Т. И. Трофимова Справочник по ФИЗИКЕ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И АБИТУРИЕНТОВ

МоскваАстрель-ACT2001

УДК53(03)

ББК22.3я2

Т76

Трофимова Т. И.

Т76 Справочник по физике для студентов и абитуриентов / Т. И. Трофимова. — М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2001. — 399, [1] с.: ил.

ISBN 5-17-004588-3 (ООО «Издательство АСТ»)

ISBN 5-271-01326-Х (ООО «Издательство Астрель^)

Пособие охватывает все разделы курса физики для втузов: механика, молекулярная физика, термодинамикат электричество и магнетизм, колебания и волны, волновая и квантовая оптика, элементы квантовой физики атомов и молекул, элементы физики атомного ядра и элементарных частиц. В первой части «Основы физики» приводятся основные понятия» законы и формулы, примеры решения задач, а также задачи для самостоятельного решения. Вторая часть содержит ^Толковый словарь физических понятий

Справочник поможет студентам при подготовке к коллоквиумам, семина^ рам, зачетам и экзаменам. Он может быть полезен слушателям колледжей, подготовительных отделений и учащимся школ.

УДК 53(03)

ББК 22.3я2

Справочное издание

Трофимова Таисия Ивановна

СПРАВОЧНИК ПО ФИЗИКЕдля студентов и абитуриентов

Редакция «Луч»

Ответственный редактор Е. С, ГридасоваТехнический редактор Л\ Б. Чуева

Подписано в печать с готовых ди ап озитов 20.06.2001, Формат 70 х ЮО1/^*

Бумага офсетная» Гарнитура Школьная* Усл. печ. л. 32,25. Тираж 10 000 экз. Заказ № 1137.

Общероссийский к л асе ифи катор продукции ОК-005-93, том 2;

953000 — книги, брошюры.

Гигиеническое заключение № 77.99Д4.9 53.11.12*850.7.00 от 14.0 7.2000

ООО «Издательство Астрель*. Лицензия ЛР № 066647 от 07.06.99.

143900, Московская обл,, г* Балашиха, пр-т Ленина, 81.

ООО *Издательство ACT а* Лицензия ИД № 02694 от 30,08,2000.

674460, РФ, Читинская обл,, Агинский р-н, п, Агинское, ул. Базара Ринчино! 84.

Наши электронные адреса: WWW.AST.RU E-mail: astpub@aha,ru

Качество печати соответствует диапозитивам, пр ед о ста вленным издательством

ФГУП Тверской ордена Трудового Красного Знамени полиграфкомбинат детской литературынм, 50-летия СССР Министерства Российской Федерации по делам печати,теле р ад ни веща н ия и средств массовых ко ммуникаци й,170040, г* Тверь1 проспект 50-летия Октября, 46.

ISBN 5-17-004588-32

(ООО «Издательство АСТ^)

ISBN 5-271-01326-Х

(ООО «Издательство Астрель*)© ООО с Издательство Астрель^ т 2001

Посвящается

40-летию Московского

государственного университета электроники и математики (технический университет)

Предисловие

Предлагаемое пособие охватывает все разделы курса физики: основы механики, молекулярная физика, термодинамика, электричество и магнетизм, колебания и волны, волновая и квантовая оптика, элементы квантовой физики атомов и молекул, элементы физики атомного ядра и элементарных частиц. Оно соответствует программе курса физики для инженерно-технических специальностей.

Пособие предназначено для изучения и повторения курса физики, весьма полезно при решении задач и подготовке к коллоквиумам, семинарам и экзаменам.

Пособие может быть использовано студентами и преподавателями вузов и техникумов. Может быть полезно учащимся лицеев и колледжей, а также абитуриентам, готовящимся к поступлению в технические вузы.

О структуре пособия. Пособие состоит из двух частей. В первой части «Основы физики» каждый параграф начинается с перечисления основных физических понятий и законов, знание которых важно для усвоения данной темы. Затем приводятся формулы, необходимые для решения задач. Дальше следуют примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения. Во второй части — «Толковом словаре физических понятий» даются «расшифровка» основных понятий, терминов, формулировка и выяснение физического смысла законов, объяснение различных физических процессов и явлений. Статьи словаря представлены в алфавитном порядке.

О работе с толковым словарем. Каждая статья, в зависимости от рассматриваемого материала, достаточно подробно (это особенно касается вопросов современной физики) раскрывает его содержание.

Если название статьи содержит несколько слов, включая и прилагательные, на первое место выносится существительное. Например, название статей следует искать на слова «Силы ядерные», «Моменты электронов и атомов механические и магнитные орбитальные», а не на сочетания слов «Ядерные силы», «Орбитальные механические и магнитные моменты электронов и атомов».

Для нахождения нужного термина следует проверить его наличие по всем ключевым словам.

О задачах и их решении. В пособии около 400 задач, примерно 60% из них решены без каких-либо пояснений, поскольку сначала следует изучить материал по данной теме, провести свой анализ задачи и только тогда для сравнения посмотреть готовое решение, которое не всегда бывает единственным.

Все задачи оформлены однотипно (запись условия, перевод данных в СИ, запись необходимых уравнений, их решение в общем виде, подстановка числовых значений в конечную формулу, запись ответа). Цифры в задачах и ответы даны с точностью до трех значащих цифр. Значащие цифры — нули, стоящие в конце чисел, для упрощения записи опускаются.

Единицы физических величин вынесены в приложение, где задаются определяющие их уравнения, приводятся обозначения и определения. В приложении имеются также и другие вспомогательные таблицы.

Основы ФИЗИКИ

0

Физические

основы механики

РАЗДЕЛЫМЕХАНИКИКлассическая механика ♦ Релятивистская механикаКвантовая механикаРАЗДЕЛЫМЕХАНИКИКлассическая механика ♦ Релятивистская механикаКвантовая механикаРАЗДЕЛЫКЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИКинематикаДинамикаСтати каРАЗДЕЛЫКЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИКинематикаДинамикаСтати ка

РАЗДЕЛЫМЕХАНИКИ

Классическая механика ♦ Релятивистская механика

Квантовая механика

РАЗДЕЛЫМЕХАНИКИ

Классическая механика ♦ Релятивистская механика

Квантовая механика

РАЗДЕЛЫКЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Кинематика

Динамика

Стати ка

РАЗДЕЛЫКЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Кинематика

Динамика

Стати ка

ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ

Материальная точкаАбсолютно твердое тело (твердое тело)Абсолютно упругое телоАбсолютно неупругое телоПоступательное движениеВрашательное движениеКолебательное движениеТело отсчетаСистема координатСистема отсчетаТраекторияДлина путиВектор перемещенияСкоростьМатериальная точкаАбсолютно твердое тело (твердое тело)Абсолютно упругое телоАбсолютно неупругое телоПоступательное движениеВрашательное движениеКолебательное движениеТело отсчетаСистема координатСистема отсчетаТраекторияДлина путиВектор перемещенияСкоростьСредняя скоростьМгновенная скоростьУскорение и его составляющиеСреднее ускорениеМгновенное ускорениеТангенциальная составляющая ускоренияНормальная составляющая ускоренияКинематические уравнения различных видов движенияУгловая скоростьУгловое ускорениеПериол врашенияЧастота врашенияСредняя скоростьМгновенная скоростьУскорение и его составляющиеСреднее ускорениеМгновенное ускорениеТангенциальная составляющая ускоренияНормальная составляющая ускоренияКинематические уравнения различных видов движенияУгловая скоростьУгловое ускорениеПериол врашенияЧастота врашения

Материальная точка

Абсолютно твердое тело (твердое тело)

Абсолютно упругое тело

Абсолютно неупругое тело

Поступательное движение

Врашательное движение

Колебательное движение

Тело отсчета

Система координат

Система отсчета

Траектория

Длина пути

Вектор перемещения

Скорость

Материальная точка

Абсолютно твердое тело (твердое тело)

Абсолютно упругое тело

Абсолютно неупругое тело

Поступательное движение

Врашательное движение

Колебательное движение

Тело отсчета

Система координат

Система отсчета

Траектория

Длина пути

Вектор перемещения

Скорость

Средняя скорость

Мгновенная скорость

Ускорение и его составляющие

Среднее ускорение

Мгновенное ускорение

Тангенциальная составляющая ускорения

Нормальная составляющая ускорения

Кинематические уравнения различных видов движения

Угловая скорость

Угловое ускорение

Периол врашения

Частота врашения

Средняя скорость

Мгновенная скорость

Ускорение и его составляющие

Среднее ускорение

Мгновенное ускорение

Тангенциальная составляющая ускорения

Нормальная составляющая ускорения

Кинематические уравнения различных видов движения

Угловая скорость

Угловое ускорение

Периол врашения

Частота врашения

Основные формулы

Средняя и мгновенная скорости материальной точки

Модули средней и мгновенной скоростей

V = \v\V = \v\8=|(3〉| =8=|(3〉| =!查1 =回=包!查1 =回=包AtAtAtAtAt'At'8唄，8唄，lim冬At — 0 △“lim冬At — 0 △“lim 図=lim 図=「 Asds„dslim ——=——,v =—д^ о Д/didt「 Asds„dslim ——=——,v =—д^ о Д/didt

V = \v\

V = \v\

8=|(3〉| =

8=|(3〉| =

!查1 =回=包

!查1 =回=包

At

At

At

At

At'

At'

8唄，

8唄，

lim冬

At — 0 △“

lim冬

At — 0 △“

lim 図=

lim 図=

「 Asds„ds

lim ——=——,v =—

д^ о Д/didt

「 Asds„ds

lim ——=——,v =—

д^ о Д/didt

[Дг ——элементарное перемещение точки за промежуток времени Ai; г — радиус-вектор точки; As ——путь, пройденный точкой за промежуток времени At].

Среднее и мгновенное ускорения материальной точки

—, а =—-. Atd力

Tангенциальная и нормальная составляющие ускорения

〃=跑 „ = у2т dt п г

[г — радиус кривизны траектории в данной точке].

Классификация движения в зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения:

%

%

Движение

0

0

прямолинейное равномерное

% = а = const

0

прямолинейное равномерное

% = f⑴

0

прямолинейное

с переменным ускорением

0

const

равномерное по окружности

0

w 0

криволинейное равномерное

const

不0

криволинейное равномерное

% =用）

N 0

криволинейное

с переменным ускорением

Полное ускорение при криволинейном движении

Кинематическое уравнение равномерного движения материальной точки вдоль оси X

X = Хо + и^

[х0 ——начальная координата, t ——время].

Путь и скорость для равнопеременного движения

$ = и。力 i 2 - , и н i?q 土 at.

Алина пути, пройденного материальной точкой за промежуток времени от 片 до t2,

5 = j u⑴出.

Свободное падение:

путь, пройденный телом в свободном падении при 3。= О,

2

[g — ускорение свободного падения];

скорость тела в произвольный момент времени f v = gt

[начальная скорость падения Jo = 0];

модуль скорости тела при падении с высоты h

и = J2gh;

время падения тела с высоты й при и0 = 0

t = J2h7g.

Движение тела, брошенного вертикально вверх (рис. 1):

движение вертикально вверх с начальной скоростью и。

[0 - и0 - gt{ 0 - и2 = -2gt;[0 - и0 - gt{ 0 - и2 = -2gt;время и высота подъемавремя и высота подъема”2gсвободное падениеподъема”2gсвободное падениеподъема3；)2 — 0 = 2g7i,3；)2 — 0 = 2g7i,от максимальной точкиот максимальной точки23；)2 = 2g^|,23；)2 = 2g^|,так как высота падения равна высоте подъема.так как высота падения равна высоте подъема.

[0 - и0 - gt

{ 0 - и2 = -2gt;

[0 - и0 - gt

{ 0 - и2 = -2gt;

время и высота подъема

время и высота подъема

”2g

свободное падение

подъема

”2g

свободное падение

подъема

3；)2 — 0 = 2g7i,

3；)2 — 0 = 2g7i,

от максимальной точки

от максимальной точки

2

3；)2 = 2g^|,

2

3；)2 = 2g^|,

так как высота падения равна высоте подъема.

так как высота падения равна высоте подъема.

Конечная скорость падения равна начальной скорости бросания:

4=о + gf.

Время падения равно времени подъема:

г =—=——=г.g g

Движение тела, брошенного горизонтально с начальной скоростью у0 с высоты h, рассматривают как комбинацию двух движений (рис. 2):

горизонтальное (равномерное) со скоростью 3°;

вертикальное свободное падение (равноускоренное с ускорением g)

% = 气力， у = -^-.

Уравнение траектории тела — парабола:

Горизонтальная дальность полета

§ =吋=

Мгновенная скорость и ее модуль в каждой точке траектории

3 = 3。+ 或，U = № + g2/2 •

Движение тела, брошенного под углом а к горизонту с начальной скоростью и。(рис. 3). Это движение рассматривают как комбинацию двух движений:• горизонтальное (равномерное) движение со скоростью 6工；♦ движение тела, брошенного вертикально вверх со скоростью уу.Движение тела, брошенного под углом а к горизонту с начальной скоростью и。(рис. 3). Это движение рассматривают как комбинацию двух движений:• горизонтальное (равномерное) движение со скоростью 6工；♦ движение тела, брошенного вертикально вверх со скоростью уу.Рис. 2Рис. 2Рис. 3Рис. 3

Движение тела, брошенного под углом а к горизонту с начальной скоростью и。(рис. 3). Это движение рассматривают как комбинацию двух движений:

• горизонтальное (равномерное) движение со скоростью 6工；

♦ движение тела, брошенного вертикально вверх со скоростью уу.

Движение тела, брошенного под углом а к горизонту с начальной скоростью и。(рис. 3). Это движение рассматривают как комбинацию двух движений:

• горизонтальное (равномерное) движение со скоростью 6工；

♦ движение тела, брошенного вертикально вверх со скоростью уу.

Рис. 2

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 3

Проекции скорости в любой момент времени при подъеме до верхней точки траектории

их = и。cos a, vy = и。since - gt.

Модули мгновенной скорости в каждой точке траектории при подъеме и спуске

% 二 届 + и： = J(Uq cosa)2 + (и。sina — g$)2 ,

%n= Ji4x + (g 力)2 = JvQCOS2a + g2t2

[vOx = v0cosa и t)Oy = UoSina — проекции начальной скорости на оси координат].

Время подъема тела

% sin a

[乙=0; 0 = %sina - g%].

Общее время движения

2i?0 sin a

%6щ~

[время падения равно времени подъема].

Дальность полета тела

Un sin 2a

s =—g

tS = Wo64=t；0^COSa]-

Максимальная высота подъема

.тsinza

2g

无=%у% - k = %% sma -—.

Угловая скорость

dt

Угловая скорость равномерного вращательного движения

(о = ^ = — = 2лп

[ср — угол поворота произвольного радиуса от начального движения; t — промежуток времени, за который произошел данный поворот; Т — период вращения; п ——частота вращения].

Угловое ускорение

Кинематическое уравнение равномерного вращения

ф = ф0 + CDt

[<р0 — начальное угловое перемещение; t — время].

Угол поворота и угловая скорость для равнопеременного вращательного движения

с / 2

ф = CD0^ 土 — ,00 = COq ± £t

[соо ——начальная угловая скорость].

Связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиусом 五，линейная скорость и, тангенциальная составляющая ускорения аг, нормальная составляющая ускорения ап) и угловыми величинами:

s = /?(р,и =五со,% = Re， ап = о)Л

[(Р ——угол поворота, со — угловая скорость, в ——угловое ускорение].

Примеры решения задач

Тело брошено со скоростью и0 = 20 м/с под углом а = 30° к горизонту (рис. 4). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить для момента времени £ = 1,5 с после начала движения: 1) нормальное ускорение; 2) тангенциальное ускорение.

Дано:Решение:

% = 20 м/с

а = 30。 t = 1,5 с

_Ug sin а_Ug sin аD % — ?

_Ug sin а

_Ug sin а

Материальная точка движется вдоль прямой так, что ее ускорение линейно растет и за первые 10 с достигает значения 5 м/с2. Определить в конце десятой секунды: 1) скорость точки; 2) путь, пройденный точкой.

a = kt

^1 = 10 c

a = kt, й =-=—,

Q] = 5 м/с2

% — ?

S] — ?

и = ^a(t) di = jfet dt = ~ ,% = ^ = -y1

00

ttr 32

£ = g dt = 1•虻 dt =虻，S] = J 導• JJ 26166

0о

Дано:

Решение*

Ответ: 1) % = 25 м/с; 2)外=83,3 м.

Движение материальной точки в плоскости XY описывается законом х = At, у =厶力(1 + Bi), где А и В — положительные постоянные. Определить: 1) уравнение траектории материальной точки у(к); 2) радиус-вектор г точки в зависимости от времени; 3) скорость и точки в зависимости от времени; 4) ускорение а точки в зависимости от времени.

Дано:Дано:x = Atу = Ai(l + Bt)x = Atу = Ai(l + Bt)х = At,х = At,хN'хN'1)仪霜-?2)齐⑴一?D⑴—?a⑴—?1)仪霜-?2)齐⑴一?D⑴—?a⑴—?у = 4力(工 + Bt) = А~= % +у = 4力(工 + Bt) = А~= % +如，А如，Аr = xi + yj=Ati + Af(l + Bt) j,r = xi + yj=Ati + Af(l + Bt) j,Решение:

Дано:

Дано:

x = At

у = Ai(l + Bt)

x = At

у = Ai(l + Bt)

х = At,

х = At,

х

N'

х

N'

1)仪霜-?

2)齐⑴一?

D⑴—?

a⑴—?

1)仪霜-?

2)齐⑴一?

D⑴—?

a⑴—?

у = 4力(工 + Bt) = А~= % +

у = 4力(工 + Bt) = А~= % +

如，

А

如，

А

r = xi + yj=Ati + Af(l + Bt) j,

r = xi + yj=Ati + Af(l + Bt) j,

心=半=Ai + (A + 2AB 力 j,

и 二 7а2 +(а + 2ав土)2 =aJ1 + (1 + 2Bt)2 ,

a = ~ = 2AB j, a = 2AB = const.

di

Ответ: 1) у = % + ^^ ; 2) г = At i + A^(l + Bt) j;

3) v = Aл/l + (1 + 2Bt)2 ; 4) a = 2AB = const.

Якорь электродвигателя, имеющий частоту вращения п =

=50 с-1, после выключения тока, сделав N = 500 оборотов, остановился. Определить угловое ускорение е якоря.

几=50 с"

= 500

F ±2

屮=2л^,

Е — ?

w0 = 2加，2冗N =

с 2

2nnt -, co = cd0 -0 = 27m - Ei,

士 = 22坦，2eN

=27m 空必-J 4/

£2e2

川2 = 2冗2办2£ = 冗也2

£'N

Дано:

Решением

Ответ: е = 15,7 рад/с.

Задачи для самостоятельного решения

С башни высотой 无=30 м в горизонтальном направлении брошено тело с начальной скоростью р0 = 10 м/с. Определите: 1) уравнение траектории тела у(龙)；2) скорость и тела в момент падения на Землю; 3) угол (р, который образует эта скорость с горизонтом в точке его падения.

Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s А + Bt + Ct2 + Dt^ (С = 0,1 м/с2, D = 0,03 м/с3). Определите: 1) через какой промежуток времени после начала движения ускорение а тела будет равно 2 м/с2; 2) среднее ускорение〈。〉тела за этот промежуток времени.

Зависимость пройденного телом пути s от времени t определяется уравнением s At - Bt2 十 Ct3 (厶=2 м/с, В = 3 м/с2, С = 4 м/с3). Запишите выражения для скорости и ускорения. Определите для момента времени 方=2 с после начала движения: 1) пройденный путь; 2) скорость; 3) ускорение.

Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону г = t3 i + 3力2 j, где i, j ——орты осей X и У* Определите для момента t = 1 с: 1) модуль скорости; 2) модуль ускорения.

Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону г = 4#Z + 3f; + 2K Определите: 1) скорость 6; 2) ускорение а. Вычислите модуль скорости в момент времени t = 2 с.

Колесо радиусом J? = 80 см вращается с постоянным угловым ускорением е = 2 рад/с2. Определите полное ускорение колеса через t = 1 с после начала движения.

Колесо автомобиля вращается равнозамедленно. За время 力=2 мин оно изменило частоту вращения от пг = 240 мин"1 до п2 = 60 мин-1. Определите: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время.

Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением ср = At2 (4 = 0,5 рад/с2). Определите к концу второй секунды после начала движения: 1) угловую скорость диска; 2) угловое ускорение диска; 3) для точки, находящейся на расстоянии 80 см от оси вращения, тангенциальное %, нормальное ап и полное а ускорения.

Диск радиусом К = 10 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением (р = А + В^3 (А = 2 рад, В = 4 рад/с2). Определите для точек на ободе колеса: 1) нормальное ускорение в момент времени W = 2 с; 2) тангенциальное ускорение для этого же момента; 3) угол поворота <р, при котором полное ускорение составляет с радиусом колеса угол а = 45°.

ОТВЕТЫ: 5. 1) у =工％2；2) 26,2 м/с; 3) 67,8°.6. 1) 10 с;

2若

1,1 м/с2.7. 1) 24 м; 2) 38 м/с; 3) 42 м/с2.8. 1) 6,7 м/с;

8,48 м/с2.9. 16,3 м/с. 10. а = £_К/ИУ^ = 3,58 м/с2.

1) е = 2兀5；~~ = 0,157 рад/с2; 2) ^ = %方 一 '"i J?" = 300. 12. 1) 2 рад/с; 2) 1 рад/с2; 3) 0,8 м/с2;3,2 м/с2;3,3 м/с2.

1)230 м/с2; 2)4,8 м/с2; 3) 2,67 рад.

ЭЛЕМЕНТЫ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИИ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯТВЕРДОГО ТЕЛА

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ

♦ Первый закон НьютонаМассаСилаИнертность тел♦ Первый закон НьютонаМассаСилаИнертность телИнерциальная система отсчета

♦ Первый закон Ньютона

Масса

Сила

Инертность тел

♦ Первый закон Ньютона

Масса

Сила

Инертность тел

Импульс

Второй закон Ньютона

Приниип независимости действия сил

Третий закон НьютонаСилы тренияМеханическая системаВнутренние силыВнешние силыЗамкнутая системаЗакон сохранения импульсаТретий закон НьютонаСилы тренияМеханическая системаВнутренние силыВнешние силыЗамкнутая системаЗакон сохранения импульсаОднородность пространства

Третий закон Ньютона

Силы трения

Механическая система

Внутренние силы

Внешние силы

Замкнутая система

Закон сохранения импульса

Третий закон Ньютона

Силы трения

Механическая система

Внутренние силы

Внешние силы

Замкнутая система

Закон сохранения импульса

Центр масс системы материальных точек

Закон движения иентра масс

Уравнение движения тела переменной массы

Формула Циолковского

Основные формулы

Импульс (количество движения) материальной точки

р = mv

[т — масса материальной точки; и — ее скорость].

Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки)

Это же уравнение в проекциях на касательную и нормаль к траектории точки

尸丁 = та. = т— ,Fn = та„ = ^^ = ma)2R.

т т dt п Л R

Третий закон Ньютона

[尸 12 — сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй;尸21 — сила, действующая на вторую материальную точку со стороны первой].

Сила трения качения

[/к — коэффициент трения качения; г — радиус катящегося тела; ^ — сила нормального давления].

Сила трения покоя максимальная

(尸 тр°)тах = ЛЛ

— коэффициент трения покоя].

Сила трения скольжения

/=如

[/ — коэффициент трения скольжения].

Закон сохранения импульса для замкнутой системы

п

/ н £ mi^i = const

i = 1

[п ——число материальных точек (или тел), входящих в систему; т^ — масса i-й материальной точки (тела); % ——скорость £-й точки (тела)].

Радиус-вектор центра масс системы материальных точек

гГ =皿с т

[mz и г- — соответственно масса и радиус-вектор 2-宜 материальной

точки; п — число материальных точек в системе; m = ^ mi — мас-

t = 1

са системы].

Координаты центра масс системы материальных точек:

[mi — масса 2-й материальной точки;力尸 ^,马 ——координаты точки]. Закон движения центра масс

772 ―'— =F ；.

di

Уравнение движения тела переменной массы на примере движения ракеты (уравнение Мещерского)

m~=F~ u~ или ma F +dtdtP

[m и 6 — соответственно масса и скорость ракеты в момент времени ^; Fp = -"^^ — реактивная сила. Если и (скорость истечения газов) относительно ракеты противоположна 3 по направлению, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то ракета тормозится].

Формула Циолковского для определения скорости ракеты

V =V =uln妆тuln妆т

V =

V =

uln妆т

uln妆т

начальная масса ракеты,начальная масса ракеты,[и ——скорость истечения газов; т0 т — конечная масса ракеты].

начальная масса ракеты,

начальная масса ракеты,

Примеры решения задач

На рис. 5 изображена система блоков, к которым подвешены грузы, масса которых 7nl = 200 г и т2 = 500 г. Считая, что груз т1 поднимается, а неподвижный блок с грузом т2 опускается, нить и блоки невесомы, силы трения отсутствуют, определите: 1) силу натяжения нити Т (рис. 6); 2) ускорения, с которыми движутся грузы.

Дано:

Рис. 5Рис. 5Рис. 6Рис. 6T - %g — 2(m2 -Zm^gтг m2 + 4m!T - %g — 2(m2 -Zm^gтг m2 + 4m!m2g -2T (m2 - 2m1)g, m2 m2 + 4?H[m2g -2T (m2 - 2m1)g, m2 m2 + 4?H[иг】=200 г = 0,2 кг т2 = 500 г = 0,5 кг

Рис. 5

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 6

T - %g — 2(m2 -Zm^gтг m2 + 4m!

T - %g — 2(m2 -Zm^gтг m2 + 4m!

m2g -2T (m2 - 2m1)g, m2 m2 + 4?H[

m2g -2T (m2 - 2m1)g, m2 m2 + 4?H[

Ответ'. 1) T = 2,26 H; 2) a】=1,5 м/с; a2 = 0,75 м/с2.

Через блок, укрепленный на конце стола, перекинута нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы, один из которых (nil = 400 г) движется по поверхности стола, а другой (т2 = 600 г)— вдоль вертикали вниз (рис. 7). Коэффициент / трения груза о стол равен 0,1. Считая нить и блок невесомыми, определить: 1) ускорение а, с которым движутся грузы; 2) силу натяжения Т нити.

Решение'.Решение'.々=400 г = 0,4 кгт2 = 600 г = /=0,1.0,6 кг1) а — ?2) Т — ?々=400 г = 0,4 кгт2 = 600 г = /=0,1.0,6 кг1) а — ?2) Т — ?Дано:Дано:^т^ = Т —尸 тр， m2a = m2g - Т,Ftp =切43，Гтга 二 Т - fmg[m2a - sg- T，^т^ = Т —尸 тр， m2a = m2g - Т,Ftp =切43，Гтга 二 Т - fmg[m2a - sg- T，(m2~fm^ga = 1—(m2~fm^ga = 1—mi + m2mi + m2T = m^g- а}.T = m^g- а}.Рис. 7Рис. 7Ответ: 1) а = 5,49 м/с2; 2) Т = 2,59 Н.Ответ: 1) а = 5,49 м/с2; 2) Т = 2,59 Н.

Решение'.

Решение'.

々=400 г = 0,4 кг

т2 = 600 г = /=0,1.

0,6 кг

1) а — ?

2) Т — ?

々=400 г = 0,4 кг

т2 = 600 г = /=0,1.

0,6 кг

1) а — ?

2) Т — ?

Дано:

Дано:

^т^ = Т —尸 тр， m2a = m2g - Т,

Ftp =切43，

Гтга 二 Т - fmg

[m2a - sg- T，

^т^ = Т —尸 тр， m2a = m2g - Т,

Ftp =切43，

Гтга 二 Т - fmg

[m2a - sg- T，

(m2~fm^g

a = 1—

(m2~fm^g

a = 1—

mi + m2

mi + m2

T = m^g- а}.

T = m^g- а}.

Рис. 7

Рис. 7

Ответ: 1) а = 5,49 м/с2; 2) Т = 2,59 Н.

Ответ: 1) а = 5,49 м/с2; 2) Т = 2,59 Н.

С железнодорожной платформы, движущейся со скоростью и0 = 18 км/ч, выстрелили из пушки в горизонтальном направлении (рис. 8). Масса платформы с пушкой М = 15 т, масса снаряда /п = 20 кг, а начальная скорость снаряда v2 = 500 м/с. Определить скорость % платформы после выстрела, если выстрел произведен в направлении движения платформы.

d— Сd— С

d— С

d— С

Рис. 8

Дано:% = 18 км/ч = 5 м/с ”=15 т= 1,5 • 105 кг щ = 20 кгv2 = 500 м/с%2 = и。】=и。% — ?Дано:% = 18 км/ч = 5 м/с ”=15 т= 1,5 • 105 кг щ = 20 кгv2 = 500 м/с%2 = и。】=и。% — ?Решение:(М + щ)у0 = Mvr + ^为，(М + m)v0 = Mvr + mv2,Решение:(М + щ)у0 = Mvr + ^为，(М + m)v0 = Mvr + mv2,%%(M + m)f0 - mv2M(M + m)f0 - mv2MТак как m《M, toТак как m《M, to4,34 м/с.4,34 м/с.

Дано:

% = 18 км/ч = 5 м/с ”=15 т= 1,5 • 105 кг щ = 20 кг

v2 = 500 м/с

%2 = и。】=и。

% — ?

Дано:

% = 18 км/ч = 5 м/с ”=15 т= 1,5 • 105 кг щ = 20 кг

v2 = 500 м/с

%2 = и。】=и。

% — ?

Решение:

(М + щ)у0 = Mvr + ^为，

(М + m)v0 = Mvr + mv2,

Решение:

(М + щ)у0 = Mvr + ^为，

(М + m)v0 = Mvr + mv2,

%

%

(M + m)f0 - mv2M

(M + m)f0 - mv2M

Так как m《M, to

Так как m《M, to

4,34 м/с.

4,34 м/с.

Di = — = v0~ —v2 = 4,33 м/с.

Ответа % = 4,34 м/с.

Ракета с начальной массой m0 = 1,5 кг, начиная движение из состояния покоя вертикально вверх, выбрасывает непрерывную струю газов с постоянной относительно нее скоростью и = 800 м/с. Расход газа ц = 0,3 кг/с. Определить, какую скорость приобретает

ракета через время / = 1 с после начала движения, если она движется: 1) при отсутствии внешних сил; 2) в однородном поле силы тяжести. Оценить относительную погрешность, сделанную для данных условий задачи при пренебрежении внешним силовым полем.

Дано:

т0 = 1,5 кг и = 800 м/с 卩=0,3 кг/с 力 1 = 1 с

Решение:

1) та = F^ + F, т^|ift а = ^ f Fn =卩〃,

F = 0力("% 一 1I^) —=乩〃， dz?=-出"— d 九 di- \xt

v(t) = f—坦一dt = u In—③一;

2)vr = u Inr , 尸 =RU, F= mg,

入一財1p

1)也-？

»2 — ?

£ — ?

t>(i) = u In— - gt, v9 = и In - g厶;

m0 - p.tnr。— у%

3)E = g = —

Ответ'. 1) u1 = 134 м/с, 2) u2 = 124 м/с, 3) £ = 7,3% .

Задачи для самостоятельного решения

К нити подвешен груз массой т = 500 г. Определите силу на

тяжения нити, если нить с грузом: 1) поднимать с ускорением 2 м/с2;

2) опускать с ускорением 2 м/с2.

Рис. 9Рис. 9В установке углы сс и 0 c горизонтом соответственно равны 30 и 45°, массы тел т^ = 0,45 кг и т2 = 0,5 кг (рис. 9). Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая силами трения, определите: 1) ускорение, с которым

Рис. 9

Рис. 9

движутся тела; 2) силу натяжения нити.

С вершины клина, длина которого Z = 2 м и высота й = 1 м, начинает скользить небольшое тело. Коэффициент трения между телом и клином / = 0,15. Определите: 1) ускорение, с которым движется тело; 2) время прохождения тела вдоль клина; 3) скорость тела у

основания клина.

Платформа, нагруженная песком М = 2 т, стоит на рельсах на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд массой m = 8 кг и застревает в нем. Пренебрегая трением, определите, с какой скоростью будет двигаться платформа, если в момент попадания скорость снаряда и = 450 м/с, а ее направление — сверху вниз под углом а = 30° к горизонту.

Определите координаты центра масс Асистемы, состоящей из четырех шаров массами

2/п, 3tn, 4zn и т, которые расположены в вер- /\шинах и в центре равностороннего треугольны-

ка со стороной а = 20 см (рис. 10). Направление координатных осей указано на рисунке.

—Q——>-23. Ракета, масса которой в начальный мо- 2т47n X мент времени М = 2 кг, запущена вертикально

Ркс・ 1°вверх. Относительная скорость выхода продук

тов сгорания и = 150 м/с, расход горючего ц = 0,2 кг/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите ускорение а ракеты через 土 = 3 с пос

ле начала ее движения. Поле силы тяжести считать однородным.

ОТВЕТЫ: 18. 1) 5,9 Н; 2) 3,9 Н. 19. 1) 1,33 м/с2; 2) 2,8 Н. 20. 1) 3,63 м/с2; 2) 1,05 с; 3) 3,81 м/с. 21. 1,55 м/с. 22. 12 см, 5,77 см. 23.” цц -g = 11,6 м/с2.

М -\xt

РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ

ЭнергияРабота силыМощностьКинетическая энергияПотенциальная энергияПолная механическая энергияЗакон сохранения механической энергииКонсервативная силаОдноролность времениЭнергияРабота силыМощностьКинетическая энергияПотенциальная энергияПолная механическая энергияЗакон сохранения механической энергииКонсервативная силаОдноролность времениЗакон сохранения и превращения энергииДиссипативная силаПотенциальное полеКонсервативные системыДиссипативные системыПотенциальная криваяУдарАбсолютно упругий уларАбсолютно неупругий ударЗакон сохранения и превращения энергииДиссипативная силаПотенциальное полеКонсервативные системыДиссипативные системыПотенциальная криваяУдарАбсолютно упругий уларАбсолютно неупругий удар

Энергия

Работа силы

Мощность

Кинетическая энергия

Потенциальная энергия

Полная механическая энергия

Закон сохранения механической энергии

Консервативная сила

Одноролность времени

Энергия

Работа силы

Мощность

Кинетическая энергия

Потенциальная энергия

Полная механическая энергия

Закон сохранения механической энергии

Консервативная сила

Одноролность времени

Закон сохранения и превращения энергии

Диссипативная сила

Потенциальное поле

Консервативные системы

Диссипативные системы

Потенциальная кривая

Удар

Абсолютно упругий улар

Абсолютно неупругий удар

Закон сохранения и превращения энергии

Диссипативная сила

Потенциальное поле

Консервативные системы

Диссипативные системы

Потенциальная кривая

Удар

Абсолютно упругий улар

Абсолютно неупругий удар

Основные формулы

Элементарная работа постоянной силы F на перемещении drdA = F dr = F cosct ds = Fs ds

[a — угол между векторами F и dr; ds = |dr| — элементарный путь;

Fs — проекция вектора F на вектор dr].

Работа, совершаемая переменной силой на пути s, А =产$ ds =卜 cos a ds.

Средняя мощность за промежуток времени △力

Мощность (мгновенная мощность)

N =^ = Fv = Fvv — Fv coscx

d力6

[6 ——вектор скорости, с которой движется точка приложения силы F; а — угол между векторами F и б].

Кинетическая энергия движущегося тела

Т = 7nti2

[тп — масса тела; и — его скорость].

Связь между силой, действующей на тело в данной точке поля, и потенциальной энергией частицы

с я тт石—(ЭП ? I 8n 了 丄 ЭП 冒)

г = igrad 11, или f — I + у + ——左

I дх ду 02 丿

[i, j,右一единичные векторы координатных осей].

Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли на высоту 九,

П = mgh [g — ускорение свободного падения]. Сила упругости

F = ~kx [х — деформация; k — жесткость]. Потенциальная энергия упругодеформированного тела

口 =空 2

[% ——деформация; k — коэффициент упругости (в случае пружины - жесткость)].

