, но оно приведено (см. далее § 2.5, теорема 1). Как мы увидим, свойство V есть непосредственное следствие леммы 2 § 1.6, в которой, в частности, утверждалось, что неубывающая ограниченная сверху числом М последовательность бесконечных десятичных дробей стабилизируется к некоторой десятичной дроби а《М (а界二 а).

Дело в том, что из того, что ап стабилизируется к а, следует, что а〃 стремится к а как к своему пределу.

Аксиоматический подход к понятию действительного числа

Мы назвали бесконечные десятичные дроби действительными числами, ввели для них понятия 0,1, >, = и арифметические операции, и сформулировали их основные свойства I—V, которые могут быть доказаны.

Нужно сказать, что свойства I—V подобраны эконом* но и полно, настолько, что из них можно получить логически все остальные свойства чисел.

Существует аксиоматический подход к определению действительного числа, заключающийся в том, что действительными числами называются некоторые объекты (вещи) а, &» с, •“ , удовлетворяющие свойствам I—V- При таком подходе свойства!—V называются аксиомами числа.

При аксиоматическом подходе формулировки свойств (теперь аксиом) должны быть несколько видоизменены. Аксиомы П теперь уже формулируются так: каждой паре чисел в силу некоторого закона соответствует число а + Ь, называемое их суммой, при этом выполняются аксиомы!!]— 口5・ АксиомаП3 должна быть сформулирована в виде: суще-

ствует число 0 (нуль) такое, что а + 0 =а для всех а. Аксиома П4 формулируется так: для любого числа а существует число, обозначаемое через —а такое, что а + (-а) = 0. Наконец, аксиома Ш3 принимает вид: существует число 1 (единица), отличное от 0, такое» что а • 1 = а для всех а.

Обозначим через R множество всех действительных чисел, т. е. всех вещей, подчиняющихся аксиомам I—V. Тогда в R имеется нуль 0 и единица 1. С помощью аксиом можно доказать, что 0 < 1 и имеют смысл числа 2=1 + 1, 3 = 2 + 1,・・・ и числа -1, -2, -3, ... . В результате получим множество всех целых чисел (различных между собой!)

…，—2, —1, 0, 1, 2,....

На основании аксиом эти числа можно делить друг на друга, исключая деление на 0. Поэтому в R есть рацио- нальные числа ±т/п=±г^р/пр (п > 09т > 0, р^ 0). Но тогда в R имеются также и конечные десятичные дроби. Из последних можно построить ограниченные сверху неубывающие последовательности. На основании аксиомы V в R должны существовать пределы таких последовательностей. Некоторые из этих пределов не являются конечными десятичными дробями ——это числа, отличные от конечных десятичных дробей. Их удобно записывать в виде бесконечных десятичных дробей. В результате от аксиом с помощью логических рассуждений можно прийти к бесконечным десятичным дробям. Конечно, мы здесь привели только схему рассуждений, которая не претендует на доказательство.

Из сказанного следует, что с формальной точки зрения все равно, исходим ли мы при определении действительных чисел из бесконечных десятичных дробей или из аксиоматического подхода.

Конечно, с философской точки зрения второй подход более приемлем： числа суть абстракции, выражающие количественные отношения реального мира, а десятичные дроби —формальные символы, их представляющие.

Неравенства для абсолютных величин

Неравенство

(1)

~s < а < £. Отсюда неравенство|а - &| < 8 эквивалентно неравенствамЬ-Е<а<Ь+£.Аналогично неравенство~s < а < £. Отсюда неравенство|а - &| < 8 эквивалентно неравенствамЬ-Е<а<Ь+£.Аналогично неравенство(1)(1)(2)(2)(2‘)(2‘)

~s < а < £. Отсюда неравенство

|а - &| < 8 эквивалентно неравенствам

Ь-Е<а<Ь+£.

Аналогично неравенство

~s < а < £. Отсюда неравенство

|а - &| < 8 эквивалентно неравенствам

Ь-Е<а<Ь+£.

Аналогично неравенство

(1)

(1)

(2)

(2)

(2‘)

(2‘)

(3)(3)m -勿 W e эквивалентно неравенствам

(3)

(3)

⑷(5)⑷(5)а -Е W b & а + & Справедливы также неравенства |q + b|： W |а| + |&|, |о-Ь|》||а|-側.

⑷

(5)

⑷

(5)

Неравенство (4) можно- получить» рассмотрев отдельна четыре случая: 1)； а, 6》О” 2)： а, Ь< 0* 3) а& 0 W Ь, 4) Ь W 0 W W а. Например, в случае 2)

q 十 X —《Оу |修 + 计=—(а + b)・=—а — Ь = |а| + |昧

а в случае 3), если допустить, что |Ь|》|а|,

|а 4rM = b + а W |а| + 步|.

Случай 3) при допущении |Ь|《|а[читатель разберет сам, так же, как случай 1). Случай 4) сводится к случаю 3). Далее, в силу (4)

回W \Ь\ + |а-切，岡《同+ |a-见

岡-|а - 6| < 罔 W 回 + |a -.

。тогда верно (5).

:—Кугров. Том 2

Отрезок, интервал, ограниченное множество

Пусть числа (точки) а и 6 удовлетворяют неравенству а < Ь.

Множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а ^ х ^ Ь9 называется отрезком (с концами а, Ь) или сегментом и обозначается так: [а, Ь].

Множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а < х < 6, называется интервалом (с концами а, Ь) или открытым отрезком и обозначается так: (а, Ь).

Множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а^х<Ъ или а < х < Ь, обозначаются соответственно [% Ь), (а,匕]и называются полуоткрытыми отрезками или полуинтервалами. Первый, например, закрыт слева и открыт справа.

Часто рассматривают еще множества, называемые бесконечными интервалами и полуинтервалами: 1)G°°，°0)， 2) (-8, а], 3) (-8, а), 4) (а, 8), 5) [а, 8).

Первое из них есть множество всех действительных чисел (действительная прямая); остальные состоят из всех чисел, для которых соответственно: 2) х < а, 3) х < а, 4) а < х, 5) а ^ х.

Символы -8 н+8 удобно называть бесконечными чги> лами9 а обычные числа — конечными числами.

Отметим» что, назвав символы +8 и —8 бесконечными числами, мы вовсе не считаем их числами.

Подчеркнем, что у отрезка [а, 6] концы — конечные числа, у интервала же (а, 6) его «концы» могут быть конечными и бесконечными. У полуинтервала [а, &) число а всегда конечное, а 6 может быть конечным и бесконечным (Ь 这 8). Аналогично у полуинтервала (а, Ь] число а конечное или бесконечное (—8 W а), а Ь всегда конечное.

Еслиа нВ конечны na<b9ro Ь- а называется О兀〃но 也 сегмента [а, &], или интервала (а, Ь), или полуинтервалов (a,矶[а,》).

Если а и 6 — произвольные точки действительной оси, то число |а — Ь| называется расстоянием между точками а и &.

Произвольный интервал (а, &), содержащий точку с (а<с <Ь), мы будем называть окрестностью точки с.В частности, интервал (с - Е, с + €)(€ > 0) называют ^окрестностью точки с.

Пусть X = {х} есть произвольное множество действительных чисел. Говорят, что множествоХ ограничено сверху^ если 3 (действительное) числом такое, чтоУх £ X: х W М; ограничено снизу, еслиЭ число m такое, чтоХ/х е X: х > т; и ограничено^ если оно ограничено как сверху, так и снизу. Число М (т) называется верхней (нижней) границей. мно« жестваХ. ЧислоМ называется такукемажсрантой множества X.

Можно еще, очевидно, сказать* что множествоХ ограничено, если 3 число М > 0 такое, что Vx € Х:|х| W М9 так как неравенство 岡 W АГ эквивалентно двум неравенствам— М ^ х ^ М.

Если множество X не является ограниченным, то его называют неограниченным. Его можно определить следующим образом: множество X действительных чисел неограниченно, если V М > 0 3 х0 € X: |х0| >М. К этой формулировке можно прийти, исходя из правила построения отрицания данной логической формулы.

Примеры. Отрезок [а, &] есть ограниченное множество. Интервал (а, Ь) есть ограниченное множество, если а иб конечны, и неограниченное, если а = —со или 6= оо.

Счетное множество.

Счетность множества рациональных чисел.

Несчетность множества действительных чисел

Выше мы определили понятие равенства множеств. Для характеристики степени насыщенности бесконечных

множеств элементами удобным является понятие эквивалентности множеств. Множество X называется бесконеч- ным, еслиУпе N: в множествеХ имеются элементы, количество которых больше и. Два множества 厶 и В называют эквивалентными^ и при этом пишутА 〜В, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие (*-*■), т. е. существует такое правило, закон, по которому Va £ А соответствует вполне определенный элемент Ь е В. При этом в силу этого правила двум разным элементам %,耽 е 厶 соответствуют два разных элемента % &2 G В и каждый элемент & е В соответствует некоторому элемен- ту а е 4

Например, еслиА — множество точек на окружности радиуса г, В—множество точек на концентрической окружности радиуса В > г, то очевидно, что А ~ В (рис. 6).

Очевидно, что если А = В, то А ~ В.

Если X — {х} ~ N = {п}9 то множество X называется счетным. Естественно» что само множество натуральных чисел N является счетным (соответствие устанавливается по схеме п *^ п). Множество всех четных натуральных чисел N4 = {2и} эквивалентно всему множеству N, причем соответствие устанавливается по схемеп 一 2п. Отметим, что здесьНч ^ н N, Nq и N. Таким образом, истинное подмножество (часть) множества

оказалось эквивалентным всему множеству. Это свойство присуще только бесконечным множествам (его можно принять за определение бесконечного множества).

Из определения счетности множества вытекает, что его элементы можно перенумеровать с помощью натуральных чисел, поэтому счетное множество мы часто будем записывать в виде последовательности его элементов:

Счетная (теоретико-множественная) сумма

e= 0名、咫+戌+ ...

Л=1

счетных (юи конечных^ множеств Е龙 ес/ь счетное множество^ самом деле, запишем элементы 芋 £庁0=1,2, … ) в виде таблицы:

1电 2W 3叫1电 2W 3叫4总4总/1 =

1电 2W 3叫

1电 2W 3叫

4总

4总

戌=

Перенумеруем их в следующем порядке:

2 1 2 3 15，^2，尤1，^^，^^，#1，^49 •••，

выбрасывая, однако, на каждом этапе нумерации те элементы, которые уже были занумерованы на предыдущем этапе; ведь может случиться, нто Ek и Е1 имеют общие элементы. В# результате получим бесконечную последовательность элементов {у° у29 ^3,.・。}, очевидно» исчерпывающих множество^ .Это доказывает, чтЕ — счетное мно> жество.

Аналогично доказывается, что конечная сумма Е = =石| 十••・ + En счетных или конечных множеству среди которых есть хотя бы одно счетное9 счетна.

Т е орем а 1. Множество всех рациональных чисел счетно.

Доказательство. Рассмотрим сначала положительные рациональные числа Q+ = {p/q}・ Назовем натуральное число р + q высотой рационального числа р/^.Пусть А — множество всех рациональных чисел с высотой, равной п. Множества Ап состоят из конечного числа элементов (рациональных чисел), например

厶1 = 0, "2 = {}}. 4 = {"引"44 = {L*}，….

□о

Легко видеть, что = U +п=1

Перенумеруем числа, записанные в фигурных скобках слева направо, выпуская, впрочем, на каждом этапе нумерации те, Котове были уже занумерованы на более раннем этапе. В результате получим последовательность

Fj = 1, г2 = 1, г3 = 2, г4 = i, г5 = 3,....

Так как рациональных положительных чисел бесконечно много, то мы используем все натуральные числа. Значит, Q+ счетно. Далее, очевидно, что Q_ = {-р/^} счетно. Поэтому все множество рациональных чисел Q = Q+ 3 Q_ U {0} также счетно.

Теорема 2 . Множество всех действительных чисел несчетно.

Доказательство. Для доказательства достаточно установить, что множество действительных чисел интервала (0,1) образует несчетное множество. Допустим противное, что интервал (0,1) есть счетное множество, т. е. все его точки можно перенумеровать:

% = 0, ^ а^ …，

& = 0, ci^c^

Но это предположение противоречиво. В самом деле, построим вещественное числох = 0, ага2 ..., где цифры ап подобраны так, чтобы 0 < ап< 9 пап^ 才).Ясно, что х е (0, 1), однако х не совпадает ни с одним из чисел %, так как иначе должно было бы быть 久=а叫 что не имеет места.

ГЛАВА 2

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Понятие предела последовательности

Пусть каждому натуральному числу п = 1, 2, 3, ... по некоторому закону поставлено в соответствие действительное или комплексное число хп.

Тогда говорят, что этим определена последователь- ность чисел х】,х2, х3, ... или, короче, последовательность

{%〃}= {欠1，*2，*3，…卜

Говорят еще, что переменная хп пробегает значения последовательности {/}•

Отдельные числа хп последовательности {/} называются ее элементами. Надо иметь в виду, что хл и хт при пФ т считаются отличными как элементы последовательности, хотя не исключено, что как числа они равны между собой, т. е・ может быть хл = хот.

Если положить %п = %_1，то последовательность

{*1，*2, #3,…} превратится во множество

{у0, %，"2，…}，

которое в § 1,6 тоже было названо последовательностью.

В этой главе мы будем рассматривать последователь-

ности действительных чисел и это обстоятельство не будем оговаривать особо.

Примеры последовательностей:

ПримерПримерПримерПример"{#}"{#}

Пример

Пример

Пример

Пример

"{#}

"{#}

Пример 3. {1, 2", 4, 2,...} = {n(-D }•

4.5-4.5-3- 423- 12* 也3- 423- 12* 也52,52,}={*}•={п2 +1}.…} = {(Т)%}・}={*}•={п2 +1}.…} = {(Т)%}・

4.5-

4.5-

3- 4

23- 12* 也

3- 4

23- 12* 也

5

2,

5

2,

}={*}•

={п2 +1}.

…} = {(Т)%}・

}={*}•

={п2 +1}.

…} = {(Т)%}・

В примере 2 переменная хл для четных п принимает одно и то же значение:

2 = %2 = ”4 = *6= * * * •

Тем не менее мы считаем, что элементы х2, х4, ... различны.

Если все элементы последовательности {/} равны одному и тому же числу а, то ее называют постоянной.

Легко видеть, что последовательности в примерах 1, 2 и ^ограничены (см. § 1.6). В этом случае говорят также, что соответствующие переменные, пробегающие эти последовательности, ограничены. Что касается последовательностей в примерах 3, 5 и 6, то они неограничены. Однако последовательность в примере 3, очевидно, ограничена снизу числом 0, а последовательность в примере 5 ограничена снизу числом 2. Что касается последовательности в примере 6» то она неограничена как снизу, так и сверху.

Введем понятие предела последовательности.

Определение 1. Число а называется пределом последователь ности {хп}, если для всякого 8 > 0 найдется (зависящее от е) число п0 = п0(£)такое9 что выполняется неравенство

к^й1<еО)

для всех (натуральный) п > п0.

В этом случае пишут lim/=lim4 = а или хп -* а и говорят, что переменная хп или последовательность {хп} имеет предел, равный числу о, или стремится к а. Говорят также, что переменная хп или последовательность {хп} сходится к числу а.

Если хп = a Vn w N, то, очевидно, limx = lim а = а.

ЛТ8

Замечание. Если lim хп-а9 то Ишхп+1 = а; и обратно. Это следует из того факта, что если

比〃 -а| <Е Vn> /г。， то

l*n+i-a|<£ Vn>%-1,и обратно.

Переменная примера 1 имеет предел, равный 0: liml= 0.(2)

ПТ В П

В самом деле, зададим произвольное 8 > 0 и решим неравенство:

1-0 =1<Е или -<п.

In In£

Этим для всякого Е > 0 найдено число % = п0(8)= 1/е такое, что неравенство

выполняется для всех п > %, и мы доказали равенство (2).

Пример 7. Переменная примера4 стремится к 1: lim^l = 1.(3)

п—>оо П

В самом деле, составим неравенство |1_п^1|=1<£. 丨 п I п

Оно, как мы видели, выполняется для любогое > 0» если п > > п0 = 1/£. Это доказывает равенство (3).

Пример 8. Если |^| < 1, то

/映。dH °*(4)

В самом деле, пусть пока q Н 0・ Неравенство

|д"-О| = М<е

верно, если

И lg |q| <lg£,

т. е. если

" >酱="。⑹•

Мы доказали (4) при 0 < |^| < 1. Если q = 0, то равенство (4) тривиально. Ведь в этом случае переменная q" есть постоянная, *равная нулю:

{О, 0, 0, •・・}・

Пример 9. Разложим положительное число а в бесконечную десятичную дробь:

a = 00，a]a203"・..

Для его п-й срезки

")=旬,а】 ...оп имеет место равенство

lima(n)= а.(5)

В самом деле,

|0 -a⑺I = 0, 0...0 *限…w1。-"■

прнз

Но если задать 8 > 0, то всегда найдется такое п09 что

10^п < £ Vn > %, (см. предыдущий пример, где надо считать q = 10-1)- Поэтому

|a-a《")]V£ Vn> и^, и мы доказали (5).

Замечание. Срезки а^(п = 1, 2,...) — рациональные числа. Из (5) следует, что всякое действительное число является пределом последовательности рациональных чисел.

Таким образом, всякое иррациональное число можно приблизить рациональным числом с любой наперед заданной степенью точности.

В силу этого свойства про множество Q рациональных чисел говорят, что оно всюду плотно в множестве R всех действительных чисел.

Неравенство

|х - а| < г эквивалентно двум неравенствам s< хп — а <Е или а-8<хп<а+£, что эквивалентно тому факту, что точка х„ принадлежит к 8-окрестности точки а:

xn G (а - е, а + е) (см. § 1.10).

Тогда определение предела можно выразить следующими словами: число (точка) а есть предел переменной хп, если, каково бы ни былоь > 0, найдется такое число п0, что все точки хп с индексами п > п0 попадут в Е-окрестность точки а:

乙 £ (а 一 £, а + е) (п > п0).

Очевидно, какова бы ни была окрестность (с, 砌 точки а, найдется такое 8 > 0, что интервал (а - е, а + £)содержится в (с, d), т. е・(а - £, а + £)и (с, d) (рис. 7).

Поэтому тот факт, что хп — а, можно выразить еще и так: какова бы ни была окрестность (c,d) точкиа, все точки %紋 начиная с некоторого номера п, должны попасть в эту окрестность, т. е. должно существовать такое число п0, что

хп е (с, d) (и > к。). Что же касается точек хп с индексами 几 W п0, то они могут принадлежать и могут не принадлежать к (с, d). Таким образом, если вне (с, d) имеются точки #〃，то их конечное число.

С другой стороны» если известно, что вне (c,d) имеется только конечное число точек х , х , ...» х , то, обозначив

为=шах {п1э n2,... , &}, т. е. максимум среди индексов п» …,п$. мы можем сказать, что точки хп с индексом n>k попадут в интервал (с, d). Поэтому понятие предела можно сформулировать и так: переменная хи имеет своим пределом точку а, если вне любой окрестности этой точки имеется конечное или пустое множество точек хп.

Пример 10. Переменная

{(-1 严} = {1,T 1,-1,…}(6)

ни к какому пределу не стремится.

В самом деле, допустим, что эта переменная имеет предел, равный числу а. Рассмотрим окрестность этой точки

[ 3

Длина ее равна 2/3. Очевидно, что эта окрестность не может содержать в себе одновременно и точку 1, и точку —1, потому что расстояние между этими точками равно 2 (2 > 2/3)。Для определенности будем считать^ что точка 1 не принадлежит к нашей окрестности. Но хп = 1 для п = 1, 3, 5,…，т. е. вне нашей окрестности имеется бесконечное число элементов последовательности.

Таким образом, точка а не может быть пределом нашей последовательности, и так как эта точка произвольна, то последовательность (6) не имеет предела.

Теорема 1. Если переменная хп имеет предел, то он единственный.

В самом деле, допустим, вопреки теореме, что хп имеет два различных предела а и &. Покроем точки а, b соответственно интервалами (с, d), (в, f) настолько малой длины, чтобы эти интервалы не пересекались (рис. 8). Так как хп *-* а, то в интервале (с, d) находятся все элементы хл, за исключением конечного их числа, но тогда интервал (е, /) не может содержать в себе бесконечное число элементов хп и хп не может стремиться к&.Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Теорема 2.Еслипоследовательность{%}сходит^ ся (имеет предел)^ то она ограничена.

Доказательство. Пустьlimxn = а. Зададим е= 1 и подберем натуральное % = п0(1) так, чтобы

1> |х„-а| (п> п0), но тогда 1 > |хд| — |а| и выполняется неравенство

1 + 岡 > |xj

для всех п > п0. Пусть М ——наибольшее среди чисел

1 + 13,闯,％I，…，1% -

Тогда, очевидно,

М》|xn| Vn g N・

Теорема доказана.

Замечание. Ограниченность последовательности является необходимым условием сходимости последовательности, но не достаточным, как показывает пример 10.

Теорема 3. Если переменная / имеет не равный нулю предел а, то найдется такое и0, что

|xj > |а|/2 для п > п0.

Больше того, для указанных п, если а> 0, то хп > а/2, если же а < 0, то хя < а/2. Таким образом^ начиная с некоторого номера^ 尤〃 сохраняет знак а.

Доказательство. Пусть хп — а. Тогда для £ = |а| /2 должно найтись число п0 такое, что

同/2 > и -与|》冋一ь/ m > %), откуда \хД > 冋一弓=坪，н первое утверждение теоремы доказано. С другой стороны, неравенство |а|/2 >|а - %J эквивалентно следующим двум:

а^^ <^п<а + ^ 5>%)•

Тогда, если а > 0, то

乙曬= а」£ 5>%)， а если а < 0, то

*a+沫=a一齐为5>砧, и этим второе утверждение теоремы доказано.

Теорема 4.Еслихп -* а, уп -* Ьи хп &外。几^всех п = =1, 2, ... , то а W Ь.

Доказательство. Допустим, что b < а. Зададим О <£<(а- Ь)/2 и подберем числа Nj hN2 так, чтобы а - £< хп (п >NJ, y〃v Ь 4-£(п >火2): это возможно, потому чтохп 一 а, 叫一b・

Если n0=max {N],N2}, то, очевидно,^п< Ь+£ <а-£<хп (и >п0), и мы пришли к противоречию, так как по условию хп W уп для всех п»

Следствие. Если элементы сходящейся последовательности {%〃} принадлежат [а, Ь], то ее предел также принадлежит [а, Ь].

Доказательство. В самом деле, а & х^&Ь. Если lim хп = с, то по теореме 4 a W с W Ь, что и требовалось доказать.

Замечание. Для интервала (а, Ь) для конечных а и Ь можно утверждать только, что если хл G (а, Ь), то Иш хп = с G [а, Ь]. Таким образом, неравенства в пределе

сохраняются или обращаются в равенство. Например, 欠п = 1/(л + 1) 6 (0, 1), но с = 0 w [0, 1].

Теорема 5. Если переменные хл и уп стремятся к одному и тому же пределу auxn^zn^ у^ = 1, 2,... ), то переменная zn также стремится к а.

Доказательство. Задав £ > 0, можно найти ^1 и N2, такие, что

а - £ < xn 8>NJ, уп<а + е (п>%), откуда для n > n0 = max{^, N?}

а-е< хп^гп<уп<а + г

и

к” 一 а|< £ (п> п0), что и требовалось доказать.

Теорема 6.Если хп -* а, то |хп| -* |а|.

Доказательство следует из неравенства | |欠口| —同 | W W К - а|.

Арифметические действия с переменными, имеющими предел

Пусть / и % обозначают переменные, пробегающие соответственно последовательности {/} и {у^}. По определению сумма *п + Уа разность хп 一 ^п, произведение х^п и частное хп/уп суть переменные^ пробегающие соответственно последовательности {хп + %}, {хп - %}, {”也J， {%〃/%}• В случае частного предполагается, что % Н 0 для всех п = 1, 2,....

Если хп = с для 也=1, 2, ••• , то в этом случае пишут с ± 办，с%, с/уп вместо %± 以,хпуп9 %"%•

Справедливы следующие утверждения:

lim (#〃 士 у〃) = lim %〃士 lim y^(1)

lim (/%) = limxn-lim yn(2)

%=1^，ес“нШп%нО.(3)

Зтм утверждения надо понимать в том смысле, чтоесли существуют конечные пределы хп и уп9 то существуют также и пределы их суммы, разности, произведения и частного (с указанной оговоркой ) и выполняются равенства (1)-(3).

Доказательство • Пустьхп — аи% — b.Зададим £ > О и подберем п0 так, чтобы

同-3 < е/2, \уп -Ъ\< £/2 (и > 几°).

Тогда

1(х”± %) _ (а 土匕)| V 匕 _ а| + 1% _ м < "I +弓=£

5 > %), и мы доказали (1).

Чтобы доказать (2), заметим, что

同队-0匕1 = \хпУп - оуп + 叫一ab\ W

W1"" 一 °!/J + 1叫-ab1 =瓦电-al + (a! 加-耳⑷ Так как уп имеет предел, то (по теореме 2 предьвдущего па- раграфа) существует положительное число М такое, что

|%|WM(n=l,2,…)，(5)

|а| W М.(6)

Подберем число % так, чтобы

— 〃И< 爲("%)⑺

Тогда из (4) — (7) следует, что

同！"W舞+ 符=£S>%).

Этим доказано равенство (2).

Пусть теперь к условию, что хп ~^ а п уп -^ Ь9 добавляется условие, что 匕工 0. Тогда

吃 а|」"-%а J(xn-d)b+(b-yn)a\<

Уп■丨%匕1%1步1'

(8)(8)^п-а\ |Ь-Уп||а|\Уп\1%岡'

(8)

(8)

Теперь уже удобно использовать теорему 3 предыдущего параграфа, в силу которой

W >1^1/2 5>N])(9)

для достаточно большого^. Зададим £ > 0 и пoдбepeм^2 и % такие, чтобы

'|% — a|v 中 1/4 (n>N》(Ю)

回 1阪一可<。2/4(">%).(11)

Тогда, положив % = max {N19 N* N3}, будем в силу (8)— (11) иметь

Уп b 4 \b\ 2”

что доказывает равенство (3).

Заметим, что пределы переменных, стоящие в левых частях равенств (1)—(3), могут существовать без того, чтобы существовали отдельно пределы хп и уп. Например, если хп = (-1)* уп = (—l)n+1, то хп и уп не имеют пределов, в то время как lim (% + у”)= 0, lim хпуп = -1・

Теоремы о пределах суммы, разности, произведения и частного во многих случаях дают возможность узнать, имеет ли переменная предел и чему он равен, если она есть результат конечного числа арифметических действий над несколькими другими переменными, существование и величина пределов которых известны.

Однако часто встречаются случаи, выходящие за границы применимости доказанных теорем» и здесь остается большое поле для инициативы математика.

Пример 1. Пусть хп = 1 + q + .： + gn, |g| < 1.

Доказать, что

n-»oo 1 ~q

Имеем

Так как lim q“" = 0 при |q| < 1, то, применяя формулы (1), (2), получаем

limxn = lim-^--5— 1遍产=」1—.0=-1—

71T8 n->co 1—q 1—q 終->8q—i q—1 q—i

В дальнейшем под символом

1 + q + ••・ + ,п + ・••三

будем понимать lim ^gft .Таким образом, 修8A=0

#咽/=士曲 <1)•

§ 2・3・ Бесконечно малая и бесконечно большая величины

Переменнаяал, имеющая предел, равный нулю, называется бесконечно малой величиной или9 короче, бесконечно малой.

Таким образом, переменнаяап есть бесконечно малая, если для любого 8 > 0 найдется п0 такое, что |aj <£(п> п0).

Нетрудно видеть, что для того9 чтобы переменная хп имела предел а, необходимо и достаточно^ чтобы хп= а +ап, zOe ап есть бесконечно малая.

ПеременнаяРп называетеябесконечко большой величиной или просто бесконечно большой^ если для любого Af > 0 найдется такое п0, что ©J >М (п> %). При этом пишут lim 0〃 = оо, или Рп — 8(1)

и говорят, что Рп стремится к бесконечности.

Если бесконечно большая Рп, начиная с некоторого п0, принимает только положительные значения или только отрицательные значения, то пишут

lim Р几=-ню, или 0“ — +со,(2)

соответственно

lim Р〃 = -оо, или 0〃 一 -оо.⑶

Таким образом, из (2), так же как и из (3), следует (1). Пример переменной {(-1)%} показывает, что может иметь место соотношение (1), в то время как не имеет места ни (2), ни (3).

Отметим следующие очевидные свойства:

.Если переменная %〃 ограничена, а уп бесконечно боль- шая9 то //% — 0.

. Если абсолютная величинахп ограничена снизу положительным числом9 а уп — не равная нулю бесконечно малая^ то хп/уп — оо.

Докажем только второе свойство. Дано, что для некоторого числа а > 0 имеет место неравенство |хп| > а (п — 19 2,... ) и для всякого 8 > 0 существует % такое, что

%> e (П>吩⑷

Тогда

^ >- = М > п0).

% £

Зададим произвольное положительное число М и подберем по нему £ так, чтобы М = а/Е, а но £ подберем такое %, чтобы имело место свойство (4). Тогда|%п/у/ >М(п> п0), что и требовалось доказать.

Из высказанных двух утверждений получаются следующие следствия:

lim — = 0, lim—= со (с 工 0).

У^Уп 3。％

Отметим» что если последовательность {хп} неограни- чена, то она не обязательно бесконечно большая. Например, последовательность

{"“”}=卜'2, . 4 ...}неограничена, но она не является бесконечно большой, таккак в ней имеются как угодно малые члены с каким угоднобольшим (нечетным) номером.

Заме ч ан и е. Любая не равная нулю постоянная величина (последовательность) не является бесконечно малой. Из всех постоянных величин бесконечно малой является только одна — равная нулю. Если про некоторую величину известно, что она постоянна и ее абсолютная величина меньше любого положительного числа е, то она равна нулю.

Теорема 1. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малой последователъностью9 т. е. если lim xn = Ow 》」W М Vn w N, то lim хпуп = 0.

В самом деле, зададим £ > 0 и подберем п0 так, чтобы

叫＜含叫＜含Vn > 九°.Vn > 九°.

叫＜含

叫＜含

Vn > 九°.

Vn > 九°.

Тогда

L%_ °l =同陶 W 令〃 =E Dn > % , что и требовалось доказать.

Неопределенные выражения

Пусть lim хп = lim 弘=0 例# 0).

Рассмотрим последовательность {#〃/%}• О пределе этой последовательности заранее ничего определенного сказать нельзя, как это показывают конкретные примеры.

если % =丄,если % =丄,%=%=ТО —^^Л ― 400 при П —* 00；УпТО —^^Л ― 400 при П —* 00；Упесли хл = ~,если хл = ~,%/%/тото纟=丄—0 при п —* ооУп П纟=丄—0 при п —* ооУп Песли %"=乌，打песли %"=乌，打п% =〉% =〉тото为=a f а при п —* оо;У"为=a f а при п —* оо;У"

если % =丄,

если % =丄,

%=

%=

ТО —^^Л ― 400 при П —* 00；

Уп

ТО —^^Л ― 400 при П —* 00；

Уп

если хл = ~,

если хл = ~,

%/

%/

то

то

纟=丄—0 при п —* оо

Уп П

纟=丄—0 при п —* оо

Уп П

если %"=乌，打п

если %"=乌，打п

% =〉

% =〉

то

то

为=a f а при п —* оо;

У"

为=a f а при п —* оо;

У"

(-1)"1(-1)"1

(-1)"1

(-1)"1

TO — (—l)R и предел этой по-

Уп

следовательности не существует.

Таким образом, для нахождения предела {%〃/»「} недостаточно знать, что %几一 0* / 一 0. Нужны еще дополнительные сведения о характере изменения хп и уп. Для нахождения этого предела в каждом конкретном случае требуются специальные приемы.

Говорят, что выражениехп/^п прихп 一 О，Р〃 一 0 представляет собой неопределенность вида 借).

Если хл — 8, % -► оо, то выражение хп/уп также представляет собой неопределенность и ее называют неопределенност ъю вида (生卜

Если / 一 0, д〃 — 8, то для выражения х^п получаем неопределенность вида (0- 8).

Если х^ — +со, уп 一 -юо, то выражение х„ + уп представляет неопределенность вида (оо — 8).

Для каждого из отмеченных случаев можно привести примеры.

Раскрыть соответствующую неопределенность — это значит найти предел (если он существует) соответствующего выражения, что, однако, не всегда просто.

Пример 1» Если

хп = аяпт + ... + а】?！ + а。,

уп =匕产'+ w + 匕避 + 瓦9 (ат ,0» b产 0, т > 0, l> 0), то при п — 8 для выражения xjyn мы имеем неопределенность вида|™) <* Раскроем эту неопределенность»

'СО，

Если i = т, то, деля числитель и знаменатель на п^^ получаем

%+况+…十电

при 几—8, т. e. lim (xjy^ = am/bm — отношению коэф-

фициентов при старших степенях п в выражениях дляхп и

Аналогично можно показать, что при т>1 lim (хп/ /%) = 8, а при m < Z lim (xjy^ = 0.

Пример 2. Если хп 二 厶+l, уп = 4п, то при 也 一 8 для выражения хп 一 уп имеем неопределенность вида (оо 一 -8).

Раскроем эту неопределенность:

/-%=而一向覇逐（G，为、而小L°

при 九一 8. Значит, lim(Vn+l - Vn) = 0.

2.5. Монотонные последовательности

Определение. Последовательность {/) называется неубывающей (невозрастающей}^ если Vn G N справедливо неравенство

/=与+1(/)**i)■

Если на самом деле выполняются строгие неравенства хп< хп+1 (хп> хп+1), то последовательность {«J называется строго возрастающей [строго убывающей) или просто возрастающей {убывающей}. Последовательности убывающие и возрастающие, неубывающие и невозрастающие назы- ваются монотонными.

Элементы монотонных последовательностей можно расположить в цепочки % W %2《••• W 欠几 W хп+1 W …(占 > 欠2》 > ... 》 хп > хп^ > •・•), откуда видно, что неубывающая последовательность ограничена снизу, а невозрастающая — сверху.

Примеры:

1, 1, 1,...,丄，丄，… 1 —— невозрастающая последо-

I 2 2 п п J вательность.

{* —возрастающая последовательность*

Ниже мы доказываем важную теорему, утверждающую, что монотонная ограниченная последовательность чисел всегда имеет предел. В нашем изложении (в§ 1.7) эта теорема фигурировала как одно из основных свойств — свойство V — множества действительных чисел.

Теорема 1.Если последовательность действительных чисел

не убывает (не возрастает) “ ограничена сверху (снизу) числом М (соответственно тп), то существует действительное число а, не превышающее М (не меньшее т), к мо- торому эта последовательность стремится как к своему пределу:

(2)(2)Ишап = а W М

(2)

(2)

(соответственно lima = а > тп).

п-*»

Доказательство. Пусть последовательность (1) не убывает и пусть пока at > 0, тогда и все an > 0 (n = 1, 2, 3, •••). Каждый элемент последовательности разложим в бесконечную десятичную дробь:

an = °加，anian2fln3 …(几=1, 2, ... )•(3)

Так как последовательность {an} ограничена сверху числом Af (an W М) и не убывает, то на основании леммы 2 § 1.6 десятичные дроби (3) стабилизируются к некоторому числу a W М:

ап -* a = ¥o，¥iY2…，

но тогда ап стремится к а как к своему пределу:

limq = a.

〃Т8

В самом деле, для любого8 найдется натуральное т такое, что 10加 < £. Так как an стабилизируется к а, то

ап=Yo, %.•• Y雨。П,小+1。П,m+2..，

для всех п > 九。,где % достаточно велико, но тогда

I。-叫=q - % w о, о^утЛут+2 …W 10m <£ (П> %), траз

т. е. а〃一 о при 几一 8.

Если а3 < О» то прибавим к сц число с настолько большое, что % + с > О, и положим 6л = ал + с (п = 1, 2,...).

Последовательность {Ь〃} не убывает, ограничена сверху чис* лом М + с и ее элементы положительны. Поэтому по доказанному выше существует предел Нт Ьп = b ^ М + с9 но тогда П-»О0

существует также предел Ит% = Um (/ — с) = b - с W М, и П—>О0几一>8

теорема доказана для произвольной неубывающей последовательности.

Если теперь последовательность {ап} не возрастает и ограничена снизу числом т, то последовательность чисел {-ап} не убывает и ограничена сверху числом -т, и на основании уже доказанного существует предел Ит(—а〃)= —a W —т» который п->оо

мы обозначили через -а. Следовательно, существует также Нт% = Нт (-%) = -(-а) = а > т. Теорема доказана.

几ТООП—>8

Замечание . Если последовательность действительных чисел {а”} сходится, то их десятичные разложения не обязательно стабилизируются. Например, если

Q2A = 1,0...Oil... , @2A+1 = 0,9..* 911...(左=1, 2, ... )9

где после запятой стоятДг нулей или^ девяток, то последовательность {&〃} имеет предел» равный 1 (@门-* 1), однако, как легко видеть, эта последовательность не стабилизируется.

Пример 1. Приведем новое доказательство равенства (ср. пример 8 § 2.1)

Итдй = 0(15 < 1),(4)

П->00

Пусть пока q > 0. Тогда переменная q"(n = 1, 2, ... )не возрастает и ограничена снизу числом 0. Но тогда по теореме 1 существует число А》0, к которому стремится ,":

lim q" = А

Л->оо

Имеем также

А = limq"” = g lim^n =必*n—»«и—ио

откуда 厶(1 — q) = 0 и 厶=0, детому что q < 1.

Если теперь g < О, то на основании уже доказанного 田"1 = k?"l — 0, л f 8, Равене。(4) доказано подаостью^ Это доказательство (4), пожадуй* более элегантное» чем то» которое было приведено в примере 8 § 2.1, но оцо не дает возможности судить q скорости стремления q" к нулю — не дается эффективно числоп0 = па (&)$ начиная с которого tenl <£•

Пример 2・ Справедливо равенство

где а — произвольное число.

При {а| 4 1 оно очевидно. Пуста а > 1. Положим

Тогда ^1 = -^j — О @ f оо). Отсюда следует» что ип^ < ип Vn > п0, где п0 достаточно велико.

Таким образсж, переменная ип длав > %, убывает. Kjx> ме того» она ограничена снизу числом О. Но товда существует предел

limun =厶》Q.

n->00

Но также

厶=旣％ = ^^-A^^i = A • °= °，

и мы доказали равенство (5) для любого а > 0. Но оно верно и для любого а < 0、потому что

缘=近nF 雄t

О ГфИ 翻 f 8.

Число е

Рассмотрим последовательность

{/}=卜+外

Покажем, что эта последовательность возрастающая и ограничена сверху. На основании формулы бинома Ньютона {a+by=t^^

имеем

х“=(1+丄)=1 + п—+...

n(n_l) 1”(吋1)(n_2)]=

2! d 3?

=2+—+款 ТЮ+… •7(1一》・(1-*)-⑴

Из данного равенства видно, что последовательность 与》2 Vn. Докажем, что последовательность {хп} ограничена сверху. Из равенства (1) имеем

2 + 丄 + …+ 丄 W 2 +…+ ... + -~r W

〃2! и! 2 才 12 1

=3.

Покажем, что последовательность {хл} возрастающая.

По аналогии с (1) имеем

外L 2 +古(1-歳)+.・.+靑(1-+).年一島)+

+青(1-訐1)”♦(1-温。(2)

Сравнивая (1) и (2), видим, что xn < хл+1 Vn g N (в (2) каждое слагаемое больше, чем соответствующее слагаемое в (1), и» кроме того, имеется на одно положительное ела-

гаемое больше). По теореме 1 § 2.5 последовательность {хп} сходится. Обозначим ее предел буквой е, как это предложил впервые Л. Эйлер*

limfl+丄)=е.

п—>оо'

Из сказанного ясно, что 2 < е < 3. Более точное значение е = 2,718281

В будущем (в § 4.16) будет доказана формула, из которой следует, что

е=£=+35 >2),(3)

D川л!

где G ——некоторое зависящее от 几 число, удовлетворяющее неравенствам 0 <9 < 1. С помощью этой формулы нетрудно доказать, что е есть число иррациональное. Допустим, что е =Р/& гдер иqнатуральные. Тогда, положив в(3)п = q, будем иметь

卫=+旦

Умножая на q!, получаем

р (q - 1)1 - Z = 0,(4)

где/ = q! Z 否一натуральное число. Мы получили противоре- 在二0九！

qne — левая часть (4) есть целое число, а правая, равнаяб, есть правильная дробь.

Принцип вложенных отрезков

Теорема 1 (принцип вложенных отрезков).

Пусть задана последовательность отрезков (сегментов)

On = [°紋么](n = 1，2,・・•),

вложенных друг в друга, т. е. таких3 что an+1 с: an (n= 1, 2, ... ), с длинами, стремящимися к нулю:

Л.Эйлер (1707—1783) — великий математик, академик Российской академии наук, швейцарец по происхождению.

dn = bn-an — О(п-^ 8).

Тогда существует и притом единственная точка с (число), одновременно принадлежащая всем отрезкам о〃(с е в”，n = 1, 2,・・・).

Доказательство. Очевидно, что

% & ® & %《…W bm

при любом заданном натуральном т. Это показывает, что числа ап не убывают и ограничены сверху числом Ьт при любом т и, согласно теореме 1 § 2.5, существует число с, к которому стремится переменная an(lim ап = с). При этом а町 W с W Ьт. Так как в этих неравенствах натуральные 几 и т произвольные, то, в частности, an W с < Ьп (п = 1, 2, .._). Следовательно, с £ о〃，каково бы ни было n G N.

Найденная точка с — единственная. Допустим, что существует другая точка с】е о〃 Vn. Тогда。篦 W с, с】W 匕“， откуда

"一aП》上一6|>0,,

но это противоречит тому, что Ьп — ап -^ 0.

Замечание.В теореме 1 существенно, что в ней рассматриваются отрезки [а〃，匕 J, а не интервалы, как показывает следующий пример. Интервалы (0, 1/п) (п = 1, 2,…) вложены друг в друга, их длина d =丄一0 =丄 —0, но нет п п

ни одной точки, принадлежащей одновременно ко всем этим интервалам.

В самом деле, любая точка с《0 не принадлежит к любому из интервалов (0, 1/п). Если же с > 0, то найдется такое п, что 1 /п < с и с G (0, 1/п).

§ 2. 8. Точные верхняя и нижняя грани множества

Рассмотрим произвольное множество Е действительных чисел х. Может случиться, что в нем имеется наибольшее (максимальное) число, которое мы обозначим через М В этом случае пишут

М = max Е = max х.х е£

Может случиться также, что среди чисел х G Е имеется наименьшее (минимальное), равное числу т. Тогда пишут

т = min Е = min *.

хеЕ

Если множество Е конечно, т. е. состоит из конечного числа чисел

#* ”2,…，％р， то среди них всегда есть наибольшее и наименьшее.

Однако это не всевда так, если Е — бесконечное множество.

Приведем примеры:

Z = {…，-3, -2, -1, О, 1, 2,・・・}

N= {1,2, 3,…},

N_ = {…，—2, —1},

[a,矶

{a,项

@,母

Множество Z не имеет наибольшего и наименьшего чисел. Интервал 3 U) тоже ве имеет наибольшего и наименьшего чисел. При этом здесь не имеет значения, будут ли числа a, b конечными или бесконечными. Каково 6н ни было чхгслог е(Q諦),т- е. число, удовлетворяющее неравен- ствам a V£<b, всегда найдутся чтда^1Э с^ такие, что a vq < < с <c2<b.

Множество N не имеет наибольшего элемента, но имеет наименьший х = 1. Множество же N_ имеет наибольший элемент х = —1, но не имеет наименьшего.

Очевидно также min [а,勿=а, max [а, Ь] = b,min [а, Ь)= =а, однако максимального числа в [а, Ь) нет.

Возникает вопрос о введении для произвольного множества Е чисел, которые по возможности заменяли бы max Е и min Е. Такими числами (конечными или бесконечными) являются точная верхняя грань

sup Е = supx = МхеК

и точная нижняя грань

inf Е = inf х ^ щ

хеЕ

множества.

Пусть множество Е ограничено сверху.

Число М (конечное) называется точной верхней 驴а- нью множества^, если для него выполняются два условия:

1)х <М YkwE,

для любого £ > О существует точка#] е Е такая, что выполняются неравенства

М -Е<х1 W М.

Говоря другими словами, sup Е = М есть наименьшая из верхних границ (мажорант).

Пусть множество Е ограничено снизу.

Число m (конечное) называется точной нижней 孕а・ нью множества^, если для него выполняются два условия：

m ^ х Vx е Е,

для любого 8>0 существует точка xt g Е такая, что m < Xi < m + е,

т. е. inf Е-т есть наибольшая из нижних границ.

Очевидно, если в множестве Е действительных чисел имеется наибольшее (наименьшее) число, т. е. существует max Е (min Е), то

sup Е 二 max Е (inf Е = min Е)・

sup, inf — сокращения латинских слов supremum —

наивысший, infimum— наинизший. Эта терминология не совсем удачна, потому что, например, sup Е не всегда есть наивысший элемент в множестве Е.

Пример 1. Множество

e嗚3, 〃…｝ = ｛备｝

имеет наименыпее число, равное 1 /2 (min Е = 1 /2). Однако оно не имеет наиболыпего, потому что i<^<^< …？Все же оно ограничено сверху числом 1 или любым числом, большим 1. Но число 1 играет исключительную роль — оно есть точная верхняя грань Е (sup Е = 1).

В самом деле：

D/1 Vi,

2) для Ve > 0 三% е N: 1 - £ < ^+1 < 1.

Мы дали определение точной верхней (нижней) грани для множества, ограниченного сверху (снизу).

Если множество^ не ограничено сверху (снизу), то его точной верхней (нижней) гранью естественно назвать символ -ко (~оо): sup Е = -ню (соответственно inf Е = -<»).

Иногда, когда нет опасности путаницы, вместо чоо пишут 8.

Примеры. Для множеств 1)—6), приведенных выше, имеет место

sup Z = -ню,inf Z = ~оо,

supN = 8*inf N = minN= 1,

sup N_ = max N_ = -1, inf N_ = ~oo, sup (a, b)=仇inf (a, b) = a,

где a и b могут быть конечными и бесконечными числами.

Можно дать общее определение точной верхней (нижней) грани множества, которое годится для любого множества (ограниченного и неограниченного).

Число М (соответственно ш), конечное или бесконечное, называется точной верхней {нижней) гранью множества Е (рис. 9 и 10), если выполняются условия:

х ^М (m <х) Vx g Е;

益 длн любого (конечного!) Mt < М (пц > т) существует #1 е Е такое, что Мг <хх^ М (т ^ хх< mJ.

Рис. 9 Рис. 10

В этой формулировке не приходится употреблять разность М - £ (сумму m + £), это не имеет смысла при М = +8 (т = ~оо).

Справедлива теорема принодпиального значения.

Теорема 1. Если не пустое множество Е действительных чисел ограничено сверху(снизу) конечным числом К (соответственно fe), то сущестеу^т число М & K(m > >fe), являющееся точной верхней (нижней) гранью JE.

Доказательство. Так какЕ — ие пустое множество, то оно содержит в себе по крайней мере одну точкух0. Рассмотрим отрезок о° = [а, Ь], где а< х0, Ь = К.

По условию правее о。нет точек Е. Разделим о。на две равные части (два отрезка) и обозначим через а г самую правую половину, содержащую в себе хотя бы одду точку£. Это надо понимать в том смысле, что если обе половины содержат в себе точки Е, то о】 есть правая из них, а если только одна из них содержит точки Е, то именно она обозначается через а,.

Обозначим через 玄】какую-либо точку из Е» принадлежащую ко】. Таким образом, Xj g о】,но правее О] нет точек Е. Делим теперь о, на два равных отрезка и обозначаем через о? самый правый из ннх, содержащий в себе хотя бы одну точку Е9 которую обозначим через х2. Правее о2 нет точек Е.

Продолжив этот процесс по индукции, получим

последовательность вложенных отрезков q = [%, "](о〃 п сгп+1), длины которых

Ъп — а = —а — О, 九—8.

2П

При этом при любом не N правее 0n нет точек Е, но ст雑 содержит в себе некоторую точку х^ е Е.

На основании принципа вложенных отрезков существует единственная точка, которую мы обозначим через М, принадлежащая ко всем отрезкам о〃(М с о» Vn).

Докажем, что

М = sup Е・(1)

В самом деле:

имеет место неравенство х < М, Vx а Е, потому что для любой точки х> М найдется отрезок ип длины меньшей, чем х - М. Так как он содержит в себе точку М, то точка х необходимо находится правеесл, но тогда х^ Е9 потому что правее0n нет точек Е.

для любого £ > 0 Эх* w Е

М - Е < xr WM.(2)

Ведь любой отрезокоп длины меньшей, чем€, расположен правее точки М-Е и содержит в себе точку хп £ Е, которую и можно считать точкой х1 (хп = х*).

Соответствующая теорема» утверждающая существование точной нижней грани у ограниченного снизу множестваЕ, доказывается аналогично» отправляясь от сегмента с = [а, Ь], содержащего в себе некоторую точку % w Е такого, что а =左 и х0 < b. Делим сп на два равных отрезка и черезс! обозначаем теперь самую левую половинку, содержащую в себе точки Е, находим во】 точку Xj е Ей продолжаем далее этот процесс по индукции.

Сказанное выше приводит нас к следующему утверждению: всякое множество Е имеет точные верхнюю и нижнюю грани. Если Е ограничено сверху^ mo sup Е < 8, если же Е не ограничено сверху^ то sup «Е = 8. Аналогично, если

3 — Бугров. Том 2

Е ограничено снизу, то inf Е > ~оо, и если Е не ограничено снизу, то inf Е = —8.

Задачи

Пусть даны множества действительных чисел X = {х}, У = {у}・ Под множеством {х+у} будем понимать всевозможные суммы чисел х е X и ^ е У. Доказать, что

sup {* + у} =sup {*} +sup {у}, inf {x+^}=inf {%} +inf {у}.

Под множеством {ху} будем понимать всевозможные произведения неотрицательных чисел* g X иу е У. Доказать, что

sup {ху}=sup {%} sup {у}, inf {ху} =inf {%} inf {у} (*》0,у》0).

Доказать, что

sup(-x)=-infx, inf(-x)=-supx, x&AхеА хеАxgA

§ 2・ 9. Теорема Больцано—Вейерштрасса*

Пусть задана произвольная последовательность действительных чисел {/}• Выберем из нее бесконечное множество элементов с номерами пг < п2 < ... . Тогда получим новую последовательность {%%}, которая называется подпоследовательностью последовательности {/}・ Таких подпоследовательностей можно выделить из данной последовательности бесконечное множество.

Если последовательность {хп} сходится (к конечному числу, +00 или ~оо), то очевидно, что и любая ее подпоследовательность тоже сходится и притом к тому же числу (конечному, +00 или -оо).

Последовательность

(1)(1){1, —1,1, —1,…}

(1)

(1)

может служить примером не сходящейся последователь-

Б. Больцано (1781—1848) — чешский математик, К. Вейерштрасс (1815—1897) — немецкий математик.

ности чисел. Все же мы видим, что эта последовательность содержит в себе подпоследовательность

{1, 1,1 …}, сходящуюся (к 1). Возникает вопрос, всегда ли это так, всякая ли последовательность действительных чисел содержит в себе подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу (конечному, +оо, —8)・ Положительный ответ на этот вопрос дает

Теорема 1. Из всякой последовательности действительных чисел {хп} можно выделить подпоследова- телъность {治}, сходящуюся к конечному числу, или % +8, или к —8.

В случае, когда последовательность {/} не ограничена сверху (снизу), она, очевидно, содержит в себе подпоследовательность» стремящуюся к +оо (к —◎，что доказывает теорему. Если же последовательность ограничена, то теорема 1 сводится к следующей теореме.

Теорема 2 (Больцано — Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности {хп} можно выделить подпоследовательность {治}，сходящуюся к некоторому числу.

Доказательство. Так как последовательность точек {хп} ограничена, то все они принадлежат к некоторому отрезку [а, Ь], который обозначим через с0. Разделим а0 на два равных отрезка и обозначим через сх самый правый из них, содержащий в себе бесконечное число элементов хп. Один из этих элементов обозначим черезхп. Правее о1Э если есть, то конечное число точенхп. Разделим。] на два равных отрезка и обозначим через , самый правый из них, содержащий в себе бесконечное число элементов хп. Выберем среди этих элементов один хп с номером п2 > пг Правее о2, если есть точки хп, то их конечное число.

Продолжим этот процесс по индукции. В результате получим последовательность вложенных друг в друга отрезков aft = [%, ЬА], длины которых 匕龙一。白-* О,左—8, и

подпоследовательность точек нашей последовательности та- ких, что хп^ g Gft (п3 < п2< -•-)• При этом правее каждого из отрезков имеется не более чем конечное число элементов хп.

На основании принципа вложенных отрезков существует точка с, принадлежащая к любому из отрезковсА. Очевидно, что подпоследовательность {務} имеет своим пределом с (#% -* с), и мы доказали теорему.

Верхний и нижний пределы

Если задана произвольная последовательность действительных чисел {хл}, то, согласно теореме 1 § 2.9, возможно рассматривать порождаемые ею различные сходящиеся подпоследовательности.

Пределы этих подпоследовательнсютей принято называть частичными пределами последовательности {хп}.

По определению верхним пределом последовательности {*/ (или переменной хп) называется число М (конечное» +оо или -оо), обладающее следующими двумя свойствами.

Существует подпоследовательность {х } последователь- пк

ности {*“}, сходящаяся кМ:

Нт % =ЛГ.

ATX а

Для любой сходящейся подпоследовательности {хп } последовательности {賞J

limx_ W М. 在Т8/

Верхний предел последовательности {хп} обозначают одним из символов

М = limxM == lim supxfc.

以Мтд "-8 A残踪

Если последовательность {%〃} не ограничена сверху, то, очевидно,

Ишхп = *8・

Переменная хл = (-1)лимеет linu^ = 1.

Вот еще пример:

тч^.хц,...}.

Эта последовательность (переменная) не ограничена сверху. Следовательно» ее верхний предел

limr/T) =+оо.

Для ограниченной сверху последовательности {хл} ее верхний предел М может быть определен также следующим образом: для всякого е > 0 правее Af +е имеется разве что конечное число точек #〃, правее жеМ —е заведомо имеется бесконечное число точек х„.

Отметим, что если последовательность {хп} имеет обычный (конечный) предел lim хп = М, то, как мы знаем, для любого е > 0 неравенства М -е< хп<М + е выполняются для всех хл> за исключением их конечного числа. Таким образом, правее М + 8 имеется не более чем конечное число элементов хл, а правее М -Е — заведомо бесконечное их число»

Это показывает также, что М = Ишхл.

Итак, если М = lim хп, то и Ит/ = lim хп = М.

Но разница между обычным пределом и верхним пределом заключается в том, что в случае предела левееЛГ — е имеется не более чем конечное число точек хп, а в случае верхнего предела левее М ~ 8 может быть и бесконечное число точек хп.

По определению нижним пределом последовательности {хл} (или переменной хп) называется число т (конечное, -ко или -со), обладающее следующими двумя свойствами:

Существует подпоследовательность {% } последователь- ности {*〃}, сходящаяся к ш:

lim。- m.

Для любой сходящейся подпоследовательности {%&} последовательности {%〃}

lim 》т.

Л—>СО "氏

Иижиий предел переменной хп обозначают одним из символов

^=lm% = limxn = liminf^.n-Х» л-х® k>n

Если последовательность {хп} не ограничена снизу, то, очевидно,

1ЙП = -СО.

Для ограниченной снизу последовательности нижний предел m можно определить также следующим образом: для всякого е > 0 левеет -е имеется разве что конечное число точек (элементов) *п, левее же тп + е заведомо имеется бесконечное число точек (элементов) хл.

Очевидно, что

limxn<ilmxn.(1)

Теорема 1. Для того чтобы последовательность {хп} имела предел (конечный^ +<х)〃■〃一8), необходимо и достаточно, чтобы Итхп = Цтхи, и тогда Нт 囂八=limxw = Итх„.

Заметим, что если Итхп = -оо, то в силу (1) Кшхл = -оо, и по теореме 1

lim хп = -оо.

Очевидно также, что из равенства Итхл = +оо вытекает, что

limx„ = lim хп = -кю.

Замечание . Можно показать, что число с, которое мы получили при доказательстве теоремы Больцано—Вейерштрас- са, является верхним пределом хл:

Ишхп = с.

Это вытекает из того, что правее каждого отрезкасл имеется не больше чем конечное число точек хп.

С другой стороны, если бы:мы видоизменили процесс, вы< бирая на каждом этапе деления сл на два равных отрезка не самый правый, а самый левый из них, содержащий бесконечное число точек хп, то мы бы получили, возможно, другую точку с', содержащуюся во всех сп, и эта точка была бы ииж< ним пределом xn(Hmxn = с')・

Если переменная хп не имеет предела» то заведомо с' < с, если же предел хл существует, то оба процесса необходимо приведут к одному и тому же числу с = с.

§ 2.11. Условие Коши сходимости последовательности

Пусть задана последовательность действительных чисел {/}, сходящаяся к конечному пределу а:

Итхл == а.

ZT8

Это значит, что для всякого £ > О найдется число п0 = п0 (е) такое, что

I巧в 一 &l <V〃 > %•

Наряду с натуральным числом п > л。, можно подставить в это неравенство другое натуральное число m > п0:

К - а|〈号 Ушуг^.

Тогда

匕7/ = 14-a+ ""」w14一。1 + %_a1<^ +^ = £Vn, т > n0.

Мы получили следующее утверждение: если переменная хп имеет конечный предел, то для нее выполняется условие (Коши): для любого € > 0 найдется п0 = п0(£) та- кое9 что

I』-/I < £ V%m > 叫

Последовательность чисел» удовлетворяющая условию Коши9 называют еще фундаментальной последовательностью.

Оказывается^ что имеет место также обратное утверждение: если последовательность действительных чисел {хл} фундаментальная^ т. е. удовлетворяет условию Коиш, то она имеет предел9 т. & существует число а {конечное) такое, что хп -* а, п -* оо.

Док аз ателье тв о. Начнем с того, что докажем, что фун-

даментальная последовательность ограничена. В самом деле, положим е = 1 и подберем, согласно условию Коши, число л。= =n0 (1) так, что

К - % < 1 V% 血 > %，

откуда

> К - /I》同I - %1

или

1 +旣/)崗I▼心瓶> %•⑴

Зафиксируем т > п0 и обозначим

m=тал {1+唸］, I叫},

т. е. максимум чисел |先」,где n W л0, и числа 1 + |хт|. Тогда в силу (1)

М》|%| Vn g N,

и ограниченность последовательности {需〃} доказана.

По теореме Больцано——Вейерштрасса из ограниченной последовательности {хп} можно выделить подпоследовательность {/*}, сходящуюся к некоторому (конечному) числу а, т. е.

Иш х„ = а.

1X %

Покажем, что в данном случае не только эта подпоследовательность, но н вся последовательность имеет предел а:

limxR = а.

Л->00

В самом деле, согласно условию Коши, которому удовлетворяет наша последовательность, для любого Е > 0 найдется п0 такое, что

%%|хл - xm| < е/2 Vn, m > %• (2) С другой стороны, в силу того что лг% 一 а, А — 8, можно указать такое 左°, что

%

%

-а| <

В силу (2), где надо положить m = п^, и (3) имеем

k-«l = k-^+ x%—a|W|#n一/J + 比％一3< 弓 +f =£

Vn > n0, и мы доказали, что последовательность {хл} имеет предел, равный а.

Итак, доказана

Теорема 1 (критерий Коши существования предела). Для того чтобы последовательность действительных чисел{хп} имела конечный предел^ необходимо и достаточно^ чтобы она была фундаментальной (удовлетворяла условию Коши).

Полнота и непрерывность множества действительных чисел

В предыдущих параграфах мы доказали ряд свойств действительных чисел, важнейшие из которых мы перечисляем:

Существование предела у ограниченной монотонной псюледовательности (§ 2.5, теорема 1).

Принцип вложенных отрезков (§ 2.7» теорема 1).

Существование точной верхней грани у произвольного ограниченного множества (§ 2.8, теорема 1).

Сходимость фундаментальной последовательности к пределу (критерий Коши, § 2.11, теорема 1).

Хотя перечисленные свойства и выглядят различно, на самом деле между ними имеется глубокая внутренняя связь. Не так уж трудно показать, что утверждения 1)—4) (при наличии свойств I — IV числа) эквивалентны между собой, т. е. из любого из них следуют три остальные. В этой книге было показано» что из 1) (или, что все равно, свойства V, см. § 1.6) и свойств I— ГУ следуют 2), 3), 4).

Свойства 1)——4) называются еще свойствами непрерывности илиполноты множества всех действитель

ных чисел.

Чтобы уяснить их роль, рассмотрим множество только рациональных чисел, которое обозначим через Q.

Свойства 1—IV для рациональных чисел выполняются. Однако свойство V и, следовательно, любое из свойств 1)—4) для рациональных чисел, вообще говоря, не выполняются.

Поясним это на примере. Для этого нам будет удобно оперировать также и множеством всех действительных чисел, которое обозначим через R.

Зададим бесконечную непериодическую десятичную дробь а = а。，а]。?。?....

Таким образом, а — иррациональное число» т. е.ае/?, ноае Q. Дробь а порождает последовательность срезок

а()= %, Q[... q^ (tj =1,2,...)

—рациональных чисел, — не убывающую и ограниченную сверху целым числом а0+1. Не существует рационального числа, к которому наша последовательность рациональных чисел {&(")} сходится. В самом деле, мы знаем, что переменная а(") сходится к а (см. пример 9 § 2.1), т. е. к иррациональному числу, а к другому числу она сходиться не может.

Мы показали, что свойство 1) в Q, вообще говоря, не выполняется*

Нетрудно показать, что и свойства 2), 3), 4) в Q, вообще говоря, не выполняются,

Множество действительных чисел называется полным в силу того, что. для него выполняется свойство 4), заключающееся в том, что любая фундаментальная последовательность чисел сходится к некоторому действительному числу.

Множество Q рациональных чисел не является полным. Оно содержит фундаментальные последовательности, не сходящиеся к рациональным числам. Добавляя к Q иррациональные числа, мы получаем пространство действительных чисел, уже полное.

ГЛАВА 3

ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

§ 3-1. Функция

Функция от одной переменной. Пусть Е — множество чисел и пусть в силу некоторого вполне определенного закона каждому числу х из Е приведено в соответствие (одно) число у, тогда говорят, что на Е задана функция, которую записывают так:

" = 〃© (х G Е).(1)

Говорят еще, что у есть функция одной переменной х, заданная на Е, потому что можно, как мы увидим ниже, рассматривать функции многих переменных. Это определение функции предложено Н. И. Лобачевским и Дирихле). Множество^ называют областью задания или определения функции/(х). Говорят также, что задана независимая переменная х» которая может принимать частные значениях из множества Е, и каждому х е Е в силу упомянутого закона приведено в соответствие определенное значение (число) другой переменной!/, называемойф^нтсцией или зависимой переменной. Независимую переменную называют аргументом.

Для выражения понятия функции употребляют геометрический язык. Говорят, что задано множество Е точек х

действительной прямой ——область определения или задания функции ——и закон, в силу которого каждой точке х G еЕ приводится в соответствие число у = Дх).

Если мы хотим говорить о функции как о некотором законе» приводящем в соответствие каждому чмслух € Е некоторое число у9 то достаточно ее обозначить одной буквой 力 Символ/(х) обозначает числом, которое в силу закона/^соответствует значению х ^ Е. Если, например, число 1 принадлежит области Е задания функции 万 то f (1) есть значение функции f в точке х= 1. Если 1 не принадлежит Е (] f Е), то говорят, что функция /не определена в точке х= 1.

Множество Е] всех значений у — Дх), где % Е Е, назы- вается образом множества £ при помощи функции /. Иногда пишут в таком случае^ = Д£). Но это обозначение надо употреблять с осторожностью, по возможности разъясняя его всякий раз, когда оно употребляется, чтобы не было путаницы с обозначением у = /(х), где х есть произвольная точка (число), принадлежащая множеству^, а у — соответствующая ей при помощи функции (закона /) точка множества Ег Говорят еще, что функция f отображает множество Е на множество Ev

Если образ Е1=/ (Е) и А, где А — множество чисел, вообще не совпадающее с £р то говорят, что функция f отображает Е в А

Для функций f и <р, заданных на одном и том же множестве jEJ, определяются сумма /+ <р, разность f-<р, произ- ведение /ф, частное "<р. Это новые функции, значения которых выражаются соответствующими формулами

f(x) + 9(%), /(#) —(р(х), f (х) ф(х), (х е Е), (2)

где в случае частного предполагается, что ср(х)于 0 на Е.

Для обозначения функции употребляют и любые другие буквы: £, Ф, Ч7, ... , так же как вместо х, у можно писать 2, u, v9 ....

Если функция f отображает множество £ вЕ19 а функция 尸 отображает множество Е】в множество Е^ то функцию z~F (f (х)) называюгфункцией от функции^ илислож-

ной функцией^ или суперпозицией，и F. Она определена на множестве Е и отображает Е в £2.

Возможна сложная функция, в образовании которой участвует п функций: z = F^F^F3 (... (Fn(x))...))).

Практика доставляет нам много примеров функций. Например, площадь S круга есть функция его радиуса г, выражаемая формулой S = яг2. Эта функция определена, очевидно, на множестве всех положительных чисел г.

Можно, не связывая вопрос с площадью круга, говорить о зависимости между переменными Snr, выраженной формулой S = яг2. Функция S =(р(г), заданная этой формулой, определена на всей действительной оси, т・ е. для всех действительных чисел г, не обязательно только положительных.

Ниже приводятся примеры функций, заданных

формулами:1) У = Jl-fформулами:1) У = Jl-f3) у = Х — 1,3) у = Х — 1,2)y = lg(l+x),2 14)у=^^，х-12)y = lg(l+x),2 14)у=^^，х-1

формулами:

1) У = Jl-f

формулами:

1) У = Jl-f

3) у = Х — 1,

3) у = Х — 1,

2)y = lg(l+x),

2 1

4)у=^^，х-1

2)y = lg(l+x),

2 1

4)у=^^，х-1

у = arcsin х.

Мы имеем в виду действительные функции, принимающие действительные значения у для действительных значений аргумента х. Нетрудно ввдетб, что областями определения приведенных функций являются соответственно:

отрезок [-1, 1] = {-1 < х < 1};

множество х > -1;

вся действительная ось;

вся действительная ось, из которой исключена точка х= 1;

отрезок [—1, 1].

Функции, определяемые в примерах 1) и 2), можно рассматривать как функции от функции: 1) У =石，口 = 1 — d, D = X；2)y=lgU, U = l+#・

Важным средством задания функции является график. Зададим прямоугольную систему координат х, у (рис. 11), на

Рис. 11Рис. 11осих отметим отрезок [а, Ь] и изобразим любую кривую Г, обладающую следующим свойством: какова бы ни была точках G [а,&], прямая, проходящая через нее параллельно оси у, пересекает кривую Г в одной точкеА. Такую заданную в прямоугольной (декартовой) системе координат кривую Г мы будем называть графиком. График определяет функцию

Рис. 11

Рис. 11

y^f(x) на отрезке [а, Ь] следующим образом. Еслих есть произвольная точка отрезка [а, Ь], то соответствующее значение y = f(x) определяется как ордината точкиА (см. рис. 11). Следовательно, при помохци трафика дается вполне определенный закон соответствия между xny = f (х).

Мы задали функцию при помощи графика на множестве £, являющемся отрезком [а, Ь]. В других случаях Е может быть интервалом, полуинтервалом, всей действительной осью, множеством рациональных точек, принадлежащих к данному интервалу, и т. д.

Зададим на некотором интервале (а, Ь) функцию/ (х) и произвольное (постоянное) число а 工 0. С помощью ан/ можно сконструировать ряд функций: 1)а/ (х), 2) f ⑴ + а; 3)f (х- а); 4)Г (ах). Функции 1)и 2) определены на том же интервале (а,匕).Ординаты графика функции 1) увеличены в а раз сравнительно с соответствующими ординатами/ (х). График функции 2) получается из графика f поднятием пос- леднего на величинуа, если а>0, и опусканием на ]а], если а<0; график же функции 3) получается из трафика f путем сдвига последнего вправо на величинуа, если а >0, и влево на |а], если а < 0. Наконец, функция 4) при а > 0 определена, очевидно, на интервале (а/а, b/а); график ее получается из храфика f путем равномерного его сжатия в а раз.

Функцию f называют четной или нечетной^ если она определена на множестве, симметричном относительно нулевой точки, и обладает на нем свойством f (-х) = f (х) или свойством f (—%) ^ _/ (х)о

График четной функции, очевидно, симметричен отно-

сительно оси у9 а график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Например, xZk (k — натуральное), cos х, 1g 网 Vl+%2, f QM)— четные функции, а f (白 2 0 — целое), sin х, xVl+x2 , xf (\kx\) — нечетные функции.

Нетрудно видеть, что произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четная, а произведение четной функции на нечетную есть нечетная функция.

Конечно, большинство функций не четны и не нечетны.

График функции у — f (х), хе Е9 можно определить еще как совокупность точек (х, f (х)) с абсциссой х и ординатой f (х), где % е Е.

Функция Г называется строго возрастающей или возрастающей (неубывающей) на Е, если для любых х1? %2 е Е，для которых %】< х2, имеет место f (хг) < f (х2) (住)《Г(%2))・

Функция f называется строго убывающей или убывающей (невозрастающей) на_Е, если для любых х1Э х2 g Е, для которых/ <х2, имеет место Г (/) > f (&) (/ (/)》Г (&)•

Функция Г называется ограниченной (неограниченной) на Е, если ее образ Е〔 = / (Е) есть ограниченное (неограниченное) множество.

Например, функция у = 1/х убывает и не ограничена на (0, 8), но ограничена на [1, со).

Функция f, определенная на всей вещественной оси.

Рис. 12Рис. 12называется периодической с периодом Т > 0, если / (х)= =f (х + Т) Vx.

Рис. 12

Рис. 12

Можно говорить также о функции, периодической с периодом Т на интервале (а, Ь) (сегменте [а, Ь]), если равенство

/(%) = 〃#+?)

верно для всех таких х G (а, 6) (или [а, Ь]), для которых % + Т е (а, Ь) ([а, &])

Например, функция sin х периода 2兀 Функция sin mxt где лг w N, тоже периода 2тг, но она также имеет меньший период Т н 2п/ш.

Пример 6. Функция (сигнум х или знак х)

1, х>0,

y = sign% = “ 0, х = 0,

—1, х<0

задана на бесконечном интервале (—8, оо). Она нечетная. Образ ее есть множество, состоящее из трех точек: 1, 0, -1.

Пример 7. Функция

х2+1, х<0,

[sinx, х>0, имеет график, изображенный на рис. 12. Она убывает на (-8, 0) н имеет период 2冗 на (0, оо). Эта функция на различных частях области ее определения задана различными формулами.

Функция может быть задана в виде таблицы. Например, мы могли бы измерять температуру Т воздуха через каждый час. Тогда каждому моменту времени 古=0, 1,2,…,24 соответствовало бы определенное число Т в виде таблицы:

0

1

-••

24

т

• ••

Таким образом, мы получили бы функцию Т = Г (I), определенную на множестве целых чисел от 0 до 24, заданную таблицей.

Если функция^ = Г (х) задана на некотором множестве Е формулой, то всегда можно считать, что ей соответствует

вполне определенный график» определяющий геометрически эту функцию. Обратное совсем не ясно: если функция задана произвольным графиком, то может ли она быть выражена некоторой формулой? Это очень сложный вопрос. Чтобы ответить на него, надо отдать себе отчет в том, какой смысл мы вкладываем в слово формула. Выше, когда мы говорили, что данная функциям = f (х) выражается формулой, мы молчаливо считали, что при атому получается изх при помощи конечного числа таких операций, как сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корня той или иной степени, логарифмирование, взятие операции sin, cos, arcsin и других алгебраических и тригонометрических операций.

Математический анализ дает средства для значительного расширения понятия формулы. Весьма важным таким средством является разложение функции в бесконечный ряд по элементарным функциям.

Многие, а может быть и все, встречающиеся на практике функции могут быть изображены формулой, представляющей собой некоторый бесконечный ряд, членами которого являются элементарные функции, которые будут определены ниже. Но сейчас об этом говорить не время. Мы еще не готовы к этому.

Так или иначе, задана ли функция/ (х) формулой или же другим каким-либо способом, например при помощи графика, она уже может служить объектом изучения средствами математического анализа, если она удовлетворяет некоторым дополнительным общим свойствам, таким, как непрерывность, монотонность, выпуклость, дифференцируемость и др. Но об этом будет идти речь впереди.

Важнейшим средством изучения функции является понятие предела, являющееся основным понятием математического анализа. Данная глава посвящена этому понятию.

Если каждому числу х, гфинадаежащему данному множеству Е чисел, в силу некоторого закона соответствует определенное множество ех чисел у9 то говорят, что этим законом определена многозначная функция у = Г (©• Если

окажется, что ех для каждого % множество ех состоит из одного числа у9 то мы получим однозначную функцию.

Однозначную функцию называют просто «функцией» без добавления прилагательного «однозначная », если только это не приводит к недоразумениям.

Алгебра и тригонометрия доставляют нам примеры многозначных функций; такими являются функции 土占， Arcsin х, Arctg х,....

Функция 士迎 определена для х》0. Она двузначна длях > 0: каждому положительномух соответствует два действительных числа (отличающихся друг от друга знаками), квадраты которых равных. Впрочем, символ Vx(A = 2, 3, ...) мы будем понимать всюду, если это не оговорено особо, как арифметическое значение корняЛ-й степени изх> 0, т.е. как неотрицательное число,k-я степень которого равна х (см. § 3.8). Что же касается функции Arcsin х, то она бесконечнозначная. Она приводит в соответствие каждому значению х из отрезка [-1, 1] бесконечное множество значений у, которые могут быть записаны по формуле

У = (~l)*arcsin х + k7i 伊=0, ±1, ±2,…).

Функции многих переменных.Выше мы говорили о функциях от одной переменной. Но можно говорить также о функциях двух, трех и вообще п переменных.

Функция от двух переменных определяется следующим образом. Рассматривается множество^ пар чисел (х, у). При

этом имеются в виду упорядоченные пары. Это значит, что две пары (%],弘)и (х2» i/2) считаются равными (совпадающими) тогда и только тогда, когдахг = х2 и j/t = у2. Если в силу некоторого закона каждой паре (%, у) w Е приведено в соот

ветствие число z, то говорят, что этим определена на множестве Е функция 2 = f (%, у) от двух переменных хи у.

Так как каждой паре чисел {%, у) соответствует на плоскости, где введена декартова система координат, точка с

абсциссой % и ординатой у, и, наоборот, каждой точке, таким образом, соответствует пара (х, у), то можно говорить, что наша функция/ (х, у) задана на множестве^ точек плоскости.

Функцию z^ f (х9 у) от двух переменных изображают в трехмерном пространстве, где задана прямоугольная система координат х, у, 2, в виде геометрического места точек (х, у, f (х, у)), проекции которых (х, у) принадлежат множеству Е определения Г・

Например, таким геометрическим местом для функции

z = Ji-/-/(х2 + / W 1),

является верхняя половина шаровой поверхности радиуса 1 с центром в нулевой точке.

В этом же духе можно определить функцию трех переменных. Областью ее определения может теперь служить некоторое множество упорядоченных троек чисел (х, у, z) или, что все равно, соответствующих им точек трехмерного пространства, где введена декартова система координат.

