Information TheoryApplied to Space-Time PhysicsHenning F- Harmut'hDepartment of Electrical EngineeringThe Catholic University of America, Washington, DCInformation TheoryApplied to Space-Time PhysicsHenning F- Harmut'hDepartment of Electrical EngineeringThe Catholic University of America, Washington, DC

Information TheoryApplied to Space-Time Physics

Henning F- Harmut'h

Department of Electrical Engineering

The Catholic University of America, Washington, DC

Information TheoryApplied to Space-Time Physics

Henning F- Harmut'h

Department of Electrical Engineering

The Catholic University of America, Washington, DC

Х.Хармуг

Применение методов теории информации / в физике

/Перевод с английского

/канд. техн, наук в. с. ПОЗДНЯКОВА

/под редакцией

/д-ра техн, наук, проф. в. в. ГУБАРЕВА и

/ д-ра физ.-мат. наук, проф. А. 3. ПАТАШИНСКОГО

Москва «Мир» 1989

ББК 22.31Х21

УДК 519.72: 53

Хармут X.

Х21 Применение методов теории информации в физике: Пер. с англ. — М_: Мир, 1989. — 344 с., ил.

ISBN 5-03-001095-5

В книге известного ученого из США впервые исследован с достаточной простотой и ясностью переход от континуального пространства к дискретному. Излагаются методы описания событий, траекторий, физических полей, дискретных в пространстве и во времени (что типично для экспериментальных измерений и последующей обработки). Вводит- ся математический аппарат теории информации для анализа нзмереш［員 и координатных полей.

Длн физиков-теоретиков, физиков-экспериментаторов, специалистов в области автоматизации эксперимента, а также аспирантов и студентов.

1604010000—435

041(01)—89

36—89

ББК 22.31

Редакция литературы по физике и астрономии

ISBN 5-03-001095-5

© Henning F. Harmuth, 1989 © перевод на русский язык, «Мир», 1989

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА

Настоящая книга представляет собой перевод рукописи, пока не опубликованной за рубежом. Ее автор — профессор Американского католического университета в г. Вашингтоне (США) Хеннинг Ф. Хармут — известный ученый и инженер, работающий в области распространения сигналов. Ему принадлежит около ста научных статей и десяти монографий.

Основное направление многолетних усилий Хармута — изучение распространения несинусоидальных волн. Им детально исследованы математические и физические основы распространения таких сигналов в различных средах, генерация и детектирование несинусоидальных импульсов. Хармуту принадлежит н ряд практических реализаций идей песинусоидальной техники. Он неутомимый пропагандист этих идей. Список стран и научных центров, где Хармут побывал за последние десятилетия с лекциями или для совместной работы, включает практически весь мир. Приезжал он н в нашу страну, в научные центры в Дубне it Новосибирске.

На русский язык переведены ранее три книги Хармута: «Передача информации ортогональными функциями» (М.: Связь, 1975), «Теория секвентного анализа» (М.: Мир, 1980) и «Несинусоидальные волны в радиолокации и связи》(М.: Радио и связь, 1985).

Новая книга Хармута идейно связана с «Теорией секвентного анализа», где в гл. 4 поставлен вопрос о возможности экспериментальной проверки топологии пространства-времени. «Очевидно, всегда можно выполнить только конечное число измерений. Кроме того, если мы хотим провести измерения в различных точках пространства и времени, то расстояние между этими точками должно быть конечным. Это значит, что экспериментально можно проверить только те представления •о пространстве-времени, которые основаны на топологии конечного числа элементов, например топологии конечного числа целых чисел. Сделаем первую абстракцию и вместо конечного числа целых чисел возьмем «все целые инсла» или, более точно, счетное множество целых чисел. Вторая абстракция заключается в переходе от счетного множества целых чисел к несчетному множеству вещественных чисел. Тем самым мы приходим к математическому базису пространства и времени вещественных чисел или к пространственно-временному коптину-

уму... Плата за это такова: две абстракции отделяют нас от экспериментальной проверки» (с. 451—452).

Автор ищет путь улучшения моделей или понятий, исследуя топологию, основанную на счетном множестве,— именно это исследование и составляет основное содержание новой книги.

В книге подробно описаны дискретные многообразия, с помощью которых автор моделирует пространство и время. Для того чтобы многообразие могло служить моделью пространства- времени, необходимо для него проделать всю ту работу, которую физика проделала для континуальной модели. Речь идет о построении кинематики перемещений объекта в пространстве для классической механики и о динамике полей для электромагнитного поля (уравнения Максвелла) и для волновой механики частиц (уравнения Шредингера, Клейна — Гордона, Дирака).

Хармут последовательно изучает модели движения в дискретном пространстве. Роль привычных в континуальной теории дифференциальных уравнений занимают уравнения разностные. В книге подробно исследованы решения разностных аналогов уравнений континуальной теории для важнейших физических ситуаций типа описываемых законом Кулона, возможные отличия решений от континуальных. Заметим, что представление координат частиц в численном виде (оцифровка результатов траекторных измерений) и моделирование систем с помощью ЭВМ с неизбежностью заменяют континуум физической теории дискретным множеством численной модели. Поэтому исследования Хармута можно (при менее «экстремистском» подходе) трактовать и как исследование дискретных моделей, приближающих континуальное пространство.

При этом мы совершаем, с точки зрения автора книги, шаг вспять. Опыт математика и инженера, для которого пространство и время — объекты исследования и использования, а теория информации — инструмент исследования, привели Хармута к мысли, что дискретная модель ближе к реальности, чем обычно считающийся реальностью континуум.

Идея замены пространственно-временного континуума многообразием с другой топологией не нова, и предлагаемые Хар- мутом конструкции не единственные. В квантовой теории поля построение локальной теории встречает известные трудности, и использование разного рода решеток, в том числе н сходных с конструкциями Хармута, скорее правило, чем исключение. Варианты ухода от четырехмерного континуума — «струнные» модели, введение новых необычных измерений — активно обсуждаются в каждом номере основных физических журналов. Топология мира в малых пространственно-временных областях

все больше становится объектом экспериментального исследования, но в рамках современных представлений решение вопроса об истинной геометрии следует искать в рамках квантовых теорий.

Подходы Хармута другие. Он исследует возможность замены континуума дискретным многообразием на уровне классической физики, ищет возможность построения альтернативной (по отношению к континууму) механики и теории поля. Можно не соглашаться с идеями автора, тем не менее изучение построенной им модели оказывается весьма поучительным. В процессе построения мира с дискретной геометрией автору приходится подвергнуть подробному анализу измерение координат и времени и смысл этих понятий, понятие размерности пространства и многие другие.

По-видимому, полный смысл основных понятий, таких, как пространство, время, движение, нельзя уяснить только в рамках одной модели (которую мы полагаем «реальной», забывая о приближенности и, в рамках экспериментально известного, о нее динстве нност и модели). Для более полного понимания необходимо рассмотреть многие (если не все) мыслимые и виртуальные варианты. В книге Хармута описан один из таких вариантов. В связи с этим мы надеемся, что книга будет полезна читателю, физику и философу, интересы которого включают наиболее общие и фундаментальные проблемы естествознания.

Книга написана в живой н темпераментной манере, автор широко включает в изложение своих идей целые отрывки из сочинений физиков и философов от античности до наших дней. Подбор многочисленных и информативных цитат, как легко заметит советский читатель, не включает философов-марксистов, а точка зрения автора по отдельным философским вопросам вряд ли будет принята читателем без возражений н пояснений. Акцентируем внимание читателя на некоторых дискуссионных моментах книги.

В ней не дано понятие информации. В настоящее время нет устоявшегося, общепринятого понимания этого слова. Существующее многообразие определений охватывает диаметрально противоположные понятия, которые даже в своих крайних случаях не определяются однозначно. Так, в информатике под информацией, как правило, понимается совокупность сведений, предназначенных для сбора, обработки, передачи, восприятия и т. п. Причем именно сведений (в изначальном смысле латинского слова informatio), смыслового содержания данных, а не самих данных, сигналов, являющихся носителями этих сведений.

Согласно этому определению, процесс извлечения сведений из данных, получения их от неодушевленных объектов, восприятия и интерпретации неразрывно связан с разумом (вначале только естественным, а теперь включая и искусственный ——роботы, шахматные программы и т. п.). Именно такой изначальный смысл вкладывается в меру количества информации, если понимать ее как меру, характеризующую степень раскрытия получателем (с помощью разума!?) неопределенности нашего незнания о какой-либо величине, явлении, событии, объекте.

Противоположное понятие информации связано с трактовкой ее как универсального свойства объектов (предметов, явлений, процессов объективной деятельности человека и созданных им средств), заключающегося в способности воспринимать внутреннее состояние и воздействие окружающей среды, сохранять его результаты, преобразовывать сведения и передавать результаты другим объектам. Насколько можно судить по книге, Хармут придерживается той точки зрения, что информацией пронизаны все материальные объекты и процессы реаль- ного мира, которые являются источниками, носителями и одновременно (что весьма важно!) потребителями информации, когда все взаимодействия в природе обусловлены информационными причинами (движение Земли, движение электрона и т. д.). Не следует ли отсюда однозначный вывод о материальности информации (в отличие от первичного определения), о том, что основой всего мироздания являются информационные, а не какие-либо другие, энергетические, процессы? Как тогда соотносятся информационные и энергетические процессы?

Описывая применимость существующих координатных систем к описанию физического пространства и измерениям в нем, автор затрагивает философско-методологические вопросы соотношения абстрактного и конкретного, применимости и проверки применения абстрактных математических построений, моделей к описанию реального мира, существования объекта измерения, именно измерения как физического акта (а не вычисления как абстрактного матемэтического акта), вне связи его с абстрактным математическим образом, существования реальных объектов и их образов, результатов их измерения, представления.

Так, вопросы измерения времени и пространственных расстояний полностью идентичны, например, вопросам измерения площади пашни, стола, эффективного значения напряжения в сети и т. п. Что мы измеряем при этом? Площадь некоторой геометрической фигуры, функционал, т. е. физически получаем значения абстрактных объектов? Или измеряем нечто физи-

ческое, которое в нашем представлении абстрактно трактуется как площадь, эффективное значение?

Что же здесь истинно и как получить и проверить истинность результата, не задаваясь некоторой абстрактной моделью (Земля — шар, сплюснутый сфероид, плоскость и т. п.)? Если часы «генерируют», «порождают» время, что можно понимать как отсчет числа единиц измерения времени, укладывающихся от начала измерения до его окончания, то что является физическим объектом (временем), который мы измеряем? Можно ли здесь вводить разные модели, кроме линейной функции от количества единиц измерения? Может ли этот физический объект быть нелинейным (выпуклым, вогнутым), многомерным и т.п.? Или такого физического объекта нет? Хармут любит цитаты. Приведем и мы одну. 《В мире нет ничего, кроме движущейся материи, и движущаяся материя не может двигаться иначе, как в пространстве и во времени» (Ленин В. И. — Полное собрание сочинений, т. 18, с. 181).

Не ответив на эти и подобные им вопросы и не оговорив условия, в которых вы начинаете измерения, нельзя говорить н об инструменте измерения. Так, нельзя говорить о площади пашни, не оговорив интересующую нас ее геометр11ческую форму —считать ли ее правильной плоской фигурой или учитьь вать все впадины и горбы, допустимо ли аппроксимировать границы прямыми или другими линиями и т. п.

Важно в связи с этим отметить, что само познание существа физического пространства н времени немыслимо без их разнообразных математических образов. Именно те из них, которые при решении как можно большего числа практических задач дают верные, легко экспериментально проверяемые результаты, и следует использовать в качестве рабочих моделей физических объектов, в том числе и для познания этих объектов, построения физических теорий. Именно с этих позиций представляют интерес научные н практические результаты книги. Мы считаем, что знакомство с другой точкой зрения всегда полезно для лучшего осознания проблемы.

Предлагаемый Хармутом аппарат выходит далеко за пределы приложений, рассмотренных в книге. Он может быть успешно применен в теории и практике кодирования данных, описания и обработки сигналов, в численных методах, в машинной графике н т. п.

В. В. Губарев

А. 3. Паташинский

В память о Ладисласе А. Мартоне (1901—1979), редакторе издания Advances in Electronics and Electron Physics, способствовавшем публикации моих книг

ПРЕДИСЛОВИЕ

Более 2300 лет в физике доминирует понятие пространствен но-временкого континуума, столь убедительно обоснованное Аристотелем в его книге «Физика». На этом понятии базируются механика Ньютона, электродинамика Максвелла, теория относительности Эйнштейна и квантовая механика. Успехи перечисленных теорий являются сильным аргументом в пользу пространственно-временного континуума.

Тем не менее были высказаны сомнения в обоснованности использования континуума в науке, целиком основанной на наблюдении и измерении. До сих пор никто не сумел показать существование пространственно-временного континуума путем прямого наблюдения, да и трудно себе представить, как вообще это можно было бы сделать. Однако этот очевидный контраргумент не признан достаточно убедительным на фоне успехов континуумной физики.

Любая точная наука требует количественной, а не качественной аргументации. С помощью теории информации проблема наблюдаемости континуума может быть сведена к числовой задаче. Информация так же измеряема и инвариантна, как, например, число яблок в корзине. Наблюдая континуум, мы получили бы несчетно-бесконечную информацию. Бесконечная информация появится как при наблюдении бесконечно большого, так и бесконечно малого. Таким образом, понятия бесконечно большого и бесконечно малого лежат вне сферы реально наблюдаемого, и в науке, основанной на наблюдении, могут использоваться только как аппроксимация.

Теория информации развивалась последние десятилетия в рамках электросвязи и практически неизвестна в физике. Наиболее близким к теории информации подходом в физике является исчисление высказываний, использованное на стыке квантовой механики и общей теории относительности [75, 95]. Необходимые для данной книги принципы теории информации обсуждаются во второй главе. Следует, однако, иметь в виду, что за долгие годы применения теории информации и компьютеров стало естественным мыслить на языке конечного числа дискретных элементов так же, как аналогичная привычка оперировать континуумом явилась результатом длительного использования дифференциального исчисления.

X. Хар му тX. Хар му тАвтор хотел бы поблагодарить многих своих коллег-ученых за помощь в подготовке книги, в том числе персонально: Чанг Тонга из Университета Квингхуа в Пекине, Китай; М. Хеллера с Епископального факультета в Кракове, Польша; Р. Мейстера из Американского католического университета, Вашингтон, США; Д. Олсона из колледжа святого Олафа в Нортфилде, Миннесота, США; А. 3. Паташинского из Института ядер ной физики СО ЛН СССР, Новосибирск, СССР; Д. Р. Сиберри из Университета в Сиднее, Австралия; А. М. Сороко из Объединенного института ядерных исследований, Дубна, СССР; А. П. Стрита из Университета в Брисбейне, Квинсленд, Австралия; X. Юберолла и К. У. Вернтца из Американского католического университета, Вашингтон, СШАе

X. Хар му т

X. Хар му т

Глава 1

Исторический обзор

1Л. Истоки понятия пространства

Одним из основных результатов нашего опыта считается представление об окружающем нас трехмерном пространстве. Чтобы превратить личные ощущения о пространстве в научное понятие, необходимо решить ряд задач. Во-первых, требуется более детальное описание самого трехмерного пространства, которое окружает нас в повседневной жизни. Во-вторых, необходимо расширить понятие пространства до расстояний, во много раз превышающих расстояния, непосредственно воспринимаемые нами, т. е. до астрономических расстояний. В-третьих, нужно расширить наше понятие до очень маленьких расстояний, а именно ядерного порядка и меньше. Этими проблемами человечество занимается с зарождения науки, но до их решения пока еще далеко.

Бытующее у нас понятие пространства своими корнями восходит к Древней Греции. Одним из источников послужила широко известная геометрия Евклида (330—275 гг. до н. э.), в результате критического подхода к которой в девятнадцатом веке возникло понятие метрики. Метрика в свою очередь привела к появлению концепции пространства-времени, которая лежит в основе общей теории относительности. Процесс перехода от евклидовой геометрии к неевклидовой подробно обсуждается в следующем параграфе.

Вторым источником явилась концепция плоской или сферической Земли п как центра мира, а точнее, сопутствующая этой концепции система отсчета для движения объектов. Понятие системы отсчета исчезло из обихода с появлением гелиоцентрической модели мира Николая Коперника (1473—1543), в которой центром стала точка вблизи Солнца, а не само Солнце [111]. Своим возрождением система отсчета обязана аксиоме

幫 Первым ученым, объявившим Землю круглой, принято считать Пифагора Самосского (582—507 гг. до н. э.)* но эта гипотеза приписывается и Пармениду, родившемуся в 514 г. до н. э. Прекрасный обзор развития идей о форме Земли в Древней Греции и Древнем Риме дан в работе [14]. В работе [83] прослеживается развитие идей со времен Древней Греции до конца средних веков. Обе книги содержат обширную библиографию.

абсолютного пространства Исаака Ньютона (1642—1727) [99]. В конце концов идея абсолютного пространства, а с ней и идея системы отсчета были дискредитированы Эристом Махом (1838— 1916), но к полнейшему исчезновению понятия системы отсчета это не привело [90].

Третий источник —— это идея континуума, также возникшая в Греции. Понятие континуума берет начало по крайней мере от Зенона из Элеи (490——430 гг. до н. э.), который на основе парадоксальных примеров (состязание в беге между Ахиллом н черепахой, стрела, которая не может лететь, и др.) пытался показать невозможность бесконечной делимости пространства и времени. В своей книге «Физика» Аристотель (384—322 гг. до н. э.) ясно дает представление о том, что понятие континуума уже обсуждалось до него другими:

«Так вот, движение, по всей видимости, есть [нечто] непрерывное, а бесконечное проявляется прежде всего в непрерывном; поэтому, определяя непрерывное, приходится часто пользоваться понятием бесконечного, так как непрерывное бесконечно делимо» [2, с. 103] °.

Аристотель столь успешно обосновал понятие континуума для пространства, времени и движения, что в дальнейшем оно очень редко подвергалось сомнению [2]. Ньютон это понятие даже не упоминал, очевидно считая его совершенно бесспорным, а он был очень тщателен в формулировке своих предположений.

Сейчас континуум обычно определяют с помощью действительных чисел на числовой оси и утверждают, что у действительных чисел и одномерного континуума одна и та же топология. С помощью экспоненциальной функции eiyx любое действительное число х отображается на комплексной плоскости в окружности единичного радиуса. Результирующая совокупность {е‘**} называется характеристическим классом топологической группы действительных чисел. Почему отображение осуществляется в окружность, а не в эллипс или многоугольник? Ведь по определению характеристического класса окружность только разрешается, но не требуется [146]. Дело в том, что при отображении сдвиг вдоль числовой оси становится вращением по окружности. Из всех возможных геометрических фигур только окружность остается неизменной как после бесконечно малых, так и конечных вращений. Если бы вместо действительных чисел использовались целые числа, тогда смысл бы имели только конечные вращения и окружность

')Здесь и далее, когда к цитируемым работам имеется русский перевод, указываются страницы этого перевода. — Прим, пере в.

можно было бы заменить многоугольником. Отсюда следует, что понятия континуума и действительных чисел делают естественным отображение в окружность.

Такое рассуждение часто приводится в обратном порядке. Поскольку окружность воспроизводится бесконечно малыми вращениями и является единственным, а не одним из многих характеристических классов топологической группы действительных чисел, нам приходится использовать действительные числа вдоль числовой оси. Это в свою очередь навязывает то-

Рис. 1.1.1. Суперпозиция окружностей в астрономии и для комплексного ряда Фурье.Рис. 1.1.1. Суперпозиция окружностей в астрономии и для комплексного ряда Фурье.ее влияние (90—168)ее влияние (90—168)простирается гораздо шире. Клавдий утверждал следующее:простирается гораздо шире. Клавдий утверждал следующее:пологию типа континуума для временной оси и «времени» так же, как и для осей декартовой системы координат и «пространства». Понять, почему топология времени и пространства должна определяться с помощью окружности, трудно, но причиной, возможно, служит догма окружности [83], под влиянием которой человечество находится по крайней мере со времен Платона (428—348 гг. до н. э.). Догма окружности обычно связывается с астрономией, но Птолемей

Рис. 1.1.1. Суперпозиция окружностей в астрономии и для комплексного ряда Фурье.

Рис. 1.1.1. Суперпозиция окружностей в астрономии и для комплексного ряда Фурье.

ее влияние (90—168)

ее влияние (90—168)

простирается гораздо шире. Клавдий утверждал следующее:

простирается гораздо шире. Клавдий утверждал следующее:

«Мы считаем, что устремления астронома должны быть направлены на то, чтобы показать, что все небесные явления есть результат единообразных и круговых движений» [111, гл. 2; 83, ч. 1, гл. V, § 4].

Чтобы применить эту догму для объяснения орбит Солнца, пяти известных в то время планет и Луны вокруг Земли, Птолемей полагал, что они движутся по первичным окружностям, названным деферентами (рис. 1.1.1.). На каждый деферент на* кладывалась вторичная окружность, названная эпициклом. На первый эпицикл затем накладывался второй н т. д. Говоря современным языком, орбиты получались суперпозицией окружностей.

Деференты н эпициклы перешли и в гелиоцентрическую систему Коперника. Только с появлением в 1609 г. книги Иоганна Кеплера (1571—1630) «Новая астрономия» суперпозиции окружностей были заменены эллипсами. Для астрономии, но не для науки в целом догма окружности прекратила существование.

Во многих разделах физики н электроники окружность живет под новым именем экспоненциальной функции е叫 Записав на рис. 1.1.1 /iexp(icoi/) для деферента и /2ехр (i^t) для эпицикла, мы получим типичную картину суперпозиции двух синусоидальных колебаний. Действительно, рис. 1.1.1 является стандартной иллюстрацией однополосной тональной амплитудной модуляции в электросвязи. В более широком смысле слова суперпозиция окружносте員 стала разложением в комплексный ряд Фурье. Сегодня разложение функции в ряд Фурье так же распространено, как была распространена суперпозиция окружностей для описания орбит небесных тел до Кеплера.

Экспоненциальная функция е'"' и характеристический класс {"»*} топологической группы действительных чисел различаются только по имени и записи. Следовательно, пространство-время с топологией континуума выдвигает на передний план экспоненциальную или гармонические функции. Наоборот, если эти функции действительно такие удобные и широко упо- требимые, то это сильный аргумент в пользу континуума. Нет нужды разъяснять, что экспоненциальная функция, ряд и преобразование Фурье широко распространены как в физике, так н в электросвязи. Вопрос лишь в том, нет ли здесь другой причины, кроме затянувшегося влияния платоновской догмы окружности. Стоит напомнить, что Коперник от нее освободиться не смог, а Кеплер пришел к правильному решению только после множества долгих н неудачных попыток сохранять саму догму. В наше время можно с большим основанием подозревать, что аксиома о континууме доказывается догмой окружности, а догма окружности поддерживается аксиомой о континууме.

Переход от евклидовой геометриик неевклидовой

Более 2000 лет в геометрии доминировали «Начала» Евклида (300 г. до н. э.) [39]. С самого начала возникли сомнения в очевидности Постулата V °. Этот постулат гласит: Если прямая линия при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, то при неограниченном продолжении эти прямые пересекутся с той стороны, с которой сумма внутренних углов меньше двух прямых.

1)Цифра V появляется в комментированном издании «Начал» [38] и пе- реводе [39], но Больяй [8] называет Постулат V Аксиомой XI. В других источниках Постулат дают с номерами 12 и 13 или называют аксиомой параллельности.

Постулат иллюстрируется рис. 1.2.1. При а + у<к линии BBf и ЛЛ7 пересекутся слева от линии СС' (рис. 1.2.1,а), а при р + 6 < л —справа (рис. 1.2.1,в). При а + у = р + 6 = с линии не пересекутся ни слева, ни справа; следовательно, они параллельны (рис. 1.2.1,б).

Рнс. 1.2.1 не вызывает сомнений, пока существуют соглашения о прямой линии, плоскости и о том, что линии чертятся на плоскости. Современному читателю нетрудно представить, что

лилия ССГ — это экватор Земли, а линии АА' и В В'——меридианы. Линии AAf и W затем «неограниченно продлеваются», суммы。+ 丫 = 0 + 6 =冗 свидетельствуют об их параллельности, а они тем не менее сходятся по обе стороны от экватора на Северном и Южном полюсах.

Еще современники Евклида сочли Постулат V недостаточно убедительным. Посидоний из Апамеи (135——51 гг. до н. э.). Птолемей, Прокл (410——485) и многие другие пытались либо вывести его на основе других постулатов, либо заменить более очевидным, но их попытки не увенчались результатом *>. Лагранж (1736——1813) считал постулат Евклида все еще заслуживающим внимания и независимым от сферической тригонометрии [9], и это при том, что сферическая тригонометрия эффективно использовалась в мореплавании со времени кругосветного путешествия Магеллана в 1519—1522 гг. Очень трудно понять сегодня, как сферическая тригонометрия могла получить широкое распространение, когда в то же самое время величайшие математики усердно трудились над доказательством постулата параллельности Евклида.

Карл Фридрих Гаусс (1777—1855), как и все остальные, начал с попыток доказательства постулата параллельности [9].

° Развитие неевклидовой геометрии подытожено в книге [91: см. так- 必е [138].

Около тридцати лет ему понадобилось, чтобы в конце концов убедиться в возможности разработки логически последовательной геометрии без этого постулата. Свою новую геометрию он назвал сначала антиевклидовой геометрией, затем астральной геометрией и, наконец, дал ей существующее в наши дни название неевклидовой геометрии. В своем письме ° от 1831 г. он привел длину окружности радиуса г как

l=冗4(e"比-e~rfk) = 2=4sh ("期.⑴

Из этого выражения в результате разложения функции sh ("左) в ряд при hf 8 получается длина окружности на плоскости:

lim 2冗龙 sh (r/^) = 2w.(2)

fe->oo

Рассмотрим сферу радиуса R. Окружность радиуса г на этой сфере имеет длину

£ = 2nR sin (r/R) = ER (e-"依一*依).(3)

Замена действительного радиуса R мнимым радиусом k — iR преобразует выражение (3) в выражение (1). Франц Тауринус (1794—1874) использовал эту подстановку для перехода от сферической геометрии к новой геометрии, названной им логарифмо-сферической. В этой геометрии, которая сегодня известна под названием псевдосферической [9], сумма углов треугольника всегда меньше л, тогда как в сферической геометрии она больше л. В обеих геометриях сумма углов стремится к л, если длина сторон треугольника стремится к нулю. Таким образом, было показано, что евклидова геометрия оказывается промежуточной при переходе от сферической геометрии к псевдосферической, если радиус R сферы увеличить до бесконечности, затем превратить его в мнимое число iR и опять уменьшить до конечных значений iR. Подстановку k — iR Тауринус использовал для вывода ряда формул сферической геометрии, например для объема и площади поверхности сферы [9, 139],

В 1830 г. появилась статья Николая Ивановича Лобачевского (1793—1856). 《О принципах геометрии», в которой предлагалась новая геометрия, допускающая наличие в одной точке двух прямых, параллельных одной заданной прямой [37]. Затем последовали другие статьи и две книги, изданные на немецком языке [86, 87]. Чтобы понять суть геометрии Лобачевского, обратимся к рис. 1.2.2. Даны линия CD и точка А. Через точку Л к линии CD проводится перпендикуляр АВ

')Гаусс не публиковал свои исследования по неевклидовой геометрии. Все они содержались в переписке с Шумахером, Тауринусом и др. [51,52].

длиной d. Затем к АВ проводится перпендикуляр 6, который, согласно геометрии Евклида, был бы единственной линией, параллельной CD. Однако Лобачевский добавляет еще две линии Е н 刀，имеющие угол а =/= л/2 с перпендикуляром АВ. н объяв

ляет их параллельными CD. Угол а называется углом параллельности и является функцией расстояния d. Любая линия между 宫 н п никогда не пересечет линию CD. На основе предложенного оп-

Рис. 1.2.2. Иллюстрация постулата ределения параллельных ли- параллельности Лобачевского. ний, как показал Лобачевский, можно вывести тригонометрические формулы. Геометрия Лобачевского становится идентичной геометрии Тауринуса после подстановки

々=1/1п d. (4)

Тауринус был уверен в логической последовательности полученных результатов, но свою геометрию считал всего лишь упражнением в абстрактной математике. Лобачевский, напротив, был убежден в том, что геометрия Евклида не имеет права ап- риори быть единственно полезной в физическом мире. Он писал:

«Бесплодность попыток, предпринятых со времен Евклида на протяжении 2000 лет, навела меня на подозрение, что истина, которую хотелось доказать, содержится вне самой математики； что ее установление потребует экспериментального подтверждения для различных законов природы, например астрономических наблюдений. Когда я, наконец, убедился в справедливости своих предположений и поверил в окончательность решения сей трудной проблемы, то написал в 1826 г. по этому вопросу меморандум» [37, с. 67; 9, с. 92].

Говоря современным языком, метрика пространства-времени должна быть получена на основе опытных данных, а не математических определений, поскольку математика может снабдить нас лишь моделями, а какие модели лучше соответствуют действительности, должно определяться путем эксперимента. Ниже мы увидим, что это очевидное утверждение становится спорным, если понятие метрики заменить понятием топологии. До Лобачевского евклидова геометрия физического пространства подвергалась сомнению не больше н не меньше, чем топология континуума физического пространства-времени сегодня.

Взгляды Лобачевского разделял его современник Янош Больяй (1802—I860). Он не только признавал необязательность постулата параллельности для вывода основных формул

псевдосферической геометрии, но и понимал важность полученных результатов для физического пространства. «Я создал вселенную из ничего», — писал он в 1823 г. [141; 140; 9, с. 98]. Сам за себя говорит и заголовок его публикации — «Наука абсолютного пространства» [8]1). После 2000-летних попыток доказать или опровергнуть постулат параллельности решение было найдено независимо и по существу одновременно Бо- льяем и Лобачевским.

Метрика и дифференциальная геометрия

Работы Больяя и Лобачевского были трудны для понимания, так как отсутствовали доходчивые средства представления 2). С появлением геометрий кривых поверхностей, разработанных Гауссом и Бернхардом Риманом (1826—1866) [50, 119, 121], эта трудность была преодолена. Для понимания римановой геометрии сначала необходимо разобраться в понятии метрики. С помощью метрики определяется расстояние s(4, 8) между точками А и В. Расстояние «(Л, В) должно удовлетворять условиям

s (Л, 5) = 0 при Л = В;

s (4 В)耍 0 при /，民 (1)

s(4 5) = s (民 Л);

s(4 B) + s(8 C)》S(4 C).

Простой пример метрики приведен на рис. 1.3.1, а, где в декартовой системе координат показаны две точки А п В. Для упрощения точка А размещена в начале координат. У точки В абсцисса % и ордината у. Можно определить расстояние s(4 В) = \х\ + \у\у которое не совпадает с нашим привычным понятием, но отвечает требованиям (1).

Определению s(A, В) = \х\ + \у\ можно придать практический смысл, если рис. 1.3.1, а рассматривать как карту городских улиц с клеточной структурой. Тогда точки Л и В являются уличными перекрестками, и кратчайший путь от А до В или от В до А равен |%| + |р|・ Легко увидеть, что между

D Полный заголовок: «Scientiam spatii absolute exhibens: a veritate aut falsitate Axiomatis XI Euclidei (a priory haud unquam decidenda) in depen- dentem: adjecta ad casum falsitatis quadratura circuli geometrica». Работа была опубликована как приложение к математическому трактату его отца Вольфганга (Фаркаша). (Имеется перевод: Больаи Я. Appendix. — М. — L.: Гостех- издат, 1950. — Прим, перев.)

2)То, что Тауринус, Больяй и Лобачевский разработали псевдосфериче- скую, а ие сферическую геометрию, вызывает недоумение. Они не догадывались, что н； поверхности псевдосферы их геометрия могла бы найти такое простое объяснение.

Рис. 1.3.1. Различные определения расстояния s(4. В)： а — расстояние между двумя перекрестками 4 н 8 в городе с клеточной структурой улиц, равное |х| 4- |^|； б — определение s(A, В) = (|х| + |^|)мии, требующее поворота системы координат так, чтобы точка В оказалась на оси х или оси у\ в — измерение расстояния линейкой или радаром, эквивалентное повороту системы координат (б); г — расстояние Пифагора, широко используемое в теории, но не для практических измерений.Рис. 1.3.1. Различные определения расстояния s(4. В)： а — расстояние между двумя перекрестками 4 н 8 в городе с клеточной структурой улиц, равное |х| 4- |^|； б — определение s(A, В) = (|х| + |^|)мии, требующее поворота системы координат так, чтобы точка В оказалась на оси х или оси у\ в — измерение расстояния линейкой или радаром, эквивалентное повороту системы координат (б); г — расстояние Пифагора, широко используемое в теории, но не для практических измерений.

Рис. 1.3.1. Различные определения расстояния s(4. В)： а — расстояние между двумя перекрестками 4 н 8 в городе с клеточной структурой улиц, равное |х| 4- |^|； б — определение s(A, В) = (|х| + |^|)мии, требующее поворота системы координат так, чтобы точка В оказалась на оси х или оси у\ в — измерение расстояния линейкой или радаром, эквивалентное повороту системы координат (б); г — расстояние Пифагора, широко используемое в теории, но не для практических измерений.

Рис. 1.3.1. Различные определения расстояния s(4. В)： а — расстояние между двумя перекрестками 4 н 8 в городе с клеточной структурой улиц, равное |х| 4- |^|； б — определение s(A, В) = (|х| + |^|)мии, требующее поворота системы координат так, чтобы точка В оказалась на оси х или оси у\ в — измерение расстояния линейкой или радаром, эквивалентное повороту системы координат (б); г — расстояние Пифагора, широко используемое в теории, но не для практических измерений.

длинойдлинойгеодезическими;линиями.геодезическими;линиями.А и В множество кратчайших путей с одной и той же |х| + \у\. Эти кратчайшие пути называются

длиной

длиной

геодезическими;

линиями.

геодезическими;

линиями.

два из них показаны на рис. 1.3.1, а жирными

система коорди-система коорди-Определение s(/, б) = (|^| + |«/|)мин дает другой пример метрики. В соответствии с этим определением нат на рис. 1.3.1, а должна развернуться так, чтобы сумма |х| + 1?| стала минимальной. Из рис. 1.3.1,6 легко заметить, что в этом случае точка 5 лежит либо на оси х, либо на оси у. Оказалось, что требуется только одна ось. То же самое справедливо и для двух точек Л и S в трехмерном пространстве, если расстояние определяется как s(4 В) = (|х| + \у\ + + |^|)мии. Такая форма определения расстояния не требует понятия размерности.

система коорди-

система коорди-

На рис. 1.3.1, в расстояние между Д и В измеряется линейкой D. Линейка поворачивается вокруг точки Л или В до тех

п Аналогичным образом расстояние измеряется радаром.

пор, пока другая точка не окажется с ней на одной линии. Таким образом, практическое измерение на рис. 1.3.1, в соответствует вращению системы координат на рис. 1.3.1,6 и определению расстояния вида «(Л, В) = ( |х| + |f/| + |z| )мин.

Такое же значение расстояния s(4 В) получается по определению Пифагора s = (х2 + у2)^ (рис. 1.3.1,г). Здесь для практического измерения требуются две линейки, соединенные под прямым углом. Подобный измеритель был бы неоправданно сложным по сравнению с линейкой на рис. 1.3.1, в, но

• Л寸+2&严,дху =cosa

рис [32 расстояние Пифагора s(4 В) между точками А н В в наклонной Jсистеме координат.

для вычисления расстояния s в заданной системе координат по известным координатам Д и В определение Пифагора имеет большое практическое значение.

Если ось х не перпендикулярна оси у, получается наклонная система координат (рис. 1.3.2). Определение s(A, B) = |x| + |t/| (рис. 1.3J, а) применимо и в этом случае, но города с наклонной клеточной структурой улиц встречаются редко. Определение s(4 В) = (]х| + |у|)мнн (рис. 1.3.1, б) и его интерпретация (рис. 1.3.1, в) также не требуют каких-либо поправок. Что касается определения Пифагора, то для него необходима следующая модификация:

s2 (А, В} = (х + у cos а)2 + (у sin а)2 = х2 + у2 + 2gxyxy\ (2) g“产 cos а.

Риман обобщил это выражение, перейдя от двух переменных х9 у к п переменным х°, R, ..., x〃-i. Он полагал также, что следует рассматривать точки Л и В, расстояние между которыми является не конечным s = s(/4, В), а бесконечно малым

ds. Квадрат бесконечно малого расстояния равен:

«—1 п—1

(3)(3)ds'2 = Z £ gik dx‘ dxk = gik dxl dxk.

(3)

(3)

Геометрия Римана нашла важное применение в общей теории относительности Эйнштейна, где переменная х° интерпретируется как время /, а х〕, хг и Хз ——как переменные пространства х, у, z. Для упрощения знаки суммирования обычно опускают; достаточным указанием для суммирования no i = 0, 1, 2, 3 и А = 0, 1, 2, 3 является двукратное появление в выражении (3) индекса i или k.

об-об-⑷⑷gth = gkUgth = gkU

об-

об-

⑷

⑷

gth = gkU

gth = gkU

Можно перемножить сначала матрицу-строку (dx°dx}dx2dx3) с квадратной матрицей g и затем результирующую матрицу- строку перемножить с матрицей-столбцом (dx° ... d^). Умножение выполняется и в обратном порядке, последовательность операций сказывается только на порядке следования членов суммы.

Коэффициенты gik в матрице g называют компонентами метрического тензора g, а коэффициенты dN матрицы-строки (и столбца)— компонентами четырехмерного вектора dx.

В дифференциальной геометрии Римана дается понятие пространства, широко принятое современными физиками. Для представления следующего шага в разработке нашего постоянно меняющегося понятия пространства и пространства-времени лучше всего воспользоваться услугами теории информации, которая гласит, что информация, полученная в результате измерений, всегда конечна. Конечность информации не согласуется с дифференциальной геометрией, основанной на бесконечно малом расстоянии ds между двумя точками. Риман, понимая, что его геометрия не годится для конечных расстояний, писал:

«Поэтому вполне мыслимо, что метрические отношения пространства в бесконечно малом не отвечают геометрическим допущениям; мы действительно должны были бы принять это

положение, если бы с его помощью более просто были объяснены наблюдаемые явления» [ 119, с. 291].

Прежде чем перейти к теории информации и геометрии конечных расстояний, сделаем краткий обзор развития понятий пространства и времени с философской точки зрения)

Физическое пространство-время

Различные геометрии, рассмотренные выше, — это все математические конструкции. Их разработка направлялась желанием получить математические модели окружающего физического пространства, но для суждения о пригодности той или иной модели прежде всего требуется некоторая концепция самого пространства.

В разд. L1 уже отмечалось, что Аристотель очень убедительно обосновал понятие континуума применительно к пространству, времени н движению. Вот что добавляет к этому наш современник:

《То, что Аристотель говорил о континууме, по-прежнему принадлежит к основам современной физики даже в тех ее областях, где используются атомистические гипотезы. Однако до Планка не проводилось никаких исследований, в которых подвергалась бы сомнению концепция континуума, базовое понятие основных положений Галилея н Ньютона» [161, с. 278].

Ньютон о пространстве, времени и движении говорил:

《1. Абсолютное, истинное математическое время само по себе и по самой своей сущности без всякого отношения к чему- либо внешнему протекает равномерно и иначе называется длительностью.

Относительное, кажущееся или обыденное время есть или точная, или изменчивая, постигаемая чувствами, внешняя, совершаемая при посредстве какого-либо движения, мера продолжительности, употребляемая в обыденной жизни вместо истинного математического времени, как то: час, день, месяц, год.

Абсолютное пространство по самой своей сущности безотносительно к чему бы то ни было внешнему остается всегда одинаковым и неподвижным.

Относительное есть его мера или какая-либо ограниченная подвижная часть, которая определяется нашими чувствами по положению его относительно некоторых тел и которая в

I)См. также иелавнюю книгу [112].

обыденной жизни принимается за пространство неподвижное: так, например, протяжение пространств подземного воздуха или надземного, определяемых по их положению относительно Земли.

Место есть часть пространства, занимаемая телом, и по отношению к пространству бывает или абсолютным, или относительным.

Абсолютное движение есть перемещение тела из одного абсолютного его места в другое, относительное — из относительного в относительное же...» [99, с. 30—31].

Ньютон был очень внимательным в определении терминов м детально пояснил, что подразумевалось под временем, пространством, положением и движением. Тем не менее он не счел нужным отметить тот факт, что у него использовалась евклидова метрика пространства s2 = х2 + ^2 + /, поскольку другой геометрии, кроме евклидовой, в то время не существовало. Кроме того, как ни удивительно, для пространства и времени он безоговорочно принимал топологию континуума. Вместе с Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646—1716) Ньютон является создателем дифференциального исчисления, применение которого для описания событий в физическом пространстве- времени требует принятия континуумной топологии для пространства и времени. По-видимому, авторитет Аристотеля в вопросе континуума был таким же неоспоримым, как и авторитет Евклида в геометрии. Примерно в это же время Давид Юм (1711 —1776) писал:

«Далее, известно, что время в том виде, как оно существует, должно быть составлено из неделимых моментов, ибо если бы мы никогда не могли дойти до конца при делении времени и если бы каждый момент, следуя за другими моментами, не был совершенно отдельным и неделимым, то существовало бы бесконечное число сосуществующих моментов, или частей времени, а это, я думаю, все признают явным противоречием» [73, т. 1, с. 122—123].

В рассуждениях Иммануила Канта (1724—1804) о пространстве есть следующее утверждение:

. Пространство есть необходимое априорное представление, лежащее в основе всех внешних созерцаний. Никогда нельзя себе представить отсутствие пространства, хотя нетрудно представить себе отсутствие предметов в нем...

...Отсюда следует, что в основе всех понятий о пространстве лежит априорное (не эмпирическое) созерцание. Точно так же все геометрические основоположения, например, что в треугольнике сумма двух сторон больше третьей стороны, всегда выводятся из созерцания, н притом a priori, с аподнк-

тической достоверностью, а вовсе не из общих понятий о линии и треугольнике» [77, т. 3, с. 130—131]1}.

«...все геометрические положения имеют только аподиктический характер, т. е. связаны с сознанием их необходимости, например положение, что пространство имеет только три измерения; но такие положения не могут быть эмпирическими, или суждениями, исходящими из опыта, а также не могут быть выведены из подобных суждений» [77, т. 3, с. 132]2).

Соображения, высказанные Кантом как раз перед появлением геометрии Больяя и Лобачевского, свидетельствуют о господстве в науке евклидовой геометрии и огромных изменениях, происшедших в наших взглядах в результате ее обобщения.

Утверждения Канта о времени очень схожи с утверждениями о пространстве, но звучат для нас более приемлемо. Причина, пожалуй, в том, что для понятия времени не произошло столь значительного события, как создание неевклидовой геометрии для понятия пространства 3).

《1. Время не есть эмпирическое понятие, выводимое из какого-нибудь опыта. В самом деле, одновременность или последовательность даже не воспринимались бы, если бы в основе не лежало априорное представление о времени. Только при этом условии можно представить себе, что события происходят в одно и то же время (вместе) или в различное время (по- следовательно).

Время есть необходимое представление, лежащее в основе всех созерцаний. Когда мы имеем дело с явлениями вообще, мы не можем устранить само время, хотя явления прекрасно можно отделить от времени. Следовательно, время дано a priori. Только в нем возможна вся действительность явлений. Все явления могут исчезнуть, само же время (как общее условие их возможности) устранить нельзя.

...Время имеет только одно измерение: различные времена существуют не вместе, а последовательно (различные пространства, наоборот, существуют не друг за другом, а одновременно). Эти основоположения нельзя получить из опыта, так как опыт не дал бы ни строгой всеобщности, ни аподиктической

I)Этот параграф содержался в первом издании книги «Критика чистого разума» от 1781 г., но отсутствовал во втором издании от 1787 г. Можно лишь предполагать, что в этот период у Канта возникли сомнения относительно евклидовой геометрии： время к тому шло.

В первом издании от 1781 г. этого отрывка не было, поэтому в английское издание [77] его не включили.

з)О большей стабильности понятия времени говорит и тот факт, что в изданиях книги «Критика чистого разума» от 1781 и 1787 гг. глава «О времени» отличается лишь несколькими словами, тогда как глава «О пространстве» претерпела во втором издании значительные изменения.

достоверности. На основании опыта мы могли бы только сказать: так свидетельствует обыкновенное восприятие, но не могли бы утверждать, что так должно быть» [77, т. 3, с. 135— 136].

Кант жил на 80 лет позже Ньютона ". Понятия пространства и времени у них были очень схожи. Такой же отрезок времени разделяет Римана и Канта2), но теперь разница в понятиях значительна:

«В связи с этим я поставил перед собой задачу——исходя из общего понятия о величине, с кон стр у ировать понятие многократно протяженной величины. Мы придем к заключению, что в многократно протяженной величине возможны различные мероопределения и что пространство есть не что иное, как частный случай трижды протяженной величины. Необходимым следствием отсюда явится то, что предложения геометрии не выводятся из общих свойств протяженных величин и что, напротив, те свойства, которые выделяют пространство из других мыслимых трижды протяженных величин, могут быть почерпнуты не иначе, как из опыта» [119, с. 279].

«То, что пространство есть неограниченное трижды протяженное многообразие, является допущением, принимаемым в любой концепции внешнего мира; в полном согласии с этим допущением область внешних восприятий постоянно расширяется, и производятся геометрические построения в поисках тех или иных объектов, и допущение неограниченности ни разу не было опровергнуто. Поэтому неограниченности пространства свойственна гораздо большая эмпирическая достоверность, чем какому бы то ни было другому продукту внешнего восприятия. Но отсюда никоим образом не следует бесконечность пространства» [119, с. 290].

«Вопрос о том, справедливы ли допущения геометрии в бесконечно малом, тесно связан с вопросом о внутренней причине возникновения метрических отношений в пространстве. Этот вопрос, конечно, также относится к области учения о пространстве и при рассмотрении его следует принять во внимание сделан- ное выше замечание о том, что в случае дискретного многообразия принцип метрических отношений содержится уже в самом понятии этого многообразия, тогда как в случае непрерывного многообразия его следует искать где-то в другом месте.

')Кант родился на 82 года позже Ньютона н умер через 77 лет после его смерти.

2)Риман родился на 102 года позже Канта и умер через 62 года после его смерти.

Отсюда следует, что или то реальное, что создает странства, образует дискретное многообразие, или пытаться объяснить возникновение метрических чем-то внешним — силами связи, действующими на

идею про- же нужно отношений это реальидею про- же нужно отношений это реальное» [119, с. 291 ]D.

идею про- же нужно отношений это реаль

идею про- же нужно отношений это реаль

Представляют интерес три важных различия в размышлениях Римана, с одной стороны, н Ньютона с Кантом ——с дру

гой:

Пространство и его особенности не являются более «вопросом априори», а считаются вопросом наблюдений и опыта.

Пространство теперь не бесконечно, а всего лишь безгранично; у него есть «взаимосвязанность измерений», которую называют метрикой и описывают в форме, показанной в предыдущем параграфе.

Назрел вопрос о непрерывности или дискретности пространства. Это начало того, что сегодня называют вопросом топологии пространства-времени.

Благодаря Риману из рассуждений о физическом пространстве-времени исчезли метафизические доводы и термин априори. В 1883 г. Эрнст Мах писал:

«Усилиями Лобачевского, Больяя, Гаусса и Римана в математическом мире постепенно распространился взгляд, что так называемое пространство является частным, фактическим случаем более общего, мыслимого случая многомерного количественного многообразия. Пространство, которое можно увидеть и потрогать, является трехмерным многообразием. У него три измерения, и каждая точка в нем определяется тремя отдельными независимыми данными. Но можно представить и четырехмерное или даже многомерное пространствоподобное многообразие. Характер такого многообразия также может не совпадать с характером реального пространства. Мы считаем это открытие, принадлежащее главным образом Риману, очень важным. В свете этого открытия свойства реального простран- ства — это отображение опыта. При этом геометрические псевдотеории, которые пытаются вывести эти свойства на основе метафизических умозаключений, ниспровергаются» [90, с. 411].

1〉Читатель может заметить, что в последнем высказывании Рнмана о зависимости метрики непрерывного пространства от действующих сил предвосхищается общая теория относительности. В работах Римана, незаконченных из-за его ранней, в 40 лет, смерти, много подобных передовых идей. Например, о распространении электромагнитного эффекта со скоростью света он писал в работе [120], которая появилась на 15 лет раньше первого издания книги Максвелла [93]. Другой пример — дифференциальные уравнения, которые должны были описать влияние сил притяжения на свет — это, пожалуй, первая попытка создания общей теории поля [122].

В то время как понятие пространства после Канта претерпело столь значительное изменение, понятие времени, по-видимому, не изменялось до тех пор, пока Альберт Эйнштейн (1879—1955) в 1905 г. не объединил пространство и время в единое целое. Эту стадию концепции пространства н времени можно охарактеризовать следующей цитатой:

«Психологическое субъективное чувство времени позволяет нам упорядочить наши впечатления, установить, что одно событие предшествует другому. Но связать каждый момент времени с числом, рассматривать с помощью часов время как одномерный континуум — это уже изобретение. Таковы же понятия евклидовой и неевклидовой геометрии и наше пространство, понятое как трехмерный континуум» [36, с. 263].

Еще более ясно о пространстве и времени как «изобретениях» высказался Шлик:

«Утверждение о том, что все движения и ускорения относительны, эквивалентно утверждению, что пространство и время не являются физической объективностью. Одно утверждение включает другое. Пространство и время сами по себе не измеряемы: они образуют только каркас, в котором мы организуем физические события. В принципе этот каркас можно выбрать как нам заблагорассудится, но фактически мы стараемся максимально приблизить его к наблюдаемым объектам； таким образом мы приходим к простейшей формулировке физических законов》[126, с. 65—66].

За 200 лет ньютоновские понятия абсолютного пространства н времени претерпели такие большие изменения, что по существу потеряли все физическое значение и стали привычными словами для измерения расстояний с помощью часов, линеек, радаров, триангуляции н т. д. Безоговорочные положения метрики евклидова пространства были преодолены математиками Больяем, Лобачевским и Риманом. Общая теория относительности Эйнштейна обратила математические результаты в физическую теорию. Второе безоговорочное допущение Ньютона — топология континуума для пространства и времени ——уже упоминалось в этом параграфе в цитатах Римана. Эйнштейн называет это допущение изобретением, в то время как Шлик отрицает физическую объективность пространства и времени н как следствие любых приписанных им свойств. Тем не менее в большинстве работ по общей теории относительности и квантовой теории подразумевается континуумная топология пространства и времени. Использование дифференциального исчисления в обеих теориях делает этот факт очевидным, а базирование общей теории относительности на дифференциальной геометрии Римана еще более подчеркивает его. В большинстве

книг топология континуума принимается даже без упоминания, дается как известный факт, не подлежащий обсуждению, или берется как одна пз гипотез.

«В эйнштейновской теории гравитации представление о материи и ее динамических взаимодействиях базируется на понятии геометрической структуры, внутренне присущей пространственно-временному континууму. Идеальным устремлением этой теории, ее конечной целью является не более не менее, как доказательство следующего утверждения: четырехмерный континуум, наделенный определенной внутренней геометрической структурой, структурой, которая подчинена определенным присущим ей чисто гео метр и ческим законам, должен представлять собой адекватную модель, или картину «окружающего нас реального мира в пространстве и времени» со всем, что он содержит, описывающую его поведение как целого, — картину всех событий, разыгрывающихся в нем» [128, с. 10].

《Мы еще не готовы обсуждать вопрос приемлемости понятий прямоугольных декартовых координат (х, у, N) и времени £ в теории относительности. Фактически в дальнейшем эти понятия с существенными оговорками будут приняты. Оставив их в данный момент для обдумывания, примем как основную гипотезу теории относительности утверждение: совокупность всех возможных событий образует четырехмерньш континуум. Этот континуум назовем пространством-временем» [143, с. 6].

«В заключение можно сказать, что, когда мы имеем дело с пространством-временем в рамках классической физики, мы вводим: 1) понятие «бесконечно малой пробной частицы» и 2) идеализацию, в которой вся совокупность идентифицируемых событий образует непрерывное четырехмерное многообразие» [95, с. 40].

Следующие цитаты св идетельствуют о том, что точка зрения Эйнштейна и Шлика не принята повсеместно, и пространство- время рассматривается как нечто «реальное» с топологией континуума.

«От существа пространства как абстракции, побывавшей в руках математика, остается только одна истина: пространство—это трехмерный континуум [158, с. 92; 159, с. 213]1}.

«Рассуждения наши показали, что определенность топологических свойств пространства тесно связана с проблемой причинности. Мы принимаем такую топологию пространства, которая соответствует нормальным законам причинности. Только

° Vom Wesen des Raumes bleibt dem Mathematiker bei solcher Abstrak- tion nur die eine Wahrheit in Handen: dass er ein dreidimensionales Ko〃〃- nuum ist.

в этом случае вопрос о топологии пространства является достаточно определенным. Необходимо признать эмпирическим фактом, что существует один вид топологии, ведущий к нормальной причинной связи, и, конечно, эмпирическим фактом является сам тип этой топологии» [115, с. 80—81].

«Итак, сделаем вывод, что пространство имеет определенную внутреннюю структуру своих метрики, связей и топологии. Это означает, что пространство имеет форму и размеры, смысл которых я пытался в конечном итоге разъяснить, и прямо свидетельствует о том, сколь специфично пространство» [98,

«Сейчас, как само собой разумеется, наше обычное время считается и бесконечно делимым или, как говорят математики, «плотным» и непрерывным. Это означает, что мы не только можем рассматривать любой интервал состоящим из более мелких интервалов, но имеем право использовать для измерения времени даже иррациональные числа... Наши понятия не застрахованы от пересмотра, и о времени мы уже отчасти готовы говорить как о дискретном. Но если делать это последовательно, то требуется достаточно радикально пересмотреть понятие времени, причем начинать переосмысление необходимо с Аристотеля» [89, с. 29, 32, 33].

Перейдем теперь к вопросу топологии, если даже это означает, что «начинать переосмысление необходимо со времен Аристотеля». По этой теме опубликовано множество статей математиков и физиков 1), но на развитии физики это существенным образом не сказалось. По-видимому, здесь две проблемы. Во-первых, отсутствует убедительная причина отвергнуть непрерывное пространство-время после столетий его верной службы. Во-вторых, нет ни одного решающего экспериментально подтвержденного результата, выпадающего из континуальной теории. Идеальным был бы результат, сравнимый по значению с объяснением смещения перигелия (орбиты) Меркурия — первым результатом, подтвердившим общую теорию относительности [33, 35]. Первая проблема разрешается достаточно убедительно введением в физику результатов теории информации, получившей развитие в электросвязи. Ограничения на измерения в пространстве-времени, связанные с результатами теории информации, обсуждаются в следующей главе.

° См. работы [5, 16—21, 23—26, 44, 61, 62, 66, 70, 72, 76, 125, 135, 136, 156, 162].

Рис. 2.1.1. 32 знака двоичного телетайпного алфавита, состоящие из пяти посылок амплитудой +1 или —1. Вместо +1 и —1 обычно пишут 1 и 0. Цифра 1 представляет собой ответ «да» на вопрос: «Ток положительный?», а цифра 0 — ответ «нет».Рис. 2.1.1. 32 знака двоичного телетайпного алфавита, состоящие из пяти посылок амплитудой +1 или —1. Вместо +1 и —1 обычно пишут 1 и 0. Цифра 1 представляет собой ответ «да» на вопрос: «Ток положительный?», а цифра 0 — ответ «нет».

Рис. 2.1.1. 32 знака двоичного телетайпного алфавита, состоящие из пяти посылок амплитудой +1 или —1. Вместо +1 и —1 обычно пишут 1 и 0. Цифра 1 представляет собой ответ «да» на вопрос: «Ток положительный?», а цифра 0 — ответ «нет».

Рис. 2.1.1. 32 знака двоичного телетайпного алфавита, состоящие из пяти посылок амплитудой +1 или —1. Вместо +1 и —1 обычно пишут 1 и 0. Цифра 1 представляет собой ответ «да» на вопрос: «Ток положительный?», а цифра 0 — ответ «нет».

Глава 2

Теория информации и измерения

Понятие информации

у всех нас есть некоторое представление об информации, как есть представление о времени или температуре еще до того, как мы научились читать показания часов или термометра.

Чтобы превратить представление об информации в научное понятие, необходимо информацию сделать измеряемой. Первым это осуществил в 1928 г. Хартли [65]. Его подход иллюстрируется с помощью ряда знаков двоичного телетайпного алфавита (рис. 2.1.1), состоящих из пяти посылок с амплитудой + 1 или —1. Вместо 4-1 и —1 обычно пишут 1 и 0. Тогда цифра 1 представляет ответ «да》на вопрос: «Ток положительный?», а цифра 0 — ответ 《нет》.С помощью пяти цифр можно получить 25 = 32 знака. Согласно Хартли, информация " в одном телетайпном знаке измеряется как логарифм числа возможных знаков

〃 = log2 26 = 5 (1)

и говорится, что в одном знаке содержится 5 битов информации. С другой стороны, можно сказать, что информация в 5 битов — это число ответов 《да》 или 《нет》 на вопрос: 《Ток положительный?», заданный в моменты времени / = 0, △£,・・• ...» 4Д/ (рис. 2.1.1). Это второе толкование подходит под требование исчисления высказываний, через посредство которого понятия теории информации входят в квантовую физику [75] и общую теорию относительности [95].

Вместо двоичных посылок с двумя возможными амплитудами + 1 и —1 (рис. 2.1.1) можно использовать троичные посылки с тремя возможными амплитудами +1, 0 н —1 или в общем случае посылки с и возможными амплитудами. Тогда логарифм по основанию два в выражении (1) заменяется в качестве меры информации логарифмом по основанию л, а единица измерения бит заменяется новой единицей, соответствующей новому основанию. Это обобщение создает трудности применительно к исчислению высказываний, поскольку наша логика предполагает, что нечто либо «существует» (《да》)，либо 《не существует» («нет》). Другими словами, наша логика двузначная. Можно разработать абстрактную n-значную логику н п-значное исчисление высказываний, но это очень непривычно для нашего мышления. Что касается теории информации, то она обладает достаточной общностью для такого обобщения логики, и нет никаких проблем с заменой посылок или цифр с двумя возможными значениями (рис. 2.1.1) посылками или цифрами с и возможными значениями.

Полный набор из 32 телетайпных знаков (рис. 2.1.1) содержит 5-32 = 160 посылок. Половина из них имеет амплитуду + 1, а половина ——амплитуду —1. В принятом по телетайпу сообщении мы, однако, не получим одинакового числа положительных и отрицательных посылок. Причина в том, что знак, представляющий букву 《е》(01100), имеет большую частоту появления, чем другие буквы, например, буква «г» (01011). Следовательно, вероятность приема положительной посылки (цифра 1) не обязательно такая же, как отрицательной (цифра 0). Определение, данное выражением (1), применимо лишь в том случае, когда вероятности р】для цифры 1 н р。= 1 ——р】 для цифры 0 равны, т. е. Р\ = Ро= 1/2. Обобщение для р】=# ро было введено в 1948 г. Шенноном】)[132]. Напишем выражение (1) сначала для одной цифры:

Н = log2^ = 1, Pi = Po=l/2. (2) Согласно Шеннону, обобщением этой формулы является внра- и<ение

" = Pjog2P」+ Ро log2 P『=—(Pi l°g2 Pl +Ро1оВ2Ро)» (3) Pi+Po=L

* Это обобщение основывается на некоторых предположениях и может показаться недостаточно убедительным. Главной же причиной использования выбранного выражения является, пожалуй, совпадение вытекающих из него формул с формулами для энтропии в статистической механике. Связь со статистической механикой становится более очевидной после замены посылок с амплитудами +! и ——1 (рис. 2.1.1) черными и белыми бильярдными шарами, которые обычно используются при объяснении базовых понятий статистической механики.

При pi=po из выражения (2) получается Я = 1, в то время как pi，Ро дает меньшее значение Н. В частности, при pi = О нлн pi = 1 получаем 〃 = 0. Заменяя двоичные посылки с двумя возможными амплитудами посылками с и возможными амплитудами или цифрами с п возможными значениями i = 1, 2, • ・., и, получаем обобщение выражения (3):

九П

Н=Х Pl log„pb Г Pi= 1,(4)

i=lf=l

где pi— вероятность цифры со значением i.

Если дано т цифр, то необходимо просуммировать информа- цню, переносимую каждой цифрой. Если вероятности р, одинаковы для всех цифр, суммарная информация в т раз больше значений, даваемых выражениями (3) или (4). Запишем это в явном виде для двоичного случая выражения (3):

^ (m) = — g (Pi/og2 P請 + pok log2 poft)=

=—m(Pilog2Pi + polog2Po) при p跳= Pi, Poe = Po；

=mпри pi == p0.(5)

Д。сих пор предполагалось, что двоичные числа (рис. 2.1.1) определяют знаки телетайпного алфавита. Очевидно, однако, что эти числа могут представлять что угодно ——напряжение, расстояние или время. Любое количество, представимое двоичным числом, несет информацию, значение которой определяется выражением (5). Согласно этому выражению, в /п-разрядном двоичном числе может быть самое большее m битов информации. Поскольку мы можем записывать, обрабатывать или передавать двоичные числа только конечной разрядности, то и информация, которую мы можем записывать, обрабатывать или передавать, всегда должна быть конечной. В физике бесконечная информация не более уместна, чем бесконечная энергия >

Единица измерения информации бит является числом в чистом виде без размера. Следовательно, информация не должна зависеть от координатных преобразований. Рассмотрим для примера пять яблок. Само число пять не зависит ни от каких координат, чего нельзя сказать о весе или диаметре яблок. Таким образом, в физике числа представляют большой интерес. Тем не менее до сих пор теория информации оказала на физику

')Для более детального ознакомления с информацией и теорией информации читателю рекомендуется обратиться к книгам [4, 13, 40, 41, 116, 117, 134].，，

2 X. Харм>т

очень малое влияние. По-видимому, этому есть две реальные причины. Первая причина ——одно время большие ожидания возлагались на математическую тождественность информации н энтропии, но они до сих пор не оправдались. Этой теме посвящена превосходная книга Бриллюэна [13]. Вторая причина—широко провозглашенный результат относительно пропускной способности каналов связи, верный с абстрактной математической точки зрения, оказался неверным на практике, что поколебало доверие к результатам теории информации вообще I). Нам не понадобится ни какая-либо связь между информацией и энтропией, ни понятие пропускной способности, мы только попытаемся выяснить, что значат для физических измерений конечные информация и поток информации Ч

2・2・ Конечная информация и конечная разрешающаяспособность

Исследуем, сколько информации мы получаем при измерении линейкой положения точки или расстояния между двумя точками. Положение х некоторой точки может быть выражено

a l1

хД +

x/X —>

в函 ofti ^ 苏 ^ 遮f

г цооо o,boi otbw oton ojoo otioi ojio цпГ^т

%外—

Рис. 2.2.1. Информация о положении точки Р при х V X: с—1 бит; 6 —2 бита; в — 3 бита; z —4 бита.

в битах следующим образом (рис. 2.2.1). Возьмем линейку произвольной длины X, имеющую метки только в начале ——метка О, и в конце — метка 1 (рис. 221,а). Примем до поры до времени, что точка Р находится между этими двумя метками.

Возьмем другую линейку с разметкой: слева — метка 0,0, в середине — метка 0,1 = 1/2, справа — метка 1,0; запись ме-

1> Этот вопрос обсуждается в разд. 12.1.

2> Понятие «поток информации» разъясняется в разд. 2.3.

ток двоичная (рис. 2.2.1,6). Точка Р лежит в интервале 0,1 V V х/Х V 1,0. В этом случае говорят, что точка 尸 расположена у меткн С х/Х = 0,1 и информация об этом составляет 1 бит 2\

Пусть теперь линейка имеет метки 0,00; 0,01 = 1/4； 0,10 = =2/4; 0,11 == 3/4 и 1,00 = 4/4 (рис. 2.2.i,6). Точка Р находится в интервале 0,10 <С х/Х < 0,11, что соответствует 2 битам информации. Наконец, возьмем линейку с метками 0,000; 0,001 == 1/8; 0,010 = 2/8;・•・(рис. 2.2.1,г). Точка Р расположена в интервале 0,161 V х/Х V 0,110, и информация составляет 3 бита. Таким образом, информация измеряется как число двоичных цифр справа от двоичной запятой, которые необхо- димы для обозначения меток линейки, разделенных равными интервалами 3).

Перейдем к измерению информации согласно исчислению высказываний, т. е. посредством решений типа «да ——нет». Вопросы должны быть следующими:

Интервал, в котором находится точка Р, делится на две части меткой линейки 0,1. Точка Р лежит справа от этой метки? Да, или 1.

Интервал, в котором находится точка Р, делится на две части меткой линейки 0,11. Точка Р лежит справа от этой метки? Нет, или 0.

Интервал, в котором находится точка Р, делится на две части меткой линейки 0,101. Точка Р лежит справа от этой метки? Да, или 1.

Пусть число интервалов на линейке (рис. 2.2.1) увеличивается от 23 до 24, 25,・•. Тогда информация возрастает до 4, 5, ... битов. Сразу очевидно, что число битов может быть очень большим, но оно не может быть бесконечным. В противном случае мы были бы вынуждены записывать — или в общем случае передавать, обрабатывать, хранить — бесконечно длинную строку двоичных 4)цифр 0 или 1.

1)Мы могли бы обозначить q叩ез х/Х — 0,1 сам интервал 0,1 V х/Х v V 1,0, а не метку на его левой границе. Такая запись обладает рядом преимуществ, но обозначение меток, а не интервалов бо^ее привычно и, как будет видно в дальнейшем, более удобно для многомерных координатных систем.

2、Это верно лишь в том случае, если точка Р с одинаковой вероятностью лежит в интервале 0 с х/Х V 0,1 или интервале 0,1 V х/Х v 1,0.

Из деления линейки на 2m равных интервалов следует, что информация о положении точки Р составляет т битов. В общем случае можно разделить л мне 仃 ку на s" равных интервалов н получить т единиц информации по основанию s.

-Переход от 2m к s^ интервалам не изменил бы этот результат. Для конечного основания s число цифр т по-прежнему должно было бы быть конечным; бесконечное значение s потребовало бы бесконечно много симво- лси5 вместо 0 и 1 при s = 2.

Делая обобщающий переход от точки Р с координатой х к некоторому, событию с координатами 炉=х°, х1, х2, ..., мы получаем основополагающую аксиому I:

В любой системе координат информация。событии всегда конечна.

Аксиома кажется довольно очевидной, но обычно ее мало учитывают. Для пояснения сказанного обозначим через Ах/Х расстояние между метками (рис. 2.2.1,г). Устремляя △尤 к нулю, получим счетно-бесконечное (счетное) число меток. Это уже нарушение нашей аксиомы, но мы пойдем еще дальше и уменьшим Ах так, что множество меток станет несчетным (несчетнобесконечным). Теперь вместо Ах мы пишем dx и информация становится несчетной〔). Это еще большее нарушение аксиомы, но оно приводит нас к дифференциальному исчислению н одномерному континууму 2>. Использование дифференциального исчисления н понятия континуума подразумевает возможность получения о событиях несчетной информации.

Пусть на линейке (рис. 2.2.1) имеется 2m меток. Тогда информация о положении точки Р равна m битов. Поскольку точка Р находится между метками х。н Хр + Ах, то неопределенность ее размещения составляет Ах = х/2机 нлн △无/X = =1/2机 в нормированном виде.

Рассмотрим вторую точку R. Информация о ее положении тоже равна m битам. Информация о расстоянии между точками Р н R также равна m битам, поскольку разница между двумя двоичными m-разрядными числами является двоичным 瓶-разрядным числом 3>. Неопределенность расстояния составляет 2△无=2乂/2爪,丁打长 как одна точка лежит между хр и хР + Ах, а вторая — между xr и Xr +△尤,что определяет минимальное 4^ xr ——(хр -j- Дх) = х^ ——Хр ——△尤 н максимальное (%/?+ + Ах)——хр = xR — хр + △% расстояния при xR > хР.

,} «Несчетная информация* ——это краткая форма выражения «несчетно много битов информации» или в общем случае «несчетно много единиц информации по основанию s》.

2)Континуум используется как термин, означающий линейку с континуальной топологией (разметкой) или обычное множество действительных чисел. Заметим, что это линейка ——речь может идти также о часах — имеет метки; пространство и время даже не упоминаются.

з)Нули в начале и конце чисел не отбрасываются： 100,101—011,011 = = 001,010. “

*)Если точки Р н Q могут находиться где угодно с одинаковой вероятностью, то минимальное Xr — Хр ——△% н максимальное %氏一#р + △* расстояния между ними менее вероятны, чем промежуточное значение 彳拝一Хр. Можно найти распределение вероятностей для расстояния между точками Р н Q, в результате чего наше знание об этом расстоянии будет явно более точным. Однако никакой дополнительной информации получено не будет, поскольку распределение вероятностей полностью определяется особенностями линеек, а не результатом измерения.

Произвольная длина линейки X (рис. 2.2.1) позволяла нам измерять любые расстояния х, начиная с х = 0, но не большие X. Устраним это ограничение (рис. 2.2.2). Расстояние от х/Х = 0 до точки Q значительно больше X (рис. 2.2.2, а). Для определения положения точки Q длина линейки удваивается (рис. 222,6), метки 0 и 1 переименовываются в 00 и 01 и добавляется метка 尤/Х=10 = 2. Точка Q по-прежнему не достигнута. Опять удваивается длина линейки (рис. 2.2.2, в) и переименовываются метки — ООО, 001, …，100. Точка Q все

•Q

a0/

е/六*

.——・Q

000170

х/Х ТА

ood~ooi~old~oiiloo

л/х —

г oooo oooi~0010 ooii~0100 oioi~оно~ond~woo

8" 一

Рис. 2.2.2. Информация о положении точки Q при % > X.

еще вне досягаемости. Она достигается после третьего удвоения длннн линейки (рис. 2.2.2,г), и расстояние до нее от х/Х = 0 равно х/Х = 0100. Последнее означает, что х/Х больше 0100, но меньше 0101. '

Число 0100 говорит нам о количестве целых интервалов X (0100 = 4), уместившихся на расстоянии от х/Х = 0 до точки Q・ С другой стороны, число 0,101 (рис. 2.2.1, г) являлось расстоянием от х/Х = 0 до точки Р в долях X (0,101 = 5/8). В общем случае расстояние выражается в виде х/Х = =0100,101, где цифры слева от двоичной запятой указывают целое число X, а справа — доли X. В запись необходимо вклю- :ать все нули, например, нельзя сокращать 0100 и 0,010 до 100 н 0,01, так как укороченные числа содержат меньше информации.

Длина X была выбрана произвольно, следовательно, произвольно н число х/Х = 0100,101. Заменим X новой единицей длннн 2Х, в результате чего получим вместо х/Х = 0100,101 丫胃：х/2Х = 010,0101. Заменяя X на Х/2, получим х/(Х/2) = =01001,01. Изменение единицы длины от X до 2Х или Х/2

только сдвигает двоичную запятую, не изменяя числа двоичных цифр. Таким образом, информация ——измеряемая числом двоичных цифр ——не зависит от выбора единицы измерения X. Это довольно очевидно при замене X на 2nx или Х/2", но справедливо н при других изменениях. В общем случае двоичное число изменяется не только сдвигом двоичной запятой.

Независимость информации от выбора единиц длины X или времени Т является основной причиной ее важности для физики, поскольку информация — это просто безразмерное число.

Вывод, следующий из рис. 2.2.2, будет: не может быть бесконечного расстояния х/Х при конечной единице длины X. Иначе потребовались бы бесконечная информация и бесконечно много двоичных цифр для записи расстояния. Таким образом, требование конечности информации исключает из физики измерение как бесконечно больших, так и бесконечно малых величин.

Конечный поток информации

Перейдем от информации к потоку информации, или скорости передачи информации, которая обычно измеряется в битах в секунду. Постоянная тонкой структуры【)

а = 72 981 • 10-7= 11 101 111 001 001 010-2"11000

не изменяется во времени, следовательно, нас интересуют содержащиеся в ней 17 + 1 + 5 = 23 бита информации2), а не поток информации. Что касается расстояния между двумя объектами, то оно во времени может измениться 3>. В этом случае мы заинтересованы в получении информации об этом расстоянии до того, как оно изменится и информация устареет. К скорости передачи информации имеет отношение следующая аксиома II:

Для передачи информации требуется конечное время.

В дальнейшем станет ясно, что это требование было бы наложено ограниченностью доступной энергии даже при наличии

')В двоичной записи число 2~"°°° должно было бы выглядеть как 10—“000, н0 io, равное двум в двоичной записи, и 10, равное десяти в десятичной записи, слишком легко спутать.

1 бит информации содержится в отрицательном знаке показателя степени как результат выбора типа «да — нет» между двумя возможными числами —11 000 и +11 000.

В данном случае под временем понимается то, что измеряется с помощью часов. Мы избегаем пользоваться понятием пространства-времени в тех случаях, когда подразумевается больше, чем обычное измерение расстояния (см. рис. 2.2.1, 2.2.2) или эквивалентное измерение времени. Понятие пространства-времени будет рассмотрено ниже.

средств мгновенного создания и получения информации D. Пока достаточно принять, что время конечно независимо от способа передачи информации2>. Информацию можно передавать акустическими волнами, светом, гравитонами, мюонами, с помощью нейтрино, почтой и т. д., но время передачи всегда конечно. Обсудим вытекающие из этого следствия (рис. 2,3.1).

〃力丁《厶』A«R, предел Эйнштейна

Л —n*ZR=c』7'в

О 1 I—О

IR=c 不»-

g/T=0⑴,AR]R=0。), общий, случай

4』广/R3

^R*

』Г〉〉7 /А»А, информационный предел

Рис. 2.3.1. Длительность АТ сигналов-переиосчиков информации и время Граспространения сигналов от точки А до точки В.

Космический корабль А передает «вспышку света》космическому кораблю В на расстоянии R (рис. 2.3.1,а). Время распространения Т = R/c этой вспышки конечно. Это типичная иллюстрация проблемы времени и синхронизации часов во взаимно движущихся системах отсчета, взятая из учебников по специаль-

п Казалось бы, в аксиоме I уже утверждалось, что информацию нельзя создать или получить за бесконечно малое время. Однако аксиома II идет дальше, утверждая, что для этого требуется конечное время, которое может быть существенно больше неопределенного значения, следующего из аксиомы 1.

Ограничения квантовой механики на информацию и поток информации исследовались многими учеными [6, 7, 97]. Исследования точности измерений часто связаны с приемом гравитационных волн [12]. Сегодня принято считать, что скорость обработки информации ие ограничена. Это не противоречит нашей аксиоме о том, что для передачи информации требуется конечное время △Т. Нет необходимости ограничивать △『снизу; как бы мы его ие уменьшали, оно никогда не станет нулевым или дифференциалом dt. Часто не делают различия между «как угодно малым, но конечным» и дифференциалом, но конечные разности ведут к разностным уравнениям, тогда как дифференциалы ——к дифференциальным уравнениям. Для убывающих значений разностей решения разностных и дифференциальных уравнений сходятся не всегда.

ной теории относительности. Важной частью рассуждений является то, что длительность вспышки АТ меньше времени распространения светового сигнала. Можно сказать иначе, что сигнал имеет длину AR = сАТ, которая меньше расстояния R между источником Л и приемником В.

Аксиома «для передачи информации требуется конечное время》означает, что длительность сигнала АТ всегда больше нуля. В нашем примере «вспышка света》либо есть, либо ее нет; следовательно, она несет 1 бит информации D. Световая вспышка длительности АТ дает поток информации 1 бит за интервал времени АТ.

В общем случае должно быть передано значительно больше информации, чем 1 бит. Например, для того, чтобы Земля двигалась по своей орбите, она должна постоянно получать информацию о всех других тяготеющих массах в виде отношения масса/расстояние = т/г2\ Если информация недостаточно точна——слишком мало информации или слишком мал поток информации,—орбита Земли начнет колебаться вокруг своего среднего значения и даже может стать неустойчивой. В макромире мы такой нестабильности не наблюдаем, вероятно, из-за того, что энергия, необходимая для достаточного потока информации, мала по сравнению со всей излучаемой энергией.

При переходе от макромира к микромиру атомов и ядер необходимость в потоке информации для правильного движения по орбите или других форм взаимодействия не становится меньше, но энергия уменьшается в огромное число раз. Следовательно, в микромире у нас больше перспектив обнаружить эффект, вызванный ограничениями потока информации.

Типичное время распространения Г на атомных расстояниях з)в 100 пм и ядерных в 10 фм составляет соответственно Т = 10-|°/с = 3-10-19 с и Г = 10-14/с = 3・ 10-23 с. Длительность сигнала А『 может быть значительно меньше времени распространения Т (рис. 2.3.1,а), одного порядка с ним (рис. 2.3.1,6) или значительно больше его (рис. 2.3.1,в).

Допустим сначала, что на ядерном уровне скорость передачи информации составляет 1 бит/с. Фотон, электрон, мюон, нейтрино и т. д. либо получают информацию, либо ее не получают.

【)При условии, что вероятность появления световой вспышки равна 1/2. В противном случае в соответствии с выражением (2.1.3) информация меньше.

2)Это по теории Ньютона. В общей теории относительности требуется» чтобы были получены десять независимых компонент g±欠 метрического тензора (см. выражение (1.3.4)) для всех тяготеющих масс.

з)пм—это пикометр, равный 10*12 м; фм — фемтометр, равный 10*15 м; ам —аттометр, равный 10-18 м.

что соответствует решению типа «да——нет》, или 1 биту °. В первом приближении длительность сигнала ДГ и, следовательно, поток информации 1/АТ бит/с, могут быть найдены через соотношение неопределенностей для энергии и времени:

ДЕАГ>Й.(1)

Если энергия частицы, потраченная на информацию, составляет Е, то для распознавания ситуаций «получена энергия Е》и «получена энергия 0》необходимо принять ДЕ с Е/2. В действительности, чтобы вероятность принятия правильного решения была практически равна единице, доля АЕ должна быть значительно меньше энергии Е/2. В противном случае информация будет значительно меньше 1 бита. Следовательно, оценкой времени АТ передачи 1 бита информации является неравенство

АГ》力/Е(2)

Учитывая, что для фотона

Е = Av,(3)

получаем условие для наименьшей частоты, позволяющей передавать 1 бит за время АТ:

V》1/ДГ.(4)

Используя значение АТ = Т = 3・ 10【9 с, для атомных расстояний получаем

V » 3 • 1020 гц, или А《10^10 см = 1 пм.(5)

Для ядерных расстояний при АТ = Т = 3*10-23 с получаем

•V » 3 • 1024 Гц, или 九《10一紡 см = 100 ам. (6)

При передаче информации фотонами, частота которых удовлетворяет этим условиям, длительность сигнала ДГ меньше времени распространения Т (рис. 2.3.1, а), в то время как у фотонов с меньшей частотой время передачи информации Г -|- АТ значительно больше времени распространения Т. Другими словами, длительностью сигнала АТ на атомных и ядерных расстояниях можно пренебречь только в том случае, когда информация передается фотонами или другими частицами с очень высокой энергией.

з * Ситуация усложняется, если необходимо различать разновидности одной и той же частицы, например электроны со спином +1/2 и —1/2. В этом случае решения типа «да ——нет» принимаются для двух вопросов： 1) электрон получен?» 2) У электрона положительный спин? Второй вопрос имеет смысл только при утвердительном ответе иа первый вопрос.

Рассмотрим теперь возможный поток информации от электрона с массой покоя 加。и энергией т^с2. В соответствии с выражением (1) интервал времени АТ, за который можно передать А битов информации, должен составлять по крайней мере

А/ДГ<Д£/й = тос2/Й,

АГ>kh/m^ == А (10-34/9)• 1031 • 9 • 10I6= 1,2ft • 10~21 с. ⑺

За это время свет пройдет расстояние

сДГ>3,6А- 10~13 м.(8)

Следовательно, за время 1,2-10~21 с, необходимое свету, чтобы пройти 3,6・10一13 м, электрон может передать самое большее 1 бит информации. При k = 1000 битов информации из выражения (8) получается типичное атомное расстояние

сАТ》3,6 • КГ】。м = 3,6- 10~8 см.

1000 битов — это огромное количество информации. Для получения такого же количества информации при измерении расстояния потребовалась бы линейка с 21000 仁 10301 метками. Такая точность лежит далеко за пределами наиболее точных из когда-либо выполненных измерений и далеко за пределами точности компьютеров.

Теперь рассмотрим время, необходимое свету, чтобы пройти типичное ядер ное расстояние в 10一" см = 10_,3 м или меньше. Согласно выражению (8), за это время нельзя передать даже 1 бита информации. Электрон не мог бы объявить о своем существовании даже в самой элементарной форме, он как бы перестал существовать.

Для фотонов и нейтронов в выражение (8) необходимо ввести коэффициент 1800:

сАГ>2・ 10-16 м.(9)

Следовательно, на ядерных расстояниях протоны и нейтроны могут информировать нас о своем существовании. Подводя итог, можно сделать вывод, что поток информации не вносит ограничений на атомных расстояниях, но требует учета на ядерных расстояниях. Этот результат подтверждается в разд. 10.4 путем строгого вычисления собственной функции бозе-частицы в кулоновском поле. Вычисление основано на конечной пространственной и временной разрешающей способности.

В соответствии с названием «Теория информации и измерения» данная глава, казалось бы, имеет отношение к измерениям, выполняемым человеком; в таком ключе обсуждались рнс. 2.2.1 и 2.2.2. Однако при переходе от информации к потоку

информации стало ясно, что потребность в информации и ее переносчике шире. Эта потребность связана с принципом причинности, что можно выразить следующей фразой: любой результат требует достаточной причины. Полностью или частично этот принцип причинности можно перефразировать как информационный принцип: любой результат требует достаточной информации. В дополнение к информации может потребоваться что-нибудь еще, например необходимая для получения результата энергия, но информация требуется определенно. Земля не смогла бы следовать по своей орбите, если бы информации о других массах, необходимой для определения компонентов gik метрического тензора, было недостаточно. Электрон не смог бы следовать своему курсу в электронно-лучевой трубке без информации об отклоняющих напряжениях и токах и т. д. Для объяснения переноса информации в одном случае используется метрическое поле, в другом — электромагнитное, но общее при этом — это сам перенос информации и скорость распространения с сигналов-переносчиков.

24 Конечная разрешающая способность по пространствуи времени

Мы рассмотрели, как определяется положение точек Р н Q линейкой с дискретными метками (см. рис. 2.2.1 и 2.2.2). Полученные результаты можно применить к измерению времени, если обозначение меток х/Х заменить на t/T и использовать точку Р, которая движется вдоль линейки, как стрелка часов по циферблату. Подразумевается, что скорость перемещения точки Р постоянна, но, очевидно, трудно назвать величину этой скорости, пока нет каких-либо часов. Необходим какой-то внешний источник для определения понятия постоянной скорости. Раньше полагали, что такое определение можно сделать на основе периодов вращения Земли вокруг своей оси или вокруг Солнца; эти периоды считались постоянными. Однако в настоящее время нас уже не устраивает астрономическая точность, и для определения постоянных интервалов времени используются атомные часы. Время — это понятие, которое до сих пор до конца не изучено “ поэтому обсуждение временно прервем, закончив цитатой: «Время определяется так, чтобы движение выглядело простым» [95, с. 23].

Будем полагать, что время — это конечные интервалы, отсчитанные 2) самыми лучшими часами, какие только можно по-

° Существует Между на родное Общество изучения времени [47—49]

2)Заметим' что конечные временные интервалы» а с ними и время вырабатываются, а не измеряются часами.

строить. Какие часы лучше, можно определить, построив несколько часов одного типа н сравнив их с партией часов другого типа. Лучшими окажутся часы того типа, расхождения показаний которых меньше )

С помощью линейки и часов можно определять расстояния между точками, которые могут быть элементарными частннамн.

планетами или звездами, и изменения этих расстоянии во времени. Взаимное расположение четырех точек Л, В, С и D

Рис. 2.4.1. Описание взаимного положения четырех точек с помощью 3 + + 2 + ! = 6 расстояний или трех расстояний и 2+1=3 углов, наблюдаемых из одной точки.Рис. 2.4.1. Описание взаимного положения четырех точек с помощью 3 + + 2 + ! = 6 расстояний или трех расстояний и 2+1=3 углов, наблюдаемых из одной точки.D — небесные тела. ЛинейкойD — небесные тела. Линейкой(рис. 2.4.1) полностью опреде- ляется шестью расстояниями. Может показаться, что для этих точек достаточно пяти расстояний, но тогда пришлось бы принять допущение, что все точки расположены на плоскости. Говоря только о расстояниях, мы избегаем понятия плоскости, а в дальнейшем и понятий трех- и более мерных пространств.