Закон сохранения механической энергии (для консервативной системы)

Т + П = Е = const, 贤^ + mgh = const, mv2 , kx2 1— const,

I 22

КоэффициентКоэффициентвосстановления

Коэффициент

Коэффициент

[и] и и也 ——соответственно нормальные составляющие относительной скорости тел после и до удара].

Скорость двух тел массами т^ и т2 после прямого абсолютно yri' ругого центрального удара

,(т1 -乙皿 + 2m2u2

%=,

m1 + m2

,(m2 - Wj)t?2 + 2nitиx

沙j =тг + m2

[предполагается, что при прямом центральном ударе векторы скоростей шаров до (Ь「б2) и после (3； , J2 ) удара лежат на прямой, соединяющей их центры. Проекции векторов скорости на эту прямую равны модулям скоростей].

Скорость движения тел после абсолютно неупругого центрального удара

门I ] U ]十仃工2^2疗ц + m2

Изменение кинетической энергии тел при абсолютно неупругом центральном, ударе (разность кинетической энергии тел до и после Удара)

,、 2(Ш] + m2)u-,、 2(Ш] + m2)u-m1m22(m】+ m2)m1m22(m】+ m2)(% — u2)2.(% — u2)2.

,、 2

(Ш] + m2)u

-

,、 2

(Ш] + m2)u

-

m1m2

2(m】+ m2)

m1m2

2(m】+ m2)

(% — u2)2.

(% — u2)2.

Примеры решения задач

Груз массой тп = 80 кг поднимают вдоль наклонной плоскости с ускорением а = 1 м/с2 (рис. 11). Длина наклонной плоскости 2 = 3 м, угол а ее наклона к горизонту равен 30°, а коэффициент трения / = 0,15. Определить: 1) работу, совершаемую подъемным устройством; 2) его среднюю мощность; 3) его максимальную мощность. Начальная скорость груза равна нулю.

Дано: m = 80 кг а = 1 м/с2 Z = 3 м а = 30° f = 0,15 % = 01)4 — ? 2)〈尸〉-?3) ?nax - ?Дано: m = 80 кг а = 1 м/с2 Z = 3 м а = 30° f = 0,15 % = 01)4 — ? 2)〈尸〉-?3) ?nax - ?ma = F + mg + ^тр + N. 凉 В проекциях на оси X и У та = F - F±- FTp;

Дано: m = 80 кг а = 1 м/с2 Z = 3 м а = 30° f = 0,15 % = 0

1)4 — ? 2)〈尸〉-?

3) ?nax - ?

Дано: m = 80 кг а = 1 м/с2 Z = 3 м а = 30° f = 0,15 % = 0

1)4 — ? 2)〈尸〉-?

3) ?nax - ?

0 = n一%，

Решение:Решение:已已Рис. 11Рис. 11施施FiF?FiF?mg since,mg since,=mg cosa,=mg cosa,Kp= ^ = fmg cosa,

Решение:

Решение:

已

已

Рис. 11

Рис. 11

施

施

Fi

F?

Fi

F?

mg since,

mg since,

=mg cosa,

=mg cosa,

F = m(a + g since + fg cosa),

A = Fl = ml(a + g sin а + fg cosa), 〈p〉Y，"牌，(尸〉=4原

「max =尸尸口詳= ТП J2al (a + g SillQ + fg COSCX).

IJldA.Ill cLA' 111 cl A\‘3‘

Ответ: 1)厶=1,72 кДж; 2)〈Р〉= 702 Вт; 3) Ртах = 1,41 кВт.

Тело массой т начинает двигаться под действием силы F = 2t I + 3%2 j, где i, j ——соответственно единичные векторы осей X и У. Определить мощность N(t), развиваемую силой в момент времени t.

Дано: тF=2ti + 3t^jN⑴—？Дано: тF=2ti + 3t^jN⑴—？Решение:

Дано: т

F=2ti + 3t^j

N⑴—？

Дано: т

F=2ti + 3t^j

N⑴—？

N =力方，F = 2t i + 3/ j = ma, g =工⑵:+ 3%)=吸

b = [a di = — [(2 t i + 3t2 j) dt — (t2 i + t3 j), 0

N(t) ^(2ti + 3/ 力丄(严 i + t3j)=^ (2必 + 3土5).

Ответ'. N(t) = — (2力3 十 3严). m

Материальная точка массой m = 20 г движется по окружности радиусом Я = 10 см с постоянным тангенциальным ускорением. К концу пятого оборота после начала движения кинетическая энергия материальной точки оказалась равной 6,3 мДж. Определить тангенциальное ускорение.

Дано:

Решением

?п = 20 г = 2 • 10 2 кг

2? = 10 см = 0,1 м

= 5

Т = 6,3 мДж = 6,3 • 10-3Дж

22*

% — ?

Ответ: % = 0,1 м/с2.

F =2

2п^ =

и* .

т t

Rt '

2Rt

2R'

.4 兀 MR

i =,

a=

_ и2

T

4л^Л

2nmNR

mu2

27. Шайба массой т скользит без трения с высоты h по желобу, переходящему в петлю радиусом R. Определить: 1) силу давления F шайбы на опору в точке, определяемой углом а (рис. 12); 2) угол а.

Дано:

Решение:

т h R

1)尸一？

2) а — ?

mgh = ——- + mgh.,

九1 = R(1 + sina), mgh = ^^ + mgR(Y + sin a), mv2 = 2mgh — 2mgR(l 十 since),

Рис. 12

F = 偿^ ~mg sin a = ffig]2("—区(|;十 sina)) 一 $та],

歹=。2h _ 2 - 3sina = 0, sina =

|[|-1} ^arcsina[|(|

1

2) a =2) a =di CbllltX ——di CbllltX ——Рис. 13Рис. 13

2) a =

2) a =

di CbllltX ——

di CbllltX ——

Рис. 13

Рис. 13

Отвеm: 1) F =叫2(左一R(；sina)) - sinaj ;

Два свинцовых шара массами m.j = 2 кг и гм? = 3 кг подвешены на нитях длиной I = 70 см. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем меньший шар отклонили на угол a = 60° и опустили (рис. 13). Считая удар центральным и неупругим, определить: 1) высоту 拉，на которую поднимаются шары после удара; 2)энергию А Г, израсходованную на деформацию шаров при ударе.

Дано:勺=2 кгт2 = 3 кг2 = 70 см = 0,7 ма = 60°1)五一？2) АТ — ?Дано:勺=2 кгт2 = 3 кг2 = 70 см = 0,7 ма = 60°1)五一？2) АТ — ?Решение'.

Дано:

勺=2 кг

т2 = 3 кг

2 = 70 см = 0,7 м

а = 60°

1)五一？

2) АТ — ?

Дано:

勺=2 кг

т2 = 3 кг

2 = 70 см = 0,7 м

а = 60°

1)五一？

2) АТ — ?

ТП]% + т2У2 = (т1 + ni2)v

М и и2 — скорости шаров до удара, и ——скорость движения шаров после удара];

m4gz4 = —^ , % = J2gh[, h1 = 2(1 — cosa),

и2 gи2 gт^уm1 + т2т^уm1 + т2% = J2gl(l - cosa) = 2 Jgl si呜,

и2 g

и2 g

т^уm1 + т2

т^уm1 + т2

2т^1 sin(a/2)

=，(mi + m2)- =(m^m2}gh,

2mll sin2(a/2)тл u^―^, AT =(Tn】+ m2)222mll sin2(a/2)тл u^―^, AT =(Tn】+ m2)22(mt + m2) 2° 7 тгт2 . Q

2mll sin2(a/2)тл u^

―^, AT =

(Tn】+ m2)22

2mll sin2(a/2)тл u^

―^, AT =

(Tn】+ m2)22

-山=2gl——-一-sinz -

2切[+ m2 2

Ответ: 1)拉=5,6 см; 2) AT = 4,12 Дж.

Зависимость потенциальной энергии П тела в центральном силовом поле от расстояния г до центра поля задается функцией П(г) = — — (А = б мкДж • м?, В = 0,3 мДж • м). Определить, при ка- ких значениях г максимальное значение принимают: 1) потенциальная энергия тела; 2) сила, действующая на тело.

Дано:

П(г) = ^ --

А = 6 мкДж * м2 В = 0,3 мДж • м 1)口- Пщах 2)尸=F

^max

=6 • 10-6 Дж • М2 =3'10Т Дж • м

r - ?

Решение:

Гп = П ~l 胆=о

(1П _ d (厶 В] _ _2A + В

dr dr〔「2 r) 广3 r2 '

士(一2A + Br) = 0t2A = Brfr 空. b

F 尸maxF 尸max

F 尸

max

F 尸

max

= -^ + ^=^(—34 +瓦)= 0,= -^ + ^=^(—34 +瓦)= 0,

= -^ + ^=^(—34 +瓦)= 0,

= -^ + ^=^(—34 +瓦)= 0,

尸=-也=丝一旦 竺=_d Г2Д dr 厂3 r2' drdA Z

ЗА = Br,

ЗА ~B

Ответ:Ответ:

Ответ:

Ответ:

1) г = — = 4 см; 2) г = — = 6 см.

n = m2/mxn = m2/mxm1v1m1v1m^Vy + m2V2,m^Vy + m2V2,%/% - ?%/% - ?m2 = nm15m2 = nm15vY = v'r + nv'2 ,vY = v'r + nv'2 ,2, 2, 2%% + nv22, 2, 2%% + nv22, 2,2 也一也VA =——n2, 2,2 也一也VA =——nПП55++2m1vl2m1vl,2 m-^v^,2 m-^v^2222,2”2+2,2”2+2Рис. 14Рис. 14力力лл,2 ^2,2 ^2（也一也）（也一也）九2九2(也-%)(也+⑴(也-%)(也+⑴3「明）3「明）31-%)(% + %)31-%)(% + %)也2也27171, X =—, X =—nn丄 171+11 + Я+ 1'…F=E丄 171+11 + Я+ 1'…F=E1 + ?l1 - n1 + ?l1 - nОтвет:」 叫Ответ:」 叫1+711—711+711—71

n = m2/mx

n = m2/mx

m1v1

m1v1

m^Vy + m2V2,

m^Vy + m2V2,

%/% - ?

%/% - ?

m2 = nm15

m2 = nm15

vY = v'r + nv'2 ,

vY = v'r + nv'2 ,

2, 2, 2

%% + nv2

2, 2, 2

%% + nv2

2, 2

,2 也一也

VA =——

n

2, 2

,2 也一也

VA =——

n

П

П

5

5

+

+

2

m1vl

2

m1vl

,2 m-^v^

,2 m-^v^

2

2

2

2

,2

”2

+2

,2

”2

+2

Рис. 14

Рис. 14

力

力

л

л

,2 ^2

,2 ^2

（也一也）

（也一也）

九2

九2

(也-%)(也+⑴

(也-%)(也+⑴

3「明）

3「明）

31-%)(% + %)

31-%)(% + %)

也2

也2

71

71

, X =—

, X =—

n

n

丄 171+11 + Я

+ 1'…F=E

丄 171+11 + Я

+ 1'…F=E

1 + ?l

1 - n

1 + ?l

1 - n

Ответ:」 叫

Ответ:」 叫

1+71

1—71

1+71

1—71

Определить, во сколько раз уменьшится скорость шара, движущегося со скоростью и】, при его соударении с покоящимся шаром, масса т2 которого в п раз больше массы mr налетающего шара (рис. 14). Удар считать центральным абсолютно упругим.

Дано:Дано:Решение'.

Дано:

Дано:

Задачи для самостоятельного решения

Тело скользит с наклонной плоскости высотой 九 и углом наклона а к горизонту и далее движется по горизонтальному участку. Принимая коэффициент трения на всем пути постоянным и равным 九 определите расстояние s, пройденное телом на горизонтальном участке, до полной остановки.

Тело массой т = 0,4 кг скользит с наклонной плоскости высотой Л = 10 см и длиной Z = 1 м. Коэффициент трения тела на всем пути / = 0,04. Определите: 1) кинетическую энергию тела у основания плоскости; 2) путь, пройденный телом на горизонтальном участке, до остановки.

Пренебрегая трением, определите наименьшую высоту h, с которой должна скатываться тележка с человеком по желобу, переходящему в петлю радиусом 2? = 6 м, и не оторваться от него в верхней точке петли.

Тело брошено под углом а = 45° к горизонту со скоростью Vq = 15 м/с. Используя закон сохранения энергии, определите скорость и тела в высшей точке его траектории.

Пуля мяссои т?1 = 15 г扌 летлгцал го* “〃〃«〃""“〃〃〃〃〃〃, ризонтально, попадает в баллистический；'、

маятник длиной Z = 1 м и массой М = 1,5 кгI \\

и застревает в нем (рис. 15). Маятник в ре- 小 方 I г\~ 亠г зультате этого отклонился на угол ср = 30°. cz> — М ^― L—-^^ Определите скорость пули.；

Сила, действующая на тело в неко- Рис, 15 тором поле консервативных сил, описыва-

ется законом F = &(У Z + % j), где А — некоторая постоянная; г и у — соответственно единичные векторы координатных осей X и У. Определите потенциальную энергию П(х, у) тела в этом поле.

Металлический шарик падает вертикально на мраморный пол с высоты 九 1 = 80 см и отскакивает от него на высоту h2 = 72 см. Определите коэффициент восстановления материала шарика.

Тело массой 7n】=3 кт движется со скоростью % = 2 м/с и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, определите количество теплоты, выделившееся при ударе.

Два шара массами т.х = 3 кг и т2 = 2 кг подвешены на нитях длиной / = 1 м. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем больший шар отклонили от положения равновесия на угол а = 60° и отпустили. Считая удар упругим, определите скорость 戰 второго шара после удара.

ОТВЕТЫ: 31. s = ^(l - / ctga)/厶 32. 1) 0,24 Дж; 2) 1,53 м. 33. Л = ^五. 34. V = v0 cos(x = 10,6 м/с. 35. 164 м/с. 36. П(х, у) = -Аху + С, где С — аддитивная постоянная. 37. е = = 0,95. 38. 3 Дж. 39. l>2 = 27nl J2gz(1 - cosa) /(7П] + m2) = 3,76 м/с.

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ

Момент инерции материальной точкиМомент инерции системы (тела)Теорема ШтейнераКинетическая энергия тела при его врашенииМомент инерции материальной точкиМомент инерции системы (тела)Теорема ШтейнераКинетическая энергия тела при его врашенииМомент силы относительно неподвижной точкиМомент силы относительно неподвижной осиУравнение динамики врашательного лвижения твердого телаМомент силы относительно неподвижной точкиМомент силы относительно неподвижной осиУравнение динамики врашательного лвижения твердого тела

Момент инерции материальной точки

Момент инерции системы (тела)

Теорема Штейнера

Кинетическая энергия тела при его врашении

Момент инерции материальной точки

Момент инерции системы (тела)

Теорема Штейнера

Кинетическая энергия тела при его врашении

Момент силы относительно неподвижной точки

Момент силы относительно неподвижной оси

Уравнение динамики врашательного лвижения твердого тела

Момент силы относительно неподвижной точки

Момент силы относительно неподвижной оси

Уравнение динамики врашательного лвижения твердого тела

Работа при врашениитела♦Момент импульса относительно.неподвижной точки.Момент импульса относительно неподвижной оси♦Момент импульса твердого телаЗакон сохранения момента импульса ♦Работа при врашениитела♦Момент импульса относительно.неподвижной точки.Момент импульса относительно неподвижной оси♦Момент импульса твердого телаЗакон сохранения момента импульса ♦Изотропность пространстваЛеформаиия твердого телаУпругая леформаиияЗакон Гука для продольного растяжения (сжатия)Пластическая (остаточная) деформацияИзотропность пространстваЛеформаиия твердого телаУпругая леформаиияЗакон Гука для продольного растяжения (сжатия)Пластическая (остаточная) деформация

Работа при врашениитела♦

Момент импульса относительно.

неподвижной точки.

Момент импульса относительно неподвижной оси♦

Момент импульса твердого тела

Закон сохранения момента импульса ♦

Работа при врашениитела♦

Момент импульса относительно.

неподвижной точки.

Момент импульса относительно неподвижной оси♦

Момент импульса твердого тела

Закон сохранения момента импульса ♦

Изотропность пространства

Леформаиия твердого тела

Упругая леформаиия

Закон Гука для продольного растяжения (сжатия)

Пластическая (остаточная) деформация

Изотропность пространства

Леформаиия твердого тела

Упругая леформаиия

Закон Гука для продольного растяжения (сжатия)

Пластическая (остаточная) деформация

Основные формулы

Момент инерции материальной точки

J = тг2

[т — масса точки; г ——ее расстояние до оси вращения]. Момент инерции системы (тела)

i = 1i = 1

i = 1

i = 1

[叮一расстояние i-й материальной точки массой mz до оси вращения].

Моменты инерции некоторых однородных тел массы т:

Тело

Ось вращения

Момент инерции J

Полый тонкостенный / цилиндр радиусом 五

Ось симметрии

mR2

Сплошной

ЦИЛИНДР или диск/^^

радиусом R

Ось симметрии

-mR2 2

Прямой тонкий стержень длиной 1

-Е'

Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину

—ml2

12

Шар радиусом R

Ось проходит через центр шара

I mR2 5

Теорема Штейнера

J = J。+ та2

[Jc — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс; J — момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии a; m ——масса тела].

Кинетическая энергия вращения тела

[J? — момент инерции тела относительно оси Z; со — его угловая скорость].

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,

[т ——масса тела; vc — скорость центра масс тела; Jc ——момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; со — угловая скорость тела].

Момент силы относительно неподвижной точки М =[冲]

[г ——радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы ?].

Модуль вектора момента силы

М = FI

[I — плечо силы].

Момент силы относительно неподвижной оси

М? = [г^]2

Работа при вращении тела

(LA = Мг d屮

[d(p — угол поворота тела; Мг ——момент силы относительно неподвижной оси Z],

Момент импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О

L = [гр]=[齐/n^L

[р = mv ——импульс материальной точки;工 ——псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от г к р].

Модуль вектора момента импульса

L = гр sin ct = mvr sin а = p£

[а — угол между векторами г и р; Z — плечо вектора р относительно точки О].

Момент импульса твердого тела относительно оси вращения

п

4= Е mivirt = J^

= 1

[г； — расстояние от оси Z до отдельной частицы тела; mivi — импульс этой частицы; J2 — момент инерции тела относительно оси Z; оо — его угловая скорость].

Основное уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

dt z z d力 ？

[e — угловое ускорение; J? — момент инерции тела относительно оси Z].

Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы

L = const, 叭⑴=const

[Jz — момент инерции тела относительно оси Z;① ——его угловая скорость].

Сопоставление основных величин и уравнений, определяющих вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение:

Поступательное движение

Вращательное движение

Масса

т

Момент инерции

Скорость

dZ

Угловая скорость

гdtp

dt

т d J

Ускорение

dt

Угловое ускорение

£ =—— dt

Сила

F

Момент силы

Мгили М

Импульс

p = mv

Момент импульса

L2 =几⑴

Основное уравнение

F = ma

Основное уравнение

Л/? = J 黒

динамики

динамики

dt

Работа

cL4 = Fs d s

Работа вращения

Мг dtp

Кинетическая

T = "?ij2

Кинетическая энергия

энергия

2

вращения

fp2

Напряжение при упругой деформации

g = F/S

[F — растягивающая (сжимающая) сила; S — площадь поперечного сечения].

Относительное продольное растяжение (сжатие)

е = AZ/Z

[Ai — изменение длины тела при растяжении (сжатии); I ——длина тела до деформации].

Относительное поперечное растяжение (сжатие)

£' = Ad/d

[△d — изменение диаметра стержня при растяжении (сжатии); d —— диаметр стержня].

Связь между относительным поперечным сжатием (растяжением) £‘ и относительным продольным растяжением (сжатием) £

£‘ = ЦЕ

[卩一коэффициент Пуассона].

Закон Гука для продольного растяжения (сжатия)

а = Ее

[Е — модуль Юнга].

П отенциальная энергия упругорастянутого (упругосжатого) стержня

2

П=圧V

2

[Е — модуль Юнга; £ = △〃/ — относительное продольное растяжение (сжатие); V — объем тела].

Примеры решения задач

Вывести формулу для момента инерции цилиндрической муфты относительно оси, совпадающей с ее осью симметрии (рис. 16). Масса муфты равна т, внутренний радиус г, внешний радиус R.

Дано:Решение

тdJ = г2 dm,

гdm = р dV = р • 2nrh dr,

j — ? J = Jp • 2冗厂3力 dr = 2лр/г J г3 dr =

=2碎拉： =響你4一г4),r + dr r

т = тх~ т2 =兀р九(R? — г2), J = | m(R2 + г2).Рис. 16

Ответ'. J = | m(R2 + г2).

Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной В = 50 см и массой т = 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей: 1) через конец стержня; 2) через точку, отстоящую от конца стержня на 1/6 его длины (рис. 17).

Решение:Решение:2 = 50 см = m = 360 г Д R =丄6=0,5 м=0,36 кг1)4一？2) Jв — ?2 = 50 см = m = 360 г Д R =丄6=0,5 м=0,36 кг1)4一？2) Jв — ?Дано'.Дано'.J = Jc + та2,С 12J = Jc + та2,С 12ССРис. 17Рис. 172 АВ2 АВ—ml2.36—ml2.36

Решение:

Решение:

2 = 50 см = m = 360 г Д R =丄

6

=0,5 м

=0,36 кг

1)4一？

2) Jв — ?

2 = 50 см = m = 360 г Д R =丄

6

=0,5 м

=0,36 кг

1)4一？

2) Jв — ?

Дано'.

Дано'.

J = Jc + та2,

С 12

J = Jc + та2,

С 12

С

С

Рис. 17

Рис. 17

2 АВ

2 АВ

—ml2.

36

—ml2.

36

А =Мф,(р =2nN, соо=2九九,М ==а =АM = J&,屮2л^ '2ппet _ %力е —t丁，屮=cooi --22~,2中_2 • 2л^2^г M MNtшо2лпТJ£几几2А =Мф,(р =2nN, соо=2九九,М ==а =АM = J&,屮2л^ '2ппet _ %力е —t丁，屮=cooi --22~,2中_2 • 2л^2^г M MNtшо2лпТJ£几几2Решение:Решение:

А =

Мф,

(р =

2nN, соо

=2九九,

М =

=а =

А

M = J&,

屮

2л^ '

2пп

et _ %力

е —

t

丁，

屮=cooi -

-22~,

2中_

2 • 2л^2^

г M MN

t

шо

2лп

ТJ

£几几2

А =

Мф,

(р =

2nN, соо

=2九九,

М =

=а =

А

M = J&,

屮

2л^ '

2пп

et _ %力

е —

t

丁，

屮=cooi -

-22~,

2中_

2 • 2л^2^

г M MN

t

шо

2лп

ТJ

£几几2

Решение:

Решение:

Ответ: 1) 〃 = 3 ♦ lb? кг ■ м2; 2) JB = 1,75 • 10~2 кг • м2.

Вентилятор вращается с частотой п = 600 об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав ^ = 50 оборотов, остановился. Работа А сил торможения равна 31,4 Дж. Определить: 1) момент М сил торможения; 2) момент инерции J вентилятора.

Дано:

п = 600 об/мин = 10 об/с

Nk 50

А = 31,4 Дж

Дано:Дано:Решение:Решение:7? н 0,5 м 尸=100 нМтр = 2 Н • м £ = 16 рад/с2m — ?7? н 0,5 м 尸=100 нМтр = 2 Н • м £ = 16 рад/с2m — ?^Z^FR-M^^Z^FR-M^2(FR-Mrp)ей22(FR-Mrp)ей2Ответ: th = 24 кг.Ответ: th = 24 кг." = jj J=嗜," = jj J=嗜,44. С наклонной плоскости, составляющей угол ос = 30° к горизонту, скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением, определить время движения шарика по наклонной плоскости, если известно, что центр масс шарика при скатывании понизился на 30 см (рис. 18).44. С наклонной плоскости, составляющей угол ос = 30° к горизонту, скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением, определить время движения шарика по наклонной плоскости, если известно, что центр масс шарика при скатывании понизился на 30 см (рис. 18).Рис. 18Рис. 18Решение:Решение:Дано:Дано:J = 2 т#, 5J = 2 т#, 5, mgh2R2，5, mgh2R2，5Ответ: t = 0,585 с.Ответ: t = 0,585 с.г，г，—mv2, 10—mv2, 10sin аsin а

Дано:

Дано:

Решение:

Решение:

7? н 0,5 м 尸=100 н

Мтр = 2 Н • м £ = 16 рад/с2

m — ?

7? н 0,5 м 尸=100 н

Мтр = 2 Н • м £ = 16 рад/с2

m — ?

^Z^FR-M^

^Z^FR-M^

2(FR-Mrp)ей2

2(FR-Mrp)ей2

Ответ: th = 24 кг.

Ответ: th = 24 кг.

" = jj J=嗜,

" = jj J=嗜,

44. С наклонной плоскости, составляющей угол ос = 30° к горизонту, скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением, определить время движения шарика по наклонной плоскости, если известно, что центр масс шарика при скатывании понизился на 30 см (рис. 18).

44. С наклонной плоскости, составляющей угол ос = 30° к горизонту, скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением, определить время движения шарика по наклонной плоскости, если известно, что центр масс шарика при скатывании понизился на 30 см (рис. 18).

Рис. 18

Рис. 18

Решение:

Решение:

Дано:

Дано:

J = 2 т#, 5

J = 2 т#, 5

, mgh

2R2，5

, mgh

2R2，5

Ответ: t = 0,585 с.

Ответ: t = 0,585 с.

г，

г，

—mv2, 10

—mv2, 10

sin а

sin а

3333Тело массой шх = 0,25 кг, соединенное невесомой нитью посредством блока (в виде полого тонкостенного цилиндра) с телом массой т2 = 0,2 кг, скользит по поверхности горизонтального стола (рис. 19). Масса блока zn = 0,15 кг. Коэффициент трения f тела о поверхность равен 0,2. Пренебрегая трением в подшипниках, определить: 1) ускорение а, с которым будут двигаться эти тела; 2) силы натяжения 7\ и Т2 иити по обе стороны блока.

33

33

Дано:Дано:mv = 0,25 кг т2 = 0,2 кг тп = 0,15 кг / = 0,2а — ?7\ — ?Т9 — ?mv = 0,25 кг т2 = 0,2 кг тп = 0,15 кг / = 0,2а — ?7\ — ?Т9 — ?Т2~ Т1 = та,Т2 a 小2(g— а)，Т2~ Т1 = та,Т2 a 小2(g— а)，Ответ-.叫/① 1 = 1,43.Ответ-.叫/① 1 = 1,43.Рис. 20Рис. 20

Дано:

Дано:

mv = 0,25 кг т2 = 0,2 кг тп = 0,15 кг / = 0,2

а — ?

7\ — ?

Т9 — ?

mv = 0,25 кг т2 = 0,2 кг тп = 0,15 кг / = 0,2

а — ?

7\ — ?

Т9 — ?

Т2~ Т1 = та,

Т2 a 小2(g— а)，

Т2~ Т1 = та,

Т2 a 小2(g— а)，

Ответ-.叫/① 1 = 1,43.

Ответ-.叫/① 1 = 1,43.

Рис. 20

Рис. 20

Решение'.

М = % - /, т2а = т2g - Г2, (牙2 - Тi)R = Je, *р = fN = fm、g, J = mR2, e=^ (厶_4冰=嗜， m2g — % = 7n2口， Т]-力n]g= 々а,

тп】+ m2 + m *Тг = T2- ma.

Ответ: 1)а = 2,45 м/с2; 2) 7\ = 1,1 Н, Т2 = 1,47 Н.

Платформа, имеющая форму однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платформы (рис. 20). Определить, как и во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы, если человек перейдет ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы.

Медная проволока, длина которой / = 80 см и площадь поперечного сечения S = 8 мм2, закреплена одним концом в подвесном устройстве, а к ее другому концу прикреплен груз массой т = 400 г. Вытянутую проволоку с грузом, отклонив до высоты подвеса, отпускают. Считая проволоку невесомой, определите ее удлинение в нижней точке траектории движения груза. Модуль Юнга для меди Е = 118 ГПа.

Решение\Решение\ig+脸'粤"+ 4), mv2 = 2mg(l + AB),ig+脸'粤"+ 4), mv2 = 2mg(l + AB),AZ =尸'=3 mgzES ESAZ =尸'=3 mgzES ESДано:

Решение\

Решение\

ig+脸'粤"+ 4), mv2 = 2mg(l + AB),

ig+脸'粤"+ 4), mv2 = 2mg(l + AB),

AZ =尸'=3 mgzES ES

AZ =尸'=3 mgzES ES

Z = 80 см = 0,8 м

S = 8 мм2 н 8 • 10-6 м2

/п = 400 г = 0,4 кг

Е = 118 ГПа = 1,18 ■ 1011 Па

Д/ — ?

F = mg + 2mg 偉 + 厶“)=3?ng, l + AZ

Ответ'： AZ = 9,98 • 10~4 m.

Определить относительное удлинение алюминиевого стержня, если на его растяжение затрачена работа А = 6,9 Дж. Длина стержня 匕=1 м, площадь поперечного сечения S = 1 мм2, модуль Юнга для алюминия _Е = 69 ГПа.

Дано:厶=6,9 ДжZ = 1 м8 = 1 мм2 = 10-6 м2Е = 69 ГПа = 69 • 109 ПаДано:厶=6,9 ДжZ = 1 м8 = 1 мм2 = 10-6 м2Е = 69 ГПа = 69 • 109 ПаЕ — ?Е — ?Решение:

Дано:

厶=6,9 Дж

Z = 1 м

8 = 1 мм2 = 10-6 м2

Е = 69 ГПа = 69 • 109 Па

Дано:

厶=6,9 Дж

Z = 1 м

8 = 1 мм2 = 10-6 м2

Е = 69 ГПа = 69 • 109 Па

Е — ?

Е — ?

L 半，厶=u7毕(AZ)2,

A== ^ESl^, e=

211)2Qesi

Ответ: e = 0,014.

Задачи для самостоятельного решения

Шар и сплошной цилиндр одинаковой массы, изготовленные из одного и того же материала, катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определите, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра.

Шар радиусом jR == 10 см и массой zn = 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению ср = А + Bt2 + Ct3 (В = 2 рад/с2, С = -0,5 рад/с3). Определите момент сил М для 力=3 с.

На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом 五=5 см и массой М = 10 кг намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 1 кг. Определите: 1) зависимость s(i)> согласно которой движется груз; 2) силу натяжения нити Т; 3) зависимость (р«), согласно которой вращается вал; 4) угловую скорость со вала через i = 1 с после начала движения; 5) тангенциальное ат и нормальное ап ускорения точек, находящихся на поверхности вала.

Колесо радиусом 7? = 30 см и массой m = 3 кг скатывается по наклонной плоскости длиной 2 = 5 м. Угол плоскости наклона а = 25°. Определите момент инерции колеса, если его скорость и в конце движения составляла 4,6 м/с.

На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом JJ = 20 см, момент инерции которого J = 0,15 кг ♦ м2, намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой т = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота А груза над полом составляла 2,3 м. Определите: 1) время опускания груза до пола; 2) силу натяжения нити; 3) кинетическую энергию груза в момент удара о пол.

Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень длиной / = 2,5 м и массой m = 8 кг, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Эта система (скамья и человек) обладает моментом инерции J = 10 кг • м2 и вращается с частотой 冷 1 = 12 мин-1. Определите частоту п2 вращения системы, если стержень повернуть в горизонтальное положение.

Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением е 0,4 рад/с2. Определите кинетическую энергию Т маховика через время 土？ = 25 с после начала движения, если через 力1 = 10 с после начала движения момент импульса 丄】маховика составлял 60 кг • м2/с.

Медная проволока сечением S = 8 мм2 под действием растягивающей силы удлинилась на столько, на сколько она удлиняется при нагревании на 30 К. Принимая для меди модуль Юнга Е = 118 ГПа и коэффициент линейного расширения о, = 1,7 • 10-5 К-1, определите числовое значение этой силы.

ОТВЕТЫ: 49. В 1,07 раза. 50.-0,1 Н • м. 51. 1) s = 0,82/； 2) Т = =8,2 Н; 3) ср 16,4t2; 4) со = 32,8 рад/с; 5) % = 1,64 м/с?； ап = =53,8 м/с2. 52. 0,259 кг- м2. 53. 1) 2 с; 2) 4,31 Н; 3) 1,32 Дж.

54. 8,5 мин- 55. Т = L^t^ /(2厶)=750 Дж. 36. 481 Н.

15 TWOTEHklE. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ

Потенциал поля тяготенияЭквипотенциальная поверхностьКосмическая скоростьНапряженность поля тяготенияНеинерииальная система отсчетаСила инерцииОсновной закон динамикидля неинерииальных систем отсчетаПринцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции (приниип эквивалентности Эйнштейна)Потенциал поля тяготенияЭквипотенциальная поверхностьКосмическая скоростьНапряженность поля тяготенияНеинерииальная система отсчетаСила инерцииОсновной закон динамикидля неинерииальных систем отсчетаПринцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции (приниип эквивалентности Эйнштейна)Закон всемирного тяготения

Потенциал поля тяготения

Эквипотенциальная поверхность

Космическая скорость

Напряженность поля тяготения

Неинерииальная система отсчета

Сила инерции

Основной закон динамики

для неинерииальных систем отсчета

Принцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции (приниип эквивалентности Эйнштейна)

Потенциал поля тяготения

Эквипотенциальная поверхность

Космическая скорость

Напряженность поля тяготения

Неинерииальная система отсчета

Сила инерции

Основной закон динамики

для неинерииальных систем отсчета

Принцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции (приниип эквивалентности Эйнштейна)

Сила тяжести

Обобшенный закон Галилея

Вес тела

Невесомость

Поле тяготения

Однородное поле тяготения

Центральное поле тяготения

Линии напряженности поля тяготения

Работа в поле тяготения

Основные формулы

尸—G7nlm22Г[F — сила всемирного тяготения (гравитационная сила) двух материальных точек массами т1 и т^ 厂一расстояние между точками; G — гравитационная постоянная].Сила тяжести尸—G7nlm22Г[F — сила всемирного тяготения (гравитационная сила) двух материальных точек массами т1 и т^ 厂一расстояние между точками; G — гравитационная постоянная].Сила тяжестиЗакон всемирного тяготения

尸—G7nlm2

2Г

[F — сила всемирного тяготения (гравитационная сила) двух материальных точек массами т1 и т^ 厂一расстояние между точками; G — гравитационная постоянная].

Сила тяжести

尸—G7nlm2

2Г

[F — сила всемирного тяготения (гравитационная сила) двух материальных точек массами т1 и т^ 厂一расстояние между точками; G — гравитационная постоянная].

Сила тяжести

Р = mg

[т — масса тела; g ——ускорение свободного падения].

Напряженность поля тяготения

g =-т

[F — сила тяготения, действующая на материальную точку массой т, помещенную в данную точку поля].

Работа в поле тяготения по перемещению тела

I五2五1丿

[zn — масса тела; G — гравитационная постоянная; М — масса Земли (планеты); 7?х и R2 — расстояния, определяющие начальное и конечное положения тел].

П отенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами mt и т^, находящихся на расстоянии г друг от друга,

П = -С—г

EG — гравитационная постоянная].

Потенциал поля тяготения

(р =—т

[П — потенциальная энергия материальной точки массой т, помещенной в данную точку поля].

Потенциал поля тяготения, создаваемый телом массой М,

=

[R ——расстояние от тела до рассматриваемой точки].

Связь между потенциалом поля тяготения и его напряженно

стью

i = -gradtp или g = _(里》+ 患；+ 患玄]

[grad(p=理7+ 毁j + 毁% —градиент скаляра ф. Знак минус в фор- охdz

муле показывает, что вектор напряженности g направлен в сторону убывания потенциала].

