Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
УДК 530.145.538.3
Биленький С. М・ Введение в диаграммы Фейнмана и физику электрослабого взаимодействия.— М.: Энергоатомиздат, 1990. — 327 с. — ISBN 5-283-03930-7.
Изложены основы квантования полей и метод диаграмм Фейнмана. Детально рассмотрен целый ряд процессов с участием лептонов и адронов. Изложена техника вычисления вероятностей распадов, сечений процессов н других измеряемых на опыте величин
Для научных работников в области ядерион физики н физики элементарных частиц. Полезна аспирантам и студентам вузов соответствующих специальностей.
Ил 45 Библиогр/ 32 назв
Рецензент чл -корр АН СССР С С. Герштейн
1604070000-363
ISBN 5-283-03930-7ISBN 5-283-03930-7051(01) 90
ISBN 5-283-03930-7
ISBN 5-283-03930-7
© Автор, 1990
ПРЕДИСЛОВИЕ
За последние два десятилетия в физике элементарных частиц произошел удивительный прогресс. Были открыты и детально исследованы слабые процессы нового типа (нейтральные токи), открыт новый лептон т, открыты новые семейства частиц (2，очарованные, В и др ), открыты заряженные IT士 и нейтральный Z° промежуточные бозоны — переносчики слабого взаимодействия, открыто новое квантовое число, которым обладают кварки и глюоны (цвет), и многое другое.
Все, что мы знаем сегодня о взаимодействии элементарных частиц (нейтрино, лептонов, кварков, фотонов, промежуточных бозонов и т. д.), описывается так называемой стандартной теорией, которая включает единую теорию электромагнитного и слабого (электрослабого) взаимодействия Глэшоу ——Вайнберга —Салама и квантовую хромодинамику
Теория электрослабого взаимодействия основана на спонтанно нарушенной калибровочной группе SU(2)><U(1). Она описывает взаимодействие фундаментальных фермионов (лептонов и кварков) и калибровочных векторных бозонов (呼土, Z°, 丫). Эта теория описывает также взаимодействие кварков, лептонов и промежуточных бозонов с гипотетическими скалярными частицами Хиггса и взаимодействие между промежуточными бозонами. Поиск частицы Хиггса и изучение взаимодействия между промежуточными бозонами — важнейшие задачи будущих экспериментов. Квантовая хромодинамика основана на калибровочной группе SU(3). Она описывает взаимодействие кварков и глюонов и является теорией сильного взаимодействия. Аппаратом стандартной теории являются теория групп и квантовая теория поля.
В этой книге излагаются элементы квантовой теории поля, метод диаграмм Фейнмана, теория электрослабого взаимодействия Глэшоу ——Вайнберга ——Салама. Рассмотрен ряд классических слабых и электрослабых процессов.
Метод диаграмм Фейнмана представляет собой основной метод вычисления (по теории возмущений) матричных элементов процессов. Значение этого метода, однако, далеко выходит за рамки теории возмущений. Простота и наглядность диаграмм
Фейнмана сделали их основным языком современной физики. После весьма подробного изложения теории Глэшоу — Вайнберга—Салама в книге рассматривается целый ряд слабых процессов. Рассмотрены классические слабее распады (распад n-^p,v, p-распад пиона и др ), некоторые процессы на встречных —е^-пучках (e^+e—f 卩亠 + |1一 с учетом вклада нейтральных токов и др ), нейтринные процессы (глубоконеупругое рассеяние нейтрино на нуклонах и др ). Каждый из процессов рассмотрен весьма подробно. Вначале по диаграммам Фейнмана (там, где работает теория возмущений) и из соображений инвариантности (там, где она не работает) строится матричный элемент процесса. Затем вычисляется сечение (вероятность распада). Наконец, приводятся некоторые последние экспериментальные данные. Все выкладки делаются настолько подробно, что они легко могут быть воспроизведены читателем. В основном тексте книги и в пpиv^oжeнияx излагаются широко используемые вычислительные приемы, аппарат спиновой матрицы плотности и др
Объем и характер книги не позволили рассмотреть многие важные вопросы физики слабого взаимодействия (проблему нарушения CP-инвариантности, распады очарованных частиц, процессы упругого рассеяния нейтрино на нуклонах и многое другое). Книга в основном предназначена для тех, кто приступает к изучению современной физики Она основана на годовом курсе лекций, читающихся студентам МГУ в Дубне. В задачу курса входит изложение основ квантования полей, калибровочного принципа построения лагранжианов взаимодействия, метода диаграмм Фейнмана Я пытаюсь научить студентов использовать принципы инвариантности, считать сечения про стейших физических процессов и доводить вычисления до такой стадии, на которой было бы возможно сравнение с экспериментом. Курс готовит студентов к чтению оригинальных статей.
Эта книга тесно связана с моими предыдущими книгами «Введение в диаграммную технику Фейнмана» (1970 г.) и «Лекции по физике нейтринных и лептон-нуклонных процессов» (1981 г.). Однако вошедший в настоящую книгу материал этих книг полностью переработан. Сохранены общие принципы: я стараюсь находить экономные способы изложения; все выкладки проделываются подробно и до конца. В отличие от предыдущих книг здесь используется метрика Фейнмана (такое пожелание было высказано многими физиками). Хочу только подчеркнуть, что матрица ^5 оставлена такой же, как и в метрике Паули (отличается знаком от ?5, используемой, например, в книге Бьеркена и Дрелла)
В заключение я хотел бы сделать следующее замечание. В этой книге излагается стандартная теория электрослабого 4
взаимодействия. В настоящее время нет ни одного экспериментального факта, который не мог бы быть объяснен этой теорией Тем не менее стандартную теорию нельзя считать завершенной. К этому заключению приводят, в частности, следующие соображения.
В стандартной теории слишком много фундаментальных параметров. Параметрами теории являются массы кварков и лептонов, константы связи, углы смешивания ——всего свыше 20 параметров.
В настоящее время мы знаем, что существует три поколения кварков и лептонов ((ve, е, u, d), (v^, ц, c：s),(少口 т,力 b)) и имеет место универсальность взаимодействий частиц разных поколений. Стандартная теория не отвечает на вопрос о том, почему существует три (может быть больше?) поколения фундаментальных фермионов, отличающихся только массами (так называемая《загадка покоь1ени1Ъ).
Стандартная теория не является единой теорией всех известных нам взаимодействий (слабого, электромагнитного, сильного и гравитационного)
Стандартная теория основана на предположении о существовании скалярного хиггсовского бозона. Квантовые поправки к массе хиггсовского бозона в стандартной теории оказываются много большими возможной массы этой частицы, что является трудностью теории (проблема иерархии)
Все это неизбежно приводит к необходимости обобщения стандартной модели. В настоящее время активно развивается много путей выхода за стандартную модель (теории великих объединений, суперсимметрия, суперструны и т.工).Рассмотрение моделей, обобщающих стандартную модель, не входит в задачу этой книги. В настоящее время существуют многочисленные монографии, посвященные этим вопросам.
Я глубоко благодарен Б М Понтекорво за исключительно полезные обсуждения самых разных аспектов физики электро- слабого взаимодействия.
Автор
Глава 1
S-МАТРИМА В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Вычисление сечений, вероятностей распада, поляризаций и других измеряемых на опыте величин требует знания матричных элементов S-матрицы. Мы начнем с того, что определим этот фундаментальный оператор квантовой теории.
Удобным формализмом квантовой теории является бра- и нет-формализм Дирака (от английского bracket). Напомним, что вектор состояния (кет-вектор) обозначается в этом формализме |а〉. Эрмитово сопряженный вектор (бра-вектор) обозначается 〈а|. Имеем
® = \а)~(1-1)
Скалярное произведение <&I а) удовлетворяет соотношению
〈Ь[a〉= 3力*.(1.2)
Пусть I а) — ортонор мированные собственные векторы полного набора операторов а. Имеем
а|а> = а|а),
〈а] а〉= 6 (а‘一а).(1.3)
Векторы |а> образуют полную систему. Разложение вектора |а) по I а) имеет вид
а> = 2 ОО «>•а> = 2 ОО «>•(1-4)(1-4)
а> = 2 ОО «>•
а> = 2 ОО «>•
(1-4)
(1-4)
Величина 〈а|а〉 (проекция вектора |а) на орт |а)) представляет собой амплитуду вероятности обнаружения системы, описываемой вектором Iа>, в состоянии |а). Величина (а|а) (при всех возможных а) полностью характеризует состояние системы и является волновой функцией системы в а-представлении. Нз (1.4) следует, что векторы | а) удовлетворяют условию полноты *
S I а>О 丨=1.
(1.5)
Если на вектор |а〉подействовать, оператором 4, то получим другой вектор состояния:
A\a}^\b}.(1 6)
Умножим это соотношение слева на бра-вектор〈В|, принадлежащий к полной системе. Используя условие полноты (1.5), получим
S<P I Л I «><« I а>=<р | Ь>.(1.7)
Оператор /1 十，эрмитово сопряженный оператору 4, определяется следующим образом:
〈口瓜丄 |В〉=〈В|а〉*・(1-8)
Очевидно, что* (ДВ)^=В-А*(1 9)
Из (1 7) путем комплексного сопряжения получаем
Е〈ат〉〈а|/1«В〉=〈Ь|В〉・(1-Ю)
В матричном виде это соотношение записывается следующим образом:
〈a声=〈Ь|.(LU)
Очевидно, что (1.11) может быть получено из (1.6) путем эрмитова сопряжения.
Теперь мы определим S-матрицу. Уравнение движения любой квантовой системы имеет вид
i а 产色)三=〃 I 审 q)>.(1.12)
dt
Здесь IT(0 )——вектор состояния системы в момент времени t, а Я ——полный гамильтониан.
Уравнение (1.12) является уравнением движения в представлении Шредингера. Мы введем S-матрицу в представлении взаимодействия (представлении Дирака). Напомним, как осуществляется переход от одного представления к другому. Рассмотрим среднее значение некоторого оператора О. Имеем
60=〈屮")1。1中(f)〉.(1-13)
Пусть 1/«)——любой унитарный оператор
V+⑴!/«)= !/«)]/』«)= 1.(1.14)
Выражение (1 13) может быть переписано следующим образом:
6/)=〈У«)|0《)|У<)〉，(1.15)
(1.16)(1.16)丨 ^' (0> V (0 i ^ (/)>, 。“)=V«)OV- (0.
(1.16)
(1.16)
Таким образом, средние значения операторов (а также их любые матричные элементы) инвариантны относительно унитарных преобразований (1.16). Другими словами, физические следствия теории останутся неизменными, если вместо векторов 14f ⑺〉использовать векторы \W^(t)), а вместо операторов О — операторы О'.
Этой унитарной свободой в выборе векторов состояния и операторов можно воспользоваться таким образом, чтобы перейти к представлению, в котором зависимость от времени векторов состояния определялась бы гамильтонианом взаимодействия. Действительно, полный гамильтониан системы имеет вид
Я = Но+НЛ(1.17)
где Яо ——свободный гамильтониан, а Н』——гамильтониан взаимодействия. Перепишем (1.16) в виде
|Ф«)〉=%«)|У(£)〉，(1.18)
O(t) = Vj{t)OV^(t).(1.19)
Умножая (1 18) слева на V#(f), получаем
I屮(£)〉=%4«)|Ф(Е) >.
w『(/)w『(/)Подставим далее это выражение в уравнение движения (1.12). Получаем
w『(/)
w『(/)
Ф(о> + V?(0i а'УЗ =(% + 修)у$(/)Ф(0>. (1.20) dt
Потребуем теперь, чтобы унитарный оператор УЛ(f) удовлетворял уравнению
i = H^rity(1.21)
Умножая (1.20) слева на Ь/(£) и используя унитарность матрицы Vi(t), для вектора |①(/)〉получаем в этом случае уравнение i^^=^(0 I Ф(0>,(1.22)
где
H^t^V^^H^^it)
(123)
—гамильтониан взаимодействия в новом представлении.
Представление, в котором векторы состояния удовлетворяют уравнению движения (122), носит название представления взаимодействия или представления Дирака. Как видно из (1.22), зависимость от времени векторов состояния в этом представлении определяется только гамильтонианом взаимодействия. Операторы в представлении взаимодействия зависят от времени. Эта зависимость определяется свободным гамильтонианом. Действительно, из (1 21) путем эрмитова сопряжения получаем
—(1-24)
Предположим, что оператор О в исходном представлении Шредингера не зависит от времени Используя (1.21) и (1.24), находим
i ^- = vz (О ОН^Г (О -V； (i) НоОУ/ (0 = [О (0, %(/)]. (1.25)
Теперь приступим к решению уравнения (1.22). Интегральное уравнение
I Ф(i)>=|0>(%)> + (一"叫%(幻2(幻>(1.26)
эквивалентно (1.22) и включает начальное условие при t — tQ. Будем решать уравнение (1.26) методом итераций. Под знак интеграла в (1.26) подставим
I Ф (3> = ! Ф (")> + (~ i)J dt^H,陶| Ф &)>.
Получаем
I Ф«> = I Ф 偽)〉+ (- i) J d^H,(幻 I Ф (端> +力0
+ f f必Jw/(幻/ (幻丨①闯〉•U-27)
Затем под знак двойного интеграла в (1.27), подставим правую часть (1.26). Последовательно продолжая эту процедуру, на-
9
ходим
I①(f)>= 1 + (― "\dtiH[(片)+ (—评 Jdf】卩厶储(fj H[ (f2) +
(1.28)(1.28)to 0fo」
(1.28)
(1.28)
X丨①£)〉•
Итак, мы получили общее решение уравнения движения (1.22) в виде ряда теории возмущений по степеням гамильтониана взаимодействия. Отметим, что в случае, если взаимодействие характеризуется малой константой, уже первый неисчезающий член ряда (1.28) дает решение с точностью, достаточной для широкого круга задач. Это имеет место в случае электромагнитного и слабого взаимодействий.
Полученное нами общее решение уравнения движения (1.22) имеет вид
I①⑴〉=U( f, /о)|Ф(^о)>. (1.29)
Таким образом, мы показали, что вектор состояния в любой момент времени f можно получить, если подействовать на начальный вектор состояния оператором U 也 f“，зависящим от гамильтониана взаимодействия. Для оператора U (f, f мы получили следующее выражение в виде ряда теории возмущений:
Uit,^^^ U^(t, ^),(1.30)
где
(^ ^ = (-^yt^dt,j 必“％&)%(%)…/(/“). (1.31) tQ
Нетрудно убедиться в том, что U(f, «)——унитарный оператор. Действительно, подставляя (1.29) в (1.22) ? для оператора 。(玄 /о) получаем уравнение
i 啓也= %(f)U(f, %).(1.32)
Отсюда, учитывая, что "/(f)——эрмитов оператор, находим
_i^q^ = U+(f,/°) 〃/(£).(1.33)
Рис. 1.1. Область ннтегрнрова- ния в U(f,仇) [выражение (1-36)1Рис. 1.1. Область ннтегрнрова- ния в U(f,仇) [выражение (1-36)1Умножим (1.32) слева на U^(t； /0), а (1.30) справа на U (/, %). Вычитая из первого соотношения второе, получаем
Рис. 1.1. Область ннтегрнрова- ния в U(f,仇) [выражение (1-36)1
Рис. 1.1. Область ннтегрнрова- ния в U(f,仇) [выражение (1-36)1
告(U-(M)U(D) = 0. (1.34)
Отсюда следует, что U(£, to)义 X。(f, to) =const. Далее из (1.29) очевидно, что U (%, ^о) = 1. Таким образом*,
U十(f, to) U (^, fo) = l. (1.35)
Вернемся теперь к найденному
нами решению уравнения движе
являются переменными последующего интегрирования. Приявляются переменными последующего интегрирования. Приния (1.22). При п^2 верхние пределы интегралов в (1 31)
являются переменными последующего интегрирования. При
являются переменными последующего интегрирования. При
рассмотрении процессов с участием релятивистских частиц использование таких выражений оказывается весьма неудобным. Мы покажем теперь, что члены ряда (1.31) могут быть записаны таким образом, чтобы верхние пределы соответствующих интегрирований равнялись Л
Рассмотрим вначале третий член ряда (1 30). Имеем
U") (f, %) = (— i)z j dt, j dt2Hr 佐)，/ ⑷. (1.36)
Область интегрирования в (1.36) изображена на рис. 1.1. Оператор HigHiS) интегрируется вначале по f2 (от t0 до 九)， а затем по 介(от tQ до f). Проинтегрируем "/(幻方八厶)по той же области, но вначале по 力(от /2 旦。f), а затем по R (от 仇 до f). Предполагая, что значение интеграла не зависит от порядка интегрирования, получаем
。⑴(厶 ％) = (—i『『％ J dt.H, Q % &)=
=(-i)｛成1,击也伍)%储).(1.37)
Последнее равенство получено путем переобозначения переменных (左二 厶)・ С помощью (1.37) находим
[ f di2H, (/,) H; (Q + jdt.H^H^]. (1.38)
Далее интегралы по /2 можно объединить в о_.重 интеграл, если следующим образом ввести оператор хронологического упорядочивания Дайеона Р:
Р ("/ %)储(幻)Р ("/ %)储(幻)产 &)%(%), %, [%色)"/ y厶产 &)%(%), %, [%色)"/ y厶(1-39)(1-39)
Р ("/ %)储(幻)
Р ("/ %)储(幻)
产 &)%(%), %, [%色)"/ y厶
产 &)%(%), %, [%色)"/ y厶
(1-39)
(1-39)
Оператор Р определен таким образом, что при действии на произведение двух зависящих от времени операторов он расставляет их так, чтобы временной аргумент первого сомножителя был больше временного аргумента второго. Отметим, что при 厶= =方2 операторы коммутируют. Имеем
j dt2P (储(幻 3 (幻)=J dt.H, &) H, &) +
必皿/产(1.40)
С помощью (1.38) и (1.40) получаем следующее выражение для U(2)(f, %)：
0飞，б=^ j加 Jdt2P (", &) H,匐).(1.-11)
Покажем теперь, что при произвольном “
u(")(小)=mJ成1]也...]或/(华仇)H! Q…(%爆))，(1.42) где
P (H[g H[U …"/%))= % (J) "/(%)…Hf 储3 ti戸i戸…工％・ (1.43) Таким образом, хронологический оператор Дайсона Р при действии на произведение п зависящих от времени операторов расставляет их так, чтобы временной аргумент убывал (не возрастал) при движении слева направо.
Доказательство соотношения (1.42) мн проведем по индукции. Рассмотрим выражение
/')=/必 J% …J 北一//(幻 "/Q - / (*1)- ‘00^0
一g+ !)i f"''叫…("/&)/(%)…"/爆干1)).(id)
Продифференцируем /") по /. Находим
「t Q J—1
鲁= %(/))%/%…J%%(幻储色)…%%)一
一十w中仆..0/(%(з%0丿..%储)、.(1.45)
Отметим, что при получении (1 45) было использрвано соотношение
Р〈НI g …НMg Н7) Н工 g …”/%7)) ==HMt)p(HMh)…HMQ),справедливость которого очевидна (厶&/)・
Предположим теперь, что (1 42) имеет место. Из (1.45) следует, что в этом случае d/(/)/d/=O, и, следовательно, / не зависит от времени. Очевидно, что /(/о)=О. Таким образом, /(/)=0 при любом t Если соотношение (1.42) справедливо для случая п операторов, то оно справедливо, следовательно, и для случая 门+l операторов Мы показали, что (1.42) имеет место при п = 2. Таким образом, соотношение (1.42) справедливо при произвольном и.
Определим теперь S-матрицу. При рассмотрении процессов с участием частиц (распады, рассеяние, неупругие процессы) начальное состояние задается при /。^—оо. Нас интересует вектор состояния при tfg. Из (1.29) следует, что
|Ф(ОО))= U(ОО, —'оо) |ф( — 8)〉.(1.46)
Оператор--
S = U(oo, —оо)(1.47)
является S-матрицей в представлении взаимодействия. Из (1.30), (1.42) и (1.47) получаем следующее выражение для S-матрицы в виде ряда теории возмущений:
СОСО СО30СОСО СО30п=0—ОО —GO—соп=0—ОО —GO—со...% 储)).(1.4В)...% 储)).(1.4В)
СОСО СО30
СОСО СО30
п=0—ОО —GO—со
п=0—ОО —GO—со
...% 储)).(1.4В)
...% 储)).(1.4В)
В заключение обсудим смысл имеют матричные полная система векторовВ заключение обсудим смысл имеют матричные полная система векторов
В заключение обсудим смысл имеют матричные полная система векторов
В заключение обсудим смысл имеют матричные полная система векторов
вопрос о том, какой физический элементы S-матрицы. Пусть | 比〉—— состояния, описывающих частицы
(в принципе все существующие) с определенными импульсами и проекциями спинов. В начальный момент времени (仇一*—оо) имеем '
|ф(—оо)>=[по>.|ф(—оо)>=[по>.(1-49)
|ф(—оо)>=[по>.
|ф(—оо)>=[по>.
13
Для конечного вектора состояния (/+8) из (1.46) и (1.49) получаем
I ①(оо)> = S I “J =工门><〃 I S I n0>. (1.50)
Таким образом, матричный элемент {n\S |n0) представляет собой амплитуду вероятности перехода из состояния, описываемого вектором |по), в состояние, описываемое вектором |п).
Одна из важных задач теории состоит в вычислении матричных элементов S-матрицы. Очевидно, что для этого нужно, во-первых, уметь строить векторы состояния частиц с определенными импульсами и проекциями спинов. Во-вторых, нужно знать гамильтониан взаимодействия. Наконец, в-третьих, нужно уметь вычислять матричные элементы S-матрицы.
Мы перейдем теперь к изложению элементов теории поля Аппарат теории поля позволяет без труда строить векторы состояния свободных частиц с определенными импульсами и проекциями спинов.
В настоящее время можно считать установленным, что гамильтонианы слабого, электромагнитного и сильного взаимодействий являются минимальными, совместимыми с принципом локальной калибровочной инвариантности гамильтонианами. Мы подробно обсудим принцип локальной калибровочной инвариантности. Затем будет подробно изложен основанный на разложении (1.48) метод вычисления матричных элементов S-матрицы (метод диаграмм Фейнмана).
Глава 2
ЛАГРАНЖЕВ ФОРМАЛИЗМ
Принцип наименьшего действия.Уравнения движения полей
Начнем с краткого изложения лагранжева формализма. Лагранжев формализм позволяет на основе нескольких общих принципов получить уравнения движения рассматриваемой системы и сохраняющиеся величины (энергию, импульс, момент количества движения, электрический заряд и др.).
Уравнения движения классического поля следуют из принципа наименьшего действия Гамильтона. Напомним, как формулируется этот принцип в классической механике. Рассмотрим систему ^ точек. Такая система описывается х?»(£) функциями времени ——координатами частиц (£=1, 2, 3; р— 1,..., N) и является, следовательно, системой с 3,V степенями свободы. Лаг14
ранжева функция системы представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий：
厶=У(х)(2.1)
р=1 4=1
(тр — масса р-частицы). Определим действие:
/ = ]£(%, х)或.(2.2)
Значение этого интеграла определяется значениями функций 尤J(f) во всем интервале hW/W%・ Действие является, следовательно, функционалом 尤*L Найдем изменение (вариацию) действия при бесконечно малом изменении функций %『(£)• Имеем
8/ — Г — / = j [L (х- к)—厶(х, х)] di =
=][£許3- £誥(2.3)
Здесь
xp 0) = %. (£) + ”. 0),xp 0) = %. (£) + ”. 0),(2.4)(2.4)
xp 0) = %. (£) + ”. 0),
xp 0) = %. (£) + ”. 0),
(2.4)
(2.4)
где 6 尤*i(f)——бесконечно малые произвольные функции t (в разложении по 6%J удерживаются только линейные члены). Очевидно, что
8х £ = А Л^ — --х? = Аб%^(2.5)
р 出* dt р dt р' '
Далее имеем
券“/=^ （券屮寸詣％券“/=^ （券屮寸詣％(2.6)(2.6)
券“/=^ （券屮寸詣％
券“/=^ （券屮寸詣％
(2.6)
(2.6)
(2.8)(2.8)(2-9)15(2-9)15
(2.8)
(2.8)
(2-9)
15
(2-9)
15
Подставляя (2.6) вПодставляя (2.6) в), для вариации действия находим
Подставляя (2.6) в
Подставляя (2.6) в
"=迎爲寸為)"招+ Е詣％7(2.7)
Теперь сформулируем принцип наименьшего действия Гамильтона. Потребуем, чтобы
6/=0
при условии, что
6尤J(/l) =6Xpi(t2)=0.
Вследствие (2.9) второй член выражения (2.7) исчезает. Поскольку функции дхРх произвольны, из (2.7) и (2.8) получаем
dLd dL
dxjdt dxj
Эти уравнения представляют собой уравнения движения системы. Действительно, подставляя (1.1) в (1.10), получаем уравнение Ньютона
吃x」= —W/dxJ.(2.11)
Итак, уравнения движения являются необходимым условием минимума действия. При этом минимум ищется при условии равенства нулю вариаций функций х/ на границе областа интегрирования. Отметим, что уравнения движения в форме (2.10) носят название уравнений Эйлера — Лагранжа.
Перейдем теперь к рассмотрению классических полей. Наиболее известным примером является электромагнитное поле. Электромагнитное поле описывается векторным А(х) и скалярным 屮(х) потенциалами, которые зависят от пространственных координат х и времени х 0 и образуют 4-вектор /1а(х) = (ф(х)> А(х)). Электромагнитное поле описывается, следовательно, бесконечным числом функций времени (значениями потенциалов во всех точках пространства) и является системой с бесконечно большим числом степеней свободы. В конце этого параграфа мы покажем, что уравнения электромагнитного поля (уравнения Максвелла) могут быть получены из вариационного принципа Гамильтона, который является общим принципом, применимым к любым физическим системам, включая такие системы с бесконечно большим числом степеней свободы, какими являются ПОЛЯ.
В квантовой теории каждой частице отвечает свое поле. Мы будем рассматривать поля, отвечающие частицам со спинами 0, 1/2 и 1. Обозначим некоторое поле ip(x). Функция р(лг) может иметь спиновый индекс, принимающий дискретные значения.
Лагранжева функция (2.1) зависит от %(/) и х(0. Поля, которые мы рассматриваем, являются релятивистскими системами. Ясно, что инвариантность уравнений поля относительно преобразований Лоренца может быть обеспечена только в случае, если пространственные и временная переменные входят в уравнения симметрично. Мы будем предполагать, что лагранжева функция поля зависит от и 0(х屮(％), а=0, 1, 2, 3 (да^д/дх^). Запишем
£ = JZ(屮，处)d”，(2.12)
где 2(*ф, dip) — лагранжева плотность (эту величину принято называть лагранжианом). Интегрирование в (2.12) проводит- 16
(2.13)(2.13)ся по всему пространству. Аналогично случаю системы точек действие определяется следующим образом:
(2.13)
(2.13)
/ = J Л ^л° = J 2 (屮，舛)d'y,
где Q ——объем четырехмерного пространства, заключенный между гиперплоскостями t=t2 и t=h
Найдем вариацию действия. Имеем
3/ = J [%（屮，舛'）一z（屮,舛）1九=口*卄諾?此师‘北（2/4）
Здесь
屮'(%)=2 (元)+6屮(尤)，(2.15)
где dip (x)——произвольная бесконечно малая функция х (в разложении по dip удерживаются линейные члены). Далее, используя (2.15), получаем
2a屮=冉У-公少=dn屮.(2.16)
Очевидно, что
続呪屮=冉薪沌(2⑺
(2.18)(2.18)Подставляя (2.17) в (2.14), для вариации действия находим
(2.18)
(2.18)
ского
J4(諾73屮 T = J 務3屮丸，(2.19)
2£
3/二!借一冉薨）婀х+«h（篤叫包
При этом мы учли, что в силу теоремы Гаусса — Остроград-
где W — поверхность, заключающая объем Q, a dua — элемент поверхности (4-вектор, направленный по нормали к поверхности).
Положим теперь
6/=0(2.20)
при условии
dip I s = 0.(2.21)
(2.22)(2.22)1717Второй член выражения (2.18) обращается в нуль и из условия (2.20) получаем следующее уравнение Эйлера — Лагранжа.
(2.22)
(2.22)
17
17
2—6910
Уравнение (2.22) является необходимым условием минимума действия и в силу принципа Гамильтона представляет собой уравнение поля.
(2.23)(2.23)Если поле 2 помимо х зависит также от переменной и, принимающей дискретные значения, то очевидно, что в этом случае из вариационного принципа получаем
(2.23)
(2.23)
*死北一
Как правило, нас будет интересовать случай нескольких взаимодействующих полей:屮(尤)，屮(％) ... Лагранжиан такой системы зависит от функций 也 ф, ... и их первых производных da也 da屮..Приравнивая нулю вариацию действия при условии, что
3屮 1e=0, 2b =0，…
(вариации dip, 0屮，… независимы), получаем в этом случае систему уравнений Эйлера ——Лагранжа
=0,=0,竺_冉d生 函一 %西竺_冉d生 函一 %西=°,=°,(2.24)(2.24)
=0,
=0,
竺_冉d生 函一 %西
竺_冉d生 函一 %西
=°,
=°,
(2.24)
(2.24)
В заключение в качестве примера рассмотрим электромагнитное поле. Уравнением поля является уравнение Максвелла
%f邛=r(2.25)
Здесь 产=(р, j)—4-вектор тока, а F^ — d^A^—д^Аа — тензор напряженности. Нетрудно проверить, что
/70i= 一戶 0 = —£i.
戶* = —eikiH1,
(2.26)(2.26)где Е и Н ——напряженности электрического и магнитного полей. В соответствии с (2.23) уравнением поля является
(2.26)
(2.26)
西-%吟
Если лагранжиан электромагнитного поля выбрать в виде
2 = 一^产県一j迅,2 = 一^产県一j迅,(2.27)(2.27)
2 = 一^产県一j迅,
2 = 一^产県一j迅,
(2.27)
(2.27)
то нетрудно проверить, что уравнение (2.26) совпадает с уравнением Максвелла. Действительно, имеем
(2.28)
Подставляя (2.28) в (2.26), получаем (2.25). 18
Трансляционная инвариантность.Сохранение импульса и энергииТрансляционная инвариантность.Сохранение импульса и энергииЕсли внешние поля отсутствуют, то все точки пространства эквивалентны. Это означает, что лагранжева функция любой системы не изменится, если систему как целое перенести из одной области пространства в другую. Инвариантность относительно таких переносов (трансляций) приводит к сохранению полного импульса. Рассмотрим вначале систему N точек. При трансляциях координаты точек преобразуются следующим образом: 'Если внешние поля отсутствуют, то все точки пространства эквивалентны. Это означает, что лагранжева функция любой системы не изменится, если систему как целое перенести из одной области пространства в другую. Инвариантность относительно таких переносов (трансляций) приводит к сохранению полного импульса. Рассмотрим вначале систему N точек. При трансляциях координаты точек преобразуются следующим образом: '工户"=%J+底，где az ——постоянный вектор (f= 1, 2, 3; р— 1,..., ^). инвариантности относительно трансляций имеет вид厶(居北)=l(А/, xz)Предположим, что а‘一бесконечно малый вектор.вая в разложении по а1 линейные члены, получаемL(「，x，)= L(x, х) +Ул).р工户"=%J+底，где az ——постоянный вектор (f= 1, 2, 3; р— 1,..., ^). инвариантности относительно трансляций имеет вид厶(居北)=l(А/, xz)Предположим, что а‘一бесконечно малый вектор.вая в разложении по а1 линейные члены, получаемL(「，x，)= L(x, х) +Ул).р(2.29)Условие(2.29)Условие(2.30)Удержи-(2.30)Удержи-(2.31)(2.31)Из (2.30) и (2.31) находимИз (2.30) и (2.31) находим=0.Используя уравнения движения, отсюда получаем-£ Г 2L 0.dt 厶 дх1р=0.Используя уравнения движения, отсюда получаем-£ Г 2L 0.dt 厶 дх1р(2.32)(2.32)(2.33)(2.33)Таким образом, в силу трансляционной инвариантности суммарный импульс частиц сохраняется:Таким образом, в силу трансляционной инвариантности суммарный импульс частиц сохраняется:Р=工詣=£*>'2St.Р=工詣=£*>'2St.(2.34)(2.34)
Трансляционная инвариантность.Сохранение импульса и энергии
Трансляционная инвариантность.Сохранение импульса и энергии
Если внешние поля отсутствуют, то все точки пространства эквивалентны. Это означает, что лагранжева функция любой системы не изменится, если систему как целое перенести из одной области пространства в другую. Инвариантность относительно таких переносов (трансляций) приводит к сохранению полного импульса. Рассмотрим вначале систему N точек. При трансляциях координаты точек преобразуются следующим образом: '
Если внешние поля отсутствуют, то все точки пространства эквивалентны. Это означает, что лагранжева функция любой системы не изменится, если систему как целое перенести из одной области пространства в другую. Инвариантность относительно таких переносов (трансляций) приводит к сохранению полного импульса. Рассмотрим вначале систему N точек. При трансляциях координаты точек преобразуются следующим образом: '
工户"=%J+底，
где az ——постоянный вектор (f= 1, 2, 3; р— 1,..., ^). инвариантности относительно трансляций имеет вид
厶(居北)=l(А/, xz)
Предположим, что а‘一бесконечно малый вектор.
вая в разложении по а1 линейные члены, получаем
L(「，x，)= L(x, х) +Ул).
р
工户"=%J+底，
где az ——постоянный вектор (f= 1, 2, 3; р— 1,..., ^). инвариантности относительно трансляций имеет вид
厶(居北)=l(А/, xz)
Предположим, что а‘一бесконечно малый вектор.
вая в разложении по а1 линейные члены, получаем
L(「，x，)= L(x, х) +Ул).
р
(2.29)
Условие
(2.29)
Условие
(2.30)
Удержи-
(2.30)
Удержи-
(2.31)
(2.31)
Из (2.30) и (2.31) находим
Из (2.30) и (2.31) находим
=0.
Используя уравнения движения, отсюда получаем
-£ Г 2L 0.
dt 厶 дх1р
=0.
Используя уравнения движения, отсюда получаем
-£ Г 2L 0.
dt 厶 дх1р
(2.32)
(2.32)
(2.33)
(2.33)
Таким образом, в силу трансляционной инвариантности суммарный импульс частиц сохраняется:
Таким образом, в силу трансляционной инвариантности суммарный импульс частиц сохраняется:
Р=工詣=£*>'2St.
Р=工詣=£*>'2St.
(2.34)
(2.34)
Из инвариантности относительно трансляций во времени аналогично (2.32) имеем
(2.35)(2.35)GUdt=0.
(2.35)
(2.35)
Используя уравнение движения (2.10), из (2.35) получаемИспользуя уравнение движения (2.10), из (2.35) получаем
Используя уравнение движения (2.10), из (2.35) получаем
Используя уравнение движения (2.10), из (2.35) получаем
Таким образом, имеемТаким образом, имеем(2.37)(2.37)
Таким образом, имеем
Таким образом, имеем
(2.37)
(2.37)
(2.38)(2.38)Отсюда следует, что
(2.38)
(2.38)
J р "，，p
Итак, закон сохранения полной энергии является следствием инвариантности относительно трансляций во времени.
Перейдем теперь к рассмотрению поля, описываемого некоторой функцией 2(х). Если предположить, что лагранжиан поля зависит от 2(%) и。&屮(尤)и не зависит явно от х, то очевидно, что лагранжиан инвариантен относительно преобразований
М(х') =2(х)，
х^=ха+аа(2.39)
(аа ——постоянный 4-вектор), представляющих собой преобразования трансляции. Имеем
纟传(х), dip(x))=纟(1(/(л/),。/©/(尤‘)).(2.40)
Будем считать, что а ——бесконечно малый вектор Удерживая линейные по а члены, получаем
2’ (х) =* (х—а) =*ф (х) +6*ф (%),(2.41)
где
0* =一把叼(2.42) Далее имеем
①(М(吟，0审(/))=2(m(元),冲⑴)+
十m%2佈(尤)，外⑴).(2.43)
Из (2.40) и (2.43) получаем
02=—&а%2,(2.44)
где
6B=2(1(/(尤)，0屮‘(元))—2(2(%)，0户(%)).(2.45)
Далее, поскольку а=const, имеем
62 = -%(m2).⑵ 46)
Используя уравнения поля (2.22), из (2.41) и (2.45) находим 汉』争屮+赛吼屮=公(筋叫. (2.47) С помощью (2.46), _ (2.47) и (2.42) получаем уравнение непрерывности
产=0,(2.48)
где тензор Т^ Лзется выражением
(2.49)(2.49)?；=森田屮一做.
(2.49)
(2.49)
Из уравнения непрерывности (2.48) следует, что вектор
Рр = j Т/х(2.50)
сохраняется [интегрирование в (2.50) проводится по всему пространству]. Действительно, проинтегрируем (2.48) по некоторому объему V трехмерного пространства. Используя теорему Гаусса — Остроградского, получаем'
爲“У" = с,(2.51)
где S — поверхность, заключающая объем V, a du'——элемент поверхности. Устремим теперь объем V к бесконечности. Полагая, что на бесконечности поле отсутствует и лагранжиан поля равен нулю (естественные граничные условия), из (2.51) получаем
六屮d% = 0.(2.52)
Отсюда следует, что вектор Р& который дается выражением (2.50), сохраняется*.
Сохраняющийся в силу трансляционной инвариантности вектор 尸日 является вектором энергии-импульса. Тензор Т^- [выражение (2.49)] носит название канонического тензора энергии-импульса. Из (2.49) и (2.50) для энергии поля получаем следующее выражение*
卩(2・53)
Импульс поля дается выражением
Р = —「卫办(2.54) J帆J
Отметим в заключение, что в случае нескольких полей 屮(尤)， 屮(％)…для тензора энергии-импульса получаем выражение
若=+^^^中+…一"詛②55)
产 Подчеркнем, что тензор Т^ определен неоднозначно. Действительно, пусть тензор f ^р антисимметричен по индексам а и Р(& =«—fg“)・ Из (2 46) н (2.47) очевидно, что к правой части (2.49) всегда может быть добавлен член dp f；? Нетрудно убедиться в том, что этот член не дает вклада в энергию и импульс поля.
Инвариантность относительно вращений.Сохранение момента количества движения
При преобразовании Лоренца физические поля преобразуются как скаляр, спинор, вектор и т. д. В квантовой теории трансформационные свойства полей определяют спины и внутренние четности частиц——квантов полей.
Преобразование Лоренца нмеет вид
= ЛрА₽,(2.56)
где х и л/ ——координаты одной и той же точки в двух инерциальных системах отсчета. Из условия инвариантности интервала (ха/ха—х^х^) следует, что коэффициенты Лра удовлетворяют соотношениям
/*А2 =洛(2.57)
Мы будем рассматривать скалярное, псевдоскалярное, спинорное и векторное поля. Скалярное (р(х) и псевдоскалярное (рр(х) поля следующим образом преобразуются при преобразовании Лоренца-
号⑺= =р(х),](2.58)
▼户(X)= det 八？户(a). J
Напомним, что detA = ±l; detЛ== — 1 при инверсии системы отсчета (более подробно см. приложение В.З).
Векторное поле Аа(х) преобразуется как координата
4""^=A/a乂工).(2.59)
Наконец, спинорное поле ifCT(x) следующим образом преобразуется при преобразовании Лоренца:
屮;(х‘)="小 &),(2.60)
где 4Х4-матрица 厶 удовлетворяет соотношениям
LfL = A#(2.61)
(см. приложение В.З).
Отметим, что квантами скалярного (псевдоскалярного), спинорного и векторного полей являются соответственно частицы со спинами 0, 1/2 и 1.
Инвариантность относительно преобразований Лоренца означает, что лагранжиан имеет один и тот же вид в исходной и штрихованной системах отсчета：
生伟")，外⑺)=E(g/), d'M(M))(2.62)
(屮(х)—любое поле; d；曰 ^j-]. Из (2.62) следует, что уравнения поля инвариантны относительно преобразований Лоренца.
Действительна；1 из (2.62) для действия получаем
/ = J 2 (屮(х),舛(х)) d*x = § £ (У (/),。屮(х“ d"「. (2.63)
Полагая, что
5/ = 0, 3屮」£, = 0,(2.64)
получаем уравнения Эйлера ——Лагранжа в штрихованной системе.
"8Х 竺—加职)=0.,(2.65)
Итак, если имеет место условие (2.62), то уравнения поля в штрихованной системе могут быть получены из уравнений в исходной системе заменой *(х)^л|/(л/), до^да (т. е. уравнения поля инвариантны относительно преобразований Лоренца).
Собственное преобразование Лоренца с detA=l представляет собой вращение в четырехмерном пространстве. Инвариантность относительно таких преобразований является следствием того, что все направления в пространстве эквивалентны. Мы покажем теперь, что инвариантность относительно четырехмерных вращений приводит к сохранению четырехмерного момента количества движения.
Инфинитезимальное преобразование Лоренца имеет вид
.9 =尤a+6工a(2.66)
Здесь
6х4=①/*(2.67)
где (00口 ——бесконечно малые величины. Из условия инвариантности интервала следует, что 工也阿虑二。.Отсюда находим
①^=-g邙(2.68)
Рассмотрим простейший случай скалярного либо псевдоскалярного поля ф(х). Имеем
Ф? (х) =ф(х—дх) —ф(х)+дф(х),(2.69)
где
б(р (х) = —дха5а(р (х).(2.70)
Далее аналогично (2.44) из условия инвариантности (2.62) находим
6名十6%叭名=0,(2.71)
где
6名=纟(①7(元)，0中‘"))一名(中(工)，d中(%)).
Используя уравнения поля, получаем
8£ = @/筋g)■(2・72)
С помощью (2.67) и (2.68) находим
6% 叭名=%(犷2).(2.73)
Из (2.71), (2.72) и (2.73) следует, что
%(Т2)=0,(2.74)
где 「в^ ——тензор энергии-импульса. Отсюда, используя (2.67), получаем
%(7件0)J — 0.
Наконец, учитывая (2.68), находим
д^ = 0,(2.75)
где
М^=х^-х^；(2.76)
—тензор момента количества движения.
Если проинтегрировать (2.75) по объему У-+оо и учесть естественные граничные условия на бесконечности, то получаем при этом, что тензор
% = J 端丛(2.77)
не зависит от времени. Ясно, что пространственные компоненты этого тензора являются компонентами момента количества движения. В заключение отметим, что в случае спинорного, векторного и других полей в выражении для М9^ возникает дополнительный спиновый член.
Инвариантность относительно глобальныхкалибровочных преобразований. Сохранеше заряда
Сохранение заряда (электрического, барионного, лептонного...) является следствием инвариантности лагранжиана относительно калибровочных преобразований [умножения функции 2(%) на фазовый множитель]. Очевидно, что такие преобразования возможны только в случае комплексных 2(%). Если 2(%)—комплексная функция, то соответствующее поле описывается, следовательно, двумя вещественными функциями х [вещественной и мнимой частями -ф(х)]. В качестве независимых динамических переменных могут быть выбраны 2(%) и ip* (х). В этом случае лагранжиан зависит от 叭 及帥，2*,九旷 Очевидно, что из принципа наименьшего действия наряду 24
с (2.21) пол. ■〈ем при этом также следующее уравнение поля:
務T晶=。■務T晶=。■(2.78)(2.78)
務T晶=。■
務T晶=。■
(2.78)
(2.78)
Рассмотрим глобальное калибровочное преобразование
М(х) =е、(х),(2 79)
где Л ——произвольная вещественная константа. Предположим, что лагранжиан инвариантен относительно преобразования (2.79):
' В (2，外，2*，外*)=В(1|/, di|/,^7*).(2.80)
Отметим, что инвариантность относительно калибровочных преобразований означает, что фаза функции -ф(х) определена с точностью до произвольной аддитивной константы.
Покажем теперь, что инвариантность относительно глобальных калибровочных преобразований приводит к уравнению непрерывности для тока и, следовательно, к сохранению заряда. Для этого рассмотрим инфинитезимальные калибровочные преобразования (т. е. будем считать, что А ——бесконечно малая величина) Ограничиваясь в разложении экспоненты в (2.79) линейными по Л членами, получаем
廿=•ф十^ф； 2公=2*十62*,(2.81)
где
g = iA2，6旷=—iAip，(2.82)
Далее условие инвариантности (2.80) может быть переписано в виде
62 = 0.(2.83)
Используя уравнения поля (2.22) и (2.78), из (2.83) находим
〃(務;冲 + 繇 3屮*)=0.(2.84)
Наконец, подставляя (2.82) в (2.84), получаем уравнение непрерывности
W(2.85)
где ток 产 дается выражением
广"舞屮一赛屮)(286)
Из (2.85) следует, что
唯■ = 0,
где
Qu j/°d3x(2.87)
—заряд [интегрирование в (2.87) проводится по всему пространству].
Связь законов сохране»мя с симметриями. Теорема Нётер
Мы показали в § 2.2—2.4, что из инвариантности лагранжиана относительно трансляций, вращений и глобальных калибровочных преобразований вытекают соответственно законы сохранения 4-импульса, момента количества движения и заряда. Существует общая теорема Нётер, устанавливающая связь между инвариантностью лагранжиана относительно непрерывных преобразований и законами сохранения. Во всех трех рассмотренных нами случаях условие инвариантности лагранжиана относительно инфинитезимальных преобразований имеет вид
62 = 00,(2.88)
где Ва ——некоторый вектор. В случае трансляций
8a = -Q^S
В случае вращений
Ва=—(О0ах^.
Наконец, в случае калибровочных преобразований
Ra = 0.
Условие инвариантности лагранжиана относительно непрерывных преобразований всегда сводится к (2.88) (причем вектор Ва определяется видом преобразования) С другой стороны, используя уравнения поля, получаем
近=0/藹冲).(2.89)
Из (2.88) и (2.89) находим, что
@/舞■冲一8°) = 0.(2.90)
Уравнение непрерывности (2.90) представляет собой теорему Нётер.
Глава 3
КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ
Эрмитово скалярное (псевдоскалярное) поле
В этой главе будут рассмотрены простейшие поля — скалярное, спинорное, векторное. При этом мы будем основываться на лагранжевой формулировке теории поля.
В предыдущей главе было показано, что уравнения поля, вектор энергии-импульса и другие сохраняющиеся^ величины легко могут быть получены, если известен лагранжиан Лагранжиан поля должен быть постулирован. Обычно, однако, постулируются уравнения поля, а затем строится такой лагранжиан, который дает уравнения движения и удовлетворяет общим требованиям инвариантности.
Мы начнем с рассмотрения вещественного скалярного (псевдоскалярного) поля Такое поле описывается функцией Ф (х), которая удовлетворяет условию
ср(х)=Ф(х) (3.1)
и является скаляром либо преобразуется как псевдоскаляр [см. (2.58)].
Уравнение поля должно быть инвариантно относительно преобразований Лоренца. Простейшим таким уравнением является уравнение Стейна ——Гордона*
(□ + 付)? (%) = О,(□ + 付)? (%) = О,(3.2)(3.2)
(□ + 付)? (%) = О,
(□ + 付)? (%) = О,
(3.2)
(3.2)
где 口 = д^ = —； — V2, а т2 — положительный параметр.
Лагранжиан поля ф(х) должен быть построен таким образом, чтобы уравнение (3 2) совпадало с
d?d?工2小工2小(3.3)(3.3)
d?
d?
工2小
工2小
(3.3)
(3.3)
Очевидно, что член 二Очевидно, что член 二屮 в уравнении (3.2) происходит от да 而〒屮 в уравнении (3.2) происходит от да 而〒
Очевидно, что член 二
Очевидно, что член 二
屮 в уравнении (3.2) происходит от да 而〒
屮 в уравнении (3.2) происходит от да 而〒
В лагранжиан должен, следовательно,В лагранжиан должен, следовательно,входить скалярвходить скаляр
В лагранжиан должен, следовательно,
В лагранжиан должен, следовательно,
входить скаляр
входить скаляр
Ясно также, что член /и2fp происходит от dS]d^. Таким образом, в лагранжиан должен также входить член (1/2)т2ф2. Лагранжиан скалярного (псевдоскалярного) поля ф(х) может
быть выбран следующим образом:
С = ^- 口肝 dp — mV].(3.4)
Действительно, в этом случае
==(3.5)
Из (3.3) и (3 5) получаем уравнение К/е卤на — Гордона (3.2). Очевидно также, что лагранжиан (3.4) удовлетворяет требованиям инвариантности относительно преобразований Лоренца.
Для тензора энергии-импульса поля (р(х) из общего выражения (2.49) находим
写=严？办中一£端(3.6)
Вектор энергии-импульса поля равен
『J(3.7)
Используя (3.4) и (3.6), для энергии и импульса поля получаем соответственно следующие выражения:
/% = 〃 = £ j [00叫 2 +(V®)2 -加河 <fx,(3.8)
p = — J ^o?V?^3-'-(3.9)
Как видно из (3.8), мы получили положительно определенное выражение для энергии поля.
Разложим теперь функцию ср (х) в интеграл Ф\ рье. Имеем
? (х)=詁7F J ? ® J)" qx對.(3.10)
Подставляя ф(.г) в уравнение Клейна — Гордона, для фурье- компоненты(p(q, х°) получаем следующее уравнение (при фиксированном q):
+ а 十噌)y(q，x°)= s(3.11)
\^03/
Общее решение уравнения (3.11) может быть записано в следующем виде:
中(q, л»)=患 a (q“。) е^ 片 + 焉 а (q,-們 e^〈一小)党(3.12) где
9° = + ]/q2 + ",(3.13)
a a(q, 70) и a(q, —q°) —комплексные функции q.
28
Подставляя (3.12) в (3.10), для поля ф(х) получаем следующее разложение:
中(Х) = j % (& ⑺ е-1" + а (— q) е“") d3^.(3.14)
Здесь
a(g)=a(q,尹)；а(—д)=а(—q, Т。)，(3.15)
a："g = j^~3/2 j/^，夕* =夕"％，d =匂°，q)・ Отметим, что второй член в (3.14) получен заменой q ———q.
Нетрудно получить соотношения, обратные (3.14). Имеем
а(7)= i J NqQ ^ d7? (х) d3x,(3.16)
а (— q) = — i J % e—"亢 ® (x)(3.⑺
В (3 16) и (3 17) использовано следующее обозначение:
W ? (к) = j (х)需一需？ (л).(3.18)
Мы рассматриваем здесь случай вещественного поля ср (.г) Из (3.16) и (3.17) очевидно, что
а(—е)=а*(е).(3 19)
Таким образом, вещественное скалярное (псевдоскалярное) поле описывается одной комплексной функцией трехмерной переменной q.
Выразим теперь энергию и импульс поля через а(д) Подставляя (3.14) в (3.8) и учитывая, что 902=^2+42, для энергии поля получаем следующее выражение：
н = -у J [а(9)а (— q) + а (―夕)а (力代看. (3.20)
Отсюда, учитывая (3.19), находим
"=『a^{q)a(q) ^^q.(3.21)
Аналогично, подставляя (3.14) в (3.9) и учитывая, что
j a (q, / а (-q,力 ^e~2i ^ = 0,(3.22)
，а (— q,—力 а (q, —/) q^ *°對=0, для импульса поля получаем следующее выражение:
Р = ~ f [。(е) & (— е) + 仪(一9)а(9)] q'd^q. (3.23)
Используя (3.19), отсюда находим
Р = ) а* ⑺ а(7)q^q.(3.24)
Итак, непосредственными вычислениями мы убедились в том, что энергия и импульс поля ——сохраняющиеся величины (не зависят от времени). Отметим, что величины a {q)a\q)q и a* (q)a〈q)q。являются соответственно плотностями импульса и энергии в трехмерном импульсном пространстве.
На этом мы закончим рассмотрение классической теории свободного скалярного (псевдоскалярного) поля и перейдем к квантовой теории. Мы изложим здесь кратко метод канонического квантования полей Напомним, что для перехода от классической механики к квантовой необходимо сопряженные координату q и импульс р= заменить эрмитовыми операторами gup, которые удовлеторяют каноническим перестановочным соотношениям
仍,^] = — - {р，р\ =。，h G = 0-(3.25)
Всем физическим величинам (энергии, импульсу, моменту количества движения и др.) в квантовой теории отвечают эрмитовы операторы. Состояния физической системы описываются векторами состояний (волновыми функциями). Возможные значения физических величин являются собственными значениями соответствующих операторов.
В теории поля сопряженными координатой и импульсом являются ф (х) и
"(-')== ^0?(Л)-(3.26)
吼？(х)
В квантовой теории 屮(尤)и л (х) ——эрмитовы операторы. По аналогии с (3 25) постулируется, что эти операторы удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям-
К(Х'),，(x)hj=% = -"(x，一 х),
KW)，K(x)k=%=0,(3.27)
2(х'), ？(也,=% = 0.
Оператор ср (х) удовлетворяет уравнению Клейна ——Гордона *
(口 + 川)® (х) = 0.(3.28)
Из (3 28) следует, что для оператора ф(х) имеет место разложение Фурье (3.14) [в котором а(д) и а(—q) являются операторами]. Запишем это разложение в следующем виде:
ср (х) =<р(+)(х) +(р(—)(х),(3.29)
гдегде
где
где
(3.30)(3.30)W(X) = J，Vg a(g) e-i "d3 g;中(一)(x) = J yq) e1 q*d*q.
(3.30)
(3.30)
Операторы 屮⑷⑶ и ①㈠(x) называются соответственно положительно-частотной и отрицательно-частотной частями оператора ф(х) [в выражении для ф(+)(х) и 中(一)(工)под знак интеграла входят соответственно е^1 я°х° и е^1 (^0) х°]. Далее из условия эрмитовости оператора(р(х) следует, что
а{—g) =a+(g).(3.31)
С помощью (3 16), (3.17) и (3.27) нетрудно получить перестановочные соотношения между операторами а(«) и 仪+(寸). Имеем
[a (q), аг (д')] = f 1VdVg, [@"〃千5) —?(х)〃е'*),
(eТ"0肝(k)-?(犬)肌1 门')]d^^x,=
=i 讨户洞"五ei'dx = 8(q-q,),(3.32)
где 九°= (л°, х), х" = (л°, xj. Аналогично получаем
[aS), а(У)]=0・(3.33)
Отсюда путем эрмитова сопряжения находим
[a+匂)，a+⑷)]=0・
Следующая наша задача — получение выражений для операторов энергии и импульса квантованного поля. Для этого (в соответствии с общим правилом квантовой теории) необходимо в классических выражениях для энергии и импульса заменить классические величины соответствующими операторами. В классической теории первый и второй члены выражения (3.20) совпадают. Соответственно в классической теории энергия поля дается выражением (3.21). Операторы a(g) и a(—g)=a+(q), однако, не коммутируют. Возникает вопрос, в каком порядке следует располагать операторы в квантовой теории. Мы обсудим этот вопрос позднее. Вначале примем для энергии и импульса выражения, которые могут быть получены из (3.8) и (3.9) заменой функции <р(х) оператором ф(х), Получаем при этом
(3.34)(3.34)"=£ 卜a ⑷ a+ ⑷ + a+ ⑷ a(9)] ^q,尸=£ J [ a(9)a+ ⑷ + a+ (g) a (g)] q^q.Очевидно, что 〃 н P — эрмитовы операторы.
(3.34)
(3.34)
С помощью перестановочных соотношений (3.32) и (3.33) нетрудно найти собственные векторы и собственные значения операторов энергии и импульса. Для этого вычислим прежде всего коммутатор [а(д), Я]. Используя перестановочные соотношения (3 32) и (3 33). находим
[а。)，Я] = -^■^{a(q,') [a(q), a+(q')] +
+ [а。)，a+ (q‘ )\ a (q‘)} q°‘ Jq = q°a (q).(3.35)
Отметим, что при получении (3.35) использовалось соотношение *
[a, bc] = [a, b]c+b[a, с],(3.36)
где а, b н с — любые операторы. Из (3.35) путем эрмитова сопряжения получаем
[a+(办 切=一,忆+(办(3.37)
Итак, коммутатор оператора a{q) (а+(7)) с гамильтонианом пропорционален a(g) {a+{q)) • Пусть |£>—собственный вектор гамильтониана Я, принадлежащий собственному значению £:
Я|£>=£|£>.(3 38)
Умножим это уравнение слева на а(д). Имеем a(q)H\E}=Ea(q) |£>.(3.39)
Очевидно, что
a(g)〃=[a(g), H]+Ha(q).(3.40)
Используя (3.35), из (3.39) и (3.40) получаем
Ha{q) |£> = (£—z?°)a(7)|f>.(3.41)
Далее умножим (3.38) слева на а+(д). Используя (3.37), получаем
a+(q)用Е〉= ([a+(q), Hj+Ha+iq)) |£> =
=(一(7。a-付)+"a+(g))|Е〉=кa+(g) 1£>.(3.42)
Отсюда находим
Ha^(q)\E}=(E+q^a+(q) |Е〉.(3.43)
Итак, если векторы a(q) |£> и a+(q) |f> отличны от нуля,
率 В справедливости этого соотношения дегко убедиться. Действительно, имеем [а, 5с] = (abc~bac) ^-(Ьас——bca)=[a, Ь]с+Ь[а, с].
то они явля'ются собственными векторами гамильтониана Н, отвечающими соответственно собственным значениям Е—д° и E+qQ. Операторы a+(q) и a(q) называют операторами рождения и уничтожения.
Далее нетрудно убедиться в том, что все собственные значения гамильтониана Н положительны. Действительно, из (3.34) и (3.38) получаем
e =。/占小/〈e 1(a⑷ a+(0)+ L ⑷a(0))I 3"/ (3.44) 2〈七丨E〉J
Очевидно, что,
\E I a (g) а+ (g) I £〉= E〈E 丨 a (q) | а) (а | a+ (g) | £)=
=£ I {E\a(q) 1 а〉I 2 = 0,
〈£ I a+(g)a(g)丨 £〉=』I〈а|а(«) I I 2>0.
Числитель выражения (3.44), следовательно, положителен. Зиа- менатель также положите-чен. Таким образом,
£^0.(3.45)
Неравенство (3.45) означает, что существует минимальное собственное значение гамильтониана Н. Обозначим его Emm・ Очевидно, что при всех q
a(g) |Emin〉=0(3.46)
(в противном случае вектор a(q) |Ещш> отвечал бы собственному значению Н, равному Emm——?0)- Попытаемся с помощью (3.46) определить Emin* Из (3.44) получаем
3333Enin =\ С〈"min I а (夕)а+。)丨 Emin〉對=
33
33
Вернемся теперь к процедуре получения операторов квантовой теории из соответствующих классических величин. Ясно, что помимо замены классических величин операторами необходимо еще указать порядок, в котором следует располагать не- каммутирующие операторы. Для того чтобы доопределить процедуру перехода от классических величин к операторам теории поля, введем следующим образом оператор нормального произведения
•М(a(g)a“))= L ⑺ a (q), ]0 49
N ⑺ a(q» =(Г\'
Как видно из (3.49), оператор нормального произведения при действии на произведение операторов рождения и уничтожения расставляет их так, чтобы оператор уничтожения стоял справа от оператора рождения
Трудность с минимальной энергией Етш связана с первым членом выражения (3 34), в котором операторы рождения и уничтожения не располагаются в нормальном порядке (оператор рождения справа от оператора уничтожения) Чтобы такого типа трудностей в квантовой теории поля не возникало, принимается следующая гипотеза, для того чтобы получить операторы энергии, импульса, заряда и других физических величин, необходимо в соответствующих классических выражениях заменить величины операторами и подействовать на произведение операторов поля оператором N. Для операторов энергии и импульса из (3 34) получаем
р° = Н = j а十⑷ a (g) q°d3q,(3.50)
Pk =「。一(q) а (q) qkd'q.(3,51)
Очевидно, что (3 35), (3 37) и все последующие соотношения остаются при этом в силе Из (3.46) и (3.50) получаем
〃|Emm〉=0(3.52)
Таким образом, минима«1ьное собственное значение гамильтониана (3 50) равняется нулю. Далее очевидно, что
P|Emm〉=0(3.53)
Вектор |Emin〉описывает, следовательно, состояние с равными нулю энергией и импульсом (вакуумное состояние) Будем обозначать вектор состояния вакуума 10). Действуя на вектор |0> операторами рождения аг, можно построить полную систему векторов, описывающих возможные состояния квантованного поля. Действительно, с помощью перестановочных соот- 34
ношений (и：32), (3.33) и соотношения (3.36) нетрудно убедиться в том, что
0(g),叫=严。⑷.(3.54)
Отсюда путем эрмитова сопряжения получаем
[pa, a^(q)] =qS.(q).(3.55)
Подействуем на вектор 10> оператором a+((/i). Вектор a+((7i) |0> является собственным вектором оператора 4-импульса, отвечающим собственному значению q产"
Qa+y |0〉=([ра, а+(,])]+,
十a+(дпрa) 10〉』产a十(例)(0>.(3.56)
Рассмотрим теперь вектор 口+(外)。十(0° |0〉. Имеем
рак(%)a 干(")|0〉=([рa,厂例)]++a+(q})P^)a+{q})\0) =
=2,厂⑷)叫例)|0〉・(3.57)
Вектор «+(gi)a+(gt) |0〉 является, следовательно, собственным вектором оператора энергии-импульса, отвечающим собственному значению 2«з Далее имеем
PaaF^a+WDa+Sf) |0〉=([宀l(*)]+
+a亠(依)叫a+(91)5(9!)|0〉=(72a+
+2д^)а亠(g“a+(gi)a+(g])|о〉.(3.58)
Итак, вектор a+(qt) |0> описывает свободную частицу (квант поля 屮(尤))с импульсом 存 и массой m=^q^. Вектор a+(^i) X Хо+(д1)|0〉описывает две тождественные частицы с массой m и импульсом " Вектор a+(g2)«+(gi)a+(gi)丨0〉описывает три тождественные частицы с массой т; две частицы — с импульсом <71 и одну ——с импульсом z/2 и т. д. Оператор а+(д) является, следовательно, оператором рождения частицы (кванта поля 中(尤))с импульсом q и массой m^=^qL Соответственно оператор а(д) является оператором уничтожения частицы с импульсом q и массой т.
В общем случае вектор
I " ((7Р) •••也%))=a+(9p)—。▼(9p)…a+ (%) -•a一(八)I0)(3. 59)
описывает 孔(％)+・.・+九(令口) тождественных частиц с массой т — квантов скалярного (псевдоскалярного) поля; n(^i) частиц с импульсом 71 ..;几(д?) частиц с импульсом qp. Спин частиц—— квантов скалярного (псевдоскалярного) поля равен нулю. Вектор \n(qp). 孔(g】)〉однозначно задается числами заполнения и(<71) 孔(,р) — числами частиц с импульсами <?i,. , , qv. Оче- 3*35
видно, что вектор \n(qp) . . . n(q^} является ||бственным вектором оператора 4-импульса 尸。и отвечает * ветвенному значению
Рп (q)) л (%) = 2 孔 3)碇.(3.60)
月=1
Во второй главе мы показали, что законы сохранения зарядов являются следствием инвариантности лагранжиана относительно калибровочных преобразований. Условие вещественности поля(р(х) исключает его калибровочные преобразования. Вследствие этого кванты эрмитова поля ф(х)—истинно нейтральные частицы (частицы, все заряды которых равны нулю). Такими частицами являются, например, л°-мезоны.
Квантование полей и инвариантностьотносительно непрерывных преобразований
Во второй главе было показано, что инвариантность лагранжиана относительной трансляцией, вращений и калибровочных преобразований приводит к сохранению соответственно 4-импульса, момента количества движения и заряда. Квантование полей должно проводиться в соответствии с принципами инвариантности. Рассмотрим вначале трансляции. Для классического поля р(м) имеем
М“)=ф(尤)，(3.61)
где %'=%+& а ——постоянный вектор. Инвариантность относительно трансляций означает, чю исходная и штрихованная система эквивалентны. Операторы поля в этих двух системах должны быть связаны, следовательно, унитарным преобразованием. Соотношению (3.61) в квантовой теории отвечает
t/т (а)屮(У) U (а) =* (х),(3.62)
где U(а) —унитарный оператор.
Из (3.62) получаем
，〈а| + (О|ВУ=〈а|9(х)|0〉，(3.63)
где I а> и I р> ——некоторые векторы состояния, а
|аУ=и(а)|а〉，|ВУ=и(«)|В〉(3.64)
—соответствующие векторы в штрихованной системе. Таким образом, оператор U(a) при действии на вектор состояния в исходной системе дает вектор состояния в штрихованной систе- 36
ме. Для ^)инитезимальных преобразований оператор U(а) может быть представлен в виде
U(a) = i+iPaa^ *(3.65)
где Ра — эрмитов оператор. Оператор Р^ следует отождествить с оператором импульса *. Учитывая, что аа ——произвольный вектор, из (3.62) и (3.65) получаем следующее соотношение：
[屮(х), Ра] =i % 屮(X)•(3.66)
Рассмотрим теперь калибровочные преобразования. Для классического поля《(％) имеем
屮，(х)=е^2(х),'(3.67)
где Л — не зависящий от к вещественный параметр. Если имеет место инвариантность относительно калибровочных преобразований, то (3.67) в квантовой теории поля отвечает
t/'1 (Л) ^(x)U(A) =ег ЛФ (х),(3.68)
где U(A) —унитарный оператор. В случае инфинитезимальных преобразований имеем
U(A) = l+iAQ,(3 69)
где Q — эрмитов оператор. Оператор Q следует отождествить с оператором заряда (э«чектрического либо барионного и т. д.). Из (3.68) и (3.69) получаем
[屮(％)，Q]=W(x)・(3.70)
Наконец, рассмотрим собственные преобразования Лоренца
X” = £ + 〃“，(3.71)
где
3犬=稀入 3,(3.72)
соа0——8昵一бесконечно малые параметры. Мы ограничимся простейшим случаем скалярного (либо псевдоскалярного) поля Ф(х). Имеем
(pz(xz) =ф (х).(3.73)
Преобразованию (3 73) в квантовой теории отвечает
UT(s)(p(%) U(о))=屮(尤一dx),(3.74)
* Напомним, что в обычной квантовой механике 叫汇)= (1—i а р) ф(х)г где р—-у- V—оператор импульса. Действительно, при трансляциях волновая функция преобразуется следующим образом* ^/(хг)—ф(х), xz=x4-a. Для бесконечно малого а имеем ^ (х) =ip (х—а) ~ (1—aV)p(x) = (i — —iap) *(x).
где U(s)——унитарный оператор. Оператор U (s) имеет вид
U（s）=l 一守%叩,U（s）=l 一守%叩,(3.75)(3.75)
U（s）=l 一守%叩,
U（s）=l 一守%叩,
(3.75)
(3.75)
где эрмитов оператор Ма^ является оператором момента количества движения поля. Из (3.72), (3 74) и (3.75) получаем
(3.76)(3.76)i [m邱，ф (х)]=工叼6屮(х)-尤2a9 (,r).
(3.76)
(3.76)
Операторы импульса, заряда и момента количества движения, а также перестановочные соотношения для операторов полей должны быть постулированы таким образом, чтобы выполнялись соотношения (3.66), (3.70) и (3.76). Отметим, что в рассмотренном в § 3.1 случае эрмитова скалярного поля 中(к) соотношение (3.66) действительно выполняется. В этом нетрудно убедиться с помощью (3.29) — (3.31), (3.54) и (3.55). Имеем
2 (Х), Q =卜V, (e-i『a(q), PJ + #」&+(〃)，PR 對=
=j-v? (「"%a(9)-e""%a+ (g))對=i 隐(a).
Неэрмитово скалярное (псевдоскалярное^ поле
Перейдем теперь к рассмотрению комплексного (неэрмитова в квантовом случае) скалярного либо псевдоскалярного поля Ф(х). Начнем с классической теории. Комплексная функция 屮⑺ имеет вид
2 С)=2 С)=3（幻+1力（用3（幻+1力（用
2 С)=
2 С)=
3（幻+1力（用
3（幻+1力（用
где ф] (х) и 屮2(工)——вещественные функции. Таким образом, рассматриваемое нами поле описывается двумя вещественными функциями х. Очевидно, что в качестве независимых динамических переменных могут быть выбраны также ср (.г) и ф*(х).
Как и в случае вещественного скалярного поля, будем предполагать, что функция ф(х) удовлетворяет уравнению Клейна—— Гордона
(□ + ")“” =0,(□ + ")“” =0,(3.77)(3.77)
(□ + ")“” =0,
(□ + ")“” =0,
(3.77)
(3.77)
где щ2 ——вещественный положительный параметр (в квантовой теории ——масса частиц — квантов поля). Из (3.77) следует, что функция ср* (х) также удовлетворяет уравнению Клейна —— Гордона
(□ + ")'■?* ⑴=0.
(3.78)
Уравнения (3.77) и (3.78) должны совпадать с уравнениями Эйлера — Лагранжа
вытекающими из принципа наименьшего действия.
Будем предполагать, что лаграня<иан зависит от ?, ，”，д^ и д^. Очевидно, что члены □? н □屮* в уравнениях (3.77) и (3.78) происходят от 必 — и d а члены т2сэ и /и歹一от d幺/Зср и д^/дф* Имея в виду требования лорейц-инвариант- ности, мы приходим к заключению, что в лагранжиан могут входить (р*ф( (р*ф*. ф(р, @а屮*@а(р, dacpdaq), da屮*@«屮*. Только пер- вый и четвертый члены инвариантны относительно калибровочных преобразований В результате для лагранжиана комплексного поля ф (х) примем выражение
^=6^^ д^—т2(р*ф.^=6^^ д^—т2(р*ф.(3 80)(3 80)
^=6^^ д^—т2(р*ф.
^=6^^ д^—т2(р*ф.
(3 80)
(3 80)
Нетрудно убедиться в том, что при таком выборе лагранжиана уравнения (3 79) совпадают с (3.77) и (3 78). Действительно, из (3 80) находим
Подставляя (3 81) в (3.79), получаем соответственно уравнения (3.77) и (3 78) Очевидно также, что лагранжиан ,(3.80) инвариантен относительно преобразований Лоренца и глобальных калибровочных преобразований.
Для тензора энергии-импульса заряженного поля (р(х) из общего выражения (2 55) находим
源=薪d葭一瑟鱼歹一2廟=于Ь抬? + d"8#'-z陥（3・82）
С помощью (3.80) н (3 82) для энергии и импульса поля получаем соответственно следующие выражения:
(3.83)(3.83)(3.84)(3.84)ро = 〃 =，％?-&¥ + 卩齊7屮 + 紋屮"？] d'x,P = - [ [4):?飞？ + "？▽:?*] d3x.
(3.83)
(3.83)
(3.84)
(3.84)
Ток 产，сохраняющийся в силу глобальной калибровочной инвариантности, дается общим выражением (2.86). С помощью (3.81) получаем
=一 '—而?—陋) ('85)
39
Наконец, сохраняющийся заряд Q дается выражением 0!=7(中")中一喲产*)^九(3.86)
Разложим теперь комплексное поле(р(л) в интеграл Фурье.
Учитывая (3.77), имеем
у (х) = j % (a (q) e-i" + а (— 0 е1")對. (3.87)
Здесь q —
0, q); g°
二/加+ q2; % =
11
（2亦）3万卩贰
—стандартный
нормировочный множитель.
Разложение (3.71) имеет то же вид, что и фурье-разложение (3.14) вещественного скалярного поля. Существенное отличие (3.87) от (3.14) состоит в том, что в (3.87) a(q) и а(—q)— независимые комплексные функции переменной q [в (3.14) в силу вещественности поля функции а(—q) и a(g) связаны соотношением а(—q)=a* (z?) J.
Из (3 87) для фурье-компонент a(q) и а(—g) получаем следующие выражения.
a(g) = i J /V/^^(х)^^,
4(- g)= — i J.喝(x)dx,
(3.88)
где
/ (入)30 f (人)=f ")0肝(大)一中(入)0/ (办
Подставим теперь разложение (3.87) в (3.83) и (3.84). Для энергии и импульса комплексного поля 屮(尤)получаем соответственно следующие выражения:
°° = " = J 心*(9)a(G + a* (一9)a (一秒95々，(3.89)
P = j[a* (q)a(q) +&*(—g)a(—g)]qd%.(3.90)
Из этих выражений очевидно, что величина
a*(q)a(q)+a*(~q)a(—q)
является плотностью 4-импульса поля в трехмерном импульсном пространстве q. Первый (второй) член этого выражения представляет собой вклад в плотность положительно-частотной (отрицательно-частотной) компоненты поля ср.
Подставим теперь разложение (3.87) в выражение (3.86). Для заряда поля Q находим
Q= )[&*(«) a (q) — а*(— q)а (— q^dq. (3.91)
Как видно из (3.89) и (3.91), энергия поля может принимать только положительные значения; заряд поля может быть как положительным, так и отрицательным.
40
На этом мы закончим рассмотрение классической теории комплексного поля 屮(尤).Перейдем теперь к квантовой теории. В квантовой теории ф(,г) —неэрмитов оператор, удовлетворяющий уравнению Клейна — Гордона
(□ + ")9(/) = 0・(3-92)
Для <р(х) имеет место, следовательно, разложение
? (а) = J ^ [ а (7) в"-*чх + а (- q) е! ?х] d3q, (3.93) где a{q) и а(——q) ——операторы.
(3.94)(3.95)(3.96)(3.94)(3.95)(3.96)Оператор 屮(％) обязан удовлетворять общему соотношению (3.66). Имеем
(3.94)
(3.95)
(3.96)
(3.94)
(3.95)
(3.96)
[ф(-Г), Pa]=i%(P(，E).
Подставляя (3.93) в (3 94). получаем
[a(q)，p/=%以(9)；
[&(—q), P^^—q^a^—qY
Отсюда путем эрмитова сопряжения находим
В W), Q = — %/⑷，]①(一力 PJ= qa+ (— 7). /
Обозначим |E〉собственный вектор гамильтониана, принадлежащий собственному значению Е. Имеем
"|Е〉=Е|Е〉.(3.97)
Умножая (3.97) на а(д) и а(—q) и используя (3.95), получаем
〃а(д)丨 Е) = (Е —乳)a(g)丨 Е), "а(— g) I Е) = (Е + %)a(—q) | Е〉.
Отсюда следует, что a(q) и а(——q) являются соответственно операторами уничтожения и рождения. Аналогично с помощью (3.96) находим, что ar(q) и а+(——q) являются операторами рождения и уничтожения. Обозначим
а (—g)=b+(g). (3.99)
Итак, в случае неэрмитова поля ф(х) имеются два оператора рождения (а+ и Ь~} и два оператора уничтожения (а и Ь). Из (3.93) для операторов a{q) и b+(q) получаем
(3.100)(3.100)a(g) = i J %S 崂°?⑴d%, 6%) = —i，МеТ呻：Mx)d”.
(3.100)
(3.100)
(3.101)(3.101)Отсюда путем эрмитова сопряжения находим L 0) = — i J(x)d3x,
(3.101)
(3.101)
6(9)=i , N严豆?一 (x) d3x.
Введем теперь перестановочные соотношения. Будем предпо- лагать, что операторы 屮(工)и 九(％)= =。°屮十 удовлетворяло?”
ют каноническим одновременным перестановочным соотношениям
[п(х)，?(『)]“，=“ = —"(х — х):
[п(х),小兀,=% = О,(3.102)
@(X)，?(叽，=% п 0.
Перестановочные соотношения для операторов 屮〒(х) и 兀+(%)= ="。屮(汇)могут быть получены из (3.102) пу-
тем эрмитова сопряжения. Имеем
[丁⑴，？_(.「)]“,=% = —i 8 (х — х),■
[и(л), L(“儿』。=0,(3.103)
[限⑴，а')1%=。=0-
Далее предположим, что имеют место перестановочные соотно-
шения *
旧⑴，k(」)L，=% =。；
旧⑴，к+(「)]"=% =0,(3.104)
PC), ”(」)]%，=% = б .
