DIGITAL

IMAGE

PROCESSING

William K. Pratt

Professor of Electrical Engineering Image Processing Institute University of Southern California Los Angeles, California

A WILEY- INTERSCIENCE PUBLICATION JOHN WILEY AND SONS

NEW YORK/CH1CHESTER/BR1SBANE/TORC 1978

У. Прэтт

ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЙ

В 2-х книгах 1

Перевод с английского под редакцией канд. техн, наук Д. С. ЛЕБЕДЕВА

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

МОСКВА 1982

ББК 32.94

П85

УДК 621.372.542

Прэтт У.

П85 Цифровая обработка изображений: Пер. с англ.——М.: Мир, 1982. — Кн.1—312 с., ил.

Монография крупного американского специалиста в области обработки изображений* который с 1971 по 1980 г. возглавлял Институт обработки изображений при Южнокалифорннйском университете в Лос-Анджелесе; наиболее полная по данной области знания.

В русском переводе монография выпускается в двух книгах. Книга 1 посвящена вопросам математического представления непрерывных н дискретных изображений. Подробно рассмотрены двумерные преобразования, в том числе преобразования Фурье, Адамара н Карунена- Лоэва.

Предназначена для специалистов, имеющих дело с обработкой изображений, а также для студентов, изучающих методы цифровой обработки изображений.

30401-18611 041(01)-8230401-18611 041(01)-82148-81,4. 1148-81,4. 124050000002405000000ББК 32.94 П85ББК 32.94 П85

30401-186

11 041(01)-82

30401-186

11 041(01)-82

148-81,4. 1

148-81,4. 1

2405000000

2405000000

ББК 32.94 П85

ББК 32.94 П85

Редакция литературы, по новой технике

Copyright © 1978 by John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved. Authorized translation from English language edition published by John Wiley & Sons, Inc.

© Перевод на русский язык, «Мир», 1982

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРЕВОДУ

Цифровая обработка изображений представляет собой самостоятельную область знания, которая быстро развивается во многих странах, в том числе и в Советском Союзе. Отечественной промышленностью выпускаются устройства ввода и регистрации изображений, дисплеи, графопостроители, специализированные процессоры и другое оборудование. Созданы мощные центры цифровой обработки изображений для исследования природных ресурсов и охраны окружающей среды, работают многочисленные цифровые установки для медицинской диагностики, в том числе томографические.

С обработкой изображений приходится иметь дело специалистам различного профиля, причем большинство из них закомятся с этим предметом самостоятельно. В связи с этим возникает необходимость в соответствующих учебных пособиях. По цифровой обработке изображений и смежным вопросам опубликовано много работ, но, как правило, они посвящены отдельным аспектам обработки изображений, что, естественно, затрудняет выбор литературы. .■

Монография Прэтта, несомненно, окажется полезной для советских специалистов, ：кй^:з!1акдмых с методами обработки изображений, так и для новичкюв. Она выгодно отличается от других книг на эту тему полнотой* охвата материала. В ней рассматривается большинство известных методов и алгоритмов обработки изображений. Однако цифровая обработка изображений —— предмет настолько обширный и разнородный, что уместить его в одну книгу совершенно невозможно. Так, в монографии не нашли отражения некоторые вопросы, отмеченные в предисловии автора, недостаточно полно рассмотрены статистические методы обработки изображений, которые в последние годы успешно применяются для улучшения и анализа изображений. Мы сочли целесообразным привести список статей и книг, опубликованных после выхода данной монографии в свет. В этот же список включены основные работы советских авторов, большой вклад которых в обработку изображений отражен в монографии совершенно недостаточно.

При переводе возникли большие терминологические трудности. Хотя не все решения, принятые редактором перевода и переводчиками, можно считать бесспорными, проделанная ими работа будет несомненно способствовать развитию и упорядочению терминологии в области цифровой обработки изображений.

Перевод выполнен В. П. Андреевым (гл. 17—20), А. Л. Зайцевым (гл. 4, 6, 7, 9, 10, 11), канд. техн, наук Д. С. Лебедевым (гл. 1—3), канд. техн, наук В. Г. Поляковым (гл. 21—24), Н. Н. Тетекиным (гл. 5, 8) и канд. техн, наук В. А. Хлебородовым (гл. 12—16).

Чл,'Корр. АН СССР В. И, Сифоров

ПРЕДИСЛОВИЕ

За последнее десятилетие область применения цифровой обработки изображений значительно расширилась. Этому способствовало повышение скорости работы, а также уменьшение стоимости и размеров цифровых вычислительных машин и'технических средств обработки сигналов. Методы обработки изображений уже играют значительную роль в научных исследованиях, промышленности, медицине, космических исследованиях и информационных системах. Примерами применения этих методов могут служить цифровая передача изображений с космических кораблей, видеотелефонная связь по телефонным каналам, повышение четкости изображений, создаваемых электронным микроскопом, коррекция искажений изображений, принимаемых из космоса, автоматический анализ характера местности, исследование природных ресурсов по фотоснимкам, передаваемым со спутников Земли, формирование и улучшение качества биологических и медицинских изображений, включая рентгенограммы, термограммы и изображения ^радиоизотопной диагностики, автоматическое составление карт по аэрофотоснимкам, обнаружение дефектов в деталях машин с помощью промышленных рентгенограмм. Нет сомнения, что со временем методы обработки изображений найдут еще более широкое применение в медицине, во многих случаях облегчая врачу постановку диагноза, и в технике. Действия робота, наделенного «зрением», будут основываться на автоматическом анализе сцен. Эффективные методы кодирования изображений, по-видимому, позволят в будущем создать индивидуальные каналы двусторонней телевизионной связи как личного, так и служебного пользования.

Эта книга предназначается в качестве руководства по курсу «Цифровая обработка изображений» для студентов и аспирантов, специализирующихся в области электронной и вычислительной техники, и может быть также использована в качестве справочного пособия научными работниками и инженерами, связанными с исследованиями и практическими разработками в области обработки изображений. Цифровая обработка изображений ——предмет широкого профиля, охватывающий вопросы физики, физиологии, электронной и вычислительной техники, математики. Предпола-

гается, что читатель имеет подготовку в какой-либо из этих областей в объеме программы технического вуза. Весьма желательно (но не обязательно) знакомство с теорией линейных систем, векторной алгеброй, теорией вероятностей и теорией случайных процессов.

Книга разделена на шесть частей. Часть 1, состоящая из трех глав, посвящена непрерывным изображениям. Здесь дано математическое представление непрерывного изображения, описаны психофизические свойства зрения человека и рассмотрены вопросы фотометрии и колориметрии. В части 2 приведены методы дискретизации и квантования, вопросы математического описания дискретных изображений и выбора критериев для оценки качества изображения. В части 3 обсуждаются методы двумерной обработки сигналов. Рассматриваются обобщенные линейные операторы, операторы псевдообращения, суперпозиции и свертки, а также операторы унитарных преобразований, в частности преобразований Фурье, Адамара и Карунена—Лоэва. В заключительной главе части 3 проводится сравнительный анализ линейных методов фильтрации, основанных на непосредственном вычислении свертки, выполнении преобразования Фурье и рекурсивной фильтрации.

В части 4 описываются методы улучшения и реставрации изображений. Для улучшения изображений используются операции, в результате которых изображение становится субъективно более приемлемым для зрительного восприятия либо облегчается визуальный или машинный анализ изображения. Задача реставрации состоит в том, чтобы повысить верность изображения, скорректировав искажения. В части 5 основное внимание сосредоточено на вопросах анализа сцен и интерпретации изображений. Рассматриваются задачи выделения и измерения признаков, обнаружения объектов, совмещения изображений, символического описания изображений, а также системы понимания изображений. Часть 6 посвящена вопросам кодирования изображений, осуществляемого с целью сокращения количества двоичных единиц, затрачиваемых на описание одноцветных и цветных изображений в системах передачи и запоминания изображений.

Хотя монография охватывает чрезвычайно широкий круг вопросов, многие темы, относящиеся к области обработки изображений, пришлось опустить из-за ограниченного объема книги. Среди них наиболее важными являются распознавание и классификация образов, цифровая голография и томография. Библиография по этим вопросам дана в приложении 1.

Малибу, Калифорния январь, 1978Малибу, Калифорния январь, 1978У. К・ Прэтт

Малибу, Калифорния январь, 1978

Малибу, Калифорния январь, 1978

БЛАГОДАРНОСТИ

Исследования по вопросам обработки изображений начались в Южнокалифорнийском университете (ЮКУ) в 1962 г. с очень скромных по своим масштабам работ. Однако с ростом интереса к этой области во всем мире они приобрели широкий размах. В 1971 г. д-р 3. Капрелян, декан Инженерно-технической школы и вице-президент университета по вопросам научных исследований и административного управления, объявил о создании при университете Института обработки изображений. В настоящее время этот институт —один из крупнеших в мире исследовательских центров по данному кругу проблем, оснащенный первоклассным оборудованием. Все эти обстоятельства имеют непосредственное отношение к появлению данной монографии. Я признателен д-ру Капреляну за его роль в организации поддержки университетом исследований в области обработки изображений. Хочется поблагодарить членов ученого совета института, оказавших мне неоценимую помощь при подготовке рукописи, а именно Г. Эндрюса, Л. Дэвиссона, В. Фрэя, А. Хабиби, Э. Холла, Р. Гершеля, А. Джейна, Р. Крюгера, Н. Нахи, Р. Невейшиа, Г, Робинсон, А. Савчука, В. Томпсона и Л. Уэлча. Я благодарен также моим студентам И. Абду, Б. Ашьяри, В. Чену, Ф. Даваряну, М. Юнсу, К- Мэнсиллу, Н. Мацаренасу, Дж. Роузу, К* Ридеру и Р. Уэллису за техническую помощь при подготовке книги.

Монография написана на основе конспекта лекций по курсу «Обработка изображений», читавшихся на факультете электротехники ЮКУ- Я признателен многим студентам за их замечания, сделанные по первым вариантам этого курса. Хочется отметить также работу по улучшению конспекта, проделанную профессорами ЮКУ Г. Эндрюсом, Э. Холлом, В. Фрэем и А. Хабиби, которые использовали этот конспект в процессе преподавания курса обработки изображений.

Подготовка любой книги чрезвычайно трудная задача. Мне очень повезло, что рукопись перепечатали сотрудницы ЮКУ Флоренс Теббетс, Джойс Сеге и Мэрилин Чен. Р. Шмидт и его коллеги из Института обработки изображений выполнили необходимые фотографические работы; что касается графических

материалов, то заслуга их подготовки принадлежит Д. Хаулэнду из ЮКУ. Приведенные в книге примеры изображений, полученных с помощью ЭВМ, —это результат большой работы С. Джонсона и Э. Казаняна по составлению вычислительных программ. Фотографическая регистрация ряда изображений по цифровым данным, полученным на ЭВМ, выполнена д-ром К. Ридером (Ford Aerospace and Communications Corp., Пало-Альто, Калифорния). Всем этим лицам я выражаю свою искреннюю благодарность.

Наконец, я очень признателен Агентству перспективных исследовательских работ (ARPA) и Бюро методов обработки информации, которое входит в его состав, за финансовую помощь, а также персоналу Лаборатории измерений ВВС (контракт №F-08606-72-C-0008) и военно-воздушной базы Райт-Паттерсон (контракт №F-33615-76-С-1203) за проведение контрольных измерений.

У. 〃・

Непрерывные изображения

В этой книге рассматриваются главным образом цифровые, а не аналоговые методы обработки изображений. Однако в большинстве случаев цифровое изображение получают из естественного непрерывного изображения. Исключением являются искусственные изображения, например созданные с помощью ЭВМ испытательные таблицы или томограммы. Следовательно, важно понимать, как происходит формирование изображения с помощью различных преобразователей и оптических систем, включая зрительную систему человека. Другой существенный вопрос ——световые измерения для количественного описания изображений. Полезно также изучить пространственные и временные свойства непрерывного светового поля, которые обусловливают характер взаимосвязей между элементами цифрового изображения. Эти вопросы рассматриваются в гл. 1—3. Глава 1 посвящена математическому описанию непрерывных изображений, в гл. 2 описываются психофизические свойства зрения, а в гл. 3 приводятся сведения по фотометрии и колориметрии.

Глава 1

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ

ИЗОБРАЖЕНИЙ

При разработке и анализе систем обработки изображений удобно, а часто и необходимо иметь математическое описание подлежащих обработке изображений. Существуют два основных подхода к такому описанию: детерминированный и статистический. При детерминированном описании вводится математическая функция, представляющая изображение, и рассматриваются свойства изображения в каждой его точке. При статистическом описании изображение определяется усредненными характеристиками, Следующие разделы посвящены как детерминированному, так и статистическому описанию непрерывных изображений. Хотя приведенный анализ относится к визуально воспринимаемым изображениям, многие результаты могут быть распространены на двумерные изменяющиеся во времени сигналы и поля общего вида.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Распределение энергии источника светового излучения по пространственным координатам х, у, времени f и длинам волн % описывается функцией С (х, у, f, %). Энергия излучения пропорциональна квадрату амплитуды электрического поля и поэтому представляет собой действительную положительную величину. В изображающих системах максимальная яркость изображения ограничена из-за насыщения светочувствительной пленки или перегревания люминофора кинескопа. Следовательно,

О《С (尤弘力％)《4 (1.1.1)

где А — максимальная яркость изображения. Размеры изображения ограничены формирующей системой и средой, на которую оно записывается. В целях упрощения будем считать, что все изображения отличны от нуля только в прямоугольной области, для которой

(1.1.2а)

■—厶“ V р《L*.■—厶“ V р《L*.(1.1.26；

■—厶“ V р《L*.

■—厶“ V р《L*.

Изображение наблюдается в течение конечного промежутка времени, т. е,

—7 < / < 7.(1・1.2в)

Таким образом, величина С (х, у,厶 %) является ограниченной функцией четырех ограниченных переменных. Будем считать эту функцию непрерывной в области ее определения.

Ощущение светлоты, возникающее в зрительной системе человека, обычно определяется мгновенной яркостью светового поля, т. е. величиной

У(х, у, /)=fc(x, у, t,X)Vs^)dK (1.1.3)

О

где Vs (X)—спектральная чувствительность человеческого зрения. Цветовые ощущения можно описать набором так называемых координат цвета, пропорциональных интенсивностям крас

ного, зеленого и синего цвета, смесь которых дает заданный цвет.

Для

произвольной красно-зелено-синей координатной

системы

текущие значения координат цвета равны

R (х, 9, 9 = ] С (% у, /,九)Rs ⑸认， 0

(1.1.4а)

G(x, У,『С(х, у, t, »GsW 冰,

0

(1.1.46)

в (х,协力)=j С (х, у, /, %) Bs (%) d九 0

(1.1.4в)

где

Rs (^), G$ 8, 8s (%)—удельные координаты для

набора

основных цветов — красного, зеленого и синего, равные координатам цвета монохроматического излучения единичной интенсивности с длиной волны X. В спектрозональных системах изображение для 1-й спектральной зоны описывается выражением

■~со

巴(招弘 f) = j С(%, У> % %)Sj (九)d%>(LI.5)

о

где Sf (X) — спектральная чувствительность i-го датчика.

Для простоты будем во всех случаях описывать изображение, сформированное некоторой физической системой, с помощью функции F (*, у, t). Для одноцветной системы функция 尸(х, у, /) представляет распределение яркости или какой-либо другой физической величины, связанной с яркостью. Для системы воспроизведения цветных изображений F (х, у, /) есть одна из координат цвета. Функция F (х, у, f) используется также для описа-

ния других полей, например меняющегося во времени пространственного распределения шума видеодатчика.

В соответствии с обычным определеним среднего значения одномерного сигнала средняя по времени яркость изображения в данной точке 尤,у определяется как

〈尸(х, У，/)〉7 = llim [(1/2Т) ! Rx，2 t)L(t)di ,(1.1.6)

где L (f)—временная весовая функция. Аналогично определяется пространственная средняя яркость в момент времени /:

〈尸(X,弘 D〉s= lim (1/4Z/J J J F(x, y, t)dxdy ^ (1.1.7)

Во многих системах воспроизведения изображений, например в проекционных устройствах, изображение не изменяется во времени и переменная t может быть опущена. В системах другого типа, например кинематографических, аргумент / меняется дискретно. В дальнейшем аргумент t функции, описывающей изображения, будет обычно опускаться.

12 ДВУМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ

В двумерной системе набор исходных двумерных функций Fi (尤，У)» 尸£ (х, у), ♦..,尸抵(х, у) отображается в набор двумерных функций Gi (м у), G2 (%, у),Gm (х, у), где х, у — независимые непрерывные пространственные переменные, аргументы этих функций(8 V *, у V оо). Это отображение может быть задано набором операторов。卅｛ • ｝ при т = 1, 2, ...» AJ, которые связывают входные и выходные функции:

G1(X,切=а ｛尸1(X, у)Fn(X, у)｝, (1.2.Ь

Gm(x,加=% ｛尸1 (%, У)尸м(х, У)\.

Число входных функций N может быть больше, меньше или равняться числу выходных. При N = М = 1

G(x, д) = 0 ｛尸(х, д)｝.(1.2.2)

В одномерных физических системах, в которых независимой переменной является время, выходной сигнал представляет собой функцию прошлых и настоящих значений входного сигнала, но не может быть функцией будущих значений. Такие системы, называемые физически реализуемыми, удовлетворяют принципу причинности. Двумерные системы в общем случае не обладают

этим свойством: пространственные переменные х, у могут принимать отрицательные значения по отношению к некоторому началу координат.

Чтобы продолжить обсуждение свойств двумерных систем, необходимо познакомиться с некоторыми специальными видами операторов.

СИНГУЛЯРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Сингулярные операторы широко применяются при анализе двумерных систем, особенно систем, в которых производится дискретизация непрерывных функций. Двумерная дельта-функция Дирака есть сингулярный оператор, обладающий следующими свойствами:Сингулярные операторы широко применяются при анализе двумерных систем, особенно систем, в которых производится дискретизация непрерывных функций. Двумерная дельта-функция Дирака есть сингулярный оператор, обладающий следующими свойствами:I ОО, 5 (%, у) = I qI ОО, 5 (%, у) = I q6 (х —自 У —П)=6 (х —自 У —П)=% = 0, у —О,в остальных случаях,8,О в остальных случаях,% = 0, у —О,в остальных случаях,8,О в остальных случаях,(1.3.1а)(1.3.1а)(1.3.16)(1.3.16)

Сингулярные операторы широко применяются при анализе двумерных систем, особенно систем, в которых производится дискретизация непрерывных функций. Двумерная дельта-функция Дирака есть сингулярный оператор, обладающий следующими свойствами:

Сингулярные операторы широко применяются при анализе двумерных систем, особенно систем, в которых производится дискретизация непрерывных функций. Двумерная дельта-функция Дирака есть сингулярный оператор, обладающий следующими свойствами:

I ОО, 5 (%, у) = I q

I ОО, 5 (%, у) = I q

6 (х —自 У —П)=

6 (х —自 У —П)=

% = 0, у —О,

в остальных случаях,

8,

О в остальных случаях,

% = 0, у —О,

в остальных случаях,

8,

О в остальных случаях,

(1.3.1а)

(1.3.1а)

(1.3.16)

(1.3.16)

е

J J 6 (х, у) dx dy = 1 при е>0,(1.3.1в)

—е

jj尸(Е, n)6(x —Е, 9 —T])dEdT] =尸(X, у).(1.3.1г)

Величина г здесь обозначает бесконечно малый предел интегрирования.

Двумерная дельта-функция может быть представлена как произведение двух одномерных дельта-функций ортогональных координат х, у:

6(Х, у) - 6 (х) 6 (у),(1.3,2)

где одномерные дельта-функции удовлетворяют одномерным соотношениям, аналогичным (1.3.1), Дельта^функция может быть также определена как предел некоторых функций [1, стр. 275], например прямоугольной функции

6(х, у) == lim [a2 rect |ах} red \ау\], (1.3.3а)

круговой функции

5(% у) — lim [(а2/я)cirk {а /诞下洌], (1.3.36) а->оо

гауссовой функции

6 (尤，у) = lim [а2 ехр |—а2л (d + z/2)|]t(1.3.Зв)

sinc-функции'

6 (х, у) = lim [a2 sine |ах| sine {ау}1,(1.3.3г)

а->оо

бесселевой функции.

6(х,У) = Ит [^^Т^П,(1-З.Зд)

где

reCtW = 10,|x|>V2.“Ma)

circH = |o」>],(1346)

sine {尤} = sin лх/лх.(1.3.4в)

Другим полезнымопределением дельта-функции является сле

дующее тождество [2, стр. 99 ]:

6 (х т, g —叫=(1/4噌 jj exp {i[«(X — E) +

+ °® — n)l} du du,(1.3.5)

где £ =，一 1.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Двумерная система называется линейной, если для нее справедлив принцип суперпозиции. В частном случае отображения функции в функцию для этого требуется, чтобы

。他尸1(X, 9)+ 做尸2(X, J/)} = aQ I尸1 (%, J/)} + 做。{尸2 (x, У)}, (1-4.1) где аъ & —некоторые постоянные (могут быть комплексными). Определение свойства суперпозиции можно легко распространить на отображение (1.2,1) общего вида.

Используя свойство дельта-функции (1.3.1г), функцию на входе системы F (居 у) можно представить как взвешенную сумму дельта-функций: •

尸(Х,纺=仃尸侑 n)6(x-g, y-x^dldri, (1.4.2)

Где 尸(E，я) — весовой множитель дельта-импульса, имеющего координаты I, т] на плоскости (х, у) (рис. 1.4.1). Если функция на выходе линейной системы

G(/ g)=。{f(元,f/)L (1.4.3)

то

_ G(x, 9) = 0 jj尸(£ т])6(х —Е, g —T])dEdnj, (1.4.4а)

ИЛИ

G(x, 9)= J]尸怎 пХ?^^-^ У-П)} ^П-(1-4.46)

Для перехода от выражения (1.4.4а) к (1.4.46) был изменен порядок выполнения операций линейного преобразования и интегрирования. Линейный оператор действовал только на тот множитель подынтегрального выражения (1.4.4а), который зависит от пространственных переменных х, у. Запишем второй множитель подынтегрального выражения (1.4.46) как

"(X, У；自叫三 0{6(х —Е, 9 —叫}.(1-4.5)

Будем называть эту функцию импульсным откликом двумерной системы. Импульсный отклик оптической системы часто назы-

Рис. 1.4.1. Представление функции, описывающей изображение, в виде суперпозиции дельта-функций.

вается функцией рассеяния точки. Подстановка импульсного отклика в соотношение (1.4.46) дает интеграл суперпозиции

G (х, 9)= j j 尸倡 т]) Н (х, у, £ 叫 d& d% (1.4.6) —СО

Линейная двумерная система называется пространственно-инвариантной (изопланатической), если ее импульсный отклик зависит только от разностей координат х — 5, у ——tj. Для оптической системы, показанной на рис. 1.4.2, это значит, что при перемещении точечного источника в предметной плоскости изображение этого

источника в плоскости фокусировки будет также изменять положение, но сохранять форму. Для пространственно-инвариантной системы

н (х, у; Е, Т]) = 〃(х — &, 9 — Т])■(1.4.7)

и интеграл суперпозиции имеет особую форму, называемую интегралом свертки:

G(x, 0= jj 尸 & 叫"(x —E，9—叫 dEd% (1.4.8a)

Операция свертки символически записывается как

G (х, у) = F (%,力*" (%, g).(1-4.86)

Интеграл свертки симметричен, т. е.

G(x, 9)= U尸(X 一 自 9一哨"值叫dMi (1.4.9)

Процесс свертки иллюстрируется на рис. 1,4.3. На рис. 1.4.3, а и 143,6 изображены функция F (х, у) на входе и импульсный

плоскостьплоскостьплоскостьплоскостьРис. 1.4.2. Изображение точечного источника света в оптической системе.Рис. 1.4.2. Изображение точечного источника света в оптической системе.

плоскость

плоскость

плоскость

плоскость

Рис. 1.4.2. Изображение точечного источника света в оптической системе.

Рис. 1.4.2. Изображение точечного источника света в оптической системе.

отклик. На рис. 1.4.3, 6 показан импульсный отклик при обращении координат, а на рис. 1.4.3, г —со сдвигом на величину х, у. На рис. 1.4.3, д заштрихована облает^, в которой произведение F (^, т]) Н (х ——g, у —п), входящее в подынтегральное выражение (1.4.8, а), не равно нулю. Интегрирование по этой области дает величину G (х, у) для заданных значений координат 尤，у. Таким образом, функция G (х, у) на выходе может быть найдена сканированием входной функции скользящим «окном» — обращенным импульсным откликом, и интегрированием по。仇 пасти, в которой эти фуидадцц<идец£1$рцваются/

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Обнаружение и выделение контуров (границ) на изображении, т. е. точек с резкими перепадами яркости, обычно осуществляются дифференцированием функции F (х, у) по пространственным координатам и сравнением результата дифференцирования с по-

Рис. 1.4.3. Пример двумерной свертки.Рис. 1.4.3. Пример двумерной свертки.

Рис. 1.4.3. Пример двумерной свертки.

Рис. 1.4.3. Пример двумерной свертки.

рогом. Первые производные по пространственным координатам 尤

и у определяются как

dx = dF (х, у)/。%,(1.5.1а)

& = dF (х, у)/ду,(1.5.16)

Производная по направлению z, составляющему угол Ф с горизонтальной осью, по определению [3, стр. 10] равна

V {尸(%, у)} = dF (х, y)/dz = d# cos ① + dg sin Ф. (1.5.2) Модуль градиента есть

IV {尸(%, 9)} 1 = 1/丽=磕.(1.5.3)

Вторые .производные по пространственным координатам хну по определению равны

dxx — @2尸(х, у)/5лг2,(1.5.4а)

&« =严尸(х, 3/方汽(1.5.46)

Сумма производных (1.5.4) дает лапласиан

厶{尸(％ 处=dxx + dyy = >尸(x, у)1д^ + @2尸(X, y)iQ^_ (1.5.5) Следует отметить, что лапласиан является скалярной величиной, которая не зависит от направления на плоскости х, у, тогда как градиент есть зависящая от направления векторная величина.

ДВУМЕРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

В результате двумерного преобразования Фурье функции 尸(х, у), описывающей изображение, получается спектр этого изображения, который определяется как

夕(со*, со/ = J j 尸(х, у) exp {—i (з*х + со^у)} dxdy, (1.6.1)

где ①尤,(0g—пространственные частоты, a i = |/—1. Если обозначить оператор преобразования Фурье через °尸{•}, то

можно записать

歹(％ ®) =。尸{歹(看 у)}.(1.6.2)

В общем случае спектр 歹 ®,(oj есть комплексная величина.

Его можно разложить на действительную и мнимую части:

夕(吗，з/ =现(®x>(oj +，？ (s, ©у)(1.6.3a)

или представить с помощью амплитуды и фазы:

歹(吗，%)=点(叫，4) eхр I冲(叫，3j},(1.6.36)

где

肩(@v,吗.)=［例2(5, coj + 牙2 (叫，％)卩/2,(1.6.4a)

「® coj = arctg {? (з*,(0»现(з*, з«)}.(1.6.46)

Достаточным условием существования фурье-спектра функции

F (х, у) является абсолютная интегрируемость этой функции, т. е. условие

Jj|F(x, y)\dxdy<oo.(1.6.5)

Исходная функция F (х, у) может быть восстановлена обратным преобразованием Фурье:

F{x,切=(1/4吩 jj 等(S，(oj exp {"(0m + 8就}施阿.(1.6.6a)

Это соотношение в операторной форме можно записать как

尸(х,竹=0*|/(3*,吗)}.(1.6.66)

Поскольку ядро двумерного преобразования Фурье разделимо, это преобразование может быть выполнено в два этапа. Сначала находится ,8

歹八叫，9)= J ^(^, У)ехр {—ia^dx, (1.6.7)

а затем

歹®, 3»= j 夕у®, у)exp \—Myy\dy. (1.6.8)

Ниже приводятся несколько полезных свойств двумерного преобразования Фурье. Их доказательства можно найти в книгах 11, 21.

Функциональные свойства

.Если функция F (尤,у) разделима по пространственным переменным, так что

尸(х, у)=片(х)%&),(1.6.9)

ТО

歹(叫，％)=九(叫)爲®),(1610)

где /х ((ох)亢,(со/ —одномерные фурье-спектры функций fx (х), f“(力 Если 5((о*, sj есть фурье-спектр функции 尸(%, j/), то 夕* ('—со*, ——со/ является фурье-спектром функции F* (х, у). (Звездочка обозначает комплексную сопряженность.) Если функция F (% у) симметрична, т. е. F (х, у) = F (—尤，一у), то 歹(s.n sj = 歹(一(*)*, —sj

Линейность

Оператор преобразования Фурье линеен:

О^ [aFt (х, у) + bF2 (х, 9)} = а夕i (吗，％) + 6夕? (％，%), (1.6.11) где а, b — постоянные.

,Изменение масштаба

Изменение масштаба пространственных переменных приводит к обратному изменению масштаба пространственных частот и пропорциональному изменению значений спектра:

C^{F(ax, by)\^={\l\ab\)^- (^xja, ay/b). (1.6.12)

Следовательно, сжатие вдоль одной из осей плоскости (х, у) приводит к растяжению вдоль соответствующей оси частотной плоскости и наоборот. Происходит также пропорциональное изменение значений спектра.

Сдвиг

Сдвиг (изменение коордиант) на исходной плоскости приводит к фазовым изменениям на частотной плоскости:

。歹{尸(х — а, у — 6)}=歹(％, %) exp {—i (吗а + з/)} • (1.6.13a)

Наоборот, сдвиг на частотной плоскости вызывает фазовые изменения исходной функции:

。/{歹(з*-% %-%)}=尸(尤，9)exp{i(a*x + 5)}. (1.6.136)

Свертка

Фурье-спектр функции, полученный в результате свертки двух функций, равен произведению спектров исходных функций:

。歹{尸(X，У)*Н{х, г/)} = ^(吗，峭非(吗，зJ (1.6.14) Обратная теорема утверждает, что

0з{F(x, у)н(X,协} = (1/4№)笋(吗，(о,尸能(吗…)(1.6.15)

Теорема Парсеваля

Два представления энергии изображения—через функцию F (х, у) и фурье-спектр 歹®,①^)——связаны следующим образом:

8ОО

jjs(x, У)I2dxdy = (1/4л2) jj I^"(cox,(oj12d叫d3«. (1.6.16)

Теорема о спектре автокорреляционной функции

Фурье-спектр двумерной автокорреляционной функции изображения равен квадрату модуля фурье-спектра этого изображения: a，JJ尸(а, В)尸*(а-х, 0_g)dad趴=|歹(з*, 3力2.(1.6/7)

Спектры пространственных производных

Фурье-спектры первых пространственных производных функции F (х, у) связаны с ее фурье-спектром следующими соотношениями:

。歹{"(х, у}1дх\ = —i 吗歹(吗，sj (1.6.18a)

0歹{@尸(居勿倣/)} = -沁?歹(吗，sj (16186) Следовательно, спектр лапласиана равен

0歹QF(占加以2 + a2尸(看力/改用=一(唠+喲歹(以，恤).(1619)

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Теорема о преобразовании Фурье свертки (1.6.14) оказывается очень полезным средством при анализе линейных систем. Рассмотрим функцию F (х, у), описывающую изображение на входе линейной системы с импульсным откликом Н (%, у). Изображение на выходе описывается функцией G (х, у), получаемой в результате свертки:

G(x, g)= J/尸(а,卩)〃(х —а, y-^)dad^.(1.7.1)

Выполнив преобразование Фурье обеих частей этого равенства и поменяв порядок интегрирования в его правой части, получим

乡但，СОj = J J 尸(а, В) J J 〃 (х — а, 9 — В) х

X ехр {—i (f^xx -^ ^уУ)\ dxdy dadp. (1.7.2)

Согласно теореме о сдвиге (1.6.13), внутренний интеграл равен произведению спектра функции Н (х, у) и экспоненциального множителя фазового сдвига. Поэтому

(сох, ю^) = j j F (а, Р)非(叫,(о/ exp {—i (о\а + s抱}加 dp. (1.7.3)

—ОО'

Выполнив преобразование Фурье, получим

乡(吗，Юу)=非(з*, 3力歹(3» sj.(1.7.4)

Наконец, обратное преобразование Фурье дает функцию, описывающую изображение на выходе:

G (X, У) = (1/482) J j 非((о* 吗)歹(叫，3/ exp {i (叫x +

+ auy)\ daxd<ay.(1.7.5)

Выражения (1.7.1) и (1.7.5) представляют два альтернативных способа определения выходного изображения линейной пространственно-инвариантной системы. Выбор того или иного подхода зависит обычно от решаемой задачи.

ОБОБЩЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

В разд. 1.4 были введены понятия линейности и суперпозиции. Оппенгейм [4 ] ввел обобщенную суперпозицию с тем, чтобы распространить понятие линейности на более широкий класс систем.

Рассмотрим две функции, описывающие изображения, /\ (招 у) и F2 (х, у), которые, взаимодействуя некоторым образом (0), дают функцию G (х, у):

G (х, у) = Л (х, у) О F式х,办 (1.8.1) Пусть 久 {•} — оператор системы, преобразующей G (х, у), который обладает следующими свойствами:

М {尸1(х，9)◊尸2(х, у)\ = 0Q И1 (х, у)\ о 0o\F2(x, у)} (1.8.2а)

И

统依 F(x, y)\^k'.CG\F(x^ //)}, (1.8.26)

где А ——постоянная, а двоеточие обозначает обобщенное умножение на постоянную. В работе [4 ] показано, что если операция ◊ сводится к сложению векторов, а операция: ——к умножению вектора на скаляр, то оператор 0G {‘} может быть представлен в виде цепочки операторов, называемой гомоморфным фильтром

°А ? “ 0

令②夕Г1 6 f ]竹依須

夕

Рис. 1.8.1. Обобщенные линейные системы.

а — обобщенная система： 6 — представление обобщенной системы в вид? гомоморфного фильтра; е —— мультипликативный гомоморфный фильтр.

(рис. 1.8.1). Первый оператор 。/卜} превращает операции 6 н ： в сложение векторов и умножение вектора на скаляр:

勿{尸1(X，у) ◊尸2 (х, У)\ = с А 因(х,切} + 04 {尸2(X, g)M183a)

И

OA\k-.F(x, у)\ - k0A{F(x, y)\.(1.8.36)

Вторая ступень гомоморфного фильтра ——обычная линейная система. Третья ступень ——оператор 04* который является обратным относительно первого оператора, т. е.

。才{。厶{尸(X, g)}}=F(x, д). (1.8.4)

Рис. 1.8.1, в иллюстрирует частный случай гомоморфного фильтра для мультипликативной системы [5], в которой функция G (х, у) получается в результате перемножения функций f\ (х, у) И 尸2 (%, у), Т. е.

G(x, у)=尸i(x,切◊尸2(兀切三尸i(x, У)^2(х, у).(1.8.5)

Прологарифмировав обе части равенства (1.8.5), получим сумму логарифмов функций F, (х, у) и F2 (х, у):

】og{G(x, g)} = log{Fi(x, 9)} + log {尸2 (х, У)\-(1.8.6)

Функция log G (x, у) преобразуется некоторой линейной системой, а затем посредством экспоненциального преобразования возвращается в пространство исходных изображений. Операция обобщенного умножения вектора на скаляр определяется как возведение в степень

G(х, y) = k：F(х, у) = [F(х, y)]k.(1-8.7)

Логарифмирование этого равенства дает

log{G(x, y)} = /Hog{F(居 у)}・(1.8.8)

Применение гомоморфной фильтрации при восстановлении изображений рассмотрено в гл. 15.

ВЕРОЯТНОСТНОЕ ОПИСАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Часто бывает удобно рассматривать изображение как реализацию случайного процесса. Введем порождающую изображения непрерывную случайную функцию F (х, у, /) трех переменных —— пространственных координат xt у и времени 厶

Случайный процесс F (х, у、£) полностью описывается совместной плотностью вероятности

p {F工，f2, • • • » fj；/,场，友，十2,必，^2> • , •» Xj$ 力，//}

для J значений функции % (勺，切，/；) в точках отсчета 勺，抄，tr Совместные плотности вероятности высокого порядка для изображений обычно не известны, и их в общем случае трудно моделировать. Для плотности вероятности первого порядка р (F; х, у, 0 иногда удается подобрать удачную модель из физических соображений или на основе измеренных гистограмм. Например, плотность вероятности первого порядка случайного шума в элек-

тронных преобразователях изображений хорошо моделируется гауссовой плотностью:

р {尸；X, у, 4 =

2 / 八 1([尸(X，力，‘一方(爲分，)]2 )

= [2м^(%9")『/2ехр|2喻居协 7).О»」)

где параметры 旧(招 弘 0 и о* (х, у. f) есть среднее и дисперсия шума. Гауссова плотность может также с приемлемой точностью служить моделью плотности вероятности коэффициентов унитарных преобразований изображений. Плотность вероятности яркости должна быть односторонней, так как яркость принимает только положительные значения. В качестве моделей плотности вероятности яркости применяются плотность распределения вероятностей Рэлея

"{尸；x. y,"="居浸' ‘)eXp{-* 仔豈力?, (1.9.2a) плотность логарифмически нормального распределения

" {尸；X, у,斗=[2Л尸2(х，y, 0 Of(X, у,切Т/2 X

…卜屮需^}0926)

и плотность экспоненциального распределения

р{Е；匕 У, i} = aexp{—a|F(x, у,川}.(L9.2b)

Эти плотности определены при F > 0, причем a —постоянная. Двусторонняя экспоненциальная, или лапласова, плотность

夕{尸；х, у, /} = (а/2)ехр {—а|尸(х, у, /)1},(1.9.3)

где а——постоянная,гчасто используется как модель плотности вероятности разностей отсчетов функции, описывающей изображение. Наконец, плотность равномерного . распределения

р {尸；х, у,讣=1/2л, —л < F < л,(1.9.4)

есть обычная модель для флуктуаций фазы случайного процесса. Для описания случайного процесса можно использовать также условные плотности вероятности. Условная плотность вероятности значения функции F (х, у, f) в точке & ylt 幻 при заданном значении этой функции в точке (%, У^ ^) определяется как

Р{Л； /弘，"1网；*2,先,经=

_Р {尸尸盒；% 儿 *2，^2» %}/1 Q R、

一г2，不，y" 4}・I )

Аналогично определяются условные плотности более высокого порядка.

Другой способ описания случайного процесса состоит в вычислении средних по ансамблю. Первый момент, или среднее значение функции F (х, у,力 равен

T]F(%, 9, f) = Е {尸(％ 9, f)} = j 尸(х, У> О Р {F; X, у, /) dF. (1.9.6)

—ОО

Второй момент, или автокорреляционная функция, определяется как

R (%1> У It ‘1； *2, %, ‘2)=

=e {尸(x1，先，友)户(X2, %,为)}=

=『j尸(Х1，弘，4)戶*(/，%,幻"{尸1，尸2；

*1л Уз G，力2,弘，Ь\ dFidF?. (1.9.7) Автоковариационная функция изображения определяется как К (-^1，Уъ &； *2, %, %2)=

。 e {仍(/, уъ 幻一Г)尸(/, уЗ 幻]X

x[F*S，以，为)一小(小，%，幻]}. (1.9.8a) Автоковариационная и автокорреляционная функции связаны соотношением

k (/,贝，&； 小,贝，%) = R (хD 弘，七 x2,次,幻一

一外户的，% 幻冲(%*Уъ幻.(1.9.86)

Наконец, дисперсия процесса F (x, yt f) есть

碎(招 9, D = K(x, у. /;>, y't).(1.9.9)

Случайный процесс, порождающий изображения, называется стационарным в строгом смысле, если его моменты не зависят от переноса начала координат в пространстве или времени. Процесс называется стационарным в широком смысле, если он имеет постоянную среднюю яркость, а его автокорреляционная функция зависит от разностей координат 修一х2, %——％, t*——勾，но не от самих координат. Для стационарного процесса F (х,协 f)

£ {F (х, у, 01 = t|f(1.9.10а)

И

R (尤h Уъ 友；修，%,为)~ R (%1'*2； У\ — Pz； 友 一 %). (1.9.106) Выражение для автокорреляционной функции можно записать в виде

R(q, %, g) = £{f(x + q, у + %, /+ %尸a, g,川・(i.9.n) Так как

R (—% —% —%) = R*(% % т) (1912)

для действительной функции F автокорреляционная функция является действительной и четной. Энергетический спектр стационарного изображения по определению есть результат трехмерного преобразования Фурье его автокорреляционной функции:

犷®,= J j j R(% %, т^ехр {—i[w^ +

—8 —ОО —ОО

++ ди]} dq dtp dtf. (1.9.13)

Во многих изображающих системах п ростр а нствен ные и временные процессы формирования изображений разделяются. В этом случае стационарную автокорреляционную функцию можно записать как

R(П, т», Т/) = RXy (тх, %) Rf (%)•(1914)

Часто для упрощения вычислений пространственную автокорреляционную функцию представляют в виде произведения автокорреляционных функций для каждой пространственной переменной:

(％，％) = R*(т%) R» (%)*(1.9.15)

В изображениях объектов, созданных человеком, часто встречаются горизонтальные и вертикальные структуры, поэтому аппроксимация автокорреляционной функции произведением (1.9.15) оказывается вполне приемлемой. В изображениях естественных сцен обычно нет преобладающих направлений корреляции. Пространственная автокорреляционная функция таких изображений близка к функции с вращательной симметрией и не является поэтому разделимой.

Часто моделью изображения служат реализации двумерного марковского процесса первого порядка. Автоковариационная функция такого процесса имеет вид

Кх, 〃工*, t") = К ехр {— ]/次遂 + а"計,(1.9.16)

где К, а* и ад——масштабные множители. Соответствующий энергетический спектр равен

犷 ®, ®) = (1/ag) [ [ + [峭;；+ з曾啲}、(1917)

Часто делается упрощающее предположение, что автоковариационная функция марковского процесса может быть представлена в виде

к*, «(% т.) = к ехр \—ах[ тх[ -aj ту[}.(1.9.18)

Энергетический спектр этого процесса есть

皆 ®, cov) = (4axa^)/[(^ + ^) (a^ + ^}.(1.9.19)

При детерминированном описании изображений были определены средние по пространству и времени. При статистическом описании также определяется среднее по ансамблю. Возникает вопрос: как связаны друг с другом пространственно-временные средние и средние по ансамблю? Ответ состоит в том, что для некоторых случайных процессов, называемых эргодическими, пространственно-временные средние и средние по ансамблю равны. Очень трудно доказать эргодичность случайного процесса в общем случае. Обычно достаточно определить эргодичность второго порядка, при которой моменты первого и второго порядка, полученные пространственно-временным усреднением, равны соответствующим моментам при усреднении по ансамблю.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

В ИЗОБРАЖАЮЩЕЙ СИСТЕМЕ

Часто известны плотность вероятности или моменты случайного поля, представляющего изображение, на входе некоторой системы и требуется определить соответствующие характеристики для изображения на выходе этой системы. Если передаточная функция системы представлена в виде алгебраического выражения, то можно найти плотность вероятности на выходе посредством преобразования плотности вероятности на входе. Пусть, например, функции, описывающие изображения на входе и выходе системы, связаны следующим образом:

G(x, у、/) = 0尸{F(x, у,川， (1-10.1) где 0F\-\ ——монотонный оператор, действующий на функцию F (х, у, /). Тогда плотность вероятности на выходе есть

"{G; х, у, 4 = I d以:品，明%F「' (1.10.2)

Преобразование вида (1.10.2) можно распространить на плотности вероятности высокого порядка, однако часто полученные соотношения оказываются слишком громоздкими.

Мометны случайного поля на выходе системы могут быть получены непосредственно, если известна его плотность вероятности, или в некоторых случаях косвенным путем, исходя из свойств оператора системы. Если, например, этот оператор является линейным, то среднее значение поля G (х,协 /) есть

E\G(x, у, t)\^E\0L\F^ у, /)}} = %{£?(%, у, /)}}. (1.10.3) Можно показать, что если оператор системы линеен, а случайное поле на входе системы стационарно в строгом смысле, то случайное поле на выходе также стационарно в строгом смысле. Если же поле на входе стационарно в широком смысле, то в том же смысле стационарно поле на выходе.

Рассмотрим линейную пространственно-инвариантную систему, изображение на выходе которой представляется интегралом свертки:

8

G(x, У, /)= JJJ 尸(х —а, д-0, I —у)Н(а,艮.丫)加卽内，(1.10.4) —ОО-

где Н (лг, у, f) — импульсный отклик системы. Среднее значение функции G (х, у, 0 есть

Е {G(x, у, 0}=

8

=JJjE{尸(х —а, д —р, / —у)} Н(а, Р, Y)dadBdy. (1.10.5)

Если случайное поле на входе стационарно, то среднее значение Y]f постоянно и может быть вынесено из под интеграла. Тогда

Е {G (х, у, 3 =

二 Y]/jjH(a, р, Y)dad0dY = r|F非(0, 0, 0),(1.10.6)

где 鑑(0, 0, 0) есть частотная характеристика линейной системы в начале координат пространственно-временной частотной области. Таким же способом легко показать, что авто кор реляционные функции входного и выходного полей связаны соотношением Ло(^> ту, tt) = RF(Tx, Ху, xt)*H{xx, ху, q) *"*(—% —%,%)•

(1.10.7)

Выполнив преобразование Фурье обеих частей равенства (1.10.7) и используя теорему о преобразовании Фурье свертки, получим соотношение между энергетическими спектрами входного и выходного полей

絃G (8*, Sg, 5)=

=絃F (叫，3", 3,)施(3А 8"，8,)非*(以，%,电)，(1.10.8а) #G(sх, 3",叫=絃尸(叫，3s 函1鑑(3*, 3s g)12. (1.10.86)

Этот результат будет полезен при анализе действия^шумов в изображающих системах.

ЛИТЕРАТУРА

Goodman J. W., Introduction to Fourier Optics, McGraw-Hill, New York, 1968ИИмеется перевод: Гудмен Дж., Введение в фурье-оптику. —М.: Мир,

Papoulis A., Systems and Transforms with Applications in Optics» McGraw- Hill, New York, 1968. [Имеется перевод: Папулис A.f Теория систем и пре* образований в охггике.—М.: Мир, 1971.]

Prewitt J. М. S., Object Enhancement and Extraction, in: Picture Processing and Psychopictorics, Lipkin B. S., Rosenfeld A., Eds., Academic Press, New York, 1970.

Oppenheim A. V., Generalized Superposition, Information and Control, 11, 528—536 (November, 1967).

Oppenheim A. V., Schafer R. W., Stockham T. G., Jr., Nonlinear Filtering of Multiplied and Convolved Signals, Proc. IEEE, 56, 8, 1264—1291 (August 1968). (Имеется перевод: Оппенхейм, Шефер, Стокхэм, Нелинейная фильтрация сигналов, представленных в виде произведения и свертки. — ТИИЭР, 1968, т. 56, №8」

Papoulis A., Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, McGraw- Hill, New York, 1965.

Thomas J. B., An Introduction to Applied Probability Theory and Random Processes, Wiley, New York, 1971.

Глава 2

ПСИХОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗРЕНИЯ

На выходе изображающих систем обычно создается фотоснимок или изображение на экране, которые рассматриваются человеком. Поэтому очевидно, что для эффективной разработки таких систем очень полезно понимать механизм человеческого зрения. Зная этот механизм, можно строить функциональные модели зрительной системы. Такие модели очень важны при разработке систем обработки изображений и создании критериев верности воспроизведения и дешифрируемости изображения.

ВОСПРИЯТИЕ СВЕТА

Согласно словарю Вебстера [1 ], свет есть «лучистая энергия, которая, действуя на органы зрения, дает им возможность выполнять зрительные функции». Физические свойства света изучены довольно хорошо, но механизм взаимодействия света с органами зрения еще не вполне понятен. Как известно, свет есть форма электромагнитного излучения, лежащего в относительно узкой области спектра в диапазоне длин волн от 350 до 780 нм. Характеристикой источника света является интенсивность излучения заданной длины волны. В зрительную систему человека попадает свет либо от самосветящегося источника, либо отраженный от некоторого предмета, либо прошедший через него. Пусть £ (X) есть спектральная плотность излучения первичного источника света, а / (X) и г (X) —коэффициент пропускания и коэффициент отражения соответственно. Тогда для предмета, пропускающего свет, спектральная плотность излучения наблюдаемого света будет

С0) = i (X) £ (X),(2Л.1)

а Для предмета, отражающего свет,

С (1) = г (1) £ (X).(2.1.2)

нзл"' pHCi 2^1Дпредставлены графики спектральной плотности в изобра^ неК暝貶±обнчных источников света, применяемых калнван詣Г黑氏вольфрамовой лампы на- излутакяцего ^以即 ртутной дуговой лампы и

100100丿 6E30H9n3HaEHnaDHqyaEngHEO丿 6E30H9n3HaEHnaDHqyaEngHEOqEOOHgnuHaEHn 堂言EngHgqEOOHgnuHaEHn 堂言EngHg々шни. Hamg нм々шни. Hamg нм勿勿^ ^ ^ ^ ^ Л.^ ^ ^ ^ ^ Л.Длина бмнм, нмДлина бмнм, нм0 0 0^0 8 6 4 2VRUW/WRW KDHqqgErJUOHUlo0 0 0^0 8 6 4 2VRUW/WRW KDHqqgErJUOHUloqEg-nNBLUHn SSSESOXE^qEg-nNBLUHn SSSESOXE^2020必056。500 必夕2%例 Золны. нм必056。500 必夕2%例 Золны. нм

100

100

丿 6E30H9n3HaEHn

aDHqyaEngHEO

丿 6E30H9n3HaEHn

aDHqyaEngHEO

qEOOHgnuHaEHn 堂言EngHg

qEOOHgnuHaEHn 堂言EngHg

々шни. Hamg нм

々шни. Hamg нм

勿

勿

^ ^ ^ ^ ^ Л.

^ ^ ^ ^ ^ Л.

Длина бмнм, нм

Длина бмнм, нм

0 0 0^0 8 6 4 2

VRUW/WRW KDHqqgErJUOHUlo

0 0 0^0 8 6 4 2

VRUW/WRW KDHqqgErJUOHUlo

qEg-nNBLUHn SSSESOXE^

qEg-nNBLUHn SSSESOXE^

20

20

必056。500 必夕

2%例 Золны. нм

必056。500 必夕

2%例 Золны. нм

.2.1.1. Спектральная плотность излучения обычных источников света [2]. солнечный свет; б — вольфрамовая лампа накаливания; 6 — светоизлучающий диод; ртутная дуговая лампа; д — гелий-неоновый лазер.

2 Прэтт У.

гелий-неонового лазера. Свет от этих источников воспринимается зрителями по-разному. Солнечный свет кажется очень ярким и желтовато-белым, а свет лампы накаливания ——менее ярким и довольно желтым. Светоизлучающий диод дает тусклый зеленый свет, а ртутная лампа ——очень яркий, голубовато-белый. Наконец, лазер создает чрезвычайно яркий световой пучок чистого красного цвета. Эти наблюдения порождают много вопросов. Например, полностью ли описывает спектральная плотность излучения особенности восприятия этого излучения? Как будет видно, получен только частичный ответ на этот вопрос.

Рис. 2.1.2. Преломление света в призме.

Существуют три основные характеристики ощущения света — светлота, цветовой тон и насыщенность. Эти характеристики рассматриваются ниже.

Если имеются два источника света с одинаковой формой спектральной плотности излучения, то источник с большей интенсивностью излучения воспринимается как более яркий. Известно, однако, много примеров, когда предмет с одинаковой интенсивностью излучения всех точек не воспринимается как имеющий равномерную светлоту. Следовательно, интенсивность света не является адекватной количественной мерой светлоты.

Признак, которым отличается, например, красный свет от зеленого, называется цветовым тоном. С помощью призмы и щели, показанных на рис. 2.1.2, можно получать почти монохроматический свет различного цвета. Ясно, однако, что длина волны не является адекватной мерой цвета, так как в природе встречаются такие цвета, которые не наблюдаются в радуге, создаваемой призмой. Отсутствует, например, пурпурный цвет, который может быть получен смешением в равных количествах узкополосных красного и синего света. Если два источника света с одинаковыми спектральными плотностями наблюдать в одинаковых условиях, их цветовой тон будет одинаковым. Однако можно взять два таких источника света с разными спектральными плотностями, которые будут восприниматься как имеющие одинаковый цветовой тон (такие два излучения называются метамерической парой.)

Третья характеристика ощущения света —его насыщенность. Этот признак позволяет отличать спектральный цвет от пастельного блеклого цвета такого же цветового тона. По существу насыщенность описывает «белизну» цвета. Можно измерять насыщенность в процентах, сравнивая данный свет со спектральным цветом

Рис, 2Л.З. Субъективные характеристики цвета.

на графике цветностей, изображенном на рис. 3.4.3. Однако обычно насыщенность не используют как количественную характеристику.

Для классификации цветов удобно рассматривать их как точки некоторого цветового пространства (рис. 2.1.3). Но для того чтобы можно было делать количественные выводы, расстояние между двумя точками в цветовом пространстве должно соответствовать субъективно воспринимаемой разнице между нредставляемыми цветами, где бы ни находилась эта пара цветов. Такие цветовые пространства будут рассматриваться далее.

ГЛАЗ

Наиболее естественным подходом к разработке модели зрительной системы человека было бы, видимо, проведение физиологического анализа глаза, нервных путей от глаза к мозгу и тех отделов мозга, которые связаны со зрительным восприятием. К сожалению, мы не в состоянии решить эту задачу из-за того,

что зрительная система состоит из огромного числа очень маленьких элементов. Однако в результате физиологических исследований глаза уже получено много данных, полезных для создания модели зрительной системы [4——7 ].

На рис. 2.2.1 показан поперечный разрез человеческого глазного яблока. Передняя прозрачная наружная оболочка глаза называется роговицей. Остальная часть наружной оболочки — склера——состоит из плотных волокон. Следующий слой——сосудистая оболочка, содержащая капилляры, которые снабжают

Рис. 2.2.1. Поперечный разрез глаза.

глаз кровью. Внутри сосудистой оболочки находится сетчатка с рецепторами двух типов ——палочками и колбочками. Соединенные с сетчаткой нервные волокна выходят из глазного яблока в виде пучка ——зрительного нерва. Свет, попавший в глаз через роговицу, фокусируется на поверхности сетчатки хрусталиком, форма которого под действием специальной мышцы меняется для обеспечения хорошей фокусировки предметов, находящихся на различном расстоянии от глаза. Радужная оболочка действует как диафрагма, изменяя количество света, проходящее в глаз.

Палочки —это длинные тонкие рецепторы, а колбочки — более короткие и толстые. Эти рецепторы действуют различным образом. Палочки более чувствительны к свету, чем колбочки. При малой освещенности палочки обеспечивают реакцию зрительной системы (ночное зрение). Колбочки функционируют при большой освещенности, их реакция представляет дневное зрение. На рис. 2.2.2 приведены относительные чувствительности палочек и колбочек в зависимости от длины волны воспринимаемого света [7, 8], Глаз содержит около 6,5 млн. колбочек и 100 млн. пало-

чек. Распределение палочек и колбочек по сетчатке показано на рис. 2.2.3 [4 ]. Наибольшая плотность колбочек приходится на небольшую область сетчатки, называемую центральной ямкой которая находится вблизи выхода из глаза зрительного нерва. Это область наиболее резкого дневного зрения. В окрестности зрительного нерва нет ни палочек, ни колбочек — это слепое пятно глаза.

В последние годы установлено, что имеются три основных типа колбочек сетчатки [9, 10]. Эти колбочки имеют различные спек-

4g SOO 6g 700 SOOДлина 60ЛНЫ,斤“4g SOO 6g 700 SOOДлина 60ЛНЫ,斤“Рис. 2.2.2. Чувствительность палочек и колбочек по данным В ал да [7, 8].Рис. 2.2.2. Чувствительность палочек и колбочек по данным В ал да [7, 8].(BOEHEN &s^> 0209020d0u WHRhqQ DOHUJDdgo) nEOOHqtrsEnqulsgbh(BOEHEN &s^> 0209020d0u WHRhqQ DOHUJDdgo) nEOOHqtrsEnqulsgbh

4g SOO 6g 700 SOO

Длина 60ЛНЫ,斤“

4g SOO 6g 700 SOO

Длина 60ЛНЫ,斤“

Рис. 2.2.2. Чувствительность палочек и колбочек по данным В ал да [7, 8].

Рис. 2.2.2. Чувствительность палочек и колбочек по данным В ал да [7, 8].

(BOEHEN &s^> 0209020d0u WHRhqQ DOHUJDdgo) nEOOHqtrsEnqulsgbh

(BOEHEN &s^> 0209020d0u WHRhqQ DOHUJDdgo) nEOOHqtrsEnqulsgbh

тральные характеристики поглощения света с максимумом в красной, зеленой и синей областях оптического спектра. На рис. 2,2.4 приведены спектральные кривые поглощения пигментов сетчатки [10]. Следует отметить две особенности этих кривых: во-первых, относительно низкую чувствительность колбочек типа а, воспринимающих в основном синий свет, и, во-вторых, значительное перекрытие кривых. Существование трех типов колбочек служит физиологической основой для трехцветной теории цветового зрения.

Когда свет возбуждает палочку или колбочку, возникает фотохимический переходный процесс, в результате которого создается нервный импульс. Механизм распространения нервных импульсов в зрительной системе в настоящее время полностью не выяснен. Известно, что зрительный нерв содержит около 800 000 нервных волокон. Сетчатка имеет свыше 100 000 000 рецепторов. Поскольку фотохимические процессы в сетчатке и механизм распространения нервных импульсов в глазе недостаточно изучены, нельзя дать полного описания зрительных процессов. Приходится удовлет*

Зрительная

%© отклонения от зрительной оси, град

Рис. 2.2.3. Распределение палочек и колбочек по сетчатке [4].

Рис. 2.2.4. Спектральные кривые поглощения пигментов рецепторов сетчг [Ю].

QEgH9)3E-£E6h 丿 KOX^SESOXEG

вориться разработкой моделей, которые описывают и, будем надеяться, предскажут реакцию зрительной системы человека на те или иные изображения. В следующем разделе описываются некоторые явления, которые должны учитываться при моделировании зрительной системы.

ЗРИТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Описанные ниже зрительные явления взаимосвязаны, одни — в меньшей степени, другие ——в большей. Однако для упрощения изложения, а также потому, что некоторые детали явлений не ясны, эти явления рассматриваются вне связи друг с другом.

Контрастная чувствительность

Известно, что реакция глаза на изменение освещения является нелинейной. Пусть пятно света, имеющее интенсивность / + А/, окружено фоном интенсивности / (рис. 2.3.1, а). Нужно найти

Интенсивность 效例Интенсивность 效例Рис. 2.3.1. Измерения контрастной чувствительности, 。一без фона; б — с фоном.Рис. 2.3.1. Измерения контрастной чувствительности, 。一без фона; б — с фоном.

Интенсивность 效例

Интенсивность 效例

Рис. 2.3.1. Измерения контрастной чувствительности, 。一без фона; б — с фоном.

Рис. 2.3.1. Измерения контрастной чувствительности, 。一без фона; б — с фоном.

зависимость от / минимального приращения А/, которое замечается наблюдателем. Установлено [11 ], что в широком диапазоне интенсивностей отношение А///, называемое отношением Вебера, имеет почти одинаковую величину ——около 0,02. Этот результат

не имеет места для очень малых или очень больших интенсивностей, как видно из рис. 2.3.1, а [12]. Более того, контрастная чувствительность зависит от интенсивности окружающего фона. Рассмотрим два пятна света с интенсивностями / и / + Д/ (рис. 2.3.1, б), окруженные фоном интенсивности /0. Графики зависимости отношения А/// от / для разных интенсивностей фона /о приведены на рис. 2.3.1, 6 (справа). Оказалось, что диапазон интенсивностей, лри котором отношение А/// остается постоянным, значительно уже, чем на рис. 2.3.1, а. Огибающая точек минимума кривых рис. 2.3.1, 6 совпадает с кривой рис. 2.3.1, а. Однако диапазон интенсивностей / для почти постоянного отношения А/// при фиксированной интенсивности фона /0 сравним с динамическим диапазоном большинства электронных изображающих систем.

Поскольку дифференциал логарифма интенсивности равен d {log (/)1 =d〃/,(2.3.1)

то одинаковые изменения логарифма интенсивности света можно связать с одинаковыми едва заметными изменениями интенсивности в диапазоне, в котором отношение А/// остается постоян^ ным. По этой причине во многих системах обработки изображений вычислительные операции проводятся с использованием логарифма интенсивности, а не интенсивности.

Полосы Маха

Рассмотрим ступенчатый оптический клин (набор полосок различной светлоты), показанный на рис. 2.3.2, а. Интенсивность света, отраженного от каждой полоски, одинакова по ее ширине и отличается на постоянную величину от интенсивности света, отраженного от соседних полосок. Однако правый край каждой полоски кажется темнее левого. Это явление называется эффектом полос Маха [13 ]. На рис. 2.3.2, 8 представлено изображение с распределением интенсивности, которое показано на рис. 2.3.2, г. На этой фотографии видны два столбика ——яркий (В) и темный (D). Ни один из них нельзя предсказать исходя из распределения интенсивности. Полосы Маха, т. е. кажущиеся преувеличения изменений светлоты, можно объяснить исходя из пространственно-частотной характеристики глаза. Как мы увидим скоро, глаз обладает меньшей чувствительностью в области низких и высоких пространственных частот по сравнению с чувствительностью на средних частотах. Отсюда можно сделать вывод, что при создании систем обработки изображений можно в некоторой степени пожертвовать верностью воспроизведения контуров, так как глаз не очень чувствителен к высокочастотным перепадам светлоты.

6

Рис. 2.3.2. Примеры полос Маха.

а — ступенчатый клин; б — распределение ннтенснвиости клина; в — перепад интенсивности; г — распределение ннтенднвностн для картины «в>.

Одновременный контраст

Явление одновременного контраста [7 ] иллюстрируется фотографией, приведенной на рис. 2.3.3. В действительности все маленькие квадраты имеют одинаковую яркость, но из-за различ-

Рис. 2.3.3. Пример одновременного контраста.

ной яркости фона кажется, что их яркость разная. Цветовой фон пятна света зависит также от цвета окружения. Белое пятно на черном квадрате кажется желтоватым, если вся фигура окружена синим фоном.

Цветовая адаптация

Воспринимаемый цветовой фон зависит от адаптации зрителя [14]. Американский флаг, например, не сразу будет восприниматься как красно-бело-синий, если человек перед этим смотрел на интенсивный красный свет. Воспринимаемые цвета флага будут смещены в сторону голубого цвета, который является дополнительным к красному.

Цветовая слепота

Приблизительно 8% всех мужчин и 1 % женщин в той нли иной форме страдают цветовой слепотой [15, стр. 405]. Существуют разные степени цветовой слепоты. Некоторые люди, так называемые монохроматы, имеют только палочки или палочки и колбочки одного типа и поэтому им свойственно одноцветное зрение. Другие люди —дихроматы — имеют колбочки двух типов. И монохроматы, и дихроматы могут различать цвета в той степени, в которой они научились связывать различные цвета с разными предметами. Например, они могут знать, что темные розы — красные, а светлые —желтые. Но если покрасить красную розу в желтый цвет, сохранив величину коэффициента отражения, монохромат может назвать ее красной. Дихроматы также неспособны точно определять цветовой тон.

Субъективные цвета [16]

В 1826 г. французский монах Бенидикт Прево заметил, что если периодически освещать белый лист бумаги, помещая его в узкий луч света в затемненной комнате, то на этом листе можно наблюдать цветные полоски. Это было первое зарегистрированное наблюдение субъективных цветов. Фехнер в 1838 г. наблюдал субъективные цвета, появляющиеся на вращающемся диске,

/ Черпал Погодине/ Черпал Погодине

/ Черпал Погодине

/ Черпал Погодине

Рис. 2.3.4. Диск Бенхэма*

выкрашенном наполовину в черный, наполовину в белый цвет. В 1894 г. Бенхэм изобрел волчок, на верхней поверхности которого был узор, показанный на рис. 2.3.4. Когда волчок вращается против часовой стрелки, внешнее кольцо кажется красным, среднее — зеленым, а внутреннее—синим. Вращение в противоположную сторону приводит к тому, что цвета внешнего и внутреннего колец меняются местами. Эти и связанные с ними явления частично объясняются характером временной реакции зрительной системы человека на вспышки света.

Опыты Лэнда

В начале 50-х годов Лэнд [17 ] провел интересные опыты, показывающие возможность воспроизведения цвета с помощью двух основных цветов. Один из этих опытов иллюстрируется на рис. 2.3.5. Некоторая сцена фотографируется дважды： за фильтрами с полосами пропускания 〜600—700 и 〜500—600 нм. Изготавливаются два одноцветных диапозитива 7\ и Т?. Затем эти диапозитивы проектируются на один экран. Первый диапозитив освещается красным светом (длина волны 600—700 нм), а второй—белым. Наблюдается интересный эффект: когда оба изображения совмещены, исходная сцена воспроизводится почти в естественных цветах (плохо воспроизводятся только пурпурные

цвета). Если изображения слегка не совпадают, воспроизведение цветов резко ухудшается. Это показывает, что воспроизведение

Фотопленка 3〃ьтр снимаемые предметыДиапозитив №1Фильтр 585- 700 нмДиапозитив №2Фильтр 4勿-勿/7 НМФотопленка 3〃ьтр снимаемые предметыДиапозитив №1Фильтр 585- 700 нмДиапозитив №2Фильтр 4勿-勿/7 НМ59。-700 нмКшзсный соет0-Белый сбет59。-700 нмКшзсный соет0-Белый сбетРис. 2.3.5. Опыты Лэнда.Рис. 2.3.5. Опыты Лэнда.цветов зависит от содержания сцены, а не есть чисто локальное явление (т. е. цвет данной точки зависит от цвета ее окружения).

Фотопленка 3〃ьтр снимаемые предметы

Диапозитив №1

Фильтр 585- 700 нм

Диапозитив №2

Фильтр 4勿-勿/7 НМ

Фотопленка 3〃ьтр снимаемые предметы

Диапозитив №1

Фильтр 585- 700 нм

Диапозитив №2

Фильтр 4勿-勿/7 НМ

59。-700 нм

Кшзсный соет

0-

Белый сбет

59。-700 нм

Кшзсный соет

0-

Белый сбет

Рис. 2.3.5. Опыты Лэнда.

Рис. 2.3.5. Опыты Лэнда.

МОДЕЛЬ

ОДНОЦВЕТНОГО ЗРЕНИЯ

При использовании одного из современных методов разработки оптических систем оптическую систему рассматривают как линейную систему относительно интенсивности света, которую можно описать с помощью двумерной частотной характеристики [18]. Исследуем линейную оптическую систему, показанную на рис. 2.4.1. Пространственное распределение интенсив

%(х,у)%(х,у)Рис. 2.4.1. Линейная оптическая система.Рис. 2.4.1. Линейная оптическая система.ности света на входе системы получено после прохождения пучка света постоянной интенсивности через диапозитив, прозрачность которого меняется по синусоидальному закону. Вследствие линейности

%(х,у)

%(х,у)

Рис. 2.4.1. Линейная оптическая система.

Рис. 2.4.1. Линейная оптическая система.

системы распределение интенсивности света на выходе также будет синусоидальным, но, возможно, отличным по амплитуде или фазе от распределения на входе. Изменяя пространственную частоту (число периодов изменения интенсивности на единицу длины) распределения интенсивности света на входе и измеряя амплитуду и фазу распределения интенсивности на выходе,

можно в принципе получить частотную характеристику оптической системы.

Пусть 非(①幻 со/ —оптическая частотная характеристика двумерной линейной системы, а со% = 2л/Тх, бу = 2冗/7\ —— угловые пространственные частоты (Т^, Ту —периоды изменения интенсивности вдоль координатных осей х и у). Пусть далее 厶(招 У)обозначает распределение интенсивности света на входе в предметной плоскости, а /0 (х, у)—распределение интенсивности света на выходе (в плоскости изображения). Тогда пространственно-частотные спектры распределений интенсивностей на входе и выходе по определению будут равны

貝(叫，8j = Jj h (招 У) exp {—i (оу + co就} dx dy(2.4.1)

И

% ®・，3 j = J J 4 (x, y) exp{—i(o)xx + 3就} dx dy. (2.4.2)

Эти спектры связаны следующим соотношением:

% (叫，з«)=彌(叫，coj ?i 但，3 J(2.4.3)

Распределение интенсивности света на выходе может быть получено обратным преобразованием фурье-спектра (2.4.2):

8

4(%,切=(1 /4№) J J % ®, з j exp {i @m + 3励 dax dco«. (2.4.4)

Во многих случаях при разработке оптических систем интересуются только отношением амплитуд интенсивностей на входе и выходе. Это отношение

I%(叫，®0|/|力(3*, 3«)| = I彌(Зх,啕I (2.4.5) называется частотно-контрастной характеристикой (ЧКХ) оптической системы.

Много работ было посвящено вопросу использования понятия линейной системы для описания свойств зрительной системы человека [19——25]. Типичный эксперимент для проверки справедливости линейной модели зрительной системы заключается в следующем. Наблюдателю показывают две решетки с синусоидальным изменением коэффициента пропускания. Одна из них — опорная, с постоянным контрастом D и заданной пространственной частотой, вторая ——испытательная, с переменным контрастом и частотой, отличающейся от частоты опорной решетки. Кон-

1)Контрастом пространственно-периодического распределения интенсивности называется отношение максимальной интенсивности к минимальной.

HDHSEngHED

Q£gHQ!faEn9E-hh3S5E30XE0Q£gHQ!faEn9E-hh3S5E30XE0

Q£gHQ!faEn9E-hh3S5E30XE0

Q£gHQ!faEn9E-hh3S5E30XE0

Рнс. 2.4.2. Результаты измерения ЧКХ зрительной системы человека, а — синусоидальная решетка: б 一 экспоненциально-синусоидальная решетка.

Рис. 2.4.3. Сложная синусоидальная решетка.

траст испытательной решетки изменяется до тех пор, пока яркость светлых и темных штрихов обеих решеток будет казаться одинаковой. Применяя набор испытательных решеток с разными пространственными частотами, можно построить график ЧКХ зрительной системы человека. На рис. 2.4.2, а приведены графики ЧКХ для разных контрастов входного сигнала. Представление о форме ЧКХ можно также получить, рассматривая сложную синусоидальную решетку, показанную на рис. 2.4.3. В этой решетке пространственная частота возрастает по одной координате, а контраст ——по другой. Огибающая различимых штрихов в общем близка по форме к кривым рис. 2.4.2, а [241.

На рис. 2.4.2, а показано, что форма ЧКХ зависит от контраста распределения интенсивности на входе. Кроме того, она меняется при вращении испытательной решетки вокруг оптической оси глаза. Таким образом, зрительная система человека нелинейна и анизотропна (не обладает инвариантностью относительно поворота).

Было сделано предположение, что нелинейная реакция глаза на изменения интенсивности имеет логарифмический характер. Нелинейное преобразование осуществляется на первом этапе обработки визуальной информации в зрительной системе. Преоб-

Рецептор

Рис. 2.4.4. Логарифмическая модель одноцветного зрения.

разованию подвергаются сигналы рецепторов (палочек и колбочек) до того, как они вступают во взаимодействие друг с другом. На рис. 2.4.4 приведена простейшая логарифмическая модель глаза для одноцветного зрения. Если реакция глаза на величину входной интенсивности действительно имеет логарифмический характер, то, применив экспоненциальное преобразование интенсивности синусоидальной решетки, можно «линеаризовать» зрительную систему. ЧКХ, полученная в результате измерения с использованием экспоненциально-синусоидальной решетки (рис. 2.4.2, 6), хорошо аппроксимируется одной кривой на низких и средних пространственных частотах. На рис. 2.4.5 приведены результаты измерения ЧКХ, полученные Дэвидсоном [26] для экспоненциально-синусоидального испытательного сигнала. Высокочастотная часть этой кривой получена экстраполированием входного сигнала среднего контраста.

Логарифмически-линейная модель глаза (рис. 2.4.3) позволяет удовлетворительно предсказать реакцию зрительной системы

в широком диапазоне интенсивностей. Однако на высоких пространственных частотах и очень низких или очень высоких интенсивностях наблюдаемая реакция отличается от предсказанной на основе этой модели. Для того чтобы получить более точную модель, необходимо детальнее рассмотреть физические процессы в зрительной системе.

Нелинейная реакция палочек и колбочек на изменения интенсивности все еще служит предметом активных исследований. Были высказаны гипотезы о том, что механизм этой нелинейности объяс-

QulgHqyauJngLU 号K0S5£S0^EOQulgHqyauJngLU 号K0S5£S0^EOРис. 2.4.5. Результаты измерений ЧКХ зрительной системы человека с помощью экспоненциально-синусоидальных решеток [26].Рис. 2.4.5. Результаты измерений ЧКХ зрительной системы человека с помощью экспоненциально-синусоидальных решеток [26].

QulgHqyauJngLU 号

K0S5£S0^EO

QulgHqyauJngLU 号

K0S5£S0^EO

Рис. 2.4.5. Результаты измерений ЧКХ зрительной системы человека с помощью экспоненциально-синусоидальных решеток [26].

Рис. 2.4.5. Результаты измерений ЧКХ зрительной системы человека с помощью экспоненциально-синусоидальных решеток [26].

няется химической активностью, электрическими эффектами и нервной обратной связью. Основная логарифмическая модель предполагает, что

厶(%, У) = Ki log 因 + 凡厶(%, У)】， (2.4.6)

где К* Kz н Кз — постоянные, а 厶(％, у) и /0 (х, у) — входной и выходной сигналы. В другой модели [7, стр. 253 ] предполагается следующая зависимость выходного сигнала от входного:

4 (Х, у) = [К/(X,切]/阳 + 4 (匕 加 (2.4.7)

где Ki, /С2 — постоянные. Манное и Сакрисон [27] изучали различные нелинейности, используемые в аналитических мерах верности воспроизведения изображения. Они установили, что степенная нелинейная зависимость, когда

厶(％ У) = % (% 初， (2-4.8)

где s — постоянная, обеспечивает хорошее согласие между вычисленной верностью и субъективной оценкой качества изображения. (Подробно результаты этой работы рассматриваются в гл. 7.) Подбором постоянных, входящих в выражения (2.4.6) ——

соответствующие кривые могут быть достаточно хорошо сближены в диапазоне средних интенсивностей.

Пространственно-частотные характеристики глаза объясняются частично оптическими и частично нервными механизмами. Как оптический инструмент глаз имеет ограниченную разрешающую способность из-за конечных размеров апертуры линзы, оптических аберраций и конечных размеров палочек и колбочек. Эти эффекты могут быть представлены в модели фильтром нижних

сигнала рецептора

Рнс. 2.4.6. Схема латерального торможения.

пространственных частот, включенным между рецептором и нелинейным элементом. Наиболее существенный вклад в частотную характеристику глаза вносит механизм латерального торможения 1281. Схема этого механизма приведена на рис. 2.4.6. Нервный сигнал есть взвешенная сумма сигналов от многих соседних рецепторов. Некоторые рецепторы вносят тормозящий (т. е. отрицательный) вклад в эту сумму. Весовые множители представляют собой по существу импульсный отклик части зрительной системы, находящейся после сетчатки. Двумерное преобразование Фурье этого импульсного отклика дает соответствующую частотную характеристику.

Восприятие светового импульса, попавшего в глаз, происходит с задержкой, После окончания действия импульса ощущение

света затягивается на короткое время. Эти явления, возникающие из-за ненулевой длительности временной реакции зрительной системы, можно моделировать линейным временным фильтром.

На рис. 2.4.7 показана модель одноцветного зрения, учитывающая результаты, которые обсуждались выше. В этой модели выходной сигнал рецептора подается на вход линейного фильтра нижних частот, соответствующего оптике глаза. Далее включен элемент с монотонно нелинейной характеристикой, моделиру-

Рис. 2.4.7. Расширенная модель одноцветного зрения.

ющий нелинейную реакцию рецепторов на изменение интенсивности. Процесс латерального торможения учитывается введением полосового линейного пространственного фильтра. Эффекты временной фильтрации моделируются последним звеном —линейной системой. В работе [29] тщательно исследована эта модель и получены характеристики ее отдельных звеньев, при которых с большой точностью моделируется полная реакция зрительной системы. При удачном выборе масштабных коэффициентов рассмотренная модель одноцветного зрения будет, по-видимому, достаточно точной для большинства задач обработки изображений. Даже упрощенная логарифмическая модель (рис. 2.4.4), вероятно, будет во многих случаях удовлетворительной.

2・5・ МОДЕЛЬ ЦВЕТОВОГО ЗРЕНИЯ

Начиная с опытов Ньютона и Максвелла [30—33 ], было предложено множество теорий, объясняющих цветовое зрение человека. В классической трехцветной модели цветового зрения, разработанной Юнгом в 1802 г. [32], предполагается, что глаз обладает тремя видами элементов, чувствительных в разных зонах оптического спектра. Интересно отметить, что до 1960 г. не было прямых физиологических подтверждений существования трех различных типов чувствительных элементов сетчатки [9, 10].

На рис. 2.5.1 показана схема модели цветового зрения, предложенная Фреем 134]. В этой модели три рецептора со спектр аль-

ными чувствительностями 班(X), $2 (九)и s3 (X), соответствующими трем пигментам колбочек сетчатки, создают сигналы

4 = j С 仇)邑仏)М,(2.5.1 а)

的=j С (A,) s2 (X) d^,(2.5.16)

&= Jc(入)s?(九)认，(2,5.1b)

где С (X)——спектральная плотность энергии источника падающего света. Три сигнала е19 海？з подвергаются затем логарифмическому преобразованию и объединяются так, чтобы получились сигналы 厶=log 勺，(2.5.2а)

厶=log ?2 — log a = log 低自)，(2.5.26)

% = log & — log & = log (ejej(2.5.2b)

Эти сигналы проходят через линейные фильтры с частотными характеристиками 鑑 1 (①外 со/,鑑2 (со#,(0g) и 非з (со#, со“); получаемые на выходе сигналы glf g2, g3 определяют восприятие цветов в мозге.

Коабсика、/У 2

поглощающая /

зеленый сбет/

Колбочка,\，

поглощающая ,\

-желто-зеленый \

сбет\

поглощающаяВыгодной

синий свет ,: сигнал

Рнс. 2.5.1. Модель цветового зрения.

В модели рис. 2.5.1 сигналы d2 и d3 характеризуют цветность, а сигнал 厶 пропорционален яркости. Оказалось, что эта модель позволяет очень точно предсказать многие явления цветового зрения и хорошо согласуется с основными законами колориметрии. Известно, например, что если спектральную плотность энергии источника света умножить на постоянную (одинаковую для всех длин волн), то цветовой тон и насыщенность, описываемые координатами цветности, останутся неизменными в широком диапазоне изменения интенсивности света. Выражения (2.5.1) и (2.5.2)

показывают, что сигналы цветности dz н d$ в таком случае не изменяются, а сигнал яркости изменяется по логарифмическому закону. Другие особенности этой модели описаны Фреем 134].

Как уже отмечалось, некоторые данные о спектральной чувствительности sz (入)трех типов колбочек сетчатки были получены при измерении поглощения света пигментами колбочек (см, рис. 2.2.4). Однако прямые физиологические измерения очень сложны и не могут быть выполнены с большой точностью. Косвенные оценки спектральной чувствительности колбочек были получены Конигом

3UJ3QHQH3EE6h KDHQqaEnsoHulo3UJ3QHQH3EE6h KDHQqaEnsoHulo

3UJ3QHQH3EE6h KDHQqaEnsoHulo

3UJ3QHQH3EE6h KDHQqaEnsoHulo

Рис. 2.5.2. Спектральные чувствительности колбочек по данным Коинга [35]. и Бродхуном [35] при изучении аномалий цветового зрения. Джадд [36] на основе этих данных нашел линейное преобразование, позволяющее установить связь спектральных чувствитель- ностей Sj (入)с функциями сложения, найденными в колориметрических опытах. В результате были получены кривые, приведенные на рис. 2.5.2. Они унимодальны и строго положительны, как это и следует из физиологических представлений.

Аналогично модели одноцветного зрения (рис. 2,4.7) логарифмическая модель цветового зрения (рис. 2.5.1) может быть дополнена линейными фильтрами, которые включаются после рецепторов. Вместо логарифмической функции можно использовать нелинейную функцию общего вида. Заметим, что, не изменяя выходного сигнала, можно изменить порядок выполнения линейных операций суммирования и преобразования. Схема расширенной модели цветового зрения представлена на рис. 2.5.3. Можно ожидать, что пространственно-частотная характеристика яркостного канала, на выходе которого образуется сигнал g” будет подобна пространственно-частотной характеристике системы одноцветного зрения, которая рассматривалась в разд. 2.4, Результаты измерений частотной характеристики системы в окрашенном свете приведены на рис. 2.5.4. Как видно, частотная характеристика, измеренная при использовании окрашенного света, сдвинута

к низким простр анственным частотам по сравнению с частотной характеристикой, измеренной с белым светом 137 ]. Латеральное торможение должно приводить к изгибу частотной характеристики

Вводные сигналыВводные сигналычувстдительнаяк синему сОетучувстдительнаяк синему сОетуРис. 2.5.3. Расширенная модель цветового зрения.Рис. 2.5.3. Расширенная модель цветового зрения.

Вводные сигналы

Вводные сигналы

чувстдительная

к синему сОету

чувстдительная

к синему сОету

Рис. 2.5.3. Расширенная модель цветового зрения.

Рис. 2.5.3. Расширенная модель цветового зрения.

на низких частотах. Этот изгиб получается, вероятно, на более низких частотах, чем те, которые входили в исследуемый диапазон.

Воспринимаемый цвет — понятие относительное. Ощущение, вызываемое светом с данным спектральным распределением энергии, зависит от окружающего фона и адаптации зрителя. Человек

〃 3 qlugHqlraumgE&hh SX^SESSSO〃 3 qlugHqlraumgE&hh SX^SESSSO

〃 3 qlugHqlraumgE&hh SX^SESSSO

〃 3 qlugHqlraumgE&hh SX^SESSSO

0 1i__Ll」1111I 11 Ll_l 1_Н——1 _ L

0」 Q3 1 з ю л?

,Пространственная: частот, jvucao периодов/град

Рис. 2.5.4. Пространственио-частотиые характеристики зрительной системы человека [26, 37].

А — для скрашенного света; 6 — для белого света.

может очень хорошо адаптироваться к освещению сцены, используя опорный белый свет или общий цветовой баланс. Это свойство называется цветовой адаптацией.

В простейшей модели цветовой адаптации, предложенной фон Крисом [38; 15, стр. 435 ], в схему зрительной системы (рис. 2.5.3)

между колбочками и первым линейным фильтром включается блок автоматической регулировки усиления. Коэффициент усиления

生=了w@)2g)以「(2.5.3)

для i = 1, 2, 3 устанавливается так, чтобы усиленный сигнал колбочки равнялся единице при рассматривании опорного белого света со спектральной плотностью W (X). Модель фон Криса привлекает разумностью и простотой. Однако эксперименты показали [15, стр. 438 ], что эта модель не полностью описывает эффект цветовой адаптации. Уоллис [39] высказал предположение о том, что цветовая адаптация может быть частично объяснена действием механизма торможения, в результате которого ослабляются медленно изменяющиеся компоненты яркостного поля. Этот механизм может моделироваться фильтрами с характеристиками 箔口(со*, со») (рис. 2.5.3). Несомненно, оба механизма — регулировки усиления и торможения —обеспечивают цветовую адаптацию. Требуются дальнейший анализ и эксперименты, чтобы правильно объяснить это явление и построить его модель.

ЛИТЕРАТУРА

Webster's New Collegiate Dictionary, G. and C. Merriam Co., The Riverside Press, 1960.

Malitson H. H・，The Solar Energy Spectrum, Sky and Telescope, 29, 4, 162— 165 (March 1965).

Munsell Book of Color, Munsell Color Co., 2441 North Calvert St., Baltimore, Maryland.

Pirenne M. H., Vision and the Eye, 2nd ed., Associated Book Publishers, London, 1967,

Polyak S. L., The Retina, University of Chicago Press, Chicago, 1941.

Davson L. H., The Physiology of the Eye, McGraw-Hill (Blakiston), New York, 1949.

Cornsweet T. N., Visual Perception, Academic press, New York, 1970.

Wald G., Human Vision and the Spectrum, Science, 101, 2635, 653—658 (June 1945).

Brown P. K., Wald G., Visual Pigment in Single Rods and Cones of the Human Retina, Science, 144, 3614, 45—52 (April 1964).

Wald G., The Receptors for Human Color Vision, Science, 145, 3636, 1007— 1017 (September 1964).

Hecht S., The Visual Discrimination of Intensity and the Weber-Fechner Law, J. Ge% Physiol., 7, 241 (1924).

Stevens S. S., Handbook of Experimental Psychology, Wiley, New York, 1951.^

Ratliff F., Mach Bands: Quantitative Studies on Neural Networks in the Retina, Holden-Day, San Francisco, 1965.

Brindley G. S., Afterimages, Scientific American 209, 4, 84—93 (October 1963).

Wyszecki G., Stiles W. S., Color Science, Wiley, New York, 1967.

Cohen J., Gordan D„ The Prevost-Fechner-Benham Subjective Colors, Psychophys. Bull., 46, 2, 97—136 (March 1949).

Land Е. Н., Experiments in Color Vision, Scientific American, 200, 5, 84—99 (May 1959).

Goodman J. W., Introduction to Fourier Optics, McGraw-Hill, New York, 1968. [Имеется перевод: Гудмен Дж.» Введение в фурье-оптику. — М.: Мир, 1970.]

Campbell F. W., The Human Eye as an Optical Filter, Proc. IEEE, 56, 6, 1009—1014 (June 1968).

Bryngdahl O,, Characteristics of the Visual System: Psychophysical Measurement of the Response to Spatial Sine-Wave Stimuli in the Mesopic Region, J. Opt. Soc. Am., 54, 9, 1152—1160 (September 1964).

Lowry E. M., Depalma J. J., Sine Wave Response of the Visual System, I. The Mach Phenomenon!, J. Opt. Soc. Am.t 51, 7, 740—746 (July 1961).

Lowry E. M., Depalma J. J., Sine Wave Response of the Visual System, II. Sine Wave and Square Wave Contrast Sensitivity, J. Opt Soc. 4加.，52, 3, 328—335 (March 1962).

Sachs M. B., Nachmias J., Robson J. G., Spatial Frequency Channels in Human Vision, J. Opt. Soc. Am.t 61, 9, 1176—1186 (September 1971).

Stockham T. G., Jr., Image Processing in the Context of a Visual Model, Proc. IEEE, 60, 7, 828—842 (July 1972). [Имеется перевод: Стокхэм, Обработка изображений в контексте модели зрения. — ТИИЭР, 1972, т. 60, № 7.]

Pearson D. Е., A Realistic Model for Visual Communication Systems, Proc. IEEE, 55, 3, 380—389 (March 1967). [Имеется перевод: Пирсон, Реалистическая модель системы передачи изображений. — ТИИЭР, 1967, т. 55, № 3.]

Davidson М. L., Perturbation Approach to Spatial Brightness Interaction in Human Vision, J. Opt. Soc. Am., 58, 9, 1300—1308 (September 1968).

Mannos J. L., Sakrison D. J., The Effects of a Visual Fidelity Criterion on the Encoding of Images, IEEE Trans. Inf. Theory, IT-20, 4, 525—536 (July 1974).

Ratliff F., Hartline H. K., Miller W. H., Spatial and Temporal Aspects of Retinal Inhibitory Interaction, J. Opf. Soc. Am.( 53, 1, 110—120 (January 1963).

Hall C. F., Hall E. L., A Nonlinear Model for the Spatial Characteristics of the Human Visual System, IEEE Trans. Sysi.t Man Cybern., SMC-7, 3, 161—170 (March 1977).

McCann J. J., Human 'Color Perception,in: Color Theoryand

Imaging Systems, Enyard R. A., Ed., Society of Photographic Scientists and Engineers, Washington D. C., 1973, pp. 1—23.

Newton I., Optiks, 4th ed., 1730; Dover Publications, New York, 1952. [Имеется перевод: Ньютон И., Оптика. 一 М.: Наука, 1954.]

Young Т., Philosophical Transactions, 92, 1802, 12—48.

Maxwell J. C., Scientific Papers of James Clerk Maxwell, Neven W. D., Ed., Dover Publications, New York, 1965.

Frei W., A New Model of Color Vision and Some Practical Limitations, University of Southern California, Image Processing Institute, USCEE Report 530, March 1974, pp. 128—143.

Konig A., Brodhun E., Experimentelle Untersuchungen uber die Psycho- physische Fundamental in Bezug auf den Gesichtssinn, Zweite Mittlg. S. B. Preuss Akademic der Wissenschaften, 1889, 641.

Judd D. B., Standard Response Functions for Protanopic and Deuteranopic Vision, J. Opt. Soc. Am.t 35, 3, 199—221 (March 1945).

Van der Horst C. J. C., de Weert С. M., Bouman M. A., Transfer of Spatial Chromaticity — Contrast at Threshold in the Human Eye, J. Opt. Soc. 4加57, No. 10, 1260—1266 (October 1967).

von Kries J., Die Gesichtsempfindungen, Nagel's Handbuch d. Physiology d. Menchen, Vol. 3, 1904, p. 211.

Wallis R. H., Film Recording of Digital Color Images, University of Southern CaHfprnia Image Processing Institute Report No. 570f June 1975.

Глава 3

ФОТОМЕТРИЯ И КОЛОРИМЕТРИЯ

В гл. 2 зрение человека рассматривалось в качественном аспекте и была сделана попытка построить модели одноцветного и цветового зрения. Этим моделям можно придать количественный характер, если ввести меры величин, определяющих восприятие света человеком. Меры яркости изучаются в фотометрии, а цвета — в колориметрии. В данной главе рассматриваются вопросы, относящиеся к обеим этим дисциплинам, а также источники света

ИСТОЧНИКИ СВЕТА

Источник лучистой энергии описывается спектральной плотностью С 仇)一скоростью испускания энергии в единичном интервале длин волн. Полная мощность излучения источника определяется интегралом спектральной плотности——лучистым потоком

p=jc(2d%.(3.1.1)

О

Эта величина обычно измеряется в ваттах.

Тело, имеющее более высокую температуру, чем окружающая среда, излучает электромагнитную энергию. Чем выше температура, тем сильнее излучение. Идеальный тепловой излучатель называется абсолютно черным телом. Лучистый поток абсолютно черного тела при любом значении длины волны достигает максимума, возможного для заданной температуры. Спектральная плотность излучения определяется законом Планка [1 ]

С(")= Л5 [ехр (С2/ХТ —1}]，(3.1.2)

где X—длина волны излучения, Т ——температура тела, С1( Cg —постоянные. На рис. 3.1.1, а показаны графики спектральной плотности для разных значений температуры. В видимой области электромагнитного спектра спектральная плотность из-

лучения абсолютно черного тела может быть аппроксимирована законом Вина [1 ]:

e（"）=人6 exp 必"m一 •e（"）=人6 exp 必"m一 •(3.1.3)(3.1.3)

e（"）=人6 exp 必"m一 •

e（"）=人6 exp 必"m一 •

(3.1.3)

(3.1.3)

График функции Вина для видимой области спектра приведен на рис. 3.1.1, 6.

Главнейшим источником света является, конечно, солнце.

На рис. 2ЛЛ,а приведен график измеренного спектрального рас-

7 2 3 4 5 5 7 8 • 』HUHQ 也5V例，HM*103.7 2 3 4 5 5 7 8 • 』HUHQ 也5V例，HM*103.Рис. 3.1.1 Излучение абсолютно черного тела [1 ]. а — закон Планка; б — закон Вина.Рис. 3.1.1 Излучение абсолютно черного тела [1 ]. а — закон Планка; б — закон Вина.40050Q600700^мна Золны,方財40050Q600700^мна Золны,方財qEOOHqwaulHn'DHqFaumsoMUOqEOOHqwaulHn'DHqFaumsoMUO

7 2 3 4 5 5 7 8 • 』HUHQ 也5V例，HM*103.

7 2 3 4 5 5 7 8 • 』HUHQ 也5V例，HM*103.

Рис. 3.1.1 Излучение абсолютно черного тела [1 ]. а — закон Планка; б — закон Вина.

Рис. 3.1.1 Излучение абсолютно черного тела [1 ]. а — закон Планка; б — закон Вина.

40050Q600700

^мна Золны,方財

40050Q600700

^мна Золны,方財

qEOOHqwaulHn'DHqFaumsoMUO

qEOOHqwaulHn'DHqFaumsoMUO

пределения энергии солнечного света [2]. Пунктирная линия на этом рисунке, аппроксимирующая результаты измерений, представляет собой график спектральной плотности излучения абсолютно черного тела при Т = 6000 К- Лампы накаливания также часто приближенно рассматривают как абсолютно черное тело при Т = 1500—3500 К [3].

Международная комиссия по освещению (МКО) утвердила несколько стандартных источников света, спектральные плотности излучения которых графически представлены на рис. 3.1.2 [4]. Источник Sa есть лампа накаливания с вольфрамовой нитью. Источник Sb дает свет, близкий к прямому солнечному свету в диапазоне 400—700 нм. Свет источника Sc близок к свету при облачном небе. Источник £ с равномерной спектральной плотностью излучения часто применяется при колориметрических расчетах.

В системах обработки изображений в качестве источников света часто используются люминофоры кинескопов. На рис. 3.1.3 представлены спектральные плотности излучения нескольких обычных люминофоров [5 ]. В одноцветных телевизионных прием-

.740.740120120QE20-n3HaEHnssssso^sQE20-n3HaEHnssssso^s100806040200100806040200•4 勿600 600700 800900//%例 Ьолны, нм•4 勿600 600700 800900//%例 Ьолны, нм兆。兆。Рис. 3.1.2, Стандартные источники МКО [4].Рис. 3.1.2, Стандартные источники МКО [4].Люмино(рор Р16Люмино(рор Р16/ftoMUHotpop сулыридного типа Р4/ftoMUHotpop сулыридного типа Р4

.740

.740

120

120

QE20-n3HaEHnssssso^s

QE20-n3HaEHnssssso^s

100

80

60

40

20

0

100

80

60

40

20

0

•4 勿600 600700 800900

//%例 Ьолны, нм

•4 勿600 600700 800900

//%例 Ьолны, нм

兆。

兆。

Рис. 3.1.2, Стандартные источники МКО [4].

Рис. 3.1.2, Стандартные источники МКО [4].

Люмино(рор Р16

Люмино(рор Р16

/ftoMUHotpop сулыридного типа Р4

/ftoMUHotpop сулыридного типа Р4

Люминофор Р24Люминофор Р22

Рис. 3.1.3, Спектральная плотность излучения люминофоров кинескопов [5].

никах обычно применяют люминофор Р4, который обеспечивает воспроизведение довольно яркой голубовато-белой картинки. Люминофор Р16 используется в видеодатчиках бегущего луча, так как имеет короткое послесвечение. Для видеодатчиков бегущего луча цветного телевидения выбирают люминофор Р24, излучающий в относительно широкой спектральной полосе и имеющий довольно короткое послесвечение. В приемниках цветного телевидения используют кинескопы с красным, зеленым и синим люминофорами, расположенными в виде триад точек или полос. Люминофор Р22 представляет собой типичную комбинацию трех люминофоров.

ФОТОМЕТРИЯ

Цель фотометрических измерений — количественно описать яркость света [6—8 ]. Связь между фотометрическими и энергетическими характеристиками излучения устанавливается функцией световой эффективности, показанной на рис. 3.2.1, а [9]. Эта кривая утверждена как стандарт МКО. Она определяет спектральную

quiBNgnu一工эМе SSSESOXE^quiBNgnu一工эМе SSSESOXE^4нина болнь% ми4нина болнь% миqEQO-nEX3MsqEQO-nEX3Ms400500600700Длина болны, нм400500600700Длина болны, нм

quiBNgnu一工эМе SSSESOXE^

quiBNgnu一工эМе SSSESOXE^

4нина болнь% ми

4нина болнь% ми

qEQO-nEX3Ms

qEQO-nEX3Ms

400500600700

Длина болны, нм

400500600700

Длина болны, нм

Рис. 3.2.1. Относительная спектральная световая^эффективность [9]. а — для дневного зрения; 6 — для ночного зрения.

чувствительность зрительной системы некоторого типичного (стандартного) наблюдателя. В сущности эта кривая есть стандартизованный вариант кривой спектральной чувствительности колбочек, приведенной на рис. 2.2.2, для дневного зрения при относительно высоких уровнях освещенности. Стандартная функция световой эффективности для ночного зрения при относительно низких уровнях освещенности представлена на рис. 3.2.1, 6. Большинство систем воспроизведения изображений разрабатывается на основе относительной световой эффективности для дневного зрения.

Субъективное ощущение яркости, вызываемое источником света со спектральной плотностью излучения С （X）, определяется его световым потоком, который выражается как

f = kotJ с（х）v（x）a, （3.2.1） о

где V （厶） ——относительная световая эффективность, а Кт ——постоянная. Если световой поток измерять в люменах, то Кт = —685 лм/Вт. Источник монохроматического света мощностью

Точечный источникТочечный источникРис. 3.2.2. К определению фотометрических величин.Рис. 3.2.2. К определению фотометрических величин.

Точечный источник

Точечный источник

Рис. 3.2.2. К определению фотометрических величин.

Рис. 3.2.2. К определению фотометрических величин.

а ——излучение точечного источника： б ——излучение элементарной площадки; 8 — освещенность, создаваемая точечным источником： а ——освещенность, создаваемая протяженным источником.

Вт, длина волны которого соответствует максимуму кривой относительной световой эффективности （т. е. при 入=555 нм）, дает световой поток 685 лм.

Другой важной характеристикой источника света является пространственное распределение его излучения. Рассмотрим точечный источник, испускающий световой поток во всех направлениях （рис. 3.2.2, а）. Отношение бесконечно малого светового по-

тока df, излучаемого в бесконечно малый телесный угол ds, к величине этого угла называется силой света

/ = dFId^(3.2.2)

Эта величина измеряется в канделах. Протяженный источник характеризуется яркостью (рис. 3.2.2, 6), равной по определению

В = dJ (8)/(da cos 0),(3.2.3)

где di (0) — бесконечно малая сила света, излучаемого с бесконечно малой площадки da в направлении, составляющем угол 0 с нормалью к поверхности. Единицей яркости является кандела на 1 м2, или нит.

Протяженный источник света является диффузным, если справедлив закон Ламберта

di (0) = d，N cos 0,(3.2.4)

где d/%—бесконечно малая сила света, излучаемого перпендикулярно поверхности. Для такого источника яркость

В = dIH/da(3.2.5)

не зависит от направления наблюдения. В изображающих системах освещенное матовое стекло часто используется как приближение к идеальному диффузному источнику света.

Яркость источника излучения есть мера светового потока, излучаемого с единицы площади его поверхности в заданном направлении в единичный телесный угол. Величина светового потока, падающего на наблюдаемую поверхность, определяется ее освещенностью. Пусть точечный источник испускает световой поток dF в телесный угол ds под углом ср с нормалью к наблюдаемой поверхности (рис. 3.2.2, б). Угол dco охватывает площадку dA на этой поверхности. Освещенность по определению равна

Е = dF/dA.(3.2.6)

Из соотношения (3.2.2) и рис. 3.2.2 следует, что

dF = I (0) dco = / (0) [(dA cos(p)/R2 ],(3.2.7)

где R — расстояние от источника до поверхности. Следовательно, при освещении точечным источником освещенность определяется соотношением

£= [/(0) coscp]//?2,(3.2.8)

которое выражает закон обратных квадратов для излучения. Чтобы определить освещенность, создаваемую протяженным источником, его нужно представить в виде совокупности точечных источников, а затем сложить освещенности, получаемые от этих точечных источников. Обращаясь к рис. 3.2.2, г и выражению (3.2.8), получим, что бесконечно малая освещенность площадки d4

наблюдаемой поверхности, создаваемой площадкой da излучающей поверхности, есть

dE = [di (0) cos ^]/R\(3.2.9)

Из выражений (3,2.3) и (3.2.9) получаем

d£ == (В da cos 0 cos ①)/々.(3.2.10)

Для вычисления освещенности Е нужно интегрировать выражение (3.2.10) по поверхности освещающего предмета.

На основе приведенных выше теоретических положений можно получить два важных фотометрических результата для оптиче-

Рис. 3.2.3. Связь яркости источника с яркостью и освещенностью изображения, a — яркость источника и изображения： б — яркость источника и освещенность изображения.

ской системы. Рассмотрим обобщенную изображающую систему, показанную на рис. 3.2.3, а. Бесконечно малая площадка da поверхности диффузного предмета с яркостью В отображается в бесконечно малую площадку dA наблюдаемой поверхности, которая приобретает яркость В. Можно показать [8, стр. 189], что В = В, если коэффициенты отражения обеих поверхностей

одинаковы. Таким образом, изображающая система не изменяет яркость, если не принимать во внимание потерь из-за поглощения и рассеяния света. На рис. 3.2.3, б показано, как происходит отображение протяженного диффузного источника с яркостью В на наблюдаемую поверхность посредством простой тонкой линзы. Бесконечно малая освещенность на бесконечно малой площадке dA [8, стр. 1901 равна

dE к (BjxZ)2/4x3 cos4 9, (3.2.11) где D ——диаметр линзы, 0 ——угол пересечения главных лучей, проходящих через центр линзы, и х2 —расстояние от центра линзы до точки наблюдения. Таким образом, освещенность точек плоскости наблюдения при удалении от оптической оси падает как четвертая степень угла между данными направлением и оптической осью. Заметим, что cos4 30° = 0,56. Дополнительные потери освещенности вызываются поглощением и рассеянием света в оптической системе. Кроме того, могут иметь место потери из-за виньетирования, когда полностью теряются косые лучи, составляющие большой угол с оптической осью.

В дальнейшем при рассмотрении систем обработки изображений, для того чтобы не входить в излишние детали, будут по возможности исключаться вопросы, связанные с фотометрией. Кроме того, как это обычно делается в литературе по обработке изображений, термин «яркость» будет использоваться для обозначения светового потока, силы света и собственно яркости.

УРАВНИВАНИЕ ЦВЕТОВ [10—14]

В основе трехцветной теории цветного зрения лежит возможность представления произвольного цвета сложением в нужной пропорции трех основных цветов. При аддитивном цветовоспроизведении, например в цветном телевидении, имеются три источника света—красного, зеленого и синего, которые проектируются на один участок поверхности, где и воспроизводится заданный цвет. При субтрактивном цветовоспроизведении, на котором основаны цветная фотография и полиграфия, белый свет приобретает нужный цвет, проходя последовательно через голубой, пурпурный и желтый фильтры.

АДДИТИВНОЕ УРАВНИВАНИЕ ЦВЕТОВ

Опыты с аддитивным уравниванием цветов проводятся по схеме, показанной на рис. 3.3.1. На поверхность идеального диффузного отражателя проектируется пятно света [С] (рис. 3.3.1, а) с произвольной спектральной плотностью, приведенной на рис. 3.3.2, а. На ту же поверхность проектируются пятно опор-

ного белого цвета [W] со спектральной плотностью, показанной на рис. 3.3.2, б, а также перекрывающиеся пятна [Рх], [Р2], [Р3] трех основных цветов со спектральными плотностями, представ-

Рис. 3.3.1. Уравнивание цветов.

а — трн основных цвета; б — два основных цвета： е — один основной цвет.

ленными на рис. 3.3.2, е, г, 5. Сначала интенсивности трех основных цветов устанавливаются так, чтобы общая часть пятен имела такие же светлоту, цветовой тон и насыщенность, как и опорный белый цвет [W]. Интенсивности Лх (1F),力纟(咿),%з (Ю измеряют в каких-либо физических единицах, например в ваттах. Они являются величинами, уравнивающими опорный белый цвет. Затем интенсивности основных цветов устанавливают так, чтобы добиться уравнивания заданного цвета [С]. Если уравнивание

достигается, записывают интенсивности 4 (С), А^ (С), Д3 (С) и вычисляют нормированные величины

方(С) = 4 (С)/4 (1F), 1=1, 2, 3,(3.3.1)

которые называются координатами цвета.