Первая космическая скорость

% = Т^з = 7,9 км/с

[g ——ускорение свободного падения; R3 ——радиус Земли]. Вторая космическая скорость

v2 =」2gRs = 11,2 км/с

[g — ускорение свободного падения; R3 ——радиус Земли].

Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета та! = та + Д^

[а и а' — соответственно ускорение тела в инерциальной и неинерциальной системах отсчета; ^ин ——силы инерции].

Силы инерции

瓦IH =死+声ц + £с

[^и — сила инерции, проявляющиеся при поступательном движении системы отсчета с ускорением а0 : FH = -та^ 凡一центробежные силы инерции (силы инерции, действующие во вращающейся системе отсчета на тела, удаленные от оси вращения на конечное расстояние 五)：Кц = -?псо2Л;尸氏一кориолисова сила инерции (силы инерции, действующие на тело, движущееся со скоростью v' во вращающейся системе отсчета):底=27n矽 со]].

Примеры решения задач

57. На какой высоте Л ускорение свободного падения вдвое меньше его значения на поверхности Земли?

Дано:

Решением

g' = g/2

五з = 6,37 • 1()6 м

五2(Е3 +五)2

Л — ?

占=空嘗，乌=2,(R+r)2 = 2R2,

g 月g

Л2 + 2五九-五2 = 0,九=e3(点一1).

Ответ:九=2,64 Мм.

На экваторе некоторой планеты (плотность вещества планеты р = 3 г/см3) тела весят в два раза меньше, чем на полюсе. Определить период обращения планеты вокруг собственной оси.

Дано:Дано:p = 3 г/см3 = 3 ■ 108 кг/м3P = 1 p32 np = 3 г/см3 = 3 ■ 108 кг/м3P = 1 p32 nРп W，P「mg-噌Рп W，P「mg-噌Т — ?Т — ?mg = 2 mgmg = 2 mgmg = G^, M刑g ==如 pGE,/пи?= g£^=mg = G^, M刑g ==如 pGE,/пи?= g£^=兀pGR二臂兀pGR二臂T2 = 8"2R ■ 3 *如4npG7? pGT2 = 8"2R ■ 3 *如4npG7? pG=I лрР3,Т2.4m? =T2R=I лрР3,Т2.4m? =T2R8兀2r丁28兀2r丁2Решением

Дано:

Дано:

p = 3 г/см3 = 3 ■ 108 кг/м3

P = 1 p

32 n

p = 3 г/см3 = 3 ■ 108 кг/м3

P = 1 p

32 n

Рп W，P「mg-噌

Рп W，P「mg-噌

Т — ?

Т — ?

mg = 2 mg

mg = 2 mg

mg = G^, M刑

g ==如 pGE,

/пи?= g£^=

mg = G^, M刑

g ==如 pGE,

/пи?= g£^=

兀pGR二臂

兀pGR二臂

T2 = 8"2R ■ 3 *如

4npG7? pG

T2 = 8"2R ■ 3 *如

4npG7? pG

=I лрР3,

Т2.4m? =T2R

=I лрР3,

Т2.4m? =T2R

8兀2r丁2

8兀2r丁2

Ответх Т = 2,7 ч.

Для тела массой т, находящегося в гравитационном поле Земли над ее поверхностью, вывести зависимость потенциальной энергии тела от расстояния до центра Земли. Считать известными радиус Земли 7?3 и ускорение свободного падения g на поверхности Земли.

Решение:Решение:m五3n= jFdr,g8R口(A)-?П = GmM f 如J r2m五3n= jFdr,g8R口(A)-?П = GmM f 如J r2Дано:Дано:Г2Г2Ответ: П(Я)=-—瓦^ .Ответ: П(Я)=-—瓦^ .=-GmM^ ="со口 ==-GmM^ ="со口 =―勺―勺

Решение:

Решение:

m

五3

n= jFdr,

g

8

R

口(A)-?

П = GmM f 如

J r2

m

五3

n= jFdr,

g

8

R

口(A)-?

П = GmM f 如

J r2

Дано:

Дано:

Г2

Г2

Ответ: П(Я)=-—瓦^ .

Ответ: П(Я)=-—瓦^ .

=-GmM^ ="со

口 =

=-GmM^ ="со

口 =

―勺

―勺

Спутник поднимают на высоту й = 6370 км и запускают его по круговой орбите на той же высоте. Определить отношение работы, совершаемой при подъеме спутника (А，，к работе, совершаемой при его запуске (А2).

Дано:无=6370 км = 6,37 • 106 м 7?3 = 6,37 • 106 мR = J + Л— ？Дано:无=6370 км = 6,37 • 106 м 7?3 = 6,37 • 106 мR = J + Л— ？Решение}Решение}тЛ1尺3тЛ1尺3GmMh瓜?员工九）'声，GmMh瓜?员工九）'声，

Дано:

无=6370 км = 6,37 • 106 м 7?3 = 6,37 • 106 м

R = J + Л

— ？

Дано:

无=6370 км = 6,37 • 106 м 7?3 = 6,37 • 106 м

R = J + Л

— ？

Решение}

Решение}

тЛ1尺3

тЛ1尺3

GmMh瓜?员工九）'

声，

GmMh瓜?员工九）'

声，

厶=GmM „ GmM

=GmM( ^—\

17?37?3 + h)

八 mu

22A

& =九[2(Кз +力)匆

A 2/(/ +无) /

Дано:а = 30°Г| = 10%тп 15 г = 15 • 10~3 кг1)F — ?2)(Р — ?Дано:а = 30°Г| = 10%тп 15 г = 15 • 10~3 кг1)F — ?2)(Р — ?

Дано:

а = 30°

Г| = 10%

тп 15 г = 15 • 10~3 кг

1)F — ?

2)(Р — ?

Дано:

а = 30°

Г| = 10%

тп 15 г = 15 • 10~3 кг

1)F — ?

2)(Р — ?

Вагон под действием силы тяжести катится вдоль дороги, составляющей угол а с горизонтом. Сила трения составляет т( = 10% от веса вагона. К потолку вагона подвешен шарик массой ?п = 15 г. Определить: 1) силу F, действующую на нить; 2) угол ф отклонения нити от вертикали (рис. 21).

Решение:

Ма - Mg sina — ^тр, FTp = v\Mg,

Ma = Mg sina - r\Mg, a = g(sina - “),

F^ Fu + mi, 齐н = -ma,

尸=7^1+ (^^)2 - 2Уи^1^со8(90° - a),

F = J[zng(sina - r|)]2 + (mg)2 - 2(Tn^)2(sina - r|)cos(90° — a)=

=mg J(sina ~r|)2 + 1 - 2(since - r[)sina,3t> =,

sinep sin(90° - a)

sin(p 二》n(9°°-a), ф 二 arcsin mg(sEa-q)cosa . FF

Ответ'. 1)尸=0,128 H; 2) (p = 23,5°.

Тело массой m = 1 кг, падая свободно в течение t = 4 с, попадает на Землю в точку с географической широтой (р = 45°. Учитывая вращение Земли, определить и нарисовать все силы, действующие на тело в момент его падения на Землю.

Дано:

Решение:

m = 1 кг

£ = 4 с

ср = 45°

G = 6,67 • IO'11 м3/(кг - с2)

Л3 = 6,37-106 м

5,98 7024 кг

F — ?

1)K = G 当瓦，3 = G 号.

2) F^ = -mco2r, Fg = ma^r, co =学，

сm • 4л2йчсоэ(р

г - 7?3сой(р,^ц=J*

3)戸 к = 2m[pw], FK = 2тиЪ)sin(", wr),

{/ = gt, со =工，sin(3',(о) = cos ф,

尸к = 2nU空 cos(p - 4ECOS5 ЛT тТ

Ответ: F = 9,83 Н;尸耳户 23,8 мН; Fr = 4,04 мН.

Задачи для самостоятельного решения

Считая плотности Земли постоянной, определите глубину, на которой ускорение свободного падения составляет 25 % от ускорения свободного падения на поверхности Земли.

Определите, в какой точке (считается от Земли) на прямой, соединяющей центры Земли и Луны, напряженность поля тяготения равна нулю. Расстояние между центрами Земли и Луны равно 五, масса Земли в 81 раз больше массы Луны.

Через блок перекинута нерастяжимая нить, к концу которой прикреплены грузы массами m-j = 2 кг и m-j = 0,5 кг. Вся система находится в лифте, поднимающемся с ускорением а。== 2,1 м/с2, направленным вверх. Считая нить и блок невесомыми, определите силу давления блока на ось.

Самолет, летящий со скоростью и 二 360 км/ч, описывает вертикальную петлю Нестерова радиусом R = 360 м. Определите силу,

прижимающую летчика (тп = 80 кг) к сиденью: 1) в нижней точке этой петли; 2) в верхней точке этой петли.

Мотоциклист в цирке едет вдоль внутренней поверхности вертикального цилиндра радиусом г = 15 м. Центр масс мотоцикла с человеком отстоит на h = 1 м от места соприкосновения колес с поверхностью цилиндра. Коэффициент трения шин о стенки / = 0,5. Определите: 1) минимальную скорость имин, с которой должен ехать мотоциклист; 2) угол а наклона мотоциклиста к горизонтальной поверхности при данной минимальной скорости.

ОТВЕТЫ: 63•九= 0,75冗64. 0,9 R 65. F = ^1^- (g + а0) = 19 Н.

66. 1)3 кН; 2) 1,44 кН. 67. 1) 17,1 м/с; 2) 26°34'.

ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ

♦ Несжимаемая жидкость♦ Несжимаемая жидкостьДавление жидкостиГидростатическое давлениеЗакон ПаскаляЗакон АрхимедаТечениеПотокДавление жидкостиГидростатическое давлениеЗакон ПаскаляЗакон АрхимедаТечениеПотокЛинии тока

♦ Несжимаемая жидкость

♦ Несжимаемая жидкость

Давление жидкости

Гидростатическое давление

Закон Паскаля

Закон Архимеда

Течение

Поток

Давление жидкости

Гидростатическое давление

Закон Паскаля

Закон Архимеда

Течение

Поток

Трубка тока

Уравнение неразрывности

Установившееся (сгаиионарное) течение

Уравнение Бернулли

Вязкость (внутреннее трение)

Ламинарное (слоистое) течение

Турбулентное (вихревое)течение

Основные формулы

Гидростатическое давление столба жидкости на глубине h

р = pg 九

[р — плотность жидкости; g ——ускорение свободного падения].

Закон Архимеда

尸а = М

[弘一выталкивающая сила; V — объем жидкости, вытесненной телом].

Уравнение неразрывности

Sv = const

[S — площадь поперечного сечения трубки тока; и — скорость жидкости].

Уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости ——выражение закона сохранения механической энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости:

£^ + pg 拉 + Р = const

[р ——статическое давление жидкости для определенного сечения трубки тока; и — скорость жидкости для этого же сечения; 吟- —

динамическое давление жидкости для этого же сечения;无一высота, на которой расположено сечение; pg无 ——гидростатическое давление].

Для трубки тока, расположенной горизонтально,

m+唠m+唠£^ + р = const

m+唠

m+唠

—полное давление].

Формула Торричелли, позволяющая определить скорость истечения жидкости из малого отверстия в открытом широком сосуде:

и = J2gh

[Л ——глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде].

Сила внутреннего трения между слоями текущей жидкости

Р = П 包 S

[叮一динамическая вязкость жидкости; Au/Ал： — градиент скорости; S — площадь соприкасающихся слоев].

Постоянная (число) Рейнольдса, определяющая характер движения жидкости,

Re = р〈и〉—

[р — плотность жидкости;〈и〉一 средняя по сечению трубы скорость жидкости; d — характерный линейный размер, например диаметр трубы; Г] — динамическая вязкость].

Формула Стокса, позволяющая определить силу сопротивления, действующую на медленно движущийся в вязкой среде шарик:

F = 67alm

[г — радиус шарика; и — его скорость; г| — динамическая вязкость].

Формула Пуазейля, позволяющая определить объем жидкости, протекающий за время t через капиллярную трубку длиной Z:

一冗r4Gp 方

[冗 ——радиус трубки; Др — разность давлений на концах трубки; V —— объем вытекающей жидкости].

Лобовое сопротивление

"2

[Cx ——безразмерный коэффициент сопротивления; р — плотность среды; V — скорость движения тела; S — площадь наибольшего поперечного сечения тела].

Подъемная сила

[Ср ——безразмерный коэффициент подъемной силы; р ——плотность среды; D — скорость движения тела; S — площадь наибольшего поперечного сечения тела].

Примеры решения задач

Водомер представляет собой горизонтальную трубу перемен

ного сечения, в которую впаяны две вертикальные манометрические

трубки одинакового сечения (рис. 23)* По трубе протекает вода. Пре-

Рис. 23Рис. 23небрегая вязкостью воды, определить ее массовый расход (массу воды, протекающей через сечение за единицу времени), если разность уровней в манометрических трубках 厶九=8 см, а сечения трубы у оснований манометрических трубок соответственно равны S1 = 6 см? и $2 = 12 см2. Плотность воды Р = 1 г/см3.

Рис. 23

Рис. 23

Дано:Дано:ЛЛ = 8 см = 0,08 м 邑=6 см2 = 6 • 10-4 м2S2 = 12 см2 = 1,2 Т0~з м2 р = 1 г/см3 = 103 кг/м3Q — ?ЛЛ = 8 см = 0,08 м 邑=6 см2 = 6 • 10-4 м2S2 = 12 см2 = 1,2 Т0~з м2 р = 1 г/см3 = 103 кг/м3Q — ?Решение-.

Дано:

Дано:

ЛЛ = 8 см = 0,08 м 邑=6 см2 = 6 • 10-4 м2

S2 = 12 см2 = 1,2 Т0~з м2 р = 1 г/см3 = 103 кг/м3

Q — ?

ЛЛ = 8 см = 0,08 м 邑=6 см2 = 6 • 10-4 м2

S2 = 12 см2 = 1,2 Т0~з м2 р = 1 г/см3 = 103 кг/м3

Q — ?

2s2，

U]S] = U2s2，九 1 =九2，

Q = pSFzQ = pSFzPl + 亏=p2 + 石， Р2 — P] = pg△力,

Q = pSFz

Q = pSFz

Ответа Q = 0,868 кг/с.

Пренебрегая вязкостью жидкости, определить скорость истечения жидкости из малого отверстия в стенке сосуда, если высота Л уровня жидкости над отверстием составляет 1,5 м (рис. 24).

Дано:九=1,5 м也一？Дано:九=1,5 м也一？十pg九12十P叫Si》$2，=^2邑22%《У2,25，十pg九12十P叫Si》$2，=^2邑22%《У2,25，Решение:Решение:Рис. 24Рис. 24

Дано:

九=1,5 м

也一？

Дано:

九=1,5 м

也一？

十pg九1

2

十P叫

Si》$2，

=^2邑

2

2

%《У2,

25，

十pg九1

2

十P叫

Si》$2，

=^2邑

2

2

%《У2,

25，

Решение:

Решение:

Рис. 24

Рис. 24

2

1^2 = J2g九.1^2 = J2g九.pg九]=学+ pg九2，и； = 2g(%i -九2)= 2g/z,

1^2 = J2g九.

1^2 = J2g九.

Ответ: v2 = 5,42 м/с.

Свинцовые дробинки (р = 11,3 г/см3), диаметр которых 4 мм и 2 мм, одновременно опускают в широкий сосуд глубиной й н 1,5 м с глицерином (р = 1,26 г/см3) (рис. 25). Динамическая вязкость глицерина г] = 1,48 Па ■ с. Определить, на сколько больше времени потребуется дробинкам меньшего размера, чтобы достичь дна сосуда.

Дано:

р = 11,3 г/см3 = 11,3 • 103 кг/м3

* = 4 мм = 4 Т0~з м

d? = 2 мм = 2 • 10"3 м

А = 1,5 м

р' == 1,26 г/см3 = 1,26 • 103 кг/м3

Г| = 1,48 Па • с

Решение'.

и — const, t = @ , г =-, и2

mg = Fa 卜 F,

mg = pgV = 1 pgTir3,

Fa = p'gV = 1 p@rr3, p = 6ЛГ|ГУ,

At — ?

1 pg7ir3 = 1 p'gnr3 + 6ПГ|П?,

2g储(р-р，)— gd2(p-p)— gd：(p-p，)一且城8 3)

9H18r)1 18Tl218r)

а£ 上力2 - ±1 =包 一 ~ = /if —-=

U2内%丿

,18 四_丄 . 1 . g（P-Pi）〔d； d：丿

Ответ: Al = 76,1 c.

Дано:D dZn hДано:D dZn hРешениемРешениемu(h) — ?u(h) — ?и = d2Pg力• d24・8曰，D2и = d2Pg力• d24・8曰，D2p=冗尸4 4Pt8nZp=冗尸4 4Pt8nZd-2-г九gр一一мd-2-г九gр一一м22221S1S% =匚繇^，14sl = uS, и = %^ ,% =匚繇^，14sl = uS, и = %^ ,Si — d2~S D^Si — d2~S D^pghd4pghd432nZD232nZD2В боковую поверхность цилиндрического сосуда диаметром D вставлен капилляр внутренним диаметром d и длиной I (рис. 26). В сосуд налита жидкость с динамической вязкостью Т|. Определить зависимость скорости V понижения уровня жидкости в сосуде от высоты Л этого уровня над капилляром.

Дано:

D d

Z

n h

Дано:

D d

Z

n h

Решением

Решением

u(h) — ?

u(h) — ?

и = d2Pg力• d2

4・8曰，D2

и = d2Pg力• d2

4・8曰，D2

p=冗尸4 4Pt8nZ

p=冗尸4 4Pt8nZ

d-2

-

г九gр

一一м

d-2

-

г九gр

一一м

22

22

1

S

1

S

% =匚繇^，14sl = uS, и = %^ ,

% =匚繇^，14sl = uS, и = %^ ,

Si — d2~S D^

Si — d2~S D^

pghd4

pghd4

32nZD2

32nZD2

Ответа и(Л) = • Р§&_ 瓦 32 л ZB2

Парашют (тп1 = 32 кг) пилота (тп2 = 65 кг) в раскрытом состоянии имеет форму полусферы диаметром d = 12 м, обладая коэффициентом сопротивления Сх = 1,3. Определите максимальную скорость, развиваемую пилотом, при плотности воздуха 1,29 кг/м3.

Дано:Tn】=32 кг т2 = 65 кг d н 12 M 0宀，3 р = 1,29 кг/м3Дано:Tn】=32 кг т2 = 65 кг d н 12 M 0宀，3 р = 1,29 кг/м3“max“max??Решение:(^1 +俏2)S =五* +尸4，五工=C*粤S，2FA《(^1 +吗坦cj"戸呼=(тп】+ m^g>_ 風+ 欣)g5 к J CxTld2p ・Решение:(^1 +俏2)S =五* +尸4，五工=C*粤S，2FA《(^1 +吗坦cj"戸呼=(тп】+ m^g>_ 風+ 欣)g5 к J CxTld2p ・

Дано:

Tn】=32 кг т2 = 65 кг d н 12 M 0宀，3 р = 1,29 кг/м3

Дано:

Tn】=32 кг т2 = 65 кг d н 12 M 0宀，3 р = 1,29 кг/м3

“max

“max

?

?

Решение:

(^1 +俏2)S =五* +尸4，五工=C*粤S，

2

FA《(^1 +吗坦cj"戸呼=(тп】+ m^g>

_ 風+ 欣)g

5 к J CxTld2p ・

Решение:

(^1 +俏2)S =五* +尸4，五工=C*粤S，

2

FA《(^1 +吗坦cj"戸呼=(тп】+ m^g>

_ 風+ 欣)g

5 к J CxTld2p ・

Ответ: %&* = 3,17 м/с.

АЛАЛРис. 27Рис. 27ОТВЕТЫ: 73. P = UjtSj = S#ОТВЕТЫ: 73. P = UjtSj = S#言“,29 703言“,29 703

АЛ

АЛ

Рис. 27

Рис. 27

ОТВЕТЫ: 73. P = UjtSj = S#

ОТВЕТЫ: 73. P = UjtSj = S#

言“,29 703

言“,29 703

Задачи для самостоятельн ого решения

По горизонтальной трубе переменного сечения (рис. 27) течет вода. Площади поперечных сечений трубы на разных ее участках соответственно равны S】=10 см2 и S? = 20 см2. Разность уровней 厶九 воды в вертикальных трубках одинакового сечения составляет 20 cM. Определите объем воды, проходящей за 1 с сквозь сечение трубы.

Стальной шарик (р】=9 г/см3) падает с постоянной скоростью в сосуде с глицерином (р2 = 1,26 г/см3, динамическая вязкость п = 1,48 Па • с). Считая, что при числе Рейнольдса Re С 0,5 выполняется закон Стокса, определите предельный диаметр шарика.

“Re18n2Re

=^ = з!^- = 5,91 мм.

Р2^“(P1-P2)P2g

1.7. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ (ЧАСТНОЙ)ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ

Постулаты специальной теории относительностиПреобразования ЛоренцаОтносительность одновременностиДлительность событий в разных системах отсчетаАлина тел в разных системах отсчетаРелятивистский закон сложения скоростейИнтервал между событиямиПостулаты специальной теории относительностиПреобразования ЛоренцаОтносительность одновременностиДлительность событий в разных системах отсчетаАлина тел в разных системах отсчетаРелятивистский закон сложения скоростейИнтервал между событиямиОсновной закон релятивистской динамикиРелятивистский импульс частицыЗакон сохранения релятив истско го импульсаПолная и кинетическая энергия релятивистской частицыЗакон сохранения энергии в релятивистской механикеЭнергия покояОсновной закон релятивистской динамикиРелятивистский импульс частицыЗакон сохранения релятив истско го импульсаПолная и кинетическая энергия релятивистской частицыЗакон сохранения энергии в релятивистской механикеЭнергия покоя

Постулаты специальной теории относительности

Преобразования Лоренца

Относительность одновременности

Длительность событий в разных системах отсчета

Алина тел в разных системах отсчета

Релятивистский закон сложения скоростей

Интервал между событиями

Постулаты специальной теории относительности

Преобразования Лоренца

Относительность одновременности

Длительность событий в разных системах отсчета

Алина тел в разных системах отсчета

Релятивистский закон сложения скоростей

Интервал между событиями

Основной закон релятивистской динамики

Релятивистский импульс частицы

Закон сохранения релятив истско го импульса

Полная и кинетическая энергия релятивистской частицы

Закон сохранения энергии в релятивистской механике

Энергия покоя

Основной закон релятивистской динамики

Релятивистский импульс частицы

Закон сохранения релятив истско го импульса

Полная и кинетическая энергия релятивистской частицы

Закон сохранения энергии в релятивистской механике

Энергия покоя

Основные формулы

П реобразования Лоренца

歩=г,尸="3)/С2、71 - и2/с^

[система отсчета К' движется со скоростью и в положительном направлении оси X системы отсчета К, причем оси X' и X совпадают, а оси Yf и У, 2 и Z* параллельны; с ——скорость распространения света в вакууме].

Релятивистское замедление хода часов

71 - U2/J2

[т — промежуток времени между двумя событиями, отсчитанный движущимися вместе с телом часами； т‘ 一 промежуток времени между теми же событиями, отсчитанный покоящимися часами].

Релятивистское (лоренцево) сокращение длины

Z = Zq J1 - v2/c2

[Zo — длина стержня, измеренная в системе отсчета, относительно которой стержень покоится (собственная длина); I ——длина стержня, измеренная в системе отсчета, относительно которой он движется со скоростью р].

Релятивистский закон сложения скоростей

”1 - vux/c2 '“1 - VUx/c2 ' z 1 - uux/c2

Система отсчета К' движется со скоростью и в положительном направлении оси X системы отсчета К, причем оси X' к X совпадают, оси У п У, Z и Z' параллельны:

+ vu /с1 - т/с

Интервал между событиями

[方12 一 промежуток времени между событиями 1 и 2; Z12 — расстояние между точками, где произошли события].

Релятивистский импульс частицы

Р,—

л/1 - V2/с2

[т — масса частицы; и — скорость частицы].

Основной закон релятивистской динамики

dt

历一релятивистский импульс частицы].

Энергия покоя частицы

Ео = тс2

[т — масса частицы; с — скорость распространения света в вакууме].

Полная и кинетическая энергии релятивистской частицы

J1 - 1?2/e2I J] _ 卢/(?2丿

[zn — масса частицы; d — ее скорость].

Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы

£2 = тп2c4 + р2c2,pc = JT(T + 2тс2)

[т — масса частицы; Е — полная энергия; Т — кинетическая энергия; р — релятивистский импульс].

Примеры решения задач

Две нестабильные частицы движутся в системе отсчета К в одном направлении вдоль одной прямой с одинаковой скоростью и = 0,6с. Расстояние между частицами в системе К равно 64 м* Обе частицы распались одновременно в системе К', которая связана с ними. Определить промежуток времени между распадом частиц в системе К.

Дано:△х = 64 мAi = 0V = 0,6сДано:△х = 64 мAi = 0V = 0,6сАУ — ?АУ — ?Решение:

Дано:

△х = 64 м

Ai = 0

V = 0,6с

Дано:

△х = 64 м

Ai = 0

V = 0,6с

АУ — ?

АУ — ?

—工力一——-・-T

71 - и2/с2

(t2 一 力1)+ dA%/c2 = 必#J1 - 1?2/(?2 e2 J1 -u2/(?2

Ответ:厶土' = 0,16 мкс.

В системе К' покоится стержень (собственная длина % = 1,5 м), ориентированный под углом 6 = 30° к оси ОХ' (рис. 28). Система К' движется относительно системы К со скоростью и = 0,6с. Определить в системе К: 1) длину I стержня; 2) соответствующий угол 8.В системе К' покоится стержень (собственная длина % = 1,5 м), ориентированный под углом 6 = 30° к оси ОХ' (рис. 28). Система К' движется относительно системы К со скоростью и = 0,6с. Определить в системе К: 1) длину I стержня; 2) соответствующий угол 8.Дано:Zq = 1,5 м 8' = 30°V = 0,6сD £ — ? 2)8 — ?Дано:Zq = 1,5 м 8' = 30°V = 0,6сD £ — ? 2)8 — ?Решение:仆=2()3步， 匂=毋加方, lx = l^l-v^/c2 ,Решение:仆=2()3步， 匂=毋加方, lx = l^l-v^/c2 ,Z = J点cos6，)2(l - V2/c2) + &sin&)2 ,Z = J点cos6，)2(l - V2/c2) + &sin&)2 ,tgg = 4 =―甸 =tg$厶 & Ji - №/м7i - и2/с2tgg = 4 =―甸 =tg$厶 & Ji - №/м7i - и2/с2Ответ: 1) I = 1,28 м; 2) 8 = 35,8°.Ответ: 1) I = 1,28 м; 2) 8 = 35,8°.Ионизованный атом, вылетев из ускорителя со скоростью 0,8с, испустил фотон в направлении своего движения. Определить скорость фотона относительно ускорителя.Ионизованный атом, вылетев из ускорителя со скоростью 0,8с, испустил фотон в направлении своего движения. Определить скорость фотона относительно ускорителя.Дано: а' = 0,8сДано: а' = 0,8сРешениемРешениемm——?m——?伍+ d1 + u'v/c2伍+ d1 + u'v/c2“0,8с + сu =:1 + 0,8с ■ с2“0,8с + сu =:1 + 0,8с ■ с2Ответ: и = с.Ответ: и = с.Кинетическая энергия частицы оказалась равной ее энергии покоя. Определить скорость частицы.Кинетическая энергия частицы оказалась равной ее энергии покоя. Определить скорость частицы.Дано*Е° = тс2 Т = /и — ?Дано*Е° = тс2 Т = /и — ?РешениемТ =Е=т=тс2(— 1- -1- икс?Т == тп* 1 =] — - 1,71 - у2/с2РешениемТ =Е=т=тс2(— 1- -1- икс?Т == тп* 1 =] — - 1,71 - у2/с27^ = 2,7^ = 2,111414м-с2м-с23-43-4=0,866c.=0,866c.

В системе К' покоится стержень (собственная длина % = 1,5 м), ориентированный под углом 6 = 30° к оси ОХ' (рис. 28). Система К' движется относительно системы К со скоростью и = 0,6с. Определить в системе К: 1) длину I стержня; 2) соответствующий угол 8.

В системе К' покоится стержень (собственная длина % = 1,5 м), ориентированный под углом 6 = 30° к оси ОХ' (рис. 28). Система К' движется относительно системы К со скоростью и = 0,6с. Определить в системе К: 1) длину I стержня; 2) соответствующий угол 8.

Дано:

Zq = 1,5 м 8' = 30°

V = 0,6с

D £ — ? 2)8 — ?

Дано:

Zq = 1,5 м 8' = 30°

V = 0,6с

D £ — ? 2)8 — ?

Решение:

仆=2()3步， 匂=毋加方, lx = l^l-v^/c2 ,

Решение:

仆=2()3步， 匂=毋加方, lx = l^l-v^/c2 ,

Z = J点cos6，)2(l - V2/c2) + &sin&)2 ,

Z = J点cos6，)2(l - V2/c2) + &sin&)2 ,

tgg = 4 =―甸 =tg$

厶 & Ji - №/м7i - и2/с2

tgg = 4 =―甸 =tg$

厶 & Ji - №/м7i - и2/с2

Ответ: 1) I = 1,28 м; 2) 8 = 35,8°.

Ответ: 1) I = 1,28 м; 2) 8 = 35,8°.

Ионизованный атом, вылетев из ускорителя со скоростью 0,8с, испустил фотон в направлении своего движения. Определить скорость фотона относительно ускорителя.

Ионизованный атом, вылетев из ускорителя со скоростью 0,8с, испустил фотон в направлении своего движения. Определить скорость фотона относительно ускорителя.

Дано: а' = 0,8с

Дано: а' = 0,8с

Решением

Решением

m——?

m——?

伍+ d

1 + u'v/c2

伍+ d

1 + u'v/c2

“0,8с + с

u =:

1 + 0,8с ■ с2

“0,8с + с

u =:

1 + 0,8с ■ с2

Ответ: и = с.

Ответ: и = с.

Кинетическая энергия частицы оказалась равной ее энергии покоя. Определить скорость частицы.

Кинетическая энергия частицы оказалась равной ее энергии покоя. Определить скорость частицы.

Дано*

Е° = тс2 Т = /

и — ?

Дано*

Е° = тс2 Т = /

и — ?

Решением

Т =Е=т=тс2(— 1- -1

- икс?

Т == тп* 1 =] — - 1,

71 - у2/с2

Решением

Т =Е=т=тс2(— 1- -1

- икс?

Т == тп* 1 =] — - 1,

71 - у2/с2

7^ = 2,

7^ = 2,

1

1

1

4

1

4

м-с2

м-с2

3-4

3-4

=0,866c.

=0,866c.

Ответ: и = 260 Мм/с.

Определить, какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы его продольные размеры уменьшились в два раза.

Дано:

Решение:

те = 9,11 • 10-31 кг е= 1,6 • 10Т9 Кл

2 =，“2

Z = Zo71 - v2/c2 , / = Z0/2, 71 ~ v2/c2 = 1,

T = eU, T = zn,

и — ?

。/ =空（2-1）=金

Ответ: U = 512 кВ.

Задача для самостоятельного решения

Определите, во сколько раз увеличивается время жизни нестабильной частицы (по часам неподвижного наблюдателя), если она начинает двигаться со скоростью, равной 0,9с.

Ответ: В 2,29 раза.

0

Основы молекулярной физики и термодинамики

МОЛЕКУ\ЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯИДЕАЛЬНЬ!Х「АЗОВ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ

Идеальный газ♦Термодинамическая температураИзотермический проиессЗакон Бойля—Мариотта♦Изобарный процесс♦Изохорный процессЗакон Гей-Люссака♦Закон Дальтона♦Парциальное давлениеМолярный объем♦Молярная газовая постоянная ♦ ♦ Молярная массаУравнение состояния идеального газа* (уравнение Клапейрона—Менделеева) *Количество вешества♦Постоянная Авогадро♦Основное уравнение молекулярно- * кинетической теории идеального газа*Средняя квадратичная скорость ♦ молекулИдеальный газ♦Термодинамическая температураИзотермический проиессЗакон Бойля—Мариотта♦Изобарный процесс♦Изохорный процессЗакон Гей-Люссака♦Закон Дальтона♦Парциальное давлениеМолярный объем♦Молярная газовая постоянная ♦ ♦ Молярная массаУравнение состояния идеального газа* (уравнение Клапейрона—Менделеева) *Количество вешества♦Постоянная Авогадро♦Основное уравнение молекулярно- * кинетической теории идеального газа*Средняя квадратичная скорость ♦ молекулЗакон Максвелла о распределении молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения Наиболее вероятная скорость молекул Средняя арифметическая скорость молекулБарометрическая формула Распределение Больцмана во внешнем потенциальном полеСреднее число столкновений молекул Средняя длина свободного пробега молекулЯвления переноса ТеплопроводностьЗакон теплопроводности Фурье ДиффузияЗакон диффузии Фика Внутреннее трение (вязкость) Закон Ньютона для внутреннего тренияЗакон Максвелла о распределении молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения Наиболее вероятная скорость молекул Средняя арифметическая скорость молекулБарометрическая формула Распределение Больцмана во внешнем потенциальном полеСреднее число столкновений молекул Средняя длина свободного пробега молекулЯвления переноса ТеплопроводностьЗакон теплопроводности Фурье ДиффузияЗакон диффузии Фика Внутреннее трение (вязкость) Закон Ньютона для внутреннего трения

Идеальный газ♦

Термодинамическая температура

Изотермический проиесс

Закон Бойля—Мариотта♦

Изобарный процесс♦

Изохорный процесс

Закон Гей-Люссака♦

Закон Дальтона♦

Парциальное давление

Молярный объем♦

Молярная газовая постоянная ♦ ♦ Молярная масса

Уравнение состояния идеального газа* (уравнение Клапейрона—Менделеева) *

Количество вешества♦

Постоянная Авогадро♦

Основное уравнение молекулярно- * кинетической теории идеального газа*

Средняя квадратичная скорость ♦ молекул

Идеальный газ♦

Термодинамическая температура

Изотермический проиесс

Закон Бойля—Мариотта♦

Изобарный процесс♦

Изохорный процесс

Закон Гей-Люссака♦

Закон Дальтона♦

Парциальное давление

Молярный объем♦

Молярная газовая постоянная ♦ ♦ Молярная масса

Уравнение состояния идеального газа* (уравнение Клапейрона—Менделеева) *

Количество вешества♦

Постоянная Авогадро♦

Основное уравнение молекулярно- * кинетической теории идеального газа*

Средняя квадратичная скорость ♦ молекул

Закон Максвелла о распределении молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения Наиболее вероятная скорость молекул Средняя арифметическая скорость молекул

Барометрическая формула Распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле

Среднее число столкновений молекул Средняя длина свободного пробега молекул

Явления переноса Теплопроводность

Закон теплопроводности Фурье Диффузия

Закон диффузии Фика Внутреннее трение (вязкость) Закон Ньютона для внутреннего трения

Закон Максвелла о распределении молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения Наиболее вероятная скорость молекул Средняя арифметическая скорость молекул

Барометрическая формула Распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле

Среднее число столкновений молекул Средняя длина свободного пробега молекул

Явления переноса Теплопроводность

Закон теплопроводности Фурье Диффузия

Закон диффузии Фика Внутреннее трение (вязкость) Закон Ньютона для внутреннего трения

Основные формулы

Закон Бойля—Мариотта

pV = const (Т = const, т = const)

[р — давление газа; V — объем газа; Т — термодинамическая температура; т — масса газа].

Закон Гей-Люссака

”％ (1 + а"

ИЛИ

嗯

=—1

(р = const.

т = const);

Р = Ро (1 + «0

или

Pl

Р2

=

(V = const,

т = const)

[i — температура газа по шкале Цельсия; % н р° ——соответственно объем и давление при 0 ℃; коэффициент а = ^^ К-1; индексы 1 и 2 относятся к произвольным состояниям газа].