Если каждой тройке чисел (точке трехмерного пространства) (х, у,2)еЕв силу некоторого закона соответствует число 〃, то говорят, что этим наЕ определена функция и = =F (х, у, 2)・

Аналогично можно рассматривать множество£ упорядоченных систем (хх, ・.・,хп) из п чисел, где п — заданное натуральное число. Опять, если каждой такой системе, принадлежащей Е, соответствует в силу некоторого закона число z, то говорят, что z есть функция от переменных х】,・・・, %紋 определенная на множестве^, и записывается эта функция в виде z = F (хр …,xj.

В случае и > 3 в нашем распоряжении уже нет реального n-мерного пространства, чтобы использовать его для изображения систем (/ ,…，/) в виде принадлежащих ему точек. Но математики выдумали n-мерное пространство, и оно им благополучно служит, и притом не хуже, чем реальное трехмерное пространство. Именно, п-мерным простран-

ством называется множество всевозможных систем п ан- сел (Хр .・., %〃)•

Если две функции f и ф от п переменных заданы на одном и том же множестве Е систем (хр …，хп) — точек n-мерного пространства, — то можно определить сумму / + Ф» разность Г — <Р，произведение /<р и частное //ф как функции, определенные на Е при помощи равенств, аналогичных равенствам (2), где надо только числа % заменить системами (хр ..., хл). Естественным образом определяются также сложные функции, такие, как / (<р (х, у), + (К, У，Z)) = F (х, у, Z), где (х, у, z) — тройки чисел, принадлежащих некоторому множеству троек.

Ниже приводится несколько примеров функций многих переменных, заданных посредством элементарных формул.

Пример 8. и-Ах + By +Cz +2), где А, В, С, D — заданные постоянные действительные числа, есть линейная функция от трех переменных (х, у, з). Она задана на всем трехмерном пространстве. Более общая линейная функция от п пере

менных (%],…，％〃)задается формулой и = ^ а^ + &, где ар i=i

а〃，Ъ — заданные постоянные числа. Эта функция определена в любой точке(X],..., хл) n-мерного пространства, или, как еще говорят, на всем 几-мерном пространстве.

Пример 9.2 = Igjl-d-丁. Зта действительная функция задана на области, представляющей собой круг радиуса 1 с центром в (0, 0), из которого удалены все граничные точки» т. е. точки окружности радиуса 1 с центром (0, 0). Для этих точек наша функция не определена, потому что 1g 0 не имеет смысла.

Пример 10. Функция

|0 для у )0,для у<0,

геометрически изображается двумя параллельными полуплос- костями, не связанными между собой. Расположение их по отношению к системе координат х,弘 2 очевидно.

Функция от одной переменной может быть задана неявным образом при помощи равенства

F (х, у) = 0,(3)

где 尸 есть функция от двух переменных хну.

Пусть на некотором множестве G точек (х, у) задана функция 尸.Равенство (3) определяет некоторое подмножество fl мноясестваа на котором функция 尸 равна нулю. Конечно, в частности, Q может быть пустым множеством. Пусть С — непустое множество, и пусть Е — множество (очевидно, непустое) таких значений х (чисел), которым соответствует хотя бы одно у так, что пара х, у принадлежит Q. Таким образом,Е есть множество всех чиселх, каждому из которых соответствует непустое множество е* чисел у так, что (х, у) w Q, или, что все равно, так, что для указанной пары (х, у) выполняется равенство (3). Этим определена на множестве Е некоторая функция у = (р (к) от х, вообще говоря, многозначная. В таком случае говорят, что функция <р определена неявно при помощи равенства (3). Для нее, очевидно, выполняется тождество

尸(х, ф (х)) = 0 для всех х е£.

По аналогии можно также определить функцию % = =W(У)от переменной у, определяемую неявно при помощи равенства (3)。Для нее вьшолняется тождество

F(W &)，У)三。для всех у е Е” где% — некоторое множество чисел. Говорят еще, что функция у = (р (х) (или % =屮｛")) удовлетворяет уравнению (3). Функцию % =屮 @) называют обратной по отношению к функции у =屮(х).

Пример 11. Уравнение

/ + / = /,(4)

где г>0, неявно определяет двузначную функцию от одной переменной:

у = 土J/-，(-г W X W г);

впрочем, при х = ±г она однозначна. Естественно считать, что эта двузначная функция распадается на две непрерывные однозначные функции у =+Vr2 -х2 иу=-J，-f (-rW

& % & г). Графики их (полуокружности) в совок^шности дают окружность радиуса г с центром в начале координат. Эта окружность есть геометрическое место точек, координаты (х, у) которых удовлетворяют уравнению (4). Но можно, пользуясь формулой (4), конструировать различные однозначные (разрывные) функции, удовлетворяющие уравнению (4). Например, такой является функция

-rWjc<0, OWKWr.-rWjc<0, OWKWr.

-rWjc<0, OWKWr.

-rWjc<0, OWKWr.

ЗЛ.З.Полярная система координат.Впло- скости зададим луч OL (полярную ось), выходящий из точки О — полюса полярной системы координат (рис. 13, а).

Положение произвольной точкиА (отличной от точки О) плоскости однозначно определяется парой чисел (0, р)—

ее полярными координатами, где р — расстояние А доО, а 0 — выраженный в радианах угол между ОА и OL. Если угол 0 отсчитывается против часовой стрелки от прямой OL, то он считается положительным и может изменяться от 0 до +8. Если угол 0 отсчитывается по часовой стрелке, то он считается отрицательным и может изменяться от —оо до 0. ТочкаО исключительная. Она определяется парой (0, 0), где 0 — произвольное число.

Пусть в плоскости, наряду с прямоугольной системой координат х9 у с началом в точке О, введена полярная система координат 0, р, так что полярная ось и положительная ось х совпадают. Тогда полярные координаты (0, р) произвольной точкиА плоскости преобразуются в декартовы координаты (х, у) этой точки по формулам (рис* 13» G

4 = р cos 0, у = р sin 0. (5)

Равенства (5) называют формулами преобразования полярных координат в декартовы.

Функциональную зависимость р = f(0), заданную на некотором множестве Е значений 0, можно интерпретировать как множество точек (0, р) плоскости в полярной системе координат, где 0 е Е, р = /1(0).

Многие кривые на плоскости могут быть описаны в полярных координатах соответствующими функциями Р = Г (0) (многозначными или однозначными). Ясно, что в область определения функции р = ДО) входят только те значения угла 0, при которых f (0)》0.

Построение графика функции p = f (0) можно осуществить по точкам. При данном0 проводим луч из точки© под углом 0 к полярной оси и затем на этом луче отмечаем точку А = (0, f (0)) графика функции, находящуюся иа расстоянии р = Г (0) от точки О.

Простейшей функцией в полярной системе координат является постоянная функция р = с. Очевидно, что ее графиком является окружность радиуса с с центром в точкеО-

Другой пример р = 0 (0W 0 < оо) (рис. 13, в). Это спираль, раскручивающаяся из полюса О.

Функция р = 2е (—со < 0 < оо) описывает в полярных координатах спираль Архимеда (рис. 13, г). Отметим, что здесь при 0 —► —оо р —* 0. Стрелка на графике указывает направление движения точки графика при увеличении угла 0.

Функция р = 2 cosФункция р = 2 cosописывает окружностьописывает окружность

Функция р = 2 cos

Функция р = 2 cos

описывает окружность

описывает окружность

радиуса единица с центром в точке О】=(0, 1) (см. рис. 13» 0). Наконец, функция

РН謎孤（04。广务为崂）,p＞。）

описывает такую прямую, что опущенный на нее из полюса О перпендикуляр имеет длину р0 и образует с полярной осью угол 0О (рис. 13, е)・

Предел функции

Число А называется пределом функции f 6 точке а, если она определена на некоторой окрестности а, т. е. на некотором интервале (е, d), где с < а < d, за исключением, быть может, самой точки а, и если для всякого £ > 0 можно указать зависящее от него 5 > 0 такое, что для всех х, для которых 0 < [% - а| < В, имеет место неравенство

lf(x)-AI<£.

Тот факт, чтоА есть предел /в точке а, принято записывать следующим образом:

limf(%) = А или f (х) — А(х -* а).

%та

Другое определение предела функции в точке может быть высказано в терминах пределов последовательностей.

Число А называется пределам функции в точке а, если она определена на некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а, и если пре-

дел последовательиести {/(хп)} существует и равен А, какова бы ни была последовательность {хп}, сходящаяся к а и такая, что #〃工 а для всех и. Таким образом,

lim%%) =4

$»

Здесь считается, как и в других подобных случаях, само собой разумеющимся, что сходящаяся к а переменная хп пробегает значения, для которых f (х) определена.

Высказанные определения эквивалентны. В самом деле, пусть функция Г имеет предел в смысле первого определения, и пусть задана переменная хп» не равная ни при каком п числу а и стремящаяся к а. Зададим £ и подберем 8 так, как это сказано в первом определении. Затем подберем натуральное п0 так, чтобы |хп — а| < 6 для п > %. Но тогда

|/(Х„) 一剧 < € ДЛЯ П > П°,

а это значит, что последовательность чисел {Г (х„)} стремится кА и так как это свойство верно для любой сходящейся к а последовательности {хп}, лишь бы хп^ а и все хп принадлежали к области определения функции, то доказано, что из первого определения предела следует второе.

Наоборот, пусть функция Г (力)имеет предел в смысле второго определения. Допустим, что при этом она не имеет предела в смысле первого определения. Это значит, что существует хотя бы одно е, которое мы обозначим через е0, для которого нельзя подобрать нужное 8, т. е. для любого 8 среди х, удовлетворяющих соотношениям 0 < |х — а] < 5, должно найтись хотя бы одно 囂=% такое, что для него У(%%-а|》£о・

В качестве6 мы берем все числа ввда5 = l/k(k-l9 2,...) и для каждого из них найдем точку xk =- для которой

Ov 1Xл 一 3 < 1/论(办 。 0) и

If(Хл) - А| > Ео3=1, 2,…).

Из этих соотношений видно, что хк^ а (戈矗 W а), в то время как f (/) заведомо не стремится к числу А. Таким

образом, допущение, что из второго определения предела не следует первое, приводит к противоречию.

Эквивалентность двух определений, доказана.

Выражение предел функции в точке а часто заменяют выражением предел функции при х, стремящемся к а или, короче, предел функции при х -* а. Если угодно, это выражение больше соответствует духу понятия предела потому, что выражение lim f (х) говорит о поведении фун- кции в малой окрестности тонкие, из которой выбрасывается точка а. Оно говорит о том, что еслих приближается к а по любому закону, оставаясь не равным а9 то соответствующее значение Г (%) в свою очередь приближается к А, т. е. делается как угодно близким кА.

Пример 1. Рассмотрим функцию/ (х) = (х2 - 4)/(х - —2)- Она определена для всех 力工 2. Попробуем найти ее

предел прих — 2. Для любогох W 2 = i + 2, атак как при определении предела прих 一 2 совсем не принимаются во внимание значения / в точке 力=2, то

lim 戈=-=lim(x + 2).

х->2 尤—/尤т2

Это равенство пока написано в том смысле, что если один из пределов существует, то существует и второй и равен ему. Таким образом, вместо того чтобы вычислять предел более сложной функции (х — 4)/(х 一 2), достаточно вычислить предел более простой функции х + 2. Этот последний при х —* 2, очевидно, равен 4. Ведь если подставить вх + 2 вместо х произвольную переменную хп, стремящуюся к 2, то независимо от способа стремления ее к 2

lim (хп + 2) = 2 + 2 = 4.

Вычисления, связанные с нахождением данного предела, обычно располагают следующим образом:

Ит 共二占- =lim (x + 2) = lim x + 2 = 4.

ht2 1-/*f2r->2

2

Подчеркнем, что функции f (х) — (х — 4)/(х - 2) иф (х)= =% + 2 являются разными функциями. Первая из них определена для х力 2, в то время как вторая определена для всех х. Однако при вычислении предела функций прих — 2 нас совершенно не интересует, определены или не определены эти функции в самой точке х = 2, и так как f (о) = <р (х) для %工2, то

lim f(x) = lim<p(x) = <р(2).

x->2a>2

Пример 2.Очевидно,чтоИтх2 = 1,потомучто,если х->1

хп-* 19 хпФ 1 то Umx^ = limxn- limxn =1-1 = 1. Этот факт можно доказать и на языке 8 и 8. Определим какой-либо интервал, содержапщй точку 1, например (1/2, 3/2). Для любогох, принадлежащего ему, очевидно, выполняется неравенство

|х2-1| = |х + 1||х^11<|1х-11.

Зададим теперь произвольное 8 > 0 и положим 5 = =min Р，—el.Тогда для всех х, удовлетворяющих не- равенству |х —1| < б, будет иметь место соотношение

|/-1| 《我….

Пример 3 • Функция sin (1 /х) определена для всех значений х ^ 0 и является нечетной (график ее длях> 0 изо

Рис. 14Рис. 14бражен на рис. 14). Она определена, таким образом, в окрестности точки х = 0, за исключением самой точки х = 0. Эта

Рис. 14

Рис. 14

функция не имеет предела при % — 0, потому что последовательность отличных от нуля значений хА = 2/冗(2左 + 1)(论=0, 1,2,...) стремится к нулю ивто же время

g = (T)龙

не стремится при fe —* оо ни к какому пределу.

Введем еще следующее определение. Будем писать

А = lim ")

X—8

и говорить, что число А есть предел функции f (х) при х, стремящемся к бесконечности^ если f определена для всех х, удовлетворяющих неравенству |囂| > К при некотором К > 0, н для любого £ > 0 можно найти число М > К такое, что |Г (х) - А| < е для всех х, удовлетворяющих неравенству |х| > М.

Можно доказать, что это определение эквивалентно следующему.

Число А есть предел функции / (х) при * — 8, если функция/ (х) определена для всех х с \х\>М при некотором М и

lim f(x^ == А

■X—В

для любой сходящейся к оо последовательности ｛厶*

Доказательство эквивалентнсюти этих двух определений проводится по той же схеме, что и в разобранном выше случае предела / в конечной точке а.

Вообще, многие свойства пределов f (х) при х -* а, где а — конечное число, и при х—* оо являются аналогичными. Можно изложить эти свойства единым образом, так что изложение будет одновременно относиться как к случаюх-*а, где а ——конечное число, так и к случаю 囂—8・ Для этого под буквой а надо понимать либо число (конечное), либо символ оо. Если а есть число, то под окрестностью точки а понимается любой интервал (с, d), содержащий в себе точку а» Таким образом, окрестность(конечной) точки а есть множество всех точек х, удовлетворяющих неравенствам с <х <d. Если же а = 8 (или + 8, или —оо), то под окрестностью а мы условимся понимать множество всех %, удовлетворяющих неравенству

|х| > М (или 囂 > М, или х < —М, М > 0).

Мы будем писать

lim f(x) ^А,

文一a

где а может быть конечным числом или 8 (или + оо, или -8), если функция f (х) определена на некоторой окрестности а, за исключением, быть может, самой точки а (эта оговорка нужна только в случае конечной точки а), и если для любого 8 > 0 найдется такая окрестность точки а, что для всехх, принадлежащих к ней и отличных от а, имеет место неравенство

А%) -局V е・

Это определение объединяет в себе, очевидно, оба разобранных выше случая предела f: когда х стремится к конечному числу а и когда х стремится к оо, +оо, —оо.

Функция f, для которой lim Дх) =0, называется веско-

*—а

нечно малой при х -* а.

Приступим к изложению свойств функции/ {х), имеющей пределы при х -* а, 1ще а есть число или оо, +8, —оо. Условимся произвольную окрестность а обозначать символом U (а). Легко проверить, чтопересечение двух окрестностей О】(а) и U2 (а) есть снова некоторая окрестность U (а).

Теорема 1. Если lim f(x) = А, где А — конечное

*тa

чиело, то на некоторой окрестности U (а) функция / (х) ограничена^ т. е. существует положительное числом такое, что

If (х)| W М для всех i w U (а), хФа.

Доказательство. Из условия теоремы следует существование окрестности U (а), такой, что

l>|f(x)-A|>|f(x)H|A| (х е U(d)9 х^а).

Отсюда для указанных х

|f (х)| < 1+|А1，

где надо считать М = 1 + |А|. Теорема доказана.

Теорема 2. Если lim f(x) ^ А иА^ 0 — конечное 文-a

число, то существует окрестность U (а) такая, что

\f (х)| > |А|/2(% е и (а), х # а).

Более того, для указанных х

f(x) > А/2, если А> О»

и

/ (х) < А/2, если А<0.

Доказательство. Из условия теоремы следует существование для Е = |А|/2 окрестности U (а) такой, что

|A|/2>|A-f(x)|》|А| - /(©I «wU (。)，х 工 a), откуда |f (%)| > |А|/2 для указанных х. Первое из этих неравенств можно заменить следующими:

А-粤 <f(x)<A+粤.

При А > 0 отсюда следует

■ =a-粤 <"现

а при А < 0 следует

〃х)<А +粤=/ что и требовалось доказать.

Теорема 3.Если lim "(%)=a1，lim f2(x) = A2, #—ax—a

и на некоторой окрестности U (a), % # a, 左(*) WRO mo & WAg.

Доказательство. Пусть xn -* a, xn^a; тогда для достаточно большого % имеет место неравенство

Л(^„) W /2 (“„) (п > %) и после перехода к пределу неравенство Аг & А2.

Теорема 4.Если

lim Д(х) =4 lim 扭力)=А(1)

и на некоторой окрестности U (а), % w а,

厶(х) W(p(x)wr2(x),(2)

то

lim(р(х) = А(3)

Доказательство. Пусть хд — а, % w а; тогда при достаточно большом п0 для п > п0

h^ W Ф(х„)《&(*“)

и в силу (1) существует предел ср (%) равный А, а так как Л есть произвольная сходящаяся к а последовательность, то имеет место (3).

Теорема 5 (критерий Коши существования предела). Для того чтобы существовал предел (конечный) Иш f (х), необходимо и достаточно, чтобы фун・ х—а

кция f (х) была определена в окрестности а, за исключе- нием9 быть мозсет» самой точки а, и для всякого £ > О существовала такая окрестность U (а), что, каковы бы ни были точки х\ V w U (а), х\ 算"w а,

\f(X')-f(x")]<E.

Доказательство. Пустьlim f(x) =А, гдеА — конечное число; тогда существует окрестность а, где f (х) определена, за исключением, быть может, самой точки а. Кроме того, для любого £ > 0 найдется такая окрестность U (а), что если % w U (а), х ^ а, то |f (х) - А| v £/2- Пусть %', К' с。(а) и х\ %" # а; тогда

/ (М) - / @")| < |/ М - А| + |А - f (xw)| < J + J = е, и мы получили, что условие теоремы необходимо.

Докажем достаточнсють этого условия. Пусть функция/ (х) определена в некоторой окрестностиа, за исключением» быть может, самой точки а, и пусть для любого £ > О можно указать окрестностьU (а) такую, что [/ (х*) — f Qc") [ <Е для всех %', %" е U (д), %', %" г а. Зададим произвольную последовательность {xn}, xn^a (n= 1, 2,...), стремящуюся к а. Тогда, согласно критерию Коши, для последовательности, стремящейся к пределу, найдется число % такое, что для n, m > п0 будет xn, k^w U (а). Но тогда

\f(.x„)~f(xm)\<E(п,т> nJ,

и последовательность {/(%〃)} удовлетворяет критерию Коши

и, следовательно, имеет предел.

Мы доказали следующее свойство рассматриваемой функции /: для любой сходящейся ка последовательности чисел к#а существует lim f (% J Из этого свойства автоматически следует, что пределыПт f (хп), соответствующие разным сходящимся к а последовательностям, равны между собой. Но

тогда существует lim /(х). В самом деле, пусть хп — а, %： — а; х-*а “

%。’ 力;工 а (п - 1，2, -..)- Тогда по доказанному существуют числа А и А! такие, что / (%) -* А и f (%：) — 4'. Составим новую последовательность: {хр х^, х2, х^, х3 ...}. Она сходится к числу а. По доказанному выше должна сходиться к не

которому числу и соответствующая последовательность {f (修),

f (%；), f (x2), f(叫)，•“}• Но это возможно, только если А = А\

Таким образом, А—А, Теорему доказана.

Теорема 6- Пусть

Ит/(х) = А, Нт(р(х) = В,Г —〃АС

zOe Au В — конечные числа. Тогда

lim [f (х) 土 <р (%)] = А ± В, lim [f (х)屮(х)] = АВ #~ах—а

и при условии^ что В w О,

lim 曲"=К

X—а ф(х) В *

Докажем для примера второе равенство. Пусть хп 一 а9 хп ^ а (п = 1, 2,…)；тогда

lim / (%。= 4, lim (р (乙)=В,

но так как предел произведения двух переменных, пробегающих последовательности, равен произведению их пределов, то

Нт [/(хл) ф (хл)] = lim f (xj lim (p (xn)=AB.

Это равенство доказано для любой переменной %〃 ~ а, к〃 工 а, поэтому lim[f(x)ф(х)] = АВ.

х-*а

По определению lim / (%)=8, если функция f (х) опре- х—а

делена на некоторой окрестности а9 за исключением» быть может, самой точки Q, и если для всякого положительного числа М найдется такая окрестность U (а) точки а, что

|/ (х)| >М (х е U (а), х 工 а)・

Функцию, для которой lim Г Qc) = °°, называют веско- %—а

нечно большой при 力一 а.

Если lim f (х) = 8 и в некоторой окрестности точки а функция f (х) > 0 (соответственно f (х) < 0), то еще пишут lim /(х) = +оо ( соответственно lim f (х) = -8). х—ах—а

Легко доказать следующие теоремы.

Теорема 7. Если функция /(х) удовлетворяет на некоторой окрестности а неравенству

|/(х)1>М>0, а для функции (р (%) имеет место lim <р (х) = 0 (ср (х) w 0 для х w а), х—а то

hm =оо. х—а <р(х)

Теорема 8. Если lim f (х) = А, Нш (р (%) = 8 (А — н-ак—а

число) 9 то

Нт 掣=0. х—а

Следствие. Если (р (х) — 0 (х 一 а, (р (х) w 0), то lim-J^ = оо, х-а <р(х) и если <р (%) 一 8(% 一 а, <р (靠)声 0), то

lim-J-- = 0.

*-а ф(Х)

Можно еще определить предел функции f в точке а (конечной) справа (слева).

4："— Бугров. Том 2

По определению число А называется пределом функ- 学〃〃 / в точке а справа(слева)9 если она определена на некотором полуинтервале (а, Ь] ([Ь, а)) и для нее существует

Нт /(хп)=▲ (соответственно lim f(#/ = А)

4>а£<а

для любой указаЕшой последовательности {%〃}•

Предел справа (слева) функции / в точке а принято обозначать так:

f (а + 0) = Нш/(х),(4)

х—ах>а

f (а - 0) = limf(x).(5)

х—ах<а

Если f определена на интервале (а, Ь), то в точке а мо- хет иметь смысл только число/ (а + 0), а в точке 匕一только число f (Ь- 0).

Замечание. Равенства

f(Q+0) = 〃Q-0)=4(6)

эквивалентны существованию предела

Ит /(х) =4(7)

х—а

В самом деле, (6) можно выразить так: Ve > 0 38 > 0: 1/(%) -4| <£, Vx: 0< |х - а|< 8,х>а; |/ (х) - А| < е, Vx: 0<|х- ~ а| < 8, х < а. Ноэто можно выразить более кратко: Ve> 0 38 > 0: |f (х)-А|<е, Vx: 0<|х~а|<8,что эквивалентно (7).

Непрерывность функции

На рис. 15, а изображен график функции ? = /(%) (q W % W 6). Его естественно назвать непрерывным графиком, потому что он может быть нарисован одним движением карандаша без отрыва от бумаги. Зададим произвольную точку (число) х G [а, Ь]. Близкая к ней другая точка х9 w [а, Ь]

Рис. 15

■ •♦〃 еипх .нишгппп п пиде х* ■ х + Длг, где Дх есть число •i「〃，* »■，•• и.м(м« или 1ггрицн7ч»льн(х?, называемое приращение W * Рн.ПКМ'ТЬ

△/ = Ay = / (х + Дх) -f (х)1П1.11.ИП1Г 1\щ приращением функции / в точке х, соответ-<~гпук)1цим приращению Дх. Здесь имеется в видуДх такое,•пч)х ♦ Дх 6 [а, Ь]. На рис. 15, а &/ равно длине отрезкаВС.

Будем стремить Дх к нулю; тогда для рассматриваемом ||)ункции, очевидно, и Ау будет стремиться к нулю:

Д^-О(Дх-*О).(1)

Рассмотрим теперь график на рис. 15, б. Он состоит из двух непрерывных кусков РА и QR. Однако эти куски не соединены непрерывно, и потому график естественно назвать разрывным. Чтобы храфик изображал однозначную <|>ункцию у = F (%) в точке х0, условимся, что F (х0) равно длине отрезка, соединяющего А и х0; в знак этого точка А изображена на графике кружком, в то время как у точки Q нарисована стрелка, указывающая, что Q не принадлежит графику. Если бы точка Q принадлежала “афику, то функция F была бы двузначной в точке х0.

Придадим теперь х0 приращение Дх0 и определим соответствующее приращение функции:

AF =尸(& + А#)-尸 @о)・

Если мы будем Дх0 стремить к нулю, то теперь уже нельзя

сказать, что AF будет стремиться к нулю. Для отрицательных Ах0, стремящихся к нулю, это так, но для положительных вовсе не так: из рисунка видно, что если Дх0, оставаясь положительным, стремится к нулю, то соответствующее приращение AF при этом стремится к положительному числу, равному длине отрезка AQ.

После этих рассмотрений естественно функцию 厶 заданную на отрезке[а9 Ь], называть непрерывной в точке х этого отрезка, если приращение ее в этой точке, соответствующее приращению Дх, стремится к нулю при любом способе стремления Дх % нулю. Это (свойство непрерывности / в х) записывается в виде соотношения (1) или еще так:

(2)(2)112=°・

(2)

(2)

Запись (2) читается так: предел Ау равен нулю, когда Дх стремится к нулю по любому закону. Впрочем, выражение «по любому закону» обычно опускают, подразумевая его.

Если определенная на [а,可 функция f не является непрерывной в точкех w [а, Ь], т.е. если для нее не выполняется свойство (2) хотя бы при одном способе стремления Дх к нулю, то она называется разрывной в точке х.

Функция, изображенная на рис. 15, а, непрерывна в любой точке х е [а, Ь], функция же, изображенная на рис. 15, 6, очевидно, непрерывна в любой точке х е [а, Ь], за исключением точки х0, потому что для последней соотношение (2) не выполняется, когда Дх — 0, оставаясь положительным.

Функция, непрерывная в любой точке отрезка (интервала), называется непрерывной на этом отрезке {интервале}-

Непрерывная функция математически выражает свойство, с которым нам приходится часто встречаться на практике, заключающееся в том, что малому приращению независимой переменной соответствует малое же приращение зависимой от нее переменной (функции). Прекрасными примерами непрерывной функции могут служить различные

законы движения тел s = f (Е), выражающие зависимости пути s, пройденного телом, от времени亡 Время и пространство непрерывны. Тот или иной закон движения $ = /(£) устанавливает между ними определенную непрерывную снизь, характеризующуюся тем, что малому приращению времени соответствует малое приращение пути.

К абстракции непрерывности человек пришел, набле- *1я окружающие его так называемые сплошные среды — твердые, жидкие или газообразные, например металлы, воду, воздух. На самом деле, всякая физическая среда представляет собой скопление большого числа отделенных друг от друга движущихся частиц. Однако эти частицы и расстояния между ними настолько малы по сравнению с объемами сред, с которыми приходится иметь дело в макроскопических физических явлениях, что многие такие явления можно достаточно хорошо изучать, если считать приближенно массу изучаемой среды непрерывно распределенной без всяких просветов в занятом ею пространстве. На таком допущении базируются многие физические дисциплины, например гидродинамика, аэродинамика, теория упругсю- ти. Математическое понятие непрерывности, естественно, играет в этих дисциплинах, как и во многих других, большую роль.

Непрерывные функции образуют основной класс функций, с которым оперирует математический анализ.

Примерами непрерывных функций могут служить элементарные функции (см. ниже § 3.8). Они непрерывны на интервалах изменения х, где они определены.

Разрывные функции в математике отражают скачкообразные процессы, встречающиеся в природе. При ударе, например, величина скорости тела меняется скачкообразно. Многие качественные переходы сюпровождаются скачками. Например, зависимостьв = f (t) между температурой одного грамма воды (льда) и количеством Q калорий находящегося в ней тепла, когда/ изменяется между-10° и +30°, если принять условно, что при —10° величина Q = 0, выражается следующими формулами:

QG) =

[0,5 £+5, jl+85,

—10W£ < О, 0<t<30.

Мы считаем, что теплоемкость льда равна 0,5. При 土 = О эта функция оказывается неопределенной — многозначной; можно для удобства условиться, что при £ = 0 она принимает вполне определенное значение, например / (0) = 45. Функция Q =f О очевидно, разрывная при方=0, изображена на рис. 16.

Дадим определение непрерывности функции / в точке.

Функция / (х) называется непрерывной в точке х0, если она определена в некоторой окрестност и этой точки, в том числе в самой точке х0, и если ее приращение в этой

-W|0 30 1-W|0 30 1Рис. 16Рис. 16точке, соответствующее приращению аргумента Дх, стремится 用 нулю при Дх —* 0:

-W|0 30 1

-W|0 30 1

Рис. 16

Рис. 16

⑶⑶liniAi/= ?%『(/ +Ах)-f(%)]二 0.

⑶

⑶

Если положить х = х^^ Ах, то получим следующее эквивалентное определение непрерывности f в х0: функция / непрерывна в точке х0, если она определена в некоторой окрестности этой точки9 в том числе в самой точке х0, и если

Ит / (х) = / (%)； ⑷

или еще на языке £, 5: если для всякого £ > 0 найдется^ > 0

такое9 что

1/(х) - /(х0)| < £ Vx: |х - х0| < 5.

Равенство (4) можно еще записать следующим образом:

lim/(x) = rflimx\(4，)

Оно показывает, что под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Пример 1. Постоянная у = С есть функция, непрерывная в любой точке х. В самом деле, точке х соответствует значение функции!/ = С, точке х +△% соответствует

то же значение у (% + Дх) = С. Поэтому ^у = у (х + Ах)- -у (%) = С - С = 0 н

lim Ay = lim 0 = 0.

Дх^О Дх-О

Пример 2. Функция у = х непрерывна для любого значения х, потому что △〃 = Дх и, следовательно, Дг/ -* 0 при Дх — 0.

лю-лю-(5)(5)(6)(6)Пример 3. Функция у = sin х непрерывна для белю х. В самом деле.

лю-

лю-

(5)

(5)

(6)

(6)

|Дг/| = |sin (х + Дх) - sin х| = |2sin-^cos(x+^j| W

W2 |sin (Ax/2)|・

Но для любого а имеет место неравенство |sin a| < |a|.

Рис. 17.Рис. 17.Если 0 < а < тт/2, то это следует из рис. 17, где изображена окружность радиуса 1 (дуга длины 2a больше стягиваемой ею хорды, имеющей длину 2 sin а). При а = 0 неравенство (6) обращается в равенство. Если же 0 < |а| <тг/2, то |sin а| = sin |а| W |а|. Наконец, если |а| > тг/2,то |sin а| & W1 vti/2 & |а|. Из (5) на основании (6)следует

Рис. 17.

Рис. 17.

|А«/|《2卜in鋼 W 2粤=|Дх|,

|Ду| W |Дх|.

Но тогда, очевидно,

lim Ди = 0.

Дх-*0

Можно еще сказать, что для всякого Дг > 0 можно найти б > 0, именно б = £ такое, что

|Ai/| < е VAx:|Ax| < 5 = £.

Отметим важную теорему.

Теорема 1. Если функции Г и ср непрерывны в тпо*- ке х = а, то непрерывны также в этой точке их сумма9 разность, произведение и частное (при ср (а)工 0).

Эта теорема непосредственно вытекает из теоремы 6 § 3.2, если учесть, что в данном случае

/(а) = lim/(x), (р(а) = Ит(р(х).х—>ах-~»а

Справедлива также важная теорема о непрерывности функции от функции (сложной функции).

Теорема 2. Пусть задана функция / (и), непрерывная в точке и = А^ и еще другая функция и = ср (х), непрерывная в точке % = а, и пусть (р (а) = А. Тогда сложная функция F (x) = f [ф (х)] непрерывна в точке х = а.

Доказательство. Заметим, что по определению непрерывности функции f в точке А следует, что она определена в некоторой окрестности этой точки. Поэтому

Иш 尸(х) = lim / [<р (х)] = lim f (и) = f (А) = f [(р (а)] = F (а), хтахтаuf£

Здесь введена подстановка и = ср (х) и учтена непрерывность ср в точке х = а: (р (х) — (р (а) =А.

Пример 4. Функгщя

Р (х) = %/ + atxn l + •・・ + ап, где а〃 一 постоянные коэффициенты, называется многочленом степени п. Она непрерывна для любого х. Ведь чтобы получитьР (х), надо, исходя из постоянных чисел а0,..., ал и функции х, произвести конечное число арифметических действий — сложения, вычитания и умножения. Но постоянная есть непрерывная функция (см. пример 1), а функция у = х тоже непрерывна (см. пример 2), поэтому непрерывность Р (х) следует из теоремы 1.

Пример 5. Функция у ^ cos х непрерывна. Она является композицией двух непрерывных функций: г/ =sin и, и = ~ — х.

2

Пример 6. Функция

y=tg%=^^ (尤/頁 +左打，左=0，±1, ±2,…)，

cosx2

непрерывна для указанных х, потому что (см. теорему 1) она равна частному от деления непрерывных функций и при этом делитель не равен нулю (при указанных *)•

Пример 7. Функция

• 3 5 y = sin X 1«чцм*рывна для любого х» потому что она является композицией непрерывных функций: у = i^t и — sin и, ь = х' (см. теорему 2).

Пример 8. Функция у ^ |х| непрерывна Vx, потому

10Х)

也训 0 I |х + Ах| — |х| I < |х + Ах —舛==|Дх| — 0при Дх — 0.

Пример 9. Если функция Г (х) непрерывна в точке %. то непрерывна также в этой точке и функция |/ (х)|.

Это следует из теоремы 2 и примера 8, потому что с})ункция |/ (х)| есть композиция двух непрерывных функций: у = |u|, u = f (х).

Отметим еще две теоремы, которые непосредственно следуют из соответствующих теорем 1и2§ 3.2 для предела функции.

Теорема 3. Если функция Г непрерывна в точке а, то существует окрестность U (а) этой точки9 на которой f ограничена.

Теорема 4. Если функция / непрерывна в точке а 〃 / (а)工 0, то существует окрестность U (а) точки а, на которой

I/(«)!>!/(о)1/2-

Больше znozo, если f (а) > 0, то

/(а)/2<〃х) (xeU(aJ), а если f (а) < 0, то

/ (х) < / (а)/2 (хе U (а)).

Разрывы первого и второго рода

По определению функция /непрерывна в точке х = а справа (слева), если

f (q) = /(а + 0) (соответственно f (a) — f (а- 0))

(см. конец § 3.2).

Непрерывность f в точке а можно определить также следующим образом: функция / непрерывна в точке % = а.

Рис. 18Рис. 19Рис. 20если она определена в некоторой окрестности этой точ- ки9 в том числе и в самой точке х^аги существуют пределы / (а + 0) и / (а - 0) такие^ чтоРис. 18Рис. 19Рис. 20если она определена в некоторой окрестности этой точ- ки9 в том числе и в самой точке х^аги существуют пределы / (а + 0) и / (а - 0) такие^ что

Рис. 18Рис. 19Рис. 20

если она определена в некоторой окрестности этой точ- ки9 в том числе и в самой точке х^аги существуют пределы / (а + 0) и / (а - 0) такие^ что

Рис. 18Рис. 19Рис. 20

если она определена в некоторой окрестности этой точ- ки9 в том числе и в самой точке х^аги существуют пределы / (а + 0) и / (а - 0) такие^ что

〃а) = 〃а + 0) = /(а-0)・(1)

Если функция f такова, что для нее существуют пределы / (а + 0), f (а — 0), однако равенства (1) не выполняются, то, очевидно, она разрывна (не непрерывна) в точке а・ В этом случае говорят, что функция / в точке а имеет разрыв первого роЗа.

На рис. 18—23 приведены шесть графиков функций, имеющих разрыв первого рода в точке а. Буква А обозначает точку А = (а, / (а)) графика функций. Стрелка на конце куска кривой обозначает, что концевая точка, где находится стрелка, выброшена.

На рис. 18 — 21 даны графики функции, для которых все три числа f (а), / (а + 0), / (а — 0) имеют смысл. На рис. 18 три числа/ (a), f (а +0), f (а —0) попарно различны — функ* 1щя не только разрывна в о, но разрывна также справа и

сленп. На рис. 19 функция непрерывна слева в а, но разрывна справа. На рис. 21 / (а + 0) = /(Q — 0) / / (а)・ В этом случае говорят, что функция f имеет в точке а устранимый разрыв — ведь ее можно Бидоизменить в точке а, положив f (а) = / (а + 0) = / (а — 0), и она сделается непрерывной в этой точке. На рис. 22 функция не определена в точке а. На рис. 23 функция тоже не определена в точке а, но f (a t 0) = f (а — 0), поэтому, если доопределить f в этой точке, положив / (а) п / (а + 0) = / (а — 0), то функция / станет н(чт1м>рывной в точке а.

В случаях рис. 22 и 23 функция f определена в окрестности точки, за исключением самой точки а. В таких случаях часто говорят, что / разрывна в а, хотя идея непрерывности и разрывности в точке а есть идея сопоставления / (а) с / (х) при х, близких к а.

Если у функции / не существует правого предела или левого предела в точке а, или не существует как правого, так и левого предела, или же эти пределы бесконечны, то говорят, что она имеет разрыв второго рода в этой точке.

Пример 1« Функция

〃％) =〃％) =sini, %*0, .0, х=0sini, %*0, .0, х=0

〃％) =

〃％) =

sini, %*0, .0, х=0

sini, %*0, .0, х=0

в точке х = 0 не имеет правого и левого пределов (см. пример 3 § 3.2). Следовательно, она имеет разрыв второго рода в точке х = 0.

Пример 2. Функция

1, х>0,sign % = “。，х=0,

-1, х<0.

очевидно, непрерывна для х ^ 0, а в точке х = 0 имеет разрыв первого рода. При этом sign (0 + 0) = 1, sign (0 — 0) = —1 •

Пример 3. Функция [х] — целая часты — длях 〃 》0 имеет график, изображенный на рис. 24・ Она непрерыв

на для нецелых х, а если х целое, то [х + 0] = х = [х] и [х — 0] = х — 1, и, следовательно, имеет место разрыв первого рода.

Пример 4. Функцияfsinх/0,

х = 0 непрерывна для х ^ 0. Правый и левый пределы в точке % = 0 рав

ны бесконечности, поэтому функция имеет разрыв второго рода в этой точке. В этом случае также говорят, что функция имеет бесконечный разрыв в этой точке.

Теорема L Если функция f не убывает на отрезке [о, Ь], то существуют пределы / (q + 0)》Г (о) и Г ( b - -O)Wf(办"

Доказательство. Из условия следует, что f3《f(b) Vx G [a, b),

т. е. f ограничена сверху числом f (b) на полуинтервале {а, Ь)・ Но тогда существует точная верхняя грань f на этом полуинтервале:

sup Г (х) = М & Г (b).

*q⑪)

В силу свойства точной верхней грани для всякого

Е > 0 найдется х0 w [а, Ь) такое, что

Мт <Г(*о)&М,(2)

а в силу того, что / не убывает, имеет место

〃&)《/(X) Vx: х0 < X < Ь.(3)

Из (2) и (3) следует, что

М — е < Г (%) < М Vx: х0< х < Ь,и мы доказали, что существует левый предел / в точке Ыlim / (х) = f (Ь ~ 0) = М < f (Ь).

х—Ь

*<Ь

Аналогично, рассматривая неравенство/ (a) W f (х)для х е (а, Ь], докажем существование

Г (а + 0) = inf ftx)》Г (а).x&叫

Следствие. Если функция f не убывает на отрезке [а, Ь], то в любой точке х £ [а, 6) существует правый предел / (% + 0)》Г (%) 〃 s любой точке 先 £ (а, Ь] существует левый предел / (х - 0) ^ / (х).

В самом деле, для точек х — а9 b это утверждение доказано в теореме 1. Пусть х £ (а, Ь). На отрезках [а, х] и [х, 8] функция / не убывает, поэтому по теореме 1 существуют пределы f (х - 0), / (х + 0) и f (х - 0)< / (х) < / (х + 0).

В данном случае, очевидно, что для того чтобы функ- цин/была непрерывной в точкех, необходимо и достаточно, чтобы f (х~ 0) = f(x + 0).

Если / (х — 0) <f (х + 0), то функция / имеет в точке % разрыв первого рода.

Теорема 2. Множество точек разрыва функции Д неубывающей на отрезке [а, Ь], не более чем счетно.

Доказательство. Пусть функция / имеет больше чем одну точку разрыва, и пусть xf и xw (хг《#") — две какие-либо из них. Так как

/3 + 0) = inf / (х), f (хя - 0) = sup f (x),

X €(X*, X*)X E(X*, X*)

TO

ГЗ + О)w/@”-o)

и интервалы (f (x1 - 0), / (xr + 0)), (/ (%" — 0), (f (#" + 0)) оси у не пересекаются.

Каждой точке х* разрыва фушщни f соответствует интервал (/ (%' - О), f (*' + О)). Внутри его выберем одну рациональную точку ах.. После сказанного ясно, что разным точкам разрыва %' соответствуют разные точки ах . Но множество всех рациональных чисел счетно. Поэтому множество всех точек ау, так же как и множество всех точек %' (разрыва /), не более чем счетно. Теорема доказана.

Функции, непрерывные на отрезке

Функция f называется непрерывной на отрезке [а, Ь], если она непрерывна во всех точках интервала (а, Ь), непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке Ь.

Функции, непрерывные на отрезке, обладают рядом замечательных свойств, к изложению которых мы сейчас приступим.

Сначала мы сформулируем теоремы, выражающие эти свойства, и разъясним их на графиках и примерах, а затем докажем нх формально.

Теорема 1-Если функция / непрерывна на отрезке [а, Ь], то она ограничена на нем9 тп. е. существует константа К> 0 такая9 что выполняется неравенство

|/(%)|&К Vx е [а, Ь].

На рис. 25 изображен график Г непрерывной функции f на отрезке [а, Ь]. Очевидно, существует числоК> 0 такое, что Г находится ниже прямой^ = К, но выше прямой

Рис. 25Рис. 25у = -К. В этом и заключается теорема 1.

Рис. 25

Рис. 25

Заметим, что если функция непрерывна на интервале (а» Ь) или на полуинтервале [а, &) или (а, Ь], то она не обязательно ограничена на нем. На- пример, функция 1/х непрерывна на полуинтервале (0,1], но не ограничена на нем.

Если эту функцию доопределить, положив / (0) = 0, то <>па будет конечной в любой точке отрезка [0,1], однако, не ограниченной на нем.

Теорема 2 (Вейерштрасса). Если функция f непрерывна на [а, 6], то существует ее минимум и макси- мум на [а* Ь], т. е. существуют точки а9 0 w [а, &] такие9 что /(а) W /(%) W / (0) для всех хе [а, Ь]. Иначе zoeopw,

min /(x) = f (а), max / (%) = / (Р)・

Непрерывная функция^ ~ f (х), изображенная на рис. 25, достигает своего минимума на [а, &] в точке х = а и максимума в точке х = р. В данном случае обе точки аир принадлежат к интервалу (а, &) (а, 0 е (а, Ь)). Непрерывная фуикхщя у = f (х), изображенная на рис. 26, достигает минимума на отрезке [а, Ь] на левом его конце и максимума — в некоторой внутренней точке 0 этого отрезка.

Замечание 1. По теореме 1 непрерывная на отрезке [а, &] функция ограничена на нем. Следовательно, существуют конечные точные нижняя и верхняя храни f на этом отрезке:

inf f (х) W sup f (x).%可，司х«司

Теорема 2 утвфждает, что эти грани на [а, Ь] достигаются, т. е. здесь inf и sup можно заменить соответственно на min и шах (минимум и максимум).

Замечание 2. Функция^ = хнепрерывна на интервале (0, 1) и ограничена на нем; верхняя ее грань sup х = 1 не достигается, т.е. нет такого х0 е (0, 1), для Х€(0, 1) которого эта функция равна 1. Таким образом, в теореме 2 условие непрерывности f на замкнутом (содержащем в себе оба его конца а и &) отрезке существенно.

Очевидно, что sup arctg х = тс/2. Однако нет такого х

R》0

на луче х > О, для которого функция arctg х принимает значение я/2, и она не достигает максимума на х > О.

В данном случае условия теоремы не выполняются: область задания непрерывной функции arctg х неограни- чена.

Если функция / разрывна на [а, Ь], то она не обязательно достигает своей точной верхней грани. Примером может служить функция

人)-代 ℃<1/21/2W*WL

Теорема 3. Если функция f непрерывна на отрезке [а, Ь] и числа f (а) и f (Ь) не равны нулю и имеют разные знаки9 то на интервале (а, Ь) имеется по крайней мере одна точка с такая, что f (с) = 0.

Функция, график Г которой изображен на рис« 27, удовлетворяет условиям теоремы 3. Она непрерывна на [а, Ь] и f (а) <0,f (Ь) > 0- Из геометрических соображении очевидно, что график Г должен пересечь ось х по крайней мере в одной точке с е (q, &). Это и утверждает теорема 3.

Следствие 1. Если функция f непрерывна на [а, Ь], f (а) =4 f (Ь) =В (ДфВ) иС — произвольное число9 находящееся между числами Аи В9 то на интервале (а, Ь) найдется по крайней мере одна точка с, для которой f (с) — С.

Это следствие можно сформулировать и так: непрерывная на отрезке [а, Ь] функция принимает все промежуточные значения между ее значениями на концах отрезка [а, Ь].

Доказательство. Определим новую функцию 尸(％) =* / (х) — С, где С — константа — число, находящееся междуА иВ. Так как/—непрерывная на [а, Ь] функция, то и 尸一непрерывная на [а, &] фзшкпия. При этом, очевидно, F принимает на концах отрезка [а, Ь] значения разных знаков. Тогда по теореме 3 должна найтись на (а, Ь) такая точка с, чтоР (с) = 0 или f (с) — С =0, т.е. f (с) = С. Это и требо- налось доказать.

Следствие 2 • Непрерывная на отрезке [а, Ь] функция принимает все промежуточные значения между ее наименьшим и наибольшим значениями (которые существуют по теореме 2).

Для доказательства достаточно применить следствие 1 к [а, р], где а, р — точки, в которых функция f (х) дсюти- гает свое наименьшее и наиболыпее значение.

Пример 1. Уравнениех — cos х ^ 0 имеет корень на интервале (0, л)

В самом деле, функция f (х)=尢一cos х непрерывна на отрезке [0, л] и на концах его принимает значения разных знаков: / (0) = —1J (тг) = тг + L

Ниже мы доказываем теоремы 1—3 формально.

Доказательство теоремы 1. Допустим, что / не ограничена на [а, Ь]. Тогда для каждого натурального числа п найдется точка хп е [а, Ь] такая, что

\f^n)\ > П (и = 1, 2,…)。 (1)

Последовательность ｛% J ограничена (а и b — конечные!) и из нее можно выделить подпоследовательность ｛勾｝, сходящуюся к некоторому числуа е [а, Ь] (см. следствие из терремы 4 § 2.1). Но в точкеа функция f непрерывна (если а = а (а = Ь), то в этой точке f непрерывна справа (слева)), и потому

J^^) ^f^ ⑵

Свойство (2) противоречит свойству (1). Поэтому f может быть только ограниченной на [а, Ь].

Доказательство теоремы 2. По предыдущей теореме непрерывная на [а, Ь] функция ограничена, следовательно, она ограничена сверху некоторым числом К:

/(x)<JC(xg [а,Ь]).

Но тогда существует точная верхняя грань / на [а, Ь]:

(3)(3)sup / (х) = М.

(3)

(3)

хф»>4

Число М обладает следующим свойством: для любого натурального числа и найдется на [а, Ь] точка хп такая, что

М-^ <f(x\<M (п = 1,2,…). n

Последовательность {хл}, как принадлежащая к [а, &], ограничена, и потому из нее можно выделить подпоследовательность 務,сходящуюся к некоторому числу 0, которое заведомо принадлежит [а, Ь]. Но функция / непрерывна в точке Р，и потому

聽相)=e

С другой стороны, М —— < /(х ) < М (Л ^ 1, 2,…)

0也)=m

Но так как/ (х^ ) может стремиться только к одному пределу, то М = / (р)・ Верхняя грань (3), таким образом, достигается в точке 0, т. е., как говорят, функция f достигает в точке Р своего максимума на отрезке [а, Ь]・ Мы доказали, что существует точка 0 е [а, Ь], для которой

max / (%) = f (0).

х4а»Ь]

Доказательство другой части теоремы о минимуме аналогично, но его можно свести к доказательству первой час- ти теоремы, учитывая, что

min/(x) = 一 max {-/(х)}.

xe[a,bj**ь]

Доказательство теоремы 3.Обозначимотре・ ■，к [а,匕]через о。. Разделим о。на две равные части. Если ■ <т!>едине о。функция равна нулю, то теорема доказана; лгли этого нет, то одна из половинок а0 такова, что на кон- 15Х 理 наша функхщя принимает значения разных знаков. (Июзначим именно эту половинку через о】и разделим ее км дне равные части. Может случиться, что в середине ст】 mmhui (функция равна нулю, и тогда теорема доказана. Если ”г, то обозначим через 叫 歹 из половинок, на концах к(>торой / принимает значения разных знаков. Рассуждая так по индукции, мы либо наткнемся на очередном этапе рпссуждшшй на точку с е (а, Ь), для которой f (с) = 0, и тогда т・р]м?ма доказана, либо получим последовательность (бесконечную) вложенных друг в друга отрезков<У0 п о。п > ст()о .,., на каждом из которых/ имеет значения разных знаков. Тогда существует точка с, принадлежащая всем пм, следовательно, и [а, 6]. Очевидно, / (с) = 0, потому что, ■нлн допустить, например, что / (с) > 0, то нашлась бы ок- рггтностьС/ (с) точки с такая, что для всехх из [а, Ь], при- 111мик?жащихU (с), функция/ (с) была бы положительной, по этого не может быть, потому что при достаточно большим и отрезок 0口 и U (с), а / не сохраняет знак на q. Теорема доказана.

Обратная непрерывная функция

Рассмотрим непрерывную строго возрастающую на отрезке [q, b] функцию у = / (#) (рис. 28). Пусть

/ (а) = a, /(b) = Р-

График этой функции есть непрерывная кривая. Из eip рассмотрения видно, что еслих непрерывно возраста^ ст от а до Ь, тог/ при этом тоже непрерывно возрастает от

Рис. 28 функции " = / (х).Рис. 28 функции " = / (х).е значения нае значения наразу.разу.отрезке [а, р] по одному Но

Рис. 28 функции " = / (х).

Рис. 28 функции " = / (х).

е значения на

е значения на

разу.

разу.

тогда каждому значению у е [а, р] соответствует единственное значение х е [а, Ь] такое, что у = / (х). Этим определена на отрезке [а, р] функция

X = g (у), У G [а, р],называемая функцией^ обратной к

Очевидно, функция х = я(!/) строго возрастает на отрезке [а, Р], отображает этот отрезок на [а, Ь] и выполняют

ся тождества

〃g(y)] = y Vy е [а, р],g「(*)] = ■ Vx w [а, b].

График функции х = g(y) можно получить, повернув на 180° рассматриваемую плоскость вокруг биссектрисы первого координатного угла системых, у. Так как в результате поворота график остается непрерывным, то это показывает, что функция # = g (у) непрерывна на [а, р].

Таким образом, пользуясь чисто геометрическими соображениями, мы установили справедливость следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть функция /непрерывна на отрезке [q, b], строго возрастает на нем и а = / (а), р = / (Ь).

Тогда: 1) образ отрезка [а, Ь] при помощи / есть отрезок [а, Р], 2) существует обратная к f функция х =

=g (у), однозначная9 строго возрастающая и непрерывная на [а, р].

Доказательство. Пусть У=/([а, Ь]) есть образ[а, Ь] при помощи функции f・ Так как а, 0 е У н функция f непрерывна на [а, Ь], то функция f пробегает все значения

между числами а и 0 н других значений принимать не мо- mm-, ведь по условию она возрастает на [а, Ь] и а = /(а), 0 = * 加).Поэтому [а, 0] =у, т. е. отрезок [а, р] есть образ отрезки |а, Ь] при помощи функции /. Отсюда следует, что каждому (/с [а, р] соответствует и при том единственное значение г г (а, Ь] такое, что у = Дх). Единственность следует из того» что / па [а, Ь] возрастает,

：>гим на [а, Р] определена обратная к / функцияx=W&) уе[а, р].

Графиком ее можно считать график / (рис. 28), если ruimiTb, г1то ось у есть ось независимой переменной.

Функция 屮 непрерывна. Пусть пока yQ G (а, Ь] и х0 = 屮仇).Зададим £ > 0 так, чтобы а<х0-£<х0 + е<&и положим уг = /(х0 一 £), у2 = /(& + е). Тогда d<yl<y0<y2< < |k Отсюда следуетвследствие монотонности и непрерывности /, что для заданного намие > 0 нашлась окрестность (，t，弘)U [а, р] точки у。такая, что все ее точки у(у w 匂】， %J) переходят при помощи функции \|/ в Е-окрестностъ (х0 - -е, х0 + £)точки х0. А это значит, что функция V непрерывна в точке у。.

Доказательство для точек у。= а и у。= 0 аналогично, оперируя полуинтервалами вместо интервалов.

Незначительно изменяя приведенные выше рассуждения, можно доказать следующий аналог теоремы 1.

Теорема 1'・ Пусть функция / непрерывна и строго возрастает на (а, Ь) (или на [а, Ь), или (а, Ь]) и

а= inf /(х), р= sup /(х).

*《》•与х«а.Ь)

Тогда образ интервала (а, Ь) (соответственно [а, Ь), (а, 6]) есть интервал® 0) (соответственно [а, р), (а, р]) и обратная к / функция х = g (у) однозначна^ строго возрастает и непрерывна на (а, Р) ([а, 0), (а, р]).

Замечание. Строго убывающая непрерывная на [а, Ь] функция / (х) имеет обратную строго убываюгцую непрерывную функцию на [р, а], где а = /" (а), Р = / (Ь). Это легко устанавливается, если рассмотреть функцию — / (х) или же функцию f (-х)-

Если же непрерывная на [а,匕]функция у = f (х) не является строго монотонной на [а,匕],то можно определить длн нее обратную функцию, но эта последняя уже будет многозначной во всяком случае для некоторых у.

Пример. Функция

у = sin * (х G (-8, оо)), непрерывна, но не монотонна. Множество ее значений^ заполняет отрезок [-1, 1]. Каждому у из этого отрезка соответствует бесконечное число значений х, для которых у = = sin х.

Впрочем, например, на отрезке [-冗/2,冗/2] функция У = sin х непрерывна и строго возрастает и имеет обратную непрерывную функцию, которая, как мы знаем, обозначается так:

х = arcsin у (-1 W у W 1).

Равномерная непрерывность функции

Пусть функция / непрерывна на отрезке [а, Ь] (или интервале, полуинтервале). Тогда для каждой точки х0это- го отрезка (интервала, полуинтервала) по заданному е > О найдется 5 > 0 такое, что

Ю -丿(хо)| < Е,

как только

Iх - х^ <5, х е [а, 6] (или (а, Ь), [а, Ь), (а, Ц).

При изменении х0 при постоянном 8 число 5, вообще говоря, изменяется — оно зависит не только от£, нои от де。. Как видно из рис. 29, число5, пригодное на участке с пологим графиком, может оказаться слишком большим для участка с круто подни

мающимся трафиком.рИс. 29

В связи с этим естественно выделить те непрерывные функции, для которых при данном е> 0 можно указать8 > 0, пригодное сразу для всехх, принадлежащих тому множеству, где задана функция.

Начнем с определения.

Определение 1. Функция /, определенная “а множестве X, называется равномерно непрерывной на этом множестве9 если для всякого 8 > 0 найдется & > О, зависящее только от е, такое, мто

|/(У)-/(х")|<€

для всех х\ %" g X, удовлетворяющих неравенству |/ - х"| < S.

Легко видеть, что если функция равномерно непрерывна на множестве X, то тем более она равномерно непрерывна на любом его подмножестве X' (X' и X). Обратное, вообще говоря, неверно.

Теорема 1. Если функция / определена и непрерывна на отрезке [а, Ъ]9то она равномерно непрерывна на нем.

Доказательство. Допустим, что теорема неверна. Тогда существует такое 8 > О, что для любого В > ° найдется пара точек #', *" 6 [а, Ь], удовлетворяющих неравенству I』一 л/'| < 8, для которых

|/(У)-〃/)|》е・

Зададим стремящуюся к нулю последовательность по-

ложительных чисел бл (п = 1, 2, ...). Для каждого 5П найдутся точки о/, %： € [а,匕]такие, что

К-<1<бп.но|/«)-/(<)|>е.(1)

Так как точки последовательности {%：} принадлежат к [а, Ь], то эта последовательность ограничена и из нее по теореме Больцано—Вейерштрасса можно выделить подпоследовательность {/}, сходящуюся к некоторой точке х0 £ 6 [а, Ь]. Так как 喰一唠—0,左—叫 то подпоследователь- ность {/} тоже сходится к точке х0. По условию функция f непрерывна на [а, Ь] и, следовательно, непрерывна в точке х0. Конечно, если х0 = а или х0 = Ь, то надо считать, что f непрерывна в х0 справа или соответственно слева. Поэтому

聽气)=!W《)=〃&)•

После перехода к пределу в (1) при 尼—8 получим

£《巴依 1)"觴)] = №。)-"0)1 =0,(2)

и мы пришли к противоречию: £ < 0.

Заметим, что в (2) мы воспользовались непрерывностью функции (и| (см. § 3.3, пример 8). Теорема доказана.

Пример 1. Функция

у = sin (1/х)

непрерывна на отрезке [S, 1] VS>0, поэтому на основании теоремы 1 она равномерно непрерывна на этом отрезке.

С другой стороны, на полуинтервале (0,1] эта функция хотя и непрерывна, но не является равномерно непрерывной. Это показывает» что требование в теореме 1, чтобы непрерывная функция была задана на отрезке» а не на интервале, существенно.

就…1，就…1，Убедимся в том, что наша функция яе является равно

就…1，

就…1，

мерно непрерывной на (0; 1]. Точки хл

2…•)，очевидно, принадлежат полуинтервалу (0, 1], и для

МИХ

f-冗(2/г+3).n(»+1)

I/ (К)- "4)1 = sm ' 2 sm '2一/ =

=|(-1)*+1 - (-1)*1 = 2.

Кепи задать £ = 1, то при любом 8 > 0 найдется такое 左,что 1%_可=侬+統+1) <6, между тем как

■ (xQ — aDiAEuL

Из сказанного след ует, что нашу функхщю нельзя про- дсихжить на отрезок [0, 1 ], доопределив ее в точке х ^ 0 так, чтобы опа стала непрерывной на [0» 1], потому что тогда, (Ч)гласно теореме 1, она была бы равномерно непрерывной на [0, 1], а следовательно, и на (0, 1], чего быть не может.

§ 3.8. Элементарные функции

Функции С (постоянная),хл, a*, loga х, sin х, cos х, tg х. Arcsin x,Arccos %, Arctg х мы будем назывотьпростейшими элементарными функциями.

Применяя к этим функциям арифметические действия или операции функции от функции (суперпозиции) в конечном числе, мы будем получать новые более сложные функции, которые называются элементарными функциями.

Например, у =ln (е*+sin2 х+1) — элементарная функ-

1Ц1Я.

Элементарные функции нам известны из школьной математики. Там уделялось большое внимание их свойствам, но определялись они не всегда строго, полагаясь на интуицию учащегося.

Нам будет полезно уделить некоторое внимание этим вопросам с точки зрения общих фактов математического анализа, которыми мы уже успели овладеть.

а)Постоянная функция С. Каждому действительному числу (точке) х она приводит в соответствие одно

и то же число С. График ее есть прямая, параллельная оси #, отстоящая от этой оси на расстояние |С| выше этой оси, если С >0, и ниже, если С < 0. Это непрерывная функция на всей действительной оси (см. § 3.3, пример 1).

Степенная функция хп (п — постоянная). При натуральном и е N эта функция определена на всей действительной оси. Чтобы вычислить ее (теоретически!), разлагаем х в десятичную дробь (х = ±а0, сца? —) и перемножаем эту дробь саму на себя п раз, применяя каждый раз правило умножения десятичных дробей (см. § 1.6, (11)) и правило знаков.

Функция хл непрерывна, потому что она есть произведение непрерывных функции (у = х), взятых в конечном числе. Она строго возрастает на [0,8), что видно из ссютно- шений

Х2~Х1 =(*2 f )(君_ 1 + 右一勾1 + ... +X"-1)> 0

при %i V х2. Кроме того, она стремится к + оо при х — + 8. В самом деле, если х> 1, тохл = хп1х > х(п> 1)и прих — 一 8, % — 8, %" — 8 .

Итак функция (р (х) = хп при натуральном п непрерывна, строго возрастает на [0,8) и для нее <р (0) = 0, sup(р(х)=

Х0О.8)

^ +°°. Но тотда на основании теоремы 1' § 3.6 функция^=хп отображает полуинтервал X = [0,8) на полуинтервал У=[0, 8) и существует обратная к ней однозначная непрерывная строго возрастающая функция. Эту функцию обозначают так:

* = //" = ® (у>0)

и пазываютарифметическим значением корня п-й степени 〃зу・

Отметим, что при у >1 (и > 1)

@ > 听=1.(1)

Подчеркнем, что если а есть произвольное неотрицательное число (0 W а V 8), т。для него на основании ска-

зонного существует и притом единственное неотрицательное число b = а1п (арифметическое значение корня п-й степени из а) такое9 что b" = а.

Мы сейчас доказали сущеетвование корня п-й степени из а (а ^ 0).

Этого утверждения в школьной математике не хватало. Там вводилось понятие корня п-й степени из а (а > 0) и изучались свойства корней п-й степени, однако не доказывалось, что такие корни существуют — факт существования считался само собой разумеющимся.

Отметим, что еслип = 2论 +1 — число нечетное (fe = 0,1, 2,..・), то функция у = %" нечетная ((—%)" = ~%")・ Она непрерывна, очевидно, строго возрастает на (一叫 оо) и обладает свойствами

inf х =-8, sup %" = +<»・

Х«"°Я> 电#«~оа*8)

Поэтому на основании теоремы V § 3.6 функция у = /"' отображает (—оо, оо) на (—оо, 8)и имеет на ( — оо, оо) обратную непрерывную строго возрастающую функцию

% Н痴® 6 (-8, оо), /I = 2论 + 1).

Здесь выражение ④ при г/ > 0 понимается как арифметическое значение корня п-й степени из у, т. е. как положительное число, тг-я степень которого есть у・ Если же у V 0, то

痴=-^, где в правой части корень понимается в смысле арифметического значения.

Для четного п ^ 2k (k = 19 2, ...) у = %" есть четная непрерывная функция. Она отображает интервал (-8, +оо) нп полуинтервал [0, 8). Но она не монотонна на (—8, +8)и обратная к ней функция двузначна:

х = ±® (у G 0).

Значение у = 0 единственное, для которого она одно-

:шачна.

На рис. 30 и 31 изображены графики некоторых функций хп, х1/п.

В школьной математике функция х определяется и для рациональных п. Пусть р, g е N. Полагают для х > О

//。=旧

и доказывают, что

Полагают также

小方（"＞。）

и еще

%0= L

При этом доказывают для любого рационального п свойство» характерное для степенной функции:

(冲)"=/，(х, у > 0).

Отметим» что функция у = d" (р, q £ N), как это нетрудно установить, непрерывна и строго возрастает на полуинтервале [0, 8) и отображает [0, 8)на [0, 8), поэтому

она имеет обратную непрерывную строго возрастающую функцию, определяемую, очевидно, равенством

х = у"。(0 W у V оо).

Что же касается функции у =尸" (р, g g N), то она строго убывает и непрерывна на интервале (0, 8)и отоб- рижает (0, оо) на (0, 8). Поэтому она имеет на (0, оо) обратную строго убывающую непрерывную функцию, определя- (*мую равенством

工-严g(у>о).

О*1ГВИДНО»

lim%F'P=4-00, HmyF/P=+oo.

x>0»>0

Степенная функция хл может быть определена (для т О, а при п> 0 и для % = 0) также и для иррациональных л, но это лучше сделать при помощи показательной функции а* (см. ниже в)).

Отметим, что нас интересовали только действительные корни уравнения у = хл. Но если бы мы искали комплексные корни, то для каждого у # 0 нашли бы п различных корней (см. ниже § 5.3).

Пример 1. Покажем, что

lim 雨=1.(2)

В самом деле, функция % = у"\ у G [0, 8) непрерывна и возрастает. Ведь она есть обратная к непрерывной возрастающей функции ^ = хл, X € [О, ОО). Поэтому для у > 1, у"“> > l1/n = 1.

Положим теперь

碗=1+ £„,

где, в силу сказанного, £л > о. Имеем

„ п YП(П —1) 2

П = (1+Еп) = 1 + И£ + ―-— % + …>

.П(П-1) 2 > 1 + —о %・

Откуда

п °，п °，〃<

п °，

п °，

что и требовалось доказать.

Показательная функция ax (а > 0, a* 1). В дальнейшем будем рациональные числа обозначать греческими буквами а, 0, у,….Пусть пока a > 1.

Что такое а* при х рациональном, нам известно из школьной математики (см. еще б)).

Нам известно также из школьного курса математики, что:

11)aa>0,

200嘈"产匕

a° v a° (a < p, a > 1),

4])(。呼二。理.

5】）ап5】）ап+8, а — +8, а> 1.+8, а — +8, а> 1.Добавим еще

5】）ап

5】）ап

+8, а — +8, а> 1.

+8, а — +8, а> 1.

Свойство 5]) мы сейчас докажем. Запишем а в виде а = 1 + X (X > 0!). Тогда

а" = (1 + 入)“ =1 + 几入 + ... > 1 + иХ»

Правая часть этого неравенства стремится к бесконечности при 几—8, следовательно, и левая. Далее, считая, что [aj есть целая часть ал, будем иметь

个)戸，

и если ал — +8, то [ап] — +оо, следовательно, аЫ — +°°.

Но тогда 优“ 一 +8.

Пусть х — произвольное рациональное число. Дока-

ж см, что число а* можно определить как точную верхнюю •рань

supa° = а"(4)

а<*

чисел а , распространенную на все рациональные числа а < х.

В самом деле, на основании 3】)

аа vq* Х/а < х,(5)

т. е. выполняется первое свойство точной верхней грани. С АРУ I七访 стороны, построим какую-либо строго возрастающую I к х*ледовательность рациональных чисел ап, стремящукюя к х (“" -• х). Для нее а°" — а\ п— оо. Это свойство доказы- вш，тс* ниже* (см. (8)). Поэтому для любого8 > О можно найти тнкое п9 что

0е -г< ^п < q",(6)

т. е. выполнено второе свойство точной верхней грани. Из (5) и ((>) следует (4).

Пусть теперьх — произвольное иррациональное число, и пусть ти — натуральное число, большее х (тп > х). Имеет место очевидное неравенство

Q та <а ,а<*

т. е. множество чисел а「распространенное на рациональные числа а < х, ограничено. Но тогда существует точная иерхняя трань этого множества

supa°а<х

：)то есть вполне определенное число, которое мы обозначим мерез а":

а"= supaa.(7)

avx

Этим функция а* определена для всех действительных х (х 6 (-8, оо)). Она называется показательной функцией^

Итак, функция Q” определяется как точная верхняя 1рань чисел аа, распространенная на рациональные а<х.

Если х — рациональное, то это определение совпадает со старым (дает одно и то же число), при иррациональных же х оно дает новые числа а".

Можно доказать, что функция а", определенная при помощи равенства (7), обладает следующими важными свойствами:

п-п-а > О,

п-

п-

а <с? [х<ууа> 1),

ах -* 1, х -* О,

ах -* оо, х — со (а > 1),

а"— 0, х — —8 (а > 1),

户-(а?・

Отметим, что из свойств 2) и 4) следует непрерывность функции а" для любого значения х0 е (—8, оо)：

|а“-а&На"(а* & -1)卜。"卜"& -1 一。при * — % 一 0 (8)

В дальнейшем будем считать, что а > 1.

Доказательств о 1). Для любогох существует а0 < х, и потому

О V а% < вира*1 = /, т. е. О < а".а<х

Доказательство 2). Пусть а < хи р < у; тогда а 4-р < < х 4- у. С другой стороны, пусть у есть произвольное рацио- нальное число, удовлетворяющее неравенству

Y < х + у.(9)

Покажем, что у можно записать в виде у = а + р, где а < х, р < у.

Из (9) следует, что

У ~У<^

Подберем рациональное а, для которого

Y - у < а < х,(11)

и положим

(12)(12)Р = у~а.

(12)

(12)

Тогда из первого неравенства (11) следует, что

Р < у ・(13)

Таким образом, множество всех сумм а + 0, где а < х, Р < у, рашю множеству всех у < х + у:

{а+Р}= {г} •а<х”遍 "

Р<У

Поэтому

а" = sup ат = supca+₽ = sup(aaap) = supaa sup0P = а*0y 7<*+i/а<ха<х 'а<х 0<у

Р<МР<У

(см. § 2.8, :м1дп»<а 2).

Доказательство 3). Пустьх v у м 0〕ир2, — какие- либо ридиоиальныи числа, для которых R < Р〔 < р2 < у. Тоцда а = supa" W supa° — ch< /? W supd = a：

a<x <1<内P<J/

и мы доказали, что / < /

Доказательство 4). Для натуральногоn > a (а > 1!)1<а1/п<п1/п 一 171—8

(гм. пример 1 п.б)) и мы доказали пока, что

lima"” = 1.(14)

fl — 8

Зададим теперь произвольную последовательность положительных чисел хл < 1, стремящуюся к нулю (хп -* 0, хп > 0). Пусть kn = [1/хл] — целая часть 1/*“・ Тогда 0 < ~ W 1/左门 и

1 ~a < а ^а .

11оэтому в силу (14)

Шла' = 1. п—8

В силу произвольности последовательности {*「}, где хп>0, атим доказано, что существует правый предел

lima"= 1;(15)

工-0х>0

5 - Бугров. Том 2

но тогда существует и левый предел

lima" = Ит-4г =-=1

Г -х-оц Uma 1

х<0-х>0U-0

и>0

Из (15) и (16) следует, что lima*=l (см. § 3.2, (6), (7)). Этим свойство 4) доказано полностью.

Доказательство 5). Зададим как угодно большое числоАГ > О. Существует рахщональиое число а такое, чтоа° > > М, поэтому

М <а^ <ах Vx > a.

Следовательно, a* -* 8 при 囂—8.

Доказательство 6).

Hma*= lim=——-—-=0.

*--8-*_+8a lima

u —+OO

Доказательство 7). Отметим, что при натуральном т, в силу 2),

Для рационального числа 八 >0

（注=小=（注=小=

（注=小=

（注=小=

Далее, если у —• произвольное положительное число и an — у9 где an ——рациональные числа, то в силу непрерывности показательной функции

a刈=limaxa" -limfaxYn = Q*)\71—8Jl~*oo' *

и мы доказали 7) для у > 0.

н< ЛИ У V О, то 匂=附)

絞"=a一*"=Н(4*)倒-(ay.

Если 0 < а < 1, то полагаем

(1/Q)*(1/Q)*а"=

(1/Q)*

(1/Q)*

(Свойства 1), 2), 4) при этом сохраняются. Свойство 3) имеет иид а* > ау (х < у)・

(Свойство 5): а* — 0, х — + 8.

(люйстчо же 6) имеет вид а* — + 8, х 一 一8.

г) Функция log。х. Будем считать а> 1. Так как функция у ■ а' непрерывна и строго возрастает на (—8. оо) и обрпжает интервал (一叫 8)на интервал (0, оо), то суще- • f ует обратная к ней функция, нетферывная и строго воз- ристающая на (О, оо). Ее называют логарифмом у при основании а и обозначают символом

x=logo^, у G (0, оо).

Ил <-кнзанного следует, что (мы заменяем у на х)

lim log. х = +8, lim log_ x = -8.

«-*+«°в-*0

n>0

При a < 1 рассуждения аналогичны. Функция ax также отображает действительную ось (-8, 8) на полуось (О, 8), но строго убывая. Обратная функхщя log。х, определенная на (0, 8), также будет строго убывать, и теперь

lim logfl х = 一8, Hm x = +8.

IT—+8"—0

n>0

Имеют место тождества (см. § 3.6)

a”gJ=% (0 < х< +oo)f loga ax n# (-00 < x < 4-00) (17) (a Г 1). Отсюда на основании свойств функции а* при х, у> > О имеем

^М _ 一 Iogox IogoI/ 一 lcgaX^Ogay

u—人 у u U一 u

И

log。(冲)=log。X + log。У-

Если в этом равенстве заменить х на х/у, то получим log。X - loga у = log。(x/切.

Далее (см. 7))

^ = ^ ^^ = ^х (х>0), поэтому

logfl d = У loga х (а * 1,х > 0).(18)

Наконец, отметим, что для положительных не равных 1 чисел а и b имеет место

logabAogba / 1。％№。°а = (а I &= а,

и, следовательно,

log。Ь log6а= 1.

Логарифм числа а при основании е называется натуральным логарифмом числа а и обозначается Tax:loge а =1п а.

Д) Вернемся к степенной функции

у = д/1(0 < х < оо).

После изложенного выше мы можем сказать, что эта функция имеет смысл не только для рациональных п9 но и для иррациональных. Ее можно записать (см. (17) и (18)) так:

“Л"*,(19)

откуда видно, что она непрерывна, как суперпозиция непрерывных функхщй.

При п> 0 она строго возрастает и обладает свойствами

limxn = 0, limxn = +oo.л—0п—+«

л>0

При п > 0 естественно считать, что 0п = 0, тогда функция делается непрерывной справа в точке х — 0.

11|)и л < О функцияхп непрерывна и строго убывает на «к*П1>житмы1()й полуоси и обладает свойствами

1инхп " 4 оэ, lim%" = 0・

• -о•-.♦・■，♦、 I

• ♦

11 « <» »рму 1“ (I ЧП />глу«т хн|>пкт(з)н<№ свойство степен- Ш41 •>・■，■■

"心/1….尸П丁、m/1

《•• ■ • ih-

•М Ф у II к ЦП я у ■ 〃 (#)"2 Пусть функции и (х) и и (х) ммитм п ок|мх*тности точки а, за исключением, быть может, самой ：1Т()й точки, и (х) > 0 и lim и (х) =А > 0, lim и (х) = В (Л и /< — конечные числа). Тогда

Ит и (х^^ = Ав.(20)

В гпмсм деле (см. (17), (18)),

Цт “ (х)。—=理 е”зм“⑺=戸工)…=

=j噂伙咿心)=]»=〃.

沁 втором равенстве этой цепи использована непрерывность функции ег, а в четвертом — непрерывность функции In 2,

Если iz (х) и V (х) непрерывны в точке х = а и и (а) > 0, то в некоторой окрестности этой точки и (х) > 0 (см„ § 3.3, теорема 4) н А = а (а), 3 = D (а). Поэтому в силу (20)

lim и (%)”"> = и (а)"⑷.

Отметим интересные случаи, не предусмотренные равенством (20), когда (при х —* а9 и > Q) и -^ + оо, и -♦ 0; и — оо, “ — 1;и — 0, и — 0.