С помощью (3.100) — (3.104) получаем следующие перестановочные соотношения для операторов рождения и уничтожения:
[а (д), а- S')] = i ) %М?,е'"万0「九川=8 (q — q) 汝⑷，a(q')]= 0,
(3.105)(3.105)竹(处"(不)] = i J 练鶴储咋:eт。"户1 = 3 (q - q，),
(3.105)
(3.105)
[b ⑺，6@)] = 0,
[a(7), 6(0 = 0-依(办 6+(g')] = 0・
Получим теперь выражения для операторов энергии-импульса и заряда. Для этого в (3.89) — (3.91) заменим классические величины a(gj, а*(9), а(—9) и а*(—q) соответственно операторами а(д),。十(g), 6+(g) и 6(g) и подействуем на полученные произведения операторов поля оператором нормального произведения ^, расставляющим операторы в нормальном порядке (оператор уничтожения справа от оператора рождения). Из (3.89) и (3.90) для оператора энергии-импульса получаем прн этом
Р" = £ [a一 ⑺a⑺ + 6+ (9)6 ⑷]q%%：(3.106)
Для оператора заряда из (3.91) находим
Q = j Q (9)a⑷一Ь 一(9)b ⑷]對.(3.107)
Нетрудно проверить, что постулированные нами канонические перестановочные соотношения и полученные из классических выражений для энергии, импульса и заряда операторы Ра и Q согласуются с общими соотношениями (3.66) и (3.70), вытекающими из требований трансляционной инвариантности и глобальной калибровочной инвариантности. Действительно, используя (3 36), из (3.105) и (3.106) получаем
[а(7), Ра] = f [а (q), а-⑺]4(7)鼠％3丁 = qaa(q),
J(3.108)
[6 (夕)，尸口 = f W (夕),6+ S'" b (д') q'^q'=夕％(7).
Перестановочные соотношения (3.108) совпадают с соотношениями (3 95) Это означает, что оператор (р(х) удовлетворяет (3.94).“
Далее из (3.105) и (3.107) с помощью (3.36) получаем
[a(g), Q]=a(q).(3.109)
&g). Q]=-b(q).(З.НО)
Из (3.110) путем эрмитова сопряжения находим
[а-(9), Q] =—а-(7), [b+(g), Q]="(办(3.111)
С помощью (3.93), (3.109) и (3.111) получаем перестановочное соотношение
[?(a),Q] = J.Va(e-i4X [а(7),(2] +ei?x[&-(7),(2])^ = ?(л), (3.112) совпадающее с (3.70).
Покажем теперь, что векторы состояния свободных частиц с определенными импульсами и массой т описывают возможные состояния квантованного неэрмитова поля ф(х). Из выражения (3.106) очевидно, что все собственные значения гамиль-
43
тониана Р°=" положительны. Это означает, что существует минимальное собственное значение. Далее операторы уничтожения a(q) и b(7)при действии на вектор |0>, описывающий состояние с минимальной энергией, дают нуль:
a(g)|0〉=0, b(g)|O〉=O.(3.113)
Из (3.106), (3.107) и (3.113) следует, что
Р『0〉=0, Q|0〉=0.(3.114)
Таким образом, вектор |0> описывает состояние с равными нулю 4-импульсом и зарядом (вакуумхюе состояние).
Рассмотрим вектор состояния
а+Si) |0〉.
Нетрудно видеть, что этот вектор является собственным вектором оператора Ра, принадлежащим собственному значению Qia. Действительно, из (3.108) путем эрмитова сопряжения получаем
[Р«, а+(^1)]==^1аа+(41).(3.115)
Далее, используя (3.114) и (3.115), получаем
Paa一(gi) |0〉=([尸% /(/)] +
+。+ (外)Q) I 0〉=外a。- (%" 0>.(3.116)
Вектор
0十Q)a~(gi) |0〉
также является собственным вектором оператора энергии-импульса Р% Этот вектор принадлежит собственному значению 令2*+0】％ Действительно, используя (3.115) и (3.116), получаем
口a+(02"丄(内)10〉=([p叱『3)] ++0+(02)叫叫生)10)=
=(以a+自产)a+(农)心(依)[0〉.(3.117)
Итак, если действовать операторами рождения а+ на вакуумный вектор |0>, то мы получим при этом систему собственных векторов оператора энергии-импульса Ра. Вектор a+(qi)|0〉 описывает частицу [квант поля 屮(尤)]с лмпульсом «】и массой 加=倫2, вектор。+(02)。+(汨 |0〉описывает две частицы с импульсами 6 н g2 H одной и той же массой m=^q^=^(q^ н т. д.
Далее, вектор
6+(")I0〉
также является собственным вектором о血ератора Ра. Этот вектор принадлежит собственному значению д]. Действительно, из (3.108) получаем
[Р\ K(g)]=qa"(g).(3.118)
С помощью (3.114) и (3.118) находим
P^{q^\Qy=q^{q^ |0>.(3.119)
Аналогично получаем
Pab+(q2')b+(q个) |0〉=(01e+
+92e)>(02')"(力)10〉(3.120)
и т. д.
Итак, вектор Ь+(〃)|0〉описывает частицу с импульсом “ и массой m=y(eJ)2, вектор b+(g2‘)6+(g/) |0〉-~^две частицы с импульсами д/ и qU и массой m и т. д.
Нетрудно убедиться в том, что построенные нами векторы состояния являются собственными векторами оператора заряда. Действительно, из (3.109) и (3.110) получаем
[Q, &+⑷]=а+(力)(3.121)
[Q, "(〃)] = — к (g). /
Далее, используя (3.114) н (3.121), находим
Qa+仆)|0〉=([Q, a+(7i)] +
+a+(2Q)|0〉=a+(%)|0〉.(3.122)
Аналогично получаем
Q扭(%')[0〉= (一1)>(%’)]0〉，](3 123)
Q> (%‘)行(%’) I0〉三 (一 2)2仇’)尹(%‘)丨 0〉j ,
и т. д.
Итак, a+(g) и 6+(д) являются операторами рождения частиц с одной и той же массой m и противоположными зарядами. Две частицы, у которых одна и та же масса, один и тот же спин, но все заряды противоположны, носят название частицы и античастицы. Оператор a+(g) является, следовательно, оператором рождения частицы (античастицы) с 4-импульсом q, b+(q) является оператором рождения античастицы (частицы) с 4-импуль- сом д.
В общем случае вектор состояния квантованного скалярного (псевдоскалярного) поля qp(x) имеет вид
I方心...万(疝 %(<?„)...%(%))= /(g2)…6+ (風)…
…尹 ％)二什(£) q+ (拆)二 a+®)…8(%) ：“+ (”) I 0). (3,124) £gj)以以(书)
ВекторI亢(g'm) ...亢(g/)〃(gn).— 枕(0i)〉 является собственным вектором операторов Р* и Q, принадлежащим собственным зна-
45
чениям
(3.125)(3.125)p" = 2斤(4)疗+ X "g)加，1=1左=1
(3.125)
(3.125)
Q = —2 丽门 + $ 〃(〃)•
Вектор I 亢(e'm)・••亢(qJ)足 Sn).--孔 Si)〉описывает 枕(др частиц с импульсом 71, 〃(令2)частиц с импульсом ^2 и т. д.,亢(gJ) античастиц с импульсом д/,万(令2‘) античастиц с импульсом ^2’ и т. д.
Итак, мы показали, что квантами неэрмитова поля 屮(尤)являются частицы и античастицы. Отметим, что в соответствии с теорией поля каждой частице, заряды которой отличны от нуля, должна отвечать античастица, масса которой совпадает с массой частицы, а все заряды противоположны зарядам частицы . Этот общий вывод квантовой теории поля подтверждается всеми имеющимися в настоящее время данными.
В заключение отметим, что рассмотренное нами здесь неэрмитово поле 屮(工)может быть полем л^-мезонов. В этом случае е Q—оператор электрического заряда. Поле(р(х) может быть полем К% RO-мезонов. В этом случае Q.— оператор странности. Поле(р(х) может быть также полем К二-мезонов. В этом случае следует ввести два сохраняющихся заряда ——электрический заряд и странность, и т. д
Спинорное поле
До сих пор мы рассматривали поля частиц со спином 0. В этом параграфе будет рассмотрено спинорное поле (поле Днрака), квантами которого являются частицы со спином 1/2. Квантование спинорных полей принципиально отличается от квантования полей со спином 0. Это связано с тем, что состояния частиц со спином 1/2 обязаны удовлетворять принципу Паули.
Начнем с классической теории. Предположим, что уравнением свободного спинорного поля является уравнение Дирака
(i 丫叭一е)*(к)=0・(3.126)
Здесь ®(y) —комплексная спинорная функция; т ——положительный параметр (в квантовой теории ——масса квантов поля).
Напомни^гчто матрицы уа удовлетворяют соотношениям
7丁 + Y广=2gN 凸"+俨=广(3.127)
В качестве независимых динамических переменных удобно выбрать р(х) и 屮(尤)=*+(尤)у. Для функции 件(尤) из (3.126) получаем уравнение
iQj(x) “广+加〃 х) = 0.(3.128)
Нетрудно убедиться в том, чго уравнения (3.126} и (3.128) совпадают с уравнениями Эйлера — Лагранжа ，
竺一d 欝=0,(3.129)
/ a呪屮
空 一@ g =o,(3.130)
если следующим образом выбрать лагранжиан поля Дирака ”.
(3.131)
Действительно, имеем
= 1 т —тФ, —=
(3.133)
(3.134)
Подставляя (3.133) в (3.130), получаем уравнение Дирака (3.126). С помощью (3.129) и (3.134) получаем уравнение (3.128) для сопряженной функции *.
Лагранжиан (3.131) инвариантен относительно преобразовЭ' ний Лоренца. Действительно, при преобразовании
*" =编j(3.135)
спиноры 中(尤)и *(%) преобразуются следующим образом:
屮(「)= l屮а),]
_—(3.136)
屮(X) = ^(x)L, J
гдегде
где
где
(3.137)(3.137)厶7Y乜=纵F
(3.137)
(3.137)
(см. приложение В)
Используя (3.135) — (3.137), получаем
纟(屮'(У)，♦)=*'(/) (i ?2а‘ 一m)2'(/) =
=ip (х) (i L~1yaLdaf—m)2(%) =
=叩(尤)(i у3(?з—zn)ip = 27(ip(x),
Наконец, очевидно, что лагранжиан (3.131) инвариантен относительно глобальных калибровочных преобразований
(3.138)(3.138)屮'*) = е'А 屮(х),
(3.138)
(3.138)
У (х) = 0(х)е‘ ％
где Л — вещественная константа.
Получим теперь выражения для тензора энергии-импульса и тока дираковского поля. Используя (3.133) и (3.134), из общих выражений (2.55) и (2.86) находим
北=泰dB少+ 4《 ^•一盼3 = i西脱屮， (3.139)
/ =-\ 迎if-屮W7，=屮丫少.(3・140)
Для вектора энергии-импульса и заряда дираковского поля из (3.139) и (3.140) получаем следующие выражения*:
q = i j 屮 Y%屮 d”，(3.141)
Q = j 少Y。屮^尤.(3.142)
Разложим теперь *(尤)в интеграл Фурье. При данном значении импульса р уравнение Дирака (3.126) имеет четыре независимых решения (см. приложение В): два решения с положительной энергией
乙(p)ef吁+'рх
* Отметим, что 4-вектор импульса дираковского поля имеет вид
где 尸6=i £g — оператор импульса.
и два ренте, та с отрицательной энергией ul(p)ei X+ipx
(厂一спиральность, р° = +Уе2+р2) Общее решение уравнения Дирака имеет, следовательно, вид
少(х)=卜”。[/ 仍)с，(切 e-i рх 丄 / (-")两(一p) e'竿 d3“(3.143}
Здесь Np =(£3/2 p=，〃 8) = "〔(P), u‘(一")= “二(一P), cr (夕) и сг(—p)—комплексные функции импульса р. Напомним, что спиноры "「(р) и иг(——р) удовлетворяют следующим условиям ортогональности и нормировки (подробно см. приложение В):
7'仍)丫%' (") = 2卢Г，
(—л = 2^4，г,厶3.144}
?二(p) 丫%二(p) = 0.
Подставим теперь разложение (3.143) в выражения (3.141) и (3.142). Используя (3.144), для энергии, импульса и заряда дираковского поля *(尤)получаем следующие выражения:
〃 =j {сг (р) Сг ⑵—好-(—р) сг (— р)] p"dp,(3.145}
Р = j [с「仍)拆 8)—联(—Р} cr (―夕)]pd»,(3.146}
Q == j [сГ (Р) сг (р) 4- с/ (— р) сг (— р)\ d>.(3.147)
Первый (второй) член выражения (3.145) представляет собой вклад в энергию поля положительно-частотных (отрицательночастотных) компонент функции 巾(工).Как видно из (3.145), вклад отрицательно-частотных компонент функции *(%) в энергию поля отрицателен. Энергия поля может, следовательно, принимать как положительные, так и отрицательные (сколь угодно большие по модулю) значения. С другой стороны, как видно из (3.146), заряд классического дираковского поля может принимать только положительные значения. Напомним, что в случае классического комплексного скалярного поля энергия поля может принимать только положительные значения, а заряд поля — как положительные, так и отрицательные значения. Это соответствует тому, что в случае квантованного неэрмнтова скалярного поля может быть определено состояние с равными нулю энергией, импульсом и зарядом (вакуумное состояние). Квантами этого поля являются частицы и античастицы (в соответствии с данными опыта).
4—691049
Хотя энергия классического дираковскс. |поля может быть как положительной, так и отрицательной, а заряд поля только положительным, мы покажем теперь, что последовательная (согласующаяся с опытом) квантовая теория дираковского поля может быть построена.
В квантовой теории 屮(尤)——неэрмитов оператор, удовлетворяющий уравнению Дирака. Для оператора 巾(工)имеет место, следовательно, разложение (3.143), в котором с^(р) и с『(——р)—неэрмитовы операторы. Далее в соответствии с общими принципами квантования полей оператор *(х) должен удовлетворять соотношению (см. § 3.2)
[中(尤)，Pa] = i%W⑴，(3.148)
где Р& — оператор энергии-импульса. Подставляя (3.143) в (3.148), получаем
(3.149)(3.149)[^г (Р), Р^^ РЛСr (р), £г(—夕)，Р』=—%&(—").
(3.149)
(3.149)
Эти соотношения означают, что сг(р) и сг(——р) являются соответственно операторами уничтожения и рождения кванта с импульсом Ра. Обозначим
Cr(—p)=dr-(p).
Для оператора *(尤)имеем разложение
巾(％)=屮㈠(％)+2㈠⑺，(3.150)
где
J(3.151)
屮S⑴=J,V" (一") e'a)迎.
В случаях полей частиц со спином 0 (см. § 3.1 и 3.3) допустимы состояния, в которых имеется несколько (в принципе сколь угодно много) частиц с данным импульсом. Квантами дираковского поля являются частицы со спином 1/2. Состояния частиц со спином 1/2 должны удовлетворять принципу Паулн. В соответствии с принципом Паули в состоянии с данным импульсом не может находиться более одной частицы со спином 1/2.
Квантование дираковского поля должно проводиться таким образом, чтобы векторы, описывающие возможные состояния поля, удовлетворяли принципу Паули. Предположим, что операторы Сг(р) и dr(p) подчиняются следующим перестановочно
ным соотношениям：
[Сг 9),。力尸)]十=з〃，“р — РЭ, Кг ⑵,сг, (^)]_ = О,
弘 8),廿(")L = Jr，£ (p — p'), 口/А % (/)]丄=0,(3.152>
[cr(p), dr,(^)]. = 0, [с,(卩)，*(//)] 一 = 0, где
[a, b}^=ab^-ba.
Из (3.152) следует, что
[cl (Р), с"，(//)]_ = 0, [fl+ (夕)，df ("')]+ = О,[cj (р), d^'(р')\- -= 0, [cr [р), dr, (р')\^. = 0.
Мы покажем при этом, что, во-первых, мог>т быть построены такие операторы энергии-импульса и заряда, которые удовлетворяют (3.66) и (3.70); во-вторых, что существует состояние с энергией, импульсом и зарядом равными нулю (вакуумное состояние); в-третьих, что векторы, описывающие состояния дираковского поля, удовлетворяют принципу Паули; в-четвертых, что квантами дираковского поля являются частицы и античастицы.
Обсудим вначале вопрос о том, каким должен быть гамильтониан квантовой теории. Если в выражении (3.145) для энергии поля заменить классические величины соответствующими операторами и записать операторы в нормальном порядке (оператор рождения справа от оператора уничтожения), то мы получим при этом
力=[[^~ (/?)^ (^'--^^ (р^ ^ ^)] Р^Р- 63.153)
Гамильтониан Н‘ может обладать отрицательными (ckoje угодно большими по модулю) собственными значениями. Кроме того, если с помощью перестановочных соотношений (ЗЛ52)* вычислить коммутатор [々(р), 〃[, то мы найдем, что [d(p),/Л] =—р%(р) [вместо [d(p), Н] =^pGd(p) в соответствии с (3.149)].
Обе эти фундаментальные трудности связаны с тем, что второй член выражения для Hf входит со знаком минус. Положим, что гамильтониан квантованного дираковского поля дается выражением
Н = ^ \с^ (") сг (/)丄 d7 (р) d, (/?)] $冷.(3.134)
Очевидно, что все собственные значения этого оператора положительны. Вычислим коммутатор [dr(p), Я]. Используя 4V
получаем
[当(.),c，⑵ e:，9)] = 0,
瓦(р), d方(0) &，(0)] - [dr (p), d3 g，)} + *,(//)= ■ (3.155)
=6(P —P')dr(p).
С помощью (3.154) и (3.155) находим
[d「(p), H]=p°dr(p).(3.156)
Аналогично получаем
[%(p), "]="%«).(3.157)
Таким образом, гамильтониан (3.154) и перестановочные соотношения (3.152) согласуются с соотношениями (3.149), вытекающими из общих постулатов теории поля.
Сформулируем теперь правило получения гамильтониана (3.154) из классического выражения для энергии (3.145). Для этого обобщим определение оператора нормального произведения, введенного в § 3.1. Положим, что оператор N следующим образом действует на произведение двух операторов дираковского поля:
N&(p)£，s» = —d；,(p，)dr(p),
N(d广(р)乙，,))=/(")*(”)，
-v (^r (P) dr, (pz)) = dr (p) dr, (p') = — dr, (p') dr (p),
N (% (p) " (//))=—偌⑺拆(切，
N (с扌 S) c〃(/)) = c；(切拆，(//),
M (cj (p)寸(//)) = c广(р)廿 叮)=—片 S 疗 8).,
Итак, оператор N при действии на произведение двух операторов спинорного поля расставляет их в нормальном порядке, т. е. так, чтобы оператор уничтожения располагался справа от оператора'^Эждения. Если при этом производится перестановка операторов поля, то произведение операторов, записанных в нормальном порядке, умножается на ——1. В дальнейшем мы дадим определение оператора нормального произведения ^ в общем случае произведения любого числа операторов поля.
Как и в рассмотренных выше случаях скалярных полей, будем предполагать, что для получения операторов энергии, импульса, заряда и других физических величин необходимо в соответствующих классических выражениях заменить функции операторами поля и подействовать на произведение операторов поля оператором нормального произведения N. Из (3.145)— 52
(3.147) для операторов энергии импульса и заряда получаем
при этом следующие выражения:
2 = J 麻(р)分(р) +昨(p)dr(p)\pdp, (3.159)
Q = J C~ 5) J (") — 4+ (p) dr ⑵]dap. (3.160)
Из (3.155), (3.160) и (3.161) следует, что
\_сг (р) J 尸а] =РаСг (р) , [dr (р),尸 a] =pctdr(p) ；(3.161)
[Ст (p), Q]=%(p), [dr(p), Q]=—dr(pj.(3.162)
Далее с помощью (3.151), (3.161) и (3.162) нетрудно убедиться в том, что оператор *(%) удовлетворяет соотношениям
[*(%), Pa]=i%巾⑺，(3.163)
[巾⑺，Q] = 9 (%),(3.164)
которые должны выполняться в любой квантовой теории.
Построим теперь систему векторов, описывающих возможные состояния квантованного дираковского поля. Из выражения (3.154) очевидно, что собственные значения гамильтониана Н положительны. Обозначим |0> вектор, отвечающий минимальному собственному значению гамильтониана. Из (3.156) и (3.157) следует, что
сг(р) |0> = 0, dr(p) |0> = 0.(3.165)
С помощью (3.159), (3.160) и (3.165) находим
%10〉= 0, Q|0〉= 0.(3.166)
Таким образом, вектор |0> описывает состояние с равными нулю энергией, импульсом и зарядом (вакуумное состояние).
Нетрудно показать, что
PaCL(p) |0〉="GS) |0>,(3.167)
Pad尸(р) |0>=padr^(p) |0>.(3.168)
Действительно, из (3.161) путем эрмитова сопряжения получаем
忆"価= %"+⑵(3.169)
Используя (3.166) и (3.169), находим
「也广(P)|0〉=([Rx, %+S)] +
+ 好丄(р)Лх) |0〉= PaC「(P)|0〉.
Аналогично получаем (3.168).
Далее с помощью (3.163) нетрудно убеди Гься в том, что
Qq+ (") I⑺ I。〉，1(3 и。〉
Qd尸(")I 0) = — d尸(夕)I 0). J'
Таким образом, векторы сг~(р) 10> и dT^{p) |0> описывают состояния с противоположными зарядами.
Наконец, можно показать, что векторы с 戸(р)|0〉 и dr^(p) 10) описывают состояние со спиральностью г.
Итак, векторы сг^(р) |0> и dr~(p) |0> описывают частицу и античастицу с массой 〃 =犷.
Рассмотрим теперь вектор
*3)龍 3)10〉.(3.171)
Используя (3 167) и (3.169), получаем
р^ ("J &； (A) i。〉= (®С； О 2)] + с；т PG с* ”1) I 0)==(Pm + "2а) С^ ("J С； ("1) i 0).
Аналогично находим
Qc；仍J 戒(р^ [ 0)=勿展(а)汇(〃J I 0).
Вектор ci(〃Jc*("J I 0) описывает/ следовательно, две частицы с импульсами 内 н 卩2, единичным зарядом и одной и той же массой т — Ур\2 = ^р^. Можно также показать, что вектор (3.171) описывает частицы со спиральностями 门 и г2.
Далее нетрудно показать, что вектор ^ ("J с； ("J |0〉анти симметричен относительно перестановки pji и р2r2・ Действительно, используя перестановочные соотношения (3.152), получаем
建("J ^/. (А) 10) = —^ (А)吨("J I 0〉.
Итак, вектор (3.171) удовлетворяет принципу Паули.
Легко убедиться в том, что вектор 2 (р) с； {р) |0) описывает частицу с импульсом р и античастицу с импульсом // и т. д. Итак, действуя на вектор состояния вакуума |0> операторами рождения с~ и d丄,получаем векторы, описывающие возможные
состояния Kl Утованного дираковского поля. В общем случае вектор
%，(А)娼，质)…d；m8m)琬(Р1)成旧)c^ S) I 0)(3.172)
описывает 女 частиц с импульсами и спиральностями pin, ，2『2, ・，рт и m античастиц с импульсами и спиральностями p/门'，р^г2\. ртг^. Вектор (3.172) меняет знак при перестановке импульсов и спиральностей любой пары частиц либо античастиц. Таким образом, в состоянии с данным импульсом и спиральностью не может находиться более одной частицы (античастицы).，
В заключение отметим, что 屮(％) может быть полем электронов, кварков и т. д. Если 中(尤)一поле электронов, то следует ввести электрический и лептонный заряды (напомним, что каждому сохраняющемуся заряду отвечает инвариантность относительно глобального калибровочного преобразования). В случае кварков следует ввести электрический и барионный заряды, странность и т.工.
Электромагнитное поле
В этом параграфе мн рассмотрим свободное электромагнитное поле. Как обычно, начнем с классической теории. Уравнение Максвелла для свободного электромагнитного поля имеет вид
dJaB = o.(3.173)
Тензор напряженности 尸&° связан с вектор-потенциалом электромагнитного поля Ла= (ф, А) (ф — скалярный, А ——векторный потенциалы) соотношением
尸邓=淤力3—那4 a.(3.174)
Из (3.174) следует, что
где Е1 и Н1 — напряженности электрического и магнитного полей*
Напомним, что потенциал электромагнитного поля не может быть определен однозначно. Из (3.174) очевидно, что тензор напряженности поля не меняется при градиентном (калибровочном) преобразовании
/"=才十@、(3.173)
где Л — произвольная функция. Подставляя (3.174) в (3.173), получаем
□ ■43—<^(<?^) =0.(3.176)
55
В силу калибровочной инвариантности на потенциал можно наложить условие Лоренца
%力*=0.(3.177)
В этом случае
А = 0・
Если потенциал удовлетворяет условию Лоренца, то уравнение Максвелла имеет вид
(3.178)(3.178)Л3 = 0.
(3.178)
(3.178)
Для лагранжиана классического электромагнитного поля может быть принято выражение
(3.179)(3.179)2=-十%，唄
(3.179)
(3.179)
Нетрудно убедиться в том, что лагранжиан (3.179) дает уравнение Максвелла (3.173). Действительно, имеем
^ - 0 欢一产叫一仇 d%也一 *^ - 0 欢一产叫一仇 d%也一 *(3.180)(3.180)
^ - 0 欢一产叫一仇 d%也一 *
^ - 0 欢一产叫一仇 d%也一 *
(3.180)
(3.180)
Подставляя (3 180) в уравнение Эйлера ——Лагранжа
ее 户 неее 户 не=0,=0,(3.181)(3.181)
ее 户 не
ее 户 не
=0,
=0,
(3.181)
(3.181)
получаем (3.173) Ясно также, что лагранжиан (3.179) инвариантен относительно калибровочных преобразований (3.175)
Если для лагранжиана электромагнитного поля принять выражение (3.179), то при квантовании поля возникают, однако, серьезные трудности.
Канонические перестановочные соотношения для электромагнитного поля имеют вид
[£(Х), "(x')L°,=% = -igR%(x-x，)「 d(x)H(xMf = 0,(3.182)
…),А°(/)]…=。，
где л^—д2"/ддоА^ — импульс, сопряженный ,4牝 Из (3.180) получаем
d =—产 в.(3.183)
Таким образом, если лагранжиан дается выражением (3.179), то в этом случае п° = 0, что противоречит каноническим перестановочным соотношениям (3.182).
56
Очевидно, что выражение (3.179) может быть записано в виде
2 = -十 V叩=一 £ d1A0牙 +
+4"八(&犯0 一£ &屏(办4)(3・ 184)
Второй член этого выражения не дает вклада в вариацию действия и может быть опущен. Последний член выражения (3.184) равен нулю, если потенциал удовлетворяет условию Лоренца. В результате для лагранжиана свободного электромагнитного поля может быть принято выражение
/ = — -L^A^A^.(3.185)
Из (3.185) следует, что
丝_ 方不丝_ 方不— 02*— 02*
丝_ 方不
丝_ 方不
— 02*
— 02*
Подставляя (3.186) в (3.181), получаем уравнение Даламбера
(3. 186)
Далее из общего выражения (2.49) для тензора энергии-импульса электромагнитного поля получаем следующее выражение:
玛=3詣一岁р — Z 玲=_ d?Q4 + -у ^Л^Ло；. (3.187)
Отсюда для вектора энергии-импульса находим
P,P,中％ = J [_ Л4&4 + £ @》44司 d". (3.188)中％ = J [_ Л4&4 + £ @》44司 d". (3.188)
P,
P,
中％ = J [_ Л4&4 + £ @》44司 d". (3.188)
中％ = J [_ Л4&4 + £ @》44司 d". (3.188)
МаксвеллаМаксвелла(3.189)(3.189)собой поло-собой поло-
Максвелла
Максвелла
(3.189)
(3.189)
собой поло-
собой поло-
Разложим теперь потенциал Ла в интеграл Фурье. Учиты-
вая, что потенциал Ла удовлетворяет уравнению (3.187), получаем
迂⑴=J Nd(+)(k) е‘ kxT k°^ +
+ $^Ла<-)(к)е!кх+!кОхХ
где 依=I k I ; * = ―.
1(2亦)3/2 |/2A°
Первый член разложения (3.189) представляет
жительно-частотную, а второй член — отрицательно-частотную части потенциала Аа(х). Делая во втором члене (3.189) заме-
57
ну к-^—к, перепишем следующим образом фурье-разложение потенциала:
А" (х)=［织［▲“ 俏)e~i ^ 十 А〕一舟 X ^］ &з左，(3.190)
где
4a(左)=/а(т(к), Ла(—/fe)==^a(-)(—к).(3.191)
Учитывая, что Аа* (х) =Да(х), получаем
A^(—k)=A^(k^(3.192)
Далее разложим Ла(^) по полной системе векторов е入(左〉 (九=0, 1, 2, 3). Имеем
4a (生)=n4肉丸他)。(3.193>
Выберем следующим образом векторы 飮(左)Положим, что
е。— 〃,е。— 〃,(3.194)
е。— 〃,
е。— 〃,
где п ——единичный, времениподобный вектор (n2= 1). Далее положим, что ?з (女)——единичный, пространственноподобный
вектор, построенный из ^ и /г и ортогональный п. Имеем
左一п (kn)左一п (kn)（々门）（々门）(3.195)(3.195)
左一п (kn)
左一п (kn)
（々门）
（々门）
(3.195)
(3.195)
Наконец, векторы & (归)и。2(左)выберем таким образом, чтобы они удовлетворяли условиям
e：伍）g，*）=-J"，e:肉々=0,]e：伍）g，*）=-J"，e:肉々=0,]e~(k) % = 0,e~(k) % = 0,Z, Л/ = 1, 2Z, Л/ = 1, 2(3.196)(3.196)
e：伍）g，*）=-J"，e:肉々=0,]
e：伍）g，*）=-J"，e:肉々=0,]
e~(k) % = 0,
e~(k) % = 0,
Z, Л/ = 1, 2
Z, Л/ = 1, 2
(3.196)
(3.196)
(内(女)и ?2(左)——единичные, пространственноподобные векторы, ортогональные друг другу и ортогональные е° и е3 (^))
Итак, векторы е%(纟)удовлетворяют следующим условиям ортогональности и нормировки.
匕传)外，他)= g>.(3.197)
Рассмотрим систему, в которой
№ = (1, 0).
В этой системе
^肉=仅$), e；,2(k) = (0, е-(k)),(3.198)
где
ej 2 (女)• k = 0.
Из (3.193) и (3.198) следует, что 生(山)и а^2 (^) представляют собой соответственно продольную и поперечные компоненты
58
A (左)，а а。(В) является фурье-компонентой скалярного потенциала.
Мы будем предполагать, что е【,2(к)—вещественные векторы. Из (3.190), (3.192) и (3.193) получаем
з
他)［以电eт +6(-田小勺以，(3.199)
где 以(一女)=a^{k).(3.200)
Из (3.199) находим, что'
«Х^) = ^хх1 匕£ 同 е! ^Аа (х)办. (3.201)
Подставим далее разложение (3.199) в условие Лоренца (3.177). Получаем
2(分、(左)田骰(田=0.
Учитывая, что
?3々=——kn, e^k — kn, ?i,2女=0, находим отсюда
&з 仅)(团.(3.202)
Получим теперь выражения для энергии и импульса электромагнитного поля. Подставляя (3.199) в (3.188), для энергии поля находим
3
。=-f W肉做肉 g)•产d%(3.203)
7=0
В силу условия Лоренца (3.202) вклады в энергию поля продольных и скалярных компонент потенциала («з* (力)аз (女)и а0*(^)а0(^)) сокращаются. Для энергии электромагнитного поля с учетом условия Лоренца получаем
Р° =『S а；(例毋肉 Kd汰.(3.204)
Очевидно, что величина Р° может принимать только положительные значения.
Далее с помощью (3.188), (3.199) и (3.201) для импульса электромагнитного поля находим следующее выражение:
Р = J 2。「(炒 4 (舟 Md%.(3.205)
入= 1,2
Итак, в энергию и импульс электромагнитного поля дают вклад только поперечные компоненты потенциала.
—положительно-частотная и отрицательно-частотная части оператора Аа соответственно.—положительно-частотная и отрицательно-частотная части оператора Аа соответственно.Далее из трансляционной инвариантности следует, ратор 4a(%) удовлетворяет соотношению[Ла(х), P^]=id^Aa(x), где Рз ——оператор энергии-импульса. Подставляя в (3.208), получаем[& 但)，%1 = %a人他)；Перестановочные соотношения для операторовДалее из трансляционной инвариантности следует, ратор 4a(%) удовлетворяет соотношению[Ла(х), P^]=id^Aa(x), где Рз ——оператор энергии-импульса. Подставляя в (3.208), получаем[& 但)，%1 = %a人他)；Перестановочные соотношения для операторовчто опе-что опе-(3.208)(3.207)(3.208)(3.207)(3.209)(3.209)耿他)и耿他)иа九宀(々)могут быть получены из канонических перестановочных соотношений (3.182). Используя (3.201) и учитывая, что п(х =а九宀(々)могут быть получены из канонических перестановочных соотношений (3.182). Используя (3.201) и учитывая, что п(х ==—0% находим[6 (田,涼,侬)]=-i gxx，J Ndf 崎:e-i "x&. Отсюда получаем[外(田，。亡(勿)]=-gii/3 (k - k’).Аналогично имеем=—0% находим[6 (田,涼,侬)]=-i gxx，J Ndf 崎:e-i "x&. Отсюда получаем[外(田，。亡(勿)]=-gii/3 (k - k’).Аналогично имеем(3.210)(3.210)Перейдем теперь к теории квантованного электромагнитного поля. В квантовой теории 4a(%)— оператор, удовлетворяющих уравнению
—положительно-частотная и отрицательно-частотная части оператора Аа соответственно.
—положительно-частотная и отрицательно-частотная части оператора Аа соответственно.
Далее из трансляционной инвариантности следует, ратор 4a(%) удовлетворяет соотношению
[Ла(х), P^]=id^Aa(x), где Рз ——оператор энергии-импульса. Подставляя в (3.208), получаем
[& 但)，%1 = %a人他)；
Перестановочные соотношения для операторов
Далее из трансляционной инвариантности следует, ратор 4a(%) удовлетворяет соотношению
[Ла(х), P^]=id^Aa(x), где Рз ——оператор энергии-импульса. Подставляя в (3.208), получаем
[& 但)，%1 = %a人他)；
Перестановочные соотношения для операторов
что опе-
что опе-
(3.208)
(3.207)
(3.208)
(3.207)
(3.209)
(3.209)
耿他)и
耿他)и
а九宀(々)могут быть получены из канонических перестановочных соотношений (3.182). Используя (3.201) и учитывая, что п(х =
а九宀(々)могут быть получены из канонических перестановочных соотношений (3.182). Используя (3.201) и учитывая, что п(х =
=—0% находим
[6 (田,涼,侬)]=-i gxx，J Ndf 崎:e-i "x&. Отсюда получаем
[外(田，。亡(勿)]=-gii/3 (k - k’).
Аналогично имеем
=—0% находим
[6 (田,涼,侬)]=-i gxx，J Ndf 崎:e-i "x&. Отсюда получаем
[外(田，。亡(勿)]=-gii/3 (k - k’).
Аналогично имеем
(3.210)
(3.210)
□ k=0.
(3.206)
Из (3.206) следует, что оператор 4a имеет вид
Аа (х) =4以+)(х) +Аа^ (х), где
3)
&(+)(х)=/熊2 公他)Z®e-%3 / 入=0
3
(3.207)
然9⑴=J /2或(e)ei (田小既叁
入=0
(3.211) оператора(3.211) оператора(3.212)(3.212)
(3.211) оператора
(3.211) оператора
(3.212)
(3.212)
[% 他)，av (^)] = 0.
Далее из классического выражения (3.203) для энергии-импульса электромагнитного поля получаем
R = - J Z a「(用％ (田g持兴.
х=о
Нетрудно проверить, что перестановочные соотношения (3.210) и (3.211) согласуются с полученными из трансляционной инвариантности соотношениями (3.209), если для оператора энергии-импульса принять выражение (3.212).
60
Отметим, что в правую часть перестановочных соотношений (3.210) входит тензор g 九入. Таким образом, коммутатор [а0 (左)， До+ (力')] отличается знаком от коммутаторов [耿禎)，耿一(女)],九=1, 2, 3.
Оператор 4a(%) удовлетворяет уравнению Даламбера (3.186). Для того чтобы имели место уравнения Максвелла, мы должны, следовательно, потребовать, чтобы выполнялось условие Лоренца. Очевидно, однако, что нельзя потребовать обращения в нуль оператора йаАа.
Условие Лоренца в квантовой теории было сформулировано Ферми, а также Гупта и Блейлером. Потребуем, чтобы для любого вектора |Ь〉, описывающего состояние квантованного электромагнитного поля, имело место условие
Оа 4 a(+)|Ь〉= 0・(3.213}
Из (3.213) путем эрмитова сопряжения находим
〈bldc^a ㈠=0.(3.214)
С помощью (3.213) и (3.214) получаем
^\даА^\Ьу^.(3.215)
Таким образом, если условие (3.213) выполняется для любых векторов, описывающих состояние квантованного электромагнитного поля, то все матричные элементы оператора 己^力口 обращаются в нуль. Из (3.187) и (3.215) следует, что для матричных элементов оператора 户却 имеет место уравнение Максвелла
九@1f邛|6〉= 0.
Построим теперь систему векторов, описывающих состояния квантованного электромагнитного поля. Из (3.207) и (3.213) получаем
з
2 做肉(е' (期 k)\ b)= 0.(3.216}
Используя (3.203), отсюда находим, что для любого вектора состояния имеет место
(doGfe)—&з(3) |Ь〉= 0・(3.217)
Далее нетрудно показать, что не существует такого вектора, для которого aQ(k) |&>=0. Действительно, используя перестановочное соотношение
[аО (女)，а0丄(氏)]=-6 (k-k'),
получаем
屮门切闺^2))+(k0+但)/闺^ I切一
-(J / (灯广肉d女m+ (J 4 (田广他)d噴[6))=
=一(匕|6〉J I?闺|4瓦(3.218)
где /(к)—произвольная функция к. Если ао(^)|Ь〉=О, то второй член в левой части соотношения (3.218) исчезает и мы приходим к противоречию [в левой части соотношения (3.218) —положительная величина, а в правой — отрицательная]. Таким образом, в принятой нами схеме квантования для любого вектора состояния
a0(々)|ь〉*0.
Из (3 217) следует также, что
аз 优)|Ь〉，0・
Найдем теперь среднее значение оператора энергии-импуль- са R Имеем
eI/s欧优)以便)+&一肉4(用一
—W (团 a0 (E)'\ a£h A.(3.219)
Далее из (3.217) находим, что
<b\ar(k)a3(k)\b} = <b\a^(k)aQ(k)\b}.(3.220)
С помощью (3.219) и (3.220) для среднего значения оператора энергии-импульса Ра получаем выражение
e|P“|b〉=《j S а、+ ® а№ h ¥h 6〉.(3.221)
Итак, в силу условия Лоренца в энергию и импульс электромагнитного поля дают вклад только фотоны с поперечными поляризациями 硝 伍)и e2(k). Вклады в (Ь\Ра\Ь) фотонов с продольной вз (山)и скалярной ^о(^) поляризациями взаимно сокращаются.
Обозначим |0) вектор состояния, в котором отсутствуют фотоны с поперечными поляризациями. Имеем
厶(々)|0〉= 0,九=1, 2.(3.222)
Очевидно, что
〈0|門0〉= 0.
Вектор |0> описывает, следовательно, состояние с равными нулю энергией н импульсом (вакуумное состояние).
62
Гамильтониан электромагнитного взаимодействия имеет вн仄 箔工(尤)=е/а (х)Да(х),
где /а(х) —электромагнитный ток. Рассмотрим оператор- 4以+)(尤).Имеем
з
2或(左)%泣)=2 et他)a>他)+说他)((70(粉一生(电)一 ? =0/=1,2
+ (^з (^) + 直(々))% 住).(3.223)j
Далее с помощью (3.194) и (3.195) получаем
?3a(左)+2俨(左)-ka/kn.(3.224)
Используя (3.207), (3.223) и (3.224), находим, что
』(-)(%) =А^(х) +0А㈠(х) +L (х).(2.225)
Здесь
"(-()=「*』6他)%、他)执，, / = 1,2
Л(+>(л) = i f^ —а3(й)е~! ^^k,I (3.226}
丄。)=/&60(电s他)一4仅))e-厶23巫
Аналогично получаем
在㈠⑶=小Г(一)(x) +认(一)⑴ +L*(x),(3.227)
где
A"㈠⑴=J % 2 4肉以(舟』-
";=1,2；(3.228)
⑴=—i J必^或他)f kx^k. I
Мы покажем в дальнейшем, что S-матрица представляет собой сумму нормальных произведений операторов поля, т. е. сумму таких произведений, в которых все операторы уничтожения располагаются справа от операторов рождения При вычислении матричных элементов〈b'|S|b$ операторами уничтожения естественно действовать направо на вектор |Ь〉， а операторами рождения ——налево на вектор 〈Ь'|. В силу условия- Лоренца
丄(х)|Ь〉= 0,<д/|Л^(х)=0.
Таким образом, члены L (х) и Л^\х) в выражениях (3.225) и (3.227) могут быть опущены. В силу калибровочной инвариантности могут быть опущены также производные 0А(+)(%) и dA㈠(尤).Итак, в S-матрице следует учесть только поперечную часть оператора электромагнитного поля (т. е. ту часть» в которую входят операторы рождения и уничтожения фотонов ■с поперечными поляризациями).
Перейдем теперь окончательно к построению системы векторов, описывающих возможные состояния квантованного электромагнитного поля. На вектор состояния вакуума, удовлетворяющий условиям (3.222), будем действовать операторами 以+ 仅)(X=l, 2, 3, 4). Нетрудно видеть, что операторы 5(左) 五 aQ+(k) могут входить при этом только в комбинации а3+(й)— а。十(^). Действительно, пусть |。〉一 некоторый вектор состояния, удовлетворяющий условию Лоренца (3.217). Рассмотрим вектор
|优〉=(aaa+(F)+pa3^(^)) |a〉，
где а и р — параметры. Потребуем, чтобы вектор |а'〉удовлетворял условию Лоренца. Имеем
(% 优)一a3他))(Q%十(紹)+0аз+(肥))1b〉=
=[(do (k)-a3(々))，(Q。0~(左/) +
+Вазт(^))]|Ь〉= -(а+В)6(к-к)|Ь〉・
Итак, вектор |a'〉удовлетворяет условию Лоренца, если р== =——а. Рассмотрим теперь матричный элемент
〈b|S|a>
где |az>= (ао+(й)—аз*(А)) |а>, |а〉и |&>—любые векторы, удовлетворяющие (3.217). Как мы видели, в S-матрицу входят операторы Д1Г, коммутирующие с a^(k) и a^(k). Имеем
(b\S\a^ = (b\(а^ (k)—a^(k))S\ay=Q.
Аналогичным образом получаем
〈a1S|b〉=〈a| (%优)一〃3(^))S|b〉=
= <a|S(a0(k) —аз优))|b〉= 0.
Итак, матричные элементы S-матрицы обращаются в нуль, если начальный и (или) конечный векторы состояния содержат операторы а0~——аз十.Это означает, что в силу калибровочной инвариантности и условия Лоренца фотоны могут обладать только поперечными поляризациями. Векторы, описывающие 64
состояния квантованного электромагнитного поля, имеют в общем случае вид
I总(方щ，Zn)…孔(々1,入))=
мa% (歸)…a^i 他m)…A (々i)…at(耳)I。〉,(3 229)
〃(左疝入m)〃(匕,k)
где индексы ki, Xm могут принимать значения 1, 2. Вектор \n(km, km)…孔(々I,九J〉описывает n(k^ kf) квантов с импульсом &I и поперечной поляризацией Zi, .., n(kmi km) квантов с импульсом km и поперечной поляризацией Хщ. '
.6. Квантованное векторное поле
В этом параграфе будет рассмотрено поле массивных нейтральных векторных частиц. Как обычно, начнем с классического случая. Рассмотрим классическое поле, описываемое вещественной функцией Ва(х) Будем предполагать, что все компоненты поля Ва удовлетворяют уравнению Клейна — Гордона
(□ + W) Ва = 0.(3.230)
Предположим также, что поле Ва удовлетворяет условию 0© = 0(3.231)
В силу (3 231) только три компоненты поля В. являются независимыми. Это отвечает тому, что в квантовой теории квантами поля 5a являются частицы со спином 1.
Уравнение (3.230) и условие (3.231) могут быть получены из лагранжиана
= — ~卜尸“з 尸吟 + -у 加空/"，(3.232)
где
/3 =恋与一%纥・(3-233)
Действительно, имеем
哥=一F汽 驚=后宙•(3.234)
Отсюда уравнение поля имеет вид
冉尸3十毋83 = 0.(3.235)
Это уравнение носит название уравнения Прока. Дифференцируя (3.235) по 風 получаем (3.231). Из (3.231), (3.233) и (3.235) следует уравнение Клейна — Гордона (3.230).
5—691065
Из общего выражения (2.49) для тензора ^?нергии-импульса векторного поля 加 получаем
T^—F^d^—S^(3.236)
Вектор энергии-импульса равен
% = j 咽х.(3.237)
Далее из (3.230) следует, что разложение Фурье поля Ва(х) имеет вид
跳(х) = j 储(民2q) e-i(*°-qx)+ 现-)(q) ej ^х°+ч*))對，(3.238)
Заменяя во втором члене этого выражения q-^—q, получаем
纥⑴=卜力(纥(7) eт " + 纥(-7) ei")對. (3.239)
Здесь
ВДд^В^Ч^ & (_幻^①一乂一0
—комплексные функции переменной q. Учитывая, что 3仪(尤)一 вещественная функция, имеем
BaD=B『(q).(3.240)
Подставим теперь разложение (3.239) в условие (3 231). Получаем
严 8a(0)=0.(3.241)
Далее введем три вещественных ортогональных вектора 外(д), удовлетворяющих условию
е/(«)严=0, Z=l, 2, 3.(3.242)
Из (3.242) следует, чти е%(«)——пространственноподобные векторы. Таким образом, можно положить, что
е”0)е%) = —九,.(3.243)
Для вектора В(«), удовлетворяющего условию (3.241), имеем з
4 (“ = W 入(S е： (g).(3.244)
Подставляя (3.244) в (3.239), получаем следующее фурье-разложение функции 4a (6 .
3
小")=卜V。$e3(g)(人(加-"х+Ь；(亦3)對.(3.245)
Из (3.236),^.237) и (3.245) для вектора энергии-импульса векторного поля получаем следующее выражение:
з
% = f 2 八飞)八(《)彩d‘5(3.246)
入=i
На этом мы закончим рассмотрение классического векторного поля. Перейдем теперь к квантовой теории векторного поля. В квантовой теории 8a (工)——оператор. Для оператора Ва (х) имеем
4(х) = 4( +)(х)+В「(х),(3.247)
где'
_1
S +)(х)=卜％ £ е) (g)八 0)3 /對，I
“}(3.248)
纥с “)= ；V*et ⑺姣(g) e©對 J
b%(q) и b^{q) — операторы. Из (3.242) и (3.247) очевидно, что оператор Ва(х) удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона
(□ + 加2)4(工)=0(3.249)
и условию
д^Ва(х)=0(3.250)
(либо уравнению Прока).
Для операторов b九(«) и b九+(«) постулируются следующие перестановочные соотношения:
办（力玄，⑺]= 2（q-q） 包⑷，入，⑺1"办（力玄，⑺]= 2（q-q） 包⑷，入，⑺1"(3.251)(3.251)
办（力玄，⑺]= 2（q-q） 包⑷，入，⑺1"
办（力玄，⑺]= 2（q-q） 包⑷，入，⑺1"
(3.251)
(3.251)
Оператор энергии-импульса векторного поля может быть получен из классического выражения (3.246) заменой классических величин операторами, расположенными в нормальном порядке. Имеем
з尸3=£ £jt(g也⑷&^«.з尸3=£ £jt(g也⑷&^«.(3.252)(3.252)
з
尸3=£ £jt(g也⑷&^«.
з
尸3=£ £jt(g也⑷&^«.
(3.252)
(3.252)
Далее из трансляционной инвариантности следует, что оператор Ва(х) удовлетворяет уравнению
108%(%)=[灰(%)，рВ].(3.253)
Подставляя в (3.253) разложение (3.248), получаем
例(办声]=«% (q),1
呎(力Р0]= 一力t (办j•
5*67
Соотношения (3.254) нетрудно получить также с помощью (3.251) и (3.252). Таким образом, перестановочные соотношения (3.251) и выражение (3.252) для оператора энергии-импульса согласуются с требованиями трансляционной инвариантности.
С помощью перестановочных соотношений (3.254) (аналогично рассмотренным ранее случаям квантованных полей) нетрудно убедиться в том, что b%(q) и b广(《) являются соответ* ственно операторами уничтожения и рождения частицы с 4-импульсом q. Далее из (3.252) и (3 254) следует, что существует вакуумное состояние с равными нулю энергией и импульсом. Вектор состояния вакуума 10> удовлетворяет условию
ВекторВектор(3.255)(3 256)(3.255)(3 256)ьм«）|0〉=0.
Вектор
Вектор
(3.255)
(3 256)
(3.255)
(3 256)
女（0）I。〉
описывает частицу с импульсом q и массой m = yq2 Индекс 厶 в (3.256) принимает три значения Это отвечает тому, что проекция спина векторной частицы принимает три значения. Рассмотрим систему, в которой q = 0 (систему покоя). Из (3.242) следует, что в этой системе е。入=0. Выберем в системе покоя векторы 8 таким образом, что е3—х, 6人2乂=0, где х — единичный вектор, направленный по q. В системе, где qa— (qQ, q), имеем
еС") = (0, е('")), е(‘)=(皿，一3-史(3.257) '、加 丨q I m /
Можно показать,Можно показать,чточтопри таком выборе осей операторыпри таком выборе осей операторы17ТХ17ТХ
Можно показать,
Можно показать,
что
что
при таком выборе осей операторы
при таком выборе осей операторы
17ТХ
17ТХ
И 匕3十(7) являютсяИ 匕3十(7) являютсяX (&+ ⑷十 i 九一 (《)), j^=(后+ (g) — i 匕2一 (G)
И 匕3十(7) являются
И 匕3十(7) являются
соответственно операторами рождения частиц со спиральностями 1, —1 и 0.
Ясно, что, как и во всех рассмотренных выше случаях, возможные состояния квантованного векторного поля можно получить путем действия операторами рождения на вектор состояния вакуума |0>.
В заключение покажем, что
з
工 £(')е；(9)= —(身厂警)*(3.258)
Действительно, имеем в общем случае
з
』е“(7)eg (g) = ag呻十匕％州，(3.259)
入=1
где а и Ь — константы. Умножим это выражение на g0^ и просуммируем по а и р. Учитывая (3.243), получаем
-3=4叶6仙(3.260)
Далее, умножая (3.259) на q^ и учитывая (3.242), находим
0=а^Ьт2.(3.261)
Из (3.259) — (3.261) без труда получаем (3.258).
「п а в а 4х
ЛЛГРЛНЖИЛНЫ ВЗЛИМОДЕЙСТВИЯ
Локальная калибровочная инвариантность.Электромагнитное взаимодействие
Как было показано в гл. 1, S-матрица определяется гамильтонианом взаимодействия. В этой главе мы рассмотрим различные взаимодействия элементарных частиц. Начнем с простейшего электромагнитного взаимодействия. Рассмотрим в качестве примера поле электронов е(х). Мы видели в § 3.4, что лагранжиан свободного поля электронов имеет вид
20a=g«) (i уа%—щ)^(х).20a=g«) (i уа%—щ)^(х).(4.1)(4.1)
20a=g«) (i уа%—щ)^(х).
20a=g«) (i уа%—щ)^(х).
(4.1)
(4.1)
Очевидно, что лагранжиан ZV инвариантен относительно глобальных калибровочных преобразований
где А — произвольная вещественная константа.
В § 2.4 было показано, что из инвариантности относительно преобразований (4.2) вытекает, что ток
удовлетворяет уравнению непрерывности 0а^?ае=0.Из (4.3) следует, что заряд Q =удовлетворяет уравнению непрерывности 0а^?ае=0.Из (4.3) следует, что заряд Q =(4.3)(4-4)(4.3)(4-4)сохраняется.Рассмотрим ния поля е(х) •сохраняется.Рассмотрим ния поля е(х) •теперь локальные калибровочные преобразова-теперь локальные калибровочные преобразова-然(х) =е'А ⑺е(х),]6(%) = Е(х)еТА ⑺,j然(х) =е'А ⑺е(х),]6(%) = Е(х)еТА ⑺,j(4.5)(4.5)
удовлетворяет уравнению непрерывности 0а^?ае=0.
Из (4.3) следует, что заряд Q =
удовлетворяет уравнению непрерывности 0а^?ае=0.
Из (4.3) следует, что заряд Q =
(4.3)
(4-4)
(4.3)
(4-4)
сохраняется.
Рассмотрим ния поля е(х) •
сохраняется.
Рассмотрим ния поля е(х) •
теперь локальные калибровочные преобразова-
теперь локальные калибровочные преобразова-
然(х) =е'А ⑺е(х),]6(%) = Е(х)еТА ⑺,j
然(х) =е'А ⑺е(х),]6(%) = Е(х)еТА ⑺,j
(4.5)
(4.5)
где Л(х)——произвольная вещественная функщ^Ь Очевидно, что д&е (х) = е"1 л ⑺(Оа—i %Л (х)) У (х).(4.6)
Заменим теперь в свободном лагранжиане ZV поле е(х) штрихованным полем ef (х). Используя (4.5) и (4.6), получаем
2(/=涇(元)[i 俨(%—i д^\(X))—m]е/(x).
Итак, свободный лагранжиан 2J инвариантен относительно глобальных калибровочных преобразований (4 2) и не инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований (4.5). Как видно из сравнения (4.2) и (4.6), это связано с тем, что при глобальных и локальных калибровочных преобразованиях производная 0仪？(尤)преобразуется по-разному.
Инвариантность относительно локальных калибровочных преобразований можно обеспечить, если ввести взаимодействие поля электронов с электромагнитным полем Ла(х). Действительно, рассмотрим выражение
(九+i е Аа(х))е(х)1(4.7)
где е — константа Имеем
Q + i е% ⑴)е (л) = e~iA ⑺ & + i еЛ； (х)) е，(х),(4.8)
где
工＜\) = 4(.\) —十冉 А(х).(4.9)
Таким образом, ковариантная («удлиненная») производная (九+ieDe при локальных калибровочных преобразованиях, включающих как преобразования (4 5) поля е(х), так и преобразования (4.9) поля Ла(х) *, преобразуется так же, как поле е(х) (штрихованная величина получается из нештрихованной умножением на ©济⑺)
Сделаем в свободном лагранжиане SV замену
дае-^(да+1 е Aa)e.(4.10)
В результате приходим к лагранжиану
Zi=g[i 丫《(%+1 е Аа)—т]е,(4.11)
инвариантному относительно локальных калибровочных преобразований (4.5) и (4.9)
Лагранжиан 21 представляет собой сумму свободного лагранжиана поля электронов и лагранжиана взаимодействия полей е(х) и Ла(х). Для того чтобы построить полный лагранжиан рассматриваемой нами системы, к выражению (4.11) нуж-
Поле Л а носит название калибровочного поля
но добавить свободный лагранжиан электромагнитного поля
為=一_F吗(4.12)
где
尸叩=儿(4.13)
—тензор напряженности электромагнитного поля， Очевидно, что тензор 尸》в инвариантен относительно преобразований (4.9).
Инвариантный относительно локальных калибровочных преобразований полный лагранжиан рассматриваемой нами систе- мы имеет следующий вид
2=2°+2「(4.14)
Здесь 宅0=2消+20A 一 свободный лагранжиан, а
2i=—е 产 Аа(4.15)
——лагранжиан взаимодействия. В (4.15)
/а=гуае(4.16)
—электромагнитный ток.
Выражение (4.15) представляет собой классический лагранжиан электромагнитного взаимодействия. Константа е является, следовательно, зарядом электрона *
При получении выражения (4.15) для лагранжиана взаимодействия мн основывались на требованиях локальной калибро- войной инвариантности теории. Отметим, однако, что принцип локальной калибровочной инвариантности не фиксирует однозначно вид лагранжиана взаимодействия. Например, если к лагранжиану (4.15) добавить паулиевский член
2f=-林60叽尸邙
(g — аномальный момент), то при этом лагранжиан останется калибровочно инвариантным. Поскольку в свободный лагранжиан поля электронов входит производная дае, замена (4.10)— это минимум того, что необходимо сделать, чтобы лагранжиан был инвариантен относительно локальных калибровочных пре、 образований. Лагранжиан (4.15) носит название лагранжиана минимального электромагнитного взаимодействия.
Вся имеющаяся огромная совокупность экспериментальных данных, включая данные по прецизионному измерению аномаль、 ных магнитных моментов мюона и электрона и лэмбовского сдвига уровней в атомах, а также данные, полученные при высоких энергиях (до 60 ГэВ) на е+ и ^-коллайдерах, согласуется с (4,15). Принцип локальной калибровочной инвариантности
и минимальности лежит в основе построения современных лагранжианов электромагнитного, слабого (электрослабого) и сильного взаимодействий.
Лагранжианы взаимодействия мюонов, таунов и кварков с электромагнитным полем могут быть получены аналогично (4.15). Для полного лагранжиана электромагнитного взаимодействия лептонов и кварков с фотонами имеем следующее выражение:
①=-2泞叫4% (4.17) где
/Г = S (—1)7丫 Е 丽日 (4.18) /二е, ц, т <?=〃，с, /, d, s, b
——электромагнитный ток лептонов и кварков В (4.17) и (4.18) е——заряд протона, eq——заряд кварка в единицах заряда протона.
Лагранжиан единой теории слабогои электромагнитного взаимодействий
Феноменологическая V—Л-теорияслабого взаимодействия
В этом вводном параграфе мы кратко рассмотрим основные этапы построения феноменологической V — Л-теории слабого взаимодействия. Первый гамильтониан p-распада был построен Э. Ферми в 1934 г. Ферми основывался на гипотезе Паули о существовании нейтрино и предположил, что при р-распаде нейтрона образуется пара электрон — нейтрино (аналогично тому, как при переходе протона с одного уровня на другой образуется у-квант) Гамильтониан p-распада нейтрона
n->p+^+v(4.19)
был построен Ферми по аналогии с гамильтонианом процесса
lp+y・
Если не учитывать сильных взаимодействий, то гамильтониан электромагнитного взаимодействия протонов имеет вид
衣;m = _e/Y%4.(4.20)
Построим вектор из полей р и м. Имеем ру^п. Далее по аналогии с (4.20) предположим, что гамильтониан р-распада является скаляром. Вектор руап должен быть, следовательно,
свернут с вектором, построенным из полей ^ и v. Предполагая, что в гамильтониан процесса (4 19) не входят производные полей, для гамильтониана p-распада получаем следующее выражение-
* = G^ne'^v + h.c.,(4.21)
где G — константа, которая носит название константы Ферми. Подчеркнем существенное различие между гамильтонианами (4.20) и (4.21). Гамильтониан (4.20) описывает взаимодействие фермионов и векторных бозонов, гамильтониан (4.21)—взаимодействие четырех фермионов. Это различие приводит к тому, что константы end имеют разные размерности. Именно, в используемой нами системе единиц 九=е ~ 1 заряд е безразмерен, а константа G имеет размерность М-2.
Отметим, что вскоре после работы Ферми была выдвинута гипотеза (О Клейн, 1938 г.) о том, что ответственный за В-рас- паз гамильтониан представляет собой гамильтониан взаимодействия фермионов и векторных бозонов и имеет вид
3^i=g(pyan-]-vyae) 0z+hc(4.22)
Четырехфермионное взаимодействие Ферми эффективно возникает при этом во втором порядке теории возмущений по g, а константы G и g связаны соотношением
G=g2/m2w,
где mw — масса В^-бозона.
Продолжим обсуждение теории p-распада. В 1956 г было показано (By и др.), что в процессе p-распада не сохраняется четность. Это открытие означало, что гамильтониан р-распада представляет собой сумму скаляра и псевдоскаляра. При этом из данных By и др. следовало, что скаляр и псевдоскаляр характеризуются константами, имеющими один и тот же порядок.
Первый важный шаг в построении нового гамильтониана p-распада был сделан в 1957 г. Ландау, Ли, Янгом и Саламом, выдвинувшими гипотезу двухкомпоиентного нейтрино. Если масса нейтрино равна нулю, то в операторы поля
входят соответственно операторы уничтожения нейтрино с отрицательной (положительной) спиральностью и операторы рождения антинейтрино с положительной (отрицательной) спиральностью (см. приложение В). Ландау, Ли, Янг и Салам предположили, что в гамильтониан p-распада входит оператор vl
(либо vr) • Ясно, что в этом случае в p-распаде четность не сохраняется .
Уже в 1957 г. гипотеза двухкомпонентного нейтрино была подтверждена опытом (Гольдхабер и др.). При этом было показано, что нейтрино ——частица с отрицательной спиральностью (это означает, что в гамильтониан входит оператор vl).
Следующий решающий шаг в построении гамильтониана слабого взаимодействия был сделан Фейнманом и Гелл-Маном, Маршаком и Сударшаном в 1958 г Эти авторы предположили, что в гамильтониан слабого взаимодействия входят только левые компоненты всех полей фермионов.
Рассмотрим выражение
互。”，(4.23)
где О» ——либо 1 (скаляр), либо 7a (вектор), либо аа^ (тензор), либо уа?5 (псевдовектор), либо 75 (псевдоскаляр). Имеем
ё,ОЧ, =z匕卫о：匕丄V.
L 厶 22
Далее очевидно, что
12!^0:与* = 0, если о； 1;戸，%;
1 - ?5 v®v 1十Y5 1+75、产1 + Y5
Таким образом, единственной возможной величиной вида (4.23) является ток
%丫— (1 +ув) V.
Если принять гипотезу Фейнмана и Гелл-Мана, Маршака и Сударшана, то для гамильтониана четырехфермионного взаимодействия фермиевского типа получаем следующее выражение:
■^/ = jT=4(pernj ^XVL) + h. с.(4.24)
Наряду с p-распадом нейтрона слабыми процессами являются также такие процессы, как 卩-захват
从一+0f〃+"中(4.25)
распад пиона
п十f w十T-Vu(4 26)
и другие аналогичные процессы. По аналогии с (4.24) для гамильтониана этих процессов примем выражение
优> =К%"不人)(呪Y/心)+ h. c.,(4.27)
Гамильтонианы 非в й 非卩 удовлетворяют гипотезе р, — е-унн- версальности, выдвинутой впервые в общей форме Понтекорво. Именно, выражение (4.27) получено из (4.24) путем замены
W и Ve->% Одна и та же константа Ферми G входит в оба выражения. Отметим, что с гипотезой ц — ^-универсальности согласуются все имеющиеся в настоящее время данные.
Полю нейтрино, которое входит в гамильтониан (4.24) вместе с полем электронов, и полю нейтрино, которое входит в гамильтониан (4.27) вместе с полем мюонов, мы приписали соответственно индексы е и ц. Ответ на вопрос о том, различаются ли электронное ve и мюонное vu нейтрино, был дан в 1962 г. В первом эксперименте с нейтрино высоких энергий, выполненном по предложению Понтекорво и Маркова на брукхэвенском ускорителе [Ледерман, Стейнбергер и др.], было показано, что электронное и мюонное нейтрино — разные частицы.
Наряду с такими процессами, как (4.19), (4.25) и (4.26), слабым процессом является также распад мюона
|л^—^s^H-Ve-l-Vix.(4.28)
Если предположить, что в гамильтониан ц-распада входят левые поля мюонов, электронов и нейтрино, то гамильтониан процесса (4.28) принимает вид.
兆/ = К 4 (%LY %)(也丫/必)+ h. с.(4.29)
Все имеющиеся данные по изучению процесса (4.28) согласуются с (4.29). При этом из данных опыта следует, что константа G' совпадает с константой Ферми G. Эта универсальность взаимодействий, обусловливающих различные слабые процессы, позволила объединить (4.24), (4.27) и (4.29) в единый《токХток》- гамильтониан
鸡=j/=广忆(4-3。)
Здесь
广=2(\^eL + 虱丫％ + PLCni)
——заряженный слабый ток. Очевидно, что недиагональные члены выражения (4.30) совпадают соответственно с (4.24), (4.27) и (4.29).
До сих пор обсуждались только такие слабые процессы, в которых странность адронов не изменяется. Изучение распадов странных частиц
^^л;0+^++veт
九十6-十"2,自一f A + 2一+Ve
и др позволило уже в 50-е годы сформулировать следующие основные правила, которым подчиняются слабые процессы такого типа:
1・ |AS|W1,
где \S = Sf——Sf, St и Sf ——полные странности начальных и конечных адронов. Это правило запрещает такие процессы, как
三一一> 几+ ?- + ▼&,(4.3 1)
三Р+兀 一+2一产。(4.32)
и др. Отметнм, что из данных последних опытов по поиску распадов (4.31) и (4.32) следует, что верхние границы отношения вероятностей распадов (4.31) и (4.32) к полной вероятности распада Е_-частицы соответственно равны 3,2- Ю-3 и 4-10-4.
2. AQ=AS,
где AQ=Q『—Q，，Q『и Q» — суммарные заряды конечных и начальных адронов (в единицах заряда протона). Это правило запрещает такие распады, как
^^n+e^+vet(4.33)
^->Л+4-л+Н~^~+^е(4.34)
Таблица 1. Квантовые числа кварков. [6 — барионный заряд, S — странность,
丁3— прдекция изоспинаt Q — Т3 + -—- (6 + + S)— электраческин заряд]
и др. Из данных опыта следует, что относительные вероятности этих распадов соответственно меньше 5-10-6 и 1,2-10-8.
Слабый адронный ток, в который входит как член, не изменяющий странность адро-
Кварк
в
Тз
S
Q
辽
1/3
L2
0
2/3
d
1/3
—1 2
0
一1/3
нов, так и член, изменяющий странность адронов на единицу, был построен Кабнббо
s
1/3
0
—1
-1/3
[1963 г.]. Кабиббо основывался на соображениях 51/(3)-симметрии. Построим ток Кабиббо из полей u-, d- и s-кварков. Квантовые числа кварков приведены в табл. 1. Принимая гипотезу Феймана и Гелл-Мана, будем предполагать, что ток строится из левых компонент полей кварков. Построим ток с AQ= 1 (заряженный слабый ток). Из полей u-, d- и s-кварков могут быть построены только следующие два члена с AQ= 1:
2〃工丫“£ и 2uLyasL.(4.35)
Очевидно, что первый член не меняет странность'(AS=0); второй меняет странность на единицу (AiS=l)・ Кабиббо предположил, что слабый адронный ток представляет собой линейную комбинацию токов (4.35) с коэффициентами, сумма квадратов которых равна 1. Ток Кабиббо имеет, следовательно, вид
/ca = 2[cos dc^LyadL+sin %匠丫旳工].(4 36)
Параметр 0с носит название угла Кабиббо.
Если предположить, что ток jca в сумме с лептонным током входит в токХток-гамильтониан (4.30), то при этом могут быть описаны имеющиеся экспериментальные данные. Из данных современных опытов следует, что
sin 0с=О,231 ±0,003.
С учетом тока Кабиббо токХток-гамильтониан может быть записан следующим образом:
非/=^产d+第凡(4.37)
где 施『а и 非『“а представляют собой соответственно сумму не- диагольных и диагональных членов гамильтониана:
现即=為:4(%丫a) &%气)cos % +
十备4 (E〃y%J (%丫/以)十昼 4 (%乙丫%" (£%%) sin % + •••，
(4.38)
能；=备4 &△"%) (%丫/")+ 考(%Y"%)(刃Y*J cos29c 十
(4.39)
Гамильтониан 施nd ответствен за p-распад, р,-распад, распады обычных и странных частиц, нейтринные процессы и др.
Если имеет место взаимодействие 非/&, т0 становятся возможными такие упругие процессы, как
Ve+e-^e+e.(4.40)
Отметим, что в то время, когда создавалась токХток-теория, экспериментальной информации о процессах, за которые ответствен гамильтониан 非* практически не было. Впоследствии выяснилось, что слабые процессы типа (4.40) действительно имеют место. Однако, как оказалось, в матричные элементы таких процессов помимо заряженных токов дают вклад еще и нейтральные токи, представляющие собой новый тип слабого взаимодействия (см. п. 4.2.4).
Наряду с теорией четырехформионного токХток слабого взаимодействия в литературе 50——60-х годов широко обсуждалась теория заряженного промежуточного векторного бозона. В соответствии с этой теорией фундаментальным слабым взаимодействием является взаимодействие фермионов и заряженных векторных бозонов. Лагранжиан слабого взаимодействия имеет при этом вид
4 金广％ 亠 Ас.,(4.41)
где Wa — поле заряженных векторных частиц Если справедлива теория промежуточного бозона, то токХток-гамильтониан (4.30) описывает слабые процессы с виртуальным М-6озоном (W является переносчиком слабого взаимодействия). Гамильтониан (4.30) эффективно возникает из (4.41) во втором порядке по g при условии, что квадрат массы 取-бозона много больше квадрата его виртуального импульса. Константа Ферми связана при этом с константой g соотношением
g2
v~i8嗚，
где mw — масса 取-бозона.
На этом мы закончим весьма конспективное изложение феноменологической V — Д-теории. В заключение сделаем несколько замечаний о дальнейшем развитии теории. Запишем заряженный слабый ток в следующем виде-
广=2(扈(&+%'% +%“广&),(4.42)
где
d^ = cos 8〃匚 + sin HcSl.(4-43)
Как видно из (4.42), поля лептонов и кварков симметрично входят в заряженный ток [только левые компоненты, одни и те же коэффициенты перед лептонными и кварковым членами, 78
если ввести кабиббовскую комбинацию, (4.43) полей кварков]. Имеется, однако, существенное различие между лептонными и кварковым токами. Именно, в (4.43) входят два лептонных члена и только один кварковый. Это связано с тем, что при построении (4.43) предполагалось, что в природе существуют четыре лептона и три кварка.
Уже в 1964 г. предлагалось устранить асимметрию между лептонным и кварковым членами [Бьеркен и Глэшоу]. Для этого необходимо было предположить, что существует четвертый кварк с зарядом 2/3 (он был назван очарованным и обозначен с) и что в слабый ток поле cL входит вМесте с комбинацией
st — — sin 坛厶 + cos(4.44)
ортогональной кабиббовской комбинации (4.43). Ток
/GIM = ~C[：^SL(4」3丿
носит название тока Глэшоу, Иллиопулоса и Майани. Если заряженный кварковый ток имел вид (4.36), то это приводило бы, как было показано Глэшоу и др., к изменяющему странность нейтральному току [вида (dLyasL~]-SLyadL)sin Qccos 0с]. С другой стороны, из данных опыта следовало, что такого тока не существует (запрет распада ^+->л+vv и других аналогичных процессов). Если к току ]с добавить ток /gim> то изменяющего странность нейтрального тока не возникает.
Как хорошо известно, в 1965 г. очарованные частицы были открыты. Их детальное изучение показало, что ток 启im позволяет описать данные опыта. Итак, для случая четырех лептонов и четырех кварков заряженный ток имеет следующий вид:
/а = 2 &「【、£•+ ^my"因 J- ue^db + Cl'C^l]- (4.46)
Калибровочная инвариантность Янга—Миллса
Мы переходим теперь к изложению единой теории слабого и электромагнитного взаимодействий Глэшоу—Вайнберга — Салама (в дальнейшем — стандартной теории). Для того чтобы объединить слабое и электромагнитное взаимодействия, необходимо предположить, что слабое взаимодействие (так же как и электромагнитное взаимодействие) представляет собой взаимодействие фермионов и векторных бозонов и что в основе теории лежит локальная калибровочная инвариантность. Как мы видели в предыдущем параграфе, промежуточные бозоны, ответственные за обычные слабые процессы (такие как распад нейтрона, распад пиона н др.), должны быть заряженными частицами.
Теория электрослабого взаимодействия может быть построена, следовательно, на основе калибровочной теории, векторные калибровочные поля которой включают поля заряженных частиц. Такая калибровочная теория была создана Янгом и Миллсом в 1954 г. Мы начнем с ее изложения.
Предположим, что спинор
является дублетом группы SU (2). Свободный лагранжиан поля дается выражением
4 =@0丫a一 m)屮，
где М — общая масса частиц — квантов полей *⑴ и р(т)Очевидно, что лагранжиан 2о инвариантен относительно глобальных SU (2)-преобразований
У(” = е‘ 2 屮(х).(4.47)
Здесь
з
т左 一матрицы Паули; А左一вещественные параметры.
Построим теперь лагранжиан, инвариантный относительно локальных калибровочных SU (2)-преобразований:
М (%) =U (%)叩(％),(4.48)
где
i 4" тА (х) =е
А左(％)—произвольные вещественные функции переменной х. Для того чтобы упростить выкладки, будем, как обычно, рассматривать инфинитезимальные преобразования [т. е. будем предполагать, что А* (х) —бесконечно малые, и во всех разложениях по /＞左(％) будем удерживать линейные члены]. Имеем
U(/)= 1 + i — тА (л),
2(4.50)
(/) = 1 — i~ тЛ (л).
Далее получаем
触(Х) = U—‘ (Х) и (Х)。夕一 (х) У (Л)=
=/«)仏—£必、(х))屮，(0.(4.51)
Из (4.48) и (4.51) очевидно, что свободный лагранжиан 2о не инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований. Для того чтобы построить теорию, инвариантную относительно калибровочных преобразований (4.48), по аналогии с электродинамикой рассмотрим
(da + i^T тА°(х))屮(х),
где А^{х) (々=1, 2, 3)—векторные поля; g ——безразмерная константа. Имеем，
(G + ig/pAJx))屮(х)=
=⑴U⑴仏十i g£ 入(x)丿U-1⑴门х).(4.52)
Далее находим
U (к) ~ 1cAet (к) О— (х) = ~ тАЛ (л) + i -^- [тЛ (入)，g тА工⑴]=
tAq (x)1" т(A “I义 Aa (a)).(4.33)
С помощью (4.52) и (4.53) получаем
(厶十 ig 4~тАа "))屮(к) = U—&) (@а + ig£ тА；(х))и (х),
(4.54)
где
А； (%) - Аа (л) 一 -L @ а。) 一 А (х) X А。(а).(4.55)
g
Итак, величина (冉 + i g -^- rAaj 屮 преобразуется так же,
^а + — — тА« 丿屮
в свободном лагранжиане приводит к лагранжиану, инвариантному относительно калибровочных преобразований (4.48) и (4.55). Поле А& преобразование которого дается (4.55), носит название калибровочного. Из (4.55) следует, что при глобальных калибровочных преобразованиях (A=const) поле Аа преобразуется как изовектор.
Построим теперь свободный лагранжиан поля Аа. По аналогии с электродинамикой рассмотрим тензор
Ga₽ = ^A —^а'Ga₽ = ^A —^а'(4.56)81(4.56)81
Ga₽ = ^A —^а'
Ga₽ = ^A —^а'
(4.56)
81
(4.56)
81
Используя (4.55), получаем
G% = Gw — А X Ga3 — длА X А^ + dQ X Аа< (4.57) Из (4.57) очевидно, что g/G”* # 6叩6吗
Для того чтобы построить калибровочно-инвариантный лагранжиан поля Аа} к GaB необходимо добавить такой тензор, при преобразовании которого возникали бы (с противоположными знаками) два последних члена в (4.57), из-за которых лоренц-скаляр GapGa^ не инвариантен относительно преобразований (4.57). Рассмотрим тензор
M“B = gAaXAp.