Закон Дальтона для давления смеси п идеальных газов

i = 1

艮一парциальное давление i-ro компонента смеси].

Молярная масса

М = т/ь

[?п0 — масса молекулы; ^A — постоянная Авогадро].

Уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона—— Менделеева)

pVm = RT (для 1 моль газа),

^五Т (для произвольной массы газа)

[% — молярный объем; R — молярная газовая постоянная; М — молярная масса газа; m — масса газа; т/М = v — количество вещества].

Зависимость давления газа от концентрации п молекул и температуры Т

р = пАТ

[左==R/"a — постоянная Больцмана; NA — постоянная Авогадро; R — молярная газовая постоянная].

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов

Р= ^^то〈％в〉2

ИЛИ

Pv== 2е

尸 323

или

рР= |^0<vKB>2= |zn<vKB>2

[〈Urb〉——средняя квадратичная скорость молекул; Е — суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа; ri — концентрация молекул; 7no — масса одной молекулы; т = =Nzn。一 масса газа; N — число молекул в объеме V газа].

Средняя квадратичная скорость молекул

Q м

[Т ——термодинамическая температура; т^ — масса одной молекулы;

А = R/N厶 ——постоянная Больцмана].

Средняя кинетическая энергия поступательного движения моле

кулы идеального газа

[?п0 — масса молекулы; (vKB) - ее средняя квадратичная скорость; А ——постоянная Больцмана].

Закон Максвелла о распределении молекул идеального газа по

скоростям

[функция /(и) распределения молекул по скоростям определяет относительное число молекул dN(t>)/N из общего числа N молекул, скорости которых лежат в интервале от w до и + dv].

Наиболее вероятная скорость молекул

[тп0 — масса молекулы; М ——молярная масса; R ——молярная газовая постоянная;丸=丑/Na — постоянная Больцмана; Г — термодинамическая температура].

Средняя (средняя арифметическая) скорость молекул

ооооm^v2

〈吁卜d"内(烏广川eF du =联, 00

4冗"！0 м nМ

Закон Максвелла о распределении молекул идеального газа по энергиям теплового движения

Де)=岖® = Z(hT「3/2 е1/2 е-£/(лт)

[функция f(e) распределения молекул по энергиям теплового движения определяет относительное число молекул 6N(0/N из общего числа N молекул, которые имеют кинетическую энергию £ = т^!2, заключенную в интервале от е до е + de].

Барометрическая формула

РЕ is

[рЛ и р0 — давления газа на высоте й и Ло соответственно； М — молярная масса; g — ускорение свободного падения; R — молярная газовая постоянная; Т ——термодинамическая температура].

Распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле

n = n0 e-n/SD

[п и л0 — концентрация молекул на высоте Л и й = 0; П = m^gh — потенциальная энергия молекулы в поле тяготения; А ——постоянная Больцмана; Т — термодинамическая температура; тп0 ——масса одной молекулы].

Среднее число соударений, испытываемых молекулой газа за 1 с, 〈z〉== 72 nd2n{v}

[d — эффективный диаметр молекулы; п ——концентрация молекул; (v> — средняя арифметическая скорость молекул].

Средняя длина свободного пробега молекул газа

〈力 J2nd2n

[d ——эффективный диаметр молекулы; п — концентрация молекул; 〈2〉一 среднее число столкновений молекулы за 1 с;〈I?〉一 средняя арифметическая скорость молекул].

Закон теплопроводности Фурье

& dx

Ue — плотность теплового потока;入一теплопроводность (коэффици- ент теплопроводности); — — градиент температуры].

ах

Теплопроводность

九=2p〈d〉а〉

[су — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; р — плотность газа;(V)— средняя арифметическая скорость теплового движения его молекул;〈2〉一 средняя длина свободного пробега молекул].

Закон диффузии Фика

dr

[ym — плотность потока массы; D — диффузия (коэффициент диффу

зии); 出зии); 出—градиент плотности].—градиент плотности].

зии); 出

зии); 出

—градиент плотности].

—градиент плотности].

Диффузия (коэффициент диффузии)

叫3〉"〉

[⑷一средняя длина свободного пробега;〈и〉一 средняя арифметическая скорость молекул].

Закон Ньютона для внутреннего трения (вязкости)

[jp — плотность потока импульса; Т) — динамическая вязкость;詐 — градиент скорости].

Динамическая вязкость

Л =剂 А"〉

[р — плотность газа; (v) — средняя арифметическая скорость молекул; 〈2〉——средняя длина свободного пробега].

Связь между коэффициентами теплопроводности (入)，диффузии (■D) и динамической вязкостью Y；

入

ri = pD, = 1

[р ——плотность газа; с『 ——удельная теплоемкость газа при иостоян- hojvi объеме].

Примеры решения задач

Определить плотность смеси газов водорода массой тп】=8 г и кислорода массой т? = 64 г при температуре Т = 290 К и при давлении 0,1 МПа. Газы считать идеальными.

Дано:^! = 8 г = 8 • 10-3 кг Мх = 2 • 10~3 кг/моль zn2 = 64 г = 64 ■ 10~3 кг М2 = 32 • 10-3 кг/моль Т = 290 Кр = 0,1 МПа = 105 Па В = 8,31 Дж/(К • моль)p - ?Ответ: р = 0,498 кг/м3.Дано:^! = 8 г = 8 • 10-3 кг Мх = 2 • 10~3 кг/моль zn2 = 64 г = 64 ■ 10~3 кг М2 = 32 • 10-3 кг/моль Т = 290 Кр = 0,1 МПа = 105 Па В = 8,31 Дж/(К • моль)p - ?Ответ: р = 0,498 кг/м3.Решение:Решение:р = — , т = т^ + яг?，р = — , т = т^ + яг?，Р吁「倒S吁除+京若，Р吁「倒S吁除+京若，

Дано:

^! = 8 г = 8 • 10-3 кг Мх = 2 • 10~3 кг/моль zn2 = 64 г = 64 ■ 10~3 кг М2 = 32 • 10-3 кг/моль Т = 290 К

р = 0,1 МПа = 105 Па В = 8,31 Дж/(К • моль)

p - ?

Ответ: р = 0,498 кг/м3.

Дано:

^! = 8 г = 8 • 10-3 кг Мх = 2 • 10~3 кг/моль zn2 = 64 г = 64 ■ 10~3 кг М2 = 32 • 10-3 кг/моль Т = 290 К

р = 0,1 МПа = 105 Па В = 8,31 Дж/(К • моль)

p - ?

Ответ: р = 0,498 кг/м3.

Решение:

Решение:

р = — , т = т^ + яг?，

р = — , т = т^ + яг?，

Р吁「倒S吁除+京若，

Р吁「倒S吁除+京若，

В сосуде вместимостью 1 л находится кислород массой 1 г. Определить концентрацию молекул кислорода в сосуде.

Дано:Решение'.

V = 1 л = 10-3 м3 М = 32 - 10-3 кг/моль 7n = 1 г = 1()-3 кг

р = nkT,

整=2, pv=更 RT, kTM

MkV'

2 Т

=mR

—MV'

п — ?

Ответ: л = 1,88 • 1025 м~з.

Определить среднюю арифметическую скорость молекул идеального газа, плотность которого при давлении 35 кПа составляет 0,3 кг/м3.

Дано:Решение:

р = 35кПа = 3,5 104 Па р = 0,3 кг/м3

①〉—？екв〉二置，=爲心

Р =号=罕=5。， Р = I P〈％/，〈％B〉=僧，3〉=露

Ответ:〈и〉= 545 м/с.

Используя закон распределения молекул идеального газа по скоростям, найти закон, выражающий распределение молекул по относительным скоростям и (и = и/ив).

Дано:Дано:/(и) = 4лf ——纥］М е 2"/(и) = 4лf ——纥］М е 2"/(u) — ?/(u) — ?Решение:

Дано:

Дано:

/(и) = 4лf ——纥］М е 2"

/(и) = 4лf ——纥］М е 2"

/(u) — ?

/(u) — ?

U = /込Z,и = vu, du = % da,

—^ = f® du,—— н f(u) du,

/(m) = /(v)~ = f(v)v ,du

fQ) = 4冗(———Ie 2巾т и =

' '⑵左т丿вв

-т^ 2kTu2

(2冗尼t丿m04m0

Ответ:貝“)=— и2 e-u2.

85. На какой высоте давление воздуха составляет 60% от давле・ ния на уровне моря? Считать, что температура воздуха везде одина ков а и равна 10 ℃.

Дано:

Решение:

Р = °，6ро

力 к 10 ℃

М = 29 • 10-3 кг/моль

_ MgS-hq)_ Mgh

р=Рое RT ,九о = 0, 2=e RT ,

Po

咏=Tn2,力殷 m2.

九一？

RTPqMg г。

Ответ: Л = 4,22 км.

Определить среднюю продолжительность〈工〉свободного пробега молекул водорода при температуре 27 ℃ и давлении 5 кПа. Эффективный диаметр молекулы водорода принять равным 0,28 нм.

Дано:Дано:М = 2 ■ 10^3 кг/моль f = 27 ℃, Г = 300 К р = 0,5кПа= 5-102 Па d = 0,28 нм = 2,8 • 1О~10 м2一？Ответ:〈т〉= 13,3 нс.М = 2 ■ 10^3 кг/моль f = 27 ℃, Г = 300 К р = 0,5кПа= 5-102 Па d = 0,28 нм = 2,8 • 1О~10 м2一？Ответ:〈т〉= 13,3 нс.Решение:

Дано:

Дано:

М = 2 ■ 10^3 кг/моль f = 27 ℃, Г = 300 К р = 0,5кПа= 5-102 Па d = 0,28 нм = 2,8 • 1О~10 м

2一？

Ответ:〈т〉= 13,3 нс.

М = 2 ■ 10^3 кг/моль f = 27 ℃, Г = 300 К р = 0,5кПа= 5-102 Па d = 0,28 нм = 2,8 • 1О~10 м

2一？

Ответ:〈т〉= 13,3 нс.

〈т〉=,〈z〉= J^Tid^Mv〉,

"〉=普，Р=М L 各

j2itd2p^RT 47n^d2p *

Определить, во сколько раз отличаются коэффициенты динамической вязкости Г| углекислого газа и азота, если оба газа находятся при одинаковых температуре и давлении. Эффективные диаметры молекул этих газов считать равными.

Дано:Дано:ТИ] = 44 - 10~3 кг/моль М2 = 28 • 10*3 кг/моль 厶=T2Р1=Р24 &ТИ] = 44 - 10~3 кг/моль М2 = 28 • 10*3 кг/моль 厶=T2Р1=Р24 &ri = *e)〈z〉，〈d〉= /型，a>=—1— р = пйТ, pV= ЙГ, p = % =墮，ri = *e)〈z〉，〈d〉= /型，a>=—1— р = пйТ, pV= ЙГ, p = % =墮，%加2 - ?%加2 - ?=1哂8五Т]3 R7\ J nMj3 ят2 4 TtM2=1哂8五Т]3 R7\ J nMj3 ят2 4 TtM21点血:41点血:4p1 Пp2，T1 = 72，心 Кp1 Пp2，T1 = 72，心 Кd?,72*d?,72*以2，-以2，-^2 冗 d & 712м2^мх Jm^2 冗 d & 712м2^мх JmРешение:

Дано:

Дано:

ТИ] = 44 - 10~3 кг/моль М2 = 28 • 10*3 кг/моль 厶=T2

Р1=Р2

4 &

ТИ] = 44 - 10~3 кг/моль М2 = 28 • 10*3 кг/моль 厶=T2

Р1=Р2

4 &

ri = *e)〈z〉，〈d〉= /型，a>=—1— р = пйТ, pV= ЙГ, p = % =墮，

ri = *e)〈z〉，〈d〉= /型，a>=—1— р = пйТ, pV= ЙГ, p = % =墮，

%加2 - ?

%加2 - ?

=1哂8五Т]

3 R7\ J nMj

3 ят2 4 TtM2

=1哂8五Т]

3 R7\ J nMj

3 ят2 4 TtM2

1

点血:4

1

点血:4

p1 Пp2，T1 = 72，心 К

p1 Пp2，T1 = 72，心 К

d?,72*

d?,72*

以2，-

以2，-

^2 冗 d & 712

м2^мх Jm

^2 冗 d & 712

м2^мх Jm

Ответ: %/% = 1,25.

равен 10 мкПа ♦ с. Дано:равен 10 мкПа ♦ с. Дано:Определить коэффициент теплопроводности 入 азота, если коэффициент динамической вязкости г| для него при тех же условиях

равен 10 мкПа ♦ с. Дано:

равен 10 мкПа ♦ с. Дано:

Решение:

tj = 10 мкПа • с = 10~5 Па • с М = 28 ■ 10-3 кг/мольtj = 10 мкПа • с = 10~5 Па • с М = 28 ■ 10-3 кг/моль入—?入—?訥и〉"〉，/4訥и〉"〉，/4入=济 Р»〉"〉，П

tj = 10 мкПа • с = 10~5 Па • с М = 28 ■ 10-3 кг/моль

tj = 10 мкПа • с = 10~5 Па • с М = 28 ■ 10-3 кг/моль

入—?

入—?

訥и〉"〉，

/4

訥и〉"〉，

/4

i = 5.

Ответ'.入=7,42 мВт/(м • К).

Задачи для самостоятельного решения

В закрытом сосуде при температуре 300 К и давлении 0,1 МПа находятся 10 г водорода и 16 г гелия. Считая газы идеальными, определите удельный объем смеси.

В сосуде вместимостью 5 л при нормальных условиях находится азот. Определите: 1) количество вещества V； 2) массу т кислорода; 3) концентрацию п его молекул в сосуде.

При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул кислорода больше их наиболее вероятной скорости на 100 м/с?

Используя закон распределения молекул идеального газа по скоростям, найдите формулу наиболее вероятной скорости ив.

Определите отношение давления воздуха на высоте 1 км к давлению на дне скважины глубиной 1 км. Воздух у поверхности Земли находится при нормальных условиях, и его температура не зависит от высоты.

При температуре 300 К и некотором давлении средняя длина свободного пробега ⑴ молекул кислорода равна 0,1 мкм. Чему равно среднее число〈2〉столкновений, испытываемых молекулами в 1 с, если сосуд откачать до 0,1 первоначального давления? Температуру газа считать постоянной.

Азот находится под давлением 100 кПа при температуре 290 К. Определите коэффициенты диффузии D и внутреннего трения т). Эффективный диаметр молекул азота принять равным 0,38 нм.

0TBeTЫ: 89. % =上一。(小宀“)"=8,63 2/酬

1) v = 0,223 моль; 2) тп == 6,24 г; 3) п = 2,69 ■ 1025 м~3. 91. 381 К.

% = /2кТ/т° . 93. 0,778. 94. 4,45 ■ 108 с"1. 95. D = 9,74 • 10~6 м2/с； П = 1,13 • 10-5 кг/(м • с).

ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ

Термодинамическая системаТермодинамические параметрыТермодинамическое равновесиеТемператураТемпературные шкалы(Цельсия и Кельвина)Термодинамический процессВнутренняя энергиятермодинамической системыЧисло степеней свободы молекулРабота газа при изменении его объемаРавновесные процессыЗакон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекулПервое начало термодинамикиТеплоемкостьУдельная теплоемкостьМолярная теплоемкостьТермодинамическая системаТермодинамические параметрыТермодинамическое равновесиеТемператураТемпературные шкалы(Цельсия и Кельвина)Термодинамический процессВнутренняя энергиятермодинамической системыЧисло степеней свободы молекулРабота газа при изменении его объемаРавновесные процессыЗакон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекулПервое начало термодинамикиТеплоемкостьУдельная теплоемкостьМолярная теплоемкостьУравнение МайераПрименение первого начала термодинамики к изопроиессамАдиабатный процессУравнение адиабатного проиесса (уравнение Пуассона)Политропный процессКруговой процесс (никл)Прямой ииклОбратный циклОбратимый процессКПД для кругового проиессаВторое начало термодинамикиПриведенное количество теплотыЭнтропияНеравенство КлаузиусаПриниип возрастания энтропииТепловой двигательХолодильная машинаиикл КарноУравнение МайераПрименение первого начала термодинамики к изопроиессамАдиабатный процессУравнение адиабатного проиесса (уравнение Пуассона)Политропный процессКруговой процесс (никл)Прямой ииклОбратный циклОбратимый процессКПД для кругового проиессаВторое начало термодинамикиПриведенное количество теплотыЭнтропияНеравенство КлаузиусаПриниип возрастания энтропииТепловой двигательХолодильная машинаиикл Карно

Термодинамическая система

Термодинамические параметры

Термодинамическое равновесие

Температура

Температурные шкалы

(Цельсия и Кельвина)

Термодинамический процесс

Внутренняя энергия

термодинамической системы

Число степеней свободы молекул

Работа газа при изменении его объема

Равновесные процессы

Закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул

Первое начало термодинамики

Теплоемкость

Удельная теплоемкость

Молярная теплоемкость

Термодинамическая система

Термодинамические параметры

Термодинамическое равновесие

Температура

Температурные шкалы

(Цельсия и Кельвина)

Термодинамический процесс

Внутренняя энергия

термодинамической системы

Число степеней свободы молекул

Работа газа при изменении его объема

Равновесные процессы

Закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул

Первое начало термодинамики

Теплоемкость

Удельная теплоемкость

Молярная теплоемкость

Уравнение Майера

Применение первого начала термодинамики к изопроиессам

Адиабатный процесс

Уравнение адиабатного проиесса (уравнение Пуассона)

Политропный процесс

Круговой процесс (никл)

Прямой иикл

Обратный цикл

Обратимый процесс

КПД для кругового проиесса

Второе начало термодинамики

Приведенное количество теплоты

Энтропия

Неравенство Клаузиуса

Приниип возрастания энтропии

Тепловой двигатель

Холодильная машина

иикл Карно

Уравнение Майера

Применение первого начала термодинамики к изопроиессам

Адиабатный процесс

Уравнение адиабатного проиесса (уравнение Пуассона)

Политропный процесс

Круговой процесс (никл)

Прямой иикл

Обратный цикл

Обратимый процесс

КПД для кругового проиесса

Второе начало термодинамики

Приведенное количество теплоты

Энтропия

Неравенство Клаузиуса

Приниип возрастания энтропии

Тепловой двигатель

Холодильная машина

иикл Карно

Основные формулы

Средняя кинетическая энергия поступательного движения, приходящаяся на одну степень свободы молекулы,

〈〃〉= "

[為一постоянная Больцмана; Т ——термодинамическая температура].

Средняя энергия молекулы

〈£〉= "

[i = кет + ^вращ + 2»колеб — сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы].

Внутренняя энергия идеального газа

Um = 々TNa = IRT (для 1 моль газа),

"=份 ^'Т = v^RT ^для пРоизвольн°й массы газа)

[£ — число степеней свободы; й — постоянная Больцмана; Т ——термодинамическая температура; ^A — постоянная Авогадро;五一молярная газовая постоянная; m — масса газа; М — молярная масса; V = m/М — количество вещества].

Первое начало термодинамики

Q = Д t7 + А

[Q — количество теплоты, сообщенное системе или отданное ею;

△U ——изменение внутренней энергии системы; SA ——работа системы против внешних сил].

Первое начало термодинамики для малого изменения системы

6Q = d。+ &А

[dU ——бесконечно малое изменение внутренней энергии; 5А — элементарная работа; 6Q — бесконечно малое количество теплоты].

Молярная и удельная теплоемкости

С = dQ © = dQm v dT' mdT*

Связь между молярной Cm и удельной с теплоемкостями газаСт—"

[М — молярная масса газа].

Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме

eт五

[i — число степеней свободы].

Молярная теплоемкость газа при постоянном давлении

Уравнение Майера

Ср = Су + к.

Элементарная работа газа при изменении его объема

dA =р dP

[р — давление].

Полная работа при изменении объема газа

А = f р dP

Е，1 и V2 ——соответственно начальный и конечный объемы газа]. Изменение внутренней энергии идеального газа

dU=卫報dT

[т — масса газа, М — его молярная масса, Су — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме].

Работа газа:

♦ при изобарном процессе

A=p(V2-V^ A = ^R(T2-T^

• при изотермическом процессе

a=卫RTln匕， аК卫五Те虫.

М %，М р2

Уравнение адиабатного процесса (уравнение Пуассона)

pv Y = const, TV Y - 1 = const,T Ypl - Y — const

[y = Cp/Cv = (i + 2)/2 — показатель адиабаты; i — число степеней свободы].

Работа газа в адиабатном процессе

a=^0p(马一T2)，

^若乳П=沿口-(式」

[7\, 丁2 — начальная и конечная температуры газа;吟 и % — начальный и конечный объемы газа соответственно; у — показатель адиабаты; m — масса газа; М ——его молярная масса; R ——молярная газовая постоянная].

Уравнение политропного процесса

руп = const

-С -С-|

п = -~―2 — показатель политропы .

_С - СуJ

Термический коэффициент полезного действия для кругового процесса (цикла)

Qi QiQi

[Q1 — количество теплоты, полученное системой; Q2 — количество теплоты, отданное системой; А ——работа, совершаемая за цикл].

Неравенство Клаузиуса

△S》О

[AS > 0 в необратимых процессах, AS = 0 в обратимых процессах].

Изменение энтропии при равновесном переходе системы из состояния 1 в состояние 2

△S] - 2 = $2 - $1 =学(。0 1rl 含 + 冗

Формула Больцмана

S = k InW

[S ——энтропия; k ——постоянная Больцмана; W ——термодинамическая вероятность состояния].

Термический коэффициент полезного действия цикла Карно

[7\ ——температура нагревателя; Т? — температура холодильника].

Примеры решения задач

Кислород массой тп = 1 кг находится при температуре Т = 320 К. Определить: 1) внутреннюю энергию молекул кислорода; 2) среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекул кислорода. Газ считать идеальным.

Дано:

тп = 1 кг

7 = 320 К

М = 32 • 10-3 кг/моль

Решением

0我川，"5,位4(廿, /e -竺 n=吗

1) и — ?

2)〈4р〉一 ？

Ответ'. 1) U = 208 кДж; 2) <£вр) = 83,1 кДж.

Азот массой т = 280 г расширяется в результате изобарного процесса при давлении р = 1 МПа. Определить: 1) работу расширения; 2) конечный объем газа, если на расширение затрачена теплота Q = 5 кДж, а начальная температура азота * = 290 К.

Дано:Решением

m = 280 г = 0,28 кг M = 28 • Ю-3 кг/моль p =const

A=^R{T2-T^ Q-^cp(t2-t^ 紡今 Ср；"，I,

p=l МПа = 106 Па

厶=血，2 = 20.

Q = 5 кДж = 5 ■ 103 Дж

"(i + 2)R i + 2 '

7\ = 290 К

A = p(y2-V^ p% = ^RT],

A — ?

% — ?

c = a + p =工(/+卫五t).

/ p1 p\M 17

Ответ: 1)厶=1,43 Дж; 2) V2 = 0,026 м3.

Работа расширения некоторого двухатомного идеального газа составляет А = 2 кДж. Определить количество подведенной к газу теплоты, если процесс протекал (рис. 29): 1) изотермически; 2) изобарно.

4=2 кДж = 2 ■ 103 Дж t = 5Т = constр = constQi = AU + A, T = const, p△U = 0, Qi=4 p = const, A = p△匕?AV= ^丑 AT,Л = — ЯДГ, AT= 3, MmR °MA =空mR 2 'D Qi — ?2) Q2 — ?△U=必e厶？=卫工r。M yМ24=2 кДж = 2 ■ 103 Дж t = 5Т = constр = constQi = AU + A, T = const, p△U = 0, Qi=4 p = const, A = p△匕?AV= ^丑 AT,Л = — ЯДГ, AT= 3, MmR °MA =空mR 2 'D Qi — ?2) Q2 — ?△U=必e厶？=卫工r。M yМ2Дано:Дано:Решение:Решение:Q? ~ 厶U + _А = 31A+厶=А\Q? ~ 厶U + _А = 31A+厶=А\+ 1+ 1

4=2 кДж = 2 ■ 103 Дж t = 5

Т = const

р = const

Qi = AU + A, T = const, p

△U = 0, Qi=4 p = const, A = p△匕

?AV= ^丑 AT,

Л = — ЯДГ, AT= 3, MmR °

MA =空

mR 2 '

D Qi — ?

2) Q2 — ?

△U=必e厶？=卫工r。

M yМ2

4=2 кДж = 2 ■ 103 Дж t = 5

Т = const

р = const

Qi = AU + A, T = const, p

△U = 0, Qi=4 p = const, A = p△匕

?AV= ^丑 AT,

Л = — ЯДГ, AT= 3, MmR °

MA =空

mR 2 '

D Qi — ?

2) Q2 — ?

△U=必e厶？=卫工r。

M yМ2

Дано:

Дано:

Решение:

Решение:

Q? ~ 厶U + _А = 31A+厶=А\

Q? ~ 厶U + _А = 31A+厶=А\

+ 1

+ 1

У吟q12f咐一*；У吟q12f咐一*；РешениемРешениемГрафик цикла представлен на рис. 30:1 f 2 匕=const, /12 =0，*2 = A%2，厶42 = ^r(厶-71)， p1Vl = vRT1,График цикла представлен на рис. 30:1 f 2 匕=const, /12 =0，*2 = A%2，厶42 = ^r(厶-71)， p1Vl = vRT1,Рис. 30Рис. 30

У吟q12f咐一*；

У吟q12f咐一*；

Решением

Решением

График цикла представлен на рис. 30:

1 f 2 匕=const, /12 =0，*2 = A%2，

厶42 = ^r(厶-71)， p1Vl = vRT1,

График цикла представлен на рис. 30:

1 f 2 匕=const, /12 =0，*2 = A%2，

厶42 = ^r(厶-71)， p1Vl = vRT1,

Рис. 30

Рис. 30

Ответ: 1) Qi = 2 кДж; 2) Q2 = 7 кДж.

Идеальный двухатомный газ (v = 3 моль), занимающий объем 匕=5 л и находящийся под давлением Pi =工 МПа, подвергают изохорному нагреванию до Т2 工 500 К. После этого газ подвергли изотермическому расширению до начального давления, а затем он в результате изобарного сжатия возвращен в первоначальное состояние. Построить график цикла и определить термодинамический КПД цикла.

Дано:

V = 3 моль

i = 5

Vx = 5 л = 5 ■ 10-3 м3

Pi = 1 МПа = 106 Па

Т2 = 500 К

Т] — ?

2 —* 3т2 = const, 厶。23 = 0，Q23 =厶23，厶23 = VT?T2 In

% = %' Рз=Р1，Р3Р3 = VRT3/3 ==竺&，Q23 = v/?% 1忐;

Рз 戸 1J

3Tl Pl = const,3Tl Pl = const,Q31=v4W「丁2），Q31=v4W「丁2），

3Tl Pl = const,

3Tl Pl = const,

Q31=v4W「丁2），

Q31=v4W「丁2），

QLQ2 + Q2J，& = Q3 "1-^^

Ответ: Г| = 13,3% .

Многоатомный идеальный газ совершает цикл Карно (рис. 31), при этом в процессе адиабатного расширения объем газа увеличивается в п = 4 раза. Определить термический КПД цикла.

Азот массой 28 г адиабатно расширили в п = 2 раза, а затем изобарно сжали до первоначального объема (рис. 32). Определить изменение энтропии газа в ходе указанных процессов.

Дано:M = 28 • 10-3 кг/моль пг = 28 r == 28 To-3 кг j = 5n = — = 2匕Дано:M = 28 • 10-3 кг/моль пг = 28 r == 28 To-3 кг j = 5n = — = 2匕AS — ?AS — ?CpdTT~CpdTT~=卫 C f dT ~ M p\~t=卫 C f dT ~ M p\~tпп必3五1円必3五1円AS = AS12AS = AS12△S =厶S23△S =厶S232AS】2 H J1dQi2 = °，2AS】2 H J1dQi2 = °，mMmM|р = const I|р = const It20=匕%鹽忆也t20=匕%鹽忆也%=中,%=中,М 2М 2

Дано:

M = 28 • 10-3 кг/моль пг = 28 r == 28 To-3 кг j = 5

n = — = 2

匕

Дано:

M = 28 • 10-3 кг/моль пг = 28 r == 28 To-3 кг j = 5

n = — = 2

匕

AS — ?

AS — ?

CpdTT~

CpdTT~

=卫 C f dT ~ M p\~t

=卫 C f dT ~ M p\~t

п

п

必3五1円

必3五1円

AS = AS12

AS = AS12

△S =厶S23

△S =厶S23

2

AS】2 H J

1

dQi2 = °，

2

AS】2 H J

1

dQi2 = °，

m

M

m

M

|р = const I

|р = const I

t2

0=匕

%鹽忆也

t2

0=匕

%鹽忆也

%=中,

%=中,

М 2

М 2

Ответ: AS = -20,2 Дж/К.

3 Справочник по физике

Задачи для самостоятельного решения

Считая азот идеальным газом, определите его удельную теплоемкость: 1) для изобарного процесса; 2) для изохорного процесса.

Определите количество теплоты, сообщенное газу, если в процессе изохорного нагревания кислорода объемом『=20 л его давление изменилось на Др = 100 кПа.

Двухатомный идеальный газ занимает объем Р】=1 л и находится под давлением 内=0,1 МПа. После адиабатного сжатия газ характеризуется объемом V2 и давлением р?* В результате последующего изохорного процесса газ охлаждается до первоначальной температуры, а его давление Р3 = 0,2 МПа. Определите: 1) объем /； 2) давление р2~ Начертите графики этих процессов.

Азот массой 500 г, находящийся под давлением Pi = 1 МПа при температуре ^ = 127 ℃, подвергли изотермическому расширению, в результате которого давление газа уменьшилось в п = 3 раза. После этого газ подвергли адиабатному сжатию до начального давления, а затем он был изобарно сжат до начального объема. Постройте график цикла и определите работу, совершенную газом за цикл.

ОТВЕТЫ: 102. 1) ср = 1,04 кДж/(кг • К); 2) cv = 742 Дж/(кг • К). 103. Q = iVAp/2 = 5 Дж. 104. 1) 0,5 л; 2) 264 кПа. 105. -11,5 кДж.

РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ И ЖИДКОСТИ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ

Реальный газСилы межмолекулярного взаимодействияВнутреннее давлениеУравнение состояния реальных газов (уравнение Ван-дер-Ваальса)Изотермы Ван-лер-ВаальсаРеальный газСилы межмолекулярного взаимодействияВнутреннее давлениеУравнение состояния реальных газов (уравнение Ван-дер-Ваальса)Изотермы Ван-лер-ВаальсаВнутренняя энергия реального газаПоверхностная энергияПоверхностное натяжениеСмачиваниеФормула ЛапласаКапиллярностьВнутренняя энергия реального газаПоверхностная энергияПоверхностное натяжениеСмачиваниеФормула ЛапласаКапиллярность

Реальный газ

Силы межмолекулярного взаимодействия

Внутреннее давление

Уравнение состояния реальных газов (уравнение Ван-дер-Ваальса)

Изотермы Ван-лер-Ваальса

Реальный газ

Силы межмолекулярного взаимодействия

Внутреннее давление

Уравнение состояния реальных газов (уравнение Ван-дер-Ваальса)

Изотермы Ван-лер-Ваальса

Внутренняя энергия реального газа

Поверхностная энергия

Поверхностное натяжение

Смачивание

Формула Лапласа

Капиллярность

Внутренняя энергия реального газа

Поверхностная энергия

Поверхностное натяжение

Смачивание

Формула Лапласа

Капиллярность

Основные формулы

Уравнение состояния реального газа (уравнение Ван-дер-Ваальса)

р + •— (Ут - &) = RT (для 1 моль газа),

р + —- (V - vb) = vRT (для произвольной массы газа)

[% — молярный объем; а и & ——постоянные Ван-дер-Ваальса, различные для разных газов; v = т/М — количество вещества; V = V%].

Внутреннее давление газа

[а ——постоянная Ван-дер-Ваальса, характеризующая силы межмолекулярного притяжения; % молярный объем].

Связь критических параметров (объем, давление и температура) с постоянными а н b Ван-дер-Ваальса

р = 3 匕 п = ° Т = 8aкр 叫厶 Р 27 匕2，КР 27Rb

[冗一молярная газовая постоянная].

Внутренняя энергия реального газа

Um = CVT - — (для 1 моль газа),

U = ^〔СуТ — +； (для произвольной массы газа)

[Су — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме; а — постоянная Ван-дер-Ваальса; 7m ——молярный объем; т/М — количество вещества].

Энтальпия системы

U] + pF】=% + 卩2丿2

[индексы 1 и 2 соответствуют начальному и конечному состояниям системы].

Поверхностное натяжение

7' AS

[尸一сила поверхностного натяжения, действующая на контур Е, ограничивающий поверхность жидкости; ДЕ ——поверхностная энергия, связанная с площадью AS поверхности пленки].

Формула Лапласа, позволяющая определить избыточное давление для произвольной поверхности жидкости двоякой кривизны:

[五1 и 五2 — радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости; радиус кривизны положителен, если центр кривизны находится внутри жидкости (выпуклый мениск), и отрицателен, если центр кривизны — вне жидкости (вогнутый мениск); ст — поверхностное натяжение].

Избыточное давление в случае сферической поверхности

\р=~.

у R

Высота подъема жидкости в капиллярной трубке

九=2b cos®pgr

[0 — краевой угол; г — радиус капилляра; р ——плотность жидкости; g — ускорение свободного падения; о — поверхностное натяжение].

Примеры решения задач

Углекислый газ массой 6,6 кг при давлении 0,1 МПа занимает объем 3,75 м3. Определить температуру газа, если: 1) газ реальный; 2) газ идеальный. Поправки а и b принять равными соответственно 0,361 Н，м4/моль2 и 4,28 • 10-5 м3/моль.

Дано:М = 44 • 10~3 кг/моль m = 6,6 кгр = 0,1 МПа= 105 ПаР=3,75 м3а = 0,361 Н • м4/моль2 д = 4,28 • 10-5 м3/моль1) 7\ — ?2)厶 一 ？Дано:М = 44 • 10~3 кг/моль m = 6,6 кгр = 0,1 МПа= 105 ПаР=3,75 м3а = 0,361 Н • м4/моль2 д = 4,28 • 10-5 м3/моль1) 7\ — ?2)厶 一 ？一Ь；=正7\,一Ь；=正7\,Л =Л =РешениемРешениемт мт м匕匕mRmR心/心，/ —j-." mR心/心，/ —j-." mR

Дано:

М = 44 • 10~3 кг/моль m = 6,6 кг

р = 0,1 МПа= 105 Па

Р=3,75 м3

а = 0,361 Н • м4/моль2 д = 4,28 • 10-5 м3/моль

1) 7\ — ?

2)厶 一 ？

Дано:

М = 44 • 10~3 кг/моль m = 6,6 кг

р = 0,1 МПа= 105 Па

Р=3,75 м3

а = 0,361 Н • м4/моль2 д = 4,28 • 10-5 м3/моль

1) 7\ — ?

2)厶 一 ？

一Ь；=正7\,

一Ь；=正7\,

Л =

Л =

Решением

Решением

т м

т м

匕

匕

mR

mR

心/心，

/ —j-.

" mR

心/心，

/ —j-.

" mR

Решение:Решение:dQ = dU + dA,dU = 0, dA = // d展匹 d『,dQ = dU + dA,dU = 0, dA = // d展匹 d『,

Решение:

Решение:

dQ = dU + dA,

dU = 0, dA = // d展匹 d『,

dQ = dU + dA,

dU = 0, dA = // d展匹 d『,

Ответ: 1) Тг = 302 К; 2) Т2 = 301 К.

Азот(V = 3 моль) расширяется в вакуум, в результате чего объем газа увеличивается от Р】=1 л до 喔=5 л. Какое количество теплоты Q необходимо сообщить газу, чтобы его температура осталась неизменной? Поправку а принять равной 0,135 Н • м4/моль2.