В этих случаях не действует теорема о пределе и In и. Заранее, не имея более точной информации о характере стремления “пик указанным пределам, невозможно дать формулу для lim и. Эти случаи дают для выражения и в окрестности точки а неопределенности вида 8°, 1°°, 0°.

淘 Тригонометрические функции sinх, cos х, tg х и др. известны читателю из курса тригонометрии. Они определяются там из геометрических соображений. Мы будем тоже базироваться на этих определениях.

Можно было бы дать чисто аналитическое определение тригонометрических функций, но мы этого делать не будем.

Отметим, что функция^/ =sin х непрерывна (см. § 3.3, пример 3) и строго возрастает на отрезке [ тт/2,冗/2], отображая этот отрезок на снрезок [-1, 1]. Но тогда она имеет обратную однозначную непрерывную функцию

х = arcsin у (у G [-1, 1]).

Однако функция у = sin х, рассматриваемая на всей оси Q8, со), имеет многозначную, даже бесконечнозначную, обратную функцию Arcsin у, все значения которой вычисляются по формуле

х = Arcsin у = (-1)* arcsin у + Е (尼=0, ±1, ±2, ...),(21)

т. е. каждому у G [—1, 1] соответствует множество еу значений х, определяемых формулой (21).

Подобным образом для функций

у n cos х (0W х W 冗)，

у = tg * (-冗/2 < х < 汽/2)

обратными будут функции

х = arccos у (у w [-1,1]),

% = arctg у (у с (-8, со)), а для этих же функций, рассматриваемых на действительной осп, обратные функции имеют соответственно вид

г = Arccos у = ±arccos у + 2左冗，

х = Arctg у = arctg у + 为冗(fe = 0, ±1,±2, ...)•

3)Гиперболические функции. Функции

sh % =-- > chx = ^——, th x =*^, cth x =*^

22chxshx

называются соответственно гиперболическим синусом^ косинус ом 9 тангенсом и котангенсом. Начертим их графики (рис. 32 и 33). Функцииsh х, ch х, th х определены на (-8* со), acth х — на этом же интервале» за исключением точки 囂=0.

Легко проверить, что для этих функции имеют место формулы, подовые формулам обычной тригонометрии (но не всегда совпадающие). Например,

sh (% 十 у) = sh * ch у +sh у ch х,ch (х + j/) = ch х ch ^ + sh х sh y.

Полагая в последнем равенстве у = —х, получим

ch2х-sh2 х= 1.

Отметим, что все рассмотренные здесь функции непрерывны в своих областях определения. Для sh х, th х существуют обратные функции ареасинус гиперболический х = =Arsh у и ареатангенс гиперболический х = Arth у* которые однозначны. Обратная функция длясЬ х прих》0 также однозначна.

Замечательные пределы

Теорема 1.

Нт迎=1.

х-и X

Доказательство. Так как функция у = sin х яв< ляется непрерывной, Tosin % —* —sin 0 = 0 прих —* 0. Поэтому выражение sin# представляет х

собой неопределенность вида (~). Раскроем эту неопределенность. Из определения тригонометрических функций и геометрических соображений имеем (рис. 34)

0 V sin х < х < tg х

при 0 < х < 冗/2 (MN = sin х, АМ 丄 ОМ, AM = tg x, ОМ = 1. Сравните площади треугольникаOAfN, сектора ОМ1 и треугольника ОМА). Отсюда, деля на sin х > 0, получаем

1 <—^― < —-— или 1 > ^^ > cos%

sinx cosxx7

Неравенства (1) верны и для 一九/2 < х < 0, так как функции cos х и ①П* четные. Далее функция cos х непрерыв- х на, поэтому

limcos х = cos 0=1,х-0

и, следовательно, переходя к пределу в (1), в силу теоремы 4 § 3.2 получим, что

т=1.

Пример 1.Пример 1.ТеоремаТеорема弓弓

Пример 1.

Пример 1.

Теорема

Теорема

弓

弓

(2)(2)limfl+'l-) = е.

(2)

(2)

x-w\ %/

Доказательство. В силу определения предела функции мы должны показать, что

(3)(3)

(3)

(3)

Если хп — п — натуральное, то это уже доказано. Чтобы доказать (2), достаточно убедиться в том, что (2) верно в двух случаях: когда хп —* +оо и когда хп 一 一8, пробегая не обязательно целые значения (см. замечание в конце § 3.2).

Пусть хп — произвольная переменная, стремящаяся к +8 (хп — +8), и пусть [хп] = kn — целая часть числа хп. Тогда kn W хп< 左几+ 1^хп+1<Лл + 2и

При хл — 十8 [xj =左几― 十8, откуда первый и последний члены цепочки неравенств стремятся к е. Поэтому

и так как при этом 1 + 丄—1, то мы доказали (3) для

х_ — +оо.

т. е. (2) доказано.

Пример 2.

li 嗯+〃)"“ =е.

Получается из (2) заменой 1/х = и.

Пример 3.

Нпф+啰 =е°, 1нп(1+au)1/u = ea Va.

При a = 0 это выражение сводится к пределу liml* = = 1 = е , потому что по определению считается, что 1 = 1.

Пусть теперь a * 0・ Если % — 8, то 工一 8 и

a

(1+—+歹7 -ол-

Надо учесть, что степенная функция ua непрерывна в точке 〃 =е (см. § 3.8. д)).

Пример 4.

нm辿0=1, 5电辿旦=1吗ё=4.

H-D #…#a Ina

Так как In u есть непрерывная функция на (0, оо), то (см. пример 2)

lim^^i^ = Hmln(l-bA^l/x =lnlim(l+x)1/x =lne= 1.

х-*0 х *-ох-。

Пример 5.

Иш或二i=ln@ (а> 0), lim生二^ = 1. х-о #х-0 х

В самом деле# положим <х* — 1 = 〃• В силу непрерыв* кости показательной функции и -*■ 0 при к — 0. Далее, ж In а = In (1 + "), поэтому (см. пример 4)

Шда —1=Ит—~~HnQulnslim丁井一-=1п а.

x-0 **-0 1城1 十功"-0 ln(l + 3

Порядок переменной. Эквивалентность

Будем рассматривать две функцииф (х) и 屮(х), заданные в некоторой окрестности U (а) точки а, за исключением, быть может, самой точки а. Точка а может быть конечная или бесконечная ( +©о, —8, или 8). Будем считать еще, что 屮(х)力 0 на U (а). Если

Нт 唄=0,(1)

х-в 屮

то будем этот факт записывать так:

屮(%) = о (屮(х)), х^а,(1〉

и говорить, что <р (х) есть о-малое от 屮(х) при х -* а.

Например:

/ = о (х),# — 0;

%" = о (力771),# — О, если т<п;

х" = о (хт),# 一 8, если т>щ

(х- а)4 = о ((# - а)3), х -> а;

一COS Х-О (х),% г О, потому ЧТО Ihnl-CW = 0.

Выражение о (1), % — а, обозначает бесконечно малую при х —* а, т.е・ некоторую функцию 屮(х), которая стремится к нулю при % — а (屮(#)— 0, * — а). Например, 9 (х) = т^- = о(1), # — +00.

lux

Свойство (1), очевидно, выражает тот факт, что функ-

циюср (х) можно записать в ввдеф (х) =е (%)屮(х), гдее (х)— —О при х —* а.

Если функции <р и 屮〉участвующие в соотношении (1) (или, что все равно, в (1'))» суть бесконечно малые ирих —* а, то говорят еще, употребляя более старинную терминологию, что <р (х) при % — а есть бесконечно малая высшего порядка по отношению к (бесконечно малой)屮(х). Если же <р и 屮 в (1) бесконечно большие при # — а, то говорят, что ф (х) при 力—а есть бесконечно большая более низкого порядка^ чем 屮(х), или еще что屮(х) есть бесконечно большая более высокого порядка^ чем 屮(х)).

Будем еще писать

屮(*) в 屮(х), х -* а (2) и называть функции <р (х) и у (х) эквивалентными (асимптотически равными) при х —> а, если выполняется свойство

(2')(2')(3)(3)⑷ (5) (6) ⑺⑷ (5) (6) ⑺lim嶼=L х一а屮⑺

(2')

(2')

(3)

(3)

⑷ (5) (6) ⑺

⑷ (5) (6) ⑺

Например»

sin х ® х, х ~* О, или еще (см. примеры 1, 4, 5 § 3.9)

1 - COS X = #2/2, % f 0, In (1 + х)« ж» % 一 0, ех - 1« х, % ~ 0, ах - 1» х In а, % — О. Отметим, что если

.lim/(%)=厶力 О,

х-*а

то это эквивалентно факту

Нхп 刨=1, А。А

1то мы условились обозначать также так:

f(x) «А, % — а (А 工 О).(8)

Терминология, которую мы здесь ввели, нужна для того чтобы упрощать вычисления и сокращать записи формул. 15кно при этом усвоить несколько простых свойств асимп- втшески равных (эквивалентных) функций, которые вы- |жжены в теоремах ниже.

Теорема 1. Если

ф (х)»1|/ (х), х -* а(9)

то

屮(х) к ф (х), х ~* а.(10)

Доказательство. Дело в том, что если 屮(х)工 0 на U (а) и выполняется (9), то, очевидно, и <р (х)力 0, быть может, на несколько уменьшенной окрестности. Но тогда

lim 耿己=lim*一a吹%) lolim 耿己=lim*一a吹%) lo1屮⑺屮(%)1屮⑺屮(%)

lim 耿己=lim

*一a吹%) lo

lim 耿己=lim

*一a吹%) lo

1

屮⑺屮(%)

1

屮⑺屮(%)

Теорема 2. Для выполнения свойства (9) необходимо 〃 достаточно^ чтобы

(П)(П)屮(％) =屮(X)+ O(V (х)), % — Q.

(П)

(П)

Равенство (11) надо читать следующим образом: слагаемое, которое добавляется к 屮(х), чтобы получить <р (х), обладает следующим свойством: если разделить его на屮(х), то полученное частное будет стремиться к нулю» если устремить х к а.

фОО屮⑺фОО屮⑺Доказательство. Пусть имеет место (9). Тогда

фОО屮⑺

фОО屮⑺

=1 +Е (х), гдеЕ (х) — 0 при х ~* а.

Следовательно,

(р (#)=W (х) +е (%)屮(%)=屮(х) + o(w (x)), % — a, и мы доказали (11).

Обратно, если верно (11), то

屮(％) = W (х) + о (屮(％))=屮(％) + £ (х)屮(х),

<р(х)*(*)<р(х)*(*)(12)(13)(12)(13)lim [<р(*)屮(#)] = limlim [<р(*)屮(#)] = lim

<р(х)

*(*)

<р(х)

*(*)

(12)

(13)

(12)

(13)

lim [<р(*)屮(#)] = lim

lim [<р(*)屮(#)] = lim

где е (х) — О при # — а. Поэтому

=1 + £(Х)— 1» и мы получили (9).

Теорема 3. Если

屮(%)七w1(%), х — a

то

Hm[ (р (%)屮(х)] = Ит[<р(х) ^ (х)].

hm21^ = hm 号々.

*-а 屮к-。屮 1(%)

Эти равенства надо понимать 6 том смысле, что если существует в них предел справа, то существует предел 〃 слева, и они равны, и обратно.

Отсюда следует, что если какой-либо из этих пределов не существует, то не существует и второй.

Доказательство. Приведем только одно из этих рассуждений. Пусть существует предел справа в (12). Тогда

=Hm[<p(x) %(»]蚪 ^^=蚪[声)%(叫 1 =

I > I р» I r n г и и e . Если для функции <p (x) можно no- *^|M«oi$ чи< i« Л u m, 4dr Л^О, такие, мто

■‘ I I * 八 С аГ. x —* a,

♦ 4BB^4M*vA (честь главный степенной

ММ ■*>”■• ■<“■•、■ ^iHth ти точки a.

w^tw •••ки- ии ний (3) (7) суть, очевидно, ■ srII14 1VIU4X •шгтей при X 一 0.

»■■ —a 小” 1 ♦・ nwf на множествеE имеет порядок(p Mb «ин C ▼，■> dn *n,〃—)m <p uslE и при этом будем писать

/ (х) * О (Ф (х)) наЕ,(14)

iit|/(х)|<С|<р(х)| Vxg£,не зависящая от х положительная константа.

В частности, равенство

/(х) = О(1)наЕ

<С»«начает тот факт, что / ограничена на 氏

Примеры:

sin х = О (1), sin х = О(х) на (-оо, со)；

/ = О (х2) на [1, оо)；

3)，= О (х) на [О, 1].

= Нт[ф(х)屮i(x)].

Пример 1. tgx«x, х -* О, потому что

нm 业=Шn伴匹•— =1.

Пример 2.

lim-^^=lim-^—= lim-^-=fi =0.

…X +X A。X +X A。x +1 X

x・.

ГЛАВА 4

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§ 4Л. Производная

Понятие производной — важнейшее понятие математического анализа наряду с понятием интеграла.

Производной от функции f в точке х называется предел отношения ее приращения Ау в этой точке к соответствующему приращению аргумента Ах, когда последнее стремимся к нулю.

Производную принято обозначать так:

(I)(I)r(%) = 5组=血米+厶風二©.

(I)

(I)

—Ах дх-о Ах

Но широко употребляются и другие обозначения: у', d/(x) dy у 穴

—十丄，~-в Удобство того или иного из них читатель впос- ах ах

ледствии оценит сам.

При фиксированном х величина ■— есть функция от

ф (Дх)=丝^(Ах 力 О).

Дх

Для существования производной от，в точке х необ- mvihmo, чтобы функция f была определена в некоторой <*» |м?стоости точки х, в том числе в самой точке х. Тоща <|)уккция 屮(△%) определена для достаточно малых не равных нулюДх, т. е. дляДх, удовлетворяющих неравенствам ')• |Ах| < б, где б достаточно мало.

Конечно, не для всякой функции f, определенной в ок- [■■•THocTn точки х, существует предел (1). Обычно, когда тнорят, что функция f имеет в точке х производную Г (%), ш »дразумевают, что она конечна, т. е. предел (1) конечный. < 次нако может случиться, что существует бесконечный предел (1), равный +оо, —8。или 8. В этих случаях полезно п)порить, что функция / имеет в точке х бесконечную про- илводную (равную 十8» -8, или 8)・

Если в формуле (1) предполагается, что А%— О, принимая только положительные значения (Ах > О), то соот- метствующий предел (если он существует) называется правой производной от f в точке х. Его можно обозначить так: Г^

Аналогично предел (1), ковдаДх -* О, пробегая отрицательные значения (Дх < О), называется левой производной от f в х^л (х)).

Конечно, для вычисления / (х) (соответственно 〃 (х)) необходимо только, чтобы f была задана в точке х и справа от нее в некоторой ее окрестности (соответственно вх и слева от х).

Типичным является случаи, когда f задана на отрезке [а, 6] и имеет во всех внутренних точках этого отрезка, т. е. в точках интервала (а, 6), производную, в точке же а имеет правую производную, а в точке6 — левую. В таких случаях говорят, что функция f имеет производную на отрезке [а, Ь], не оговаривая, что на самом деле в точке а она имеет только правую производную, а в точке 匕一только левую.

Нетрудно видеть, что если функция f имеет правую и левую производные в точке х и они равны, то f имеет производную в х:

% а)"胃 з=г (现

故 _土+3(*)= А%故 _土+3(*)= А%A# АхТаким образом,A# АхТаким образом,=-1 (х < 0).=-1 (х < 0).

故 _土+3(*)= А%

故 _土+3(*)= А%

A# Ах

Таким образом,

A# Ах

Таким образом,

=-1 (х < 0).

=-1 (х < 0).

Но если правая и левая производные в* существуют и не равны между собой ( /^ (х) * 〃(*)), то производная в хне существует.

Пример • Рассмотрим функцию у = |х| (рис. 35). Для нее

А—』н+Ах|ТМ Ах Ах *

Если х > О, то х + Ах > 0 для достаточно малых Дх и

(х > 0),(х > 0),Ау「#+Ахг= △% =

(х > 0),

(х > 0),

Ах Дх Ах ~

Если х < 0, то х + Дх < 0 для достаточно малых Дх и

если х>1, если х<1.если х>1, если х<1.

если х>1, если х<1.

если х>1, если х<1.

用馳聽={-;:

Пусть теперь х = 0. Тогда

幾嘿 nSAx^signT；：

если Ах>1, если Дх<1.

Поэтому

Нш^ = 1, hm—^=-1.

、_。ДхДх-0 Дх

Дх>0Дх<0

* Таким образом, функция |х| имеет в точкех =0 правую производную, равную 1, и левую — равную -1, что показывает, что в точке х = 0 функция |х] производной не имеет.

Мы знаем (см. § 3.3, пример 8), что|х| есть непрерывная функция для всех значении х, в том числе и в точке % = 0, поэтому она может служить примером непрерывной всюду функции, не имеющей в некоторой точке производной. В

мтсмнтике известны примеры функций» непрерывных на мгей действительной оси и не имеющих в любой точке оси <1|М>ИЛВОДНОЙ.

С другой стороны, всякая функция^ имеющая производною (конечную!) в точке х, непрерывна 6 этой точке.

В самом деле, пусть предел (1) существует в точке х и «ише“ен・ Этот факт можно записать следующим образом.

^=Г(х) + е(Дх),(2)

Ах

f до Е (Дх) 一 О приДх -* О, т.е. е (Ах) есть бесконечно малая при Ах -* О. Из (2) следует:

△у = Г(х)Дх + Дх • Е (Дх).

Переходя в этом равенстве к пределу,когда Дх 一 0,no-

ауннм

ИтЛ1/ = О,

*гго показывает, что / непрерывна в точке х.

Отметим некоторые важные приложения производной.

Мгновенная скорость. Пусть функция s = f (£) иыражает закон движения точки на прямой, которая рассматривается как координатная ось s. Здесь s — координата движущейся точки в момент времени 九 Путь, пройденный точкой за промежуток времени [t, t + At], равен

As = / (£ 十 At) — / (£)•

Средняя ее скорость в этом промежутке времени равна

u =融ср А£u =融ср А£Истинную же (мгновенную) скорость в момент времени t естественно определить как предел

u =融

ср А£

u =融

ср А£

Сила тока. Пусть Q = /(±) есть количество электричества, проходящее через сечение провода за время±・ Тогда

AQ=人£十a£)-貝±) "ZT дГ

есть средняя сила тока за промежуток времени [t,t + At]. А предел

lim 皎=^ = I

△JO At

есть сила тока в момент времени 九

Плотность распределения ма с сы . Пусть (рис. 36) на отрезке [<х» 司 оси х распределена масса вообще неравномерно, так что количество массы, нагруженной на отрезок [а, х], равно

M = F(x) (aW*Wb)・

Это количество пропорционально площади фигуры аАВх. Таким образом, М есть функция от х (М = F (х))- Количество массы, приходящееся на отрезок [х, х + Ан], очевидно, равно

AF«F(x + Ax)-F(x).

Средняя ее плотность на этом отрезке равна -^, а предел

翌=F'(x) =卩

—т0 Axl

естьистинная плотность распределения массы в точке х.

§ 4.2. Геометрический смысл производной

Пусть на интервале (а, 6) задана непрерывная функция у = / (х). Ее график называется непрерывной кривой. Обозначим его черезГ. Зададим наГ тонкуА= (х, / (х)) (рис. 37 и 38) и поставим целью определить касательную к Г в этой точке. Для этого введем наТ другую точкуВ = (% + Ах,

f (х 4- Дх)), где Arc 工 0 (на рис. 37 изображен случай Дх > О, а на рис. 38 — случай Дх < О). Прямую, проходящую через точки А и В, направленную в сторону возрастания х (отмеченную стрелкой), назовем секущей и обозначим через S. Угол, который S образует с положительным направлением оси х, обозначим через Р- Мы считаем, что -Ti/2 < Р < л/2. При Р>0 угол отсчитывается от оси х против часовой стрелки, а при Р < О — по часовой стрелке. На данных рисунках Р>0. На рис. 37Дх=АС, Ау = СВ, анарис. 38 Дх = —АС9 Ду = м -СВ・ В обоих случаях Ду/Дх = tg р.

Если Дх —► О, тоАу 一。и точка В, двигаясь по Г, стремится к А. Если при этом угол Р стремится к некоторому значению а, отличному отл/2 и —л/2, то существует предел

lim 丝=Hmtg Р = tg а,(1)

дх—о А. р—■<!

равный производной (конечной) от /в точке х:

f (x)=tg а.⑵

Обратно, если существует (конечная) производная Г (#), т。Р — а = arctg Г (©・

При стремлении Р к а секущая S стремится занять положение направленной прямой Т, проходящей через точ- куА и образующей угол а с положительным направлением ОСИ X.

Направленная прямая Т называется касательной к кривой Г в ее точке А.

Определение- Касательной к кривой Г* (у = / (х)) в се точке А ^(x, / (х)) называется направленная прямая Т, к которой стремится секущая S(направленная в сторону возрастания х прямая)9 проходящаячерезА и точку В=(х + + Дх, f (х + △#)) е Г, когда Дх — 0.

Мы доказали, что если непрерывная функция у =丿(х) имеет конечную производную f (х) в точке х, то се график Г в соответствующей точке имеет касательную с угло^ вым коэффициентом tg а =「(х)(-冗/2 <а<冗/2). Обратно, существование предела

Um р = а (-л/2 <а <л/2)влечет за собой существование конечной производной Г (%)и справедливость равенств (1), (2).

Может (щучиться, что / имеет в точке х правую и левую производные, отличные между собой:

勿(#)力4р (#)・

ТогдаА есть угловая точка Г. В этом случае касательная к Г в А не существует, но можно говорить, что суще

ствуют правая и левая касательные с разными угловыми коэффициентами:

=门（以=门（以tga, = lim^^

=门（以

=门（以

1 ZAx

Дх<0

延a2或缘岩=%(办

△x>0

На рис. 39 приведен пример такого случая.

Пусть теперь производная от /в точке # бесконечна:

f (х) = lim&^ = 8дх^о Ах

Отметим четыре важных случая:

1) /* (х) = lim— =+оо,0 — 会(рис- 40).

дх-оДх2

Рис. 40Рис. 403)/：(*)= Ит 丝"八丿 лх^оДx3)/：(*)= Ит 丝"八丿 лх^оДxР ——号(рис. 41).Р ——号(рис. 41).f' (х) = lim 兽=+8, P —%

Рис. 40

Рис. 40

3)/：(*)= Ит 丝

"八丿 лх^оДx

3)/：(*)= Ит 丝

"八丿 лх^оДx

Р ——号(рис. 41).

Р ——号(рис. 41).

Дх>0

Левая касательная перпендикулярна оси х и направлена вниз. Правая касательная перпендикулярна оси х и направлена вверх (рис. 42).

4)4(%)=廓笠=+8， В-冬

厶<0

f = lim&^ = -8,В — Y.

丿 дх-оax ‘产 2

Дх>0

Левая и правая касательные направлены параллельно оси у9 первая вверх, вторая вниз (рис. 43).

Рис. 43Рис. 43Рис. 42

Рис. 43

Рис. 43

Примечание. Обычное определение касательной к кривой Г следующее: касательная Т к кривой Г в ее точкеА есть прямая, к которой стремится секущая S, проходящая через точку А и другую точку В G Г, когда последняя, двигаясь по Г, стремится к А.

В этом определении не предполагается, что S и Т — направленные прямые. Это определение вполне корректно в случае касательной не параллельной оси у. Однако если применить его, например, к случаю 4) (см. рис. 43, гдеА — угловая точка), то получим, что данная кривая имеет в точке А единственную касательную. Эго не вяжется с нашим представлением о владкости кривой, имеющей касательную.

Приведенное нами определение дает в точке А две касательные (сливающиеся), имеющие противоположные направления. Угол между ними равен л.

Из аналитической геометрии известно, что уравнение прямой (в плоскости), проходящей через точку (x0, vj под углом а к положительному направлению оси х (—冗/2 < а < < л/2), имеет вид* у — % = тп (% — xj (т = tg а). Отсюда уравнение касательной к кривой у = Г (х) в точке (х0, у。) имеет вид

У~Уо = /о(х - #0)，(3)

где % = 〃％), % =「(&).

Прямая, проходящая через точку А G Г перпендикулярно к касательной кГв этой точке, называется нормалью к Г в точке А. Ее уравнение, очевидно, имеет вид

У - Уо = -Л (х - %).(4)

Пример 1.

Найти уравнение касательной к кривой

犬+工а2 b2犬+工а2 b2(-a W * W а)(-a W * W а)(5)(5)в некоторой ее точке (х0, yj, т. е・

犬+工а2 b2

犬+工а2 b2

(-a W * W а)

(-a W * W а)

(5)

(5)

Кривая (5) называется эллипсом. Очевидно, что эллипс расположен симметрично относительно осей коор- динат, так как его уравнение не меняется при замене х на (-г) л у на (-у). При выводе уравнения касательной будем считать, что -а ^ х ^ а9 О ^ у ^ Ь. Из (5) имеем

(5)(5)у =立 Л — J.Q

(5)

(5)

Отсюда КОтсюда К

Отсюда К

Отсюда К

Вычислим функцию у и производную К в точке х0:

力2"/(%)=-£ *°・力2"/(%)=-£ *°・⑹⑹s（/）.g'K（A）=譚）'

力2

"/(%)=-£ *°・

力2

"/(%)=-£ *°・

⑹

⑹

⑺⑺Уравнение касательной к эллипсу в точке (х0, у。):

⑺

⑺

У-Уо = К(*о)(Х-*о)・ Умножая (7) на у0/ Ь2, в силу (6) будем иметь

2222

22

22

Так как у нас 哆 +怨=1, то уравнение касательной а b

запишется:

巫L—l&2巫L—l&2(8)

巫L—l

&2

巫L—l

&2

Таким образом, чтобы получить уравнение касательной к эллипсу в его точке (/, у。％ нужно в уравнении эллипса (5) заменить х на Хх0, и у2 на Уу。.

Рис. 44

При отрицательных значениях у (—b & q < О) рассуждения те же самые и (8) будет уравнением касательной в любой точке эллипса (х0, у。). Из уравнения (8) видно, что касательная к эллипсу в его точке (х0, %) пересекает ось х в точке с абсциссой а2/^о» т- е. при х0 > О эта точка пересечения находится правее эллипса, а при х0 < 0 — левее (рис. 44).

Пример 2 ・ Найти уравнение касательной к кривой

2 ”2

马-白=1 (因》0)а о

б некоторой ее точке (х0, %)［亭-負-lj-

Кривая (9) называется гиперболой. Эта кривая также симметрична относительно осей координат.

Проводя рассуждения, как в примере 1, получим уравнение касательной к гиперболе в виде

蜂-警=1(и》@)・а о

Точка пересечения этой касательной с осью х имеет

абсциссу аабсциссу а,т- е. эта точка пересечения на-

абсциссу а

абсциссу а

Рис. 45Рис. 45ходится в (О, а] для х0 > а и в [-а. О) для % W -а (рис. 45).ходится в (О, а] для х0 > а и в [-а. О) для % W -а (рис. 45).。崎可。崎可Рис. 46

Рис. 45

Рис. 45

ходится в (О, а] для х0 > а и в [-а. О) для % W -а (рис. 45).

ходится в (О, а] для х0 > а и в [-а. О) для % W -а (рис. 45).

。崎可

。崎可

Пример 3. Найти уравнение касательной к кривой / = 2р* (#》0,р>0)(10)

в некоторой ее точке (х0, %)(喘=2рх0).

Данная кривая называетсяпараболой. Она расположена симметрично относительно оси # (т.е. в (10) х является <<етной функцией от у). В силу этого достаточно рассмотреть верхнюю половину параболы (у > 0). Из (10) имеем

У = ^^ •(10*)

Отсюда

k=后'%=辰,"。=祈啜

Уравнение касательной к параболе в точке (х0, у。)：

Y-y°= Ю(Х_%) или

У 一Уо = f (X-&)，功0-Уо =рХ-рд・

Так как 喘=2рх0, то

YyQ^=p(X + x^(11)

Таким образом, чтобы получить уравнение касатель-

ной к параболе в ее точке (х0, у。)，нужно в уравнении параболы (10) заменить у2 на YyQ9 а 2х на X + х0.

Касательная (11) к параболе (1。')в ее точке (&, у。) пересекает ось х в точке с абсциссой (-%。)(рис. 46) независимо от величиныр, т. е. касательные к любым параболам у? = 2рх в точке (к。，J2,爾)пересекают ось х в одной и той же точке (-х0).

§ 4»3. Производные элементарных функций

Постоянная С — каждому х соответствует одно и то же значение « — С・ Таким образом, значению х + Ах соответствует значение функции у +Ау = С. Следовательно»

С' = limCz^ = iim旦=lim0 = 0・(1)

8—0 Дх Дх—0 Дх Дх-0

Степенная функция хп (n = 1, 2,.,.).

а“)' = тг/т,(2)

потому что

表 к+зт]=

1 Г п п-1Z2(n-1) ,1-2 А 2. А " п I

= 亠一 ％ +пх Ахч-х Ах ч-... + Ax -х =

AxL2!J

=пх1 1 + 域；工)%"+ ... + Дхл ' 一

2!△%—0

Справедливы формулы

(и 土 и)' = 〃' 士 и',(3)

,(〃ь)' = иг/ + u'u,(4)

联以索"(^0).⑸

Здесь предполагается, что и = и (х), v = v (х) — функции от х, имеющие производную в точке х. В случае (5) дополнительно предполагается, чтор (%)。0. Утверждается, что в таком случае в точке х существуют производные, стоящие слева в равенствах (3), (4), (3), и эти равенства верны.

В самом деле, зададим △工.Новому значению х + Дх аргумента соответствуют новые значения наших функций и + Au, и + Ди и

△ (и ± и) = [(u + Au) ± (и +Аи)] - (〃 ± и) = А〃 土 △□,

(и ± и)，= lim缠生包=lim曲■土 Ит&^ = /土 i/・ax-»o Дхдх—о Дх дх-о Дх

Далее (пояснения ниже),

△(uv) = (u + Au) (и + Av) ~ uv = uAu + uAu + △〃△“

и△u + 必打 + △必 D =и△u + 必打 + △必 D =ДхДх(W = lim I = lim

и△u + 必打 + △必 D =

и△u + 必打 + △必 D =

Дх

Дх

Ax—O A# Ax—0

=ulim-^+vliin-^ + limAulim-^=：Ах—О ДхДх—D Ау Дх—D Дх—о Ду

=uvr + vuz + Ob' = UU* + uu'・

Надо учесть, что функция и, как имеющая производную, непрерывна» и потому Au 一 0 при Дх — О.

Наконец,

(4'= lim(u±Au一与丄=Ит工些pAv ^ \屮 Дх-*О\р+Ду WAx Ax-0 (u+ Al^vAr

二 limДх—0二 limДх—0处_”，Ax Ax _ 〃 b-UD处_”，Ax Ax _ 〃 b-UD(v+Au)v(v+Au)vJJСнова надо учесть, что Au — О при Дх 一 О, потому что функция р, как имеющая производную, непрерывна.Рассмотрим функцию sin х.Снова надо учесть, что Au — О при Дх 一 О, потому что функция р, как имеющая производную, непрерывна.Рассмотрим функцию sin х.(sin х/ = cos х.(sin х/ = cos х.⑹⑹потому чтопотому что(shi х/ = Нт 当狂±")-s^ - Rm 2威哆叫*+傍)=— Дх“一о Дх(shi х/ = Нт 当狂±")-s^ - Rm 2威哆叫*+傍)=— Дх“一о Дх-Ахsm警 =lim—т-^- Дх-0 Дх-Ахsm警 =lim—т-^- Дх-0 Дхlimcos(x+^) =limcos(x+^) =• COS X = COS X-• COS X = COS X-Надо учесть, что функция cos х непрерывна.Надо учесть, что функция cos х непрерывна.

二 lim

Дх—0

二 lim

Дх—0

处_”，

Ax Ax _ 〃 b-UD

处_”，

Ax Ax _ 〃 b-UD

(v+Au)v

(v+Au)v

J

J

Снова надо учесть, что Au — О при Дх 一 О, потому что функция р, как имеющая производную, непрерывна.

Рассмотрим функцию sin х.

Снова надо учесть, что Au — О при Дх 一 О, потому что функция р, как имеющая производную, непрерывна.

Рассмотрим функцию sin х.

(sin х/ = cos х.

(sin х/ = cos х.

⑹

⑹

потому что

потому что

(shi х/ = Нт 当狂±")-s^ - Rm 2威哆叫*+傍)=— Дх“一о Дх

(shi х/ = Нт 当狂±")-s^ - Rm 2威哆叫*+傍)=— Дх“一о Дх

-Ах

sm警 =lim—т-^- Дх-0 Дх

-Ах

sm警 =lim—т-^- Дх-0 Дх

limcos(x+^) =

limcos(x+^) =

• COS X = COS X-

• COS X = COS X-

Надо учесть, что функция cos х непрерывна.

Надо учесть, что функция cos х непрерывна.

Аналогично доказывается, что

(cos x)r = -sin х,21

(tg xY = sec x =——,COS X

2-]

(ctg н)' = —cosec x = 丁 声sin X

⑺(8)⑼⑺(8)⑼3"(S削3"(S削cos xfsin *У—sin x(cos 功cos xfsin *У—sin x(cos 功cos2 xcos2 xВ самом деле, например.

⑺

(8)

⑼

⑺

(8)

⑼

3"(S削

3"(S削

cos xfsin *У—sin x(cos 功

cos xfsin *У—sin x(cos 功

cos2 x

cos2 x

2 =sec x.2 =sec x.2,-21

2 =sec x.

2 =sec x.

COS% + SHlk_ 1

2_2

COS X COS X

Для функции у =loga % (x > 0) имеем

= 1吗(""")-1吗” =1。砲++)= 1 1峨 *f

Ax- AxAx x Ax

X

Используя замечательный предел

u-0 u

получаем

(1叫х)'=丿嗝6=謚.(10)

В частности,

(1п*У = }(1。')

Производная сложной функции

Теорема 1. Если функция х =(р (0 имеет производную в точке £, а функция у = / (%) имеет производную в точке х, /по сложная функция

1/=г(0 = /[Ф(0](1)

имеет производную (по О в точке £ и справедливо равенство

尸⑴= rw)(2)

или

М = 4 %(3)

Доказательство. Зададим 力，ему соответствует значение х=(р (£). Придадимf приращениеА^ 工 0, это вызовет приращение Дх = <р « + △£) - <р (f). Так как функция у = =Г (х) имеет производную в точкех, то на основании равенства (2) § 4.1, имеем

△у = f (х) Дх + £ (Ах) Дх,(4)

где £ (Ах) — 0 при Дх ~* 0.

Будем считать, что £ (0) = 0. Равенство (4) при этом соглашении вьшолняется, т. к. если подставить в него Дх = =0, то получится 0 = 0.

Разделим теперь равенство (4) на △£ 工 0:

著=%)礬+ё(a*)筹•(5)

Пусть At стремится к нулю. Тогда Ах 一 0, потому что функция х (О = <р (0 имеет производную в точке ^ и, следовательно, непрерывна.

Переходим в равенстве (5) к пределу при母 一 0. Тогда Дх 一 0 и £ (Дх) — 0, поэтому получим

у； = f (х)，G) + 0 • М (£) = Г (х) xf (0 = у'х =；・

Теорема доказана.

Формула (1) может быть усложнена. Например, если 2 = / (у), у = <р (х),工=w (&) и все три функции имеют производные в соответствующих точках, то 空=z[ /遍.

Пример l.y = ln sin x (x^ fcn,左一целое).

Полагаем у == In u, u = и2, и = sin х. Тогда

, f » г 1 о2sinxcosx ° ,

% = /%% = 旦 2dcos%=^= 2ctgx.

wsin x

Пример 2・y = sin(x2 + 2x- 1).

Полагаем u = x2 + 2x - 1. Тогда

у\~^и^х = cos u • (2x + 2) = 2(x + 1) cos (x2 + 2= - 1).

Обычно при вычислениях вспомогательные перемен ныё м, г,… не вводят, а только подразумевают их.

В случае примера 1 вычисления выглядят так:

К = —\~(sin2x) = —、一 2sinx(sinx/ = ；-- cosx = 2ctg=. sin 丿 sin xsinx

Или еще короче

у* = ―、— 2 sin x cos % = 2 ctg x-sin x

Производная обратной функции

Пусть функция у = f (%) строго возрастает, непрерывна на интервале (а, Ь) и имеет конечную не равную нулю производную Г (х) в некоторой точке х е (а, Ь). Тогда обратная для f функция x—f "(у) = g (у) также имеет производную в соответствующей тоике, определяемую равенством

илиили⑴(1')⑴(1')/(V)= —19r (力

или

или

⑴

(1')

⑴

(1')

Доказательство. Как нам известно, обратная функция х = g (у) строго возрастает и непрерывна на ин^ тервале (А, В), где

& =』(н)，В = sup f(x)

X 电 b)X«ab)

(см. § 3。6, теорема 1)

Дадим рассматриваемому у приращение Ау 力 0. Ему соответствует приращение Ах обратной функции, также не равное нулю в силу строгой монотонности f • Поэтому

Дх _ 1

Дх

Если теперь Ау — 0, то в силу непрерывности g Q) приращение Дх также — О; но при Дх — 0 丝—Г (工)力 О, Ах следовательно, существует предел

Iim^^= —1— = —1— “"△У lim& Г 任).

m一0Лх

Этим формула (1) доказана.

Примечание. Если Г (х)^ 0 непрерывна на (а, Ь), mo g ①)непрерывна на (А, В).

Это следует из (1), где можно положить х = g (у):

К")=ЛЙ (…В).

Ведь сложная функция Г [g (у)], состоящая из непрерывных функций Г н g, непрерывна.

Производные элементарных функций (продолжение)

L у 匸 а". Отсюда х «= logc у — обратная функция. Поэтому

弘=占=—J— = у In a = a* In а, т・ e. (a*)' = a* In a.

У Ina

В частности, (/)=*(2-)=5".

у =arcsin х (|х| < 1, -тт/2 < у <冗/2), х =sin у — обратная функция. Поэтому

6 — Бугров. Том 2

Перед корнем поставлен знак + , потому что cos у > 0 на (一汽/2, n/2).

(arccos =)' = ^-arcsin xj =-了工 亍・

4・ у = arctg % 工=tg у — обратная функция(-8 <х< < 8, -тс/2 < у V 冗/2)・ Тогда

(arctg ^ = 7^^ = cosy^—i^ = —i^ ,(tgy)1+tg у 1 + х

(arctg*)'=1 + х

5. Совершенно аналогично доказывается, что

(arcctg х/ =

+ х

Производная от степенной функции ха (х > 0, а — произвольное действительное число). Имеем

а aln %х = е .

Так как функции е“ и a In х имеют производную, то по теореме о производной сложной функции получим

(/)，=(еа】п)= еамн.旦=а式=аха-\X *

Таким образом,

(хау)= аа:。".

Этот результат согласуется с формулой (2) § 4.3 для производной от функции %” (％ с (-8, оо)), где п — натуральное число.

Функция у = м (х)и ⑺(и > 0). Еслии (х) и и (%) имеют производную, то этим же свойством обладает функция

и

(〃» = е 1п “(и In “У = 〃"(》' + 4 In”)・(2)

Выражение

[In 丿(“))]，=袈(3)

называется логарифмической производной функции /.

Так как

In ии = у In и,

то в силу формулы (3)

—^ =(Dlnu)'=l/lnu+组,WU

откуда следует (2).

Гиперболические функции.

(shxX=(^^J=气广(shxX=(^^J=气广=chx.=chx.

(shxX=(^^J=气广

(shxX=(^^J=气广

=chx.

=chx.

(chx)，=(^2j=£^=Bhx,

如），您"吟严;志,

(Cthx)，=(齊)'=®?%/工=V_(*)

相％ sh2x ''

9・ у н Arsh x 一 обратная функция для функции х ■ sh у. Отсюда

(см. далее § 4.12, пример 2).

6*

Дифференциал функции

Дифференцируемые функции.Пусть функция / имеет производную в точке х (конечную):

иm/r⑺.

8Г0 Ax

Тогда 學^ для достаточно малых Дх можно записать в Ах

виде суммы Г (х) и некоторой функции, которую мы обозначим через £ (Ах) и которая обладает тем свойством, что она стремится к нулю вместе с Ах:

改=Г (х) + Е (Ах) (£ (Дх) — 0, △工一0)

Ах

и приращение / в точке х может быть записано в виде

△у ^ Г(х) Дх + Дх • s (Ах) (£ (Ах) — 0, Дх — 0) или

Ау = Г @) Av + о(Дх).(1)

Дх—О

Ведь выражение о(Дх) понимается как функция от Ах Ах—0

такая, что ее отношение к Дх стремится к нулю вместе сДх.

Определение . Функция f называется дифференцируемой в точке х, если ее приращение Ау в этой точке может быть представлено в виде

Ду = А • Дх + о(Ах),(2)

Дх—0

где А не зависит оти Дх, ко вообще зависит от х.

Теорема 1. Для znozo, чтобы функция f была дифференцируемой в точке х, т. е. чтобы ее приращение в этой точке представлялось по формуле (2), необходимо и достаточно^ чтобы она имела конечную производную в этой точке. И тогда А= Г (х).

Таким образом, сказать, что / имеет производную в

шчмп х или f дифференцируема в точке х — это одно и то —• Поэтому процесс нахождения производной называют • щ，・ дифференцированием функции.

Доказательство теоремы 1. Достаточность у< линия доказана выше: из существования конечной про- м Iиодной Г (х) следовала возможность представления Ау в ииде (1), где можно положить Г (%) = А.

Необходимость условия. Пусть функция / дифференцируема в точке х. Тогда из (2), предполагая Лх 工 0, получаем

敛=人 + a&)=4 + 。(△*).

Ах Ах 工

П|м?дел правой части при Ах ~* 0 существует и равен А:

Нт 组^ = А.

△х-о Дх

Это означает, что существует производная

Г⑺=4

Дифференциал функции . Пусть функция у =f (х) дифференцируема в точке х: т. е. для ее ирира- щения Ау в этой точке выполняется равенство (2). Тогда Ау есть сумма двух слагаемых. Первое из них АДх пропорционально Дх, а в таких случаях говорят, что оно есть линейная однородная функция от Дх. Второе ——о(Дх) яв-

Дх—О ляется бесконечно малой функцией высшего порядка малости сравнительно с Ах. Если АФ 0, то второе слагаемое стремится к нулю при Ах — 0 быстрее, чем первое. В связи с этим первое слагаемое А Ах = Г (х)Ах называется главные членом приращения^ (при Ах 一 0!. См. определение в конце § 3.10). Это слагаемое называют дифференциалом функции и обозначают символомdy・ Итак, по определению

dy = df -f (х)Дх.

На рис. 47 изображен график Г функции у = / (х);

Т — касательная к Г в точке А, имеющей абсциссу х; f (x)^tg а, где а ——угол, образованный касательной С ОСЬЮ X；

dy-f (х)Дх = tg а Дх = CD,DB = Ay - "у = о(Дх)・

Дх —О

Таким образом9дифференци- ал функции у 6 точке х, соответствующий приращению Дх> есть приращение ординаты точки9 лежащей на касательной (3 = СО).

Вообще говоря, dy 工 Ay, ибо Ay = dy + o(Ax), а второй

Ax—0

член этой суммы» вообще говоря, не равен нулю. Только для линейной функции у = Ах + В имеет место равенство Ау = АДх = dy для любого х. В частности, для у = #, dy = d%= =Дх, т. е. дифференциал и приращение независимой переменной равны между собой (dx = Дх). Поэтому дифференциал произвольной функции f обычно записывают так:

dy = f (х) dx.

откуда

r⑺号，

т. e. производная функции / в точке х равна отношению дифференциала функции в этой точке м дифференциалу независимой переменной х.

Это объясняет, что выражение dy/dx (дэ игрек по дэ икс) употребляется как символ для обозначения производной.

Надо иметь в виду, что дифференциал dx независимой переменной не зависит от х, он равен Дх — произвольному приращению аргумента х. Что же касается дифферент циала dy функции у (отличной от х), то он зависит от х и dx.

Отметим формулы

d (и ± V)^ du ± du, d(u - v) = u du + v du9 d (cu) — c du (c — постоянная), vdu-udv z 小

咽=d ("0),

(3) ⑷ (5)

(6)

где предполагается, что и и v — дифференцируемые функции в рассматриваемой точке х.

Например, формула (6) доказывается так:

/м\ /uVj _ и/dx-шУdx — udu-udu

Приближенное выражение приращеиия функции. Если функция у = / (х) дифференцируема в точкех, то на основании формулы (1) ее приращение, соответствующее приращению Дх9 можно записать следующим образом:

△у = dy + о(Дх).

Отсюда следует, что дифференциал функции при достаточно малых Ах может служить хорошим приближением приращения функции. В этом смысле пишут приближенное равенство

Ly^dy = f (х) dx,(7)

которым широко пользуются.

Пусть надо вычислить значение функции / в точке х, т. е. число / (х). Однако появилась необходимость заменить 工 его приближенным значением х + Дх:

х«х + △%・

Возникает приближенное равенство

f (х) « / (х + Дх)・

Его абсолютная погрешность равна \^y\ = \f (х + Дх)-f(x)|.

Если функция / дифференцируема в точке х, то из формулы (7) следует, что при малых Ах можно считать, что абсолютная погрешность рассматриваемого приближения равна приближенно абсолютной величине дифференциала функции:

"1 k 画，

вычисленного для соответствующего приращения Ах.

Относительная же погрешность приближенно выражается следующим образом:

图=图(”〃х)#0).

Пример 1 . Если считать, что

У8,001，纏=2,

то погрешность приближенно равна дифференциалу функции у = х1/3 в точке х = 8, соответствующему приращению Ах = 0,001:

dy =丄 £"3心=18-2/з. о,ОО1 = —!—-.312000

Вопрос о том, насколько точны эти наши рассуждения, может быть решен методами, которые мы будем еще изучать (см. § 4.14).

Другое определение касательной

В случае, когда производная Г (久о) конечна, возможно дать другое, эквивалентное определение касательной.

Зададим произвольную прямую Lr у — у0 = т (х - х0), проходящую через точкуА=(%。，f (х0)) кривой T:y = f (%). Пусть В = (х, f (х)) — другая точка кривой Г. Расстояние от В до £ в направлении оси у равно

•ая кГ в точке А в смысле перво- m определения, тот = Г (х0). Так ■■к / дифференцируема, то

W (&) = Г (х0)(х-х0) + о (х -&), х — &, откуда

Р (х) = 1〃*) - f (&) 一 Г (&Хх — *о)| = о (# - =0),X — #0，

т. е. прямая L является касательной в смысле второго определения.

Обратно, пусть L является касательной в смысле второго определения. Тогда (см. (1) в (2))

р(х) =『(х)- f(x^-m(x-х0)| = о(х-х0), х —&, или, что все равно,

f⑺-f (xj = т (х - X。+ о (х - xj При X — x0.

Это показывает, что функция / дифференцируема в точке х0 и m = f (х0). Но тогда L есть касательная в смысле первого определения и ее уравнение имеет вид

y-yo^f(xa(x~xo)-

Замечание» Из сказанного следует, что кривая y = f(x) имеет касательную в точке (х0, / (jcJ тогда и только тогда, когда функция f дифференцируема в точке х0.

Производная высшего порядка

Пусть на интервале (а, Ь) задана функция /・ Ее производная, если она существует на интервале (а, Ь), есть некоторая функция Г (х). Мы ее будем еще называть первой

производной. Но может случиться, что первая производная имеет в свою очередь производную на интервале (а, Ь). Эта последняя называется второй производной от f клк производной от / второго порядка и обозначается так:

尸(х) = [(2)(х) = (Г (х))- или，=(『у.

Вообще, производной от функции Г порядка п называется первая производная от производной от / порядка п — 1 и обозначается так:

f ⑺(X)= (/ S7(Х)У ИЛИ так:严=(^/(n_1>)^.

Если речь идет об определенном фиксированном значении X, то символ 户(х) обЬзначает производную n-го порядка от /в точкех. Для ее существования необходимо существование производной 尸")не только вх9 но и в некоторой окрестности х.

Примеры.

1°. (ех)(П> = е".

2°. (ахХ =ах1па, (а*)" = ах In2 а,…,(а*)®= (а*) 1пп а.

3°. (хту = тх"\ (хт)" = т (т - 1) хт-2,...

.... (xmfn) ~ т (т - 1) ... (т - п + 1) хтТ

Если т натуральное, то, очевидно,

(7*严=/и! и (хт)(й) = 0 5 > т).

4°. (sin х/ = cos х = 5叫#+考，

(sin =)"=[sin(#+多]'=sin 卜+2分

(sin =严=sin^x+n^j.

5°. (cos #)s)= cos(x+情).

Однако далеко не для всякой функции удается найти общие формулы для их n-х производных.

Упражнение. Используя метод математической индукции, доказать формулу (Лейбница) для производной n-го порядка от произведения двух функций;

(иьГ = Х^П^\к=0

где и и и имеют производные до порядка в включительн ,

С：С：0! = 1.0! = 1.n(n-l)・・・(/-k+l)_ в!

С：

С：

0! = 1.

0! = 1.

Л!一面(пТ)Г

Дифференциал высшего порядка. Инвариантное свойство дифференциала первого порядка

Если на интервале (а, Ь) задана функция у = f (х), то ее, очевидно, можно представить бесконечным числом способов как сложную функцию

у = <р (z), z=v(x).

Таким образом, у можно рассматривать как функцию от х (У в f (х)) и как функцию otz Q 匸 <р (z)), где z в свою очередь есть функция от % Q =屮(х)).

Аргумента мы будем называть независимым^ подчеркивая этим, что на протяжении наших рассуждений х не будет рассматриваться как функция какой-то переменной. Аргумент же z будем называть зависимым (от %!)・

Дифференциал от функции у •= f (工)в точке х есть, как мы знаем, произведение производной от f в этой точке на дифференциал независимого переменного:

dy = f (х) dx.

Здесь dx есть произвольное число. Оно не зависит от х.

Эго сказывается в то叫 “то производная mdxnox равна нулю:

(dx)r = 0.

Дифференциал от функции называют еще первым дифференциалом •

По определению вторым дифференциалом от функ-

ции y^f(x) в точке х называется дифференциал от первого дифференциала в этой точке и обозначается так:

/у = d (dy).

Чтобы вычислить второй дифференциал, надо взять производную по х от проивведения f (х) dx e dy, считая, что d= есть постоянная (не зависящая от х!), и результат помножить на dx:

d2y = d[f (х) dx] = dx (f (x)dx)'=尸(x) dx.

Вообще, по определению дифференциалом порядка n функции у g /(х) называется первый дифференциал от дифференциала (п —1)-2。порядка этой функции и обозначается через

^y-d^y).

Очевидно»

，!/ = #"(*)",(1)

потому что эта формула верна при n = 1, а если допустить, что она верна для п - 1, то

d% = d [/п-1) (х) dx"'1] = d^d 俨T)(x)] = /n, (x) dx.

Конечно, для существования дифференциала порядка п функции у == / (х) в точке х необходимо» чтобы она имела производную /п) (х) порядка п в этой точке.

В силу (1) имеем

才=产(土霊，(2)

dx

т. e. производная п-го порядка от функции у по независимой переменной х равна частному от деления п-го дифференциала у на dxn = (dx)n.

В дальнейшем мы узнаем, что формула (2) неверна, если в ней независимую переменную х заменить на зависимую z (см. далее (4)).

Мы определили дифференциалы первого и, вообще говоря, высшего порядка от функции y=f (х), где г естьмеза-

висимая переменная. Но функцию у, как это было отмечено выше, можно еще записать в виде

У = Ф (z),

где 2 есть некоторая функция от %(2 =屮(х), f (%) = <р [屮(х)]). Возникает вопрос, как выражаются введенные нами дифференциалы на языке (зависимой) переменной 2. Для первого дифференциала этот вопрос решается следующим образом:

dy = у： dx =力；dx = у*： dx) = y'2dz.

Мы видим, что дифференциал функции у равен произведению ее производной у； на dz:

dy = y'zdz,(3)

т・ е. первый дифференциал функции у выражается по одной и той же формуле независимо от того, будет ли у рассматриваться как функция от независимой переменной х или от зависимой переменной г.

Форма первого дифференциала (см. (3)) сохраняется, поэтому говорят, что первый дифференциал имеет инва^ риантную форму или еще имеет инвариантное свойство.

С дифференциалом высшего порядка дело обстоит уже не так. В самом деле, если рассматривать у как функцию ОТ 2 (у = <р(2)), то получим (см. § 4.7, (4)) ^у = d (dy) = & [<р'(2)dz] = d2 d (<р‘ С2)) + ср，(z) d (dz)=

=屮"(z) &2 + <p'(2)『2.(4) В последнем равенстве мы применили инвариантное свойство первого дифференциала, в силу которого d (<р‘(z))= -(р“(z) dz. Кроме того» учтено что d (dz) = d2z. Величиной d22, вообще говоря, нельзя пренебрегать, ведь она определяется равенством『2 =屮"(х) dx2. Правая его часть равна нулю (для всех х!) только, еслиц/ (х) есть линейная функция (屮(х) = Ах + В).

Мы видим, что (выраженная через z) форма второго дифференциала не сохранилась — к числу(р“(z) dz2 добавилось слагаемое фг (2)/2, вообще говоря, не равное нулю.

炉就噥（分鹼詹炉就噥（分鹼詹⑷⑷

炉就噥（分鹼詹

炉就噥（分鹼詹

⑷

⑷

Дифференцирование параметрически заданных функций

Пусть зависимость у от х выражена через параметр £:

『點此(*).⑴

P = V(E)J

Это надо понимать в том смысле, что существует обратная функция для функции х = ф (t) и можно написать явную форму зависимости у от х:

У =w3-%)]，(2)

Будем искать производную от у но я: через производные от х иу по ^. Будем употреблять обозначения у[,或,=；, ・・・,工;;у；： где буква внизу означает, по какой переменной берется производная. В силу инвариантности формы дифференциала первого порядка у； = dy/dx. Но dy «= y[dtt dx = x[dt. Поэтому

⑶

Подобным образом можно получить формулы для производных у[)по х порядкап > 2 через производные отх иу по t.

Теоремы о среднем значении

По определению функция f достигает в точке % = с локального максимума {минимума)^ если существует окрестность этой точки U (с) = (с - 6, с + 5), на которой выполняется неравенство

/©》/(*) X/xeU(c)(1)

(соответственно / (х)》f (с) V# £ U (с)).(1')

Локальный максимум или минимум называется локальным экстремумом. Точка с называется точкой локального экстремума.

Замечание 1. Если функция f непрерывна на от- |м»зке [а9 Ь] и достигает на нем максимума (минимума) в I очке с с (а, Ь), то, очевидно, с является в то же время точкой локального максимума (минимума)九 Другое дело, если максимум (минимум) /на [а, &] достигается в одной из концевых точек отрезка. Такая точка не является точкой локального максимума (минимума) 厶 потому что / не определена в полной ее окрестности (справа от ж и слева).

ной наной наНа рис. 49 изображен график функции у = f (х), непрерыв<

ной на

ной на

[а, Ь]. Точки х2их4 — это

точки локального минимума Д а % =з, — точки локального максимума /. Конечно, можно ска- .1лть, что b есть точка локального одностороннего максимума /, а а — локального одностороннего минимума /. Но а не есть точка локального минимума, а b не есть точка локального максимума.

Теорема 1 (Ферма )・Есе функция / имеет производную в точке с и достигает в этой точке локального ^кстремума9 то Г (с) = 0.

Доказательство. Для определенности будемсчи- рать, что / имеет в точке с локальный максимум. По определению производной имеем

『©=跳『©=跳№+ЗТ©Дх№+ЗТ©Дх

『©=跳

『©=跳

№+ЗТ©Дх

№+ЗТ©Дх

Так как у нас / (с) > / (х) Vx е U (с), то для достаточно малых Дх > 0

Дх J '

(2)(2)откуда в пределе при Дх — 0 получим, что Г (С) w 0.

(2)

(2)

Если же Ах < 0, то

Ас+Ах)-/(с)〉0,Ах'

поэтому, переходя к пределу приДх — 0 в этом неравенстве, получаем, что

Г 9)》0.(3)

Из соотношений (2) и (3) вытекает, что Г (с) = 0.

Теорема 2 (Р о л л я *).

Если функция у =，(％) непрерывна на-[а9 6], дифференцируема на (a, b) и /(а)=，(匕)，血。существует точка & е (а,匕)，такаяу что Г (&) = 0_

Доказательство. Если f постоянна на [а, Ь], то для всех & е (а,匕)производная Г (&) = 0.

Будем теперь считать, что f непостоянна на [а, Ь]. Так как f непрерывна на [а, Ь], то существует точка хг е [а, Ь], в которой / достигает максимума на [а,匕](см. § 3.5, теорема 2), и существует точка х2 с [а, Ь], в которой f достигает минимума на [а, Ь]. Обе точки не могут быть концевыми точками отрезка [а,匕],потому что иначе

maxf(x) = min f(x) = 0

и f была бы постоянной на [а,匕].С ледовательно, одна из точек де】，х2 принадлежит к интервалу (а, Ь). Обозначим ее через^. В ней достигается локальный экстремум. Кроме того, Г (&) существует, потому что по условию f (х) существует для всехх G (а, Ь). Поэтому по теореме Ферма Г (&) = 0.

Замечание 2 . Теорема Ролля сохраняет силу также для интервала (а,匕)，лишь бы выполнялось соотношение

limf(x) = lim f (%) •

Рис. 50Рис. 50Замечание 3. Теорема Ролля теряет силу, если хотя бы в одной точке (а, Ь) Г (х) не существует. Пример: у = |М на [-1,1]. В теореме также нельзя заменить непрерывность на [а,匕]на непрерывность на (а, Ь). Примером является функция

Рис. 50

Рис. 50

= [1, х = 0,

“ [х, 0<х<1.

Точка х ^ 0 — точка разрыва.

Замечание 4. Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл. Если вьшолнены условия теоремы, то на графике (рис. 50) функции у = f (х) существует точка (&，/ (&))，касательная в которой параллельна оси х.

Теорема 3 (Коши). Если функции f (х) и g (х) непрерывны на [а, Ь] и дифференцируемы на (а,匕)，〃/(*)£ 0 в (а, Ь), то существует точка & е (а, Ь) такая, что

貝Ь)-貝а) /(&)的)-的)ю

Доказательство. Отметим, что g (b) - g (а) Г 0, так как в противном случае, по теореме Ролля, нашлась бы точка & такая, что р (&) = 0, чего быть не может по условию теоремы. Составим вспомогательную функцию

尸⑴="©-〃a)-理理匡⑺-g(0)]-g\p)-g{a)

В силу условия теоремы эта функция 尸 непрерывна на [а, Ь], дифференцируема на (а,匕)и 尸(а) = 0, F (匕)—0. Применяя теорему Ролля, получим, что существует точка & £ (а, Ь), в которой 尸'(&) = 0. Но

尸‘8―用纷⑺，

поэтому, подставляя вместо х точку 以 получаем утверждение теоремы.

Замечание 5 . В формуле (4) Коти, как нетрудно видеть, не обязательно считать а<Ъ. Но тогда [а, Ь] и (а, 6) обозначают соответственно множества точек %, для которых Ь^х^а, Ь<х<а.

Как следствие из теоремы Коши, при g (х) — х получим теорему Лагранжа.

Теорема 4 (о среднем Лагранж а). Пусть функция / (%) непрерывна на отрезке [а, 6] и имеет про- изводную на интервале (а, Ь). Тогда существует на интервале (а, 6) точка с, для которой выполняется равенство

(5)(5)f(b)-f(d)^(b-d)f(c) (а<с<Ь).

(5)

(5)

Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл, если записать ее в виде

^^=Г(с) (QVcvb).о—а

Левая часть этого равенства есть тангенс угла наклона к оси х хорды, стягивающей точки (а, / (а)) и (6, Г (Ь))

графика функции у = /(х), а правая часть есть тангенс

угла наклона касательной к графику в некоторой промежуточной точке с абсциссой с е (а, Ь). Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая (рис. 51) есть график непрерывной на [а, 6] функции, имеющей производную на (а, Ь), то на этой кривой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе с (а < с <Ь) такая, что каса

тельная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой (а, / (а)) и (6, / (6)).

Равенство (5) называется формулой ^Лагранжа)

конечных приращений. Промежуточное значение с удобно записывать в виде

с = а + 9 (8 — а),

где 0 есть некоторое число, удовлетворяющее неравенствам О < 0 < 1. Тогда формула Лагранжа примет вид

/(b) —/ (а) = (Ь -а), (а +0 (Ь - а)) (0<6< 1).(6)

Она верна, очевидно, не только для а <Ь» но и для а> Ь. Теорема 5. Функция^ непрерывная на отрезке [а, Ь]> где а v b, и имеющая неотрицательную (положительную) производную на интервале (а, Ь), не убывает (строго возрастает) на [а, 6].

Действительно, пусть а < xt < х2 < Ь, тогда на отрезке [хр xj вьшолняются условия теоремы Лагранжа. Поэтому найдется на интервале (хг> х0 точка с, для которой

f (%2)-l^^^z - xi)f(c)(々 v c v x2).

Если по условию f > 0 на (q, b), to f (с)》О и

f(工J一人/)》o；(7)

если же Г > ° на (а, &), то Г (с) > О и

/(х2)-/(х1)>0.(8)

Так как неравенства (7) и (8) имеют место, каковы бы ни были %】，х2, где a W *】 < 电 < 仇 то в первом случае Г не убывает, а во втором Г строго возрастает на отрезке [а, &]•

Пример 1. Возвратимся к примеру 1 § 4.7, где надо было оценить величину 九=如ОСИ-崛.Применим формулу Лагранжа к функции 屮(х) = х1/3. Имеем

入=V (8,001)—屮(8) = 0,001 •屮，(с) = 0,001 •犷門…=

=」_产 <_!—8-物=—!—

3000300012 000 •

В примере 1 § 4.7 мы получили такой же результат» но сейчас он получил полное обоснование.

Пример 2 . Функция у = sh к = ^ (с" — с *) имеет непрерывную производную

(sh х)* = ^(€* 十 е~х)^ ch х > 0 Vx t (-8, 8),

и обладает свойствами

lim sh х = -8, lim sh 工=+8.

*—-ооX—+«J

Следовательно, она строго возрастает и непрерывно дифференцируема на (-8, оо) и отображает интервал (-оо, сю) на (-оо, 8). Поэтому она имеет обратную однозначную непрерывно дифференцируемую функцию, обозначаемую так: х = Arsh у, у w (—°°, 8).

Теорема 6. Если функция имеет на интервале (а, Ь) производную, равную нулю, то она постоянна на (а, Ь)・

В самом деле, на основании теоремы Лагранжа имеет место равенство

/(x)-f(x1) = (x- %) Г(с),

где х, — фиксированная точка интервала (а,匕),х ——произвольная его точка (она может находиться справа и слева от X,) и с — некоторая, зависягцая от хг и х точка, находя- щаяся между де】и х. Так как по условию ff (尤)=0 на (а, b), то Г (с) = 0 и f(X) = /(Xj) = С для всех х е (а, Ь)・

Заметим, что в приведенных теоремах ослабление налагаемых в них условий может привести к неверности утверждений (см. замечания 1» 2 к теореме Ролля).

Определение - Будем говорить, мто функция у = =/ (х) возрастает (убывает) 8 точке х0, если существует число б > 0 такое, что

"。（"。）"。（"。）при 0 < |Дх| < 5при 0 < |Дх| < 5

"。（"。）

"。（"。）

при 0 < |Дх| < 5

при 0 < |Дх| < 5

Очевидно, что если функция f (х) возрастает (убывает) на (а, Ь), то она возрастает (убывает) в каждой точкех w (а,匕).

Теорема 7. Если f (х^ > 0 (< 0), то функция у =/ (х) возрастает (убывает) в точке х0.

Доказательство. Так как Г(%о)= £” ^^，то, задав

£> 0, можно найти такое б > О, что Г(%о)- £ < 券 < f (х0) + е

設 Дх設 Дхпри |Дх| < 5. Пусть Г (х0) > О. Взяв £ < / (х0), получаем» что

設 Дх

設 Дх

> О при |Дх| < 5, т. е. функция / возрастает в точке х0.

Замечание 6 . Если функция / имеет производную и не убывает на (а» Ь), то / (х) > О на этом интервале. При сказанных условиях невозможно, чтобы в какой-либо точкех G (а, Ь) производная от f была отрицательной — это бы противоречило теореме 7.

Если f имеет производную и строго возрастает на (а, Ь) и если у нас других сведений об Г нет, то все равно придется заключить, что Г (%)妾 О на (а, Ь), потому что строго возрастающая функция в отдельных точках (а, Ь) может иметь производную» равную нулю. Такой, например, является функция /, строго возрастающая на (-8, оо) и имеющая при х = О производную» равную нулю.

Замечание 7 . Если функция возрастает в точке х0> то она не обязательно возрастает в некоторой окрестности точки х0.

Примером может служить функция

О»*=0,

FQJ ^-х2sin—,х*0.

Очевидно, что

曝一/sin]

尸(0) = lim-2~~-~^ = i,

и F (x) возрастает в точке х = 0. Однако эта функция немоно

тонна, так как производная 尸(х)=《一2xsin丄 +cos— в любой 2 х х

малой окрестности нуля принимает как положительные, так и

отрицательные значения (см. теорему 5). Для хЛ 二 1/kn (fe= 1» 2,・.•)при Л четном она равна 3/2, а при 左 нечетном она равна —1/2.

Теорема 8 . Если функция，(х) четная {нечетна^) 〃 дифференцируема на [-а, а], то f (х) нечетная (четная) функция.

Доказательство. Так как/ (х) = f (—х) Vx G [-а. а], то производные левой и правой части также совпадают: Г (х) = —Г (-”)，т. е. f (х) — нечетная функция. (Этот же факт можно доказать, исходя из определения производной.)

Раскрытие неопределенностей

Ьудем говорить, что отношение 吟[представляет со- Я(х)

бой неопределенность вида ~ при х -** а, если lim/(x)= Оlq

=limg (х) = О. Раскрыть эту неопределенность — это значит найти Нт 晔巳 если он существует.

Теорема 1. Пусть f (%) u g(х) определены и диф- ференцируемы в окрестности точки х = а9 за исключение ем9 быть может9 самой точки a, lim/(x) =limg(*)=О, g (х)

и ё (х) Н 0 6 этой окрестности. Тогда^ если существует

hm—~-7， то существует hm —登 и имеет место равен- —g(%)—欧％)

ство

「 /(х)「 f(x)/

(1)

Доказательство. Будем считать, что a — конечное число. (В случае a = 8 см. ниже замечание 3.) Доопределим функции Г н g в точке х = а, полагая f (a) —g (a)= =О. Тогда эти функции будут непрерывны в точке а. Рассмотрим отрезок [а, х], где х>а или х <а (см. замечание 5 § 4.12)・ На [а, х] функции fug непрерывны, а на (а, х)

дифференцируемы, поэтому по теореме Коши существует точка & такая, что

g(x)-g(d) g (目爪*) JR)

Когда x 一 а, но и & 一 а, поэтому в силу условия теоремы имеем

鹽爵旣翳理謂鹽爵旣翳理謂(2)(2)

鹽爵旣翳理謂

鹽爵旣翳理謂

(2)

(2)

при условии, что предел в правой части равенства существует.

Этим теорема доказана.

Замечание 1. Если предел справа в (1) не существует, то предел слева может существовать.

Пример 1. Так как sin х « х, то

x2sin^I

lim=-=limxsin—=0.

吋° sinx x-o x

Однако

limне существует.limне существует.卜%吗)'..=1吨卜%吗)'..=1吨х-»Ох-»О2rsini~cosljc xcosx2rsini~cosljc xcosx

lim

не существует.

lim

не существует.

卜%吗)'..

=1吨

卜%吗)'..

=1吨

х-»О

х-»О

2rsini~cosljc xcosx

2rsini~cosljc xcosx

Замечание 2 . Если выражение-^ { представляет gQ)

неопределенность вида S и функции f (х), g，(х) удовлет

воряют условию теоремы 1, то

Ит黎=Шп尊=lim槃冢一。虱L<* g (X) k。广(X)*

При этом эти равенства надо понимать в том смысле, что если существует третий предел» то существует и второй и первый.

Теорема 2 得).Пусть fug определены и дифференцируемы в окрестности точки х = а, lim/(x) = li吗g (%)= =8, g (x) u / (x)工 0 6 этой окрестности9 тогда, если

□Г(%)□「—

3 lim mo 3 lim .丁

…g(x) г

и

Дх) г /Xх)Aa g\x) LC

Доказательство этой теоремы мы не приводим.

Замечание 3 . Если а =оо, то замена х = 1/力 сводит дело к a = 0:

г /(х)怨/£)」. (/(!/£))'… r(l"X-l/「) _

」2现6 _智典/t)- %跃］/())，_ 3 /(1/千］/今一

=5零.

к8 g(X)

Выражаемые теоремами 1, 2 правила, в силу которых вычисление предела отношения функций может быть сведено к вычислению предела отношения их производных, называют правилом Лопиталя9 по имени математика, который сформулировал это правило, правда, для весьма простых случаев. Впрочем» это правило было известно И. Бернулли до Лопиталя.

Пример 2.

lim吟=0 Va > 0, a > 1.

м-8 a

Здесь мы имеем неопределенность вида (胤.Применяя правило Лопиталя 左 раз (兑》а, при а натуральном 左=а), получим

Hm 三=~= 0.•

*-8 a*-8 a

Пример 3・

lim 咋=0 Va>0.

Функции xa и In х удовлетворяют всем условиям теоремы 2, поэтому

*一8 % Х—ОО a%°JC—8 ax

Кроме рассмотренных неопределенностей, встречаются неопределенности вида О - 8, 0°, 8°, 8-8, 1°°, определение которых очевидно. Эти неопределенности сводятся к неопределенностям ^ или ^ алгебраическими преобра- юванмамн.

а.Неопределенность0 • 8 (/(х)^(х), Дх) 一 0,g(x) 一 8 при х 一 а). Ясно, что

心一)=人■)н"" g =方爲•

Пример 4.

lim xa In x = 0 Va > 0;

*-o

lim xa In x = lim^^ =) = lim—^x-=-丄 limxa = 0.

*-o*-o 尸\8丿x-o -«尸与 a x-o

б. Неопределенности вида 1°° , 0°, oo° для выражения /" сводятся к неопределенности 0 • 8. Согласно определению этой функции fe =Т1n' (f > 0).

Если

гого㈣ g In f = А,

го

го

Hni 产=J.

в. Неопределенность 8 -8 (Дх) -g(x), / 一 +8, g — +8 при % 一 а). Легко видеть, что

§ 4.14. Формула Тейлора

Рассмотрим произвольный многочлен степени п:

Р“(х)=坛 +力工 + ... +bnx"=汽 Ък^,fc=O

где, таким образом, “ 一 постоянные числа — коэффициенты многочлена. Пусть х0 —любое фиксированное число. Полагая х = (х — %) + х0, получим

p^ = Ё bfc [(X - X0)+ x0『，⑴

А=0

откуда, возводя в степени квадратные скобки и приводя подобные по степеням % — ％, получим выражение дляРп(х) в следующей форме:

Р”(х)= % + %(х - #0)+ …+ 4(х - #0)" = £%(х - %)*, (2) fc=0

называемое разложением многочлена Рп(х) по степеням (х - х0). Здесь а0, %,…，ап — числа, зависящие от 斗 и & — коэффициенты разложения Р〃 по степеням х - &・ Например, а。= О。+ Ьгх0 + ... + Ь〃％；・ Из (1) очевидно, что Р“(％) на самом деле от х0 не зависит.

Найдем последовательные производные Рп(х):

Р；(#) = % + 2a2(* - %) + …+ лап(х - х^ 一 \

Р„(х) = 1 • 2a2 + 3 • 2а3(х - х0) + ... + п(п - 1)ал(х - х0)л~2.

邦)(％) = 1 • 2 ... kak + ... + n(n - 1)...

...(n - Z? + 1) an(x - *o)"f, (3) P?(*)= 1 • 2 ... nan.

〃(*0): %,尸〃(%) = %,…，？?(&)=姉％,…,F?(#q)=川％,〃(*0): %,尸〃(%) = %,…，？?(&)=姉％,…,F?(#q)=川％,Производные порядка выше п равны нулю. Полагая в формулах (2) и (3) х = х0, получаем

〃(*0): %,尸〃(%) = %,

…，？?(&)=姉％,…,F?(#q)=川％,

〃(*0): %,尸〃(%) = %,

…，？?(&)=姉％,…,F?(#q)=川％,

片&)= 1 ■ 2а2,

или

%=旦拘 (* = О, 1, .... п),(4)

где мы считаем 0! = 1, Р?(х)= Р“ (办

Формулы (4) показывают, что многочлен Р〃(％) степени л можно разложить по степеням х — х0 единственным образом, т. е- если для всех значений х верно равенство

Р<х)= £в*(х - &)* = f 医(工-х/, *=0*=0

где & и 01 — постоянные, то рл = р^(й = О, 1,...,九).Ведь как числа pfc , так и 0； вычисляются по одной и той же формуле ⑷.

В силу (4) формулу (2) можно переписать так:

Рп (Х)= Р” (Хо)+ 号了(X -Хо)+ ... + ^^ (х 一 2)"=

喑喑^(…"•(2)

Формула (2‘) называется формулой Тейлора для многочлена Рп(х) по степеням (х - &)• Отметим, что правая часть (Z) фактически не зависит от х0.

Пример 1. Пусть Рп(х) = (а + х)л и х0 = О, Тогда в силу (2')

л(х)=£^^хл

Ь0

где в данном случае

耳功= n(n- 1) ...(П-Л+ 1)(а + х)" *,

耳£)(0) = п(п-1) ...(n-k+ 1) ап *, и мы получили известную формулу бинома Ньютона

(…)嘖纟泡7。g凸辿(…)嘖纟泡7。g凸辿л=ол=оk\k\п-Л Аа х ,п-Л Аа х ,(5)(5)

(…)嘖纟泡7。g凸辿

(…)嘖纟泡7。g凸辿

л=о

л=о

k\

k\

п-Л Аа х ,

п-Л Аа х ,

(5)

(5)

Рассмотрим теперь любую функцию / (х), которая имеет непрерывные производные всех порядков до (п.+ 1)-го в некоторой окрестности точки х0. Мы можем формально составить многочлен

Q“(x)= 2"0^ (х-х(/，л=о釈Q“(x)= 2"0^ (х-х(/，л=о釈(6)(6)

Q“(x)= 2"0^ (х-х(/，

л=о釈

Q“(x)= 2"0^ (х-х(/，

л=о釈

(6)

(6)

который называетсямногочленом Тейлора n^w степени или п-м многочленом Тейлора функции f по степеням х - х0.

Многочлен Qn (х) совпадает с функцией f (х) в точке х0, но для всех х он не равен f (х) (если / (х) не является многочленом степени п). Кроме того,

QGo) = g, Q〃k)= Г (&)，-.. Q『)(&) = /("(与)•(7)

Положим

/(х) = Qn (х) + гл (х)./(х) = Qn (х) + гл (х).(8)(8)

/(х) = Qn (х) + гл (х).

/(х) = Qn (х) + гл (х).

(8)

(8)

Формула (8) носит н^званиеформулы Тейлора для функции f (%)； гп(%)называется остаточным членом формулы Тейлора. —подробнее, п-м остаточным членом формулы Тейлора функции / по степеням х 一 х0. Функция г〃 (х) показывает» какую погрешность мы допускаем при замене f (х) на многочлен Тейлора (6).

Найдем выражение для 乙(х) через производную fO(x).