Рис. 2.4.1. Описание взаимного положения четырех точек с помощью 3 + + 2 + ! = 6 расстояний или трех расстояний и 2+1=3 углов, наблюдаемых из одной точки.

Рис. 2.4.1. Описание взаимного положения четырех точек с помощью 3 + + 2 + ! = 6 расстояний или трех расстояний и 2+1=3 углов, наблюдаемых из одной точки.

D — небесные тела. Линейкой

D — небесные тела. Линейкой

Предположим, что точка Л ——это Земля, а точки В, С и

теперь не может быть какое-то

механическое приспособление, но для измерения расстояний от Земля Л до тел В, С и D можно воспользоваться радаром 2)_ Находясь на Земле, нельзя измерить радаром расстояния ВСГ BD и CQ. Однако можно измерить углы а, В и у, используя,

если угодно, тот же самый радар, которым измеряли расстояния з). Вместо трех недоступных для измерения расстояний мы

получили три измеряемых угла и без проблем можем описать взаимное расположение точек Ау Bt С и D 4).

【)Этим способом осуществляется сверка наиболее точных часов на практике [79, 88].

2)Фактически это возможно для Луны, Марса и Венеры, когда оии близки к Земле, а также для искусственных спутников. Заметим, что измерение расстояния радаром возможно из одной точки, тогда как триангуляция требует наблюдения из двух точек. Измерение радаром основано на предположении о постоянной скорости распространения волны, а применение триангуляции требует прямолинейного распространения волны.

з)Общее число расстояний между 几 точками равно (л-—1) + (几一2) -{-,,. ... + L Число расстояний, измеряемых радаром из одной из п точек равно 〃一1, а количество углов между лучами для этих и——1 расстояний составляет (п ——2) + (п ——3) + ..・+ I. Следовательно, число всех расстояний всегда равно сумме числа расстояний и \ гл о в, наблюдаемых в одной из п точек.

4)Описания объектов по отношению друг к «другу часто называют относительным пространством, хотя понятие пространства и не требуется. Принято считать, что термин «относительное пространство» введен Лейбницем.

Измерение углов а, 0 н у не эквивалентно измерению расстояний ВС, ВЬ и СО. Эти три расстояния нельзя вычислить через трн угла и расстояния АВ, АС и AD без принятия допущений. Обычным допущением является, конечно, использование аксиом евклидовой геометрии. Измеряя в точках В, С и D доступные там расстояния и углы и собирая эту информацию в точке Л, можно решить, какие допущения геометрии согласуются с результатами измерений. Казалось бы, таким образом определяется метрика, но для метрики должны предварительно выполниться условия (1.3.1). Подчеркнем необходимость передачи информации от точек В, С и D в центр Л; к этому явное отношение имеет наше предыдущее утверждение о том, что передать можно только конечную информацию.

Пусть точки А, В, С и D (рис. 2.4.1) взаимно перемещаются. В точке Л размещается радар, который измеряет расстояния и углы между лучами этих расстояний. Кроме того, в точке А находятся часы, которые позволят записать расстояния и углы как функцию времени, определяемого или отсчитываемого этими часами. Таким образом, движение небесных тел относительно радара на Земле можно, по крайней мере в принципе, описать с помощью понятий расстояния, угла н времени, отсчитанного часами. При этом понятия пространства, времени, измеренного часами, и орбит не упоминаются. Если бы с самого начала движение небесных тел описывалось таким образом, то никогда не возникла бы необходимость в абсолютном пространстве, абсолютном времени, метрике или общей теории относительности. По измеренным расстояниям н углам можно было бы предсказать, какими будут расстояния н углы несколько позже.

Фактически мы это н делаем. Мы предсказываем углы и расстояния в будущем по результатам наблюдений в настоящем. Понятия пространства н планетных орбит делают подобные предсказания для нас только более понятными. Однако сделать что-то более понятным чрезвычайно важно. Замену эпициклов эллипсами Кеплера мы приветствуем из-за результирующего упрощения, а не потому, что для предсказания движения небесных тел необходимо использовать понятие эллиптических орбит.

Введем понятие, которое, не являясь необходимым, оказалось исключительно плодотворным,——понятие системы координат. Разработаем понятие системы координат, отталкиваясь от линейки с дискретными метками (см. рис. 2.2.2).

Возьмем линейку с метками, обозначенными х/Х = ООО, 001, ... (рис. 2.4.2,Q). Заменим метки интервалами, обозначенными ООО, 001, (рис. 2.4.2,6) II стержнями с шарами (рис. 2.4.2,6). При использовании интервального представления (рнс. 2.4.2, б) говорят: «течка Р лежит в интервале 100», а при

О. *111 [° I [] I

ООО 001 010 011 100 Wl no 111x[X —**•

ООО 007 80 0〃 7勿 707「10gx f

。尸

6 i=0=0=0=0==0=0=Cfc=0=i

000 001 070 0〃 700 707 110 77’久/X —

Рис. 2.4.2. Различные представления линейки с дискретными метками： а — основное представление; б — интервальное представление; в—представление для многомерной системы координат； г ——конечная неограниченная линейка.

использовании стержней с шарами (рис. 2.4.2, в) — «точка Р находится ближе всего к метке 100》. Второе утверждение оказывается более понятным для систем координат с числом измерений, большим трех. Представление рис. 2.4.2, в также проще, чем представление рнс. 2.4.2, q для графического изображения и понимания координатных систем с размерностью, большей двух.

Линейку (рис. 2.4.2, б) можно сделать неограниченной, но конечной (рис. 2.4.2, а). Подобные линейки-кольца будут использоваться в следующей главе для построения конечных неограниченных координатных систем.

На основе линеек (рис. 2.4.2, а—в) можно создать двумерную декартову систему координат (рис. 2.4.3, а—в). Однако конечная неограниченная линейка (рис. 2.2.4, г) для этой цели не годится. Сводя концы стержней (рис. 2.4.3,8) с их началами, получаем обобщение двумерной системы координат — двумерную конечную неограниченную координатную систему (рис. 2.4.4,а)。. Такая координатная система определяет много-

')Могут возразить, что на рис. 2.4.4, а расстояния между смежными точками не везде одинаковы, тогда как на рис. 2.4.2, г расстояние между точками 111 и 000 такое же, как между точками 110 и 111. Это обусловлено тем, что изобразить структуру с одинаковыми расстояниями сложно. Эта сложность будет преодолена в гл. 3.

мерную связанную дискретную поверхность (рис. 2.4.4,6), которую можно получить заменой 16 дискретных точек (рис. 2.4.4, а) несчетно большим числом точек °.

В одномерном случае (рис. 2.4.2) существовал только один способ получения неограниченной конечной системы координат——соединить оба конца линейки. В двумерном случае число возможных вариантов преобразования ограниченной координатной системы в неограниченную огромно. Возможные варианты показаны на рис. 2.4.4, а, 2.4.5, а. Соединяя концы стержней, обозначенные y/Y = 00, 01, 10, 11 (рис. 2.4.3, 8), не трогая при

х/Х -^>х/Х -^>2.4.3.2.4.3.Расширение линеекРасширение линеекх/Лх/ЛРис.Рис.или одномерных координатныхили одномерных координатныхсистемсистем(рис. 2.4.2, а — в) от одного до двух измерений.(рис. 2.4.2, а — в) от одного до двух измерений.

х/Х -^>

х/Х -^>

2.4.3.

2.4.3.

Расширение линеек

Расширение линеек

х/Л

х/Л

Рис.

Рис.

или одномерных координатных

или одномерных координатных

систем

систем

(рис. 2.4.2, а — в) от одного до двух измерений.

(рис. 2.4.2, а — в) от одного до двух измерений.

этом концы х/Х = 00, 01, 10, 11, мы еще не получим ограниченную координатную систему, поскольку восемь точек с координатами х/Х = 00 или х/Х = 11 имеют только трех соседей, тогда как все остальные — четырех. Чтобы получить ограниченную структуру, объединим четыре точки х/Х = 00,(//У = 00, 01, 10, 11. Затем то же самое проделаем для точек х/Х = 11, у/У = 00, 01, 10, 11. У каждой точки полученной структуры (рис. 2.4.5,6) теперь по четыре соседа.

Представим, что стержни (рис. 2.4.5, б) изогнулись в дугу. Четыре стержня y/Y = 00, 01, 10, 11, идущие в направлении х/Х, можно назвать меридианами, а два стержня для х/Х = 01, 10 — широтами. Особые точки х/Х = 00, y/Y = 00, 01, 10, 11 и %/Х=11, y/Y = 00, 01, 10, 11 становятся Северным и Южным полюсами (рис. 2.4.6). На рис. 2.4.4, а таких точек нет. Однако

"Заметим, что дискретная система координат (рис. 2.4.4, а) является неограниченной, поскольку у каждой из 16 ее точек х[Х, y/Y по четыре соседа. Для непрерывной поверхности (рис. 2.4.4,6) это не соблюдается, поскольку на ней либо «четыре ребра и четыре угла», либо 《одно ребро м четыре не- дифференцируемых точки». Эта поверхность ограниченна. Приведен хороший пример существенной (топологической) разницы между дискретной и непре- р 式вно力 поверхностями.

Г、48u 2

Рис. 2.4.4. Возможные расширения конечной неограниченной одномерной структуры (рис. 2.4.2,г)з а ——двумерная структура; б ——поверхность, полученная заменой 16 точек несчетно большим числом точек.

если число точек становится несчетно-бесконечным, то дискретная неограниченная структура (рис. 2.4.4, а) приводит к непрерывной ограниченной поверхности (рис. 2.4.4, 6), тогда как дискретная неограниченная структура (рис. 2.4.5,6)—к непрерывной неограниченной сферической поверхности (рис. 2.4.6). Из этого примера видно, что в дискретной неограниченной системе координат можно избежать особых точек, даже если в непрерывной координатной системе ——нельзя °.

Рис. 2.4.5. Переход от ограниченной системы координат (рис. 2.4.3, в) к неограниченной координатной системе со сферической топологией: а ——соединены конечные точки стержней y/Y = 00, 01, 10, 11; 6—конечные точки стержней х/Х = 00, 01, 10, 11 соединены в две особые точки х/Х = 00, y/Y = 00, 01, 10, И и %/Х= 11, "У = 00, 01, 10, И.

Из ограниченной координатной системы (рис. 2.4.3, в) можно получить более сложную неограниченную двумерную систему координат (рис. 2.4.7). Координатная система (рис. 2.4.3, в) с m = 4 точками для переменных х/Х и y/Y имеет (2)-22(т-2)0 = 4 угловые точки и

(I ) • 2】(m - 2)1 = 8

реберных точек. Чтобы число соседей у всех точек сделать одинаковым и, таким образом, получить неограниченную структуру, необходимо каждую угловую точку соединить с двумя другими точками, а каждую реберную точку — с одной другой точкой. Фраза «одинаковое число соседей» означает, что каждая точка на рис. 2.4.7 должна быть соединена с другими точ-

Ср. с. 10 в работе [95].

ками одинаковым числом стержней. В табл. 2.4.1 приведены четыре угловых и восемь реберных точек (рис. 2.4.3, в), их со-

Рис. 2.4.6. Сферическая поверхность, полученная в результате изгиба и растягивания стержней структуры (рис. 24.5,6) и замены 10 точек несчетно бапь- шим числом точек.

седи (рис. 2.4.3,в), а также их дополнительные соседи (рис. 2.4.7).

Непрерывная поверхность, соответствующая структуре на рис. 2.4.7, аналогична поверхности на рис. 2.4.4, б, но две

Рис. 2,4.7. Третий пример перехода ограниченной системы координат (рис. 243, в) в неограниченную.

«обратные связи» изогнуты на 180° подобно хорошо известной петле Мёбиуса. Кроме того, четыре точки 0,0, 0,3, 3,0 и 3,3 соединены не так, как другие. Не будь этих отличий, точка 0,3 соединялась бы с точкой 3,0 двумя стержнями. То же самое

Соединения угловых, реберных и внутренних точек, преобразующие ограниченнуюкоординатную систему (рис. 2.4.3, в) в неограниченную (рис. 2.4.7) *

Точки

Соединения

в ограниченной координатной системе

дополнительные

в неограниченной системе

Е п

1 П己 П

С)22 (4—2)。=4

0 0

1001

300 3

(угловые точки)

3 0

2031

003 3

0 3

1302

330 0

3 3

2332

033 0

(})2*(4-2)|=8

° р

1р0 р — 10 р +1

3 р

(реберные точки)

р °

р 1р+1 ор — 1 о

Р 3

з Р

2 р3P -~• 1Зр+1

о Р

Р з

р 2р — 13р 十 13

Р 0

С) 2。(4—2)? = 4

р g

р~1 gp + 1 qр д —1 р «+】

(внутренние точки)

Таблица 2.4.1

Теория информсщии н измерена工

* Р== 1» 2; Q= 1, 2; р = 3—己^兀/X; П^^/У*

можно сказать н для кары точек 0,0 и 3,3. Примеры неограниченных координатных систем с многосвязньши точками не приводятся, но рассмотренный принцип вполне законен и будет применен при обсуждении диадических систем координат.

Рассмотрим структуры на рис. 244,6 и 2.4.6. Такие структуры обычно называют ограниченной, или открытой, поверхностью (рис. 2.4.4,6) и неограниченной, или закрытой, поверхностью (рис. 2.4.6) с координатной системой, нанесенной на поверхность. С другой стороны, соответствующие дискретные структуры (рис. 2.4.4, а и 2.4.5, б)—это всего лишь координатные системы, не имеющие отношения к понятию «поверхность». Таким образом, понятие поверхности вводится путем абстрактного математического перехода от линеек с конечными расстояниями Ах между метками к дифференциальным расстояниям dx и несчетно большому числу меток. Подразумевается, что понятия трехмерного пространства и гиперпространства вводятся точно так же. Подробнее это обсуждается ниже. «Смена координат» в структуре (рис. 2.4.4, а) вызвала бы переход к структурам (рис. 2.4.5,6 и 2.4.7), тогда как смена координат для поверхности (рис. 2.4.4,6) означала бы замену разграфленных координатных линий, но не переход к другой поверхности, например к сфере (рис. 2.4.6). Следовательно, понятие поверхности приобретает особый смысл, несмотря на то что поверхность получается из структуры (рис. 2.4.4, а) простым увеличением числа стержней и одновременным уменьшением их толщины.

Прежде чем полученные для двумерных дискретных систем координат результаты перенести на системы большей размерности, введем определение размерности, которое было бы заложено в самой координатной системе. В структуре (рис. 2.4.3,в) от угловой точки х/Х — 00, y/Y = 00 можно перейти к двум точкам х/Х = 01, y/Y = 00 и х/Х = 00, y/Y = 01. Следовательно, у угловой точки два соседа. Реберная точка х/Х = 01, у/У = 00 имеет трех соседей х/Х = 00. y/Y = 00; х/Х = 10, y/V = OO и х/Х = 01, у/У = 01. Наконец, поверхностная точка х/Х = 01, y/Y = 01 имеет четырех соседей. Координатную систему, в которой максимальное число соседних точек составляет 2〃， будем называть n-мерной, а точки, граничащие с 2и соседями, — внутренними точками. Все точки координатной системы являются внутренними, если они имеют одинаковое число соседей. Такие системы будут называться неограниченными, или закрытыми. Легко убедиться, что все точки в структурах (рис. 244, Q, 2.4.5,6 и 2.4.7) имеют по четыре соседа, что делает эти структуры двумерными неограниченными координатными системами.

На рис. 2.4.8 показана трехмерная дискретная система ко- прдипат с 43 метками. Координатами точки 尸 считаются коор-

Рпс. 2.4.8 Трехмерная ограниченная система координат. Три типичных способа соединения поверхностных точек, которые преобразуют ограниченную систему координат в неограниченна^, показаны штриховой, пунктирной и штрихпунктирной линиями.Рпс. 2.4.8 Трехмерная ограниченная система координат. Три типичных способа соединения поверхностных точек, которые преобразуют ограниченную систему координат в неограниченна^, показаны штриховой, пунктирной и штрихпунктирной линиями.

Рпс. 2.4.8 Трехмерная ограниченная система координат. Три типичных способа соединения поверхностных точек, которые преобразуют ограниченную систему координат в неограниченна^, показаны штриховой, пунктирной и штрихпунктирной линиями.

Рпс. 2.4.8 Трехмерная ограниченная система координат. Три типичных способа соединения поверхностных точек, которые преобразуют ограниченную систему координат в неограниченна^, показаны штриховой, пунктирной и штрихпунктирной линиями.

динаты ближайшей к ней метки х/Х, y/Y, г/Z. Система коорди- пат такого же типа с т3 метками имеет четыре типа точек:

(3 )・ 23 恤一2)° = 8 угловых точек,

точек,точек,(2 ) 2? (т — 2)' = 12 ("2 — 2) реберных

точек,

точек,

(])• 2】(m — 2)2 = 6 (m — 2)2 поверхностных точек,(° ) • 2°(m — 2)3 = (m — 2)3 корпусных точек,

(；)・22(机— 2У +(；)・22(机— 2У +〃户=[2 + (m — 2)]3 = ( ； ) . 23 (血—2)。+

(；)・22(机— 2У +

(；)・22(机— 2У +

+

• 2】(m — 2)2 + ( ： ) • 2°(m 一 2)3.

Корпусные точки имеют по 2-3 = 6 соседей; следовательно, они являются внутренними. У поверхностных точек пять соседей, у реберных — четыре, а у угловых — три. Чтобы преобразовать ограниченную систему координат в неограниченную, поверхностным точкам необходимо добавить по одному соседу, реберным ——по два, угловым — по три. Штриховой линией между точками 1, 0, 1 н 2, 3, 2 на рис. 2.4.8 показано, как можно добавить по дополнительному соседу на гранях y/Y = 0 и y/Y = 3, в то время как штриховой и штрихпунктирной линиями то же самое показано для граней х/Х = 0, х/Х = 3 и z/Z = 0, z/Z = 3.

Последние публикации по проблеме пространства-времени базируются в основном на концепции многомерного множества, причем подразумевается множество непрерывное, допускающее использование дифференциального исчисления. При желании использовать более привычную терминологию, рассмотренные в книге координатные системы также можно назвать дискретными множествами. Термин «система координат», с другой стороны, подчеркивает, что мы имеем дело с чем-то искусственным, а не созданным самой природой.

Рассмотрим наши результаты с самой общей точки зрения. Было показано, что теория информации не в ладах с пространственно-временным и вообще с любым континуумом. Это противоречие необходимо разрешить. Мы исходим из того, что пространственно-временной континуум — это математическая абстракция, которая не наблюдается на практике, а понятие про- странства-времени должно быть приведено в соответствие с положениями теории информации. Это типичная точка зрения ученого-экспериментатора. Ученый-теоретик может, наоборот, потребовать обобщения теории информации. Какая из точек зрения —а их может быть более двух ——правильная, может решить только практика. В книге делается попытка отстоять точку зрения ученого экспериментатора. Кроме того, в разд. 10.5 приводятся результаты, не согласующиеся с современной теорией, что дает возможность на практике убедиться в правомочности предпринятой попытки.

Координатные системы

Системы координат, основанные на кольцах

На практике широко распространены координатные системы, имеющие по крайней мере одну неограниченную переменную. В декартовой системе все переменные х, у, z,…могут принимать сколь угодно большие значения; в полярной или сферической системе неограничен радиус н т. д.

Как утверждалось в конце разд. 2.2, требование конечности информации исключает из физики рассмотрение бесконечно больших и бесконечно малых расстояний. Чтобы избежать бесконечно малых расстояний dx, интервалы Ах между метками линеек или координатных осей (см. рис. 2.4.3 или 2.4.8) можно взять произвольно малыми, но конечными. Чтобы избавиться от бесконечно больших расстояний, введем понятие конечных, но неограниченных систем координат.

Декартовы системы координат основаны на числовых осях. В обычных системах, допускающих бесконечно малые расстояния dx, используются числовые оси всех действительных чисел, а в дискретных системах с конечными расстояниями Ах — оси целых чисел. Числовая ось может рассматриваться как предельный случай числового кольца. Поскольку числовые кольца конечны, но неограниченны, то на их основе можно построить конечные неограниченные координатные системы декартового типа.

Прежде всего отметим, что самым распространенным числовым кольцом является циферблат часов с числами от 1 до 12. Это кольцо, безусловно, конечно, так как часы не идут дальше 12, но оно также неограниченно, поскольку на 12 они не останавливаются, а продолжают путь к 1. Другим примером кольца из нашей повседневной жизни является магнитный компас с числами от 1 до 360.

Рассмотрим несколько целочисленных колец (рис. 3.1.1). Наименьшее из них содержит только 2" = 2 числа: 0 и 1. Следующее кольцо больше — в нем три числа: 0, 1, 2. Затем идет кольцо с 2" = 4 числами: 0, 1, 2, 3. Кольца с пятью, шестью и семью числами не рассматриваются, так как мы заинтересованы главным образом в кольцах с 2" числами, где N — целое. С по-

Рис, 3.1.1. Числовые кольца q 2" = 2, 3, 4, 8, 16 числами н предельный слу- "ан 2-》1, который приближается к целочисленной оси.

мощью таких колец информация о положении точки в битах выражается наиболее просто, аналогично рассмотренной в гл. 2 процедуре (см. рис. 2.2.1, 2.2.2 и 2.2.4).

При 2〃》1 кольцо (рис. 3.1.1) и целочисленная ось практически неразличимы. Единственным различием являются числа 2"——1, 2" — 2,..・，которые на целочисленной оси были бы записаны как отрицательные: —1, —2, ... Вполне очевидно, что отрицательные числа позволяют избежать записей типа 8 — 1, 8 — 2,....

Кольцо с 2" = 2 числами (рис. 3.1.1) называется двоичным или диадическим. Другие кольца называются троичными, четверичными, восьмеричными и шестнадцатеричными. Шестнадцатеричное кольцо широко используется при работе с компьютерами, особенно с микропроцессорами. 16 чисел этого кольца обычно обозначаются как 0, 1, ..., 9, Л, В, С, О, Е, F.

В двумерной декартовой системе координат используются две оси: хну, которые пересекаются под прямым углом. В эквивалентной кольцевой системе (рис. 3.1.2) — два кольца: хну, которые также пересекаются под прямым углом. В каждом из колец по 2" = 8 чисел или меток. На рис. 3.1.2 показаны также

Рис. 3.1.2. Двумерная координатная система, использующая кольца х н 夕 вместо соответствующих осей.

небольшие секции колец х и у с большим числом меток (2“》1). Нетрудно заметить, что обычная декартова система координат может рассматриваться как предельный случай кольцевой координатной системы с конечным числом меток.

Двумерная декартова система координат — это не только оси * II “ с метками» но и сетка из прямых линий, проведенных через метки одной оси параллельно другой (см. рис. 2.4.3, q). Для простейшего случая (рис. 3.1.3) требуются только две линии, одна из которых параллельна оси х, другая——оси у. Рассмотрим эквивалентный вариант (рис. 3.1.4), основанный на кольцах из восьми меток (рис. 3.1.2). Для построения сетки через метку 1 кольца у проводится кольцо, параллельное кольцу х, а через метку 1 кольца х — кольцо, параллельное кольцу у. Точки D у = 0, х = 0 (0, 0 = 00), у = 1, х = 0 (1, 0 = 10), р = 1, х = 1 (1, 1 = 11) и // = 0, х = 1 (0, 1=01) соответствуют точкам декартовой системы с такими же обозначениями (рис. 3.1.3).

Использованный нами термин параллельный требует некоторого пояснения. Возьмем длинные размеченные стержни для

” Для упрощения иллюстраций вмесго более строгой записи х/Х, y/Y> использованной в предыдущих параграфах, берется обозначение х, у.

Рис. 3.1.3. Оси хну для случая 2'》1 (рис. 3.1.2), дополненные линиями координатной сетки у = 1 и х = 1, параллельными осям хну соответственно.Рис. 3.1.3. Оси хну для случая 2'》1 (рис. 3.1.2), дополненные линиями координатной сетки у = 1 и х = 1, параллельными осям хну соответственно.Рис. 3.1.4. Аналог рис. 3.1.3, полученный заменой прямолинейных осей н линий координатной сетки кольцами.Рис. 3.1.4. Аналог рис. 3.1.3, полученный заменой прямолинейных осей н линий координатной сетки кольцами.Рис. 3.1.5. Полная двумерная, дискретная, конечная, но неограниченная координатная система, использующая кольца 2" = 4 из рис. 3.1.1.Рис. 3.1.5. Полная двумерная, дискретная, конечная, но неограниченная координатная система, использующая кольца 2" = 4 из рис. 3.1.1.

Рис. 3.1.3. Оси хну для случая 2'》1 (рис. 3.1.2), дополненные линиями координатной сетки у = 1 и х = 1, параллельными осям хну соответственно.

Рис. 3.1.3. Оси хну для случая 2'》1 (рис. 3.1.2), дополненные линиями координатной сетки у = 1 и х = 1, параллельными осям хну соответственно.

Рис. 3.1.4. Аналог рис. 3.1.3, полученный заменой прямолинейных осей н линий координатной сетки кольцами.

Рис. 3.1.4. Аналог рис. 3.1.3, полученный заменой прямолинейных осей н линий координатной сетки кольцами.

Рис. 3.1.5. Полная двумерная, дискретная, конечная, но неограниченная координатная система, использующая кольца 2" = 4 из рис. 3.1.1.

Рис. 3.1.5. Полная двумерная, дискретная, конечная, но неограниченная координатная система, использующая кольца 2" = 4 из рис. 3.1.1.

осей х (“/У = 0) и у (х/Х = 0) (см. рис. 2.4.3,в). Эти стержни определяют понятие прямая линия для направлений хну. Возьмем дополнительно множество коротких стержней длиной Дх = =△“ н построим координатную сетку (см. рис. 2.4.3,в). Если стержни хну являются прямыми в понимании Евклида, то сетка определит евклидову плоскость, а линии сетки y/Y = 01, 10, 11, ... будут параллельны оси х, y/Y = 00 (также в понимании Евклида).

Пусть теперь стержень у — евклидова прямая, а стержень х ——окружность. Длина всех коротких стержней остается прежней——Дх = Лг/, но стержни, использованные в направлении у, будут прямыми, как ось у, а стержни, использованные в направлении х, изогнуты, как ось х. Построенная из таких стержней сетка определит не плоскость, а поверхность цилиндра. Линии сеткн y/Y = 01, 10, 11,・・.будут окружностями, параллельными

0007,03 0Z

Рис. 3.1.6. Вид координатной системы (рис. ЗЛ.5) спереди и сверху. Точки координатной сетки 10 и 32 слились бы в одну точку, если бы угол а был равен 90°.

оси х или кольцу х, y/Y = 00, а линии х/Х = 01, 10, 11,..・一 прямыми линиями, параллельными прямолинейной ❷си у, х/Х = 0.

Таким образом, термин «параллельный» используется только в интересах простоты пояснений к рис. 3.1.3 и 3.1.4 и после построения координатной системы (рис. 3.1.4) уже не требуется. Для завершения системы необходимо провести восемь колец у через метки х = 0, 1, ..., 7 колец х н восемь колец х через метки у = 0, 1, ..., 7 колец у. Таким образом, всего требуется 8-2 колец с 82 метками. Изобразить такую конструкцию чрезвычайно сложно. Для упрощения вместо кольца из 2* = 8 меток (рис. 3.1.1) используется более простое кольцо с 2* = 4 метками. Соответствующая координатная система с 4-2 кольцами н 42 метками, (рис. 3.1.5) является двумерной дискретной ко-

Рис. 3.1.7. ТрехмернаяРис. 3.1.7. Трехмернаякоординатная система, использующая кольца х, у, z вместо осей х, g, z.координатная система, использующая кольца х, у, z вместо осей х, g, z.

Рис. 3.1.7. Трехмерная

Рис. 3.1.7. Трехмерная

координатная система, использующая кольца х, у, z вместо осей х, g, z.

координатная система, использующая кольца х, у, z вместо осей х, g, z.

нечной, но неограниченной. Двумерность означает, что в любой точке пересекается не более двух колец—или, в пределе, двух прямых линий. Можно также сказать, что из любой точки исходит не более 2-2 = 4 направлений. Дискретность означает, что расстояние между метками конечно. Конечность означает, что конечно число меток. Неограниченность или замкнутость означает, что в любой точке пересекается одинаковое число колец. Все метки одинаковы и отличаются только нумерацией, или адресами. Граничных и особых точек или меток нет.

Местоположение на земной поверхности обычно определяется в системе координат из меридианов и параллелей, имеющей особые точки на Северном и Южном полюсах. Координатная система (рис. 3.1.5) на нее совершенно не похожа, и никакая поверхность, в обычном смысле этого слова, в ней не определяется. Например, натянув резиновую оболочку на жесткий каркас из меридианов и параллелей, мы получим сферическую поверхность.

Если же попытаться натянуть резиновую оболочку на каркас из 42 точек 00,…，33 (рис. 3.1.5), то она не коснется точек 10 11 32. Это подтверждается рис. 3.1.6, где показана та же самая координатная система (рис. 3.1.5), только не в аксопо-

Таблица 3J.1

Число колец гг/-，необходимых для координатной сетки с г измерениями и п точками или метками на каждом кольце

Г— 1 -■■ ' Y

Г

гл

2348

1

2

3

ln°1111

2М46816

3n2122748192

4

5

4n3321082562 048

5M80405128020 480

метрик, а в видах спереди н сверху. Резиновая оболочка поддерживается точками 00, ..., 33, но не соединяющими их окружностями. Если бы окружности были жесткими, то оболочка не коснулась бы также точек 01, 02, 03 и 20, 21, 23.

Чтобы точки 10 и 32 не соприкасались (рис. 3.1.6), должно выполняться условие а =/= 90°. При этом возникает вопрос, как можно модифицировать рассматриваемую координатную систему без изменения колец и меток. Декартову систему координат (см. рис. 2.4.3) можно изменить, выбрав угол между осями % и у не равным 90°. Результатом является наклонная система координат, подобная системе на рис. 1.3.2. В кольцевой координатной системе (рис. 3.1.5) эквивалентом угла между осями х и у служит угол между касательными【)к кольцам х и у в точке у, х = 00. Кроме того, в системе (рис. 3.1.5) в отличие от системы (рис. 1.3.2) необходимо выделить еще один угол. Таким углом может быть угол между касательной к кольцу х в точке у, х = 00 и перпендикуляром к касательной к кольцу х в той же самой точке. Угол лежит в одной плоскости с кольцом х・

Обобщение кольцевой координатной системы для трех измерений показано на рис. 3.1.7. В точке 0 пересекаются три координатных кольца х, у и г. В каждом кольце по 2“ = 8 меток: 0, 1,…，7. При 2汽》1 эти три кольца переходят в обычные координатные оси х, у и z.

Изобразить трехмерную кольцевую координатную сетку на практике очень трудно. Для построения г-мерной сетки тре-

1)Понятие касательной используется для упрощения. Если желательно обойтись без понятий, основанных на дифференциальном исчислении, то для определения угла можно воспользоваться отрезком проведенной через точки Ю и 01 окружности с центром в точке у, х = 00.

Рис. 3.1.8. Оси л, у, z для случая 2"》I (рис. 3.1.7), дополненные тремя линиями координатной сетки (х = 0, у = 1; % = 1, У = 0; х = 1, у = 1), параллельными оси z, тремя линиями (у = 0, z = 1； ^ = 1, z = 0； у = 1, z=l), параллельными оси х, и тремя линиями (х = 0, z = 1； * = 1, z = 0； х = 1, z = 1), параллельными оси у.

буется г колец, как, например, для г = 3 (рис. 3.1.7) или г— 2 (рис. 3.1.2). Если в каждом кольце и меток, то всего для сетки требуется 厂几'一【колец. С увеличением г и п общее число колец растет очень быстро (см. табл. 3.1.1). По аналогии с рис. 3.1.3 на рис. 3.1.8 показан минимальный фрагмент трехмерной сетки при 2"》1・ Для построения такого фрагмента требуется 12 стержней, тогда как для более простого случая (рис. 3.1.3} требовалось только четыре. Обобщение двумерной координатной системы (рис. 3.1.4) для трех измерений требует 12 колец. Результат такого обобщения при 2" = 8 показан на рис. 3.1.9. Поскольку эта иллюстрация сложна для восприятия, важная ее часть, содержащая восемь точек с рнс. 3.1.8, еще раз изображена на рис. 3.1.10. Теперь становится ясно, что для больших значений 2' и соответственно радиуса колец мы приближаемся к координатной сетке (рис. 3.1.8). Следовательно, при локаль-

Рис. 3.1.9. Анаюг рис. 3.L8, полученный заменой прямолинейных осей и ли*Рис. 3.1.9. Анаюг рис. 3.L8, полученный заменой прямолинейных осей и ли*Рис. 3.1.11. Полная двумерная дискретная конечная, но неограниченная координатная система, использующая кольца 九=3 нз рис. 3.1.1.Рис. 3.1.11. Полная двумерная дискретная конечная, но неограниченная координатная система, использующая кольца 九=3 нз рис. 3.1.1.нийнийсоответствующихсоответствующихРис. 3.1.10. ЧастьРис. 3.1.10. Частькоординатной сетки кольцами.координатной сетки кольцами.

Рис. 3.1.9. Анаюг рис. 3.L8, полученный заменой прямолинейных осей и ли*

Рис. 3.1.9. Анаюг рис. 3.L8, полученный заменой прямолинейных осей и ли*

Рис. 3.1.11. Полная двумерная дискретная конечная, но неограниченная координатная система, использующая кольца 九=3 нз рис. 3.1.1.

Рис. 3.1.11. Полная двумерная дискретная конечная, но неограниченная координатная система, использующая кольца 九=3 нз рис. 3.1.1.

ний

ний

соответствующих

соответствующих

Рис. 3.1.10. Часть

Рис. 3.1.10. Часть

координатной сетки кольцами.

координатной сетки кольцами.

ном рассмотрении системы координат, основанные на кольцах н прямолинейных осях, совпадают, если радиус колец, т. е. число их меток 2", достаточно велик.

В двумерном случае мы имели возможность нарисовать всю координатную сетку для 2"=几=4 меток в кольце (рис. 3.1.5), причем требовалось восемь колец. Согласно табл. 3.1.1, для такой же трехмерной сетки потребовалось бы 48 колец. Такая иллюстрация слишком сложна для изображения и восприятия. Поэтому ограничимся меньшим числом меток п = 3, которое требует шести колец для двумерного и 27 колец для трехмерного случаев (табл. 3.1.1).

Рассмотрим двумерную координатную систему с кольцами из трех меток (г = 2, и = 3) (рис. 3.1.11). Для упрощения иллюстрации заменим дуги окружностей между метками прямолинейными стержнями (рис. 3.1.12). Заметим, что использование окружностей на рис. 3.1.1 является удобным, но не обязатель-

3 X. Хармут

Рнс 3.1.12, Координатная система (рис. 3.1.11) после замены кольцевых стержней прямыми.

ным. Можно использовать любую замкнутую кривую, например треугольник для п = 3, четырехугольник для 2从=4 н т. д.

Расширим двумерный случай г = 2 (рис. 3.1.12) до трехмерного г = 3 (рис. 3.1.13). Рассмотрим сначала часть чертежа с белыми шарами, у всех у них координата 2 = 0. Эта часть чертежа совпадает с рис. 3.1.12. К ней добавлены еще две части, выделенные серыми (z = 1) и черными (z = 2) шарами. Обе части также повторяют рис. 3.1.12.

Согласно табл. 3.1.1, на рис. 3.1.13 используется 27 колец, точнее треугольников, с 3-27 =81 стержнем и 27 шарами или метками.

Из 81 стержня и 27 шаров была построена натуральная модель, фотография которой приведена на рис. 3.1.14. Фотография менее очевидна, чем рис. 3.1.13, из-за того, что на пересечении стержней трудно различить, какой из них впереди, а какой сзади.

Структуры, приведенные на рис. 3.1.13 и 3.1.14, являются трехмерными, дискретными, конечными и неограниченными системами координат. Безусловно, их можно построить в так называемом трехмерном пространстве. Легко убедиться, что к

Рис. 3.1.13. Обобщение двумерной координатной системы (рис. 3.1.12) на случай г = 3 измерений. Число меток на кольце равно и = 3. Метки для координаты z = 0 показаны белым цветом, для г = 1 — серым, а для z = =2 — черным Это полная трехмерная дискретная конечная, но неограниченная система координат.

каждому шару подсоединено по шесть стержней и все стержни одинаковой длины. Принято считать, что двумерная неограниченная поверхность — такая, как поверхность Земли, — должна размещаться в трехмерном пространстве, а трехмерное неограниченное «пространство» — в четырехмерном пространстве. Для построения двумерных неограниченных координатных систем (рис. 3.1.5, 3.1.6, 3.1.11 и 3.1.12) с помощью шаров, колец или стержней, явно требуется наше обычное трехмерное пространство. Но в это же самое пространство вписываются и трехмерные неограниченные структуры (рис. 3.1.13 и 3.1.14). Причин этому две.

Рис. 3.1.14. Фотография модели координатной системы (рис. 3.1.13). У шаров с координатой z = 0 одна черная полоска, с координатой z= 2 ——две, с координатой z=l ——нет полосок.

Во-первых, числовые кольца (рис. 3.1.1) содержат только конечное число точек, меток или чисел. Это число имеет важное значение как для двумерной (рис. 3.1.5), так и для трехмерной (рис. 3.1.13) структур. Простого и понятного способа обобщить или, лучше» абстрагировать эти структуры для счетного или несчетного числа точек нет. В обычных координатных системах, используемых вкупе с дифференциальным исчислением, число меток на каждой координатной оси принимается несчетным. Все наши понятия о пространстве по существу целиком основано на математической абстракции несчетно большого числа точек и континууме Использование конечного числа дискретных точек приводит совершенно к другим результатам.

Вторая причина в том, что пространство не является физически созерцаемой вещью подобно стержням и шарам на рис 3 1.14 Следовательно, его черты получены не в результате опыта и наблюдения, а из определений абстрактной математики.

Например, часто утверждают, что пространство, в котором мы живем, является трехмерным, поскольку мы можем представить себе только три взаимно перпендикулярных вектора; типичная иллюстрация этого утверждения приведена на рис. 3.1.15. Хотя эта иллюстрация выглядит очень убедительно, она явно опро

вергается рис. 3.1.16, на котором оси, %, у, г, w. Прямой угол между осями х и г измеряется в плоскости XOZ, между ося- мн у н з — в плоскости WOY. Прямые углы между осями 尤 н у, у н 2, 2 н 切,так же как и между осями w и х, измеряются на конических поверхностях, вершины которых совпадают с началом координат 0. Коническая поверхность, как и плоскость, имеет нулевую кривизну Г аусса. Поэтому четыре прямых угла можно построить сначала на плоских листах бумаги, а затем свернуть эти листы в конусы, необходимые для рис. 3.1.116. Таким образом, определение прямого угла на конической поверхности труда не составляет. Фотография созданной таким образом модели

показаны четыре вектора, илипоказаны четыре вектора, илиРнС. 3.1.15. Три оси х, и, z с угламиРнС. 3.1.15. Три оси х, и, z с угламил/2 между ними часто используются для заявления о том, что «наше про- странствож трехмерное.л/2 между ними часто используются для заявления о том, что «наше про- странствож трехмерное.приведена на рис. 3.1.17.

показаны четыре вектора, или

показаны четыре вектора, или

РнС. 3.1.15. Три оси х, и, z с углами

РнС. 3.1.15. Три оси х, и, z с углами

л/2 между ними часто используются для заявления о том, что «наше про- странствож трехмерное.

л/2 между ними часто используются для заявления о том, что «наше про- странствож трехмерное.

Очевидно, что рис 3.1.16 можно обобщить до любого конечного числа осей или «измерений». Что касается вытекающего из рис. 3.1.15 ошибочного утверждения о трехмерности пространства, то оно обусловлено изначальным определением «нашего пространства» как евклидова, что влечет за собой вывод обязательности трех измерений.

С появлением геометрии Римана стало привычным рассма

тривать евклидову геометрию как геометрию коротких расстояний. Как преобразовать структуры на рис. 3.1.16 и 3.1.17, чтобы вблизи начала координат 0 было евклидово трехмерное пространство, а при удалении от начала координат — четырехмерное неевклидово? Пусть стержни на рис. 3.1.16 выполняют роль осей Расстояние между началом координат 0 и точками X, У, Z,步составит R. Точки 文 н У У н Z, Z n IV,取 н X соединим затем проводками одинаковой длины п/?/2. Эти проводки можно,

Рис. 3.1.16 Четыре оси х, у, zt w с углами л/2 между ними. Некоторые из углов измеряются не на евклидовой плоскости, а на конической поверхности.

например, изогнуть так, чтобы они представляли собой четверть окружности радиуса R. Теперь на эту структуру из четырех стержней и четырех изогнутых проводков опустим мыльный пузырь. Вблизи изогнутых проводков поверхность мыльного пузыря будет состоять по существу из четырех конических поверхностей, как на рис. 3.1.16 и 3.1.17. Однако вблизи начала координат 0 мы получим между стержнями х н у, у н %, а н 叫 ® н X плоские .поверхности. Углы между перечисленными стержнями в этой области составят л/3 или 60°, тогда как углы между стержнями х н 之,а также между w и у составят л/2 или 90°, что и требуется в евклидовой геометрии для трех измерен。負.

Каковы значения углов, измеренных вдоль изогнутых проводков между точками X н У, У н Z, Z н W\ 取 н X? Расстояние от начала координат 0 до этих точек составляет R. Если значение R достаточно велико, поверхность мыльного пузыря вблизи проводков будет искривляться подобно коническим поверхностям на рис. 3.1.16 и 3.1.17. Длина четверти окружности состав-

Рис. 3.1.17. Фотография модели (по рис. 3.1.16) с четырьмя осями и углами между ними л/2.

ляет п/?/2. На основе этой длины и расстояния R от начала координат выводится значение угла (л/?/2)/7? = л/2, поскольку вблизи изогнутых проводков, соединяющих точки X н У, У н Z, Z и Wt W и X разницы между моделями на рис. 3.1.16 н 3.1.17 и моделью с мыльным пузырем нет. Углы между стержнями х и г, у и wt измеренные вдоль четвертей окружностей, соединяющих точки X и Z, U^ и У, также составляют (nR/2) /R = л/2. Следовательно, на довольно значительном расстоянии R от начала координат 0 мы имеем неевклидову геометрию с четырьмя измерениями.

В качестве другого примера возможности создания и наглядного представления структур с числом измерений, большим трех, построим четырехмерную неограниченную координатную систему. Поскольку сложность многомерных структур с увеличением размерности быстро возрастает, возьмем простейшее кольцо с точками 0 и 1 (рис 3.1.1). Согласно табл. 3.1.1, даже в этом случае для четырехмерной системы координат требуется 32 кольца.

Рис. 3.1.18. Двумерная диадическая координатная система, основанная на кольцах 妙=2 из рис. 3.1.1.

Выполним построение шаг за шагом. Исходной является двумерная система координат, основанная на кольцах с двумя точками 0 и 1, или двумерная диадическая координатная система (рис. 3.1.18). Система называется двумерной, потому что в точках у, х = 00, 01, 10, 11 пересекаются два кольца, и является неограниченной, поскольку кольца пересекаются во всех точках.

На рис. 3.1.19 показан переход к трехмерному случаю. Эта иллюстрация несколько перенасыщена. Возможно читатель предпочтет взглянуть сначала на три кольца (рис. 3.1.7) и ассоциировать их с тремя кольцами, которые пересекаются в точке г, у, х = ООО (рис. 3.1.19). Затем можно убедиться, что имеется еще по три кольца, параллельных кольцам х, у н а. В сумме получается 12 колец, что соответствует табл. 3.1.1 для г = 3, 门=2. Наконец можно убедиться, что полученная координатная система является неограниченной, поскольку каждое из трех колец пересекает другие кольца во всех восьми точках, от ООО до 111. Разобравшись со структурой, можно отбросить термин «параллельный», поскольку изгиб и кручение никак не сказываются на существовании восьми координатных точек с тремя соседями у каждой

Рис. 3.1.19. Трехмерная диадическая координатная система, основанная на кольцах 2片=2 из рис. 3.1.1.

Расширение рис. 3.1.19 от 12 до 32 колец, необходимых для четырех измерений, нецелесообразно ——представление должно быть проще. Вернемся к одиночному кольцу с двумя точками О и 1 (рис. 3.1.20, а). Заменим половинки кольца стержнями (рис. 3.1.20, б); аналогично были замещены стержнями на рис. 3.1.12 кольца из рис. 3.1.11. Используя эти стержни, двумерную координатную систему (рис. 3.1.18) можно перерисовать в виде рис. 3.1.20,6, а систему рис. 3.1.19 — в виде рис. 3.1.20, г.

Рис. 3.1.20. Развитие упрощенного представления диадических координат- НЬ1Х систем： а — одно измерение с кольцом； 6 — одно измерение с двойными стержнями; в — два измерения, как на рис 3.1.18, но с двойными стержнями; а — три измерения, как на рис. 3 1 19, но с двойными стержнями.Рис. 3.1.20. Развитие упрощенного представления диадических координат- НЬ1Х систем： а — одно измерение с кольцом； 6 — одно измерение с двойными стержнями; в — два измерения, как на рис 3.1.18, но с двойными стержнями; а — три измерения, как на рис. 3 1 19, но с двойными стержнями.

Рис. 3.1.20. Развитие упрощенного представления диадических координат- НЬ1Х систем： а — одно измерение с кольцом； 6 — одно измерение с двойными стержнями; в — два измерения, как на рис 3.1.18, но с двойными стержнями; а — три измерения, как на рис. 3 1 19, но с двойными стержнями.

Рис. 3.1.20. Развитие упрощенного представления диадических координат- НЬ1Х систем： а — одно измерение с кольцом； 6 — одно измерение с двойными стержнями; в — два измерения, как на рис 3.1.18, но с двойными стержнями; а — три измерения, как на рис. 3 1 19, но с двойными стержнями.

Рнс. 3.1.21. Четырехмерная неограниченная диадическая координатная систе-ма, использующая вместо колец двойные стержни.

1111111111101111011111011110111011010110011110111130130101001010011000010000D1000D100000000Рис. 3.1.22. Пятимерная неограниченная диадическая координатная система. Шары для координаты и = 0 показаны белым цветом； эта часть координатной системы совпадает с системой рис. 3.1.21. Шары с координатой и = 1 показаны черным цветом.00000Рис. 3.1.22. Пятимерная неограниченная диадическая координатная система. Шары для координаты и = 0 показаны белым цветом； эта часть координатной системы совпадает с системой рис. 3.1.21. Шары с координатой и = 1 показаны черным цветом.Рис. 3.1.20, г несложно обобщить для четырех измерений. Результирующая четырехмерная неограниченная диадическая система координат показана на рис. 3.1.21. Можно убедиться, что в каждой точке или шаре системы 侬，z, у, х = 0000, ..., 1111 сходятся четыре пары стержней, представляющие собой четыре кольца.

11111

11111

10111

10111

11011

11011

10110

10110

01111

01111

301

301

01001

01001

10000

10000

D1000

D1000

00000

Рис. 3.1.22. Пятимерная неограниченная диадическая координатная система. Шары для координаты и = 0 показаны белым цветом； эта часть координатной системы совпадает с системой рис. 3.1.21. Шары с координатой и = 1 показаны черным цветом.

00000

Рис. 3.1.22. Пятимерная неограниченная диадическая координатная система. Шары для координаты и = 0 показаны белым цветом； эта часть координатной системы совпадает с системой рис. 3.1.21. Шары с координатой и = 1 показаны черным цветом.

Рнс 3.1 23，Фотография модели координатной системы рис. 3.1.22. Белые шаРы оставлены без изменения, а черные заменены шарами с черной полосой.

Результат расширения системы (рис. 3.1.21) от четырех до пяти измерений показан на рис. 3.1.22. Рассмотрим сначала белые шары с координатой и = 0. Структура из этих шаров такая же, как на рис. 3.1.21. Затем рассмотрим структуру, составленную из черных шаров с координатой d = L Она также совпадает со структурой (рис. 3.1.21), но сдвинута в направлении s Эти две четырехмерные структуры соединены двойными стержнями ” для получения пятимерной неограниченной диадической системы координат.

нее.нее.Заметим, что на рис. 3.1.22 в каждом шаре сходятся пять двойных стержней. На более точном рисунке присутствовали бы пять колец, пересекающихся в каждом из 32 шаров или координатных меток. В любой координатной метке возможен переход к соседним меткам по десяти направлениям, что совпадает с нашим определением размерности координатной системы п/2 = 10/2 = 5. Заметим, что к одному и тому же соседу всегда можно попасть двумя путями, поскольку соседи соединены двойными стержнями. Это свойство диадической координатной системы сразу становится понятным из рис. 3 1.1 — в 1 из 0 или в 0 из 1 можно попасть как по часовой стрелке, так н против

нее.

нее.

Рис. 3.1.24. Трехмерная дискретная декартова система координа г, ^ содержащая в соответствии с табл. 3.L2 пг = З3 = 27 точек координатной сетки и в соответствии с табл. 3.1.1 гпг~^ = З-З2 = 27 стержней.

Фотография модели (рис. 3.1.22) приведена на рис. 3.1.23. Черные шары заменены белыми с черной полосой. Вместо двойных стержней используются одинарные; при этом, согласно табл. 3.1.1, экономится 80 стержней.

В качестве следующего примера многомерной структуры разработаем четырехмерную декартову систему координат. Таким координатным системам соответствует предельный случай кольца 2"f 8 (рис. 3.1.1). Используя стержни и шары, нарисуем сначала трехмерную систему с З3 = 27 точками координатной сетки (рис. 3.1.24). Иллюстрация получилась вполне понят-

ная. Имеются три оси, пересекающиеся в точке а, у, х= 1, 1, 1, что является подтверждением термина «трехмерный». В других точках, например в точке 1, 0, 1, две оси пересекаются и одна оканчивается — это поверхностные точки. Реберные точки характеризуются одной пересекающейся и двумя оканчивающимися осями, например точка 1, 0, 0. Наконец, три оканчивающиеся оси определяют угловые точки, например 0, 0, 0 или 2, 0, 2. В такой координатной системе для получения хотя бы одной точки с тремя пересекающимися осями требуется по крайней мере З3 точек координатной сетки. При переходе к четырем измерениям важность этого замечания станет очевидной.

Расширение до четырех измерений требует трех структур (рис. 3.1.24), в каждой по 27 точек координатной сетки и 27 стержней, и 27 дополнительных стержней, идущих в направлении новой оси w, соединяющей три структуры. В сумме получается 3-27 =81 координатная точка и 3-27 -]- 27 = 108 стержней, что соответствует табл. 3.1.2 (пг = З4) и 3.1.1 (尸球一】=4■ З3). Поскольку результирующая структура (рис. 3.1.25) не очень-то проста для восприятия, необходимы следующие пояснения.

Таблица 3.1.2

Число точек 「' координатной сетки с г измерениями и л точками или метками на каждом кольце

2

3

4

8

1献

2

3

4

8

2па

4

9

16

64

3л3

8

27

64

512

4М

16

81

256

4 096

5л5

32

243

1024

32 768

Первая структура, отвечающая рис. 3.1.24, начинается в точке w, z9 у, х = 0, 0, 0, 0 и состоит из стержней ——осей х, у и г.

Точно такая же вторая структура начинается в точке 1, 0, 0, 0.

Третья такая же структура начинается в точке 2, 0, 0, 0.

В центре рис. 3.1.25 можно заметить точку 1, 1, 1, 1 с че* тырьмя пересекающимися осями, что подтверждает четырехмерность координатной системы. Три пересекающиеся и одна оканчивающаяся оси выделяют корпусные точки, например точку 1, 1, 1, 0. Две пересекающиеся н две оканчивающиеся оси выделяют поверхностные гочки, например 0, 1, 1, 0. Одна пересекающаяся

x,ytztw=0,0,0,0x,ytztw=0,0,0,0система координат, содер- точку координатной сеткисистема координат, содер- точку координатной сеткиРис. 3.1.25. Четырехмерная дискретная декартова жащая в соответствии с табл. 3.1.2 пг = З4 = 81 н в соответствии с табл. 3.1.1 rnr-1 = 4-33 = i08 стержней.Рис. 3.1.25. Четырехмерная дискретная декартова жащая в соответствии с табл. 3.1.2 пг = З4 = 81 н в соответствии с табл. 3.1.1 rnr-1 = 4-33 = i08 стержней.

x,ytztw=0,0,0,0

x,ytztw=0,0,0,0

система координат, содер- точку координатной сетки

система координат, содер- точку координатной сетки

Рис. 3.1.25. Четырехмерная дискретная декартова жащая в соответствии с табл. 3.1.2 пг = З4 = 81 н в соответствии с табл. 3.1.1 rnr-1 = 4-33 = i08 стержней.

Рис. 3.1.25. Четырехмерная дискретная декартова жащая в соответствии с табл. 3.1.2 пг = З4 = 81 н в соответствии с табл. 3.1.1 rnr-1 = 4-33 = i08 стержней.

н три оканчивающиеся оси выделяют реберные точки, например О, 0, 0, 1. Наконец, четыре оканчивающиеся оси выделяют угловые точки, например 0, 0, 0, 0 и 2, 2, 2, 2.

При использовании осей с л = 4 точками, а не минимально необходимыми п = 3, структура (рис. 3.1.25) разрослась бы до 44 = 256 координатных точек и 4 • 43 = 256 стержней, но вместо одной точки 1, 1, 1, 1 с четырьмя пересекающимися осями мы получили бы 16.

Mt>i настолько привыкли видеть координатные системы «на двумерной бумажной поверхности» или《в привычном нам трехмерном пространстве», что полезно взглянуть на координатную систему изолированно от того, «на чем» или «в чем» она существует. Спаяем из проводков-стержней систему координат (рис. 3.1.24) и запустим туда муравья. Муравей может видеть только локальные особенности координатной системы, в частности, он может подсчитать число стержней, сходящихся в одной уочке. ЛАаксимальное число стержней (шесть) сходится в точке i, 1, 1. Следовательно, рассмотренная система координат классифицируется как трехмерная. Что касается структуры на рис. 3.1.25, то в точке 1, 1, 1, 1 сходится восемь стержней, и муравей сделает вывод, что это четырехмерная координатная система.

Поместим муравья в точку 1, 1, 1 на рис. 3.1.24, Чтобы задержать его там, достаточно поставить преграды на шести стержнях, ведущих из этой точки, или намазать их клеем. Для муравья в точке 1, 1, 1, 1 на рис. 3.1.25 шести препятствий уже недостаточно. Если перегородить шесть стержней, исходящих из точки 1, 1, 1 в соответствии с рис. 3.1.24 — эти стержни являются единственными, ведущими к точкам с координатой w = =1, — то останется еще два доступных пути к точкам х, у, г, 切=1, 1, 1, 0 п х, у, n, w= 1, 1, 1, 2. Таким образом, муравей может сбежать из трехмерной тюрьмы через четвертое измерение.

Примером узника, бежавшего из тюремной камеры через четвертое измерение, часто пользуются, чтобы показать нашу неспособность вообразить феномен четырех измерений. Однако такой пример является убедительным лишь для тех, кто мыслит в терминах континуума. И не удивительно, что построение на основе ненаблюдаемой математической абстракции не может быть физически понято или визуально представлено. Придуманных вещей гораздо больше, чем наблюдаемых. Когда-то противоборство в попытках различить вымышленное и реально наблюдаемое касалось религии, теперь оно затронуло математические концепции. '

Вера в трехмерное пространство

Рассмотрим линейку на рис. 3.2.1, а с метками х = 0, 1, 2, ... . Если точка Р занимает позицию, указанную на рисунке, то говорят, что она принадлежит интервалу 2Vx V 3. Поскольку в действительности точка Р не находится на линейке, то мысленно проводим плоскости, перпендикулярные оси 尤 в точках х — 0, 1, ... (рис. 3.2.1, 6). Тогда точка, попавшая между плоскостями, проходящими через % = 2 и х = 3, принадлежит ин-

тервалу 2Vx V 3.

Вместо утверждения о том, что точка Р принадлежит интервалу 2 Vx V3, мы с таким же основанием могли сказать, что она расположена ближе к точке х = 2,5，чем к любой другой из точек х = 0,5; 1,5; 3,5; 4,5; ... В этом случае метки линейки должны находиться не в точках х = 0, 1, 2, ...» а в точках х = = 0,5; 1,5; 2,5; ...; в остальном ничего не меняется. Таким образом, утверждения «точка Р принадлежит интервалу между

Рис. 3.2 1. Одна линейка определяет одномерный интервал 2Vx V 3, в котором лежит точка Р.

метками m и /п + I》и «точка Р лежит ближе всего к метке m + 1 /2》эквивалентны.

Хотя положение точки Р на рис. 3.2.1 ограничено интервалом 2 V % V 3, расстояние от оси х до точки 尸,если следовать обычной математической абстракции и продолжить плоскости на рис. 3.2.1, б до бесконечности, может быть произвольно большим. Пользуясь общепринятой терминологией, можно сказать, что точка Р, принадлежащая интервалу 2Vx V 3 (рис.3.2.1,б), расположена в объеме порядка оо2. В экспериментальной науке нельзя просто так продлить плоскости до бесконечности и подразумевать, что объем между ними бесконечен. Если конечен объем вселенной, то объем между двумя плоскостями на рис. 3.2.1, б также должен быть конечен. Ранее мы исключили рассмотрение бесконечно малых и бесконечно больших расстояний как ненаблюдаемых, а это запрещает допущение о бесконечном расширении плоскостей на рис. 3.2.1, б. Пользуясь утвер-

Рис. 3.2.2. Две линейки определяют двумерный интервал 2 V % V 3, 1 V у V 2. в котором лежит точка Р.

жденнем «точка 尸 находится ближе всего к метке "2 + 1/2》 вместо утверждения «точка Р лежит в интервале между метками т и т + 1», мы полностью обходим эту проблему, поскольку понятия плоскостей (рис. 3.2.1, б) и объема между ними вводятся понятием интервала. Для утверждения «точка Р находится ближе всего к метке т + 1 /2» требуется лишь понятие конечного расстояния.

Перейдем от одной линейки к двум или к двумерной системе координат (рис. 3.2.2). В верхней части рисунка показаны две координатные оси % п у с метками 0, 1, 2, ... В точках 戈=2 н х = 3 показаны две плоскости, такие же, как на рис. 3.2.1, б. Кроме того, в точках у = 1 и у = 2 показаны две плоскости, перпендикулярные оси у. Теперь положение точки Р определяется двумерным интервалом 2 之 xV3, IVyV2c объемом порядка оо. С другой стороны, можно утверждать, что точка Р находится ближе всего к метке х = 2,5; у =1,5 двумерной системы координат, и, таким образом, избежать понятия ненаблюдаемого бесконечного объема.

Переход от двумерной координатной системы к трехмерной показан на рис. 3.2.3. Бесконечной длины цилиндр с квадрат-

Рис. 3.2.3. Три линейки определяют трехмерный интервал 2 V % V 3, IV V"V2, 3VzV 4, в котором лежит точка Р.Рис. 3.2.3. Три линейки определяют трехмерный интервал 2 V % V 3, IV V"V2, 3VzV 4, в котором лежит точка Р.ным поперечным сечением, представленным на рис. 3.2,2, пересекается двумя плоскостями, перпендикулярными оси г в точках г = 3 и г = 4. В результате получается трехмерный интервал или куб 2VxV3, 1V»V2, 3 之 zV4. Объем этого куба конечен. Следовательно, полагая плоскости, проходящие через метки линеек (рис. 3.2.1, 3.2.2 и 3.2.3), бесконечными, мы приходим к трехмерной системе координат, поскольку любой меньший порядок не позволяет определить положение точки Р внутри конечного объема. С другой стороны, можно утверждать, что «точка Р находится ближе всего к метке х = 2,5; у = =1,5; г = 3,5 трехмерной координатной системы» и исключительность трехмерной системы исчезает.

Рис. 3.2.3. Три линейки определяют трехмерный интервал 2 V % V 3, IV V"V2, 3VzV 4, в котором лежит точка Р.

Рис. 3.2.3. Три линейки определяют трехмерный интервал 2 V % V 3, IV V"V2, 3VzV 4, в котором лежит точка Р.

Перейдем к четырехмерной системе координат (рис. 3.2.4). В этом случае добавляется ось w и проводятся две плоскости, перпендикулярные к ней в точках w = 3 и w = 4. Эти две плоскости вырезают из куба на рис. 3.2.3 его часть. Теперь точка Р принадлежит четырехмерному интервалу 2 < х < 3, 1V»V2, 3V V2V 4, 3V3V 4. Объем

этого интервала меньше объемаэтого интервала меньше объематрехмерного (рис. 3.2.3), но уже не в бесконечное число раз, как было для трех и двух измерений. Следовательно, если в основе рассмотрения лежат интервалы, плоскости и объемы, то очень сильно выделяются именно три измерения. С другой стороны, можно сказать, что точка Р (рис. 3.2.4) находится ближе всего к метке % = 2,5; у = 1,5; г = 3,5; ^ = 3,5 и в трех измерениях нет ничего особенного. Исключительность трех измерений идет от использования декартовых систем координат с прямыми осями и плоскостями (рис. 3.2.1—3.2.3), т. е. элементов евклидовой геометрии. В связи с рис. 3.1.15—3.1.17 уже отмечалось, что допущение об евклидовой геометрии приводит к выводу о том. что мы живем в трехмерном《пространстве». Здесь у нас еще один пример того, как благодаря евклидовой гео мет-

этого интервала меньше объема

этого интервала меньше объема

Рис. 3.2.4. Четыре линейки определяют четырехмерный интервал 2Vx V 3, IVyvZ 3V2V 4, 3V3V 4, в котором лежит точка Р.

рии выделяются три измерения. Избегая понятий евклидовой геометрии, мы подобной исключительности не наблюдаем.

Рис. 3 2.5. Замена бесконечных плоскостей (рис. 3.2.1, б) сферическими поверхностями.

Чтобы яснее показать, как исключительность трехмерного «пространства» зависит от евклидовой геометрии, заменим плоскости на рис. 3.2.1, б поверхностями больших сфер (рис. 3.2.5).

Объем, заключенный между двумя сферическими поверхностями, конечен. Следовательно, при замене плоскостей (рис. 3.2.2— 3.2.4) сферическими поверхностями, резкого уменьшения объема, в котором заключена точка Р, от бесконечного (рис. 3.2.2) до конечного (рис. 3.2.3) не произошло бы.

Евклидова геометрия оказала невероятно сильное влияние на человеческую мысль. В разд. 1.2 мы уже обсуждали это влияние во времена, предшествовавшие эпохе Больяя и Лобачевского. Менее известно то, что Кеплер посвятил много времени установлению связи между числом планет и пятью правильными геометрическими телами евклидовой геометрии ') [81]. В разд. 1.4 мы уже цитировали Эйнштейна и Шлика, пишущих о том, что «наше пространство» — это изобретение, не имеющее физической реальности. Если это действительно так, то пространство не может иметь такой наблюдаемой характеристики, как трехмерность, а она несомненно приписывается «нашему пространству», по крайней мере для расстояний не слишком больших. Наши рассуждения настоятельно указывают на то, что понятие трехмерности обусловлено повсеместным использованием декартовых координатных систем с прямыми, в евклидовом смысле, осями, имеющими бесконечную длину и расстояние dx между соседними метками2). Такая система координат с тремя осями позволяет нам вполне удовлетворительно описывать многие наблюдаемые явления и стала значительно большим, чем математический инструмент, стала «нашим пространством». Переход математических концепций в физические понятия является распространенной практикой, хотя все мы понимаем, что математика может дать лишь модели для описания физических наблюдений и только опыт, полученный на основе наблюдений, позволяет сделать вывод о пригодности для физики

|> В геометрии Евклида пять правильных геометрических тел. В порядке увеличения числа сторон это тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Между шестью планетами Меркурием, Венерой, Землей, Марсом, Юпитером и Сатурном, известными во времена Кеплера, также пять промежутков. Попытки увязать число правильных геометрических тел с числом промежутков между планетами прекратились только с открытием в 1781 г. Урана. См. гл. «The Cosmic Mystery» [83] или «Weltgeheimnis» [163].

2)Выражение «расстояние dx между соседними метками» подразумевает, что любое конечное расстояние делится на несчетное число интервалов. Необходимо добавить, что кроме этих свойств координатной системы требуется также допущение об измерении расстояний по формуле Пифагора s2 = =%2 + "2 + 2?. Концепция Пифагора и ее связь с поворотом системы координат кратко обсуждались в гл. 1 (см. рис. 1.3.1) и будут рассмотрены более подробно в разд. 3.4. В гл. 2 обсуждалось, как координатная система, построенная из несчетного числа стержней диаметром dx (см. рис. 2.4.4), становится поверхностью с размеченными линиями координат. Теперь у нас рассматривается трехмерный аналог.

той или иной математической модели 2 Тем не менее евклидова геометрия в течение длительного времени определяла метрику «нашего пространства», математическое понятие континуума в настоящее время определяет топологию «нашего пространства», мало кто считает иначе, а декартова система координат с евклидовыми прямыми осями и расстоянием dx между соседними метками определяет само «наше пространство». Рассматривая это утверждение в обратной последовательности, получаем, что определение «нашего пространства» с помощью такой системы координат логически приводит к топологии континуума и евклидовой метрике.

Часто считают, что так называемые зеркальные изображения——это явления, дающие физическую интерпретацию понятию измерения. Например, буква L и ее зеркальное изображение, которое представляет собой ту же букву, но смотрящую влево, не могут быть преобразованы одна в другую никакими перемещениями и вращениями на плоском листе бумаги. Но такое преобразование возможно, если разрешается перемещение в третьем измерении. Такие явления будут обсуждаться в следующем параграфе.

Правосторонние и левосторонние структуры

Одной из самых замечательных особенностей математического пространства с размерностью 〃 + 1 является то, что оно позволяет преобразовать объект из «-мерного пространства в его зеркальное изображение. Рассмотрим букву L в двумерной координатной системе (рис. 3.3.1» а). Никакими перемещениями и вращениями в плоскости ху мы не можем преобразовать эту букву в ее зеркальное изображение (рис. 3 3.1,6). Однако преобразование можно осуществить, «перевернув L через третье измерение».

Рассмотрим теперь тот же самый процесс в двумерной, конечной, но неограниченной системе координат (см. рис. 3.1.2). Добавим к этой системе координатное кольцо у, проходящее через точку % = 2"/2 = 4 (рис. 3.3.2). В точке х = 0, у = 0 находится буква L, которая тянется по кольцу х до точки х = 1, у = 0, а по кольцу у ——до точки х — 0, у = 2.

D Прекрасным примером является статья [109]. В ней указывается, что уравнения Максвелла н Дирака и соотношения Эйнштейна в вакууме говорят в пользу четырех измерений для пространства-времени. Тогда возникает вопрос： «свидетельствует ли это о существовании пространства-времени н о том, что оно четырехмерио. или топько о том, что эти математические модели хороши для предполагаемого чегырехмерного пространства времени (для которого они писались) ?>

Построим такую же букву 厶 в точке х = 2"/2 = 4, у = 0. По кольцу х она пройдет до точки х = 2A72 +1=5, у = 0, а по кольцу у — до точки х = 2"/2 = 4, у = 2.

Переместим одну из букв 厶(рис. 3.3.2) по кольцу х к месту расположения другой буквы. Буквы совпадут. С другой стороны, если мы перенесем одну из этих букв к месту расположения другой «через трехмерное пространство», то они будут зеркальным изображением друг друга. Таким образом, это очень похоже на ситуацию, изображенную на рис. 331.

□ 6

00Рис. 3.3.1. Буква L и ее зеркальноеРис. 3.3.1. Буква L и ее зеркальноеизображение в двумерной декартовойизображение в двумерной декартовойсистеме координат.системе координат.

0

0

Рис. 3.3.1. Буква L и ее зеркальное

Рис. 3.3.1. Буква L и ее зеркальное

изображение в двумерной декартовой

изображение в двумерной декартовой

системе координат.

системе координат.

Обратимся к трехмерной конечной, но неограниченной систе- ме координат (см. рис. 3.1.7), основные элементы которой показаны на рис. 3.3.3. Координатное кольцо х представлено полностью, а кольца у и z только сегментами, проходящими через точку х = 0, у = 0, г = 0. Показаны также сегменты колеи у и г, проходящих через точку х = 2"/2 = 4, у = 0, г = 0.

Теперь вместо буквы 工 воспользуемся трехмерным треножником с центром в точке х = 0, у = 0, z = 0 и окончаниями ножек в точках (q) х=1, у =。，г = 0;(力)х = 0, У=1, г = 0; (с) х = 0, у = 6, 2 = 1 (рис. 3.3.3). Для облегчения восприятия изогнутого треножника вблизи точки х = 0, у = 0, г = 0 показаны более привычные оси трехмерной правосторонней декартовой системы координат.

Второй такой же треножник построен в точке х = 2〃/2 = 4, у = 0, z = 0. Окончания его трех ножек расположены теперь в точках (q) х = 2A72 +1=5, у = 0, г = 0; (Ь) х — 2'/2 = 4, у = 1,之=0; (с) х = 2"/2 = 4, у = 0,之=1.

Если один из этих треножников перенести по координатному кольцу % к месту расположения другого, то они совпадут. С этой точки зрения оба треножника являются правосторонними. Пусть теперь треножник с вершиной в точке х = 0, у = 0, 2 = 0 перемещается «в пространстве» к месту расположения

и ее зеркальное изображение ви ее зеркальное изображение вРис. 3.3.2. Буква 厶Рис. 3.3.2. Буква 厶дву мерной системе координат, основанной иа кольцах.

и ее зеркальное изображение в

и ее зеркальное изображение в

Рис. 3.3.2. Буква 厶

Рис. 3.3.2. Буква 厶

Рис. 3.3.3. Правосторонний =2"/2 = 4, у = 0, 2 = 0Рис. 3.3.3. Правосторонний =2"/2 = 4, у = 0, 2 = 0треножник в точках х = 0, у = 0, z = 0 и %,трехмерной системы координат, основанной накольцах.

Рис. 3.3.3. Правосторонний =2"/2 = 4, у = 0, 2 = 0

Рис. 3.3.3. Правосторонний =2"/2 = 4, у = 0, 2 = 0

другого треножника. Для большей наглядности вблизи точки * = 2改/2==4, у = 0, n = 0 показаны оси трехмерной правосторонней декартовой системы координат, перемещенные 《в пространстве» из окрестности точки х = 0, у = 0, N = 0. Очевидно, что треножник, перемещенный «в пространстве», является зеркальным изображением треножника, перемещенного вдоль координатного кольца х. Если один треножник правосторонний, то другой левосторонний.

Рис. 3.3.4. Вращение буквы L в трехмерной декартовой системе координат.

Обычно утверждают, что преобразование правосторонней системы координат — или правой перчатки — в левостороннюю требует переноса сквозь четырехмерное пространство. Следовательно, если строить модель с помощью стержней и шаров (рис. 3.3.3) и выполнять только что рассмотренные перемещения, то «наше трехмерное пространство» необходимо называть четырехмерным. Рис. 3.3.3 — это наглядный пример того, что число измерений определяется используемой системой координат, в то время как ненаблюдаемое понятие «наше пространство» или «физическое пространство» свойством размерности не обладает.

Для дальнейшего разъяснения формирования зеркальных изображений в многомерных системах координат обратимся к рис. 3.3.4. На рис. 3.3.4, а с использованием координат х н » трехмерной координатной системы изображена буква L. Система координат при этом может быть либо декартовой, либо кольцевой с кольцами большого диаметра, заменяющими прямые оси. Буква L вращается вокруг осн у. Зеркального изображения при этом не получается.

На рис. 3.3.4, б буква L вращается вокруг оси г. Зеркальное изображение получается поворотом короткой составляющей буквы 丄 сначала в направлении от оси х к оси у9 а затем от оси у к отрицательной полуоси ——х.

Теперь обратимся к треножнику, изображенному на рис. 3.3.5, а. Первоначально его ножкн 1, 2, 3 направлены вдоль положительных полуосей х, у, г. Вращение вокруг оси г повернет ножку 1 в направлении +у, а ножк)2——в направлении —х.

Рис. 3.3.5. Вращение треножника： q — в трехмерной декартовой системе координат; 6 ——в четырехмерной декартовой системе координат.

Второе вращение вокруг оси г повернет ножку 1 в направлении —%, а ножку 2 в направлении —у. Теперь ножка 1 имеет желаемое направление, противоположное своему первоначальному 十х. Вращение вокруг оси х сохраняет направление ножки 1, но изменяет направления ножек 2 и 3 на +^ и +», и это означает, что треножник по-прежнему правосторонний.

Получение левостороннего треножника при наличии четвертой координатной оси или кольца w иллюстрируется рис. 3.3.5, б. Первоначально три ножки имеют направления +х, +у, +z. Вращение вокруг оси 2 не меняет положения ножки 3, в то время как ножки 1 и 2 поворачиваются в направлениях -j-у, +侬. При следующем вращении вокруг оси w положение ножки 2 остается неизменным, а ножки 1 и 3 поворачиваются в направлении ——х, +у Теперь ножка 1 имеет желаемое направление. Дальше таким же образом вращение осуществляется вокруг оси х. Оно оставляет положение ножки 1 прежним, а ножки 2 и 3 поворачиваются в направпениях +у,斗之.Получился левосторонний гренпжник

Проблема право- и левосторонности часто обсуждается в терминах левой и правой перчаток. Воспользуемся таким подходом. Предположим, что некий изготовитель перчаток создает две фабрики на противоположных концах экватора в точках О, О, 0 и 4, 0, 0 (рис. 3.3.3). Для всех процессов по раскрою и шитью используются машины с цифровым управлением. Все машины работают по одной н той же программе ——обе фабрики производят только правые перчатки. Машинам и управляющей программе для обеспечения работы необходима трехмерная система координат. Такая координатная система (с направлениями вправо, вперед, вверх) встраивается в машины, и на ее основе пишутся программы. Однако изготовитель перчаток использует систему координат, основанную на направлениях восток (ось х) север (ось у) и направлении к Солнцу, измеренном 21 марта в 00:00 часов солнечного времени в точке 0, 0, 0 — что соответствует полудню в точке 4, 0, 0— (ось 2). Обе фабрики выпускают правые (в терминах своей координатной системы) перчатки. Поставляя половину выпущенных перчаток на другую фабрику, обе фабрики обеспечивают себя парами левых и правых перчаток.

Рассмотрим перенос жесткого треножника по кольцу х (рис. 3.3.3). Первоначально треножник находится в точке 0, 0, 0, и его ножки имеют направления х, у, г, соответствующие направлениям координатных колец в этой точке. Перенесем треножник по кольцу х в точку 4, 0, 0 так, чтобы направления его ножек совпадали в процессе переноса с направлениями координатных колец в точках х = 1, 2, 3, 4. Очевидно, что это не оказывает никакого влияния на ножку, обозначенную через 2, но одну из ножек х или у придется изогнуть. Следовательно, требуются усилия, чтобы сохранить треножник правосторонним в процессе его переноса по координатной системе (рис. 3.3.3). Можно сказать по-другому, что во время переноса какие-то таинственные силы изгибают правосторонний треножник, превращая его в левосторонний.

Заметим, что двумерную букву 丄(см. рис. 3.3.1) можно преобразовать в ее зеркальное изображение, перемещая или разворачивая ее в третьем измерении без привлечения для этих процессов каких-либо сил. Однако, когда буква попадает на свое зеркальное изображение, в действительности видна ее «оборотная» сторона. В трех измерениях можно правую перчатку преобразовать в левую, вывернув ее наизнанку. Тогда видна уже не «оборотная» сторона буквы L, а «внутренняя» сторона перчатки, но если мы не различаем оборотную и верхнюю стороны буквы L, то не должны различать также внутреннюю и внешнюю стороны перчатки. Особенно впечатляют преобразования перчаток

из тонкого материала без каких-либо ярких отличительных признаков внутренней и внешней сторон, например хирургических или резиновых электрозащитных, или дешевых хозяйственных перчаток. Вместо того чтобы выворачивать наизнанку перчатки, можно то же самое проделать с рукавами пальто или рубашки н штанинами брюк. В этих операциях право- и левостороннее взаимообратны. Следовательно, преобразования, которые, казалось бы, требуют четырех измерений, на самом деле являются предметом повседневного опыта.

Расстояние в дискретных системах координат

Рассмотрим декартову систему координат с двумя осями Пусть некоторая точка Ро имеет координаты х0, Уо, а другая точка Pi — координаты 勾，协.Можно определить разность координат или координатное расстояние DK:

&=(1。一％l, IL — %1)・(1)

Здесь координатное расстояние состоит из двух чисел, а в общем случае приходится по одному числу на переменную. На основе Dk можно записать расстояния, состоящие только из одного числа. Одним из наиболее известных является расстояние Пифагора £)п：

Dn = (I % — % 卩十 I 族一％ |2)1/2.⑵

Пифагорово расстояние хорошо подходит под евклидову геометрию. В общем случае, как будет показано в дальнейшем, оно не может быть использовано для дискретных координатных систем. Другие расстояния, которые могут быть получены на основе °к 一 это абсолютное расстояние Оа：

& = I %| — %о I + I 勿一Уо 1(3)

н минимальное абсолютное расстояние DMHh：

омии = (IХ1 — Хо I +1 у| — Уо 1)мин.(4)

Как уже рассматривалось раньше (см. рис. 1.3.1), смысл расстояния Омнн в том, что координатная система вращается так, чтобы расстояние Оа стало минимальным. Из иллюстрации нетрудно заметить, что в плоскости с декартовой системой координат Оммн совпадает по величине с пифагоровым расстоянием Оп・ Кроме того, Омнн дает расстояние на земной поверхности вдоль главной образующей окружности, если положение точек Pi и Р2 определяется системой координат, основанной на меридианах и параллелях.

Рассматривая теперь вместо расстояния вдоль оси координатную разность или координатное расстояние Ок на кольце с 2м точками (см. рис. 3.1.1), получаем

Ок = (1Х1 —№l) ПРИ 丨修一％1《2A72;

= (2“一|勾一％о|) при I %1 — х0 I > 2^/2.(5)

Это же определение можно записать в другом виде:

& = (I。— ％。1пк)»(6)

где индекс《пк» (от значений |м — хо| игде индекс《пк» (от значений |м — хо| ислова «полукольцо») означает, что из двух 2"—|xi — Хо| берется меньшее. Естествен-

где индекс《пк» (от значений |м — хо| и

где индекс《пк» (от значений |м — хо| и

Рис. 3.4.1. Расстояние между двумя точками Р и Q в координатных системах,в которых предполагается： а — евклидова плоскость; 6 ——сфера; 8 ——произ-вольная поверхность.

ным является обобщение координатного расстояния Ок на кольца с двумя и более переменными:

Ок ^^ (I*1 %о 1пк, I У1 Уо 1пк> • • •)•(7)

Как и прежде, на основе Ок можно получить абсолютное расстояние О Оа и минимальное абсолютное расстояние ОМИн：

& = I 修一％о 1“ +1 协一Уо 1пк>(8)

°мнн 二3 ( I *1*0 1пк + I У1 — Уо 1пк + • • • )мнн・(9)

Формально можно записать и пифагорово расстояние, но физический смысл его не очевиден. Для пояснения обратимся к рис. 3.4.1, а. Расстояние между точками Р н Q почти автоматически будет определено как пифагорово:

On = [(х„ + 1- X J + (勿+ 1 — ％)2产(10)

и показано штриховой линией. Естественно, при этом предполагается, что точки Р и Q лежат в двумерной непрерывной

】> Для 2" = 2 определенное здесь расстояние Da становится расстоянием Хэмминга, которое было введено в процессе разработки теории кодирования [57].

евклидовой плоскости. Если мы представим себе четыре координатные линии, которые необходимо нанести на карту, то тут же сообразим, что штриховая линия может пересечь гору или какое-либо другое препятствие, которое делает это расстояние не кратчайшим. На непрерывной абстрактной математической поверхности штриховая линия также может встретить одну или более особых точек. °

Искривленные координатные линии (рис. 3.4.1,б) не позво- ляют провести между точками Р н Q евклидову прямую и использовать в качестве расстояния между этими точками пифагорово расстояние (10). Но привычная кривизна координатных линий подсказывает возможность измерять расстояние по главной образующей окружности сферы. Только изменчивость кривизны координатных линий (рис. 3.4.1, в) препятствует выбору определенной непрерывной поверхности, на которой можно было бы измерить кратчайшее расстояние между точками Р и Q・ Если поверхность отсутствует, а имеются лишь четыре координатные линии или стержня х„, хп+ь уп, yn+h то между точками Р и Q, очевидно, можно определить координатное расстояние

& = (I х“+1 — Х“1, I %+1 — % Iили абсолютное расстояние

D^ = \xn+l — Хп\ + \уп+1 —уп I,или минимальное абсолютное расстояние

Омнн = (|х〃 + 1 — ^п 1 + I Уп + l — Уп I )мнн> но ничего больше.

В этом способе определения расстояния есть что-то явно неудовлетворительное. Физический объект, будь то классическая стрела или более современный фотон, попадет из точки Р в точку Q независимо от координатной системы. Обычный способ преодолеть эту проблему ——это допустить, что, во-первых, координатные линии наносятся бесконечно близко друг к другу и, во-вторых, они лежат《на поверхности» или《в пространстве» с определенными свойствами. Источником знании об этих свойствах должны быть наблюдения, но нет наблюдений, которые доказали бы существование непрерывного пространства, не говоря уже о пространстве с более детальным списком свойств. Пифагорово расстояние требует не только бесконечно малых интервалов между координатными линиям», что подтверждается рис. 3.4.2. Пусть сначала даны две пары координатных линий в точках х小 х〃 + Ах и у小 уп -|- ^у. Абсолютное расстояние между точками Р н Q равно Ал + △,. Если теперь коор-

динатные линии разделить меньшими интервалами А»', △,', то никакого уменьшения абсолютного расстояния не произойдет. Длина линии s всегда равна △* + △，независимо от того, насколько малы А/ и А/ Это рой геометрия Гимана требует ния для элемента длины ds2 = =glkdxldxk.Существует и другой способ решения проблемы измерения расстояния, не требующий ни поверхностей, ни пространств. Координатные линии (рис. 3.4.1, в) можно повернуть или изогнуть так, чтобы либо линия х„, либо линия уп прошла через обе точки Р и Q. Тогда вместо определения свойств гипотетической поверхности или пространства необходимо определить (мысленно или реально) только свойства построенной системы координат.динатные линии разделить меньшими интервалами А»', △,', то никакого уменьшения абсолютного расстояния не произойдет. Длина линии s всегда равна △* + △，независимо от того, насколько малы А/ и А/ Это рой геометрия Гимана требует ния для элемента длины ds2 = =glkdxldxk.Существует и другой способ решения проблемы измерения расстояния, не требующий ни поверхностей, ни пространств. Координатные линии (рис. 3.4.1, в) можно повернуть или изогнуть так, чтобы либо линия х„, либо линия уп прошла через обе точки Р и Q. Тогда вместо определения свойств гипотетической поверхности или пространства необходимо определить (мысленно или реально) только свойства построенной системы координат.и является причиной, по кото- допол нительного предположе-

динатные линии разделить меньшими интервалами А»', △,', то никакого уменьшения абсолютного расстояния не произойдет. Длина линии s всегда равна △* + △，независимо от того, насколько малы А/ и А/ Это рой геометрия Гимана требует ния для элемента длины ds2 = =glkdxldxk.

Существует и другой способ решения проблемы измерения расстояния, не требующий ни поверхностей, ни пространств. Координатные линии (рис. 3.4.1, в) можно повернуть или изогнуть так, чтобы либо линия х„, либо линия уп прошла через обе точки Р и Q. Тогда вместо определения свойств гипотетической поверхности или пространства необходимо определить (мысленно или реально) только свойства построенной системы координат.

динатные линии разделить меньшими интервалами А»', △,', то никакого уменьшения абсолютного расстояния не произойдет. Длина линии s всегда равна △* + △，независимо от того, насколько малы А/ и А/ Это рой геометрия Гимана требует ния для элемента длины ds2 = =glkdxldxk.