Если данный цвет уравнять не удается, от схемы рис. 3.3.1, а переходят к схеме рис. 3.3.1, 6. Один из основных цветов, например [Р3], накладывается на пятно данного цвета, и интенсивности трех основных цветов подбирают до тех пор, пока не будет

С5)С5)w(aw(aРС)РС)Р2(МР2(МРис. 3.3.2. Спектральная плотность энергии излучения.а — произвольный цвет; б — опорный белый цвет; s — красный основной цвет; г — зеленый основной цвет; д — синий основной цвет.Рис. 3.3.2. Спектральная плотность энергии излучения.а — произвольный цвет; б — опорный белый цвет; s — красный основной цвет; г — зеленый основной цвет; д — синий основной цвет.

С5)

С5)

w(a

w(a

РС)

РС)

Р2(М

Р2(М

Рис. 3.3.2. Спектральная плотность энергии излучения.

а — произвольный цвет; б — опорный белый цвет; s — красный основной цвет; г — зеленый основной цвет; д — синий основной цвет.

Рис. 3.3.2. Спектральная плотность энергии излучения.

а — произвольный цвет; б — опорный белый цвет; s — красный основной цвет; г — зеленый основной цвет; д — синий основной цвет.

достигнуто уравнивание общей части пятен [Рх] и [Р2] и общей части пятен [Р3] и [С]. Если такое уравнивание получено, то координаты цвета равны

Л ⑹=4 ⑹/4 (IF), Л (С) = д2 (С)М2 (Я,

北(С) = -Л3(С)М3(П(3.3.2)

3 Прэтт У.

В этом случае координата 73 (С) отрицательная. Если при такой схеме добиться уравнивания не удается, нужно пробовать уравнивать сочетание [Р)] и [Р3] с сочетанием [Р21 и [С]. Если уравнивание будет достигнуто, координату Т2 (С) нужно взять со знаком минус. Если и эта конфигурация окажется несостоятельной, нужно попробовать уравнять [Р2] и [Р3]с [Р】]и [С].Правильное уравнивание в этом случае означает, что величина 7\ (С) отрицательная.

Наконец, в тех редких случаях, когда не удается добиться уравнивания ни по схеме рис. 3.3.1, а, ни по схеме рис. 3.3.1, 6, нужно два основных цвета наложить на данный цвет [С] и пробовать уравнивать цвет общей частоты этих трех пятен с оставшимся основным цветом. Если уравнивание достигается для схемы рис. 3.3.1, е, то две координаты цвета принимают отрицательные значения:

看⑹=4 (С)Л41 W),北⑹=一4 ⑹〃2 (Щ

Л (С) - -4 (С)/儿”)• (3.3.3)

Если уравнивание по этой схеме не достигается, одна из двух оставшихся комбинаций приведет к успеху.

Описанный выше процесс реализует прямой метод количественного описания цветов. Он имеет два недостатка: является довольно громоздким и получаемые результаты зависят от индивидуальных свойств единственного наблюдателя. В разд. 3.4 подробно рассматривается стандартизованный метод количественного измерения цветов.

СУБТРАКТИВНОЕ УРАВНИВАНИЕ ЦВЕТОВ

Схема опытов по субтрактивному уравниванию цветов приведена на рис. 3.3.3. Свет со спектральной плотностью £ (X) последовательно проходит через три фильтра — голубой, пурпурный и желтый. Спектральная кривая поглощения каждого красителя зависит от его концентрации. Нужно заметить, что кривые поглощения используемых на практике красителей при изменении их концентрации меняются нелинейным образом.

На первом этапе процесса субтрактивного уравнивания концентрации красителей трех фильтров изменяются до тех пор, пока не будет достигнуто субъективное уравнивание опорного белого цвета [1FI. Эти концентрации являются уравнивающими величинами Лг (1F), Л2 (1F), Л3 (/). Затем концентрации изменяются так, чтобы обеспечить уравнивание желаемого цвета [С]. Найденные концентрации—уравнивающие величины Дг (С), Л2 (С), Л3 (С) — используются при вычислении координат Т( (С), Т2 (С), Т3 (С) согласно соотношению (3.3.1). Очевидно, что между аддитивным и субтрактивным уравниванием цветов принципиальной разницы нет. В субтрактивной системе желтый краситель дей-

ствует как переменный поглотитель синего света, т. е. управляет его интенсивностью. Таким же образом пурпурный фильтр управляет зеленым, а голубой——красным светом. Эти фильтры являются широкополосными и пропускают много света. Поэтому их удобнее использовать в субтрактивных системах, чем узко-

белый светбелый светСбетидш力ьтрзСбетидш力ьтрзОнрашеншиОнрашеншиЖелтый ПурпурныйЖелтый ПурпурныйГолубойГолубойtwsxvxctwsxvxcРис. 3.3.3. Субтрактивное уравнивание цветов, полосные красный, зеленый и синий фильтры. Обычные красители не обладают широким диапазоном изменения плотности. Чтобы повысить контраст воспроизводимого изображения, в полиграфии часто вводят четвертый фильтрующий слой —нейтральносерый. Субтрактивное воспроизведение цветов с реальными красителями, обладающими перекрывающимися кривыми поглощения, рассматривается в гл. 16.Рис. 3.3.3. Субтрактивное уравнивание цветов, полосные красный, зеленый и синий фильтры. Обычные красители не обладают широким диапазоном изменения плотности. Чтобы повысить контраст воспроизводимого изображения, в полиграфии часто вводят четвертый фильтрующий слой —нейтральносерый. Субтрактивное воспроизведение цветов с реальными красителями, обладающими перекрывающимися кривыми поглощения, рассматривается в гл. 16.

белый свет

белый свет

Сбетидш力ьтрз

Сбетидш力ьтрз

Онрашенши

Онрашенши

Желтый Пурпурный

Желтый Пурпурный

Голубой

Голубой

twsxvxc

twsxvxc

Рис. 3.3.3. Субтрактивное уравнивание цветов, полосные красный, зеленый и синий фильтры. Обычные красители не обладают широким диапазоном изменения плотности. Чтобы повысить контраст воспроизводимого изображения, в полиграфии часто вводят четвертый фильтрующий слой —нейтральносерый. Субтрактивное воспроизведение цветов с реальными красителями, обладающими перекрывающимися кривыми поглощения, рассматривается в гл. 16.

Рис. 3.3.3. Субтрактивное уравнивание цветов, полосные красный, зеленый и синий фильтры. Обычные красители не обладают широким диапазоном изменения плотности. Чтобы повысить контраст воспроизводимого изображения, в полиграфии часто вводят четвертый фильтрующий слой —нейтральносерый. Субтрактивное воспроизведение цветов с реальными красителями, обладающими перекрывающимися кривыми поглощения, рассматривается в гл. 16.

АКСИОМЫ УРАВНИВАНИЯ ЦВЕТОВ

Опыты по уравниванию цветов (как аддитивному, так и субтрактивному) проведены с большой точностью многими исследователями. Установлено, что полного уравнивания иногда не удается достигнуть при очень слабом" или очень сильном освещении. Результаты уравнивания в некоторой степени зависят от цветового окружения. Тем не менее оказалось, что простые правила уравнивания цветов остаются справедливыми в широком диапазоне условий эксперимента.

Грассман |15] ввел восемь аксиом, определяющих трехцветное уравнивание цветов, которые являются основой колориметрии:

Любой цвет может быть уравнен смесью не более чем трех цветов.

Уравнивание, достигнутое при данной интенсивности света, сохраняется в широком диапазоне интенсивностей.

Смесь цветов не может быть разделена человеческим глазом на отдельные компоненты.

Яркость смеси цветов равна сумме яркостей ее компонент.

Закон сложения. Если цвет 1М ] эквивалентен цвету [^], а цвет [Р] —цвету [Q], то смесь цветов 1М ] и [Р] эквивалентна смеси [Ad и [Q]

[М] A m, [PI A [Q] =S- W A [Pj ^[N] A [Q],(3.3.4)

Закон вычитания. Если смесь цветов [М ] и [Р ] эквивалентна смеси [^] и [Q] и если цвет [Р] эквивалентен цвету [Q], то цвет 1М ] эквивалентен цвету [^]:

[М]企[Р]А [MA[Q1, [P]A[Q]=>[Af]A Ш (3.3.5)

Закон транзитивности. Если цвет [7И ] эквивалентен цвету [^]> а цвет [N] —цвету [Р], то [М ] эквивалентен [Р]:

[М]А[М, [М А[Р 今[м】А [Р】・(3.3.6)

Уравнивание цветов. Справедливо одно из трех соотношений:

С единиц цвета [С] уравнивают смесь М единиц [7И], ^ единиц [^] и Р единиц [Р]:

С А© А М 2ММ]公 N A [N] А Р А И； (3.3.7)

смесь С единиц [С] и Л4 единиц [М ] уравнивает смесь N единиц [^] и Р единиц [Р]:

С △ [С] Д М △ [Л1 ] Д ^ △ ^^] Д Р △ [Р];(3.3.8)

смесь С единиц [С], М единиц [М] a N единиц [^] уравнивает Р единиц цвета [Р]:

с △ [С] Л1 △ [М] А ^ △ [^] 4 ^ △ [Р].(3.3.9

3.4. КОЛОРИМЕТРИЯ

Колориметрия —это наука об измерении цветов. Для измерения цветов используются различные системы координат.

Из восьмой аксиомы Грассмана следует, что цвет [С] может быть уравнен смесью трех основных цветов [PJ [Ря] и [Р3], т. е.

[С] А Л(С)△因]а 4(С)△ [Р2] А Л С) а [%】， (3.4.1) где 4 (С), Л2 (С), Л3 (С) —уравнивающие величины цвета [CJ. Так как интенсивности некогерентных источников света складываются линейно, то спектральная плотность смеси равна сумме спектральных плотностей ее компонент. Согласно соотношению (3.4.1), спектральная плотность С (X) может быть заменена экви-

х) Вводятся следующие символы: А — уравнивание (эквивалентность), А — аддитивная смесь, △ — единица смеси.

валентной спектральной плотностью смеси основных цветов, т. е.

С (簿 А 4 (С) 2 小)+ 4 (С) 2 仇)+ 4 (С) Р3(М =

3

= j£4(C)P個，(3.4.2)

где Pj (入)——спектральная плотность основного цвета [Р}]. Соотношение (3.4.2) имеет простой смысл: спектральные плотности, связанные оператором эквивалентности А , вызывают одинаковое цветовое ощущение. В колориметрии используются координаты цвета, равные по определению

T1(C) = AJ (С)МДП(3.4.3)

где 4/(1F)—уравнивающая величина опорного белого цвета. Подставив выражение (3.4.3) в (3.4.2), получим

з

С ⑷ А £ % (С) 4 (取)％(3.4.4)

Из четвертой аксиомы Грассмана следует, что яркость цвета L (С) равна сумме яркостей его основных компонент, Следовательно,

з

厶(С) = J с @) V (V М = £ J Л/ (С) Р/ (X) V (X) М, (3.4.5а)

3

厶(С) = £ J「(С) 4 ⑺匕⑸ У (Q ”，(3.4.56)

где V (X) —относительная световая эффективность. Соотношения (3.4.4) и (3.4.5) являются количественной основой колориметрии.

ПРОВЕРКА МОДЕЛИ ЦВЕТОВОГО ЗРЕНИЯ

Прежде чем продолжить изучение процесса уравнивания цветов, полезно проверить, согласуются ли результаты экспериментов и аксиомы уравнивания цветов с моделью цветового зрения, рассмотренной в разд. 2.5. В этой модели реакции рецепторов трех типов со спектральными чувствительностями s( (X), s2 (X),坛(X) представлялись следующими величинами:

е】(С) = J С 色)S1 仇)认，(3.4.6а)

& (С) = J С @) % (%) а,(3.4.66)

«(С) = Jc(Qsb@)丸(3.4.6b)

Если наблюдатель видит эквивалентную смесь первичных цветов, а не исходный цвет [С], то замена спектральной плотности С (X)

эквивалентной спектральной плотностью, определяемой соотношением (3.4.4), не должна приводить к изменению сигналов колбочек & (С). Следовательно,

з

а (С) = £ Т^) 4, (IF) \ pj (X)S1(X) dK (3.4.7а)

3

е? (С) = £ %• (С) 4 (IF) "j @) Sz (X)風， (3.4.76) /=1

'3

(С) = £ Л (С) A^^Pj (X) s3(X) М. (3.4.7b)

Определив коэффициенты

財JP/@)Sj(Vd%(3.4.8)

можно переписать соотношения (3.4.7) более компактно в матричной форме

(3.4.9)

или еще короче как

е(С) = КАТ(С).(3.4.10)

Векторы и матрицы, входящие в это соотношение, определены выражениями (3.4.7)—(3.4.9). Следует отметить, что для заданного набора основных цветов и опорного белого цвета элементы матриц К и А оказываются постоянными величинами. Поэтому если известны сигналы колбочек ez (С) для данного цвета [С], то при условии, что существует матрица (КА)"1, соответствующие координаты цвета Т, (С) могут быть вычислены по формуле

Т(С) = (КА)-хе(С).(3.4.11)

Таким образом, при подходящем выборе величин Т『(С) любой цвет [С ] может быть заменен эквивалентной смесью основных цветов; при этом сигналы колбочек останутся неизменными. К сожалению, эти сигналы трудно измерить, поэтому соотношение (3.4.11) нельзя применить для непосредственного вычисления координат цвета. Но это и не было целью приведенного вывода. Наоборот, соотношение (3.4.11) выведено для того, чтобы показать согласованность результатов экспериментов по уравниванию цветов с моделью цветового зрения.

.42 ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ ЦВЕТА

Координаты цвета произвольного излучения для заданного набора основных цветов можно вычислить косвенным путем, если для этого набора известны функции сложения, т. е. координаты цвета спектральных (узкополосных) излучений единичной энергии. Типичные функции сложения показаны на рис. 3.4.1. Функции сложения, определяющие колориметрическую систему, обозначаются как TS1 (X), Т§2 (X), Т$з (X), где X — длина волны спектрального цвета.

Синий

j Темный с Красный

DE9h'^3£ssaos经qHqRBDE9h'^3£ssaos经qHqRBД^ина %%/, нмД^ина %%/, нм

DE9h'^3£ssaos经qHqRB

DE9h'^3£ssaos经qHqRB

Д^ина %%/, нм

Д^ина %%/, нм

Рис. 3.4.1. Функции сложения для зеленого и синего.Рис. 3.4.1. Функции сложения для зеленого и синего.типичных основных цветов — красного,типичных основных цветов — красного,

Рис. 3.4.1. Функции сложения для зеленого и синего.

Рис. 3.4.1. Функции сложения для зеленого и синего.

типичных основных цветов — красного,

типичных основных цветов — красного,

Монохроматический свет [С^] с длиной волны 屮 и единичной энергией имеет спектральную плотность 6 伙一巾).При этом справедливо следующее соотношение:

& (СJ = J 6 (X — -ф) sz (X) d% =

з

(3.4.12)(3.4.12)=£4")匕的%(中)电的执

(3.4.12)

(3.4.12)

六1

Рассмотрим теперь произвольный цвет [С] со спектральной плотностью С (X). С 伸)единиц этого света при длине волны-屮 имеют координаты цвета 7S1 (屮)，7必(屮)，％ 诃)・ Следовательно,

Jc仲)6@ —W)s, (X)认=

3

(3.4.13)(3.4.13)=E J 4 ”)匕(九)C 仲)% 仲)S,e) ^./=1

(3.4.13)

(3.4.13)

Интегрируя обе части этого равенства по 屮 н используя основное свойство дельта-функции, получаем

S （e） = J J e （中）6 （九一中）St （厶）dA 外=

3

=S f J Ai（^）Pi（X）C W ^；（^）^（X）d^ ^-（3-4.14）

Сравнение этого равенства с соотношением （3.4.7） показывает, что координата цвета [С] есть

「⑹=jc（W）Ts/（2）W・（3.4 15）

Как видно из рис. 3.4.1, координаты некоторых спектральных цветов могут иметь отрицательные значения. С другой стороны, координата цвета пропорциональна интенсивности основного цвета, которая не может быть отрицательной. Отрицательные значения координат интерпретируются следующим образом: основной цвет, соответствующий отрицательному значению координаты, должен быть прибавлен к исходному цвету, после чего достигается

Рис, 3,4.2. Цветовое пространство для типичных основных цветов.

уравнивание смесью двух оставшихся основных цветов. В этом смысле любой цвет может быть уравнен смесью любых основных цветов. Однако цвета с отр и цате л ь ными координатами не могут быть воспроизведены с помощью реального устройства с заданными основными цветами （например, в приемнике цветного телевидения）. К счастью, можно выбрать основные цвета так, чтобы большинство обычных естественных цветов были воспроизводимыми.

Координаты цвета 7\, 北，北 можно рассматривать как координаты точек в некотором трехмерном пространстве （рис. 3.4.2）. Данный цвет можно представить также как вектор. На рис. 3.4,2 показан треугольник, называемый треугольником Максвелла. Расстояния от вершин этого треугольника до точки пересечения

цветового вектора с плоскостью треугольника характеризуют цветовой тон и насыщенность цветов.

Часто при описании цвета его яркость не представляет интереса. В таких случаях цветовой тон и насыщенность цвета [С ]

Рис. 3.4.3. График цветностей для типичных основных цветов.

можно выразить через координаты цветности, являющиеся нормированными координатами цвета:

友=^/(Л + Т2 + Т^(3.4.16а)

为三 TJE + 北 + 北)，(3.4.166)

友三北/(门+ П+北)，(3.4.16b)

Очевидно, что /3 = 1 — /2 —/t и, следовательно, для описания цветности необходимы только две координаты. На рис. 3.4.3 показан график цветностей для набора типичных основных цветов. С помощью реальных источников света можно физически воспроизводить только те цвета, которые находятся внутри треугольника, определенного тремя основными цветами.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ЯРКОСТИ

Координаты цвета определяют данный цвет по отношению к опорному белому цвету. Часто, однако, необходимо знать не относительные, а абсолютные интенсивности основных цветов, воспроизводящих данный цвет. Эти данные можно получить, вычисляя его яркость.

Из выражений (3.4.5) следует, что яркость L (С) цвета [С] равна сумме яркостей его основных компонент:

з

L (С) = Е「(С) J А ”) Р? (X) У (X)认. (3.4.17)

Интегралы

L(2)三 j4”)Pi(九"仇)d%(3.4.18)

называются яркостными коэффициентами основных цветов. Эти коэффициенты представляют собой яркости основных цветов, уравнивающих опорный белый цвет. Следовательно, яркость цвета С можно записать как

L (С) = А (С) L (В) + 北(С) L(P^ + Тз (С) L (Р3). (3.4.19)

Координата цветности цвета [С] определяется как

% (С) = 7｝同纟 Tj (С).(3.4,20)

Перемножив соответственно левые и правые части выражений (3.4.19) и (3.4.20), после некоторых преобразований получим

7\(С)= IG (С) L (С)]/^ (С) L(P.) +

+ 为(Q L (A) + /з (Q L (Рз) ](3.4.21a)

и аналогично

П (С)=伉(С) L (С)]/% (С) L (巳)+

+ 为 С) L (А) + /з С)乙(А)】，(3.4.216)

北 © = "з (С) L (С) ]/I4(C) L (3) +

+ 勾(С) L (巳)+ % (С) L (Рз) ]•(3.4.21В)

Таким образом, координаты цвета можно выразить через яркость и коорди наты цветности.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ЦВЕТА

Из выражений (3.4.7) следует, что набор основных цветов можно выбрать многими способами. Если координаты цвета известны для одного набора основных цветов, то простым преобразованием координат можно найти координаты цвета для другого набора 【16]. Пусть [Ps ], [Р2], [Р3] есть исходный набор основных цветов со спектральными плотностями Рх (X), Р2 (%), Рз (九)• Интенсивности, уравнивающие опорный белый цвет [W]t обозначим через 5工(忻)，/纟(IT) и 4з (段).Рассмотрим теперь другой набор основных цветов [PJ [Р2],[广3], имеющих спектральные плотности Ai (X),戸2 (九)，鸟(％)• Опорный белый цвет [^], который может отличаться от исходного опорного белого цвета [呼], уравнивается при интенсивностях %工(蚀),Л2 (沥)，Л3 (W) новых

цветов. Произвольный цвет [С ] имеет координаты 7\ (С), 北 (С), Тз (С) для исходного набора основных цветов и 7\ (С),几(С), Т3 (С) для нового набора. Из формулы (3.4.10) можно получить матричное соотношение

е(С)- KA(W)T(C)- К А(Г)Т(С). (3.5.1)

Установим теперь единицы измерения новых координат цвета. Взяв вместо цвета [С] новый опорный белый цвет [W], получим

(3.5.2)(3.5.2)е(Г)= КА(1Г)Т^ = KA(F)f (Г),

(3.5.2)

(3.5.2)

где 冗(历)—冗(历)=冗(历)=1. Затем подставив в соотношение (3.5.1) новые основные цвета【R], ®】，色],будем иметь

е (4) = КА ”) Т (R) = К К (诊)Т (R), (3.5.3а) е 便 J = КА (呼)Т (&) -КА(^)Т (Л), (3.5.36) e е)-Кa ") ! 内=k区(历)T (厶)， (3.5.3в)

гдегде1/4(例)7(区)=0О1/4(例)7(区)=0Оо，(乃2)= 1/Л(Ю―00 "Iо，(乃2)= 1/Л(Ю―00 "I

где

где

1/4(例)

7(区)=0

О

1/4(例)

7(区)=0

О

о

，(乃2)= 1/Л(Ю

―0

0 "I

о

，(乃2)= 1/Л(Ю

―0

0 "I

?色）=0

一向⑺

Совместное решение системы матричных уравнений (3.5.1), (3.5.2) и (3.5.3) дает требуемое соотношение между координатами цвета для исходного и нового наборов основных цветов:

7(C)

△С) Тз(С)

Т1（Р2） T2（户2） T3（户 2）

Т](Рз)| T2(户3)/ Тз(户з)Г

n仲） \T2（W） Т3仲）

厶值） т2（Л） 73（邑）

Ti(A)' т2(А) T3(户 3)

Г1(сЯ

Т】(А)

AC)

Г1(А)|

0（户）

Tt(W)

时（户3）

爲(С)-

T2（户）

Л(С)

T2（户3）/

T2(户 1)

T2(W)

T2（户 3）

1Л（。」

丁3山）

Тз（с）

73闻/

Л（А）

73仲）

T3（户3）

т】(А)

Г1(А)

П(С)|

Т/)

厶值）

T2（户）

Г2(А)

Tz(C)/

Т2（а）

T2（邑）

丁2侬）

• Тз(2)

л（А）

Тз(С)|

T3（户）

Тз(А)

Т3 旧).

Можно переписать соотношение (3.5.4), используя координаты цветности ti (А),乙(戶J, 4 (户з) новых основных цветов в координатной системе исходных основных цветов. В этом случае

力(С)-

加口加工2 ^1з"

了⑹一

方(С)

=

^21 削 22 削 23

П(С)

,(3.5.5)

一看(e).

-^31 码J2 m33一

—北⑹.

где

Ai =笃版)Ди + Т^) Д12 + 北(历)А13,

& = Т^) д21 + 北(Г) а32 + 禽的 狐, А尸 Л(^) A31 + T2(W) A32 + Тз 發)к AП = % (P2)G (p3)一 4 (p2)为(%)， &2 13(月兑(耳)一匕(耳居值)； &3 П ，1(PJ 勾(A)一为仍2)g (P) А21=友(Р1)为(p8)一为(P1)4 (p3)， %2 = &色居(月)一% (区兑(A)， a28 = % (尸1)匕(Р3)一 A (p1)为(P J &1="(Р1) 4 (Р2)一 4 (Р1)为(p2)， ^ = h(PMP^-h (P^tAP^ a83 =友(戶山2值)一/2色兑(户2).

СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ЦВЕТА

Было показано, что цвет [С ] может быть описан координатами цвета Ту (С), Т2 (С), £ (С) для данного набора основных цветов. С другой стороны, цвет можно определить координатами цветности 友(С),厶(С) и яркостью L (С). Можно также описать цвет, используя какую-либо линейную или нелинейную обратимую функцию координат цвета или координат цветности и яркости. Из выражения (3.5.5) видно, что линейное преобразование координат цвета есть просто переход к новому набору основных цветов. В приложении 2 приведены формулы преобразования координат цвета и цветности для различных систем координат.

Для количественного описания цветов предложено много разных систем координат. Ниже рассматриваются те из них, которые представляют исторический и теоретический интерес.

Система координат спектральных основных цветов МКО

В 1931 г. МКО разработала стандартный набор монохроматических основных цветов: красный с длиной волны 700 нм, зеленый —546,1 нм и синий ——435,8 нм [4 J. Единицы измерения координат цвета выбраны так, чтобы координаты R,，G,, Вс белого света с равномерной спектральной плотностью в видимой части спектра были одинаковыми. Набор основных цветов определяется

Рис. 3.6.1. Функции сложения системы координат спектральных основных цветов МКО (красный ——700 нм, зеленый ——546,1 нм, синий ——435,8 нм) [11 ].Рис. 3.6.1. Функции сложения системы координат спектральных основных цветов МКО (красный ——700 нм, зеленый ——546,1 нм, синий ——435,8 нм) [11 ].^-QEDHn-oo工^-QEDHn-oo工

Рис. 3.6.1. Функции сложения системы координат спектральных основных цветов МКО (красный ——700 нм, зеленый ——546,1 нм, синий ——435,8 нм) [11 ].

Рис. 3.6.1. Функции сложения системы координат спектральных основных цветов МКО (красный ——700 нм, зеленый ——546,1 нм, синий ——435,8 нм) [11 ].

^-QEDHn-oo工

^-QEDHn-oo工

кривыми сложения для спектральных цветов, приведенными на рис. 3.6.1. Эти кривые получены в экспериментах по уравниванию цветов с большим числом наблюдателей. По результатам экспериментов был определен так называемый стандартный наблюдатель МКО. Данные для поля зрения 2° были опубликованы в 1931 г. Затем были получены результаты для поля размером 10°. В телевидении и фототелеграфии лучше использовать данные для поля 2°. На рис. 3.6.2 представлен график цветностей в системе координат спектральных основных цветов МКО, а также цвета люминофоров телевизионного приемника принятой в США системы цветного телевидения НТСЦ. Треугольник, определяемый цветами люминофоров, охватывает цветности всех воспроизводимых цветов.

Система координат приемника НТСЦ

В телевизионных приемниках США используются кинескопы с тремя люминофорами ——красным, зеленым и синим [14]. Система координат приемника НТСЦ, определяемая цветами люминофоров, может быть связана с системой координат спектральных основных цветов МКО простым линейным преобразованием. На рис. 3.6.3 приведен график цветностей в системе координат приемника НТСЦ. В этой системе единицы измерения координат цвета нормированы так, что значения координат, при которых уравни-

Рис. 3.62 Графнк цветностей в системе цветов МКО [11 ].Рис. 3.62 Графнк цветностей в системе цветов МКО [11 ].координат спектральных основиыкоординат спектральных основиы

Рис. 3.62 Графнк цветностей в системе цветов МКО [11 ].

Рис. 3.62 Графнк цветностей в системе цветов МКО [11 ].

координат спектральных основиы

координат спектральных основиы

Рнс. 3.6.3. График цветностей в системе координат приемника НТСЦ.

вается опорный белый цвет, одинаковы. Люминофоры приемника НТСЦ не являются источниками монохроматического света, поэтому определяемый ими цветовой охват (совокупность воспроизводимых цветов) уже» чем при использовании спектральных основных цветов МКО.

Система координат XYZ МКО

Система координат спектральных основных цветов МКО имеет один недостаток для колориметрических расчетов: координаты цвета иногда оказываются отрицательными. Столкнувшись с этой трудностью, МКО разработала систему координат с искусственными основными цветами, в которой координаты цвета спектральных цветов являются положительными [4]. Искусственные основ-

Рис. 3.6.4. График цветностей в системе координат XFZ МОК [4].

ные цвета показаны на рис. 3.6,2. Они выбираются так, чтобы координата У была эквивалентна яркости L (С) цвета С. На рис. 3.6.4 представлен график цветностей в системе XYZ МКО при опорном белом свете с равномерной спектральной плотностью.

Система координат передаваемых сигналов НТСЦ

В системе цветного телевидения НТСЦ, разработанной в США, передаются три координаты цвета У, /, Q [14]. Координата У совпадает с координатой У системы XVZ; она соответствует ярко-

Рис. 3.6,5, Сравнение едва заметных цветовых разностей в системах координат XYZ и UVW. Величины разностей увеличены в 10 раз [12].

а — цветовые разности на графике цветностей {х, д）; б — цветовые разностн на графике цветностей （“，и）.

сти. Остальные две координаты / и Q вместе описывают цветовой тон и насыщенность. Причинами передачи координат У, /, Q вместо координат Rn, G^ By непосредственно с выхода передающей камеры являются следующие: 1) сигнал У может быть использован существующими телевизионными приемниками одноцветного изображения и 2) полосу частот сигналов / и Q можно сократить без заметных искажений изображений. Применив такое сокращение и остроумный способ модуляции, удалось передавать полный аналоговый сигнал цветного телевидения в той же полосе частот, что и при одноцветном изображении.

Равноконтрастная система координат МКО

Желательно иметь такую систему координат, чтобы равным изменениям координат цветности соответствовали равные изменения в ощущении цвета. На графике цветностей (рис. 3.6.5, а) показаны разности цветов, которые воспринимаются одинаково [12, 17 ]. Этот график, а также другие экспериментальные резуль-

Рис. 3.6.6. Равнокоитрастный график цветностей [11].

таты свидетельствуют о том, что человеческий глаз наиболее чувствителен к изменению синего цвета, умеренно чувствителен к изменению красного и обладает наименьшей чувствительностью к изменениям зеленого цвета. В 1960 г. МКО приняла равноконтрастную систему координат, в которой с хорошим приближением равные изменения координат цветности соответствуют едва заметным изменениям цветового тона и насыщенности. На рис. 3.6.5, б приведены данные рис. 3.6.5, а в равноконтрастных координатах.

Переход от координат X, У, Z к равноконтрастным координатам осуществляется линейным преобразованием. Координаты цветности в обеих системах связаны следующими соотношениями [181: и = 4х/(—2% + 12g + 3),(3.6.1а)

и = 6д/(—2% + 12g + 3).(3.6.16)

График цветностей в равноконтрастной системе координат приведен на рис. 3.6.6.

Система координат U*V*W*

Система координат U*V*W* есть развитие системы координат UVW с целью получения цветового пространства, в котором единичные изменения цветности и яркости воспринимаются одинаково. Координаты U*, V*t W* по определению [19] равны

= 13й7* (W —〃°),(3.6.2а)

V* 二 131Г* (и — %),(3.6.26)

IF* = 25 (100У)1/з — 17,(3.6.2b)

причем единицы измерения яркости У выбраны так, что яркость меняется от 0 до 1, а /^0 и и。——координаты цветности опорного белого цвета.

Система координат S8W*

Координаты S, 0, 取* есть просто полярные координаты для системы U* V*W*. По определению они равны [11 ]

S = [(и*)2 + (V*)2],/2 = 131r [(м - 〃о)2 + (и — %)2]"2,(3.6.3а)

0 = arctg \V*!U*} = arctg [(и — %)/(〃 — u0)].(3.6.36)

Координата S определяет насьпценность цвета, а 0 — цветовой тон.

Система координат Lab

Система координат Lab, будучи еще достаточно простой для колориметрических расчетов, обеспечивает относительно точное представление цветов в соответствии с системой цветов Мюн- селла [20]. Координаты цвета в этой системе равны

L = 25 (100У/У。严-16,(3.6.4а)

а = 5001(Х/Х°)"з _ (У/У°)1/з ],(3.6.46)

b = 2001(У7У°р/з — (Z/Zj/з ],(3.6.4b)

где Xo,匕，Z°—координаты опорного белого цвета в системе XYZ. Координата L определяет яркость цвета, а —соотношение

красногб и зеленого цвете^^— соотаошёнце синего и желтого, Многие колориметры, выпУ&каемые. промышленностью, дают значения этих координат.-

Система координат Карунена—Лоэва

Систему координат спектральных основных цветов, системы XYZ, UVW и другие можно рассматривать как результат линейного преобразования системы координат приемника НТСЦ. Координаты цвета Rn, G“, Bn приемника НТСЦ оказываются сильно коррелированными друг с другом [21 ]. При разработке эффективных методов квантования и кодирования цветных изображений удобно иметь дело с некоррелированными компонентами. Если известна ковариационная матрица величин Rn> G%, 8乂, то можно

построить систему ортогональных некоррелированных координат,построить систему ортогональных некоррелированных координат,(365)(365)где Ль Л2, Л3 —собственные значения ковариационной матрицыгде Ль Л2, Л3 —собственные значения ковариационной матрицы

построить систему ортогональных некоррелированных координат,

построить систему ортогональных некоррелированных координат,

(365)

(365)

где Ль Л2, Л3 —собственные значения ковариационной матрицы

где Ль Л2, Л3 —собственные значения ковариационной матрицы

«и 三 Е {(R% — RnFL(3.6.6а)

ип^Е{(()^0^(3.6.66)

и^^Е^-В^(3.6.6b)

"г? = E {(Rm— RJ@n — G%)},(3.6.6г)

〃丄3 三 £ {便汽—RG(Bn — 6^)},(З.б.бд)

〃2з 三 E {(G% — GJ (B^ — B^\t(З.б.бе)

Система координат колбочек сетчатки

Как отмечалось в гл. 2, при рассмотрении моделей цветового зрения человека. были проведены косвенные измерения спектральных чувствительностей s【(X), s2 (%), S3 仇)колбочек трех типов.

-«esc-1eHUHAdex heHH口doox nsuhuxu I*^ЖФ7О^К.О^ Hnsssoo^ CSOHUSU — g йи^х BXHHnaHduheHH口doox лкфьики I°

•KHHaHCBd90mH 吕 IqIHaHOwoy •E JHd

VJ-eHHHdoo 工 ewNQH。一 a 匚 EHHKd0。工 rtsvbuso BEHloedHH。工。HEed I ^ ^OHE BoueHJH。XKWaen 京 dan IBHHHdooM raEOSSO I、 (anHaMVOQOdu) IE.UHdVJ-eHHHdoo 工 ewNQH。一 a 匚 EHHKd0。工 rtsvbuso BEHloedHH。工。HEed I ^ ^OHE BoueHJH。XKWaen 京 dan IBHHHdooM raEOSSO I、 (anHaMVOQOdu) IE.UHd

VJ-eHHHdoo 工 ewNQH。一 a 匚 EHHKd0。工 rtsvbuso BEHloedHH。工。HEed I ^ ^OHE BoueHJH。XKWaen 京 dan IBHHHdooM raEOSSO I、 (anHaMVOQOdu) IE.UHd

VJ-eHHHdoo 工 ewNQH。一 a 匚 EHHKd0。工 rtsvbuso BEHloedHH。工。HEed I ^ ^OHE BoueHJH。XKWaen 京 dan IBHHHdooM raEOSSO I、 (anHaMVOQOdu) IE.UHd

Оказалось, что спектральные чувств ител ь ноет и связаны линейно

с функциями сложения, полученными по данным колориметричес функциями сложения, полученными по данным колориметрических экспериментов. Следовательно, сигналы колбочек 7\, Т2, Т3ских экспериментов. Следовательно, сигналы колбочек 7\, Т2, Т3

с функциями сложения, полученными по данным колориметриче

с функциями сложения, полученными по данным колориметриче

ских экспериментов. Следовательно, сигналы колбочек 7\, Т2, Т3

ских экспериментов. Следовательно, сигналы колбочек 7\, Т2, Т3

На рис. 3.6.7 приведены компоненты цветного изображения для нескольких координатных систем. Следует отметить, что красная, зеленая и синяя компоненты сильно коррелированы. В некоторых координатных системах одна из компонент содержит большую часть энергии изображения, а остальные кажутся менее детальными.

ЦВЕТОВОЕ ТЕЛО

Как было показано в предыдущем разделе, существует много систем координат, которые можно использовать для описания цветов. К сожалению, нет способа определить, какая из этих систем является оптимальной для большинства приложений. Для выбора наилучшей системы следует сформулировать предъявляемые к ней требования, а затем проверять, в какой степени им удовлетворяют те или иные системы. При количественном сравнении координатных систем следует учитывать ограничения, накладываемые на способы представления цветов, и методы обнаружения различий между цветами.

Для любой системы' воспроизведения естественных цветов существуют два физических ограничения. Во-первых, интенсивность света, излучаемого любыми источниками, может быть только положительной. Следовательно, если некоторый цвет имеет отрицательные координаты, он не может быть воспроизведен в виде чисто аддитивной смеси основных цветов. Второе ограничение связано с диапазоном изменения яркости света, прошедшего через предмет или отраженного от него.

ОГРАНИЧЕНИЕ ПОЛЯРНОСТИ КООРДИНАТ ЦВЕТА

Рассмотрим датчик сигналов цветного изображения, на выходе которого получаются координаты R% (С), G“ (С), BN (С) в системе основных цветов [R“ ], IG^],【8川]телевизионного приемника НТСЦ. Этот приемник может воспроизвести любой цвет, имеющий

неотр и цате льные координаты. Такие цвета лежат внутри куба цветового охвата, показанного на рис. 3.7.1, а. Вершины куба соответствуют главным цветам приемника НТСЦ — красному, зеленому, синему, голубому, пурпурному, желтому, черному и

/ Зеленый/ ЗеленыйЖелтыйЖелтыйГолубойГолубойЧерныйЧерныйЗеленыйЗеленыйГолубойГолубойСиницСиниц66КрасныйКрасныйеле-еле-\ныи\ныикрасныйкрасныйГолу-Голу-СинийСинийЖелтьшЖелтьшЖелтыйЖелтыйПурпурный у ЧерныйПурпурный у Черный•7•7伤伤белыйбелый

/ Зеленый

/ Зеленый

Желтый

Желтый

Голубой

Голубой

Черный

Черный

Зеленый

Зеленый

Голубой

Голубой

Синиц

Синиц

6

6

Красный

Красный

еле-

еле-

\ныи

\ныи

красный

красный

Голу-

Голу-

Синий

Синий

Желтьш

Желтьш

Желтый

Желтый

Пурпурный у Черный

Пурпурный у Черный

•7

•7

伤

伤

белый

белый

Рис. 3.7.1. Цветовой охват приемника НТСЦ.

а — система координат &“，％, 5“； 6 — система координат XYZ; в — система координат UVW： 2 — система координат Карунена—Лоэва.

белому. Посредством линейного преобразования перейдем к другой системе координат цвета 7\ (С), 丁纟(°)，北(С):

-RnCY Gn© 一母(С)_-RnCY Gn© 一母(С)_(3.7.1)(3.7.1)

-RnCY Gn© 一母(С)_

-RnCY Gn© 一母(С)_

(3.7.1)

(3.7.1)

В табл. 3.7.1 приведены координаты цвета и координаты цветности главных цветов приемника НТСЦ для нескольких координатных систем. Цветовой охват, который обеспечивается люминофорами приемника НТСЦ, показан на рис. 3.7.1 в различных системах

Таблица 37/

Координаты цвета и координаты цветности главных цветовприемника НТСЦ для нескольких координатных систем

Красный Зеленый Синий Голубой Пурпурный Желтый Бельш Черный

Rn

1,000

0,000

gn

0,000

1,000

母

0,000

0,000

加

1,000

0.000

8n

0,000

1,000

Ьх

0,000

0,000

X

0,607

0.174

У

0,299

0,587

Z

0,000

0,066

X

0,670

0,210

У

0,330

0,710

Z

.0,000

0,080

凡

0,207

-0,026

G

0,020

0,133

瓦

0,000

0,010

匕

0,912

-0,219

0,089

1,130

bc

0,000

0,089

и

0,405

0J16

У

0,299

0,587

W

0,145

0,827

и

0/77

0,076

V

0,352

0,384

W

0,171

0.540

У

0,299

0.587

/

0,596

-0,273

Q

0,212

-0,522

и*

217,358-130,319

V*

35,461

79,703

W*

60,594

80Д60

S

220,232

152,760

0

0,162

2,609

W*

60,594

80Д60

L

61,594

81,160

91,577-137,815

b

133,738

91.038

3 о .7 5 3 1 стета

4 4 9

3 I6

аа а

0,000

0,000

1,000

0,000

1,000

0,000

1,000

1,000

1,000

0,000

0,000

0,500

0,000

0,500

0,000

1?000

0,500

0,500

0,201

0,114

1,117

0,375 0,701 1,183

0,808

0,413

1,117

0,140

0,166

0,346

0,080

0,310

0,177

0,780

0,524

0,477

)0,026

-0,052

0」80

0,028

0,161

0,048

0,200

0,210

0,199

-0,132-0Л640,421

0,1390,5060Д13

0,9930,6580,466

0 16

5 0 5

2 7 4 аа^

и 1 5а

0,114

-0,322

0,315

0,701

-0,595

-0,207

0,413

0,272

0,526

-24,558-108,566

100,385

-90.508

-17.913

—61,336

39,265

86,081

69,415

93,781

110,034

117,640

4,445

3,304

5,733

39,265

86,081

69,415

40,265

87,081

70,415

52,227

-81,411

96,177

-99,233

-22,335 -47,269

1,000

1,000

0,000

1,000

1,000

0,000

0,000

1,000

о;боо

0,500

0,333

0,333

0,500

0,333

0,333

0,000

0,333

0,333

0,781

0,982

0,000-

0,886

1,000

0,000

0,066

JJ83

0,000

0,451

0,310

0,316

0,511

0,316

0,316

0,038

0,374

0,374

0Д81

0,154

0血0

0,153

0,181

O,OQP

0,010

0,210

. 0吨

0,525

0,283

0,283

0,446

0,333

0,333

0,029

0,384

аз以

0,521

0,655

0,000

0,886

1,000

0,000

0,972

1,601

0,000

0,219

0,201

0,201

0,373

0,307

0,307

0,408

0,492

0,492

0,886

1；000

0,000

0,322

0,000

•0,000

-0,312

0,000

0,000

22,144

0,000

0,000

80,125

0,000

0,000

94,451

99,040

-17,000

83/28

0,000

0,000

1,280

0,000

0,000

94,451

99,040

-17,000

95,451

100,040

-16,000

-16,977

0,000

0,000

115,670

0,000

0,000

2 9 9 13 4

3 2 4 аа

9 3 4

3 17

5 4 7 аа

координат. Отметим, что в координатной системе Карунена — Лоэва (рис. 3.7.1, г) цветовой охват представляется кубом, повернутым относительно осей координат.

Данный цвет может быть описан значениями цветности

友⑹-л (С)/[Л (С) + А (С) + 北⑹】，(3.7.2а)

匕(С) п Л (С)/1Л ⑹ + Л ⑹ + Т.(С)](3.7.26)

и яркости

У (С) = L (С)=屯风(С) + 电2 Gn (С) + п4 (С), (3.7.2в)

где координаты цвета Т{ (С) задаются соотношением (3.7.1), а постоянные 办修 определены в приложении 2. Преобразование (3.7.2)

Рис. 3.7.2, Цветовой охват приемника НТСЦ в координатах цветности и яркости (Г№ g№ У)・

координат цвета в координаты цветности является нелинейным. На рис. 3.7.2 показан цветовой охват приемника НТСЦ в координатах g%, У.

.3.7.2. ОГРАНИЧЕНИЕ ДИАПАЗОНА ЯРКОСТЕЙ

Большинство естественных изображений создается светом, отраженным от непрозрачных предметов или прошедшим через прозрачные среды. Диапазон изменения яркости такого несамосветя- щегося предмета ограничен и зависит от его цвета. Мак-Адам [23, 24 ] доказал, что цветовое тело максимального объема реализуется в том случае, когда предметы имеют коэффициенты отражения или пропускания, представленные на рис. 3.7.3. Такие предметы физически не существуют; следовательно, цветовое тело реальных предметов имеет меньший объем. Поясним это, ограничившись для простоты только случаем предметов, отражающих свет. Эти же рассуждения останутся справедливыми и в случае прозрачных предметов.

Рассмотрим цвет [С], заданный координатами цвета

X = J % 仏)Е (X) Xs (X) Л,(3.7. За)

У= Jr0(X)£0)匕仇)М,(3.7.36)

Jr0(X)£(X)Zs(Z)dX,(3.7.3b)

nqn'rJH'N-uodu N4N>X0&°'^/nqn'rJH'N-uodu N4N>X0&°'^/где r0 (九) ——спектральный коэффициент отражения, Е (X) ——спектральная плотность излучения^ света, падающего на предмет,

nqn'rJH'N-uodu N4N>X0&°'^/

nqn'rJH'N-uodu N4N>X0&°'^/

〃 -J_LiL I —“」—

，勿Я7 SOO厶6% 7勿Длина болны, нм

、а) Тип I

0 J1 I I

W SOO 刃 600 月 2 700

Длина, волны."例

6)Тип П

Рис. 3.7.3. Оптимальные спектральные коэффициенты отражении или пропускания несамосветящихся предметов*

Xs (Л),匕(入工 Z$ (入)一функции сложения. Визуальная эффективность р определяется как отношение яркости предмета с коэффициентом отражения r0 (X) к яркости предмета с единичным коэффициентом отражения, т. е.

Р 三 J % 仇)Е (X)匕.)d川 Е 0)匕⑸ “•(3.7.4)

Если предмет имеет коэффициент отражения такого типа, как показано на рис. 3.7.3, а, его яркость равна

九8ОО

У = J Е (包)匕(恥)di^ = p j е (収)Ys (^ d以. (3.7.5)о

Предположим, что известна спектральная плотность Е (X) энергии падающего света. Тогда можно вычислить яркость предмета, если известно значение визуальной эффективности р. Для задан-

ного минимального значения длины волны 入丄 максимальное значение 九2 можно найти численным методом из уравнения

J Е 伸力 К 伸Е)d^k = Y-{- \е (収)Ys (ipfc) d^k：(3.7.6)

00

Используя найденное значение Л2, можно вычислить координаты цвета Z:

Х= jE(M)Xs(/)d航，(3.7.7)

Z= Je(质)Zs(/)dk.(3.7.8)

Координаты цветности x н g могут быть найдены по координатам цвета. Если эту процедуру повторить для всевозможных значений

Рис. 3.7.4. Цветовое тело предметов в координатах цветности н яркости (X, 匕 Z) [23].

入丄 при заданных значениях визуальной эффективности р, то можно получить поверхность, ограничивающую тело возможных цветов предметов, в координатах цвета или координатах цветности и яркости. На рис. 3.7.4 показана такая поверхность в координатах цветности и яркости при освещении предметов источником белого света. Отметим, что максимум яркости соответствует белой поверхности.

ЛИТЕРАТУРА

Merrit Т. Р., Hall F. F., Jr., Blackbody Radiation, Proc； /RE, 47, 9, 1435— 1442 (September 1959).

Malitson H. H., The Solar Energy Spectrum, Sky and Telescope, 29, 4, 162— 165 (March 1965).

Larabee R. D., Spectral Emissivity of Tungsten, J. Opt. Soc, Am., 49, 6, 619—625 (June 1959).

The Science of Color, Crowell, New York, 1953.

Fink D. G., Ed., Television Engineering Handbook, McGraw-Hill, New York. 1957.

Walsh J. W. T., Photometry, Constable, London, 1953.

Morgan J., Introduction to Geometrical and Physical Optics, McGraw-Hill, New York, 1953.

Born M., Wolf E., Principles of Optics, Pergamon, New York, 1970. [Имеется перевод: Борн M., Вольф Э., Основы оптики. — М.: Наука, 1973.]

Weaver К. S., The Visibility of Radiation at Low Intensities, J. Opt. Soc. Am.t 27, 1, 39—43 (January 1937).

Wyszecki G., Stiles W. S., Color Science, Wiley, New York, 1957.

Hunt R. W. G., The Reproduction of Color, Wiley, New York, 1957.

Wright W. D., The Measurement of Color, Adam Hilger, London, 1944, pp. 204—205.

Enyord R. A., Ed., Color: Theory and Imaging Systems, Society of Photographic Scientists and Engineers, Washington D. C., 1973.

Bingley F. J.t Color Vision and Colorimetry, Television Engineering Handbook, Fink D. G., Ed., McGraw-Hill, New York, 1957.

Grassman H., On the Theory of Compound Colours, Phil. Mag” Ser. 4,7, 254— 264 (April 1854).

Wintringham W. Т.» Color Television and Colorimetry, Proc. IRE, 39, 10, 1135—1172 (October 1951).

MacAdam D. L., Visual Sensitivities to Small Color Differences in Daylight, J. Opf. Soc. 4m„ 32, 5, 247—274 (May 1942).

MacAdam D. L.( Projective Transformations of ICI Color Specifications, J. Opt. Soc. Am.t 27, 8, 294—299 (August 1937).

Wyszecki G., Proposal for a New Color-Difference Formula, J. Opt. Soc. Am.f

11, 1318—1319 (November 1963).

С. I. E. Colorimetry Committee Proposal for Study of Color Spaces, Tech. Note, J・ Opt. Soc Am.t 64, 6, 896—897 (June 1974).

Pratt W. К.» Spatial Transform Coding of Color Images, IEEE Trans. Com- тип. Tech., COM-19, 12 , 980—992 (December 1971).

Judd D. B., Standard Response Functions for Protanqpic and Deuteranopic Vision, J・ 6Pt. Soc. Am., 35, 3, 199—221 (March 1945).

MacAdam D. L., The Theory of the Maximum Visual Efficiency of Colored Materials, J・ Opt. Soc. Am., 25, 8, 24J252 (August 1935).

MacAdam D. L., Maximum Visual Efficiency of Colored Materials» J. Opt. Soc. Am.t 25, 11, 361—367 (November 1935).

Часть 2

Представление изображений в цифровой форме

При цифровой обработке изображений производится преобразование непрерывного (аналогового) изображения в эквивалентный цифровой массив. В этой части книги рассматриваются операции дискретизации и квантования изображения, с помощью которых осуществляется такое преобразование. Описана также обратная операция, позволяющая из цифрового массива получить непрерывное изображение. Разработаны методы векторного представления изображений для детерминированных и случайных цифровых массивов. В заключение рассмотрен вопрос о качестве дискретизованных изображений, связанный с введением критериев верности их воспроизведения и дещифрируемости.

Глава 4

ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И ВОССТАНОВЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

В системы цифровой обработки изображений обычно поступают массивы чисел, полученные путем дискретизации реального изображения по пространственным переменным. После обработки образуются новые числовые массивы, используемые для восстановления непрерывного изображения, которое и рассматривает человек. Отсчеты изображения получаются в результате измерения не- 'которых физических характеристик реального изображения, как, например, яркости или оптической плотности. Любое измерительное устройство работает с какой-то погрешностью. Чтобы оценить достоверность измеренных значений и создать методы компенсации ошибок, важно иметь математическую модель ошибок измерения. Кроме того, часто не удается непосредственно измерить характеристики исходного изображения и вместо них измеряются некоторые величины, относящиеся к другому изображению, которое является функцией исходного. Для определения характеристик исходного изображения эту функцию приходится «обращать». Подобные операции обращения описаны в разделе, посвященном вопросам исправления (реставрации) изображений. В данной главе рассмотрены процессы дискретизации и восстановления непрерывных изображений применительно к идеальным и реальным системам.

ПРОЦЕССЫ ИДЕАЛЬНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ

И ВОССТАНОВЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

При разработке и анализе систем дискретизации и восстановления непрерывных изображений обрабатываемые изображения обычно принято рассматривать как детерминированные поля. Однако в некоторых случаях удобнее предполагать, что входной сигнал системы обработки изображений (особенно шумового происхождения) является реализацией двумерного случайного процесса. Ниже при анализе методов дискретизации и восстановления непрерывных изображений используются оба этих подхода.

ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫX

ИЗОБРАЖЕНИЙ

Пусть функция Г/ (х, у) описывает исходное непрерывное изображение бесконечных размеров, представляя распределение яркости, оптической плотности или какого-либо другого параметра реального изображения. В идеальной системе дискретизации изображений пространственные отсчеты исходного изображения

Рис. 4.1.1. Набор дельта-функций, осуществляющих дискретизацию изображений,]

получаются фактически путем перемножения этой функции с про- странственно-дискретизирующей функцией

S(x, 9)=.® L 6(х —яДх, y — ii^y), (4.1.1) j,=—ОО ув=—ОО

состоящей из бесконечного числа дельта-функций, заданных в узлах решетки с шагом (Ах, Ад), как показано на рис. 4.1.1. Тогда дискретизованное изображение описывается соотношением

FP(x, у) = F； (х, y)S(x, 9)=

=.£2 尸/仏АX,为%/)6("hАx, g -九&/), (4.1.2)

/1=—ОО /8=—ОО.

в котором учитывается, что функцию 巳(х, у) можно внести под знак суммирования и задать ее значения только в точках отсчета (Д А爲九 Аг/). Для анализа процесса дискретизации удобно использовать спектр STр (сох, со/, получаемый в результате непрерывного двумерного преобразования Фурье дискретизованного изображения

笋р (со*, з«) = J J & (х, 9)ехр {—i(3炉 + 3就} dx dy. (4.1.3)

4 Прэтт У.

Согласно теореме о спектре свертки, спектр дискретизованного изображения можно представить в виде свертки спектра исходного изображения 夕j((o%, sj и спектра дискретизирующей функции 9 (о)х,т. е.

07(/, %) = (1/4冗2)第/®, coj * 0但，sj (4.1.4)

Двумерное преобразование Фурье дискретизирующей функции дает в результате бесконечный набор дельта-функций в плоскости пространственных частот с шагом ①心=2л/Лх и ⑦方=2л/Az/ 14, стр. 22], т. е.

夕(吗，з/ = (4歩/Ах Аг/) 2 . 2 6 ® — j^,

/1=—8 у2 =—ОО

—(4.1.5)

Будем предполагать, что спектр исходного изображения ограничен по ширине так, что 夕/ (со幻 (оу) = 0 при ] (о^ ] >(охс и I(оу I > CD“c・ Вычисляя свертку согласно равенству (4.1.4), найдем

歹р (吗，3«) = (1/Ах Ад) J J 夕/ (з* — а, со^ — ₽) х

X 2 Е 6(а —"(Oxs, р —MVs)dadp. (4.1.6) /1=—ОО "=一ОО

Меняя порядок операций суммирования и интегрирования и учитывая основное свойство дельта-функции, получаем выражение для спектра дискретизованного изображения

夕戶 ®, з/= (1/Ах Ay) . £ L 劣/他—M>*s, 3«-厶铀)j,=—8 /2=—ОО

(4.1.7)

Как показано на рис. 4.1.2, спектр дискретизованного изображения получается путем бесконечного повторения спектра исходного изображения со сдвигом на величины, кратные (2л/Ах, 2л/Ау). Следует отметить, что если Ах и Ад выбраны слишком большими по сравнению с шириной спектра 笋『(s*, (о“), то соседние спектры будут перекрываться друг с другом.

Из отсчетов функции 尸р (х, у) можно получить непрерывное изображение путем линейной пространственной интерполяции или с помощью линейной пространственной фильтрации дискретизованного изображения. Пусть R (х, у) есть импульсный отклик интерполирующего фильтра, а 死((оЛ, со»)——его частотная характеристика. Восстановленное изображение получается как свертка последовательности отсчетов с импульсным откликом восстанавли-

вающего фильтра. Таким образсм, восстановленное непрерывное изображение описывается соотношением

pR (х，У) == f^ (х, у) * R (%, у).(4.1.8)

Подставляя FP (х, у) из равенства (4.1.2) и вычисляя свертку, получаем

&(X, у)= _Ъ . S f / (/1 Ах, /2 Az/) R(x- А Дх, у - /2 Л^). jj=iСО j*=—8

(4.1.9)

Отсюда видно, что импульсный отклик R (х, у) выполняет роль двумерной функции, интерполирующей отсчеты на всю плоскость. Пространственно-частотный спектр изображения, восстановленного согласно равенству (4.1.8), есть произведение частотной ха-

Рис. 4.1.2. Типичный спектр дискретизованного изображения, а — исходное изображение; 6 — дискретизованное изобргжеиие.

рактеристики восстанавливающего фильтра со спектром дискретизованного изображения, т. е.

^*R(S*, Sy) = ^"р(S*, 8»)现(9*, 8&)・(4,1.10)

С учетом равенства (4.1.7) получаем

劣《(З#, 3g) = (l/Ax&/)%(3*, coj £. £ 夕/®-j№s,

/[=-0о 厶=一8

^У -厶9类).(4.1.11)

Из этого выражения видно, что если спектры не перекрываются, а множитель 现(со%, со» подавляет все сдвинутые спектры при /ь

j2:/： 0* то спектр восстановленного непрерывного изображения будет совпадать со спектром исходного изображения и поэтому, изображения также будут одинаковыми. Для изображений с ограниченной шириной спектра первое условие выполняется, если интервал дискретизации выбран так, что прямоугольная область, ограниченная верхними граничными частотами спектра изображения ((охс, со%), лежит внутри прямоугольной области, определяемой половинами частот дискретизации (со以2, со j2)・ Следовательно, должны выполняться неравенства

加/2, 3gc《c%/2,(4.1.12а)

или

Дх W 冗Ay w 冗/s妙.(4.1.126)

Это означает, что шаг дискретизации не должен превышать половины периода пространствеиной гармоники, соответствующей самым мелким деталям изображения. Это условие эквивалентно ' теореме о дискретизации одномерных сигналов, в которой сформулировано требование, что частота дискретизации должна хотя бы вдвое превышать наивысшую частоту спектра сигнала. Если соот- <3юшения (4.1.12) выполняются со знаками равенства, то изобра- I жение дискретизуется с найквистовской х> частотой; если Дх и Аг/ меньше или больше, чем требуется по критерию Найквиста, то говорят, что изображение дискретизуется с избыточной или недостаточной частотой.

~ В тех случаях, когда пространственная частота дискретизации изображения достаточна длл量устранения наложения спектров в дискретизованном изображении, исходное изображение можно абсолютно точно восстановить путем пространственной фильтрации отсчетов с помощью соответствующего фильтра. Так, например, фильтр, частотная характеристика которого приведена на рис. 4.1.3 н описывается выражениями

现(％, %) = К при Ico/vql и |s/v%厶(4.1.13а)

載(％, (о，) = 0 в остальных случаях,(4.1.136)

где К — масштабная постоянная, удовлетворяет условию точного восстановления, если ①上厶 > ①总 н 8gL > ©^с. Функция рассеяния точки (или импульсный отклик) данного восстанавливающего фильтра имеет вид

R (居g)=(k吗*й/噌［sm ®")/(如m)】［sm (吗回/例回］.(4.1.14)

При использовании этого фильтра изображение восстанавливается с помощью бесконечной суммы функций вада sin с (х). Другим

D В отечественной литературе это положение известно как теорема Котельникова. — Прим, пере*

фильтром, пригодным для восстановления изображений, является «круговой» фильтр с частотной характеристикой (рис. 4, 1, 3, б) 載(g, со，) = К при ]/"屐 + со； « 铀，(4.1.15а)

載(s幻 3力=0 в остальных случаях, (4.1.156)

Рис. 4.1,3. Фильтры для восстановления дискретизованных изображений, а — прямоугольный; б ——круговой.

если cog <(о|с + ①/卩 Импульсный отклик такого фильтра имеет вид

₽(х, 9)= 2лй)о (厶｛й)0 J/炉 + 则// 炉 + 矿),(4.1.16)

где Jj (х)—бесселева функция первого порядка. Существует много восстанавливающих фильтров (или соответствующих интер-

поляционных функций), которые можно использовать для восстановления изображений. Однако на практике в цифровой системе воспроизведения изображений часто бывает сложно реализовать оптимальный восстанавливающий фильтр. Одна из практических трудностей состоит в том, что обычные интерполяционные функции [например, заданные равенствами (4.1.14) и (4.1.16) ] принимают не только положительные, но и отрицательные значения, хотя функции, описывающие восстановленные изображения, строго положительны. Такие интерполяционные функции нельзя сформировать оптическими средствами и, следовательно, не удается восстановить изображения путем последовательного их взвешивания и сложения. Ричардс [6] нашел семейство интерполяционных функций, которые можно применить для последовательной оптической интерполяции, поскольку их большие значения положительны.

ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ [5, 7, 8]

Выше при анализе вопросов о дискретизации и восстановлении( изображений предполагалось, что функция 尸/ (х, у), описывающая исходное изображение, является детерминированной. Было показано, что если это изображение имеет спектр ограниченной ширины, то совокупность отсчетов изображения, взятых с найкви- стовской частотой в дискретных точках, достаточна, чтобы с помощью интерполяции восстановить из отсчетов точную копию исходного изображения. Подобный вывод справедлив и в случае дискретизации случайных двумерных полей. Пусть 尸/ (居 у) обозначает непрерывный двумерный стационарный случайный процесс с известными средним значением и автокорреляционной функцией,■

Rfj (тл, Хд) = E{Fj(Xi,次)尸：(%2, й)}>-(4.1.17)

где т* = % — х2 и Ту == ух — у2. С помощью набора дельта-функций произведем дискретизацию этого процесса. В результате получим

Fp (% у)=尸/ (%, у) S (%, у)=

=Fi (%, у) S £ 6 (х — /； Ах, у - /2 Az/).(4.1.18)

Автокорреляционная функция дискретизованного процесса имеет вид*.

(%1, *2； 91, г/2)= Е {尸户(勺，yi)Fp (%2,货)}=

==Е [巳 ®,次)F；(%2, W}S(xi, gi)S(X2,姒 (4.1.19)

Первый сомножитель правой части этого равенства является автокорреляционной функцией стационарного исходного нзобра^

жения. Следует учесть, что стоящее в правой части равенства (4.1.19) произведение двух дискретизирующих дельта-функций есть дельта-функция вида

s (%1,力)s (&, у2) = S (% — 弘—队)=

=s (q, %).(4.1.20)

Следовательно, дискретизованное случайное поле, представляющее изображение, также стационарно и имеет автокорреляционную функцию

RFp (т%, %) = Rf『("tg)S(T*, Тд). (4.1.21)

С помощью двумерного преобразования Фурье автокорреляционной функции (4.1.21) найдем энергетический спектр дискретизованного случайного поля. Согласно теореме о спектре произведения,

TFp ^Х1 叫)= (1/4冗2)%F/(5, з/ * 乡向，со/ (4.1.22)

где ^pl (со*, 3g) и 犷尸尸(з%, Зу) обозначают соответственно спектральные плотности исходного и дискретизованного изображений, а 9(%, Зу)—результат преобразования Фурье дискретизирующих дельта-функций. Далее, повторяя шаги, сделанные при выводе соотношения (4.1.7), получим, что энергетический спектр дискретизованного изображения можно записать в следующем виде:

犷Fp何，3j = (4№/AxAg) £5 TFl(^x-i^

/1=—8 ,2=—8

^У — Ж-s).(4.1.23)

ТакЕм образом, энергетический спектр дискретизованного изображения образуется повторением энергетического спектра непрерывного исходного изображения в пространственно-частотной области через интервалы, кратные пространственной частоте дискретизации (2л/Лх, 2л/Ау). Если ширина энергетического спектра непрерывного изображения ограничена так, что /尸/ (wx, 8» - 0 при I з* I > со*, н I Шу I > з〃，где % и «>“ 一 граничные частоты, то в сумме (4.1.23) отдельные спектры не будут накладываться в том случае, когда интервалы дискретизации удовлетворяют условиям Ах < л/g)w и Ду < п!тус. Непрерывное случайное изображение 尸冗(х, у) можно восстановить из отсчетов исходного случайного изображения с помощью интерполяции по формуле

Fr (%, S = . 2 .2 尸/ (Ji Ах, ;2 Ay) R (х -九 Ax, g —力 №), jl=—oo ,2=—8

(4.1.24)

где R (х, у) —детерминированная интерполяционная функция. Можно добиться, чтобы восстановленное поле и исходное изображение были эквивалентны в среднеквадратическом смысле [5, стр. 284], т. е.

Е {I 巳(％ У)~ & ", 9)丹=0.Е {I 巳(％ У)~ & ", 9)丹=0.(4.1.25)(4.1.25)

Е {I 巳(％ У)~ & ", 9)丹=0.

Е {I 巳(％ У)~ & ", 9)丹=0.

(4.1.25)

(4.1.25)

Для этого достаточно, чтобы удовлетворялся критерий Найквиста и в качестве интерполяционной функции была выбрана достаточно

Рис. 4.1.4. Спектры дискретизованного изображения, содержащего сигнал и помеху.а — сигнал; б — помеха; в — дискретизованный сигнал; z — дискретизованная помеха.Рис. 4.1.4. Спектры дискретизованного изображения, содержащего сигнал и помеху.а — сигнал; б — помеха; в — дискретизованный сигнал; z — дискретизованная помеха.

Рис. 4.1.4. Спектры дискретизованного изображения, содержащего сигнал и помеху.

а — сигнал; б — помеха; в — дискретизованный сигнал; z — дискретизованная помеха.

Рис. 4.1.4. Спектры дискретизованного изображения, содержащего сигнал и помеху.

а — сигнал; б — помеха; в — дискретизованный сигнал; z — дискретизованная помеха.

«хорошая» функция, как, например, бесселева или функция sine (х), определяемые формулами (4.1 Л6) и (4.1.14).

Приведенные результаты можно непосредственно применить к практической задаче о дискретизации суммы детерминированного изображения и аддитивного шума, моделью которого служит случайное поле. На рис. 4.1.4 показан пример энергетического спектра дискретизованного зашумленного изображения. Этот пример указывает на возможность возникновения серьезной трудности. Спектр шума может оказаться шире спектра полезного изображения, и если шум будет дискретизироваться с недостаточной частотой, то в полосу пропускания* восстанавливающего фильтра будут попадать «хвосты» шумового спектра. Это приведет к увеличению искажений, вызванных шумом. Для устранения этой трудности перед дискретизацией следует, конечно, профильтровать зашумленное изображение с тем, чтобы сузить спектр шума.

РЕАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ

В реальной системе дискретизации изображений дискретизирующая решетка имеет конечные размеры, ширина дискретизирующих импульсов заметно отличается от нуля, а отсчеты изображения могут быть взяты с недостаточной частотой. Рассмотрим последствия такой неидеальной дискретизации.

Основой для анализа будет служить типичная система сканирования изображений, показанная на рис. 4.2.1. Исходное изображение, представленное в виде диапозитива, сканируется скачкообразно перемещающимся тонким световым лучом. Свет, прошедший через диапозитив, собирается конденсор ной линзой и направляется на светочувствительную поверхность фотодетектора. Электрический сигнал с выхода фотодетектора интегрируется за период времени, в течение которого световой луч освещает данный элемент изображения. В ходе анализа будем предполагать, что в процессе дискретизации дополнительных шумов в сигнал не

Рис. 4.2.1. Типичная система сканирования изображений.Рис. 4.2.1. Типичная система сканирования изображений.

Рис. 4.2.1. Типичная система сканирования изображений.

Рис. 4.2.1. Типичная система сканирования изображений.

вносится. Поэтому результаты предыдущего раздела, относящиеся к дискретизации зашумленных изображений, нетрудно объединить с выводами данного раздела. Следует также отметить, что нижеприведенный анализ легко распространяется на широкий класс реальных систем дискретизации изображений.

ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ ДИСКРЕТИЗИРУЮЩЕГО ИМПУЛЬСА

С учетом вышеупомянутых предположений дискретизованное изображение можно описать функцией

(4-2.1)(4-2.1)Fp (х, у) = 6(%, g) S (х, у),

(4-2.1)

(4-2.1)

где дискретизирующая функция

S(x, g)= L I； Р (х — /! Дх, У — h Ay) (4.2 2) jl = —Ji『2=—4

состоит из (2Ji + 1) (2人 + 1) одинаковых импульсов Р (х, у), образующих решетку с шагом (Ах, Ду). Для упрощения обозначений пределы суммирования выбраны симметричными. Будем считать, что дискретизирующие импульсы нормированы так, что

J Jp(x, у) dx dy=l.(4.2.3)

При анализе можно полагать, что дискретизирующая функция была получена пропусканием конечного набора дельта-функций °т(%, У)через линейный фильтр с импульсным откликом Р (х, у). Таким образом,

S (х, у) - DT (х, у) * Р (х, у),(4.2.4)

где

%(Х, g)= £ Е 6 (х — Л Ах, у — j2 Ау). (4.2.5) 厶=一人〃=_J2

Подставив выражение (4.2.2) в (4.2.1), получим формулу для дискретизованного изображения •

Рр(х, g)= ££ F/(x, Р) Р (х — Л Ах, y — j^y).(4.2.6)

Спектр этой функции имеет вид

^"р^ ^ =(M^)^ri^x, Wy) * [勿？(з.г, 3“)夕(叫，з«)],(4.27)

где 俨(％, со») —результат преобразования Фурье функции Р (х, у). Преобразование Фурье конечной решетки дискретизирующих импульсов описывается следующим соотношением [5, стр. 105]:

sin「co# (」1 + -Q-) "%] sin I ①乡(厶 + Ау]

^>т^ ⑴扌)-—L .: …人 J'--——1 )一 人*J~L.(4.2.8)

/、*' 刃sin (со% Дх/2)sin (з* Ay/2)、/

На рис. 4.2.2 приведен график функции 勿丁 (со*, w^). С увеличением J[ и J? правая часть формулы (4.2.8) в пределе превращается в набор дельта-функций.

В системе восстановления изображений непрерывное изображение получается путем интерполяции отсчетов. Идеальные интерполяционные функции, такие, как sine (х) и бесселевы [формулы (4.1.14) и (4.1.16)], обычно определены на бесконечной плоскости. Если же дискретизирующая решетка имеет конечные

размеры, то на границах отсекаются «хвосты» интерполяционных функций и вблизи краев восстановленного изображения появляются ошибки [9, 10 ]. Однако такие ошибки обычно становятся пренебрежимо малыми при удалении от границ на 8—10 шагов дискретизации.

Числовые значения отсчетов изображения получаются путем пространственного интегрирования Fs (х, у) по некоторой конечной площадке — элементу изображения. В сканирующей системе

也位,0)

Рис. 4.2.2. Усеченная дискретизирующая последовательность н ее спектр.

(рис. 4.2.1) интегрирование фактически проводится на светочувствительной поверхности фотодетектора. Значение отсчета, соответствующего (/п /2)-му элементу, можно найти по формуле

FsOiAx, /2 ^y)=

ji^x-\-Ax j^y^-Ay

= j j Pi(x, y)P(x — jj^Ax, у — ji\y)dxdy, (4.2.9) j1^x—Ax ii^y—Ay

где Ax и Ay обозначают наибольшие размеры этого элемента. Здесь предполагается, что за время интегрирования в системе берется лишь один отсчет. В противном случае приходится решать сложную проблему перекрестных искажений. В рассматриваемой системе дискретизации размеры элемента могут оказаться больше, чем расстояние между отсчетами. Поэтому в модели допускается, что последовательные (во времени) отсчеты соответствуют частично перекрывающимся элементам изображения.

Простой заменой переменных равенство (4.2.9) можно преобразовать к виду

自仏厶居 j2 A9)= J j Pi Ui Ax — a. h ^ — P) ^ (—«< —₽) ^a dP- ~Ay

(4.2.10)

Поскольку предполагается, что за время интегрирования берется только один отсчет, пределы в интеграле (4.2.10) можно расширить до бесконечности. В такой форме выражение (4.2.10) можно рассматривать как результат свертки исходного изображения 尸/ (х, у) с импульсным откликом Р (——х,——у) и последующей дискретизации этой свертки в конечной области с помощью дельта-функции. Тогда, пренебрегая эффектами, связанными с конечными размерами дискретизирующей решетки дельта-функций, получим

Fs 仏 Ах, /2 ^у) = [F； (х, у)* Р (—х, —д)] 6(%-“ Ах, у - j2 Ад),

(4.2.11)

В большинстве систем дискретизации дискретизирующий импульс симметричен» поэтому Р (—х, —у) = Р (х,办

Несложное по форме соотношение (4.2.11) полезно при оценке эффектов, возникающих при дискретизации с использованием импульсов конечной ширины. Если спектр изображения ограничен по ширине» а А% н Ау удовлетворяют критерию Найквиста, то конечная ширина импульса приводит к тем же результатам, как если бы исходное изображение перед идеальной дискретизацией подверглось линейному искажению (смазыванию). В части 4 будут рассмотрены методы компенсации подобных искажений. Однако конечность размеров дискретизирующего импульса не всегда является недостатком. Рассмотрим случай, когда спектр исходного изображения очень широкий, и поэтому оно дискретизируется с недостаточной частотой. Импульс с конечными размерами фактически осуществляет низкочастотную фильтрацию исходного изображения, что приводит к сужению спектра и, следовательно, уменьшает ошибки, вызванные наложением спектров.

ЭФФЕКТЫ, СВЯЗАННЫЕ С НАЛОЖЕНИЕМ СПЕКТРОВ

Для безошибочного восстановления непрерывного изображения необходимо ограничить ширину спектра исходного изображения, взять отсчеты по пространственным переменным с частотой не ниже найквистовской и интерполировать отсчеты изображения. Вопрос об интерполяции рассмотрен в следующем разделе, а здесь дан анализ эффектов, возникающих при дискретизации с недостаточной частотой.

Если при такой дискретизации имеет место наложение спектров, как отмечено штриховкой на рис. 4.2.3, то в восстановленное изображение будут внесены ложные пространственные гармоники [11, 12 ]. На рис. 4.2.4 показан©, как выглядят на реальном изображении ошибки, вызванные наложением спектров. Недостаточная частота дискретизации приводит к появлению в восстановленном изображении ложных низкочастотных гармоник. В оптике это явление называют муаровыми узорами или му ар-эффектом.

Согласно равенству (4.1.7), спектр дискретизованного изображения можно представить в виде

歹р®%, %) = (1/А% Ад)[歹/(叫，sj + ^Q®*, wj], (4.2.12) где 夕/ (s*, Sg) описывает спектр исходного изображения, дискретизованного с периодом (А%, Ау). Слагаемое

歹Q®*，3“)=£ X 歹/(з* —/丄叫S,叨一/23力(4.2.13)

；!=—8 /2=—ОО

описывает те компоненты спектра дискретизованного изображения, которые получаются при повторении исходного спектра с перио-

Рис. 4.2.3. Спектры двумерной функции, дискретизованной с недостаточной частотой.Рис. 4.2.3. Спектры двумерной функции, дискретизованной с недостаточной частотой.

Рис. 4.2.3. Спектры двумерной функции, дискретизованной с недостаточной частотой.

Рис. 4.2.3. Спектры двумерной функции, дискретизованной с недостаточной частотой.

现(S*, Sy)=现(S*, Sy)=дами со* = 2л/Ах и 8邺=2н/Ау, При отсутствии наложения спектров оптимальную интерполяцию отсчетов изображения можно получить, пропуская дискретизованное изображение через идеальный фильтр нижних частот с частотной характеристикой К при I со^ I < соЛ/2 и I соу I < со^/2, (4.2.14а) О в остальных случаях,(4.2.146)

现(S*, Sy)=

现(S*, Sy)=

где К — нормирующая постоянная. Если этот же метод применить для восстановления изображения, дискретизованного с недоста-

N3A mkrofont £kl

4.2・4r*apa芸mp RWW^BX»- »ё£»§и Kto^o^rexKS спектров”

CXQAHee36p关 ее6 i Анскретзваннаа H&p*eHe・

точной частотой, то получится изображение, описываемое функцией

Fr(X,力=F/(X, у) + А (г, у),(4.2.15)

где слагаемое

支5/2 ① ys/2

4(х，力=(1/4喇 j J 歹q®, 34)x

一9"/2 -3加/2

X exp {i ®x + ⑴“川} ds# d%(4.2.16)

соответствует тем деталям восстановленного изображения, которые появились вследствие наложения. Все коэффициенты, изме-

ст(х,у)

Рис. 4.2.5. К анализу ошибок, вызванных наложением спектров.

няющие амплитуду, входят в К・ Ложную компоненту (4.2.16) можно существенно ослабить, если для интерполяции применить фильтр, частотная характеристика которого согласована со спектром исходного изображения. Этот метод описан в гл. 15. Ниже будет рассмотрен другой подход, при котором для уменьшения наложения спектров изображение перед дискретизацией подвергают низкочастотной фильтрации.

На рис. 4.2.5 представлена модель, служащая для количественного анализа эффектов, связанных с наложением спектров. В ней предполагается, что исходное изображение Fi (х, 〃) является реализацией двумерного случайного процесса с известной спектральной плотностью 歹『®%, з&)・ Исходное изображение пропускают через предварительный линейный пространственный фильтр с частотной характеристикой Ж (①中 sj. Будем полагать, что этот фильтр обеспечивает плавное ослабление высших пространственных гармоник (т. е. это не идеальный фильтр нижних частот с резкой отсечкой). Затем отфильтрованное изображение дискретизируется с шагом (Ах, Ау) с помощью идеального пространственного дискретизатора. Далее отсчеты интерполируются в восстанавливающем фильтре и получается копия исходного изображения. Согласно равенству (1.10.8), спектральная плотность изображения на выходе предварительного фильтра равна

犷歹о (Зх, 3,) = 1第(5,喇2犷歹/他，з) (4.2.17)

а спектр дискретизованного изображения

犷歹p(Q, 3y)=5£ 終歹0 ®х —九叫s, Зу —Es)，

/产一8 /Ss=—00

(4.2.18)

Желательно разделить эффекты, вызванные дискретизацией с недостаточной частотой, и последствия неточного восстановления. Поэтому здесь будем полагать, что в качестве восстанавливающего фильтра взят оптимальный фильтр с частотной характеристикой (4.2.14). Мощность компоненты сигнала при /х = /2 — 0, проходящей через такой фильтр, при этом равна

1M2 %s/2

E欠=J J 紋歹了(①*, ^)1^(^> (i)y)\2 d^d^y. (4.2.19) f s/2 一県2

В идеальном случае частотная характеристика предварительного фильтра должна совпадать с частотной характеристикой (4.2.14) в осстан авл ив ающего фильтра. При этом мощность дискретизованного сигнала оказывается наибольшей и равна

®xs/2 小 s/2

Erm= J J 終歹/(叫，3jd3*d3y.(4.2.20)

-吗s/2 -*°gs/2

Уменьшение резкости изображения, связанное с введением предварительного фильтра, можно выразить отношением

弘=(Erm — Е就Erm・(4.2.21)

Ошибку, вызванную наложением спектров, обычно определяют через энергию паразитных гармоник, принадлежащих смещенным спектрам, попадающим в полосу пропускания восстанавливающего фильтра. Предположим для упрощения, что частота дискретизации довольно высока и вклад спектров, смещенных на (士八8心/2, ±]^^)9 пренебрежимо мал при 九 a 2 H /2 > 2. Полная энергия ошибки, вызванной наложением спектров (см. заштрихованные участки на рис. 4.2.3), равна

Еа =昂 一 Er,(4.2.22)

где

£。= j j 終歹/(s*, S«)| 捲(3*, з卅 ds*dSy(4.2.23)

есть энергия сигнала на выходе предварительного фильтра. Тогда ошибку из-за наложения спектров можно определить как [И 1

^А = E/Eq.(4.2.24)

Эту ошибку можно уменьшить путем ослабления высших пространственных гармоник FI (х, у) в предварительном фильтре. Однако любое ослабление гармоник, попадающих в полосу пропускания восстанавливающего фильтра, приводит к ухудшению резкости изображения. Таким образом, приходится идти на компромисс между резкостью дискретизованного изображения и ошибкой, вызванной наложением спектров.

Рассмотрим теперь соотношение между величиной этой ошибки и степенью снижения резкости применительно к нескольким типам предварительных фильтров. Вероятно, простейшим способом пространственной фильтрации изображения, полученного в некогерентном свете, является пропускание изображения через линзу с ограниченной апертурой. Пространственную фильтрацию также можно осуществить, дефокусируя оптическую систему. На рис. 13.2.2 показана зависимость частотной характеристики круглой линзы от степени ее дефокусировки. Даже при использовании точно сфокусированной линзы, не имеющей аберраций, получается некоторое смазывание изображения из-за дифракции на конечной апертуре. Частотная характеристика безаберрационной круглой линзы диаметром d, вносящей только дифракционные искажения, равна [13, стр. 83]

彌(①)=(2/n) [arccos (①/⑴。)-(①/①。)К1 - (w/(oo)2], 0 c I to I e(B0,

(4.2.25a)

彌(co) == О, I(o I >(o0,(4.2.256)

где ю0 = nd!R. a R ——расстояние от линзы до фокальной плоскости. В предыдущем разделе было отмечено, что неидеальная дискретизация, когда ширина дискретизирующего импульса конечна, эквивалентна идеальной дискретизации того же изображения, но пропущенного через пространственный фильтр, импульсный отклик которого (после изменения направления обеих координатных осей) совпадает с формой дискретизирующего импульса. Таким образом, дискретизирующий импульс может производить предварительную фильтрацию. *

В некогерентной оптической системе сканирующего микроденситометра дискретизирующий импульс имеет прямоугольную форму:

{ о, (4226)

Частотная характеристика в этом случае равна

(4.2.27)(4.2.27)@ /加(&Т/2) 血何Т/2)

(4.2.27)

(4.2.27)

，- 但т/2) 何Т/2)

В электронно-лучевых трубках образуется световое пятно с двумерным гауссовым распределением яркости、

(4.2.28)(4.2.28)

(4.2.28)

(4.2.28)

^ - jnEaoxedME?^ - jnEaoxedME?HnHawow 口-nmoHnHawow 口-nmo66勿勿汇汇6262

^ - jnEaoxedME?

^ - jnEaoxedME?

HnHawow 口-nmo

HnHawow 口-nmo

6

6

勿

勿

汇

汇

6

2

6

2

где % характеризует ширину луча. Частотная характеристика сканирующей системы с гауссовым пятном имеет вид

夕(吗，小)-exp {一 3辻#)*} •(4.2.29)

На рис. 4.2.6 приведены графики зависимости потери резкости и величины ошибки, вызванной наложением спектров, от s。для безаберрационной линзы, а также для квадратного и гауссова пятен. Ширина квадратного пятна выбрана равной Т = 2л/(в0,

100

80

60

40

20

07 Z J0123

可~^~

Рис. 4.2.6. Ошибка, вызванная наложением спектров, и потеря резкости для различных предварительных фильтров при т~

так что первый нуль функции sine (х) совпадает с частотой отсечки частотной характеристики линзы. Рассеяние гауссова пятна выбрано равным % = 2/(в0. В данном примере спектр исходного изображения моделировался функцией

犷歹/ (/, з/ = Д/И+ (з/з°产］，(4.2.30)

где Л —— амплитудный множитель, /и —— целочисленный параметр, определяющий скорость, с которой амплитуда спектра уменьшается с ростом частоты, а (ос — пространственная частота, на

которой амплитуда спектра уменьшается в два раза. Кривые, приведенные на рис. 4.2.6, показывают, что предварительная фильтрация, осуществл я ем ая при гауссовой и квадратной формах сканирующего пятна, дает примерно одинаковые результаты, а безабер- рационная линза с конечной апертурой при той же величине ошибки, вызванной наложением спектров, дает несколько большую потерю резкости. При использовании дефокусированной линзы получаются самые плохие результаты.

РЕАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

В разд. 4.1 были сформулированы условия, необходимые для точного восстановления изображения. Из исходного изображения нужно взять отсчеты с частотой, вдвое превышающей наивысшую пространственную частоту его спектра. Кроме того, восстанавливающий фильтр (или эквивалентный интерполятор) должен быть рассчитан так, чтобы пропускал без искажений основной спектр при /1 = 0, /2 = 0 и полностью подавлял все побочные спектры при /1, /2 I 0. Ниже приведены некоторые соображения о том, к каким результатам может привести применение неидеальных восстанавливающих фильтров.

В большинстве систем цифровой обработки изображений электрические сигналы, представляющие собой отсчеты изображения, поступают с выхода вычислительной машины последовательно, согласно обычной схеме развертки. Эти «электрические отсчеты» следует подать на устройство воспроизведения (синтеза) непрерывных изображений, например на электронно-лучевую трубку (ЭЛТ) или фоторегистратор. Ниже рассмотрены три способа выполнения такой операции.

СПОСОБЫ ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

На рис. 4.3.1 изображена схема некогерентной оптической системы восстановления изображений. Маленькое световое пятно скаяками перемещается по экрану ЭЛТ, образуя растр; яркость каждой точки модулируется пропорционально значениям отсчетов изображения. С помощью проекционной системы, содержащей некогерентный пространственный фильтр с желательными свойствами, картинку с экрана ЭЛТ можно затем отобразить на большой экран для просмотра или на фотопленку для записи. Как правило, оптимальный фильтр, равномерно пропускающий спектр изображения и имеющий резкую отсечку за пределами спектра, физически реализовать не удается.

Для восстановления одноцветных изображений можно применить когерентную оптическую систему, схема которой приведена на рис. 4.3.2. В этой системе сначала фотографируют картинку

с экрана ЭЛТ и изготавливают диапозитив, который освещают коллимированным лазерным лучом. Свет, прошедший через диапозитив, попадает на линзу, которая в своей задней фокальной плоскости создает световое поле с распределением интенсивности, пропорциональным двумерному спектру Фурье пространствен-

Рис. 4.3.1. Некогереитная оптическая система восстановления изображений.

ного распределения коэффициента пропускания диапозитива. Можно рассчитать оптический фильтр, который желаемым образом изменял бы распределение амплитуды и фазы светового поля в плоскости фильтрации, т. е. мог бы играть роль восстанавливающего фильтра. Вторая линза также выполняет преобразование Фурье и восстанавливает изображение на поверхности фотопленки.

Когерентный оптический

^иапозитиб Линзо (рильтр Линза Фотопленка

Лазерное'

Рис. 4.3.2. Когерентная оптическая система восстановления изображений.

Главным достоинством устройства, построенного на основе когерентной оптической системы, является сравнительная простота изготовления восстанавливающего фильтра. Оптимальный фильтр является просто диафрагмой, пропускающей только дифракционную картинку нулевого порядка.

В системах восстановления изображений широко используются электронно-оптические устройства. Так, например, можно весьма просто осуществить интерполяцию путем электрической дефоку-

сировки луча на экране ЭЛТ. Недостатки такого метода состоят в том, что трудно поддерживать на всем экране заданную форму светового пятна, а интерполяция, как правило, оказывается субоптимальной. В сканирующих фоторегистраторах обычно восстанавливают непрерывное изображение, проектируя прямоугольное световое пятно на фотопленку. В большинстве случаев размер светового пятна выбирают равным шагу дискретизации с тем, чтобы целиком заполнить все поле изображения. Такая интерполяция

ИстинньшИстинньшРис. 4.3.3. Восстановление изображений а — квадратное пятно: б — круглое пятноРис. 4.3.3. Восстановление изображений а — квадратное пятно: б — круглое пятноИстинный *отсчет‘

Истинньш

Истинньш

Рис. 4.3.3. Восстановление изображений а — квадратное пятно: б — круглое пятно

Рис. 4.3.3. Восстановление изображений а — квадратное пятно: б — круглое пятно

г—гДополнитель -/ ные отсчеты

乂一X-X-乂-入

II

б.б.методом подразвертки.методом подразвертки.火二*二х二X二乂

б.

б.

методом подразвертки.

методом подразвертки.

выполняется просто, но она не является оптимальной. Если в вос- стан авл и в ающем. устройстве удается сформировать очень маленькое световое пятно, то с помощью дополнительной подразвертки можно с некоторой погрешностью синтезировать любую желаемую интерполяционную функцию (рис. 4.3.3). Существуют три метода получения значений промежуточных элементов изображения для восстановления с подразверткой: подгонка пространственной функции, свертка и фильтрация в частотной области. В гл. 11 и 15 подробно рассмотрено практическое применение этих методов.

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ

На рис. 4.3.4 приведены примеры одномерных интерполяционных функций. Как уже отмечалось, функция sine (х) обеспечивает точное восстановление, но, как правило, ее трудно сформировать в реальной системе воспроизведения изображений. Простейшей интерполяционной функцией является прямоугольная функция, с помощью которой осуществляется интерполяция отсчетов многочленом нулевого порядка. Треугольная функция обеспечивает линейную интерполяцию первого порядка. Подобную функцию можно рассматривать как свертку двух прямоугольных функций. Свертка треугольной функции с прямоугольной дает колоколооб-

разную интерполяционную функцию, изображенную на рис. 4.3.4, г. Повторением этого процесса можно быстро прийти к гауссовой интерполяционной функции, приведенной на рис. 4.3.4, е. Многочлены второго и более высокого порядка также пригодны для интерполяции отсчетов. Особенно удобным для интерполяции изображений является кубический В-сплайн, поскольку в результате

Рис. 4.3.4. Одномерные интерполяционные функции.а — «пс (х); б — прямоугольная: в — треугольная (свертка двух прямоугольных функ* нн2; г — колоколообразная (свертка трех прямоугольных $ункинй);方一кубический В*сплайн (свертка четырех прямоугольных функций);。一 гауссоваРис. 4.3.4. Одномерные интерполяционные функции.а — «пс (х); б — прямоугольная: в — треугольная (свертка двух прямоугольных функ* нн2; г — колоколообразная (свертка трех прямоугольных $ункинй);方一кубический В*сплайн (свертка четырех прямоугольных функций);。一 гауссова

Рис. 4.3.4. Одномерные интерполяционные функции.

а — «пс (х); б — прямоугольная: в — треугольная (свертка двух прямоугольных функ* нн2; г — колоколообразная (свертка трех прямоугольных $ункинй);方一кубический В*сплайн (свертка четырех прямоугольных функций);。一 гауссова

Рис. 4.3.4. Одномерные интерполяционные функции.

а — «пс (х); б — прямоугольная: в — треугольная (свертка двух прямоугольных функ* нн2; г — колоколообразная (свертка трех прямоугольных $ункинй);方一кубический В*сплайн (свертка четырех прямоугольных функций);。一 гауссова

интерполяции получается функция, непрерывная и гладкая в узлах интерполяции. Кубический В-сплайн определяется [14 ] соотношением

R (х) =(X)： — 4 (х — Ах)： + 6 (х — 2 Дх)® — 4 (х — 3 ДхД,

(4.3.1)

где

产_[#, z>0,(4.3.2а)

⑶+ = [ 0,z《0・(4.3.26)

Эту функцию, отличную от нуля только на четырех интервалах дискретизации, можно получить, выполнив свертку четырех прямоугольных функций. Рис. 4,3.5 иллюстрирует процесс одиомер-

ной интерполяции с использованием функций sine (х), а также прямоугольных и треугольных функций.

В табл. 4.3.1 даны определения нескольких двумерных разделимых интерполяционных функций, для которых R (х, у)= =R (%) R (у). Следует отметить, что операция двумерной линейной интерполяции (или интерполяция многочленами первого порядка), аналогичная операции одномерной линейной интерполяции

Восстановленный

Рис. 4,3.5. Одномерная интерполяция.

а — функция sine (х); б — прямоугольные функции (интерполяция нулевого порядка); в — треугольные функции (интерполяция первого порядка).

(рис. 4.3.5, 8), отличается от интерполяции с помощью двумерных треугольных функций, представленных в табл. 4.3.1. Эту операцию следует выполнять кусочно-линейным способом, как показано на рис. 4.3.6, а. В области / отсчеты линейно интерполируются плоскостью, заданной точками Л, В и С, тогда как в области II они линейно интерполируются плоскостью, заданной точками В, С н 力. Непрерывный билинейный способ интерполяции, иллюстрируемый на рис. 4.3.6, б, сводится к последовательной линейной интерполяции между парами точек, расположенных на прямых, параллельных осям координат. В результате образуется некоторая поверхность, проходящая через точки /, В, СнЬ (см. рис. 4.3.6, б). Как правило, эта поверхность оказывается цепдоской. *

Таблица 4.3.1

Двумерные разделимые интерполяционные функции

Функция

Определение

sine

п/„4 sin (2itx/7\) sin(2ity/T〃)

"TxTy (2g/7\)(2吻后)'

Tx = 2ji/g)y$,Ту = 2?t/(0ys

"' (О в противном случае

Прямоугольная

р ~/(1/岂&)，\у\<Ту!2,

[0 в противном случае

卯 小х „ sin (<о*Т*/2) sin (<ОуТу/2)

Треугольная

Rl （匕 4）= Rq （匕 у） * R。（匕 у）

/（3"鸣）=缆（%,小）

Колоколообразная

Rz (x，у) = R。(#，у) * Rj. (#‘ у)

% (吗，％)=經(%，唠

Кубический В-сплайн

& а, у) = R。а, у) ♦ к а, у)

&(%, 8j =绢(吗,啕

Гауссова

R (匕 У)= [2ла%]Т ехр{^-g^-卜

^*@ = ехр{ —%養}

Рис. 4.3,6. Двумерная линейная интерполяция.

q — кусочно-линейная интерполяция; 6 — билинейная интерполяция-

ВЛИЯНИЕ НЕИДЕАЛЬНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЮЩИХ ФИЛЬТРОВ

Проанализируем теперь работу реальных систем восстановления непрерывных изображений. Будем предполагать, что входной сигнал такой системы состоит из отсчетов некоторого исходного изображения, полученных на найквистовской частоте с помощью конечного набора дельта-функций. Согласно равенству (4.1.9), восстановленное изображение описывается функцией

Fr (%, 9)= ££ 尸/ (/1 Ах, /2 &/) R(X - А Ах, У — ；2 А/),

(4.3.3) где R (х, у) — двумерная интерполяционная функция. В идеальном случае восстановленное изображение должно быть точной копией исходного, т. е.

Ar(x，9)= Ё £ ^(/1Д^, /2 At/)/?/(X - я Дх, y-j^y), j=—8 /д=—8

(4.3.4) где R/ (х, у) обозначает оптимальную интерполяционную функцию, например заданную формулой (4.1.14) или (4.1.16). В этом случае ошибка восстановления для произвольной точки изображения равна

言D(x, У)=£ 公 Fj(/i Дх, /2 \y) [R (x - Ji Дх, у-jt Ду)—

/1=— i /К—厶

—R/ (x — % Дх, у — /2 Ag)]・(4.3.5)

Величина ошибки восстановления зависит от двух факторов： а) в реальной системе интерполяционная функция R (左 g) может отличаться от идеальной интерполяционной функции R/ (尤，У)，б) восстановленное изображение имеет конечные размеры и поэтому интерполяционные функции отсекаются на его границах. В большинстве систем, оперирующих с дискретизованными изображениями, ошибками восстановления вблизи границ обычно пренебрегают, так как они становятся весьма малыми при удалении от границ изображения на несколько шагов дискретизации. Неидеальность интерполяционных функций в принципе приводит к ухудшению резкости изображения, а также к появлению паразитных высокочастотных составляющих.

Влияние неидеальности восстанавливающего фильтра удобно исследовать, рассматривая структуру спектра восстановленного изображения, определяемого соотношением (4.1.11):"

笋现sj = £a〃死(3#, Sg) X X 夕—

△НАУ/=—8 /а=—OO

①歹一j2ftM)・(4.3.&)

В идеальном случае множитель 死(①*,①“)должен выделять составляющие спектра нулевого порядка при，工=0, /2 = 0, а все остальные составляющие должны подавляться. В неидеальном фильтре могут ослабляться составляющие спектра нулевого порядка, что приводит к ухудшению резкости, и, кроме того, гармоники спектров более высокого порядка могут подавляться не полностью, что искажает восстановленное изображение. На

Рис. 4.3.7. Энергетические спектры прн идеальном н неидеальном восстановлении.

а — спектр дискретизованного изображения: 6 — частотная характеристика идеального восстанавливающего фильтра; в — спектр изображения после идеального восстановления; а — частотная характеристика восстанавливающего фильтра с интерполяцией нулевого порядка; д — спектр изображения, восстановленного с интерполяцией нулевого порядка.

рис. 4.3.7 приведен пример, показывающий характер искажений спектра изображения при использовании неидеального восстанавливающего фильтра. Типичное сечение спектра диск ретизов ан кого изображения представлено на рис, 4.3.7, а. При использовании идеального восстанавливающего фильтра, когда интерполяционные функции имеют вид sine (х), составляющие спектра нулевого порядка выделяются, а все составляющие побочных спектров полностью подавляются (рис. 4,3.7, в). На рис. 4.3.7, г показана частотная характеристика восстанавливающего фильтра, основанного на интерполяционной функции нулевого порядка, когда значения восстановленных элементов в окрестности точки отсчета устанавливаются равными значению в точке отсчета. В результате

получается спектр (рис. 4.3.7, d), искаженный за счет ослабления некоторых составляющих спектра нулевого порядка и появления ложных высокочастотных составляющих.

Повторяя шаги, сделанные при выводе равенства (4.2.21), получим, что потери резкости, вызванные неидеальностью восстанавливающей функции R (х, 〃)，количественно можно выразить с помощью отношения

弘=(Erm — Er)/Erm,(437)

где интеграл

Er к j j ^^J^x, Wj|5?(®x, ©J,)!2^^(4.3.8)

~®xs/2 一吗/s/2

представляет собой энергию тех составляющих неидеально восстановленного изображения, которые лежатв найквистовском диапазоне, а интеграл

3 *2

Erm= j J ^gr^x, M^d^daiy (4.3.9) _Qc/2 -Sgs/2

описывает энергию таких составляющих идеально восстановленного изображения.

Ошибку восстановления, связанную с внесением ложных высокочастотных составляющих спектра, можно определить отношением

岔н = Ен%,(4.3.10)

гдев

Ет = j J 犷歹戸(з*, 3 j I 死(叫，吗)卩 ds* ds〃 (4.3.11)

есть полная энергия восстановленного изображения, а

Eh = Et — Er(4.3.12)

представляет собой энергию всех спектральных составляющих восстановленного изображения, лежащих вне найквистовского диапазона.

В табл. 4.3.2 приведены значения ошибки восстановления &日 и коэффициента потери резкости ^л, полученные при восстановлении с использованием некоторых двумерных разделимых интерполя ционных функций,

Таблица 4.3.2

Ошибка восстановления и коэффициент потери резкости для различных разделимых двумерных интерполяционных функций

Функция

Коэффициент потери резкости &R，%

Ошибка восстановления 岁"，%

sine (х) Прямоугольная Треугольная Колокол ообр азная Кубический В-сплайн Гауссова, аш = ЗТ/8 Гауссова, ow = 7/2 Гауссова, 0酬=57/8 Г

0,0 15,7

3>7 UJ

0,3

10,3 2,0 0,3

Здесь предполагалось, что спектральная плотность исходного изображения описывается формулами

終吟(8)= /(叫/2)2 一谓 巾« (吗⑵*

">/®) = 0,屮 >(sJ2)久'/

Кроме того, предполагалось, что вклад, вносимый в ошибку восстановления побочных спектров при 九 /2 > 2, пренебрежимо мал. Из таблицы видно, что при восстановлении с использованием прямоугольных интерполяционных функций (функций нулевого порядка) коэффициент потери резкости и ошибка восстановления получаются довольно большими. Применяя интерполяционные функции более высокого порядка, ошибку восстановления можно значительно уменьшить, но за счет дальнейшего ухудшения коэффициента потери резкости.

ЛИТЕРАТУРА

Whittaker Е. Т., On the Functions which аге Represented by the Expansions of the Interpolation Theory, Proc. Roy Soc. Edinburgh, Section 4, 35, 181— 194 (1915).

Shannon C. EM Communication in the Presence of Noise, Proc. IRE, 37, 1, 10—21 (January 1949). [Имеется перевод: Шеннон К., Работы по теории ннформации и кибернетике. — М.: ИЛ, 1963, с. 433—461,]

Landau Н. J.t Sampling-, Data Transmission, and the Nyquist Rate, Proc.

IEEE, 55, 10, 1701—1706 (October 1967). [Имеется перевод: Ландау, Метод 'выборок, передача информации н частота Найквиста. — ТИИЭР, 1967, т； 55, № 10 j

Goodman J. W., Introduction to Fourier Optics, McGraw-Hill, New York, 1§68. [Имеется перевод: Гудмен Дж., Введение в фурье-оптику. 一 Мл Мир, [970.]

Papoulis А.» Systems and Transforms with Applications in Optics, McGraw- Hill, New York, 1966. [Имеется перевод: Папулис А., Теория систем н преобразований в оптике. —М.: Мир» 1971.]

Richards Р. J., Sampling Positive Functions, Proc. /ЕЕЕ (Letters), 54, 1, 81—82 (January 1966). [Имеется перевод: Ричардс, Дискретное представление положительных функций. — ТИИЭР, 1966, т. 54, № 1.]

Lloyd S. Р., A Sampling Theorem for Stationary (Wide Sense) Stochastic Processes, Trans. Am. Math. Soc, 92, 1, 1—12 (July 1959).

Shapiro H. S., Silverman R. A., Alias-Free Sampling of Random Noise, J. SIAM, 8, 2, 225—248 (June I960).

Brown J. L., Jr., Bounds for Truncation Error in Sampling Expansions of Band-Limited Signals, IEEE Trans. Inf. Theory, IT-15, 4, 440—444 (July 1969).

Helms H. D., Thomas J. B” Truncation Error of Sampling Theory Expansions, Proc IRE, 50, 2, 179—184 (February 1962).

Downing J. J., Data Sampling and Pulse Amplitude Modulation, in: Aerospace Telemetry, Stiltz H. L., Ed., Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1961.

Childers D. G., Study and Experimental Investigation on Sampling Rate and Aliasing in Time Division Telemetry Systems, IRE Trans, Space Electronics and Telemetryt SET-8, 267—283 (December 1962).

O*Neill E. L., Introduction to Statistical Optics, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1963. [Имеется перевод: О'Нейл Э., Введение в статистическую оптику.—М.: Мир, 1966.]

Greville Т. N. Е., Introduction to Spline Functions, in: Theory and Applications of Spline Functions (Greville T. N・ E., Ed.), Academic Press, New York, 1969.

Глава 5'

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

В гл. 2 были рассмотрены вопросы, связанные с математическим описанием непрерывных изображений. В настоящей главе даны способы формального представления дискретных изображений с использованием как детерминированных, так и статистических моделей.

ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ И МАТРИЦАМИ

В данном разделе коротко рассмотрены встречающиеся в тексте математические действия, выполняемые с векторами и матрицами. Строгий вывод и доказательства теорем и положений, приведенных ниже, можно найти в литературе [1——5].

Вектор

Вектор-столбец f размера NX 1 представляет собой совокупность элементов f (п), где n = 1, 2, ..., N、расположенных в виде вертикального столбца

7⑴一f⑵

，⑴・(5.1.1)

丿（”

Вектор-строка h размера 1 X У представляет собой упорядоченную совокупность элементов 九(п), где п = 1, 2, ... К, расположенных в виде горизонтальной строки

h = [Л (1), Л (2), ..., h (j),…，Л (N)L (5.1.2)

В книге полужирными строчными буквами будут, как правило, обозначаться вектор-столбцы. Вектор-строка будет обозначаться как транспонированный вектор-столбец:

饪=【f(l), f ⑵一…〃力…，f(N)L (5.1.3)

Матрица

Матрица F размера MXN представляет собой совокупность элементов 尸(加，п), где m = 1, 2, М и n = 1, 2, ^, расположенных в виде строк и столбцов двумерной таблицы

-尸(1, 1)尸(1, 2)...尸(1, АГ)，

(5.1.4)(5.1.4)F 尸(2, 1)尸(2, 2)尸(2, ^)

(5.1.4)

(5.1.4)

一尸(М 1)尸(М2)…尸(М, м,

Символ 0 обозначает нулевую матрицу, все элементы которой равны нулю. Диагональная матрица — это квадратная матрица (когда М = N)、все элементы которой, не лежащие на главной диагонали, равны нулю, т. е. F (m, п) = 0, если т^ п. Единичная матрица, обозначаемая символом I, есть диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице. Индекс при символе единичной матрицы указывает ее размеры; % обозначает единичную матрицу размера ^X^. Матрица F может быть разделена на блоки (подматрицы) Fpg：

(5.1.5)(5.1.5)

(5.1.5)

(5.1.5)

Сложение матриц

Сумма двух матриц С = А + В определена только в том случае, когда обе матрицы имеют одинаковые размеры. Матрица С — сумма матриц А и В, имеет размеры MXN* а ее элементы С (m, п) = Л (/п, п) + В (т, п). ■

Умножение матриц

Произведение двух матриц С = АВ определено только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При умножении матрицы А размера МХР на матрицу В раз・ мера PXN получается матрица С размера MX N, элементы которой определяются равенством

С(т,九) = .£/(丸")8(Р, п).С(т,九) = .£/(丸")8(Р, п).(5.1.6)(5.1.6)

С(т,九) = .£/(丸")8(Р, п).

С(т,九) = .£/(丸")8(Р, п).

(5.1.6)

(5.1.6)

При умножении матрицы А на скаляр k получается матрица С = =々А, элементы которой С (/n, n) = kA (m, n).