В силу ⑺ и ⑻ G (%)=嘲(％)=…=A" (xj = 0. Поло- ЖИМ<р(JC)=(X-*O)"+1. Ясно, ЧТО ф (Хд) =(р' (*о)= ... =(р<п) (х0)=

=0. Применяя теорему Коши к функциям гп (х) и <р (х), будем иметь

q(x) = 7(x)-g(%)=―⑷ —q'(3)-G'(+ =《"(&)= 9(X) - ф(х)-<р(旳)-9Ч^) - <p'(%)-<p'(%)-屮"(*2)一…

..=-®)=上&)-产(飞)=— "+1)

… 冲)(хП)屮叫/)-Ф叫唠4>""也+1)

(工1 w ("о，X)н x*+i € (“о，4), А = 1, 2, ... и).

Ho <pg" (x) = (n + 1)!, d"“)(x) =产+%:) - 0 =尸)(x).

Следовательно,

〃(*)=喑需产"©，(9)

где с = x〃+i — некоторая точка, лежащая между х0 и *・ Таким образом, формулу (8) можно записать в виде

〃х)=玄乌^(X -х0)*+(X 7。)叫(8，)

Формула (8') называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Мы доказали важную теорему.

Теорема 1. Если функция / имеет в окрестности точки х0 непрерывную производную Г*' (х), тпо для любого х из этой окрестности найдется точка с е (х0, х) такая, что f (х) можно записать по формуле (8')・

Здесь с зависит от х и л.

Если точка х0 = О, то формулу (8) называют формулой Маклорена.

Известны и другие формы остаточного члена формулы Тейлора. Так, большое значение имеет форма Коши

〃 а）=」-、）：＞-"武+1）（х0+е（х- &））. （1о）

где 6 (0 <0< 1) зависит от л и х. Вывод этой формулы будет Дпн в §6-5.

Уменьшая окрестность точки х0, получим, что производная ,“")(#) есть непрерывная функция от хна замкнутом отрезке [х0 - б, х0 + б]. Но тогда она ограничена на этом отрезке:

|产+1)(х)| W М“ (х0-5<х<х0 + 5)(11)

(см. §3.5, теорема 1). Здесь Мп — положительное число, не зависящее от указанных х, но, вообще говоря, зависящее от л. Тогда

I产%I1m1了一叫"1

L(x)l W т+i)! Iх - &「+ W "m+寧，|x - ol <& (12)

Неравенство (12) можно использовать в двух целях: для того чтобы исследовать поведение гп (х) при фиксированном п в окрестности точки х0 и для того, чтобы исследовать поведение гп (х) при 几—8.

Из (12), например, следует, что при фиксированном п имеет место свойство

гп(х) = о((х- х0)л), X — %,(13)

показывающее, что если г” (х) разделить на (х - х0)п, то полученное частное будет продолжать стремиться к нулю при % 一 х0.

В силу (13) из (8') следует:

〃х)= i^j^ (х ~хо)* + ° ((^-*b)n)-(14)

Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в смысле Пеано*.

Она приспособлена для изучения функции Г в окрестности ТОЧКИ %о・

Теорема 2 (единственности). Пусть одна 〃 та же функция /изразличных соображений оказалась представленной в окрестности точки х0 в виде

(15)(15)Кх)=о0 + а^х-х^+-+ %(х -飞)"+。(任-#j,/W = ^ + ^ - аъ) +•••+ bjx-%)"+о

(15)

(15)

Тогда

ak = Ьл (Л = 0,1,・・•，n).(16)

Доказательство. Если приравнять правые части (15) и перейти к пределу при х ~* %0, то получим % = 0°. Теперь в этом равенстве можно сократить на (х — х0) (х f xj и опять перейти к пределу при %一 х0- Тогда получим а】=Ь〔 • И так продолжаем до тех пор, пока получим ап = %

Пример 2 . Мы знаем, что

幺 1-Х幺 1-Х(х*1).(х*1).

幺 1-Х

幺 1-Х

(х*1).

(х*1).

Поэтому

vW = T^ =+= Zx*+o(x").(17)

С другой стороны, функция 屮 имеет в окрестности точки х = 0 производные любого порядка, поэтому для нее имеет место формула Тейлора с остатком в форме Пеано

W⑴啥用^)+。(/).(18)

*=°АО

Сопоставляя формулы (17) и (18), на основании теоремы единственности получим

1 = зЛ 也=0, 1,п).(19)

Поведению остаточного члена формулы Тейлора при п — 8 посвящен следующий параграф.

. Ряд Тейлора*

Выражение

а0 + at + ...(1)

или еще

務，(r)

л=ю

где ак — числа9 зависящие от индекса й» называется рядом. Конечные суммы

S〃=京' ("°，1,2,…)

在=0

называются частичными суммами ряда (1) (или (1'))・ Если существует конечный предел

lim Sn =S,(2)

и—©0

то говорят, что ряд (1) сходится к числу S и называют S суммой ряда. При этом пишут

Л

S = X% -ak-^ ах^ а2+ ...

Если предел частичных сумм Sn (при п ~* оо) ряда (1) не существует или равен 8, то ряд (1) называется расхода щимся.

Пусть теперь функция Г имеет производные любого порядка в окрестности точки х0. Для такой функции мож- ио составить ряд следующего вида:

/(хо) +^^ (% -&) + ^^ (% -与)2 + …(3)

или короче

* И. Бернулли получил ряды, которые мы связываем с именем Тейлора, в 1694 г., а Тейлор получил их позднее — в 1715 г. (см. Известия ИМН АН, 1896, VII, № 4, Н. Я. Сонин).

Для каждого отдельного значения 冗 этот ряд может сходиться или расходиться. Множество точек х, для которых ряд (3) сходится, называется областью сходимости этого ряда. Независимо от того, сходится или расходится этот ряд, он на.зываетсярядом Тейлора функции / по степеням х - х0. Если х0 = 0, то соответствующий ряд называют иногда р* дом Маклорена.

Особый интерес представляет тот случай, когда ряд Тейлора функции /по степеням (х - х0) сходится в некоторой окрестности точки х0 и притом к самой функции Г (х). Если это имеет место, то

/ (%) = X*豊■ 一 % J (х £ (%о ~ В, & + 8)),

т. е・ функция f (х) есть сумма ее ряда Тейлора в некоторой окрестности точки х0, иначе говоря, для любого значения х е (х ~ 5, х0 + 8). В этом случае говорят, что функция / (х) разлагается в ряд Тейлора по степеням (х — х0), сходящийся к ней.

Теорема 1. Если функция Г имеет на отрезке[х0 — 5, х0 + 8] производные любого порядка и остаток ее формулы Тейлора стремится к нулю при и —* сю

limqQ)=0 (* 6 氏-6, х0 + 5]) (4) М—8

на этом отрезке, то /разлагается в сходящийся к ней ряд Тейлора на этом отрезке.

Доказательство. Пусть функция /имеет на отрезке [х0 — 5, х0 +5] производные любого порядка. Тогда эти производные непрерывны на [х0 — 5, х0 + 5], потому что» если / имеет производную/ w на [х0 - 5» х0 + 5], то производная непрерывна на [х0 - 5, х0 + 5].

Поэтому для нашей функции имеет смысл формула Тейлора

73=2 (х -x^k + rn(x) V% * £ [& - 5, & + 5]. a=0

7 — Бугров. ТЪм 2

Тогда в силу (4)

Пт £ / F丿(x - X。)论=Um [/ (x) - r„ (x)]= n一8 命=0П—00

= 7(%)- ]im/(%) = /(X), т. е. в этом случае многочлен Тейлора функции / (х) (по степеням х - &) стремится при n — 8 K самой функции:

lim X f Ц (х - х『=丿(х) (х е [х0 - 5, х0 + 5]). (5)

А это означает, что ряд Тейлора функции / (х) сходится на [х0 — 5, х0 + 5] и имеет своей суммой / (х):

丿(х) = 2 - ^ (х - X。)* (х 6 1>о - В，工0 + 81)- 无=0"

Теорема доказана.

Следующая теорема дает простой достаточный критерий сходимости остатка формулы Тейлора к нулю.

Теорема 2. Если функция / имеет на отрезке [х0 -5, х0 + 8] производные любого порядка, ограниченные одним и тем ме числом^^^х^ W М, n = 0,1, 2,..., х0-5 < х < х0 + 5), то остаток ее формулы Тейлора на этом отрезке стремит- ся при п -* оо к нулю:

limq(%)=0・(6)

Доказательство. Воспользовавшись формулой Лагранжа смзтаточного члена, получим

1^)1^1^)1^嘘，嘘，(7)(7)

1^)1^

1^)1^

嘘，

嘘，

(7)

(7)

(с е (&, х), М》I Г"+“(х)| Vn и [х - Хр) < 8).

Так как правая часть (7) стремится к нулю при п-* ©о (см. §2.5, (5)), то имеет место (6).

. Формулы и ряды Тейлора элементарных функции

/ (%) = е*・ Эта функция бесконечно дифференцируема (имеет производные любого порядка) на (-8, оо). При этом

#"х) = г,严(0) = 1(Л = О, I,...), 严+“(с) = е；

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид

/N吉+1⑺，”“)=篇，Сё (0,) ⑴

где х может быть положительным и отрицательным. На отрезке [Y, А], А> О,

匕(醐 & 丽 1" ' f о, " — 8.(2)

Это показывает (см. теорему 1 §4.15), что функция е* разлагается на [幺,А] в сходящийся к ней ряд Тейлора по степеням % (ряд Маклорена):

■•(3)

Но А > 0 — произвольное число, поэтому это равенство имеет место на всей действительной оси (% £ ( -8, 8)). В данном случае |/ (fc)(x) = |е*| W / (k = 0, 1, 2, ...) на отрезке [-4 А], и чтобы получить равенство (3), можно было бы воспользоваться теоремой 2 §4.15.

Вычислим число е с точностью до 0,001- Имеем (см. (1))

е=£^+г.(1)，(4)

где

〃⑴=厶(0<с<1).：5)

Надо подобрать п настолько большим, чтобы

r„(l) = ^j <0,001(0<с<1).

Так как / < 3, то для этого достаточно решить неравенство3/(п + 1)! W 0,001. Оно выполняется при п=б.Следовательно,— 2 + ij+i +靑= 2*18

с точностью до 0,001.

Примечание. Так как 1 < 或 < 3 при 0 < с < 1, то при п> 2^/(п + 1) = 0, где 0 <0 < 1. Поэтому равенство (4)можно записать в следующем виде:

3(х)=鬲戸呼尤+(2v+%) (o<e<i).

Отсюда следует, что

Qv(*)=4/)х-Ч)

И 32v-l / …

sin * = * -去+…+ (-1严犬N4%卜

3. у =cos 尤.Совершенно аналогично можно получить, что

248齢寸曲

COSX=l-^y+^j--.,.= E (-1)万而・

2!4!л=о 冲)】

Эта формула была использована (в §2.6, формула (3)) для доказательства иррациональности числа е.

2. у = sin х. Данная функция имеет производную любого порядка и

I (sin х 严 I =阿(х+闱|w 1V 瓦

Поэтому по теореме 2 §4.15 функция sin х разлагается в сходящийся к ней на (-оо, 8) ряд Тейлора по степеням х:

Пример 1 ・ Найти Пт ^皿苗一买.

Имеем

35

S^x = x-- + -

个^^2 Д (2*+1)!

Надо учесть, что

囂-0

⑺

(sin4n)L.o=sinT={(_i)*

при к=2А, при п=2А+1.

На самом деле в (7) остаток имеет вид

.Но для наших

Формула Тейлора функции sin х по степеням х имеет вид

целей достаточно ,炉).Надо иметь в виду, что если некото-

где

32v-l

sin a = x -言 + …+ (-l)v+ 忘 1)! + r2v(x)>(6)

рая функция от х есть

обще не наоборот!).

х-4)

,то она есть также，%') (но во-х-0

Функция / (х) =1п (1 +х) определена и сколько угодно раз дифференцируема для х > -1. Поэтому для нее формулу Тейлора можно написать для любого и = 1, 2, ... при % > —1. Так как

产 3 =怨乌理，f(n) (0) = (-l)n+1 (n - 1)!,(1+#)

то формула Тейлора имеет вид

In (1 + х) = х ~+ (-1产辺 + rn(x).

Используя формы Лагранжа и Коши остаточного члена, можно показать, что

lim г(х) = 0 при —1 < х W ~1 ・ 几一ОО

В самом деле, используя форму Лагранжа остаточного члена, имеем для 0 < х < 1:

吃出口号？需l上一°(n-8,o<e<i)；

используя форму Коши остаточного члена (см. §4.14, (10)), имеем для -1 < х < 0:

flfl

fl

fl

Поэтому функция In (1 + х) разлагается в указанном промежутке в ряд Тейлора по степеням х:

m(1+ © = £(—1)嚏m(1+ © = £(—1)嚏(-1 < X < 1).(-1 < X < 1).

m(1+ © = £(—1)嚏

m(1+ © = £(—1)嚏

(-1 < X < 1).

(-1 < X < 1).

Функция f (х) = (1 + *)m. Для этой функцииfn\x)- m (m - 1) ... (m ~ и + 1)(1 + х)т п9/л}(0) - m (т — 1) ... (т - и + 1).

Формула Тейлора по степеням х имеет вид

(1+旷=1+e+听I-

m(m-l)…(m一九+1)标x十& W厶m(m-l)…(m一九+1)标x十& W厶n!n!

m(m-l)…(m一九+1)标

x十& W厶

m(m-l)…(m一九+1)标

x十& W厶

n!

n!

Можно доказать, что при любом m

lim г (х) = О Пг 8lim г (х) = О Пг 8(-1 < X < 1).(-1 < X < 1).

lim г (х) = О Пг 8

lim г (х) = О Пг 8

(-1 < X < 1).

(-1 < X < 1).

Поэтому для любого действительного m имеет место разложение функции (1 + х)т в ряд Тейлора по степеням х

(1 + *)m 、 ] + 兑袱吋1)..,_左口)(-1<*<1).(8)

在=1日

Если m натуральное, то функция (1 + x)m есть многочлен. В этом случае гп (х)三 0 для и > т» и ряд справа в (8) представляет собой конечную сумму — многочлен Тейлора (см. §4.14).

При х = ±1 исследование поведения остаточного члена (в форме Коши или Лагранжа) требует больших усилий* Отметим лишь, что при х= 1 ряд Тейлора (8) сходится при m > ~1, а при х = -1 для m > 0.

Приведем частные случаи ряда (8) при m = -1; m = i:

]]% = 1 — # — %? — ••• + (—1)" ХП + …(一1 < X < 1)

—обыкновенная геометрическая прогрессия, расходящаяся при х = ±1;

后一+尹产#一

工八 128工八 128…十（一1）…十（一1）n-i (2н~3)!! n—2山! ▼n-i (2н~3)!! n—2山! ▼+ ”♦+ ”♦(-1 W x W 1):(-1 W x W 1):

工八 128

工八 128

…十（一1）

…十（一1）

n-i (2н~3)!! n

—2山! ▼

n-i (2н~3)!! n

—2山! ▼

+ ”♦

+ ”♦

(-1 W x W 1):

(-1 W x W 1):

здесь ряд справа сходится при х==±1.

上 一9+。（"）X上 一9+。（"）X丄_丄 m五丄_丄 m五Пример 2 . Вычислить предел (тп工几，机工 0,几工 0)十―A' 、хтО %a。X

上 一9+。（"）

X

上 一9+。（"）

X

丄_丄 m五

丄_丄 m五

=Km xtO

Пример 3.

Итx->0Итx->01П(1 +X)— X(l + X)a1П(1 +X)— X(l + X)a22逸逸一（尹可"。。（*）一（尹可"。。（*）2 %2 %х--- + о 仔)一х(1+ax + o(x))=lim—2——^-o x->°X[-^-a + o(l)]=―之―a.х--- + о 仔)一х(1+ax + o(x))=lim—2——^-o x->°X[-^-a + o(l)]=―之―a.=limx—0=limx—0

Ит

x->0

Ит

x->0

1П(1 +X)— X(l + X)a

1П(1 +X)— X(l + X)a

2

2

逸

逸

一（尹可"。。（*）

一（尹可"。。（*）

2 %

2 %

х--- + о 仔)一х(1+ax + o(x))

=lim—2——^-o x->°X

[-^-a + o(l)]=―之―a.

х--- + о 仔)一х(1+ax + o(x))

=lim—2——^-o x->°X

[-^-a + o(l)]=―之―a.

=lim

x—0

=lim

x—0

Локальный экстремум функции

Определение локального экстремума было дано в начале §4.12. Очевидно, ему можно придать и следующую форму.

Функция у=/ (х)достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое 5 > 0, что ее приращение Ау 6 точке с удовлетворяет неравенству

Д^ = /(х) - /(с) < 0 Vx е (с-5, с+5)

(соответственно △" = / (х) — / (с) >0 Vx и (с — 5, с + 3))*

По теореме Ферма (см. §4.12), если функция f достигает в точке х0 локального экстремума и в этой точке производная Г (%)существует, то она равна нулю:

Г (%)=。・

По определению точка х, называется стационарной для функции /, если в ней производная от f существует и равна нулю (Г (%) = 0)・

Если задана на некотором интервале (а, Ь) функция / и надо найти все ее точки локального экстремума, то их, оче-

видно, надо искать среди, во-первых, стационарных точек, т. е. таких, в которых производная Г существует и равна нулю и, во-вторых, среди точек, где /не имеет производной, если таковые на самом деле имеются. Стационарные точки находятся из уравнения

f(^ = ^(1)

которое надо решить. Конечно, не всякая стахщонарная точка функции f есть точка локального экстремума f.

Условие (1) является необходимым для того, чтобы дифференцируемая функция ] имела в точке х локальный экстремум, но недостаточным. Например, х = О есть ста- ционарная точка функции % , но в ней эта функция возрастает.

Очевидно также, что не всякая точка, где f не имеет производной, есть точка локального экстремума /.

Так или иначе, если нам уже известно, что хо есть стационарная точка или точка, где производная от / не существует, нам нужны критерии распознавания, будет ли действительно эта точка точкой локального экстремума, а если будет, то какого — максимума или минимума.

Ниже мы приводим достаточные критерии локального экстремума.

Теорема 1. Пусть х0 —стационарная точка функции/ (т. е. Г (х0) = 0)и /имеет вторую непрерывную производную в окрестности х0. То^да:

если Г (х0) < 0, то х0 есть точка локального максимума f;

если же Г' (х^ > О, то & есть точка локального минимума Д

Доказательство. Разложим / по формуле Тейлора по степеням (х - */ при n = 1. Так как 尸(xj, то формула Тейлора функции / в окрестности точки & имеет вид

I (х) = Г (%) + ^^- Г' (с) (с £ &• %))・(2)

В этой формуле может быть %玄 х0.

Пусть Г (х0) < 0. Так как производная Г，по условию непрерывна в окрестности х0> то найдется 3 > 0 такое, что

Г (х) < 0 Х/х е (х0 - 5, х0 + 5).

Но тогда остаточный член в формуле (2)

^^-r‘(c)WO Vx g (х0 - 5, х0 + 5),

что показывает, что

△у = / (х) - / (х0) W 0 Vx G (х0 - 5, X。+ 5). т. е. f имеет в х0 локальный максимум.

Аналогично, если fr (х0) > 0, то Г，(х) > 0 в некоторой окрестности х0 и 尸(с) > 0. Поэтому остаточный член формулы (2) в окрестности х0 неотрицательный, а вместе с ним и Ау = , (#) — Г (%о)》0, т. е. / имеет в %。локальный минимум.

Пример 1・у = #2+5,у' = 2х, х = 0 — стационарная точка; у" = 2 > 0 для всех х» с ледователбно, и в точке % = 0. Значит, в точке х = 0 — локальный минимум.

Замечание 1. Если г(хо)= о и rg = a(з)

то функция / может иметь и не иметь экстремума в &• Например, функции х и х4 удовлетворяют условиям (3) в точке х0 = 0, но первая из них не имеет экстремума в этой точке, а вторая — имеет, а именно, минимум.

Теорема 2.Пустьf (х0) = Г (х0) = ... = /л> (хо) = Ои /"+D (%о)Н 09и непрерывна в окрестности точкиxQ9 тогда*

если (п + 1) — четное и /л+1) (xj < 0, /по Г имеет в / локальный максимуму

если (п + 1) — четное и /п+1) QJ > 0, то f имеет в х0 локальный минимум;

если (п + 1) — нечетное и /(п+1> (х0)工 0, то f заведомо не имеет в х0 локального экстремума.

Доказательство этой теоремы снова основано на применении формулы Тейлора. Имеем

"X)- f &) = ^^-产+%)(с € @0, х)). (4)

В случае, если (n+ 1) — четное, рассуждаем в точности так же, как в случае формулы (2). Пусть теперь (n+ 1) — нечетное, и пусть, как было предположено, /л+1> (xj 工 О. Вследствие непрерывности /л+1) в окрестности х0 существует интервал (х0 — 5, х0 + 8), на котором，"”)(%) сохраняет знак /"+')(л：。). Если х будет возрастать в окрестности х0 слева направо, то (х - &)" при переходе через х0 переменит знак, а 产"(с) будет сохранять один и тот же знак. Это показывает, что правая часть (4) н, следовательно, Ау = / (х) - / (%) при переходе х через х0 меняет знак и экстремум в х0 невоз* можен.

Теорема 3 . Пусть функция f непрерывна на от- резке[хь-Ъ9 х0 +8] и имеет производную f (х) отдельно на интервалах (х0 - 3, х0) и (/, % + 8). При этом

Г (х)》0 (W0) на (х0~ 5, %) ,(5)

Г (%) W О (>0) на (Хо, х0 + 5) .(6)

Тогда х0 есть точка локального максимума {минимума) функции f.

Здесь не обязательно предполагается, что f (“J существует.

Доказательство. Из непрерывности / на отрезке [х0~5, х0] и свойства (5) следует (см. теорему 5 §4.12), что f не убывает (не возрастает) на этом отрезке и, следовательно,

Г (*о)- f (х) > 0 (W0) для % w [*о - 5, х0].(7)

А из непрерывности / на [х0, х0 + 5] и свойства (6) следует (см. ту же теорему 5 §4.12)

Г (*) - f (#0)W。(》。)для х w [Xq, х0 + 5].(8)

Но тогда из (7) и (8) следует:

f^^f^ (〃©》〃&))V*£[%-b,Xo + b],

и мы доказали теорему 3.

точке х0 рассмотреть функцию /(х) =точке х0 рассмотреть функцию /(х) =Теорема 3 утверждает, что если первая производная функции / при переходе через точку х0 меняет знак, то f имеет в точке х0 минимум (рис. 52), если знак меняется (при возрастании х!) с - на + , и максимум (рис. 53), если он меняется с + на -. При этом не обязательно, чтобы Г (#о) существовала. Но требуется, чтобы / была непрерывна в 1 + х, х<0Л J-x, х>0 丿，

точке х0 рассмотреть функцию /(х) =

точке х0 рассмотреть функцию /(х) =

Рис. 53Рис. 53

Рис. 53

Рис. 53

Пример 2 . Функция у-—^; £=;~^2- Мн ви- 1 + %(1 + х2)

дим, что у' > 0 при х < 0, ^ < 0 при х > 0 и, кроме того, у непрерывна в точке х = 0, поэтому по теореме 3 функция у имеет локальный максимум в точке х = 0. Других локальных экстремумов функция не имеет.

П ример 3 . Функция у = 2 - х2(1 - sin ] ) (х ^ 0), у (0)= =2, непрерывна в точке ^ = 0 и имеет локальный максимум: у (%) W 2 = у (0), Vx. Однако нельзя выделить окрестность точки х = 0 так, чтобы в ней при х < 0 функция возрастала, а при х > 0 убывала.

В самом деле,

К = -2% (1 - sin ]) - cos ](#/ 0),

2-<x2(l-sin—)-2,.

式(0) = Um^——-=-lim x(l - sin—I=0.

工今。XхтО 'Xz

При малых х слагаемое 2х ( 1 - sin ]) как угодно мало, поэтому знак производной £ зависит от cos 丄.При х — О X

cos ~ принимает значения ±1 сколько угодно раз. Значит, во всякой окрестности точки х = 0 функция колеблющаяся.

Теорема 4 . Пусть функция / удовлетворяет условиям Г (%) = 0 и Г' (х0) > 0 (<0). Тогда / в точке х0 имеет локальный минимум (максимум}.

Доказательство. Так как

Г (х0) = Иш Г(*)“婚=lim -^- > о,%-»% Х-Хо а%#-%

Г(х\

то на основании теоремы 2 §3.2 —> 0 в достаточно ма-

лой окрестности точки х0, т. е. f (х) < 0 для х < х0 и f (х) > О Для х > х0. По теореме 3 заключаем, что в точке х0 локальный минимум. Случай f9 (х0) < 0 исследуется аналогично.

Замечание 1 . Теорема 4 содержит в себе теорему 1 как частный случай, потому что в ней не предполагается, что Г' (х) непрерывна в окрестности точки &・ Требуется лишь существование Г' (&).

Экстремальные значения функции на отрезке

Пусть надо найти максимум (минимум) функции /, непрерывной на отрезке [а, Ь]. Тот факт, что / достигает максимума (минимума) на [а, Ь] в некоторой точке х0 g [а, Ь], доказан в теореме 2 §3・5・

Могут быть только три возможности: 1) & = а, 2) х0 = Ь,

3) % е (а, Ь).

Если х0 € (а, 6), то, согласно сказанному в предыдущем §4.17, точка х0 будет точкой локального экстремума, и

206 ГЛАВА 4 ДНКЗЕРЕНЦНАЛЬНОЕ ИСЯИСЛЕННЕ〈УНКЦИН ОДНОН ПЕРЕМЕННОЙ ее следует искать либо среди стационарных точек, либо среди точек, где производная не существует.

Если указанные точки образуют конечное множество /，…，xm, то

max /(х) = max{川a), f(b\ /(^),...»/(xj}

(鴿у(x)=min {/(项 f(b), /⑷》..., УЮ}).

Отметим, что нет необходимости выяснять характер стационарных точек, если мы поставили себе только задачу найти максимум (минимум) функции / на [а, Ь].

Пример 1 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции.

屮(х) = sin х + cos х на [0, л].

Находим производную:^(х) =cos х -sin х. Приравниваем ее нулю:

cos х — sin х = 0.

Это уравнение имеет на отрезке [0, л] единственное решение х=л/4. Так как\|/ (0)= 1,屮(冗/4)=夜，屮(л) = -1, то

max w(x)=应， min у(х) = -1.

х^0,п]х^О.п]

Пример 2 . Пусть электрическая лампа может передвигаться по вертикали ОВ (оси Л). На плоскости, пер- 力Апендикулярной ОВ, возьмем точку А

(на оси х). На какой высоте надо подве- сить лампу, чтобы в точке А была наи- I ллучшая освещенность (рис. 54).

力 >^Решение. Поместим лампу в

Iточку В, и пусть АВ = г, ОВ = Л, ОА = а,

堪~J ZOAB = ф. Известно, что освещен

ность I в точке 厶 определяется по за-

Рис/ 54

кону I = с S,屮,где с — коэффициент пропорциональнос- г

ти. Примем 比 за аргумент функции f. Так как / =无？ + а2.

sin ф =то /(五)=sin ф =то /(五)=1 + а2『1 + а2『

sin ф =то /(五)=

sin ф =то /(五)=

1 + а2『

1 + а2『

По смыслу задачи 0 W 五& 8. Найдем наибольшее значение этой функции. I (О) = 1(00)= О*.

Далее

1'^ = с= 0 прн 比="应.

(九 +a )

Так как I (“应)=2с/3其а? > 0, то наибольшее значение функция I (А) принимает в точке》="&.

Таким образом, лампу надо подвесить на высоте Л = =0］应.

§ 4.19. Выпуклость кривой. Точка перегиба

Говорят» что кривая у = 〃％) обращена в точке х^ вы* пуклостъю кверху (книзу)9 если существует окрестность % такая» что для всех точек этой окрестности касательная к кривой в точке х0 (т. е. в точке, имеющей абсциссу х/ расположена выше (ниже) самой кривой (на рис. 55 в точ-

Рис. 54Рис. 54ке х2 кривая обращена выпуклостью книзу» в точке х2 — кверху). Вместо слов «выпукла кверху (книзу)» употребляются слова ^вогнута книзу (кверху)^.

Рис. 54

Рис. 54

Говорят, что точка х0 есть точка перегиба кривойу=f (х), если при переходе х через х0 точка кривой (имеющая абсциссу х) переходит с

В данном случае 1(8) = lim 7(Л).

Л—>+оо

одной стороны касательной на другую (на рис. 55 точка х3 —— точка перегиба). Иначе говоря, существует достаточно малое б > 0 такое, что для всех хе (& - 5, &) кривая находится с одной стороны касательной в %, а для всех х £ (%, х0 +5)——с другой.

Указанные определения выделяют возможные расположения кривой относительно касательной к ней в достаточно малой окрестности точки касания. Но не нужно думать, что эти определения исчерпывают все возможные случаи такого расположения. Для функции

0,х = 0,

X Sin—2 » 、 X

ось х пересекает и касается графика функции в точке х = 0 и х = 0 не есть точка перегиба.

Теорема 1. Если функция / имеет в точке & вторую непрерывную производную и 尸(％) > 0 (< 0), mo кривая У = / (х) обращена в х0 выпуклостью книзу (кверху).

Доказательство. Разлагаем / в окрестности х = х0 по формуле Тейлора

/ (Х) = / (хо) + Г (%)(Х - хо) + Fj (Х),

^ ^)= ^^Г (Хо+есх-хо)) (0<е<1).

Запишем уравнение касательной к нашей кривой в точке, имеющей абсциссу х0:

? = 〃№)+Г (%)(#-%)•

Тогда превышение кривой / над касательной к ней в точке х0 равно

f (х) - У = rt (х).

Таким образом, остаток ^ (х) равен величине превышения кривой / над касательной к ней в точке х0 . В силу непрерывности Г； если f (х0) > 0, то и ff (х0 +6 (х - х0)) > 0

для х, принадлежащих достаточно малой окрестности точки х0, а потому, очевидно, и г】(х) > 0 для любого отличного от х0 значения х, принадлежащего к указанной окрестности.

Значит, график функции лежит выше касательной и кривая обращена в точке х0 выпуклостью книзу.

Аналогично, если 尸(&) < 0, то 厶(х) < 0 для любого отличного от х0 значения х, принадлежащего к некоторой окрестности точки х0, т。е» график функции лежит ниже касательной и кривая обращена в х0 выпуклостью кверху.

Следствие. Если х0 есть точка перегиба кривой у = У (х) и в ней существует вторая производная /" (х0), то последняя необходимо равна нулю (尸(х0) = 0).

Этим пользуются на практике: при нахождении точек перегиба дважды дифференцируемой кривой y = f (х) ищут их среди корней уравнения /"(#) = 0.

Достаточное условие для существования точки перегиба у кривой дается следующей теоремой.

Теорема 2 . Если функция/ таковачто производная Г" непрерывна ex0, a f1 (与)= 0ufri (хо)^О, то кривая у = Г (%) имеет в х0 точку перегиба.

Доказательство. В этом случае

/ (х) = / (&) + f (Хо)(х - %) + г2 (х),

Г2 (Х) = ^^-/"'(X + °(X - X。»

В силу непрерывности /,w вхои того факта, что/ш (х0) W 工 0, следует, что Г" (% + 0 (х- х0)) сохраняет знак в некоторой окрестности точки х。； он один и тот же справа и слева от точки х0. С другой стороны, множитель (х - х0)3 меняет знак при переходе х через х0, а вместе с ним и величина г2(х) (равная превышению точки кривой над касательной в х0) меняет знак при переходе х через х0. Это доказывает теоре- му-

Сформулируем более общую теорему:

Теорема 3. Пусть функция / обладает следующими свойствами^

а，(％)=・•・ =产)(％) = 0,

产"(х0) непрерывна в окрестности х0 и /л+1)(х0)工 0.

Тогда, если п — нечетное число9 то кривая у = f(x) обращена выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет ли 产*" (х0) < 0 или /л+1) (&) > 0, а если п — четное, то х0 есть точка перегиба кривой.

Доказательство основано на том, что при указанных условиях имеет место разложение по формуле Тейлора

/ (х)=г(%)+(х - %)г(%)+ 什％ 产"&+е(х- х0».

В заключение заметим, что говорят также, что кривая y = f (х) имеет точку перегиба в точке *, где производная Г равна +00 или -8 (см. рис. 40 и 41 §4.2).

По определению кривая y = f (х) называется выпуклой кверху (книзу) на отрезке [а, Ь], если любая дуга этой кривой с концами в точках с абсциссами #】,х2 (a W *】< *2 & 匕) расположена не ниже (не выше) стягивающей ее хорды (рис. 56 и 57).

Замечание. Если / дифференцируема на [а, Ь], то приведенное определение выпуклости на отрезке эквивалентно следующему: кривая у = f (х) называется выпуклой кверху (книзу) на отрезке [а, Ь], если она выпукла кверху (книзу) в каждой точке х интервала (а, Ь).

Рис. 56Рис. 56Рис. 57Рис. 57

Рис. 56

Рис. 56

Рис. 57

Рис. 57

Теорема 4. Пусть функция / непрерывна на [а,用 и имеет вторую производную на (а, Ь)・

Для того чтобы кривая у = f (%) была выпуклой кверху (книзу) на [а, Ь], необходимо “ достаточно, чтобы выполнялось неравенство f" (х) W О (Г'(工)》。) для всех х £ (а, Ь).

Эту теорему мы не будем доказывать.

Пример 1. Функция у =sin х имеет непрерывную первую производную и вторую производную (sin #)"=-sin 尤 W。на [0,71/2]. Поэтому хорда ОА, стягивающая дугу кривой у =sin х на [0, тс/2], ниже синусоиды (рис. 58). Так как уравнение хорды у = (2/тс) х, то мы получили неравенство

-X < sin X (0 W х W л/2), Л

часто употребляемое в математическом анализе.

Пример 2.^ = / + Зх2 = х2(х + 3); К = 3, + 6х, К = 0 при х = 0, х = -2, у" = 6% + 6, у"(0) = 6 > 0, у"(-2) = -6 < 0, у" = 0 при х = -1, у'" = 6 W 0. Так как у"' (*) = 6 + 0, то в точке х = -1 — перегиб. Далее у" (*) > 0 при х>-1, y"@) < 0 при х < -1. Значит, график функции (рис. 59) выпуклый кверху на ( —8, -1) и выпуклый книзу на (-1, 8)； х = 0 — точка минимума, # = -2 — точка максимума.

§ 4.20. Асимптота графика функции

Говорят, что прямая х = а является вертикальной асим птотой графика непрерывной функции у = / (х), если хотя бы один из пределов

ИЛИИЛИ

ИЛИ

ИЛИ

lim f(x) хта

х>а

lim f(x)

хта

х<а

равен 8.

Если функция ? = /(#) задана для х > М (х < Af), то говорят, что прямая Y—kx^b является наклонной асимптотой непрерывной кривой y-f (х) при х — +оо (х — -8), если /(х) = ^х + Ь + а (х), где lim а(х) = О, т. е. |f (х) -kx- хт+со ' (х<-оо)

—Ь| — бесконечно малая функция при х 一 8 (х -♦ —8 )).

Пример 1，у = 1/х(рис. 60); х== 0 — вертикальная

асимптота, так как

lim 丄= *»>кт0 Xх>0lim 丄= *»>кт0 Xх>0hm 丄=-оо.х-^0 Xх<0hm 丄=-оо.х-^0 Xх<0

lim 丄= *»>

кт0 X

х>0

lim 丄= *»>

кт0 X

х>0

hm 丄=-оо.

х-^0 X

х<0

hm 丄=-оо.

х-^0 X

х<0

ПримерПример2 . у=х +2 . у=х +sin#хsin#х(%Н 0). Так как lim 乱虫工=0,*-»8 X(%Н 0). Так как lim 乱虫工=0,*-»8 Xто прямая У=х (рис. 61) есть наклонная асимптота щ)и х~* +8 (и при х 一 一8).Пример З.у = Vx (х > 0). Ясно, что 4х —尼尤 一 b не стремится к нулю при х 一 +8 ни при каких fe и Ь, значит.то прямая У=х (рис. 61) есть наклонная асимптота щ)и х~* +8 (и при х 一 一8).Пример З.у = Vx (х > 0). Ясно, что 4х —尼尤 一 b не стремится к нулю при х 一 +8 ни при каких fe и Ь, значит.Рис. 61Рис. 61Рис. 60Рис. 60

Пример

Пример

2 . у=х +

2 . у=х +

sin#х

sin#х

(%Н 0). Так как lim 乱虫工=0,

*-»8 X

(%Н 0). Так как lim 乱虫工=0,

*-»8 X

то прямая У=х (рис. 61) есть наклонная асимптота щ)и х~* +8 (и при х 一 一8).

Пример З.у = Vx (х > 0). Ясно, что 4х —尼尤 一 b не стремится к нулю при х 一 +8 ни при каких fe и Ь, значит.

то прямая У=х (рис. 61) есть наклонная асимптота щ)и х~* +8 (и при х 一 一8).

Пример З.у = Vx (х > 0). Ясно, что 4х —尼尤 一 b не стремится к нулю при х 一 +8 ни при каких fe и Ь, значит.

Рис. 61

Рис. 61

Рис. 60

Рис. 60

Теорема. Для того чтобы график функции y-f (г) имел прих — +8 (х 一 一8) наклонную асимптоту^ необходимо и достаточно» чтобы существовали конечные пределы

lim ^^ =瓦Km [f(x) - fex] = b,(1)

x~>+oo xxt+<『

а тогда прямая Y = kx^b есть асимптота.

Доказательство. 1) Пусть функция 丿(х) имеет наклонную асимптоту при х — +8, У = fex + 6. Тогда f (х) = fex + Ь + а (х), где а (х) — 0, х — +оо. Отсюда lim加^= Um!ft+攵+购强， Xf+а> X真T+«L * X J

lim [/(x)-fex]= lim[b+a(x)] = b.

*f+ЮОx—>4-00

Пусть указанные в теореме пределы при х f +8 существуют, тогда из второго равенства, по определению предела, имеем

f (х) - fex - Ь = а (х), где a (х) — 0 при х -* +8, т. е. f (х) = fex + & +а (#)・ Значит, прямая Y = kx + b — наклонная асимптота при х 一 +8. Такое же рассуждение и при х — -8.

Если 在=0, то асимптота называется горизонтальной.

Замечание. Существование двух конечных пределов (1) существенно, ибо для функции у = Jx (х》0), Ит ^^ = 0 =左,но Um Г7х~0 х1 = 8, т. е. b = 8, и эта **» хxt+J」

функция асимптот не имеет.

Можно дать также следующее эквивалентное определение наклонной асимптоты.

Если расстояние р (х) от точки А (х9 f (х)) непрерывной кривой у = f (х) до прямой у - kx + b стремится к нулю при х 一 +8 (х — -оо), то данная прямая называется наклон- ной асимптотой этой кривой при х —* +8 (х — -оо).

В самом деле, из аналитической геометрии известно, что расстояние от точки (х, f (х)) до прямой у— kx + b выражается формулой

р (%) = |/ (х) -kx- b/Jl+彦,

откуда из того, что |/ (х) - ^х - Ь| -* О, следует, что р (х) — 0, и наоборот.

перболы

2

X

2 а

Разрешая д】 иметь

Отсюда

Нг кт- Далее» 血2一吁卜

=土女 а "

2

%=1(図)0，a > Ь > 0).

анное уравнение относительно у, будем

Q

= 土立 lim ^^ = ±2.

♦-оох а “т+оо ха

12

lim J%? _ @2 _ #|=± J Нт 丁Q『=0・

囂t+°°L」° — Vx -а +x

Таким образом, на основании доказанной теоремы прямые /Tх

являются асимптотами нашей * гиперболы, причем знак + относится к правой верхней полови- ^^не гиперболы, а знак - относит-

х*ся к правой нижней половине

гиперболы.

Пример 4 . Выяснить, имеются ли асимптоты у ги-

В силу симметрии ясно, что эти прямые являются асимптотами и при х — -8. В этом случае знак + отвечает части гиперболы, находящейся в третьей четверти, а знак — относится к части гиперболы, находящейся во второй четверти (рис. 62).

4.21. Непрерывная и гладкая кривая

Уравнения

^=Ф(0>”屮("^=Ф(0>”屮("(а V £ < Ь),(а V £ < Ь),(1)(1)

^=Ф(0>”屮("

^=Ф(0>”屮("

(а V £ < Ь),

(а V £ < Ь),

(1)

(1)

Re <р н 屮 一 непрерьгвные функции на (а, Ь), определяют непрерывную кривую» заданную при помощи параметра £, т. а геометрическое место точек (ф (£),屮(£)), упорядоченных при помощи параметра , е (а, Ь). При возрастании £ точка (ф (£),屮(f)) движется по плоскости. Не исключено» что разным £ а】и %) — соответствует одна и та же точка плоскости: (ф (，i),屮(力 1)) = (ф (七2)，V (，2))・

Непрерывная кривая (1) называется гладкой на (а, Ь) (на [а, &]), если функции <р (力)и 屮(О имеют непрерывную производную на (а, Ь) (на [а, Ь]) и выполняется неравенство

(/ (£)2 + У «К〉О Х/£ £ (а, 6) (Vi £ [а, Ь]).(2)

Обозначим кривую (1) через Г. Пусть %£ (а, Ь). В силу условия (2) одно из чисел <рг (%),屮，(%) отлично от нуля. Пусть для определенностифг (士。)工 0. Но тогда в силу непрерывности (рг (£) существует интервал & — В, % + В), на котором фг (£) сохраняет знак(pr (Eq). Следовательно, ф (£) строго монотонна на [% - 8, f0 + 8] и, кроме того, как мы знаем, непрерывно дифференцируема. В таком случае функция х = ф (f) имеет обратную

(3)(3)t =屮"(*) = g (х)(* € (с, d)).

(3)

(3)

строго монотонную и непрерывно дифференцируемую на некотором интервале (с, d) — окрестности точки х0 ^<р (力J.

势Подставляя выражение для £

^^ +""'**-^ во второе уравнение (1), получим, ，0\что кусоку нашей кривой Г, соответ-

^^~у^ ствуюищй интервалу (% - 8, t0 + 5),

^4»^^^^ описывается непрерывно диф-

' I ”ференцируемой функцией (см. §4.4,

Рис. 63теорема 1)

y = _F(x)=V[(pT(x)] (х 6 (с, d)),(4)

и потому в любой точке у существует касательная, не параллельная оси у. Очевидно, точки у взаимно однозначно проектируются на ось х.

Если теперь U (%) Г 0, то, рассуждая аналогично, получим, что кусок Yi кривой Г, соответствующий достаточно малому интервалу (% — 8, t0 + 8), описывается непрерывно дифференцируемой функцией

х = Ф(у) = <р 即т(у)]е W (q, dj).(5)

Отсюда следует, что и в этом случае в любой точке Yi существует касательная, но теперь она не параллельна оси х. Таким образом, в любой точке гладкой кривой Г существует касательная, которая может быть параллельной одной из осей координат.

Пример. Уравнения

х = особЦ

*gin/(-8々<8)

определяют в параметрической форме кривую — эллипс с полуосями а и & (рис. 63).

Это гладкая кривая, потому что функции * = a cos / и у = b sin £ имеют непрерывные производные, одновременно не равные нулю：

(乂⑴У + (У (/У = (a sin С? + (b cos tf》

》户(sin2^ + cos2 /) = b2 > 0(0 v b W a).

Точки А, В, C, D (см. рис. 63) делят эллипс на четыре

гладких куска, каждый из них проектируется взаимно однозначно либо на ось х, либо на ось у-

4.22. Схема построения графика функции

Если нужно в общих чертах представить себе график функции y=f (х), могут помочь следующие указания.

・ Найти область О значений х, где функция / определена.

. Найти точки %】,х2,.-., где f (х) = 0 или производная не существует, в частности равна 8. Вычислить значения f в этих точках: / (/), / (出)，…，если они существуют, и определить, не являются ли они точками максимума, минимума. Если / не определена в какой-либо из точек хА, то важно знать пределы / (хА — 0), f (马 + 0), важно также определить пределы

/(-°°) = lim /(х), /(+оо) = lim Дх),Х->-аоX—>+оо

если они имеют смысл.

. Область Q разделяется точками хк на интервалы (а, Ь), на каждом из которых f (х)工 0. Среди них могут быть бесконечные интервалы (вида (-8, с) или (d, оо)).

Будем считать, что производная f (х) непрерывна на каждом таком интервале (а, Ь). Тогда Г (х) на (а, Ь) сохраняет знак. Важно выяснить этот знак, тогда будет известно, будет ли / возрастать или убывать на (а, Ь)・

4・ Важно отметить на каждом интервале (а, Ь) точки

Xkt 1* Xk, 2,… 伊=“ 1，2,...), где /н (х) = 0, и определить соответствующие значения функции

'(勺.1)> f (xfe, 2)» "*" •

В этих точках могут быть точки перегиба кривой у = • / (%)• Эти точки в свою очередь делят (а, Ь) на интервалы.

на которых вторая производная, если она существует, сохраняет знак.

Выяснение знака Г (х) дает возможность узнать направление выпуклости кривой (вверх или вниз).

Если возможно, надо решить уравнение f (х) = 0 и выяснить интервалы» на которых /сохраняет знак (f (х) > О или /(х) < 0).

Выяснить вопрос о существовании асимптот, т. е. найти пределы

lim ^^ = 4,lim[f(%)-4%]=b •

х-»±оо XХ-*±00

если они существуют.

На основе этих сведений желательно составить таблицу, примерно следующего вида:

X

(-8, -2)

-2

(-2, -1)

-1

(-1. 0)

0

(0, оо)

> 0

0

< 0

—

v 0

0

> 0

У

возрастает, асимптота у= х- 1

-4

убывает

вертикальная асимптота

убывает

0

возрастает, асимптота у= х - 1

У

V 0

< 0

< 0

一

> 0

> 0

> 0

У

выпукла кверху

max

выпукла кверху

一

выпукла книзу

min

выпукла книзу

Эта таблица составлена для функции у = / (%)=】：#•

На основании данных этой таблицы график функции у = f (х) имеет вид, как на рис. 64.

Пример. Построить кривую, заданную параметрически:

(一8 < f < ОО). (1)

Решение. Построим сначала график функции х=力е*・ Зга функция задана на всей оси, неограниченная, непрерывная и дифферен， цируемая на (-оо, оо)；х>0при# >0; х<0 при i<0;x = 0 при £ = 0. Далее *' = (1 + ±) е*. Уравнение *' (£) = О имеет единственный корень ± = -1 ・

При этом, очевидно, л/ > 0 при 力 > -1; ”' < 0 при ± < -1. Таким образом, функция % (±) возрастает при 力 > —1 и убывает при 力 < —1. В точке Z = —I функция х (力)имеет локальный минимум, х (-1) = ~е ^ На самом деле это, очевидно, минимум на (—8, ОО).

Исследуем функцию на вьшуклость: #" = (2 + 力)е; х" > О при 力 > -2;冥"< 0 при 力 < 一2;尢"(一2) = 0. Значит, на (-сю, -2) график выпуклый кверху, а на (-2, 8) выпуклый книзу, t = 一2 — точка перегиба.

Далее,

Шп 差=0, limke*~ol=O.

т. e. x = 0 — горизонтальная асимптота.На основании этого график функции имеет вид как на рис. 65. Область значений функции X = [-е", 8].т. e. x = 0 — горизонтальная асимптота.На основании этого график функции имеет вид как на рис. 65. Область значений функции X = [-е", 8].t->-oo 力t->-ool J

т. e. x = 0 — горизонтальная асимптота.

На основании этого график функции имеет вид как на рис. 65. Область значений функции X = [-е", 8].

т. e. x = 0 — горизонтальная асимптота.

На основании этого график функции имеет вид как на рис. 65. Область значений функции X = [-е", 8].

Совершенно аналогично можно построить график функции у =方е" (рис. 66)・ Область значений этой функции

V = (-оо, е'1)- На (一8, 1) функция у = £е~ строго возрастает от —8 до у = ех в точке t = 1 достигает максимума (локального и на (-8, 8)). На интервале (t, оо) она строго убывает к нулю при 力—+оо и имеет, таким образом, асимптоту у = О при t — +8. Отмечена еще точка t = 2, в которой кривая имеет перегиб. На (-8, 2) кривая обращена выпуклостью кверху и на (2, 8)— книзу.

Теперь мы переходим к более трудной задаче — начертить схематический график кривой (1). Обозначим ее через Г. Функции» определяющие Г, непрерывно дифференцируемы сколько угодно раз. Мы используем только тот факт, что эти функции дважды непрерывно дифференцируемы. Отметим, что Г гладкая кривая, потому что производные (по t) от функций x = {p(t) = teHy = ^(t) = *丿 одновременно не равны нулю.

Обозначим через * и Г2 ветви Г, на которых соответственно % V 0 н %： > 0. Таким образом (см. рис. 65 и 66),

Г\ соответствует изменению t w ( -8, —1),

Г2 соответствует изменению Г G (-1, 8).

Рис 67

На Гх функция х=(р (±) строго убывает от<р (-8)= О до ф (-1) = -е~\ и ее можно обратить, а функция у = W (±) строго возрастает от 屮(-8)= —8 до 屮(一1) = -с. Отсюда следует, что ветвь Г\ описывается явной функцией

j, = W[<pT@)] (х е (-е \ 0)).

Онаизо^аженанарис. 67 — ниже точки А. Котда t возрастает от-8 до-1, абсциссах точки Г, убывает от 0 до-е"1, а ордината у возрастает от -8 до у. Так как " (-1) = 0 н у' (-1) / 0, то касательная в точке А параллельна оси у. К тому же Г расположена правее касательной — ведь из рис. 65 видно, что все точки Г имеют абсциссу х》-с"・

В любой точке t кривой Г, отличной от А, т.е. при t / -1 производная М (t) ^ 0 и

(2)(2),呢 1-± -2/4'=^1>=.丄一 e"相 1 + ±

(2)

(2)

ОтсюдаОтсюда⑶⑷⑶⑷

Отсюда

Отсюда

⑶

⑷

⑶

⑷

Нас сейчас интересует значение 力=-72, которому соответствует точка В = (-Т^е-^,-应/) е Г\ •

Из (3) видно, что если £ < -л^ (т. е. на части 1\ ниже точки В), то%" <0иГ1 обращена выпуклостью кверху. Если же -V^ V £ & -1 (т. е. на дуге АВ), то 展'> 0 и 1\ обращена выпуклостьдо книзу. Таким образом, В есть точка перегиба Гр

Переходим теперь к 心(-1 <t< 8). Как видно из рис. 65 и 66, на интервале -1 < t < 1 функции * = <р (±) н у =屮(£) строго возрастают, но тогда и функция от х

У = W [<рТ (*)] (уТ<х<е)

строго возрастает. К тому же ее график на этом интервале обращен выпуклостью кверху (см. (3)). Это изображено дугой ЛС и Г2. Что же касается точки С, то в ней %'= О (%'(е) = ^^ = -~^у=о} н так как в ней к тому же график обращен выпуклостью кверху, то С есть точка локального максимума функции у (х). При х > е (т. е. t > 1) х (0 возрастает, а у (0 убывает к нулю. Это показывает, что у (%) — О убывая. При этом х (夜)=бе应一точка перегиба графика у (х). Слева от этой точки график обращен выпуклостью кверху, а справа — книзу (см. (3)).

§ 4.23. Вектор-функция. Векторы касательной и нормали

В плоскости зададим прямоугольную систему координат (х, у)・ Уравнения

%=#（。； 片У0%=#（。； 片У0(a<t< b),(a<t< b),⑴⑴

%=#（。； 片У0

%=#（。； 片У0

(a<t< b),

(a<t< b),

⑴

⑴

где х (力)и у (t) — непрерывные функции на интервале (а, Ь) определяют непрерывную кривуюГ — геометрическое множество точек (х (£), у (£)) плоскости, где £ £ (а, Ь). Говорят еще, что кривая Г задана при помощи параметра 九 Ее уравнение можно задать в векторной форме

(Г)(Г)r(t)^x(t)i^y (力)j(a<t< b),

(Г)

(Г)

где i, ] — единичные орты соответственно осей %, у, а г = =r (t) — радиус-вектор точки Г, соответствующей значению t параметра (рис. 68).

Вектор г (£) называют вектор-функцией (определен

ной для £ £ (а, Ь))・

Говорят в связи с этим, что кривая Г есть годограф вектор-функции г (t) — геометрическое место концов векторов г (£), выходящих из нулевой точки О・

Рис. 68Рис. 69Рис. 68Рис. 69

Рис. 68Рис. 69

Рис. 68Рис. 69

Кривая Г называется гладкой на (а, д), если функции 冥 G) н У СО имеют непрерывные производные на (а, Ь), одновременно не равные нулю.

Если 力 придать приращение △力，то вектор г получит приращение (рис. 69)

&r = r(t+^t)-r(t) = [x(t+At)-x(t)ii + [y(t + At)-y (t)]j = =А" + △/,

откуда, деля на скаляр △£, получим

生=5+包/

At 位 At

Для гладкой кривой

Иш—=л/,Ит”=£.

АЮ А/&т。△土

Вектор xri + £j называют производной от г (в точке 力)и записывают так:

Г = х7 + y'j.

Можно производную г определить также как такой вектор, для которого

|■~>^^j_*0,А力一 0.

В самом деле.

I賓т『=信-J+偿-"т & - °-

Пишут

Г = lim 生 аTо △力

и говорят, что вектор г есть предел вектора Дг/At при At — 0. Из рис. 69 видно, что вектор г направлен по касательной к Г в точке £ в сторону возрастания 九

Вектор г называют вектором касательной к Г. Длина его равна

I计=J炉十一.

Единичный вектор касательной есть

Т= т^=cosai+sina/(jr|>0).

соза=Ж7* ^^J^w'(2)

где a — угол междуТ и положительным направлением осн х.

Единичный вектор нормали к Г» т. е. единичный вектор перпендикулярный к Т, определяется равенством

У (%，%)

⑶(3')⑶(3')Vj -Tsina, v2 =±cosa или

⑶

(3')

⑶

(3')

- *7 . Е -二土7 z；-

Vх +УVх +У

Определитель

cosasin a+sina ±cosacosasin a+sina ±cosa= ±1・= ±1・

cosasin a

+sina ±cosa

cosasin a

+sina ±cosa

= ±1・

= ±1・

Рис. 71Рис. 71

Рис. 71

Рис. 71

Верхние знаки соответствуют случаю» когда пара векторов (Т, V)ориентирована так же, как оси (t, j) (рис. 70), а нижние — когда пара (Т, v) ориентирована противоположным образом (рис. 71).

Рис. 70

Бторая производная от вектор-функции г (f) (см. (1')) определяется как предел

г (0 =「怨 г & t2^ 二逸一 -Xм (t)i + y“ (切。

На рис. 72 изображена кривая Г; точкаА соответствует значению t, а точка В ——значению t + △». К этим точкам приложены касательные векторы г (0 и г (t + △£)・ Второй вектор мы перенесли так, чтобы он был приложен к точке А.

Рис. 72Рис. 72На рисунке обозначена разность △》=》(£ +Д0 -г (力)и вектор Дг/Д^ имеющий то же направление, что и Дг. Наконец, отмечен предельный вектор г = г (t). Вектор г направлен 6 сторону вогнутости Г. Точно эти слова надо понимать следующим образом: вектор г образует острый угол с вектором v

Рис. 72

Рис. 72

нормали к Г, направленной 6 сторону вогнутости Г.

Пример. В векторной форме уравнение (см. § 4.21) эллипса имеет вид

г-ia cos £ + jb sin 力(-оо < 力 < 8).Соответственно вектор касательной

г = -ia sin t +/b cos f.

а вектор нормали

rt = Tib cos t T ja sin t.

В данном случаен» вообще говоря, не единичный вектор.

Вектор-функцию г = г (t) в окрестности точки % можно разложить по формуле Тейлора (или разложить в векторный ряд Тейлора). Пусть

r(£) = #«)t + y«)j.

где х (t) и у (О имеют необходимое число производных в окрестности точки %. Тогда, разлагая эти функции по формуле Тейлора, получаем

8 — Бугров. Том 2

х ⑴=х(%)+ 斗^ « - %)+... + 亡學 a - %)" + % &),

⑷

y(t) = y(t()+^ (t-to)+…+ ^^ «-%)" +E(t), (5)

где Rn (t), Rn (t) — остаточные члены в какой-либо форме (Лагранжа, Коши и т. д.). Умножая(4)на£. а(5)на/и складывая, получим формулу Тейлора для вектор-функции г (t):

г (t) = Г (%) + ^^(t - *0) + ... + ^^ (f То)" + 〃 (t),

где остаток

%g)=%0"瓦(分1.

Отметим, что если остатки 马(t) и Rn (£) записываются в форме Лагранжа или Коши, то входящие в них производные (л + 1)-го порядка функций х (t)ny (t) вычисляются» вообще говоря, в разных точках.

+>% U。

Глава 5

Неопределенные интегралы

Неопределенный интеграл. Таблица интегралов

В предыдущей главе мы ввели понятие производной и научились находить производную от элементарных функций. Здесь мы будем решать обратную задачу, а именно: известна производная f (х) от функции f (к), требуется найти саму функцию f (х).

С точки зрения механической это означает, что по известной скорости движения материальной точки необходимо восстановить закон ее движения.

Определение. Функция F (х) называется первообразной функцией для функции /(х) на интервале《а, Ь)9 если F (х) дифференцируема на (а, Ь) и，'(*) = / (х).

Аналогично можно определить понятие первообразной и на отрезке [а, Ь], но в точках а иЬ надо рассматривать односторонние производные.

Пример l.F(x)= 4 есть первообразная для функ- ции / (х) = на (0, 8% так как (^)'=^^・

Пример 2•尸⑴=sin2* есть первообразная для функции / (х) = 2 cos 2х на (-8, 8), так как (sin 2х)'= 匸 2 cos 2х.

в*

Теорема 1. Если F (х) — первообразная для функции/ (х)на fa, b), moF (х) + С— также первообразная, где С — любое постоянное число.

Доказательство.Имеем(尸(х) + С)* = F* (х) = f (х).

Теорема 2. Если Fx (х) * Г2 (х) — две первообразные для / (х) на fa, Ь), то Гг (х) 一 F2 (х) = С на /а. Ь)9 где С — некоторая постоянная.

Доказательство. По условию 尸］(#)=尸？(冥)=/ (#)・ Составим функцию Ф (х) = /\ (х)-尸之(#)• Очевидно, что ①'(*) =尸］(*)一尸2(£)= "勾一"算)=0 Vx w (a, b).

Отсюда по известной теореме (см. теорему 6 § 4.12) заключаем, что Ф (х)三 С, т・ е. Fj (х) - Г2 (х) = С, что и требовалось доказать.

Таким образом, из теорем 19 2 вытекает, что если F (х) — первообразная для f (х) на (а, 6), то любая другая первообразная Ф (х) для / (х) на (а, Ъ) имеет вид

Ф(*) = Р(#) + С,(1)

где С — некоторая постоянная (рис. 73).

Определение. Произвольная первообразная для f (х) на (а9Ь) называется неопределенным интегралом от функции f (х) и обозначается символом

J / (х) dx.(2)

Знак J называется интегралом, f (x) dx — подынтегральным выражением, f (х) — подынтегральной функцией.

Если 尸(х) — одна из первообразных для f (х), то согласно сказанному

Jf(x)dx = F(x) + C,⑶

• где С — соответствующим образом подобранная постоянная.

Операцию нахождения неопределенного интеграла будем называть интегрированием функции / (х). Она противоположна операции дифференцирования — нахождения производной.

什 加《гОтметим, что если F (х) есть пер-

I вообразная для функции f (х), то л® \Jподынтегральное выражение f (х) dx -

II= F1 (х) dx = dF (х) является диффе-

* ренциалом первообразной F (х).

* Позже мы докажем (см. § 6.3), Рмс・ 73что если f (х) непрерывна на (а, Ь). то

для нее существует первообразная на fа, 6J, а следовательно, и неопределенный интеграл.

Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из его определения.

1°. d J / (х) dx = f (х) dx. В самом деле, jf(x)dx = F (х) +

+ С, отсюда

dj f (х) dx = d(F (x) + С) = dF (#) = Fr (x) d# = f (%) dx.

2°. J dF (x) = F (%) + C, t. e. J н& также взаимно сокращаются, но к 尸(х) нужно добавить некоторую постоянную С. Имеем J dF (х) = J F' (#) dx = (по определенйю)= F(x) + С

3°. jAf(x) dx - A J f (х) dx + С, где А — постоянное число, С — некоторая постоянная.

4°. J [f (х) + g (х)] dx = J f (х) dx + J ^ (x) dx + С, где C —некоторая постоянная.

В самом деле.

(J 曲 dx+J^(x)dx)r=(j rtx)dx)f+(J g(#)d#)'=

=(по определению)二：7 (%) + g (x).

С другой стороны,

(J[f(x)+ g(x^dx^ = (по определению) = f (x) + g(x).

Таким образом, функция ^fdx + jgdxvi функция J [f + + 团 d# являются первообразными для одной и той же функции ，十 g. Но тогда они отличаются на некоторую постоянную С, что и написано в равенстве 4°.

5°. Если F (х) есть первообразная для f (х), то

J f (ах + b) = —F (ах + Ь) + С.

В самом деле,

[丄尸(а#+Ь)] = 1 • аР' (ах + Ь) = f (ах +》)•

Запишем таблицу интегралов, вытекающую из основных формул дифференциального исчисления.

J 0 • dx = С.

[ ха dx =芷士 +С Va W -1.

Jа + 1

J J dx = J ^^ = In ]х] + С, на интервале, не содержащем % = 0.

[ a" dx =――十 C (0 < a, a f 1), [ e" dx = e" + C. J InaJ

J sin x dx = —cos x + C, J cos x dx = sin x + C.

{ 鹭 =tg x + C,[ 吃-=-ctg х + Сна интервале, 'cos x ,」sin x

где подынтегральная функция непрерывна.

7.7.1台。｛1台。｛arcsinx + C,arcsinx + C,karccosx + Ckarccosx + C(-1 < х < 1).(-1 < х < 1).&J倭&J倭「arctgx+C, -arcctgx+C.「arctgx+C, -arcctgx+C.

7.

7.

1台。｛

1台。｛

arcsinx + C,

arcsinx + C,

karccosx + C

karccosx + C

(-1 < х < 1).

(-1 < х < 1).

&J倭

&J倭

「arctgx+C, -arcctgx+C.

「arctgx+C, -arcctgx+C.

J sh х dx = ch х + С, J ch x dx = sh x + C.

C, J = -cth x + C (x f 0).C, J = -cth x + C (x f 0).J-^- =th# +

C, J = -cth x + C (x f 0).

C, J = -cth x + C (x f 0).

J j寧―=In |x + Jf+l I + C = Arsh x + C, j j亭…=In |x + J—GI + C = Arch, x + C (|x| > 1).

J者『狙禺 J + С (|x| H 1).

Слева в каждом равенстве стоит произвольная (но определенная) первообразная функция для соответствующей подынтегральной функции, справа же ——одна определенная первообразная, к которой еще прибавляется константа С такая, чтобы выполнялось равенство между этими функциями.

Докажем формулу 3. Так как при * Н 0 |*|' = sign х и х sign х = |х|, то

(In |г| + С)' = = (1х|У ==丄 (х* 0),

и формула 3 доказана.

Докажем еще формулу 11:

и формула 11 доказана.

С другой стороны, f /"■ = Arsh х + С, поэтому по теореме 2 Arsh х = In |х + Vx^+l | + С. Но так как Arsh 0 = 0, то In |х + vx2+11 = Arsh х (см. § 4.6, 口・ 9).

Применяя свойство 5°, можно написать более сложную таблицу интегралов. Например:

J sin (ах + b) d# =-丄 cos (ах + b) + С.

Отметим, что если операция дифференцирования элементарных функций снова приводит к элементарным функциям, то операция интегрирования уже может привести к неэлементарным функциям» т. е. функциям, которые не выражаются через конечное число арифметических операций и суперпозиций элементарных функций-

Например, доказано, что следующие интегралы не интегрируются в элементарных функциях:

dx — интеграл Пуассона,dx — интеграл Пуассона,

dx — интеграл Пуассона,

dx — интеграл Пуассона,

J COS XJ COS Xdxj J sin х2 dx — интегралы Френеля,

J COS X

J COS X

[-^интегральный логарифм, J 1пх

/3^dr 一 интегральный косинус, J X

jsinxdx_jsinxdx_интегральный синус.интегральный синус.

jsinxdx_

jsinxdx_

интегральный синус.

интегральный синус.

Указанные интегралы хотя и существуют, но не являются элементарными функциями. Имеются другие способы для их вычисления. Например, интегральный синус можно представить в виде бесконечного степенного ряда (см. § 4.16)

\^^dx = C^x-J X\^^dx = C^x-J X35工+冬斗 3-3! 5-5!35工+冬斗 3-3! 5-5!

\^^dx = C^x-

J X

\^^dx = C^x-

J X

35

工+冬斗 3-3! 5-5!

35

工+冬斗 3-3! 5-5!

Методы интегрирования

Основную роль в интегральном исчислении играет формула замены переменных (или подстановки)

Jf(*) dx 二 Jf (ф (t)) 0 (t) d£ + C = "(9(力)d(p(力)+ C. (1)

В этой формуле предполагается» что х = <р (t) есть непрерывно дифференцируемая (имеющая непрерывную производную) функция на некотором интервале изменения f, a f (х) — непрерывная функция на соответствующем интервале или отрезке оси х. Первое равенство (1) утверждает, что левая его часть тождественно равна правой, если в ней (после интегрирования!) сделать подстановку х = ф (t) и подобрать соответствующую константу С. Докажем это ут-

верждение. Слева в (1) стоит функция, которая является первообразной от/ (х). Ее производная по t равна

^ J/ (х) dx =馬"(#)〃)當=f (§ (£)) 9’《)・

Следовательно, если ввести в этой функции подстановку х = ф (方)，то получится первообразная от функции 7 (ф (0) ф' (£)• Интеграл же справа есть, по определению, некоторая первообразная от / (ср (力))§'(力).Но две первообразные для одной и той же функции отличаются на некоторую постоянную С. Это и записано в виде первого равенства (1). Что касается второго, то оно носит формальный характер — мы просто уславливаемся писать

(2)(2)JF (力)ф' (£) df = Jr (±) &ф (£)・

(2)

(2)

\/xdx^^\/\/xdx^^\/Например,

\/xdx^^\/

\/xdx^^\/

2х dx + С = ^ Je* dr2 + С =

=JP 血十 G = # 十 С2 =之/十 с2 (м = /)• (3)

Первое равенство написано в силу 3° § 5.1, второе в силу (2), третье — в силу (1) (постоянная изменилась) и четвертое —в силу формулы из таблицы (постоянная изменилась). Однако в практике вычислений в членах, содержа^ щих неопределенный интеграл, константы С не пишут» и тогда цепочка (3) упрощается:

Je* х dx = — Jc" 2* d* = 2 j/ dx2 = ^ e' + C, к тому же мы опустили очевидные 3-е и 4-е равенства.

Вот еще пример: / =Вот еще пример: / =2-х dx, а > 0. Такого2-х dx, а > 0. Такого

Вот еще пример: / =

Вот еще пример: / =

2

-х dx, а > 0. Такого

2

-х dx, а > 0. Такого

интеграла нет в таблице. Если положить х = a sin £, то “'一J = aJl-sin% = а cos t и dx = a cos t dE・ Следова*

тельно.

Е = J a cos Г а cos t dt = с^ ^ cos2 t dt = а]"^^2cd 二

=冬+右in2£ + C・

Ho t = arcsin—, поэтомуа

冬 arcsin— +

2 а

Е cos 1 + С = — arcsin— +

2 а

+4aiF¥+с=t^j+評R+а

Итак

I >/?Z7 d* 曬^7 + 号 arcsi^ + С.

Приведем еще примеры, которые все равно нам понадобятся в теории интегрирования рациональных дробей:

&:=(或х-а)二

(x-a)m」任-а)1" (х—а)та-1(1-т)

1

+ С (m 声 1);(4)

= Г^^ = 1п|х-а| + С;

J х-а

(5)

自用篝爲h

а^=к(±-士辰=

=蚩(1nz - 3 - 1n I* +。) + С =蚩 In]言j| + c；

dx _ f dx =

x +px+^ J(h+(p/2))2

=』(*+(p/2))=1+ c

"」(*+(p/2))2x+S/2)

("4=。)；

d*工 f dx x+px+q J (x+(p/2))2 + (g-(p2/4))

=J=Jd(x+S/2))(x + (p/2)f + a2d(x+S/2))(x + (p/2)f + a2丸丸x+(p/2)ax+(p/2)aj(x+(p/2)J -j(x+(p/2)J -

=J

=J

d(x+S/2))(x + (p/2)f + a2

d(x+S/2))(x + (p/2)f + a2

丸

丸

x+(p/2)a

x+(p/2)a

j(x+(p/2)J -

j(x+(p/2)J -

(6)(6)=\arctg*+q/2)+ C ( Q - ^- = a2, a > 0);

(6)

(6)

(q-f…В。)；(q-f…В。)；Г Th 二 f d(x+(p/2) J/ + px+q」(x + (p/2『+a2

(q-f…В。)；

(q-f…В。)；

1 ,」x+S/2)_a

2a \x+(p/2)+a

=In |x2 + px + q| + C;=In |x2 + px + q| + C;r(2x+p)dx _ fdS+m+g) J，+p# + g J ，+px+q

=In |x2 + px + q| + C;

=In |x2 + px + q| + C;

J _^匹dx =對学里殴dx=對空业J

J x +px + QJ лг + px+gx+px + q

+氮甥麴小多］n¥ + px + q1+叫鼻^, (7)

(4/0,刀=专(鬟一「))(далее см. (6)).

Для теории интегрирования рациональных дробей важно, что вычисление интегралов типа (4) — (7), где а, А В, р, q — константы, приводит к элементарным функциям (рациональным, In и arctg).

Перейдем к формуле интегрирования по частям:

J uiX dx - uv- J и/ dx + С(8)

или, что все равно,

и dv =： uv - j и du + С.

Так как в (8) справа есть неопределенный интеграл, то постоянную С обычно опускают.

В данной формуле предполагается, что и (х) и v (х) —непрерывно дифференцируемые функхщи. Справедливость формулы (8) вытекает из того факта» что производные от левой и правой частей равны:

upr = (ud)' — и〃'・

Формула (8) сводит вычисление интеграла Ju dp к вычислению интеграла J и du. Вычисление по формуле (8) носит название метода интегрирования по частям.

Пример 1. Вычислить Jx In х dx. Положим

必)=Inx, du =.,必)=Inx, du =.,

必)=Inx, du =.,

必)=Inx, du =.,

Тогда

Гх Inх dx = In* -［唾哼=^ Inx -+ C.

Пример 2. Вычислить интегралы J = J еох sin bx dx, Ix = j 片* cos bx dx, где a, b — постоянные числа. В данном случае подынтегральное выражение можно представить в виде произведения и (х) и dv (х) двояким образом: и =萨, dv = sin bx dx или и = sin bx, dv-^ dx.

Итак, пусть

и = e°\ du = aeaxdx9sin bx dx - dv v =-竺.

Тогда по правилу интегрирования по частям имеем

I = -*皿 cos b# + 省 J 产 cos bx dx = -ieox cos bx + 岩厶・(9)

по частям, полагая u = е", dv = cos bx dx. Тогдапо частям, полагая u = е", dv = cos bx dx. ТогдаК интегралу Jt снова применим метод интегрирования

по частям, полагая u = е", dv = cos bx dx. Тогда

по частям, полагая u = е", dv = cos bx dx. Тогда

А= ^еах sin Ьх- ^1(10)

Из (9) и (10) получаем систему для определения I и /г I - ^1 - 一卜“* cos bx,

^1 + 1г = ^еах sin bx.

Решая эту систему, получим

г _ asinbx-bcosbx ^х . г г 一 bsinbx-acosbx 「

Пример 3. Вычислить интеграл I = Jarcsinх dx. Полагая u = arcsin х, du = dx, получим

I = х arcsin х=х arcsin х + 4二Р + С.

Пример 4. Приведем еще пример, который будет нужен для теории интегрирования рациональных дробей. Пусть Л > 1 — натуральное и а > 0; тогда

f dx= "2 г dx . 1 产 Zd# =

J(W广J(f+對2J《+储广

2xdx

("2+才

~ &十述2[(i_險+/广1-川(公+。叶广 откуда

a2f d# 二xf 2fe-3 Г dx打諦厂飽一唳十/户2但-1)%2十/广.

Теперь (если fe > 2) к интегралу в правой части можно применить тот же процесс, приводящий к понижению на единицу показателя степени в знаменателе подынтегральной

дроби. В конце концов придем к интегралу от (/ + а2^ (приводящему к arctg).

Таким образом, при q — (р2/4) = а2 > 0 и натуральном к интеграл

[—^(П)

jQp%+dJ优+寸 I2丿

берется б элементарных функциях.

Пример 5. Вычислить интегралы

J Р「(%> cosbx

sinbx

где Рп (х) = апхп + ... + ахх + Q。——алгебраический многочлен степени 九.

Данные интегралы вычисляются n-кратным применением метода интегрирования по частям, последовательно полагая “ = Рп(х), затем и = _₽：(%)—・・・ Получающиеся интегралы будут упрощаться, так как производная от алгебраического многочленаРп (х) будет алгебраическим многочленом степени, на единицу меньшей*

Так как характер первообразной для рассматриваемых здесь функций легко угадывается, то эти интегралы можно вычислять так называемым методом неопределенных коэффициентов.

Например, для JРп(х)ех dx первообразная имеет вид Q” (х)/* + С, где Q” (х) = Ьпх" + ... + 8产 + Ьо и Ьо, ..., Ь„ — пока неизвестные коэффициенты. Эти коэффициенты мы находим из условия, что

(Q„ (х)ех + СУ = Рп (х)еЬх или Q； (х) + bQn (х) = Р“ (х).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, мы и найдем все числа 坛,・・・,么・ Этот способ назы- взеетсяметодом неопределенных коэффициентов. Здесь мы воспользовались тем фактом, что два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при соответствующих степенях % (см. § 4.14, теорема 2).

Проиллюстрируем сказанное на конкретном примере:

J (х2 + 1) е* dx = (ах2 + Ьх + с) ех + С.

В данном случае

Р2 (х) = х2 + 1, Q? (*)= а* + Ь% + с, где коэффициенты а, Ь, с надо найти. Имеем (Q2 (*)俄)'=[ах2 + (2а + Ь) % + 匕 + с] е“ = (#2 + 1) е*, откуда ах2 + (2а + Ь) х + & + с = х2 +1. Так как это равенство должно быть верно для всех х, то коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой его части равны между собой (§ 4.14, (15))： а = 1, 2а + Ь = 0, д + с = 1. Таким образом,

J (/ + 1) ех dx = (х2 - 2х + 3) е* + С.

Комплексные числа

Комплексными числами называются выражения

z = а + 尻=а + 访， где а, b — действительные числа, а г ——специальный символ; при этом для комплексных чисел z1 = a1 + 2瓦，^2 = а2 + + i&2 введены понятия равенства и арифметические операции по следующим правилам:

2] = z2 тогда и только тогда, когда % = a21Kbi = Ь2; а + 0/ = а» О + bi = Ы» 1 ♦ i = L

% 士& = (% ± а2) + i (6, ± Ь2).

/ • & =(Oja2 - б】％) + i (bxa2 + a/,.

4)五=竺+普+ 2樂+3? (殖+昼0).

女若+可 域+用H "

Из 1) и 3) следует, что

I = -1.