С помощью (4.55) получаем
Ма§ = МаВ — @аА 义 Ар 一 Аа X &В А — g (А X Аа) X Ар —
— gAjX(AXAJ.(4.58)
Далее, используя тождество Якоби
аХ (ЬХс) +сХ (аХЬ) +ЬХ (сХа) =0
(а, b и с — произвольные векторы), находим
а. Х(ЛХ AJ 十 Ав X (А= X Л) = А X (А.X А/.(4.59)
Из (4.58) и (4.59) следует, что
М^в = Мар — @аАX Ар — АхX@вА — АХМа* (4.60)
Второй и третий члены в правой части соотношения (4.60) совпадают с последними двумя членами в правой части соотношения (4.57) Таким образом, тензор
F。b = 0盘8 一 0小В一gA^ X ар(4.61)
преобразуется как изотопический вектор:
F；s = F叩一А X F叩.(4.62)
Из (4.62) очевидно, что
F；sF“B' = %F叩.
Таким образом, лоренц-скаляр Fa^FaB не меняется при локальных калибровочных SU (2)-преобразованиях. Свободный лагранжиан калибровочного векторного поля Аа дается выражением
?。= 一1%尸"(4.63)
Окончательно полный лагранжиан рассматриваемой нами системы имеет вид
(4.64)(4.64)% =屮卜、广(丸 + i g --- TA' - m],一- FaBF"В.
(4.64)
(4.64)
Отсюда для лагранжиана взаимодействия полей ，и Аа получаем следующее выражение:
Хг = — §^л -Lx^_,(4.65)
Итак, замена в свободном лагранжиане поля 中 производной 。口中 ковариантной производной ^а i ^ -^- тАа । 中 однозначно фиксирует вид лагранжиана взаимодействия поля 中 и калибровочного поля Аа. Мы приходим в результате такой замены к минимальному совместимому с калибровочной инвариантностью лагранжиану взаимодействия (4.65). Безразмерная константа g представляет собой при этом константу взаимодействия. Отметим, что в отличие от электродинамики в лагранжиан (4.64) входят члены, описывающие самодействие поля Аа- Эти члены обусловлены нелинейным членом gAaXА₽ в выражении (4.61) для Fap.
Мы закончим этот параграф следующим замечанием. Рассмотрим п спинорных полей G^(^) (々=1, 2, .. , %), взаимодействующих с калибровочным полем Да(х). Калибровочные преобразования полей，左(х) запишем в виде
也(х) = е為 也(а),
где 八々(工)一вещественные функции х. Имеем
@十1a4"))九仆)=6 后 @+ 匕4"))也a).
Здесь
(々=1,2,.. ,%). Отсюда следует, что
А左(х) е^А («V),
где Л(х) — произвольная функция х.
Таким, образом, лагранжиан
£ = £ 国 口 Y" @ + i %/J -国*-十 F^,(f^ 内4 - 1
инвариантен относительно локальных калибровочных /7(1)-преобразований
%(X) = e - 也⑴，
工(大)=Ах (х)—<JaA (л).
Никаких ограничений на константы ek калибровочная U(1)~hh- вариантность не накладывает. Совершенно другая ситуация в случае теории Янга——Миллса Константа взаимодействия g входит в выражение для тензора напряженности F&6 [см. (4.61)]. Это означает, что в случае нескольких дублетов спинорных полей константы взаимодействия этих полей с векторным калибровочным полем Янга — Миллса должны быть одинаковыми.
Хиггсовский механизм генерации масс частиц
Локальная калибровочная инвариантность требует, чтобы массы калибровочных векторных бозонов равнялись нулю. Действительно, нетрудно видеть, что массовый член фотонов 咸人,岁не инвариантен относительно преобразований
Массовый член -^- тдАхАа янг-миллсовского поля Аа не инвариантен относительно преобразований (4.55)*
Масса фотона равна нулю. Это отвечает точной локальной калибровочной теории. С другой стороны, промежуточный бозон должен быть массивной частицей. Единая теория слабого и электромагнитного взаимодействия может быть построена, следовательно, только на основе нарушенной калибровочной инвариантности.
В этом параграфе мы рассмотрим хиггсовский механизм спонтанного нарушения калибровочной симметрии. Этот механизм лежит в основе современной теории электрослабого взаимодействия и представляет собой механизм генерации масс всех частиц (как бозонов, так и фермионов).
Рассмотрим вначале комплексное поле ср(х), лагранжиан которого дается выражением
2 = 0а旷0a 中一V (ф*ф).(4.66)
Здесь
У((pА(p)=一卩2中*中+"(屮*中)2,(4.67)
卩2 и 九—положительные констаты. Используя общую формулу (2.55), для гамильтониана поля 屮 из (4.66) получаем следующее выражение:
箔=00中*00屮+V(p* V(p+P((px(p).(4.68)
Посмотрим теперь, при каких значениях 屮 энергия рассматриваемой нами системы минимальна. Очевидно, что гамильтониан (4.68) достигает минимума при(p=const. Для того чтобы найти минимум 彩，необходимо, следовательно, найти минимум V. Запишем выражение (4.67) в виде
V 件飞)=а (歹中一~^~『一"^.(4.69)
Из (4 69) очевидно, что《потенциал» V имеет минимум только при 入>0 и что минимум достигается при,
|Фо|2 = °2/2,(4.70)
где
02 =卩2/儿(4.71)
Энергия рассматриваемой нами системы минимальна, следовательно, при отличном от нуля значении поля ф из (4.70) получаем
?0 = ^е'я,(4.72)
где а ——произвольный вещественный параметр.
Итак, как видно из (4.72), энергия поля достигает минимума при бесконечно большом числе значений поля tp. Очевидно, что это связано с инвариантностью лагранжиана системы относительно глобальных калибровочных преобразований
q/=6iAq).(4.73)
Минимуму энергии физической системы отвечает, однако, опре- деленное значение ср Имея в виду (4.73), всегда можно положить, что
?о =0//0.(4.74)
Выбирая определенное значение 屮°, мы тем самым нарушаем калибровочную инвариантность теории. Такое нарушение носит название спонтанного А:<.
Вместо комплексного поля (р(х) введем вещественные поля %1(х) И %2(х)・
-?(х)=商+%«) ^产户).(4.75)
Поля %] и %2 определены таким образом, что их《вакуумные》 значения равны нулю. Подставим теперь (4,75) в (4.66) и (4.67). Для лагранжиана рассматриваемой нами системы получаем следующее выражение
% =}汇3% + +少/% 一 告[(0十 A)2 + /г -吁• (4.76)
Выражение (4.76) — лагранжиан двух взаимодействующих вещественных скалярных полей %i и /2- Выделим из этого выражения квадратичные по /1 и /2 члены. Получаем
户(4)= _ 十2加耽J.(4.77)
Член, квадратичный по %2, в лагранжиан (4.76) не входит.
Очевидно, что (4.77)——массовый член поля /ь В квантовом случае (4.76) является лагранжианом поля %卜 масса квантов которого равна
m 厶=У 2加2 = У 2р.}
и поля 2, кванты которого — безмассовые частицы
Подчеркнем, что в исходном лагранжиане член ц2ф*(р не является (при ц2>0) массовым членом и должен быть отнесен к лагранжиану взаимодействия. Если 九>0, то основное состояние системы при этом вырождено (вследствие симметрии исходного лагранжиана), что приводит к явлению спонтанного нарушения симметрии. Физическая система описывается в этом случае вещественными (эрмитовыми) полями %】и %2, основное состояние которых не вырождено. Кванты поля /1 — массивные скалярные частицы, а поля %2 — безмассовые частицы. Отметим, что безмассовые частицы, возникающие в случае спонтанного нарушения непрерывной симметрии, носят название гольд- стоунских частиц.
Предположим теперь, что комплексное поле 屮(工)взаимодействует с векторным калибровочным полем Да(х) (пример Хиггса). Мы покажем, что в результате спонтанного нарушения калибровочной симметрии кванты скалярного и векторного полей приобретают массы. Скалярные гольдстоунские безмассовые частицы при этом не возникают.
Полный лагранжиан рассматриваемой нами системы имеет
вид
% =(冉 一 i g4)r^ + ig^?-V (内)-十 ％尸・(4.78)
Здесь g—безразмерная константа, F^ — daA^—д^Аа, потенциал V дается выражением (4.67). Очевидно, что лагранжиан (4 78) инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований
(4.79)(4.79)歹(х)= dA(*"(x),
(4.79)
(4.79)
儿(л)二 Ал(х)— @аА (%),
g
где Л(х)——произвольная вещественная функция х.
Как и в предыдущем примере, энергия рассматриваемой нами системы минимальна при
I(ро 12=№/2 九=0?/2.
В силу калибровочной инвариантности лагранжиана (4 78) всегда можно положить, что
?。=。//万.(4.80)
Далее запишем поле ср(х) в виде
=(4.81)
где х(х) и 9(х) — вещественные функции х. Функции /(х) и 0(х) определены таким образом, что минимуму энергии рассматриваемой нами системы отвечают %=0 и 9 = 0.
Вследствие локальной калибровочной инвариантности лагранжиана (4.78) фаза функции ①(％) не имеет физического смысла. Ее всегда можно убрать соответствующим выбором калибровки. Это означает, что можно положить
中（х）=中（х）=D + ^ (Х)D + ^ (Х)(4.82)(4.82)
中（х）=
中（х）=
D + ^ (Х)
D + ^ (Х)
(4.82)
(4.82)
Подставим теперь (4.82) в (4.78). Для лагранжиана полей Х(х) л/а(х) получаем
% = "роМ% + £ ? 9十Q2儿^ -十Z (2以+彳尸-■尸邙产，
Как видно из (4.83), лагранжиан системы вк—зчает массовые члены полей % и Аа：
2
Таким образом, в квантовом случае (4.83) является лагранжианом массивных скалярного и векторного - полей Массы квантов скалярного и векторного полей соответственно равны mx—^2Xv2—y2\i и mA = gv.
Обсудим теперь полученные результаты. До спонтанного нарушения симметрии рассматриваемая нами система описывалась комплексным скалярным полем 屮(％) (две вещественные функции) и безмассовым векторным полем 74a (х) (две вещественные функции) Итого рассматриваемая нами система описывалась четырьмя вещественными функциями. После спонтанного нарушения симметрии мы пришли к вещественному скалярному массивному полю %(%) (одна функция) и массивному векторному полю Да(х) (три функции). Степень свободы, которая отвечала бы безмассовому гольдстоунекому полю (в случае, если бы не было калибровочного поля Да(х)), при спонтанном нарушении симметрии трансформируется в дополнительную степень свободы векторного поля.
Рассмотренный в этом последнем примере механизм генерации масс носит название хиггсовского механизма. Скалярную частицу — квант поля %(х) называют хиггсовской частицей. Хиггсовский механизм генерации масс лежит в основе стандартной теории электрослабого взаимодействия, к изложению которой мы теперь переходим.
Теория Глэшоу—Вайнберга—Салама
Феноменологическая V — Д-теория слабого взаимодействия позволяет описать огромную совокупность данных опыта, относящихся к области малых энергий. Любая новая теория слабого взаимодействия должна, следовательно, строиться таким образом, чтобы воспроизводить результаты этой теории.
Теория Глэшоу ——Вайнберга — Салама основана на предпо^ ложении о том, что существуют промежуточные векторные бозоны (в настоящее время в этом нет сомнений ——промежуточные бозоны открыты). По крайней мере часть лагранжиана слабого взаимодействия должна, следовательно, иметь вид (см. п. 4.2.1)
% = - 7^^广吟+ h. с. (4.84)
Здесь 昕仪 ——гя^1е заряженных векторов бозонов; /а ——заряженный слабый ток [см. (4.46)], a g ——безразмерная константа, связанная с константой Ферми G соотношением
Теория Глэшоу ——Вайнберга ——Салама строится вначале для полей безмассовых фермионов и векторных бозонов. При этом предполагается, что имеет место точная локальная калибровочная инвариантность Затем вводятся скаляцные хиггсов ские поля. Калибровочная инвариантность спонтанно нарушается. В лагранжиане возникают массовые члены векторных бозонов, фермионов и хиггсовских частиц. Мы покажем, что теория может быть построена таким образом, что калибровочная инвариантность электродинамики при этом не нарушается (фотон остается безмассовой частицей).
В выражение (4.46) для заряженного тока входят только левые компоненты полей фундаментальных фермионов (лептонов и кварков) Для того чтобы в лагранжиане слабого взаимодействия содержался член (4.84), необходимо предположить, что столбцы
少• ЗА少• ЗА少乜少乜bL /bL /(4.85)(4.85)
少
• ЗА
少
• ЗА
少乜
少乜
bL /
bL /
(4.85)
(4.85)
являются дублетами группы SU (2), а правые компоненты полей фермионов (vzeR, erR, ..., 〃/冗，drR ...) являются синглетами этой группы *. Действительно, свободный лагранжиан полей лептонов и кварков имеет вид
£ = 2 % i 丫％% 丄 2 %/ Y七黑z + 2 ^ 产& + /=e,1i=lZ=e, |i. t
+ 2 % 丫琥v/ +2而 丫a血(4.86)
Локальная калибровочная SU (2)-инвариантность будет обеспечена, если в свободном лагранжиане (4 86) сделать замену
(4.87)(4.87)办％—(Ч + ig-^TAj 也,公% 一 (冉+igg ▲『%,
(4.87)
(4.87)
где A& — триплет векторных полей. Для лагранжиана взаимодействия получаем при этом следующее выражение:
2/ = —gjaAa,(4.88)
где ток 产 дается выражением
з
г=£ 打叫江+ £加广4~叫丿 (4・89)
1=e,同 T尼=1
Выделим из (4.88) лагранжиан взаимодействия фермионов с заряженными векторными бозонами. Имеем
% =(-赤广％ + h・ с. j - g苏理(4.90)
Здесь
广=2 (j： i j务=2工?広广Т.少忆十2 2=
= 2 2 и；｝广忆 + 2(乙丫%2 + гY\2 -Йь^Ье)(4.91)
—заряженный слабый ток,—заряженный слабый ток,полеполезарязаря
—заряженный слабый ток,
—заряженный слабый ток,
поле
поле
заря
заря
женных векторных бозонов. Из сравнения (4.90) и (4 84) за-
ключаем—что в ^ягранжиане (4.88), полученном путем минимальной калибровочной замены (4.87), содержится член, описывающий взаимодействие фундаментальных фермионов и заряженных векторных бозонов и приводящий к эффективному токХток-гамильтониану слабого взаимодействия. Второй член лагранжиана (4.90) описывает взаимодействие фермионов с нейтральными векторными частицами — квантами поля Д3а. Очевидно, что этот член не может быть отождествлен с лагранжианом электромагнитного взаимодействия*. Для того чтобы объединить слабое и электромагнитное взаимодействия в единое электрослабое взаимодействие, необходимо, следовательно, расширить группу калибровочной инвариантности лагранжи
ана.
В основе теории Глэшоу ——Вайнберга — Салама лежит локальная калибровочная группа SU (2)xU (1). Для того чтобы построить теорию, инвариантную относительно этой группы, в свободном лагранжиане полей кварков и лептонов следует сделать замену
@儿一(冉+ i g g 入 + i夕；办&)匕，
恋屮也一(％ 十 i g ； F + i g‘ £ 虱& j %,
d^yiR —f 心 + i g' ~ У*&) V/R, d Jr T
/戸，• / 1(—I) A \'(4.92)
—十 tg — yR Ba)庙
0//? 一 (@a + i g' f 雀问瓦)"，qR = UR, Cr , S,
@a，R I冉十i g'丄施耿，9r=焱，S&方r・ '2/丿
Здесь Ba — калибровочное векторное поле группы U(l); безразмерные константы взаимодействия полей фермионов с векторным полем 8a записаны в виде g‘十必，旦-у yl,
Используя (4.86) и (4.92) для полного лагранжиана полей кварков, лептонов и векторных бозонов, получаем следующее выражение:
% и 工""f f i g £ т\ + '『У^ВЛ^ /=е, |Л,"
3
+ £*"广亿丄 ig"{" тАа + ig，-^虱勺九 + 左=1
+ £ V跟 i 丫"(内+i g，£ 以。)&"R + £ /зY[丸 +
/=% |Л, тN=e, ja, t
+ i g，£ 店"瓦)% + ],浦 丫"(以+ i g' "I-渊“Ba) Qr + q=u, c, t
+]"广仅a+ig，4■而"冲山L.F产一.%尸，
где
% = @А —。八—g А。X А”
%= d/厂书，
Лагранжиан (4.93) инвариантен относительно локальных калибровочных SU (2)xU (1) -преобразований:
i 4~тА (х)~М -у у；'。А (х)
中IE(九)нer?ZL(X)，
(/r(x)) = e/r(；),I (4 95)
A；(x) = A“(a) — 丄。工(x) — A (x) X A“(a), g
友(入)=纥(x)^办\")，
Из (4.93) для лагранжиана взаимодействия фундаментальных фермионов и векторных бозонов получаем следующее выражение:
% = -g、N-g'W^B\(4.96)
где изовекторный ток ja дается выражением (4.89), а
/а = Е yL^'^lL^^lL + 2 yL^kd^kL+
+ 2 уГМ" 2 朮％'r^r + 2 у「沟通q，R. l~e, 口，тq=u, r, fs, b
(4.97)
Требования инвариантности относительно локальной группы U (1) не накладывают никаких ограничений на константы взаимодействия калибровочного поля 占& с фермионными левыми дублетами и правыми синглетами (см. § 4.2). Воспользовавшись этой свободой, можно выбрать эти константы взаимодействия таким образом, чтобы объединить слабое и электромагнитное взаимодействия в единое электрослабое взаимодействие. Действительно, выберем константы ，А, У'е,.… так, чтобы выполнялось соотношение Гелл-Мана — Ни- шиджимы
Q = A十亠勿(4.98)
Здесь Q — электрический заряд (в единицах заряда протона); /з — проекция слабого изоспина на третью ось; у ~ гиперза- 92
ряд*. Из (4., очевидно, что, гиперзаряд дублета равен сумме зарядов верхней и нижней компонент, а гиперзаряд синглета равен удвоенному заряду Имеем
У^ = — 1,此=* ,公°)=。，欣-“ =—2,
С помощью (4.97) и (4.98) получаем, что
(4.99)(4.99)1 .g .em .3丁 /а к 拉一/ a,
(4.99)
(4.99)
где
/Г=工(—1)%，十工(年)乃В+ £ (—_^)7“ /=е, 口，tq^u, с, /q~d, s, b
——электромагнитный ток лептонов и кварков, а /За — третья компонента изовекторного тока [см. (4.89)].
Выделим из выражения (4.96) лагранжиан взаимодействия лептонов и кварков с заряженными векторными бозонами. По
лучаем
纥=(一/亏屮°+h. c.)十芸，(4.100)
где 2% ——лагранжиан взаимодействия фермионов с нейтральными векторными бозонами. Используя (4.99), получаем
呼=-F (个一曲 (4.101)
砂一/77рj?(丿g.=к_0 =川 В.砂一/77рj?(丿g.=к_0 =川 В.Покажем теперь, что в (4.101) содержится лагранжиан электромагнитного взаимодействия. Перепишем следующим образом выражение (4.101):
砂一/77рj?(丿g.=к_0 =川 В.
砂一/77рj?(丿g.=к_0 =川 В.
(4.102)
Далее вместо полей Л3а и 吕仪 введем поля Za и Aat связанные с Д3а и Ва линейным ортогональным преобразованием
z“ =A3a -g・V^ + g'2УёЧ^2■ д3Чg5a-M/+g'2g2+Hz“ =A3a -g・V^ + g'2УёЧ^2■ д3Чg5a-M/+g'2g2+H(4.103)(4.103)
z“ =
A3a -
g・
V^ + g'2
УёЧ^2
■ д3Ч
g
5a-
M/+g'2
g2+H
z“ =
A3a -
g・
V^ + g'2
УёЧ^2
■ д3Ч
g
5a-
M/+g'2
g2+H
(4.103)
(4.103)
Из (4.102) и (4.103) для лагранжиана 2% п^™*чаем следующее выражение:“
w，=gg：-严册一-^ / g2 + g" j№,(4.104)
Pg' + g"2
где
£=2(启(4.105) \ g? + g'2/
Наконец, потребуем, чтобы константы g и g‘ 6blли связаны с зарядом протона е соотношением
(4.106)
Если выполняется (4.106), то первый член выражения (4 104) представляет собой лагранжиан электромагнитного взаимодействия лептонов и кварков. Поле Аа является электромагнитным полем.
Второй член выражения (4.104) описывает взаимодействие лептонов и кварков с нейтральными векторными бозонами Z°. Ток 产а принято называть нейтральным.
Итак, основанный на калибровочной группе SU (2) X U (1) полный лагранжиан минимального взаимодействия лептонов и кварков с Kav7H6poBO4HbiMH векторными бозонами представляет собой сумму трех членов [см. (4.100), (4.104) и (4 106)] Первый член описывает взаимодействие фундаментальных фер* мионов и заряженных векторных бозонов. В этот член лагранжиана входит стандартный заряженный ток, построенный из левых компонент полей лептонов и кварков. Второй член представляет собой стандартный лагранжиан электромагнитного взаимодействия лептонов и кварков. Новым членом лагранжиана является третий член. Он представляет собой лагранжиан взаимодействия лептонов и кварков с нейтральными векторными 2°-бозонами. Объединение слабого и электромагнитного взаимодействий привело, следовательно, к предсказанию существования 2°-бозона и нового класса слабых процессов —процессов, обусловленных обменом виртуальным Z°-6o3ohom и описываемых эффективным гамильтонианом, представляющим собой произведение нейтральных токов.
Нейтральные токи были открыты в ЦЕРН в 1973 г. Через 10 лет, в 1983 г, на р —р -коллайдере в ЦЕРН были открыты 取土- и И°-бозоны. В гл. 10 мы детально рассмотрим целый ряд обусловленных нейтральными токами процессов.
94
Продолжим рассмотрение теории Глэшоу ——Вайнберга —— Салама. Введем следующим образом угол 8w*：
= tE 8
(4.107)
Для величин, лучаем
входящих в выражения (4.104) — (4.106), по-
=sin2 9W,
(4.108)
Mg2十g，万
gsin %•
Окончательно из что лагранжиан
(4.100), (4.104) — (4.106) и (4.108) следует, взаимодействия фундаментальных фермионов
и калибровочных векторных бозонов имеет следующий вид.
｛尸(~2^Г '& " + ' С* )—荻彳焉财—6/Г А、(4.1 09)
где нейтральный ток дается выражением /°а = 2/3а—2sin2 8w严а,
(4 НО)
а константа g ношением
связана с зарядом е и параметром sin 0уг соот-
纟—sin %*
(4.111)
До сих пор
мн предполагали, что имеет место точная ка」и6-
ровочная SU (2)xU (1)-инвариантность. Требования калибровочной инвариантности не допускают введения массовых членов полей калибровочных векторных бозонов и фермионов** Стандартная теория электрослабого взаимодействия основана на предположении о том, что массовые члены лагранжиана возникают в результате хиггсовского спонтанного нарушения симметрии (рассмотренного нами в п. 4.2.3).
Введем поля Хиггса. Стандартная теория строится таким вобразом, чтобы до спонтанного нарушения симметрии полный лагранжиан, включая ту его часть, в которую входят хиггсов- ские поля, был бы инвариантен относительно локальной калибровочной группы SU (2) XU (I). В результате спонтанного нарушения симметрии три векторных бозона (заряженные К± и
* Угол 8w часто называют углом Вайнберга. .
** Очевидно, что массовые члены фермионов не инвариантны относительно группы SU(2) Xt/(1) (левые компоненты полей фермионов входят в дублеты, а правые компоненты являются синглетами)
нейтральный Z°) должны приобрести м *м. Это означает, что три гольдстоунские степени свободы полей Хиггса при спонтанном нарушении симметрии должны перейти в дополнительные три степени свободы 杯土 и Z°. Поскольку исходные поля Хиггса обязаны преобразовываться по определенному представлению группы SU (2) X t/ (1) (для того чтобы можно было обеспечить инвариантность), мы должны, следовательно, предположить, что комплексные поля Хиггса образуют по крайней мере дублет Именно это минимальное предположение делается в стандартной теории.
Итак, пусть поля Хиггса образуют дублет группы SU (2)* ⑴
где ф_и и фо — поля заряженных и нейтральных скалярных бозонов (中Г)— оператор уничтожения частиц с положительным зарядом). В соответствии с (4 98) гиперзаряд дублета ф равен
Лагранжиан хиггсовского поля 屮 имеет вид (см. п. 4.2.3)
2 = *中+%中一0(中上中)，(4.112)
где
V (ф+ф) ——mар+屮+入(中+中)2,(4.113)
卩2KA — положительные константы. Для того чтобы построить лагранжиан, инвариантный относительно калибровочной группы SU (2)xU (1), в (4.112) следует сделать замену
。”一(儿 + i g -- тАа + ig‘ £ Ях) ф (4.114)
(при этом мы учли, что у(р=1). Имеем
X (d11p + (i g /тАа + ig，Y5») <p) — К(<₽+<₽)•(4.115)
Перейдем теперь к рассмотрению хиггсовского механизма спонтанного нарушения симметрии. Из (4.113) следует, что потенциал V (и, следовательно, гамильтониан системы) минимален при
ц2
(屮+ ф)о = —•(4.116)
Из (4.116) с.，ует, что в качестве вакуумного может быть выбрано состояние
}(4.117)
где
。2=卩2/%(4.118)
Далее дублет ф представим в виде
i 貝8(х)/°\
<Р(А)= е? + %(х)，(4.119)
где Эд (х) и х(х)—вещественные функции х (обращающиеся В нуль при ф = фвак)
В силу калибровочной инвариантности лагранжиана (4.115) функции 0й (х) и х(х) не имеют физического смысла и всегда могут быть устранены выбором калибровки
В унитарной калибровке имеем
屮( ° + %(х)]・(4.120)
Подставляя (4.120) в (4.115), для лагранжиана получаем следующее выражение:
+ } (g 十 g'2)乃— ；欲2 (2。+ 方， (4.121) 4J 4
где 叭=-~~ (疋一i 阕一поле заряженных векторных бозонов,
a Z« = --поле нейтральных вектоэных бозонов. Отме-
PgZ+g"*
тим, что при получении (4.121) мы использовав
Ф4* тА^Ва ф ^ ДЗЛВа (и + X)、
Как видно из (4.121), в результате спонтанного нарушения симметрии в лагранжиане возникает следующий массовый член полей W~, Z- и хиггсовских бозонов:
%М =呜勿忆-г 十 啰zZ — -i-m2 犬.(4.122)
Здесь
^UZ g"*
4
啰=+ ® + g'2)呎 a(4-123)
т^= 2加2 = 2 р.2
—соответственно квадраты масс IF-, Z- и хиггсовского бозонов. Массовый член фотона в лагранжиане (4.121) не возник. Таким образом, калибровочная SU {2)\U (1) инвариантность была нарушена таким образом, что электродинамика осталась калибровочно-инвариантной теорией *.
Из (4.123) следует, что массы W- и Z-бозонов связаны соотношением
磕mz磕mz=cos2 8w・=cos2 8w・(4.124)(4.124)
磕
mz
磕
mz
=cos2 8w・
=cos2 8w・
(4.124)
(4.124)
Подчеркнем, что это соотношение основано на предположении о том, что хиггсовские поля образуют дублет. Соотношение (4.124) может быть проверено на опыте. Отметим, что имеющиеся данные согласуются с (4.124).
Итак, мы рассмотрели механизм генерации масс 呼^, Z°- и хиггсовского бозонов. Для того чтобы в результате спонтанного нарушения симметрии в лагранжиане возникли лептонный
Это связано с тем, что в качестве вакуумного было выбрано значение
(g/f—g&) =壬И В.(g/f—g&) =壬И В.В результате в лагранжиан (4-121) входит
(g/f—g&) =
壬И В.
(g/f—g&) =
壬И В.
=Mg^+g历Zy н не входит ортогональная комбинация полей
и кварковый массовые члены, необходимо ввести взаимодействие лептонов и кварков с хиггсовскими бозонами. Лагранжиан этого взаимодействия (до спонтанного нарушения симметрии) должен быть инвариантен относительно преобразований группы SU⑵⑴.
Напомним, что, например, лептонный массовый член имеет вид
■2м =—工+丁哈(4.125)
(me ~ масса электрона и т. д.). Нетрудно убедиться в том, что лептонный массовый член (4.125) генерируется (в результате спонтанного нарушения симметрии) юкавским взаимодействием лептонов и хиггсовских бозонов
-上;二，f 不人乙 м" %R 中十 h. c. (4.126)
(加［，2 — комплексные константы), инвариантные относительно преобразований группы SU(2)XU(1). Действительно, подставляя (4.120) в (4126), получаем
讶=一 £ Т^М1^ l'2R ［1 + 3%) + h. с. (4.127)
Далее, для того чтобы привести первый член этого выражения к виду (4.125), необходимо диагонализировать матрицу М1. Комплексную матрицу М всегда можно привести к диагональному виду с помощью биунитарного преобразования.
Имеем
(4.12&)(4.12&)Ml=V^LmlVRt
(4.12&)
(4.12&)
где Vl и Vr ——унитарные матрицы, а т1 — диагональная матрица, все элементы которой положительны. Подставим теперь (4.128) в (4.127). Получаем
££(4.129)(4.129)
£
£
(4.129)
(4.129)
|=е,ц.т
Здесь
аа〃 =£ (丘)〃 J1L；〃 =£ (丘)〃 J1L；/r = £ (吸)口 1 Zir,/r = £ (吸)口 1 Zir,(4.130)(4.130)/ = /■£，+ 尻/ = /■£，+ 尻=丄m「=丄m「(4.131)(4.131)
а
а
〃 =£ (丘)〃 J1L；
〃 =£ (丘)〃 J1L；
/r = £ (吸)口 1 Zir,
/r = £ (吸)口 1 Zir,
(4.130)
(4.130)
/ = /■£，+ 尻
/ = /■£，+ 尻
=丄m「
=丄m「
(4.131)
(4.131)
Первый член лагранжиана (4；129) представляет собой стандартный лептонный массовый член. Величины mi (/=с, ц, т) являются, следовательно, массами лептонов.
Как видно из (4.130), левые и правые компоненты физических полей лептонов lL и /R (полей лептонов с определенными массами) связаны со штрихованными компонентами rL и Гн, входящими в SU (2) -мультиплеты, унитарными преобразованиями. Таким образом, компоненты lrL и 2'r представляют собой линейные ортогональные комбинации соответственно левых и правых компонент полей лептонов с определенными массами. Такое «смешиванием представляет собой характерную черту современных калибровочных теорий.
Второй член лагранжиана (4.129) описывает взаимодействие лептонов и скалярных хиггсовских бозонов. Как видно из (4.131), константы этого взаимодействия пропорциональны массам лептонов.
Итак, юкавское взаимодействие лептонов и хиггсовских бозонов генерирует массовый член заряженных лептонов, штрихованные левые поля которых являются нижними компонентами дублетов 2/工・ Если массы нейтрино отличны от нуля, то в лагранжиан должен входить также нейтринный массовый член. Для того чтобы в результате спонтанного нарушения симметрии возник массовый член нейтрино, штрихованные поля которых являются верхними компонентами дублетов ifzr, необходимо учесть, что наряду с ф дублетом группы SU (2) является также
Ф = 1Т2(р*. (4.132)
Гиперзаряд дублета ф равен —1. Инвариантный относительно преобразований SU (2)xU (1)-группы _ лагранжиан юкав- ского взаимодействия полей лептонов и поля ф имеет следук>— щий общий вид:
* = 一与工工/皿V；/十h. c.,(4.133)
где Л!；/? — комплексные константы. Из (4.120) и (4.132) следует»
что -「
(4.134)
Подставляя (4.134) в (4.133) (и тем самым спонтанно нарушая симметрию), получаем
夕=—2[ 1 丄告)+ h. с. (4.135)
Первый член этого выражения представляет собой нейтринный массовый член. Для того чтобы записать его в стандартном виде, приведем комплексную матрицу Mv к диагональному виду. Имеем (см. примечание на с. 99)
Mv = V? т»^,(4.136)
где VfL и P'r — унитарные матрицы, а п1V ——диагональная матрица (с положительными диагональными элементами). Подставляя (4.136) в (4.135), получаем
з _ з _
£'=— 2 妆 』&%%%.(4.137)
I1
i丄тЛ
Здесь
VL = S(У^к1 VIL^ %R n』(丫卩)左！ ”；R， (4.138)
fk = mklv. (4.139)
Первый член выражения (4.137) представляет собой стандартный нейтринный массовый член. Поле vt является, следовательно, полем нейтрино с массой тк. Отметим, что нейтрино Vfe ——дираковская частица * Полученный нами нейтринный массовый член носит соответственно название дираковского массового члена.
Второй член выражения (4.137) описывает взаимодействие массивных нейтрино со скалярными хиггсовскими бозонами. Как видно из (4.139), константы этого взаимодействия пропорциональны массам нейтрино. На этом мы закончим рассмотрение юкавского взаимодействия лептонов и хиггсовских бозонов. Перейдем теперь к случаю кварков.
Наиболее общий лагранжиан юкавского взаимодействия кварков и хиггсовских бозонов [инвариантный относительно преобразований группы SU (2) X U (1)] имеет следующий вид:
£ =— ^~^LМ(г 3)«йф—工^加 М(2/3)"林-г h. с. (4.140)
Здесь М(~1/3) и М(2/3) — комплексные Зх 3-матрицы,
Полагая, что ср и <р даются соответственно выражениями (4.120) и (4.134) (и тем самым спонтанно нарушая симметрию) ,получаем
岁二一后*(-/3)忌(1 + ^_) 一瓦m⑵"及(1 + 子)亠 h.c. (4.142)
Далее приведем матрицы М(-“з)и 乂卩戸)к диагональному виду. Имеем
M^^U+Lm^^URi M^^U^Lm^UfRi (4.143)
где Ul,r и UfL,R — унитарные матрицы； a m—i") и ^(2/3)_. диа_ гональные матрицы, все элементы которых положительны. Подставляя (4.143) в (4.142), для лагранжиана ①，получаем следующее выражение-
皆=—薪㈠⑶九 ° + J-Xj -М(2/з)р (1 + Т %) .(4.144)
Здесь
(4.145)(4.145)nL,R = Ujr 几lr
(4.145)
(4.145)
Pl,r = U[rP；r
Запишем
Окончательно рассматриваемый нами лагранжиан принимает вид
毋=—22 iqWq& (4.146)
q~u ,d,...,bq=u,d,..,b
Константа fq взаимодействия 7-кварка с хиггсовским бозоном дается выражением
fq=rng/v.(4.147)
Очевидно, что первый член выражения (4.146) представляет собой стандартный кварковый массовый член. При этом q(x) является полем кварка массой mq {q — u, d, ...,&). Второй член выражения (4.146) представляет собой лагранжиан взаимодействия кварков и хиггсовских бозонов. Для стандартной теории характерно, что этот лагранжиан возникает вместе с кварковым массовым членом. В результате константы взаимодействия fq пропорциональны массам кварков (чем тяжелее кварк, тем сильнее он взаимодействует с хиггсовским бозоном).
Итак, мы рассмотрели хиггсовский механизм генерации масс 犷±- и 20-бозоновг лептонов, нейтрино и кварков. Как видно из (4.130), (4.138) и (4.145), штрихованные поля фундаментальных фермионов (поля, имеющие определенные трансформационные свойства) связаны унитарными преобразованиями с физическими полями фермионов (полями фермионов с определенными массами) Наша следующая задача состоит в том, чтобы в выражениях для токов (электромагнитного, нейтрального и заряженного) выразить штрихованные поля фермионов через нештрихованные поля. Начнем со случая кварков. Электромаг-
ннтнн自 ток кварков может быть записан в виде
丁 (m% 瓦丁 工 % 限.(4-148)
-Используя (4.145) и учитывая унитарность матриц, Ul,r и Ufvn, для электромагнитного тока кварков получаем следующее выражение:
=( 一十)瓦"十(年 歿"=? e/q. (4.149)
Нейтральный ток кварков [см. выражение (4.110) ] может быть записан следующим образом:
^q =冗八瓦—% % 及一2 sin2 6W / о. (4.150)
Учитывая унитарность матриц UL и UfL, с помощью (4.145) и (4.150) получаем
/乎=Pl Ya Pl —底 ％ 人 一 ？ sin? 6W 般;о =
=2 万/Л%— 2 吃％%-^sin^wj/。.(4.151)
g=a,c,fq=d,s,b
Наконец, заряженный ток кварков может быть записан виде
j%=2 尸 lyg/l.(4.152)
-Отсюда, используя (4.145), получаем
职=2%丫4九=2 £ qiL 'fa Uqiqt q2Lj (4.153) qi—u ,сЛ q*=d,s 力
где
U=UlU*u一(4.154)
Поскольку Ul и U'l — унитарные матрицы, матрица U также унитарна.
Итак, в силу унитарности матриц ULtR и 〃'工,五 нейтральный ток стандартной теории диагоналей по полям кварков. В заряженный ток кварков входит унитарная (не диагональная) матрица U (это связано с тем, что в общем случае 厶 и U'l — разные матрицы).
Матрица U носит название матрицы смешивания. В рассматриваемом нами случае трех поколений матрица U характеризуется тремя углами и одной фазой. Отметим, что в настоящее время получена весьма детальная информация q значении этих параметров (см. приложение Е).
104
Запишем теперь лептонные токи через поля физических лептонов и нейтрино (поля частиц с определенными массами). Используя (4.130) и учитывая унитарность матриц VL и Ur, для электромагнитного тока заряженных лептонов получаем следующее стандартное выражение:
f 2(—"М(4」53)
Далее с помощью (4.91) и (4.130) для заряженного тока находим,
匕=2 2 匕忆(4.136)一
/=е,|х,-
Здесь
3
= 2^и Vitl(4.157)
где V ——унитарная матрица смешивания лептонов (У= =小*).
Если массы нейтрино достаточно малы, то, как следует из (4.157), векторы состояния обычных нейтрино (ve, vu, vx) и антинейтрино (旷日，уц, vx) представляют собой когерентные суперпозиции векторов состояния нейтрино (антинейтрино) с разными массами. В этом случае в пучках нейтрино будут иметь место осцилляции (переходы между нейтрино различных типов). Гипотеза ocцИv^ляц1ий нейтрино была впервые выдвинута Б. М. Понтекорво. В настоящее время ставятся десятки опытов по поиску осцилляций нейтрино.
Для лептонного нейтрального тока из (4.110) получаем следующее выражение:
吃=2 吃小〃一 2 %Y5 - 2Sг尢)й，. (4.158)
Используя (4.130), (4.138) и (4.157), имеем
曰=2 "%V辽一2 左%仇一2sinKw厘;/. (4.159).
j=e，u，F/=е,ц,т
На этом мы закончим рассмотрение минимальной теории электрослабого взаимодействия. В дальнейшем нас будет ннте- ресовать взаимодействие кварков и лептонов с калибровочными векторными бозонами. Мы показали, что в стандартной теории. лагранжиан этого взаимодействия имеет вид ■
加片十 h. 。吧
\2|/ 2 J丿 28s 8w “ a
(4.160)'
105
Здесь
2 2 vZL Ya lL + 2 22 ^%〃,g&(4.161)
/=е,ц,тqi=u*c,t 仇==d,$,b
—заряженный слабый ток,
总=S吃%"一』厶丫4+
Т % % % — S % % % — 2sirf 8w 犬m(4.162)
нейтральный ток, а
/Г = 2 (一1)&/+ S e/%夕 (4.163)
——электромагнитный ток. Константа g связана с зарядом протона е и параметром sin 9w соотношением
g=e/sin 9w-(4.164)
Отметим, что с помощью этого соотношения может быть предсказана масса 1Г-бозона. Действительно, из (4.160) следует, что константа Ферми G связана с константой g и массой И^-бозона mw соотношением
亠二上一.(4.165)
к 28编
С помощью (4.164) и (4.165) находим
/и^/и^/ ла \ 1/2/ ла \ 1/21sTn 9W1sTn 9W(4.166)(4.166)
/и^
/и^
/ ла \ 1/2
/ ла \ 1/2
1
sTn 9W
1
sTn 9W
(4.166)
(4.166)
где а — —~ постоянная тонко 1 структуры. Подставляя 4л 137
в (4.166) численные значения G и а, получаем
тт旷旷37,3 ГэВ ~ sin9w '37,3 ГэВ ~ sin9w '(4.167)(4.167)
т
т
旷
旷
37,3 ГэВ ~ sin9w '
37,3 ГэВ ~ sin9w '
(4.167)
(4.167)
(4.168)(4.168)Далее мы показали, что в стандартной теории с дублетом хигг- совских полей массы W- и Z°-6o3ohob связаны соотношением
(4.168)
(4.168)
т7 = cos 9W
Подставляя (4.166) в (4.168), для массы 2°-бозона получаем следующее выражение:
/ »а \ 1/2137,3「d /л
т7 = —~—-д5— 4 -гд— ГэВ. (4.169)
Z ”2G 丿sin 9wcos 9W sin 6W cos 9W'/
Параметр sin 9w определяется из данных опытов по изучению обусловленных нейтральными токами эффектов {см. гл. 10). Таким образом, стандартная теория позволяет предсказать массы 1Г土- и Z°-6o3ohob. Отметим, что данные опытов находятся в согласии с предсказанием теории.
Наконец, с помощью (4.165) может быть вычислен параметр и (среднее по вакууму от хиггсовского поля) Действительно, из (4.123) и (4.165) получаем
丄=(4.170) |/ 2,
Отсюда следует, что
У = Q/2 G)~1/2~ 250 ГэВ.(4.171)
「пава 5
РАЗЛОЖЕНИЕ ХРОНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ОПЕРАТОРОВ ПОЛЯ ПО НОРМАЛЬНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЯМ.
ТЕОРЕМА ВИКА
Теорема Вика для произведения двух операторов поля
В этой главе будет изложен математический аппарат, позволяющий легко вычислять (по теории возмущений) матричные элементы S-матрицы. Как было показано в гл. 1, S-матрица представляет собой сумму хронологических произведений гамильтонианов взаимодействия, т. е. сумму хронологических произведений операторов поля. Здесь будет показано, что хронологическое произведение операторов поля может быть представлено в виде суммы нормальных произведений, т. е. суммы таких произведений, в которых все операторы уничтожения располагаются справа от операторов рождения. В следующей главе на конкретных примерах мы убедимся в том, насколько простой и естественной является процедура вычисления матричных элементов нормальных произведений операторов поля В конечном итоге развитая здесь техника позволит нам ввести диаграммы Фейнмана, представляющие собой чрезвычайно наглядный способ построения матричных элементов S-матрицы.
Начнем со случая двух операторов поля. Рассмотрим вначале произведение двух операторов эрмитова скалярного (псевдоскалярного) поля
Ф(尤1)中(х2).
Имеем
Ф (х) = 6+)(%) +屮㈠(х),(5.1)
107
тде 屮（+）（尤）и 屮（-）（尤）——положительно- и отрицательно-частотные части оператора ＜р（х） （соответственно, оператор уничтожения и рождения）. Далее напомним, что оператор нормального произведения ^ следующим образом действует иа произведение двух бозе-операторов:
（5.2）（5.2）N ®（+＞（xJqA）（xj）=中（+）（"）3+）｛x^=-N（^^（x^ ф＜+＞（л1））＞ N （q＞ ㈠（Л）/） （/J）=中㈠ CJ（f（+）（芻）="（4）（+）（X2）4）（一）（匕））， N （＜p（+）（Ai） ч＞（-＞ （%）） = 3一）（*2）＜p（+）（Xi）=/V（＜p（-）（x2）＜p（+）（Xi））, JV （＜P（-）（X0 4＞（—）（xj） = q＞（-）（xj ＜₽（-）（x J = /V（q＞（-）（X2）屮（一）（厶））.
（5.2）
（5.2）
С помощью （5.1） и （5.2） находим
中（修）中（也）=Y （中（十）（修）中（一）（冷））+
+ M （屮（一）（不）屮⑴）（工2））+/V （屮（一）（修）中（一）（也））+
+ф（+）（Х1）＜р（-）（х2）.（5-3）
-Далее очевидно, что
中㈠（修）中（-）（Х2）="（中㈠（不）中㈠（，3）） +
+ ＜Р（+）（上1）中（一）（尤2）-N（^ （修）中㈠（%2））=
="（中（上）（修）中㈠（%2）） + [ф（+） （Xi）,中㈠（七）J •（5.4）
"Используя （5.3） и （5.4）, получаем
ф（%1）ф（х2） =N（ф（х1）ф（х2）） + [ф（+）（^1）＞ ф（_）（х2）].（5.5）
'Итак, произведение двух операторов скалярного поля может быть представлено в виде суммы нормальных произведений этих операторов и коммутатора положительно-частотной части первого оператора и отрицательно-частотной части второго （т. е. коммутатора тех операторов, которые в исходном произведении не были расположены в нормальном порядке）.
Перейдем теперь к произведению двух ферми-операторов.
-В качестве примера рассмотрим произведение
р（х） — оператор спинорного поля. Имеем少）="（х）十屮㈠⑴，1ф （х）=可（X）+ 少т（X）, jw3（尤）（下㈠（幻）и +（一）（工）州_）（%）） — операторы уннчтоже- и рождения частицы （античастицы）.р（х） — оператор спинорного поля. Имеем少）="（х）十屮㈠⑴，1ф （х）=可（X）+ 少т（X）, jw3（尤）（下㈠（幻）и +（一）（工）州_）（%）） — операторы уннчтоже- и рождения частицы （античастицы）.中（修）质（х2）,
р（х） — оператор спинорного поля. Имеем
少）="（х）十屮㈠⑴，1ф （х）=可（X）+ 少т（X）, j
w3（尤）（下㈠（幻）и +（一）（工）州_）（%）） — операторы уннчтоже- и рождения частицы （античастицы）.
р（х） — оператор спинорного поля. Имеем
少）="（х）十屮㈠⑴，1ф （х）=可（X）+ 少т（X）, j
w3（尤）（下㈠（幻）и +（一）（工）州_）（%）） — операторы уннчтоже- и рождения частицы （античастицы）.
"где
где ния
108
Оператор нормального произведения ^ следующим образом действует на произведение двух ферми-операторов:
n （屮（+）（%）可+）（О）=屮（+）（/）W+）（%）=
=-:V ©+）（Xi 屮（+）（w）），
/V （屮2（/）中<+）（&））=屮㈠沁）可+）（占）=
-N @+）（曰）屮1（%））,
N （屮 <+）（/）旷）（*》=-尹（*J 屮（+）（占）=（•）
=-，V 0-）（招）屮（十）（xj）,
Л/ （屮㈠（占）不㈠的）=屮㈠X亦1（&）=
2（旷）（%川一）（占））.
Итак, оператор Y при действии на произведение двух ферми- операторов расставляет их в нормальном порядке （оператор уничтожения справа от оператора рождения）. Если при этом происходит перестановка операторов, то полученное нормальное произведение умножается на —1. Очевидно, что
屮（匕并（招）=N仲（+）（占）可+）（匕）） + N仲I（占）可+）（*J） +
+ V （屮㈠沁）可一）（匕）） + 屮（+）（修）可Т （二）.（5.8）
Далее имеем
屮（+）（占中1（%）=m （屮（+）沁"1（*》+屮（+）（占）可㈠（匕）一
-N （屮（+）沁）可1（%）） = ^ 仲（+）（占并㈠（xj） +
+ M+）（修），JT（*M+・（5-9）
С помощью （5.8） и （5.9） получаем
屮沁）可（招）=N （屮（X，中（*2）） + ［屮（+）（/），可T （A8）］+. （5.10） Итак, произведение 中（修）屮（工2）равно нормальному произведению этих операторов плюс антикоммутатор ［屮（+）（尤i）,屮（-）（，◎）］+. Из изложенного очевидно, что в общем случае произведение двух операторов поля равно сумме нормального произведения этих операторов и коммутатора в случае бозе-операторов либо антикоммутатора в случае ферми-операторов положительночастотной части первого сомножителя и отрицательно-частотной части второго. Ясно, что это общее утверждение основано только на определении оператора М
S-матрица представляет собой сумму дайсоновских хронологических произведений операторов поля （см. гл. 1）. Напомним, что оператор Р хронологического произведения Дайсона
109
при действии на произведение операторов поля расставляет их так, чтобы временной аргумент убывал при движении слева направо (в хронологическом порядке). Введем оператор Т хронологического произведения Вика. Для произведения двух бозе- и ферми-операторов поля оператор Т определяется соответственно следующим образом:
t （屮（Х0中（%））t （屮（Х0中（%））_ I Ф （汇J中（元2）, 一1中（xi 中（X0,_ I Ф （汇J中（元2）, 一1中（xi 中（X0,无 10〉"x20； %2电 > *10，无 10〉"x20； %2电 > *10，(5.Н)(5.Н)
t （屮（Х0中（%））
t （屮（Х0中（%））
_ I Ф （汇J中（元2）, 一1中（xi 中（X0,
_ I Ф （汇J中（元2）, 一1中（xi 中（X0,
无 10〉"x20； %2电 > *10，
无 10〉"x20； %2电 > *10，
(5.Н)
(5.Н)
一I 少(X,) Ф pc),一I 少(X,) Ф pc),*10〉*20,"20 >，.0，*10〉*20,"20 >，.0，(5/2)(5/2)
一I 少(X,) Ф pc),
一I 少(X,) Ф pc),
*10〉*20,
"20 >，.0，
*10〉*20,
"20 >，.0，
(5/2)
(5/2)
Итак, на произведение бозе-полей операторы 尸 н Т действуют одинаково. При действии на произведение ферми-полей оператор Т расставляет их в хронологическом порядке и (в отличне от Р) умножает на —1，если при этом происходит перестановка полей. В общем случае оператор хронологического произведения Вика Т при действии на произведение операторов поля расставляет их так, чтобы временные аргументы операторов убывали при движении слева направо, и умножает хронологи- чески-упорядоченное произведение на —1 в степени, равной числу перестановок ферми-операторов, которые делаются при переходе от исходного произведения операторов к хронологически упорядоченному произведению.
Нетрудно видеть, что в выражении для S-матрицы оператор Р хронологического произведения Дайсона можно заменить оператором Т хронологического произведения Вика. Действительно, S-матрица представляет собой сумму хронологических произведений гамильтонианов взаимодействия. В любой гамильтониан взаимодействия входит четное число операторов ферми-полей . Любая перестановка гамильтонианов взаимодействия представляет собой, следовательно, четную перестановку ферми-операторов. Таким образом, S-матрица может быть представлена в виде
S = Jj~T- j^i ^х^(^(х1)- (хп))- (5.13) п=0
Именно хронологическое произведение Вика операторов поля может быть представлено в виде суммы нормальных произведений. Рассмотрим вначале Т-произведение двух бозе-операто-
ров. Используя (5.5), получаем
7 (<₽ (占)中(/)) = ( " 3(*J 中 X))+ 回+)(xj，：中㈠(招)]，%。> 占。； -I "(4> (*2)4>(X1)) + [3+)(X)?2(%)],爲0 > Х10.
(5.14)
Далее из (5.2) очевидно, чю под знаком нормального произведения бозе-операторы можно переставлять. Имеем
^(ф(Х2)ф(Х1)) =^ (ф(^1)ф(^2))-
Таким образом, соотношение (5.14) может быть записано в виде
Т (<р (хJ <р (/)) = N (<Р (%。<₽($)) + <₽(Х0 ч>(X,),(5-15)
где
[3)%2)，产 x1 ,*20>*10.
Величина g (х0 у (х?) имеет несколько названий. Эту величину называют сверткой, либо хронологическим спариванием операторов cp(xi) и(р(%2), либо функцией распространения, либо пропагатором.—
Рассмотрим теперь оператор Т(屮(修)屮(х2)). Используя (5.10) и (5.12), получаем
тJ N (屮(xjM*J) + [屮(А),屯㈠(Xj]+; %>&0；
(收)中沁))-可+)(砌，中㈠(修九；匸。>%.
(5.17)
Далее из определения оператора нормального произведения N [см. (5.7) ] следует, что
N ($(Х2)*(Х1))=—/V (2(修)屮3)).(5.18)
Таким образом, имеем
т (屮(Х1) Ф (%2)) = N (屮(%1)ф (招))+ 屮(%1) D (*2)，(5.19)
(5.20)(5.20)где свертка ф (х)屮(xj дается выражением
(5.20)
(5.20)
"同？T冲g 广心必，修。>/，
Итак, из изложенного ясно, что для любых двух операторов имеет место следующее соотношение *:
Т (U (х J V(X》=N 口 O0V(X» + l7(7jV (xj,(5.21)
где
t 士 V（+）（%）, U（-）（x,）L，X2o>z。.
(5.22)
Верхние знаки относятся к случаю бозе-опер аторов, а нижние—к случаю фермн-операторов. В следующем параграфе мы вычислим свертки различных операторов. Будет показано, что свертка U(%i) V (х2) является функцией Xi——х2 (не оператором поля) либо равна нулю.
5.2. Пропагаторы скалярногог сгшнорногои векторного полей
В этом параграфе будут вычислены функции распространения скалярного, спинорного и векторного полей. Рассмотрим вначале эрмитово скалярное (псевдоскалярное) поле <р(х). Напомним, что
9(\)=0+)а)+ ?「)(х),
?( + )(*) = ]$а (q) e—3d3g, 6-)(х)=『V/(+)(q)e2對,
(5.23)
где операторы a(q) и a+(q) удовлетворяют перестановочным
соотношениям
[а(<7), a-(0)] = 6(q —q，), [a(g), a(q)] = O.
(5.24)
Используя (5.23) и (5.24), без труда находим
回+）（Z）, 6-《詛=爲 j^ef，％.（5.25）
* Знак минус в определении хронологического произведения Вика вводится для того, чтобы скомпенсировать минус, возникающий при перестановке фермн-операторов под знаком ^. Это позволяет представить Т-пронзведе- ние в виде (5 21)
Таким образом, свертка ^ (л-,) © (л2) дается выраже нием
〃『(/) =〃『(/) =(5.26)(5.26)
〃『(/) =
〃『(/) =
(5.26)
(5.26)
где qQ = /zn' + qy ,
Покажем теперь, что трехмерные интегралы в (5.26) можно объединить в один четырехмерный интеграл. Рассмотрим интеграл
Д (л) =lim(2 兀)4 sfOД (л) =lim(2 兀)4 sfO(5.27)(5.27)
Д (л) =lim
(2 兀)4 sfO
Д (л) =lim
(2 兀)4 sfO
(5.27)
(5.27)
((7° — переменная интегрирования). Проведем интегрирование по переменной q°. Подынтегральное выражение в (5.27) имеет полюсы в точках
<71.2= 士 [j/m2 —q2—i<71.2= 士 [j/m2 —q2—i2|/m"+q2 丿，2|/m"+q2 丿，
<71.2= 士 [j/m2 —q2—i
<71.2= 士 [j/m2 —q2—i
2|/m"+q2 丿，
2|/m"+q2 丿，
Рассмотрим вначале случай х°>0. Очевидно, что в этом случае интеграл по q° от —оо до 8 равен интегралу по контуру, изображенному на рис. 5.1 при Rf 8 *.
Вычисляя вычет в полюсе ^0 = ^! и полагая после вычисления полюса е=0, получаем
d % Xo>O. (5.28)d % Xo>O. (5.28)е— i //л?十 q2%°+ i qx2 /加*q2
d % Xo>O. (5.28)
d % Xo>O. (5.28)
Рассмотрим теперь случай х°<0. Очевидно, что в этом случае интеграл по д° можно заменить интегралом по контуру, изображенному на рис. 5.2 при R+8. Вычисляя вычет в полюсе g°=g°2, получаем при х°<0
1 р J |Лп2+ q2%(>+ i qx
А ⑴=师 У 一予^ %, A。< 0.(5.29)
* Значение d на полукруге можно записать в виде g(j=Rcosa -4- i R sin a. Имеем e-iq3= e~iRg…°+Rsin3.
1131138—6910
113
113
x°>0x°<0x°>0x°<0
x°>0x°<0
x°>0x°<0
Интеграл (5.29) можно записать в другом виде. Заменим в (5.29) q^^―q и трижды переставим пределы интегрирования. Получим при S<0
]Г ] Pm?十 q2%o — i qx
△ (Л)=為 -———對，入。< 0.(5.30)
(2力)3 J2，加2 + q2
Сравнивая теперь (5.28) и (5.30) с (5.26), приходим к заключению, что свертку ?(Xi)y(xJ можно записать в следующем внде
I1i 「「iq(xi2)
<₽(修)<₽(*2)=広yr) KZTk"d%= АН—Х").(5.31)
До сих пор мы рассматривали эрмитово скалярное (псевдоскалярное) поле. Напомним, что в случае неэрмитова скалярного (псевдоскалярного) поля <р(х) имеем
(5.32)(5.32)ф(^)=屮е (X) + 6一)(八)， 『)(х) = ^N^a^^^^q, pD⑺=J觴打⑷ei"1g,
(5.32)
(5.32)
где a(q) (b^(q)) — оператор уничтожения (рождения) частицы (античастицы) с импульсом q. Очевидно, что в этом случае
(Р (xj ср (х2) = 0.(5.33)
Из (5.22) и (5.32) следует, что
中(匕№+ (占)=<₽- (лх) <p (%)=阮 J 产眇 d” (5.34)
Перейдем теперь к вычислению сверток спинорного поля. Напомним, что
屮(%)=中(+)(х)十少(一次，中(X)=尹(X)+ 万(一)(X),
屮 1)(Л)= J Npcr (^) и (p) e~i/,xdV,
^(x^^N^^^^-p^^^p,(5.35>
可+)(x) = j %必(p)ur (— p^~[ pxd3p,
可㈠(x) = J NpCr (夕)7(") e! P"&p、
［屮!：）（xi）,（/）］十；/о〉/о.［屮!：）（xi）,（/）］十；/о〉/о.屮%（"1），中融（$）=屮%（"1），中融（$）=(5.36}(5.36}где cWr(p) (d\(p)) и cr(p) (dr(p)) — операторы рождения и уничтожения частицы (античастицы) с импульсом р и спиральностью г. Вычислим вначале 屮％(%)屮八(占)(6 и а2 — спинорные индексы). Имеем
［屮!：）（xi）,（/）］十；/о〉/о.
［屮!：）（xi）,（/）］十；/о〉/о.
屮%（"1），中融（$）=
屮%（"1），中融（$）=
(5.36}
(5.36}
一就丁 X),屹")(*1)] + ；/0> *10.
Используя (5.35) и перестановочные соотношения (3.152), получаем
[屮尸(Х)贝丁(х/ = J /厶,e-i户 1 PR1
Xg[分 8), G (川]+叱⑵区:⑺ip/p'=
=(爲e-"f£必，9)感8)明， } 837)
m)X),代)6)]+ =言f办"~X
X £ %(-")成(一")•"力一
Далее имеем (см. приложение Д)
2心,9)成(")=(£+⑺叩"I
「「с(5.38)
工 必(一")";2 - Р) = - (- Р + б)气力，I
где PT%
8*U5
С помощью (5.37) и (5.38) без труда получаем2r (х)碌丁 (芻)l=
(5.39)(5.39)\ дх^ 1九/, (2Q3j2加'
(5.39)
(5.39)
卬申 沁），西丁 Н）］+
—1 ——1 —а%】а%】Q*U 号 е'Q*U 号 е'Из (5.36) и (5.39) следует, что屮。，(厶)九,(占)=0丫 经 + бИз (5.36) и (5.39) следует, что屮。，(厶)九,(占)=0丫 经 + б(5.40)(5.40)
—1 —
—1 —
а%】
а%】
Q*U 号 е'
Q*U 号 е'
Из (5.36) и (5.39) следует, что
屮。，(厶)九,(占)=0丫 经 + б
Из (5.36) и (5.39) следует, что
屮。，(厶)九,(占)=0丫 经 + б
(5.40)
(5.40)
где функция Д (хх ——х?) дается выран ением (5.27). Действуя оператором (id —+ тп^ на функцию Д (лх — х2), для свертки
屮(％)屮(xj получаем окончательно следующее выражение:
屮（修）中（十2）=屮（修）中（十2）=(2寸(2寸lim f e i"xz)(3+/n)lim f e i"xz)(3+/n)p2 一加十jep2 一加十je%(5.41)%(5.41)
屮（修）中（十2）=
屮（修）中（十2）=
(2寸
(2寸
lim f e i"xz)(3+/n)
lim f e i"xz)(3+/n)
p2 一加十je
p2 一加十je
%(5.41)
%(5.41)
Обычно чтоОбычно чтосвертку 屮(％,屮(М) записывают в доугом виде. Очевидно,
Обычно что
Обычно что
(p 工喻(P —吟=p' — m\
(5.42)(5.42)(5.43)(5.43)Отсюда следует, что
(5.42)
(5.42)
(5.43)
(5.43)
р& — /Л? 一 р — /П
Таким образом, свертку 屮(占)屮(占)можно записать в виде
1 Li 「介—i раш
屮(Xj 少(匸)=—~d*.
(2"尸JP 一加
Вычисление сверток 屮沁)屮(xj и 中(砧伙占)не представляет труда. Поскольку операторы уничтожения частиц (античастиц) антикоммутируют с операторами рождения античастиц (частиц), имеем
(5,44)(5,44)少(、i)少 “2)"屮(X，Q (xj = о.
(5,44)
(5,44)
В заключение вычислим свертку
(5.45)(5.45)J[8g+)(M), 8『)(xJ; Xi。〉％®
(5.45)
(5.45)
I [8产 X),跳)(Xj]； X20>X10>
где Ba(-v) — оператор поля нейтральных векторных частиц с массой т. Используя (3.248) и перестановочные соотношения (3.251) для коммутатора [8(+%(修)8(一)3(工2)], легко находим
з
8』+)(%) В^ X)]=责/方» et ⑺ (7) е- "7 q, (5.46) где векторы е九(q) удовлетворяют соотношениям
е'(9)9=0, е' (q) е"⑷=—抬，口 = 1, 2, 3).
Нетрудно показать, что (см. § 3.5)
з/4
£ е+(д) ^(9)= — 'gap—崇；•@47)
入=1
Из (5.46) и (5.47) следует
间+）（“现一）（宀）］=舒J$ （工厂^）厂'-）對=
Ox； axf (2肉3 J 2</>Ox； axf (2肉3 J 2</>—iq(%L*，)，з /二 /IQ、е d‘• (5.48)—iq(%L*，)，з /二 /IQ、е d‘• (5.48)
Ox； axf (2肉3 J 2</>
Ox； axf (2肉3 J 2</>
—iq(%L*，)，з /二 /IQ、
е d‘• (5.48)
—iq(%L*，)，з /二 /IQ、
е d‘• (5.48)
С помощью (5.27), (5.28), (5.30), (5.47) и (5.48) для свертки &(,q) Вр (^2)получаем следующее выражение *：
& ($) Sp X) = — I gas& ($) Sp X) = — I gas
& ($) Sp X) = — I gas
& ($) Sp X) = — I gas
(5.49)(5.49)
(5.49)
(5.49)
(2n)4 8fo J q? — /n2 + i e
Теорема Вика
Рассмотрим теперь хронологическое произведение Вика произвольного числа операторов поля
T(UVWR...XYZ),
где U, V, W,. . — операторы бозе- либо ферми-полей Напомним, что оператор хронологического произведения Г при действии на произведение операторов поля расставляет их так, чтобы временной аргумент убывал при движении слева направо Если при этом происходит перестановка фермионных операторов, то произведение операторов, расположенных в хронологическом порядке, умножается на —1 в степени, равной числу перестановок фермионных операторов, которые совершаются при переходе от исходного произведения операторов к хронологически упорядоченному произведению. В этом параграфе мы докажем следующую теорему (теорема Вика) •
Т (UVWR ... XYZ) = .V (UVWR ... XYZ)丄
+ ,V (UVWR XKZ) + Y(M而RXYZ) +
... - V fCV W ... X7Z)一 N (阮 W ... XYZ) + ...
丄...(5.50)
Напомним, что оператор нормального произведения N при действии на произведение операторов поля расставляет их так, чтобы все операторы уничтожения располагались справа от операторов рождения. Если при этом происходит перестановка операторов ферми-полей, то нормально упорядоченное произведение умножается на —1 в степени, равной числу перестановок фермионных операторов, которые совершаются при переходе от исходного произведения операторов к нормально-упорядоченному произведению. Нормальное произведение со свертками операторов под знаком ^ определяется следующим образом :
N (UVW R ... XYZ) = bUWRX...N(y... YZ), (5.51)
где 6 равно —1 в степени, равной числу перестановок операторов ферми-полей, которые делаются при переходе от UVWR... ...XYZ к UWRX...V...YZ.
Теорема Bh/a позволяет выразить хронологическое произведение операторов поля через сумму нормальных произведений операторов со всеми возможными хронологическими спариваниями операторов под знаком N. В первой строке (5.50)——нормальное произведение операторов без сверток под знаком N, во второй — сумма всех возможных нормальных произведений с одной сверткой под знаком N, в третьей — сумма всех возможных нормальных произведений с двумя свертками под знаком tV и т. д.
Приступим теперь к доказательству (5.50). Док аз ательство теоремы Вика основано на следующей лемме. Нус* временной аргумент оператора Z меньше временных аргументов операторов U,匕 W, R, ..., X, У. Тогда имеет место следующее соотношение:
N(UVWR ... ХУ) Z = N (UVWR ... XYZ) + У (UVWR... XYZ) +
+ N^YWR ... XYZ) + .,. + N^VWR ... ХУ力.(5.52)
Очевидно, что достаточно доказать соотношение (5.52) для
случая, когда U,匕 W дения и уничтожения.случая, когда U,匕 W дения и уничтожения.，…,X, У: Пусть Z -，…,X, У: Пусть Z -Z являются операторами рож- оператор уничтожения. Имеем
случая, когда U,匕 W дения и уничтожения.
случая, когда U,匕 W дения и уничтожения.
，…,X, У: Пусть Z -
，…,X, У: Пусть Z -
灭=0,应=0,…，笃=0.
Действительно, свертки двух операторов уничтожения равны нулю. Если х°>у°, то
Ri (х) Z(+)(g) = Т 代㈠(х) Z(+%)) —/V 伏㈠(х) Z(+)(勿)=
=R㈠(x) Z#)(g) — Ri (x) Z(+)(g) = 0.(5.53)
Итак, в случае, если Z — оператор уничтожения, (5.52) сводится к соотношению
N (UVWR ... XY)Z^N (UVWR ..XYZ),
которое очевидно. Предположим теперь, что Z — оператор рождения. Достаточно при этом доказать (5.52) для случая, когда U, V, W,..., X, У являются операторами уничтожения. Действительно, если соотношение (5.52) доказано в этом случае, то, умножая его слева на оператор рождения S, временной аргумент которого больше временного аргумента Z, получаем
SV (UUUZR …ХУ) Z = N (SUVWR ... ХУ) Z =
=^ (SUVWR ... XKZ) + ... + N (sb"R ... X”) +
十 N (SUVWR ... XKZ)十 N (SUVWR ... XKZ)(5.54)(5.54)
十 N (SUVWR ... XKZ)
十 N (SUVWR ... XKZ)
(5.54)
(5.54)
[поскольку свертка двух операторов рождений равна нулю, равняется нулю последний член в соотношении (5.54)]. Далее, если (5 54) умножить слева на оператор рождения, то аналогично получим соотношение (5.52) для случая, когда под знак ‘V входят два оператора рождения, и т. д Наконец, переставляя операторы поля под знаком N в обеих частях найденных таким путем соотношений, получим (5.52) в общем случае (при условии, что Z — оператор рождения).
Итак, приступим к доказательству соотношения (5.52) в случае, когда Z — оператор рождения, a U, V, W, . . X, У — операторы уничтожения. Имеем
N(UVWR .. XY)Z= UVWR ... XYZ.(5.55)
Рассмотрим произведение YZ. Поскольку временной аргумент оператора У больше временного аргумента оператора 之，то
YZ = T(YZ).
Далее, используя (5.21), получаем
Т (YZ) =N (YZ) + YZ =沁 zZY + YZ,(5.56)
где множитель dyz равен 1 ( — 1), если У и Z — операторы бозе (ферми) -поля. Подставляя (5.56) в (5.55) и учитывая, что
UVWR.., XYZ = ^(UVWR XYZ\
находим
/V (UV^R...XY)Z = ZyzUVWR ... XZY N (UVWR XYZ). (5.57) Заменим теперь в правой части этого соотношения произведение XZ хронологическим произведением T(XZ) Используя (5.21), получаем
XZ =T(XZ) = N (XZ)丄^ = £xzZX + XZ. (5.58) Подставляя (5.58) в (5.57) и учитывая, что
5yzUVWR ... XZY = N (UVWR ... XYZ),
имеем
N (UVWR... ХУ) Z = bYZ8xzUVWR ZAT +
丄 N (UVWR XYZ)十,V(W»R ... ХУ/).(5.59)
Продолжая эту процедуру, мы приходим к соотношению
N (UVWR …ХУ) Z =勿z^xz …沁z ZUVWR …ХУ 十
+ (UVWR...XYZ) - ... + N(bvWR...XYZ). (5.60)
Далее из определения оператора нормального произведения N очевидно, что
bpzbxz SuzZUVWR ... XY^N(UVWR ... XYZ). (5.61)
Из (5 60) и (5.61) следует, что соотношение (5.52) справедливо также и в случае, когда Z — оператор рождения, a U,匕 К, R, X, У — операторы уничтожения. Этим завершается доказательство соотношения (5.52) в общем случае.
Соотношение (5.52) можно обобщить. Умножим (5.52) на свертку PQ. Очевидно, что полученное при этом х соотношение может быть записано в виде
，^ (UVPWR …Х&У) Z^=N^VPWR..,XQYZ) +
-N(UVPWR...XQYZ) 一 …+，V(UuS»/R …X^YZ). (5.62) Аналогичные соотношения могут быть получены умножением (5 52) на две, три и т. д. свертки. Таким образом, соотношение (5.52) справедливо также и в случае, если под знаком N в левой и правой частях этого соотношения свернуто любое число пар операторов.
Приступим теперь к доказательству теоремы Вика. Мы докажем эту теорему по индукции. Пусть соотношение (5.50) имеет место для произведения п операторов U, V, W, R, .. , X, У, Z. Умножим (5.50) справа на оператор Q, временной аргумент которого меньше временных аргументов U、匕 吃 R,…，X, У, Z. Используя доказанную выше лемму и учитывая, что
T(UVWR ... XYZ)^2 = T{UVWR ... XYZQ), получаем
Т (UV^R ... AYZQ) = N &V«7R ... XYZQ) +
十 N (UVWR XYZQ) 一…+ .V ④ VWR …XYZ&) +
+ У (UVWR ... XKZQ) - ... (5.63)
Далее очевидно, что оператор Q может быть поставлен в (5.63) на любое место (правила перестановки операторов поля под знаками Т к N одни и те же). Таким образом, если теорема Вика верна для произведения п операторов поля, она верна также для произведения п+1 операторов.
В § 5.1 мн доказали теорему Вика для произведения двух операторов [см. (5.21)]. Следовательно, она справедлива в общем случае.
Теорему Вика мы будем использовать прьт^ычислении матричных элементов S-матрицы, которая представляет собой сумму Г-произведений гамильтонианов взаимодействия [см. (5.13)]. Далее гамильтонианы взаимодействия локальной теории являются нормальными произведениями операторов поля, взятых в одной и той же точке 尤(см. гл. 3) Таким образом, S-матрица представляет собой сумму интегралов от так называемых смешанных произведений операторов поля вида
T(N(UVW) ...N(XYZ)). (5.64)
Операторы поля, входящие в каждое из нормальных произведений в (5.64), обладают одним и тем же пространственно-временным аргументом.
Для того чтобы обобщить теорему Вика на случай смешанного 7-произведения, воспользуемся следующим приемом. Добавим к временным аргументам всех операторов рождения сколь угодно малое положительное е. Очевидно, что после этого все операторы /V в (5.64) могут быть опущены (оператор Т после такой модификации аргументов действует на произведение операторов поля UVW,..., XYZ так же, как и оператор N ) и в соответствии с (5.50) хронологическое произведение может быть представлено в виде суммы нормальных произведений со всеми возможными свертками операторов под знаком N.
Все кронологические спаривания операторов, входящих в смешанное Г-произведение под знак одного нормального произведения, равны нулю. Действительно, поскольку у таких операторов поля временной аргумент оператора рождения больше временного аргумента оператора уничтожения, соответствующие свертки операторов рождения и операторов уничтожения равны нулю [см. (5.53)]. Свертки операторов рождения либо операторов уничтожения равны нулю по определению. Итак, для смешанного Г-произведения имеет место разложение (5.50), в котором следует опустить свертки операторов с одним и тем же пространственно-временным аргументом (входящих под знак оператора N).
Нетрудно убедиться в том, что многие члены в разложении Вика дают одинаковые вклады в S-матрицу. В качестве примера рассмотрим электромагнитное взаимодействие электронов. Гамильтониан этого взаимодействия имеет вид
第/ (%) = eg(X)产? (х) Ла(X). (5.65)
Рассмотрим вначале второй член ряда (5 13) для S-матрицы.
Используя теирему Вика для смешанного 7-произведения, получаем
T(N{e{x)y-e(x))A^x)) ==jV(e(x)vae(x) )Ла(х).
Перейдем теперь к рассмотрению члена второго порядка теории возмущений [третьего члена ряда (5.13)]. Так как операторы е(х) и Ла(х) коммутируют, то
Т (N (ё 沁)丫工 е (q)) Az (Х1) /V ®(xj 评 е (招))& (xj)=
=T (/V (3 (当)丫“ e (xj) N 备(占)丫。e (xj)) T (4 (xJ & (xj). (5.66)
Используя теорему Вика для смешанного 7-произведения и учитывая, что е (xj е (л2) = 0 н е (%0 е (%, = 0, получаем
Т (N (以(修)fe (%)) /V (2 &) 了3 © (%))) =
__1二1
=" (e (马)7% (%)e (% J T% (x2)) + /V (e (/)y> (%)e (招)Y% (占))+
+ N ($(修)书 е ^x^(0)丫迎(%))- N 强(占)T” (/)2 (匕)丫В e (x2)).
(5.67)
Нетрудно убедиться в том, что второй и третий члены в правой части (5.67) дают одинаковые вклады в S-матрицу. Действительно, переставляя под знаком нормального произведения операторы ё(х[)уа-е(х[) и @(%2)丫陀(工2)и переобозначая переменные интегрирования (x】=X2) и суммирования (а=0), получаем
.上j
J N (£ (Xj) у» e (к。3 (xj 叩 e (xj) 7 (丄(xj Ле (Q)或力卢爲=
=)N (2 (xj y“ e (q)7 (x>俏 e (xj) 7 (.4a (xj Де (/)) ^х^кг. (5.68)
Отметим, что при получении (5.68) мы учли, что
Т (厶6 (%2)4(z(Xi) ) = Т (4(х (修)』в (%2)) •
Итак, при вычислении матричных элементов S-матрицы в разложении (5.67) следует учесть только один член с одной сверткой под знаком N. Этот член следует умножить на 2 (в результате сокращается множитель входящий в выражение
для S-матрицы).