Дано:

V = 3 моль % = 1 л = 10~3 м3 % = 5 л = 5 • 10-3 м3 а = 0,135 Н * м4/моль2

Q — ?

Ответ: Q = 972 Дж.

Азот (v = 2 моль) адиабат но расширяется в вакуум. Температура газа при этом уменьшается на 1 К. Определить работу, совершаемую газом против межмолекулярных сил притяжения.

Дано'.Решение:Дано'.Решение:Ответ: А1 = 83,1 Дж.Ответ: А1 = 83,1 Дж.

Дано'.Решение:

Дано'.Решение:

Ответ: А1 = 83,1 Дж.

Ответ: А1 = 83,1 Дж.

T- ^ I«^T- ^ I«^=const=6 мм = 6 • 10-3 м二 60 мм = 6 • 10~2 м о = 40 мН/м = 4 • 10~2 Н/м厶—？Ответ'. А = 896 мкДж.=const=6 мм = 6 • 10-3 м二 60 мм = 6 • 10~2 м о = 40 мН/м = 4 • 10~2 Н/м厶—？Ответ'. А = 896 мкДж.Дано:d = 0,02 мм = 2 • 10-3 м九=25 см = 0,25 мРо = 1,01 • 105 Паст = 73 мН/м = 73 • IO" н/м р = 1 г/см3 = 103 кг/м3Р — ?Дано:d = 0,02 мм = 2 • 10-3 м九=25 см = 0,25 мРо = 1,01 • 105 Паст = 73 мН/м = 73 • IO" н/м р = 1 г/см3 = 103 кг/м3Р — ?Решение: р=р(3 + р1 + Ар,Решение: р=р(3 + р1 + Ар,=——г=——г4Gd4GdP = Po + Pgh + —.P = Po + Pgh + —.Pl=pg九,Pl=pg九,

T- ^ I«^

T- ^ I«^

=const

=6 мм = 6 • 10-3 м

二 60 мм = 6 • 10~2 м о = 40 мН/м = 4 • 10~2 Н/м

厶—？

Ответ'. А = 896 мкДж.

=const

=6 мм = 6 • 10-3 м

二 60 мм = 6 • 10~2 м о = 40 мН/м = 4 • 10~2 Н/м

厶—？

Ответ'. А = 896 мкДж.

Дано:

d = 0,02 мм = 2 • 10-3 м

九=25 см = 0,25 м

Ро = 1,01 • 105 Па

ст = 73 мН/м = 73 • IO" н/м р = 1 г/см3 = 103 кг/м3

Р — ?

Дано:

d = 0,02 мм = 2 • 10-3 м

九=25 см = 0,25 м

Ро = 1,01 • 105 Па

ст = 73 мН/м = 73 • IO" н/м р = 1 г/см3 = 103 кг/м3

Р — ?

Решение: р=р(3 + р1 + Ар,

Решение: р=р(3 + р1 + Ар,

=——г

=——г

4Gd

4Gd

P = Po + Pgh + —.

P = Po + Pgh + —.

Pl=pg九,

Pl=pg九,

Считая процесс образования мыльного пузыря изотермическим, определить работу А, которую надо совершить, чтобы увеличить его диаметр от d^ = 6 мм до d2 = 60 мм. Поверхностное натяжение мыльного раствора принять равным 40 мН/м.

Решение:

G =懸，^E=A, AS = 2S2 - 2Sp

S2 = nd； , S] = 7rd；, T = const, G = const, A = о • 2it(d； - d；).

Воздушный пузырек диаметром d = 0,02 мм находится на глубине 九=25 см под поверхностью воды. Определить давление воздуха в этом пузырьке. Атмосферное давление принять нормальным. Поверхностное натяжение воды а = 73 мН/м, а ее плотность р = 0,8 г/см3.

Ответ' p = 118 кПа.

Капилляр, имеющий внутренний радиус 0,5 мм, опущен в жидкость. Определить массу жидкости, поднявшейся в капилляре, если ее поверхностное натяжение равно 60 мН/м.

Решение:尸=F, Р = mg, F = g厶Z = 2冗厂,一 2hГG m =.gРешение:尸=F, Р = mg, F = g厶Z = 2冗厂,一 2hГG m =.gДано:

Решение:

尸=F, Р = mg, F = g厶Z = 2冗厂,

一 2hГG m =.

g

Решение:

尸=F, Р = mg, F = g厶Z = 2冗厂,

一 2hГG m =.

g

г = 0,5 мм = 5 • 10-4 м

а = 60 мН/м = 6 • 10~2 Н/м

пг — ?

Ответ: т = 1,92 • 10 5 кг.

Задачи для самостоятельного решения

Плотность азота р = 140 кг/м3, его давление р = 10 МПа. Определите температуру газа, если: 1) газ реальный; 2) газ идеальный. Поправки а и b принять равными соответственно 0,135 Н ■ м4/моль2 и 3,86 • 10-5 м3/моль.

Углекислый газ массой 88 г занимает при температуре 290 К объем 1000 см3. Определите внутреннюю энергию газа, если: 1) газ идеальный; 2) газ реальный. Поправку а принять равной 0,361 Н * м4/моль2.

Определите радиус R капли спирта, вытекающей из узкой вертикальной трубки r = 1 мм. Считать, что в момент отрыва капля сферическая. Поверхностное натяжение спирта о = 22 мН/м, а его плотность р = 0,8 г/см3.

В капилляре диаметром d = 100 мкм вода поднимается на высоту 力=30 см. Определите поверхностное натяжение ст воды, если ее плотность р = 1 г/см3.

ОТВЕТЫ: 112. 1) 260 К; 2) 241 К. 113. 1) 14,5 кДж; 2) 13 кДж. 114. R = 1,61 мм. 115. ь = 73 мН/м,

33Электричество и магнетизм

3

3

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ

Электрический зарядТочечный зарядПробный точечный положительный зарядЭлектрическое полеЭлектростатическое полеНапряженность электростатичеткого поляЛинии напряженности электростатического поляПоток вектора напряженностиЭлектрический дипольЭлектрический момент диполяПлотность заряда: линейная, поверхностная, объемнаяЦиркуляция вектора напряженности электростатического поляПотенциал электростатического поляОбъемная плотность энергииэлектростатического поляЭлектрический зарядТочечный зарядПробный точечный положительный зарядЭлектрическое полеЭлектростатическое полеНапряженность электростатичеткого поляЛинии напряженности электростатического поляПоток вектора напряженностиЭлектрический дипольЭлектрический момент диполяПлотность заряда: линейная, поверхностная, объемнаяЦиркуляция вектора напряженности электростатического поляПотенциал электростатического поляОбъемная плотность энергииэлектростатического поляЭквипотенциальная поверхностьТипы диэлектриковПоляризация диэлектриковСвязанные зарядыПоляризованность диэлектрикаДиэлектрическая проницаемостьЭлектрическое смешениеСегнетоэлектрикиЭлектростатическая "НАукимяЭлектроемкость уединенного проводникаКонденсаторыПробивное напряжениеПробойЗакон сохранения зарядаЗакон КулонаПриниип суперпозиции электростатических полейТеорема ГауссаЭквипотенциальная поверхностьТипы диэлектриковПоляризация диэлектриковСвязанные зарядыПоляризованность диэлектрикаДиэлектрическая проницаемостьЭлектрическое смешениеСегнетоэлектрикиЭлектростатическая "НАукимяЭлектроемкость уединенного проводникаКонденсаторыПробивное напряжениеПробойЗакон сохранения зарядаЗакон КулонаПриниип суперпозиции электростатических полейТеорема Гаусса

Электрический заряд

Точечный заряд

Пробный точечный положительный заряд

Электрическое поле

Электростатическое поле

Напряженность электростатичеткого поля

Линии напряженности электростатического поля

Поток вектора напряженности

Электрический диполь

Электрический момент диполя

Плотность заряда: линейная, поверхностная, объемная

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля

Потенциал электростатического поля

Объемная плотность энергии

электростатического поля

Электрический заряд

Точечный заряд

Пробный точечный положительный заряд

Электрическое поле

Электростатическое поле

Напряженность электростатичеткого поля

Линии напряженности электростатического поля

Поток вектора напряженности

Электрический диполь

Электрический момент диполя

Плотность заряда: линейная, поверхностная, объемная

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля

Потенциал электростатического поля

Объемная плотность энергии

электростатического поля

Эквипотенциальная поверхность

Типы диэлектриков

Поляризация диэлектриков

Связанные заряды

Поляризованность диэлектрика

Диэлектрическая проницаемость

Электрическое смешение

Сегнетоэлектрики

Электростатическая "НАукимя

Электроемкость уединенного проводника

Конденсаторы

Пробивное напряжение

Пробой

Закон сохранения заряда

Закон Кулона

Приниип суперпозиции электростатических полей

Теорема Гаусса

Эквипотенциальная поверхность

Типы диэлектриков

Поляризация диэлектриков

Связанные заряды

Поляризованность диэлектрика

Диэлектрическая проницаемость

Электрическое смешение

Сегнетоэлектрики

Электростатическая "НАукимя

Электроемкость уединенного проводника

Конденсаторы

Пробивное напряжение

Пробой

Закон сохранения заряда

Закон Кулона

Приниип суперпозиции электростатических полей

Теорема Гаусса

Основные формулы

Закон сохранения заряда в замкнутой системе

£Qj = const.

Закон Кулона

F = 1 011刨 (в вакууме), F = ~—修“包 (в среде)4ле0 г24яе0 ег2

[У — сила взаимодействия двух точечных зарядов Q】и Q?；厂—расстояние между зарядами; е0 = 8,85 • 10~12 Ф/м — электрическая постоянная; е — диэлектрическая проницаемость среды].

Н апряженность электростатического поля

л =一

Qo

[F — сила, действующая на точечный положительный заряд Q» помещенный в данную точку поля].

Н апряженность электростатического поля точечного заряда Q на расстоянии г от заряда

Е=丄@.

4ле0 г2

dOg = Е dS ~ . ①е = ]Е dS =]dOg = Е dS ~ . ①е = ]Е dS =]Поток вектора напряженности электростатического поля

dOg = Е dS ~ . ①е = ]Е dS =]

dOg = Е dS ~ . ①е = ]Е dS =]

E“ dS (сквозь площадку dS),

JdS (сквозь поверхность S),

①& = f Е 症=§后几 dS (сквозь замкнутую поверхность S)

равен dS, а направление сов-равен dS, а направление сов-гSS

равен dS, а направление сов-

равен dS, а направление сов-

Е на нор-Е на нор-[dS = dS •亢一вектор, модуль которого

Е на нор-

Е на нор-

падает с нормалью Я к площадке; Еп ——проекция вектора маль 亢 к площадке dS].

Принцип суперпозиции электростатических полей

后=X瓦

[与一напряженность поля, создаваемого зарядом Q.].

Плотность зарядов (линейная, поверхностная, объемная):

d£dS у d。

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме: • в случае дискретного распределения зарядов

@EdS =，后孔 dS= — £；

SS% j = 1

в случае непрерывного распределения зарядов

歩dM= j>EndS= - JpdH

SS% V

Z Qi ——алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замк-

нутой поверхности S; п — число зарядов; р ——объемная плотность за

рядов .

Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью,

Е =—

[а — поверхностная плотность заряда].

Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями,

ео

[с — поверхностная плотность заряда].

Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью радиусом R с общим зарядом Q на расстоянии г от центра сферы,

Е = 0 при г < R (внутри сферы),

Е = —^——при г R (вне сферы).

4пе0г2

Напряженность поля, создаваемого объемно заряженным шаром радиусом R с общим зарядом Q на расстоянии г от центра шара,

Е = ——— г при г W К (внутри шара),

Е = ^^~$ при r^R (вне шара).

Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным бесконечным цилиндром радиусом R на расстоянии г от оси цилиндра,

Е н 0 при г < R (внутри цилиндра),

Е =при г ^ R (вне цилиндра)

[т ——линейная плотность заряда].

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура

§Е dt = ^Е ^dl = О

[Е, — проекция вектора Е на направление элементарного перемещения dL Интегрирование производится по любому замкнутому пути L\.

Потенциальная энергия заряда Qo в поле заряда Q на расстоянии г от него

几г

Потенциал электростатического поля

ф Z фQq Qo

[Qo — точечный положительный заряд, помещенный в данную точку поля; U — потенциальная энергия заряда Qo; А^ — работа перемещения заряда Qq из данной точки поля за его пределы].

Потенциал электростатического поля точечного заряда на расстоянии г от заряда

Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

£ = -grad（p,自=一（新+新+ 凄）

[/，？，％ — единичные векторы координатных осей. Знак минус определяется тем, что вектор Е поля направлен в сторону убывания потенциала].

В случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией,

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда Qq из точки 1 в точку 2,

22

&12 = Qo（Bi -屮2），厶12 = QojB di = Q0^Ei dZ

_1i

[E, — проекция вектора E на направление элементарного перемещения dZ].

Разность потенциалов между двумя точками 1 и 2 в электростатическом поле

22

011tp2 =醤=J月 di = jEj dZ

1i

[&2 — работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда Qo из точки 1 в точку 2; Е^ ——проекция вектора Е на направление элементарного перемещения dZ; интегрирование

производится вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля не зависит от траектории перемещения].

Разность потенциалов между точками, находящимися на расстоянии л:】и х2 от равномерно заряженной бесконечной плоскости,

<Р1 - <Р2 = j 石d^ = j 誥 d% =詁（％?—工1）

[а — поверхностная плотность заряда].*

Разность потенциалов между бесконечными разноименно заряженными плоскостями, расстояние между которыми равно d,

dd.

屮11tp2 = jEd% = J— dx = — d.

о о 0 G°

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях г】и г2 от центра равномерно заряженной сферической поверхности （объемно заряженного шара） радиусом R с общим зарядом Q, причем г】> R, r2> R, г2 > г1?

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях 「1 и г2 от центра объемно заряженного шара радиуса R с общим зарядом Q, причем q < R, r2 < R,々 > &

屮1 —屮2 = ?EdL = j念景 d5^«T；）.q rl

Разность потенциалов между двумя точками, находящимися на расстояниях г】и г2 от оси равномерно заряженного с линейной плотностью т бесконечного цилиндра радиусом 凡 причем q > R, r2 > R,

jEdr =肃 Jy = ^ ln 7-

ПГ1

П оляризованность диэлектрика

р л

[V — объем диэлектрика; /； — дипольный момент “й молекулы].

Связь между поляризованностью диэлектрика и напряженностью электростатического поля

Р = аге0Е

[ае — диэлектрическая восприимчивость вещества; е0 — электрическая постоянная].

Связь диэлектрической проницаемости е с диэлектрической восприимчивостью as

е = 1 + зе.

. Связь между напряженностью Е поля в диэлектрике и напряженностью Eq внешнего поля

[Р — поляризованность, е ——диэлектрическая проницаемость].

Связь между векторами электрического смещения Q, напряженности электростатического поля Е и поляризованности Р

= £оеЕ, 5 = е0£ + Р.

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике

п

j/d§ 二 p\dS = £ Q；

Г nSS

£ Qi ——алгебраическая сумма заключенных внутри замкнутой по-

верхности S свободных электрических зарядов; Dn — проекция вектора D на нормаль Я к площадке dS; dS = dS • В ——вектор, модуль ко

торого равен dS, а направление совпадает с нормалью п к площадке .

Условия на границе раздела диэлектрических сред (проницаемость которых Е] и е2) при отсутствии на границе свободных зарядов:

也 1T 一 也2T，一少2n， nTf~

厶2t E2 且 2n E1

[Ет，£>т и Еп, Dn ——тангенциальные и нормальные составляющие векторов Е и D соответственно].

Напряженность электростатического поля у поверхности проводника

Е

[а — поверхностная плотность зарядов, £ ——диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник].

Электроемкость уединенного проводника

С = Q

[Q — заряд, сообщенный проводнику;屮 ——потенциал проводника].

Электроемкость шара радиусом R

С = 4те0еВ.

Электроемкость конденсатора с = Q ①1-①2

[Q -- заряд, накопленный в конденсаторе; (фх 一(р2) — разность потенциалов между его пластинами].

Электроемкость плоского конденсатора

d

[S — площадь каждой пластины конденсатора; d ——расстояние между пластинами].

Электроемкость сферического конденсатора

c = 4吗8c = 4吗8Г1Г2Г1Г2

c = 4吗8

c = 4吗8

Г1Г2

Г1Г2

[г】и г2 — радиусы концентрических сфер]. Электроемкость цилиндрического конденсатора

с 2тгепЕ/

c =

e(Г2/r1)

[Z — длина пластин конденсатора; г^ и г2 — радиусы полых коаксиальных цилиндров].

Соединение конденсаторов:

параллельное

последовательное

Схема

+

о_

Qi 士

Cl

НН ：C2：

HU

Cn

—0

55un „

円 IFT J>

ClC2Cn

+

o

Сохраняющаяся величина

U = U] =。2 = н Ur = const

Q = Сг = Q2 = ... = Qn = const

Суммарная величина

Q = Q] + Q2 + …+ ^n

и = иг + и2 + ... + un

Результирующая электроемкость

i = 1

c 4 a

Энергия уединенного заряженного проводника

W = С(^ =亚=堡22 2c

[С, Q, ср — электроемкость, заряд и потенциал проводника соответственно].

Энергия заряженного конденсатора

W = С(А(р)2 ==史

22 2С

[Q — заряд конденсатора; С — его электроемкость; Др — разность потенциалов между пластинами].

Сила притяжения между двумя разноименно заряженными обкладками конденсатора

_ Q2 二喳 _ %£Е2s2%eS 2e0e 2

[Q — заряд конденсатора; a — поверхностная плотность заряда; S — площадь пластины конденсатора; Е — напряженность электростатического поля; е0 ——электрическая постоянная; е — диэлектрическая проницаемость].

Энергия электростатического поля плоского конденсатораW-^Sd= %£SS =虫 V

22d 2

[S ——площадь одной пластины; U — разность потенциалов между пластинами; V = Sd — объем конденсатора].

Объемная плотность энергии электростатического поля

_ %日后2 一 ED

[Е — напряженность электростатического поля; _D — электрическое смещение].

Примеры решения задач

Рис. 33Рис. 33Расстояние ( между двумя точечными зарядами Q] = 2 нКл и Q2 = -3 нКл, расположенными в вакууме, равно 20 см (рис. 33). Определить: 1) напряженность £; 2) потенциал (р поля, создаваемого этими зарядами в точке, удаленной от первого заряда на расстояние г】=15 см и от второго заряда на г2 = 10 см.

Рис. 33

Рис. 33

Дано:

，=20 см = 0,2 м

Q1 = 2 нКл = 2 • IL Кл

Q2 =一3 нКл = -3 • 10-9 кл rt = 15 см = 0,15 м г2 = 10 см = 0,1 м

Решение*

后=瓦十瓦，

12，,2

4冗电Г14冗%Г2

E =，E： + E； + 2E]E2cosa,

7222

cosa = = 0,25,

27v2

E

Q2 cosa + —, r2

QiQ2

W…中2，中Lf仰=石京，

Решение:Решение:

Решение:

Решение:

Ответ: 1) E = 3 кВ/м; 2) (p = -150 В.

Электростатическое поле создается положительно заря- женной бесконечной нитью с постоянной линейной плотностью

т = 1 нКл/cm. Какую скорость приобретет электрон, приблизившись под действием поля к нити вдоль линии напряженности с расстояния ^ = 1,5 см до r2 = 1 см?

Дано:

т = 1 нКл/см = 10^7 Кл/м е= 1,6 • 10Т9 кл т. = 9,11 • 10~31 кг 「1 = 1,5 см = 1,5 • 10~ м 々=1 см = 10-2 м

u - ?

Ответ: и = 16 Мм/с.

Q = 1 нКл = 10~9 Кл = 5 см = 5 * 10~2 мг2 = 2 см = 2 • 10-2 мQ = 1 нКл = 10~9 Кл = 5 см = 5 * 10~2 мг2 = 2 см = 2 • 10-2 мА = 50 мкДж = 5 • 10 5 ДжА = 50 мкДж = 5 • 10 5 Джт — ?т — ?dA = Q dtp, Е = 2ле0гdA = Q dtp, Е = 2ле0гdtp = -E dr,dtp = -E dr,А 工-Q J Edr,А 工-Q J Edr,

Q = 1 нКл = 10~9 Кл = 5 см = 5 * 10~2 м

г2 = 2 см = 2 • 10-2 м

Q = 1 нКл = 10~9 Кл = 5 см = 5 * 10~2 м

г2 = 2 см = 2 • 10-2 м

А = 50 мкДж = 5 • 10 5 Дж

А = 50 мкДж = 5 • 10 5 Дж

т — ?

т — ?

dA = Q dtp, Е = 2ле0г

dA = Q dtp, Е = 2ле0г

dtp = -E dr,

dtp = -E dr,

А 工-Q J Edr,

А 工-Q J Edr,

Определить линейную плотность бесконечно длинной заряженной нити, если работа сил поля по перемещению заряда Q = 1 нКл с расстояния rt = 5 см до г2 = 2 см в направлении, перпендикулярном нити, равно 50 мкДж.

Дано:Дано:Решение:

Дано:

Дано:

A == 一3(•"=g 1心， L 2 M

J 2ле0г2冗£qJ г 2ле0 r?ri

Ответ: 3,03 мкКл/м.

Электростатическое поле создается сферой радиусом 7? = 5 см, равномерно заряженной с поверхностной плотностью Q=1 нКл/м2. Определить разность потенциалов между двумя точками, находящимися на расстояниях rt = 10 см и г2 = 15 см от центра сферы.

Дано:Решение:

7? = 5 см = 5 ■ 10~2 м

а = 1 нКл/м2 = 10-9 Кл/м2

厂1 = 10 см = 0,1 м

Q = ст ■ 4л7?2,Q = ст ■ 4л7?2,厂2 = 15 см = 0Д5 м

Q = ст ■ 4л7?2,

Q = ст ■ 4л7?2,

Ф1 ~ Ф2 — ?

01-9201-92(7五2 dr(7五2 dr

01-92

01-92

(7五2 dr

(7五2 dr

Ответ: (pj - ср2 = 0,94 В.

Электростатическое поле создается шаром радиусом R= 10 см, равномерно заряженным с объемной плотностью р = 20 нКл/м3. Определить разность потенциалов между точками, находящимися внутри шара на расстояниях fj^ = 2 см и г2 = 8 см от его центра.

Дано:Дано:Решение:Решение:7? = 10 см = 0,1 мр = 20 нКл/м3 = 2 • 10~8 Кл/м3 厂1 =： 2 см = 2 • 10~2 мг2 = 8 см = 8 • 10-2 м屮 1 - 02 — ?7? = 10 см = 0,1 мр = 20 нКл/м3 = 2 • 10~8 Кл/м3 厂1 =： 2 см = 2 • 10~2 мг2 = 8 см = 8 • 10-2 м屮 1 - 02 — ?严〃dS = *, En s e°E • 4лг2 = E •纟兀N% 3<P1 - Ф2 = jEdr,严〃dS = *, En s e°E • 4лг2 = E •纟兀N% 3<P1 - Ф2 = jEdr,=E,E ==E,E =r < R,3%'r < R,3%'

Дано:

Дано:

Решение:

Решение:

7? = 10 см = 0,1 м

р = 20 нКл/м3 = 2 • 10~8 Кл/м3 厂1 =： 2 см = 2 • 10~2 м

г2 = 8 см = 8 • 10-2 м

屮 1 - 02 — ?

7? = 10 см = 0,1 м

р = 20 нКл/м3 = 2 • 10~8 Кл/м3 厂1 =： 2 см = 2 • 10~2 м

г2 = 8 см = 8 • 10-2 м

屮 1 - 02 — ?

严〃dS = *, En s e°

E • 4лг2 = E •纟兀N% 3

<P1 - Ф2 = jEdr,

严〃dS = *, En s e°

E • 4лг2 = E •纟兀N% 3

<P1 - Ф2 = jEdr,

=E,

E =

=E,

E =

r < R,

3%'

r < R,

3%'

=武6").=武6").7 pr . _ P(r2~rb

=武6").

=武6").

6—<2= Jfe；dr=-^-

Ответа 仰一①2 H 2,26 В.

Свободные заряды равномерно распределены с объемной плотностью р = 5 нКл/м3 по шару радиусом 冗=10 см из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью е = 5. Определить напряженности электростатического поля на расстояниях г^ = 5 см и г? = 15 см от центра шара (рис. 34).

р = 5 нКл/м3 =

==5 • 10-9 Кл/м3 7? = 10 см = 0,1 м £ = 5

「1 =: 5 см = 0,05 м г2 H 15 cM = 0,15 м

p„dS = JpdP,

SV

Y R 公4仃:=如大，5=g

5 = “eEi，々=^^，

「2 > 冗 4 * 4冗r； = 1 冗R3 p，乌=吗，

e1 — ?

e2 — ?

4 = %e2， e2 =pR 2 ■

3%厂2

Да ко:

Решением

Ответ: £\ = 1,88 В/м; Е2 = 8,37 В/м.

Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом (е = 7). Расстояние между пластинами d = 5 мм, разность потенциалов U == 1 кВ. Определить: 1) напряженность поля в стекле; 2) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора; 3) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле.

Дано:

Решение:

Е = 7

d к 5 мм = 5 * 10-3 м

и

=Ed,

e=与，

1/ = 1 кВ = Ю3 В

Е

a = e%E,

1) Е — ?

о — ?

L — ?

Ь

=Р = D

-£qE = £“E - e0£ = (e - 1)£qE

Ответа 1) Е = 200 кВ/м; 2) ст = 12,4 мкКл/м2; 3) а* = 10,6 мкКл/м2.

К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность потенциалов % = 500 В. Площадь пластин S = 200 см2, расстояние между ними d = 1,5 мм. После отключения конденсатора от источника напряжения в пространство между пластинами внесли парафин(£ = 2). Определить разность потенциалов U2 между пластинами после внесения диэлектрика. Определить также емкости конденсаторов Сг и С2 до и после внесения диэлектрика.

Дано:Решение1:

% к 500 В

S = 200 cm2 = 2 • 10-2 m2 d = 1,5 мм = 1,5 • 10-3 м E= 2

Qi = Qz = Q = const, CT = — = const,

% = El d, 4 = / d， % = £ , 118 пФ; C2 = 236 пФ.

/ —?

5 —?

Q — ?

Ответа U2 = 250 В; Сг =

124. Две концентрические проводящие сферы радиусами R】=20 см и/?? = 50 см (рис. 35) заряжены соответственно одинаковыми зарядами Q = 100 нКл. Определить энергию электростатиче-

ского поля, заключенного

Дано:

7?i = 20 см = 0,2 м и

冗2 = 50 см = 0,5 м

Q = 100 нКл = 10~7 Кл

Ж — ?

W = ^wdV (ЗР = 4冗戸 dr, Ответ: W = 135 мкДж.

между этими сферами.

Решение:/ //\

4hee厂2

иРис. 35

W= f%Q2・4兀厂2匕 _ Q ( 1

J 2 • (4Л%)2r48П%1% К2丿

К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность потенциалов Ux = 500 В. Площадь пластин S = 200 см2, расстояние между ними d] = 1,5 мм. Пластины раздвинули до расстояния d2 = 15 мм. Найти энергии W\ и W2 конденсатора до и после раздвижения пластин, если источник тока перед раздвижением: 1) отключался; 2) не отключался.

Дано:

% == 500 В

S = 200 см2 == 2 • 10~2 м2 % =Т,5 мм = 1,5 • 10-3 м d2 =15 мм у 1,5 • IO— м 1) Q = const

2) Z7 = const

Ci

Решение:

_ %s%S

У 2y

1)

Q = const

0% = C2U2，

22dl，

22d2染

%,忆-?

% , / — ?

2)

U = const

Q] = &%, Q2 sс?".

W，=空員四 仍=也=竝也

12 2两，222d2dl42

Ответ: 1)历％ = 14,8 мкДж, W2 = 148 мкДж;

W； = 14,8 мкДж, W2 = 1,48 мкДж.

Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено слюдой (е = 7). Площадь пластин конденсатора составляет 50 см2. Определить поверхностную плотность связанных зарядов на слюде, если пластины конденсатора притягивают друг друга с силой 1 мН.

Решение:Решение:Дано\

Решение:

Решение:

£ = 7

S = 50 см2 = 5 ■ 10-3 м2

F = 1 мН = 10-3 Н

о ?

Ответ: о' = 4,27 мкКл/м2.

Задачи для самостоятельного решения

Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины, опускаются в керосин плотностью рк = 0,8 г/см3. Чему должна быть равна плотность р материала шариков, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и в керосине был одинаковым? Диэлектрическая проницаемость керосина £ = 2.

Определите напряженность электростатического поля в точке А, расположенной вдоль прямой, соединяющей заряды Qi = 10 нКл и Q? = —8 нКл и находящейся на расстоянии г = 8 см от отрицательного заряда. Расстояние между зарядами 2 = 20 см.

Поле создано двумя равномерно заряженными концентрическими сферами, радиусы которых /?j = 5 см и Т?2 = ^ см. Заряды сфер соответственно равны Q】=2 нКл и Q2 = -1 нКл. Определите напряженность электростатического поля в точках, лежащих от центра сфер на расстоянии: 1)^ = 3 см; 2)々=6 см; 3) г3 = 10 см. Постройте график зависимости Е(г).

Электростатическое поле создается бесконечной плоскостью, равномерно заряженной с поверхностной плотностью ст = 1 нКл/м2. Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстоянии %】=20 см и х2 = 50 см от плоскости.

Между пластинами плоского конденсатора помещено два слоя диэлектрика ——слюда (е】=7) толщиной d】=0,5 м и парафин (Е2 = 2) толщиной d2 = 0,5 мм. Определите: 1) напряженности электростатического поля в слоях диэлектрика; 2) электрическое смещение, если разность потенциалов между пластинами конденсатора U= 500 В.

Расстояние между пластинами плоского конденсатора d = 5 мм, разность потенциалов U = 1,2 кВ. Определите: 1) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора; 2) поверхностную плотность связанных зарядов на диэлектрике, если известно, что диэлектрическая восприимчивость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами, х = 1.

Шар, погруженный в масло (е = 2,2), имеет поверхностную плотность заряда g=1 мкКл/м2 и потенциал ср = 500 В. Определите: 1) радиус шара; 2) заряд шара; 3) электроемкость шара; 4) энергию шара.

В однородное электростатическое поле напряженностью Ео = 700 В/м перпендикулярно линиям напряженности поместили стеклянную пластину (е = 7) толщиной d = 1,5 мм и площадью 200 см2. Определите: 1) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле; 2) энергию электростатического поля, сосредоточенную в пластине.

Плоский воздушный конденсатор емкостью С = 10 пФ заряжен до разности потенциалов U1 = 500 В. После отключения конденсатора от источника напряжения расстояние между пластинами конденсатора было увеличено в 3 раза. Определите: 1) разность потенциалов на пластинах конденсатора после их раздвижения; 2) работу внешних сил по раздвижению пластин.

Разность потенциалов между пластинами плоского конден- сатс»ра 100 В. Площадь каждой пластины S = 200 см2, расстояние между пластинами d = 0,5 мм, пространство между ними заполнено парафином (е = 2). Определите силу притяжения F пластин Друг к другу.

ОТВЕТЫ: 127. р = -^ = 1,6 г/см3. 128. 10,1 кВ/м. 129, 1) 0; 2) 5 кВ/м; Е - 1

0,9 кВ/м. 130.(рх - ср2 =旦(х2 - л?】)=16,9 В. 131. 1) Ег = 182 кВ/м;

Е2 == 637 кВ/м; 2)D = 11,3 мкКл/м2. 132. 1)4,24 мкКл/м2;

2) 2,12 мкКл/м2. 133. 1) 9,74 мм; 2) 1,19 нКл; 3) 2,38 пФ;

0,3 мкДж. 134. 1) 5,31 нКл/м2; 2) 9,29 пДж. 135. 1) 1,5 кВ;

2,5 мкДж. 136.尸=%；：J = 7,08 мН.

ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ

Электрический токПостоянный токСила токаПлотность токаСторонние силыЭлектродвижущая сила, действующая в цепиНапряжениеРазность потенииаловЭлектрическая постояннаяЗакон Ома для однородного участка иепиЭлектрический токПостоянный токСила токаПлотность токаСторонние силыЭлектродвижущая сила, действующая в цепиНапряжениеРазность потенииаловЭлектрическая постояннаяЗакон Ома для однородного участка иепиЗакон Ома лля неоднородного участка цепиЗакон Ома для замкнутой цепиЗакон Омав дифференциальной формеЗакон Джоуля—ЛенцаЗакон Джоуля—Лениав дифференциальной формеУзел электрической цепиПравила КирхгофаЗакон Ома лля неоднородного участка цепиЗакон Ома для замкнутой цепиЗакон Омав дифференциальной формеЗакон Джоуля—ЛенцаЗакон Джоуля—Лениав дифференциальной формеУзел электрической цепиПравила Кирхгофа

Электрический ток

Постоянный ток

Сила тока

Плотность тока

Сторонние силы

Электродвижущая сила, действующая в цепи

Напряжение

Разность потенииалов

Электрическая постоянная

Закон Ома для однородного участка иепи

Электрический ток

Постоянный ток

Сила тока

Плотность тока

Сторонние силы

Электродвижущая сила, действующая в цепи

Напряжение

Разность потенииалов

Электрическая постоянная

Закон Ома для однородного участка иепи

Закон Ома лля неоднородного участка цепи

Закон Ома для замкнутой цепи

Закон Ома

в дифференциальной форме

Закон Джоуля—Ленца

Закон Джоуля—Лениа

в дифференциальной форме

Узел электрической цепи

Правила Кирхгофа

Закон Ома лля неоднородного участка цепи

Закон Ома для замкнутой цепи

Закон Ома

в дифференциальной форме

Закон Джоуля—Ленца

Закон Джоуля—Лениа

в дифференциальной форме

Узел электрической цепи

Правила Кирхгофа

Основные формулы

Сила тока

т _ dQ

Плотность тока в проводнике

J = ne(v)

[S ——площадь поперечного сечения проводника;〈3〉一 средняя скорость упорядоченного движения зарядов в проводнике; п ——концентрация зарядов].

Электродвижущая сила, действующая в цепи,

方=ст

[Аст ——работа сторонних сил; Qo — единичный положительный заряд],

方=,Ест di (замкнутая цепь),

2

次 12 =『4т 田(участок цепи 1—2)

1

[Ест — напряженность поля сторонних сил].

Разность потенциалов между двумя точками цепи

22

В 11tp2 = JEdZ = jE,d,

[Е — напряженность электростатического поля; Е1 — проекция вектора Е на направление элементарного перемещения dZ].

Напряжение на участке 1 — 2 цепи

%2 =91 一02 + 方 12

[((Pi - ср2)— разность потенциалов между точками цепи; ^12 — ЭД С, действующая на участке 1—2 цепи].

Сопротивление однородного линейного проводника, проводимость G проводника и удельная электрическая проводимость у вещества проводника:

[р — удельное электрическое сопротивление; S — площадь поперечного сечения проводника; Z — его длина].

Соединение проводников:

последовательное

параллельное

Схема

RI В2 Бп

0

—11

Ян

五2

—CJ"^ 五1

—0

Постоянная величина

I == 12 = ••• = 1п = const

и = U] = b

‘2 =…=

Un = const

Суммарная величина

и = и, + и2 + ... + ип

• + Л

Полное сопротивление

и

i = 1

Закон Ома

URUR(для однородного участка цени),

U

R

U

R

J = % - $2 +驾2J = % - $2 +驾2(для неоднородного участка цепи),

J = % - $2 +驾2

J = % - $2 +驾2

1 = — (для замкнутой цепи)

[U — напряжение на участке цепи; R — сопротивление цепи (участка цепи); (<pi - ср?) — разность потенциалов на концах участка цепи; 次 12 ― ЗДС источников тока, входящих в участок;皆 ——ЭДС всех источников тока цепи].