Таким образом введенные операции сложения и умножения обладают свойствами коммутативности ⑸ + 22 H =& ¥ 之1，2]& = 22^!), ассоциативности ((2] + 纟2)+ 2з = 2]十 + (& + 23)，(2]22)23 = 21 (2223))> дистрибутивности ((/ + &)/= ~ 2/3 + &23)・

Можно еще сказать, что с комплексными числами можно оперировать в точности так же, как мы привыкли оперировать с буквенными выражениями в алгебре, но при этом операции упрощаются тем, что『=—1.

Из свойства а + Oi = а следует, что множество комплексных чисел содержит в себе как часть множество всех действительных чисел. При этом легко видеть, что применение арифметических действий 2), 3), 4) к выражениям г1 = ах + 02, 2? =。2 + 0» приводит соответственно к а】± а2 +

+ 0" 0]± a2,a№ +0"a102，，十仇=—(。2 4 °)，

Число z = a —ib называется сопряженным к комплек

сному числу z = а + ibo Действительное число |z| = Va2+&2

называется модулем комплексного числа 2. Очевидно, что 2 • 2 = \z\ 9 |2] •匐=l^jl •电卜 I21 + 2?l & l“ll + l&l"

Рис. 74Рис. 74(1)(1)Если комплексное число 2 = а + 访 трактовать как точку (вектор) М (а, Ъ) плоскости хОу, то |z| равен расстоянию точки М (а, Ъ) от начала координат (рис. 74).

Рис. 74

Рис. 74

(1)

(1)

Если на плоскости ввести полярные координаты (р, ср), то

(И) > 0).(И) > 0).а = р cos (р = |М cos <р, b = р sin <р = |М sin ф

(И) > 0).

(И) > 0).

В силу этого комплексное число z можно записать в форме

z = ф (cos ф + i sin ф),(2)

где р — модуль числа z9 <р — угол (в радианах), который составляет вектор ОМ с положительным направлением оси

х. Этот угол называют еще (аргументом комплексного числа х л обозначают символом ф = arg z (О W <р v 2тт).

Очевидно, ф = arg 2 есть однозначная функция от z 衣 0. Вводят еще и многозначную функцию (аргумент z с большой буквы)

<р = Arg z = arg z + 2阮3 = 0, ±1, ±2,…％

которая дает все значения <р, для которых для данного 2ro удовлетворяются два равенства (1).

Число 2 = 0 единственное» для которого не имеет смысла его аргумент» но зато его можно определить как число, модуль которого равен нулю (]z| = 0).

arg 2 (с малой буквы) называют еще аргументом в приведенной форме. Иногда бывает удобно считать аргументом в приведенной форме угол, принадлежащий к другому полуинтервалу [а, а + 2л) длины 2л, например [—тг,冗).

Числа а и Ь называют действительной и мнимой частями z и обозначают символами а = Re 2, b = Im z. Таким образом,

z = Re 2 + Z Im 2・

Если 2 =欠 + iy, то множество точек z плоскости хОу» удовлетворяющих равенству IM = R (厶2+ 孑=R), есть окружность радиуса R с центром в начале координат.

По определению

е叫=cos 9 + i sin ф (-8 < <p < 8).(3)

Очевидно, что 声 есть комплексная функция* (принимающая комплексные значения) от действительного аргумента ф» Ясно, что 評一периодическая функция периода 2h:e触+2切=声.

Так как |е哗| = Jco—tp+sin2K = 1, то при непрерывном изменении <р на полуинтервале 0 & <р < 2汽，точка е呻 непре-

См. нашу книгу «Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного», § 6.1.

рывно описывает окружность радиуса 1 с центром в точке 2 = 0.

Справедливы равенства

В самом деле,

/ту = COS (ф, + фд)в+ j sin (% + §2)= (COS (PjCOS 牝一

一 sin (pjSin(p2) + i (sin cpjcos(p2 + sin(p2cos 而卩=(cos <px +

+ i sin cpj) (cos(p2 + i sin — J = ——,

一 I.

庐—cos(p+isin(p — 00s <p — I sin 屮=

=cos (-ф) + i sin (-ф)=。一冊・

Для произвольной комплексной переменной z = % + iy функция е определяется при помощи равенства

е2 = е*е*\ z。0・

Отсюда в силу (3)

/ = с" (cos V + t sin у).(5)

На основании (2), (3) всякое комплексное число z можно представить в форме

z = ре" (р > 0),(6)

где неотрицательное число р = |z| для данного z единственно, а при р > 0 угол

<р = Arg 2 = arg 2 + 2Е

определен с точностью до 2左冗(左=0, ±1, ±2,...).

Выражения (2) и (6) называются соответственно три* тонометрической и показательной формами комплексного числа 2・

Приведем примеры комплексных чисел, записанных в показательной форме (считая ф = arg 2):

1+丁凤抄脸)=应評4，

•i = U + l・i = e ,1 = е,—1=е.

Из равенств (3), (4) легко получаем формулу Муавра (cos ф + i sin(p)n = с'"45 = cos n(p + i sin nep. (7)

Справедливо также равенство

2仔2 = \Z^ l^le^1^,

т. e. при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются независимо от того» в какой форме они взяты — в приведенной или нет.

Операция построения сопряженного комплексного числа обладает следующими простыми свойствами:

马与=2j ± *2'马•& =砲2,仔卜豈(Z2 H °)-(8)

В самом деле,

(%+厚)±@+ 1 =(%土 %) +曲土ь2)i =

=(% ± %)- i (瓦 土 b2)= 31 - &10 土(。2 - M =

=^^土^^ ；

далее, так как

ре" = p(cos(p+isin<p) = p (cos <p — i sin <p) = ре~Гф, то

耘=Р*рР 勉=pg券f)= PiP#-'* 砌==p選用十/^=寿•彳碗=司.司，

Подобное доказательство имеет место и в случае частного.

Рассмотрим задачу о вычислении корна n-й степени из числа а = ре (р > 0). Требуется, таким образом, найти все чцела & = rd^ такие, что &и = а. Но тогда kd" = ре" (г, р > 0) и, вследствие единственности представления комплексного числа в показательной форме, р = И1, п(р = 0 + 2帥с,左=0, ±1, ±2,...・ Из первого равенства следует г =牛6 (г — арифме-

тическое значение корня п-й степени из положительного числа р). Из второго же, что <р = +^^ 3 = 0, ±1，•••)•

Так как функция d屮 периодическая с периодом 2冗, то значения <р, дающие существенно различные корни n-й степени из а, соответствуют только п значениям k:

恥=先輕 3 = °» 1，…，九-1).(9)

Остальным целым 左 соответствуют значения <р, отличающиеся от одного из значений (9) на величину, кратную 2л.

Мы доказали, что у комплексного числа а * 0 существует п (и только п 丿 корней степени п, записываемых по формуле

柘=%不=盯村依=0. 1, .... П - 1),

где <р& определяются равенствами (9).

Примеры:

1°.而=颠二濟第信=0, 1, 2).

2°.姫=•侬=關噂少(k = 0, 1, 2)..

3°.近荷J打旧=嗨£曦*増)他=0, 1,…，5).

4°. Q="二丿2既)'=±j(k = 0, 1).

§ 5.4. Теория многочлена 〃■血 степени

Многочленом n-й степени называется функция вида

On (z) = % +。］2 + …+ %2" = z冬2，(1)

fe=0

где аА — постоянные коэффициенты действительные или комплексные, а г — переменная, вообще говоря, комплексная» которая может принимать любые комплексные зна-

чения (z =х + Zy) или, выражаясь геометрическим языком, 2 может быть любой точкой комплексной плоскости.

Каждой точке 2 комплексной плоскости при помощи формулы (1) приводится число Q, (z), вообще говоря, комплексное. В дальнейшем будем считать, что ап 工 0. Если Q「(а) = 0, то число а называется корнем или нуле龙 многочлена Qn (z).

Рассуждая в точности так же, как в начале § 4.14, где рассматривался многочлен от действительного переменного, можно показать» что, каково бы ни было комплексное число %, многочлен Qn (z) разлагается по степеням z - z0 и притом единственным образом, т. е. представляется в виде

Q"⑵=(2 -小，

где bk — постоянные числа, вообще говоря, комплексные. Очевидно, Qn (z0) = &0. Отсюда следует, что для того, чтобы точка % была корнем многочлена Qn, необходимо и достаточно, чтобы нулевой коэффициент 坛 разложения Qn по степеням 2 — 2。был равен нулю (&0 = 0). Но если 瓦=0, то Q„ можно представить в виде

Q" Q) =(2 - 2。)Qi (z) Vz, (2)

где Qn“ есть некоторый многочлен степени л - 1. Наоборот, если Qn можно представить в виде (2), иначе говоря, если Q〃(2)можно разделить на 2 — % без остатка, то, очевидно, % есть корень Q〃.

Мы доказали теорему Безу:

Для того чтобы многочлен Q〃 (z) имел (комплексный) корень 20, необходимо и достаточно, чтобы 0H делился на 2 — 2°, т. е. чтобы его можно было представить в виде произведения (2),?3с Q^ — некоторый многочлен степени л - 1.

Пусть z0 есть корень Qn, и, таким образом, имеет место представление (2). Если при этом Qn_x (z0)力 0, то на основании теоремы Безу, примененной к Q*i，многочлен Q〃一1 (z) не делится на z - 20> a Qn (2) хотя и делится на z -

-2°, но не делится на (z - z。)?. В этом случае говорят, что % есть простой корень (нуль) многочлена Q^. Пусть теперь Q〃-i(2。) = 0, тогда по теореме Безу» примененной к Q^ (2), многочлен Qr—i (z) делится на 2 - 20, и мы получим равен- ство Q〃(2)= (2 - 2°)2 Qn_2 (2), где Qn_2 (г) есть некоторый многочлен степени п - 2. Если Qn_2 (z0)。0, то Q^ (z) делится на (z — z0)2, но не делится на (z - z。)？, и тогда число 2。 называется корнем (нулем) кратности 2. В общем случае для некоторого натурального s < п имеет место

QJz) =(2 - nJ Q*n), Qn_8 (z0) H 0,

где Qn-S (z) — многочлен степени n — s, и тогда говорят, что % есть корень (нуль 丿 многочлена Q〃 кратности s.

Справедлива теорема существования комплексного корня у многочлена.

Основная теорема. Всякий многочлен п-й степени имеет ио крайней мере один комплексный корень (нуль). Мы не даем здесь доказательства этой теоремы.

Из нее вытекает важное следствие.

Сл едстви е. Многочлен пй степени Qn со старшим не равным нулю коэффициентом (ап。0) имеет п комп- лексных корней с учетом кратности» иначе говоря Qn(z) представляется в виде произведения

Q„(2)=%(”2户"助…g一戒，⑶

P1+P2+…+PL 小

где 4* ・・・,马一различные корни Qn кратностей» соответ- ственно рх,…,科.

Доказательство. Согласно основной теореме многочлен Qn имеет по крайней мере один корень. Обозначим его через /, а его кратность — через р】.Таким образом,

&⑵=(z-z/Qf ⑷(Qf(2)* О).

Если 以 一 Pi = 0, т・ е. Pi =九,то необходимо Q-円⑵ =а〃，и теорема доказана. В этом случае Q^ (z) =。口 (z - z^.

Если же Pi < п, то Qn_p^z} есть многочлен степени п-рр не делящийся на z - 2], и его старший коэффициент не равен нулю. К нему можно применить основную теорему, в силу которой он имеет комплексный корень. Обозначим его через ?2, а его кратность — через р2. В результате получим

Q〃 (z) = (z -马产("崂飞”Е⑵―¥0，j=l,2).

Если 九一Р[ -「2 = 0, то Qn—pi—p^z)=。紋 Если нет, то процесс можно продолжить. Однако этот процесс после конечного числа (не большего п) этапов закончится» и мы получим формулу (3). Если в правую часть (3) подставить вместо z число, отличное от 2П ...» zz, то она не обратится в нуль. Это показывает, что других корней, кроме найденных, многочлен Qn не имеет и представление (3) единственно.

§ 5・5・ Действительный многочлен л-й степени

Многочлен

Qn(^ = £«Z (ап 工 0)(1)

辰。

называется действительным, если его коэффициенты аА —действительные числа. Это название объясняется тем, что действительный многочлен» если его рассматривать только для действительной переменной 2=戈，принимает действительные значения. Конечно, для комплексных 2 действительный многочлен принимает, вообще говоря, комплексные значения.

Лемм а.Для действительного многочлена Qn (г)име~ ет место равенство

Q〃 丘)=ад Vz・

Доказательство. Наши рассуждения будут базироваться на равенствах (8) § 5.3 и том факте, что для действительных % имеет место аА = ak. Имеем

Q"②=直a7 =直aN =直彳=£%丿=萌，⑵ *句 *田 М 辰0

что и требовалось.

Теорема 1. Если 2° = а + 20 (Р # 0) есть комплексный корень Рй кратности действительно?。многочлена Qn, /по 20 = а - iP есть тоже корень Q〃 “ той же кратности, и тогда

Q”(z) = [Q — а)2 + 陶 V Qn2v ⑵， (3)

zde Qn^ (z) — действительный многочлен степени п - 2vf не равный кулю при z ^= zQu z = zQ.

Доказательство. Пусть z0 = а + ф (Р ^ 0) есть корень Qn・ Тогда 为=а - i0 — тоже корень Q〃, потому что в силу (2) Qn(20) = Q(2o)=0 = 0. Числа z0 и 2。не равны друг другу и Qn (z) делится на

(Z - а -审)(Z - а + ф) =(2 - а)2 + р2, (4) т. е. на действительный многочлен второй степени. Таким образом,

Q“(z) = [(z- а)2 + 02]Q“ 2(z),

me Q_2(z) — многочлен степени п- 2, очевидно, действительный. Ведь частное от деления действительных многочленов есть действительный многочлен.

Если zQ — корень Qn кратности v и V > 1, то z0 — корень Qn_2 кратности v - 1, поэтому» повторяя наши рассуждения в отношении Q〃_2 (z), можно из него выделить множитель (4). Второй же множитель будет действительный многочлен Q…степени п - 4. Повторив этот процесс v раз, получим представление Q. Q) в виде (3), где Q^.2V Q) — действительный многочлен степени 九一2v, обладающий свойством 0„_^ (%) W 0・ Но тогда и Q%2V(纟。)工 0・Ведь если

бы 2。был корнем действительного многочлена Qn_2v, то неминуемо % тоже был бы корнем этого многочлена.

Задача. Доказать, что многочлен Q5 (z)=丿-3z2+ 2z имеет не менее трех действительных корней.

Те о р е м а 2. Действительный многочлен Qn (2) со старшим коэффициентом ал ^ 0 может быть представ- лен в виде произведения

Q. ⑶=ап[2-е^... (2-е^ - %? + 陶”…

…[(z - а/ + 爲广=a“fl(z-力 fn(z - a.)2 + 命匕(5)

где Р; > 0,出 + ... + J1r + 2(% + ... + ve) = n, j, ..., cr — действительные корни Qn кратностей соответственно |ip ・•・,н戸 а ах ± В/, ..., ав 土 0/ — попарно сопряжен- ные комплексные корни Qn кратное те 口 соответственно V],・・・，vs.

Замечание. Действительные многочлены второй степени, входяище в произведение (5), можно преобразовать так:

(z - а)? + р； = / - 2a产 + (а； + 胃)=/ + р产 + qp

Pj = -2a" 马=优+匿

Поэтому формулу (5) можно записать еще в следующем виде:

Qn (2) = a"fl(z- cj力(才 + p产 + q^,(5')

/=1/=1

где z2 + p.z + q. — действительные многочлены второй степени, имеющие комплексные корни а, ± 功 Q > О, Р； - 4% = -4р： < 0).

Доказательство. На основании формулы (3) § 5.4

Q“⑵=№-c^'Qm(z),

冃

где Qm (z) — действительный многочлен степени т = п 一 -卩1 - ... - |1г. Если 7nH 0, то, очевидно, Q^ (z) = а”； в общем

случае применяем последовательно теорему 1 к комплексным корням Qm・

Отметим» что основная теорема доказывает только существование корня (вообще комплексного) у многочлена п-й степени, не давая эффективных методов нахождения его б общем случае. Впрочем, доказательство этой теоре« мы проводится методами математического анализа, а не алгебры. Мы не доказываем здесь эту теорему. Она связана органически с теорией функций комплексного переменного.

Существуют формулы решения общих уравнений второй, третьей и четвертой степеней. Для уравнений степени п> 4 таких формул нет. Абель доказал, что они не могут существовать. Это надо понимать в том смысле, что при п > 4 корни уравнения а^ + •・・ + ахх + а0 = 0 (an Н 0) не выражаются через коэффициенты ak посредством функций от этих коэффициентов, представляющих собой результат конечного числа операций только следующего вида: сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня.

Интегрирование рациональных выражений

Отношение двух алгебраических многочленов

pm(*)=ь0 +瓦* +…+勾" 9Qn(x) = & + a 卢 + ... + a 产",

bmf an ^ 09 m ^ 09 n ^ 1, называется рациональной функцией и еще рациональной дробью.

Будем считать, что рациональная дробь /действительная, т. е. Рт и ©л ——действительные многочлены. Кроме того, будем считать, что х — действительная переменная.

Рациональные функции вида

ЛЛААх-а (х-а)х-а (х-а)-翁當-翁當T^^vi),(算 +px^q)T^^vi),(算 +px^q)(2)(2)

Л

Л

А

А

х-а (х-а)

х-а (х-а)

-翁當

-翁當

T^^vi),

(算 +px^q)

T^^vi),

(算 +px^q)

(2)

(2)

где А, В, а, р, q — действительные числа, k — натуральное число, а трехчлен х2 + рх + g не имеет действительных корней, будем называть простейшими дробями.

В § 5.2 мы показали, как вычисляются интегралы от простейших дробей (см. (4), (5), (6), (7), (11) § 5.2)・

Пусть надо найти неопределенный интеграл от рациональной функции f (х) (см. (1))・ Если т ^ п9 то простым делением выделяем из f целую часть:

Г (х) = многочлен +Г (х) = многочлен +(加 1 < п).(加 1 < п).

Г (х) = многочлен +

Г (х) = многочлен +

(加 1 < п).

(加 1 < п).

Интегрирование многочлена не Представляет труда и трудность свелась к интегрированию рациональной дроби, у которой степень числителя меныпе степени знаменате* ля.

Будем поэтому считать, что наша рациональная дробь f (х) правильная, т. е. степень ее числителя меньше степени знаменателя (т < п).

Теорема 2. Пусть знаменатель правильной действительной рациональной дроби разложен по формуле (5‘) §5.5:

Qn(%) = %(2-q户…(2-qг(d+Р/+必)"…(公+% + %)、

Тогда дробь (1) можно представить и притом единственным образом в виде следующей суммы простейших дробей:

;5а(^. - А・1 I А.24 冏］

・••・••QnQ) (*-q 户(#-q严％-q

・••

・••

+ — 4--T + ... t 一-十

任_Qг-Q,

耳.1%+0 1 + 4,2% 十G.2 + + ,1.产+4宀卜'+「［#+%)" (^2+p1x+gl)V，1x2+p1x+g1

B.x+C . ?x+C ? В x+C v

(x + p 产+qJ (x2 +PSX+ 必广 1 f + P产 + 必 ⑶ где А, В, С (с соответствующими индексами} — постоянные числа.

Эта теорема утверждает» что для любой лравильной рациональной действительной дроби существуют постоянные числа А В, С с указанными индексами так, что имеет место тождество (3) для всехх, исключая значения х = с1,...» ...» с户 для которых обе части (3) не определены. Эту теорему можно аккуратно доказать, но мы здесь ее доказывать не будем.

Поясним формулировку теоремы 1 на примере. Согласно теореме 1 имеет место равенство

2xW + x+2 二 4 + & + Мк+N ⑷ (X-1)2(X2 +X4-1) л-1 (х-l/ Х2 + Х + 1 '

где Ар 厶2, ■，N — вполне определенные постоянные числа. Чтобы найти их, приводим (4) к общему знаменателю и приравниваем числители левой и правой частей:

2*з + х2 + х + 2 ~ Аг(х — 1) (х2 + х + 1) +

+ 人2(/ + * + 1)+ (四巣+ N)(* 一 I)2. (5) Раскрывая скобки в правой части (5), группируем члены с одинаковыми степенями х и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х обеих частей (см. § 4.14, теорема 2);

⑹⑹2=А + М,1 =A2 + N-2M,1 ^A^-hM-2N92 =【А】+ Аз十N.

⑹

⑹

Мы получили четыре линейных уравнения с четырьмя неизвестными Ах, А^ М, М Эта система по теореме 1 имеет решение и притом единственное. Решая систему (6), получим & = 1,也=2, N = М = 1, и потому

⑺⑺2/+*2+*+2 =[ 2[ %+1

⑺

⑺

(#-1)|*2 + Х + 1) %-1 (#-1)2 Х2 + Х + 1

В общем случае, если мы нашли коэффициенты А, В. С в (3), для интегрирования дроби Pm/Qn у нас все готово： неопределенный интеграл от левой части (3) равен сумме неопределенных интегралов от всех членов правой плюс Некоторая постоянная С. Выше уже было отмечено, что хштехралн от любого из членов (3) мы умеем вычислять.

В случае примера (7)

f一2/土1+&+2 d Г dx of dx , f q+l

J (>%2+Al产-J %-l +2J —1)2 + J 4»产-

=In |x - 1| - ^y+lnV^ +i+l+;^rarctg 2^lTC・

Замечание 1. Равенство (5) верно для любого х^1. Но оно тотоа верно и при х= 1, потому что слева и справа в (5) стоят непрерывные фушщии от х. Подставив в (5) х = 1, получим 6 = ЗА2> т. е.厶=2 м, положив х = О, получим 2 = -Л1 + 也 + М т・ & N = 4[・ Эти данные (А2 = 2, ^ = Ах) сильно упрощают систему (6). На практике подобными соображениями не надо пренебрегать.

Замечание 2. Принципиально всякая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях. Практически полное интехфиравание (1) можно довести до конца в случае, если известны все корни ©п и их кратности.

Но мы уже говорили в § 5.5, что это не всегда удается узнать. В связи с этим всякого рода упрощения интеграла от рациональной дроби (1) являются очень ценными.

С этой точки зрения заслуживает большого внимания метод Остроградского» обычно излагаемый в более полных учебниках.

Интегрирование иррациональных функций

Рассмотрим случаи, когда заменой переменной можно свести интегрирование нерациональных функций к интегри~ рованию рациональных функций (т. е・，как говорят, рационализировать интеграл).

Пусть R (х, у) — рациональная функция своих аргументов # и у, т・ е. над % и у совершаются только арифметические операции, чтобы получить 冗 fx, у). Например,

.2

R (х, у) = -~江瑞рациональная функция, а

сх+х у

f (х, у) = Jx+y +f (х, у) = Jx+y +I. ВычислитьI. Вычислитьпостоянные числа, тпостоянные числа, тх — не является рациональной.J巾毎加, где a, bt с, d ——натуральное число, ad —》с 力 О»х — не является рациональной.J巾毎加, где a, bt с, d ——натуральное число, ad —》с 力 О»

f (х, у) = Jx+y +

f (х, у) = Jx+y +

I. Вычислить

I. Вычислить

постоянные числа, т

постоянные числа, т

х — не является рациональной.

J巾毎加, где a, bt с, d —

—натуральное число, ad —》с 力 О»

х — не является рациональной.

J巾毎加, где a, bt с, d —

—натуральное число, ad —》с 力 О»

R (х, у) — рациональная функция.

Функцию вида 冗卜.£♦/) называют дробно-линейной иррациональностью.

Покажем, что замена f =,偈言，рационализирует

интеграл. В самом деле, tm =纟珏、,откуда х =-”式丄 cx+dct -a

рациональная функхщя от t. Далее,

_/nи*1玉 儿］

{ctm^

Поэтому

伊к糜］-

小小b—d 尸 Л^?丿b—d 尸 Л^?丿常审d73.常审d73.

小

小

b—d 尸 Л

^?丿

b—d 尸 Л

^?丿

常审d73.

常审d73.

где Rx (t) — рациональная функция по t, интегрировать которую мы умеем.

t, получим X =存 т；t, получим X =存 т；Пример 1. Вычислить JС*/ 磨^d%・ Здесь

t, получим X =存 т；

t, получим X =存 т；

R (*, У)= —^—$■ • Полатня (”Т)

"=濟，…*1)"=濟，…*1)9孑一丁 Таким образом.9孑一丁 Таким образом.Пример 2.Пример 2.

"=濟，…

*1)

"=濟，…

*1)

9

孑一丁 Таким образом.

9

孑一丁 Таким образом.

Пример 2.

Пример 2.

=6 J (产一 力 + 1)也一In |1 + 卦=2产 一 3- + 6£ - In |1 + £| + C・

IL Вьгаислить Ja(%, 4ах +dx + c) dx, где a, ft, c — постоянные числа. Функцию R (х, д/ax2+bx+c ) будем называть квадратичной иррациональностью.

Если трехчлен ах2 十 Ь* + с имеет действительные корни %» х2, то ах2 十 Ь% 十 с = а (% - л：】)(％ — х2) и

R(xt 4ах^+bx^c) - r\x9 (х-^

и дело сводится к случаю 1.

Поэтому будем считать, что ах2 + Ьх + с не имеет действительных корней и а > 0. Тогда рационализация интеграла может быть достигнута с помощью подстановки Эйлера*:

t = 4ах +Ъх+с + % 石.

Отсюда ах2 + Ъх + с = t2 - 2xJa + ах2, т. е. % = ±3© ・

2tJa+b

рациональная функвдя от t. Но тогда

у^^^^ё = £ - xJa = t £/^— Va

十ь

——также рациональная функция от £• Поэтому

J R (х, Ja¥ + Ьк+с ) dx = J R】(Е) df.

Замечание. Если a < 0, а с > 0 (ах2 + Ь* + с》0), то можно сделать замену

4ах + Ь* + с = xi + J?・

Пример 3. Вычислить J \(i +х dx. Бином х2 + а2 не имеет действительных корней. Поэтому полагаем

t = J*2 十 d + x, x2 + a?=产一 2红 + %*, x = £^^ и

Отсюда

В силу ЭТОГО

f ^^dx = J 雯■ g 或=打,+,呼卜£ = •二斗m+白*。苗1仙+箓+。=

=^-ln |x + 7?+?| -^—^^ ^ a +C.

Интегрирование выражений R (cos %, sin *). Рационализация J В (cos x, sin x)dx достигается c помощью подстановки t = tg (x/2)(一冗 < x < 兀),которая называется универсальной. В самом деле

sin X - 2tg(х/2) 一 2t cos x _ l-tg2⑺2) —1-产

2dtiT?'2dtiT?',1 + tg (划2) 1+/l + tgZ(”2) 1 + /

2dtiT?'

2dtiT?'

x = 2 arctg 力， dx =

поэтому

.J R (cos X, sin x) dx =.J R (cos X, sin x) dx =肝，得）等=J0（ё）"肝，得）等=J0（ё）"

.J R (cos X, sin x) dx =

.J R (cos X, sin x) dx =

肝，得）等=J0（ё）"

肝，得）等=J0（ё）"

Если функция R (х, у) обладает свойствами четности или нечетности по переменным х или у, то могут употребляться и другие подстановки, также рационализирующие интеграл.

Пусть

D /、 Р(и, /.

Я (и, и) = 7 (и = cos X, D = sin x).

где P и Q — многочлены от u и и.

Если один из многочленов Р, Q четный по и, а дру-

9 — Бугров. Том 2

гой ——нечетный по и, то подстановка 土 二 cos х рационализирует интеграл.

Если один из многочленов Р, Q четный по “，а другой —нечетный по и, то подстановка 力二 sin х рационализирует интеграл.

Если Р и Q: а) оба не изменяются при замене и, и соответственно на —и, —и или б) оба меняют знак, то интеграл рационализируется подстановкой t =tg х (или 力=ctg x).

Примеры:

1。・ J^^=(l畛)=呼=In |t| + С = Intg^ + С.

2°. J岭〃у^$^Т1т^^(8吵

J COS X J COS X J COS X

2

=(± = cos *) = J ^^-df.

33

В данном случае R(u, и)=当=丹不，т, е. числитель и и и

нечетный относительно и, а знаменатель четный по и, и мы имеем дело со случаем 1).

оо Гdx гdx

02cos2% + 匕2siV# J ^ -}-tf t^xjcos X

=(力二 tg %) = J 22 -

J a +d 力

Здесь числитель P (u, и) = 1, а знаменатель Q (u, u)= =a?"? + b2v2. Оба не меняются при замене и, и соответственно на -и, -и, т. е- мы имеем дело со случаем За).

Глава 6

Определенный интеграл

Задачи, приводящие к понятию

определенного интеграла, и его определение

Зададим на отрезке [а, Ь] (а и b ——конечные числа) неотрицательную непрерывную функцию，(#)• График ее изображен на рис. 75. Поставим задачу: требуется определить понятие площади фигуры, ограниченной

Рис. 75кривой у = Г (х), осью х, прямыми х = ап* = Ь, и вычислить эту площадь. Поставленную задачу естественно решить так.Произведем разбиение отрезка [а, Ь] на п частей точкамиРис. 75кривой у = Г (х), осью х, прямыми х = ап* = Ь, и вычислить эту площадь. Поставленную задачу естественно решить так.Произведем разбиение отрезка [а, Ь] на п частей точками

Рис. 75

кривой у = Г (х), осью х, прямыми х = ап* = Ь, и вычислить эту площадь. Поставленную задачу естественно решить так.

Произведем разбиение отрезка [а, Ь] на п частей точками

Рис. 75

кривой у = Г (х), осью х, прямыми х = ап* = Ь, и вычислить эту площадь. Поставленную задачу естественно решить так.

Произведем разбиение отрезка [а, Ь] на п частей точками

(1)(1)а — х^ < хг < ... < хп = >

(1)

(1)

9*

выберем на каждом из полученных частичных отрезков

[% #戸](/ = С, 1，…，п - 1) (2) по произвольной точке 畠 € [冗户 丐“]■ определим значения функции f в этих точках и составим сумму

Sn= &) △%](△%]=巧+i -写)，(3)

/=о

которую называют интегральной суммой и которая, оче- 1видно, равна сумме площадей заштрихованных прямоугольников (см. рис. 75).

Будем теперь стремить все А" к нулю и притом так, чтобы максимальный (самый большой) частичный отрезок разбиения стремился к нулю. Если при этом величина Sn стремится к определенному пределу S, не зависящему от способов разбиения (1) и выбора точек 与 на частичных отрезках, то естественно величину S называть площадью нашей криволинейной фигуры. Таким образом.

S =S =m^f^m^f^⑷⑷

S =

S =

m^f^

m^f^

⑷

⑷

Итак, мы дали определение площади нашей криволинейной фигуры (трапеции). Возникает вопрос, имеет ли каждая такая фигура площадь, иначе говоря» стремится ли на самом деле к конечному пределу ее интегральная сумма Sn, когда △巧—0? В дальнейшем будет доказано» что этот вопрос решается положительно: каждая определенная выше криволинейная фигура, соответствующая некоторой непрерывной функции f (х), действительно имеет площадь в смысле сделанного определения» выражаемую, таким образом, зависящим от этой фигуры числом S.

Другой возникающий здесь вопрос, насколько естественно данное определение площади, как всегда в таких случаях, решается практикой. Мы скажем только, что практика полностью оправдала это определение. У нас будет много случаев убедиться в правильности сделанного определения.

Дан линейный неоднородный стержень, лежащий на оси х в пределах отрезка [о,可.Требуется определить массу этого стержня. Пусть плотность распределения массы вдоль стержня есть некоторая непрерывная функция от х: р (х).

Для определения массы стержня разобьем его на п произвольных частей точками а ^ х0 < хг < ... < хп = Ь. В пределах каждой части [хр xj+1] выберем по произвольной точке &.

Так как в пределах [хр %* J функция р (х) изменяется мало, то массу части стержня, соответствующей отрезку [х£, 吃+J, можно считать приближенно равной р (畠)△%〃 где

Масса же т всего стержня приближенно равна

p(U △/ + р (0)△/ + …十 р (&〃.J △%〃“ = 2P(扇)3・ ю

Точное значение массы, очевидно, получим в пределе, когда наибольший частичный отрезок стремится к нулю, т. е.

m = lim £р (Q) △& •(4，)

Обе рассмотренные задачи привели нас к одной и той же математической операции над функциями различной? происхождения, заданными на отрезке [а, Ь]. Нам встретится много других конкретных задач, решение которых сводится к подобной операции над функцией, заданной на отрезке. Эта операция называется операцией интегрирования функции на отрезке, а ее результат — число — называется определенным интегралом от функции на отрезке.

Определение 1. Пусть на отрезке [а,匕]задана функция 九 Разделим [а,匕]на части произвольными точками:

а = х0 < х1 < х2 < ... < хп = Ь,и будем говорить» что этим произведено разбиение Л от-

резка [а, Ь]. На каждом частичном отрезке [х-, х.+1] разбиения выберем произвольную точку 务 G [%尸 x^J 〃 составим сумму

，=6?⑺=Z，&)△*『(△丐=巧*1 — X/)»

называемую интегральной суммой функции 厶 соответ^ ствующей разбиению R

Обозначим через

максимальную длину частичных отрезков (*『л^+1) разбиения R.

£/ (畠)Дх;= Jf(x) dx (а < Ь).(5)内a£/ (畠)Дх;= Jf(x) dx (а < Ь).(5)内aПредел (если он существует), к которому стремит^ са интегральная суммамR9 когдаХя — 0, называется определенным интегралом от функции f на отрезке [а9 fe] и обозначается следующим образом:

£/ (畠)Дх;= Jf(x) dx (а < Ь).(5)

内a

£/ (畠)Дх;= Jf(x) dx (а < Ь).(5)

内a

駛％駛％=lim шахЛху-*О

駛％

駛％

Число а называется нижним пределом определенного интеграла, а число Ь — верхним его пределом.

Определение 1 эквивалентно следующему.

Определение 1'. Определенным интегралом от функции / на отрезке [а, Ь] называется число Т, удовлетворяющее следующему свойству: Ола всякого 8 > 0 можно найти число 5 > 0 такое, что для любого разбиения Я отрезка [а, Ь], у которого Хя = т*хА弔 < 8, выполняется неравенство

при произвольном выборе точек 与 е [巧，％+/•

Понятие определенного интеграла так, как мы его оп-

§ 6.L ЗАДАНН. ИРМВОДащИЕ К ПОНЯТИЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 263 ределили, было введено для непрерывных функций французским математиком Коши и в общем случае Риманом* — для функций не обязательно непрерывных (интегрируемых по Риману). Обычно предел (5) называют интегралом Римана и функцию, для которой этот предел существует, называют интегрируемой 6 смысле Римана»

Если функция f непрерывна на [а9 Ь], то для нее всегда, как мы узнаем, предел (5) существует.

Говорят также, что непрерывная на отрезке [о, 6] функция интегрируема на нем в смысле Коши.

В п. а) мы определили (см. рис. 75) площадь плоской фигуры, ограниченную сверху графиком непрерывной функции у = / (х)》0, снизу осью х и с боков прямыми х = а и х — Ъ. Мы можем теперь сказать, что площадь этой фигуры равна определенному интегралу от / на отрезке [а, 6]:

S = J 力(%) 〃.

а

Мы можем еще сказать, что масса стержня, о котором шла речь в п. 6), равна определенному интегралу от его линейной плотности р (х) в пределах [а, 6]:

Итак, по определению определенным интегралом от функции f на отрезке [а, Ь] называется предел интегральной суммы (5), когда максимальный частичный отрезок разбиения 五 стремится к нулю.

В этом определении, которое теперь уже не связано с задачей о нахождении площади, функция / не обязательно непрерывна и неотрицательна на [а, Ь]. Надо отметить, что это определение не утверждает существование определенного интеграла для всякой функции f, заданной на [а, д], т. е・ существования предела (5). Оно только говорит, что если этот предел существует для заданной на [а, 6] функ-

Б. Ф. Риман (1826-1866) — выдающийся немецкий математик.

ции 厶 то он называется определенным интегралом от f на [% Ь].

Следует иметь в виду также, что когда говорят, что указанный предел I существует, то подразумевают, что он не зависит от способов разбиения отрезка [а, &] на части и выбора на полученных частичных отрезках точек。

Непосредственное вычисление определенного интеграла по формуле (5) связано с трудностями — интегральные суммы сколько-нибудь сложных функций имеют громозди кии вид и зачастую не легко преобразовать их к виду, удобному для вычисления пределов.

Рйс. 76Рйс. 76Во всяком случае, на этом пути не удалось создать общих методов. Интересно отметить, что впервые задачу этого рода решил Архимед. При помощи рассуждений, которые отдаленно напоминают современный метод пре-

Рйс. 76

Рйс. 76

делов, он вычислил площадь сег

мента параболы. В дальнейшем на протяжении веков многие математики решали задачи на вычисление площади фигур и объемов тел- Все же еще в ХУЛ веке постановка таких задач и методы их решения носили сугубо частный характер. Существенный сдвиг в этом вопросе внесли Ньютон и Лейбниц, указавшие общий метод решения таких задач. Они показали, что вычисление определенного интеграла от функции может быть сведено к отысканию ее первообразной.

Как было отмечено выше, непрерывная на [а, 6] функция интегрируема на [а9 Ь]. Это будет доказано в § 6.7.

Будет также доказано, что монотонная на отрезке [а, fe] функция интегрируема на нем. Надо учесть, что монотонная функция может иметь разрывы в конечном или даже счетном числе (см. теорему 2 § 3.4).

На рис. 76 изображен график функции у = f(x), за» данной иа отрезке [0, а]. Эта функция непрерывна на [0, х J, убывает на [力戸 xj и возрастает на [х2, а]. Следовательно, она интегрируема на каждом из этих отрезков. Но тогда, на основании аддитивных свойств интеграла» о которых речь будет впереди, наша функция интегрируема на всем отрезке [О, а] (см. § 6.2, теорема 3).

Таким образом, если отрезок [а9 Ь], на котором задана функция у =丿(х), можно разрезать на конечное число частичных отрезков, на каждом из которых она непрерывна или монотонна, то такая функхщя интегрируема иа [а, Ь].

Ньютон и Лейбниц доказали теорему, связывающую два важных понятия математического анализа — интеграла и производной. Эта теорема выражается соотношением (формулой Ньютона-Лейбница)

尸(b)一f(0)=Jf(x) dx.(6)

Здесь f (х) есть произвольная непрерывная на [а, 6] функция, a F (х) — какая-либо ее первообразная на [о, 6] £'(*) = /(#))•

Таким образом,для того чтобы вычислить определен- ный интеграл от непрерывной функции /на отрезке\а9 Ь], надо узнать ее первообразную функцию F (х) и взять раз- ноешь F (Ь)—尸(а) значений этой первообразной на концах отрезка [а, &].

Если уже считать известным» что непрерывная на отрезке [а, Ь] функция f (х) интегрируема на нем и что для этой функции существует первообразная F (х), то формулу (6) можно вывести без труда.

Пусть R есть произвольное разбиение

а^х0<хг< ...<хп^Ъ

отрезка [а, 6] на части. Тогда (пояснения ниже)

F(b) - F3)=尸(与)一尸(g)=尸а/ 一尸(%ПТ)^F(xn^ 一…

…一F (/) + F (xj — 尸(x0)= £[下(хд+1)-尸(*J =

=ZF (U (%〃 - %) =〉(6 %="(*) 5 ⑺ л=оDА а

откуда и следует формула (6).

В четвертом равенстве (7) мы применили теорему Лагранжа о среднем

尸(/，i)一尸(加=下'(Q(*"1 - %)，

в силу которой^ есть некоторая точка интервала (хА, %])• Последнее соотношение следует из того факта, что функция / непрерывна на [а, Ь], следовательно, интегрируема на [а, Ь], и потому ее любая интегральная сумма и, в частности, полученная нами применением теоремы Лагранжа, стремится при % — О к определенному интегралу от / на [а, Ь]・

Справедлива теорема.

Теорема 1. Неограниченная на отрезке [а, Ь] функция «е интегрируема на этом отрезке.

Таким образом, для того чтобы функция f была интегрируемой на отрезке [a, fe], необходимо, чтобы она была охрани- ченной на этом отрезке.

Однако это условие не является достаточным. ♦ Пример. Функция

если х рациональное,

-1, если х иррациональное,

ограничена: |\|/ (х)| = 1, но не интегрируема на любом отрезке [а, Ь](а < Ь)・

В самом деле, если в ее интегральной сумме за точки 务 выбрать рациональные числа, то

% = £w(与)¥ = £1 • Д^ =Ь一厶

/=0/=0

Если же выбрать 畠 иррациональными, то

% - £(Т) △弔=-(Ь - а).

/=о

Это показывает, что % не может иметь один и тот же предел при любом выборе &尸 и, следовательно, функция 屮 не интегрируема на [а, 6].

Доказательство теоремы 1. Пусть

dR=寸&)®+i -巧)i=0

есть интегральная сумма функции /, соответствующая некоторому разбиению Rz а - xQ < хх< ... < хп = Ь. Если допустить, что функция / не ограничена на [а, Ь], то она необходимо не ограничена на одном из частичных отрезков, пусть на [与'J+J ・ Зафиксируем &. £ [хр х/+1] для всех i # J, а && будем пока считать переменной. Слагаемое /(^)(^41 —л^) не ограничено на [% %+击а сумма остальных слагаемых есть определенное число. Но тогда(Од| можно сделать как угодно большим при соответствующем подборе точки 二 G 氏，％+J и функция / не может быть интегрируемой на [а, Ь]. Ведь из интегрируемости функции / на [а, Ь] следует, что ее интегральные суммы ограничены при любом выборе }

Впрочем, в дальнейшем будет введено понятие несобственного интеграла. Некоторые неограниченные на отрезке функции интегрируемы в несобственном смысле. Но об этом будет речь позднее.

§ 6_2. Свойства определенных интегралов

В этом параграфе мы будем изучать свойства интегрируемых функций. Выше уже отмечалось, что непрерывные и монотонные на отрезке [а, Ь] функции интегрируемы на нем. Это будет доказано позднее в § 6.7.

Теорема 1. Если М — константа, то

]м dx=M(b-d).

⑴

В самом деле, интегральная сумма функции f(x) = M для любого разбиения R отрезка [а, В] равна

6? = £“ Ах. = M^j = Af (Ь - а)・

JR网

Отсюда

lim. = М (Ь - а).

入х°

Теорема 2. Для функции

Vc (х)=Vc (х)=О, х g [а, Ь], “с, А, х^= с9

Vc (х)=

Vc (х)=

ь

J vc(x) dx = 0.

В самом деле, зададим произвольное разбиение А отрезка [а.Ь]：

а = х0<х1 <...<хп = Ь.

Один из отрезков этого разбиения, пусть [%陌，工小+1】，содержит в себе точку с: хт ^с ^ xm+r Поэтому интегральная сумма

Gr (Wc) = Eve(0)△/ = Vcftm) ^mft=0

(остальные слагаемые заведомо равны нулю). Так как |ус (х)| W W |А|, то

風(wJ < |А| Дхт -» О

при % — 0, н теорема доказана.

Теорема 3. Если функция / интегрируема на каждом из отрезков [а, с], [с, Ь] (а v с v b), то она интегрируема на [а, b] и

(аддитивное свойство определенного интеграла},.

Дон注зательство. Зададим произвольное разбиение отрезка [а^ Ь]

R: а = л:。v л:】< ...< хп = Ь9

однако такое, что одна из точек R, пусть *小.совпадает с точкой с (хт= с)・ Тогда 五 индуцирует (наводит) на отрезках [а, с] и [с, Ь] определенные разбиения Яг и 马：

%: а = х0 < xt < ... < xm = с, 冗2： С = ^т< Xm+1 < ... < Х„ = Ь И

!m-l

Or = Z/(务)△/- = Ж)А匕 +(务)А吃=g巧 +。经，T.e.

j=0j=0j=m

5? = D用+。R^・ ПуСТЬ

入遮=max |AxJ — 0.

Тогда и подавно 九鸟—* 0 и 九筠—* 0. Следовательно,

еb

]叫，=Ji吗％ + Ито =Jf(x) dx + J f (x) dx.

。一。0厂0个入经t>ё

Это равенство доказано пока для разбиений R, содержащих в себе точку с. Но тогда оно верно и для любых разбиений R (см. лемму 1 ниже). Следовательно, интеграл ь

J / (х) dx существует и имеет место (2).

По определению

“(х) dx = 0,(3)

Ьа

“ (х) dx = — J7 (х) dx(Ь < а),⑷

аЬ

где f интегрируема на [> а].

Нетрудно видеть, если учесть соглашения (3), (4), что равенство (2) верно для любых чисел а, Ь, с, лишь бы/была

интегрируема на максимальном из отрезков [а, Ь], [а, с], [с, 办

Например, в случае, если с < а < 匕,на основании теоремы 3

bаЬ

^f dx-J f dr + jfdx

сca

ИЛИ bbacb

^f dx- ^f dx-J/d%= jf dx +j f dx9

асcac

и мы получили (2).

Теорема 4. Если функции f 】и /2 интегрируемы на [а, Ъ\ и А9 В — произвольные числа, то

аьь

J (А/\ + В/2) dx =厶 J 厶 dx + В J 为 &х・(5)

ааа

В частности, при В = О получим равенство

J АД dx = AJ /\ d%,(6)

аа

показывающее, что постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

При А = 1, В = ±1 получим

ъ@ь

J (% 土 为)dx = J А 〃 士 J % d*・(7)

ааa

Доказательство. Для произвольного разбиения 五 имеем

£g0&)+ В为&)]А弓=4£介g)△弓+ ^Lf^ △今

J=0j=0j=o

Отсюда, перейдя к пределу при % -* 0, получим равенство (5). Оно, очевидно, верно и при b W а.

Теорема 5. Если интегрируемую на [а,匕]функцию f видоизменить 6 точке с е [а, Ь], то для полученной после видоизменения функции % имеет место равенство

dx - f f (х) dx.

Доказательство. Видоизменение функции / только в точке с сводится к тому, что к 丿(х) прибавляется функция вида

队（#）=队（#）=О, х G [а, Ь], х^ с,

队（#）=

队（#）=

А, х = с.

где А ——некоторое число. Тогда

左 а) = “%)+恥(%)•

При этом по теореме 2

J 乂⑺ dx = О.

Поэтому в силу теоремы 4

J。(н) dx= Jf(x) dx+ J Vc (%) dx= J/(x) dx.

что и требовалось доказать.

Замечание 1. Из теоремы 5 мы видим, что интегрируемость функции f не зависит от того, какие значения она принимает в некоторой определенной точке.

Например, функция 屮(х) = (sin х)/х определена на полуинтервале (0,1]. Если положить ее равной 1 при х = О (屮(0) = 1)» то она будет непрерывной, следовательно, интегрируемой на отрезке [0, 1]. Но она останется инте~

грируемой, и ее интеграл (屮(х) dx будет равен тому же

значению, если положить, что 屮(0) = А, где А — любое число.

* Теорема 6. Если функции f и ^ штеерщ^&яш^шотрезке [а, Ь] и удовлетворяют. на нем неравенствуf (#) < ф (%),

то

^f(x)dx < J<p (х) dx (а W b).(8)

аа

Доказательство. Для любого разбиения Л£〃6 △吃《Еф ◎ 1/>=07=0

потому, уто AXj > 0. Поэтому после перехода к пределу при 入衣 一 0 получим (8).

Теорема 7- Справедливо неравенство ьь

"(%)dx W J |/ (х)| dx (a W В)(9)

аа

или9 если а не обязательно меньше Ь，то

Jf(x)dx W %a)|dx・(9‘)

ав

zde f и \f\ интегрируемы на [а, Ь]・

Доказательство. Очевидно,

-|〃х)1《/ (%) W |f(x)| Vx € [а,風

Но тогда на основании теоремы 6 ъьь

J HZ Wl) dx W J〃x) dx《J|f(x)| dx (a < b) a0a

ИЛИ

一 J 团 dx W J f dx W JI力 dx»

b《川dxb《川dxили

b

《川dx

b

《川dx

(a < b).

что и требовалось доказать.

При а < Ь правые части (9) и (% равны *®гежду собой. Если же b < а, то в силу (4)

|pdx| = |j/rdx|<j|f|dx= J|/|dx , т. е. имеет место (9').

Наконец, случай а-b сводится к очевидному сосжю- шению 0 & 0. Этим доказано (9).

Замечание 2. Интегрируемость f на [а, Ь] влечет за собой интегрируемость |/| на [а, Ь] (см. ниже § 6. 7, замечание 2). Для конкретных функций это всегда очевидно. Например, если функция f кусочно-непрерывна на [а, Ь] (она, как будет доказано, интегрируема), тогда и |/| кусочно-непрерывна.

Обратно, из интегрируемости / (х)|, вообще говоря, не следует интегрируемость f (х) на [а, &].

Например, функция 屮(х), приведенная в примере § 6.1,

{

1, для рациональных %,

-1, для иррациональных х.

не интегрируема на [а, Ь]. Между тем |屮(х)| = 1 на [а, Ь] и есть интегрируемая на [а, Ъ] функция.

Теорема 8. Если функция f интегрируема и неотрицательна на [а, Ь] и существует точка се [а, Ь] непрерывности /, для которой / (с) > 0, то

ь

jf(x)dx> 0 (а < Ь).(10)

Доказательство. Будем считать, что с е (а, Ь). Так как / непрерывна в точке с и / (с) > 0, то существует отрезок [с - б, с + 5] такой, что (см. § 3.3, теорема 4)

/(х) > 年^ =т| > 0 Vr е [с - 8, с + 8].

Тогда

bс-8с+5Ь

J f (%) dx = J f (x) dx + j f(x) dx + j / (x) dx > 0, aac-&c+b

потому ЧТО

c-8b

J /(x) dx > 0, J f (x) dx》0,

j / (x) dx > j T)dx= 28т] > 0. c-8e-5

Если с = а или с = Ь, то вместо [с - б, с + 8] придется рассматривать отрезок [а, а + 8], соответственно [Ь -8, Ь].

Лемма 1. Пусть для ограниченой на [а, Ь] функции / выполняется равенство

lim <т„ = I,m瓦户0国

где Нл разбиение отрезка [а, Ь], содержащее в себе точку с (а < с < Ь)・ Тогда это равенство верно и для произвольных Я:

欄）+=/="（力任

Доказательство. Пусть R есть произвольное разбиение отрезка [а, Ь], не содержащее точку с.

R: а = х0<х1< ... <хт< /и < ... < xn = b.

r№xm<c<xm^.

Добавляя к К точку с, получим разбиение К*. ЕслиХй 一 0, то и 入口 - 0.

Если выбросить из Од слагаемое f &) (xm+1 - xm) и прибавить f^^ (С - 功 + f (&5 (#m+i - с)，то получим интегральную сумму Pp . При этом

о^д = oR* + 卩,

где и = / (^m) (xm+1 -xj-f (^*m) (с -xj-f (^ит) (xm+1 - с), Хт w &'т 这 с, с W W'm 这—].Очевидно,

[闻《М (X^-X^-bMic-X^-V М (*т+1 - С)=

= 2M(xm+1-xm)—Г О. Следовательно,

lim Ср = lim+ lim ц = I + 0 =

Интеграл как функция верхнего предела

Заметим, что ьь

j / (х) dx = J f (и) du,

т. e. не имеет значения, по какой букве — х или и — интегрировать на отрезке [а, Ь]. Ведь в обоих случаях любая интегральная сумма f имеет вид

0=力&)△今

Пусть задана интегрируемая на отрезке [а, Ь] функция /. Тогда, каково бы ни было х, удовлетворяющее неравенствам а < х < Ь, функция Г интегрируема также на отрезке [а, х].

Это утверждение требует доказательства, но мы не будем его доказывать. В конкретных случаях, как правило, это утверждение очевидно. Например» непрерывная (монотонная) функция на отрезке [а9 Ь] в свою очередь непрерывна (монотонна) на [а, х], следовательно, интегрируема на [а, х].

Зададим произвольное значение х £ [а, Ь]. Нас будет интересовать определенный интеграл от / на отрезке [а, х]. Это есть некоторая функция от х. Обозначим ее через F (х).

Итак

ь

F (х) = “(")d“.(1)

Мы употребляем букву и в качестве переменной интегрирования, чтобы отличить ее от верхнего предела интегрирования х*

На рис. 77 изображен график ограниченной кусочно-непрерывной функции f с точкой разрыва с. Чис-

Рис. 77Рис. 77ло F (х) для заданного х выражается

Рис. 77

Рис. 77

на рисунке площадью фигуры АВха. При изменении х на

[а, В] изменяется F (х)-

Теорема 1. Если функция f интегрируема на отрезке [а, fe], то функция Е определенная 冷。формуле (1), непрерывна в любой точке х g [а, &].

Доказательств о. Зададим произвольнуюточкул: и придадим ей приращение^ (на рис. 77 изображено положительное h). Имеем

du-^f{u)du =

1尸@+九）一尸口）| =

du ^м 岡

(М > |/ (u)| Vu g [a, b]).

Мы получили неравенство

|尸(* + 我)一f@)1 < М |Л|,

из которого следует:

lim[F (х + Л) - F (х)] = О, А~0

т. е- F непрерывна в точке х.

Подчеркнем, что х может быть точкой непрерывности и точкой разрыва 厶 и все равно функция F (х) непрерывна в этой точке-

Теорема 2.Если интегрируемая на [а, Ь]функция f непрерывна в точке х е [а,可，то в этой точке сущест-

(2)(2)вует производная от F (см. (1)): Г (#) = f (х).

(2)

(2)

Доказательство. Пусть х — точка непрерывное ти 厶 Имеем

胆±？一f(*)=去 j/3)d“_ j/(")d" = . j 四)d" =

aa」常

v⑺ + 炉3)-/(*)]} d〃 =

[1 "'A

=/(%)九 + 铝 1/(") - f(x)] du =

=f (x) +=f (x) +-*+A-*+A[〃")-[(#)] ®[〃")-[(#)] ®(3)(3)

=f (x) +

=f (x) +

-*+A

-*+A

[〃")-[(#)] ®

[〃")-[(#)] ®

(3)

(3)

При получении (3) мы использовали доказанные выше свойства определенного интеграла. В четвертом равенстве мы воспользовались тем фактом, что f (х) не зависит от и и при интегрировании по и надо считать f (х) как постоянный множитель (см. теорему 1. § 6.2).

Докажем, что

/ J[f(u)-ra)ld〃 ■—- о. (4) Jл—о

х

Функция f непрерывна в точке х» поэтому для любого Е > 0 можно указать такое 8 > 0, что если |Д| < б, то

|/ (и) - f (х)| < & V" е [х, х + h].

Поэтому для 冏 < б

-х+Л1 х+й

区 J伊3)-/(x)]du W 1 J|f(u)-f(x)|du

и мы обосновали свойство (4).

Из (3), переходя к пределу при Л -* 0, на основании (4) получим, что существует производная Fr (х), равная

、 Т 尸(*十五)一尸(*)上,、

F (%)=u『二——~* = f(x).

Этим теорема 2 доказана.

Обратим внимание на то, что в теореме 2 хотя и позво- лялось функции f быть разрывной на отрезке [а, Ь], но в

той точке х, в которой утверждалось существование производной от F, предполагалось, что функция / непрерывна. Иначе теорема, вообще говоря, была бы неверна.

Теорема 2, в частности, утверждает, что если / (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то 尸(％) имеет производную на этом отрезке, равную /(х) (F (%) = /(х) Vx £ [а, Ь]).

Таким образом, если функция Г непрерывна на отрез- ке [а, Ь], то для нее существует первообразная на этом отрезке. При этом в качестве одной из первообразных можно взять интеграл (1).

Отсюда следует, что неопределенный интеграл от функции /, непрерывной на [а, Ь], равен

J /(х) dx = J f (u) du + C, x g [a, b], a

где C — некоторая постоянная.

Формула Ньютона—Лейбница

Эта формула имеет вид

J/(u)du= Ф(Ь)^ ①(а)= Ф(х) р. (1) a

Здесь / (и) — непрерывная на отрезке [а, Ь] функция» а Ф (〃) 一 какая-либо ее первообразная на этом отрезке.

Формула Ньютона-Лейбница была уже доказана в § 6.1 • Там предполагалось известным, что непрерывная на [а, Ь] функция / интегрируема и имеет первообразную на [а, Ь].

Теперь мы уже знаем из § 6.3, что интегрируемость непрерывной на [о, Ь] функции влечет за собой существование у нее первообразной на [а, Ь].

Приведем другое доказательство формулы Ньютона- Лейбница. Вернемся к функции

^W = J/(^) du.(2)

Заметим, что

尸(q) = J / (〃)d〃 = 0 и 尸(b) = J f (u) du. (3) аа

Кроме того, мы знаем, что F (х) есть первообразная для f (х) на [а, Ь]. Поэтому, если Ф (х) есть какая-либо, вообще другая, первообразная, то существует константа С такая, что

①(%) = F (х) + С Vx е [а, Ь].(4)

Из (2), (3), (4) получим

①(Ь) - 6 (а) = F (匕)-尸(а) = j / (u) du9 а

и мы доказали формулу (1).

Пример L (尸(①-尸(а) =尸(%)©

Это показывает, что площадь (рис. 78) заштрихованной фигуры, лежащей под параболой у = х2, равна 1/3.

Пример 2.

J sin х dx = yos x|q = 1 + 1 = 2. о

Таким образом, площадь фигуры (рис. 79), ограниченной сверху синусоидой у =sin х и снизу — осью х, равна 2.

Пример 3. Функция

-1, -1 <х<0,

Ф (х) = sign х =*0, х = О,

1, 0< х < 1.

непрерывна на отрезке [—1, 1]> за исключением точки х = 0. Отрезок [-1, 1] можно разрезать на два отрезка [-1, 0], [0, 1],

Рис. 78Рис. 79

где она монотонна, следовательно, интегрируема. Поэтому ф (х) интегрируема на [-1, 1]. Справедлива формула

尸(%) = Jsign a du = -1 + |х|(—1 E % W 1).(5)

В самом деле, на полуинтервале [-1, 0) функция (р (х) непрерывна: ф (х) = —1. Ее первообразная на этом полуинтервале равна -*・ Поэтому, применяя формулу Нью・ тона-Лейбница, получим

Jsign и du - J(一 1) du = 一"|二=—1 — % (-1 < x < 0). (6)

В силу теоремы 1 F (х) непрерывна, в частности, в точке х = 0, поэтому

尸(0)= lim(-l -%) = —L(7)

х—О

Для х > 0

хОх

尸(а)二 Jsign и du- Jsign u du + J1 • d〃 = -1 + 碣=

-i-1о

=—1 + x. (8)

Из (6), (7), (8) следует (5).

Более элегантная формула получится, если интегрировать от точки х = 0:

J sign udu = |х|.(9)

о

Под интегралом в (9) стоит разрывная в точке х = 0 ограниченная функция, интеграл как функция верхнего предела 尸(х)=図，есть непрерывная функция, в том числе

и в точке х= 0, что согласуется с теоремой 1 § 6.3. Однако производная F (0) не существует, и это не противоречит теореме 2 § 6.3, которая гарантирует существование производной 尸'(х), только если / непрерывна в точке х.

Теорема 1 (о замене переменной). Име

ет место равенство

J / (х) dx = Jm(p (t)](pf (t) dt, (10) a c

где функция ф (t) непрерывно дифференцируема на [с, d], a = Ф (с), b - <р (d) и f (х) непрерывна на \АУ В] = ^ ([с, d]) —образе отрезка [с, d] при помощи функции ср.

Доказательство. Пусть 尸(х) и Ф (f) — первообразные функции соответственно / (х) и / [ф «)](/ (，). Тогда (с*. § 5.2, (1) и ниже) справедливо тождествоФ (t)=尸[ф (0] + + С9 с ^ t ^ d9 где С — некоторая постоянная. Поэтому

尸(匕)一尸(a)=尸[屮(砌]~ Г [ф (с)] = Ф(с/) - Ф(с).(11) Но на основании формулы Ньютона—Лейбница левая часть (И) равна левой части (10), а правая часть (11)——правой части (10), а это доказывает формулу (10).

Пример 4.

оот^2

о

о

— xdx = (x-a sin t) = J 4a —o^sint a cos t dt =

о

平"2a? J cos2 t dt - a2 f。0平"2a? J cos2 t dt - a2 f。01 + cos 2t 亠丄dt=21 + cos 2t 亠丄dt=2+學+學I嘰I嘰2 汽д 丁2 汽д 丁

平"2

a? J cos2 t dt - a2 f

。0

平"2

a? J cos2 t dt - a2 f

。0

1 + cos 2t 亠丄

dt=

2

1 + cos 2t 亠丄

dt=

2

+學

+學

I嘰

I嘰

2 汽д 丁

2 汽д 丁

Замечание. Верхний предел интегрирования по t можно взять равным 夢，а результат будет тот же, и это согласуется с теоремой 1.

Пример 5-

4 л

d± = - J (1 - cos2 i) d (cos f) = (x = cos 力)= о

=-j(1 _ x2) dx = 0,

потому что в полученном интеграле нижний предел равен верхнему.

Пример 6. Если / — четная функция (，(-〃)= / (и)), то

J /&) du = 2j/(u) du, потому, что ОО0

Jf (и) du = (и = т) = - j / (т) d* = J / (-%) dx =

=J / (#) dx = Jf(u) du. оо

Пример 7. Если f — нечетная функция (f (-u)= = -/(〃))，то

J f (x) dx = 0.

Пример 8. Если f — периодическая функция периода 2л (f(x + 2л) = f (*)), то

а+2я2я

J /(х) dx = J/(x) dx

аО

потому, ЧТО

2я+а%а

J f (х) dx = (х ^ t + 2л) = J / (t + 2л) dt = J f (/) dt =

аоо

о

=-J f (t) di.

и, следовательно,

2л+аО2P2亭г 2?

J f (х) dx=J/(x) dx +J/(x)dx +J f(x) dx = J/(x)dx.

аaD2霧 °

Пример 9.

Зл— i1

J sin3 t dt = (x = cos i) = - J (1 ~ x2) dx = J (1 - x2) dx = оi-i

：dD局

Пример 10. Решим пример 5, используя примеры 8, 7:

4л2п4ля

Jsin，t dt ~ Jsin3 t dt + Jsin3 t dt = 2 Jsin't dt - 09 ОО2л-я

так как функция sin3 fнечетная.

Теорема 2・ Справедлива формула интегрирования по частям для определенного интеграла:

ъь

J иг (х) и (х) dx = и (х) и (х)|^ — j и (х) и，(к) dx, (12)

где ии и — непрерывно дифференцируемые на [а, Ь] функции.

Доказательство. Произведение и (х) и (х) имеет на [а, Ь] непрерывную производную

(〃 (х) и (*)У = и (х) и' (*) + / (*) и (х).

Поэтому по теореме Ньютона—Лейбница

U (х) и (吼=! [и (х) и，(х) + и' (х) и (х)] dx =

bь

=J и (х) / (%) dx + J и* (х) и (х) dx,

откуда следует (12).

Пример 11.

J In (1 + х) dx ~ (и = In (1 + х), du = dx)= о

=#1П(1+端 一!養=in 2 -'〃+!寫=

= ln2-l+ln(l+ %)，= -1 + 21n 2.

Теорема 3 (о среднем для определенного интеграла). Для непрерывной на отрезке [а, Ь] функции / существует точка & е (а, Ь) такая, что

"⑺ dx = f(0(b-Q)・(13)

а

Доказательство. Так как f непрерывна, то для нее существует первообразная Ф, поэтому

J/(x) dx = Ф(Ь)亠 Ф(о)=①'(О (fe - а)=

“=〃0(Ь-а),S(a,b)・ (14)

Первое равенство в (14) есть формула Ньютона-Лейбница для непрерывной на [а, Ь] функции f. Второе равенство есть формула Лагранжа для ①.Наконец третье следует из того, что ①'(х) = /(х) Vx е [a, fe).

Остаток формулы Тейлора

в интегральной форме

Пусть функция f (х) имеет непрерывные производные до порядка n + 1 включительно. Тогда в силу формулы Ньютона-Лейбница

уд"⑴丑北:尊уд"⑴丑北:尊du = f'(i}dt\v—t-x 丿du = f'(i}dt\v—t-x 丿

уд"⑴丑北:尊

уд"⑴丑北:尊

du = f'(i}dt\v—t-x 丿

du = f'(i}dt\v—t-x 丿

=/(a) + « - %) Г (哨-“-"«) dt = /(a) +

+ Г (а) (х - а) + J (х - О f (О Л =

fu-f'{^ du=f”'@dt

(x~t)dv-dt и=-在二—

=f ⑷ + ^^(% - °)十 ^^(%-а)2+J/'" (±)%

Продолжая дальше процесс интегрирования по частям, йолучим

G Q)=青卜一炉产"⑥%(2)G Q)=青卜一炉产"⑥%(2)

G Q)=青卜一炉产"⑥%(2)

G Q)=青卜一炉产"⑥%(2)

Формула (1), (2) называется формулой Тейлора с остатком в интегралъкой форме.

Применяя к интегралу (2) (по 力!)теорему 3 (о среднем) § 6.4, будем иметь

% ⑺=± (% - &)“ 产)(&) (% - а),& с (а,"

Полагая

^ = а + в (х - а),0 < 0 < 1,

получаем

9)=筈S ° ~ °)""“)(а + °(” - а)).

Т・ е. остаточный член формулы Тейлора по степеням х - а в форме Коши (см. § 4.14, (10)).

Суммы Дарбу. Условия существов ания интеграла

Пусть на отрезке [q, b] задана ограниченная функция Г (|/ (х)| < М). Введем разбиение

R: a- x0<xt < ... <xn-b.

Пусть 叫=inf f(x),М/= sup /(%)•

х0，%1)算也,xi+l)

Наряду с интегральными суммами

%=£/&)△%i=0

рассмотрим суммы

Sr = £% ¥，Sr = £м △%，i=oi=o

которые называют нижней и верхней суммами Дарбу. Очевидно, ЧТО 5Д W Sr.

SR являются соответственно наименьшей и наибольшей из тегральных сумм, отвечающих данному разбиению, такSR являются соответственно наименьшей и наибольшей из тегральных сумм, отвечающих данному разбиению, такСуммы Дарбу не обязательно являются интегральными суммами. Однако если Г (%) — непрерывная функция, то s^ и никак по теореме Вейерштрасса / (х) достигает минимума и максимума в каждом [хр 占+J, и поэтому можно выбрать точки &〃 9 е [хр x“i] так, что 〃$) = т；и 〃£) = М・

SR являются соответственно наименьшей и наибольшей из тегральных сумм, отвечающих данному разбиению, так

SR являются соответственно наименьшей и наибольшей из тегральных сумм, отвечающих данному разбиению, так

Так как mt ^ f (^) W М, и Axf > 0, то

Sr & Or W Sr •(1)

При фиксированном разбиении sR и SR — постоянные числа, а интегральная сумма од остается переменной в силу произвольности чисел 匕厂 Легко видеть, что за счет выбора точек。 сумму Or можно сделать как угодно близкой к s^ и J, т. е. при данном разбиении sR и SR являются точной нижней и точной верхней гранями для интегральных сумм:

Sr =汇矶△巧=inf X，(畠)Ax” Sr = Ем △% = supZf《)△%.

r=0' j=0i=0。 *=0

Пусть R】,А?，冗3 — разбиения [а, д]. Если же точки А】 принадлежат Я2, то будем писать 鸟 и R2 H говорить, что 鸟 есть продолжение R】. Если множество точек, из которых состоит 外，есть теоретико-множественная сумма множеств точек, из которых состоят А】и А?，т° будем писать 鸟=R】+ 马.

Свойства сумм Дарбу:

1°. Если м имеющимся у разбиения К точкам деления добавить новые точки, то верхняя сумма Дарбу (S^ не возрастает, а нижняя (sj не убывает:

Sr W 3中 sR W Sr, V五 и R・

Таким образом,

Sr-Sr & Sr-Sr.

Доказательство. Для доказательства, очевидно, можно ограничиться случаем, когда добавляется одна новая точка деления х* G (хр xi+1). Пусть S^ ——верхняя сумма Дарбу для разбиения R и Sr — для разбиения R. Тогда S^ отличается от Sr тем, что вместо слагаемого MiAxi в сумме Sr будут два слагаемых:

М3 -%) + M”i(xi+1 - %) где

М'] = sup /(х), Мг\ = sup / (х).

Х也.X]*也不"]

Так как отрезки [хр %'J, [х\ xi+1] являются частью [хр xi+1], то М\ W М，АГ； W М (при уменьшении области рассмотрения sup может только уменьшиться). Поэтому

"'，(к' _ %) + М'\ (%+1 - х') W Л/j (У — % + х”1 _ х') = Mt (x^j - %), т. е. Sr W Sr, что и требовалось доказать.

Для нижних сумм доказательство аналогично.

2°. Каждая нижняя сумма Дарбу не больше каждой верхней суммы Дарбу, хотя бы отвечающей другому разбиению промежутка: sR^SR9.

Доказательство. ПустьR3 = R^+ Л2. Учитывая свойство 1°, получим s顼&S&&S鼻&Sr&.

Таким образом, мы доказали, что множество нижних сумм

Дарбу {б®} ограничено сверху какой-либо верхней суммой Sr (s^ W 5я), и птомусуществует точная верхняя грань нижних сумм:

I* = supSg W 5斤・

К тому же мы доказали, что всякая верхняя сумма Sr не меньше числа Z*. Это показывает, что существует точная нижняя грань верхних сумм

广=皿5Г>/*.

Итак I* W I*. При этом для любого разбиения Е выполняются неравенства

(2)(2)SrWZ&I &%•

(2)

(2)

Числа Z*, I называются нижним и верхним инг^ехралами Дарбу.

Теорема 1 (существования интеграл а). Длл того чтобы определенный интеграл ограниченной функции / (х) существовал, необходимо и достаточно, чтобы

既网一5竝=据》Ах, = 0,既网一5竝=据》Ах, = 0,⑶⑶п-1

既网一5竝=据》Ах, = 0,

既网一5竝=据》Ах, = 0,

⑶

⑶

где число со, = Mi-mi называется колебанием функции f (х) на [吃，"i+J"

Доказательство. 1. Необходимость ус ло- я ия. Допустим, что определенный интеграл I функции /(х) существует: т. e.Ve>0 Э8>0 такое, что как толькоХй <8, будет J-evOr<I + £, как бы мы ни выбирали точки 以 е [хр х/+1].

Выше мы установили, что 8Д и SR при данном В являются точной нижней и точной верхней гранями для интегральных сумм ал> если варьировать точками。е [хр 4 J. Поэтому

— cWsrWoaWSx&I + e VR с Хл < 5,

т. е・

呉賜=1,吸=Г

и

。一。

П. Достаточность. Пусть условие (3) выполнено. Тогда из неравенства (2) следует, что Е* = Г. Обозначим общее значение этих двух чисел через I (Z* = /* = /). Тогда

Sr W I W Sr.(4)

Из (3) следует, что для любого £>035>0 такое, что |5Д — 6修 < £ при Хд < 8. Но тогда из (1) и (4) получаем

|I - nJ < £ при 入е < 5»

т. е. I является пределом для % и 了 (х) интегрируема.

Замечание. Из доказательства теоремы видно, что если функция f(x) интегрируема на Га, Ь], то lims^ = Hm Sr = /一。 еT)

=J/(x) &”■ и обратно, если Итз^ = limSxT, то/ = J/(%)& л%一d人卡-°_

§ 6.7. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций

Теорема 1. Если функция/ (х) непрерывна на [а, Ь], то она интегрируема на [а, д].

Доказательство. Так как функция/(х) непрерывна на [а, В], то она равномерно непрерывна на [а, Ь] и» следовательно, Ve > 0 35(e) > 0 такое, что как только [а, Ь] разбит на части с 九冗 < 5, то все колебания coi < & Отсюда

必 W е £Дх尸 е (b - а). «=оi=0

£吗 Ах, = 0, иМ)£吗 Ах, = 0, иМ)В силу произвольности £ заключаем» что lim

£吗 Ах, = 0, и

М)

£吗 Ах, = 0, и

М)

по теореме 1 § 6.6 функция / (х) интегрируема.

Т еорема 2, Монотонная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.

Доказательство» Будем считать, что / (а) < / (Ь), иначе функция постоянна и теорема тривиальна.

Так как Г (a) W f (х) W / (b) Vx е [а, Ь], то наша функция ограничена на [а, Ь]. Введем разбиениеRотрезка [а, Ь] с% <5. Так как в данном случае % = f (xi+1) 一 / (%), то

10 — Бугров. Том 2

£соДС] W 5 £q = ^(Xj) - / (%) + Г (欠2)- г (*1) + … i=Oi=0

••^f^-f(xn^ = 3[[ 6) - f (a)],

x0 = at xn = b. Выберем теперь 5 = £/[/ ® - f (a)]; тогда

“T 2吗△® & E, i=0Id：

и по теореме существования (теорема 1 § 6.6) заключаем, что / (х) интегрируема. Теорема доказана.

Зам е чан и е 1. Отметим, что монотонная функция может иметь счетное множество точек разрыва. Например, функция у = х +—, —L < 算 W 丄，n= 1, 2,...» у (0) = 0, монотонно ип

возрастает на [0, 1], имеет счетное множество точек разрыва^ Следовательно, по теореме 2 она интегрируема.

Замечание 2. Если f (х) интегрируема на [a, fe] (а < д), то |/ (х)| также интегрируем.

В самом деле, Vx# и х" из [х., %】]имеем

| |f(x/)H|f(x//)|| W 伉(％') — / (/)・(1)

Если co*, cof — колебания |/(х)|, соответственно f(x), на [хР xi+I], то из (1) следует, что о* W % и

e可以W Z3A/.i=0i=0

Так как f (%) интегрируема, то

Ео Axf г 0 при Хл — 0, ьо

но тогда

Х< А^ — 0,i=0

и, следовательно, |/ (х)| интегрируем.

Несобственные интегралы

Зададим на конечном полуинтервале [а, Ь) функцию /. Допустим, что она интегрируема (например, непрерывна или кусочно-непрерывна) на любом отрезке [а, Ь'], где b' < b н не ограничена в окрестности точки Ь. Тогда ее интеграл на [а, Ь) или, что все равно, на [о, Ь] в обычном смысле (Римана) не может существовать, потому что интегрируемая на [а, Ь] по Риману функция необходимо ограничена. Однако может случиться, что существует конечный предел

уlimjf (х) dx.

Если это так» то этот предел называют несобственным ин- тегралом от / на отрезке [% Ь] и записывают в виде

ка

J/(x) dx = $%「(%) dx.(1)

В таком случае говорят, что интеграл jfdx сходится.

В противном случае говорят, что он расходится или не существует как несобственный риманов интеграл.

Допустим теперь, что функция f задана на луче [а9 8) и интегрируема на любом конечном отрезке [а, Ь'], где а < br < со. Если существует предел

limj/r(x) dx,а

то он называется несобственным интегралом от / на [а, 8) и обозначается так:

Условимся в следующей терминологии. Выражение

(2)(2)JfW dx

(2)

(2)

будем пазыватъинтегралом (от f) с единственной особенностью в точке Ь, если выполняются следующие условия: если Ь — конечная точка, то функция / интегрируема на [а, Ь*] при любом У, удовлетворяющем неравенствам q V У < 瓦 и, кроме того, не ограничена в окрестности точки 瓦 Если же Ь = +оо, то про функцию / предполагается лить, что она интегрируема на [а,打 при любом конечном У > а.

ь

Подобным образом определяется интеграл Jf(x) dx с а

единственной особенностью в точке а. Теперь & — конечная точка. Если точкаа<Ь тоже конечна, то f в окрестности а не ограничена и интегрируема на любом отрезке [优,司,где а < аг < Ь, Если же а = -8, то функгщя / предполагается интегрируемой на [а\ Ь] для любого / < Ь.

В дальнейшем мы будем для определенности рассматривать интеграл (2) с единственной особенностью в точке Ь, конечной или бесконечной. Все выводы по аналогии могут быть перенесены на случай интеграла с единственной особенностью в точке а.