Существует и другой способ решения проблемы измерения расстояния, не требующий ни поверхностей, ни пространств. Координатные линии (рис. 3.4.1, в) можно повернуть или изогнуть так, чтобы либо линия х„, либо линия уп прошла через обе точки Р и Q. Тогда вместо определения свойств гипотетической поверхности или пространства необходимо определить (мысленно или реально) только свойства построенной системы координат.

Рис. 3.4.2. Уменьшение интервалов Ах и Ау до Ах' = Ах/10 и △/ =Ау/10 не сказывается на расстоянии между точками Р н Q; это расстояние всегда равно s = 10Ах' + 10Ау' = Ах +Рис. 3.4.2. Уменьшение интервалов Ах и Ау до Ах' = Ах/10 и △/ =Ау/10 не сказывается на расстоянии между точками Р н Q; это расстояние всегда равно s = 10Ах' + 10Ау' = Ах +Рассмотрим уравнение Эйнштейна в общей теории относительности:

Рис. 3.4.2. Уменьшение интервалов Ах и Ау до Ах' = Ах/10 и △/ =Ау/10 не сказывается на расстоянии между точками Р н Q; это расстояние всегда равно s = 10Ах' + 10Ау' = Ах +

Рис. 3.4.2. Уменьшение интервалов Ах и Ау до Ах' = Ах/10 и △/ =Ау/10 не сказывается на расстоянии между точками Р н Q; это расстояние всегда равно s = 10Ах' + 10Ау' = Ах +

Gik = Rik — } g 議R = ~^~ 丁访，(11)

где k — гравитационная постоянная; с — скорость света;犬議 —— тензор Риччи; R — скалярная кривизна; Tik — тензор энергии- импульса материи.

Обычная интерпретация этого уравнения состоит в том, что тензор энергии-импульса материи Т порождает среднюю кривизну пространства-времени. Этот тензор существует «при полном отсутствии координат» [95, с. 32, 41, 42]. Представленная нами точка зрения полностью противоположна. Тензор знер- гии-импульса материи Т порождает тензор кривизны G координатной системы при полном отсутствии пространства» Искривляется не пространство, а координатные линии, например линии или стержни х〃 и уп на рис. 3.4.1, в. Если координатные линии изогнуть так, чтобы они стали геодезическими, то расстояние между любыми двумя точками одной и той же координатной

*> Поскольку понятие времени еще не обсуждалось, то мы используем слово пространство, а не пространство-время. Проблема времени будет поднята в гл. 4.

линии будет стационарным ", и мы получим удовлетворительное решение проблемы расстояния в дискретной системе координат, характеризуемой тензором энергии-импульса материи Т. Таким решением является минимальное абсолютное расстояние.

Для дальнейшеего изучения понятия расстояния обратимся к рис. 3.4.3. Точка Р находится ближе всего к метке х = 4, у = 3 декартовой системы координат. Абсолютное расстояние

Рис. 3.4.3. Расстояние Пифагора от начала координат 0 до точки Р равно минимальному абсолютному расстоянию: а——расстояние Пифагора； б—минимальное абсолютное расстояние, которое находится поворотом координатной системы так, чтобы начало координат 0 и точка Р оказались либо на оси %, либо на оси у.

ст начала координат х = 0, » = 0 до этой точки равно 3 + 4 = —7. Минимальное абсолютное расстояние равно расстоянию Пифагора (З2 + 42)1/2 = 5. Обычный способ интерпретации расстояния Пифагора — это провести прямую линию между х = О, у = 0 и Р (рис. 3.4.3, а). Однако можно также повернуть координатную систему таким образом, чтобы % = 0, » = 0нР расположились либо на оси х, либо на оси у (рис. 3.4.3,б). Эта возможность выбора подчеркивает особенность минимального абсолютного расстояния.

Рассмотрим теперь две точки Р[ и Р2 на поверхности Земли с координатами 0° долготы, 0° широты и 10° восточной дол-

D Геодезическая дает не только минимальное расстояние; например, образующая земной поверхности дает два расстояния между двумя точками, одно из которых является кратчайшим. Поэтому вместо термина минимальное расстояние используется термин стационарное расстояние. «Геодезическая——это кривая, длина которой в пределах произвольно малых ее отклонений неизменна, а конечные точки фиксированы» [144, § 2.4]. Геодезические координатные системы, выделенные здесь по их физическим свойствам, выделяются также в тензорном анализе, поскольку в этих системах абсолютная произ в эдп а я тензора сводится к обычной производной [144, § 8.2].

готы, 10° северной широты. Можно опять повернуть координатную систему вокруг первой точки Р| таким образом, чтобы вторая точка 户2 оказалась либо на вращающемся меридиане, либо на вращающемся экваторе. Одно из расстояний между точками Pi и Р2 вдоль этих двух образующих окружностей является минимальным абсолютным расстоянием или (обобщенным) пифагоровым расстоянием на сферической поверхности.

Пусть теперь точка Р】сместилась к координатам 5° восточной долготы, 5° северной широты, а точка Р2 осталась на прежнем месте. Можно опять повернуть систему координат так, чтобы

Рис. 3.4.4. Определение минимального абсолютного расстояния от начала координат у, х = 00 до точки Р путем вращения координатной системы вокруг ее начала 00 так, чтобы Р оказалась либо на оси 力,либо на оси у: 〃——исходное положение; б ——положение после вращения.

обе точки Pi и Р2 оказались на одном и том же вращающемся меридиане, и получить таким образом минимальное абсолютное, или пифагорово, расстояние. Однако использовать вращение параллели 5° северной широты теперь нельзя, так как эта окружность не является образующей.

Возникает вопрос, существуют ли системы координат, вращением которых в общем случае нельзя получить пифагорово расстояние между двумя точками. Ответом являются системы координат, основанные на кольцах (см. рис. 3.1.1). Обратимся к простой диадической координатной системе (рис. 3.4.4, а). Точка Р, расположенная ближе всего к точке координатной сетки у = 1, х = 0, имеет координатное расстояние от начала координат » = 0, х = 0, равное (1,0) = 10. Абсолютное расстояние составляет 1 + 0 = 1. Пусть теперь координатная система вращается вокруг своего начала у = 0, х = 0. Единственная точка координатной сетки, которая может приблизиться к точке Р, это метка ^ = 0, х = 1 (рис. 3.4.4,б). Теперь координатное расстояние равно (0,1) = 01, а абсолютное расстояние остается прежним: 0十 1 = 1・ Следовательно, единица

4 X. Хармут

является минимальным абсолютным расстоянием. В такой координатной системе понятие расстояние Пифагора не имеет явного смысла; чтобы придать ему смысл, пришлось бы ввести понятия пространства н метрики пространства.

Рассмотрим теперь диадическую систему координат с тремя переменным» х, у, г (рис. 3.4.5, а). Вблизи координатной метки 2 = 0, у= 1, х = 1 лежит точка Р. Ее координатное расстояние от начала координат ООО составляет (0,1,1). а абсолютное

Piic. 3.4.5. Обобщение рис. 3.4.3 для трехмерной координатной системы. Вращение координатной системы вокруг ее начала г, у, х = ООО переносит точку Р: а — к метке 011; 6 — к метке 101; в — к метке 110. Абсолютное расстояние во всех трех случаях равно 1 + 1 = 2.

расстояние 0 + 1 + 1 = 2. Повернем координатную систему вокруг ее начала таким образом, чтобы точка Р оказалась у метки n = 1, у = 0, х = 1 (рис. 3.4.5,б). Теперь координатное расстояние от начала координат равно (1,0, 1), но абсолютное расстояние осталось прежним: 1 + 0 + 1 = 2. Повернем координатную систему еще раз так, чтобы точка Р оказалась у метки 110 (рис. 3.4.5, 6). Координатное расстояние стало равным (1,1,0), но абсолютное расстояние по-прежнему равно 1 + 1斗0 = 2. Следовательно, для диадических координатных систем абсолютное и минимальное абсолютное расстояние совпадают; расстояние Пифагора не определено.

Обобщим результаты, полученные для диадических систем координат, на общий случай кольцевых координатных систем. На малых расстояниях 々Ах, А《2" координатные системы, основанные на больших кольцах 2'》1, очень похожи на декартовы системы координат, как показано на рис. 3.1.1 для одномерного случая и на рис. 3.1.10, для трехмерного случая.

Следовательно, для коротких — или локальных — расстояний можно определить пифагорово расстояние путем вращения координатной системы. Однако мы не можем этого сделать, если абсолютное расстояние |%i ——Хо| + |yi — Уо| + |之1 — 2。| недостаточно мало по сравнению с периметром колец. Для координатных систем, основанных на кольцах, понятие расстояния Пифагора является локальной чертой, неприменимой к большим, или глобальным, расстояниям.

Координатные системы, определяемыес помощью метрического тензора

Мы утверждали, что, согласно уравнению поля (3.4.11) общей теории относительности, тензор энергии-импульса материи Т порождает тензор кривизны G координатной системы. Для

盘以捲5%空%

Рис. 3.5.1. Расстояние As между двумя точками х0, уо, z。, w0 и xb у^ zi, wt . в четырехмерной наклонной координатной системе; х° = х4 — х0, х1 =

=1/1 — "о, %2 =有一Zo, *з =利—侬0

более ясного понимания этого утверждения рассмотрим следующий пример. Пусть две точки координатной сетки х0, "о, No, Wo и Xi, у% гь Wi в четырехмерной системе координат имеют координатные расстояния (修一хо = х。，勿一уо = х* Zi — г0 = =%2, ®i —侬0 = %3). для задания направлений координатных осей х, у, z,侬 в точке х0, у。，z0, Wo используются единичные векторы е°, е* е2, е3. Термин «единичный вектор» означает, что е° идет вдоль оси х от метки х° до соседней метки х + Ах н т. п.

Пифагорово расстояние между точками хо, go. No, w0 и 尤】， 协，2i, Wi может быть представлено четырьмя векторами х°е°, х】е* х2е2,尤з^з (рИС. 3.5.1]. Квадрат интервала As определяется следующим скалярным произведением:

(As)2 = (х°е° + Re】+ х2е2 + х3е3) (/%。+ х^1 + 必©2 + 炉好3)=

з з

⑴⑴=X X g込//； ，=0 女=0

⑴

⑴

g/ = e • е = cos а£А = cos аЛ£ = gki.

Векторное произведение подразумевает справедливость евклидовой геометрии. Чтобы обойтись без тривиального предположения о справедливости евклидовой геометрии для координатной системы в целом, можно некоторым образом ограничить область действия уравнения (1). Следуя Риману, который постулировал евклидову геометрию для бесконечно малых расстояний ds, потребуем, чтобы условие (1) выполнялось лишь для достаточно малых, но конечных значений As. Компоненты метрического тензора для дискретных координат являются тогда не чем иным, как косинусами углов (рис. 3.5.1):

/ googoig()2g03、/ 1cos a01COS Qq9cos a03giogllgl2统cos a101COS Ct|2cos a13g20g21g22g23 1cos a2oCOSa211cos a23' g30g31g32g33丿' cos «30cos a31COS Q321/ googoig()2g03、/ 1cos a01COS Qq9cos a03giogllgl2统cos a101COS Ct|2cos a13g20g21g22g23 1cos a2oCOSa211cos a23' g30g31g32g33丿' cos «30cos a31COS Q321⑵⑵

/ goo

goi

g()2

g03、

/ 1

cos a01

COS Qq9

cos a03

gio

gll

gl2

统

cos a10

1

COS Ct|2

cos a13

g20

g21

g22

g23 1

cos a2o

COSa21

1

cos a23

' g30

g31

g32

g33丿

' cos «30

cos a31

COS Q32

1

/ goo

goi

g()2

g03、

/ 1

cos a01

COS Qq9

cos a03

gio

gll

gl2

统

cos a10

1

COS Ct|2

cos a13

g20

g21

g22

g23 1

cos a2o

COSa21

1

cos a23

' g30

g31

g32

g33丿

' cos «30

cos a31

COS Q32

1

⑵

⑵

В общей теории отн ос и те л ьности для малых расстояний требуется не евклидова геометрия, а геометрия Лоренца. Это означает, что знак произведения х°е° в одном из выражений в скобках равенства (1) надо поменять на противоположный:

(As)2 = (х°е° + %%i + 必/ + х3е3) (— х°е° + xd + /е? + х3е3)=

з з

Д 4//・(з)

t=0 fe=0

Коэффициенты gfik по-прежнему определяются уравнением (2), но элементы первого столбца теперь должны быть равны —1, —COS OCjo, —COS CX20, —COS ОСзо，

Поскольку понятие времени нами еще не рассматривалось, то для интерпретации компонентов 且；白 метрического тензора

пространства-времени придется это понятие взять как должное. Вектор е° (рис. 3.5.1) нельзя назвать просто направлением оси времени. До сих пор мы неоднократно и нтер пр етир ов ал и «про-

странственные» оси как оси координатной системы, выполняемой из стержней, а вряд ли можно утверждать, что ось времени может быть выполнена в виде стержня. Вектор х°е° (рис. 3.5.1) представляет собой не время 玄 а перемещение v£, где V — скорость, с которой сектор данной координатной системы движется относительно другой координатной системы. Нетрудно определить углы а01, а02 и аоз между единичными векторами е1, е2, е3 осей координатной системы и единичным вектором е° направления ее движения. Сразу становится очевидным, что пространство-время в общем случае нельзя разделить на пространство и время, поскольку это было бы равносильно разделению движущейся системы координат на систему координат и «движение». Только при v = 0 движущаяся координатная система сводится к системе координат или пространство-время сводится к пространству.

Равенство компонент метрического тензора косинусам углов между осями локальной координатной системы и направлением ее локального движения в точке х(), go, 20, Wo показывает, что понятие пространства не является необходимым. Только оси или «стержни» координатной системы и путь, вдоль которого она движется, подлежат изгибу или искривлению. Движущаяся координатная система является такой же рукотворной конструкцией, как и линейка. Нет необходимости строить движущиеся относительно друг друга координатные системы с помощью стержней и шаров (см. рис. 3.1.10 или 3.1.25). Стержни можно заменить электромагнитными волнами, сконцентрированными в узком луче, либо излучаемыми радаром или лазером, либо принимаемыми телескопом, а шары ——пересечением таких лучей. То, что мы наблюдаем ——это изогнутые или искривленные лучи электромагнитных волн, а не нечто, названное искривленным пространством.

Вид структуры (см. рис. 2.4.8) позволяет утверждать, что при отсутствии отклоняющих сил можно построить ограниченную координатную систему с одинаковыми значениями углов между осями в любой точке координатной сетки. С другой стороны, построение неограниченной, но конечной системы координат требует искривления, а это означает, что углы не могут иметь одни и те же значения во всех координатных точках, представленных шарами. Вид структуры (см. рис. 3.1.11) подтверждает, что углы между кольцами х н у в точках 00 и 01 не равны.

Перечертим рис. 3.5.1, чтобы показать более наглядно, что он изображает клетку или ячейку координатной системы. Такая процедура была проделана с помощью рис. 3.1.10 для трехмерной системы координат. Для простоты будем использовать только три переменные: R, х2, х3. Такая ячейка с началом в

Рис. 3.5.2. Определение углов между координатными ячейки координатной системы с помощью компонентов gi* = gi^(/, /и, n) = cos а議.Рис. 3.5.2. Определение углов между координатными ячейки координатной системы с помощью компонентов gi* = gi^(/, /и, n) = cos а議.

Рис. 3.5.2. Определение углов между координатными ячейки координатной системы с помощью компонентов gi* = gi^(/, /и, n) = cos а議.

Рис. 3.5.2. Определение углов между координатными ячейки координатной системы с помощью компонентов gi* = gi^(/, /и, n) = cos а議.

метке / для переменной х\ в метке т для х2 и в метке п для %3 изображена на рис. 3.5.2. Единичные векторы е1, е2, е3 указывают направление к соседним координатным точкам / + 1, т» п, или I, m -|- 1, п, или 厶 /п, "+ 1, а значения Ax' AR, Ах*

линиями клетки или метрического тензора

определяют расстояние до этих точек. Элемент пифагоровой длины (As)2 в координатной точке /, т, и имеет вид

(As)2 = (Axd + Ал^е? + А/еЗ)(八％品1 + ,\х2е2 + Ах%з)—

=Ё Е g* △储 м； (4) i = l k= 1

gtk = gki = e%' = cos aik.

Таким образом, метрический тензор определяет углы между координатными линиями в любой точке /, т, п координатной сетки. Заметим, что нам не нужно определять расстояние координатной точки /, m, п от произвольного начала координат с помощью каких-либо интервалов вдоль осей %1, х2 и х?； достаточно только подсчитать число меток I, m, п вдоль этих осей. При использовании континуума и дифференциалов dx‘ вместо системы координат с дискретными метками этого нельзя было бы сделать.

Координатные системы с одной переменной

Мы показали, что «в нашем трехмерном пространстве» можно построить системы координат с более чем тремя переменными. Для полноты картины покажем теперь, что при использовании дискретных систем координат всегда достаточно одной пространственной переменной. Рассмотрим типичную дискретную декартову систему координат с двумя переменными хну (рис. 3.6.1, а). Она называется двумерной, поскольку используются две переменные.

Рис. 3.6.1. Замена дв\ мерной дискретной декартовой системы кординат одно- мерной: а ——исходная двумерная система； б ——результат ее замены одномерной системой; в ——обобщение принципа замены координатных систем со счетным числом точек.Рис. 3.6.1. Замена дв\ мерной дискретной декартовой системы кординат одно- мерной: а ——исходная двумерная система； б ——результат ее замены одномерной системой; в ——обобщение принципа замены координатных систем со счетным числом точек.

Рис. 3.6.1. Замена дв\ мерной дискретной декартовой системы кординат одно- мерной: а ——исходная двумерная система； б ——результат ее замены одномерной системой; в ——обобщение принципа замены координатных систем со счетным числом точек.

Рис. 3.6.1. Замена дв\ мерной дискретной декартовой системы кординат одно- мерной: а ——исходная двумерная система； б ——результат ее замены одномерной системой; в ——обобщение принципа замены координатных систем со счетным числом точек.

Если х и у принимают только конечное число значений, скажем восемь: 0, ..., 7, как на рис. 3.6.1, а, то получаются 64 координатные точки, которые можно соединить так, как показано на рис. 3.6.1,6. Для определения любой из 64 точек теперь требуется лишь одна переменная х. Простые размышления наводят на мысль, что, во-первых, этот результат должен быть справедлив для любого конечного числа координатных точек и, во-вторых, существует множество различных способов определения этих точек с помощью одной переменной.

Этот результат можно обобщить на счетное число координатных точек. Определение точек декартовой системы координат (рис. 3.6.1, а), но без ограничения сверху значений х н у с помощью только одной переменной х показано на рис. 3.6.1, в.

Использованный на рис. 3.6.1, в принцип нельзя обобщить на несчетное число значений 尤 н у в координатной системе рис. 3.6.1,。. Таким образом, мы видим, что предположение о континууме приводит к выводу, что необходимо использовать две переменные, а отсюда в свою очередь следуют два измерения.

Z а

Рис. 3.6.2. Замена трехмерной дискретной декартовой системы координат одномерной： а — исходная трехмерная система： 6 — результат ее замены одномерной системой.

6

Расстояние между точками Д и В на евклидовой прямой (рис. 3.6.1, а) непосредственно следует из формулы Пифагора

[(心 一 XR2 + (" 一 У^12 = (32 + 4沙2 = 5.

Однако для рис. 3.6.1,6 и в эта формула теряет смысл. Вращая координатную систему вокруг точки А или В, мы получаем минимальное абсолютное расстояние, равное пяти, для рис. 3.6.1, а и 6, но не для рис. 3.6.1, в. Это обусловлено тем, что на рис. 3.6.1, q и б расстояние между соседними метками всегда равно единице, тогда как на рис. 3.6.1, в это расстояние равно единице или Здесь наша единственная цель — показать, что для определения точек дискретной координатной системы достаточно одной переменной; пропагандировать использование един- ственной переменной мы не собираемся. Следовательно, нет необходимости заниматься вопросом измерения расстояний в координатной системе, представленной на рис. 3.6.1, 8.

Обратимся к дискретной декартовой системе координат с тремя переменными с у, г (рис. 3.6.2, а). На рис. 3.6.2, б показано, как те же самые координатные точки можно определить одной переменной х в соответствии с принципом, проиллюстрированным рис. 3.6.1, б.

Рис. 3.6.3. Замена трехмерной дискретной декартовой системы координат, построенной из счетного числа точек в соответствии с рис. 3.6.2, а, одномерной системой.

Замена трех переменных со счетным множеством значений на одну переменную в соответствии с принципом, проиллюстрированным рис. 3.6.1, в, показана на рис. 3.6.3. Чтобы облегчить восприятие, штриховыми линиями изображены координатные оси g,刀，& имеющие такое же направление, как оси х, у, г на рис. 3.6.2, q. Кроме того, между точками 1 и 3, 4 и 9, 10 и 19, 20 и 34, 13 и 15, а также 24 н 28 проведены пунктирные линии, которые помогают рассмотреть плоскости с треугольными границами, пересекающие исходную координатную систему (рис. 3.6.2, а). При пересечении образуется последовательность, в которой переменная х пробегает координатные точки рис. 3.6.3. Как и в случае рис. 3.6.1, в, рис. 3.6.3 нельзя обобщить на не-

счетное множество координатных точек. Таким образом, эта иллюстрация является ярким доказательством того, что необходимость в трех переменных и концепции трехмерного про- странства является результатом предположения о континууме.

Мы уже показали, что «в нашем трехмерном пространстве» можно использовать более трех переменных, но дадим еще один пример, более простой для представления. Рассмотрим

Рис. 3.6.4. а — Дискретная декартова система координат с двумя переменными % н у; 6 ——координатная система с одной переменной z; в ——координатная система с тремя переменными х, у, z, полученная на двумерной плоскости в результате объединения систем (а) и (6); г ——координатная система с двумя переменными z н w> объединение которой с системой (а) дает систему координат с четырьмя переменными х, у, z, w.

дискретную декартову систему координат с двумя переменными хну (рис. 3.6.4, а) и координатную систему с одной переменной (рис. 3.6.4, б). Объединение этих координатных систем дает координатную систему с тремя переменными х, у, z (рис. 3.6.4, в). Заметим, что z должна иметь конечную область значений, в то время как области значений для хну могут быть как конечными, так и счетными.

Если пользоваться двумерной системой координат с переменными z, w (рис. 3.6.4,г), а не одномерной (рис. 3.6.4,б), то в сочетании с двумерной системой (рис. 3.6.4, а) получаем четырехмерную систему координат с переменными х, у. г, w. Эта координатная система имеет такую же структуру, как и система на рис. 3.6.4, а. Следовательно, можно последовательно переходить к координатным системам с большим числом пере- менных, объединяя их с дополнительными системами координат типа рис. 3.6.4, б или г

У читателя может появиться соблазн назвать все эти координатные системы двумерными, поскольку они изображаются на поверхности листа бумаги. Однако, если мы исключим бумагу, конструируя координатные системы, изображенные на рис. 3.6.4, из проводков и нужным образом изгибая полученную решетчатую структуру, то будет весьма трудно решить, лежат ли полученные структуры на изогнутой поверхности или в пространстве. Самое простое решение ——не пользоваться терминами поверхности и пространства, а ограничиться термином координатной системы.

Глава 4

Время и движение

Время н временные разности

Принято считать, что «пространство» есть нечто обусловленное природой, а для определения точек в пространстве строится какая-либо координатная система. Однако из наших рассуждений следует, что это не так. Координатная система позволяет определить положение наблюдаемых точек по отношению к меткам координатных осей или колец или к точкам координатной сетки, но нет необходимости утверждать, что наблюдаемые точки или система координат находятся «в пространстве». Фактически термин «пространство» совершенно необязателен, хотя и может быть использован как удобное сокращение, когда не требуется очень большой точности. Без координатной системы из созерцаемых точек нет ничего наблюдаемого, что можно было бы назвать пространством или, точнее, физическим пространством. Действительно, можно утверждать, что физическое пространство ——это другое название системы координат пли что система координат определяет или порождает физическое пространство. Ранее мы обращали внимание на то, что трудно отличить обычную концепцию пространства и трехмерную систему координат с осями бесконечной длины, бесконечно малыми расстояниями между метками на осях и пифагоровым расстоянием s2 = х2 + t/2 + г2 】).

Между временем и часами в сущности такая же связь, как между пространством и системами координат. Обычно мы считаем, что часы измеряют время, так же как координатные системы измеряют пространство (например, расстояния). На самом деле часы или в общем случае видимые изменения не измеряют, а порождают время. Это утверждение звучит весьма вызывающе, но становится вполне понятным после более де-

')Координатная ли система выведена из свойств физического пространства, свойства ли пространства получены на основе этой координатной системы ——это вопрос о «курице или яйце», поскольку более конкретное описание понятия пространства требует математических концепций, но сами эти математические концепции были разработаны для того, чтобы более точно определять понятие пространства.

тального пояснения. Оно согласуется также с современными работами по проблеме времени D.

《В физике время вообще не определено или определено самое большее, как количество, которое измеряется часами. Что касается действительной сути времени и действительного количества, измеряемого часами, то тут физика не предлагает и не должна предлагать своего мнения» [164, с. 10].

《...там ничего не происходит и ничего не меняется, где время неподвижно. Концепция времени могла возникнуть только там, где что-то происходило, где кто-то непрерывно наблюдал различные новые явления» [164, с. 27].

«Мы должны ясно сознавать, что не совокупность событий происходит во времени, а само время составляется этой совокупностью» [164, с. 43].

«Однако немыслимо, чтобы конечные пространственные и временные интервалы можно было построить из точек и моментов, не имеющих длительности» [164, с. 191]2).

Наша концепция времени исходит из наблюдения изменений. Самое важное созерцаемое изменение — это наш собственный процесс старения3). Это очень грубые часы, поскольку обычно требуется несколько лет, чтобы процесс старения дал видимый физический эффект. Значительно большим быстродействием обладают такие инди в идуа льн ые средства регистрации изменений, как наша память. Память позволяет нам различать вчерашний день и сегодняшний и ощущать даже более быстрые изменения. Не будь процесса старения и памяти, мы вряд ли бы разработали нашу концепцию времени. Восход солнца или времена года являются периодически повторяющимися процессами, которые от этой концепции совершенно отличны. Мы не

1)Другими недавними публикациями по проблеме времени являются работы [55, 160]. Концепция времени, порождаемого наблюдаемыми изменениями или часами, очень близка или совпадает с философским понятием относител ьного времени.

2)Содержание этой последней цитаты отличается от трех предыдущих. Здесь она включена, поскольку ранее мы подчеркивали, что расстояние между соседними метками координатной системы Дх должно быть конечным, и скоро сделаем заявление, что конечным должно быть расстояние А£ между метками времени, вырабатываемыми часами. Цварт в своем утверждении явно отвергает бесконечно малые интервалы dx и dt. Заметим, что в абстрактной математике конечные интервалы можно построить из несчетно большого числа бесконечно малых интервалов, но без подтверждения измерениями этот результат нельзя перенести из абстрактной математики в физику.

Некоторые философы, среди них Юм и Локк, считают, что основой концепции времени послужил наш мыслительный процесс. Существенной разницы здесь нет, поскольку, не будь памяти, мы не смогли бы осознавать процесс старения. К вопросу памяти мы перейдем несколько позже.

рассчитываем периодически переживать то, что с нами было когда-то и отложилось в памяти, и немногие из нас рассчитывают периодически рождаться заново. Часы и календари созданы для замены нашего процесса старения и памяти на нечто менее индивидуальное.

Утверждение «время порождается часами и видимыми изменениями» и относится, таким образом, ко всем созерцаемым изменениям, обусловленным нашим процессом старения — он является последовательностью наблюдаемых фактов,——и нашей памятью, которая позволяет зарегистрировать эту последовательность. Это утверждение относится к наручным и другим обычным часам только в том смысле, что они разработаны как устройства для более объективного воспроизведения времени, субъективно произведенного нашим процессом старения и памятью.

Когда мы говорим о времени, то имеем в виду некоторое время fi относительно времени отсчета /0 точно так же, как воспринимаем точку координатной сетки （小，勿，刁，wi,…）относительно точки отсчета （х°, у。，z0, w0, ...）. Проблема расстояния в координатной системе становится проблемой разности между двумя моментами времени t\ и %, выданными или отображенными часами. Эту временную разность 厶一/0 мы воспринимаем как должное, но она основана на понятии времени, вытекающем из нашего процесса старения н памяти. Для периодического процесса с периодом Г, такого как восход солнца, правильным понятием разности является 《厶——£。 по модулю Г》，что означает наименьшую неотрицательную разность из 厶—fo, t] — Zo—Г,厶—/о — 2Т, ... . Следовательно, время такого типа необходимо измерять чем-то с кольцевой структурой （см. рис. 3.1.1）, а не структурой числовой оси, которая подразумевается разностью 6 ——/о- Обычно так и делают. Циферблат часов представляет собой кольцо с 12 или 24 метками для часов II 60 метками для минут и секунд. Дни недели измеряются кольцами с семью метками, месяцы ——кольцами с 12 метками. Только годы измеряются согласно меткам или числам числовой оси 2）.

° Мы специально избегаем утверждения «время измеряется часами и видимыми изменениями», поскольку оно предполагало бы, что и в отсутствие часов и видимых изменений существует нечто, названное временем.

2> Индейцы племени майя использовали запутанный способ летоисчисления. основанный на кольцах. Этот способ вел к ситуации, когда отсчет времени должен был либо начаться заново, либо закончиться. Такая беспрецедентная ситуация встала перед последними приверженцами культуры майя на острове Тайяс озера Петен, Гватемала. От этой беды нх избавил в 1697 г. францисканский монах Андре Авендано, который принес с собой христиан-

Разделим циферблат часов на 2" равных интервалов. Тогда расстояние между двумя временными точками t\ и /0 определится выражением (3.4.5), если DK, Xi и х。заменить на Гк, Л и %. Вместо записи в безразмерных единицах, как было в этом выражении, мржно использовать запись, основанную на периоде Т и 2" метках с расстоянием AT = Т/2" между ними. Тогда временная разность между двумя моментами времени 々АТ и m ДГ равна

TK = \m — k\\T при I /т? — ^ |ЛГ ^ Г/2;

= T-\m~k\\T при 丨相一々]\Г>Г/2. (1)

Для таких «временных разностей по модулю Г》 существует особое название — разность фаз. Разность фаз между двумя синусоидальными колебаниями с периодом Т ——это временная разность между двумя различимыми точками (например, между точками пересечения временной оси положительной полуволной), измеренная по модулю Г. Периодичность синусоидаль* ного колебания делает бессмысленными измерения между различными периодами; временные точки можно различить только в пределах одного периода. Это и есть разность фаз или временная разность по модулю Т. Вместо соотношения (1) можно ввести знак «—» операции вычитания по модулю п. Напрнмер, 2 часа минус 11 часов дают временную разность

『к = 2 — 11=3 ч,12

что является меньшим из двух значений |2——111 =9 и 12 — —12—11| = 3.

Принятие системы координат, основанной на кольцах, не является для нас слишком трудной задачей. Мы привыкли к переходам между различными координатными системами: декартовой, полярной, сферической, цилиндрической и др. Существует и множество систем времени: среднее солнечное время, навигационное время, эфемеридное время, всемирное скоординированное время, которые мы воспринимаем как действительное время, измеренное различными методами и с различной точностью. Это действительное время отсчитывается от какого- то произвольного момента до бесконечности. Такое время нельзя, конечно, измерить, поскольку любой счетчик, фикси-

ский календарь, а с ним и испанский суверенитет [145, с. 156]. Приведенный пример показывает, насколько сильной может быть вера в понятие времени, отличное от нашего. Сейчас Таняс является городом Флорес, но имя Тайяс по-прежнему живо, нм названо местечко к северу от города на другой стороне озера.

рующий 《тнк-такн》каких-либо часов, в конце концов переполнится и начнет отсчитывать заново подобно автомобильному спидометру. Следовательно, физически измеряемое, или производимое, время ведет себя как числа очень большого кольца, сооответствующего рис. 3.1.1, а не числа числовой оси. Факт этот не очевиден, поскольку предел наибольшего измеряемого времени лежит вне нашего восприятия. Допустим, сейчас мы гпшдем 1989 г., и имеющиеся часы могут зафиксировать это время, отсчитанное от начала 1989 г., с точностью до микросекунды. Через десять миллиардов лет мы запишем 10 000 001 989 г., и накопленная погрешность составит около часа, разве что будут изобретены более точные часы. Ясно, что для записи года потребуется больше цифр, но очевидно и то, что множество проблем, связанных с отсчетом времени, возникнет до появления трудностей из-за длины числа. Время существует ровно столько, сколько оно создается часами или наблюдаемыми нз- менениями или до тех пор, пока существует память или запись предыдущих состояний. Время является таким же человеческим изобретением или конструкцией, как и система координат. Часы и координатные системы позволяют упорядочить наши наблюдения и связать их математическими формулами. Время, выработанное часами, как и гелиоцентрическая координатная система с центром вблизи Солнца, помогает описать орбиты планет, но для такого описания некоторое «действительное время》требуется не более чем какое-то пространство.

42 Перемещения и распространение

Выше были рассмотрены координатные системы, позволяющие определять положения наблюдаемых объектов, и часы, позволяющие записывать изменения этих положений. Физические явления описываются в координатно-часовой системе. Вместо термина «координатно-часовая система» можно использовать привычное название 《пространство-время》, имея в виду, что пространство на самом деле означает координатную систему, а время —часы. Располагая координатной системой и одними или более часами, можно ввести понятия распространения и скорости.

Рассмотрим перемещение функции f(x, у, z) в трехмерной декартовой системе координат. Пусть значение функции f(x。, »о, No) перемещается от точки (х。, "о, 2。) к точке (xi,"i, Zi). Должно соблюдаться следующее уравнение:

f (%о,如 z()) = f (修一АХ, y{—^Yt 2i — AZ), (1) АХ =尤] %о，АУ а== У\ у。，AZ = 2] 2°.

Заменим декартову систему координат системой, основанной на кольцах с п метками. Казалось бы для этого достаточно в уравнении (1) обычное вычитание заменить вычитанием по модулю 〃，однако в общем случае это будет неверно. Согласно выражению (3.4.1), значения АХ, АУ, AZ представляют собой по существу координатные расстояния. Однако по определению координатное расстояние Ок должно быть всегда неотрицательным, чтобы не нарушалось требование s(4 В) — s(Bt 4), использованное при определении метрики (1.3.1). Расстояния АХ, АУ, AZ в уравнении (1) являются знаковыми, или направленными9 координатными расстояниями ОКн：

⑵⑵&н =(Х1 — Хо，У1 — Ро,马—20).

⑵

⑵

На кольце, согласно выражению (3.4.7), координатное расстояние (абсолютное) равно

& = (I Xi — %。1пк，& = (I Xi — %。1пк，I y\ - *0 ImoI y\ - *0 Imo⑶⑶

& = (I Xi — %。1пк，

& = (I Xi — %。1пк，

I y\ - *0 Imo

I y\ - *0 Imo

⑶

⑶

где индекс《пк》имеет тот же смысл, что и в разд. 3.4. Чтобы ввести понятие направления, определим продвижение от 0 к 1, от 1 к 2, ..., от 2"—1 к 0 (см. рис. 3.1.1) как положительное. Направление обратного продвижения определим как отрицательное. Для больших значений 2" такое определение имеет тот же смысл, что положительнее и отрицательное направления числовой оси. Таким образом, направленное координатное расстояние на кольце определяется как

Х + Хо8Х + Хо8012340123455770 12 3 45 6・70 12 3 45 6・7012345670123456712345670123456702345670234567034567012345670124567012345670123567012345670123467012345670123457012345670123456

Х + Хо8

Х + Хо8

01234

01234

5

5

7

7

0 12 3 45 6・7

0 12 3 45 6・7

01234567

01234567

12345670

12345670

2345670

2345670

34567012

34567012

45670123

45670123

56701234

56701234

67012345

67012345

70123456

70123456

°кн — АХ = и — %。

при

—2N/2<L2・Y/2,

=修一尤0 + 2n

при

*1 — & W—2A72,

=%1 — Xq - 2N

при

七一Xo>2N/2・⑷

Сложение по модулю восемь х и х0

Таблица 4.2.1

% —*0

8

°123

567

上"0

0123

567

7012

456

6701

345

5670

234

4567

123

3456

012

2345

70I

1234

670

Таблица 4.2.3

Координатное расстояние “

между точками х н %о

на кольце с п —

8 метками

|х-х。|пк

X

0123

4

567

*0 0

0123

567

1012

432

2101

343

3210

234

4321

123

3432

012

2343

10I

1234

210

Таблица 424

Направленное координатное расстояние

Окн точки X。

относительно х на кольце с л = 8

метками

(—х°)пк

X

0123

4

567

#0 0

0123

4

-3-2 -I

-1012

3

4—3—2

一2 -101

2

34—3

—3—2—10

1

234

4—3—2—1

0

123

34-3-2

—1

012

234—3

—2

-101

1234

—3

-2-10

Таблица 4.2・2

Вычитание х0 по модулю восемь из хВычитание х0 по модулю восемь из х

Вычитание х0 по модулю восемь из х

Вычитание х0 по модулю восемь из х

По аналогии с выражением (3.4.6) для направленного координатного расстояния воспользуемся более короткой записью:

0 KH == АХ = (%i — Хо)пк・(5)

В табл. 4.2.1—4.2.4 приведены примеры сложения, вычитания, обычного и направленного координатных расстояний для кольца с 〃 = 8 метками. Приведенные сооотношения легко проверить по рис. 3.1.1. Заметим, что направленное координатное расстояние вводит отрицательные числа, хотя вычитание по модулю восемь оперирует только с положительными числами.

Вернемся к уравнению (1). Направленные расстояния АХ, △ У, AZ должны вычисляться согласно выражению (4). С другой стороны, для колец с п = 2" метками разности Х\ —— АХ, У1 — АУ, 21 ——AZ должны получаться вычитанием по модулю п: f (хо» У а，2о) = f (%i *АХ, у〕мАУ,马— AZ, ...),(6)

△X =(修—Хо)пк，/、У ==(Р1 —如)ПК，

、'Z =(马一2и)пк・

Возникает другая проблема. Поскольку, согласно рис. 3.1.1, кольца содержат только неотрицательные числа, то сложение и вычитание по модулю п были определены до сих пор только для положительных чисел. Например, в табл. 4.2.1 н 4.2.2 для х и х。 содержатся только числа О, 1, ..., 7. Направленные координат- ные расстояния Окн = АХ могут быть положительными и отрицательными. Следовательно, сложение и вычитание по модулю п необходимо расширить до отрицательных чисел.

Рассмотрим кольца на рис. 3.1.1. Сложение некоторого положительного числа АХ по модулю п с числом Xi означает продвижение от точки X] на АХ меток в положительном направлении, а вычитание положительного числа АХ — продвижение от точки 尤 1 в отрицательном направлении. Для отрицательных чисел направление продвижения меняется на противоположное, т. е. сложение по модулю 打 становится вычитанием по модулю п н наоборот и：

*1 — АХ =七 +1 АХ I при АХ < О,

Н几

Xi + АХ = %】一I АХ ] при АХ < 0.(7)

° Делается естественное допущение о том, что символов столько, сколько меток на кольце. Например, для кольца 2" = 16 (см. рис. 3.1.1) используются символы шестнадцатеричного кода 0, 1, ..., 9, Л, 8, С, D、Е, F, играющего выдающуюся роль в программировании микропроцессоров. Конечно, для больших колец возникает практическая проблема поиска достаточного числа различных символов, но мы заинтересованы главным образом б диадических кольцах, содержащих только два символа 0 и 1.

Приведем пример. На кольце с 〃 = 2" = 8 метками имеются точки 尤1 = 6 н Хо= 1. Из табл. 4.2.4 или рис. 3.1.1 получаем

^Х = (х1 — х0)пк = (6 丁 1)пк = —3・

Обратная операция xi.AX, согласно табл. 4.2.1 и выражениям (7), дает

与 нАХ = 6 石(—3) = 6 + 3 = 1 — х0.8

Аналогично для х〕= 1 н х()= 6 получаем

△ Х=(1— 6)пк=3,Х1Т"АХ= 1 — 3 = 6 = х0.

Согласно рис. 3.1.1, существуют два особенных кольца. Одно, 2“一＞8, является осью целых чисел; оно ведет к декартовой системе координат с конечным расстоянием Ах между смежными метками. Другое — это кольцо наименьшего размера 2' = 2; оно приводит к диадической координатной системе. Случай 2川 f 8 представляет интерес, поскольку он исключает только бесконечно малые расстояния dx между метками, но в остальном не затрагивает декартову и, как можно предположить, другие привычные координатные системы. Диадические системы координат интересны тем, что в наибольшей степени отличаются от привычных систем. Кроме того, диадические системы упрощают только что рассмотренные операции.

Таблица 4.2.5

Сложение по модулю два # и /, вычитание по модулю два л:。из х, координатное расстояние DK между х и х0 на диадическом кольце и направленное координатное расстояние °кн точки "о относительно х на диадическом кольце

X㊉*0

X

X

X

у

0 1

0 1

1 X *0 1пк

0 1

(х *о)пк

0 1

Хо 0

0 1

Хо о

0 1

"о о

0 1

*0 0

0 1

1

1 0

1

1 0

1

1 0

1

1 0

Обратимся к табл. 4.2.5. В таблице слева направо показаны операции сложения н вычитания по модулю два, координатное расстояние Ок, соответствующее выражениям (3.4.5) и (3.4.6), а также направленное координатное расстояние Ркн, соответствующее выражениям (4) и (5). Все четыре операции дают

один и тот же результат. Следовательно, для n = 2N равенство (6) можно переписать в следующей более простой форме 1):

/(х0, у。，2°, • •.) =，(修㊉АХ, a㊉АУ, %㊉AZ,…)，

АХ =修㊉死，ау = "1㊉如，AZ =马㊉马，….(8)

В декартовой системе координат перемещение или распространение вдоль оси х, f(х — АХ), при достаточно больших значениях АХ дает возможность достичь точек, произвольно удаленных от х = 0. Для колец дело обстоит иначе. В частности, на диадическом кольце 2" = 2 (см. рис. 3.1.1) нельзя переместиться от 0 дальше метки 1. Для получения больших расстояний или большего числа точек координатной сетки необходимо использовать многомерные координатные системы (см. рис. 3.1.18— 3.1.21).

Рассмотрим перемещение точки, расположенной возле метки 0110 (см рис. 3.1.21), к метке 1010. Это означает перемещение от точки с координатами w0 = 0,而=1, Уо = L Хо = О к точке с координатами W\ = 1, zi = 0, у\ = 1, х【=0. Чтобы найти требуемое изменение координат \W. AZ, АУ, АХ, необходимо из 1010 вычесть по модулю два 0110:

(9)

1100

Следовательно, координаты w и z должны измениться на единицу, которая преобразует w от 1 к 0, а г от 0 к 1. Координаты у и х не изменяются. Координатное расстояние между 1010 и 0110 равно

& = (1, 1, 0, 0)=1100,(Ю)

а абсолютное расстояние составляет

&=1 + 1+0 + 0 = 2・(Н)

Перемещение в четырехмерной декартовой системе от точки с координатами w = 1, z = 2, у=3, х = 4 к координатной точ- ке 也=9, z = 8, у = 7, х = 6 требует изменения координат

9876

-1234,(12)

8642’

что означает увеличение координат з, г, у, х на 8, 6, 4, 2 соответственно. Единственное формальное отличие от диадической

° Для сложения по модулю два мы используем обозначение ㊉.Часто используют также точку над или под знаком сложения (4-,十)♦

координатной системы состоит в использовании в выражении (12) знака обычного вычитания вместо знака вычитания по модулю два. Сделанный вывод, конечно, справедлив только до тех пор, пока координаты не превышают 9 и каждая цифра вычитаемого меньше соответствующей цифры уменьшаемого (иначе пришлось бы при вычитании занимать единицу в старшем разряде уменьшаемого). Координатное расстояние между точками 9, 8, 7, 6 и 1, 2, 3, 4 равно

& = (8, 6, 4, 2), (13) а абсолютное расстояние составляет

^>а = 8 + 6 + 4 + 2 = 20. (14)

Минимальное абсолютное расстояние без дополнительных допущений определить невозможно. Предполагая, что координатные оси w, г, у, х перпендикулярны друг другу в понимании Евклида (что означает абстрактную нереализуемую координатную систему), получаем

Омнн = On = (82 + 62 + 42 + 1叩/2 = 10,95, (15) вернее 11, поскольку используются только целочисленные метки 0, 1, 2, ..., дробных чисел нет. Для определения координатного и абсолютного расстояний между двумя точками нужна произвольная координатная система, по отношению к которой расположены эти точки. Минимальное абсолютное расстояние, напротив, требует особой координатной системы, которая отличается измерительным процессом или движением какого-то наблюдаемого объекта, который перемещается от одной точки к другой. Координатная система (см. рис. 1.3.1, б) имитирует линейку (см. рис. 1.3.1, в). Если линейка является прямой в евклидовом смысле, то с помощью з?ой координатной системы и теоремы Пифагора можно вычислить расстояние s. Минимальное абсолютное расстояние от начала координат ООО до точки Р (см. рис. 3.4.4, а) имеет физический смысл для чего-либо, перемещающегося от ООО к Р через координатные метки 001 или 010. Ни в одном из этих случаев такое понятие, как «метрика пространства», не требуется. С этой точки зрения метрика пространства есть не более, чем средство определения особой координатной системы с помощью произвольно выбранной. Например, измерение расстоя- ния между точками Л и В (см. рис. 1.3.1, в) имитируется особой координатной системой (см. рис. 1.3.1, б), координатные точки и линии которой можно определить относительно произвольной системы координат (рис. 1.3.1, а). Математические положения, которые позволяют определить одну координатную систему че-

рез другую, н составляют понятие метрики. Заметим, что требуются только правила определения одной координатной системы в терминах другой; никаких положений о пространстве не требуется.

Рассмотрим шестнадцатеричное кольцо 2* = 16 (см. рис. 3.1.1) с 16 символами-метками 0, 1, . •，尸 как пример распространения в координатной системе, занимающей промежуточное положение между диадической 2" = 2 и декартовой 2'->8 системами. В четырехмерной системе координат имеются кольца w, г, у, х. Перемещение от начальной координатной точки w0 = £, No = 9, у。= 0, х0 = D к конечной w〕= 1, Z\ = О, yi = 9, %1 = Л требует, согласно соотношениям (4), для 2"/2 = =8 следующих изменений координат:

АХ = & — %о)пк = ({ — О)пк = —3,

АУ =(У1 — %)пк = (9 — 0)пк = —7,

△Z =(2] — 2о)пк = (О — 9)пк = 4,

△IF = (wj — с^0)пк = (1 — Е)пк = 3.

Координаты w и 2 должны увеличиться на 3 и 4, а координаты у и х уменьшиться на 7 и 3. Если кратчайшее расстояние между начальной и конечной координатными точками определяется в положительном с математической точки зрения направлении перемещения по кольцу, то появляются положительные значения (AZ, △取),тогда как для отрицательного направления появляются отрицательные значения (АХ, АУ). Координатное Ок и абсолютное Da расстояния равны соответственно Ок = (3, 4, 7, 3) = 3473 н& = 3 + 4 + 7 + 3=17.

Скорость

До сих пор мы обсуждали перемещение или распространение без учета времени, необходимого для этого перемещения или распространения. С вводом времени вводится понятие скорости. Мы ограничимся исследованием только для диадических координатных систем, но путь обобщения для других колец вполне очевиден.

Перепишем сначала выражение (4.2.8) в более короткой форме:

f&) = f低㊉△自),母=畠㊉т。，⑴

Е= •••, 2/Z, у/У, х/Х, Д&= ..., Az/Z, \y/Y, Ax/X.

Положение двоичных цифр 0 и 1 в числах &, &,纯 определяет их принадлежность кольцам х, у, z, ... . Необходимо подчеркнуть, что используются нормированные величины (Е = х/Х,...).

Для диадической координатной системы различие между нормированными и ненормированными величинами имеет большее значение, чем для обычных систем, поскольку, как будет вскоре показано, дистрибутивный закон умножения и деления не применим для сложения по модулю два.

Понятия времени и скорости можно ввести в равенство (4.2.1), подставляя

АХ = % АТ =以(厶一幻=о/ — о/ = %i — №，(2)

△У = ОдАГ, AZ = %A7\

f (%о, Vo,之0)= /Ui —以 АГ, У1 —与 АГ,之1 — Vz АГ). (3) Для диадической координатной системы преобразования (2) можно выполнить двумя способами. Можно взять диадическую координатную систему с переменной g, а время измерять обычным образом, т. е. с помощью обычных операций сложения и вычитания. Другой способ——использовать сложение по модулю два или в общем случае сложение и вычитание по модулю п и для времени, и для координат

Чтобы подчеркнуть, что используются нормированные величины, для времени мы пишем 0 = f/Т, а для скорости рд = гд/с. Индекс «д» подчеркивает, что используется диадическая или двоичная система.

При выборе первого способа (с диадической координатной системой, но обычными операциями сложения и вычитания для времени) получаем следующую замену равенств (2) и (3):

七㊉ &=纯=рд、е = % (4 — е0) = Вдб — РЛ, (4)

/&) = /(&ЗРдАе).(5)

Во втором случае (с диадической координатной системой н сложением по модулю два для времени) получаем

&㊉瓦=纯=Вд⑥Аб = Вд㊁(6i ф0о) = Вд③4㊉Рл俘备，(6) 八D=/因㊉(③А以(7)

Знаком 0 обозначено умножение по модулю два. Этот знак необходим, поскольку для обычных операций сложения и вычитания дистрибутивный закон умножения выполняется:

Вд (М + е0) = Зд^ + ЗД,厶(仇 一 е0)=厶仇—₽де0,

а для сложения по модулю два — нет:

%(4㊉备)声％仇㊉вде»

Умножение по модулю два, или диадическое умножение, проще всего объяснить на примере. Число 1010 умножается обычным

путем на 11,01, но четыре результирующие строки суммируются не так, как при обычном умножении, а по модулю два. Диадическое и обычное умножение этих чисел показано в табл. 4.3.1.

Таблица 4.3.1

Диадическое и обычное умножение

Диадическое умножение

Обычное умножение

1 0 1 0 ® 1 1,0 1

1 0 1 0 X 1 L0 1

10 10

10 10

0 0 0 0

0 0 0 0

10 10

10 10

©10 10

+ 10 10

1 1 1 0 0,1 0

10 0 0 0 0,1 0

Доказательство того, что для диадического умножения дистрибутивный закон выполняется (это необходимо для равенства

&®(n㊉g) = 占③n㊉&㊈I，(8)

приведено в разд. 12.2.

Скорость рд из выражения (7) определяется с помощью операции, обратной диадическому умножению из равенства (6), т. е. операции диадического деления:

Рд®(仇㊉《) = "㊉Ео,

%=(0㊉舗⑤(d㊉ё)(9)

Практический метод выполнения диадического деления рассматривается в разд. 12.3.

Вернемся к равенствам (4) и (5) для примера с диадическими координатами и обычным временем. Рассмотрим перемещение от точки go = 0110 к точке ^ = 1010 (см. рис. 3.1.21). В момент времени 0О = 1100 перемещающаяся точка окажется у точки Ео, а в момент 仇=10100 ——у 占i. Согласно равенству (4), скорость рд можно определить как

₽д = (& ㊉占сЖ — е0)=(1010 ㊉ 0110)/(10100 - 1100)=

= 1100/1000=1,1. (10)

Такое равенство бессмысленно. Перемещения ДХ/Х = ДУ/У = = 1, AZ/Z = /\W/W = 0 характеризуются положением цифр в

сумме Ei Ф ±и・ Следовательно, любая операция, изменяющая расположение этих цифр, неприемлема. Вместо скорости рд нам приходится вычислять се четыре составляющие %*,卩産 рдг, %切：

厶 ％ = Вду = 1/Ю00 = 0,001 = 1/8,(11)

₽дг-₽д^ = 0/1000 = 0.

Чтобы по этим составляющим пайти «скорость», посмотрим как аналогичная проблема решается в декартовой системе координат. Там для получения скорости расстояние Пифагора

On =[a1 -尤 0)2 + (协-丸)2 +(Z[-20)2产 делится на △/:

u = On/Af.(12)

Вместо этого, согласно соотношениям (2), и можно вывести из 〃，Vy И Vz

。=(逍 + % + 圖/2.(13)

Мы убедились, что наилучшим расстоянием в координатных си- стемах, не требующих допущений о существовании пространства с определенными свойствами, является минимальное абсолютное расстояние DMflH. В диадической системе координат, как бнло пояснено с помощью рис. 3.4.4 и 3.4.5, минимальное и абсолютное минимальное расстояния одинаковы. Координатное расстояние ^i Ф ^о = 1100 из выражения (10) дает абсолютное расстояние, равное двум:

^а = 210 = 102.(14)

В этом случае абсолютная скорость определяется как отношение расстояния D& и временной разности 8】——0О = 1000:

Рд = ujc = Оа/(6 —备)=Ю/1000 = 0,01 = 1/4.(15)

Полученное выражение эквивалентно формуле (12). Суммируя составляющие скорости (11) по правилам обычного сложения, получаем эквивалент выражения (13):

Рдх + 6 I? + Рдг + Вл。= 0,001 + 0,001 + 0 + 0 = 0,01 = 1/4.(16)

Для примера с диадической координатной системой и суммированием по модулю два для времени вернемся к уравнениям (6) и (7). Рассмотрим еще раз перемещение от точки go = 0110 к точке & = 1010 (см. рис. 3.1.21). Перемещаемая точка окажется у точки & в момент времени 0О = 1100 и у точки 三，в момент времени & = 10 100'. Координатное расстояние & @ 氐= =1100 и временная разность 仇㊉氏=11000 дают на основании

выражений (9) следующие составляющие скорости рд*, ... ,₽д^： рдх = рд{/ = 1© 11 000 = 0,0001111 ... = 1/8,

•% = Bl。。110。。"(17)

Для определения абсолютной скорости опять начинаем с абсолютного расстояния Z)a = 2 между точками & = 1010 и ^о — = 0110. Поскольку переменная времени 6 используется точно так же, как координатная переменная g в уравнениях (6) и (7), то временную разность Л0а можно определить по аналогии с Da. Из 01 = 10100 и 0о = 1ЮО следует

d㊉%=11 000 и

деа = 1 + 1 +О + О + О = 21о=ю2.(18)

Абсолютная скорость рд становится равной

рд=/)а©деа = 10©10 = 1.(19)

Можно сделать вывод, что из уравнений (4) и (5), а также (6) и (7) вытекает однозначное определение скорости. Является ли это определение более чем упражнением в абстрактной математике, пока сказать трудно. К этому вопросу мы вернемся в гл. 7, а кроме того, в разд. 5.7 будет рассмотрен вопрос измерения времени с помощью диадических часов. В данный же момент мы попытаемся найти причину повсеместного распространения трех пространственных переменных и только одной временной.

Три измерения времени и одно измерениепространства

Мы показали — или по крайней мере пытались показать,— что для измерений необходимы одни часы и одна линейка, что означает по одному измерению для времени и пространства. Однако можно построить системы координат с несколькими пространственными измерениями. Теоретически ограничения на число измерений в дискретной координатной системе нет, единственное заключается в том, что оно должно быть конечным. Концепция трех пространственных измерений возникла просто из-за того, что математическое пространство с топологией континуума (или обычной топологией действительных чисел) должно иметь по крайней мере три измерения, чтобы разместить внутри себя дискретные координатные системы с любым конечным числом измерений. Следовательно, это математическое пространство должно иметь не более и не менее трех измерений.

В том, что определенное число измерений математического пространства является особенным, нет ничего необычного. Хорошо известным примером является задача раскраски карты. Рассмотрим политическую карту мира, на которой страны раскрашены в разные цвета. Сколько красок необходимо, чтобы две страны с общей границей не были изображены одинаковым цветом? Ответ ——по крайней мере четыре краски. На рис. 4.4.1 показан пример простой карты с четырьмя странами Л, В, С и Q,

А~А~Рис. 4.4.1. Топологическая задача четырехцветной карты на односвязной двумерной поверхности.Рис. 4.4.1. Топологическая задача четырехцветной карты на односвязной двумерной поверхности.

А~

А~

Рис. 4.4.1. Топологическая задача четырехцветной карты на односвязной двумерной поверхности.

Рис. 4.4.1. Топологическая задача четырехцветной карты на односвязной двумерной поверхности.

окрашенными в серый цвет четырех оттенков. Необходимость четырех красок очевидна, но доказательство того, что их достаточно для любой карты, знаменито своей длиной ) Если бы задача о четырех красках была известна древним грекам, то они, наверняка, создали бы на ее основе философскую школу. Но задача возникла позже, когда люди стали осторожнее в своих заключениях, и осталась всего лишь занимательным фактом картографии и топологии.

Утверждение о том, что понятие трех пространственных из-

□ Для одного измерения требуется только два цвета. Доказательство тривиально, поскольку достаточно провести линию, окрашенную в первой ее части красным цветом, а во второй синим, чтобы понять, что требуется не больше и не меньше, чем два цвета. Для трех измерений требуется бесконечно много цветов. Доказательство опять тривиально, поскольку нужно только вообразить множество разноцветных веревочек, перекрученных так, чтобы каждая веревочка где-то касалась другой веревочки. В случае двух измерений результат справедлив только для односвязных поверхностей, таких, как поверхность сферы. Для поверхности тороида легко привести примеры, в которых требуется пять цветов.

мерений обусловлено только сверхабстрактной несозерцаемой концепцией континуума стало настолько нам привычно, что напрашивается желание дать какой-нибудь впечатляющий пример, который выпадал бы из привычных положений. Мы получили бы такой пример, если бы удалось показать, что три пространственных и одну временную переменную можно заменить тремя временными и одной пространственной переменными. Рассмотрим такой переход с помощью рис. 4.42

券舞-§亨明券舞-§亨明Рис. 4.4.2. Описание движения транспортного средства R с помощью двух переменных времени /х, ty н одной неубывающей пространственной переменной d.Рис. 4.4.2. Описание движения транспортного средства R с помощью двух переменных времени /х, ty н одной неубывающей пространственной переменной d.

券舞-§亨明

券舞-§亨明

Рис. 4.4.2. Описание движения транспортного средства R с помощью двух переменных времени /х, ty н одной неубывающей пространственной переменной d.

Рис. 4.4.2. Описание движения транспортного средства R с помощью двух переменных времени /х, ty н одной неубывающей пространственной переменной d.

Построим координатную систему с двумя осями tx и ty следующим образом. Начиная с некоторого времени отсчета tx = =% = 0, от заданной точки отсчета в направлениях, перпендикулярных друг другу (а*у = л/2), посылаются сигналы. Представим мысленно эти сигналы как потоки пушечных ядер, на которых нанесены метки —• тАТ*, Тх—(m—1)ДГХ, ••• и Ту — —m\Ty. Ту — (tn — 1)^ТУ9 .... Получатель сигналов R ведет наблюдение через телескопы, установленные перпендикулярно друг другу и направлениям распространения сигналов °. В определенное время в точке наблюдения появляются ядра, помечен- ные Тх и Ту. Если это «определенное время» синхронизировано с излучением сигналов из точки отсчета, наблюдение Тх и Ту определяет две временные координаты tx и ty приемника R. Если такой синхронизации нет, первое наблюдение дает Тх и Ту толь- ко как моменты отсчета для будущих наблюдений.

】＞ Сформулированные здесь требования можно ослабить, но мы не хотим излишне детализировать то, что предназначено только для иллюстрации принципов.

Пусть приемник R перемещается на расстояние d вдоль штрихпунктирной линии. В обычном случае мы сказали бы, что приемник движется с некоторой скоростью, измеряемой в метрах в секунду, но в нашем примере пространство н время поменялись местами, и теперь мы утверждаем, что приемник перемещается с некоторым движением, измеренным в секундах на метр. Это движение имеет две составляющие: tx и ty.

Расстояние d можно измерить локально, т. е. без какого-либо участия точки отсчета. Например, спидометр измеряет расстояние, пройденное автомобилем с момента выезда с завода безотносительно к чему бы то ни было еще !). Пусть приемник перемещается с таким движением и в таком направлении, что в двух его телескопах всегда видны одни и те же ядра, отмеченные Тх и Ту. Из этого следует вывод, что время приемника 1Х и ty не изменилось, но расстояние d увеличилось. Действительно, расстояние увеличивается постоянно, тогда как время ix и ty может увеличиться от 7\, Ту до Тх + Л7Х, Ту + АТу или уменьшиться до Тх — ДГх, Ту — Ат».

Мы предоставляем читателю обобщить рис. 4.4.2 для большего числа измерений и исследовать другие аспекты, такие, как замена ядер сигналами, распространяющимися со скоростью света. Для наблюдателя на Земле, где использование линеек и стержней гораздо понятнее, чем потоков меченых пушечных ядер, вся эта схема представляет, казалось бы, лишь академический интерес. Однако для астронавта ситуация резко меняется. Позицию и движение астронавта гораздо проще определить потоками радарных точек, чем с помощью линеек. Кроме того, астронавт может локально измерять главным образом расстояние^ пройденное с момента взлета, или длительность полета.

Несмотря на столь логичное рассуждение, многие читатели возразят, что в пространстве можно вернуться к месту нашего рождения, а вернуться во времени ко дню рождения нельзя. Наше собственное время всегда движется вперед по той причине, что мы стареем, а также накапливаем и храним информацию. Хранение информации является важным, поскольку заставляет нас ощущать течение времени от одного дня к другому, хотя день ——это слишком короткий период для того, чтобы проявился эффект старения. Кроме того, мы были бы не в

i> Расстояние ——это интеграл от скорости, а скорость автомобиля может быть измерена благодаря жесткой земной поверхности, по которой он движется. У космического корабля такой жесткой поверхности нет, но для определения расстояния d можно измерить и дважды проинтегрировать ускорение. Реально существующие системы, основанные на измерении ускорения, известны под названиями инерционное управление или инерционная навигация.

состоянии нщутить процесс старения, если бы не помннлн, как прекрасно мы когда-то выглядели. Наши часы идут всегда вперед потому, что мы, конечно, хотим, чтобы они более объективно представляли наши субъективные ощущения.

Теперь рассмотрим электрон. Он не стареет, не имеет памяти для хранения информации и не носит часов. Говоря о том, что делает электрон как функция времени, мы имеем в виду, что видит наблюдатель с часами. Наше обычное понятие времени вводится посредством такого же произвольного описания, как и описание координатной системы в гл. 3.

Имея чудодейственное лекарство, которое могло бы физически вернуть нас в младенческое состояние и стереть всю хранимую информацию, мы действительно могли бы вернуться во времени к моменту рождения. Такое перевоплощение кажется весьма трудным, но вообразить его не сложнее, чем возврат к месту рождения. Нетрудно вернуться к месту рождения, если оно рас- гматривается относительно земной поверхности. Если принять во внимание движение Землн вокруг Солнца, то мы должны вернуться к той точке орбиты, в которой Земля была в годовщину нашего рождения. Если учесть движение Солнца относительно остальной материи, мы поймем, что возврат к месту рождения потребовал бы распределения всей материи так, как эго было в день рождения. Действительно, если бы каждый атом был на прежнем месте, то отличить день нашего рождения и день, в который мы вернулись к месту нашего рождения, было бы невозможно; возврат в пространстве означал бы возврат во времени. С такой точки зрения возврат к месту рождения является большим подвигом, чем изобретение чудодейственного лекарства, которое возвращало бы нас — но не весь остальной мир —— ко дню нашего рождения.

Подойдем теперь к уравнению (4.3.1) более умеренно. Мы ввели там одну пространственную переменную 占 вместо мнол<е> ства переменных х, у, N,..・.В результате уравнения (4.3.5) н (4.3.7) формально содержат одну пространственную и одну временную переменные. Это не просто вопрос записи. Конечная ограниченная или неограниченная дискретная система координат имеет конечное число точек или меток координатной сетки. Следовательно, мы можем пронумеровать их 1, 2, ..., ". Для спецификации этих п меток достаточно только одной переменной. Для бесконечной, неограниченной дискретной координатной системы значение п становится счетно-бесконечным, но нам по- прежнему достаточно одной пространственной переменной. Только переход к континууму и координатным осям с топологией действительных чисел вводит потребность в более чем одной пространственной переменной.

Распространение в необычных системах координат

Диадическая метрика

В разд. 3.4 нами была принята точка зрения, согласно которой в общей теории относительности тензором энергии-импульса материи определяется отличная от других система координат. Координатные стержни или линии такой системы являются геодезическими, откуда следует, что минимальное абсолютное расстояние Омии между координатными точками / и В — это реальное расстояние, пройденное некоторой частицей, движущейся из Д в В.

Поскольку общая теория относительности основана на геометрии Римана, то все ее результаты предполагают топологию континуума или для «пространства-времени», или для используемых систем координат; кроме того, принимается понятие обобщенного расстояния Пифагора ds? = gikdxldxk. Из сказанного вытекает допустимость лишь определенного класса координатных систем, но принятое для этих систем предположение о бесконечно малой рас решающей способности dx' в свою очередь недопустимо согласно положениям теории информации, рассмотренным в разд. 2.2.

Нашему исследованию подлежит движение пробных частиц в дискретных неограниченных координатных системах, не противоречащих требованиям теории информации. Оси, кольца или линии этих координатных систем считаются геодезическими, что означает: пробная частица всегда движется вдоль координатных линий. Хотя иногда это может показаться и очень надуманным, но мы намеренно рассматриваем координатные системы, которые сильно отличаются от обычных, так как в корне отличный подход часто способствует лучшему пониманию традиционного подхода. Развитие неевклидовой геометрии Больяем и Лобачевским показало, что евклидова геометрия не является единственной, и тем самым способствовало мыслям о необходимости ее обобщения. Поскольку существующая концепция пространства очень глубоко внедрилась в наше сознание и тесно связана с декартовыми системами координат, основанными на координатных осях с топологией действительных чисел, то нас интересуют координатные системы, как можно резче отличающиеся от де-

картовых. Из рис. 3.1.1 видно, что от привычной прямолинейной оси координат наиболее сильно отличается кольцо 2" = 2. Помимо этого мы уже убедились, что на основе этого кольца можно без особого труда построить диадические координатные системы большой размерности, по крайней мере до /г = 5 измерений (см. рис. 3.1.20—3.1.22). Наконец, в разд. 4.2, в частности из табл. 4.2.5, мы увидели, что на диадическом кольце координатное и направленное координатное расстояния получаются путем сложения по модулю два, тогда как другие кольца требуют более сложных операций.

В разд. 1.3 мы ввели понятие метрики, определяемое условиями (1.3.1), а в разд. 3.4 — понятие координатного расстояния, которое определяется, в частности, выражением (3.4.5). Покажем сначала, что координатное DKt абсолютное Оа и минимальное абсолютное DMMH расстояния удовлетворяют четырем условиям метрики (1.3.1).

Для координатного расстояния первое условие s(/, В)= = s(xi, х0) = 0 для А = В удовлетворяется по определению DK — |%1 — *о|пк (3.4.6). Второе условие s(xb %о) > 0 для 勾 子 #=Хо, и третье условие s(%i, Xq) =s(x(), %i) также явно удовлетворяются. Четвертое условие s(x2* %i) +s(%i, Хо) ^ s(х2, Хо) лучше всего просматривается из рис. 3.1.1. Пока сумма s(x2» Yi)+s(%i + x()j не превышает 2^/2, она равна s(%2, %о)； как только сумма превышает 2"/2, она становится больше s(x2, %。).

Соотношение (3.4.7), обобщающее одномерный случай координатного расстояния Ок на большее число измерений, показывает, что условия метрики выполняются для каждой переменной. Следовательно, при любом конечном числе переменных координатное расстояние DK отвечает определению метрики.

Абсолютное расстояние Da, определенное выражением (3.4.8), равно нулю тогда и только тогда, когда Х| = Хо, у\ = уо» и, таким образом, условие s (Л, В) = 0 при А — В удовлетворяется. При Л #= В условие s(4. В) > 0 выполняется, если хотя бы одна разность больше нуля. Условие s(/, В) = s(В, А) выполняется, поскольку в выражение (3.4.8) входят только абсолютные значения |м —*о|, ®i —先|, •••・ Условне s(A, В) + s{B, С) ^ >s(Z, С) соблюдается, поскольку, как показано для координатного расстояния Ок, оно соблюдается для каждой составляю- ще負 |%i — %о|пк, \у\ ——{/о|пк, •••, н сумма нескольких составляющих нарушить условие не может.

Минимальное абсолютное расстояние Омнн удовлетворяет условиям метрики, поскольку это особый случай абсолютного рас・ стояния Оа, полученный вращением координатной системы.

Для диадических координатных систем, как было показано на рис. 3.4.4 для трехмерного случая и подразумевалось для

большего числа измерений, абсолютное и минимальное абсолютное расстояния равны. Эти расстояния называются расстоянием Хэмминга. Метрику диадических координатных систем обычно называют диадической метритй.

Свойство метрики обычно приписывается математическим пространствам или поверхностям, а не координатным системам. Расстояние Пифагора между точками Д и В (см. рис. 1.3.1, а) равно 5=(%2千沙2)%, что совпадает с минимальным абсолютным расстоянием (см. рис. 1.3.1,6). Является ли пифагорово расстояние и определяемая им метрика свойством координатной системы или свойством бумажной плоскости, на которой она нарисована? Мы могли бы построить координатную систему (рис. 1.3.1, а) из стальных проволочек, спаянных между собой в точках координатной сетки. Определения равстояння Пифагора и минимального абсолютного расстояния остались бы прежними, хотя видимой плоскости не было бы. Конечно, мы могли бы вообразить себе некоторую плоскость, которая определяется координатной системой из стальных проволочек, но при деформации этой системы в соответствии с рис. 1.3.2 мы получили бы другую метрику, если даже воображаемая плоскость не изменилась. Мы снова пришли к изложенной ранее точке зрения о том, что необходимы и видимы только координатная система и наблюдаемые относительно нее объекты и все свойства должны быть приписаны этой координатной системе и этим объектам. Наша привычка видеть координатную систему на поверхности или в яространстве с определенными свойствами исходит из абстрактной математики н постоянно подкрепляется тем, что координатные системы мм чертим на бумажной плоскости, а не паяем из стальных проволочек.

Пока мы верили в абсолютное пространство или нечто наблюдаемое, названное физическим пространством, мы были вправе приписывать этому пространству свойства. Например, пространство было евклидовым или искривленным, имело топологию континуума или дискретную топологию и т. д. Но как только мы согласились с тем, что наблюдать можно лишь материю или энергию, а не «пространство», мы уже не имеем права приписывать этому пространству какие-либо свойства. Пространство становится таким же термином, как эфир или орбиты электронов (в атоме), которые используются для удобства и в силу исторических причин. Чтобы перейти к наблюдаемой величине, пространство заменяется координатной системой, которая обычно реализуется — в очень элементарной форме ——в виде узкого пучка электромагнитных волн; большей частью координатные системы, конечно, существуют лишь в нашем воображении. Типичной процедурой является поиск и применение систем коор-

динат, которые в наибольшей степени соответствуют решаемой физической проблеме. Если физическая система обладает ци- лнндрнческо負 симметрией, то мы автоматически описываем ее в цилиндрических координатах, поскольку они приводят к более простым математическим преобразованиям и результаты более доступны для понимания, чем в другой системе координат. Геометрию Римана, как и рассмотренные здесь дискретные координатные системы с ри маноподобной " или диадической метрикой, можно, таким образом, рассматривать как продолжающийся поиск координатных систем, которые упрощают математические преобразования и делают результаты более наглядными.

Система координат, состоящая из m колец с л метками на кольце, определяет пт точек координатной сетки. Следовательно, большое число координатных точек можно получить, используя либо много меток и мало колец (или измерений), либо много колец с малым числом меток на кольце. На основе рис. 3.1.17——3.1.23 нетрудно сделать вывод, что диадическая координатная система может охватить произвольно большие расстояния, несмотря на то что максимальное расстояние вдоль одного кольца составляет лишь единицу или Ах.

Диадические координатные системы являются представлением диадической группы. Эта группа состоит из 25 чисел О, 1, ..., 2$—1 и в качестве групповой операции использует сложение по модулю два. Расстояние в диадической группе определяется как расстояние Хэмминга, что делает ее топологической группой. Поскольку расстояние Хэмминга удовлетворяет также и условиям метрики, то мы имеем метрическую группу; это и объясняет выбор термина «диадическая метрика» в качестве заголовка данного раздела.

Особенности диадической группы лучше всего объяснить с помощью трех примеров для s= 1, 2, 3 (табл. 5.1.1). Операция сложения по модулю два любых двух чисел дает другое число

Таблица 5.1.1

Диадические группы для s=l, 2, 3

21

г223

2*

产23

1

0

00

ООО

5

100

2

1

01

001

6

101

з

10

010

7

НО

4

11

011

8

111

1)«Риманоподобная» означает, что в равенстве ds? = gmdx^x^ дифференциалы заменены конечными разностями.

группы, например 010 Ф 110 = 100. Единичным элементом является нуль, например 010 Ф ООО = 010. Обратным элементом является само число, например 010 Ф 010 = 000. Группы, состоящие из 21 и 22 элементов (табл. 5.1.1), являются подгруппами групгтн из 23 элементов.

В терминах трехмерных диадических координатных систем сложение 010 Ф 110 означает распространение или перемещение из точки go = 010 (или 之=6, у = 1, х = 0) в точку gi = 100 (или z = 1, у = 0, х = 0). Сложение означает движение в положительном с математической точки зрения направлении, но на двоичном кольце нельзя различить положительное н отрицательное направления. Этим и объясняется идентичность операций сложения н вычитания по модулю два.

Заметим, что при использовании трехмерных координатных систем (см. рис. 3.1.19 или 3.1.20, г) нет ничего необычного в том, что точки 001, 010 и 100 лежат на одинаковом расстоянии от точки 000, тогда как подобный метод измерения расстояния показался бы на данный момент неожиданным, если бы точки 000, 001 и 100 были представлены в одномерной системе коор- динат (см. рис. 2.4.2,。). Переход частицы из точки 000 в точку 001 (см. рис. 2.4.2, а) выглядел бы «непрерывным», тогда как переход из 000 в 010 или 100 был бы воспринят как скачок. На рис. 3.1.19 или 3.1.20, г все три перехода одинаково непрерывны.

Обусловленность непрерывности или скачкообразности движения выбором координатной системы может показаться несколько абстрактной, но в действительности подобную ситуацию испытывает любой путешественник, пересекающий международную линию дат. На рис. 3.1.20, а вращение Земли вокруг своей оси описывается с помощью операции сложения по модулю два. Пусть 0 обозначает место на Земле, обращенное в полдень к Солнцу. Пусть Г равно 12 часам и, следовательно, t/T = 1 соответствует месту на Земле, направленному в полночь от Солнца. Сложение по модулю два t/T = 1 с 0 или 1, таким образом, будет описывать переходы от полудня к полуночи, от полуночи к полудню и т. д. Скачок на линии дат происходит из-за того, что наш календарь составлен по аналогии с целыми числами на числовой оси, т. е. дни следуют один за другим подобно числам 000, 001, ... (см. рис. 2.4.2, а). Время, показываемое часами с 24-часовыми делениями, изменяется по модулю 24 (или по модулю два, если отмечены только полдень и полночь) и на линии дат это время не прыгает, а идет как обычно вперед.

В качестве другого примера времени, ведущего себя как точки 0 и 1 (см. рис. 3.1.20, а) при сложении по модулю два с единицей, рассмотрим примитивное животное, живущее в тропиках. Это животное ощущает день и ночь, но ничего не знает об а б-

©олютном или относительном времени. Все дни и ночи для него одинаковы. Добавление или вычитание 12-часового интервала в любой момент времени изменит день на ночь или ночь на день. Понятием времени для этого животного будет понятие диадического времени. Различия между прошлым и будущим не будет, пока наше животное не будет съедено каким-то большим жи

вотным.

Рассмотрим понятие диадического перемещения с помощью двумерной координатной системы (см. рис. 3.1.18), которая повторена на рис. 5.1.1, а в более простом для изображения виде. Выражаясь языком программирования на ЭВМ, мы имеем четыре ячейки памяти с адресами 00, 01, 10, 11, в которых хранятся отсчеты или числа %, В, С и D. Складывая 01, 10 или 11 ло модулю два с адресами, можно осуществить диадическое перемещение, оставляя при этом отсчеты на прежнем месте (рис. 5.1.1,。). Если говорить на языке физики, то изменяется координатная система, в то время как отсчеты остаются неизменными. ・

Вычерчивать окружности (рис. 5.1.1, а) затруднительно, поэтому те же самые перемещения повторяются на линейной шка- 』е (рис. 5.1.1, в). Отсчеты А, В9 С и D остаются на своих местах, но маркировка шкалы меняется путем сложения 01, 10 и 11 по модулю два с числом, расположенным в крайней левой точке. Единицей измерения шкалы является нормированное время //7.

На рис. 5.1.1, б показаны перемещения, при которых адреса ячеек памяти или координатная система не меняются, а движутся отсчеты 4 В, С, D. Легко убедиться, что адреса одноименных отсчетов в каждом из столбцов рис. 5.1.1, а и б совпадают. Соответствующие перемещения на линейной шкале показаны на рис. 5.1.1, г. Маркировка шкалы от 00 до 11 одинакова для всех четырех столбцов, что соответствует обычному увеличению шкалы времени слева направо.

Для изучения перемещений в трех измерениях (см. рис. 3.1.19) воспользуемся более простым представлением (см. рис. 3.1.20). В слегка измененном, но вполне узнаваемом варианте это представление повторяется на рис. 5.1.2, а. Пусть отсчет А находится в точке 区・ Уравнение (4.3.5) распространения функции，⑸ в диадических координатах подразумевает, что

♦㊉— 一Оо—

Ло ㊉ Вд(4-бо)・ (1)

получаем выражениеполучаем выражениеПусть скорость рд равна единице, а время 0О равно нулю. Тогда

получаем выражение

получаем выражение

li = ^o® 61-li = ^o® 61-(2)

li = ^o® 61-

li = ^o® 61-

Wa8a 5

го

例

4С

切

да

810

00017077 i/T

00Cl70〃 t/T

010011w t/T

00077。77 t/T

10770001 t/T

000110〃 t/T

77100100 ±〃

Ш 017077 ЦТ

Рис. 5.1.1. Диадическое перемещение отсчетов Л,…,D в одном и двух измерениях： а — перемещение адресов отсчетов в 1вух измерениях в результате движения координатной системы; б——перемещение отсчетов в двух измерениях в результате их собственного движения; в н г — те же самые операции для одного измерения.

Ви< 一 а~

ООО001010011100101"07 7/

г[ wo^ в ,：：

@外彳：*

00小011i111

ООО 00101001110070 7 ПО 7〃

Рис. 5.1.2. Различные представления диадического перемещения отсчетов Ли В, расположенных в точках ООО и 001.

При go = 0 или z/Z = y/Y — х/Х = 0 отсчет А движется из точки g0 = ООО к точкам gi = 001, 010, 011, ... по мере того, как время 01 увеличивается от 0О = 0 до 仇=001, 010, 011,.... Этот процесс показан слева на рис. 5.1.2, а линиями со стрелками и числами 1, 2, ..., 7. Отсчет Л движется сначала в направлении х, затем по диагонали в «плоскости ху», снова в направлении х, по диагонали через «пространство %yz》и т. д. На рис. 5.1.2, б это движение представлено в одном измерении. Кроме того, на рис. 5.1.2, в показано движение отсчета Л в случае, когда точки 000——111 являютя метками одномерной шкалы.

Справа на рис. 5.1.2, а показаны перемещения отсчета В, находившегося первоначально в точке 自° = 001 (или z/Z = y/Y = =0, х/Х =1). Теперь выражение (2) преобразуется к виду

Сложение по модулю два 61 = 001, 010, ОН, ... и 001 заставляет отсчет В двигаться так, как указано стрелками. Замечаем, что отсчет В сначала движется в направлении х, затем по диагонали в «плоскости ху》, снова в направлении х, по диагонали через «пространство хуа》и т. д. Это в точности повторяет порядок движения отсчета Л, и, таким образом, одномерное представление (рис. 5.1.2, б) применимо как для отсчета /, так и для отсчета В.

С другой стороны, при использовании представления (рис. 5.1.2, е) отсчет В движется то влево, то вправо, тогда как отсчет Л движется вправо. В среднем отсчет В все же движется слева направо. Скачкообразность движения 6 является исключительно результатом представления, заимствованного у оси действительных чисел, на которой большее число наносится справа от меньшего. Для представлений (рис. 5.1.2, а и б) такого различия между скачкообразным и непрерывным движениями нет.

На рис. 5.1.2, г показано движение отсчетов А (черная точка) и В (кружок) как функции времени, соответствующей выражениям (2) и (3). Это представление является аналогом мировой линии, используемой для представления движения в пространстве-времени с обычной топологией действительных чисел или в декартовой системе координат с переменными х°, х1, имеющими обычную топологию действительных чисел.

Движение отсчета В (рис. 5.1.2, г) опять скачкообразно, но скачки можно интерпретировать как перемещения справа налево или слева направо, а не вперед и назад во времени, что делает представление приемлемым. В соответствии с выражением (2) на рис. 5.1.3 показаны диадические перемещения всех восьми возможных отсчетов /, 6,・..,", находящихся первоначально в точках & = 000, 001, ..., 111, для 仇=000, 001, ..., 111. Можно убедиться, что все отсчеты перемещаются в последовательности, показанной на рис. 5.1.2, 6, сначала в направлении 尤， затем по диагонали в «плоскости xz> и т. д. Из представления, основанного на мировой линии (рис. 5.1.2, г), трудно выявить правила перемещения. К этой проблеме нам придется вернуться позже.

Основным возражением против координатных систем, представленных на рис. 5.1.2 и 5.1.3, является то, что отсчеты перемещаются не только вдоль координатных линий, но н через «плоскость хг», «пространство xyz》и т. д. Мы специально оговаривали, что будем использовать координатные системы, у которых оси или координатные линии являются геодезическими, что подразумевает движение всех отсчетов вдоль этих линий. Результат несоблюдения этого принципа непосредственно виден из

рис. 5.1.2, а. В соответствии с выражением (2) время, необходимое для перемещения отсчета Д из точки ООО в точку 001 или из 001 в 010, или из 011 в 100, всегда одно и то же. Однако расстояния, пройденные с постоянной скоростью за одинаковые промежутки времени, не равны. Абсолютное расстояние & между точками 000 и 001 равно единице, между 001 и 010 — двум.

женных в точках 000, 001, ..., 111.

а между 011 и 100 — трем. Необходимо нашу диадическую систему координат видоизменить таким образом, чтобы постоянная скорость и равные промежутки времени подразумевали одинаковое пройденное абсолютное расстояние.

Диадические системы координат

До сих пор наше исследование основывалось на двоичных числах, упорядоченных в соответствии с обычным двоичным ко~ дом, представленным во втором столбце табл. 5.2.1. Десятичному числу можно приписать двоичный код множеством других способов. Часто используется код Грея (табл. 5.2.1), который получается из обычного двоичного кода путем записи единицы, если текущая цифра отличается от предыдущей, и нуля, если эти цифры совпадают. Этот процесс иллюстрируется следующим примером лучше многословных пояснений:

Обычный двоичный код (0) 11001011100

Код Грея10101110010.

Заменяя в диадической группе обычный двоичный код на код Грея, мы на первый взгляд не ждем существенных изменений.