Обращение матриц

Если А — квадратная матрица, то матрица, обратная относительно нее и обозначаемая как А-1, обладает следующими свойствами: АА"1 = I и А^А = I. Если матрица А-1 существует, то матрица А называется неособенной (невырожденной). В противном случае она называется особенной (вырожденной). Если у некоторой матрицы есть обратная, то эта обратная матрица единственна. Матрица, обратная относительной обратной, совпадает с исходной матрицей, т. е.

[А"1]'1 = А.(5.1.7)

Если матрицы А и В неособенные, то

[АВ]1 = ВЧ1.(5.1.8)

Если матрица А неособенная, а скаляр 々 * 0, то

伏 А]г = (1/田 АХ(5.1.9)

Обращение особенных квадратных матриц и неквадратных матриц будет рассмотрено в гл. 8. Матрицу, обратную относительно блочной квадратной матрицы

(5.1.10)

можно представить в виде

[Fu- FnF^F^r1: —F^Fi2 [F22 - FnF^Fi21T

—眩十21 [Fu■-FizF^FziL；[F22—FziFiJFiJT

(5.1.11)

при условии, что матрицы Fu и F22 не являются особенными.

Транспонирование матриц

При транспонировании матрицы А размера MXN образуется матрица размера NXM, которую обозначают через Аг. Строки матрицы Аг совпадают со столбцами, а столбцы — со строками матрицы А. Для любой матрицы А

[АТ = А.(5.1.12)

Если А = Аг, то матрицу А называют симметричной. Для лю

бых матриц А и В

(5.1.13)(5.1.13)[АВ『=ВГАГ.

(5.1.13)

(5.1.13)

Прямое произведение матрицЛевое прямое произведение матрицы А размера PXQ на матрицу В размера М 乂 N представляет собой матрицу размера РМХ XQMПрямое произведение матрицЛевое прямое произведение матрицы А размера PXQ на матрицу В размера М 乂 N представляет собой матрицу размера РМХ XQM二弘I，....!.).△二弘I，....!.).△В(1, 2)АВ(1, 2)АB(l, N)A~|B(l, N)A~|С = AgB =С = AgB =8(2, 1)А8(2, 1)А8(2, 2) А8(2, 2) АВ (2, У) АВ (2, У) АВ(М, 1)АВ(М, 1)АВ(М, 2) АВ(М, 2) АВ (МЛ) АВ (МЛ) А(5.1.15)(5.1.15)

Прямое произведение матриц

Левое прямое произведение матрицы А размера PXQ на матрицу В размера М 乂 N представляет собой матрицу размера РМХ XQM

Прямое произведение матриц

Левое прямое произведение матрицы А размера PXQ на матрицу В размера М 乂 N представляет собой матрицу размера РМХ XQM

二弘I，....!.).△

二弘I，....!.).△

В(1, 2)А

В(1, 2)А

B(l, N)A~|

B(l, N)A~|

С = AgB =

С = AgB =

8(2, 1)А

8(2, 1)А

8(2, 2) А

8(2, 2) А

В (2, У) А

В (2, У) А

В(М, 1)А

В(М, 1)А

В(М, 2) А

В(М, 2) А

В (МЛ) А

В (МЛ) А

(5.1.15)

(5.1.15)

Если матрица А неособенная, то матрица Аг также неособенная и

(5.1.14)(5.1.14)[А『 = [АТ]Т.

(5.1.14)

(5.1.14)

Аналогично можно определить правое прямое произведение. В этой книге будет использоваться только левое прямое произведение. Прямые произведения В ® А и А 0 В могут различаться между собой. Ниже указаны свойства операций умножения, сложения, транспонирования и обращения прямого произведения матриц:

(5.1.16)(5.1.17)(5.1.18)(5.1.19)(5.1.16)(5.1.17)(5.1.18)(5.1.19)(A®B)(C0D) = (AC)0(BD),(A + B)gC = A®C + B*C,[А®В]г = Аг0Вг,[А ® В尸=А'1 ® В2

(5.1.16)

(5.1.17)

(5.1.18)

(5.1.19)

(5.1.16)

(5.1.17)

(5.1.18)

(5.1.19)

След матрицы

След квадратной матрицы F размера NXN равен сумме ее диагональных элементов и обозначается как

tr [F] = £ 尸仇，n).tr [F] = £ 尸仇，n).(5.1.20)(5.1.20)

tr [F] = £ 尸仇，n).

tr [F] = £ 尸仇，n).

(5.1.20)

(5.1.20)

(5.1.21)(5.1.21)(5.1.22)(5.1.22)Если А и В — квадратные матрицы, то tr [AB] = tr[BA].

(5.1.21)

(5.1.21)

(5.1.22)

(5.1.22)

След прямого произведения двух матриц равен tr(A0B) = tr (A) tr(B).

Норма вектора

Евклидовой нормой вектора f размера NX1 называется скаляр, определяемый как

(5.1.23)(5.1.23)||f|| = fTf.

(5.1.23)

(5.1.23)

5 Прэтт У.

Норма матрицы

Евклидовой нормой матрицы F размера MXN называется скаляр, определяемый следующим образом:

||F|| = tr[FrF].(5.1.24)

Ранг матрицы

Матрица А размера NXN имеет ранг R, если наибольший из всех ее квадратных неособенных блоков имеет размер RXR. Понятие о ранге используется при обращении матриц. Если матрицы А и В неособенные, а С — произвольная матрица, то

Ранг [С] = Ранг [АС] = Ранг [СВ] = Ранг [АСВ]. (5.1.25)

Ранг произведения матриц А и В удовлетворяет неравенствам

Ранг [АВ] < Ранг [А],(5.1.26а)

Ранг [АВ] < Ранг [В].(5.1.266)

Ранг суммы матриц А и В удовлетворяет неравенству

Ранг [А + В] < Ранг [А] + Ранг [В].(5.1.27)

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов f и g размера NX1 является скаляр

』g7f=f7g,(5.1.28)

ИЛИ

N

k = 1- g(n)f(n).(5.1.29)

Матричное произведение векторов

Матричным произведением вектора g размера MX 1 на вектор f размера ^X 1 является матрица

А = g匕(5.1.30)

где А (/и, п) == g (m) f (n).

Квадратичная форма

Квадратичной формой вектора f размера ^X 1 является скаляр

k = frAf,(5.1.31)

где А — матрица размера NXN. Часто матрицу А берут симметричной.

Векторная производная

Производная от скалярного произведения агх по х есть

0[а『х]/дх = a,(5.L32)

а производная от скалярного произведения хга по вектору х равна

d [х『а]/5х = а.(5.1.33)

Производная от квадратичной формы хгАх по х есть 工)

д [x‘Ax]/dx = 2Ах.(5」.34)

СИНГУЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ

Известно, что любую матрицу F размера MXN, имеющую ранг R, можно представить в виде взвешенной суммы матриц единичного ранга размера М х М Такое представление называется сингулярным разложением [6—8]. В последующих разделах будет рассмотрено применение этого метода для обработки изображений.

При сингулярном разложении используют унитарную матрицу U размера MXN и унитарную матрицу V размера ^X^, такие, что

UrFV = А1/2, (5.2.1) где матрица

(5.2,2)(5.2,2)} M-R} M-R宀⑴ '

(5.2,2)

(5.2,2)

} M-R

} M-R

I о

_0!

имеет размеры MXN. а ее диагональные элементы"%V2 ⑺ называются сингулярными значениями матрицы F. Поскольку матрицы U и V унитарны, то UUr = 1乂 и VVr = 1川.Поэтому F = UAk.(5.2.3)

Столбцы унитарной матрицы U являются собственными векторами й,„ симметричной матрицы FFr, т. е.

UT[FFT]U =UT[FFT]U =； о0 I о .； о0 I о .，R , (5.2.4)，R , (5.2.4)

UT[FFT]U =

UT[FFT]U =

； о

0 I о .

； о

0 I о .

，R , (5.2.4)

，R , (5.2.4)

i) Формула (5.1.34) справедлива в случае симметричной матрицы А. — Прим. ред.

где 九(/)——ненулевые собственные значения матрицы FFr. Аналогично строки матрицы V являются собственными векторами v〃 симметричной матрицы F^F, т. е.

Vr[FrF]V =

._5_

AU)1

■•. I о

А(«)|

R f (5.2,5)

L о ! о J

} N-R

где 九(/)—— соответствующие ненулевые собственные значения матрицы FrF. Нетрудно проверить, что равенство (5.2.3) согласуется с (5.2.4) и (5.2.5).

Разложение матрицы F, задаваемое соотношением (5.2.3), можно представить в виде ряда

F = £ji/2(j)u/v；. (5.2.6) Матричные произведения собственных векторов и”； образуют набор матриц единичного ранга, каждая из которых умножается на весовой множитель, являющийся соответствующим сингулярным значением матрицы F. Согласованность разложения (5.2.6) с вышеприведенными соотношениями можно показать, подставив его в равенство (5.2.1). В результате получается

А】/2 = u'FV =纟户/2 (/) Wu/V” (5.2.7)

Заметим, что произведение Uru； дает вектор-столбец, /-й элемент которого равен единице, а все остальные — нули. Вектор-строка, получающаяся в результате вычисления произведения v； V, имеет аналогичный вид. Поэтому в правой части равенства (5.2.7) образуется диагональная матрица, элементы которой равны сингулярным значениям матрицы F.

Матричное разложение (5.2.3) и эквивалентное представление в виде ряда (5.2.6) можно найти для любой матрицы. Поэтому такое разложение можно непосредственно применить для обработки дискретных изображений, представленных в виде матриц. Кроме того, этими формулами можно воспользоваться для разложения матриц линейных преобразований изображений. Применение метода сингулярного разложения для исправления и кодирования изображений рассмотрено в последующих главах книги.

ВЕКТОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ

В гл. 1 яркость, координата цвета или какой-то другой подходящий параметр, описывающий изображение, представлялись непрерывной функцией F (х, g, f)・ С помощью методов дискрети-

зации изображений, рассмотренных в гл. 4, непрерывное^ изображение, зафиксированное в некоторый момент времени, можно представить в виде массива отсчетов 尸(〃，/2) в некоторой прямоугольной области ——Ji w 力 w 厶. Часто этот массив полезно рассматривать как матрицу с NxxN2 элементами:

F = [F %,期)], (5.3.1)

где \ Е 屯 W N订 а индексы отсчетов перенумерованы так, как это принято в теории матриц.

Для облегчения анализа удобно перейти от матричного представления изображения к векторному, собирая элементы столбцов (или строк) матрицы F в один длинный вектор [9]. Формально эту операцию можно представить с помощью вспомогательного вектора ул размера 力？Х1 и матрицы Nn размера "i“2 X Nb определяемых следующим образом:

ОООООООО11П 一 1П 一 1ппп + 1п + 1(5.3.2)(5.3.2)

О

О

О

О

О

О

О

О

1

1

П 一 1

П 一 1

п

п

п + 1

п + 1

(5.3.2)

(5.3.2)

В этом случае матрица F будет представлена в векторной форме с помощью операции упорядочения

N，N，“W N“Fv“.“W N“Fv“.(5.3.3)(5.3.3)

N，

N，

“W N“Fv“.

“W N“Fv“.

(5.3.3)

(5.3.3)

Вектор V" выделяет n-й столбец матрицы F, а матрица Nn помещает этот столбец на место, отведенное для n-го отрезка вектора f. Таким образом, вектор f содержит все элементы матрицы F, последовательно считанные по столбцам. Обратная операция преобразования вектора f в матрицу F описывается соотношением

F = £ N^fd. (5.3.4)

С помощью формул (5.3.3) и (5.3.4) легко установить связь между матричным и векторным представлениями двумерного массива. Достоинствами представления изображения в векторной форме являются большая компактность обозначений и возможность непосредственного использования методов, разработанных для обработки одномерных сигналов. Следует отметить, что выражения (5.3.3) и (5.3.4) не только описывают лексикографическую связь

между матрицей и вектором, но и определяют некоторые операторы, которыми можно пользоваться при математическом анализе. В последующих разделах приводятся многочисленные примеры применения этих операторов упорядочения.

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ

ИЗОБРАЖЕНИЙ [5, 10]

Статистические методы описания непрерывных изображений, приведенные в гл. 1, можно непосредственно применить и для описания дискретных изображений. В данном разделе получены выражения для моментов дискретных изображений. Модели совместных £ плотностей вероятностей приведены в следующем разделе. 亠

Среднее значение матрицы, описывающей дискретное изображение, представляет собой матрицу

E{F} = [E{F (仆® 用.(541)

Если эта матрица разверткой по столбцам преобразована в вектор, то среднее значение этого вектора есть

呻=£用=扌 N“E{F}v“.(5.4.2)

n=l

Корреляция двух элементов изображения с координатами (п», %) и (%, %) определяется как

R (пь 九2；冷з,冷J = В {F (пь n2) F* (愚，厶)}.(5.4.3)

Ковариация двух элементов изображения есть

К(曲，n2; n3, n^ = E{[F(n19 %) —£{尸(勺，胃2)}]义

X [六(%,九4)一 E {户(〃3,%)}]}.(5.4.4)

И наконец, дисперсия элемента изображения равна

。"(九1，九2)= k (小，"2； "1,九2)，(5.4.5)

Если матрица изображения преобразована в вектор f, то корреляционную матрицу этого вектора можно выразить через корреляции элементов матрицы F:

Rf = E{ff/}=EUZ]N，“Fv俏Rf = E{ff/}=EUZ]N，“Fv俏гц .

Rf = E{ff/}=EUZ]N，“Fv俏

Rf = E{ff/}=EUZ]N，“Fv俏

WYf*M , (5.4.6а) Ln=iJJ

ИЛИ

Rf= S r'N^jFvXF*7"}^.(5.4.66)

Выражение

E{Fvmv^F<7') = Rm,,.!(5.4.7)

представляет собой корреляционную матрицу /n-го и п-го столбцов матрицы F и имеет размеры NrXNr. Следовательно, R, можно представить в виде блочной матрицы

К,1

Ri, 2 •

• Ri, ^2

R/ к

R2,1

R2,2 •

♦ R2,

•(5.4.8)

_Rm, 1

М,2 •

• Rm, n,_

Ковариационную матрицу вектора f можно получить на основе его корреляционной матрицы и вектора средних значений с помощью соотношения

К『=R/ — ПЕ『・(5.4.9)

Матрица дисперсий VF массива чисел F (ni, п2) по определению является матрицей, элементы которой равнВ дисперсиям соответствующих элементов массива. Элементы матрицы Vf можно непосредственно выделить из блоков матрицы К/：

Vf(/, %)= Км?% %)•. (5.4.10)

Если дискретное изображение представляется массивом, стационарным в широком смысле, то его корреляционную функцию можно записать в виде

R (力，"2；九3,"4)= R (如一*九2 一冷4)= R (/,就 (5.4.11)

где / = П1 —— п3 и 尼= 出 —— 九а Соответственно блоки ковариационной матрицы (5.4.9) будут связаны соотношениями

Кт, л = Kft, /п>п,(5.4.12а)

Кт, л =^ К尼，V 冷，(5.4.126)

где k = \ т ——n I + 1. Таким образом, для стационарного в широком смысле массива

Кг К2Кз・・・Км

(5.4.13)(5.4.13)К； KiКг…Км-1

(5.4.13)

(5.4.13)

_К&21 Кл/2—2 • •• Ki

Наконец, записать и столб-Наконец, записать и столб-Матрица (5.4.13) является блочно-тёплицевой [11 ]. если корреляционную функцию изображения можно в виде произведения корреляционных функций строк цов, то ковариационную матрицу вектора f, представляющего

Наконец, записать и столб-

Наконец, записать и столб-

изображение, можно записать в виде прямого произведения ковариационных матриц для строк и столбцов:

К/ = Кс <8 Кл =「Kr(1, 1)Кс=Кд(2, 1)КС_Kr (必 1)КсК/ = Кс <8 Кл =「Kr(1, 1)Кс=Кд(2, 1)КС_Kr (必 1)КсKr(1, 2) КсКя(2, 2)КсKr(1, 2) КсКя(2, 2)КсКд(1, М)КсКд(2,必)КсКд(1, М)КсКд(2,必)Кс,(5.4.14),(5.4.14)Kr(M，2)Кс ... Kr(风，M)K<JKr(M，2)Кс ... Kr(风，M)K<J

К/ = Кс <8 Кл =

「Kr(1, 1)Кс

=Кд(2, 1)КС

_Kr (必 1)Кс

К/ = Кс <8 Кл =

「Kr(1, 1)Кс

=Кд(2, 1)КС

_Kr (必 1)Кс

Kr(1, 2) Кс

Кя(2, 2)Кс

Kr(1, 2) Кс

Кя(2, 2)Кс

Кд(1, М)Кс

Кд(2,必)Кс

Кд(1, М)Кс

Кд(2,必)Кс

,(5.4.14)

,(5.4.14)

Kr(M，2)Кс ... Kr(风，M)K<J

Kr(M，2)Кс ... Kr(风，M)K<J

где Кс — ковариационная матрица столбцов матрицы F, Имеющая раЗ|Меры N、ХNу а Кя — ковариационная матрица строк матрицы F с размерами N2XN2 х).

Рассмотрим случай, когда ковариационная матрица строк матрицы F имеет следующий вид:

Pr p"(+…[费-1一

Кд = о2 总 1 PrP*-・P*t , (5.4.15)

где a2 — дисперсия элементов изображения. Эта ковариационная матрица — аналог непрерывной автоковариационной функции вида ехр {—a|%|} — описывает марковский процесс. На рис. 5.4.1 приведены полученные Дэвиссоном [12] значения коэффициентов корреляции элементов строки типичного изображения. Экспериментальные точки хорошо аппроксимируются ковариационной функцией марковского процесса с параметром р = 0,953. Аналогично значения коэффициентов корреляции в направлении, перпендикулярном к строкам, хорошо согласуются с марковской ковариационной функцией при р = 0,965. Если ковариационная функция может быть представлена в виде (5.4.14), то коэффициенты корреляции по диагонали должны быть равны произведению соответствующих коэффициентов корреляции вдоль строк изображения и в направлении, перпендикулярном к ним. В данном примере оказалось, что такая аппроксимация является достаточно точной в области от нуля до пяти шагов дискретизации.

По аналогии с непрерывным энергетическим спектром (1.8.11) можно определить дискретную спектральную плотность дискретного стационарного двумерного случайного поля, представляющего изображение, как результат двумерного дискретного преобра-

1)Выражение (5.4.14) должно иметь следующий внд: (1/п2) К/ = [(l/d) Кс] ® W/哨 Kr], где а2 ——дисперсия элементов изображения. — Прим, ред.

»(〃，и)=»(〃，и)=11зования Фурье 工)автокорреляционной функции этого поля. Тогда в силу равенства (5.4.11) будем иметь

»(〃，и)=

»(〃，и)=

1

1

R 0,田 exp {-2加(希 + 黑)}.

(5.4.16)

(0,953)п

s&§'V居9 TmhHtrdoxs&§'V居9 TmhHtrdox(0,965)п(0,965)п2nwDNOdua-WBWTmh§ddoxEHanhmb&eo工2nwDNOdua-WBWTmh§ddoxEHanhmb&eo工

s&§'V居9 TmhHtrdox

s&§'V居9 TmhHtrdox

(0,965)п

(0,965)п

2nwDNOdua-WBWTmh§ddoxEHanhmb&eo工

2nwDNOdua-WBWTmh§ddoxEHanhmb&eo工

оо

о

о

2468 Ю 12 ' 14

Расстояние 制胱吻 элементами .

Рис, 5.4.1. Пример корреляционных зависимостей между соседними элементами изображения.

На рис. 5.4.2 приведены энергетические спе ктры марковских процессов.

丄)Свойства двумерных дискретных преобразований Фурье рассматриваются в гл. 10.

МОДЕЛИ ПЛОТНОСТЕЙ ИЗОБРАЖЕНИЙ

ВЕРОЯТНОСТИ ДИСКРЕТНЫХ

Дискретное изображение, можно полностью описать сДискретное изображение, можно полностью описать с

Дискретное изображение, можно полностью описать с

Дискретное изображение, можно полностью описать с

представленное массивом F (冷工,п2), помощью совместной плотности ве-

Рис. 5.4.2. Энергетические спектры марковских процессов, моделирующих изображения (^ — 256, по вертикальной осн логарифмический масштаб).

а — разделимый спектр; б — спектр с круговой симметрией.

роятности его элементов. При задании 尸(九力 п2) в матричной форме эта плотность записывается как

p(F) = p{F(l, 1),尸(2, 1),....尸(М，必儿 (5.5.1а)

а в векторной форме — как

p(f) = p{f(l), f(2), ・・.，f(Q)},(5.5.16)

где Q = Nx'N2 определяет порядок совместной плотности. Если все элементы изображения статистически независимы, то совместная плотность вероятности равна произведению одномерных безусловных плотностей

Р⑴= p{f(l)}p{f(2)}・・・ p{f(Q)}・(5.5.2)

Наиболее распространенным видом совместной плотности вероятности является гауссова плотность

p (f) = 3)-Q/21 k/ L/2 exp {一 扌(f 一 少尸 к尸(f -叫},

(5.5.3)

где К『一ковариационная матрица вектора f,"『一среднее значение f, а символом I К； | обозначен определитель матрицы К广 Гауссова плотность^является полезной моделью совместной плотности вероятности* коэффициентов, полученных в результате унитарных преобразований изображений. Однако гауссова плотность не подходит для описания яркости элементов изображения, поскольку яркость может быть только положительной, а гауссовы случайные величины принимают как положительные, так и отрицательные значения.

В литературе редко встречаются выражения для совместных плотностей, не являющихся гауссовыми. Хунс [13] разработал методику формирования подобных плотностей высокого порядка на основе заданной безусловной плотности первого порядка и заданной ковариационной матрицы элементов ансамбля. Для плотности с нулевым средним эта процедура сводится к линейному преобразованию набора независимых случайных величин g, совместную плотность вероятности которых

Р (g) = Р [g ⑴ 1 Р [g (2) 1 • • • р [g (Q) 1(5.5.4)

можно записать в виде произведения заданных плотностей первого порядка. Тогда искомая совместная плотность вероятности имеет вид

Pf(f) = |A|pg(Af),(5.5.5)

где

А = ЕЛ-1/2Ег,(5.5.6)

а |А| обозначает определитель матрицы А. Столбцы матрицы Е являются собственными векторами заданной ковариационной матрицы К/, а матрица Л ——диагональная и состоит из собственных значений этой матрицы, причем выполняется соотношение

ЕГК,Е = Л.(5.5.7)

14。

т、464 5

Рис. 5.5.1. Двумерные плотности вероятности пары коррелированных случайных величин (р = 0,8). а — плотность распределения вероятностей Лапласа; 6 — плотность распределения вероятностей Рэлея.

На рис. 5.5.1 приведены двумерные плотности вероятности пары коррелированных случайных величин, безусловные распределения которых являются распределениями Рэлея или Лапласа, Многомерная модель с распределением Рэлея полезна при рассмотрении совместной плотности вероятности яркостей элементов изображения, а модель с распределением Лапласа применяется для статистического описания последовательности разностных сигналов, образующихся в системах кодирования изображений методом предсказания.

В следующей главе рассматривается методика квантования, т. е. представления отсчетов с помощью дискретного набора чисел, называемых уровнями квантования. Пусть /7^ (д) обозначает /^-й уровень квантования для элемента изображения, который занимает д・е место в векторе изображения f. Тогда вероятность получения одного из возможных значений вектора f можно выразить через совместное распределение вероятностей значений отсчетов следующим образом:

Р0)=①{展1) = %(1),"2)=

О0式2),...,，9) = %9)}, (5.5.8)

где 0 w 启 w J — 1. Обычно для всех компонент вектора выбирают одинаковый набор уровней квантования и совместное распределение вероятностей принимает вид .

Р ⑴=Pr {f ⑴=г小 / (2) = Г/2, ..., / (Q)=々q} • (559)

Распределения вероятностей значений отсчетов можно оценить, измеряя соответствующие частоты. Так, одномерное распределение ^-й компоненты вектора

(5.5.10) можно оценить путем анализа большого набора изображений, относящихся к одному и тому же классу, таких, например, как флюорограммы, аэрофотоснимки полей и т. д. Оценкой одномерного распределения вероятностей служит распределение относительных частот

HeU； q) = lNp(j»Np, (5,5.11)

где Np — полное число исследованных снимков, a Np (/) — число снимков, для которых f (д)=勺,/ = 0, 1, ...» J— 1. Если источник изображений является стационарным, то одномерные распределения (5,5.10) будут одинаковы для всех компонент вектора, т. е. не будут зависеть от д. Кроме того, если источник изображений является эргодическим, то усреднение по ансамблю (измерения при использовании набора снимков) можно заменить усреднением по пространственным координатам. Если предполо-

жение об эргодичности справедливо, то одномерное распределение можно оценить по частотам

%0) =底①/Q,(5.5.12)

где Ns (/)——число элементов исследуемого изображения, для которых / (g) = rh причем IwgwQ, a OwjwJ — 1.

На рис. 5.5.2 приведены одномерные гистограммы красной, зеленой и синей координат цвета цветного изображения «Портрет». В большинстве естественных изображений темных элементов

Уровни пбантованияУровни пбантованияРис. 5.5.2. Типичные гистограммы красной, зеленой и синей координат цвета цветного изображении.Рис. 5.5.2. Типичные гистограммы красной, зеленой и синей координат цвета цветного изображении.求 £3工 aywouDEOEODh求 £3工 aywouDEOEODh

Уровни пбантования

Уровни пбантования

Рис. 5.5.2. Типичные гистограммы красной, зеленой и синей координат цвета цветного изображении.

Рис. 5.5.2. Типичные гистограммы красной, зеленой и синей координат цвета цветного изображении.

求 £3工 aywouDEOEODh

求 £3工 aywouDEOEODh

гораздо больше, чем светлых, и частоты с ростом яркости убывают примерно по экспоненте.

Оценку двумерного распределения вероятностей для эргодического источника изображений можно найти с помощью распределения частот второго порядка, которые получают, подсчитывая случаи совместного появления определенных пар значений эле-

ментов, разделенных заданным расстоянием. Допустим, что F (加1, /к?) и F (m3, /nJ есть два элемента изображения, разделенные отрезком длиной г, который наклонен к горизонтальной

Рис. 5.5.3. Взаимное расположение пары элементов изображения.

оси под углом 9 (рис. 5.5.3). Поскольку элементы образуют прямоугольную решетку, параметры г, 9 могут принимать только некоторые дискретные значения. Относительная частота второго порядка есть

"sG，/2； Л 9) = Ws0i, j//Qr,(5.5.13)

Рнс. 5.5.4. Гистограммы второго порядка для изображения «Портрет*.

где Ns (/i, ；2)——число пар элементов изображения, для которых F (加1,加2)= % н 尸(加з,加J = /*/,. Знаменатель дроби (5.5.13) Qr представляет собой полное число пар элементов, которые разделены отрезками с одинаковыми параметрами (г, 9). Из-за краевых эффектов Qr < Q.

Гистограммы второго порядка для изображения «Портрет» представлены на рис.5.5.4. Элементы изображения с увеличением расстояния между ними становятся менее коррелированными, и частоты распределяются по плоскости более равномерно.

ЛИТЕРАТУРА

Ayres F., Jr., Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices, McGraw- Hill, New York, 1962.

Bellman R. E., Introduction to Matrix Analysis, McGraw-Hill, New York, 1970. [Имеется перевод: Беллман P., Введение в теорию матриц.—М.: Наука, 1969.]

Campbell Н. G., An Introduction to Matrices, Vectors, and Linear Programming, Appleton, New York, 1965.

Cullen C. G., Matrices and Linear Transformations, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1966.

Graybill F. A., Introduction to Matrices with Applications in Statistics, Wadsworth, Belmont, Calif., 1969.

Rau C. R., Mitra S. K., Generalized Inverse of Matrices and its Applications, Wiley, New York, 1971.

Golub G. Н.» Reinsch C., Singular Value Decomposition and Least Squares Solutions, Numer. Math,, 14, 403—420 (1970).

Andrews H. C., Patterson C. L., Outer Product Expansions and their Uses in Digital Image Processing, Am. Math. Monthly, 1, 82, 1—13 (January 1975).

Pratt W. K・，Vector Formulation of Two Dimensional Signal Processing Operations, J. Compute Graphics Image Proc., 4, No. 1, i—24 (March 1975) (Academic Press, New York).

Papoulis A., Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, McGraw-Hill, New York, 1965.

Grenander U., Szego G., Toeplitz Forms and Their Applications» University of California Press, Berkeley, 1958. [Имеется перевод: Гренаидер У., Сегё Г., Тёплицевы формы и их приложения. — М.: ИЛ, 1961.]

Davisson L. D. (частное сообщение).

Huhns М. N., Optimum Restoration of Quantized Correlated Signals, University of Southern California, Image Processing Institute, Report USCIPI 600, August 1975.

Глава 6

КВАНТОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Любая аналоговая величина, подлежащая обработке в ЦВМ или цифровой системе, должна быть представлена в виде целого числа, пропорционального значению этой величины. Процесс преобразования отсчетов, имеющих непрерывное множество значений, в отсчеты с дискретными значениями называется квантованием. В следующих двух разделах дан математический анализ процесса квантования, который справедлив не только для изображений, но и вообще для широкого класса сигналов, с которыми приходится сталкиваться в системах обработки изображений. Затем рассматривается обработка квантованных отсчетов. В двух последних разделах описаны субъективные эффекты, возникающие при квантовании одноцветных и цветных изображений.

6・1・ КВАНТОВАНИЕ СКАЛЯРНЫХ ВЕЛИЧИН

Рис. 6.1.1 иллюстрирует типичный пример квантования скалярного сигнала. В процессе квантования значение отсчета аналогового сигнала сравнивается с набором пороговых уровней. Если отсчет попадает в интервал между двумя соседними пороговыми уровнями, то ему приписывается значение фиксированного уровня квантования, соответствующего данному интервалу. В цифровой системе каждому квантованному отсчету ставится в соответствие двоичная кодовая комбинация. В этом примере применен равномерный код, имеющий постоянную длину кодовых комбинаций.

Приступая к количественному анализу квантования скалярных величин, допустим, что f и『обозначают соответственно значения отсчета действительного скалярного сигнала до и после кванто вания. Предполагается, что f——случайная величина с плотностью вероятности р (f). Кроме того, предполагается, что f не выходит за пределы некоторого интервала:

迎《f《аи、 (6.1.1)

где о。и aL ——верхняя и нижняя границы интервала.

При решении задачи о квантовании необходимо выбрать такой набор пороговых уровней dj и уровней квантования 勺，что если 当《f《d"u(6.1.2)

то исходный отсчет заменяется на число, равное уровню квантования г：. На рис. 6.1.2, а приведен пример размещения пороговых уровней и уровней квантования на отрезке числовой оси, содер-

УриВни квантования —,

Рис. 6.1.1. Пример квантоваиия сигнала.

жащем J пороговых уровней. Другой распространенной формой представления характеристики квантователя является ступенчатая кривая (рис. 6.1.2, б).

Уровни квантования и пороговые уровни выбирают так, чтобы уменьшить до минимума некоторую заданную величину, характеризующую ошибку квантования, т. е. степень различия между f и f. В качестве меры ошибки квантования обычно выбирают среднеквадратическую ошибку. Если J — число уровней квантования, то среднеквадратическая ошибка квантования равна aUd/+i

г? = £{/-гл = J(/-П2р(/)^=2 J (f-r^p^df.气/==0 d/

(6.1.3)

Если число J велико, то плотность вероятности значений квантуемого сигнала на каждом из интервалов (d〃 d/+1) можно считать постоянной и равной р (〃)・ Следовательно,

/—1^/+i

冒=£夕(6)J(f-6)2"(6.1.4)

尸Q 4

или после вычисления интегралов

宕買，Р &/•)[(% - Г/)3 _ @ _ 々)3].(6.1.5)

Оптимальное положение уровня квантования г;- в интервале (d“ d/+J можно найти, решая задачу о минимуме ошибки 鋁 как функции 乙.Приравнивая нулю производную

dS/drj = 0,(6.1.6)

получаем

Г/ = (% + %)/2.(6.1.7)

Таким образом, при сделанных допущениях оптимальным положением уровня квантования является середина интервала между

акак叫力М叫力МПороговые уровни

ак

ак

叫力

М

叫力

М

7…・"丨力.

Уробни авантобания

ааРис. 6.1.2. Пороговые уровни и уровниРис. 6.1.2. Пороговые уровни и уровниквантования.квантования.

а

а

Рис. 6.1.2. Пороговые уровни и уровни

Рис. 6.1.2. Пороговые уровни и уровни

квантования.

квантования.

соседними пороговыми уровнями. Подставив соответствующие величины в выражение для ошибки квантования, получим

甘=l/12£p(r/)[Q+i — &]3.(6.1.8)

/»0

Оптимальное положение пороговых уровней можно определить, находя минимум ошибки 哀 методом множителей Лагранжа. С помощью этого метода Пантер и Дайт [1 ] показали, что поло-

жения пороговых уровней довольно точно определяются по формуле

d,=——帀」+ 也，(6.1.9a)

aL

где

内=皿产」包，(6.1.96)

а / = 0, 1,..・，J. Еслл плотность вероятности значений отсчетов равномерна, то пороговые уровни будут расставлены равномерно. При неравномерных плотностях пороговые уровни чаще в тех участках, где плотность вероятности велика, и реже там, где она мала. Для бэльшинства видов плотности вероятности, используемых обычно при описании изображений, интегралы (6.1.9) взять не удается и положение пороговых уровней приходится находить с помощью численного интегрирования.

Если число уровней квантования невелико, то приближение, с помощью которого получено равенство (6.1.4), становится неоправданным и следует использовать точное выражение для ошибки (6.1.3). Дифференцируя его по переменным % и 勺 и приравнивая производные нулю, получаем

dS/dd. = & -万)2р (力)一(斗一г”产p(4)= 0, (6.1.10a)

。冒/力/ = 2 j (f — 〃)p(f)df = O. (6.1.106)

После преобразований приходим к системеПосле преобразований приходим к системеуравнении(6.1.11а)(6.1.116)уравнении(6.1.11а)(6.1.116)

После преобразований приходим к системе

После преобразований приходим к системе

уравнении

(6.1.11а)

(6.1.116)

уравнении

(6.1.11а)

(6.1.116)

Решая эти уравнения рекуррентным способом, можно для заданной плотности вероятности 方(f) найти оптимальные значения пороговых уровней и уровней квантования. Макс [2] решил такую задачу для гауссовой плотности и составил таблицы оптимального размещения пороговых уровней в зависимости от числа уровней квантования. В табл. 6.1.1 указано расположение уровней квантования и пороговых уровней в квантователе Макса для плот-

Таблица 6ЛЛ

Расположение уровней квантования и пороговых уровнейв^квантователе Макса

РавномерноеГауссаЛапласа

Яисло

разрядов 4乃4匕&〃

Рэлея

4门

1TQOOO-0,5000-8-0,7979-оо-0,7071

0.00000,50000,0000'0,79790,00000,7071

1,0000сооо

2-1,0000-0,75С(0-8-1,5104-оо-1,8340

-0,5000-0,2500-0,9816-0,4528-1,1269-0,4198

-0,00000,25000,00000,45280,00000,4198

0,50000,75000,98161,51041,12691,8340

,1,0000оо“ао

3-1,0000-0,8750-оо-2,1519-оо-3,0867

-0,7500-0,6250-1,7479-1,3439-2,3796-1,6725

-0,5000-0,3750-1,0500-0,7560-1,2527-0,8330

-0,2500-0,1250-0,5005-0,2451-0,5332-0,2334

0,00000,12500,00000,24510,00000,2334

0,2500.0,37500,50050,75600,53320,8330

0,50000,62501,05001,34391,25271,6725

0,75000,87501,7479.2,15192,37963,0867

1,0000оооо

4-1,0000-0,9375-оо-2,7326-оо—4,4311

-0,8750-0,8125-2,4008-2,0690二3,7240-3,0169

-0,7500-0,6875-1,8435-1,6180-2,5971-2,1773

-0,6250-0,5625-1,4371-1,25627,8776-1,5778

-0,5000-0,4375-1,0993-0,9423亠1,3444-1Д110

-0,3750-0,3125-0,7995-0,6568-0,9198-0,7287

-0,2500-0,1875-0,5224-0,3880-0,5667-0,4048

-0,1250-0,0625-0,2582-0,1284-0,2664-0,1240

0,00000,06250,00000Д2840,00000,1240

0,12500,18750,25820,38800,26440,4048

0,25000,31250,52240,65680,56670,7287

0,37500,43750,79950,94230,91981,1110

0,50000,56251,09931,25621,34441,5778

0,62500,68751,43711,61801,87762,1773

• 0,75000,81251,84352,06902,59713,0169

0,87500,93752,40082,73263,72404,4311

1,0000оооо

0,00001,2657

2,09852,9313

00

0,00000,8079

1,25451,7010

2,16672,6325

3,24653,8604

00

0,00000,5 016

0,7619' 1,0222

1,25941,4966

1,73271,9688

2,21822,4675

2,74763,0277

3,37073,7137

4,21244,7111

оо/

0,00000,3057

0,46060,6156

0,75090,8863

1,01301,1397

1,26241,3850

1,50641,6277

1,74991,8721

1,99702,1220

2,25172,3814

2,51822,6550

2,80212,9492

3,11103,2729

3,45663,6403

3,85884,0772

4,35794,6385

5,06495,4913

оо.

ностей распределений вероятностей Гаусса, Лапласа, Рэлея и равномерного.Нетрудно показать, что если пороговые уровни и уровни квантования выбраны согласно равенству (6.1.11), то среднеквадратическая ошибка квантования уменьшается до величиныностей распределений вероятностей Гаусса, Лапласа, Рэлея и равномерного.Нетрудно показать, что если пороговые уровни и уровни квантования выбраны согласно равенству (6.1.11), то среднеквадратическая ошибка квантования уменьшается до величины=£/=0=£/=0円+1%1"]/2р 仍 d/-d J p\f\df一勺"/円+1%1"]/2р 仍 d/-d J p\f\df一勺"/или в более короткой форме&МНН = Е 們一W 片Р {%. « f < dj+1\.или в более короткой форме&МНН = Е 們一W 片Р {%. « f < dj+1\.(6.1.12a)(6.1.12a)(6.1.126)(6.1.126)Для частного случая плотности равномерного распределения вероятностей минимальная среднеквадратическая ошибка равнаДля частного случая плотности равномерного распределения вероятностей минимальная среднеквадратическая ошибка равна&мнн = 1/(12Л).&мнн = 1/(12Л).(6.1.13)(6.1.13)Для большинства других видов плотности вероятности ошибку квантования приходится определять с помощью расчетов.Неравномерное квантование можно свести к равномерному с помощью нелинейного "преобразования, как показано наДля большинства других видов плотности вероятности ошибку квантования приходится определять с помощью расчетов.Неравномерное квантование можно свести к равномерному с помощью нелинейного "преобразования, как показано наРис. 6.1.3, Квантователь со сжатием.Рис. 6.1.3, Квантователь со сжатием.

ностей распределений вероятностей Гаусса, Лапласа, Рэлея и равномерного.

Нетрудно показать, что если пороговые уровни и уровни квантования выбраны согласно равенству (6.1.11), то среднеквадратическая ошибка квантования уменьшается до величины

ностей распределений вероятностей Гаусса, Лапласа, Рэлея и равномерного.

Нетрудно показать, что если пороговые уровни и уровни квантования выбраны согласно равенству (6.1.11), то среднеквадратическая ошибка квантования уменьшается до величины

=£

/=0

=£

/=0

円+1%1"

]/2р 仍 d/-d J p\f\df

一勺"/

円+1%1"

]/2р 仍 d/-d J p\f\df

一勺"/

или в более короткой форме

&МНН = Е 們一W 片Р {%. « f < dj+1\.

или в более короткой форме

&МНН = Е 們一W 片Р {%. « f < dj+1\.

(6.1.12a)

(6.1.12a)

(6.1.126)

(6.1.126)

Для частного случая плотности равномерного распределения вероятностей минимальная среднеквадратическая ошибка равна

Для частного случая плотности равномерного распределения вероятностей минимальная среднеквадратическая ошибка равна

&мнн = 1/(12Л).

&мнн = 1/(12Л).

(6.1.13)

(6.1.13)

Для большинства других видов плотности вероятности ошибку квантования приходится определять с помощью расчетов.

Неравномерное квантование можно свести к равномерному с помощью нелинейного "преобразования, как показано на

Для большинства других видов плотности вероятности ошибку квантования приходится определять с помощью расчетов.

Неравномерное квантование можно свести к равномерному с помощью нелинейного "преобразования, как показано на

Рис. 6.1.3, Квантователь со сжатием.

Рис. 6.1.3, Квантователь со сжатием.

рис. 6.1.3. Отсчет подвергается нелинейному преобразованию, затеем равномерно квантуется и подвергается обратному нелинейному преобразованию [3]. В системах квантования с преобразованием стремятся сделать плотность вероятности преобразованных отсчетов на входе квантователя равномерной. Преобразованный от

счет ^рис. 6.1.3) есть

(6.1.14)

причем нелинейное преобразование Т (•) выбрано таким, что плотность вероятности g оказывается равномерной, т. е.

р {g} = 1(6.1.15)

в интервале — % « g « х/2. Если f——случайная величина с нулевым средним, то искомая характеристика нелинейного элемента имеет вид [4]

7仍=(6.1.16)

Таблица 6.1.2

Квантование с преобразованием

Плотность вероятности

Прямое преобразование

Обратное преобразование

Гауссова р (/)= =(2яс2)-1/2 х

X ехр— {/2/2а2}

Рэлея " (f)=

=(//а2) ехр {—户/2(й}

Лапласа р (/)= =(а/2) ехр { — а|/1), а=)/'2"/а

g = i/2erf {f/K2a)

g = % —eхp {一尸/2叨

(%(1 一

g = ]一eхp，{一明)"》0

一 % (1 一

I—exp・{a/}), f <0

f =/2aerf1 (2g} ?=[/2a« x Xln(l/(% — E))]i/2

(-(1/a)义

F = |xln(l-2g),g》0 |(l/a)义 lxln(l+2g), gvO

erf (х) = (2/丿行)Jexp ( — g2) dy о

Таким образом, она совпадает с функцией распределения вероятностей величины £ В табл. 6.1.2 приведены характеристики прямого и обратного нелинейных преобразований для плотностей распределений вероятностей Гаусса, Релея, Лапласа.

62 КВАНТОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ВЕЛИЧИН

Обычно квантование совокупности отсчетов выполняется последовательно. Каждый отсчет рассматривается как скалярная величина и квантуется независимо от остальных отсчетов с помощью методов, описанных в предыдущем разделе. Однако часто удается уменьшить ошибку квантования, если все отсчеты квантовать совместно.

Рассмотрим сигнал f, представляющий собой вектор размера NX 1. Будем полагать, что этот вектор является реализацией случайного вектора с ^-мерной плотностью вероятности

P(f) = P 仇，ь…，加}. (6.2.1)

При квантовании вектора f ^-мepнoe векторное пространство разделяют на J ячеек квантования D” каждой из которых соответствует один из J квантованных векторов. Векторный сигнал f заменяется на квантованный вектор % если f попадает в ячейку Dr На рис. 6.2.1 приведены примеры векторного квантования в одно-, двух- и трехмерном пространствах. В подобной общей постановке задачи о векторном квантовании векторный сигнал f преобразуется в вектор Гу, но компоненты вектора f при этом не обяза-

тель но будут квантоваться по отдельности по набору дискретных пороговых уровней.

Среднеквадратическую ошибку векторного квантования можно представить в виде суммы

& = 2 J tr [(f - Г/) (f - г;)г] р (f) df.(6.2.2)

/=0力

сированных границах ячеексированных границах ячеек55Оптимальное положение квантованных векторов г； при фик- квантования Dj можно найти, приравнивая нулю частные производные ошибки квантования по векторам г,. В результате получается система интегральных уравнений

сированных границах ячеек

сированных границах ячеек

5

5

d^ldtj = 0 = j(f-r/)p(f)df. (6.2.3)

После преобразований находим

r/=〕fp6df〃p(f)df.(6.2.4)

Рис. 6.2.1. Ячейки квантования в векторном пространстве.@ — одномерное пространство; б — двумерное пространство; е — трехмерное пространство.Рис. 6.2.1. Ячейки квантования в векторном пространстве.@ — одномерное пространство; б — двумерное пространство; е — трехмерное пространство.Равенство (6.2.4) определяет условное математическое ожидание вектора f, когда он попадает в ячейку Оу： r^E^^^D^(6.2.5)

Рис. 6.2.1. Ячейки квантования в векторном пространстве.

@ — одномерное пространство; б — двумерное пространство; е — трехмерное пространство.

Рис. 6.2.1. Ячейки квантования в векторном пространстве.

@ — одномерное пространство; б — двумерное пространство; е — трехмерное пространство.

В этом случае минимальная среднеквадратическая ошибка квантования равна

^мин = tr I R^ 一 X 57Рm€L /=о

Оптимальные положенияОптимальные положения(6.2.6) где Rf — корреляционная матрица вектора f. Заметим, что при N = 1 формула (6.2.4) сводится к (6Л.11), а выражение для ошибки квантования (6.2.6) переходит в формулу (6.1.12). квантованных векторов г； при фик

Оптимальные положения

Оптимальные положения

сированных ячейках квантования D； невозможно определить, не зная совместной плотности вероятности " (f). Однако часто такая информация отсутствует. Еще одна существенная трудность связана с фактическим вычислением интегралов в формуле (6.2.4). Поэтому часто приходится упрощать процедуру векторного квантования. Так, можно квантовать все компоненты век-

тора f по отдельности, но задавать квантованные векторы гу с помощью ячеек квантования 力尸 Тогда в трехмерном пространстве ячейки Dj превращаются в прямоугольные параллелепипеды. Если при этом компоненты вектора f некоррелированы, то векторное квантование сводится к последовательному квантованию скалярных величин. Однако если отсчеты коррелированы, то задача определения оптимального вектора r/f как правило, не поддается решению без введения дополнительных упрощающих предположений. Кэри [4] получил решения применительно к совместным гауссовым плотностям, когда ячейки квантования D； достаточно малы. Хунс [5] исследовал рекуррентный метод решения такой задачи, когда каждая компонента вектора определяется с помощью последовательных приближений на основе остальных квантованных компонент вектора. Этот метод позволяет найти решение задачи для множества различных плотностей вероятности: в части 6 он рассмотрен как средство уменьшения ошибок квантования в системах, использующих И КМ и кодирование с преобразованием.

Попытаемся теперь найти такой набор ячеек квантования。八 при котором минимизируется среднеквадратическая ошибка квантования. Брюс 16] разработал метод решения этой задачи, основанный на динамическом программировании. Однако в общем случае оптимальные формы ячеек квантования сложны и определить их весьма трудно. Поэтому в большинстве методов векторного квантования используется субоптимальный подход, когда для каждой компоненты вектора задается фиксированное число уровней квантования J (i), где i = 1, 2, ...» N9 и все компоненты квантуются независимо. Задача оптимизации сводится в этом случае к выбору величин J (i), произведение которых

n/(i) = J(6.2.7)

4=1

есть фиксированное число уровней квантования для данного вектора. Ошибка квантования t-ro отсчета равна

&(i) = E {户(i)}_ L d(i)P{d/(i)«f(i)vd/+i(i)}.(628) /==0

В системах с цифровым кодированием число уровней квантования обычно выбирают равным двоичному числу

J(i) = 2&"),(6.2.9)

где b (i)——целое число кодовых разрядов (бит) для i-й компоненты вектора. Общее количество кодовых разрядов должно быть

постоянно и равно

5 = S &(i).(6.2.10)

/=1

Такой способ квантования называется блочным.

Несколько специалистов [7—9] разработали алгоритмы распределения числа разрядов b (i) при фиксированном В, позволяющие минимизировать среднеквадратическую ошибку квантования. При использовании алгоритма, предложенного Реди и Уинцем [9] и применяемого для квантования независимых гауссовых величин по методу Макса, следует выполнить следующие операции:

Вычислить распределение числа разрядов по формуле

N

ь ⑴=(B/м)+ 2 1g е ⑼一⑵М) I lg d (/)],(6.2.11)

где о2(I)— дисперсия i-ro отсчета.

Округлить каждое из чисел b (i) до ближайшего целого.

Изменять полученное распределение, пока не будет выполнено условие (6.2.10)

Вывод соотношения (6.2.11) основан на экспоненциальной аппроксимации зависимости (6.1.12), связывающей ошибку квантования Л го отсчета и заданное ему число разрядов b (i). Если b ⑴ невелико, то эта аппроксимация оказывается довольно грубой. Более надежные результаты можно получить, пользуясь разработанным Прэттом [10] методом минимальной ошибки. Здесь разряды последовательно отводятся отсчетам, которые имеют наибольшую дифференциальную ошибку (6.2.8). При квантовании величин с нулевым средним алгоритм состоит из следующих шагов:

Шаг 1. Определение начальных условий:

В ——общее число разрядов в кодовой комбинации блока,

N —длина блока,

а2 (п) — дисперсия компоненты,

р {/ (п)} —плотность вероятности компоненты,В&—индекс разряда (сначала равен нулю).

Шаг 2. Вычислить и запомнить коэффициенты дифференциальной ошибки

D[b(n)] = F[2J(n)]-F[J(n)],

где J (n) = 2b (叫 а сумма

j⑺t

戸[/(〃)]= S r^J^P^ilJ^n)] с

< f (九)/0 (») < di+i[J (n)]}

определяет коэффициент ошибки для случайных величин с единичной дисперсией, причем знаком тильды (〜)отмечены уровни квантования и пороговые уровни, относящиеся к таким величинам.

Шаг 3. Отвести один разряд той компоненте, для которой произведение о? (n) D [Ь (п) ] имеет наибольшую величину; увеличить на единицу b (п) и Bs.

Шаг 4. Если В$ = В, закончить процедуру; в противном случае повторить шаг 3.

Коэффициенты дифференциальной ошибки D (•), необходимые для данного алгоритма, можно вычислить заранее и хранить в виде таблицы из N чисел. В этом случае алгоритм сводится к В последовательным операциям распределения разрядов. Достоинства алгоритма состоят в том, что здесь не требуется громоздких вычислений, а также отсутствуют ошибки аппроксимации и округления, характерные для алгоритма с вычислением логарифмов дисперсий. Кроме того, метод минимальной ошибки опирается на модель плотности вероятности и поэтому его можно эффективно применять для распределения разрядов при неодинаковых плотностях вероятностей отсчетов.

ОБРАБОТКА КВАНТОВАННЫХ ВЕЛИЧИН

Числа, описывающие изображения (например, представляющие яркость или координаты цвета), обычно вводятся в цифровую вычислительную машину в виде целочисленных кодовых комбинаций, соответствующих уровням квантования отсчетов. Так, яркость одноцветного изображения обычно измеряют с помощью линейной целочисленной шкалы, ограниченной числами 0 (уровень черного) и 255 (уровень белого). Эти целочисленные кодовые комбинации, однако, не следует рассматривать как арифметические величины. Перед обработкой в машине кодовые комбинации следует преобразовать в действительные десятичные числа, соответствующие уровня квантования. Если этого не сделать, то можно получить совершенно неверные результаты. Так, если кодовые комбинации — номера уровней ——изменяются вдоль шкалы яркостей немонотонно, то их вообще нельзя использовать для обработки. Рассмотрим теперь, что произойдет, если эти комбинации изменяются монотонно и обрабатываются в ЦВМ без преобразования в десятичные числа ——значения уровней квантования.

Существуют две основные формы представления чисел в цифровых вычислительных машинах: как целое число и как действительное число. Целые числа изменяются от 0 до некоторого максимального значения. Так, в 16-разрядной мини-ЭВМ наибольшее положительное целое число равно 32 768 (215). Если результат арифметической операции определен как целое число, а в резуль-

тате получается дробное число, то дробная часть просто отбрасывается. Отношение 8/3, например, будет представлено как целое число 2 без десятичной точки и знаков после нее. Если обрабатываемые величины определены как действительные числа, то дробная часть итога операции будет сохраняться и содержать

Нелинейное ■ о —а преобравойание.о

f 纷}，

числочислоное QUCAOное QUCAOное числоное число

число

число

ное QUCAO

ное QUCAO

ное число

ное число

Целое,ЦейстВитель~ /eUcmbuEeqz

числоное числоное число

Рис. 6.3.1. Методы преобразования квантованных сигналов.

а — поэлементное преобразование непрерывных сигналов： 6 — преобразование квантованных сигналов, представленных действительными чнсламн; в — преобразование квантованных сигналов при замене кодовых комбинаций действительными числами.

столько знаков, сколько позволяет получить разрядность машины. Отношение действительных чисел 8./3. будет иметь вид 2.66.-66.

На рис. 6.3.1 для сравнения представлены три способа обработки сигналов. На рис, 6.3.1» а непрерывная скалярная величина f, изменяющаяся в интервале @厶 w f w а&, подвергается преобразованию 0P {*}， в результате которого получается непрерывная величина

g = 0p{/}・（6.3.1）

На рис. 6.3.1, 6 показана схема обработки, в которой скалярная величина / перед обработкой подвергается равномерному квантованию и кодированию. Целочисленные значения кодовых комбинаций определяются по формуле

T"D（注儿， （632）

где символ [ • ]w обозначает округление аргумента до ближайшего целого числа. Код /, определенный как целое число, пре-

образуется в действительное число 勺 согласно соотношению =Gjt —尸0)/(」—1)1 / + 几，(6.3.3а)

или, что то же самое,

С： = [(〃и —牝)"1 j + [(^у — aj2J] + aL. (6.3.36) Далее с квантованным отсчетом г； выполняется необходимая операция и получается квантованный выходной сигнал

豆=。卩{「/},(6.3.4)

отличающийся от непрерывного выходного сигнала g, фигурирующего в равенстве (6.3.1), только из-за ошибки квантования исходной величины.

К сожалению, часто обработку квантованных сигналов производят неправильно—по схеме, приведенной на рис. 6.3.1, в. Кодовая комбинация /, рассматриваемая как целое число, преобразуется в действительное число и卜 принимающее значения 0., 1., 2., …,(J —1). . После этого по формуле

斗= 4®/}(6.3.5)

вычисляются значения выходного сигнала и〃 определяемые как действительные числа. В общем случае и, имеет и целую, и дробную части. Если, например 〃/ = 17., то после преобразования, состоящего в извлечении квадратного корня с точностью до пятого знака, получается выходной сигнал и『=4.12311. Ясно, конечно, что ошибки квантования входного отсчета 〃/ проявятся и в выходном отсчете и,. Однако существуют более серьезные трудности, если считать, что 叮 может служить сравнительно хорошей аппроксимацией непрерывного выходного сигнала g. Предположим, что число уровней квантования достаточно велико и поэтому

И/ Q (」一1) К/ —牝)/(〃и —牝)L

(6.3.6)

Тогда выходной сигнал будет равен u产力恢J +初， где постоянные

А =(」一D' Su —牝)， 鱼=-[(/ - 1)牝卜® 一牝).

Если преобразование % 卜} линейно, то 铮方{/} +局

и

gag/Q®/ 一局)/电.

(6.3.7)

(6.3.8а)

(6.3.86)

(6.3.9)

(6.3.10)

Таким

образом,

выходной сигнал рассматриваемой

системы

(рис. 6.3.1, 8) будет хорошей аппроксимацией непрерывного

выходного сигнала системы с аналоговой обработкой (рис. 6.3:1, а), если преобразование, выполняемое в системе, является линейным. С другой стороны, если это преобразование нелинейно, то аппроксимация одного сигнала другим обычно оказывается очень плохой. Так, например, обычно логарифм квантованной переменной 勺 существенно отличается от логарифма действительного числа 〃八 сформированного из кодовой комбинации, которая задает номер уровня квантования для 尸八

КВАНТОВАНИЕ ОДНОЦВЕТНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

В системах передачи одноцветных изображений с применением импульсно-кодовой модуляции (ИКМ) каждый отсчет квантуется (обычно на основе линейной шкалы), и ему ставится в соответствие двоичная кодовая комбинация. Как правило, применяют равномерный код, и поэтому число уровней квантования светлоты выбирают из условия

L = 2\ (6.4.1)

где b ——число двоичных разрядов (бит), отведенных для кодирования отсчетов.

В системах с ИКМ можно сократить цифровой поток простым уменьшением числа разрядов в кодовых комбинациях. Если имеется аналитическая мера качества изображений, передаваемых с помощью такой системы, то величина b будет равна наименьшему числу разрядов, при котором качество изображения еще является удовлетворительным. При субъективной оценке качества величину Ъ понижают до тех пор, пока эффекты, вызванные квантованием, не выйдут за пределы допустимого. Глаз способен определить от 10 до 15 градаций абсолютного значения светлоты, однако он имеет гораздо большую чувствительность к различию светлоты соседних элементов изображения. При уменьшении числа уровней квантования прежде всего бросается в глаза эффект появления контуров в тех областях, где светлота исходного изображения изменяется плавно. Появление контуров вызвано скачкообразным изменением светлоты квантованного изображения при переходе от одного уровня квантования к другому. Наименьшее число разрядов ИКМ, позволяющее предотвратить появление контуров в областях с плавным изменением светлоты, зависит от ряда факторов, в том числе от линейности характеристик дисплея и свойств шума до и после преобразования изображения в видеосигнал.

Предположим, что отсчеты на выходе датчика видеосигнала пропорциональны яркостям элементов изображения. Возникают вопросы: следует ли квантовать непосредственно сигнал яркости изображения или же некоторую функцию от него и какой должна

быть характеристика квантователя ——линейной или нелинейной? Последний вопрос скорее относится к практической реализации системы. Любую нелинейную характеристику квантователя можно получить, осуществляя нелинейное преобразование квантуемого сигнала, равномерное квантование и обратное нелинейное преобразование квантованного сигнала, как показано на схеме рис. 6.1.3. В связи с этим здесь будет рассматриваться только равномерное квантование отсчетов, которые предварительно могут быть подвергнуты нелинейному преобразованию.

Известно большое число экспериментальных работ по определению количества (и расположения) уровней квантования, необходимого для сведения к минимуму эффекта ложных контуров [11—14]. Гудолл [11 ] одним из первых проводил опыты с цифровым телевидением и пришел к выводу, что для получения хорошего качества необходимо квантовать яркостное изображение на 64 уровня (6 разрядов), а при 32 уровнях (5 разрядах) ложные контуры не слишком заметны. Аналогичные результаты получили и другие исследователи. В большинстве работ в той или иной мере затрагиваются вопросы о линейности характеристик системы воспроизведения изображений и ее калибровке. Сигналы телевизионной камеры и видеомонитора, как правило, нелинейно связаны с интенсивностью света. Фотоматериалы, при- применяемые для регистрации изображений, также имеют существенно нелинейные характеристики. Отметим, наконец, что любые шумы, создаваемые камерой или монитором, скрадывают ложные контуры.

На рис. 6.4.1 и 6.4.2 представлены фотографии, квантованные с разным числом уровней. На рис. 6.4.1 приведены изображения, полученные равномерным квантованием яркости при числе уровней от 2 до 64 (1+ 6 двоичных разрядов). В темных частях изображения заметны ложные контуры, когда число разрядов не превышает пяти. На рис. 6.4.2 показаны результаты машинного моделирования процесса равномерного квантования оптической плотности изображения. В этом эксперименте величины F (/,左)—— квантованные на 256 уровней (8 разрядов) отсчеты яркости, значения которых лежат в диапазоне от 0 до 1, —были подвергнуты логарифмическому преобразованию:

G (/,舟={In [1 + F (/,初 /In 2. (6.4.2) Величина G (厶也)была равномерно квантована на разное число уровней. Функции G (j,也)，описывающие изображение с квантованной плотностью, были затем преобразованы в функции

0 (/» 田=exp {5(/,舟 In 2} — 1, (6.4.3) которые описывают изображения с квантованной яркостью. Сравнение рис. 6.4.1 и 6.4.2 показывает, что при равномерном

Рис. 6.4.1. Пример равномерного квантования яркости изображения.

'нс. 6.4.2. Пример равномерного квантования оптической плотности изображения.

6 Прэтт У.

плотностном квантовании (рис. 6.4.2) эффект появления ложных контуров выражен не столь заметно, как при равномерном яркостном квантовании (рис. 6.4.1).

В гл. 19 рассматриваются методы цифрового кодирования изображений, предназначенные для подавления ложных контуров, появляющихся при недостаточном числе уровней квантования.

КВАНТОВАНИЕ ЦВЕТНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Цветное изображение можно описать с помощью красной, зеленой и синей координат цвета или произвольной (линейной или нелинейной) обратимой функции от этих величин. Если красная, зеленая и синяя координаты цвета квантуются по отдельности, то число и расположение уровней квантования выбираются по тем же общим правилам, что и при квантовании одноцветных изображений. Глаз реагирует на интенсивность света нелинейно, и поэтому субъективно качество квантованного цветного изображения оценивается выше, если перед квантованием подвергнуть координаты цвета нелинейному преобразованию, сжимающему их динамический диапазон. Известно, что глаз наиболее чувстви-

Рис. 6.5.1. Квантование цветных изображений.

телен к изменениям яркости в синей области спектра, умеренно чувствителен к таким изменениям в зеленой области и наименее чувствителен в красной области. Учитывая это, можно получить более эффективное распределение уровней квантования, чем равномерное.

На рис. 6.5.1 представлена обобщенная блок-схема системы квантования цветных изображений. Три координаты цвета R^, Gn, Bn, описывающие исходное изображение, преобразуются в три компоненты вектора х (1), х (2), х (3), которые и поступают в квантователь. Затем квантованные компоненты £ ⑴，£ ⑵ и X (3) преобразуются обратно в исходную координатную систему; в результате получается три координаты 負汽,Gw, В^. Квантователь (рис. 6.5.2) по существу разделяет на ячейки квантования цветовое пространство, имеющее координаты % (1), х (2) и х (3), и ставит в соответствие всем цветовым сигналам, попадающим в ячейку, одно и то же значение. Для большей эффективности следовало бы квантовать три цветовые компоненты х (1), х (2)

и х (3) совместно. Однако по техническим причинам часто приходится квантовать цветовые компоненты независимо. В этом случае цветовое тело заключается в прямоугольный параллелепипед, который делится на прямоугольные ячейки квантования.

Если координаты цвета преобразуются в какую-то другую координатную систему, то сразу же возникают трудности. Рассмотрим, например, квантование координат цвета в системе UVW, На рис. 6.5.2 показано тело воспроизводимых цветов для системы

Rn Gn 命

Рис. 6.5.2. Тело воспроизводимых цветов в системах координат R^G^B^ и UVW, RnGnBn, представленное в форме куба» а также дан вид этого куба после преобразования его в координатную систему UVW. Можно заметить, что куб RNGNB^ превращается в параллелепипед. Если координаты U, V, W квантуются независимо друг от друга, а диапазон квантования каждой из них охватывает весь интервал от минимального до максимального значения, то много ячеек квантования попадает в области невоспроизводимых цветов и поэтому оказываются бесполезными. Было бы желательно размещать все ячейки квантования внутри параллелепипеда воспроизводимых цветов, но, как правило, такую операцию сложно осуществить на практике.

Предположим для упрощения анализа, что каждая компонента квантуется равномерно на 2b(" уровней, причем Ь (，) обозначает число разрядов, отведенных для квантования компоненты х (г). Общее число таких разрядов фиксировано и равно

-В =匕(])+ 匕(2) + b (3). (6.5.1) Допустим, что w (，)обозначает верхнюю, а 牝⑴ 一нижнюю границу диапазона значений компоненты % (/). Тогда размеры ячеек квантования равны

g^ = lau^-aL(i)]/2b^ (6.5.2)

Все цвета, цветовая компонента которых х (t) попадает в одну и ту же ячейку, в ходе квантования будут заменяться одним цветом с квантованным значением £ (t) этой компоненты. Ошибка квантования по каждой компоненте равна

e(0 = k(i) 一 ^(川=[a川)一牝(川/2'")+1.(6.5.3)

Рис. 6.5.3. Смещение цветов при равномерном квантовании изображения «Портрет» [15].

а — смещение цветов при квантовэннн в системе координат 氏№卅8川：б — смещение иве> тов при квантовании р системе координат У ио.

О 4 разряда на каждую из трех координат; △ 5, 4, 3 разряда на соответствующие координаты.

Тогда координата квантованного цвета

£(i) = %(i) 士 &(力(6.5.4)

причем aL (i) w f (i) w a。(i). Следует заметить, что значения X (i) всегда будут находиться внутри наименьшего куба, окружающего цветовое тело, для данной цветовой координатной системы.

На рис. 6.5.3 показаны смещения различных цветов при квантовании в системах координат RnGnBn и Yuv [15].

Джейн и Прэтт [151 рассмотрели вопрос об оптимальном распределении пороговых уровней при квантовании цветных изображений, позволяющем уменьшить до возможного предела цветовое расстояние между исходным цветом и его квантованным значением. Было установлено, что квантование в координатной системе RnGnBn дает лучшие результаты, чем в других распространенных цветовых координатных системах. Это объясняется тем, что в системе RnGnBn эффективно используются все ячейки квантования, а в других системах многие ячейки оказываются незанятыми. Последнее, по-видимому, существеннее, чем метрическая неоднородность цветового пространства Rn&nBn・

ЛИТЕРАТУРА

Panter Р. F., Dite W., Quantization Distortion in Pulse Code Modulation with Non-uniform Spacing of Levels, Proc. IRE, 39, 1, 44—48 (January 1951).

Max J., Quantizing for Minimum Distortion, IRE Trans, Inf. Theory, IT-6, 1, 7—12 (March I960).

Algazi V. R., Useful Approximations to Optimum Quantization, IEEE Trans. Commun. Tech., COM-14, 3, 297—301 (June 1966).

Curry R., Estimation and Control with Quantized Measurements, MIT Press, Cambridge, Mass., 1970.

Huhns M., Optimum Quantization Restoration, University of Southern California, Image Processing Institute Report 600, September 1975.

Bruce J. D., Optimum Quantization, MIT Research Laboratory of Electronics, Technical Report 429, March 1965.

Huang J. J. Y., Schutheiss P. M., Block Quantization of Correlated Gaussian Random Variables, IEEE Trans. Commun. Syst.t CS-11, 3, 289—296 (Sep* t ember 1963).

Ready P. J., Wintz P. A., Multispectral Data Compression Through Transform Coding and Block Quantization, Purdue University, Laboratory for Applications of Remote Sensing, Information Note 050572, May 1972.

Wintz P. A., Kurtenbach A. J., Waveform Error Control in PCM Telemetry, IEEE Trans, Inf. Theory^ IT-14, 5, 650—661 (September 1968).

Pratt W. K・，Block Quantization Bit Assignment (частное сообщение).

Goodall W. M., Television by Pulse Code Modulation, Bell Sysf. Tech. J. (January 1951).

Cabrey R. L., Video Transmission over Telephone Cable Pairs by Pulse Code Modulation, Proc. IRE, 48, 9, 1546—1551 (September I960).

Harper L. H., PCM Picture Transmission, IEEE Spectrum, 3, 6, 146 (June 1966).

Scoville F. .W, Huang T. S., The Subjective Effect of Spatial and Brightness Quantization in PCM Picture Transmission, NEREM Record, 1965, pp. 234—235.

Jain A. K., Pratt W. K・，Color Image Quantization, National Telecommunications Conference 1972 Record, IEEE Publication No. 72 CHQ 6Q1-5-NT& Houston, Texas, December 1972.

Глава 7

МЕРЫ КАЧЕСТВА ДИСКРЕТИЗОВАННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

При кодировании изображений для хранения или передачи с помощью минимально возможного количества цифр требуется сохранить качество воспроизводимого изображения в допустимых пределах. Для повышения визуального качества изображения разрабатываются системы улучшения изображений. Системы исправления изображений предназначаются для компенсации искажений и создания изображений, приближающихся к тем, которые были бы получены с помощью идеальной системы, не вносящей искажений. Во всех трех задачах общим является вопрос о качестве изображения —о том, чтобы в процессе обработки изображений поддерживать, повышать или восстанавливать его.

Качество изображения можно оценивать двояко: либо определяя верность воспроизведения, либо оценивая дешифр и р у емость изображения. Верность воспроизведения характеризует степень отклонения обработанного изображения от некоторого эталонного, а дешифрируемость указывает, в какой степени человек или машина может извлечь из изображения полезную информацию. Чаще всего верность воспроизведения связана с небольшими различиями между обработанным и эталонным изображениями. О дешифрируемости же, напротив, говорят, как правило, в связи с большими различиями между этими изображениями. $

Очевидно, что количественные меры верности и дешифрируемости изображения очень нужны для проектирования и оценки систем воспроизведения изображений. Эти меры во многом помогут избавиться от трудоемкой и подчас неточной современной методики оценки изображений посредством субъективной экспертизы. Кроме того, на основе количественных мер можно развивать методы оптимизации систем обработки изображений.

В разработке количественных критериев верности и дешифрируемости изображений достигнуты значительные успехи. Однако введенные критерии не являются достаточно совершенными: очень часто можно привести примеры изображений, качество которых формально оценивается как высокое, а субъективно —— как низкое и наоборот. Создание более совершенных критериев оценки качества изображений связано, несомненно, с более глубоким изучением свойств зрительной системы человека.

СУБЪЕКТИВНЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ИЗОБРАЖЕНИЙ

В настоящее время наиболее распространенным и самым надежным способом определения качества изображений является субъективная экспертиза [1—7 ]. В некоторых случаях в качестве экспертов привлекают наблюдателей-неспециалистов. Их оценки определяют качество изображения именно так, как его воспринимает «средний» наблюдатель. Кроме того, проводятся опыты со специалистами, имеющими опыт обработки изображений, от которых следует ожидать более обоснованных оценок качества. Предполагается, что опытные наблюдатели замечают небольшие погрешности изображения, которые неспециалист может проглядеть.

Существуют два вида экспертных оценок: абсолютные и сравнительные. В первом случае наблюдатель должен оценить качество изображения по какой-то заранее определенной шкале. При некоторых методиках процесс оценивания облегчается тем, что наблюдателю предоставляется также набор эталонных изображений. Существуют и другие методики, когда наблюдатель вынужден принимать решение только на основании своего собственного опыта. При сравнительных оценках наблюдатель должен ранжировать набор конкретных изображений, т. е. расставить их в ряд по убыванию качества.

Распространенным видом шкалы оценок является шкала «общего качества», когда изображениям приписываются баллы, которые соответствуют градациям от «неудовлетворительное до «отлично», приведенным в табл. 7.1.1 [1 ]. На практике каждое изображение поступает к наблюдателю, и он выставляет балл той категории, которая, по его мнению, в наибольшей степени соответствует качеству изображения. Вариантом данной шкалы является шкала «места в группе», или относительная шкала (табл. 7.1.2), когда наблюдатель оценивает качество изображения, сравнивая его со всеми другими изображениями, входящими в рассматриваемую группу [2]. Еще одной распространенной шкалой оценок является шкала погрешностей, согласно которой наблюдатель должен оценить в баллах степень искажений, изменяющихся от «незаметных» до «крайне нежелательных». Эта шкала, составленная Мерцем, Фаулером и Кристофером [3 ], приведена в табл. 7.1.3. Несколько других шкал оценки качества описаны в работе Пирсона [1 ].

Результаты экспертных оценок обычно выражают с помощью среднего балла, определяемого как

с = £ nkcj £ nk,(7.1.1)

где nk —число изображений, отнесенных к 月-й категории, а С女 —— соответствующий ей балл. Считается» что для получения надеж-

ной оценки качества изображения необходимо опросить не менее двадцати наблюдателей. Одной из трудностей, связанных с балльными оценками, является возможная нелинейность шкалы. На рис. 7.1.1 для сравнения помещены шкала абсолютного (общего) качества (табл. 7.1.1), шкала погрешностей (табл. 7.1.3) и еще

Таблица 7.1.1

Шкала общего качества (абсолютная шкала)

Отлично

Хорошо

Посредственно

2. Плохо

Н еудовлетвор ител ьно

Таблица 7.1.2

Шкала места в группе (относительная шкала)

7. Лучшее в группе

Заметно лучше среднего для данной группы

Несколько лучше среднего для данной группы

Среднее по группе

Несколько хуже среднего для данной группы

Существенно хуже среднего для данной группы

Самое плохое в группе

Шкала погрешностейШкала погрешностейТаблица 7.1.3Таблица 7.1.3

Шкала погрешностей

Шкала погрешностей

Таблица 7.1.3

Таблица 7.1.3

Незаметные

2* Еле заметные

Вполне заметные, но слабо ухудшающие изображение

Ухудшающие изображение, но допустимые

Несколько нежелательные

Определенно нежелательные

Крайне нежелательные

одна шкала погрешностей, состоящая из трех градаций. Сравнение шкал выполнено на основе субъективных оценок [1 ].

Следует подчеркнуть, что на результаты субъективных экспертных оценок влияют характер рассматриваемых изображений и окружающая обстановка (условия эксперимента). Если наблюдатель видел подобные изображения, то он склонен более строго оценивать погрешности, поскольку имеет сложившееся представление о структуре изображения. С другой стороны, в незнакомом изображении искажения могут оставаться незамеченными, пока наблюдателю не будет на них указано. Ясно, что условия эксперимента должны в максимально возможной степени соответствовать условиям наблюдения в реальной обстановке. Кроме того,

следует с осторожностью пользоваться экспертными оценками, если изменились условия наблюдения. Так, качество изображения на экране обычного телевизионного монитора может быть расце-

0Q—0,10,2-°,3-0,40,5 —0,60,7 —0Q—0,10,2-°,3-0,40,5 —0,60,7 —-г Отлично-г ОтличноХорошоХорошоПосредстбенноПосредстбенно.Не видно никаких^ Незаметно погрешностей.Не видно никаких^ Незаметно погрешностейЕ&в дидноЕле заметноЕ&в дидноЕле заметноОпределенно5曲ноОпределенно5曲но-Заметно, но слабо ухудшает снимок■ Ухудшает снимок, 〃〃 допустимо-Заметно, но слабо ухудшает снимок■ Ухудшает снимок, 〃〃 допустимо

0Q—

0,1

0,2-

°,3-

0,4

0,5 —

0,6

0,7 —

0Q—

0,1

0,2-

°,3-

0,4

0,5 —

0,6

0,7 —

-г Отлично

-г Отлично

Хорошо

Хорошо

Посредстбенно

Посредстбенно

.Не видно никаких^ Незаметно погрешностей

.Не видно никаких^ Незаметно погрешностей

Е&в дидно

Еле заметно

Е&в дидно

Еле заметно

Определенно

5曲но

Определенно

5曲но

-Заметно, но слабо ухудшает снимок

■ Ухудшает снимок, 〃〃 допустимо

-Заметно, но слабо ухудшает снимок

■ Ухудшает снимок, 〃〃 допустимо

0,8 —39-0,8 —39---ПЛОХО--ПЛОХОНесколько нежелательноОпределенно неакелательноНесколько нежелательноОпределенно неакелательно

0,8 —

39-

0,8 —

39-

--ПЛОХО

--ПЛОХО

Несколько нежелательно

Определенно неакелательно

Несколько нежелательно

Определенно неакелательно

-~ НеудоВлет-Оорительно-~ НеудоВлет-Оорительно--Крайне нежелательно--Крайне нежелательно

-~ НеудоВлет-Оорительно

-~ НеудоВлет-Оорительно

--Крайне нежелательно

--Крайне нежелательно

Рис. 7.1.1. Сравнение шкал качества и погрешностей, применяемых для субъективной оценки изображений.

нено как «хорошее», с «еле заметными» искажениями. Однако если то же самое изображение будет представлено в виде фотографии, снятой с помощью высококачественной аппаратуры, то все погрешности, ранее скрытые нелинейностями телевизионного устройства, неожиданно могут стать очень заметными.

ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПО КОНТРОЛЬНЫМ СИГНАЛАМ

И ИСПЫТАТЕЛЬНЫМ ТАБЛИЦАМ

Телевизионные системы обычно проверяют и испытывают с помощью эталонных изображений, которые либо генерируются электронными устройствами, либо получаются обычным путем, когда перед камерой помещают испытательные таблицы. Этот

Амплитуда

Амплитуда

6

Рис. 7.2.1. Пример оценки искажений сигнала с помощью фактора К [8].

метод удобен благодаря его простоте, но связь результатов таких испытаний с результатами субъективной экспертизы, как правило, оказывается весьма сложной.

В аналоговых телевизионных системах искажение сигнала в канале связи часто оценивают сравнением переданного и принятого сигналов. Рис. 7.2.1 поясняет полуколичественную методику такого сравнения [8]. Испытательный сигнал (рис. 7.2.1, а) называют синус-квадратным импульсом. Принятый сигнал (рис. 7.2.1, б) заключают в рамку допусков, размеры которой определяются параметром К, и находят наименьшее значение параметра. Это значение выражает степень искажений.

С помощью испытательных электрических сигналов можно проверить наличие геометрических искажений, линейность передачи яркости и разрешающую способность телевизионного монитора. На рис. 7.2.2, а и 7.2.2, 6 помещены фотографии сформированных электронными средствами испытательных изображений,

применяемых для оценки геометрических искажений. Эти же изображения позволяют обнаружить несведение лучей в цветном телевизоре. Фотография шкалы градаций яркости, также сформированной электронными средствами, приведена на ^рис. 722, &• Линейность передачи яркостей можно оценить сравнением амплитуды сигнала с интенсивностью светового излучения от соответ-

Рис. 7.2.2. Фотографии испытательных таблиц, сформированных на экране ЭЛТ. а — точечная решетка; б — сетка： 6 — яркостный клин.

ствующих вертикальных полос на экране. Для проверки цветных телевизоров разработана таблица, состоящая из вертикальных полос белого, желтого, голубого, зеленого, пурпурного, красного и синего цветов [9—11].

Разрешающую способность можно определить, измеряя распределение интенсивности излучения в направлении, перпендикулярном границам полос.

Применение испытательных сигналов и таблиц позволяет измерить некоторые физические характеристики изображающих систем. Учитывая это, трудно переоценить полезность подобных методов для калибровки и настройки таких систем. Однако результаты испытаний по сигналам и таблицам не могут служить достаточно общими показателями качества изображения.

МЕТРИКИ СВЕТЛОТЫ И ЦВЕТА

Первый шаг в создании критерия верности воспроизведения изображения ——это введение метрики для количественного измерения воспринимаемых различий в яркости, цветовом тоне и насыщенности точечного источника света. Существуют два вида мер различий характеристик света: глобальные и локальные. Глобальные меры пригодны для описания свойств любых источников света независимо от конкретных особенностей восприятия этого света. Локальные меры характеризуют только небольшие изменения параметров, описывающих световые ощущения.

МЕТРИКИ СВЕТЛОТЫ СВЕТА

Рассмотрим источник белого света [£х ], имеющий яркость Y и расположенный в непосредственной близости от второго источника белого света [£?], имеющего такой же спектр излучения и яркость Y + АУ. Измерения контрастной чувствительности, описанные в разд. 2.3, показали, что отношение Вебера АУ/У, т, е. отношение едва заметной (пороговой) разницы яркостей к абсолютному значению яркости У, в довольно широком диапазоне значений Y почти постоянно и равно 1—2 %. На этом основании можно утверждать, что приращение светлоты второго источника по отношению к первому должно определяться логарифмическим выражением

А也J2} = 1喻* +人口-1脸(У)，(731)

а не разностью яркостей АУ. Поскольку дифференциал логарифма яркости равен

d [Mgb (Г)] = lim "ogb (У + АУ) — log, (Г)] - log, (е) @У/У), (7.3.2) АПО

то приращение логарифма яркости равно отношению Вебера. Манное и Сакрисон [2] изучали возможность измерения верности воспроизведения одноцветных изображений с помощью соотношения (2.4.8). В этом случае мерой приращения светлоты становится величина

А {乙，&} - (У + АУ)” 一(У)”，(733)

где V——постоянная. В работе Корнсвита [12) было сделано предположение о том, что отклик фоторецепторов сетчатки глаза описывается нелинейным законом (2.4.7). Тогда соответствующая мера приращения светлоты

А {&,厶} = IK】(У + АУ)]/[^ + (У + АУ)] —

— KiY/(Kz+ У),(7.3.4)

где К[ и /Q — постоянные.

Меры (7.3.1), (7.3.3) и (7.3.4) относятся к локальным мерам изменения светлоты. Часто используются и глобальные меры, которые служат для сравнения яркостей сильно различающихся источников света. Такие меры были получены на основе эмпирических моделей, построенных на экспериментальном материале. На рис. 7.3.1 приведены графики зависимости светлоты Л от

Рис. 7.3.1. Шкалы светлоты.

яркости источника белого света. Прист, Гибсои и Макниколс 113 ] предложили простое соотношение'

Ап*)%(7.3.5)

где яркость измеряется в процентах (0 w У W 100), а светлота изменяется от 0 до 10. Лэдд и Пинни [14] использовали шкалу с кубическим корнем

Л = 2,468 (У)1/з - 1,636,(7.3.6)

где яркость также измеряется в процентах. В дополнение к этим зависимостям Фосс [15] ввел логарифмическую шкалу:

А = 5 Jg У + 0,25.(7.3.7)

Различие между тремя кривыми, приведенными на рис. 7.3.1, обусловлено главным образом различием уровней фонового освещения, применявшегося в соответствующих экспериментах [16, стр. 453]. Джадд [17] ввел шкалу светлоты, где учитывается уровень фонового освещения YB. В этом случае светлота определяется выражением

Л = [ОДУ (Ув + 100)\цув + У).(7.3.8)

Интересно отметить, что эмпирическая шкала Джадда по своей форме аналогична соотношению (2.4.7), описывающему нелинейную модель отклика фоторецепторов сетчатки.

МЕТРИКИ ЦВЕТА

Для определения цветовых различий можно ввести детерминированную меру, если рассматривать цветовое пространство, определяемое тремя координатами цвета, как евклидово пространство. Тогда цвет [С/, заданный значениями трех координат 7\, Т2 и 北，будет отделен от цвета [Са] с координатами цвета 7\ + + А7\, 7\ + 厶灭 м Тз + А7з расстоянием А {&, &}, определяемым соотношением

厶2 {&, С2} = (АЛ)2 + (АТ/ + (АТ3)2. (7.3.9)

Если данная мера различия цветов согласуется с субъективными представлениями, то при всех значениях координат цвета одинаковые приращения Д |СЬ С2} должны соответствовать одинаковым едва заметным (пороговым) различиям цветов. Другими словами, уравнение Д2 [&, С2} = 1 должно описывать сферу радиуса в одну пороговую единицу различия цветов с центром в точке (Тн 丁2，7з)・ Исключением являются только те точки, которые соответствуют чистым основным цветам — красному, зеленому и синему. Эксперименты показали, что человеческое зрение наиболее чувствительно к единичным изменениям синей координаты цвета, а наименее чувствительно ——к зеленой [18].

Чтобы достигнуть лучшего соответствия меры (7.3.9) результатам субъективных испытаний, можно положить, что цветовое пространство является римановым. По определению расстояние в римановом цветовом пространстве выражается как

А2 Са}=玄玄 g〃 (AM)(5), (7.3.10)

где коэффициенты g* являются функциями Ть Т2» Тз・ Приравняв выражение (7.3.10) единице, получим уравнение эллипсоида с центром в точке (Тъ Т2, Т?). Установлено, что цвета, едва заметно отличающиеся от данного цвета, можно довольно точно описать эллипсоидами в пространстве основных цветов.

Выражение (7.3.10) применяется в колориметрии в качестве меры различия цветов, если расстояние между ними не превышает нескольких пороговых единиц. Если же цвета различаются сильнее, то следует суммировать элементарные приращения вдоль кратчайшего пути, соединяющего соответствующие точки цветового пространства. Тогда глобальная мера различия цветов будет задана соотношением

d{& С?} =»&{&,盡}.. (7.3.11)

вдоль кратчайшего пути

В евклидовом пространстве таким кратчайшим путем является прямая линия. В римановом пространстве кратчайший путь, называемый геодезической линией, в общем случае проходит вдоль некоторой кривой. Мут и Перселс [19], а также Джейн [20] составили программы для вычисления расстояний между цветами, основанные на построении геодезических линий в пространстве цветов. На основе этих программ удалось создать весьма точную метрику цветового пространства, но для проведения вычислений требуется много времени.

Пользоваться римановой метрикой (7.3.10) сравнительно сложно, поэтому естественно возникает вопрос, существует ли такое отображение трехмерного пространства с координатами 7\, 7\,北 на евклидово трехмерное пространство с координатами Tlt 夕2, Тз, при котором метрика различия цветов сохраняется неизменной. В этом новом пространстве приращения координат цвета должны удовлетворять соотношению

搜£, С2\^^Т^ + т^ + т^ (7312) так, чтобы поверхность едва различимых цветов представляла собой сферу с центром в точке (看，冗，Tj. Было показано [16, стр. 513 ], что в общем случае не существует линейного преобразования, в точности обладающего требуемыми свойствами. Однако было найдено несколько линейных преобразований со свойствами, близкими к заданным. Международная комиссия по освещению (МКО) приняла систему координат UVW, основанную на работах Джадда [21] и Мак-Адама [22 ]. В этой системе расстояния между цветами на пороге различения оказываются почти одинаковыми. На рис. 7.3.2, а приведены результаты измерений едва заметных отличий цветов, выполненных Мак-Адамом [23]. Множества едва отличимых цветов аппроксимированы эллипсами и представлены на графике цветностей в координатах %, у. Если эти же данные представить на графике цветностей с координатами и, и (рис. 7.3.2, б), то эллипсы становятся более близкими по размерам и заметно округляются. Фарнсуорт [24] нашел нелинейное преобразование, в результате которого эллипсы Мак-Адама (в пределах точности измерений Мак-Адама) превращаются в окружности (рис. 7.3.3). К сожалению, это преобразование выражается в виде сложной функции координат цветности х п у и требует выполнения громоздких вычислений.

В системе координат UVW расстояние между цветами равняется

А2 {&, С2}=瓦(AU)2 + 局(AV? + 庵(厶月 (7.3.13) где kt ——постоянные.

Человеческий глаз более чувствителен к изменению оттенков темных цветов. Стремясь использовать зто обстоятельство, МКО

Рис. 7.3.2. Эллипсы Мак-Адама для пороговых различий цветов в системах координат XYZ и UVW [23]. Размеры эллипсов увеличены в 10 раз.

а ——график цветностей в координатах^, у； 6 — график цветностей в координатах и, 6

временно ввела в качестве стандартов системы координат Lab и U* V* W*, в которых изменения цветности и светлоты должны быть заметны в равной степени [25]. В этих системах различие цветов определяется величинами

拼{&, С2}=自(AL)2 + 自。。户 + 自(Ab)*(7.3.14а)

厶2 {&, &}=財(А(/*)2 + 局(АУ*)2 + ks (ДГ*)2. (7.3.146) Одним из недостатков меры различия цветов в системе U* V* W* является неразличимость разницы в цветовом тоне и насыщенности цвета. Считается, что различия в цветовом тоне гораздо более заметны, чем различия в насыщенности цвета. Поэтому была введена система координат S0VIZ, в которой S пропорцио-

Рис. 7.3.3. Нелинейное преобразование эллипсов Мак-Адама на графике цветностей в системе координат XYZ [24].

нально насыщенности, а 0—цветовому тону [26, стр. 152]. Различие цветов в этой системе измеряется величин。立

А” {&, &}=瓦(AS)2 + k2 (Д0)2 + k3 (AUZ*)2. (7.3.15) Если цвет имеет очень слабую насыщенность, т. е. близок к серому, то изменения цветового тона не имеют особого значения. На этом основании была введена еще одна мера различия цветов [26, стр. 152]:

笛{&, &}-自(AS)2 + 局〔(Si + SJ/2F (A9)2 +

+ 左3(А吋)2.(7.3.16)

Все приведенные выше формулы являются результатами попыток создать субъективно-однородную меру цветовых различий. Экспериментов, которые позволили бы определить ценность каждой из них, проведено мало, так что вопрос о выборе подходящей меры все еще остается открытым.

ВЕРНОСТЬ ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ ОДНОЦВЕТНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Построению и развитию системы количественных мер верности воспроизведения одноцветных изображений уделялось большое внимание [27—32]. Разумные меры верности должны хорошо согласовываться с результатами субъективных оценок для широкого класса изображений, не требуя при этом чересчур сложных вычислений. Кроме того, желательно, чтобы эти меры имели простую аналитическую форму и их можно было бы применять в качестве критериев оптимальности при оптимизации или выборе параметров систем обработки изображений.

Количественные меры верности воспроизведения одноцветных изображений можно разделить на две группы: одиночные и парные. Одиночная мера представляет собой число, сопоставляемое любому изображению на основе анализа его структуры. Парная мера является числовым результатом взаимного сравнения двух изображений.

Измерения верности в цифровой системе обработки изображений можно провести, используя либо непрерывное изображение, сформированное из массива отсчетов, либо сам этот массив. Обычно предпочитают второй способ, так как он проще с нрактинеско立 точки зрения. Однако, для того чтобы измерения на массиве отсчетов согласовывались с результатами субъективных оценок, воспроизводящее устройство не должно создавать больших или по крайней мере непредсказуемых искажений изображения. Ниже сначала будут введены меры верности изображений, получаемые на основе непрерывных двумерных функций, а затем представлены их дискретные варианты и описано соотношение между ними.

Рассмотрим непрерывную функцию F (х, у), описывающую изображение, которая определена в прямоугольной области ——Lr^

х Lxt ——Ly w g W 厶夕 Предположим, что эта функция получена путем двумерной интерполяции массива отсчетов изображения F (/,々)[при —J w j w J и —К w h W К1 согласно соотношению

F(x, У)= 1: 1' F (<, k)R(x— / Ах, y — k Ау), (7.4.1) где R (х, у)——непрерывная интерполяционная функция, а А% и Ад—шаги дискретизации.

Одиночную оценку верности в общем виде можно представить соотношением

Q= J f O\F｛x, y)\dxdy,(7.4.2)

где б?卜｝——некоторый (возможно, нелинейный) оператор. Критерии верности часто формулируют с использованием преобразований Фурье. В таком случае обобщенная форма одиночной меры верности имеет вид

Q = j j 0 ｛歹(3"，3，)｝血)*血)〃， (7.4.3)

где 歹(со*, со»)——непрермвны立 двумерный спектр Фурье изображения F (х, у). Одна из наиболее простых мер подобного рода —— предложенное Штрелем [33, стр. 461 ] отношение

Q = "^» (7.4.4) J J 歹/(3彳，sQ ds# d®g

где ^j^x, a)y) — спектр исходного изображения. Первоначально это отношение использовалось для оценки качества элементов оптических систем. Спектральные составляющие оптического изображения в некоторой реальной оптической системе обычно уменьшаются по величине и, возможно, изменяются по фазе по сравнению с теми же составляющими в идеальной (безаберрацион- ной) оптической системе, свойства которой ограничиваются только дифракционными явлениями. Составляющие с высокими пространственными частотами, как правило, ослабляются в наибольшей степени. С учетом определения преобразования Фурье (1.6.6а) отношение Штреля (7.4.4) сводится к F (О, 0)/F; (0, 0), т. е. к отношению центральных отсчетов реального и идеального изображений. Таким образом, отношение Штреля по существу является простой мерой уменьшения контраста реального изображения по сравнению с идеальным. Отношение Штреля в некоторой степени соответствует субъективным представлениям о качестве изображения, однако эксперименты показывают, что это соответствие не всегда полное. В частности, известны примеры изображений, которые обладали достаточно высокой дешифрируемостью, несмотря на то что отношение Штреля для них было небольшим [34].

Другим классическим примером одиночной меры верностиДругим классическим примером одиночной меры верностиизображения служит пропускания, равнаяизображения служит пропускания, равнаявеличина эквивалентного прямоугольникавеличина эквивалентного прямоугольникаQ =Q =по определению [35]J J I舒但,3/2%%出%.по определению [35]J J I舒但,3/2%%出%.(7.4.5)(7.4.5)

Другим классическим примером одиночной меры верности

Другим классическим примером одиночной меры верности

изображения служит пропускания, равная

изображения служит пропускания, равная

величина эквивалентного прямоугольника

величина эквивалентного прямоугольника

Q =

Q =

по определению [35]

J J I舒但,3/2%%出%.

по определению [35]

J J I舒但,3/2%%出%.

(7.4.5)

(7.4.5)

При возведении в квадрат возрастает вес составляющих изображения с низкими пространственными частотами, поскольку они, как правило, имеют большую величину. Однако и эта мера также не очень хорошо согласуется с результатами субъективных испы- тани立.

у)/(%, у)dxdy.у)/(%, у)dxdy.Попытки создания парных мер качества изображения имели несколько больший успех. Рассмотрим пару изображений, состоящую из некоторого эталонного (или идеального) изображения F (х, у) и его искаженного варианта 尸(х, у). Одной из мер «близости» двух изображений является их взаимная корреляция, равная по определению

у)/(%, у)dxdy.

у)/(%, у)dxdy.

(7.4.6)

Обычно взаимную корреляцию нормируют относительно энергии эталонного изображения так, чтобы ее максимальное значение равнялось единице. Нормированная взаимно-корреляционная мера — коэффициент корреляции — имеет вид

J j F(x, y)F^y}dxdy

(7.4.7)

Согласно теореме Парсеваля (1.6.16), значения коэффициента корреляции можно вычислить по спектрам на основе соотношения

須須(7,4.8)(7,4.8)J J 歹(3外 fi)“)^* (fi)x, 3G da)x dsy

須

須

(7,4.8)

(7,4.8)

Jj I 歹(倏，©i，) I2 d(nx dw^

При восприятии изображений важную роль играют контуры предметов. Поэтому Эндрюс [36] предложил пользоваться коэф-

фициентом корреляции лапласианов изображений, определяемым как

J J (磅+吟)歹(吗，3")歹* (吗，%) de* d小

*=二^(7.4.9).

J J 3"吟)I 歹(％, 3〃)『ds* de〃

Напомним, что в силу соотношения (1.6.19) умножение спектра 夕(со*, s&) на квадрат частоты эквивалентно применению оператора Лапласа, что приводит к обострению контуров изображения, описываемого функцией 尸(х, у). Эксперименты, выполненные Эндрюсом на изображениях, которые были преобразованы с помощью фильтров низких и высоких пространственных частот, показывают, что обычный коэффициент корреляции остается довольно большим даже в том случае, когда очень сильно подавлены высоко- и среднечастотные компоненты изображения и субъективно оно воспринимается как низкокачественное, а коэффициент корреляции лапласианов быстро уменьшается при сужении полосы низкочастотного фильтра. Можно, однако, получить низкокачественные изображения с большими искажениями в области низких пространственных частот, для которых коэффициент корреляции лапласианов оказывается сравнительно большим.

Еще одним парным критерием верности изображений является нормированная абсолютная ошибка — разность функций, описывающих эталонное и искаженное изображения:

Lx Ly[f \O{F{x, y)}-O{F{x, y)}\dxdyLx Ly[f \O{F{x, y)}-O{F{x, y)}\dxdyJ J I0{尸(修 y)} \dxdy ~Lx~LyJ J I0{尸(修 y)} \dxdy ~Lx~Ly

Lx Ly

[f \O{F{x, y)}-O{F{x, y)}\dxdy

Lx Ly

[f \O{F{x, y)}-O{F{x, y)}\dxdy

J J I0{尸(修 y)} \dxdy ~Lx~Ly

J J I0{尸(修 y)} \dxdy ~Lx~Ly

При обработке изображений в качестве меры ошибки чаще всего применяется нормированная среднеквадратическая ошибка, равная

с, у)} —。{力(尤,у)}]2 dx dy

(7.4.11)

\O {F (x, y)}\2 dxdy

На практике обычно предпочитают пользоваться среднеквадратической, а не абсолютной ошибкой, поскольку первая удобнее для анализа, чем вторая. Именно поэтому проводились усиленные поиски таких преобразований, при которых среднеквадратическая ошибка преобразованной функции была бы хорошо согласована с субъективными оценками. В основном, конечно, рассматривались пространственные линейные и поэлементные нелинейные преобразования. Довольно много внимания уделялось степенным, а также логарифмическим преобразованиям. Исследовались операторы линейных пространственных преобразований, такие, как оператор градиента, оператор Лапласа и оператор свертки. Кроме того, рассматривались комбинации вышеупомянутых поэлементных и пространственных преобразований.

Выражение для ошибки можно также представить с помощью спектральных характеристик. В этом случае нормированная среднеквадратическая ошибка определяется соотношением

JJ |0 {歹(山，Sy)} — 0 伊(tov, Sy)} Fdsxdoy

W = E—— (7.4.12)

J J10 {歹仞，Sy)} |2 ds* dsy

Интересный частный случай линейного преобразования ——это частотное взвешивание, когда

0 {夕®, ®)}=犷®…j 歹 g, sj (7.4.13) где "(①尤,со/——весовая функция. Выражение для частотновзвешенной среднеквадратической ошибки получается в виде

J j [ У (з* Sg) [2 ]歹(3%, Зу)—翁(3巾 co,) I2 ds* d(dy

(7.4.14)

H 丨 #(3#，3g) |21 歹(叫，Sy) |2 d3* d3y

Следует отметить, что формула (7.4.14) совершенно эквивалентна выражению (7.4.11) для среднеквадратической ошибки, если оператор 。卜} соответствует свертке, осуществляемой линейным фильтром с частотной характеристикой

施但，5)= 1#但，3/. (7.4.15)

Уайлдер [37] провел глубокое исследование свойств абсолютной и среднеквадратической ошибок в дискретной форме применительно к степенному, логарифмическому и градиентному преобразованиям, а также к преобразованию Лапласа. Искаженные образцы изображений получались моделированием процесса

кодирования исходного изображения с помощью различных алгоритмов. Было выяснено, что поэлементные преобразования в сочетании с критериями абсолютной и среднеквадратической ошибок не позволяют получить критерия верности, согласующегося с субъективными оценками. Меры ошибки, основанные на преобразовании Лапласа и градиентном преобразовании, имеют наибольшую корреляцию с субъективными оценками, но коэффициент корреляции не превышает 0,8, т. е. и эти критерии недостаточно надежны.

Большинство попыток найти приемлемые критерии верности изображения относится к частным случаям. Предлагается некий критерий, основанный на каких-то физиологических предпосылках, а чаще просто удобный для анализа и вычислений, а затем оцениваются его свойства. Другой подход к проблеме состоит в копировании процесса выработки оценки человеком, т. е. свойства изображения должны измеряться в той метрике, которая присуща человеческому мозгу. При таком подходе оцениваемое изображение сначала проходит предварительную обработку и только потом оценивается его верность. При этом аппроксимируются, насколько это возможно, процессы, фактически происходящие в начальных звеньях зрительной системы человека. В гл. 2 была описана модель входного каскада зрительной системы человека, состоящая из трех звеньев. Двумерная линейная система с импульсным откликом "о (х, у) представляет оптические элементы глаза. Звено, выполняющее поэлементное нелинейное преобразование 〃 卜}, моделирует отклик фоторецепторов. Вторая двумерная система с импульсным откликом HL (х, р) описывает процесс латерального торможения. Преобразование, выполняемое всей моделирующей системой, описывается выражением

0{F(匕 у}\ = HL (х,加*。“{修0(招 У) * F(x, у)}. (7.4.16)

Манное и Сакрисон [2] провели обширные измерения для разработки надежного среднеквадратического критерия верности одноцветных изображений, опирающегося на модель зрительной системы человека. Эффекты в оптической системе глаза, приводящие к ухудшению его разрешающей способности, при этом не учитывались, и соотношение (7.4.16) приводилось к более простому виду:

b{F(x，У)} = %(х, y)*^N{F(x, у)}. (7.4.17) В этих экспериментах исходное распределение интенсивности, описывающее исходное изображение, подвергалось поэлементному нелинейному преобразованию по степенному или логарифмическому закону, а затем ——пространственной фильтрации с частотной характеристикой

能厶(З) = [с + (з/豌)"]ехр {-(3/3。卢}, (7.4.18)

где с, /?1( /?2 и з° —постоянные. Далее в полученное изображение вносились искажения, эквивалентные возникающим в процессе оптимального кодирования с заданным средним числом двоичных разрядов на элемент изображения. Затем искаженное изображение подвергалось обратной пространственной фильтрации с частотной характеристикой 非片(з) и обратному поэлементному нелинейному преобразованию. В результате получалось искажен-

必勿就частота q а必勿就частота q аA3J 決 mmujondauj宣l aD工EOUJODhA3J 決 mmujondauj宣l aD工EOUJODh“ Входной сигнал /“ Входной сигнал /

必勿就частота q а

必勿就частота q а

A3J 決 mmujondauj宣l aD工EOUJODh

A3J 決 mmujondauj宣l aD工EOUJODh

“ Входной сигнал /

“ Входной сигнал /

Рис. 7.4.1. Характеристики 缙厶(со) и 0% {•}, обеспечивающие наилучшее субъективное качество изображений при моделировании процесса кодирования [2]. а — частотная характеристика; б — характеристика поэлементного нелинейного преобразования.

ное изображение в виде распределения интенсивности. Все эти операции выполнялись над дискретным изображением. Подобная процедура повторялась для различных изображений при разных значениях среднего числа двоичных разрядов и других параметров. Качество полученных изображений оценивалось субъективно по семибалльной шкале места в группе (табл. 7.1.2) и ранжированием. Оказалось, что при одинаковом среднем числе двоичных разрядов на элемент наивысшие оценки и места в группе получили те изображения, которые подвергались действию фильтра с частотной характеристикой, приведенной на рис. 7.4.1. Кроме того, нелинейное преобразование по степенному закону с показателем х/3 дало гораздо лучшие результаты, чем логариф-

мическое преобразование. Исследования Манноса и Сакрисона показали также, что предварительная обработка согласно равенству (7.4.17), выполненная перед кодированием изображения, создает более благоприятные условия для кодирования. Результаты этих исследований удостоверяют еще и полезность применения среднеквадратического критерия верности с метрикой «геодезического пространства», характерного для человеческого зрения. Для количественного изучения этого критерия верности необходимы дальнейшие исследования.

В системах цифровой обработки изображений для определения верности воспроизведения обычно гораздо удобнее использовать дискретные отсчеты, а не аналоговые изображения. Поэтому важно найти критерии верности на основе дискретных отсчетов, которые хорошо согласуются с результатами субъективных оценок непрерывных изображений.

Непосредственный способ получения таких критериев верности состоит в простой «дискретизации» соответствующих аналоговых критериев. Так, например, нормированную среднеквадратическую ошибку (НСКО), описывающую различие между отсчетами 户(厶 /?) непрерывного эталонного изображения 户(х, у) и отсчетами 户(/, /?) непрерывного искаженного изображения 尸(х, 办 можно представить как

^ = I У 1<У{Р(1,切一000,同F 2： *。俨(j,田}F /=1 I j=l 々=1

(7.4.19)

Можно показать, что эта мера совпадает с соответствующей «непрерывной» мерой, описываемой соотношением (7.4.11), если при дискретизации обоих изображений удовлетворяется критерий Найквиста. К сожалению, в реальных системах обработки изображений отсчеты, на основе которых создается воспроизводимое непрерывное изображение, не являются его найквистов- скими отсчетами, так как воспроизводящее устройство вносит свои искажения и в нем трудно осуществить оптимальную двумерную интерполяцию. Тем не менее необходимость часто вынуждает пользоваться характеристиками, подобными (7.4.19), даже в тех случаях, когда они неточны.