Теорема. Пусть задан интеграл (2) с единственной особенностью в точке Ь. Для его существования необ- ходимо и достаточно выполнение условия (Коши): для всякого е > 0 существует Ьо < Ь такое9 что

jfi^dt < £,(3)

каковы бы ни были Ь\ 6"> удовлетворяющие неравенствам 坛 < У < У < 6.

Доказательство. Рассмотрим функцию

F (х) = J，G) dt (а < х < Ь).

Существование интеграла (2) эквивалентно существованию предела limF (х)» что в свою очередь эквивалентно выпол- х—Ь х<Ь

пению условия Коши: для любого £ > 0 существует fe0, где а < b0 < bf такое, что выполняется неравенство |F(b") — 一 F (b')| < E для всех br и 6", удовлетворяющих неравен* ствам bQ<V < Ус 瓦 Но

尸("')一尸(b')= Jf(O dt9

и теорема доказана.

Пример 1. Интеграл

⑷⑷!贄

⑷

⑷

где а > 0—постоянное число, имеет, очевидно, единственную особенность в точке х = 0. Чтобы выяснить, сходится ли он9 надо вьшислить предел

瞥片С>0 £瞥片С>0 £諸7= lim——Е —0 1-а諸7= lim——Е —0 1-а= ^Е —Р”= ^Е —Р”•士？ а<* оч а>1.•士？ а<* оч а>1.

瞥片

С>0 £

瞥片

С>0 £

諸7

= lim——Е —0 1-а

諸7

= lim——Е —0 1-а

= ^Е —Р”

= ^Е —Р”

•士？ а<* оч а>1.

•士？ а<* оч а>1.

Таким образом, интеграл (4) сходится при а < 1 и равен (1 - а)"1, и расходится при а > 1. Если же а = 1, то он расходится:

lim In £ = +00. е-0lim In £ = +00. е-0

lim In £ = +00. е-0

lim In £ = +00. е-0

Пример 2. Интеграл

8N停任偿=士吐〜8N停任偿=士吐〜NN

8N

停任偿=士吐〜

8N

停任偿=士吐〜

N

N

——,а>1 (сходится), а~1

+00, а<1 (расходится);

интеграл со^ -

J—=HmJ—= lim lnN = + oo (расходится).

8

Пример 3. Интеграл Jexdx имеет единственную о

особенность в точке х - +оо. Он сходится и равен

=lim [1 - eN~\ = 1-О=lim [1 - eN~\ = 1-О8N

=lim [1 - eN~\ = 1-

О

=lim [1 - eN~\ = 1-

О

f e xdx = lim \e xdx = lim (—с ”)

JN~+8 J^ —-HC

00

Пусть снова задан интеграл

(5)

имеющий единственную особенность в точке 瓦 Тогда интеграл

J7 (к) dx9(6)

С

где а<е<Ь9 также имеет единственную особенность в точке Ь・ Условие Коши существования интегралов (5) и (6) формулируется совершенно одинаково. Поэтому эти интегралы одновременно сходятся или одновременно расходятся. Кроме того, при a < с < Ъ, очевидно, имеет место

F_F_X dX dFfJ с +FfJ с +

F_

F_

X d

X d

FfJ с +

FfJ с +

е £ е ?

=Jfd# + Um] f dx- j/dx + J f dx, (7)

где f — обычный риманов собственный интеграл» а интег-

方 b

ралы J и J несобственные. a c

Отметим равенство

J (Af + 启(p)d# = liinj (Af + B^)dx = aa

УУууьь=Ag平J fdx + 石更円J (pdx -Ajf=Ag平J fdx + 石更円J (pdx -Ajfbdx + В j <p dx,(8)bdx + В j <p dx,(8)

У

У

у

у

ь

ь

=Ag平J fdx + 石更円J (pdx -Ajf

=Ag平J fdx + 石更円J (pdx -Ajf

b

dx + В j <p dx,(8)

b

dx + В j <p dx,(8)

где А и В — постоянные. Его надо понимать в том смысле, что если существуют интегралы в правой части, то существует также интеграл в левой и имеет место равенство (8).

Говорят, что интеграл (5) (имеющий особенность в точке Ь) сходится абсолютно, если сходится интеграл

(9)(9)W(x)| dx

(9)

(9)

от абсолютного значения |f (х)|.

Абсолютно сходящийся интеграл сходится. В самом деле, из сходимости интеграла (9) следует, что для любого € > 0 на интервале (а, Ь) найдется точка Ьо такая, что если bQ < Ь* < b,f < 仇 то

т. е. для интеграла (5) выполняется условие Коши. Так как

W J I[⑺ I dx.

то после перехода к пределу при 匕'一* 6 для абсолютно сходящегося интеграла (5) получим

"(»dx Wj|r(*)|dx."(»dx Wj|r(*)|dx.(Ю)(Ю)

"(»dx Wj|r(*)|dx.

"(»dx Wj|r(*)|dx.

(Ю)

(Ю)

Замечание. Неравенство (10) верно и для неабсолютно сходящегося интеграла — в этом случае справа стоит 8, а символ со мы считаем большим любого конечного числа. Этим широко пользуются в технике вычислений. Если надо узнать, сходится или нет интеграл

мы пишем неравенство (10) и исследуем на сходи-

ъ

мость интеграл f|/| dx. Если этот последний сходится, т. е.

если J |/j dx < оо, то сходится и наш интеграл J f dx. Конеч-

но, если j |/j dx = со, то придется к нашему интегралу

применить более тонкие методы. Возможно все же, что он сходится, но только не абсолютно (см. примеры в конце § 6.9).

Несобственные интегралы от неотрицательных функций

Пусть задан интеграл

J f(x)也(1)

а

имеющий единственную особенность в точке Ь, и на промежутке [а, Ь) интегрирования / (х)》0. Тогда, очевидно, функция

尸(")=Jf (х) dx (а < У < Ь)

от 6’ монотонно не убывает. Поэтому, если она ограничена

(尸(У) W Му а V У < Ь), то существует интеграл (1)

ьу

J / (х) dx 工 lim J / (x) dx W M. aa

Если же 尸(b') неограничена, то интеграл (1) расходится:

ьь*

"(盼公=概"(盼dx = +8. aa

Если f (x)》0 на [a, b), то пишут

J / (x) dx < co или J f (%) d# = 8aa

в зависимости от того, будет ли интеграл сходиться или расходиться.

Теорема 1. Пусть интегралы

“(к) dx,(1)

а

b

J <р (х) dx,(2)

а

имеют единственную особенность в точке Ь и на промежутке [а, Ь) выполняются неравенства

О < / (х) < ср (х).О < / (х) < ср (х).⑶⑶

О < / (х) < ср (х).

О < / (х) < ср (х).

⑶

⑶

Тогда из сходимости интеграла (2) следует сходимость интеграла (1) и имеет место неравенство ьь

J f dx 这 J(p dx,аа

а из расходимости интеграла (1) следует расходимость интеграла (2).

Доказательство. Из (3) следует, что для a <V <Ъ ь‘у

J/dx & J(p dx.(4)

aa

Если теперь интеграл (2) сходится, то правая часть (4) ограничена числом, равным интегралу (2), но тогда ограничена и левая. И так как левая часть при возрастании У монотонно не убывает, то она стремится к пределу (интегралу):

7в ь

]fdx = Итjfdx W ^dx.

Наоборот, из расходимости интеграла (1) следует, что предел левой части (4) при У — b равен оо, а следовательно, и предел правой равен 8.

Теорема 2. Пусть интегралы ⑴ и (2) имеют единственную особенность в точке А подынтегральные функции положительны и существует предел

lim項xf Ф(*)lim項xf Ф(*)= А>0・= А>0・(5)(5)

lim項xf Ф(*)

lim項xf Ф(*)

= А>0・

= А>0・

(5)

(5)

Тогда эти интегралы одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Доказательство, Из (5) следует, что для положительного £ < А можно указать такое с е [а,匕)，玄工。

厶-е < ^l < А + £ (с < х < b),

<PW

и так как <р (х) > 0, то

(А 一 Е)ф (х) < / (х) < (А + е)(р (х) (с < X < Ь).(6)

Из сходимости интеграла J <р dx следует сходимость

интеграла j ф dx и сходимость интеграла J (А + £) (р dx9 но

тогда по предыдущей теореме сходится также интеграл

ьь

J f dx, а вместе с ним интеграл J f d%. Обратно, из сходимо-

сти J f dx следует сходимость J <р dx потому, что наряду с

имеет место равенство

НтД^ = ； >。・

Замечание. Равенство (5) означает, что функция f эквивалентна функции А(р при % — Ь. В этом случае также говорят, что функции/ и (р имеют одинаковый порядок при х -♦ д.

Пример 1. Исследовать на сходимость интеграл

8

Г sin kxexdx.

co[^smkxdx Wco[^smkxdx WИмеем

co

[^smkxdx W

co

[^smkxdx W

j |е~* sin Axf dx < J exdx = 1 < 8.

Мы применили неравенство (10) § 6-8 и замечание к нему.

Значком ~ между интегралами будем обозначать тот факт, что эти интегралы в силу теоремы 2 одновременно сходятся или одновременно расходятся.

ПримерПример2添総=8.2添総=8.ПримерПример3■］謠需3■］謠需< 8.< 8.

Пример

Пример

2添総=8.

2添総=8.

Пример

Пример

3■］謠需

3■］謠需

< 8.

< 8.

Пример

Интегралы примеров 2 и 3 имеют единственную особенность в точке х = 0. Надо учесть, что sin х « х, sin 占 а в 石，х -♦ 0.

Интеграл примера 4 имеет единственную особенность в х = оо. Надо учесть, что 累二】ех 旭 ех» х г +оо.

8

Пример 5. J^x2-Зх+5)e"xdx сходится, потому что о

J](/ 一 3方 + 5把-*/2k一*/2dx W 0J](/ 一 3方 + 5把-*/2k一*/2dx W 0оо

J](/ 一 3方 + 5把-*/2k一*/2dx W 0

J](/ 一 3方 + 5把-*/2k一*/2dx W 0

J(x2 - 3% 十 5)丁七工 W о

8

W mJ ex/2dx < 00h О

Дело в том, что lim(x2 — 3% + 5)6一"2= О, поэтому наи- * — 8

дется ^ > 0 такое, что |(х2 - Зх + 5)”"] < 1 Vx > N.

С другой стороны, функция К%? - 3% 十 5)。一"2] непрерывна на [О, N]9 следовательно, ограничена на [О, N] некоторым числом М]. Таким образом, она ограничена на [0,8) числом М = max {1, АГ】}.

§ 6.10. Интегрирование по частям несобственных интегралов

Пример 1. Несобственные интегралы

8・СО

[里些 Еf 竺些 dx (а > 0)(1)

сходятся. В самом деле, интегрируя по частям, получим

fsinx Jx = cosx! %%

для всех конечных А > а. Переходя теперь к пределу при А — 8, получим

l^dx =至駆呻也

! %a { x

где интеграл в правой части сходится и даже абсолютно：j岁中厘dx贈= :<8.

8 •

oo (a > 0),oo (a > 0),Пример 2. Интеграл J^^dx сходится не абсолют- но (условно), ибо интеграл

oo (a > 0),

oo (a > 0),

⑵

т. е. расходящийся. В самом деле, в силу неравенства sin2 х W |sin х| несобственный интеграл

[15^d“》l^^dx 二 jl-CQS丝、=

! % i x !2工

二(2r = u)= 2du 二du.

Но интеграл fu"1 cos u du сходится, а интеграл Ju du рас- i2a

ходится. Следовательно, несобственный интеграл (2) рас- ходится.

Замечание. Сходимость интеграла(1)объясняется тем, что функция sin х периодически колеблется, принимая последовательно положительные и отрицательные значения. Накопление площади, вызываемое положительными значениями sin х, компенсируется соответствующим накоплением, вызываемым отрицательными значениями.

Это явление получит объяснение в теории рядов (см. ряд Лейбница и условно сходящиеся ряды).

Приведенные примеры показывают, что интегрирование По частям может оказаться полезным средством исследования сходимости несобственных интегралов.

Ниже приводятся общие соображения, которые лучше поясняют механизм этого метода.

|ф(^)Я(х) dx|ф(^)Я(х) dxПусть функция ср (х) непрерывна на [а, 8)и ①(%) — ее первообразная. Пусть, кроме того, g (х) непрерывно дифференцируемая функция на [а, 8). Тогда

|ф(^)Я(х) dx

|ф(^)Я(х) dx

/ - |ф(х) g' (%) dx = а

=g (А)① ⑷ 一 g (а)①(а) - J①(%) g，(%) dx.(3)

Если

lim g (А) Ф ⑷=0, 4—8

8

интеграл |ф(х) g' (%) dx сходится, то, очевидно, суще- а

ствует несобственный интеграл

8А

Jg(x) g(X)dx 二 lunj<p(x) g (x) dx 二—g (а) Ф (а)—

о-J

со

一 J①(％)g'(%)dx・(4)

Отсюда, в частности, вытекает

Признак Дирихле сходимости интеграла (4). Если функция Ф (х) ограничена (Ф (%) W М), ci g (х) убывает и стремится к нулю прих — 8, то интеграл (4) сходится.

Ясно, что эти условия влекут свойство 1). Далее

j①(*)旦(*)d* ^J|O(x)^(x)|dx<Mj|^(x)|dx=

=-M J"(%) dx = -M ?mJ宜(x) dx = -M Hin [g (A) — g (a)]=

=g (a) • M.

Пример 3.Интеграл

j⑥耍d%(a > 0),

имеющий единственную особенность в х = 8, сходится при а>0. Это следует из признака Дирихле, где надо считать g (%)= =x'a и (р (х) = sin х, Ф (х) = -cos х (|Ф (х)( W 1). Абсолютная же его сходимость имеет место только при a > 1, что доказывается, как в примере 2 § 6.9.

Несобственный интеграл с особенностями в нескольких точках

Пусть задан интеграл

р(х) dx,(1)

т. е・ пока формальное выражение (рисунок), где под зна- ком j стоит функция / (%), определенная на интервале (а, Ь). Таким образом, а может быть конечным числом или -8 и Ь — конечным числом ИЛИ +8.

Допустим, что интервал (а, Ь) можно разбить на конечное число интервалов точками а = с0 < сг < с2< ... < cN= b так, что каждый интеграл

，(х) dx (ft = 0, 1, ...» ^- 1)(2)

имеет единственную особенность либо в точке сА, либо в точке сл+1.

Если все несобственные интегралы (2) сходятся (абсолютно сходятся), то интеграл (1) называется несобственным сходящимся (абсолютно сходящимся) и символу (1) приписывается число

(x)d* = X J /(х) dx.

afc=0 сА

Но если хотя бы один из интегралов (2) расходится, то интеграл (1) считается расходящимся.

Если / (х)》0, то, так же как в случае интегралов с одной особенностью, для интеграла (1) условимся писать

Jf(*) dx < oo,

если он сходится и

!〃х) dx = оо, если он расходится.

Пример 1.

Je dx = [e~xdx 十 Je~*d% = 8 十 1 = oo, ~~р0

Этот интеграл имеет две особенности в точке х = —оо и х = 8 = +8. Соответственно мы его щ)едставили формально в виде суммы двух интегралов, каждый из которых имеет одну из указанных особенностей. Очевидно,

о

Мы позволили себе считать, что 8 土 1 = 8.

Пример 2. (а> 0)

诔сходится условно при 0<а《1,

(3)(3)f^^d#—— сходится абсолютно при 1<а<2, °(расходится при а>2.

(3)

(3)

В самом деле, этот интеграл имеет две особенности — в ” =0 и % = 8, поэтому для его исследования рассмотрим формальную сумму

]*〃・]*〃・

]*〃・

]*〃・

Под интегралом j стоит положительная функция, о

поэтому он либо расходится, либо, если сходится, то абсолютно. Для его исследования нам помогут неравенства (см. § 3.3, (6) и § 4.19, пример 1)

2 /т & ^^ &』а (0 < % 近 1),

откуда

j吗^d# & ^ ^dx < 8 при a < 2, 0 xо

при a > 2.при a > 2.

при a > 2.

при a > 2.

Следовательно,

6*6*абсолютно сходится при а< 2. расходится при а》2・

6*

6*

Далее (см. § 6.10, пример 2)

(5)(5)сходится при а>0,

(5)

(5)

абсолютно сходится только при а>1.

Глава 7

Приложения интегралов» Приближенные методы

Площадь в полярных координатах

Площадь S фигуры, ограниченной двумя выходящи* мн из полярного полюса О лучамиб = 00,0=0*и кривой Г, заданной в полярных координатах непрерывной функцией

Рис. 80Рис. 80

Рис. 80

Рис. 80

р = /(G), может быть определена следующим образом (рис. 80)・ Производим разбиение отрезка [0О, 6J:

60 <61 — <0П=0*.

Элемент площади фигуры, ограниченной кривой Г и лучами 0 = 0А, 6 = 6л+1, приближенно выражаем площадью

кругового сектора, ограниченного теми же лучами и окружностью радиуса рл = f (仇)，равной

-△4, △4 =4+]--.

Естественно считать, по определению,

S = m觊总胸L曲血=^^⑴

* 力gо\

Мы получили формулу площади фигуры в полярных координатах. Для непрерывной функции / (0) интеграл (1), как мы знаем, существует и, следовательно, предел любой интегральной суммы равен этому интегралу.

л/2S = 2& J cosGdG = 4lfл/2S = 2& J cosGdG = 4lfПример. Изображенная на рис. 81 окружность в по~ лярных координатах определяется уравнением р = 2R cos 0. В силу (1) площадь круга

л/2

S = 2& J cosGdG = 4lf

л/2

S = 2& J cosGdG = 4lf

-к/2О-к/2О1±8S2Q de =兀r2. 21±8S2Q de =兀r2. 2л/2

-к/2О

-к/2О

1±8S2Q de =兀r2. 2

1±8S2Q de =兀r2. 2

Объем тела вращения

Пусть Г есть кривая, описываемая в прямоугольной системе координат х, у непрерывной положительной функцией у = / (х) (a W % W Ь). Вычислим объем V тела вращения, ограниченного плоскостямих = а, x= b и поверхностью вращения кривой Г вокруг оси %.

Рис. 82Рис. 82Производим разбиение отрезка [а, Ь] на части: а = х0 < < хх< ... < хп= b — и считаем, Что элемент ДУ объема тела, ог

Рис. 82

Рис. 82

раниченного плоскостями х= хА, х = 4+1，приближенно равен объему цилиндра высоты Дхл= =%a+i - %尼 п радиуса yk = f (хл):

△匕 ~ 冗У：А%* = W (%。2Aq・

1Мличина 匕=冗 £尸(％*)—在 приближенно выражает V и л=о

Р= lim T^Yf^^ = л \f(x)dx. (1) maxJ

Мы получили формулу объема тела вращения (рис. 82).

Пример. Эллипсоид вращения (вокруг оси х)

22 . 2

а2必

есть тело, ограниченное поверхностью вращения кривой

У =8，1-马(rW%Wa)

вокруг оси х, поэтому на основании формулы (1) его объем равен

V = nb2 [1-卦…* (a爲L =麵龙

Гладкая кривая в пространстве. Длина дуги

В § 4.21 было введено понятие плоской непрерывной кривой, заданной параметрически» в частности гладкой кривой. Мы хотим пополнить эти сведения. Но заодно будем рассматривать более общую кривую в пространстве. Три уравнения (рис. 83)

% =屮(0>

P = WG)， (а < t < Ь), (1) z = XC)」

где функции ср,屮，％ непрерывны на [а, д], определяют непрерывную кривую» которую мы обозначим через Г. Если к тому же функции(р> 屮,х не только непрерывны, но имеют на [а, Ь] непрерывные производные, одновременно не обращающиеся в нуль, тоГ называется гладкой кривой на[а,Ь]・

Тот факт, что производные <р' (£),屮'(£), %' (О для любого значения te [а, д] одновременно не обращаются в нуль, можно выразить так: имеет место неравенство

9(±))2 + 屮，6))2+/(±))2>0(2)

для всех t е [а, 5].

Если мы зададим определенное значение t = 土°, то в силу (2) одно из слагаемых <р' (%)，屮'(片)，％' (%) — пусть первое —не равно нулю (cpr (tj * 0). Вследствие непрерывности ср' существует интервал (t0 —8, t0 + 8), на котором(р‘(力)имеет тот же знак, что и(р‘(％). Но тогда на этом интервале функция х = ф (t) строго монотонна и существует обратная к ней непрерывно дифференцируемая функция t =ср" (х), х с (с, d), где (с, d) — некоторая окрестность точки %。= <р (%)• В результате мы получим» что некоторый малый кусок у кривой Г, содержащий в себе точку Д)= (ф (%),屮(力°), К (%)), описывается двумя непрерывно дифференцируемыми функциями от х:

У = W [<р] (*)]=屮 1 (%)，2 = % [ф^1 (%)] = Xi W

(с < х < d, х < л^ < d, х0 = ср (%))• Если, на самом деле,屮'(%) W 工 0 или %' (С。) 了 0» то, рассуждая подобным образом, получим, что некоторый кусок у и Г записывается уравнениями

^ = <Р1 (?/)，2=Xi®

0 V，V 卩，入 V % V 从,％ =屮(％))

или соответственно

* = <Pi(z),P = Wi(z)(p<z<g9p<zQ<q9 z0 = x(%))•

Уравнения (1) гладкой кривой Г не только задают Г (как геометрическое место точек (ср (t),屮(t), % (t)),力 w [a, b]), но и определяют ориентацию Г, т- е. направление, вдоль которого возрастает параметр 士. На рис. 83 изображена гладкая кривая Г, соответствующая изменению параметра t на отрезке [а, Ь] (а < Ь): А = (ср (а),屮(а), % (а)) — начальная

точкаГ, В = (ф (Ь),屮(b), % (Ь)) — конечная точкаГ, стрелка указывает ориентацию Г.

Когда параметрt непрерывно возрастает ота доЬ, точка (ф (t),屮(力)，X (О) непрерывно двигается по Г от начальной точки А = (ср (а),屮(а),% (а)) до конечной точки В = (<р (Ь), 屮 S)，％ (b))・ Движущаяся точка может возвратиться в прежнее положение, т. е. может случиться, что 力,£? е (а» 匕]， 厶 < ±2 и 少(±1)= Ф ^f^ 屮(±1)=屮 «2)，X (力)=% (±2)，и тогда кривая Г называется самопересекающейся. Кривая Г называется замкнутой, если точки А и В совпадают.

Введем функцию t = Х (т), с & т W d, имеющую непрерывную не равную нулю производную на [с, d] и отображающую [с, d] на [а, Ь]. Так как Хг (т) не меняет знак на [с, d], то может быть только два случая:

* СО > 0, и тогда X (с) = а, X (d) = 6,

Хг (т) < 0, и тогда А (с) = b，入(d) = а.

Наша гладкая кривая Г может быть задана уравнениями

х=(р[Х(т)] =(р1(т), y=屮仇(0]=屮1(0,(Г)

2 = %[九")]=厶(0

при помощи параметра т (с 这 з W d). Одна и та же гладкая кривая Г может быть задана параметрически посредством разных параметров t, т,....

Заметим, что условия (2) на языке т сохраняются, потому что согласно формуле производной функции от функции

(<Р'1 (О)? + (屮'1 «У + (%'i “У =

= [(<₽'(炉 + (U С)? + (zr (02l(^ (t))2 > 0.(3)

Однако при введении нового параметрах может измениться ориентация Г. Если Хг (т) > О на [е, d], то функция t = X (т) строго возрастает н 九(с) = а,入(d) = 6. В этом случае с возрастанием т возрастает t отХ (с) = а доХ (d) = 6, т. е. ориентация Г не меняется — уравнения (1) и (1‘) определяют одну и 1rУ же гладкую кривую с той же ориентацией, только при

помощи разных параметров. Если же 入'(т) < 0 на [с, d], то X (с) = д и X (d) = а и при возрастании т параметр t убывает. В этом случае уравнения (Г) определяют ту же кривую Г, что и уравнения (1), но с противоположной ориентацией.

В тех вопросах» где нужно учитывать ориентацию кривой, под буквой Г понимают не только самую кривую (геометрическое место точек), но и ее ориентацию. Надо помнить, что уравнения (1) определяют как саму кривую, так и ее ориентацию (движение точки Г в направлении воз> растания t丿.Если заменить параметр £ на другой параметр 工(Г =入(т)), то получим ту же ориентированную кривую Г, если 纪(т) > О- Если же к (т) < 0, то получим ту же кривую, но ориентированную противоположно — ее уже (как ориентированную кривую) надо обозначить другим символом, удобно через Г_.

Если задана ориентированная кривая Г посредством уравнений (1), то Г_ можно, например, задать уравнениями

х =(р (т), у =屮(-т), ”(-Ь《т & —а).

z = 3C(F,

Введем понятие длины дуги непрерывной кривой Г. Пусть задана непрерывная криваяГ посредством уравнений (1). Разобьем отрезок [а, Ь] значениями a = tQ<t1<t2< ... < <tN-b. Каждому 力祖 соответствует точка ЛА е Г 网=Л, AN = -В). Соединим точкиЛА последовательно отрезками幺А+〔 (рис. 84). В результате получим ломаную Г\ -^Av- AN, вписанную в Г. Длина Г\ равна сумме длин [4■齢』

⑷⑷1rM = £ Hfe4 十 iL

⑷

⑷

Предел длины「汽，коада максимум ^+1— ^ стремится к нулю

j嗚"К=Е，(5)

если он существует (есть конечное число), называется длиной дуги Г. Мы его обозначили через |Г|.

Моясно доказать, что для любой непрерывной кривой (1) предел (5) конечный или бесконечный (+оо) существует. В случае, если этот предел конечный, кривая называется спрямляемой.

Теорема 1. Гладкая на [а, Ь] кривая Г, определяем мая равенствами (1), спрямляема. Ее длина дуги равна

|Г|=働+M(t)f +Ьс画 dt.(6)

В этой формулировке важно, что уравнения.Г заданы на отрезке [а, Ь]. Если бы они были заданы на интервале (а, Ь), где ф,屮，％ непрерывно дифференцируемы на (а, Ь) и их производные одновременно не равны нулю, мы тоже сказали бы* что уравнения (1) определяют гладкую на (а. &) кривую, но она могла бы и не быть спрямляемой. Однако любой ее кусок, соответствующий некоторому отрезку [с, d] и и (а, Ь) спрямляем.

Доказательство теоремы 1. Применяя теорему Лагранжа к функциям (р,屮，％, будем иметь (△£ = ±“〔— -G，% = max At0

△ф = <Р (%+1)- <Р (%) = Ф' &'*)△〃， a屮=W (G+i) 一屮(%)=屮'a7坟2 △x = x ⑥+1)- К (左)=片(Т"'0%， и следовательно (пояснения ниже)*

Ц\| = £"(」<₽『+(△▽『+(А%)2 =

天=0

=ZiRiv^iS^ =

"■Л)'&)『十 W&')]2 十"&')]2 此 + 辰о

+ -二^而画+W画心(冴dt(7)

(здесь t] ±'\, £〃'左 e (勿,±“0 ——вообще различные точки), т- е. справедлива формула (6).

В самом деле, в силу непрерывности подынтегральной функции в (G)

F禺£№' &')『十回&')f十“&『м二

л=о

=M©画+[U(£)『+"碇d九

Кроме того, заметим, что выполняется неравенство /：+&;+《一小:+確+讣

wj(4fl +(自2一飘 +g一%)2，

выражающее, что разность длин двух сторон треугольника не превышает длины третьей стороны.

Далее, так как функции 屮，и %г непрерывны на [а, Ь], то они й равномерно непрерывны на [а, Ь]・ Поэтому, если 、а< 8, то

2' (4)-联(九)1 < 痴、，I/ ("0 -%'(九)1 < /石， и, следовательно,

加=図而可而丽/?一

-Jm&)f+Wk)]?+w&明闯 w

■■■屮'&今-屮'&臂十笈g"А亡&展瓦不

w益孰毋j) =£• Это показываем, что 加—0 при XR 一 0.

Применим формулу (6) к вычислению длины дуги Г, когда она задана уравнениями (1'), при помощи параметра Т. Имеем (см. (6))

■ = fJfe/C^+G^ 祈=

=jyl(^^⑺曲二

-i痴布而研而球淑®(T)> 0).

а

В последнем равенстве этой цепи мм произвели замену переменной t = X (т) в интеграле.

Следовательно, |^| 二]Г|.

Мы видим, что формула (6) длины дуги выражается инвариантно через параметр дуги.

Введем функцию

s = н ⑹==J"(</(〃)『+ (1|/(〃))2+(к@))2 du (а《t W b) (8) а

吧верхнего предела интеграла. Она^выражает длину дуги АС, гдеС — переменная точка дуги АВ =Г, соответствующая значению параметра t. Под интегралом в (8) стоит непрерывная функция от и, поэтому производная длины дуги s по t равна

■ =JS(—+W'(t))2 + (E(t))2・О)

Так какср' (±),屮'(±), X，(£) непрерывны, то ds/dt в свою очередь есть непрерывная функция от t, при этом положительная (см. § 7.3, (2))・ Но тогда s == Ц (t) строго возрастает на [а, д] и имеет обратную непрерывно дифференцируемого функцию

t =『(s)(0 W s & |Г|),(Ю)

обладающую свойством

黑=Ка (0)2 + (屮'(±))2 +(%' 6))2严> 0.

Но тогда переменная s может служить параметром нашей гладкой кривой Г —— уравнения Г можно записать в виде

尤=9 W”(s)]=<p*(s),

у =屮[О (s)]=屮•(s),(0 W s W |Г|),

2 = % W”(s)]=厶(s),,

где функции(pA,屮*, x* непрерывно дифференцируемы на [О, |Г|].

Чтобы получить соответствующие результаты для плоской кривойГ =АВ, надо в предыдущих рассуждениях положить г = % (t)= 0. Тогда гладкая плоская кривая Г определяется двумя уравнениями

%=<р(). У =屮 О ‘%=<р(). У =屮 О ‘(0 这1& b).(0 这1& b).

%=<р(). У =屮 О ‘

%=<р(). У =屮 О ‘

(0 这1& b).

(0 这1& b).

где ср и ц/ — непрерывно дифференцируемые функции» подчиняющиеся условию

(<Р‘ (±))2 + (屮• 6))2 >0 (te [а,匕])・

Длина Г равна

mjj(—而砒九 (6') а

Длина дуги АС и Г, где С есть точка Г, соответствующая значению параметра 力 с [а, 6]

s = J JS(u))2 十(U (и)? du*(8，)

дифференциал дуги равен

ds =/(.'(.У 十(屮'(.ydE.(9')

Если Г задана при помощи непрерывно дифференцируемой функции

U^fM (aW 尤 Wb),то можно считать, что Г определяется параметром х：二;&)}(a《xWb)・

Тогда в силу (6')

|ri=!HBdx-

Дифференциал же дуги Г выражается формулой

ds = Jdf+dy' ・

Пример 1. Найти длину дуги кривойГ: у =ch х, 0 < <克 《 2.

Имеем

2 22-2

|Г| = jjl^ (shxfdx = Jchxdx= sh^=sh2 = e ~~ e .

оо2

Пример 2. Найти длину окружности Г радиуса R Окружность в параметрическом виде можно задать сле- дуюгцим образом:

x = Rcost, }(0 "这2冗).

y = R sm t, J

Тогда

2я 厂 27t

Щ= J VjR2 si^t+K2 costdt-R^dt^=2KR. оо

Пример 3. Найти длину дуги кривой Г: у = =jJa/dt,когда х изменяется в пределах от 0 до 2. о

Отметим, что явную зависимость у от % можно найти, если мы вычислим интеграл, используя подстановку Эйлера или рассматривая этот интеграл как дробно-линейную иррациональность. Но в данном случае нам не нужна эта явная зависимость. Имеем у' = v2x+x2 • Поэтому

Щ = JS+2x+4d*=J(x+l)d%=^^^■卜4 .

Кривизна и радиус кривизны кривой.

Эволюта и эвольвента

Кривизной окружности радиуса R называется число 1/R. Это число можно также получить как отношение угла между касательными в концах какой-нибудь дуги окружности к длине дуги. Угол а между касательными к окружности в точках А и В равен центральному углу а между радиусами ОА и ОВ. Длина |АВ| дуги АВ равнаАа. Поэтому (рис. 85)

а = а = 1応「Ab/Г

Последнее определение кривизны окружности дает идею определения кривизны произвольной гладкой кривой Г.

Рассмотрим плоскую гладкую кривую Г. Как мы показали в § 7.3, она спрямляема и имеет смысл говорить о длине любой ее дуги АВ. Угол а (О W а W тг) между касательными кГ в точкахА иВ называется углом смежности дуги АВ. Отношение угла смежности дугиАВ к ее длине называ- ется средней кривизной дуги АВ (рис. *86). Наконец, кривизной кривой Г в ее точке А называется предел (конечный или бесконечный) отношения угла смежности а дуги АВ кривой к ее длине |АВ| = |As|, когда последняя стремится к нулю:

⑴⑴К 二 2号卤，

⑴

⑴

Таким образом, О W К W 8. По определению, величина R = 1/К (где считается, что 0=1/8, 8 = 1/0) называется радиусом кривизны Г в точке А.

Точка Ор лежащая на нормали кГ в тонкеА на расстоянии 氏=1/К от А в сторону вогнутости Г, называется центром кривизны Г в точке А (рис. 87 и 88). Очевидно, что центр окружности совпадает с центром ее кривизны.

Рис« 87Рис. 88

Кривая у, являющаяся геометрическим местом центров О] кривизны плоской кривой Г, называется эволютой Г. Сама кривая Г называется эвольвентой у.

Пусть кривая Г задана функцией у = f (х) (с ^ х ^ d), имеющей непрерывную вторую производную. Найдём ее кривизну в точке A-(xtf (х)). Пусть ср, и(р2 ——углы, которые составляют касательные к Г в точках А и В = (х + △*, f (х +Дх)) с положительным направлением осих (см. рис. 86)

tg б = f (х), tg 屮2 = Г (х+Дх),

а = |arctg Г (%) — arctg f (x + Дх)|.(2)

Далее,

*+Дх

△s = [AB|= J Jl+(r&))2 du.(3)

£ =£ =|Г'(х)|(1+(/3)丁|Г'(х)|(1+(/3)丁⑷⑷

£ =

£ =

|Г'(х)|

(1+(/3)丁

|Г'(х)|

(1+(/3)丁

⑷

⑷

Поэтому из (1), применяя правило Лопиталя (поДх), полу чаем

К = 5 arctg г (х) _ arctg Г (х+Ах)=

I丁 "МОЗ/

尸(х+Дх)

=Um l+(/'(x+g)2 = 1Г31 х Jl+(/%+3)2 (1+(Г(х))2厂

Мы получили формулу для кривизны

Если гладкая кривая Г задана параметрически

* = 5 Ui, у =屮(£), J

где <р и 屮一дважды непрерывно дифферюнцируемые функции, то, пользуясь правилом дифференцирования параметрически заданных функций, получим (см. § 4.11)

Центр кривизны О】 кривой Г в ее точке А = (х, f Q)) пусть имеет координаты《，Т)). Он определяется вектором

p = r + Bv9(7)

вдег — радиус-вектор точки A G Г, а v — единичный вектор нормали, направленный в сторону вогнутости Г. Кривая Г имеет векторное уравнение

『 = (”)•

Отсюда

厶=(1,心，〜= (0,/)

Далее (см. § 4.23, (3‘))，

Знак надо выбрать так, чтобы вектор V был направлен в сторону вогнутости Г, т. е. чтобы скалярное произведение (V, гя) имело положительный знак:

(V,『3 二土不:产=4 (sign у；) (1+У?) 1/2■

Итак

v = S，•為，曲｝(8)

г⑴噌，尸（功=毁辞邑г⑴噌，尸（功=毁辞邑

г⑴噌，尸（功=毁辞邑

г⑴噌，尸（功=毁辞邑

Переходя в равенстве (7) к проекциям, учитывая (6) и (8), получим

(1+式;厂 也 sign У；叭(1+D

&…不面4(1+疗户-y二,

Найдем параметрическое уравнение эволютыу кривойГ, заданной уравнением (рис. 87, 88) у = /(х). Имеем (см. (4))

周

J 2注

,、 一sign 始

"心圆成（1W2

Ух

⑼

]=|Г'(Х)|= f(x) signf"(x)遍 - (1+"3)炉-(l+(f(x)炉]=|Г'(Х)|= f(x) signf"(x)遍 - (1+"3)炉-(l+(f(x)炉(&)(&)

]=|Г'(Х)|= f(x) signf"(x)

遍 - (1+"3)炉-(l+(f(x)炉

]=|Г'(Х)|= f(x) signf"(x)

遍 - (1+"3)炉-(l+(f(x)炉

(&)

(&)

Докажем, что нормаль к кривой f эвольвенте) в точке А = (х, f (х)) является касательной к эволюте у в точке О】=(&, Т|). Достаточно для этого доказать, что касательные

к кривой Г и к эволютеу в соответствующих точках ортого

нальны (перпендикулярны):нальны (перпендикулярны):

нальны (перпендикулярны):

нальны (перпендикулярны):

Другое важное свойство эволюты заключается в следующем. Приращение радиуса кривизны эвольвенты рое- но с точностью до знака приращению длины соответствующей дуги эволюты:

e2 一R1 = 土回2 - Oj"

На доказательстве этого свойства мы не останавливаемся. Представим себе нить, навернутую на эволюту. Пусть она сматывается с последней, будучи все время натянутой.

Отделяясь от эволюты, она, очевидно, все / /время будет касаться эволюты. Свободный / 〃挥❷ ее конец будет описывать эвольвенту

I /^^ (рис. 89)・ Так как длина нити может быть Wпроизвольной, то эволюта порождает бес-

,конечно много эвольвент. Длина, на кото-

Грую сматывается нить с эволюты, равна.

Рис. 89 очевидно, приращению радиуса кривизны эвольвенты. Если криваяГ задана параметрически: х = х (t), у = у (±), то эволюта определяется уравне

ниями

-俞病，"…存方-俞病，"…存方(Ю)(Ю)

-俞病，"…存方

-俞病，"…存方

(Ю)

(Ю)

(см. § 4.11).

Пример 1. Эволюта циклоиды х - t - sin 力，у = £ — -cos t есть кривая & =力 + sin £, tj = —1 +cos ±. Полагая t =т + + л, получим уравнения

& -冗=—sin т, r| + 2 = 1 - cos *

определяющие исходную кривую, но только сдвинутую (эволюта циклоиды есть циклоида» конгруэнтная исходной, рис. 90).

Пример 2・ Эволюта эллипса х-а cos t, у = b sin £ (а > 6 > 0) есть астроида (рис. 91)

^^ cos3 t, n = «^Sin3t.аа

Площадь поверхности вращения

Пусть Г есть кривая, описываемая в прямоугольной системе координат х, у положительной функцией у — / (х) (a W х & Ь), имеющей на [а, Ь] непрерывную производную* Вычислим площадь S поверхности вращения Г вокруг оси х. Для этого произведем разбиение а = х0 < xL < ... < хп =仇 впишем в кривую Г ломаную Гп с вершинами & f (#*), вычислим площадь поверхности вращения последней вокруг оси х (сумма площадей боковых поверхностей усеченных конусов):

s^=冗£产(g+/(*"i)i瓜耳+域，fc=0

△% = “/+1)-/(%)-

ЧислоS, равное пределу Sn при 九"—0, если он существует.

[1 — Бугров. Том 2

называется площадью поверхности вращения. Применяя теорему Лагранжа к разности △%, получим

S” =兀 加喲 + 〃％】)] J1+(〃J))2 % =

*=0

=2л昜(J麻冗犷А/ + % -

*=0

-27t J/(x)血"^7 d#

при入а = шах Дхл 一 О; согласно теореме Лагранжа точка^Ае £ 口论，4+i)・ В самом деле, так как f и Г непрерывны на [а, Ь], To〃x)J+(r(x))2 интегрируема, поэтому

既 2.g/(J)7] +，(& .У А/ = 2,負#)7]+)(#))2 dx.

Далее

闻=皮力⑷+%")-2幅)]抜+(/&))2以W

*=0

W 兀-+闻£ [I/ (%)- 〃力 + I/ ®”) - f (Q|]Arft W ь=о

w 2л J1+闻 £s*(力A马-^ О,

так как / интегрируема. Здесь / = ^^1Г (х)|. Таким образом, площадь поверхности тела вращения равна

b

S = gss" = 2兀，任)Jl+(f(x))2dx・(1)

Пример. Найти площадь S поверхности вращения эллипса

弓*+=13 > 6)

a b27

вокруг оси х (площадь поверхности эллипсоида вращения).

Решение. Уравнение верхней половины эллипса

Т7^7"^), ^=4^7*

S = 2囁庐КЯ^5 3

=^^ J"鼠 — @2 _ .)#2 @# = @ = K(^二甘)=

G О

При b — а в пределе получим, что S = 4тга2 — площадь поверхности шара радиуса а.

Интерполяционная формула Лагранжа

Поставим задачу. Требуется найти алгебраический многочлен Ln (х) степени не выше, чем п, который совпадал бы с функцией /(*) в заданных точках х0, /,・・・，хл. Таким образом, должны выполняться условия

f (%л)= Е"(*л)(々二。，1, •••» 九)・

Многочлен Ln (x) единственный. Если предположить, что существует еще один многочлен Ln (х) с теми же свойствами, то разность Ln (х) — Ln (х) обратится в нуль в n + 1 точке х0,・・・, ％" и будет алгебраическим многочленом степени не выше, чемп, значит, разность тождественно равна нулю и Ln (х) = Ln (х).

Из единственности следует, что если исходная функция f (х) сама является алгебраическим многочленом степени п, то она совпадает с Ln (х) для всех х (f (х) = Ln (х)).

Сначала найдем алгебраический многочлен степени п Qn k (х), который в точках 毛 W 马 равен нулю, а в точке xk равен единице. Очевидно, что

Q". £ (х) = А(х - Хо)“・(х - V1)(х - 4+1)，.・(х - X/， где постоянная А находится из условия

1 = Qj(/)=厶 П(х& f)，т. е. А =立® - ”尸. i=0i=O

f*Ai^k

Таким образом, искомый многочлен имеет вид

i*fe

Если ввести в рассмотрение символ Кронекера

5Ы=｛竺 К，

I 1 J k — 19

ТО

Qn" (®)~ §恥・Поставленную задачу решает многочлен

%（X）= £Qn.£（#）〃％），上=0%（X）= £Qn.£（#）〃％），上=0(1)(1)

%（X）= £Qn.£（#）〃％），

上=0

%（X）= £Qn.£（#）〃％），

上=0

(1)

(1)

ибо

Ln ®)= £q”, £ &) /®)=力韜®) = f Qi)go*=o

(i = 0, 1,…，л).

Многочлен (1) называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Так же как при получении формулы остаточного члена в формуле Тейлора можно показать, что если / (х) имеет производную (п + 1)-го порядка, то

/ (х) - L„ (х) =/ (х) - L„ (х) =(п+1)!(п+1)!8"+1（X），8"+1（X），⑵⑵

/ (х) - L„ (х) =

/ (х) - L„ (х) =

(п+1)!

(п+1)!

8"+1（X），

8"+1（X），

⑵

⑵

где

* (X)=立k-))

i=0

и 匕一некоторая тонка, принадлежащая к наименьшему

отрезку, содержащему точки х0» х1э ..., хп, х. В самом деле, положим для фиксированного х

/(х)-Ьп(х) = Ксоп+1(х),⑶

где К — величина, зависящая от х. Обозначим

ф (Z) = / (Z) - L” (z) - К8п+1 (z),

где К имеет то же значение, что и в (3), это величина, не зависящая от 2. Ясно, что (р (х) = 0, (р (#) = 0 (i = 0, 1, ••・,п). Пусть, например, х0 < х < Xj < •・・ < хл, тогда, применяя теорему Ролля к функции (р на отрезках [х0, х], [х, xj, •.., 瓦-1，吃1 получим, что производная<pf (х) обращается в нуль внутри каждого из них. Затем, применяя теорему Ролля последовательно к функциям ср', •・・,(р(")получим, что существует точка 以 принадлежащая наименьшему отрезку, содержащему в себе точки х, х0, xv •・・，хи, в которой <р(п+1)(匕)= -О, но

产)(2)=严 и (г)- К(п + 1)!.

产呢)

Полагая 2 = &, получим К =(在立-Поэтому

f^)~Ln^^f^)~Ln^^产+陇) (п+1)!产+陇) (п+1)!*（X），*（X），

f^)~Ln^^

f^)~Ln^^

产+陇) (п+1)!

产+陇) (п+1)!

*（X），

*（X），

и равенство (2) доказано.

Интерполяционный многочлен Лагранжа находит применение в приближенном вычислении производных функции Г (х), когда ее значения известны только в точках х0, хи ..., хл. А именно, полагают

卅(х)。或(х).

Например, если f(x) известна в точках х0> хр то, построив по этим точкам многочлен Лагранжа 厶(х), найдем, что

『у

В последующих параграфах мы укажем применение многочлена Лагранжа при приближенном вычислении определенного интеграла.

Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций

Пусть надо вычислить определенный интеграл от непрерывной на отрезке [а, Ь] функции /. Если известна ее первообразная, то для этого естественно применить формулу Ньютона-Лейбница. Но далеко не всегда первообразная известна» и возникает задача о приближенном вычислении интеграла.

Простейший способ приближенного вычисления определенного интеграла вытекает из определения последнего. Делим отрезок [а, Ь] на равные части точками

4 =a+ 力蚀 他= 0,1,…，до (I) и полагаем

где знак 亡 выражает приближенное равенство.

Выражение (2) называется квадратурной формулой прямоугольников. В случае рис. 92 искомая площадь фигуры, ограниченной кривой у = Г (х), осью х и прямыми х ~ а9 х = Ь9 приближенно равна сумме площадей изображенных там прямоугольников.

Рис. 92

Мы знаем, что для непрерывной на [а, Ь] функции предел при N — 8 правой части приближенного равенства (2) точно равен левой, что дает основание считать, что при большом N ошибка квадратурной формулы (2), т. е. абсолютная величина разности правой и левой ее частей, мала. Однако возникает вопрос об оценке ошибки. Ниже мы узнаем, как эту оценку получить, если потребовать, чтобы функция f, кроме непрерывности, удовлетворяла некоторым условиям гладкости (т. е. имела бы некоторое число производных).

Очень важно заметить, что если функция f (х) = Аг + В есть линейная функция, то для нее формула (2) точка — правая часть (2) в точности равна левой- Так как линейная функция есть многочлен первой степени, то мы можем сказать, что квадратурная формула прямоугольников точна для всех многочленов нс выше первой степени.

Дадим еще второй естественный способ приближенного вычисления определенного интеграла, приводящий к квадратурной формуле трапеций. Он заключается в том, что отрезок [а, Ь] делится на равные части точками системы (1) и полагается приближенно, что

'⑺叱 守严)；也)+也);华)+ ...+也一学嵐)卜

=蜉『(&) + 2/ (/) + 2g + ... + 2f (—1)+ / (xQL

В формуле трапеций площадь рассмотренной выше криволинейной фигуры приближенно исчерпывается площадями трапеции (рис. 93). Важно отметить, что формула трапеций точна для линейных функций Ах + В (А, В — постоянные), т. е. для многочленов не выше первой степени; если подставить такую функцию в (3) вместо f (х), то получится точное равен- 刈 ство. В этом смысле фор-/^^Х^

мула трапеций не имеет/

преимущества перед фор-，

мулой прямоугольников,I

обе они точны для линей- 二】丄一」一 ^^

ных функций." "胃日%%,站41

Рис 93

Разность между левой и правой частями квадратурной формулы обозначим через RN (力 и будем называть остаточным членом квадра турной формулы.

Если функция /имеет кусочно-непрерывную производную Г, удовлетворяющую неравенству / (х)| W Мп то остаточный член формулы прямоугольников (2) подчиняется неравенству 隔(力IW嘴/，(3)

а остаточный член формулы трапеций (3) подчиняется неравенству

映(”嘰m⑷

Нужно сказать, что здесь константы вычислены точно — их нельзя уменьшить. Вывод оценки (2) приведен ниже. Остальные оценки мы даем без доказательства.

Мы видим, что в обоих случаях для класса функций, имеющих ограниченную производную \f (х)| £ Мр остаточные члены имеют порядок О (ЛГ1) (см. § 3.10, (14)).

Для класса же функций, имеющих ограниченную вторую производную |ff (х)| & М2 на [а, Ь], имеет место оценка

M(b-a)3 1^2 ' верная для формул прямоугольников и трапеций. Теперь уже порядок приближения посредством обеих рассматриваемых квадратурных формул есть О (№2).

Оказывается, что для класса функций, имеющих ограниченную производную порядка Z> 2, порядок приближения посредством формул прямоугольников и трапеций не улучшается —порядок остается равным О (№2).

Объяснение этого явления тесно связано с тем фактом, что обе квадратурные формулы ——прямоугольников и трапеций — являются точными для многочленов первой степени, но они неточны для многочленов степени выше чем 1.

Если функция/ имеет третью ограниченную производную, то можно придумать квадратурную формулу, даюхцую погрешность приближения порядка О (№3). Эта формула должна быть точной для многочленов второй степени. Но если она не точна для многочленов третьей степени, то для функций, имеющих

ограниченную производную четвертого порядка, погрешность приближения остается имеющей порядок О (№')•

Явление, которое здесь описывается, будет проиллюстри

ровано на примере квадратурной формулы Симпсона в § 7.8.

Приведем доказательство оценки (3). Введем обозначения:

与а, &鱼=当嘗叫 xk — точки системы (1). Тогда

I/(Z)I= ]f^dx~hxf^ =I/(Z)I= ]f^dx~hxf^ =拧/(x)dx-f 鳩)W拧/(x)dx-f 鳩)W

I/(Z)I= ]f^dx~hxf^ =

I/(Z)I= ]f^dx~hxf^ =

拧/(x)dx-f 鳩)W

拧/(x)dx-f 鳩)W

这e J f^dx-hf^ = e J『任)-解J依,

22° и0 и

2

2

так как

.1 -

"0)dx =好(露.

4 2

Применяя теорему Лагранжа под знаком интеграла и учитывая, что |f (х)| W М], получаем

凤⑺I W £ J f^-(x-Qdx <

° 3

《£ J \f^\ l^-^l dx^M.Y J |x-^|dx, 。h~!0、達

ще 4 — точка, лежащая между х и ^. Производя замену переменной х — ^b = t, получаем

映(01 WM £*f|t|dt=2Afi ・N J tdt 。-Л/2О

= 2M」N= 2M」N£ А/2二 MN无2 M(b-a)2 ~2 ° = —4 —=47V

= 2M」N

= 2M」N

Формула Симпсона

Пусть требуется приближенно вычислить интеграл от

непрерывной функции f (х):

(1)(1)J/(x) dx.

(1)

(1)

Будем искать приближенное значение интеграла в виде суммы

%п

ff(^) dx а 尤pj(4)pj(4),(2)

a*=◎

где Pg Pp …，卩口 и x0, xv ...»xn G [a, b] — заданные числа.

Формула (2) называется квадратурной формулой с уз- лами #上 и весовыми коэффициентами рл.

При построении конкретных приближенных формул мы выставляем требование, чтобы формула (2) была точной для алгебраических многочленов степени п. Это условие будет выполнено, если в качестве приближенного значения интеграла (1) мы возьмем определенный интеграл от интерполяционного многочлена Лагранжа n-й степени функции 六 ьь

j/(x) dx « J Ln (х) dx =

л ⑺ f (%) &% = £pkf(x》л ⑺ f (%) &% = £pkf(x》(3)(3)

л ⑺ f (%) &% = £pkf(x》

л ⑺ f (%) &% = £pkf(x》

(3)

(3)

P^ = JQn，衣⑺"％ (A = °，1，・••，n), Q%л(х)= П(х _xj，aJ)小

потому что, если /(х) — многочлен степени п, то / (х)=£л (х).

Получим формулу (3) для случая п = 2 и узлов х0 = а.

xi =xi =%" , x2 = 6. В этом случае

xi =

xi =

G 公—(%—石)(丁一&)=(%—b)(2#_a_b)二 2Q—b)2 x-b

2,0-&-%X%f)- (b-af - 0—a)? b-a'

c ,、(%-%)(Х一马)一4(x _ a)(x_b)一一4(x-b)2x-ь

Qg i@) =(%_%)(% 一勾 (b-a)20-a)'b-a'

q 一(工一%)伍_/) = (x-a)(2x_a_b)=蛇一产—x-a

8 -也一飞)(々-巧)-(ua)2— (б-/ b-a °

Поэтому

2 0(x)dx =2 0(x)dx =2(#—b)3 I 任一b广3(Ь-а)2 冊-а)丄2(#—b)3 I 任一b广3(Ь-а)2 冊-а)丄Г_Ь-аГ_Ь-аPo =Аналогично рассуждая, получимг /、」2(8—а) %,,2(" а)Р1 — JQ 2,1(X)d# = 3~~，Р2 = JQ2.2(4)&# =g .В силу этого формула (3) при п = 2 имеет видPo =Аналогично рассуждая, получимг /、」2(8—а) %,,2(" а)Р1 — JQ 2,1(X)d# = 3~~，Р2 = JQ2.2(4)&# =g .В силу этого формула (3) при п = 2 имеет вид66

2 0(x)dx =

2 0(x)dx =

2(#—b)3 I 任一b广

3(Ь-а)2 冊-а)丄

2(#—b)3 I 任一b广

3(Ь-а)2 冊-а)丄

Г_Ь-а

Г_Ь-а

Po =

Аналогично рассуждая, получим

г /、」2(8—а) %,,2(" а)

Р1 — JQ 2,1(X)d# = 3~~，Р2 = JQ2.2(4)&# =g .

В силу этого формула (3) при п = 2 имеет вид

Po =

Аналогично рассуждая, получим

г /、」2(8—а) %,,2(" а)

Р1 — JQ 2,1(X)d# = 3~~，Р2 = JQ2.2(4)&# =g .

В силу этого формула (3) при п = 2 имеет вид

6

6

j/(х) dx » b^f(d)+4f{^+f(l^.⑷Эта простейшая квадратурная формула Симпсона,j/(х) dx » b^f(d)+4f{^+f(l^.⑷Эта простейшая квадратурная формула Симпсона,соответствующая отрезку [а, Ь].С геометрической точки зрения формула (4) означает, что мы заменили площадь криволинейной трапеции, определяемой функцией f (х) на [а, Ь], на площадь, находящуюся под графиком параболы (рис. 94):соответствующая отрезку [а, Ь].С геометрической точки зрения формула (4) означает, что мы заменили площадь криволинейной трапеции, определяемой функцией f (х) на [а, Ь], на площадь, находящуюся под графиком параболы (рис. 94):Рис. 94Рис. 94y = L2(x) = f(a) Q2 0(х) + / (嚼 Q2> I (х) + 〃b) Q2> 2 (x).Еще раз отметим, что по построению формула (4) точна для многочленов второй степени. Однако оказывается, что она точна и для многочленов третьей степени. В самомy = L2(x) = f(a) Q2 0(х) + / (嚼 Q2> I (х) + 〃b) Q2> 2 (x).Еще раз отметим, что по построению формула (4) точна для многочленов второй степени. Однако оказывается, что она точна и для многочленов третьей степени. В самомделе, Jx3 dxделе, Jx3 dx,а правая часть формулы (4) для фун,а правая часть формулы (4) для функции / (х) = х3 также равна этому числу：кции / (х) = х3 также равна этому числу：

j/(х) dx » b^f(d)+4f{^+f(l^.⑷

Эта простейшая квадратурная формула Симпсона,

j/(х) dx » b^f(d)+4f{^+f(l^.⑷

Эта простейшая квадратурная формула Симпсона,

соответствующая отрезку [а, Ь].

С геометрической точки зрения формула (4) означает, что мы заменили площадь криволинейной трапеции, определяемой функцией f (х) на [а, Ь], на площадь, находящуюся под графиком параболы (рис. 94):

соответствующая отрезку [а, Ь].

С геометрической точки зрения формула (4) означает, что мы заменили площадь криволинейной трапеции, определяемой функцией f (х) на [а, Ь], на площадь, находящуюся под графиком параболы (рис. 94):

Рис. 94

Рис. 94

y = L2(x) = f(a) Q2 0(х) + / (嚼 Q2> I (х) + 〃b) Q2> 2 (x).

Еще раз отметим, что по построению формула (4) точна для многочленов второй степени. Однако оказывается, что она точна и для многочленов третьей степени. В самом

y = L2(x) = f(a) Q2 0(х) + / (嚼 Q2> I (х) + 〃b) Q2> 2 (x).

Еще раз отметим, что по построению формула (4) точна для многочленов второй степени. Однако оказывается, что она точна и для многочленов третьей степени. В самом

деле, Jx3 dx

деле, Jx3 dx

,а правая часть формулы (4) для фун

,а правая часть формулы (4) для фун

кции / (х) = х3 также равна этому числу：

кции / (х) = х3 также равна этому числу：

-ab 十/) +-ab 十/) +

-ab 十/) +

-ab 十/) +

Таким образом, формула (4)точна для многочленов не выше третьей степени.

Если разделить отрезок [а,匕]на 2N равных частей точ

ками

%在=@十今端白（a = 0, 1,…，2N）

и к отрезкам [х0> х2], [х2> х4],... применить формулу (4), то в результате получим (усложненную) квадратурную формулу Симпсона

匕

J/W dx в V (先)十纣(/) + 2/ (x2) + 4/" (&)+ …

••• + 2f (#2N-2)+ 4f (#2N-1)+ Г(#2N)}・(5)

С точки зрения практических вычислений сложность вычислений по формуле Симпсона и прямоугольников одинакова. Но если функция / достаточно гладкая, то погрешность приближения по формуле Симпсона при бoльшиx^ значительно меньше соответствующей погрешности при приближении методом прямоугольников.

Если функция / (х) имеет на отрезке [а» Ь] первую или вторую непрерывную производную, удовлетворяющую неравенству

1Г (х)| & Afi ИЛИ |Г' (Х)| 近 “2，1Г (х)| & Afi ИЛИ |Г' (Х)| 近 “2，мендуется применить формулу прямоугольников или трапеций.мендуется применить формулу прямоугольников или трапеций.

1Г (х)| & Afi ИЛИ |Г' (Х)| 近 “2，

1Г (х)| & Afi ИЛИ |Г' (Х)| 近 “2，

мендуется применить формулу прямоугольников или трапеций.

мендуется применить формулу прямоугольников или трапеций.

Погрешность приближения ио формуле прямоугольников или трапеций (§ 7.7, (3)) будет порядка N^1.

А по формуле Симпсона — порядка ^2 в случае второй производной и №3 в случае третьей производной.

Если же функция / (х) имеет на [а, Ь] четвертую непрерывную производную, удовлетворяющую неравенству

|/4)(X)W М，(6)

то в этом случае рекомендуется применить формулу Симпсона. При этом погрешность приближения будет:

1 (Аар-2880 W41 (Аар-2880 W4М4.М4.(7)(7)

1 (Аар

-2880 W4

1 (Аар

-2880 W4

М4.

М4.

(7)

(7)

Если бы мы в этом случае применили формулу трапеций, то погрешность приближения по-прежнему имела бы порядок N」，т. е. была бы хуже чем (7).

Пример 1. Вычислить интеграл

I = jJl + f dx.о

Данный интеграл (от биномиального дифференциала) не вычисляется в элементарных функциях.

Вычислим этот интеграл приближенно, деля отрезок [0,1] на десять равных частей, используя различные квадратурные формулы.

Обозначим точки деления [0, 1] через х0= 0,々 =0, 1,...» х9 = 0,9, х10= 1. Вычислим приближенно значения функции Г (х)三 Jl+f в этих точках:

"0)=1,

/(Xi) =1,00005,

Г 5)=1,00080,

/(х3) = 1,00404,

S= 1,01272,

〃&)= 1,03078,

f (#6)=1,06283,

/(х7)= 1,11360,

/(х8)= 1,18727,

〃/)= 1,28690,

/(х10)= 1,41421.

Согласно квадратурной формуле трапеций

Zu击 V(Xo)+ 2f(Xi)+ ... + 2/(х9) + /(х10)] =^~^ = 1,09061.

Функция / (х)=厶+£ имеет сколько угодно непрерыв-

ных производных на промежутке [О, 1]. Погрешность формулы трапеций определим, исходя из факта существования второй непрерывной производной

尸(X) = 2/ (3 + /)/(1 + *4严.

Так как М2 = шах /"(囂)=2 6, то остаточный член формулы трапеций

凡。(力 W 添= yf^ * 0,002357.

Итак,

/= 1,0906 ±0,0024.

По формуле Симпсона (2N =10)

/ в 表[/ (*0)+ 4/(旳)+ 2/(*2)+ 4/(«3)+ 2/(*4)+ 4/(х5) + + 2/ (х6) + 4/(х7) + 2/ (&) + 4/(хв) + /(х10)]=驾需遑=1,08949.

Остаточный член формулы Симпсона можно определить, учитывая, что f (х) имеет непрерывную производную четвертого порядка (наличие производных порядка выше четвертого не влияет на точность формулы Симпсона)

/4) (х)=12(1- 14— + 5х8)/(1 + /у.

Так как М4 = max |/4) (х)| V 15 J2 , то

М ]5б

马⑺ V 造 & ii^V W °，°°°°12 < О，。。。。？.

Таким образом,

7 =1,08949 ±0,00002,

т. e. формула Симпсона значительно точнее формулы трапеций для достаточно гладких функций и большого N.

Замечание. Все вычисления производились при помощи ручного микрокалькулятора «Электроника ЕЗ-18М».

Глава 8

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

§ 8.1. Предварительные сведения

Понятие функции многих переменных введено в § 3.1.2. Нам предстоит построить дифференциальное исчисление для функций многих переменных. Основные сведения мы излагаем для функции двух переменных. Полученные результаты легко распространяются по аналогии на случай большего числа переменных. Мелким шрифтом излагается n-мерный случай.

Итак, мы будем рассматривать пространство (плоскость) Н2 точек (х, у). Зададим в % точку (х0, у。).

Множество точек (х, у)9 координаты которых удовлетворяют неравенству

(х - х0)2 + (у- Уо)2 <а2(а> 0),

называется открытым кругом радиуса а с центром в точ- ке (&, у。).

Множество же точек (х, у), координаты которых удовлетворяют неравенствам

|х - &| < а, |у- У^<Ь (а, Ь> 0), называется открытым прямоугольником.

Если а =瓦 то открытый прямоугольник обращается в

открытый квадрат с центром в точке (х0, у。) с длиной стороны 2а:

|х-х0|<а,|”％|<а・

Любой открытый круг радиуса £ > О или квадрат со стороной длины 2е с центром в точке (х0,弘)называется окрестностью или ^окрестносты^ этой точки.

Если задана последовательность точек

(#1，У1)，(&，У2)，(&‘ Уз)，…， то будем еще говорить, что переменная точка

(4, "D (4 = 1, 2, 3,…)

пробегает значения этой последовательности.

Говорят также, чтопоследователъностъ точек {(/, %)} или переменная точка (/,川 стремится к точк@(ха р0) при 舟一 8, если расстояние между этими точками стремится к нулю при 左—8：

J(/-%)2 + (%-%)2 — 0(左一ОО). (1)

При этом пишут

(4,外)—(&，Уо) (А — 8).

Свойство (1) эквивалентно» очевидно, следующим двум свойствам:

(4 一 &)，力 一 ％ 出—°°)>О')

которые должны выполняться одновременно.

Свойство (1) можно выразить еще такими словами: для всякого е > 0 найдется натуральное число N такое, что точка (马,у。окажется в открытом круге радиуса £ с центром в (х0, у。) для всех k>N.

Свойство же (1') можно выразить так: для всякого £>0 найдется натуральное число N такое» что точка (xfc, у/ окажется в открытом квадрате со стороной длины 2£ и центром (“о, Уо) Для всех k>N.

Обе эти формулировки можно объединить, сказав, что

для всякого £ > 0 найдется натуральное число N такое, что точка （хА, у0 окажется в е-окрестности точки （х0> у。） для всех k>N.

В n-мерном евклидовом пространстве Вп расстояние между точками * = （хр ・・・, ％/ н у =匂】,・・・,弘）определяется по формуле

-71 =指（/一期•

В Вл множество точек * = （xlf..., хп）, для которых выполняется неравенство

9&-穹<晶（。>。），

называется п-мерным открытым шаром радиуса а с центром в точке х° =父，一，■） •

Множество же точек *, координаты которых удовлетворяют неравенствам

,Т| < %…|/-圖 < %,

где %,冬，・••，ап — заданные положительные числа, называется п-мерным открытым прямоугольником （иараллелепипедом）.

Если

Q]=。之=♦・•=。几=G,

то параллелепипед превращается вп-мерный открытый куб с центром в точке *° =（点••” 暁）и ребром длины 2е.

Любой открытый n-мерныи шар радиуса £ или куб с центром в точке х° и длиной ребра 2е называется п-мерной окрестностью точки *2

Последовательность точек в Rn

определяет переменную точку

#"=（父…,%：）（А = 1, 2, 3,…）.

Переменная точка х стремится к точке 穽=

если расстояние между этими точками стремится к нулю при X? — 8：

时-冥。I = ^(ф-^У i ° (尼-8)・(2)

Свойство (2) эквивалентно следующим л свойствам, которые должны выполняться одновременно:

%：—吟 芯一宕….,£f W，(尼一8).(2。

Свойство (2) или (2') можно выразить еще словами: для всякого £ > 0 можно указать натуральное число N такое, что для всех 左 > N переменная точках* окажется принадлежащей о

Е-окрестности точки х .

§ 8・2・ Предел функции

В§ 3.2 рассматривалось понятие предела функции одной переменной. Здесь это понятие обобщается на случай функции многих переменных.

Ограничимся случаем двух переменных х,仏 По определению функхщя f (х, у) имеет предел в точке (xG9 у。), равный числу А, обозначаемый так:

lim / (х, у) = А(1)

旷觇

Зишут еще / (х, у) — А при (х, у) — (х0, %)), если она определена в некоторой окрестности точки (х0> у。), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел

Нт /(/,%)= А(2)

歌~为

какова бы ни была стремящаяся к (х0, у。) последовательность точек (хА, yj

Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функ- ции двух переменных: функция f имеет в точке (х0, %) пре-

дел, равный А, если она определена в некоторой окрестности точки (х0, у。)за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого 8> 0 найдется такое5 > 0, что

|/(“)-41<е (3)

для всех (х, у)9 удовлетворяющих неравенствам

О < J(#-%)2+—-.У < & (4)

Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого £ > 0 найдется 5-окрестность точки ("о, Ро)такая, что для всех (х, у) из этой окрестности, отличных от (х0, pj, выполняется неравенство (3).

Так как координаты произвольной точки (х, у) окрестности точки (х0,益)можно записать в виде х=х0 +Дхг у=%+ + Ау, то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:

limДх—4) Ду—4)limДх—4) Ду—4)f (& + Ах, % + △") =4f (& + Ах, % + △") =4

lim

Дх—4) Ду—4)

lim

Дх—4) Ду—4)

f (& + Ах, % + △") =4

f (& + Ах, % + △") =4

Рассмотрим некоторую функцию, заданную в окрестности точки (х0, у。)，кроме, быть может, самой этой точки.

Пусть о =(吗，оу) — произвольный вектор длины единица (|о|2 = <o»(oj == 1) и t > 0 — скаляр. Точки вида

(&+出炉 Уо+йОу) (0<0

образуют附％ выходящий из(х0, %) в направлении вектора (В・ Для каждого со можно рассматривать функцию

/(& + S % + /) (0<t<5)

от скалярной переменной 玄 где 5 — достаточно малое число.

Предел этой функции (одной переменной ^7

1呼〃& + '%'%+ ±3》£>0

если он существует, естественно называтьпрейелолс f в точ ме (“о, Ро) по направлению о.

Пример 1. Функции

332_ 2

"%，У) = ■产2,9 (%，у)= - 厂―

% +у% +у

определены на плоскости (х, у) за исключением точки 与=О,% = 0. Имеем (учесть, что х3 W (х2 + /У" и / W (х2 + у )3/2):

у а，4 wу а，4 w2丫十炉X +у2丫十炉X +у=2(*2 "产-о(* - о, у - 0).=2(*2 "产-о(* - о, у - 0).

у а，4 w

у а，4 w

2丫十炉

X +у

2丫十炉

X +у

=2(*2 "产-о(* - о, у - 0).

=2(*2 "产-о(* - о, у - 0).

Отсюда

脚 /(*, р) = 0

у—О

(для£>0полагаем5 = е/2итогда|f (х, у)|<8, если&?+/ < <В).

Далее, считая, что 十一постоянная, имеем для у = кк равенство

<Р (%，к冷=尸务,1+k

из которого видно, что предел <р в точке (0, 0) по разным направлениям вообще различен (единичный вектор луча

у = fex, х > 0, имеет вид(D =

Пример 2. Рассмотрим в/ Функцию

2

/(%，必=呼々(X4 + у2 ^ 0).

Данная функция в точке (0, 0) на любой прямой у = fex, проходящей через начало координат, имеет предел, равный нулю:

Г"，々%)= *4：%у^^7 - 0Г"，々%)= *4：%у^^7 - 0при х -* 0.при х -* 0.

Г"，々%)= *4：%у^^7 - 0

Г"，々%)= *4：%у^^7 - 0

при х -* 0.

при х -* 0.

Однако эта функция не имеет предела в точке (0,0), ибо при 2

У = *

41

，(％, /) = —^~4 =~ И linif(X, J) = — •х +х 2 л-^о2

Будем писать

lim/(#, р) = 8,

УГо

если функция f определена в некоторой окрестности точки (х0, у。), за исключением, быть может, самой точки (х0, yj и для всякого N > 0 найдется 8 > 0 такое, что

\f(x.y)\>N9

коль скоро о V J住_%У+®_%)2 <&

Можно также говорить о пределе Д когда %, у — 8：

lim/ (х, у) = А.(5)

У—8

Например, в случае конечного числа А равенство (5) надо понимать в том смысле, что для всякого е > 0 найдется такое N > 0, что для всех х, у, для которых |х| > N, |у| > N, функция f определена и имеет место неравенство

1/(尤，切-A1<&

Справедливы равенства

limtfCx, у) ± <р (х, у)] = limf (х, у) 土 Um<p (х, у).limtfCx, у) ± <р (х, у)] = limf (х, у) 土 Um<p (х, у).*一&h一事*一*V-УоyfУ-%lim (f (х, у) • (р (х, р)) = limf (х, у) • Итп<р (х, у),*-&*-&*-%)₽-УоУ-为У-Уо*一&h一事*一*V-УоyfУ-%lim (f (х, у) • (р (х, р)) = limf (х, у) • Итп<р (х, у),*-&*-&*-%)₽-УоУ-为У-Уоlim/® у)Иш^У^^х-*<р(石 у) Нт(р(石 у)V-为Х-ЗУ—为lim/® у)Иш^У^^х-*<р(石 у) Нт(р(石 у)V-为Х-ЗУ—为(Нт <р(*,必工 0),■-*У-为(Нт <р(*,必工 0),■-*У-为(6)⑺(8)(6)⑺(8)

limtfCx, у) ± <р (х, у)] = limf (х, у) 土 Um<p (х, у).

limtfCx, у) ± <р (х, у)] = limf (х, у) 土 Um<p (х, у).

*一&h一事*一*

V-УоyfУ-%

lim (f (х, у) • (р (х, р)) = limf (х, у) • Итп<р (х, у),

*-&*-&*-%)

₽-УоУ-为У-Уо

*一&h一事*一*

V-УоyfУ-%

lim (f (х, у) • (р (х, р)) = limf (х, у) • Итп<р (х, у),

*-&*-&*-%)

₽-УоУ-为У-Уо

lim/® у)

Иш^У^^х-*<р(石 у) Нт(р(石 у)

V-为Х-З

У—为

lim/® у)

Иш^У^^х-*<р(石 у) Нт(р(石 у)

V-为Х-З

У—为

(Нт <р(*,必工 0),

■-*

У-为

(Нт <р(*,必工 0),

■-*

У-为

(6)

⑺

(8)

(6)

⑺

(8)

где может быть х 一 оо, у — 8. При этом, как обычно, пределы (конечные) в их левых частях существуют, если существуют пределы / и <р.

Докажем для примера (7)・

Пусть (xv 弘)—(х0, %) ((xfc, у。工(х0, Vo)); тогда

…1即，№(4'%).9(4玲))= 上 独 ?(4，"0х

■国*)一依)，%)g，yQ一(气心

X lim <p (/,玖)=limf (x, p) ■ limtp (x, y)・(9) (4，块)一(砲耽)*一$*-0

L 耿)*F

Таким образом, предел в левой части (9) существует и равен правой части (9), а так как последовательность (/, yk) стремится к (х0, у。) по любому закону» то этот предел равен пределу функции f (х, у) • <р (х, р) в точке (х0, %).

Теорема 1. Если функция f (xf у) имеет предел» не равный нулю в точке (%, у。), т. е.

limf (х, у)-А^09

А*

У-Уи

то существует & > 0 такое, что для всех х, у, удовлетворяющих неравенствам

О < 而二 %)2+(у4(/ < 6，(1。)

она удовлетворяет неравенству

¥(%,Р)1> 粤.(11)

Больше 7nozо, она сохраняет там знак числа А

В самом деле, положив8 =，^ > 0, найдемб> 0 такое, чтобы для (х, у)9 удовлетворяющих неравенствам (10), выполнялось

1"芻切一川< 煤.(12)

Поэтому для таких (х, у)

> - 一"—-1>阳一|/(*，叨1，

т. е. имеет место (11). Из (12) для указанных (х, у) следует

,|А|. |А|

А-号 <f{x9y)<A + ^,

откуда

у < f (х, у) приА> О

и

f(^» у)<^ при 厶 V О (сохранение знака).

Замечание. В§ 8.12 будет дано более общее определение предела функции, заданной на произвольном множестве.

По определению функция f (х) = / (修，.•” хп) имеет предел в точке х° = (%；,...,%：), равный числу А, обозначаемый так:

Нт /(х) = 1叫丿(л:】，…，хд) =А 期-F弓一巧

(пишут еще/ f х^ -* А (х —► х°)), если она определена на некоторой окрестности точки х°, за исключением, быть может, ее самой, и если существует предел

J# f(x*)=A

какова бы ни была стремящаяся к х последовательность точек х* из указанной окрестности (Л = 1, 2, ...), отличных отх° (см. § 8.1).

Другое эквивалентное определение заключается в следующем: функция f имеет в точке х° предел, равный А, если ~о

она определена в некоторой окрестности точки * , за исключением, быть может, ее самой, и для любого £ > 0 найдется такое 8 > 0, что

|/(х)-Л|<£(13)

для всех х, удовлетворяющих неравенствам

О < |х - х°| < 5.

Это определение в свою очередь эквивалентно следующему: для любого £ > 0 найдется окрестность U (х ) точки х° такая, что для всех н е 0(*， х ^ х°, выполняется неравенство (13).

Очевидно, что если число А есть предел / (х) в х°, то 4 есть предел функции f (х°+ Л) от Л в нулевой точке:

lim / (х° + Л) =А,

Л-0 и наоборот.

Рассмотрим некоторую функцию /, заданную бо всех точках окрестности точкил°, кроме, быть может, тонких0; пусть (0=(со* ...»со”)一 произвольный вектор длины единица (|(д| = 1) и / > 0 — скаляр. Точки вида х° + io (0 < i) образуют выходящий из х° луч 6 направлении вектора со. Для каждого(0 можно рассматривать функцию

/(х° + Z(o) = f(^ + t(op ..., хп + tcoj (0 < ±<bj)

от скалярной переменной £, гдеб^ есть число, зависящее от со. Предел этой функции (от одной переменной t)

lim f (冥° + йо) = lim f (x? + й»】，«.., x^ + Ko), r-0,J>0f-0/>01

если он существует, естественно назвать пределом f в точке з^ по направлению вектора со.