Рассмотрим теперь 7-произведение
T(m(e(修)Yae(不))%(以*2)Y陀(6))2(弘也)廿0(X3))),(5.69)
123
входящее в член третьего порядка теории во »щеннй. Нетрудно видеть, что в разложении Вика этого Т-произведения имеется 3! нормальных произведений с одной сверткой. Перестановкой операторов ёуе под знаком N, а также переобозначением переменных интегрирования и суммированием можно показать, что нормальные произведения с одной сверткой дают одинаковые вклады в S-матрицу. Далее в разложении 7-произведения (5 69) имеется два типа нормальных произведений с двумя свертками. Именно, имеются нормальные произведения, в которых несвернутые операторы обладают разными аргументами:
N(以(占)Y。e (占)7 (%)Y3 e (xjb 屈)YРe 沁))и т. д., (5.70) и нормальные произведения, в которых несвернутые операторы обладают одинаковыми аргументами:
N (5 (kJ у。е (xj е (xj *е (х2)е(л3) ^ е (&)) и т. д. (5.71)
Нетрудно убедиться в том, что имеется 3! нормальных произведения типа (5.70), дающих одинаковый вклад в S-матрицу, и три члена типа (5.71), также дающих одинаковый вклад в S-матрицу. Наконец, в разложении 7-произведения (5.69) имеется два нормальных произведения с тремя свертками (дающих одинаковый вклад в S-матрицу).
Глава 6
ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА
Процесс，+e—fy+e— (эффект Комптона)
В этой главе будут вычислены матричные элементы самых разных процессов. Мы убедимся в том, что развитый в гл. 5 аппарат позволит сформулировать простые и весьма наглядные правила построения матричных элементов процессов ——так называемые правила Фейнмана. Начнем с рассмотрения простейшего электромагнитного процесса — комптон-эффекта на электроне
у+е—y+日二(6.1)
Обозначим импульс и спиральность начального (конечного) электрона р, г (pz,广'),а импульс и индекс вектора поляризации начального (конечного) фотона 々九(々'，V). Как было показано в § 3.5, свободный фотон может обладать только поперечной поляризацией (X, V— 1,2). Начальный и конечный век- 124
торы состоя (I i> и |f>) даются соответственно выражениями \iy = c+r(p)a^(k) |0>; 丨 /〉=若(")吟他‘)I 0),
где |0> — вектор состояния вакуума. Наша задача состоит в вычислении (в низшем порядке теории возмущений) матричного элемента
<f|S|i>.
Запишем S-матрицу в виде со
s = 2 s(n\(6・2>
〃=0，
где
S⑺=—f Т (.%/(/)兆/(X")...牝7 (/)) d%i d ... d'% (6.3} 山J
—член л-го порядка теории возмущений.
Напомним, что гамильтониан электромагнитного взаимодей* ствия электронов имеет вид
^^/(х)=её(х)у^е(х)Аа(х).(6.4)
Рассмотрим вначале〈丹5(叫〉Используя теорему Вика, имеем X
Т 3(х)уае (%)) =У(ё(х)у®е(х)) =G(丄)(％)丫*缄+)(工)+
+@(-)(x)yae(-^(x) +А-)(X)?a6㈠(%)一统—"(%) (Y*)彩(+"(X) (6 5>
Оператор нормального произведения N расставляет операторы поля так, чтобы все операторы уничтожения располагались справа от операторов рождения. Естественно поэтому операторами уничтожения действовать направо на начальный вектор |i〉，а операторами рождения — налево на конечный вектор |f〉. Рассмотрим вначале первый член разложения (6 5) Подействуем оператором ©(+)(%) на вектор |> Очевидно, что
e(J-'>(x)c~r(p)a+f.(^ |0〉=([е(+)(х), с-®)]丄一
—c+.(p)e-(x))a+MM|0〉.(6.6)
Второй член в правой части этого соотношения равен нулю
e^(x)a\(k) |0> = a+x(fe)e(+>(x) |0> = 0.(6.7)
Используя (3.151) и (3.152), для первого члена получаем d)(x), *(р)]+=
= \Npii (//) [% (//), с;仍)]亠 е d3p' = Npu (/?) е . (6.8>
В результате находим
е(十)(%)с+г(р)а”%(^) |O〉=Np〃r(p)eTpxa%伊)|0〉.(6.9)
Итак, оператор 级十)(尤)при действии на вектор состояния £+г(р)а十入(々)|0〉, описывающий электрон и фотон, уничтожает электрон. В результате получаем вектор состояния фотона а*入(月)|0〉， который умножается на волновую функцию электрона с импульсом p(Vp〃r(p)e-s).
Подействуем теперь оператором 百(十)(％) на вектор a+九(月)|0〉. Имеем
巨(十)(.七)a飞(々)|0〉=a十九(々)夙+)(%)(0> —0.(6.10)
Таким образом, первый член разложения (6.5) не дает вклада в матричный элемент комптон-эффекта. Рассмотрим последний член этого разложения. Поскольку операторы рождения частицы и античастицы антикоммутируют, то
2 ㈠了(%)e+Г9)a丁入他)10〉=—е+пр)а丄人(々)耳斗)t(%)[0>=0.
Последний член (6.5), следовательно, также не дает вклада в матричный элемент процесса (6.1).
Рассмотрим теперь третий член разложения (6.5). Оператором g(-)(%) подействуем налево на вектор 〈0|a九，(々)е~(//). Имеем
(О 1 %,(硝 ％,(X)2(一)(％)=
=(о I %,侬)([&,("‘)星-)а»+ —z㈠(X)詳,(X)).(6.11)
Далее очевидно, что
〈0他一)(%)=0.(6.12)
Таким образом, второй член (6.11) равен нулю. Используя (3 151) и (3.152), получаем
Q, (//)百т (х)]+ = /，"'⑺宀〜(6.13)
С помощью (6.11) и (6.13) находим
<0 I 4,(月)сг, (р')^4 (х) = (0 I % 网 N/“ ⑺ е "二(6.14)
Итак, оператор е(_) (х) при действии налево на вектор состояния электрона и фотона (0 j 4(*)с〃(р') уничтожает электрон. Полученный при этом вектор состояния фотона 〈0|。九(月)умножается на волновую функцию %,/(;/)寸°'二 Нетрудно теперь показать, что третий член разложения (6.5) не дает вклада в матричный элемент комптон-эффекта. Действительно, учитывая (6.14), получаем
(0 I 外,(我)е(т (х) =(0 I 小)(X)做，侬)=o.
Итак, только член @(一)(х)7ad(+)(%) может дать отличный от нуля вклад в матричный элемент рассматриваемого процесса. Следует, однако, учесть, что в S-матрице оператор Т(ё(х) vae(x)) умножается на оператор электромагнитного поля Дя (х). Используя (6.9) и (6.14), получаем
〈0 I &,(勿)cr, ST (е (х) Г е (х)) 4 (х) с+ (/?) а+ 便)| 0)=
=N? Np и' (X) 丫。J 仍)»'▼" (0 I 耿,(阻)A (x) a+ 他)| 0).
Вычислим теперь матричный элемент:'
(0 I %®)4(х)吋传)I 0)=
=〈0 I 4,他')(&+)(%) + 坐-)(%)) at 他)I 0〉一(6. 15)
Подействуем оператором уничтожения А^+} (х) направо на вектор 耿+(々，|0>. Очевидно, что
包+)(X)吋(用 I 0)=(5广)(x), at (A)] + at® 黑+)户))1 0). (6.16>
Далее, используя (3.207) и (3.210), получаем
m广(k),代他)]=Nk壮他)e-丝(6.17}
Подставляя (6.17) в (6.16) и учитывая, что
儿(丄)“)10〉=0, находим
人什)(X)/人(々)10〉=m力(々)5門0〉.(6.18)
Итак, если оператором 儿(+)(工)подействовать на вектор состояния фотона а+х(^) |0>, то мы получим при этом вектор состояния вакуума (фотон уничтожается), который умножается на функцию М^е% 仅)с-’在三
Подействуем теперь оператором 4(-%(%) налево на вектор 〈0|耿，(肥). Имеем
(c 丨 av ^)A^(X) = ^ i ([%(欠)，儿(一)(х)]+ 4(一)(%)%侬)).
(6.19} Далее с помощью (3.207) и (3.210) находим
[以,(勿)，星Т(х)] =2”ef (〃)С。(6.20>
Учитывая, что
〈0&㈠⑺=0,
из (6.19) и (6.20) получаем
(0 I а” (〃)А「(х) = (0 I м，£'(炉)е‘ 〃。(6.21>
127
Итак, если оператором 4(一力(尤)подействопЗть налево на вектор состояния фотона (0 | 纵"')，то при этом мы получим вектор состояния вакуума 〈0|, который умножается на функцию Nh，ef ggR (Оператор А^а при действии налево является оператором уничтожения фотона.) С помощью (6.18) и (6.21) получаем
(0 !他)тс (в) +(X))孤+肉 I 0)=
=n总伊)e-i近(0 I a (勿)I 0) - V公e?(我)e!"飞0 丨成(A) ) 0).
Далее очевидно, что
(О ! &, (Н) i 0) =0, (0 ； а「的 I 0〉= 0.
Таким образом, оператор S^ не дает вклада в матричный элемент комптон-эффекта С
Рассмотрим теперь матричный элемент (flS^ 10. На начальный |» и конечный |/> векторы состояния будем действовать вначале операторами электронного поля, а затем операторами фотонного поля. В разложение Вика интересующего нас 7-произведения полей электронов входят один член без сверток, два члена с одной сверткой и один член с двумя свертками [см. (5 67)]. Очевидно, что оператор
;V(^(Xi)-Yae(x1)e(X2)Y&e(x2))(6.22)
не дает вклада в интересующий нас матричный элемент. Действительно, представим все поля в (6.22) в виде суммы положительно-частотной и отрицательно-частотной частей. В каждый из операторов, на которые разбивается при этом (6.22), входит по крайней мере два положительно-частотных оператора либо два отрицательно-частотных оператора. При действии направо на начальный вектор два положительно-частотных оператора дадут нуль. Аналогично два отрицательно-частотных оператора при действии налево также дают нуль.
Далее в разложении (5*67) имеется два дающих одинаковый вклад в S-матрицу члена с одной сверткой. Рассмотрим один из них. Имеем
_ i1_ i□
N (е (к。丫工e (占)e (xj 1% (xJ) =(q) 丫％ (xj e (xj ?%(+)(хг) +
-1_I2
斗 e㈠(占)丫％ (.q) e (xj十 Z-)(xJ广e (xj e (xj 丫笃㈠㈢一
1(fe (Xi)或三)的％(+)T (xj. (6.23)
Из изложенного выше ясно, что только второй член в разложении (6.23) дает отличный от нуля вклад в матричный элемент комптон-эффекта. Используя (5.43), (6.9) и (6.14), получаем
(0 丨 4,(〃)県(0) Z㈠(xj，广е(Л J Z (xJ X
X Fe(+)(xj T(Ax(Xi) & (xj) cj 9)公他)I 0)=
_.:Л _3(曰一x1)
=M"X S e0A Y" —- [對1Y咁評‘9) X
(2寸J % —加
Хс"е〈0 I 外他)7 (4(%)&(/))加伍)I 0),(6.24)
где Я =Г Ai«-
Вычислим теперь матричный элемент 〈0|а(月，)Т(Аа(Х1)X ХАв(%2))。+(左)|0〉. Используя теорему Вика, получаем
Т (^(л,) Лр(х2)) = Y (Л(^1) $6(乙))亠 За Ю 力3 (%)，(6.25)
Далее имеем
N (4 (Х1) & (/))=』+)(.q)哈)(乙)+ A^ (看)<> (%)十
-」『)旧)出+) (占)+黑T (/)A『(xj. (6.26)
Рассмотрим вначале вклад второго члена разложения (6.26) в матричный элемент рассматриваемого нами процесса. Используя (6.18) и (6.21), получаем
(0 I %,(斤)4一)X)翠)(大 J at 伊)I 0)=
=#"£'(*)豊x、N忌® e"%〈0 I 0).(6.27)
Аналогично имеем
(o I 4,®)召т(X")坐+)(石)呦他)I 0〉=.-
=Мз e^ 1吟1』忘® e~itel (0 I 0).(6.28)
Далее очевидно, что первый и последний члены разложения (6.26) не дают вклада в матричный элемент процесса (6.1) (Оператор А^ (х2) при действии на вектор a^(k) |0> дает |0>; оператор Аам(Xi) при действии на вектор |0> дает нуль.) С помощью (6.24), (6.27) и (6.28) для матричного элемента 9—6910129
комптон-эффекта (после интегрирования пот и и %2)получаем 6 S(2，| г) = (- i)[ j 打"'(0) еу(2п)” (р'亠炉一凸)X
х— е* (2©‘ b(Pl — p — k) “’(р) N е? (*)结(舟"&凸 +
(2")4 p1 — m»
+ f Np/' (") ey" (2n『6 少一々一％)— е“『(2*尸 X
J(2冗尸 p1 - m
X 3 仇，欠一P)屮⑺ Npe± 3) e『(勿)d^i] (6.29) При получении (6.29) мы предположим, что вектор состояния вакуума нормирован условием
<0|0>=1(6.30)
Как видно из (6.29), матричный элемент <f|S(2)|i> построен из небольшого числа величин: спиноров 〃「(р) и и" (р') [возникающих от неспаренных операторов 行北必) и 鼠-)(修) в (6.23)], матриц 丫 (возникающих от гамильтониана взаимодействия), б-функций (от интегрирования по 務)пропагатора —[от свертки 2(犬1)6 (七2) в (6 23) ] и векторов полярн- Pi — m
зации 分(々)и 外'(々/) (возникающих от неспаренных операторов в (6.26). Если величинам, из которых строится матричный элемент〈f|S(『£〉，поставить в соответствие линии и вершины диаграмм, то диаграммы, отвечающие (6.29), должны строиться, следовательно, из небольшого числа элементов Поставим в соответствие первому члену в (6 29) диаграмму, представленную на рис. 6.1.
Пусть выходящей и входящей сплошным линиям на рис* 6.1 отвечают соответственно ，匕〃9‘) и Npu (/?), вершинам — (2冗)4еу6(Р‘——Р) (Р и Pf ——входящий и выходящий суммарные 4-импульсы), внутренней сплошной линии — оператор , а входящей и выходящей волнистым линиям — (2^)4 Pi — m векторы поляризации N^e(k) и 2V厉 6(々‘). Для того чтобы получить первый член матричного элемента (6.29), нужно, двигаясь против стрелок на сплошных линиях, выписать величины, которым отвечают линии и вершины. Полученное выражение следует умножить на величины, которым отвечают волнистые линии (по индексу у-матрицы и векторному индексу соответствующего вектора поляризации проводится суммирование). Наконец, найденное таким способом выражение следует умножить на (—i)2
Диаграмма рис. 6.1 отвечает следующей возможности перехода начальных электрона и 丫-кванта в конечные электрон и 130
Рис. 6.1. Диаграмма процессаРис. 6.1. Диаграмма процесса
Рис. 6.1. Диаграмма процесса
Рис. 6.1. Диаграмма процесса
丫-квант: начальный электрон с импульсом р поглощает начальный фотон с импульсом k и переходит в промежуточное (виртуальное) состояние с импульсом р】；затем электрон распространяется в промежуточном состоянии; наконец, виртуальный электрон испускает конечный фотон с импульсом 々'и переходит в конечное состояние с импульсом р‘. Подчеркнем, что поскольку начальный и конечный электроны ——свободные частицы, p2—pf2=m2. Квадрат импульса виртуального электрона не равен т2 (pi — переменная интегрирования).
Диаграмма рис. 6.1 описывает одну из возможностей перехода из начального состояния в конечное (во втором порядке теории возмущений). Другая возможность состоит в следующем начальный электрон с импульсом р вначале испускает конечный фотон с импульсом 々'и переходит в промежуточное состояние с импульсом рг; затем электрон распространяется в промежуточном состоянии; наконец, виртуальный электрон поглощает начальный фотон с импульсом 应 и переходит в конечное состояние с импульсом "'. Этой возможности отвечает диаграмма рис. 6.2. Если принять правила, которые были сформулированы при построении диаграммы рис. 6.1, то очевидно, что по диаграмме рис. 6.2 мы получим второй член матричного элемента (6.29). Диаграммы, представленные на рис. 6.1 и 6.2, носят название диаграмм Фейнмана. Сплошные линии диаграмм Фейнмана происходят от оператора
e(j (Xi)¥e(xj3 (xj *е(+)(xj.
Диаграммы рис. 6.1 и 6.2 отвечают соответственно ■Аа(-)(修)4鼠+>(%2)и Др^~)(х2)Л(х<+)(xi) (двум членам в разложении Т(Ла(х1) Др(х2)), дающим отличный от нуля вклад в матричный элемент рассматриваемого процесса) *. Далее в каж-
窖 Две диаграммы возникают вследствие того, что фотон ——истинно нейтральная частица В результате при переходе электрона из одного состояния в другое фотон может как поглощаться, так и испускаться.
9* 131
дую из вершин диаграмм Фейнмана входит S(Pf—Р). Таким образом, в каждой из вершин сохраняется полный 4-импульс (что, разумеется, приводит к сохранению полного 4-импульса процесса). Интегрируя (6.29) по р】,для матричного элемента комптон-эффекта получаем окончательно следующее выражение:
什 i S⑵丨 0 =-ie2Np,NpNk>IVkX
x (p') 2"(終)—jёх (期 ur (p) 4-
+ 7' (川/ (期/_；_//®)公(切］(2力)4 6 (炉亠勿一"一财
Р— 一小(6.31)
В заключение несколько слов о вкладе в матричный элемент комптон-эффекта членов высшего порядка теории возмущений. Из изложенного выше ясно, что отличный от нуля вклад в матричный элемент процесса могут дать только такие члены в разложении Т-произведений, в которые входят неспаренные операторы А^А^ (все остальные операторы фотонного поля должны быть спарены). Таким образом, только операторы SJ71) (〃=1, 2 ..) дают отличный от нуля вклад в матричный элемент комптон-эффекта.
Процесс「+?+ту+?
В качестве следующего примера мы рассмотрим процесс аннигиляции пары электрон — позитрон в два фотона:
(6.32)
Очевидно, что в матричный элемент этого процесса дают вклад только такие члены в разложении Вика, в которые входят два отрицательно-частотных оператора электромагнитного поля. Это означает, что только операторы S(m (1, 2...) дают отличный от нуля вклад в матричный элемент процесса (6.32). В этом параграфе мы вычислим матричный элемент этого процесса во втором (низшем) порядке теории возмущений. S-матрица и гамильтониан электромагнитного взаимодействия даются выражениями (6.2)——(6.4). Наша задача состоит в вычислении
<Л5|0,
где начальный |£〉 и конечный |/〉 векторы состояния даются выражениями
I j〉= С『⑵ dr，9') I 0〉，］
I/〉= &：(用时他')1033)
Здесь р, г й //,尸——импульсы и спиральности начальных электрона и позитрона, а й, X и //,九'——импульсы и индексы векторов поляризации конечных фотонов*.
Подействуем вначале операторами электронного поля на вектор I f). Очевидно, что отличный от нуля вклад дает только следующий оператор в разложении Вика (6.23):
е(+)(xj ^ле{х^ё{х^ 丫昵(+)(х)
Имеем
Е(+)(修)е(+)(%2)с+ (р) d+ (//) 10〉=
=尹)(修)([е")(Х2), с-|0>.(6.34)
Очевидно, что
。⑺(％2)d+(J) |0〉=—d+(J)e(+)(也)|0>=0.
Используя (3.154) и (3.155), получаем
2(+)(%) е(7 (xj с+ ® d+ ⑺ I 0)=
=V (р) е-3”ё(+) "J d+ (川 I 0).(6.35)
Далее имеем
巨(十)(修)公(0‘)10) = ([ё(^ (x^d^ (p") ]--
—d丄(叫级上)(%]))10〉.(6.36)
Второй член в (6.36) равен нулю. Используя (3.154) и (3.155), получаем
Q+)(Xi) d- (р')]^ = NpM— "') е-"”1.(6.37)
Окончательно с помощью (6 35) — (6 37) находим
е(+)(%) е(+)(л2)(р) d+ (?) I 0)=
=Np,u (―炉)е-"ЗУ产(p) e—叩 I 0).(6.38)
Итак, оператор @(一)(％i) e(+)(尤2) при действии на вектор c~[p)d^(pf) |0), описывающий электрон и позитрон, уничтожает электрон и позитрон. В результате мы получаем вектор состояния вакуума 10>, который умножается на функцию
Np, й(— ") 「w”产(切 e一宀.
Подействуем теперь на конечный вектор состояния </| операторами электромагнитного поля. Очевидно, что отличный от нуля результат дает только оператор А^ (xi)Xp^_)(x2) в раз-
В дальнейшем индексы г, г', Л и Xх будут опускаться.
ложении Вика (6.26) Используя (3.207) и (3.^)), получаем
〈0 I а (綻)а (々)』£Т(X。阕т (%)=
=(0 I а (硝([а 伕)跳т (xj]十 А『)(х。а (舟)4『⑸)==(01 (20 (舟"如М，曲网产N十必，e。 ")产'如N%%回e‘1).
(6.39)
Итак, при действии налево на вектор состояния двух фотонов (01 а侬)а (々)оператор 儿㈠(修)仆㈠(％2)дает вектор состояния вакуума <0|, который умножается на функцию
.m© 3) eз %"年(削)产f亠々二牝
симметричную относительно перестановки 々=々二 Очевидно, что симметрия этой последней функции является следствием тождественности фотонов.
Вычисление матричного элемента〈〃5(叫》〉не представляет теперь труда. Используя (6.38) и (6.39) и интегрируя по Xi и 工2, получаем
行 I s⑵ I о =(-iyjypzu(-^)^(2^8(-+ 々一
空0 (2句* 6 (〃i 一联p) u (〃) Y X
(2 花尸 Px - m"
X备他)м，ев侬)d"i + (々二勿).(6.40>
Матричному элементу (6.40) поставим в соответствие диаграммы, изображенные на рис. 6.3. Сравним диаграммы на рис. 6.3 с диаграммами рис. 6.1 и 6 2. Единственным новым элементом на рис. 6.3 является сплошная выходящая линия, которой при-
Рис. 6 3. Диаграмма процесса г~+е+->у+у
писан нефизический импульс — //= (—р，，一Р‘) (内'= 二十丫加+产). Поставим в соответствие этой линии Np'H (—pz). Для всех остальных элементов диаграмм рис. 6.3 примем правила соответствия, которые были сформулированы при рассмотрении комптон-эффекта. Двигаясь против сплошных линий на рис. 6.3 и выписывая величины, которым соответствуют линии и вершины, а также умножая полученное выражение на векторы поляризации, которым отвечают волнистые линии, по диаграммам рис. 6.3 мы получим при этом матричный элемент (6.40). Диаграммы рис. 6.i являются диаграммами процесса e_H-e*->7+Y- Таким образом, выходящей сплошной электронной линии с нефизическим импульсом—р7 оти вечает поглощение позитрона с импульсом pz.
Диаграмма на рис. 6.3,。описывает (во втором порядке теории возмущений) следующую возможность перехода электрона и позитрона в два у-кванта: электрон с импульсом р испускает фотон с импульсом 旣 и переходит в промежуточное состояние с импульсом pi, электрон распространяется в промежуточном состоянии; виртуальный электрон с импульсом 卩 и позитрон с импульсом // аннигилируют с образованием фотона с импульсом 瓦 Диаграмма на рис. 6*3,6 отвечает другой возможной последовательности испускания фотонов. Матричный элемент рассматриваемого нами процесса дается суммой вкладов диаграмм рис. 6 3. Это связано с гем, что фотоны — тождественные частицы, удовлетворяющие статистике Бозе.
Выражение (6.40) может быть проинтегрировано по импульсу промежуточного электрона р> Окончательно для матричного элемента процесса十у получаем
{N s⑵ I 0 = - i %, M^2[u (一炉)我肉/二_m 2 (配)〃(")+ + u (― "') e (勿)^^ e 3) u (〃)] (2冗)4 Ь (k k' — p — //). (6.41)
Процесс у十丄
В этом параграфе будет рассмотрен процесс
?+yf ?-+?丄，(6.42)
обратный процессу (6.32). Импульсы конечных электрона и позитрона обозначим pz и р, а импульсы начальных фотонов k и 々/. Начальный и конечный векторы состояния даются соответственно выражениями
I 0 = * (〃)а+伍)丨4幻
⑺=с+⑺ d-(?) I 0〉. j
Наша задача состоит в вычислении матрично!131 Элемента
〈f|S(2 屮〉，
где оператор S^^ дается (6.3), а гамильтониан электромагнитного взаимодействия— (6.4).
Очевидно, что в матричный элемент рассматриваемого нами процесса отличный от нуля вклад дает только следующий оператор в соответствующем разложении Вика:
工㈠沁)г ЛТТ^沁)丫睡㈠(匸)Л<+, (Xi) 4$+)(xj. (641)
Имеем
(0 I d仍)。 (川21(看) e㈠(xj =(0 | dg)(jc⑺"㈠沁几- 一3㈠(xj с (川)e(f (xj = (0 I 2р^(川 е^%А>(—")еЗ{ (6.45) Далее получаем •
Я<+)(XJ А^(Л2) а+ (〃)&т 伍)I 0)=
=」「)&) (4『(％), L 伍')］丁。一(〃)鹏+)(%))尸(田 I 0)
=3庐亠仅)еТХ”》ез(〃)el"*，一住二职))| 0).(6.46)
Вычисление матричного элемента рассматриваемого нами процесса не представляет теперь труда. С помощью (6.44), (6.45) и (6.46) получаем
I S⑶ I 0 = (— i)2、Np五⑺ er (2寸 5(/ 一
—Pi -团 7Л?下(2力)4 3 (%—
(2寸戸〃
- (-"))u ⑵ NpNk 施他)Nh，内(勿)G% + (左二削).(6.47)
Матричному элементу (6.47) поставим в соответствие диаграммы, представленные на рис. 6.4. Если входящей сплошной линии с нмпу/ьсом — р(р= (р°, р)—импульс позитрона) поставить в соответствие М* = 〃(一р), а для остальных элементов диаграмм рис. 6.4 принять сформулированные в § 6.1 правила соответствия, то очевидно, что по диаграммам рис. 6.4 может быть получен матричный элемент (6.47). Рассмотрение процесса 丫+^~^0一+?十 позволяет нам сформулировать следующее правило: входящей сплошной электронной внешней линии с импульсом —р отвечает испускание позитрона с импульсом р.
Диаграммы рис. 6.4 описывают следующие возможности перехода (во втором порядке теории возмущений) двух фотонов в электрон-поэитронную пару фотон рождает конечный 136
片片
片
片
Рис. 6 4. Диаграммы процесса 丫十丫-＞好十什 позитрон и виртуальный электрон; затем распространяется виртуальный электрон; наконец виртуальный электрон поглощает фотон и переходит в конечный электрон.
Выражение (6.47) может быть проинтегрировано по импульсу виртуального электрона pi. Для матричного элемента процесса 丫+?-*?一+?十 получаем окончательно
⑴S⑵丨0 =
=—i Np’N”h，N庐"^1 ("') e (й) ~—^e (也')u (— p) +
+住二左')卜2e广6 (// + "一々—您).(6.48)
Процесс y+е++7+?+
В разложении Вика (6.23) имеется четыре члена. Первые три члена дают вклады соответственно в матричные элементы процессов, рассмотренных в § 6.1—6.3. Последний член дает вклад в матричный элемент комптон-эффекта на позитроне
y+? t(6.49)
Обозначим импульсы начальных и конечных фотона и позитрона 々，р н 々'，р'. Начальный и конечный векторы состояния равны
I 0 = d+ ® а+ 他)I 0), I6
丨力=d+ (?) а+ ⑺ |0). I
Вычислим матричный элемент
где оператор S⑵ дается (6.3).
Рнс. 6.5. Диаграммы процесса 丫十^十-^+倉十
Очевидно, что в матричный элемент <f|S(2)|O дает вклад оператор
沁)Q“е (z)3QQ 同 е(+"(修)X
X (А『)(；1) Д^ (%)十 А『)(％)厶广)(xj).(6.51)
Имеем
Н+"Х) *)(xj| 0 = ”/「(一р)山廿”© 他)ef『0〉[ 〈f1.星7(%)z—"(八)=(6.52)
=(0 I Nk，e。网 e!小屮(一川'
С помощью (6.51) и (6.52) для матричного элемента процесса (6.49) без труда получаем следующее выражение:
⑺ s⑵ I о = —(— i)2[Jvpu (— p)叩3)4 M—P — Pi —
一期鳥 亠一6丫В (2寸一
(2 齐)4 p\—m
-(-X)) U (- "‘) "p м通他)N%? сВ (勿)d"] +
+ f N и (— р) еу (2z)4 Ь(~р + k'—凸)-i—X
J "(2力尸A一m
X 咿(2^)4 6 (乌一々一(一0)) U (― //) Np.Nk，ea{k')Nke^ 但)不网.
(6.53)
Матричному элементу (6.53) отвечают диаграммы, представленные на рис. 6.5. Нетрудно убедиться в том, что с помощью правил соответствия, сформулированных в предыдущих параграфах, по диаграммам рис. 6.5 может быть получен матричный элемент (6.53).
138
Диагр .на рис. 6.5,а (рис. 6.5,6) описывает следующую возможность перехода из начального состояния в конечное: позитрон с импульсом р поглощает фотон с импульсом 月(испускает фотон с импульсом 々')и переходит в промежуточное состояние с импульсом р^ затем позитрон распространяется в промежуточном состоянии; наконец, виртуальный позитрон испускает фотон с импульсом 旣(поглощает фотон с импульсом k) и переходит в конечное состояние с импульсом р\
После интегрирования по pi для матричного элемента процесса получаем окончательно следующее выражение:
行 I S⑵丨 0 =乂
X [ a (- ^) g 他)e (级)и (- 0)+
L- P — m
+ и(— Р)е (既)一е (灯 u (― X) ] (Zu)" a(p' ^-k' ~p~ A).
(6.54)
Итак, в последних четырех параграфах мы рассмотрели следующие электромагнитные процессы:
丫+e-、+?-,(6.55)
?-+е 十_^у+у,(6.56)
?+Lё~+?亠，(6.57)
т+^-^у+ел(6.58)
Все эти процессы могут быть получены, например, из комптон- эффекта на электроне путем переноса частиц из одной стороны равенства в другую с заменой при этом частиц соответствующими античастицами. Диаграммы процессов (6.56)— (6.58) могут быть получены из диаграмм процесса (6.55) (рис. 6.1 и 6.2), если допустить, что импульсы внешних линий могут принимать как физические (р=(叫 р), р° = 4-Ут2+р2), так и нефизические (—р—(——р°, —р)) значения. При этом выходящей (входящей) сплошной электронной линии с импульсом—р отвечает поглощение (испускание) позитрона с импульсом р. Выходящей (входящей) волнистой фото^ой линии с импульсом —А отвечает поглощение (испускание) фотона с импульсом 々(фотон ——истинно нейтральная частица). Отметим, что входящей либо выходящей фотонной линии с нефизическим импульсом —k следует поставить в соответствие
Процесс?-+?
В этом параграфе будет рассмотрено упругое рассеяние электронов на электронах (мёллеровское рассеяние)
е~+е-^е~+е-.(6.59)
Ясно, что отличный от нукя вклад в матричный элемент этого процесса дадут только такие члены в разложении S-матрицы, в которые входят два неспаренных оператора 決一)и два оператора е(+). Все другие операторы должны быть спарены. Это означает, что отличный от нуля вклад в матричный элемент процесса (6.59) могут дать только операторы четного порядка теории возмущений. Во втором (низшем) порядке теории возмущений имеем
Г (5 (xj 丫七(xj 丄沁)ё(xj 丫盹(xj 鼻(xj)今—3尸(Xi) X
Х^『)(О е了(勺)e『(xj (丫“)〃，(衿小工 б) $ (xj. (6.60)
Обозначим импульсы начальных и конечных электронов Pi, 02 и р/, 02： Начальный и конечный векторы состояния соответственно равны
I，〉= L (小一 (％)丨 0〉；]
If) =I 0). 1
В соответствии с нашим общим правилом будем действовать на начальный вектор состояния положительно-частотными операторами. Используя (6.8), получаем
е” (А)空+)X) (А) с= (Al) 2〉= е/+)(Z)QQ+)(/) с+ 3)]+ —
—с+ (内 е/ (爲))с+ (必)I 0) = (%，％ 3) e-小匕气(％) el?m —
一 ％, up (%) e—5厶冷工％(厶)e-5A) I 0).(6.62)
Итак, если на вектор состояния двух электронов с импульсами 0 и 卩2 подействовать произведением двух операторов уничтожения электронов, то в результате мы получим вектор состояния вакуума, который умножается на волновую функцию, описывающую два электрона с импульсами pi и р2. В следствие тождественности электронов эта функция антисимметрична относительно перестановки 卩 и р2f
Подейс"^ ем теперь на конечный вектор состояния <f| one- ратором«2厂'(xj е；厂)(％2)・Используя (6.13), получаем
(0 I е ("T) С SJ)Z" (^)^ (居)=(0 I e SJ) ([e 3')2"(修)]+ -
一2尸(修)c (P^ 呑)(xj(0 丨(％,，&, 3，)X
X eg%Vpj 0, ("J) e5'“一 ("T(6.63)
Таким образом, оператор eV (x0 e^ (x2) при действии налево на конечный вектор состояния двух электронов с импульсами р/ и 卩2‘ уничтожает электроны. В результате мы получаем вектор состояния вакуума 〈0|, который умножается на функцию двух конечных электронов, антисимметричную (вследствие тождественности электронов) относительно перестановки р/ ир2'.
4 (修)4 (xj ~4 (修)4 (xj ~а—i 々(х 1—а—i 々(х 1—Приведем теперь выражение для свертки операторов электромагнитного поля. Имеем
4 (修)4 (xj ~
4 (修)4 (xj ~
а—i 々(х 1—
а—i 々(х 1—
(6.64)
Отметим, что вид свертки Да (хх) & (厶)зависит от выбора калибровки. Мы используем калибровку Фейнмана.
Вычисление матричного элемента процесса (6.59) не представляет теперь никакого труда. Используя (6.62) — (6.64) и интегрируя по 尤】и х2, получаем
⑴s⑵10 =
=—(—i)吓a (pj) ep (2r)‘ 3(^；十々一pj u (/?；) "?，，x J L(2寸
X 鲁 Np、, u ("]') e¥ (2寸 3 (p、'一p、一h)u ^)^Р1 一 gj 二厶')]小瓦
(6.65)
Матричному элементу (6.65) следует поставить в соответствие диаграммы Фейнмана рис. 6.6.
По сравнению с диаграммами ранее рассмотренных процессов на диаграммах рис. 6.6 имеется один новый элемент ——внутренняя фотонная линия. Как видно из (6.65), этой линии отвечает фотонный пропагатор
(6・66)
Рис. 6.6. Диаграммы процесса c+e+f е-^-е— в низшем порядке по е
(а и § — индексы у-матриц в соответствующих вершинах). Очевидно, что для внешних электронных линий и вершин сле^ дует принять те же правила соответствия, что и во всех рассмотренных ранее примерах.
Диаграмма рис. 6.6,。отвечает следующей возможности перехода из начального состояния в конечное: электрон с импульсом "2 испускает фотон с импульсом 左 и переходит в конечное состояние с импульсом 卩2‘； фотон распространяется в промежуточном состоянии с импульсом 依 электрон с импульсом Pi поглощает фотон и переходит в конечное состояние с импульсом р/.
Диаграмма рис. 6.6,6 отвечает другой возможности перехода из начального состояния в конечное, электрон с импульсом р2 испускает виртуальный фотон с импульсом k и переходит в состояние с импульсом р/; фотон р аспр остр а ня ется в виртуальном состоянии; электрон с импульсом pi поглощает виртуальный фотон с импульсом k и переходит в состояние с импульсом "2‘ Эта вторая возможность перехода из начального состояния в конечное обусловлена тем, что электроны — тождественные частицы. Знак минус в (6.65) возникает из-за того, что электроны удовлетворяют статистике Ферми — Дирака.
По импульсу виртуального фотона в выражении (6.65) можно провести интегрирование. Окончательно для матричного элемента процесса 廿一+廿一+已-十已一 получаем следующее выра-
жение:
⑴ S⑵丨"=i%/ NpM「V« [u(^) g (%，)厂 1 X
X U (A') %" (〃1)— 〃(必‘)Г 〃("2) —T-5~a 9J)%aX
x (2" 3("； + p； — A — P)(6・67)
Процесс ?+十？-一>e+十2-
В этом параграфе мы получим (в низшем порядке теории возмущений по е) матричный элемент процесса упругого рассеяния позитрона на электроне*
?▼十e一тe十+?一.(6 68)
Очевидно, что отличный от нуля вксад в матричный элемент процесса (6.68) дают четные порядки теории возмущений по е (операторы электромагнитного поля должны быть спарены). Во втором (низшем) порядке отличный от нуля вклад дают операторы
Т (ё (xi) yae (xi) ё (х2)у^е (х2))今
>G(f (修)Y旳㈠(右)尹)(工2)7陀(+)(尤 2)+
十色㈠(尤2)У吃㈠(工2)g㈠(修)Y咽十)(修)+
+，V e二)(不)y*+)(/)qM (尤2) We㈠(尤2)) +
十/V ®+)3)?ae(-)(修)g(-)(尤2)y%(+)(尤 2))(6.69)
Перестановкой операторов под знаком нормального произведения, а также переобозначением переменных суммирования и интегрирования нетрудно убедиться в том, что вклад в S-матрицу второго (четвертого) члена в правой части (6.69) совпадает со вкладом первого (третьего) члена. Далее отличный от нуля вклад в матричный элемент дает только свертка операторов электромагнитного поля
'I i「а—ik{Xx—#2)
т (A Qq) * (х2))今 4(Х0 Лр (%) = ^rgaj^d%・
(6.70)
Перейдем теперь к вычислению матричного элемента"|S(2)|i〉，
где начальный и конечный векторы состояния равны
|i〉= c+("[)d-("/) |0〉， |f〉= c+(p2‘)d+("2)|0〉.(6.71)
* Этот процесс был впервые рассмотрен Баба. Его часто называют процессом Баба.
Здесь pi и р/ (卩2‘ и 卩2)—импульсы начальных (конечных) электрона и позитрона. Как обычно, на начальный | i> и конечный v| векторы состояния будем действовать соответственно положительно-частотными и отрицательно-частотными операторами. Получаем
行 I 3(т (А) ^е㈠(^)e(+) (&) 丫。小)(％) I t) •■=
=Ngdm'X'Z (区')，广" (-P)冷工 <
X ef—cA'/Vp,, eff * 也(一pj) 丫九仇)Np、е-1рЛ； (6.72)
О I /V 位(一)(хОГ^^(A)^(+)(占)丫睡㈠(xj) I =
X e—SJ №?,，е"-с')х2 й(— pj)沙 “ (―p；) 2加 eTf')& (6.73)
Вычисление матричного элемента рассматриваемого нами процесса не представляет теперь никакого труда. Используя (6.70) г (6.72) и (6.73) и интегрируя по Xi и х2, имеем
(/ I S⑵丨 D = (— i)2 j[^u 旧)е『2" 8 (pj -
一左一(-P^ " (-p2)"c ^^ 8邙 ~7- у0/ " (- Pl') ^№ (2n)4 X
X s ((— Pl') + A — Pl) " (PD Np、—N“ й (—丛‘)6丫。(2* X
X 2 ((— Pi)—力一(一"J) u (— pj V〃^^ gag X
X £，Vc，Z (p；)" 3)4 a g; 一 ％ 十用〃 3)d%. (6.74)
Диаграммы процесса e十+?-->已+十©- представлены на рис. 6.7.
Диаграмма рис. 6.7,а отвечает следующей возможности перехода из начального состояния в конечное: электрон с импульсом а и позитрон с импульсом —pj превращаются в виртуальный фотон с импульсом 力;фотон распространяется в промежуточном состоянии; наконец, виртуальный фотон с импульсом А образует пару — электрон с импульсом p2f и позитрон с импульсом р2・
Другая возможность перехода из начального состояния в конечное состоит в следующем (см. рис. 6.7,6): электрон с импульсом pi испускает виртуальный $отон с импульсом k и переходит в конечное состояние с импульсом "2‘； фотон распространяется в промежуточном состоянии; начальный пози-
Рис. 6.7. Диаграммы процесса е++е~->е++е- в низшем порядке по е трон с импульсом р/ поглощает виртуальный фотон и переходит в состояние с импульсом р2.
Диаграммы рис. 6.7 имеют тот же вид, что и диаграммы на рис 6.6. Двум линиям на рис. 6 7 (выходящей и входящей) приписаны, однако, нефизические импульсы (соответственно —р/ и —卩2)・ В соответствии с общим правилом, сформулированным в § 6.2 и 6 3, выходящая электронная линия с импульсом —р/ является линией начального позитрона с импульсом р/, а входящая электронная линия с импульсом ——卩2 — линией конечного позитрона с импульсом р2
Из выражения (6.74) очевидно, что по импульсу 々 виртуального фотона можно провести интегрирование. Окончательно для матричного элемента процесса ?十+?一+?++?一 получаем следующее выражение*
行 |S⑵ |i〉=iNp,
X(P J) F "(—厶)-~“ (— Pl') Ya “ (Pl) i (— Pl') X
X № 〃(一 P J ~~~(A') % " (%H(2* 3 (p； + Pi — P1 — p^). (A — A)2J
(6.75)
Процесс е++е~т读十+卩一
В предыдущих параграфах мы рассмотрели процессы рассеяния электрона на электроне и электрона на позитроне (во втором порядке по электромагнитному взаимодействию). Здесь будет получен матричный элемент процесса
е++^-->р,++н~(6.76)
во втором (низшем) порядке по электрослабому взаимодействию.
Рис. 6.8. Диаграммы процесса е+丄e*~f 卩+十卩一 (обмен у-квантом и Z-бозоиом)
В соответствии со стандартной теорией электрослабого взаимодействия пара е丄——е~ может превратиться в фотон (электромагнитное взаимодействие) либо в Z-бозон (нейтральный ток). Фотон и Z-бозон могут превратиться в пару 卩-一卩一.Таким образом, во втором порядке теории возмущений по элект- рослабому взаимодействию диаграммы процесса (6.76) имеют вид рис. 6 8.
Интересующая нас здесь часть лагранжиана электрослабого взаимодействия дается выражением [см. (4.160)]
2/ = 一 е £ ГГ d — ^f^ 工 M (欧十 g' %)⑵，(6.77) где
gp 二一£•丄 2 sin? 6W; g4 — — -|~(6.78)
(0w — угол Вайнберга).
Рассмотрим вначале первый член выражения (6.77) (лагранжиан электромагнитного взаимодействия). Очевидно, что отличный от нуля вклад в матричный элемент процесса (6.76) дает оператор
Т G (%) Г世“丄)Ах (修)工(/) 丫В© (/) 4(/))=>
今 QT (м) Y“P■㈠(X。£(+)(xj 叩八+)(Q 丄(Xi) 4 (xj. (6.79)
Рис. 6.9. Диаграмма процесса e+十6一+n一+卩一 (однофотонный обмен)Рис. 6.9. Диаграмма процесса e+十6一+n一+卩一 (однофотонный обмен)Рис. 6.10. Диаграмма e 十+ё一一＞卩++林一 (обменРис. 6.10. Диаграмма e 十+ё一一＞卩++林一 (обменпроцесса Z-бозоном)процесса Z-бозоном)
Рис. 6.9. Диаграмма процесса e+十6一+n一+卩一 (однофотонный обмен)
Рис. 6.9. Диаграмма процесса e+十6一+n一+卩一 (однофотонный обмен)
Рис. 6.10. Диаграмма e 十+ё一一＞卩++林一 (обмен
Рис. 6.10. Диаграмма e 十+ё一一＞卩++林一 (обмен
процесса Z-бозоном)
процесса Z-бозоном)
Далее начальный и конечный векторы состояния равны
丨"=с+ (Pl) d- (pj I 0),]= с+(Р0 d+(pj)丨 о；', J
где pi и р2 — импульсы начальных е~ н е+, а р/ и р?' — нм- пульсы конечных 呼 и『.
Действуя стандартным способом на начальный (конечный) вектор состояния положительно-частотными (отрицательночастотными) операторами, получаем
〈/ I G㈠(Xi)"广心一)(х1)ё(+) (&)丫睡(+)(xj I i)=
=4, NQp、%,e5‘a u (pj)门(-pj) e-f')J X
x e(~p^ u (- p2) yp u ^) е-!Р1^.(6.81)
Далее, используя (6.70) и (6.81), для вклада гамильтониана электромагнитного взаимодействия в матричный элемент процесса (6.76) находим следующее выражение:
〈j I S ⑵ em I 0 = (-i)2j^U ("J) Т (2* 8 SJ — (-"；) 一
一9)"(一区')2加^^ g邙十2ga (一")eyB (2n『6 (q+
+ (-区)-"1)"(A)Np、對"(6.82)
147147Матричному элементу (6.82) отвечает диаграмма рис. 6.9.
147
147
Свертка операторов поля Z-бозонов дается выражением [см. (5.48)]
адЬР&j就% (6.83)
(2h)4 J厅一崂‘
Из (6.70), (6.77) и (6.83) очевидно, что вклад нейтрального тока в матричный элемент процесса (6.76) может быть получен из (6.82) следующей заменой:
% ев
w/统8 亠邓
Имеем
⑴ S ⑵。I，)=(一 i)，[ ％/〃冰)^^ у (a +
.g邙——r-
+ gA 丫J (2冗)4 3 (凸‘ 一(-〃2')一 4) "(一 〃；)Np,，y—^ —7- X
(2К)4 严一吭
X»Z" (- p^ ^^ ^ (g斤 + g^x) (2不)4 3(7 + (— "J -
'-厶)〃 (A) 4 d%・(6-84)
Матричному элементу [155] отвечает диаграмма рис. 6.10.
Вершинам на рис, 6.10 следует поставить в соответствие
号/ F (gy + g#) (2吗4 6 (P — P) (6.85)
(6.86)(6.86)(Р и Pf — суммарные входящий и выходящий импульсы), внутренней штрихованной линии — пропагатор Z-бозона
(6.86)
(6.86)
(2 冗)4(7 2—^2
а сплошным линиям — соответствующие спиноры со стандартными нормировочными множителями.
По импульсам промежуточных фотона и Z-бозона в выражении (6.84) может быть проведено интегрирование. В ре- 148
зультате для матричного элемента рассматриваемого процесса получаем следующее выражение:
〈/|S⑵ I" =i%",,N“X
* 卜打(p/) Y" u (— p；)十"(一"J % a (A) +
+ 善尢 " W 丫"翩 + g4%) "(- %')X
x——^— “ (—A) Ya(^ + g^ %)" (Pi) (2冗)筋(〃J +p；—厶—〃 J 尸一响J
(6.87) где
д="1+"2 = "i'+"2‘.
Нетрудно видеть, что второй член в числителе пропагатора Z-бозона может быть опущен. Действительно, используя уравнение Дирака, получаем
"("J) Y" (gy + gA%)"(―厶')％ = 2加『(pj) g^.u (― /7/), 1
—} (6.88)
"(一。2)于(g斤十 g4R)〃(Pi) % = - 2乙以 (—"J g小 丫也(Pi)J
где 加卩 и те — массы мюона и электрона. Таким образом, второй член числителя пропагатора Z-бозона равен 4mme
—《1. Далее, в стандартной теории с хиггсовским дубле- 叫
том между массами W- и Z-бозонов имеет место соотношение (СМ. § 2.4)
ш^ cos2 9w =呜.
Получаем
/■ = 2旦啰(6.89)
4cos2 9W |/2 z，t /
где
g2
И 2 8m^
—константа Ферми. Матричный элемент (6.87) может быть, следовательно, записан в виде
〈j I S⑵ © =3p,“С％)“8卜2〃 ^^и^__ p^LU(_^p^u ^) +
+ 2 負 « S；) 丫" (gy 十 gA 丫5)" (- 4)- "Z 厂 u (- "J % (gy + m 2q2 —加%
(6.90)(6.90)十 gA'^ " СЛ)] QB)' S (片 + P'2 — Pi ~ A)-
(6.90)
(6.90)
Обозначим Е энергию ?+(?一) в с. ц. и. Если выполняется нера венство £2 ~mz — -Р 103 ГэВ2, то очевидно, что множитель
в (6.S3) можно заменить на— 1. «2—臘
. Процессы VR(vu)+e-f VyXv^J+e-
B этом параграфе мы получим матричные элементы процессов упругого рассеяния мюонных нейтрино и антинейтрино на электроне:
v^+e-->v^+e-,(6.91)
v^+e~->v^+e-(6.92)
Рассмотрим вначале процесс (6.91). В низшем (втором) порядке теории возмущений по электрослабому взаимодействию процесс 丫卩—е-рассеяния обусловливается обменом Z-бозоном между нейтрино и электроном*. Диаграмма процесса представлена на рис. 6.11.
Перейдем теперь к вычислению матричного элемента процесса (6.91). Лагранжиан, описывающий взаимодействие мюонных нейтрино и электронов с Z-бозонамн, имеет вид [см. (4.160)]
%/ = —■五詳w [4" №「(1 + 丫5)母)+ (е 丫° 區丄 gA 丫 5)e)] Za,
(6.93) где
^7= —l/2+2sin20w； g^ = —1/2.
Во втором порядке no g вклад в матричный элемент процесса (6.91) дает оператор
Т (Va (Х1) 丫“ (1 + 丫J V^ (q) Z。(勺)e (xj ^ (g^ + g^ 丫J e (%) Zp (x)):ф
今2"『(乙)Y% + %)止+)(.%)61(/)Y8值V+8灯5)6(+依2))2g1*心0).
(6.94)
Рис 6.11. Диаграмма процесса '，卩+?->&+?■Рис 6.11. Диаграмма процесса '，卩+?->&+?■Начальный и конечный векторы состояния равны
Рис 6.11. Диаграмма процесса '，卩+?->&+?■
Рис 6.11. Диаграмма процесса '，卩+?->&+?■
|i〉= c+(p)L^)|0〉，
|f〉= c+(L)c+(貶)|0〉.(6.95)
Вычисление матричного элемента оператора (6.94) ничем не отличается от вычислений, которые мы уже неоднократно проделывали. Для матричного элемента процесса 丫以一е- рассеяния получаем следующее выражение:
⑴S⑵丨0-3><
X m，% N? N卅(版)"广(1 一 r) U 肉 X
X —u (p‘)％(gp + 等％) “ 仍)(2 3(〃 十 // —々一P), (6.96) 尸一施
где
7 =力一月/=，一p.
Матричный элемент (6.96) можно получить с помощью диаграммы рис. 6.11. При этом нейтринной вершине следует поставить в соответствие
-2^ТГ(1+Ь)№^-?-^
а для всех остальных элементов диаграммы принять уже сформулированные правила соответствия.
Отметим, что при всех доступных нам энергиях q?《тТ. Таким образом, q2 в пропагаторе Z-бозона можно пренебречь по сравнению с т2г. Для эффективной константы взаимодействия получаем
8т2 cos2 9W>2
где
cos2 9W
Напомним, что в стандартной теории электрослабого взаимодействия с дублетом хиггсовских бозонов р=1.
Диаграмма процесса ^丛十？->^丛+? может оыть получена из рис. 6.11, если выходящей нейтринной линии приписать импульс ——々，а входящей ——импульс ——力'(k и 力'一импульсы начального и конечного антинейтрино). Матричный элемент этого процесса дается, следовательно, выражением
行 I s⑵ I "= 一，靑？ ％，%Np,储工(-例 Y“(1 十 ％) 〃 (-好)X
X « ⑺ 丫a (gv - ga%) 〃 W) (2寸 6 您十0'一々一夕)•(6.99)
Процессы Ve(Ve) + e~->Ve(Ve) + 6-f ^+十^一―^十^
В этом параграфе мы получим матричные элементы процессов
(6.100)(6.101)(6.102)(6.100)(6.101)(6.102)V。+?一~^Ve+c一,Ve + d Уе + С-,c++C—->Ve+Ve
(6.100)
(6.101)
(6.102)
(6.100)
(6.101)
(6.102)
во втором (низшем) порядке теории возмущений по электро- слабому взаимодействию. Начнем с первого процесса. Начальное нейтрино может испустить виртуальный Z-бозон и перейти в конечное нейтрино Виртуальный Z-бозон поглощается далее электроном. При этом электрон переходит из начального состояния в конечное Эта возможность перехода обусловлена нейтральными токами [лагранжиан взаимодействия (4.160)]. Соответствующая диаграмма представлена на рис. 6.12.
Другая возможность перехода из начального состояния в конечное состоит в следующем. Начальное электронное нейтрино испускает виртуальный 1Г~-бозон и превращается в ко-
Рнс. 6.12. Диаграмма процесса Veg-_^Vee- (обмен Z-бозоном)Рнс. 6.12. Диаграмма процесса Veg-_^Vee- (обмен Z-бозоном)Рис. 613. Диаграмма процесса vee~-^vee- (обмен 1Г-бозоном)Рис. 613. Диаграмма процесса vee~-^vee- (обмен 1Г-бозоном)
Рнс. 6.12. Диаграмма процесса Veg-_^Vee- (обмен Z-бозоном)
Рнс. 6.12. Диаграмма процесса Veg-_^Vee- (обмен Z-бозоном)
Рис. 613. Диаграмма процесса vee~-^vee- (обмен 1Г-бозоном)
Рис. 613. Диаграмма процесса vee~-^vee- (обмен 1Г-бозоном)
152
нечный эле^рон. Виртуальный ^-бозон поглощается электроном. При этом образуется конечное электронное нейтрино (см. диаграмму рис. 6.13). Эта возможность обусловлена заряженными токами.
Перейдем теперь к вычислению матричного элемента процесса (6.100). В матричный элемент этого процесса дает вклад лагранжиан взаимодействия
=一?Й""ёг 0 丁 ")ё叭一~^"e丫"° + ")V*】一
2cо： 9 / [y & ¥(1一 丫5)%) Z。- (ep (gy +^д %) e) Z，，
(6.103)
представляющий собой часть общего лагранжиана электросла- бого взаимодействия [см. выражение (4 160)]. Константы gv и g$ в (6.103) даются выражениями (6.78).
Очевидно, что вклад, который дает в матричный элемент рассматриваемого процесса диаграмма рис. 6.12, может быть найден по правилам соответствия, сформулированным при рассмотрении vu——е-рассеяния. Из (6 103) ясно, что вершинам диаграммы рис. 6.13 следует поставить в соответствие
危г(1+Yjgn(P-P),
где Р‘ и Р ——соответственно суммарный выходящий и входящий 4-импульсы. Внутренней линии на диаграмме рис. 6.13 отвечает пропагатор Мбозона:
—i—iga§ga§嗚嗚件)4件)4g2 一嗚g2 一嗚(6.104)(6.104)
—i
—i
ga§
ga§
嗚
嗚
件)4
件)4
g2 一嗚
g2 一嗚
(6.104)
(6.104)
По диаграммам рис 6.12 и 6.13 получаем следующее выражение для матричного элемента процесса v^ ——е-рассеяния.
⑴S⑵⑺=一 i為此,.V”., N.值(鼠)e(1+%) 〃 (团U⑺X
X -г gA^^ 〃 年)一〃⑺ 丫“(1 十 ％) U 便)U 他')％x
X (1 十 YJ 〃 3)1 (2n『3 (好十户一々一 p).(6.105)
Матричный элемент (6.105) может бьи^^аписан в более компактном виде. Для этого следует воспользоваться преобразованием Фирца (см. приложение Г). Получаем
⑴ s⑵ I " = — i击般,&%,#/仰)Y“(l +YJ〃®X
X £(0)% 觴丄 g% %) " (。)3У* 3 (鼠 +0一 々一 p). (6.106) Здесь
g& = gy + 1 = 4" + 2sin? 9w, 需=8人+ 1 = l/2-
Для матричного элемента процесса Ve+cfVe+c во втором порядке теории возмущений по g с помощью (6.103) без труда находим
〈Я S⑵丨"=i 魂般，熊 Np, ^p ［；(-用 F (1 - YJ " (-左，)X
X " 9') % (gy + gA %) "仍)一"(P') 丫"(1 + %) w (-勿)"(一期 X
X %(1 十 %) 〃(切］(2n『8 侬 +0一々一P), (6.108) где 々 и 々/ ——импульсы начального и конечного антинейтрино. Первый (второй) член выражения (6.108) представляет собой вклад в матричный элемент процесса (6.101) нейтрального (заряженного) тока. Диаграммы процесса (6.102) представлены на рис. 6.14.
Очевидно, что матричный элемент (6.108) может быть получен из диаграмм рис. 6.14, если воспользоваться правилами соответствия, сформулированными ранее. Наконец, с помощью тождества Фирца выражение (6.108) может быть записано следующим образом:
⑴ S⑵ I?)= i 告心 雕 %，% 口 (一 左)丫。(1 1 丫J " ")X
X 2(") % ten + g^Z) “(P)］(2叫"м馭 + E —々一P), (6.109) где константы gd и gl даются (6.107).
В заключение получим матричный элемент процесса
?++?--> Ve+S.(6.1 10)
В соответствии с общим правилом, которое было сформулировано в § 6.2 и 6 3, диаграммы процесса (6.110) могут быть получены из диаграмм рис. 6 12 и 6.13, если выходящей элект- 154
зонной линии приписать импульс ——р‘，а входящей нейтринной линии — импульс —— 々(р‘ и k ——импульсы начального позитрона и конечного антинейтрино). Диаграммы процесса (6.110) поедставлены на рис. 6.15. С помощью диаграмм рис. 6.15 для матричного элемента процесса (6.110) получаем следующее выражение:'
/! s⑵丨，)=一 i為必织,明储［Й侬)у(1 — %) u(一期X
/ "(一0)% (gy 十 gq %) "(?)一7(硝 r (1 + y,) U (p)U (一炉)X
X 丫. (1 + %) " (-粉］3)" 3 (勿+々一Р -- ?')=
=一 -—-VA< Np, NkNp ［u (^) Y«(l + 丫5)u (― й) u (― 0) x
X % 觴 + 缁 ％)〃 (P)】(2©“ 5(k' + k — p —p'Y (6.111)
Здесь р и р‘——импульсы начальных е~ и е+, a fez и k ——импульсы конечных ve и ve.
Рнс. 6 15. Диаграммы процесса е++е~—v—Ve (обмен Z- и 1Г-бозонамн)
155
Заключение (правила Фейнмана)
В этой главе были получены матричные элементы целого ряда электромагнитных и слабых процессов (во втором порядке теории возмущений). Мы убедились, что матричным элементам процессов можно поставить в соответствие диаграммы Фейнмана, и сформулировали правила соответствия между элементами диаграмм (внешними и внутренними линиями и вершинами) и величинами, из которых строятся матричные элементы процессов (спинорами, матрицами, пропагаторами и т. д.). Эти правила имеют универсальный характер (они отражают структуру операторов в разложении Вика).
Процессы, которые мы рассмотрели в этой главе, обусловь лены взаимодействием лептонов и нейтрино с калибровочными векторными бозонами (% W, Z). Лагранжиан этого взаимодействия имеет следующий общий вид:
%工=一『加 1^业Xa+h С.,(6.112)
где f ——константа взаимодействия;屮匕 屮2 и Ха——соответственно поля фермионов и векторного бозона, Га ——матрицы Дирака. В разложении Вика любой из операторов в (6 112) может быть оператором уничтожения (рождения) «7ибо может входить в свертку с соответствующим оператором (из другого лагранжиана взаимодействия). В соответствии с (6.112) на- ча«1ьный фермион может испустить (поглотить) векторный бозон и превратиться в конечный фермион (рис. 6.16).
Диаграммы Фейнмана позволяют перечислить (весьма легко и наглядно) все основанные на лагранжиане взаимодействия (в рассматриваемом нами случае — на рис. 6 16) способы перехода из начального состояния в конечное.
В качестве последнего примера рассмотрим процесс
е++е- -> v^+vM.(6.113)
Начальные е+ и е- могут превратиться в виртуальный Z-бозон (нейтральный ток). Виртуальный Z-бозон может затем превратиться в пару V*——v^ (нейтральный ток) Соответствующая диаграмма изображена на рис. 6.17. Может ли пара е+—е~ превратиться в vu—v丛 путем обмена I^-бозонами? Очевидно, что во втором порядке теории возмущений это невозможно (при испускании W^-бозона электроном образуется электронное нейтрино). В четвертом порядке теории возмущений по элект- рослабому взаимодействию е+——е~ могут превратиться в v丛——v^ путем обмена парой 吃бозонов (см. диаграмму рис. 6.18).
В заключение приведем сводку правил Фейнмана, полученных в этой главе.
156
Рис. 6.16. Вершина, отвечающая превращению одного фермиона в другой с испусканием (поглощением) векторного бозона
(2寸g2 一m(2寸g2 一m
(2寸g2 一m
(2寸g2 一m
Рис. 6 18 Диаграмма процесса е++е~->п卩
十 '，廿 в четвертом порядке по g
Выходящей (входящей) линии частицы со спином 1/2 с физическим импульсом р(р2 — т21 p°=_+Vp2+m2) отвечает ^pй(p) (Npu(p)).
Внутренней линии спинорной частицы с импульсом р (р2千俏2)отвечает пропагатор
Выходящей либо входящей линии векторной частицы с импульсом q (q= (qQ, q), 9。=加2+加，m — масса частицы) отвечает Nqea(q).
Внутренней фотонной /нннн с импульсом k (^2=#0) отвечает пропагатор
gaB
Внутренней линии массивной векторной частицы с импульсом q G^M, m — масса свободной частицы) отвечает пропагатор
Электромагнитной вершине отвечает е^(2п)л6(Р/—Р)
{Р и Р‘ 一 суммарный входящий и выходящий 4-импульсы).
%6озонной вершине отвечает
赤丫“ с + %)ми(Р 一 а
Вершинам, соответствующим испусканию Z-бозона нейтрино и Z-бозона лептонами, отвечают
-2^-^7"(1^'^) (2.Г8(^-p) И
Г ® + 8а%) &)* § (Р — Р).
В стандартной теории электрослабого взаимодействия g^= — l/2+2sin20w, ga = —1/2
Выходящей (входящей) внешней линии спинорной частицы с нефизическим импульсом —р=(—р°, —р) (р』+»+疗) отвечает NpH(——р) (Npu (——р)). Эта линия является линией входящей (выходящей) античастицы с импульсом р, (Последнее правило относится к частицам с любым спином.)
Выходящей (входящей) внешней линии скалярной (либо псевдоскалярной) частицы с импульсом q отвечает множитель Nq； внутренней линии частицы со спином, равным нулю, отвечает пропагатор
(2寸 <?2 —加2 *
Подчеркнем, что нами была принята такая нормировка, при которой как для частиц с целым спином, так и для частиц
v 11
с полунелнм спином = 尸=.
JР (2方)3/2 /2 川
В заключение отметим, что в случае лагранжианов взаимодействия, отличных от тех, которые были рассмотрены в этой главе, возникают, разумеется, вершины другого типа. Техника Дайсона ——Вика легко позволяет найти вершины, отвечающие любым лагранжианам взаимодействия.
Глава 7
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИЗМЕРЯЕМЫХ НА ОПЫТЕВЕЛИЧИН
7Л- Сечение процесса. Вероятность распада
В этой главе будут изложены некоторые общие методы вычисления сечений, поляризаций, вероятностей распада и других измеряемых на опыте величин. Начнем с определения сечения процесса. Рассмотрим процесс ,
a1+a2^">a1' +a2'+ …a1+a2^">a1' +a2'+ …(7.1)(7.1)
a1+a2^">a1' +a2'+ …
a1+a2^">a1' +a2'+ …
(7.1)
(7.1)
Обозначим импульсы конечных частиц pj, P2I …，а импульсы начальных частиц рь р2. Матричный элемент процесса имеет вид
⑺ S-l|£〉=⑺ R|t〉(2 冗)4б(р-р),(7.2)
где Pz = p2，+P2‘+… (P = pi+p2)——полный конечный (начальный) 4-нмнульс. Отметим, что матричный элемент 〈f|R|t〉 обращается в нуль, если взаимодействие отсутствует.
Для дифференциальной вероятности обусловленного взаимодействием перехода из начального состояния в конечное получаем следующее выражение.
^.= I ⑴ R 丨卄(2 寸 6(Р — Р)焉“"Р'-РА 心 d”d»；...
к(7.3)
Величина dWfi является вероятностью перехода из состояния 11)в состояние |f) за время от —оо до со [см. определение S-матрицы (1.47)] и во всем пространстве (начальные и конечные частицы описываются плоскими волнами). Для вероятности перехода в единицу времени и в единице объема из (7.3) находим,
dwlt = ^ 簪=I ⑴ R I i)『(2* 8 (P 一 Q d” d%…(7.4)
Рис. 7.1. Элемент объема в лабораторной системеРис. 7.1. Элемент объема в лабораторной системеУ->сО
Рис. 7.1. Элемент объема в лабораторной системе
Рис. 7.1. Элемент объема в лабораторной системе
Рассмотрим теперь в лабораторной системе (системе, в которой частицы 出 покоятся) изображенный на рис. 7.1 элемент объема. Заштрихованная единичная площадка расположена перпендикулярно импульсу частицы 。卜 В изображенном на рис. 7.1 элементе объема находится р2л jA%・ 1) частиц мишени (Р2Л — плотность частиц 他 в л. с.) Обозначим deft дифференциальное сече-
ние процесса. Число переходов за единиц/ времени в объеме (Дх-1) равно
daZj(Ax- 1)р2л^1лР1л,
где р产5" — поток частиц а】в л. с. (^产——скорость, а р1л — плотность). Имеем
dafi(Sx- 1)рЕр2Hsn = dgi(△汇• 1).(7 5)
Из (7.4) и (7.5) следует, что дифференциальное сечение процесса дается
d% = ；(2n)4 I ⑴ R Q『3 (Р — Q) d” dg..・,
где
] = р1Лр2Л^^
—начальный поток. Эту последнюю величину нетрудно сать в инвариантном виде. Имеем
где mj и m2 — массы g и а2 частиц. Далее
Р 产 р2“ = //2,
где
，产=(р£, РМ)
—4-вектор потока 口й частицы (£=1, 2). Очевидно, что
(7.6)亿7)запи-(7.8)(7・9)(7.10)(7.6)亿7)запи-(7.8)(7・9)(7.10)/1厶=/1厶=?1 ?2?1 ?2厶凸凸”厶凸凸”Окончательно с помощью (7.7), (7.9) и (7.10) для инвариантного (мёллеровского) потока получаем следующее выражение:
(7.6)
亿7)
запи-
(7.8)
(7・9)
(7.10)
(7.6)
亿7)
запи-
(7.8)
(7・9)
(7.10)
/1厶=
/1厶=
?1 ?2
?1 ?2
厶凸凸”
厶凸凸”
/ = 厶七^产J (7・11)
До сих пор мы рассматривали случай бесспиновых частиц. Предположим теперь, что спины начальной частицы с импульсом pi и конечной частицы с импульсом р/ равны 1/2, а спины всех остальных частиц равны нулю. В этом случае матричный элемент〈f|R|i〉имеет следующий общий вид:
〈f|R| 订=N р、N p、N р、. N ….区‘ 9口 МаГр), (7.12) где У и г — спиральности начальной и конечной частиц; N尸 1， Np, ,.., — стандартные нормировочные множители (Np=-^^~~[■^) , а М ——матрица, действующая на спиновые переменные (и зависящая от импульсов начальных и конечных частиц).
При измер》))н сечения регистрируются только импульсы конечных частиц. Это означает, что в соответствующем выражении по г7 следует провести суммирование. Кроме того, мы должны учесть, что спиновое состояние начальных частиц описывается в общем случае матрицей плотности (см. приложение Д). Учитывая, что
(7‘(4)Mtf (厶))* = d+ (А) М+ W(А)= иг 81) Ми'(р'^, (7.13) где
方=7。М+Y。，(7.14)
для сечения процесса получаем в рассматриваемом случае следующее выражение:
曲"=у N：/V* £ ("'(4)Mur*(/?1)) Р〉е 区"(％)砲'(Р；)) X
X (2 寸 3(Р — Q)心,，<s ... dp； d”；(7.15)
Здесьp£—элемент матрицы плотности начальных частиц.
Рассмотрим сумму по /, ri и г2 в выражении (7.15). Имеем
2 т'(4)м S 小 W1 必 Si) ^1Г^' 3)=
=S (Мр° (А)而)：，А。，，(4)= Sp Мр»(0)MA(А). (7.16) Здесь
р。^，= 2 и'^ЧРх) Р?1Г,(7.17)
—матрица плотности начальных частиц с импульсом р^ а
л OJ) = S ^' <Р^'(А)= р^ + т(7.18)
—проецирующий оператор. Матрица плотности частиц со спином 1/2 подробно рассмотрена в приложении Д.
При той нормировке, которая была нами принята, плотности pi и р2 в выражении (7.11) равны:
(7-19)(7-19)…1詛
(7-19)
(7-19)
Используя (7.11), (7.15), (7.16) и (7.19), для сечения процесса получаем следующее выражение:
厶"=丽蒞匕^Г SpMp。(А) М Л ⑺ 3)，5 (Р 一
(7.20)(7.20)
(7.20)
(7.20)
Предположим теперь, что в начальном агфтоянии имеются античастица и частица с импульсами соответственно 卩 н р2 H спином 1/2. Спины конечных частиц равны нулю. Матричный элемент процесса имеет в этом случае следующий общий вид:
(f\R\ i〉=Np、N" pj N р,，一 pj М『(pj, где М — матрица, действующая на спиновые переменные. Очевидно, что
(йг* (— А)附小 SJ)* =不("J 丽小(—А)-
Далее воспользуемся соотношениями
〃(一p) = GF(p); 〃(-р)=-/(р)Ст,(7.21)
где С——матрица зарядового сопряжения, удовлетворяющая соотношениям (см. приложение В.8)
Cy『Ct = —Ya, Ст — —С.
Для сечения процесса получаем
①=宁 能,%£ (小(p^T LM小(厶)P%,不‘(A) MC X
X 伍"(А))7"代丁,(2©4 b (Р — Р) — ^^ —(7.22)
、1V(2#з 2尸J /2冗)3 2 P2’
Здесь р£, и р% г , — элементы матриц плотности соответственно частицы и античастицы. Спиновые матрицы плотности частицы и античастицы даются в зиде
Р°("J = £ /’3)力 3%,，，Р° (Л) = £ 小 31) " g Р°гг •
(7.23) Из (7.22) и (7.23) для сечения процесса получаем в рассматриваемом случае следующее выражение:
厶户=；й^)； —…Sp Мр。(Q М?(- А) X
ХЗ)”(Р—Р)焉察点赛(7.24) где
)=；с(ро(р】))е(7.25)
Предположим теперь, что спины двух начальных и двух конечных частиц (частиц с импульсами рь р2 и р/, р^) равны 1/2 и что матричный элемент процесса имеет вид
162
行|R I»)=必I 乂П乂Р/乂Р/・，-7'旧')”小81)五"("；)儿小3), (7.26) где матрицы Ma и Na являются суммами вектора и псевдовектора. Нетрудно показать, что сечение процесса имеет в этом случае вид
gi = —Sp м“ р。(凸)Ме А 8J) Sp V。р。("J М X 4|/ (Р1Р2)2—«12и22
X л 3，) (2寸 6(Р — Р)丄(7.27)
R2\ 丿(2用3 2p/° (2⑴3 2%
где р° (pi) и р°(/?2)—матрицы плотности начальных частиц с импульсами pi и р2.
В заключение получим выражение для вероятности распада 0—^61+62+ …(7 28)
Обозначим импульс начальной частицы р, а импульсы конечных частиц р/, р2‘…Матричный элемент S-матрицы имеет вид
〈HSW〉=〈f|R|i〉(2；t)%(p_P)・(7.29)
Вероятность перехода в единицу времени и в единице объема дается выражением (7.3). Обозначим р плотность начальных частиц. Очевидно, что
dTti^ = dWji,(7.30)
где dF七—отнесенная к одной частице дифференциальная вероятность распада (7.28) за единицу времени. С помощью (7.3), (7.29) и (7.30) получаем
亦"=(2冗)3|<hr|力〉|2(2几)46(?_p)*71%3以j.(7.31)
При этом мы положили, что р=1/(2л:)з.
Предположим теперь, что спины частиц а и &i равны 1/2, а спины &2 равны нулю. В этом случае
⑴ R I i〉= Np/Vp」NpY ...й ("J) Mu д',
где M — матрица, действующая на спиновые переменные (и зависящая от импульсов частиц). Для вероятности распада получаем
打"=方 SpMp。(А) МЛ (р/) (2*3(Р —Р)х
义丄 '骂•丄&4…(7.32)
伊)3 2厶用(2几产20『0''
7_2. Сечение рождения нестабильной частицы
Нестабильные частицы регистрируются по наблюдению продуктов их распада. В этом параграфе будет получено общее выражение для сечения процесса, в котором рождается неста-
。1+。2■-^x +а］，+。2，+ …。1+。2■-^x +а］，+。2，+ …(7.33)(7.33)
。1+。2■-^x +а］，+。2，+ …
。1+。2■-^x +а］，+。2，+ …
(7.33)
(7.33)
Рис 7.2 Диаг 立限а процесса 斫+ +。2f X+s' + m ~r -
「瓦+ь2+.
бильная частица, полная вероятность (ширина) распада которой много меньше ее массы.
Предположим, что в процессе столкновения двух частиц 。1 н о? с импульсами pi и Р2 рождаются нестабильная частица X с импульсом р и с импульсами р「，心
Пусть нестабильная частица X регистрируется по наблюдению распада
(7.34)(7.34)X―аЬ 1 + b 2 +...
(7.34)
(7.34)
Импульсы частиц 仇，&2... обозначим 小，q?…
В качестве примера мы рассмотрим случай нестабильной частицы со спином 1/2. Диаграмма процесса представлена на рис. 7.2.
Пропагатор нестабильной частицы может быть получен из выражения 号尸《+一^- для пропагатора стабильной частицы, если в этом выражении сделать замену
б2— (б一広/2)2,
где т ——масса нестабильной частицы, а Г ——ее полная ширина. При этом предполагается, что ширина много меньше массы. Из диаграммы рис. 7.2 для матричного элемента процесса
% + & ~X + о J + W 十…
(7.35)
＞瓦+b2+••■
получаем следующее выражение:
(/1 S ! о = Гад/%(2货 з 仇 + 仇 鳥 х
J 1 2(2寸
X 丁 ° 扌二p、. Npj ... Np、NP1 (2т：)4 8 仍 + р/ + "； + …
p2 一用2 + 1 ГnТ
…—% — Pj d力，(7.36)
где матрицы Mi и М2 определяются следующим образом:
〈力仅…丨 S I 〃〉= NqF%…NpM[ii (") (2冗)'3(% + %+ …一В),(勿J〃…丨 S I"冉-NpNp<Np,…Np、N^u(p)M2 (2^)X
X 3 (" + "； + "2' + …一Pl - 口2)，
Здесь p2 = m2. Из (7.36) после интегрирования по р находим q\S\i)iNq№N.J "仆，Mpt Np® G + 加)MJX
X —~~—- ЗУ1 3 (7 + p； + p； +— "1 — .2), (7.37)
где 9 =夕1+击+ …—суммарный импульс частиц 。/, 。2',Из (7.37) для сечения процесса (7.35) получаем
de =心陷，丄(М G + m)M2) (M2 (7 + m) Afx X
义讶—力工孤rRL 3 S +凸‘+ /V…一% -e)c-e -
d3qid3qi 乂^，％* …dp；dp；…(7.38)
Здесь / — мёллеровский поток [см. выражение (7 11)].