0011111110111по11111111111110111110100111001100110001101100011111001111010111010101010111110100111001000110111000111011100111001поппоппою11010111101001011111100001110110001шоо10011101001011110101101101011110100101161010110010ioi10011100iOodiпо10J00100011111110111по11111111111110111110100111001100110001101100011111001111010111010101010111110100111001000110111000111011100111001поппоппою11010111101001011111100001110110001шоо10011101001011110101101101011110100101161010110010ioi10011100iOodiпо10J0010О1О1ЮИО1Ю1О1Ю1О Io lololo 1-O-1O1OIO 1 11001100110011 0011^01 1«Q.O 1 1 о о 1 1 1111OOOO1111OQOO1111OOOO111I 11111111000000001111115111 I 11 II I 11 и 11 11-11 11 11 1Д-11 ^1 11О1О1ЮИО1Ю1О1Ю1О Io lololo 1-O-1O1OIO 1 11001100110011 0011^01 1«Q.O 1 1 о о 1 1 1111OOOO1111OQOO1111OOOO111I 11111111000000001111115111 I 11 II I 11 и 11 11-11 11 11 1Д-11 ^1 11о 1о^ 345678901234567-890123456 ?8 9 о 1 1111111 1^1 <12 2 2 2”2 2У2 2-2233о 1о^ 345678901234567-890123456 ?8 9 о 1 1111111 1^1 <12 2 2 2”2 2У2 2-2233

0

0

1

1

11

11

10

111

по

1111

111

11111

101

11110

100

11100

1100

11000

1101

1000

1111

1001

1110

1011

1010

1010

1011

1110

1001

1100

1000

1101

11000

11101

11001

11001

поп

поп

пою

11010

11110

10010

11111

10000

11101

10001

шоо

10011

10100

10111

10101

10110

10111

10100

10116

10101

10010

ioi

10011

100

iOodi

по

10J00

10

0

0

1

1

11

11

10

111

по

1111

111

11111

101

11110

100

11100

1100

11000

1101

1000

1111

1001

1110

1011

1010

1010

1011

1110

1001

1100

1000

1101

11000

11101

11001

11001

поп

поп

пою

11010

11110

10010

11111

10000

11101

10001

шоо

10011

10100

10111

10101

10110

10111

10100

10116

10101

10010

ioi

10011

100

iOodi

по

10J00

10

О1О1ЮИО1Ю1О1Ю1О Io lololo 1-O-1O1OIO 1 11001100110011 0011^01 1«Q.O 1 1 о о 1 1 1111OOOO1111OQOO1111OOOO111I 111111110000000011111151

11 I 11 II I 11 и 11 11-11 11 11 1Д-11 ^1 11

О1О1ЮИО1Ю1О1Ю1О Io lololo 1-O-1O1OIO 1 11001100110011 0011^01 1«Q.O 1 1 о о 1 1 1111OOOO1111OQOO1111OOOO111I 111111110000000011111151

11 I 11 II I 11 и 11 11-11 11 11 1Д-11 ^1 11

о 1о^ 345678901234567-890123456 ?8 9 о 1 1111111 1^1 <12 2 2 2”2 2У2 2-2233

о 1о^ 345678901234567-890123456 ?8 9 о 1 1111111 1^1 <12 2 2 2”2 2У2 2-2233

Таблица 5.2.1

Три двоичных кода для первых 32 целых чисел

i = 0,.…31

ГОбычный двоичный

Минимальный кодМинимальный кодКод ГреяКод ГреяДесятичное число4 ын

Минимальный код

Минимальный код

Код Грея

Код Грея

поскольку лишь переобозначили элементы. Однако минимальное абсолютное расстояние, которое для диадической группы является расстоянием Хэмминга, изменяется, а это уже говорит о целесообразности исследования. Например, расстояние Хэмминга между числами 8 и 12 (табл. 5.2.1) равно единице для обычного двоичного кода, но двум для кода Грея.

Рассмотрим диадическое перемещение при использовании кода Грея (рис. 5.2.1). За исключением кода, эта иллюстрация аналогична рис. 5.1.1. По-прежнему, как и на рис. 5.1.1, имеются четыре ячейки памяти или координатные точки с адресами 00, 01, 10 и 11, но отсчеты хранятся в соответствии с кодом Грея.

00 07 71 10 t/T00 07 71 10 t/T00 07 JI 10 ЦТ00 07 JI 10 ЦТ展 J В d I展 J В d IгАвсвгАвсв3 …I『 00 07 % w t/r3 …I『 00 07 % w t/r|C № < J I 00 07 77 W t/7|C № < J I 00 07 77 W t/7Рис. 5.2.1. Диадическое перемещение отсчетов в одном и двух измерениях при использовании кода Грея: а — перемещение адресов (координат) отсчетов в двух измерениях. В скобках указаны значения обычного двоичного кода; 6 — перемещение самих отсчетов в двух измерениях; 8 и г — те же самые операции для одного измерения.Рис. 5.2.1. Диадическое перемещение отсчетов в одном и двух измерениях при использовании кода Грея: а — перемещение адресов (координат) отсчетов в двух измерениях. В скобках указаны значения обычного двоичного кода; 6 — перемещение самих отсчетов в двух измерениях; 8 и г — те же самые операции для одного измерения.

00 07 71 10 t/T

00 07 71 10 t/T

00 07 JI 10 ЦТ

00 07 JI 10 ЦТ

展 J В d I

展 J В d I

гАвсв

гАвсв

3 …I『 00 07 % w t/r

3 …I『 00 07 % w t/r

|C № < J I 00 07 77 W t/7

|C № < J I 00 07 77 W t/7

Рис. 5.2.1. Диадическое перемещение отсчетов в одном и двух измерениях при использовании кода Грея: а — перемещение адресов (координат) отсчетов в двух измерениях. В скобках указаны значения обычного двоичного кода; 6 — перемещение самих отсчетов в двух измерениях; 8 и г — те же самые операции для одного измерения.

Рис. 5.2.1. Диадическое перемещение отсчетов в одном и двух измерениях при использовании кода Грея: а — перемещение адресов (координат) отсчетов в двух измерениях. В скобках указаны значения обычного двоичного кода; 6 — перемещение самих отсчетов в двух измерениях; 8 и г — те же самые операции для одного измерения.

Это означает, что отсчет С попадает в ячейку с адресом 11, который, согласно табл. 5.2.1, по величине меньше, чем 10, а отсчет D — в ячейку с адресом 10. Диадическое перемещение можно выполнить путем сложения 01, 11 или 10 по модулю два с адресом, оставляя отсчеты на прежнем месте, что означает перемещение системы координат (рис. 5.2.1, Q).

На рис. 5.2.1, 8 показаны перемещения отсчетов без использования окружностей. Отсчеты А, В, С и D остаются на своих местах, а маркировка шкалы меняется в результате сложения 01, 11 или 10 по модулю два с крайними слева числами шкалы. Единицей измерения шкалы является нормированное время t/T.

Передвигая отсчеты А, В, С и D и оставляя адреса координатных точек без изменения, мы получаем перемещение, представленное на рис. 5.2.1, 6. Нетрудно убедиться, что эти четыре отсчета находятся по одним и тем же адресам в каждом столбце рис. 5.2,1,〃 и б. Перемещение по линейной шкале показано на рис. 5.2.1, а. Маркировка шкалы от 00 до 11 одинакова для всех четырех столбцов, что соответствует обычному увеличению временной шкалы слева направо.

Таблица 5.2.2

Двоичный код, код Грея и минимальный код для группиз 2, 4, 8 и 16 элементов

Минимальный кодМинимальный кодКод ГреяКод ГреяОбычный двоичныйкодОбычный двоичныйкодДесятичное числоДесятичное числоооо 1о 1о 1о 1о 1о 1о 1 1 оо 1 1 оо 1 оо 1 о0 12 30 12 3о 11101000о 11101000о 1- J о о 1 I о I 1 1Л I» ^^о 1- J о о 1 I о I 1 1Л I» ^^0101003010101003010123456701234567О1111ОООО1111ООО 1111ОЮ11ОООО11 111100001111 1* 11 ^4 1 11 «1 1* 1*О1111ОООО1111ООО 1111ОЮ11ОООО11 111100001111 1* 11 ^4 1 11 «1 1* 1*О11ОО11ОО11ОО11О 1111OOOOI1I1OO 111111110000О11ОО11ОО11ОО11О 1111OOOOI1I1OO 111111110000О1О1О1О1О1О1О1О1 11ОО11ЮО11^О11 и 11 fl 1 о о о 11 I и IО1О1О1О1О1О1О1О1 11ОО11ЮО11^О11 и 11 fl 1 о о о 11 I и I01234567893123450123456789312345

Минимальный код

Минимальный код

Код Грея

Код Грея

Обычный двоичныйкод

Обычный двоичныйкод

Десятичное число

Десятичное число

о

о

о 1

о 1

о 1

о 1

о 1

о 1

о 1 1 о

о 1 1 о

о 1 о

о 1 о

0 12 3

0 12 3

о 11101000

о 11101000

о 1- J о о 1 I о I 1 1Л I» ^^

о 1- J о о 1 I о I 1 1Л I» ^^

010100301

010100301

01234567

01234567

О1111ОООО1111ООО 1111ОЮ11ОООО11 111100001111 1* 11 ^4 1 11 «1 1* 1*

О1111ОООО1111ООО 1111ОЮ11ОООО11 111100001111 1* 11 ^4 1 11 «1 1* 1*

О11ОО11ОО11ОО11О 1111OOOOI1I1OO 111111110000

О11ОО11ОО11ОО11О 1111OOOOI1I1OO 111111110000

О1О1О1О1О1О1О1О1 11ОО11ЮО11^О11 и 11 fl 1 о о о 11 I и I

О1О1О1О1О1О1О1О1 11ОО11ЮО11^О11 и 11 fl 1 о о о 11 I и I

0123456789312345

0123456789312345

Кроме кода Грея существует много других возможных кодов, которыми можно заменить обычный двоичный код. В четвертом столбце табл. 5.2.1 представлен минимальный код. Причина такого названия станет ясна позднее. Пока лишь заметим, что для любого символа минимального кода или кода Грея расстояние Хэмминга как от предыдущего, так и до последующего символа равно единице — это особенность, которая не присуща обычпому двоичному коду. Например, расстояние Хэмминга от символа 16 обычного двоичного кода (табл. 5.2.1) до символа 15 равно пяти, а до символа 17 — единице, тогда как для кода Грея или

*г z 工 g 工 z но—*>—о—*•—-о—*-<>-*• - — о—^>—о- -►—-о—*—оО 7 Z 34567

,О**А -_• а“一 А.。

ООО 0010〃010 ПО 7〃707%。

077^《•о

00OS0111111

4 000 001077 0Ю 77。〃7"7100

9t f

Рис. 5.22 Различные представления диадического перемещения отсчетов Л и В, расположенных в точках ООО и 001, при использовании кода Грея.

минимального кода снмвол 16 от любого из символов 15 или 17 отстоит на расстоянии Хэмминга, равном единице.

Список комбинаций двоичного кода, кода Грея и минимального кода для 2, 4, 8 и 16 элементов приведен в табл. 5.2.2. Можно заметить, что в обычном двоичном коде и коде Грея при увеличении числа элементов добавляются новые символы, а старые остаются без изменения. Минимальный код такой особенностью не обладает; например, первые восемь символов кода из 16 элементов не совпадают с символами кода из восьми элементов. Этот код характеризуется переходом от символа со всеми нулями к символу со всеми единицами за минимальное число шагов, что дает расстояние Хэмминга между соседними символами (0, 1, 11, 111, ...), равное единице.

Диадическое перемещение двух отсчетов для кода Грея из восьми элементов показано на рис. 5.2.2. Эта иллюстрация эквивалентна рис. 5.1.2, который соответствует обычному двоичному коду. Слева на рис. 5.2.2, а в точке go = ООО расположен отсчет А. Складывая в соответствии с выражением (5.1.2) 0向，Вд= 1 по модулю два с 自。,получаем точки перемещения 自卜 При 61 = = 001, Oil, .. ., 100 отсчет А движется от ООО к 001, от 001 к 011 и т. д. (показано линиями со стрелками н числами 0, 1,... ...,7). Отсчет Л движется сначала в направлении х, затем в направлении z, опять в направлении х, затем в направлении у и т. д. На рис. 5.2.2, 6 это движение представлено в одном измерении. Кроме того, на рис. 5.22 6 показано движение отсчета Л для случая, когда угловые точки куба от ^ = 000 до 100 представлены в виде точек одномерной шкалы.

Справа на рис. 5.2.2, q показано движение отсчета В, первоначально расположенного в точке 001. Добавляя 001, 011, 010, ... по модулю два к 001, видим, что отсчет В движется сначала в направлении х, затем в направлении г, снова в направлении х, затем в направлении у и т. д. Это в точности такая же последовательность, как для отсчета Л, и, таким образом, одномерное представление (рис. 5.2.2, б) применимо для отсчета В так же, как для отсчета А.

С другой стороны, при использовании представления рис. 522, в отсчет В движется то влево, то вправо, тогда как отсчет Л всегда движется вправо. Это представление, так же как представление, основанное на мировой линии рис. 5.2.2, г, дает такой же результат, как и соответствующая иллюстрация для обычного двоичного кода (см. рис. 5.1.2). Заметим, что на рис. 5.2.2, q отсчеты А и В всегда проходят одинаковое расстояние X между соседними точками, тогда как на рис. 5.1.2, а из-за движения по диагоналям это не соблюдалось.

На рис. 5.2.3 показано движение всех восьми возможных отсчетов от 4 до " для кода Грея. Эта иллюстрация эквивалентна рис. 5.1.3 для обычного двоичного кода. В отличие от рис. 5.1,3 движение по диагоналям отсутствует.

Рассмотрим перемещения в соответствии с минимальным кодом. Возьмем восемь отсчетов от Л до /7 и восемь координатных положений 000, ..., 111. Необходимо использовать минимальный код с восемью элементами из табл. 5.2.2. В левом верхнем углу рис. 5.2.4 показаны восемь угловых точек куба, обозначенных так же, как на рис. 5.1.3 и 523. В точке 000 находится отсчет А. В соответствии с табл. 5.2.2 необходимо к 000 добавить по модулю два числа 1, 11, 111, 101, 100 и 10. Результат при этом совпадает с этими числами. Отсчет Л, таким образом, движется от 000 к 001, 011, 111, 101, 100, НО и 010 (рис. 5.2.4).

Рис. 5.2 3. Диадическое перемещение восьми отсчетов Л, В,…，Н, расположенных в точках 000, 001,…，100, основанное на коде Грея из восьми элементов (табл. 5.2.2).Рис. 5.2 3. Диадическое перемещение восьми отсчетов Л, В,…，Н, расположенных в точках 000, 001,…，100, основанное на коде Грея из восьми элементов (табл. 5.2.2).一г— — 十一г— — 十

Рис. 5.2 3. Диадическое перемещение восьми отсчетов Л, В,…，Н, расположенных в точках 000, 001,…，100, основанное на коде Грея из восьми элементов (табл. 5.2.2).

Рис. 5.2 3. Диадическое перемещение восьми отсчетов Л, В,…，Н, расположенных в точках 000, 001,…，100, основанное на коде Грея из восьми элементов (табл. 5.2.2).

一г— — 十

一г— — 十

Рис. 5.2 4. Диадическое перемещение восьми отсчетов Л, В, ..・,Н、расположенных в точках ООО, 001,…，010, основанное на минимальном коде из восьми элементов (табл. 522).

Отсчеты В, С,…，/У (рис. 5.2.4) расположены в точках 001, 011, ..., 010, что соответствует последовательности восьми элементов минимального кода (табл. 5.2.2). Перемещение отсчета В требует сложения по модулю два его адреса 001 н чисел 1, 11, 111, 101, 100, 110 и т. д. Аналогично перемещаются другие отсчеты.

Если мы рассматриваем перемещение по прямой линии в трехмерной декартовой системе координат, то мы разворачиваем систему так, чтобы перемещаемый отсчет двигался вдоль одной из осей. Таким образом, перемещение в трех измерениях

6

а

方。 G。 г。 E。 D。 c。 в-

G。 ? E c Г。 c ~ p" 力。

E。 ? G o 80 力2

Go 5

8 0

0。

夕 G。 F =

г у z?。 /0

5 ( G2 3。 E。

4。 0。 c u Г-- E。 ?

Js^r这、

c^-昌

△QH

E—o-QmkrQ

^§

叫7)d

f^®^7)о f(^®oii)i

嗚 $070) a Г

"品研708 Г 階00m)J

G 呜 ®W7)е J%。做卢

^^§飞 Gc L01 соё 尸г、rz

e(0 二二二

2 OSMS

Си

BeFQ ^§

飞

--§ 。信

飞 OZH 。/賢

(0004悬

■ 士 QQ e&L

"оё貫弓 Вт

/но -^ & 。与 -§ -§ 0

/S0 飞Q^§rQ

У 2Q У 口4 J HQrQ

…。g

Z t吨。况7 t

3 年吨30" 2r

4 Q?0④师京 5六品④"。( 6六厶。"1 2? 7 f吨 €)707 丁 8 £ =厶 @100^

Рис. 5.2 5. а — диадическое перемещение координатной системы при непо-движных отсчетах 4, В,…，Я; 6 — диадическое перемещение отсчетов принеподвижной координатной системе.

сводится к одномерному перемещению f (х—и/) вдоль оси х. Если перемещение происходит не по прямой линии, а, например, по окружности, то для того, чтобы снова получить перемещение в одном измерении, можно воспользоваться полярной или сферической системой координат. Единственное измерение при этом изображается прямой линией, но в действительности является окружностью. Если возможно найти одномерное представление для перемещений на рис. 5.2.3 и 5.2.4, то получится такое же упрощение, как при переходе от трехмерной декартовой или сферической координатных систем к одному измерению.

Обратимся к рис. 5.2.5. На рис. 5.2.5, q угловые точки куба ООО, 001, ..., 100 (на рис. 5.2.2, а, строка 1) расположены на мой линии. Отсчеты Л, В, ..., Н находятся в точках 000, 001, ..., 100, что соответствует их расположению на рис. 522, Q и 5.2.3.

Чтобы найти положения отсчетов А, В—…Н при перемещении на 001, 011, ..., 100, добавляем 001, 011,100 по мо

дулю два к числам & (рис. 5.2.5, а, строка 1). Результирующие значения представлены в строках со второй по восьмую. Легко убедиться, что последовательность перемещения отсчетов А и В на рис. 5.2.5, q такая же, как и на рис. 5.2.2, q; аналогичная проверка для отсчетов С, ..., " (рис. 5.2.3) занимает времени несколько больше. Следовательно, одномерное представление для

диадического перемещения в трех измерениях найдено. Совершенно очевидно, что это одномерное представление можно расширить на более чем три измерения.

У представления (рис. 525, q) все же есть недостаток. Оно отражает перемещение координатных точек ООО, 001, …，100 относительно фиксированных отсчетов A, Bt ... 9 Н. Обычно же мы хотим, чтобы фиксированной была координатная система, а относительно нее перемещались отсчеты Л,…，". Такое представление дано на рис. 5.2.5, б. Координатные метки ООО, 001,... • ・.,100 теперь фиксированы, а отсчеты Л, В, .••, 〃 движутся таким образом, что для любого перемещения 001 , 011, ..・,100 расположение отсчетов осталось таким же, как на рис. 5.2.5, а. Например, во второй строке для 三 =g0 ® 001 (рис. 5.2.5, а) координаты отсчетов Л, В, С, ... равны 001, 000, 010, ..., в то время, как для f(g0® 001) (рис. 5.2.5, б) отсчеты 8, 4。，.・・ имеют координаты 000, 001, 011,....

Для лучшего понимания диадического перемещения системы координат относительно отсчетов Л, В, ... (рис. 5.2.5, а) и перемещения отсчетов Л, В относительно координатной системы (рис. 5.2.5, 6) рассмотрим эквивалентные операции в декартовой системе координат. Пусть в координатных точках 0, 1, ..., 7 оси х находятся отсчеты А, В, Н (рис. 5.2.6, q, строка 1). При перемещениях % = %。+ 1, % + 2, ..., х0 + 7 к координатам отсчетов х добавляются значения 1, 2, ..., 7 (рис. 5.2.6, а, строки 2—8). В соответствии с функциями f (х— 1), f(x — 2), ... отсчеты А, В, ... 9 Н перемещаются в сторону увеличения координат (рнс. 526, 6).

Перемещение, соответствующее рис. 5.2.6, б, настолько знакомо, что для конкретного случая, например для f(х — 5), результат можно записать, не добавляя пяти к координатам отсчетов функции f (х) н не записывая 4, В, ... в этих новых координатных точках. На первый взгляд кажется, что для диадического перемещения рис. 5.2.5, 6 такого простого способа не существует. Посмотрим, однако, на перемещения f (g0® 001), f(Eo㊉。11) и f(go© НО). По сравнению с f(go) при первом перемещении меняются местами соседние отсчеты, при втором—- пары отсчетов, при третьем — четверки отсчетов. Более наглядно этот процесс показан на рис. 5.2.7, Q.

Числа кода Грея 001, 011, 110 являются степенями двойки. В общем виде число 2" записывается в коде Грея, как 1100 ... 0, с общим числом цифр 九+l. Например, 2° = 1, 21 = 11, 22 = =110, 23= 1100, 24 = 11 000. Диадическое перемещение на степень двойки понятно из рис. 5.2.7, а. Другие перемещения можно разложить по этим степеням. Например, число 010 является суммой по модулю два чисел 21 = 11 и 2° = 1, 11 ф 01 = 10 =

9

"%。£4 4 ?§7J』?jj：??7〃 皿 LSY Г У Г M ： JJ ： , \ ：

如£丄王』飞577升：： 円卄¥§斤中？FF彳?,：?：：：,

I JKLMNQPA ::方与 V I 厶

J 7 2 KNMPQRADCFEHG 7007 FJI I一I； 丫」—」-」

齐厶 7 J GPMNCRABGHEF 70/ I1 II II； i」^L_—一 L- ! I

L К J J P0NMDC3AHGFE7。" Illi llt」；LX_L f-L_丄__L_丄-L—

MN0 РГ J HLEFGHABCP

"00 I I I I If _1^L1—i_l_l_—L

NMP0J7 LKFfHGBADC"因 I 「-厂_L「一LL；-」£ I一」一i—L-丄-丄0PMNX£ 7 JHGEFCDABmo -ri 「 「『TT :，•■」一！•」l 」」一【-

f g gf g gP 0 N M L К J I GHFEDCBA 〃"П—1***"■Г—1―I I I-丁—L I I I I.」一L-

f g g

f g g

Q**^ **^

Q О Q О О 0 *^ 〜z z t^ 〜、、

Рис. 5.3.5. Стоячие волны, представленныеУолша； 6 — синусоидальнаяРис. 5.3.5. Стоячие волны, представленныеУолша； 6 — синусоидальнаярис 5 3 4. Одномерное представление стоячей волны Уолша Wal(l, | Ф 6)из рис. 5.3.3 при 自= 0000, 0001, ...» 1111 и 0 = 0000. 0001, ...» 1111.

Рис. 5.3.5. Стоячие волны, представленные

Уолша； 6 — синусоидальная

Рис. 5.3.5. Стоячие волны, представленные

Уолша； 6 — синусоидальная

отсчетами: а — стоячая волна стоячая волна.

^=1ЛЛРУЪЛР^=1ЛЛРУЪЛР

^=1ЛЛРУЪЛР

^=1ЛЛРУЪЛР

Рис. 5.3.6. Примеры стоячих волн, образованных непрерывными функциямиWal (0, ^), ...» wal(15, Е) в интервале 0^|С 1, О^0С 1. Черный цветсоответствует +1. белый —1.

ром). Черный цвет соответствует значению +1, белый —1. Эти примеры вычерчены для функций wal (左，6) в соответствии с рис. 5.3.1, поскольку они могут быть представлены черным и белым цветом, в то время как функции Wal (&, 6) потребовали бы дополнительного серого оттенка; однако нетрудно представить, как выглядели бы примеры, полученные на основе отсчетов функций Wal(左，0).

Обычно стоячие волны ассоциируются с акустическими и электромагнитными колебаниями, но здесь этот термин необходимо интерпретировать в более широком смысле. Например, функция Уолша wal(l,占㊉ В) (рис. 5.3.6, строка 1, столбец б) могла бы представлять собой протон (черный цвет) и нейтрон (белый цвет). Через некоторое время протон и нейтрон меняют местами, и этот процесс повторяется периодически при больших значениях 6. Такой пример не выходит за рамки смыслового значения «стоячей волны》， использованного нами.

Наблюдаемые перемещения и их собственные функции

Функции синуса и косинуса мы называем собственными функциями перемещений g + 0,占一0, а функции Уолша ——собственными функциями перемещений g ф 0 = g @ 0. При нсполь-

зовании в качестве параметра k как обычного двоичного кода, так и кода Грея стоячая волна получается в виде одной и той же функции Уолша Wal (/г, ^ Ф 0). Это вполне очевидно из рис. 5.2.8, а и б. Из рис. 5.2.8, q очевидно также, что минимальный код не даст функций Уолша в качестве стоячих волн. Выведем восемь функций, которые останутся при перемещениях без изменения, за исключением, возможно, знака амплитуды (см. рис. 5.2.8, в).'

Возьмем сначала Л + 1- Тогда для определения семи отсчетов В, С, ・..,〃 нам потребуется еще семь условий. Из строк О == ООО н 6 = 001 (см. рис. 5.2.8, в) получаем уравнения

/ = 5 民 8 = %4(1)

с двумя решениями

cq = ± 1.(2)

Мы можем выбрать одно значение аь Этот выбор накладывает на отсчеты В,…，Н следующие четыре условия:

В = Oj/l, 〃 = cqC, G = a]Q, F = ajf.(3)

Условия E = a»F、D = cciG и C = cq", также вытекающие из строк 0 = ООО и 0 = 001, согласно уравнению (2), выполняются автоматически.

Строки 0 — ООО и 0 — 011 (см. рис. 5.2.8, в) дают второй набор уравнений

А = с^С, С = с^А(4)

с двумя решениями

电=土 1・(5)

Снова можно выбрать одно значение а2- Этот выбор накладывает два дополнительных условия на отсчеты В, .,., Н:

c = a2Л,f=a20.(6)

Условия Н = дВ и G =出£ вытекает из условий (3) н (6):

"=%0= %a24 G = щD =(01/a2)^9(7)

тогда как условия 。= c^F, £ = a2G н В = a2H выполняются автоматически согласно равенству (5).

Третий набор уравнений получаем из строк 6 = 000 и 6 = =111 (см. рис. 5.2 8,в):

D = а3Л, / = аз。.(8)

По прежнему существуют два решения:

аз=±1・(9)

Получаем лишь одно новое условие

D = a3At(10)

а все остальные, от G = а3В до £ = «з^, выполняются автоматически согласно равенствам (2), (3), (5), (6), и (9).

Два варианта выбора, разрешенные каждым из трех уравнений (2), (3) и (9), дают 23 наборов решений для а】，а2 н аз (табл. 5.4.1).

Таблица 5.4.1

23 наборов решений для аи 电，аз и определенные имизначения отсчетов В. С.…,Н

丸 01234567丸 01234567I t —ж I I fi 1 11 ++++---_I t —ж I I fi 1 11 ++++---_11 и H n H 11 n VKS ++ - - ++ --11 и H n H 11 n VKS ++ - - ++ --11 и и и и и fl ft + 一 + 一 + 一 + 一11 и и и и и fl ft + 一 + 一 + 一 + 一---==-= лвс Q Е 尸 G/7---==-= лвс Q Е 尸 G/71щА = at a2^ =a2 аз/ = Оз a|F — 01a2Я3 电O=a2g3 aiD = am :«|С = ag1щА = at a2^ =a2 аз/ = Оз a|F — 01a2Я3 电O=a2g3 aiD = am :«|С = ag

丸 01234567

丸 01234567

I t —ж I I fi 1 11 ++++---_

I t —ж I I fi 1 11 ++++---_

11 и H n H 11 n VK

S ++ - - ++ --

11 и H n H 11 n VK

S ++ - - ++ --

11 и и и и и fl ft + 一 + 一 + 一 + 一

11 и и и и и fl ft + 一 + 一 + 一 + 一

---==-= лвс Q Е 尸 G/7

---==-= лвс Q Е 尸 G/7

1

щА = at a2^ =a2 аз/ = Оз a|F — 01a2Я3 电O=a2g3 aiD = am :«|С = ag

1

щА = at a2^ =a2 аз/ = Оз a|F — 01a2Я3 电O=a2g3 aiD = am :«|С = ag

Для построения восьми функции возьмем из табл. 5.4.2 сначала столбец Л =,+1. Значения 8, С н О, согласно табл. 5.4.1, следуют из условий (3), (6) и (10). Значения Е,月

Таблица 5.4.2

Восемь двузначных функций mg! (Л,无)，дающихстоячие волны при диадическом перемещении на основеминимального кода в соответствии с рис. 5.2.8, 8 *

0А0Авв234СО£234СО£6 G6 G7 H7 H0123456701234567+ + 一 一 一 一 +十 + - + 二 + 一 + +一一++一一+ + 二 + 一 ++ 一 + 一 + - + 一 + 一 + + - 一 ++ -- + +++ 二一 一 +++++++++ + 一 一 一 一 +十 + - + 二 + 一 + +一一++一一+ + 二 + 一 ++ 一 + 一 + - + 一 + 一 + + - 一 ++ -- + +++ 二一 一 ++++++++

0

А

0

А

в

в

2

3

4

С

О

£

2

3

4

С

О

£

6 G

6 G

7 H

7 H

01234567

01234567

+ + 一 一 一 一 +十 + - + 二 + 一 + +一一++一一+ + 二 + 一 ++ 一 + 一 + - + 一 + 一 + + - 一 ++ -- + +++ 二一 一 ++++++++

+ + 一 一 一 一 +十 + - + 二 + 一 + +一一++一一+ + 二 + 一 ++ 一 + 一 + - + 一 + 一 + + - 一 ++ -- + +++ 二一 一 ++++++++

Знаки + и — написаны вместо +1 и — 1.

mgMQE 旣)

ulO no 100 101 111 0】］ 001 000

Рис. 5.4.1. Примеры стоячих волн, образованных функциями mgl(0, g),... ...,mgl(7, I). Черный цвет соответствует 十1, белый ——1.

r~i nu n 】1— 1— 1— 1— ли

1— n nJ t_J 1 1— nu Lt _nu 14 TJ 1 TJ СЭ ли nu

、>46Q 5

G н " получаем из условий (3) и (6). Для этой системы орто- гональных функций используется обозначение mgl (左，〃)(minimized Gray-code-/ike functions — функции минимального кода, подобного коду Грея °.

На рис. 5.4.1 даны примеры, полученные с помощью диадического перемещения функций mgl (А, Л). Очевидно, что при

Таблица 5.4.3

Минимальный код и минимальный код по Г реюдля групп из 2, 4, 8 м 16 элементов

Десятичное числоДесятичное числоМинимальный кодМинимальный кодМинимальный код по ГреюМинимальный код по Греюо 1о 1ооо 1о 10 12 30 12 3о 1о 10 2 3 4 5 6 70 2 3 4 5 6 701110100000111010000фф023456789012345023456789012345^и »1 «1 11 и ои о о ^v и и и »1 с^ о о 11110011000011 «1 «1 и «1 п^ о о о 11 1- «1 1^и »1 «1 11 и ои о о ^v и и и »1 с^ о о 11110011000011 «1 «1 и «1 п^ о о о 11 1- «1 1^v «1 о- „и »1 СЭ пи и ^v 11 1 11 Av li 11 «I ^u о- 11 пи 1 Ли 11 1 о- 1^v «1 о- „и »1 СЭ пи и ^v 11 1 11 Av li 11 «I ^u о- 11 пи 1 Ли 11 1 о- 1

Десятичное число

Десятичное число

Минимальный код

Минимальный код

Минимальный код по Грею

Минимальный код по Грею

о 1

о 1

о

о

о 1

о 1

0 12 3

0 12 3

о 1

о 1

0 2 3 4 5 6 7

0 2 3 4 5 6 7

0111010000

0111010000

ф

ф

023456789012345

023456789012345

^и »1 «1 11 и ои о о ^v и и и »1 с^ о о 11110011000011 «1 «1 и «1 п^ о о о 11 1- «1 1

^и »1 «1 11 и ои о о ^v и и и »1 с^ о о 11110011000011 «1 «1 и «1 п^ о о о 11 1- «1 1

^v «1 о- „и »1 СЭ пи и ^v 11 1 11 Av li 11 «I ^u о- 11 пи 1 Ли 11 1 о- 1

^v «1 о- „и »1 СЭ пи и ^v 11 1 11 Av li 11 «I ^u о- 11 пи 1 Ли 11 1 о- 1

'Далее зтот код называется минимальным кодом по Грею. — Прим, перев.

0010

Р

С

8

L

G

F

J

H

К

J

E

D

0

N

A

оно

0

D

“

в

^

H

/

F

G

L

E

J

C

尸

A

N

07OQ

А

N

0

с

J

7

H

G

F

E

厶

^

В

人

P

0

0101

例

N

0

p.

/

J

К

L

E

F

G

H

A

8

C

D

1101

2

G

F

/

P

C

8

M

0

0

N

A

В

^

J

1001

^

斤

/

F

0

D

M

В

C

P

A

N

G

丄

E

J

70"

J

Z

H

G

^

M

D

c

В

A

P

0

F

Г

L

К

7070

/

J

^

L

M

N

0

尸

A

8

C

D

E

F

G

〃

7000

升

Я

J

E

D

0

N

A

P

C

8

M

厶

G

产

"00

G

2

E

J

C

P

A

N

0

D

M

В

^

У

J

尸

1110

P

E

L

Я

В

A

P

0

N

M

D

C

J

/

H

G

1111

E

尸

G

〃

A

В

C

0

M

N

0

戸

/

J

К

L

0 777

D

0

N

A

H

Я

J

E

丄

G

F

7

P

С

5

M

ООП

C

P

Л

N

G

L

E

J

X

Я

/

广

0

D

"

В

0001

8

A

P

0

F

E

£

A

J

/

H

G

^

“

D

c

0000

A

В

c

D

E

F

G

H

7

J

^

2

M

N

0

p

ТO、ij~OO4o~z — — ООО

Л0Oz — z»~» Q Q — iQQQOr、

иOQOz — iV'-OOOO 〜IZZ0

о о О 0 V— »— »—. е 〜〜*^_ *"» о о о о f—

Рнс. 5.42 Диадическое перемещение 16 отсчетов А, ..., Р при использова- )я п минималыюго кода из 16 элементов (см. таб . 5.2 2)； Например, отсчет М в момент времени 0О = 0000 находится в точке R» = 0101. Через некоторое время, например в момент 6 = 1100, он должен находиться в точке EG0 = ЕФ 1100 = Ео + 0о = 0101, что дает 日=0101 ㊉ 8 = 0101 ㊉ 1100 = =1001.

любом значении 九=占㊉ 6 каждая из функций равна либо mgl(ft, Е), либо —mgl (Л,占)，н соотношение

mgl(— I)mgl(ft, 0) = mgl(A, I®0) удовлетворяется аналогично уравнению (5.3.3).

Рис. 5.2.8, а и б показывают, что результатом автоморфизма обычного двоичного кода и кода Грея является один и тот же пример перемещений. Аналогичный автоморфизм существует для минимального кода. Тот же самый процесс, который преобразует обычный двоичный код в код Грея (см. табл. 5 2.2), преобразует минимальный код в минимальный код по Г рею (табл. 5.4.3). Легко проверить, что сложение по модулю два двух чисел минимального кода, например 1100 Ф 1010 = 0110, дает такое же число, как и сложение по модулю два соответствующих чисел минимального кода по Грею 10 0 0 1111 = =0101.

Обратимся к минимальному коду из 16 элементов (табл. 5.2.2). Диадическое перемещение 16 отсчетов А,民…

W07 717VOOW07 717VOO

W07 717VOO

W07 717VOO

Рнс. 5.4.3. Перемещение отсчета А, показанного на рис. 5.4.2, в четырехмерной координатной системе, соответствующей рис. 3.1.21 (направления осей 尤, у, 2, и изменены, а ось ” удлинена для тот о, чтобы разделить два трехмерных куба, образованных осями 尤,у н г). Отсчет Л движется по линии 1 от точки 0000 к 0001, по линии 2 к ООН, по линии 3 к 0111, по линии 4 достигает противоположной точки, точки 1111, продолжает движение к 1110 по линии 5 и т. д.

• ・•, Р с использованием этого кода показано на рис. 5.4.2. Замечаем, что отсчет Л перемещается по главной диагонали; легко сообразить, что так должно быть для диадического перемещения, основанного на любом коде. Пример перестановки других отсчетов не столь очевиден. На рис. 5.4.3 показано геометрическое представление перемещения отсчета А. В углах четырехмерного куба расположены точки g = 0000, 0001,…，0010. Отправившись нз точки 0000, отсчет Д достигает противоположной точки 1111 за четыре шага.

На рис. 5.4.4 представлен пятимерный куб, иллюстрирующий перемещения отсчета Л в соответствии с минимальным кодом из 32 элементов (см. табл. 5.2.1). Отсчет перемещается из точки 00000 по линии 1 до точки 00001, по линии 2 до точки 00011 и т. д. Противоположная точка 11111 достигается за пять шагов.

Рассмотрим понятие геодезической в диадической координатной системе. Из точки g = 00000 в точку 00001 (рис. 5.4.4} ведет одна геодезическая ——сплошная линия, обозначенная цифрой 1. Длина геодезической — это абсолютное или хэммин- гово расстояние между ее начальной и конечной точками. Эта длина измеряется подсчетом числа точек или меток, расположенных вдоль геодезической, включая конечную точку, но ис-

6 X. Хармут

Рис. 5.4.4. Диадическое перемещение в пятимерной координатной системе, соответству ющей рис. 3.1.22 (направления осей изменены, а оси ” н з удлинены для того, чтобы разделить четыре трехмерных куба, образованных осями х, у и z), при использовании минимального кода (см. табл. 522). Отсчет А движется по линии 1 от точки 00000 к 00001, затем по линии 2 к 00011 и т. д. Абсолютное расстояние или расстояние Хэмминга черных шаров от точки 00000 составляет два. Заимствуя выражение, можно сказать, что эти шары лежат на «поверхности сферы» с радиусом Хэмминга, равным двум.

ключ а я начальную. Следовательно, длина геодезической между точками Е = 00000 и 00001 равна единице. Из точки 00000 можно попасть в точку 00001 через точки 00010 и 00011. Длина этого маршрута равна трем, и, таким образом, это не геодезическая.

Между точками 00000 и 00011 существует 2! геодезических, одна проходит через 00010, а другая — через 00001. Длина каждой линии равна двум. Между точками 00000 и 00111 мы находим 3! геодезических. Длина каждой из них равна трем. Далее, между точками 00000 и 01111 существует 4! геодезических с длиной, равной четырем, н между точками 00000 н 11111 — 5! геодезических с длиной, равной пяти. Отсюда следует, что расстояние Хэмминга и между двумя точками равно длине геодезической (свойство, которое естественно потребовать от приемлемой геодезической), тогда как и!——это число геодезических между двумя точками.

Рис. 5.4.5. Соединения между 43 = 64 шарами или точками в соответствии с обычной топологией трехмерной координатной системы.

Минимальный код (см. табл. 5.2.1) заставляет отсчет перемещаться из точки 00000 в противоположную точку 11111 по определенной геодезической. Для других кодов отсчет переместится по другим геодезическим. Мы только что убедились, что между точками 00000 и 11111 существует 5! геодезических; следовательно, должно существовать 5! кодов, определяющих эти перемещения. Эти коды получаются из минимального кода (табл. 5.2.1) путем 5! перестановок его цифр!). Исследование кодов здесь эквивалентно определению функций времени х = =х(/), y = p(f), z = z(f) или У = х"х°), задающих геодезическую в дифференциальной геометрии.

')В табл. 5.2.1 нули перед старшей значащей цифрой 1 опущены. Перед выполнением перестановок их необходимо вставить. Например, 0 необходимо заменить на 00000, 1 на 00001 и т. д.

Рис. 5.4.6. Соединения между 26 = 64 шарами или точками в соответствии с топологией шестимерной координатной системы, представляющей диадическую группу с расстоянием Хэмминга.

Перейдем к шести измерениям. Для диадической группы это означает наличие 26 = 64 элементов и 64 координатных точек в соответствующей координатной системе. Трехмерная, дискретная декартова система координат с четырьмя метками на каждой оси также определяет 43 = 64 координатных точки. На рис. 5.4.5 показана такая декартова система координат с 64 координатными метками или точками координатной сетки, обозначенными небольшими шарами. Связь 64 шаров соответствует обычной топологии целых чисел.

Вместо того чтобы соединять 64 шара в соответствии с обычной топологией целых чисел (рис. 5.4.5), можно соединить их, согласно топологии диадической группы, с хэмминговым расстоянием (рис. 5.4.6). На первый взгляд эта координатная система не выглядит расширением систем, приведенных на

рис. 3.1.20, 3.1.21 и 3.1.22, до шести измерений, но в действительности это так. Чтобы иметь такое же расположение шаров, как на рис. 5.4.5, на рис. 5.4.6 используются стержни различной длины, а не одинаковой, как было для координатных систем меньшей размерности. Кроме того, для упрощения картины стержни изображены одинарными, а не двойными. Каждый стержень на рис. 5.4.6 соответствует двойному стержню из рис. 3.1.20, б или кольцу из рис. 3.1.20, q ').

Координатная система на рис. 5.4.6 выглядит значительно более сложной, чем декартова система координат на рис. 5.4.5. Однако взглянем на две эти структуры с точки зрения локальной физики или с точки зрения маленького муравья, который может ползать по шарам и стержням, но не может, как мы, увидеть структуру в целом. На рис. 5.4.6 из любого шара или координатной точки всегда исходит шесть стержней или направлений, или точнее 12 стержней, поскольку каждый стержень на самом деле является двойным. Следовательно, все точки координатной сетки одинаковы. С другой стороны, в координатной системе на рис. 5.4.5 есть точки, из которых исходят три стержня или направления (угловые точки), четыре стержня (граничные точки), пять стержней (поверхностные точки) ", наконец, шесть стержней (внутренние точки). На основе таких локальных наблюдений во всех точках координатной сетки структура на рис. 5.4.6 классифицируется как шестимерная конечная, но неограниченная система координат, а структура на рис. 5.4.5 — как трехмерная конечная и ограниченная.

Расстояния между соседними точками координатной сетки на рис. 5.4.6, измеренные вдоль соединяющих их стержней, не всегда одни и те же. Однако, эти расстояния можно сделать одинаковыми, используя стержни фиксированной длины и меняя соответственно положение шаров, как было сделано для структур, изображенных на рис. 3.1.21, 3.1.22. Пользуясь изогнутыми, а не прямыми стержнями, можно сохранить расположение точек координатной сетки на рис. 5.4.6 и при одинаковой длине стержней, но существуют также другие способы получения одинаковых расстояний в пределах наблюдаемого. Предположим, что шары или координатные точки (рис. 5.4.6) расположены настолько близко друг к другу, насколько позволяет разрешающая способность наших измерительных приборов. Тогда элементарную частицу можно наблюдать либо в одной,

I)Две линии, из которых состоит каждый стержень на рис. 5.4.6, могут рассматриваться как окружность из рис. 3.1.19, а, сжатая в узкую и очень длинную петлю. Такое представление, конечно, не дает возможности npN・ внльно интерпретировать пересечения стержней на рис. 5.4.6.

либо в другой точке, но ее нельзя увидеть движущейся из одной точки в другую, поскольку это потребовало бы разрешающей способности с большим числом координатных точек. Если нельзя увидеть «промежуточные» точки между двумя соседними точками, то нельзя и присвоить различные значения расстоянию между этими двумя точками, и мы вынуждены прийти к выводу, что расстояние всегда одинаково.

Могут возразить, что можно замерить время, за которое элементарная частица проходит от одной точки до другой, соседней. Это неверно. Можно в тот или иной момент времени наблюдать частицу в одной точке, а в другой момент времени в соседней, но всегда, когда мы не видим частицу в одной точке, мы обязательно увидим ее в другой. Нельзя замерить время перемещения т и на его основе вывести расстояние ст.

Как решить, какую координатную систему, приведенную на рис. 5.4.5 или на рис. 5.4.6, необходимо использовать? ° Предположим, что мы располагаем измерительным устройством, способным различать 64 точки. Этими точками могут быть как точки системы на рис. 5.4.5, так и точки системы на рис. 5.4.6,

Таблица 5.4.4

24 наборов решений для а】,«2, аз, а4 и определенные имизначения отсчетов В, С, ...» Р*

at6аз%

01234567890123450123456789012345+ - + 一 + -+ 一+ 一 + - + 一+ - + + 二 十+ 二 +十一一十十 二 + + + + 二二 + + + + -二一 +++ + ++++ --------+ - + 一 + -+ 一+ 一 + - + 一+ - + + 二 十+ 二 +十一一十十 二 + + + + 二二 + + + + -二一 +++ + ++++ --------=1=<х/ = (X]=%4 = a2 =«зЛ = «з =а/ = оц ^= €([£ ■— (Х]。. =a2е =a2a4 =азЕ = «за4 =Ct/=a1(12(13a4 =а?Н =(Х2Оза4 =a]"=6(13% =aiG = оца2a4 =出川=сцс^аз =电。=02^3 =QjD = (X1CC3 =aiC = a1g2=1=<х/ = (X]=%4 = a2 =«зЛ = «з =а/ = оц ^= €([£ ■— (Х]。. =a2е =a2a4 =азЕ = «за4 =Ct/=a1(12(13a4 =а?Н =(Х2Оза4 =a]"=6(13% =aiG = оца2a4 =出川=сцс^аз =电。=02^3 =QjD = (X1CC3 =aiC = a1g2

0123456789012345

0123456789012345

+ - + 一 + -+ 一+ 一 + - + 一+ - + + 二 十+ 二 +十一一十十 二 + + + + 二二 + + + + -二一 +++ + ++++ --------

+ - + 一 + -+ 一+ 一 + - + 一+ - + + 二 十+ 二 +十一一十十 二 + + + + 二二 + + + + -二一 +++ + ++++ --------

=1

=<х/ = (X]

=%4 = a2 =«зЛ = «з =а/ = оц ^= €([£ ■— (Х]。. =a2е =a2a4 =азЕ = «за4 =Ct/=a1(12(13a4 =а?Н =(Х2Оза4 =a]"=6(13% =aiG = оца2a4 =出川=сцс^аз =电。=02^3 =QjD = (X1CC3 =aiC = a1g2

=1

=<х/ = (X]

=%4 = a2 =«зЛ = «з =а/ = оц ^= €([£ ■— (Х]。. =a2е =a2a4 =азЕ = «за4 =Ct/=a1(12(13a4 =а?Н =(Х2Оза4 =a]"=6(13% =aiG = оца2a4 =出川=сцс^аз =电。=02^3 =QjD = (X1CC3 =aiC = a1g2

* Знаки + н — записаны для +1 и — L

*)) Выражаясь более простым языком, ставится вопрос о том, какую Топологию имеет пространство: типа рнс. 5.4.5 или типа рис. 5.4.6.

но, конечно, без соединяющих их стержней. Пусть элементарная частица находится сначала в точке Л, а затем в точке С. Это нисколько не противоречит шестимерной структуре (рис. 5.4.6), поскольку точка С является соседней к точке Л так же, как и точка В, Расстояние Хэмминга равно единице как между точками Л и С, так и между точками Л и В. На рис. 5.4.5 элементарная частица на своем пути от А к С должна пройти через точку В. Если частица через эту точку не проходит, мы вынуждены сказать, что она движется скачками, а не непрерывно. Следовательно, появление скачков является свидетельством того, что в такой координатной системе, как система на рис. 5.4.6, перемещение выглядит проще, чем в координатной системе с обычной топологией дискретных чисел в трех измерениях (рис. 5.4.5).

Определим собственные функции перемещений, соответствующих рис. 5.4.2. Сравнивая строки б = 0000 и 0 = 0001, получаем

Z = aiB, В = щАу 山=土1(11)

++ + +一 二一三二丰+十 + 十 二 ++ 二二 ++4 二 + + 十 + 二二 + + ++ 二二-+ + + + 一 二-++ 二 ++++ -- + 一 + 二 + - + 一 + 一 ++ 一 十 一 + 二 ++ 二 十 一 ++ 二 ++ - + 二 + 一 ++- + -- + -++- + 二 + 一 ++ 二 ++ 一 + 二 + + 二 ++ 二 ++ 二 ++ 二 + 十 一 + 二 + 一 ++ - + 二 + 一 + + - + - + - + 二 + -+ - + - + + - + - + - + -+ - + 一 + 一 + 一 + 十二++二++二++二 + + + 十 二二 + + ++ 二二 ++++++++----二二 ++++++++++++++++ 0123456789012345++ + +一 二一三二丰+十 + 十 二 ++ 二二 ++4 二 + + 十 + 二二 + + ++ 二二-+ + + + 一 二-++ 二 ++++ -- + 一 + 二 + - + 一 + 一 ++ 一 十 一 + 二 ++ 二 十 一 ++ 二 ++ - + 二 + 一 ++- + -- + -++- + 二 + 一 ++ 二 ++ 一 + 二 + + 二 ++ 二 ++ 二 ++ 二 + 十 一 + 二 + 一 ++ - + 二 + 一 + + - + - + - + 二 + -+ - + - + + - + - + - + -+ - + 一 + 一 + 一 + 十二++二++二++二 + + + 十 二二 + + ++ 二二 ++++++++----二二 ++++++++++++++++ 0123456789012345

++ + +一 二一三二丰+十 + 十 二 ++ 二二 ++4 二 + + 十 + 二二 + + ++ 二二-+ + + + 一 二-++ 二 ++++ -- + 一 + 二 + - + 一 + 一 ++ 一 十 一 + 二 ++ 二 十 一 ++ 二 ++ - + 二 + 一 ++- + -- + -++- + 二 + 一 ++ 二 ++ 一 + 二 + + 二 ++ 二 ++ 二 ++ 二 + 十 一 + 二 + 一 ++ - + 二 + 一 + + - + - + - + 二 + -+ - + - + + - + - + - + -+ - + 一 + 一 + 一 + 十二++二++二++二 + + + 十 二二 + + ++ 二二 ++++++++----二二 ++++++++++++++++ 0123456789012345

++ + +一 二一三二丰+十 + 十 二 ++ 二二 ++4 二 + + 十 + 二二 + + ++ 二二-+ + + + 一 二-++ 二 ++++ -- + 一 + 二 + - + 一 + 一 ++ 一 十 一 + 二 ++ 二 十 一 ++ 二 ++ - + 二 + 一 ++- + -- + -++- + 二 + 一 ++ 二 ++ 一 + 二 + + 二 ++ 二 ++ 二 ++ 二 + 十 一 + 二 + 一 ++ - + 二 + 一 + + - + - + - + 二 + -+ - + - + + - + - + - + -+ - + 一 + 一 + 一 + 十二++二++二++二 + + + 十 二二 + + ++ 二二 ++++++++----二二 ++++++++++++++++ 0123456789012345

Таблица 5,4.5

16 двузначных функций mgl (А,五)，дающих стоячие волны при диадическом перемещении на основе минимального кода

в соответствии с рис. 5.2.8, в *

0

12

3

4

5

6

7

8

9

10

II 12

13

14

13

A

5

C

Q

E

F

G

H

/

К

厶

М

N

О

Р

Знаки + и — записаны для +1 и —1.

mgt(O.g©0)

0101-；

1010-： 上111任 £0000上一

mg!(1.g®0)

rnql(5.^®8)

mgl(2.E®0)

mg【(3.E@6)

-4-

010】一；三

Т01М

叫U£6印

.1111- 士 0000 上，

mgl(8,^®6)

3日

mql(6.^©o)

oio.&MM 101「

mg-9 g®9)

md(11 产砂 8)

整里」

11111;

°°°°%q F®8) 0101*窗!

1010F窮

• пиt Xoooo-

mgl(1pt@8)

J」1 I 1_L」| 3J I」1 1 I

二二 二二一 Dip

mgl(13,5@0)

гр-1(14^6)

m@(15撃 8)

］】1【j 1丄」11丄11 I」H

Рис. 5.4.7. Примеры 16 собственных функции для диадического перемещения, соответствующего рис. 5.4.2. Для пояснения рассмотрим пример mgl (1, S, © 0). При 8 = 0 получаются отсчеты / =B = C = £) = Af = N = O = P =十］ (черный цвет) и E=F=G = H = I = K = J= L = —1 (белый цвет). В моменты времени 0 = 0001, 0011, 0111 картина не меняется, поскольку отсчеты, равные +1, меняются местами только друг с другом. В момент времени 0 = 1111 отсчеты ——1 поменялись местами с отсчетами 4-1 (поменя

лись местами белые и черные квадраты)

с помощью

диадическогомогут быть

перемещения представлены

и т. д. Полученные таким образом образцы mgl伐，Е ㊉ 0) несомненно произведением (19).

и условия

8 =(Xi4 Р = щС, O = cq。，F = щЕ, £ = а@ К = щН,

/ = а/ N = щМ.(12)

Сравнивая строки 6 = 0000 и 0 = 0011, получаем

/на?。，0 = (X2"，a2H 士 L(13)

С = а2Д, N = a?D、G =» а2^» J = 口出■(14)

Строки 0 = 0000 и 0 = 0111 дают

D = азЛ, /1 = аз。，аз = ± 1,(15)

= h = азe.(16)

Наконец, на основе строк 0 = 0000 и 6= 1111 получаем

Е = СС4Л, А = щЕ^ 。4=±1,(17)

Е = щА.(18)

Заметим, что число условий в равенствах (12), (14), (16) и (18) уменьшается с восьми до четырех, двух и одного В табл. 5.4.4 перечислены 24 возможных комбинаций значений + 1 или —1 для а【,.・.,а* В таблице также приведены отсчеты 4民 …，Р, выраженные через cti, ..., w в соответствии с равенствами (12), (14), (16) и (18). В табл. 5.4.5 приведены 16 функций mgl(А, А) с 16 отсчетами Л, В, ..., Р, определенными в табл. 5.4.4. На рис. 5.4.7 показаны функции mgl (A, h)= =mgl (А, ^ @0), параметры g и 0 которых задаются на основе минимального кода из 16 элементов (см. табл. 5.2.2). Симметричность приведенных картинок говорит о том, что соотношение

mgl 伍，自)mgl (A, 6) = mgl (A, E ㊉ 6)(19)

выполняется.

Недиадические координатные системы

Для предельного случая координатных систем 2"》1 (см. рис. 3.1.1) характерны стоячие синусоидальные волны, тогда как для другого предела 2" = 2 характерны функции Уолша и другие двузначные функции (см. рис. 5.3.6, 5.4.1 и 5.4.7). Рассмотрим теперь промежуточные случаи. Мы утверждаем, что существуют функции f 仅 I), которые при перемещении по окружности (см. рис. 3.1.1) в положительном f(E — 0) и отрицатель- ном f (& + 6) с математической точки зрения направлениях об- разуют стоячие волны в соответствии с уравнением

〃口E)g(財6)=4什(比E + B) + f候，自一帆 (1)

где знаки《一》и《+》обозначают операции вычитания и ело- жения по модулю 〃. При и—> оо этому уравнению удовлетворяет формула (5.3.1), а при п = 2 —формула (5.3.3). Вместо «+》н 《一》мы пишем《十》и《一》при п -> оо и ф при п = 2.

При 〃 = 3 функция №，Е) состоит из трех отсчетов Л, В и С.

В табл. 5.5.1 приведены перемещения функций f (А, Е + 6) и f (力， 'з

g —8) и сумма :炉伐，自+ e)+ f(走，自一6)], а на рис. 5.5.1 — 3/3з

перемещения и их суммы для А = 1, В = 1, С =——2.

Рис. 5.5,1. Троичные перемещения, полученные в результате сложения н вычитания по модулю три, и сумма этих перемещений.

Таблица 5.5.1

Троичные перемещения f (А, ^ + 0), f (А, Е — ^) и их сумма

3

f(k, Ц 3

01

2

0

12

е о

С

е о

С

1

4

1

в

2

Л

2

л

f信.Е

； + 8)

+ /依，e-8)

3

3

<•

1

2

0

2Л

2В

2c

1

в + с

Л +с

4 + 8

е 2

В+С

в + с

2Л

Суммы f 依，自 + В) + f 优，占一6) вСуммы f 依，自 + В) + f 优，占一6) вззззтабл. 5.5.1 равны. Следовательно, для ны, соответствующей выражению (1), только три следующих условия:В + С = 2аА, А + С = 2аВ,табл. 5.5.1 равны. Следовательно, для ны, соответствующей выражению (1), только три следующих условия:В + С = 2аА, А + С = 2аВ,строках 0= 1 и 0 = 2получения стоячей вол-необходимо выполнитьстроках 0= 1 и 0 = 2получения стоячей вол-необходимо выполнитьA + B = 2aC.A + B = 2aC.⑵⑵

Суммы f 依，自 + В) + f 优，占一6) в

Суммы f 依，自 + В) + f 优，占一6) в

з

з

з

з

табл. 5.5.1 равны. Следовательно, для ны, соответствующей выражению (1), только три следующих условия:

В + С = 2аА, А + С = 2аВ,

табл. 5.5.1 равны. Следовательно, для ны, соответствующей выражению (1), только три следующих условия:

В + С = 2аА, А + С = 2аВ,

строках 0= 1 и 0 = 2получения стоячей вол-необходимо выполнить

строках 0= 1 и 0 = 2получения стоячей вол-необходимо выполнить

A + B = 2aC.

A + B = 2aC.

⑵

⑵

При 2а + 1 =# 0 несложно найти

8 = 4 С = Л, a = 1,⑶

тогда как 2a 十 1 = 0 дает

С = — (А + В), а = -1/2,(4)

где значение В можно задавать по нашему усмотрению. При В = А получаем С = —24, а при В = —Л имеем С = 0. Определенные выражениями (3) и (4) три решения образуют ортогональную —ненормированную — систему трех функций f (0, Е),・..,f (2, Е), приведенных в табл. 5.5.2.

Габлица 5.5.2

Ортогональная система из трех функций, производящихстоячие волны в т роичиой координатной системе

/2/2 a a a/2/2 a a aл л - 二一 ввл л - 二一 вв(0*(L(2,(0*(L(2,д л Xд л Xялдялдд м од м о

/2/2 a a a

/2/2 a a a

л л - 二一 вв

л л - 二一 вв

(0*(L(2,

(0*(L(2,

д л X

д л X

ялд

ялд

д м о

д м о

Перемещения функции f(l,g) (табл. 5.5.2), соответствующие табл. 5.5.1 при / = 1, показаны на рис. 5.5.1 на окружности. На рис. 5.5.2 показаны перемещения всех трех функций f(0, g), ...,f (2, Е) на заменившей окружность прямой линии с метками 5 = 0, 1, 2, 0, ... Из этой иллюстрации очевидно, что полусумма

(左，E + 8) + f (少，Е —6)] эквивалентна произведению f(h, /3з

^)g(A, 0), как и требовалось уравнением (1). В отличие от синусоидальных колебаний и функций Уолша функции времени g (电 0) и пространства f(N Е) не совпадают. Функция g(kt 0) при 0 = 0, 1, 2 определяется как g 他 0) = 1, g的 7) =g(4, 2) = a.

01

2

3

01

2

3

e о

8

c

D

e о

A

D

C

D

A

1

D

C

О

Д

В

2

C

8

A

В

C

3

В

/

Г(Ц)Г(Ц)修,9修,9F似《）F似《）Рис. 5.5.2. Представление сумм-g- [f(k, E + 8)+f(A, 1^-0)1, полученных на основе трех ортогональных функций f (О, Е), ..., f(2, Е) из табл. 5.5.2 при А = 1. в виде произведений f(A, E)g(比 0).Перейдем к четверичным перемещениям f (А, ^ + 0) и f(k, g —6) (табл. 5.5.3). Суммы f (包 Е + ① + f (А Е —① в стро- 444Таблица 5.5.3Четверичные перемещения f (к 匕扌 °), f (居匕]。)и их сумма 44Рис. 5.5.2. Представление сумм-g- [f(k, E + 8)+f(A, 1^-0)1, полученных на основе трех ортогональных функций f (О, Е), ..., f(2, Е) из табл. 5.5.2 при А = 1. в виде произведений f(A, E)g(比 0).Перейдем к четверичным перемещениям f (А, ^ + 0) и f(k, g —6) (табл. 5.5.3). Суммы f (包 Е + ① + f (А Е —① в стро- 444Таблица 5.5.3Четверичные перемещения f (к 匕扌 °), f (居匕]。)и их сумма 44

Г(Ц)

Г(Ц)

修,9

修,9

F似《）

F似《）

Рис. 5.5.2. Представление сумм-g- [f(k, E + 8)+f(A, 1^-0)1, полученных на основе трех ортогональных функций f (О, Е), ..., f(2, Е) из табл. 5.5.2 при А = 1. в виде произведений f(A, E)g(比 0).

Перейдем к четверичным перемещениям f (А, ^ + 0) и f(k, g —6) (табл. 5.5.3). Суммы f (包 Е + ① + f (А Е —① в стро- 444

Таблица 5.5.3

Четверичные перемещения f (к 匕扌 °), f (居匕]。)и их сумма 44

Рис. 5.5.2. Представление сумм-g- [f(k, E + 8)+f(A, 1^-0)1, полученных на основе трех ортогональных функций f (О, Е), ..., f(2, Е) из табл. 5.5.2 при А = 1. в виде произведений f(A, E)g(比 0).

Перейдем к четверичным перемещениям f (А, ^ + 0) и f(k, g —6) (табл. 5.5.3). Суммы f (包 Е + ① + f (А Е —① в стро- 444

Таблица 5.5.3

Четверичные перемещения f (к 匕扌 °), f (居匕]。)и их сумма 44

t(k, ^ + e)+ f(fe

D 4

E

0

1

2

3

e о

2/

28

2c

2D

i

B + D

力+ c

B + D

4 + C

2

2c

2D

2/

28

3

B +。

/ + c

B + D

/1十C

ках 0 = 1 и 6 = 3 равны. Для образования стоячей волны должны выполняться только два набора условий:

В + D = 2а1Л, Л + С = 2а(В, В + D = 2«^, Л + С = 2aiD,

С =(Х2Л, D = а2В, Л = сиС, В =畑。.⑸

Полученные значения аь а2, В, С и D приведены в табл. 5.5.4. Получаем множество из четырех ортогональных функций f (力，Е)

Таблица 554

Ортогональная система из четырех функций, производящихстоячие волны в четверичной координатной системе

2 2 2 2 a a a a 10-0 ^ _:== «lalalal2 2 2 2 a a a a 10-0 ^ _:== «lalalal0123AA4AAA一厶-AA—4AA—4-A0123AA4AAA一厶-AA—4AA—4-A自юв)^)自юв)^)и четырех функции времени g(h, 8), определенных как g(kt 0) = L g(力,1) =g伍，3)=cti, g他,2) = a2. Функции f(用 g) являются первыми четырьмя функциями Уолша wal(0, g), ...,wal (3, ^), но примеры образуемых ими стоячих волн отличи четырех функции времени g(h, 8), определенных как g(kt 0) = L g(力,1) =g伍，3)=cti, g他,2) = a2. Функции f(用 g) являются первыми четырьмя функциями Уолша wal(0, g), ...,wal (3, ^), но примеры образуемых ими стоячих волн отличны от волн, полученных для диадического перемещения. Прины от волн, полученных для диадического перемещения. Примеры стоячих волн длямеры стоячих волн длядиадическогодиадическогоперемещения функцийперемещения функцийо 3 210о 3 210¥口［(0同¥口［(0同wol(2f)wol(2f)

2 2 2 2 a a a a 10-0 ^ _:== «lalalal

2 2 2 2 a a a a 10-0 ^ _:== «lalalal

01

2

3

A

A

4

A

A

A

一厶

-A

A

—4

A

A

—4

-A

01

2

3

A

A

4

A

A

A

一厶

-A

A

—4

A

A

—4

-A

自юв)^)

自юв)^)

и четырех функции времени g(h, 8), определенных как g(kt 0) = L g(力,1) =g伍，3)=cti, g他,2) = a2. Функции f(用 g) являются первыми четырьмя функциями Уолша wal(0, g), ...,wal (3, ^), но примеры образуемых ими стоячих волн отлич

и четырех функции времени g(h, 8), определенных как g(kt 0) = L g(力,1) =g伍，3)=cti, g他,2) = a2. Функции f(用 g) являются первыми четырьмя функциями Уолша wal(0, g), ...,wal (3, ^), но примеры образуемых ими стоячих волн отлич

ны от волн, полученных для диадического перемещения. При

ны от волн, полученных для диадического перемещения. При

меры стоячих волн для

меры стоячих волн для

диадического

диадического

перемещения функций

перемещения функций

о 3 210

о 3 210

¥口［(0同

¥口［(0同

wol(2f)

wol(2f)

Рис. 5.5 3. Образцы стоячих волн, полученных в результате четверичныхперемещений в соответствии с табл. 5.5.3 и 5.5.4. Черный цвет соответствует+1, серый 0, белый —1.

wal(0, Е), ..., wal (3, g) представлены на рис. 5.3.6 (строка 1, столбцы а — г), а примеры для четверичного перемещения — на рис. 5.5.3. Стоячие волны, образованные диадическим перемещением, имеют вид

wal 伍，Е) wal (А, 6) = у [wal 他 Е ㊉ 8) + wal (А,自㊀ 6)],

в то время как стоячие волны, образованные четверичным перемещением, имеют вид

wal 仇，Sg 他，0) =y [wal (A, £ + 0) +wal(^, ^ — 0)],

где g(kt 0) определена на рис. 5.5.3.

'Таблица 5.5.5

Восьмеричные перемещения f (瓦 Е +。)・ f (А, Е — 8) и их сумма

21210I234567e о л1 в2 C3 О4 f5 F6 G7 H0 0 Д1 H2 G3 F4 E5 D6 C7 В0I234567e о л1 в2 C3 О4 f5 F6 G7 H0 0 Д1 H2 G3 F4 E5 D6 C7 В002'I2'I012Л В*Н28 2cД + C B + D2DC + E2ED + F2尸 2GE + G f + "2C^GD-^H A + Eв +尸C+GD + VA + E3D +尸E + G F + 〃4 + GB + 〃Д + С 8十D42f2尸2G2〃2.428 2c5D + FE + G F + Я厶+ GВ + 〃/ + С B +。6C + G。+"人+eB + FC + GD-^H A-{-E7B + " + C B + DC + ED +尸E + G 尸 + "012Л В*Н28 2cД + C B + D2DC + E2ED + F2尸 2GE + G f + "2C^GD-^H A + Eв +尸C+GD + VA + E3D +尸E + G F + 〃4 + GB + 〃Д + С 8十D42f2尸2G2〃2.428 2c5D + FE + G F + Я厶+ GВ + 〃/ + С B +。6C + G。+"人+eB + FC + GD-^H A-{-E7B + " + C B + DC + ED +尸E + G 尸 + "f (瓦\+ S + 8+ f(玄 1-е) 8f (瓦\+ S + 8+ f(玄 1-е) 8OF Е Е F G』緑翁雑OF Е Е F G』緑翁雑

21

21

0

I2

3

4

5

6

7

e о л

1 в

2 C

3 О

4 f

5 F

6 G

7 H

0 0 Д

1 H

2 G

3 F

4 E

5 D

6 C

7 В

0

I2

3

4

5

6

7

e о л

1 в

2 C

3 О

4 f

5 F

6 G

7 H

0 0 Д

1 H

2 G

3 F

4 E

5 D

6 C

7 В

0

0

2'I

2'I

0

1

2Л В*Н

28 2c

Д + C B + D

2D

C + E

2E

D + F

2尸 2G

E + G f + "

2

C^G

D-^H A + E

в +尸

C+G

D + VA + E

3

D +尸

E + G F + 〃

4 + G

B + 〃

Д + С 8十D

4

2f

2尸2G

2〃

2.4

28 2c

5

D + F

E + G F + Я

厶+ G

В + 〃

/ + С B +。

6

C + G

。+"人+e

B + F

C + G

D-^H A-{-E

7

B + " + C B + D

C + E

D +尸

E + G 尸 + "

0

1

2Л В*Н

28 2c

Д + C B + D

2D

C + E

2E

D + F

2尸 2G

E + G f + "

2

C^G

D-^H A + E

в +尸

C+G

D + VA + E

3

D +尸

E + G F + 〃

4 + G

B + 〃

Д + С 8十D

4

2f

2尸2G

2〃

2.4

28 2c

5

D + F

E + G F + Я

厶+ G

В + 〃

/ + С B +。

6

C + G

。+"人+e

B + F

C + G

D-^H A-{-E

7

B + " + C B + D

C + E

D +尸

E + G 尸 + "

f (瓦\+ S + 8

+ f(玄 1-е) 8

f (瓦\+ S + 8

+ f(玄 1-е) 8

OF Е Е F G

』緑翁雑

OF Е Е F G

』緑翁雑

Теперь перейдем к восьмеричным перемещениям f (Л, § + 0)

и『他，Е —6)на кольце 23 (см. рис. 3.1.1). Эти перемещения и их 8

сумма приведены в табл. 5.5.5. По аналогнн с четверичными перемещениями (табл. 5.5.3) строки 0 = 1 и 0 — 7, 0 — 2 и 6 = 6, а также 0 = 3 и 0 = 5 совпадают по значениям суммы

f侬 l + e)+ f(A, g-0).88

Должны выполняться следующие четыре набора из восьми условий:

В + 〃 = 2а]А, ・・・，А + в = 2щН,(6)

С + G = 2(X2 А,・• •，В -}- F — 2a2Ht

О + / = 2азА,…，С + Е = 2аз",

Е = a4Л, ...，0=a4"，

a5 = °3，g6 =a2，a7 =a1.

Получаем восемь наборов значений ссь аг, а* приведенных в табл. 5.5.6, и аз = а4al. Константы В и С можно выбирать по нашему усмотрению. В конкретном случае, показанном в табл. 5.5.6, получено ортогональное множество из восьми функций /(Л, Е) и сопутствующих функций g(幺 0), которые образуют стоячие волны согласно уравнению (1).

Хотя мы и не доказали, что все кольцевые координатные системы имеют характерные стоячие волны, приведенные примеры явно свидетельствуют о том, что стоячие волны существуют для многих координатных систем и состав полных наборов этих волн во всех случаях различен. Отметим одну особенность, которая пока еще не упоминалась. Для диадических координатных систем, рассмотренных в разд. 5.3 и 5.4, мы не делали различия между координатными системами с одним и более измерениями. Для троичных, четверичных и восьмеричных координатных систем, рассматриваемых в этом разделе, мы ограничили себя только одним измерением. Это согласуется с уравнением (5.3.1) для синусоидальных стоячих волн, которое также справедливо только для одного измерения х. Для двух измерений хну получаем формулу с четырьмя, а не с двумя перемещенными колебаниями:

cos (2л^х/Х) cos (2nky/X) cos (2nkct/X)=

=J {cos [2nk (% + </ + ")/>] + cos [2лА (x + у — ct)/X] +

+ sin [2пЛ (x —у + ct)/X] — sin (2л* (x — у — ct)/X]}. (7) Таким образом, возможное обобщение уравнения (1) для двумерного случая имеет вид

f他，E)f 仅，n)g伍，6) =4[И*. E + n + e)+ f 伐，Е + т)— е)+ n nn n

+ Л (А л — n + 0) — Й (Л Д — Я — 0)]. (8)" 门n n

Однако для сложения по модулю два получаем на основе равенства (5.3.2) значительно более простое обобщение:

f(后 Of仅，^f(k, e)= f(生g㊉力f他,e)= г(*,[㊉V㊉ё).(9)

Таблица 5.5.6

Ортогональная система из восьми функций f (k, g), производящих стоячие волныв восьмеричной координатной системе, и связанные с этим процессом функции g (А, 0)

G6

尼 a4

a?

at<*

j4

5

6

701z

34

3

6

7

01

1

1 В = Л 1

1111

1

1

1 111

11

1

1

1

1 1

1

18== —力 1

—11 —11

—1

1

—11—11

—11

—1

1

—1

21

—1

—16 = 41

1 - 1 — 11

1

—1

—110—1

01

0 ■

—I

0

31

—1

—18 =—力 1

—1—111

—1

—1

1 10—1

01

0

—1

0

4 —I

0

3~У^ с == л i

V2 10 —1

-V2

—1

0 1 уд/2 0

—г^ т

-扌恥

0

4^

5 —1

0

万〃2 C = —Л 1

0 — 1 —“2 —1

0

1

V2 1 у V2 0

—；«5 -1

一巫5

0

В«?

6 —I

0

一 3 V^ C = A1

—V2 10 —1

V2

—1

0 1 —n“20

1 一

1~V2 -1

4^2

0

-}v§

7 —1

0

—£“5 C =—力 1

0 — 1 会一1

0

1

一"5 1 —万0

Т^ -1

Г^

0

一。"5

f依日〃I

g他6)

e

Гёё 5

Следовательно, две переменные g н “ можно рассматривать как одну переменную [㊉п =占，что делает одномерный случай эквивалентным любому многомерному. Переменную 三 мы уже использовали для представления любого числа двузначных переменных х/Х, y/Yt ... Теперь понятно, что этот математический форм ал изм имеет физическую основу. Для стоячих волн нет разницы между одномерными и многомерными диадическими системами координат. Другими словами, если мы используем диадическую координатную систему, то более одной координатной или «пространственной» переменной не требуется точно так же, как не требуется более одной переменной времени.

Движение, основанное на целочисленнойи диадической топологиях

В гл. 2 мы иключили из рассмотрения топологию континуума, или обычную топологию действительных чисел, как ненаблюдаемую математическую абстракцию. Наиболее очевидной заменой является топология цельгх чисел, представленная предельным случаем колец 2'一 8 (см. рис. 3.1.1) и трехмерной дискретной системой координат (см. рис. 5.4.5). Казалось бы, разница между этой координатной системой и трехмерным континуумом должна исчезнуть, если расстояния между соседними точками станут достаточно малыми, но это не так. Континуум ведет к дифференциальным уравнениям, в то время как топология целых чисел ——к разностным. С уменьшением разностей Ах' до очень маленьких значений решения разностного и соответствующего дифференциального уравнений не обязательно сходятся, поскольку бесконечно малое dxl и просто малое Дх^ расстояния существенно различаются. Для доказательства рассмотрим расстояние X, поделенное на интервалы длины Дх. Таких интервалов окажется п, где п ——целое число. С уменьшением Дх число п увеличивается и при A%f 0 становится счетнобесконечным. С другой стороны, чтобы покрыть длину X, нам понадобится несчетное множество бесконечно малых интервалов d%・ Поскольку топология целых чисел, таким образом, не приводит автоматически к результатам топологии действительных чисел, мы должны принять другую, физически возможную топологию. Однако топология действительных чисел служила нам так хорошо и так долго, что в области прошлых приемлемых наблюдений любая другая топология должна дать те же самые результаты. Отклонения могут допускаться только на границах исследований, главным образом на малых расстояниях и коротких временных отрезках. Движение специально будет рассматриваться в координатных системах с целочисленной или диа-

дической топологиями. Вместо многомерных структур, которым до сих пор отдавалось предпочтение, будет использоваться представление мировой линии, поскольку большинство читателей с ним знакомы лучше.

Рассмотрим часы, которые показывают время в моменты f = 0, t = At = qT, f = 2Af = 2q7\ ..・• Именно так работают электронные часы, тогда как для других часов продвижение времени дискретными шагами менее очевидно. Временной интервал nqT V / V (〃+ 1)дТ называется временем nqT, где п == О, 1, 2,...・ Пусть линейка, предназначенная для измерения расстояний в соответствии с рис. 1.3.1, в или 2.2.1, имеет метки в точках х = ncqT. Говорят, что наблюдаемая точка, которая находится ближе всего к метке 〃, имеет расстояние ncqT от метки 0. Вместо /их могут быть использованы нормированные переменные 6 = t/T и ^ — х/сТ. Нормируемое время Т может быть измерено нашими часами с неопределенностью qT или 2д7\ но, выбирая qT достаточно малым по сравнению с Г, значение относительной неопределенности qT/Т или 2g7/7 можно сделать сколь угодно малым 】).Заметим, что «сколь угодно малым» не означает % равное нулю.

Пусть наблюдаемая точка, или отсчет f(0), в момент времени 0 = 0 находится ближе всего к метке п — 0 или 占=ng = 0 н g равняется единице. Тогда говорят, что отсчет принадлежит интервалу2) 0 < 6 < 1, —1/2 V Е V 1/2. На рис. 5.6.1, Q положение отсчета определяется квадратом 1.

Для того чтобы удовлетворялось соотношение f (|——1)= = f(0), в момент времени 0 = 1 отсчет должен находиться ближе всего к метке п — ^ = 1. Положение отсчета определяется квадратом 2 (рис. 5.6丄 а). Такое распространение отсчета соответствует обычной топологии целых чисел.

Пусть q равняется 1/3. Теперь утверждение 《в момент времени 0 = 0 отсчет f(E — 0) находится ближе всего к метке g =

° Ошибка в измерении Г будет нулевой, если используются часы, время которых по определению является эталонным. В противном случае ошибка в измерении Г определяется погрешностью использованных часов в сравнении с эталонными.

2)Переменная времени 6 и координатная переменная 匕 рассматриваются здесь по-разному, потому что часы (высокого качества) показывают обычно время t = nqT до тех пор, пока не наступит время f= (п + 1)qT. Что касается положения отсчета относительно линейки, то мы наблюдаем его ближе к метке х = ncqT, когда он находится в интервале (п—i/2)cqTVxV < (n + l/2)cqT, а не в интервале ncqT V х V (n + 1)cqT. Различие обусловлено тем, что легче визуально представить наблюдаемую частицу, ближайшую к некоторой координатной метке (это означает, что в пределах погрешности наблюдений метка и частица находятся в одном и том же месте), чем интервал в координатных системах типа представленных на рис. 3 1 13 или 3J.22.

=0》означает, что отсчет лежит в интервале 0 V В V 1/3, —1/6 V Е V 1/б. На рис. 5.6.1, 6 это отмечено квадратом 1. Из соотношения f(g —6) =f(0) следует, что в моменты времени 0 = 1/3, 2/3, 1 отсчет должен находиться в точках g = 1/3, 2/3, 1. Таким образом, распространение отсчета отображается квадратами 2, 3, 4.

Рис. 5.6.1, в иллюстрируется распространение отсчета при q= 1/7. Очевидно, что при малых значениях q последовательность квадратов приближается к линии. По этой причине здесь и говорится о представлении «мировая линия».

Рис. 5.6.1. Целочисленное перемещение в соответствии с f(g — 0). С переходом от (q) к (в) уменьшается размер пространственно-временных интервалов и увеличивается разрешающая способность.

В качестве следующего примера рассмотрим распространение в соответствии с диадической топологией. Это значит, что распространение определяется значениями f(自㊉ В), а не f(占一 —6). Вместо f (I® 0) можно было бы написать f(| 0 6), но мы уже указывали, что сложение и вычитание по модулю два дают один и тот же результат.

Сначала придется исследовать, что означает в диадической топологии увеличение разрешающей способности или уменьшение неопределенности. В топологии действительных чисел мы использовали линейку (см. рис. 1.3.1, в) и для повышения разрешающей способности делили ее шкалу на меньшие интервалы в соответствии с рис. 2.2.1. Не совсем ясно, как этот процесс можно применить к диадической топологии, поскольку до сих пор обсуждались диадические координатные системы, но не диадические линейки. Однако линейка на рис. 1.3.1, в ——это ось 尤 координатной системы, изображенной на рис. 1.3.1, б. Поскольку распространение f(^ ——0) происходит по евклидовой прямой» то двумерную координатную систему можно заменить одной из ее осей. Если не известно, распространяется лн отсчет от точки А до точки В по прямой линии или нет (см. рис. 1.3.1, Q), но же-

лательно это распространение описать с большей разрешающей способностью, то интервалы осей хну (или в общем случае всех осей) необходимо разделить на большее число частей в соответствии с рис. 221.

Для применения вышесказанного к диадической системе координат обратимся к рис. 5.6.2. Слева показана самая прнмнтнв- ная диадическая координатная система, имеющая только метки

Рис. 5.6.2. Обобщение рис. 2.2.1 для диадических координатных систем? а — две координатные метки дают 1 бит информации о расположении отсчета; 6 — четыре метки дают 2 бита информации.

I = 0 и I = 1. Наблюдая отсчет ближе к метке W = 0, чем к метке | = 1, мы получаем 1 бит информации при условии, что вероятность близости отсчета к 0 и к 1 одинакова. Деление интервала 0 V %/Х V 1 (см. рис. 2.2.1,о) на два одинаковых интервала (см. рис. 2.2.1, б) требует замены на рис. 5.6.2, а двух меток 0 и 1 четырьмя метками 00, 01, 10 и 11. Эти четыре метки определяют двумерную диадическую координатную систему рис. 5.6.2, б. Новые метки 00 и 11 — это те же самые 0 и 1 из рис. 5.6.2, Q. За счет дополнительных меток 01 и 10 информация о том, к какой из четырех меток отсчет находится ближе всего, увеличивается до 2 битов. Заметим, что при использовании этой диадической координатной системы никаких предположений о том, каким образом отсчет попадает от метки 00 к метке 11, не вводится. Точно так же не вводились бы подобные предположения при использовании декартовой системы координат, представленной на рис. 5.4.5. Однако декартова система координат наиболее удобна для распространения вдоль евклидовой прямой. В таком случае ее можно заменить одной осью или линейкой типа рис. 1.3.1, а диадическая координатная система в соответствии с разд. 5.2 оказывается наиболее удобной для распростри-

нения вдоль геодезической лнннн, описанной кодом Грея, мини

мальным кодом и т. д.

Расширение системы (рис. 5.6.2, б) от четырех меток 00, ...,11 до восьми ООО, . . ., 111 и результирующее увеличение информации о расположении отсчета до 3 битов изобразить трудно. Снова воспользуемся упрощенным представлением (см. рис. 3.1.20). На рис. 5.6.3, а и б даны упрощенные варианты рис. 5.6.2, а и б, а на рис. 5.6.3, в показано расширение до восьми меток ООО, ..., 111.

Распространение отсчета в координатной системе от точки А

до точки В по кратчайшемудо точки В по кратчайшемуминимальным ко-минимальным ко-пути описываетсяпути описываетсяРнс. 5.6.3. Q, 6 — Упрощенное представление координатной системы из рис. 5.6.2; в — расширение до восьми координатных меток дает 3 бита информации о положении отсчета.Рнс. 5.6.3. Q, 6 — Упрощенное представление координатной системы из рис. 5.6.2; в — расширение до восьми координатных меток дает 3 бита информации о положении отсчета.дом (см. табл. 5.2.2). Например, на рис. 5.6.3, а отсчет распространяется от 0 к 1, на рис. 5.6.3, б — от 00 через 01 к 11, на рис. 5.6.3, в — от 000 через 001 и 011 к 111.

до точки В по кратчайшему

до точки В по кратчайшему

минимальным ко-

минимальным ко-

пути описывается

пути описывается

Рнс. 5.6.3. Q, 6 — Упрощенное представление координатной системы из рис. 5.6.2; в — расширение до восьми координатных меток дает 3 бита информации о положении отсчета.

Рнс. 5.6.3. Q, 6 — Упрощенное представление координатной системы из рис. 5.6.2; в — расширение до восьми координатных меток дает 3 бита информации о положении отсчета.

Теперь необходимо сделать некоторое замечание о делении циферблата часов. Когда для наблюдения последовательных положений отсчета, распространяющегося от Л до В по прямой линии, используется линейка рис. 1.3.1, в, нас не смущает использование такого же деления для циферблата часов. Если в этом случае метки 0, qct/T, 2qct/T9 ... линейки достигаются в моменты времени 0, qt/T. 2qt/Tt ..., мы говорим, что отсчет движется с постоянной скоростью с. Если используется диадическая координатная система или «диадическая линейка» (рис. 5.6.3, в) и наблюдаемый отсчет распространяется в соответствии с минимальным кодом из восьми элементов (см. табл. 5.2.2), то целые числа 0, 1, 2,・..обычной шкалы линейки заменяются числами 000, 001, 011,... этого минимального кода. Пусть циферблат часов поделен точно так же: t/T = 000, 001, 011, ... . Если в этом случае отсчет достигает меток ct/cT = 000, 001, 011, ... координатной системы (рис. 5,6.3,6)в моменты времени t/T = 000,

001, Oil, ..., то мы опять говорим, что отсчет движется с постоянной скоростью с. Теперь, конечно, движение осуществляется не по евклидовой прямой, а по геодезической линии диадической координатной системы, определенной используемым минимальным кодом. В общем случае последовательность меток циферблата часов должна быть пронумерована так же, как последовательность меток координатной системы, в которой наблюдается распространение отсчета.

На рис. 5.6.3, Q в момент времени 0 = 0 отсчет f(0) находится ближе всего к метке g = 0. На рис. 5.6.4, а эта позиция представлена квадратом 1. Чтобы выполнялось соотношение f(g ф

Рис. 5.6.4. Представление перемещения от точки Л к точке В, показанное на рис. 5.6.3, в форме мировой линии.Рис. 5.6.4. Представление перемещения от точки Л к точке В, показанное на рис. 5.6.3, в форме мировой линии.

Рис. 5.6.4. Представление перемещения от точки Л к точке В, показанное на рис. 5.6.3, в форме мировой линии.

Рис. 5.6.4. Представление перемещения от точки Л к точке В, показанное на рис. 5.6.3, в форме мировой линии.