Будем писать Нт / (工)=8, если функция / определена в некоторой окрестности ят°, за исключением» быть может, х°, и для всякого N > 0 найдется 8 > 0 такое, что |/ (*)] > N, коль скоро 0 < |х - х°| < 5.

Можно говорить о пределе /, когда * — 8：

lim f (х) — А(14)

Rf 8

Например, в случае конечного числаА равенство (14) надо понимать в том смысле, что для всякого € > 0 можно указать такое ^> 0, что для точек х, для которых |х| > N, функция f определена и имеет место неравенство |f (х) - А| v £.

Итак, предел функции f (х) — f(xu -.., хп) от л переменных определяется по аналогии так же, как для функции от двух переменных.

Равенства (6), (7), (8) и теорема 1 непосредственно распространяются на n-мерный случай.

Непрерывная функция

По определению функция f (х, у) непрерывна в точке (х0, %), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х0, pj и если предел f (х, у) в этой точке равен ее значению в ней:

lim f(x, у) = f (&, %)•(1)

УГо

Условие непрерывности / в точке (х0, %) можно записать в эквивалентной форме:

]im f (х0 + Дх, % + Ау) = 〃&, %),(Г)

△у—Уо

т. е. функция /непрерывна в точке (х0, у。), если непрерывна функция f (х0 + Дх, % + Ар) от переменных Дх, Ар при Дх = =Д^ = 0.

Можно ввести приращение Au функции

u = f(x.y)

в точке (х, у)9 соответствующее приращениям Дх, △" аргументов

△□ = ,(% + Ах, у + Ay) - f (х, у).

и на этом языке определить непрерывность f в (х, у): функция f непрерывна в точке (х, у)9 если

Нт Ди = 0.(1')

Ах-事、，

Из формул (6) — (8) § 8.2 непосредственно следует

Теорема 1. Сумма» разность, произведение и частное непрерывных в точке (х0, %) функций f и ^ есть непрерывная функция в этой точке» если, конечно, в случае частного <р (х0, у。)工 0.

Постоянную с можно рассматривать как функцию

〃*, У)= с

от переменных х, у. Она непрерывна по этим переменным, потому что

I/ (Х, у) - / (%, %)1 = |с - с| = 0 _ 工二歹> 0.

Следующими по сложности являются функции Г (*,р)=X и / (х, у) =у. Их тоже можно рассматривать как функции от (х, у), и при этом они непрерывны. Например, функция f (х9 у) ^ х приводит в соответствие каждой точке (х, у) число, равноех. Непрерывность этой функции в произвольной точке (х, у) может быть доказана так:

If(X + Ах, У + Ду) -/(X, у)] = |(х + Ах) - х| = |Ак| W

W，△— + △— “ >0.

△у—0

Если производить над функциями х, у и постоянными действия сложения, вычитания и умножения в конечном числе, то будем получать функции, называемые многочленами отх, у. На основании сформулированных выше свойств многочлены от переменных х, у суть непрерывные функции от этих переменных для всех точек (х, у) £ R2^

Отношение P/Q двух многочленов от (х, у) естърациональная функция от (х, у), очевидно, непрерывная всюду на 冗2, за исключением точек (х, у), где Q (х, у) = 0.

Функция

Р (尤，у) = %' — Р?+ %2y — 4может быть примером многочлена т(х,у) третьей степени,а функция

р(X, у) = X4 - 2xV + у4

есть пример многочлена от (х, у) четвертой степени.

Приведем пример теоремы, утверждающей непрерывность функции от непрерывных функций.

Теорема 2. Пусть функция f (х9 у, z) непрерывна в точке(х0, %, nJ пространства 马(точек (x,y,z)),a функции

X = <р(U, "), у =屮(u, D),2 = Х (u, V)

непрерывны в точке (и。，％) пространства R2 (точек (и, V)). Пусть, кроме того,

*о = <Р(%，％)，％ = V (%，%)， Z。= к (%, %).

Тогда функция

F (и, и) = /[(р (и, и),屮(и, ”), ％ (и, и)] непрерывна (по (и, и)) в точке (и。, %).

Доказательство- Так как знак предела можно внести под знак характеристики непрерывной функции, то

и”舐*〉F 3 ")=卢丑 f 回 3 "% 屮 3,功 X (u，0]=

M 心力㈣")一/)

¥(4功一为

X依切一"

=/(&，％，2o)= /[<₽ &. %)，V ("о, ”0)，% Qo,喇=F &0, и»

Функцию мы будем называть элементарной функции ей от переменных%/ ・“,хп, если она может быть получена из этих переменных и констант с при помощи конечного чис- ла операций сложения, вычитания, умножения, деления и операций <р, где <р — элементарная функция от одной нерешенной (см. § 3.8). Функции

sin In Jl+%2 +丁 =厶，2) sin2x + cos3 (# + у) = /2,

3)ln3 = %

могут служить примерами элементарных функций.

Легко проверить, пользуясь теоремами 1 и 2» что функции f] и А непрерывны на плоскости (х9у), функция же %, очевидно, определена и непрерывна в тех точках (х, у), для которых дробь (х - у)/(# + 必 положительна и конечна.

Из теоремы 1 § 8.2 и определения непрерывности функции в точке непосредственно следует

Теорема 3. Функция / (х, у), непрерывная в точке ("о, ％) и не равная нулю в этой точке, сохраняет знак числа f <х0, у。) & некоторой окрестности точки (х0, у。).

Ло определению функция / (х) = / (хп ...»хл) непрерывна в

точке х° = (*；,••・■*：), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точкех , и если предел ее в точке *° равен ее значению в ней:

limf(x) = f(x°).(2)

X—

Условие непрерывности f в точке х° можно написать в эквивалентной форме:

Кт/(х0+Л) = ；(х0),(2')

ft—ю

е. функция f (х) непрерывна в точке F, если непрерывна функция f (н° + Ji) от Л в точке 无=0.

Можно ввести приращение f в точке х°, соответствующее приращению Л =(九* ..., Дп),

△j(J)=〃J+©-r(*°)

и на его языке определить непрерывность f в 冥°: функция f непрерывна в х°, если

J^iV(A：°)= li 总[/(*；+%,…,■+%)-『(*；,・••,£：)]=()• (2")

Из формул (6) — (8) § 8.2 непосредственно следует

Теорема 1'. Сумма, разность» произведение и частное непрерывных в точке Г функций f (х) и(р (х) есть непрерывная функция в этой точке» если, конечно, в случае частного <р (х°)工 0.

Замечание. Приращение △ J (х°) называют также полным приращением функции f в точке х°.

В пространстве Кп точекх = (хр •.., хп) зададим множество точек G.

По определению х = (W , •••, /) бсть внутренняя точка множества G, если существует открытый шар с центром в нем» полностью принадлежащий к G.

Множество G и R“ называется открытым, если все его точки внутренние.

Говорят, что функции

々=<Pi ⑹…"产 <pn (£) (а & Г & b)

непрерывные на отрезке [а, &], определяют непрерывную кри- вуюв!?л,соединяющуюточкил =(х}, ...,хп) их =(玉,...,хл), где % = % (а),…，хп = % (а),冬=% (b),…，冥〃 =фп (b). Букву t называют параметром кривой.

Множество G называетсясвязным, если любые его две точ- ки 玄,х можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей G.

Связное открытое множество называется областью.

Теорем а 4. Пусть функция f (х) определена и непрерывна HaRn (во всех точках R^. Тогда множество G точек х, где она удовлетворяет неравенству /(х) > с (или f (х) < с), какова бы ни была постоянная с, есть открытое множество.

Рис. 95Рис. 95В самом деле, функция F (х) = f (х) — с непрерывна на Rr, и множество всех точек #, где F (х) > 0, совпадает с G. Пусть х° € G; тогда существует шар

Рис. 95

Рис. 95

на котором 尸(х) > 0, т. е. он принадлежит к G и точках0 £ G — внутренняя для а

Случай f (х) < с доказывается аналогично.

Пример. Функции

А(х)~ 龙毛(/ >。)；/2 (*) = 21闻， определены и непрерывны на%

В тах<;ом случае множества значений х, для которых выполняются неравенства 力⑺ v с (t = 1, 2), — открытые множества. Первое из них есть внутренность эллипсоида в п>мерном пространстве; второе при п = 2 есть внутренность квадрата, изображенного на рис. 95.

Неравенства 力 ⑺ > с > 0 определяют внешности указанных фигур.

Можно установить, что указанные множества связны, т. е. они являются областями. При п = 2, 3 это непосредственно видно.

§ 8.4. Частные производные и производная по направлению

Назовем приращением функции f (х, у) в точке fх, у) по переменной х с шагом 力 величину

△XJ = /(X + 丸，у) - /(X, у).

где й ——действительное число, достаточно малое, чтобы эта величина имела смысл.

Частной производной по х в точке (尤，v) называется предел

F = " = ^^ = lim^^,

* дх ду a。h

если он существует. Частная производная 夢 есть обычная -ох

производная от функции f (х, у), рассматриваемой как функция только от переменной х при фиксированном у.

Функцияz = f(x,y)m двух переменных изображается в трехмерном пространстве, где задана прямоугольная система координатх, у, 2, поверхностью — геометрическим местом точек (xf y.f (х, у)), где (х, у) принадлежит области задания функции/ {х, у )・ Очевидно, что величина f х (х0, %) (если она существует)равна тангенсу угла наклона к осих касательной к сечению этой поверхности плоскостью У = Уо 6 точке, имеющей абсциссу х0.

Совершенно аналогично можно определить частную производную по I/ в точке (х9 у):

改=lim亠Llim加位生巫通дх л-° й*-°Л

Если функция z=f (xfy)r заданная на множестве Gg 且， имеет частные производные 冬，算 во всех точках (%, у) t G, 5х оу

то эти производные можно рассматривать как нов^>1е функции, заданные на G

Поэтому можно поставить вопрос о существовании частных производных у этих функции по какому-либо переменному в точке (х, у) е G.

Если у функции —•дхЕсли у функции —•дхсуществует частная производнаясуществует частная производная

Если у функции —

•дх

Если у функции —

•дх

существует частная производная

существует частная производная

снова по переменнойх, то ее называютчастной производной второго порядка от функции f (х9 у) по переменной х и

А2*

обозначают ^-^・ Таким образом, по определению

Если существует частная производная от функции 笠 Эх 口。переменной^, то эту производную называют смешанной частной производной второго порядка от функции / (х, у丿 и обозначают символом

дудх ду

Для функции от двух переменных f (х9 у) можно рас- сматривать четыре производных второго порядка

立势 苏赤

^х2> дудх9 дхду9 ду2'

Если производные второго порядка (все или какая-либо одна) существуют для всех (х9 у) g G9 то может возникнуть вопрос о существовании частных производных третьего порядка.

Вообще, частной производной п-го порядка будем называть частную производную по какому-нибудь переменному от некоторой производной (九一1)-го порядка. Например,

8 !数 L Н汲 \дх дуJ дх 勿

Частные производные^,攵 будем называтьчастпиы- 5х ду

ми производными первого порядка, а саму функцию / — частной производной нулевого порядка.

Для частных производных будем также употреблять символику：

w一亦'DQJ-憂…我 口， dxdy-f^

Назовем приращением f в точкеx = (xXf..., xn) no переменной Xj с шагом» h величину

△x.J = / (*i，•.•.，"j-1，Xj + 五,丐+1，…，巧1) - f (%i.…，%〃)，

где h ——действительное число, достаточно малое, чтобы эта величина имела смысл. Частной производной от f по *, н точке х называется предел

"=lim空，

дх. hY h

если он существует. Частная производная ~~ есть обычная

производная от функции/ (xv...»к/, рассматриваемой как функция только от переменной 吃 при фиксированных %】，…，丐一" x/+i> •••，Хп*

Если г = (гр ..., rj — вектор с неотрицательными целыми координатами, то пишут

***器諺•

弃f2

Пример. Найти — -/ от функции f (х, у) - х + дх ду

十sin %у・ Имеем

df/2

~ = X cos 先у, —V = —x sin xw,ду匆2У

"乙芽 н -2х sin ху - ху cos ху. дхду

Естественно возникает вопрос, будут ли равны между

собой частные производные, если они взяты по одним и тем же переменным, одно и то же число раз, но в разном порядке. Например, равны ли

势 口 // ? 9 И ~о Iдхдудх дх ду

В общем случае ответ на этот вопрос отрицательный.

Однако имеет место следующая теорема, которую мы сформулируем для функции от двух переменных.

Теорема (о смешанных производных). Пусть функция и — f (х, у) определена вместе со своими частными производными 您> 学> —一直- в некото- ох оу ох оу дудх

рой окрестности точкиР^ = (х0, %), причем ° 丁一 и 二 “-? Sx ду оу ex

непрерывны в точке Ро; тогда

苏(兄)=赤(兄)дхду дудх '

m. е. в этом случае результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.

Доказательство. В самом деле,

^x^yhf (^о> %)] = А" (*о, ％ + А) - / (*о, Уо)1 =

=[/(& + 九％ + *)-f(x0 + А, %)]-"(&, %") - Г (/, %Н =

= дДДх/(^%)] VH (1)

Отсюда, применяя теорему Лагранжа по переменной^ к функции f (х, % + 无)-，(х, %) на промежутке 尻 + Л, х0], получаем:

\^yhf(&，％)] = h [九(%о + е九，％ + 九)-Г* (% + 册，У"】 (o<e<i).(2)

Законность применения теоремы Лагранжа обусловлена существованием частной производной f х в достаточно малой окрестности точки (х0, р。).

Так как по условию теоремы существует частная сме・ 12 — Бугров. Том 2

тайная производная Г] в окрестности точки (/, %), то снова применяя теорему Лахранжа» из (2) получаем:

△/[△m(0，yз=必兀" (/ + ё九 % + 仇人)(0 < 4 v 1)，(3)

Кроме того, по условию Г'” непрерывна в точке (&, 痴,поэтому из (3) имеем

△皿[Ау/(&‘ ％)] = ^\fnух (хо» Уо)+ £Ь⑷

где £ — О при 九—0.

Из (4) следует, что

融%回仪%：(%%)•(5)

Совершенно аналогично, пользуясь непрерывностью Г) в точке (х0, %), доказывается равенство

¥ А^^=а%，%)・(6)

На основании (5) и (6), в силу равенства (1), заключаем, что утверждение теоремы верно.

Замечание 1. По индукции легко распространить эту теорему на любые непрерывные смешанные частные производные, которые отличаются друг от друга только порядком дифференцирования. Например»

4乙=^_ЬИ=@[а『亜 дхду 8*1勿[匆]/ ду\дx\ду

ду дх ф ду [勿 L0XJJ By? дх

Замечание 2. Если условие непрерывности отсутствует, то смешанные производные могут быть различными в точке Ро. Рассмотрим функцию

3

- f (招 У)= ~^~^т，если х2 + у2 ^ 0 и f (0, 0) - 0.

х +р'

Легко подсчитать, что

Гхпри/"#°

64)

жж

ж

ж

/（。.。）=男曲岑3=。；

〃(#,"=，〃(#,"=，+ 1(2^0И/；(0» 0) = 0.+ 1(2^0И/；(0» 0) = 0.

〃(#,"=，

〃(#,"=，

+ 1(2^0И/；(0» 0) = 0.

+ 1(2^0И/；(0» 0) = 0.

Далее, по определенно.

~0,0) ; Щп妊%如%m 亠,

1。，。)"得屮雪蚪宁~

т・е.

尸"(0,0冲尸w®，0)・

Отметим, что частные производные 尸判 и Г[* разрывны в точ- ме(0,0), например, гуЖ(X, y) = ."土?t及 崇у- при /+才黄0,

откуда видно, что

11тГух (х, у)=《н Г/。0)=€•

х-*0力

А*

Можно еще ввести понятие производной по направлен

ниюЛ случае функции от одной переменной ояо не употреб

ляется.

Пусть з = (а)х, %) есть произвольный единичный вектор. Производной от функции f в точке 3 у) по направ* лению со называется предел

"=lin/（*+Q "绚J-假出

旷？ ^

(если он существует). Подчеркнем, что при вычислении этого предела предполагается, что^ стремится к нулю» принимая

讨(/ y)Эш讨(/ y)Эшположительные значения, поэтому можно еще сказать, что

讨(/ y)Эш

讨(/ y)Эш

есть правая производная 6 точке £ = 0 от функции

f {х + i(Dx, У + ЙВу) по 九

Можно» как в случае функций от одной переменной, говорить о правой и левой частных производных пох. Надо учесть, что производная по направлению положительной оси х совпадает с правой частной производной по х, однако производная по направлению отрицательной оси х имеет знак, противоположный знаку левой производной по х.

§ 8・5・ Дифференцируемые функции

Для простоты будем рассматривать трехмерный случай; в тг-мерном случае рассуждения аналогичны. Случай и - 1 был специально рассмотрен в § 4.7.

Пусть на открытом множестве Gc jR3 (определение открытого множества см. § 8・3, мелкий шрифт) задана функция u = f (х, р* z), имеющая в точке (х,^, z) е G непрерывные частные производные первого порядка. Отсюда автоматически следует, что эти частные производные существуют в некоторой окрестности (х, у, z), хотя, быть может, они в точках, отличных от (х, у, z)9 не являются непрерывными. Рассмотрим приращение f Bfx, y,z)9соответствующее приращению (Дх, Ар, Дз), где 心再，|Ау|, |Дг| меньше б иб достаточно мало, чтобы точка (х +Дх, у + Ар, z +Az) не выходила из указанной окрестности. Имеют место равенства (пояснения ниже):

^u = f(x + ^9 у + Ау, z + Az) —/(%, у, z)=(1)

=f (х + Дх, у + Ay, z + Аг) - / (х, ^ + Д^, z + Az) +(2)

+ f (х, у + Ay, z + Дг)- /(*, р, г + Аг) +(3)

+ /(*,弘 z + Аг) - / (%, у9 n) = (4) =ГX(X + в^х, у + Ay, 2 + Az)Ax +

+ fy(X, у + 02А^, z + Дг)Ау + 九(％, У，Z + 03Дг)Д2 =(5)

=(Г*(X, у, Z)+ Е])Дх + (fry(X,弘 N) + £2)Д^ +

+ if 2 (^> ^» ^) + ^3)^ =(6)

=fx (*，У，2)Дх + Гу (#, у, 2)Д^ + f2(x, у, 2)Дл +。(р) (7) (Р - 0)，

0 < 0П 02, 03 < 1, р =小厶¥ + 破 + 公廿> £» 82, 83 -* 0(8)

(Р — 0)-

Переход от (2) к первому члену (5) обосновывается так: функция，(以 у + Ay, z + Дз) от & (при фиксированных у + + Ay, z + Az) имеет по условию производную (по &) на отрезке [х, х +Дх], и к ней применима теорема Лагранжа о сред нем. Аналогичные пояснения ко второму и третьему членам (5). Переход от (5) к (6) чисто формальный: мы положили, например,

Г3c (х + 4Дх, у + Ay, z + △?) = fх (х, р, z) + £]・

Но не формален здесь факт, нтс>£] -* 0 прир — 0. Он следует из предположенной непрерывности %в (х, у, z)・ Наконец, переход от (6) к (7) сводится к утверждению, что имеет место равенство

q△尤 + £2Ау + е3Аг = о(р) (р -* 0).

В самом деле, так как |Дх|9 |Д^|9 |Ди| 这 р, то при р -♦ 0

月厶％ + 々甸 + езд^1/Р《KI + l€2l + N 一 °-

Мы доказали важную теорему:

Теорема 1. Если функция u — f имеет непрерывные частные производные (первого порядка) в точке (х, у, z), то ее приращение в этой точке» соответствующее достаточно малому приращению (Дх, Ар, Az), можно записать по формуле

Au =些△* + 妥 Ay + ^Дг + o(p) (p — 0),(9)

ox оу Az

p = JaxO.iZ+a—,

zOe частные производные взяты в точке (х, у, z)・

Так как значения частных производных в правой части (9) не зависят от Дх, Ау, △), то из условий теоремы 1 следует, что приращение f в (х, у, n), соответствующее приращению (Дх, Ар, Ал), может быть записано по формуле

Ди = ААх + В^у + CZL? + о (р) (р — 0),(10)

где числа А, В, С не зависят от Дх, Ау, △?.

Сделаем следующее определение: если приращение функции / в точке (х, у, N)для достаточно малых (Лх, Ау, Аг) может быть записано в виде суммы (10), где А, В, С — числа, не зависящие от Ах, Ду, №、то говорят, что функция f дифференцируема 6 точке (х,у, z"Таким образом, дифференцируемость функции f в (х9 у, z) заключается в том» что ее приращение Af в этой точке можно записать в виде суммы двух слагаемых: первое слагаемое есть линейная функция АЛх 十 ВДу + СДг от (Ах, △弘 Az) — она называется главной линейной частью приращения А/, второе же слагаемое вообще сложно зависит от приращений Лх, Ау, Л2, но если стремить их к нулю» то оно будет стремиться к нулю быстрее, чем р = ^хл-^-г^ •

Легко видеть, что если функция f дифференцируема в точке (х, у, z), т. е. представляется равенством (10), то она имеет в этой точке частные производные первого порядка, равные

学=А, ^ = В, (П) 5х Зу &

Например, первое равенство (И) доказывается так. Пусть приращение / в (х, у, N)записывается по формуле (10). Если считать в послецлей Дх =瓦 &/ = △? = 0, то получим равенство ДхЛ^ = Ah 十 o(/i)(比 ~* 0). После деления его на h и перехода к пределу получим

11m# = @ = А.

九一о h 5х

Из сказанного следует

Теорема 2. Для того чтобы функция f была дифференцируемой 6 точке, необходимо, чтобы она имела в этой точке частные производные, и достаточно^ чтобы она имела в этой точке непрерывные частные производные.

Напомним, что для функции f одной переменной су- щестзоваг^ие у нее производной в точке х является необходимым и достаточным, чтобы она была дифференцируемой в этой точке.

Из (10) следует, что если функция дифференцируема в точке, то она обязательно непрерывна 6 этой точке.

Пример 1. Функция f (х, у, г), равная нулю на ко- ординатных плоскостях х=0, у—0, г=0и единице в остальных точках Аз имеет, очевидно» частные производные, равные нулю в точке (0,0,0), но она, очевидно, разрывна в этой точке и потому не может быть в ней дифференцируемой. Таким образом» одного существования частных производных в точке недостаточно для дифференцируемости и даже непрерывности в этой точке-

Отметим отличие многомерного случая от одномерного. При n = 1 свойство дифференцируемости /вх записывается в виде равенства Af = АДх + о (Дх), следовательно, еслиА Н 0, то оста* ток стремится к нулю приЛх — 0 быстрее главной части. При n > 1 это уже не так, например при п = 3, каковы бы ни были числа А, В, С, одновременно не равные нулю, всех^а можно стремить Ах, △■ △? к нулю так, чтобы при этом постоянно выполнялось равенство АЛх + ЕАу + СДг = 0, но тогда в (10) остаточный член о (р) вообще больше главного. Впрочем, если мы заставим Ax, Ay, Аг стремиться к нулю так, чтобы выполнялась пропорциональность Ах : Az/: Аг = А : В : С, то тогда главная часть приращения будет величиной, имеющей строго порядок р, и остаток будет стремиться к нулю быстрее главной части.

Пример 2. Функция и =図(у + 1) непрерывна в точке (0, 0). Однако легко видеть, что ^^ не существует в этой точке. Следовательно, и не дифференцируема в точке (0, 0).

Если функция f дифференцируема в точке (х, у, z), то главная линейная часть ее приращения в этой точке называется еще дифференциалом f в этой точке, соответствующим приращениям fAx, △", Дг) независимых пере- менных. Он записывается так:

df =冬 А% + 要 Ay +ax 冊" аг

О других обозначениях мы будем еще говорить в § 8.9.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Рассмотрим для примера функцию

z = f (%,")

от двух переменных» которую будем предполагать дифференцируемой .

Мы хотим вычислить эту функцию в точке (х,у), где

戈=^^^р^ ...,

У = -Ро,Р1*Рг …，

Приближенные значения этих чисел запишем в виде конечных десятичных дробей

x + Дх = ±%,%,012 …，%,

У + △" = 士Bo，Bi，02 …，Р*・

Таким образом, имеют место приближенные равенства х»х + Дх, у в у 十△?

с абсолютными погрешностями приближения, удовлетворяющими неравенствам

|Дх| W ICT*, |Ду| W 10±

Подставив в функцию f вместо х, у соответственно х + 十 Ах, у 十 Ay, получим приближенное равенство

/ (%，У) Q f (% + △芻 У + Ау)

с абсолютной погрешностью

|Аг| = |f (х + Дх, у + Ay) -f (х, у)|, которую при достаточно малых Дх, Ау можно приближенно заменить дифференциалом функции f в точке (х, у):

q d^ = — Ах + 冬Ay.

дх оу

Отсюда получаем неравенство

На самом деле это неравенство приближенное, потому что мы получили его, пренебрегая некоторой величиной, правда, значительно меньшей, чем Дх, Ау.

Обратим внимание на тот факт, что конечные десятичные дроби х + Дх, 4 + Ау при уменьшении |А%|, |Ау| становятся все более и более хромоздкими. Поэтому при вычислении числа f(x+ Дх, у + △必 мы должны беспокоиться не только о том, чтобы оно приближало f (х, у) должным образом, но и чтобы производимые при этом вычисления совершались возможно экономно» В силу этого замечания из неравенства (1) следует, что если нужно, чтобы абсолютная погрешность |Az| не превышала данную малую величину, которую мы обозначим через 2九,то этого мы достигнем, взяв числа 心巾 |Ау| такими, чтобы выполнялись неравенства

旣卜—儿 (2)

т. е. чтобы погрешнсють |Аг| распределялась между слагаемыми в правой части неравенства (1) поровну.

Из неравенств (2) видно, что вычисления будут наиболее экономными, если в качестве |Дх|, |Д^| (на самом деле IO""*, 10ч) взять наибольшие возможные числа, удовлетворяющие этим неравенствам.

Пример 1. Функция г=1п (ху) имеет для х> О, I/ > О непрерывные частные производные, равные

gg _ 1 дг _ 1

3% #'勿-y•

Поэтому приближенное равенство

2 = 1П XI/ «1п [(х + Дх) (у + Ау)]имеет абсолютную погрешность, которая при малых при-ращениях Дх, Aj/> если пренебречь величинами, значитель-но меньшими этих приращений, удовлетворяет неравенству

@, у > о).@, у > о).財&財&ххУУАх f Ау

@, у > о).

@, у > о).

財&

財&

х

х

У

У

Если требуется, чтобы гарантированная погрешность была меньше 2九，надо подобрать Дх, Ау так, чтобы

图.V "修卜入。

Мы видим, что числа Дх, △“ не обязательно должны быть равными. Если, например»х значительно меньше, чем у, то соответственно надо взятьДх меньшим, чемД^- Иначе наши вычисления были бы неэкономными. Если бы^ например, было, что

修I w /,I制4 m

где Xj < 0.1,九2 < 0,0001, то оказалось бы, что

陷 + 图 <0,1001,

и при этом на вычисление второго слагаемого ~^~，ввиду излишней малостиАу, мы потратили бы излишнюю работу. Между тем вычисления упростятся, если взять возможно большие |Ах[, ]Ау], удовлетворяющие неравенствам

囲 W Об,脚& 0,05.

Пример 2. Функция z = ху имеет непрерывные ча

стные производныестные производныеdzбхdzбх= !/，= !/，窑=#・ Поэтому приближенное窑=#・ Поэтому приближенное

стные производные

стные производные

dzбх

dzбх

= !/，

= !/，

窑=#・ Поэтому приближенное

窑=#・ Поэтому приближенное

равенство

z = ху « (х + Дх) (у + Д^)

имеет абсолютную погрешность |Az|, которая при малых приращениях Дх, №, если пренебречь величинами, значительно меньшими этих приращений, удовлетворяет соотно

шениям

財 и 1dzi & I心I + |хД^|.

Соответственно относительная погрешность удовлетворяет соотношениям

囤以公止+也

I г I I 2 x у

Мы видим, что при малых Дх и &/ можно считать, что относительная погрешность произведения не превышает сумму относительных погрешностей сомножителей.

Пример 3. Функция и = ~ для у / О имеет непре- рывные частные производные

gz _ 1 炭—__хел： /勿一尸

Поэтому приближенное равенство

2 =—〜У У+Ау

имеет абсолютную погрешность |Дг[> которая при малых при- ращенияхДх, Ау, если пренебречь величинами, значительно меньшими, чем Дх, △?, удовлетворяет ссютношениям

1Azi 丈 |dz| W1Azi 丈 |dz| W

1Azi 丈 |dz| W

1Azi 丈 |dz| W

Соответственно относительная погрешность удовлетворяет соотношениям

—1制・

Таким образом, при малыхДх:и Ау можно считать, что относительная погрешность частного не превышает сумму относительных погрешностей делимого и делителя.

Примечание. Вопрос о точных оценках величин, которыми мы пренебрегали, решается на основании формулы Тейлора для функций многих переменных. Об этом будет идти речь в § 8.10.

Касательная плоскость.

Геометрический смысл дифференциала

Пусть задана поверхность S, описываемая функцией

(1)(1)2 = 〃％,办

(1)

(1)

имеющей непрерывные частные производные на некоторой области плоскости х, у (можно считать, что f дифференцируема в каждой точке области).

Касательной плоскостью к поверхности S в ее точке MQ = (х0, yQ9 г0),飞=f (х0, у。)называется плоскость, имеющая уравнение

晦）。，團73晦）。，團73Z-『(凱(Х-&) + (乳(У-"°),(2)

晦）。，團73

晦）。，團73

гдеХ, Y,Z — текущие координаты.

иия частных производных от / в точке Ро = (х0> у。).

Обозначим плоскость (2) через П. Она проходит через точку АГ。поверхности S и обладает свойством, отличающим ее от других плоскостей, проходящих через Мо.

Пусть Р = (х, у) есть точка плоскости х, у» близкая к В)= ("о, Уо)(рис. 96). Прямая, проходящая через Р параллельно оси N, пересекает П в точке 7\ а поверхность S — в точке М. Аппликата М равна

2=7(%, У),

аппликата же Т равна

Z = "&，齢+ (劫(…。)+ (乳("/

Расстояние между точками М и Т равно

1№ =卜冬力一/国,%)-(fЭ。(%та務)@-%)•(3)

Расстояние же между точками Р и Ро равно

p =必一/7+G)2 •

Так как функция f по условию имеет непрерывные частные производные в точке (&, %), то она дифференцируема в этой точке, поэтому правая часяъ (3) стремится к нулю быстрее, чем р, т. е.

|МТ| = о (р) (р-0).

Мы доказали, что касательная плоскость П

Рис. 96Рис. 96к поверхности S в ее точ- кеМ0=(х0, yQ9 г0) проходит

Рис. 96

Рис. 96

через эту точку и обладает свойством: расстояние в направлении оси z от произвольной точки (х, у, f (к, у)) поверхности S 0。II есть о(р)(р -* О), где р — расстояние между точками (х, у) и fx0, у0) плоскости х, %

Это свойство является характерным для касательной плоскости, потому что если некоторая плоскость П' вида

Z _ % = а (х -算 J + b (у — yj(% = "&，Уо))

обладает этим свойством, т・ е. если для нее выполняется равенство

f(x, y)-f^ %)-@(#-&)-b匂一％) = о (р) (р — 0) или, что все равно, равенство

f(x9y)-f(x^ у0) = а(х-Хо)^Ь(у-у^^о(р) (р —。)， то, как мы знаем, f дифференцируема в (Xq, у。)и

。=(劫•Ь遮｝

т. е. плоскость П* есть касательная плоскость к S (П* = П).

Таким образом, для того чтобы поверхность S имела касательную плоскость в ее точке (х0, %, / (х0, %)), необ- ходимо и достаточно» чтобы функвдя / была дифференцируемой в точке Ро= (х0, у。).

Правая часть уравнения (2) есть дифференциал / в точке (х0, %)

仆（В—。）"乳仆（В—。）"乳(У - %)，(У - %)，

仆（В—。）"乳

仆（В—。）"乳

(У - %)，

(У - %)，

соответствующий приращениям (х - х0, у - %). Левая же часть (2) есть соответствующее приращение аппликаты касательной плоскости П.

Таким образом, с геометрической точки зрения дифференциал функции f в точке (х0, у。) для приращений (х 一 —х0> у ^Уо) есть приращение аппликаты точки касательной плоскости к поверхности 2 = f (х, у) в точке (х0, у。)для тех же приращений.

Замечание, Если функция 2 = f (х, у) не дифференцируема в точке (х* %), хотя и имеет в ней частные произ- воднне, то плоскость《2) не имеет смысла называть касательной плоскостью к поверхности z= f(x, у) в указанной точке — для нее разность / (х, у) - Z не стремится к нулю при р — О быстрее р. Например, если функция z - f(x9 у) равна нулю на осях х и у и единице в остальных точках плоскостих, у, то 九(О, О) = fy (0, 0) = 0 и уравнение (2) есть Z = 0 и разность f(x,y)-Z = f(x9y)-O=l для всех точек (xf у), не лежащих на осях х и у. Таким образом, эта разность даже не стремится к нулю при р f 0.

Производная сложной функции.

Производная по направлению. Градиент

Производная сложной функции Ограничимся рассмотрением функций трех переменных, определенных на открытом множестве Gu Я3 (определение открытого множества см. § 8.3, мелкий шрифт). Распространение излагаемых здесь фактов на n-мерный случай производится аналогично.

Теорема 1. Пусть функция

(1)(1)и = f (x,y,z)

(1)

(1)

дифференцируема в точке (x,y,z)GG,a функции

# = <Р"), y=V“)， z ==%")，(2)

зависящие от скалярного параметра t, имеют производную 6 £• Тогда производная no t от сложной функции (производная от f вдоль кривой (2))u^F(fy =f((p (t)> V ОX (£)) вычисляется по формуле

尸⑴=九(9(±)，V任)，X (大)師'G) +

十 fy (Ф О V 任),X G))Vf (О + Л (<Р О V ⑴，К。)貝'&)， или, короче,

d〃 = 8f dx I 8f dy 澤 dz⑶

dt 5r dt dy dt 0z dt*''

В самом деле, вследствие дифференцируемости / в (х, у, z), каково бы ни было достаточно малое приращение (Дх, Z，А*

△〃 = /(% + Ах, у + Ау, 2 + Az) — / (%, у, z)=些 Ах + 穽Ay + 8# оу

+或Az + о (р) (p =厶話+A十+a/ -* 0).(4)

dz

Значению t, которому при помощи равенств (2) соответствует точка/"х, у, z), придадим приращениеДЛ Оно вызовет прираще- нияДх, Ay, Az функций (2). Если именно их подставить в (4), то получим приращение 尸(± + △土)一尸(£) = Ли функции F в точке^ После деления (4) наД^ и перехода к пределу получим F'(力)=ИтА^ =

&-0 At

е± △% i 扰 Ay I 我 Ag ］知))=扰 dx I 况 dy I 81 dz &-《汲 Ai т dy 毋 8z Ai At 丿 Эх dt dy dt dz dt'

t. e. (3), потому что функции (2) имеют производные, а 如逸麻囹W-

-0"；.君=0 (a…0)

(А± — 0 влечет р 一 0).

Замечание 1. Если функции х, у, z зависят от многих переменных, например от двух:

х = <р (t, т), i/ = V(t т), z = %«,©,то, фиксируя сначалат, а затем t, на основании (3) получим迦=改世+亚勉+生亥匈=亜迩+亚生+亚匹.St Sx dt ду 3£ Sz St'况 дх 5т ду 况 3z 况

Производная по направл ению Теорема 2. Если функция f дифференцируема 6 точке (х, у, z), 7no для нее имеет смысл производная по направлению любого единичного вектора 以=(cos a, cos В， cos у), выражаемая формулой

df а/а/力 а/

* = *cosa+*cosp+*cosY(5)

on дхЗу 3z' '

(а，Р，у ——углы, которые вектор п составляет с осями х, У，N).

Доказательство. Согласно определению производной по направлению (см. § 8.4) и в силу предыдущей теоремы

а/ = Нт 負尤+誕。沁 y + £cosB，2 + asy)-/(x,y,z) дп £-0t

<>о

f(x+^cosa,"十土cos & z+tcosy)j =

=—cosa++ 兔 cosy, Зх 3y 3n

где частные производные взяты в точке (х, у, z\

Замечание 2. Теорема 2 не обратима, т. е. если функция / имеет производную в точке (х, у, z) по всем направлениям, то она не обязательно дифференцируема в этой точке. В качестве примера можно рассмотреть функцию f

от двух переменных, равную нулю всюду, кроме точек у = -х f х > О), где она равна единице.

Если х =<р(S)* у =屮(s), г=х (s) — уравнения гладкой кривой Г, где параметр s — длина дуги, то величины

黑=5⑸，黑=u(*窮=К'(S)

суть направляющие косинусы вектора касательной к Г. Поэтому величина

磐=異屮'(S)+ 妥U (s) + 妥％'(s) = }/ (屮(s)，V(s).X (s)， ds dx 勿 dz ds

ще f — дифференцируемая функция» есть производная по направлению указанного касательного вектора. Говорят еще, что — есть производная от / вдоль Г.

ds

Градиент функции. Введем вектор

时g僅囁阍，(6)

называемый градиентом функции / в точке (%, у, z)・

Формула (5) говорит, что производная omfe точке (х, у, z)几。направлению единичного вектора правна проекции градиента в этой точке на направление nr

亚=(grad А и) = gradn「(7)

дп

Имеет место очевидное неравенство

瞽 W Igrad 力(8)

для любого вектора п. Если grad / = О, что обычно бывает

только в исключительных точках, то 力=О для любого on

вектора п. Если же grad /)0 (одна из частных производных

от f не равна нулю), то (8) есть строгое неравенство для

всех единичных векторов л, за. исключением единичного вектора n0= (cos %, cos Ро, cos у。), направленного в сторону grad 7 (~^- = |grad 力 > 0). Таким образом.

Из сказанного следует, что градиент функции / в точке (x,ytz) можно определить как вектор, обладающий следующими двумя свойствами:

длина его равна максимальной величине производ

ной по направлению в fx, у, z) (для дифференцируемой в (х, у9 N)функции этот максимум существует и есть число неотрицательное);

если его длина не равна нулю, то он направлен в ту же сторону, что и вектор п, вдоль которого производная

查 дп查 дпмаксимальна.максимальна.

查 дп

查 дп

максимальна.

максимальна.

Пример 1. Пусть температура 〃 тела G есть функция от точки (#, у, z):

U = f(x9 У，N),(х, у, z) £ G (G и 马)

и пусть grad 〃工 0 в некоторой определенной точке (х,弘 z). Выпустим из этой точки вектор, равный grad и. Вдоль это-

го вектора скорость возрастания температуры и в (х9 у» z) наибольшая, равная положительной величине |grad u|・

Если же в рассматриваемой точке grad и = 0, то в любом направлении, выходящем из этой точки, скорость изменения температуры равна нулю,.

Задача. Найти градиент функции u = x2 +z/6 в точках (I, О), (О, 1), (1/如,1/应).

Однородные функции. Введем в рассмотрение так называемые однородные функции. Пусть задан вектор 入=01，•••，”，где%—произвольные числа. Функция f (хр...»хД заданная на Rn, называется ^-однородной степени т, если для всякого i > 0 и любых х = (#],“•, xn) w Rn выполняется равенство:

巾X，・・・,户吃)=£ ” /(#],・・・, хл),(10)

где W =汽 I*

Если 入1 =…=入〃 =1, то f называется просто однородной функцией степени т. Ниже будем считать, что частные производные £ (i == 1, “” п) непрерывны в Rn.

Теорема 3・ Для того чтобы функция f была ^однородной степени т, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась равенство

2入产(%i，…，xn) = ? f (Xj, xn)-(11)

Если функция f однородная степени т, то мы получаем известную теорему Эйлера.

Доказательств о. Необходимость. Пусть /является Х-однородной функцией степени т; тогда, дифференцируя тождество (10) по 方 как сложную функцию, получим

Полагая в этом равенстве 9=1, получаем равенство (11).

Достаточность. Пусть теперь имеет место равенство (11). Зафиксируем точку х = (хр...»хп) и составим функцию

§«) =「"《产X，…,户%J.(12)

Дифференцируя эту функцию по £, находим:

卢*伫巧…△%)人囲产-

§' G) = ~~421^E+

t n

一m 煤/—》(/%, •・•, tSn) _

+=

t n

力xv#%・••, %)-嶼串%…，F

一znMl

Последнее равенство имеет место в силу (11) для точки (卢玉,…，户xj.

Таким образом, §'(t) = 0 и 屮 ⑴=с. Постоянную с находим из условия, что при ^ = 1 (р (1) = f (Xj, ..., хп). Значит, из (12) имеем

f (土 1 冥i，…，t П^п| — t П f (^p -••» %n)，

т. e. функция / является 1-однородной степени m.

Дифференциал функции.

Дифференциал высшего порядка

Основные рассуждения в этом параграфе ведутся в n-мерном пространстве. Мы думаем, что это не затруднит читателя.

Рассмотрим функцию

W = f (") = Г (%i，•••, %п),(1)

заданную на некотором открытом множестве G и Rn

(см. § 8.3). Ее можно бесконечным числом способов записать в виде

ж = ф(и) = ф (%,…，口加)，(2)

где

,=y;(x)0 = 1,…，т; х е G).(3)

Ниже мы будем употреблять следующую терминологию： переменная W есть функция от независимой векторной переменной х； эта же переменная W есть функция от зависимой векторной переменной и. Последняя зависит от независимой переменной х: каждому вектору # 血3 G соответствует вектор и = В】 (х),...» 屮痴(х)).

Таким образом, роль векторной переменнойх здесь носит исключительный характер — она в приводимых ниже рассуждениях будет фигурироватьтполько как независимая переменная.

Пусть функция f имеет непрерывные частные производные первого порядка в точке x t G. Тогда, как мы знаем из § 8.5, она дифференцируема, т. е. приращение ее в этой точке может быть записано в виде

АТТ = f 沪 Ах.+ о(р)(р - О),(4)

六］OXj

р = |Ах| = ^Ах；), и ее дифференциал равен

"=汽当%•(5)

Для независимых х. •••, хл полагают

△弓=d巧 0 = 1，…，n)(6)

и называют эти величины не только приращениями независимых переменных хр но и их дифференциалами. Мы будем их л&зывагънезависимьини дифференциалами в знак того, что они не зависят отх = (х1#..., %/. Формально «независимостью величин dXj будет проявляться в том, что при

дифференцировании (по хр..., хп) они будут рассматриваться как постоянные (d (dx) ^ 0).

В силу соглашения (6) дифференциал W может быть записан в форме

加=£県血厂(7)

Ясно, 4TodW есть величина, зависящая, вообще говоря, от #], ♦•♦, х» и dx】，…，dxn.

Для любых двух функций и и V» имеющих непрерывные частные производные в точке х, справедливы свойства

峭峭d (и ± V)= du ± dv,d (uv) = udv + vdu9d (и ± V)= du ± dv,d (uv) = udv + vdu9vdu-udvvdu-udv2 u2 u(D 工 0),(D 工 0),(8)(9)(10)(8)(9)(10)

峭

峭

d (и ± V)= du ± dv,d (uv) = udv + vdu9

d (и ± V)= du ± dv,d (uv) = udv + vdu9

vdu-udv

vdu-udv

2 u

2 u

(D 工 0),

(D 工 0),

(8)

(9)

(10)

(8)

(9)

(10)

и при этом частные производные от функций, стоящих в скобках, непрерывны в точке х.

Докажем, например, третье из этих равенств

НепрерывностьНепрерывностьвидна из третьего члена цепи.видна из третьего члена цепи.

Непрерывность

Непрерывность

видна из третьего члена цепи.

видна из третьего члена цепи.

Дифференциал от функции W называют еще дифференциалом первого порядка, потому что приходится еще рассматривать дифференциалы высших порядков.

Пусть теперь функция W имеет вторые непрерывные частные производные. По определению второй дифференциал от нее, соответствующий независимъхм приращениям (дифференциалам) d#】,…,dxn, определяется равенством d2W^d(dW),(11)

где считается, что обе операции^ в правой части (Ц) берут-

ся для указанных независимых dxr „., dxn> которые должны рассматриваться как постоянные (не зависящие от хр...» хя). Таким образом,

/吟哈関―现毒④=

Так какТак какN嘴人嚼N嘴人嚼^W ^W^W ^W3幸陷 dxJdxi3幸陷 dxJdxi森产声尸森产声尸(12)(12),то второй дифференциал пред,то второй дифференциал пред

Так как

Так как

N嘴人嚼

N嘴人嚼

^W ^W

^W ^W

3幸陷 dxJdxi

3幸陷 dxJdxi

森产声尸

森产声尸

(12)

(12)

,то второй дифференциал пред

,то второй дифференциал пред

ставляет собой квадратичную форму относительно независимых дифференциалов dxz, «., dx„. Квадратичной формой от переменных &卩・•・* &〃 называется функция вида

詠&Дл，Ее %左=°艇.

/=1 4=1

Вообще дифференциал порядка ^ от W для независимых дифференциалов d#『..・,dxn определяется по индукции при помощи рекуррентного соотношения

dV= d (d^W) (Т = 2, 3,…)，(13)

оде d‘, d, б'"4 берутся для указанных независимых диф< ференциалов dxv …,d%“, которые к тому же рассматриваются: при вычислениях как постоянные (не зависящие отх1# ...»%J

Рассуждая, как в (12), легко получим, что

丘=£££dx.dx^

Так как мы предполагаем, что функция f имеет непрерывные частные производные» то запись дифференциалов можно упростить.

Например, для функции от двух переменных м = / (х, у) имеем

Нм = ,； dx2 + 2f^ydx dy + ?； di^9

Применяя метод математической индукции, легко по> лучим, что

^и — ^-^dx1 + n^~^~dxn 】dy + …ах дх ду

••• +••• +dx^^dy1 + ... +dx^^dy1 + ... +nfn—l)…(7t—/?+l)87y

••• +

••• +

dx^^dy1 + ... +

dx^^dy1 + ... +

^ dx~kdy

Символически это можно записать так:

d% = dV 二d% = dV 二

d% = dV 二

d% = dV 二

где в правой части мы сначала возводим выражение в степень п, а затем подписываем f при символе Э71.

В многомерном случае имеет место аналогичная символическая формула

(14)(14)

(14)

(14)

Мы определили понятие дифференциала функции W в терминах независимых переменных хг, ...» хл (или независимой векторной переменнойх). Но пусть, как это было объяснено в начале этого параграфа, Ж рассматривается теперь как функция от зависимой векторной переменной “ = (〃],…，〃m)・ Возникает вопрос, как выражаются дифференциалы первого и высшего порядков в терминах этой переменной и. Начнем изучение этого вопроса в случае дифференциала первого порядка.

Будем предполагать, что функции ф (и) и 也(％)。= 1, ...,m), о которых шла речь в начале параграфа, имеют непрерывные частные производные. Тогда

皿議"束驚制吁

и мы получили, как в случае одной переменной, что первый дифференциал от W выражается через зависимые перемени мы получили, как в случае одной переменной, что первый дифференциал от W выражается через зависимые перемен

и мы получили, как в случае одной переменной, что первый дифференциал от W выражается через зависимые перемен

и мы получили, как в случае одной переменной, что первый дифференциал от W выражается через зависимые перемен

ные так же, как через независимые. В этом проявляется инвариантность формы первого дифференциала.

Чтобы исследовать поставленный вопрос в случае второго дифференциала, будем предполагать, что функции 屮网 书 имеют непрерывные частные производные второго порядка.

Дифференцируя обе части (15), приняв во внимание свойства (8) и (9), получим (пояснения ниже)

// = d (а卜)=

，4伍嬴"，+量峙 嘴矗7… 皿

Во втором равенстве этой цепи мы воспользовались свойством (8), в третьем же — свойством (9), и, кроме того, тем фактом, что форма первого дифференциала сохраняется и для зависимых переменных и^ Мы видим, что второй дифференциал от Ж> выраженный в терминах зависимых переменных и^ существенно распадается на два слагаемых. Первое слагаемое представляет собой квадратичную форму, аналогичную форме (12), где @2昭 выражалось через независимые переменные. Второе же слагаемое представляет собой некоторый добавок, с которым надо считаться: если / (/= 1, ...,/п)не является линейной функцией от 巧，то этот добавок отнюдь не равен нулю.

Отметим, что из наших рассуждений следует, что если выражение (16) взято для dxv •・•, dxn, которые фигурируют в выражении (12), то оба эти выражения тождественно равны, каковы бы ни были х, для которых существуют указанные непрерывные частные производные второго порядка и каковы бы ни были независимые 也.

Вычисление дифференциалов ^W, d^W, ... через зависимые переменные 匕 производится подобным образом последовательно. Приходится считаться с тем фактом, что выражения для них становятся все более громоздкими.

Формула Тейлора

Ограничимся рассмотрением функции от двух переменных. Пусть u = f (х, у) имеет в окрестности точки Ро = (х0> у。) непрерывные производные всех порядков до Zno включительно. Возьмем в этой окрестности точкуР*=(& +Дх,у0 + Ау). Соединим точки Ро и 巴 отрезком прямой, уравнение которого можно записать в параметрической форме следующим образом:

х = х0 + 必爲 У =У^^ ^У (0 W t W 1).

Тогда вдоль этого отрезка наша функция u = f (х, у) будет функцией от одного переменного ti

f (х, у) = 〃％ 十 £△%, % 十 £&/ 二尸(0-(1)

Легко видеть, что разность

△/ (尸0)= f(xo+ Ан，％ +^y)-f (&，％) = F (1) - 尸(0)•⑵

Формула Маклорена для функции 尸(t) в окрестности точки % = 0 имеет вид

产"(0)戶 产⑼(

尸 ⑴ =f(0)+若

(0 < 9 < t).

Полагая t = 1, получим

尸(1)-尸(0) = £^P+^^, гдеО<0<1.(3)

Вычислим производные функции尸(t) через/ (г, у)・ Из соотношения (1) имеем

,. a&+£Дх, %+ 必力 a* + "l+必乂纪必0

* 7дхay

откуда при 力=0 получаем

р(0)= e管%上 + ".如)Ay ="(4)• Совершенно аналогично

尸"G) = ] Qo + tg % + t&/) Дх2 +

+ 2爲(& + tAx, y0 + tAy)AxAy +

+。(& + 必t y0 + 必“『'(0) =右(％). Продолжая этот процесс, получим

尸‘"(о)=d7(p0),.... m‘T)(о)=/«/(%)•

В силу этого из (2) и (3) имеем

1 (Р。)=噌+•••+察翳+評f (*o + 0Д«> Уо + е△办

⑷

Формула (4) называется формулой Тейлора для функции u = f (*, “). По внешнему виду она такая ясе, как и для функции от одного переменного, но в развернутом виде она гораздо сложнее.

Для случая функции от п переменных (п > 2) формула Тейлора записывается в том же виде (4).

При Е = 1 формула Тейлора для функции Г от п переменных имеет вид

f(x)-/(x°) = tM (写-域)(0<0<1),

где символ( )а означает, что функция в скобках вычисляется в точке * = а. Эта формула представляет собой обобщение теоремы Лагранжа о среднем на многомерный случай.

При I = 2 и п = 2 формула (4) в развернутом виде записывается так:

/3 у)=/ (%, Уо) + 詮外 ％)(н - 与)+ 事”3 %)(У - Уо) +

+/信(/+0口-%)，/

+ е(У-Уо))(Х-Хо)2 +

+2^^(Хо + 0(х-х0), Уо + е (у _ Уо))(尤 一 хо)(У — Уо)+

+ 筹(& + е (電-%), % + е (у - ％)) (у-%)].

При Z = 2 и произвольном п формула (4) выглядит следующим образом:

—。噂鼠付力

+叫斗燃力("T)+卜е)，/t冃1"吗丿』(2)

где X =(工[а ..., Хп), X =(招，…，"”)•

Замкнутое множество

Множество^ aRn =R называется ограниченным, если существует число М > 0 такое, что

国 W М Vx G А,

иначе говоря, если существует шар uR с центром в нулевой точке, содержащий в себе А

Множество А называется замкнутым, если из того, что какая-либо последовательность точекxft(fe = 1» 2,...), принадлежащих кА, сходится к точке х° £ R (xfc — #°,力比 е с Л) следует, что к° принадлежит кА(х° 6 Л).

В этом определении не утверждается, чтоА содержит в себе сходящуюся последовательность. В нем говорится только, что если в А существует сходящаяся последовательность, то точка, к которой она сходится, принадлежит кА.

Это показывает, что надо считать, что пустое множество замкнуто. Все пространство R“ тоже, очевидно, замкнуто, но неограничено-

(а, Ь ,с> 0),(а, Ь ,с> 0),Рассмотрим в качестве примера эллипсоид в трехмерном пространстве

(а, Ь ,с> 0),

(а, Ь ,с> 0),

(1)

т. е. множество точек (х,у, z), удовлетворяющих уравнению (1). Обозначим это множество через В Это ограниченное множество, потому что для любой его точки (х, у, z) выполняется неравенство

хде m》а2» Ь2, с2. Оно также замкнуто, потому что еслихде m》а2» Ь2, с2. Оно также замкнуто, потому что еслистремящуюся к точке (х0, %, z。), то эта последняя тоже принадлежит к В. Ведь из равенствастремящуюся к точке (х0, %, z。), то эта последняя тоже принадлежит к В. Ведь из равенства

хде m》а2» Ь2, с2. Оно также замкнуто, потому что если

хде m》а2» Ь2, с2. Оно также замкнуто, потому что если

стремящуюся к точке (х0, %, z。), то эта последняя тоже принадлежит к В. Ведь из равенства

стремящуюся к точке (х0, %, z。), то эта последняя тоже принадлежит к В. Ведь из равенства

после перехода к пределу при 为—8 следует равенство

показывающее, что (х0, %, %) е В.

Рассмотрим теперь более обширное множество А, состоящее из точек (х, у, z), координаты которых удовлетворяют неравенству_

22

舍一方+5W1.⑵

Множество А, очевидно, тоже ограничено. Оно и замкнуто, потому что если

(*а» У*，马)с А (论=1, 2,・..), т. е.

И(4,必,20 — (х0, %, 20K то очевидно.

т. е. (%, у。, z。)G -А.

В связи с этим интересно рассмотреть еще третий пример множества 4 точек (х, у, z) с координатами» удовлетворяющими строгому неравенству

马+g+马 < 1-(3)

a b с

Множество 4 открытое (см. § 8.3), оно не замкнуто. Возьмем, например, последовательность точек (а比,0,0), где а* стремится к числу а, строго возрастая. Тогда (а紋 О, 0) е w 4 (左=1, 2,…)и (afc, 0, 0) — (а, 0, 0)・ Однако предельная точка (а, 0, 0) не принадлежит к А'.

Рассмотренные примеры легко обобщаются. Пусть на всем пространстве Вп задана непрерывная функция 尸(*)=F 住。•••, хп). Тогда множество В всех точек # = (хр ..., хп), для которых выполняется равенство

Г (х) = Г (хр „., хп) = С,(4)

где С — произвольное число, замкнуто.

В самом деле, может случиться, что нет вовсе точекл, удовлетворяющих равенству (4), т. е. В — пустое множество, но пустое множество замкнуто. Пусть теперь В не пустое множество и некоторая последовательность точек {炉}, принадлежащих к В, сходится к точке х° w R“ (если В состоит даже из одной точких°, то можно уже построить сходящуюся последовательность точек, принадлежащих кВ, а именно, {х°, *°,…})• Тогда 尸(х*) = С (左=1, 2,・・・)，и в силу непрерывности F в о точке х

Нт 尸(*} =尸(х°) = С.

*一»8

Но тогда х° е В, т. е. множество В замкнуто.

Подобным образом множество всех точек х, удовлетворяющих неравенству^ (х) W С, где С — произвольное число, a_F —

функция, непрерывная на/?п» замкнуто» потому что из соотношений

f(/)WCS = L 2,…),必Т *°

=1 (ак > О)=1 (ак > О)вследствие непрерывности 尸 на Rn следует: F (*°) W C. В силу сказанного 九-мерный эллипсоид

=1 (ак > О)

=1 (ак > О)

⑸

есть замкнутое множество в ВЛ.

(6)(6)⑺⑺Замкнутым множеством в Rn является также п-мерный объемный эллипсоид

(6)

(6)

⑺

⑺

Однако множество

которое естественно назвать п~мерным открытым объемным эллипсоидом, не замкнуто. В этом можно убедиться, рассуждая, как в случае формулы (3). Это множество открытое (см. §&3)・

Пусть А есть произвольное множество, принадлежащее к К„, и%° — произвольная точка Rn (Аи %, х° g R) Может быть только 1ри взаимно исключающих друг друга случая:

Существует шар 兀(открытый) с центром в точке х°, полностью принадлежащий кА (兀 и4)・ В этом случае х° по

Рис. 97Рис. 97определению есть внутренняя точка множества А (см- § 8.3).

Рис. 97

Рис. 97

Существует шар У。с центром в х°, все точки которого не принадлежат к А (О。и ВП\А). В этом случае 0

х по определению есть внешняя точка множества А

В любом шаре Р° с центром в о*

х имеются точки, принадлежащие и

384 MABA 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ НСЧКСЛЕННЕ ОУНКЦИ立 МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ не принадлежащие к А В этом случае х° по определению есть граничная точка множества А.

Множество А' всех внутренних точек множестваА назьтва- етсяоткрытым ядром А,Это — открытое множество (см. § 8.3). Если А' не пусто, то каждую точку Аг можно покрыть шаром с центром в ней, полностью принадлежащим к А Если А'— пустое множество, то оно формально считается открытым.

Множество Г 三 SA всех граничных точек А называется границей множества А Это — замкнутое множество, потому что, если хй -* х° и xfc G Г (Л = 1, 2, ...), то всякий открытый шар V% с центром в %° содержит в себе некоторую точку』

Последнюю можно покрыть шаром Vh с дентром в ней, полностью принадлежащим к Vo (Vk и Vo). Но в Vh имеются точки, принадлежащие и не принадлежащие кА, но тогда и в Уо имеются точки, принадлежащие и не принадлежагцие к А. Следовательно, х° G Г.

Множество А* всех внешних точек множества А, очевидно, открытое.

Граничные точки А могут принадлежать и не принадлежать к множеству А.

На рис. 97 множество А с R2 состоит из точек (хр &)：

巧 +х2 W 1.

Открытое его ядро состоит из точек

4+冥:< 1.

Внешность А множества А:

¥ + 奇> 1.

Граница Г множества А:

22-

玉 + j= 1.

А и А* открытые, ГиА' + Р = А= А замкнутые.

Итак, если задано произвольное множество 4 и / то по отношению к нему пространство Rn можно представить в виде суммы множеств, определенных выше, попарно не пересекающихся:

%=А'+1Г + А"・

Если в качестве множества А рассмотреть 办-мерннй замкнутый объемный эллипсоид (6), тоА' есть открытый объемный эллипсоид (7), а Г есть эллипсоид (5).

того, что А — центром в х°).того, что А — центром в х°).открытое множество, нашелся бы шар 匕(с полностью принадлежащий к/L Но это невозоткрытое множество, нашелся бы шар 匕(с полностью принадлежащий к/L Но это невозЕсли А — открытое множество, то Rn\A замкнутое, 〃 обратно. В самом деле, пустьА — открытое, и пусть%" 一 ％°, ж* € Rn\A. Если бы точка %° принадлежала к А, то в силу

того, что А — центром в х°).

того, что А — центром в х°).

открытое множество, нашелся бы шар 匕(с полностью принадлежащий к/L Но это невоз

открытое множество, нашелся бы шар 匕(с полностью принадлежащий к/L Но это невоз

можно, потому что в 匕 имеются точки /, которые принадлежат кR「\4Таким образом, х° g % \4 и Вп \А замкнуто.

Пусть теперь А замкнуто и точка х° е Rn\A. Если бы точка *° была граничной точкой А, то в любом шаре V。с центром в*" были бы точки А. Тогда можно было бы построить последовательность точек хА £ А, сходящуюся к *°・ Но тогда вследствие замкнутости А точка %° принадлежала бы к А, что противоречит предположению, что %° G 五“ \厶・ Мы доказали, что произвольная точках0 e Rn\A есть внутрен

няя точка Rn\A, т. е. что Rn\A — открытое множество. Множество А +Г называетсязамыканиемА и обозначается

так:

Очевидно,

А* +Г = А +Г, потому что, с одной стороны,А* и4 и, следовательно, А* +Г и сА +Г» а с другой, если % € А + Г, то либо * £ Г, н тогда х g е 4' + Г, либо х g А и х g Г, но тогда х g А* с Аг и- Г.

Далее, А = А + Г — замкнутое множество, потому что внешность А + Г = Аг +Г — открытое множествоо

Таким образом, чтобы получить А, надо добавить кА все не принадлежащие к множеству Л. его граничные точки.

Если А замкнуто, то

А =4 + Г =А, т. е. все граничные точки А принадлежат кА Ведь ВП\А открыто и каждая точках0 £ Rn\A может быть покрыта шаром

А =4 + Г =А,

то А замкнуто, потому что если *' — х°, / с А и если предположить, что х° е А, то получится противоречие, потому что тогда х° G Г и А + Г =4

Таким образом, для того чтобы множество А было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы с ним совпадало его замыкание (А = А)・ В частности, А всегда замкнуто, и потому А ^ А.

Наконец, отметим, что пустое множество и все пространство Rn являются одновременно открытыми и замкнутыми множествами. Можно доказать, что в остальных случаях, если множество^ открыто, то уж не замкнуто, а если замкнуто, то не открыто.

Непрерывная функция

на замкнутом ограниченном множестве

ПустьА есть пока произвольное множество пространства R = Вп, и пусть наА определена функция /(#) = / (хх, ・■•, хп). Может случиться, чтофулкция f определена не на всей окрестности точких° £ 4 (А — замыкание А), а только на некоторой ее части- В этом случае возникает понятие предела функции f в точке х° G А по множеству А.

Число В называется пределом функции f в точке х° G Апо множеству А, если

^f^B^

какова бы ни была последовательность точек зс G А, схо- дящаяся м х •

По определению, функция f непрерывна в точке #° е е Апо множеству А, если имеет место равенство

^^f^ = f(^)t(1)

какова бы ни была последовательность точек #" е А, схо- 公о

дящаяся к х .

Приведенное определение непрерывности можно сфор-

■ ВЛ2・ НЕПРЕРЫВНАЯ 心УНКЩЫ НА ЗАМКНУТОМ ОГРАШШЕШЮМ МНОЖЕСТВЕ 387 мулировать и на языке е, 8: функция f непрерывна в точке ж0 G А, если для любогое> О найдется 5 > О такое, что

\f(x)-f(^)\<s Vx е А, |х-х°|<8.

Теперь мы будем предполагать, что 4 есть ограниченное замкнутое. множество пространства Я и заданная на А функция f (х) непрерывна иа этом множестве. В этих предположениях можно доказать следующие замечательные свойства:

Функция f ограничена на множестве А

Функция f достигает на множестве А максимума и минимума, т. е. существуют в А точки х0 и у° такие, что

f (*°) = maxf(x),f @°) = max f (х).

Функция f равномерно непрерывна на множествеА, т. е. для всякого £ > 0 найдется такое 5 > 0, что

丿3)-73')1<e

для любых *', #" g А, удовлетворяющих неравенствам К' - к"| < 6.

Как мы видим, свойства 1), 2), 3) обобщают известные уже нам свойства непрерывной функции f (х) от одной переменной х» заданной на отрезке [q, Ь]. Подчеркнем, что отрезок [%Ь] есть ограниченное замкнутое одномерное множество. Ведь если какая-либо последователь* ность точек (чисел) хА, принадлежащих к отрезку [а, Ь], сходится к некоторой точке (числу) *°, то эта точка принадлежит к [о, 6] (х0 w[a,可)・

Доказательство свойств 1), 2), 3) совершенно аналогично доказательству их для отрезка [а, Ь], приведенному в § § 3.5 и 3.7. Оно всецело базируется на следующей лемме, обобщающей соответствующую одномерную теорему Боль- цано-Вейерштрасса из § 2.9・

Лемма, Из всякой ограниченной последовательностей точекхА = (л^,..., #：)(左=1, 2,・•.)можно выделить под-

последовательность {J} (Z = 1, 2,…)，сходящуюся к не- которой точке # :

|/ -к°|-0 (Z- оо).

Доказательство. Так как последовательность {工龙} ограничена, то существует числом такое, что

м》|/|> 团 0=1, •м》|/|> 团 0=1, ••・，п; k= 19 2,…).•・，п; k= 19 2,…).

м》|/|> 团 0=1, •

м》|/|> 团 0=1, •

•・，п; k= 19 2,…).

•・，п; k= 19 2,…).

Это показывает, что координаты точек х также ограничены. Первая координата образует ограниченную последовательность {*：}佈=1,2,.-), ина основании одномерной теоремы Больца- н<>-Вейерштрасса найдется подпоследовательность й^ натуральных чисел и некоторое число 曜 такие, что 培^*曜(乙-* 8). Вторую координату 宕 рассмотрим только для найденных на- туральных ^. Подпоследовательность |^Z1 j ограничена, поэто-

му из нее также можно выбрать подпоследовательность {才}

и число 制 такие, что4片-Наккак {&} есть подпоследова-

тельность {/}, то имеет место одновременно 玉」■

Продолжая этот процесс, на n-м его этапе получим подпосле-

довательность натуральных чисел 纪=瓦 и систему чисел

о

■…* хи такие, что одновременно 电 0 耳 0耳 0

可一吃，Х2 -*^2» •••, *П 一札

Полагая *° =(*…,圖,Полагая *° =(*…,圖,получим утверждение леммы.получим утверждение леммы.

Полагая *° =(*…,圖,

Полагая *° =(*…,圖,

получим утверждение леммы.

получим утверждение леммы.

Доказательство свойства 1)-Допустим,что/не ограничена на замкнутом ограниченном множестве 4 Товда для каждого натурального числа т существует точка 工 £ А

такая, что

(2)(2)|f (xm)| > т (m = 1, 2,…).

(2)

(2)

Так как множество А ограничено, то последовательность точек {才} также ограничена и, в силу леммы, из нее можно выделить подпоследовательность {*叫}, сходящуюся к некоторой точке *°. По условию множество А замкнуто, поэтому точка 1° е 4 Но в точке #° функция / непрерывна и потому

勉吋И斗(3)

Свойство (3) противоречит свойству (2). Поэтому / может быть только ограниченной на замкнутом ограниченном множестве А.

Доказательство свойства 2). По свойству 1) непрерывная на замкнутом ограниченном множестве^ функция ограничена, следовательно, она ограничена сверху некоторым числом К:

fM^K (#£ А).

Но тогда существует точная верхняя грань / на А:

sup f (х) = М.(4)

хсА

Число М обладает следующим свойством： для любого натурального т найдется в множестве А точка хт =(球,...» 翼：)такая, что

М 一 А < 〃*” М (т = 1,2, ...).

Последовательность {хт}, как принадлежащая к ограниченному замкнутому множеству А, ограничена:

1/=所1/=所2сWK1 (т=1, 2,・..),2сWK1 (т=1, 2,・..),

1/=所

1/=所

2с

WK1 (т=1, 2,・..),

2с

WK1 (т=1, 2,・..),

и потому из нее можно выделить подпоследовательность сходящуюся к некоторой точке #° G А. Последнее заключение вытекает из замкнутости множестваА

Но функция f непрерывна на множестве А, следовательно, о

она непрерывна в точке х , поэтому 塵小)*斗

С другой стороны,

М -丄 < 芥丹 W М S = 1, 2,

Переходя к пределу в этом неравенстве при左 一 оо, получаем

М ^f(^)^M9 т. е.

М=м

Таким образом, верхняя грань (4) достигается в точке х° е € А, т. е. функция f достигает в точке х° с А максимума на множестве А.

Итак, мы доказали, что существует точка %° е А, для которой

шах Л (х) = f (х°).

хеА

Другая часть свойства 2) о минимуме доказывается аналогично.

Доказательство свойства 3). Допустим, что свойство неверно. Тогда существует такое е > О, что для любого 5 > О найдется пара точек х =(冗〕....，*，，у = (〃，•••，У0 £ с А, удовлетворяющих неравенству

---=后依二.)2 <△ для которых

У(*)-〃у)1》&

Зададим теперь последовательность положительных чн- сел 8^ 一 О при m — 8. Для каждого8^, найдутся точкихт>= =(翼:，・••，算：),у"* = (/[,••・，у：) W А такие, что

!У - 严 V 勾，НО / (/) Т (/)| > Е.(б)

Так как точки последовательности {%駆} принадлежат к

ограниченному множеству А, то эта последовательность ограничена, и из нее, по лемме, можно выделить подпоследовательность {£*}, сходящуюся к некоторой точке х° е А (в силу замкнутости множества А).

Так как % —у—* 0 при 论—8, то подпоследователь

ность {у醜} также сходится к точке #°, потому что

у —X [—图一X +X —X g —X [十俨—* •

По условию функция f непрерывна на А и, следователь- 0

но, непрерывна в точке х .

Поэтому

軸仙母г田小母=*#。

ж^еАу 桃 gA

Теперь, переходя к пределу в (5) при 力—8, получаем

EW L 麻吗)-*号=1门*°)一"的1 = 0

и мы пришли к противоречию: £ W 0.

§ 8.13. Экстремумы

Пусть на области (открытое связное множество) G задана функция и =』(#), х = (#”••・,х„) и *° = К …，#：)— точка G. Говорят, что фуикхщя и — f (х) имеет локальный максимум (минимум) в точке х°, если 3 окрестность этой точки такая,』то\/ % из этой окрестности имеет место неравенство

f*)wf(F)("囂)》〃*0))・ (1)

Точку *° будем называть точкой локального максимума (минимума), а соответствующее значение функции, (^) максимальным (минимальным) значением функции. Локальные максимум и минимум объединяются общим названием «локальный экстремум». Из определения экстремума вы-

-О

текает, что в достаточно малой окрестности точки х приращение функции △“ = f ⑺—f (x°) не меняет знака:

Ди》0 в случае локального минимума (min);

Ди & 0 в случае локального максимума (шах).

Теорема 1 (необходимое условие экстремум,а). Пусть функция и = f (х) имеет локальный экстремум в точке F. Тогда, если существуют частные производные первого порядка ^^ (i = 1,..., п) в точке *°, то все они обращаются в нуль в этой точке:

■■(2)

■

■

Доказательство. Докажем,что - ^ ■ = 0.Зафик- 3%

сируем переменныех2 =制，…，xn =曜・ Тогда получим фун- кцию и = f (#i，潦，…,翼：)от одного переменного #】причем эта функция имеет локальный экстремум в тонке 宕.Поэтому в силу необходимого условия экстремума для функции от одной переменной, заключаем, что производная от этой функции по переменнойх! должна быть равна нулю в точке of .Но эта производная является частной производной функции f (х) по переменной % в точке х°, т. е.

8*君吟…,8*君吟…,圖一翻目圖一翻目

8*君吟…,

8*君吟…,

圖一翻目

圖一翻目

Другие случаи рассматриваются аналогично.

Следствие. Если функция и-f(x) имеет экстремум 6 точке хР и дифференцируема в точке з^, то df(x ) = 0 или gradf (х°) = 0.

Данное следствие вытекает из определения дифференциала и градиента.

Замечание. Условие (2) не является достаточным для того, чтобы в точке х° был экстремум функции f・

Например, функция и = /у имеет частные произвол-* ные 然=2ху9 ^ = яЛ которые обращаются в нуль в точке (О, 0). Однако точка (0, 0) не является точкой экстремума, так как в любой окрестности этой точки Ам = х2у — 0 = х2у принимает как положительные, так и отрицательные зна~ чения.

В дальнейшем точки, в которых существуют непрерывные частные производные от f, удовлетворяющие системе (2), будем называть стационарными точками.

Перейдем к получению достаточных условий экстремума. Пусть функция u ~ f (х) имеет непрерывные производные до второго порядка включительно по всем пере> менным, и пусть х° — стационарная точка, т. е. df (х°) = 0. Тогда, разлагая функцию и = f 出 по формуле Тейлора в окрестности точки х°, получим

дг(х°)=財 @°)+ 騎/(х°+ед»)=~^f(^+едл：)=

=1еес(хо+"皿3弔=

/ M J=1

U 纟纟％(к°)+ £M%Z=

-'快。42+吟謡%寸丁

2

,а (Дл) f 0,а (Дл) f 0=ЙЕС/^^^Ч + 4 a 依)，

,а (Дл) f 0

,а (Дл) f 0

гдеО<0< 1,Дх = (Дх1, ...,Дхп),р = [Дх| =

при р -* 0.

Так как вторые производные непрерывны, то величины £^, зависящие отДх, стремятся к нулю при р = |Ак| -♦ 0,

394 ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

но тогда и шах |е£.| = £ — 0 при р 一 О. Поэтому, учитывая,

что -W 1, получаем ах. △玉« «9

|а(Ax)l = ZZX二1W £ • £»• 1 =將一О

TjT p p三

(р f 0)・

Итак, мы доказали, что

夕3°) = f (#° + U) - f (算°)=綻」%占爲吟а《),(3) где

aij = aji~ 小(*)，G = A七,匕=(匕1，…，&以) и

а(9а(9О при р =固=О при р =固=0.0.

а(9

а(9

О при р =固=

О при р =固=

0.

0.

Выражение

A (ь)- ^j^La 占务(% =a戸)(4)

есть квадратичная форма относительно & =(匕〔,…,&「)・ По знаку этой формы можно узнать с помощью формулы (3) знак △/ (х°) для достаточно малых р.

Справедливо следующее утверждение:

Если формаА (匕)строго положительно определенна, т. е. 4 (匕)> 0 для всех 匕工 0, то функция f имеет в точке *° локальный минимум.

Если формаА (匕)строго отрицательно определенна, т. е. А (&) V 0 для всех & 工 0, то функция / имеет в точке х° локальный максимум.

Если А (&)》0 для всех & илиЛ. (&) W 0 для всех & и имеется 己 Н 0, для которогоА (&) = 0, то вопрос о локальном экстремуме функции / в точке *° остается открытым.

Если формаА (&) не определенна по знаку, т. е. существуют векторы目 и &", для которыхА (&') > 0, А (&") < 0, то функция f в точке х не имеет локального экстремума.

Доказательство утверждения 1). Равенство (3) запишем следующим образом:

厶i/諭協闷=

=治gg喚0+哪)]吟[A(n)+a(0],(5)

где мы ввели новые переменные

П = &/Р G = l, 2,…，и).

Легко видеть, что

小麻=厚j

Таким образом, точкаТ] при любых ^ находится на поверхности n-мерного единичного шара. Функция А (月)непрерывна на этой поверхности, представляющей собой ограниченное замкнутое множество, и по условию положительна на этой поверхности. Но тогда А (т]) достигает своего минимума т в некоторой точке этой поверхности, который больше нуля (т > О) (см. § 8.12, свойство 2)). Так как а(&) — О при р =因―0, то при достаточно малом 6>0

.似《)|vm ^П<^

Следовательно,

А〃%°)=/a° + 9-/住°)=

=掌4(m+49])々恤+礁)]》0V&固V5

и функция / имеет локальный минимум в точке #2

Утверждение 2) доказывается аналогично.

Доказательство 3 ). В данном случаеформаА © для некоторого g，W 0 обращается в нуль, но тогда для соответствующего Т]7 значение А (“')=工^^ =扌&(&')= Ом,

следовательно, f (х° + ^)- f (х°) = /% (&')• Но знак а (?) ・0

неизвестен, поэтому мы не можем сказать, имеет / в экстремум или нет.