Зависимость удельного сопротивления р и сопротивления R от температуры

р = р0(1 + at), R =五 q(1 + ai)

[p и po,五 н 冗。一соответственно удельное сопротивление и сопротивление проводника при t и 0 ℃; а — температурный коэффициент сопротивления, для чистых металлов (при не очень низкой температуре) близкий к ^|^ К-1].

Закон Ома в дифференциальной форме

[j — плотность тока; Е — напряженность электростатического поля; 7 — удельная электрическая проводимость вещества проводника].

Работа токаРабота тока0А = U dQ = IU dt = I2Rdt = ^ di

Работа тока

Работа тока

[U — напряжение, приложенное к концам однородного проводника; I — сила тока в проводнике; R ——сопротивление проводника; dQ — заряд, переносимый через сечение проводника за промежуток времени df].

Мощность тока

Р=^ =UI = l2R=UidtR

\U — напряжение, приложенное к Концам однородного проводника;

I — сила тока в проводнике;五一его сопротивление].

Закон Джоуля—Ленца

dQ = IU d£ = I2R di

[dQ — количество теплоты, выделяющееся в участке цепи за промежуток времени dt; U ——напряжение, приложенное к концам участка цепи; I — сила тока в цепи;五一сопротивление участка].

Закон Джоуля—Ленца в дифференциальной форме

w = ]Е = уЕ2

[iv — удельная тепловая мощность тока; j — плотность тока; Е — напряженность электростатического поля; у — удельная электрическая проводимость вещества].

Соединение п одинаковых элементов (источников тока) электрической цепи постоянного тока:Соединение п одинаковых элементов (источников тока) электрической цепи постоянного тока:[г — внутреннее сопротивление каждого источника; R — внешнее сопротивление цепи;方一ЭДС источника].[г — внутреннее сопротивление каждого источника; R — внешнее сопротивление цепи;方一ЭДС источника].Правила Кирхгофа

Соединение п одинаковых элементов (источников тока) электрической цепи постоянного тока:

Соединение п одинаковых элементов (источников тока) электрической цепи постоянного тока:

[г — внутреннее сопротивление каждого источника; R — внешнее сопротивление цепи;方一ЭДС источника].

[г — внутреннее сопротивление каждого источника; R — внешнее сопротивление цепи;方一ЭДС источника].

Примеры решения задач

Сила тока в проводнике равномерно нарастает от /0 = 0 до J = 2 А в течение времени t = 5 с. Определить заряд, прошедший в проводнике.

Дано:

Решение:

『0

dQ = / df,

I н ht、 々==

I

1 = 2 А

T

т = 5 с

dQ = kt df,

Q к [kt d/ = ^-=

It

Q — ?

J2

0

2

Ответ'. Q = 5 Кл.

По медному проводнику сечением 0,8 мм2 течет ток 80 мА. Найти среднюю скорость упорядоченного движения электронов вдоль проводника, предполагая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон. Плотность меди р = 8,9 г/см3.

Решение:Решение:J=^， j = ne{v),J=^， j = ne{v),Дано:

Решение:

Решение:

J=^， j = ne{v),

J=^， j = ne{v),

S = 0,8 мм2 = 0,8 • 10-6 м2

I = 80 мА = 8 • 10~2 А р = 8,9 г/см3 = 8,9 • 103 кг/м3 М = 63,5 • 10~3 кг/моль е = 1,6 • 10-19 кл ^A = 6,02 • 1023 мольТ

〈и〉一 ？

Ответ: (v) = 7,4 мкм/с.

五1五1Рис. 36Рис. 36В цепи на рис. 36 амперметр показывает силу тока J = 1,5 А. Сила тока через сопротивление % равна /г = 0,5 А. Сопротивление К? = 2 Ом, 7?з = 6 Ом. Определить сопротивление R], а также силы токов /2 и /у, протекающих через сопротивления 五2 и ^з-

五1

五1

Рис. 36

Рис. 36

=1,5 А = 0,5 А=2 Ом=6 Ом一 ？=1,5 А = 0,5 А=2 Ом=6 Ом一 ？1 =人+12 + "1 =人+12 + "U = constU = const厶马=& +4)^；，/2 +上3=?一厶，五 Ji)//17式五2+r3)'T _ и 一 ‘1% г _ ‘1%注2 石厶马=& +4)^；，/2 +上3=?一厶，五 Ji)//17式五2+r3)'T _ и 一 ‘1% г _ ‘1%注2 石

=1,5 А = 0,5 А

=2 Ом

=6 Ом

一 ？

=1,5 А = 0,5 А

=2 Ом

=6 Ом

一 ？

1 =人+12 + "

1 =人+12 + "

U = const

U = const

厶马=& +4)^；，/2 +上3=?一厶，

五 Ji)//

17式五2+r3)'

T _ и 一 ‘1% г _ ‘1%

注2 石

厶马=& +4)^；，/2 +上3=?一厶，

五 Ji)//

17式五2+r3)'

T _ и 一 ‘1% г _ ‘1%

注2 石

Дано:Дано:Решение:

Дано:

Дано:

Ответ'. % = 3 Ом;厶=0,75 А, /3 = 0,25 А.

По алюминиевому проводу сечением S = 0,2 мм2 течет ток / = 0,2 А. Определить силу, действующую на отдельные свободные электроны со стороны электрического поля. Удельное сопротивление алюминия р = 26 нОм • м.

Дано:

Решение:

S = 0,2 мм2 == 0,2 • 10-6 м2

尸=еЕ, j = у_Е = ^，/ = ^， 丄=e =①，尸竺.

/ = 0,2 А

р = 26 нОм • м = 2,6 * 10-8 Ом • м

е= 1,6 • 10~19 Кл

S рSS

F — ?

Ответ: F = 4,16 • 10~21 Н.

Сила тока в проводнике сопротивлением F = 50 Ом равномерно растет от 10 = 0 до Zmin = 3 А за время t = 6 с. Определить количество теплоты, выделившееся в проводнике за это время.

Дано:

Решением

五=50 Ом

「0

^max = 3 A t = 6 C

dQ = I2R dt, I = dQ = k2Rt2 dt, T

Q= ^k2Rt2 dt= 1 0

=i "max J*麻

亚，k = "北_£o = const,

k2Rt3 =丄"max-p 冗力3 = 3t2

Q - ?

Ответ: Q = 900 Дж.

Определить： 1) ЭДС 宪 2) внутреннее сопротивление г источника тока, если во внешней цепи при силе тока 4 А развивается мощность 10 Вт, а при силе 2 А — мощность 8 Вт.

А о А в 9. 9:4 1 2 8 -- н - - - = ^ г _Л1 р г^ D^- ^ юА о А в 9. 9:4 1 2 8 -- н - - - = ^ г _Л1 р г^ D^- ^ юРешение:Решение:Р-^I.皆=/(五十 г),4 =次1「片 Г,r =次人;匕,p2 = ^2 - ^ Г，Р-^I.皆=/(五十 г),4 =次1「片 Г,r =次人;匕,p2 = ^2 - ^ Г，

А о А в 9. 9:4 1 2 8 -- н - - - = ^ г _Л1 р г^ D^- ^ ю

А о А в 9. 9:4 1 2 8 -- н - - - = ^ г _Л1 р г^ D^- ^ ю

Решение:

Решение:

Р-^I.皆=/(五十 г),

4 =次1「片 Г,r =次人;匕,p2 = ^2 - ^ Г，

Р-^I.皆=/(五十 г),

4 =次1「片 Г,r =次人;匕,p2 = ^2 - ^ Г，

Ответ: 1) ^ = 5,5 В; 2) г = 0,75 Ом.Ответ: 1) ^ = 5,5 В; 2) г = 0,75 Ом.143. В плоский конденсатор, расстояние между пластинами которого d = 5 мм, вдвигают стеклянную пластину (£ = 7) с постоянной скоростью и = 50 мм/с (рис. 37). Ширина пластины b = 4,5 мм, ЭДС батареи 専=220 В. Определить силу тока в цепи батареи.143. В плоский конденсатор, расстояние между пластинами которого d = 5 мм, вдвигают стеклянную пластину (£ = 7) с постоянной скоростью и = 50 мм/с (рис. 37). Ширина пластины b = 4,5 мм, ЭДС батареи 専=220 В. Определить силу тока в цепи батареи.Рис. 37Рис. 37Дано:d = 5 мм = 5 • 10-3 мЕ = 7у = 50 мм/с = 5 • 10-2 м/с6 = 4,5 мм = 4,5 Т0~з м 方=220 В/ — ?Ответ'. I = 526 пА.Дано:d = 5 мм = 5 • 10-3 мЕ = 7у = 50 мм/с = 5 • 10-2 м/с6 = 4,5 мм = 4,5 Т0~з м 方=220 В/ — ?Ответ'. I = 526 пА.Решение:1=^, dQ-CT^&d^о7 = “乂后于 х = е1,Е=м『dQ = %(е - l)ub dt, / = е0(Е - 1)? ид.Решение:1=^, dQ-CT^&d^о7 = “乂后于 х = е1,Е=м『dQ = %(е - l)ub dt, / = е0(Е - 1)? ид.В, R] = 60 Ом, К? = 40 Ом, R^ = R^ = =20 Ом и 五g = 100 Ом. Определить силу тока 1^, протекающего через гальванометр.В, R] = 60 Ом, К? = 40 Ом, R^ = R^ = =20 Ом и 五g = 100 Ом. Определить силу тока 1^, протекающего через гальванометр.

Ответ: 1) ^ = 5,5 В; 2) г = 0,75 Ом.

Ответ: 1) ^ = 5,5 В; 2) г = 0,75 Ом.

143. В плоский конденсатор, расстояние между пластинами которого d = 5 мм, вдвигают стеклянную пластину (£ = 7) с постоянной скоростью и = 50 мм/с (рис. 37). Ширина пластины b = 4,5 мм, ЭДС батареи 専=220 В. Определить силу тока в цепи батареи.

143. В плоский конденсатор, расстояние между пластинами которого d = 5 мм, вдвигают стеклянную пластину (£ = 7) с постоянной скоростью и = 50 мм/с (рис. 37). Ширина пластины b = 4,5 мм, ЭДС батареи 専=220 В. Определить силу тока в цепи батареи.

Рис. 37

Рис. 37

Дано:

d = 5 мм = 5 • 10-3 м

Е = 7

у = 50 мм/с = 5 • 10-2 м/с

6 = 4,5 мм = 4,5 Т0~з м 方=220 В

/ — ?

Ответ'. I = 526 пА.

Дано:

d = 5 мм = 5 • 10-3 м

Е = 7

у = 50 мм/с = 5 • 10-2 м/с

6 = 4,5 мм = 4,5 Т0~з м 方=220 В

/ — ?

Ответ'. I = 526 пА.

Решение:

1=^, dQ-CT^&d^

о7 = “乂后于 х = е1,Е=м『

dQ = %(е - l)ub dt, / = е0(Е - 1)? ид.

Решение:

1=^, dQ-CT^&d^

о7 = “乂后于 х = е1,Е=м『

dQ = %(е - l)ub dt, / = е0(Е - 1)? ид.

В, R] = 60 Ом, К? = 40 Ом, R^ = R^ = =20 Ом и 五g = 100 Ом. Определить силу тока 1^, протекающего через гальванометр.

В, R] = 60 Ом, К? = 40 Ом, R^ = R^ = =20 Ом и 五g = 100 Ом. Определить силу тока 1^, протекающего через гальванометр.

Дано:等=2 b五1 = 60 ОмЯ2 = 40 Омk3 =百4 = 20 омRg = 100 ОмДано:等=2 b五1 = 60 ОмЯ2 = 40 Омk3 =百4 = 20 омRg = 100 ОмРешение:

Дано:

等=2 b

五1 = 60 Ом

Я2 = 40 Ом

k3 =百4 = 20 ом

Rg = 100 Ом

Дано:

等=2 b

五1 = 60 Ом

Я2 = 40 Ом

k3 =百4 = 20 ом

Rg = 100 Ом

Из рис. 38, б имеем:

m=九+厶，

3%=/4；3%=/4；f]J?l + /2 五 2 —方，

3%=/4；

3%=/4；

%冗3 +/4% 欧，

//+厶& +，4R4 =次;

'6乙 + "2 = 0,2,(GI1 + 4(I1-Ig)二 0,2,

* 2/§ + 2,4 二 0,2, n x 2(/^ — Iq) + 2/^ — 0,2, 6/1 + 103 2/4 二 0,2;〔6/1 + 103 2/4 = 0 2

6/]+ 107g + 2厶=0,2, 6产詳?十 1% + 2(0，t'» =0，2,

1,2 + 24厶 + 100/G + 1 + 10/G = 2,134/g = -0,2,

厶——1,49,1O-3 A.

Ответ: ZG = 1,49 мА, ток течет в направлении, противоположном первоначально выбранному (см. Правила Кирхгофа).

Задачи для самостоятельного решения

Определите плотность тока, если за 2 с через проводник сечением 1,6 мм2 прошло 2 • 1019 электронов.

Определите суммарный импульс электронов в прямом проводе длиной 2 = 500 м, по которому течет ток / = 20 А.

Вольтметр, включенный в сеть последовательно с сопротивлением 五1，показал напряжение 匸厶=198 В, а при включении последовательно с сопротивлением R2 = 2ml — напряжение U2 = 180 В. Определите сопротивление 五i и напряжение U в сети, если сопротивление вольтметра г = 900 Ом.

Определите напряженность Е электрического поля в алюминиевом проводнике объемом V = 10 см3Л если при прохожде-

нии по нему постоянного тока за время t = 5 мин выделилось количество теплоты Q = 2,3 кДж. Удельное сопротивление алюминия р = 26 нОм ■ м.

На рис. 39 % = / = 50 Ом, 兄з = 100 Ом, С = 50 нФ. Определите ЭДС источника, пренебрегая его внутренним сопротивлением, если заряд на конденсаторе Q = 2,2 мкКл.

Два источника тока с ЭДС 方】=2 В и ^2 = 1,5 В и внутренними сопротивлениями г】=0,5 Ом и г? = 0,4 Ом включены параллельно сопротивлению R = 2 Ом (рис, 40). Определите силу тока / через сопротивление.

Рис. 40Рис. 40ОТВЕТЫ: 145. 1 А/мм2. 146. 5,69 • 10~8 кг • м/с. 147.片 = 蹺？)「= 100 Ом; U = /(В + 1] = 220 В. 148. Е =卷=0,141 В/м. 149.方=乳 + %；?/] = 220 В. 150.1 二 骂Q + fVX = 0,775 A.

Рис. 40

Рис. 40

s+ rlГ2 +r厂2

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Магнитное полеМагнитная индукиияЛинии магнитной пнАукиииМагнитная проницаемость средыПриниип суперпозиции магнитных полейЗакон Био—Савара—ЛапласаЗакон АмпераМагнитная постояннаяМагнитное поле движушегося зарядаСила ЛорениаМагнитное полеМагнитная индукиияЛинии магнитной пнАукиииМагнитная проницаемость средыПриниип суперпозиции магнитных полейЗакон Био—Савара—ЛапласаЗакон АмпераМагнитная постояннаяМагнитное поле движушегося зарядаСила ЛорениаДвижение заряженных частии в магнитном полеЭффект ХоллаЦиркуляция вектора ВЗакон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о ыиркуляиии вектора В)Соленоид и его магнитное полеТороид и его магнитное полеПоток вектора магнитной индукиииТеорема Гаусса для поля 后Движение заряженных частии в магнитном полеЭффект ХоллаЦиркуляция вектора ВЗакон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о ыиркуляиии вектора В)Соленоид и его магнитное полеТороид и его магнитное полеПоток вектора магнитной индукиииТеорема Гаусса для поля 后ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ

Магнитное поле

Магнитная индукиия

Линии магнитной пнАукиии

Магнитная проницаемость среды

Приниип суперпозиции магнитных полей

Закон Био—Савара—Лапласа

Закон Ампера

Магнитная постоянная

Магнитное поле движушегося заряда

Сила Лорениа

Магнитное поле

Магнитная индукиия

Линии магнитной пнАукиии

Магнитная проницаемость среды

Приниип суперпозиции магнитных полей

Закон Био—Савара—Лапласа

Закон Ампера

Магнитная постоянная

Магнитное поле движушегося заряда

Сила Лорениа

Движение заряженных частии в магнитном поле

Эффект Холла

Циркуляция вектора В

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о ыиркуляиии вектора В)

Соленоид и его магнитное поле

Тороид и его магнитное поле

Поток вектора магнитной индукиии

Теорема Гаусса для поля 后

Движение заряженных частии в магнитном поле

Эффект Холла

Циркуляция вектора В

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о ыиркуляиии вектора В)

Соленоид и его магнитное поле

Тороид и его магнитное поле

Поток вектора магнитной индукиии

Теорема Гаусса для поля 后

Основные формулы

Механический момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле,

М = [ртВ]

[В ——магнитная индукция; рт ——магнитный момент контура с током].

Модуль механического момента

М = Pm^ sin а

[а — угол между нормалью к плоскости контура и вектором В]. Магнитный момент контура с током

Ап =』s亢

[S ——площадь контура с током; п — единичный вектор нормали к поверхности контура].

Связь между магнитной индукцией В и напряженностью Н маг

нитного поля

B =因卩目

[卩о — магнитная постоянная;卩一магнитная проницаемость среды]. Закон Био—Савара—Лапласа

一卩。打口i，r]4冗 г3

[dB — магнитная индукция поля, создаваемая элементом длины dZ проводника с током /; г — радиус-вектор, проведенный от d» к точке, в которой определяется магнитная индукция].

Модуль вектора dB

_ gog!dZ sin а

[а — угол между векторами dZ и г].

Принцип суперпозиции (наложения) магнитных полей

I

[В — магнитная индукция результирующего поля; В^ — магнитные индукции складываемых полей].

Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током,

方=

4л R

[R — расстояние от оси проводника; / ——сила тока в проводнике].

Магнитная индукция в центре кругового проводника с током

2 = 出4嘉

[五一радиус проводника; У — сила тока в проводнике].

Закон Ампера.

аг = /[d/, В]

[<1^ — сила, действующая на элемент длины d7 проводника с током /, помещенный в магнитное поле с индукцией В].

Модуль вектора dF

dF = IB dZ sin a

[a — угол между векторами d> и В].

Сила взаимодействия двух прямых бесконечных прямолинейных параллельных проводников с токами 7\ и /2

^ =处也di4 п R

[R — расстояние между проводниками; dZ ——отрезок проводника].

Магнитная индукция поля точечного заряда Q, свободно движущегося с нерелятивистской скоростью б,

М _ gojiQ[yr] и = 4兀 г3

[г — радиус-вектор, проведенный от заряда к точке, в которой определяется индукция].

Модуль вектора В

从0两0.

В =—since4л г2

[ct — угол между векторами у и г].

Сила Лоренца

尸=Q [ЗВ]

区一 _рила, действующая на заряд Q, движущийся в магнитном поле В со скоростью у].

Модуль вектора F

F = QuBsinot

[a ― угол между векторами и и В].

Формула Лоренца

F = Q京 + Q [иВ]

[F ― результирующая сила, действующая на движущийся заряд Q, если на него действуют электрическое поле напряженностью Е и магнитное поле индукцией В].

Холловская поперечная разность потенциалов

Л(р = R^

[В — магнитная индукция; / — сила тока; d ——толщина пластинки; 五=1/{еп) — постоянная Холла (п — концентрация электронов)].

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В)

网 di = §B[dZ = No Z 厶

т工Lk - 1

[dZ ——вектор элементарной длины контура, направленный вдоль об- хода контура; Bz = В cos сс — составляющая вектора В в направлении касательной контура L произвольной формы (с учетом выбранного

направления обхода); сс — угол между векторами В и di; £ 上收 —ал- Л = 1

гебраическая сумма п токов, охватываемых контуром].

Магнитная индукция поля внутри соленоида (в вакууме), имеющего N витков,

[/ — сила тока в соленоиде; N — длина соленоида].

Магнитная индукция поля внутри тороида (в вакууме)

NI

° 2лг

[N — число витков тороида; / ——сила тока; г — внутренний радиус тороида].

Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток): d①в = В dS = В九 dS (сквозь площадку dS),

①口 = jBdS = ^Bn dS (сквозь поверхность S), s s

①в = §B dS = ^BndS (сквозь замкнутую поверхность S)

[dS = dS n — вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью Я к площадке; Вп — проекция вектора В на направление нормали к площадке].

Элементарная работа по перемещению проводника с током в маг

нитном поле

dA = f d ①

[dO — магнитный поток, пересекаемый движущимся проводником].

Работа по перемещению замкнутого контура с током б магнитном поле

(L4 = / d ①'

[d①'一изменение магнитного потока, сцепленного с контуром].

Примеры решения задач

151. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, расстояние между которыми d = 15 см, текут токи 厶=70 А и /2 = 50 А в противоположных направлениях. Определить магнитную индукцию 2 в точке А, удаленной на гх = 20 см от первого и на г? = 30 см от второго проводника (рис. 41).

卩0『2 2nr2

Дано:

d = 15 см = 0,15 м 厶= 70А

『2 = 50 А

гх = 20 см = 0,2 м г2 = 30 см = 0,3 м

В — ?

Решение:

g=瓦+瓦，b1=靠片,В= 7в； +遂+ 2马月2cos3

р = 180° - а, с/2 = г； + г；十 2qr2cosа,

cosa =

2,2

2仃厂2

з=用 + ^一2Bi/cosa = ^

,22

Ответ: В = 42,8 мкТл.

152. По двум параллельным прямым проводникам длиной N = 2 м каждый, находящимся в вакууме на расстоянии d = 10 см друг от друга, в противоположном направлении течет ток /] = 50 А и 厶=100 А (рис. 42). Определить силу взаимодействия токов.

Рис. 42 Решение:

Дано:

Z = 2 м

d = 10 см = 0,1 м

А = 50 А

/2 = 100 А

丁一 ？

d-Fj =『2月1 dZ, d% = //2 或, bl同露约=凡嘉，

0广戰=曙de呢戸=喀内二需

Ответ: F = 20 мН.

о

4 Справочник по физике

97

По прямому горизонтально расположенному проводу пропускают ток『1 = 10 А. Под ним на расстоянии R = 1,5 см находится параллельный ему алюминиевый провод, по которому пропускают ток『2 = 1,5 А. Определить, чему равна площадь поперечного сечения алюминиевого провода, при которой он будет удерживаться незакрепленным. Плотность алюминия р = 2,7 г/см3.

Дано:厶=1。А五=1,5 cM =1,5* IO— м12 = 1,5 Ац = 1р = 2,7 г/см3 = 2,7 • 103 кг/м3Дано:厶=1。А五=1,5 cM =1,5* IO— м12 = 1,5 Ац = 1р = 2,7 г/см3 = 2,7 • 103 кг/м3Решение:Решение:F = 出0以/1/2_ n0/1%72Л五I 2?:我 '戸=1F = mg, ^|^ = ^^ = pSg,F = 出0以/1/2_ n0/1%72Л五I 2?:我 '戸=1F = mg, ^|^ = ^^ = pSg,6 — ?Ответ'. S = 7,55 • 10"9 м2.6 — ?Ответ'. S = 7,55 • 10"9 м2.^ =^ S=讎^ =^ S=讎

Дано:

厶=1。А

五=1,5 cM =1,5* IO— м

12 = 1,5 А

ц = 1

р = 2,7 г/см3 = 2,7 • 103 кг/м3

Дано:

厶=1。А

五=1,5 cM =1,5* IO— м

12 = 1,5 А

ц = 1

р = 2,7 г/см3 = 2,7 • 103 кг/м3

Решение:

Решение:

F = 出0以/1/2_ n0/1%

72Л五I 2?:我 '

戸=1

F = mg, ^|^ = ^^ = pSg,

F = 出0以/1/2_ n0/1%

72Л五I 2?:我 '

戸=1

F = mg, ^|^ = ^^ = pSg,

6 — ?

Ответ'. S = 7,55 • 10"9 м2.

6 — ?

Ответ'. S = 7,55 • 10"9 м2.

^ =^ S=讎

^ =^ S=讎

Согласно теории Бора, электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по круговой орбите радиусом г = 52,8 пм. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого электроном в центре круговой орбиты.

Дано:Решение'.

г= 52,8 пм = 5,28 • Ю"11 м 月 _ NoN Q［苏］,（/；）=更，卩=1, 4兀2

|Q| = e,迎

4 л Н г 4ле0Н

V 4 Tie。rm8ттг2 Jne^rm

Ответ: В = 1,25 • 10~23 Тл.

Электрон, влетев в однородное магнитное поле с магнитной индукцией В = 2 мТл, движется по круговой орбите радиусом J? = 15 см. Определить магнитный момент рт эквивалентного кругового тока.

Дано:

В = 2 мТл = 2 ■ 10-3 Тл 五=15 см = 0,15 м

Решением

Pm = /S, s =兀五2,7』湿，

mv2eBR 亦eve2BR2

evB * , v = , Pm =-——=—

Rmm 2nR27n

Pm — ?

Ответ: рт = 0,632 пА ■ м2.

Рис, 43Рис, 43Через сечение медной пластинки толщиной d = 0,2 мм пропускается ток 7 = 6 А. Пластинка помещается в однородное магнитное поле с индукцией В = 1 Тл, перпендикулярное ребру пластинки и направлению тока (рис. 43). Считая концентрацию электронов проводимости равной концентрации атомов, определить возникающую в пластинке поперечную (холловскую) разность потенциалов. Плотность меди р = 8,93 г/см3.

Рис, 43

Рис, 43

Дано:

Решение:

d = 0,2 мм = 2 ■ 10~4 м

1 = 6 А

В = 1 Тл

р = 8,93 г/см3 = 8930 кг/м3 п = п

М = 63,5 • 10~3 кг/моль

А(р — ?

еЕв = е 竺=evB, Дф = иВа, у = j$ =碇и . ad, S = ad,

nead en d

Ответа Д(р = 2,21 мкВ.

По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток『=10 А. Определить, пользуясь теоремой о циркуляции вектора J3, магнитную индукцию В в точке, расположенной на расстоянии г = 10 см от проводника (рис. 44).

Дано:1= 10 Аг = 10 см = 0,1 мВ — ?Дано:1= 10 Аг = 10 см = 0,1 мВ — ?Решением

Дано:

1= 10 А

г = 10 см = 0,1 м

В — ?

Дано:

1= 10 А

г = 10 см = 0,1 м

В — ?

§Е曲=询£乙，В( = В,

В・2а = М， 8=皿В・2а = М， 8=皿工2

В・2а = М， 8=皿

В・2а = М， 8=皿

Ответ: В = 20 мкТл.

Определить, пользуясь теоремой о циркуляции вектора В, индукцию и напряженность магнитного поля на оси тороида без сердечника, если по обмотке тороида, содержащей 200 витков, проте-

кает ток 2 А. Внешний диаметр тороида D] = 60 см, внутренний

А = 40 см (рис. 45).

Дано:

N = 200

/= 2 А

£)1 = 60 см = 0,6 м

2 — ?Н — ?2 — ?Н — ?/)2 = 40 см = 0,4 м

2 — ?

Н — ?

2 — ?

Н — ?

Ответ: В = 0,32 мТл; Н = 255 А/м.

Задачи для самостоятельного решения

В однородное магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл помещена квадратная рамка площадью S = 25 см2. Нормаль к плоскости рамки составляет с направлением магнитного поля угол 60°. Определите вращающий момент, действующий на рамку, если по ней течет ток / = 1 А.

В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,2 Тл находится прямой проводник длиной I = 15 см, по которому течет ток / = 5 А. На проводник действует сила F = 0,13 Н. Определите угол а между направлением тока и вектором магнитной индукции.

Электрон движется прямолинейно с постоянной скоростью и = 0,2 Мм/с. Определите магнитную индукцию В поля, создаваемого электроном в точке, находящейся на расстоянии г = 2 нм от электрона и лежащей на прямой, проходящей через мгновенное положение электрона и составляющей угол а = 45° со скоростью движения электрона.

Электрон, обладая скоростью и = 10 Мм/с, влетел в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Индукция магнитного поля В = 0,1 мТл. Определите нормальное и тангенциальное ускорения электрона.

В случае эффекта Холла для натриевого проводника при плотности тока / = 150 А/см2 и магнитной индукции В = 2 Тл напряженность поперечного электрического поля Е = 0,75 мВ/м. Определите концентрацию электронов проводимости, а также ее отношение к концентрации атомов в этом проводнике. Плотность натрия р = 0,97 г/см3.

Соленоид длиной I = 0,5 м содержит N = 1000 витков. Определите магнитную индукцию 2 поля внутри соленоида, если сопротивление его обмотки R = 120 Ом, а напряжение на ее концах U = 60 В.

Поток магнитной индукции сквозь поперечное сечение соленоида (без сердечника) равен Ф = 1 мкВб. Длина соленоида I = 12,5 см. Определите магнитный момент Pm соленоида.

ОТВЕТЫ: 159. 217 мкН • м. 160. 60°. 161. 566 мкТл. 162. ап = const = 1,76 ■ 1014 м/с2; % = 0. 163. 2,5 • 1028 м-3; 0,984. 164. 1,26 мТл. 165. 0,1 А • м2.

ЭАЕКТРОАААГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ

Электромагнитная индукцияИндукционный токЗакон ФарадеяПравило АениаЭле^ктролвижушая сила электромагнитной индукцииИндуктивность контураЭлектромагнитная индукцияИндукционный токЗакон ФарадеяПравило АениаЭле^ктролвижушая сила электромагнитной индукцииИндуктивность контураСамоиндукцияЭкстратоки самоиндукцииВремя релаксацииВзаимная индукцияТрансформаторыЭнергия магнитного поляСамоиндукцияЭкстратоки самоиндукцииВремя релаксацииВзаимная индукцияТрансформаторыЭнергия магнитного поля

Электромагнитная индукция

Индукционный ток

Закон Фарадея

Правило Аениа

Эле^ктролвижушая сила электромагнитной индукции

Индуктивность контура

Электромагнитная индукция

Индукционный ток

Закон Фарадея

Правило Аениа

Эле^ктролвижушая сила электромагнитной индукции

Индуктивность контура

Самоиндукция

Экстратоки самоиндукции

Время релаксации

Взаимная индукция

Трансформаторы

Энергия магнитного поля

Самоиндукция

Экстратоки самоиндукции

Время релаксации

Взаимная индукция

Трансформаторы

Энергия магнитного поля

Основные формулы

Закон Фарадея 中d力

' dt [更一ЭДС электромагнитной индукции].

ЭДС индукции, возникающая в рамке площадью S при вращении рамки с угловой скоростью со в однородном магнитном поле с индукцией В,

歩t = BSco since力

[①力■ мгновенное значение угла между вектором В и вектором нормали 亢 к плоскости рамки].

Магнитный поток, создаваемый током / в контуре, Ф = Ы [L ― индуктивность контура].

Закон Фарадея применительно к самоиндукции

号ё = _L空s dt

[L — индуктивность контура].

И ндуктивность соленоида

£=n0n—J—

[g0 — магнитная постоянная, ц — магнитная проницаемость среды, N — число витков соленоида; I — его длина; S ——площадь поперечного сечения].

Сила тока при размыкании и замыкании цепи, содержащей источник тока, резистор сопротивлением R и катушку индуктивностью L,

I = Io е L = Jo е_^т (размыкание),

/ = 10 1 - е L = Z0(l - еТ/f) (замыкание)

[10 —— установившаяся сила тока; т = — — время релаксации].

ЭДС взаимной индукции

等=—L —

[L — взаимная индуктивность контуров].

Взаимная индуктивность двух катушек (с числом витков ^1 и “2), намотанных на общий тороидальный сердечник,

工= NoN~V^S

[Z — длина сердечника по средней линии; S ——площадь поперечного сечения сердечника].

Коэффициент трансформации 也=三=厶

[N,舒，上一число витков, ЭДС и сила тока в обмотках трансформатора соответственно].

Энергия магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре индуктивностью L, по которому течет ток I,

2

Объемная плотность энергии однородного магнитного поля длинного соленоида

И： =从о/? = вн

V 2以0从 22

\W ——энергия однородного магнитного поля; V ——объем соленоида;

В — магнитная индукция; Н — напряженность магнитного поля].

Примеры решения задач

В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,2 Тл равномерно вращается катушка, содержащая N = 600 витков, с частотой тг = 6 с-1. Площадь S поперечного сечения катушки 100 см2. Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля. Определить максимальную ЭДС индукции вращающейся катушки.

В = 0,2 Тл

^ = 600

n = 6 с-1

S = 100 см2 = 10-2 м2

工=-N 請， ①=8s coscot, co = 2nn,

Ф = BScosZmt,

方i = ~NBS • 2nn(-sin2nnt')=

家一？

i max

=2nnNBS sin2nnt,

芳「畠 max ПРИ Sin2nni= 1, 窘i max = 2mMBS.

Дано:

Решение:

Ответ'.骂 max = 45,2 В

Кольцо из алюминиевого провода (р = 26 нОм • м) помещено в магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Диаметр кольца D = 30 см, диаметр провода d = 2 мм. Определить

скорость изменения магнитного / = 1 А.Дано:р = 26 нОм • м = 2,6 • 10-8 Ом • мD = 30 см = 0,3 мd = 2 мм = 2 • 10~3 м1 Аскорость изменения магнитного / = 1 А.Дано:р = 26 нОм • м = 2,6 • 10-8 Ом • мD = 30 см = 0,3 мd = 2 мм = 2 • 10~3 м1 Аd7 ― ■胆I=丝二迎二AW |dt| 无Q2 n02 nd2DОтвет:里=0,11 Тл/с.d7 ― ■胆I=丝二迎二AW |dt| 无Q2 n02 nd2DОтвет:里=0,11 Тл/с.поля, если сила тока в кольцеРешение:jj = р А% =冗/), S ==———,43j — J凡剧=擊=*BS) = S里 = dtdt=辺通 F丽，поля, если сила тока в кольцеРешение:jj = р А% =冗/), S ==———,43j — J凡剧=擊=*BS) = S里 = dtdt=辺通 F丽，

скорость изменения магнитного / = 1 А.

Дано:

р = 26 нОм • м = 2,6 • 10-8 Ом • м

D = 30 см = 0,3 м

d = 2 мм = 2 • 10~3 м

1 А

скорость изменения магнитного / = 1 А.

Дано:

р = 26 нОм • м = 2,6 • 10-8 Ом • м

D = 30 см = 0,3 м

d = 2 мм = 2 • 10~3 м

1 А

d7 ― ■

胆I=丝二迎二AW |dt| 无Q2 n02 nd2D

Ответ:里=0,11 Тл/с.

d7 ― ■

胆I=丝二迎二AW |dt| 无Q2 n02 nd2D

Ответ:里=0,11 Тл/с.

поля, если сила тока в кольце

Решение:

jj = р А% =冗/), S ==———,

4

3j — J凡

剧=擊=*BS) = S里 = dtdt

=辺通 F丽，

поля, если сила тока в кольце

Решение:

jj = р А% =冗/), S ==———,

4

3j — J凡

剧=擊=*BS) = S里 = dtdt

=辺通 F丽，

В катушке длиной 2 = 0,5 м, диаметром d = 5 см и числом витков N = 1500 сила тока равномерно увеличивается на 0,2 А за 1 с. На катушку надето кольцо из медной проволоки (р == 17 нОм • м) площадью сечения，к 3 мм2. Определить силу тока в кольце.

Дано:I = 0,5 м d = 5 см = 0,05 м1500粵=0,2 А/с atр = 17 нОм • м = 1,7 • 10-8 Ом • м$к = 3 мм2 = 3 - 10一6 м2Дано:I = 0,5 м d = 5 см = 0,05 м1500粵=0,2 А/с atр = 17 нОм • м = 1,7 • 10-8 Ом • м$к = 3 мм2 = 3 - 10一6 м2РешениемРешением声 Г dJ Т氏以n2sIS dtE声 Г dJ Т氏以n2sIS dtE協］=号『*響累協］=号『*響累4一？4一？'K =号，五=甘，上K =兀&'K =号，五=甘，上K =兀&

Дано:

I = 0,5 м d = 5 см = 0,05 м

1500

粵=0,2 А/с at

р = 17 нОм • м = 1,7 • 10-8 Ом • м

$к = 3 мм2 = 3 - 10一6 м2

Дано:

I = 0,5 м d = 5 см = 0,05 м

1500

粵=0,2 А/с at

р = 17 нОм • м = 1,7 • 10-8 Ом • м

$к = 3 мм2 = 3 - 10一6 м2

Решением

Решением

声 Г dJ Т氏以n2s

IS dtE

声 Г dJ Т氏以n2s

IS dtE

協］=号『*響累

協］=号『*響累

4一？

4一？

'K =号，五=甘，上K =兀&

'K =号，五=甘，上K =兀&

/ =№s?dd/

к "pd ' к 師从 4Zp dt

Ответа /к = 1,66 мА.