В табл. 7.4.1 указаны некоторые наиболее распространенные критерии верности, основанные на оценках нормированных среднеквадратических ошибок (НСКО) для дискретных изображений. Еще одним широко применяемым критерием верности является так называемая пиковая среднеквадратическая ошибка (ИСК。), определяемая соотношением

丿 k

ПСКО = (1Ж) S У [G (/, k)~G О,团产/42, (7.4.20) /=11

где G (/, /?) — преобразованное изображение, соответствующее определению, приведенному в табл. 7.4.1, а число А равно максимальному значению G (/,自.Среднеквадратические ошибки часто

Таблица 7,4,1

Критерии верности, основанные на оценкахнормированных среднеквадратических ошибок»для дискретных одноцветных изображений

Без преобразования

J КJ к

неко=£ £•1f 0，也)一金(门)代/£ £/(//)产

С поэлементным преобразованиемJ КJ К

НСКО = X £ [G0, k)-G(/,舟产/£ у, (G(j,左)代j=l』1/=1 I

Степенной закон

G (/$) = / (Л^)Г

Логарифмический закон

G (/, М) = % logb 伏2 + k3F (/,盼]

С преобразованием Лапласаj—1 К-1J-1 к—】

НСКО = Е £ [6(/, k)-G(/,初2/£ £ [6(/,初2,j=2 论=2J=2 fe=2

где

G(j,也)=尸(/十1/)十尸(j-l,舟十尸(j,论+1)十尸(/,m一1)一4尸(/,也)

С использованием свертки/裁Гк

НСКО = X £ [G (/, A)-G (/,切2/£ £ [6 (/,初2, ^^l 启=1j=l /г^l

где

G(j,论)=[F (x, у)^Н (х, у)]д(х ~ j ^xt у — hNg)

измеряют в децибелах и рассматривают как отношение сигнал/шум (С/Ш):

(С/Ш)н = —10 1g (НСКО)(7.4.21а)

или

(С/Ш)п = —10 1g (ПСКО).(7.4,216)

Имея дело с операторами пространственных преобразований, такими, как оператор Лапласа или оператор свертки (табл. 7.4.1),

не следует забывать, что массивы отсчетов изображений имеют конечные размеры. Поэтому пределы суммирования [в выражениях, подобных (7.4.19) или (7.4.20) ] необходимо ограничивать центральными областями массивов G (j, /?) и G (/, /?) с тем, чтобы избежать краевых эффектов, которые появляются при аппроксимации непрерывных интегралов свертки дискретными суммами. Более подробно эти вопросы рассматриваются в гл. 11.

ВЕРНОСТЬ ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ ЦВЕТНЫХ

ИЗОБРАЖЕНИЙ

Разработка количественных критериев верности воспроизведения цветных изображений является гораздо более трудной задачей, чем создание таких критериев для одноцветных изображений. Это обусловлено не только увеличением числа величин, описывающих изображение, но и необходимостью учета большего числа психологических факторов, связанных с восприятием цветов. Критерий верности воспроизведения цветных изображений должен согласовываться с мерой различия цветов и такими явлениями, как цветные полосы Маха и цветовая адаптация.

В разд. 7.3.2 было получено выражение для меры различия цветов

33

△2{&, С2}= S ^gt^Tt5，(7.5.1)

где АТ, обозначает разность координат цвета, a g〃・一весовые коэффициенты, зависящие от координат цвета. Исходя из этой формулы, примем за критерий верности воспроизведения цветных изображений нормированную среднеквадратическую ошибку. По определению эта мера равна

JJSS—oo £=1 /=1JJSS—oo £=1 /=1833

JJSS

—oo £=1 /=1

JJSS

—oo £=1 /=1

gijlTi (х, y) — Tt (х, y)][Tj(x, у) — Tj (х, g)J dxdy

oo 33'

gliTt (x, у) Tj (x, у) dxdy

—00 4=1 /=1

(7.5.2)

где Tt (x, у) и Ti (х, у) —— цветовые компоненты эталонного и искаженного изображений соответственно. Среднеквадратическую ошибку довольно трудно вычислять по этой формуле, так как в нее входят перекрестные члены —произведения различных координат цвета. Кроме того, весовые коэффициенты g^ не постоянны, а зависят от координат цвета. Как было отмечено при

рассмотрении вопроса о метрике цвета, не существует такого линейного преобразования, при котором перекрестные члены исчезали бы полностью. С помощью нелинейных преобразований координат, описанных в гл. 3, осуществляется переход к цветовому пространству U*V求步* или Lab, временно принятым МКО в качестве стандартных пространств с равномерным распределением яркости и цветности. В пространстве U*V*W*, например, выражение для среднеквадратической ошибки имеет вид

U 的 w* (х, у) - 0* (х, д)]2 + 瓦(V* (х, у) - О* (х, у)]2 +

冒=+ 色 丁 (爲 9)-炉* (% 9)户)dxdy(7.5.3) JJ 的欧(芻 у)У + 厶[V*(X, g)]2 + 及"* (% 勿代)dxdy

При другом подходе к выбору среднеквадратической меры верности воспроизведения цветного изображения используются некоррелированные между собой координаты цвета； полученные в результате преобразования первичных координат. Такую декорреляцию можно провести с помощью разложения Карунена — Лоэва, описанного в гл. 3. Исчезновение перекрестных членов в полученной таким образом мере интуитивно обосновывается тем, что координаты цвета являются статистически некоррелированными. Преобразование Карунена——Лоэва определяется ковариационной матрицей координат цвета Тг (х, у) исходного изображения, которую необходимо либо измерить (оценить), либо получить из модели данного класса цветных изображений. Система координат YIQ оказалась довольно близкой к системе Карунена—Лоэва [38]. По этой причине среднеквадратическую ошибку, вычисленную для координат У, /, Q, часто применяют как меру верности воспроизведения цветных изображений. К сожалению, пока нет достаточных данных, чтобы судить о согласованности мер, рассмотренных в этом разделе, с результатами субъективных оценок.

Третий способ определения верности воспроизведения цветных изображений состоит в вычислении ср ед некв адр этической ошибки в цветовом геодезическом пространстве, согласующемся с некоторой моделью цветового зрения человека. Для подобной модели, приведенной на рис. 2.5.3, среднеквадратическая ошибка имеет вид

оо 3] оо 3

行=j j £ [g； (x，切-由(％加『dxdy\ff S【&(%加产dx弘'

、(7.5.4)

где gt (х, у)——сигналы, получаемые из сигналов колбочек е； (х, у) с помощью следующих преобразований:

gi(x, s = %(X, у) * 10g0 (х,初(7.5.5а)

& (%, У)=也(х，У) * log ［鶴%］，(7556)

g3(%, У) = "з(х，У) * log ［號*卜］•(7.5.5b)

Переменные & (х, у) в свою очередь связаны с координатами цвета Т( (х, д) некоторым линейным преобразованием

е = МТ,(7.5.6)

где М—матрица преобразования размера 3x3. Как и в предыдущих случаях, экспериментальная проверка пригодности геодезической меры ошибки почти не проводилась.

Приведенные выше меры верности воспроизведения непрерывных цветных изображений можно приспособить и для оценки дискретных цветных изображений, пользуясь методикой, примененной для дискретизации мер верности воспроизведения одноцветных изображений.

7・6・ ЭНТРОПИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Очевидно, что одни изображения являются более содержательными, чем другие, т. е. имеют больше деталей или при анализе из них удается извлечь больше данных. Детали, данные и другие подобные понятия являются качественными и довольно расплывчатыми. Поэтому часто бывает необходимо ввести количественные характеристики изображения, позволяющие оценивать предельные свойства алгоритмов кодирования, исправления и анализа изображений. Один из подходов к количественному описанию изображений состоит в применении теории информации ［39—42 ］.

Согласно методике, описанной в разд. 5.3, допустим, что матрица F размера ^X^, составленная из квантованных отсчетов изображения, будет заменена вектор-столбцом f размера QX1 (где Q = №), полученным путем развертки матрицы F по столбцам. В принципе такие векторы можно рассматривать как изображения на выходе некоторого источника, который может генерировать любой из возможных векторов. В одном из крайних случаев получается темное изображение с минимальной яркостью всех элементов, а в противоположном случае —изображение с максимальной яркостью. Между этими крайними случаями заключено множество различных изображений. Если яркость каждого из NxN элементов изображения квантуется на J уровней, то данный источник может создать Г = JQ различных изобра-

жений. Многие из них имеют хаотическую структуру и похожи на реализации двумерного случайного шума. Лишь очень небольшое число из Т возможных изображений будут такими, какие дал бы реальный датчик при наблюдении за окружающим миром. В принципе можно считать, что имеется априорное распределение Р (fz) (где / = 1, 2, ...» 7) вероятности появления каждого из возможных состояний вектора f. Измерить или промоделировать это распределение очень непросто, но сама идея в конце концов приводит к полезным результатам,

В 1948 г. Шеннон [39] опубликовал свою знаменитую книгу «Математическая теория связи» в которой был дан способ количественного описания свойств источников данных и систем передачи информации. В основе шенноновской теории информации лежит понятие об энтропии. При векторном описании изображения среднее количество информации в изображении равно энтропии источника:

〃⑴=一 £ 尸(L)log2尸(L). (7.6.1)

В данном определении энтропии применяются логарифмы с основанием два и энтропия измеряется в двоичных единицах. Энтропию источника полезно знать при кодировании изображений, поскольку согласно теореме о кодировании при отсутствии помех [39 ], теоретически можно закодировать без искажений изображения, создаваемые источником с энтропией Н (f), затратив на кодирование 〃(f) + £ двоичных единиц, где £ — бесконечно малая положительная величина. И наоборот, в принципе невозможно закодировать изображения без искажений, если число двоичных единиц меньше чем Н (f).

Вероятность появления Z-го вектора, описывающего изображение, можно выразить через совместное распределение вероятностей уровней яркости элементов изображения

P(L) = Pr{/⑴= г〃(1), f⑵=力2),・.・，f(Q) = 5(Q)}, (7.6.2) где 厂/g (д) —значение /-го уровня квантования для ^-го элемента х). Эту вероятность можно выразить также в виде произведения условных вероятностей:

Р (f) = Рг 仔⑴=/ ⑴} Рг 网2) = Г/2 ⑵ I f ⑴} Pr 1/(3)=

= r“(3)]f(2), f⑴}…Pr{f(q) =

= rl9(q)\f(q-\), /(7-2)，…，f⑵，『⑴}…Pr{/(Q) =

= r/Q(Q)lf(Q-1), f(Q — 2), ...,f(2), f(l)}. (7.6.3)

1)Предполагается, что источник изображений ие обладает памятью в том смысле, что распределение вероятностей для данного изображения ие зависит от того, какие изображения были созданы источником ранее.

Логарифмируя обе части равенства (7.6.3) по основанию два и учитывая определение энтропии (7.6.1), получаем

"⑴=一 £ 戶⑺噢 |Pr {/ ⑴=к (1)}]- T一

-1/ (L) log [Pr {%2) = s ⑵ I f ⑴H

—Г Р(.Ь)^Я.1р^и^)^г1Ч(д)\[(д-\),.J(l)}]

в(7.6.4)

В равенстве (7.6.4) q-e слагаемое, обозначенное через Н [/ (д) | |f (д — 1), ..., f (1)1, можно рассматривать как выражение для средней информации, содержащейся в q-й компоненте вектор-изоб- ражения f, при условии, что точно известны яркости предшествующих q — 1 компонент. Таким образом,

Q

H(f)= A H[f(q)\f(q-\), ...J(l)].(7.6.5)

Это выражение, описывающее энтропию источника изображений, является общим и не зависит от того, в каком порядке берутся элементы изображения. Рассмотрим теперь вид формулы (7.6.5) для двух случаев: 1) изображение развертывается по столбцам и 2) когда все элементы изображения поступают одновременно. Можно показать, что при развертке изображения по столбцам

H"(g)|f(q-1),…f(q — N>HU ⑷卄(q — l),・・・J(q — h)],

(7.6.6) где / > ^. Это означает, что информация, содержащаяся в д-й точке, с увеличением числа полностью известных предшествующих элементов изображения в среднем только уменьшается. Равенство обеих частей соотношения (7.6.6) достигается только тогда, когда яркости всех элементов распределены независимо х). Если количество известных предшествующих элементов неограниченно увеличивается, то правая часть неравенства (7.6.6) стремится к некоторому ненулевому предельному значению, обозначаемому как Я [/(7)I оо ].

Если пренебречь малосущественными для достаточно крупных изображений краевыми эффектами, то энтропию изображения можно приближенно выразить в виде

H(f)^QH[f(q)\oo].(7.6.7)

1)Равенство в соотношении (7.6.6) имеет место в том случае, если последовательность элементов, полученная в результате развертки, является марковской последовательностью не более чем ^-го порядка. При этом нет необходимости неограниченно увеличивать число предшествующих элементов для получения величины Н [/(д) | оо]. — Прим, ред.

Таким образом, можно считать, что энтропия всего изображения равна предельному значению условной энтропии одного элемента изображения, умноженному на полное число элементов.

В системах с разверткой изображения предельная условная энтропия определяется на основе конечной последовательности предыдущих элементов. Так, если этих элементов было 比 то

я [f(q)|81 A" [f(q)|f(q-l),…，f(q—切 (7.6.8) В явной форме

=£…f円f⑷，…"(一则叫丿需吵員二兀型)] /0-0/也=0

(769)

где совместное распределение вероятностей

P[f(q\ ■■■,f(q-k)] = 'Pr\f(q) = rj0(q), ...Jiq-k^

-rjk(q-k)\(7.6.10)

(厂川 ——уровни квантования яркости). Для вычисления условной энтропии (7.6.9) необходимо либо ввести модель совместного распределения вероятностей, либо измерить соответствующие распределения частот для изображения или некоторого класса изображений.

Таблица 7.6.1

Оценки энтропии изображения, полученные Шрайбером

Порядок

Функциональное выражение энтропии

Энтропия, бит/элемент

Первый

я [/(<?)]

4,4

Второй

«1/(<7)1/(<7-1)1

1,9

Третий

H"(g)lf(g-i), f(g-2)]

1,5

Шрайбер [43] оценил энтропию первого, второго и третьего порядка для нескольких изображений, квантованных на 64 уровня, измеряя распределения относительных частот того же порядка. Полученные распределения были подставлены в формулу (7.6.10) вместо соответствующих распределений вероятностей. При таком способе измерений предполагается, что источник изображений является стационарным и эргодическим, т. е. усреднение по ансамблю изображений можно заменить усреднением по отдельному изображению. Результаты измерений, проведенных Шрайбером для конкретного изображения, приведены в табл. 7.6.1. Для кодирования этого^изображения с помощью обычной ИКМ

требуются шестиразрядные кодовые слова, т. е. затрачивается 6 бит/элемент. Теоретически для его кодирования достаточно 4,4 бит/элемент при условии, что все элементы кодируются по отдельности. Если же использовать значение предыдущего элемента, то теоретический предел уменьшится до 1,9 бит/элемент. Иначе говоря, предыдущий элемент дает 2,5 бита информации об элементе / (q). Учет еще одного предшествующего элемента дает всего 0,4 бита дополнительной информации. Таким образом, оказалось, что в данном изображении большая часть дополнительно извлекаемой информации содержится в небольшом числе предыдущих элементов.

Выше был описан метод оценки энтропии изображения, развернутого по столбцам, при котором предельная условная энтропия Я [f(q) I оо] аппроксимируется условной энтропией, вычисленной с учетом нескольких предыдущих элементов в том же столбце. Такой метод можно применить для оценки энтропии изображения, когда все его элементы поступают одновременно.

Допустим, что q = (Q + 1)/2 обозначает номер центрального элемента вектора f с нечетным числом элементов. Тогда совместное распределение вероятностей можно представить в виде

P(f) = Р [f ⑴]Р If (Q) ! f ⑴"[/ (2) ； f(Q), f (1)]

…尸丨 f (力丨 f (Q)， f (Q - 1),…，〃q + 1), 〃q — 1),

(2)丿(1)】・(7.6.11)

Повторяя рассуждения, которые привели к соотношению (7.6.7), энтропию источника изображений можно выразить приближенным равенством

” (f) q QH 炉⑷ I f (Q), f (Q — 1),…，f(q + 1), f(q - 1),…,

f (2), f (1)L(7.6.12)

Полученное «двустороннее» выражение для условной энтропии можно в свою очередь аппроксимировать, учитывая только ближайшие элементы столбца:

Н ⑴-Q"疗⑷ Ш? + 初…，f(9 + 1), f (q — 1),

f(q — A)L(7.6.13)

Развивая эту идею, можно включить в выражение для оценки энтропии все элементы вектора, которые имеют достаточно сильные статистические связи с f (q). Во многих случаях такие элементы оказываются геометрически ближайшими к исследуемому. Поэтому можно принять следующую оценку энтропии:

"(f) Q Q" [f (q) I f (q — 1), f(q+l), 〃g—修)，

f(q+AOL(7.6.14)

7 Прэтт У.

где N ——длина столбца, а энтропия элемента f (q) определяется значениями ближайших четырех элементов, находящихся сверху, снизу, справа и слева от него

Прейс [44 ] вычислял энтропию двухградационных факсимильных документов, используя несколько предшествующих элементов развертки. К сожалению, из-за чрезмерного объема необходимых вычислений трудно оценить энтропию многоградационных изображений даже с использованием упрощенной формулы (7.6.14). Для вычислений по этой формуле необходимо получить распределение частот пятого порядка, причем число возможных значений каждого аргумента равно числу уровней квантования яркости. Приходится делать печальный вывод, что вычисление энтропии в принципе позволяет оценивать «содержательность» изображения, однако для многоградационных изображений такие вычисления практически невыполнимы2).

СКОРОСТЬ СОЗДАНИЯ ИНФОРМАЦИИ ИСТОЧНИКОМ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Скорость создания информации некоторым источником определяет минимальную величину пропускной способности канала, которая необходима для передачи сообщения с заданным допустимым уровнем искажений в принятом сообщении относительно переданного [45, 46 ]. Был предпринят ряд попыток [2, 47—50] при-

Рис. 7.7,1. Блок-схема системы передачи информации.

способить теорию информации к задачам передачи изображений с тем, чтобы определить предельные возможности систем кодирования изображений. В данном разделе приведены основные положения этой теории, сформулированные применительно к изображениям на основе обзорной статьи Дэвиссона [50 ].

На рис. 7.7.1 приведена упрощенная блок-схема системы передачи изображений. Источник создает последовательность из Q элементов изображения, каждый из которых квантуется на j уровней. Эта последовательность образует вектор f размера QXL В кодере каждому из Т = JQ возможных сочетаний яркостей &, где I = 1, 2, ..., Т, ставится в соответствие кодовая комбинация.

1)Вывод выражения для энтропии изображения, когда все его элементы поступают одновременно, не вполне корректен. Оценка (7.6.14) дает заниженное значение энтропии.—— Прим. ред.

2)Можно получить оценки энтропии изображения^ нсп ользуя его вероятностные модели. — Прим, ре。.

После декодирования восстанавливается сочетание яркостей 力?. Характеристики системы передачи изображений можно описать с помощью условной вероятности Р [厶丨力]вектора tk на выходе при условии, что кодированию подвергался вектор %. Если кодер и декодер работают без ошибок, то входной и выходной векторы изображения (при отсутствии ошибок в канале) будут одинаковыми. Условная вероятность Р if/|fj] описывает работу системы передачи изображений при наличии искажений. На основании этой условной вероятности и распределения априорных вероятностей находим безусловное распределение вероятностей восстановленных векторов

Р而)= ? 尸&匕)尸(l).(7.7.1)

Требования к пропускной способности канала определяются количеством взаимной информации, по определению равной

% (f，?) = II/d) Р & I %) log 团 & I L)/P (3)L (7.7.2)

При безошибочном кодировании это выражение упрощается:

/q (f, ?) = — £ 尸(3) log [P (3)]三 Я (f),(7.7.3)

1=1

т. е. количество взаимной информации оказывается равным энтропии источника. Если в процессе кодирования вносятся искажения, то восстановленная последовательность 力 содержит неполную информацию о состоянии Д- и требования к пропускной способности канала будут уменьшены.

Допустим, что функция О (f, f) представляет собой некоторую меру искажений воспроизведенного изображения. Тогда для вектора из Q элементов средняя величина искажений в расчете на один элемент будет определяться равенством

С = ± Е {П (f, ?)} = 3 £ £n (L,匕)Р (L) Р & I fz). (7.7.4) Определим для этого вектора скорость создания информации в расчете на один элемент как

RQ(A)= inf[%/Q(f,?)](7.7.5)

при. D V D* б В принципе Rq (DJ и есть минимальная пропускная способность канала, необходимая для передачи информации,

1)Символ inf [■ ] обозначает инфинум аргумента.

создаваемой источником, когда искажения в среднем не должны превышать некоторой максимальной величины D*. Скорость создания информации источником R (D*) можно найти, увеличивая длину вектора до бесконечности:

R(D*) = lim[RQ(。*)].(7.7.6)

Q->8

Как правило, отыскать минимум количества взаимной информации при условии, что средняя величина искажений не должна превышать заданного предела D^ сложно как аналитическими, так и численными методами. Получено несколько решений для каналов связи, используемых на практике. Одно из них относится к источнику с гауссовым распределением вероятностей при оценке искажений среднеквадратической мерой. Такое решение нельзя непосредственно применить к задаче о кодировании яркостей элементов, поскольку яркость — неотрицательная величина. Кроме того, среднеквадратическая мера искажений может оказаться неподходящей. Однако решение, полученное для гауссова источника и среднеквадратической меры искажений, позволяет указать предельные возможности системы кодирования для любых источников с заданными вторыми моментами. Кроме того, это решение непосредственно переносится на задачу о кодировании с преобразованием. Поэтому ниже будут рассмотрены свойства скорости создания информации для случая гауссова источника и среднеквадратической меры искажений.

Рассмотрим вектор f, образованный Q независимыми гауссовыми случайными величинами с нулевыми средними и известной дисперсией о2. Среднеквадратическая ошибка определяется формулой

D(f, f)u%£Eg(g) — f⑷月.(7.7.7)

Было найдено [45], что скорость создания информации

D . J%log2(d/n*) прн。2>°*, (7.7.8a)

R (D*) = Rq (DJ = ( о при o2 < D*.(7.7.86)

Таким образом, скорость создания информации равна половине логарифма отношения мощности сигнала к мощности искажений, если это отношение превышает единицу, и нулю в противном случае. Если элементы последовательности, создаваемой гауссовым источником, коррелированы и ковариационная матрица К/ известна, то скорость создания информации равна [50]

% g) = 土 士 3 嗨｛砌爲t，(779)

где л (q) —q-e собственное значение матрицы К" a D** выбрано так, что

2==古 £ minB(q), £)**].(7.7.10)

При обработке изображений представляет интерес частный случай двумерного разделимого марковского источника, когда все элементы имеют одинаковые дисперсии, равные о2, а коэффициенты

О/юНормироЬаннол среднекёадратическая ошибка Е/б ?О/юНормироЬаннол среднекёадратическая ошибка Е/б ?/ 夕 3 2 / 0 ulHaNaKMEn© InnhBodiHn/ 夕 3 2 / 0 ulHaNaKMEn© InnhBodiHn勿0

О/ю

НормироЬаннол среднекёадратическая ошибка Е/б ?

О/ю

НормироЬаннол среднекёадратическая ошибка Е/б ?

/ 夕 3 2 / 0 ulHaNaKMEn© InnhBodiHn

/ 夕 3 2 / 0 ulHaNaKMEn© InnhBodiHn

Рис. 7.7.2. Зависимость скорости создания информации от величины искажений при одно- и двумерном кодировании изображений — реализаций марковского поля.

R (°*) == — logaR (°*) == — loga『d(l p3]—~『d(l p3]—~(7.7.11)(7.7.11)корреляции вдоль строк и столбцов равны соответственно рл и р©・ Если предположить, что степень искажений невелика, то скорость создания информации для однородного случая равна [50]

R (°*) == — loga

R (°*) == — loga

『d(l p3]—~

『d(l p3]—~

(7.7.11)

(7.7.11)

а в двумерном случае

R (2) = 4 1咆[色上察上⑥j •(7.7.12)

На рис. 7.7.2 приведены графики зависимости скорости создания информации от величины искажений при различных значениях коэффициентов корреляции. В гл. 24 проведено сравнение характеристик некоторых систем кодирования изображений с предельными характеристиками.

ДЕШИФРИРУЕМОСТЬ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Определение количественной меры дешифрируемости изображения, т. е. степени его пригодности для анализа наблюдателем, является гораздо более сложной задачей, чем измерение верности воспроизведения изображений. Факторы, влияющие на дешифри- руемость, глубоко связаны со свойствами человеческого зрения. Способность человека-наблюдателя извлекать из изображений нн； формацию зависит, очевидно, от физических свойств зрительной системы, которые определяются, в частности, оптическими свойствами глаза, нелинейной реакцией фоторецепторов на яркость и наличием латерального торможения. Однако алгоритмы обработки данных, поступающих от глаза в мозг, играют важную и, по-види* мому, решающую роль в процессе извлечения человеком визуальной информации из изображения. Поскольку механизмы зрительного восприятия пока изучены слабо, то в настоящее время попытки создать критерий дешифрируемости изображений, основанный на модели зрительной системы человека, представляются безнадежными. Следует скорее остановиться на каких-то частных критериях, которые достаточно хорошо согласовывались бы с результатами субъективных оценок.

В большинстве экспериментов по экспертной оценке дешифрируемости изображений используются простые штриховые фигуры, как, например, оптометрические таблицы, составленные из подобранных случайным образом букв разного размера. На рис. 7.8.1 представлены четыре контрольные таблицы, применявшиеся в экспериментах по распознаванию объектов [51]. Таблицы Лан- дольта [52, 53 ] составлены из строк буквы С, которая может находиться в любом из четырех (или восьми) возможных положений, причем размеры букв от строки к строке уменьшаются. Цифровая таблица составлена из «криволинейных» цифр 3, 5, 6, 8 и 9, ориентированных случайным образом. В таблице из звездочек в каждом символе отсутствует какой-то один из шести лучей. Наблюдатель должен распознать символы во всех таблицах; результаты эксперимента выражаются в виде зависимости^вероятности правильного ответа от размера символа. Подобные эксперименты на дискретизованных вариантах четырех таблиц, показанных на рис. 7.8.1, проводил Бернард [51 ]. Результаты приведены на рис. 7.8.2. В этих экспериментах были дискретизованы изображения на диапозитивах, затем к отсчетам прибавляли гауссов шум и результаты записывались на фотопленке в виде диапозитива. Как и ожидалось, с уменьшением размеров символов вероятность распознавания монотонно убывает. Бернард заметил также, что в экспериментах с цифрами наблюдается больший разброс, чем в опытах со звездочками или с таблицами Ландольта. Кроме того, оказалось, что вероятность правильного различения цифр зависит от их ориентации.

Так, при распознавании повернутой цифры «3» ошибки делали чаще, чем при распознавании такой же цифры, стоящей в нормальном положении. Можно предполагать, что в экспериментах со

.• 、 、♦♦•、，、 、・・・・4 ・“，，♦， \ ・，...t■二二二二：二二：二•二:：：：：.•“.• 、 、♦♦•、，、 、・・・・4 ・“，，♦， \ ・，...t■二二二二：二二：二•二:：：：：.•“//4 4**★ * * * * * * * * W * * *■ *4 4**★ * * * * * * * * W * * *■ *支★ T * * *支★ T * * ** * » # 4r # «* * » # 4r # «> « « « » * » »> « « « » * » »* ¥ * *. ¥ * * ★ ★ * ★ ★ ★ ¥ * ★ *

.• 、 、♦♦•、，、 、・・・・4 ・“，，♦， \ ・，...t

■二二二二：二二：二•二:：：：：.•“

.• 、 、♦♦•、，、 、・・・・4 ・“，，♦， \ ・，...t

■二二二二：二二：二•二:：：：：.•“

/

/

4 4**

★ * * * * * * * * W * * *■ *

4 4**

★ * * * * * * * * W * * *■ *

支★ T * * *

支★ T * * *

* * » # 4r # «

* * » # 4r # «

> « « « » * » »

> « « « » * » »

****** 寸*# ★** ******

$*★$$**$*★$$***-，*-**-*-，*-**-q*i* » »»，《$*** 上* ■，才q*i* » »»，《$*** 上* ■，才Рис. 7.8,1. Испытательные таблицы для экспериментов по распознаванию символов [51

$*★$$**

$*★$$**

*-，*-**-

*-，*-**-

q*i* » »»，《$*** 上* ■，才

q*i* » »»，《$*** 上* ■，才

а — кольца Ландольта с четырьмя поэнцнямн; 6 — кольца Ландольта с восемью позн* цнями; а — цифры; а — звездочки.

звездочками и таблицами Ландольда такой зависимости не наблюдалось потому, что у этих символов нет «стандартной» ориентации. Бернард [51 ] для предсказания результатов эксперимента по различению человеком символов в таблицах Ландольта применял

"^顾密纟qEOOHEHOdag

QESOHEHOdag

234

"размер символа

QEOOHEBOdaE

QEUOHEbodagQEUOHEbodag〃 8 о 4 2 〃Z 4 u с 4〃 8 о 4 2 〃Z 4 u с 47/размер символа7/размер символа

QEUOHEbodag

QEUOHEbodag

〃 8 о 4 2 〃

Z 4 u с 4

〃 8 о 4 2 〃

Z 4 u с 4

7/размер символа

7/размер символа

Рис. 7,8.2. Результаты экспериментов по распознаванию символов [51 ].

а — таблица цифр： б — таблица с кольцами Ландольта (четыре позиции); 6 — таблица с кольцами Ландольта (восемь позиций); а — таблица звездочек.

теорию согласованной фильтрации D. Вероятность правильного распознавания М ортогональных сигналов (7И ориентаций символа) в присутствии аддитивного гауссова шума аппроксимировалась [54 ] выражением

Р = (1//*) J ехр [一判[% + % erf {j/MWf + 刃产т dz,

(7.8.1)

I)Анализ свойств двумерных согласованных фильтров представлен в гл. 19.

где S/N —отношение мощностей сигнала и шума. Как показано на рис, 7.8.2, 6, е, теоретические и экспериментальные результаты согласуются довольно хорошо.

Был проведен ряд опытов по оценке разборчивости цифробуквенных символов, переданных с помощью фототелеграфных аппаратов. Арпе и др. [55] обнаружили, что для достижения 97,5 %-ной вероятности правильного распознавания необходимо, чтобы разрешение при дискретизации символа было порядка одной десятой наибольшего размера символа. Эрдман и Нил [56 ] изучали, как изменяется разборчивость слов в зависимости от разборчивости букв, связности текста и других семантических факторов.

Проводились также исследования с целью определения «рабочих характеристик» человека при визуальном анализе многоградационных изображений [57 ]. Однако исследования в этом направлении все еще находятся на начальной стадии своего развития.

ЛИТЕРАТУРА

Pearson D. Е., Methods for Scaling Television Picture Quality, in: Picture Bandwidth Compression, Huang T. S., Tretiak O. J., Eds., Gordon and Breach, New York, 1972.

Mannos J. L., Sakrison D. J., The Effects of a Visual Fidelity Criterion on the Encoding of Images, IEEE Trans, Inf. Theory, IT-20, 4, 525—536 (July 1974).

Mertz P., Fowler A. D., Christoper H. N., Quality Rating of Television Images, Proc, iRE, 38, 11, 1269—1283 (November 1950).

Fredenhall G. L., Behrend W. L., Picture Quality-Procedures for Evaluating Subjective Effects of Interference, Proc. IRE, 48, 6, 1030—1034 (June I960).

Dean С. E., Measurements of the Subjective Effects of Interference in Television Reception, Proc. /RE, 48, 6, 1035—1050 (June 1960).

Prosser R. D., Allnatt J. W., Lewis N. W., Quality Grading of Impaired Television Pictures, Proc. IEE> 111, 3, 491—502 (March 1964).

Weaver L. E., The Quality Rating of Color Television Pictures, J. Soc. Motion Picture Television Engineers, 77, 6, 610—612 (J une 1968).

Lewis N. W., Waveform Responses of Television Links, Proc. IEE, 101, part III, 258—270 (1954).

Fisher J. F., Generation of NTSC Color Signals, Proc. IREt 41, 3, 338—343 (March 1953)

Luther A. C., Methods of Verifying Adherence to the NTSC Color Signal Specifications, Proc. /RE, 42, 1, 235—240 (January 1954).

Fink D. G., Ed., Television Engineering Handbook, McGraw-Hill, New York, 1957.

Cornsweet T. N., Visual Perception, Academis Press, New York, 1970.

Priest I. G.( Gibson K・ S., McNicholas H. J., An Examination of the Munsell Color System, I. Spectral and Total Reflection and the Muncell S^ale of Value, U. S. National Bureau of Standards, Technical Paper 167, 1920.

Ladd J. H., Pinney J. E., Empirical Relationships with the Munsell Value Scale, Proc. IRE (Correspondence), 43, 9, 1137 (1955).

Foss С. E., Nickerson D., Granville W. C., Analysis of the Ostwald Color System, J. Opt. Soc. Am., 34, 7, 361—381 (July 1944).

Wyszecki G. W., Stiles W. S., Color Science, Wiley, New York, 1967.

Judd D. В., Hue, Saturation, and Lightness of Surface Colors with Chromatic Illumination, J. Opt. Soc. Am., 30, 1, 2—32 (January 1940).

Wright W. D., The Sensitivity of the Eye to Small Colour Differences, Proc. Phys. Soc. (London), 53, 93 (1941).

Muth E. J., Pers els C. G., Computation of Geodesics in Color 3-Space by Dynamic Programming, Proceedings 4th Hawaii Conference on System Sciences, January 1971, pp. 155—157.

Jain A. K., Color Distance and Geodesics in Color 3 Space, J. Opt. Soc. Am., 62, 11, 1287—1290 (November 1972).

Judd D. B., A Maxwell Triangle Yielding Uniform Chromaticity Scales, J. Opt. Soc. Am.^ 25, 1, 24—35 (January 1935).

MacAdam D. L., Projective Transformations of ICI Color Specifications, J. Opt. Soc. Am., 27, 9, 294—299 (August 1937).

MacAdam D. L., Visual Sensitivities to Color Differences in Daylight, J. Opt. Soc. Am., 32, 5, 247—274 (May 1942).

Farnsworth D., A Temporal Factor in Colour Discrimination, Visual Problems in Colour, II. National Phys. Lab. Symposium, No. 8, London, Her Majesty冶 Stationary Office, 1958, p. 429.

Wyszecki G., Proposal for a New Color-Difference Formula, J. Opt. Soc. Am., 53, 11, 1318—1319 (November 1963).

Hunt R. W. G., The Reproduction of Colour, Wiley, New York, 1967.

Barnard T. W., A Literature Survey on Image Quality Evaluation, The Perkin Elmer Corporation, Engineering Report ER-177, June 1971.

Frieden B. R., Image Evaluation by Use of the Sampling Theorem, J. Opt. Soc. Am., 56, 10, 1355—1362 (October 1966).

Linfoot E. H., Quality Evaluations of Optical Systems, Optica Acta, 5, 1—2, 1―14 (March — June 1958).

O*Neill E. L., Introduction to Statistical Optics, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1963. [Имеется перевод: О1Нейл Э., Введение в статистическую оптику.—М.: Мир, 1966.1

Harris J. L., Sr., Image Evaluation and Restoration, J. Opt. Soc. Am., 56, 5, 569—574 (May 1966).

Harris J. L., Sr., Resolving Power and Decision Theory, J. Opt. Soc. Am., 54, 5, 606—611 (May 1964).

Born M., Wolf E., Principles of Optics, 4th ed., Pergamon, New York, 1970. [Имеется перевод: Борн M., Вольф Э., Основы оптики. —М.: Наука, 1973.]

Воусе В., A Summary Measure of Image Quality, Proceedings of a Symposium on Current Mathematical Problems in Image Science, Naval Postgraduate School, Monterey, California, November 1976.

Schade О. H., Modern Image Evaluation and Television, Appl. Op/., 3, 1, 17—23 (January 1964).

Andrews H. C., Computer Techniques in Image Processing, Academic Press, New York, 1970. [Имеется перевод: Эндрюс Г., Применение вычислительных машин для обработки изображений.——М.: Энергия, 1977.]

Wilder W. С., Subjectively Relevant Error Criteria for Pictorial Data Processing, Purdue University, School of Electrical Engineering, Report TR-EE 72-34, December 1972,

Pratt W. K., Spatial Transform Coding of Color Images, IEEE Trans. Com- mun. Tech., COM-19, 6, 980—992 (December 1971).

Shannon С. E., The Mathematical Theory of Communication, University of Illinois Press, Urbana, Illinois, 1949. (Orig. Pub., Bell Sy st. Tech. J., 1948.) [Имеется перевод: Шеннон К., Работы по теории информации и кибернетике. —М.: ИЛ, 1963, с. 243-332.]

Abramson N., Information Theory and Coding, McGraw-Hill, New York, 1963.

Ash R. B., Information Theory and Reliable Communication, Wiley, New York, 1968.

Gallagher R. G., Information Theory, Wi ley ■ I nter science. New York, 1965. [Имеется перевод: Галлагер P., Теория информации и надежная связь.—— М.: Советское радио, 1974.]

Schreiber W. F., The Measurement of Third Order Probability Distributions of Television Signals, IRE Trans, /". Theory^ IT-2, 3, 94—105 (September 1956).

Preuss D., Comparison of Two-Dimensional Facsimile Coding Schemes, International Communications Conference, 1975 Conference Record, Vol. 1, June 1975, pp. 7.12—7.16.

Berger T., Rate Distortion Theory: A Mathematical Basis for Data Compression, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1971.

Andrews H. C., Bibliography on Rate Distortion Theory, IEEE Trans. Inf. Theory (Correspondence}, IT-17, 198—199 (March 1971).

Hayes J. F., Habibi A., Wintz P. A., Rate Distortion Function for a Gaussian Source Model of Images, IEEE Trans. Inf. Theory (Correspondence}, IT-16, 507—508 (July 1970).

Sakrison D. J., Algazi V. R., Comparison of Line-by-Line and Two-Dimensional Encoding of Random Images, IEEE Trans. Inf. Theory, IT-17, 386— 398 (July 1971).

Tasto M., Wintz, P. A., A Bound on the Rate-Distortion Function and Application of Images, IEEE Trans. Inf. Theory, IT-18, 150—159 (January 1972).

Davisson L. D., Rate Distortion Theory and Applications, Proc. IEEE, 60, 7, 800—808 (July 1971). [Имеется перевод: Дэвиссон. Скорость создания сообщений. Теория и применение.——ТИИЭР, 1972, т. 60, № 7.]

Barnard Т. W” An Image Evaluation Method, A Symposium on Sampled Images, Perkin-Elmer Corporation, Norwalk, Connecticut, 1971.

Landolt E., Tableau d*Optotypes pour la Determination de JAcuite Visuel, Society Francois d'Ophthol, 1889, p. 157*

Cowan A., Test Cards for Determination of Visual Acuity, Arch. Ophthol, 57, 283—295 (1928).

Schwartz M., Bennett W. R., Stein S., Communication Systems and Techniques, McGraw-Hill, New York, 1966, p. 85.

Arps R. B. et aL, Character Legibility Versus Resolution in Image Processing of Printed Matter, IEEE Trans. Man-Machine Systems, MMS-10, 3, 66—71 (September 1969).

Erdmann R. L., Neal A. S., Word Legibility as a Function of Letter Legibility with Word Size, Word Familiarity, and Resolution as Parameters, J. Appt, Psyche 52, 5, 403—409 (1968).

Snyder H. L„ Im^e Quality and Observer Performance, in: Perception of Displayed Information, Biberman L. M., Ed., Plenum Press, New York, 1973.

Часть 3

Дискретная линейнаядвумерная обработка

В третьей части книги с единых позиций анализируются дискретные линейные операции, выполняемые при двумерной обработке. Даны определения обобщенных линейных операторов и операторов псевдообращения. Введено несколько видов дискретных двумерных операторов суперпозиции и свертки и установлены соотношения между ними. Представлены двумерные преобразования, такие, как преобразования Фурье, Адамара, Карунена —— Лоэва, и описаны быстрые алгоритмы вычисления. Рассмотрен вопрос о применении двумерных преобразований как эффективного средства выполнения свертки. В заключение описаны рекуррентные методы линейной обработки изображений.

Глава 8

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Многие операции, выполняемые при обработке изображений, по своей природе являются линейными. В число таких операций входят суперпозиция, свертка, унитарные преобразования и дискретная линейная фильтрация.

ОБОБЩЕННЫЙ ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР

Рассмотрим массив 尸(孔i, п2) из А^ХА^ элементов, представляющий исходное (входное) изображение. При воздействии на него обобщенным линейным оператором получается массив из М1хМ2 элементов, описывающий преобразованное (выходное) изображение

Р (恤，m2)= 3 Г Fg 〃2)O(〃i, п,- тъ 恤)，(8.1.1)

где ядро оператора О (nlt п2; т「加纟)представляет собой набор весовых множителей, зависящих в общем случае от координат элементов как входного, так и выходного изображений.

При анализе линейных операций по обработке изображений удобно пользоваться векторными представлениями, описанными в гл. 5 [1 ]. Поэтому будем полагать, что входной массив 尸(пь п2) представлен или в виде матрицы F, или в виде вектора f, полученного разверткой матрицы F по столбцам. Аналогичным образом допустим, что выходной массив Р (mlt mj может быть представлен либо матрицей Р, либо в виде ее развертки по столбцам, т. е. вектором р・ Для упрощения обозначений ниже будет принято, что матрицы, представляющие входное и выходное изображения, квадратные с размерами N* = N$ = N и 此 = М? = М соответственно. Допустим теперь, что символ Т обозначает матрицу размера Af2x№t с помощью которой вектор исходного изображения f размера №х 1 линейно преобразуется в вектор

p = Tf (8.1.2)

выходного изображения размера М2Х 1. Матрицу Т можно разделить на блоки ——матрицы Ттл размера MxN (число которых так-

же равно MxN) —и представить ее в следующем виде:-

Т= % % • • • Т?" .(8.1.3)

_Tmi Тм2 …Тмм_

В согласии с соотношением (5.3.3) вектор выходного изображения р можно выразить через матрицу входного изображения F:

р = I TN„Fv„.(8-1.4)

Кроме того, с помощью равенства (5.3.4) матрицу Р выходного изображения можно выразить через вектор р того же изображения:

р = Г M^puL(8.1.5)

Из этих формул получим выражение, связывающее между собой входную и выходную матрицы: м ^

Р = L I- (M^TNj F (vnu^).(8.1.6)

Заметим, что операторы М^ и N@ просто выделяют из матрицы Т блок Ттл. Следовательно, м N

р= L У TmnF (vX)-(8.1.7)

加=1 71=1

Пусть линейное преобразование является разделимым, т. е. матрицу Т можно представить в виде прямого произведения

Т = Tg 0 Тд,(8.1.8)

где Тс н 丁我 —операторы преобразования столбцов и строк матрицы изображения F. В этом случае

Tm；1t=* Tr (/и,孔)Tq(8.1.9)

Следовательно, м

P = %F X I TR(m, n)v„u^ = TcFTi (8.1.10)

Таким образом, матрицу выходного изображения Р можно получить путем последовательной обработки матрицы F по строкам и столбцам.

При обработке изображений во многих случаях оказывается, что оператор линейного преобразования Т имеет специфическую структуру, позволяющую упростить вычислительные операции. Ниже перечислены важные частные случаи, проиллюстрированные

на рис. 8.1.1, когда размеры входного и выходного изображений выбраны одинаковыми, т. е. М = N.

При обработке матрицы F только по столбцам

Т — diag[ТС1, ТС2, ..Тб],(8.L11)

где ТС/-——матрица преобразования для /-го столбца.

Рис. 8.1.1. Структура матриц линейного оператора.

и ——общий случай; б ——обработка только по столбцам;衣 ——обработка только по строкам: а — обработка только по строкам и столбцам.

При одинаковой обработке каждого столбца матрицы F Т = diag [Тс, Tq …，I'd = Тс 8 I”.(8.1.12)

При обработке матрицы F только по строкам

Тд = diag[%(т, и), ..Т^(т, 〃)],(8.1.13)

где Т&/ ——матрица преобразования для j・ft строки.

При одинаковой обработке каждой строки матрицы F

ТШ/1 == diag[T^ (m, и), 7五(加，孔)，TR (/и, n)], (8.1.14a)

T — lyy ® T*(8.1.146)

При одинаковой обработке столбцов и одинаковой обработке строк матрицы F

T = Tc8% + Iat8Tr.(8.1.15)

Число арифметических операций, выполняемых в каждом из этих случаев, указано в табл. 8.1.1.

Из соотношения (8.1.10) видно, что если двумерное линейное преобразование имеет разделимую матрицу, то его можно выполнить путем последовательной одномерной обработки строк и столбцов массива отсчетов. Как следует из табл. 8.1.1, для таких преобразований удается существенно сократить число необходимых вычислительных операций: в общем случае при вычислении по

Таблица 8.1.1

Число арифметических оптаций при линейном преобразовании

Общий

^4

Обработка по столбцам

Обработка по строкам

Обработка по строкам и столбцам

Обработка при разделимой матрице

2^3 一 " 2

2ЛР

Случай

Число умножений и сложений

формуле (8.1.2) требуется М2№ операций, но если можно воспользоваться формулой (8.1.10), достаточно Л4№ + М2М операций. Более того, в этом случае матрицу F можно хранить в запоминающем устройстве (ЗУ) с последовательным доступом, например на диске или на барабане, и считывать строка за строкой, т. е. отпадает необходимость хранения матр и цы F в более дорогостоящем ЗУ с произвольным доступом. Необходимо, однако, транспонировать результаты преобразований по столбцам с тем, чтобы выполнить построчные преобразования. В работах [2, 31 описаны алгоритмы транспонирования матриц, записанных в ЗУ с последовательным доступом.

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРИ ЛИНЕЙНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ

Если массив отсчетов входного изображения является реализацией случайного процесса с известными первым и вторым моментами, то для заданного линейного преобразования можно найти первый и второй моменты также и для массива отсчетов выходного изображения. Среднее значение выходного массива равно

e仍(色，恤)} = !■ f(mЬ n^0^^,电;""，m2) ■

Однако оператор усреднения линеен, и поэтому

北2；恤,mJ.(8216)北2；恤,mJ.(8216)Е {Р (m1，m2)} = e xe {尸(九1，电)}0(«i，

北2；恤,mJ.

(8216)

北2；恤,mJ.

(8216)

修1=1 n2=1

Корреляционная функция массива отсчетов выходного изображения имеет вид

Rpg,生；%，rn^^E{P(mlt m2)p*(m3,加4)} =

(ГM

=Е £ £ F(〃i,几2)。(如，&；加卜恤)У 2；尸*(%,%) х

I I 勺=1 n2 = 1?3 = 1 n4=1

又 0*（%, %；恤，恤））.（822a）

После перемножения рядов и вычисления среднего получается выражение

RP (mp恤；恤，砲)

Nt 必 Nt Л/3

-S Ъ X E Rf(〃1，〃2； %，％)。(％, 〃2； П1,恤)X %=1 〃2=1 Пз=1 л 4 = 1

хО*(&, %;优з,伍4), (8.2.26)

где Rf (几и 几/；几з,几J ——корреляционная функция массива отсчетов исходного изображения. Аналогично определяется и ковариационная функция обработанного изображения

Кр⑺口加2：罐4)=

& ^2 ^1 м

¥ !■ Г 2： Kf(&, /“； ％, “J。(公，小；加i,恤)义 n] = 1 % = 1 n3 = 1 〃 4 = 1

xO*(%,几4； m3, mJ (8.2.3)

Если массивы отсчетов входного и выходного изображений представлены в векторной форме, то выражения для их моментов можно записать более компактно. Среднее значение выходного вектора р

% = Е {р} = Е {Tf} = ТЕ № = Т|,(824)

а его корреляционная матрица

R。= Е {你**} = Е ⑺广什円=TRfT*?. (8.2.5) Ковариационная матрица вектора р

Kp = TKfT".(8.2.6)

11рименеиие этих теоретических положений к операторам суперпозиции и унитарного преобразования описано в последующих главах.

ОПЕРАТОРЫ ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ

При линейной обработке сигналов часто встречается задача «обращения» преобразования вида

р = Tf(8.3.1)

с тем, чтобы выразить точное значение входного вектора f размера Qx 1 или некоторую его оценку f через выходной вектор р размера Рх 1. Если Т — квадратная матрица, то очевидно, что

?=(Т)~1р,(832)

если обратная матрица существует. Если матрица Т не квадратная, то для отыскания решения можно воспользоваться псевдооб- ратной матрицей Т+ размера QxP. В этом случае

? = Т+р.(8.3.3)

Если решение существует и единственно, то «правильным» оператором псевдообращения будет тот, который обеспечивает точную оценку, т. е. f = f. Это означает, что вектор f можно определить по наблюдаемому вектору р без ошибок. Если решение существует, но оно не единственно, то с помощью псевдообратного оператора можно выбрать решение с минимальной нормой. Если, наконец, точных решений не существует, то с помощью оператора псевдообращения можно найти наилучшее приближенное решение. Более подробно этот вопрос рассмотрен в последующих разделах. Разъяснения и доказательства многих из нижеприведенных положений содержатся в монографиях [4——61.

Первым из операторов псевдообращения будет рассмотрен оператор с обобщенной обратной матрицей Т, для которой выполняются следующие соотношения:

ТТ- = (ТТ~)Г,(8.3.4а)

ГТ = (Т-Т)г,(8.3.46)

Тт-т = т,(8.3.4b)

ТТТ- = Г.(8.3.4г)

Обобщенная обратная матрица является единственной и при некоторых условиях ее можно записать в явном виде. Если Р 〉Q, то систему уравнений (8.3.1) называют переопределенной, т. е. число компонент наблюдаемого вектора р превышает число подлежащих оценке компонент вектора f. Если при этом ранг матрицы Т равен Q, то обобщенная обратная матрица

(8.3.5)(8.3.5)Т- = (ТгТ)-1 тг.

(8.3.5)

(8.3.5)

В противоположном случае, когда Р < Q, систему (8.3.1) называют недоопределенной. Если при этом ранг матрицы Т равен Р, то обобщенная обратная матрица имеет вид

Т- = ТГ (ТТг)-1.(8.3.6)

Нетрудно показать, что матрицы, определенные соотношениями (8.3.5) и (8.3.6), удовлетворяют условиям (8.3.4). Если матрица Т может быть представлена в виде прямого произведения (8.1.8), то обобщенная обратная матрица имеет вид

Г~ = ТЕ8Т£,(8.3.7)

где 联 и Тс —обобщенные обратные матрицы для линейных операторов обработки строк и столбцов. В этом случае сокращается объем вычислений, необходимых для обращения.

Еще один тип оператора псевдообращения имеет матрицу Ts, называемую матрицей обращения методом наименьших квадратов, которая определяется следующими соотношениями:

TTST = Т,(8.3.8а)

TTS = (TTS)t.(8.3.86)

И наконец, условно обратная матрица T# определяется формулой

ТТ*Т = Т.(8.3.9)

Анализ определений всех трех видов оператора псевдообращения показывает, что обобщенный обратный оператор является оператором обращения методом наименьших квадратов, а последний —— оператором условного обращения. Для любого линейного оператора с матрицей Т всегда существуют матрица обращения методом наименьших квадратов и условно обратная матрица, но они могут быть не единственными. Кроме того, для этих матриц обычно не удается найти явное выражение в конечной форме.

Ниже приведены некоторые полезные соотношения для матрицы Т", которая является обобщенной обратной матрицей относительно матрицы Т размера PxQ.

Обобщенное обращение транспонированной матрицы

[ТгГ»[Г"]г.(8.3.10)

Обобщенное обращение обобщенной обратной матрицы

[Гр = Т.(8.3.11)

Сохранение ранга

Ранг [Г] = Ранг [Т].(8.3.12)

Обобщенное обращение произведения матриц

[Т7Т]- = (Т)-(Т7)-,(8.3.13)

[АВ「= В-А-,(8.3.14)

где А и В —матрицы ранга R имеющие размеры PxR и RxP соответственно.

Обобщенное обращение произведения ортогональных матриц [АТВ「= ВТа',(8.3.15)

где А и В —ортогональные матрицы размера РхР и QxQ соответственно.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Систему линейных уравнений

p = Tf,(8.4.1)

где Т —матрица размера PxQ, можно рассматривать как систему из Р уравнений с Q неизвестными. Возможны три случая:

Система уравнений имеет единственное решение f, для которого Tf = р.

Системе уравнений удовлетворяют несколько решений.

Система уравнений не имеет точного решения.

Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то ее называют совместной, а в противном случае ——несовместной. Системы уравнений, не имеющие решений, часто получаются при исследовании физических систем, когда вектор р описывает последовательность измерений наблюдаемых величин, которые по предположению являются следствием воздействия некоторой недоступной для прямого наблюдения движущей силы, представленной вектором f. Матрица Т получается посредством математического моделирования характеристик реальной системы, для которой вектор р является выходным сигналом. При исправлении (реставрации) изображений вектор f обычно представляет исходное изображение, вектор р — смазанное изображение, а матрица Т описывает дискретную математическую модель процесса, приводящего к смазыванию изображения. Поскольку матрица Т и вектор р обычно определяются с некоторой погрешностью, может оказаться, что этот вектор не соответствует ни одному из возможных векторов воздействия f.

Рассмотрим теперь вопрос о существовании решений системы уравнений р = Tf. Из структуры системы уравнений видно, что решение будет существовать тогда и только тогда, когда вектор р может быть получен линейной комбинацией столбцов матрицы Т, В этом случае говорят, что вектор р лежит в пространстве столбцов матрицы Т. Более строгой формулировкой условия существования решения является следующая [4 ]: система уравнений р = =Tf имеет решение тогда и только тогда, когда для матрицы Т существует условно обратная матрица Т#, удовлетворяющая уравнению ТТ#р = р.

Значит, для существования решения необходимо, чтобы при отображении из пространства наблюдаемых изображений в пространство исходных изображений (с помощью условно обратной матрицы Т#) и обратно (с помощью матрицы Т) снова получался вектор наблюдаемых величин р. Если система уравнений является недоопределенной (Р < Q), то решение существует тогда, когда ранг матрицы Т равен А, т. е. полному числу строк. Во всех остальных случаях, в том числе и для переопределенной системы уравнений, существование решения необходимо проверять.

РЕШЕНИЕ СОВМЕСТНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Установив существование решения системы уравнений

p = Tf,(851)

следует определить характер решения: является ли оно единственным или же решений несколько, а также какой вид имеет решение? Ответ на последний вопрос содержится в следующей фундаментальной теореме 14 ]:

Если решение системы уравнений р = Tf существует, то в общем случае оно имеет вид

f = Т#Р 4-(I - Т*Т)V, ，(8.5.2)

где T# — матрица, условно обратная относительно матрицы Т, а V — произвольный вектор размера Qx 1.

Для доказательства умножим обе части соотношения (8.5.2) на матрицу Т:

Tf = ТТ*р 4-Т (I - Т#Т)V.(8.5.3)

Однако по условию существования решения ТТ#р = р. Кроме того, согласно определению условно обратной матрицы, Т (I — —Т*Т) = 0. Следовательно, Т f = р и вектор f является решением. Поскольку Tf = р, то, умножив обе части этого равенства на матрицу Т*, получим

Т#Т?=1р,(8.5.4а)

ИЛИ

Т#р-Т#Т?=0,(8.5.46)

Прибавив к обеим частям вектор f, получим

F= Т#р — Т#Т? + f = Т#р + (I — T#T)f. (8.5.5)

Этот результат совпадает с соотношением (8.5.2), если вектор f, стоящий в правой части формулы (8.5.5), заменить на произвольный вектор V,

Поскольку обобщенная обратная матрица Т* и матрица Ts обращения методом наименьших квадратов являются условно обратными, то общее решение системы (8.5.1) также можно представить в виде

?= Т$р +(I — Т$Т)у,(856а)

?= Т-р + (I - Т'Т) V.(8.5.66)

Решение очевидно, будет единственным, если Т#Т = LVbo всех подобных случаях Т'Т = I. Исследовав ранг матрицы Т~Т, можно доказать, что [4] если решение системы уравнений р = Tf существует, что оно единственно тогда и только тогда, когда ранг матрицы Т размера PxQ равен Q.

Отсюда следует, что если решение недоопределенной системы уравнений существует, то оно не единственно. С другой стороны, переопределенная система уравнений может иметь только одно решение.

Пусть для системы уравнений (8.5.1) может быть получено точное решение. Рассмотрим оценку

R = T+p = T+Tf,(8.5.7)

где Т+ обозначает одну из матриц, псевдообратных относительно Т, которая не обязательно будет совпадать с этим решением, поскольку произведение матриц Т+Т может не равняться единичной матрице. Величину ошибки, т. е. отклонение оценки f от истинного значения f, обычно выражают через квадрат разности векторов f и Г в виде произведения

况=(f-?)r(f-?),(8.5.8а)

или как

^£ = tr {(f-f)(f-f)T}.(8.5.86)

Подставив выражение (8.5.7) в (8.5.8а), получим

SE =广 U - (Т+Т)г][1 - (ГТ)] f.(8.5.9)

Значение матрицы Т+, при котором ошибка (8.5.8) оказывается минимальной, можно найти, приравняв нулю производную от ошибки 冒£ по вектору f. Согласно соотношению (5.1.34),

d%/df = 0 = 2 [I — (Т+Т)г] [I - (Т+Т)] f.(8.5.10)

Равенство (8.5.10) удовлетворяется, если матрица Т+ = Т*, т. е. является обобщенной обратной матрицей относительно Т. При этом ошибка оценивания уменьшается до минимума, равного

否£：=广[1 _ (TT)lf,(8.5.11а)

или

^ = tr{ff[I-(T-T)]).(8.5.116)

Как и ожидалось, ошибка становится равной нулю, когда Т~Т = —I. Это произойдет, например, если обобщенная обратная матрица Т~ имеет ранг Q и определяется соотношением (8.3.5).

ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ НЕСОВМЕСТНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Несовместность системы уравнений р = Tf означает, что ни для одной из возможных оценок f система не будет переходить в тождество при подстановке f вместо f. В таких случаях систему уравнений можно преобразовать к виду

p = Tf + e ⑴，(8.6.1)

где е (f)——вектор ошибки, зависящий от f. Найдем теперь такое значение оценки f, при котором оказывается минимальной величина ошибки, выражаемая двумя эквивалентными соотношениями： 若м = [е (f)]r [е (f)] = [р- Ttf [р 一 Tf], (8.6.2а) 否м =仃{[е (f)] [е (初1 = tr {[р - Tf][p -哺".(8.6.26) Пусть символ Т+ обозначает псевдообратную матрицу, с помощью которой получается оценка

?=Т+р.(8.6.3)

Прибавив и отняв произведение ТТ+р внутри обеих скобок соотношения (8.6.2а), получим

若М = [(I 一 ТТ+) р + Т (Гр - f)]r [(I - тт+)р + т (Т+р - f)].

(8.6.4)

После перемножения имеем

冒м = [(I 一 ТТ+) р『[(I 一 ТТ+) р] + [Т (Т+р — 评[Т (Т+р - f)] +

+ [(I 一 TT+) р『[Т (Т+р -f)l + [Т (Т+р — f)f [(I - тт+) р]. (8.6.5) Два перекрестных члена будут равны нулю, если ТТ+Т 二 Т и (ТТ+) = (ТТ+)т. Однако при выполнении этих условий матрица Т+ является матрицей обращения методом наименьших квадратов, т. е. Т+ = Ts. Тогда ошибка будет равна сумме двух положительных слагаемых:

否М = [(I - 厅)р门(I - TTS) р] +

+ [T(Tsp-f)nT(Tsp-f)]. (8.6.6)

Второй член равенства (8.6.6) превращается в нуль, так как f = =Т$р. Следовательно, ошибка уменьшается до величины

^м = р"1-ТТ$]р,(8.6.7а)

или, что то же самое,

否M = tr[pp'(I—TTS)].(8.6.76)

Как и ожидалось, ошибка равна нулю, если TTS = I.

Решение, полученное псевдообращением по методу наименьших квадратов, может быть не единственным. Если при псевдообращении ввести дополнительные условия Т+ТТ+ = Т н Т+Т = (T+T)rt при которых матрица Т+ является обобщенной обратной (т. е. Т+ = Т) то можно показать, что оценка, полученная с помощью этой матрицы (f = T~g), является решением с минимальной нормой в том смысле, что

fTf w 门，(8.6.8)

где F -— произвольная оценка, найденная методом наименьших квадратов. Если обобщенная обратная матрица Т- имеет ранг Q и удовлетворяет определению (8.3.5), то произведение ТТ_ не обязательно равно единичной матрице, а ошибку можно найти из соотношений (8.6.7). Если же матрица Т_ имеет ранг Р, т. е. соответствует определению (8.3.6), то ТТ~ = I и ошибка равна нулю.

В последующих главах будет показано, как данные теоретические положения применяются для исправления, анализа и кодирования изображений.

ЛИТЕРАТУРА

Pratt W, К・，Vector Formulation of Two Dimensional Signal Processing Operations, J. Computer Graphics and Image Processing, 4, 1, 1 —24 (March 1975), Academic Press, New York.

Eklundh J. O., A Fast Computer Method for Matrix Transposing, IEEE Trans. Computers, C-2i, 7, 801—803 (July 1972),

Twogood R. E., Ekstrom M. P., An Extension of Eklundh's Matrix Transposition Algorithm and Its Applications in Digital Image Processing, IEEE Trans. Computers, C-25, 9, 950—952 (September 1976).

(kaybill F. A., Introduction to Matrices with Applications in Statistics, Wadsworth, Belmont, Cal.t 1969.

Rao C. R., Mitra S. K・，Generalized Inverse of Matrices and Its Applications, Wiley, New York, 1971.

Albert A., Regression and the Moore — Penroce Pseudo inverse, Academic Press, New York, 1972. [Имеется перевод: Алберт А., Регрессия, псевдо- инверсия н рекуррентное оценивание.—М.: Наука, 1977.]

Глава 9

ОПЕРАТОР СУПЕРПОЗИЦИИ

Двумерный дискретный оператор суперпозиции определяется, во-первых, как оператор дискретной линейной фильтрации, применяемый к конечному массиву отсчетов, и, во-вторых, как дискретизованный оператор аналоговой фильтрации. Обычно эти два определения не эквивалентны. Ниже будут применяться оба определения. Кроме того, будет введен дискретный оператор суперпозиции с циклически (периодически) продолженной областью действия и описаны соотношения между тремя операторами.

ОПЕРАТОР СУПЕРПОЗИЦИИ КОНЕЧНЫХ МАССИВОВ

Рассмотрим сначала дискретный оператор суперпозиции конечного массива отсчетов 丄)尸(^, л2) (где nlt n2 L 2, ..., N) с конечным массивом Н (/1? %； 团1，团2) (где 厶，/2 = 1, 2,…，L), играющим роль импульсного отклика. В общем случае импульсный отклик может изменяться в зависимости от координат (^, m?) отсчета в выходном массиве Q. Операция суперпозиции в ограниченной области определяется соотношением

Q^i，m2) = X' Г («i，n^H^ — Пг + 1,

， 恤一%+ 1；m1> m2)，(9 丄 1)

где ть m2 = 1, 2, ..., M. а массивы Я и F имеют нулевые значения вне областей изменения соответствующих индексов. Анализируя предельные значения индексов отсчетов импульсного отклика, можно убедиться, что М = N + L — 1 и, следовательно, выходной массив Q имеет большие размеры, чем исходный (рис. 9.1.1).

Если массивы 尸 н Q представлены соответственно в виде вектора f размера №х 1 и вектора q размера Л42х 1, то преобразование (9.1.1) можно записать как [1 ]

(9.1.2)(9.1.2)q = Df,

(9.1.2)

(9.1.2)

Для простоты обозначений принято* что все массивы отсчетов квадратные.

где D —матрица размера М2х ^2, содержащая отсчеты импульсного отклика. Матрицу D оператора суперпозиции удобно раз-

Рис. 9.1.1. Суперпозиция конечных массивов отсчетов импульсного отклика и исходного изображения.

А ——массив пз N X N отсчетов изображения; 5 — повернутый на 180° массив из L X L отсчетов импульсного отклика.

делить на блоки D^, 口 размера MxN. Проанализировав пределы суммирования в выражении (9.1.1), можно показать, что

D =D =(9.1.3》(9.1.3》

D =

D =

(9.1.3》

(9.1.3》

Произвольный ненулевой элемент матрицы D имеет вид D^n^ (ml9 nJ = "(恤一勺+ 1,飞一电 + 1;恤，恤)，

(9.1.4) где 1 w & W Л\ a & w 恤 W & + L — L Отсюда следует, что матрица D имеет регулярную структуру и заполнена довольно редко, причем ненулевые блоки, группирующиеся в виде полосы в средней части матрицы D, содержат зоны нулевых элементов.

Если форма импульсного отклика инвариантна относительно сдвига (т. е. одинакова для всех точек выходного массива), то структура матрицы D не зависит в явной форме от координат (g, m?) выходного отсчета. Тогда

Dg, ns — Dg+i, %+i・Dg, ns — Dg+i, %+i・(9.1.5)(9.1.5)

Dg, ns — Dg+i, %+i・

Dg, ns — Dg+i, %+i・

(9.1.5)

(9.1.5)

Таким образом, все столбцы матрицы D образуются сдвигом первого столбца. В этом случае оператор суперпозиции называется оператором свертки конечных массивов. На рис. 9.1.2,а приведены полученные на ЦВМ распечатки матриц, фигурирующих в операции свертки конечных массивов, для случая, когда входной массив имеет размеры 2x2 (N = 2), выходной массив 4x4 (М =4), а массив отсчетов импульсного отклика 3X3 (L = 3). Пары целых

ао

Рис. 9.1.2. Примеры матриц операторов свертки конечных массивов.

а ——общий случай, М = 4, N = 2,丄=3; 6 — импульсный отклик гауссовой формы, М = 16, А = 8, 2 = 9.

чисел (i, /) 1) в матрице D обозначают (厶 /)-й элемент матрицы Н (厶 /). Структура матрицы D лучше видна на примере матрицы большего размера, показанной на рис. 9.1.2, 6. В рассматриваемой матрице Л4 = 16, Л/" = 8, L = 9, а импульсный отклик симметричен и имеет гауссову форму. Заметим, что в данном примере размеры матрицы D равны 256x64.

Пользуясь методикой, примененной при выводе соотношения (8.1.7), оператор суперпозиции можно представить в матричной форме

Q =汇 £ D^Fv謚. (9.1.6)

В этих парах отброшены запятые и пара индексов записывается как двузначное число. — Прим, перев.

Если импульсный отклик является инвариантным относительно сдвига и разделимым, т. е.

Н = hch%(9.1.7)

где h© и Ьй — вектор-столбцы, описывающие соответственно характер изменения импульсного отклика по столбцам и строкам, то

D = D(j ® Dr. (9.1.8)

М义 N и структуру видаМ义 N и структуру вида00Матрицы Dr и D, имеют размеры

М义 N и структуру вида

М义 N и структуру вида

0

0

仇⑴、…

ZiM2) 〃/D、、

J⑶6强⑵、

Операция двумерной свертки в этом случае сводится к последовательному вычислению одномерных сверток по строкам и столбцам. Таким образом,

Q = DcFD$. (9.1.10)

Для получения конечной свертки или суперпозиции в общем случае необходимо выполнить №L2 арифметических операций, причем в это число не входят умножения на нулевые элементы матрицы D. Если же оператор является разделимым, т. е. удовлетворяет равенству (9.1.10), то достаточно выполнить NL (М + ^) операций.

ДИСКРЕТИЗОВАННЫЙ ОПЕРАТОР СУПЕРПОЗИЦИИ

При цифровой обработке изображений во многих случаях требуется перевести в дискретную форму интегральный оператор суперпозиции, связывающий непрерывные изображения на входе и выходе линейной системы. Такие явления, как смазывание изображения, вызванное несовершенством оптической системы, апертурные искажения или искажения при наблюдении через турбулентную атмосферу, можно описать с помощью следующего интегрального уравнения:

5(%, у) = jj 戸(а, Р)7(х, у; а, p)dad£ (921a)

где F (%, //) и G (%, у) описывают соответственно входное и выходное изображения, а ядро 7 (х, у; а, 0) представляет импульсный отклик линейной системы》• Импульсный отклик может быть функцией четырех переменных ——координат точек входной и выходной плоскостей. Если линейная система является пространственно-инвариантной, то изображение на ее выходе можно описать с помощью интеграла свертки

8

G(x, g) = j J 户(а,卩)7 (х — а, g —卩)dad0, (9.2.16) —8

При дискретной обработке выходное изображение будет представлено отсчетами. Поэтому интеграл суперпозиции или свертки следует преобразовать так, чтобы явно выразить связь отсчетов выходного изображения со значениями функции, описывающей входное изображение. Вопрос о дискретном представлении интегральных преобразований важен, поскольку получающиеся при этом ошибки могут привести к большим ошибкам в обработанном изображении или даже к потере устойчивости процесса цифровой обработки. Кроме того, от выбора алгоритма дискретного представления, как правило, сильно зависит сложность самой обработки.

На первом этапе процесса дискретизации интеграла суперпозиции выходное изображение дискретизуется с помощью решетки из (2/ + 1) х (2丿 + 1) дельта-импульсов Дирака, разделенных интервалом AS. В результате образуется массив отсчетов )

G (й AS, /2 AS) = G(x, у^Ь^-н AS, у-"AS), (9.2.2)

где —J w 力 w J. Дельта-функцию можно ввести в подынтегральное выражение интеграла (9.2.1а); в результате получается соотношение

G (/； AS, ,2 AS) = J J 戸(а, р) 7(/х AS, /2 AS; а, р) da dp. (9.2.3)

Следует отметить, что дискретизация выходного изображения осуществляется по координатам плоскости наблюдаемого изображения (х, у) и не затрагивает текущие переменные (а, В), по которым проводится интегрирование.

На следующем этапе импульсный отклик следует ограничить по длительности. Для этого положим

/ (匕 У\ «, р) = 0(9.2.4)

при ] х — а ] >7 и I у — р I > 7. Тогда

九 AS+T ,2 AS+T

G (Л AS, /2 AS) = J j ?(а, ^(j^S, j^S; а, p)dad₽.

/1 厶S-T /8 AS-T

(9.2.5)

Следует отметить, что усечение импульсного отклика эквивалентно умножению его на весовую функцию («окно») У (х, у), равную единице внутри квадрата | х| <Т,\у\ < 7 и нулю за его пределами. Согласно теореме о спектре свертки, спектр получаемого после усечения изображения равен свертке спектров изображения G(x, у) и весовой функции (окна) У(匕力 причем спектр последней есть двумерная sinc-функция. Такое искажение спектра G (%, у) приводит к появлению паразитных компонент с высокими пространственными частотами, группирующихся вблизи частот, кратных 2л/Т (явление Гиббса). Искажения, вносимые при усечении, можно уменьшить, используя более, совершенные весовые функции» такие, как окна Бартлетта, Блэкмана, Хемминга или Ханна') [3], которые позволяют сгладить нежелательные эффекты, связанные с наличием разрывов прямоугольного окна. Выбор подходящего окна имеет большое значение, поскольку некорректность интегрального преобразования (9.2.1а) может привести к резкому усилению искажений, вызванных усечением импульсного отклика в процессе восстановления изображения.

Следующий этап процесса дискретизации состоит в том, что непрерывное исходное изображение F (а, 0) представляется набором значений описывающей его функции в узлах прямоугольной сетки с шагом Л/ и размерами @К + 1) X (2К +1). Эта операция является не взятием реальных отсчетов, а всего лишь математическим преобразованием, в результате которого получается массив

戸(自 ДД 局 А/)=戸(а, В) 6 (a —鱼 Д/, р —

—饱 А/),(926)

где К辽 W ki W Ku, причем Kil и Ktu обозначают минимальное и максимальное значения индекса %.

Иногда весовую функцию Ханиа. (U.von Напп) ошибочно называют《окном Хеннинга». Хеннииг (banning) — операция умножения на эту весовую функцию. — Прим, перев.

Если конечной целью является оценка непрерывного исходного изображения путем обработки реальных отсчетов наблюдаемого физического поля, то шаг А/ должен быть взят достаточно малым, чтобы для исходного изображения удовлетворялся критерий Найквиста. Это значит, что если исходное изображение имеет спектр конечной ширины, то расстояние между узлами следует положить равным соответствующему найквистовскому интервалу. В идеальном случае это обеспечивает возможность точного восстановления изображения 戸(х, у) посредством интерполяции оцененных значений 戸(自 А/,局 △/)•

Воспользовавшись формулами для приближенного вычисления интегралов, в равенстве (9.2.5) интеграл можно аппроксимировать суммой [2 ]. В этом случае реальные отсчеты изображения можно описать выражением

K\Uк2tz

GdAS, %AS)= £ Ik^J(h^,

j2 AS; &А/,自 A/), (9.2.7) где 仍(自，庵)一весовые коэффициенты в конкретной приближенной формуле, примененной для вычислений. Обычно пользуются формулой прямоугольников, для которой все весовые коэффици- циенты равны единице, В любом случае удобно объединить весовые коэффициенты и отсчеты импульсного отклика, так что Й (Д AS, /2 AS;自 А/, &А/)三

三仍(W 自)了伍 AS, RAS;自 A/), &A/). (9.2.8) Тогда

0U Ju_

G(AAS, j2AS)= Г £ 尸电 А/,局 A/) 〃0i AS,

勺=K@仆=0L

/2 AS;自 А/,自 А) (9.2.9)

Следует отметить, что функция Н не подвергалась дискретизации по двум первым переменным. В формулах просто фигурируют ее значения в соответствующих точках. Пределы суммирования в равенстве (929) равны

[^4т_ ^N^К灯=[力学 + 呑]у, (9.2.10)

где символ L In обозначает округление до ближайшего целого числа.

На рис. 9.2.1 приведен пример того, как реальные отсчеты G (j] AS, /2 AS) выходного изображения сопоставляются с узловыми

F(%AI,O)F(%AI,O)flflF(a,0)F(a,0)

F(%AI,O)

F(%AI,O)

fl

fl

F(a,0)

F(a,0)

00

6^

ss44rbrbООРис. 9.2.1. Соотношение между отсчетами реального изображения и значениями исходного изображения в узловых точках при численном представлении интеграла суперпозиции.Рис. 9.2.1. Соотношение между отсчетами реального изображения и значениями исходного изображения в узловых точках при численном представлении интеграла суперпозиции.TTL口L口44У оУ о1 21 2

s

s

4

4

rb

rb

О

О

Рис. 9.2.1. Соотношение между отсчетами реального изображения и значениями исходного изображения в узловых точках при численном представлении интеграла суперпозиции.

Рис. 9.2.1. Соотношение между отсчетами реального изображения и значениями исходного изображения в узловых точках при численном представлении интеграла суперпозиции.

T

T

L

口

L

口

4

4

У о

У о

1 2

1 2

Рнс. 9,2,2. Соотношение между областями расположения реальных отсчетов и узловых точек при численном представлении интеграла суперпозиции.

Л — исходное изображение; Б — область расположения отсчетов наблюдаемого изображения; В — область расположения узловых точек.

точками F (kr Д/, fe2 Д/) исходного изображения. В данном примере интервал между узлами выбран вдвое больше расстояния между реальными отсчетами. Значения импульсного отклика, использованные при вычислении суммы (9.2.9), показаны на этом рисунке точками.

В связи с дискретным представлением (9.2.9) линейного интегрального преобразования следует сделать важное замечание: независимо от соотношения между числом узловых точек и числом реальных отсчетов площадь исходного изображения F (х, у), на которой расположены узловые точки, влияющие на значения реальных отсчетов, всегда оказывается больше площади дискретизованного выходного изображения G (Д AS, /2 AS). Как показано на рис. 9.2.2, размеры обоих изображений с точностью до одного интервала дискретизации связаны соотношением

J AS + Т = К А/. (9.2.11)

Итак, построена дискретная конечная модель линейного интегрального преобразования, которая связывает отсчеты выходного изображения G (fx AS, /2 AS) со значениями элементов исходного изображения 尸(自 Д/, k2 А/) посредством математической операции дискретного линейного преобразования. Такая операция является аппроксимацией непрерывного преобразования, поскольку импульсный отклик 7 (х, у; а, 0) подвергался усечению, а интеграл вычислялся по приближенным квадратурным формулам. Ясно, что, расширяя область определения импульсного отклика, ошибку усечения можно сделать сколь угодно малой, хотя это и связано с увеличением объема вычислений. Ошибки за счет приближенного вычисления интегралов можно уменьшить, применяя более точные квадратурные формулы, но также ценой усложнения вычислений. Следует, однако, отметить, что дискретный вариант линейного интегрального преобразования является точной аппроксимацией последнего, если все функции пространственных переменных, входящие в формулу (9.2.1), имеют спектры ограниченной ширины, а интервалы при дискретизации выходного изображения и численном представлении исходного изображения выбраны в соответствии с критерием Найквиста [4]. Вопрос о точности и устойчивости дискретного представления рассмотрен в гл. 14.

Часто оказывается, что пользоваться соотношением (9.2.9) удобнее, если оно представлено в векторной форме. С этой целью нумерацию элементов массивов G и F следует изменить так, чтобы образовались соответственно массивы размерами Mx М и ^X^ с положительными индексами. Допустим, что

尸(勺 А/,孔2 А/)=户(月 А/,局 А/), (9.2.12а)

8 Прэтт У.

где /г.=总 + К + 1, а

G (/Пт AS, /и? AS) = G (A AS, /2 AS), (9.2.126)

где 恤=力 + J + 1. Кроме того, определим импульсный отклик так, что

Н (тг AS, /и? AS; пг Д/, n2 А/)=

=Я (я AS, /2 AS;自 А/,局△/)•(9.2.12b)

На рис. 9.2.3 показаны геометрические соотношения между этими функциями.

Рис. 923. Массивы отсчетовРис. 923. Массивы отсчетовизображения и импульсного отклика.изображения и импульсного отклика.

Рис. 923. Массивы отсчетов

Рис. 923. Массивы отсчетов

изображения и импульсного отклика.

изображения и импульсного отклика.

Дискретное преобразование (9.2.9) применительно к сдвинутым массивам имеет следующий вид:

G(m1 AS, /и2 As) = ££ F (^ А/, п2 Д/) И (^ AS,

/r^AS; Hj Д/, п2 Д7), (9.2.13)

где 1 w 仍 W М, а

Воспользовавшись методикой, описанной в гл. 5, можно сформировать векторы g и f, являющиеся разверткой матриц G и F по столбцам. Эти векторы связаны соотношением [1 ]

где В ——матрица размера М2 X №, имеющая следующую стр у к- ТУРУ：

Элементы матрицы В определяются равенством

Вт2, п2 (/ип 砧="(恤 AS, gAS; nr Д/, &A/) (9.2.16)

при 1 w 恤 w M, mi ^ nt ^ mi + L — 1, где L — [277厶/]川 + 1 есть нечетное целое число, ближайшее к размерам импульсного отклика, выраженным числом шагов дискретизации А/. В дальнейшем для простоты матрицу В будем называть матрицей смазывания • Если импульсный отклик инвариантен относительно смещения, т. е.

Н (A AS, /2 AS;自 А/,局 А/)=

=Н (厶 AS —自 Д//2 AS —居 A) (9.2.17) то операция дискретной суперпозиции (9.2.13) превращается в дискретную свертку:

G (^ AS, m2 AS) =$$ 尸(％ a/,九2a/)"(恤As _

『也n^N2L

—fi^ А/ -|~ ^T, /и? AS —孔2 A，+ 2T)・ (9.2.18)

Интересен частный случай, когда AS/Д/ =左，где k ——целое число. При этом

/711左+L一1 /?12左+l^**1

G (加;1AS, m2 AS) У f Fin^ Af, n? kl) H 'tn1khi — 仆=加伏 n2=m2k

-n^I-^iL-^M, m^M-n2 A/-|-(L- l)A/]( (9.2.19)

Теперь элементы матрицы смазывания равны

В* 仆(恤，％) = Н [铀々 А/ — n1A/ + (L — 1) А/,

/n2后 А/ -九2a/ + (L一 1) A4，(9.2.20) где \ ^ mL М ^ mL ^z nt mt + L — 1. Далее, если AS = Д/, то элементы матрицы смазывания принимают вид

Bm2t n2 (mb nJ = 〃 (恤一再 + L,加2 —电 + 厶).(9.2.21) Кроме того,

Вщ*, л3 = Вта+1,方+1・(9.2.22)

Следовательно, все строки матрицы В получаются сдвигов первой строки. Тогда оператор В является дискретизованным оператором свертки, а представление суммы (9.2.19) упрощается:

/71]+L一1 加8+L一1

G (恤，呜= X X尸(ni，%) " (恤一曲+厶，网一％ +厶).

(9.2.23)

На рис. 9.2.4, а приведена распечатка матриц дискретизованного оператора свертки, когда входной массив состоит из 4X4 отсчетов (У=4), импульсный отклик представлен 3x3 отсчетами (L=3), а выходной массив содержит 2x2 отсчета' (М = 2)・ На рис. 9.2.4, 6 показан вид матрицы В для случая более высоких размерностей, когда Л4 == 8, У = 16, L = 9, а импульсный отклик имеет гауссову форму.

11 12 13'

3323130 { 3222120；3121110；О ООО"О332313 1 0322212I0312111 >О ООО"0"-0в-0-0 j 石'W方一初亏三-W6 ]312?~T?~0.ОООО ； О332313；0322212 jО312111.3323130 { 3222120；3121110；О ООО"О332313 1 0322212I0312111 >О ООО"0"-0в-0-0 j 石'W方一初亏三-W6 ]312?~T?~0.ОООО ； О332313；0322212 jО312111.Рис. 9.2.4. ПримерыРис. 9.2.4. Примерыматриц дискретизованных операторов свертки.матриц дискретизованных операторов свертки.^ = 4, L = 3: б — импульсный отклик гауссовой бормы.^ = 4, L = 3: б — импульсный отклик гауссовой бормы.Н= 21 22 23 _31 32 33.

3323130 { 3222120；3121110；О ООО"

О332313 1 0322212I0312111 >О ООО

"0"-0в-0-0 j 石'W方一初亏三-W6 ]312?~T?~0

.ОООО ； О332313；0322212 jО312111.

3323130 { 3222120；3121110；О ООО"

О332313 1 0322212I0312111 >О ООО

"0"-0в-0-0 j 石'W方一初亏三-W6 ]312?~T?~0

.ОООО ； О332313；0322212 jО312111.

Рис. 9.2.4. Примеры

Рис. 9.2.4. Примеры

матриц дискретизованных операторов свертки.

матриц дискретизованных операторов свертки.

^ = 4, L = 3: б — импульсный отклик гауссовой бормы.

^ = 4, L = 3: б — импульсный отклик гауссовой бормы.

а

q — общий случай, М = 2, А1 == 8, ^ — 16, L = 9.

Допустим, что импульсный отклик является пространственноинвариантным и разделимым, т. е.

В = ВсО Вд,(9.2.24)

где матрицы Вл и Вс размера MXN имеют следующую структуру：

Ak(Q hR(L-1) •'• • ЛЛ(1р0…0 *

Bп=?、、屮)…•恢⑵宸⑴、、：• "25)

-0&(L)厶疝」.，

В этом случае вычисление двумерной свертки сводится к последовательному выполнению сверток по строкам и столбцам матрицы исходного изображения. Таким образом,

G = BcFB%.(9.2.26)

Для выполнения операции суперпозиции или вычисления свертки в векторной форме нужно провести ML2 арифметических операций, причем в это число не входят умножения на нулевые элементы матрицы В. Если же оператор свертки разделим, то для вычислений в матричной форме достаточно ML (М + ^) арифметических операций.

Предположим, что при одном и том же импульсном отклике размера LxL к массиву отсчетов изображения размера УХУ с целью моделирования процесса непрерывной суперпозиции применены оператор суперпозиции конечных массивов и дискретизованный оператор суперпозиции. Тогда массив, обработанный первым оператором, совпадает с массивом, полученным в результате действия второго оператора, который окружен полосой из L — 1 лишних элементов ) и наоборот, если размеры обработанных массивов будут одинаковыми, то L ——1 пограничных элеме- тов массива, полученного с помощью оператора конечной суперпозиции, окажутся искаженными. Таким образом, следует с осторожностью применять оператор суперпозиции конечных массивов для моделирования непрерывных процессов.

ОПЕРАТОР ЦИКЛИЧЕСКОЙ СУПЕРПОЗИЦИИ

При использовании оператора циклической суперпозиции массивы отсчетов входного и выходного изображений, а также импульсного отклика должны быть периодическими по пространственным переменным с одинаковым периодом. Для единства изложения примем, каки прежде, что все эти массивы имеют конечные размеры. Допустим также, что массив исходных отсчетов 尸(孔工,п^ размером ^X^ помещен в левый верхний угол массива, содержащего JA J нулей (J > У), т. е. образуется расширенный массив

~е (%,九2)=尸(九1,电)при 1 < nz < ^,(9.3.1а)

Fe(rtj, л2) = 0 при 乂+1(9.3.16) Аналогично формируется расширенный массив отсчетов импульсного отклика:

НЕ (1Ъ /2; т^ /и2) = Н (1Ъ /2;恤，加2)пРи \ « 八《L,

(9.3.2а)

〃е &,勾；加и /и?) = 0 пРи 厶 + 1《厶《 丄 (9.3.26)

Далее образуем периодически продолженные массивы FE (пъ п2) и НЕ (А, %； 7nт，烧2), повторяя (размножая) расширенные массивы с периодом в / отсчетов. Циклическая свертка этих массивов по определению равна

Ке(“，/Па) = £ £ FP(nlt 电)Нр(/П1 —勺十 1,

恤一电+1；恤，％)• (9.3.3) Бросается в глаза сходство данного выражения с равенством (9.1.1), описывающим суперпозицию конечных массивов. В самом деле, если J выбрано так, что J = N + L — 1, то F^ (恤,m2)= =尸(加卜 /и?) при 1 w 恤 W 林 Следует также отметить сходство циклической суперпозиции с суперпозицией дискретизованных массивов. Эти соотношения становятся более ясными, когда используется векторное представление циклической суперпозиции. Допустим, что массивы FE и Ке представлены соответственно (J2 X 1 )-компонентными векторами f^ и к^. Тогда для операции циклической суперпозиции можно записать соотношение

k£ = Cf£,(9.3.4)

где С — матрица элементов массива НЕ размера /2Х J2. Оператор циклической суперпозиции удобно выразить в виде блочной матрицы с блоками См>л размера JxJ:

гдегдееfп,,拉2 （恤,九Т）= не （耳，局；烧1，网）,еfп,,拉2 （恤,九Т）= не （耳，局；烧1，网）,(9.3.6)(9.3.6)

где

где

еfп,,拉2 （恤,九Т）= не （耳，局；烧1，网）,

еfп,,拉2 （恤,九Т）= не （耳，局；烧1，网）,

(9.3.6)

(9.3.6)

причем 1 w zif w J и 1 w m, w J, a 瓦=(恤一切+ l)modj и "е (0, 0) = 0. Следует отметить, что каждая строка и каждый столбец блочной матрицы С содержат L ненулевых блоков. Если

массив отсчетов импульсного отклика является пространственноинвариантным, то

С%, % = Cg+i, П2+1(9.3.7)

и любую строку (или столбец) можно получить путем циклической перестановки блоков первой строки (или первого столбца). На рис. 9.3.1, а приведен пример оператора циклической свертки.

Рис. 9.3.1. Примеры матриц оператора циклической свертки.

а — общий случай, J = 4, L = 3： б — импульсный отклик гауссовой формы, J — 16* 厶=9.

когда входной и выходной массивы имеют размеры 16X16 (J = 4), а размер массива отсчетов импульсного отклика равен 3x3 (L = 3). На рис. 9.3.1, 6 показана структура матрицы того же оператора при J = 16 и L = 9, когда импульсный отклик имеет гауссову форму.

Если же импульсный отклик является пространственно-инвариантным и разделимым, то

С = С^ ® Cr,(9.3.8)

0 \《r(L) • • • Ай (2)0 小、・•♦ Ля(3)、、、G(L)0 \《r(L) • • • Ай (2)0 小、・•♦ Ля(3)、、、G(L)、、、、、о…為1)-、、、、、о…為1)-где Сд и Сс — матрицы вида

0 \《r(L) • • • Ай (2)

0 小、・•♦ Ля(3)

、、、G(L)

0 \《r(L) • • • Ай (2)

0 小、・•♦ Ля(3)

、、、G(L)

、、、、、о

…為1)-

、、、、、о

…為1)-

如⑴7、

〃R⑵刀灰(3、…

踪亿一1)、、、、

、、生(L)Лй(£-1)•••

「、、、也(L)

0• • •• • • О'*'*/

размер которых равен JXJ. При этом двумерная циклическая свертка вычисляется в соответствии с соотношением

Ке = СсЕ/}1(9.3.10)

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ t

Из матрицы оператора циклической суперпозиции С можно получить матрицы оператора суперпозиции конечных массивов D и дискретизованного оператора суперпозиции В. Для этого следует ввести выделяющие матрицы

S1F)= Q；方】} К,(9.4.1а)

Д-1 К J-K-L+1

S2(2 = fF 后^~6~']}&(9.4.16)

где к — единичная матрица размера К X К. Приведем соотношения, связывающие эти матрицы с матрицами, полученными из них обобщенным обращением и транспонированием:

(9-9-9-⑶(9-9-9-⑶切 6B)r 9^ 2 2 9^切 6B)r 9^ 2 2 9^[siwr = [siwr,[回尹円_= s]g,[S2(k)『=[S2F)F,

(9-9-9-⑶

(9-9-9-⑶

切 6B)r 9^ 2 2 9^

切 6B)r 9^ 2 2 9^

[[S2^)]rr = S2^.

Анализируя структуру различных линейных операторов, можно показать, что

D =⑹产 ® SI，”，] С 回产)® S«m)F, М > М (9.4.3а)

В = [S2(A1) ® S2jM,]С[Sl^ ® sCw)]r, N>M. (9.4.36)

Таким образом, матрица D образуется посредством выделения первых М строк и ^ столбцов блока Ст,п матрицы С. При этом во всех других блоках также выделяются первые М строк и N столбцов. Аналогично из матрицы С можно образовать матрицу В. Элементы матрицы С, из которых формируются матрицы D и В* на рис. 9.3.1, а заключены в рамки.

Из определения (9.3.1) расширенного массива отсчетов исходного изображения следует, что вектор отсчетов конечного исходного изображения f образуется из вектора расширенного изображения fE при помощи операции выделения:

f = [SlSw) ® Sl^Jff,(9.4.4а)

^ = [81^ ® Slj^ff.(9.4.46)

Можно также показать, что выходной вектор оператора суперпозиции конечных массивов можно получить из выходного вектора

Рис. 9,4.1. Расположение матриц Q и G в матрице К®а 一 оператор суперпозиции конечных массивов； б — дискретизопаиный оператор суперпозиции.Рис. 9,4.1. Расположение матриц Q и G в матрице К®а 一 оператор суперпозиции конечных массивов； б — дискретизопаиный оператор суперпозиции.

Рис. 9,4.1. Расположение матриц Q и G в матрице К®

а 一 оператор суперпозиции конечных массивов； б — дискретизопаиный оператор суперпозиции.

Рис. 9,4.1. Расположение матриц Q и G в матрице К®

а 一 оператор суперпозиции конечных массивов； б — дискретизопаиный оператор суперпозиции.

ления:q = [Sl”@Sy)"，ления:q = [Sl”@Sy)"，(9.4.5а)(9.4.5а)

ления:

q = [Sl”@Sy)"，

ления:

q = [Sl”@Sy)"，

(9.4.5а)

(9.4.5а)

оператора циклической суперпозиции с помощью операции выде

Между векторами существует и обратное соотношение

k£= [SCM) ®sCM)]rq.(9.4.56)

Для дискретизованного оператора суперпозиции

g= [S2，m)8 s2收哈(9.4.6)

однако обратный переход от g к к£ выполнить не удается в силу недоопределенности дискретизованного оператора суперпозиции. Преобразуя q и к£ в матричную форму, из соотношения (9.4.5а) можно получить равенство

Q = £ Е м； [si产 ® siH 心修“矶 (9.4.7)

Поскольку оператор выделения обладает свойством разделимости, формула (9.4.7) упрощается к виду

Q=[S1$m)] Ke【S1(m)F.(9.4.8)

Аналогично из равенства (9.4.6), относящегося к дискретизованному оператору суперпозиции, можно получить соотношение

G = [S2(M)] К£ [S2，m)F・(9.4.9)

На рис. 9.4.1 показано расположение элементов матрицы Ке, из которых формируются матрицы для оператора суперпозиции конечных массивов Q и для дискретизованного оператора суперпозиции G.

Итак, для обоих операторов выходные векторы можно получить из результата циклической суперпозиции с помощью операции выделения части элементов. Как показано в гл. 11, этот факт позволяет упростить вычисления.

ЛИТЕРАТУРА

Pratt W. К., Vector Formulation of Two Dimensional Signal Processing Operations, J. Computer Graphics and Image Processing, 4, 1, 1—24 (March 1975), Academic Press, New York.一

McCalla T. R., Introduction to Numerical Methods and FORTRAN Programming, Wiley, New York, 1967.

Oppenheim A. V., Schaefer R. W., Digital Signal Processing, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1975. [Имеется перевод: Оппенгейм А. В., Шафер Р. В., Цифровая обработка сигналов. — М.: Связь, 1979.]

Papoulis A., Systems and Transforms with Applications in Optics, McGraw- Hill, New York, 1968. [Имеется перевод: Папулис А., Теория систем и преобразований в оптике. —М.: Мир, 1971.]

ДВУМЕРНЫЕ УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Существуют три основные области применения двумерных унитарных преобразований для обработки изображений. Ёо-пер- вых, преобразования используются для выделения характерных признаков изображения. Так, например, постоянная составляющая спектра Фурье пропорциональна средней яркости изображения, а высокочастотные составляющие характеризуют величину и ориентацию его контуров. Другой областью применения преобразований является кодирование изображений, когда ширина спектра уменьшается за счет отбрасывания или грубого квантования малых по величине коэффициентов преобразования. Третья область приложений ——это сокращение размерности при выполнении вычислений. Иначе говоря, в процессе обработки (например, фильтрации) малые коэффициенты преобразования можно отбросить без заметного ухудшения качества обработки. В последующих главах эти применения будут описаны более детально. В этой главе рассмотрены свойства преобразований, наиболее часто встречающихся при обработке изображений.

ОПЕРАТОРЫ УНИТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Унитарные преобразования являются частным случаем линейных преобразований, когда линейный оператор [см. (8.1.1)] точно обратим, а его ядро удовлетворяет условиям ортогональности [1, 2]. В результате прямого унитарного преобразования матрицы изображения F (九卜 п2) размера N工 X N2 образуется матрица преобразованного изображения того же размера, элементы которой по определению равны

歹(％, m2) = £ £ F^, %)/(%,电；团1，m2), (10.1.1) «1=1 n2 — l

где Л (九1,九2；加т,加2)— ядро прямого преобразования. Исходное изображение можно получить с помощью обратного преобразования, описываемого соотношением

尸(%,%)=X L 歹(恤，%)8(徵，%;恤，m2), (10.1.2) /n1=1 m2=1

где В （九1,九2；团1，加2）——ядро обратного преобразования. Преобразование является унитарным, если выполняются следующие условия ортогональности:

工 X 4（%，九2；%，%）4* 01，/2；%二电）=6 （勺一“，% 一，2）,

（10.1.3а）

£ V В（л„ ri?；叫，恤）8*（/|, /2;恤，％） = 6 （% — J】，n2 - /2）,

（10.1.36）

L ? 4（"1,九 2；恤，加2）/*（仆，九2；自，^2）= 6 （mx - /；1,恤一网），

（10.1.3b） e 》 （%，九2；生，m2）3*（% 电；自，包）= 8（恤一自，恤一力2）.

（10.1.3г） Преобразование называют разделимым, если оба его ядра можно представить в следующей форме:

4（%, %；『％, т, ^ ЛИ%,团1） Л?（&,团2），（Ю.1.4а）

В （%,电；тъ 恤）=вс （%,恤）Br （п2,恤），（Ю.1.46）

где через Ас （или Вс） и AR （или Вй） обозначены соответственно одномерные операторы преобразования столбцов и строк. Результат воздействия оператора разделимого двумерного унитарного преобразования можно находить в два этапа. Сначала выполняется одномерное преобразование по всем столбцам матрицы изображения, причем образуется матрица с элементами

pg,电）=£ 尸（％, п2）Ас（пъ mJ. （Ю.1.5）

Затем выполняется второе одномерное преобразование по всем строкам полученной матрицы, в результате которого образуется массив чисел вида

（^, т^ = 2 Р（加ь n2） Л^（n2,т2）・（Ю.1.6）

m2=1

Унитарные преобразования удобно записывать с помощью векторных обозначений [3]. Допустим, что F и f — матричное и векторное представления массива отсчетов исходного изображения, а 歹 н / ——матричное и векторное представления преобразованного изображения. Тогда двумерное унитарное преобразование в векторной форме выражается соотношением

/ = Af,（10.1.7）

где А — матрица прямого преобразования. Обратное преобразование записывается как

« = Bf,(Ю.1.8)

где В — матрица обратного преобразования. Очевидно, что

В = AN(10.1.9)

Для унитарных преобразований обратная матрица удовлетворяет соотношению

А-1 = А*т.(10.1.10)

В этом случае матрицу А называют унитарной. Действительная унитарная матрица называется ортогональной матрицей, и для нее справедливо соотношение

А-1 = Аг.(10.1.11)

Если ядра преобразования разделимы, так что

А = А©Ar,(10.1.⑵

где Ай и Ас — унитарные матрицы преобразования по строкам и столбцам, то матрицу преобразованного изображения можно получить из матрицы исходного изображения с помощью равенства

g = AcFA£(10.1.13а)

Обратное преобразование определяется соотношением

F = Вс^В^,(10.1.136)

где Вс = АМ и Вл = А".

V Разделимые унитарные преобразования можно также представлять в виде взвешенной суммы матричных произведений вектор-столбцов, сформированных из элементов матриц. Пусть а(； (nx) и ал (九2)обозначают 九广й и п2-й столбцы матриц А^ и А^* Нетрудно показать, что

歹=X L 尸(％, »2)ас(«1)а^(п2).(10.1.14а)

П1=1 %=1

Аналогично

F= * X 歹(恤，网)坛(恤)成(九2),(10.1Д46)

m1^1加2^1

где be (加i) и Ьй (团2)—团广说 и /п2-й столбы матриц Вс и В% соответственно. Матричные произведения векторов, входящие в суммы (10.1,14), образуют последовательности матриц, называемых ба-

зисными матрицами, на основе которых и производится разложение матрицы F исходного изображения или преобразованного изображения 歹.

Возможны различные интерпретации унитарных преобразований. Преобразование изображения можно рассматривать как разложение исходного изображения в обобщенный двумерный спектр [4]. Каждая спектральная составляющая характеризует вклад соответствующей спектральной (базисной) функции в энергию исходного изображения. При такой трактовке понятие частоты можно обобщить так, чтобы оно было применимо не только к синусам и косинусам, но и к другим функциям, на которых основываются преобразования. Подобный обобщенный спектральный анализ полезен для изучения тех конкретных разложений, которые в наибольшей мере подходят для данного класса изображений. Наглядное представление о преобразованиях изображений можно получить и по-другому, рассматривая преобразование как поворот многомерной системы координат. Одним из главных свойств унитарного преобразования является сохранение метрики. Например, евклидово расстояние между двумя изображениями равно евклидову расстоянию между их образами. Третья возможность интерпретации преобразований заключается в том, что равенство (10.1.2) можно рассматривать как способ составления изображения из набора двумерных функций В (几卜 п2; тъ /и2), каждая из которых соответствует определенной точке (加。恤) плоскости обобщенных частот. В подобной интерпретации ядро В (九 1, п2;加力恤)называют двумерной базисной функцией, а коэффициент 斤(恤，陶 указывает《вез этой базисной функции, необходимый для получения рассматриваемого изображения.

Для упрощения анализа свойств двумерных унитарных преобразований ниже в этой главе будет принято, что все массивы являются квадратными и имеют размер N X N. Кроме того, будут изменены обозначения и нумерация всех индексов в выражениях вида (10.1.1) и (10.1.2). Таким образом, массив отсчетов исходного изображения будет обозначен через F (/, /г), где 力论= = 0, 1,…，N— 1, а массив коэффициентов преобразования — через " (〃；и), где w, и = 0, 1, ...» N — 1. С учетом этого прямое унитарное преобразование записывается в следующем виде:

N一1 N-1

^(и,。)= £ £ 尸(j, k)AQ, k- и,叫，(10.1.15а)

а обратное преобразование — как

N-l N-1

尸(/, 6 = £ S 夕■(〃，U)8(j,生“，и).(10.1.156)

"=0 0=0

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Дискретное двумерное преобразование Фурье матрицы отсчетов изображения определяется [5——10] в виде ряда

N—1 NT

夕（a,。）=方IS尸（八/2）ехp｛絹-（〃/ +成）卜

（10.2.1а）

где i = |/—1, а дискретное обратное преобразование имеет вид

Лг-1 N-1

尸0,团=%Х£歹（必 и） exp ^^~（ui + ^）|. （10.2,16） 〃=о о=0

По аналогии с терминологией непрерывного преобразования Фурье переменные и, о называют пространственными частотами. Следует отаетить, что не все исследователи пользуются определением （1021）; одни предпочитают помещать все масштабные постоянные в выражение для обратного преобразования, а другие изменяют знаки в ядрах на противоположные.

Поскольку ядра преобразования симметричны и разделимы, двумерное преобразование можно выполнить в виде последовательных одномерных преобразований по строкам и столбцам матрицы изображения. Базисными функциями преобразования

являются экспоненты можно разложить на Таким образом,являются экспоненты можно разложить на Таким образом,с комплексными показателями, которые синусную и косинусную составляющие.

являются экспоненты можно разложить на Таким образом,

являются экспоненты можно разложить на Таким образом,

/ 0,依 u. S = exp ｛—争（и/ + 济）｝=

= cos｛-^-（〃j +成）｝ — isin｛-^-（〃j + 成）卜 （10.2.2a）

В （/, k; и, и） = exp ｛争（и/ + 峭｝=

=cos ｛幣（и/ + 峭｝ + I sin I券（u/ + 哺｝. （10.2.26）

На рис. 10.2.1 приведены графики синусных и косинусных составляющих одномерных базисных функций преобразования Фурье для N = 16. Видно, что для низких частот эти функции являются грубыми аппроксимациями непрерывных синусоид. С повышением частоты сходство базисных функций с синусоидами теряется. Для наивысшей частоты базисная функция представляет собой меандр. Можно заметить также избыточность наборов синусных и косинусных составляющих.

Номер базисной 恥нк&ии, о —：Номер базисной 恥нк&ии, о —：678678g cftRj^tllFtp"LptfMtAPg cftRj^tllFtp"LptfMtAPРис. 10.2.1. Базисные функции преобразования Фурье.a — синусная (нечетная) составляющая; б — косинусная (четная) составляющая.Рис. 10.2.1. Базисные функции преобразования Фурье.a — синусная (нечетная) составляющая; б — косинусная (четная) составляющая.aa

Номер базисной 恥нк&ии, о —：

Номер базисной 恥нк&ии, о —：

6

7

8

6

7

8

g cftRj^tllFtp"LptfMtAP

g cftRj^tllFtp"LptfMtAP

Рис. 10.2.1. Базисные функции преобразования Фурье.

a — синусная (нечетная) составляющая; б — косинусная (четная) составляющая.

Рис. 10.2.1. Базисные функции преобразования Фурье.

a — синусная (нечетная) составляющая; б — косинусная (четная) составляющая.

a

a

Спектр изображения имеет много интересных структурных особенностей. Спектральная составляющая в начале координат частотной плоскости

歹(0, 0) = %£ £ 尸0,舟(10.2.3)

равна увеличенному в N раз среднему (по исходной плоскости) значению яркости изображения. Подставив^в равенство (10.2.1а)

口1?\^ п u TJHJWlTL ггЛГи^ЛЯГь

〃 = 〃 + mN и и =。+ 九",где /пип — постоянные, получим

N—1 NT；

^-(u + mN, u + "N) =4■工工尸0,舟exp{一争⑷ +哨}x

хехр {—2ni(mj + 泌)}• (10.2.4)

При любых целочисленных значениях тип второй экспоненциальный множитель равенства (10.2.4) превращается в единицу. Таким образом, при /и, п = 0, ±1, ±2,...

歹(и + mN, u + 〃M) =歹仅，明(1025

что свидетельствует о периодичности частотной плоскости. Рис. 10.2.2, а иллюстрирует этот результат.

Двумерный спектр Фурье изображения является по существу представлением двумерного поля в виде ряда Фурье. Для того чтобы такое представление было справедливым, исходное изображение также должно обладать периодической структурой, т. е. (как показано на рис. 10.2.2, б) иметь рисунок, повторяющийся по вертикали и горизонтали. Таким образом, правый край изобра-

Рис. 10.2.2. Периодическое продолжение изображения и спектра Фурье, а — спектр; б — исходное изображение.Рис. 10.2.2. Периодическое продолжение изображения и спектра Фурье, а — спектр; б — исходное изображение.

Рис. 10.2.2. Периодическое продолжение изображения и спектра Фурье, а — спектр; б — исходное изображение.

Рис. 10.2.2. Периодическое продолжение изображения и спектра Фурье, а — спектр; б — исходное изображение.