Нас интересует случай Г《/и. В этом случае имеет место следующее приближенное соотношение*:
!=3 d — m2).(7.39)
(g2一向户+m/2 тг7
0000Рассмотрим интеграл / (a)—Рассмотрим интеграл / (a)—f(z)洲+涓f(z)洲+涓dz, где функция f (г) не имеет поdz, где функция f (г) не имеет по
00
00
Рассмотрим интеграл / (a)—
Рассмотрим интеграл / (a)—
f(z)洲+涓
f(z)洲+涓
dz, где функция f (г) не имеет по
dz, где функция f (г) не имеет по
люсов в верхней (нижней) полуплоскости и ведет себя так, что интеграл по полуокружности радиуса R стремится к нулю при R-* 8. Заменяя интеграл от—8 до оо интегралом по соответствующему контуру и вычисляя вычет в
полюсе, получаем / (а) = — f (i а). При а《1 имеем / (а) 4 — f (0)
==^~ J f (z) 6 (г) dz. Таким образом,
4 — 5 (г), a « 1.
Далее имеем
^ (^ + Р\ +，2‘ 十…一Pl 一，2)3 d —话)=
=j 6 (" + 凸'丁 厶‘— "J 8 (p — q) b (，—戒)£P =
=P； 丁厶'4 …一Pi — "J 黑(q — p), (7.40)
где 〃。= Dp* 十 .
Отметим, что при получении (7.40) было использовано соотношение
…屮二而餐(741)
[интегрирование в (7.41) проводится по области р°>0].
С помощью (7 38), (7.39) и (7.40) для сечения процесса (7.35) получаем
曲=%,應2丄(国八仍)(М2Л (")MJ T X
x (2л)4 6 (/? 丁 р； -г Р； +…一"i —厶)6 (g —切-茅 此/ N* ...dzp^p^d3^^...(7.42)
Здесь
A (") = 2 /(夕)M W)(7.43)
—— проецирующий оператор.
Рассмотрим квадрат модуля матричного элемента в выражении (7.42). Используя (7.43), получаем
(М1Л(р)М2)(7Й2Л(р)М1) =SpM2也八(Р)加iP(")Mi・(7.44)
Здесь
(7.45)(7-46)(7.45)(7-46)р (〃)= 2 J (р) “S 8)р%,г,5
(7.45)
(7-46)
(7.45)
(7-46)
где
=(”(0)，"2帝3靈(0))Sp Л12Л12Л(р)
Из (7.46) следует, что
V ргг = 1, ?гг》0.
Очевидно, чго величина р〃 представляет собой вероятность того, что спиральность частицы X равна г. Матрица р(р) является, следовательно, матрицей плотности образующейся в процессе (7 33) частицы X (см. приложение Д).
Вернемся теперь к выражению (7.42) для сечения процесса (7.35). Используя (7.44), получаем
do = d%dl\ 上(7.47)
Здесь,
d% = N沁泞 SpM风А (") (2 冗广 Ь(р + р^ +
+ Р； + …一"i 一，2)册/ N》...d^J dK'…(7.48)
—сечение процесса (7.33), а
"х = "T'^""(p)m(2R)4 3(71 + %+…-")墙…d"…
(7.49) — вероятность распада (7.34).
Напомним, что Г является полной шириной распада Х-час- тицы. По определению
Г=1/т,
где т ——время жизни JC-частицы в ее системе покоя. Очевидно, что время жизни в системе, где импульс частицы равен р, дается выражением
Y=l/『=pO//nF.(7.50)
Итак, если ширина нестабильной частицы много меньше ее массы, то сечение двухступенчатого процесса (7.35) равно произведению сечения процесса (7.33), в котором рождается нестабильная частица N, на относительную вероятность распада (7.34) частицы X с поляризацией, возникающей в процессе (7.33). Очевидно, что это является следствием того, что при 『《т амплитуда процесса (7.35) пропорциональна
£ Мгиг (р) иг ⑺心・
7・3・ Шпуры произведений матриц у
Из выражений (7.20), (7.25), (7.27) очевидно, что вычисле ние сечений процессов, в которых участвуют частицы со спином 1/2, требует знания шпуров произведений матриц Дирака. Здесь мы изложим основные методы вычисления этих последних величин.
Для того чтобы вычислить шпур произведения любого числа матриц 7, достаточно использовать перестановочные соотношения
7勺6 亠 ?0?"= 2gaB,(7.51)
7%4-y5?0С=0, 752=1-(7.52)
Следует учесть также, что под знаком шпура матрицы можно переставлять *•
SpAB=SpBA.(7.53)
Докажем следующие утверждения.
Шпур произведения нечетного числа матриц у равен нулю. Действительно, используя (7.51)——(7.53), имеем
Sp 丫屮...г = Sp Ya yB …Fн y5
нечетное чи< ло
=—SpY5YaY^...'fY5= — 5卩尸注…于丫5丫5 = —5руауР...уа =。・
Sp уау^ = 4gJ^.(7.54)
Действительно, с помощью (7.51) и (7.53), находим
Sp уаy^ — Sp (2且叩—уЗ p) __ 8qB — Sp у® 丫生 Отсюда получаем (7 54). Умножая (7.54) на тензор aa6g (о и b — любые 4-векторы), находим также
Sp д & = 4ab, a = F 匾.
Sp уа 丫3 ?p 于=4(g<%B gc — gap gB> 4-g6p).(7.55)
Действительно, используя (7.51) и (7.53), получаем
Sp *767P уь _ Sp (2产一у^уа) yp 于=
=8g8 g叩一Sp 76 (2gp — yp ya)yЬ =
=8g邛 gw — 8qp g3b 十 Sp 丫6 # (2gs — ℃ у% =
8Gs gph — 8g“° gR 十 8gab g3p — sp 丫6?p 书 у%.
Отсюда находим (7.55).
Пусть a и c ——произвольные 4-векторы. Сворачивая (7.55) с тензором «аСр, получаем
So е 丫廿2 丁 = 4(曲 c。一 ас^1 + 个 сЗ).(7.56)
Доказательство этого соотношения очевидно.
Sp」8 — £」м爲七=2冬々儿中=Sp
Если это последнее соотношение умножить на Ь&, то при этом находим
Spa 6cd = 4 ((曲)(cd) — (ас) (bd) + (od) (be)).(7.57)
SpY5 = 0.(7.58)
Это соотношение следует из (7.55). В справедливости (7.58) можно убедиться и непосредственно. Действительно, имеем
Sp 丫5 = Sp М Y° = — Sp 丫。丫5 Y° = — Sp X Y° 丫。= — Sp 丫5 = 0.
(7.59)(7.59)Spy57a70=0 Действительно, получаем
(7.59)
(7.59)
Sp %гY0= Sp%/(Y"Y0 + 了 Г) T Sp% +(rW -了了) Воспользуемся далее соотношением
Находим *Sp % 丫“ F =产 Sp Ys + ^ e啾b Sp X % p 2i e吶° g” = 0.6. Spy®Y3YPYJY5 = — 4ie啾二Находим *Sp % 丫“ F =产 Sp Ys + ^ e啾b Sp X % p 2i e吶° g” = 0.6. Spy®Y3YPYJY5 = — 4ie啾二(7.60)(7.60)Y5 (尸y8 Y3ya) —_ j尸В叩了 y
Находим *
Sp % 丫“ F =产 Sp Ys + ^ e啾b Sp X % p 2i e吶° g” = 0.
6. Spy®Y3YPYJY5 = — 4ie啾二
Находим *
Sp % 丫“ F =产 Sp Ys + ^ e啾b Sp X % p 2i e吶° g” = 0.
6. Spy®Y3YPYJY5 = — 4ie啾二
(7.60)
(7.60)
Действительно, исходный шпур антисимметричен относительно любой нечетной перестановки индексов а, 0, р, и
Spya Y3ypусту5 = Sp(2ga3 —尹們 于于丫§ =
=—Sp 丫° у® y‘ 丫「5 = Sp 丫日 丫p Y°丁丫$ =
Далее очевидно, что
Sp уО?1у2уЗу5=4] = 一4ie0123.
(7.61)(7.61)Sp ?勺в… 7P—Sp y0 一 ?0Ya
(7.61)
(7.61)
Для того чтобы убедиться в справедливости (7.61), воспользуемся соотношением
(ух)Т = —СТуаС,
где С——матрица зарядового сопряжения (см. при-южение В.8). Далее очевидно, что
Sp 4% = £ (М)尹=Sp АГ'
Получаем
Sp Y打3 ?0= Sp (7Р)7 ... (7b)丁(俨)г=
=Sp С-】？рС . . С-!у^СС-17аС= Sp yp …丫改±
Sp ”产、产 7% …= ga产 Sp 7网Y01 叩一
—ga卢§ Spg%“Sp 丫叫 丫％ …(7.62)
Это соотношение позволяет свести вычисление шпура произведения матриц п к вычислению шпура произведения (п——2) матриц. Для того чтобы получить соотношение (7.62), нужно матрицу Y^i [с помощью перестановочных соотношений (7.51)] последовательно переставлять через матрицы 丫。*, 丫抬，….(таким способом были вычислены шпуры произведений двух и четырех матриц ?).
Полезные соотношения между прямымипроизведениями матриц у
В этом параграфе мы получим целый ряд соотношений между произведениями матриц у, позволяющих значительно упростить вычисления измеряемых на опыте величин (сечений, поляризаций, вероятностей распада и т. д.)- Все они основываются на замечательном соотношении
Г Y= Y₽ = gap Y — g“3 # + gP0 Ya — i e"® Y，Ys (7.63) связывающем произведение трех матриц ? с суммой матриц 7 и 件5・ Для того чтобы получить (7.63), разложим матрицу 产叫" по полной системе 16 матриц Дирака. Имеем
г于* =严6(S)+ е 6吁m%十工产尹、⑺。“ +
一 £ 优吁(』)Y,h 十严з(Р)%.(7.64)
Для того чтобы найти коэффициенты aap₽(S), а^^х (V), ..разложение (7 64) следует умножить на соответствующую матрицу и вычислить шпур обеих частей полученного равенства. Поскольку шпур произведения нечетного числа матриц у равен нулю, то
优心(s)・=罐"‘> (Г)=罐°3 (Р) = 0.(7.65)
Для отличных от нуля коэффициентов с помощью (7.55) и (7.60) получаем
产你(V) = g” g3~ — g^g^ т g^ g叱 qg叫A)=运呼氾 (7.66)
Из (7 64) — (7.66) следует, что
丫寸屮=片吁丫工+ ie"8'『％,(7.67)
где
炉* =蜡 g* — f g" т g“‘g吃(7.68)
Очевидно, что (7.67) совпадает с (7.63). Отметим, что тензор dapbi удовлетворяет следующим условиям симметрии:
片咕=#^ = 片叫 ，(7.69)
Умножим теперь (7.67) справа на матрицу (1±?5)・ Учитывая, что Т5(1±Т5)= 土(1±Т5), получаем
Г Y 丫3(1 г %)=律吁 士 i 产尹)％ (1 ± %).(7.70)
Соотношение (7.70) позволяет существенно сократить число матриц, которые входят под знаки шпуров. Действительно, используя (7.70), имеем
г#Y3(1 士1)…YJQ%(1 h %)=
=(产* 士 ie"S) (4з入 士 匕用)L(1 工 丫J …『0/ 丫J, (7.71) где разделенные многоточием матрицы могут действовать на разные переменные (входить в разные шпуры)./ Выполним в (7 71) суммирование по а и р. Имеем ；
^е^ = - 2猖猿 + 2S13；. ' (7.72)
Далее, используя (Б.7), нетрудно убедиться в том, что
d"1乙心入=2华久十2眼5：.(7.73)
Из (7.69) следует также, что
^ ^^ = ^^ =(7・74)
С помощью (7.72) — (7.74) из (7.71) получаем следующие соотношения:
Тг Y3(1 ± X)…%丫。Y6(1 Н 丫5)= 4^丫/1 士 YJ …Г(1 ± %)•
(7.75)
Очевидно, что соотношения (7.75) справедливы также и в случае, если каждая из матриц до и после многоточия умножа^ ется слева и справа (в обеих сторонах равенства) на любые матрицы. Эти соотношения позволяют уменьшить число у-мат- риц в каждом из шпуров на 2. В ряде случаев это существенно упрощает вычисления.
Наряду с (7.75) часто оказываются нолезГ,Ми также следующие соотношения:
Y"、*Y8(1 土 Ys)…7(Л「f3(1 + 7J = 4%(1 士 YJ …YP(1 + Ys). (7.76)
Соотношения (7.76) доказываются аналогично тому, как были доказаны (7.75). Используя (7.70), (7.72) — (7.74), получаем
гур 了(1 士 yJ • • %%Yb (1 + z) = (d"B‘ ± i e^) (d^ +
干纥渺)丫，(1 ± %) ... Yx(l + %) = 4&3；八(1 土 ％)…p(i -p у”
С помощью (7.70), (7.72)——(7.74) можно получить много других соотношений, аналогичных (7.75) и (7.76). Используя (7.69), без труда находим
Y"丫РY"1 h YJ …厶%%(1 ± %) = 4Y,(1 h y5) ... yp(l 士 %),
Y“¥¥(l 士％)…丫в%%(1 + X)=4禮y/1 ± YJ Г (1 + YJ.
(7.77)
Далее с помощью (7.70) и (7.75) получаем
门屮0± yJ…丫。门y口(1 ± 丫J =
=4 (肝工“工 ie'*")Y”Pi#(l н yJ …YJQY^l 土 Yj =
=4 (d'F 下 i e'E)卜(1 ± %)…了 (1 土 yJ. (7.78)
Аналогично с помощью (7.70) и (7.76) находим
=4 (g"r — gb p 4- gu № H i "屮丫口)(1 ± 工)…F (1 干 ％).
(7.79)
Наконец, приведем еще одно соотношение, которое легко может быть получено с помощью (7.70), (7.72) — (7.75):
ГYpY,'M₽(1 士 ％)…％Y'Y’YUs。士 ％)=
=16心 3: 丫口(1 X %)…产(1 ± %).(7.80)
Полученные соотношения позволяют существенно упростить вычисления.
172
Методы вычисления интегралов по фазовомупространству
В этом параграфе мы изложим методы ковариантного интегрирования по импульсам конечных частиц. Рассмотрим интеграл
3 3 + % -尸),3 3 + % -尸),где Pi°= ]/" pd十加产(i=l, 2);Для того чтобы вычислить этот ношением *где Pi°= ]/" pd十加产(i=l, 2);Для того чтобы вычислить этот ношением *Р — времениподобный вектор, интеграл, воспользуемся соот-Р — времениподобный вектор, интеграл, воспользуемся соот-J 3 9J — mJ) ci%J 3 9J — mJ) ci%d3Pl2“+。/d3Pl2“+。/(7.82)(7.82)(7.81)
3 3 + % -尸),
3 3 + % -尸),
где Pi°= ]/" pd十加产(i=l, 2);
Для того чтобы вычислить этот ношением *
где Pi°= ]/" pd十加产(i=l, 2);
Для того чтобы вычислить этот ношением *
Р — времениподобный вектор, интеграл, воспользуемся соот-
Р — времениподобный вектор, интеграл, воспользуемся соот-
J 3 9J — mJ) ci%
J 3 9J — mJ) ci%
d3Pl
2“+。/
d3Pl
2“+。/
(7.82)
(7.82)
где pF ——переменная, принимающая положительные значения. Подставляя (7.82) в (7.81) и интегрируя по рь получаем
乙=戰（产一 2凸0+ F2-壮）乙=戰（产一 2凸0+ F2-壮）(7.83)(7.83)
乙=戰（产一 2凸0+ F2-壮）
乙=戰（产一 2凸0+ F2-壮）
(7.83)
(7.83)
где
W = I р?丨吹。电(7.84)
Окончательное интегрирование удобно провести в системе, в которой Р=0 (система покоя). Интегрируя по углам, имеем
，=2n J 3 (产 一 2P2。Р。+ mJ - /nJ) I p2 I 也。，
где P° и 卩2° — энергии в системе покоя. Очевидно, что модуль производной аргумента 6-функции равен 2Po. Получаем
-*=。鼻二■(7.85)
Далее из (7.81) и (7.82) следует, что /2 — инвариант. Для того чтобы записать (7.85) в инвариантном виде, умножим числитель и знаменатель (7.85) на Р°. Имеем
(ро)2=р2, р空р』р2P.
Напомним, чтоНапомним, чтоd (f (Х))d (f (Х))6 (х 一勺)6 (х 一勺)
Напомним, что
Напомним, что
d (f (Х))
d (f (Х))
6 (х 一勺)
6 (х 一勺)
где %； — корень уравнения f (х() = 0. Имеем
3(p2一。2) =2/ j工-曲[6 (о一у р2 十加)+ 6 (0+ [/p2 +。明.
Если это последнее соотношение проинтегрировать по р°>0, то получаем (7 82).
Очевидно, что
(7.86)(7.86)厶 Р = £ (Р? + 吟—^l2)-
(7.86)
(7.86)
Окончательно из (7.85) и (7.86) получаем
入（s,公，mf）入（s,公，mf）ss(7.87)(7.87)
入（s,公，mf）
入（s,公，mf）
s
s
(7.87)
(7.87)
Здесь s = P2, а функция 九(％, у, г) определяется следующим образом:
入(х, У,之)=丿炉 + У? + 炉一2ху — 2xz — 2yz
M(x — U7 十 M£)2)(X — (% — ^广)M(x — U7 十 M£)2)(X — (% — ^广)(7.88)(7.88)
M(x — U7 十 M£)2)(X — (% — ^广)
M(x — U7 十 M£)2)(X — (% — ^广)
(7.88)
(7.88)
Вычислим теперь тройной интеграл:
3 =3 =
3 =
3 =
Определим 4-вектор:92=尸一РзОпределим 4-вектор:92=尸一РзИме^мИме^мS2=s 十 g2—2Pp?=s+m32—2Р%3°,где s = P2; s2=(722, a P° и "з° ——энергии в системе покоя Очевидно, чтоS2=s 十 g2—2Pp?=s+m32—2Р%3°,где s = P2; s2=(722, a P° и "з° ——энергии в системе покоя Очевидно, что(7.89) (Р=0).(7.89) (Р=0).
Определим 4-вектор:
92=尸一Рз
Определим 4-вектор:
92=尸一Рз
Име^м
Име^м
S2=s 十 g2—2Pp?=s+m32—2Р%3°,
где s = P2; s2=(722, a P° и "з° ——энергии в системе покоя Очевидно, что
S2=s 十 g2—2Pp?=s+m32—2Р%3°,
где s = P2; s2=(722, a P° и "з° ——энергии в системе покоя Очевидно, что
(7.89) (Р=0).
(7.89) (Р=0).
翁 =T mРГ一飞2 dp：殴3・翁 =T mРГ一飞2 dp：殴3・(7.90)(7.90)
翁 =T mРГ一飞2 dp：殴3・
翁 =T mРГ一飞2 dp：殴3・
(7.90)
(7.90)
Используя (7.89) и учитывая, чтоИспользуя (7.89) и учитывая, что2Pз°2Pз°инвариант, из (7.90)инвариант, из (7.90)после интегрирования по углам получаемпосле интегрирования по углам получаем
Используя (7.89) и учитывая, что
Используя (7.89) и учитывая, что
2Pз°
2Pз°
инвариант, из (7.90)
инвариант, из (7.90)
после интегрирования по углам получаем
после интегрирования по углам получаем
卓内而卓内而л;2л;2巫卫上»dS?巫卫上»dS?(7.91)(7.91)
卓内而
卓内而
л;
2
л;
2
巫卫上»dS?
巫卫上»dS?
(7.91)
(7.91)
где функция 九(s, S2, тз?) дается выражением (7.88).
Выполним интегрирование по р] и р2. Используя (7.87), находим
]入($2‘ mJ,次2?)(7 99)]入($2‘ mJ,次2?)(7 99)Остается теперь выяснить, в каких пределах изменяется пере-Остается теперь выяснить, в каких пределах изменяется пере-менная S2・ Из (7.89) очевидно, чтоДалее, учитывая, чтоменная S2・ Из (7.89) очевидно, чтоДалее, учитывая, что(7.93)(7.93)находимнаходим92 = "1 + p2,92 = "1 + p2,S2》（吋十/712）2.S2》（吋十/712）2.(7.94)(7.94)
]入($2‘ mJ,次2?)(7 99)
]入($2‘ mJ,次2?)(7 99)
Остается теперь выяснить, в каких пределах изменяется пере-
Остается теперь выяснить, в каких пределах изменяется пере-
менная S2・ Из (7.89) очевидно, что
Далее, учитывая, что
менная S2・ Из (7.89) очевидно, что
Далее, учитывая, что
(7.93)
(7.93)
находим
находим
92 = "1 + p2,
92 = "1 + p2,
S2》（吋十/712）2.
S2》（吋十/712）2.
(7.94)
(7.94)
Отметим, что нижнее значение переменной s? отвечает случаю покоящихся частиц 1 и 2 в их системе центра инерции, а верхнее значение ——случаю покоящейся частицы 3 в общей системе центра инерции.
Окончательно с помощью (7.91) — (7.94) получаем
(y 二人)2
Г* ds 入($2，mJ, mJ)入(s, s?, тз")
2 ,.
g + g尸
S
(7.95)
Перейдем теперь к вычислению четырехкратного интеграла
(Р1 + Рг + Рз + Р^ ——尸)・
2Рз2P4
Определим вектор
93=р-в4-
Имеем
$з = s + mJ — 2 ]/ s .J,
(7.96)'
(7.97)
d3& _ (三、人(S, S3, m42)由
(7.98)
Далее определим
72—7з—рЗ=Р—рз—р4- Отсюда находим
(7.99)
S? = S3 + m\ — 2Vs3 р^
(7.100)
(Рз° — энергия частицы 3 в системе Яз—0). С помощью имеем
(7.100)
2円。-1 2 )S3"
(7.101)
Наконец, получаем [см. (7.87) J
J 2网。2P2。产2 力 I 2 丿s2
(7.102)
где s=P2; 5з=7з2, a p4° — энергия частицы 4 в системе покоя I Р = 0|. С помощью (7.97) после интегрирования по углам получаем
Найдем теперь границы, в которых изменяются переменные S3 и S2. Из (7.97) очевидно, что
53 W (X s — mJ .
(7.103)
175
Далее из (7.99) находим, что при фиксированном s2 s3 (]/s2 + m3)2.(7.104)
Наконец, имеем
(恤十 m2)2 W S2《(Js — S —丸广(7.105)
Границы (7.105) легко получить, если учесть, что
42 = Pi 十/?2・
Окончательно с помощью (7.98), (7.101), (7.102) — (7.105) получаем
(/s—m3—mJ2
(7.106)(7.106)f 公人陶,S2，時)Ms, S3,m尸)
(7.106)
(7.106)
、」3s3s
(У $2 十 mJ?
…赛'3 + %+…+ "i…赛'3 + %+…+ "i乙=乙='、2'、2Нетрудно теперь обобщить полученные результаты на п-крат- ный интеграл. Имеем
…赛'3 + %+…+ "i
…赛'3 + %+…+ "i
乙=
乙=
'、2
'、2
(Р s—m& ——m〃) *
XX— j ds 2, mJ, m^)
X
X
(F fS*)
(M J*«—.. —mn-(M J*«—.. —mn-曲 人（网，电，飞2） х曲 人（网，电，飞2） х
(M J*«—.. —mn-
(M J*«—.. —mn-
曲 人（网，电，飞2） х
曲 人（网，电，飞2） х
(У ?-%产х」(У%-#%—】)?(У ?-%产х」(У%-#%—】)?(У7^+д)2
(У ?-%产
х」
(У%-#%—】)?
(У ?-%产
х」
(У%-#%—】)?
5Л—15Л—1公。一上色3二区必 腿，5e，齿）.（7.107）
5Л—1
5Л—1
Вычислим теперь интеграл
4=[登 警 2 +pl Р) Mp3 死，
2 J 2円0 2P20
где f(p】P2)——функция инварианта р^ Очевидно, что Ла зависит от Ра и является 4-вектором. Имеем
(7.108)(7.108)/2a =w,
(7.108)
(7.108)
где а — скаляр. Для того чтобы определить а, умножим (7.108) на Ра. Получаем*
а =上产Р,(7.109)
S
Далее, используя закон сохранения 4~импульса, находим
Р1Р =十(S + ГП：—皿2), (7.110>
Рь»2 = ^-(s —mJ —/п)'
С помощью (7.87), (7.108) — (7.110) получаем
/2 =X(S + mJ - F?)(亏)5方(可(S -mJ一网 2)广
(7.11D
Интеграл
"=j贵贵33 -厶一OP摊
является тензором второго ранга. Очевидно, что тензор 1^ имеет следующий общий вид:
/紀=&g叩 + &Р°рВ，(7.112)
где。1 и 。2 — скаляры. Для того чтобы определить а】и。2，свернем 1^ с тензорами g^ и РаР§. Получаем
& =
& =
Используя (7.87) и
из (7.113) находим
—12s
生=
-—2 (rr
:击［产g“BS 一 /"叽用， (7.113)
:表［4严A&一产儿外］.
(7.110), а также учитывая, что
pF — ~(5 + 恤2 — mJ),
［仍也)s — (PiP) (Р^)］ /2 =
3s
l2 (s, mJ, p2)(十)人(三一限.喷, ,2s(7.114)
=&2 F + s (m/ 十叫2)
Перейдем теперь к вычислению трехкратного интеграла
凿=I赛赛舞6仇+区+厶一*)й.
Очевидно, что /За зависит от Ра и является 4-вектором. Имеем I^bP^(7.115)
где 匕——скаляр. Из (7 115) следует, что
b = - /汜.
Далее из закона сохранения 4-импульса получаем, что
Р^р = ^-(S + m^ — s^,(7.116)
где s=P2; S2=(pi+p2)2 Используя (7.116), аналогично (7.95) находим
ssу) j ds2 -^-(s + m32 一 sj (m1 十f)2у) j ds2 -^-(s + m32 一 sj (m1 十f)2入($2，飞2,飞2)入(s, s?, g2)入($2，飞2,飞2)入(s, s?, g2)ss(7.117)(7.117)
s
s
у) j ds2 -^-(s + m32 一 sj (m1 十f)2
у) j ds2 -^-(s + m32 一 sj (m1 十f)2
入($2，飞2,飞2)入(s, s?, g2)
入($2，飞2,飞2)入(s, s?, g2)
s
s
(7.117)
(7.117)
Нетрудно вычислить также интеграл
号赛森⑵十厶十厶一尸":.
Для этого в (7.117) следует сделать замену т^^т^ Получаем / j = Г_ (?J J ds' (s+恤 —s')『2 Ms，s'「・
(7.118)
Перейдем теперь к вычислению интеграла
/з" = Г告，十与 ^"^ 3(Р1 十 〃2 + 尸3 —夕)I (Л〃2)"；•J 2Pi。2P2。2р3°
Имеем
(7.115)(7.120)(7.115)(7.120)/「“ =夕戶\
(7.115)
(7.120)
(7.115)
(7.120)
где Ьг ——скаляр. Отсюда получаем
少=Ll'^p^
Вычислим вначале двукратный интеграл
舞贤"e + 〃г仆内仍門(7•⑵)
где ^2=Р—Рз- Используя (7.82) и интегрируя по р【,получаем
(7.122)(7.122)「($2 — 2〃 外 + m22 — mJ) j ( ； (Sz —一飞2-%))%@十pj舞
(7.122)
(7.122)
⑸二兔?)• Интегрирование по р2 удобно выполнить в с. ц. и. частиц 1 и 2. Получаем
(-^-J 九(S2，?二加^ j {£ % —/«J ―時))2。PO.(-^-J 九(S2，?二加^ j {£ % —/«J ―時))2。PO.(7.123}(7.123}
(-^-J 九(S2，?二加^ j {£ % —/«J ―時))2。PO.
(-^-J 九(S2，?二加^ j {£ % —/«J ―時))2。PO.
(7.123}
(7.123}
Далее имеем
Pi нPi н凸（网+网）凸（网+网）2-p- （$2 工 心 一色）2-p- （$2 工 心 一色）产=产=P(Pi $内)P(Pi $内)»§»§= ^(S'S3 -色”= ^(S'S3 -色”(7.124)(7.124)
Pi н
Pi н
凸（网+网）
凸（网+网）
2-p- （$2 工 心 一色）
2-p- （$2 工 心 一色）
产=
产=
P(Pi $内)
P(Pi $内)
Ȥ
Ȥ
= ^(S'S3 -色”
= ^(S'S3 -色”
(7.124)
(7.124)
С помощью (7.91), (7.120), (7.123) и (7.124) получаем
(V7-^3)(V7-^3)ds k®、加1工加2*）ds k®、加1工加2*）s?s?入 fs, S2, M)X 入 fs, S2, M)X s4s2s4s2(F+g)*/ ^~(52 — mJ — mJ) к(F+g)*/ ^~(52 — mJ — mJ) к(s2 + 加「— m22) (s -H s2 — m,2).(s2 + 加「— m22) (s -H s2 — m,2).(7.125)(7.125)
(V7-^3)
(V7-^3)
ds k®、加1工加2*）
ds k®、加1工加2*）
s?
s?
入 fs, S2, M)
X
入 fs, S2, M)
X
s
4s2
s
4s2
(F+g)*
/ ^~(52 — mJ — mJ) к
(F+g)*
/ ^~(52 — mJ — mJ) к
(s2 + 加「— m22) (s -H s2 — m,2).
(s2 + 加「— m22) (s -H s2 — m,2).
(7.125)
(7.125)
В заключение вычислим интеграл
/號=J3仇丄厶丄4 一0)『("但)"网•J "1/"2/〃3
Имеем
I^^c^+c^P^,(7.126>
где а и с? — скаляры. Из (7.126) получаем
(7.127>
12*12*179
12*
12*
В свертках I^g^ и h^P^P^ выполним вначале интегрирование по pi и р2. Удобно это интегрирование провести в с. ц. и. частиц 1 и 2. Имеем
舞3(%丁% 一%)2必"0 =
J "1“2
= 4ir Jo(s2 — 2 ]/s2 p^ + mJ — mJ) -L|^ dp?。/ (T($ —
—mJ — m^)—mJ — m^)~一 (S2 + 恤2 一色2) (s - S2 -傾2),~一 (S2 + 恤2 一色2) (s - S2 -傾2),(7.128)(7.128)
—mJ — m^)
—mJ — m^)
~一 (S2 + 恤2 一色2) (s - S2 -傾2),
~一 (S2 + 恤2 一色2) (s - S2 -傾2),
(7.128)
(7.128)
f总芸5 (必+ % -%)j8也)9/)9」)=
J 2e。2P2。
=(T)出%‘士‘旧(S -加一叫))十(S +
+ ^з? — s?) —"— (s + /л2 —館2?) б + $2 — ^з?)・(7.129)
С помощью (7.91), (7.127) — (7.129) без труда находим
(/^ms)2
e; ds 人($2, mJ，Ms，运，加32)
1 " 24s \ 2 J J 2S ，
g-S2)2
XX义'I/ 3 — ^J —色，)7" (S2 + т1 —色2)炉 S $2, GJ)；义'I/ 3 — ^J —色，)7" (S2 + т1 —色2)炉 S $2, GJ)；(7.130)(7.130)("2" ^2 一 加j("2" ^2 一 加j-网)2) - S(S - S2 -' 傾2)].-网)2) - S(S - S2 -' 傾2)].
X
X
义'I/ 3 — ^J —色，)7" (S2 + т1 —色2)炉 S $2, GJ)；
义'I/ 3 — ^J —色，)7" (S2 + т1 —色2)炉 S $2, GJ)；
(7.130)
(7.130)
("2" ^2 一 加j
("2" ^2 一 加j
-网)2) - S(S - S2 -' 傾2)].
-网)2) - S(S - S2 -' 傾2)].
На этом мы закончим изложение ковариантных методов интегрирования по фазовому пространству. Приведенные примеры демонстрируют эффективность и простоту этих методов.
Глава 8
РАСПАДЫ ЧАСТИЦ
Введение. Представление Гейзенберга
В этой главе будут рассмотрены лептонные распады адронов типа
h^hf+l+^vt.(8.1)
Здесь hi и hf ——начальный и 卩.Распады (8.1) обусловлены ряженные токи). Поскольку hi нии этих процессов необходимо модействие.Эффективный гамильтониан видЗдесь hi и hf ——начальный и 卩.Распады (8.1) обусловлены ряженные токи). Поскольку hi нии этих процессов необходимо модействие.Эффективный гамильтониан видконечный адроны, 1—е, либо слабым взаимодействием (за- и hf — адроны, при рассмотре- учитывать также сильное взаи-слабого взаимодействия имеетконечный адроны, 1—е, либо слабым взаимодействием (за- и hf — адроны, при рассмотре- учитывать также сильное взаи-слабого взаимодействия имеет
Здесь hi и hf ——начальный и 卩.Распады (8.1) обусловлены ряженные токи). Поскольку hi нии этих процессов необходимо модействие.
Эффективный гамильтониан вид
Здесь hi и hf ——начальный и 卩.Распады (8.1) обусловлены ряженные токи). Поскольку hi нии этих процессов необходимо модействие.
Эффективный гамильтониан вид
конечный адроны, 1—е, либо слабым взаимодействием (за- и hf — адроны, при рассмотре- учитывать также сильное взаи-
слабого взаимодействия имеет
конечный адроны, 1—е, либо слабым взаимодействием (за- и hf — адроны, при рассмотре- учитывать также сильное взаи-
слабого взаимодействия имеет
(8-2)(8-2)務=V^ £ ("El + %) /) В + h-
(8-2)
(8-2)
где ja — заряженный кварковый ток; G — константа Ферми. Полный гамильтониан взаимодействия запишем в виде
(8-3)(8-3)%,=第w/+%勺,
(8-3)
(8-3)
где ^； — гамильтониан сильного взаимодействия. Конкретный вид гамильтониана 第匕 нам здесь не потребуется.
Мы будем вычислять вероятности ряда распадов типа (8.1) в первом порядке теории возмущений по константе Ферми G. Для S-матрицы в первом порядке по G получаем
s = rs = r
s = r
s = r
/л _、- i I (公)t6(/\
=Г 1 i) J ^7 (л) dx + ...) е卜(8.4)
(8・5)(8・5)Найдем матричный элемент процесса (8.1). Начальный и конечный векторы состояния могут быть записаны в виде 丨>=I p>.
(8・5)
(8・5)
1f> = c+他)"(田|//>.
Здесь р и р‘ ——импульсы начального и конечного адронов; k и kf ——импульсы лептона и нейтрино. Из (8*4) и (8.5) получаем 什 I (S - 1) I i〉=—i 告f〈p，I d^c^T^ W7"(1 + y5)X x I (X)) /а (л) e~j ^? (x，)dx，) \p>dx.(8.6)
181
Далее, используя теорему Вика, без труда находим
н I (S- 1) I = — i击М，Ми&)1(1+%)〃(一/)X
X J e 储 I”I p)dx. (8.7)
Подчеркнем, что в (8.7) сильное взаимодействие учитывается точно
До сих пор мн использовали представление взаимодействия. Адронную часть матричного элемента (8.7) можно записать более компактно, если от представления взаимодействия перейти к представлению Гейзенберга.
Векторы состояния адронов удовлетворяют в представлении взаимодействия уравнению
ig^ = "7 ⑺①⑺.(8.8)
of
Как было показано в гл. 1, общее решение этого уравнения при 才戸力имеет вид
|Ф«)〉= и(//о)|Ф&)〉・(8.9)
Здесь
и (/, /°) = £J % JЛ2... jd^T^ (幻 Hl&)…м (/“)) =
"=0^о ^о^о
= Т(е『。(8.10)
а |Ф(^0)> — вектор состояния в начальный момент времени 方°. Подставляя (8.9) в (8.8), для оператора U(厶 /“ получаем уравнение
=(8.11)
Отсюда путем эрмитова сопряжения находим
一 i 型"L =。丁 (f，3 出(f)(8.12)
[H『(/)一эрмитов оператор].
С помощью (8.11) и (8,12) нетрудно показать, что U(力《)— унитарный оператор (см. гл. 1). Выясним другие общие свойства оператора U. Перепишем следующим образом соотношение (8 9):
1Фa2)〉= u(3 公 1©(九)〉.(8.13)
Умножим (8.13) слева на U+«2, 幻. Используя унитарность матрицы U«2,厶)，получаем
|Ф(Л)> = (/-(/2, ^1)|Ф(/2)>.
(8.14)
Определим следующим образом оператор U(Л, /2) при
£i W%：
и (Л, М) =и+«2, Л).
(8.15)
Из (8.14) и (8.15) находим
1Ф41)〉=u(九 /2)10>(%)〉(厶0方2).，
Далее имеем
1 ①色)〉=。(以 /)|ф«)〉= ид, t)U& 幻 |Ф(3〉= = U«2, Л)|Ф(^1)>.
Отсюда следует, что
(8.16)
(8.17)
U（方2,厶）=U（方 2,方）U （力 Л） •
(8.18)
Отметим, что в силу (8.16) соотношение (8.18) справедливо при любом t.
Введем теперь вместо векторов |Ф(/)> и операторов 0(0 в представлении взаимодействия векторы
1 ①⑺〉Н=[Л(/, 0)|Ф(0> и операторы
。以/)=[/丄0)O(f)U亿 0).
(8.19)
(8 20)
Получим уравнение движения для вектора |Ф(£)〉/л Используя (8.8) и (8 12), имеем
i-T 里=j-(f，°)”7(/)I ①(f)〉+ u+(f, 0)"7(/)1 ①0)〉=o.
(8.21) Таким образом, векторы |①(£)〉斤 не зависят от времени. Далее с помощью (8.11), (8.12) и (8.20) получаем
i %"= _ U+(/, 0)"夕(/)。(0 и(/, О)丄
-Г U+ (/, 0)。(0 Я? R) и 0, 0) +。丄(厶 0)i U (f, 0). (8.22)
Операторы O(t) в представлении взаимодействия удовлетворяют уравнению [см. (1.25) J
i 琮 JoR), %胤，(8.23)
где HQ — свободный гамильтониан. Подставляя (8.23) в (8.22), получаем
.дОи (/)
】一4r- = [О“0), Ня (0].(8.24)
Здесь
HH(t) = U・(t, 0)"⑴ и(力 0),
где H(t) =Ho (^) +Hih (0—полный гамильтониан (в представлении взаимодействия).
Представление, в котором векторы состояния не зависят от времени, а операторы удовлетворяют уравнению (8.24), носит название представления Гейзенберга. Как видно из (8.19) и (8.20), векторы состояния |Ф«)〉н и операторы Он(方)определены таким образом, что при f = 0 они совпадают с соответствующими векторами состояния и операторами в представлении взаимодействия.
Рассмотрим теперь адронную часть матричного элемента (8 7). Используя (8.10), (8.15) и (8.18), получаем
Т (广(х)еГ 々屮％
=〈"'I U(8, %)广(X)U (4, —8)I р)=
=〈“ I и(8, 0)и-(/, 0)广(x)U(x。，0)U(0, -х) I Q =
= °ut〈"'丨/"(х) I 办п.(8.25)
Здесь
广(х) = U+ (Хо, 0) f (х) U (к。，0);
I "〉m = U~ (— оо, 0) I р};(8.26)
丨心。ut = U+(8, 0) I "'〉
—соответственно ток и векторы состояния начального и конечного адронов в представлении Гейзенберга. Далее в силу трансляционной инвариантности [см. (3.66)]
id"a (%) = [*“)，Рв],(8.27)
где Рв — оператор полных анер门？ и импульса [при § = 4 (8.27) совпадает с (8.24)]. Из (8.26) получаем
t out.^pf \d^Ja {х) |p^in == out〈P‘| [/"(尤)，Pe]|P〉in ==
=(p—p'ho^p^J^M |p>in,(8.28)
где p и p‘ 一 импульсы начального и конечного адронов. Отсюда находим, что
。掀0 I Г(х) I "2 = е"т" °utS' I Г(0) I 办п. (8.29)
Подставим теперь (8.29) в (8.7). Для матричного элемента процесса (8.1) получаем следующее выражение*:
(f I (5-1) I 0 = - i Nk> ^ й (^) f (1 + y5) u (- fe) X
X °u3 Q(0)("沁 3)4 "々…"_ p). % (8.30)
Итак, м 孔оказали, что в первом порядке теории возмущений по G матричные элементы процессов типа (8.1) пропорциональны произведению матричного элемента лептонного тока на матричный элемент адронного тока в представлении Гейзенберга. Сильное взаимодействие учитывается при этом точно.
8J. Распад
Изучение распадов пиона, нейтрона, странных, очарованных и других частиц является важным источником информации о слабом взаимодействии. В этой главе мы подробно рассмотрим некоторые классические распады частиц. Начнем с распада
(8.31)(8.31)兀十一＞ 科++v1
(8.31)
(8.31)
В стандартной теории электрослабого взаимодействия эффективный гамильтониан, ответственный за распад (8.31), имеет вид
黄/ =奥"「Q(1 + 丫5加万 +h. c., (8.32)
где /а — заряженный кварковый слабый ток; G ——константа Ферми. Из (8.32) в первом порядке теории возмущений по G для матричного элемента процесса (8.31) получаем следующее выражение.
(/ I (S-l) I i) = -i 告，％, N/ (斤)'Q (1 + YJ a (- й) X
X (0 Ua (0) I g〉3)& “月 + 左一q), (8.33) где 々/ и k — импульсы нейтрино и мюона; q — импульс пиона; “々='j戸/2『^—стандартный нормировочный множитель; /а ——заряженный адронный слабый ток в представлении Гейзенберга [сильное взаимодействие учтено в (8.33) точно]. Диаграмма процесса (8.31) представлена на рис. 8.1.
Рассмотрим адронный матричный элемент <0|/a(0) \q}. Ток /а представляет собой сумму векторного У" и аксиального Аа токов:
*=ya+』a. (8.34)
Матричные элементы <0| Уа(0) \q) и <0| Ла(0) \qy могут зависеть только от вектора qa. Из соображений лоренц-инвариантности очевидно, что
(01h(0)国)=2力(心們]
(о т.(0)I "=觴3(力产 I '
сильное(8.36)(8-37) пиона.(8.38)(8.39)сильное(8.36)(8-37) пиона.(8.38)(8.39)
сильное
(8.36)
(8-37) пиона.
(8.38)
(8.39)
сильное
(8.36)
(8-37) пиона.
(8.38)
(8.39)
Рис. 8.2. Распад л+^ц++ & Импульсы и спины 仕十 н V и в системе покоя пиона при т^т0. Направления спинов указаны двойными стрелками
Так как q2—m^ (加门―масса пиона), fv и 『从—константы. Посмотрим теперь, как преобразуются матричные элементы 〈О|]/а(о)|д〉и <о|Да(0) Iq} при инверсии. Поскольку взаимодействие сохраняет четность,
UpV“(0)B = M(0),]Up# (0) Up1 = — 7]а Да (0), .1
где / — оператор инверсии; “。=1; yf= — 1 Имеем
Up i 0)= ! 0),]
Здесь q'a=(g°, 一q)； /л=——1——внутренняя четность Используя (8.36) и (8.37), получаем
<0| Уа(0) |^) = <о| ир-1 UpVa( J) ир-[Up\q) ==—Т)а〈0 I уа (°) I д'Аналогично находим
<0|Ла(0)^> = Па<0|Л«(0)|^>.
Подставим теперь (8.35) в (8.38) и (8.39). Учитывая, что q/a^a=qai получаем
fVtA = ^fVA,(8.40)
Отсюда следует, что ，屮=0. Таким образом, в матричный элемент <0|/а(0) \q) дает вклад только аксиальный ток.
Интересующий нас ток стандартной теории имеет вид
-ia=3ya(\+y5)uUudi
где UUd — элемент матрицы Кобаяши — Маскава. Запишем fA=^f^Uud,
где /л — вещественная константа. Окончательно имеем
<0|/a(0)|t7> = hV^[/ud7a-(8.41)
С помощью (8.33) и (8.41) для матричного элемента процес са находим
(fl(S-l)IO--^^ Uud М，Nh Ngu (月)q (1 + 々)xy(2不)4 3(々 + 月一办‘(8.42)
Это выражение можно упростить, если, воспользовавшись законом сохранения 4-импу；1ьса, заменить q на 后+后'.Используя уравнение Дирака, получаем*
О 丨(S-1)丨 0 =
=3 厶 4d 加“，外，.%.к й(*)(1 -YJ u (一用(2寸)‘ 3 他丁左'一办(8.43)
Как видно из (8.43), матричный элемент рассматриваемого нами процесса пропорционален массе мюона т^ и обращается, следовательно, в нуль при ®->0. Это связано с тем, что в заряженный ток входят только левые компоненты полей. При 小厂>0 спиральность ц^ равна 1 (аналогично спиральности антинейтрино) .Рассмотрим распад 兀宀+卩十十^“ в системе покоя пиона. В этой системе импульсы ц~ и у出 равны по величине и противоположны по знаку. Очевидно, что проекция полного момента 科丄 и v^ на направление импульса нейтрино при 伍出+0 равна —1 (рис. 8.2) Поскольку спин пиона равен нулю, распад п丄f 从十Vr в пределе ^以—0 запрещен законом сохранения момента. Итак, в стандартной теории процесс (8.31) разрешен только в силу того, что |i~ (из-за конечности его массы) может находиться в состоянии с отрицательной спиральностью.
Перейдем теперь к вычислению вероятности распада л+—> —科++”炉 Используя общие формулы гл. 7 [см. (7.32) ], для дифференциальной вероятности распада 兀丄f 科一丫以 в системе покоя пиона получаем следующее выражение:
p 一p 一G22G221111啮嗚ex啮嗚exXSp(一%)市一%)(1 +Y成 2 + "g)贵言.XSp(一%)市一%)(1 +Y成 2 + "g)贵言.(8.44)(8.44)
p 一
p 一
G2
2
G2
2
11
11
啮嗚ex
啮嗚ex
XSp(一%)市一%)(1 +Y成 2 + "g)贵言.
XSp(一%)市一%)(1 +Y成 2 + "g)贵言.
(8.44)
(8.44)
Вычисление входящего в это выражение шпура не представляет труда. Имеем
Sp(l -Y5)位一加Н)(1 + %)面=8々々，.(8.45)
Далее из закона сохранения 4-импульса следует, что
(8.46)(8.46)2kkf = т^—伍出2
(8.46)
(8.46)
Проведем теперь интегрирование по импульсам конечных частиц. Используя (7.82), получаем
d3^ d3 左
22
=№ ㈣十吗—2/П&) I k I 击脳& = ” “2 "姒 (8.47)
С помощью (8.44)——(8.47) для дифференциальной вероятности распаданаходимС помощью (8.44)——(8.47) для дифференциальной вероятности распаданаходим(8.48)(8.48)
С помощью (8.44)——(8.47) для дифференциальной вероятности распаданаходим
С помощью (8.44)——(8.47) для дифференциальной вероятности распаданаходим
(8.48)
(8.48)
Как видно из этого выражения, вероятность распада 兀+f 卩丄v^ не зависит от угла вылета мюона. Это связано с тем, что спин
пиона равен нулю. Интегрируя (8.48) по 0 и ф, для полной вероятности распадаполучаем следующее выражение:
(8.49)(8.49)
(8.49)
(8.49)
(8.50)(8.50)Рассмотрим теперь распад
(8.50)
(8.50)
я:е++У е •
В основе стандартной теории лежит гипотеза 卩一е-универсаль- ности. Если имеет место ц—е-универсальность, то гамильтониан, ответственный за распад (8.50), может быть получен из выражения (8.49) заменой 科f е, Имеем
證/ = 7^(VeQ(l+%)e)j + h.c. (8.51)
Очевидно, что для вероятности распада n+-^e~ve из (8.49) получаем при этом
/2 \ 2
几〜*е = "^Г片"d忌％I 1F］，(8.52)
где те — мТса электрона. Из (8.49) и (8*52) следует, что от* ношение вероятностей распадов 冗+f e+屮金 и 冗+f 卩+屮区 дается выражением
Таким образом, если имеет место 科——е-универ^альность слабого взаимодействия, отношение вероятностей распадов 口-f f е十V& и 冗+f цЛУн зависит только от масс электрона, мюона и: пиона. Из данных опыта следует, что
(1,228±0,022) • ЮТ (8.54)
Вычисленное на основе стандартной теории значение отношения Rn (с учетом радиационных поправок) равно
R/eop=l,233・10-4(8.55)
Согласие (8.54) и (8.55)—одно из важных доказательств 虱一е-универсальности слабого взаимодействия. Следует, однако, подчеркнуть, что сравнение вероятностей распадов 冗-f е十v© и n-f 科+”н позволяет проверить универсальность взаимодействия we—е и у出——卩-1ептонных пар не с полным адронным током〉 а только с его аксиальной частью. Константа f. имеет размерность массы*. Из данных опыта следует, что
^ = 0,932тл.(8.56)
В заключение рассмотрим распады
К+ f 厂 + 4；(8.57}
K-fe+十％.(8.58)
Очевидно, что матричный элемент распада (8.57), (8*58) имеет вид (8.33). При этом в адронный матричный элемент входит изменяющий странность кварковый ток /а(АЗ=—1) =хуа(1 + +?5)〃Uxs (Uus — элемент матрицы Кобаяши — Маскава). Имеем
〈0|/a(AS=-l)\q} = iNqfkUusq^(8.59)
где q — импульс каона; fK — константа. Вероятности распадов (8.57) и (8.58) даются соответственно выражениями (8.49) и (8.52), в которых следует сделать замену fnUa(r^-fKUu4f Ff
->тк. Для отношения Rk вероятностей распадов K+f e+ve и K+f 卩+уц получаем
(8.60)(8.60)
(8.60)
(8.60)
Это отношение равно
(8.61)(8.61)r 黄。p = 2,57-IO-*
(8.61)
(8.61)
Из данных опыта следует, что
Rk=^2,42±0,11)・10t.
Таким образом, данные экспериментов по изучению распадов (8.57) и (8.58) также согласуются с гипотезой ц——е-универсаль- ности. Наконец, отметим, что
/к/%=1,22±0,01.(8.62)
Распад П°+2一+^
Изучение распадов
K丄fn。+"+”，? = ?,卩(8.63)
позволяет получить информацию о той ^асти адронного тока, которая изменяет странность. В стандартной теории электрослабого взаимодействия эффективный гамильтониан процессов (8.63) имеет вид
先/ =奥 £ 布％ (1 + %")广 + h. с. (8.64) /=e，U
Здесь /а — заряженный кварковый ток. Из (8.64) для матричного элемента процесса (8.63) получаем следующее выражение:
(/ I (5— 1) ! 0 = —i 告必 N/")%(1 +Ys)〃 (一舟 X
X S'丨广(0) I 力曲)气” + 左 + H — p).(8.65)
Здесь / и 々'—импульсы лептона и нейтрино; р и pz — импульсы каона и пиона; /а ——заряженный адронный ток в представлении Гейзенберга; Nr и Ny——стандартные нормировочные множители (% =——. Диаграмма процесса (8.63)
Рис. 83. ДиахДмма процесса K+fb°+Z++vi々，］U
представлена на рис. 8.3 Ток /а имеет^^^Д -片
ВИД/а=У«+Ла(8.66)-/：'
где У06 и Да — соответственно вектор-sr。、、
ный и аксиальный токи. Имеем
(/ I /а (0) I "〉= NP，Np Г (0, р)十 ^(p'f р)\,(8.67)
где ya(pz, р) и Аа(р\ р) представляют собой матричные элементы векторного и аксиального токов Поскольку внутренние четности пиона и каона одинаковы, Уа(р\ р) и 4。(/ °)преобразуются соответственно как вектор и псевдовектор. Из двух векторов (р и р‘) псевдовектор построить нельзя. Следовательно, имеем
W，р)=о.(8.68)
Итак, в матричный элемент рассматриваемого нами процесса аксиальный ток вклада не дает. Матричный элемент векторного тока имеет следующий общий вид:
” I 尸(0)1 力=Np, Np 4s (九⑺伪 + "十 f_ ⑺ 9 -"),
(8.69)
где Uus — элемент матрицы Кобаяши — Маскава, а “(д?) и f_(夕2)—функции квадрата передачи импульса q2= (pz—р) 2 = =(々+肥)2 (формфакторы). Из инвариантности относительно обращения времени и унитарности S-матрицы следует, что формфакторы /+©) и /—(Г) вещественны. Действительно, запишем S-матрицу в виде
S=l+R.(8.70}
Из условия S丄5=1 получаем
R+R+=—R$R.(8.71)
Отсюда находим
⑴ R I i〉十 « I R I 力* = 一?⑺ R+ I 冷仇 I R I D (8.72)
［суммирование в правой части (8.72) ведется по полной системе состояний |т〉］. В рассматриваемом нами случае |Z> — = |К+〉, |f>= |/+vzn°>. Очевидно, что |п> равняется |冗+冗。〉>
I 冗+冗一冗+〉, I л°л°л^),... Таким образом, »вая часть соотношения (8.72)—порядка G2. В первом порядке по G имеем, следовательно,
5R|i〉a—〈i|&|f〉*.(8.73)
Далее из инвариантности относительно обращения времени следует, что
'©R|f〉= S|R|b〉，(8.74)
где векторы 11> и |力丁〉(卄〉н |万〉)описывают одни и те же частицы с противоположными значениями импульсов и проекций спинов. С помощью (8.73) и (8.74) получаем
〈〃R|i〉々一〈川&|Ь〉*.(8.75)
Подставим в это соотношение выражение (8.65). Получаем
"(々')Уа(1+у5)а(—々)〈Р‘|/а(0) |р〉=
=(й(^/)7а(1 +丫5)江(一々『))*〈р/|"(0) IРт〉*・(8.76)
Здесь рта=—р), а
"(时/)=外(炉)7一，a(一归Т)=7口(一紛，(8.77)
где
T(Ya)TL = r|aYa(8.78)
(см. приложение В.9; напомним, что % = — 1, г)о=1). Используя (8 77) и (8.78), находим
(五(左/) Ya (1 +?5)a(一々T)) * ==T]a"(必)Ya(1 +?5)〃[一九)•(8-79)
Из (8.76) и (8.79) следует, что
<PZ| 仆(0) I р〉= г〈р/ |仆(°)I 力广(8.80)
Подставляя теперь в это соотношение выражение (8.69), получаем
’屋(右=&(4)(8.81)
Перейдем теперь к вычислению вероятности распада (8.63). С помощью (7.31), (8.65), (8.67) — (8.69) для дифференциальной вероятности распада получаем следующее выражение:
打K宀h上=-z--SpYa(l +/)(一1) A(一田丫B(1 +Y5)X
XA(^Z) Va(p\ o)V° (尸，p)№+ 圮工 p，— P)~q "^ ^^, (8.82) где A(^) =^+^r ——проецирующий оператор.
192
Рассмотрим вначале входящий в (8.82) шпур. Очевидно, что
SpVa(l+?5)(—1)Л(—^)Тр(1+?5)Л(Й/)=
= 2SpYa(l+Y5)后YB后(8 83)
Далее, матрицу 丫5 в (8.83) можно опустить. Для вероятности распада K"f п°2丄”/ в системе покоя каона получаем
壮1\>兀£" = G'^^-SpYa 々丫日々'^ ("'，"”В("'，")X 出十々十"一Р)舞"号号：284)
где тк — масса каона.
Вычислим вначале спектр пионов. Для этого проинтегрируем (8.84) по импульсам лептона и нейтрино. Получаем
I"1•丿Л
(8.85) где
К"⑺=0咦/他+我一9)贵 篆(8.86)
Очевидно, что тензор №°(^) имеет следующий общий вид.
Кр。(д) =。1 (<72)纟做+出 Id) 9? Т,(8.87)
где а】и。2 — функции скаляра q2. Функции 勿0) и д^) вычислены в § 7.5 [см. (7.112)——(7.114)]. Учитывая, что
厶(《2, g2, 0)=g2—g2,(8.88)
из (7.114) получаем
&=卦尸⑺一時)\(8・89)
24(尸)2
4 = ^^-d -m2)2g2 + 2乙2).(8.90)
Далее, используя (8.87), находим
SpYaYpYBYoK^g) =aiSp7aVaYpV3 +
+a2Spva^v^.(8.91)
С помощью перестановочных соотношений для матриц 丫^ получаем
(8.92)(8.92)丫°丫8丫。= -2Y伊
(8.92)
(8.92)
S丫6w=2дB£-9%■
Из (8.91) и (8.92) находим
SpYaYpYBYoKP。(4)=—4 (2。1+«2&)gae+8a2«в・(8.93)
Матричный элемент <pz| Va\p) может быть записан в виде
{р'\^\р}= N., Np。“ J+ (<72)[2/+ (E (們一1) q\ (8.94) где
Ё切)=芒缁-(8.95)
Из (8.87), (8.93) и (8.94) для вероятности распада К亠fR屮、i получаем следующее выражение*:
dl\f nhj ~ 7^^" * "s ；КI-—(2生，色g2)加左+ 2%仍疗 + + (- 2% + & 的[pg (E- 1) + _ d (E - 1『口 黄.(8.96)
Интегрируя (8.96) по углу вылета 冗° и используя (8.90), для спектра пионов получаем следующее выражение：
хх心心公!心心公!…打守X…打守X2 +2 +仍4产)十景仍4尸+ (Е - 1) + + 42代一1啡.仍4产)十景仍4尸+ (Е - 1) + + 42代一1啡.G2G2+乃+乃(8.97)(8.97)
х
х
心心公!
心心公!
…打守X
…打守X
2 +
2 +
仍4产)十景仍4尸+ (Е - 1) + + 42代一1啡.
仍4产)十景仍4尸+ (Е - 1) + + 42代一1啡.
G2
G2
+乃
+乃
(8.97)
(8.97)
(8.98)(8.99)(8.98)(8.99)
(8.98)
(8.99)
(8.98)
(8.99)
Здесь рл и £л — импульс и энергия пиона (в системе покоя каона). Очевидно, что
q” =喉 + т： — 27nMit,
pq =吟一m4 Имеем также
—Шк2^2+ {pq)2=m^p^
Найдем пределы, в которых изменяется переменная д% 以^ (8.98) следует, что
g2总(加k-公)2(8.100)
(Еп^тп). Далее имеем
q2=(女+“冷上.(8.101)
С помощью (8.98) и (8.101) нетрудно найти пределы, в которых изменяется энергия пиона £л. Получаем
俑 WEhWEJ，-(8.102)
где
汇=嚇*1(8.103)
Из (8.98) и (8 103) получаем
72—тг = 2тк(Е^—Е^).(8.104)
С помощью (8.98), (8.99) и (8 104) выражение (8.97) для спектра пионов может быть записано следующим образом：
+(m分+加之十2吗£J +
+ 胃(唳一礎1•(8.105)
Отметим, что множитель 卩亢(石亢°——£л)2 обеспечивает обращение в нуль спектра пионов на нижней и верхней границах.
Получим выражение для спектра пионов от распада K+-^e+v&.
Поскольку—^ а 10-\ члены в (8.105), пропорциональные ——, 碳碌
могут быть опущены. Далее очевидно, что в широкой области энергий пионов^
―-< 1.(8.106)
Из (8.105) для спектра пионов в области 106) получаем
"餐"=亡%以比.(8.107)
В выражение (8.107) входит только формфактор f+(q2). Это связано с тем, что формфактор f-(q2) входит в матричный элемент распада в виде mef-(q2)
Для того чтобы получить полную вероятность рассматриваемого нами распада, величину f неооходимо проинтегрировать по энергии пиона. Такое интегрирование можно выполнить, если сделать определенные предположения о ^2-за- висимости формфакторов 左(尸)Обычно формфакторы f±(2 разлагают по 72 и ограничиваются членами, линейными по 严*. Имеем в этом случае
产(的=『士(0)「+ 久士号］,(8.108)
где 入土 一 безразмерные константы.
С помощью (8.97), (8 107) и (8 108) для отношения полных вероятностей распадов K*-^rc气1一屮达 и K*f 北°?丄屮2 получаем следующее выражение:
R = 土宀二上一 =0,6457 + 1,41151+ +0,1264 Е(0) + “ + 一n。宀2
(q2) по q2 достаточно ограничиться первым членом. При этом 入千=(q2) по q2 достаточно ограничиться первым членом. При этом 入千=+ 0,019 2^(0) +0,00801. Ц0).(8.109)
(q2) по q2 достаточно ограничиться первым членом. При этом 入千=
(q2) по q2 достаточно ограничиться первым членом. При этом 入千=
=0,024- Отметим, что данные опыта согласуются с этим значением 入十.
При получении (8.109) предполагалось (в соответствии с данными опытов), что 入一=0 Как видно из (8.109), измерение отношения R позволяет получить одно соотношение между параметрами 九丄 и 3(0) Из данных опыта следует, что К = О,6бЗ土 ±0,018.
Вероятность распада К丄->п°2丄V/ зависит от двух переменных. В качестве независимых переменных выберем энергию пиона Еп и энергию лептона Ei в системе покоя каона. Получимдля этого вернемся к выражению (8.86). Вычис-
dEidE^,
лим вначале шпур, который входит в это выражение. Получаем
Spl57b& = 4/他，旣)，(8.П0)
где
"6他，为…居一8产，+ %.(8」ID
Далее имеем
va (?,夕)V3 (р1, р) = /；。北[4^Р 丄 2 (Е — 1)仍“/ 十 г 屛)+ + (Е—1)可.(8.112)
Подставляя (8.110) и (8.112) в (8.86), для дифференциальной вероятности рассматриваемого нами распада получаем
+ ； (Е — 1) (р“产丄 Т爾 + 丄(Е — 1)V<70] 8 他 +
24I
./、d讷'd3k (^pr/Q「а、
+ h 丁 p — p) 而-p-.(8.113)
Вычислим теперь входящие в это выражение свертки тензоров.
Учитывая, что « = 々+々1 получаем
La?>qa = mi2k^(8.114)
С помощью (8.114) находим
L&B р& рЗ = 2 (ph) W吟一呜冲;
厶叩(，酬十 中"В) = 2;nJ，勿；(8.115)
L^qaq^ = m^kkf.,
Из (8.113) и (8.115) для вероятности распада находим
"K一叫=爵 言隹и2 [2 s后)(次)+用先航'一九"々'十
+ 十恤2 就‘+ E^J (a勿^- kkf^ +
+ 十T加Jkkf~\ b(k + kr + pl — p)~^p ^~ —(8.116) 4J々山 k° p1
Для того чтобы выполнить в (8.116) интегрирование по импульсу нейтрино, воспользуемся соотношением [см. (7.82)]
鲁 =2卜俾(8.117)
Используя (8.117), получаем
—2ткЕ^ 丄 2EtEK — 2pl p« cos 9)sin 9 曲卿 p^dEi 卩丁 d£\ dQ^ =
= 2^dEldE1t.(8.118)
Далее имеем
р^=гик& рк' = ткЕр, kkf = тк{Е^—Е^},(8.119)
где Ev=mK——Ел——Е,——энергия нейтрино, а Е^ ——максимальная энергия пиона [см. (8.103)]. С помощью (8.116), (8 118) и (8.119) для дифференциальной вероятности распада K->n/v/ получаем следующее выражение：
・= "TV /+ % [А + BE + Сс]. (8.120)
Здесь
a 二以[2Е,瓦—以(空-J)1丁 d廿空-4)一丛];
8 =乃[旦^阀一耳))} (8.121)
C^^^^-E^.,
Итак, если в качестве независимых переменных выбрать энергии двух частиц, то при этом, как видно из (8.118), статистический вес рассматриваемого распада пропорционален dEidE^, Плотность событий в плоскости Eh Ел (так называемая диаграмма Далитца) характеризует, следовательно, квадрат матричного элемента распада. Найдем границу области, в которой могут находиться переменные Е( и £л. Имеем в системе покоя каона
p^ = pi2+E^4-2piEvcos 9х,(8.122)
где В'——угол между импульсами лептона и нейтрино. Очевидно, что при фиксированном Ее энергия пиона максимальна (мн
* Нетрудно видеть, что это справедливо и в общем случае трехчастичного распада (Далитц).
198
нимальна) при cos 0х = 1 (cos 9х =——1). Из (8.122) получаем
(E"max ； m i п = —2(тк — Е[± р：) — '(8.123)
Энергия лептона Ei меняется в пределах
恤W旦W巴。=碳熏-Y ，(8.124)
Для того чтобы найти £J, рассмотрим инвариант (р—k)2. В системе покоя каона имеем
(p—紛 2 =加К2+加/—2mke1.(8.125)
С другой стороны, в силу закона сохранения 4-импульса
(Р—紛 2=(р，+盟广(8.126)
Из сравнения (8.125) и (8 126) очевидно, что максимуму Е, отвечает минимум (pz+^z)2. Имеем
(pz+^)2^^2-(8.127)
С помощью (8.125) — (8.127) без труда находим Ег°.
Как видно из (8 120), в случае распада К+-＞冗°?+丫& изучение распределения Далитца позволяет получить информацию только о параметре 入丄. Исследование зависимости вероятности распада К丄一＞冗°卩+\^ от переменных Et и Ел позволяет определить как значение параметра 厶+, так и значение параметра 3(0) (предполагается, что Х-=0). Из данных опытов следует, что
入+ = 0.0285±0,0043 (^+-^лoe+ve),
九+=0,0272±0,0072
e2 =耿一 EPe2 =耿一 EPm友+加工-昂m友+加工-昂2耿2耿5 (0)=—0,32+0,15.
e2 =耿一 EP
e2 =耿一 EP
m友+加工-昂
m友+加工-昂
2耿
2耿
Распад n+-^n0+e+4-ve. Сохранение векторного тока
В этом параграфе будет рассмотрен p-распад пиона
冗十-> п°+е++Уе・(8.128)
Исследование этого распада на опыте позволяет проверить гипотезу сохранения векторного тока, высказанную в конце 50-х годов Зеьчьдовичем и Герштейном, Фейнманом и Гелл-Маном. Гипотеза сохранения векторного тока легла в основу феноменологической V——Д-теории слабого взаимодействия. Мы начнем с того, что сформулируем эту гипотезу. Рассмотрим ту часть заряженного слабого тока, которая построена из полей и и d-кварков. Имеем
广=9" + 奩)a小(8.129)
где__
и” = dfu; q“ =力广％%(8.130)
——соответственно векторный и аксиальный токи, a UUd ——элемент матрицы смешивания кварков.
Если пренебречь разностью масс и- и d-кварков, то в этом случае имеет место точная изотопическая SU (2) -инвариантность. При этом лагранжиан полей кварков инвариантен относительно глобальных калибровочных преобразований
.丄 д
N，= e" М(8.131)
где
——изотопический дублет (At — константы, % ——матрицы Паули) .Из инвариантности относительно преобразований (8.131) следует, что изовекторный ток
q = NN$iN(8.132)
удовлетворяет уравнению непрерывности (см. § 2.4)
%и 产=0.(8.133)
Сравнивая (8.130) и (8.132), нетрудно убедиться в том, что
иа=и产一Е 2a.(8.134)
Таким образом, построенный из полей и- и d-кварков (не изменяющий странности, очарования и т. д.) заряженный векторный ток и。является 《минус》(1——12)-компонентой сохраняющегося изовекторного тока va.
200
Рассмотртм теперь электромагнитный ток кварком
广"广"2 一 a2 一 ady% +dy% +(8.135)(8.135)
广"
广"
2 一 a
2 一 a
dy% +
dy% +
(8.135)
(8.135)
(вклад в ток 5-, с- и других кварков нас здесь не интересует). Заряды и- и d-кварков связаны с проекциями изотопического спина соотношением Релл-Мана—Нишиджимы
气= & + j.(8.136)
С помощью (8.135) и (8.136) получаем
jem'a=v3a+vsa,(8.137)
где ток
吟—№；N +
является изотопическим скаляром.
Итак, слабый векторный ток и“ является «минус>-компо- нентой сохраняющегося изовекторного тока и产 Электромагнитный ток кварков представляет собой сумму третьей компоненты изовекторного тока v& и изоскалярного тока usa.
Перейдем теперь к рассмотрению p-распада пиона. В матричный элемент этого процесса дает вклад гамильтониан
獨=裔(%%(1 +%)e)J +h.c.,
где ja ——адронный слабый ток. Для матричного элемента процесса получаем следующее выражение:
(М 5 I о = — i-py ^^u^^Yjl + т.) U (— й) X
Х〈“ I 门"(2п)气(々 +貶+р，_р).(8.138)
Здесь k и 归‘ —импульсы позитрона и нейтрино; р и р‘ ——им
пульсы начального и конечного пионов, а /а—адронный слабый ток в представлении Гейзенберга.
Напомним, что сильное взаимодействие в (8.138) учтено точно (см.
. Диаграмма процесса 冗+->
冗％2 представлена на рис. 8.4.
Очевидно, что в адронный матричный элемент (pf[Ja\p) дает вклад，_ только не изменяющий странности, оча- 冗+
Рис. 8.4. Диаграмма процесса л;4f•冗°+те—Ve
рования и т. д, векторный ток Va. Имеем
〈Р'I * I р〉=喩3 I 宀 Р〉・
Далее, поскольку сильное взаимодействие инвариантно относительно изотопических преобразований, гейзенбергов ток Ка(^) является изовектором и удовлетворяет уравнению непрерывности
%p产(%)=0.(8.139)
Из (8.134) следует, что гейзенбергов слабый заряженный векторный ток Уа является 《мннус》-компонентой изовектора
9=1[/产—iv2a(8.140)
и, следовательно, сохраняется:
%уа=о.(8.141)
Итак, соотношения (8.140) и (8 141) являются следствием современной теории электрослабого взаимодействия. В конце 50-х годов эти соотношения были постулированы. Соответствующий постулат носит название гипотезы сохранения векторного тока.
Для того чтобы извлечь физические следствия из гипотезы сохранения векторного тока, учтем, что изовектор 卜产 удовлетворяет следующим перестановочным соотношениям-
[П, V尹]=i%削匕Г(8.142)
где Ti ——оператор изотопического спина. Из (8.142) для «минуса-компоненты получаем
[Т1Т2,噥]=У：Т2,(8.143)
где
тlТ = m - i員；若…=*一 i吗.
С помощью (8,140) и (8.143) матричные элементы заряженного векторного тока могут быть связаны с соответствующими матричными элементами оператора V3a.
Далее учтем, что в силу (8.137) гейзенбергов электромагнитный ток /ет-а представляет собой сумму третьей компоненты изо- векторного тока Va и изоскалярного тока 人叱
/g。=p3a+%气(8.144)
Если изоскалярный ток У5а не дает вклада в интересующий нас матричный элемент, то с помощью (8.143) и (8.144) может быть получено соотношение, связывающее матричный элемент 202
заряженноГб векторного тока Va с соответствующим матричным элементом электромагнитного тока. Именно такая ситуация имеет место в случае распада 冗十一＞п°е+у&.
Действительно, умножим соотношение (8.143) справа на вектор состояния п丄-мезона |р〉卄十,а слева ——на вектор состояния л°-мезона •:。〈// | . Используя (8.140), а также учитывая, что
Л_12 I Р+ = /2 I р*。，3〈" I 7\一2 = У2^. (р' I ,
получаем*'
Лр, I= m方二S' I 唳 I 叭+ - V^^P, I 吟 I 叭。.
(8J45)
Второй член в правой части соотношения (8.145) равен нулю. Это следует из инвариантности сильного взаимодействия относительно зарядового сопряжения. Обозначим Uc оператор зарядового сопряжения. Имеем
Uc I I 切н“ ％吟。^ = 一隋 (8.146)
С помощью (8.146) получаем
水Р'丨 V3 II Uc1 UcVWclUc ! p〔" =
Итак,
I丿丨"〉J =卜霞+〈P‘丨К I力宀 (8.147)
Рассмотрим теперь однопионный матричный элемент оператора электромагнитного тока. Из (8.144) следует, что
ЛР' I 产;“ I р〉『=ЛР'\^\Р^^ .+〈〃 丨 ^ I *「(8.148)
Нетрудно показать, что
1/|%1рХ+"(8.149)
Действительно, гамильтониан сильного взаимодействия инвариантен относительно G-сопряжения, представляющего собой произведение зарядового сопряжения на поворот на угол я
вокруг второй оси в изотопическом пространстве. Имеем
Ug I = - I 九UgK3U&i = -^,(8.150)
где Ug一оператор G-сопряжения. Используя (8.150), получаем
,-〈Р‘ 丨虑 I 八一=貝小 Uo'UaVsUo1 Uо 丨脸一=
= —*+〈"К"『 = о.
Окончательно с помощью (8.147), (8.148) и (8.149) находим
>(А，I 丿丨 р*+ =/更-/ I 严;“I p〉宀 (8.151)
Итак, из гипотезы сохранения векторного тока следует, что однопионные матричные элементы заряженного векторного тока и электромагнитного тока связаны соотношением (8.151). Соотношение (8.151) позволяет вычислить матричный элемент н<Р' I U” i р)л+ • Действительно, из трансляционной инвариантности следует, что (см. §8.1)
「〈叫 Г (к) I 脸一 =е**丄6 I Г (0) I (8.152)
Далее электромагнитный ток удовлетворяет уравнению непрерывности
da/em；a = 0(8.153)
Из (8 152) и (8.153) получаем
九I严=(8.154)
где q = p—p。
Матричный элемент 『〈р' |，ет,а 丨尸〉卄一 имеет следующий общий вид:
Ярг\^，Л\ 脸十=Np，N.[&Q) 9 + 尸)。+ G^ip-pn
(8.155)
где 尸^(Q?) и &(Q2)—функции скаляра Q2 = —qZ Подставим выражение (8.155) в (8.154). Учитывая, что q(p-^pf) =0, получаем
Q2Gz(Q2) =0.
Отсюда следует, что
&(Q2) =0.
Итак, однопионный матричный элемент оператора /ет；а ИМеет вид
产㈠力.+ =%,".(〃 +；/广％Q).(8.156)
Функция 尸n(Q2) носит название электромагнитного формфактора пиона.
Нетрудно видеть, что переменная q2 меняется в следующих пределах:
從 Wq2W(%・一f 产.，
Таким образом, в рассматриваемом нами случае q2^m^ (也」——т^0 亠4,6 МэВ). При малых Q2 формфактор ^(Q2) имеет вид
F；(Q2)dl_；-Q2,(8.157)
6
где Гл — электромагнитный радиус пиона Из данных опыта следует, что
公~0,8・1()тз см.(8.158)
С помощью (8.158) находим, что — г^ ^2^5-10'
Опуская столь малый член для однопионного матричного элеОпуская столь малый член для однопионного матричного эле6
Опуская столь малый член для однопионного матричного эле
Опуская столь малый член для однопионного матричного эле
мента заряженного векторного тока, получаем окончательно
"Р'1 J^\P}^ = Uud4p' I L I Pl+iNgp + pTUu* (8.159)
Вычислим теперь полную вероятность p-распада пиона. Для этого воспользуемся формулой (8.97). В рассматриваемом нами случае f+=¥2, f_=0. Заменяя также в (8.97) Uus-^UUd
и учитывая, что 厶=2加十J , получаем
dE弋 dq2y
x 卜(1 +-^-^ 炉⑺,加J,乙。)+ 6^"(Y+ -壮。) j (8.16C) где функция Х(х, у, 2)дается (7.88). Отметим, что импульс л°-мезона в системе покоя 冗十-мезона дается выражением:
22
入(尸，"+，q(j)
Определим следующим образом безразмерную переменную х:
д2=м\2,
где А = т^—т^. Очевидно, что переменная л меняется в пределах
где е=^е2/Д2~1,24 10~2. После несложных преобразований получаем
„32Д 2\ 1/2
"(7 , ^it з , /^U。)-△(勿П亠 + "тЛо)/ 1 X I 1 X)4
:(勺一十%))2)
a A ("丄 + 吗。)m1 - x.(8.161)
С помощью (8.160) и (8.161) да пиона находим следующееС помощью (8.160) и (8.161) да пиона находим следующеедля полной вероятности р-распа- выражение:для полной вероятности р-распа- выражение:
С помощью (8.160) и (8.161) да пиона находим следующее
С помощью (8.160) и (8.161) да пиона находим следующее
для полной вероятности р-распа- выражение:
для полной вероятности р-распа- выражение:
X [(2Х + s) (1 — X)+ Зе]X [(2Х + s) (1 — X)+ Зе]11(8.162)(8.162)
X [(2Х + s) (1 — X)+ Зе]
X [(2Х + s) (1 — X)+ Зе]
1
1
(8.162)
(8.162)
Окончательно после интегрирования по х получаем
Из (8.163) следует, что отношение R вероятности распада n+->n°e+ve к полной вероятности распада л+-мезона равно*
%е°р= (1,048±0,005) • ЮТ
Полученное на основе всех выполненных до сих пор изменений вероятности распада x+->noe+ve среднее значение отношения R равно
凡皿=(1,025士0,034) ТО-
Таким образом, данные по изучению В-распада пиона подтверждают гипотезу сохранения векторного тока.