Ф 1) = f(0), в момент времени 6=1 отсчет должен оказаться ближе всего к метке g = 1 (рис. 5.6.3, Q). Эта позиция обозначена квадратом 2 (рис. 564,а).

Рассмотрим следующий пример распространения в координатной системе, показанной на рис. 5.6.3, 6. Пусть по-прежнему в момент времени 6 = 00 отсчет /(0) находится у точки ^ = 00. Равенство f(E ㊉ В) = f (0) соблюдается в моменты времени 8 = ==01 и 11, если Е имеет значения 01 и 11. На рис. 5.6.4, б движение отображается квадратами 1, 2, 3.

На рис. 5.6.4, в прохождение отсчета от точки g = 000 к точке Е = 111 через точки 001 и ОН в моменты времени 0 = 000, 001, 011, 111 (рис. 5.6.3, в) представлено в виде мировой линии.

Из рис. 5.6.1 и 5.6.4 легко заметить, что уравнения распространения f(E — 6) =f(0) и f(g®6) = f(0) дают одно и то же представление в виде мировой линии или мирового графа1}.

d Поскольку «мировые линии» на рис. 5.6.1 и 5.6.4 на самом деле являются последовательностями маленьких квадратов, то их лучше называть мировыми графами.

аа讣|7|讣|7|0 Z 468О —*- P^v/c^t0 Z 468О —*- P^v/c^tРис. 5 6.5. а—Распространение со скоростью р — v/c = 1; б, в — распространение со скоростью Р = 1/2; г — распространение со скоростью 0 = 2.Рис. 5 6.5. а—Распространение со скоростью р — v/c = 1; б, в — распространение со скоростью Р = 1/2; г — распространение со скоростью 0 = 2.

а

а

讣|7|

讣|7|

0 Z 468

О —*- P^v/c^t

0 Z 468

О —*- P^v/c^t

Рис. 5 6.5. а—Распространение со скоростью р — v/c = 1; б, в — распространение со скоростью Р = 1/2; г — распространение со скоростью 0 = 2.

Рис. 5 6.5. а—Распространение со скоростью р — v/c = 1; б, в — распространение со скоростью Р = 1/2; г — распространение со скоростью 0 = 2.

Ясно, что такой же результат должно дать общее уравнение f (|— 0)= f (0), поскольку все эти уравнения при g = 0 выполняются.

Определения 0 = t/T и g = x/сТ означают, что для аргумента I —0 = (х — cf)/〃 предполагается распространение со скоростью с. Скорость V дает уравнение f隹—08) = f (0) или в общем случае f (g — ₽6) = f (0), где р = v/c.

Для рассмотрения случая 0 =/= 1 сначала перерисуем рис. 5.6.1, в в виде рис. 5.6.5, а с заменой q = 1/7 на g = 1 для упрощения записи. После этого заменим 0=1 на р = 1/2. Соотношение f(g —£e) = f(O) Дает при 6 = 0, 2, 4, ... g = 0, 1, 2,…. Соответствующие квадраты на мировом графе (рис. 565,6) обозначены 1, 3, 5, 7. При 6=1,3, 5,…получаем Е= 1/2, 3/2, .... Поскольку допустимы только целые значения Е, то можно выбрать либо последовательность g = 0, 1, 2,..., либо |=1, 2, 3, ... . Первый вариант представлен на рис. 5.6.5,6, второй — на рис. 5.6.5, в. На обоих рисунках квадраты мирового графа 1, 3, 5, 7 расположены одинаково, а квад- раты 2, 4, 6, 8 — по-разному. Можно заметить, что обе последовательности квадратов являются одинаково хорошей аппроксн- мацией штриховых линий, которые соответствуют значительно лучшей разрешающей способности по 6 и g.

Рассмотрим теперь скорость р = v/c = 2. Из соотношения f(E —26) =f(0) при 6 = 0, 1, 2, ... получаем g = 0, 2, 4, ... , но позициям Е=1, 3, 5, ... никакое время не приписывается. Ре- зультирующий мировой граф приведен на рис. 5.6.5, г. Теперь квадраты 1, 2, 3, ... не соединены. Если в последовательные моменты времени 8 = 0, 1, 2, ... мы наблюдаем частицу на позициях Е = 0, 2, 4,…，но не имеем возможности проверить, прошла ли она через точки | = 1, 3, 5, ..., то утверждать, что мы наблюдали одну и ту же частицу становится очень сложно.

юю•а•а44ААААААЛЛДа/' 0Да/' 0АА0 Z 4 6 —Рис. 5.6 6. Обычное ного отсчета;0 Z 4 6 —Рис. 5.6 6. Обычное ного отсчета;АА996 ^^6 ^^с f(g —8): а —для од- четырех отсчетов.с f(g —8): а —для од- четырех отсчетов.6868распространение в соответствии 6 — для двух отсчетов; в — дляраспространение в соответствии 6 — для двух отсчетов; в — для

ю

ю

•а

•а

4

4

А

А

А

А

А

А

Л

Л

Да/' 0

Да/' 0

А

А

0 Z 4 6 —

Рис. 5.6 6. Обычное ного отсчета;

0 Z 4 6 —

Рис. 5.6 6. Обычное ного отсчета;

А

А

9

9

6 ^^

6 ^^

с f(g —8): а —для од- четырех отсчетов.

с f(g —8): а —для од- четырех отсчетов.

68

68

распространение в соответствии 6 — для двух отсчетов; в — для

распространение в соответствии 6 — для двух отсчетов; в — для

С такнм же успехом можно заявить, что в точке Е = 0 одна частица исчезла, а в точке Е = 2 другая появилась. Если не принимать допущения о пространственно-временном континууме, то всегда есть такая скорость, за пределами которой становится невозможным отличить очень быструю частицу от нескольких частиц, которые появляются и исчезают. Здесь мы эту скорость обозначили через с, но никак не показали, что с должна быть скоростью света.

Из рис. 5.6.5, q — s очевидно, что даже при 0 0 1 трудно с уверенностью утверждать, что мы наблюдаем одну движущуюся частицу, если она настолько мала, что вписывается в один интервал разрешающей способности 〃 V Е V 〃 + 1 координатной переменной. Такой проблемы не существует для большого объекта, который покрывает много интервалов разрешающей способности, т. е. наблюдается сразу в нескольких координатных точках Е.

Затруднения при распознавании одной движущейся или нескольких возникающих и исчезающих частиц являются (это

приходится признать) следствием отказа от концепции пространственно-временного континуума. Некоторой поддержкой является цитата из Шредингера [ 129].

«Нельзя признать возможность непрерывного наблюдения... Идея непрерывного диапазона, такая знакомая современным математикам, является чем-то чрезмерным, огромной экстраполяцией того, что нам в действительности доступно».

Рис. 5.6.7. Диадическое распространение в соответствии с『偌㊉ 8) при использовании кода Грея из табл. 5.2.1： q—для одного отсчета； 6 — для двух отсчетов; в ——для четырех отсчетов.

Если соотношение f(E — ₽6) = f (0) заменить на f(自一优)= = /(0)，то опять получится уравнение ^ = рб, определяющее мировой граф, показанный на рис. 5.6.5. Следовательно, выведенные для топологии целых чисел результаты должны в общем случае соблюдаться и для координатных систем, основанных на кольцах.

Рассмотрим распространение нескольких частиц. На рис. 5.6.6, q еще раз показан отсчет Л, который распространяется в соответствии с формулой f (g — 0) = f (0). На рис. 5.6.6, б в дополнение к частице Л распространяется частица В в соответствии с формулой f(I — 0) = /(1), поскольку в момент времени 6 = 0 частица В находилась у точки W= 1. На рис. 5.6.6, в показаны дополнительные отсчеты С и D, перемещения которых описываются формулами f(E — 0) = f(2) и f(E — B)=f(3).

Перейдем к распространению в диадической топологии, основанному на коде Грея (см. табл. 5.2.1). На рис. 5.6.7,а показано перемещение отсчета Л в соответствии с соотношением ，(己38)=/(0) или Е = 0. На рис. 5.6.7, б добавлен отсчет В,

находившийся в момент времени 0 = ООО у точки ± = 001. Движение этого отсчета следует из соотношений f (| Ф 0) = f (001) или ^ = 0 ф 001. На рис. 5.6.7, в показаны дополнительные отсчеты С и Df которые в момент времени 0 = 0 находились на позициях Е = 011 и 010. Их распространение осуществляется по формулам f(|® 6) = ДОП) и f化㊉ В) =/(010) или 占=8 ㊉ 011 и g = 6®010. 〜

Между рис. 5.6.6 и 5.6.7 есть два очевидных сходства. Во- первых, в обеих топологических структурах отсчет Л перемещается по одному и тому же пути, поскольку этот путь проходит по собственным координатам отсчета. Во-вторых, отсчеты В, С н D на рис. 5.6.7 в среднем распространяются так же, как соответствующие отсчеты на рис. 5.6.6.

Распространение, показанное на рис. 5.6.6, настолько привычно, что нет необходимости приводить примеры, лежащие вне абстрактной математики. Далеко не так очевидно то, что в реальном мире что-либо р ас п р остр а н я ется соответственно рис. 5.6.7. Пусть в качестве возможного примера Л обозначает протон, a S — нейтрон (рис. 567,6). Тогда пара АВ в момент времени 0 = 000 может представлять собой ядро дейтерия. В результате диадического перемещения в момент времени 8 = 001 протон Л и нейтрон В меняются местами. В момент времени 6 = 011 опять происходит перестановка, но и ядро переместилось от точки g = 000, 001 к точке ^ = 011, 010. В момент времени 6 = 010 протон и нейтрон опять меняются местами и т. д. Общепризнанным фактом является взаимный обмен протона н нейтрона посредством виртуальных пионов. Силами обмена н объясняется притяжение протона и нейтрона. Из диадической топологии обмен следует автоматически, тогда как из топологии целых чисел (рис. 5.6.6, б) —нет.

Заметим, что распространение атома дейтерия, согласно рис. 5.6.7,6, соответствует нашему обычному представлению, если отсчеты Л и В неразличимы и воспринимаются как один отсчет. Взаимная перестановка частиц становится видна только при достаточно хорошей разрешающей способности.

Аналогичная интерпретация применима к рис. 5.6.7, в. Пусть А и С обозначают протоны, а В и D — нейтроны. Тогда совокупность А, В, С и D может обозначать ядро гелия. В среднем частицы движутся так, как при обычном распространении (рис. 5.6.6, s). Взаимное перемещение частиц проявляется только при достаточно хорошей разрешающей способности.

По поводу этой интерпретации могут возразить, что на рис. 5.6.7 представлено перемещение частиц между соседними метками координатной системы (рис. 5.6.3, в), а на рис. 5.6.6 — распространение по евклидовой прямой. Однако важной чертой

Рис. 5.6.8. Распространение двух отсчетов Д и В вдоль целочисленной оси с простыми или множественными соединениями： 。一обычная числовая ось; б — числовая ось, точки которой соединены в соответствии с кодом Грея; в—числовая ось, точки которой соединены в соответствии с минимальным кодом.

координатной системы, изображенной на рис. 5.6.3, в, является соединение меток ООО, ..., 111, а не их расположение по «углам куба». У нас не возникало сомнений в правильности действий при замене колец, использованных на рис. 3.1.11 и 3.1.19, прямыми стержнями (см. рис. 3.1.12 и 3.1.20,г). Помимо этого координатные метки на рис. 5.4.6 были оставлены на тех же позициях, что и в декартовой системе координат (см. рис. 5.4.5), но соединяющие их стержни были введены в соответствии с диадической топологиейIJ. Топология координатной системы, представленной на рис. 5.6.3, в, не изменится, если соединительные стержни станут резинками, которые можно перекрутить и растянуть. Единственное условие — соединения меток ООО, ..., 111 должны при этом остаться неизменными.

Обратимся для пояснения к рис. 5.6.8. Слева на рисунке (рис. 5.6.8, q) представлено обычное распространение двух отсчетов Л и В, соответствующее мировому графу из рис. 5.6.6, 6.

')Термин ^диадическая топология» используется вместо термина «топология диадической группы с расстоянием Хэмминга».

Распространение осуществляется вдоль линейки с метками g = =0,, 7. В момент времени 0 = 0 отсчеты Л и В находятся

в точках I = 0 и 1. Со временем отсчеты перемещаются к большим значениям |. Линейка показана как евклидова прямая, но мы автоматически допускаем, что она может быть какой-то другой геодезической, например меридианом на поверхности Земли.

В центре (рис. 5.6.8, б) в том же самом «прямолинейном представлении» показана диадическая координатная система из рис. 5.6.3, & Как и на рис. 5.6.8, а, вдоль линейки проставлены метки Е = ООО, ..., 100. Порядок их следования (ООО, 001, 011, 010, .•• ) определяется кодом Грея. Соединения между метками Е такие же, как в координатной системе рис. 5.6.3, а Распространение отсчетов Л и В для моментов времени 0 = 000, 001, соответствует мировому графу, представленному на рис. 5.6.7, б. Оба отсчета А и В всегда движутся от текущей метки 己 линейки к соседи ей, но теперь у каждой метки три соседние метки, тогда как на рис. 5.6.8, q соседних метод только две или одна (по одному соседу у меток Е = 0, 7).

Обычная линейка (рис. 5.6.8, Q) выглядит значительно «естественнее», чем диадическая (рис. 5.6.8, б), но когда-то и плоская Земля, геоцентрическая система и евклидова геометрия также выглядели очень естественно. Существует множество возможных способов, которыми отсчеты или частицы могут распространяться в дискретной координатной системе, наблюдаемой с помощью дискретных часов. Нет априорной причины, по которой распространение должно происходить так, как на рис. 5.6.8, а. Только на основе наблюдения можно решить, какой из возможных вариантов распространения имеет место в действительности.

Чтобы сделать продвижение отсчета В из точки 己=000, где он находился в момент времени 6 = 001, в точку ± = 010, 6=011 (рис. 5.6.8,6) более приемлемым, вернемся к рис. 5.6.5. Как там отмечалось, на самом деле нельзя утверждать, что отсчет движется от квадрата 1 к квадратам 2, 3 и т. д. В действительности можно утверждать лишь то, что какой-то отсчет исчезает из квадрата 1 и какой-то появляется в квадрате 2. Если бы у отсчетов были индивидуальные метки типа автомобильных номерных знаков, тогда можно было бы быть уверенным в том, что это те же самые отсчеты или частицы. В случае неразличимых отсчетов или частиц, например электронов, такой уверенности нет. Это особенно очевидно для ситуации со скоростью р = 2 на рис. 5.6.5, г, где квадраты не соприкасаются, но справедливо и в других случаях. Если принять топологию континуума для координатной системы и часов, т. е. для пространства-времени, а также возможность непрерывного наблюдения, то мы смогли бы увидеть, как отсчет В на рис. 5.6.8, б попадает из точки 自=000,

6 = 001, в точку g = 010, 6 = 011. Конечная разрешающая способность координатной системы и часов и как следствие конечное число наблюдений позволяют сказать лишь о том, что в момент времени 0 = 001 какой-то электрон видели в точке 自= 000, а в момент времени 0 = 011 какой-то электрон — в точке | = = 010. Нельзя сказать, что это тот же самый электрон и как-то он попал из одного места в другое. Это тем более справедливо при небольшом числе наблюдений. Если сделать много наблюдений, полученные положения 占 нанести на график как функцию

Рис. 5.6.9. Диадическое распространение в соответствии с f (^ Ф 0) при использовании минимального кода из восьми элементов (см. табл. 5.2.2).

времени 0 и при этом окажется, что результирующие точки можно легко соединить плавной кривой, то мы уверимся в том, что наблюдали одну и ту же частицу. Однако в этом случае мы наблюдаем распространение в среднем, а в среднем распространение одинаково и на рис. 5.6.6, 5.6.7.

На рис. 5.6.4 было показано распространение одного отсчета в диадических координатах, соответствующих минимальному коду, а не коду Грея. Расширение до двух и четырех отсчетов показано на рис. 5.6.9, бив. На рис. 5.6.8, в показано распространение двух отсчетов Л и В вдоль линейки, метки которой соединены многократно в соответствии с минимальным кодом.

В повседневной жизни мы, пожалуй, без колебаний используем линейку рис. 5.6.8, Q, а не линейку рис. 5.6.8, 6. Однако отсчет А распространяется одинаково вдоль обеих линеек, поскольку распространение происходит в собственных координатах отсчета. Посмотрим, как будут р асп р остр а н ятьс я в своих собственных координатах два отсчета.

На рис. 5.6.10, q показаны два отсчета, находящихся в мо- мент времени 6 = 0 в точках | = 0 и g，= 1 /2. В результате перемещения одного отсчета в координатной системе 0, g, а другого

в координатной системе 0,自 оба отсчета распространяются соответственно топологии целых чисел. Тот же самый принцип применим, если отсчеты начинают перемещаться в разное время и из разных координатных точек (рис. 5.6.10, б) или распространяются с разной скоростью (рис. 5.6.10,в).

Пусть из разных мест отправляются два автомобиля. Водители, как правило, ориентируются по времени, истекшему с момента отправления, и пройденному расстоянию. Другими словами, они пользуются своими собственными координатами точно так же, как отсчеты на рис. 5.6.10, а и б. Для использования

7£н%7£н%Рис. 5.6.10. Диадическое перемещение двух отсчетов по их собственным координатам. Затруднения возникают лишь тогда, когда эти отсчеты нельзя различить и связь между отсчетами н их собственными координатами потеряна.Рис. 5.6.10. Диадическое перемещение двух отсчетов по их собственным координатам. Затруднения возникают лишь тогда, когда эти отсчеты нельзя различить и связь между отсчетами н их собственными координатами потеряна.

7£н%

7£н%

Рис. 5.6.10. Диадическое перемещение двух отсчетов по их собственным координатам. Затруднения возникают лишь тогда, когда эти отсчеты нельзя различить и связь между отсчетами н их собственными координатами потеряна.

Рис. 5.6.10. Диадическое перемещение двух отсчетов по их собственным координатам. Затруднения возникают лишь тогда, когда эти отсчеты нельзя различить и связь между отсчетами н их собственными координатами потеряна.

собственных координат необходимо, чтобы часы и устройство, измеряющее расстояние, переносились самими отсчетами (как в случае автомобилей) или чтобы наблюдатель мог различить отсчеты и ассоциировать их с правильным временем и результатами измерения положений. Теперь допустим, что на рис. 5.6.10 представлено распространение двух одинаковых частиц, например электронов или протонов. Эти частицы можно различить в том случае, если они находятся в пространстве-времени" настолько далеко друг от друга, что взаимодействие между ними невозможно. Как только они попадают в зону взаимодействия, становится невозможным их различить и сложно определить собственные координаты. Пусть частицы на рис. 5.6.10, в являются электронами. Первоначально они находятся так далеко друг от друга, что их распространение может быть представлено в собственных координатах. Однако в моменты времени 仇=

п Краткое выражение «пространство-время» используется для того, чтобы избежать громоздких фраз типа «если их положения в координатной системе или время наблюдений различаются в достаточной степени...».

= 0,11 или 0 = 1 оба электрона находятся в одном и и том же пространственно-временном интервале. Распространение электронов начиная с этих моментов времени в общей системе координат показано на рис. 5.6.11. Средняя скорость электронов одинакова, но более быстрый электрон (р = 1) имеет скачкообразное движение, которое накладывается на усредненное перемещение (рис. 5.6.11,q). Сказанное выглядит хорошим аргументом против диадической топологии. Однако в топологии действительных чисел также предполагается, что электрон должен иметь

Рис. 5.6.11. Два варианта диадического перемещения / (^ ф 0) и f (^ ® 0/2), основанного на коде Грея, из отправных точек, соответствующих рис. 5.6.10, а На результат влияет выбор начала координат, но отдать предпочтение тому или иному выбору по каким-либо причинам в принципе невозможно.

скачкообразное, подрагивающее движение вокруг усредненного маршрута распространения. Это придает ему скорость света даже в том случае, когда скорость вдоль усредненного маршру- та много меньше [127]. Следовательно, диадическая топология дает качественный результат, который в топологии действительных чисел потребовал бы дополнительных пояснений. Мы вер- неуся к этой проблеме в разд. 8.4, где появится возможность пе- рейтн от качественной аргументации к количественной.

Закончим этот раздел кратким обсуждением движущихся координатных систем. На рис. 5.6.12 дано обобщение мировых графов для движущихся систем с конечной разрешающей способностью.^ Графики на рис. 5.6.12, а и б являются типичной иллюстрацией распространения фотона с помощью геометрии Ло- ренна. То же самое показано на рис. 5.6.12,8 и г, только непрерывная мировая линия (с/)2 — х2 = 0 заменена мировым гра- фом，состоящим из черных квадратов и ромбов. Главное, что необходимо здесь уяснить это то, что площадь сА。％ черных квадратов, показанных на рис. 5.6.12,8, не изменяется в резуль- тате преобразования Лоренца (рис. 5.6.12,з). Клетки разре-

Рис. 5.6.12. а — Мировая линия движения фотона в лабораторной системепри использовании топологии действительных чисел; 6 ——аналогичная линияв инерционной системе, движущейся со скоростью и/с относительно лабора-торной системы； виг ——сответствующие мировые графы для целочисленнойи диадической топологий. Заметим, что, согласно соотношению ab/2 ===||т]|/8 = cAf Дх, клетки неопределенности имеют площадь сМ Ак, незави-сящую от скорости и/с.

шающей способности или неопределенности имеют одну и ту же площадь сА/А% для всех инерционных систем.

Диадические часы

До сих пор мы заменяли декартовы системы координат диадическими или другими кольцевыми координатными системами, основанными на кольцах. Мы заменяли также обычную целочисленную линейку (см. рис. 5.6.8, Q) диадическими линейками (см. рис. 5.6.8,б и в). Часы при этом никогда не менялись. Можно предположить, что скачкообразное движение ряда частиц в § 5.6 обусловлено использованием обычных целочисленных часов.

Для пояснения последнего термина обратимся к обычной целочисленной линейке, показанной на рис. 5.6.8, а. Сгибая ее в круг в соответствии с рис. 5.7.1, а и добавляя часовую стрелку,

мы получаем примитивный вариант обычных часов. Вместо кругового устройства с часовой стрелкой можно использовать прямолинейную линейку из рис. 5.6.8, а н частицу Л (или В), которая движется вдоль линейки с постоянной скоростью 生

Воспользуемся этим принципом для получения диадических часов из линейки рис. 5.6.8, б. Согнем линейку в круг, как показано на рис. 5.7.1, 6. Круг является замкнутым, поскольку точки линейки g = ООО и 100 соединены. Восемь меток круга на

адеААвадеААвРис. 5.7.1. q — Обычные часы, основанные на линейке (рис. 5.6.8,q) и движущемся отсчете Л； б и в — диадические часы, основанные на линейке (рис. 5.6.8,6) и движущихся отсчетах Д и В. Большие по размеру числа с внешей стороны круга дают время 0 в коде Грея, меньшие числа внутри круга дают 0 в обычном двоичном коде.Рис. 5.7.1. q — Обычные часы, основанные на линейке (рис. 5.6.8,q) и движущемся отсчете Л； б и в — диадические часы, основанные на линейке (рис. 5.6.8,6) и движущихся отсчетах Д и В. Большие по размеру числа с внешей стороны круга дают время 0 в коде Грея, меньшие числа внутри круга дают 0 в обычном двоичном коде.

аде

ААв

аде

ААв

Рис. 5.7.1. q — Обычные часы, основанные на линейке (рис. 5.6.8,q) и движущемся отсчете Л； б и в — диадические часы, основанные на линейке (рис. 5.6.8,6) и движущихся отсчетах Д и В. Большие по размеру числа с внешей стороны круга дают время 0 в коде Грея, меньшие числа внутри круга дают 0 в обычном двоичном коде.

Рис. 5.7.1. q — Обычные часы, основанные на линейке (рис. 5.6.8,q) и движущемся отсчете Л； б и в — диадические часы, основанные на линейке (рис. 5.6.8,6) и движущихся отсчетах Д и В. Большие по размеру числа с внешей стороны круга дают время 0 в коде Грея, меньшие числа внутри круга дают 0 в обычном двоичном коде.

рис. 5.7.1, б пронумерованы в последовательности ± = 000, 001, ..., 100, в которой их проходит частица Л на рис. 5.6.8,6. Добавляя часовую стрелку, которая вращается с постоянной угловой скоростью, мы получаем простые диадические часы. Внутри круга показаны двоичные числа, соответствующие коду Грея (см. табл. 5.2.2). Несколько позже эти числа понадобятся при разбиении временных интервалов для увеличения разрешающей временной способности.

Воспользуемся теперь частицей В в качестве указателя часов. На рис. 5.7.1, в используется такой же круг, как на рис. 5.7.1, б, но восемь меток пронумерованы в последовательности g = 001, 000, 010, 011, 111, 110, 100, 101, в которой движется частица В (см. рис. 5.6.8,б).

° Ранее мы отмечали, что сложно дать определение постоянной скорости А° того, как появились какие-либо часы. Мы, как правило, обходим эту проблему, основывая часы на постоянных периодах колебаний, например, маятннка. кварцевых кристаллов или атомов. Постоянство периода колебаний можно проверить без часов, сравнивая наложенные друг на друга колебания и св。工я、таким образом, проблему к задаче измерения расстояний.

7 X. Хармут

Применим диадические часы для представления движения частиц Л и В на рис. 5.6.8,6 в виде мирового графа. При использовании диадических часов (рис. 5.7.1, б и в) время 0 должно наноситься в соответствии с их метками. На рис. 5.7.2 это проделано с использованием как кода Грея, так и обычного двоичного кода. Координата 自 размечена так же, как на рис. 5.6.7.

Скачкообразное движение, присущее частице В на рис. 5.6.7,6, на рис. 5.7.2, 6 отсутствует. Учитывая способ, которым определялось показываемое часами время, это не удиви-

=冬变齡^与急旣黯目连

Рис. 5.7 2. Диадическое перемещение, соответствующее рис. 5.6.7, б： а — обычное время заменено в соответствии с рис. 5.7.1,6; б — в соответствии с рис. 5.7.1, в.

тельно. Вспомним использованную ранее цитату: «Время определяется так, чтобы движение выглядело простым» [95, с. 23].

До сих пор все было просто, поскольку мы предполагали скорость р = 1. Перейдем к произвольным значениям р. Обычное уравнение распространения

"自一胧)=，&) (1) приводит к соотношениям

自一的=自0,自一0(6' + 6())=&，自一幽=畠一帆=0. (2) При go = 0 отсчет перемещается в своих собственных координатах. При ^о =/=0 можно 0 заменить суммой B' + 仇 и выбрать такую величину Во, чтобы разность &о — рбо равнялась нулю. Следовательно, определение нового времени 9’= 8 — 0О сводит общий случай J。，。к особому случаю go = O перемещения в собственных координатах.

Применим теперь соотношения (1) и (2) к диадическому пе

(3)(3)ремещению. Начнем с соотношения

(3)

(3)

f ■㊉附) = /&)•

По-прежнему возможны два следующих шага, соответствующих

⑷⑷соотношениям (2):

⑷

⑷

自㊉阳=畠，自㊉Р (0㊉仇)=自。.

Третий шаг сделать невозможно, поскольку для перехода к эквиваленту третьего равенства в соотношениях (2) нельзя записать Е ㊉ 0(8’ ㊉ 6о) как 自㊉ РТ ㊉ 0仇.Проблема, очевидно, в том, что обычные умножение и сложение замешаны со сложением по модулю два. В связи с уравнением (4.3.4) уже отмечалось, что равенство типа g Ф ₽0 = go подразумевает диадическую координатную систему, но обычное время, которое подчиняется обычным операциям сложения и вычитания. При работе с диадическими часами необходимо использовать сложение и умножение по модулю два, как было сделано в уравнении (4.3.6). Вместо равенства (3) необходимо записать

ИёФ₽®е)=н^). (5)

Равенствам (2) соответствуют следующие диадические соотношения:

^©₽®e=E0,自㊉В0(ё'㊉用=瓦,自㊉Ре8’㊉Р区备=及，(6) 自㊉Р区*=自0㊉Р③80 = О.

При р = 1 получаем 仇=自о, что соответствует случаю, представленному на рис. 5.7.1, & При р = 1/2 получаем 1}

瓦㊉等③备=0，% = 2^.(7)

В последовательные моменты времени2) В' = 0, 1, 10, 11, ... получаем координаты

自=В侈У =等傢& = Ео㊉Р g В(8)

и время

8 =。㊉W㊉2&・(9)

I)При 0 = 2",几=0, 土 1, ±2, ... умножение по модулю два дает тот же результат, что и обычное умножение. См. табл. 4.3.1.

% Использование обычного двоичного кода упрощает вычисление произведений р ® 0 или р ③ 8', а использование кода Грея упрощает вычисление сумм & 由 р О 8 или 8' Ф 2&, поскольку значения g и ^о на рис. 5.7.2 и 5.7.4 даны в коде Грея. Лучшей альтернативы такому переходу от одного кода к другому иет.

а

4拓=С户7/Z

6

B*00gR7/Z

опо

7770

1011

〃70

ОНО

1010

от

〃〃

1001

7"

0100

0101

1000

0000

1011

700

"07

100

0101

ипг

000!

ООО

1101

001

W01

то

0110

0101

1100°°°

0001

00〃

ООП

0100

07〃

ООН

иою

010!

оно

7例

wo

7必。一^

1001

〃〃

1011

"〃7

7Go

1100

Рис. 5.7.3. ДЛЯ того,

0100

0001 оою

1000 °7〃

оою

Часы из рис. 571,6 и в с заменой восьми метокчтобы появилась возможность наблюдать перемещенияростью р = 1/2; а — перемещение от & = ООО к g = 100; 6 — перемещениеот |о = 001 к g = 101. Время 0 дано в коде Грея (числа с внешней стороныкруга) и в обычном двоичном коде (числа внутри круга).

времени

е на 16 со ско-

wo\

707

7叫 ow Ь i叶ь

5 000YX\x\ ,

XM !_I_I_I_I_I_I»>1~1—I~1_I~1_I~I_I«■I VxriQQ 〜jOQ —〜оо — Х?4 © f OOOQiZ'Jj 二、zOQQQ aOoQdOoQzijiZjz、

К 心 I_I_I_1_i_I_I_I_I_L_J一i_l—l_I_L—I

Ci ^W ^**e Q^ ^^} !**•» >*•*^^ ►*• ^** ^^ C^ ***•

ijQOQO・~ 〜〜〜QOQQzA Q * О О О О >^ j >*• J г** V*- ~ z ОО ° OoQOQOOQiJijzziz

Рис. 5.7.4. Мировой граф распространения отсчетов / со скоростью, уменьшенной от 0 = 1 до В =

в коде Грея.

1/2. Знач睛И3 РИС' 572,

но

времени 0 даны

Обобщение рис. 5.7.1 и 5.7.2 при переходе от р = 1 к р = 1/2 показано на рис. 5.7.3 и 5.7.4. Вместо часов с восемью метками времени (см. рис. 5.7.1) для отсчетов Л и В используются часы с 16 метками (рис. 5.7.3), поскольку для преодоления того же самого расстояния со скоростью, в два раза меньшей, времени требуется в два раза больше. Для отсчета Л показания часов увеличиваются от 6 = 0000 с шагом 0001, как в коде Грея (числа с внешней стороны круга), так и в обычном двоичном коде (числа внутри круга). Для отсчета В устройство часов сложнее. Во-первых, время 0о, определяемое выражением (7), для точки 氐=0001 равно либо 0010 (обычный двоичный код), либо ООП (код Грея). Для получения в соответствии с выражением (9) других временных меток, моменты времени 9' = 0, 1, 10, 11, 100, ... (обычный двоичный код) или В' = 0, 1, 11, 10, 110, (код Грея) суммируются по модулю два с 6о. На рис. 5.7.4 показано распространение отсчетов Л и В в соответствии с соотношениями (5) и (6). Вместо двух одинаковых иллюстраций с различной разметкой шкалы времени, как было на рис. 5.7.2, дана только одна иллюстрация с двойной временной шкалой, одна для отсчета А, другая для отсчета В.

Мы привыкли к выбору координатных систем, которые упрощают вычисления и делают результаты более наглядными. Привыкли мы и к разработке основополагающих понятий и присвоению различных метрик или топологий тому, что обычно называется пространством. По отношению ко времени мы не столь прагматичны, хотя и пользуемся термином пространство-время. Как следствие диадические часы кажутся более искусственными, чем диадическая координатная система. Однако не видно никаких логических причин, по которым мы обязаны пользоваться обычными часами, так же как нет логических причин, почему должна применяться евклидова геометрия или элемент расстояния ds? = gikdxldxk.

Глава 6

Особая роль синусоидальных функций

Дифференциальные уравнения и уравненияв частных производных

В разд. 5.3—5.5 было показано, что топология х ар а ктер изует- ся стоячими волнами. Общепризнано, что для обычной топологии действительных чисел синусоидальные функции являются особн- ми. Таким образом, мы обязаны выделить их среди прочих функций, если действительно живем в мире пространственно- временного континуума с такой топологией. То, что в настоящее время наиболее выдающуюся роль в науке и технике играют синусоидальные функции, вряд ли кто-то будет оспаривать. Од- нако эта роль может основываться на причинах, отличных от топологии пространства-времени.

Первой причиной является то, что общее решение любого обычного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и переменной / содержит составляющие е~^х sin（о/ и е~^х cos со/. Такие дифференциальные уравнения не только легко решаются, но и легко реализуются, например, инвариантными во времени массами, пружинами, демпферами или индуктор амиу конденсаторами и резисторами. Параметры перечисленных компонентов, хотя и нелегко, но можно сделать зависящими от времени. Тогда результирующие дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами приходится, как правило, решать путем разложения в ряд в особых точках. Следовательно, у нас мало оснований для использования нестационарных дифференциальных уравнений и несинусоидальных функций, но никакого отношения к топологии пространства-времени это не имеет.

Обратимся к дифференциальному уравнению в частных производных с постоянными коэффициентами и рассмотрим пример волнового уравнения

4^~==4р~, где е = 〃т，Е = х]сТ. （1）

Общее решение этого уравнения было найдено в XVIII в. Да- ламбером:

切危 B） = f（E-e）+ g（a + e）・ （2） В волновом уравнении различаются временные перемещения g — 6 и g + 6. Ранее мы убедились, что синусоидальные функ-

цпи при таких перемещениях приводят к стоячим волнам. Это уже отличие, но слабое, поскольку функции f(E ——0) н g(E + ®) не обязаны быть синусоидальными или суперпозицией синусоидальных функций в смысле общей или минимальной среднеквадратической сходимости. Поскольку волновое уравнение предполагает пространственно-временной континуум с обычной топологией действительных чисел, то логическим следствием является обязательность выделения гармонических функций 】).Более серьезное отличие синусоидальных функций получают—по неверной причине — при использовании для решения дифференциальных уравнений в частных производных метода произведений Бернулли. Применим этот метод к волновому уравнению

w(^, 0) = qp (^) 4 (6).(3)

Подставляя ①⑥屮⑻ в уравнение (1), получаем

Ф(0)商g(g)'

ИЛИ

-^ —卩2叩=0，(5)

一卩2屮=0,(6)

где 卜F является константой.

Поскольку равенства (5) и (6)—это обычные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, то их общее решение состоит из гармонических функций

-ф(0)= Л cos 卩В + 5 sin 卩仇

Ф (^) = С cos [il + D sin 应. ⑺

Выделение гармонических функций является прямым следствием использования метода произведений Бернулли, который дает лишь частные решения волнового уравнения。

Если мы берем за основу топологию кольцевых координатных систем, а не топологию континуума, то дифференциальное исчисление заменяется другим, более общим исчислением, а роль

1)В своей предыдущей книге по радиолокации автор утверждал, что волновое уравнение к соответствующее решение Даламбера не выделяют синусоидальных функций [63]. Это имеет отношение к тому, что функции f(|__0)н gf(g + 0) в выражении (2) не обязательно являются синусоидальными и не обязательно выражаются рядом или преобразованием Фурье, которые обеспечивают среднеквадратическую сходимость. Включать обсуждение вопросов топологии пространства-времени в книгу по радиолокации казалось неуместным.

экспоненциальных и синусоидальных функций играют другие функции. Исследуем сначала предельное кольцо 2“ —оо, затем диадическое кольцо, и, наконец, кольца общего вида.

Понятия исчисления конечных разностей

Рассмотрим непрерывную кривую на рис. 6.2.1, а. В точке 小 можно определить значение функции f (小)，ее первую произвол-

Рис. 6.2.1. а ——Непрерывная функция с углом наклона. df(x]0)ldi] в точке По； б ——функция, определенная для дискретных значений “ = 0, Ат], 2Aq, ... со средней разностью {[/(* 4* Ат]) — f (т)о)] + [/("о — Ат))]}/2Ап в точке %.Рис. 6.2.1. а ——Непрерывная функция с углом наклона. df(x]0)ldi] в точке По； б ——функция, определенная для дискретных значений “ = 0, Ат], 2Aq, ... со средней разностью {[/(* 4* Ат]) — f (т)о)] + [/("о — Ат))]}/2Ап в точке %.

Рис. 6.2.1. а ——Непрерывная функция с углом наклона. df(x]0)ldi] в точке По； б ——функция, определенная для дискретных значений “ = 0, Ат], 2Aq, ... со средней разностью {[/(* 4* Ат]) — f (т)о)] + [/("о — Ат))]}/2Ап в точке %.

Рис. 6.2.1. а ——Непрерывная функция с углом наклона. df(x]0)ldi] в точке По； б ——функция, определенная для дискретных значений “ = 0, Ат], 2Aq, ... со средней разностью {[/(* 4* Ат]) — f (т)о)] + [/("о — Ат))]}/2Ап в точке %.

ную ^(Ло)/^^ и т. д. Известно, нению первого порядканую ^(Ло)/^^ и т. д. Известно, нению первого порядкачто дифференциальному урав-что дифференциальному урав-

ную ^(Ло)/^^ и т. д. Известно, нению первого порядка

ную ^(Ло)/^^ и т. д. Известно, нению первого порядка

что дифференциальному урав-

что дифференциальному урав-

⑴⑴需=小叫

⑴

⑴

удовлетворяет экспоненциальная функция

f (叫=Z户，⑵

а дифференциальному уравнению второго порядка

需必=一＜。2f (n)(3)

— гармонические функции

f(П)= 4 sin зт] + 5 cos 3力(4)

Из уравнения (3) следует, что

з (Е, 6) = Л sin соВ sin 喷(5)

является частным решением волнового уравнения (6.1.1), записанного для континуума.

Теперь разработаем соответствующие понятия для дискретной функции /(“)， которая определена только при т] =0, 1,

..., а не при всех действительных значениях т]. Такая функция определяется на предельном кольце, т. е. при 2“ —8 (рис. 3.1.1).

На рис. 6.2.1,6 показана такая дискретная функция. Общности ради определим эту функцию в точках 幫=0, Аг], 2Дг],.... а не т] = 0, 1, 2, .... В дополнение к значению функции f(r)o) в точке т]0 можно определить среднюю разность Af(т)0) /Ац, которую назовем симметрическим разностным отношением первого порядка:

噜1 в 嘉｛[/(По + ^)-f^] + [f (收)一f (小一M)D =

=^-『(По + м) - f 品一A 喇.(6)

В пределе при А“ —d” получаем дифференциальное отношение первого порядка 3/(“о)/5 (рис 6.2.1,а). Однако такой переход нельзя сделать без принятия гипотезы о том, что конечное или счетно-бесконечное множество точек 刀(рис. 6.2.1, б) заменяется несчетно-бесконечным множеством. Как следствие средняя разность (6) не может быть интерпретирована как тангенс угла наклона, поскольку тангенс является понятием континуумной теории, так же как понятия (непрерывных) линии, поверхности и пространства. Правильной будет, например, такая интерпретация средней разности, в которой значения ，(г)о + Ап), /(По) и f(刀о ——△“) считаются температурой, измеренной в трех соседних точках линейки или часов, а значение А/ (т)о)/Ат] — средней разностью температур в точке т)о относительно соседних точек т)о + Дг) и т)о — Ат]. Из равенства (6) получаем разностное уравнение, эквивалентное дифференциальному уравнению первого порядка (1):

■^^ ="(叫'

/(刀+A叫一2必加⑺)一""一А")н0.⑺

Это рекуррентная формула разностного уравнения второго порядка, хотя равенство (1) является дифференциальным уравнением первого порядка. Функция, удовлетворяющая этому уравнению, эквивалентна экспоненциальной функции (2).

Для решения уравнения (7) подставляем m = т]/Дт)= 0, 1, 2,…и р =必"：

f(m+ l) — 2pf(m) — f (根一 1) = 0.(8)

Такое обычное разностное уравнение с постоянными коэффициентами решается подстановкой

〃m)=m(9)

уравнения с постоянны- подстановки f(m) —AeQtnуравнения с постоянны- подстановки f(m) —AeQtnподобно тому, как дифференциальные ми коэффициентами решались путем [94, 104]. Из уравнения (8) получаем

уравнения с постоянны- подстановки f(m) —AeQtn

уравнения с постоянны- подстановки f(m) —AeQtn

/ртт(р2-2рр- 1) = 0,(10)

Pl = Р + (1 + р2)"2, Р2 = Р — (1 + Р?)"2，

f (W) = А^ + B^f(11)

f⑺=/ {qAn +[1+ (处叫2『2}心"+ 6 {qA" _ [ 1 _(八哨т忌严$ a * A (1 +両严+ ■(—】+ qM严吗g”《1.

2P =1 с начальными усло-(8) определяет быстро воз-2P =1 с начальными усло-(8) определяет быстро воз-Отметим, что для особого случая вчями f (0) = 0, /(1)=1 уравнение растающие числа Фибоначчи [53]:

2P =1 с начальными усло-(8) определяет быстро воз-

2P =1 с начальными усло-(8) определяет быстро воз-

机 0123456 7 8 9 10

f (m) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

В общем решении уравнения (11) для выполнения начальных условий /(0) ==0, f (1) = 1 необходимо выбрать константы А = =—В = 1/«5.

Перейдем к разностному отношению второго порядка. Вместо вычисления среднего значения разностей f⑺+△П)-f(十 и f (q)——f (т]——Ат]) теперь мы берем разность этих разностей:

^^ =击b(g + ^-f ⑴。)1 -「(%) - f ⑴。一An)D =

=号戸[f So + A叫一2f (灰)+ f (т)о — An)].(12)

точках т)о + Ат],точках т)о + Ат],Физической интерпретацией этого разностного отношения второго порядка является разность между температурными нзмене- ниями f(T]0 + An) —f(no) н f (т]о)—ftno —不厶)в “о и т)о ——Arj.

точках т)о + Ат],

точках т)о + Ат],

ря證瑞弋器幫雕也叫з皿”。уравнения ВТОрого по-

=_af⑴)，

f(П + △叫一[2 — ®А叫2] f(叫 + / 何—△叫=o.(13)

Подставляя снова m = tj/Atj и 2P2=(зАт])2, нмеем

f(m + 1) — 2(1 一 p2)f (m) + f (机一1) = 0(14)

и получаем характеристическое уравнение

£>2-2(1 —р2)р+1 = о.(15)

с решениями

Р] = 1 — р2 + 力(2 — р2)皿,Р2 = 1 一 р2 — % (2 — р2)叱(16)

Общее решение уравнения (13) представляет собой

f (m) = /р『+ Вр^

и для малых значений р = юДт]/V2 преобразуется к виду

〃叫 у / (1 + 1©Дт]/У2)ч/Дп +3(1—心Ап/«Е严，(17)

Комплексные составляющие свидетельствуют о том, что эта функция является скорее колебательной, чем быстро возрастающей, какой была функция f(n) из выражения (11). Отложим пока рассмотрение этого решения, чтобы вернуться к нему позже. Отметим лишь, что оно дает частные решения дискретного волнового уравнения

乂з(g, e)_ 及5 化，6)

~др~ — ~Лё5~US

точно так же, как гармонические функции из выражения (4) давали частное решение (5) непрерывного волнового уравнения (6.1.1). Для доказательства сформируем второе отношение в частных разностях w(g, 6), если з& 0) можно представить произведением

w(l e)= f(g)f(e).(19)

Из равенства (12) получаем

△20(е，e)_А2/化)及口化，e)_ \2f (6) /

др~ — — а. / (В), —評一一 де2 /

Подставляя эти соотношения в уравнение (18), получаем

△1 f 隽)一ае2 f(6)8•依丿

Сопоставление с равенством (13) показывает, что равенство (19) действительно является частным решением дискретного волнового уравнения (18), если функции /(自)и f(6) удовлетворяют равенству (13).

Из этих примеров достаточно ясно, что волновое уравнение можно получить и без понятия континуума. Для предельного случая кольца 2"-> 8 экспоненциальная функция заменяется функцией /(毛)，определенной выражением (11), а гармонические функции — функцией, определенной выражением (17).

Теперь перейдем к другому предельному случаю рис. 3.1.1 и исследуем дифференцирование, а также дифференциальные и волновое уравнения для диадического кольца 2# = 2.

. Понятия диадического исчисления

Для обобщения дифференциального исчисления на конечное кольцо обратимся к диадической координатной системе, изображенной на рис. 3.1.19. Для упрощения воспользуемся представлением этой системы в виде кубической структуры, приведенной на рис. 3.1.20. Такая же упрощенная диадическая координатная система показана на рис. 6.3.1, а. Рассмотрим отдельную точку иг, одну из восьми точек ООО, ..., 111 координатной системы. У точки т трое соседей иг Ф 001, ш Ф 010 н 机㊉ 100, отстоящих от нее на одном и том же расстоянии, равном 1, или в общем случае Ат] (рис. 6.3.1,б). По аналогии с равенством (6.2.6) определим среднюю диадическую разность Df(m) /Dm в точке т, где f(刃)—это скалярная величина, присвоенная точке т, так же как значения /(“) и /(т)о) присваивались точкам п и на рис. 6.2.1 и：

需二就個⑺-f (根㊉001)1 +

+ V (加)一 f (机㊉ 010)] + [f (⑺一f (他㊉ 100)]}=

=表{'(⑺-!什(巾㊉°01)+ f (m©010) + f (m© 100)]}. (1)

Очень похожая операция оказывается была введена Гиббсом 2). Вместо координатной системы со стержнями одинаковой длины А% приведенной на рис. 6.3.1, необходимо использовать координатную систему со стержнем длиной Дт) между точками т и т © 001, со стержнем длиной 2Дт)между т и т Ф 010, со стержнем длиной 4Ап между m и m Ф 100 и т. д. На рис. 6.3.1, в показана трехмерная координатная система со стержнями длиной、“， 2Дт] и 4Дт). В результате модификации для этой координатной си- стемы выражение (1) преобразуется к следующему виду:

需1 =备{『伽)一f (机㊉。。1)] + ^[f(m)-f(m®Q\0)] +

+ T^(m)-Hm® ЮО)]}.(2)

При диадическом дифференцировании по Гиббсу вместо 1 /3Aq используется сомножитель 23-2 = 2. Причина такой замены будет объяснена позже. Сделаем обобщающий переход от трех

° Заметим, что используется нормированная переменная m=0, 1, 2,.・., тогда как в разд. 6.2 мы начали с ненормированной переменной 毛 и перешли к нормированной переменной m = n/A^l в уравнении (6.2.7).

2)См., например, [54]. Символ g/(x)/gx используется в честь Гиббса по аналогии с 〃(％)/〃

G66

Рис. 6.3.1. а — Трехмерная диадическая координатная система; б — точка m этой координатной системы с тремя соседями т Ф 001,团㊉ 010, т Ф 100, находящимися от нее на одном и том же расстоянии Дт)； в — модификация рис. 6.3.1,6, в которой расстояние точки m от т ® 001 составляет А”， от m ㊉ 010 —2Ат)н от /п ㊉ 100 —4А&

к г измерениям и получим, согласно Гиббсу, диадическое дифференцирование:

噌也=2'-2 {2°](力一 f (他㊉1)] +

'+21「(他)一"m㊉10)] + 2-2"(力一/(m㊉100)]+...

...十2-(1)T(加)一〃m㊉10...0)]}.⑶

Для интерпретации физического смысла диадического дифференцирования предположим, что f(m), f(m Ф 001), f(m Ф 010) и f(m Ф 100) обозначают четыре температуры, замеренные в точках, ш, тФ001, тФОЮ и ди ф 100 координатной системы, соответствующей рис. 6.3.1, в. Тогда числа (Дт))-1 [f(m)— f(m Ф 001)], (2An)-i(f(加)一f(rn Ф 010)] и (4加])-1 [/(m)— f (加㊉ 100)] являются температурной разницей, приходящейся на еднннну расстояния Ап между точкой m и ее тремя соседями. Средняя температурная разность ДТх/Дт) становится равной

眷=含{[f (m)- f (俏㊉001)] + } [f (⑺ T (俏㊉01。)] +

+ ；[f(力一f(根㊉100)】}•⑷

Зто выражение совпадает с равенством (3) с точностью до постоянного коэффициента. Далее сопоставление с выражением (1) показывает, что интерпретация первого диадического разно- стного отношения как средней разности в точке т также при- еопнт к этому выражению, если используется координатная система, изображенная на рис. 631,6, а не система на рис. 6.3.1, в.

g Wal (也他)—gm 一g Wal (也他)—gm 一Рассмотрим, почему для диадического разностного отношения g'!"/gm Гиббс внбрал именно выражение (3). Восемь функ- ции '°厶山2 Wal (Л, m) в г = 3 измерениях различаются значениями 力=0, ..., 7 и m = 0, ..., 7:

g Wal (也他)—

gm 一

g Wal (也他)—

gm 一

{[Wal (Л, m) — Wal (ft,机㊉ 001)] +

+ -g- [Wal (Л, m) — Wal (А, гифОЮ)] +

+ ；Wal 他 m) — Wal (^,沢㊉ 100)]} =

=Wal (^, m) ^2[1 — Wal (kt 001)] +

(5)(5)+ " —Wal 他 010)] + g[l — Wal (財 100)]}.

(5)

(5)

Для вычисления составляющих в скобках обратимся к рис 6.3.2 н табл. 6.3.1. На рис. 6.3.2 показанн функции Уолша в интер- 幕ле —0,5 W 机 0 7,5. Эти функции совпадают с функциями Wal (й, 0) на рис. 5.3.1, за исключением того, что изменился ин-

Таблица 6.З./

Вычисление выражения (5) с помощью функций Wal (А, т), приведенных на рис. 6.3.2，，

k

0

I

2

3

4

5

b

7

Wal (k, 001)

1

1

1

I

—1

—1

—1

—1

Wal (R, 010)

1

1

—1

-1

1

1

—1

—1

Wal 他,100)

1

—1

1

-1

1

—1

1

—1

2[1 — Wal (R, 001)]

0

0

0

0

4

4

4

4

1 - Wal (R, 010)

0

0

2

2

0

0

2

2

1

2~[I - Wal (总 100)]

0

1

0

1

0

1

0

1

Сумма

0

I

2

3

4

5

6

7

Чигло скачков

0<m<7 -0,5)旗7,5

WaKO.m) WoKI.m) Wdl(2,m) Wdl(3,m) Wol(4,m) WoKS.m) WM(6,m) Wol(7.m)

_1_1_匸J_1 一 1 二T • 10000

F~1~c~1 1」二丄二H二匸 001=1 2x1 Sold.m) 「L一「七」二工一匸二f…l 01]，2 27 CoHLm) 「一丁七丄_d丁二「【」——011=3 2x2 Sol(2,m) ~TI丄二_LF丁―H-~L丄二 1—厂厂一 100=4 2”2 Cal(2.m) Kk二丄「飞工尸匚口三匸101=5 2x3 Sal(3.m) ：丁1」一厂「Ll_工/丁rt•口 110=6 з3 сок3.т) 『R丄「二乙尸？丄尸/匸111=7 “4 SGlM.ml

,,,,1,Обычный.

ооо001 oiloiolioiii161160爲“"逐心

^[КодГрея^ -*-

01234567

Рис. 6.3.2. Функции Уолша Wal(A,租),определенные в точках zn = 0, 1, ...,7 интервала —0,5 W m W 7,6, и соответствующие функции wal (电 т) (штриховые линии). Функции упорядочены в соответствии с секвентой R, где А ——это число изменений знака или пересечений нуля для функций wal (財 т) в открытом интервале —0,5 V 血 V 7,5. Первоначально секвента была определена как половина числа пересечений нуля в полуоткрытом интервале —0,5 W m V 7,5 (см. список на рисунке справа). Функции Уолша в этом случае обозначаются как Sal(i, zn), Cal(i. /п), что подчеркивает сходство нечетных функций Sal (i, m) с синусоидальными, а четных Cal仏 tn) с косинусоидальными [ПО, 61].

тервал и переменная 6 на рис. 5.3.1 давалась в десятичном коде, тогда как переменная т дается в коде Грея. Из рис. 6.3.2 берем значения Wal (А, 001), Wal (^, 010) и Wal (А, 100) для табл. 6.3.1. На основе этих значений легко вычислить составляющие 2[1 — —\Val(^,001)], 1 —Wal(左,010),%[1 —Wal(^. 100)] и их сумму. Сумма равняется k. Следовательно, выражение (5) можно переписать в следующем виде:

-W嘿，m上=为Wal (左,m). (6)

Таким образом, согласно Гиббсу, функции Уолша играют для диадического разностного отношения первого порядка такую же роль, какую, согласно равенствам (6.2.1) и (6.2.2), экспоненциальные функции играют для дифференциального отношения первого порядка, если выполнить подстановку /〃 = q/Дг] н 左= =q[Z\.

Чтобы получить равенство (6), т необходимо записывать в коде Грея, айв соответствии с секвентой !>. Полноты ради заметим, что можно также определять 左 в соответствии с секвентой в коде Грея, a m в обычном двоичном коде. Функции Уолша, упорядоченные таким образом, было предложено [1] обозначать как WalP(^, m), где индекс Р относится к Пей л и

Число

mf

Рис. 6.3.3. Функции Уолша Walp 仇，m), упорядоченные по Пей л и или коду Грея.

(Paley), который это упорядочение ввел [106]. На рис. 6.3.3 по- казаны первые восемь функций, упорядоченные таким образом. Справа на рисунке приведено число скачков в функциях walp(財〃I), показанных штриховыми линиями. Заменим числа 0, 1, 3, 2, 7, ... соответствующими комбинациями кода Грея с помощью табл. 5.2.2. Результирующие двоичные числа ООО, 001, 010, 011, ... возрастают как значения обычного двоичного кода и, как показано справа на рис. 6.3.2, декодируются соответственно в 力=0, 1, 2,...・

1)Согласно определению [61], секвеита равна числу изменений знака иесинусоидальных функций за единицу времени. Секвентиый анализ является разновидностью и альтернативой гармонического анализа, а секвента——аналогом нормированной частоты fT синусоидального колебания, где f ——частота колебания, а 丁 ——единица времени. — Прим. ред.

Аналогом равенств (5) и (6) для функций Walp(/e,m) является

旦竺蜉山 = 2{[Walp但，g - Walp他，他㊉001)] +

+ ；[Walp(/j, m) — Walp(A, тфОЮ)] 4*

+ ；{Walp(&, m)-Walp(4,租㊉ 100)]} =

= Wak 伐，俏){2[1 — Wab伐，001)] + [1 — Wag(比 010)] +

+ }[1 — Wag(財 100)]} = # Walp(4,租).(7)

В табл. 6.3.2 показано получение результата Л WalP(^, т) на основе функций Walp(^, 001), WalP(й,010) и Walp(^, 100), изображенных на рис. 6.3.3.

Таблица 6.3.2

Вычисление выражения (7) с помощью функций Walp (А, т), приведенных на рис. 6.3.3

h

01

23

4

5

67

Wal p 伍，001)

11

11

-1

-1

—]—1

Walp (財 010)

11

—1—1

1

1

—1—1

WalP(fe, 100)

1—1

1—1

1

-1

1 —1

2 口一 Walp 伊，001)]

00

00

4

4

44

1 — Walp (見 010)]

00

22

0

0

22

弓[1 一 Walp (后 100)]

01

01

0

1

01

Сумма

01

23

4

5

67

(8)(8)Рассмотрим первую диадическую производную константы f(m)= С. Оба равенства (2) и (3) дают нуль:

(8)

(8)

Dm 一 gm —

Теперь вычислим первую диадическую производную функции f(m) = т в соответствии с выражением (3) при г = 3:

^ = ^т~ (т©001)] + ^-[т~ (俏㊉010)] +

+ ； [tn — (тф 100)“.

(9)

Таблица 6.3.3

Вычисление первой диадической производной gf (m)/gm функции f (m) = m в соответствии с выражением (9).

Производная представлена суммой в последней строке

〃2

000

001

011

010

ПО

111

101

100

Десятичное число

0

1

2

3

4

5

6

7

m £001

001

000

010

Oil

Ill

ПО

100

101

Десятичное число

1

0

3

2

5

4

7

6

тфОЮ

010

011

001

000

100

101

111

110

Десятичное число

3

2

1

0

7

6

5

4

m ㊉ 100

100

101

111

ПО

010

011

001

000

Десятичное число

7

6

5

4

3

2

1

0

2[m —(mffiOOl)]

-2

2

-2

2

一2

2

—2

2

机一(тф010)

-3

一1

1

3

-3

—1

1

3

у [т —(力㊉ 100)]

-3,5

-2,5

—1,5

—0,5

0,5

1,5

2,5

3,5

Сумма

-8,5

一1,5

—2,5

4,5

-4,5

2,5

1,5

8,5

Процесс вычисления этого выражения показан в табл. 6.3.3. В соответствии с рис. 6.3.2 значения функции f(m) = щ— ООО,... …，100 даны как в двоичном коде Грея, так и в соответствующем десятичном эквиваленте. Обычные вычитания и сложения «легче выполнить с десятичными числами, чем с двоичными. Значение gm/gm представлено суммой в последней строке табл. 6.3.3.

Для физической интерпретации этой производной рассмотрим трехмерную координатную систему, изображенную на рис. 6.3.4, а. В этой системе в соответствии с рис. 6.3.1, в длина стержней между любыми двумя точками m и m Ф 001 составляет Ап，между m и тФОЮ —2Дт), и между m и тФ 100 —4Ат]. Восемь меток этой координатной системы пронумерованы аналогично m в табл. 6.3.3——000, ..., 100. Показаны также десятичные значения т. Предположим, что эти числа представляют собой температуру, измеренную в точках координатной системы. Тогда указанные на рис. 6.3.4, а значения (1/Дт], —2/Ап， —1,5/Ат])——это разность температур, приходящаяся на единицу расстояния между точкой m = 011 = 2 и тремя ее соседями, взятая с весовыми коэффициентами 2, 1, 1/2 из выражения (9). Сумма указанных значений дает —2,5/Ат), что соответствует средней температурной разности в точке m = 011, приходящейся на единицу расстояния. В табл. 6.3.3 это значение приведено в последней строке.

Рис. 6.3.4. 。— Трехмерная координатная система со значениями функции f(m) = т в восьми координатных метках. Показано извлечение диадической производной в точках m = 011 и 100 в соответствии с выражением (9). Значения т даны в коде Грея； б ——представление той же самой координатной системы с помощью топологически эквивалентной многосвязной линейки.

На рис. 6.3.4,6 показана линейка с многократно соединенными метками, имеющая такую же топологическую структуру, как и трехмерная координатная система на рис. 6.3.4, а. Легко убедиться, что, как и на рис. 6.3.4,。, расстояние точки 团= 011 до m = 010 составляет Atj, до m = 001 2八毛 и до 租=111 4А“. Согласно Гиббсу, это возможность использования много связной линейки для правильного топологического представления с учетом того, что равенство (6) аналогично соотношениям (6.2.1) и (6.2.2), является преимуществом диадического разностного отношения D.

1)Для производной O/(zn)/Qm не сушествует приемлемого эквивалента выражению (6). Этот вопрос обсуждается в разд. 12.11.

Перейдем к диадической производной функции f(m)= m^i需=2 ｛[" — (тф001)] + 專[/ 一 (m©010)2] +

+ ｝时_(m㊉10峭｝.(Ю)

В табл. 6.3.4 показано вычисление gm2/gzn, аналогичное вычислению gm/gfn (табл. 6.3.3). На рис. 6.3.5 показаны соответствующая рис. 6.3.4, б линейка с функциональными значениями f(m)= гл? и вычисление средней разности в точке m = 011, приходящейся на единицу расстояния.

Габлица 6.3.4

Вычисление первой диадической производной gf (m)/gmфункции f (m) = т2 в соответствии с выражением (10)

Десятичное число

m ㊉ 001001000010011111110100101

Десятичное число 10325476

m ㊉ 010010011001000100101III110

Десятичное число 32107654

m ㊉ 100100101111ПО010011C01000

Десятичное число 76543210

DSO)000110®ffi©DSO)000110®ffi©о 4о 44 94 99 4 09 4 06 5 9 912 46 5 9 912 4251636425163643649251364925149361604936160

DSO)000110®ffi©

DSO)000110®ffi©

о 4

о 4

4 9

4 9

9 4 0

9 4 0

6 5 9 9

12 4

6 5 9 9

12 4

2516364

2516364

3649251

3649251

4936160

4936160

gm21gm—35,5 —18.5 —17 515,5 —47,517,52,583,5

В дифференциальном исчислении важную роль играет разложение в ряд Фурье. В диадическом исчислении похожую роль играют функции Уолша. Рассмотрим разложение функции /(,〃) в ряд 〃(左)по функциям Уолша:

〃优)= 2- Е f (ли) Wal 他，m),(11)

m=0

является точным представлением функции f(m), а не представлением с убывающей среднеквадратической погрешностью.

mf ООО001 〃0011

f(3=m2f 0794

WO 7074936Q0WO 7074936Q0"О 7〃16Z599"О 7〃16Z599га-9)!^=-10/^71га-9)!^=-10/^71Z-口庁加嘴歌禦Z齡篇Z-口庁加嘴歌禦Z齡篇■о

WO 707

4936

Q0

WO 707

4936

Q0

"О 7〃

16Z5

99

"О 7〃

16Z5

99

га-9)!^=-10/^71

га-9)!^=-10/^71

Z-口庁加嘴歌禦Z齡篇

Z-口庁加嘴歌禦Z齡篇

Рис. 6.3.5. Многосвязная линейка, соответствующая рис. 6.3.4,6, и вычисле-ние средней разности на единицу расстояния для функции f (m) = т2 в точке/п = 011 = 2. Значение т дано в коде Грея.

Рассмотрим в качестве примера разложение в ряд Уолша функции f(m)= т при 2’= 8. В верхней части табл. 6.3.5 приведены значения т и f (т), в нижней — функции Wal (0, т),

Wal (7,机).Соответствующая равенству (11) функция u(k)

Габлица 6.3.5

Разложение функции f (т) = т в ряд Уолша при 2'= 8

,7 m=f(m)」f(m) Wal (ft. m)

k Wal (fe. m) 0 I 2345678 盲

)/}/}/^/\l/\l/K/\/7 mmmm 机机 m/n a」ZCCT4,us6,7 i\ z(\ z(\ /I. ZI\ /I /IV /I aaaaaaaa wwwwwwww 01234567)/}/}/^/\l/\l/K/\/7 mmmm 机机 m/n a」ZCCT4,us6,7 i\ z(\ z(\ /I. ZI\ /I /IV /I aaaaaaaa wwwwwwww 01234567/2/2 72010001/2/2 72010001

)/}/}/^/\l/\l/K/\/7 mmmm 机机 m/n a」ZCCT4,us6,7 i\ z(\ z(\ /I. ZI\ /I /IV /I aaaaaaaa wwwwwwww 01234567

)/}/}/^/\l/\l/K/\/7 mmmm 机机 m/n a」ZCCT4,us6,7 i\ z(\ z(\ /I. ZI\ /I /IV /I aaaaaaaa wwwwwwww 01234567

/2/2 72010001

/2/2 72010001

показана справа. Таким образом, разложение в ряд Уолша функции f(m) = т имеет следующий вид:

(13)(13)f (т) = m = ^- Wal (0, т) — 2 Wal (1, ni) — Wal (3, m)—

(13)

(13)

— = Wal(7, m).

Поскольку проблема сходимости отсутствует, то диадическую производную функции f(m) можно получить из ее разложения

в ряд Уолша и соотношения (6):

gf (加 ggf (加 g2'-12'-12-12-1gm gingm gin2T Z u (k) Wal (k, 6) = 2- £ ku(k) Wal(k9 m).2T Z u (k) Wal (k, 6) = 2- £ ku(k) Wal(k9 m).左=0左=0a=oa=o

gf (加 g

gf (加 g

2'-1

2'-1

2-1

2-1

gm gin

gm gin

2T Z u (k) Wal (k, 6) = 2- £ ku(k) Wal(k9 m).

2T Z u (k) Wal (k, 6) = 2- £ ku(k) Wal(k9 m).

左=0

左=0

a=o

a=o

(14)

Найдем в качестве примера производную gm/gm по выражению (13) и покажем, что получается точно такой же результат, как для выражения (9) и табл. 6.3.3. Согласно равенству (14), из выражения (13) получаем

欝= -2Wal(l,机)一3Wal(3,Wal(7,机).(15)

В табл. 6.3.6 приведены функции Wal (1,/и), Wal (3, m), Wal(7,机) и нх взвешенная сумма, соответствующая выражению (15). Получен такой же результат, как и в последней строке табл. 6.3.3.

Таблица 6.3.6

Дифференцирование функции f (m) = m с помощью ряда Уолша в соответствии с выражением (15)

机

0

1

2

3

4

5

6

7

Wal(l, m)

1

1

1

1

—1

—1

—1

-1

Wal (3.加)

1

1

—1

—1

1

1

—1

—1

Wal (7,切)

1

—1

1

—1

1

—1

1

-1

gmlgm

*—&5

—1,5

一2,5

4,5

一4,5

2,5

1,5

8,5

Диадическое интегрирование определяется как операция, обратная диадическому дифференцированию. Для всех значений т можно определить Df(m)/Dm в соответствии с выражением (1) или gf(m)/gm в соответствии с выражением (3) и решить относительно f(〃2) полученную систему линейных уравнений. Разложение функции в ряд Уолша позволяет в случае обращения равенства (3) получить диадический интеграл другим способом. Диадический интеграл (\) от функции Wal (А, т) непосредствен- но следует из равенства (6):

(16)(16)\ Wal (比 zn) gm = -^- Wal (k,机)・

(16)

(16)

Значение A = 0 необходимо исключить.

С помощью соотношений (И) и (12) можно определить интеграл от любой функции f(m):

2r-1^f(m)gni=^2-r £2r-1^f(m)gni=^2-r £〃他)Wal (左，m) gm =〃他)Wal (左，m) gm =

2r-1

^f(m)gni=^2-r £

2r-1

^f(m)gni=^2-r £

〃他)Wal (左，m) gm =

〃他)Wal (左，m) gm =

2「一1

(17)(17)=2-「2 -^-n(fe) Wal (^, /н).

(17)

(17)

Au 1

В качестве примера рассмотрим интегрирование функции f(m) = =щ из выражения (13). Поскольку нельзя проинтегрировать 7

НТ) *НТ) *Wal (0, т), то вычислим интеграл от m —^ Wal (0, т} — т — 7/2:

НТ) *

НТ) *

gm = —2 Wal (1, т)——g-Wal(3, m)—~ Wal (7, m).

(18)

Функция f(m)— m ——7/2 и диадический интеграл от нее, вычисленный в соответствии с выражением (18), приведены в табл. 6.3.7. На рис. 6.3.6 еще раз показана координатная система

Таблица 6.3.7

Интегрирование функции f (т) = m — 7/2 с помощью ряда Уолша в соответствии с выражением (18)

т

Десятичное число

000 0

001

1

OH

2

010

3

110

4

ill

5

101

6

100

7

т — 7/2

—3,5

—2,5

—1,5

—0,5

0,5

1,5

2,5

3,5

Wal (1 tn)

1

1

1

1

—1

—1

—1

—1

Wal (3, 〃z)

1

1

—1

—1

1

1

—1

—1

Wal (7, m)

1

—1

I

—1

1

—1

1

—1

卜 m — 7/2) gm

*

—2,40

—2,26

— 1.74

— 1,60

1,60

1,74

2,26

2,40

рис. 6.3.4,а с метками т = ООО, 001, ... . В соответствии с выражением (18) и табл. 6.3.7 присваиваем этим меткам функциональные значения f(m) = —2,40; —2,26; ... и интерпретируем f(m) как температуру, измеренную в точке т. Затем для каждой точки т определяем среднюю температурную разность, прн・ холящуюся на единицу расстояния. Этот процесс подробно показан на рис. 6.3.6 для точки m = 011. Для этой точки мы получаем —1,5/Д1] нлн —1,5 при An = 1. Значения, полученные для

7,507,507叫Z/07叫Z/0"71,74"71,74ZZ5ZZ5Za祥一仍)〃" =-%衿/z7Za祥一仍)〃" =-%衿/z7唸严例唸严例Рис. 6.3.6. Диадическое интегрирование в трехмерной координатной системе. Если меткам координатной системы присвоить функциональные значения \ (т — 7/2)g〃z, то для средней разности на единицу расстояния получим знаРис. 6.3.6. Диадическое интегрирование в трехмерной координатной системе. Если меткам координатной системы присвоить функциональные значения \ (т — 7/2)g〃z, то для средней разности на единицу расстояния получим зна

7,50

7,50

7叫

Z/0

7叫

Z/0

"7

1,74

"7

1,74

ZZ5

ZZ5

Za祥一仍)〃" =-%衿/z7

Za祥一仍)〃" =-%衿/z7

唸严例

唸严例

Рис. 6.3.6. Диадическое интегрирование в трехмерной координатной системе. Если меткам координатной системы присвоить функциональные значения \ (т — 7/2)g〃z, то для средней разности на единицу расстояния получим зна

Рис. 6.3.6. Диадическое интегрирование в трехмерной координатной системе. Если меткам координатной системы присвоить функциональные значения \ (т — 7/2)g〃z, то для средней разности на единицу расстояния получим зна

чения т — 7/2, приведенные в табл. 6,3.7.

общего случая т — 7/2, приведены в табл. 6.3.7. Следовательно, с помощью диадического интегрирования решается задача определения температур в точках т, которые приводят к заданной средней температурной разности в этих точках, приходящейся на единицу расстояния.

Перейдем к диадическому разностному отношению второго порядка. Сначала по аналогии с соотношением (6.2.12) попытаемся определить его как разность разностей. Например, эквивалент равенству (6.2.12) содержал бы составляющие следующего вида:

"(6㊉1)一门加)]一[八⑴一，(机㊀1)] = 2卄(次㊉1)一,(加)].(19

В результате эквивалентности сложения и вычитания по модулю два разность разносте访 сводится к обычной разности, и это опять приводит нас к разностному отношению первого порядка (1).

Второй подход заключается в определении разностного отношения второго порядка путем повторного применения разностного отношения первого порядка. Подобным образом находят дифференциальное отношение d2f(x)/dx2 на основе df(x) /dx. Од-

нако переход от соотношения (6.2.6) к равенству (6.2.12) осуще・ ствлялся по-другому. Для применения рассматриваемого подхода обобщим сначала соотношение (1) на случай г измерений:

爵=表上(相)-；三，(加㊉2<),(20)

Li=0■

Q2f(m) 一 1 J Of (加)1 V Qf("G26 =

Qm?M I Dmг 乙 Dm

La=o

=击[击卜(⑴一；w‘(6㊉2')—《i=o」

г—Iг—I

一；2表f(机㊉吟一；》("㊉2旌2) k=0i=0

=7^ ■L^f(m)-j£f(m + 2) +

1=0

r—1 r—1-

+《2 2〃机㊉2'㊉2今• (21)

t=0 々=0

i*AJ

Первая производная в выражении (20) содержит значения функции f(m) в точке 瓶 и ее ближайших (первых) точках-соседях /и Ф 1, m Ф Ю, m Ф 100,.・・,имеющих абсолютное расстояние от т, равное 1 или А”. Вторая разность содержит также под знаком пво访Hoii суммы в выражении (21) значения функции f(m) во вторых точках-соседях m ® 1 L 机㊉ 101, m® 110, ..., отстоящих от m на абсолютном расстоянии, равном двум или 2厶刀.С математической точки зрения здесь все в порядке, но с точки зрения физики, допуская, что до точки m может дойти воздействие из другой точки, отстоящей от m на расстоянии, превышающем минимально возможное, мы по существу вводим «действие на расстоянии». Этот вопрос будет рассмотрен в разд. 8.3. Сейчас же заметим, что разностное отношение второго порядка A2f (Ло)Мл2 (6.2.12) для предельного случая кольца 2“ —8 содержит в точке г)о значения функции только в этой и двух соседних точках “о + Ар и т]0 — Ai]- Если бы разностное отношение второго порядка было определено как результат повторного применения разностного отношения первого порядка (6.2.6), то мы ввели бы функциональные значения /(”。十立八刀)и f(“o ——2А“) во вторых точках-соседях.

Рнс 6.3.7. Графики функции f(m) и ее первой производной gf(m)/gm вдискретной декартовой системе координат с одной независимой переменной:-а — 2’ = 8 точек； 6 — 2' = 16 точек.

Было рассмотрено несколько вариантов выражения (19), но ни один из них не привел к такому определению разностного отношения второго порядка, в котором участвовали бы все первичные точки-соседи т® 21 и не требовались бы вторичные s㊉2f㊉2匕i =#左.

Рассмотрим теперь диадическое волновое уравнение, полученное из уравнения (6.1.1) в результате замены дифференциальных операторов диадическими 】)：

Dzw D2w

机=е/де=g№T)=о, i, 2,...,

s =占/АЕ = (%/сТ)/(АХ/сГ) = 0, 1, 2,・・・・(22)

Вместо оператора D можно использовать также оператор Гиббса g/gm, выражение (3), который облегчает поиск решения

(23)(23)炉口g2Kl

(23)

(23)

g 〃产一gs2

Рассмотрим функцию f(tn Ф s) как возможное решение уравнения (22) по аналогии с решением (6.1.2), найденным Даламбе-

')Мы используем одни и те же символы О н g для разностных операторов и операторов в частных разностях.

WMQnpTET厂匸匸厂g fAWoK 1.m)卩厂厂厂厂厂厂1n」工1-1一丄」一匸

WQl(2.m)1二一厂П」」」」」」」卡一厂厂匸 Wall3,m)卩I I「七|:丄1一中 T t 也丄丄丄 VtaUnT「升「1」一」厂厂「吃L」」」尸一匸 W啾M注「4—」丄卩 ■1-丄卩」г几l丄: wq1(6m一「工」式「1L」:1」尸口Ън产工 w或7就「%」了"1」了。」丁入上 WQl(8m)T[LL"Т江丄丁丑」1产王T工匸 WQK9就L」」LL屮Lb%」戸田X waMm) 口 11」卩1』「工1」fТ九71l卅 wqn1巾)卩1」戸l』[，/几1」审1戸— WQ 阻向叱HEFErF^iFbrTrFh^ Wol(13.m)Pb円1行金气r工 WQ他正》「!屮1屮口丄Т山叮屮h严

0 » •— ^^ < > в- •— СЭ СЭ ^~ •— CD CZ3 •- «- »—» lOu ОО <— г ^— L CD OOCDl-— •— — о о Filed *~~* *^ СО <~~> ▼— ^― •- «— «— ^- ^- •- Q CD ^^ <—>

/77 */77 */ c， CD C3 CD С—I <—> CD CD CD •— «— •— •— «~■ «— •— <—

/77 *

/77 *

Обычный, двоичный кодОбычный, двоичный кодCD •— CD •— <—> •— CD •— СЭ •— c j Г— С 3 •— CD «—4 <—1 Г~1 .—・—С—> сэ •— •— CD CD •— •— СЭ CD •— •— <—i СЭ О «—I .— .— •— •— CD СЭ С ^ CD •— •— •— •— CD CD CD <~~i C i CD CD CD «— •— «— -— «— г—« ^~ <—

Обычный, двоичный код

Обычный, двоичный код

Рис. 6.38 16 функций Уолша, представленные отсчетами, Wal (А, о。，^ = 0,15.

ром для волнового уравнения. Представим функцию f(m ㊉ s) рядом Уолша

f 伽㊉s) = 2-「£ u(k) Wal (A, m㊉ s)=

4=0

=2- у 〃 (盼 Wal (A, m) Wal 他，s).(24)

在=0

На основании соотношения (6) получаем

g“”？弘=2T £ 必〃仇)Wal (財 m) Wal (比 s) (25)

Таблица 6.3.8

Вычисление первой диадической производной gf (m)/gm функции f(/n) = m в соответствии с выражением (9), обобщенным на случай г = 4

m

Десятичное число

00000001ООН0010ОНО01110101010011001101111111101010101110011000

0123456789101112131415

山㊉0001 Десятичное число

000100000010ООП0111ОНО0100010111011100111011111011101010001001

1032547698 И 1013121514

力㊉0010

Десятичное число

0010ООП00010000010001010111ОНО11101111110111001000100110111010

32107654 И 109815141312

ли ^ 0100

Десятичное число

010001010111ОНО0010ООН000100001000100110111010111011111101ноо

7654321015141312111098

机㊉1000

Десятичное число

1000100110111010111011111101110001000101ОШОНО0010ООП00010000

1514131211109876543210

4 [т —(е ㊉ 0001)] 2[т-(пг@0010)] ^-(^©0100)]

^■[m-(m© 1000)]

Сумма

—44—44一44—44—44—44—44—44

—6—226—6—226—6—226—6—226

—7—5—3—11357—7-5—3—11357

—7,5 —6,5 —5,5 —4,5 —3,5 —2,5 —1,5—0,5 0,51.52,53.54,55,56,57,5

—24,5 —9,5 —10,54,5 —12,52,51,516,5 —16,5 —1,5 —2,512,5 —4,510,59,524,5

и такое же выражение для g2f(m ® s) /gs2. Следовательно, функция Wal (k, т® s) является частным решением диадического волнового уравнения, а

W (九 S)= f (加㊉ s) (26) общим решением, известным под названием решения Бутцера — Вагнера [15].

Диадический разностный оператор был введен Гиббсом более десяти лет назад, но попытки придать ему физический смысл были безрезультатны до тех пор, пока не появились диадические координатные системы, не были изучены операции в этих системах и не было обнаружено сходство между уравнениями (1) и (3). Для иллюстрации, насколько непонятно смотрится диадическое дифференцирование в обычных декартовых системах координат, рассмотрим функцию f (т) = /и и ее производную gf(m)/gm из выражения (9) и табл. 6.3.3. Графики обеих функций приведены на рис. 6.3.7, а. В представленном на рисунке виде функция f(m)— т выглядит вполне приемлемо, что приводит нас к ложному предположению о том, что какой- то смысл должен быть и в представлении gf(m) /gm. Поскольку никакого физического смысла gf(m) /gm на рис. 6.3.7, а не просматривается, можно попытаться повысить разрешающую способность путем увеличения числа точек т от 23 до 24. В этом случае производная gf(m) /gm определяется выражением (3) при г = 4. Результаты вычислений производной, выполненные с помощью рис. 6.3.8, приведены в табл. 6.3.8. Графики производной вместе с функцией f(m) = т представлены на рис. 6.3.7,6. Как видим, никакого озарения при повышении разрешающей способности не произошло °.

・ Разностное исчисление для колец общего вида

Рассмотрим функцию f(т), определенную для каждой из и точек кольца, где п лежит в интервале между рассмотренными пределами 2'= 2 и 2"— 8. Вместо символов разности D и Д, использованных в уравнениях (6.3.1) и (6.2.6), возьмем символ Dr. По аналогии с выражением (6.2.6) легко записать разностное отношение первого порядка

丄疆一《｛"(m^DTWH + rgO-f^])]』

= -^-[f(m+\) — f(m— 1)], m = 0, 1, 2, .... (1)

° Диадические дифференцирование и интегрирование рассматривались также в работе [60] еще до того, как была установлена связь этих преобразований с диадическими координатными системами.

0力(加)Dnmz0力(加)DnmzРазностное отношение второго порядка можно определить по аналогии с выражением (6.2.12):

0力(加)Dnmz

0力(加)Dnmz

=Ш (m + 1) - f (m)] - [f (иг) - f (m - 1)]}= nn

⑵⑵=f (机 + 1) — 2f (m) + f (机一1).

⑵

⑵

nnn

n

n

Разностное уравнение и уравнение в частных разностях, в частности волновое уравнение, можно определить, как прежде:

0/ (m)Dnm0/ (m)Dnm=pf (加)，=pf (加)，(3)(3)0力(m) .0力(m) .—叫(m).—叫(m).⑷⑷

0/ (m)Dnm

0/ (m)Dnm

=pf (加)，

=pf (加)，

(3)

(3)

0力(m) .

0力(m) .

—叫(m).

—叫(m).

⑷

⑷

D^w(m. s) _ D^w (m, s)

Dnrri? — Dns2 .()

По сравнению с диадическими уравнениями есть несколько заслуживающих внимания отличий. Соотношения (6.2.6) и (6.2.12), а также (1) и (2) справедливы для одного измерения, тогда как равенства (6.3.20), (6.3.21) и (6.3.3) соблюдаются для любой размерности. В конце разд. 5.5 мы уже упоминали эту особенность диадических координатных систем. Для выражения (2) не существует проблемы вторичных соседей, возникавшей при рассмотрении разностного отношения второго порядка (6.3.21), поскольку сложение и вычитание по модулю 九 при 拉 > 2 не эквивалентны.

Подытожим материал, изученный с начала гл. 6. Исключительность синусоидальных и экспоненциальных функций явно является следствием использования континуума с обычной топологией действительных чисел. Замена оси действительных чисел кольцами с дискретными точками приводит к общему исчислению в конечных разностях и выделяет не синусоидальные и экспоненциальные функции, а функции, зависящие от числа точек на конкретном выбранном кольце. В случае счетнобесконечного числа точек при 2"—8 получается обычное исчисление в конечных разностях, которое уже давно известно, хотя и уступает по степени развития дифференциальному исчислению. В другом предельном случае 2" = 2 получается разностное исчисление, которое при небольшой модификации сов- падает с исчислением, введенным в абстрактную математику в начале 70-х годов Гиббсом под названием логического исчисления.

Это исчисление развито очень слабо, но оно показало, что для топологии диадической группы с расстоянием Хэмминга^

модифицированным с помощью весовых коэффициентов, использованных Гиббсом в его версии диадического разностного отношения, роль экспоненциальных н синусоидальных функций играют функции Уолша. Для колец промежуточных типов между предельными случаями 2"— 8 и 2" = 2 абстрактная математическая теория пока отсутствует, но она явно может быть разработана. Это св и детел ьствует о том, что математическая примечательность синусоидальных функций доказывает примерно столько же, сколько в свое время доказывали параллельные Евклида. Поскольку существует множество возможных предположений, ведущих к различным результатам, то только путем наблюдения можно решить, какая метрика или топология должны быть использованы.

Перейдем теперь от математики к физическим наблюдениям, которые вроде бы выделяют синусоидальные функции и, таким образом, подтверждают предположение о существовании чего-то с топологией континуума, что можно назвать пространством или пространством-временем.

Спектральное разложение света

Ранее мы убедились, что синусоидальные функции характе- ризуются обычными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами и дифференциальными уравнениями в частных производных, решение которых методом произведений Бернулли приводит к обычным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Воспользуемся этим знанием при спектральном разложении света.

Свет всегда можно разложить на синусоидальные составляющие с различной длиной волны. Такое разложение не является доказательством того, что свет состоит из синусоидальных колебаний, а говорит лишь о том, что с помощью призм, дифракционных решеток и т. п. свет разлагается на составляющие по системе гармонических функций. В случае дифракционных решеток и прочих устройств, основанных на интерференции, сразу возникает предположение о том, что инвариантность во времени этих устройств является именно той причиной, по которой свет разлагается на синусоидальные составляющие. Гюйгенс разрабатывал волновую теорию света [74] без предположения о синусоидальном изменении колебаний во времени. Важнейшим технологическим достижением явилась разработка источника световых синусоидальных колебаний в виде лазера. Еще в девятнадцатом веке физики осознали, что разложение света на синусоидальные составляющие является лишь одним

из многих возможных вариантов. Об этом свидетельствуют многие источники.

«...по нашему усмотрению мы можем представить белый свет суперпозицией нескольких гомогенных колебаний, периоды которых близки друг к другу. Но мы вправе принять и любое другое представление, если его разложение в соответствии с теоремой Фурье дает распределение интенсивностей, совпадающее с наблюдаемым 】)》[130].