жения примыкает к левому, а верхний край —— к нижнему- Из-за разрывов значений яркости в этих местах в спектре изображения возникают дополнительные составляющие, лежащие на координатных осях частотной плоскости. Эти составляющие не связаны со значениями яркости внутренних точек изображения, но они необходимы для воспроизведения его резких границ.

Если массив отсчетов изображения описывает поле яркости, то числа 尸(j,论)будут действительными и положительными. Однако спектр Фурье этого изображения в общем случае имеет комплексные значения. Поскольку спектр содержит 2№ компонент, представляющих действительную и мнимую части или фазу и модуль спектральных составляющих для каждой частоты, может показаться, что преобразование Фурье увеличивает размерность изображения. Это, однако, не так, поскольку 歹(〃,и) обладает симметрией относительно комплексного сопряжения. Если в равенстве (10.2.4) положить тип равными целым числам, то после комплексного сопряжения получится равенство

N—1 N-1

歹* (u + mM и + /гМ) н % £ X 尸(/,田 exp ｛瞥(и/+ 哨卜j=A0 *=0

(10.2.6 С помощью подстановки и = —и н и = —и можно показать, что ^(и,и)=夕*(一" + 加m —u+ "的(10.2.7)

при /и,九 = 0, ±1, ±2, .... Из-за наличия комплексно-сопряженной симметрии почти половина спектральных составляющих оказывается избыточной, т. е. их можно сформировать из остальных составляющих. На рис. 10.2.3 области расположения избыточных составляющих спектра на частотной плоскости заштрихованы. Избыточными составляющими можно, конечно, считать гармоники, попадающие не в нижнюю, а в правую полуплоскость.

V►

О I128255

0门1-\刃〃〃"//777〃2/7,

Рис. 10.2.3. Частотная плоскость.Рис. 10.2.3. Частотная плоскость.

Рис. 10.2.3. Частотная плоскость.

Рис. 10.2.3. Частотная плоскость.

На рис. 10.2,4 приведены фотографии исходного изображения и различных вариантов его фурье-спектра. Поскольку динамический диапазон составляющих спектра гораздо шире, чем линейный участок интервала экспозиций фотопленки, то спектры необходимо подвергнуть сжатию. Сжатие динамического диапазона можно осуществить путем ограничения больших спектральных составляющих или логарифмическим преобразованием всех составляющих спектра согласно соотношению

勿(〃，о) = log [а + ЬI (u, SI], (10.2.8)

где а и Ь — масштабные постоянные. На рис. 10.2.4, б приведены (в логарифмическом масштабе с а == 1 и & = 1) модули гармоник спектра, вычисленных в соответствии с равенством (10.2.1а). На рис. 10.2.4, 6 показан тот же спектр, в котором наибольшие гармоники, составляющие 25 % всех компонент спектра, были ограничены по величине. При математическом анализе непрерывных сигналов начало координат частотной плоскости обычно

помещают в ее геометрическом центре. Аналогично в дифракционной картине, полученной с помощью когерентной оптической системы для диапозитива с коэффициентом пропускания 尸(х, д),

Рис. 10.2.4. Преобразование Фурье изображения «Портрет».

а — исходное изображение; 6 — модули гармоник спектра (в логарифмическом масштабе, без перестановки гармоник); в — спектр с ограниченными наибольшими гармониками (без нх перестановки); г — спектр с ограинчеиными наибольшими гармониками (посЛе их перестановки).

гармоника с нулевой частотой оказывается в центре. Двумерный дискретный фурье-спектр, найденный с помощью вычислительной машины, путем простой перестановки коэффициентов можно изменить так, чтобы начало координат также оказалось в центре массива. Тот же результат можно получить по-другому, если отсчеты изображения предварительно умножить на коэффициенты вида (—l)/+fe. Тогда квадранты спектра, рассчитанного согласно формуле (10.2.1а), в процессе вычисления автоматически меняются

местами. Данное утверждение можно доказать с помощью соотношения (10.2.4), положив в нем /и ==九=工/趾 Тогда в силу тождества

enp{m(j + k)\ = (-^k(Ю.2.9)

выражение (10.2.4) можно записать в следующем виде:

①3 + N/2, и + %/2)三

N-l N-1

=%2 £ 尸亿舟 J 尸 eхР{一爷(切 +成)}•(10210) 片о々=0

На рис. 10.2.4, г представлен спектр с переставленными гармониками.

Прямое и обратное преобразования Фурье (10.2.1) можно представить в векторной фэрме

f = Af,(10.2.11а)

а

f = A*'f,(10.2.116)

где f и f — векторы, полученные соответственно путем развертки по столбцам матриц F н 7. Поскольку матрицу преобразования А можно записать в виде прямого произведения

А = А^« ® Ад,(10212)

где

Ar = Ас = -у—

* г° *° .

严 *1 *2 . j^?0 ч^^2 j^^4

* -

#2 (МТ)

,(10.2.13)

#(川一1)2

# = ехр{—2加//V}, то матрицы изображения и спектра связаны соотношениями

笋=AcFAr(10214а)

и

F = A僻 А%.(10.2.146)

Понятно, что свойства преобразования Фурье, установленные для рядов (10.2.1), сохраняются и при его матричной записи.

Хотя преобразование Фурье имеет много полезных для анализа свойств, у него есть и два существенных недостатка: во- первых, все вычисления приходится производить не с действительными, а с комплексными числами и, во-вторых, ряды сходятся медленно. Последнее замечание, весьма существенное для

задач кодирования изображений, можно пояснить, переписав определение (10.2.16) в следующей форме:

尸(j, k) = limUT^(N+l)/2Vr^^+l)/2尸(j, k) = limUT^(N+l)/2Vr^^+l)/2iSS①(/ 0) expU D

尸(j, k) = lim

UT^(N+l)/2

Vr^^+l)/2

尸(j, k) = lim

UT^(N+l)/2

Vr^^+l)/2

w. dwS (0T，VT)

(10.2.15)

где S (UT, Vr)——низкочастотная область частотной плоскости, которая на рис. 10.2.5 заштрихована. Если верхние границы Ur и VT зафиксированы, а размер изображения N сравнительно невелик, то заключенная в квадратные скобки величина может сильно отличаться от F (/, А), пока UT и VT не станут достаточно

большими. В дальнейшем вопрос о сходимости преобразований будет проанализирован с количественных позиций. Качественно же можно указать, что плохая сходимость преобразования Фурье обусловлена скачками изображения, возникающими на линиях перехода от левого края изображения к правому и от верхнего к нижнему. Эти разрывы приводят к появлению в спектре больших составляющих с высокими пространственными частотами.

КОСИНУСНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Известно, что ряд Фурье для любой непрерывной действительной и симметричной (четной) функции содержит только действительные коэффициенты, соответствующие косинусным членам

ряда. В соответствующей интерпретации этот результат можно распространить и на дискретное преобразование Фурье изображений. Существуют [11 ] два способа получения симметричных изображений (рис. 10.3.1). Согласно первому из них, к изображению вплотную пристраивают его зеркальные отражения. По вто-

Рис. 10,3.1. Построение симметричного изображения, предназначенного для косинусного преобразования.

а — отражение относительно края: 6 — отражение относительно крайних элементов.

рому методу оригинал и отражения пристраивают, налагая крайние элементы. Таким образом, из первоначального массива, содержащего NXN элементов, в первом случае (называемом четным косинусным преобразованием) получается массив из 2NX2N элементов, а во втором случае (называемом нечетным косинусным преобразованием) — массив из (2N — 1) X (2N — 1) элементов.

Четное симметричное косинусное преобразование

Допустим, что симметричный массив образован путем зеркального отражения исходного массива относительно его краев согласно соотношению

尸(j, k) при j》0,也 > 0,

尸s(j,田=尸s(j,田=(10.3.1)(10.3.1)F (—1 — /,也)при j v 0, &》0,

尸s(j,田=

尸s(j,田=

(10.3.1)

(10.3.1)

尸(/, — 1 一舟 при j > 0,左 < 0,

尸(一1 — j, — 1 —左)при j<0, ^<0.

Построенный таким образом массив 久(/,左)симметричен относительно точки j = —%, k = —%. Вычислив преобразование

Фурье для симметрии,

случая, когда начало координат находится в центре получим

N—1

N—1

劣s (и. и)=

=击 £ 2 ^(/> ^exp{--Sr[w(/+_r)+u(fe+_r)]}>

(1032)

где 弘 и = —М …，一1» О, 1,・••，^ — 1. Поскольку массив Fs (/,同 симметричен и состоит из действительных чисел, соотношение (10.3.2) можно свести к виду

然(％ и)=

TV-1 N—T

=4 S £尸(厶舟 8s [』■"(/ + })] COS [备《+告)].

7=0 A=0

(10.3.3)

|55ЛДПДЯ^

О 481216

Рис. 10.3.2. Базисные функции косинусного преобразования.

С другой стороны, спектральные составляющие вида (10.3.3) можно найти, вычисляя преобразование Фурье массива 户(/,尼} по 2^ точкам:

歹S (% 0)=

=-J-Re exp [―] £ £ 尸(j,片)exp{—芻(灯+ 喲} . (10.3.4) 简爲'丿

Прямое четное косинусное преобразование по определению [12] равно сумме (10.3.3), умноженной на нормирующий мно-

житель, т. е.

N—l NT

歹他力=磊(加(。)£?尸(/,舟X

/=0 I

х cos ［齐以(j + })］ cos ［e и (左 + 40］， (10.3.5a)

Рнс, 10.3.3. Косинусное преобразование изображения «Портрет».

а — исходное изображение： 6 — косинусный спектр в логарифмическом масштабе по оси амплитуд; в — спектр с ограиичеиными наибольшими гармониками.

а обратное преобразование определяется соотношением

川一1川一1

?(外)=整££С (〃) С (и)①(и, и) х

xcos ［齐 и. (/ + ^)］ cos ［齐 и 卜 + 切］,(10.3.56)

где С (0) = (2)-1/», а С (®) = 1 при 侬=1, 2,…，^ — 1. Оказалось, что базисные функции четного косинусного преобразования принадлежат к классу дискретных полиномов Чебышева [12].

На рис. 10.3.2 приведены графики базисных функций четного симметричного косинусного преобразования при N = 16. Образцы спектра, получаемого при четном симметричном косинусном преобразовании, приведены на рис. 10.3.3. Начало координат расположено в верхнем левом углу каждого снимка, что согласуется с принятым в теории матриц порядком. Следует отметить, что здесь, как и в случае преобразования Фурье, основная часть энергии изображения концентрируется в области низких пространственных частот.

Нечетное симметричное косинусное преобразование

При нечетном косинусном преобразовании строение симметричного массива определяется следующим образом:

尸(j, k) при /, fe > 0,

〃尸(——j,也)при /<0, fe > 0,

尸К/)= п /. с 厶(10.3.6)

F(h —左)при / > 0, ^<0,'，

尸(一力一也)при /, ^<0.

Вычисление двумерного преобразования Фурье от такого массива дает

歹 s("，S =丽Jr S £ 尸 s(jd)X

x exp {—請当(W + 砌},(10.3.7)

где u, v — —N + 1,…，一1, 0, 1, ..., ^ — 1. Поскольку преобразование Фурье обладает свойством симметрии относительно комплексного сопряжения, то для реальных изображений

①5(% 0)=①:(—〃，-0.(10.3.8)

Следовательно, ①$ (〃, и) достаточно вычислять только при неотрицательных значениях индексов (и, и). Кроме того, поскольку функция Fs (/,竹 принимает действительные значения и симметрична, то ①$(〃，и) также имеет действительные значения. Таким образом, соотношение (10.8.2) можно представить в следующем виде:

①s (以，S = 2^—1 £ £ 尸(八 A) COS [函_j j〃] CoS [2N—1 后u]， /=0 A=0

(10.3.9)

где массив 戸(/,也)получается из матрицы изображения F (/,田 взвешиванием ее элементов в соответствии с формулой

%尸(/,左)при / = 0, k=0,%F(j, k) при / = 0,也声 0,%尸(j,也)при /^=0, k=0,尸(/,也)при j*0,也 *0.%尸(/,左)при / = 0, k=0,%F(j, k) при / = 0,也声 0,%尸(j,也)при /^=0, k=0,尸(/,也)при j*0,也 *0.(10.3.10)(10.3.10)

%尸(/,左)при / = 0, k

=0,

%F(j, k) при / = 0,也声 0,

%尸(j,也)при /^=0, k

=0,

尸(/,也)при j*0,也 *0.

%尸(/,左)при / = 0, k

=0,

%F(j, k) при / = 0,也声 0,

%尸(j,也)при /^=0, k

=0,

尸(/,也)при j*0,也 *0.

(10.3.10)

(10.3.10)

дает матрицу взвешенных сив можно восстановитьдает матрицу взвешенных сив можно восстановитьотсчетов 戸(/, fe). Тогда исходныйотсчетов 戸(/, fe). Тогда исходныймас-мас-с помощьюс помощью尸(/,月)=尸(/,月)=4月(厶舟2戸(j, k)2戸(j, k)戸(j,同4月(厶舟2戸(j, k)2戸(j, k)戸(j,同при при при припри при при приформулыj = 0, ^ = 0,/ = 0,尼 * 0, (10.3.13)ко,『0,'7j * о,尼声0.формулыj = 0, ^ = 0,/ = 0,尼 * 0, (10.3.13)ко,『0,'7j * о,尼声0.

дает матрицу взвешенных сив можно восстановить

дает матрицу взвешенных сив можно восстановить

отсчетов 戸(/, fe). Тогда исходный

отсчетов 戸(/, fe). Тогда исходный

мас-

мас-

с помощью

с помощью

尸(/,月)=

尸(/,月)=

4月(厶舟

2戸(j, k)

2戸(j, k)

戸(j,同

4月(厶舟

2戸(j, k)

2戸(j, k)

戸(j,同

при при при при

при при при при

формулы

j = 0, ^ = 0,

/ = 0,尼 * 0, (10.3.13)

ко,『0,'7

j * о,尼声0.

формулы

j = 0, ^ = 0,

/ = 0,尼 * 0, (10.3.13)

ко,『0,'7

j * о,尼声0.

Нечетное косинусное преобразование есть просто нормированный вариант равенства (10.3.9), причем нормирование проведено так, чтобы базисные функции стали ортонормальными. Таким образом, нечетное косинусное преобразование определяется соотношениями

①(以，и) = } 2 £ 戸(厶尼)при 以=0, v = 0, (10.3.11a) /=о d

N-l NT

劣(«. ?)=告2工戸0,舟cos [2W-1 同 C0S [ 2；二]近] /=0 go

при 以，(10.3.116)

Такое же преобразование

N一1 “I

齐(j,也)=%ss歹(以，и) при / = 0,尼=0, (10.3.12а) «=о и

N-l N-1

戸0，田=等 £ 工劣(«. и)cos [гдст 同 cos [глСТ 加|

u~0 о®=0

(10.3.126)(10.3.126)при “也=/=0

(10.3.126)

(10.3.126)

Базисные функции нечетного косинусного преобразования являются разделимыми, так что двумерное нечетное косинусное преобразование можно выполнить с помощью последовательных одномерных преобразований. Кроме того, нечетное косинусное

謬?(拉+砌»(10.3.14)謬?(拉+砌»(10.3.14)преобразование можно найти с помощью алгоритма преобразования Фурье при нечетном числе элементов, поскольку

謬?(拉+砌»

(10.3.14)

謬?(拉+砌»

(10.3.14)

^(«.0= гл^Т^ S £戸《 田ехр{

I /=0 急=0

СИНУСНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Быстрое синусное преобразование, предложенное Джейном [13] в качестве аппроксимации преобразования Карунена—Лоэва для марковского процесса, в одномерном случае определяется с помощью базисных функций вида

А(〃，，)= U^Fsin『+ ?片!門, (Ю.4.1)

где w, / = 0, 1, 2, ..., N — 1. Рассмотрим матрицу, содержащую ненулевые элементы только на главной диагонали и двух прилегающих к ней поддиагоналях (так называемую трехдиагональную матрицу):

1 —а 00 -

-a 1—a.

Q= ：(Ю.4.2)

.—a 1 -а

0 0 —а 1

где а = р /(1 + р3), причем 0 & р w 1 — коэффициент корреляции соседних элементов марковского процесса. Можно показать [14], что с помощью унитарной матрицы А, в качестве элементов которой взяты базисные функции (10.4.1), матрицу Q можно привести к диагональному виду 】)в том смысле, что

AQAr = D,AQAr = D,(1043)

AQAr = D,

AQAr = D,

где D — диагональная матрица, составленная из элементов

D 3,也)=1 - 2P cos ；〃/(% + 1)] + P&-(10.4.4)

при ^=1,2, .... М

i) Джейн [15] показал, что косинусное и синусное преобразования обладают общим свойством —— с нх помощью удается приводить к диагональному виду трехдиагональные матрицы.

Двумерное синусное преобразование определяется соотношением

NT N—1

歹他昨毋22尸0,少叫任箒产］x

/=0 饱=Q

x5也产号写力1,(Ю.4.5)

а обратное преобразование имеет тот же вид. Синусное преобразование можно вычислить с помощью алгоритма преобразования

Номер базисной функции

□ □ С

I?廿4用弔、凡^^ьПтлЛръГЬрi4=：t^fbwtRft

I 481216

Рис. 10.4.1. Базисные функции синусного преобразования при ^ = 15.

Фурье. Допустим, что массив 戸(加，л) размером (2“ + 2) X X (2У + 2) образуется в соответствии с равенствами

戸(加 + 1,几 + 1) = F (w, n) при 0《加《N — 1, 0 < n c ^ — 1,

(10.4.6a)

戸(m, м) = 0 в других случаях(10.4.66)

Тогда, выделяя мнимую часть коэффициентов Фурье массива F (т, п), можно найти синусное преобразование в виде

歹("，。)=吊F t e戸(也力Sin [2對"]Xm=0 n==0

X Sin [嚇1 円•(10.4.7)

Рис. 10.4,2. Синусное преобразование изображения «Портрет».

а — исходное изображение; б — синусный спектр в логарифмическом масштабе по оси амплитуд: в — спектр с ограниченными наибольшими гармониками.

Графики базисных функций синусного преобразования при У = 15 представлены на рис. 10.4.1, а на рис. 10.4.2 приведены фотографии, полученные синусным преобразованием изображения.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АДАМАРА

Преобразование Адамара [16, 17] основано на квадратной матрице Адамара [18], элементы которой равны плюс или минус единице, а строки и столбцы образуют ортогональные векторы. Нормированная матрица Адамара "・г。 порядка удовлетворяет соотношению

HwH『Im (10.5.1)

Среди ортонормальных матриц Адамара наименьшей является

(10.5.2)(10.5.2)матрица второго порядка

(10.5.2)

(10.5.2)

Н2

Известно, что если матрица Адамара порядка М (где N> 2) существует, то N делится на 4 без остатка [19]. Пока не удалось определить, существуют ли матрицы Адамара для произвольных М, удовлетворяющих этому условию, однако почти для всех

изменении знакаО312изменении знакаО312Число “ изменении знакаО7.34162Число “ изменении знакаО7.34162Рис. 10.5.L Неупорядоченные матрицы Адамара четвертого н восьмого порядка.Рис. 10.5.L Неупорядоченные матрицы Адамара четвертого н восьмого порядка.

изменении знака

О

3

1

2

изменении знака

О

3

1

2

Число “ изменении знака

О

7

.3

4

1

6

2

Число “ изменении знака

О

7

.3

4

1

6

2

Рис. 10.5.L Неупорядоченные матрицы Адамара четвертого н восьмого порядка.

Рис. 10.5.L Неупорядоченные матрицы Адамара четвертого н восьмого порядка.

допустимых N、доходящих до 200, найдены правила построения соответствукйцих матриц. Наиболее просто удается построить такие матрицы при М = 2", где 九 一 целое. Если Н“ 一 матрица Адамара №eq порядка, то матрица

также является матрицей Адамара, но порядка 2М. На рис. 10.5.1 приведены матрицы Адамара четвертого и восьмого порядка, построенные с помощью соотношения (10.5.3).

Рис» 10.5.2. Базисные функции преобразования Адамара при ^ = 16.

Хармут [20 ] предложил частотную интерпретацию матриц Адамара, имеющих блочную структуру (10.5.3). Число изменений знака вдоль каждой строки матрицы Адамара, деленное на два, называется секвентой строки. Можно построить матрицу Адамара порядка 2 = 2% в которой число изменений знака в строках принимает значения от 0 до " — 1. Унитарные матрицы с такими характеристиками называются матрицами с секвентным свойством.

Строки матрицы Адамара, описываемой соотношением (10.5.3), можно рассматривать как последовательность отсчетов прямоугольных периодических колебаний (сигналов), период которых кратен 1/М・ Подобные непрерывные функции, называемые функ-

циями Уолша】) [21], связаны с импульсными функциями Радемахера [22]. Следовательно, матрица Адамара описывает преобразование, связанное с разложением функций по семейству прямо-

玉毛куй玉毛куй旦 saMHm旦 saMHmпппп

玉毛куй

玉毛куй

旦 saMHm

旦 saMHm

пп

пп

Рис. 10.5.3. Базисные изображения преобразования Адамара при ^ = 8.

Черный цвет соответствует значению +1. белый ~ значению —1.

угольных базисных функций, а не по синусам и косинусам, характерным для преобразования Фурье.

Для симметричных матриц Адамара порядка N — 2п двумерное преобразование Адамара можно представить в виде ряда

"-1 NT

…)=%?£?。，/г) (-!)₽(/■饱，£ 叱 (10.5.4) /=о 也=о

1) Преобразование Адамара, определяемое с помощью матриц вида (10.5.3), известно также под названием преобразования Уолша. Следует, однако, отметить, что существуют матрицы Адамара (например, матрица 12-го порядка), строки которых не состоят из отсчетов функций Уолша.

где

п—1

Р0,比〃,。）=m（"力 + 哂）.

（10.5.5）

Переменные %, % 力 и 也 равны цифрам в двоичном представлении чисел u, V, / и k соответственно. Так, например, если « = 13, то 〃з = 1, 如 =1，«1 = 0 и «0 — 1. Если матрица Адамара упорядочена, т. е. строки ее переставлены в порядке возрастания

Рнс. 10.5.4. Преобразование Адамара изображения «Портрет»,Рнс. 10.5.4. Преобразование Адамара изображения «Портрет»,а — исходное изображение： б — спектр Адамара в логарифмическом масштабе по осп амплитуд: в — спектр с ограниченными наибольшими гармоникамиа — исходное изображение： б — спектр Адамара в логарифмическом масштабе по осп амплитуд: в — спектр с ограниченными наибольшими гармониками

Рнс. 10.5.4. Преобразование Адамара изображения «Портрет»,

Рнс. 10.5.4. Преобразование Адамара изображения «Портрет»,

а — исходное изображение： б — спектр Адамара в логарифмическом масштабе по осп амплитуд: в — спектр с ограниченными наибольшими гармониками

а — исходное изображение： б — спектр Адамара в логарифмическом масштабе по осп амплитуд: в — спектр с ограниченными наибольшими гармониками

секвенты, то существует другая форма записи преобразования Адамара. В этом случае

N—1 N-1

夕优 。）=%£ 2 尸 0,竹（一1尸""4*（ю.5.6）

/=0 fe==0

%9 Прэтт У.

где

n一1

g(j, k, “，。)= £ {gi^j^g^)^,(Ю.5.7)

причем

S,o (")三 Мn-1>

& (")三 〃在7 + ил -2，

g2(〃)= «л_2 + «п_з,(1058)

gn-i («)三 «i +Ио-

Графики базисных функций преобразования Адамара с упорядоченной матрицей для " = 16 представлены на рис. 10.5.2. Базисные изображения, образованные с помощью матричного произведения базисных векторов преобразования Адамара размера 8X1, приведены на рис. 10.5.3. На рис. 10.5.4 дан пример преобразованйя Адамара (для упорядоченной матрицы Адамара).

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХААРА

Преобразование Хаара [1, 23 ] основывается на ортогональной матрице Хаара. Ниже приведены примеры ортонормальных матриц Хаара четвертого и восьмого порядка:

* 1111 -

1

11—1 —Г

К2 —J/200

，(10.6.1)

.00/2 — И2 _

~ 11

1111

11 -

1 1

11—1 —1

一1 -1

/5 //2 —/2 —1/2 00

00

1

00

001/2 ^2 —/5 —1/9

^?8

2 —2

0000

00

00

2—200

00

00

002—2

00

_ 00

0000

2—2 _

Матрицы Хадра более высокого порядка строятся по тем же правилам, что и матрицы (10.6.1) и (10.6.2), На рис. 10.6.1 приве-

дены графики базисных функций преобразования Хаара при N = 16. Базисные изображения того же преобразования для матрицы отсчетов, содержащей 8X8 элементов, представлены на рис. 10.6.2.

Преобразование Хаара можно рассматривать как процесс дискретизации исходного сигнала, при котором с переходом к следующей строке вдвое уменьшается шаг дискретизации.

Номер базисной Функции

4 t=br

8七

О 481216

Рнс. 10.6Л. Базисные функции преобразования Хаара при ^ = 16.

В задачах обработки изображений хааровский спектр описывает распределение энергии компонент, соответствующих разностям яркостей соседних элементов, разностям средних значений яркостей соседних пар элементов и вообще разностям средних значений яркостей соседних групп из 2т элементов.

На рис. 10.6.3 приведен пример преобразования Хаара для конкретного изображения. На снимке с логарифмическим масштабом отчетливо заметна концентрация энергии, особенно в областях с высокими секвентами. Отметим, что в спектре Хаара наблюдается концентрация энергии также в областях с низкими секвентами.

%9*

НАКЛОННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

В работах [24—26] предложено ортогональное преобразование, названное наклонным (slant transform). Это преобразование обладает следующими особенностями: 1) среди базисных векторов

Рис. 10.6.2. Базисные изображения преобразования Хаара при ^ = 8.

Черный цвет соответствует значению +1, белый — значению —1, штриховка — 0.

имеется вектор с одинаковыми компонентами (постоянный базисный вектор); 2) наклонный базисный вектор монотонно убывает от максимального до минимального значения скачками постоянной величины; 3) матрица преобразования обладает секвентным свойством; 4) существует быстрый алгоритм преобразования; 5) обеспечивается высокая степень концентрации энергии изображения. При длине вектора N = 2 наклонное преобразование совпадает

с преобразованием Адамара второго порядка. Таким образом.

(10.7.1>(10.7.1>Рис. 10.6.3. Преобразование Хаара изображения «Портрет».Рис. 10.6.3. Преобразование Хаара изображения «Портрет».а — исходное изображение; б — спектр Хаара в логарифмическом масштабе по оси амплитуд; в — спектр с ограниченными наибольшими гармониками.а — исходное изображение; б — спектр Хаара в логарифмическом масштабе по оси амплитуд; в — спектр с ограниченными наибольшими гармониками.

(10.7.1>

(10.7.1>

Рис. 10.6.3. Преобразование Хаара изображения «Портрет».

Рис. 10.6.3. Преобразование Хаара изображения «Портрет».

а — исходное изображение; б — спектр Хаара в логарифмическом масштабе по оси амплитуд; в — спектр с ограниченными наибольшими гармониками.

а — исходное изображение; б — спектр Хаара в логарифмическом масштабе по оси амплитуд; в — спектр с ограниченными наибольшими гармониками.

Матрица наклонного преобразования четвертого порядка формируется по следующему правилу:

S4 =j一

4/2

"10

10 ■

一"4瓦

信式〕（1072a）

01

-%"4

0—1

"a4

9 Прэтт У.

ИЛИ

S4 =S4 =1111а& +瓦% — %一04 + “a4 b&1—1—1104 - b4-& — %04 +仇一@4 + 丛1111а& +瓦% — %一04 + “a4 b&1—1—1104 - b4-& — %04 +仇一@4 + 丛(10.7.26)(10.7.26)

S4 =

S4 =

1

1

1

1

а& +瓦

% — %

一04 + “

a4 b&

1

—1

—1

1

04 - b4

-& — %

04 +仇

一@4 + 丛

1

1

1

1

а& +瓦

% — %

一04 + “

a4 b&

1

—1

—1

1

04 - b4

-& — %

04 +仇

一@4 + 丛

(10.7.26)

(10.7.26)

где а& и 匕& — действительные коэффициенты, которые следует выбирать так, чтобы матрица S4 была ортогональной, а величина скачков при изменении второго наклонного базисного вектора — постоянной. Из условия постоянства величины скачка можно найти, что а4 = 2b《• Из условия ортогональности S&Sf = I следует, что “ = 1//5. Таким образом, матрица наклонного преобразования четвертого порядка имеет вид '

1113///5l/f'5-1/Г51—1—1J//5-3///'53/，51113///5l/f'5-1/Г51—1—1J//5-3///'53/，51-3///511-3///51(10.7.3)(10.7.3)

1

1

1

3///5

l/f'5

-1/Г5

1

—1

—1

J//5

-3///'5

3/，5

1

1

1

3///5

l/f'5

-1/Г5

1

—1

—1

J//5

-3///'5

3/，5

1

-3///5

1

1

-3///5

1

(10.7.3)

(10.7.3)

Нетрудно проверить, что матрица S& является ортонормальной. Кроме того, она обладает секвентным свойством: число изменений знака возрастает с увеличением номера строки от 0 до 3.

Матрица наклонного преобразования при ^ = 8 имеет вид

100〃800-010S8=击__0001001 0一680.00010J 0001100〃800-010S8=击__0001001 0一680.00010J 00011000-1一a8仇0010010§4 1 0000110-1001匕8〃8'000 1 §4000100-0-1.1000-1一a8仇0010010§4 1 0000110-1001匕8〃8'000 1 §4000100-0-1.(10.74；(10.74；

1

0

0

〃8

0

0

-0

1

0

S8=击

__0

0

0

1

0

0

1 0

一68

0

.0

0

0

1

0

J 0

0

0

1

1

0

0

〃8

0

0

-0

1

0

S8=击

__0

0

0

1

0

0

1 0

一68

0

.0

0

0

1

0

J 0

0

0

1

1

0

0

0-

1

一a8

仇

0

0

1

0

0

1

0

§4 1 0

0

0

0

1

1

0

-1

0

0

1

匕8

〃8

'0

0

0 1 §4

0

0

0

1

0

0-

0

-1.

1

0

0

0-

1

一a8

仇

0

0

1

0

0

1

0

§4 1 0

0

0

0

1

1

0

-1

0

0

1

匕8

〃8

'0

0

0 1 §4

0

0

0

1

0

0-

0

-1.

(10.74；

(10.74；

Как и при построении матрицы S4, коэффициенты а8 и 瓦 подбираются так, чтобы наклонный базисный вектор убывал равномерными скачками, все строки матрицы являлись ортонормальными векторами, а сама матрица обладала секвентным свойством.

Обобщая соотношение (10.7.4), можно получить рекуррентную формулу, связывающую матрицы наклонного преобразования

Sjv =^72Sjv =^72(10.7-5)(10.7-5)где 1к — единичная матрица Кто порядка. Постоянные aN -1 [26]где 1к — единичная матрица Кто порядка. Постоянные aN -1 [26]N-ro и (^2)-го порядка:

Sjv =^72

Sjv =^72

(10.7-5)

(10.7-5)

где 1к — единичная матрица Кто порядка. Постоянные aN -1 [26]

где 1к — единичная матрица Кто порядка. Постоянные aN -1 [26]

(10.7.6а)(10.7.66)(10.7.6в)(10.7.6а)(10.7.66)(10.7.6в)и bN можно найти из рекуррентных соотношений

(10.7.6а)

(10.7.66)

(10.7.6в)

(10.7.6а)

(10.7.66)

(10.7.6в)

”2=1，

Ь% = [1+4(ал72)2]т/2,,0% 二 2bNQN/2

Номер базиснойНомер базисной(рункции(рункции

Номер базисной

Номер базисной

(рункции

(рункции

9 -ЪЕГЛТЬТЬ

Рис. 10.7,1. Базисные функции наклонного преобразования при ^ = 16.

9*

u 一口一丰

Od=L г~] П П

LL U L

L u

」1гтР-

П п п г

」Lr

'3 W

」W LT

П L

п П п П

u LT n

0

4 , 8

12 , "16

или по формулам

&n=(毋)々(Ю.7.7а)

…(若斗广(Ю.7.76)

Рис. 10.7.2. Наклонное преобразование изображения «Портрет». .

а — исходное изображение： 6 — результат преобразования в логарифмическом масштабе по оси амплитуд; в — результат преобразования с ограниченными наибольшими гармониками.

На рис. 10.7.1 приведены графики базисных функций наклонного преобразования для N = 16. Пример спектра, получаемого при таком преобразовании, показан на рис. 10.7.2.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КАРУНЕНА—ЛОЭВА

Метод преобразования непрерывных сигналов в набор некоррелированных коэффициентов разработан Каруненом [27] и Лоэвом [28]. Как указывается в статье [30], Хотеллинг [29] первым предложил метод преобразования дискретных сигналов в набор некоррелированных коэффициентов. Однако в большинстве работ по цифровой обработке сигналов и дискретное, и непрерывное преобразования называют преобразованием Карунена— Лозва или разложением по собственным векторам.

В общем случае преобразование Карунена—Лоэва описы： вается соотношением

夕(“，。)=工 X 尸 0, ^A(i, k- и, и),(10.8.1)

/=0 々＜=0

ядро Я (/,也；“，у) которого удовлетворяет уравнению 九(〃，у) Д(/,也；“，S =

N-l АТ-1

=S S KfO,也；『，々')4『，忙 И,。)，(10.8.2)

产n0在，=0

где Kf (/,也；『，也')——ковариационная функция дискретизованного изображения, а % (“，и) при фиксированных и и у постоянна. Функции Я (/, 6; и, у) являются собственными функциями ковариационной функции, а 九(“，у)——ее собственные значения. Как правило, выразить собственные функции в явной форме не удается.

Если ковариационную функцию можно разделить, т. е.

厶也也；Г, 6') = Кс0,『)Kr(財也)(10.8.3)

то ядро разложения Карунена——Лоэва также разделимо и

Л (/,也；w, у) = Лс (/, “)Лд (电 у).(Ю.8.4)

Строки и столбцы матриц, описывающих эти ядра, удовлетворяют следующим уравнениям:

%⑺4伏,u)=£厶伏，勿)Дя侬,刃)，(Ю.8.5)

Az=0

NT

М«)4(/, ы)= s КсО, i')Ac『,“).(Ю.8.6)

尸=0

В частном случае, когда ковариационная матрица описывает разделимый марковский процесс первого порядка, собственные функции удается записать в явной форме. Для одномерного марковского процесса с коэффициентом корреляции р собственные функции и собственные значения имеют вид [31

4‘，〃)= [УТ^『％П M®(j —艺饪)十屮](10.8.7)

10 Прэтт У.

九(“)=1—2p cos [/(«)] +р2'(10.8.8》

где 0 w нения

^ j, 〃 W 2 — 1, a w (и) — корни трансцендентного урав-

tg映)=侬(』；二，累喘*(1。・&9)

Собственные векторы можно также найти из рекуррентных формул [32]

Л(0, 〃) = т^гЬ4(0, и)-рА(1, «)],(Ю.8.10а)

<0, tOnq^JpAO-l, 〃) + (「+p2)4(j, M)-pX(/+l,M)]f 0</<^-l,(10.8.10б>

4(2- 1, “'u^^j—pAW — Z, “) + 4(2- 1, М)]((10.8.10b)

положив в качестве начального условия Л (0, u) = 1 и затем пронормировав полученные собственные векторы.

Если исходное и преобразованное изображения представить в векторной (|юрме, то пара преобразований Карунена—Лоэва будет иметь вид

/=Af .(10.8.11)

и

fu А".(10.8.12)

Матрица преобразования А удовлетворяет уравнению

АК『АА,(10.8.13)

где К/ — ковариационная

матрица

вектора

f; А — матрица^

строки которой явля А — диагональная mw

А =

ются собственными векто 1трица вида

~М1)о . . .0

0九⑵о

00 . . ,\(№)_

рамп матрицы 勺

・：(10.8.14)

Если матрица К/ разделима, то”

(10.8.15)(10.8.15)А = Ас 8 Ar,

(10.8.15)

(10.8.15)

причем матрицы А^ и Ад удовлетворяют следующим условиям:

ArKr = Ar Ar, А©Кс = ЛСАС,ArKr = Ar Ar, А©Кс = ЛСАС,(10.8.16а)

ArKr = Ar Ar, А©Кс = ЛСАС,

ArKr = Ar Ar, А©Кс = ЛСАС,

(10.8.166)

а 九(6)=入r (i) Кс (/) при I, / == 1, 2, ..., ^_ [33].

■Номер

базисной

0-" 二一0-" 二一Функции-

0-" 二一

0-" 二一

zF^^J^

^ЪГЪДЛ^

ъ^ •^ЪР~1_ГгЪ

JLTJ"uLF~LrrLrr^

-tRJTnR^nj"

"1ПР"ьГЕГи'="П_Р"=

-iJULp—nJHLr

-г7^~гьЛЛПГЬ"1^

■寸十门尸r^ p Y I I %.

Phc, 10.8.1# Базисные функции преобразования Карунена — Лоэва при ^ = 16.

На рис. 10.8.1 приведены графики базисных функций преобразования Карунена—Лоэва одномерного марковского процесса, для которого коэффициенты корреляции соседних элементов р = 0,9.

СИНГУЛЯРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Сингулярное преобразование [34] является двумерным унитарным преобразованием, основанным на сингулярном раз ложе- 10*

Рис. 10.9.1. Сингулярное преобразование изображения «Портрет». Все представленные массивы из 256 X 256 элементов получены из массивов размера 64 X 64 элемента посредством билинебноб интерполяции.

а — исходное изображение, матрица F; 6 — результат сингулярного преобразования* матрица 歹；в — матрица FF?; а — матрица F^F; д —матрица, состоящая из модулей элементов матрицы U； е — матрица, состоящая из модулей элементов матрицы V.

нии матриц (см. гл. 5). Прямое сингулярное преобразование по определению равно

= ACFA^,(10.9.1)

з обратное преобразование

F = A^ 夕 Ar.(10.9.2)

Матрица преобразования строк Ar обеспечивает выполнение операции диагонализации

Ar[f7f]a3=A,(10.9.3)

где А ——диагональная матрица, эл；ем)енты 九(“)которой являются собственными значениями матрицы F^F. Аналогично

Ac[FF」A^ = A.(10.9.4)

Подставив выражение (10.9.2) в равенства (10.9.3) и (10.9.4), получим.'

^ = Л1/2,(1095)

где элементами диагональной матрицы А1/2 являются числа М/2 (а), называемые сингулярными значениями матрицы F и равный квадратному корню из соответствующих собственных значений 入(〃)・

О力324864Номер сингулярного значение (О力324864Номер сингулярного значение (Рис, 10.9.2. Сингулярные значения изображения «Портрет».Рис, 10.9.2. Сингулярные значения изображения «Портрет».DE工3nhГМ8Х DHnhmQDE工3nhГМ8Х DHnhmQ

О力324864

Номер сингулярного значение (

О力324864

Номер сингулярного значение (

Рис, 10.9.2. Сингулярные значения изображения «Портрет».

Рис, 10.9.2. Сингулярные значения изображения «Портрет».

DE工3nhГМ8Х DHnhmQ

DE工3nhГМ8Х DHnhmQ

Матрицу изображения можно записать в очень компактной форме с помощью матричного произведения векторов, получаемых при сингулярном разложении. Согласно равенству (10.1.146),

F =工 夕(弘 u)bc (u) b^ (u),(10.9.6)

где bc (“) и bR (“) представляют собой векторы, состоящие из элементов 〃・х столбцов матриц Вс и В^・

Рис. 10*9.3. Базисные изображения для изображения «Портрет».

Рисунки а, б, 6, 8, а, е gоответетвуют 勿⑴ 6西⑴，七代)质(4), t⑶项岱).勿0 隔(16), bc(32)^(32),论伊觴做，

Пользуясь сингулярным преобразованием, матрицу изображения F, содержащую ^X^ элементов, можно полностью опи^ сать ^ величинами, представляющими, собой ^ коэффициентов 夕(“,“).Однако следует отметить, что конкретные .значения элементов матриц преобразований по строкам и столбцам в этом случае зависят от элементов изображения.

На рис. 10.9.1 приведен пример сингулярного преобразования изображения. Здесь же показаны произведения FFr и FrF, а также соответствующие матрицы преобразований по строкам (U> и по столбцам (V). Сингулярные значения рассматриваемого изображения представлены на рис. 10.9.2. На рис. 10.9.3 показано несколько матричных произведений Ьс (“)b^ (〃)・

М1ГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

В общем случае, чтобы выполнить унитарное преобразование матрицы изображения, содержащей NXN элементов, и получить матрицу из ^X^ спектральных коэффициентов, необходимо произвести примерно № арифметических операций (умножений и. сложений). Если размеры матрицы изображения велики, то числом операций становится чрезмерно большим. К счастью, для многих унитарных преобразований существуют эффективные алгоритмы вычислений, позволяющие ускорить выполнение преобразования.

Основной идеей этих быстрых вычислительных алгоритмов является разделение всей задачи на ряд этапов, причем результаты, полученные на предыдущих этапах, многократно используются на последующих этапах. В качестве примера рассмотрим1 процесс вычисления коэффициентов преобразования Адамара с неупорядоченной матрицей для последовательности из четырех элементов / (/). При прямом способе вычисления находятся четыре-

величины по формулам

/(0) = f(0)+ f(l) + f(2) + f(3),(Ю.Ю.1а>

{1) = 〃0)-〃1) + 〃2)Т(3),(Ю.10.1б>

/ (2) = / (0)+ f ⑴—⑵ 一 f (3),(Ю.10.1в>

/(3) = f(0)一〃1) — 〃2) + f (3).(Ю.10.1г>

Для этого необходимо，выполнить [N (N — 1)] = 12 арифметических операций (сложений и вычитаний). Однако коэффициенты преобразования Адам ар а можно найти по-другому, разбнк процесс вычйсления на следующие этапы:

Первый этап

а (0) = / (0) + / (2),(Ю.10.2а>

а (1) = f (0) — f (2),(10.10.2б>

а⑵= f(l) + f(3),(Ю.10.2в>

а (3) = 〃1) Т (3).(10.10.2r》

Второй этапВторой этап⑵⑵(з)('з) fla а а + - + - ⑼⑼⑴⑴ аала ==== ⑼⑴⑵⑶⑵⑵(з)('з) fla а а + - + - ⑼⑼⑴⑴ аала ==== ⑼⑴⑵⑶(10.10.3а) (10.10.36) (ЮЛО.Зв) (ЮЛ 0.3г)(10.10.3а) (10.10.36) (ЮЛО.Зв) (ЮЛ 0.3г)

Второй этап

Второй этап

⑵⑵(з)('з) fla а а + - + - ⑼⑼⑴⑴ аала ==== ⑼⑴⑵⑶

⑵⑵(з)('з) fla а а + - + - ⑼⑼⑴⑴ аала ==== ⑼⑴⑵⑶

(10.10.3а) (10.10.36) (ЮЛО.Зв) (ЮЛ 0.3г)

(10.10.3а) (10.10.36) (ЮЛО.Зв) (ЮЛ 0.3г)

При этом для определения элементов матрицы Н4 требуется только [力 log2 ^] = 8 операций, т. е. экономится четыре операции.

Рис. 10.10.1. Граф вычисления коэффициентов преобразовании Адамара для четырех элементной последовательности. (Сплошные линии обозначают операции сложении, пунктирные — вычитания.)Рис. 10.10.1. Граф вычисления коэффициентов преобразовании Адамара для четырех элементной последовательности. (Сплошные линии обозначают операции сложении, пунктирные — вычитания.)

Рис. 10.10.1. Граф вычисления коэффициентов преобразовании Адамара для четырех элементной последовательности. (Сплошные линии обозначают операции сложении, пунктирные — вычитания.)

Рис. 10.10.1. Граф вычисления коэффициентов преобразовании Адамара для четырех элементной последовательности. (Сплошные линии обозначают операции сложении, пунктирные — вычитания.)

Ход вышеуказанных вычислений можно описать с помощью графа (рис. 10.10.1). Общее число операций равно половине числа ребер, соединяющих вершины графа. Другой способ представления того же процесса заключается в факторизации матрицы, когда матрицу преобразования Адамара Н4 записывают в виде произведения двух разреженных матриц. Так, например,

1100001 —11 —1о оо оо1 о1о1 о1о1о1о—1о—11о1о1о1о100011—10001—1100011—10001—1(10.10.4)(10.10.4)

1

1

00

00

1 —1

1 —1

о о

о о

о

1 о

1

о

1 о

1

о

1

о

1

о

—1

о

—1

1

о

1

о

1

о

1

о

1

0

0

0

1

1

—1

0

0

0

1

—1

1

0

0

0

1

1

—1

0

0

0

1

—1

(10.10.4)

(10.10.4)

Число операций равно половине числа ненулевых элементов в обеих матрицах-сомножителях.

Принципы, описанные выше на примере преобразования Ада- мара「можно применить для быстрого вычисления многих других преобразований. Разработаны быстрые алгоритмы для преобразований Фурье [35], четного косинусного [12], синусного [13], Адамара [17], Хаара [1 ] и наклонного [26]. В общем случае для преобразования Карунена—Лоэва быстрого алгоритма не найдено, однако известны приближенные алгоритмы преобразован ия Карунена—Лоэва для марковских процессов.

Для большинства одномерных унитарных преобразований порядок требуемого числа арифметических операций равен N log2 М Исключением является преобразование Хаара, которое имеет разреженную матрицу и поэтому может быть вычислено с помощыа- примерно 2N операций. Для унитарных преобразований пока неизвестен общий метод построения эффективных вычислительных алгоритмов [36]. В каждом случае приходится отыскивать эффективную процедуру вычислений или способ представления матрицы в виде произведения разреженных матриц.

Унитарные преобразования, основанные на базисных векторах: синусоидального характера (преобразования Фурье, косинусное,, синусное), можно выполнить косвенным путем, пользуясь алгоритмом так называемого z-преобразоваиия с «ЛЧМ-фильтрацией. Преоб-

Рис. 10.10.2. Блок-схема алгоритма преобразования Фурье с использованием： метода г-преобразоваиия.

разование Фурье одномерной последовательности f (/) определяется соотношением

夕(〃) =方 £ f(j)exp{—等 ％}•(Ю.10.5)，

Произведя замену переменных

2j〃 =产 + 炉—(〃 —/)а,(10.10.6>

можно получить выражение

/(«)=呻{犷} e exp {*(" 一 j)斗 exp {-粵,(/).

(10.Ю.7)

Формула (10.10.7) описывает совокупность следующих операций:

Поэлементное умножение последовательности f (/) на множители с квадратично изменяющейся фазой ехр | ——E*N\.

Свертка результатов предыдущей операции с ядром eхр {诃产/"}.

Поэлементное умножение полученной последовательности на множители с квадратичной фазой exp \ini^!N\.

На рис. 10.10.2 приведена структурная схема алгоритма вычисления коэффициентов преобразования Фурье с использованием метода z-преобразования с ЛЧМ-фильтраци ей. Если обработка производится в универсальной ЦВМ, то, как правило, применять этот алгоритм не следует, поскольку для вычисления свертки требуется большее число операций, чем для прямого выполнения преобразования методом БПФ. Однако с помощью аналоговых трансверсальных фильтров очень легко осуществить г-преобразование с ЛЧМ-фильтрацией, что дает возможность вычисления коэффициентов преобразования Фурье, а также косинусного и синусного преобразований поточным способом.

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРЕОБРАЗОВАННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Для создания эффективных методов квантования и кодирования преобразованных изображений необходимо знать статистические свойства последних. В данном разделе определены первые и вторые моменты спектральных коэффициентов. Следующий раздел посвящен созданию статистической модели плотности вероятности этих коэффициентов.

Если предположить, что массив элементов изображения F (/,舟 является реализацией двумерного случайного процесса с известными математическим ожиданием и ковариационной функцией, то его спектр (результат унитарного преобразования)

歹他 и)= £ £ 尸(/,々)4(//; 〃，и) (Ю.11.1) /=0 А=0

также будет реализацией случайного процесса. Согласно равенству (.8,2.16), математическое ожидание 歹似，и)

Е {笋(“，и)}=£ HE\F(j, ^\АЦ, Л; u>V\ (Ю.11.2)

где Е {尸(力左)} — математическое ожидание 尸(/, fe). С помощью равенства (8.2.3) можно получить выражение для ковариационной функции спектра 歹(и, и)

К夕(“1，。丄；〃2，，2)= £ £ 2 2 К尸(/1，/г> &，々2)4 (/1» А； “I，”1) X /1厶也1电

хЛ*(/2,財；〃2, %),(10.11.3)

где через К尸(厶，/2；网，々J обозначена ковариационная функция 尸(/,舟.И наконец, дисперсия 歹(и, и) равна

и*(", 0)= К歹(弘。；〃，D(10.11.4)

При векторном представлении унитарного преобразования вектор, образованный разверткой по столбцам матрицы коэффициентов преобразования, определяется соотношением

/=Af.(10.11.5)

Математическое ожидание этого вектора

П/ = А1),,(10.11.6)

а ковариационная матрица

К« = АК『А*т.(10.11.7)

Матрица дисперсий коэффициентов преобразования V歹 образуется из диагональных элементов ковариационной матрицы (10.11.7).

Рассмотрим теперь, как вычисляются первый и второй моменты матрицы коэффициентов преобразования применительно к конкретным унитарным преобразованиям. Очевидно, что в общем случае все моменты можно получить в виде ряда или вектора, производя вычисления по вышеприведенным формулам. Однако для проектирования и анализа систем желательно иметь аналитические выражения моментных функций.

Сначала рассмотрим случай преобразования Карунена——Лоэва, В общем виде ковариационная функция коэффициентов этого преобразования описывается равенством (10.11.3), которое можно прздсгавить в следующем виде:

K歹("" %；"2,力)=

" S S A*(%,毋旳，。2)X X К戸("，%；自，也2)4(厶，月；4,也)。

(10.11.8) Однако формула (10.8.2) подсказывает, что вторая двойная сумма совпадает с определением ядра преобразования Карунена— Лоэва. Таким образом,

KZ%, S； %, "2)= S £ 4*(%，Е； «2> %)А("1, %) А к 財；«1, и)

(10.11.9)

где 九(и, и) — собственные значения ковариационной матрицы изображения. Поскольку преобразование Карунена—Лоэва ортогонально, т. е.

К歹("1,。1； 〃2,。2)=厶(〃1，»1) 6 («1 — «2> 5—%)，(Ю.11.10) то коэффициенты этого преобразования некоррелированы между собой, а их дисперсии равны соответствующим собственным значениям:

,о^ (и, V)= X (и, и). (10.11.11)

Преобразование Карунена——Лоэва является единственным унитарным преобразованием, в котором достигается полная декорреляция произвольного изображения. В других преобразованиях между коэффициентами преобразования остается некоторая остаточная корреляция. Кроме того, преобразование Карунена—— Лоэва обеспечивает наибольшую среди всех унитарных преобразований степень концентрации энергии спектра изображения. Предположим, что коэффициенты произвольного преобразования расположены в порядке убывания их дисперсий, т. е. о2 (1) > >о'2) > ... > о2 (№), и также расположены собственные значения корреляционной матрицы, т. е. А (1) > А (2) > ... > > А (№). Можно показать, что для любого верхнего предела суммирования F < № выполняется неравенство

£%@)》纟02侬). (10.11.12) w=0 w=0

Чтобы найти аналитические выражения для моментов других преобразований, необходимо задать статистические свойства элементов изображения. Если изображение стационарно в широком смысле, то его математическое ожидание постоянно, и поэтому

Е ｛歹(〃，с)｝ = Е ｛笋｝ £ £40,局 ы, и). (10.11.13)

Но поскольку базисные функции являются ортогональными, то результат суммирования отличен от нуля только для нулевой базисной функции упорядоченного преобразования. Следовательно, .

Е｛歹(0, 0)｝ = Е ｛尸｝ £ s Л(/,比 0, 0) при и, и = 0,(10.11.14а)

Е ｛歹(％ и)｝ — 0 при и, и=#0・ (10.11.146)

В тех преобразованиях, где в число базисных функций входит постоянная функция, двойная сумма (10.11.14а) равна ^.

Если изображение стационарно в широком смысле, соответствующая ковариационная функция имеет вид Д■尸(Д —■ /2, ^1—hj. Однако матрица коэффициентов преобразования будет стационар-

ной в широком смысле только тогда, когда ядро преобразования обладает свойством пространственной инвариантности. Наглядным подтверждением этого является преобразование Фурье.

Большинство обычно используемых преобразований изображений являются разделимыми в пространственной области. Если, кроме того, разделима по пространственным переменным и ковариационная функция изображения, то

(10.11.15)(10.11.16a)(10,11.166)(10.11.15)(10.11.16a)(10,11.166)K庐("h S；〃2,*2)= к歹e ("h "2)《歹及(5,⑷,

(10.11.15)

(10.11.16a)

(10,11.166)

(10.11.15)

(10.11.16a)

(10,11.166)

где

K^rc («1, "2)= £ £； KfcO齡 i2)Ac(jh Ul) ^c (/2,以2), 〃厶，

К贯6依，白)=? У k/国伏La2)"R (屈力)4齐(左2,办).

Пр» этом дисперсия спектра (преобразованного изображения) также разделима, т. е. ее можно представить в виде произведения одномерных функций, описывающих изменение дисперсии вдоль строк и столбцов:

*("，力=哮＞(")唸г色)， (Ю.11.17)

Одномерная дисперсия Фурье-спектра для стационарного в широком смысле изображения имеет вид

哈Z(^)= V S S Kfz (Zi - z5) exp {—等 3 ②—z2)}, (10.11.18)

где w ~ и или ⑪=и, а % =厶 или & =岛.Это выражение можно переписать в следующем виде:

。安z®) = $ £ exp {争 wz^ 工 Kpz ki - Z2} exp {—警 wz^.

(10.11.19)

Вторую сумму можно рассматривать как одномерное дискретное преобразование Фурье ковариационной функции, сдвинутой на & отсчетов. Согласно теореме о преобразовании Фурье смещенной функции,

哈Z (3) = % £ exp {等 %卜Xp {-等 wz^ 鼠 ®) = % (叫

*(10.11.20)

где 乡z (侬)и &z 侬)一пара одномерных дискретных преобразо-

Рис. I0J1.L Ковариационные матрида унитарных преобразований при W н 16» р = 0,9.

а — тождественное преобразований； 6 — преобразование Фурье： в — косинусное； з синусное; 6 — Адамара； е — Хаара; ж — ааклоняое； з — Каруаена — Лоэва.

ваний Фурье. Из соотношения (5.4.16) видно, что 乡工(⑪)является дискретным вариантом энергетического спектра ^fz ®) строки (или столбца) изображения, уменьшенным на величину, равную средней мощности изображения. Для процесса с нулевым математическим ожиданием

0豕 z 侬)="戶z 侬)・ (10.11.21)

Рассмотренные ранее преобразования Адамара, Хаара и другие не обладают свойством, которое для преобразования Фурье дается теоремой о спектре сдвинутой функции. По этой причине для этих преобразований не удалось получить в конечной форме выражение для дисперсии или ковариационной функции.

Рис. 10.11.2. Дисперсии коэффициентов унитарных преобразований при N = =16, р= 0,9.Рис. 10.11.2. Дисперсии коэффициентов унитарных преобразований при N = =16, р= 0,9.§%67弟§N§%67弟§N

Рис. 10.11.2. Дисперсии коэффициентов унитарных преобразований при N = =16, р= 0,9.

Рис. 10.11.2. Дисперсии коэффициентов унитарных преобразований при N = =16, р= 0,9.

§%67弟§N

§%67弟§N

На рис. 10.11.1 представлены ковариационные функции коэф^ фициентов некоторых унитарных преобразований отрезка дискретного одномерного марковского процесса, состоящего из 16 элементов, причем коэффициент корреляции между соседними элементами р = 0,9. Графики дисперсии коэффициентов преобразований приведены на рис. 10.11.2.

10.12. МОДЕЛИ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Было бы полезно знать плотность вероятности элементов преобразованного изображения для произвольного преобразования. К сожалению, найти эту плотность нелегко, так как обычно мы не имеем полного описания плотности вероятности исходного изображения.. Кроме того, сами преобразования, как правило, являются сложными математическими операциями. Однако рассмотренные выше преобразования, применяемые для обработки изображений, сводятся к вычислению взвешенных сумм всех элементов исходного изображения. Поэтому, пользуясь центральной предельной теоремой теории вероятностей, можно прийти к выводу о том, что плотность вероятности элементов преобразованного изображения близка к гауссовой с теми моментами, которые были найдены в предыдущем разделе.

Коэффициенты преобразования Фурье являются комплексными числами, и их можно задавать с помощью действительной и мнимой частей или же модулем и аргументом. В обоих случаях каждому коэффициенту соответствуют два числа, которые необходимо подвергнуть квантованию. Можно считать, что действительная 歹r (“, и) и мнимая 歹/ (“, и) части коэффициента Фурье имеют одинаковые гауссовы распределения, дисперсия которых и*(", и) пропорциональна энергетическому спектру исходного изобра-

жения. Таким образом,

Р ｛歹/(〃，明=[2ло^ (u, v)]-1/2exp

歹％(〃，S2® (u, V)歹宁(〃，и)

,(10.12.1а)

2吃(и, и)

・(10.12.16)

Если действительная и мнимая составляющие имеют гауссово распределение, то модуль коэффициента Фурье 歹涼〃，и) распределен по закону Рэлея. Таким образом,

p ｛歹m ("，。)｝=耳畔空 exp [一絮* ](10.12.2)

。歹(и, и) I 2。歹(u, и) J

при 歹м (弘 и)》0, а фаза ^р(и, v) имеет равномерное распределение

р｛歹р(〃，叫=1/2% где —л w 歹р (и, и) w л.

(10.12.3)

Можно считать, что действительные коэффициенты других преобразований имеют гауссовы распределения вида

p ｛歹(/ 叫=[2ла^ (u,

5^｝・ О®)

Плотность распределения вероятностей Рэлея (10.12.2) часто применяют в качестве модели плотности вероятности постоянной составляющей 歹(0, 0) яркостных изображений, поскольку для таких изображений коэффициент 歹(0, 6) всегда строго положителен. Рассмотренные модели плотностей вероятности широко применяются при разработке методов кодирования с преобразованием изображений.

ЛИТЕРАТУРА

Andrews Н. С., Computer Techniques in Image Processing, Academic Press, New York, 1970.

Andrews H. C., Two Dimensional Transforms, in: Topics in Applied Physics: Picture Processings and Digital Filtering, Vol. 6, Huang T., Ed., Springer- Verlag» New York, 1975.

Bellman R., Introduction to Matrix Analysis, McGraw-Hill, New York, 1960.

Andrews H. C., Caspari K., A Generalized Technique for Spectral Analysis, IEEE Trans. Computers, C-19, 1, 16—25 (January 1970).

Cooley J. W., Tukey J. W., An Algorithm for the Machine Calculation of Complex Fourier Series, Math. Compute 19, 90, 297—301 (April 1965).

IEEE Trans. Audio and Electroacoustics, Special Issue on Fast Fourier Transforms, AU-15, 2 (June 1967).

Cochran W. T. et aL* What is the Fast Fourier Transform? Proc. IEEE, 55, 10, 1664—1674 (1967). [Имеется перевод: Кокрен и др., Что такое «Быстрое преобразование Фурье»? 一 ТИИЭР, 1967, т. 55, № 10.]

IEEE Trans. Audio and Electroacoustics^ Special Issue on Fast Fourier Transforms, AU-17, 2 (June 1969).

Cooley J. W., Lewis P. A., Welch P. D., Historical Notes on the Fast Fourier Transform, Proc. IEEE, 55, 10, 1675—1677 (October 1967). [Имеется перевод: Кули, Льюис, Уэлч, Исторические замечания относительно бы* строго преобразования Фурье. — ТИИЭР, 1967, т. 55, № 10.]

Brigham Е. О., Morrow R. Е,, The Fast Fourier Transform, IEEE Spectrum» 4, 12, 63—70 (December 1967).

Means R. W., Whitehouse H. J., Speiser J. M., Television Encoding Using a Hybrid Discrete Cosine Transform and a Differential Pulse Code Modulator in Real Time, Proceedings of the National Telecommunications Conference, San Diego, California, December 1974, pp. 61—66.

Ahmed N., Natarajan T., Rao K. R., On Image Processing and a Discrete Cosine Transform, IEEE Trans, Computers, C-23, 1, 90—93 (January 1974).

Jain A. K., A Fast Karhunen-Loeve Transform for Finite Discrete Images, Proceedings of the National Electronics Conference, Chicago, Illinois, October 1974, pp. 323—328.

Jain A. K-, Angel Е.» Image Restoration, Modelling, and Reduction of Dimensionality, IEEE Trans. Computers* C・23, 5, 470—476 (May 1974),

Jain А. К. (частное сообщение).

Whelchel J. E., Jr., Guinn D. F., The Fast Fourier-Hadamard Transform and Its use in Signal Representation and Classification, EASCON 1968 Convention Record, 1968, pp. 561—573.

Pratt W. K., Andrews H. C., Kane J” Hadamard Transform Image Coding, Proc. IEEE, 57, 1, 58—68 (January 1969). [Имеется перевод: Прайт, Кайи, Эндрюс, Кодирование изображений с использованием преобразования Ада* мара. — ТИИЭР, 1969, т. 57, № 1,]

Hadamard J., Resolution d*une Question Relative aux Determinants, Bull. Set. Math. Ser. 2, 17, Part I, 240—246 (1893).

10 Прэтт У.

Ryser H. J・，Combinational Mathematics, Wiley, New York, 1963. [Имеется перевод: Райзер Г. Дж., Комбинаторная математика.—М.: Мир, 1966.]

Harmuth Н. F., Transmission of Information by Orthogonal Functions, Springer-Ver lag, New York, 1969. (Имеется перевод: Хармут X. Ф., Передача информации ортогональными функциями. — М.: Связь, 1975.]

JWalsh jJ. L., A Closed Set of Orthogonal Functions, Am. J. Math., 45, 524 (1923).

Rademacher H., Einige Satze von Allgemeinen Orthogonal-Funktionen, Math. Annalent 87, 112—138 (1922).

Haar A., Zur Theorie der Orthogonalen Funktionen-System, Inaugural Dissertation, Math. Annalen, 5, 17—31 (1955).

Enomoto H., Shibata К.» Orthogonal Transform Coding System for Television Signals, IEEE Trans. Electromagnetic Compatibility, EMC-13, 3, 11—17 (August 1971).

Pratt W. K., Welch L. R., Chen W. H., Slant Transform for Image Coding, Proceedings Symposium an Applications of Walsh Functions, March 1972.

Pratt W. K., Chen W. H., Welch L. R., Slant Transform Image Coding, IEEE Trans. Comtnun., COM-22, 8, 1075—1093 (August 1974).

Karhunen H., 1947, English translation by Selin L, On Linear Methods in Probability Theory, The Rand Corporation, Doc. T-131, August 1960.

Loeve M., Fonctions Al^atories de Seconde Ordre, Hermann» Paris, 1948.

Hotelling H., Analysis oi a Complex of Statistical Variables into Principal Components, J. Educ. Psyche 24, 417—441, 498—520 (1933).

Wintz P. A., Transform Picture Coding, Proc. IEEE, 60, 7, 809—820 (July 1972). (Имеется перевод: Уинтц, Кодирование изображения посредством преобразований.—ТЙИЭР, 1972, т. 60, № 7.]

Ray W. D.( Driver R. М., Further Decomposition of the Karhunen-Loeve Series Representation of a Stationary Random Process, IEEE Trans. Inf. The- & IT-16, 6, 663—668 (November 1970).

W. K・，Generalized Wiener Filtering Computation Techniques, IEEE Trans. Computers, 021, 7, 636—641 (July 1972).

Friedman B., Eigenvalues of Composite Matrices, Proc. Cambridge Phil. Soc., 57, Part 1, 37—49 (1961).

Andrews H. C., Patterson C. L., Outer Product Expansions and Their Uses in Digital Image Processing, Am. Math. Monthly, 1, 82, 1—13 (January 1975).

Brigham E. O.( The Fast Fourier Transform, Prentice-Hall, Englewood Cliffs» N. J” 1974.

Gentleman W. M., Matrix Multiplication and Fast Fourier Transformations, BelL S如.Tech. J・，47, 1099—1103 (July —August 1968).

Глава 11

ДВУМЕРНЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ ОБРАБОТКИ

Большинство алгоритмов обработки дискретных изображений являются линейными: элементы обработанного изображения образуются в виде линейной комбинации элементов исходного изображения. Широкое применение линейных операций объясняется тем, что выполнить их легчег чем нелинейные. Однако при обработке массивов большого размера часто не удается выполнить даже линейные операции, если отсутствуют эффективные алгоритмы вычисления. В данной главе рассмотрены косвенные методы вычислений, опирающиеся на унитарные преобразования и позволяющие проводить обработку более эффективно, чем при использовании традиционных методов. Здесь также описаны методы рекурсивной двумерной фильтрации.

обработка с использованием преобразования

Двумерные линейные преобразования можно определить в виде ряда как

Р{тъ 力2)= £ X 尸(勺，电)7(九i，«г； %，％)• (И.1.1) П1=1

Это соотношение в векторной форме имеет вид

p = Tf.(11.1.2)

Ниже будет показано, что подобные линейные преобразования часто можно выполнить более эффективно, если вместо непосредственных вычислений по формулам (11.1.1) или (11.1.2) воспользоваться косвенными методами с применением двумерных унитарных преобразований.

На рис. 11.1.1 приведена структурная схема косвенного метода вычислений, называемого обобщенной линейной фильтрацией [1 ]. Массив F (пъ л2), описывающий исходное изображение, подвергается здесь двумерному унитарному преобразованию, в результате которого получается массив коэффициентов преобразования 歹(〃i, 〃2)・ Затем составляется линейная комбинация этих коэффициентов, описываемая в общем случае формулой

~м м

歹(侬1，侬2)= £ 方 歹(%, "2)打(«1. w2；吗，侬2)，(11丄3)

«1=1 Uf—1

где 歹(〃工，〃2； ©l ©2)——ядро линейного фильтрующего преобразования. В заключение проводится обратное унитарное преобразование, чтобы получить обработаннсе изображение Р (加工，m2).

Линейноепреобразова-ние

ПрямоеунитарноеПрямоеунитарноеОбратноеунитарноеОбратноеунитарноеОумигпирнис j>unGunufi g〃“〃““ucоFS?”). ^SpaeoBa-笈％q 做％可效〃”(w”wj 僧鰭次 Pgs)Оумигпирнис j>unGunufi g〃“〃““ucоFS?”). ^SpaeoBa-笈％q 做％可效〃”(w”wj 僧鰭次 Pgs)ЛинейнаяЛинейная

Прямоеунитарное

Прямоеунитарное

Обратноеунитарное

Обратноеунитарное

Оумигпирнис j>unGunufi g〃“〃““ucо

FS?”). ^SpaeoBa-笈％q 做％可效〃”(w”wj 僧鰭次 Pgs)

Оумигпирнис j>unGunufi g〃“〃““ucо

FS?”). ^SpaeoBa-笈％q 做％可效〃”(w”wj 僧鰭次 Pgs)

Линейная

Линейная

Рис. 11.1.1. Структура алгоритмов непосредственной обработки (а) и обобщенной линейной фильтрации (б).

Такой метод вычисления будет эффективнее, чем непосредственное вычисление по формуле (11.1.1), если существуют быстрые алгоритмы унитарного преобразования, а ядро 歹(〃i，〃2；侬1,酬2)со' держит большое количество нулевых элементов.

Рис. 11.1.2. Структура алгоритмов непосредственной обработки (а) н обобщенной линейной фильтрации (б) при векторном представлении изображений.

Процесс обобщенной линейной фильтрации можно также представить в векторной форме (рис. 11.1.2). Для упрощения обозначений положим, что Л\ = %2 = N, a Mi = М2 = М. Тогда обобщенную линейную фильтрацию можно описать соотношениями

(11.1.4а)(11.1.46)(11.1.4b)(11.1.4а)(11.1.46)(11.1.4b)/ = (А^) f,

(11.1.4а)

(11.1.46)

(11.1.4b)

(11.1.4а)

(11.1.46)

(11.1.4b)

Р = (Адр尸 Л

где А%*—матрица унитарного преобразования размера №х№, > —матрица оператора линейной фильтрации размера M2XN2, а Ам — матрица обратного унитарного преобразования размера МаХЛ42. Как следует из соотношений (11.1.4), векторы исходного и обработанного изображений связаны между собой равенством

р = (Ам»т"(А№)а(Н.1.5)

Приравнивая соотношения (11.1.2) и (11.1.5), найдем связь между матрицами 歹 и Т:

Т = (Алр 尸歹(А*),(НЛ.ба)

歹=(Ам?) Т (Ат(11.1.66)

При непосредственной обработке для выполнения вычислений по формуле (11.1.2) необходимо провести kd (M2№) арифметических действий, где kd (0 ^ kd w 1) характеризует степень заполнения матрицы Т ненулевыми элементами. При обобщенной линейной фильтрации общее число арифметических действий равно: Прямое преобразование: 施—При непосредственном вычислении;

2№ log2 ^ — при использовании быстрого преобразования.

Линейная фильтрация: %М^№ умножений.

Обратное преобразование: М4 — при непосредственном вычислении;

2Л12 log2M — при использовании быстрого преобразования.

Здесь ^ (0 w h； е 1) —— коэффициент заполнения^ матрицы 歹 ненулевыми элементами. Если 々夕=1 н производится непосредственное вычисление унитарного преобразования, то очевидно, что обобщенная линейная фильтрация оказывается не столь эффективной, как непосредственная обработка* Однако, если применяются быстрые алгоритмы, подобные быстрому преобразованию Фурье (БПФ), обобщенная линейная фильтрация будет эффективнее, чем непосредственная обработка, если коэффициент заполнения матрицы 歹 удовлетворяет неравенству

kg<kd- (2/儿2)Sgd - (2/Л/2) log2M.(11.1.7)

Во многих случаях матрица 歹 бывает разрежена и неравенство (11.1.7) выполняется. Вообще говоря, унитарные преобразования часто приводят к декорреляции элементов матрицы Т л матрица 歹 оказывается разреженной. Кроме того, матрицу 歹 часто удается разредить без внесения больших погрешностей, если заменить нулями ее малые по величине элементы [1 ].

В последующих разделах рассмотрена структура линейных операторов суперпозиции, свертки и псевдообращения, для тога чтобы определить возможность применения метода обобщенной линейной фильтрации для осуществления этих операций.

СУПЕРПОЗИЦИЯ С ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ

Операцию суперпозиции, описанную в гл. 9, часто удается выполнить более эффективно, если вместо непосредственной обработки проводить обработку с использованием преобразования. На рис. 11.2.1, а, б приведены схемы непосредственного выполнения конечной суперпозиции и дискретизованной суперпозиции» На рис. 11.2.1, г, д представлены схемы осуществления операции суперпозиции, когда вектор f подвергается унитарному преобразованию, результат которого умножается на матрицу ^ (для оператора суперпозиции конечных массивов) или матрицу 留 (для дискретизованного оператора суперпозиции). Обратное преобразование дает обработанный вектор. Согласно рис. 11.2.1, а, г, в случае применения оператора суперпозиции конечных массивов исходный и обработанный векторы связаны следующими соотношениями:

q = Df(11.2.1а)

и

д = (Ам)т®(А”)£(11.2.16)

Поэтому матрицу 勿 можно представить в виде произведения

® = (Am*)D(A"*)工(Н.2.2а)

Аналогично

留=(А 繭 В(А%,)т.(11.2.26)

Чтобы непосредственно выполнить суперпозицию конечных массивов, требуется примерно №L2 операций (здесь L — порядок матрицы импульсного отклика). В этом случае коэффициент заполнения матрицы D равен

hD = (LlNy.(11.2.3а)

Для суперпозиции дискретизованных массивов требуется около APZ? операций, а коэффициент заполнения матрицы В равен

々в =(厶/M)久(11236)

На рис. 11.2.1, е приведена блок-схема циклической суперпозиции с преобразованием. В этом случае входным вектором к^ служит так называемый расширенный входной вектор, получаемый размещением матрицы исходного изображения 尸(пъ п2) в левом углу квадратной нулевой матрицы j-ro порядка и разверткой полученной матрицы по столбцам. Повторяя вышеприведенные рассуждения, можно показать, что

kE - С% = (А尸尸皆(А川 fE(П.2.4а)

и, следовательно,

& =(А 川 С(А_р)т.(11.2.46)

)—0)—0

)—0

)—0

Рис. 11.2.1. Различные виды суперпозиции.

а — конечная суперпозиция; б — дискретизованная интегральная суперпозиция; циклическая суперпозиция; а — конечная суперпозиция с преобразованнем; 0 — ди< тизоваииая интегральная суперпозиция с преобразованием; е — цнклическая с) позиция с преобразованием.

Как было отмечено в гл. 9, для суперпозиции конечных или дискретизованных массивов эквивалентный выходной вектор можно сформировать из к£, выбирая определенные компоненты последнего. Для суперпозиции конечных массивов

q = [81^0 81^]^,(11.2.5а)

а для суперпозиции дискретизованных массивов

q= [S2，m)® S2(,M)]kE.(11.2.56)

При суперпозиции конечных массивов матрица обработанного изображения связана с расширенной матрицей изображения Ке следующим образом:

Q = [S1 产]Ke[S1 俨F(11.2.6a)

При суперпозиции дискретизованных массивов матрица обработанного изображения равна

G=[S2，m)]Ke【S2，m)E(11.2.66)

Число арифметических операций, необходимых для вычисления вектора 叁 путем обработки с преобразованием, можно найти из приведенных выше формул, если положить М = N J\

Прямое преобразование: 3J4.

Быстрое преобразование: 尸 + 4尸 log2 J.

Если матрица 帝 разрежена, то многие из 尸 умножений, нужных для операции фильтрации, выполняться не будут.

Из вышеизложенного нетрудно сделать вывод, что для эффективного проведения суперпозиции следует подобрать преобразование, отвечающее двум требованиям: во-первых, для него должен существовать быстрый алгоритм, а, во-вторых, матрица фильтрации преобразованных массивов должна быть разреженной. В качестве примера рассмотрим свертку конечных массивов, получаемую с помощью преобразования Фурье [2, 3]. В соответствии с рис. 11.2.1 положим

А^2 = А《纟 А%(11.2.7)

где

Ак =[(1 仅及)/(*т)(I)], Г 三 ехр{—^}

при х, у = 19 2, ...» К- Кроме того, примем, что вектор h野)размера Л2 X 1 представляет расширенную матрицу пространственно-инвариантного импульсного отклика, описываемого формулами (9.3.2) при J = К. Преобразование Фурье от h俨 обозначим через

國)=С审)磴).(11.2.8)

Полученные отсчеты преобразования расставим на главной диагонали матрицы размера № X №

非阳= diag ｛或）（1）,...,磁）（＜2）｝.（Ц.2.9）

С помощью весьма громоздких выкладок можно показать, что в спектральном пространстве матрицы оператора свертки конечных массивов и дискретизованного оператора свертки можно представить в следующем виде [4 ]:

3 = ^（m）[PdNPq]（11.2.10）

при N = М — L + 1 и

0 = Р^Р/（"）（11.2.11）

при N = М + L — 1, где

.1 —/一（u-i）（£一】）

PD （и,。）= $——,（11.2.12а）

] —у£у—1）（£7）

Рв（",= 3一（11.2.126）

Таким^образом, оба оператора свертки в спектральном пространстве содержат матрицу скалярных весовых множителей 爲依） и интерполяционную матрицу [Р ® Р ], которая позволяет связать входной вектор размера ” с выходным вектором размера ЛР. Как правило, интерполяционная матрица Р ® Р содержит много нулевых элементов, и поэтому свертка с использованием преобразования выполняется весьма эффективно.

Рассмотрим теперь циклическую свертку, выполняемую с переходом в спектральное пространство. С помощью рассуждений, 'аналогичных вышеприведенным, было показано [4], что оператор ^фильтрации в этом случае сводится к скалярному оператору

% =j細[（11.2.13）

Таким образом, как видно из равенств （11,2.12） и （11.2.13）, при свертке в пространстве спектров Фурье матрицу фильтра удается выразить в компактной замкнутой форме. Для других унитарных преобразований подобных выражений не найдено.

Эффективность .вычисления свертки с применением преобразования Фурье определяется тем, что оператор свертки С имеет циклическую матрицу, а соответствующая матрица фильтра 皆 является диагональной. Как можно увидеть из соотношений （11.1.6）, базисные векторы преобразования Фурье фактически являются собственными векторами матрицы С [5]. Это не так для операции суперпозиции общего вида, а также для операции свертки с применением других унитарных преобразований. Однако во многих слу-

чаях матрицы фильтра ^, ^ я，содержат сравнительно мало ненулевых элементов и обработка с преобразованием позволяет уменьшить объем вычислений.

Рис. 11.2.2. Матрицы операторов свертки одномерных сигналов с ислользова- ннем преобразований Фурье и Адамара.

q — конечная свертка; 6 — дискретизованная свертка; е — циклическая свертка.

На рис. 11.2.2 показан вид матриц спектров для трех танов оператора свертки одномерного входного вектора с гауссовым импульсным откликом с использованием преобразований Фурье и Адамара [61. Как и ожидалось, матрицы коэффициентов преоб-

Рис. 11*2.3、Матрицы операторов свертки двумерных сигналов с использованием преобразования Фурье.

Конечная свертка： а — непосредственно выполняемая; 6 — с преобразованием.

Дискретизованная интегральная свертка: е — непосредственно выполняемая; z — с пре* образованием.

Циклическая свертка: 8 — непосредственно выполняемая; е — с преобразованием.

разования оказались значительно более разреженными, чем исходные матрицы. Кроме того, легко заметить, что для циклической свертки с преобразованием Фурье матрица фильтра является диагональной. На рис. 11.2.3 показана структура матриц трех операторов свертки двумерных сигналов [4 ].

свертка с использованием бпф

Как уже отмечалось, для оператора свертки конечных массивов или дискретизованного оператора свертки эквивалентный выходной вектор можно найти, выбирая определенные элементы расширенного выходного вектора циклической свертки к^ или соответствующей ему матрицы Ке・ Это положение в сочетании с равенством (11.2.13) приводит к весьма эффективной процедуре вычисления свертки, состоящей из следующих этапов:

Записать матрицу импульсного отклика в левом верхнем углу нулевой матрицы J-ro порядка, причем J ^ М для случая свертки конечных массивов и J > N для дискретизованной свертки. Выполнить двумерное преобразование Фурье расширенной матрицы импульсного отклика'

能？ = AjH/Aj.(11.3.1)

Записать матрицу исходного изображения в верхнем левом углу нулевой матрицы J-ro порядка и выполнить двумерное преобразование Фурье расширенной матрицы исходного изображения

^е = А#еА/(П.3.2)

Выполнить скалярное умножение

%e 8,九)=J魂e 8,几)歹石(m，n),(11.3.3)

где几

Произвести обратное преобразование Фурье.

Ke = (Aj)t%e(Aj)t.(11.3.4)

После выбора нужных элементов сформировать искомую выходную матрицу

Q=[S1 叫 Ке®(м)『(11.3.5а)

или

G =[S2(m)] Ke【S2(m)『.(11.3.56)

Важно, чтобы порядок J расширенных матриц <Ж£ и ^£ удовлетворял соответствующим неравенствам. При J = N на левом и верхнем краях выходной матрицы будут находиться полосы ошибочных элементов, имеющие ширину в L — 1 отсчет (рис. 11.3.1, а, б). Они образуются в результате так называемой циклической ошибки,

связанной с неправильным применением метода БПФ для вычисления свертки. Кроме того, при выполнении свертки конечных массивов (力-свертка) будут потеряны элементы выходного массива, расположенные полосами в правой и нижней его частях. Если положить J = М, то при£>-свертке выходная матрица будет полностью заполнена правильными отсчетами. Чтобы вычислить В-свертку

0ши5оумые о/пс^вть!0ши5оумые о/пс^вть!ОшибочныеОшибочные

0ши5оумые о/пс^вть!

0ши5оумые о/пс^вть!

Ошибочные

Ошибочные

+ - + - -+- + ^^^^ ==== МММ%+ - + - -+- + ^^^^ ==== МММ%Рис. 11.3.1. Циклические ошибки. (Нижняя и правая стороны матрицы F отсечены.) а — фильтрация типа В;丿= б — фильтрация типа D; J = в — фильтрация типа В;丿= а — фильтрация типа D;丿 =

+ - + - -+- + ^^^^ ==== МММ%

+ - + - -+- + ^^^^ ==== МММ%

при J = Му необходимо отсечь правый и нижний края исходной матрицы. Однако в результате получится, что элементы выходного массива, расположенные сверху и по левому краю, будут ошибочными.

При обработке сигналов во многих случаях оказывается, что на различные входные массивы воздействуют операторы с одним и тем же импульсным откликом и, следовательно, первый этап алгоритма (вычисление 鑑七)достаточно выполнить только один раз. При использовании алгоритма БПФ для случаев прямого и обратного преобразований требуется выполнить примерно по 2J2 log2 J арифметических операций. Скалярное умножение проводится за J2 операций, т. е. всего требуется J2 (1 + 4 log2 J) операций. Если входная матрица содержит NxN элементов, выходная М Х М, а матрица импульсного отклика LXL элемен-

тов, то для вычисления конечной свертки требуется №Л2 операций, а для дискретизованной свертки M^L? операций. Если размер L матрицы импульсного отклика достаточно велик по сравнению с размером ^ исходной матрицы, то свертка с преобразованием оказывается эффективнег прямой свертки, причем число операций^ может уменьшиться раз в десять или более. На рис. 11,3.2 приведен график зависимости L от ^ для случае.

0 200 《00 600 . 800 1000 Размер tfcxo&HOu матрицы Л

Рис. 11.3.2. Сравнение эффективности двух методов получения конечной свертки: прямого и с преобразованием Фурье.

когда оба метода вычисления свертки конечных массивов (прямой и с преобразованием Фурье) имеют одинаковую эффективность. Зубчатость графика объясняется тем, что с ростом N параметр J изменяется скачкообразно, принимая значения 64, 128, 256 и т. д.

Для вычисления свертки с преобразованием Фурье требуется меньшее число операций, чем в случае ее прямого вычисления, если длина импульсного отклика достаточно велика. Однако если обрабатываемое изображение также имеет большие размеры, то относительная эффективность метода с использованием преобразования Фурье понижается. Кроме того, при вычислении преобразования Фурье больших матриц возникают трудности, связанные с обеспечением точности расчетов. Обе проблемы удается разрешить, прибегая к блочной фильтрации изображения, когда большую матрицу подразделяют иа ряд перекрывающихся блоков, обрабатываемых поочередно [2, 7—9].

На рис. 11.3.3, а показано, как из левого верхнего угла большой матрицы извлекается блок, содержащий NbXNb элементов. После свертки его с импульсным откликом, состоящим из LXL элементов, получается блок размера М^ ХМВ элементов, который помещают в левый верхний угол выходной матрицы

(рис. 11.3.3, а). Далее из обрабатываемой матрицы извлекают следующий блок размера Ns X NB элементов и из него получают второй блок обработанного изображения размера Mb X М& примыкающий к первому. Как показано на рис. 11.3.3, б, второй блок исходного изображения должен перекрываться с первым блоком в полосе шириной L — 1 элемент. Тогда обработанные блоки будут стыковаться без зазора. Этот процесс продолжается

Рис. 11.3.3. Размещение блоков при блочной фильтрации изображения, а — первый блок; б — вторые блоки в строке и столбце блоков.

до тех пор, пока не будут обработаны все блоки, прилегающие к верхней строке матрицы. Если в этой строке блоков последний блок окажется неполным, в него следует добавить нулевые элементы. Далее извлекают блок, находящийся в начале второй строки и перекрывающийся с блоками первой строки в полосе шириной L ——1 элемент. Процесс продолжается до тех пор, пока не будут определены все элементы обработанного изображения.

Для получения свертки с помощью преобразования Фурье требуется

О戶=№ + 2№ log2(11.3.6)

операций. При блочной обработке, когда размер блоков равен NвХNв, необходимо

Ов = R2 [у2 + 2^ log2 NB](11.3.7)

операций, где число блоков R — округленное в большую сторону значение дроби N/[NB + £ — 1 ], Хант [9] определил, как оптимальный размер блока зависит от величины матриц исходного изображения и импульсного отклика»

ФИЛЬТРЫ НА ОСНОВЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Алгоритм свертки с применением БПФ, рассмотренный в предыдущем разделе, часто используют при машинном моделировании линейных аналоговых фильтров. В данном разделе проанализированы ошибки, присущие такому методу моделирования, и описаны способы определения дискретной частотной характеристики по заданной непрерывной частотной характеристике. В целях упрощения изложения здесь описываются только одномерные сигналы.

Рассмотрим длинный одномерный непрерывный сигнал fc (х), спектр которого 企(①)равен нулю, если | со | больше частоты среза ①о，Нужно найти свертку сигнала с непрерывным импульсным откликом hc (х), частотная характеристика которого 4;(w) также ограничена частотой со。. Как упоминалось в гл. 1, свертку можно выполнить либо в пространственной области в соответствии с соотношением

gc(x)= J /с (а)坛(X —a) da,(11.4.1a)

либо в частотной области

gc(%) = (l/2冗)J Ус(①)力©(①)exp {血х} ds,(11.4.16)

В гл. 9 описана методика дискретизации интеграла свертки (11.4.1). Непрерывный импульсный отклик hc (х) необходимо подвергнуть усечению, умножив его на весовую функцию у (х). В результате получается взвешенный импульсный отклик

Ьс (х) = Лс (х) у (х),(Н.4,2)

где у (%) = 0 при I х| > Т. Весовая функция уменьшает эффекты, связанные с усечением. Интеграл свертки аппроксимируется выражением.

屮

gc(x)= ] fc(а)йс(^ — а) da.(11.4.3)

х-Т

Затем в 2J + 1 точке берут отсчеты выходного сигнала с интервалом А ~ л/зо, а непрерывный интеграл заменяют суммой с тем же шагом А. В результате получается дискретное представление

gc(/A)= £ % 伏 А)%[(/-»А],(И.4.4)

где К ——целое число, ближайшее к значению дроби 77А.

Для вычисления суммы (11.4.4) с помощью дискретного преобразования Фурье можно следующим образом применить алгоритм, описанный в разд. 11.3. На первом этапе в качестве первых

L = 2Х + 1 элементов ^элементной последовательности берутся отсчеты взвешенного импульсного отклика, а в качестве последующих J — L элементов — нули. Таким образом,

%(/) =坛(一К)，…，屍(。),…，坛(К)，. 0,..., 0, (11.4.5)

L элементов

где 0 言 / w Р ——1. Элементы последовательности bD (/) можно получить из непрерывного импульсного отклика hc (х) и весовой функции у (х), дискретизируя произведение этих функций, т. е.

Ьь (?) - у (х) hc(x) 3 (% + ХА — /А).(11.4.6)

На следующем этапе вычисляется дискретное преобразование Фурье bD (?) в Р точках

源(")二力工Ь。⑺ехр{ — 警4，(11.4.7)

где 0 w 〃 w Р 一 1. После подстановки выражения для bD (/) в формулу (11.4.7) и преобразований получается, что дискретная частотная характеристика фильтра связана с аналоговой частотной характеристикой Лс (①)и спектром Фурье у (со) весовой функции соотношением

& ⑺ 二击力exp{_，F(-^l) 4《c(警 «)> (Н.4.8а)

& (Р — 〃)=而(〃),& (Р — 〃)=而(〃),(11.4.86)(11.4.86)

& (Р — 〃)=而(〃),

& (Р — 〃)=而(〃),

(11.4.86)

(11.4.86)

где 我 = 0, 1,…，p/2, a 分(①)Н猊(①)*/(①).

Равенства (11.4.8) задают искомую связь между дискретной и непрерывной частотными характеристиками. Если непрерывная частотная характеристика Лс (^) и спектр Фурье 萨(со) весовой функции известны и заданы в аналитическом виде, то в принципе отсчеты дискретной частотной характеристики можно получить, выполнив аналитическим путем свертку (11.4.86) и находя числовые значения полученной при этом функции в точках (2е〃/РА) для каждого значения параметра 〃. На практике часто не удается вычислить свертку аналитически, особенно для двумерных сигналов, и оказывается проще выполнить обратное преобразование Фурье частотной характеристики 力с (①)для получения аналитического выражения импульсного отклика и затем взять отсчеты bD (/) в соответствии с формулой (11.4.6). Можно использовать и другой подход: согласно равенству (11.4.8), взять отсчеты дискретного обратного преобразования Фурье Лс (2ли/РА), умножить расширенную последовательность отсчетов импульсного отклика на весовую функцию, а затем, выполнив дискретное преобразование Фурье, получить С° (〃).

Умножение на весовую функцию, которое можно выполнить согласно равенству (11.4.6) или неявно в спектральной области с помощью соотношения (11.4.8), совершенно необходимо, если нужно подавить описанные в гл. 9 циклические ошибки. При фильтрации изображений обычно делается типичная ошибка, когда в качестве дискретного импульсного отклика берется последовательность отсчетов непрерывного импульсного отклика. Тогда в общем случае все J элементов соответствующего расширенного дискретного импульсного отклика будут ненулевыми, т. е. длина L дискретного импульсного отклика, «погружаемого» в расширенный вектор (11.4.5), неявно будет принята равной J. Поэтому все профильтрованные отсчеты будут искажены из-за циклической ошибки.

Известно [10—12 ] несколько видов весовых функций, пригодных для использования при дискретной линейной фильтрации. Некоторые из них, чаще всего встречающиеся на практике, приведены в табл. 11.4.1, а их графики — на рис. 11.4.1. На рис. 11.4.2 представлены соответствующие спектры, состоящие из главного лепестка и набора боковых лепестков, амплитуды которых обычно уменьшаются с ростом частоты. Анализ выражения

Весовые функции

Таблица НАЛ

Функция

Определение

Прямоугольная

tti(/i) = l, 0《п《L — 1

2пс »)L — 1

Бартлетта (тре-w (п)=

Ханна

Г L—1'2

w(п\ — 1 Г1 cos / 2冗〃

0 < л <

Хемминга

w (〃) = 0,54 一 0,46 cos (-^p),

0 « /2

Блэкмана

Кайзера

w (n) = 0,42 — 0,5 cos 3^y) + 0,08 cos ( j冗：),

0 几L - 1

/о {<йа [((L - l)/2)2 — [“ 一(亿 一 1)/2)]叩/2}

/о {①勺((L — 1)/2)}

0 V /1 ^^ L — 1,

/о {•} —— модифицированная функция порядка первого рода

Бесселя

нулевого

показывает, каким образом форма весовой функции и ее спектра влияет на выходной сигнал. Форма главного лепестка спектра весовой функции определяет искажение спектра сигнала в диапазоне от 0 до ①().Боковые лепестки вызывают наложение спектров, поскольку взвешенный импульсный отклик С© (о) имеет спектр неограниченной ширины. Плавные весовые функции

Рнс. 11.4.1. Одномерные весовые функции [10].Рнс. 11.4.1. Одномерные весовые функции [10].

Рнс. 11.4.1. Одномерные весовые функции [10].

Рнс. 11.4.1. Одномерные весовые функции [10].

имеют слабые боковые лепестки, что уменьшает ошибки наложения спектров, однако главный лепесток в этих случаях оказывается более широким, что приводит к сглаживанию спектра сигнала. При проектировании фильтров приходится находить компромисс между этими двумя видами ошибок. Обе ошибки можно уменьшить, увеличивая длину взвешенного импульсного отклика, однако при этом либо сокращается длина обработанного сигнала, либо увеличивается объем вычислений.

ПСЕВДООБРАЩЕНИЕ С ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ

Обработку с использованием преобразований можно с успехом применить для получения обобщенных обратных матриц. Как видно из соотношения (11.1.66), матрица 夕 линейного оператора в спектральном пространстве связана с произвольной матрицей Т размера М2 X № следующим образом:

歹= (Ам，)Т(Ам)т.歹= (Ам，)Т(Ам)т.(11.5.1)(11.5.1)

歹= (Ам，)Т(Ам)т.

歹= (Ам，)Т(Ам)т.

(11.5.1)

(11.5.1)

(11.5.2)(11.5.2)

(11.5.2)

(11.5.2)

В тех же обозначениях обобщенная обратная матрица 歹-определяется как

Глава 〃

Рис. 11.4.2. Спектры одномерных весовых функций [10].

а — прямоугольной; б ——треугольной (Бартлетта); "——Ханна; г ——Хемммнга; 3 — Блэкмана,

где Т~ — матрица размера N2XM2. Соотношения (11.5.1) и (11.5.2) являются самосогласованными, поскольку известно, что для произвольной матрицы Z и унитарных матриц Р и R выполняется равенство (PZR)~ = R*rZ_P*r [13, стр. 100].

Если ранг матрицы Т равен #2, то, согласно формуле (8.3.5),

Т- = (Т『Т尸 Т『(11.5.3)

и нетрудно показать, что

歹一 ^ (歹*丁歹尸 歹*T.(11.5.4)

В противоположном случае, когда ранг матрицы Т равен Л42, из формулы (8.3.6) следует, что

「= ТТ(ТТТ 尸(11.5.5)

и обобщенная обратная матрица преобразования в спектральном пространстве удовлетворяет соотношению

歹一=歹來Т (歹歹*Та(11.5.6)

Укажем для примера, что обобщенные обратные матрицы относительно матриц максимального ранга, соответствующих опера-

торам суперпозиции 笏，男 м 皆,определяются равенствами

殄-工 ^T^Y^7,(П.5.7а)

价 =例*T (例毋*T尸，(11.5.76)

旣=皆？?(и57B)

На рис. 11.5.1 представлены распечатки обобщенных обратных матриц для операторов свертки одномерных сигналов с исполь-

Рис. 11.5.1. Обобщенные обратные матрицы операторов свертки одномерных сигналов с использованием преобразований Фурье и Адамара.

0 — конечная свертка: 6 — дискретизованная интегральная свертка 6 — циклическая свертка.

зованием преобразований Фурье и Адамара. Хорошо заметно, что эти матрицы более разрежены, чем исходные матрицы. Более того, обобщенная обратная матрица оператора циклической свертки с преобразованием Фурье является диагональной^ поскольку, как следует из равенства (11.2,13), матрица 亨一диагональная.

РЕКУРСИВНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

В предыдущих разделах данной глары обработка с преобразованием рассматривалась как косвенный метод выполнения двумерной линейной обработки. Было показано, что для обработки с преобразованием часто требуется гораздо меньше арифметических операций, чемТпри использовании стандартных методов. В данном разделе будет рассмотрен другой способ линейной обработки, называемый рекурсивной фильтрацией [14——16]. Иногда рекурсивная фильтрация оказывается даже более эффективной» чем обработка с преобразованием. Кроме того, в этом случае для хранения данных требуется ЗУ меньшей емкости, чем при обработке с преобразованием.

^^Рекурсивная фильтрация основывается на рекуррентном соотношении между входными и выходными переменными системы. Для одномерных сигналов подобное рекуррентное соотношение имеет следующий вид [14 ]:

r(m)=工 a(j)/(加一/+1)— £ 6仇"(加一左+1), (11.6.1) т=1 也=2

где / (n), n — 1, 2, ..., N — отсчеты входной последовательности, г (加)，m = 1, 2t ..., M — отсчеты выходной последовательности, а 方(自 и а (/)——весовые множители. Ключевой момент здесь в том, что m•卤 элемент выходной последовательности зависит не только от последнего и J — 1 предпоследних элементов входной последовательности, но и от Л — 1 предыдущих элементов выходной последовательности.

Большинство методов синтеза и анализа рекурсивных фильтров основано на применении Z-преобразования. По определению [17, 18] /-преобразование У-элементной последовательности / (п) дает образ

N〃z) = £ / (fl) Z1-".N〃z) = £ / (fl) Z1-".(11.6.2)(11.6.2)4(?) =霁〃*4(?) =霁〃*(11.6.3)(11.6.3)Нетрудно показать, что /-преобразование выражения (11.6.1) дает образ

N

〃z) = £ / (fl) Z1-".

N

〃z) = £ / (fl) Z1-".

(11.6.2)

(11.6.2)

4(?) =霁〃*

4(?) =霁〃*

(11.6.3)

(11.6.3)

где а （г）,右（г） и ^ （г） — образы соответствующих последовательностей.

Двумерная рекурсивная фильтрация основана на следующем рекуррентном соотношении между входным и выходным массивами [19, 20]:

1

R （恤，恤）Г Y % （A, jJ 尸（恤-/i + i,恤一九 +1）- /1 = 1『2 = 1

—* 1 8（自，饱）R （% —財 + 1,恤一女2 + 1）, （11,6,4） 储=2论2=2

где 尸（九1, n2）—— входной массив из NrXN2 элементов, R （ть 加2）— выходной массив из MiXM2 элементов, а В （届，网）и 4 （Л，/г） — весовые множители. Предполагается, что процесс рекурсивной фильтрации начинается с левого верхнего угла входного массива. С помощью двумерного /-преобразования из равенства （11.6.4） получается

现&/）=就嗝 歹& &）,（П.6.5）

где 3 （勺，г2）,毋（勺，г2） и 歹（勺，г2） — двумерные образы соответствующих массивов. Так, например,

N N

&）=工工 4 g,出）Ri）. （11.6.6） 打 1=1 rt2=l

При синтезе рекурсивных фильтров требуется выбрать такие массивы весовых множителей Л и В, чтобы выходной массив R （тът^ оказался эквивалентным массиву, получаемому в результате свертки функции 尸（иь &）, описывающей исходное изображение, с заданным импульсным откликом Н （^,方），Как правило, точного совпадения массивов добиться не удается и при синтезе фильтров приходится пользоваться приближенными методами [21, 22 ]. При этом возникает вопрос об устойчивости рассчитанного рекурсивного фильтра. Если фильтр неустойчив, то ошибки округления или шум, присутствующий во входном массиве, могут в ходе обработки не ослабляться, а увеличиваться до очень большого уровня. Рекурсивный фильтр устойчив [20], если коэффициенты К （А，/2） разложения частотной характеристики фильтра в ряд по степеням переменных 勺 и z2

加（4, &）加（4, &）三能②，马）=£ £ k （九 /2）z；T，z尸，（11.6.7）

加（4, &）

加（4, &）

являются абсолютно суммируемыми, т. е. удовлетворяют условию

Разработано несколько методов проверки рекурсивных фильтров на устойчивость [23—25]. При обработке изображения согласно равенству (11.6.4) требуется выполнить

Nr = (ЛА + К1К2) ММ(11.6.9)

арифметических операций. Здесь 厶 м К『一размеры массивов весовых множителей для входного и выходного изображений, a Ni ——размеры входного изображения. Если изображения и массивы весовых множителей — квадратные (т. е. 人=厶= = J, К* = К% = К* N* = № = N), то при рекурсивной фильтрации нужно выполнить

Nr= (J2 +《2) №(11.6.10)

операций. Для сравнения укажем, что для получения конечной свертки (см. разд. 9.3) требуется

必=£2№(11.6.11)

операций, где L — размер импульсного отклика. Как показано в разд. 11.2, для получения свертки с применением быстрого преобразования Фурье необходимо примерно

必=蜉(1 +410g2")(11.6.12)

операций. Степень относительной эффективности трех типов обработки зависит от размеров массива импульсного отклика (27]. Если эти размеры невелики, то для прямого метода получения свертки и рекурсивной фильтрации требуется почти одинаковое число арифметических операций. В этом случае сравнить эффективность обоих методов с эффективностью получения свертки с использованием БПФ можно с помощью графика на рис. 11.3.2. При больших размерах массива импульсного отклика быстрый метод получения свертки оказался гораздо эффективнее прямого метода. Сравнивая число операций в равенствах (11.6.10) и (11.6.12), можно показать, что при больших размерах импульсного отклика рекурсивная фильтрация оказывается эффективнее быстрого метода получения свертки, если площади массивов коэффициентов рекурсивного фильтра удовлетворяют неравенству

户+ K2wcSg2M(116 ⑶

где с— постоянная, принимающая значения от 1 до 20, причем ее величина зависит от вида использованного алгоритма БПФ и от того, насколько вычисления с комплексными числами происходят медленнее, чем с действительными.

ЛИТЕРАТУРА

Pratt W. К., Generalized Wiener Filtering Computation Techniques» /ЕЕЕ Trans. Computers, C-21, 7, 636—641 (July 1972).

Stockham T. G., Jr., High Speed Convolution and Correlation, Proceedings Spring Joint Computer Conference, 1966, pp. 229—233.

Gentleman W. M., Sande G., Fast Fourier Transforms — for Fun and Profit, Proceedings Fall Joint Computer Conference, 1966, pp. 563—578.

Pratt W. K・，Vector Formulation of Two-Dimensional Signal Processing Operations, J. Computer Graphics and Image Processing (March 1975) (Academ把 Press, New York).

Hunt B. R・,A Matrix Theory Proof of the Discrete Convolution Theorem, /EE£ Trans, Audio and Electroacoustics、AU-19, 4, 285—288 (December 1973).

Pratt W. Kr Transform Domain Signal Processing Techniques, Proceedings National Electronics Conference, Chicago, Illinois, 1974.

Helms H. D., Fast Fourier Transform Method of Computing Difference Equations and Simulating Filters» IEEE Trans. Audio and Electroacoustics, AU-15, 2, 85—90 (June 1967).

Ekstrom M. P., Algazi V. R., Optimum Design of Two-Dimensional Nonrec ursive Digital Filters, Proceedings 4th Asilomar Conference on Circuits and Systems, Pacific Grove, California, November 1970.

Hunt B. R., Computational Considerations in Digital Image Enhancement, Proceedings Conference on Two-Dimensional Signal Processing, University of Missouri, Columbia, Missouri, October 1971.

Oppenheim A. V., Schafer R. W., Digital Signal Processing, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1975. [Имеется перевод: Оппенгейм А. В., Шафер Р. В., Цифровая обработка сигналов. — М.: Связь, 1979.]

Blackman R. В., Tukey J, W., The Measurement of Power Spectra, Dover, New York, 1958.

Kaiser J. F., Digital Filters, Chapter 7 in Systems Analysis by Digital Computer, Kuo F. F., Kaiser J. F., Eds., Wiley, New York, 1966. [Имеется перевод: Кайзер Дж., Цифровые фильтры. Приложение к книге:^л)лд Б., Рэйдер Ч., Цифровая обработка сигналов. — М.: Советское радио, 1973.]

Graybill F. A., Introduction to Matrices with Applications in Statistics, Wadsworth Publishing, Belmont, Calif., 1969.

Childers D. G・，Durling A., Digital Filtering and Signal Processing, West Publishing, St. Paul, Minn., 1975.

Oppenheim A, V., Schafer R. W., Digital Signal Processing, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J・，1975.

Rabiner L. R., Gold B.t Theory and Application of Digital Signal Processing, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1975. [Имеется перевод: Рабинер Л., Гоулд Б„ Теория и применение цифровой обработки сигналов.——М.: Мир,

Ragazzini J. R., Franklin G. F,, Sampled Data Control Systems, McGraw- Hill, New York, 1958..

Jury E. I., Theory and Applications of the Z-Transform Method, Wiley, New York 1964«

Shanks J. L., Two-Dimensional Recursive Filters, SWIEECO Record, Vol. 21, 19E1, 1969.. *

Farmer С. H., Gooden D. S., Rotation and Stability of a Recursive Digital Filter, Proceedings Two-Dimensional Signal Processing Conference, University of Missouri» Columbia, Missouri, October 1971.

Hu J. V., Rabiner L. R., Design Techniques for Two-Dimensional Digital Filters, IEEE Trans. Audio and Electroacoustics. AU-20, 4, 249—257 (October 1972).

Dudgeon D. E” Two-Dimensional Recursive Filter Design Using Differential Correction, /ЕЕЕ Trans. Acoustics, Speech, and Signal Processing, ASSP・23, 3, 264—267 (June 1975).

Shanks J. L., Treitel S., Justice J. H., Stability and Synthesis of TwoDimensional Recursive Filters, IEEE Trans. Audio and Electroacoustics, AU-20, 2, 115—128 (June 1972).

Huang T. S., Stability of Two-Dimensional Recursive Filters, /ЕЕЕ Trans、 Audio and Electroacoustics, AU-20, 2, 158—163 (June 1972).

Anderson B. D., Jury E. I., Stability Test for Two-Dimensional Recursive Filters, IEEE Trans. Audio and Electroacoustics, AU-21, 4, 366—372 (August 1973).