Распад n-^p+e~+ve.
Частичное сохранение аксиального тока
В этом параграфе мы обсудим p-распад нейтрона
p+?一十y2・(8/64)
Этот процесс был впервые рассмотрен Э. Ферми в его классической работе «К теории р-лучей> (1934). В течение долгого времени после работы Ферми изучение p-распада являлось единственным источником информации о слабом взаимодействии. В настоящее время процесс (8.164) является одним из наиболее изученных слабых процессов.
В матричный элемент процесса п+ре~、е дает вклад следующий эффективный гамильтониан:
•^ = y=- е Ya (1 + Y=) ve Г + h. с ,(8.165)
где /а= йуа(1 -]ryb)dUUd (t/^ — элемент матрицы смешивания кварков). Из (8.165) в низшем порядке теории возмущений по G для матричного элемента p-распада нейтрона получаем (рис. 8.5)
I (S~l) I D = -i~^M，M〃3)%(I +h) 〃(一 用义
X 0 I 广(0)I 切(2©‘ 3 (" + 々 + " - /7).(8.166)
Здесь р и р‘ ——импульсы нейтрона и протона; k и 々/ ——импульсы электрона и антинейтрино; /仪 ——не изменяющий странности, очарования и т. д. заряженный адронный ток в представлении Гейзенберга； 2木 и /V电，——стандартные нормировочные множители (熊=匕 (少(2大严2
Перейдем теперь к подробному рассмотрению адронной ча
сти матричного элемента (8.166). Запишем заряженный сла
бый ток 产 в виде
"-^ + ^Uudt R167) где
и* = u'fxd,厂=〃Y»Ys d
—соответственно векторный и аксиальный кварковые слабые токи. Для соответствующих гейзенберговых токов имеем
*=(修+/爷(公(8.168)
где Va и /& — не изменяющие странность, сяирование и т. д. векторный и аксиальный заряженные адронные токи.
Рассмотрим вначале матричный элемент〈рЦр〉・ В приложении Ж мы показали, что
〈歹丨 Y I р) = Np, Np и ⑺[y吗 + _^-。叩 д,м]и (р), (8.169)
где g=p‘一p — передача импульса, а формфакторы Fv и Ем (функции квадрата передачи импульса) связаны с электромагнитными формфакторами протона и нейтрона соотношениями
В рассматриваемом случае p-распада нейтрона зависимостью формфакторов от квадрата передачи импульса можно пренебречь. Действительно, нетрудно убедиться в том, что переменная q2— (pz——р)2= (k+k')2 изменяется в пределах
恤2Vq20 (Мп—Мр)2,(8.171)
где Мп и М-р — массы нейтрона и протона. Рассмотрим в качестве примера электромагнитный формфактор ^^(Q2) (Q2 = =—(р‘一В?)* При малых Q2 имеем
尸/©= 1 一_^rJQ2,О
где Гр ——электромагнитный радиус протона. Из данных опыта следует, что rpe^0,8-10-13 см. Используя (8.171), получаем —丄r/Q2W4・10-6 Соответственно положим в (8.170) Q2 = 0.
Используя (Ж-36), находим
%(0) = 1,尸乂(О)=>ср—хп亠3,7(8.172)
Таким образом, если принять гипотезу сохранения векторного тока, то можно вычислить вклад тока Va в матричный элемент Р-распада нейтрона.
Имеем [см. (*.22)]
"[((О) IР> = Np>Npu(рЭ [y0^^—<7a?5^p]U(р), (8.173)
где Fa и FP — формфакторы. Можно получить соотношение, связывающее константу 尸(0) с константой распада пиона /я и 208
константой ТИЬн-нуклонного взаимодействия. Это соотношение основано на гипотезе частичного сохранения аксиального тока, к формулировке которой мы теперь перейдем.
Рассмотрим матричный элемент 〈0|/&(0)|4〉，где \q)— вектор состояния л_-мезона. Как было показано в § 8.2, этот матричный элемент имеет следующий общий вид:
〈O|/a(o)|g〉= iN//a,(8.174)
где /л ——вещественная константа, численное значение которой может быть определено из измерений времени жизни заряженного пиона. Вследствие трансляционной инвариантности
〈0|4气工)|q〉= e-g〈o|/a(o)q〉.(8.175)
Используя (8.174) и (8.175), получаем
<0!5Яла(%) ]g〉= —七^7"<01/a(0) |q〉=
=恤？f”qeTq“(8.176)
Далее имеем
〈0]几(尤)①〉= мe-如.(8.177)
Из (8.176) и (8.177) получаем
<0|даЛа(х) \q)=mn2f^o\n(x)⑺.
Предположим теперь, что гейзенберговы операторы %4“(工)и 冗(％) связаны соотношением
даАа (х) =mn2fnjt(x).(8.178)
Эта гипотеза носит название гипотезы частичного сохранения аксиального тока (РСАС). Для интересующего нас матричного элемента из операторного соотношения (8.178) получаем
〈р'I%川(X)Iр〉= m^f^p^nix) |р>.(8.179)
Далее, используя (8.173) и уравнение Дирака для спиноров ц(р) и U(p'), находим
〈"I 儿#(х) I 曲=i%e‘" "I Лв(0) I р)=
=i J"%.，Np (2MFa (Q2) - q^FP (Q2)) u (炉)丫川(p).(8.180)
Рассмотрим правую часть соотношения ^В179). Оператор л(х) в представлении Гейзенберга удовлетворяет уравнению*
(□ +呜口 (х) = к(х),(8.181)
где /я(х)—источник поля пионов. Из (8.180) для интересующего нас матричного элемента получаем
(—9.+тя2)<р/|л(х) |р> = <р/|/л(х) |р>.(8.182)
Далее нетрудно убедиться в том, что матричный элемент <pz|/n(0)p> имеет следующий общий вид:
〈"’丨 к (О) I р〉= i Nр, N“Еg」6)Z (р'Г S и ⑺,(8.183)
где g“(Q2)—вещественная функция Q2=—q2. Функция gn(Q2) представляет собой пионный формфактор нуклона. Значение формфактора g兀 в точке Q2 =——т^ по определению является константой пион-нуклонного взаимодействия. Из (8.182) и (8.183) получаем
'Р' I Е (к)丨 Р〉= i е証 Np，Np "冷卫 U к ⑺ ％ 〃 (夕).(8.184) (一~+啕
Подставим теперь в соотношение (8.179) выражения (8.180) и (8.184) Получаем
|/2р (Q2)
2M%(Q2) —q¥p Q)=友 Y - —.(8.185)
(一尸+说
Лагранжиан поля заряженных пионов имеет вид
^=даЛ*<Зая—mTC 2n*n+^;,(А)
где ^/ ——лагранжиан взаимодействия поля пионов с полями адронов. Из (А) получаем следующее уравнение для поля л;(х) •
收收dse ,「吗55X= 一吋一」+肃=0•dse ,「吗55X= 一吋一」+肃=0•
收
收
dse ,「吗
55X= 一吋一」+肃=0•
dse ,「吗
55X= 一吋一」+肃=0•
а%
где % =萌•
Простейший лагранжиан взаимодействия поля
n(K)
полем
нуклонов V (х)= 代的 ]имеет вид\"(Х)丿
В этом случае
%/= i/2g"：5屮Vn*+h. c.
Положим в (8.185) Q2=0. Получаем
2MFa (9)-Vr2/Kgx(0).(8.186)
Будем далее предполагать, что функции ^(Q2) и 尸a(Q?) в интервале —俏』WQ2 W 0 слабо зависят от Q2. В этом случае
gX0)dg」一^) = g,(8.187)
где g ——константа пион-нуклонного взаимодействия. Из данных опыта следует, что，
д2/4ш 14,6.
С помощью (8.186) и (8 187) получаем окончательно соотношение
/2W^(0)=Jg,(8.188)
которое носит название соотношения Гольдбергера — Тримена. Все входящие в это соотношение величины известны из опыта. Имеем
V2MFa (0) ~ 11,9отх> 忆g d 12,6心・
Таким образом, соотношение Гольдбергера — Тримена согласуется с экспериментом.
Вытекающее из гипотезы частичного сохранения аксиального тока соотношение (8.185) позволяет определить также значение константы Fp (0). Действительно, умножим (8.185) на (—q2+^n), продифференцируем по Q2 и положим Q2=0. Опуская производные 尸厶彳0) и g「(0) [FA(Q2) и gn(Q2) слабо зависят от Q2], получаем
尸р(0) =—竺？® •(8.189)
Формфактор 尸р характеризует псевдоскалярный член матричного элемента. Действительно, учитывая, что q =—(山+归‘)， и используя уравнение Дирака, получаем
〃(左)Ya (1 +?5)m (-无')й(p')(一严)Y5尸鼠Q2) a (p)=="伊)(1 +?5)U (一旣)й (p') Y5人/ (Q2) U (p) •
Константой эффективного псевдоскалярного взаимодействия является, следовательно, /п&尸р(0). Используя (8.189), получаем meFp(Q)!^.&-10~~2. Таким образом, в случае p-распада нейтрона эффективный псевдоскалярный член матричного элемента мал и его можно не учитывать. Очевидно, что в случае ц-захвата
厂+Р-^a+九(8.190)
константа эффективного псевдоскалярного взаимодействия равна m^Fp и, следовательно, приблизительно в 200 раз больше, чем в случае p-распада. Нетрудно убедиться в том, что в процессе (8.190) (22=0,88г??и2. Полагая, что при таких значениях квадрата переданного импульса Fa^Fa (0) и gag, непосредственно из (8.185) получаем 加以尸f(0,@8 加以2) =-8,1. Из данных опыта следует, что 加闆尸 р(6,88/и 世 2)—一9,8±1,8. Таким образом, данные по изучению 卩-захвата также подтверждают гипотезу частичного сохранения аксиального тока.
Глава 9
ПРОЦЕССЫ НА ВСТРЕЧНЫХ е+—в ПУЧКАХ
Процесс е++е-те+—е~(с учетом вклада нейтрального тока)
Изучение процессов на встречных е+—е~-пучках играет важную роль в исследовании физики электрослабого взаимодействия. В этой главе мы вычислим сечения процессов
в 丄丄+?—;(9.1)
e・+e-fg+厂；(9.2)
?-十В-+^+L(9.3)
в низшем порядке по константе электрослабого взаимодействия. Изучение этих процессов при энергиях ㊀丁 и е~^ 10 ГэВ позволяет получить информацию о лептонных нейтральных токах.
Начнем с рассмотрения процесса (9.1). В низшем (втором) порядке по константе электрослабого взаимодействия в матричный элемент процесса дает вклад следующий гамильтониан стандартной теории:
於=宀+仔丿壬(9.4)
Здесь
//0 =卸*?(9.5)
—электромагнитный ток, а
/а° = еГаое(9,6)
——нейтральный ток. В выражении (9.6)
IV=Ya(gb+g』Y5),(9.7)
где
Sv~ —1/2+2 sin20w； ga = —1/2.(9,8)
Рис 92 Диаграммы процесса е^^е--^е++е~ (обмен виртуальным Z-бозоиом)
Диаграммы процесса (9.1) представлены на рис. 9,1 и 92 Из диаграмм на рис. 9.1 и 9.2 для матричного элемента процесса в丄?-->2丁?一 получаем следующее выражение:
行 I (S — 1) I 0 = i —м?г (2寸 3 (匸 + р'+ - q),(9.9)
s
где
М" = “ 5二)％u (―弘)u (— P+) Y" u O-) +
十 R “ (匸)Г» u (— p[) u (— p+) Г0® u (/?_)^~ [u (X_) 丫“ a (/?_) X
X^ (— P^T^ (— P；) + Q 乙(X_) r° 口 ("-) £ (— P+)严"(—")]• (9.10)
ЗдесьЗдесь
Здесь
Здесь
(9.U)(9.U)SgZ
(9.U)
(9.U)
s—显 4cosZ8we2，t-屯 4cos2 %е2
где s=(p++p_)2, /=("_'—"_) 2, p_ и p+ (p」и p+') —импуль- сьг начальных (конечных) электрона и позитрона; д=р+4-"_. Выражения для 7? и Q могут быть записаны в другом виде. Имеем
g2 — G_8嗚-/2g2 — G_8嗚-/2«277 = %«277 = %(9.12)(9.12)
g2 — G_
8嗚-/2
g2 — G_
8嗚-/2
«2
77 = %
«2
77 = %
(9.12)
(9.12)
где G= 1,166- IO-5 ГэВ-2 — константа Ферми, а а= 1/137,036 — постоянная тонкой структуры. С помощью (9.12) получаем
R =与丄"|/ 2 2каR =与丄"|/ 2 2каs -s -Q=WQ=W2m2m加2?i—(9.13)?一 mz加2?i—(9.13)?一 mz
R =与丄"
|/ 2 2ка
R =与丄"
|/ 2 2ка
s -
s -
Q=W
Q=W
2m
2m
加2
?i—(9.13)
?一 mz
加2
?i—(9.13)
?一 mz
гдегде
где
где
磕
P =-
cos2 9W
Напомним, что в стандартной теории электрослабого взаимодействия с дублетом хиггсовских полей р= 1. Параметр р может быть определен из опытов по изучению обусловленных нейтральными токами процессов. Отметим, что имеющиеся данные согласуются с предсказанием стандартной теории.
Прежде чем вычислять сечение процесса (9.1), преобразуем матричный элемент Мц. Вместо констант gv и gA введем
gL = gv + g 小 gR=gv—gA- Получаем
Г2 =久%十(1 十丫5)+ 応%£(1 一丫J. (9.14)
Далее удобно воспользоваться соотношениями (см. приложение Г)
五(//_) 7а (1 ±?5)〃(Р-)五(一Р丄)俨(1 ±丫5)口(一"'+)=
=—讶(//—)7(x( l±Y5)〃(一p'+) 口 (一p丄)7。(1±丫5)〃("-)• (9.15)
Используя (9.14) и (9.15), для матричного элемента Mfi получаем следующее выражение:
M" = [1 + Rg{ +--(1 4-QgW)卜(0-)"^丫К1+ %)口(一%)X
214
Л 〃 （—夕上）£ Y “（1 + 丫5）〃（Р-） + р + Rg* + ~- （1 + Qg*）] X
< "（心~丫" （1 - 丫5）U （- "'+）"（-八）Y r （1 - 丫 J " （"-） +
一 （1 + Rgz g/?） " （由 *^ % （1 + %） " （心 " （一"+吟 丫"（ 1 - 7J X
X а 5-）-4- （1 +RgR gj U（pj） £ % （1 — %） “ （一弘）X
"（一"+）六丫"（1 十 %）"（厶）+ （一十）a +QagR）"c<） X
X『Q（1 + %）" 9一）"（-"+） 丁广（1 - 丫5）"（一弘）+
+ I 一刁（1 + QgRgJ" （XJ -^-%0一
一入）"（0_）"（一0-）十，广（1 十丫）"（一必）.（9.16）
Мы рассмотрим процесс е^-->е+е~ при больших энергиях позитрона и электрона в с. ц. и. （з 10 ГэВ）. Опуская линейные по те/Е члены, имеем
'^и（р） = — гиг （р）,◎ （"） % = 7 （"） Г,I （9 ]7）
Ys ^r （— Р） = ru （― /?）,不（一切丫5=—/（—p）r, J•
где г=±1 ——спиральность. Из （9.17） следует, что матричные элементы
7-（心"у 丫а （1 士 丫5）"4（— /+）.
U 一（一 /?+）力兀（1 土 丫5）"-（/?_）
отличны от нуля при Г； = ——г二=1, 「+ = — Г- = 1 （г[ =—厂二 =
——1,厂十=—J = — 1）. Аналогична матричные элементы
b J（P二）（1 土 丫J仍_），
7+（一"-）于%（1 士Y5）J+（一"+）
отличны от нуля при 厂二=г_ =——1, г^_ — г+ = 1 KrL =/•— = ], 「[ =「_= — 1）. Таким образом, отличны от нуля амплитуды сле-
215
дующих переходов (рис. 9.3):
\>/ \1/ \1/ \)/ \)/ 8 9 0 1 2 3 д л 9^ 9^ 9^ 2 ^ ^ Q^ Q^ Q^\>/ \1/ \1/ \)/ \)/ 8 9 0 1 2 3 д л 9^ 9^ 9^ 2 ^ ^ Q^ Q^ Q^9-9-?RT 十？ L~f Br 丄+〃-,er+e^~^eL++eR~,Br丄十九一？广+眠一,e「+eR-f 依-十？「，
\>/ \1/ \1/ \)/ \)/ 8 9 0 1 2 3 д л 9^ 9^ 9^ 2 ^ ^ Q^ Q^ Q^
\>/ \1/ \1/ \)/ \)/ 8 9 0 1 2 3 д л 9^ 9^ 9^ 2 ^ ^ Q^ Q^ Q^
9-
9-
?R-+eR-fBR-+?R-
包二——злектрон CO ^_£шшадьнортьк), Парной —1; ?次丄—— позитрон со спиральностью, равндй-Х^а т. ди). Очевнпно. что в амплитуды переходов (9.18) и ( 9 19) [первый и второй члены (9.16)J дают вклад диаграммы рис. 9.1 и 92 В амплитуды переходов (9.20) и (9.21) [третий и четвертый члены (9.16)] дают вклад диаграммы рис. 9 1л и 9.2,а. Наконец, в амплитуды переходов (9.22) и (9.23) [пятый и шестой члены (9.16)] дают вклад диаграммы рис. 9.1,6 и 9.2,6
Перейдем теперь к вычислению сечения процесса (9.1). В случае неполяризованных начальных частиц имеем
do =—『do ,，,
4 丄 ％ J
где do」」——сечение процесса при спиральностях начальных
Рис. 9.3. Процесс е*+е~->е++е-. Направления спинов начальных и конечных частиц в с, ц. и. указаны стрелками на двойных линияхРис. 9.3. Процесс е*+е~->е++е-. Направления спинов начальных и конечных частиц в с, ц. и. указаны стрелками на двойных линиях
Рис. 9.3. Процесс е*+е~->е++е-. Направления спинов начальных и конечных частиц в с, ц. и. указаны стрелками на двойных линиях
Рис. 9.3. Процесс е*+е~->е++е-. Направления спинов начальных и конечных частиц в с, ц. и. указаны стрелками на двойных линиях
(конечных) позитрона и электрона, равных 「+ и г_ (г； и г」). Используя (9.9), получаем
a j (2寸16%上厶‘吟煦
(9.24) где
-=]|/(P+P—尸一喈$
一 3)6 处史 d 丽" 2p»£
—начальный поток. Вычислим вклады в сечение отдельных переходов, представленных на рис. 9.3. Начнем с е^丄е「т。…丄一. Имеем
^BLt RL = ^ l%7 ("L %储(—/4)箫(一P + ) 丫"/ 仍一)12 =
=±Sp%g(i t%)Nyb十 yjG二spy" +
一%)2_Y胃(1+%)&(9.25)
Вычисление ARL) rl значительно упрощается, если вначале с помощью соотношения
YaYpYB(l 士Y5)一Y叫叫B(l±?5)=4仇勺式1±?5).-？«1±Y5) (9.26)
[см. (7.71)] провести суммирование по а и р, а затем вычислить шпур. Получаем
Arl； rl = (/4。_)(Р-Р+).(9.27)
Аналогично с помощью (9.26) для перехода ?厶+?氏一+^七+^氏一 находим
Lr； lr =七 I" (/?二)Y"T (- 办 五T (- "+) Y" 仍一)12 =
=仍；"-)(Х-Р+).(9.28)
Для вклада в сечение перехода е^еГ" —或е鼠 находим
4l； LR =专丨к(心氾館(一五 k (一0+) 丫“储(〃-)12 ==~^sp%上f 2:仆上|庄2工рY"河^3_YВ三乌鼠.
Чтобы вычислить Arl lr воспользуемся соотношением Гем. (7.76)]
YaYoYB(l±Y5)…产叫В(1 干?5)=4乎(1土?5)…Yo(l干Y5).
(9.29) Получаем
Arl； lr = (P—心 (pi夕+)・(9.30)
Аналогично с помощью (9.29) находим
若 LR; RL = (р_р4(р：р)(9.31)
Наконец, используя (9.29), получаем А
а〃： U = 4rr； RR =(Р-Р] (р_р_).(9.32)
Далее очевидно, что
Р~Р- = Р-Р+ = ； (1 十 cos 6),
(9.33)
р^р'+ = p_pL = -^ (1 — cos 6), PrP_ = р；р'_ = w，
где 0 ——угол 7_ежду импульсами начального и конечного позитронов в с. ц. и. Теперь сделаем последний шаг — проинтегрируем по импульсам конечных частиц. Это интегрирование мы проведем в с. ц. и. В этой системе е=р++р_=(2£\ 0). Имеем 卜5("二十/Л一g)与 ^=-=J3(2^^. - 2e)dp^dQ = -У ^- (9-34) Полезно привести сечения процесса 尹十己一―^*亠?- при определенных значениях спиральностей начальных и конечных частиц. Используя (9.16), (9 24), (9.27), (9.28), (9.30) —(Q32) и (9.34) для сечений в с. ц.乩，находим следующие выражения：
($)rL RL = 1T |(1 + Rg力十 В (1 + Q冠)I (1 + C0S 8)2；
丨 $)lR, LR = 1H О + 做分亠；О + Qg^) ) С 十 C°S 炉；
J (9.3b) /\/ do 'a2
\ dQ ) RL; LR 、dQ / LR. RL 4s 1 任£占欠 I \‘
Как видно из этих вырая ении, сечения ; и
у: dQ丿也；也 ( d2儿
обращаются в нуль при 9 = г, а сечения [—и (—)—
“■〈dQ 丿RE, LR\dQ)LR; RL
при 9=0. Из рис. 9.3 очевидно, что это является следствием закона сохранения полного момента. Отметим таки е, что вследствие несохранения четности (止-)
\ d2 / RLRL I dQ / LR; EK
С помощью (9.35) для сечения процесса е+е~->е+е~ в случае неполяризованных начальных ?丁 и е~ без труда находим (甸.+—「=+£ 号号乙=
[4邑丁 瓦(1 — cos By + & (1 + cos 9)2f(9.36)
8s-
Здесь
邑=(丁)| 1 + Q (g》一g力 I 2；&=|l+R(gM-g/|2；
& = Т { 1 + R (gp + g/ 十十 О + Q(gp+ gJ) I —~ 11 + ^(^и — g/” + -|-(1 + Q(gp — gJ)I 卜
Рис 9.4. Зависимость от | cos 91 отношения сечения процесса с++2-->с++?- прн 方=44 ГэВ к сечению, вычисленному в рамках квантовой электродинамики Сплошная кривая — предсказание стандартной теории при sir^B犷=0,23
До сих пор мы не учитывали ширину Z-бозона. Для того чтобы ее учесть, в пропагаторе Z-бозона следует сделать замену:
届 ~(僞z — i/2 Fz『—陽一i trizVz
(Fz《6z)・ Очевидно, что для сечения процесса (9 1) останется справедливым выражение (9.36), в котором
П G 1必 I
R =— ” —~—, I
V 2 2m s —M+imH? I - z z }(9.37)
c G 1,
k 2 2ка t — rn^ ^mzrz
Итак, мы вычислили сечение процесса e+e-f в十㊀一 в низшем порядке по константе электрослабого взаимодействия (с учетом диаграмм с обменом у-квантом и Z-бозоном). Сравнение полученного выражения с экспериментом в области таких энергий, при которых вклад диаграмм с обменом Z-бозоном становится заметным, позволяет в принципе получить информацию о константах gv и g$, характеризующих лептонный нейтральный ток. На рис. 9.4 представлена зависимость от | cos 01 отношения сечения процесса (9.1) к сечению процесса, вычисленного в рамках квантовой электродинамики (с учетом радиационных поправок) при ys=44 ГэВ. Как видно из рис. 9.4, в области углов 0, близких к л/2, сечение, вычисленное с учетом вклада нейтрального тока, меньше сечения, полученного в рамках квантовой электродинамики. Имеющиеся данные согласуются с этим предсказанием стандартной теории. Эти данные не позволяют, однако, определить константы gy и g^ с достаточной точностью.
Процесс Асимметрия вперед — назад
В этом параграфе будет рассмотрен процесс
е 4- е~-> ц -^4- ц-.(9.38)
Очевидно, что в низшем порядке по электрослабому взаимодействию в матричный элемент этого процесса дают вклад диа- 220
граммы i 9」,а и 9.2,а. Мы вычислим сечение процесса в общем случае V, А-взаимодействия, не предполагая 科——е-уни- нереальности взаимодействия заряженных лептонов и Z-бозонов. Гамильтониан взаимодействия имеет вид (9.4). Нейтральный ток дается выражением
j2= 2 7r2"(9.39)
N=a, ja Здесь
点 °"=Ta(gd+g山 5),(9.40)
где g/ и gAl — константы. В стандартной теории '
g6 = g^ =2~ + 2sin26w, g"A = ^д =2~-
Из рис. 9.1,а и 9.2,a для матричного элемента процесса получаем следующее выражение:
I 0 = i —[^ (/?二)丫—厶)£(—"+) 丫％ (р_) 丁
+ R口(— 〃+)"(—〃亠)Г1" eu (/?—)] (2笈)空仍一 + P+ —办
(9.41)
Здесь q = p—p_, s = q2, а
R = ^^；p襪一(942) 【/ 2 2m 显
где
/П7 cos?8w
В случае стандартной теории
吧—(9.43) / 2 2m^sin2 9W
Из (9.42) и (9.43) получаем другое выражение для R:
R =!—.(9.44)
4 sin29w cos29w s—/п^
Далее вместо g/ и g, введем
gL^gv^gA1, gRl=gvl—gAl.(9.45)
Имеем
F?： ‘ = gka 十(1 +丫5)+ gM — (1 丫5).
Используя (9.45), для матричного злемен, Процесса получаем (/ I 5 I i) — г — [(1 + Rgc §l) u (pL) Ya -^- (1 +%)〃(一/4) X X ^(— "J 厂!(1 亠丫5)〃 ("—) + (1 + R或或)^ (夕二)h 4~ (1 —
一 %) 反(一" + )〃(一"-) 丫 斤(1一小("一)十
+ (1 + Rg上翕〃(夕—)Ya ~ (1 "Г Y5) U (—"+)汉(—"亠)丫° —(1 —
—丫J 〃 ("—)+ (1 丄 Rg^gt) 〃 ("—) Ya — (1 — yJ 辽(—"+)辽(一"亠)X
义h3(1 + %)〃("—)] (2冗)43(/4 + "二一办 (9・46)
Отметим, что (9 46) может быть получено из (9.16), если в этом последнем выражении положить s〃f0 и заменить gjfgt让gl, gR2fgR"gRC, gLgLgMgM, gRgL^gR^gLs.
Из (9.46) очевидно, что в сечение процесса дают вклад переходы (9.18) — (9.21). С помощью (9.35) и (9.46) без труда получаем
(^-) e~^^~=i [В^ (1 ~ C°S 9)2 + В3 (1 - COS 9)2]=
[(潴 一 8用)(1 + cos29) + 2 cos 8 侬一珊].(9.47)
Здесь
В^ — — [ I 1 4- &£處 I 2 亠 I 1 + Rg^gZ i В,
(9.48)
潴=g[|l+Rg 氏炉+ I l+Rg 既浦 Г,
0 — угол между позитронами и 卩亠-мезоном. Используя (9.45), перепишем следующим образом выражение для сечения:
(9.49)(9.49)(9.50)(9.50)(—)——[(1 + cos2 6)сг + cos 9с2 .
(9.49)
(9.49)
(9.50)
(9.50)
\ dQ儿"一f“一 4s」
Здесь
& = U (破 + 潴)=1 + 2RgtJg7 + 炉((g 令)2 +'+ (g&)') ((g&『+ (g貫)2)，
c2 = B3—8b = 4Rg%gl + 81^ gygAgygA^ .
Если учитывается диаграмма только с обменом фотоном (рис.
а), то из (9.49) и (9.50) (полагая gy=0 и ^д = 0) получаем
=(1 + cos2 9).тр•+厂4s=(1 + cos2 9).тр•+厂4s(9.51)(9.51)
=(1 + cos2 9).
тр•+厂4s
=(1 + cos2 9).
тр•+厂4s
(9.51)
(9.51)
Сравнивая (9.49) и (9.51), мы заключаем, что вклад в сечение нейтрального тока, во-первых, изменяет коэффициент перед членом (1+cos2 0) и, во-вторых, приводит к появлению пропорционального cos 0 члена.
Информацию о коэффициенте С\ в выражении для сечения (9.49) можно получить из измерений полного сечения процесса. Из (9.49) и (9.50) находим
=\+2R^^ + I^(^=\+2R^^ + I^(^
=\+2R^^ + I^(^
=\+2R^^ + I^(^
(9.52)(9.52)4на24на23s3s
(9.52)
(9.52)
4на2
4на2
3s
3s
+ (g/) ((gV)2 + (或)~) = R,
где
—полное сечение процесса е+е~->卩+呼 в однофотонном приближении.
Сечение рассматриваемого процесса в однофотонном приближении не меняется при замене Вт л;—9:
&ет&етл_ет(8) ==(" —8)・л_ет(8) ==(" —8)・
&ет
&ет
л_ет
(8) ==(" —8)・
л_ет
(8) ==(" —8)・
Если учесть вклад нейтрального тока, то, как видно из (9.49), такая симметрия не имеет места . Определим асимметрию вперед ——назад:
(8)=石"(тс — 9). Если 威卢 0 н(8)=石"(тс — 9). Если 威卢 0 н厶 =М（8 v90。）一 W（8>90。）以以—"（8 V90。）十 N（8>90。），
(8)=石"(тс — 9). Если 威卢 0 н
(8)=石"(тс — 9). Если 威卢 0 н
получаемполучаемгде ^ (0<90°) (.V (9 >90°))—число событий с 卩丄，вылетающими в переднюю (заднюю) полусферу. С помощью (9.49) и (9.52)
получаем
получаем
(9.53)(9.53)/=謊?
(9.53)
(9.53)
Таким образом, измерение асимметрии Лиц позволяет определить коэффициент &
Приведем теперь экспериментальные данные Процесс e+e~f 卩亠卩一 детально исследовался на е+——е--коллайдерах в Станфорде (РЕР) и Гамбурге (PETRA) при ys&44 ГэВ. Во всем изученном интервале энергий полное сечение процесса е+e-f 卩十卩- практически не сличается от сеченияо^е—вычисленного в рамках квантовой электродинамики. Это согласуется с предсказанием стандартной теории. Именно, если в соответствии с имеющимися данными положить sin2 0w=O,23 и mz —92 ГэВ, то из (9.52) следует, что при J/ s^40 ГэВ 让<1,03.
Измеренная на опыте асимметрия Лиц в области высоких энергий оказалась весьма большой:
"叩=(一1°，4± 1，3h0,5)% 叩Н /f = 34,8 ГэВ, 1」叩=(—15,8 ± 2,7 ± 0,3) °/о при Уs = 44 ГэВ J
(первая ошибка ——статистическая, вторая ——систематическая) В соответствии со стандартной теорией (с учетом радиационных поправок)
工『р = —8,7。/。при У7 = 34,8 ГэВ,
А能。р = — 15,2。/。при /Г = 44 ГэВ.
Если параметр р в выражении (9.42) положить равным 1, то из данных по измерению А^ц может быть определена константа gpgf Из имеющихся данных следует
^^.4е — 0,270^0,017,
что согласуется со значением
gq 喈内= 0,25,
предсказываемым стандартной теорией. С другой стороны, если положить §；4让0№=0,25, то из данных по измерению А^ следует, что
р=1,08±0,07.
Далее, если использовать (9.43), то из данных опытов по измерению асимметрии Дии может быть определено значение пара- 224
метра sin2 ь-<?. Для массы Z-бозона следует при этом принять измеренное в опытах на р — р-коллайдере значение mz— (93± 土2) ГэВ. Наоборот, используя значение параметра sin2 0-^, полученное, например, в нейтринных экспериментах (sin2 9w== =0,232±0,005j, из измеренной на опыте асимметрии Лцц, можно определить массу Z-бозона. Таким путем было найдено, что
sinBv = 0,192 т 0,02; mz = 88,7t鬻 ГэВ.
Итак, данные по изучению процесса ?飞一+卩一卩一 подтверждают справедливость стандартной теории.
Глава 10
НЕЙТРИННЫЕ процессы
Глубоконеупругие процессы vn(v@)+・Vf 卩-(r+)+X (феноменология)
В этой главе будет рассмотрен ряд классических нейтринных процессов при больших (N 1 ГэВ) энергиях нейтрино. В экспериментах с нейтрино высоких энергий были открыты нейтральные токи. Опыты по изучению глубоконеупругого рассеяния нейтрино нуклонами и электронов нуклонами сыграли решающую роль в развитии представлений о кварках как о фундаментальных составляющих адронов. В этих опытах была получена детальная информация о распределении кварков и антикварков в нуклоне. Наконец, из нейтринных экспериментов в области высоких энергий было найдено наиболее точное значение одного из фундаментальных параметров стандартной теории sin2 0w.
Мы начнем с рассмотрения процессов
V让+Nf 卩Qi。」)
五十/Vf 厂+Х,G10.2)
где X — любые конечные адроны. Процессы (10.1) и (10.2) обусловлены обменом 1Г~6озоном (заряженными токами). Гамильтониан взаимодействия IT-бозонов и фундаментальных фермионов (лептонов и кварков) имеет вид
现丿=亠门叭丄h.с.(Ю.3)
Здесь
；а = 2”心hm丄点(1。.4)
15—6910225
где /аа — кварковый заряженный слабей ток. Из (10.3) и (10.4) во втором порядке по g для матричного элемента процесса (10.1) получаем следующее выражение:
6 s⑴，片心*〃仰)厂(I + Y5)以(例X
〈川 Y(°)I 〃〉З)"(〃 一夕一力 (10.5)
Здесь k и kf — импульсы нейтрино и мюона; р — импульс начального нуклона; р‘ 一 суммарный импульс конечных адронов; q=k——kf=р‘—р; /(/ ——слабый адронный заряженный ток в представлении Гейзенберга [сильное взаимодействие учитывается в (10,5) точно]. Диаграмма процесса (10.1) представлена на рис. ЮЛ. Используя общие формулы гл. 7, для сечения рассматриваемого процесса из (10.5) находим следующее выражение:
也=十矗击? 7住')丫.(" 丫 jJ(间L(期丫打++ %)"次)[^?『e j〈" d\p\s /产18 可(。一
— p — q]^^^^.(10.6)
Здесь
.=ph ]
/一炉胪(2冗)6
—начальный поток; df — произведение дифференциалов импульсов конечных адронов; Q?=—q2, В выражении (10.6) под-
Рис. 10.1. Диаграмма процесса %+NfTxРис. 10.1. Диаграмма процесса %+NfTxразумевается усреднение по спиновым состояниям начального нуклона, интегрирование по импульсным и суммирование по проекциям спинов конечных адронов, суммирование по всем возможным (при данном импульсе мюона) конечным адронным состояниям.
Рис. 10.1. Диаграмма процесса %+NfTx
Рис. 10.1. Диаграмма процесса %+NfTx
Выполним в (10,6) вначале суммирование по г. Учитывая, что
辽一(舟介‘(期=
Г
и вычисляя шпуры, получаем
»7 例)Г(1 J(々)％т 肉"1 + (硝=
и а /1\(1 То)仝 3 1\ 汽，，\
=(1 丁 Z) 々У(1 一 ％)(勿十 =
=8(l(々，H) Т務他，后)).(10.7)
Здесь
Далее определим следующим образом 吟в(〃д)：
£『“]// \p4p\J^+\p'^^-p-q^^
可两取:в(口，力(10.9)
где М―масса нуклона. С помощью (10.6), (10.7) и (10.9) для сечения получаем
'‘(10.10)
Очевидно, что величины 工。6(々，々/)и 工5aB (走，kf) преобразуются соответственно как тензор и псевдотензор. Поскольку do — инвариант, из (10.10) следует, что ^3 (р, д) представляет собой сумму тензора и псевдотеизора. Псевдотензор происходит ог интерференции вектора и аксиала (V\A). Тензор обусловлен вкладом в сечение вектора (^ХЮ и аксиала (А^А). Отметим также, что 步；。имеет размерность Мт .
До сих пор мы рассматривали процесс (10.1). Для матричного элемента процесса (10.2) из (10.3) и (10.4) получаем
6 s I " = i 斉陳,.У/(_ k) f (1 + YJ и (―妙)X
by ! Y+ I p} ^(p'-p-q),(10.11)
где k и kf — импульсы v^ и ц+. Сгь %н “(一k) и u(—") связаны со спинорами 以(？(々)и 既(吟,описывающими v住 и 仍丄,соотношениями
(10.12)(10.12)% 他)~ c*/ (粉，
(10.12)
(10.12)
%(勿)= _/(_ 勿)L,
где матрица зарядового сопряжения С удовлетворяет соотношениям
С (уа) ТС-1 = —уа(10.13)
(см. приложение В 8). Используя (10.12) и (10.13), находим
"(一田方(1督5)辽(一农)="(一旣)(та(1+?5))Т*
X^^k^ackk^r^—^Uc^k).(10.14)
Далее имеем
y^cr(k) =—rucr(k).
Отсюда следует, что матричный элемент
"с"(耻)у (1—Y5)〃с「(田
отличен от нуля только при /*=1 (спиральность антинейтрино равна +1). С помощью (10.11) и (10.14) для сечения процесса
■厂X получаем
Q2 +加脑,Q2 +加脑,(10.15)(10.15)厶「=訪卡a"'（瓦〃）一讨""后））X唱0，9）警，
Q2 +加脑,
Q2 +加脑,
(10.15)
(10.15)
где
嗚⑵ g) = (2" ~^yp' \ ^+\p)<p\^\p'}4p'-p~q) "• (10.16)
Сравнивая (10.10) и (10.15), мы заключаем, что выражения для сечений процессов (10.1) и (10.2) отличаются, во-первых, знаком перед псевдотензором L5aB (это связано с тем, что спиральности нейтрино и антинейтрино противоположны). Во-вторых, в общем случае тензор 呪卩 отличается от 吃
Получим теперь общие выражения для 旷；£"(р, ')• Очевидно, что из двух векторов р н q может быть построено четыре тензора
%%，РН в，%%，％'в
и один псевдотензор
叫肾炉产
В нашем распоряжении имеется также тензор g”。. В результате W^} {р^ 7)имеют следующий общий вид:
吗)(р, 9) = — 讐丿 <v, + jk (\厶一矍％) (%_
-^^)眩3 -読e岁典‘吗F，+i^产严+
一击(%"Kg河一壶^-^旷々3，(1°. 17)
где ⑺⑺ 一функции скаляров, которые могут быть построены из векторов р и д. Из р м q могут быть построены две скалярные переменные: pq и q2(p2=M2).
Функции 吃(” имеют размерность М^{. Нетрудно видеть, что эти функции вещественны. Действительно, из (10.9) и (10.16) следует, что .
Подставляя (10.17) в это сооотношение, получаем
Сечения рассматриваемых нами процессов зависят в общем случае от трех кинематических переменных. В качестве независимых обычно выбирают энергию нейтрино в л. с.
E=pk!M
и безразмерные переменные
х=Q?/(2Mv), y — v/E. где
v = pq/M.
Очевидно, что в л. с. v=q°=E—Е' — передаваемая адронам энергия.
Найдем пределы, в которых изменяются переменные хну. Из закона сохранения 4-импульса получаем
(р 丄力 2=р，2(10.18)
Очевидно, что
р^М\(10.19)
229
где М ——масса нуклона (знак равенства ^имеет место в случае квазиупругих процессов уип^ц-р и ^鳥口+仍十孔).С помощью (10.18) и (10.19) получаем
0《У.(10.20)
Переменная у меняется в пределах
0<У<―(10.21)
Нижняя граница очевидна. Верхнюю границу можно найти следующим образом Построим псевдовектор
"а=次即叫旳求。.(10.22)
В л. с “&= (О, Л4 (kXq)). Таким образом, ；Va — пространственно-подобный вектор
wyo.(10.23)
Подставляя (10.22) в (10.23), получаем
4 (两 2 pй
Из этого неравенства следует (10.21).
Перейдем теперь к вычислению сверток в (10.10) и (10.15).
Пренебрегая массой мюона, получаем
Ла^а3 = — 2々好 а『=—2МЕху,
£“%1a= 2(口々)(〃勿)—М%出=2pk {pk— pq) +
_^m守=2,仞g體)，(10.24)
e^k^e^p^q' = —2 (pk) (qkr) — (p〃)(»)=
=—4"£bg (1 — £g).
Далее имеем
上般06 =-欣啞L翔日 = 0.
Отсюда следует, что в выражении для сечения функции К《и 取5 умножаются на т^, В интересующей нас области высоких энергий вкладом функций IT4 111r5 в сечение можно, следова-
те/ьно, пренебречь. Наконец, нетрудно убедиться в том, что функция 航6 в сечение не входит (соответствующая свертка равна нулю).
Рассмотрим теперь инвариантный элемент объема d3^z/^/3. Пренебрегая массой мюона, в л. с. имеем
Далее получаем
dxdy = II 或d£ = — sin 8曲F，dE.
丿 I a (5, £)|也丫
Интегрируя no op, находим
『费=^MEydxdy.『费=^MEydxdy.(10.25)(10.25)
『费=^MEydxdy.
『费=^MEydxdy.
(10.25)
(10.25)
Окончательно с помощью (10.10), (10.15),__(10.17), (10.24) и (10.25) для сечений процессов y^/Vf 卩-X и v^Nf 卩+X получаем соответственно следующие выражения :
諳=n年小+— 嘗严
(10.26)(10.27)(10.26)(10.27)±ху [I ^~ gj & (,) j.
(10.26)
(10.27)
(10.26)
(10.27)
Здесь
尸；⑦=мп^, F^ = vVT；6 ,尸七函=V»g3 a
% —ME.
Подставляя численное значение константы Ферми G, получаем
0 ~ J-10-10 f —V —- 1,о-10-38 —см=
0 к \McJ Л4с2ГэВ
Функции 爲 безразмерны. Из данных опыта следует, что эти функции порядка единицы. Таким образом, порядок сечений процессов (10.1) и (10.2) определяется величиной о。.
Итак, мы получили общие выражения для сечений процессов 、鴨Nf》~X и vwVf цЛХ. С помощью этих выражений непосред-
ственно из данных опытов может быть получена информация о функциях, характеризующих структуру нуклона (эти функции называют структурными). Функции Ft зависят в общем случае от двух переменных, которые могут быть построены из скаляров pq и 72 Обычно в качестве независимых выбирают х и Q2. В следующем параграфе мы рассмотрим процессы (10.1) и (10 2) при больших Е, V^Q2 и V (》1 ГэВ) в партонном приближении. В этом приближении структурные функции Fi зависят только от безразмерной переменной х (имеет место так называемый бьеркеновский скэйлинг). Как мы увидим в следующем параграфе, партонное приближение (с учетом поправок, приводящих к слабой Q2-3aBHCHMOCTH структурных функций) хорошо описывает все имеющиеся экспериментальные данные.
В заключение получим соотношения, связывающие структурные функции процессов
1VMl 丄 卩一+Х,(10.28)
F-f『+X,(10.29)
а также процессов
Уц,—^―+Х,
(10.30)
Vjx+pf Г—X
(10.31)
Кварковый заряженный ток стандартной теории дается выражением
jah=^udUya (1 丄^5)d—。с ©а (1 十 丫5)^十
Uns^Ya ( 1 ~т~?5)S-pUС5Суа (1 ~ГУ5)(10.32)
где “厶 Uca .. ■ — элементы матрицы Кобаяши — Маскава. Из имеющихся данных следует, что
I UCd\ <С I Uud\ 1, I I…
Из данных опыта следует также, что вклад четвертого члена (10.32) в сечения процессов (10.1) и (10.2) мал по сравнению с вкладом первого члена. Приближенно имеем (с точностью до нескольких процентов)
卜匕^(1+Y5)匕(10.33)
Это выражение может быть записано в виде
卜』网a(1- Y5)"m
где ?/=(：) —дублет изотопической группы SU (2)卜+ = 232
——(% + i 弋2)) * Имеем так*е
ja"~= №丫《 ( !丄У5)jV
卜一 = +(%—i • Очевидно, что ток
преобразуется как изотопический вектор. Имеем
启=心丄％=讨2, $- = j，i2.(10.34)
Таким образом, заряженный ток /а^ является плюс-компонен- той изотопического вектора ja. Оператор U=^nT является оператором поворота вокруг второй оси в изотопическом пространстве (Л — оператор изотопического спина). Имеем
(10.35)(10.35)5汩7 = it U^2U~l = -ji2.
(10.35)
(10.35)
Из (10.34) и (10 35) следует, что Uja^=-ja^.
Поскольку сильное взаимодействие сохраняет изотопический спин, для соответствующих гейзенберговых токов из (10.34) и (10.35) получаем
(10.36)(10.36)7Л 一产i 2产+ —八7 2
(10.36)
(10.36)
UJ%7T =—方•
С помощью (10.36) нетрудно получить соотношения между структурными функциями процессов (10.28) и (10.29) [(10.30) и (10.31)]. Обозиачим^^ и W^ адронные тензоры, которые входят в сечения процессов (10.28) и (10.29). Используя (10.36), получаем
吟用(2n)6 ^ £ 卜"丨 4Л I Р)р р〈" I /产丨以(Р‘ 一 Р — 9)疝= =(2寸号£卜"I /力a一uI p)"s I u-uy+UTU I X)X
-p-q)dT = W^.(10.37)
Здесь |p>P(|p>n)—вектор состояния протона (нейтрона) с импульсом р. При получении (10.37) мн учли, что
U|P〉"=—1%, U|p〉n=|p〉p・
Аналогично (10.37) находим
(10.38)(10.38)昕誌=就t
(10.38)
(10.38)
Из (10.37) и (10.38) получаем следующие соотношения зарядовой симметрии:
广黑广黑(10.39)(10.39)
广黑
广黑
(10.39)
(10.39)
Во многих экспериментах, выполненных на пучках нейтрино высоких энергий, в качестве мишени используются вещества с приблизительно одинаковым числом протонов и нейтронов (такие, как Fe). Из данных, полученных в таких опытах, можно найти сечения, усредненные по р и п:
©dy T[S^7 dxdy ] dxdy©dy T[S^7 dxdy ] dxdydo— do—do— do—dxdy dxdydxdy dxdy
©dy T[S^7 dxdy ] dxdy
©dy T[S^7 dxdy ] dxdy
do— do—
do— do—
dxdy dxdy
dxdy dxdy
曲”do—y
Сечения и —— даются выражениями (10.26), в которые
dxdy dxdy
входят структурные функции
碎=£圓。+居”），曾v = +（尸?+応"）.
Если имеют место соотношения зарядовой симметрии (10.38), то
а /V г? V /V 口
尸注=六k =戸月■
Для усредненных сечений получаем в этом случае
dxdy L \dxdy L \Из (10.40) следует, чтоИз (10.40) следует, что整）尸宀小一当"卜（10.40）整）尸宀小一当"卜（10.40）d，v I d37v 丁|dyd，v I d37v 丁|dyf/f0.f/f0.1=°0 ｝尸2&V.о1=°0 ｝尸2&V.о(10.41)(10.41)
dxdy L \
dxdy L \
Из (10.40) следует, что
Из (10.40) следует, что
整）尸宀小一当"卜
（10.40）
整）尸宀小一当"卜
（10.40）
d，v I d37v 丁|dy
d，v I d37v 丁|dy
f/f0.
f/f0.
1
=°0 ｝尸2&V.о
1
=°0 ｝尸2&V.о
(10.41)
(10.41)
Имеющиеся данные согласуются с (10.41). Например, в опытах, выполненных в ЦЕРН, получено, что
= (1,01 ±0,07)^
Pf о
102 Процессы *»(外)十 \，呼(卩+)十X (партонное приближение]
Современная интерпретация опытов по изучению глубоконе- 、口ругнх процессов
Va—X,(10 42)
Vn+Y-＞卩-十X(10 43)
основана на кварк-партонной модели. В этом параграфе мы рассмотрим эту модель и вычислим в ее рамках сечения процессов (10.42) и (10.43).
Представление о партонах было выдвинуто Фейнманом в конце 60-х годов после открытия скэйлинга в первых стан- фораскнх опытах по изучению глубоконеупругого рассеяния электронов нуклонами
—X(10 44)
В основе партонной модели лежит предположение о том. что нуклон — составная система и что в области глубоконеупругого рассеяния (большие Q2 и v) виртуальный фотон [в случае процесса (10 44)] либо виртуа«чьныи К-бозон [в случае процессов (10.42) и (10.43)] взаимодействует с точечными составляющими нуклона (партон от англ part) В первоначальной формулировке партонной модели эти составляющие не конкретизировались. Опыты по глубоконеупругому рассеянию электронов нуклонами и нейтрино нуклонами позволили доказать, что партонами являются кварки ——частицы с дробными электрическими зарядами, барионным зарядом, равным 1/3, и т. д. Таким образом, эти эксперименты сыграли исключительно важную роль в развитии наших представлений об адронах как связанных системах кварков.
Мы начнем изложение партонной модели с кинематики. Будем использовать обозначения предыдущего параграфа 4-вектор передачи импульса q—k——比/ является пространственнопо- лобным вектором. Таким образом, существует система, в которой 处=0. Выберем эту систему следующим образом. Рассмотрим систему отсчета, скорость которой в л. с. направлена по вектору Чл. Для нулевой компоненты вектора передачи импульса имеем в этой системе
где В — скорость рассматриваемой системы в л. с. Выберем скорость В равной
U®|(10 45)
235
(это возможно, поскольку в системе q° = 0 векторы р(это возможно, поскольку в системе q° = 0 векторы рq2V0). Тогда =0. Очевидно, что и q коллинеарны. Далее имеем
(это возможно, поскольку в системе q° = 0 векторы р
(это возможно, поскольку в системе q° = 0 векторы р
р I ： q I,р I ： q I,尸_I q ] 2 二丨 q [2"4 一2 I p I 丨 q 厂 2 1Pl尸_I q ] 2 二丨 q [2"4 一2 I p I 丨 q 厂 2 1Pl
р I ： q I,
р I ： q I,
尸_I q ] 2 二丨 q [2"4 一2 I p I 丨 q 厂 2 1Pl
尸_I q ] 2 二丨 q [2"4 一2 I p I 丨 q 厂 2 1Pl
pq = — pq= Таким образом,
q=—2xp.
Импульс нуклона в системе «。= 0 равен
Используя (10.45) и учитывая, что q^=v, получаем
i I К Q2
(Q2=—夕2). Отсюда следует, что
р- V 2 У
В области глубоконеупругого рассеяния v》/*L Таким образом, при значениях кинематических переменных, отвечающих глубоконеупругому рассеянию,
p2》財2
Сформулируем теперь основные предположения, лежащие в основе простейшей (наивной) кварк-партонной модели.
Предположим, что нуклон представляет собой систему, состоящую из кварков, и что в области глубоконеупругого рассеяния (Q2》M4 v》A1) взаимодействием между кварками можно пренебречь.
Предположим, что в системе %=0 (в которой импульс нуклона много больше его массы) импульсы кварков направлены по импу«чьсу нуклона и что массами кварков можно пренебречь по сравнению с их импульсами*.
Гамильтониан взаимодействия лептонов и кварков с заряженными промежуточными бозонами имеет в стандартной теории электрослабого взаимодействия вид
羯二言戌—h. с„(10.46)
где заряженный ток /а дается выражением
厶=2 5%(1+厶)?丄 工 西.(1 + Y5)%刊(10・47)
/=е, ц,, ..q=d, ...
q' ="* ...
Рис. 10.2 Диаграмма процесса v#—d->Рис. 10.2 Диаграмма процесса v#—d->
Рис. 10.2 Диаграмма процесса v#—d->
Рис. 10.2 Диаграмма процесса v#—d->
Рис. 10.3. Поглощение 戚-бозона кварком в системе«0 = 0
(〃4,4 ——элемент матрицы Кобаяши ——Маскава). Из (10.46) и (10.47) следует, что во втором порядке теории возмущений по g возможны следующие процессы квазиупругого рассеяния нейтрино на кварке и антикварке (рис. 10.2):
Vn+%f 呼十％(10.48)
(% —-d, s, b; qf=u, c, %),
^+q^-+qf(Ю.49)
(qt^〃，彦，f；分=^, s, b).
Рассмотрим процесс (10.48) [(10.49)J. Начнем с кинематики. Поскольку (п.1) начальный и конечный кварки ——свободные частицы, имеем
Pi+q=pf,(10.50)
где р» и ①一импульсы начального и конечного кварков. Отсюда в системе 仇)=0 получаем
pi+q=pF,(10.51)
Р产=Р产.(10.52)
Мы предположили (п. 2), что |pi| »т(,旧|》叫，где т\ и mf— массы начального и конечного кварков. Из (10.52) следует при этом, что
m=山|.(Ю.53)
Далее, поскольку вектор р^ направлен по р (см. п. 2), векторы р： и q, а следовательно, и р『коллинеарны. Из (10.53) следует, что имеется две возможности
Pf = ±Pt・
Очевидно, что закон сохранения импульса запрещает первую возможность. Таким образом,
р, = —р„(10 54)
Окончательно из (10.46), (10.51) и (10.54) получаем
р i = — — q =：久 p.(10. on)
Таким образом, в партонном приближении в силу закона сохранения энергии и импульса виртуальный IF-бозон взаимодействует только с таким кварком (антикварком), импульс которого составляет х-ю часть импул^а нуклона р. Рисунок 10.3 иллюстрирует процесс поглощения виртуального W-бозона с импульсом q свободным кварком (антикварком) нуклона.
Этот результат полезно получить другим способом. Запишем
pi—Xip.(10 56)
Поскольку |р"》％, |р|》М. из (10.56) получаем
Таким образом,
pi=Xip.(10.57)
В силу закона сохранения 4-импульса pi+q=pf.
Возведем это равенство в квадрат. Пренебрегая массами кварков, получаем
2P与+g2=0.(10.58)
С помощью (10.57) и (10.58) находим
Таким образом,
e=无0
Перейдем теперь к вычислению сечения процесса (10.42). Метод вычисления будет состоять в следующем. Вначале вычислим адронный тензор 犷邮(в партонном приближении). Тем самым будут найдены структурные функции F「Затем воспользуемся общей формулой (10.40) и получим сечение. -
Найдем вначале вклад процесса (10.48) в К：* Для матричного элемента кваркового тока получаем
小仍 I /а (°)l Pi\ = NpiNp^(Pf')丫а (1 十 ％) U (A)-(I。》»
Отсюда для вклада процесса (10.48) в 附в находим
":8)中 q.=号/ 言 Sp% (1 +丫5)(Pi + m)丫8(1 + 丫5)(0 +
+ 吗)8 {Pf-Pi-q^ 匕(看)dxt I Uq. % I ?.(10.60)
Здесь ((xj —Здесь ((xj —плотность вероятностиплотность вероятностикварка qi с импульсом, составляющим клона. Вычисляя шпур и пренебрегаякварка qi с импульсом, составляющим клона. Вычисляя шпур и пренебрегаяобнаружения в нуклоне%「ю часть импульса ну- массами кварков, нахообнаружения в нуклоне%「ю часть импульса ну- массами кварков, нахо
Здесь ((xj —
Здесь ((xj —
плотность вероятности
плотность вероятности
кварка qi с импульсом, составляющим клона. Вычисляя шпур и пренебрегая
кварка qi с импульсом, составляющим клона. Вычисляя шпур и пренебрегая
обнаружения в нуклоне
%「ю часть импульса ну- массами кварков, нахо
обнаружения в нуклоне
%「ю часть импульса ну- массами кварков, нахо
=2S (2Piq + g2)=点 з(看—初=2S (2Piq + g2)=点 з(看—初(10.63)(10.63)
=2S (2Piq + g2)=点 з(看—初
=2S (2Piq + g2)=点 з(看—初
(10.63)
(10.63)
дим
(叫%;%•=m J ±(4/fs - g叩Р必 + PfdPiB -d3pf
—i、₽₽/『"『)"'f— "i —д)^ё" %(/i)dxt 丨 U死先丨 2- (10.61)
Для того чтобы записать это выражение в виде (10.17), введем вектор
/г=刀+〃.
Учитывая, что q=pf—рй из (10.1) получаем
(吟)4f;支=寻 j 嘉[^Лр + q?(g叩一爷)_ 2 i &№p"]X
Xs(Pr — "i—q)~^ f%(/i)d/ I I 2'(10.62)
Выполним далее интегрирование по р. Используя (7.82) и пренебрегая массами кварков, получаем
В(0 — Pi — g) 3 ("/ —〜В 力幺=
При этом мн учли, что pi—Xip. Наконец, проведем интегрирование по %г. Учитывая, что (после интегрирования по Хг)
п =油 + q = 2х (р — ^ q),
еа^ар^д°= хва^р^д0, р(°=хр°.
из (10.62) и (10.63) находим
一加告%"小户％，小(10.61)
Сравним теперь (10.64) с общим выражением (10.17). Для вклада процесса (10.48) в структурные функции 户父 получаем
(型⑴)%(10.65) где
щ=1, р，2—2х, цз=2(10.66)
(仇=丛 s, b; с, £).
Вычислим теперь вклад в структурные функции /V процессов рождения ц_-мезонов при взаимодействии v代 с антикварками: vu-T^->H_+^(10.67)
(仇=広 с, f;呑=N, J,万).Из (10.47) для соответствующего матричного элемента получаем
*必| p说亠-NgMW—Pt)%(l+ %) “(一巧)0气田
1(10.68)
где pi и "f ——импульсы начального и конечного аптикварков. Очевидно, что (W^-. - отличается от [W^ ^^ (10.61)] знаком перед псевдотензором ?唯衣厉，@ также заменой
(10.69)(10.70》(10.71)выраже-в струк-(10.69)(10.70》(10.71)выраже-в струк-% (Х0 —江(/), где /L (х) — плотность распределения антикварков 7# в нуклоне Без труда находим
(10.69)
(10.70》
(10.71)
выраже-в струк-
(10.69)
(10.70》
(10.71)
выраже-в струк-
(尸式外)土4=%冗(")I u%； n 12» где
Ni=l, Ц2=2х, ц3=—2.
Рассмотрим теперь процессы
Vjx+% -厂十分，1
Соответствующие матричные элементы тока /а даются ниями (10.59) и (10.68). Для вклада процессов (10.71) турные функции 理 без труда находим
^\-.4-^fqiM\U4f,q[\^(10.72)
(仇=u, с, /;分=d, s, b),
(10.73>
(% = & ^ 员力=^, A,力
Получим теперь выражения для структурных функций 尸炉 и 尸炉 в партонной модели. Очевидно, что для этого необходимо
просуммировать вклады (10.48), (10.67) и (10.71) (антикваркам). Получаем
в структурные по начальным
функции процессов и конечным кваркам
Fk （九）-P•走
2 S
]U
1 5%
/) +
и
2 /-(A).
Далее, учитывая, что в ния
силу
унитарности матрицы
смешива-
находим
=1,
久（%）=世后 £
fq.M +^*_2 左(X),
(10.74)
где коэффициенты 卩々 и 卩尼 даются выражениями (10.70). Аналогично получаем
(10.66) и
尸z（x）=氏 2 "（/）+ %%=U,…丄
久
(10.75)
С помощью (10.66), (10.70), (10.74) и (10.75) находим
储")=e J.") + e /- (Л)»
f2 a)= 2x[ S f(x)+ 2 匚(川 ln=d，…L n=工…n /
FJ(入)=2
£ (о—』
Q^—^t -•-'
7=二…
F；(x)=
2 {б + S \(х), q产… ’
qi=d,...
尸 Г(х) = 2х( £ %(x) + _g
Х)\,
%=u
耳(入)=2工 f (л)— £ f (л)
(10.76)
Еще до первых опытов по глубоконеупругому рассеянию электронов нуклонами (Станфорд, 1968 г.) Бьёркен предположил, что при больших Q2 и V структурные функции 尸々 зависят только от безразмерной переменной % (напомним, что в общем случае функции 尸总 зависят от х и Q2). Эта гипотеза получила название гипотезы скэйлинга. Как видно из (10.76), в партонном приближении имеет место точный скэйлинг структурных функций. Далее из (10.76) следует, что в партонном приближении функции У7】и 尸2 связаны соотношением
左(Л) = 2"； (Л),月(Л) = 2諸『“).(10.77)
Это соотношение носит название соотношения Коллана ——Гросса. Оно основано на предположении о том, что спин кварков равен 1/2.
Подставим теперь (10.76) в общие выражения для сечений [см. (10.40)]. Полагая, что Е^>М, и опуская член Мху]2Е для сечений процессов (10.42) и (10.43) получаем в партонном приближении
昌£ L^ + a-УГ £ /_(х)1, (10.78)
与=2x%「(1—疗 £ 葭(x)十 £ /(X)] (10.79) dxdyJ ч»勺
L%="，..q=d….
(10.80)(10.81)(10.82)(10.83)реакции(10.80)(10.81)(10.82)(10.83)реакцииПолезно получить также вклады в сечения рассматриваемых глубоконеупругих реакций элементарных процессов (10.48), (10.67) и (10.71). Подставляя (10.65), (10.69), (10.72) и (10.73) в общие выражения (10.40), без труда находим
(10.80)
(10.81)
(10.82)
(10.83)
реакции
(10.80)
(10.81)
(10.82)
(10.83)
реакции
(為叫⑴I %丿；
/上)_ _ = 2х%5(А)]% /， W dy丿q『q^
где 1^^) 丁人一вкла^ в сечение процесса %У —「Х (10.48) и т. д.
242
Y V -一_2
Ряс. 10.4. Процесс v^丁〃-屮-十曰 Направления импульсов и спинов начальных (а) и конечных (6) частиц в случае вылета мюона назад Направления спинов указаны стрелками на двойных линиях
Рис 10 4 Процесс /甘+d—р.-——" Направления импульсов и спинов начальных (а) и конечных (6) частиц в случае вылета мюона назад Направления
Как видно из (10.80) — (10.83), в партонном приближении се- ，do, ,，do—、
чения } и 一 _ не зависят от а сечения
dxdy q/’q* 八也
(詣)可，豆 И ^.4!：4i пропорциональны (l-z/Л
Зависимость от у сечения взаимодействия нейтрино (антинейтрино) с кварком либо антикварком определяется спиральностями начальных частиц. В качестве примера рассмотрим
Vp.—Nf 卩-一g(10.84)
в с. ц. и. Спиральность нейтрино равна ——1; спиральность антикварка равна 1 * (напомним, что массами кварков мы пренебрегаем) .Таким образом, проекция полного момента начальных частиц на направление импульса нейтрино равна ——1 (рис. 10.4,а). Рассмотрим вылет ц"-мезона назад. Адронной системе передается при этом максимальная энергия: у= 1. Так как спиральность 卩一-мезона отрицательна, проекция полного момента конечных частиц на направление импульса нейтрино равна 丄1 (см. рис. 10.4,6). Таким образом, вылет 卩一 назад в процессе (10.84) запрещен законом сохранения полного момента. Этому отвечает множитель (1——у)2 в выражении (10.81) для соответствующего сечения.
В случае процесса
Vjx+d—屮厂
проекции полного момента начальных и конечных частиц равны нулю (рис. 10 5) и, следовательно, вылет мюона назад за
коном сохранения момента разрешен. Этому отвечает отсутствие у — зависимости в выражении (10.80).
Нетрудно теперь сформулировать общее правило для вычисления вкладов в сечения реакций (10.42) и (10.43) процессов взаимодействия нейтрино (антинейтрино) с кварками и антикварками в партонном приближении. Имеем
/ de\dx dy ; f,/ de\dx dy ; f,=2%工=2%工1 (спиральности начальных частиц" одинаковы)} (х)а
/ de
\dx dy ; f,
/ de
\dx dy ; f,
=2%工
=2%工
(1——у)2 (спиральности начальных 1% …
частиц прот ивоположны)
(10.85)
Здесь "(尤)——функция распределения начальных кварков (антикварков) ;a?, i — квадрат коэффициента, с которым входит в заряженный ток оператор 彳‘丫仪(1十？5)仇 обусловливающий переход if. Отметим, что это правило применимо также и в слу
чае, если в гамильтониан наряду с «левыми входят и правые
токи.
Если справедлива кварк-партонная картина, то, как видно из выражений (10.78) и (10.79), изучение глубоконеупругих процессов Vj/Vf 卩-X и v^Nf 停十X позволяет получить информацию о функциях распределения кварков и антикварков в нуклоне. Введем общепринятые обозначения. Для функций распределения кварков и антикварков в протоне //(х) и fqp(x) используются следующие обозначения:
jи"(К)=■ ti(X), fap (-V)=d(X), fsp (-^) =5(X), fc°^X)=C(X),..., P—p—p—P
左(x) = u (x),行(x) = d(x), f- (x) = s (x),厅(x) = c (x),…
Из зарядовой симметрии для функций распределения кварков в нейтроне получаем
fип (-^) =^(X), /dn (*^) =^ (-V), f sn (-V)=S(X), fc" (%) ^^ С (%) * (10.86)
Аналогично для функций распределения антикварков в нейтроне имеем
启(х) =а(х), К (х) = U (Х),启(х) = s (х), £ (х) = с (х). (10.87)
При анализе данных опыта малыми вкладами в сечения рассматриваемых процессов самых тяжелых & и ^ кварков пренебрегают. Из (10.78), (10.79), (10.86) и (10.87) для сечений процессов
"一"一佃+) + %
V^ (vj + " f l佃一)丄 X
соответственхгЗ получаем
-^^ = 2% (х) 3 (х)，s (х))十(1 —乡产(м (х) + с (х))], (10.88)
二一+=2%x [(1 -疗("(X)+ e(X)) + (d(x) + s(X))], (10.89) ax ay
■^^ = 2。/[("(X)- s (.V)) + (1 一"(d(x) + e(X))], (10.90)
de — 一
丁了- = 2。/ [(1 -疗(d(X)+ с(X)) + (u (*) + s3)]. (10.91) dy
Для усредненных по протону и нейтрону сечений из (10.88)—— (10.91) находим
叫" _丄/ d7dx dy 一 2 \ d% dy叫" _丄/ d7dx dy 一 2 \ d% dy丁滥尸%x3х)+s")-‘⑴)+丁滥尸%x3х)+s")-‘⑴)+
叫" _丄/ d7
dx dy 一 2 \ d% dy
叫" _丄/ d7
dx dy 一 2 \ d% dy
丁滥尸%x3х)+s")-‘⑴)+
丁滥尸%x3х)+s")-‘⑴)+
(1 一 У)? (q (工)丄 e (上)一s (义))],(10.92)
= % ⑴[(1 -力2 句(a)+ e(X)- S(Л)) +
+ (U(x)十不“)一工(x))].(10.93)
Здесь
”х)二匕(х)丄 g(x)十 ±(x) + g (x), I
疗⑴=Й\а)+ 厘(x)亠^⑶+ 2(x). j (')
Очевидно, что q(%) (^(х)) представляет собой плотность вероятности обнаружения в протоне кварка (антикварка) с импульсом, составляющим х-ю часть импульса протона.
Нетрудно выразить структурные функции 尸々 через функции распределения кварков и антикварков. Используя (10.76), (10.86) и (10.87), получаем
尸:Р = 2大F产=2九(d + s + м + e);
F^ = 2 (d s — и — с);
尸Г — 2х咛х = 2 х (〃 + s+胃+ 2);
尸『=2 (& 十 s — d — с);
(10.95)(10.95)@ = 2/抨=2/3 +£? +"+5, 尸『=2 (〃 一 с — d — s);
(10.95)
(10.95)
内" =2%广=2x (d+e + ；?+豆； 尸丁 = 2 (d + с——s).
(10.95)(10.95)Для усредненных по р и гг структурных функций из находимДля усредненных по р и гг структурных функций из находим尸?= (g + s -C -g -2 丁 ^);尸£ = x(qс — s — g 丄 s — с):尸?= (g + s -C -g -2 丁 ^);尸£ = x(qс — s — g 丄 s — с):(10.96)(10.96)
(10.95)
(10.95)
Для усредненных по р и гг структурных функций из находим
Для усредненных по р и гг структурных функций из находим
尸?= (g + s -C -g -2 丁 ^);
尸£ = x(qс — s — g 丄 s — с):
尸?= (g + s -C -g -2 丁 ^);
尸£ = x(qс — s — g 丄 s — с):
(10.96)
(10.96)
尸?=(q -T е ~ s - q - s Ch
(10.97)(10.97)Кварки рождаются (глюонами) совместно с антикварками. Естественно предположить, что в протоне $(%) =6(尤)，с(х)—с{х)
(10.97)
(10.97)
卜(10.98)丿卜(10.98)丿В этом случае из (10.96) получаем 尸3" =Ff = x{q — «): 尸]=g —万一？s -2c & v = q — q 丄 2c — 2s
卜(10.98)
丿
卜(10.98)
丿
Если пренебречь вкладом в структурные функции странных и очарованных кварков, то, как было показано в § 10.1, функции 尸在 удовлетворяют соотношениям зарядовой симметрии: 尸”=露"，々=1,2,3.(10.99)
Из (10 97) и (10 98) следует, что для функций 尸2 соотношение (10.99) имеет место и при более слабых предположениях.
Функции, описывающие распределения кварков и антикварков в нуклоне, обязаны удовлетворять ряду интегральных условий (правил сумм) Действительно, поскольку электрические заряды и- и с-кварков (й- и 守-антнкварков* равны 2/3 (—2/3), а электрические заряды d- и s-кварков (5- и s-антикварков^ равны —1/3 (1/3), имеем
1
J j (—')"丄 с —' & — с)十(——)(d + s — d — s) ] dx = 1.
(10.100)
Барионные заряды кварков (антикварков) равны 1/3 (—1/3) Получаем
1
1. (10.101)1. (10.101)J [—(〃 丄 с d 丄 s) (口 + c — d — s) ] dx = о
1. (10.101)
1. (10.101)
Наконец, учитывая, что протон — частица с равными нулю странностью и очарованием, имеем
(10.102)(10.102)J (s — s) dx = О, J (с — е) dx — 0.
(10.102)
(10.102)
Используя (10.94), следующим образом перепишем соотношение (10.101):
1
J(4—7)dx — 3.‘(10.103)
о
и (10.102),и (10.102),Это интегральное условие носит название правил сумм Грос-
и (10.102),
и (10.102),
са — Левеллина—Смита. Далее, используя (10.100) получаем
ii(и — &)(d —— d)] dx = 1, о
i
i
о；
Отсюда следует, что
J (u — u) dx = 2; J (d — d) dx =1.(10.104)
о0
Определим uv=u—五 и dy=d——N. Функции и& и dv характеризуют распределение валентных и- и ^、кварков в протоне. Правила сумм (10.104) являются следствием того, что протон со
Рис. 10.6- Диаграмма процессаРис. 10.6- Диаграмма процессастоит из двух валентных и-кварков и одного валентного d-кварка.
Рис. 10.6- Диаграмма процесса
Рис. 10.6- Диаграмма процесса
Структурные функции процесса глубоконеупругого рассеяния электронов (мюонов) нуклонами
в кварк-партонном приближении также выражаются через функции распределения кварков. Получим соответствующие выражения. Диаграмма процесса представлена на рис. 106 Для матричного элемента
процесса находим
/ s i 0 = i 矿然,Nh 7⑺户,出 4 (X i I P)XХ^Чр' -p-q),
где 尼 и 尼'——импульсы начального и конечного лептонов; р —— импульс нуклона; р‘ ——суммарный? импульс конечных адронов; q=k——々'；/ает — электромагнитный ток адронов в представлении Гейзенберга. Сечение процесса IN—IX дается выражением
""=+‘肃Т S您)z‘肉7电"(々')x
〉<юS' I i P) S I 4m I 0〉S (PZ — — <7)X
'Xtffgfda,(10.105)
где j ——начальный поток. Определим следующим образом тен- зор弘В仍，q)：
2j (^ I 尊 I 夕〉5 I /Г I /)5(р' — p — q)^ =
= 7^f£"必В9'办(10」06)
Пренебрегая массой лептона, из (10.104) и (10.105) для сечения процесса находим
g = 2a2*l%,々乂方/就足，q)号 (Ю.107)
Тензор 厶“в(也 貶)дается выражением (10.18).
В силу закона сохранения тока
<р|/ает|р>Г=0.(Ю 108)
Из (10.106) и (10.108) получаем
配В(А 9)炉=。，B^S，9)4° =。・(Ю.109)
Далее очевидно, что UZ% —Тензор второго ранга (ja&m — вектор). Полагая в (10.17)切з=0 и учитывая (10.109), получаем
呪®, g) = _ ев一学)吃 +
十击(凡一号%)(/_*^-%)肥， (io.il。)
где KJ и W^ — вещественные функции скаляров pq и g 248
Нетрудно теперь получить общее выражение для сечения процесса iNflX. Учитывая, что
НВ 的 吟 qa="№，^)^=0, находим
(10.111)(10.111)"В 他，々')(g叩-乎)=一 2航'=q2 = —4EE' sin' U， 1° 他，勿)1р.一珠 q：) S - ^qs) =29卦№l
(10.111)
(10.111)
— M2kk' = 2£F cos2—,
2
—=E'dE'dQ!. 2
Здесь £ и 七‘ 一энергии начального и конечного лептонов в л. с., а 9 ——угол между импульсами начального и конечного лептонов. С помошью (10.107), (10.110) и (10.111) для сечения процесса в л. с. получаем следующее выражение:
•^^=^[^J + 2tg2/u\[,(10.112)
где a2 cos2 (6/2) м - 4£2 sin4 (9/2)'
Приведем также другие используемые в литературе выражения для сечения глубоконеупругого рассеяния лептонов нуклонами. Определим безразмерные структурные функции:
Далее, з^итывая, что у—Q2/ (2МЕх), из (10.25) получаем
1t上办必1t上办必(10.113)(10.113)
1t上办必
1t上办必
(10.113)
(10.113)
С помощью (10.107), (10.110), (10.111) и (10.113) находим
Наконец, вместо структурной функции 尸J часто вводят функцию R, которая определяется следующим образом:
(10.115)(10.115)
(10.115)
(10.115)
(10.116)(10.116)Можно показать, что функция R представляет собой отношение сечений поглощения виртуальных фотонов с продольной и поперечной поляризациями. Из (10.115) находим
(10.116)
(10.116)
следую-следую-1 一 V (1 +R) Q2 2 ■
следую-
следую-
(10.117)(10.117)Подставляя (10.116) в (10.114), для сечения получаем щее выражение:
(10.117)
(10.117)
上 dQ2 QM M ”4£2 /2E2(i+r)J 2
С помощью (10.111) [либо (10.114), либо (10.117)] из опытов по изучению глубоконеупругого рассеяния лептонов нуклонами можно определить структурные функции F占 Получим теперь выражения для этих функций в партонном приближении. Электромагнитный ток кварков дается выражением
jW = Eeqg%g，
где eq—заряд кварка (в единицах заряда протона). Найдем вклад процесса
2十,-> 2+g
в тензор 闪：6(卩，«)• Д^я матричного элемента оператора j；" имеем(Pf I /Г I Pi} =NpfNpjti ⑵)％ a (夕)，
где pi и Pf ——начальный и конечный импульсы кварков. Аналогично (10.64) получаем
^4=[~^r[g^7Д) +説(乙^力)х
х(/^"%)卜/")，(10.118)
Сравнивая (10.118) и (10.110), заключаем, что *
(^(х))^^^)，(Ю.119)
где ^^=1/2; /2=%.