Определить, сколько витков проволоки, вплотную прилегающих друг к другу, диаметром d = 0,5 мм с изоляцией ничтожной толщины надо намотать на картонный цилиндр диаметром D = 1,5 см, чтобы получить однослойную катушку индуктивностью L = 100 мкГн?

Дано:Дано:d = 0,5 мм = 5 • 10~4 м D = 1,5 см = 1,5 ■ 10-2 м £ = 100 мкГн = 10^4 Гн 以=1^ — ?d = 0,5 мм = 5 • 10~4 м D = 1,5 см = 1,5 ■ 10-2 м £ = 100 мкГн = 10^4 Гн 以=1^ — ?Решение:

Дано:

Дано:

d = 0,5 мм = 5 • 10~4 м D = 1,5 см = 1,5 ■ 10-2 м £ = 100 мкГн = 10^4 Гн 以=1

^ — ?

d = 0,5 мм = 5 • 10~4 м D = 1,5 см = 1,5 ■ 10-2 м £ = 100 мкГн = 10^4 Гн 以=1

^ — ?

Е = А。卩卓，S = ^,2 == Nd,

4a ，/n冗z>2

Ответ: N = 225.

Катушка индуктивностью L = 1,5 Гн и сопротивлением 冗1 = 15 Ом и резистор сопротивлением 五2 = 150 Ом соединены параллельно и подключены к источнику, электродвижущая сила ко-

торого 用=60 В, через ключ К (рис. 46). Определить напряжения на зажимах катушки через 力】=0,01 с и /2 = 0,1 с после размыкания цепи.

Дано:=1,5 Гн=15 Ом= 150 Ом=60 В=0,01 сДано:=1,5 Гн=15 Ом= 150 Ом=60 В=0,01 сРешение:Решение:% = 0,1 СU、— ?4 - ？% = 0,1 СU、— ?4 - ？'。一瓦'。一瓦U =『J%U =『J%/ = ^ 五2/ = ^ 五2冗2冗2% =計2е一/2е £ .% =計2е一/2е £ .

Дано:

=1,5 Гн

=15 Ом

= 150 Ом

=60 В

=0,01 с

Дано:

=1,5 Гн

=15 Ом

= 150 Ом

=60 В

=0,01 с

Решение:

Решение:

% = 0,1 С

U、— ?

4 - ？

% = 0,1 С

U、— ?

4 - ？

'。一瓦

'。一瓦

U =『J%

U =『J%

/ = ^ 五2

/ = ^ 五2

冗2

冗2

% =計2е

一/2

е £ .

% =計2е

一/2

е £ .

皆 1 н "р皆2方2 =『2五2+ /，J2皆 1 н "р皆2方2 =『2五2+ /，J2РешениемРешением五2 — ?五2 — ?

皆 1 н "р

皆2

方2 =『2五2

+ /，

J2

皆 1 н "р

皆2

方2 =『2五2

+ /，

J2

Решением

Решением

五2 — ?

五2 — ?

Ответ: " = 200 В; U2 = 0,01 В.

Трансформатор с коэффициентом трансформации 0,15 понижает напряжение с 220 до 6 В. При этом сила тока во вторичной обмотке равна 6 А. Пренебрегая потерями энергии в первичной обмотке, определить сопротивление вторичной обмотки трансформатора.

Дано:

N2/N] = 0,15 U\ = 220 В ??2 = 6В 厶=6А

Ответ: % = 4,5 Ом.

Соленоид без сердечника с однослойной обмоткой из проволоки диаметром d = 0,5 мм имеет длину I = 0,4 м и поперечное сечение S = 50 см2. Какой ток течет по обмотке при напряжении U = 10 В, если за время ^ = 0,5 мс в обмотке выделяется количество теплоты, равное энергии поля внутри соленоида? Поле считать однородным.

Дано'

^ = 1

d = 0,5 мм = 5 • 10-4 м

I = 0,4 м

S = 50 см2 = 5 ■ 10-3 м2

U= 10 В

t = 0,5 мс = 5 ТО-’ с

Q = W

Q W, Q == IUtf2从声=空p2以ОV = SI, 1 =Nd,N= £, ВNI/=阿云=n。Ad2 -2ц0Ms?2 J2…時T・Q W, Q == IUtf2从声=空p2以ОV = SI, 1 =Nd,N= £, ВNI/=阿云=n。Ad2 -2ц0Ms?2 J2…時T・РешениемРешением/ — ?Ответ'.上=995 мА./ — ?Ответ'.上=995 мА.Дано:N/B = 20cmT = 2・103 м-1 f = 3 АДано:N/B = 20cmT = 2・103 м-1 f = 3 АРешение:Решение:о? — ?о? — ?^B^l = RqNF,^B^l = RqNF,b2 二 в22卩0r 2 N() u = 1Bt H PqNI , В = Цду/,b2 二 в22卩0r 2 N() u = 1Bt H PqNI , В = Цду/,Тороид с воздушным сердечником содержит 20 витков на 1 см. Определить объемную плотность энергии в тороиде, если по его обмотке протекает ток 3 А.

Q W, Q =

= IUtf

2从声

=空p

2以О

V = SI, 1 =

Nd,

N= £, В

NI/

=阿云=n。A

d2 -2ц0

Ms?

2 J2

…時T・

Q W, Q =

= IUtf

2从声

=空p

2以О

V = SI, 1 =

Nd,

N= £, В

NI/

=阿云=n。A

d2 -2ц0

Ms?

2 J2

…時T・

Решением

Решением

/ — ?

Ответ'.上=995 мА.

/ — ?

Ответ'.上=995 мА.

Дано:

N/B = 20cmT = 2・103 м-1 f = 3 А

Дано:

N/B = 20cmT = 2・103 м-1 f = 3 А

Решение:

Решение:

о? — ?

о? — ?

^B^l = RqNF,

^B^l = RqNF,

b2 二 в2

2卩0r 2 N() u = 1

Bt H PqNI , В = Цду/,

b2 二 в2

2卩0r 2 N() u = 1

Bt H PqNI , В = Цду/,

Ответ: w = 22,6 Дж/м3.

Задачи для с амостоятель н о го решения

В магнитное поле, изменяющееся по закону В = Во cos cot (Во ^ 0,1 Тл,①=4 с-1), помещена квадратная рамка со стороной о = 50 см, причем нормаль к рамке образует с направлением поля угол а = 45°. Определите ЭДС индукции, возникающую в рамке в момент времени ^ = 5 с.

В однородном магнитном поле (В = 0,2 Тл) равномерно с частотой п = 600 мин-1 вращается рамка, содержащая N = 1200 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки S = 100 см2. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям магнитной индукции. Определите максимальную ЭДС, индуцируемую в рамке.

Катушка длиной 2 = 50 см и диаметром d = 5 см содержит ^ = 200 витков. Сила тока, текущего по катушке, I = 1 А. Определите: 1) индуктивность катушки; 2) магнитный поток, пронизывающий площадь ее поперечного сечения.

Имеется катушка индуктивностью £ = 0,1 Гн и сопротивлением R = 0,8 Ом. Определите, во сколько раз уменьшится сила тока в катушке через W = 30 мс, если источник тока отключить и катушку замкнуть накоротко.

Трансформатор, понижающий напряжение с 220 до 12 В, содержит в первичной обмотке ^1 = 2000 витков. Сопротивление вторичной обмотки J?? = 0J5 Ом. Пренебрегая сопротивлением первичной обмотки, определите число витков во вторичной обмотке, если во внешнюю цепь (в сети пониженного напряжения) передают мощность Р = 20 Вт.

Обмотка электромагнита, находясь под постоянным напряжением, имеет сопротивление 7? = 15 Ом и индуктивность L = 0,3 Гн. Определите промежуток времени, в течение которого в обмотке выделится количество теплоты, равное энергии магнитного поля в сердечнике.

Два соленоида (£】=0,64 Гн, L2 = 1 Гн) одинаковой длины и равного сечения вставлены один в другой. Определите взаимную индуктивность соленоида.

Индуктивность соленоида при длине 1 м и площади поперечного сечения 20 см2 равна 0,4 мГн. Определите силу тока в соленоиде, при которой объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида равна 0,1 Дж/м3.

ОТВЕТЫ-. 174.嘱=Впа2а cosa sin①力=64 мВ. 175.纪= = 2nnNBS = 151 Б. 176. 1) 197мкГн; 2) 985 нВб. 177. В 1,27 раза. 178. А% =(争 + %］常 к Hl- 179. 0,01 с. 180. L12 =広;L? = 0,8 Гн. 181. Z= J2wSI/L - 1 A.

МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ

Магнитные моменты электронов и атомовГиромагнитное отношение орбитальных моментовГирочлагнитное отношение спиновых моментовМагнетикиДиамагнетикиПарамагнетикиМагнитные моменты электронов и атомовГиромагнитное отношение орбитальных моментовГирочлагнитное отношение спиновых моментовМагнетикиДиамагнетикиПарамагнетикиНамагниченность

Магнитные моменты электронов и атомов

Гиромагнитное отношение орбитальных моментов

Гирочлагнитное отношение спиновых моментов

Магнетики

Диамагнетики

Парамагнетики

Магнитные моменты электронов и атомов

Гиромагнитное отношение орбитальных моментов

Гирочлагнитное отношение спиновых моментов

Магнетики

Диамагнетики

Парамагнетики

Магнитное поле в вешестве

Магнитная восприимчивость вешества

Закон полного тока

для магнитного поля в вешестве _

(теорема о ииркуляиии вектора В)

Теорема о ииркуляиии вектора Н

Ферромагнетики

Основные формулы

Связь между орбитальным магнитным 氤 и орбитальным механическим Ll моментами электрона

[g = е/(2т) — гиромагнитное отношение орбитальных моментов].

Н амагниченность

У V

[Em £/ — магнитный момент магнетика, равный векторной сумме магнитных моментов отдельных молекул].

Связь между намагниченностью и напряженностью магнитного

поля- т

J = XH

[% — магнитная восприимчивость вещества].

Связь между векторами В, Н, J

В =卩式笈 + J)=固(H + %J)=固(1 + X)H.

Связь между магнитной проницаемостью и магнитной воспри

имчивостью вещества

Ц = 1 + X-

Закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуляции вектора В)

?苫行=jBLdl =因(/ +T)

-LL

[dZ ——вектор элементарной длины контура, направленный вдоль обхода контура; В, — составляющая вектора В в направлении касательной к контуру £ произвольной формы; f и Г — соответственно алгебраические суммы макротоков (токов проводимости) и микротоков (молекулярных токов), охватываемых заданным контуром].

Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля g^di = J

[/ — алгебраическая сумма токов проводимости, охватываемых контуром £].

Условия на границе раздела двух магнетиков при отсутствии на

£11 =也 冢一e'Hfil = М-2^n2М-1£11 =也 冢一e'Hfil = М-2^n2М-1/T =h2竹/T =h2竹b1" Н /〃，b1" Н /〃，границе тока проводимости:

£11 =也 冢一e'

Hfil = М-2

^n2М-1

£11 =也 冢一e'

Hfil = М-2

^n2М-1

/T =h2竹

/T =h2竹

b1" Н /〃，

b1" Н /〃，

[//> Вт и 日几,Вл — соответственно тангенциальные и нормальные составляющие векторов 五'и В; |Л] и & — магнитные проницаемости].

Примеры решения задач

Соленоид длиной I = 20 см, площадью поперечного сечения S = 10 см2 и общим числом витков ^ = 400 находится в диамагнитной среде. Определить силу тока в обмотках соленоида, если его индуктивность L = 1 мГн, а намагниченность J внутри соленоида равна 20 А/м.

Дано:Решение:

Z = 20 см = 0,2 мJ = хН, ц = 1 + х， J

S= 10 см2 = 10-з м2，目^ = 6H?dZ = £厶，

^^40022a

L = 1 мГн= 10~3 Гн冃—NI j „ UN2S

J = 20 А/мZI

= (H-1)区 Hl = NJ,

ц = ",

r=JI

2s 丿

Ответ' I = 2,09 А.

На железный сердечник в виде тора со средним диаметром d = 70 мм намотана обмотка с общим числом витков N = 600. В сердеч- нике сделана узкая поперечная прорезь шириной & = 1,5 мм (рис. 47). Магнитная проницаемость железа для данных условий ц = 500. При силе тока через обмотку / = 4 А магнитная индукция в прорези BQ = 1,5 Тл. Пренебрегая рассеянием поля на краях прорези, определить напряженность магнитного поля для данных условий.

Решение'.Решение'.Рис. 47Рис. 47Дано:

Решение'.

Решение'.

Рис. 47

Рис. 47

d = 70 мм = 7 • 10-2 м

N = 600

b = 1,5 мм = 1,5 • 10*3 м

/ н 4 A

р. = 500

1)К — ?2)瓦-?1)К — ?2)瓦-?В0 = 1,5Тл

1)К — ?

2)瓦-?

1)К — ?

2)瓦-?

jH^l н NI, Н,工 Н, H(nd -b) + HQb 工 N『，B = В。，В = цоцЯ, L

瓦=卩岡)，цоцЯ = ц0Н0,/ =阳，(nd - b)H + дцН = NI,

H = NIн = 〕NI .

(nd - b) + gb 10 (nd - &) + ц& '

Ответ: 1) H = 2,48 кА/м; 2) H。= 1,24 МА/м.

Задачи для самостоятельного решения

Принимая, что электрон в невозбужденном атоме водорода движется по круговой орбите радиусом г =52,8 пм, определите: 1) магнитный момент Pm эквивалентного кругового тока; 2) орбитальный механический момент L, электрона; 3) исходя из полученных числовых значений, гиромагнитное отношение орбитальных моментов, доказав, что оно совпадает со значением, определяемым универсальными постоянными.

По обмотке соленоида индуктивностью L = 3 мГн, находящегося в диамагнитной среде, течет ток I = 0,4 А. Соленоид имеет длину N = 45 см, площадь поперечного сечения S = 10 см2 и число витков N = 1000. Определите внутри соленоида: 1) магнитную индукцию; 2) намагниченность.

ОТВЕТЫ'. 184. 1)= 9,25 ■ 1О~24 А • м2; 2)厶=纟 匹 =

=1,05 • 10-34 кг . м2/с; 3)g = 87,8 ГКл/кг. 185. 1) В = ^- =1,2 мТл;

36 ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАКСВЕЛЛА

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ

Вихревое электрическое полеТок смешенияПлотность тока смешенияПолный токПлотность полного токаВихревое электрическое полеТок смешенияПлотность тока смешенияПолный токПлотность полного токаОбобщенная теорема о ииркуляиии вектора Н в интегральной и дифферен ииальной формах

Вихревое электрическое поле

Ток смешения

Плотность тока смешения

Полный ток

Плотность полного тока

Вихревое электрическое поле

Ток смешения

Плотность тока смешения

Полный ток

Плотность полного тока

Уравнения Максвелла в интегральной форме для стаиионарных полей

Основные формулы

Циркуляция вектора напряженности Ёв поля, возбуждаемого переменным магнитным полем,

近一联病.s

Плотность тока смещения；=延Плотность тока смещения；=延ЭЕ一 %石ЭЕ一 %石++ЭР8tЭР8t

Плотность тока смещения

；=延

Плотность тока смещения

；=延

ЭЕ

一 %石

ЭЕ

一 %石

+

+

ЭР8t

ЭР8t

[D ——электрическое смещение; е0~ ——плотность тока смещения в

Др

вакууме; —~ — плотность тока поляризации].

Плотность полного тока

J ПОЛИ J 况

[j — плотность тока проводимости;阴一плотность тока смещения]. at

Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н

r©JLr©JLHH>s d>s dd/d/

r©JL

r©JL

H

H

>s d

>s d

d/

d/

[j — плотность тока проводимости;— ——плотность тока смещения; dt

S — поверхность, натянутая на замкнутый контур L].

Уравнения Максвелла

• в интегральной форме

d ТЕ rcJLd ТЕ rcJLTs dTs dV d p = rs d 5 rf sV d p = rs d 5 rf sdS,dS,,В dS = 0; s,В dS = 0; s

d ТЕ rcJL

d ТЕ rcJL

Ts d

Ts d

V d p = rs d 5 rf s

V d p = rs d 5 rf s

dS,

dS,

,В dS = 0; s

,В dS = 0; s

div/

P,

div В

D = £q£E, b =n0卩日,

=0,

j = yE

[e0 и 卩°— соответственно электрическая и магнитная постоянные; е и ц — диэлектрическая и магнитная проницаемости; у — удельная проводимость вещества].

Уравнения Максвелла для стационарных полей в интегральной форме

Q=「S d 方 rp*sQ=「S d 方 rp*sоdT ff sоdT ff s

Q

=

「S d 方 rp*s

Q

=

「S d 方 rp*s

оd

T ff s

оd

T ff s

0

Колебания и волны

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ

КолебанияСвободные (собственные) колебанияГармонические колебанияПериол колебанийПериод гармонических колебанийУравнение гармонических колебанийДифференциальное уравнение гармонических колебанийМетод врашаюшегося вектора амплитудыГармонический осиилляторПружинный маятникФизический маятникМатематический маятникСложение гармонических колебаний одного направленияи одинаковой частотыКолебанияСвободные (собственные) колебанияГармонические колебанияПериол колебанийПериод гармонических колебанийУравнение гармонических колебанийДифференциальное уравнение гармонических колебанийМетод врашаюшегося вектора амплитудыГармонический осиилляторПружинный маятникФизический маятникМатематический маятникСложение гармонических колебаний одного направленияи одинаковой частотыБиенияСложение взаимно перпендикулярных колебанийДобротность колебательной системыЗатухающие колебанияДекремент затуханияЛогарифмический декремент затуханияДифференциальное уравнение свободных затухающих колебанийАвтоколебанияВынужденные колебанияДифференциальное уравнение вынужденных механических колебанийРезонансБиенияСложение взаимно перпендикулярных колебанийДобротность колебательной системыЗатухающие колебанияДекремент затуханияЛогарифмический декремент затуханияДифференциальное уравнение свободных затухающих колебанийАвтоколебанияВынужденные колебанияДифференциальное уравнение вынужденных механических колебанийРезонанс

Колебания

Свободные (собственные) колебания

Гармонические колебания

Периол колебаний

Период гармонических колебаний

Уравнение гармонических колебаний

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Метод врашаюшегося вектора амплитуды

Гармонический осииллятор

Пружинный маятник

Физический маятник

Математический маятник

Сложение гармонических колебаний одного направления

и одинаковой частоты

Колебания

Свободные (собственные) колебания

Гармонические колебания

Периол колебаний

Период гармонических колебаний

Уравнение гармонических колебаний

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Метод врашаюшегося вектора амплитуды

Гармонический осииллятор

Пружинный маятник

Физический маятник

Математический маятник

Сложение гармонических колебаний одного направления

и одинаковой частоты

Биения

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Добротность колебательной системы

Затухающие колебания

Декремент затухания

Логарифмический декремент затухания

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний

Автоколебания

Вынужденные колебания

Дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний

Резонанс

Биения

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Добротность колебательной системы

Затухающие колебания

Декремент затухания

Логарифмический декремент затухания

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний

Автоколебания

Вынужденные колебания

Дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний

Резонанс

Основные формулы

Уравнение гармонических колебаний

х = Acos(co0^ + (р)

[х ——смещение колеблющейся величины от положения равновесия; 4 ——амплитуда колебаний; соо = 2兀/Т = 271V ——круговая (циклическая) частота; v = 1/Т — частота; Т — период колебаний;(р0 — начальная фаза].

Скорость и ускорение точки, совершающей гармонические колебания,

и =肃=-Acoosin(cooZ + <р) = Асоо cos(co0Z + ср + 兀/2),

а = ^ = -Аз； cos(co0t + ср)=厶①^ cos(co0t + ср + л)

[А — амплитуда колебаний; соо — круговая частота; ср — начальная фаза].

Сила, действующая на колеблющуюся материальную точку массой т,

к2

尸=—mg х

[соо — круговая частота; х ——смещение точки из положения равновесия].

Кинетическая энергия точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания,

Т =若=纥'。sin2(wot 十屮)=^Ш°[1 - cos2(co0i + (p)]

[zn ― масса материальной точки; v — ее скорость; А — амплитуда колебаний; o)q — круговая частота; ср — начальная фаза].

Потенциальная энергия точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы 尸，

П = -J Fdx = J zncDoxdx = —~- cosz(wo? + <p)=

о о

mA2a)n2—

=^- [1 + cos2((o0f + (p)]

[m — масса материальной точки; соо — круговая частота; к — смещение точки от положения равновесия; А — амплитуда колебаний; ср — начальная фаза].

Механическая энергия

£ = Т + П = ^ .

2

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки массой т

х + — х = 0 или х + со» х = О

[х -— смещение материальной точки из положения равновесия; й — упругость; соо — циклическая частота].

Решение этого уравнения

% = Acos(o)0i + ср)

[А — амплитуда колебаний; ср — начальная фаза].

Период колебаний математического маятника

T = 2兀 Д

Mg

[I — длина маятника; g — ускорение свободного падения].

Период колебаний пружинного маятника

Т = 2л 恒〃 k

[m ——масса пружинного маятника; k ——жесткость пружины]. Период колебаний физического маятника

[J ——момент инерции маятника относительно оси колебаний; I — расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника; 工=J/(ml) — приведенная длина физического маятника; g ——ускорение свободного падения].

Амплитуда А результирующего колебания, получающегося при сложении двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты,

А2 = А^ + Ag + 2А]А 2cos(<Р? — (рх).

Начальная фаза результирующего колебания

tg/一 Aismq)i+A2sinq)2

A1cos(p1 + А2 cos<p2

[А】и厶2 — амплитуды двух складываемых колебаний; $】и (р? — начальные фазы колебаний].

Период биений

[Д(о — разность частот складываемых колебаний, Асо « со].

Уравнение траектории движения точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты (уравнение эллипса),

史 一 2cos(p +好=Sin2(p

厶2 AB Y В2

[А и В — амплитуды складываемых колебаний; ср ——разность фаз обоих колебаний].

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение

х + 25х + со^х = 0, х = Ао e-5icos(cot + 屮)

[х ——смещение колеблющегося тела из положения равновесия； В =」_ — коэффициент затухания; соп = — — собственная частота той же колебательной системы; со = ^ш^ - 52 — частота затухающих колебаний; Ао е~& ——амплитуда затухающих колебаний].

Декремент затухания

A(t + T)

[A(t) и A(i + T) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период].

Логарифмический декремент затухания

[A(t) и A(t + Т)——амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период; 6 — коэффициент затухания; Т — период затухающих колебаний; т ——время релаксации; ^e ——число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз].

Добротность колебательной системы

Q =—0Q =—0%2S%2S

Q =—

0

Q =—

0

%

2S

%

2S

[0 — логарифмический декремент затухания; соо ——циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы; 6 ——коэффициент затухания].

Дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний и его решение для установившихся колебаний

х + 23 х + со» х = — cos cof,х =А cos((ot - (р)

[х — смещение колеблющегося тела из положения равновесия;下^ — амплитуда вынуждающей силы; m — масса тела];

厶=/, В = arctg —

з2)2 + 432з2«о-И2

[①o 一一 собственная частота той же колебательной системы; со ——частота внешней вынуждающей силы; 3 — коэффициент затухания].

Резонансная частота и резонансная амплитуда

⑴рез =拇-2§2，—237^-32

[соо ― собственная частота колебательной системы; 5 — коэффициент затухания;尸° — амплитуда внешней вынуждающей силы; m — масса тела].

Примеры решения задач

Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой А = 4 см и периодом Т = 2 с. Написать уравнение движения точки, если ее движение начинается из положения х0 = 2 см.

Дано:А = 4 см = 4 • 10-2 мТ = 2 сх0 = 2 см = 2 • 10-2 м久(力)—?Дано:А = 4 см = 4 • 10-2 мТ = 2 сх0 = 2 см = 2 • 10-2 м久(力)—?Ответ', л■⑴=0,04 cosОтвет', л■⑴=0,04 cosРешениемРешениемх = Acos(co0i + (р), 士 = 0, • х0 = Acos(p,х = Acos(co0i + (р), 士 = 0, • х0 = Acos(p,cosq)= ^ =0,5,中=^cosq)= ^ =0,5,中=^х = 0,04 cos［兀力 +х = 0,04 cos［兀力 +м.м.00g =00g =2л _ 2л2л _ 2лм.м.

Дано:

А = 4 см = 4 • 10-2 м

Т = 2 с

х0 = 2 см = 2 • 10-2 м

久(力)—?

Дано:

А = 4 см = 4 • 10-2 м

Т = 2 с

х0 = 2 см = 2 • 10-2 м

久(力)—?

Ответ', л■⑴=0,04 cos

Ответ', л■⑴=0,04 cos

Решением

Решением

х = Acos(co0i + (р), 士 = 0, • х0 = Acos(p,

х = Acos(co0i + (р), 士 = 0, • х0 = Acos(p,

cosq)= ^ =0,5,中=^

cosq)= ^ =0,5,中=^

х = 0,04 cos［兀力 +

х = 0,04 cos［兀力 +

м.

м.

00g =

00g =

2л _ 2л

2л _ 2л

м.

м.

Материальная точка массой m = 10 г совершает гармонические колебания с частотой v = 0,2 Гц. Амплитуда колебаний равна 5 см. Определить: 1) максимальную силу, действующую на точку; 2) полную энергию колеблющейся точки.

m = 10 г = у = 0,2Гц А = 5 см =

10'2 кг

5 • 10 2 м

х Acos(ai0i 十(p)f

и = 需 =-A(0q sin(o)0^ + ср),

/ max

2) Е — ?

?

в _ du _ dt

F = ma =

2

-Aa)0 cos(cD0^ + ф),

~A(0q rnCOS(CO0力 + ф),

Дано:

Решение'.

F =尸 max ПРИ COS(COqZ + (р) = ±1,Ио = 2 兀 V,

д 22

Fmax= А^т = 4n2v2Am, Е Тт^ = ^mv^ = Т_^ = 2^2mv2A2.

Ответа 1) Fmax = 0,8 мН; 2) Е = 19,7 мкДж.

Полная энергия Е гармонически колеблющейся точки равна 10 мкДж, а максимальная сила 尸max，действующая на точку, равна —0,5 мН. Написать уравнение движения этой точки, если период колебаний Г = 4 с, а начальная фаза ф = л/6.

Дано:

Решение:

£ = 10 мкДж = 10-5 Дж

Fmax—°，5 мН

Т = 4 с

ф = л/6

2

l^maxl =加&3

2

0，

x(^) — ?

Ответ: x(^) = 0,04 cos(况

I Fmax

⑴Q

2冗

7HA2O)q A

2 шАш,

22

о

Fmax

x = Acos(co0/ + (p).

用，М.

189. На горизонтальной пружине жесткостью 力=800 Н/м укреп

лен шар массой М = 4 кг, лежащий на гладком столе, по которому

он может скользить без трения (рис. 48). Пуля массой тп = 10 г, летя

щая с горизонтальной скоростью и。= 600 м/с и имеющая в момент удара скорость, направленную вдоль оси пружины, попала в шар и застряла в нем. Пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха, определить: 1) амплитуду колебаний шара; 2) период колебаний шара.

М ) ♦ и

Рис. 48

Решение:

А = ^

500 Н/м

М =

4 кг

т =

10 г = 10-2 кг

% =

600 м/с

1)厶

—?

2) Т

—?

Дано:

叫=(М + 7nM V =斤^，

(Af+ 7П)и2 —为厶 2 А = / m2 党

(Af + m)/2p)2 — kA2 _ /~

22^M + m

mv0

J(M + m)k

Ответ'. 1) A = 10 cm; 2) T = 0,419 c.

190. Однородный диск радиусом H = 20 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии Z = 15 см от центра диска. Определить период Т колебаний диска относительно оси.

Дано:

7? = 20 cM = 0,2 м

I = 15 см = 0,15 м

Т — ?

Ответ-. T = 1,07 с.

Решение:

T = 2兀区， J =必磴+加2,

V mgl2

T = 2冗近=2冗产+ 2m

M 2 mglM 2gl

Е = ПтахЕ = ПтахДано:/П] = m2 = m a1 = % = a% = 1,5%e1/e2 - ?Дано:/П] = m2 = m a1 = % = a% = 1,5%e1/e2 - ?Рис. 50Рис. 50Дано:Дано:尤1 = 3cos 2nZ, см%2 = 3cos(2nf + 兀/4), ем尤1 = 3cos 2nZ, см%2 = 3cos(2nf + 兀/4), емDD? ? ?? ? ?久1 = A1cos(①力 +(Р1), х2 = A2cos(coZ +(р2), со = 2л, А1 =厶2 = 3 см, (Pi = 0,屮2 = ^，А(р =屮2 一 §1 = ^，% = Acos(co^ + ср),久1 = A1cos(①力 +(Р1), х2 = A2cos(coZ +(р2), со = 2л, А1 =厶2 = 3 см, (Pi = 0,屮2 = ^，А(р =屮2 一 §1 = ^，% = Acos(co^ + ср),

Е = Птах

Е = Птах

Дано:

/П] = m2 = m a1 = % = a

% = 1,5%

e1/e2 - ?

Дано:

/П] = m2 = m a1 = % = a

% = 1,5%

e1/e2 - ?

Рис. 50

Рис. 50

Дано:

Дано:

尤1 = 3cos 2nZ, см

%2 = 3cos(2nf + 兀/4), ем

尤1 = 3cos 2nZ, см

%2 = 3cos(2nf + 兀/4), ем

D

D

? ? ?

? ? ?

久1 = A1cos(①力 +(Р1), х2 = A2cos(coZ +(р2), со = 2л, А1 =厶2 = 3 см, (Pi = 0,屮2 = ^，

А(р =屮2 一 §1 = ^，% = Acos(co^ + ср),

久1 = A1cos(①力 +(Р1), х2 = A2cos(coZ +(р2), со = 2л, А1 =厶2 = 3 см, (Pi = 0,屮2 = ^，

А(р =屮2 一 §1 = ^，% = Acos(co^ + ср),

Два математических маятника (рис. 49) имеют одинаковые массы. Длины маятников отличаются в п = 1,5 раза. Маятники колеблются с одинаковой угловой амплитудой. Определить, какой маятник обладает большей энергией и во сколько раз.

Решение:

max ~ ^g'max，

九max =匕 一 ％ COSCC = Z(1 - COSOt),

后1 = mgl^\. - cosa), E?=力且％(1 - cosct), — = —

e2 22

Ответ\ Er/E2 = 1,5.

Складываются два гармонических колебания одного направления, описываемые уравнениями к】=3cos2冗力,см,

尤2 = 3cos(2ni + л/4), см. Определить для результирующего колебания (рис. 50): 1) амплитуду; 2) начальную фазу. Записать уравнение результирующего колебания и представить векторную диаграмму сложения амплитуд.

Решением

tg, = &sin<P]+4sin屮2 = sin(pi + sin屮& =上：屮=。，《乜，隼=% , ^1COSQ1 +厶 2cos02 COS(P1 + COS(p2 gS 0 + COS ^'8

4

A = JA| + Ag + 2A1A2cosA(p = At72(l + cosAtp) = 5,54 cm,

х = 5,54cos(2冗力 + ^j , см.

Ответ: 1) А = 5,54 см, 2) срОтвет: 1) А = 5,54 см, 2) ср88

Ответ: 1) А = 5,54 см, 2) ср

Ответ: 1) А = 5,54 см, 2) ср

8

8

Точка участвует одновременно в двух гармонических коле

баниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направленибаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями х уравнение траектории точки.ях и описываемых уравнениями х уравнение траектории точки.=cosrct и у = cos 11. Определить=cosrct и у = cos 11. Определить

баниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлени

баниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлени

ях и описываемых уравнениями х уравнение траектории точки.

ях и описываемых уравнениями х уравнение траектории точки.

=cosrct и у = cos 11. Определить

=cosrct и у = cos 11. Определить

Дано:Дано:Решение:Решение:X = cos ягУ = cos -ts 2у⑴一 ？X = cos ягУ = cos -ts 2у⑴一 ？По условию задачи,По условию задачи,血%2血%2

Дано:

Дано:

Решение:

Решение:

X = cos яг

У = cos -t

s 2

у⑴一 ？

X = cos яг

У = cos -t

s 2

у⑴一 ？

По условию задачи,

По условию задачи,

血%2

血%2

соэлгсоэлгл-22sосл-22sос兀一2 2兀一2 2сосол-2л-21*1*л-2 2Sосл-2 2Sос土л-22Sос2土л-22Sос2

соэлг

соэлг

л-2

2

sос

л-2

2

sос

兀一2 2

兀一2 2

со

со

л-2

л-2

1*

1*

л-2 2

Sос

л-2 2

Sос

土л-22

Sос2

土л-22

Sос2

у = J(x + 1)/2 .

Ответ'. у(х) = J(% + 1)/2 — парабола.

Тело массой т = 0,6 кг, подвешенное к спиральной пружине жесткостью /г = 30 Н/м, совершает в некоторой среде упругие колебания. Логарифмический декремент колебаний 0 = 0,01. Определить: 1) время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в 3 раза; 2) число полных колебаний гири, при котором амплитуда колебаний также уменьшилась в 3 раза.

D % — ？ 2)^1 — ?D % — ？ 2)^1 — ?х = Ао e-5zcos (cot + <p),A厶2t,5=T =红=2n13 厶2T(01 © o a21T0/2х = Ао e-5zcos (cot + <p),A厶2t,5=T =红=2n13 厶2T(01 © o a21T0/2Дано: т = 0,6 кг 左=30 Н/м 0 = 0,01 А^ /.^2 = 3Дано: т = 0,6 кг 左=30 Н/м 0 = 0,01 А^ /.^2 = 3Решение:Решение:kk1吋=&1，1吋=&1，

D % — ？ 2)^1 — ?

D % — ？ 2)^1 — ?

х = Ао e-5zcos (cot + <p),

A

厶2

t,5=

T =

红=2n

13 厶2T

(0

1 © o a21

T

0/2

х = Ао e-5zcos (cot + <p),

A

厶2

t,5=

T =

红=2n

13 厶2T

(0

1 © o a21

T

0/2

Дано: т = 0,6 кг 左=30 Н/м 0 = 0,01 А^ /.^2 = 3

Дано: т = 0,6 кг 左=30 Н/м 0 = 0,01 А^ /.^2 = 3

Решение:

Решение:

k

k

1吋=&1，

1吋=&1，

Ответ: 1)片=97,6 с; 2) ^1 = 110.

Определить резонансную частоту колебательной системы, если собственная частота колебаний v0 = 300 Гц, а логарифмический декремент колебаний ® = 0,2.

Дано: v0 = 300 Гц © = 0,2Дано: v0 = 300 Гц © = 0,2Решение:Решение:

Дано: v0 = 300 Гц © = 0,2

Дано: v0 = 300 Гц © = 0,2

Решение:

Решение:

Ответ: vpe3 二 299,7 Гц.

Гиря массой m = 0,5 кг, подвешенная на спиральной пружине жесткостью fe = 50 Н/м, совершает колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления г = 0,5 кг/с. На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону F = 0,lcos(Df, Н. Определить для данной колебательной системы: 1) коэффициент затухания 3; 2) резонансную амплитуду -4рез.