«...белый свет можно рассматривать как совокупность случайных импульсов или непрерывно искажающихся колебаний,

Рис. 6.5.1. Линейная, инвариантная во времени дифракционная решетка: а — источник света неподвижен, детектор перемещается; 6 — детектор неподвижен, источник света перемещается. Максимальные значения наблюдаются при sin а = kX/dt минимальные при sin а = (2&+1)入/2d; Л = 0, 1, 2,....

подобных дрожательным движениям, составляющим, по мнению некоторых физиков, тепловое движение» [56].

Нам необходимо найти принцип построения спектрометра, который разлагал бы белый свет на отличные от синусоидальных колебания. Для того чтобы найти такой принцип, исследуем работу дифракционной решетки. На рис. 6.5.1, а показана

')Рэлей подчеркивал возможность несинусоидального разложения звука [114, т. 1, с. 24—25], но о свете писал [113]: «Нет ничего странного в использовании круговых функций для представления колебаний. Пожалуй, это единственная разновидность волны, которая может распространяться без изменения формы. Даже в особых случаях, когда скорость не зависит от длины волны, общность не теряется, поскольку в соответствии с теоремой Фурье любое периодическое колебание можно рассматривать состоящим из таких (синусоидальных) колебаний, длина волны которых изменяется по прогрессии гармоник». Интересным обстоятельством является то, что периодические колебания принимаются безоговорочно. Поскольку любое наблюдаемое колебание занимает конечный временной интервал, а периодическое колебание должно занимать бесконечный интервал времени, то очевидно возникает вопрос, когда математическую модель периодического колебания можно использовать при анализе наблюдаемых колебаний.

Рис. 6.5.2. Линейная дифракционная решетка с неподвижным детектором н параметрами, зависящими от времени. Изменения во времен» обеспечиваются шторками S1, ..., S8.

дифракционная решетка, имеющая восемь прозрачных щелей, отстоящих друг от друга на расстояние d. Поступающее слева синусоидальное колебание с длиной волны Z создает по правую сторону решетки восемь сферических волн. При угле отражения а = 0 эти волны суммируются, при sin а = X/2d гасятся с получением первого минимума, при sin а = X/d еще раз суммируются с получением второго максимума и т. д.

Если слева поступает сумма синусоидальных колебаний, то минимумы и максимумы наблюдаются для каждого из них. Это означает, что падающий свет разлагается на синусоидальные функции. Из анализа Фурье известно, что любой сигнал с конечной энергией можно разложить на синусоидальные составляющие со среднеквадратической ошибкой, стремящейся к нулю. Следовательно, картина минимумов, полученная на дифракционной решетке, доказывает, что решетка обладает необходимыми свойствами для выполнения такого разложения. Другими словами, дифракционная картина доказывает, кроме всего прочего, что дифракционная решетка является линейным, инвариантным во времени устройством. Линейная дифракционная решетка, но с параметрами, зависящими от времени, осуществляет разложение света по какой-то другой системе функций.

8 X. Хармут

На рис. 6.5.1, б показана модификация рассмотренной дифракционной решетки. Детектор, воспринимающий свет, установлен перпендикулярно решетке, а источник света перемещается таким образом, чтобы угол падения изменился от а = О до а = 90°. На рис. 6.5.1, а, напротив, перемещаться должен был детектор, а источник света неподвижен.

На рис. 6.5.2 показано, как необходимо модифицировать дифракционную решетку рис. 6.5.1, б, чтобы свет разлагался на колебания Уолша. У функций Уолша Сал (/э t/T) = Cal (/, 6)= =Wal(2/, 0) и Sal(Z, 6) = Wal(2/—1,0) есть два интересующих нас параметра： временной базис (интервал) Г и секвента 9=1/7, тогда как для синусоидальных колебаний значение имеет только частота или длина волны【).Временной базис определяется выбором угла падения а. Если у дифракционной решетки восемь щелей, расположенных на расстоянии d друг от друга, то значение а выбирается по формуле

сТ = Id sin а, (1)

где с ——это скорость света. В общем случае для 2" щелей необходимо вместо 7 подставить 2〃 一 1.

На рис. 5.3.1 были представлены непрерывные функции Уолша wal(^, 0) и функции отсчетов Wal (А, 6). Функции отсчетов можно рассматривать как напряжения или напряженности поля, которые большую часть времени равны нулю и имеют короткие импульсы с амплитудой +Е или ——Е. Функции Уолша делятся на четные Cal(i, 0) = Wal2Z, 0) и нечетные Sal(i, 0) = Wal(2i—1, 0) функции с одним и тем же значением секвенты <р = i/T, так же как гармонические функции делятся на четные и нечетные функции cos 2ш//Т и sin2nif/T с одной и той же частотой f = i/T. Разделение функций Уолша Sal«, f/T) и Cal(i,r/7) с временным базисом Т, но различными нормированными секвентами i — <рТ осуществл яется с помощью дифракционной решетки, состояние щелей которой зависит от времени. В случае функций Уолша зависимость от времени обеспечивается шторками 51,.・.,S8 (рис. 6.5.2), ко-

° Секвента некоторой функции определяется как половина числа изменений знака в единицу времени. Например, функции wal(6, 6) = cal(3, 6) и wal(5, 6) = sal(3, 0), показанные на рис. 5.3.1, шесть раз пересекают нулевой уровень и, таким образом, нмеют секвенту 屮=3/Т. Нетрудно заметить, что функции отсчетов Wal(6,0) = Cal (3, 0) н Wal (5, 0) = Sal(3, 0) (периодически продолженные) также шесть раз изменяют знак на интервале Г, где 7 = //0. Известны н другие полные системы ортогональных функций, отдельные функции которых характеризуются числом изменения знака, например полиномы Лежандра и параболические цилиндрические функции (последние совпадают с полиномами Эрмита, умноженными на ехр(—х2)). Для синусоидальных функций секвента идентична частоте [60]

Sal(4,t/T)Sal(4,t/T)力2，. .6 i一 .市 a力2，. .6 i一 .市 aSal(3.t/I) I ISal(3.t/I) I I

Sal(4,t/T)

Sal(4,t/T)

力2，. .6 i一 .市 a

力2，. .6 i一 .市 a

Sal(3.t/I) I I

Sal(3.t/I) I I

Рис. 6.5.3. Действие шторок Si,…，S8 при пропускании колебаний Sal(4, 〃7) и Sal(3, t/T). Черный цвет—шторка закрыта, белый — шторка открыта. Отсчеты, выделенные жирной линией, показывают задержку между колебаниями.

торые либо открыты, либо закрыты. Для других систем функ- цн访 временная зависимость должна быть в общем случае более сложной. Не будем пока думать, как такие шторки можно реализовать физически, найдем лишь правила, по которым они действуют.

На рис. 6.5.3 показано действие шторок S1,…，S8, пропускающих колебание с таким же изменением во времени, как у функции Sal(4, f/T). Эта функция, имеющая период повторения —Т/2《)V Т/2, изображена в строках I—8 со сдвигом О, Т/8. 2T/8, ..., 7Т/8. Эти сдвиги соответствуют появлениям переднего фронта колебания на входе восьми прозрачных щелей (рис. 6.5.2). Как показано на рис. 6.5.3, шторки S1, ..., S8 либо открыты (просвет), либо закрыты (черная линия). Благодаря правильному открыванию шторок в любой момент времени накладываются друг на друга четыре п о л ожител ь н ых отсчета (строка 9), в то время как отрицательные отсчеты блокируются закрытыми шторками. Нетрудно заметить, что открытие шторки совпадает с четырьмя положительными отсчетами функции Sal(4, f/T) (рис. 6.5.3, а) и аналогичными отсчетами функции Sal(3, t/T) (рис. 6.5.3,6). Моменты открытия шторок S2, ..., S8 получаются в результате циклического сдвига моментов открытия шторки S1.

Sal(4,t/T)Sal(4,t/T)На рис. 6.5.4, а показаны шторкн, работающие так, чтобы пропускать колебание Sal(3, t/T), но на вход подается Sal (4, t/T). В любой момент времени через дифракционную решетку проходят два положительных и два отрицательных отсчета и их сумма равна нулю. На рис. 6.5.4,6 показаны

Sal(4,t/T)

Sal(4,t/T)

Sol(3.t/TJ

S1 -

S2 —

3、

S3 —

м

S5 —

56 —

—1・—.■・ avMwa мммма ■■ЭШ1Ш—1・—.■・ avMwa мммма ■■ЭШ1Ш

—1・—.■・ avMwa мммма ■■

ЭШ1Ш

—1・—.■・ avMwa мммма ■■

ЭШ1Ш

孑2孑2О t* Т/2 аО t* Т/2 аО t- Т/2О t- Т/2

孑2

孑2

О t* Т/2 а

О t* Т/2 а

О t- Т/2

О t- Т/2

Рис. 6.5.4. a — шторки S1, ..., S8 пропускают колебания Sal(3, 〃7) и блокируют Sal (4, //7); б — шторки пропускают колебания Sal (4, t/T) и блокируют Sal (3, t/T). Отсчеты, выделенные жирной линией, показывают задержку между колебаниями.

шторки, которые должны пропускать Sal(4, f/T), но на вход подается Sal(3, f/T). Снова положительные и отрицательные

отсчеты компенсируют друг друга.

На рис. 6.5.5 показано действие шторок S1, ..., S8 при разделении первых восьми ©ункинй Уолша. Жирными линиями показаны функции, прошедшие через шторки. Порядок работы шторок указан на соответствующей картинке под каждым набором функций. Все остальные функции за счет взаимного наложения уничтожаются. Заметим, что кроме желаемой функции Sal(Z, 6) или Cal(i, 9) на выходе всегда оказывается функция- константа Wal (0,0) При рассмотрении рис. 6.5.1 несложно

определить, что тоже самое наблюдается для дифракционной решетки, параметры которой от времени не зависят. Однако

световых волн с нулевой частотой или нулевой секвентой не существует.

Для оценки временных параметров шторок заметим, что частотный диапазон видимого света составляет от 4-1014 до

m 3 э ^^ ф_ о^ DJ d^ ■ /\ г L fll , I F L ■ \ 1■ L ?■■> с、 QIolalQIQlalо о WSC5CSCSm 3 э ^^ ф_ о^ DJ d^ ■ /\ г L fll , I F L ■ \ 1■ L ?■■> с、 QIolalQIQlalо о WSC5CSCS价价 ^^^^а),8)日 0^- Q L 1» z 2 а 3 4 ，■卜 f — ■ 、f I fit Л，-rl /—«■ о Q Q w s cs cscs价价 ^^^^а),8)日 0^- Q L 1» z 2 а 3 4 ，■卜 f — ■ 、f I fit Л，-rl /—«■ о Q Q w s cs cscsРис. 6.5.5. Разделение первых восьми функций Уолша с помощью шторок S1S8.Рис. 6.5.5. Разделение первых восьми функций Уолша с помощью шторок S1S8.

m 3 э ^^ ф_ о^ DJ d^ ■ /\ г L fll , I F L ■ \ 1■ L ?■■> с、 QIolalQIQlalо о WSC5CSCS

m 3 э ^^ ф_ о^ DJ d^ ■ /\ г L fll , I F L ■ \ 1■ L ?■■> с、 QIolalQIQlalо о WSC5CSCS

价价 ^^^^а),8)日 0^- Q L 1» z 2 а 3 4 ，■卜 f — ■ 、f I fit Л，-rl /—«■ о Q Q w s cs cscs

价价 ^^^^а),8)日 0^- Q L 1» z 2 а 3 4 ，■卜 f — ■ 、f I fit Л，-rl /—«■ о Q Q w s cs cscs

Рис. 6.5.5. Разделение первых восьми функций Уолша с помощью шторок S1S8.

Рис. 6.5.5. Разделение первых восьми функций Уолша с помощью шторок S1S8.

8-1014 Гц. При этом для реализации амплитудного представления функций Уолша в виде отсчетов (рис. 6.5.3—6.5.5) требуется время переключения порядка 10-16 с или меньше. За 10-16 с Свет пройдет расстояние 300-10-8 см, что составляет около 300 диаметров атома Следовательно, практическая разработка спектрометра с переменными параметрами, соответствующего рис. 6.5.2, вряд ли когда-нибудь станет возможной. Однако известные в настоящее время эффекты, имеющие отношение к реализации шторок, например эффект Керра, на пять- шесть порядков медленнее. Очевидным достоинством спектрометров с переменными параметрами было бы то, что они не только бы дали спектр мощности, но раскрыли бы также связь мгжду моментами излучения.

Лазер для несинусоидальных волн

Рассмотрим разложение в ряд Фурье некоторой нечетной функции F(6):

ОО

F (0) = 72 £ а 3) sin 2л^6, 6 = t/T.(1)

В обычной интерпретации это равенство означает, что заданная функция F(6) может быть разложена на синусоидальные составляющие, но можно использовать его и для состав- ления некоторой функции F(0) из заданных синусоидальных

尸面）口叶*5/丝

方=族 亠^_2^^^^ 一 5^2^

Рис. 6.6.1. Функция Уолша F(f) = Wal(l, t/T) = Sal(l, 〃Г), представленная отсчетами конечной длительности AT = Г/20, первые три функции ее разложения в ортогональный ряд Фурье (частоты 1/7, 2/7, 3/7) и первые три функции ее разложения в линейно независимый ряд Фурье, построенный на основе серии Бальмера для атома водорода (частоты 1/Т, 1,35/7, 1,51/).

функций sin 2л/г0. Например, на синусоидальные составляющие ряда Фурье можно разложить функцию F(f/T), изображенную на рис. 6.6.1 сверху; первые три функции показаны ниже 尸(f/Г). Спектр амплитуд a(k) исследуемой функции должен соответствовать выражению (1). Обычно спектрометры показывают только амплитуду или мощность синусоидальных составляющих, но не их фазу. В зависимости от фаз из спектральных составляющих можно составить множество функций. Обычно принимается допущение о случайности фаз синусоидальных составляющих, выделенных спектрометром. Следовательно, излучаемую волну можно рассматривать как состоящую из отсчетов (цветного) шума или синусоидальных составляющих этого шума.

Лазер позволяет получить когерентный свет. Несколько лазеров, создающих когерентные волны с частотами fk = k/T, 力=1, 2, ... и синхронизацией по фазам, таким образом, могут в принципе воспроизвести волну с временной зависимостью F(f/T), показанной на рис. 6.6.1. Абсолютные значения констант а (力)из выражения (1) можно реализовать с помощью серых фильтров, а отрицательный знак константы 仪(力)一отражением соответствующей синусоидальной составляющей от металлического зеркала.

Атомный спектр обычно содержит не только частоты 底, кратные наименьшей частоте i/Г. Частотный спектр атома водорода определяется выражением

/ = КнС(}-%), l = n+ 1, п + 2, ...;纣=1,2, 3,4, 5, (2)

где Rh — константа Ридберга для водорода, с — скорость света. При п = 2 получается спектральная последовательность (серия) Бальмера. Ее первые три синусоидальные функции (/ = 3, 4, 5) представлены на рис. 6.6.1 с частотами

Л = 4,568- 10й Гц = 1/Т,(3)

『2 = 3,384 • ЮМ Гц= 1,350/Т,

f3 = 3.021 • 10й Гц= 1,512/Г,

Г = 2,189- 10~15 с.

Во временном интервале —Т/2 V f V Г/2 эта система функций явно не ортогональна, но зато она линейно независима. Для разложения по системе линейно независимых синусоидальных функций выражение (1) можно переписать в следующем виде:

ОО

F (0) = “N X а (同 sin 2л 仇/。) е, 〃 = k/T. (4)

Как и в случае ортогонального ряда коэффициенты a(k) находятся перемножением функции с отдельной функцией V2 sin 2л (Л/Л) 6 н интегрированием в интервале периодичности всех функций «2 sin ал。"%)» использованных в разложении. Например, интервал периодичности трех функций с частотами, указанными в соотношениях (3), составляет 1000Л В таком интервале укладывается 1512 колебаний с частотой %, 1350 колебаний с частотой f2 и 1000 колебаний с частотой 「. Наименьший интервал периодичности равен 756Г соответственно с 756, 675 и 500 колебаниями. Обозначив интервал

периодичности в общем случае через —0/2 V О V 6/2. из равенства (4) получаем

е/2

V5 \ F(e)sin 2^006^0 =

-е/2

80/2

=V2 £о 伕)\ sin 2n 仇/力)6 sin 2л (力//) 6 d6,⑸

4=1-е/2

е/2

q(0 = }“9 击 \ F(e)sin2n(%"i)ede.

'-е/2

Расширение интервала интегрирования от ——1 /2 < 0 < 1/2 до ——0/2 V О V 0/2 преобразует систему линейно независимых функции в ортогональную систему. Однако такая система не является полной, и среднеквадратическая ошибка не стремится к нулю, как в случае ряда Фурье. При использовании только частот серии Бальмара отношение верхней foo и нижней 力 частот составляет лишь fs/fi = 1,8, и аппроксимация периодически повторяющейся функции F(t/T) будет исключительно плохой. Однако нижняя частота, разрешенная равенством (2), составляет

Гн = Rhc С) = 4,02 ・ 183 Гц

(первая линия серии Пфунда), тогда как верхняя разрешенная частота равна

/в = Rhc (1 -о)= 3,29 - 1015 Гц

(верхняя граница серии Лаймана). Отношение этих частот составляет fB/fH = 81,8. Такой диапазон предполагает, что возможная аппроксимация примерно эквивалентна ряду Фурье с 81 членом. Следовательно, при построении несинусоидальных функций из составляющих атомного спектра необходимо найти спектр с большим отношением %/& между верхней и нижней

относительной ши-относительной ши-частотами.

относительной ши-

относительной ши-

Вместо отношения /в/З часто пользуются риной полосы частот “：

—— /в/『н — 1—— /в/『н — 1(6)(6)

—— /в/『н — 1

—— /в/『н — 1

(6)

(6)

Разность fB — fH является абсолютной шириной полосы частот функции или сигнала с верхней номинальной частотой fB и нижней номинальной частотой fH. У синусоидальной функции абсо*

лютная и относительная ширина полосы частот равна нулю. С увеличением относительной ширины полосы частот функция все меньше и меньше походит на синусоидальную. Наибольшим значением 毛 является единица. При fB/fH = 81,8 получаем п = = 80,8/82,8 = 0,976, что является очень большим значением п свидетельствует о том, что на основе спектральных составляющих для атома водорода можно построить сигнал, который по существу не имеет никакого сходства с синусоидой. С другой стороны, отношение /в//н = 1,8 для серии Бальмера дает п = =0,286, что предполагает некоторое сходство с синусоидой сигнала, составленного из этого ряда.

N1?〕М2 N3^：|卜>М1

S1<\ /

М2

Рис. 6.6.2. Принцип работы лазера, излучающего： а — синусоидальные колебания; б — колебания в соответствии с временной функцией F(t/T)t показанной на рис. 6.3.1. £ — лазерное вещество; М — зеркало; S — шторка

Предположим, что у нас есть вещество со спектром излучения, относительная ширина полосы частот которого почти такая же, как у атома водорода, но с метастабильными энергетическими уровнями, из которых по крайней мере один к тому же является широким. Такое вещество могло бы испускать лазерное излучение на многих частотах с большой относительной шириной полосы частот.

Теперь рассмотрим, как такое вещество можно было бы использовать для создания волны с временной зависимостью F(t/T) (рис. 6.6.1), где период Г в соответствии с выражением (3) имеет порядок 10~15 с. Обратимся к рис. 6.6.2, Q, на котором показано основное устройство лазера. Сначала лазерное вещество возбуждается на широком энергетическом уровне, после чего происходит переход на более низкий метастабиль- ный энергетический уровень. Возврат к исходному уровню дает синусоидальную волну с частотой, при которой между зеркалами All и М2 создается стоячая волна. Эта стоячая волна стимулирует излучение с такой же частотой и фазой 】).

')Обсуждение ведется в терминах трехуровневого лазера.

На рис. 6.6.2,6 показана модификация рассмотренного принципа работы лазера, которая позволяет создавать не синусом дальное колебание, а волну с временной зависимостью F(t/T) (см. рис. 6.6.1). В этом случае требуются лазерное вещество с большим числом метастабильных энергетических уровней и большой относительной шириной полосы частот, три зеркала Ml, 7И2, М3 и две шторкии S2. В соответствии с рис. 6.6.1 шторки открыты в течение интервалов времени 厶丁 仁 Г/20, где АТ, согласно выражению (3), имеет величину порядка 10~16 с. Пусть на выходе лазера появляется положительный импульс. Это предполагает, что множество синусоидальных колебаний просуммировались так, что сила электрического поля приобрела форму положительного импульса 户(f/T) (рис. 6.6.1). Необходимо, конечно, объяснить, почему в этом случае сннусон- дальные колебания должны иметь надлежащие амплитуды и фазы. Металлическое зеркало Ml инвертирует амплитуду первый раз, М2 ——второй раз, а М3 — третий. В результате амплитуда импульса на входе лазерного вещества противоположна по знаку импульсу на выходе лазера. Если время распространения света вдоль пути между тремя зеркалами и сквозь лазерное вещество равно Т/2, вернее произведению Т/2 и большого нечетного числа, то это первое условие генерации волны с временным изменением F(f/T). Второе условие состоит в том, что шторка S1 открывается на время АТ в моменты времени / = 0, Г/2, Т, ЗТ/2, ... Третье и последнее условие ——это заставить свет двигаться так, как показано стрелками на рис. 6.6.2,6. Это выполняется шторкой S2, которая открывается на время АТ несколько позже шторки S1. В результате световой импульс, идущий по направлению стрелок, может пройти обе шторки, тогда как импульс, идущий в обратном направлении, не может.

Надеемся, что данный пример доказывает принципиальную возможность построения лазера для несинусоидальных волн. Препятствием на пути практической реализации по-прежнему является быстродействие шторок, так же как и в случае дифракционной решетки. Проблема, хотя и меньшая, чем со шторками, возникает также с перестраиваемым лазерным веществом 电

Подытожим результаты разд. 6.1—6.6. Мы убедились в том, что для волнового уравнения и, что подразумевается, для других дифференциальных уравнений в частных производных с временными и пространственными переменными характерны сннусон~

1)Рассматриваемый здесь лазер отличается от лазеров, излучающих ультракороткие световые импульсы длительностью в 0,03 пс, содержащие около 15 синусоидальных циклов [85, 11].

дальные решения. Однако это свидетельствует лишь о том, что в этих уравнениях принимается пространственно-временной континуум с обычной топологией действительных чисел. Практические примеры показали лишь то, что инвариантные во времени дифракционные решетки и лазеры построить легче, чем соответствующие быстродействующие устройства с переменными параметрами. Общепринятое использование в этих двух случаях синусоидальных функций, таким образом, отражает лишь состояние нашей технологии, но ничего не говорит о пространстве-времени.

Глава 7

Дискретные топологии и разностные уравнения

Конечные разности и дифференциалы

В конце разд. 1.4 были указаны две причины, по которым концепция континуума практически не изменилась со времен Аристотеля. Во-первых, отсутствовали достаточные основания отвергать служившее веками понятие непрерывного пространства-времени. Такие основания появились только с развитием теории информации, когда стало ясно, что существование континуума нельзя подтвердить никаким физическим наблюдением. Кроме того, мы убедились, что такие характерные результаты теории континуума, как дифференциальное исчисление, расстояние Пифагора и гармонические колебания, являются только частными случаями, которые можно обобщить путем рассмотрения необычных координатных систем. Чтобы помочь читателю освободиться от внушаемого с детства влияния концепции континуума, основное внимание в нашем исследовании уделялось тому, что как можно больше отличается от континуума и соответствующих понятий.

Теперь перейдем ко второй проблеме, выделенной в разд. 1.4, и попытаемся получить видимый результат, протнворечащн員 концепции континуума. Чтобы не разрабатывать при этом эквивалент дифференциального исчисления для общего случая дискретных колец, ограничимся той областью, где математические основы уже достаточно проработаны. Как отмечалось в гл. 6, для предельного случая кольца 2"— 8 исчисление конечных разностей разработано значительно лучше, чем диадическое исчисление для кольца 2】=2, а для промежуточных случаев математические основы по существу отсутствуют. Поэтому сосредоточим свое внимание на кольце 2“— оо.

Поскольку ранее мы выступали против всего бесконечно длинного, как практически ненаблюдаемого и, следовательно, находящегося вне рассмотрения любой экспериментальной на- укн, то здесь мы идем на нежелательный компромисс. Однако предельный случай кольца 2' — оо ближе к реальности, чем континуум и ось действительных чисел. Чтобы подчеркнуть это еще раз, измерим линейкой (рис. 7.1.1, а) расстояние между точками Р1 и Р2. Метки линейки обозначаются числами, крат-

ными нормированной единице длины AJ = Ах/Х. Точка Р1 находится ближе к метке 0, а точка Р2 — к метке 自=〃厶己.Расстояние между точками Р1 н Р2 считается равным пД^. Для малых значений AJ величина п становится очень большой и приближается к счетно-бесконечной при Ag 一 0. Топология такой линейки ——это обычная топология целых чисел. С другой стороны, взяв линейку с дифференциальным расстоянием %± между метками, мы получим несчетно-бесконечное число меток между

2d二S yyi 3IZ ~iz 3iz wi avoos wsm WNS Who AV050 ^5§ ^s§012d二S yyi 3IZ ~iz 3iz wi avoos wsm WNS Who AV050 ^5§ ^s§01

2d二S yyi 3IZ ~iz 3iz wi avoos wsm WNS Who AV050 ^5§ ^s§

01

2d二S yyi 3IZ ~iz 3iz wi avoos wsm WNS Who AV050 ^5§ ^s§

01

0 5—＞，共2母3呪0 5—＞，共2母3呪(п~1)Л^ "隽(п~1)Л^ "隽

0 5—＞，共2母3呪

0 5—＞，共2母3呪

(п~1)Л^ "隽

(п~1)Л^ "隽

Рис. 7.1.1. а ——Обычная линейка с конечным расстоянием △§ между метками; 6 — аналогичная линейка, метки которой соединены в соответствии с диадической топологией.

точками Р1 и Р2, что соответствует обычной топологии действительных чисел. Следовательно, предельный случай кольца 2"— —оо для нас предпочтительнее оси действительных чисел, так как позволяет использовать математические методы, более близкие к реальности.

Теперь может возникнуть вопрос, совпадают ли результаты дифференциального н разностного исчисления для достаточно малых значений Ag. С точки зрения абстрактной математики ответ очевиден: нет, не совпадают, поскольку счетно-бесконечные величины и несчетно-бесконечные — это не одно и то же. Из этого, однако, не следует, что разница существует и в интересующих нас проблемах физики. Для получения ответа необходимо от дифференциалов dx1 и дифференциальных уравнений перейти к конечным разностям Ах' и разностным уравнениям и для последних найти такие решения, которые в общем случае ° становятся независимыми от △%' при малых значениях △%'. Если

!)Причина ограничения «в общем случае» расматривается в разд. 10.5.

при Axz —> 0 эти решения и решения соответствующих дифференциальных уравнений совпадают, то замена конечных разностей дифференциалами допустима.

Было бы неверным считать, что к такому же результату приведет переход от разности А%' к дифференциалу dx* до начала вычислений или после их окончания. Решив уравнение f(х, Ах) = 0 и устремив затем величину Ах к нулю, можно на определенном расстоянии уложить счетное число интервалов Ах. Делая величину △% очень малой, но не нулевой, можно любое конечное расстояние покрыть конечным числом интервалов Ах. С другой стороны, если переход Ах к dx осуществить до начала вычислений, то на любом конечном расстоянии всегда получится несчетно много дифференциалов. В ряде теорем различие между малой разностью Ах и дифференциалом dx доказывается математически; например, по теореме Хельдера [104] гамма-функция удовлетворяет алгебраическому разностному уравнению

Г(Х+ 1) = ХГ(Х\ Х = х^х, (1) но не алгебраическому дифференциальному уравнению.

Использование дифференциалов в физике давно находится под вопросом I). Паули [108], а также Ландау и Пайерлс [84] указывали, что предположение о сколь угодно точном измерении места и времени, очевидно, неоправданно для релятивистской квантовой механики, поскольку комптон-эффект ограничивает точность измерения положения частицы. Однако, по мнению Паули, в нерелятивистской квантовой механике таких ограничений нет. Сегодня, согласно теории информации, должны отвергаться любые предположения о неограниченно точных измерениях, поскольку такие измерения означали бы сбор и обработку бесконечной информации. В частности, несчетно-бесконечная информация сопутствовала бы измерениям с «дифференциальной» точностью. Расстояние между двумя частицами, по утверждению Маха [91, 92], может быть измерено только с ошибкой, которая по меньшей мере равна элементарной единице длины. Такие единицы плохо согласуются со специальной теорией относительности. Однако трудностей не возникает, если расстояние △% = АЕХ между соседними метками линейки (рис. 7.1.1, а) принять конечным, но как угодно малым. При этом не подразумевается, что расстояние △* должно быть, например, порядка 10-13 см. Расстояние остается конечным, если даже оно равно 10~100 см. За последние 30 лет было опубликовано много статей по вопросам квантованного или ячеистого пространства-времени

п В разд. 1.1 уже отмечалось, что еще Зенон из Элеи отвергал возможность бесконечной делимости пространства и времени.

[135, 136, 44, 125, 70, 72, 23—26, 162, 5, 16—21, 66, 156, 76] (ис- точники даны в хронологическом порядке).

Рассмотрим разностное отношение переменной времени. Пусть некоторая точка в момент времени 0О находится у метки Е(Во) (рис. 7.1.1, а)9 а в момент времени 6 — у метки 1(6). Средняя скорость перемещения точки определяется выражением

% =縉)「|(е).⑵

Пределом средней скорости рср является (мгновенная) скорость р:

В3 + ”(е)(з)

Для разности Е(0 + Аб)—自(0), меньшей Ag, получается |(6 + + △6)—Е(8)=0 и р = 0, если даже для большего значения Аб мгновенная скорость р была ненулевой. В математике, основанной на дифференциальном исчислении, этого бы не пронзо- uijio. Казалось бы, проблему всегда можно решить, делая величину Ag достаточно малой, а величину Д0 достаточно большой. Однако величины А| и Д0 не всегда можно выбирать независимо. Как следствие бывают случаи, когда о мгновенной скорости ничего неизвестно (за исключением того, что она не превы- шает скорости света), в то время как средняя скорость вполне определена. Это типичная ситуация для исчисления конечных разностей, которая совершенно незнакома для дифференциального исчисления.

72 Диадическое разностное отношение

(1)(1)Попробуем разобраться, к чему приводит переход от предельного случая кольца 2'—8 к диадическому кольцу 21 = 2. Возьмем линейку с 16 метками (рис. 7.1.1, 6), которые соединены в соответствии с диадической топологией, рассмотренной в гл. 5 (см. рис. 5.6.8). Определим скалярную функцию /(g), которая измеряется в точках £. Диадическое разностное отношение было определено выражением (6.3.20) как средняя разность в точке m = Е/А£. С другой стороны, разностное отношение можно определить вдоль пути от метки g0 к метке g. Для любой пары меток на линейке, изображенной на рис. 7.L1,仇 существует несколько путей, в то время как на линейке, показанной на рис. 7.1.1,〃，путь всегда один. Обозначим конкретный путь через £](&, Е), а его длину через Djdo,己).Получается разностное от ношение

(1)

(1)

Qj — e(品,*)・

Для вычисления разности f(go) —f(^) используется обычное вычитание, поскольку скалярная величина f(g) может быть температурой в точке Е, а разность температур находится обычным вычитанием.

Рассмотрим в качестве примера два пути из точки Р1 в точку Р2 (рис. 7.1.1, б):

£1(0000, 1011Л^) = 0000, 0001 丛，001 lAg, 1011А§,

Л2(0000, 1011Ag) = 0000, 0100&, 1100AL 1110AL 1010AL 1011Л^.

Длина этих путей составляет Di = 3Ag и D2 = 5Д^.

Предел отношения Qf достигается для кратчайшего расстояния Dj =纯 между точками go =团纯 и 自=(m ㊉ 2，)Д^, где i = =0, 1,2,..., Обозначим этот предел через Аг/(/^)/Ат:

— (т) _ f(-H) —〃(/n-2'j 笛]玲、

A根一纯.

Очевидно, что выражение (2) — это один из компонентов средней диадической разности Df (m) /Dm, которая определена выражениями (6.3.1) и (6.3.20). Однако, имея отношение Df(m)/Dm для всех точек диадической координатной системы, можно для каждой точки т вычислить не только Df(m)/Dm на основе △2，(m)/Am, но и A2『(m)/Am на основе Df(m) /Dm. Следовательно, между выражениями (2) и (6.3.20) нет существенной

разницы.

Рассмотрим разностное отношение для переменной времени. При использовании обычных часов разница во времени 00 — 0 из выражения (7.1.2) остается без изменения ( а для часов, рассмотренных в разд. 5.7, заменяется разностью по модулю два. Координатная разность ±(0。)——^(0) может быть заменена величиной Z)/[g(0o), E(e)L измеренной вдоль одного из путей 厶[Е(Во), Е(°)] от точки 占(О。)до точки Е(0). При использовании обычных часов обобщением выражения (7.1.2) для диадической

топологии является

⑶⑶力 К (Во), Е (6)]

⑶

⑶

•ср= ё^ё

Соответствующее обобщение выражения (7.1.3) имеет вид

e (8 + а6)/纯㊉"⑼/纯Лёe (8 + а6)/纯㊉"⑼/纯Лё⑷⑷

e (8 + а6)/纯㊉"⑼/纯Лё

e (8 + а6)/纯㊉"⑼/纯Лё

⑷

⑷

Если отсчет времени 0 ведется по модулю два, то разность 0о — 0 в выражении (3) заменяется на 60/А1 ф6/Л0, а сумма 0 + + Д0 в выражении (4) —на О/Д0 Ф 1.

Если путь L/(Eo, Е) между точками Р1 и Р2 (рис. 7.1.1, б) проходит по прямой линии через точки 0001Ag, 001 lAg,

OOlOAg, ..., а не по окружным соединениям, то длина пути получается 0(Ео, g) = go ——Е・ В этом случае результаты измерений линейками, приведенными на рис. 7.1.1, а и 6, совпадают. Выражения (3) и (4) становятся тождественны выражениям (7.1.2) и (7.1.3). Аналогично выражения (1) и (2) принимают вид соответствующих уравнений для предельного случая кольца 2川~ —ОО：

q - f &)—/(自)

'"о —自 '

△2-⑺=f(-A")- H("± 1)纯］=-n 一 f 化土 纯) A根—纯一近.

В разд. 5.6 и 5.7 уже отмечалось, что сдвиг собственных координат приводит к одинаковым результатам для обычных сложения и вычитания и для сложения и вычитания по модулю два. Теперь мы видим, что обычную линейку с основанными на ней математическими операциями можно рассматривать как особый случай линейки с операциями по модулю два. В следующих главах будут разработаны математические методы и получены физические результаты для линеек н часов, основанных на предельном случае кольца 2'—>8 (рис. 7.1.1, а). Надо заметить, что эти методы и результаты также являются особыми случаями диадического исчисления, рассмотренного на примере линейки рис. 7Л Л, б.

7.3. Видимые эффекты дискретных топологий

Попробуем решить вопрос, какие проблемы физики нужно исследовать, чтобы с достаточной уверенностью найти видимые отклонения от результатов теории, основанной на обычной топологии действительных чисел. В физике понятие топологии связывается прежде всего с общей теорией относительности. Об этом говорят и результаты, полученные в гл. 3 для конечных неограниченных систем координат. Однако ограничение числа ме- ток координатной системы приводит к конечной разрешающей способности Ag и Л0, и на очень коротких расстояниях и временных интервалах разница между конечными разностями и дифференциалами скорее всего даст себя знать. Поэтому мы обратимся к квантовой физике. Наши исследования приведут к результатам, отличным от результатов обычной топологии действительных чисел, на расстояниях от 10~10 до 10-12 см, тогда как в общей теории относительности вопрос топологии становится существенным на расстояниях на 20 порядков меньше, что лежит далеко за пределами наших экспериментальных возможностей.

Чтобы облегчить чтение оставшихся глав, содержащих много математики, сделаем их обзор. В гл. 8 исследуется, при каких условиях решения уравнений в частных разностях становятся независимыми от величины разрешающей способности ДО или Д/ для малых значений At Разностные уравнения записываются на основе дифференциальных уравнений Шредингера и Клейна—Гордона, а собственные решения уравнений находятся для свободных частиц.

В гл. 9 разрабатывается метод получения собственных решений разностных уравнений с переменными коэффициентами. Применение этого метода к нерелятивистской частице в кулоновском поле показывает, что собственные значения и собственные фукции разностного и дифференциального уравнений по существу совпадают.

В гл. 10 решается разностное уравнение Клейна ——Гордона в кулоновском поле. В результате получаются собственные значения и собственные функции такие же, как в случае дифференциального уравнения Клейна ——Гордона. При этом разностные собственные функции сходятся только асимптотически, если постоянная тонкой структуры а = е2/Йс не равна нулю. Для получения сходящихся собственных функций используется конформное отображение. На значительных расстояниях от центра поля, больших комптоновской длины волны, сходящиеся н асимптотически сходящиеся собственные функции совпадают; на меньших расстояниях появляется различие. В частности, возле центра кулоновского поля эти функции не совпадают, даже если шаг измерения расстояния Дг стремится к нулю.

В гл. 11 решается разностное уравнение Дирака в кулоновском поле. На больших расстояниях решение приводит к собственным функциям таким же, как в случае дифференциального уравнения. Эти функции по-прежнему сходятся только асимптотически; сходимость обеспечивается дополнительными условиями.

Чтобы не затруднять чтение гл. 8—11, рассмотрение некоторых вопросов, обеспечивающих математическую строгость рас- суждений, откладывается до гл. 12.

В общем случае мы не прибегали к физической интерпретации полученных математических результатов, поскольку интерпретации могут вызывать ненужную полемику. Более чем достаточную полемику вызовет уже то утверждение, что не существует ни трехмерного пространства, ни пространственно-временного континуума, поэтому любых других спорных моментов мы избегали. В основе полученных в гл. 8——12 результатов исследований лежит аксиома о замене дифференциалов конечными разностями для предельного случая кольца 2' —8. При этом предполагается, что все математические преобразования корректны (в мате-

матике легко допустить ошибку). Что касается самой аксиомы, то, как и любая другая аксиома, она не требует доказательства, но должна быть достаточно правдоподобной. Все сказанное о конечных разностях Дх и А/ необходимо только для того, чтобы обоснованность замены дифференциалов dx и dt не вызывала сомнений

Основным возражением против проводимого исследования может быть то, что оно основывается на квантовой механике, которая существовала еще до разработки квантовой теории поля. Мы избегали этой теории прежде всего из-за самой концепции поля. В рамках обычной модели пространства-времени поле заполняет промежутки между взаимодействующей материей, например Солнцем и Землей, электрически заряженными частицами, и т. п. Это поле дифференцируемо по переменным времени и пространства и позволяет нам решить проблему действия-на- расстоянии. Причина, которая находится в точке х, может вызвать результат в точке % + d% без действия-на-расстоянии, но не может сделать этого в точке % + △%. Использовать классическую концепцию действия-на-расстоянии не обязательно, но поскольку близость точек х и х + Дх определяется только точностью измерения и может быть как угодно большой, то необходимо признать, что невозможно увидеть, как строится мост над промежутком Ах для создания результата в точке х + Дх. Из теории информации следует, что информация всегда должна быть конечной, и это освобождает нас от необходимости решать, существует ли «действие-на-расстоянии» или не существует, когда значение А* достаточно мало, но по-прежнему конечно. Напрашивается мысль, что понятие поля требует такого же переосмысления, как и понятие пространственно-временного континуума.

Глава 8

Разностные уравнения Шредингераи Клейна—Гордона

Временная зависимость решений разностных уравненийв частных разностях

Рассмотрим линейное разностное уравнение второго порядка в частных разностях с независимыми переменными / иг. Вектором г представлены переменные используемой координатной системы. Для краткости будем называть их пространственными :).Переменная / — это время. Обозначим через 6(г) оператор пространственных переменных:

Qi(r)尸(г, / + A/) = Q0(r)F(r, O + Q-(r)尸(г, f-加).(1)

Будем считать оператор Qi (г) невырожденным. Матричное представление операторов н запись разностных операторов в явном виде будут рассмотрены ниже. Тогда же станет понятен смысл термина «вырожденный».

Уравнение (1) можно решить, если операторы Q(r) имеют общую систему собственных функций qpn(r). В этом случае переменные пространства и времени можно разделить 2):

Q|(「)S〃(r)=S5S〃(r), ，=1, °, —1,⑵

Фп (г, /) = %(「)“(/)・⑶

Представляя функцию 尸(г, %) в виде ряда по собственным функциям

со

尸(г, 9=2 Сп^п (г, /)⑷

и подставляя соотношения (2) и (4) в уравнение (1), получаем

88

Z 点Sg必(г) Фп (f +△/)=£ с^^п (г) фп 0) +

ZZ = OД=0

оо

+ X с^Хг^п (г) фп 〃 一 Af).(5)

° Как правило, мы будем использовать термин пространственная переменная вместо более точного, но громоздкого термина переменные использованной системы координат.

Одна и та же буква ф используется для различных функций： здесь для(р„(г, /),(р«(г), “(f), далее для 屮“(义)，“(г), у〃(г, 0,屮).Такой подход не является хорошей практикой, но позволяет обойтись без дополнительных индексов

Предположим, что собственные функции(р〃(г) взаимно ортогональны D. Перемножая их с комплексно-сопряженной функцией ф*(г) и интегрируя в интервале ортогональности, получаем при i = 〃 обычное разностное уравнение с постоянными коэффициентами:

«шФп С 十△/) = 5〃屮〃 (0 + «-щФп (/ — А»⑹

Разностное уравнение с постоянными коэффициентами можно решить в общем виде путем подстановки [94]

Фп (0 = Фп (т) = "Q：, т = 〃△£ ・⑺

Подставляя соотношение (7) в равенство (6), получаем характеристическое уравнение

nQn - wOnQn -= °.nQn - wOnQn -= °.⑻⑻

nQn - wOnQn -= °.

nQn - wOnQn -= °.

⑻

⑻

Если корни уравнения мых решения уравненияЕсли корни уравнения мых решения уравнения^^ • •\>/ \J/8 (^^ • •\>/ \J/8 (то находим два независи-то находим два независи-

Если корни уравнения мых решения уравнения

Если корни уравнения мых решения уравнения

^^ • •

\>/ \J/

8 (

^^ • •

\>/ \J/

8 (

то находим два независи-

то находим два независи-

Ф1п (0 ="九Q1", ¥2厶(‘)-b2及2%.(9)

При одинаковых корнях получаем решения

屮 1п (')=仇"Q：, ^2п (0 = b^n^Qn^ (10)

При фиксированном значении，нормированную переменную т = £/△/ можно сделать произвольно большой или произвольно малой соответствующим выбором А/. Особый интерес представляют решения, не зависящие от выбора АЛ

Обозначим через 0(1) составляющую порядка /, которая становится независимой от А/ при достаточно малых значениях АЛ Далее, обозначим через O(Af)。составляющую порядка (△/)、 которая становится исчезающе малой пропорционально (А/)9. Решения (9) и (10) не зависят от △/ при достаточно малых значениях А/, если выполняется соотношение

l—[O(Af)]《|Qs〃[《l+|O(ZV)|, sn = nt In, 2/г. (11)

Если величина Qsn действительная, то решения являются экспоненциальными функциями времени 勿 возрастающими при условии I Qsn\ = 1 + I О (A/) I и убывающими при условии |Q5nl — =1 ——|0(А/)|. Для комплексных значений Qsn получаем решения в виде колебательных функций с амплитудой, возрастающей или убывающей по экспоненте Решения с постоянной амплитудой получаем при условии 1 ——I О(Д/) I V Qs〃 V 1 +

')См. разд. 12.9 об ортогональности собственных функций.

+ IО (△/) I. Для сравнительно малых значений △/ эти стационарные решения принимают вид

必 С) = bn exp(£frt//ft).(12)

Объединяя △，с константой 匕2门，всегда можно сделать коэффициент т во втором решении (10) независимым от △，.

Из уравнения (8) для стационарных решений (12) и исчезающе малых значений Д/ получаем

а>1пехр(/£пД//й) — соОп — «_1П ехр (—/£пЛ//й) — 0.(13)

Чтобы решения были стационарными, величина ①。〃 должна быть действительной для(ощ и s_s комплексно-сопряженных и мнимой для sn и(o_s действительных и равных.

Выражение (11) является необходимым и достаточным условием существования решений уравнения (1), не зависящих от А, при малых значениях А£ Назовем его соотношением независимости. В численном анализе аналогичное соотношение известно под названием условия устойчивости [22, 32, 118]. Условия, при которых решения разностных уравнений типа (1) и соответствующих дифференциальных уравнений совпадают, исследовались в работе [32]. Условия устойчивости для уравнений Шредингера и Клейна — Гордона были найдены в работе [59] и использованы в работах [80, 28].

82 Уравнение Шредингера

Дифференциальное уравнение Шредингера содержит дифференциальные отношения первого и второго порядка:

Т力祟= •£V任一心Г，'）屮・Т力祟= •£V任一心Г，'）屮・⑴⑴

Т力祟= •£V任一心Г，'）屮・

Т力祟= •£V任一心Г，'）屮・

⑴

⑴

Заменим эти отношения разностными операторами (6.2.6) и (6.2.12):

屮 Л2ПГ1

苛Т詩=盗[¥("+△%)-23a)+3(尤一心)]， ⑵

/中 лит 1

—^Г = 157 [屮(％ 十&)—屮(/ — △£)].⑶

В дополнение к симметрическому разностному оператору (3) существуют также правый и левый разностные операторы первого порядка:

箸=土[3[+ А/)-t")],学=方[屮")-3" 一")].

В разд. 12.4 будет показано, что для свободной частицы правый и левый разностные операторы приводят к решениям, которые возрастают или убывают по экспоненте. Что касается симметрического разностного оператора, то он дает стационарные решения. Это подтверждает интуитивные соображения о том, что соседи должны трактоваться одинаково. Для правого и левого разностных отношений это не соблюдается. Таким образом, дифференциальное уравнение (1) заменяем следующим разностным уравнением:

У(「, £+&) = Qo(r, /) W (г, /) + ¥(「，/ —&),(4)

Q°(「, f) = £響——2i#}(r,仪

Символом V обозначен разностный оператор, который для декартовых координат можно записать в явном виде на основе выражения (2).

Уравнение (4) совпадает с уравнением (8.1.1), если функция И (г, /) инвариантна относительно времени. В этом случае общее решение уравнения (4) можно найти на основе собственных функций оператора Q0(r, 0 =Оо(г). Такой же оператор можно получить из уравнения (1), освободив его от переменной времени и заменив дифференциалы конечными разностями.

Из уравнения (4) получаем значения ющ = оэ^щ, не зависящие от R(r) и используемой системы координат. Следовательно, для стационарных решений собственные значения son, согласно уравнению (8.1.13), должны быть мнимыми.

Решая уравнение (4) для свободной частицы в одномерной декартовой системе координат на основе собственных функций ①式х) = е% находим

Qo U)必(％) = i .；■-(户"一2 + e-ff)必(％) = %册忆(%), (5) «on = -2込 =-4i詰!紺siM《必招

Из уравнения (8.1.8) определяем

Qs =—込十(1 一 序严，Q2n = -ZB-(1-哥)叱 QsQ如=-],

9⑹

откуда для В2^ 1 получаем

I Qin I= I Qin l=l・

При условии 1 < В2 < 1 + [ О (\/)21 получаем

\Q2n\<^+\0(M)\f 丨 QQ 1-[O(A/)L

Равенство В2 = 1 + \ О (△/)? | дает

I Qml = 1 一 I 。 (")I, 电1=1+1。(Л/) I, а неравенство В2 > 1 + | О (А/)21 дает

lQ2nl> 1+Ю(А01, IQln|< 1-Ю(Д/)|.

Следовательно, стационарные решения существуют при условии 52 Vl + I O(AZ)2|, а не зависящие от А/ нестационарные решения—при условии Б2 = 1 -|- I O(AZ)2|. При условии В2 > 1 + + |О(А£)2| получаем решения, которые можно сделать произвольно большими или произвольно малыми соответствующим выбором величины А/.

Подставляя величину В из выражения (5) н учитывая, что значение sin2y хх не может быть больше единицы, находим не- обходимое и достаточное условие существования решений, не зависящих от А/ при малых значениях △/:

粗(Дх)2/Л/ >2fi[l +|О (ДО2 II,

卽《嘿'11一1。(削)切・⑺

Здесь у нас наблюдается связь разрешающей способности по времени △方 и разрешающей способности по координатам или пространству Ах. Задав величину、/ или Дх, разрешающую способность по другой переменной необходимо выбирать так, чтобы удовлетворялось условие (7).

Для ограниченных значений 乂 и достаточно малых значений △尤 вместо условия (7) получаем соотношение

А/ < 2 т/力乂2.(8)

Из уравнений (8.1.12) и (6) находим, как изменяется во времени решение для свободной частицы:

^{п (0 = exp 1-iEt/h + О (АЗ，陋⑴=exp [+iEt/h + О (А/)], (9)e =』A^[i -七3*+・・・]•

При хАх《1 и £△//九《1 эти результаты совпадают с результатами, полученными для дифференциального уравнения, за исключением условий (7) и (8).

Запишем оператор Со (г) из выражения (4) в виде матрицы- строки с конечным или счетно-бесконечным числом элементов:

-(上)=‘71^(…，°，L -2, 1, 0, ...).(10)

Перепишем равенство (5) в матричном виде

9九(%——2Д%) ФП (尤 一 Aх)

工 m (Ax)25f L•丿

屮"（九）

屮%丿.

фп (% + Ах)

(рп(%+ 2Дх)

В результате подстановки qpn (х) = eiHX опять получаем о)о〃 = =—2iB.

Вернемся к условию (7) и рассмотрим его физический смысл. Такой тип условия будет часто встречаться в дальнейшем, причем он не имеет аналога в теории, основанной на концепции континуума.

Рассмотрим рис. 8.2.1, а. В момент времени t частица находится ближе к метке хо, а в момент времени ，+ △/ ——ближе к

BtBt・At

兀冗—9—耳欣々-Ax X[ x「Ax

Рис. 8.2.1. Неопределенность результатов измерения скорости при использовании линейки с разрешающей способностью Ах и часов с разрешающей способностью А/.

метке %ь Мгновенная скорость частицы составляет и = (xj — ——хо) /А/. Неопределенность этого значения оценивается следующим образом. Частица At занимает такое крайнее левое положение, при котором она все еще ближе к метке %о- В момент времени % + △/ частица, теперь обозначенная как А，+аг, находится в крайнем правом положении, при котором она все еще ближе к метке хь С другой стороны, частица Bt находится в крайнем правом положении в момент времени /ив крайнем левом положении в момент времени / + △/. В результате измерений получаем одинаковые скорости обеих частиц и =(尤】一

—х0)/Д/. Однако в действительности наибольшая возможная разница (или неопределенность) этих скоростей составляет 2Дх/ДЛ

Рассмотрим теперь частицу А на рис. 8.2.1, б. В оба момента времени / н f + А/ эта частица находится ближе к метке %о. Таким образом, ее скорость v — 0. Однако, оставаясь ближе к метке Хо, частица могла переместиться из крайнего левого положения 4 в крайнее правое положение At+^t- Неопр ед еленность скорости составляет Дх/Д/. Однако движение могло быть в противоположном направлении, как, например, у частицы 8 (рис. 8.2.1,б). Таким образом, неопределенность скорости и = 0 по-прежнему равна 2Дх/ДЛ

Неопределенность скорости означает, что неопределенность импульса р = mv частицы известной массы т составляет Ар = =тДу = 2тДх/Д/. Неопределенность положения частицы АХ всегда равняется расстоянию Дх между метками линеек (рис. 8.2.1). Используя условие (7), можно записать произведение АрАХ в виде

АрАХ = 2m (Дх)2/Д/ > 4 九 (11)

Следовательно, условие существования решений, независимых от разрешающей способности Дх и А/ для малых значений Ах и А/, сводится к соотношению неопределенностей Гейзенберга. Интерпретация приращений Ар и АХ, конечно, отличается от интерпретации в теории, основанной иа дифференциальном исчислении, поскольку в континуумной теории отсутствуют конечные разности А% и А/. Поэтому значения Ар и ДХ обычно интерпретируются как среднеквадратические отклонения измерений D. Математическая статистика, таким образом, позволяет ввести конечную точность измерений в теорию, основанную на концепции пространственно-временного континуума с дифференциальной разрешающей способностью dx и dt.

Физический смысл разностного уравнения

Дадим физическую интерпретацию разностного уравнения (8,2.4), выведенного на основе дифференциального уравнения (8,2.1). Разностное уравнение называют уравнением первого порядка по той или иной переменной, если присутствуют два различных значения этой переменной. Например, все три разностных оператора первого порядка содержат переменную 【Р для двух моментов времени: симметрический разностный оператор из уравнения (8.2.3) содержит времена / + А/ и t ——Д/, стоящий

° Переход к вероятностно-статистической трактовке результатов не обоснован, н следующий за этим вывод является дискуссионным.——Прим. рсС

справа разностный оператор — времена / + Д/ и /, а разностный оператор слева — времена / и t — А/. Разностное уравнение второго порядка содержит три различных значения отдельной переменной, например значения % + А%, % я % ——А% в разностном операторе второго порядка из уравнения (8.2.2).

Равенство (8.2.4) является разностным уравнением второго порядка по времени, поскольку оно содержит три значения времени f + А/, / и / — А/. Заметим, что выражение (8.2.1) называлось бы дифференциальным уравнением первого порядка по времени, так как обе величины 屮(。и dW/dt относятся к моменту времени /, а моменты времени / + dt и t — dt отсутствуют.

W(x'-Ax,t'・M)

屮(xfMt)

Wx5x№ 加

f+it

•A

•

—.

WxMxf)

t

W(x：t')

W(x'Mx,t')

f

•*

•

**.

V(x-ix,t'-At)

4 W(xNAt)

WMxf-At)

t'-it

•*

•

—»

x-ix

X，

xMx

х+

Рис. 8.3.1. Точка %',，и ее восемь соседей на расстоянии △% и/или Af в координатной системе с конечной разрешающей способностью.

Оператор V2 из уравнения (8.2.4) имеет второй порядок, поскольку, согласно уравнению (8.2.2), он содержит три значения % + △%, х и х — А% для одной переменной и соответствующие значения для других пространственных переменных.

Рассмотрим рис. 8.3.1 для интерпретации уравнения (8.2.4) в случае 屮(「，t)=屮(％, t). В пространственно-временной координатной системе имеем девять меток с пространственными координатами / — А%, %[*' + △% и временными координатами 〃 一△厶 Г，+А/. Оператор Йо (г, /) = %(*) второго порядка означает наличие связи между значениями функции 屮(％'— —А%,。屮(К/), 4f(%'+ △*,/) в трех смежных точках координаты х для произвольного времени /. Другими словами, соседи в пространстве 屮(/ — А%,。и 屮'(/ + △%, /) влияют на 屮(/ /)・ На рисунке это влияние показано шестью горизонтальными стрелками.

Аналогично для переменной времени уравнение (8,2.4) отражает связь значений функций 屮(г, /Wa/)=W(%,，+ 厶力， 屮(％, 〃)и 4r (%,，一 А。в трех смежных точках t для любого значения х. Это значит, что соседи во времени 屮(/,/' —А/) и 屮(/,，+ △，) влияют на 屮(К 竹.Это влияние отмечено двумя вертикальными стрелками (рис. 8.3.1).

Таким образом, разностное уравнение второго порядка отражает связь значения функции в координатной точке %', f или в общем случае %" с соседями на расстоянии А%, △/, или в общем случае А%"' Разностное уравнение четвертого порядка связывало бы значение функции в точке %" с соседями на расстоянии одной △%' или двух 2Дхг единиц измерения, как следует из разностного оператора четвертого порядка 口：

AW =丄 f 1 Г 1 ( У (% + 2А-) — J (% + △/ —

(Дх)4 5F (Ar I5x

¥(% + △%) 一中(%)、1 ，--+А幻一уw

—4r (%) — 4f “一 A%) )I_ ( ■(%) — — ♦ — An)—

-爪 i\}C )]}=击冋 + 2.) 一

—4屮(％ + Ax) + 6屮(%) - 4屮(乃一A%) + 屮(％ - 2Ax)J. (1)

Заметим, что разностный оператор второго порядка (6.3.21) содержит соседние значения функции с расстоянием в одну Дт] или две 2Дт] единицы измерения. Следовательно, двоичный разностный оператор второго порядка соответствует разностному оператору четвертого порядка (1).

Уравнение Клейна—Гордона

пр^^иразуем уравнение Клейна—Гордона п「ицы

с зарядом е:

(?% - 2四①导-ieh察+ 02噌屮=

=(一力2c2V2 + ie%cA grad + iehc div A + e2A2 + 加2c2) 4r(1)

')В случае разностного оператора третьего порядка возможно множество подходов, как было для разностного оператора первого порядка (8.2.3). Логичным, но не единственным вариантом симметрического оператора является

«屮/(А#)з = (А»-з [屮(х 一 2Дх) - 3W - + Ах) +

+ 3屮(—Ах) - W (% — ЗДх)].

путем подстановок

-^^^[yd + ^^yd-^

4тг — .у" [У (/ + 削)—2V (/) + У (f — △/)]

в разностное уравнение

◎i (г, /)屮(г, f 十 до = Qo (г, о W (г, 0 + ◎_] (г, £)屮(г, / 一 &), (2)QG /)=1 +冷①(г, /),

Qo (г, /) = 2 + (字У Ф2 (г, 0 + (сА/)2 V2-

—，•賢(卽)2 [2А (г, /) grad + div А (г, /)] - (-^-)2 А2 (г, /)-

~~ (加；А? )2 — j 要[①(Г, / + AZ) — Ф(г, / — A,)], Q-i(r, /) = — 1+号①(г, О-

Вид операторов Qi(r, f) и Q_i(r, Z) говорит о том, что решение уравнения (2) в общем виде можно представить суммой собственных функций только в том случае, если значение Ф(г, /) постоянно, а величина А(г, /) инвариантна относительно времени. Для инвариантных относительно времени потенциалов Ф(г, /) и А (г, /) решение в общем виде можно представить собственными функциями приближенно, если потенциал Ф (г) либо велик, еД/Ф(г)/Й》1, либо мал, еД^Ф(г)/й《1. Для большого потенциала получаем шщ= —s_im = 1, а для малого(ои = +о-и= =1. В обоих случаях разностный оператор Q0(r, f)=0Q(r) существенно отличается от дифференциального оператора, полученного освобождением уравнения (1) от переменной времени. Причина кроется в составляющей уравнения (1) 2，議①d/df. Дифференциал первого порядка по времени создает составляющие в операторах Q] (г, f) и Q_i(r, /), но не в операторе Qo(r, t). В нерелятивистском уравнении Шредингера (8.2.1) потенциал V перемножается с 屮,а не с dW/dt. В результате потенциал V становится составляющей оператора Qo(r, t).

Для свободной частицы в одномерном пространстве уравнение (2) преобразуется к более простому виду:

^(X, /+ &) = %(%)屮(%, /)一屮(#, f -&),(3)

Q°(x) = 2 + (N)2£_(啜 у.

Собственные значения ①打 и 口〃 равны +1 и —1, а собственное значение ①。^ определяем из уравнения

% (%) % (%)=(匿У ® (尤十 Ах) — 2屮〃 (х) + $"(% — Лх)] ++ [2 — (^2^)] Фп(X)= Ю0„ф„ (х),

которому удовлетворяют собственные функции ①门(尤)=2一'乂无：

«on = 28 = —4 (書У sid % мА% + 2 =(机产У*⑷

Из уравнений (8.1.8) и (4) получаем

Qm = B + (В2一 1)叱 Q2" = В — (В2- 1)I/2,(5)

QlnQ2n= l Из соотношения

-i -|о(д021<в< 1 + Ю(Д/)21(6)

следует

-1 -[。(似)丨V 1 viQgl, IQ2nl< 1+Ю(д/)I, тогда как равенство В = ± [1 + \О(Д/)21] дает

IQiJ IQ2』= ±U+IO(&)I]・

Для условий В > 1 + |О(Д02| и В <—1 —|O(A/)2| решения, независимые от А/, отсутствуют.

Уравнения (4) и (5) дают два условия существования независимых от Д/ решений с произвольными значениями х:

1 一4■(号竺у 《 1+10(до21,⑺

(爲)у —(嚅)i 口+i。(△/)」]•(8)

Первое условие выполняется всегда, второе для малых значений Дх и А/ преобразуется к виду

(Л/)2<(Лх/с)2.(9)

При рассмотрении выражения (7.1.3) было отмечено, что мгновенную скорость нельзя определить, если единичный временной интервал недостаточно велик °. Рассмотрим свободную бозе-частицу (рис. 8.4.1,а), которая в момент времени / находится у метки хЛ. Согласно условию (9), за время А/ она может пройти самое большее расстояние A% = cAf и оказаться у метки 尤'十 Ах, если скорость перемещения положительна, и у метки

° Использованные там нормированные переменные связаны с взятыми здесь ненормированными переменными соотношениями 8 = t* g = х/Х, Аб = А〃Г,纯=^x|X.、

Xх — △%, если скорость отрицательна. Крайним левым положе-нием бозе-частицы, которое все еще ближе к метке %', являетсяXх — △%, если скорость отрицательна. Крайним левым положе-нием бозе-частицы, которое все еще ближе к метке %', являетсяточка А, а крайним правым — точка В. Пусть через время △， частица оказалась у метки 尤'+ Ах, что означает, что она продвинулась вправо по крайней мере до точки С. Нижний предел если она двигалась от точки В кточка А, а крайним правым — точка В. Пусть через время △， частица оказалась у метки 尤'+ Ах, что означает, что она продвинулась вправо по крайней мере до точки С. Нижний предел если она двигалась от точки В кскорости бозе-частицы — нуль, точке С, верхний предел — скорость света с, если она двигалась от точки А к точке С. Таким образом, о мгновенной скорости нельзя сказать больше того, что она лежит в диапазоне О W 〃 W WcРассмотрим следствие (рис. 8.4.1, б). В момент времени / бозе-частица А находится ближе к метке %'. Со- гласно условию (9), за время △，бозе-частица не может пройти дальше точки С. Крайним левым положением частицы, наблюдаемой у метки х7 + △尤,является точкаскорости бозе-частицы — нуль, точке С, верхний предел — скорость света с, если она двигалась от точки А к точке С. Таким образом, о мгновенной скорости нельзя сказать больше того, что она лежит в диапазоне О W 〃 W WcРассмотрим следствие (рис. 8.4.1, б). В момент времени / бозе-частица А находится ближе к метке %'. Со- гласно условию (9), за время △，бозе-частица не может пройти дальше точки С. Крайним левым положением частицы, наблюдаемой у метки х7 + △尤,является точкаААВ СВ С仪 ~"/-Ахх*х、Ахх*2ДхАВС8.♦х-Дх?ЙххЕхBt.m・—《Bt,Al ,・At・M ,6 ' х-Дх ? x5x xEaxРис. 8.4.1. Согласно соотношению (Af)2 & (Дх/с)2, мгновенная скорость (尤1 — Хо)/А/ бозе-частицы остается неопределенной в интервале О W |d| & с.В, а крайним правым — точка С.仪 ~"/-Ахх*х、Ахх*2ДхАВС8.♦х-Дх?ЙххЕхBt.m・—《Bt,Al ,・At・M ,6 ' х-Дх ? x5x xEaxРис. 8.4.1. Согласно соотношению (Af)2 & (Дх/с)2, мгновенная скорость (尤1 — Хо)/А/ бозе-частицы остается неопределенной в интервале О W |d| & с.В, а крайним правым — точка С.Скорость бозе-частицы остается неопределенной в диапазонеСкорость бозе-частицы остается неопределенной в диапазонеО & и & с.Если бозе-частица находится ближе к метке %' в оба моментаО & и & с.Если бозе-частица находится ближе к метке %' в оба момента

Xх — △%, если скорость отрицательна. Крайним левым положе-нием бозе-частицы, которое все еще ближе к метке %', является

Xх — △%, если скорость отрицательна. Крайним левым положе-нием бозе-частицы, которое все еще ближе к метке %', является

точка А, а крайним правым — точка В. Пусть через время △， частица оказалась у метки 尤'+ Ах, что означает, что она продвинулась вправо по крайней мере до точки С. Нижний предел если она двигалась от точки В к

точка А, а крайним правым — точка В. Пусть через время △， частица оказалась у метки 尤'+ Ах, что означает, что она продвинулась вправо по крайней мере до точки С. Нижний предел если она двигалась от точки В к

скорости бозе-частицы — нуль, точке С, верхний предел — скорость света с, если она двигалась от точки А к точке С. Таким образом, о мгновенной скорости нельзя сказать больше того, что она лежит в диапазоне О W 〃 W Wc

Рассмотрим следствие (рис. 8.4.1, б). В момент времени / бозе-частица А находится ближе к метке %'. Со- гласно условию (9), за время △，бозе-частица не может пройти дальше точки С. Крайним левым положением частицы, наблюдаемой у метки х7 + △尤,является точка

скорости бозе-частицы — нуль, точке С, верхний предел — скорость света с, если она двигалась от точки А к точке С. Таким образом, о мгновенной скорости нельзя сказать больше того, что она лежит в диапазоне О W 〃 W Wc

Рассмотрим следствие (рис. 8.4.1, б). В момент времени / бозе-частица А находится ближе к метке %'. Со- гласно условию (9), за время △，бозе-частица не может пройти дальше точки С. Крайним левым положением частицы, наблюдаемой у метки х7 + △尤,является точка

А

А

В С

В С

仪 ~"/-Ахх*х、Ахх*2Дх

АВС

8.

♦х-Дх?ЙххЕх

Bt.m・—《Bt

,Al ,・At・M ,6 ' х-Дх ? x5x xEax

Рис. 8.4.1. Согласно соотношению (Af)2 & (Дх/с)2, мгновенная скорость (尤1 — Хо)/А/ бозе-частицы остается неопределенной в интервале О W |d| & с.

В, а крайним правым — точка С.

仪 ~"/-Ахх*х、Ахх*2Дх

АВС

8.

♦х-Дх?ЙххЕх

Bt.m・—《Bt

,Al ,・At・M ,6 ' х-Дх ? x5x xEax

Рис. 8.4.1. Согласно соотношению (Af)2 & (Дх/с)2, мгновенная скорость (尤1 — Хо)/А/ бозе-частицы остается неопределенной в интервале О W |d| & с.

В, а крайним правым — точка С.

Скорость бозе-частицы остается неопределенной в диапазоне

Скорость бозе-частицы остается неопределенной в диапазоне

О & и & с.

Если бозе-частица находится ближе к метке %' в оба момента

О & и & с.

Если бозе-частица находится ближе к метке %' в оба момента

времени f и f + А/, то она могла переместиться максимум вправо как частица А или максимум влево как частица В (рис. 8.4.1,в). Квадрат скорости в этом случае остается неопределенным в диапазоне 0 & 口京 W с2.

Заменив в выражении (9) Дх на icNt、получим такое же соог- ношение, но с противоположным знаком неравенства. Отсутствие симметрии между Av н icAt вызвано использованием в уравнении (3) пространственного оператора ◎“％). Уравнение (3) можно записать и с оператором времени Co(f)：

屮(厶 r + Ar) = &⑺屮仏 г) —中(厶 r —Ar), (10)

◎о (0 Фп (О = (~^~) [фп 9 + А。— 2q?n (0 + фп (^ — А/)] +

+ [2+ (陪)[必(0 = 5 例(0,

Фп (0 = /Е"К

〜=一4 (令У sin2 4- ЕМЩ + 2 + (啜У ・

Для произвольных значений Е условия (7) и (8) заменяются следующими неравенствами:

1+}(*)&1十1。4)21，⑴)

(礎»口-(嗜饰+1。阿州・(12)

Условия (11) и (12) симметричны по Ах и icAf согласно условиям (7) и (8). Условие (11) можно выполнить только для знака равенства. Следовательно, решения, не зависящие от Дх при достаточно малых значениях Ах, могут быть только нестационарными функциями х, возрастающими или убывающими по экспоненте.

Условие независимости для нерелятивистской частицы в трехмерном пространстве выводится в разд. 12.5. Для релятивистской частицы из выражения (2) получаем выражение (7), а вместо выражения (8) — соотношение.

(劫2 > [(釘+ (釘+ (剣十(喀日 "十I。(MU,

(*)2 =。切2 + (△/ + (心产(13)

Выражение (13) сводится к условию (8), если Дх мало по сравнению с Д^ и An

Из выражения (5) находим временную зависимость собственной функции свободной бозе-частицы при малых значениях △/:

Q；〃 =产々 Q^ = e"”(14)

E = £si「(l -¥)1/2 =

=(加2c4 + 力2c2/产2 [ 1 + I o (加)2 ]十]° (Л%)2 |].

Для малых значений Дх и ограниченных значений х выражения (7) н (8) заменяем соотношением

\y七(I十需广(⑸

Аналогично для малых значений Д/ и ограниченных значений 笈 б место выражений (11) и (12) получаем неравенство

£2》m2c4t

Глава 9

Разностное уравнение Шредингера для частицыв кулоновском поле

Разделение переменных для центрально-симметрическогослучая

Рассмотрим трехмерную декартову систему координат (см. рис. 5.4.5). Значения функции в точках ее координатной сетки определяются разностным уравнением. Заменим декартову систему координат сферической координатной системой (рис. 9.1.1). Дифференциальное уравнение, написанное для новой системы координат, определит значения функции в точках ее координатной сетки. В общем случае точки координатных сеток декартовой и сферической систем не совпадают, что создает проблемы при переходе от одной системы координат к другой. В математике, основанной на дифференциальном исчислении, таких трудностей не возникает, поскольку у континуума достаточно точек, чтобы любой точке декартовой системы однозначно соответствовал а точка сферической системы.

Существуют два способа решения проблемы. Во-первых, можно для желаемой координатной системы написать дифференциальное уравнение и затем заменить дифференциальные отношения разностными. Это простой и быстрый путь, но возврат к дифференциальным уравнениям нас явно не устраивает.

Можно обойтись без дифференциальных уравнений с помощью правил, выведенных в разд. 12.7. После длинных преобразований из уравнения (8.2.4) получаем оператор Qo(r, /)= =Qo(r) для сферических координат:

% (г,色 <P)= %i(r，■屮) + %(「，■中)，

%i(r, 9,屮)="偿S "^ + 7^+ A(ctgB為+ 7^7) + +/击至譌产-需0亿仇ф)]' %2(r, * <p) =，礬。(Ar, A* A(p).

Оператор QOi совпадает с оператором, полученным из дифференциального оператора V2 в сферических координатах путем замены дифференциалов разностями. Оператор Q02 содержит разностные операторы до шестого порядка включительно, взя-

1〃9 X. Хармут

Рис. 9.1.1. Сферическая координатная система с конечной разрешающей способностью Аг, АВ, Д(р.

тые с коэффициентами Аг, ДО, А(р или их степенями. Разности Ar, А® и △屮 могут принимать произвольные значения. Следовательно, для решения уравнения (8.2.4) логично попробовать следующую подстановку:

ОО ОО ОО

屮(Г, f) = Vi(r, 0+Х Z Z(Ar)z(AO/(A<P)^ZM(r, 0- (1)

Составляющие с сомножителем (Аг)，(АЗ)， (Aqp)ft должны сами удовлетворять разностному уравнению, поскольку значения Аг, △Q и Аф произвольны. Согласно уравнению (8.2.4), для 屮i(「, f) получаем

B](r, £ + &) = %](「，* ©Bi(r,。+ 屮1(「，f-加). (2) Пусть ряд(1) сходится. Тогда для достаточно малых значений △г, ДО и Дф можно пренебречь составляющими 屮“々(г, £). С ле-

довательно, при такой аппроксимации переход от дифференциальных операторов к разностным дает один и тот же результат как для декартовых, так и для сферических координат.

Уравнение (2) сводится к обычному разностному уравнению, если удается найти собственные функции $〃(「，分，屮)и собственные значения 仰〃 оператора Qoi(r,仇 qp):

%1(厂，抄，Ф)¥〃(г，屯 S)= JHP〃(r,色 ф).(3)

Для центрально-симметрического потенциала V(г) переменные г, 0 и ф можно разделить с помощью метода произведений Бернулли:

五亿也年)=⑵(Г)"(”%" (矶(4)

Вычисления выполняем так же, как для дифференциальных операторов. Равенство (3) заменяем тремя уравнениями:

(W7~6)^((P)==O>⑸

［鴇戸+ctg分晶 +高* -九］如⑼=°，⑹

{‘半［7^7 +籌一需V①+今］-5"}中"①П0.⑺

Подставляя х〃((р) = е土，机① в уравнение (5), получаем собственные значения

6=土詰^n2小团纣.

При 〃zA(p « 1 получаем

б = 土 "Л(8)

Решение уравнения (6), которое назовем разностным уравнением конечных сферических функций, очень громоздко и приводится в разд. 12.6 и 12.7. Отметим только, что 厶 может принимать значения —/(/+ 1), / = 1, 2, ..., для произвольных значений ДО.

Дискретные собственные значения (кулоновское поле)

Для потенциала Кулона V(r)=——Z^2/r уравнение (9.1.7) преобразуется к виду

(得+年生+疟+2%5)..。，(1) %2 = imGnnilh\t = 2 机 1Г/力，6 = Z?m］肥.

Подставляя переменную г вместо переменных % н / в выраже- ния для разностных операторов (8.2.2) и (8.2.8), получаем раз-

костное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами

R(R+ 1)5(R+ l) + [g& + 2foVR —1(1+ 1)]必(R) +

+ /?(/?-1)Фл(^-1) = 0,(2)

g =炉(аг)2 一2, R = r/Ar,必(г) =(рл (R),

必(г ± △" = q (R 士 1).

Прн / = 0 уравнение (2) сводится к гипергеометрическому разностному уравнению [151].

Чтобы найти собственные значения в уравнении (2), воспользуемся методом, основанным на преобразовании Лапласа [94, 101, 103, 104, 151]. Такой окольный путь через дифференциальное исчисление необязателен. Те же самые решения можно найти чисто алгебраическими средствами. Преобразование Лап» ласа используется лишь потому, что во много раз сокращает вычисления.

Возьмем контурный интеграл

Фп (R)=嘉 \ s^t侬(s) ds⑶

в комплексной плоскости по контуру I от точки 厶 до точки /2- Интегрируя по частям, получаем

■(r—.(卜R——靑尸/

Выберем точки。и /2 так, чтобы составляющая

sRw (s) С：(4)

обратилась в нуль. Тогда имеем

—R%(R)=心 \ s^' ds.(5)

Продолжая интегрирование по частям, находим

R (R + 1) ф„ (RJ =费 \ sR+M〃 ds⑹

при условии, что

⑺⑺sR+L'（s）C：

⑺

⑺

сбращается в нуль.

Принимая соответствующие допущения о начале и конце контура интегрирования, получаем следующие соотношения для Ф〃 (R — 1) и ф〃 (R + 1)-

(一1)饱便+1)...依+a)5依+1)=费卜我十%肉"s (8)

(一1)气R- 1)… 依+々一2)必依一1) = *卜4*-2/幻心・

Перепишем уравнение (2) в таком виде, чтобы коэффициенты стали сомножителями составляющих из левой части равенств (5), (6) и (8):

[(R + 2)(R+ 1)-2(R+ l)]qUR+l) + [gR(R+ 1) +

+ (2Sr — g)R —/(/+ 1)]<iUR) + A(R- 1)屮〃依一1) = 0・(9)

Подставляя интегральные преобразования для <p〃(R), 奥(R+ 1) и q)〃(R——l), получаем следующее дифференциальное уравнение:

(s2 + gs + l)sW + (2s — 28Ar + g)sw' — /(，+ 1)侬=0. (10)

Это уравнение имеет одну особую точку при s = 8. Другие особые точки совпадают с корнями уравнения D：

(s2 + gs+ l)s = 0.(И)

Получаем

ПI / 12 Л1/2

S] = 0, 52= —^- g +g — 1 丿，

S3 = sJ =^ — (；g2— ]) /'‘12)

S2 + S3=—g, S2—S3=2(；g2_。皿二会以厶厂口 -}(心 r)2「，

g =必(Ar)2 — 2 = 2mW (Дг)2/Й — 2.

Параметр g всегда действителен, так как, согласно уравнению (8.1.13), собственные значения соОл стационарных решений уравнения Шредингера — чисто мнимые. Положение точек S2 и S3 для действительных значений g показаны на рис. 9.2.1, а. Для малых значений Аг величина g составляет приблизительно ——2. Пусть величина W в выражении (12) отрицательна. Тогда зна・ чение g меньше ——2 и корень §з размещается на оси действительных чисел между 0 н +1. При положительном значении W

п Мы придерживаемся стандартного метода решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Детальное объяснение этого ме- то「а можно найти в соответствующих учебниках в разделе дифференциальных уравнений Фукса.

9 X, Хармут

величина g больше ——2 и корень S3 лежит на единичной окружности (—2 V g V +2) или оси действительных чисел слева от

-1 (g>2)・

Формальное решение уравнения (10) находим разложением 々(s) в ряд в точке S3. Этот степенной ряд сходится для малых значений Аг внутри окружности, проходящей через точку S2：

切(S)=玄 qv (s — S3)"v.(13)

В окрестности точки S3 существует регулярное решение при р = 0 н нерегулярное решение при

РР26АгS3 — s26АгS3 — s(14)(14)

Р

Р

26Аг

S3 — s

26Аг

S3 — s

(14)

(14)

Подставляя выражение (13) в уравнение (10), получаем для коэффициентов qv рекуррентную формулу с тремя составляющими:

%, т—1%-1 + %, Wv + ®v, v+i^v+i == °，(15)

«v.、-1 = (р + w) (р + 夕—1),

%» =(Р + ”)2(2S3 — s2) + (p + = [S3 — P(S3 — S2)] — 1(1 + 1),av, V+l = 53(53 一 $2)(p + ” + 1)(V + 1).

Пусть кривая интегрирования Z контурного интеграла (3) начинается в начале координат, обходит точку S3 и возвращается опять в начало (рис. 9.2. 1,q). Точка S2 в эту петлю не попадает. Вычисление интеграла подробно описано в работах [101, 103. 104, 151]. Получаем факториальный ряд

①=s§LL?)V(_ ])、° 一 (р+ 1)…(p + *v)

必S3 r(R + p+i)&(%(R + p+i)(R + p + ”)•

'(16)

Отношение (p + 1) • •・(p + v)/(R + p + 1)・..(A + p + w) всегда равно единице при v = 0, что позволяет для этого случая не писать отдельную составляющую.

Степенной ряд (13) сходится не для каждой точки кривой интегрирования. В результате факториальный ряд (16) расходится для всех значений R. Однако для больших значений R он сходится асимптотически. Сходящийся факториальный ряд получаем путем конформного отображения. Область сходимости степенного ряда (13) отображаем на петлю, проходящую через начало координат. За исключением точек s — s3 и s = 0 внутри петли или на петле не должно быть особых точек. Результирующий факториальный ряд все еще не сходится во всем диапазоне

Рис. 9.2.1. Расположение особых точек s2 (штрихпунктирная линия) и S3 (сплошная линия) на комплексной плоскости как функция параметра g не- релятивистского уравнения Шредингера, уравнения К^еПна ——Гордона и итерационного уравнения Дирака. Кривая интегрирования Z: а — для связанной частицы с 步之 0; б — для свободной частицы с U7 > 0Рис. 9.2.1. Расположение особых точек s2 (штрихпунктирная линия) и S3 (сплошная линия) на комплексной плоскости как функция параметра g не- релятивистского уравнения Шредингера, уравнения К^еПна ——Гордона и итерационного уравнения Дирака. Кривая интегрирования Z: а — для связанной частицы с 步之 0; б — для свободной частицы с U7 > 0

Рис. 9.2.1. Расположение особых точек s2 (штрихпунктирная линия) и S3 (сплошная линия) на комплексной плоскости как функция параметра g не- релятивистского уравнения Шредингера, уравнения К^еПна ——Гордона и итерационного уравнения Дирака. Кривая интегрирования Z: а — для связанной частицы с 步之 0; б — для свободной частицы с U7 > 0

Рис. 9.2.1. Расположение особых точек s2 (штрихпунктирная линия) и S3 (сплошная линия) на комплексной плоскости как функция параметра g не- релятивистского уравнения Шредингера, уравнения К^еПна ——Гордона и итерационного уравнения Дирака. Кривая интегрирования Z: а — для связанной частицы с 步之 0; б — для свободной частицы с U7 > 0

0 & R V 8. Ограниченные и сходящиеся во всем диапазоне 0 W R V 8 собственные функции <p〃(R) получаем в том случае, если факториальный ряд (16) ограничен и, таким образом, содержит конечное число слагаемых.

Ряд (16) является ограниченным, если р — отрицательная целая величина:

р =—и, м = 1, 2,...р =—и, м = 1, 2,...(17)(17)

р =—и, м = 1, 2,...

р =—и, м = 1, 2,...

(17)

(17)

Последней отличной от нуля составляющей ряда (16) является величина д『с индексом v = п— 1.

Из выражений (12),(14) и (17) получаем

s3 — s2 = — 2bSr/n = — 2Z me^r/ntir.(18)

Значения правой части равенства (18) и, следовательно, разности S3 ——S2 действительны и отрицательны. Такое возможно лишь при условии, что точки S2 и S3 лежат на положительной действительной оси (рис. 9.2.1,а). Это необходимое условие существования решений в виде ограниченного факториального ряда. Из рис. 9.2.1, а можно заметить также, что при этом g V V—2. Тогда из уравнений (1) и (2) следует U7 < 0.

На основе выражений (12), (14) и (17) получаем два значения:

^ = ^У^ + ^Г1^-Л.(19)

.=—(&/п)2[1 — (6Дг/2м)2...]=

=一(Z 机 〃/通 2)2 [[ 一 (Zm^r^n^ ...].

Значение xi существенно зависит от Дг, а 乂2 при малых значениях Аг от Дг не зависит. Из уравнения (1) находим собственные значения энергии, связанные с 乂2：

万22 Z2e4m/ Zrne2 . \ -"1

旷=対两=- 2"2尸[1 - (^^" △Г)…卜 (2°)

Сомножитель sf из выражения (16) можно переписать в виде

(21)(21)5з =ехр(—|х2|г).

(21)

(21)

Решение в точке s = S2 содержит коэффициент ехр(+ |х2|г), а не ехр(—|х21 г). При г-> оо это решение бесконечно возрастает.

Выражение (17)—это только необходимое условие ограничения факториального ряда (16). В общем случае отрицательные целые значения р =——п дают бесконечные коэффициенты 4v = g小 Для большей ясности перепишем рекуррентную формулу (15) как систему линейных уравнений

0 =因0% + %闻1,

(22)(22)0 = a10^0 +a1闻1 +a12%，

(22)

(22)

° ^ 仇,V—i^v—1 + %, v4v + %, v+i + q、+i，

° ^^ а〃一i. rif ?%—•? + а门一i, n— i^n—1 + °9п・

Получили n уравнений c n——1 неизвестным, g】,...,qn-\.

Такая система имеет решение, если равен нулю ее определитель:

а°о aoi

а10а1!а12

% 一 2, п—3

%-2, п-2

®п—2,「_[

%—1・ л—2

G/j—3, п —1

(23)

Для малых значений Дг определитель легко вычисляется на ЭВМ. При р = —п и Дг->0 из уравнения (15) получаем

«V, V-1 =(九—V)(九 + 1 — w)，

«V, v = (и — v) (и — V — !) — /(/+ I),

%,= °,

n-1

D— Ц 0Vv = 0.

v=0

Корнями определителя D являются значения I = п — v—1 и / =——(п — v). Интерес представляет только первый корень, поскольку / должно быть неотрицательным целым. Пусть v пробегает значения от 0 до п—1. Тогда / пробегает значения от п—1 до 0. Следовательно, возможными значениями / являются

/ = О, 1, ..., п — 1. (24)

Выражения (17) и (24) являются необходимым и достаточным условиями ограничения факториального ряда (16).

На основе определителя (23) можно также сделать вывод, что логарифмические составляющие в решении дифференциального уравнения (10) в точке s = $з отсутствуют.

Рассмотрим составляющие порядка О (Аг)". Корни определителя D при Дг =/= 0 являются корнями уравнения 几-го порядка. При п = 1 получаем / = 0, при /г = 2

厶=Ze2mAr/ft2,勾=1 — Zdm、"件■.