必.Отметим, что множи必.Отметим, что множиИз (10 66) н (10.119) следует, что ц^—
必.Отметим, что множи
必.Отметим, что множи
тель 1/2 в этом соотношении связан с тем, что в ц* дают (одинаковый) вклад как вектор, так и аксиал.
Очевидно, что вклад в W^ процесса
l+q^l+q
дается выражением (10.118), в котором 厶&)一/屋(入). Суммируя теперь вклады всех кварков и антикварков, для структурных функций получаем следующие выражения:
"f/ = /£ 仿 ") + /7⑴)ej,
，，(10.120)
尸2=入 2%(人)+，7。)) q
Как видно из этих выражений, структурные функции 尸世 и F2l процесса глубоконеупругого рассеяния лептонов нуклонами зависят только от скэйлинговой переменной 汇 и удовлетворяют соотношению Коллана — Гросса
尸 2‘(％)=2%尸/«).
Для процесса
z+1+x
из выражения (10.120) получаем
尸产⑴=xJ-^-(U(A)十 С&) +%(А)+ С 仆))+
+ £ (d“)+ S⑴ + Z(x) + 7(A))].(10.121)
В случае процесса
2+м—>/+Х
имеем
尸产(工)=х ^ (d(а) 4- e (人)丁 d(х)十 e ⑴)+
4 ~ 他(乂)+ s (")十"(大)+ s ("))].(10.122)
Из (10.121) и (10.122) для структурной функции TV", усредненной по р и гг, получаем
尸尸二 V (Fl 十尸2〃)=%[*(«")+"⑴)+
4—— (с (л) + с (л))~ (s (л) + s (乂))].(10.123)
6□J
Если пренебречь малым вкладом s- и с-ке *ов, то из (10.123) следует, что
(10.124)(10.124)£" (а) ± ^~ х(7 (л) 一 7 (入)).
(10.124)
(10.124)
Сравнивая это выражение с (10.95), заключаем, что в кварк- партонном приближении структурные функции глубоконеупругих процессов ¥口(州口)?/-＞从一(卩+)Х и IN7X связаны соотношением
尸У 二靑 (10.125)
Итак, мы получили выражения для структурных функций процессов глубоконеупругого рассеяния нейтрино нуклонами и лептонов нуклонами в рамках так называемой наивной партонной модели. При этом мы не учитывали взаимодействия между кварками. В действительности кварки взаимодействуют с глюонами и, следовательно, путем обмена глюонами — друг с другом. Взаимодействие кварков и глюонов описывается квантовой хромодинамикой, изложение которой выходит за рамки этой книги. Отметим лишь, что константа взаимодействия кварков и глюонов логарифмически убывает с ростом Q2 и при достаточно больших Q2 мала. Если учесть взаимодействие кварков и глюонов, то в первом порядке теории возмущений (главное логарифмическое приближение) все соотношения наивной партонной модели остаются в силе. При этом функции распределения кварков (и, следовательно, структурные функции) зависят не только от х, но и от Q2.
В заключение обсудим кратко экспериментальные данные. Из (10.26), (10.77) и (10.98) получаем
(10.126)(10.126)
(10.126)
(10.126)
Как видно из (10.98), последний член этого выражения пропорционален вкладу странных кварков. Этот вклад мал и составляет несколько процентов вклада и- и d-кварков. Если учесть этот малый вклад, то из суммы сечении 十может “dx dy dx dy
быть определена функция 尸2‘"=х(д+д). Далее из (10.26), (10.77) и (10.98) для разности сечений получаем
d。 „ da-.d。 „ da-.
d。 „ da-.
d。 „ da-.
Рис. 10.7. Значения функций f2дены также значенияРис. 10.7. Значения функций f2дены также значения",工鼻 и xq (данные группы CDHS). Приве-",工鼻 и xq (данные группы CDHS). Приве-функциифункции—^^ (данные SLAC) 5—^^ (данные SLAC) 5
Рис. 10.7. Значения функций f2
дены также значения
Рис. 10.7. Значения функций f2
дены также значения
",工鼻 и xq (данные группы CDHS). Приве-
",工鼻 и xq (данные группы CDHS). Приве-
функции
функции
—^^ (данные SLAC) 5
—^^ (данные SLAC) 5
Отсюда может быть определена структурная функция
X 戸3 = у (х&“ 十 x&'j = X (q —办
Ну рис. 10.7 представлены полученные из данных опыта 尸2”"， 尤戶з н 工彳 в интервале 4<Q2<8 ГэВ2 ^. Приведены также значения функции — F2sN, полученные (при тех же Q2) в станфорд- 5
ских опытах по изучению процесса ed-^eX.
Как видно из рис. 10.7, данные опыта согласуются с (10.125). Подчеркнем при этом, что множитель 5/18 является полусуммой квадратов дробных зарядов и- и d-кварков.
Из данных опытов следует, что структурные функции зависят от Q12 (скэйлинг нарушается). Эта зависимость является слабой и согласуется с предсказанием квантовой хромодинамики. Нарушение скэйлинга иллюстрируется рис. 10.8, на котором приведены значения структурной функции 尸2" при фиксированных значениях х и различных Q2. Приводятся также значения функции — F/N, полученной из выполненных в ЦЕРН опы- 5
тов по глубоконеупругому рассеянию мюонов нуклонами. Как видно из рис. 107 в широкой области кинематических перемен
马О马О2。2。乌幺乌幺0戸:・口0戸:・口510《5510《5OoOooQjcP^B^eg 口哂OoOooQjcP^B^eg 口哂••• Л %•!•■••：■ ■••• Л %•!•■••：■ ■•・У*・宀•・У*・宀CSHS[Fe\』为它EME%ff£CSHS[Fe\』为它EME%ff£Х=0,65Х=0,657。 1gQ；「3B*7。 1gQ；「3B*x =403x =403Х=^ХГХ=^ХГХ=0,25Х=0,25x=0"，x=0"，Х=%5Х=%5Х= 口,55Х= 口,55TOOQTOOQ二05二05:%6:%60,2。70,2。7
马О
马О
2。
2。
乌幺
乌幺
0戸:・口
0戸:・口
51
0《5
51
0《5
OoOooQjcP^B^eg 口哂
OoOooQjcP^B^eg 口哂
••• Л %•!•■••：■ ■
••• Л %•!•■••：■ ■
•・У*・宀
•・У*・宀
CSHS[Fe\』为它
EME%ff£
CSHS[Fe\』为它
EME%ff£
Х=0,65
Х=0,65
7。 1g
Q；「3B*
7。 1g
Q；「3B*
x =403
x =403
Х=^ХГ
Х=^ХГ
Х=0,25
Х=0,25
x=0"，
x=0"，
Х=%5
Х=%5
Х= 口,55
Х= 口,55
TOOQ
TOOQ
二05
二05
:%6
:%6
0,2
。7
0,2
。7
Рис. 10.8. Значения структурных функций F?v и -~ 噹" при фиксированныхзначениях х и различных Q2
ных и при нарушении скэйлинга имеет место впечатляющее согласие данных с основанным на кварк-партонной модели соотношением (10.125).
Из (10.92) и (10.93) для ^/-распределений получаем
(10.127)(10.127)гдегде•^ = % [(Q + S)十(1 一外(◎ — ◎]；~ = %{(l-yy(Q-S) +(Q + S)],
(10.127)
(10.127)
где
где
iS =，xsd尢.6iS =，xsd尢.6111
i
S =，xsd尢.
6
i
S =，xsd尢.
6
Q = § xqdxy Q — [ xqdx, S = J 入sdx, ooo
Если вклад в сечения антикварков и странных кварков мал по сравнению с вкладом и- и d-кварков, то, как видно из (10.27), сечение dcrv“/dy слабо зависит от у, а зависимость от у сечения doXyidy определяется в основном членом (1——у)2. Это отвечает данным опыта (рис. 10.9).
0,2 0“ 0,6 0,8 у0,2 0“ 0,6 0,8 у"」/4x£§心、七"」/4x£§心、七50100I5Q50100I5Q£гГэВ£гГэВРис. 10.9. Зависимость от у сеченийРис. 10.9. Зависимость от у сеченийРис. 10.10. 3начения величин —
0,2 0“ 0,6 0,8 у
0,2 0“ 0,6 0,8 у
"」/4x£§心、七
"」/4x£§心、七
50100I5Q
50100I5Q
£гГэВ
£гГэВ
Рис. 10.9. Зависимость от у сечений
Рис. 10.9. Зависимость от у сечений
и —— при различных энергиях ней-трино и антинейтрино
Если величины Q, Q ... являются константами, то полные сечения процессов p^Nf 卩-X и v^-^-^X линейно зависят от энергии нейтрино в л. с.:
Данные опыта приведены на рис. 10.10. С точностью до 士4% в интервале от 50 до 150 ГэВ сечения не зависят от энергии.
———constjo из приве———constjo из привеЕсли предположить, что —^— = const и
———constjo из приве
———constjo из приве
денных на рис. 10.10 данных следует, что
弘=(0,686 ± 0,019)-10~38弘=(0,686 ± 0,019)-10~38а^ =(0,339 ±0,010)-10-38а^ =(0,339 ±0,010)-10-38Е-см2ГэВ"Е-см2ГэВЕ-см2ГэВ"Е-см2ГэВ
弘=(0,686 ± 0,019)-10~38
弘=(0,686 ± 0,019)-10~38
а^ =(0,339 ±0,010)-10-38
а^ =(0,339 ±0,010)-10-38
Е-см2ГэВ"Е-см2
ГэВ
Е-см2ГэВ"Е-см2
ГэВ
Имеющиеся экспериментальные данные позволяют проверить правило сумм Гросса — Левеллина — Смита (10Л00). Используя (10.98), перепишем это правило следующим образом:
(I0.128>(I0.128>(q ——(7)dx = С xF3 — dr = 3.
(I0.128>
(I0.128>
Как видно из (10.128), при ,г->0 функция «л^|должна стремиться к нулю. Такое поведение согласуется с данными опыта (см. рис. 10.7). Из имеющихся данных следует
оо— dx — 3,2 土 0,5,— dx — 3,2 土 0,5,
о
о
— dx — 3,2 土 0,5,
— dx — 3,2 土 0,5,
(10.129)(10.129)(10.130)(10.131)(10.130)(10.131)обусловленные обменомобусловленные обменомРис. 10 11. Диаграмма процесса V* 丄М->у 卢+ХРис. 10 11. Диаграмма процесса V* 丄М->у 卢+Х
(10.129)
(10.129)
(10.130)
(10.131)
(10.130)
(10.131)
обусловленные обменом
обусловленные обменом
Рис. 10 11. Диаграмма процесса V* 丄М->у 卢+Х
Рис. 10 11. Диаграмма процесса V* 丄М->у 卢+Х
что находится в согласии с (10.128)
Итак, данные опытов по глубоконеупругому рассеянию нейтрино (антинейтрино) и лептонов нуклонами согласуются с кварк-партонной моделью. Эти опыты позволяют получить информацию о функциях распределения кварков и антикварков в нуклоне и по существу в физике частиц играют такую же роль, как знаменитые опыты Розерфорда в атомной физике.
В заключение приведем полученные из опыта (при Q2d 々10 ГэВ 2) значения Q-pQ,..
Q + Q = 0,45 ±0,01,Q—Q = 0,32 Ho,01,2Q = 0,13 ±0,01,2耳 * 0,02.
Процессы v^v^-^N-^v^v^+X
В этом параграфе мы рассмотрим процессы
九 十 "一 % +
Z-бозоном между нейтринной и адронной вершинами (см. диаграмму рис.
._
Впервые процессы v^ (vQ +】Vf ^VhCh)+X были наблюдены в 1973 г. в ЦЕРН в пузырьковой камере «Гарга- мель». Наблюдение этих процессов, а также процесса v^+ct2住+? ознаменовало открытие нового класса слабых процессов— нейтральных токов. В настоящее время (10.130) и (10.131) являются наиболее изученными из всех обусловленных нейтральными токами процессов. Из данных по изучению
旷以(州口) N^vh(*Vh)X получено наиболее точное значение фундаментального параметра теории — sin^w;
Интересующая нас здесь часть гамильтониана взаимодействия фермионов и Z-бозонов имеет в стандартной теории элек- трослабого взаимодействия вид
(Т % %ь) % + 电 Z： (10.132) Здесь
/° =』м 丫а (% + % yJ q ，(10.133)
—— нейтральный ток кварков. В выражении (10.133)
(10.134)(10.134)% = /зд — 2 sin2 9W 外，
(10.134)
(10.134)
&q ===，3q, где eq — заряд кварка, a
厶广, q = n,cj,厶伞 ~~) q = d, s, b.
Из (10.132) для матричного элемента процесса (10.130) получаем следующее выражение:
⑴ S I " = i ^^%，陳"您)Y"(1 + %) " 3) X
⑺丨 V(°)I p}^4p'~P~q-).
Здесь k и 々'一импульсы начального и конечного нейтрино; р — импульс начального нуклона; pz —суммарный импульс конечных адронов; q=h——W—pr——p; Za° ——адронный нейтральный ток в представлении Гейзенберга. Учитывая, что
旦/8 =昌^ m^
(G — константа Ферми), перепишем следующим образом выражение для матричного элемента процесса (10.130):
⑴ S I " = i 考 p/M"他)Ya(l + Y J " (团 X
I V(0) I 力(2増б^-р-д),(10.135)
q
где
? —
cos* 9^y
Напомним, что в стандартной теории в с/у•出е, если поля Хиггса образуют дублет, р=1 (см. гл. 4). Для матричного элемента процесса (10.131) находим
(М 5 I- i ^r pNU-归)丫"(1 T а)" (一后)X
加2
14°(°) I p}^Hpr-p~q). (10.136)
где k и 既一импульсы начального и конечного антинейтрино.
Вычисление сечений процессов v^ (v^) ?V—>л?н (v^) X ничем не отличается от подробно проделаннь1х в предыдущем параграфе вычислений сечений процессов 2口(州住)乂一>рг(|1+)Х. Аналогично (10.10) и (10.15) получаем
厶：I 鳥 (尸优，〃)±上龍他，of(厶q)丝.
,(2寸。々[ Q2十九;/&，o
(10.137)
Здесь Q2=—qL тензор L^(k,証)и псевдотензор L^ (^,証) даются выражениями (10.8), а
吟(р, 7)=(2 於 § £ J ST JJ (0) I p}(p I %。(0) I р'}Ъ(р'-—p — q) dT.
Тензор Wl^(p, q) имеет общий вид (10.17) (с очевидной заменой W^f В^). В результате для сечений процессов (10.130) и (10.131) получаем
協~ = %+0-^-^) F^±y^\-^y^ х&。] •
(10.138) Здесь
F^=MW^\ 尸2°=州旷2°；尸3°=V步3°, a
Подчеркнем, что структурные функции процессов v^-^y^X и v^xV-^v^X одинаковы. Это является следствием того, что начальные нейтрино и конечные нейтрино (которые на опыте, разумеется, не регистрируются)—одинаковые частицы.
Одна из важных задач опытов по изучению процессов (10.130) и (10.131)—определение параметра sin2 9w. Мы по-
лучим тепер」соотношение, с помощью которого из даи- ных_ по полным сечениям процессов va(Va)N-^vh(v^)X и 旷口 (”以)Nf 从一(庆丄)X можно найти значение параметра sin2 8w・ Нейтральный ток кварков имеет вид
/а = uya— u —dya —d — uy«Y5— a —dYaYs — d —
-2 sin2 9W y 气勿泪一;/厶(1 + %)s+-|-5出2%立户十…
/q="，d
'(10.139)
Определим
* =近 У wV,$=硏订5 ； "M ^ =硏。-у м
где 』V=(^) изотопический дублет. Очевидно, что Ua‘ и aa* являются изотопическими векторами, a 0as — скаляром. Учитывая, что
ея = % + +
(/з“= ■^-, /3d=^-) , перепишем следующим образом выраже
ние (10.139):
/а = (1 — 2 sin29w) Уа -г аа — (2/3) sin2 9W^ + /2 (s) 丁 …，(10.140) где
/a (s) = — -^ Na (1 + %) S + 告 9W^YaS
——вклад в нейтральный ток странных кварков.
Рассмотрим случай изоскалярной мишени. Нетрудно видеть, что при этом в сечения рассматриваемых процессов не дает вклада интерференция изовекторного и изоскалярного токов. Действительно, используя
(/ н；(х) I 刀=еТг'Г S，I 項0) “〉，
запишем следующим образом выражение для W^ (р, q):
W^(p, q)=3)号工仲/(0)1吟。"2(0)")Х
X 蟲 e-1 ^-^^d^dT^ (2寸 / j S М (x)乃(0) I "〉e 2 dx.
” •(10.141)
Рассмотрим в качестве примера <р| V^{x) Vtts(0) |р>. Покажем, что этот матричный элемент равен нулю. Для этого введем оператор U=ex^Ttпредставляющий собой оператор поворота на 17*259
угол л вокруг второй оси в изотопическом пр况транстве (7\ —— оператор изотопического спина). Имеем
〈РI /з (х) Р/ (0) IР〉=〈р I Ui U%3 ⑶ и- UX
X Va5 (0) U-^ и I р>=-<р I У₽3 (х) Va5 (0) I р> = 0.(10.142)
При получении (10 142) мы учли, что
u/3u7=_/3, uv^su^^v^^ ujp〉=|p〉.
Далее в соответствии с данными опытов по изучению обусловленных заряженными токами глубоконр： пругнх нейтринных процессов вклады в сечения странных кварков составляют несколько процентов вкладов и- и d-кварков. Пренебрегая вкладами странных (и других более тяжелых) кварков для полных сечений рассматриваемых нами процессов, из (10.137) и (10.140) получаем
£';■= (1—2sirT %『％(£)+%(用 + 春siri^w%(5) 土
土(l—2si出％)%(/),(10.143)
где Оо(Р), Оо⑷，uo(S) и s(/)—соответственно вклады в сечения токов и3,或，川 н интерференции токов из и а3.
Рассмотрим теперь обусловленные заряженными токами процессы
旷口+旷->卩-+X; vU~N->r~+X.(10.144)
В 〃-, ^-приближении заряженный кварковый ток имеет вид
厶4心3 2=+卜2Т2+12,(10.145)
где
0广2 =壮d,…
С помощью (10.145) для полных сечений процессов (10.144) получаем в случае изоскалярной мишени *
%Т = °(Ю +-о(Л)±о(/),(10.146)
где а(Р), сг(А, И сг(/)——соответственно вклады в сечения вектора, 欣спала и интерференции вектора и аксиала. Из (10.143) и《10.146) получаем
(10.147)(10.147)蕾一尹=2(1一2S山2尢)%(/), 严—畔с= 2。(/).
(10.147)
(10.147)
Наконец, используя трансформационные свойства токов, нетрудно убедиться в том, что
仃(/)=2仃0(/).，(10.148)
Действительно, в сто(/) и сг(/) дают вклад псевдотензоры
(既в) NC = (2п)2 £р^|(Л| (х)壊(0) +
丁吗(х)」3(0)) I Q]ei"dx,
(既B)CC =行)2 ? J [〈川(百L 2 (x)0 + i 2 (0) T十吗i2e)工+i2(0))I ")h"办.
Изовекторы У* и Aj удовлетворяют соотношениям
(10.149)(10.149)(10.150)(10.150)Из (10.150) следует, чтоИз (10.150) следует, что—i 2’—i 2’.—i 2'.—i 2'A3] = Ai?, 丿+ L2]_ 2 V3.A3] = Ai?, 丿+ L2]_ 2 V3.(10.151)(10.151)Н，H] = ieN，，]储，班=ie^M i
(10.149)
(10.149)
(10.150)
(10.150)
Из (10.150) следует, что
Из (10.150) следует, что
—i 2’
—i 2’
.—i 2'
.—i 2'
A3] = Ai?, 丿+ L2]_ 2 V3.
A3] = Ai?, 丿+ L2]_ 2 V3.
(10.151)
(10.151)
С помощью (10.151) получаем
[Tl2,册"中产・2 ⑼]=储一2,戏")]V”2(C) ++ 拆(x) [Tj 2> Vl+i 2 (0)] =厶尸 2 (x) %+»2 (0) - 2 羅(X)艺(0).
Отсюда, учитывая, что для состояния с равным нулю изоспином
TI_t2|p>=0,
находим
<р\А^2(х) У^Ц0)\р)^р\А^(х) Va3(0)|p>.(10.152)
С помощью (10.149) и (10.152) легко убедиться в справедливости (10.148). Окончательно из (10.147) и (10.148) получаем
aNC — *
———sin29w.(10.153)
Ccc__ffcc 2w
Это соотношение носит название соотношения^^аскоса — Воль- фенштейна. С помощью (10.153) непосредственно из данных опыта может быть определено значение параметра sin2 0w.
При получении (10.153) мы пренебрегли вкладами в сечения $-, с- и других кварков. Отметим, что соотношение (10.153) справедливо при более общих предположениях. Вычислим вклады в сечения рассматриваемых процессов s- и s-кварков в партонном приближении. Ток /а°($) может быть записан в виде
/а°(S)=gL§Ya (lH~?5)s+g尺6妆(1 —丫5)§, где
gl = 一-^丁4-S亩2%；^ = У sin2 9w
Воспользуемся общим правилом (10 85), сформулированным в предыдущем параграфе. Получаем
F(s) = 2% J ,Y [gi (s 十(1 — y『S 4- gi ((1 —y\s—s)]dx dy, 0
о产(s) = 2% J % [gZ ((1 — y『s + s) + gR (§+ (1 — 4)%)] dx dy, о
Отсюда следует, что
о?。(s) — о；。(s) = 2% j (gi — g^) { [1 — (1 — У)?] (s — s) dx dy. о
(10.154)
Аналогично для вкладов s н 6 в разность полных сечений обусловленных заряженными токами процессов получаем
仃孑⑶―^^ ⑶=2% , х (s — s)dxdy. (10.155) о
Из (10.154) и (10.155) следует, что вклады странных кварков
СС
в разности сеченийо7 —а— и о、 一з- обращаются в нуль, если s=6.
Вычислим теперь сечения процессов v^ (v^) Nf*v卜(^口) X в партонном приближении. Коэффициенты Ug я % в выражении (10.132) запишем в виде
口% = eL(4)十Er(9)，
Qq = EL(4)—Er(办
Нейтральный тс /а° принимает вид
，2 = £既句)勿“(1 +%№+ Е 々(g)衣а (1—L)<7, (10.156)
где (в стандартной теории)
(10.157)(10.157)立⑷=Л, —sin2 Ow%; £r 句)=—sin^ 5W^.
(10.157)
(10.157)
С помощью (10.85) для сечений рассматриваемых нами глубоконеупругих процессов без труда получаем'
^^ = % [ЯЛ “)+(1 — у)2 Ar(%)]；
战(1。J58)
з^' = °о К1 — у)2 ^л(Л)+ 4")1，
где Лд (х) и 工 r(x) — соответственно вклады в сечения левых и правых кварков и антикварков . Имеем
(10.159)(10.159)Al(X)= 2х 必 si (q) fq (x) + 24 (g) /- (x)],
(10.159)
(10.159)
Рассмотрим глубоконеупругое рассеяние нейтрино (антинейтрино) на протонах
via 3)十 叩仇)+х.
Учитывая вклады в сечения и, ”, d, 2, из (10.159) получаем
А^=2х [el (u)u + si (d) d s^(u)u + 4(фЩ, 1旌=2х 觞⑺旦+ e^(d)d +互(")a + e^(砌 d]J
В случае процессов
Vh "Q +^-^Уц (w) +х из (10.160) в и-, ^-приближении находим
& = 2%[豈(〃)d + 豈(d)u + s^(〃)d + 読(d)〃], 1 (^ ⑹) 黑—2% 际⑷ d + 金^ (Ф 口 + 立(u) d + s頁(d) w]. j
Для функций AJ и 4尺叱 входящих в усред1^ц7яые по р и п сечения, из (10.160) и (10.161) получаем
(10.162)(10.162)(10.163)(10.163)(10.164)(10.164)川=Т(應-ь &) = x\aL(u + d) -^aR(u + J)J,
(10.162)
(10.162)
(10.163)
(10.163)
(10.164)
(10.164)
4 = ~2('$ + ’强)=元‘'R (e + d) + 埶("十 Ф]- Здесь
& = 4 3) т 比(Ф, I
4r=^® + 喝(砌 J
где el,r(卫)и &L,R(d) даются (10.157). Имеем
ur — —sin2 9w —~ sin4 8w, 乙 29
a、— — sin4 9w.
R 9
Подставим теперь (10.162) в (10.158). Получаем
」"巾)=(1/2 — sin2 9w + 5/9 sin' 9w)上巫也 + dx dydx dy
十 巨 sin4 9w К""： .(10.165)
Здесь
-у- = 1M【他 + d) + (1 — у/ (u + J)], ay
— сечения процессов VuCvj^Nf 科一(科+)犬 в 〃-, ^-приближении. Из (10.165) находим
(10.166)(10.166)R》=1/2 — sin2 9w + ~- si口* 尢(1 + 尸),
(10.166)
(10.166)
где
R， =啖/麻Г =好:/喩•
Измеряя на о^те отношения полных сечений Rv и 厂，можно определить, следовательно, значение параметра sin2 0w. Таким способом группа CDHS (ЦЕРН) с учетом поправок от вкладов странных и очарованных кварков, а также радиационных поправок получила, что
sin2 0W=O,225±O,OOO5.
Если для параметра sin2 0w принять значение sin20w—0,223± ±0,008 (следующее из измерений массы 取-бозона), то из данных по измерению отношения Rv группой CDHS б&ло найдено
р~0,998±0,011,
что согласуется со значением р=1, следующим из стандартной теории.
Процессы vz(vz)+e-^vi(vi)+е
В этом параграфе мы рассмотрим чисто лептонные процессы упругого рассеяния мюонных и электронных нейтрино на электронах. Начнем с процессов
•vu+eTVj+e,(10.167)
■Vu+cf^v 从十 е.(10.168)
Очевидно, что процессы (10.167) и (10.168) обусловлены обменом Z-бозоном между нейтрино и электроном (см. диаграмму рис. 10.11).
Интересующая нас здесь часть гамильтониана взаимодействия имеет вид、^ 女
+ er(gy+g^s)e)4- (Ю-169) z「
В стандартной теории“
gy=丁十 2sinPw, gA—^~.i
'2Рис. 10.12. Диаграмма
процесса %彳1%+纟
265
Для матричного элемента процесса (10.167) получаем
(/ I (5— 1) I о = i-^£^ NkNh，N Кр,% ⑺干。十 Yja (舟 X
X ^^7 旦⑺ ％ (gv + §A %)a 9) (2* ь(р' — p — q), (10.171) где 々 н p (々/ н p。импульсы начальных (конечных) нейтрино и электрона; q=k——々'.Сечение процесса дается выражением *
曲 a =pzSp Ya (1 + y~) &丫8 (1 — YJ 勿 X
d /2 ' (2可2 " 4 J l 丁【。丿 I I ‘【，人
X 3 T Sp% (gy 丄 gA Ys) (3 十 тп) 丫0 (gy + gA R)(》+ m)X
XQ 廿 63 —p — ql^W^(10.172)
Здесь
.—[
'p”°(2冗)6
начальный поток; р =; m масса электрона. Вместо
cos - 8w
gv и g.q введем
- g/，gR = ^"回- gj
В стандартной геории
—г sin" 9w,
2(10.173)
gp=sin26w.
Дальнейшие вычисления значительно упрощаются, если воспользоваться соотношениями (7.75) и (7.76). Имеем
；spy“(i+X)裔1 a +%)》；5p%总(1 +丫5)+ gR(i-%升х
x (3 丄 zn) 丫s 瓦(1 丄 X)十 gR(: - Y前(g'+ m)=
二—2Sp 丫三 y“1 亠 yJ 必十 2 屬 Sp 丫/ Y° (1 + YJ 力 +
+ g^ Sp Ya £g (1 — %)亍 + 2gL gR m2 Sp % 丫曲=
=16 [ЙИ){p'k'} - g^^) (p'k)-gLgRM']. (10.174)
* В л. c. —а4 10~7 —r* (E — энергия нейтрино). Таким об-
吟疋 ГЭВ。
разом, при всех доступных в настоящее время энергиях —経 冬 疋.
Выполним далее в (10.172) интегрирования по импульсам конечных частиц (учтем закон сохранения 4-импульса). Имеем
(10.175)(10.175)(10.176)(10.176)= 2^3 (，'一 p — q^b^p'" — m^ d"p' -^> —
(10.175)
(10.175)
(10.176)
(10.176)
Определим переменные
v=a, Q2 = _g*
Получаем
2£(2"<7 _ =丄 6 j vm \2/n /
Далее в л, с, находим
Q2=2EEf (1—cos 0),
v=E—F,
где E и Ef ——энергии начального и конечного нейтрино; 0——угол рассеяния. Отсюда следует, что
dQFv = |^^•|d8d£7 = 2EF sin 6d6dF. (10.177)
Используя (10 175)——(10 177) и интегрируя по ср, получаем
в@ — р— q)皆 需=^ А5 (V — -^-j E'dE' sin9d6dy = =嗫「(v —巽)dvdQ2 = -^-dQ2.(10.178)
Итак, в случае упругого рассеяния переменные v и Q2 связаны соотношением
v== Q2/2zn (х= 1).
Независимыми кинематическими переменными являются pk и Q2. Вычисление сечения процесса у^е-^^е не представляет теперь никакого труда. Используя (10.172), (10.174), (10Л78), а также учитывая, что в силу закона сохранения 4-импульса
О取 н pk, ppf ~ kk! =2 — Q2, p'k = pk! = pk Q*
получаем
需—牛一川一為-3产為（379）
Найдем теперь сечение процесса ^口金一＞д^е. Из (10.168) для матричного элемента получаем
行 I (S—1) I一田Ya(l+Ys)a(_H)X
Xa (川 ％ (痂 + gq丫s) a (P) ^4pr —P — q), (10.180)
где 々 и kf импульсы начального и конечного антинейтрино. Очевидно, что сечение процесса v^e^v^e может быть получено из (10.172) заменой 々=々'.Имеем
+欧一g^gR川+欧一g^gR川
+欧一g^gR川
+欧一g^gR川
Отметим, что
Q2=2/nT,
где Т ——кинетическая энергия электронов отдачи в л. с.
Приведем другие выражения для сечений рассматриваемых нами процессов. Выберем в качестве независимых безразмерную переменную
“ pqQ?
у =—pk2pk
и энергию нейтрино в л. с. E=ph]m、Из (10.179) и (10.181) получаем
^1 = 2%p[g2 + (l-外g^ig^gRU ^j;
二(10.182)
-^- = 2aop^(l—y)2^+^—^^y-^-].
Здесь
% =niE.
Имеем
Нетрудно видеть, что
l+m/2E
Процессы (10.167) и (10.168) изучаются при высоких энергиях (£ ^1 ГэВ). Полагая р—1, из (10.182) при Е》т получаем
(10.183)(10.183)(10.1S4)(10.1S4)(10.185)(10.185)—= 2。。[^1 + (1 — У)2 欧], do—
(10.183)
(10.183)
(10.1S4)
(10.1S4)
(10.185)
(10.185)
―潦~ = 2оо К】—疗 gl 十 g^〕•"
Для полных сечений из (10.183) находим
\в = 2оо[й+у ^], '
Отсюда получаем
%е 丁。办е = у" °0(Й — gV = Т °。®3 + g£)，
44
%е — О%?=石％ 厩一g簿 ^―°0^У ^Д«
Для отношения сечений R =-^L с помодью (10.173) и (10.184) находим
g?.十々g^ 1 —4sin29w + ~sin49w
R = з2——=-_/ : 2 … 工储…——.(10.186)
成 +3盛1 4sm2 9w-b 16 sin4 9W {/
Из (10.186) следует, что при sin2 9w — 0,25 A sin2 9w ————.
Таким образом, измерение R позволяет с весьма большой точностью определить значение параметра sin2 0w.
Приведем результаты, полученные группой СНАРМ в ЦЕРН. Из данных по измерению отношения Л найдено, что
sin2 9w=0,215±0,032+0,012.
Для полных сечений рассматриваемых процессов получено
% = (1,9工0,4工0,4).10-2
若 ° =(1,5н0,3 н0,4)・10-2 与
У以°1 3b
Для параметра р найдено
р=1,09±0,09±0,11
(всюду первая погрешность статистическая, вторая — систематическая). Отметим, что в настоящее время в ЦЕРН проводится новый эксперимент по изучению процессов (10 167) и (10 168). В этом опыте должна быть получена рекордная статистика событий (около 2000 событий уце-рассеяния и около 2000 событий Уцй-рассеяния). Параметр sin2 0W должен быть измерен с точностью 0,005.
В заключение рассмотрим процессы
Ve — BfVe—仇(10.187)
Ve—df^Ve+仇(10 1 88)
В матричные элементы этих процессов дают вклад как гамильтониан (10.168) (нейтральные токи), так и гамильтониан
•*' =/^Т《*1+%)е%-Ь・С・(Ю.189)
(заряженные токи). Диаграммы процесса (10.187) представлены на рис. 10.13. Нетрудно получить эффективные гамильтони-
Рис. 10.13. Диаграмма процесса ve+e->ve+e
аны процессов (10.187) и (10.188). Из (10.168) и (10.189) соответственно находим
параметр р = мы положили равным единице
[冠 cos2 8w丿
见=告(VeF(l 亠Y 5)%)3%爲丄 ga%)e);(10.190)
能了 =告(Ey“ (1 丄 ％) e)(工％ (1 + yJ V) (10.191) Воспользуемся теперь преобразованием Фирца (см. приложение Г) и запишем 宛/取 в форме (10.190). Для полного эффективного гамильтониана получаем
牝「.務十.貓'=曲(二%(1 - %) VJ /% (gj 丄綜h) e), (10.192) где
gd=gy— 1, gl=g4+L(10.193)
Очевидно, что сечения процессов vee->^ee и vee-^vee даются соответственно выражениями
гдегде(10.194)(10.194)
где
где
(10.194)
(10.194)
В стандартной теории
g^ = sin2 9w.g^ = sin2 9w.^1 = ~ + si口* 8w,
g^ = sin2 9w.
g^ = sin2 9w.
Процесс ved->A^e исследовался на мезонной фабрике в Лос- Аламосе. Получено, что
。隊=(8,9 土 3,5). 10ia>|^(10.195)
Из (10.194) при sin20w=O,23O следует
о =9,4・Ю-42互也d 'ГэВ
что согласуется с (10.195).
Итак, приведенные в гл. 10 данные по н€1Эыуальным токам согласуются с теорией Глэшоу — Вайнберга ——Салама. Отметим, что из всех имеющихся по нейтральным токам данных следует, что
sin29w-=0,230±0,005 (р=1).
Если считать, что sin2 9ту и р — варьируемые параметры, то из имеющихся данных следует
sin2 Hw=0,229±0,006,
р = 0,998+0,009.
Приложение А. Система едаемиц 加=匕=4
Теория элементарных частиц — квантовая релятивистская теория. Во все основные соотношения этой теории входят постоянная Планка 包 и скорость света с. Естественно поэтому использовать такую систему единиц, в которой 力 и с равны единице. Мы введем здесь эту систему.
Пусть А ~ некоторая физическая величина, ямеющая в системе СГС размерность
[A]^MaLbTc(А.1)
(А.2)(А.2)(М — масса, L — длина, Т — время). Введем
(А.2)
(А.2)
А 一疋小•
Выберем параметры аир так, чтобы величина £ имела размерность массы в некоторой степени. Имеем
伊]=М 厶 2『т, [с]=厶丁 т.(А.З)
Из (А.2) и (А 3) получаем
Положим теперь, что а=&+с, р=—b—2c(А 4)
Тогда имеем
[Aq=M*(А 5)
где
Y=a一匕—с.(А 6)
Для постоянных Я и с из (А.З) и (А.4) находим
% = 1, Р^== 0; % =。，也=1 •
Отсюда следует, что h* = hjh = 1, с* == 1.
Итак чтобы перейти к системе 九=с = 1, необходимо физические величины в системе СГС разделить на 九а^б, где а и Р даются соотношениями (А.4). В системе ft=c=l физические величины имеют размерность Л4Т [у дается (А.6)]- 18—6910273
С помощью (А.4) нетрудйб поЛуЧиТЬ ссотйошейия, сВяЭыййющйе Величины в системе 九=。=1 и системе СГС. Например, для импульса, энергии и массы с помощью (А 4) находим
р'=р/с, Er~E/c2t т'^т.(А 7)
Из (А.6) следует, что
[р]=М, [Е]二М, [т]=М.
Таким образом, в системе ft = с = 1 импульс, энергия и масса имеют размерность массы. Дл«ь момента количества движения имеем
Из (А.6) следует, чтоИз (А.6) следует, что[『]=МТ[『]=МТ
Из (А.6) следует, что
Из (А.6) следует, что
[『]=МТ
[『]=МТ
Момент количества движения в системе'Й. = с = 1 безразмерен.
В системе СГС сечение имеет размерность Л2 С помощью (А 4) для сечения находим
3L3L(А.8)
3L
3L
Используя (А4), легко перейти от соотношений между фн^зическими величинами в системе R=c= 1 к соотношениям между соответствующими вели чинами в системе СГС. Например, сечение взаимодействия нейтрино с точечным нуклоном в системе R = с = 1 дается выражением
где Е‘ — энергия нейтрино в л константа Ферми * Используягде Е‘ — энергия нейтрино в л константа Ферми * Используяс.； Мр — масса протона； з' = 1,027 10- 一父, (А.7) и (А.8), в системе СГС получаем "
где Е‘ — энергия нейтрино в л константа Ферми * Используя
где Е‘ — энергия нейтрино в л константа Ферми * Используя
Другой пример — распад мюона Для полной вероятности распада в системе 力=с = 1 имеем
"^^^Ч-(А.9)
где 团以一масса мюона. Учитывая, что [w]^Te,, с помощью (А.4) получаемгде 团以一масса мюона. Учитывая, что [w]^Te,, с помощью (А.4) получаемww力Тс 2力Тс 2(А.10)(А.10)Из (А 9) и (А 10) находим, что вероятность распада мкюиаИз (А 9) и (А 10) находим, что вероятность распада мкюиав системе СГСв системе СГСравнаравнас.с.
где 团以一масса мюона. Учитывая, что [w]^Te,, с помощью (А.4) получаем
где 团以一масса мюона. Учитывая, что [w]^Te,, с помощью (А.4) получаем
w
w
力Тс 2
力Тс 2
(А.10)
(А.10)
Из (А 9) и (А 10) находим, что вероятность распада мкюиа
Из (А 9) и (А 10) находим, что вероятность распада мкюиа
в системе СГС
в системе СГС
равна
равна
с.
с.
Во всех вычислениях будет использоваться систелй 九= с = |, (штрихи, разумеется, будут опускаться). При численных расчетах (в системе СГС) постоянную Планка Й., как правило, бывает удобно домножать на с. При этом следует учесть, что
1,973・10一口 МэВ.ем.
Например,
h he 1,973-Ю-11 МэВ- см
—«в== 2,103 10■—14 'см.
MpcAl,с29,383- Ю2 МэВ
Приложение Б. МетрикаКонтравариантяые компоненты 4 вектора 4 принято обозначать А。 (а принимает значения О, I, 2, 3; 4° — временная компонента; 4〈 А2, Д3 — пространственные компоненты) Контравариаитными векторами являются координата х= (/, х), импульс р=(Е, р) и другие величины.Скалярное произведение векторов (лоренц-ннвариант) определяется следующим образом *: 4В = 4°В。一АВ Hga^aBB.(Б.1)Метрический тензор д^в имеет, следовательно, (1000 —10О О -1ОООПриложение Б. МетрикаКонтравариантяые компоненты 4 вектора 4 принято обозначать А。 (а принимает значения О, I, 2, 3; 4° — временная компонента; 4〈 А2, Д3 — пространственные компоненты) Контравариаитными векторами являются координата х= (/, х), импульс р=(Е, р) и другие величины.Скалярное произведение векторов (лоренц-ннвариант) определяется следующим образом *: 4В = 4°В。一АВ Hga^aBB.(Б.1)Метрический тензор д^в имеет, следовательно, (1000 —10О О -1ОООвидвид00000-10-1(及2)(及2)
Приложение Б. Метрика
Контравариантяые компоненты 4 вектора 4 принято обозначать А。 (а принимает значения О, I, 2, 3; 4° — временная компонента; 4〈 А2, Д3 — пространственные компоненты) Контравариаитными векторами являются координата х= (/, х), импульс р=(Е, р) и другие величины.
Скалярное произведение векторов (лоренц-ннвариант) определяется следующим образом *: 4В = 4°В。一АВ Hga^aBB.(Б.1)
Метрический тензор д^в имеет, следовательно, (100
0 —10
О О -1ООО
Приложение Б. Метрика
Контравариантяые компоненты 4 вектора 4 принято обозначать А。 (а принимает значения О, I, 2, 3; 4° — временная компонента; 4〈 А2, Д3 — пространственные компоненты) Контравариаитными векторами являются координата х= (/, х), импульс р=(Е, р) и другие величины.
Скалярное произведение векторов (лоренц-ннвариант) определяется следующим образом *: 4В = 4°В。一АВ Hga^aBB.(Б.1)
Метрический тензор д^в имеет, следовательно, (100
0 —10
О О -1ООО
вид
вид
0
0
0
0
0
-1
0
-1
(及2)
(及2)
Ковариантные компоненты вектора А определяются следующим образом: 4a=gap4P・(ВЗ)
Очевидно, что Ао~^°» 人工一А*.
Из (Б.1) и (Б 3) следует, что скалярное произведение может быть записано в виде
АВ^АлВ^АаВа.(Б.4)
Далее для скалярного произведения имеет также
(В 5)(Б 6)(Б.7)(В 5)(Б 6)(Б.7)ДВ=гаРЛаВр.
(В 5)
(Б 6)
(Б.7)
(В 5)
(Б 6)
(Б.7)
Очевидно, что
gaB=ga0.
Имеем
g*凸=g“吆广#纬=*综.
Отсюда следует, что
g*Bgap=^
(6рВ — символ Кронекера) Умножая (5 3) на gao и используя (Б.7), наряду с (Б 3) получаем
(5 8)(5 8)Ap^g^Aa.
(5 8)
(5 8)
Таким образом, с помощью метрического тензора можно повышать и понижать индексы.
(Б.9)(Б.9)Далее преобразование Лоренца может быть записано в виде
(Б.9)
(Б.9)
где Л Р и ,4'а — компоненты вектора в исходной и штриховой системах отсчета Из условня инвариантности скалярного произведения имеем
/'8'=网з М 8，° =纟阳 А； А? .¥ 歹=gp。А。夕.
Отсюда получаем
统8 А； А? ~ gpj*(6/0)
Для ковариантных компонент вектора преобразование Лоренца имеет вид
$=纯4.(a11)
Получаем
亡呪=弋з」Р旦=」。约.
Отсюда находим
屮):=*(5.12)
Очевидно, что (Б 12) совпадает с (Б 10) С помощью (Б 12) находим преобразование, обратное (Б.9) л (Б.11).
黑=/$%"，4= a；/:.黑=/$%"，4= a；/:.(Б.13)(Б.13)
黑=/$%"，4= a；/:.
黑=/$%"，4= a；/:.
(Б.13)
(Б.13)
Наконец, нетрудно видеть, что производная _ преобразуется как ковариантный вектор. Действительно,
ааddОчевидно также, что производная д/дх^ преобразуется как контрвариантный
а
а
d
d
=干.=干.вектор Мы будем обозначать 苏т~ = %, ~^"
=干.
=干.
Приложение В. Уравневме Дирака
Свободное уравнение Дирака.
Перестановочные соотношения для матриц Дирака
Уравнение Днрака является уравнением движения релятивистской частицы со спином 1/2. Дирак предположил, что, как и в нерелятивистском случае, состояние релятивистской частицы, во-первых, описывается волновой функцией, имеющей обычную вероятностную интерпретацию； во-вторых, в релятивистском случае также справедлив принцип суперпозиции (уравнение движения должно быть линейным), в-третьих, уравнение движения,релятивистской частицы должно быть построено таким образом, чтобы задание волновой функции в начальный момент времени £ = 0 позволяло определить волновую функцию в любой момент времени f (в уравнение входит первая производная по f). Из этих предположений следует, что уравнения движения релятивистской частицы имеет общий вид уравнения Шредингера
舛(х, 0 г
i 丄(х, /),(B.l)
где Я — гамильтониан.
Уравнение движения релятивистской частицы должно быть инвариантно относительно преобразования Лоренца. Лоренц-инвариантность может быть обеспечена только в случае, если временная и пространственные переменные входят в уравнение движения симметрично. Это означает, что в гамильтониан Н должны входить первые производные по 汇々 Имея в виду также, что в свободное уравнение входит масса частицы т, Дирак предположил, что
"“'=(咽言十/П(Р)。。,,"“'=(咽言十/П(Р)。。,,(В.2)(В.2)
"“'=(咽言十/П(Р)。。,,
"“'=(咽言十/П(Р)。。,,
(В.2)
(В.2)
где си и р — матрицы. Уравнение (В.1) принимает вид
0屮1dзe0屮1dзe(В.З)(В.З)
0屮1dзe
0屮1dзe
(В.З)
(В.З)
Матрицы си н В должны быть выбраны таким образом, чтобы, во-первых, величина р(х, £)=у(х, f)W(x, /) могла интерпретироваться как плотность вероятности (имело место уравнение непрерывности), во-вторых, состояние с импульсом р и энергией Е было решением свободного уравнения только в случае, если 加二m勺^.
19—691019—69100屮-103上0屮-103上Для того чтобы удовлетворить первому требованию, достаточно предположить, что матрицы а* и р эрмитовы. Действительно, из (В.З) путем эрмитова сопряжения получаем
19—6910
19—6910
0屮-103上
0屮-103上
(B.4)
277
Умножим (В.З) слева на 屮+, а (В 4) справа на 电 Вычитая из первого соот ношения второе, находим
~|^"十(1"Z &用+山十尸* 气 * ) + i /п屮т (3+ — P)屮=0.(В.5)
Если предположить, что
a*+ = aA, Р+ = Р,(В 6)
то (В 5) превращается в уравненне непрерывности
3-+divj=0,(В.7)
где ток j дается выражением
j = W+a电(В 8)
Далее состояние с импульсом р и энергией Е описывается функцией 1 i гх — i Etс
%”(х/)=(2=)3/“е人(F)，(В・9)
где функция 以仃(р) описывает спиновое состояние частицы Если матрицы а* и § удовлетворяют перестановочным соотношениям
а^аг-г-агай = 2б^,(1承 + 啟女=0,俨=1,(В 10)
то функция (В 9) является решением уравнения Дирака (В 3) при условии, что импульс н энергия связаны соотношением Е2—/п2—р2 Действительно,
подставляя (В 9) в (В 3), получаем
(ар + mp—Е)以(р)=0(В.11)
Умножим это уравнение слева на (ap-j-mp-j-^) Имеем
[(ap)2-m2p2+ (c^BTbaQph—£2]以(р)=0.(В 12)
Очевидно, что
(ap)2= ； (a*az 十saQd。*.(В」3)
Из (B.10L (В 12) и (В 13) следует, что
(р2+т2—七2)〃 (р) =0.(В. 14)
Отсюда очевидно, что 〃(р)耍0, если
£2=/и2+р2.(В.15)
Итак, если эрмитовы матрицы а& н В удовлетворяют перестановочным соотношениям (В.10), то функция -фр(х, f), описывающая состояние с импульсом р и энергией Е, является решением уравнения дваження только в случае, если энергия и импульс связаны релятивистским соотношением (В.15). Мы покажем в дальнейшем, что а* и р являются 4Х4-матрицами.
278
Запишем теп、р уравнение Дирака в таком виде, чтобы симметрия между Xй и x0^^ была более явной Для этого умножим (В 3) слева на —(5. Учитывая, что 炉=1, получаем
1Ya%2—gp =0，(В.16)
где
般=伙2在，7° = ?-(B.17)
Соотношения, которым удовлетворяют матрицы уа. могут быть найдены из (В 10) и (В 17) Полезно получить нх и непосредственно из (В 16)
Состояние с 4-импульсом "= (р°, р), р°^Е описывается функцией
% (%) = /今、而—u(〃)e "x,,(В. 18)
где рх=р^ха^= pQx°—px. Подставляя (В 18) в (В.16), для спиновой функции 〃(р) получаем уравнение
(户一т) 〃(卩)=0,(В.19)
где введено обозначение
/=?叭
Умножим (В.19) слева на (力+m). Получаем
(р2—т2)и(р)=0.(В 20)
Далее имеем
3捻十(?中+Y屮)%%(B.21)
Если матрицы у% \ довлетворяют перестановочным соотношениям
?а? 1Y旣a = 2g咽(B.22)
то, как видно из (B.21), p2 = g-appap^ = p2 н из (В.20) следует, что уравнение Днрака (В.19) имеет решения, описывающие состояние с импульсом р, только прир2=标
Получим теперь нз (В 16) уравнение непрерывности. Путем эрмитова сопряжения из (В.16) находим
]%2+уа+十 2+/и = 0.
Умножим это уравнение справа на 丫° и введем сопряженную функцию
Получаем
ВаМ^аГО+ртнО.(В.23)
Умножим далее (В 16) слева на 2，а (В,23) справа—на 屮.Складывая полученные соотношения, находим
2уа%1{>~)~0а2У°уа+7 呻=0.(В.24)
Если матрицы уа удовлетворяют соотношению
y^a气0=ya，(В 25)
19*279
то из (В 24) получаем уравнение
(В 26)(В 26)% (而Y 叫)=0,
(В 26)
(В 26)
которое, как нетрудно видеть, представляет собой уравнеине непрерывности.
Из (В.25) следует, что
Y014~=Y0Y号。.(b 27)
Отсюда находим
?о~г=?о, 丫丸+=一у*(В 28)
Итак, матрицы 丫& удовлетворяют перестановочным соотношениям (В.22). Матрица у° эрмитова, а матрицы у* антиэрмитовы. Очевидно, что перестановочные соотношения (В.22) и соотношения (В 25) могут быть получены также из (Вб), (В 10) и (В 16),]
Из (В 25) н (В.22) для сопряженной функции р получаем уравнение Дирака
^(В 29)
Подставляя в это уравнение 睛)=Подставляя в это уравнение 睛)=чаем уравнениечаем уравнение^2^^2^〃 (Р) е1「｛ для функции 辽(р) полу〃 (Р) е1「｛ для функции 辽(р) полуВ（Р）（力一m） =0.В（Р）（力一m） =0.
Подставляя в это уравнение 睛)=
Подставляя в это уравнение 睛)=
чаем уравнение
чаем уравнение
^2^
^2^
〃 (Р) е1「｛ для функции 辽(р) полу
〃 (Р) е1「｛ для функции 辽(р) полу
В（Р）（力一m） =0.
В（Р）（力一m） =0.
В-2. Инвариантность относительно преобразования Лоренца
Потребуем теперь, чтобы уравнение Дирака было инвариантно относительно преобразования Лоренца Имеем
(В.ЗО)(В.ЗО)X，a=&*伊見
(В.ЗО)
(В.ЗО)
где л/ и х——координаты одной и той же точки пространства в разных инерциальных системах. Из инвариантности интервала следует, что
A『Jp=5/(В.31)
С помощью (В 30) и (В 31) получаем также обратное преобразование
Инвариантность линейного уравнения Дирака может быть обеспечена только в случае, если преобразование волновой функции также линейно. Общее линейное преобразование волновой функции имеет вид
(В.32)(В.32)必（#）=А〃 忆（х）,
(В.32)
(В.32)
где ip (х) и W'(x') —- волновые функции частицы в исходной и штрихованной системах отсчета, а матрица L зависит от Л『
Подставим теперь в уравнение Дирака (В 啕 2(%)=L屮(片)н перейдем к переменной %： Получаем*
(В 33)(В 33)(В 34)(В 34),0Х°—&dИ1 - р"'——炉',0Х°—&dИ1 - р"'——炉'(В. 35)(В. 35)
(В 33)
(В 33)
(В 34)
(В 34)
,0Х°—&d
И1 - р"
'——炉'
,0Х°—&d
И1 - р"
'——炉'
(В. 35)
(В. 35)
Отсюда следует, что уравнение Дирака инвариантно относительно преобразо- заиия Лоренца, если матрица L удовлетворяет соотношению
A/L?旺-1 = ?06
Очевидно, что (В 33) может быть переписано в виде
Нетрудно найти такую матрицу L, которая удовлетворяет (В 34) В качестве примера рассмотрим преобразование Лоренца,
где § — скорость штрихованной системы относительно нештрихованной Положим, что
Имеем
th 尤=5.
(В 36)
U° = ch х ^0 — sh % %工，]
"=—sh x ^0 + ch x ^1 • J
(В.37)
Из (В.34) н (В 37) получаем
L】俨厶=ch xy° — sh %7X, L—i?i/. = —sh %y° 4~ cfj XT1 > L一Iy2,3 L=?2,3 .
(B.38)
Используя далее перестановочные соотношения для матриц уа, нетрудно убедиться в том, что соотношения (В.38) могут быть записаны в виде
д-1уаД=сН(%/2) +у0^* sh (x/2)ya(ch (%/2)—丫。丫〔 sh (%/2)) (В 39)
Отсюда находим, что
^ = ch(x/2)—y°y1 sb (%/2)(B.40)
Рассмотрим преобразование от системы, в которой скорость частицы рав-
на В= *к системе покоя частицы. Имеем в этом случае
由"乎Лх |/1 -Р m
ch(%/2)=
—.sh(%/2)=
(В.41)
где т ——масса частицы;卩° ——энергия. Из (В 40) и (В 41) получаем
В (В 33) первая ось направлена по вектору р. Отметим, что при произвольной ориентации осей имеем
(1 — У(1 — УYP ]户十加丿YP ]户十加丿(В 43)(В 43)
(1 — У
(1 — У
YP ]
户十加丿
YP ]
户十加丿
(В 43)
(В 43)
Сопряженная функция 屮，удовлетворяет уравнению (В 29) Учитывая, что @а = @'в，\аЬ，а также используя (В 33), получаем
id'S 中(х)L一y0+他* (X)L7=0id'S 中(х)L一y0+他* (X)L7=0(В 44)(В 44)
id'S 中(х)L一y0+他* (X)L7=0
id'S 中(х)L一y0+他* (X)L7=0
(В 44)
(В 44)
С другой стороны, в штрихованной системе для сопряженной функции имеем
id'pi|?(xz)^Р—т-ф' (xz) = 0.(В 45)
Если положить
守(力)=不(x)L一，(b 46)
то очевидно, что уравнение (В 44) совпадает с (В 45)
Итак, преобразование функции 屮(％), описывающей состояние релятивистской частицы со спином 1 /2, определяется требованием инвариантности уравнения Дирака относительно преобразования Лоренца. Отметим, что такие функции называют спинорами.
В.З- Билинейные коварианты 屮。。'屮ь
Определим следующим образом матрицу 丫5
Y5 = -i7▼ Wk(B.47)
Используя перестановочные соотношения для матриц уа, а также соотношения (В 28), нетрудно убедиться в том, что матрица 丫5 удовлетворяет соотношениям*
Y5- = Y5, ?5心=1, ^Y胃‘尸貝=。(B.48)
Далее очевидно, что матрицу 丫5 можно записать в виде
То =俨 Y° ?р 寸，(B.49>
где еа^ро — антисимметричный тензор четвертого ранга-已仪口介。равняется 1 (—1), если арра образуют четную (нечетную) перестановку 0, 1, 2, 3, и
нулю, если значения по крайней мере двух индексов совпадают. Используя (В 34), из (В.49) получаем
L方L = - i击气з"：Tt，a：,产严于广
Нетрудно видеть, что
"啾/\£ &, А> А；, н det
Таким образом, имеем
L-iy5L = det Лу-(В 50)
Далее легко показать, что
det Л=±1.'(В51)
Действительно, запишем в матричном виде соотношение (Б 10). Имеем
A『gA=g.
Отсюда, вычисляя детерминант, получаем
(det Л)2=1.
Если штрихованная система отличается от не штрихованной только направлением осей, то
xfk~—xft, хг°~х°.
Очевидно, что в этом случае det Л =——1 Для преобразования Лоренца (В 35) det Х~\. В общем случае если преобразование сопровождается (не сопровождается) переходом от правой системы к левой, то det Л=——1 (det Л= 1). Отметим, что преобразования с det Л= 1 (det Л = — 1) называются собственными (несобственными) преобразованиями Лоренца.
Посмотрим теперь, какие независимые матрицы можно построить перемножением матриц уа Имеем прежде всего 1 и уа Далее, используя перестановочные соотношения для матриц ?а, получаем
"户Y3 =g邙+十(仍Y8 - Y屮).
Таким образом, независимыми произведениями двух матриц Дирака являютсяь呻(Y“ Y‘一 У%").
Поскольку %0=jПра, то очевидно, что имеется шесть таких матриц. Далее ясно, что в произведении четырех матриц Дирака все матрицы должны быть разными (если две матрицы одинаковы, то соответствующее произведение сводится к произведению двух матриц у и т 工) Единственной такой матрицей является уз. Ясно также, что все независимые произведения трех матриц y мажчо записать в виде у% (все матрицы должны быть разными; это означает, что в каждое из соответствующих произведений из возможного набора четырех матриц не входит одна из матриц: в 俨у5M一［屮丫屮 не входит у0 и т. д.). Перемножением пяти и большего числа матриц у построить независи-
мые матрицы уже нельзя (в произведении пяти матриц по крайней мере 2 раза встретится одна и та же матрица и т д ).
Итак, мы построили 16 независимых матриц
у« аа₽, 丫《?5, ?5・(В.52)
Эти матрицы образуют базис в пространстве 4Х4-матриц.
В гамильтонианы взаимодействия полей элементарных частиц входят величины
5。纯方，
где W и 也一спиноры Дирака, а О1 — матрицы, принадлежащие к набору (В 52) Выясним трансформационные свойства этих величин. Используя (В.32) и (В.46), получаем
屮‘乂胃)О^гь (力)=&(X) LOL2b (х).
Далее с помощью (В.34) и (В.50) находим
%(X')。；(к')=显(х)'% (х)，
Фа W) У1 工(V)=心 Z ⑺ Y” ％ (х),
& (К)尸В% (x，) =吋崂工⑺尸"扬(x),(В，53)
% G'丿干為 U(x') = det ДА% 7a (頰)7”％ M (х),
Фа (")*5% (X')= det Д +а (X) Y6 如(X).丿
Таким образом,屮。屮匕—скаляр *t pt/ya屮方一4-вектор,屮аоаВ*方—тензор второго ранга, “丫勺521b — псевдовектор, *35叩ь — псевдоскаляр.
Число компонент дираковского спинора. Представление Дирака—Паули для матриц 6^6
Ответим теперь на вопрос о том, сколько компонент у спинора %. Число компонент спинора 中 определяется необходимостью построить четыре эрмитовы матрицы а* и §, удовлетворяющие перестановочным соотношениям (В 10). Из 焱§=—За* ичеем
det а4 det §=det (—I) det § det а*.(B.54)
(I — единичная матрица). Далее из соотношений а/? = 1 и §2=1 следует, что(det a*)2=l, (det р)2=1.
Таким образом, из (В.52) получаем det (—I) — 1. Отсюда следует, что
(—1)』，
где л——число значений, принимаемых спиновым индексом о.
* Подчеркнем, что лоренц-инвариантом является 屮屮，а не 屮+电 Это связано с тем, что L，Lt (преобразование Лоренца не унитарно).
284'
Итак, число компонент спинора ф должно быть четным. Рассмотрим вначале л=2. Нетрудно видеть, что не существует четырех 2Х2-матриц, которые антикоммутировали бы друг с другом и квадрат каждой из которых равнялся бы единице. Действительно, в качестве трех таких матрац можно выбрать матрицы Паули\ ювлетзоряющие соотношениям
55%+^大 6=2&々.
Попытаемся построить четвертую матрицу с。, которая антикоммутировала бы со всеми матрицами Паули. Любую 2Х2-матрнцу можно разложить по полной системе, в которую входят матрицы а^ и единичная матрица 1.*Имеем
尼
Вычислим антикоммутатор матрицы По с матрицей о” Получаем
Очевидно, что правая часть этого равенства обращается в нуль только при 仪=0,。尸0 (t=l, 2, 3) Итак, не существует четырех 2Х2-матриц, которые удовлетворяли бы перестановочным cool ношениям (В 10)
Рассмотрим теперь случай т=4. Любую эрмитову матрицу с помощью унитарного преобразования можно привести к диагональному виду. Будем считать, что матрица 自 диагональна.
Так как ₽2=1, то 岳?=1 (f=l, 2, 3, 4) и
①=士1.(b 55)
4
Далее нетрудно показать, что 2瓦=。Действительно, из (Б.10) получаем
* =1
§=—(110al.
Вычислим шнур от обеих частей этого соотиошеиия. Учитывая, что для любых двух матриц Д и В
Sp яв = 2 %，В~° = ?,居,，Az^,= Sp В А,(В.£6)
получаем
4
sp В = — sp % в% = — sp В%% = — sp В = 无—о.
Таким образом, матрица 6 может быть представлена в виде
(В・57)(В・57)
(В・57)
(В・57)
Построим теперь матрицы ctt- Эрмитс^ы матрицы а( имеют видПостроим теперь матрицы ctt- Эрмитс^ы матрицы а( имеют вид(В.58)(В.58)где 勿，bi и s — 2Х2-матрицы;。广=。上；с(^=С{. Потребуем, чтобы антикоммутировали с матрицей § Из (В 57)и (В.58) находимгде 勿，bi и s — 2Х2-матрицы;。广=。上；с(^=С{. Потребуем, чтобы антикоммутировали с матрицей § Из (В 57)и (В.58) находимматрицы а；матрицы а；
Построим теперь матрицы ctt- Эрмитс^ы матрицы а( имеют вид
Построим теперь матрицы ctt- Эрмитс^ы матрицы а( имеют вид
(В.58)
(В.58)
где 勿，bi и s — 2Х2-матрицы;。广=。上；с(^=С{. Потребуем, чтобы антикоммутировали с матрицей § Из (В 57)и (В.58) находим
где 勿，bi и s — 2Х2-матрицы;。广=。上；с(^=С{. Потребуем, чтобы антикоммутировали с матрицей § Из (В 57)и (В.58) находим
матрицы а；
матрицы а；
/ 20& 3丁3电=I 0/ 20& 3丁3电=I 0О \ =0.2分О \ =0.2分
/ 20
& 3丁3电=I 0
/ 20
& 3丁3电=I 0
О \ =0.
2分
О \ =0.
2分
Отсюда следует, что а» = & = 0 МатрицыОтсюда следует, что а» = & = 0 Матрицыаг принимают видаг принимают вид
Отсюда следует, что а» = & = 0 Матрицы
Отсюда следует, что а» = & = 0 Матрицы
аг принимают вид
аг принимают вид
а,・=а,・=九О九О(В.59)(В.59)
а,・=
а,・=
九
О
九
О
(В.59)
(В.59)
Наконец, потребуем, чтобы матрицы а； удовлетворяли соотношениям a：afe + 丁а友cu = 26im Подставляя (В 59) в эти соотношения, получаем
(В.60)(В.60)九々九宀=2》注，［
(В.60)
(В.60)
%."々十"「九=2力也" J
Если положить bi = Gt = b广,то очевидно, что соотношения (В 60) при этом удовлетворяются Для матриц а, получаем
&&00о)о)(В.61)(В.61)
&
&
0
0
о)
о)
(В.61)
(В.61)
Итак, перестановочным соотношениям (В 10) удовлетворяют 4Х4~матрнцы (В 57) и (В 61) Минимальное число компонент дираковского спинора 屮 равно, следовательно, четырем . Представление, в котором матрицы ₽ и а/ даются (В 57) и (В 61), называется представлением Дирака — Паули. В этом представлении
(В.62)(В.62)
(В.62)
(В.62)
В заключение отметим, что перестановочными соотношениями (В 10) эрмитовы матрицы а^ и р определяются только с точностью до унитарного преобразования Действительно, если некоторые матрицы а/ н р удовлетворяют (В 10), то матрицы &/ = UcuU+ и B，=U0U+ (U — произвольная унитарная матрица) также удовлетворяют (В 10). Очевидно, что а/ и 0J ——эрмитовы матрицы
Решение свободного уравнения Дирака.Нормировка спиноров
Волновая функция, описывающая состояние релятивистской частицы с импульсом р и энергией Е, имеет вид
Jp(x，')=^Ma(P)eiPX — iE‘，
где спинор 〃(р) удовлетворяет уравнению
(ар—呻)玄(р)=Е〃(р)
(В 63)
Найдем решения
этого уравнения в представлении
Дирака — Паули
В этом представлении
/ ° 仃 \ q / 10\
ст 0 / у 1 0 — I 丿
(В.64)
Запишем спинор 〃(р)
в виде
и《Р) = ( У ),
(В.65)
где о = ( ，1 ; н % = i ，i I - двухкомпонентные спиноры. Подставляя В.65) в (В.63), д^я у н х получаем следующие уравнения.
S>xT-m<P = E<P，(В.66)
仃叫一т%=Е/(В 67)
Уравнение (В.63) имеет отличные от нуля решения только в случае, если энергия и импульс связаны соотношением £2 =加2十卩2 Предположим вначале, что Е=р°, где
Р‘ = Pq= +，加2 十 pZ(В.68)
Из (В 67) получаем
стр %=不%(B・69)
Подставим теперь (В.69) в (В 66). Получаем
I BP尸，1 川
Далее из перестановочных соотношений для матриц Паули очевидно, что (ар)2=р2. Имеем
(ОР)?Р°4- 7П(ОР)?Р°4- 7П7П = Р° .7П = Р° .
(ОР)?
Р°4- 7П
(ОР)?
Р°4- 7П
7П = Р° .
7П = Р° .
Если спинор % связан с ф соотношением (В 69), то уравнение (В 66) удовлетворяется, следовательно, при любом ф
(В.70)(В.70)Итак, при Е=р° решение уравнения Дирака имеет вид
(В.70)
(В.70)
\ 0 + m
где 中 ——произвольный двухкомпонентный спинор, a N+——нормировочный мно-
жительжительОчевидно, что имеется только два линейно независимых решения,
житель
житель
описывающих состояния с импульсом р и энергией Е [вида (В 70) J Два других решения отвечают состояниям с импульсом р и отрицательной энергией Е=——¥加2+卩，Действительно, положим в (В 66) и (В 67) Е=——ро Из (В 66) получаем
Р° +гп 'Р° +гп '(В.71)(В.71)
Р° +гп '
Р° +гп '
(В.71)
(В.71)
Подставляя (В 71) в (В 67), нетрудно убедиться в том, что уравнение (В 67) удовлетворяется при зтом тождественно при любом % Итак, решение уравнения Дирака с импульсом р и отрицательной полной энергией Е=—р° имеет следующий вид
* (р) = v_|- Т^Г* (р) = v_|- Т^Г(В.72)(В.72)
* (р) = v_|- Т^Г
* (р) = v_|- Т^Г
(В.72)
(В.72)
где введено обозначениеДалее обозначимгде введено обозначениеДалее обозначим(В.73)(В.73)(В 74)(В 74)
где введено обозначение
Далее обозначим
где введено обозначение
Далее обозначим
(В.73)
(В.73)
(В 74)
(В 74)
где х ——произвольный двухкомпонентный спинор, а ^_ ——нормировочный множитель. Из (В.72) очевидно, что имеется два линейно независимых решения с Е——р°. Подчеркнем, что уравнение Дирака не накладывает никаких ограничений на спинор ср при Е=р。и спинор % при Е=—р°
в уравнение (Б 16). Получаем урав*в уравнение (Б 16). Получаем урав*Подставим теперь функцию 屮口 (х, f)
в уравнение (Б 16). Получаем урав*
в уравнение (Б 16). Получаем урав*
неиие
(р—т)и(р)^0,
5т(Р)=и(Р)・恥(—Р)=н(—Р)・
Для спинора и(—р) получаем уравнение
(р-\-т)и(—р)=0
Из (В.73) путем эрмитова сопряжения получаем и+ (р) (/+—т)=0.
Учитывая, что ?0уa+m=y% имеем
Y叩+Y0=/*
Таким образом, сопряженный спинор 2(р) удовлетворяет уравнению
й(р) (р—т) =0.(В 75)
Аналогично имеем
^(—Р) (Рт^)=0-, (В 76)
С помощью (Б.73) и (Б 74) нетрудно получить соотношение
miZ(p)\a^(p) =р“〃(p)z(p).(В 77)
Действительно, умножим (В.73) слева на "(р)7&, а (В 74) справа на、'®〃(р) Складывая полученные соотношения и учитывая 7a户亠户уа = 2ра, получаем (В.77) Аналогично из (5 75) и (Б 76) находим
—т,й (—р) у^и (—р) =ра 以(一р) ц (—р).(В ”78)
Положим в (В 77) и (В 78) а=0. Учитывая, что йу°и = и+и>0, получаем
й(р)и(р)>0, 2(—р)^(—р)<0*
Дираковские спиноры и{р) и 〃(一р) будем нормировать ковариантными условиями
五(р)〃(р) =2加，五(一p)u(—p) =—2m.(B.79)
Из (В 77) и (В 78) следует, что при этом
江(Р)уа〃(р)=2ра； й(-р)у^и(—р) —2р«(В 80)
Найдем теперь нормировочные множители ^_ и .V- в (В.70) и (В 72). Будем предполагать, что двухкомпоиентные спиноры ф и х нормированы стандартными условиями
①飞=1, Х+Х=1.
Получаем
n子=Y— == /炉十次.
Таким образом, нормированные условиями (В.79) спиноры и(р) и и(—р) в представлении Дирака — Паули имеют вид
s(P) =，P° + m]I > 〃(一 N) =Mp。十 m| 外十 m - I
'一\ % /
(B.81)
•289
Рассмотрим теперь случай т=0 (нейтрино^1). Из (В:,/) и (В.78) следует, что в этом случае
й(р)и(р) = В(——р)〃(——р) —О
При 伍=0 мы будем нормировать дираковские спиноры условиями
〃(力Y也(Р)=2р。； 2(—卩)7电(一р)=2р°(В 82)
Подставляя (В 70) и (В 72) в (В 82), при т~0 получаем
"(p)=丿尸(:u( 一户)=|/万,(B.84)
uky 丿\ X /
где к=р/丨pi
В заключение отметим, что часто используются и др\гие условия нормировки дираковских спиноров. Именно, дираковские спиноры нормируют иногда УСЛОВИЯМИ (/77^0)
五'(")公(р)=1,(—p)uf {—р) = —1.(В 85)
Используется также неинварнантная нормировка
a"-(p)u"(p) = 1, и"」(一р)и"(—р) = 1(В.86)
Легко найти соотношения между спинорами, нормированными условиями (В 85), и спинорами, чормчоованными условиями (В 79) Действительно, запишем
〃(p)=V〃(p), /(—") = VS(—p).
Далее пол\чаем
^(p)uf (р)=皿也(卩)〃(卩)=V22m= 1,
五,(—p) 〃，(—p)=俨且(—p) 〃 (—p) =—№?2m =—I.
Таким образом,
加⑺=1 辽(夕), ^(―р) =— р).(В.87)
|/ 2тР 2 加
Аналогично, используя (В 80), имеем
(р) =[4启"(卩)，〃"(—р) = ~j7号川 *(в-88)
Оператор спина. Состояния с определеннойпроекцией спина
Введем операторВведем оператор(В. 89)(В. 89)
Введем оператор
Введем оператор
(В. 89)
(В. 89)
Нетрудно видеть, что оператор 工‘ может быть записан в виде
(В 90)(В 90)Далее вычислим коммутатор >, #] ния для матриц уа, получаемДалее вычислим коммутатор >, #] ния для матриц уа, получаемИспользуя перестановочные соотноше-Используя перестановочные соотноше-»у—EE=2ieiR.»у—EE=2ieiR.(В91)(В91)Таким образом, ниям оператораТаким образом, ниям оператораоператор(-^-丿 Е‘ удовлетворяет перестановочным соотноше- момента количества движения. Из (В 90) следует также, чтооператор(-^-丿 Е‘ удовлетворяет перестановочным соотноше- момента количества движения. Из (В 90) следует также, чтоОтсюда получаемОтсюда получаем(В 92)(В 92)ЕЕ—空』2“.ЕЕ—空』2“.e，=-Y5Y叫:.
(В 90)
(В 90)
Далее вычислим коммутатор >, #] ния для матриц уа, получаем
Далее вычислим коммутатор >, #] ния для матриц уа, получаем
Используя перестановочные соотноше-
Используя перестановочные соотноше-
»у—EE=2ieiR.
»у—EE=2ieiR.
(В91)
(В91)
Таким образом, ниям оператора
Таким образом, ниям оператора
оператор(-^-丿 Е‘ удовлетворяет перестановочным соотноше- момента количества движения. Из (В 90) следует также, что
оператор(-^-丿 Е‘ удовлетворяет перестановочным соотноше- момента количества движения. Из (В 90) следует также, что
Отсюда получаем
Отсюда получаем
(В 92)
(В 92)
ЕЕ—空』2“.
ЕЕ—空』2“.