Pistor P., Stability Criterion for Recursive Filters, IBM J. Res. Devel., 18, 1, 59—71 (January 1974).

Hall E. L., A Comparison of Computations for Spatial Frequency Filtering, Proc. IEEE, 60, 7, 887—891 (July 1972). [Имеется перевод: Холл. Сравнение трех методов цифровой пространственной фильтрации. — ТИИЭР, 1972, т. 60, № 7.]

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие кпереводу 5

Предисловие 7

Благодарности 9

ЧАСТЬ 1. НЕПРЕРЫВНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ

Глава 1. Математическое описание непрерывных изображений12

Представление непрерывных изображений 12

Двумерные системы 14

Сингулярные операторы 15

Линейные операторы 16

Дифференциальные операторы 19

Двумерное преобразование Фурье 20

Анализ линейных систем с помощью преобразования Фурье ...23

Обобщенные линейные системы 23

Вероятностное описание непрерывных изображений 25

Преобразование случайных изображений визображающей системе 29

Литература 30

Глава 2. Психофизическиесвойства зрения 32

Восприятие света 32

Глаз 35

Зрительные явления 3§

Модельодноцветногозрения 44

Модельцветового зрения 50

Глава 3. Фотометрия и колориметрия 563.1. Источники света 56Глава 3. Фотометрия и колориметрия 563.1. Источники света 56Литература 54

Глава 3. Фотометрия и колориметрия 56

3.1. Источники света 56

Глава 3. Фотометрия и колориметрия 56

3.1. Источники света 56

Фотометрия 59

Уравнивание цветов [10—14] 63

Колориметрия 68

Преобразование координатцвета 74

Системы координат цвета 76

Цветовое тело 88

Литература 94

ЧАСТЬ 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ В ЦИФРОВОЙ ФОРМЕ

Глава 4. Дискретизация и восстановление непрерывных изображений . .96

Процессы идеальной дискретизации и восстановления непрерывных изображений 96

Реальныесистемы дискретизацииизображений .........105

Реальныесистемы восстановленияизображений 115

Литература 124

6 612484 5 515825 6 7 028794812 233334 4 455566 6 6 7778899011 11 1л 11 I 11 11 11 I 1л I 11 11 и 11 11 11 11 11 11 1л 1 116 612484 5 515825 6 7 028794812 233334 4 455566 6 6 7778899011 11 1л 11 I 11 11 11 I 1л I 11 11 и 11 11 11 11 11 11 1л 1 115 5 8 о 2 3 5 6 7 7 о 9 2 4 5 59 5 1 о Olli 11 1 1 22 33 3 3345 2 2 2222 22 2 22222 2 22225 5 8 о 2 3 5 6 7 7 о 9 2 4 5 59 5 1 о Olli 11 1 1 22 33 3 3345 2 2 2222 22 2 22222 2 2222

6 612484 5 515825 6 7 02879481

2 233334 4 455566 6 6 77788990

11 11 1л 11 I 11 11 11 I 1л I 11 11 и 11 11 11 11 11 11 1л 1 11

6 612484 5 515825 6 7 02879481

2 233334 4 455566 6 6 77788990

11 11 1л 11 I 11 11 11 I 1л I 11 11 и 11 11 11 11 11 11 1л 1 11

5 5 8 о 2 3 5 6 7 7 о 9 2 4 5 59 5 1 о Olli 11 1 1 22 33 3 3345 2 2 2222 22 2 22222 2 2222

5 5 8 о 2 3 5 6 7 7 о 9 2 4 5 59 5 1 о Olli 11 1 1 22 33 3 3345 2 2 2222 22 2 22222 2 2222

Глава 5. Математическое описание дискретных изображении

Действия с векторами и матрицами

Сингулярное разложение матрицы

Векторное представление изображений

Статистическое описание дискретных изображений [5, 10]....

Модели плотностей вероятности дискретных изображений ....

Литература

Глава 6. Квантование изображений

Квантование скалярных величин^....

Квантование векторных величин

Обработка квантованных величин

Квантование одноцветных изображений

Квантование цветных изображений

Литература

Глава 7. Меры качества дискретизованных изображений

Субъективные оценки качества изображений

Оценка качества по контрольным сигналам и испытательным таблицам

Метрики светлоты и цвета

Верность воспроизведения одноцветных изображе(1ий

Верность воспроизведения цветных изображений

Энтропия изображений

Скорость создания информации источником изображений ...

Дешифрируемость изображений

Литература

ЧАСТЬ 3. ДИСКРЕТНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ДВУМЕРНАЯ ОБРАБОТКА

Глава 8. Линейные операторы

Обобщенный линейный оператор

Статистическое описание изображений при линейном преобразовании

Операторы псевдообращения

Решение систем линейных уравнений

Решение совместных систем линейных уравнений

Приближенные решения несовместных систем линейных уравнений

Литература

I Глава 9. Оператор суперпозиции

I 9.1. Оператор суперпозиции конечных массивов

! 9.2. Дискретизованный оператор суперпозиции

: 9.3. Оператор циклической суперпозиции

9.4. Соотношение между линейными операторами

Литература

I Глава 10. Двумерные унитарные преобразования

Операторы унитарных преобразований

Преобразование Фурье

Косинусные преобразования

Синусное преобразование

Преобразование Адамара；

Преобразование Хаара

Наклонное преобразование

Преобразование Карунена — Лоэва

Сингулярное преобразование

Алгоритмы вычислений

Статистический анализ преобразованных изображений ...,

Модели плотности вероятности преобразованных изображений Литература

Глава 11. Двумерные методы линейной обработки

Обработка с использованием преобразования

Суперпозиция с преобразованием

Свертка с использованием БПФ

Фильтры на основе преобразования Фурье

Псевдообращение с пресбразоваиием

Рекурсивная фильтрация

48 0 5 7 14 01 &566677&8 22222222248 0 5 7 14 01 &566677&8 2222222223 36269368 88999002 22222333 36269368 88999002 2222233Литература

48 0 5 7 14 01 &566677&8 222222222

48 0 5 7 14 01 &566677&8 222222222

3 3626936

8 8899900

2 2222233

3 3626936

8 8899900

2 2222233

Уильям Прэтт

ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЙ

Старший научный редактор Л. П. Якименко

Младший научный редактор Е. П. Орлова

Художник В. И. Харламов

ХудожественныЙ редактор Л. Е. Безручеиков

Технический редактор Н.」Д. Толстякова

Корректор Е. Г. Лнтвак

ИБ № 2371

Сдано в набор 25.03.81.

Подписано к печати 29.10.81.

Формат 6QX9O%6.

Бумага типографская № 2.

Гарнитура литературная. Печать высокая.

Объем 9,76 бум. л. Усл. печ. л. 19,50.

Усл. кр.-отт, 19,50.

Уч.-изд. л. 16,61. Изд. № 20/0958.

Тираж 10 000 экз. Заказ № 596. Цена 1 р. 50 к.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-Й Рижский пер., 2.

Леиниградская типография № 6 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» нм. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии н книжной торговли

193144, Ленинград, ул. Монсеенко, 10

DIGITAL

IMAGE

PROCESSING

William K. Pratt

Professor of Electrical Engineering

Image Processing Institute University of Southern California Los Angeles, California

A WILEY-INTERSCIENCE PUBLICATION JOHN WILEY AND SONS

NEW YORK/CHICHESTER/BRISBANE /TORON1 1978

У. Прэтт

ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЙ

в 2-х книгах

2

Перевод с английского под редакцией канд. техн, наук Д. С. ЛЕБЕДЕВА

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

МОСКВА 1982

ББК 32.94

H86

УДК 621,372,542

Прэтт У.

П85 Цифровая обработка изображений: Пер. с англ.— М.: Мир, 1982. — Кн. 2 — 480 с., ил.

Монография крупного американского специалиста в области обработки изображений, наиболее полная в данной области знания.

В русском переводе монография выпускается в двух книгах. В книге 2 описываются алгоритмы улучшения, реставрации и анализа изображений, а также способы цифрового кодирования. При рассмотрении процессов реставрации и кодирования широко используются двумерные линейные преобразования, унитарные преобразования и метод сингулярного разложения матриц.

Предназначена для специалистов, имеющих дело с обработкой изображений, а также для студентов, изучающих методы цифровой обработки изображений.”

口 3040Ы861 041 (01)-82口 3040Ы861 041 (01)-82148-81, ч. 1148-81, ч. 124050000002405000000ББК 32.94П85ББК 32.94П85

口 3040Ы86

1 041 (01)-82

口 3040Ы86

1 041 (01)-82

148-81, ч. 1

148-81, ч. 1

2405000000

2405000000

ББК 32.94

П85

ББК 32.94

П85

Редакция литературы по новой технике

Copyright © 1978 by John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved. Authorized translation from English language edition published by John Wiley & Sons, Inc

© Перевод на русский язык, «Мир», 1982

Часть

Реставрация и улучшение изображений

В последние годы значительно возрос интерес к электронным, цифровым и оптическим методам обработки изображений с целью повышения их качества. Широкое освещение получили работы, связанные с космическими и биомедицинскими исследованиями. Из числа других применений следует упомянуть аэрофотосъемку и промышленную радиографию.

Повышение качества изображений достигается двумя видами обработки изображений: реставрацией (исправлением) изображений и их улучшением. Под реставрацией обычно понимают процедуру восстановления или оценивания элементов изображения, целью которой является коррекция искажений и наилучшая аппроксимация идеального неискаженного изображения. Для улучшения изображений используется комплекс операций, призванных улучшить восприятие изображения наблюдателем или же преобразовать его в другое изображение, более удобное для машинной обработки.，

Ь гл. 12 описан ряд методов улучшения одноцветных и цветных изображений. В гл. 13—16 рассмотрены модели, используемые при реставрации изображений, описаны пр остра нственные методы реставрации, а также методы поэлементной, спектральной и цветовой реставрации.

Глава 12 УЛУЧШЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Процедура улучшения изображений сводится к выполнению комплекса операций с целью либо улучшения визуального восприятия изображения, либо преобразования его в форму, более удобную для визуального или машинного анализа. В системах улучшения изображений не делается попытки приблизить воспроизводимое изображение к некоторому идеализированному оригиналу (такая задача решается при реставрации изображений). Известны случаи, когда искаженное изображение субъективно воспринимается лучше, чем неискаженный оригинал. Примером может служить изображение с подчеркнутыми границами (контурами).

При машинной обработке улучшение изображения тесно связано с задачей извлечения информации. Пусть, например, система улучшения изображений производит подчеркивание границ исследуемого изображения путем высокочастотной фильтрации. Обработанное изображение затем вводится в ЭВМ, которая выполняет операцию прослеживания контура объекта, определяет его форму и размеры. В этом примере система улучшения изображений используется для того, чтобы подчеркнуть важнейшие признаки исходного изображения и, следовательно, облегчить задачу извлечения информации.

В настоящее время мы не располагаем общей теорией улучшения изображений. Это объясняется тем, что до сих пор еще не выработан общепринятый стандарт качества изображения, который мог бы послужить критерием при проектировании систем улучшения изображений. Здесь описан ряд различных методов, с успехом использованных для улучшения условий наблюдения изображений и облегчения машинного анализа.

ИЗМЕНЕНИЕ КОНТРАСТА

Слабый контраст — наиболее распространенный дефект фотографических и телевизионных изображений, обусловленный ограниченностью диапазона воспроизводимых яркостей, нередко сочетающейся с нелинейностью характеристики передачи уровней. Во многих случаях контраст можно повысить, изменяя яркость

каждого элемента изображения [1, 2]. Рис. 12.1.1, а иллюстрирует характеристику передачи уровней, которая требуется для

повышения контраста типичных непрерывных малоконтрастных изображений. Коррекцию таких изображений можно осуществить, пользуясь фотографическими методами, однако реализовать произ

вольную характеристику передачи уровней с высокой точностью^ обычно затруднительно. В случае цифровых изображений получить требуемую характеристику передачи уровней относительно просто. Однако при отыскании нелинейного оператора следует учитывать ошибки квантования. Пусть исходное изображение, проквантован- ное на J уровней, имеет ограниченный диапазон яркостей (рис. 12.1.1,^. Пр едпола га ется, что выходное изображение также квантуется на J уровней, а преобразование линейно. Как видно из рис. 12.1.1, б, каждый выбранный выходной уровень является ближайшим к уровню, соответствующему входному уровню. Очевидно, что в,диапазоне яркостей выходного изобра-

Диапизон яркостей исходного изабр口咁ени门Диапизон яркостей исходного изабр口咁ени门Рис. 12.1.1. Повышение контраста.Рис. 12.1.1. Повышение контраста.а — непрерывное изображение; 6 — цифровое изображение.а — непрерывное изображение; 6 — цифровое изображение.жения некоторые уровни не

Диапизон яркостей исходного изабр口咁ени门

Диапизон яркостей исходного изабр口咁ени门

Рис. 12.1.1. Повышение контраста.

Рис. 12.1.1. Повышение контраста.

а — непрерывное изображение; 6 — цифровое изображение.

а — непрерывное изображение; 6 — цифровое изображение.

будут использоваться, поэтому отдельные перепады яркости выходного изображения будут превышать соответствующие перепады исходного изображения. Вследствие этого могут возникнуть заметные ложные контуры. Если выходное изображение квантовать с большим числом уровней, чем входное, то можно получить равномерное размещение выходных уровней и благодаря этому уменьшить эффект появления ложных кон

туров.

Диапазон яркостей выходного изображения, подвергнутого цифровой обработке, может отличаться от диапазона яркостей исходного изображения. Более того, в диапазоне числовых значений яркости обработанного изображения могут оказаться отрицательные значения, которые не могут иметь прямого соответствия с физическими яркостями. Рис. 12,1,2 иллюстрирует два

возможных способа приведения диапазона яркостей выходного изображения в соответствие с диапазоном яркостей исходного изображения. Согласно первому из них, обработанное изображение линейно отображается таким образом, чтобы полностью охватить отведенный ему диапазон яркостей. Второй способ предусматривает ограничение экстремальных значений яркости обработанного изображения максимальным и минимальным порого-

力》KQCE3

Диапазон яркостей исходного изображения

Рнс. 12.1.2. Примеры контрастного масштабирования.

а — линейное масштабирование; 6 — линейное масштабирование с ограничением.

выми уровнями. Этот способ часто обеспечивает более высокое субъективное качество изображения, особенно если обработанное изображение содержит относительно мало элементов с превышением уровней ограничения. В программах и системах повышения контраста нередко предусматривается возможность введения ограничения для фиксированного процента значений яркости на обоих краях шкалы яркостей.

Рис. 12.1.3 иллюстрирует результаты повышения контраста одного из изображений со спутника ERTS; здесь же приведены гистограммы распределения яркостей исходного и улучшенных изображений. Рис. 12.1.3, в соответствует случаю, когда в качестве уровней ограничения были выбраны экстремальные значения яркости исходного изображения. На рис. 12.1.3, д представлено обработанное изображение при выборе уровней ограничения, от-

Рис. 12.1,3. Примеры повышения контраста.

а — исходное изображение; 6 — гистограмма распределения яркостей для исходного изображения а; в — обработанное изображение при уровнях ограничения 43 (мин) н 163 (макс); а ——гистограмма распределения яркостей для обработанного изображения е; d — обработанное изображение при уровнях ограничения 62 (мин) н 88 (макс); е — гистограмма распределения яркостей для изображения д«

секающих «хвосты» гистограммы, соответствующие примерно 5 % элементов исходного изображения.

В рассмотренных примерах повышения контраста использовалась монотонно возрастающая характеристика передачи уров-

即кость 〃с вь/фодв°即кость 〃с вь/фодв°

即кость 〃с вь/фодв°

即кость 〃с вь/фодв°

Диапазоняркостейобкатанного "изображенияДиапазоняркостейобкатанного "изображения

Диапазоняркостейобкатанного "изображения

Диапазоняркостейобкатанного "изображения

'Фон сохранен

/ /Фон "〃(Л7勿Г，

/厂 яркость

—=Lна 呢m0

Диапазон нркаст® исходного

изображение

8

Рнс. 12.1.4, Специальные преобразования контраста,

。一обращенное контрастное масштабирование; 6 — пилообразное контрастное масштабирование; 6 ——яркостный срез.

ней. В ряде случаев обработки изображений целесообразнее пользоваться монотонно спадающей или немонотонной характеристикой. На рис. 12.1.4, а показана характеристика передачи уровней, обеспечивающая обращение шкалы яркостей. Такую характеристику целесообразно применять, например, если дисплей обладает существенной нелинейностью в области черного. Тогда темные участки входного изображения будут переведены в светлые, которые соответствуют линейному участку шкалы яркостей дисплея. На рис. 12.1.4, 6 приведена характеристика передачи уров-

ней, предназначенная для пилообразного контрастного масштабирования. Такое преобразование часто используют с целью получения изображения с широким динамическим диапазоном на экране дисплея, имеющего ограниченный динамический диапазон. Обра-

Рис. 12. L5. Образцы изображений после специальных преобразований контраста, а — исходное изображение； 6 — обращенное контрастное масштабирование； в — четы- рехкратрое пилообразное контрастное масштабирование; е — белые участки соответствуют ярк?остиому срезу для 16《F (/. А) 4 40.

зец изображения после пилообразного контрастного масштабирования показан на рис. 12.1.5, в. Характеристика передачи уровней для яркостного среза изображения приведена на рис. 12.1.4, в. Это преобразование позволяет выделить определенный интервал диапазона яркостей входного изображения. Одноцветное изображение после выполнения яркостного среза показано на рис. 12.1.5, г. При наличии цветного дисплея появляется возможность отображения в каком-то ярком цвете (например, в красном)

Рис. 12.1.6. Образцы изображений после выполнении поразрядного яркостного среза.“

а — разряд 1; 6 — разряд 2; в — разряд 3; е — разряд 4; 0 — разряд 5; е — разряд 6.

участков одноцветного изображения, яркость которых находится в произвольном узком интервале; остальные участки этого изображения отображаются обычным способом. Рис. 12.1.6 иллюстрирует операцию поразрядного среза. Каждое изображение имеет два значения яркости, которые соответствуют данному разряду кодо* вого слова, представляющего яркость. Метод яркостных срезов оказывается исключительно эффективным при визуальном анализе изображений в том случае, когда оператор пользуется дисплеем в диалоговом режиме.

ВИДОИЗМЕНЕНИЕ ГИСТОГРАММ

Гистограмма распределения яркостей типичного изображения естественного происхождения, подвергнутого линейному квантованию, обычно имеет ярко выраженный перекос в сторону малых уровней; яркость большинства элементов изображения ниже средней. На темных участках подобных изображений детали часто оказываются неразличимыми. Одним из методов улучшения таких изображений является видоизменение гистограммы. Этот метод предусматривает преобразование яркостей исходного изображения, с тем чтобы гистограмма распределения яркостей обработанного изображения приняла желаемую форму. Эндрюс, Холл и другие исследователи [3—5] получили ряд улучшенных изображений путем выравнивания гистограмм распределения, т. е. в каждом случае они добивались равномерности распределения яркости обработанного изображения. Фрей [6] исследовал метод видоизменения гистограмм, который обеспечивал экспоненциальную или гиперболическую форму распределения яркостей улучшенного изображения. Кетчам [7 ] улучшил этот метод, применив «локальные», подсчитанные по части изображения, гистограммы.

Рис. 12.2.1 иллюстрирует процедуру выравнивания гистограммы в том случае, когда число уровней на выходе составляет половину числа уровней на входе. Здесь HF (/)——доля элементов входного изображения, квантованная яркость которых соответствует /-му уровню (/ = 1, 2,…，J). Целью процедуры выравнивания гистограммы является формирование выходного изображения* б, нормированная гистограмма которого описывается соотношением HG 但)=1/К, где 々 = 1,2,…,К・ Алгоритм преобразования реализуется следующим образом. Начиная с наименьшего уровня яркости исходного изображения, объединяют элементы соседних интервалов квантования таким образом, чтобы суммарный результат наименее отличался от величины 1/К・ Все объединенные элементы приводятся к первому новому уровню, который располагается точно в середине первого интервала кван« тования обработанного изображения. Эту процедуру повторяют для остальных более высоких уровней яркости. При большом

числе уровней квантования исходного изображения, превышающем число уровней квантования улучшенного изображения, удается получить почти равномерную гистограмму. Рассмотренная процедура приводит к некоторому увеличению ошибок квантования. Существует метод выравнивания гистограмм распределения яркостей, который даже при одинаковом числе уровней квантования исходного и улучшенного изображений обеспечивает

Рис. 12.2.1 Пример приближенного выравнивания гистограммы распределения яркостей, когда обработанное и исходное изображения имеют неодинаковое число уровней квантования.

получение равномерной гистограммы. Этот метод основан на случайном перераспределении элементов изображения при формировании выходных интервалов квантования из входных.

Процедуру видоизменения гистограммы можно рассматривать как монотонное поэлементное преобразование g& = Т {，/} входной интенсивности % а 力这万 в выходную интенсивность gn w < « g/o в результате которого исходное распределение вероятностей Рг "/} переходит в распределение вероятностей Pr {g", имеющее желательную форму. Очевидно, что сумма вероятностей всех уровней должна равняться единице. Таким образом,

S Рг{%} = 1, (12.2.1а)

Г Рг®} = 1・ (12216)

Кроме того, для любого / должны быть одинаковы исходная и преобразованная функции распределения вероятностей. Другими

словами, вероятность того, что яркость элементов исходного изображения меньше или равна f/, должна равняться вероятности того, что яркость элементов обработанного изображения будет меньше или равна gk, где g& = 7 {/；■}：

£ Pr{g“}= S Pr{A4・ (12.2.2)

Сумма в правой части равенства определяется распределением вероятностей для исходного изображения. В случае конкретного изображения это распределение заменяется распределением частот, поэтому можно записать

L PrU„}= S HF(tn). (12.2.3)

Обращение этого равенства позволяет получить решение для 以 в зависимости от 力 В общем случае такое обращение очень трудно или даже невозможно выполнить аналитически, однако численные методы позволяют легко решить эту задачу. Получаемое решение имеет вид таблицы, в которой для каждого входного уровня указывается соответствующий выходной уровень.

Приближенную форму преобразования гистограммы можно получить, если в формуле (12.2.2) дискретные распределения вероятностей заменить плотностями непрерывных распределений вероятностей. Результирующее приближение имеет вид

f Pg(g)dg= j pf(f)df, (12.2.4) gMHH ' мин

где pf (f) и "g (g) — плотности вероятности f и g соответственно. Интеграл в правой части равенства представляет собой функцию распределения вероятностей Р,(力 входной переменной f. Следовательно, можно записать

j pe(g)dg = pf(f).

(12.2.5)

вмин

Характеристики передачи уровней, используемые при видоизменении гистограмм

Плотность вероятности на выходе

Характеристика передачи уровней

Равномерная

Pg (g) = "Змакс 一 gMHn)，gMRH V g V ^макс

Экспоненциальная

Pg(g〉= aexp {—a(g—gM^)}，gAgm®

Рэлея

Pg fe) = -^^^expl—(^25)lj> 且^価

Степени 2/3

Pg ® =(1/3) [gT/3/(g腺c 一 g媼)1

Гиперболическая

pg (g) = 1/g [In (^макс) — In (&нн)]

S = [^макс — 8мин1 Pf ⑴ + gwm

g = gmw — (1/a) In [1 — PfU”

g 8мвд+〔2a In [ _p『⑴]

g = (SiXc -就J[Pf(/)J+ g 绚

8 = &нн [gxaKc/gMHHl '"'

Примечание. Функция распределения вероятностей Pf (/) исходного^изображения аппроксимируется гистограммой рас- Z▲

пределеиия Р/ (/) ^ £ Hf (/п). "1=0

В частном случае, когда требуется, чтобы преобразованная плотность вероятности была равномерной, т. е.

Pg (g) = l/(gwiaHC "~ ЙГмин)(12.2.6)

в пределах gMHH w g w гмакс» характеристика передачи уровней, обеспечивающая выравнивание гистограммы, имеет вид

g = Самаке — ^мин! Pf (f) + @мнн・(12.2.7)

В табл. 12.2.1 представлены некоторые разновидности гистограмм обработанных изображений и соответствующие им характеристики передачи уровней.

Фрей [6] предложил метод гиперболизации гистограмм (см. табл. 12.2.1), который поясняет рис. 12.2.2. Согласно этому методу, гистограмма исходного изображения видоизменяется так, что плотность вероятности выходного изображения принимает

гиперболическую форму. Если теперь допустить, что в зрительной системе выходной сигнал фоторецепторов пропорционален логач рифму или кубическому корню входной яркости, то результирующая плотность вероятности окажется равномерной. В данном случае выравнивание гистограммы производится с учетом свойств палочек и колбочек сетчатки.

На рис. 12.2.3 приведены примеры изображений, улучшенных методом видоизменения гистограмм. Изучение представленных образцов показывает, что степень улучшения субъективного восприятия зависит от характера изображения.

Рис. 12.2.3. Примеры видоизменения гистограмм.

а — исходное изображение： 6 — гистограмма исходного изображения; в — изображение после выравнивания гистограммы; е — гистограмма улучшенного изображения в； д — изображение после гиперболического видоизменения гистограммы; е — гистограмма улучшенного изображения д.

ПОДАВЛЕНИЕ ШУМОВ

Изображение может повреждаться шумами и помехами раз*

личного происхождения, например шумом видеодатчика, шумом зернистости фотоматериалов и ошибками в канале передачи. Их

влияние можно минимизировать, пользуясь классическими методами статистической фильтрации (см. гл. 14). Другой возможный

подход основан на использовании странственной обработки.

Шумы видеодатчиков или ошибки в канале передачи обычно проявляются на изображении как разрозненные изменения изолированных элементов, не обладающие пространственной корреляцией. Искаженные элементы часто весьма заметно отличаются от соседних элементов. Это наблюдение послужило основой для многих алгоритмов, обеспечивающих по- давлениешума>[8—11 ]. Рис. 12.3.1 поясняет простой пороговый метод подавления шума, при использо-

Рис. 12,3.1. Пример алгоритма подавления шума.Рис. 12,3.1. Пример алгоритма подавления шума.вании которого последовательно

Рис. 12,3.1. Пример алгоритма подавления шума.

Рис. 12,3.1. Пример алгоритма подавления шума.

измеряют яркость всех элементов изображения. Если яркость данного элемента превышает среднюю яркость группы ближайших элементов на некоторую пороговую величину, яркость элемента заменяется на среднюю яркость. Рис. 12,3.2 иллюстрирует эффективность этого алгоритма применительно к изображениям, переданным посредством ИКМ по двоичному симметричному каналу с вероятностью ошибок IO"*

Поскольку шум пространственно декоррелирован, в его спектре, как правило, содержатся более высокие пространственные частоты, чем в спектре обычного изображения. Следовательно, простая низкочастотная пространственная фильтрация может служить эффективным средством сглаживания шумов. В соответствии с методами, рассмотренными в части 3, массив Q размера МхМ выходного изображения формируется путем дискретной свертки массива 尸 размера N X N исходного изображения со сглаживающим массивом Н размера L X L согласно формуле

Q(mi,m2)= Z У 戶(勺，电)"(恤 一% + 1,恤 一 出 + 1). (12.3.1) % n3

Сглаживание шума обеспечивается низкочастотной фильтрацией с помощью массива Н с положительными элементами. Ниже

приведены сглаживающие массивы трех разновидностей, часто называемые шумоподавляющими масками:

Рис. 12.3.2. Образцы изображений, обработанных методом порогового подав» ления шума при £ = 49.а ——зашумленное изображение «Портрет»; б — зашумленное изображение лунной поверхности; § — обработанное изображение а; а — обработанное изображение б.Рис. 12.3.2. Образцы изображений, обработанных методом порогового подав» ления шума при £ = 49.а ——зашумленное изображение «Портрет»; б — зашумленное изображение лунной поверхности; § — обработанное изображение а; а — обработанное изображение б.маска /маска /маска 2маска 2*111髓111111*111髓111111(12.3.2а)(12.3.2а)

Рис. 12.3.2. Образцы изображений, обработанных методом порогового подав» ления шума при £ = 49.

а ——зашумленное изображение «Портрет»; б — зашумленное изображение лунной поверхности; § — обработанное изображение а; а — обработанное изображение б.

Рис. 12.3.2. Образцы изображений, обработанных методом порогового подав» ления шума при £ = 49.

а ——зашумленное изображение «Портрет»; б — зашумленное изображение лунной поверхности; § — обработанное изображение а; а — обработанное изображение б.

маска /

маска /

маска 2

маска 2

*111

髓111

111

*111

髓111

111

(12.3.2а)

(12.3.2а)

Г1 1 口

(12.3.26)

маска 3

12Г'

Н=+ 242.(12.3.2b)

[121

Эти массивы нормированы для получения единичного коэффициента передачи, чтобы процедура подавления шума не вызывала смещения средней яркости обработанного изображения. Эффективность приведенных масок иллюстрирует рис. 12.3.3. Если тре-

Рис. 12.3.3. Образцы изображении, подвергнутых низкочастотной фильтрациид

а ——зашумленное исходное изображение; 6 — действие маски 1; 6 — действие маски 2 а — действие маски 3.

буемое подавление шума сопряжено с использованием массивов большого размера, целесообразно выполнять свертку косвенным образом, применяя преобразование Фурье (см. гл. 11), так как обычно это дает выигрыш в объеме в|ПТд5Ж!ТОЙ-,

ПОДЧЕРКИВАНИЕ ГРАНИЦ

Рис. 12.4.1, Осциллограммы видеосигналов в системе улучшения изображений методом нерезкого маскирования.а — высокая разрешающая способность; 6 — низкая разрешающая способность; 8 — эффект нерезкого маскирования.Рис. 12.4.1, Осциллограммы видеосигналов в системе улучшения изображений методом нерезкого маскирования.а — высокая разрешающая способность; 6 — низкая разрешающая способность; 8 — эффект нерезкого маскирования.Психофизические эксперименты показывают, что фотографическое или телевизионное изображение с подчеркнутыми границами часто оказывается субъективно более приятным, чем фотометрически совершенная репродукция. Метод подчеркивания границ можно реализовать несколькими способами.

Рис. 12.4.1, Осциллограммы видеосигналов в системе улучшения изображений методом нерезкого маскирования.

а — высокая разрешающая способность; 6 — низкая разрешающая способность; 8 — эффект нерезкого маскирования.

Рис. 12.4.1, Осциллограммы видеосигналов в системе улучшения изображений методом нерезкого маскирования.

а — высокая разрешающая способность; 6 — низкая разрешающая способность; 8 — эффект нерезкого маскирования.

В системах электронного сканирования изображений получаемый видеосигнал можно пропустить через электрический фильтр верхних частот. Другой способ обработки сканируемых изображений заключается в использовании нерезкого маскирования [12]. При этом изображение как бы сканируется двумя перекрывающимися апертурами, одна из которых соответствует нормальному разрешению, а другая — пониженному. В результате получают соответственно массив нормального изображения 尸(/, А) и массив нечеткого изображения 尸丄(/,轨 Затем электронным способом формируют массив маскированного изображения

%亿田=e尸仏田 一(1一e)&("初(12.4.1) где с — коэффициент пропорциональности. Обычно значения с находятся в пределах от 3/5 до 5/6, т. е. отношение составляющих нормальной и пониженной четкости "изменяется от 1,5 до 5. На рис. 12.4.1 показаны типичные осциллограммы видеосигналов при сканировании резкой границы.

Сигнал, полученный в результате маскирования, имеет два выброса, отсутствующие в исходном сигнале (высокого разрешения) .Длительность фронта стала несколько больше. Субъективная резкость маскированного изображения повышается.

Подчеркивание границ можно также осуществить, выполняя дискретную фильтрацию согласно соотношению (12.3.1) с использованием высокочастотного импульсного отклика Н [13—15].

Ниже представлены три типичные маски для выполнения высокочастотной фильтрации:

маска /

・ОН= —1 о・ОН= —1 о—1 о

・О

Н= —1 о

・О

Н= —1 о

5 —1

(1242)(1242)—1 О

(1242)

(1242)

маска 2маска 2—「—1—1—「—1—1(12.4.3)(12.4.3)маска 3маска 3一 1—2Гн =—25—2. 1—21_一 1—2Гн =—25—2. 1—21_(12.4.4)(12.4.4)

маска 2

маска 2

—「

—1

—1

—「

—1

—1

(12.4.3)

(12.4.3)

маска 3

маска 3

一 1

—2

Г

н =

—2

5

—2

. 1

—2

1_

一 1

—2

Г

н =

—2

5

—2

. 1

—2

1_

(12.4.4)

(12.4.4)

Эти маски отличаются тем, что сумма их элементов равна единице. Рис. 12.4.2 иллюстрирует два способа подчеркивания границ: нерезкое маскирование и применение масок высокочастотной фильтрации.

Еще одним способом подчеркивания границ является так называемое статистическое дифференцирование [7, 16, стр. 100]. Значение яркости каждого элемента делится на статистическую оценку среднеквадратического отклонения о ((,舟：

G (；, k) = F (/,舟/о (/,舟. (12.4.5)

Среднеквадратическое отклонение

。2仏粉=e Е 仍仏吩一戸亿初2 (12.4.6)

вычисляется в некоторой окрестности N (/,々)элемента с координатами (/,舟.Функция 尸(/,舟 一 среднее значение яркости исходного изображения в точке с координатами (厶 尼)，приближенно определяемое путем сглаживания изображения с помощью оператора низкочастотной фильтрации согласно формуле (12.3.1). Улучшенное изображение, представленное массивом G (/,尼)， отличается от исходного изображения тем, что его яркость выше на границах, элементы которых не похожи на соседние элементы, и ниже на всех остальных участках. Следует отметить, что подчеркивание полезных границ сопровождается возрастанием шумовых составляющих.

Уоллис,. [17] обобщил метод статистического дифференцирования. Предложенный им оператор дает улучшенное изображение, имеющее требуемые моменты первого и второго порядка. Оператор определяется выражением вида

G(/, k^[F(j,粉一戸(/,б][而黑；十。4+

+ [a^ + (l-a)F(/# 舟L(12.4.7)

Здесь md и ad — желаемые среднее значение и среднеквадратическое отклонение, Л — коэффициент усиления, введенный для

Рис. 12.4.2. Образцы изображений с подчеркнутыми границами при использовании нерезкого маскирования н масок высокочастотной фильтрации, а — исходное изображение; б — нерезкое маскирование при с = '/&; 8 — действие маски 1; а — действие маски 2; d — действие маски 3.

Рис. 12.4.3. Образцы изображений, обработанных методом статистического дифференцирования (17]. Фотографии предоставлены Р. Уоллисом из фирмы Stanford Technology (Саинивэйл, шт. Калифорния).

а — исходное изображение; 6 — результат усреднения по окрестности; в — результат вычисления среднеквадратического отклонения по окрестности; е — улучшенное изображение при а — 0,8, т^ = 128, а^ = 85; 4=6; d — улучшенное изображение при ос = 0,1, т^ = 128» о^ = 85, А = 6.

предотвращения излишне больших значений яркости обработанного изображения при малом о （/,舟，а —— коэффициент, устанавливающий соотношение между яркостью границ и яркостью фона улучшенного изображения. Рис. 12.4.3 иллюстрирует эффективность обработки сюжета с глубокими солнечными тенями методом статистического дифференцирования. В представленных примерах среднее значение и среднеквадратическое отклонение вычислялись в пределах непересекающихся фрагментов размера 20x20 элементов. Среднее значение и среднеквадратическое отклонение для каждого элемента находились путем билинейной интерполяции значений, вычисленных для четырех ближайших фрагментов.

12・5・ ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЙ С ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ

Унитарные преобразования изображений, такие, как преобразования Фурье и Адамара, позволяют представить функцию, описывающую изображение, в виде совокупности спектральных коэффициентов, которые соответствуют отдельным характеристикам изображения. Например, первая спектральная составляющая （постоянная составляющая） пропорциональна средней яркости изображения. Составляющие более высокой пространственной частоты являются мерой «изрезанности» данного изображения. Это характерное свойство многих преобразований можно использовать в целях улучшения изображений. Пусть 歹 （и, и） ——дискретный двумерный спектр — результат унитарного преобразования дискретизованного изображения, представленного массивом F （/,舟：

*」NT ,NT

¥■（〃，"）=£ 工尸（厶 k）A（j, k-, u, и）,（12.5.1a）

/=0 A=0

AM NT

尸 0,图=X e/（"，u） 80, k- u,и），（12.5.16）

〃=0 0=0

где Л （/,尼；uf V）и В （f, k; 〃，и） — ядра прямого и обратного преобразований.,

Извлечение корня из спектральных коэффициентов [3]

Эта процедура заключается в том, что каждый из спектральных коэффициентов возводится в степень, причем знак или фаза коэффициентов сохраняются. Видоизмененный коэффициент определяется как

h（"，?）=，1£标备"歹（"川№0歹他°）便仅，°中。 （1252）

Для спектра Фурье, имеющего структуру

歹(％ и)=质(/ v) ехр|/Ф (и,叫，(12.5.3)

где Л (〃，и) н ①(и, и) — соответственно амплитудная и фазовая составляющие данного коэффициента, видоизмененный коэффициент запишется как

声色，и)=[质似，и)]аехр {1Ф(и, и)}・(12.5.4)

Рис. 12.5.1. Образцы изображений, обработанных методом извлечения корня из коэффициентов Фурье.а — исходное изображение, а = 1; б — изображение после извлечения квадратного корня, а = 1/2； 8 — изображение после извлечения кубического корня, а = */3; а — изображение при сохранении только фазового множителя спектра, а = 0.Рис. 12.5.1. Образцы изображений, обработанных методом извлечения корня из коэффициентов Фурье.а — исходное изображение, а = 1; б — изображение после извлечения квадратного корня, а = 1/2； 8 — изображение после извлечения кубического корня, а = */3; а — изображение при сохранении только фазового множителя спектра, а = 0.

Рис. 12.5.1. Образцы изображений, обработанных методом извлечения корня из коэффициентов Фурье.

а — исходное изображение, а = 1; б — изображение после извлечения квадратного корня, а = 1/2； 8 — изображение после извлечения кубического корня, а = */3; а — изображение при сохранении только фазового множителя спектра, а = 0.

Рис. 12.5.1. Образцы изображений, обработанных методом извлечения корня из коэффициентов Фурье.

а — исходное изображение, а = 1; б — изображение после извлечения квадратного корня, а = 1/2； 8 — изображение после извлечения кубического корня, а = */3; а — изображение при сохранении только фазового множителя спектра, а = 0.

В предельном случае, когда а = 0, видоизмененный спектральный коэффициент есть просто фазовый множитель исходного коэффициента. Если показатель степени а меньше единицы, то операция

— извлечение корня из коэффициентов — обычно дает следующий результат: большие коэффициенты преобразования уменьшаются, малые — увеличиваются. Такое перераспределение энергии в частотной плоскости часто приводит к более эффективному использованию динамического диапазона изображения, а также улучшает субъективное восприятие воспроизводимого изображения. На рис. 12.5.1 приведены образцы изображений, обработанных методом извлечения корня из спектральных коэффициентов.

Обобщенный кепстр

Другой метод улучшения изображений с нелинейным преобразованием основан на вычислении логарифма спектральных коэффициентов. Количественный результат такой обработки состоит в том, что динамический диапазон спектральных коэффициентов обычно сужается, а динамический диапазон восстановленного изображения расширяется. Богерт, Хили и Тьюки [18] предложили подобное преобразование как средство обнаружения эхо-сигналов при обработке речи. Это преобразование, результат которого назван кепстром D, состоит в том, что вычисляется энергетический спектр логарифма энергетического спектра сигнала. Оппенгейм, Шафер и Стокхэм [19] обобщили эту концепцию, определив комплексный кепстр как результат преобразования Фурье логарифма спектра Фурье. Для произвольного преобразования кепстр обобщенного логарифмического преобразования определяется следующим выражением [20]：

9 ЛМ ЛМ

戸0,同=k 2 £ [In {a + 6 I 歹他 ?） |}][覚,：：「8 （j,生"，。），

（12.5.5） где К ——масштабная постоянная, а и 6 ——постоянные, определяющие форму логарифмической характеристики передачи уровней. Выражение для обобщенного логарифмического преобразования можно переписать в виде

N-l 2VT

尸 0,田=X S g 仅，。）歹（"，U）8 0,生"，。），（12.5.6） "=0 0=0

где'

g （厶 и）=江若U幾）T S" （1257）

D Слово «кепстр» образовано перестановкой первых четырех букв в"слове «спектр》.

представляет собой частотную характеристику нелинейного фильтра, зависящую от вида исходного изображения, подлежащего фильтрации.

Рис. 12.5.2. Образцы изображений, обработанных путем вычисления кепстров Фурье и Адамара.

а — исходное изображение; б — изображение» соответствующее кепстру Фурье; в — изображение, соответствующее кепстру Адамара.

Изображения естественного происхождения обычно имеют болыиие,низкочастотные и малые высокочастотные пространственные составляющие. ПоэтомуТпроцедура логарифмического преобразования автоматически обеспечивает определенное подчеркивание границ изображения. На рис. 12.5.2 показаны образцы изображений, обработанных путем вычисления кепстров Фурье и Адамара.

МЕДИАННЫЙ ФИЛЬТР

Медианная фильтрация ——метод нелинейной обработки сигналов, разработанный Тьюки [21 ]. Этот метод оказывается полезным при подавлении шума на изображении. Одномерный медиан-

Рис. 12.6.1, Примеры медианной фильтрации простейших дискретных сигналов, L 5.

а — ступенчатый переход; б — пилообразный переход; 8 — одиночный импульс; а — сдвоенный нмпульс; d — строенный импульс; е — треугольный сигнал.

ный фильтр представляет собой скользящее окно, охватывающее нечетное число элементов, изображения. Центральный элемент заменяется медианой всех элементов изображения в окне. Медианой дискретной последовательности ап а2, ..., aN для нечетного ^ является тот ее элемент, для которого существуют (N —— 1)/2 элементов, меньших или равных ему по величине, н(N — 1)/2 элементов, больших или равных ему по величине. Пусть в окно попали элементы изображения с уровнями 80, 90, 200, 110 и 120; в этом случае центральный элемент следует заменить значением

ЦО, которое является медианой упорядоченной последовательности 80, 90, 110, 120, 200. Если в этом примере значение 200 является шумовым выбросом в монотонно возрастающей последовательности, то медианная фильтрация обеспечит существенное

улучшение. Напротив, если значение 200 соответствует полезному

ОООООООО

0000.0 000

импульсу сигнала (при использовании широкополосных датчиков), то обработка приведет к потере четкости воспроизводимого изображения. Таким образом, медианный фильтр в одних случаях обеспечивает подавление шума, в других —вызывает нежелательное подавление сигнала.

На рис. 12.6.1 показано воздействие медианного и усредняющего (сглаживающего) фильтров с пятиэлементным окном на ступенчатый, пилообразный, импульсный и треугольный дискретные сигналы. Из этих диаграмм видно, что медианный фильтр не влияет на ступенчатые или пилообразные функции, что обычно является желательным свойством. Однако этот фильтр подавляет импульсные сигналы, длительность которых составляет менее половины ширины окна. Фильтр также вызывает уплощение вершины треугольной функции.

Возможности анализа действия

Исходноеизображение

ОООООООО

00■•，■00

。О Q • • О О о ОООООООО ОООООООО Рро(римтробанное

心Q5PgK8HU§

ОООООООО 00000Q00

о о • • • • о о00♦♦•■00ООООООООООООООООПрофильтрованноецзо^рз^сение

о • •

ООО

ООО

КбЗритноеокно

оо о о О О

Рис. 12.62電Примеры двумерной медианной фильтрации.

медианного фильтра ограничены. Можно показать, что медиана произведения постоянной К

и последовательности f (/) равна

Кроме того,

med{K/(j)} = Kmed{f(j)L

(12.6.1)

med {К+ /(/)} = ^ +med {f (j)}.

(12.6.2)

Однако медиана суммы двух произвольных последовательностей f (，)н g (/) не равна сумме их медиан:

med {f (/) + g (川声 med {/(/)} + med {g (j)卜

(12.6.3)

Зто неравенство можно проверить на примере последовательностей 80, 90, 100, НО, 120 и 80, 90, 100, 90, 80.

Возможны различные стратегии применения медианного фильтра для подавления шумов. Одна из них рекомендует начинать с медианного фильтра, окно которого охватывает три элемента

Рис. 12.6.3. Образцы изображений, обработанных одномерным медианным фильтром с целью подавления импульсных помех.

а — исходное изображение с импульсными помехами (15 искаженных элементов в каждой строке)； б — результат медианной фильтрации при £ = 3; е — результат медианной фильтрации при 厶=5; е — результат медианной фильтрации при L ~ 7.

изображения. Если ослабление сигнала незначительно» окно фильтра расширяют до пяти элементов. Так поступают до тех пор, пока медианная фильтрация начинает приносить больше вреда, чем пользы. Другая возможность состоит в осуществлении каскадной медианной фильтрации сигнала с использованием фиксированной или изменяемой ширины окна. В общем случае те области, которые остаются без изменения после однократной обработки фильтром, не меняются и после повторной обработки. Области,

в которых длительность импульсных сигналов составляет менее половины ширины окна, будут подвергаться изменениям после каждого цикла обработки.

Рис. 12.6.4. Образцы изображений, обработанных одномерным медианным фильтром с целью подавления гауссова шума.

а — исходное изображение с гауссовым шумом с〃 = 25; 6 ——результат медианной фильтрации прн L = 3; в — результат медианной фильтрации при I. = 5; е — результат медианной фильтрации при L = 7.

Концепцию медианного фильтра легко обобщить на два измерения, применяя двумерное окно желаемой формы, например прямоугольное или близкое к круговому. Очевидно, что двумерный медианный фильтр с окном размера L X L обеспечивает более эффективное подавление шума, чем последовательно примененные горизонтальный и вертикальный одномерные медианные фильтры с окном размера L X 1； двумерная обработка, однако, приводит к более существенному ослаблению сигнала. На рис. 12.6.2 пока-

2 У. Прэтт

зано влияние двумерной медианной фильтрации на пространственный импульсный сигнал. Использовались фильтры с окнами двух типов: квадратным размера 3X3 и крестообразным размера 5x5. Как видно, медианный фильтр с квадратным окном разрушил углы изображенного квадрата, а фильтр с крестообразным окном оставил его без изменения.

На рис. 12.6.3 и 12.6.4 представлены образцы изображений, подвергнутых медианной фильтрации с целью подавления шумов. Как видно, медианный фильтр более эффективно подавляет разрозненные импульсные помехи, чем гладкие шумы. Медианную фильтрацию изображений в целях подавления шумов следует считать эвристическим методом. Ее нельзя применять вслепую. Напротив, следует проверять получаемые результаты, чтобы убедиться в целесообразности медианной фильтрации.

ЛОЖНЫЕ ЦВЕТА

Ложные цвета образуются при поэлементном линейном или нелинейном преобразовании координат цвета исходного цветного изображения или набора компонент спектрозонального изображения, в результате которого получаются координаты воспроизводимого цвета 〔22, 231. Это преобразование применяется для того, чтобы получить изображение, объекты которого имеют измененные или ложные цвета, отличающиеся от ожидаемых. Например, голубое небо в естественном сюжете может стать красным, а зеленая трава ——синей. Одна из возможных целей такого цветового преобразования — поместить обыкновенные объекты в мир необычных цветов, чтобы наблюдатель следил за ними более внимательно, чем в случае их нормальной окраски. Медленное изменение преобразования позволяет предотвратить адаптацию наблюдателя к новому цветовому миру. Польза такого применения ложных цветов связана со сложными психологическими явлениями.

Ложные цвета могут применяться также для лучшего использования возможностей зрительной системы человека. Как известно, яркостная чувствительность палочек и колбочек сетчатки максимальна в зеленой области видимого спектра. Таким образом, если объект красного цвета перекрасить в ложный зеленый цвет, его будет легче обнаружить. Другое психофизическое свойство цветового зрения, которым можно воспользоваться, заключается в повышенной контрастной чувствительности глаза в синем свете. При определенных обстоятельствах целесообразно преобразовывать естественные цвета объектов с мелкими деталями в градации синего цвета. *

Третье применение ложных цветов связано с воспроизведением в естественных цветах спектрозональных изображений. При этом

некоторые компоненты спектрозонального изображения могут формироваться датчиками, спектральные характеристики которых находятся вне видимой области спектра, например в инфракрасной или ультрафиолетовой области.

При образовании ложных цветов красная, зеленая и синяя координаты воспроизводимых цветов связаны с координатами исходных цветов или значениями R компонент спектрозональных изображений следующими выражениями:

Rq = 0r {尸1, % • • •},(12.7.1а)

Gd^O^F^ F„ . . .},(12.7.16)

Вд = Ов {-^ 1» 尸2，…•}，(12.7.1 в)

где。欠(•), Gg (•)，°н (•) — функциональные операторы общего вида. Рассмотрим простой пример, когда исходные красная, зеленая и синяя координаты цвета (R$ = A, G5 = F2, Bs = 尸з)

меняются местами в соответствии с соотношением

'0 1 0"

Ks~

Gl，

0 0 1

Gs

.(12.7.2)

Lb。」

_1 0 0_

bJ

Зеленые объекты исходного изображения будут воспроизводиться как красные, синие — как зеленые, а красные ——как синие. Общее выражение для линейного преобразования в ложные цвета естественных цветных изображений можно определить как

恤2飞2人2恤2飞2人2Gs!_&」Gs!_&」(12.7.3)(12.7.3)

恤2

飞2

人2

恤2

飞2

人2

Gs

!_&」

Gs

!_&」

(12.7.3)

(12.7.3)

Следует заметить, что это соотношение описывает линейное преобразование координатной системы основных цветов датчика исходного изображения в координатную систему некоторых новых основных цветов.

ПСЕВДОЦВЕТА

Псевдоцветовое отображение является еще одним методом повышения обнаружимости изображенных объектов человеком- наблюдателем. Однако при использовании псевдоцветов исходное изображение не является цветным, а представляется двумерным массивом величин, отображаемых в цветовое пространство 124—

. Псевдоцветовое отображение элемента F (/,田 исходного массива в общем виде определяется как

R0,田｛尸0,切，.(12.8.1а)

0(/,田=0g ｛尸亿吼(12.8.16)

B(j,з=0鼠尸(/,切，(12.8.1b)

Рнс, 12.8,1. Псевдоцветовые отображения, траектории которых начинаются в точке черного и кончаются в точке белого, и отображение, соответствующее обходу по периметру ^GB-треугольннка.Рнс, 12.8,1. Псевдоцветовые отображения, траектории которых начинаются в точке черного и кончаются в точке белого, и отображение, соответствующее обходу по периметру ^GB-треугольннка.СанииСаниигде R (/,归)，G (/,期，В (/,归)——координаты цвета воспроизводимых цветов, C?r(・)，Oq (•), б в (•)——линейные или нелинейные функциональные операторы. Это отображение параметрически определяет некоторую траекторию в трехмерном цветовом пространстве, причем параметром является значение элемента F(厶①.На рис. 12.8.1 показаны цветовое R GB- простр анство и два дсевдо- цветовых отображения, траектории которых начинаются в точке черного и кончаются в точке белого. Отображение А представляется ^хроматической траекторией, проходящей через все градации серого; оно является обычным представлением чернобелого изображения. Отображение В представляется некоторой спиральной траекторией в цветовом пространстве.

Рнс, 12.8,1. Псевдоцветовые отображения, траектории которых начинаются в точке черного и кончаются в точке белого, и отображение, соответствующее обходу по периметру ^GB-треугольннка.

Рнс, 12.8,1. Псевдоцветовые отображения, траектории которых начинаются в точке черного и кончаются в точке белого, и отображение, соответствующее обходу по периметру ^GB-треугольннка.

Сании

Сании

Другой класс псевдоцветовых отображений составляют отобра

жения, не охватывающие градаций серого. Примером может служить отображение С, траектория которого проходит вдоль ребер цветового RGB-куба. Это отображение соответствует продвижению по периметру треугольника воспроизводимых цветов, который построен на равноконтрастном цветовом графике, показанном на рис. 12.8.2. На этом рисунке указаны яркости красного, зеленого, синего, голубого, пурпурного и желтого цветов, координаты которых лежат на сторонах треугольника воспроизводимых цветов. Как видно, яркость псевдоцветов изменяется в интервале между минимальным значением 0,114 (яркость синего) и максимальным значением 0,886 (яркость желтого). Максимальное значение яркости, равное единице, имеет белый цвет. В некоторых применениях желательна такая яркость всех воспроизводимых цветов, чтобы различение псевдоцветов по всей шкале проводилось только на основе цветового тона и насыщенности. Геометрические места точек равной яркости показаны на рис. 12,8.2.

Геометрическое

О0?10,20,30,4 и 0,5

Рис. 12.8.2. Геометрические места точек постоянной яркости для цветов системы НТСЦ.

а — геометрические места точек максимально допустимых яркостей; 6 ——геометрическое мест。точек для яркости, равной 0,5.

На этом рисунке также представлены границы цветностей воспроизводимых цветов равной яркости. Например, обход по периметру ^GB-треугольника возможен только при ограничении максимальной яркости любого из цветов значением 0,114, что соответствует яркости синего. Для яркости 0,2 обход по периметру RG方-треугольника также возможен, за исключением области вблизи насыщенного синего. Для больших уровней яркости гамма цветов равной яркости, пригодных для включения в шкалу псевдоцветов, становится существенно ограниченной. На рис. 12.8.2,6 показано геометрическое место цветностей для яркости 0,5. В область, ограниченную этим геометрическим местом точек, вписан треугольник цветностей тех цветов, которые имеют одинаковую наибольшую насыщенность. Псевдоцвета с цветностями на сторонах этого треугольника будут отличаться только цветовым тоном.

При заданной линии псевдоцветов в цветовом пространстве необходимо выбрать масштабный коэффициент, связывающий значения 尸(/,田 с расстоянием вдоль этой линии. На равноконтрастном цветовом графике равным приращениям' расстояния соответствуют субъективно почти одинаковые изменения цветового ощущения. Это дает основание делить всю длину линии псевдоцветов на равные отрезки.

УЛУЧШЕНИЕ СПЕКТРОЗОНАЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

При обработке спектрозональных изображений часто используют различные процедуры для облегчения последующего визуального или машинного анализа [22, 271. Некоторые из таких процедур предусматривают раздельную обработку спектрозональных компонент, например повышение контраста, видоизменение гистограмм и подчеркивание границ (эти процедуры описаны в предыдущих разделах). Однако существуют и другие процедуры, рассматриваемые в данном разделе, которые основаны на совместной обработке спектрозональных компонент.

Часто используют разности двух компонент спектрозональных изображений:

Dn,以0,田=尸加亿粉一％亿風 (12.9.1)

чтобы выявить различие между коэффициентами отражения в разных зонах спектра. Дополнительное преимущество этой операции состоит в подавлении неизвестного, но общего смещения яркости, которое может существовать. Другой простой, но эффективный способ улучшения спектрозональных изображений состоит в вычислении отношений отдельных компонент спектрозонального

изображения. Отношение 加・й и n-й спектрозональных компонент равно по определению

Rm,式j, % = Fmj 力)/乙0,初(12.9.2)

Предполагается, что диапазон изменения спектрозональных компонент выбран так, что они не принимают нулевых значений. Во многих спектрозональных системах компоненту Fn (/,舟 удается представить в виде произведения коэффициента отражения объекта Rn (/, k) и функции освещенности Е (/,左)；это произведение почти одинаково для всех компонент. Вычисление отношений компонент обеспечивает автоматическую нормировку, т. е. позволяет компенсировать изменение освещенности. Одна из трудностей, с которой сталкиваются при использовании метода отношений, заключается в подчеркивании ошибок квантования. Отношение IFm (/,舟/尸也(j,炒士 A (厶田],в котором Л (/,秋 выражает неопределенность квантования, при малом Fn (/, Л) может изменяться в значительных пределах. Разброс существенно уменьшается при вычислении логарифма отношения, введенного в работе [26]:

乙小式/, ^) = log[/?m,n(J, %)l = log【％(j,k)l-log[Fjj$)L (12.9.3)

Имея N спектрозональных компонент, можно получить [N (N ——1) 1/2 различных разностей или отношений. Чтобы уменьшить число вариантов, разности и отношения часто вычисляют относительно усредненного изображения, описываемого массивом

4(j,左)=(1/田 X 尸.0•，初(12.9.4)

n=l

Унитарные преобразования совокупности спектрозональных компонент представляют собой еще одно средство их улучшения. При наличии N спектроз он альных компонент формируется вектор размера N X I:

(12.9.5).(12.9.5).了1 (厶3尸2("田

(12.9.5).

(12.9.5).

-Fn3 田一

Для каждого элемента (/,田.Затем производится преобразование вида

У = Ах,уУ = Ах,у(12.9.6).

У = Ах,у

У = Ах,у

где А ——унитарная матрица размера N X N. Часто используется преобразование, которое представляет собой разложение на главные компоненты, когда строки матрицы А составлены hl

Рис. 12.9.1. Образцы спектрозональных компонент [27].Рис. 12.9.1. Образцы спектрозональных компонент [27].а — спектральный диапазон 4 (зеленая область); 6 — спектральный диапазон 5 (крас ная область)； в — спектральный диапазон 6 (инфракраснач область 1); е — спектральные диапазон 7 (инфракрасная область 2).а — спектральный диапазон 4 (зеленая область); 6 — спектральный диапазон 5 (крас ная область)； в — спектральный диапазон 6 (инфракраснач область 1); е — спектральные диапазон 7 (инфракрасная область 2).

Рис. 12.9.1. Образцы спектрозональных компонент [27].

Рис. 12.9.1. Образцы спектрозональных компонент [27].

а — спектральный диапазон 4 (зеленая область); 6 — спектральный диапазон 5 (крас ная область)； в — спектральный диапазон 6 (инфракраснач область 1); е — спектральные диапазон 7 (инфракрасная область 2).

а — спектральный диапазон 4 (зеленая область); 6 — спектральный диапазон 5 (крас ная область)； в — спектральный диапазон 6 (инфракраснач область 1); е — спектральные диапазон 7 (инфракрасная область 2).

собственных векторов ковариационной матрицы К* спектрозс- нальных компонент. Матрица А осуществляет диагонализации ковариационной матрицы К*, такую, что ковариационная матрице преобразованных компонент

Ку = АК#А，= АКу = АК#А，= А(12.9.7(12.9.7

Ку = АК#А，= А

Ку = АК#А，= А

(12.9.7

(12.9.7

становится диагональной матрицей А, элементы которой представляют собой собственные значения матрицы К*, ранжированные

Рнс. 12.9.2. Изображения, соответствующие логарифмам отношений компонент спектрального изображения, показанных на рнс. 12.9.1,

霓一изображение диапазона 4/изображение диапазона 5; б — изображение диапазона 4/изображение диапазона 7; г — изображение диапазона 5/изображение диапазона 6; ? ~ изображение диапазона 5/изображение диапазона 7; е — изображение диапазона 6/изображеине диапазона 7,

в порядке убывания. Поэтому в результате разложения на главные компоненты получают совокупность декоррелированных компонент с убывающими энергиями. Конечно, эта процедура требует знания ковариационной матрицы спектрозональных компо-

Рис. 12.9.3. Изображения, соответствующие главным компонентам спектрозональных изображений, которые представлены на рис. 12.9.1.

а — для собственного значения М; б — для собственного значения Ха; в — для собственного значения %$; а—для собственного значения 入&.

нент. Такую матрицу следует либо промоделировать, либо оценить. Если ковариационная матрица существенно нестационарна, метод разложения на главные компоненты применять затруднительно. '

На рис. 12.9.1 показаны четыре компоненты спектрозонального изображения, а на рис. 12.9.2 — изображения, соответствующие лргарифмам отношений этих компонент. Изображения, соответствующие главным компонентам, представлены на рис. 12.9.3.

ЛИТЕРАТУРА

Nathan'R., Picture Enhancement for the Moon, Mars, and Man, in: Pictorial Pattern'Recognition, Cheng G. C., Ed., Thompson, Washington D. C., 1968, pp. 239—266.

Billingsley F., Applications of Digital Image Processing, Appl. Opf.,9, 2, 289—299 (February 1970).

Andrews H. С., Tescher A. G., Kruger R. P., Image Processing by Digital Computer» IEEE Spectrum, 9, 7, 20—32 (July 1972).

Hall E. L. et al., A Survey of Preprocessing and Feature Extraction Techniques for Radiographic Images, IEEE Trans. Computers, C-20, 9, 1032—1044 (September 1971).

Hall E. L., Almost Uniform Distribution for Computer Image Enhancement, IEEE Trans. Computers, C-23, 2, 207—208 (February 1974).

Frei W. (частное сообщение).

Ketcham D. J., Real Time Image Enhancement Technique, Proceedings SPIE/OSA Conference on Image Processing, Pacific Grove, California, Vol. 74, February 1976, pp. 120—125.

Dinneen G. P., Programming Pattern Recognition, Proceedings Western Joint Computer Conference, March 1955, pp. 94—100.

Graham R. E., Snow-Removal: A Noise-Stripping Process for Picture Signals, IRE Trans. Inf. Theory, IT-8, 1, 129—144 (February 1962).

Rosenfeld A., Park С. M., Strong J. P., Noise Cleaning in Digital Pictures, Proceedings EASCON Convention Record, October 1969, pp. 264—273.

Nathan R., Spatial Frequency Filtering, in: Picture Processing and Psychopi- ctorics, Lipkin B. S., Rosenfeld A., Eds., Academic Press, New York, 1970, pp, 151—164.

Schreiber W. F., Wirephoto 'Quality Improvement by Unsharp Masking, J. Pattern Recognition, 2, 171 (1970), Pergamon Press, London.

Roberts L. G., Machine Perception of Three-Dimensional Solids, in: Optical and Electro-Optical Information Processing, Tippett J. T. et aL, Eds., MIT Press, Cambridge, Mass., 1965.

Prewitt J. M. S., Object Enhancement and Extraction in: Picture Processing and Psychopictorics, Lipkin B. S., Rosenfeld A., Eds., Academic Press, New York, 1970, pp. 75—150.

Arcese A., Mengert P. H., Trombini E. W., Image Detection Through Bipolar Correlation, IEEE Trans. Inf. Theory, IT-16, 5, 534—541 (September 1970).

Rosenfeld A., Picture Piocessing by Computer, Academic Press, New York, 1969. [Имеется перевод: Розенфельд А., Распознавание и обработка изображений с помощью вычислительных машин. — М.: Мир, 1972.]

Wallis R. Н., An Approach for the Space Variant Restoration and Enhance- .merit of Images, Proceedings Symposium on Current Mathematical Problems in Image Science, Monterey, California, November 1976.

Bogert В. P., Healy M. J. R., Tukey J, W., The Frequency Analysis of Time Series for Echoes: Cepstrum and Shape Cracking, in: Proceedings of the Symposium held at Brown University, July 11—14, 1962, Rosenblatt M., Ed., Willey, New York, 1963, Ch. 15, pp. 209—243.

Oppenheim A. V., Schafer R. W., Stockham T. G., Jr., Nonlinear Filtering of Multiplied and Convolved Signals, Proc. IEEE, 56, 8, 1264—1292 (August 1968). [Имеется перевод: Оппенгейм А. В., Шефер Р., Стокхэм Т., мл., Нелинейная фильтрация сигналов, представленных в виде произведения и свертки. — ТИИЭР, 1975, т. 56, № 8, с. 5—34].

Andrews Н. С., Pratt W. К., Digital Image Transform Processing, Ргосее- dings Applications of Walsh Functions, Washington D. C., 1970, pp. 183—194.

Tukey J. W., Exploratory Data Analysis, Addison-Wesley, Reading, Mass,,

Goetz A. F. Н. et al., Application of ERTS Images and Image Processing to Regional Geologic Problems and Geologic Mapping in Northern Arizona, Jet Propulsion Laboratory, Technical Report 32-1597, Pasadena, California, May 1975.

Fink W., Image Coloration as an Interpretation Aid, Proceedings SPIE/OSA Conference on Image Processing, Pacific Grove, California, Vol. 74, February 1976, pp. 209—215.

Gazley C., Reiber J. E,, Stratton R. H., Computer Works a New Trick in Seeing Pseudo Color Processing, Aeronautics and Astronautics, 4, 56 (April 1967).

Nichols L. W., Lamar J., Conversion of Infrared Images to Visible in Color, Appt. Opt.* 7, 9, 1757 (September 1968).

Kreins E. R., Allison L. J., Color Enhancement of Nimbus High Resolution Infrared Radiometer Data, Appl. Op* 9, 3, 681 (March 1970).

Robinson G. S,, Frei W., Final Research Report on Computer Processing of ERTS Images, University of Southern California? Image Processing Institute, Report USCIPI 640, September 1975.

МОДЕЛИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ

ПРИ РЕСТАВРАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Реставрацию изображений можно рассматривать как процесс оценивания: некоторое изображение, полученное в результате наблюдения или измерения, подвергают преобразованию, чтобы найти сценку идеального изображения, которое наблюдалось бы на выходе гипотетической изображающей системы, не вносящей никаких искажений. В данной главе рассмотрены математические модели искажений, возникающих в изображающих системах общего вида. В последующих главах эти модели используются в качестве основы при разработке различных методов реставрации изображений.

ОБОБЩЕННЫЕ МОДЕЛИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ

ПРИ РЕСТАВРАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Для эффективного проектирования любой системы цифровой реставрации изображений необходимо знать количественные оценки искажений, вносимых физической изображающей системой, преобразователем в цифровую форму и дисплеем. Процедура реставрации в основном сводится к моделированию, а затем к обращению искажающих преобразований. Следует подчеркнуть, что адекватное моделирование процесса, порождающего искажения, часто является ключом к эффективной реставрации.

Существуют два основных подхода к моделированию искажений: априорный и апостериорный. В первом случае измеряют отклики физической изображающей системы, преобразователя в цифровую форму и дисплея на произвольное изображение. Отклик одних систем можно получить детерминированным путем, отклик других поддается определению только в вероятностном смысле. В случае апостериорного моделирования модель искажений создают на основе измерений параметров конкретного искаженного изображения, подлежащего реставрации. По существу эти два подхода различаются только способами сбора информации, описывающей характер искажений.

На рис. 13.1.1 представлена обобщенная модель цифровой изображающей системы и системы реставрации изображений. На вход изображающей системы поступает световое поле С (%, у, 力 九)——функция пространственных координат (х, у), времени t

и длины волны спектрального излучения X. Это поле портится поэлементными и пространственными искажениями, а также детерминированными и случайными помехами. В числе возможных искажений можно назвать дифракционные искажения и аберрации оптической системы, нелинейные искажения фотоматериалов, искажения, обусловленные турбулентностью атмосферы, нерез- кость (смаз), вызванную движением, геометрические искажения.

Рис. 13.1,1. Модель цифровой реставрации изображений.

Шумовые возмущения могут обусловливаться флуктуациями в электрических датчиках изображающих систем или зернистостью фотопленки. Изображающая система формирует в момент времени f совокупность выходных изображений, описываемых в общем виде выражением D i *

尸伊(Х, У, /) = 0р{С, х, у,厶 X； С(х, у, /, %)}, (13.1.1) где 0/>{“ ——обобщенный оператор, являющийся функцией пространственных координат (х, у), времени 力 длины волны X и интенсивности светового поля С. В одноцветной изображающей системе формируется только одно выходное изображение. В цветной изображающей системе 尸*)(•) может относиться к изображениям, соответствующим координатам красного, зеленого и синего цвета (/ = 1, 2, 3). В спектрозональной системе компоненты 尸У)(•) соответствуют различным зонам спектра.

D Здесь принято следующее обозначение: переменные до точки с запятой показывают функциональную зависимость, т. е. наличие / означает, что О{ •} зависит от времени, а член после точки с запятой — функция» подвергаемая обработке.

Оператор обобщенной изображающей системы (13.1.1) может иметь различную структуру. Например, система может обладать или не обладать «памятью». Временной отклик представляет собой прямой результат взаимодействия наблюдаемых элементов изображения с одними и теми же координатами (х, у), но принадлежащих различным кадрам, разнесенным во времени. В рамках этого представления пространственная нерезкость, обусловленная апертурными искажениями электронного растрового сканера, не связывается с временным откликом. Причиной «немгновенного» временного отклика может стать, например, накопление заряда в видиконе камеры, действующей с излишне высокой кадровой частотой. В изображающей системе без памяти наблюдаемое изображение может описываться выражением вида

，^°(Х, у, t)^CP\C, х, у, %; С (А у, /, %)}.(13.1.2)

В другом особом случае временной отклик определяется взвешенным интегрированием по координате f на ограниченном временном интервале светового поля:

^°(X, у, о = Ср |с, х, у, X; j С(х, у, /, ^Li^dt , (13.1.3) где 7 ——интервал интегрирования, Lj (0 — временной импульсный отклик.

Во многих изображающих системах поэлементная спектральная характеристика представляет собой результат взвешенного интегрирования по X входного светового поля. Таким образом, имеем

尸伊(X, 9, 9 = 0」С, х, у, f; jc(x, у, /, %)Si@)认］,(13.1.4) о丿

где Sg (%) —— спектральная характеристика датчика.

Искажения часто моделируют двумя последовательными звеньями, описывающими пространственные эффекты и поэлементные эффекты, связанные с изменением интенсивности. Представим, например, что сначала возникают поэлементные искажения %卜} , а затем — пространственные искажения /{} В этом случае можно записать

尸力(X, g,'f) = Os{x, У,力儿 ％ {С, /, х； С(х, у, /,讶}. (13.1.5) При обратйом порядке возиикновення искажений запишем 尸伊(х, у, f) = 0cC，f, 1; 0s {X, У，厶尢 С(Х, у, t,讶}. (13.1.6) В обоих случаях допускается зависимость пространственных и поэлементных искажений от длины волны и времени.

Линейные пространственные искажения можно представить как результат операции суперпозиции. На выходе изображающей системы без памяти с разделимыми поэлементными и пространственными искажениями будет наблюдаться изображение вида 尸伊(Х, у, /) = 0с с, X; J Jc(a”，t,储 J(x, у, a, ₽,%) da dp],

-00■丿

(13.1.7)

где 丿(•)——импульсный отклик, описывающий пространственные искажения изображения. В общем случае импульсный отклик является функцией всех четырех пространственных координат х, у, a, Р н длины волны. Такую систему называют линейной пространственно-зависимой. Особый случай представляют линейные пространственно-инвариантные искажения. В этом случае наблюдаемое изображение и входное световое поле связаны интегралом свертки:

Fq} (х, У, 0 = Gc с, X； J J С (а,自 f,九)丿(х—а; у—自；/, X) da dp •

(13.1.8)

В обобщенной модели на рис. 13.1.1 предполагается, что каждое из наблюдаемых изображений 尸^)(х, у, t) переводится в цифровую форму методами, описанными в части 3; в результате в каждый момент времени f формируется массив отсчетов изображения 尸^)(/пг, /и?, О- Отсчеты на выходе цифрового преобразователя связаны с входным наблюдаемым изображением соотношением

尸!')(恤，恤，£) = 0g {Fg, x, у; F^ (x, у, /)},(13.1.9)

где 0q\*\ ——оператор, моделирующий процесс преобразования изображения в цифровую форму. *

Система цифровой реставрации изображений вырабатывает выходной массив 尸紀(匈，財，0» осуществляя преобразование вида

尸户(阮局，/) = 0k{理"(恤，恤，/)}，(13.1.10)

где б?к卜} — оператор реставрации. Дисплей интерполирует выходные отсчеты системы цифровой реставрации и формирует непрерывное изображение 用"(х, у, /)——оценку исходного изображения. Для этой операции можно записать

印)(х, у, t) = OD{Fs, х, у, F^ (йь 局，/)},(13.1.11)

где 0d{・} — преобразование, выполняемое дисплеем,

Система цифровой реставрации изображений должна компенсировать искажения, вносимые изображающей системой, цифровым преобразователем и дисплеем, чтобы получить оценку гипотеки ческ ого идеального изображения F；0 (х, у, /), воспроизводимого в системе, все элементы которой являются идеальными. Идеальная изображающая система способна сформировать идеальное изображение, описываемое функцией

8 f

尸夕(X, 9, /) = J J С(х, g, /,九)5仏)出叽 (13.1.12) 0 t-T

где UI (X) —— желательная спектральная характеристика, Т —— интервал наблюдения.

Обычно не удается осуществить идеальную реставрацию наблюдаемого изображения, после которой выходное изображение совпадает с исходным изображением. Цель проектирования системы реставрации изображений —— минимизировать некоторую меру ошибки, определяемой различием 尸尹(х, у, f) и 力伊(х, у, /). В данной главе в основном будут рассматриваться методы, минимизирующие среднеквадратическую ошибку, т. е. разность функций исходного и реставрированного изображений:

翁=e"尹(X，y, f)一押)(х, y,川2}. (13.1.13)

Часто желательно наложить дополнительные ограничения на процедуру минимизации ошибки; например, можно потребовать, чтобы функция, описывающая реставрированное изображение, имела только положительные значения, если изображение представляется распределением яркости.

Поскольку реставрация изображений должна осуществляться цифровым способом, часто более удобно находить меру ошибки только в дискретных точках идеального и оцененного изображений. Соответствующие дискретные массивы можно получить, пользуясь математическими моделями идеальных цифровых преобразователей:

尸伊(九1, n2, 0 == F/°(х, у, /)6(х —/нА/, ^―敢厶/) (13.1.14а) и

/歩(М 九2, о = F^ (%, у, /)6(х — М1А/, у-п2М\ (13.1.146) Предполагается, что непрерывные изображения дискретизируются с шагом Д/, удовлетворяющим критерию Найквиста. Кроме того, ошибку квантования считают пренебрежимо малой. Следует заметить, что процессы, представленные на рис. 13.1.1 блоками над пунктирной разделительной линией, отображают математические модели, а не физические операции, совершаемые над реальными

полями, представляющими изображения, и массивами их отсчетов. При указанной дискретизации непрерывных идеального и оцененного изображений соответствующая среднеквадратическая ошибка реставрации принимает вид

^i = E{[F^ (щ, «г, О-F^ (щ,侬，/)『}• (13.1.15)

Установление количественных соотношений, представленных на рис, 13.1.1, позволяет сформулировать проблему реставрации изображений в следующем виде:

При заданном дискретизованном наблюдаемом массиве изображения 尸^)(加工,/па, f), полученном из исходного светового поля С (х, у, £, X), опредолить передаточную функцию 0K {•}， минимизирующую меру различия 尸户(公, n2, 0 и 0伊(向， n2, 0 с учетом требуемых ограничений.

Исключительная сложность задачи реставрации изображений в формулировке, представленной выше, не позволила найти решение общего вида. Чтобы продолжить изложение, нам придется конкретизировать тип искажений и используемый метод реставрации. В последующих разделах описываются модели всех элементов обобщенной изображающей системы, представленной на рис. 13.1.1.

МОДЕЛИ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

К числу крупных достижений оптики з? последние 20 лет следует отнести применение системного подхода к исследованию оптических изображающих систем. Оптические приборы, состоящие из объективов, зеркал, призм и других подобных элементов, можно считать устройствами, осуществляющими детерминированное преобразование входного пространственного распределения света в некоторое выходное пространственное распределение света. Более того, системный подход можно обобщить, учитывая эффект распространения света в свободном пространстве или в некоторой диэлектрической среде.

В геометрической оптике предполагается, что в однородной среде световые лучи всегда распространяются прямолинейно. При таком допущении пучок лучей, попадающих на экран после прохождения через отверстие, формирует геометрическую проекцию этого отверстия. Однако при внимательном рассмотрении распределения света в области между светлой и темной зонами на экране оказывается, что граница не является резкой. Этот эффект тем сильнее, чем меньше размеры отверстия. Когда отверстие становится точечным, создается впечатление, что весь экран

освещен диффузным светом. Таким образом, возникает отклонение лучей света, называемое дифракцией. Количественные характеристики дифракции можно получить, если свет считать электромагнитным излучением, удовлетворяющим уравнениям Максвелла. Изложение полной теории оптических изображающих систем с позиций фундаментальных принципов электромагнитной теории дифракции ——задача сложная и трудоемкая. После

дующий материал содержит лишь ключевые моменты этой теории; подробные сведения можно получить в работах [1—3 ].

На рис. 13.2.1 представлена схема обобщенной оптической изображающей системы. Точка на плоскости объекта с координатами （л:。, у。）, имеющая интенсивность /0 （%。, у。）, излучает энергию в направлении изображающей системы, которая характеризуется входным и выходным зрачками и промежуточной средой, осуществляющей преобразование. Электромагнитные волны, испускаемые оптической системой, фокусируются в точке （工厶 у） плоскости изображения, в которой возникает интенсивность /& （%£，fA）・ Говорят, что изображающая система является дифракционно ограниченной, если распределение света на плоскости изображения, создаваемое точечным объектом, имеет вид сходящейся сферической волны, ограниченной только контуром выходного зрачка. Если волновой фронт электромагнитного излучения, испускаемого выходным зрачком, не является сферическим, говорят, что оптическая система имеет аберрацию.

В большинстве оптических систем формирования изображения световое излучение, испускаемое объектом, является результатом пропускания или отражения света некогерентного источника. Во, многих случаях излучение, формирующее изображение, может считаться квазимонохроматическим в том смысле, Что ширина его спектра мала по сравнению с центральной частотой излучения. В рамках этих двух допущений изображающая система, показанная на рис. 13.2.1, будет вести себя как линейная

система относительно интенсивности входного и выходного полей. В оптической системе зависимость между интенсивностями изображения и объекта может быть выражена интегралом суперпозиции вида

厶（4,加=! ]〃（％•,况；X。，儿）/°（х°, yjdx°dy。, （13.2.1）

где H （修,协；尤°, у^ — импульсный отклик системы, т. е. распределение интенсивности в плоскости изображения, создаваемое точечным источником света. Импульсный отклик часто оказывается пространственно-инвариантным, и тогда зависимость «выход——вход» выражается интегралом свертки

厶（4,勿）=J J " （% — X。，玖一况）厶（X。，如）dx。dy0. （13.2.2）

В этом случае нормированные спектры Фурье

J ] /。（尤。，Уо） exp [—f （со%#。+ ЗдУо” dx0 dy0

夕° （（%, o）j 二—、（13.2.3a）

J J ^o （尤o’ ％） d#o dy0

и

J J /，⑴，y（） exp [—i （axxt + ayyt）] dxt dyt

力（吗，3 j =亠^? （13.2.36）

j J Л （修，玖）d々 dyt

полей интенсивности объекта и изображения соответственно связаны следующим образом:

?0（吗，®）=箔（W, д）%®, з/,（13.2.4）

где 箔（сох, со/, часто называемая оптической передаточной функцией （ОПФ）, определяется выражением вида

J J Н ", у） ехр [—“3%# + Зду）] dx dy

鑑（％ ®）二亠.（13.2.5）

j j Н （х, у） dx dy

Модуль ОПФ I 鑑(сох, со j I называется частотно-контрастной характеристикой (ЧКХ) оптической системы.

Круглая тонкая линза является самой распространенной оптической системой формирования изображения. На рис. 13.2.2 показаны сечения ОПФ для такой линзы при расфокусировке различной степени [1, стр. 486, 4]. Большая расфокусировка при

водит к тому, что в некоторой области пространственных частот ОПФ принимает отрицательные значения. В этом случае линза вызывает обращение контраста: темные объекты будут казаться светлыми, а светлые ——темными.

Земную атмосферу также можно рассматривать как оптическую систему. Показатель преломления нормальной атмосферы сохраняется приблизительно постоянным в пределах оптической протяженности объекта. В некоторых случаях, однако, возникает турбулентность атмосферы, при которой показатель преломления становится простран-

Рис. 13.2.2. Сечения оптической передаточной функции линзы при расфокусировке различнойРис. 13.2.2. Сечения оптической передаточной функции линзы при расфокусировке различнойственно-зависимым, а результиру- степени.

Рис. 13.2.2. Сечения оптической передаточной функции линзы при расфокусировке различной

Рис. 13.2.2. Сечения оптической передаточной функции линзы при расфокусировке различной

ющее изображение объекта — не

резким . Эквивалентный импульсный отклик имеет вид

Я(х, д) = Ктехр[-(К2х2 + К^)5/б],(13.2.6)

"(х,д) = Кехр{—(轰 + 蜀卜"(х,д) = Кехр{—(轰 + 蜀卜(13.2.7)(13.2.7)где Ki — постоянные, которые были предсказаны математически, а затем проверены экспериментально [5] в случае формирования изображения с большой выдержкой. Чтобы упростить анализ, показатель степени 5/в часто заменяют единицей. При этом получают модель импульсного отклика гауссовой формы:

"(х,д) = Кехр{—(轰 + 蜀卜

"(х,д) = Кехр{—(轰 + 蜀卜

(13.2.7)

(13.2.7)

где К — нормирующий коэффициент, Ьх и Ьу — коэффициенты пространственной нерезкости.

МОДЕЛИ ФОТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Фотографическая запись изображений может осуществляться с использованием самых различных материалов и химических процессов. В данном разделе мы не претендуем ни на обзор фотографических методов, ни на углубленное рассмотрение физики фотографических процессов. Все это содержится в работах [6—8].

Однако здесь сделана попытка создания математических ■ моделей фотографических процессов для описания фотографических элементов изображающей системы.

ОДНОЦВЕТНАЯ ФОТОГРАФИЯ

Для фотографической записи изображений чаще всего используют галогенидосеребряную эмульсию (рис. 13.3.1). В этом материале зерна галогенида серебра взвешены в прозрачном слое желатина на стеклянной, ацетатной или бумажной подложке.

Сбет Зерногалогенида серебраСбет Зерногалогенида серебраЖелатинЖелатин〃6勿財3〃6勿財3Рис. 13.3.1. Поперечное сечение фотопленки с галогенидосеребряной эмульсией.Рис. 13.3.1. Поперечное сечение фотопленки с галогенидосеребряной эмульсией.Негатив и диапозитив имеют прозрачную подложку; подложка отражающего фотоотпечатка изготовляется из белой бумаги. Когда на зерно попадает свет, происходит электрохимическая реакция и некоторая часть его превращается в металлическое серебро. Как говорят в этом случае, в зерне существует цёнтр проявления. В процессе проявления химический проявитель дей-

Сбет Зерно

галогенида серебра

Сбет Зерно

галогенида серебра

Желатин

Желатин

〃6勿財3

〃6勿財3

Рис. 13.3.1. Поперечное сечение фотопленки с галогенидосеребряной эмульсией.

Рис. 13.3.1. Поперечное сечение фотопленки с галогенидосеребряной эмульсией.

ствует на зерна с частичным содержанием серебра таким обра-

зом, что они целиком превращаются в часочки металлического серебра. Фиксирование фотослоя заключается в удалении неэкспонированных зерен химическим способом.

Описанный фотографический процесс называется необратимым. С его помощью формируется изображение, являющееся негативным в том смысле, что содержание серебряных частичек обратно пропорционально интенсивности экспонирующего света. Получить позитивный фотоотпечаток позволяет двухступенчатый процесс с использованием необратимых материалов. Сначала изготовляют прозрачный негатив, а затем экспонируют через него фотобумагу. Результирующая плотность почернения проявленной фотобумаги пропорциональна интенсивности света, проходящего

через негатив.

Обратимая фотопленка позволяет изготовить диапозитив. Такая фотопленка после экспонирования сначала обрабатывается фактически так же, как и необратимая фотопленка. При этом все зерна, на которые воздействовал свет, целиком превращаются в металлическое серебро. Затем все частички металлического серебра удаляют химическим способом. После этого фотопленка равномерно засвечивается, чтобы экспонировать оставшиеся зерна галогенида серебра (возможно также применение химического

процесса для этой цели). Вновь экспонированные зерна проявляют и фиксируют, в результате чего получается диапозитив с оптической плотностью, пропорциональной интенсивности света при исходном экспонировании.

Взаимосвязь между интенсивностью света, экспонирующего фотоматериал, и оптической плотностью негатива (диапозитива) или фотоотпечатка можно количественно описать с помощью сенситометрических величин. Ставится задача ——разработать модель, которая позволяла бы. предсказать спектральное распределение светового излучения, прошедшего через негатив (диапозитив) или отраженного от фотоотпечатка, при заданном спектральном распределении экспонирующего света и определенных физических параметрах фотографического процесса. Первый этап этого процесса — экспонирование зерен галогенида серебра — можно в первом приближении промоделировать интегральным выражением вида

Х(С) = & Jc@)L@)M. (13.3.1)

Здесь X (С)——интегральная экспозиция; С (入)一спектральная плотность энергии экспонирующего света; L (1) — спектральная чувствительность фотопленки или фотобумаги с учетом любых спектральных потерь, вносимых светофильтрами или оптическими элементами; kx — экспозиция, регулируемая путем установки диафрагмы и выдержки. Выражению (13.3.1) соответствует условие фиксированной выдержки. В идеальном случае увеличение выдержки в какое-то число раз должно приводить к такому же увеличению экспозиции. К сожалению, такая зависимость точно не выполняется. Отклонение от линейной зависимости называют нарушением фотографического закона взаимозаменяемости. Другая аномалия в предсказании экспозиции — эффект перемежающихся экспозиций, суть которого состоит в том, что экспозиции для света с постоянной интенсивностью и прерывистого света с той же средней интенсивностью разные. Таким образом, пользоваться выражением (13.3.1) можно только с учетом его ограничений: оно является совершенно строгим в случае фиксированной экспозиции и освещения с постоянной интенсивностью.

Спектральный коэффициент пропускания т (1) проявленного негатива или диапозитива в идеальном случае связан с оптической плотностью экспоненциальным законом поглощения вида

т (X) = ехр {—deD(1)}, (13.3.2)

I де D (X)——оптическая плотность в функции длины волны для опорной экспозиции, de ——переменная, пропорциональная фактической экспозиции. В случае одноцветных фотоматериалов

кривая оптической плотности D (Л) находится примерно на одном уровне во всей видимой части спектра. Из формулы (13.3.2) следует, что высоким оптическим плотностям соответствуют небольшие коэффициенты пропускания, и наоборот. На практике обычно выбирают в (13.3.2) такой коэффициент пропорциональности, чтобы измерения производились в единицах, выраженных сте-

Рис. 13.3.2. Коэффициент пропускания т (X) и оптическая плотность D (九)в зависимости от экспозиции Х(С) для необратимой фотопленки.Рис. 13.3.2. Коэффициент пропускания т (X) и оптическая плотность D (九)в зависимости от экспозиции Х(С) для необратимой фотопленки.

Рис. 13.3.2. Коэффициент пропускания т (X) и оптическая плотность D (九)в зависимости от экспозиции Х(С) для необратимой фотопленки.

Рис. 13.3.2. Коэффициент пропускания т (X) и оптическая плотность D (九)в зависимости от экспозиции Х(С) для необратимой фотопленки.

пенью десяти, В зтом случае выражение для коэффициента пропускания можно записать в виде

七(九)=10~М* W}.七(九)=10~М* W}.(13.3.3)(13.3.3)

七(九)=10~М* W}.

七(九)=10~М* W}.

(13.3.3)

(13.3.3)

где dx —— переменная, обратно пропорциональная экспозиции. Из формулы (13.3.3) следует, что оптическая плотность и коэффициент пропускания связаны логарифмическим законом. Таким образом, можно записать

dQ (九) = —lg"(£)}・dQ (九) = —lg"(£)}・(13.3.4)(13.3.4)

dQ (九) = —lg"(£)}・

dQ (九) = —lg"(£)}・

(13.3.4)

(13.3.4)

Спектральный коэффициент отражения 々(九)фотоотпечатка также связан с плотностью почернения экспоненциальным за-

коном поглощения (13.3.2). Из соотношений (13.3.3) и (13.3.4) непосредственно получаем

%0)=10-{4卢初(13.3.5)

ИdQR) = lgk@)},(13.3.6)

где dx — соответствующим образом вычисленная переменная,

Рис. 13.3.3. Характеристические кривые для обратимой фотопленки в зависимости от времени проявления.Рис. 13.3.3. Характеристические кривые для обратимой фотопленки в зависимости от времени проявления.пропорциональная экспозиции фотобумаги.

Рис. 13.3.3. Характеристические кривые для обратимой фотопленки в зависимости от времени проявления.

Рис. 13.3.3. Характеристические кривые для обратимой фотопленки в зависимости от времени проявления.

Модель отношений, связывающая оптическую плотность с коэффициентом пропускания или отражения, прозрачна и относительно точна. Следующий этап ——моделирование зависи- -мости интегральной экспозиции X (С) от переменной плотности dx — сопряжен с большими трудностями. На рис. 13.3.2, а показана типичная кривая зависимости коэффициента пропускания негатива из необратимого фотоматериала от экспозиции. Следует отметить

существенную нелинейность кривой во всем диапазоне экспозиций, за исключением относительно узкой области малых значений. На рис. 13.3.2,6 эта же кривая представлена в логарифмическом масштабе по оси экспозиций. Как видно, между коэффициентом пропускания и логарифмом экспозиции существует примерно линейная зависимость, однако в указанной области значений экспозиции изображающие системы обычно практически не работают. В фотографии обычно интересуются переменной оптической плотности dx, которая представлена кривыми на рис. 13.3.2, в и г в зависимости от экспозиции и логарифма экспозиции соответственно. Кривая зависимости оптической плотности от логарифма экспозиции называется характеристической кривой. На рис. 13.3.3 приведены характеристические кривые обратимой фотопленки. Приблизительно линейный участок кривой на рис. 13,3.2, г можно аппроксимировать прямой

d* = YUg{X(C)} — KF】， (13.3.7) где т —— коэффициент, характеризующий наклон прямой, К戸 —— значение логарифма экспозиции в точке пересечения оси абсцисс этой прямой. Угловой коэффициент прямой ? является мерой контраста фотопленки, а коэффициент Kf — мерой ее светочувствительности; другими словами, Kf характеризует минималь-

ную экспозицию, которая требуется для получения негатива с использованием линейной области характеристической кривой. Если диапазон экспозиций ограничить этой линейной областью, то можно, подставив выражение (13.3.7) в (13,3.3), получить

т (X) = Кт 仇)[X (С)「2 伍)，(13.3.8)

где

Ктр)三 iovKfDw.

Пользуясь моделью экспозиции (13.3.1), моделямй коэффициентов пропускания и отражения (13.3.3) и (13.3.5) и характеристической кривой [или ее линеаризированной моделью (13,3.7)], можно разработать математическую модель одноцветного фотографического процесса, В качестве примера такого моделирования рассмотрим процесс изготовления одноцветного диапозитива, который обеспечивал бы идеальное воспроизведение яркости светового излучения со спектральной плотностью С 仇),которая определяется выражением вида、

L(C) = Jc(X)V(X) dX,(13.3.9)

где V (X) — относительная спектральная световая эффективность При освещении диапозитива белым светом со спектральной плот ностью £ (X) образуется световое излучение со спектральной плотностью Сг (入)=Е (%) тг (入) и яркостью

L (С/ = J тг(1) Е (X) V 0) dX.(13.3.10)

Подставляя сюда выражение для коэффициента пропускания диапозитива (13.3.3), получаем

“еT)= ] 10.{中伍)}e(2и的4.(13.3.11)

Параметр плотности dx в этом выражении связан с интегральной экспозицией фотопленки Х(С) характеристической кривой. Если ширина интервала экспозиций и его положение таковы, что оказывается применимой линейная аппроксимация (13.3.7), то яркость диапозитива выразится как

L(Cr)= ] Кт0)[Х(С)]-*(а)£> 仇)U (九)队 (13.3.12)

В случае одноцветных диапозитивов характеристическая кривая обычно имеет примерно постоянный уровень во всем видимом спектре. Поэтому, полагая О(Х) = 1 м & (入)=можно написать

где L (Е) — яркость светового излучения, освещающего диапозитив. Путем выбора и соответствующей обработки фотопленки обеспечим ^коэффициентТу 工 一1 при отрицательном наклоне характеристической кривой. В этом случае яркость диапозитива будет прямо пропорциональна экспозиции. С учетом этого условия из формулы (13.3.1) получаем

L(Ct)=KtL(E)aJ C(»LQ)d% (13.3.14)

где L 0) — спектральная чувствительность фотоэмульсии. Сравнение формул (13.3.9) и (13.3.14) показывает, что яркость экспонирующего света и яркость диапозитива прямо пропорциональны, если характеристика спектральной чувствительности фотоэмульсии идентична кривой относительной спектральной световой эффективности источника. На практике первая кривая существенно отличается от второй, поэтому даже в идеализированных условиях фотографического процесса, принятых в модели, не удается обеспечить точное воспроизведение яркости. Дополнительные искажения, вносимые фотографическим процессом, обусловлены отклонением коэффициента у фотопленки от единицы, использованием экспозиций вне линейной области характеристической кривой и другими факторами, которые даже не рассматривались при разработке описанной простой модели,

ЦВЕТНАЯ ФОТОГРАФИЯ

В современной цветной фотографии для изготовления диапозитивов или негативов используется трехслойная цветная пленка, поперечное сечение которой показано на рис. 13.3.4. Первый слой представляет собой галогенидосеребряную эмульсию, чувствительную к синему свету. Желтый светофильтр под синим слоем не позволяет синему излучению распространяться в направлении зеленого и красного эмульсионных слоев, также чувствительных к этому излучению. Эмульсионные слои находятся на прозрачной подложке. В процессе проявления синий эмульсионный слой превращается в слой желтого красителя, причем концентрация этого красителя пропорциональна экспозиции в синих лучах для негатива и обратно пропорциональна для диапозитива. Аналогично зеленый и красный эмульсионные слои превращаются в слои пурпурного и голубого красителей соответственно. Цветные отпечатки можно изготовить с использованием различных процессов [7]. Самый распространенный метод изготовления цветного фотоснимка основан на экспонировании необратимой цветной фотобумаги через цветной негатив.

При разработке математической модели цветного фотографического процесса можно считать, что каждый эмульсионный слой реагирует на световое излучение так же, как и эмульсионный слой одноцветного фотоматериала. Как первое приближение такое предположение является допустимым. Однако часто возникает сильное взаимодействие между слоями. Типичные характеристики спектральной чувствительности трех эмульсионных

До обработки 、До обработки 、После обработкиПосле обработки

До обработки 、

До обработки 、

После обработки

После обработки

Синий эмумионный Желтый фильтрующий Зеленый эмульсионный~ Красный эмульсионный~Синий эмумионный Желтый фильтрующий Зеленый эмульсионный~ Красный эмульсионный~Желтый крсишМет，仞勿。％〃 幽 〃4

Синий эмумионный Желтый фильтрующий Зеленый эмульсионный~ Красный эмульсионный~

Синий эмумионный Желтый фильтрующий Зеленый эмульсионный~ Красный эмульсионный~

Прозрачный с/юй

Подбои косите也 по祠口也аюи^З крас械 /шу w/e

Прозрачная подуши

總z例""4 протибо。ре。询而） $例沙缗〃 емИ

Рис. 13.3.4. Трехслойная цветная фотопленка.

слоев показаны на рис. 13.3.5. Интегральные экспозиции для слоев определяются выражениями вида

^R(C)^dR\c(K)LR(K)dk,(13.3.15а)

XG (C) = d0 jc(X)L0(l) dX,(13.3.156)

Хв (С) = de J C (儿)"仇)玖，(13.3.15b)

где d^, d",盡——постоянные. Эти коэффициенты пропорциональности выбираются таким образом, чтобы при освещении опорным белым светом все три экспозиции оказывались равными и фотопленка не использовалась в режиме насыщения. В процессе химического проявления фотопленки формируется негатив с тремя поглощающими слоями красителей — голубого, пурпурного и желтого.

Коэффициент пропускания 七「(X) обработанного негатива является произведением коэффициентов пропускания тгс (1),

тгм (1), тгу (л) голубого, пурпурного и желтого красителей соответственно. Следовательно,

(13.3.16)(13.3.16)q (九)=TТС (九)tГМ (九)TrУ (九)•

(13.3.16)

(13.3.16)

Коэффициент пропускания каждого слоя красителя зависит от его спектральной характеристики поглощения и концентрации.

w 购 пшэо惠зшпдшз noHMiimooHum £§2Ww 购 пшэо惠зшпдшз noHMiimooHum £§2W

w 购 пшэо惠зшпдшз noHMiimooHum £§2W

w 购 пшэо惠зшпдшз noHMiimooHum £§2W

Рис. 13.3.5. Характеристики спектральной чувствительности типовых эмульсионных слоев цветной фотопленки.

Эту функциональную зависимость удобно выразить через относительную плотность. В этом случае для каждого из слоев получаем

Ттс 伙)=10{-吗с 叫 (13.3.17а) 叮м(6 = 10{~"nm 砌， (13.3.176) Тгу@)= 10Г%у 的}, (13.3.17b)

где с, mt у — относительное содержание голубого, пурпурного и желтого красителей, DNC (1), DNM (1), DNY 仏)一 спектральные оптические плотности для единичных количеств этих красителей. Коэффициент пропускания» рассчитанный для единичных количеств красителей, составит

Sv 仇)=10{一勿n研，(13.3.18)

где

Dtn 2 = Dnc (入)+ Dnm (入)+ Dnv (入)，

Негатив или диапозитив с такими параметрами, освещенный опорным белым светом, будет выглядеть нейтрально серым. Типичные кривые спектральной оптической плотности трех красителей. обратимой пленки представлены на рис. 13.3.6; 'здесь также

Рис. 13.3.6. Характеристики спектральной оптической плотности красителей и нейтрально серой плотности для типовой обратимой цветной фотопленки.Рис. 13.3.6. Характеристики спектральной оптической плотности красителей и нейтрально серой плотности для типовой обратимой цветной фотопленки.0шл^^ 亳 §n 豆2豈ишо м呈qylxlE篦з0шл^^ 亳 §n 豆2豈ишо м呈qylxlE篦зпоказана соответствующая им кривая спектральной нейтральной оптической плотности.

Рис. 13.3.6. Характеристики спектральной оптической плотности красителей и нейтрально серой плотности для типовой обратимой цветной фотопленки.

Рис. 13.3.6. Характеристики спектральной оптической плотности красителей и нейтрально серой плотности для типовой обратимой цветной фотопленки.

0шл^^ 亳 §n 豆2豈ишо м呈qylxlE篦з

0шл^^ 亳 §n 豆2豈ишо м呈qylxlE篦з

Между значениями экспозиции и плотностью слоев красителей в общем случае существует сложная зависимость. Например, количество голубого красителя, образующегося в случае нелинейной зависимости, определяется нд только экспозицией в красных лучах, но и экспозициями в зеленых и голубых лучах, хотя и в меньшей степени. Аналогичные зависимости существуют между ■ образующимися количествами пурпурного и желтого красителей и соответствующими экспозициями. Во

многих случаях перекрестными связями между слоями (перекрестными изображениями) можно пренебречь и считать, что голубой краситель образуется только благодаря экспозиции в красном, пурпурный — в зеленом, синий ——в желтом. При таком допущении соотношение «плотность—экспозиция» красителя может представляться характеристической кривой зависимости эквивалентной нейтрально серой плотности от логарифма экспозиции каждого красителя. На рис. 13.3.7 представлены типичные характеристические кривые для обратимой пленки. Центральные участки каждой из этих кривых можно аппроксимировать выражениями вида

с= Крс -|- Yc ^g (^к)»(13.3.19а)

m=KFM+YMlg(X)(13.3.196)

§si§ XD爲hnEUO§si§ XD爲hnEUO

§si§ XD爲hnEUO

§si§ XD爲hnEUO

Рис, 13.3.7. Характеристические кривые для типовой обратимой цветной фотопленки.

Линейная аппроксимация: с = 3,45 — 1,66 1g X殳 m = 3.10 — 1,51 1g Xq, у =3,25 — 一 1,62 1g XB.

Спектральные чудсШительности зму/!ьсионных слоев 1^1Спектральные чудсШительности зму/!ьсионных слоев 1^1〃)％〃)％Поэлементная нелинейностьПоэлементная нелинейностьЛяЛяААПозумент- m нелинейностьПозумент- m нелинейность加加ssxa§ 3-qHE'3d'ad3ussxa§ 3-qHE'3d'ad3uСпектральные оптические п/ютности красителей 加"用Спектральные оптические п/ютности красителей 加"用

Спектральные чудсШительности зму/!ьсионных слоев 1^1

Спектральные чудсШительности зму/!ьсионных слоев 1^1

〃)％

〃)％

Поэлементная нелинейность

Поэлементная нелинейность

Ля

Ля

А

А

Позумент- m нелинейность

Позумент- m нелинейность

加

加

ssxa§ 3-qHE'3d'ad3u

ssxa§ 3-qHE'3d'ad3u

Спектральные оптические п/ютности красителей 加"用

Спектральные оптические п/ютности красителей 加"用

Рис. 13.3.8. Модель цветного фотографического процесса.

где у,， Тм> Ту — тангенсы угла наклона показанных кривых в линейной области, называемые показателями степени у слоев красителей.

Спектральная плотность светового излучения после прохождения через проявленный негатив (диапозитив) определяется произведением спектрального коэффициента пропускания на спектральную плотность падающего светового потока Е(%):

Сг (X) = £ (X) ю~ {cD^c W^dnm W+у^у(^)}, (13.3.20)

На рис. 13.3.8 показана схема модели полного цветного фотографического процесса записи—воспроизведения. Исходная спектральная плотность излучения С(X) и спектральная плотность излучения на выходе негатива ./позитива) Сг (X), отнесенная к любому данному элементу, редко оказываются одинаковыми. Иначе говоря, в фотографическом процессе правильная передача спектрального состава излучения, как правило, не достигается. Более того, обычно не обеспечивается даже верное воспроизведение цветов, поскольку в общем случае координаты цвета излучения [Сг] . '

U (С?) = ] Ст Us (入)d%,

(13.3.21a)

У (еТ) = J сT (九)/ (%)玖，

(13.3.216)

W (Сг) = jcr (^)^s(^) dX не равны координатам цвета излучения [С]

(13.3.21b)

U (С) = j С⑸厶(%)认，

(13.3.22a)

v（c）= fc（x）vs（x）di,

(13.3.226)

1J7(C)= J C^Ws^dk

(13.3.23b)

В формулах (13.3.21) и (13.3.22) Us 2, % (力 ％ (%) представляют собой координаты цвета спек^альных цветов в равноконтрастной колориметрической системе. Реставрация цветных изображений рассмотрена в гл. 16.

МОДЕЛИ ЦИФРОВЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ

ИЗОБРАЖЕНИЯ

Как было указано в гл. 6, физический цифровой преобразователь может быть источником искажения в цифровой изображающей системе в том смысле, что непрерывное изображение» восстановленное по физическим отсчетам, может отличаться от непрерывного изображения, подвергнутого дискретизации. Боль-

шие искажения могут возникнуть вследствие образования ложных частот при дискретизации с недостаточно высокой частотой. Процедура исправления таких искажений описана в гл. 15. Здесь будет предполагаться, что частота дискретизации удовлетворяет критерию Найквиста (теореме отсчетов). Другой источник искажений ——усечение интерполирующих функций на краях изображения, обусловленное ограниченностью массива отсчетов. Ошибки усечения обычно значительны только в краевой области изображения, ширина которой составляет 5——10 элементов.

Дискретизация импульсами конечной длительности (протяженности) приводит к эквивалентной нерезкости дискретизованного изображения. Как следует из формулы (4,2.10), массив отсчетов Fs (加1， m2, /) и функция наблюдаемого изображения связаны интегралом свертки вида

尺(%，%，f)=J J 尸。Q"，f)尸(a 一恤 ДX, p -很 Ay) da d6,

(13.4.1)

где P (x, у) описывает форму дискретизирующего импульса, а Дх и Ду — шаги дискретизации. Эффект дискретизации импульсами конечной протяженности можно промоделировать операцией свертки непрерывного поля изображения, подлежащего дискретизации, с импульсным откликом Р (—х,——g), выполненной перед идеальной дискретизацией дельта-функциями Дирака.

Ошибки квантования являются источником сильных искажений изображения при использовании квантователя с недостаточным числом уровней квантования. Методы реставрации, предназначенные для компенсации ошибок квантования при ИКМ и ДИКМ, а также различные методы кодирования изображений с преобразованием представлены в части 6.

МОДЕЛЬ ДИСПЛЕЯ

Дисплей на рис, 13.1.1 воспроизводит непрерывное изображение, описываемое функцией 戶乂％, у, /), интерполируя массив отсчетов 尸к(力и 力2，力，сформированный процессором цифровой реставрации, с помощью интерполирующей функции R (х, у). Дисплеи часто обладают поэлементной нелинейностью, зависящей от величины Fx. В некоторых системах поэлементная нелинейность также является функцией координат (х, у) на плоскости воспроизведения. С учетом всех этих факторов выражение (13.1.11) дает обобщенную модель дисплея:

0，(X, У, /) = 00｛忌，X, У； %(加1,加2, 3, (13.5.1)

3 у. Прэтт

где 0d\-\ моделирует все виды преобразований, осуществляемых дисплеем.