Собственные значения / должны быть целыми. Следовательно, выражение (16) заканчивается только составляющими поряд-

ка 0(1). Составляющие порядка О (Аг) ° образуют асимптотически сходящийся ряд. В выражении (17) р =——и необходимо заменить на р =—拉 + О (Ar). В данный момент нас удовлетворяет асимптотически сходящийся ряд, поскольку нерелятивистское уравнение представляет главным образом исторический н учебный интерес. Для уравнения Клейна — Гордона будет получено сходящееся решение.

Подставляя равенства (17) н (21) в выражение (16), получаем следующие полиномы:'

(p“(R) = exp(-|&1г) 5 (-1)"%(26)

v=0一V -f- 1 /

Ф1 (г) = <P1 (R) = % exp (—I^Jr),

6 (r) = % (Аг)т exp (― I 乂221 r) (r — Ar — △«/%),

<Рз (r) = 9o (Arlexp ( — I % Ir) [} (r — Ar) (，— 2Ar) +

+ Ar (r — Ar) //go + (Ar)2 gj矶

Для малых значений Аг коэффициенты а”，『+〔 из выражения (15) можно записать в виде

а%、+1 = 2〃т (九一*v — 1)(V + 1) Мг.

При такой аппроксимации рекуррентная формула (15) сокращается до двух составляющих:

一1_ 丄(〃 一—(〃 一■ — 1) — / (/ + 1)外+l п — 37 而 (n — V — 1) (V + 1)%.

Полиномы (25) при этом идентичны полиномам, полученным из дифференциального уравнения Шредингера:

6 (г) = %ехр (—Zme73,

<P2(r) = (go/Ar)exp(—Zme2/2方){г —(肥/Zme'2)[2 —1〃+ 1)]}, / = 0, 1.

Подведем итог. Применение конечных разностей н разностных уравнений привело к математическим методам, совершенно отличным от методов, использованных для решения дифференциального уравнения Шредингера в кулоновском поле. Тем не менее составляющие порядка 0(1) собственных значений и собственных функций, найденные для разностного и дифференциального уравнений, совпадают. Два результата заслуживают того, чтобы их выделить отдельно.

Найдены асимптотически сходящиеся ряды, которые представляют функцию с некоторой неопределенностью, зависящей от разрешающей способности Аг координатной системы.

Известно, что решение дифференциального уравнения может быть квантовано ограничением степенного ряда только в том случае, когда коэффициенты степенного ряда содержат две составляющие [137]. Для факториального ряда это ограничение отсутствует, что очевидно, например, из рекуррентной формулы (15), которая имеет три члена.

Решения нестационарной задачи

Используя соотношение (8.1.7) и подставляя в уравнение (8.1.8) шщ = cD-in = 1 и одно из двух значений(оол：

5叫 1 = —/йД/xf/m = —4i 机；；；产【1 + (^Аг/2п)2..・],⑴

%% 2 =—访A/十/团=/ •：：/ (j) U —(必〃2九)2 ...],

получаем зависимость от времени следующих собственных функций Фп(/, г, 2, ф) = ф„ (0 ф„ (г,令，屮)：

Qi/Lgsoz,/+ (4"®0rU + 1)'⑵

Q2rU = 4~SOn,/一 (；8备"+ 1)，/=1, 2.

Соотношение независимости (8.1.11) преобразуется к виду

1(呉Л&1+|О(&)2|.

При (оОп, / = (Оол, 1 для малых разностей Аг н А/ в пределе находим

時①)2%,(3)

тогда как при соо〃，/ = ®о〃，2 получаем

А/ < t^r^lT^me^.(4)

Чтобы найти только зависимость от времени собственных функций, принадлежащих собственным значениям энергии связанной частицы (9.2.20), достаточно выполнения условия (4). Чтобы общее решение 屮(r,£)= Z с〃чм(/)ф〃(г,合，屮)не зависело от Д/, должно выполняться дополнительное условие (3).

Условия (3) н (4) очень похожи на соотношения (8.2.7) и (8.2.8), найденные ранее для нерелятивистской свободной частицы. В обоих случаях отношение т(Ал)2/2^А/ существенно

лишь тогда, когда все собственные функции должны быть независимы от Д/. Это необходимо, например, для решения задачи начальных значений. Для отдельных собственных функций достаточно сделать малыми А/ и Дг.

Из уравнений (8.1.9) и (2) при / = 2 легко получаем зависимость от времени функций <р〃(£), принадлежащих собственным значениям энергии (9.2.20):

91〃, 2 (') = Еп, 2Q，2 = &1л> 2/""，

屮2% 2 (0 =矶,2Q% 2 = (—If e~iEtlh, ⑸ E = (%/A/)sinT”A//) = №(l +扌毕 + ...).

Решения при 闷 > 0 здесь не рассматриваем, поскольку они аналогичны решению разностного уравнения Клейна-Гордона в разд. 10.6.

Глава 10

Разностное уравнение Клейна — Гордонав кулоновском поле

Разделение переменных и проблема начальных значений

Рассмотрим операторы уравнения (8.4.2). Пусть скалярный потенциал Ф(г, /) инвариантен во времени, а векторный потенциал A(r, /) равен нулю. Преобразуем результирующие операторы в сферическую систему координат по аналогии с разд. 9.1. Опуская составляющие порядка О (Аг), О (Ав) и О (Аф), получаем

Qw,分,Ф)=1+号①(r,分,矶(1)

&(г, 6, <р) = 2 + (^уФ2(г, 6, Ф)-(^^)2 +

+(n)2仔需+备+4<咤分磊+ 娠)+

+ J

'产sin2 ^ (A叫2」，a_i 亿仇 ф) =-1 + ^-^- ф (r,分，ф).

Согласно выражению (8.2.4), для уравнения Шредингера операторы Qi и Q—i имеют постоянное значение +1. Переменные составляющие ieA/①/九 операторов 0】и €2一1 из равенств (1) разрешают записать общее решение в виде суперпозиции собственных функций только для потенциала Ф — константы. Из-за этой особенности уравнения Клейна ——Гордона аналитическое решение задачи с заданными начальными значениями очень затруднено. Из разностного уравнения в принципе можно найти численные решения с шагом △厶 но возникает особая трудность. Если разности Аг, А8, Дф и Af выбрать произвольно, то решения получатся с ошибкой, которая с изменением t возрастает по экспоненте независимо от величины Аг, △分，Дф и А/. Для того чтобы решения были устойчивыми [22], эти разности должны удовлетворять определенным условиям, которые можно вычислить, если операторы (1) имеют общую систему собственных функций [32]. Это возвращает нас к тому, с чего мы начали. Пошаговое численное решение без знания его устойчи- вост и имеет малую ценность. Таким образом, мы не можем

удовлетворительно решить проблему начальных значений операторов (1). Однако можно найти частные решения разностного уравнения Клейна — Гордона подстановкой

①(г, /) = ] JG (г, О, Ф)<р„ (/).⑵

и=0

Предположим, что функции 5(f) ортогональны в определенном интервале. Из уравнения (8.4.2) и выражений (1) и (2) получим

%(/ + △/)%(「，О, Ф)= Фп(0^(г,仆，Ф)%(г,仇屮)一

一心(f -△0%(r,分，①)，(3)

Q；(r,我<p) = &(r,我q)) — i登①(r,仇Ф严分嗚衆f). Предположим, что [<р〃 〃 + △/) —<р〃 (/ ——АО]/<р〃 (/) является константой, т. е.

①拉 С + &) = Кер% (/) + ф„ (/ — &)•(4)

В этом случае собственные значения ①。％ можно определить из равенства

Q〔(r,今，Ф)Фп (г, •&, <p) = ®on(j)n(r,仇 Ф).(5)

Тогда уравнение (3) сводится к обычному разностному уравнению с постоянными коэффициентами:

Фп С + ДО = ^ОлФп (0 —①n (f — &)•(6)

Уравнение (6) совпадает с уравнением (8.1.6), но применимо лишь в том случае, если выполняется допущение (4). Уравнение (3) может иметь другие решения, которые исключаются, поскольку для них не выполняется допущение (4).

Из уравнений (4) и (6) следует соотношение ^ = ^п — 4. Уравнение (6) имеет два решения:

Ф1п (0 = ^inQin = b\neiEtfh,

①2〃 (0 = ^2nQ2n = 62rle iEf/力，⑺

C _ iEMIh 1. / 12[、1/2

Qin = e— %n + (丁 g〃 — 1J ,

Q2n = e=万80n 一 (丁 ^n - 1 )，

т = //А/.

Согласно уравнению (8.1.13), для стационарных решений величина (оо〃 должна быть действительной. На основе условия

независимости (8.1.11) получаем

—2 — |0 (А。? I《5“《2 + I。(A/)21，(8)

Разностное уравнение в частных разностях (5) можно преобразовать в три обычных разностных уравнения подстановкой <Рп(Г,今，ф) = Фл(Г)^п (，&)%п(ф)-

Для 船(屮)и 牛〃(令)уравнения такие же, как (9.1.5) и (9.1.6). Для(pn(r) уравнение имеет следующий вид:

(eМ2[岛■十"^ ^ + 謚戸 + (卡)Ф2 (г)_(贅)+

十马一 +①(r)sin¥]<p〃(r) = O. (9)

产 (cA£)z c^^tn方」' 7

Дискретные собственные значения бозе-частицв кулоновском поле

Уравнение (10.1.9) для бозе-частицы с зарядом е в поле Ф(г)=—Ze/产 принимает следующий вид, если, как и прежде, используется симметричное разностное отношение Д5/Дг:

/? (R + 1) % 依 + 1) + [gR? + 2bMR 一 / (I + 1) + Z2a2]必(R) +

+ R(R—1)必(R—l) = 0.(1)

g = -2 - %2(Ar)2 = -2 - (-^- - да) (Ar)2, a = *,

"=(芋)'+ 鵠萨」=-Za (c&)T sin 染一聲，£ = mc2(\ — 乂2方2m2c2)1/2 +。(Ar, Af),

R = r/Ar, <pn (R)=必(r).

Это уравнение совпадает с уравнением для нерелятивистской частицы (9.2.2), за исключением составляющей Z2a2.

Если решение уравнения (1) сходится при R > Ro, то его можно продолжить в область R W Ro, переписав уравнение (1) в виде

必(R) = -RT (R + 1尸{[g (R + J + 2丛厂(R + 1) —

-/(/+ l) + ZV](prt(/?+ 1) + (/?+1) R l-2)(p„(/? + 2)}. (2) Особыми точками этого уравнения являются точки R = 0 и R = —1. По аналогии решение, которое сходится при R V Ro, можно продолжить вправо в область R > R。：

<P〃(R)=-R7(R-l)T{[g(R—l)2+2Mr(R-l)-

-/(/+ 1) + Z2 明吗(R— 1) + (R—l)(R_2)(p〃(R — 2)}・(3)

Особые точки уравнения (3)—это 7? = 0 и R = 1. Положение особых точек зависит только от коэффициентов функций q〃(R + 1),(p〃(R— 1) и не зависит от потенциала Ф(г) из уравнения (10.1.9).

Решения фп(/?), которые сходятся при R > R。или R V Ro, можно найти с помощью преобразования Лапласа аналогично нерелятивистскому уравнению Шредингера из разд. 9.2. Продолжение решений за абсциссу сходимости факториального ряда тогда не имело смысла, поскольку факториальный ряд был ограниченным и полиномиальным.

Применяя преобразование Лапласа (9.2.3) к уравнению (1), получаем следующее разностное уравнение:

(s2 + gs + 1) s" + (2s + g — 26Ar) swf — [/(/+!) + Z2a2] ш — 0.

(4)

В конечной плоскости особые точки этого уравнения определяются корнями выражения (s? + gs+ 1 )s:

Si=0, $2 = —gg+ (.g?— I)"'(5)

S3 = — 4-g—(；g2— 1)"2 = S「

Поскольку величина so〃 действительна, то, согласно уравнению (I), 乂2 и g также действительны. Пусть g изменяется от —оо до +8. Тогда точки s? и S3 перемещаются вдоль сплошной и штрихпунктирной линий на рис. 9.2.1, а.

Используя разложение в ряд

W(S)=纟 4v (s — S3)p+v,(6)

получаем в дополнение к р = 0 начальную степень

и рекуррентную формулу

а『,『―1外-1 + %. W、+ a、, v+i^v+i=== °，(8)

av,v-i = (p +V — l)(p +v), %,V+1=S3(S3 —S2)(v+ l)(p + v+ 1), %, T =(2S3 — s2) (p + V)(p + V — 1) + (3S3 — s2 — 2bAr) (p + v)—

-/(/+ D +ZV,

$2耍$3・

Рассмотрим значения S3 на положительной полуоси О V s3 Vl. Для фЛ(/?) получаем асимптотически сходящийся факториальный ряд, похожий на (9.2.16):

底(R) = S§ Г(/? + р+ 1) £( — 1 户外(R J；：3'.二用""+v)，(9)

V—0

При малых значениях Ar и Af получаем

s2 a 1 +1 乂 I Ar 2 J "“'，S3 # 1 — I y ]△，仪 e」■ ",(10)

Zamc p~po=mr

На этот раз нельзя ограничить ряд (9), выбирая для р целые отрицательные значения, так как определитель, соответствующий выражению (9.2.23), не равен нулю. Это утверждение можно проверить, заменяя в выражении (12.6.21) из разд. 12.6 S2 на S3. Для коэффициентов результирующего уравнения необходимо выбрать следующие значения:

dio = 4i =d-io=—山1 = 1, & =2 办 г, %= TQ + 1) + Z2a2,山2 === d—12 == 0.

При малых значениях Ar получаем уравнение

(p + S(p + *+ 1) — /(/+ D + Z2a2 = 0.

Целые значения р этому уравнению не удовлетворяют. Факториальный ряд (9) можно ограничить, не предполагая разность Аг исчезающе малой, но тогда результирующее уравнение, соответствующее равенству (9.2.23), имеет решения, зависящие от Аг. Это противоречит философии нашего исследования, поскольку мы пытаемся найти решения, независимые от Дг при малых значениях △，・ Не удивительно, что эти решения при определенных значениях Аг совершенно не похожи на решения дифференциального уравнения. Например, условие р = —п дает собственные значения энергии

口 2厶Z2a2 、i/2

E = mc - 〃阡 z2G2 J •

которые отличны от соответствующих значений дифференциального уравнения Клейна——Гордона. Полиномиальные решения мы больше рассматривать не будем, а попытаемся найти ответ в виде факториального ряда, у которого составляющие порядка О (1) сходятся при достаточно малых значениях Дг в полуплоскости R > 0.

В качестве первого шага найдем условия, при которых факториальный ряд (9) асимптотически приближается к полиному. Для этой цели разложим a% v—i, av, v и ач v+i из уравнения (8) в ряд по степеням Аг и Af:

%, v-1 = (Ро + V — 1) (Ро + ”) +。(Ar, М,av,v = (Po + v)(po+v+ 1)-/(/+ l) + Z2a2+O(Ar, &), (11)J,v+i = —2xAr(v + 1)(po + 少十1)[1 +。(△，，Д/)].

Символом O(Ar, Af) обозначены члены, которые стремятся к нулю пропорционально △厂 или А/. Эти члены называем малыми, если выполняются условия

|х|Дг < 1, \и\сМ < 1. (12)

Рекуррентную формулу (8) можно переписать в виде системы линейных уравнений, подобной (9.2.22). По правилу Крамера, находим коэффициент 夕叶仃

%,u-iац, н

(13)

Члены av> V+1 имеют порядок О (Аг). Следовательно, легко вычислить значение определителя в первом приближении:

(一1)"+1 П [(Ро + V)(Ро + V + 1) — / a + I) + Z2a2] + О (Ar, Д/)

Тогда n + 1 коэффициент q。 док 0(1), а коэффициенты О(Аг, А/). В этом случае приТогда n + 1 коэффициент q。 док 0(1), а коэффициенты О(Аг, А/). В этом случае при△rgj ..., (Ar)Pq“ имеют поря- (Ar)v^v при V > 卩一порядок малых значениях Дг и Af факто*△rgj ..., (Ar)Pq“ имеют поря- (Ar)v^v при V > 卩一порядок малых значениях Дг и Af факто*liav, v + 1

Тогда n + 1 коэффициент q。 док 0(1), а коэффициенты О(Аг, А/). В этом случае при

Тогда n + 1 коэффициент q。 док 0(1), а коэффициенты О(Аг, А/). В этом случае при

△rgj ..., (Ar)Pq“ имеют поря- (Ar)v^v при V > 卩一порядок малых значениях Дг и Af факто*

△rgj ..., (Ar)Pq“ имеют поря- (Ar)v^v при V > 卩一порядок малых значениях Дг и Af факто*

риальный ряд (9) похож на полиномиальный, если рассматривать только конечное число членов. Ряд по-прежнему расходится, как бы ни были малы Дг и △厶

Вводя замену

卩=九—/ — 1,(16)

с учетом (15) получаем

Ро = —« + ^ + 4" ± [(Z + т)2 ~ 22<^\'2.(17)

р。尸 i + / + }_[(/ + g)2_Z2a『\f +器，

— +，+ } + [(/ + 9 — Z寸—告.

м' = м —2/- 1.

Пусть 卩 изменяется от 0 до п——1. Тогда индекс I принимает одно из значений

/ = 0, 1, ..., и — 1.(18)

Коэффициенты q。，Аг/, •••, (Аг)"‘т/—ц имеют порядок О (1). Из уравнения (1) и выражений (10) и (17) получаем

Т 資 О + 嘉)-”"|'(19)

Zamc J . 22a2 / n 1 \1

"产 T 卩 + Т Ьггг - J，

Zamc J Z2a2 / nf 〔 1而[1_才(京与丁+互)]1，

E = |大++Г卜

口Z2a2Z4a4 / n 3

r 2「i Z2a2 . Z'a* / n' I 3

м' = м — 2Z — 1.

Значения 乂 н Е в выражении (19) такие же, как для дифференциального уравнения Клейна — Гордона. Чтобы избежать полюсов в собственных функциях дифференциального уравнения, знак минус для квадратных корней и, следовательно, для 乂2 и £2 обычно не рассматривается.

Асимптотическое решение

Рекуррентная формула (10.2.8) дает коэффициенты %, 伙，• • •：

+ О (Ar, A/)].+ О (Ar, A/)].(1)(1)心「1」Р0(p0+1) 一 /(/ + 1) + 2202

+ О (Ar, A/)].

+ О (Ar, A/)].

(1)

(1)

qo — xAr L2(po+ 1)

心— 1『So + 1) (Po + 2) — / (/ + 1) + Z2a2

畑—(хДг)2 L4 (po + 2)

X&(虹兀4r+ z* +。(M &)].

С помощью соотношений, справедливых для гамма-функции, 「依)=依一1)...便一及+，+i)r(R 一及+，+1),(2)

1；Е Г (R — 〃 + / + 1) — n- (Po + n-l)

I(R + po+i)—以 ，

c—Rc—x r

S3 弋e

факториальный ряд (10.2.9) можно переписать в виде

% (f) = д；e一у7?•〃十九_ 1-1% (f) = д；e一у7?•〃十九_ 1-1[1-[1-Ро(Ро +D — /(/+D + Z2a22xrРо(Ро +D — /(/+D + Z2a22xr+…];+…];и —и —_ 4■千[(/ + 9? _ Z2a2_._ 4■千[(/ + 9? _ Z2a2_.(3)(3)

% (f) = д；e一у7?•〃十九_ 1-1

% (f) = д；e一у7?•〃十九_ 1-1

[1-

[1-

Ро(Ро +D — /(/+D + Z2a22xr

Ро(Ро +D — /(/+D + Z2a22xr

+…];

+…];

и —

и —

_ 4■千[(/ + 9? _ Z2a2_.

_ 4■千[(/ + 9? _ Z2a2_.

(3)

(3)

Выражение (3) содержит полином с и— 1 членами порядка 0(1) и бесконечное число членов порядка О (Аг, А/), которые были опушены. Такой же полином был выведен из дифференциального уравнения Клейна ——Гордона. Его можно использовать как аппроксимацию факториального ряда (10.2.9) при г =# 0, поскольку в этом случае R =「/А，можно сделать произвольно большим при достаточно малых значениях Аг. О точности аппроксимации пока нельзя ничего сказать, кроме того, что ряд асимптотически сходится. При R = г = 0 полином не годится. В дифференциальной теории разрешается использовать решение и = —1/2 + [(/ + 1/2)2 — Z2a2],/2, поскольку оно вызывает только «слабый полюс》при г = 0, в то время как решение и = —1/2 — [(/+1/2)2 — Z2a2]i/2 исключается из-за того, что результатом является «сильный полюс». Здесь мы это сделать не можем, поскольку медленно расходящийся ряд все же расходится. Независимо от потенциалов V(r) или Ф(г) оба разностных уравнения, и Шредингера, и Клейна ——Гордона, имеют особенность в точке R — г = 0. В результате абсцисса сходимости их решений в форме факториального ряда равна Ro = 0. Это обеспечивает асимптотическую сходимость при

R > 0, но при R = 0 ряд может как сходиться, так и расхо- диться. В случае уравнения Шредингера для составляющих порядка 0(1) мы получили сходимость автоматически. Для уравнения Клейна — Гордона член Z2a2 препятствует автоматической сходимости в абсциссе сходимости. Аналогичная проблема возникала для степенных рядов, которые сходятся внутри окружности сходимости, расходятся вне этой окружности и, возможно, сходятся, а возможно, и нет, на всей или части окружности сходимости. Следовательно, мы должны попытать- ся найти решение разностного уравнения Клейна — Гордона, которое сходится, по крайней мере асимптотически, на абсциссе сходимости R。= 0. Эта попытка окажется успешной лишь частично, поскольку нам удастся показать, как достичь нужного результата, но результирующий ряд сходится так медленно, что сделать окончательные выводы окажется невозможным. Однако проблема сводится полностью к математической задаче, и есть надежда, что математик сможет ее решить.

Отразим еще раз различие в решении уравнения Шредингера и Клейна — Гордона. Факториальный ряд

ОО

С т 〃(р+ 1)…(р+『)

⑷⑷(r + p+d...(r + p +『)

⑷

⑷

можно ограничить или отрицательным целым значением р = =——п, или нулевым коэффициентом 夕丫 = 9〃 = 0. Во втором случае рекуррентная формула для коэффициентов q、должна иметь только два члена. Факториальный ряд Шредингера мы ограничивали 1\ выбирая, согласно выражению (9.2.17), р = ———и, а факториальный ряд уравнения Клейна——Гордона задавая в соответствии с выражением (10.2.15) 夕什］=0. Указанные различия в ограничений факториальных рядов и являются причинами наших трудностей с решением уравнения Клейна — Гордона.

Сходящееся решение

Степенной ряд (10.2.6) сходится при малых значениях Аг внутри окружности, проходящей через точку s2 вокруг точки S3. Это легко увидеть из рис. 9.2.1, а. Внутри несколько меньшей окружности степенной ряд сходится абсолютно. Путем конформного отображения эту меньшую окружность можно преобразовать в петлю, проходящую через точку s = 0 вокруг точки S3. Точка S2 в петлю не попадает. Преобразованный ряд

1)«Ограничение» относится здесь только к составляющим порядка 0(1).

Асимптотическое решение

Рекуррентная формула (10.2.8) дает коэффициенты %, 伙，• • •：

+ О (Ar, A/)].+ О (Ar, A/)].(1)(1)心「1」Р0(p0+1) 一 /(/ + 1) + 2202

+ О (Ar, A/)].

+ О (Ar, A/)].

(1)

(1)

qo — xAr L2(po+ 1)

心— 1『So + 1) (Po + 2) — / (/ + 1) + Z2a2

畑—(хДг)2 L4 (po + 2)

X&(虹兀4r+ z* +。(M &)].

С помощью соотношений, справедливых для гамма-функции, 「依)=依一1)...便一及+，+i)r(R 一及+，+1),(2)

1；Е Г (R — 〃 + / + 1) — n- (Po + n-l)

I(R + po+i)—以 ，

c—Rc—x r

S3 弋e

факториальный ряд (10.2.9) можно переписать в виде

% (f) = д；e一у7?•〃十九_ 1-1% (f) = д；e一у7?•〃十九_ 1-1[1-[1-Ро(Ро +D — /(/+D + Z2a22xrРо(Ро +D — /(/+D + Z2a22xr+…];+…];и —и —_ 4■千[(/ + 9? _ Z2a2_._ 4■千[(/ + 9? _ Z2a2_.(3)(3)

% (f) = д；e一у7?•〃十九_ 1-1

% (f) = д；e一у7?•〃十九_ 1-1

[1-

[1-

Ро(Ро +D — /(/+D + Z2a22xr

Ро(Ро +D — /(/+D + Z2a22xr

+…];

+…];

и —

и —

_ 4■千[(/ + 9? _ Z2a2_.

_ 4■千[(/ + 9? _ Z2a2_.

(3)

(3)

Выражение (3) содержит полином с и— 1 членами порядка 0(1) и бесконечное число членов порядка О (Аг, А/), которые были опушены. Такой же полином был выведен из дифференциального уравнения Клейна ——Гордона. Его можно использовать как аппроксимацию факториального ряда (10.2.9) при г =# 0, поскольку в этом случае R =「/А，можно сделать произвольно большим при достаточно малых значениях Аг. О точности аппроксимации пока нельзя ничего сказать, кроме того, что ряд асимптотически сходится. При R = г = 0 полином не годится. В дифференциальной теории разрешается использовать решение и = —1/2 + [(/ + 1/2)2 — Z2a2],/2, поскольку оно вызывает только «слабый полюс》при г = 0, в то время как решение и = —1/2 — [(/+1/2)2 — Z2a2]i/2 исключается из-за того, что результатом является «сильный полюс». Здесь мы это сделать не можем, поскольку медленно расходящийся ряд все же расходится. Независимо от потенциалов V(r) или Ф(г) оба разностных уравнения, и Шредингера, и Клейна ——Гордона, имеют особенность в точке R — г = 0. В результате абсцисса сходимости их решений в форме факториального ряда равна Ro = 0. Это обеспечивает асимптотическую сходимость при

R > 0, но при R = 0 ряд может как сходиться, так и расхо- диться. В случае уравнения Шредингера для составляющих порядка 0(1) мы получили сходимость автоматически. Для уравнения Клейна — Гордона член Z2a2 препятствует автоматической сходимости в абсциссе сходимости. Аналогичная проблема возникала для степенных рядов, которые сходятся внутри окружности сходимости, расходятся вне этой окружности и, возможно, сходятся, а возможно, и нет, на всей или части окружности сходимости. Следовательно, мы должны попытать- ся найти решение разностного уравнения Клейна — Гордона, которое сходится, по крайней мере асимптотически, на абсциссе сходимости R。= 0. Эта попытка окажется успешной лишь частично, поскольку нам удастся показать, как достичь нужного результата, но результирующий ряд сходится так медленно, что сделать окончательные выводы окажется невозможным. Однако проблема сводится полностью к математической задаче, и есть надежда, что математик сможет ее решить.

Отразим еще раз различие в решении уравнения Шредингера и Клейна — Гордона. Факториальный ряд

ОО

С т 〃(р+ 1)…(р+『)

⑷⑷(r + p+d...(r + p +『)

⑷

⑷

можно ограничить или отрицательным целым значением р = =——п, или нулевым коэффициентом 夕丫 = 9〃 = 0. Во втором случае рекуррентная формула для коэффициентов q、должна иметь только два члена. Факториальный ряд Шредингера мы ограничивали 1\ выбирая, согласно выражению (9.2.17), р = ———и, а факториальный ряд уравнения Клейна——Гордона задавая в соответствии с выражением (10.2.15) 夕什］=0. Указанные различия в ограничений факториальных рядов и являются причинами наших трудностей с решением уравнения Клейна — Гордона.

Сходящееся решение

Степенной ряд (10.2.6) сходится при малых значениях Аг внутри окружности, проходящей через точку s2 вокруг точки S3. Это легко увидеть из рис. 9.2.1, а. Внутри несколько меньшей окружности степенной ряд сходится абсолютно. Путем конформного отображения эту меньшую окружность можно преобразовать в петлю, проходящую через точку s = 0 вокруг точки S3. Точка S2 в петлю не попадает. Преобразованный ряд

1)«Ограничение» относится здесь только к составляющим порядка 0(1).

(10.2.6) сходится абсолютно и однородно вдоль линии интегрирования /, которая, за исключением точки s = 0, полностью лежит внутри петли. Линия / начинается в точке s = 0, обходит точку S3 и опять возвращается к точке s = 0. Таким образом, ряд можно проинтегрировать почленно и получить факториальный ряд, который сходится при R > Ro, где R。— это все та же абсцисса сходимости, которую требуется определить.

Преобразование ^ = (s/s3)p, где Р действительное, отображает точку S3 s-плоскости в точку (1, 0) ^-плоскости, а точку S2 б точку s^. Точка s^p лежит вне окружности「一 11 = 1, проходящей вокруг точки (1, 0), если выполняется условие

P>|ln2/lns2.(1)

Ранее для связи нормированной переменной R с ненормированным расстоянием г мы использовали отношение R = г/Аг. Теперь по аналогии напишем

Р『М(2)

На основе выражения (10.2.10) неравенство (1) можно переписать в виде

хр > у In 2 « 0,347.(3)

Видим, что конформное преобразование вводит длину р, которая должна быть ненулевой для конечного значения волнового числа х.

Инверсное преобразование

S = s^IP⑷

отображает окружность |С—11 = 1 в петлю на s-плоскости. Чтобы понять, как выглядит эта петля, воспользуемся подстановкой

I = г 卢妬，s = У，S3 = г^^- Получаем

Г2 =r3Г产，%2 - %3 =左/尸.

Пусть %i изменяется от —у л до + 万冗，а г\ — от нуля до двух и обратно до нуля. Тогда разность %2 — %з изменяется от ——冗/2Р до +冗/2尸,а「2 — от нуля до 2〔/°厂3 и опять до нуля. Составляющая хз равняется нулю, если точка S3 расположена на действи- тельной оси.

Степенной ряд в точке S2 можно преобразовать точно так же, как в точке S3. Если точка s2 расположена на действительной положительной полуоси, то число Р должно быть комплексным.

Из выражений (10.2.9) и (10.2.10) можно заметить, что при больших значения г решение изменяется как e+乂‘. Поэтому здесь это решение рассматриваться не будет.

Преобразование (4) приводит степенной ряд (10.2.6) к следующему виду:

w(s) = w (f/p)=焦1 炉-1)P 自 sg+vqv (+加 一 l)v =

= (L1)p£X(1—疔.(5)

Коэффициенты Av можно получить из коэффициентов % чисто алгебраическим путем. Разложим 1 ——早/尸 в биномиальный ряд l-^=i_[i_(l_g)]*/₽==l^L + Z^L^_L^iy +

+ ... =ХР-(1 —目・(6)

Этот ряд абсолютно сходится при 一1 V 1—g <十1. При 1 — ——占=+1 ряд сходится только для ненулевого Дг. Выражение

(汽二 丿=Р~РХр = Р-р [1-(1- Х-')]-Р(7)

также можно разложить в биномиальный ряд, который абсолютно сходится при 11 — 1/Х| < 1 и, таким образом, наверняка при 0V 1 — Е<й~1・ Используя разложение

Х-【=& + G (1 —自户 +。2 (1 —自尸 + •..(8)

н соотношение ХХ~1 = 1, получаем окончательно [ (gI/p — 一1)/(1)]。 как разложение в ряд в точке 1—& Ряд (8) сходится абсолютно, если абсолютно сходятся выражения (6) и (7). Определенно этот случай 0 V 1 —自 W + 1. Такие же утверждения о сходимости применимы к ряду

/р/р 一 i、p

(；_ 1 丿=О * [1 + 山(1 —目 + 必(1—自)2 + ・・•].(9)

Для составляющих qv(V/p—l)v также необходимо разложение в ряд

(『Р 一 1)V= (— 1)»Т(1 _ 自)[1 + 〜(1 _ 自)+ %2(1 7)2 + ...].

(10)

Эти разложения в ряд также сходятся абсолютно при —1 V 1 —— —WV+L Перемножая ряды (9), (10) и преобразуя коэффициенты в соответствии с выражением (5), после нескольких дней

компьютерных вычислений получаем коэффициенты сходящихся степенных рядов

4о = Р-%з%,(11)

4 = 4(/『-白3劫,

4 = 4Hp(P-i)(P + Jp^4^a —

-/(P+l)9s3『%sw|

Коэффициенты Av при v > 2 слишком громоздки для записи. Поэтому Л3 и Л4 приведены только для предельного случая 户》1, хДг《1：

4 = 4(^Ро—^),(12)

4 = 4k%6。+制_白%+1)没+嵐],

4 = 4[亲%3 + 5?0 + 6)一 /(3届+11p。+ 8)既 ++弥。+ 2)高?-急],

4 = 4[p。(击 Р"备 р5 + T^р。 +編)一— *(P^+8p^+19p°+12)裔 +

十(9P^ + Spo + 4i)^7-}(% + 3)^^ + ^^].

Не будем забывать, что все это делалось для контурного интеграла (9.2.3). В результате конформного преобразования (4) зтот интеграл преобразуется к виду

%依)=备J产f (一)四(13)

П：т£呼“в ст°*ько времени на исследование сходимости ряда 切(自)，теперь мы можем пожинать плоды и интегрировать член за членом. Получаем факториальный ряд [102, 104, 151]

―乂lb [ а (Р +1)…(р + ”)

% (А ) = е~хг% (А ) = е~хг「(万 + p+i) I 6十戸 +1)…什+ р + ”)

% (А ) = е~хг

% (А ) = е~хг

市=能 sf = eT %(-0 =(必(夸)=%(R),

1%р1%рро (畑 + D — ?(?+D + Z2a22 (po + 1)ро (畑 + D — ?(?+D + Z2a22 (po + 1)+。(Ar, AZ),+。(Ar, AZ),

1

%р

1

%р

ро (畑 + D — ?(?+D + Z2a22 (po + 1)

ро (畑 + D — ?(?+D + Z2a22 (po + 1)

+。(Ar, AZ),

+。(Ar, AZ),

”2 I f 丄 5、 Po + 1 Po(Po + 1) — I (/ + 1) + Z2a2万=g Po (Po + 言丿一F4(p°+l)

1 P。Sq + 1) — I (/ + 1)十 #。2(% + 1)(po + 2) — I a + 1) + Z£a2

8 (Po + 1)^T§

+ О (Ar, △/)・

В разд. 12.8 показано, что этот факториальный ряд сходится абсолютно при г > 0, если р удовлетворяет условию (3). Таким образом, ряд (14) можно разделить на два ряда: с составляю， щи ми порядка 0(1) и с составляющими порядка О(Дг, АО- Оба ряда сходятся. Следовательно, при достаточно малых значениях Аг и Д/ можно пренебречь вторым рядом, если первый ряд отличен от нуля. Точка г = 0 при этом исключается, так как о сходимости в этой точке ничего не известно.

Используя выражение (10.3.2), можно при больших значениях

г》р|ро+1| 力 р［1+爵(1г》р|ро+1| 力 р［1+爵(1(15)(15)

г》р|ро+1| 力 р［1+爵(1

г》р|ро+1| 力 р［1+爵(1

(15)

(15)

переписать факториальный ряд (14) в более простом виде:

必(7)^ 4。*产I- X

X {1 -七［1 + 喇 Ро(Ро + 1) — S + 1) + Z2叫 +・・・}, (16) "0 —}干［(% + 釘2 一 Z2(x2『・

Асимптотический ряд (10.3.3) и, следовательно, собственные функции дифференциального уравнения Клейна ——Гордона не содержат в скобках составляющей мрро(ро+1), но в остальном идентичны с рядом (16). Условие 叱р > 0,347 из выражения (3) показывает, что в сумме 1 + хр нельзя пренебречь величиной 无р. Однако в выражении (16) член в скобках, умноженный на 1/2хг, будет значительно меньше первого слагаемого ——единицы, поскольку

г》1/2% (17)

при условии, что п и, следовательно, ро(ро+ 1)冗 〃(〃+ 1) так же, как %р, не слишком велики. На основе условия (17) с ис-

10 X, Хармут

пользованием выражения (10.2.19) получаем

—.(18)

2Za тс' '

Следовательно, на расстояниях от центра кулоновского поля, меньших 100 комптоновских длин волн, можно ожидать появления расхождений собственных функций разностного и дифференциального уравнений. Комптоновская длина волны составляет 8,9-10~13 см для пионов 冗十 или 冗一 и 2,6-10~13 см для каона К+. Таким образом, расхождения между результатами дифференциальной теории и теории конечных разностей проявляются на типичных ядерных расстояниях, а не на атомных расстояниях порядка 10-8 см». Кроме того, что ро(Ро + 1)/2 七 р(р + 1)/2 не должно быть малым по сравнению с г/р, каких-либо других выводов из выражения (16) делать не следует, поскольку в нем используется аппроксимация г/р》|р+1| из выражения (15). Факториальный ряд (14) от этой аппроксимации свободен, но громоздкий для работы.

Факториальный ряд (14) сходится справа от абсциссы сходимости &о= 0, т. е. на всех расстояниях г > 0. Он может сходиться также на абсциссе сходимости, т. е. при г = 0, но при этом требуется особое исследование, которое до сих пор успеха не имело. Итоги того, что сделано, подводятся в разд. 10.5, там же станут очевидны встретившиеся трудности. Требование сходимости при г = 0 наложит, вероятно, некоторое ограничение на таинственный параметр р, имеющий размерность длины. При р = 0 сходящееся решение разностного уравнения, выражение (16), становится равным решению дифференциального уравнения, но это значение р исключается условием (3).

Сходимость в начале координат

Из выражения (10.4.14) при г = 0 получаем

，。П囑й^4 Х^х

1)В разд. 2.3, а именно в двух предложениях, следующих за соотношением (2.3.9), уже был сделан вывод о том, что поток информации не является ограничением на атомных расстояниях, но становится проблемой на ядерных расстояниях. Выполненные здесь подробные вычисления приводят к тому же выводу.

Чтобы получить определенное значение (рп(0), должны выполняться следующие два равенства:

玄4 = 。,⑵

V—0

^(°)= - г(р*+1)£ (^ £ 7Т7)-(3)

При больших значениях v сумма S (р + /)-1 в выражении (3) изменяется как In v. Следовательно, при больших значениях v слагаемые выражения (3) уменьшаются как Avlnv и выраже- ние (3) требует более быстрого уменьшения коэффициентов Л¥» чем выражение ⑵.

На основе выражений (10.4.5) и (10.4.10) сумму (2) можно переписать в следующем виде:

f 4, = lim£ 人(1 T)v=4g「lim [1+ &(1Т)+ ...]Х v=o^ -> 0 *v=0^-> о

X X s严(一1)"尸一”外(1 —自)“ [ev0 + %】(1 — E) + ・•・]・⑷

v=o

Отсюда следует

lim .厶(1 T)v = lim[(?/P- 1)/仁 一 1)F=1,(5)

%。衿 иЕ>0

lim £ (— l)vpr.(l Т)…= lim (产 一 1厂=(一 1)* 1->иц=оА。

lim £ s§+"pf (— l)v^v (1 —自)"％о +e* (1 — E)+ ・・•] =

E>o v=o

=Z(- i)vp-v+4,w=o

f： 4= Aoq^ £ (- W^P~vqv.(6)

v=ov=0

При больших значениях v, согласно выражению (10.2.14), составляющая (——l)vS3~hvP~vqv принимает следующий вид:

lim (- l)vs^+vP~vqv = (- 2hv)-v.(7)

V>8

Следовательно, ряд (б) сходится абсолютно при D

2хр > 1, Аг^=0.(8)

Это условие ограничивает р в большей степени, чем соотношение (10.4.3). При больших значениях v слагаемые суммы (3) имеют вид (—2xp)-vln v и сходятся, если выполняется соотношение (7).

Рассмотрим собственные функции при 卩=0 или, согласно обозначению (10.2.16), при / = п— 1. В выражении (6) только члены Ло или，о имеют составляющие порядка 0(1). Следовательно, из равенства (6) получаем

% + О (Аг) = 0.(9)

Если пренебречь составляющими порядка О (Аг), то получим только тривиальное решение 伙=0.

Теперь в выражении (10.2.16) возьмем 卩=1, откуда следует / = 〃 一 2, 〃》2. Равенство (6) принимает вид

% — (Аг/р) % +。(Аг) = 0.(Ю)

Пренебрегая составляющей О (Аг), на основе соотношений (10.3.1) и (8) получаем

—1 Ро(А)十 1) ~~ / (I + 1) + Z2a2/11\

P = V2(ро+ 1)> 百'"

Согласно выражению (10.2.17), значение ро становится комплексным при Z2a2 > (/ + 1/2)2. Приемлемого решения неравенства (11) не существует, поскольку величина р должна быть действительной. Для диапазона Z2a? > (Z 十 1/2)2 используем разложение в ряд ро = Poi из выражения (10.2.17):

功、2气备丄空L.(12)

Подставляя / = п — 2, poi =——n + Z2a2/ (2n — 3) и отбрасывая составляющую Z4a% получаем

2xp = — 2,(13)

тогда как по условию (8) требуется 2хр > 1. Следовательно, отбрасывая составляющие порядка О (Аг), решений по-прежнему не получаем. Подставляя Ро = Ро2 = —^ + 2/—1—Z2a?/(2/ + + 1), / = 〃 — 2, из выражения (10.2.17) в выражение (11), находим то же самое значение 2хр =——2.

I)Заметим, что значение 乂 всегда положительно в соответствии с выра- жением (10.2.19), а значение р — в соответствии с выражением (10.4.3),,

Попробуем сделать еще один шаг и зададим в выражении (10.2.17) значения 卩=2, / = м — 3, 〃 > 3. Равенство (6) преобразуется к виду

9о — (А〃р) qi + (А〃р)2 q2+О (Дг) ==0.(14)

Пренебрегая составляющими порядка О (Аг), получаем

2%р = 〃[1 ± (1 — и/〃)％],(15)

"—Ро (Pg + 1) — / (/ + 1) + Z2a22(ро+ 1)，

一(Р。+ 1) (Р。+ 2) —((/ + 1) + Z2a2

—Po + 2'

При po = poi = —n + Z2a2/(2〃 ——5)получаем

2〃 一 3 — 2Z2a2/(2〃 — 5)门

—尼/(2〃一5)，g-2.

Правая часть равенства (15) является комплексной для любого конечного п, а при 〃一> оо принимает значение —2.

Подставляя р()= р°2 = м — 5 — Z2a2/ (2〃 一 5), получаем

U EZS 2,U EZS 2,2〃 一 7 — 272a2/(2〃 一 5)一 〃 一4 — Z%2/(2〃 一 5)

U EZS 2,

U EZS 2,

и для любого значения п правая часть равенства (15) становится отрицательной. Особый случай наблюдается при 九=4, но и здесь после преобразований получаем ——1.

Поясним полученные результаты. Раньше нам всегда удавалось получить результаты, не зависящие от Аг при достаточно малых значениях Аг. Другими словами, при Аг《г мы могли отбросить составляющие порядка О (Аг). Однако при г = 0 пренебречь конечным значением Аг уже нельзя. Таким образом, параметр р должен быть функцией как Аг, так и Z, п, / и а. Следовательно, вблизи начала координат собственная функция описывает не только наблюдаемую систему, представленную через Z,九,/ н а, но также координатную систему или средства наблюдения, представленные разрешающей способностью Аг. Это прозрачный пример того, как использование конечных разностей Аг и дифференциалов dr приводит к различным результатам. На •основании этих предварительных результатов можно предположить, что расходимость квантовой теории поля при г = 0 как-То связана с использованием дифференциалов.

Математически строгое исследование условий, при которых сумма (2) становится нулевой, требует также рассмотрения по крайней мере составляющих коэффициентов 4V порядка О (Лг). Хотя расширить разложения в ряд из разд. 10.4 от составляющих порядка 0(1) до составляющих порядка О (Аг) в принципе

возможно, сделать это практически не так-то просто. Эту задачу можно запрограммировать для решения на ЭВМ, но даже в этом случае требуется преобразование в ряд, сходящийся более быстро. Для этой проблемы нужен хороший математик со свежей идеей.

Свободные частицы в кулоновском поле

Рассмотрим решения дифференциального уравнения (10.4.4)» для которого S2 и S3 расположены на окружности |s| = 1 (см. рис. 9.2』,6). При малых значениях Аг вместо выражений РО.2.1) и (10.2.10) получаем

S2 а 1 + 爪'Лг, S3 = 1 — К Аг,(1)

Е = тс2(1'

"-督(易-1a

.,./. ZatncY”力2、l/2

p = zp -Р0。/。=_]~^-(1 +"^.

Полиномиальных решений быть не может, поскольку значение р мнимое и ряд (10.2.9) ограничить нельзя. Нет также асимптотических решений ——полиномов, поскольку уравнение (10.2.15) комплексное, а действительная и мнимая части не обращаются в нуль мгновенно. Используя соотношение

limR->8limR->8⑵⑵『(R)r-i-w _ 区 e-tPz in ^

lim

R->8

lim

R->8

⑵

⑵

JR-HP'+ 1) —— r '

из равенства (10.2.9) получаем вместо (10.3.3) следующий асимптотический ряд:

/、, тp: 1nR Tх" 1「[丄 1血(1 + 風)一1" + 1)+ 2%2丄1

4>n(r) = qoe e 7+1宓+…」.

(3>

Член exp(——ip〔ln R)——это фазовый коэффициент, который существенно зависит от величины Аг. Согласно выражениям (10.1.7) и (3), собственные функции срл(г, f) на больших расстояниях являются сферическими волнами:

% (г, /)~ q：e'P。m А ； е，依"土 即》.(4)

Эти волны имеют фазовую t/ф и групповую иг скорости:

£m2c4 \~l/21 dE (62c4、"2

% =而=31一f-).^ ^T^=cl1 ~~ЁT) •

В точке S3 решение по существу опять совпадает с выражением (3), но ехр(——，乂'г) заменяется на exp(+ix7).

Путем конформного преобразования (10.4.4) опять получаем сходящийся ряд. Чтобы окружность сходимости прошла через начало координат вокруг точки S3, а точка s? оказалась снаружи, необходимо увеличить угол s20s3 (см. рис. 9.2.1, б) от 2%Аг до по крайней мере л/3, но не более 5冗/3. Таким образом, вместо условия (10.4.3) получаем следующее соотношение:

+ /гл > W >晋+痴，々=0, 1,・・・・(5)

Значение х'р' теперь должно попадать в определенные, периодически повторяющиеся интервалы, тогда как условие (10.4.3) ограничивало хр снизу. Окружность сходимости в g-плоскости вокруг точки (1,0) не проходит через начало координат, если значение м'р' не лежит в одном из интервалов 0 V м'р' V 冗/6, 5冗/6 V х’р' V 冗/6 + 冗 и т. д. Факториальный ряд в этом случае не сходится.

Дальнейшие вычисления повторяют вычисления из разд. 10.4 и так же громоздки. В результате получаем по существу тот же факториальный ряд (10.4.14), но 乂 и р заменяются на ш7 и ip!

^=q^r^

х[^^Й^^...}. (6)

При больших значениях г/р' равенство (6) отличается от асимптотического ряда (3) составляющей，м'р'р；(/р； + 1):

^>^1р,^^

X [(1 + xV) zX («X +1) - / (/ +1)+ ZV] + ...}.(7)

Теперь фазовый коэффициент ехр[——/р；1п(г/р')] имеет определенное значение, тогда как коэффициент ехр(—fp'lnR) из равенства (3) был произвольным.

При г > 0 ряд (7) сходится абсолютно, поскольку при таком условии абсолютно сходится действительный ряд (10.4.14). При г = 0 возникают те же трудности, которые подробно обсужда- •лись в разд. 10.4.

Из выражения (10.2.1) можно заметить, что при 乂笈 > > 4/(Аг)2 параметр g становится больше 2. Тогда точка s3 раз-

мещается на отрицательной действительной полуоси (см. рис. 9.2.1, 6) и 屮〃(衣)возрастает как экспоненциальная функция R. С другой стороны, решение в точке s2 принимает форму решения для свободной частицы, представленного выражениями (10.3.3) и (10.4.14). Чтобы получить решения в виде сферических волн, энергия бозе-частицы должна лежать в пределах

тс2 < £ < me2 [ 1 + 4й2 /т2с2 (Лг)2]1/2.

Чем больше энергия, тем меньше должна быть величина Аг.

Условие независимости

в куло-(10.2.1):в куло-(10.2.1):Условие независимости для связанной бозе-частицы новском поле получаем на основе выражений (10.1.8) и

в куло-

(10.2.1):

в куло-

(10.2.1):

削《2篇（I削《2篇（I"2出、-1/2 一方丿-"2出、-1/2 一方丿-/ tncx<—•/ tncx<—•⑴⑴

削《2篇（I

削《2篇（I

"2出、-1/2 一方丿-

"2出、-1/2 一方丿-

/ tnc

x<—•

/ tnc

x<—•

⑴

⑴

Аналогичное соотношение выполняется для свободной бозе-частицы, имеющей определенное, конечное волновое число х7:

△/&2△/&2..”'％21 +-^^..”'％21 +-^^-1/2-1/2(3)(3)

△/&2

△/&2

..”'％2

1 +-^^

..”'％2

1 +-^^

-1/2

-1/2

(3)

(3)

При произвольных значениях %' это условие не соблюдается. Чтобы получить собственные функции в виде сферических волн, параметр g нужно взять меньше 2 (см. рис. 9.2.1, б). Подставляя g <2 в выражения (10.1.8) и (10.2.1), получаем для произвольных значений 乂' достаточное условие существования сферических волн, не зависящих от Д/ при малых значениях Д/:

(笫)、1+(嚅广 0)

Это условие совпадает с неравенством (8.4.8), но только величина △% заменена на Аг и опущена составляющая порядка 0(А/)2. Таким образом, переход от декартовой системы координат к сферической системе ничего не меняет, что и должно быть для уравнения с физическим смыслом.

Соотношения (1) — (3) применимы только к решениям уравнения (10.1.1), составленным из собственных функций, которые удовлетворяют равенству (10.1.6). Общее решение уравнения (10.1.1) для потенциала Ф = —Ze/川 в пределе при г —со может быть представлено собственными функциями. При г-> оо

уравнение （10.1.1） преобразуется к следующему виду:

Qi （r,也中）=1, Q-i （Г,分，①）=-1,⑷

%0，也学）=2 - （^^ 7 + （e 削）2薪，

3（Г，令,中，/ + *） = %（Г,分，中）3（*8,中，。一屮（Г，令,中，/ - А/）. Подставляя

屮（力）=£亿分，屮）/⑺，

/2 = 0

%（Г,也 <p）%（r, В,屮）=0WP"（Г,今，屮）， получаем

[c （Af）2 偽т + 2 —（侬卢•）] % （г） = СОопФл （г/.

По аналогии с выражением （8.4.4）, собственные функции <Pn（r） < е~Ыг дают следующие собственные значения:

й0„ = 2В = —4 （-^-У sln2yxAr-|-2— ^ ^^ у.⑸

Следуя линии рассуждений, которая привела нас от выражения （8.4.4） к соотношению （8.4.8）, получаем необходимое условие существования общего решения W （г,令，ср, /） уравнения （4）, не зависящего от △/ при малых значениях Л/:

（名■）'》1+（疇О，（6）

Достаточно ли этого условия также при г =# оо, пока не известно.

Нерелятивистское условие независимости для свободной частицы в одномерной декартовой системе координат, записанное выражением （8.2.7）, совпадает с соотношением （9.3.3） для трехмерной сферической координатной системы. В этом условии независимости отсутствуют безразмерные разности ДО и Д（р, тогда как в соотношении независимости для трехмерной декартовой системы координат, полученном в разд. 12.5, разности △%, Ар и Аг присутствуют на одинаковых условиях. Аналогично выражение （6） содержит только Аг, тогда как, согласно выражению （8.4-13）, релятивистское соотношение независимости в трехмерной декартовой системе координат содержит Ах, Ау и △之

Глава 11

Разностное уравнение Дирака в кулоновском поле

Итерационное уравнение Дирака

Итерационное уравнение Дирака со скалярным Ф и векторным А потенциалами имеет следующий вид:

\^+1^^+^ф-!г-^-^с^+^^

./л2c4ес /1 и 1 • е ОА I . е . д .

+ fГ。curlA + zTa —+ zTaA-^- +

+ i~-a grad ①]屮=0.(1)

Подставим А2/(А/)2 вместо d2/dt2 и AS/AZ вместо d/dt. Дифференциальные операторы grad и curl заменим разностными операторами Grad и Curl:

[l+i*(①+ aA)]в(r,/卽)=

= %W(r, /)_[1—£嚮(中 + aA)]屮(г, /一&);(2)

-(A/)2 (ic Grad + 年 A)? + ^^(/ Curl A -

—i^^UW+cGrad ①).

Вместо пространственных переменных стоит вектор г. Векторы о' н а содержат компоненты о%,。乡,。名 и ах, “乡,аг. Воспользуемся следующим матричным представлением [124] °:

。Y ) I' ：)• Il 一)⑶

')Матрица 0 потребуется в разд. 11.2. Заметим, что для матриц а, о' и и, содержащих компоненты х, ^ и г, используется жирный шрифт, а для матриц типа 6 и о* ——обычный светлый. Величина а, набранная обычным шрифтом, является постоянной тонкой структуры, а такая же величина <т определяется выражением (15).

Составляющие ieMh-[ (Ф + аА) в уравнении (2) перед функциями 屮(「，/ + А/) и 屮(г, t — А/) обусловливают такую же трудность, как и в случае уравнения Клейна〜Гордона. С помощью подстановки

屮(г, 0 = £ С“办(г)冲“ (0л=0

ПО аналогии с уравнениями (10.1.3) —(10.1.7) получаем уравнения

Q帥"⑺=%Л必任)，⑷

QZ = Q。一2(唸一4)*0,

屮门" + △/)=①。〃心(0 -屮九传一д0,可 1〃 (0 = blneiEt^y 屮 2〃 (0 = b2rleTEt 保,

sm -Г~=1 -彳 з"

(5)

Примем, что потенциал Ф симметричен относительно центра, и перейдем к сферическим координатам. Отбрасывая составляющие порядка О (Дг, А®, Аф), получаем следующие четыре уравнения:

с , а АсФ.

^in — — —^7—[绅5Т，〃 Sin 2 cos 屮 _

-(-1)’a-厶 " sin ■& sin сР - (-1)/屮了+2" cos 明=0,

2 -①。〃(C 应)2

一(等)2 + $①2⑺+為①⑺sin

+ 4 / + + (迎令崇 + 7^) +

EMА2 I

方十西p"十

11 Д2

r2 sin2仆仏屮)2，

■(6)

/ = 1, 2, 3, 4,恥,冷=必 n,屮6, n =业,冷 а = е?/力с.

В уравнении (6) разность Аг, принадлежащая оператору Grad в составляющей (icGrad + Ае/Й)2 из выражения (2), и разность △'г, принадлежащая оператору Grad в составляющей (А$А/А，+ + с Grad ①),различаются. В дифференциальной теории такое различие не делается, и в теории конечных разностей Аг и А'г необходимо принять одинаковыми.

Отбросим составляющие порядка О(Д(р). Тогда подстановка

叨〃（A色中）=池川（г,仔）exp （加河）

(7)

приводит выражение (6) к виду

^in (人0) 一?а患尸向5一人И о,今)sin 0 -

⑻⑻(9)(9)—(—1)'屯+2, 〃(Г，切 COS e] = О,

⑻

⑻

(9)

(9)

Q — Q 产 I sir)2 *& (△屮)2 sin2 仆丿'

Выделяем переменную *& путем подстановки

3" (Г，分)=也F (Г)2"笛)

и получаем соотношения

也〃(价)sin 8 + 也3〃 (0) cos e =入住打(令)，(Ю>

业几(8) sin 令 + ^ln (» cos Q = Мзп (今)，

屮з〃 (8) sin e —也〃(б) cos 8 ^ M2« (®),

% ⑼ sin e — чр2п(8)cos e =九抻 4貝仆)，

((△仆)2, + Mg ° 話 +. ) W"(今)=4 (% + 1) 2" ")• О"

Уравнение (11) — зто разностное уравнение конечных сферических гармоник. Оставшееся уравнение g единственной переменной г имеет вид

Q〃％ ①一吟% ^^ ⑦+2, n ⑺=0,(12)

。"中4⑺2+手①*)+為①⑺痴毕+薪+

2 %0传+ 1)

Соотношениям (10) удовлетворяют сферические гармоники 恥〃⑼=C"E? (cos 8)，

巾5 (г)=個г⑺，明/г⑺=也/г (「)•

При Z[ = А = / + 1 и /3 = /4 — ^ получаем

(13)(13)(14)(14)Cin == I ■—ш -|- 1, ^Зп = ^ (/ + ^ + 1),。2八=1, с4п = — /,

(13)

(13)

(14)

(14)

九]—入2 J— Z, 入3 —九4 "~'•

С другой стороны, " = /2 = /——1 и /3 = /4 = / дают

5， = /-(-〃2，e2〃Н一1， е3〃н»u 一加),e4" = '，

九1 =厶2 = /,九1 =厶2 = /,

九1 =厶2 = /,

九1 =厶2 = /,

Сферические гармоники удовлетворяют соотношению (11), если пренебречь членами порядка 0(△杼).Этот вопрос подробно рассмотрен в разд. 12.7.

Подставим потенциал Кулона вместо Ф(г):

<!)(「) = — Ze/r,縹"=夫 注―，(15)

R = r/Ar, о = A'r/Ar.

При j — 1 н коэффициентах, определенных выражением (13), уравнение (12) сводится к явному разностному уравнению

R (R + 1) (R2 — 4)к. (R + 1) + {gR4 + 26 A1R3 一

-dg + (/ + 1)« + 2) — Z2a2] R2 一 26 A”2R + /■ + 1)(/ + 2)- 一 Z2a202} _ (R) + R (R 一 1) (R2 —g2)小〃(r 一 1)+2。必恥〃 (R) = 0, (16) 2一2о

g = _2 一?(Ar)2,层=(/)+ 轟产=(^) (1 一 е^пг^e\

Zaс А/Zaс А/sinsinЕМЛЕМЛ

Zaс А/

Zaс А/

sin

sin

ЕМЛ

ЕМЛ

Такое же уравнение получаем при / = 3, если чрщ и *фз〃 поменять местами, а (/+ 1) (/+ 2) заменить на /(/ + 1).

Перепишем полином /?(/? + !) (Z?2 — о2) из уравнения (16):

R(R+1)(R2-o2)k(r+i)(r + 2)(R + 3)(R + 4)-

-9(R+1)(R + 2)(R + 3) + (19 — o2)(r+i)(r + 2) —

— (8 — 2°2)(r+i)・

Аналогично можно переписать остальные два полинома из уравнения (16). Используя преобразование Лапласа

21〃 住)^ 费卜RTg (s) ds,恥〃 (R)=急 \ sRT侬з ⑻ ds, (17)

можно из равенства (16) получить следующее дифференциаль- ное уравнение:

S + gs + 1)s2叫〃'+ [9s2 一 2 3 Ar — 3g) s + 3] s^wr(f +

+ {(19 一 d)s2 + [(7 一(y2)g 一 6b Ar-(/+ l)(/ + 2) + Z2a2]s ++ (1 - a2)} s* + K8 — 2o2)s — (o2—i)g-2(l—o2)bAr--(/ + 1)(/ + 2) + Z2a% s叫 +。2 [(/ + ])“ + 2) — Z2a2]叫 +

+ Za (s2 功？ + s 吗)=0. (18)

Взаимно переставляя ^【н 功3 н заменяя (/+ 1)(』+ 2) на 1(1 + + 1), получаем дифференциальное уравнение при j = 3.

Уравнение (18) имеет следующие особые точки на конечной плоскости:

(19)(19)Sl=0, S2 = _]g+ (]g2_ 1),S3=_^g —(扌У— lyZuS/,s2 — S3 = 2xAr.

(19)

(19)

Для того чтобы решить уравнение (18), выполним два разложения в ряд:

(20)(20)@1 = £ «V (s — S3)₽+V, w3= E 厶(s — S3)p+V v=0у=0

(20)

(20)

Подставляя эти разложения, получаем рекуррентные формулы ° для Qv и dv：

、v—2“v—2 + 6V. v—/v—I + °v, vd" + бу, v+ldv+i +

+ % v+2~v+2 —《v_,av_, — a； & — a；、，+1&+1 = °，(21)

%, V—2^v—2 + %, v— l^v— I + °v, v^v + °*v, v + I^v + I ~H %, v+2^v+2 + +《vt4，_] + < vdv + < v+〃v+] = 0,

%, v-2 = (P + v — 2) [8 — 2d + (19 —。2)(p + v 一 3)+

+ 9 (p + v — 3) (p + v — 4) + (p + v — 3) (p + v — 4) (p + v — 5)], %. v_, = dК/ + 1)(/+ 2)- Z2a2] + (p + 2 — 1){(16 — 4哨s；-

一(。2- l)g-2(l -o2)bAr-〃+i))+ 2)-Z2a2十

+ [(57 - 3o2)s3 + (7 -^)g- 66 Ar -(/+ I)« + 2)] (p + w — 2) +

+ (36s3 一 2b △，+ 6g) (p + v — 2) (p + w — 3) +

+ (2s3 — S2)(p + V — 2) (p + V — 3) (p + V — 4)},

%, v = (P + v) [(8 — 2g S2 一 [d 一 1)g + 2 (1 — d)匕 Ar +

+ (/ + 1)« + 2) — Z2a2] S3 + {(57 - 3。2) S| + 2s3 [(7 一炉心一

-66 Ar - (/ + 1) (/ + 2) + Z2a2] + 1 - a2}(p +v - 1)4-

+ [54s；- 3s3(2bAr 一 6g) + 3] (p + v— l)(p + v- 2) +

+ 3s3(2S3 — s2) (p + v — 1) (p + v — 2) (p + v — 3)],

*' Коэффициентыdv v_p 6V vh dv V+1 не являются символами Кронекера. Они получены из коэффициентов aVj v_p av> v и av v+1 путем подстановки /(/ + 1) вместо (/ 4-1)(/ + 2).

%. V+1 = (р + V + 1) (р + V){(19 —。2)s号 + [(7 —。2)g — 66 Дг —

一 (/ + 1)(/ + 2) + z2a2通 十 (1 一。2)53 +

+ [36s； — 3s； (26 Ar — 6g) + 6s3] (p + v — 1) +

+ s 式 4s3 — 3s2) (p + v — 1) (p + v — 2)},

% v+2 = (p + V + 2) (p + V + 1) (p + v) [9s； — 2 3 Ar — 3g) sg +

+ 3s； + s|(s3-s2) (p + v- 1)], a；v-i=Za(p + w— I)2,

《v = 2ZctS3 (p + v) (p + v — J),《,v+i = ZC1S3 (p+v) (p+v + 1).

На основе рекуррентных формул (21) при v =——2 получаем соотношения для р:

2b Ar Zatnc / [х2Й2、皿

P=7^「h(l—而)•@2)

В форме полиномов собственные функции существуют только при нулевом Z2a2. Поэтому опять попытаемся найти асимптотически ограниченные ряды, которые на больших расстояниях совпадают с собственными функциями дифференциального уравнения Дирака. С этой целью запишем рекуррентные формулы (21) как систему линейных уравнений:

O = a_io/ + —a—i],(23)

0 = —<io°o + 6-iodo +a_]/i，

° = аоо°о + а()/о + %円 + 41dl + %2%

Принимая。口 и d^ равными нулю, получаем 2卩 уравнений с 2卩 неизвестными, причем определитель должен быть нулевым. Составляющие а* т+2 имеют порядок О (Аг); следовательно, в первом приближении определитель можно записать как произведение двухстрочных определителей:

D у

а-ю а-10

—а-10 3-10

а01 а01

—а01 ®01

an-2, 口-1a口_3,观一[ %-3,从-1 6h-2, ц一]

Из уравнения (24) получаем две пары значений р, не зависящих от отношения о = А'г/Аг:

Рм2) = - 〃 + 2 + 1 在曲 + 1)2 - Z2a2r/2,

P3(4) = - " + T) [G + 1产一^^侬)

九=卩 + 1,卩=1, 2,・.・，/ = 0, 1,…，〃 一1.

Подставляя 〃，= 〃 +万，получаем из уравнений (16), (22) и (25) следующие собственные значения энергии:

(

72п2\ —1/2

1 + j, (26)

{」一.-1+ 1禹[a+1)2一 z2a 叩/2}丿

-£^4)=他。2({〃 + ] — /+ 1(+ [(/+l)2-Z2a2]I/2}2 丿

Ei ——собственное значение, использованное в дифференциальной теории. ?2 отбрасывается из-за отрицательного знака, чтобы избежать «сильного полюса» при г = 0. Собственные значения £3 м「4 в дифференциальной теории в явном виде отсутствуют. Каждая пара собственных значений энергии определяет систему ортогональных собственных функций, поскольку Ез и £4 превращаются в £f и 七2, если 〃' заменить на 〃'——1.

При малых значениях Аг рекуррентная формула (21) упрощается:

%, V+20V+2 + %, *+1"*+1 - Zadv+i = 0,

а”, v+а”, v+2厶+2 + 3",2厶+2 + 3",V +V +1厶+1 + Zcuiv+i = 0,1厶+1 + Zcuiv+i = 0,

а”, v+

а”, v+

2厶+2 + 3",

2厶+2 + 3",

V +

V +

1厶+1 + Zcuiv+i = 0,

1厶+1 + Zcuiv+i = 0,

а% v+2 = 2% Аг («V + 2) (р + V + 2),(27)

%, v+i &(Р + и + 1)(Р + V + 2) — (/ + 1) (2 + 2) + Z2a2,6%v+i = (Р + "+ 1)(Р + " +2) — 2(/+ 1) + Z2°2.

Условие

а^-2, |л-1 a^i-2, ц,-1%-2, и-1 О卩一2. и—]

в уравнении (24) означает, что два уравнения

%-2, ц-1%—1 + %-2,卩一4—1 и °，

-%-2, 从-4—1 + a-i,u-4一]=0

линейно зависимы по составляющим порядка О(1)・ Отсюда находим соотношение

dp_[ = - Z ес %-2,n-1aH-1。(28)

Из этого соотношения следует, что линейная зависимость должна также существовать между величинами а。и do. Эту линейную зависимость получаем из выражения (28), обращая рекуррентные формулы (27):

(%-[, vav-i, V + Z2a2)% + 6v-i, vav-i, v+i^v+i — Za%-i, v+i^v+i =。'

'(29)

(5”—i, v%_i, v + Z2a2)c1V + %—i, v^v—i, v+i^v+i + Zaa^—i, v+i^-v+i ^^ °・

Рекуррентные формулы (27) можно записать раздельно для av и点：

—1 (P + -)2 — (l+l)2 + Z2a2

一 忘7 "一"+ 1) (p十夕+1)人

X(p + .一1必 2) ,(30)

人 I V 4% ArV (p + V)v'

/1 (p + -)2—(1 十 1)2 + Z2a2

%△/•(v+ l)(p + v+ 1) 人

1_ (p + w—l)2 — (/+l)2+Z2a2、

X4% Arv (p + v)v-l丿，

При больших значениях v коэффициенты в рекуррентных формулах (30) становятся константами, а коэффициенты av и & 口Р。- порциональны значению

& (一 2以》)г + С2V (-2MV)f •(31)

Асимптотически сходящиеся собственные функции итерационного уравнения Дирака определяются факториальным рядом (10.2.9). Сходящееся решение дают выражения (10.4.11) и (10.4.14). Чтобы найти абсциссу сходимости факториального ряда, примем, что факториальный ряд (10.4.14) сходится в полуплоскости А > Ro, н с помощью разностного уравнения (16) продолжим его влево. Решим уравнение (16) относительно Wi〃(R——I) и заменим R ——1 на А，В правой части уравнения содержится доминанта (А + 1 )R(А + 1 +^)(^ + 1 — о)• Крайняя справа особая точка функции ipg(R)——либо R = 0, либо R = = o——L При о《1 абсциссой сходимости является

(32)(32)Ro = О.

(32)

(32)

Сходимость при R = 0 исследуется аналогично разд 10.5. Согласно выражению (31), получаем

lim (― 1户尸-”砂=© + vC2) (2xp)f,(33)-

V-> oo

lim (— l)vp-vrfv = & + vCQ (2冲尸. v > 8

Зтн соотношения предполагают 12Hpi > 1 как необходимое ус- ловне сходимости в точке г = 0. Поиск достаточного условия сходимости оказался таким же безрезультатным, как для уравнения Клейна ——Гордона. По-прежнему мы ищем параметр р с размерностью длины, но единственное, что о нем известно, он должен быть больше 1/2х.

Возьмем значения из выражения (14) вместо значений из выражения (13). (/+ 1(/ + 2) в уравнении (16) необходимо заме- нить на (/—1)/, а /(/ + 1) при / = 3 не меняется. Получаем

Pi(2)= — 〃 + /(Т)俨一Z2a2产，(34}

"3⑷=一" + 2-1鬲俨一22a2)%,

卜一：一心（*_z2a2叶）卜一：一心（*_z2a2叶）

卜一：一心（*_z2a2叶）

卜一：一心（*_z2a2叶）

Полученные собственные значения энергии совпадают с результатами дифференциальной теории для спина —1/2, причем, как н для выражения (26), опять имеются две системы ортогональных собственных функций.

Линеаризованные уравнения Дирака

Линеаризованные разностные уравнения Дирака можно получить двумя способами. Во-первых, можно в линеаризованных дифференциальных уравнениях заменить дифференциалы конечными разностями, а во-вторых, можно извлечь корень из разностных операторов второго порядка. Попробуем решить следующее уравнение !):

(Е + cap + pmc2) W (г, /) = 0,(1)

"=一广爲，Р% = 一勿彳导，j=l, 2, 3.

Матрицы аир определены выражениями (3).

Подставляя

Е =注偿+ зА/昔+ с2(А/)2薪毎 + •••］■

получим следующее выражение для корня из 已；

e=±话你 - YA"焉方+ 爲(*『■?■生+ …］， ⑵

Эта попытка приводит к разностному уравнению неограничен- ного порядка. Если 屮(г,/) изменяется во времени достаточно медленно, то составляющими (AZ)2^2^(г, t)/(^t)21 можно пренебречь и в выражении (2) остается только составляющая ih^s/M. К этому упрощенному линеаризованному оператору мн вернемся чуть позже. С другой стороны, подставляя

厂0 狂AsР”/ = -访詣->-6厂0 狂AsР”/ = -访詣->-6(3)(3)

厂0 狂As

Р”/ = -访詣->-6

厂0 狂As

Р”/ = -访詣->-6

(3)

(3)

получаем уравнение, которое при возведении в квадрат не сводится к итерационному уравнению (11.1.2), например

(访402 =-司击+ J (a"綜］

Собственные функции итерационных и линеаризованных уравнений с операторами вида (3) могут различаться даже при произвольно малых А/ и Ах『. Теперь вернемся к выражению (2). Операторы £ в выражениях (2) и (3) совпадают, если в вьь ражении (2) отбросить старшие разностные производные. Таким образом, решение для операторов (3) отразит одновременно результат отбрасывания старших разностных производных в выражении (2). Рассматривая частицу в кулоновском поле и заменяя в уравнении (1) Е на £—е①，получаем

Ф(г, / + АО = АВ (г, 0 + 屮(Г, / 一 А/)；

◎о = — 2込优т (е① + ic力a Grad — ^mc2)f

ОО

W (г, /)= Е /必(r)W)，rt—О

必(/ +似)=%〃%(0+办(/ 一削)，

。0 必(r) = So〃必(г),

Ws (0 = bl俨t 佈,屮 2n (0 = b2tleТЕМ,

^on = 2, sin —牙-•

Подставив ①=—Ze〃，перейдя к полярным координатам и разделив переменные, получим два уравнения с переменной г:

(乡+，聽Т + 等)％⑺ + "- 9 恥,(,)= 0， (5) (今+，爲一賁)媒(，)一 3 -中心①=0.

厶=勾=2 + 1,厶=厶=/•

Записывая разностные операторы в явном виде, получаем К屮3〃 (R + 1) - 2/屮3〃 (R) — 火也〃 (R — 1) + (G抵 + 2Za)必(R) = 0, ,(6)

&屮1几(R + 1) + 2 (/ + 2)屮1〃(R) — 7?。〃 (R — 1)—

-(g3我-2Za)屮3〃 (R)=0，

a = 2" (，芝 + 黄)，5=2〃(，爲一等).

Применяя преобразование Лапласа, находим

啰一1) ss； + (s2 + 2/s + 1)叫 + G^s2 — 2Za/s = 0,(7)

俨一1) s* + [s2 — 2 (/ + 2) s + 1] w{—.吟2 + 2Zags = 0,

Выполняя разложение в ряд (11.1.20) в произвольной точке So, а не специфической S3, получаем следующие рекуррентные формулы:一"

а”, V—2〃v—2 + а”，V—1%—1 + а”，v® + a*v, v+ i^v+1 + а» 第―1厶一 1 +

+ aм "" + аV,“1厶+1 == 0, (8)

6心 "-2厶-2 + 6第,第一1厶-1 + %, "v + 6第,*v+ldv+l + dv, v—iOv_i +

+ %,避V + %, v+lttv+l = 0, % v—2 = p +v — 1, a%v-i = 3so(p +v — l) + 2(so —/ —2);

av, v =(3«o — 1) (p + v) + s] — 2 (/ + 2) &o + 1,

av, v+i = So (s] — О (p + v — 1), %, v-i == —бз (p + v — 1) + 2Za>av, v — — 2so [G3 (p + *v) — Za], «V, v+i = — G3S0(P + v + 1),81V. v—i = 2 Go + /), 6% v —(3so — 1) (p + w) + s? + 2/s0 + 1,6； л = Gi (p + v — 1) — 2Za, 6； v = 2so [Gi(P + v) — Za],6； v+i = G1S0 (p + v + 1).

При V = —1 получаем

(9)(9)GiSqUq +(so - 1) do===。,(sK - 1)a0 - g35о^о =。,& = do(s J l)/GiS0.

(9)

(9)

Чтобы получить нулевой определитель, величина s° должна принимать одно из следующих четырех значений:

S2 = - S4 = [l 一]g03 + ?"砥(1 -^Gfi^\(10)

S3= — Ss = [l — ^- G1G3 — i VGiGa ^ 1 — J 弓怎),.

Согласно выражению (9), определитель, составленный из коэффициентов переменных о。н ④ из выражения (8), равен нулю при V > 0. Следовательно, ранг расширенной матрицы также должен быть нулевым. Это условие при v — 0 дает значение р

IZa^H^" Z。嘉[1 —(焉)]IZa^H^" Z。嘉[1 —(焉)]-1/2,(И)-1/2,(И)

IZa^H^" Z。嘉[1 —(焉)]

IZa^H^" Z。嘉[1 —(焉)]

-1/2

,(И)

-1/2

,(И)

а при v>0 ——рекуррентную формулу, которую можно использовать вместо выражения (8) для вычисления о” и dv:

瓦.& + В： vav + Рv ”一A一1 - 6[凡一1 + В", v-2^v-2~^ Pv, v-2^v-2=。‘

—,(12)

В”, v %, v+1%, V "笫* v+ l^V, V，

В”, v—l %, v+1%, V—1%. v+l^V, v—P

Pv, v %, v+1%, V %, v+l^v, V Pv, v—2%, v+1%, v—2>

P-V, v—1^v, v+l^v, v—1%, %+1°『,v-" °v, v-2^v, v+l^v, v—2'

Поскольку полиномиальных решений по-прежнему нет, то ищем асимптотически ограниченный ряд. Запишем рекуррентные формулы (8) как систему линейных уравнений. Определитель системы должен быть нулевым, если。卩 и du равны нулю. В первом приближении по Аг этот определитель можно записать как произведение двухстрочных определителей. Условием асимптотической ограниченности является

(13)(13)3快一1,快一1 6卩_1,貝_[^|1— 1, Ц— 1°[Л—1, |_l—1

(13)

(13)

При S2 七 s3Pl нз выражения (13) получаем

Pg = — 〃 + / + 1 (口惟 + I)2 一 Z2a2吟(и)

2 При S4 = S5 = —1

P3(4)= 一 紀 + / 一 1 H曲 + О2 一 Z2圖吗(15)

Полученные значения pi и р^ совпадают с соответствующими значениями из выражения (11.1.25), тогда как рз и р4 отличаются друг от друга. С использованием соотношения (11) pi н『2 дают такие же собственные значения энергии, как и дифференциальные уравнения.

Подставляя /1 — /2 = /—1, /з=，4 = / в уравнение (5), по- лучаем'

p1(2)=一" +，+1(口俨一22出产，(16)

Р3⑷ = 一" + 2-1 在)伊一Z2a2".

Асимптотически сходящиеся собственные функции можно представить факториальным рядом вида (10.2.9), если q、заменить на av или dv. Сходящийся ряд можно получить, заменяя R на г/р и пересчитывая коэффициенты ряда в соответствии с выра- жением (10.4.11). На больших расстояниях собственные функции в точках S3 и S5 имеют следующий вид:

必(r)2efr(r/pLT, s°=S3,(17)

必⑺“戸%-"‘("旷一 S。 = S5.

Из-за сомножителя ехр(шг/Дг) в точке s5 ^—1 сохраняется зависимость собственных функций от Аг при достаточно малых значениях Аг. Такой сомножитель произвольной величины присутствует всегда, если особая точка, вокруг которой берется контурный интеграл, имеет вид, отличный от 1 +О(Аг). В точке $з с р, равным pi или р2, собственные функции линеаризованного и итерационного уравнений также совпадают только на больших расстояниях. В этом можно убедиться, решая разностные уравнения (6) относительно 屮3〃(欠一1) и 叱i〃(R—1). Крайней правой особой точкой является R =——1, тогда как для итерационного уравнения, согласно выражению (11.1.32), такой точкой была R = 0. Таким образом, абсциссы сходимости различаются.

В разд. 6.3 при рассмотрении диадического исчисления было найдено, что разностный оператор второго порядка ^^/(〃。/。加？ (6.3.21) можно получить, применяя дважды разностный оператор первого порядка Df(m)/Dm (6.3.20), тогда как для разно-

стных операторов «/(哨/八刀？ (6.2.12) и Д/(т])/Дт] (6.2.6) такая операция не правомочна. Следовательно, подставляя в уравнение (1)

户=肥爲，p% =-访2歩， (18)

где в соответствии с выражением (6.3.22) m — переменная времени, a s — переменная пространства, можно по аналогии с дифференциальным исчислением извлечь квадратный корень:

e =访境?，外1 =_论笠■ (19)

Поскольку разработанные математические методы применимы к разностным операторам As/A% и А2/ (Дх)2 на предельном кольце 2'->оо, то перед подстановкой выражений (12) в уравнение (1) необходимо сначала разработать сравнительно общие методы для диадического оператора D/Dm и найти собственные значения н собственные решения, например, для кулоновского потенциала. Здесь мы этого делать не будем, ограничившись получением подтверждения, что линеаризованное уравнение Днрака является хорошим примером для проверки достоинства диадического исчисления.

Глава 12

Математические приложения

Пропускная способность

Зачастую источником неверного применения на практике правильного с точки зрения абстрактной математики результата служит понятие бесконечности. Определение пропускной способности каналов связи [132, 133]

CrL+Pc/P) (1)

где △/—ширина полосы пропускания, а Рс/Рп — среднее зна- чение отношения мощности сигнал/шум, предполагает передачу бесконечной информации, измеряемой обычно в битах. Разновидность ошибки, состоящая в некорректном применении верного, но абстрактного математического результата, настолько хорошо известна в математике, что получила собственное имя — ^гостиница Клейна» *). Понятие бесконечности часто используется ошибочно по той причине, что «бесконечные значения» в одних случаях похожи на очень большие числа, а в других—совершенно отличны. Для геометрических рядов разница между суммами бесконечно большого н конечного числа членов стремится к нулю, и, таким образом, сумму бесконечного числа членов можно использовать как аппроксимацию. Для гостиницы Клейна дело обстоит иначе. Число комнат в ней счетнобесконечное и, забыв об этом, можно для реальной гостиницы получить нелепые результаты. Реальная гостиница не может принять лишних гостей, если все комнаты заняты. В полностью занятой гостинице Клейна, переселяя проживающих гостей в комнаты с четными номерами, можно добавить еще счетно-бесконечное число лишних гостей. При этом для лишних гостей освобождается счетно-бесконечное число комнат с нечетными номерами. Процесс можно повторить конечное число раз. Следовательно, при счетно-бесконечном числе комнат размещение в гостинице гарантируется для любого конечного, отличного от нуля отношения гостей проживающие/лишние. Однако при большом, но конечном числе комнат отношение проживающие/лиш- ние, гарантирующее размещение, всегда должно быть бесконечным. Оно не сводится к конечному отношению, полученному для

*>Феликс Клейн (1849——1925), немецкий математик.

бесконечного числа комнат. Аналогично при счетно-бесконечном числе битов безошибочная передача гарантируется для любого конечного отношения мощности сигнал/шум. Однако для безошибочной передачи большого, но конечного числа битов всегда требуется бесконечное отношение мощности сигнал/шум. К конечному отношению, полученному для бесконечного числа битов, оно не сводится. Можно обойтись без бесконечного числа гостей и бесконечной энергии, введя конечный поток гостей и конечный поток энергии или мощности. Кроме того, в гостинице можно установить вращающуюся дверь, которая совершает А/ оборотов в секунду и имитирует фильтр с полосой пропускания Af Гц, и ввести другие усовершенствования, чтобы усилить аналогию между гостиницей Клейна и абстрактным каналом связи. Здесь важно понять, что для экспериментальной науки математическая корректность — это только необходимое, но не достаточное ус- ловие.

Дистрибутивный закон для диадического умножения

Рассмотрим три двухразрядных двоичных числа:

占=自&, n = 0 rIo, I = &*

Чтобы найти произведение 占③（剤㊉ I），сначала выполняем сложение по модулю два, а затем диадическое умножение в соответствии с табл. 4.3.1:

ОПо

■ &■

（П1㊉&）So㊉白о）倖Ei&⑴

5О（П1ФС1）Wo （По ㊉备）

㊉薪（巾g备）《心㊉蚤）

薪（"1 ® Ci） 瓦（Ло ㊉ to）㊉ &о（П1 ® &）Ео（По + 1о）

Произведение 自傢（п ㊉ I） можно получить другим способом, сначала вычисляя произведения 5®т）и^®С, а затем складывая их по модулю два:

n1 -0位睛 备 备—“

占 0ThЕоПо 占晶&）Wo

①-П1自Ео①■& 睛

自1П1 ©п。㊉畠n1配П。 睛自向㊉自04皤.

Сумма по модулю два этих произведений дает Е绥п ㊉占绥 W：

Ji。自Wo㊉畠0砲。

自1&宫向㊉畠&騒）⑶

-5㊉継1 （&小㊉碗I）㊉前㊉甌1）砲0㊉侖.

Чтобы результаты выражений （1） и （3） совпадали, необхо- димы два следующих условия:

Для сложения по модулю два соблюдаются ассоциативный н коммутативный законы а ㊉（Ь ㊉ с） =，а О Ь）㊉ с = （а ㊉ ㊉ с）㊉ b. Это условие явно выполняется, поскольку независимо от порядка суммирования любая сумма вида 1 Ф 0 Ф 0 Ф 1 Ф ® 1 Ф. - - дает единицу при нечетном числе слагаемых единиц и нуль при четном.

Соблюдается дистрибутивный закон & （用㊉备）=& 8 傢（巧㊉ &） = &切㊉ 3G・ Заметим, что при перемножении одиночных цифр разницы между обычным и диадическим умножением нет. Поскольку произведение gi（ni ㊉ Wi） имеет только восемь возможных значений, то доказательством дистрибутивного ■закона может быть список всех восьми случаев （табл. 12.2.1）.

Таблица 12.2.1

Доказательство справедливости дистрибутивного закона для диадического умножения путем перечисления восьми возможных случаев

& （小㊉&）=几刀/㊉з诡厶i = 0, 1, 2,...

孔

”&■（》£&）Jq®&&

0 0

0 0

1

1

1

ОООо

010о

100о

1100

ООО0

0111

1011

110о

Крайние члены результатов вычисления выражений （1） и （3） равны по дистрибутивному закону, средние—по ассоциативному н коммутативному законам диадического сложения:

а（По ®£о）Ф So（П1 ® 备）=11По ® 睛 ® 柄 I Ф 驟I =

=嬴№㊉时1㊉&п0㊉畠&•（4）

Пусть теперь числа 自，п н g n-разрядные. Добавляя нули слева от старшей и справа от младшей значащих цифр, всегда

можно обеспечить длину всех трех чисел одинаковой и равной п. Тогда в произведении 自 8 (毛㊉[)появятся следующие члены:.