Доказательство 4)・ Здесь опять удобно обратиться к равенству (5). В этом случае по условию существует точка &', для которой форма положительна и существует точка &", для которой форма отрицательна, но тогда для соответствующих им точек rf = А'/р, “"=匕”/P будут выполняться неравенства А (т]г) > О, А (т]") < 0 и при малых р окажется, что A (q‘)十 а《')> О, 4 (rf‘)+ а (&") < 0, т. е. в любой малой окрестности х° имеются точки %' и *", для которых，(к') > / (х°) и f (хм) < / (х°), а это означает, что заведомо нет экстремума.

Известны* условия (Сильвестра), выражаемые на языке коэффициентов а^, при которых квадратичная форма (4) удовлетворяет перечисленным выше условиям 1) — 4). Здесь мы отметим только вытекающие из теоремы Сильвестра критерии в случае функции и = f (хр х2) от двух переменных.

Если %] = Гг (%°) > 0 и

fl ?2 = %遮22 - 壊=崇野方(Х°)-图2 (Л > 0

(в этом случае форма (4) строго положительно определенна), то функция и — f @i，х2) имеет локальный минимум в точке к° = (* W).

Если

%(*°) < о, Л(х°) f-^)-[f^^ > О

(в этом случае форма (4) строго отрицательно определенна)» то функция и = f (/, х2) имеет локальный максимум в точ- о

ке х .

Если %1。22 -咸2 < О, т。d* (х°), как квадратичная фор-

ма, не является определенной по знаку при изменении Дхр поэтому в этом случае АГ(#°) также не сохраняет знак в любой окрестности точки*。，и, следовательно, экстремум в точке х° отсутствует.

Если выражение а11а22 —喧=0, то вопрос об экстремуме остается открытым.

Пример 1. Для функции и = х3 - Зх + у2 точки (±1, 0) являются стационарными. Исследуем их на экстремум. Имеем

号=6*,号(±1, 0) = ±6,吟=0,号=2.

Таким образом, для точки (1, 0) а11а22 -а；2 = 6・2-0 = 12>0, ап = 6 > 0. Поэтому в точке (1, 0) наша функция имеет локальный минимум. Для точки (-1,0):аг1 = -6 v 0, а11а22 一 一成=—12 V 0, поэтому функция экстремума в точке Q 1, 0) не имеет.

Пример 2. Для функции u = х4 + z/2 точка (0, 0) является стационарной, и легко видеть, что в этой точке функция имеет локальцый минимум. Между тем и2 = 12х2, 吟=0, % = 2, т. е. %1 = 0, а12 = 0, а22= 2 и апа22— * = 0.

Пример 3 • Для функции и =х3 +i/2 в стационарной точке (0, 0) аи = 0, а12 = 0, а22 = 2, т. е. снова@11^22一 磋=。， но в данном случае функция" = х3 + у2 в точке (0, 0) экстремума не имеет, так как на прямому = 0 приращение Ди = х2 меняет знак при переходе через точку х= 0.

Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Пусть задана непрерывно дифференцируемая функция u = f (х) на множестве G и 勾，представляющем собой замыкание ограниченной области, т. е. области, к которой присоединена граница 8G. Тогда f достигает максимума и

минимума в некоторых точках н £ £ G (см. § 8.12, свойство 3)). Эти точки могут быть внутренними и граничными. Если точках внутренняя, то функция/ (х) имеет в ней локальный экстремум. Поэтому, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции, необходимо найти все

стационарные точки, вычислить зна

чение функции в этих точках и сравнить их со значениями функции на границе dG. Наибольшее из этих значений и будет наибольшим значением функции на G.

Если G е И2 и dG является плоской непрерывной кривой x = cp (t), у = (р (£), то вдоль этой границы наша функция является функцией от одного переменного t: f [ф (£),屮(£)]・ Находить наибольшее значение этой функции мы уже уме

ем.

Пример. Найти наибольшее значение функции z=l- -力 + %? + 2у в замкнутой области G, ограниченной прямы- ми: %=0, у = 0, * + у=1 (рис. 98).

Решение» z^. = —1 + 2х = 0, 2^ = 2 ^ 0, т. е. стационарных точек нет. Исследуем функцию г на 5G.

Пусть х - 0, тогда z = 1 斗 2у, О W у W L На [0, 1] функция z = 1 + 2у стационарных точек также не имеет, и z (0)=1, 2 (1) = 3.

Пусть у = 0, тогдаг =1-х + х2, 0<х<1. Далее, % = =-1 斗 2* = 0 при х = 1/2, т. е. х = 1/2 — стационарная точка. Вычисляя значение функции в этой точке и на границе в точках х = 0их = 1, получим: z (1/2) = 3/4, z (。) = 1, 2(1)= L 2

Пусть x + y= 1, тогда 2 = 3 - Зх + x ,0W% & 1. Так как z； = —3 + 2% = 0 в точке х = 3/2 е [0, 1], то в нашем промежутке [0, 1] нет стационарных точек. Далее z (0) = 3, z(l)=L

Сравнивая все наибольшие значения функции по частям границы, мы видим, что наибольшее значение функции z (尤，у) на G равно 3 и достигается в точке х° = (0,1).

Теорема существования неявной функции

Зададим произвольную функцию f (х, у) от двух переменных * и у. Приравняем ее нулю:

f«，6 = 6(1)

Множество всех точек (х, у), для которых выполняется равенство (1), обозначим через SR. Пусть (х0, %) е SR, т. е. / (%，%)=。・

Если не накладывать никаких условий на 力 то множество ЭЛ может иметь самую различную природу. Например, в случае / (к, у) = (* - х0)2 + ® — у^ множество Яй состоит из одной-единственной точки (х0, yj, а в случае/ (х, у) н i + / 十 1 множество SR пусто, в случае же / (”，У) = (# 一 Ко)? - @ - "о)? = (* 十 У - % - %)Q - У 一 ％о 十 ％) 9R есть пара прямых, проходящих через (х0, у。). Однако часто имеют место случаи, когдаШ19 по крайней мере в достаточно малой окрестности (х0,弘),представляет собой кривую, описываемую непрерывной (однозначной) функцией

У = V (*)(# е (& —& *о +6))

(таким образом, V есть функция, определяемая неявно уравнением (1), см. также § 3.1).

Возникает вопрос, как по свойствам функгщи f узнать, что имеет место именно этот случай?

Ниже доказываются две общие теоремы, отвечающие на поставленный вопрос.

Теорема 1. Пусть задано уравнение

"%，У) = 0,(1)

удовлетворяющее следующим свойствам.

Функция f определена на некоторой двумерной окрестности Q точки (х0, у/ плоскости х,уи непрерывна там вместе со своими частными производными первого порядка; при этом

九（%。，У0）=儔1工。

⑵

〃 / (х0, %) = 0. Пусть, далее,^Л есть множество всех точек (力，！/)，удовлетворяющих уравнению (1) (в частности, точ- ка (&, у。)6 叫.

Тогда, каково бы ни было 生 > 0, найдется прямоугольник △ = {|工-&| < а, |у- %| <》}(& < 匕0)，(3)

принадлежащий^., такой, что множество ЗЛА описывается непрерывно дифференцируемой функцией(неявной функцией)

у = V (х), х е Д°,(4)

△° = {|х -与I < а}.(5)

Другими словами, прямоугольник А обладает тем свойством, что на его проекции Д° на осьх можно определить непрерывно дифференцируемую функцию (4), являющуюся решением уравнения (1), т. е. удовлетворяющую уравнению (1)

/ (%, V (х))三 0 (х G Д°).(6)

График ее полностью принадлежит А. Эта функция единственна в том смысле, что любая точка (%, у) е SRA имеет координаты, связанные уравнением (4)・ В частности, у0 - =V(*о)，потому что (х0, %) G ЯЛД (рис. 99).

Доказательство теоремы 1. Пусть для определенности fy (х0, %) > 0. Так как /] непрерывна на С, то существует окрестность точки (х0, у。), которую мы снова обозначим через Q, такая, что в ней fy (х9 у) > 0. Введем замкнутый прямоугольник

X = {|х - &| < а,|у - Уо1 & Ь} и Q (Ь < 匕J.

Тогда Г* (欠,у) > 0 на △ и

min/\ (х, у) = т>0.(7)

н y)区"

Функция f (爲 у), рассматриваемая на отрезке 頂。—b W У W &Уо+ Ь, %= л:。], как функция от у непрерывна, строго возрастает и обращается в нуль в точке у = % (по условию теоремы / (х0, у。)= 0). Значит,

/■(х0, у。一 Ь) <。,丿(&，Уо 十 Ь) > °。

Вследствие непрерывности / найдется достаточно малое число а, 0 < а < а, такое, что

"%，У。—》)< °， 丿8, Уо + Ь) > 0 Vjc е Д° = {比一х0| < а}.

Обозначим через Д = {|х — х0|_< а, \у — %| < Ъ} открытый прямоугольник. Очевидно, △ и △ и Q и А° есть проекция Д на ось х.

Рассмотрим теперь для произвольного и фиксированного х е Д° функцию f как функцию оту на отрезке [yQ - b, Уо + 匕〕・ Она непрерывна, строго возрастает (/[ > 0!) и имеет противоположные знаки на его концах. Но тогда по теореме о промежуточном значении существует и притом единственное число у, принадлежащее интервалу Q/o -瓦 у。+ Ь), мы его обозначаем через у =屮(х), для которого f (х,屮(*)) = 0.

Этим доказано существование определенной на Д° функции 屮(х), удовлетворяющей уравнению (6).

Докажем, что функции 屮(х) непрерывна наА°. Пусть

х, х 4- Дх с А0, у = \|/ (х), Ар = V (к + △%) - V (х). Тогда на основании формулы Тейлора (§ 8.10) имеем:

О = /( х + Ах, I/ + Az/) - / (х,切=

=Г * (先 + 0Дх, у + еАу)Ак + 九(к + 0Дх, у + 0Az/)Az/,

где 0 <в < 1. Отсюда

(8)(8)△У 二姓+°Ак，У 十 “У)

(8)

(8)

△к^(х + вАх, z/+6Az/)

где точка (囂 +9А#, у +9Ау) £ △. В силу условия теоремы на замкнутом прямоугольнике △, а следовательно, и на прямоугольнике A cz А, функция fx ограничена (|/*х| W М), а по (7) функция 九 ограничена снизу числом тп > 0, поэтому из (8) получаем, что

製

т. е. △“ 一 0 при Ах — 0, что означает непрерывность функции у =屮(囂)в точке х. Так как точка х — произвольная точка А°, то функция 屮(х) непрерывна на А0.

Теперь, переходя к пределу в (8) при А% -* 0, получаем (по доказанному Ау также — 0)

& =屮(％)).& =屮(％)).(9)(9)

& =屮(％)).

& =屮(％)).

(9)

(9)

Мы доказали существование производной \|/' (х) в точке х и равенство

(Ю)

Непрерывность \|/ (х) непосредственно видна из (10); потому что fx и f у непрерывны на прямоугольнике А, а кривая р = V (к) не выходит за его пределы и является непрерывной, как мы доказали выше.

Сформулируем теорему, аналогичную теореме 1, в случае, когда неявная функция зависит от 几 переменных.

Теорема 1'・ Пусть задано уравнение

f(x, y) = f(xv„., хп, у) = О,(Г)

удовлетворяющее следующим условиям.

Функция / определена на некоторой окрестности С точки (х°, у°) = 6,…，吟 у°) пространства йп+1 точек (#• У)= (xv ..., хп, у) и непрерывна там вместе со своими частными производными первого порядка; при этом

fy (х°,力=图卜 о, М у0) = 0.(2，)

Пусть, далее, 3R есть множество всех точек» (х, у), удовлетворяющих уравнению (1') (в частности, (х°, у°) £ 9R).

Тогда, каково бы ни было &0 > 0, найдется в Q прямоугольник

А = {|х7-х°| < a, j = 1, .... п, |у - у°| < Ь} (Ь < Ьо), (3，) принадлежащий Q, такой, что множество ЗЙД описывается непрерывно дифференцируемой функцией(т. е. имеющей непрерывные частные производные)

у = V (•) = V (々xn), X е Д°,(4‘)

Д° = {|^-х；|<а,/ = 1,..., п}.⑹

(10')(10')Частные производные ст функции 屮 вычисляются по формуле

(10')

(10')

dxj

Если функция / (в случае теорем 1 и 1‘)имеет непрерывные производные более высокого порядка Z, то и неявная функция имеет производные порядка厶 которые можно найти, дифференцируя I раз формулу (10) или (10')・

Пример. Пусть известно, что функция f (х, у), рассмотренная в теореме 1, имеет непрерывные частные про-

изводные второго порядка. Будем исходить из равенства (10). Дифференцируя его по х, получим

一/小彌匹殒乜红

Мы использовали формулу дифференцирования сложной функции-

§ 8.16. Касательная плоскость и нормаль

Пусть поверхность S задана уравнением

(1)(1)F (х, у, 2)= 0

(1)

(1)

в неявном виде. Будем считать, что尸(х0, у。，г0) = 0 и в некоторой окрестности точки (х0, yQ9 2°) функция F имеет непре

рывные частные производные, одновременно не равные нулю. Тогда

grad0F = ((F), (F；)o, (Fr^ Н 0.(2)

Мы пишем (Ф)о вместо Ф (х0, у。，z。).

Для определенности предположим, что (F】% W 0. Тогда на основании теоремы о неявной функции существует окрестность точки (&, у。，％), в которой поверхность S описывается явно непрерывно дифференцируемой функцией^ = f (х, у). Уравнение касательной плоскости к S в точке (х0,恥 20), как мы знаем, имеет вид

z - % =(九％ (x-Xq) + (ГJ。(у - у。， где

(fx)o= WJo/g)。，(九)о = -(Qo/(F/・

В силу этого уравнение касательной плоскости к S в точке (&, у。, ？0)запишется так:

(尸)(* 一 “о) + (Fy)o 匂 一 ％) + 従】)0 Q - No) =。，(3)

⑷⑷а уравнение нормали к S в точке (х0, %, 2。)一 так:

⑷

⑷

曲-鳳一曲

Те же уравнения (3), (4) мы получим, если предположить, что (Г%)。W 0 или (F'Jo 工 0. В этих случаях в окрестности (к。, у。, ％) поверхность S описывается явно соответственно уравнениями

* = (р (у, 2), у = W (尤，Z).

Мы видим, что при условии (2) поверхность^ в любой точке (х0, у。，％) имеет касательную плоскость, непрерывно изменяющуюся при непрерывном передвижении точки (%о, Уо, 2。)・ Такую поверхность называют гладкой поверхностью а

Другое дело, если grad^ F = 0» В этом случае нельзя гарантировать, что в точке (%, у。, г0) существует касательная плоскость kS. Она может существовать, а может и не существовать.

Пример. Уравнение

/ + /-，= °(5)

определяет круговой конус с вершиной в начале координат и осью» совпадающей с осью х (рис. 100).

Левая часть уравнения (5) имеет частные производные 吃= -2/%=2у,尸］=2z,

одновременно не равные нулю, если точка (х, у, z)x (0,0,0). В любой такой точке, которую обозначим через (х0> у。，2°), касательная плоскость определяется уравнением

_%о(尤-к) + Уо@ — у。) + %(2 — ％) = 0.

В начале же координат касательная плоскость к нашей конической поверхности не существует. В этом случае grado F = 0.

Рис. 100

Точки (х0, у。, 2°), лежащие на поверхности^, в которых grad^ 尸=0, называют особыми точками поверхности S.

Рассмотрим непрерывно дифференцируемую функцию и = / (х, у, z)(6)

на некоторой области Q точек (х, у, z). Пусть в точке (х0, у。, г0) t Q ее значение равно числу А:

А = f (%，%，％)•

Если частные производные от Г в точке (х0, %, %) одновременно не равны нулю, то уравнение^ = f (%, у, z) определяет в окрестности этой точки некоторую гладкую поверхность S, называемую поверхностью уровня функции (6).

Касательная плоскость к S в точке (х0, у°, zj имеет уравнение

Ш(" 一 脸 + ⑥Л 一 婚 + (鄒"Z。) = о.

Нормаль к S в точке (х0, у09 %), т. е・ прямая, проходящая через эту точку, перпендикулярно к касательной плоскости, очевидно, имеет уравнение

Мы видим, что вектор

^^^^^ 倒1(IS。)

направлен по нормали к поверхности S*

одновременно неодновременно неУравнение 2=/(х,^),где функция f имеет непрерывные частные производные, определяет некоторую гладкую поверхность S. Положим, А = f (х0, у。). Если в точке (х0, у。)

одновременно не

одновременно не

частные производные^

IdxJo

равны нулю, то уравнениеА = f (х, у) определяет в окрестности этой точки некоторую гладкую кривую Г (линию уровня функции 2 = / (%, у)).

Уравнение касательной к Г в (х0, у。) имеет вид

■Ш^-^-®!^-^"0-

Вектор ((普)，(警))направлен по нормали к Г (в плоскости D в точке (&, %).

17. Системы функций, заданных неявно

Выше мы рассмотрели вопрос о существовании непрерывной и дифференцируемой неявной функции, определяемой одним уравнением.

Здесь мы рассмотрим аналогичный вопрос для совокупности неявных функций ут> ..., утЯ определяемых системой уравнений

A (%i，…，/； %,…，yQ =0， (1) fm ("1，…,Хп;Уи •••» Ут)=。・

Таким образом, мы ищем функции^, .^9ут от%】 …』 как решения системы (1):弘=騎(xv ..., к, (t = 1,…；тп).

Выясним те условия, которые обеспечивают существование решения системы (1) и дифференцируемость функций у*・

Теорема 1. Пусть задана система уравнений (1), удовлетворяющая следующим свойствам.

Функции 拆 определены на некоторой ((п + т)-мерной) окрестности С точки (х°, у°) = (xf, ..., xj ^f,у°) про-

странства Rn+т точек (х, у) = (х19 ...^х^у^ ..^у^инепре-

рывны там вместе со своими частными производными пер

вого порядка с якобианом (определителем Якоби)

剤-遊=d(%d . о.弘叱 5%…,%)抽剤-遊=d(%d . о.弘叱 5%…,%)抽⑵⑵

剤

-遊=d(%d . о.

弘

叱 5%…,%)

抽

剤

-遊=d(%d . о.

弘

叱 5%…,%)

抽

⑵

⑵

Кроме того, точка (х°, у°) удовлетворяет системе (1).

Пусть ЭК есть множество всех точек (х, у), удовлетворяющих системе (1) (в частности, (х°, у°) £ SR).

Тогда, каково бы ни было &0 > 0, найдется прямоугольник

△ = {^у 一比j I <G 0 = 1, ■•■•也)，

y-y!\<b Q = L …，7П)}© < 匕0)，(3)

принадлежащий fl, такой, что множество ЗЯД описывается непрерывно дифференцируемыми функциями

у. = w (*) (i = 1,…，机)，х е Д°,(4)

△嘖侶-明 va, j= 1…Н }.(5)

Другими словами, прямоугольникЛ обладает тем свойством» что на его проекции Д° на координатное подпространство (Xj ,・•・,#) можно определить непрерывно дифференцируемые функции (4), удовлетворяющие уравнениям (1)：

力(X, %(%),・・.，Vm (х))三 0,(х G Д°, i= 1, ..., 7П)

и неравенствам 叫(х)—漂［< 6・ Эти функции единственны в том смысле, что любая точка (*, у) £ SRA имеет координаты, связанные уравнениями (4).

В частности 山=V/ (х°)。= 1, “” m), потому что (х°, у°) £ еЗКД.

Замечание 1. В теореме можно считать, что прямоугольник Д и его проекция Д° определяются неравенствами

△ = {］万一石 Va/ 0=1,…，n)；

从-у" V 4 Q = 1,…，m) },(3*)

Д° =侶一吊| < 4, j= 1—，几}>(5*)

с различными, вообще говоря, числами%, % Ведь если теорема верна для прямоугольника (3*) при некоторых а『«* то, положив Ъ = min 仇,можно вследствие непрерывности функций 屮］указать такое число а < а; (/ = 1,...» и), что точки

住，W1 (%),..., Vm(х)), X Е {何一弓I <а， j = 1,…，и }

окажутся в прямоугольнике (3).

Заметим, однако, что вообще невозможно добиться, чтобы а и & в (3) были равными, в чем легко убедиться на примере одного уравнения F(x9y)^y-x= 0,玄。=% = 0.

Приведем доказательство теоремы 1 только для частного случая двух уравнений

f№，算2，у”у》=а『2（"1，*2» У】，沙2）= °»

Нам надо доказать, что если функции。и % непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки 7И° = (х°, 制，У；，У；) 6 国，удовлетворяющей уравнениям (1'), и якобиан

(2')

в М°, то для любого % > О найдется прямоугольник

△={|%-若I <0，к2-蜀 V61弘一用 VЬ,1%_圖 <b} 0 v%)，

(3')

принадлежащий указанной окрестности, и существуют непрерывно дифференцируемые функгц1и

弘=屮］（%，*2）I %=¥2（尤1，尤2）J弘=屮］（%，*2）I %=¥2（尤1，尤2）J(xp x2) e A0,(xp x2) e A0,(4‘)(4‘)

弘=屮］（%，*2）I %=¥2（尤1，尤2）J

弘=屮］（%，*2）I %=¥2（尤1，尤2）J

(xp x2) e A0,

(xp x2) e A0,

(4‘)

(4‘)

определенные на его проекции

△=@-*<a, 1/Y1<a}(5')

такие, что они удовлетворяют уравнениям (1‘) и обладают свойствами

о / о о\ о /о 0\%=屮1(玉，出)，弘=屮4%,W)。

(6)(6)При ЭТОМ ДЛЯ (Xj, х2) £ А°

(6)

(6)

(*1，*2,V1(*1，%2)，V2(*1，*2))£ △•

Указанные функции 屮】，屮？ — единственные, описывающие все решения уравнений (1') в прямоугольнике А; иначе говоря, если какая-либо точка (%】，х2, ух, i/2) е △ удовлетворяет уравнениям (1‘), то ее координаты связаны соотношениями (4\

Из того, что якобиан (2‘) не равен нулю вМ°, следует, что один из его элементов не равен нулю вМ°. Не нарушая общности, считаем, что

(7)(7)如/0. 亜

(7)

(7)

К этому неравенству всегда можно прийти, соответственно перенумеровав в случае необходимости fv f2 и yv %•

Так как частные производные от 丿]и % по условию

непрерывны, то существует достаточно малая окрестность точ

ки М°, на которой не только якобиан (2‘)，но и производная

^- не равны нулю. Но тогда для первого уравнения (1‘), если дУ1

его рассматривать относительно неизвестной функции % от (хр х2, %)，выполняются условия теоремы 1' § 8.15. Поэтому для любого % существует прямоугольник (у < Ьо)

△i =值-引 <a,伝-е1 <a, 1%一或I <0,]m-銷1 <Y}⑻

н непрерывно дифференцируемая функция

J/i = Ф (%1，Х2,外)，(9)

G，工2,弘)е Д,=值-司 <а, I】-圖 <а, |у2-%| <Р)» удовлетворяющая первому уравнению (1'):

/1(*1，#2, 9(%】，*2, УЗ, ?2)= °，(1°)

где

(X"工2' У2)G Ар (*1，*2, Ф (旳‘工2' %)' 兆)е Д1-(11)

При этом функция ф единственна в том смысле, что любая точка (хр *2, "1，У2)，принадлежащая к Aj и удовлетворяющая первому уравнению (1‘)，имеет координаты, связанные равенством (9); в частности,

以=咐，鴉喲.(12)

Замечание 2. Отметим, что в (8)мы могли бы на первом этапе рассуждений считать а = р. Но в дальнейшем придется числа а, 0 несколько уменьшить, вообще говоря, непропорционально. Уменьшенные а и Р пригодны и для рассматриваемого первого этапа рассуждений.

Итак, мы получили тождество (10), верное, каковы бы ни были независимые (%】,х2> z/2)€ 个• Но это тождество остается верным и если считать, что у2 есть любая непрерывно дифференцируемая функция % =屮2 (旳，#2)，такая, однако, чтобы

住1，x2,w2(外勾)e《(13)

Но таких функций屮2 бесконечное множество. Цель нашавыб< рать среди них такую, чтобы функции

У1=Ф (占，*2,V2(*1，*2)) = V1(X" *2)，1

У2=^2^Х2)J '丿

тождественно удовлетворяли второму уравнению (1')・ Первому уравнению (1*) они уже удовлетворяют. Итак, подставим найденную функцию <р во второе из уравнений (1'):

%(%，工2, Ф (*1，*2, ％)，У2)=°(15)

и будем искать функцию у2 от (хр х2), ему удовлетворяющую. Положим

①(*], *2,旅)=f2(%1，算2, Ф ("1，/，%)，%)• Функция Ф непрерывно дифференцируема для любых (хр х2, 火)е 幫(см. (11)). Она удовлетворяет равенствам

Ф (*瑞或)=0 (君e，中蜀W "；)磋)=% (*Ё，谓%) =0 (см. условие теоремы и (12)). Кроме того,

——/ О.

В самом деле, для точек (х,, х2, у?) е △: (пояснения ниже) а ①=а% а*р〔叱=а& { а£ / а右)〔а& = а% а^а% а% а%( a%/a，J ду2

（綢-魏隱嚏叢件。・（出四亜

В первом равенстве (16) применено правило о производной сложной функции, во втором надо учесть, что, согласно (10),

亚=一空/久

а% а%/ а统

Конечно, там где мы пишем частные производные от 丿]и f2*

считается, что они вычисляются в точках Xj = хр х2 = х2,为=

(2')и(7).

Мы видим, что левая часть уравнения (15) удовлетворяет

всем условиям теоремы Г § 8.15- Поэтому в прямоугольнике 問 (см. (9)) найдется новый, вообще говоря, меньший прямоуголь

ник, который мы снова обозначим через ^ (см. выше замечание 2), и найдется непрерывно дифференцируемая функция

y2 =¥2(41. "2)'(%1' "2)£A° = {j%-%|<a，{*2-/[<a}'(#1，/，V2(*1，工2))e 6，

удовлетворяющая уравнению （15）:

①（占，*2, W（%1，*2））=/2（七，出 Ф（%，%2,w2（%1，*2）），¥2（%1，x2））= =%（了 1，*2, V1（*1，*2），w2（*1，第2））= °，

（■Ху 算2）£ △ , （"1，靠2,屮2（*1，*2））£ .'屮2 （"1，叫）=%•

При этом любая точка （х】,х2,婚 w & удовлетворяющая уравнению （15）, имеет координаты, связанные равенством у2=\^2 （хр &）• Но тогда выполняется такое соотношение （см （11））:

（ХР 算2，V1 （%1，了2），V2（文1，*2））6 △1.

Итак, доказано существование непрерывно дифференцируемых функций

竺уу宀々J— еА°,

Уч~ Уг^р ^2） J

удовлетворяющих обоим уравнениям （1Г） и притом так, что

或=%（* 制），% = V1（^.制）.

При этом

（*1，*2,屮1（"1，*2），屮2 （囂 1，工2）） £ △]（17）

и любая точка （хр х2,弘,у。с △〔, удовлетворяющая уравнениям （1'）, имеет вид, как в （17）.

Переход от △】к Д можно осуществить с помощью замечания 1.

Замечание 3. Укажем способ нахождения частных

производных ~~

■8хк

Пусть все условия теоремы 1 выполнены. Тогда, подставляя функции % = Vj （х） в （1）» получим систему тождеств:

/1 （%，W1 （%），—，Vm（X）） = О,

fm（%，W1 （%）,…，Vm（*））三 О. ；（18）

Дифференцируя по / каждое тождество системы (18) как сложную функцию, получим:

斑十斑色1 +"电『0, 8% 面 8賑 дут 9% (19)

%+空也+...+與少三0.

% 抽 8吃 дут дхк

Система (19) является линейной относительно неизве

стных производных 粤^三粤^ 0 = 1,…,m)・ Определителем дхк cxk

ее является якобиан

0(4, .•・,g.0 .。(l/i，…,J/m)

Поэтому система (19) имеет единственное решение：

8%0(& .•" Q /0(月,…,以),…，

9/。(4，%*."，祝m)/ "@1‘ •••' "m)

3% =0伉，…，g /曾(0…，-)_..

3/一0也，・•・，утТ，0回，…，У)

Отображения

Пусть задана система непрерывно дифференцируемых функций

% = <р>(х) = фДХр...»хп), * е С (/ = L —> 加)，(1)

где С — открытое множество точек х = (%, ••・,囂 J Будем говорить, что система (1) определяет непрерывно дифференцируемое отображение

у ^ Ах, х е Q,(1')

множества Q на некоторое множество Q' точек у =匂。…' у/ Будем еще писать С = Л. (fl) и называть Qr образом С, a С — прообразом Q1 (посредством отображения А).

Наряду сЛ рассмотрим другое непрерывно дифференцируемое отображение В:

弓=Vj(『)=Wj(yy — Ут)，V w А 0 = 1,..., т), открытого множества Л точек у на некоторое множество точек n = (а。・•・,zR. Таким образом, z = By, у w А.

Замечание. Отметим, что если*° £ Q иу° = 4х° е е Л, то в силу непрерывности А найдется окрестность Vo точки х ж о^>аз которой посредством А принадлежит к Л. Уменьшая С, положив Q = Vn, получим тогда, что С и Л.

ЕслиС и Л, то имеет смысл сложное непрерывно дифференцируемое отображение z = ВАх, х g Q, определяемое равенствами 召=叨(6 (*),…，％ (х)), * £ С (/ = 1,…，ти)・

Якобианы отображений А, В, ВА связаны замечательными равенствами

0®…w」空目号色抽以色I.画 d（%‘•・•，4）I汲/1£叱a万「1叫1|阿

DR,…,z) Dgp …,у/

O(f/i，…，%)0(/…，/)

доказательство которых, как мы видим, основано на применении формулы производной от сложной функции и правила умножения определителей.

В частности, еслиВ обращаетА на множестве точекхе е С, т. е. х =ВАх9 * е С, есть тоэадественное отображение, то в силу того, что его якобиан равен 1, получим формулу

1 _。（巧一・" Q 刀也,…，如 。包，…，У„） -D（xp ..., xm）

Будем теперь считать, что определяемое равенствами (1) непрерывно дифференцируемое отображение у = Ах имеет якобиан

丘筹‘°’ *6С,

т. е. не равный нулю всюду на открытом множестве С.

Приведем без доказательства следующие свойства:

С = А (С) — открытое множество (вместе с С!),

если С — область, то иШ — область,

отображение А локально взаимно однозначно, т. е. какова бы ни была точка х° е С, найдется шар Р и С с центром в ней такой, что отображение А, рассматриваемое только на 匕 взаимно однозначно.

Свойство 3) утверждает только локальную взаимную однозначность. Глобальной взаимной однозначности может и не быть. Например, преобразование 囂=р cos & у = р sin 0 полярных координат точек плоскости в декартовы при р > О и произвольном 0 непрерывно дифференцируемо и имеет положительный якобиан, равный р. Оно отображает точки (р, 0) (р > 0, -оо <0 < оо) плоскости (р, 0) в точки (к, у), ОТЛИЧа ные от нулевой точки, локально взаимно однозначно. Однако каждой такой точке (х, у) соответствует хотя и одно р, но бесконечное число различных значений 0, отличающихся между собой на 2万тг (А = 土1, ±2,...).

§ 8.19. Условный (относительный) экстремум

Рассмотрим в пространстве 与 функцию и = F (х, у)= х2 + /. С геометрической точки зрения эта функция пред-

Рис. 101Рис. 101ставляет собой квадрат расстояния точки Р = (х, у) от начала прямоугольной системы координат х, у. Она не имеет наибольшего значения в 五Но если ее рассматривать только для точек (х, у)

Рис. 101

Рис. 101

эллипса G (%, у)三今+ % - 1 = 0 (b > а), а b

то ясно, что она достигает наибольшего значения в точках Ро = (0, Ь) и 片=(0, -&) (рис. 101).

Таким образом, функция u=F (Р), рассматриваемая во всей плоскостиЛ2>

не имеет наибольшего значения, но эта же функция при условии, что точка Р находится на эллипсе, принимает наибольшее значение (два раза).

Эта ситуация приводит нас к задаче об отыскании экстремума функции при условии» что ее аргументы удовлетворяют некоторым дополнительным ограничениям. Итак» пусть дана функция

〃 =F (Р)=尸(％], •••,力紋弘，…，Ут) оти + m переменных. Требуется найти экстремум функции F (Р) при условии, что переменные q, yk связаны m соотношениями

Gi (а ..., х“, j/p ...» yQ = О, .“....•••••••••“■..“•"“•••••••.•“••••••”.”・・・"“・~・・ 》(1)

Gm (#1，…,％, %,…,Ущ) = О,

которые обычно называются уравнениями связи.

Система уравнений (1) определяет в пространстве2?п+т, вообще говоря, некоторое множество, которое мы будем называть поверхностью.

Определение, Будем говорить, что точка Р° =(苗\ …，心 心 …，У：), удовлетворяющая уравнениям (1), является точкой локального условного (относительного) максимума (минимума), если в Rn+m В окрестность точки Р° такая, чтоХ/Р из этой окрестности, удовлетворяющих уравнениям связи (1), выполняется неравенство

F (Р) W F (Р°) (尸(Р) > 尸(Р°)).

Точка локального условного максимума или минимума называется точкой локального условного (ртноситель- ного) экстремума.

В рассмотренном выше примере точка Ро = (О, Ь) является точкой условного локального максимума, так как для всех точек Р, лежапщх на эллипсе, u (Р) W и (Ро).

Займемся сначала выяснением вопроса о необходимых условиях» чтобы точка Р° была точкой локального относительного экстремума. ПустьР0 — точка условного экстре-

14 —Бугров. Том 2

мума и функции Gy …，Gm, имеют непрерывные частные производные и якобиан

2& …,%)了 0(2)

叫••" и

в окрестности этой точки.

Как нам известно» система (1) разрешима относительно переменных 弘,・•・,ут в некоторой окрестности точки Р°:

弘 r (pH%】，...,*n) (i = 1,・..，m), где функции% (xv ...,хп) имеют непрерывные частные производные в точке才= (■-・・，◎

Подставляя эти функции <pf в F, получим, что 尸 будет функхщеи только от п переменных *】,...» хп, независимых между собой:

尸(％"•・•，力"Ф1 (^1* •••♦ %)，••” Фт(^1> "••* 4))三

三Ф (#],・・•,力J・(3)

Очевидно, что если F достигает локального условного экстремума в точкеР0, то Ф (/,...»*„) достигает в точкеЛГ0 = =(対,・・” х°) обычного локального экстремуыа, или» как говорят, абсолютного локального экстремума, и обратно.

Но тогда, как мы знаем, должны выполняться равенства

хде dxt (i = 1, ..., п) — дифференциалы независимых переменных.

Точку Р° = (■，・・•* #；, d，•・•，У：% Для которой в силу (1) (или (3)) выполняются (4), будем называть стационарной точкой функции F при наличии связей (1).

Мы доказали, что для того, чтобы точка Р° =(宕，・・., %：, у；, ..., у：) была точкой локального условного зкстре-

мума, необходимо^ чтобы она была стационарной точкой F при наличии связей (1).

Дальнейшие наши рассмотрения относятся к вопросу о том, как найти указанную стационарную точку, не разрешая систему (1) относительно переменных %, •・・，утЯ хотя существование функцийф19 •••,①皿 мы будем предполагать. Будем писать (₽%, (<₽Д)вместо F (Р°), <Р[(М°)・

В силу инвариантности формы дифференциала первого порядка условия (4) эквивалентны условиям

小"産昨纟蔺产+負如…⑸ где вводящие вdF зависимые дифференциалы dy】…•, dy* соответственно равны

並咱翁）产並咱翁）产(在=1,…，m).(在=1,…，m).Эти дифференциалы вместе с независимыми дифферент хщалами dx” •・・,dxn связаны соотношениямиЭти дифференциалы вместе с независимыми дифферент хщалами dx” •・・,dxn связаны соотношениями

並咱翁）产

並咱翁）产

(在=1,…，m).

(在=1,…，m).

Эти дифференциалы вместе с независимыми дифферент хщалами dx” •・・,dxn связаны соотношениями

Эти дифференциалы вместе с независимыми дифферент хщалами dx” •・・,dxn связаны соотношениями

которые мы получаем из зфавнешш связи.

Итак, стационарная точка функцииР при наличии связей (1) может быть определена также как такая точка Р° = =(宕，…,琮心 …,城),удовлетворяющая уравнениям (1), что для нее выполняются равенства (5) для scexdxj»...»dxn, 明1，…,dym9 для которых имеют место равенства (6).

Введем (п + т)-мерные векторы grado Gj = grad G; (P°)=

dz = (dx1#.... d*献 血1，・•・，dyQ・dz = (dx1#.... d*献 血1，・•・，dyQ・

dz = (dx1#.... d*献 血1，・•・，dyQ・

dz = (dx1#.... d*献 血1，・•・，dyQ・

На языке этих векторов уравнения (5) и (6) можно записать через скалярные произведения

(grad0F, dz) = 0,(5，)

(grad0 % dz) = О(J = 1,…，m).(6')

Мы получили, что точка P° =(5q, ...,х°, у；, ・・.,才)есть стационарная точка при наличии связей (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнением (1), и если из того, что какой-либо вектор dz ортогонален к градиентам grad0 Gn ...,grad0 Gm, следует, что он ортогонален KgradoF- Но в таком случае (пояснения ниже) существует и притом единственная система чисел 入】，..・，Xm такая, что

gradg Г = X grad0 Gk.(7)

Обратное утверждение тоже верно. Если известно, что grad0F при некоторых числах 入〔,一•，入肌 может быть представлен в виде (7), т. е. в виде линейной комбинации градиентов graA Gk(k = 1, -..» m), то отсюда немедленно следует, что как только какой-либо вектор dz ортогонален к градиентам grado q, он автоматически ортогонален к grad0 F.

Убедиться в верности обратного утверждения не представляет никакого труда: из (7) и (6‘)следует, что

(grad^ 尸,dz)=僖 Agrad^G肥 dz) ^

H(时叫 G dz) = £“ 0 = 0.

*=iл=1

Что же касается прямого утверждения, то мы сошлемся на теорему из линейной алгебры*. Все же сделаем пояснения.

ПустьЬ есть линейное подпространствоЯл+л, натянутое на векторыgrad0 G； (/ = 1,..., m), т. е. множество линейных

комбинаций вида (7), соответствующих всевозможным системам чиселХг,..・,入Введем подпространство!/^ векторов dz, ортогональное к L, т. е. I/ состоит из всех векторов dz, ортогональных к L или, что все равно, ортогональных к векторам grad0 G^0= 1».…m). Если* V ортогонально кL, то и, обратно, L ортогонально к L\ т. е. L состоит из всех векторов, ортогональных к I/. Как было сказано в стационарной точке Р°, градиент F ортогонален ко всем векторам dz, ортогональным к градиентам 弓,т. е. градиентР ортогонален к U. Но тогда по указанной теореме градиент F принадлежит к£, таким образом есть некоторая линейная комбинация из градиентов G『единственная линейная комбинация, потому что зфадиенты 生(j = 1,・..,m) образуют линейно независимую систему в Вп+т. Дело в том, что матрица из частных производных функций Gy

№

8GldG1

旭1

1

\8х1

… дхn匆

…孤

…dG^dGm

•・・ • •・[

(8)

\дх1

…8%抽

1

имеет в окрестности точки Р° ранг т» потому что мы предположили верным условие (2), но товда строки этой матрицы определяют векторы (градиенты), образующие линейно независимую систему**.

Из сказанного следует, что стационарную точку функции F при наличии связей (1) можно определить еще и так; это такая точка Р° =(宕,•・•, ％：, у；，・••, У：)，удовлетворяющая уравнениям (1), для которой градиент F есть линейная комбинация из градиентов @0=1,…，m)

grad0 尸=grado G『• (7)

Можно еще сказать так: для того чтобы точка

* См. теорему 1 § 19 указанной выше книги.

** См. § 13 указанной книги.

была стационарной для функции F при наличии связей (1), необходимо и достаточно, чтобы для нее существовали числа %,••” 入"^^ которых выполняется равенство (7).

Так как ранг матрицы (8) в точке Р° равен т, то каждой стационарной точке соответствует единственная система чисел%, ・•・，入м Для которых имеет место равенство (7). Равенство (7) эквивалентно следующему：

Edof4入冋］=。.(9)

Функцию, стоящую под знаком градиента в (9)

l(p,笛=尸(Р)-£^ (Р)，入=(%,…,入а，

называют функцией Лагранжа^ а числа % множи телям и Лагранжа.

Запишем условия (9) в развернутом виде:

(j = 1,…)何，(fe=l, ...» m)・(j = 1,…)何，(fe=l, ...» m)・(9')(9')^=^-；%当=0

(j = 1,…)何，

(fe=l, ...» m)・

(j = 1,…)何，

(fe=l, ...» m)・

(9')

(9')

dx.汝j м ,0弔

/=善一殳1当=0 a%孤台，姒

Вопрос о нахождении стационарных точек F при наличии связей (1) свелся к решению системы, состоящей из уравнений (1) и С9').

Резюмируем сказанное.

Чтобы найти стационарную точку

pо=(^,...»W,窮，…，娘)

функции 尸 при наличии связей, надо составить функцию Лагранжа и систему уравнений (9') и решить эту систему совместно с уравнениями связи (1). Всего здесь будетn + 2m уравнений сп + 2т неизвестными /,…,хп, %,•••, ут,入】,…, 入灯 При этом решение системы относительно х『и 为 даст точку (%；, •••，％：，У；, •••，У；), которая будет стационарной точкой. Точки локального условного экстремума находятся среди стационарных точек. Выяснение вопроса о том.

будет ли на самом деле стационарная точка Р° точкой ус

ловного экстремума, удобно проводить, рассматривая второй дифференциал функции Лагранжа. При выяснении знака d^L (Р°,入)нужно учитывать, что дифференциалы dyk зависят от дифференциалов dxr

Пример. Пусть на плоскости хОу дана фигура, ограниченная осями координат и параболой ^ + х2 — 3 = О

Рис. 102Рис. 102(О ^ х ^ 焉)・ Вписать в эту фигуру прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, одна из вершин М = =(х, у) которого находится на этой параболе, так, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей (рис. 102).

Рис. 102

Рис. 102

Решение. Пустьх ну — координаты вершины М. Тогда площадь прямоугольника S =х^.Далее, так как точкам лежит

на параболе, то ее координаты должны удовлетворять уравнению параболы: у + %" - 3 = 0・ Таким образом, мы должны

исследовать на условный экстремум функцию S ^ ху при наличии связи у + — — 3 = 0. Составим функцию Лагранжа L (х, ^ А) = х^ - X (г/ + х2 - 3). Найдем стационарные точки задачи из уравнений

用寸-2九% = 0,

•逗=%-九=0,匆

У + *2 —3 = 0.

Решая эту систему, находим, что * = 1, у = 2,入=1. Таким образом, точка (1, 2) стационарная и ей отвечает множитель Лагранжа k = 1. Исследуем в стационарной точке второй дифференциал функции Лагранжа

L (х, у91)^ ху-у-х2 + 3.

Имеем

/L(X, у, 1) = 4〃2 + 2《d* dy + L)dy2 + 4d2% + 4d2y,1де последние два члена в правой части возникают потому, что

дифференциалы dx и dy зависимы и, вообще говоря, d2x ^ О» /у А 0. Однако в стационарной точке (1, 2) — = ^^ = 0.

дх ду

Поэтому

dzL (х, у, 1) = L'dx^ + 2L" dx du + E：dy2 = 2dx (dy 一 dx).xХУу

Если считать dx и dy как дифференциалы независимых переменных, Tod2L (х, у, 1) не является определенным по знаку. (Однако из уравнения связи видно, что dy = —2xdx и в точке (1, 2) dy = —2d*. Таким образом,

囱(1, 2, 1) = -6& < 0 (d/ 工 0),

а следовательно, и приращение функцииЬ (х, у,入)в точке х = 1, ^ = 2, X = 1, соответствующее приращению х, равному dx 工 0, меньше нуля (AL (1, 2,1) < 0). Значит, функция S == *у имеет в точке (1, 2) локальный условный максимум.

Итак, из всех прямоугольников указанного вида наибольшую площадь имеет прямоугольник со сторонами ОА = 1, ОВ=2・

ГЛАВА 9

РЯДЫ

§ 9・ 1. Понятие ряда

Выражение

% + % + u2+…，(1)

me числа ик (члены ряда}9 вообще комплексные, зависят от индексов А = 0, 1, 2,…，называется рядом. Этому выражению мы не приписали никакого числа, потому что сложение бесконечного числа слагаемых не имеет смысла. Ряд (1) еще записывают так:

£：/=£/・(2)

JM) о

Эта чисто формальная запись часто более удобна» чем запись (1).

Числа

Sn = u0+ % 十…+ ип (л = 0,1,…)

называются п-ми ^шстичными суммами ряда (1).

По определению ряд (1) сходится, если существует

噌=S・

В этом случае пишут

S = % + U] +〃2 + …=Е/(3)

и называют S суммой ряда, т. е. выражениям (1) или (2) приписывается число S. Говорят еще» что ряд (3) сходится kS.

Замечай ие. Равенство lim& = S, где SnwS — комплексные, определяется так же, как для действительных Sn9 S, т. е. оно обозначает, нто Ve > 032V;|Sn - S| <£ Vn >N. Здесь IS” 一 & — модуль разности двух комплексных чисел Sn, S. Для комплексных переменных доказывается в точности так же, как для действительных переменных, что предел суммы, разности, произведения и частного переменных %，% Равен соответственно сумме, разности, произведению» частному пределов этих переменных с обычной оговоркой в случае частного (lim % 工 0).

В силу условия Коши (верного и для последовательностей комплексных чисел), для того чтобы ряд (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для всякого £ > 0 нашлось такоеМ чтобы для всех натуральных п> N и любого натурального р выполнялось неравенство

lun+l + ••• + Un^ = |Sgp _ SJ V &

Отсюда в частности (полагая р = 1), следует, что если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю:

J 嘈％ =0.(4)

Но условие (4), будучи необходимым, не является достаточным для сходимсюти ряда, как это будет видно из даль* нейших примеров.

Рассмотрим еще ряд

Мп+1+ Мл+2 + …=Е〃п+在(5)

Так как условие Коши сходимости рядов (1) и (5) формулируется совершенно одинаково, то они одновременно либо сходятся, либо расходятся (не сходятся). Если они сходятся, то сумма ряда (5) равна

Hm£%+A = lim (Sn+m-S„) = S-S„.m — CO

Ряд (5) называютостаткол или остаточным членом ряда (1)・

Если члены ряда (1) неотрицательны (таким образом, действительны), то его частичные суммы образуют неубы- вающую последовательность S> < S2 < S3 W,・••, поэтому, если эта последовательность ограничена

Sn<M 5 =1,2,…)，

то ряд сходится и его сумма удовлетворяет неравенству

lim S=S^M.

Если же она неограничена, то ряд расходится：

Нт Sn = 8.

L8 rt

В этом случае пишут

*=0

Пример. Ряд

1 + 2 + / + ••・(6)

имеет (при z 工 1) частичную сумму Sn (z) = (1 - 3^+1)/(1 - z). Если |z| v 1, то \2^^\ = \z^ и 27Hl — 0(71 一 оо). Таким образом» ряд (6) сходится и имеет сумму, равную (1 ~ z)'i на открытом круге |г| < 1. Если же 同》1, то ряд (6) расходится, потому что в этом случае его общий член, имеющий модуль, не меньший единицы |z"|》1, не стремится к нулю

при 冷一* 8

§ 9.2. Несобственный интеграл и ряд

Рассмотрим интеграл

!〃x)dx,(1)

имеющий единственную особенность в точке Ь. Пусть

а = Ь^<Ъг<Ь2< ... <b^bk^ Ъ.

Тогда можно определить ряд

|/(x)dx + J/(x)dx +£ ^f dx.(2)

fe-й член которого равен

любого ", где а<Ь* <ЬУ можно указать такое nf = п (У), что Vn > п\ Ь，< Ьп, Поэтому, учитывая, что / (х)》О,

J/dx W Jfdx = £ }fdx W S, aak=0 %

t. e. интеграл в левой части ограничен и, следовательно, несобственный интеграл (1) существует. Но тогда, как доказано выше, справедливо равенство (3).

Если же функция / не сохраняет знак на [а, Ь), то из сходимости ряда (2) вообще не следует сходимость интеграла.

Например, ряд

8维沙8

£ J sinxdx = Vo = О

^^ 2ляо

сходится, интеграл же Jsinx dx расходится потому, что фун-

КЦИЯ ОТ X

Теорема 1. Если интеграл (1) сходится, то сходится также ряд (2) и имеет место равенство

6со 以

J/(x)dx =Z J"%・(3)

Действительно,

n 勾1%+]?

fmZ = lim jfdx = jfdx. 时8 0坛a

Если f неотрицательна на [a, &), то и, наоборот, из сходимости ряда (2) следует сходимость интеграла (1). В самом деле, пусть ряд сходится и имеет сумму, равную S. Для

Jsint d£ = 1 - cos xо

не стремится к пределу при 尤—8.

Теорема 2.Если функция f (х)》0непрерывна и не возрастает на [0, оо), то интеграл

Jf(x)dx(3，)

О

и ряд

Xf(*) = f(O) + f(l) + /(2) + ;„⑷

л=о

одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Доказательство. Имеют место неравенства

Л+1

f(fe+l)<。⑺ dx^f (盼 出=0, 1,…). k

Суммируя их по 比 получим

2摩)=力3 + 1) w J/(X)dx w £〃初1ООо

Отсюда, учитывая, что все члены в этих соотношениях при возрастании п монотонно не убывают, следует утверждение теоремы.

Из доказанной теоремы следует, что ряд

сходится при а > 1 и расходится при a W 1 потому, что функция 1/(1 + х)а при а>0 непрерывна и монотонно убывает на [0, 8), а

г dx [<о° @>1)，!(1”)八=8 (a这1).

Ряд (5) при О V a W 1 может служить примером расходящегося ряда с общим членом (ип = п"^), стремящимся к нулю.

В случае a W 0 непосредственно видно, что ряд (5) расходится (общий член не стремится к нулю).

§ 9.3。Действия с рядами

ОО8

Если ряды Z。在 м Х^* сходятся и а ——число, то ряды оо

соjOQ^

£аи在,(иЛ + %) также сходятся и оо

8JDQ

⑴⑴2>%=a2以，

⑴

⑴

ОО0JOO

(2)(2)Х(以 ±<4)= Z以土 Е%ооо

(2)

(2)

Действительно,

-丁JOO

〉:аи& = lim $：au 岳=ex. lim〉： u& = a〉： %(,0吁8 оn-8 оо

w（以土外）=题g（S ± %）=

=HmlX±5£% = 土Z%・

吁8 ОХ8 ООО

Подчеркнем, что из сходимости ряда, стоящего слева в (2), вообще не следует сходимость каждого из рядов, стоящих справа в (2). Например, ряд

(1-1) + (1-1) +…(3)

8

сходится (все его члены равны нулю), но выражение V1 — о

-? 1 не имеет смысла—ряды, входящие в него, расходятся, о

Если ряд

% + % + / + •・・(4)

сходится и имеет сумму 5, то члены его можно любым образом сгруппировать скобками (однако не переставляя их), например, так:

% + (% + 〃2)+ (〃з + 以+ %)+ …，

образуя новый ряд, члены которого равны суммам чисел, стоящих в скобках. Новый ряд будет сходящимся и притом к S, потому что его частичные суммы образуют подпоследовательность сходящейся последовательности частичных сумм ряда (4).

Наоборот, раскрывать скобки в ряду, вообще говоря, незаконно, например» после раскрытия скобок в сходящемся ряду (3) получается расходящийся ряд 1 — 1 + 1 —.... Впрочем, если внутри скобок всюду стоят только неотрицательные или неположительные числа, то раскрытие в таком ряду скобок не изменяет сходимости ряда и величины его суммы.

§ 9.4. Ряды с неотрицательными членами

Теорема 1 (признак сравнения рядов). Пусть даны два ряда:

2)支匕

Оо

с неотрицательными членами.

Если 〃在 W и&(左=0, 1, ...), то из сходимостиряда.2) следует сходимость ряда 1), а из расходимости ряда 1) следует расходимость ряда 2).

Если

lim— = Л. > 0,(1)

А-8 %

то ряды 1) и 2) одновременно сходятся и расходятся.

Доказательство. Пусть ряд 2) сходится и S — его сумма. Тогда

^цк w z〃也 w sm=о, l …)，

о о

т. е. частичные суммы ряда 1) ограничены и ряд 1) сходится. Его сумма S' удовлетворяет неравенству S & S.

Пусть теперь ряд 1) расходится: тогда (см. § 9.1) его частичная сумма неограниченно возрастает вместе сп>что в силу неравенства

举也 W %А (п = 0, 1,...)

О о

влечет также неограниченное возрастание частичных сумм ряда 2), т. е. расходимость последнего. Этим доказано утверждение а).

Пусть теперь имеет место (1). Зададим положительное число е, удовлетворяющее неравенству А - е > 0. Из (1) следуют неравенства

a-Ev^va + E (k > 2v),

верные при достаточно большом N, или неравенства

⑵⑵(A-e)vk<uk<(A + e)vk (k>N).

⑵

⑵

Если ряд 2) сходится, то сходится также ряд £ (А + + £)%, и на основании второго неравенства (2), сходится ряд Z 以，а тогда и ряд 1). Обратно, сходимость ряда 1) влечет 4N+1

сходимость ряда £ (А -£)ил и, следовательно, сходимость *=N+1

ряда 2).

Но тогда из расходимости одного ряда вытекает расходимость другого. Этим доказано утверждение б).

Теорема 2 (признаки Даламбера*). Пусть дан ряд

⑶

с положительными членами.

Если

竽 Wq<l (* = 0,1,2,...), •

ЯС. Даламбер (1717-1783) — французский математик.

то ряд (3) сходится： если же

忍》1 信= 0,1, 2,…)，(5)

то расходится.

Если

奥況=Q,(6)

在-8 Uk

mo ряд (3) сходится при q< 1 и расходится при q > 1 ・

Доказательство. Имеем

мл = 〃о ~ ~—^~(寵=。‘ 1, 2, .•.),(7)

% % %

поэтому из (4) следует, что

% W 〃d，0 V 1⑴=0,1,…)，

и так как ряд Z〃oq" сходится, то вместе с ним сходится и 1

ряд (3). Из (5) в силу (7) следует, что ип》% (□ = 0,1, 2,・・・), и так как % > 0, то ряд (3) расходится (общий член не стремится к нулю)-

Если теперь выполняется свойство (6) и ^ < 1, то для положительного Етакого, что^+8< 1, uk+1/uk<q + e< 1 (尼》 》N), гдеМ достаточно велико. В силу признака (4) в таком случае р且д £ 以 сходится, а вместе с ним сходится и ряд (3).

Из свойства же(6) при q> 1 вытекает, что uk+1/uk> 1 (к》N) при достаточно большом ^, и тогда в силу признака (5) ряд

8

£〃在 расходится, а вместе с ним расходится и ряд (3).

Теорема 3 (признаки Коши). Пусть дан ряд (3) с положительными членами,

Если

^4 V q V 1(^ = 0, 1,...)»(8)

то ряд (3) сходится： если же

^4》1 (й = 0, 1, .-.)»(9)

то ряд (3) расходится.

Если

Шп ^4 ж д»(Ю)

то ряд (3) сходится при q<l и расходится при g > 1-

Если

Um^/i^ =q.(11)

то ряд (3) сходится при q< 1 и расходится при q> 1и при этом члены ряда неограничены.

Доказательство. Из неравенства (8) следует» что

uk<q (q <l,k^ 0, 1,…),и так как в этом случае ряд

о

сходится, то сходится и ряд (3)・ Из неравенства (9) следует, что ufc ^ 1 (fe = 0, 1,...), т. е. не выполняется необходимое условие сходимости, и поэтому ряд (3) расходится.

Далее из свойства (10) при g < 1 следует, что

^/i^vq + £<l(论》N)(12)

при достаточно большом N, откуда

以 V（Q + £）褪 3》N），

и так как ряд £(q +£)" сходится, то сходится и ряд 之以,а вместе с ним ряд (3). Из свойства (10) при q > 1 вытекает, нто ^/^ > 1, т. е. %> 1 (к》N) при достаточно большомN, откуда следует расходимость ряда (3).

Из свойства (11) (так же как из свойства (10)) npuq v 1 следует (12), откуда, как уже доказано» вытекает сходимость ряда (3).

Наконец, пусть выполняется свойство (11) при q > 1. Подберем конечное число % так, чтобы 1 v 實 v q. На основании свойства верхнего предела (см. § 2.10) существует подпоследовательность kr<k2< ... такая, что

戒 >01> 1 (s= 1, 2,...),

т. е.

%>#•

Но тогда члены % неограничены и ряд (3) расходится.

Замечание. Ряд с общим членом ип = п^ (а > 0) сходится при а> 1 и расходится при а W 1 (см. § 9.2, (5)).

При этом вобоих случаях

lim % = 1,(13)

Л—«%\，

так же как

動仮=L(14)

Таким образом,существуют как сходящиеся, так и рас-

ходяхциеся ряды с признаками (13) и (14).

Ряд 1 + 2 + "з + ••• называется гармоническим рядом (он расходится, см. § 9.2, (5)).

Примеры.

8 女ОО л8 ..

1)2言・2)Е^(а>0).3)ЕР〃-1)・

о 砲1 К1

4)*1п(1+/.5)*q"麻(9>о).

Ряд 1) сходится Vx》0. При х = 0 это очевидно, а при х>0 это следует из того, что 〃在十 i/〃* = x/(k +1) — 0,比 一 8. Более того, мы знаем, что этот ряд является рядом Тейлора функции с* и сходится Vx к сумме, равной с*・

Ряд же 2) сходится при 0 < х< 1 и расходится длях> > 1, потому что прих> 0 для него 〃“】// = * (左/(比 + 1))а 一 —к,比—8, при к = 1 см. выше замечание- Случай х = 0 тривиален-

Ряды 3) и 4) расходятся в силу теоремы 1 § 9.4, потому что /" 一 1 у 1"(左 一 8)н In (1 + (1/fe)) и 1" (k — оо) («у» — знак асимптотического равенства, см. § 3.9> § 3.10), а гармонический ряд 工左"расходится.

Ряд 5) сходится при О W q V 1 к расходится при q > 1, потому что для него ^4 = jMV麻)一 ^ 出—оо). При q = 1 он тоже расходится — общий член ряда в этом случае равен 1.

Теорема 4- Пусть ряд

u0 + Uj 4- и2 + ...(15)

с неотрицательными членами сходится и имеет сумму S. Тогда полученный в результате произвольной перестановки его членов новый (заново перенумерованный) ряд

и'о + и\ + и、+ •・・・(16)

также сходится и имеет ту ме сумму S.

Доказательство. Пусть

5界="0 + "] +…+ "П

—частичная сумма ряда (16). Члены ее находятся в ряде (15) под некоторыми номерами k0,..., kn. Пусть N — наибольшее число среди них и S^ есть N-я частичная сумма ряда (15). Очевидно, Srn^ SN^ S9h так как и произвольно* то ряд (16) сходится и имеет сумму S' W S・ Но теперь приведенное рассуждение можно провести еще раз, поменяв ряды (15) и (16) местами, и получить, что S W S'. Поэтому S = S'.

Ряд Лейбница

Ряд вида

% — G] + % - ％ + ••”(1)

где числа ak > О, монотонно убьхвая, стремятся к нулю (@无》a*+i；。无—О, А — 8), называется рядом Лейбница. Покажем, что ряд Лейбница сходится и его сумма S W /・

В самом деле, частичная его сумма S2n+1 с нечетным номером 2n + 1 может быть записана в виде

$2п+1 = % - (% -。2)-(% - а4)-…-(a2Al - @2)- a2n+l*

откуда, очевидно, следует, что она ограничена сверху числом а0:

^2n+l W О。，

С другой стороны, она может быть записана в виде

^2П+1 =(% -。1)+(°2 -。3)+…+ (g2n 一 g2П+1)，

откуда следует, что она монотонно не убывает. Но в таком случае существует предел limS2n+1 = S W %. Очевидно так- 〃г 8

же, что

肝‘2〃 = H^(S2n+1 -。2必1)= S - ° = £

Теорема доказана.

Пример. Ряд 1 — А + J + -..есть, очевидно, ряд Лей- N о

бница. Таким образом, он сходится и его сумма S не превышает 1 (на самом деле» S = 1п 2, см. § 4.16, п. 4).

Абсолютно сходящиеся ряды

Ряд с комплексными членами

〃о + % + 〃2 + …(1)

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

闷 + 同 + |u2l + ...⑵

модулей его членов.

Абсолютно сходящийся ряд сходится.

В самом деле, пусть ряд (1) абсолютно сходится; тогда сходится ряд (2) и в силу признака Коши для любого £ > О найдется такое N, что £ > |un+1| + ... + I 〃「J Для всехр ип >N. Тем более, тогда £ > |ип+1 +... + ип^. Поэтому в силу признака Коши ряд (1) сходится.

Сходящиеся ряды с неотрицательными членами тривиальным образом сходятся абсолютно. Ряд 1 —吉 + + ± -. •・(а > О) сходится, потому что он есть ряд Лейбница. Однако абсолютно он сходится только при а > 1.

Теорем а.. Если ряд абсолютно сходится, то при любой перестановке его членов сходимость полученного нового ряда не нарушается и его сумма остается прежней.

Доказательство. Сначала докажем теорему в случае» когда члены ряда uk — действительные числа.

Положим (для действительных uk)

если %》0, если %<0,если %》0, если %<0,если %£0, если %>0；если %£0, если %>0；(3)(3)

если %》0, если %<0,

если %》0, если %<0,

если %£0, если %>0；

если %£0, если %>0；

(3)

(3)

числа 成 н 吗，очевидно» неотрицательные и

(4)(4)(5)(5)%= 4 -域，

(4)

(4)

(5)

(5)

Наряду с рядом (1) будем рассматривать два ряда.

ОО8

оо

(с неотрицательными членами).

Пусть ряд (1) абсолютно сходится и члены его — действительные числа ил. Тогда ряды (5) также сходятся, потому что, очевидно,乜 W |uj,吗 W |uj.

Пусть ряд, ползгченный после перестановки исходного ряда (1), имеет вид 丹 + % + % + ・••・ Для его членов введем, как выше» числа 埼 и 喝.Тогда (пояснения ниже)

8 88 СО

Sx=£Hf)=Jx-Ja

о оо о

8а88

ОООо

Первое равенство в этой цепи следует из (4), второе — из § 9.3, (2), если учесть, что ряды (5) сходятся, третье еле-

дует из того, что сходяхциеся ряды с неотрицательными членами перестановочны, четвертое из § 9・3, (2), и, наконец, пятое — потому, что% =亡一纥.Теорема для действительных uk доказана.

Пусть теперь 〃"==% + i0友—комплексные числа, а числа ил имеют прежний смысл. Так как |aj W |以|, |0友| W |〃/,

88

то ряды с (действительными членами)，％ м £“ абсолют- 0о

но сходятся, и члены их, как сейчас было доказано, можно переставлять. Поэтому, считая, что и« = 丫友 + 力纵,получим

£/ = £(% +不0=之% +电国=

о оо о

=£7* + i£6* = £(力 + 为0=之%О00о

Теорема доказана полностью.

Условно сходящиеся ряды с действительными членами

Из предыдущего парахфафа мы знаем, что абсолютно сходящийся ряд с действительными или комплексными членами после перестановки членов остается абсолютно сходящимся и имеющим прежнюю сумму.

Оказывается, это свойство — не менять сумму после перестановки членов — присуще только абсолютно сходящимся рядам.

Рассмотрим ряд

%+〃1 + 〃2 + …(1)

с действительными членами сходящийся, но не абсолютно.

Можно доказать, что, каково бы ни было число S, ко-

нечное или бесконечное, т. е. удовлетворяющее неравенствам —8 W S W +8, существует перестановка членов ряда (1)> в результате которой получится ряд, сходящийся к S. Поэтому неабсолютно сходящиеся ряды называют условно сходящимися.

Сделаем еще следующее замечание. Пусть задан ряд (1) из действительных чисел, условно сходящийся» В ряде (1) имеется бесконечное множество положительных и отрицательных членов, н, очевидно, они в отдельности образуют расходящиеся ряды 伯 противном случае исходный ряд был бы абсолютно сходящимся).

Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость

Рассмотрим последовательность функций {" (х)}» определенных на некотором множестве точек * = (%» ...» %。 n-мерного пространства. Они могут принимать комплексные значения (А (х) =ал (%) + фл (х)). Можно считать также, что х — комплексные точки (# = & + ir]), пробегающие некоторое множество Е точек комплексной плоскости, и тогда fk (х)——функции комплексной переменной х.

Пусть для каждого значениях € Е последовательность {fn (х)} стремится к числу f (х) (функции от х).

По определению последовательность fn (х) сходится (стремится) к f (х) равномерно на Е, если существует сходящаяся к нулю последовательность неотрицательных чисел рл (не зависящих от х) такая, что

l/(x)-fn(x)|<pn VxeE.

Это определение эквивалентно следующему: для любого £ > О найдется N такое, что при п> N

1/(%)_/п(%)1<€ V% w Е・

В самом деле, если выполнено первое определение, то для любого е > О найдется N такое, что

£>Рп》/(%)-〃(x)f Vx w Е, «>N

т. е.

£> If (Х)-4(x)1VxgE, n>N.(2)

Обратно, по второму определению для любого е > О найдется N так, что выполняется (2). Но тогда

£》9ир|/ (х)-厶(#)| = р〃 (и> N).(3)

Мы видим, что неотрицательные числарп не зависят отх и У (%) 一 力1 (#)1 & рп» рп — 0, т. е. выполняется первое определение.

В первом определении в качестве рл можно взять точную верхнюю грань

аир|/(х)-/л(х)| = рл.

#闺

Если она стремится к нулю при л — 8 (рп — О), то fn (х) стремится к f (х) равномерно наЕ, если не стремится, то не равномерно.

Можно еще дать третье определение равномерной сходимости в духе Коши: последовательность {fn (%)} равномерно сходится наЕ. если для любого £ > О найдется такое N, что выполняется неравенство

必”(%)-。@)1 V €(4)

при любых п> N ир> О и для всех х w Е.

Из того, что последовательность равномерно сходится в смысле второго определения, следует, что для всякого £

найдется такое ^, что для n > N и любых р выполняется неравенство

\fn+P (х) - . @)| W \fn+p (х) -/(%)[ + |/ (*) - f„(x)|< 2е

Vx £ Е,

т. е. выполняется третье определение. С другой стороны, пусть выполняется третье определение; тогда для каждого отдельного значения % е Е выполняется, очевидно, обычный признак Коши сходимости последовательности, поэтому она сходится к некоторой функции / (х). Зададим т* перьЕ > О и подберемN так, как указано в третьем определении. В неравенстве (4), гдеп >N фиксировано, перейдем к пределу прир — 8； в результате получим

1/(*)一九(*)1 W£, (x g е).

И так какп > N можно взять любым, то мы получим второе определение.

〃％) — Е<у </(%)+£.〃％) — Е<у </(%)+£.Рис. 103Рис. 103Изобразим в прямоугольной системе координат график функции у = / (%) (предельной функции), которую мы считаем непрерывной на отрезке [а, Ь] (рис. 103). ЗададимЕ > 0 и определим £-полоску толщиной 2е, окружающую график. Произвольная точка е-полоски с абсциссой х G [а, Ь] имеет ординату у. удовлетворяющую неравенствам

〃％) — Е<у </(%)+£.

〃％) — Е<у </(%)+£.

Рис. 103

Рис. 103

Если последовательность функций {，〃(％)} стремится к f (х) равномерно на [а,Ь], то по заданному£> О можно ука

зать такое?/, что для любого n>N график у =力1a) окажется внутри Е-полоски. Если же fn (х) стремится к / (х) неравномерно на [а, Ь], то, хотя для каждого значения x fn (%) стремится к/ (х), все же\/£> 0 невозможно указать такоеМ чтобы для каждого п> N все графики у =九(％) попали в £-полоску (см. ниже пример 3)・

Нетрудно видеть, что если а — число, а {%(%)} и {限(％)} 一 Две последовательности функций, равномерно схо- дягциеся на Е, то последовательности {аД (х)} и {fk (%) ± 士 <рл (х)} также равномерно сходятся наЕ. Нетрудно также

видеть, что если последовательность функций равномерно сходится на Е, то она равномерно сходится и на Е' и Е. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Заметим, что каждой последовательности функций {%(%)} соответствует ряд

/0з+*(© - %⑺]+/⑺一Л (切+…，

Пусть теперь задан ряд

%(X)+ % (%) + “2(%)+ ••”%(X)+ % (%) + “2(%)+ ••”(5)(5)

%(X)+ % (%) + “2(%)+ ••”

%(X)+ % (%) + “2(%)+ ••”

(5)

(5)

члены которого, вообще говоря, комплексные функции от хе £, где Е — по-прежнему некоторое множество точек n-мерного пространства или комплексной плоскости.

По определению ряд (5) равномерно сходится на множестве Е к функции S (х), если последовательность {S* (х)} его частичных сумм равномерно сходится наЕ к S (%)・

В частности, определение равномерной сходимости ряда, очевидно, можно высказать так: ряд (5) равномерно сходится на множестве Е, если для любого £ > 0 найдется такое N, что для n>^иp>Oи всякого % w Е выполняется неравенство

1%(*)+ ••• + %р (х)1 < £•

ной сходимости ряда.ной сходимости ряда.Следующая теорема дает важный критерий равномер

ной сходимости ряда.

ной сходимости ряда.

Теорема 1 (Вейерштрасса). Если члены ряда (5) удовлетворяют неравенсшвам

% (х)| W % 3 = О, 1,…)， (6)

где х е Е, a ak — числа (не зависящие от 算)，и если ряд с членамиак сходится, то ряд (5) сходится на множестве Е абсолютно и равномерно.

В самом деле, из сходимости ряда с членами ал и из (6) следует, что для любого Е > О найдется такое N, что при любых n>Nnp>On произвольном % € Е

£>% +……户

》1%+1 (G + …+ 1%+p (%)l》l〃“+i (%) + …+ % (©I， а это и значит, что ряд (5) равномерно сходится наЕ・ Абсолютная его сходимость очевидна.

Теорема 2. Если последовательность функций {fn (х)} равномерно сходится на множестве Е к функции f и fn непрерывны в точке х° (относительно Е). то / также непрерывна в х°.

На языке рядов эта теорема гласит: сумма равномерно сходящегося на Еряда функций» непрерывных в точке F w Е, есть непрерывная функция 6 этой точке*.

Доказательство. Зададим е > О и подберем натуральное ^ так, чтобы |/ (х) - fN (%X < е/3 для всех х е Е, что в силу равномерной сходимости /п к / возможно. Имеем, далее.

If⑴- f a°)l w，⑴-%⑴I +办3一加(步+

+ 办@°) -"*°)1<年 + 1 片(外一加@°)1(7)

для любой точки % с Е. Но функция fN непрерывна в х°, и можно указать такое 5>0, что\fN (х) 一 fN (х°)| < £/3 для всех

х е £ таких, что |х 一 ％] < 5; поэтому из (7) следует, что для такихх

1〃%)一，(野| 吟"=£,

О о

и теорема доказана.

Пример 1. Ряд

1 + (х - 1) + (х2- х) + (х3- х2) +...(8)

сходится на отрезке [0,1], но неравномерно. На отрезке [О, q]> где О < g < 1, он сходится равномерно.

В самом деле, n-я частичная сумма ряда (8)

S—Т{:%:;：

Абсолютная величина разности S (%) — Sn (х) (остатка ряда) равна

叫）』“.『＜言：（9）

На отрезке [О, qj. где О v q < 1, 田⑺-Sn@)| = /W/

Правая часть этого неравенства не зависит отх е [О, д] и стремится к нулю прип —♦ оо (д“ — 0 \ Это показывает, что ряд (8) равномерно сходится на отрезке [0, q], где О < q < 1.

С другой стороны, из равенства (9) видно, что

衆RJS (%) - Sn (*)| = 1.

Таким образом, число 1 есть самое малое число, превышающее |S (х) - Sn (х)| для всех х с [О, 1]. Но постоянное

число 1 не стремится к нулю при 71f 8, поэтому ряд (8) хотя и сходится на [0, 1], но неравномерно.

Пример 2. Ряд

(10)(10)sin% , sin2x I sin3%

(10)

(10)

l2 2232 +

имеет n-й член, удовлетворяющий неравенству

l^Ug Vx e (-8, 8), n n

и при этом ряд

< 8< 8

< 8

< 8

衆引力⑺一Г⑺户衆ё/⑺衆引力⑺一Г⑺户衆ё/⑺

衆引力⑺一Г⑺户衆ё/⑺

衆引力⑺一Г⑺户衆ё/⑺

сходится. Поэтому по теореме Вейерштрасса ряд (10) равно* мерно сходится на всей оси (~оо, 8).

Так как члены ряда (10) суть непрерывные функции, то по теореме 2 сумма этого ряда есть непрерывная функция.

Пример 3. На рис. 104 изображена функция fn (%) (n =. 1, 2, ...). Она линейна на каждом из отрезков [0, 1/п], [1/п, 2/司, [2/n, 1] в отдельности. Кроме того, fn (0) = f(2/n) = 0и/п(х) = 0 на [2/n, l]9fn(l/h)= 1. Очевидно, limfn(x) = /(x) = 0 Vx с [0,1], потому что fn (0) = 0 -* 0, а если

Рис. 1040 < х < 1, то fn (х) = 0 Vn > 2/%・

Далее» очевидно, что

=1,

и при этом постоянное число 1 не стремится к нулю прип — 8. т. е. fn (х) ~* f (х) = 0 на [0, 1]» но неравномерно.

На рис. 104 пунктиром изображена £-полоска, окружающая предельную кривую/ (х) ± 0 (0 W % W 1). При любом п график функции fn (х) не попадает весь в £-полоску. Это не мешает тому, что fn (х) ~* f (х) = 0 V% е [0, 1].

Приведем еще более тонкие признаки равномерной сходимости рядов, основанные на применении к ряду так называемого преобразования Абелл (аналога операции интегрирования по частям).

Рассмотрим ряд

%,饱+aQ[ +(X202+ ….(11)

гдеafc, pfc — функции отх е £ (или постоянные числа). Положим В« = Вп+[ + 0n+2 + •••十 Pn+fe н к усеченной сумме ряда (11) применим преобразование Абеля:

£a〃+i0 rl+& = а〃+[0п+] + …+ an+pP“+p =

^ а*]В] + an+2(B2 - В, + …+ an+p (Bp - %卩==(J+1 -%+2)В】+ (а*2 -%+3声2 + …十(％+х -а』)％1 +а“ 印 Вр=

=£(喂-aw)叫 + а» 耳.(12)

Теперь легко установить следующие два критерия равномерной сходимости (в случае постоянных afc, “ 一 просто сходимости) ряда (11).

Теорема 3 (признак Дирихле равномерной сходимости ряда). Если частичные суммы ряда

仇+仇+02+...(13)

ограничены, в совокупности, а действительная функция afc(r) (с возрастанием А) равномерно (относительно х) на Е стремится к нулю, убывая, то ряд (11) сходится равномерно.

В самом деле, пусть константаМ превышает модули частных (частичных) сумм ип ряда (13). Тогда при любых п и Л

闯=1。".*-Ь"1s0./+ 1b.■ 2M

— Бугров. Том 2

Поэтому в силу (12) и того факта, что а& равномерно стремится к нулю убывая, выполняется неравенство

|，％+1 叫 W 2M £(a„+s -。宀)+ % 2M = 2Ma^i < 5

для любыхп > Nири любыхх е Е, если только^ достаточно велико. Следовательно, ряд (11) равномерно сходится. Последнее неравенство в этой цепи верно для всехх G Ев силу равномерного стремления an+1 (х) к нулю.