Часто поэлементную нелинейность можно учитывать отдельно от операции интерполяции, вводя функцию■

Fg^ %, 0 = ^р{Гк> х, у；尸长(瓦，质，/)},(13.5.2)

где 0р\-\ ——оператор поэлементной нелинейности, которая затем используется при пространственной интерполяции, так что

尸/(Х, У, 0= L X 尸б(&1，&2, Z)R(x —&1Ах, y~k2 Ду).

瓦=一K1左2=一k*

(13.5.3) Воспроизводимое изображение занимает область размера (2仆 + + 1) Ах X (2仆 + 1) №• °

Идеальная функция пространственной интерполяции R(x, у) должна иметь вид двумерной sinc-функции или двумерной бесселевой функции (см. разд. 4.1). К сожалению, такие интерполирующие функции имеют области отрицательных значений и, следовательно, не могут быть точно реализованы суммированием положительных световых интенсивностей. Результат использования неоптимальных интерполйрующих функций можно оценить поэлементным сравнением функций воспроизводимого изображения 尸/ (х, у, /) и идеализированной модели воспроизводимого изображения 尸/ (х, у, /), для чего эти изображения следует подвергнуть идеальной математической дискретизации дельта-функциями 6(х — п3 Д/, у ——п2 А/), образующими квадратную решетку с шагом Д/. Введем для таких идеализированных массивов отсчетов обозначения FD (пх, п2, /) и FD (^, n2, f) соответственно. Связь между функциями FD (nu 孔纟/) и Pq (財，饱，0 можно представить как преобразование векторов:

Jd = R%,(13.5.4)

где fD — вектор размера №Х1，fc — вектор размера КаХ 1, R ——матрица отсчетов и нтер полир ующей функции дисплея размера №х/<2. Аналогично вектор, представляющий изображение, сформированное при использовании оптимальной интерполирующей функции, есть

% === Ro%,(13.5.5)

где R。——матрица отсчетов оптимальной интерполирующей функции дисплея размера

В гл. 15 рассматриваются методы видоизменения элементов в (13,5.5) с целью повышения верности воспроизведения.

МОДЕЛИ ШУМОВ ИЗОБРАЖЕНИЯ

Любое изображение искажается случайным образом из-за шумов датчика, зернистости фотопленки или флуктуаций оптических свойств атмосферы. Для удобства будем называть все такие эффекты шумами.

ШУМ ФОТОДЕТЕКТОРА

На рис. 13.6.1 представлена простая модель фотодетектора— датчика видеосигнала. Идеальный фотодетектор должен действо-

加7加7сигналасигналаТок SpoSoSoeo шумаТок SpoSoSoeo шума

加7

加7

сигнала

сигнала

Ток SpoSoSoeo шума

Ток SpoSoSoeo шума

6

Рис. 13.6.1. Модели шумов фотодетектора.

о — схема фотодетектора; б — модель при наличии теплового шума; в — модель при наличии дробового шума.

вать как преобразователь интенсивности излучения в ток или, что эквивалентно, как преобразователь падающих фотонов в электроны. Генерируемый фотодетектор ом ток проходит через электрический фильтр и создает на нагрузочном резисторе выходной сигнал.

Тепловой шум, вероятно, является наиболее общим видом шума, возникающего в электронных изображающих системах. Он является результатом случайных флуктуаций электронов в резистивных элементах фотодетекторов или усилителей, подключаемых к датчикам [9, 101. Моделью теплового шума может служить аддитивный гауссовый случайный процесс, независимый от детектируемого изображения. Чтобы проиллюстрировать расчет теплового шума, рассмотрим модель фотодетектора на рис. 13.6.1, предполагая, что единственным существенным резистивным элементом схемы является нагрузочный резистор. На рис. 13.6.1,6 фотодетектор заменен идеальным генератором тока S; ток, вырабатываемый этим генератором, прямо пропорционален интенсивности падающего света в некоторой точке изображения. Составляющую теплового шума можно промоделировать генератором *п?ка »丁, включенным параллельно резистору. Этот ток представляет гауссовый случайный процесс с нулевым средним и дисперсией о|г -= NTR, где NT ——мощность теплового шума на выходе системы. Легко показать [11, стр, 147], что

Nt = 2々丁亠j |'^£ (f)|2 df, (13.6.1)

где k — постоянная Больцмана, равная 1,38* 16-23 Дж/К» Т — абсолютная температура, К, 彌七 仍 — эквивалентная частотная характеристика совокупности электрического фильтра и резистора нагрузки. В простейшем случае, когда фильтр представляет собой параллельное соединение конденсатора емкости С и нагрузочного резистора, мощность теплового шума равна NT = kTIRC. При постоянном токе фотодетектора и линейном эквивалентном фильтре для плотности вероятности тока на выходе схемы можно непосредственно записать

р (0= [2ла?г]-1/2ехр (13.6.2)

где £ — эквивалентный средний ток сигнала на выходе схемы, соответствующий току фотодетектора 加 протекающему через фильтр. 理匐

Даже при постоянной интенсивности падающего света ток фотодетектора не является строго постоянной величиной. Фотоэлектрическим датчикам свойственна неопределенность измерения, обусловленная квантовомеханической природой света. При малых уровнях освещенности число электронов, испускаемых фотодетектор ом, определяется плотностью распределения вероятностей Пуассона [12]. Для времени наблюдения t распре-

деление вероятностей числа импульсов тока фотодетектора определяется выражением

Рг (ip Т)=住+%)%”-(% + %)}, (]3 6.3) где / — положительное целое число, q — заряд электрона (равный 1,6-10~19 Кл), % — среднее число электронов, испускаемых фотодетектором при его освещении, wH — среднее число испускаемых электронов, обусловленных темновым током фотодектора и посторонним фоновым излучением. Результирующая неопределенность в знании величины тока^фотодетектор а.— это и есть так называемый дробовой шум в случае фотоэмиссионного детектора и шум генерации — рекомбинации в(|ютопроводящих и фотогальванических детекторах [131. В фотодетекторе с достаточным внутренним усилением, таком, как фотоэлектронный умножитель, дробовой шум обычно преобладает над тепловыми шумами любого происхождения, возникающими в последующих цепях; в фотодетекторах другого типа, как правило, преобладает тепловой шум и фототок можно считать постоянной величиной. В любом случае, однако, при большом числе испускаемых фотоэлектронов распределение Пуассона (13.6.3) можно аппроксимировать гауссовым распределением [11, стр. 162] вида

叫)=[整广 ехр{3级斗(13.6.4)

Таким образом, шум, вносимый большинством датчиков видеосигнала, можно моделировать случайными процессами с гауссовым или пуассоновым распределением. Шум с распределением Пуассона возникает только в том случае, когда изображение создается световым излучением чрезвычайно малой интенсивности, а фотодетектор обладает большим внутренним фотоэлектронным усилением. Другие практические фотодетекторные схемы обычно хорошо моделируются аддитивным гауссовым шумом, преобладающим над остальными шумами. Точный расчет дисперсии шума часто связан с анализом сложных электрических цепей, поэтому обычно прибегают к косвенным измерительным методам.

ШУМ ЗЕРНИСТОСТИ . ФОТОПЛЕНКИ

В результате экспонирования и обработки фотопленки зерна галогенида серебра, подвергнутые достаточному световому воздействию, превращаются в зерна металлического серебра. Этот процесс не является чисто детерминированным: одинаковые га- логенидосеребряные зерна при равной экспозиции не обязательно становятся серебряными зернами одинакового размера и одина

ковой формы； следует также учесть, что образованные зерна случайным образом распределены по площади обработанной пленки. Эта характерная для процесса формирования зерен серебра хаотичность, называемая шумом зернистости фотопленки, является причиной случайности или неопределенности количества света, проходящего через диапозитив или отражаемого фотоотпечатком [8, 14 ].

В классической модели [15, 16] флуктуационного шума зернистости предполагается гауссово распределение

р[0(х, у)] = [2лоЬ(х, j/)『/2exp田(居，二"°(13.6.5)

оптической плотности экспонированной фотопленки D (х_, у) со средним значением плотности wD (х, у) и дисперсией аЬ (х, у). Средняя плотность измеряется путем пространственного усреднения в окрестности точки (х, д) в пределах некоторого окна, охва- тывающего,4 множество отдельных зерен, а среднеквадратическое отклонение моделируется [171 выражением вида

Oq(x, P)na【〃D(x, y)^t(13.6.6)

где 卩一постоянная и

,• ' а = 0,66 [号『〃(13.6.7)

— эмпирически выбираемый параметр, причем q ——средняя площадь зерна фотопленки,幺 一площадь обследуемой области фотопленки. Фалконер [17] и Хуанг [18] предложили для 0 значения 1/? и 1/3 соответственно. Экспериментальные исследования показали, что пространственная корреляция флуктуаций содержания зерен весьма мала и, следовательно, шум зернистости фотопленки можно моделировать белым шумом. Плотность D(x, у) с гауссовым распределении (13.6.5) можно представить в виде суммы средней плотности 〃力(х, у) и гауссового случайного процесса с нулевым средним ^(x, у):

£>(х, 9)= %(х, g) +(T0(x, y)N(x, у) (13.6.8а)

ИЛИ

Е D(*,加=呢(爲！/) + a[〃D(% p)]PN(x,办 (13.6.86)

Из этого соотношения видно, что шум зерннстоста, зависящий от записываемой информации, является аддитивным при его выражении через плотность [19]. На основе формулы (13.3.3) можно записать коэффициент пропускания экспонированной фотопленки при фиксированной длине волны как

t(Х,(13.6.9)

где D (X)——спектральная оптическая плотность фотопленки. При этом спектральный коэффициент пропускания

т(х, p) = Е。(х,外10一{5(*‘幻n(")"⑴}(13.6.10)

можно представить в виде произведения среднего коэффициента пропускания без учета зернистости т0 (х, у) и множителя, пропор-

"仿"为卜，勿НаШаемоя

оптическая

Гауссовп/ют傾ть

процесс厂

С%做例s

средним и единичной дисперсией

Рнс. 13.6.2. Модель фотографической записи изображения [20].

ционального ор(х, у). Таким образом, шум зернистости фотопленки, выраженный через интенсивность, моделируется мультипликативным шумовым процессом [191.

Надери и Савчук [20] разработали модель фотографической записи изображения, основанную на модели Келли [21 j. В их модели (рис. 13.6.2) учтены пространственная нерезкость изображения, вносимая изображающей системой, фотографическим процессом и сканером, а также нелинейность фотопленки. Применение этой модели при реставрации изображений описано в гл. 15.

МОДЕЛИ ЦИФРОВОЙ РЕСТАВРАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ

'В начале этой главы были введены обобщенная модель изображающей системы и модель процессора цифровой реставрации изображений. Затем на базе обобщенной модели были описаны и промоделированы типичные элементы изображающей системы. Теперь рассмотрим несколько моделей цифровой реставрации изображений. Эти модели будут использованы в последующих главах для описания ряда методов реставрации изображений.

Процесс реставрации можно описать с помощью следующих выражений:

尸S(加1，加2)= 0м{尸/(а, «2)- М(加I,加2), ■ • ■> 2"(恤，团2)}, (13.7.1а) 尸k (瓦鳥)=内{品(恤，恤)},(13.7.16)

Ft^ ^^^^{F^k., k.^..(13.7.1b)

Здесь Fs — массив наблюдаемых отсчетов изображения, 尸/ —— массив элементов идеально дискретизованного изображения,户/ —— массив элементов идеально дискретизованной оценки изображения/ 尸艮一массив компенсированных отсчетов на выходе системы цифровой реставрации, М—массивы отсчетов составляющих шума, возникающих в различных элементах системы, 0乂 (•), CfR (•), OD (•)—обобщенные передаточные функции изображающей системы, реставрирующего процессора и дисплея соответ- стЬенно.

Соотношения (13.7.1) можно представить в эквивалентной векторной форме:

fs=0M{f/,пМ，(13.7.2а)

fx = ^{M.(13.7.26)

己=0D廿6,(13.7.2b)

где fs — векторы, полученные разверткой по столбцам соответствующих массивов. В последующих главах рассмотрены некоторые методы нахождения приближенных решений (13.7.1) или (13.7.2). К сожалению, решения общего вида до сих пор не получены; поэтому мы обратимся к частным решениям.

Модель, показанная на рис. 13.7.1, является наиболее общей моделью цифровой реставрации изображений, в которой изображение приобретает пространственные искажения, приводящие к ухудшению резкости, электрический датчик реагирует нелинейным образом на интенсивность входного излучения, а усилитель датчика вносит гауссов шум, не зависящий от изображения. Затем следует цифровой преобразователь, который также может увеличить нерезкость дискретизованного изображения в случае использования дискретизирующих импульсов конечной протяженности.

Возникновение нерезкости изображения можно промоделировать операцией суперпозиции с импульсным откликом 丿(尢,g), который может быть пространственно-зависимым. Предполагается, что нелинейная реакция датчика на изображение FB(x, у) имеет поэлементный характер и что на выходе датчика имеется

аддитивное шумовое поле ^ (х, у). Эффект дискретизации импульсами конечной протяженности симметричной формы Р (х, у) моделируется операцией свертки Fo (х, у) с Р (%, у) и последующей идеальной дискретизацией.

Цель реставрации состоит в формировании массива отсчетов

F； (га, п2), являющихся оценками отсчетов идеального входного

Рис. 13.7.1. Обобщенная модель изображающей системы (а) и цифровой реставрации изображении (① для случаи дискретизованного нерезкого изображения с аддитивным шумом.

изображения, представленного функцией 尸/ (х, 力 которые образуются на выходе идеального цифрового преобразователя, осуществляющего дискретизацию с шагом Д/. Для разработки модели цифровой реставрации требуется определить количественные соотношения между отсчетами наблюдаемого изображения Fs (加1，/и?) и значениями исходного изображения в узловых точках, или псевдоотсчетами, F】(孔л2)> пользуясь методами, изложенными в разд. 9.2. С этой целью проводят усечение эквивалентного импульсного отклика дискретизирующего импульса Р (х, у), вводя некоторые пространственные границы 士费, а затем в узлах решетки с шагом АР выделяют псевдоотсчеты наблюдаемого непрерывного изображения, описываемого функцией Fo (х, у). Следующий шаг в получении дискретного представления ——определение соотношений между элементами наблюдаемого поля изображения Fo (х, у) и элементами поля изоб-

ражения FP(x, у) и шумового поля "(%, у). Последний .шаг при разработке модели цифровой реставрации изображений со

ТРТРстоит в нахождении дискретного эквивалента операции суперпозиции с использование импульсного отклика J (х, у). В рассмотренной модели существуют два потенциальных источника погрешностей: усечение импульсных откликов J (х, у) н Р (х, у) и интегрирование методом квадратурных сумм. Чтобы можно было пренебречь погрешностями обоих видов, интервалы усечения выбирают большими, а приращения А/ и АР в квадратурных суммах берут малыми. Конечно, при этом увеличиваются размеры массивов и, следовательно, возрастают требования к объему памяти и мощности вычислительных средств. Более того, как будет показано в дальнейшем, повышение точности дискретизации может даже привести к неустойчивости вычислительного процесса реставрации!

ТР

ТР

Рис. 13.7,2, Соотношение между различными массивами отсчетов изображения.Рис. 13.7,2, Соотношение между различными массивами отсчетов изображения.Важное значение имеют от-

Рис. 13.7,2, Соотношение между различными массивами отсчетов изображения.

Рис. 13.7,2, Соотношение между различными массивами отсчетов изображения.

носительные геометрические размеры различных массивов модели реставрации изображений. Эти массивы образуют

гнездо (рис. 113.7.2). Область массива нерезкого изображения FB (財，论2) меньше области массива идеально дискретизованного изображения 尸/ (孔口 п2) на половину протяженности усеченного импульсного отклика J (х, р). Аналогично область массива физических отсчетов Fs (恤，/и2) меньше области массива J наблюдаемых элементов изображения Fo (^х,左乞) на

половину протяженности усеченного импульсного отклика p (尤，0

Чтобы можно было воспользоваться формальной структурой векторной алгебры при последующем анализе процедур реставрации изображений, образуем векторные эквиваленты различных массивов, используемых в реставрационной модели. Следуя методам разд. 9.2, и в этом случае изменим индексы массивов таким образом, чтобы в каждом из них первый элемент занял верхний левый угол： ・

Затем установим векторные соотношения между отдельными блоками модели, для чего произведем развертку столбцов указанных массивов.

В результате получим

fs = Bpf。，

(13.7.3a)

fo = fp + n.

(13.7.3.6)

诈=以｛匕｝,

.(13.7.3b)

% = Bd/,

(13.7.3г)

где ВР и Вв — матрицы нерезкости, содержащие отсчеты Р (х, у) и J(居 у) соответственно. Нелинейная операция (13.7.Зв) определяется как поэлементное нелинейное преобразование. Таким образом, имеем

力8)=内{%(3・ (13.7.4)

Из формул (13.7.3а) и (13.7.3г) можно получить соотношение, описывающее наблюдаемые физические отсчеты изображения, выраженные через математические псевдоотсчеты идеального изображения, следующего вида:

fs= Вр0р {BBf；} + ВрП. (13.7.5)

Определим теперь некоторые специальные случаи для этого уравнения. Первый из них — отсутствие поэлементной нелинейности — соответствует равенству

(13.7.6)(13.7.6)fs = Bf/ + Ив,

(13.7.6)

(13.7.6)

где В = BpBg и пв = ВрП. Мы получили классическую дискретную модель, содержащую систему линейных уравнений с включением неопределенности измерения. Второй особый случай, который будет рассматриваться позднее, соответствует условию пренебрежимо малой пространственной нерезкости, вносимой цифровым преобразователем. В этом случае можно записать

fs= 0р {Bf/} + п,fs= 0р {Bf/} + п,(13.7.7)(13.7.7)

fs= 0р {Bf/} + п,

fs= 0р {Bf/} + п,

(13.7.7)

(13.7.7)

где В = Вв. Если приращение в квадратурных суммах А/ взять равным шагу отсчетов AS, то матрицы в (13.7.6) и (13.7.7) примут особую форму:

%,工 В], 2 …В~0• • • 0-

В= 0%2 …Вз厶％厶+1 ••• 0,(13.7.8)

_о 0• • • Вм, “一厶+1…Вм, N_

где

5m2, n, (mi, П1) = Я (mi — «1 4- L,恤一〃2十厶)(13.7.9) при 1《恤сM и т《&«俐+ £-L

Для проведения экспериментов по реставрации изображений с использованием моделей (13.7,6) и (13.7.7) были сформированы два искусственных изображения [22]. Исследования методов

Рис, 13.7.3. Массивы изображения» использованные при исследовании недоопределенной модели.

а — исходное изображение; б — импульсный отклик; в — наблюдаемое изображение.

реставрации при недоопределении проводились с использованием исходного изображения в виде квадрата размером 4X4 элемента с уровнем 245, находящегося на фоне с уровнем 10

Рис." 13.7.4. Массивы изображения, использованные при исследовании'переопре- деленной модели.

а —— исходное изображение； 6 — импульсный отклик; в — наблюдаемое изображение.

(рис. 13.7.3, а); полная шкала яркостей охватывает уровни от-0 до 255. Функция рассеяния точки гауссовой формы, которую иллюстрирует рис. 13.7.3, 6, определяется выражением вида

"(Лехр{—(轰 + 轰)}(13.7.10)

на массиве размером 5x5 элементов, где К — нормирующий коэффициент, Ьс и 匕欠 —— коэффициенты пространственной не- резкости. Исходное изображение, которое использовалось для исследования методов реставрации при переопределении (рис. 13.7.4, а), имеет вид квадрата размером 4x4 элемента с уровнем 245, расположенного в центре другого квадрата размером 8x8 элементов с уровнем 10 на фоне с нулевой яркостью. Это изображение может служить моделью реального изображения в виде луны на фоне темного неба. Исходное изображение делалось нерезким с помощью импульсного отклика размером 5x5 элементов, показанного на рис. 1374,6. Нерезкое изображение состоит из 12х 12 элементов. Предполагается, что наблюдаются все 12Х 12 элементов и что имеется априорное знание об ограниченном размере исходного изображения, состоящего из 8X8 элементов. Из этого следует, что многие элементы матрицы не- резкости (13.7.8) тождественно равны нулю. Более того, обозначив через f просканированное по столбцам исходное изображение размера 8x8 элементов (М = 8), можно предложить следующую векторую модель для 12Х12 реально наблюдаемых элементов (^ = 2):

g = Df + n,(13.7,11)

где D — матрица размера М纟 X №

D =D =8、wL十1,2*8、wL十1,2*,(13.7.12),(13.7.12)

D =

D =

8、wL十1,2*

8、wL十1,2*

,(13.7.12)

,(13.7.12)

причем

Dm^n, (ть 勿)="(恤一切 + L 加2 —&+D (13.7.13)

при 1 w % W М и & w m? w 口 + L — 1. Матрица (13.7.12) представляет собой матрицу оператора конечной свертки D-типа, введенного в гл. 9. Сравнение структур матриц нерезкости (13.7.8) и (13.7.12) для недоопределенной и переопределенной моделей показывает, что эти матрицы являются транспонированными парами. Таким образом, В = Dr; в особом случае разделимости строк и столбцов можно записать В^ = D^ и Вс = De-

В машинных экспериментах по реставрации изображений наблюдаемые нерезкие изображения для недоопределенной и переопределенной моделей были получены путем умножения развернутых по столбцам матриц исходных изображений (рис. 13.7.3, а и 13.7.4, а) на матрицы нерезкости В и D соответственно. Аддитивный белый гауссовый шум, добавляемый к нерезким изображениям, вырабатывался с помощью генератора случайных чисел. Перед воспрои зведен и ем все реставрированные изображения подвергались ограничению уровня (поэлементно), чтобы диапазон уровней составил 0——255.

Литература

Born М.» Wolf Е., Principles of Optics, Pergamon Press, New York, 1969 [Имеется перевод: Борн M., Вольф Э., Основы оптики. — М.: Наука, 1970.9]

Goodman J. W., Introduction to Fourier Optics, McGraw-Hill, New York, 1968. [Имеется перевод: Гудмен Дж.» Введение в Фурье-оптику.—М.: Мнр, 1970.]

O*Neill Е. L., Introduction to Statistical Optics, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1963. [Имеется перевод: О'Ненл Э., Введение в статистическую оптику. —М.: Мир, 1966.]

Hopkins Н. Н., Proc. Roy. Soc., Series 4, 231, 1184, 98 (July 1955).

Hufnagel R. E., Stanley N. R., Modulation Transfer Function Associated with Image Transmission through Turbulent Media, J. Opt. Soc. Am.t 54, 1, 52—61 (January 1964).

Henney K・，Dudley B., Handbook of Photography, McGraw-Hill, New York, 1939.

Evans R. M., Hanson W. T., Brewer W. L., Principles of Color Photography» Wiley, New York, 1953.

Mees С. E., The Theory of Photographic Process, MacMillan, New York, 1966.

Johnson J. B., Thermal Agitation of Electricity in Conductors, Phys. Rev.t 『32, 97—109 (July 1928).

Nyquist H., Thermal Agitation of Electric Charge in Conductors, Phys. Rev,t 32, 110—113 (July 192亂

Pratt W. K., Laser Communication Systems, Wiley, New York, 1969.

Gadsen M., Some Statistical Properties of Pulses from Photomultipliers, Appt. Opt., 4, 11, 1446—1452 (November 1965).

Jamieson J. A. et al.. Infrared Physics and Engineering, McGraw-Hill, New York, 1963.

ThomasW., Ed., SPSE Handbook of Photographic Science and [Engineering,

Wi ley -1nt ersci ence,New York,1973.'

SelwynE. W. H.,A Theory ofGraininess, Phot.丄，73, 571(1935).

SelwynE. W. Н.»Experimentson the Nature ofGraininess,Phot. J.,79,

513 (1939).

Falconer D. G., Noise and Distortion in Photographic Data Storage, IBM J. Res. Dev., 521—526 (September 1970).

Huang T. S・，Some Notes on Film Grain Noise, Appendix 14 in Restoration of Degraded Images, NSF Summer Study Report, Woods Hole, Mass., 1966, pp. 105—109.

Hunt B. R., Digital Image Processing, Proc. IEEE, 63, 4, 693—708 (April 1975). [Имеется перевод: Цифровая обработка изображений. — ТИИЭР, 1975, т. 63, №4, с. 177—195.]

Naderi F., Sawchuk A. A., Nonlinear Detection and Estimation of Images Degraded by Film-Grain Noise, in^Proceedings SPIE/OSA Conference on Image Processing, Urbach J. C., Ed., Pacific Grove, California, Vol. 74, February 1976, pp. 17—24.

Kelly D. H., Systems Analysis of Photographic Process-I: A Three Stage Model, J. Opt Soc. Am., 50, 269 (I960).

A'ascarenhas N. D. A., Pratt W. K., Digital Image Restoration Under a Regression Model, IEEE Trans. Circuits and Systems, CAS-22, 3, 252—266 (March 1375).~

Глава 14

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ РЕСТАВРАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Часто возникают задачи пространственной реставрации изображений с целью устранения геометрических искажений, коррекции нерезкости и снижения уровня шумов различного происхождения. В данной главе описаны алгебраические методы пространственной реставрации изображений. В последующих главах рассматриваются специальные методы пространственной реставрации. Обзорный материал по методам пр остр анственной реставрации содержится в [1—5].

МЕТОДЫ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

НЕПРЕРЫВНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Существует класс изображающих систем, в которых пространственные искажения можно моделировать, пользуясь независимым от линейного сдвига импульсным откликом и аддитивным шумом. В таких системах реставрацию непрерывных изображений можно осуществить методами линейной фильтрации, описываемыми ниже. Эти методы затем обобщаются на случай реставрации дискретных изображений.

ИНВЕРСНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

Самые ранние попытки осуществить реставрацию изображений были основаны на использовании идеи инверсной фильтрации [6—10 L Анализ инверсной фильтрации можно провести с помощью схемы на рис. 14.1.1. Идеальное изображение F； (х, у) проходит через линейную искажающую систему с импульсным откликом % (х, у) и повреждается аддитивным шумом N (х, у). Предполагается, что между шумом и идеальным изображением корреляция отсутствует. Наблюдаемое изображение можно описать интегралом свертки

尸О(х, у) = [ 1尸/@, 6)Hd(x —а, у — ^da^ + N(x, g) (14.1.1а) ИЛИ

尸О(х, 9)=尸/(%,。(居 у) +乂(& 办 (14.1.16)

Система реставрации имеет вид фильтра с независимым от линейного сдвига импульсным откликом Hr (х, у). На выходе этого фильтра получается исправленное изображение, описываемое функцией

戶/(%, 9)= [F/(x, 9)*"d(x, 4)+ "(х, 9)]*"r(% 办 (14.1.2)

他勿.

Рис. 14.1.1. Реставрация изображений методом инверсной фильтрации.

Согласно теореме о свертке, имеем

^"/(8*，8g)=【^"/ ((%, Sg)報D(8*, 8“)+ 看(3%, %)1 箔 1H (吗，S J

(14.1.3)

где 歹/ («о%, 同(s*, з“), Л3 (s%, s) 叁(о%, о/,箔欠(吗・, %) — двумерные спектры Фурье 尸『(居 力 巳(х,加，У (х, у), HD (х, у), Hr (х, у) соответственно. Если выбрать частотную характеристику 泌r 但，(oj pеставрирующего фильтра так, чтобы

箔R®x, Зу) = 1/箔Q®*, Sy),(14.1.4)

то получится спектр исправленного изображения

介/ ®, 3夕)=歹/他，吗)+ [” ®x, (Oj/第о (<%, з«)].(14.1.5)

Обратное преобразование Фурье позволяет получить исправленное изображение, описываемое функцией

4(М 切=尸/(#, г/) + (1/4л2) J J 武奮閣 ехр||：®х,⑴就｝ dud%.

(14.1.6)

При отсутствии шума источника достигается идеальная реставрация изображения; в противном случае возникает аддитивная ошибка реставрации, которая может стать очень большой на пространственных частотах с малым значением 9SD (%, coj Как правило,箔口(％, coj и 歹/ (%, s“)принимают малые значения в области высоких пр остр ан ственных частот, поэтому по-

Алгебраические метены пространственной реставрации 395 нижение качества изображения выражается в сильном искажении его мелких деталей. Рис. 14.1.2 иллюстрирует частотные зависимости, типичные для инверсной фильтрации.

Шум может существенно затруднить получение однозначной оценки. Другими словами, малые изменения У (х, у) могут стать причиной радикальных изменений оценки 戶『(х,乡).Рассмотрим

Рис. 14.1.2. Типичные частотные зависимости в системе реставрации изобра* жений методом инверсной фильтрации.

следующий пример. Пусть к функции F/ (х, у), представляющей идеальное изображение, добавляется возмущающая функция Z (х, у). В результате образуется возмущенная функция

Pz (х, У) = F/ (х, 4)+ Z (х, у). (14.1.7) Существует много возмущающих функций, удовлетворяющих условию

[Jz(a, B)”D(x-a, у-Р) da dp V|N(x, у)\. (14.1.8) При выполнении этого условия функция Fz (х,乡)может описываться интегралом свертки (14.1.1) в пределах точности измерения наблюдаемого изображения. Можно показать, что в случае использования возмущающей функции в виде высокочастотной синусоиды произвольной амплитуды

lim j J sin [n (а + p)J HD (х — а, // — ₽) da dp = 0. (14.1.9)

С точки зрения задач реставрации этот факт является крайне тревожным по двум причинам. С одной стороны, высокочастотные составляющие, которые могут содержаться в идеальном изображении, будут маскироваться наблюдаемым шумом. С другой стороны, наблюдаемый шум малого уровня может привести к появлению интенсивных высокочастотных составляющих в исправленном изображении, которые отсутствуют в оригинале. Если относительно слабый шум N (г, у) в наблюдаемом изображении соответствует большим значениям возмущающих функций, то говорят, что интегральное уравнение вида (14.1.1а) является неустойчивым или плохо обусловленным. Эта неустойчивость определяется структурой импульсного отклика.

Предложены некоторые частные способы ослабления шумов, возникающих при инверсной фильтрации; один из них [8] заключается в применении реставрирующего фильтра с частотной характеристикой

箔л ®х, зJ =箔к ®尤，з»箔q (з%, зJ (14.1.10) где 箔к (吗，吟一функция, принимающая почти единичное значение на тех пространственных частотах, на которых ожидаемая амплитуда спектра идеального изображения превышает ожидаемую амплитуду шумового спектра, и почти нулевое значение на всех остальных пространственных частотах. При этом спектр исправленного изображения имеет вид

.&/ Зх, 3g)=歹/ ®х, Ч/)箔к ®х, 3g) +

1 + [第k (孤，①g)"®x，3g)/施£)(3外 3川・ (14.1.11)

Этот результат является компромиссом между уменьшением уровня шума и снижением контраста мелких деталей изображения.

Одной из основных трудностей, возникающих при инверсной фильтрации, является также то, что частотная характеристика искажающей системы может иметь нулевые значения в рабочей полосе частот. На таких частотах инверсный фильтр не реализуем, так как его частотная характеристика должна принимать бесконечные значения. Поэтому в этих точках ее аппроксимируют частотной характеристикой, принимающей максимальные значения.

ВИНЕРОВСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И АДДИТИВНЫЙ ШУМ

Не следует удивляться тому, что инверсная фильтрация дает плохие результаты при наличии шума, поскольку этот метод совершенно не учитывает шумовых эффектов. Методы винеровской фильтрации, принимающие в расчет априорное знание статистических свойств шумового поля [11—15], позволяют повысить качество исправленных изображений. В последующих разделах

рассматриваются обобщения винеровской фильтрации для случайного идеального изображения и случайного импульсного отклика, описывающего нерезкость. Здесь представлена только модель реставрации, показанная на рис. 14.1.1, когда нерезкое изображение искажается аддитивным шумом. Предполагается,

Рис. 14.1.3. Типичные частотные зависимости в системе реставрации изображений методом винеровской фильтрации.

что шум имеет нулевое среднее значение, не зависит от изображения и его энергетический спектр 犷％ (s*. (oj известен.

В случае винеровской фильтрации непрерывного изображения импульсный отклик реставрирующего фильтра выбирают таким образом, чтобы минимизировать среднеквадратическую ошибку реставрации

S^E^F^x,外一户/(*,加｝.(14.1.12)

Частотная характепистика фильтра с таким импульсным откликом имеет вид [11]

第-季Й1% 7(14.1.13)

心 幻 ‘〃 I (й)л, Шу) |2 + 1^N(G)x, (0^) J ''

где 徹d (о\,①力——частотная характеристика искажающей системы D. В пределе, когда шум отсутствует, реставрирующий винеровский фильтр становится инверсным фильтром. Рис. 14.1.3 иллюстрирует типичные спектр изображения, частотную характеристику искажающей системы и р езультирующую частотную характеристику винеровского фильтра. Последняя имеет плавный спад естественного вида, обусловленный учетом энергетического спектра шума.

ВИНЕРОВСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И СЛУЧАЙНОЕ

ИЗОБРАЖЕНИЕ

Винеровский фильтр с частотной характеристикой (14.1.13), учитывающий аддитивный шум, по существу полностью игнорирует пространственную корреляцию, присущую идеальному изображению. Использование априорных данных о статистических свойствах пространственной корреляции часто позволяет существенно улучшить результат реставрации. Такое обобщение винеровского фильтра основано на предположении, что идеальное изображение является реализацией двумерного случайного процесса с известным энергетическим Спектром 犷尸/ ((*)/, (о&). Для упрощения аналитических выражений также принимается, что процесс, представляющий изображение, имеет нулевое среднее. В рамках всех этих допущений частотная характеристика реставрирующего фильтра, обеспечивающего минимальную среднеквадратическую ошибку, имеет вид

举(叫,啕—14」.]4a)

ИЛИ

,能;(Sy，吗，)

施五(①*，3") = '[ “~?4 [2 .~7TГ25—7;. (14.1.146)

I 能£)(5，恤)|2N(%，Sy)/产f)(联，8y)"

В формуле (14.1.146) частотная характеристика реставрирующего фильтра выражена через отношение сигнал/шум (С/Ш) для энергетических спектров

С/П!®*, %)三犷fi®…揃外®…>(U.1.15)

Если идеальное изображение не обладает пространственной корреляцией, его энергетический спектр принимает единичное значение во всем диапазоне пространственных частот и соотношение (14.1.14) переходит в (14.1.13).

°) Полный вывод винеровских оценок дискретных изображений содержится в последующих разделах.

ВИНЕРОВСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И СЛУЧАЙНАЯ НЕРЕЗКОСТЬ

Во многих изображающих системах импульсный отклик, описывающий нерезкость, оказывается непостоянным: его форма может изменяться случайным образом. Практический пример — нерезкость, возникающая при наблюдении через турбулентную атмосферу. Очевидно, что винеровский фильтр сможет обеспечить лучшие результаты, если он будет динамически адаптироваться на изменения импульсного отклика нерезкости. Когда это невозможно, следует добиться улучшения винеровского фильтра на этапе его проектирования, считая, что импульсный отклик является реализацией двумерного случайного процесса с известным средним (определяющим «усредненную» форму импульсного отклика) и наложенным на него случайным возмущением, заданным известным энергетическим спектром. Слепян [16] определил частотные характеристики такого реставрирующего фильтра для нескольких мер ошибок.

ФИЛЬТРЫ НА ОСНОВЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ОЦЕНОК

Для осуществления реставрации изображений разработаны различные варианты винеровского фильтра. Одни из них являются эвристическими, другие — основаны на теории.

Стокхэм и Коул [17 ] предложили реставрирующий фильтр с частотной хар актер исти кой

「s力y2

能五心].

(14.1.16)

Энергетический спектр изображения на выходе реставрирующего фильтра имеет вид

#"(城，3") = 1 %R(% 3m2家f0(3*, 3)(14.1.17)

где ^Fq ((0%, <oy)——энергетический спектр наблюдаемого изображения, связанный с энергетическим спектром идеального изображения следующим соотношением:

TPq^ ^^\^d^x, ^^Fi^ Sg)+ 犷№(孤，3j (14.1.18)

Нетрудно заметить, что энергетический спектр исправленного изображения совпадает с энергетическим спектром идеального изображения, т. е.

(14.1.19)(14.1.19)

(14.1.19)

(14.1.19)

Поэтому реставрирующий фильтр с характеристикой (14.1.16) будем называть фильтром, сохраняющим энергетический спектр изображения. Для сравнения запишем выражение для энергетического спектра исправленного изображения при использовании винеровского фильтра с частотной характеристикой (14.1.14):

，弓(以，3办=卩能d(%, 8力产*&(&, sa*却丽励•㈠丄川)

В данном случае исправленное и идеальное изображения будут иметь одинаковые энергетические спектры только при отсутствии шума. Обеспечение совпадения энергетических спектров идеального и исправленного изображений, по-видимому, является привлекательным свойством фильтра с частотной характеристикой (4.1.16). Однако гораздо важнее было бы совпадение спектров Фурье этих изображений, поскольку заданное (не случайное) изображение однозначно определяется спектром Фурье, а энергетический спектр неоднозначно связан с изображением. Кроме того, винеровский фильтр дает оценку с минимальной среднеквадратической ошибкой, а фильтр, сохраняющий энергетический спектр изображения, может привести к большей среднеквадратической ошибке.

Стокхэм и Коул [17] также предложили фильтр более общего типа с частотной характер исти кой

箔h但，佻/)-[箔0(5,伙/)尸X

X [ I 為D(3x，3力|2 步f,(%, 34)十步N(%, 34) J '(14」"丿

которая определяется параметром S, где 0 w； S w 1. При S = =0,5 и 箔° =鑑3 этот фильтр становится фильтром, сохраняющим энергетический^спектр изображения, с частотной характеристикой (14.1.16).亠

Хант [18] разработал другой параметрический реставрирующий фильтр ——так называемый фильтр обусловленных наименьших квадратов с частотной характеристикой

箔r (叫，u)y)— ]必—/j?!『—2 /* (14.1,22)

R'a'以I獨)(5,恤)户十Y声(%, Sg)]2 ' "'

где 丫 — постоянная, 者(<ox, ш^)——произвольная спектральная функция. Если у = 1, а I 序(®х， ш^) |2 выбран равным отношению энергетических спектров (14.1,15), то фильтр обусловленных наименьших квадратов становится винеровским с частотной характеристикой (14.1.146). При другом выборе спектральной функции можно минимизировать производные высшего порядка функции, описывающей исправленное изображение.

ФИЛЬТРАЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Методы фильтрации ——инверсной, винеровской и на основе параметрической оценки, разработанные для обработки непрерывных изображений, часто применяют для реставрации дискретных изображений. Общий метод состоит в замене всех непрерывных спектральных функций, используемых при фильтрации, соответствующими двумерными дискретными спектрами Фурье. При выполнении преобразований следует заботиться о том, чтобы операция диск]»етной^фильтрации точно отображала процедуру непрерывной свертки, когда

3(Х, y) = Fo(x, u)*Hr(x,必(14.1.23)

и чтобы дискретное представление импульсного отклика реставрирующего фильтра точно моделировало импульсный отклик непрерывного фильтра. Оба этих аспекта обсуждаются ниже.

В соответствии с принципами, изложенными в гл. 11, будем считать, что для представления всех непрерывных функций использованы квадратные решетки с шагом А, представляющим собой интервал Найквиста для идеального изображения. Импульсный отклик реставрирующего фильтра после пространственного усечения до LA дискретизируется, в результате чего образуется массив Hr (/,舟 размером LXL. Аналогично дискретизация функции Fo (х, у) (описывающей наблюдаемое изображение), усеченной до NA, приводит к образованию массива Fo (/> 田 размером NXN. Следует отметить, что дискретизация Hr (х, у) является процедурой математического моделирования, а дискретизация наблюдаемого изображения Fo (х, у) — физическим процессом. Дискретная свертка дает массив FI (/,田 размером МхМ. Относительные размеры областей, занимаемых этими массивами, иллюстрирует рис. 9.2.3. В результате двумерного дискретного преобразования Фурье массивов Fo (/,论)и Hr (/,舟 получаются соответственно выражения

AM NT.

歹О (%尸。(/, ^) exp (--^-(«/ + ^)1(14.1.24)

/=0 D〔丿

И

第r("，？)= %工?/(，，6)exp[-粤⑷ +咆，(14.1.25) j=o方=0I'

где 〃，в = 0, 1, 2, …，J — 1. Величина J выбирается таким образом, чтобы J 纟 N м J = 2п, где п ——целое число, позволяющее использовать быстрое преобразование Фурье. Затем спектры Фурье наблюдаемого изображения и импульсного отклика ре-

ставрирующего фильтра скалярно перемножаются, а результат перемножения подвергается обратному преобразованию Фурье. В результате получается массив размером JXJ:

КеО, ^) = 4-SS歹о(〃，и)箔r(〃‘ Sexp｛号^ (uj + v^)l.н=0 v=0 I 丿

(14.1.26)

Как видно из рис. 9.4.1, область массива Ке (/» 々)размером AfXM представляет искомое исправленное дискретное изображение 户/你 ft). До сих пор была проведена только одна аппроксимация: пр остр ан ственное усечение импульсного отклика реставрирующего фильтра. Ошибку усечения можно уменьшить до любой желаемой величины путем увеличения размера массива и объема вычислений. Использование интервала Найквиста обеспечивает принципиальную возможность идеального восстановления функции 户/ (х, у) путем интерполяции отсчетов F/ (/,田, образующих массив размером МХМ. Остается решить следующую трудную задачу: определить значения отсчетов импульсного отклика реставрирующего фильтра, используя выражение для частотной характеристикй этого фильтра. Теоретически метод решения очевиден. По' заданной непрерывной частотной характеристике 鑑欠(шх, ш^) сначала путем обратного преобразования Фурье находится непрерывный импульсный отклик Hr (х, у); затем формируется дискретный импульсный отклик Hr (/,々)путем дискретизации Hr (х, у) в пределах решетки размером LXL с шагом дискретизации А. На практике, однако, найти аналитически "欠(х,乡)по 鑑欠(о%, со/ часто оказывается затруднительным. Альтернативный подход состоит в дискретизации непрерывной функции 箔区(шл., зJ таким образом, чтобы получить дискретный спектр 箔& (и, и). Однако и этот метод может привести к аналитическим трудностям в случае использования сложных весовых функций (окон). Если аналитическое преобразование неосуществимо, остается только один выход — вычислить дискретное обратное преобразование Фурье частотной характеристики 箔欠(叫，喲 при % = 2ji〃/JA h s“ = 2jcb/JA. Полученный массив отсчетов спектра импульсного отклика следует обработать соответствующим окном для получения массива размером LXL. В результате дискретного преобразования Фурье ограниченного массива получается искомый массив 鑑& («, и). Без использования окна исправленное изображение оказывается пораженным циклической ошибкой.

Рассмотренные в данном разделе методы реставрации непрерывных изображений с использованием преобразования Фурье относительно просты для понимания и легко реализуются; в этом

заключается их достоинство. Однако им присущи серьезные ограничения. Во-первых, не принимается никаких мер по борьбе с эффектами ошибок наложения побочных спектров, возникающих при дискретизации наблюдаемого изображения с недостаточно высокой частотой. Во-вторых, в самой формулировке задачи предполагается, что шаг квадратной решетки, используемой для вычисления интеграла свертки, не отличается от периода дискретизации. В-третьих, могут реставрироваться только изображения с линейными пространственно-инвариантными искажениями. В-четвертых (вероятно, это самый главный аргумент), затруднены анализ искажений, вызываемых вычислительными ошибками в процессе реставрации, и развитие методов борьбы с такими ошибками. Все это вынуждает вернуться к дискретной модели в виде массива отсчетов нерезкого изображения, разработанной в разд. 9.2, и сформулировать задачу реставрации изображений как чисто вычислительную. Этим вопросам посвящены остальные разделы данной главы.

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ РЕСТАВРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОДОМ ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ МАТРИЦ

Иногда пространственные искажения удается промоделировать некоторой операцией в векторном пространстве над вектором псевдоотсчетов идеального изображения, результатом которой является вектор наблюдаемых отсчетов искаженного изображения; пространственную реставрацию цифровых изображений с таким искажением можно осуществить методом псевдообращения матриц, описанным в гл. 8 [19—21 ].

РЕСТАВРАЦИЯ НЕРЕЗКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Прежде всего применим псевдообращение с целью реставрации нерезкого изображения. Наблюдаемое изображение моделируется интегралом суперпозиции

尸О(х, 9)= j『(x，9)/(х，У； a, P)dadp, (14.2.1)

где 尸/ (х, у) и Fo (居 у) — функции, представляющие идеальное и нерезкое изображения соответственно, J (х, у; а, р) — импульсный отклик (который может быть пространственно-зависимым) изображающей системы, вносящей нерезкость. Согласно формуле (13.7.6), дискретный эквивалент соотношения (14:2.1) можно получить в виде матричного уравнения

g=Bf, (14.2.2)

где g — вектор размера Рх 1 (Р = ЛР), учитывающий МХМ реальных отсчетов нерезкого изображения, f — вектор размера QX 1 (Q = №), учитывающий NxN псевдоотсчетов идеального изображения, а матрица В размера PXQ состоит из элементов, представляющих собой отсчеты импульсного отклика. Если шаг реальных отсчетов совпадает с шагом квадратурных сумм Л то Р < Q, а система уравнений干является недоопределенной. Путем увеличения числаЗотсчетов^нерезкого^изображения можно обеспечить Р〉Q и даже Р = Q. В любом из этих' двух "случаев систему уравнений называют переопределенной. Систему такого рода можно также получить, если некоторые компоненты вектора идеального изображения выразить через априорные данные. Например, если известно, что идеальное изображение содержит объект конечных размеров на черном фоне (с нулевой яркостью), то компоненты f вне контура этого объекта можно считать нулевыми. 依，Задача дискретной реставрации сводится к нахождению решения f уравнения (14.2.2), такого, что

B?=g・(14.2.3)

Поскольку вектор g задается реальными отсчетами, а элементы матрицы В определяются независимо моделью системы, не гарантируется даже существование f, удовлетворяющего условию (14.2.3). Если система уравнений имеет решение, она называется совместной Л если не имеет —— несовместной.

IВ гл. 8. было показано, что несовместность системы уравнений (14.2.2) можно выразить в виде

g=Bf + e(f),(14.2.4)

где е (f) — вектор ошибки, величина которой зависит от f. При несовместной системе уравнений ищется решение

F= Wg,(14.2.5)

где W —линейный оператор, минимизирующий ошибку по критерию наименьших квадратов

&м = [е ⑹ т [е (f)] = [g — Btflg 一 Bf]. (1426)

В гл. 8 было показано, что эта ошибка минимальна, когда оператор W выбирается равным В$ ——обратной матрице для' В, полученной методом обращения по критерию наименьших квадратов. Такая обратная матрица не обязательно является единственной. В той же главе доказывается, что оператор обобщенного обращения W = В~ (особый случай обращения по критерию наименьших квадратов) является единственным, минимизирует ошибку по критерию наименьших квадратов и одновременно обеспечивает

получение оценки с минимальной нормой. Таким образом, сумма квадратов f минимальна при всех возможных оценках по критерию наименьших квадратов. Компенсация нерезкости методом обобщенного обращения матриц обеспечивает получение наименьшей яркости исправленного изображения.

Если система уравнений (14.2.2) является совместной, то условию (14.2.3) может удовлетворять одно или несколько решений. Обычно выбирается оценка, минимизирующая ошибку по критерию наименьших квадратов, которая определяется эквивалентными выражениями вида

&E = (f — $T(f_$, (14.2.7а)

SE = tr {(f -f)(f- $% (14.2.76) Доказано, что ошибка оценивания минимальна, если оценка получена методом обобщенного обращения матриц (W = В"). В этом случае результирующая остаточная ошибка оценивания равна

&£="" —(B-B)]f (14.2.8а) или

器н tr |tr[I 一 B-Bl}. (14286)

При B"B ^ I, естественно, получаем идеальную оценку.

Таким образом, обобщенное обращение матриц дает оптимальное решение как для совместных, так и для несовместных систем уравнений. Как следует из формулы (8.3.5), обобщенная обратная матрица может быть представлена в виде

В- = (ВТВ)ТВТ, (14.2.9а) если матрица В размера PXQ имеет ранг Q. Если матрица В имеет ранг Р, то

В-=Вт(ВВт)。 (14.2.96)

В случае совместной системы уравнений и ранга Q обобщенной обратной матрицы получаем оценку

? = В% = B~Bf - [(ВТВ)Т В「] Bf = f, (14.2,10) которая, очевидно, является идеальной. Однако воХвсехУдругих случаях может появиться остаточная ошибка'оценивания. Очевидно, что для получения идеальной оценки желательно иметь дело с переопределенной матрицей нерезкости ранга Q. К сожалению, этот случай редко имеет место при реставрации изображений. Увеличение числа отсчетов нерезкого изображения позволяет получить переопределенную систему уравнений (P〉Q), однако ранг матрицы нерезкости чаще всего оказывается гораздо

меньше Q. Это объясняется тем, что с увеличением плотности отсчетов возрастает линейная зависимость между строками матрицы нерезкости. Единственный практический случай использования ранга Q обобщенной обратной матрицы соответствует объекту реставрации с ограниченной и известной протяженностью.

Применение обобщенного обращения матриц наталкивается на серьезные трудности, связанные с их размером. Обобщенная обратная матрица ——это матрица размера QxR, где Q —— число отсчетов изображения, подлежащих оцениванию, а Р ——число наблюдаемых отсчетов. При использовании оператора обобщенного обращения (14.2.9) в случае изображений большого размера возникают трудности, связанные с обеспечением достоверности вычисления обобщенных обратных матриц и очень большим числом векторных перемножений в (14.2.5). Если матрица нерезкости В разделима, т. е.

В = В。О В五， (14.2.11) где Вс и В& — операторы «строчной» и столбцовой» нерезкости, то можно, уменьшить объем вычислений. В этом случае обобщенная матрица разделима в том смысле, что

В- = вг ® ВП, (14.2.12)

где Вё и В^ — обобщенные обратные матрицы для матриц Вс и Hr. Таким образом, в случае разделимой матрицы нерезкости оценку изображения можно получить, последовательно действуя на все строки массива наблюдаемого изображения обобщенной обратной матрицей строчной нерезкости, а затем обрабатывая каждый столбец массива обобщенной обратной матрицей столбцовой нерезкости.

Реставрацию методом псевдообращения изображений большого размера можно осуществить приближенно. При этом нерезкое изображение разбивается на малые фрагменты, реставрируемые независимо. Процедура пофрагментной реставрации изображений подобна процедуре пофрагментной фильтрации (см. разд. 11.3). Полезно пр едусматр и вать перекрытие фрагментов и использовать только центральные отсчеты в каждом реставрированном фрагменте, поскольку именно эти отсчеты обладают наименьшей неопределенностью. В разд. 14.3 описывается эффективный вычислительный алгоритм реставрации изображений методом псевдообращения матриц в случае пространственно-инвариантной нерезкости.

На рис. 14.2.1 показаны нерезкие и исправленные изображения, иллюстрирующие процедуру реставрации методом обобщенного обращения матриц, причем были использованы модели искаженных изображений, представленные на рис. 13.7.3 и 13.7.4. Наблюдаемые изображения не были повреждены шумом. Импульс-

ный отклик нерезкости имел гауссову форму (13.7,10) с 匕贝 = = Ьс = 1,2. На рисунке, соответствующем случаю переопределенной модели, воспроизведена только центральная реставриро-

Рис. 14.2.1. Образцы испытательных изображений, исправленных методом псевдообращения матриц. Нерезкость внесена с помощью импульсного отклика гауссовой формы. Наблюдаемое изображение без шума.

а — случай переопределенной модели (М = 12. N = 8, L = б), нерезкое изображение; 6 — исправленное изображение а; в — случай недоопределенной модели (Л1 = 8, ^ = =12, 2 = 5), нерезкое изображение, минимальная среднеквадратическая ошибка (МСКО) = 4,97 %； 2 — исправленное изображение 8 (МСК。= 1,41 %)•

ванная область размером 8X8 элементов, увеличенная до размера 256x256 элементов; нерезкое изображение имеет размер 12х 12 элементов. Исправленное изображение визуально не отличается от исходного изображения, однако изучение полученных

числовых данных указывает на наличие вычислительных ошибок округления. В случае недоопределенной модели также воспроизведена только центральная область оценки размером 8x8 элементов. Хотя исправленное изображение выглядит как улучшенное нерезкое изображение, оно не идентично исходному изображению.

РЕСТАВРАЦИЯ НЕРЕЗКОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ МЕТОДОМ ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ МАТРИЦ ПРИ НАЛИЧИИ ШУМА

Во многих изображающих системах идеальное изображение становится нерезким и, кроме того, повреждается аддитивным шумом. Связь наблюдаемого изображения с идеальным в этом случае можно записать в векторно-матричной форме

g=Bf+ п, (14.2.13)

где g и п — векторы размера Рх 1, представляющие наблюдаемое изображение и шумовое поле соответственно, f — вектор размера Qx 1 псевдоотсчетов идеального изображения, В——матрица нерезкое™ размера РХ@. Вектор п состоит из двух аддитивных составляющих, одна из которых включает отсчеты аддитивного внешнего шумового процесса, другая]— компоненты разности векторов (g ——Bf), обусловленной ошибками моделирования при задании В. При наличии шума может и не оказаться векторных решений f системы уравнений (14.2.13). Однако (как было показано в гл. 8) обобщенная обратная матрица В" позволяет определить оценку по критерию наименьших квадратов и с минимальной нормой. Если нет ошибок моделирования, то оценка

f = B~g = BBf + Bn (14.2.14) отличается от идеального изображения^наличием^аддитивной шумовой составляющей В-п. Кроме того, в случае недоопределенной модели матрица В~В не является единичной. Ниже рассматривается влияние шума в переопределенной и недоопределенной моделях реставрации изображений.

Переопределенная модель

Если В есть матрица переопределенной системы уравнений, имеющая ранг Q и заданная выражением (14.2.9а), то В~В = I, а получаемая оценка равна сумме вектора исходного изображения f и вектора возмущений Af = В-п. Ошибку возмущений, которая содержится в оценке, можно измерить как отношение

нормы вектора возмущений к норме вектора оценки. Можно показать [22, стр. 52], что относительная ошибка ограничена:

l|M||/||f|l<l|B^|-||B||(l|n||/||g||).(14.2.15)

Произведение || В~ |卜 || В ||, называемое условным числом С {В} матрицы В, определяет относительную ошибку в оценке, выраженную через отношение норм векторов шумового и наблюдаемого полей. Условное число можно вычислить непосредственно или же определить с помощью отношения наибольшего (UZi) и наименьшего (必％) сингулярных значений В. Чем больше условное число матрицы нерезкости, тем, очевидно, выше чувствительность к шумовым возмущениям.

На рис. 14.2.2 представлены образцы исправленных изображений для случая переопределенной модели (см. рис. 13.7.4) и гауссовой формы функции нерезкости при нескольких значениях среднеквадратического отклонения и дисперсии шума, равной 10 уровням при полной шкале 0——255. Как и ожидалось, шум наблюдаемого изображения ухудшает качество реставрации. Не было неожиданностью и то, что качество исправленного изображения хуже при средней степени нерезкости и лучше при пониженной нерезкости. Однако затем эта тенденция нарушается: субъективное качество исправленного изображения при очень большой нерезкости выше, чем при нерезкости средней степени. Это кажущееся аномальным поведение, возникающее вследствие пространственного усечения функции рассеяния точки (ФРТ), можно объяснить, наблюдая за условным числом матрицы нерезкости. На рис. 14.2.3. показана зависимость условного числа матрицы нерезкости для рассмотренных примеров от величины коэффициента нерезкости [19]. При небольшой нерезкости условное число мало. Максимум кривой достигается при умеренной нерезкости, а затем следует спад. В области бесконечно больших значений коэффициента нерезкости кривая стремится к горизонтали. Характер кривой объясняет полученные экспериментальные результаты. При осуществлении реставрации производится пространственное усечение ФРТ границами квадратной области, содержащей 5x5 псевдоотсчетов ——узлов квадратурных сумм. По мере увеличения коэффициента нерезкости при фиксированных М и N ФРТ расширяется и ее хвосты усекаются все сильнее и сильнее. В пределе ненулевые элементы матрицы нерезкости становятся постоянными величинами, а условное число устанавливается на постоянном уровне. При небольших коэффициентах нерезкости эффект усечения незначителен, а кривая условного числа устремляется в бесконечность с асимптотическим значением, полученным в случае неусеченной ФРТ. С увеличением нерезкости число ненулевых элементов матрицы нерезкости возрастает,

4 У. Прэтт

Рис. 14.2.2. Образцы испытательных изображений, исправленных методом псевдообращения матриц. Нерезкость внесена с помощью импульсного отклика гауссовой формы. Случай переопределенной модели (М = 12, ^ ~ 8, L = 5). Наблюдаемое изображение с шумом (дисперсия равна 10 уровням шкалы).

а, в, д — нерезкие изображения; 6, а, е — исправленные изображения.

а условное число стремится к постоянной величине. Таким образом, существует компромисс между числовыми погрешностями вследствие плохой обусловленности и неточностью моделирования. Хотя этот вывод сделан на основе частной модели искажений, он носит, как представляется, более общий характер, поскольку оператор, обратный относительно оператора, описывающего нерез-

Рис. 14.2.3. Кривая условных чисел.

кость, не ограничен. Следовательно, чем точнее дискретная модель аппроксимирует непрерывную модель, тем хуже обусловленность. Более грубая апрроксимация приводит к уменьшению сингулярных значений и увеличению ошибок моделирования. Это противоречие неизбежно, и разрешить его можно только путем использования правильной априорной информации об исходном изображении.

Недоопределенная модель

На рис. 14.2.4 представлены образцы исправленных изображений в случае недоопределенной модели (см. рис. 13.7.3) и гауссовой нерезкости при нескольких значениях среднеквадратического отклонения и дисперсии шума, равной 10 уровням квантования. Полученные исправленные изображения следуют той же тенденции, которая^была отмечена в случае переопределенной модели: наибольшие возмущения в решении появляются при небольших значениях коэффициентов нерезкости. Это нельзя объяснить поведением условного числа, поскольку в случае недоопределен- 4*

Рис. 14.2.4, Образцы испытательных изображений, исправленных методом псевдообращения матриц. Нерезкость внесена с помощью импульсного отклика гауссовой формы. Случай недоопределенной модели (М = 8, 7V = 12, L = 5). Наблюдаемое изображение с шумом (дисперсия равна 10 уровням шкалы квантования).

а — нерезкое изображение (МСКО = 1,30 % )： б — исправленное изображение а (МСКО = =0,21 %)； в — нерезкое изображение (МСКО = %91 %); а — исправленное изображение в (МСКО == 2695,81 %); д — нерезкое изображение (МСКО = 7,99 %); е 一 исправленное изображение d (МСКО н 7,29 %).

ной модели (取n = 0) оно бесконечно. Однако необходимо учесть, что матрица нерезкое™ В получена транспонированием матрицы переопределенной модели и что собственные значения ВГВ и ВВГ одинаковы [23, стр. 41 ]. Следовательно, отношение наибольшего и наименьшего собственных значений В^В определяется кривой на рис. 14.2.3.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ РЕСТАВРАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОДОМ ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ МАТРИЦ

Прэтт и Давариан [20] разработали эффективные вычислительные алгоритмы для реставрации изображений методом псевдообращения матриц в случае пространственно-инвариантной не- резкости. Эти алгоритмы рассмотрены ниже применительно к переопределенной и недоопределенной моделям изображающей системы.

АЛГОРИТМ ДЛЯ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННОЙ МОДЕЛИ

Вычислительный алгоритм для реставрации методом псевдообращения матриц, разработанный для переопределенной модели, основан на циклической свертке в векторном пространстве (9.3.4), когда

kE = Cf&(14.3.1)

где С ——матрица двумерной циклической свертки, f^ ——вектор изображения размера J2X 1, полученный путем введения нулей в вектор f размера №义1 идеального изображения, к6——соответствующий вектор размера J2X1 выходного изображения. Оценка с использованием обобщенной обратной матрицы записывается непосредственно как

$=5%(14.3.2)

где С'1 ——обратная матрица для матрицы С. Из формул (9.4.4а) и (9.4.56) легко получить

F= [SI," Q S0)] С 1 [S1(M)Q S1，M)F g, (14.3.3) где g = Bf соответствует случаю переопределенной модели, S1(k)——выделяющая матрица (9.4.1). Подстановка в выражение (14.3.3) оператора преобразования Фурье А」дает

f = [Sl^> ® Sl^ltA；1 ® А}1]矿"Aj ® Aj] [S1，M)® S1 尸]g,

(14.3.4)

где 份 ——матрица фильтра для спектрального вычисления свертки, определенная формулой (11,2.13),

Соотношения (14.3.4) и (11.2.13) составляют основу следующего эффективного вычислительного алгоритма реставрации изображений методом п севдообр ащен и я матриц в случае переопределенной модели:

Поместить матрицу импульсного отклика Н в верхний левый угол нулевой матрицы размера JxJ для получения расширенной матрицы импульсного отклика (J М) о подвергнуть эту расширенную матрицу двумерному преобразованию Фурье, что дает

(14.3.5)(14.3.5)彌万=AjH^Aj.

(14.3.5)

(14.3.5)

б) Поместить ний левый угол матрицы % и преобразованиюб) Поместить ний левый угол матрицы % и преобразованиюматрицу наблюдаемого изображения G в верх- нулевой матрицы размера JXJ для получения подвергнуть полученную матрицу двумерному Фурье, что дает

б) Поместить ний левый угол матрицы % и преобразованию

б) Поместить ний левый угол матрицы % и преобразованию

^e = AjKeA」・(14.3.6)

Произвести скалярное деление

无Е(т, 〃)= %е(/и,叫J%E(m, n)#(14.3.7)

где \ ^ т J и 1 w 孔 w J •

Вычислить обратное преобразование Фурье

Fe = A7^eA『.(14.3.8)

Выделить искомую матрицу выходного изображения

?=回河 ЗеВ，)]Г.(14.3.9)

Прииспользовании этого алгоритма требуетсявыполнить

порядкаJ2(1+4 log2 J) операций, чтобывычислитьпсевдооб-

ращенную матрицу методом конечной свертки. Прямое вычисление потребовало бы около /И2№ операций. При М = 256 н L = =17 число операций уменьшается почти в 1750 раз!

Следует отметить, что алгоритм дискретного псевдообращения матриц обходит одну из главных проблем инверсной фильтрации непрерывного изображения: деление на нулевые значения непрерывной частотной характеристики. Ни один элемент матрицы дискретной частотной характеристики, определенной формулой (14.3.5), не может тождественно равняться нулю* если размер L двумерного импульсного отклика представляет собой нечетное целое число, а размер J обрабатываемого массива является четным числом. В предельном случае, когда импульсный отклик Н

постоянный, получается дискретная частотная характеристика вида

% /、1( —ш (L — 1) г . J sin [siLu/J] sin [n£y/Jl

非e(",。) = 丁exp{—4» + ^j sin^U

(14.3.10) при 0 言〃,и w J ——1. Эта функция принимает нулевые значения только на нецелочисленных пространственных частотах и = ЛЬ о и = ЛЬ, поскольку J четно, а Л нечетно.

АЛГОРИТМ ДЛЯ НЕДООПРЕДЕЛЕННОЙ МОДЕЛИ

К сожалению, для недоопределенной модели не существует аналога соотношения (14.3.4), описывающего псевдообращение, поскольку, как пояснено в разд. 9.4, f невозможно выделить из к£, если g = Bf представляет недоопределенную систему уравнений. Однако можно видоизменить наблюдаемое нерезкое изображение g и благодаря этому сократить объем вычислений, что возможно в случае переопределенной модели. Для упрощения пояснений первоначально ограничимся рассмотрением одномерного примера.

6

Рис. 14.3.1. Примеры вычисления одномерной свертки.

а ——непрерывная свертка с дискретизацией; б — дискретная свертка.

Пусть вектор fy размера ^X 1 и вектор g『размера М X1 сформированы из векторов f и g отбрасыванием L—1 крайних элементов соответствующего вектора. Можно сказать, что усеченный вектор есть результат действия оператора выделения элементов, т. е.

fr = S21T)f, ■ . (14.3.11) где /С = ^ — 2 (L — 1), и

gr=S2 説)g, (14.3.12) где R = М —2 (L — 1). Рис. 14.3.1, а иллюстрирует соотношение между рассматриваемыми векторами для ^ = 9 (число

элементов исходного вектора),附=7 (число элементов наблюдаемого вектора) и L = 3 (число элементов импульсного отклика).

Из векторов f丁 и g丁 получаются расширенные векторы fB и g£, связанные следующим матричным уравнением:

4е = С£е+Пе,(14.3.13а)

ИЛИ

м 「q 1「％]}кГпг1

+.(14.3.136)

L о」[о」}J —к[оJ，，

Как видно из рис. 14.3.1, 6, вектор q идентичен вектору наблюдаемого изображения g при учете только R его центральных элементов, причем R = М —2 (L — 1). Остальные элементы q можно аппроксимировать следующим образом:

q~q = Eg,(14.3.14)

где Е — так называемая экстраполирующая матрица, которую мы определим ниже. Из формул (14.3.13) и (14.3.14) можно получить оценку f7- в виде

В = С-0е(14.3.15а)

или

К ^ = |СЧ I ■(14.3.156)

Алгебраическое сходство формул (14.3.2) и (14.3.15) позволяет непосредственно записать выражение для оценки как

h = [А}1 @ А『]矿"А/ @ Aj]0e. (14.3.16)

Таким образом, вычислительный алгоритм для недоопределенной модели не будет отличаться от алгоритма (14.3.5)—(14.3.9) для переопределенной модели, если на этапе (б) матрицу наблюдаемого изображения G в выражении (14.3.6) заменить матрицей Q = (Е g Е) G.

Экстраполирующая матрица Е предназначена для видоизменения элементов наблюдаемого изображения g таким образом, чтобы они аппроксимировали элементы q. В рассматриваемом од-

номерном случае (см. рис. 14.3.1) справедливы следующие соотношения:

〃D = g(l) —力(3)f ⑴一九⑵〃2), Q(2)^g(2)-h(3)f (2),

7 (m) = g (m), 2Vm < M — 2,(14.3.17)

q(M-\)^g(M~\)~h ⑴〃N — 1), q(M)^g (M) 一 h (2)/ (N -D-h (1)/ (N).

Поскольку значения f неизвестны, систему уравнений (14.3.17) нельзя решить непосредственно. Однако можно принять допущение о непрерывности вектора исходных данных, согласно которому

〃1) = 〃2) = 〃3)

(14.3.18a)

/- 2) = / (^ - 1) = / (N),

и определить

(14.3.186)

夕⑴=g(D 九(1)/S,

(14.3.19a)

g(2) =g(2) {[/i(l) + /i(2)]/S},

(14,3.196)

где S = /i (1) + /г (2) + /г (3). Аналогичные уравнения существуют для q (Л1 ——1) и q (М). В результате получаем экстраполирующую матрицу простого вида

а ： 0 ： О

Е= 0 : I ； 0,(14.3.20)

L 0 ! 0 = ₽ J

где а и р — подматрицы размера LxL, найденные с помощью уравнений (14.3.17) или их обобщений [20].

Рис. 14.3.2 иллюстрирует результат машинного моделирования алгоритма реставрации изображений методом псевдообращения матриц для недоопределенной модели в случае одномерной нерезкое™. На первом этапе моделирования были отобраны К центральных элементов исходного изображения и на их основе сформирована совокупность векторов усеченного изображения f『 (рис. 14.3.2, б). Затем эти векторы были преобразованы с помощью гауссова импульсного отклика с Ь&=1,5 для моделирования нерезкости наблюдаемого изображения (рис. 14.3.2, в). Вид нерезкого изображения после обработки оператором экстраполяции Е показан на рис. 14.3.2, г. На рис. 14.3.2, 0, е представлены варианты исправленного изображения без обработки и с обработкой оператором экстраполяции. Полученные изображе-

Рн& 14.3.2. Образцы изображений, исправленных методом псевдообращения матриц при незначительной гауссовой нерезкостп = 1,5).

Л 一 исходное изображение (вектор f)； 6 — усеченное изображение (вектор fr) ;& 一 наблюдаемое изображение (вектор g); г — наблюдаемое изображение, обработанное оператором экстраполяции (вектор q); 0 — исправленное изображение без экстраполяции (вектор f「)； е ——исправленное изображение с экстраполяцией (вектор fl).

ния наглядно демонстрируют важность экстраполяции. Если эта операция не производится, погрешности измерения на краях наблюдаемого изображения вызывают полное разрушение краев

Рис. 14.3.3. Образцы изображений, исправленных методом псевдообращения матриц при средней и повышенной гауссовой нерезкости (Ь& — 2).

а — наблюдаемое изображение g; 6 — исправленное изображение a (f「)； в — наблюдаемое изображение (g) с нерезкостью, вызванной равномерным движением (厶=15); е — исправленное изображение в (fр.

исправленного изображения. Напротив, реставрация с экстраполяцией обеспечивает вполне удовлетворительное субъективное качество изображения. Рис. 14.3.3 иллюстрирует результаты машинного эксперимента при повышенной нерезкости 仇= =2,0), когда плохая обусловленность матрицы нерезкости становится сильно выраженной. При формировании видоизмененного наблюдаемого изображения посредством экстраполяции возникает большая остаточная ошибка, приводящая к непригодной

оценке (рис. 14.3.3, б). На рис. 14.3.3, а демонстрируется положительный эффект алгоритма реставрации методом псевдообращения матриц в случае горизонтальной нерезкости, вызванной движением (рис. 14.3.3, 8). Поскольку в этом эксперименте импульсный отклик имеет прямоугольную форму, соответствующая матрица нерезкости обусловлена лучше, чем аналогичная матрица для гауссова импульсного отклика.

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ РЕСТАВРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОДОМ ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ МАТРИЦ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИНГУЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ

Как показано в гл. 5, любое дискретное изображение в матричной форме можно представить в виде ряда «собственных изображений», прибегнув к сингулярному разложению. Такой подход был применен для реставрации изображений [24——27]. В этом случае используется сингулярное разложение матрицы нерезкости, входящей в уравнение изображающей системы

g=Bf + n.(14.4.1)

Согласно формуле (5.2.3), матрицу нерезкости можно выразить в виде

B = UAU2V 丁，(14.4.2)

где матрица U размера РхР и матрица V размера QxQ — унитарные матрицы, составленные из собственных векторов матриц ВВГ и В^В соответственно, А ——матрица размера PxQ, диагональные элементы которой 九(i) представляют собой собственные значения матриц ВВ「и ВГВ. Ортогональность U и V позволяет представить матрицу нерезкости в виде ряда

в = S V/2(i)Uiv[,(14.4.3)

где и, и vz —厶е столбцы U и V соответственно, R — ранг матрицы В.

Поскольку U и V являются унитарными матрицами, исходя из формулы (14.4.2) можно записать выражение для обобщенной обратной матрицы:

В~ = УД-1/2иг == £ 儿72(t) v,u；・(14.4.4)

Рис. 14.4.1 иллюстрирует сингулярное разложение матрицы нерез кости. С помощью матрицы В-1 можно получить

f = B-g = VAT/2UTg,(14.4.5а)

Рнс. 14.4.1. Изображения, соответствующие различным членам сингулярного разложения матрицы нерезкости (Ь《=2,0, М = & " = 16,丄=9).

а) В; 6) и^,九⑴=0,871; в) u2v[,入⑵=0,573; е) /vj, X ⑶=0,285; д) и4у^Д(4)= =0,108; е) %哪，九(5) = 0,034;加)％v% 九(6) — 0,014; з) п?у^, Л (7) = 0,011; и)气咕 % (8) — 0,010.

или

f = 2 仇⑴厂/沁就g= £ 厂"2(i)(u；g)v,, (14.4.56) f=l i=l

где учитывается тот факт, что скалярное произведение ufg дает в результате скаляр. Последнее уравнение лежит в основе последовательного оценивания:勿я оценка

h = %т + 仇但)『/2 (ulg) ”. (14.4.6)

Одним из принципиальных достоинств последовательного подхода является то, что он позволяет решить проблему плохой обусловленности, которая обычно возникает только при высоком порядке сингулярных значений. При проведении реставрации в режиме диалога всегда можно прекратить разложение до появления ошибок, обусловленных неустойчивостью вычислительного процесса.

На рис. 14.4.2 представлены образцы изображений, получаемых на различных этапах реставрации с использованием сингулярного разложения испытательного изображения, представленного на рис. 13.7.3 (недоопределенная модель с плохо обусловленной матрицей гауссовой нерезкости). Результатом одношагового псевдообращения матрицы является изображение, полностью разрушенное ошибками вычислений. На шестом этапе обеспечивается наилучшее субъективное качество исправленного изображения, которое заметно лучше нерезкого исходного изображения. Тем не менее самая малая ошибка по критерию наименьших квадратов достигается при трех сингулярных значениях.

Возможности метода реставрации изображений на основе сингулярного разложения в соответствии с формулами (14.4.5) и (14.4.6) ограничены главным образом сложностью вычислений. Сначала определяются собственные векторы и, и v^ матриц ВВГ и В'В. Затем проводятся векторные вычисления согласно формулам (14.4.5) и (14.4.6). Даже если матрицу В можно представить в виде прямого произведения, что позволяет производить раздельное псевдообращение строк и столбцов, вычисления в общем случае оказываются чрезвычайно трудоемкими.

Вычислительный алгоритм на основе псевдообращения матриц, описанный в предыдущем разделе, удается приспособить для решения задачи реставрации изображений на основе сингулярного разложения в особом случае пространственно-инвариантной нерезкости [21]. Пользуясь моделью, определяемой формулой (14.3.13)

(14.4.7)(14.4.7)Ян = Cf£ + п£,

(14.4.7)

(14.4.7)

Рис. 14.4.2. Образцы испытательных изображений, исправленных методом сингулярного разложения. Нерезкость внесена с помощью импульсного отклика гауссовой формы @r= Ьс= 1,2). Случай недоопределенной модели (М = 8, "=12,丄=5). Наблюдаемое изображение с шумом (дисперсия равна 10 уровням шкалы).

а — 8 сингулярных значений (СЗ), МСКО = 2695,81 %; б — 7 СЗ, МСКО = 148,93 %; в — 6 СЗ, МСКО = 6,88 %; г - 5 СЗ, МСКО = 3,31 %； d — 4 СЗ, МСКО = 3,06 %;

е — 3 СЗ, МСКО = 3,05 %; яс — 2 СЗ, МСКО = 9,52 %; з — 1 СЗ, МСКО = 9,52 %•

можно получить сингулярное разложение циклической матрицы С:

С=ХА1~*т,(14.4.8)

где X и Y — унитарные матрицы, определяемые соотношениями

X [ССГ] Х*г А(14.4.9а)

И

Y [СГС] Y*r = А.(14.4.96)

Поскольку С ——циклическая матрица, СС『также является циклической матрицей. Следовательно, X и Y должны быть эквивалентны матрице преобразования Фурье А (или А-1), так как эта матрица производит диагонализацию циклической матрицы. С целью стандартизации примем X = Y = А"1. В результате получим собственные векторы х； = yf- — строки матриц X и Y — в виде комплексных экспоненциальных базисных функций

丸:) = eXp {竽但 一1)(/•一1)}(14.4.10)

преобразования Фурье при 1 а /, k J. Более того, находим

А = &&*т,(14.4.11)

где 穹一 матрица двумерной циклической свертки в спектральной области.

В соответствии с формулой (14.4.5) можно записать

〜f/? = A-1A-1/2Aqz?)(14.4.12)

где q^ ——видоизмененное наблюдаемое нерезкое изображение, заданное выражениями (14.3.14) и (14.3.15). Можно заметить, что формула (14.4.12) является точным эквивалентом формулы (14.3.16), которая определяет оценку на основе псевдообращения в спектральной области. Последовательная реставрация с использованием сингулярного разложения, аналогичная процедуре в соответствии с формулой (14.4.6), описывается уравнением (14.4.12) при замене в нем матрицы псевдообращения A-U2 оператором

5⑴L/2

⑵尸J0

△”2=5(7)1.(14.4.13)

00

Не во всех случаях необходимо полностью отбрасывать высокочастотные члены, чтобы избежать ошибок вследствие плохой обусловленности. Усечение можно заменить альтернативным мето-

Рис. 14.4.3. Образцы изображений, исправленных методом псевдообращения матриц с использованием сингулярного разложения при одномерной (горизонтальной) гауссовой не- резкости (匕交=3, L = 23, J = 256).

а — наблюдаемое нерезкое изображение； 6 — исправленное изображение при 7 = 58; в — исправленное изображение а при Т = 60.

дом, при котором диагональные нулевые элементы заменяются элементами в виде [Д (Т)]"1/2 или даже некоторой последовательностью, убывающей по мере повышения частоты. По существу этот прием аналогичен методу усеченной инверсной фильтрации согласно формуле (14.1.11) для непрерывных изображений.

На рис. 14.4.3 приведены образцы изображений, исправленных методом псевдообращения матриц на основе сингулярного разложения при одномерной гауссовой нерезкости (}r = 3,0). Следует отметить, что попытка реставрировать нерезкое изображение ме-

тодом обычного псевдообр ащен и я приводит к недопустимо большим ошибкам из-за плохой обусловленности даже при коэффициенте нерезкости bR = 2,0 (рис. 14.3.3, б).

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ РЕСТАВРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

МЕТОДОМ РЕГРЕССИИ

Методы реставрации изображений на основе псевдообращен и я матриц имеют одно принципиальное ограничение: шум наблюдаемого изображения может стать причиной резко выраженной неустойчивости вычислительного процесса и сделать непригодной полученную оценку изображения. При решении ряда задач эту проблему можно обойти, прибегнув к методам реставрации на основе регрессии, использующим определенную априорную информацию о статистических свойствах наблюдаемого шума [19].

Рассмотрим матричное уравнение

g = Bf+ п, (14.5.1)

описывающее нерезкое изображение с аддитивным шумом, где В — матрица нерезкости размера РхQ; предполагается, что шум имеет нулевое среднее значение и известную ковариационную матрицу К^・ Метод реставрации на основе регрессии предусматривает нахождение оценки

Wg, (14.5.2) где W ——реставрирующая матрица, минимизирующая взвешенную ошибку

O(f) = (g-Bf/ к^1 (g-Bf). (14.5.3)

Ошибку реставрации можно минимизировать классическим методом приравнивания нулю частной производной 0 (f) по f. Таким образом,

@6 (f)/df = 0 = —2B「KU (g - Bf). (14.5,4) Если Р > Q, а обратная матрица относительно B’kUb существует, результирующая реставрирующая матрица принимает вид

W = (B’kUb)t В'к」 (14.5.5)

Полученный оператор реставрации применим к переопределенной модели наблюдаемого изображения. Если шум белый с дисперсией о；” Кп = аУ и матрица регрессии становится обобщенной обратной матрицей (14.2.9а) ранга Q, соответствующей переопределенной системе,

Можно показать [25], что в случае недоопределенной модели (Р < Q) оценка на основе регрессии имеет вид

f = (К^В)— K-ig + [I —(КТВ)— К^В] V, (14.5.6) где у — произвольный вектор, К ——матрица, определяемая соотношением

К“=КК',(14.5.7)

Кл — ковариационная матрица шума. Таким [образом, в недоопределенной модели реставрации оценка не является единственной. Оценка с наименьшей нормой есть просто

?=(KTB)-KTg,(14.5.8)

поэтому результирующий оператор реставрации на основе регрессии сводится к

W^(K-1B)- К"1.(14.5.9)

Если шум белый, К = 若【и этот оператор принимает вид обобщенной обратной матрицы (14.2.96) ранга Р для недоопределенной модели.

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ РЕСТАВРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

МЕТОДОМ ВИНЕРОВСКОГО ОЦЕНИВАНИЯ

При использовании метода пространственной реставрации изображений на основе регрессии шумовое поле моделируется некоторой реализацией двумерного случайного процесса с известными средним и ковариационной функцией. В методах винеровской оценки, кроме того, предполагается, что идеальное изображение также является реализацией двумерного случайного процесса с известными первым и вторым моментами [19, 20, 29].

ВИНЕРОВСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ

Рассмотрим обобщенную дискретную модель, представленную на рис. 14.6.1, в которой вектор изображения f размера QX1 подвергается каким-либо искажениям (поэлементным и пространственным), в результате чего образуется вектор размера Рх 1 наблюдаемого изображения g. Формируемая оценка f описывается линейной операцией вида

(14.6.1)(14.6.1)? = Wg + b,

(14.6.1)

(14.6.1)

где W — реставрирующая матрица размера QxP, b — вектор смещения оценки размера Qx 1. Цель винеровского оценивания

сводится к выбору W и Ь, минимизирующих среднеквадратическую ошибку реставрации, которую можно определить как

/ = E{(f—l)'(f—?)}(14.6.2а)

ИЛИ

^ = tr[E((f-f)(f -ff)]-(14.6.26)

Рис. 14.6.1. Пространственная реставрация изображений методом винеровского оценивания.Рис. 14.6.1. Пространственная реставрация изображений методом винеровского оценивания.В формуле (14.6.2а) ошибка определена через скалярное произведение и равна сумме квадратов элементов вектора ошибки (f—f);

Рис. 14.6.1. Пространственная реставрация изображений методом винеровского оценивания.

Рис. 14.6.1. Пространственная реставрация изображений методом винеровского оценивания.

Пространственныеискажения

формула (14.6.26) предусматривает составление ковариационной матрицы вектора ошибки и последующее суммирование ее дисперсий (диагональных элементов) при нахождении следа. Независимо от способа представления ошибки (14.6.2) ее можно минимизировать, дифференцируя 齒 по f. Другой подход, обладающий универсальной полезностью, основан на использовании принципа ортогональности [30, стр. 219]: с его помощью находят значения W и Ь, минимизирующие среднеквадратическую ошибку. В теории реставрации изображений принцип ортогональности позволяет сформулировать следующие два необходимых и достаточных условия минимизации среднеквадратической ошибки реставрации:

Математическое ожидание оценки изображения должно быть равно математическому ожиданию исходного изображения, т. е.

Ej} = E{f}. (14.6.3)

Ошибка реставрации должна быть ортогональна к «центрированному» наблюдаемому изображению относительно его среднего, т. е.

E{G-f)(g-E{g})'} = 0. (14.6.4)

Из условий 1 и 2 получаем

b = E{f} — WE{g}(14.6.5)

и

E|(Wg + b — f)(g —上也}尸}=0(14.6.6)

соответственно. Подстановка в формулу (14.6.6) выражения (14.6.5) для вектора смещения ошибки b дает после ряда упрощений

W=K『g(Kgg 尸，(14.6.7)

где Kg?—ковариационная матрица размера РхР вектора наблюдаемого изображения (которая предполагается невырожденной), Kfg — взаимно ковариационная матрица размера QxP для исходного и наблюдаемого изображений. Таким образом, оптимальный вектор смещения b и реставрирующую матрицу W можно определить непосредственно по смешанным моментам первого и второго порядка векторов идеального и наблюдаемого изображений. Следует отметить, что найденное решение справедливо для нелинейных и пространственно-зарисимых искажений. Следующие разделы посвящены отдельным частным случаям применения винеровского оценивания.

ВИНЕРОВСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ В СЛУЧАЕ НЕРЕЗКОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ С ШУМОМ

В дискретной модели, описывающей нерезкое изображение с аддитивным шумом, используется вектор наблюдаемого изображения вида

g = Bf + n.(14.6.8)

В такой модели винеровская оценка составляется из вектора смещения

b = Е {斗 一 WE 囿=E{f} — WBE {f} + WE {□} (14.6.9)

и матричного оператора

w = K/g (к^г1 = к；вт (вк；вг + kJ-1 (14.6.10)

или на основе матричного тождества (5.1.11)

Рнс. 14.6.2. Образцы испытательных изображений, исправленных методом винеровского оценивания. Нерезкость внесена с помощью импульсного отклика гауссовой формы. Случай недоопределенной модели (М = 8, " = 12,丄=5). —Т vH>/T?K?e изобРажение (МСКО = 4,91 %); 6 — исправленное изображение а (МСКО = ^/мгип — Т%?^督к* изображение (МСКО = 7,99 %); г — исправленное изображение ：з黑緇赢裁跑述 Z 彳署嚼е изображение (МСКО = 7.93 %); г - исправленное

Уравнения (14.6.10) и (14.6.11) эквивалентны, однако первым из них следует пользоваться для недоопределенных систем, вторым —— для переопределенных систем. При этом обеспечивается наименьший размер обратных матриц.

Если предполагается, что идеальное изображение не обладает корреляцией, то К『=аЦ, где о； представляет энергию изображения. Тогда выражение (14.6.10) принимает вид

W = о；В‘(q；BB‘+ К”)—*(14.6.12)

При том же условии формула (14.6.11) переходит в

w = (в^к^'в + of2!)-1 В^к?1-' (14.6.13)

Для случая белого шума с энергией о’； получаем

W = BT[BBT + (g"o；)iL(14.6.14)

И

W = [‘ + (о尸/qL) I]_IBr.(14.6.15)

Если отношение энергии изображения к энергии шума (а//ал)2 стремится к бесконечности, то винеровская оценка (14.6.14) переходит в оценку обобщенного обращения для недоопределенной модели, а оценка (14.6.15) — в оценку обобщенного обращения для переопределенной модели.

На рис. 14.6.2 показаны образцы изображений, полученных при реставрации изображения рис. 13.7.3 с гауссовой нерезкостью (случай недоопределенной модели). Примеры винеровской реставрации изображений большого размера с использованием вычислительного алгоритма Прэтта и Давариана [20 ] представлены на рис. 14.63 На рис. 14.6.3, а нерезкость вызвана движением по горизонтали, причем был использован прямоугольный импульсный отклик длиной L = 11. Исправленная центральная область, содержащая 129 элементов, вставлена в нерезкое изображение, чтобы продемонстрировать повышение субъективного качества изображения, обеспечиваемое реставрацией. Изображение, показанное на рис. 14.6.3, & сформировано электронным микроскопом; уровень шума и импульсный отклик нерезкости были определены непосредственно по фотографическому изображению

методами, описанными в гл. 15. Эти данные позволили реставрировать центральную область размером 129х 129 элементов, которая затем была вставлена в исходное нерезкое изображение.

Рис. 14.6.3. Образцы изображений, исправленных методом винеровского оценивания.

а — наблюдаемое нерезкое изображение при горизонтальном движении （厶 = 11）； 6 — исправлеиное изображение а; 6 — наблюдаемое изображение, формируемое электронным микроскопом; г — исправленное изображение 6.

МЕТОДЫ РЕСТАВРАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ

СО СГЛАЖИВАНИЕМ

Проблемы плохой обусловленности, возникающие при реставрации изображений, иногда удается преодолеть, прибегая к методам сглаживания и регуляризации [31——33], которые в основном связаны с введением меры гладкости решений, полученных методом наименьших квадратов.

Методы сглаживания имеют две формулировки [19]. Согласно первой из них, ищется минимум величины frSf при ограничении

(g—B?)TM(g — B?) = e,(g—B?)TM(g — B?) = e,(14.7.1)(14.7.1)

(g—B?)TM(g — B?) = e,

(g—B?)TM(g — B?) = e,

(14.7.1)

(14.7.1)

где S ——сглаживающая матрица, М ——матрица взвешивания ошибки, е ——остаточная скалярная ошибка оценки. Матрица М часто выбирается равной обратной матрице относительно ковариационной матрицы шума, т. е. М = К^1- Обычной формой сглаживающей матрицы является матрица

S = Sj ® S],(14.7.2)

где

'1 —21—25—41 —46'1 —21—25—41 —46ОООО1 —4О 11 —4О 1ООО1 о о—410.6 —41—46—4ООО1 о о—410.6 —41—46—40 о о о0 о о оо-о-(14.7.3)(14.7.3)оо1 -40 10 00 01 -40 10 00 06 —41—46—41 —45О 1 —26 —41—46—41 —45О 1 —201—2101—21

'1 —21

—25—4

1 —46

'1 —21

—25—4

1 —46

О

О

О

О

1 —4

О 1

1 —4

О 1

ООО

1 о о

—410.

6 —41

—46—4

ООО

1 о о

—410.

6 —41

—46—4

0 о о о

0 о о о

о-

о-

(14.7.3)

(14.7.3)

о

о

1 -4

0 1

0 0

0 0

1 -4

0 1

0 0

0 0

6 —41

—46—4

1 —45

О 1 —2

6 —41

—46—4

1 —45

О 1 —2

0

1

—2

1

0

1

—2

1

есть одномерный линейный оператор, формирующий скользящее окно для получения оценки. Условный минимум гладкости совпадает с минимумом функции Лагранжа

F(f, k) = frSf + A[(g- Bf) Мг (g - Bf) - е]. (14.7.4)

Вычисляя производные по f и А. и приравнивая их нулю, находим оценки

=[BMrB4-(lA)S]-1 B’Mg=[BMrB4-(lA)S]-1 B’Mg(14.7.5а)(14.7.5а)

=[BMrB4-(lA)S]-1 B’Mg

=[BMrB4-(lA)S]-1 B’Mg

(14.7.5а)

(14.7.5а)

и

(14.7.56)(14.7.56)f = S-1Br [BS^В7 + (1小)М-1]Т g

(14.7.56)

(14.7.56)

для несингулярной переопределенной и несингулярной недоопределенной систем соответственно. В выражениях (14.7.5) лагранжев коэффициент X должен удовлетворять условию (14.7.1), т. е. предполагается, что достигается компромисс между остаточной ошибкой и гладкостью оценки.

Теперь рассмотрим вторую формулировку. В этом случае решается задача минимизации средне квадратической ошибки (g — —Bf)T М (g — Bf ) при ограничении

?气? = 4 (14.7.6) где d —— скаляр, соответствующий фиксированной гладкости. Функция Лагранжа принимает вид

g", у) = (g - Bf) Мг (g - Bf) + v (f rSf - d). (14.7.7)

По этому уравнению находится оптимальное решение для переопределенной несингулярной системы:

f = (ВгМВ + vs)-1 BrMg. (14.7.8а)

Оценка для недоопределенной системы принимает вид

f = S-1Br(BS-1Br + уМ-1)-1 g. (14.7.86)

Сравнение формул (14.7.5) и (14.7.8) показывает, что для обеих взаимно обратных задач получаются решения, которые различаются только взаимно обратными множителями Лагранжа.

Оценки (14.7.8), полученные методом сглаживания, имеют близкое сходство с оценками на основе регрессии и винеровскими оценками, найденными выше. При у = 6, S=I и М = Ki* где К〃 — ковариационная матрица шума, оценки, полученные методами сглаживания и регрессии, становятся эквивалентными. При 7 = 1, S = К尸 н М = К= где К, — ковариационная матрица изображения, оценка, полученная методом сглаживания, эквивалентна винеровской оценке. Это сходство позволяет объяснить, почему реставрация методом регрессии и винеровская реставрация обеспечивают более гладкие оценки, чем реставрация методом псевдообращения матриц. При использовании методов сглаживания и регуляризации смещение решения удается определить только в виде функциональной зависимости от f, даже если можно вычислить дисперсию решения.

Как уже указывалось, Хант [18] разработал фильтр для реставрации изображений в спектральной области с использованием критерия наименьших квадратов, имеющий частотную характеристику (14.1.22). Это выражение можно использовать как основу быстрого вычислительного алгоритма для осуществления процедуры реставрации с использованием сглаживания согласно (14.7.8), если соответствующим образом доопределить наблюдаемый вектор g.

МЕТОДЫ РЕСТАВРАЦИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОГРАНИЧЕНИЙ

Для повышения качества исправленных изображений в моделях с плохой обусловленностью было предложено [19] вводить ограничения в виде равенств и ограничения в виде неравенств. Можно, например, задавать значения отдельных элементов, отношения отдельных элементов, сумму части или всех элементов или же предельно допустимые уровни элементов.

В переопределенной линейной модели могут использоваться ограничения в виде системы линейных уравнений

Af = t,(14.8.1)

где А — заданная матрица размера PXN ранга Р VM описывающая ограничения, f ——оценка при наличии ограничений, t ——известный вектор размера Рх 1. Минимизация взвешенной ошибки (g—Bf) KU (g—:Bf) с учетом ограничений (14.8.1) позволяет получить следующую Оценку [28, стр. 1001:

f = f+ (bXUb)-】 Аг[А(B?kUb)t А?]Т (t — Af), (14.8.2)

где f — решение без ограничений. Ковариационная матрица оптимального решения определяется как

к? =(B%UB)T — (в'к厂В)т Аг [А (ВгК7'В)А?]Т х

ХА(ВТК]В)Т,(14.8.3)

где К f = (В'К^В) — (положительно определенная) ковариационная матрица оценки без ограничений. Можно показать, что вторая матрица в выражении (14.8.3) является неотрицательно определенной матрицей ранга Р. Следовательно, каждый диагональный элемент матрицы К/ меньше или равен соответствующему элементу Кь а дисперсия каждого элемента вектора оценки с ограничениями меньше дисперсии соответствующего элемента вектора оценки без ограничений. Однако это не означает, что оценка с ограничениями всегда лучше оценки без ограничений. Более того, первая может оказаться смещенной, вторая — нет. Смещение решения при наличии ограничений

b = f — Е 自=-(^К^В)"1 Ат [A (B^kUb)-】 A7]"1 [t — Af]

(14.8；4)

будет иметь нулевое значение тогда и только тогда, когда ограничения удовлетворяются истинным вектором f, т. е. тогда и только тогда, когда Af =t . В этом случае система ограничений может рассматриваться как совокупность дополнительных наблю-

даемых полей, не пораженных шумом. При решении задач реставрации изображений можно ввести разумное ограничение, состоящее в том, что сумма значений элементов исправленного изображения должна равняться некоторому усредненному знечению, например среднему уровню наблюдаемого изображения. Однако такое ограничение оказывается не очень полезным для преодоления плохой обусловленности, так как влияет только на одну степень свободы в векторном пространстве размерности №.

Часто доступна априорная информация в виде ограничений- неравенств, обусловливающих значения элементов изображения. Физика процесса формирования изображений такова, что элементы изображения должны иметь неотрицательные значения. Часто известна верхняя граница этих значений, поскольку при преобразовании изображений в цифровую форму на каждый элемент отводится конечное число двоичных разрядов. Кроме того, вводятся вполне очевидные ограничения по уровню, связанные с необходимостью подогнать контрастный диапазон реставрированного изображения к динамическому диапазону дисплея. Один из возможных подходов ■— линейное масштабирование контраста исправленного изображения с учетом заданного динамического диапазона дисплея. Прибегать к этой процедуре обычно нежелательно, поскольку появление даже нескольких элементов с ненормально высокой яркостью приводит к снижению контраста всего изображения. Следует также учитывать, что контрастное масштабирование обычно влияет на среднюю яркость исправленного изображения. Другой распространенный метод воспроизведения изображений предусматривает ограничение уровня элементов в случае превышения порогового уровня дисплея. Хотя этот метод превосходит метод контрастного масштабирования по субъективному качеству изображения, он может дать смещение оценки.

Если реставрация изображений должна осуществляться с априорно вводимыми ограничениями уровней элементов, то лучше всего учесть эти ограничения непосредственно при реставрации; введение ограничений после завершения процедуры реставрации дает худший результат. Известно несколько методов реставрации изображений с использованием ограничений в виде неравенств.

Рассмотрим общий случай реставрации с ограничениями, когда вектор оценки f должен удовлетворять неравенствам

I《f《и, (14.8.5)

где и и I ——векторы, учитывающие верхний и нижний пределы ограничения оценки элементов. В случае реставрации по критерию наименьших квадратов квадратическую ошибку следует ми-

нимизировать с учетом ограничения (14.8.5). Такой подход приводит к задаче квадратического программирования [19 ]. При использовании абсолютной ошибки задачу реставрации можно сформулировать как задачу линейного программирования [34,

Рис. 14.8.1. Сравнение изображений, реставрированных без ограничений и с ограничениями. Не- резкость внесена с помощью импульсного отклика гауссовой формы (Ь& =比=1,2). Случай переопределенной модели (而— =12, N = 8, L = 5). Наблюдаемое изображение с шумом (дисперсия равна 10 уровням шкалы).а — нерезкое изображение; б — изображение а, исправленное без ограничений; 8 — изображение а, исправленное с ограничениями в виде неравенств.Рис. 14.8.1. Сравнение изображений, реставрированных без ограничений и с ограничениями. Не- резкость внесена с помощью импульсного отклика гауссовой формы (Ь& =比=1,2). Случай переопределенной модели (而— =12, N = 8, L = 5). Наблюдаемое изображение с шумом (дисперсия равна 10 уровням шкалы).а — нерезкое изображение; б — изображение а, исправленное без ограничений; 8 — изображение а, исправленное с ограничениями в виде неравенств.

Рис. 14.8.1. Сравнение изображений, реставрированных без ограничений и с ограничениями. Не- резкость внесена с помощью импульсного отклика гауссовой формы (Ь& =比=1,2). Случай переопределенной модели (而— =12, N = 8, L = 5). Наблюдаемое изображение с шумом (дисперсия равна 10 уровням шкалы).

а — нерезкое изображение; б — изображение а, исправленное без ограничений; 8 — изображение а, исправленное с ограничениями в виде неравенств.

Рис. 14.8.1. Сравнение изображений, реставрированных без ограничений и с ограничениями. Не- резкость внесена с помощью импульсного отклика гауссовой формы (Ь& =比=1,2). Случай переопределенной модели (而— =12, N = 8, L = 5). Наблюдаемое изображение с шумом (дисперсия равна 10 уровням шкалы).

а — нерезкое изображение; б — изображение а, исправленное без ограничений; 8 — изображение а, исправленное с ограничениями в виде неравенств.

. Априорная информация, включающая ограничения в виде неравенств, может обеспечить существенное уменьшение неопределенности элементов исправленного изображения; однако, как и в случае использования ограничений-равенств, оценка может получить неизвестное смещение.

Рис. 14.8.1 иллюстрирует качество реставрации изображения с гауссовой нерезкостью, соответствующей переопределенной модели (см. гл. 13). Изображение на рис. 14.8.1, 6 реставрировано методом псевдообр ащени я матриц, а изображение на рис. 14.8.1, в —— с использованием ограничений-неравенств [19], требующих, чтобы яркость каждого элемента исправленного

изображения находилась в диапазоне 0—255. Введение ограничений обеспечивает существенное повышение качества реставрации .К сожалению, решение задачи квадратического программирования, которое использовано в рассматриваемом примере, требует выполнения большого объема вычислений. Распространить принцип «грубой силы» на рассматриваемый метод не представляется возможным.

Предложен ряд способов улучшения методд реставрации изображений с использованием ограничений. Один простой подход, основанный на идее гомоморфной фильтрации, заключается в логарифмировании каждого наблюдаемого изображения. Потенцирование со ответе твующи х оценок автоматически приводит к строго положительному результату. Берг [5, 36, 37 ] и Фриден [5, 38, 39] разработали методы реставрации с ограничением в виде условия положительности, основанные на принципе максимума энтропии, который впервые был применен для оценивания плотности вероятности по ее моментам. Метод Берга, дающий решение в замкнутой форме, при наличии шума иногда приводит к неустойчивым оценкам. Итеративный метод Фридена с успехом был применен для обработки одномерных сигналов и небольших изображений. Джанссон и др. [40] на основе результатов более ранней работы Ван Циттера [41 ] разработали итеративный метод реставрации, в котором используются итерационные уравнения вида [5, 40]

良=В%, (I486)

%+工左 + R [g — g小 (14.8.7)

где индекс указывает номер итерации, a f0 = g. Диагональная матрица R определяется как

RS，昨而片祖⑺-气用],(14.8.8) где С — постоянная. Когда значение элемента исправленного изображения приближается к верхнему или нижнему пределу ограничения, соответствующий взвешивающий коэффициент R (п, п) стремится к нулю, благодаря чему обеспечивается устойчивость этого члена оценки. Метод дал хорошие результаты при обработке одномерных сигналов. Хуанг и др. [42, 43] предложили модифицированный метод для реставрации изображений с ограничениями ——так называемый метод проекций, предусматривающий итеративное решение системы уравнений g = Bf численными методами. На каждом этапе промежуточные оценки подвергаются ограничению по уровню в соответствии с установленным динамическим диапазоном.

Реставрация изображений с ограничениями ——развивающаяся область исследований. Здесь ведутся настойчивые поиски эффективных вычислительных методов, минимизирующих ошибки оценивания при наличии дополнительных ограничений.

МЕТОДЫ РЕСТАВРАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ НА ОСНОВЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО ОЦЕНИВАНИЯ

Большинство из рассмотренных в этой главе методов реставрации изображений основано на использовании простой модели нерезкого изображения, пораженного аддитивным шумом. Более того, почти все эти методы разработаны для критериев наименьших квадратов или среднеквадратической ошибки. Теперь рассмотрим более .общий класс методов реставрации изображений, основанных на теории статистического оценивания.

^ Обращаясь к формуле (13.7.2), запишем обобщенное векторное соотношение, связывающее вектор наблюдаемого поля g с векторами идеального изображения f и шума п:

g = ^{f,叫 (14.9.1)

где 0М (•)——обобщенная передаточная функция, моделирующая поэлементные и пространственные искажения изображения. Для нахождения оценки f по формуле (14.9.1) можно воспользоваться двумя общими подходами, основанными на групповой и рекуррентной обработке соответственно. Групповой процессор вычисляет оценку с использованием одновременно всех элементов наблюдаемого поля g; напротив, рекуррентный процессор пользуется только теми элементами поля g, которые расположены в некоторой окрестности оцениваемого элемента. При сильной корреляции элементов g групповой процессор вырабатывает более точную оценку, поскольку он использует больше входных данных. Ниже рассматриваются некоторые методы статистического оценивания [44—48], потенциально применимые к модели реставрации изображений (14.9.1).

乒贅 Статистическая оценка самого общего вида минимизирует некоторый усредненный функционал ошибки, определенный как

^ = £{x|7(f-f)|g} = J-Hf-f)p(f|g)df, (14.9.2)

где ф (•)—— функция ошибки или стоимостная функция, р (fjg)— апостериорная плотность вероятности вектора идеальногоu изображения f при заданном наблюдаемом векторе g. Если в качестве функционала ошибки используется среднеквадратическая ошибка

получаемая оптимальная оценка называется бейесовской и имеет вид

?=E{f|g} = Jfp(f|g)df,(14.9.3)

т. е. она является условным математическим ожиданием вектора идеального изображения при- заданном наблюдаемом векторе. Бейесовская оценка будет оптимальной и в случае применения многих других функционалов ошибки (например, абсолютной ошибки) при условии, что функционал ошибки обладает симметрией, а апостериорная плотность вероятности симметрична и одномодальна [48 ]. К сожалению, в случае нелинейной модели (14.9.1) наблюдаемого поля вычисление бейесовской оценки (14.9.3) обычно связано с большими трудностями. Нараги [49 ] разработал алгоритм реставрации изображений, дающий приближение к оценке (14.9,3).

Другая распространенная статистическая оценка ——так называемая оценка максимума апостериорной вероятности (МАВ), которая соответствует моде апостериорной плотности вероятности p(f|g). Для нахождения моды не обязательно располагать информацией об апостериорной плотности вероятности в явной форме. Теорема Бейеса позволяет выразить апостериорную плотность условной вероятности через плотности безусловных вероятностей р (f) и р (g) и плотность условней вероятности р (g I f):

。⑴ g) = 〃(g")P(f)/P(g)・(14.9.4)

Логарифмируя обе части равенства (14.9.4) и дифференцируя результат по f, получаем характеристическое уравнение вида

@ In [р (g I f)]/df + 0 ln[p (f )]；0f = 0,(14.9.5)

которое требуется решить относительно оценки ? при наличии подходящих моделей для р (g|f) и р (f). Большинство найденных решений основано на гауссовых моделях для fun. Хант [3 ] применил метод МАВ-оценки для решений задач реставрации изображений при использовании модели

g =(14.9.6)

где В —— матрица нерезкости, б?м (•)—— известный оператор поэлементной нелинейности, воздействующий на каждый элемент вектора Bf. Приняв гауссову модель, Хант представил (14.9.5) в рекуррентной форме, пригодной для вычисления решений итеративными методами.