Отметим, что в представлении Дирака — Паули
(В 93)
Рассмотрим вначале случай частиц с отличными от нуля массами. Оператор спина релятивистской частицы (в случае спина 1 /2) определяется таким образом, чтобы в системе покоя он имел вид 、0, ~ sj . Введем псевдовектор Паули — Любаиского
的"=T分肌/%"".(В.94)
Нетрудно показать, что
Вектор может быть записан, следовательно, в виде
]о1
也=—у iy%M=—%)•(В.95)
Далее очевидно, что
办=0.(В.96)
Отсюда следует, что в системе покоя №%=0 С помощью (В 90) и (В 95) для пространственных компонент вектора 旷& находим 步厂= —-^£'以 Таким образом, в системе покоя вектор Паули 一 Любанского имеет вид
映=(0, — ^-т£).(В.97)
Для оператора спина (удвоенного спина) имеем, следов^.льно,Для оператора спина (удвоенного спина) имеем, следов^.льно,2% S『к2% S『к(В.98)(В.98)В системе покоя sa』(0, Е)Введем теперь произвольный пространственно подобный вектор п, ортогональный вектору р. ИмеемВ системе покоя sa』(0, Е)Введем теперь произвольный пространственно подобный вектор п, ортогональный вектору р. Имеем几2=一1, 儿p = 0几2=一1, 儿p = 0(В 99)(В 99)В системе покояВ системе покоягде n'r|/=l Для оператора и (В.99) получаемгде n'r|/=l Для оператора и (В.99) получаемr*=(0, n‘)проекции спина на направление 胃 из (В 95)r*=(0, n‘)проекции спина на направление 胃 из (В 95)-（s 也）=^談-（s 也）=^談(В. 100)(В. 100)Далее нетрудно видеть, имеемДалее нетрудно видеть, имеемчточтооператоры sn п р коммутируют Действительно,операторы sn п р коммутируют Действительно,
Для оператора спина (удвоенного спина) имеем, следов^.льно,
Для оператора спина (удвоенного спина) имеем, следов^.льно,
2% S『к
2% S『к
(В.98)
(В.98)
В системе покоя sa』(0, Е)
Введем теперь произвольный пространственно подобный вектор п, ортогональный вектору р. Имеем
В системе покоя sa』(0, Е)
Введем теперь произвольный пространственно подобный вектор п, ортогональный вектору р. Имеем
几2=一1, 儿p = 0
几2=一1, 儿p = 0
(В 99)
(В 99)
В системе покоя
В системе покоя
где n'r|/=l Для оператора и (В.99) получаем
где n'r|/=l Для оператора и (В.99) получаем
r*=(0, n‘)
проекции спина на направление 胃 из (В 95)
r*=(0, n‘)
проекции спина на направление 胃 из (В 95)
-（s 也）=^談
-（s 也）=^談
(В. 100)
(В. 100)
Далее нетрудно видеть, имеем
Далее нетрудно видеть, имеем
что
что
операторы sn п р коммутируют Действительно,
операторы sn п р коммутируют Действительно,
[(s〃)，Р]=-(75m pp 一0y5 口0)= 一 Y5 ( %0)0= 0-тт
В силу \ равнения Дирака спиноры 以(р) и 以(一р) являются собственными функциями оператора (р). Потребуем, чтобы эти спиноры являлись также собственными функциями оператора——(sn). Имеем
pus(p)=mus (р),(В 101)
“$(—р)=—/тш$(—р)；(В 102)
—(s 九)м$(р) =SM“p);(В.103)
—{sn)us(—p) =—sus(一р).(В 104)
Умножим (В.103) [либо (В 104)] на —(sn). Учитывая, что (sn)2=-^yzz 2р2=1, находим s?=l. Таким образом, собственные значения оператора —(sn) равны 土 1
Из (В 100) — (В 104) очевидно, что уравнения (В 103), (В.104) эквивалентны соответственно уравнениям
—y5nus(p)^sus(p), —y5rtus (—р) =sus (—р).(В.105)
Отсюда путем эрмитова сопряжения получаем
—us(p)y5n = sas (р), —В"—卩)丫5冷==$近 s(—р)・/(В.106)
Далее нетрудно видеть , что при『*s/
(р) if {р) = 0,!?'(—.)不(一/?)= 0. j (В. 107)
Из (В 79) и (В.107) следует, что четыре спинора и-1 (р) и 以±"—р), отвечакь щие состояниям с определенным импульсом и определенной проекцией спина удовлетворяют следующим условиям ортогональности и нормировки:
片(Р)炉 5) = 2/п%$,(В. 108)
%$'(一夕)d(―夕)=—2/п%,“(В. 109)
Имеем также *
^f(~p)us (р) = 0,(В.110)
£(〃)!？(一р)=о.(в. 111)
Вернемся к уравнению (В 103) В системе покоя имеем '
Sn^^f/n) =sus(m).(В 112)
где пЛ ——единичный вектор; us(m) —спинор в системе покоя. Имеем
mm(Po + 加)
Спинор u(p) связан co спинором u(m) соотношением
u(p)^L~'(p)u(m),(B.114)
гре матрица L(p) дается (В 43). Итак, 'спиновое состояние дираковской частицы с /п*0 описывается спинором в системе покоя
Полезно рассмотреть вопрос о том, как описывается спиновое состояние дираковской частицы в представлении Дирака — Паули. В этом представлении
口(Р)=丿(ар \(В J15)
С помощью (В 114) получаем
以(m)=|/*2m ( ； )*(В. 1 16)
Таким образом, спинор 屮 в выражении (В.115) описывает спиновое состояние частицы в системе покоя, полученной преобразованием Лореица (В.35) из сн- р
стемы, в которой скорость тастицы равна 0= Из (В,93) и (В 116) сле-
дует, что в представлении Дирака — Паул» уравнение (ВЛ 12) имеет вид
g"$=s0(В 117)
'Действительно, испо-1ьзуя уравнение Дирака, получаем
ттV { — р) ^(р)=丄 5(—р) /? (Р)=—户(—р)公(р) = 0,
т
т
Спинор ф5 описывает, следовательно, состояние с проекцией спииа s на направление п' В системе, где импульс частицы равен р, имеем
以(仍=m I <ур I*(В. 118)
Рассмотрим теперь сл\ чай т=0 Уравнение Дирака может быть записано в виде
S(P)=Р叱(Р),
где р°=|р| Нетрудно проверить, что оператор ар коммутирует с оператором проекции спина на направление импульса
-к^—у5у°ук = —Ysak,(В.119)
р
где к =. У ог-ераторов ар и Ек существуют, следовательно, общие соб-
I Р I”
ствеиные функции Имеем
<хр〃「(р) =ри〃「(р),(В. 120)
Г1ш«р)=”(р)(В 121)
Собственное значение оператора проекции спина на напоавление импульса называют спиральностью Очевидно, что в рассматриваемом случае спина I/2 спиральность г принимает значения — 1 С помощью (В 119) — (В 121) нетрудно убедиться в том. что сравнение (В 121) эквивалентно
?5加(р)=- ”(Р)・(В.122)
Таким образом, при тг = 0 состояние с определенной спиральностью является собственным состоянием оператора Vs. Из (В 122) получаем также
办(P)Y5=+mp).(В 123)
С помощью (В 82), (В 122) и (В 123) получаем следующие условия ортогональности и нормировки-
"'(р) у%'(р)=2р%，г.(В. 124)
Далее для состояний с отрицательной энергией имеем
а(—р)иг (—р) =—р°иг(—р),(В 125)
工(—к) м「(一р) =г% (—р).(В.126)
Нетрудно видеть, что уравнение (В.126) эквивалентно
убиг(—р) = +”(—р).(В 127)
Отсюда находим
"'(—Р)Уз = —s'(p)(В.128)
Из (В 82), (В 127) н (В 128) получаем
五「'(一戸)?%Г(一p)-2办5(В.129)
Запишем тёперЬ урайнеиия (В 122) н (В.127)匕 предст出лення Дирака —
Паулн В этом представлении
，（吁 Q：J " Г）=厅匿，（吁 Q：J " Г）=厅匿(В.130)(В.130)
，（吁 Q：J " Г）=厅匿
，（吁 Q：J " Г）=厅匿
(В.130)
(В.130)
Подставляя (В 130) в (В 122) / 0 рака — Паули Ys = [ 〔Подставляя (В 130) в (В 122) / 0 рака — Паули Ys = [ 〔и (В 127) и учитывая, что в представлении Ди--；),получаеми (В 127) и учитывая, что в представлении Ди--；),получаем
Подставляя (В 130) в (В 122) / 0 рака — Паули Ys = [ 〔
Подставляя (В 130) в (В 122) / 0 рака — Паули Ys = [ 〔
и (В 127) и учитывая, что в представлении Ди-
-；),получаем
и (В 127) и учитывая, что в представлении Ди-
-；),получаем
akqpr=r(pf, а(—к)х「=“.akqpr=r(pf, а(—к)х「=“.(В.131)(В.131)
akqpr=r(pf, а(—к)х「=“.
akqpr=r(pf, а(—к)х「=“.
(В.131)
(В.131)
Таким образом, если четырехкомпонентный спинор является собственной функцией оператора спиральности, то это означает, что соответствующий двухком- поиентиый спинор (ф, либо %) является собственной функцией оператора crk. Из (В 130) и (В.131) находим
(В. 132)(В. 132)”（р）= V ВQ；）,加（一尸）=,麻（q；*） •
(В. 132)
(В. 132)
Мы закончим следующим замечанием Для того чтобы при т*0 получить состояния с определенной спиральностью, вектор п в уравнениях (В 105) необходимо направить по импульсу частицы. Из (В 113) получаем при этом
mт
Рассмотрим случай р》т С точностью до квадратичных по №[р? членов получаем
П 々 1 + ,70 4 i 1 -
m〈 2p/丿m V 2^02/
Используя уравнение Дирака, находим далее
%2(刀4[% h+-J 一n俨万]m(p).
Опуская линейные по т/р° члены, имеем, следовательно.
丫5 加(р)=—м「(р).
В заключение рассмотрим матрицу
S«!(^)^(р)=^> (Л-(в. 133)
Используя (В.108), получаем
X(p)us(p)=2mus(p),
A(p)us(—р)=0.
Таким образом, /\(р) является оператором проектирования на состояния с импульсом р Оператор Л(р) имеет вид
А(р)=о4•匕広(В.134)
295
Найдем константы а и b Используя уравнение Дирака, ,,s (В.133) получаем
М(р)=^л(р).
Подставляя (В 134) в это уравнение, находим а~Ьт, Далее, используя (В 108), имеем
2 %：(?)/£(Р)= 4m= SpA(p).
Отсюда следует , что b~ 1 Окончательно получаем
д(р)^1рт.(В.135)
Далее имеем
£ 吟'(一р)碍(一р)吟(р)=о,
一』吟'(一р)礒(—р)吟(一р) = 2m<(— p).
Таким образом,——Е〃$(——р)йа(—р) является оператором проектирования на состояние с импульсом —р. Аналогично (В.135) находим
> 不(—Р)疋(~~■ Р)= — А (— Р)= — ( — р4"Л1).(В. 136)
Выражения (В.133), (В.135) и (В.136) широко используются на практике (при вычислении сечений и поляризаций, а также при вычислении пропагаторов частиц со спином 1/2).
Инвариантность уравнения Диракаотносительно инверсии
Рассмотрим две системы отсчета—некоторую исходную систему и систему, все оси которой направлены противоположио осям исходной системы. Координаты одной и той же точки в обеих системах связаны преобразованием
х'° = х°; х'=—х.(В. 137)
Общее линейное преобразование волновой функции имеет вид
MQ=wZa),(в.138)
где Р — матрица, действующая на спиновую переменную; “р — фазовый множитель.
В исходной системе уравнение Дирака имеет вн^
(iya%—т)р(х) — 0.(В.139)
Перейдем от у н е(у)к е и W‘(工). Имеем
d^f^(B-I40)
где цо= 1;卩月=—1;々=1, 2, 3,厶=d；?x В (В 140) по а, разумеется, нет суммирования]. Используя (В 140), получаем
(iPyaPTjia»a—m)i|/(W)=0(В 141)
Матрица Р может быть выбрана таким образом, что
Руар-! = иауа,(В.142)
Действительно, положим
Р=у°,
С помощью перестановочных соотношений для матриц уа нетрудно убедиться в том, что соотношения (В 142) при этом удовлетворяются. Имеем в штрихованной системе
(卜严 0%—/n)W'(A/)=0(В 143)
Итак, свободное уравнение Дирака инвариантно относительно инверсии. При этом
i|/(M)=r)pYW(x).(В 144)
Рассмотрим состояние с импульсом р
% °)~(2п产％ “(')е' "°
Имеем
^p'^) ~ "4РY0山0(工)—刀р Е、3/2 以'(p') ё‘ 0 "，
где ра‘=(ро, —р) —импульс в штрихованной системе отсчета, а
м'(р') =Y%(P)(В 145)
—спинор в штрихованной системе Нетрудно убедиться в том, что
/'必(р‘)=/7ш'(р').(В 146)
Далее рассмотрим состояние с определенной проекцией спина на направление п^= (п°, п) (пр —0,出=—1). Имеем
—y5nus (p)=sus (р).(В.147)
Умножим это уравнение слева на у ° Получаем
—\5hrus (pz) =sus(p'),(В 148)
где
孔山=(—, n),(B.149)
а м" (p‘) =丫°辽8 (p). Спинор а$(р，) описывает (в штрихованной системе) состояние с проекцией спина s на направление п? Из (В 149) очевидно, что п — псевдовектор Имеем //2 = л2 = —1, п'р' = —пр = 0
Таким образом, при ннверснн системы отсчета проекция спина на направление псевдовектора не меняется. Если п — вектор, то очевидно, что при инверсии проекция спина на 〃 изменит знак Действительно, для состояния с определенней спиральностью имеем
—丫5 九加(Р)==м「(р),(В.150)
a /丨 p !/ ° 1p
где п = I , к— [ , к =. Умножая это уравнение слева на ,
\ m mi р !
получаем
—Y§ 九 ％т(р‘)=—s—r(p，)，(В.151)
где п = , — к — , а
и-^р^^и^р)(В 152)
. iipa инверсии спиральность меняет знак (импульс не меняется, а сгин 《переворачивается»)
Зарядовое сопряжение дираковских спиноров
Уравнение Дирака для спинора 屮(％) имеет вид
i%W (%)?О^爪屮(%) =0.
Путем транспонирования получаем отсюда
i?aTda2丁 (上)+m27 (х) =0.
Умножим это уравнение на унитарную спиновую матрицу С. Получаем
СуаТС-^аС讲(*)+тС 步(％)=6(В.153)
Матрица С всегда может быть выбрана таким образом, что *
Cvarc-i = —уа-(В.154)
Из (В.153) и (В 154) следует, что функция
М(х)=т1cG「(X)(В 155)
(Пс 一 фазовый множитель) удовлетворяет уравнению Дирака
1уа%*фс(х)—/?гфс(х)=0.(В 156)
урс (х) носит название зарядовосопряжениого спинора Он возникает при зарядовом сопряжении — замене частиц античастицами Отметим, что последовательное определение этого преобразования требует выхода за рамки одночастичного уравнения Дирака.
Матрица С выбирается таким образом, что *
Он—С(В 157)
Рассмотрим теперь спиноры 〃(р)и и(—"), отвечающие спиновому состоянию частицы с определенным импульсом. Из уравнения
五(Р)(yара-m)=。
транспонированием долучаеч
(УаТР^—т)йт(р)
Умножим это уравнение на С Используя (В 154), имеем
(V«pa—т)Сйг(р) =：0.
Таким образом, спинор С〃「(р) удовлетворяет такому же уравнению, что и спинор 以(р) Можно положить, что
以(一р)=и〃т(р).(В 158)
Отсюда следует также. что
и(р)^СйЦ-р)(В 159)
Наконец, рассмотрим спинор 辽$(р), описывающий состояние с проекцией спина s на направление л Имеем
—2"Р)\з»%=$“$(р)(В 160)
Отсюда транспонированием находим
—у^тп^тйзт (р) =susT (р)(В 161)
Учножим это \ равнение слева на С С помощью (В.154) нетрудно убедиться в том, что
С?5Гe7=?5(B 162)
В результате находим
一y5nCusT(p) =sCusr (р).
Таким образом, спинор 。〃'「(夕)является собственной функцией оператора ——丫5亢，принадлежащей собственному значению s. Учитывая (В. 158), имеем
и^—р)^№т(р).(В.163)
х Из (В 154) имеем—、"二仃-亠“二 С другой стороны, из (В 154) путем транспонирования получаем — уаг== (С-ЧгуаСг. Приравнивая правые части этих двух соотношений, находим С (С-1) TVa=Va^ (^-1)7 Итак, матрица C(U-i)r коммутирует со всеми матрицами 丫° В силу леммы Шура СТС^1~ =оЛ где a — константа Из унитарности матрицы С следует, что |а|2~1. В (В.157) константа а выбрана равной— 1.
20*299
Очевидно, что 以$(—р) является также собственной функцией оператора
—(sn) =丫5力卩(оператора проекции спииа на направление п), отвечающей т
собствеииому значению —s [ср. с (В 104) и (В.106)].
Инвариантность уравнения Диракаотносительно обращения времени
Уравнение Дирака инвариантно относительно обращения времени. Действительно, рассмотрим уравнение для 屮(х)
i%W (%) 丫吋小屮(х) =0(В.164)
Совершим в (В 164) транспонирование и сделаем замену х0-—х°. Получаем
—iYaTji/aWP')—九屮『(％') =0,(В 165)
где х,а= (—х°, х) (No=l, ju=—1). Далее умножим (В 165) слева на унитарную матрицу Т, удовлетворяющую условиям *
ТуаТТт = уа]1а.(В.166)
Из (В 165) и (В 166) следует, что функция
卡(元)=打冗户(/)(В 167)
("г ——фазовый множитель) удовлетворяет уравнению Дирака
iyadaW' (%)—俏屮‘(％) =0(В.168)
Итак, если функция ф(х)—решение уравнения Дирака, то функция if'(х) = = т]т7'1фг(х/) также является решением уравнения Дирака. Функции 2(х) и *'(х) описывают взаимно обратные движения. Инвариантность относительно преобразования (В 167) [с матрицей Т, удовлетворяющей (В 166)] представляет собой инвариантность относительно обращения времени.
Рассмотрим волновую функцию
%(”)=不工^万〃(°)е '
описывающую частицу с импульсом р Имеем
屮р，(х)=叮“屮，")=Пт(27r)з/2 “'(「')е ‘°"， где pi= (”，—р), а
и'(р“Т炉⑺.(В.169)
С помощью (В 166) нетрудно убедиться в том, что спинор 以'(р‘) удовлетворяет уравнению
(力一т"3)=0.(В. 170)
Итак, функция 屮尸，(х)=叮才行勺％，) описывает дираковскую частицу с импуль- со м р，а=，，—р) (при замене х° — х° импульс меняет знак).
Пусть спинор м$(р) описывает состояние с проекцией спииа s на направление па— (п°, п) Имеем
—й3 (р)у5п=5й5 (р)
(В 171)(В 171)Отсюда транспонированием получаем
(В 171)
(В 171)
一пту5тйзТ(р) =sE"(p)
Умножим это уравнение слева на матрицу Т. С помощью (В 166) нетрудно убедиться в том, что
丫5(В 172)
Из (В 171) и (В 172) следует, что
—?$ 出7谖(p)=-sTUs(p),(b 173)
где 几/= (—n°, n)
Таким образом, спинор
〃一 "р，)=Л7"(р)(В 174)
является собственной функцией оператора—丫5几‘，принадлежащей собственному значению — s (при замене x°f—х° спин меняет знак). Отметим, что п，2——I, %'р' = —пр=0
Наконец, рассмотрим состояние с определенной спиральностью, Имеем
—Y就(Р)=” (р),
/ I р IР°р
где п — , к—I, к=. С помощью (В. 166) и (В. 172) получаем
\ mm /2
Люда
—\ 5Md (p')=rd (р‘)，
以")=ТМ(р).(В 175)
Таким образом, при обращении времени спиральность ие меняется (при замене х°т—х° меняют знак как импульс, так и спин).
Приложение Г. Преобразование Фирца
В физике электрослабого взаимодействия часто используется преобразование Фирца Здесь мн рассмотрим это преобразование. В матричные элементы четырехфермиоиных процессов входят выражения вида
Z D Ou (Л) u(kf)Of 以(р) = S % (。)勺伍)％，")％ (Р) Ор，р。；％ 2’ > р, «、
(Г.1)
где О и О'——4Х4-матрицы；五(р‘)，以(々)， ...——спиноры. Считая индексы р， и т фиксированными, разложим матрицу Оур。；％ по полной системе мат-
риц Дирака F；" (г, = 1, Y气g邱，丫aY5, Y5). Имеем
0叫0屮=2(4)/(г)人.(「2)
Далее по полной системе матриц Р разкожим Ai Получаем
（』）р、=工〃广О/.
(Г.З)
Подставляя
(Г 3) в (Г 2), находим
0心0门==4(1\)门(В)….
(Г.4)
Для того
чтобы определить коэффициенты а?, умножим
(Г 4) на
T'）W（「，）
к，и просуммируем по т, р‘，о, Y Учитывая, что
Sp г£г;, =ef Sp г;г\
О
получаем
, Sp ОГ [С г SpI\rSpnW у
(Г.6)
[индексы i и
/в (Г 6) фиксированы]. Окончательно, подставляя (Г 4) и (Г 1),
получаем преобразование Фирца
М 3)。a(左)u W) OJ (°)=』力以(“ 1\4 (")以(有‘)г以(份，(匚7)
где коэффициенты а> даются (Г 6). Соотношение (Г 7) позволяет «поменять местами» спиноры 以(电)ч 我(尸) Прн атом в общем случае в правую часть (Г 7) входит сумма произведений соответствующих матричных элементов
Рассмотрим типичный для физики электрослабого взаимодействия матричный элемент
й(рЧуа(1—у5)ц(й)й(А：/)уа(1—¥5)^(,9)(Г 8)
Очевидно, что в правую часть преобразования Фирца матричного элемента (Г 8) те входят скаляр, тензор и псевдоскаляр Действительно, учитывая, что (1—у5) (1~у5) =0, имеем
Sp Ya(l-rY5)(l, apt； Ys)Ya(14-75)Tf=Sp Ya(l—y5)XX「Ya(l+Y5)(1, gt； Y5)=0
Для вектора (匕 V), псевдовектора (/, А) вектора и псевдовектора (V, Д и Д, V) получаем
(2? (V, V)н s： ( -1, .4) — a； (V, Л)=或(Л, V)=
=W Sp 寸(1 -Г Ys) Yda( I + 丫5)?Р =—霞.(「9)
10
Отметим, что при получении (Г 9) мы использовали
(1+Y5尸=2(1丁Y5),7aR% = d(2gm — %%) = — 2%.
С помощью (Г 9) из (Г 7) получаем
卫(p')Ya (1-Y5)" 他)以(々')Ya (1 丄 Y5)以(P)=一万(p‘) 丫04 (1+Y5)X а叮(p)豆他')Y*(1 亠Y5)"(左)(「Ю)
В заключение сделаем следующие замечания
Для операторов поля имеем，
血Ya(1+y5)中証"*(1+75)小=屮井6(1+Y5)屮丽也(1+Y5)中排(r Ц)
Знак《+》в (Г 11) возник вследствие гого, что операторы ферми-полей (под знаком оператора .V) антикоммутируют
Нетрудно пояснить смысл соотношения (Г.10) Запишем матричный элемент (Г 8) в виде
4讶L("')7a%L(a)〃L(&')YaIiL(P) где
1 一 Y5%(")=-—^(Л
(Г.12)(Г.12)——левая компонента спинора 辽(р), Очевидно, что 2(Р')(1； а； к)纽(Р) = 0， %.(?') ‘产厶短(p) =%l (X)评也5)■
(Г.12)
(Г.12)
Ясно, что в (Г 7) могут входить любые спиноры (в частности, ul) Таким образом, в силу (Г 12) в правую часть разложения Фирца матричного элемента (Г 8) может входить только
涯(pO^^l (p)互(左‘)Y/l (也)
[прн этом следует учесть также, что матричный элемент (Г 8) инвариантен относительно преобразования Лоренца].
Приложение Д. Спиновая матрица плотности
В этом приложении мн подробно рассмотрим спиновую матрицу плотно- сти релятивистских частиц со спином 1/2. Предположим, что пучок частиц со спином 1/2 получен в результате взаимодействия с другой подсистемой. Волновая функция всей системы после того как подсистемы перестали взаимодействовать имеет зид суммы произведений волновых функций свободных подсистем
屮J (х,t) = —^з^ eTP”％ & О-(Д・1)
ЗдесьЗдесь^ 0 — 2，/（Р）У%（Е，О Се；^ 0 — 2，/（Р）У%（Е，О Се；(Д-2)(Д-2)
Здесь
Здесь
^ 0 — 2，/（Р）У%（Е，О Се；
^ 0 — 2，/（Р）У%（Е，О Се；
(Д-2)
(Д-2)
辽，(")—функции, описывающие состояния с импульсом р и спиральностью г, 屮п (自，/)—волновые функции второй подсистемы; с，п — константы. Будем предполагать, что функции иг(р) и срп нормированы условиями
『⑺ur （p）= 2叫什, （у分为）-.『⑺ur （p）= 2叫什, （у分为）-.(Д.з)(Д.з)
『⑺ur （p）= 2叫什, （у分为）-.
『⑺ur （p）= 2叫什, （у分为）-.
(Д.з)
(Д.з)
Пусть О ——некоторый оператор, действующий на спиновые переменные ст. Для среднего значения оператора О (в случае, если состояние второй подсистемы нас не интересует) получаем
J Y (三)。屮(W) dg Е『(卩)Оиг (р) ргг,0=「=-^T^ (44)
J ? (?) ? (Е) dE 士 d ⑺ ur (p)prrf
Здесь
°ГпС「(Д-5)
Выражение (Д 4) может быть записано следующим образом-
гдегдерe（"）=n成（"）н（p）рe（"）=n成（"）н（p）(Д.б)(Д-7)(Д.б)(Д-7)
где
где
рe（"）=n成（"）н（p）
рe（"）=n成（"）н（p）
(Д.б)
(Д-7)
(Д.б)
(Д-7)
Матрица р(р) носат название спиновой матрицы плотности. Как видно из (Д 6), матрица р(р) позволяет полностью описать спиновое состояние пучка (вычислить средние значения любых спиновых операторов)
Получим соотношения, которым удовлетворяет матрица плотности р(р)
D Pr，r= Pr「J(”・8)
Это соотношение следует из (Д 5) С помощью (Д 7) и (Д 8) для матрицы р(р) получаем
Р(Р)=Р(Р)(Д 9)
2)(Д.10)
Это соотношение вытэкает нз условия нормировки функции 屮信，t) и (Д.З) Из (Д,5) очевидно, что р- представляет собой вероятность того, что спиральность частиц пучка равна г (независимо от того, в каком состоянии на-
304
ходится вторая 'подсистема). С помощью (Д 3), (Д.10) и (Д.7) получаем следующее условие нормировки матрицы р(р)
Sp p(p)=2m.(Д.П)
Из (Д 8) и (Д.10) следует, что матрица р(р) характеризуется тремя вещественными параметрами. Отметим, что матрица плотности частицы со спином s характеризуется
(2s-rl)2—1(Д 12)
вещественными параметрами Л
£ i I 2 W (/2 Р「г\ = 1 •‘ (Д」3)
Действительно, запишем (Д 5) в виде
Р「г，— (с；с「)，
где Ст — компонента комплексного вектора сг Используя неравенство Коши — Буняковского, получаем
丨(c；q)w (叫％) (с『％.(Д.14)
Отсюда, суммируя по г и г', находим (Д.13). С помощью (Д.7) и (Д.13) получаем
Sp р2 (卩)=(2m尸 2 丨 Р"，； 2< (Spp(p))2.(Д-15)
Знак равенства в (Д.15) имеет место в случае, если спиновое состояние описывается волновой функцией Действительно, в этом случае
Р(Р)—(Р)^(Р) н
Spp2(p) = (2m)2=(Spp(p))2.(Д 16)
Можно показать также, что (Д.16) является достаточным условием того, что состояние описывается волновой функцией (является «чистым» состоянием) .Отметим, что состояние, которое описывается матрицей плотности, удовлетворяющей неравенству Sp р?(р) V(Sp р(р))?, называют «смешанным».
Л (р) р (р) = р (р) Л (р) = 2тр (р).(Д.17)
Здесь
a(p)=卦m
—проецирующий оператор Соотношения (Д.17) могут быть получены из (Д.7), если учесть, что
А(р)и(р)^2ти(р),広(р)八(р)=2т〃(〃).
Из (Д 17) следует
(Д.18)(Д 19)(Д.18)(Д 19)Р(Р)= ；Л (Р)Р(卩)А (切•(2m)-
(Д.18)
(Д 19)
(Д.18)
(Д 19)
3)八吟=Lp⑺
где р(р) и р'(р')—матрицы плотности в двух инерциальных системах, а матрица L удовлетворяет (В 34) Соотношение (Д.19) может быть получено с помощью (В 32), (В.46) и (Д.7)
Разложим теперь матрицу плотности р(р) по полной системе 16 матриц Дирака Имеем
р(°) = 口 一 ％广十県8cl汇十 4yl展丁 б/.(Д-20)
Из уровня нормировки (Д.11) находим
а=(1/2)т(Д 21)
Для того чтобы определить коэффициент 瓦 умножим (Д 20) на 丫卩 н вычислим шпур обеих частей полуденного равенства. Используя (Д18), находим
= Т Sp р (р) Yg = 4 /f Sp А (р) р(р) Л (р) %.(Д.22)
Далее с помощью перестановочных соотношений для матриц у получаем
А (Р) 丫卩=2卩卄 “А (—Р)(Д・23)
Наконец, учитывая, что А(—р)А(р)=О, из (Д.17), (Д21) и (Д.22) находим
&?=&?=丄2丄2Нетрудно убедиться в том, чтоНетрудно убедиться в том, чтое = 0.е = 0.(Д.24)(Д・25)(Д.24)(Д・25)
&?=
&?=
丄2
丄2
Нетрудно убедиться в том, что
Нетрудно убедиться в том, что
е = 0.
е = 0.
(Д.24)
(Д・25)
(Д.24)
(Д・25)
Действительно, с помощью (Д.18) и (Д.20) получаем
=；Spp (夕)% = 4 /с J Sp А (") р (〃) А (〃) ?5 = 44(2т)“
=一sp a (/?) p (")?八(一p) = 0.
4 (2m)-
Умножим далее (Д.20) на ур75 Вычисляя шпур обеих частей полученно- ного равенства, имеем
叫=—十 Spp(〃)YpY3・(Д.26)
Нетрудно показа&, что
4=^Е"(Д.27)
где 3 — среднее значение оператора спина Действительно, оператор спина дается выражением [см (В 98)]
Sp = RYs
(Д 28)
Для среднего значения оператора спина имеем
- Spp(p)Sp 马-Spp(p)
(Д.29)
Используя (Д.17) и (Д 28), находим
三р= -^Spp(p) >%
(Д.30)
Сравнивая (Д.26) и (Д 30), получаем (Д 27)
Наконец, получим третий член разложения (Д 20) Используя соотношение
%户/2еаМт 呐 s， запишем этот член в виде
Очевидно, что
с；т= — 4・(Д.31)
С помощью (Д 18) н (Д.20) получаем
4= -^-Spp(p)。С%=8'(；/f Sp A ⑺ P(')A(P)丫陋门5-(Д-32)
Далее, используя перестановочные соотношения для матриц 7, находим
А(。)YpYiVo = 2аГ#5 - 2%“Y5 + YpRY5A (- P)•(&33)
Подставляя (Д 33) н (Д 32) и используя (Д.29), получаем
g=;(%Р:—?需)，g=;(%Р:—?需)，(Д.34)(Д.34)
g=;(%Р:—?需)，
g=;(%Р:—?需)，
(Д.34)
(Д.34)
Окончательно с помощью (Д.20), (Д 21), (Д.24), (Д.25), (Д.27) и (Д 34) для матрицы плотности релятивистской частицы со спином 1/2 находим следующее выражение:
Р (")=fP 十 m)
~ (1 —丫5三)=~(1 —^^)(P+^)*
(Д.35)
Итак, для того чтобы описать спиновое состояние^^стиц со спином 1/2, необходимо задать вектор 汐一среднее значение оператора спина. Вектор Е® носит название вектора поляризации Получим соотношения, которым удовлетворяет вектор поляризации. Подставляя (Д 35) в (Д 9), имеем
(Д.36)
Таким образом, 汐一вещественный вектор Далее оператор спина ортогонален вектору о
sp = 0(Д.,37)
Из (Д 29) и (Д.37) получаем, что
5Р=0.(Д.38)
Из (Д,38) следует, что вектор поляризации — пространственноподобный. В системе покоя вектор поляризации имеет вид
沙=(0,歐).(Д・39)
Далее нетрудно убедиться в том, что 3« является псевдовектором. Действительно, используя (工 19), (В 34) и (В 50), получаем
У ^~^pf(Р') 丫 5■广=；Sp р (р) L% 广厶=deta 噬支(Д.40)
2m2mp
Наконец, подставляя (Д.35) в неравенство (Д.15), находим
户VI,(Д-41)
где Р = У—§2 — поляризация. При Р=1 спиновое состояние описывается волновой функцией (является чистым).
Рассмотрим выражение (Д.35) для матрицы плотности Запишем вектор поляризации 三《 в виде
汐= Pg,
где М=—1, 〃р=0. Нетрудно убедиться в том, что выражение (Д,35) может быть записано в виде
1亠p1-—p
Р(^)~—Р-(尸)丁—— Р-(Р).(Д.42)
где
Р^(^) = — (1 三 7”)* (「)•
一 2
Матрицы р±(р) удовлетворяют соотношению
Spp：(卩)=1.(ДЛЗ)
Таким образом, р±(") являются матрицами плотности чистых состояний. Имеем
с—
-^(1 二 Y⑺ а (p)= 〃亠(?)u亠(p).(Д.44)
~—
У множим это соотношение справа на и^(р) Получаем
—丫5 我心(")=士以土 (р).(Д.45)
Таким образом, спиноры а±(р) описывают состояния с проекциями спнна на направление п, равными соответственно 上 1 н —1 [см. (В.103) — (В 105)].
Выражение (Д 42) может быть переписано в виде
1 十 Р —1 — p —
Р (卩)“+ (〃)辽十(〃)十—-—u_(/?)u_(p).(Д .46)
Итак, спиновое состояние рассматриваемой системы всегда может быть описано «смесью» некогерентных волновых функций м+(р) и 〃一 (р), входящих в смесь с весами (1-J-尸)/2 и (1—Р)/2 соответственно.
Мы показали в гл 7, что в случае, если в процессе участвует античастица (которой в матричном элементе отвечает спниор и(—р)), то в сечеиие процесса входит спиновая матрица
9(—Р) =—Ср「(р)С7(Д 47)
Здесь р—импульс античастицы; С — матрица зарядового сопряжения; р (р)—спиновая матрица плотности античастицы. Напомним, что матрица С удовлетворяет соотношениям
eY鼠07=一%，(Д-48)
Далее матрица плотности античастицы р(р) имеет общий вид (Д 35) •
11-
р(^) = — (1 —%б) А(р) ^\{р)~ (1 —%3),(Д.49)
где &а——вектор поляризации античастицы Подставляя (Д.49) в (Д.47) и используя (Д.46), получаем
р(—卩)=——(1 —丫託)р).(Д-50)
Для многих задач физики высоких энергий представляет интерес спиновая матрица плотности прн ро^т Из общей формулы (Д.35) нетрудно получить приближенное выражение для матрицы плотности в этом случае. Вектор поляризации в системе покоя дается (Д 39) Для вектора поляризации в системе, где импульс частицы равен р, имеем
输=蜀f^,自丄=如，瓦=^ = %*，(Д.51)
где 自彳 и g, — продольная (в направлении импульса) и поперечная компоненты вектора |°; к=—-— . Далее очевидно, что
(Д.52)
Подставляя (Д.52) в (Д 51) с точностью до линейных — членов для вектора поляризации, получаем
Г = е?! 4" + ^1，(Д-53)
где
岂=(0，自丄)•
Наконец, учитывая, что рЛ(р) =тЛ(р), находим следующее выражение для матрицы плотности частицы со спином 1/2 при ро》т
Р (Р) а Т(1 —丄)Р・(Д・54)
Аналогично, учитывая, что рЛ(——р)=——тЛ(——р), для случая античастицы из (Д.47) при р0>т находим
р(—卩)4 —£(1 十 Pl丫5 — 丫5自丄乂一р)・(Д.55)
Получим теперь матрицы плотности нейтрино и антинейтрино В случае частицы с равной нулю массой
屮丁 ](д.56)
丫 5" (一")=2(一"))
[см. (В 122) и (В 127)] В соответствии со стандартной теорией электросла- бого взаимодействия оператор поля нейтрино входит в лагранжиан в виде
1
У£(х)= ~■~-У(%)•(Д.57)
Из (Д.56) и (Д 57) следует, что
上(х)=『 Vp(a-I(p)c_i(p)e—3 + ui(—p)d：(/)e5)d3A (”.58)
Таким образом, спиральность нейтрино равна ——1, а спиральность антинейтрино равна 1. Матрица плотности нейтрино с импульсом р равна
(Д.59)(д.бо)(Д.59)(д.бо)p(p)=u-i(p)u-i(p).
(Д.59)
(д.бо)
(Д.59)
(д.бо)
Из (Д.56) и (Д.59) получаем
р(〃)=—— l 廿(P)公―— p-
Аналогично в случае антинейтрино с импульсом р имеем
Р ( — Р)=館(一0)м (—Р) = ~L" (— Р) м (—卩)=—~2~ (— Р)，
(Д.61)
Отметим, что以/аження для матриц плотности нейтрино и антинейтрино могут быть получены из (Д 54) и (Д.55), если в* этих выражениях положить соответственно W% = — I, ?j_ — 0 н §^ — 1, Е丄=О，
В заключение рассмотрим некоторый процесс. Если спиновое состояние начальных частиц описывается матрицей плотности, то спиновое состояние конечных частиц в общем случае также должно описываться матрицей плотности. Получим выражение для матрицы плотности конечных частиц. В качестве примера рассмотрим рассеяние частицы со спином 0 иа частице со спином 1/2 Матричный элемент процесса имеет внд
⑴ S —1 I i〉="%「'(？)М (炉，Г，р, q)以「(р) (2芯)纥(犷十 Т —夕一9)
(Д.62) Здесь (?, p(g', р‘)一импульсы начальных (конечных) частиц со спинами 0 и 1/2 соответственно, N ——произведение стандартных нормировочных множителей; М ——матрица, действующая иа спиновые переменные.
Из (Д 62) очевидно, что з случае, если спиральность начальной частицы равна г, спиновая функция конечной частицы пропорциональна
1г(^] = ^^р') ^г'{^)м М(р))・(Д.63)
Г1
В общем случае начальные частицы описываются матрицей плоскости
Р (卩)=£ /(P)L(卩)Р“(Д-64)
Для среднего значения оператора О', действующего на спиновую переменную конечной частицы, получаем при этом
(Д.65)(Д.66)(Д 67)(Д.65)(Д.66)(Д 67)』W(p')O'%r 3)р“，〈0，〉=〈.二
(Д.65)
(Д.66)
(Д 67)
(Д.65)
(Д.66)
(Д 67)
£ %'⑺尸(d) P"，
Подставляя (Д 63) в (Д.65) ц используя (Д 64), находим
Sp оp (?)Spp(b)'где
р(р') =Л(р,)Л1р(р)1ЙЛ(р/)
—спиновая матрица плотности конечных частиц.
Нетрудно вндет，что Sp р(рх) пропорционален сечению процесса. Действительно, с помощью (Д,62) для сечения процесса получаем следующее вы-
311
ражение [см (720)].
"° = 4$р "р (р)м\ (尸)е(" +
4J/(月g)2 -m2卩2 (2北)2 d3p‘ d3q‘ 十 g一?一(Д.68)
Далее имеем
Sp р ⑺=2" Sp Afp(p)A?A(pz),(Д 69)
где "=ур'2 Отметим, что при получении этого соотношения мы учли, что
Л(/)Л(/)=2тЛ(/)
В общем случае матрица р(р') имеет вид
11с
p(”=Spp(p，)w7A 3)^(1 —俣')，(Д.7。)
где
(Д-71)(Д-71)na= SP p (0')%丫"
(Д-71)
(Д-71)
、 Spp(”)
——вектор поляризации конечных частиц. Подставим (Д 67) в (Д 70). Для вектора поляризации 三女 получаем следующее выражение
нВ Р'“Р毋、5рМр(р)МД.(р') Y3Y n --S丽而A(W72)
При получении этого выражения мы использовали
Л (")丫户。)=2心(公)(%Y"+Y5六*)=
Из (Д.72) очевидно, что вектор поляризации g，a удовлетворяет условию
汐=0・(Д73)
Наконец, отметим, что выражение (Д.67) для конечной матрицы плотности может быть записано в виде
Р ⑺=(尸彼‘⑺ Р；〃(Д.74)
где__
,(/⑺(pо), Пе
Р/ =二 (Д・75)
Sp 工Wp (〃)/V/А (尸)
Очевидно, что
£p；r= L(Д・76)
г
Величина р'” представляет собой вероятность того, что спиральность конечной частицы равна г
Приложение Е. Матрица Кобаяши—Маскава
ЛагранжианЛагранжианзонов имеет внд [см. (4 160)]зонов имеет внд [см. (4 160)]взаимодействия кварков и заряженных промежуточных бовзаимодействия кварков и заряженных промежуточных бо
Лагранжиан
Лагранжиан
зонов имеет внд [см. (4 160)]
зонов имеет внд [см. (4 160)]
взаимодействия кварков и заряженных промежуточных бо
взаимодействия кварков и заряженных промежуточных бо
必/ (х)= — р= pL (%) Ya^£ (х) IF6(х) — j^== nL (%) ^ли^pL (x)吋+ (x)
жении мы найдем общий вид матрицы смешивания для трех поколений кварков. Покажем прежде всего, что в случае СР-иивариантности лагранжиана (Е 1) матрица U вещественна При CP-преобразовании поля кварков и MZ-бозонов преобразуются следующим образом:
и^“ (х) Ucp=—佃°с冠(丈)，
U击l Scp=吟应(”)C—屮；•(E.2)
“募…)Ucp= - 6/产(x').
Здесь Ucp——оператор СР-преобразовання； С——матрица зарядового сопряжения (см, приложение В 8); х'=(х°, —х), 6°= 1, У=—1 (々=1, 2, 3)耳几，％ и r)w——CP-четности полей Если имеет место СР-нивариантность взаимодействия кварков и 吼бозонов, то
Ucp & (к) Uср =当 Н •(Е.З)
Подставляя (Е.1) в (Е 3) и используя (Е.2), получаем
U+ = U『・(Е.4)
Отсюда следует
U*=U.(Е.5)
Таким образом, если имеет место CP-инвариантность, U — вещественная, ортогональная матрица Очевидно, что это справедливо в общем случае м по-
колений кварков. Рассмотрим этот случай Ортогональна “Хм-матрнца характеризуется (1/2)м(м——1) параметрами
Унитарная nX^-матрица характеризуется м2 вещественными параметрами ¥*. Это число складывается из (1/2)九(九——1) углов (параметры ортогональной матрицы) и (1/2)九(几一j-i) фаз Число ответственных за СР-нарушеиие фаз унитарной матрицы смешивания кварков равно, о диако, (1/2)(九——1)Х Х(九一2) Действительно, фазы дираковских полей ненаблюдаемы. Перепишем следующим образом выражение для тока кварков-
/а =2无乙=2尸LYaU/'&(巳6)
Здесь х
犷l=SdPj m'l = S“几l, Uf = SpUSn *,(E 7)
где
(s%= е'”3/ (sn)ik=e^3ik,(E.8)
а在 и рй ™ произвольные вещественные параметры Ненаблюдаемость фаз дираковских полей означает, что физический смысл имеют только такие фазы матрицы смешивания, которые не могу г быть из нее устранены выбором произвольных параметров а& и 瓦 Найдем число физических фаз, которые могут входить в матрицу смешивания. Запишем
па == a戶，6々=6+3'々，(e.9)
где
fek
Имеем
2%=0,w的=0.(e.10)
kk
Из (E 8) и (E 9) следует, что
Sp = ess‘p, Sn=^Srni(E 11)
где
(5卩)?=宀"6ik, (Snf)ik = e1 ^k 山冗.
Таким образом, аир являются общими фазами соответственно матриц Sp и Sn. С помощью (Е.7) и (Е 11) получаем
Uf=eKa.-^SfpUSf*n.(Е.12)
Из (Е 12) следу 0ито общее число фаз, которые могут быть устранены из матрицы смешивания в силу произвольности фаз дираковских полей, равно 2(八一1)+1=2九+1
(число фаз в S，卩 и S\) + (разность общих фаз).
Для общего числа ответственных за СР-иарушение физических фаз матрицы смешивания получаем, следовательно,
(1/2)〃(广1) 一(2九—1) = (к—1) (八-2)/2.(e 13)
Отметим, что из этой формулы могут быть сделаны важные физические выводы Положим п = 2 Из (Е 13) получаем, что в этом случае Матрица смеши- вания всегда может быть сделана вещественной. Это означает, что в случае двух поколений кварков СР автоматически сохраняется. Для того чтобы в рамках кварковой модели объяснить наблюдаемое нарушение СР-ннва- риантности, нужно, следовательно, предположить, что существует по крайней мере три поколения кварков (Кобаяши—■ Маскава). Мы рассмотрим теперь случай м = 3. В этом случае матрица смешивания характеризуется тремя углами и одной фазой Получим общее выражение для матрицы смешивания Заряженный слабый ток запишем в виде
% =2aY"2 +^Y22 +^.yX).©к)
где
— EUuqq» S^ = 2 Ucq，L，匕匚= g Ut(E.15)
q=d, s, bq=d, s, bq=d, $, b
Выберем d’L следующим образом
d'L=ci3dLe+S13e-笛比.(E 16)
Здесь
djuc12dL12sL(E,! 7)
—кабиббовская комбинация d「 и sL полей; fi3 = cos 013; Si2 = sin 9i2 и т д. Очевидно, что при зтом W]U“g]2=L Далее функции
(Е.18)(Е.18)S； = — ”2% 十 C12SL1
(Е.18)
(Е.18)
—5i3^£el ' + S36匚
ортонормнрованы и ортогональны d' J С помощью (Е.18) функции s'l и Ь'[_ могут быть построены следующим образом:
(Fug)(Fug)SL = а®； + S23 (— Si3d£ e‘ ' +。13勿)；
(Fug)
(Fug)
匕匚=—$23$； + с?з (— ”3无 ¥ ' + c13bL).
Нетрудно проверить, что коэффициенты в разложениях (Е.15) и (Е.19) (элементы матрицы смешивания) удовлетворяют условию унитарности Из (Е 15)
н (Е.19) получаем следующее общее выражение для 乃нцн смешивания
в случае трех поколений:
ddС13С12С13С12и =[']—^23^12一^зз^гз^га^f \ S23sl2 —С2з^1зС12е* 5и =[']—^23^12一^зз^гз^га^f \ S23sl2 —С2з^1зС12е* 5С13512С23cl 2 —SzmisSia®"—523cl 2—C235135l 2®'С13512С23cl 2 —SzmisSia®"—523cl 2—C235135l 2®'Ьs13eS23cl3C23cl3Ьs13eS23cl3C23cl35. (E.20)5. (E.20)
d
d
С13С12
С13С12
и =[
']—^23^12一^зз^гз^га^
f \ S23sl2 —С2з^1зС12е* 5
и =[
']—^23^12一^зз^гз^га^
f \ S23sl2 —С2з^1зС12е* 5
С13512
С23cl 2 —SzmisSia®"
—523cl 2—C235135l 2®'
С13512
С23cl 2 —SzmisSia®"
—523cl 2—C235135l 2®'
Ь
s13e
S23cl3
C23cl3
Ь
s13e
S23cl3
C23cl3
5. (E.20)
5. (E.20)
Мы получили одну из возможных параметризаций матрицы смешивания. Отметим, что в литературе обсуждаются и другие возможные параметризации этой матрицы (оригинальная параметризация Кобаяши ——Маскава и др.).
Информация о характеризующих матрицу смешивания параметрах может быть получена из опыта. Из данных различных опытов следует, что
Таким образом,Таким образом,sin 912=0,2197±0,0019,sin 023=0,044+0,010,0,003<sin913<0,008.
Таким образом,
Таким образом,
(E.21)(E.21)sin 仇3《sin ®3《L
(E.21)
(E.21)
Учитывая эти неравенства, можно получить следующее приближенное выражение для матрицы смешивания.
(Е.22)(Е.22)
(Е.22)
(Е.22)
Таким образом, угол 8^ характеризует связь i и k поколений. Отметим, что из данных по изучению эффекта CP-нарушения следует, что фаза 5 велика (sinb 0,5).
Приложение Ж. Квазиупругий процесс \^十几->卩一+p(слабые формфакторы нуклона]
В этом приложении мы подробно рассмотрим матричный элемент процесса
VjrMf 一+"・(Ж.1)
Очевидно, что процесс (Ж.1) обусловливается следующим гамильтонианом взаимодействия
G _G —
松/= К*Та(1 +Ys)%j +р^ 丫“％( 1+%)同 +,(次⑵
где заряженный ток ja следующим образом выражается через поля кварков/a = uVa(l+Ys)^^
(以 и d—поля “ d-кварков, UUd — элемент матрицы смешивания кварков).
Из (Ж.2) для матричного элемента процесса получаем
G _
〈门(S - 1)］厶〉=-i后以小也(胪)Y. (1 +%)以⑷〈犷丨尸(0)I Р)Х
><(寄尸6 (尸+б一月一紛，(长3)
где k н Н — импульсы нейтрино и мюоиа, р н р‘ ——импульсы нейтрона и протона, /а — заряженный! адронный ток в представлении Гейзенберга Запишем ток /а в виде
"=(Ул + Ал)ии(1,
где Va и 4а, соответственно, векторный н аксиальный токи. В этом приложении мы получим общее выражение для однонуклонного матричного элемента <р7|/«(0) |р> При этом мы будем основываться на соображениях лоренц-иивариантности, инвариантности относительно обращения времени, изотопической инвариантности сильного взаимодействия и гипотезы сохранения векторного тока
Рассмотрим вначале матричный элемент <pzj V»|p>. Имеем
<Pzl^a!P>=^p^pz4(pz) Va(p； p)u(p).
Далее разложим матрицу ^«(р7, р) по полной системе 16 матриц Дирака- 1, ya, gap, 丫《丫5, у$ Получаем
^(Х) V" p)й⑺=7(?)［『+严% +产%帥+0r恥+守"］"(0)，
(Ж.4) где коэффициенты разложения Ла, 8&3, ... зависят от импульсов р и р\ Учтем теперь, что матричный элемент u(pz) Va(p\ р)以(р) преобразуется как вектор Из (Ж-4) следует, что 4a является вектором, В&В и С^ВР—тензорами второго и третьего рангов соответственно, D«P ——псевдотензором, Д'» —— псевдовектором.
Вектор 4a имеет следующий общий вид.
4a = Q1pa-La2p^a(Ж 5)
где ai н аг ——функции скаляров, которые могут быть построены нз р и р‘. Очевидно, что из р и pz может быть построен только одни скаляр "р‘ (р2 — =Н==：ЛР, М — масса нуклона ). Определим 4-вектор передачи импульса д=р‘一р. Имеем
д2=2ЛР—2».
Таким образом, а〕и а2 являются функциями скаляра Q2=—q£
Тензор Bab имеет следующий общий внд:
围°= b^ + b.f^ + &3pV^ + &4xV + ь^р'^,(Ж.б)
где bi, &2 . • • — функции Q2 С помощью уравнения Дир а для спиноров и(р) и 2("') нетрудно показать, что все члены в разложении (Ж6), кроме первого, сводятся к ра и р，а Действительно, имеем
讶(N) papw (р) =М 江("')0aH (р),
й (р‘) р 呻 & (р) =MW (р，) ра 以(р) и т, д.
Далее нетрудно убедиться в том, что член CaBPo^。сводится к \а, ра и р’а. Действительно, в свертку 。仪^卩仃^。входят следующие члены-
丫 °Р，d/Л Р& р Р'、Р“Р'Р, Р’а Р р'，р2рр，
Имеем
й (Р‘) yapq (р)(//) ?а〃 (р),
й(р/)у^р/и(р) ="(?) [2,а—/乳丫叫以⑺ и т д.
Очевидно, что
D吟'б(з = d (Q2) е^р^^ь.
Нетрудно убедиться в том, что этот член сводится к уже рассмотренным. Для этого следует воспользоваться соотношением
(см. § 7 4) н уравнением Дирака для спиноров 以(р) и 汇("'). Наконец, поскольку из двух bcktodob постооить пссвдовектор невозможно,
Еа=0
Итак, матричный элемент <р'\ V^\p> имеет следующий общий вид
<6|Уа|р> = %〃У拓(,)[?咕(Q2)+*%(Q2)+qa%(Q2)]HS),(Ж-7)
где
片尸—"，九=р_р
Матричный элемент <п\ ^а|р> может быть записан также в другом виде. С помощью уравнения Дирака получаем
й(р]igBg/(р)二曰("')(2М?а—*)辽(р).(Ж-8)
Из (Ж-7) и (Ж-8) следует, что
〈“ \а\ P^N^^p^Fy (Q2) + 蟲。叩Mm(Q2)—"s(Q2)卜(р)・ ”9)
Рассмотрим теперь матричный элемент <р[4а[">. Очевидно, что
N評不{Р' \ ^\р) является псевдовектором. Аналогично (Ж.9) для матричного элемента <рг\А^\р> получаем следующее общее выражение
{р1 I Ла I р) == .Vp^VpU (卩)A。(h, р) и (р)=
=%.质(X)卜飞匕(Q2) + 涼产％вУг 佇)-q飞 Fp (Q2)卜(p). (Ж.10) 318
Итак, одион? дюнный матричный элемент заряженного слабого тока /а характеризуется в общем случае шестью формфакторами
凡(Q2),几(Q2), Fs(Q2), Fa(Q2), Ft(Q2), Fp(Q)
Покажем теперь, что в случае, если имеет место инвариантность относительно обращения времени, формфакторы Fv(Q)2t Fm(Q2), . вещественны. Для этого воспользуемся общим соотношением (8 46), которое является следствием Г-инвариантности и унитарности S-матрицы (в низшем порядке по G) С помощью (8.50) и (Ж.З) получаем
<р'|/а|р〉= г|а<"'"/叫z(Ж И)
где ]рт>—вектор состояния нуклона с импульсом рта= (р°, —р);斗& — знаковый множитель (r)°= 1, п'———1)・ Из (Ж.11) следует, что
(Ж.12)(Ж.12)(Ж.13)(Ж.13)(Ж.14)(Ж.14)元(？)尸(少，p)江(月)=疗位(рT)y(〃；，рt) q(〃T))*, С(Р’)А“(Р‘，Р)辽(Р)=才值(〃'『)А。(〃；，рт) и (рт)У Здесь
(Ж.12)
(Ж.12)
(Ж.13)
(Ж.13)
(Ж.14)
(Ж.14)
辽(卩丁) = Т1^(р), й"。；)= ит (。) Т (丫"万一1 =疗
(см приложение В 9) С помощью (Ж.13) находим 瘠@(/4)7%(〃т))х = £。)丫乙(〃)； ^(й(рт) i ^ (qr^kP^Y^u^) i 广％/ ⑺， ^^(Рт} '^^kP^V =鼠(少)产Г5^(〃) и т. д.
Из (Ж.9), (Ж-Ю), (*.12) и (Ж-14) получаем
FMQ”R*(Q2),(Ж 15)
где i=P, М, S, Л, Т,尸
Итак, если имеет место инвариантность относительно обращения времени, формфакторы, характеризующие матричный элемент <p'\Ja\p>, вещественны. Покажем, что при этом
Fs=0,尸г=0.(Ж-16)
Рассмотрим преобразование заряженных токов относительно поворота на угол л вокруг второй оси в изотопическом пространстве. Кварковые векторный и аксиальный токи стандартной теории даются выражениями
уа =以丫打=iVy® -j- G+ i т2) ^,аa= ^Y々〃=N\aY5 g ⑸ + i /) N，
где N = ( ^ 丿—изотопический дублет. Таким образом,
产=t 厅；a"=0『+ i。J,
где У£а = ；Ууа — t^V н а「= УхГь %Nизотопические векторы. Прн повороте на угол л вокруг второй осн в изотопическом пространстве
广T_djTi&a= _十，
аа— —аJ + i 02ct = —0a+.
Для гейзенберговых токов в силу изотопической инвариантности сильного взаимодействия имеем *
屮七―1=—尸+. u£U-i= — Ла+,(Ж. 17)
где U = е‘н‘2, Tj—оператор изотопического спина. Используя (Ж. 17), получаем
0<p,'Va.\p>n^-0<p^U-W^+U\p>n(Ж 18)
Здесь \Р>п (|Рг>р) —вектор состояния нейтрона с импульсом р (протона с импульсом "'). Далее имеем
U\p- n=lp>3, U\P/>p = — \p/>n(Ж 19)
Из (Ж 18) и (Ж.19) следует, что
P<pf\V^\p>^p<p\V^\p>^(Ж-20)
Аналогично находим
р<р/|Да|р>п=р<рИа|Р，>п*(Ж-21)
Подставляя теперь (Ж.9) и (Ж-Ю) соответственно в (Ж-20) и (Ж 21), без труда находим
F§ = —Fs = O, Ft——6 = 0.
Итак, в стандартной теории электрослабого взаимодействия матричный элемент р<Р，\^\р>п характеризуется четырьмя вещественными формфакторами и имеет вид
p〈h丨1丨%=4，"大0，)uud卜"Fy (Q2) +号。呻公尸,"(Q2) +
+ dFa(Q2)—仃5理 Q)]uS)・(Ж.22)
Посмотрим теперь, к каким следствиям приводит гипотеза сохранения векторного тока. В силу этой гипотезы не изменяющий странности, очарования адроииый заряженной векторный ток V» является «плюс>-компонеи- той изовекториого тока Vd, сохраняющегося в силу изотопической инвариантности сильного взаимодействия (см §8 4). Имеем
尸=臂+i吟三y£i2・(Ж.23)
Электромагнитный ток /ет； а представляет собой сумму третьей компоненты изовектора V» и изоскалярного тока Vsa'
/ет;а=中+歹^,'(Ж 24)
Изовектор У； удовлетворяет соотношению (8.142), Из (8.142) следует, что
若亠i 2 =【％ &十i 2】•(Ж.25)
С помощью (Ж 23) и (Ж 25) находим
о^р1 \ У。1р>п=р<Л ^з \р>р一■ п <"' I V 3a110〉г(Ж 26)
Отметим, что при получении эт^го соотношения мы учли, что
\Р>п^\Р>р.
Р<р/|Г1_,2=(r1„i2|p/>P) + = n<p/|
Далее из (Ж 24) следует
。(小尸、"J，I 「\ p)" =
=№‘丨吗I*一"("吟丨Р " т。〈0丨噥I 0〉。 一"〈勿1党I %]• (*.27) Нетрудно видеть, что последний член в правой части (Ж 27) равен нулю. Действительно, имеем
p\Pf I I ~ ；Apr I 2 Ii 2嗯 I ~ п{рг I 區[Р'п
(Ж.28) (оператор изотопического спина Ti коммутирует с изоскаляром У^)- Окон- чате-1ьно из (Ж26) —(*28) получаем
р〈Р'丨 Vя I Е"=「〈“ jem, а I р%_“〈〃 I jem, а , ^(Ж.29)
Итак, из гипотезы сохранения векторного тока следует, что одионуклоиный матричный элемент заряженного векторного тока P(pz| Уа|р>п равен разности матричных элементов электромагнитного тока P<p,'J^^ а|р>Р— -Y"几m；屮>"
Соотношение (Ж 29) позволяет связать формфакторы Fv(Q") и Fm (Q2) с электромагнитными формфакторами нуклона. Для того чтобы ввести эти последние величины, рассмотрим матричный элемент <р/|/ет； а(о)|р> Из изложенного выше очевидно, что этот матричный элемент имеет следующий
общий ВИД：
⑴ I /ет;а(о)I p〉=,V/V"7(p，)卜& (Q2) +点戶伟&解)一q*3(Q2)]u(〃)，
(Ж.30) где Fi — вещественные функции Q2.
Нетрудно показать, что из закона сохранения электромагнитного тока
%/ет,а(х)=о(Ж.31)
следует
/73(Q2)=0(Ж.32)
Действительно, вследствие трансляционной инвариантности
〈卩 I /ет一任)j^ = ei (p'-p)x^pf I jem;a(o)“〉.(Ж.33)
Из (8 195) и (8 197) получаем
%V"1Jem，a(o)|p> =о(Ж 34)
Подставляя (Ж 30) в (Ж 34), находим (Ж 32) Окончательно однонуклонные матричные элементы оператора электромагнитного тока имеют следующий общий вид.
р “〈" I /ет； “ “％ “ = V『\Z「炉)卜广「" (Q?)丄^ —勿产号'"(Q2)] U (?)•
(Ж.35) Формфакторы Ff(Q'), F『(Q‘)(Fm(Q2), F2n (Q2)) носят название соответственно дираковского и паулиевского электромагнитных формфакторов протона (нейтрона). При Q2 = Q имеем
&Р(0) = 1, &"(0)=0.[
^(0) = хр, F/(O) = X“，J
где Хр и хп—аномальные^, магнитные моменты протона н нейтрона в ядер- ных магнетонах Бора (工。=1,79, zn = —1,91).
В заключение рассмотрим процесс
〜十夕-2一+2
Для матричного элемента процесса из (Ж 2) получаем
G-丄
〈f I S 丨 i〉=乃 ％小'^ ( _ 左)# (1 + %) “(— *)“〈？]汇(0)1 p% (2к)&3 (X + 十” —p —左)，
где k и 玄——импульсы v^ и 卩十，а р н pz ——импульсы протона и нейтрона. Нетрудно видеть, что
n<pz|/a'u| Р^р—р^р1 [/^р^ п.(Ж.37)
Действительно, из (Ж 17) находим
U7a+U = —Ja,(Ж.38)
где 。二е^Та ——оператор поворота вокруг второй оси в изотопическом пространстве. С помощью (Ж.19) н (Ж 38) получаем (Ж.37). Таким образом, матричные элементы процессов -“пт代一卩 и v”p~>卩十汽 характеризуются одними и теми же формфакторами
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
По квантовой теории поля '
Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика ——4-е изд, перераб М • Наука, 1981
Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика —2-е изд М Наука, 1980
Боголюбов Н. Н.т Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей —4-е изд , испр. М. Наука, 1984
Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. М Наука. 1980
Бьеркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория Пер с англ ' Под ред. В Б Берестецкого М . Наука, 1978 Т 1, 2*
Биленький С. М. Введение в диаграммную технику Фейнмана М Атомиздат, 1971
Дирак П. А. М Лекции по квантовой теории поля: Пер с англ Под ред А А Соколова VI Мир. 1971
Ициксон К., Зюбер Ж. Б. Квантовая теория поля. Пер с англ Под ред Р М Мир Касимова *1 Чир, 1984
Мэтьюс П. Релятивистская квантовая теория взаимодействуй mтемен тарных частиц Пер с ааг.】 “ Изд-ео иностр /нт, 1959
Рамон П. Теория no.is Пер с англ М ■ Мир, 1984. Т 1, 2
Славное А. А, Фаддеев Л. Д Введение в квантовую теорию калибровочных полей М Наука. 197S
Фейнмаи Р. Квантовая электродинамика Пер. с англ, Под ред В П Силина М Мир, 1964
Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля Пер с англ Н Изд-во иностр лит, 1963
Умэдзава X. Квантовая теория доля Пер с англ ' Под ред. А А Соколова М Изд-во нностр лит 【958
Lurie D. Particles and FiEds N Y. J W Willev and Sons, 1968
Ryder L H. Quantum fie'd theory Cambridge Universitv Press, 1985
По физике электрослабого взаимодействия
Ахиезер А. И*, Рекало М. П. Электродинамика адронов Киев: Наукова думка, 1977
Бернштейн Дж. Элементарные частицы и их токи' Пер с англ / Под ред Я А Смородинского М. Мир, 1970
Биленький С. М. Лекции по физике нейтринных и лептон-нуклониых процессов 、1 Энергоиздат, 1981
By Ц. С., Мошковский С. А. Бета-распад. Пер с англ М Атомнздат. 1970
Газиорович С. Физика элементарных частиц Пер с англ./ Под ред А. Д Суханова. М Наука. 1969
Исаев П. С. Квантовая электродинамика в области высоких энергий. М.: Энергоатомиздат, 1984.
Клоуз Ф. Кварки и партоны. Введение в теорию; Пер. с англ./ Под ред. Н. Н. Николаева: М. Мнр, 1982.
Ли Ц., By Ц. С. Слабые взаимодействия: Пер. с англ./ Под ред. Б. Л. Иоффе. М.: Мир, 1968.
Окунь Л. Б. Лептоны и кварки. М.: Наука, 1981.
Тэйлор Дж. Калибровочные теории слабых взаимодействий: Пер. с англ./ Под ред. Г. В. Ефимова. М.: Мнр, 1978.
Фейнман Р. Взаимодействие фотонов с адронами： Пер. с англ./ Под ред. В. М. Шехтера. М.: Мир, 1975.
Челлен Г. Физика элементарных частиц: Пер. с англ./ Под ред. Р. М. Рындина. М.: Наука, 1966.
Marshak R. Е., Riazuddin, Ryan С. Р. Theory of weak interactions in particle Physics. N. Y.: John Willey and Sons, 1968.
Fifty Years of Weak Interaction Physics/ Ed. by A. Bertin. R. A. Ricci, A. Vitale. Italian Physical Society, Bologna, Italy, 1984.
Bailin D. Weak Interactions. Sussex University Press, 1977.
Комминс Ю., Буксбаум Ф. Слабые взаимодействия лептонов и кварков: Пер. с англ. М.: Эмергоатомиздат, 1987.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие^ ...3
Глава 1. S-матрица в представлении взаимодействия 6
Глава 2. Лагранжев формализм 14
Принцип наименьшего действия. Уравнения движения полей 14
Трансляционная инвариантность. Сохранение импульса н энергии 19
Инвариантность относительно вращений. Сохранение момента количества движения22
Инвариантность относительно глобальных калибровочных преобразований. Сохранение заряда 24
Связь законов сохранения с симметриями. Теорема Нетер ..26
Глава 3. Квантованные поля27
Эрмитово скалярное (псевдоскалярное)поле27
Квантование полей и инвариантность относительно непрерывных преобразований 36
Неэрмитово скалярное (псевдоскалярное) поле38
Спинорное поле46
Электромагнитное поле55
Квантованное векторноеполе65
Глава 4. Лагранжианы взаимодействия69
Локальная калибровочная инвариантность. Электромагнитное взаимодействие69
Лагранжиан единой теории слабого и электромагнитного взаимодействий 72
Феноменологическая V——A-теория слабого взаимодействия 72
Калибровочная инвариантность Янга——Миллса ....79
Хнггсовский механизм генерации масс частиц84
Теория Глэшоу—Вайнберга—Салама88
Глава 5. Разложение хронологических произведений операторов поля по нормальным произведениям. Теорема Вика107
Теорема Вика для произведения двух операторов поля . ..107
Пропагаторы скалярного, спинорного н векторного полей .»112
Теорема Вика 118
Глава 6. Диаграммы Фейнмаиа124
Процесс丫十已1->^+金一 (эффект Комптона)124
Процесс е—е+ту+у .....132
Процессу+уте-%е+135
Процессу，е+->*у+е+137
~''''325
5 6 7^к^ 6 й^5 6 7^к^ 6 й^686 9.6 10686 9.6 10Процесс е-+е-->е-+е-..Процесс е十十e-fe+-He-.Процессе十十二тНl十h~ ._.Процессы % (%)十 е~ —力(»)十「• 二Процессы Ve(Vj)+C-fVe(Ve)+C-,廿丁一金--^ + ^ .Заключение (правила Фейнмана) ..Процесс е-+е-->е-+е-..Процесс е十十e-fe+-He-.Процессе十十二тНl十h~ ._.Процессы % (%)十 е~ —力(»)十「• 二Процессы Ve(Vj)+C-fVe(Ve)+C-,廿丁一金--^ + ^ .Заключение (правила Фейнмана) ..0 3 5 0 2 64 4 4 5 5 50 3 5 0 2 64 4 4 5 5 5
5 6 7^к^ 6 й^
5 6 7^к^ 6 й^
68
6 9.
6 10
68
6 9.
6 10
Процесс е-+е-->е-+е-..
Процесс е十十e-fe+-He-.
Процессе十十二тНl十h~ ._.
Процессы % (%)十 е~ —力(»)十「• 二
Процессы Ve(Vj)+C-fVe(Ve)+C-,廿丁一金--^ + ^ .Заключение (правила Фейнмана) ..
Процесс е-+е-->е-+е-..
Процесс е十十e-fe+-He-.
Процессе十十二тНl十h~ ._.
Процессы % (%)十 е~ —力(»)十「• 二
Процессы Ve(Vj)+C-fVe(Ve)+C-,廿丁一金--^ + ^ .Заключение (правила Фейнмана) ..
0 3 5 0 2 6
4 4 4 5 5 5
0 3 5 0 2 6
4 4 4 5 5 5
Глава 7 Методы вычисления измеряемых на опыте величин ...159
7 1 Сечение процесса. Вероятность распада..159
7 2 Сечение рождения нестабильной частицы163
7 3 Шпуры произведений матриц 丫••167
7 4 Полезные соотношения между прямыми произведениями матриц 丫 •.170
7 5 Методы вычисления интегралов по фазовому пространству 173
Глава 8. Распады частиц181
28283838484855Введение. Представление Гейзенберга .....Распад 5->广一口 ..Распад K^f а。丄什十V,......Распад 寸―口。一е^т^е Сохранение векторного токаРаспад rifp+e--|-Ve. Частичное сохранение аксиального токаВведение. Представление Гейзенберга .....Распад 5->广一口 ..Распад K^f а。丄什十V,......Распад 寸―口。一е^т^е Сохранение векторного токаРаспад rifp+e--|-Ve. Частичное сохранение аксиального токаГ л а в а 9 Процессы на встречных ?丁一^--пучках9 1. Процесс е~—廿一+廿干丄е- (с учетом вклада нейтрального тока)9 2 Процесс е十—6一—11+丁乩一 Асимметрия вперед ——назадГ л а в а 9 Процессы на встречных ?丁一^--пучках9 1. Процесс е~—廿一+廿干丄е- (с учетом вклада нейтрального тока)9 2 Процесс е十—6一—11+丁乩一 Асимметрия вперед ——назад181185190200207212212220181185190200207212212220
2
8
2
8
3
8
3
8
4
8
4
8
5
5
Введение. Представление Гейзенберга .....
Распад 5->广一口 ..
Распад K^f а。丄什十V,......
Распад 寸―口。一е^т^е Сохранение векторного тока
Распад rifp+e--|-Ve. Частичное сохранение аксиального тока
Введение. Представление Гейзенберга .....
Распад 5->广一口 ..
Распад K^f а。丄什十V,......
Распад 寸―口。一е^т^е Сохранение векторного тока
Распад rifp+e--|-Ve. Частичное сохранение аксиального тока
Г л а в а 9 Процессы на встречных ?丁一^--пучках
9 1. Процесс е~—廿一+廿干丄е- (с учетом вклада нейтрального тока)
9 2 Процесс е十—6一—11+丁乩一 Асимметрия вперед ——назад
Г л а в а 9 Процессы на встречных ?丁一^--пучках
9 1. Процесс е~—廿一+廿干丄е- (с учетом вклада нейтрального тока)
9 2 Процесс е十—6一—11+丁乩一 Асимметрия вперед ——назад
181
185
190
200
207
212
212
220
181
185
190
200
207
212
212
220
22522535 6 5 357 7Q2 2223^ ^ ^ ^ ^2722835 6 5 357 7Q2 2223^ ^ ^ ^ ^2722847068 0133 2828292929^ ^ ^ ^47068 0133 2828292929^ ^ ^ ^6 3и 23 36 3и 23 3
225
225
35 6 5 357 7Q2 2223^ ^ ^ ^ ^27228
35 6 5 357 7Q2 2223^ ^ ^ ^ ^27228
47068 0133 2828292929^ ^ ^ ^
47068 0133 2828292929^ ^ ^ ^
6 3
и 2
3 3
6 3
и 2
3 3
Глава Ю. Нейтринные процессы
10 1. Глубоконеупругие процессы 丫从('%) —V-^u.- (if) +X (феноменология)....
10 2 Процессы v^ (九)十 Y —卩—(科+)丄X (партонное приближение)
10 3 Процессы %(^)十 V — » 3 + X
!0』Процессы V/(vz)-!-e-*v；(v?)—e
Приложение А Система единиц h=c=l
Приложение Б Метрика
Приложение В Уравнение Дирака .........
В 1 Свободное уравнение Дирака. Перестановочные соотношения для матриц Дирака...,
В 2. Инвариантность относительно преобразования Лоренца В 3. Билинейные коварианты 屮。О'屮占 ..
В 4 Число компонент дираковского спинора. Представление Дирака—Паули для чатриц afe и р...
В 5. Решение свободного уравнения Дирака. Т ^рмировка спиноров В 6. Оператор спина Состояния с определенной проекцией спина В 7 Инвариантность уравнения Дирака относительно инверсии В 8 Зарядовое сопряжение дираковских спиноров ..
В 9 Инвариантность уравнения Дирака относительно обращения времени .....、.
Приложение Г Преобразование Фирца ..
Приложение Д Спиновая матрица плотности ....・
Приложение Е Матрица Кобаяши — Маскава ......
Приложение Ж Квазнупругий процесс v^-i-л-^ц- + р (слабые формфакторы нуклона)
Рекомендуемая литература
Научное изданиеБИЛЕНЬКИЙ САМОИЛ МИХЕЛЕВИЧВВЕДЕНИЕ В ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА И ФИЗИКУЭЛЕКТРОСЛАБОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Редактор В. Н. Безрукова
Художник переплета В. Ф. ГромовХудожественный редактор Б. Н, ТуминТехнический редактор Г. В. ПреображенскаяКорректор 3. Б. Дрмовская
ИБ № 1548
Сдано в набор 27.10.8 9 Подписано в печать 05.04.90Т-06538
Формат 6ОХ88%6 Бумага офсетная № 2 Гарнитура литературная Печать высокая Усл. печ. л. 20.09 Усл кр.-отт.20.09 Уч. нзд. л 20,5 7 Тираж 2400 экзЗаказ 6910Цена 4 р. 40 к.
Энергоатомиздат. 113114 Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10
Ордена Октябрьской Революции н ордена Трудового Красного Зна- меян МПО «Первая Образцовая типография» Государствеино го комитета СССР по печати. 113054, Москва, Валовая, 28.
** Отметим, что при решении задачи нахождения собственных векторов и собственных значений гамильтониана (3.34) используются те же алгебраические методы, что и в задаче об осцилляторе.
32
** Если 乩2<0, то (4 66) представляет собой обычный лагранжиан комплексного скалярного поля с самодействием —— 九(屮*屮)2 Из (4.69) очевидно, что энергпя поля достигает в этом случае мнннмума при фо~О.
86
** Поскольку операторы с；(р2) и с*(р1) антикоммутируют, то очевидно, что результат действия оператора с4■(卩2)c$("i) на любой вектор состояния должен быть антисимметричен относительно перестановки pi и рг-
*SpYsYaYft является псевдотензором второго ранга. Такой псевдотензор мог бы возникнуть только от свертки евзр° й 纟「寸 Эта свертка равна, однако, нулю. Аналогично ие существует псевдоскаляра Spys
** Действительно, например из (8.49) получаем 乂二乂-节寸乂^ Отсюда； следует, что [&]=М
* Мы предположили, что формфакторы f^(q2) и f-(q2) вещественны (имеет место инвариантность относительно обращения времени).
194
** В пользу справедливости (8 108) свидетельствует модель векторной доминантности. В соответствии с этой моделью основной вклад в матричный элемент распада К^ -► t^I^^i дает диаграмма с обменом векторным К*-мезоном. Для
формфактора 以⑷)получаем при этом f+ (炉)=f+(0) ~; , где 耿*—
*一厂
масса К*-мезона (血长・亠982 МэВ). Поскольку —— =< 0,16, в разложении
1 аким образом.
* Отметим, что с точностью до множителя величины ARL, rl . можно получить из общих соображений инвариантности. Действительно, эти величины являются скалярами и имеют вид Р：Р上Р‘[р'1•工《в j Нетрудно убедиться в том, что могут быть построены следующие три скалярных произведения такого типа- (р^-) (Р-р^), ("+р‘丄j ("_р'_); (р4р_) (р'+р7-) Далее из рис. 9 3 очевидно, что в силу закона сохранения проекции полного момента A* rl и Alr, lr обращаются в нуль при р*=р'_ (рассеяние назад). Эти величины пропорциональны, следовательно, первому инварианту. Величины Arl. lr и Alr, rl обращаются в нуль при "丄=卩'十(рассеяние вперед) и пропорциональны второму инварианту Наконец, оставшиеся величины All, ll и Arr- rr пропорциональны третьему инварианту. Нетрудно убедиться в справедливости соотношений Л 必 rl = Alrjr,力储，lr=Alr.貝& Ддд； ll=Arr. rr Действительно, например,
&L;也Н^ I J (心科%凸%I (-P；)"(一2+)科°Y丫Y%7(尸一)1』 ="^ 1(一71)石t (一方上)A^pl)丨 2 = /工心 LR.
При получении этого соотношения мы учли, что y°ur(p) =и~г(р)} где ра= =("0, —р)
218
i a^?b L7及 У(/) 一туn) = 0 e；=提)
* В том смысле, что соответствующие коэффициенты удовлетворяют условию унитарности.~
21*315