L (% ® L),

口⑺“т ㊉厶一i)㊉ L-i(% © U，

爲 (加-2㊉▼-2)㊉口-1 (加-1㊉厶-1)㊉L-2 (/㊉L),

0仇® go) ® %_1仇㊉&)㊉…㊉51 hn-1 ® Q-1)㊉& (%㊉L), 幫-1饰)㊉3㊉…㊉费(%-2 ё 口)㊉自。(加-1㊉ Л

■ (По ㊉ So) Ф S1 hl Ф &) ® & (距 ® Q),

畐侬 + G㊉瓦^h㊉Q),

Soho ® So). ⑸

С другой стороны, сумма 自 ®лФ^®6 дает следующие составляющие:

ёЯ^П㊉自“g“，

&加-1 ® 0-1%)㊉&上_1㊉自”-1北)，

(自”加-2 ® t-1%-1 ® 自n-2%) ® (自诡“-2 ® 5n-lSn-l Ф 几-2&1)，

(自"% ® §n-1Л1㊉，一㊉自遇"-1 ®自0%)©

㊉焦点㊉-一@■••■ ®算"T®Ш,

&-1/㊉…㊉薪%-2㊉自0%-1)㊉

㊉&一也0㊉…㊉就"-2 ®髄"-1),

偽П。㊉&"1㊉柄2)㊉(騷)㊉"1 © &[2)，

■1П0 Ф — ©(― Ф &&),

(6)(6)Sono®泣o・

(6)

(6)

Сравнение членов выражений (5) и (6) показывает, что по существу ничего нового в сравнении со случаем п = 2 из выражения (2) не произошло. Равенство соответствующих членов обеспечивают ассоциативный и коммутативный законы сложения по модулю два и дистрибутивный закон диадического умножения.

Диадическое деление

Диадическое деление а © fe = с можно переписать в виде диадического умножения а = с ® Ь. Пусть числа а, & и с содержат следующие цифры:

a- 11100,1, b = 1010, e= 0e2e3....

Из с® b = а получаем следующие соотношения:

Q °2 ^3 ■ • •

1010

0

0

0

Q

°2

R

°4

0 0

0

0

0

㊉ Cl С2 Сз

С5

%

q с?（Сз㊉ с。© ㊉ с?）（С5 ㊉ Сз） & ㊉ cj …=а= 11100,1;

С1=1, С2=1, Сз ㊉ q = l, С4 ㊉。2 = 0,。5 ㊉ Сз = 0, Сб ㊉ C4=l,

3 + 1 ㊉e21=02"+2 ㊉ C2M = 0 При П>3.

Из этой системы уравнений легко получаем

q = l, с2= 1, Сз = 0, С4=1, С5 = 0, Сб = 0,

С2п + 1 = ^2п+2 = 0 ПрИ Л》3,с'= 1101000 ….

Цифры результата с определены, но позиция двоичной запятой по-прежнему неизвестна. Рассмотрим следующие произведения, где 6 — это число с 九 разрядами в целой части:

1 ^п—2 • • •仇仇，匕―1 力—2 绥С—1 С—2 • • •

1 Q, С— °—2 • • •

1 С] &, С—1 С—2 • • • •

Нетрудно заметить, что в целой части первого произведения будет п цифр, второго —— 九 + 1 цифра, третьего ——/г + 2 цифры и т. д. Пусть в общем случае число с содержит т цифр в целой части, а число b ——п цифр. Тогда диадическое произведение с®Ь — а даст число а с л + m——1 цифрами в целой части. Наоборот, если число а содержит I = п -\- т ——1 цифр в целой части, а число b ——п цифр, то число с должно иметь m = / — n + 1 цифр в целой части.

В нашем примере / = 5 и м = 4, отсюда 加=5 — 4十1=2. Следовательно, число с равно 11,01. Сравнение с диадическим произведением из табл. 4.3.1 показывает, что действительно получено верное значение с.

В качестве другого примера рассмотрим перемножение 6 — =0,101 н с = 0,1 h

0,101 傢 0,11ioF

①一101 —0,01111 =a.

Здесь m = 0 и п = 0 дают n + m ——1 = —1 цифр в целой части. ■Следовательно, значения m == 1, 0,——1, —2, ... означают числа видя 1, с—1。—2 . • ■, 0, с—[С—2 •…，0, Ос—2c-з • • •,。，00c—зС—4 • • • ■

Правое и левое разностные отношения

Уравнение Шредингера (8.2.1) для свободной частицы в одномерном пространстве при использовании правого разностного отношения дает следующее разностное уравнение:

中(居 / + ДО=%"映贝4f(X + А招 0 一 2屮(%4+

+ 屮(％ — Ax, /)]—屮(％, /)・(1)

Составляющей 4r (x, f ——Af) в этом уравнении нет. Собственные функции (рп (%) = ^х дают собственные значения сощ = 1 и

3。“н -》^^ sin2|xAx-l.⑵

Характеристическое уравнение имеет первый порядок:

Qn - 80n =。.

Величина Q«,

IQ“I=("4嫌编 sin，％Ax)匕⑶

показывает, что стационарные решения могут существовать только для отдельных значений хЛх.

Левое разностное отношение приводит к уравнению

i^^(% + Ах, / + АО - 2屮(х, / + Д0 +

+ В(х-А%, / + Д/)]-В(%, / + 加)=一屮(招 0.(4)

Собственные значения

叫〃 =~2Z 77W Sid $ мА% — 1(5)

н соол = —1 дают следующие значения решений характеристического уравнения:

lQ"l = (l+ 4-^^J-sin ：必 х)-"2.(6)

Поскольку величина Q〃 слишком мала, то для произвольных значений хДл стационарные решения существовать не могут. Для малых значений хЛх правое разностное отношение дает экспоненциально возрастающие, а левое ——экспоненциально убывающие решения.

Соотношение независимости в трехмерныхдекартовых координатах

Оператор й0(г)= й0(х,у, г) уравнения Шредингера (8.2.4), примененный к функции ^п(г) = ^п(х,у,г), дает для V(г, /) следующее уравнение:

q0(招劣2)必(无，/N)=

='噜{(д^)2 I叱“(х + A%，"，z) — 2ф„ (х, у, z) + <р„ (х — Ах, у, г)] +

+ Т^т[% (居 У + ^У, z) —2% (尤，у, z) 4- <р„ (х, у — \у, z)] +

(Az)?[屮“(％，9，z + Az) — 2叩“(％, 〃，z) + <prt (x, у, z Az)]}=

=®0„<P„(X, У，z).(1)

Собственные функции

<PnU, У, z) = exp z (xxx 4- куу + хгг)(2)

дают собственные значения

3。" = 一 2玲=-4i^^^ [sin2 2 &A% +

+ (岩 1 Sin4 "& 十(劫2 SiM I 心].(3)

Соотношение независимости требует выполнения условия

序<1+1 0(4)21.(4>

Для отношения т (Агр/А/ при произвольных значениях &, х〃, и 乂2 получаем условие

唠』％ 2 + «У + 喘严[1-Ю WI1, (5)

(Ar)2 = (A^ + (A^ + (Az)2.

Пусть хх,况乡 н Yz ограничены н значения Ах, Ар и An достаточно малы. В этом случае вместо условия (5) получаем ограничение на Af:

*42募[⑶+ 0 + (书F(6)

/=眩+吗+够

Полиномиальные решения разностных уравненийвторого порядка

Рассмотрим разностное уравнение второго порядка

Pi(X)u(X+ 1) + Ро(Х)@(Х) + Рт(Х)и(Х-1) = О. (1)

Пусть полиномы Р(Х) н Р—1(Х) имеют одну и ту же степень, а полином Ро(Х)—такую же степень или ниже:

Pi (X) = %Х + d"X' 1 + . • • + 4屮⑵

尸о (X) = dooX，+ do/ I + ・・・ + %•,

P_i (X) = d—i/ + d_iiX'T + •・• + d_i〃dio，d_io#=O.

Полиномы P(X),尸o(X) и P-i(X) можно всегда переписать в виде

Pi(X) = Qo(X+1)(X + 2) ... (Х + ]) +

+ С11(Х+1).・.(X + j—1)+ • • • +3/,(3)

Р0(Х) = с00Х(Х + 1)・.・(X + j — 1) +

+ Qi X ... (X + j — 2) + — + Со/,

尸一i(X) = C-io(X—l)X(X+l) ... (X + /-2) +

C-ii(X—1) •・・(X + / — 3) + •・• + c一屮

Зо =必0， Coo = "о。， C- io = d一 [°,(4)

Gi = 4i — Сю £ v = du —豆 j (j + 1)^10,

% — doQ — ^(j— 1) I%,

Ju = d-н — Jj (j — 3) d—io,

г12 =必2 — C】1 2 V — So 2 £ vpt =

V=1V=1 |X=v+l

= di2 — J(/— l)/du —叵£ VM-；j2(j2—l)]dio,Ly=l出=V+1_

002 = do2 — J (j — 2) (/ — 1) doo —

2 叩 一 9/(/ -1)2(/ 一2)心，卩=V+1J

C-i2 = d-i2-y(/-l)(/-4)d_11-f^ 2 VN-J(j_ 1)〃・_2) —

LV=1 H=v+1

~4h/- 1)(/-3)(/-4) d_io,

/-3 f/-3」

S X V"=《2 v(v + /-l)0 _v — 2) = ",

V=1|A=W+1v=»l

/-2 /-1

Z £ v“ = n+}o—i)2(j —2),

v=l 卩==v+l

IT /

2 2 vh=n+4(/- ^4i- 2)+~pa-1).

Чтобы перейти от альному уравнениюЧтобы перейти от альному уравнениюV=1 卩="+1

Чтобы перейти от альному уравнению

Чтобы перейти от альному уравнению

разностного уравнения (1) к дифференци-

GoS? + CoqS + С-10)si屮)一(С11$2 + RiS + C°]S 十 С_ц) S‘Ty(/T)++(C12s2 + C02s +。一I?) s/-2£j-2)

…+ (― iy (cvs2 + Cojs + с_ц) у = 0,(5)

вычисляется интеграл

v(X) = ^\s^y(X)dX,

состав-состав-(6)(6)причем линия интегрирования выбирается так, чтобы ляющие/

состав-

состав-

(6)

(6)

sxy , s'+V и т. д.

обращались в нуль. Хар актер истическое уравнение

©OS? + CqqS + С-]。) s^ = О

имеет простые корни

S2 = В《L "00 + (* - 44-1040)1/2],

S3 = 4■白[—“0。—(喝—4d_io4o)i/2],

s2sз = d_ io/dio・(7 j

Кроме того, существует корень Si = 0 кратности j.

Подставляя z = s — s2 в дифференциальное уравнение (5), получаем

(/) С"(2 + S2)2 + С01(N + S2)+ C-Il п(/-1) I

N(n + S2)(n+S2-S3)， 十

斗 C【2 ■ + S2)2 + ‘02 (N + S2H t-12 〃(j-2) _= П

十 22Q+s2)(n + s2 — S3)'U. I '

Уравнение (8) решаем с помощью степенного ряда

у= S 9封+\(9)

v=0

Если S2 не равно s{ и S3, получаем следующее уравнение для определения р:

р(р — 1)・•・(р — / + 2)[(р — / + 1)%” 妥shl -"] = °.

(Ю)

Уравнение (10) имеет тривиальные корни р = 0, 1, …，j —2 и один нетривиальный корень

Р — dioS2 (L - S3)(心咼 + АТ +《J — 1.(11)

Прервем ход наших вычислений и рассмотрим разложение в ряд по отрицательным степеням X:

尸 о (X) — doo + doiX~i + • • • + do/",

尸：(X) = dio + ... + 山冰一‘，P_i(X) = d_iu+ ... 4~ d^\jX~1.

(12)

Умножая на Х〈 получаем полиномы (2). Начальное значение р не зависит от степени аппроксимации рядом (12), поскольку в уравнении (11) нет членов, содержащих /. Вид уравнения (11) не изменится, если s2 и S3 поменять местами. Следовательно, для решения в точке S3 справедливо прежнее замечание, если значение S3 не равно Si и S&

И X. Хармут

Вернемся к характеристическому уравнению (6). В случае корня кратности два

§2 = S3 = — -g- doo/dio； разностное уравнение (1) можно решить лишь в том случае, если S2 является также корнем уравнения

Ciis2 + cois + c_u = O.(13)

Обозначая корни уравнения (13) через s4Hs5 H принимая, что S2 — S3 — S4, получаем

=—丄工^-= —2 &工 24Tl 二丄(」Ш。,

42 山о '5doo 2dii —j(j+l)dio • W

Уравнение, определяющее p, теперь преобразуется к виду [(р — / + 2) (р — j + 1) с】。一(р — j + 1) с”( 1 —U) +

+ S尸(c12s2 + С02s2 + с_12)]Р ... (р — / —3) = 0. (15)

Нетривиальные значения р являются корнями уравнения

F"小 “/ОF"小 “/ОР + 2(У-Р + 2(У-d【i “02d【i “024о %4о %)+)++ 厶+ 4^ф^ = 0."104)0+ 厶+ 4^ф^ = 0."104)0(16)(16)

F"小 “/О

F"小 “/О

Р + 2(У-

Р + 2(У-

d【i “02

d【i “02

4о %

4о %

)+

)+

+ 厶+ 4^ф^ = 0.

"104)0

+ 厶+ 4^ф^ = 0.

"104)0

(16)

(16)

По-прежнему р не зависит от j.

Подставляя выражение (9) в уравнение (5), получаем рекуррентную формулу для коэффициентов qvt

а°, v^o + • • • + %, v% + %+i, v^v+i==。・(17)

Используя выражения (4), (7) и (И), после длинных преобразований получаем

%+1. V = d10S2 (S2 — S3) (v + 1)(Р + V + 1) S 尸(р + V)...

(p + v-/ + 3),(18)

«V. V =邑2磁 + d02s2 + d_i2 - (P + V + 1) (4咼-d-u) +

+(P + v + 1) (p + v + 2) 4oS力一(p + 1) (d10s| — d-ю) +

十/(&/_ d_]o)v(v + p —Jj + J)卜厂2(p + v)...

• • •(P + v — j + 3)

Рекуррентную формулу (17) можно переписать как систему линейных уравнений. При р = — (v + 1) коэффициент av+i.v равен нулю н получаем систему р уравнений с р——1 неизвестным. Необходимым и достаточным условием существования такой системы является равенство определителя нулю. Если S2 или s?— S3 малы, то это условие упрощается; в первом приближении получаем

—р—1

П %, у=о.

V—0

На основе этого произведения при условии s? — $з《1 получаем"12名 +d02s2 + d-12 —(P + W + 1)(由醫—d-11) +

+ (p + v+ l)(p +v + 2) dlo«2 = O,(19)

v = 0, 1, ...» — (p+ 1).

[2.7. Разностное уравнение дискретных сферических функций

Из определений (8.2.2) и (8.2.3) вытекают следующие правила для разностных операторов:

△г ( А. (%)、—(А田(%)、— A2V (%)

△% I Ax—丿一Ax I А% / ~ (Лх)2 *(

А/ ⑺△/(X)_ 人 а0(%)—ЛхАх — — % (A% )2，空=上=土= I△% — Ax ——'d = r, /, s;4 (% + A/) = У M — △% 笠]2 *А/ ⑺△/(X)_ 人 а0(%)—ЛхАх — — % (A% )2，空=上=土= I△% — Ax ——'d = r, /, s;4 (% + A/) = У M — △% 笠]2 *А/ (幻 ^ly (%) _ с &V(%) ~Дх ' Лх~ — Ах *Му (%) — %и(%)%n△%- An a='z = z(x),y(x — ^x) = y (%) — X 9^^,А/ (幻 ^ly (%) _ с &V(%) ~Дх ' Лх~ — Ах *Му (%) — %и(%)%n△%- An a='z = z(x),y(x — ^x) = y (%) — X 9^^,

А/ ⑺△/(X)_ 人 а0(%)

—ЛхАх — — % (A% )2，

空=上=土= I

△% — Ax ——'

d = r, /, s;

4 (% + A/) = У M — △% 笠]2 *

А/ ⑺△/(X)_ 人 а0(%)

—ЛхАх — — % (A% )2，

空=上=土= I

△% — Ax ——'

d = r, /, s;

4 (% + A/) = У M — △% 笠]2 *

А/ (幻 ^ly (%) _ с &V(%) ~Дх ' Лх~ — Ах *

Му (%) — %и(%)%n

△%- An a='

z = z(x),

y(x — ^x) = y (%) — X 9^^,

А/ (幻 ^ly (%) _ с &V(%) ~Дх ' Лх~ — Ах *

Му (%) — %и(%)%n

△%- An a='

z = z(x),

y(x — ^x) = y (%) — X 9^^,

△s"（X）2（X）△s"（X）2（X）=У (%)=У (%)&N(X)Ax&N(X)Ax.,.A" (x).+ 2(Х)—^4.,.A" (x).+ 2(Х)—^4

△s"（X）2（X）

△s"（X）2（X）

=У (%)

=У (%)

&N(X)

Ax

&N(X)

Ax

.,.A" (x).+ 2(Х)—^4

.,.A" (x).+ 2(Х)—^4

А/ (%) △产(幻一△沒(%)А产(%)

空(%) N (%)Лх空(%) N (%)Лх=уМ=уМ△卢(х)Ах△卢(х)Ах,、^,У (х) ^ly (х) А卢(х)z(%)F酸,、^,У (х) ^ly (х) А卢(х)z(%)F酸A^i)智+ z(x 屮A^i)智+ z(x 屮△№(%)>())十 五△№(%)>())十 五

空(%) N (%)Лх

空(%) N (%)Лх

=уМ

=уМ

△卢(х)Ах

△卢(х)Ах

,、^,У (х) ^ly (х) А卢(х)

z(%)F酸

,、^,У (х) ^ly (х) А卢(х)

z(%)F酸

A^i)智+ z(x 屮

A^i)智+ z(x 屮

△№(%)>())

十 五

△№(%)>())

十 五

Исследуем решение разностного уравнения для конечных сферических гармоник из выражения (9.1.6). Подставляя

cos 2 = %, 必(О)=必(%)(2)

и преобразуя разностные отношения &/АВ и Д2/(А^)2 в отношения Д5/Ах и А2/(А%)2, получаеми преобразуя разностные отношения &/АВ и Д2/(А^)2 в отношения Д5/Ах и А2/(А%)2, получаем—(仆)——As% (%) As (%) — cjq sin AQ 踪屮门(x)一南一一一酸A谷=-Sin 0 ---/，a2% ⑼ _ 丄「& (4屮.2)、丄 生 5%(g1 _(△0)2 - 2 L А8 I—ла一丿十 2FI一丽一丿」=—(仆)——As% (%) As (%) — cjq sin AQ 踪屮门(x)一南一一一酸A谷=-Sin 0 ---/，a2% ⑼ _ 丄「& (4屮.2)、丄 生 5%(g1 _(△0)2 - 2 L А8 I—ла一丿十 2FI一丽一丿」=(3)(3)4c： 2 Q / sin 厶今、2 ■9 Gsin 2(-(丿 +cos e4c： 2 Q / sin 厶今、2 ■9 Gsin 2(-(丿 +cos e(1 — cos A8、2] д2-фЛ (x)l 而 丿膏)2(1 — cos A8、2] д2-фЛ (x)l 而 丿膏)2—2 cos 8—2 cos 81 — cos 仆 ^^ (x)(A8)2A%1 — cos 仆 ^^ (x)(A8)2A%Уравнение (9.1.6) преобразуется к следующему виду：{[。 -(體-/(Л)1爲一— %[2丄廿+脅]令一九+』“/) = ()• (4)Из соотношенийУравнение (9.1.6) преобразуется к следующему виду：{[。 -(體-/(Л)1爲一— %[2丄廿+脅]令一九+』“/) = ()• (4)Из соотношенийs%♦ q sin А仆а а• с сд^г = — sin 8 —д^,Ах = As% = — sin 8 sin Д-&получаем значение АО, выраженное через А%:sin т Ах = _「 Ах I 丄 (Ах)з .1 —炉)1/2 L (1 — Х2)1/22 3 (1 — /)3/2 +I 「3(Ах)5-1十 2.4 5(1-/)5/2 十sin 厶8 — ]1(A%)2.一a8 = 1 ―三3(1 一炉)十...，1 — cos △今 1_ А-Г. I 丄 (А--тAQ —2 (1 — x2)1/2 L 十五’1 —严十.•・」，(Ах)2/(1—%2)&1.s%♦ q sin А仆а а• с сд^г = — sin 8 —д^,Ах = As% = — sin 8 sin Д-&получаем значение АО, выраженное через А%:sin т Ах = _「 Ах I 丄 (Ах)з .1 —炉)1/2 L (1 — Х2)1/22 3 (1 — /)3/2 +I 「3(Ах)5-1十 2.4 5(1-/)5/2 十sin 厶8 — ]1(A%)2.一a8 = 1 ―三3(1 一炉)十...，1 — cos △今 1_ А-Г. I 丄 (А--тAQ —2 (1 — x2)1/2 L 十五’1 —严十.•・」，(Ах)2/(1—%2)&1.⑸⑸⑹⑹В разложениях в ряд отношений sin AO/AQ, (sin 厶田尸/公仆产, (1一 cosAQ)/(AD) и (1一cos А8)2/(А8)2 присутствуют только четные степени (1 — /严.Подставляя явные разностные отношения вместо символических отношений, преобразуем уравнение (4) к видуВ разложениях в ряд отношений sin AO/AQ, (sin 厶田尸/公仆产, (1一 cosAQ)/(AD) и (1一cos А8)2/(А8)2 присутствуют только четные степени (1 — /严.Подставляя явные разностные отношения вместо символических отношений, преобразуем уравнение (4) к виду{urtm2 -（匕产H+味（符+丄{urtm2 -（匕产H+味（符+丄—cos A8、 伍0)2丿-—cos A8、 伍0)2丿-

и преобразуя разностные отношения &/АВ и Д2/(А^)2 в отношения Д5/Ах и А2/(А%)2, получаем

и преобразуя разностные отношения &/АВ и Д2/(А^)2 в отношения Д5/Ах и А2/(А%)2, получаем

—(仆)——As% (%) As (%) — cjq sin AQ 踪屮门(x)

一南一一一酸A谷=-Sin 0 ---/，

a2% ⑼ _ 丄「& (4屮.2)、丄 生 5%(g1 _

(△0)2 - 2 L А8 I—ла一丿十 2FI一丽一丿」=

—(仆)——As% (%) As (%) — cjq sin AQ 踪屮门(x)

一南一一一酸A谷=-Sin 0 ---/，

a2% ⑼ _ 丄「& (4屮.2)、丄 生 5%(g1 _

(△0)2 - 2 L А8 I—ла一丿十 2FI一丽一丿」=

(3)

(3)

4c： 2 Q / sin 厶今、2 ■9 G

sin 2(-(丿 +cos e

4c： 2 Q / sin 厶今、2 ■9 G

sin 2(-(丿 +cos e

(1 — cos A8、2] д2-фЛ (x)

l 而 丿膏)2

(1 — cos A8、2] д2-фЛ (x)

l 而 丿膏)2

—2 cos 8

—2 cos 8

1 — cos 仆 ^^ (x)(A8)2A%

1 — cos 仆 ^^ (x)(A8)2A%

Уравнение (9.1.6) преобразуется к следующему виду：

{[。 -(體-/(Л)1爲一

— %[2丄廿+脅]令一九+』“/) = ()• (4)

Из соотношений

Уравнение (9.1.6) преобразуется к следующему виду：

{[。 -(體-/(Л)1爲一

— %[2丄廿+脅]令一九+』“/) = ()• (4)

Из соотношений

s%♦ q sin А仆а а• с с

д^г = — sin 8 —д^,Ах = As% = — sin 8 sin Д-&

получаем значение АО, выраженное через А%:

sin т Ах = _「 Ах I 丄 (Ах)з .

1 —炉)1/2 L (1 — Х2)1/22 3 (1 — /)3/2 +

I 「3(Ах)5-1

十 2.4 5(1-/)5/2 十

sin 厶8 — ]1(A%)2.

一a8 = 1 ―三3(1 一炉)十...，

1 — cos △今 1_ А-Г. I 丄 (А--т

AQ —2 (1 — x2)1/2 L 十五’1 —严十.•・」，

(Ах)2/(1—%2)&1.

s%♦ q sin А仆а а• с с

д^г = — sin 8 —д^,Ах = As% = — sin 8 sin Д-&

получаем значение АО, выраженное через А%:

sin т Ах = _「 Ах I 丄 (Ах)з .

1 —炉)1/2 L (1 — Х2)1/22 3 (1 — /)3/2 +

I 「3(Ах)5-1

十 2.4 5(1-/)5/2 十

sin 厶8 — ]1(A%)2.

一a8 = 1 ―三3(1 一炉)十...，

1 — cos △今 1_ А-Г. I 丄 (А--т

AQ —2 (1 — x2)1/2 L 十五’1 —严十.•・」，

(Ах)2/(1—%2)&1.

⑸

⑸

⑹

⑹

В разложениях в ряд отношений sin AO/AQ, (sin 厶田尸/公仆产, (1一 cosAQ)/(AD) и (1一cos А8)2/(А8)2 присутствуют только четные степени (1 — /严.

Подставляя явные разностные отношения вместо символических отношений, преобразуем уравнение (4) к виду

В разложениях в ряд отношений sin AO/AQ, (sin 厶田尸/公仆产, (1一 cosAQ)/(AD) и (1一cos А8)2/(А8)2 присутствуют только четные степени (1 — /严.

Подставляя явные разностные отношения вместо символических отношений, преобразуем уравнение (4) к виду

{urtm2 -（匕产H+味（符+丄

{urtm2 -（匕产H+味（符+丄

—cos A8、 伍0)2丿-

—cos A8、 伍0)2丿-

-W (嗡^ 沁"+ 词 + { 2 (备)1(上UY -

-(普)2]+丘(-(普)2]+丘(sin АО、2丿一九sin АО、2丿一九十х）必}必（X）+十х）必}必（X）+

-(普)2]+丘(

-(普)2]+丘(

sin АО、2

丿一九

sin АО、2

丿一九

十х）必}必（X）+

十х）必}必（X）+

+ {(备)1(岭)~^^)2]-

一备(務+1^)一小(*)+〃(-•(7)

Трансцендентные коэффициенты этого разностного уравнения можно заменить полиномами произвольной степени, используя разложение в ряд (6) с сомножителем (1 —/)%

[* + Х1 + (石一曲)*т+ •••]必(Х+1) +

+ [—2Х『+ ( .у + К — J) X— + …卜“ (X) +

+ [Х‘ — Х/т + (♦— 2(厶产)Х~ + ...卜“ (X — 1) = 0, (8)

Х = х/Ах,必(X) = % (х), j = 2左 + 2.

Уравнение (8) можно свести к уравнению (12.6.1), подставляя вместо коэффициентов d订 следующие значения:

du)=l, 必1 = 1, di2 = /-1漆)2一,(9)

doo = —2, dQl — 0, d()2 = 一 J + 九 + *2(дх)2，

d_io=], d—u = —1, ^-12 = "[2_—刃右戸.

Из уравнений (12.6.7), (12.6.11) и (12.6.16) получаем

12 + j (j — 3)$2 = S3 = S4 = 1, S5 = 7(汗1)二2，12 + j (j — 3)$2 = S3 = S4 = 1, S5 = 7(汗1)二2，lim S5 = 1, р(р+1) =—九.lim S5 = 1, р(р+1) =—九.(Ю)(Ю)

12 + j (j — 3)

$2 = S3 = S4 = 1, S5 = 7(汗1)二2，

12 + j (j — 3)

$2 = S3 = S4 = 1, S5 = 7(汗1)二2，

lim S5 = 1, р(р+1) =—九.

lim S5 = 1, р(р+1) =—九.

(Ю)

(Ю)

Решение уравнения (8) в точке s2 — s3—\ можно записать в виде факториального ряда

讣Г(Х) V(р + 1)…(р +『)/и、

必(X)— f(x + i+p)乙Cv(х + р + \)...(х + р + хГ CD

”=о

Дифференциальное уравнение (12.6.5), относящееся к разностному уравнению (8), имеет особые точки s = 1, s = 0 и s = oo. Поскольку степенной ряд для точки s = 1 сходится внутри окружности, проходящей через точку s = 0, то факториальный ряд (11) сходится в полуплоскости X > Хо.

Пусть 仆 изменяется от нуля до л. Тогда переменная х изменяется от 1 до ——1, а X ——от 1/Дх до ——1/Ах. Приращение Ах произвольно мало. Следовательно, в качестве решения интерес

представляет только факториальный ряд с абсциссой сходимости Хо < —】/△%. Примем, что ряд (11) сходится для X > Хо, причем X。V—1/Ах. Гамма-функция Г (X) имеет полюса для целых отрицательных значений X, которые необходимо компенсировать ^нбо нулями факториального ряда, либо полюсами функции Г(Х + р+1)・ Функции Г(Х + р+1) и Г(Х) имеют общие полюса, если значение р целое:

Р = —■+ 1), Р = Л / = 0, I, 2, ... . (12) Для Х = 0, —1/Ах, ... полюса отсутствуют только при отрицательных целых или нулевых значениях р. Ряд (11) становится полиномом, если р ——отрицательное целое число, а абсцисса сходимости Хо равна —оо：

必(x)= s(Q) = Z G(；_ J), х = — ^^. (13> у=0 ' - v 丿

Собственными значениями уравнений (12) и (10) являются 入= — /(/+1)・ (14)

Этот результат замечателен тем, что он не зависит от AQ и показывает существенную разницу между декартовыми и сферическими координатами. В трехмерной декартовой системе координат разности Ах, Ар и △? из уравнений (8.4.13), (12.5.5) н (12.5.6) совершенно одинаковы. В сферической системе координат, напротив, А8 и Л(р не могут появиться в соотношении независимости, так как единственная связь между функциями ^)п (^) 勘(屮)и 5 (г) в уравнениях (9.1.5), (9.1.6) и (9.1.7) обусловлена параметром 九.Более того, выражение (14) является причиной того, что собственные значения энергии из уравнения (9.3.5) зависят только от А/ и Аг, а не от △办 и А(р.

Уравнение (14) является необходимым условием существования полиномов a|)〃(X). Поиск достаточного условия требует знания коэффициентов Cv, позволяющих записать определитель, подобный определителю (9223). Равенства (12.6.18) здесь не помогут, поскольку они не соблюдаются для двукратных корней характеристического уравнения (12.6.6). Подставляя выражение (1J) в уравнение (7), можно получить рекуррентную формулу для коэффициентов CV) но преобразования настолько громоздки, что результаты, представляющие общий интерес, пока не получены. В простейшем случае р = —1, / = 0,叱親(X) =0。получается не вызывающее сомнений достаточное условие v = 0. Од- нако сравнение уравнений (7) и (9.1.8) заставляет предположить, что вообще должна существовать связь между △仆 и А(р.

Предположим, что ряд (11) неограничен. Тогда факториальный ряд должен быть равен нулю в точках Х = 0, —△%, ..., а коэффициенты Cv должны быть функциями произвольных разностей Ах. Следовательно, полиномиальные решения являются единственными решениями, которые не имеют полюсов и становятся независимыми от Ах при малых значениях Ах.

В первом приближении уравнению (9.1.6) удовлетворяют сферические гармоники. Подставим 6 = —m2 = 0 и, используя разложение в ряд Тейлора, заменим разностные отношения дифференциальными:

(△分产 产一

v=o ''

上=2(15) (А")24(2v + 2)! d/+2

Получаем

Составляющим, не содержащим △办， удовлетворяют сферические гармоники Pi (cos Ь) при \ = — /(/ + 1):

尸j (cos 今)=2 -I X g 2力!⑵ 7)- [cos /^ + Y 2/ T cos (/ — 2)仆 +

+ т4" (2/_；)(2/\з)cos. —4)2 ・•・]. (17)

В результате дифференцирования получаем

(公» 小)匕(cos切-(户(/ Аa 2L05不3二上上os 2 +

+ ；4(上卢)二。S(/ -2)分+・..].(18)

Выбирая ДО достаточно малым, можно сделать произвольно ма- лыми составляющие уравнения (16), содержащие △办.Следовательно, функция *фпС&) имеет вид 尸/(cos 仆j + 0(А8). Беря производную 刃-ro порядка относительно cos О, получаем, что составляющие, не содержащие А8, определяются соответствующими сферическими гармониками Р? (cos 仆). Конечное число

дифференцирований никак не сказывается на обращении в нуль составляющих, содержащих сомножитель △今.Следовательно, собственные функции разностного уравнения (9.1.6) имеют вид Р7 (cos е)+ о (А2) + О (△『・

Сходимость решения уравнения Клейна ——Гордонав кулоновском поле

Решение разностного уравнения (10.2.1) можно получить с помощью ряда (10.2.6), если линия интегрирования для интеграла (9.2.3) выбрана так, что составляющие (9.2.4) и (9.2.7) обращаются в нуль. Началом и концом линии интегрирования является точка s = 0. Следовательно, исследование функции 屮九(火) осуществляется в области точки s = 0. Подставляя ряд

侬(s)=W c”s屮(1)

v=o

в дифференциальное уравнение (10.2.4), получаем начальные значения степени Pi =0 и р2 = 1. Используя р2, получаем решение в виде

侬2(s) = sZ cvsv,(2)

v=0

тогда как для Pi решение содержит логарифмическую составляющую~

% ⑸=£ (《+ % In s) st(3)

Общее решение в окрестности точки s = 0 является линейной комбинацией wi (s) и w2(s):

з (s) = G吗(s) +。2功2 (s)・(4)

Произведения sRw (s) и s^+i侬'(s) из выражений (9.2.4) и (9.2.7) равны нулю в точке s = 0, если R больше нуля. Следовательно, запись ф„ (У?) в виде рядов (10.2.9), (10.4.13) и (10.4.14) — это формальные решения разностного уравнения (10.2.1) для R > 0.

Показатель 01=0 является меньшим из двух начальных значений степени в точке s = 0. Это означает, что порядок разложения w(g/P) в ряд (10.4.5) в особой точке Е = 0 равен нулк> [102, 105, 100]. Следовательно, для больших значений v коэффициенты 4 факториального ряда (10.4.16) имеют границы

Kv-i-y 4J VKv-if(5)

где константа £ произвольно мала, а константа К имеет доста^ точно большое, но конечное значение,

Используя аппроксимацию

(1 + Р(р，о) 0 + р(р+弋，+ I))…(1 + P(pjv))弋

%exp(-^£ ^y),(6)

•v' + p > 0

м соотношение v

2；-In v ^ С, где C — константа Эйлера, v》1,

i= 1

получаем ограничение

5+r二考尹一- < сТ/Р.⑺

(右 + р + М)…(A + p + v)

Уравнения (5) и (7) дают

>4寝 + . + 1)…(>p+v)『(R/p+p+i)

Сумма

自 V-l+e-R/P(9)

абсолютно сходится при R/P > е> 0.

Исследуя дифференциальное уравнение (10.2.4) в области точки s = оо с помощью ряда

侬(s) = ® %sYf,v=o

получаем начальные степени 力=0 и 丫2 = — 1. Это означает, что второе каноническое решение разностного уравнения (10.2.1) сходится в точках S2 и S3 для г Се' V 0 [104, 94]. Эти решения получаем заменой линии интегрирования / (рис. 9.2.1, а и б) линией L, которая начинается в бесконечности, обегает вокруг точек s3Hs2 H возвращается в бесконечность.

Показатели р и ^ зависят только от коэффициентов функций <р〃(А+ 1) н 屮〃(А— 1). Следовательно, эти коэффициенты и, таким образом, абсцисса сходимости R。= 0 факториального ряда не зависят от потенциала Ф.

Ортогональность собственных функций

Рассмотрим ортогональность собственных функций разностного уравнения Шредингера из разд. 8.2. Подставим в уравнение (8.1.2) оператор Qo из выражения (8.2.4). Используя связь между значениями соОп н 瓦 в уравнении (8.1.13), запишем [—备 R +，(г)] 5(r)=i~^r ®0пФ„(r)=4 sin (^^) G (г). (1) Перепишем это уравнение для комплексно-сопряженной собственной функции 嗚(г). Умножим уравнение (1) на 嗚(г), а уравнение для 屮、(г) на ^п (г). Проинтегрируем разность этих произведений по объему ?:

-亲 5((p«v4 -中"b吭)dv =

=告(sin且联~ - sin且卢)、喙屮" du.⑵

С помощью ряда Тейлора запишем разностный оператор v2 как последовательность дифференциальных операторов:

在一+= У — 2 产卫」 (a*)2 丁(А%]十(А".⑵ + 2)! I "硬+2 •

Там, где индекс / появляется дважды, сумма берется по / = 1,

Объемный интеграл (2) можно преобразовать в поверхност- ннй интеграл, используя обобщенную формулу Грина из разд. 12.10:「’

2т § (嗚 grbd 屮“ -(р„ grad 嗚)dfN -

-亲 Z m2)[S § de%=

i=ls=0

= "in 上产—sin?嗽,q>阮du. (4> Дифференциалом d% обозначен вектор пространственного эле- мента df, направленный наружу из замкнутого объема. Вектор %s= ijOf,s, j⑸

содержит компоненты

。2. s, j =。2. s, j =。"％”。"％”/= 1, 2, 3./= 1, 2, 3./% /-S+1Q"；d/i-s+l 丿'/% /-S+1Q"；d/i-s+l 丿'(6)(6)

。2. s, j =

。2. s, j =

。"％”

。"％”

/= 1, 2, 3.

/= 1, 2, 3.

/% /-S+1Q

"；d/i-s+l 丿'

/% /-S+1Q

"；d/i-s+l 丿'

(6)

(6)

Для того чтобы объемный интеграл \ 屮\ (г)屮也(r) du был равен нулю, нулевым должен быть поверхностный интеграл (^)Dz sdfN. Функции, которые не становятся независимыми от Ах； при малых значениях Д%/, рассматривать не будем, поскольку подобные решения мы ранее условились исключать. Если для любого значения i на некоторой большой поверхности отношения (Д^.)2'd2i+x^mld)(^+i и (A%」)％"t+Q/g%"] можно ^сделать произвольно малыми при достаточно малых △%『，то это является необходимым и достаточным условием равенства ин-

тегралатеграла勺D。sdtN нулю. В противном случае значения интегралов

теграла

теграла

были бы бесконечными.

Используя равенство (3), уравнение (1 )можно переписать ■в следующем виде:

｛一 2 [/；+£后看(%产誨司+ид)卜"(吟=

=备 sin (~^^) <p„ %). (7)

Составляющие (Ах/) 2id2i^2^n/dXj2i^2 обращаются в нуль вместе с членами (Дх,产"用皿/。尤产+】，если функция 駆(打)и ее производные непрерывны. Следовательно,屮〃(％/) является собственной функцией следующего дифференциального уравнения на достаточно большой поверхности:

[-爲方%+ V(用必(%)= £ sin (上*)屮.⑴).⑻

На большой поверхности функции q)n(x/) должны быть идентичны собственным функциям 〃几(％。дифференциального уравнения Шредингера

[-崇 *； + V(%] 〃”(х『)=Е声“ (%), (9)

за исключением членов порядка О (Дх；, Af). Умножим уравнение (7) на % (%) а соответствующее дифференциальное уравнение для 屮7(%/)—на 〃也(х/)・ Разность этих произведений

проинтегрируем по объему и:

й2 f / . д2>、

一 -7Г" \-н^д— "相 一4— U^ldv ==

2m J I 机 dxjdxj 冷 〃 dxjdxj

=§ («m grad «„ — m„ grad «„) dtN =

=§ (屮：grad 屮“ —(pn grad 脸)d% =

=(E“ — ^m) ^thnUndv = 0.(10)

Известно, что собственные функции ип и ит дифференциального уравнения Шредингера ортогональны. Следовательно, из уравнения (10) можно сделать вывод, что первый интеграл в выражении (4) также равен нулю. Таким образом, при рассмотрении только составляющих порядка 0(1) асимптотический переход от собственных функций 屮八 н 屮加 к собственным функциям 〃加 и ип является необходимым и достаточным условием ортогональности собственных функций 屮〃 и 屮团.

12Л0. Обобщение формулы Грина

Заменяя в интегральной теореме Гаусса

(i)⑵(3)(i)⑵(3)\ div A[du = § A{diN вектор Ai выражением

(i)

⑵

(3)

(i)

⑵

(3)

з

а】 = £§а(м)2 舞/=1J

и вводя вектор В:

з

B力s嗡'

получаем

\ (div Ai — div BJ dv — ^ (Дху)2(4\ (div Ai — div BJ dv — ^ (Дху)2(404g04gВ"^^) du + \ div Di/力В"^^) du + \ div Di/力

\ (div Ai — div BJ dv — ^ (Дху)2(4

\ (div Ai — div BJ dv — ^ (Дху)2(4

04g

04g

В"^^) du + \ div Di/力

В"^^) du + \ div Di/力

где Du — следующий вектор:

DDз"露心俏奇一器幼з"露心俏奇一器幼⑸⑸

D

D

з

"露心俏奇一器幼

з

"露心俏奇一器幼

⑸

⑸

Если индекс / появляется дважды, сумма в выражении (4) берется по / = 1, 2, 3. Применяя теорему Гаусса к выражению (4),

получаем

Введем еще два вектора А? и В2:

=§ （А】一В】）成汽一§ D[[dfN・

A2 = £i/4(A%/)4^-， /=1/

3

В2= 2 i#(A%j)4*.

Из соотношения

\ (div А2 — div В2) du = § (А2 — В2) dtN

получаем формулу

=ф (a2 - В2) dtN - §D2儘n + § D22班n.

з

D「牛（5）4（許請

В общем случае выполняется равенство

,(%产《壁一諾)彰=

=§ (А—】一В—】)dtN + X (— 1『§ D打_i, sdtN.

s=l

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

A”-尸 Z i/ (m严-2 4 ，: 2言，Blj

b."力i/(5)2』案言

3

D〃T,s=Zi/(5严 t

f 仁4 02a-s-lB — ^B 产-s-I 厶、

I或'川“-sT —百U产-s-1丿

Используя обозначение д^А/дх^ = Л, можно записать равенство (10) в более короткой форме:

W产2《除 в -器)du 奇(_ l)s § Di sdiN.(11)

Собственные функции диадических разностныхоператоров

В разд. 6.3 мы ввели диадический разностный оператор Df(m) /Dm (6.3.1), а затем перешли к оператору gf (m) /gm (6.3.3), предложенному Гиббсом. Одним из основных свойств оператора gf(m) /gm является воспроизведение функций Уолша в соответствии с уравнением (6.3.6):

^^ = ^Wal(fe, m).(1)

Выясним, существует ли эквивалентное соотношение

缥号=kf(m)⑵

для оператора Df(m) /Dm. В соответствии с табл. 12.11.1 переменная m имеет четыре значения 00, 01, 10, 11, а функция f(m)——значения 〃，b, с, d. В табл. 12.11.1 показана также производная

J2^ = ^ 6 (m)一 f (m㊉ 01)] +行(m)- / (m㊉ 10)]}.(3)

Соотношение (2) требует выполнения следующих четырех условий:

〃 —2(Ь + с)=痴，(4)

b — ： (а + d) = hb,

с — J (а + d) = kc,d-^(b~{-c) = kd.

При 用=0, 1, 2 существует нетривиальное решение этой системы уравнений. Результирующие функции f (0, m), f (1, m) и f(2, m) приведены в табл. 12.11.2. Любое другое значение приводит к тривиальному решению а = b == с — d = 0. Нормализуя эти три функции, получаем функции Уолша Walp(0, m), Walp(l, т) и

Т аблица 12.11 J

Диадическая производная Df (m)/Dm функции f (m)

f(m)

00

01

b

10 c

11

a

f(m ㊉ 01)

b

Q

d

c

f (加㊉10)

c

d

Q

b

1

11

1

Df {m)/Dtn

Q — 5(" + °)

b ■

—万(o + p) c —万 3 + d)

d ―工(b + c)

Таблица 12.11.2

Функции, удовлетворяющие соотношению Df (Л, m)/Dm = Af (A, m)

加

00

01

10

11

f(0, m)

Q

a

Q

Q

7(1,冴

a

b

_力

—Q

f(2, m)

a

-Q

--Q

Q

Walp(3, m) (см. рис. 6.3.3), что позволяет перейти от восьми значений m к четырем значениям (функция Walp(2, m) при этом отсутствует). Таким образом, равенство (2) дает неполный набор функций, а равенство (1)——полный набор.

Перейдя от четырех значений m (табл. 12.11.1) к восьми значениям m = ООО, 001, ..., 111, можно получить систему из восьми уравнений вместо системы из четырех уравнений (4), но значений k только четыре:々=0, 2/3, 4/3, 2. Следовательно, и в этом случае равенство (2) менее желательно, чем равенство (1).

Поскольку уравнение (1) в разд. 6.3 было использовано главным образом для поиска общего решения диадического волнового уравнения, то для диадического разностного оператора первого порядка равенство (2) не требуется. По аналогии с соотношением d2 (cos kx) /dx2 =——A2 cos kx в дифференциальном исчислении вполне достаточно соотношения для оператора второго порядка

⑸⑸卷終=敏（他）•

⑸

⑸

Вторая диадическая производная D2f(m) /Dm2 вместе с первой производной Df{m)/Dm, взятой из табл. 12.11.1, приведена в

Диадическая

Таблица 12.113

производная D2f (mJ/Dm?

от функции f (m)

/п

00

01

Г(т)

a

b

Df (m)/Dm

a —~- (ft + c)

b(a + d)

Df (m ㊉ Ol)/Om

。—J (a + d)

a — 9 (匕 + c)

Df(m ㊉ 10)/0m

c —，(。+ d)

d — J(匕 + c)

0甘(m)/0/

3厶.1 <

3 ,, , 1

一 a — d -c

tn

10

11

f(w)

c

a

Df (m)!Dm

c(a + d)

d —^-(b + c)

Df (m®01)/Dm

d —](匕 + c)

c —Jm + d)

Df(m ㊉ 10)/0机

a —g(8 + c)

d — \(a + d)

D2f (m)/Dm2

万с一d一a+ё8

3 /, , 1

табл. 12.11.3. Согласно выражению (5), должны выполняться следующие соотношения:

一一一一一二d с 匕 а1-2 1-2 1-2 1-2一一一一一二d с 匕 а1-2 1-2 1-2 1-2(6)(6)b - a - d +b - a - d +е e 一 d — a ^d-c-bе e 一 d — a ^d-c-b〃 —b ——с

一一一一一二d с 匕 а1-2 1-2 1-2 1-2

一一一一一二d с 匕 а1-2 1-2 1-2 1-2

(6)

(6)

b - a - d +

b - a - d +

е e 一 d — a ^d-c-b

е e 一 d — a ^d-c-b

Нетривиальные решения этой системы уравнений существуют для F = 0, 1, 4. Полученные три функции совпадают с функциями из табл. 12.11.2. Следовательно, ни уравнение (2), ни уравнение (5) не обладают желаемыми свойствами равенства (1).

ЛИТЕРАТУРА

Ahmedt N., Schreiber, H., and Lopresti, P. V. 1973. On notation and definition of terms related to a class of complete orthogonal functions. IEEE Trans. Electromagn. Compat., EMC-15, 75—80.

Apostle, H. G. 1969.《Aristotle's Physics, Translated with Commentaries and Glossary». Indiana University Press, Bloomington.

Aristotle. 1930. «The Works of Aristotle, vol. II. Physica» (R. R. Hardie and R. K・ Gaye, transl.). Clarendon Press, Oxford. (Имеется перевод: Аристотель. Физика. Пер. В. П. Карпова. — 2-е изд. — М.: Соцэкгиз, 1960, 228 с.)

Ash, R. А 1965. «Information Theory». Wiley, New York.

Athinson, D, and Halpern, M. 8. 1967. Non-usual topologies on spacetime and high-energy scattering. J. Mathematical Physics, 8, pp. 373—387.

Bekenstein, /. D. 1981a. Energy cost of information transfer. Phys. Rev. Lett., 46, p. 623.

Bekenstein, /. D. 1981b. Universal upper bound on the entropy-to-energy ratio for bounded systems. Phys. Rev., D2 3, pp. 287—298.

Bolyai, /. 1832. «The science of absolute space» (оригинал на латинском языке). См. приложение [9].

Bonolat R. 1955. «Non-Euclidean Geometry». Dover, New York (оригинал опубликован на итальянском языке).

Borel, £. F. £. /. 1922. «fespace et le temp». Alcan, Paris. «Space and Time». Blackie, London and Glasgow, 1926.

Bradley, D. J, 1977. Methods of generation, in: «Ultrashort Light Pulses, Picosecond Techniques and Applications» (S. L. Shapiro, ed.), pp. 17—81, Springer-Verlag, New York.

Braginsky,匕 В., Vorontsov, V. /., Thorne, K. S. 1980. Quantum nondemolition measurements. Science 209, No. 4456, pp. 547—557.

Brillouin, L. 1956. «Science and Information Theory». Academic Press, New York. (Имеется перевод： Бриллюен Л. Наука и теория информации. Пер. с англ. — М.: Физматгиз, 1960, 392 с.)

Brown, L. А. 1949. «The Story of Maps». Bonanza Books, New York.

B〃f2er, P. L, and Wagner, H. J. 1973. A calculus for Walsh functions defined on R+, in: Proc. 1973 Walsh Functions Symp. (A. E. Showalter and R. W. Zeek, eds.), pp. 75—81. Nat. Tech. Inf. Serv. AD 763000, Springfield, Virginia.

Co/e, £. A. A 1970. Transition from continuous to a discrete space-time scheme. Nuovo Cimento 66A, pp. 645—655.

Co/e, E. A. A 1971. Cellular space-time and quantum field theory. Nuovo Cimento 1A, pp. 120—132.

Cole, £. A. R 1972a. The observer-dependence of cellular space-time structure. Intern. J. Theor. Phys., 5, pp. 3—14.

Cole, E. A. A 1972b. The classification of displacements and rotations in a cellular space-time. Intern. J. Theor. Phys., 5, pp. 437—~446.

Cule, E. A. B. 1973a. Perception and operation in the definition of observable. Intern. J. Theor. Phys., 8, pp. 155—170.

Cole, E. A. B. 1973b. Transformations between cellular space-time structures and the principle of covariance. Nuovo Cimento, 18A, pp. 445—458,

Courant, R, Friedrichs, К., and Lewy, H. 1928. Uber die partiellen Dif- ferenzengleichungen der mathematischen Physik. Math. Ann., 100, pp. 32— 74,

Das, A. 1960. Cellular space-time and quantum field theory. Nuovo Ci- inento, 18, pp. 482—504.

Das, A. 1966a. Complex space-time and classical field theory. J. Math. Phys., 7, pp. 45—51.

Das, A, 1966b. The quantized complex space-time and quantum theory of free fields. J. Math. Phys., 7, pp. 52—60.

Qqs, A. 1966c. Complex space-time and geometrization of electromagnetism. J. Math. Phys., 7, pp. 61—63.

Davis,尸.C. 1974.《The Physics of Time Asymmetry». University of California Press, Berkeley."

Dawes, £. L., and Marburger, J. H. 1969. Computer studies in selffocusing. Phys. Rev., 179, pp. 862—868.

Dhar, D. 1977. Lattices of effectively nonintegral dimensionality. J. Math. Phys., 18, pp. 577—585.

Dhart D. 1980. On the connectivity index for lattices of nonintegral dimensionality. Pramana (India) 15, pp. 545—549.'

Dixon, W. G. 1978. «Special Relativity». Cambridge University Press* London.

Douglas, J., Jr. 1956. On the relation between stability and convergence in the numerical solution of linear parabolic and hyperbolic equations. J. Soc. Ind. Appl. Math., 4, pp. 20—37.

Einstein, A. 1915. Erklarung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitatstheorie. Sitzungsberichte preuss. Akad. Wiss. (Berlin), 47, pp. 831—839.

Etnstein, A. 1916. Die Grundlagen der allgemeinen Relativitatstheorie. Ann. Phys., 42, pp. 769—822.

Einstein, A. 1955.《The Meaning of Relativity». Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey. (Имеется перевод： Эйнштейн А. Сущность теории относительности. Пер. с англ. — М.: ИЛ, 1955, 160 с.)

Einstein, 4, and Infeld, L. 1938. «The Evolution of Physics». Simon and Schuster, New York. (Имеется перевод： Эйнштейн 4, Инфельд Л. Эволюция физики. Развитие идей от первоначальных понятий до теории относительности и квантов. Пер. с англ. — М.： Молодая гвардия, 1§66» 267 с.)

Engel, F. 1899. «N. I. Lobatschevskii: Zwei geometrische Abhandlungcn aus dem Russischen iibersetzt mit Anmerkungen und einer Biographic des Verfassers». Teubner, Leipzig.

Euclid. 1916. «Euclidis Opere Omnia》(J. L. Heiberg and H. Menge, eds.). Teubner, Leipzig.

Euclid. 1956. «The Thirteen Books of Euclid's Elements» (T. L. Heath〉 transl). Dover, New York. (Имеется перевод; Евклид. Начала Евклида. Пер. с греческого. — М. — Л.: Гостехиздат, 1948.)

Feinstein, Д, 1958. «Foundations of Information Theory». McGraw-HilU New York. (Имеется перевод： Файнстейн Л. Основы теории информации. Пер. с англ. — М.: ИЛ, 1960, 140 с.)

Fey, Р. 1963. «Informationstheorie». Akademie Verlag, Berlin, DDR.

Fine, N. J. 1949. On the Walsh functions. Trans. Amer. Math. Soc., 65, pp. 372—414.

Fine, M /. 1950. The generalized Walsh functions. Trans. Amer. Math. Soc., 69, pp. 66—77.

Flint, И. T. 1948. The quantization of space and time. Phys. Rev., 74R pp. 209—210.

Зок В. Теория пространства, времени и тяготения. — 2-е изд. — М.： Физматгиз, 1961.

Fraser,丄 Т. 1978. «Time as Conflict — A Scientific and Humanistic Study». Birkhauser, Basel and Stuttgart.

Fraser, /. T., Haber, F. C., and Muller, G. "., eds. 1972. «The Study of time I》.Springer-Verlag, Berlin and New York.

Fraser, J. Л, and Lawrence, N., eds. 1975. «The Study of Time II». Springer-Verlag, Berlin and New York.

-49. Fraserr 丄 Л, Lawrence, N., and Park, D, eds. 1978. «The Study of Time III». Springer-Verlag, Berlin and New York.

Gauss, К. E 1827. Disquisitiones generales circa superficies curvas. German edition: Allgemeine Flachentheorie. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 1921. (Имеется перевод： Гаусс К. Ф. Избранные геодезические сочинения. Пер. с нем. — М..: Изд-во геодезич. лит.» 1957.)

Gauss, К. F. 1919. «Carl Friedrich Gauss Werke». Konigliche Gesellschaft der Wissenschaften, Gottingen.

Gauss, K. F. 1969. «Briefwechsel zwischen C. F. Gauss and H.C. Schumacher, Nachtrage». Vandenhoeck and Ruprecht, Gottingen.

Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. Учебное пособие для университетов. — Изд. 3-е, испр. — М.: Наука, 1967, 375 с.

. Gibbs, /. Е., and Ireland, В. 1974. Walsh functions and differentiation, in： «Applications of Walsh Functions and Sequency Theory» (H. Schreiber and G. F. Sandy, eds.)- pp. 147—176. Institute of Electrical and Electronics Engineers, New York.

Gibbs,丄 £. 1979. A theory of time. NPL Report DES 20. National Physical Laboratory, Teddington, Middlesex, England.

Gouy, M. 1886. Sur le mouvement lumineux. Jour, de Physique Theorieque et Appliquee (в наст, время J. Physique et Radium), 2e ser., 5, 354— 362.

Hamming, R. W. 1950. Error detecting and error correcting codes. Bell System Tech. J., 29, pp. 147—160.

Hamming, R W. 1980. «Coding and Information Theory». Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. (Имеется перевод： Хэмминг P. В. Теория информации н теория кодирования Пер. с англ. — М.: Радио и связь, 1983, 174 с.)

-59. Наг math, Н. F. 1957. On the solution of the Schrodinger and the Klein- Gordon equations by digital computers. J. Math. Phys., 36, pp. 269—278

Harmuth, H. F. 1972. «Transmission of Information by Orthogonal Functions». Springer-Verlag, New York and Berlin. (Имеется перевод： Хар- мут X. Ф. Передача информации ортогональными функциями. Пер. с англ. — М.： Связь, 1975, 267 с.)

Harmuth, Н. Е 1977. «Sequency Theory Foundations and Applications». Academic Press, New York. (Имеется перевод: Xармут X. Ф. Теория сек- вентного анализа. Основы и применение. Пер. с англ. — М.: Мир, 1980, 574 с.)

Harmuth, Н. F. 1980. From the flat Earth to the topology of space-time. Adv. in Electronics and Electron Physics, 50, pp. 261—350,

Harmuth, H. F. 1981. «Nonsinusoidal Waves for Radar and Radio Communication». Academic Press, New York. (Имеется перевод: Хармут X. Ф. Несинусоидальные волны в радиолокации и связи. Пер. с англ. — М.: Радио и связь, 1985, 376 с.)

Harris, D. С, and Wade, W. R 1978. Sets of divergence on the group 210 Trans. Amer. Math. Soc., 240, pp. 385—392.

65 Hartley, R. V. £. 1928. Transmission of information. Bell System Tech., J. 7, pp. 535—563.

Hasebe, K. 1972. Quantum space-time. Prog. Theor. Phys., 48, pp. 1742— 1750.

Hawking, S. W.t and Ellis, G. F. R. 1973. «The Large Scale Structure of Space-Time». Cambridge University Press, London. (Имеется перевод; Хокинг С., Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства-времени. Пер. с англ. — М.: Мир, 1977, 431 с.)

Heller, М 1975. Global time problem in relativistic cosmology. Annales de la Societe Scientifique de Bruxelles, 89, IV, pp. 522—532.

Heller, M. 1975. Some remarks about the concept of cosmic time. Acta Cosmologica, 3, pp. 41—44.

Hellund, £. /., and Tanaka, K. 1954. Quantized space-time. Phys. Rev., 94, pp. 192—195.

Hilbert, D, 1930. Grundlagen der Geometrie. Teubner, Leipzig. The Foundations of Geometry. Open Court, Chicago, 1921. (Имеется перевод: Гилберт Д. Основания геометрии. Пер. 7-го нем. изд. — М. — Л.： Гостехиз- дат, 1948, 492 с.)

Hill, Е. L. 1955. Relativistic theory of discrete momentum space and discrete space-time. Phys. Rev., 100, pp. 1780—1783.

Hume, ” 1888. «А Treatise of Human Nature» (L. A. Selby-Bigge, ed.). Clarendon Press, Oxford. (Имеется перевод： Юм. Д. Сочинения. В 2-х т. — М.: Мысль, 1965.)

Huygens, С. 1690. «Treatise on Light». Reprinted Dover, New York» 1962.

Jaitch, J. M. 1968. «Foundations of Quantum Mechanics». Addison-Wesley, Reading, Massachusetts.

Kadishevsky, V. G 1978. Towards a more profound theory of electromagnetic interactions. Fermi Natl. Accelerator Lab. Preprint FERMI LAB-Pub- 78170-THY.

Kant, /. 1922. «Critique of Pure Reason» (F. M. Miiller, transL)- McMillan, New York. (Имеется перевод: Кант И. Сочинения. В 6-ти т. — М.2 Мысль, 1964.)

Kant, Z 1956.《Kritik der reinen Vernunft》. Felix Meiner, Hamburg.

Kartashoff, P. 1978. «Frequency and Time》. Academic Press, New York.

Kelley, P. L. 1965. Self-focusing of optical beams. Phys. Rev. Lett., 26, pp. 1005—1008.

Keplert J. 1596. «Mysterium Cosmographicum» (полное название： A Forerunner to Cosmographical Treatises, Containing the Cosmic Mystery of the Admirable Proportions Between the Heavenly Orbits and the True and Proper Reasons for their Numbers, Magnitudes and Periodic Motions). Tubingen. Изд. на немецком: «Das Weltgeheimnis» (M. Caspar, transL), Oldenbourg, Munich and Berlin, 1936.

Kepler, J. 1937. «Johannes Keplers gesammelte Werke» (W. von Dyck and M. Caspar, eds.). С. H. Beck, Munich.

Koestler, A. 1968. «The Sleepwalkers». Macmillan, New York.

Landau, £., and Peierls, R 1931. Erweiterung des Unbestimmtheitsprinzips fiir die relativistische Quantentheorie. Z. Phys. 69, 56—69.

Летохов В. С. Генерация ультракоротких импульсов света в лазере с нелинейным поглотителем. — ЖЭТФ, 1968, т. 55, вьш. 3(9), с. 1077— 1089.

LobachevskU, N. Л 1840. «Geometrische Untersuchungen zur Theorie der ParaHellinien». G. Fincke, Berlin. Reprinted Mayer and Muller, Berlin, 1887. Английский перевод см. [9]. (Имеется перевод： Лобачевский Н. И. Полное собрание сочинений. В 5-ти т.——М.——JI.: Гостехиздат, 1946.)

Lobachevskii, N. /. 1856. «Pangeometrie; ou, precis de geometrie fondee sur une theorie generate et rigoureuse des parallels». Kasan University (Reprinted by Herman, Paris, 1905). (Имеется перевод. См. [87].)

Lubke, A. 1958.《Die Uhr». VDI-Verlag, Dusseldorf.

Lucos, /. R 1973.《A Treatise on Time and Space». Methuen, London.

Mach, £ 1907. «The Science of Mechanics». Open Court, Chicago. 1-е нем. изд. вышло в 1883 г. (Имеется перевод： Мах 3. Механика. Историкокритический очерк ее развития. Разр. авт. пер. 6-го испр. и доп. нем. изд. — Спб,, 1909, 446 с.)

March, А. 1948.《Natur und Erkenntnis». Springer-Verlag, Vienna and New York.

March, A. 1951. «Quantum Mechanics of Particles and Wave Fields».. Wiley, New York.

Maxwell, /. C. 1873. «А Treatise on Electricity and Magnetism». Reprint of the third edition by Dover, New York, 1954. (Имеется перевод： Максвелл Д. К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. Пер. с англ. — М.: Гостехиздат, 1954, 668 с.)

Milne-Thomsont L. М. 1951. «The Calculus of Finite Differences». Macmillan, London.

Misner^ C. W.t Thorne9 K. S., and Wheeler, C. A. 1973. «Gravitation»^ W. H. Frieman, San Francisco. (Имеется первод： Мизнер Ч. и др. Гравитация. В 2-х т. Пер. с англ. — М.: Мир, 1977.)、

Moller, С. 1972. «The Theory of Relativity». Oxford University Press* London.

Mundicici, D. 1981. Irreversibility, uncertainty, relativity, and computer limitations. Nuovo Cimen to, 61B2, pp. 297—305.

Nerlich, G. 1976. «The Shape of Space». Cambridge University Press,. London.

Newton,丄 1971. «Mathematical Priniciples» (A. Motte, transl., F. Cajori, ed.). Univ. California Press, Berkeley. (Имеется перевод： Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Пер. с лат.——М.——Л.： Изд-во АН СССР, 1936, 696 с.)

Nielsen, М 1906. «Handbuch der Theorie der Gammafunktion». Teubner, Leipzig.

Norland, N. 1910. Fractions continues et differeces reciproques. Acta Math. 34, 1—108.

Nbrlund, M 1914. Sur les series de facultes. Acta Math., 37, pp. 327— 387.

Norland, M 1915. Sur les equations lineaires aux differences finies a coefficientes rationnels. Acta Math., 40, pp. 191—249.

Norlund, N. 1924. «Vorlesungen fiber Dilferenzenrechnung» Springer-Verlag, Berlin and New York.

Ndrlundt M 1929. «Equations Lineaires aux Differences Finies». Gauthier- Villars, Paris.

Paleyt R. E. A. C. 1932. A remarkable series of orthogonal functions. Proc. London Math. Soc., 34, pp. 241—279."

Park, D 1980. «The Image of Eternity — Roots of Time in the Physical World». University of Massachusetts Press, Amherst.

Paulit W. 1933. Die verallgemeinerten Prinzipien der Wellenmechanik, in: «Handbuch der Physik», 2nd ed. (Geiger and Scheel, eds.), vol. 24, part 1; перепечатано в «Handbuch der Physik» (S. Fliigge, ed.), vol. V, part 1 (1958), pp. 1—168, особенно p. 10. Springer-Verlag, Berlin and New York (Имеется перевод: Паули В. Общие принципы волновой механики. Пер. с нем. — М. — Л.： Гостехиздат, 1947, 332 с.)

Penney^ R 1965. On the dimensionality of the real world. J. Mathematical Physics, 6, pp. 1607—1611.

Pichler,尸.1967. Das System der sab und cal-Funktionen als Erweiterung des Systems der Walsh-Funktionen ujnd die Theorie der sal- and cab Fouriertransformation. PhD Thesis, Philosophische Fakultat, Universi- tat Innsbruck, Austria.

Ш. Ptolemy, C. 1952. «The Almagest», by Ptolemy (R. C. Taliferro, transl.); «On the Revolutions of the Heavenly Spheres», by N. Copernicus-

(С. G. Wallis, transl.); «The Harmonies of the World», by J. Kepler (C. G. Wallis, transl.). Enciclopaedia Britannica, Chicago.

Raine, D, and Heller, M. 1982. «Science of Space-Time». Pachart, Tucson, Arizona.

Rayleigh, J. W. 1889. Wave theory of light, in: «Encyclopaedia Britannica», 9th ed., vol. 24, p. 421. Stoddard, Philadelphia.

Rayleigh, /. W. 1894.《The Theory of Sound». Перепечатано： Dover, New York 1945.

Reichenbach, H. 1957. «The Philosophy of Space and Time». Dover, New York (немецкий оригинал: Philosophic der Raum-Zeit-Lehre, 1928).

Reis beck, G. 1964. «Information Theory, an Introduction for Scientists and Engineers». MIT Press, Cambridge, Massachusetts.

Reza, F. M. 1961.《An Introduction to Information Theory», McGraw-Hill, New York.

Richtmyer, R. D. 1957. «Difference Methods for Initial Value Problems». Wiley Interscience, New York. (Имеется перевод: Рихтмайер P. Д. Разностные методы решения краевых задач. Пер. с англ. — М.： ИЛ, 1960, 262 с.)

Riemann, К 1854. Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde Liegen, in： «Gesammelte Mathematische Werke» (H. Weber, ed.), pp. 272— 287. Teubner, Leipzig, 1892. (Имеется перевод： Риман Б. Сочинения. Пер. с нем.—М. — Л.: Гостехиздат, 1948, 543 с.)

Riemann, В. 1858. Ein Beitrag zur Elektrodynamik, in： «Gesammelte Mathematische Werke» (H. Weber, ed.), pp. 288—293. Teubner. Leipzig, 1892.

Riemann, B. 1861. Commetatio mathematica, qua respondere tentatur quaestioni ab Illma Academia Parisiensi propositae..., in: «Gesammelte Mathematische Werke» (H. Weber, ed.), pp. 391—423. Teubner, Leipzig, 1892.

Riemann, A 1866. Gravitation und Licht, in: «Gesammelte Mathematische Werke» (H. Weber, ed.), pp. 532—538. Teubner, Leipzig, 1892.

Robinson, G. de A 1959. «The Foundations of Geometry». University of Toronto Press, Toronto, Canada.

Schiff, L. /. 1968. «Quantum Mechanics». McGraw-Hill, New York.

Schild, A. 1949. Discrete space-time and integral Lorentz transformations. Canadian J. Math. 1, pp. 29—47.

Schlick, M. 1920. «Space and Time in Contemporary Physics». Oxford University Press, New York.

Schrodinger, E. 1930. Ober die kraftefreie Bewegung in der relativistischen Quantenmechanik. Sitzungsberichte Akademie Wiss. Berlin. S. 418— 428.

Schrodinger, E 1950. «Space-Time Structure». University Press, Cambridge, England. (Имеется перевод: Шредингер Э. Избранные труды по квантовой механике. — М.： Наука, 1976, 424 с.)

Schrodinger, £. 1956. Causality and wave mechanics, in: «The World of Mathematics», Vol. 2, pp. 1056—1068. Simon and Schuster, New York.

Schuster, A. 1904. «The Theory of Optics». E. A. Arnold, London. (Имеется перевод: Шустер А. Введение в теоретическую оптику. Пер. с англ.— М. — Л.: ОНТИ Глв. ред. общетехн, лит., 1935, 376 с.)

Selfridge, G. 1955. Generalized Walsh transform. Pacific J. Math., 5, pp. 451—480.

Shannon, С. E. 1948. A mathematical theory of communication. Bell System Tech. J., 27, pp. 379—423, 623—656. (Имеется перевод: Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. — М.： ИЛ, 1963, 829 с.)

Shannon、С. £ 1949. Communication in the presence of noise. Proc. IRE 37, pp. 10—21.

Singfi, /. 1966. «Great Ideas in Information Theory, Language and Cybernetics». Dover, New York.

Snyder, H. S. 1947a. Quantized space-time. Phys. Rev., 71, pp. 38—4 Г.

SnyderH. S, 1947b. The electromagnetic field in quantized space-time. Phys. Rev., 72, pp. 68—71.

Sommerfeld, A. 1939. «Atombau und Spektrallinien», vol. 2, Mathematische- Zusatze und Erganzungen. Vieweg, Braunschweig. (Имеется перевод: Зоммерфельд А. Строение атома и спектры. Пер. с нем. — М.： Гостех- издаг, 1956, 694 с.)

St&ckel, Р. G. 1895. «Die Theorie der Parallellinien von Euclid bis auf Gauss». Teubner, Leipzig.

Stackel, P. G 1899. Franz Adolf Taurinus. Abh. Geschichte Math. 9, 397—427.，

Stacked P. G. 1901. Die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie durch Johann Bolyai. Math. u. Naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn. vol. 17.

Stackel, P. G., and Engel, F. 1897. Gauss, die beiden Bolyai und die nicht* euklidische Geometrie. Math. Ann., 49, 149—167.

Synge, J. L. 1960. «Relativity: The General Theory». North Holland, Апк sterdam.

Synge, /. L. 1965. «Relativity: The Special Theory». North Holland, Amsterdam.

Synget Л " and Schild, A. 1969. «Tensor Calculus». Dover, New York.

Thompson, J. E. S. 1959. «Grandeza у Decadencia de los Mayas». Fondo de Cultura Economica, Mexico and Buenos Aires.

van der Waerden, В L. 1966. Algebra. Springer-Verlag, Berlin and New York. (Имеется перевод： Ван-дер-Варден 6. Л. Алгебра. Пер. с нем,— М.: Наука, 1976.)

Виленкин Н. Я. О классе полных ортогональных систем. — Изв. АН СССР, сер. мат. II, 1947, с. 363—400.

Wade, W. R. 1969. A uniqueness theorem for Haar and Walsh series. Trans. Amer. Math. Soc., 141, pp. 187—194.

Wade, W. R. 1971. Summing closed U-sets for Walsh series. Proc. Amer Math. Soc., 29, pp. 123—125.

Wade, W. R 1975. Uniqueness and а-capacity on the group 2з. Trans. Amer. Math. Soc., 208, pp. 309—315.

Wallenberg, G., and Guldbergt 4 1911. «Teorie der linearen Differenzen- gleichungen». Teubner, Leipzig.

Wallist W. D, Street, 4 P., and Wallist J. S. 1972. «Combinatorics： Room Squares, Sum-Free Sets, Hadamard Matrices» (Lecture Notes in Mathe- matics 292). Springer-Verlag, Berlin and New York.

Walsh, /. L 1923. A closed set of normal orthogonal functions. Am. J. Math., 45, pp. 5—24.

Watari. C. 1965. On decomposition of Walsh-Fourier series. Toh6ku Math. J. 2nd ser., 17, pp. 76—86.

Weinberg, S. 1972. «Gravitation and Cosmology». Wiley, New York.

Welch, L. C. 1976. Quantum mechanics in a discrete space-time Nuovo Cimento, 31B, pp. 279—288.'

Weyl, H. 1921. «Raum, Zeit, Materie», 4th ed. English by H. L Brose «Space, Time, Matter». Dover, New York, 1952.”“

158・ Weylt H. 1921. Das Raumproblem. Jahresbericht der Deutschen Mathema~ tikervereinigung, 30, S. 92—93.

Weyl, H. 1968. «Gesammelte Abhandlungen». Springer-Verlag Berlin and New York.'

Whitrow, G. J. 1980. «The Natural Philosophy of Time». Oxford University Press, London.

Wieland, W. 1961. «Die aristotelische Physik». Vandenhoeck and Rupprecht, G6ttingen.

Yukawa, H. 1966. Atomistics and the divisibility of space and time. Suppl. Prog. Theor. Phys., 37—38, pp. 512—523.

Zinner, E. 1951. «Astronomie — Geschichte ihrer Probleme». Karl Alber, Freiburg.

Zwartt P. /, 1976. «About Time». North-Holland, Amsterdam.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Абсцисса сходимости факториального ряда 272, 297

Автоморфизм двоичных кодов 160

—диадической группы 147

Анализ секвентный 208

Бит 31, 33

В-олна стоячая 149, 233

синусоидальная 149, 153

——Уолшсс 151, 153

Время абсолютное 23

— нормированное 133

—относительное 23, 109

—представление априорное 25

Геодезическая 20, 96, 136, 161

Геометрия дифференциальная 19, 22

—Евклида 12, 15, 18, 69, 83, 85, 100

—конечных расстояний 23

—кривых поверхностей 19

—Лобачевского 18

—Лоренца 100, 191

—неевклидова 17, 71, 128

—псевдосфер ическа я Тауринуса 17

—Римана 19, 22, 69, 128

—сферическая 16

Гостиница Клейна 304

Граф мировой 182, 184, 191

Группа диадическая 131, 149

—метрическая 131

— топологическа я 131

Движение абсолютное 24

Действие-на-расстоянии 243

Деление диадическое 121, 308

Деферент 14

Дифференцирование диадическое 205,. 214

по Гиббсу 204

Длина волны комптоновская 282

Догма окружности 14

Единица длины элементарная 238

Задача раскраски карт 124

Изображение зеркальное 86

Интегрирование диадическое 214

Информация 22, 31, 33, 35, 36, 38

—несчетная 36

—счетно- бес конечна я 36

Исчисление высказываний 31, 35

—диадическое 204, 236, 241

—дифференциальное 24, 199, 204, 236

一 конечных разностей 236

—логическое Гиббса 232

—разностное 222, 236

Класс характеристический топологической группы действительных чисел 13, 15

Код Грея 137

——минимальный 140

по Грею 159

——обычный двоичный 137

Кольцо диадическое (двоичное) 56

—числовое 55

—шестнадцатеричное 56, 119

Комптои-эффект 238

Континуум 13. 14, 23, 36. 236

—пространственно-временной 54, 185

—трехмерный 28, 29

—четырехмерный 29

Координаты собственные 148

Лазер 231

—несинусоидальных волн 234

Линейка диадическая 179, 188

Линия мировая 136, 178

Метод произведений Бернулли 199

Метрика 12, 19, 27

— диадическая 130

—евклидова 24, 86

—пространства 26, 118

—пространства-времени 18

—риманоподобная 131

—условия 19, 129

Оператор Гиббса 205

——диадический разностный 231

——пространственной переменной 244

——разностный первого порядка левый 246

правый 246

симметрический 246, 250

■Отношение дифференциальное 216

второго порядка 246

первого порядка 201, 207, 246

—разностное второго порядка 202, 218

•диадическое 216

для колец обшего вида 222

■левое 309

первого порядка диадическое 206, 207, 211, 239

для колец общего вида

221

симметрическое 201

правое 309

Параллельность в кольцевых системах координат 59, 72

Передача информации 39

Перемещения в восьмеричной системе коорДиат 174

—в одном измерении трехмерные 144

четырехмерные 153

—в собственных координатах 148, 190

—в троичной системе координат 171

—в четверичной системе координат 173

— диадические 133, 138

Поверхность дискретная многомерная связанная 47

—неограниченная (закрытая) 49, 52

двумерная 67

—ограниченная (открытая) 49, 52 Постоянная тонкой структуры 38, 242 Постулат параллельности Евклида 15, 18

Поток информации 38, 42

Правило Крамера 274

Преобразование конформное 262, 278

—Лапласа 260, 272, 293

—Лоренца 191

Принцип информационный 43

—причинности 43

Производная диадическая второго порядка 327

первого порядка 209, 327

Пропускная способность каналов связи 34, 304

Пространство 28—30

—абсолютное 13, 23, 130

—априорное представление 24

—математическое 130

—относительное 23, 44

—физическое 130

Пространство-время 12, 29, 54

—квантованное (ячеистое) 238

—непрерывное 30, 236

Разложение звука несинусоидальное 224'

—света спектральное 223

Размерность пространства 89

一 системы координат 20

Разность диадическая средняя 204

—фаз 111

Разрешающая способность 43, 165, 179, 221, 241, 248

Расстояние абсолютное 92, 93, 98, 129

минимальное 92, 93, 96, 98, 122, 129

—атомное 40, 42, 282

—координатное 92, 93, 98, 129

направленное 113

—локально измеренное 126

—Пифагора 21, 85, 92, 96, 98

обобщенное 128

—Хэмминга 93, 130, 131, 140, 162

—ядерное 40, 42, 282

Ряд биномиальный 279

—Тейлора 319

—Уолша 212, 219

——факториальный асимптотически сходящийся 273

уравнения Дирака 297

Клейна—Гордона 277

Шредингера 262

—Фурье 15, 212, 232

Секвента 208, 226

—нормированная 226

Серия Бальмера 231, 233

—Лаймана 232

—Пфунда 232

Сетка координатная 57, 65, 131

Система координат 45, 54, 80, 107, 108, 130

диадическая двумерная 72, 97

пятимерная 76

трехмерная 98

шестимерная 164

четырехмерная 75, 153

декартова 14, 19

четырехмерная дискретная

99, 117

дискретная 45, 61

кольцевая 55, 62, 98, 116

двумерная 56

трехмерная 62, 87

четырехмерная 71, 119

конечная 46, 55, 61

левосторонняя 89

наклонная 21, 62

неограниченная 46, 54, 55, 61

ограниченная 47, 54

правосторонняя 89

с одной пространственной переменной 103

—координатно-часовая 112

Скорость абсолютная 122

—в диадической системе координат 120

—групповая 286

—мгновенная 239

—средняя 239

— фазовая 286

Собственные значения 264, 273

Собственные функции 155, 244

一 一асимптотически сходящиеся 297, 302

ортогональность 245, 323

система 269

Соотношение независимости 246

в трехмерных декартовых координатах 310

для нестационарной задачи 267

релятивистское 289

—неопределенностей 41, 250

Спектр атомный 231

Суперпозиция окружностей 14, 15

Тензор кривизны координатной системы 95, 99

—метрический 22, 102, 109

—энергии-импульса 95, 99, 128

Теорема Гаусса 324

—Гёльдера 238

—Фурье 238

Теория гравитации 29

—информации 22, 34, 128

—относительности общая 12, 22, 30

128, 241'

специальная 40

一 света волновая Гюйгенса 223

Топология времени н пространства 14, 28, 198

—действительных чисел 13, 136, 198, 241

—диадическая 179, 187, 191

—континуума 14, 18, 24, 86, 128, 177

—пространства-времени 24, 27

—целых чисел 177

Точка (дискретной системы координат) внутренняя 52

—корпусная 53, 78

—поверхностная 52, 78

—реберная 49, 78

—угловая 49, 78

Умножение диадическое 120, 305

дистрибутивный закон 121, 305

Уравнение волновое диадическое 218, 221

дискретное 203

непрерывное 198

—в частных разностях второго порядка 244

—дифференциальное второго порядка 202

в частных производных 199

первого порядка 201

с постоянными коэффициентами 202, 223

Фукса 261

—Клейна—Гордона 270, 277

—разностное второго порядка 201, 202, 252

с переменными коэффициентами 260

—Дирака итерационное 290

линеаризованное 298

конечных сферических функций 259

первого порядка 250

с постоянными коэффициентами 201, 245

—■ 一 четвертого порядка 252

—характеристическое 202, 245

—Шредингера 246

—Эйнштейна 95

Условие независимости 288

Функции гармонические 199, 200,223

—синусоидальные 198

—Уолша 150

упорядоченные по Пэли 208

Часы диадические 193, 197

—обычные целочисленные 192, 197

Ширина полосы частот абсолютная 232

относительная 232

Энтропия 32, 34

Эпицикл 14

Эффект Керра 229

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редакторов перевода 5

Предисловие10

Глава 1. Исторический обзор 12

Истоки понятия пространства12

Переход от евклидовой геометрии кнеевклидовой15

Метрика и дифференциальная геометрия. . . 19

Физическое пространство-время . 23

Глава 2. Теория информации и измерения31

Понятие информации31

Конечная информация и конечная разрешающаяспособность . . 34

Конечный поток информации38

Конечная разрешающая способностьпопространству и времени 43

Глава 3. Координатные системы .55

J.2.3Q^Q^Q^J.2.3Q^Q^Q^3.4.3.5.3.6.3.4.3.5.3.6.Системы координат, основанные на кольцах55

J.2.3

Q^Q^Q^

J.2.3

Q^Q^Q^

3.4.

3.5.

3.6.

3.4.

3.5.

3.6.

Вера в трехмерное пространство80

Правосторонние и левосторонние структуры86

Расстояние в дискретных системах координат92

Координатные системы, определяемые с помощью метрического тензора99

Координатные системы с одной переменнойЮЗ

Глава 4. Время и движение 108

Время и временные разности108

Перемещения и распространение112

Скорость* .119

Три измерения времени и одно измерение пространства .... 123

128128⑶148155169128128⑶148155169Глава 5. Распространение в необычных системах координат .....

128128⑶148155169

128128⑶148155169

Диадическая метрика

Диадические системы координат

Ст оячие волны и топология

Наблюдаемые перемещения и их собственные функции ...

Недиадические координатные системы

Движение, основанное на целочисленной и диадической топологиях

Диадические часы

Глава 6. Особая роль синусоидальныхфункций 198

Дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных 198

62 Понятия исчисления конечныхразностей200

Понятия диадического исчисления . . . 204

Разностное исчисление для колец общего вида221

Спектральное разложение света 223

Лазер для несинусоидальных колебаний . . 230

Глава 7. Дискретные топологии и разностные уравнения236

Конечные разности и дифференциалы236

Диадическое разностное отношение239

Видимые эффекты дискретных топологий.241

Глава 8. Разностные уравнения Шредингера и Клейна— Гордона . . . 244

Временная зависимость решений разностных уравнений в частных разностях244

82 Уравнение Шредингера 246

Физический смысл разностного уравнения250

Уравнение Клейна——Гордона . 252

Глава 9. Разностное уравнение Шредингера для частицы в кулоновском поле 257

Разделение переменных для центрально-симметрическогослучая257

Дискретные собственные значения (кулоновскоеполе)259

Решения нестационарной задачи267

Глава 10. Разностное уравнение Клейна ——Гордона вкулоновскомполе269

Разделение переменных и проблема начальных значений . .269

Дискретные собственные значения бозе-частиц в кулоновском поле271

Асим птотическое решение276

Сходящееся решение277

Сходимость в начале координат282

Свободные частицы в кулоновском поле286

Условие независимости . 288

Глава 11. Разностное уравнение Дирака в кулоновском поле290

Итерационное уравнение Дирака 290

Линеаризованные уравнения Дирака 298

Глава 12. Математические приложения 304

Пропускная способность304

Дистрибутивный закон для диадического умножения .... 305

Диадическое деление . .. ..... 308

Правое и левое разностные отношения ....309

Соотношение независимости в трехмерных декартовых координатах % 310

Полиномиальные решения разностных уравнений второго порядка ...311

Разностное уравнение дискретных сферических функций . . .315

Сходимость решения уравнения Клейна ——Гордона в кулоновском поле . ..320

Ортогональность собственныхфункций322

Обобщение формулы Грина324

Собственные функции диадическихразностных операторов . .326

Литература329

Предметный указатель 337

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!

Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и др., просим присылать по “адресу: 129820, Москва, И-НО, ГСП, ^"й Рижский пер., д. 2, издательство «Мир». '

*v=0

(14)

Пусть последний сомножитель в выражении (14) равен нулю: (Ро+н)(Ро+н+ 1)-/(/+ D + Z2a2 = 0.(15)