Оценка наибольшего правдоподобия есть такое значение f, при котором апостериорная плотность вероятности р (g = g| f)

для фактически наблюдаемого поля g максимальна. Математически такая оценка определяется как

p(g|f) = maxp(g|f).(14.9.7)

Если вектор идеального изображения f имеет равномерное распределение, оценка наибольшего правдоподобия совпадает с Л1АВ-оценкой.

Методы статистических оценок должны дать хорошие результаты при решении задач реставрации изображений с нелинейными моделями наблюдаемых полей изображения. В таких случаях метода линейных оценок представляются неэффективными. Однако статистические методы реставрации изображений, известные в настоящее время, находят ограниченное применение из-за трудностей статистического моделирования и сложности практической реализации.

Литература

Sondhi М. М., Image Restoration: The Removal of Spatially Invariant Degradations, Proc. IEEE, 60, 7, 842—853 (July 1972). [Имеется перевод: Сондхи. Реставрация изображения: устранение пространственно-инвариантных искажений. —ТИИЭР, 1972, т. 60( №7, с. 108—123.]

Andrews Н. С., Digital Image Restoration: A Survey, IEEE Computer^ 7, 5, 36—45 (May 1974).

Hunt B. R., Digital Image Processing, Proc. IEEE, 63, 4, 693—708 (April 1975). [Имеется перевод: Хант. Цифровая обработка изображений. — ТИИЭР, 1975, т. 63, с. 177—195.].'

； Andrews Н. С„ Hunt В. R.» Digital Image Restoration, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1977..

Frieden B. R., Image Enhancement and Restoration, in: Picture Processing and Digital Filtering, Huang T. S., Ed., Springer-Veflag, New York, 1975. [Имеется перевод: Фриден Б. Улучшение и реставрация изображения.—— В кн.: Обработка изображений и цифровая фильтрация. [Под ред. Т. Хуанга.—М.: Мир, 1979.)、

Merechal A., Croce Р., Dietzel К., Amelioration du Contrast des Details des Im^^Photographiques par Filtrage des Frequencies Spatialest Opta Acta, 7. Tsujiuchi J., Correction of Optical Images by Compensation of Aberrations and by Spatial Frequency Filtering, in: Progress in Optics, Vol. 2, Wolf Е.» Ed., Wiley, New York, 1963, pp. 131—180.

Harris J. L., Sr., Image Evaluation and Restoration, J・ Opt. Soc. Am., 56, 5, 56J574 (May 1966).

McGlamery B. L., Restoration of Turbulence-D^raded Images, J. Opt. Soc. 4m., 57, 3, 293—297 (March 1967).

Mueller P. F., Reynolds G. O., Image Restoration by Removal of Random Media Degradations, J. Opt. Soc. Am.t 57, 11, 1338—1344 (November 1967).

IL Helstrom C. W., Image Restoration by the Method of Least Squares, J. Opt. Soc, Am., 57, 3, 297—303 (March 1967).

Harris J. L., Sr., Potential and Limitations of Techniques for Processing Linear Motion-Degraded Imagery, in: Evaluation of Motion D^raded Images, U. S. Government Printing Office, Washington D. С.» 1968, pp. 131—138, 5 У. Прэтт

Horner J. L., Optical Spatial Filtering with the Least-Mean-Square- Er го г Filter, J. Opt. Soc. Am.t 51, 5, 553—558 (May 1969).

Horner J. L., Optical Restoration of Images Blurred by Atmospheric Turbulence Using Optimum Filter Theory, Appl. Opt, 9, 1, 167—171 (January 1970).

Lewis B. L., Sakrison D. J,, Computer Enhancement of Scanning Electron Micrographs, IEEE Trans. Circuits and Systems, CAS-22, 3, 267—278 (March 1975).

Slepian D., Restoration of Photographs Blurred by Image Motion, Bell Sy st. Tech. J., XLVI, 10, 2353—2362 (December 1967).

Cole E. R., The Removal of Unknown Image Blurs by Homomorphic Filtering, Ph. D. Dissertation, Department of Electrical Engineering, University of Utah, Salt Lake City, June 1973,'

Hunt B. R., The Application of Constrained Least Squares Estimation to Image Restoration by Digital Computer, IEEE Trans. Computers, C-23, 9, 805—812 (September 1973)..

Mascarenhas N. D. A., Pratt W. К/, Digital Image Restoration Under a Regression Model, IEEE Trans. Circuits and Systems, CAS-22, 3, 252—266 (March 1975).

Pratt W. K., Davarian F., Fast Computational Techniques for Pseudo inverse and Wiener Image Restoration, IEEE Trans. Computers^ C-26, 6, 571—580 (June 1977).

Pratt W. K., Pseudoinverse Image Restoration Computational Algorithms, in: Optical Information Processing, Vol. II, Stroke G. W., Nesterikhin Y., Barrekette E. S., Eds., Plenum Press» New York, 1977.

Rust B. W., Burrus W. R., Mathematical Programming and the Numerical Solution of Linear Equations, American Elsevier, New York, 1972.

Albert A., Regression and the Moore-Penrose Pseudoinverse, Academic Press, New York, 1972.

Andrews H. C., Patterson C. L., Outer Product Expansions and Their Uses in Digital Image Processing, Am. Math. Monthly^ 1, 82, 1—13 (January 1975).

Andrews H. C., Patterson C. L., Outer Product Expansions and Their Uses in Digital Image Processing, IEEE Trans, Computers, C-25, 2, 140—148 (February 1976).

Huang T. S., Narendra P. M., Image Restoration by Singular Value Decomposition, Appl. Opt, 14, 9, 2213—2216 (September 1975).

Andrews H. C., Patterson C. L., Singular Value Decompositions and Digi- tai Image Processing, IEEE Trans. Acoustics» Speech, and Signal Processing, ASSP-24, 1, 26—53 (February 1976).

Lewis T. 0., Odell P. L., Estimation in Linear Models, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1971.

Pratt W. K., Generalized Wiener Filter Computation Techniques, IEEE Trans. Computers, C-21, 7, 636—641 (July 1972).

Papoulis A., Probability Random Variables and Stochastic Processes, McGraw- Hill, New York, 1965.

Twomey S., On the Numerical Solution of Fredholm Integral Equations of the First Kind by the Inversion of the Linear System Produced by Quadrature, J. Assoc. Computing Machinery, 10, 97—101 (1963).

Phillips D. L„ A Technique for the Numerical Solution of Certain Integral Equations of the First Kind, J. Assoc. Computing Machinery, 9, 84—97 (1964).

Tikonow A. N., Regularization of Incorrectly Posed Problems, Soviet M" hematics, 4, 6, 1624—1627 (1963).

Barrett E. B., Devich R. N., Linear Programming Compensation for SpaceVariant Image Degradation, Processing SPIE/OSA Conference on Image Processing, Urbach J. C., Ed., Pacific Grove, California, February 1976, Vol. 74, pp. 152—158.

MacAdam D. Р・，Digital Image Restoration by Constrained Deconvolution. J, Opt, Soc. Am., 60, 12, 1617—1627 (December 1970).

Burg J. P.t Maximum Entropy Spectral Analysis, 37th Annual Society of Exploration Geophysicists Meeting, Oklahoma City, 1967.

Edward J. A., Fitelson M. M., Notes on Maximum Entropy Processing, IEEE Trans, Inf. Theory, IT-19, 2, 232—234 (March 1973).

Frieden B. R., Restoring with Maximum Likelihood and Maximum Entropy, J. Opt. Soc. 4m„ 62, 4, 511—518 (April 1972).

Frieden B. R., Maximum Entropy Restorations of Garrymede, in: Proceedings SPIE/OSA Conference on Image Processing, Urbach J. C., Ed., Pacific Grove, California, February 1976, Vol. 74, pp. 160一165.

Jansson P. A., Hunt R. H., Peyler E. K・，Resolution Enhancement of Spectra. J. Opt. Soc. Am.у 60, 5, 596—599 (May 1970).

Van Cittert P. H.( Zun einflusz der Spaltbreite auf die Intensitatsverteilung in spektrallinien-Part II, Z. Physik, 69, 298—308 (1931).

Huang T. S., Baker D. S., Berger S. P., Iterative Image Restoration, Appl. Opt, 14, 5, 1165-1168 (May 1975).

Huang T. S., Restoring Images with §hift-Varying Degradations, Proceedings SPIE/OSA Conference on Image Processing, Urbach J. C., Ed., Pacific Grove, California, February 1976, Vol. 74, pp. 149—151.

Helstrom C. W., Statistical Theory of Signal Detection, Pergamon Press, New York, 1960. [Имеется перевод: Хелстром К., Статистическая теория обнаружения сигналов.—М.: ИЛ, 1963.]

Middleton D., An Introduction to Statistical Communication Theory, McGraw- Hill, New York, 1960. [Имеется перевод: Миддлтон Д., Введение в статистическую теорию связи. —М.: Советское радио, т. 1, 1961, т. 2, 1962.]

Deutsch R., Estimation Theory, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1965.

Van Trees H. L., Detection, Estimation, and Modulation Theory, Vol. 1, Wiley, New York, 1968. [Имеется перевод: Ван Трис Г., Теория обнаружения, оценок и модуляции, т. 1. Теорйя обнаружения, оценок и линейной модуляции.—М.: Советское радио, 1972.1

Nahi N. Е., Estimation Theory and Applications, Wiley, New York, 1969.

Naraghi M., An Algorithmic Image Estimation Method Applicable to Nonlinear Observations, University of Southern- California, Image Processing Institute, USCIPI Report 580, 1975.

СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ РЕСТАВРАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Гл. 14 посвящена рассмотрению основных методов пространственной реставрации изображений. В данной главе описывается применение этих методов для решения ряда конкретных задач.

РЕСТАВРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ С ЦЕЛЬЮ ПОДАВЛЕНИЯ

ОШИБОК НАЛОЖЕНИЯ СПЕКТРОВ

Непрерывное изображение можно дискретизировать с пространственной частотой, составляющей меньше половины его наибольшей пространственной частоты. В этом случае будет формироваться массив отсчетов, содержащий ложные пространственные составляющие, которые возникают вследствие наложения на исходный спектр побочных спектров дискретизованного изображения. Процедура реставрации изображений может уменьшить вредное влияние этих ошибок [1, 2].

На рис. 15.1.1 показана модель системы с дискретизацией и восстановлением изображения. Пусть исходное изображение, описываемое функцией 巳(х,汾，дискретизируется с частотой (d*s по координате % и ®у& по координате у. Используются дискретизирующие импульсы в виде бесконечной последовательности дельта-функций, однако частоты дискретизации меньше частоты дискретизации Найквиста. Если бы дискретизация выполнялась в соответствии с критерием Найквиста, на выходе идеального фильтра нижних частот с областью пропускания ±(о心/2 и (о^/2 формировалось изображение, идентичное исходному изображению. В случае дискретизации с пониженной частотой на выходе интерполирующего фильтра нижних частот возникает интерполированное изображение, описываемое функцией

尸R(x, 9)=f,(*, 9)+ 4(看5，(15.1.1)

где Л (х, у) —«изображение» из ложных составляющих, вызван-- ных наложением спектров. Согласно формуле (4.2.16), это «изображение» описывается функцией

4 (% 9)= (1 /4炉)J J 夕Q (吗，s〃) exp {t[(OxX + co就} d^ dw^,

-«*./2 -%/2(15.1.2)

где

夕 Q(3*,3g)= £2 ^1^- /1W^> ^у - i-^ (15.1.3)

/ !=—00 j2=—CO/1* /s^O

представляет составляющие побочных спектров дискретизованного изображения.

GC,勿GC,勿

GC,勿

GC,勿

纵阳，%、

Рис. 15.1.1. Модель реставрации изображений с целью подавления ложных ча-、 стот..

Выражение (15.1.1) соответствует классической модели сигнала с помехой; следовательно, борьбу с ложными пространственными частотами можно вести, пользуясь классическими методами реставрации изображений, описанными в гл. 14. Если исходное изображение, описываемое функцией 巳(х, у), рассматривать как реализацию двумерного случайного процесса, то Л (х, у) также будет случайным полем. В этом случае частотную характеристику оптимального интерполирующего фильтра,, минимизирующего среднеквадратическое отклонение оценки F/ от исходного изображения Fh можно найти , методами винеровского оценивания. Если речь идет о непрерывных изображениях, то оптимальная интерполирующая частотная характеристика, определенная в области пропускания фильтра нижних частот, имеет ВИД

约限吗) = ^F"R (叫，％)/乎FR (叫，sj (15.1.4)

В этом выражении числитель есть взаимный энергетический спектр F/и интерполированного изображения F&, знаменатель —энергетический спектр 尸&• При относительной независимости высокочастотных и низкочастотных пространственных составляющих элементы Fj (х, у) и А (尤 у) могут считаться независимыми. В рамках этого допущения частотная характеристика интерпо-

лирующего фильтра в области пропускания описывается выражением

现14 (8%，Sy) = ^F;(叫，S〃)/[*F; ®x, Sy) + »4(叫，S?)】，(15.1.5) где 乎力(co%, (о/ ——энергетический спектр ложных составляющих Л (х,力

КОРРЕКЦИЯ ОШИБОК ИНТЕРПОЛЯЦИИ

В большинстве воспроизводящих изображения дисплеев за? труднительно формировать и поддерживать с большой точностью параметры апертуры (пятна). Следовательно, на практике редко удается обеспечить оптимальную интерполяцию отсчетов дискретизованного изображения. Однако во многих случаях ошибки интерполяции, вносимые дисплеем, удается скомпенсировать посредством цифровой обработки. Реставрации поддаются также многие плохо интерполированные изображения, записанные фотографическими или электронными методами.

В разд. 13.5 приведены некоторые модели интерполяции, производимой при воспроизведении изображений. Интерполированное непрерывное изображение можно описать функцией

к к

&他切=， ，生(瓦，風R(x-月AS, 9-自AS),

(15.2.1) где Fg 但i, &2)——массив отсчетов изображения, AS ——шаг дискретизации, R (х, у) —интерполирующая функция дисплея, которая предполагается пространственно-инвариантной. Желаемое интерполированное изображение описывается функцией .

尸。a，价=££生电,尸。a，价=££生电,① Rd(X -网 AS, у 一 论2 AS),(15.2.2)① Rd(X -网 AS, у 一 论2 AS),(15.2.2)

尸。a，价=££生电,

尸。a，价=££生电,

① Rd(X -网 AS, у 一 论2 AS),

(15.2.2)

① Rd(X -网 AS, у 一 论2 AS),

(15.2.2)

где Rd (x, у) —желаемая интерполирующая функция. Если Rd образована двумя двумерными sinc-функциями, FD будет идеальным представлением исходного изображения 巳(если не считать ошибки усечения вследствие конечности разложения); при этом предполагается, что массив отсчетов Fq был получен с* использованием частоты дискретизации Найквиста. t•审

Непрерывные поля Fr и Fd можно сравнить, изучая их соответствующие отсчеты, расположенные в узлах решетки с шагом Д/. Согласно выражениям^(13.5.4) и (13.5.5), обозначим через

% = RfG, (15.2.3)

坛=RNg (15.2.4)

векторные представления получаемых массивов отсчетов, где R н Rd — матрицы, элементами которых являются отсчеты R (х, у) и Rd (% У)соответственно. Например, при использовании одномерной интерполирующей функции с пятью отсчетами и AS = △/ интерполирующая матрица имеет вид

^ W ^ о^ W ^ о⑵⑶⑷(5)⑵⑶⑷(5)\JZ \JZ \и/ \i/ XI/ ■ 1 2 3 4 5 /их /|\ /их /|\ z(\\JZ \JZ \и/ \i/ XI/ ■ 1 2 3 4 5 /их /|\ /их /|\ z(\оооооо1 ^, ^^ ^* S' z(\ /|\ /t\ /|\ /|\ г г г г г1 ^, ^^ ^* S' z(\ /|\ /t\ /|\ /|\ г г г г г

^ W ^ о

^ W ^ о

⑵⑶⑷(5)

⑵⑶⑷(5)

\JZ \JZ \и/ \i/ XI/ ■ 1 2 3 4 5 /их /|\ /их /|\ z(\

\JZ \JZ \и/ \i/ XI/ ■ 1 2 3 4 5 /их /|\ /их /|\ z(\

о

о

о

о

о

о

1 ^, ^^ ^* S' z(\ /|\ /t\ /|\ /|\ г г г г г

1 ^, ^^ ^* S' z(\ /|\ /t\ /|\ /|\ г г г г г

RR(15.2.5)(15.2.5)

R

R

(15.2.5)

(15.2.5)

оооооооо⑴⑵⑶⑷⑴⑵⑶⑷0 ⑴⑵⑶0 ⑴⑵⑶

о

о

о

о

о

о

о

о

⑴⑵⑶⑷

⑴⑵⑶⑷

0 ⑴⑵⑶

0 ⑴⑵⑶

Каждый столбец R содержит значения отсчетов г (%), расположенных с шагом Д/. (

Векторные соотношения (15.2.3) и (15.2.4) указывают на принципиальную возможность исправления ошибок, обусловленных несовершенством системы интерполирующих функций R, посредством линейного преобразования массира отсчетов fG с помощью оператора W перед интерполяцией. Ошибку по критерию наименьших квадратов, выражающую различие между $& и fD, минимизирует оператор обобщенного обращения W — R-Rq, где R" —обобщенная обратная матрица для R. Преобразование без ошибок возможно лишь в том случае, когда число строк матрицы R меньше или равно числу ее столбцов. Если интерполированное поле Fr (х, у) измеряется только в точках, разделенных интервалом Найквиста AS, то матрица R является квадратной, а оператор W = R~Rq обеспечивает идеальную интерполяцию в точках расположения отсчетов изображения при условии существования R-1. Результаты измерений на интервалах между отсчетами предсказать невозможно.

Чрезвычайно большой размер матрицы R делает практически невозможным ее прямое обращение или псевдообращение. В случае квадратных матриц это затруднение можно обойти, сделав

R блочно-циклической матрицей [3]. В рассмотренном одномерном примере матрицу (15.2.5) легко обратить в циклическую матрицу

■ 000 г(3) г(4)~

.0 0 г (5)

.'.0 00

R=R +

••♦.•

.(15.2.6)

"1) 0.'..

一"2) г(1) ... 0 00 _

Таким же образом можно сформировать циклическую матрицу Rd из матрицы R。. Поскольку R и Rd —циклические матрицы, оператор W = R"1^ также является циклическим. Это позволяет воспользоваться методами, описанными в гл. 11, и осуществить реставрацию в фурье-области.

КОРРЕКЦИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ИСКАЖЕНИЙ

Многие изображающие системы вносят геометрические искажения. Рис. 15.ЗЛ иллюстрирует подушкообразную и бочкообразную дисторсию, часто возникающую в видиконных теле-

Рис. 15.3.1. Примеры геометрических искажений изображения.

а — искажения отсутствуют; 6 — подушкообразная дисторсия; в — бочкообразная дисторсия.

камерах и дисплеях с кинескопом. Один из возможных способов коррекции подобных искажений сводится к такому нелинейному предыскажению растра при развертке изображения, которое обеспечивает компенсацию ожидаемых искажений. Возможна также апостериорная коррекция, основанная на полиномиальной аппроксимации каждой горизонтальной и вертикальной линии иска-

женного растра; данные аппроксимации используются затем для вычисления обратных корректирующих функций для каждой ячейки сетки [4]. Метод пространственного искривления позволяет также корректировать перспективные искажения. Изображение протяженного объекта, наблюдаемого сбоку, можно искривить таким образом, что будет получено изображение, соответст-

Наблю^еишй элемент

Рис. 15.3.2. Коррекция геометрических искажений методом пространственного искривления.

вующее наблюдению этого объекта под прямым углом. Другое важное применение этого метода —спрямление парных изображений одной и той же сцены, полученных при разных углах наблюдения.

Рис* 15.3.2 иллюстрирует идею пространственного искривления как метода коррекции пространственных искажений, вносимых изображающей системой. В идеальное изображение вносится пространственное геометрическое искажение, которое можно описать отображением точки (/,舟 идеального изображения в точку (р, д) наблюдаемого изображения в соответствии с выражениями

Р = % 亿財，(15.3.1а)

9 =&},(15.3.16)

где 0P {*} и % {•} —монотонные отображающие функции о6・ ще「о вида. На рис. 15.3.2 точками показаны элементы наблюдаемого изображения, соответствующие целочисленным значениям

координат точки (р, д). Скорректированные элементы изображения, показанные крестами, получены в результате корректирующего пространственного искривления (отображения) массива наблюдаемых элементов изображения, помеченных звездочками; в общем случае значения элементов со звездочкой не совпадают со значениями наблюдаемых элементов. Процедуру корректирующего искривления можно разбить на два этапа. Сначала определяют координаты точки (р, д), которая отображается в точку размещения скорректированного элемента изображения. Затем находят оценку яркости изображения в точке (р, д), интерполируя значения яркости соседних наблюдаемых элементов, и приписывают полученную оценку скорректированному элементу изображения.

Если функции пространственных искажений % {•} и，0g {•} известны, то координаты (р, q) можно вычислить непосредственно по формулам (15.3.1), подставляя в них координаты (/,左)，где / и ——целые числа* Как правило, такая информация отсутствует, поэтому необходимо пользоваться некоторой математической моделью реальных искажений. Часто применяют полиномиальные модели. В качестве примера рассмотрим оценку пространственного исказсения в виде полинома второго порядка:

Р = % + "J + && + а/ 十 &/ + 〃5野， (15.3.2а)

?=瓦+瓦，+瓦尼+ V + M +ь配 (15326)

где @/ и 瓦一постоянные коэффициенты. Эти коэффициенты обычно выбирают таким образом, чтобы минимизировать среднеквадратическую ошибку аппроксимации фактически наблюдаемых координат ("m, 0m) их полиномиальной оценкой (pm, qQ для набора известных точек (jm, ^), называемых узлами (1 w /и w W М)・ КоординаГты в плоскости наблюдаемого изображения удобно выразитьв виде векторов

рт = [%, °2，.."м】， (15.3.3а)

q =(91, %，••・，，Л11・(15.3.36)

Аналогично коэффициенты полиномов можно представить в векторной форме:

(15,3.4а)(15346)(15,3.4а)(15346)а = [%, а】，• • ■, “5】,b =[瓦，瓦＞ ^5]-

(15,3.4а)

(15346)

(15,3.4а)

(15346)

Теперь среднеквадратическую ошибку оценивания можно записать в компактной форме:

Е = (р「Аа)' (р — Аа) + (q — Ab)' (q — Ab), (15.3.5) где

&电/?陶々门а 1 /2 ^2 Л i凤妤

4Ll /м Rm Jai ]мкм ㈱一

В гл. 8 было показано, что ошибка минимальна при

а』А-р,■ '(15.3.7а)

b = A』q,(15.3.76)

где А~ ——обобщенная обратная матрица для А. Если число узлов превышает число полиномиальных коэффициентов, то

А- =(А『А)т АС(15.3.8)

Пользуясь этой методикой, можно без труда вычислить коэффициенты @八 瓦，а затем по формулам (15.3.2) определить в плоскости наблюдаемого изображения координаты всех точек (звездочки на рис. 15.3.2), отображаемых в точки с целочисленными координатами, которые соответствуют скорректированным элементам изображения (кресты на рис. 15.3.2).

Теперь, зная координаты (/?, д) в плоскости наблюдаемого изображения и уровни яркости наблюдаемых элементов, нужно оценить уровень яркости элемента с координатами (/, &) в плоскости скорректированного изображения. Эту задачу можно решить методом интерполяции. Согласно формуле (4.1.9), интерполированное непрерывное изображение в плоскости наблюдаемого изображения можно описать функцией

G (х, у) = £ 工 G(mA, nA) R (x — mA, у nA), (15.3.9)

где R (x, y)——и нтер полир ующая функция, А —шаг дискретизации. Оценка скорректированного изображения запишется как

力(厶 R) = G3,必)， (15.3.10) где (р, q) —нецелочисленный индекс интерполированного элемента. Теоретически оптимальную интерполяцию обеспечивают sinc-функции или функции Бесселя. На практике, однако, обычно пользуются интерполирующими функциями, реализация которых сопряжена с меньшими трудностями. Это прямоугольные, треугольные и В-сплайн функции, рассмотренные в разд. 4.3. В некоторых системах с пространственным искривлением используют даже интерполяцию по окрестности элемента изображения.

РЕСТАВРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОДОМ

ГОМОМОРФНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Если наблюдаемое изображение искажено мультипликативной помехой, его целесообразно реставрировать методом гомоморфной фильтрации [5], суть которой иллюстрирует рис. 15.4.1. Пусть

Рис. 15,4.1. Реставрация изображений • методом гомоморфной фильтрации.

наблюдаемое непрерывное изображение представляется функцией, полученной в результате умножения функции, описывающей идеальное изображение, на функцию £ (х, у):

&(% 切=尸/(匕 У)Е(х, у). (15.4.1)

Функция £ (х, у) может описывать мультипликативный шум или, например, неравномерность освещенности по полю. В любом случае цель реставрации состоит в нахождении оценки F； (%, у) по данным обработки наблюдаемого изображения. Логарифмирование соотношения (15.4.1) приводит, к аддитивным помехам:

log 阳(%, у)] = log [尸/ (х, y)\ + log [£ (x, у)]. (15.4.2)

Оценку логарифма F； (х, у) можно .найти, пользуясь обычными методами линейной фильтрации. Последующее антилогарифмирование дает оценку идеального изображения.

СЛЕПАЯ РЕСТАВРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Почти все методы реставрации изображений основаны на использовании априорной информации об искажении, внесенном в изображение; предполагается, что известны поэлементная характеристика передачи уровней и пространственный импульсный отклик. Во многих применениях такая информация недоступна. Может оказаться, что искажение либо трудно измерить, либо оно претерпевает непредсказуемые изменения во времени. Во всех таких случаях информацию об искажениях приходится извлекать из наблюдаемого изображения, пользуясь явными или неявными методами. Реставрация изображений в таких условиях называется слепой [6—10]. В данной главе рассмотрение методов слепой реставрации изображений ограничено вопросами обработки нерезкого изображения с аддитивным шумом.

Известны два основных подхода к решению задачи слепой реставрации изображений: прямое измерение и косвенное оценивание. Применяя методы первой группы, прежде всего оценивают

импульсный отклик нерезкостн и уровень шума на основе измеренных параметров реставрируемого изображения; полученная информация используется затем при реставрации изображения. Методы косвенного оценивания основаны на процедуре временного или пространственного усреднения» причем получаемые данные используют либо для осуществления реставрации изображения, либо для определения ключевых элементов реставрационного алгоритма.

МЕТОДЫ НА ОСНОВЕ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Слепая реставрация нерезкого зашумленного изображения обычно сопряжена с измерением импульсного отклика нерезкости и энергетического спектра шума или ковариационной функции наблюдаемого изображения. Импульсный отклик нерезкости обычно измеряют, изолируя участок изображения, соответствующий предположительно известному объекту. По определению импульсный отклик есть изображение точечного источника. Следовательно, любой точечный объект наблюдаемого изображения предоставляет прямую информацию об импульсном отклике. Изображение предположительно резкого перепада яркости также может служить основой для определения импульсного отклика. Усреднение нескольких строк изображения, перпендикулярных направлению перепада, обеспечивает существенное снижение влияния шума. Ковар и ационную функцию шума наблюдаемого изображения удается оценить посредством измерения ковариационной функции изображения на участке с относительно постоянной фоновой яркостью. В работах [6—8 ] содержится подробное описание методов реставрации изображений на основе прямых измерений.

МЕТОДЫ НА ОСНОВЕ КОСВЕННОГО ОЦЕНИВАНИЯ 一

Для телевизионных систем, действующих в реальном масштабе времени, характерна временная избыточность передаваемых кадров изображения, которая позволяет реализовать слепую реставрацию косвенными методами. Пусть в телевизионной системе 1-й кадр наблюдаемого изображения описывается функцией

@G,勿=巳(居仍+ MG,以(1551)

где F； (х, у) —функция идеального изображения, М (爲 У)— поле аддитивного шума, не коррелированного с 巳(х, у). Если на М кадрах идеальное изображение сохраняется неизменным, то временное усреднение наблюдаемых полей дает следующий результат:

мм

储(X, 9)= (1/М)2：@(х, у)-(1/М)Ъ^(х,办(15.5.2)

При большом М величина отрицательного члена (15.5.2) стремится к среднему по ансамблю значению шума Е ^ (х, у)\. В распространенном случае гауссового белого шума с нулевым средним для всех (х, у) имеем нулевое среднее по ансамблю; это обстоятельство дает основание записать оценку в виде

巳色 у) = (1/М) g а (х, у).(15.5.3)

Временнбе усреднение также позволяет компенсировать нерез- кость изображения. Рассмотрим изображающую систему, в которой последовательные кадры содержат изображения почти неподвижных объектов, причем в каждом кадре нерезкость вносится импульсным откликом Hj (х, у), независимым от линейного сдвига. Примером такой изображающей системы может служить фотографическая система, в которой удаленный объект наблюдают через турбулентную атмосферу; при этом предполагается, что в межкадровых интервалах смещение объекта несущественно. Съемка с короткой выдержкой позволяет «заморозить» пространственную картину атмосферной турбулентности в моменты времени, соответствующие последовательным кадрам изображения. Для t-го кадра нерезкого изображения такого объекта можно записать

G(X, у) = Р/(х, у) * Hi(x, у),(15.5.4)

где / = 1, 2, ...» М. Фурье-спектр искаженного изображения запишется так

团 ®, sj =夕/ (<ох,(0^) Ж(«х, %).(15.5.5)

Логарифмирование выражения (15.5.5) дает

也［回(叫，啕］=Un［0"7((0A•,①m + 也［羯((о*,з川，(15.5.6) т. е. делает аддитивно разделимыми спектр идеального изображения и передаточную функцию искажающей системы. Это позволяет обратиться к общеизвестным методам статистического оценивания сигнала на фоне аддитивного шума. При отсутствии корреляции между импульсными откликами отдельных кадров изображения целесообразно вычислить сумму

若山因(з冷3/ = m1 口 ［$7 (①用喇+ 2 In ［附(3%，3前，

". J(15.5.7)

поскольку при большом М она стремится к постоянной величине

У£н (ю^, Зу)= Нт 工1口［附(％,(oj］.(15.5.8)

Таким образом,加出(з%, з&) можно рассматривать как результат усреднения логарифмов частотных характеристик, описывающих турбулентность атмосферы. Выражение для оценки спектра изображения можно записать в виде■

死(叫，嗚=exp {一比"(吗，啕/m} 口修,(叫,3/"".•

(15.5.9)

Обратное преобразование Фурье-спектра (15.5.9) .дает оценку в пространственной области. В любой практической изображающей системе в формулу (15.5.4) приходится вводить член для учета аддитивного шума Ni (х, у). К сожалению, эта шумовая составляющая делает неправомерной операцию разделения (15.5.6) и, следовательно, заставляет отказаться от всех последующих выкладок. Один из методов преодоления этой трудности заключается в предварительном сглаживании (фильтрации) шума каждого наблюдаемого поля и использовании полученных результатов в формуле (15.5.9) в качестве оценок «незашумленных» изображений [9 ]. Можно также применить метод слепой реставрации сигналов, разработанный Стокхэмом и др. [9, 11 ].'

Этот метод можно использовать, в частности, для обработки одиночных кадров зашумленных нерезких изображений, описываемых как

尸О(х, y) = F/(x, y)*HD(x, у) + ^(X, у),(15.5.10)

где HD (х, у) —пространственно-инвариантный импульсный отклик нерезкости. Реставрация выполняется с помощью сохраняющего энергетический спектр изображения фильтра с частотной характеристикой (14.1.16):

鑑R（3%，Зу）=鑑R（3%，Зу）=»/((й*, (Й0у/2

鑑R（3%，Зу）=

鑑R（3%，Зу）=

f 器口 (叫，Sy№ 步戶/(8%，S?) + #N(S*，S?)，

(15.5.11)

где 犷尸/ (①*, sj и 犷v (吗，sj—энергетические спектры идеального изображения и шума соответственно, %口 (①力,sj —— частотная характеристика нерезкости. При использовании метода слепой реставрации изображений Стокхэма оценку знаменателя в (15.5.11) находят, разбивая наблюдаемое изображение на фрагменты из 64x64 элементов, которые можно представить как

戸З(х, у) = Рц (х，7у) * Яд (х,^) + М- (х, у).(15.5.12)

Каждый фрагмент обрабатывается соответствующим окном и подвергается преобразованию Фурье:

声oi ®, Зу)=歹и(Зх, Зу)彌D 但，з/ + 生 他，&J

(15.5.13)

Затем для каждого фрагмента вычисляют логарифм модуля спект- тра, а полученные данные усредняют. В результате получают

纟=纥(15.5.14)

где

纟三(1/Nb) I log!宣a(3心 3就 (15.5.15a) /=1Q

NB ~

现=(1/%唔 log I m"(3*, 3j 務(吗:coj + Л5 (叫，咽,.

“■(15.5.156)

где Nr——число фрагментов. Если Nr достаточно велико, пространственные средние в обеих частях равенства (15.5.14) мало отличаются от соотвётствующих средних по ансамблю. Было показано [9], что среднее и дисперсия для (15.5.156) имеют вид

^ = % log ^F! (% 碱 I 箔Q (吗，sj|2 + 斤(3*, 8川 + (C/2),

(15.5.16a)

唸="2/24%,(15.5.166)

где С = 0,57221 ... —постоянная Эйлера. Таким образом, равенство 纟=烫 позволяет найти оценку знаменателя в (15.5.11) для частотной характеристики реставрирующего фильтра. Оценку числителя формулы (15.5.11) находят подобным образом, генерируя незашумленные и резкие изображения-модели, характер которых должен имитировать предполагаемый характер идеального изображения. Пусть, например,尸/ (х, у) описывает нерезкое и зашумленное изображение машинописной страницы; в этом случае должна использоваться модель в виде четкого и неискаженного шумами машинописного документа. Большой интерес представляет тот факт, что процедура слепой реставрации не требует явной оценки частотной характеристики нерезкости и оценки энергетического спектра шума. Эксперименты даютм ногообещающие результаты [9].

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ СПЕКТРА

Инверсный фильтр, предназначенный для реставрации изображений, имеет частотную характеристику

鑑R®*，①у) = 1/捲Q 但，S J(1561)

где 鑑Q (to#, «о/ — частотная характеристика изображающей системы с учетом пространственных искажений. В гл. 14 было показано, что осуществление такого фильтра часто оказывается затруднительным вследствие недопустимого увеличения шума в области высоких пространственных частот, где частотная характеристика искажений имеет малое значение. Более того, в любой реальной изображающей системе частотная характеристика 鑑° принимает нулевое значение вне некоторой области (з^ + <о^) > > Л, где Л — постоянная, поскольку такая система является дифракционно ограниченной. Поэтому создается впечатление, что инверсная фильтрация позволяет реставрировать составляющие изображения только в области пропускания изображающей системы, даже если шум отсутствует. Предположим, однако, что функция F； (х, у), описывающая идеальное изображение, ограничена по координатам х, у・ Спектр 夕/ (①幻(oj должен быть неограниченным. Поскольку спектр идеального изображения является аналитической функцией, существует принципиальная возможность его однозначного продолжения за границы области пропускания изображающей системы, если он определен внутри этой области. Подвергая продолженный спектр обратному преобразованию Фурье, получают восстановленное изображение, соответствующее разрешению сверх дифракционного предела. Это и есть основная концепция «сверхразрешения» как метода повышения четкости изображения [12—15].

Один из возможных способов аналитического продолжения спектра изображения за дифракционный предел основан на применении сфероидальных волновых функций [16]. В одномерном случае эти функции обладают следующими свойствами. При заданных Т > 0 и Q > 0 существуют счетное бесконечное множество действительных функций (собственных функций) Tf (/) и соответствующее множество действительных чисел (собственных значений)儿，такие, что

спектр Фурье функций Тг (/) тождественно равен нулю при I © I > Q;

функции 也(0 ортонормальны на действительной оси: j中向中№)出=6(一力(15.6.2)

функции W$ (f) ортонормальны на интервале—772 V < t < 772:

Г/2'

J Y ⑴ T7 (/) dt =儿6 (i - /);(15.6.3)

для всех значений t

Г/2

儿乜(f)= j [sin Q (i — а)/л (i — a)] Tf (a) da. (15.6.4)

-T/2，

Сфероидальные волновые функции Т( (f) являются функциями произведения с = .ТО/2, где 7 ——временной интервал и Q ——гра-

Рис. I5.6.L Сфероидальные волновые функции.

ничная частота полосы пропускания. Рис. 15.6.1 иллюстрирует вид нескольких сфероидальных волновых функций. Предположим, что идеальное изображение имеет ограниченный размер, т. е.、

、6(看 У) = ^ при |x|>L или \у\>Ц(15.6.5)

где L—постоянная. Пусть 歹/ (з%, w^) — двумерный спектр Фурье функции 尸/(%, у), известный в некоторой области пропускания:

* I吗 |《3%с/2,(15.6.6а)

|з/ w 3疯2・(15.6.66)

Разложив 歹/ (©х,①力 по системе спектральных сфероидальных волновых функций с переменными в виде пространственных частот, получим

夕,(З*, з")= * :旬g(3")巧向)(15.6.7)

，=0 /=т0

для всех(о*,(о夕 Умножим обе части равенства (15.6.7) на 中m (①%, )^л (①j и проинтегрируем, результат в пределах об-

ласти пропускания. В результате получим выражение вида

^хс/^ Sgc/2

J J ^(%)叭(3")夕,(3*,3g)加加产

一吗话/2 —(0%/2

8 8 吗力2 ^уер

亠例 j j ^m (cox) T„ (co#) Тг (coj Ту (co^) dax day.

，=° /=°_%c/2 —3〃/2

(15.6.8)

Правая часть равенства (15.6.8) в силу (1563)' переходит в

2： Т (i — m, j — m).(15.6.9)

j=0 厘'

Следовательно,

^хсР ^усР'

а^п枕=(1/入m入枕)J J ▽仙(叫)屮枕(％) ^"/(8%, sjdSjcdSy.

一吗力2 -恥/2

(15.6.10)

Поскольку спектр 夕/ (①*,①“)в области пропускания определен, подстановка сфероидальных волновых функций и их собственных значений в (15.6.10) дает коэффициенты 仪仙枕. Эти коэффициенты теперь можно подставить в формулу (15.6.7) и определить искомое разложение 夕^ ®, ©3' для всех

Метод аналитического продолжения спектра теоретически возможен, однако его трудно реализовать по следующим трем основным причинам:

Вычисление сфероидальных волновых функций и их собственных значений с высокой точностью, соответствующей достаточно большим произведениям протяженности этих функций на граничную частоту, сопряжено с большими трудностями.

Разложение (15.6.7), обеспечивающее аналитическое продолжение, удается вычислить лишь приближенно, т. е. с конечным числом членов, что связано с ошибками усечения.

Спектр, измеряемый в области пропускания изображающей системы и подставляемый в формулу (15.6.10) для нахождения коэффициентов разложения а^ фактически состоит из двух составляющих —спектра изображения и шумового спектра; таким образом, вычисление коэффициентов amn никогда не бывает абсолютно точным.

Главным препятствием на пути реализации процедуры аналитического продолжения всегда была и остается проблема шума. Расчеты показывают [1Ъ], что для .аналитического продолжения

спектра за дифракционный предел с восстановлением всего нескольких пространственных частот требуется, чтобы отношение видеосигнал/шум было больше 1000 : L До сих пор было проведено лишь несколько машинных экспериментов с одномерными сигналами [13, 14].

РЕСТАВРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ С ПРОСТРАНСТВЕННОЗАВИСИМЫМИ ИСКАЖЕНИЯМИ

Пусть искажения； которые вносит изображащая система, можно промоделировать оператором, зависящим от линейного сдвига. В этом случае искаженное изображение описывается функцией .

尸О(х,力=j j 尸/(а, ₽)HD(х, у; а,历加邙，(15.7.1)

где HD (х, ,; а, 0) — функция выходного изображения с координатами (х, у), создаваемого точечным источником с координатами (а, Р). Основная задача реставрации формулируется следующим образом: при заданных 〃d (х, у; а, Р) и Fo (х, у) найти оценку Ff (х, у) посредством решения указанного инте-' грального уравнения. Общее решение этой задачи дает разложение Hd (х, у; а, 0) по собственным функциям. Однако в большинстве ситуаций, возникающих в изображающих системах, собственные функции ядра либо неизвестны, либо просто не существуют.

Другой возможный подход к решению задачи ——разбить изображение на небольшие фрагменты, в пределах которых искажение источника можно считать независимым от линейного сдвига, и воспользоваться уже рассмотренными методами. Общей теории выбора размеров фрагментов, при которых обеспечивается заданная точность результирующей оценки, пока не создано. .

Наконец, существует особый класс задач реставрации изображений с искажениями, зависящими от линейного сдвига, в которых оператор, описывающий искажения, можно представить в виде совокупности трех операторов: первого оператора пространственных координатных искажений, оператора импульсного отклика, который не зависит от линейного сдвига, и второго оператора пространственных координатных искажений (рис. 15.7.1) [17 ]. В такой системе идеальное изображение сначала приобретает пространственные координатные искажения. В результате получается изображение, описываемое функцией

尸01(/, y^ = Fi[x (^ 91), у (*1, 91)]. (15.7.2)

Изображение на выходе системы с импульсным откликом, не зависящим от линейного сдвига, представляется функцией

戶。2 & У1）^ 尸01 （Х1，如）*，D % 办 （15.7.3）

Результирующее искаженное изображение описывается фуйкцией

f。（修，班）=尸6[厶（/, %）,玄（/，%）]：（15.7.4）

Если для обоих операторов пространственных координатных искажений можно найти однозначные обратные операторы, то

出的，第"2(X1、川

Рис. 15.7.1. Разложение оператора искажений изображающей системы с импульсным откликом, зависящим от линейного сдвига. .

систему с искажением, зависящим от линейного сдвига, удается свести к системе с искажением, не зависящим от линейного сдвига; это позволяет получить решение, пользуясь уже рассмотренными методами. Указанный прием был с успехом применен для коррекции комы третьего порядка сферических линз [18, 19] и компенсации искажений изображения, вызванных движением 117].

РЕСТАВРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОДОМ

РЕКУРСИВНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

В последние несколько лет усиленно разрабатывались методы рекурсивной фильтрации, ориентированные на обработку сигналов в виде временных функций [20—22]. Недавно эти методы были приспособлены для реставрации изображений [23—25]. Решение задачи реставрации изображений на основе рекуррентного оценивания можно получить либо как результат обработки чисто двумерного сигнала, либо как результат обработки одномерного сигнала, возникающего при развертке.

ДВУМЕРНЫЙ ПОДХОД■

Рассмотрим изображение, статистической характеристикой которого является автокорреляционная функция вида

R(Z, Q = °1exp{—%|т/— a2 1T2“，(15.8.1)

где 工1 и т2 —приращения по горизонтали и вертикали соответственно. Случайное дискретное поле — массив элементов 尸(/，舟一с такой автокорреляционной функцией можно сформировать, пользуясь рекуррентной формулой

戸0+1,论+ D = pF(/+L 々) + Р2尸(/,论+D —

-Pg尸仏田+ »(l-p；)(l —阅〃(/,田，(15.8.2)

где pi и р2 ——коэффициенты корреляции между горизонтальными и вертикальными соседними элементами изображения соответственно, и (/,也) —— некоррелированное случайное поле, дисперсия которого равна дисперсии элементов изображения.

Если моделью наблюдаемого изображения, представленного, массивом элементов Fo (/,也)，является сумма

尸也)П尸"，田 +⑵(15.8.3)

где 尸/ (j,也)——элемент идеального изображения и ^ (/, fe)——элемент аддитивного шумового поля, то двумерная рекуррентная оценка идеального изображения [25] состоит из элементов

科(/+1,m + 1)=(0,田得U + 1,也)+

+ 工0,龙)A/亿也+1) + ((/, k)Ff(j, © +

+凡亿紛尸00+1,论+1), (15.8.4)

где Ki (/, fe) — весовые коэффициенты. Формула (15.8.4) позволяет получить текущую оценку для каждого элемента изображения по оценкам >для трех предыдущих^элементов и текущему уровню яркости элемента наблюдаемого изображения с шумом. Оценка с минимальной среднеквадратической ошибкой получается, когда ''К", 6) = р； .(1585з)

%(/, 6) = Р2,(15.8.56)

КК, © = PQ + K4(j, k)(15.8.5b)

и К《(八也)является сложной функцией ковариации ошибки оценивания [25]. Применение двумерной рекуррентной оценки (15.8.4) в целях реставрации ограничено случаем экспоненциальной автокорреляционной функции. Пока еще не разработан общий метод, позволяющий производить динамическое моделирование случайного поля с произвольной автокорреляционной функцией.

ОДНОМЕРНЫЙ ПрДХОД

В случае одномерной рекуррентной оценки наблюдаемый сигнал

:-%(/) = %(/) + "(/),(15.8.6)

получаемый в результате временной развертки изображения, моделируется суммой идеального «изображения» ——функции 力(/) и аддитивного шума п (<). Если автокорреляционная функция идеального изображения является экспоненциальной, то автокорреляционная функция наблюдаемого изображения может быть найдена [26]. При этом результирующая рекуррентная оценка j-ro отсчета 力 ⑴ определится как

Г/ (/) = ^ (/ - 1) Л (/) + h (j - 1J f0(/ - 1),(15.8.7)

где /г】(/) и 也2 (/)——весовые коэффициенты, зависящие от автокорреляционной функции 力⑴ [23, 24].

РЕСТАВРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ С ЦЕЛЬЮ

ОСЛАБЛЕНИЯ ШУМА ЗЕРНИСТОСТИ ФОТОПЛЕНКИ

Шум зернистости фотопленки часто оказывается ограничивающим фактором при реставрации фотографических изображений, особенно при сильном увеличении. В разд. 13.6 представлен ряд моделей процесса фотографической записи, учитывающих шум зернистости фотопленки. Все эти модели обладают одним неприятным свойством: идеальное и наблюдаемое изображения связаны между собой нелинейным и нестационарным образом.

Уолкап и Чоенс [27] предложили использовать винеровскую фильтрацию для борьбы с шумом зернистости фотопленки в модели изображающей системы вида

尸o(x,Z) = F/(x,切+ а因(х, у)]"3 2(х, у),(15.9.1)

где а —- постоянная. Для этой модели была получена частотная характеристика реставрирующего фильтра, соответств ующего случаю непрерывного изображения, в виде

鑑r (①%, wy) == —：5jqT» (15.9.2)

где 加尸/ (to%, (o“)——энергетический спектр идеального изображения, £ (•) — обозначение математического ожидания. При выводе формулы (15.9.2) было принято неявное допущение о стационарности первого и второго моментов случайного поля, представляющего идеальное изображение. Надери и Савчук [28] разработали процедуру винеровского оценивания дискретных изображений на основе модели фотографической записи изображения на рис. 13.6.2.

Эта модель учитывает химические эффекты ^фотографнческого процесса, такие, как нелинейность характеристической кривой и пограничные эффекты, обусловленные диффузией проявителя, а также шум зернистости фотопленки. Преимущество рассматри-

м1,1и0,75%751,1%8卜51,1Q80,84751,11,1%80,8DJ50,60,60,60,60,6м1,1и0,75%751,1%8卜51,1Q80,84751,11,1%80,8DJ50,60,60,60,60,6Заементм на границеЗаементм на границеа — массив, соответствующий пониженной разрешающей способности; 6 ——массив, соответствующий высокой разрешающей способности; в — замена элемента, прннадле" жащего границе; а — окончательный результат.а — массив, соответствующий пониженной разрешающей способности; 6 ——массив, соответствующий высокой разрешающей способности; в — замена элемента, прннадле" жащего границе; а — окончательный результат.

м

1,1

и

0,75

%75

1,1

%8

卜5

1,1

Q8

0,8

475

1,1

1,1

%8

0,8

DJ5

0,6

0,6

0,6

0,6

0,6

м

1,1

и

0,75

%75

1,1

%8

卜5

1,1

Q8

0,8

475

1,1

1,1

%8

0,8

DJ5

0,6

0,6

0,6

0,6

0,6

Заементм на границе

Заементм на границе

а — массив, соответствующий пониженной разрешающей способности; 6 ——массив, соответствующий высокой разрешающей способности; в — замена элемента, прннадле" жащего границе; а — окончательный результат.

а — массив, соответствующий пониженной разрешающей способности; 6 ——массив, соответствующий высокой разрешающей способности; в — замена элемента, прннадле" жащего границе; а — окончательный результат.

ваемой винеровской оценки состоит не только в том, что она основана на модели общего вида: благодаря присущей ей адаптивности она способна модифицироваться в соответствии с изменениями первого и второго моментов случайного поля, п р едставл я ющего идеальное изображение.

Цвейг и др. [29, 30] разработали эвристический нелинейный метод реставрации малоконтрастных изображений с целью ослабления шума зернистости фотопленки (так называемое сверх подавление шума). При использовании этого метода входное изображение развертывается с высокой разрешающей Способностью, а каждый его элемент квантуется с большим числом уровней. Затем получают изображение пониженной четкости, объединяя элементы

в непересекающиеся фрагменты размером 2x2. Конечно, четкое изображение имеет более резкие границы, чем изображение с пониженной четкостью, однако дисперсия шума последнего оказывается меньше. В случае белого шума Дисперсия нечеткого изображения в четыре раза меньше, чем для четкого изображения, что является следствием пространственного усреднения элементов. Усредненное изображение повторно квантуется с использованием равномерной шкалы, причем шаг квантования выбирается равным учетверенному значению среднеквадратического отклонения шума. Благодаря такому выбору обеспечивается ошибка квантования 5% при гауссовом шуме. Полученные квантованные элементы нечеткого изображения исследуют в окрестности размером 3x3 элементов. Может оказаться, что все восемь периферийных элементов проквантованы с одним и тем же уровнем, а центральный элемент —— с другим уровнем. В этом случае считают, что изолированный центральный элемент содержит ошибку, обусловленную шумом, и приписывают ему средний уровень периферийных элементов. Если центральный элемент нечеткого изображения лежит на границе (рис. 15.9.1), он разделяется на четыре элемента, соответствующие полной разрешающей способности; этим новым элементам приписываются уровни, зависящие как от уровней соответствующих исходных элементов четкого изображения, так и от уровней ближайших элементов нечетного изображения. Простой алгоритм заключается в том, что элементу, соответствующему высокой разрешающей способности, приписывают уровень одного из четырех связанных элементов (элементы «север» и «восток» или «север» и «запад» и т. д.), ближайший к уровню искомого элемента. Машинное моделирование алгоритма сверхподавления шума показало, что его можно с успехом использовать для реставрации малоконтрастных изображений, искаженных достаточно сильным шумом зернистости фотопленки [28]. Надери [31 ] обобщил идею алгоритма сверхподавления шума на случай реставрации высококонтрастных изображений, когда шум зернистости фотопленки зависит от содержания изображения. ••、

Литература

Downing J. J., Data Sampling and Pulse Amplitude Molulation, in: Aerospace Telemetry, Stiltz H. L., Ed., Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. j” 1961.

Lesault R., Aliasing Problems in Two Dimensional Sampled Imagery, in: Perseption of Displayed Information, Biberman L., Ed., Plenum Press, New York, 1973. Chapter 7.

Andrews H. C., Patterson C. L., Digital Interpolation of Discrete Images, IEEE Trans. Computers, C-25, 2, 19^—202 (1976).

O'Handley D. A., Green W. B.( Recent Developments in Digital Image Processing at the Image Processing Laboratory at the Jet Propulsion Laboratory Proc. IEEE, 60, 7/ 821—827 (1972). [Имеется перевод: О'Хендли, Грин.

Обзор достижений в области цифровой обработки- изображений, проводимой лабораторией обработки изображения в Лаборатории реактивного движения. —ТИИЭР, 1972, т. 60, №7, с. 84—92.]

Oppenheim А. V., Schafer R. W., Stockham Т. G.., Jr., Nonlinear Filtering of Multiplied and Convolved Signals, Proc.t IEEE, 56, 8, 1264—1291 (1968). [Имеется перевод: Оппенгейм, Шефер, Стокхэм, мл. Нелинейная фильтрация сигналов, представленных в виде произведения и свертки. — ТИИЭР, 1975, т. 56, №8, с. 5—34.]

Andrews Н. С., Hunt В. R., Digital Image Restoration, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1976.

Papoulis A., Approximations of Point Spreads for Deconvolution, J. Opt Soc. Am., 62, 1, 77—80 (1972).'

Tatian B., Asymptotic Expansions for Correcting Truncation Error in Transfer-Function Calculation, J. Opt、Soc, Am.t 61, 9, 1214—1224 (1971).

Stockham T. G., Jr., Cannon T. M., Ingebretsen P. B., Blind Deconvolution Through Digital Signal Processing, Proc. IEEE, 63, 4, 678—692 (1975). [Имеется перевод: Стокхэм, мл./ Кэннон, Ингебретсен. Цифровое восстановление сигналов посредством неопределениоЗ инверсной свертки.—— ТИИЭР, 1975, т. 63, №4, с. 160—177.]

Cole Е. R., The Removal of Unknown Image Blurs by Homomorphic Filtering, University of Utah,' Computer Science Department, Report .UTEC-CSc-74-029, June 1973.'

Cannon T. М.» Digital Image Deblurriug by Nonlinear Homomorphic Filtering, University of Utah, Computer Science Department, Report UTEC-CSc-74-091, August 1974.

Frieden B. R., Band-unlimited Reconstruction of Optical Objects and Spec* tra, J. Opt. Soc. Am., 57, 8, 1013—1019. (1967).■

Harris J. L., Image Evaluation and Restoration, J. Opf. Soc. Am., 56, 5, 569—574 (1966).

Huang T. S., Schreiber W. F., Tretiak O. J., Image Processing, Proc. IEEE, 59, 11, 1586—1609 (1971). [Имеется перевод: Хуанг, Шрайбер, Третьяк. Обработка изображений. — ТИИЭР, 1971, т. 59? №11, с. 59—89.]

Youla D. С., Restoration by the Method of Alternating Orthogonal Projections, Proceedings Symposium on Current Mathematical Problems in Image Science, Monterey, California, November 1976.

Slepian D., Pollak H. О.» Prolate Spheroidal Wave Functions, Fourier Analysis, and Uncertainty—I, Bell Syst. Tech. J., 40, 43—63 (1961).

Sawchuk A. A.( Space-Variant Image Motion Degradation and Restoration, Proc. IEEE, 60, 7, 854—861 (1972). [Имеется перевод: Савчук. Простраист- веиио-зависимые искажения изображения, вызванные движением, и реставрация изображений. — ТИИЗР, 1972, т. 60, №7, с. 124"-133.].

Robbins G. М., Huang Т. S., Inverse Filtering for Linear Shift-Variant Imaging Systems, Proc. IEEE, 60, 7, 862—872 (1972). [Имеется перевод: Роб- биис, Хуаиг. Принципы обратной фильтрации для линейных пространств енио-зависимых систем отображения. — ТИИЭР, 1972, т. 60, № 7, с. 134— 145.]

Sawchuk A. A,, Spece-Variant Image Restoration by Coordinate Transformations, J. Opt. Soc. Am., 64, 2, 138-144 (1974)..

Kalman R. E. A New. Approach to Linear Filtering and Prediction Problems, ASME Trans, (J. Basic Engineering), 820, 35—45 (March I960).

Kalman R. E.( Bucy R, C., New Results in Linear Filtering and Prediction Theory, ASME Trans. (J, Basic Engineering), 830, 95—108 (March 1961).

Nahi N. E., Estimation Theory and Application, Wiley, New York, 1969.

Nahi N. E., Assefi T., Bayesian Recursive Image Estimation, in: Proceedings Two Dimensional Digital Signal Processii^ Conference, University of Missouri» October 1971.

Nahi N. Е., Role of Recursive Estimation in Statistical Image Enhancement, Proc. IEEE, 60, 7, 872—877 (1972). [Имеется перевод: Нахи. Применение метода рекуррентной оценки в статистической задаче улучшения качества изображения, — ТИИЭР, 1972, т. 60, № 7, с. 145—152.]

Habibi A., Two Dimensional Bayesian Estimate of Images, Proc. IEEE» 30, 7, 878—883 (1972). [Имеется перевод: Хабиби. Двумерная бейесовская оцецка изображений.—ТИИЭР, 1972, т. 60, № 7, с. 153—160.]

Franks L. Е., A Model for Random Video Process' Bell Sy st Tech. J., 45, 609—630 (April 1966),

WalkuptJ. F., Choens'R. C., Image Processing in Signal Dependent Noise, ■ Opt En^ 13, 3, 258—266 (1974).

Naderi F., Sawchuk A. A.f Nonlinear Detection and Estimation of Images Degraded by Film-Grain Noise, Proceedings SPIE/OSA Conference on Image Processing, Urbach J. C., Ed., Pacific Grove, California, February 1976, Vol. 74, pp. 17—24.

Zweig H. J., Barrett E. В., Hu P. С.» Noise Cheating Image Enhancement, ，丄 Opt. Soc. Am・，65, 11, 1347—1353 (1975).

Zweig H. J. et al., Experiment in Digital Restoration of Defocused Grainy Photographs by Nqise Cheating and Fourier Techniques, Proceedings SPIE/OSA Conference on Image Processing, Urbac J. C., Ed., Pacific Grove, California, February 19/6, Vol. 74, pp. 10—16.

Naderi F., Estimation and Detection of Images Degraded by Film-Grain Noise, University of Southern California, Image Processing Institute, Report USCIPI-690, September 1976.

КОРРЕКЦИЯ ЯРКОСТНЫХ, ЦВЕТОВЫХ

И СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ИЗОБРАЖАЮЩИХ СИСТЕМ

Реальные датчики изображения часто имеют неудовлетворительные спектральные или временные характеристики. Другой распространенный недостаток видеодатчиков и дисплеев ——нелинейность характеристик передачи уровней. Подобные искажения удается в значительной степени скорректировать посредством обработки сигналов на выходе датчиков или на входе дисплеев. Реализация такой обработки обычно не представляет особых затруднений.

КОРРЕКЦИЯ ЯРКОСТНОЙ ПОЭЛЕМЕНТНОЙ

НЕЛИНЕЙНОСТИ ВИДЕОДАТЧЙКОВ

Существуют изображающие системы, в которых искажения можно представить в виде раздельных пространственной и поэлементной составляющих. В таких системах часто удается осуществить прямую компенсацию поэлементных искажений [1, 21. Рассмотрим реальную изображающую систему, формирующую изображение, описываемое функцией Fo (х, у, /), в соответствии с разделимой моделью:

尸о(%,协 t)^0P\C, 6>{x, у, f,九；C(匕 у, f, %)}}, (16.1.1)

где С (х,弘 t, X) — спектральная плотность энергии входного светового поля, 0P {•}.— поэлементная характеристика передачи уровней видеодатчика, 0d {•}——оператор, определяемый пространственной, временной и спектральной характеристиками* Чтобы осуществить компенсацию яркостной нелинейности видеодатчика, наблюдаемое изображейие следует пропустить через корректирующую систему, описываемую оператором реставрации 0r Т •}, таким, что

。鼠。р{・}}=1・(16.1.2)

В случае оптических непрерывных изображений реализация нелинейного поэлементного реставрирующего оператора может оказаться затруднительной. Напротив, реставрация изображений, представленных в виде аналоговых электрических сигналов, выполняется весьма просто с помощью нелинейных усилителей;

легко осуществляется коррекция с помощью цифровых средств — обычных арифметических устройств или постоянных запоминающих устройств, реализующих таблицы соответствия.

Рис. 16.1.1. Коррекция яркостной поэлементной нелинейности видео датчика.

На рис. 16.1.1 представлена схема, иллюстрирующая методику коррекции яркостной поэлементной нелинейности. На входе видеодатчика находится точечный источник света с распределением С, которое преобразуется в двоичное число В, поступающее на. вход вычислительной машины или цифровой системы связи. В некото-

а — измеренная характеристика; 6 — скорректированная характеристика.

рых изображающих системах обработке подвергают непосредственно двоичные числа, в других — предпочитают предварительно формировать действительные машинные числа с фиксированной запятой, прямо пропорциональные яркости входного излучения. В первом случае используется блок двоичной коррекции, на выходе которого получается двоичное число В, прямо пропорциональное С. Во втором случае используется блок коррекции с фиксированной запятой, который дает число с фиксированной запятой С, равное С.

На рис. 16.1.2, а представлена типичная кривая зависимости измеренной величины В от яркости излучения на входе видеодат-

чика С; на рис. 16.1.2, 6 показана соответствующая скорректированная световая характеристика желательной формы. Исходную световую характеристику можно получить, пользуясь испытательной таблицей с полями известных яркостей; для каждого яркостного уровня определяется соответствующее двоичное число В. Для уменьшения ошибок, обусловленных шумом и измерительными погрешностями, следует многократно повторять измерения. Калибровка упростится, если двоичное представление яркости рассматривать как двоичное число с фиксированной запятой. Пусть, например, весь яркостный диапазон разбивается на 4096 уровней и кодируется с 12 разрядами. В этом случае будем пользоваться двоичным представлением вида

8 =匕8&瓦力5瓦%%4，玖工力.2%我4 (16.1.3)

Целая часть этого числа представляет уровни от 0 до 255, а дробная —доли каждого шага квантования, разбиваемого на 16 частей. При такой записи уровни выходного сигнала видеодатчика, выраженные в десятичной форме, будут находиться в диапазоне

255,9375 w 6 W 0,0・. (16.1.4)

Определив ряд точек посредством измерения отдельных уровней яркости, строят по ним гладкую аналитическую кривую

C = g\B\.(16.1.5)

Искомые световые характеристики, выраженные через действительные и двоичные числа соответственно, имеют вид

D — О(С —Смин)^(Смакс-Смин) •(16.1.66)D — О(С —Смин)^(Смакс-Смин) •(16.1.66)(16.1.6а)(16.1.6а)

D — О(С —Смин)

^(Смакс-Смин) •

(16.1.66)

D — О(С —Смин)

^(Смакс-Смин) •

(16.1.66)

(16.1.6а)

(16.1.6а)

характеристикхарактеристикC^g\B}C^g\B}Отсюда получаем выражения для скорректированных световых

характеристик

характеристик

C^g\B}

C^g\B}

(16.1.7а)

(16.1.76)(16.1.76)(g {В} — Смин)° (Смаке — Сщй)

(16.1.76)

(16.1.76)

Обычно пользуются нормированным диапазоном яркости от 0 до 1.

Точность калибровочной процедуры можно повысить, если сначала провести грубую калибровку, а затем повторить калибровку столько раз, сколько необходимо для нахождения уточненной скорректированной характеристики. Поскольку В —— двоичное число, скорректированное значение яркости С является действительным числом квантованной шкалы. Следует также заме-

тить, что скорректированное значение двоично-кодированной яркости В будет содержать ошибку округления, возникающую при вычислении правой части (16.1.76). Таким образом, нелинейность кривой С = g {В}, построенной по точкам, и погрешность квантования, свойственная процессу преобразования в цифровую форму, могут привести к тому, что некоторые уровни скорректированной шкалы двоично-кодированной яркости не будут использоваться. Другими словами, гистограмма распределения уровней В, построенная для скорректированного, изображения, может содержать пропуски. Чтобы минимизировать этот эффект, число уровней выходной шкалы должно быть меньше числа уровней входной шкалы. Например, при 12-разрядном кодировании В можно ограничиться только восемью разрядами кодирования В. Другое возможное решение ——добавление к В псевдослучайного шума, обеспечивающего более равномерное заполнение уровней квантования.

Многие видеодатчики с разверткой изображения, такие, как видиконные и диссекторные телекамеры, вносят яркостную поэлементную нелинейность, которая является пространственно-зависимой. В принципе коррекция яркостной поэлементной нелинейности может быть произведена для каждого элемента изображения в отдельности с использованием уже рассмотренных методов; при этом для каждого элемента должна быть известна откалиброванная световая характеристика. Однако технические трудности делают такую процедуру практически невозможной. Другой подход, часто дающий хорошие результаты, основан на моделировании, пространственной неоднородности световой характеристики некоторой гладкой двумерной функцией G (/, fe) в пределах светочувствительной поверхности видеодатчика. При этом скорректированная пространственная световая характеристика F (/, fe) выражается в виде

*0，期=舞普， (1618)

где F (/, fe)——исходная световая характеристика видеодатчика.

КОРРЕКЦИЯ ЯРКОСТНОЙ ПОЭЛЕМЕНТНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ ДИСПЛЕЕВ

Яркостная поэлементная нелинейность дисплея в принципе корректируется так же, как и соответствующая нелинейность видеодатчика. Схема на рис. 16.2.1 иллюстрирует процедуру предыскажения величины яркости В двоично-кодированного изображения для формирования скорректированной величины яркости В, такой, что воспроизводимая яркость С становится прямо

пропорциональной В. При этом предполагается, что процесс воспроизведения изображения может включать этап фотографиче-

Рис. 16.2.1. Коррекция яркостной а — без коррекции; б — с коррекцией.Рис. 16.2.1. Коррекция яркостной а — без коррекции; б — с коррекцией.поэлементной нелинейности дисплея.поэлементной нелинейности дисплея.Рис. 16.2.2. Измеренная характеристика передачи уровней дисплея.Рис. 16.2.2. Измеренная характеристика передачи уровней дисплея.получается приполучается приПроцедуру экспериментального определения корректирующей функции g(・)поясним на примере изготовления фотографии с экрана дисплея. Прежде всего цифровым способом формируют изображение шкалы яркостей, охватывающей весь диапазон двоичных чисел. Обычно достаточно примерно, 16 равномерноПроцедуру экспериментального определения корректирующей функции g(・)поясним на примере изготовления фотографии с экрана дисплея. Прежде всего цифровым способом формируют изображение шкалы яркостей, охватывающей весь диапазон двоичных чисел. Обычно достаточно примерно, 16 равномерно

Рис. 16.2.1. Коррекция яркостной а — без коррекции; б — с коррекцией.

Рис. 16.2.1. Коррекция яркостной а — без коррекции; б — с коррекцией.

поэлементной нелинейности дисплея.

поэлементной нелинейности дисплея.

Рис. 16.2.2. Измеренная характеристика передачи уровней дисплея.

Рис. 16.2.2. Измеренная характеристика передачи уровней дисплея.

получается при

получается при

Процедуру экспериментального определения корректирующей функции g(・)поясним на примере изготовления фотографии с экрана дисплея. Прежде всего цифровым способом формируют изображение шкалы яркостей, охватывающей весь диапазон двоичных чисел. Обычно достаточно примерно, 16 равномерно

Процедуру экспериментального определения корректирующей функции g(・)поясним на примере изготовления фотографии с экрана дисплея. Прежде всего цифровым способом формируют изображение шкалы яркостей, охватывающей весь диапазон двоичных чисел. Обычно достаточно примерно, 16 равномерно

ской записи светового поля. Желательная характеристика передачи уровней дисплея имеет вид兀'

с = Вр^^=^] + &мнн・(16.2.1)

L °макс J

Обычно максимальное и минимальное значения воспроизводимой

яркости С не выражаются в абсолютных единицах; чаще всего это нормированные коэффициенты пропускания или отражения. Изме-

ренная характеристика передачи уровней дисплея и блока восстановления цифрового изображения моделируется нелинейной функцией

C^f{B}.(16.2.2)

Следовательно, линейная характеристика передачи уровней

В = д[в|Смакс 二 Смин ] +【L ^макс 」

+ СМНН-}, . (16.2.3) где g(•) — функция, обратная

„

распределенных уровней. Затем изготовляют фотоотпечаток и измеряют яркость отраженного света для каждого уровня шкалы. Результаты измерений наносят на график (рис. 16.2.2). По точкам проводят гладкую аналитическую кривую В = g (С), определяю-

Рис. 16.2.3. Образцы изображений^ подвергнутых простраиствеиной яркостной коррекции.

а ——некорректнрованное поле однородной яркости; б ——скорректированное поле а; в — поле а с наклеенным вырезанным углом； а — поле б с наклеенным вырезанным углом.

щую требуемое преобразование. Важно, чтобы диапазон яркостей был проквантован на большое число уровней, поскольку это обеспечивает достаточную точность аппроксимации дискретного отображения g (•). Кроме того, число уровней должно быть достаточно большим, чтобы предотвратить появление ложных яркостных контуров вследствие неравномерного размещения уровней квантования в диапазоне яркости. В большинстве случаев доста-

6 У. Прэтт, ч. II

точно пользоваться 8-разрядным представлением яркости В и 10-разрядным представлением яркости В.

Воспроизводящие устройства, подобные кинескопам, часто обладают пространственно-зависимой характеристикой передачи уровней. Как правило, яркость воспроизводимого изображения больше в центре и меньше по краям экрана. Пространственную неравномерность яркости изображения можно скомпенсировать, пользуясь, например, методом коррекции в соответствии с формулой (16.1.8). На рис. 16.2.3, а [3] представлена фотография (полученная с помощью видеодатчика бегущего луча), соответствующая постоянному уровню яркости. Яркость центральной части фотоснимка незначительно превышает яркость его периферийных областей. Различие в яркости более заметно на рис. 16.2.3, в, где приведен исходный фотоснимок (рис. 16.2.3, а), в центре которого наклеен вырезанный из него угол. Рис. 16.2.3, б, а иллюстрируют поля однородной яркости, полученные в результате пространственной яркостной коррекции.

ОЦЕНИВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ЭНЕРГИИ ИЗЛУЧЕНИЯ

При решении многих задач реставрации цветных и спектрозональных изображений должна быть найдена оценка спектрального распределения энергии излучения С (X) по серии наблюдаемых величин

%, = J С (入)Sj (入)d入 + &, (16.3.1)

где sz (X) — спектральная характеристика спектрозонального светофильтра, используемого для получения *й величины, i = =1, 2, 3 ... Р. Член 小・ представляет аддитивный шум или неопределенность измерения. Методы оценивания, описанные в гл. 14, позволяют найти решение и в рассматриваемом случае [4 ]. Первый шаг заключается в получении дискретного представления интеграла, что приводит к векторному уравнению

修=sfc + 电， (16.3.2)

где sz и с —— векторы, составленные из Q отсчетов функций sz (X) и С (X) соответственно. Совокупность Р наблюдаемых изображений можно представить вектором размера РХ1:

x = Sc + n, (16.3.3) где вектор s£ находится в i-м столбце матрицы S. Чтобы уменьшить погрешность численного интегрирования до разумных пределов, увеличивают число узловых точек. При этом система

уравнений (16.3.3) обычно оказывается существенно недоопределенной.

Оценку с истинного спектрального распределения энергии с получают посредством обобщенного обращения:

^=S-x = s7(SS7)Tx.(16.3.4)

Хотя применение метода обобщенного обращения матриц для нахождения оценки с гарантирует минимальную среднеквадрати-Хотя применение метода обобщенного обращения матриц для нахождения оценки с гарантирует минимальную среднеквадрати-Л, нмЛ, нмРис. 16.3.1. Спектральные характеристики абсорбционных светофильтров.Рис. 16.3.1. Спектральные характеристики абсорбционных светофильтров.и^^ ишмуп售§m4孟5§忑и^^ ишмуп售§m4孟5§忑

Хотя применение метода обобщенного обращения матриц для нахождения оценки с гарантирует минимальную среднеквадрати-

Хотя применение метода обобщенного обращения матриц для нахождения оценки с гарантирует минимальную среднеквадрати-

Л, нм

Л, нм

Рис. 16.3.1. Спектральные характеристики абсорбционных светофильтров.

Рис. 16.3.1. Спектральные характеристики абсорбционных светофильтров.

и^^ ишмуп售§m4孟5§忑

и^^ ишмуп售§m4孟5§忑

ческую ошибку и минимальную норму, плохая обусловленность матрицы S и погрешности измерения могут привести к неустойчивым (осциллирующим) решениям. Обычно с имеет достаточно гладкий характер, поэтому при нахождении решения разумно воспользоваться теми или иными ограничениями на гладкость (см. разд. 14.7). Соответствующая оценка принимает вид

с = м-у (SMTsT)T X, (16.3.5)

где М — матрица сглаживания, определенная соотношением (14.7.3). Третий возможный подход——применение методов винеровского оценивания, описанных в разд. 14.6. Винеровская оценка находится как

^=КЗг [SKcSr+K„]_1 X, (16.3.6)

где Кс— ковариационная матрица вектора с, К” 一 ковариационная матрица наблюдаемого аддитивного шума, независимого от с. Поскольку С (X) 0 при любой длине волны, применение методов реставрации изображений с ограничениями (см. разд. 14.8) должно дать хорошие результаты.

а*

§и Егт^шхзиз §sis£^

mlf30HuayuKDKqy昌善口 章至-盲盲

I— Фаша^есиве распределение ■ ' f\^ Оценка

500600700

а

d .宀/г—Фактическое распределение

/. \ / \~ О^е,нка

500

6勿

,нм

1

700

Hi°°a呑置忌邕a sxse§s

/Р叨/

他

5CQ

Фактическое распределение

600

я,師

700

Рис. 16.3.2. Сравнение фактического спектрального распределения энергии излучения с его оценкой, полученной с помощью набора абсорбционных светофильтров (моделирование с помощью ЭВМ), а — оценка методом псевдо* обращения матриц; 6 — оценка с использованием сглаживания; в — винеровская оценка (отношение снгнал/шум равно 1000).

Для сравнения указанных методов оценивания был проведен эксперимент, в котором с помощью ЭВМ моделировались измерения гауссова спектрального распределения энергии излучения с помощью набора различных светофильтров. На рис. 16.3.1 показаны спектральные характеристики этих светофильтров. Результаты измерений использовались в качестве спектрозональных наблюдаемых величин (16.3.1), по которым находилась оценка распределения С (X). Рис. 16.3.2 иллюстрирует эффективность трех методов оценивания: посредством псевдообращения матриц, с использованием сглаживания и винеровского. Винеровская оценка получена при допущениях, что шум белый, а распределение С (X) — реализация марковского процесса. Эксперименты показали, что минимальную среднеквадратическую ошибку аппроксимации исходного распределения С (X) оценкой С (X) обеспечивает метод винеровского оценивания при коэффициенте корреляции марковского процесса р = 0,9 и отношении сигнал/шум, равном 1000.

В работе [4 ] рассмотрен пример спектральной калибровки датчика цветового видеосигнала методом оценивания спектрального распределения энергии излучения.

КОРРЕКЦИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ВИДЕОДАТЧИКОВ И ДИСПЛЕЕВ

Как правило, спектральные характеристики датчиков изображающих систем определяются кривыми спектральной чувствительности используемых в них светочувствительных материалов, поэтому спектральные характеристики очень редко являются оптимальными. Однако неподходящие спектральные характеристики можно корректировать.

Пусть яркость, которая соответствует распределению энергии С (X), равна

X=Jc@)S(2认， (16.4.1)

где S (X) — спектральная характеристика видеодатчика. Требуемая яркость определяется как

y=jc仇)У (儿)4,(16.4.2)

где V (X) — желательная спектральная характеристика. Операция коррекции спектральной характеристики сводится к отысканию некоторого функционального преобразования / {X}, которому

следует подвергнуть X, чтобы получить оценку Y искомой яркости У. Таким образом, можно записать

Y^f{X\.(16.4.3)

Корректирующее преобразование спектральных характеристик линейно только в том случае, если S (X)——линейная функция У (X). Обычно это условие не выполняется. Однако простота линейных преобразований часто побуждает искать оценку

У 仇)=о1s @) + &,(16.4.4)

обеспечивающую минимум той или иной функции ошибки, например среднеквадратической ошибки

苏=][У@)_ 沙小)]2M.(16.4.5)

В следующем разделе представлены результаты линейной коррекции спектральных характеристик видеодатчика. Хорошие результаты могла бы дать нелинейная коррекция спектральных характеристик, однако эффективные нелинейные методы до сих пор не разработаны.年

Принципы коррекции спектральных характеристик видеодатчиков можно обобщить на случай коррекции соответствующих характеристик дисплеев. Рассмотрим некоторый дисплей со спектральной плотностью излучения Еа (X) и идеальный дисплей с желаемой спектральной плотностью излучения Ej (九).Спектральное распределение энергии для элемента изображения 尸(/,田 определяется произведением F (/,舟 Е^(九).Элемент исправленного изображения формируется в результате линейного преобразования вида

0(/,期=&尸亿田+(16.4.6)

где % и & — постоянные, такие, что среднеквадратическое отклонение спектрального распределения энергии 6 (/,田 Еа (九)от распределения 尸(/, А) £； (X) минимально для всех длин волн.

ОЦЕНИВАНИЕ КООРДИНАТ ЦВЕТА ВИДЕОДАТЧИКОВ

Цветной видеодатчик вырабатывает сигналы Х&, Xg, Хв, пропорциональные содержанию красного, зеленого и синего в передаваемой сцене:

Xr= Jc@)Sr@)M,(16.5.1а)

Х@ = Jc@)Sg0)丸(16.5.16)

где С Q) — спектральное распределение энергии входного излучения, S& (九)， Sg (九)， Sr (儿)—— спектральные характеристики красного, зеленого и синего каналов видеодатчика соответственно. Согласно принципам колориметрии, световое излучение, характеризуемое распределением С (X), можно воспроизвести при помощи набора основных цветов с фиксированными спектральными распределениями энергии. Количества основных цветов, обеспечивающие цветовое уравнивание, представляют собой координаты цвета

Tr= Jc@)7sr@)M,(16.5.2а)

「&= Jc(A)「sg (九)壮九，(16.5.26)

7в= JC伏)「sb@)M,(16.5.2b)

где 7\及(儿)，TSG (X), Т. в (X) — удельные координаты для соответствующихосновных цветов. Сигналы видеодатчикаХ&, XG,

Хвбудуткоординатами цвета для некоторогонабораосновных

цветов в том случае, если спектральные характеристики S^ (X), Sg(%), Sr (入)видеодатчика представляют собой линейную комбинацию удельных координат Т5^ (X), TSG (X), TSb (^)- Однако это условие выполняется в редких случаях. Рассмотрим теперь методы оценивания координат цвета на основе измеренных выходных сигналов цветного видеодатчика [5]. Простейший метод заключается в получении оценок удельных координат с помощью линейных операций

(16.5.3a)(16.5.36)(16.5.3b)(16.5.3a)(16.5.36)(16.5.3b)(儿)=/пп5я (X) + mi2SG (X) + m13SB (л), (九)=加21Sr (九)+ m22Sa (X) + 加23sB 仏), 仏)=SiSr (九)+ m32SG (X) + 從 33sB (九),

(16.5.3a)

(16.5.36)

(16.5.3b)

(16.5.3a)

(16.5.36)

(16.5.3b)

обеих частей уравненийобеих частей уравненийпределах видимого спектрапределах видимого спектрагде 加八 / ——постоянные. Умножение (16.5,3) на С (X) и интегрирование в

обеих частей уравнений

обеих частей уравнений

пределах видимого спектра

пределах видимого спектра

приводит к матричному уравнению

(16.5.4)(16.5.4)

(16.5.4)

(16.5.4)

В компактной записи это уравнение имеет вид

Сравнение трех методов оценивания координат цвета по верности цветопередачи

Цвет

Фактическая яркость (отн.)

Аппроксимация удельных координат

Точное цветовое уравнивание по опорным цветам (Л)

Точное цветовое уравнивание по опорным цветам (В)

яркость (отн.)

皆у, %

歩с，％

яркость (отн.)

歩у, %

歩с，％

яркость (отн.)

歩у, %

&С，％

1. Телесный

0,331

0,329

0,48

7,36

0,349

5,55

5,81

0,331

0,08

4,86

2. Травы

0(121

0,129

6,28

9,01

0,128

5,59

3,34

0,123

0,05

0,18

3. Голубого неба

0,466

0,463

0,73

7,19

0,482

3,49

11,40

0,466

0,09

0,08

4. Красного кирпича

0,141

0,139

1,33

8,32

0,150

6,08

3,83

0,⑷

0,00

0,03

5. Фиолетового цветка

0,181

0,182

0,55

18,80

0,207

14,20

13,50

0,198

9,17

16,80

6. Синего красителя

0,087

0,081

6,99

29,80

0,087

0,30

0,15

0,086

1,11

21,08

7. Зеленого красителя

0,234

0,244

4,48

7,83

0,233

0,38

0,06

0,220

5,85

7,61

8. Желтого красителя

0,440

0,453

2,85

5,03

0,453

2,96

5,94

0,426

3,22

5,56

9. Красного красителя

0,105

0,086

18,10

5,97

0,105

0,13

0,02

0,099

5,49

4,53

10. Серый

0,500

0,500

0,01

8,86

0,517

3,38

3,58

0,494

1,24

2,12

У (С) —Г (С)

「以(С)—^(С)]

L ~~」

「d©一侖(е)] 2

L ~ио」

Один возможный подход к определению оценок координат

цвета t по сигналам видеодатчика х сводится к выбору элементов матрицы преобразования М таким образом, чтобы минимизировать

Рис. 1651. Координаты цветности испытательных цветов, рассчитанные по оценкам координат цвета.

• фактические координаты цветности; ■ оценки координат цвета получены методом аппроксимации удельных координат в равноконтрастной колориметрической системе； + оценки координат цвета получены методом точного цветового уравнивания по трем цветам (6. 7 и 9); X оценки координат цвета получены методом точного цветового урав* нивания по трем цветам (2, 3 и 4).

Tsg (X) — fSG (X), TSB (九)—fSB (入)В пределах видимого спектра. Такая процедура была применена для оценивания цветопередачи десяти испытательных цветов, указанных в табл. 16.5.1 [6], при использовании эмульсионных слоев цветной фотопленки с типовыми характеристиками спектральной чувствительности. Координаты цветности этих цветов показаны на рис. 16.5.1 квадратами. Соответствующие относительные яркости представлены в табл. 16.5.1. Как видно, оцененные относительные яркости мало отличаются от фактических относительных яркостей для всех испытательных цветов; напротив, координаты цветности этих цветов, рассчитанные по оценкам координат цвета, заметно отличаются от фактических значений,

Второй подход к оцениванию координат цвета предполагает выбор трех опорных цветов и вычисление коэффициентов т^ для точного колориметрического воспроизведения этих цветов. По- видимому в этом случае и любые другие цвета будут иметь координаты, существенно не отличающиеся от колориметрически правильных значений. Как правило, с наибольшими ошибками в цветности воспроизводятся высоконасыщенные цвета. Учитывая это, в качестве опорных из табл. 16.5.1 были выбраны красный (№ 9), зеленый (№ 7) и синий (№ 6) испытательные цвета. Для этих трех цветов 〔G】с известными координатами цвета U (G), V (Сг), W (G) были составлены матричные уравнения

“&) = Мх(Сб), (16.5.6а) t(&) = Mx(&), (16.5.66) t(CJ = Mx(C9). (16.5.6b)

Совместное решение этих уравнений дает значения коэффициентов 加〃.С помощью матрицы преобразования, составленной по уравнениям (16.5.6), были вычислены координаты цветности всех десяти испытательных цветов, показанные на рис. 16.5.1. Вычисленные относительные яркости представлены в табл. 16.5.1. Вся процедура была повторена для менее насыщенных опорных цветов — цвета красного кирпича (№ 4), цвета травы (№ 2) и цвета голубого неба (№ 3). Полученные результаты также представлены на рис. 16.5.1 и в табл. 16.5.1. Как и ожидалось, оценки координат цветности для опорных цветов оказались точными. Для обоих наборов трех опорных цветов оценки координат цветности других (не опорных) цветов отклонялись от истинных значений гораздо меньше, чем при оценивании удельных координат методом, описанным ранее. Очевидна необходимость компромисса при выборе опорных цветов. Действительно, если из данного множества воспроизводимых цветов взять максимально насыщенные цвета, то менее насыщенные неопорные цвета, как правило, будут воспроизводиться с повышенной насыщенностью. Если же в качестве опорных использовать цвета средней насыщенности, то будет наблюдаться снижение насыщенности предельно насыщенных цветов.

Третий подход к линейному оцениванию координат цвета основан на дискретных методах оценивания, рассмотренных в гл. 14. Прежде всего интегральные выражения (16.5.1) и (16.5.2) следует выразить в дискретном виде

х = Sc (16.5.7) и

t = Tg (16.5.8)

где с — вектор, составленный из отсчетов спектрального распределения энергии С (X), S и Ts — матрицы, размера 3XQ, строки

которых образованы отсчетами спектральных характеристик видеодатчика и ординатами кривых сложения соответственно. Требуется найти матрицу линейного преобразования М, ■ минимизирующую среднеквадратическое отклонение истинных значений t от оценок t — Мх. Искомую оценку можно записать в виде

t = V,(16.5.9)

где с — оценка спектрального распределения энергии, полученная по наблюдаемому сигналу видеодатчика х. Таким образом, задача оценивания координат цвета видеодатчиков эквивалентна фундаментальной задаче оценивания спектрального распределения энергии, которая рассматривалась в разд. 16.3.

ОЦЕНИВАНИЕ ЭКСПОЗИЦИЙ ЦВЕТНОЙ ФОТОПЛЕНКИ

Цветную фотопленку можно рассматривать как измерительное средство, для которого экспозиции эмульсионных слоев в красном, зеленом и синем представляют собой результаты измерений спектрального распределения энергии некоторого падающего светового излучения. Однако экспозиции не поддаются прямому наблюдению, поэтому для их определения требуется использовать те или иные методы оценивания [5 ].

Согласно формуле (13.3.15), экспозиции слоев описываются следующими выражениями:

X及=d^ J С(X)L& (X)dA,(16.6. la)

XG = de^C(k)La(k)dX,(16.6.16)

Xb = 〃/<?(%)厶в (2 M,(16.6.1b)

где С (X)——спектральное распределение энергии света, d^, dG, dB ——экспозиционные постоянные, L& (X), LG (X), LB (九) —— характеристики спектральной чувствительности эмульсионных слоев. Обработка экспонированной фотопленки позволяет изготовить фотографический отпечаток или транспорант (негатив или диапозитив). Ниже будут рассматриваться только транспоранты, однако полученные для них результаты можно без труда обобщить на случай фотоотпечатков. Согласно формулам (13.3.16) — (13.3.18), спектральный коэффициент пропускания определяется как

ТГ (X) = 10^ {cDnc W+"lD^M W+yoNY 叫 (16.6.2)

где с、т、у ——относительные количества голубого, пурпурного и желтого красителей в транспоранте, Dnc8、°nm (九)，DNY (X)—— спектральные оптические плотности красителей.

Предположим теперь, что видеодатчик с установленным в нем готовым транспорантом вырабатывает следующие три видеосигнала:

Yr =々К j 〃К (九)叮(九)d%,(16.6.3a)

% =府 J HG (X) ту (X) dX,(16.6.36)

丿白=々g J Hr (X) Ту (X) dX,( 16.6.3b)

где 々r, 瓦，^b — коэффициенты усиления соответств ующи х каналов видеодатчика, 方及(九)， 〃g (九％ 〃白(九)——эквивалентные спектральные коэффициенты пропускания цветоделительных светофильтров.

Задачу оценивания можно сформулировать как задачу нахождения оценок экспозиций Nr Xg, Хв на основе наблюдаемых напряжений Vr, Vg, Vb и априорно известной модели фотографического процесса при заданном критерии ошибки. Оценивание экспозиций оказывается трудной задачей даже при использовании относительно простого критерия среднеквадратической ошибки; это объясняется нелинейностью используемых процессов и интегральной природой экспозиций, определяющих уровни выходных видеосигналов. Для упрощения можно считать, что оптические плотности красителей и экспозиции эмульсионных слоев фотопленки связаны линейными соотношениями

С = Kfc + yc lg (Xr),(16.6.4а)

m = K?M + YMlg(X6),(16.6.46)

У = Kfy + уу Igdg),(16.6.4b)

где Kfg Kfm, Kfy — постоянные коэффициенты, ус, 丫財,Yy тангенсы угла наклона характеристических кривых. При этом выражения для выходных видеосигналов принимают вид

以=々R J k的% 0) (X产⑴(X&啓⑴(XВ产⑴丸

(16.6.5а)

% =生 J KQ) HG 的(Xr)4rc ⑷(х£м ⑴(Хв严⑴玖，

(16.6.56) 勿=既 j К 3) Нв G) (Xr严⑴(Хб)"'м ⑺(Хв产⑷ М,

(16.6.5в)

me

k(九)=]0{-[K/Hnc(a+0М%^(Md-кfу^у а)]}

%仇)=75儿仇)，

▽m (九)、Qnm (%)，整(X) = yYDNY (X).

Формулировка задачи в виде уравнений (16.6.5) позволяет минимизировать ошибку оценивания различными численными методами, такими, как итерационный метод Ньютона—Рафсона, метод наискорейшего спуска и динамическое программирование. Чтобы получить достаточно хорошую начальную оценку, следует принять, что цветоделительные светофильтры имеют узкополосные спектральные характеристики )

При этом уравнения для выходных сигналов видеодатчика принимают вид

(16.6.6а)(16.6.66)(16.6.6b)(16.6.6а)(16.6.66)(16.6.6b)以=出（先产傾区啓（”）応产傾乙=4而产阿&尸因）区严吋%=&（先产傾戌产個区产（/）

(16.6.6а)

(16.6.66)

(16.6.6b)

(16.6.6а)

(16.6.66)

(16.6.6b)

где

4 =АgK (九g) j Hg (九)d九,

』в =々®K (九в) J Hq (X) dX.

Входящие в формулы (16.6.6) величины Х^, XG, %в представляют собой длины волн, соответствующие центрам тяжести фигур, образованных кривыми Я^ (X), HG (X), Нв (^) светофильтров; символ 人 указывает на использование аппроксимации. Взятие натурального логарифма от обеих частей равенства (16.6.6) приводит к следующему матричному уравнению:

1пУл In% lnVB1пУл In% lnVB>с(М二 ％ (%)一汽(陶>с(М二 ％ (%)一汽(陶屮м(“)wm (昵)屮м(“)wm (昵)Wy(h)]「山又RVy&) In 冗 屮y(%)」Lin戈aWy(h)]「山又RVy&) In 冗 屮y(%)」Lin戈aln&+ In A；_1пДвln&+ In A；_1пДв

1пУл In% lnVB

1пУл In% lnVB

>с(М

二 ％ (%)

一汽(陶

>с(М

二 ％ (%)

一汽(陶

屮м(“)wm (昵)

屮м(“)wm (昵)

Wy(h)]「山又R

Vy&) In 冗 屮y(%)」Lin戈a

Wy(h)]「山又R

Vy&) In 冗 屮y(%)」Lin戈a

ln&

+ In A；

_1пДв

ln&

+ In A；

_1пДв

(16.6.7)

】)Это условие действительно соблюдается в лазерных видеодатчнках.

Оценки экспозиций для испытательных цветов

Цвет

Экспозиции

Выходные сигналы видеодатчика

Оценки для узкополосных спектральных характеристик

Оценки, полученные итерационным методом Ньютона 亠 Рафсона

XR

必

Хв

Ув

оценки экспозиций

ошибка оценивания 甘X，%

оценки экспозиций

ошибка оценивания 甘X，%

&R

丸

夕月

凝

&в

1. Телесный

50,0

27,9

20,4

0,450

0,301

0,245

36,3

34,0

27,3

49,1

50,5

28,0

20,4

0,61

2. Травы

8,8

12,8

6,5

0,062

0,073

0,055

6,4

16,5

11,0

81,5

8,9

12,8

6,5

0,60

3. Голубого неба

37,5

51,9

76,0

0,499

0,611

0,771

31,5

55,4

58,8

28,5

37,5

51,9

75,7

0,36

4. Красного кирпича

25,3

10,8

6,1

0,166

0,080

0,053

18,8

15,1

10,5

86,7

25,3

10,8

6,1

0,36

5. Фиолетового цветка

40,3

15,1

24,5

0,300

0,159

0,227

28,9

22,0

28,1

55,2

40,1

15,1

24,5

0,62

6. Синего красителя

6,1

10,4

22,3

0,043

0,072

0,153

4,2

16,5

23,9

67,2

6,1

10,4

22,3

0,41

7. Зеленого красителя

6,1

25,4

7,0

0,065

0,138

0,078

5,3

26,6

13,2

89,6

6,1

25,3

7,0

0,39

8. Желтого красителя

43,8

40,3

6,4

0,469

0,371

0,110

35,3

41,5

14,7

131,0

43,5

40,2

6,4

0,71

9. Красного красителя

30,1

4,6

8,3

0,143

0,038

0,052

20,9

8,6

11,3

97,2

30,1

4,6

8,3

0,19

10. Серый

50,0

50,0

50,0

矚，

0,585

0,587

0,593

38,2

53,4

48,0

24,9

49,8

50,0

50,0

0,38

Чтобы найти оценки экспозиций, достаточно обратить (16.6.7) и взять антилогарифм от обеих частей полученного равенства. В табл. 16.6.1 для десяти испытательных цветов приведены значения фактических экспозиций, выходных сигналов видеодатчика и оцененных экспозиций, которые помещены вместе с соответствующими среднеквадратическими ошибками в колонке «Оценки для узкополосных спектральных характеристик». Представленные данные получены при использовании типовой цветной фотопленки и цветного видеодатчика бегущего луча с цветоделительными светофильтрами «Раттен». Следует отметить, что даже грубая аппроксимация, сделанная при выводе соотношений (16.6.6), приводит к достаточно небольшой ошибке оценивания (по фотографическим критериям).

Итерационный метод Ньютона——Рафсона позволяет уточнить оценки, полученные для узкополосных светофильтров. При использовании этого метода начальные оценки экспозиций подставляют в формулы (16.6.6) для получения соответствующих значений VR, VG, Vb выходных сигналов видеодатчика. Затем находят

разности Vr ——卄r, VQ ——Vq, Vb — Vs и по ним вычисляют корpектиpующие члены AXr, AXg, AXg, добавляемые к узко-

полосным оценкам экспозиций：

■。入 dVn OPr-

-1

AXg =

dVG 0匕？ dVG ^FT

Vq — Vg .(16.6.8)

АХв 一

dVB дУв 。匕в

. 3Xr OXg 0心.

у B^y B

Итерации повторяются до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность. Результаты оценивания с использованием итерационного метода Ньютона——Рафсона приведены в табл. 16.6.1. В рассмотренном примере всего пять итераций потребовалось для того, чтобы среднеквадратическую ошибку оценивания экспозиций сделать меньше 1 %. Можно ускорить сходимость, если в разложения (16.6.7) и (16.6.8) ввести члены высокого порядка [5].

КОМПЕНСАЦИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ИЗЛУЧЕНИЯ ЦВЕТНЫХ ДИСПЛЕЕВ

В разд. 16.5 описаны методы обработки выходных сигналов цветного видеодатчика, целью которой является нахождение оценок координат цвета спектрального распределения энергии в любой точке цветного изображения. Полученные оценки можно использовать для управления трехцветным дисплеем (например,

использующим цветной кинескоп с теневой маской), на экране которого будет воспроизводиться изображение передаваемой сцены. Обратимся теперь к практической задаче фотографирования воспроизводимого изображения и изготовления фотоотпечатка с приемлемыми колориметрическими характеристиками.

Рассмотрим блок-схему фотографической записи на рис. 16.7.1. Блок коррекции, управляемый координатами цвета 力如 Т2» 73, вырабатывает исправленные координаты цвета%,几，Т8, которые

/仞

Спектральное /■ распределение энергии осветителя

Рис. 16.7.1. Процесс изготовления и проецирования цветного транспораита в системе воспроизведения цветных изображений.

в свою очередь управляют цветным дисплеем. Световое распределение, формируемое на экране последнего, записывается на трехслойную цветную фотопленку. Изготовленный цветной диапозитив проецируется на экран; координаты цвета 7\, Т2, Т3 полученного изображения измеряются колориметром. Блок коррекции проектируется таким образом, чтобы свести к минимуму колориметрическое различие между цветами, определяемыми координатами 7\, 北，73 Н T1，T2，北.

Спектральное распределение энергии излучения, создаваемое дисплеем:

з

С@)=£“Р&"),(16.7.1)

является взвешенной суммой спектральных распределений энергии излучения Р$ (X) основных цветов. Координаты цвета, соответствующие спектральным распределениям энергии проецируемого изображения, определяются как

fi^^Cr^Tsi^dl,(16.7.2)

где TSi (%)——удельные координаты трехцветной системы, соответствующей координатам цвета Т《・

Известны два метода [7 ] коррекции спектральных характеристик излучения цветного дисплея: прямой и косвенный. Прямой метод предполагает разработку математической модели, основанной на уже рассмотренной модели цветного фотографического процесса (рис. 13.3.8); пользуясь такой моделью, можно шаг за шагом описать преобразование С (九)в С「(X). Совокупность математической модели и уравнений (16.7.1) и (16.7.2) является детерминированным описанием взаимосвязи двух наборов координат цвета Ti и Th В идеальном случае эти наборы должны быть идентичными, однако на практике они таковыми не являются, поскольку характеристической кривой фотопленки присуща нелинейность, эмульсионные слои влияют друг на друга, а спектральные оптические плотности красителей перекрываются. Тем не менее количественное описание зависимости «вход—выход» достаточно для нахождения обратной зависимости. Прямой метод исследовался Уоллисом [7], который сумел существенно повысить колориметрическое качество цветной фотографической записи. Однако с прямым методом связаны серьезные вычислительные трудности, обусловленные относительной сложностью модели фотографического процесса. Косвенный метод коррекции спектральных характеристик излучения цветного дисплея сводится к нахождению некоторого матричного оператора М, минимизирующего различие между координатами цвета Т； и *・ Примером матричного оператора М может служить оператор с членами третьего порядка, осуществляющий преобразование вида

2 3 ^/ ^/ ^2 3 1 3 9-33 7 Л Л Л т т т2 3 ^/ ^/ ^2 3 1 3 9-33 7 Л Л Л т т т(16.7.3)(16.7.3)

2 3 ^/ ^/ ^2 3 1 3 9-33 7 Л Л Л т т т

2 3 ^/ ^/ ^2 3 1 3 9-33 7 Л Л Л т т т

(16.7.3)

(16.7.3)

где /Q ——постоянные. Усложняя преобразуемый вектор включением в него членов более высокого порядка, можно обеспечить

практически любую степень точности оценивания. Предсказание третьего порядка по формуле (16.7.3) оказалось достаточным для осуществления фотографической записи с экрана цветного кинескопа с маской [71. Для того чтобы найти элементы корректирующей матрицы, необходимо определить координаты цвета большого числа цветов и соответствующие некорректированные координаты цвета Т[ на выходе колориметра. Весовые элементы матрицы, найденные в результате ряда итераций, должны минимизировать выбранный функционал ошибки аппроксимации Т； оценкой Т(.

ЛИТЕРАТУРА

Stockham Т. G., Jr., А-D and D-А Converters: Their Effect on Digital Audio Fidelity, in: Digital Signal Processing, Rabiner L. R., Rader С. M., Eds., IEEE Press, New York, 1972, pp. 484—496.

O'Handley D. A., Green W. B., Recent Developments in Digital Image Processing at the Image Processing Laboratory at the Jet Propulsion Laboratory, Proc. IEEE, 60, 7, 821—827 (1972). [Имеется перевод： О'Хендли, Грин. Обзор достижений в области цифровой обработки изображения, проводимой лабораторией обработки изображения в Лаборатории реактивного движения. —ТИИЭР, 1972, т. 60, №7, с. 153—160.]

Frei W. (частное сообщение).

Pratt W. К., Mancill С. Е.» Spectral Estimation Techniques for the Spectral Calibration of a Color Image Scanner, Appl. Opt., 14, 11, 73—75 (1975).

Mancill С. E., Digital Color Image Restoration, University of Southern California, Image Processing Institute, USCIPI Report 630, August 1975.

Evans R. M., Hanson W. T., Jr., Brewer W. L., Principles of Color Photography, Wiley, New York, 1953.

Wallis R. H., Film Recording of Digital Color Images, University of Southern California, Image Processing Institute, USCIPI Report 570, May 1975.

Часть U

Анализ изображений

Анализ изображения ——выделение из изображения нужной информации с помощью автоматических или полуавтоматических приборов и систем. В литературе эта область имеет также другие названия: выделение данных из изображения, анализ сцен, описание изображений, автоматическое дешифрирование, распознавание изображений и т. д.

В отличие от других видов обработки изображений, таких, как кодирование, реставрация и улучшение качества изображений, результатом анализа изображений обычно является не картина, а ее числовое описание. Анализ изображений отличается также от классического распознавания образов тем, что системы анализа по определению не ограничиваются разделением областей сцены на фиксированное число классов, а предназначены для описания сложных сцен, разнообразие которых может быть настолько большим, что их нельзя описать с помощью заранее заданных терминов. Кроме того, в системах анализа изображений часто используются априорные сведения об изображаемых объектах и о их взаимных соотношениях. В системе анализа изображений могут также использоваться методы искусственного интеллекта для управления различными блоками системы и организации эффективного доступа к базе априорных сведений об объектах.

Глава 17 ВЫДЕЛЕНИЕ ПРИЗНАКОВ ИЗОБРАЖЕНИЯ

Признаком нзобрамендя называется gro прюсте访шая отличн- jgjibGaH ^р^кте®Енка йЯ5 свойство. Некоторые признаки являются естественными в том смысле, что они устанавливаются визуальным анализом изображения, тогда как другие, так называемые искусственные признаки, получаются в результате его специальной обработки или измерений. К естественным признакам относятся светлота (яркость) и текстура различных областей изображения, форма контуров объектов. Гистограммы распределения яркости и спектры пространственных частот дают примеры искусственных признаков.

ЯРКОСТНЫЕ ПРИЗНАКИ

Наиболее важным признаком изображения является светлота. Светлота выражается через такие величины, как яркость, спектральная интенсивность излучения, координаты цвета и т. д., которые будут называться яркостными признаками. Измерение яркостных признаков можно проводить либо в отдельных точках изображения, либо в их окрестностях. Например, средняя яркость окрестности точки (/, й) изображения размером (2W + 1) X X (2М + 1) элементов определяется как

w w

у(!, й) = [1/(2Г+1Л I； I УО +т, й + п). (17.1.1)

Существует множество различных способов определения яркостных признаков. Можно использовать значения яркости или координат цвета непосредственно либо перейти к новым яркостным признакам, выполнив некоторое линейное, нелинейное или, возможно, необратимое преобразование.

Измерение яркостных признаков приобретает особую важность при выделении изображенных объектов (символическое описание) и при маркировке таких объектов (интерпретация). Эти вопросы рассматриваются в следующих главах.

ГИСТОГРАММНЫЕ ПРИЗНАКИ

В гл. 5 введено представление дискретного изображения — массива чисел 户(/,左)——как реализацию двумерного случайного процесса, описываемого совместными распределениями вероятностей. Разработаны методы оценки распределений вероятностей значений яркости изображения. Получающиеся при этом гистограммы можно использовать также для создания некоторого класса признаков изображения.

Распределение вероятностей значений яркости первого порядка можно определить как

Р(Ь)三 Pr {F (/,舟=&}, (17.2.1) где 0 w b w L —— 1 — уровни квантования. Распределение частот первого порядка, оценивающее Р (&), описывается простым выражением

Р (b) q N (Ь)/М, (17.2.2) где М — полное число элементов изображения в окне с центром (/, 舟，а ^ (&) —— число элементов в окне, имеющих уровень Ь. Часто, исходя из предположения о стационарности, размер окна берется равным размеру всего изображения.

Форма гистограммы распределения частот дает много сведений о свойствах изображения. Например, узкая гистограмма указывает на низкий контраст, а бимодальная гистограмма предполагает наличие областей разной яркости. В работе [1 ] введены следующие характеристики, описывающие форму гистограмм первого порядка:

Среднее

厶一1

5=1. ЬР(Ь).

(17.2.3)

Дисперсия

加=£0一6）"（办

(17.2.4)

Коэффициент асимметрии

bs = (l欣)£ (b-6)sp(b).

(17.2.5)

Коэффициент эксцесса

跟=（1/或）е д -5）4р（ь）_з.

(17.2.6)

Энергия

玩［р（ь）р.

(17.2.7)

I

Энтропия

bE^-t P(&)log2p(&)].(17.2.8)

b=0

Слагаемое —3, введенное в выражение для коэффициента эксцесса, нормализует величину 匕尺 так, что она равняется нулю для квантованной гауссовой плотности вероятности при стремящемся к нулю шаге квантования.

Гистограммные признаки второго порядка основаны на определении совместного распределения вероятностей пар элементов изображения. Рассмотрим два элемента F (/,々)и 戶(/и, п) с координатами соответственно (/, &) и (/и, п), причем вектор расстояния между ними определяется модулем г и углом 0 относительно горизонтальной оси. Тогда совместное распределение значений яркости имеет вид

Р(&, Ь) a PR\F(j, 々)= &, F(m,孔)=饵，(17,2.9)