Дано: т = 0,5 кг 左=50 Н/м г = 0,5 кг/с F = O,lcos(i)^, НДано: т = 0,5 кг 左=50 Н/м г = 0,5 кг/с F = O,lcos(i)^, НРешение:

Дано: т = 0,5 кг 左=50 Н/м г = 0,5 кг/с F = O,lcos(i)^, Н

Дано: т = 0,5 кг 左=50 Н/м г = 0,5 кг/с F = O,lcos(i)^, Н

тх =一尼尤-厂文+ FqCoscdм

х + 26文 + con = ~ cosmt, 3 =,

——■, ^ = А, 『0,1 н, 23^7^0 ~ 52 巾——■, ^ = А, 『0,1 н, 23^7^0 ~ 52 巾0 m2m

——■, ^ = А, 『0,1 н, 23^7^0 ~ 52 巾

——■, ^ = А, 『0,1 н, 23^7^0 ~ 52 巾

1) 6 — ? 2)&ез — ?

Ответ'. 1) 3 = 0,5 с-1; 2) Арез = 2 см.

Задачи для самостоятельного решения

Материальная точка совершает гармонические колебания согласно уравнению х = 0,02cos［冗力 + ^ j, м. Определите: 1) амплитуду колебаний; 2) период колебаний; 3) начальную фазу колебаний; 4) максимальную скорость точки; 5) максимальное ускорение точки; 6) через какой промежуток времени после начала отсчета точка пройдет через положение равновесия.

Груз, подвешенный к спиральной пружине, колеблется по вертикали с амплитудой А = 8 см. Определите жесткость 龙 пружины, если известно, что максимальная кинетическая энергия Т^^ груза составляет 0,8 Дж.

Спиральная пружина обладает жесткостью 左=25 Н/м. Определите массу т тепа, подвешенного к пружине, если за i = 1 мин оно совершает 25 колебаний.

Тонкий обруч радиусом К = 50 см, подвешенный на вбитый в стену гвоздь, колеблется в плоскости, параллельной стене. Определите период Т колебаний обруча.

Два математических маятника, длины которых отличаются на AZ = 16 см, за одно и то же время совершают: один 10 колебаний, другой 6 колебаний. Определите длину каждого маятника.

Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода Т = 4 с и одинаковой амплитуды 厶=5 см составляет 兀/4. Напишите уравнение движения, получающегося в результате сложения этих колебаний, если начальная фаза одного из них равна нулю.

Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями % = Asinco?门 у = В cos cot, где А, В и CD — положительные постоянные. Определите уравнение траектории точки, вычертите ее с нанесением масштаба, указав направление ее движения по этой траектории.

Амплитуда затухающих колебаний маятника за 力=2 мин уменьшилась в 2 раза. Определите коэффициент затухания 3.

Собственная частота v0 колебаний некоторой системы составляет 500 Гц. Определите частоту v затухающих колебаний этой системы, если резонансная частота vpG3 = 499 Гц.

ОТВЕТЫ'. 197. 1) 2 см; 2) 2 с; 3) ^ ; 4) 6,28 см/с; 5) 19,7 см/с2; 6) t = 0, 1 с, 2 с,….198. 250 Н/м. 199. m = ""飞=3,65 кг. 200. 2 с. 201. 9 см;

4冗2n2

25 cM. 202. х = 9,24cosf- i +, см. 203. — + ^- = 1, по часовой

8 丿А2 В2

стрелке. 204. 5,78 • 10-3 с-1. 205. 499,5 Гц.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ

Колебательный контурСвободные электромагнитные колебания「армонмнеские электромагнитные колебанияДифференциальное уравнение своботшых гармонических колебаний заряда в контуреСобственная частота контураФормула ТомсонаДифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний в контуреВынужденные колебанияДифференииальное уравнение вынужденных электромагнитных колебанийПеременный токКолебательный контурСвободные электромагнитные колебания「армонмнеские электромагнитные колебанияДифференциальное уравнение своботшых гармонических колебаний заряда в контуреСобственная частота контураФормула ТомсонаДифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний в контуреВынужденные колебанияДифференииальное уравнение вынужденных электромагнитных колебанийПеременный токПеременный ток, текуший через резистор сопротивлением RПеременный ток, текущий через катушку индуктивностью 上Реактивное индуктивное сопротивлениеПеременный ток, текуший через конденсатор электроемкое уъю СРеактивное емкостное сопротивлениеЦепь переменного тока, солержашая послеАовагельно включенные резистор, катушку индуктивности и конденсаторПолное сопротивлениеРеактивное сопротивлениеМошность, вылеляемая в иепи переменного токаЛействуюшие значения силы токаи напряженияПеременный ток, текуший через резистор сопротивлением RПеременный ток, текущий через катушку индуктивностью 上Реактивное индуктивное сопротивлениеПеременный ток, текуший через конденсатор электроемкое уъю СРеактивное емкостное сопротивлениеЦепь переменного тока, солержашая послеАовагельно включенные резистор, катушку индуктивности и конденсаторПолное сопротивлениеРеактивное сопротивлениеМошность, вылеляемая в иепи переменного токаЛействуюшие значения силы токаи напряжения

Колебательный контур

Свободные электромагнитные колебания

「армонмнеские электромагнитные колебания

Дифференциальное уравнение своботшых гармонических колебаний заряда в контуре

Собственная частота контура

Формула Томсона

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний в контуре

Вынужденные колебания

Дифференииальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний

Переменный ток

Колебательный контур

Свободные электромагнитные колебания

「армонмнеские электромагнитные колебания

Дифференциальное уравнение своботшых гармонических колебаний заряда в контуре

Собственная частота контура

Формула Томсона

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний в контуре

Вынужденные колебания

Дифференииальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний

Переменный ток

Переменный ток, текуший через резистор сопротивлением R

Переменный ток, текущий через катушку индуктивностью 上

Реактивное индуктивное сопротивление

Переменный ток, текуший через конденсатор электроемкое уъю С

Реактивное емкостное сопротивление

Цепь переменного тока, солержашая послеАовагельно включенные резистор, катушку индуктивности и конденсатор

Полное сопротивление

Реактивное сопротивление

Мошность, вылеляемая в иепи переменного тока

Лействуюшие значения силы тока

и напряжения

Переменный ток, текуший через резистор сопротивлением R

Переменный ток, текущий через катушку индуктивностью 上

Реактивное индуктивное сопротивление

Переменный ток, текуший через конденсатор электроемкое уъю С

Реактивное емкостное сопротивление

Цепь переменного тока, солержашая послеАовагельно включенные резистор, катушку индуктивности и конденсатор

Полное сопротивление

Реактивное сопротивление

Мошность, вылеляемая в иепи переменного тока

Лействуюшие значения силы тока

и напряжения

Основные формулы

Собственная частота колебательного контура

W° Jlc

[工一индуктивность катушки; С ——электроемкость конденсатора].

Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре и его решение:

@ + 表 Q = °，Q = Qmcos(①(/ + Ф)

[Qm — амплитуда колебаний заряда конденсатора; соо ——собственная частота контура].

Формула Томсона, устанавливающая связь между периодом Т собственных колебаний в контуре без активного сопротивления, индуктивностью L и электроемкостью контура С,

Т = 2 л J_ZLC +

Сила тока в колебательном контуре и напряжение на конденсаторе в случае гармонических электромагнитных колебаний:

/ =需=Q = -w0Qmsin (coof + <р) = /mcos^co0^ + 屮 + ^ }

% = ^ = * cos®(/ + Ф) = /7mcos(co0t + ср)

"m =①°Qm — амплитуда силы тока; Um =— амплитуда напряже

ния; со。一 собственная частота контура].

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний в контуре и его решение

Q + 25Q + cOqQ = О, Q = Qme-6^os((ot + (р)

Qm e~5i — амплитуда затухающих колебаний заряда конденсатора;

Fl г?2

Qm — начальная амплитуда; частота со = /.

从工c 4上2

Добротность колебательного контура с активным сопротивлением &, индуктивностью £ и электроемкостью контура С

Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний и его решение:

◎ + 25Q + (Dq Q = ™ coscoi, Q = Q^ cos(①力-a)

a — сдвиг по фазе между зарядом и прило

женным напряжением U = Um cos ①土； R, L к С ——соответственно активное сопротивление, индуктивность и электроемкость колебатель

ного контура

Резонансная частота и резонансная амплитуда заряда в случае электрического резонанса:

①рeз =抵-262 =后一券,%)ре3 = -

[co。-— собственная частота контура; 3 — коэффициент затухания; R, L и С — соответственно активное сопротивление, индуктивность и электроемкость колебательного контура; Um — амплитуда внешнего приложенного напряжения].

Резонансная частота и резонансная амплитуда силы тока в случае электрического резонанса:

①рез = % = J^，Зп)рез =牛

[①。一собственная частота контура;五，£ и С — соответственно активное сопротивление, индуктивность и электроемкость колебательного контура; Um ——амплитуда внешнего приложенного напряжения].

Реактивное индуктивное сопротивление (индуктивное сопротивление)

Rl = coL

[со — частота переменного напряжения, подаваемого на концы цепи; L ——индуктивность].

Реактивное емкостное сопротивление (емкостное сопротивление) 五e =丄

[со — частота переменного напряжения, подаваемого на концы цепи; С — электроемкость].

Полное сопротивление цепи переменного тока, содержащей последовательно включенные резистор сопротивлением /?, катушку индуктивностью L и конденсатор электроемкостью С,

[五工=：a)L — реактивное индуктивное сопротивление; Rc = 1/((оС)— реактивное емкостное сопротивление].

Реактивное сопротивление

X = Rr -Rc =(f)L- ~

£ С ыС

[Rl = coL — реактивное индуктивное сопротивление;五。=1/(⑴С)— реактивное емкостное сопротивление].

Действующие (эффективные) значения силы тока и напряжения: Г =" = °пп

[『т и Um — амплитудные значения силы тока и напряжения]. Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока,

〈Р〉= pm/7mcos(p

[Im и。皿一амплитудные значения силы тока и напряжения]. Коэффициент мощности

cos(p =cos(p =J五 2 + [① £-1/(⑴ С)]2J五 2 + [① £-1/(⑴ С)]2R

cos(p =

cos(p =

J五 2 + [① £-1/(⑴ С)]2

J五 2 + [① £-1/(⑴ С)]2

[Я — активное сопротивление цепи; coL ——реактивное индуктивное сопротивление;— ——реактивное емкостное сопротивление].

Примеры решения задач

Колебательный контур содержит соленоид (длина Z = 5 см, площадь поперечного сечения 6】=1,5 см2, число витков N = 500) и плоский конденсатор (расстояние между пластинами d = 1,5 мм, площадь пластин S2 = 100 см). Определить частоту соо собственных колебаний контура.

Дано:Решение:

/ = 5 см = 0,05 м

TN2sl

N2sl

S1 = 1j5cm2 = 1>5-10~4m2

，L =因卩 ~

同J，

N = 500

Ц = 1

d = 1,5 мм = 1,5 • 10~з м

с = %£r

L — ±

S2 = 100 см2 = 10~4 м2

V%AoN2sls2

n=1

Е = 1

1

一/ Id

% - ?

c — —«^^^―

/%n0

1

Ответ: соо = 4,24 • 106 рад/с.

Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 0,1 Гн и конденсатора электроемкостью С = 39,5 мкФ. Заряд конденсатора Qm = 3 мкКл. Пренебрегая сопротивлением контура, записать: 1) уравнение изменения силы тока в цепи в зависимости от времени; 2) уравнение изменения напряжения на конденсаторе в зависимости от времени.

Дано:

Е = 0,1 Гн

С = 39,5 мкФ = 3,95 • 10~5 Ф

Qm = 3 мкКл = 3 • 10-6 Кл

Решение:Решение:Q = Qmcosw0t,Q = Qmcosw0t,『=等=_Qma)osin3/ =Qm%C0s]g力 + ^，% = ^ = ^ COSW0^『=等=_Qma)osin3/ =Qm%C0s]g力 + ^，% = ^ = ^ COSW0^Дано:Дано:£ = 10 мГн= IO"2 Гн С = 0,1 мкФ = 10~7Ф & = 20 ОмАпо/'з = еN — 9£ = 10 мГн= IO"2 Гн С = 0,1 мкФ = 10~7Ф & = 20 ОмАпо/'з = еN — 93碣買23碣買2Ответг ^ = 5.Ответг ^ = 5.R = 0

Решение:

Решение:

Q = Qmcosw0t,

Q = Qmcosw0t,

『=等=_Qma)osin3/ =

Qm%C0s]g力 + ^，

% = ^ = ^ COSW0^

『=等=_Qma)osin3/ =

Qm%C0s]g力 + ^，

% = ^ = ^ COSW0^

Дано:

Дано:

£ = 10 мГн= IO"2 Гн С = 0,1 мкФ = 10~7Ф & = 20 Ом

Апо/'з = е

N — 9

£ = 10 мГн= IO"2 Гн С = 0,1 мкФ = 10~7Ф & = 20 Ом

Апо/'з = е

N — 9

3碣買2

3碣買2

Ответг ^ = 5.

Ответг ^ = 5.

Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью Z = 25 мГн, конденсатора электроемкостью С = 10 мкФ и резистора сопротивлением 五=1 Ом. Заряд конденсатора Qm = 1 мКл. Определить: 1) период колебаний контура; 2) логарифмический декремент затухания колебаний; 3) уравнение зависимости изменения напряжения на пластинах конденсатора от времени.

Решение'.Решение'.。⑴=常 е~滉 cos (Di.。⑴=常 е~滉 cos (Di.Дако:

Решение'.

Решение'.

。⑴=常 е~滉 cos (Di.

。⑴=常 е~滉 cos (Di.

L = 25 мГн = 2,5 • 10~ Гн

С = 10 мкФ = 10~5 Ф

/2=1 Ом

п =

5

也=8

Wn

0 —

?

Дано:Дано:NNQm = 1 мКл = 10-3 Кл

Дано:

Дано:

N

N

Дано:L 二 0,2 Гн冗= 9,7 ОмС = 40 мкФ = 4 • 10~5 ФUm =180 В(0 = 314 рад/с1)4-?2)"?3)也 一 ？Дано:L 二 0,2 Гн冗= 9,7 ОмС = 40 мкФ = 4 • 10~5 ФUm =180 В(0 = 314 рад/с1)4-?2)"?3)也 一 ？РешениемРешением111 Jr2 + \^l-i/^c)]2 '

Дано:

L 二 0,2 Гн

冗= 9,7 Ом

С = 40 мкФ = 4 • 10~5 Ф

Um =180 В

(0 = 314 рад/с

1)4-?

2)"?

3)也 一 ？

Дано:

L 二 0,2 Гн

冗= 9,7 Ом

С = 40 мкФ = 4 • 10~5 Ф

Um =180 В

(0 = 314 рад/с

1)4-?

2)"?

3)也 一 ？

Решением

Решением

tg(p = 91 一 ,

Kf ULm =『mAF①办2,

L-6,五一0

UCm=AjM^f 靑.

Ответа 1) % = 9,27 A; 2) <p = -60°, сила тока опережает напряжение; 3) ULm = 589 В; 4) UCm = 738 В,

Колебательный контур содержит конденсатор электроемкостью С = 5 нФ и катушку индуктивностью L == 5 мкГн и активным сопротивлением 7? = 0,1 Ом. Определить среднюю мощность (Р), потребляемую колебательным контуром, при поддержании в нем незатухающих гармонических колебаний с амплитудным значением напряжения на конденсаторе Um^ = 10 В.

Дано:

С - 5 нФ = 5 ■ 10~9 Ф

Е = 5 мк「н = 5 • 10~б рн

В = 0,1 Ом 嘖=I。В

Решением

⑴К貝沦『芻，现喂,

% = UmcSC,①=铀=J^，

〈Р〉=寺u^不炉凡〈尸〉=4一^，

〈尸〉一？

Ответ:〈Р〉= 5 мВт.

В сеть переменного тока с действующим значением напряжения 120 В последовательно включены проводник с активным сопротивлением 10 Ом и катушка индуктивностью 0,1 Гн. Определить частоту V тока, если амплитудное значение силы тока в цепи равно 5 А.

Дано:U = 120 В 正=10 Ом £ = 0,1 Гн Лп = 5АV-—?Дано:U = 120 В 正=10 Ом £ = 0,1 Гн Лп = 5АV-—?Решение:

Дано:

U = 120 В 正=10 Ом £ = 0,1 Гн Лп = 5А

V-—?

Дано:

U = 120 В 正=10 Ом £ = 0,1 Гн Лп = 5А

V-—?

аПа号，иm=U 点，Z=展+ 而工)2,0) = 2 " V,

/V 丄= 51,6 Гц.

Задачи для самостоятельного решения

Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 1 мГн и конденсатора электроемкостью С = 2 нФ. Пренебрегая сопротивлением контура, определите, на какую длину волны этот контур настроен.

Конденсатор электроемкостью С зарядили до напряжения I7m и замкнули на катушку индуктивностью L. Пренебрегая сопротивлением контура, определите амплитудное значение силы тока в данном колебательном контуре.

В цепь колебательного контура, содержащего последовательно соединенные резистор сопротивлением /? = 40 Ом, катушку индуктивностью 上=0,36 Гн и конденсатор электроемкостью С = 28 мкФ, подключено внешнее переменное напряжение с амплитудным значением Um = 180 В и частотой со = 314 рад/с. Определите: 1) амплитудное значение силы тока /т в пени; 2) сдвиг 屮 по фазе между силой тока и внешним напряжением.

ОТВЕТЫ: 214. 2,67-103м. 215. 1т 二 UmJc7L. 216. 1) ｛「=4,5 А; 2)(р = -1°.

УПРУГИЕ ВОЛНЫ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ

Волновой процесс (волна)Упругие (или механические) волныПродольные волныПоперечные волныУпругая гармоническая волнаДлина волныВолновой фронтВолновая поверхностьПлоская волнаУравнение плоской волныСферическая волнаУравнение сферической волныВолновое уравнениеБегущие волныВектор плотности потока энергииВолновой процесс (волна)Упругие (или механические) волныПродольные волныПоперечные волныУпругая гармоническая волнаДлина волныВолновой фронтВолновая поверхностьПлоская волнаУравнение плоской волныСферическая волнаУравнение сферической волныВолновое уравнениеБегущие волныВектор плотности потока энергииПринцип суперпозиции (наложения) волнФазовая скоростьДисперсия волнДиспергирующая средаВолновой пакетГрупповая скоростьКогерентностьКогерентные волныИнтерференция волнСтоячие волныУравнение стоячей волныЗвуковые (или акустические) волныЭффект ДоплераПринцип суперпозиции (наложения) волнФазовая скоростьДисперсия волнДиспергирующая средаВолновой пакетГрупповая скоростьКогерентностьКогерентные волныИнтерференция волнСтоячие волныУравнение стоячей волныЗвуковые (или акустические) волныЭффект Доплера

Волновой процесс (волна)

Упругие (или механические) волны

Продольные волны

Поперечные волны

Упругая гармоническая волна

Длина волны

Волновой фронт

Волновая поверхность

Плоская волна

Уравнение плоской волны

Сферическая волна

Уравнение сферической волны

Волновое уравнение

Бегущие волны

Вектор плотности потока энергии

Волновой процесс (волна)

Упругие (или механические) волны

Продольные волны

Поперечные волны

Упругая гармоническая волна

Длина волны

Волновой фронт

Волновая поверхность

Плоская волна

Уравнение плоской волны

Сферическая волна

Уравнение сферической волны

Волновое уравнение

Бегущие волны

Вектор плотности потока энергии

Принцип суперпозиции (наложения) волн

Фазовая скорость

Дисперсия волн

Диспергирующая среда

Волновой пакет

Групповая скорость

Когерентность

Когерентные волны

Интерференция волн

Стоячие волны

Уравнение стоячей волны

Звуковые (или акустические) волны

Эффект Доплера

Принцип суперпозиции (наложения) волн

Фазовая скорость

Дисперсия волн

Диспергирующая среда

Волновой пакет

Групповая скорость

Когерентность

Когерентные волны

Интерференция волн

Стоячие волны

Уравнение стоячей волны

Звуковые (или акустические) волны

Эффект Доплера

Основные формулы

Связь между длиной волны 入，периодом Т колебаний и частотой v 入=vT, =入v

[и ——скорость распространения колебаний в среде (фазовая скорость)].

Волновое число

ь „ 2л __ 2л _ со入 vT и

[X — длина волны; и —- фазовая скорость; Т ——период колебаний].

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси 工

己(久，t) = Acos(o)^ ~ kx +(р0)

[^(х,方)——смещение точек среды с координатой к в момент времени 力； А ——амплитуда волны; со ——циклическая (круговая) частота; к —— волновое число, <р0 ——начальная фаза колебаний].

Уравнение сферической волны

占(г,力)=& cos(cD^ -府г +(р0)

[W(r, t)——смещение точек среды на расстоянии г от центра волны в момент времени i; 4。——постоянная величина; со ——циклическая частота; 左 ——волновое число;(р0 ——начальная фаза колебаний].

Волновое уравнение

纯=丄如и2 Э/2

г8282 Д2-1

А =——+ ——+ ―- — оператор Лапласа; и — фазовая скорость 卜

LЭх2 Ну2 Эг2」

Волновое уравнение для плоской волны, распространяющейся вдоль оси X,

8范=丄映

Эх2 v23t2

Фазовая Q) и групповая (и) скорости и связь между ними:

[①一циклическая частота; k ——волновое число;入 ——длина волны].

Связь между разностью фаз 5 и разностью хода волн △:

5 Гпрдвочнп^ но физике

Условия максимума и минимума амплитуды при интерференции волн%ах = ±2哈 A±(2^ 十呜[zn = 0, 1, 2,...;九一длина волны].Уравнение стоячей волны^(х, О = 2Acos — xcosw^ = 2Acosfexcoso)^.Координаты пучностей и узлов стоячей волны(т = 0, 1, 2,…).Условия максимума и минимума амплитуды при интерференции волн%ах = ±2哈 A±(2^ 十呜[zn = 0, 1, 2,...;九一длина волны].Уравнение стоячей волны^(х, О = 2Acos — xcosw^ = 2Acosfexcoso)^.Координаты пучностей и узлов стоячей волны(т = 0, 1, 2,…).口 X口 X入一2入一2у Xу XЛ-2Л-2+一+一

Условия максимума и минимума амплитуды при интерференции волн

%ах = ±2哈 A±(2^ 十呜

[zn = 0, 1, 2,...;九一длина волны].

Уравнение стоячей волны

^(х, О = 2Acos — xcosw^ = 2Acosfexcoso)^.

Координаты пучностей и узлов стоячей волны

(т = 0, 1, 2,…).

Условия максимума и минимума амплитуды при интерференции волн

%ах = ±2哈 A±(2^ 十呜

[zn = 0, 1, 2,...;九一длина волны].

Уравнение стоячей волны

^(х, О = 2Acos — xcosw^ = 2Acosfexcoso)^.

Координаты пучностей и узлов стоячей волны

(т = 0, 1, 2,…).

口 X

口 X

入一2

入一2

у X

у X

Л-2

Л-2

+一

+一

Эффект Доплера в акустике

v= (U 士%屮)%)

D 干 ％ст

[v — частота звука, воспринимаемая движущимся приемником; v0 — частота звука, посылаемая источником; 0np ——скорость движения приемника; иист — скорость движения источника; у — скорость распространения звука. Верхний знак берется, если при движении источника или приемника происходит их сближение, нижний знак — в случае их взаимного удаления].

Примеры решения задач

Плоская синусоидальная волна распространяется вдоль прямой, совпадающей с положительным направлением оси X в среде, не поглощающей энергию, со скоростью р = 10 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях хг = 7 м и х2 = 10 м от источника колебаний, колеблются с разностью фаз Дф = Зл/5. Амплитуда волны А = 5 см. Определить: 1) длину волны 入；2) уравнение волны; 3) смещение ^2 второй точки в момент времени / = 2 с.

Дано:Решением

и = 10 м/с

%] = 7 м х2 = 10 м Дер = Зтг/5 А = 5 см = 0,05 м 方=2 с

△(P =輕(x2 - %]),入

&(招方)=Acosco(i - - J

2 Ят 一入

9=亍，7一工，

嚼(…)，

⑴=

1) Л — ?

Eo = Acosf со/?.

2) &(二 t) - ?

3)殳一?

Ответ'. 1)入=10 м; 2) ^(х, ^) = 0,05cos^2л:^ - ^xj , м; 3)空=5 см.

Определить разность фазовой и групповой скоростей для частоты V = 800 Гц, если фазовая скорость задается выражением V =。。/厶工^ , где 旬=24 м ・ с-з/2,匕=юо Гц.

Дано:

Решение:

V = 800 Гц и = а0/ Jv + b & = 24 м •3/2

b = 100 Гц

_ dw _ 9 dv _ dv" и 一 «о

d 尼d 左V

a07v + Ь

и — ?

_ dv _ dva° Jv + 匕a0Jv + b

'(l,5v + b)dv l,5v + b*

Ответ: и = 0,55 м/с

Два когерентных источника колеблются в одинаковых фазах с частотой V = 400 Гц. Скорость распространения колебаний в среде и = 1 км/с. Определить, при какой наименьшей разности хода будет наблюдаться: 1) максимальное усиление колебаний; 2) максимальное ослабление колебаний.

Дано:Дано:V 二 400 ГцV = 1 км/с = 103 м/сV 二 400 ГцV = 1 км/с = 103 м/сд _ 9max '△ • — ? minд _ 9max '△ • — ? minРешение入=vT к ,△max = 2^5， Hi = 1, Ащах = ~，&min =(2^+呜，П = 0, △mi「A 为Решение入=vT к ,△max = 2^5， Hi = 1, Ащах = ~，&min =(2^+呜，П = 0, △mi「A 为

Дано:

Дано:

V 二 400 Гц

V = 1 км/с = 103 м/с

V 二 400 Гц

V = 1 км/с = 103 м/с

д _ 9

max '

△ • — ? min

д _ 9

max '

△ • — ? min

Решение

入=vT к ,

△max = 2^5， Hi = 1, Ащах = ~，

&min =(2^+呜，П = 0, △mi「A 为

Решение

入=vT к ,

△max = 2^5， Hi = 1, Ащах = ~，

&min =(2^+呜，П = 0, △mi「A 为

Ответ: 1) Amax = 2,5 м; 2) Amin = 1,25 м.

Два динамика расположены на расстоянии d = 2,5 м друг от друга и воспроизводят один и тот же музыкальный тон на определенной частоте, который регистрируется приемником, находящимся на расстоянии Z = 3,5 м от центра динамиков (рис. 51). Если приемник передвинуть от центральной линии параллельно динамикам на расстояние х = 1,55 м, то он фиксирует первый интерференционный минимум. Скорость звука и = 340 м/с. Определить частоту звука.

Дано:

Решение:Решение:d = 2,5 мI = 3,5 м х = 1,55 мV = 340 м/сV — ?d = 2,5 мI = 3,5 м х = 1,55 мV = 340 м/сV — ?Ответ: v = 175 Гц.

Решение:

Решение:

d = 2,5 м

I = 3,5 м х = 1,55 м

V = 340 м/с

V — ?

d = 2,5 м

I = 3,5 м х = 1,55 м

V = 340 м/с

V — ?

Один конец упругого стержня соединен с источником гармонических колебаний, подчиняющихся закону ^ = Acosco^ а другой его конец жестко закреплен. Учитывая, что отражение в месте закрепления стержня происходит от более плотной среды, определите характер колебаний в любой точке стержня.

Дано:自=Acoscoiсреда более плотнаяe(工,方)—？Дано:自=Acoscoiсреда более плотнаяe(工,方)—？Решение:Решение:J = Acosw^f - -j ,

Дано:

自=Acoscoi

среда более плотная

e(工,方)—？

Дано:

自=Acoscoi

среда более плотная

e(工,方)—？

Решение:

Решение:

自2 = Acos ［co［才 + 汇)+ 兀］=-Acosco^Z + 汇),

=A［costotcos — + sincoisin — ~ coso)^cos —=A［costotcos — + sincoisin — ~ coso)^cos —ии=2Asin — silicon (o = и^(x, 0 = 2Asin 豎 xsincoiПри x = m2(力=0，1， При x = ± ^m + i^| (m ==2Asin — silicon (o = и^(x, 0 = 2Asin 豎 xsincoiПри x = m2(力=0，1， При x = ± ^m + i^| (m =и学,入=",и学,入=",ии3%и3%и-4- sinwtsin-4- sinwtsin空2工= У1空2工= У12兀Y2兀Y—уравнение стоячей волны.—уравнение стоячей волны.2, ...) — узлы.2, ...) — узлы.0, 1, 2, ...) — пучности.0, 1, 2, ...) — пучности.&(x, t) = ^! + % = Acos^cot - 等］-Acos^tot + 迫)二

=A［costotcos — + sincoisin — ~ coso)^cos —

=A［costotcos — + sincoisin — ~ coso)^cos —

и

и

=2Asin — silicon (o = и

^(x, 0 = 2Asin 豎 xsincoi

При x = m2(力=0，1， При x = ± ^m + i^| (m =

=2Asin — silicon (o = и

^(x, 0 = 2Asin 豎 xsincoi

При x = m2(力=0，1， При x = ± ^m + i^| (m =

и

学,入=",

и

学,入=",

и

и

3%и

3%и

-4- sinwtsin

-4- sinwtsin

空2工= У1

空2工= У1

2兀Y

2兀Y

—уравнение стоячей волны.

—уравнение стоячей волны.

2, ...) — узлы.

2, ...) — узлы.

0, 1, 2, ...) — пучности.

0, 1, 2, ...) — пучности.

Наблюдатель, стоящий на станции, слышит гудок проходящего электровоза. Когда электровоз приближается, частота звуковых колебаний гудка равна v「а когда удаляется ——v2. Принимая, что скорость и звука известна, определить: 1) скорость рист электровоза; 2) собственную частоту v0 колебаний гудка.

Решение:Решение:Дано:Дано:V2V2%p%pО,О,VVD干*D干*X。X。u ^ истu ^ истV1~V2V1~V2Ответ:1)%ст 二 т~- и, 2) Vo - —V尸2Vi+V2Ответ:1)%ст 二 т~- и, 2) Vo - —V尸2Vi+V22V22V2U + %TVo(V]+ V2)U + %TVo(V]+ V2)V(产V(产、+V2 2v1V2、+V2 2v1V2Vl+V2Vl+V2и,и,

Решение:

Решение:

Дано:

Дано:

V2

V2

%p

%p

О,

О,

V

V

D干*

D干*

X。

X。

u ^ ист

u ^ ист

V1~V2

V1~V2

Ответ:

1)%ст 二 т~- и, 2) Vo - —

V尸2Vi+V2

Ответ:

1)%ст 二 т~- и, 2) Vo - —

V尸2Vi+V2

2V2

2V2

U + %T

Vo(V]+ V2)

U + %T

Vo(V]+ V2)

V(产

V(产

、+V2 2v1V2

、+V2 2v1V2

Vl+V2

Vl+V2

и,

и,

Два катера движутся навстречу друг другу. С первого катера, движущегося со скоростью и】=10 м/с, посылается ультразвуковой сигнал частотой Vj 50 кГц, который распространяется в воде. После отражения от второго катера сигнал принят первым катером с частотой v2 = 52 кГц. Принимая скорость распространения звуковых колебаний в воде равной 1,54 км/с, определить скорость движения второго катера.

Дано'.% = 10 м/сV] = 50 кГц = 5 • 104 Гц v2 = 52 кГц = 5,2 • 104 Гц V 二 1,54 км/с = 1540 м/с°2 — ?Ответ:农=20,2 м/с.Дано'.% = 10 м/сV] = 50 кГц = 5 • 104 Гц v2 = 52 кГц = 5,2 • 104 Гц V 二 1,54 км/с = 1540 м/с°2 — ?Ответ:农=20,2 м/с.Решение'.Решение'., V + ОпV + V.V =^V V2 ^丄 D-D]丄 z I? - l>2, V + ОпV + V.V =^V V2 ^丄 D-D]丄 z I? - l>2V2V2Г + fj и + V2 f + и2у - f г V2V - U2 У - и! 1' U-U?U + U]V]Г + fj и + V2 f + и2у - f г V2V - U2 У - и! 1' U-U?U + U]V]U + VX V]U + VX V]匕-1匕-1

Дано'.

% = 10 м/с

V] = 50 кГц = 5 • 104 Гц v2 = 52 кГц = 5,2 • 104 Гц V 二 1,54 км/с = 1540 м/с

°2 — ?

Ответ:农=20,2 м/с.

Дано'.

% = 10 м/с

V] = 50 кГц = 5 • 104 Гц v2 = 52 кГц = 5,2 • 104 Гц V 二 1,54 км/с = 1540 м/с

°2 — ?

Ответ:农=20,2 м/с.

Решение'.

Решение'.

, V + ОпV + V.

V =^V V2 ^

丄 D-D]丄 z I? - l>2

, V + ОпV + V.

V =^V V2 ^

丄 D-D]丄 z I? - l>2

V2

V2

Г + fj и + V2 f + и2у - f г V2

V - U2 У - и! 1' U-U?U + U]V]

Г + fj и + V2 f + и2у - f г V2

V - U2 У - и! 1' U-U?U + U]V]

U + VX V]

U + VX V]

匕-1

匕-1

Задачи для самостоятельного решения

Две точки лежат на луче и находятся от источника колебаний на расстояниях %】=4 м и л^ = 7 м. Период колебаний Т = 20 мс и скорость и распространения волны равна 300 м/с. Определите разность фаз колебаний этих точек.

Два когерентных источника посылают поперечные волны в одинаковых фазах. Периоды колебаний Т = 0,2 с, скорость распространения волн в среде и = 800 м/с. Определите, при какой разности хода в случае наложения волн будет наблюдаться： 1) ослабление колебаний; 2) усиление колебаний.

Определите длину волны 入,если расстояние △% между первым и четвертым узлами стоячей волны равно 30 см.

Один конец упругого стержня соединен с источником гармонических колебаний, подчиняющихся закону ^ = Acoscot, а другой его конец жестко закреплен. Учитывая, что отражение в месте закрепления стержня происходит от менее плотной среды, определите характер колебаний в любой точке стержня.

Электропоезд проходит со скоростью 72 км/ч мимо неподвижного приемника и дает гудок, частота которого 300 Гц. Принимая скорость звука равной 340 м/с, определите скачок частоты, воспринимаемый приемником.

ОТВЕТЫ: 224. Д(р =兀，точки колеблются в противоположных фазах.

225. 1) ±80(2тп + 1), м (m = 0, 1, 2, ...); 2) ±160т, м (тп = 0, 1, 2,…).

226. 20 см.226. 20 см.227. ^ = 2Acos~227. ^ = 2Acos~хcoscot — уравнение стоячей волны;хcoscot — уравнение стоячей волны;

226. 20 см.

226. 20 см.

227. ^ = 2Acos~

227. ^ = 2Acos~

хcoscot — уравнение стоячей волны;

хcoscot — уравнение стоячей волны;

(т = 0,(т = 0,если % = ±лг- (т = 0, 1, 2, ...) — пучности; если х = 土(лг +1

(т = 0,

(т = 0,

1, 2, ...) — узлы. 228. 34,5 Гц.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ

Объемная плотность энергии электромагнитного поляВектор плотности потока электромагнитной энергии (вектор Умова—Пойнтинга)Шкала электромагнитных волнОбъемная плотность энергии электромагнитного поляВектор плотности потока электромагнитной энергии (вектор Умова—Пойнтинга)Шкала электромагнитных волнЭлектромагнитные волны

Объемная плотность энергии электромагнитного поля

Вектор плотности потока электромагнитной энергии (вектор Умова—Пойнтинга)

Шкала электромагнитных волн

Объемная плотность энергии электромагнитного поля

Вектор плотности потока электромагнитной энергии (вектор Умова—Пойнтинга)

Шкала электромагнитных волн

Поперечность эле ктрома пч итн ы х волн

Фазовая скорость

электромагнитных волн в среде

Волновое уравнение

электромагнитной волны

Уравнение плоской

электромагнитной волны

Основные формулы

Фазовая скорость распространения электромагнитных волн в среде

[с =— скорость распространения света в вакууме; е0 и ц0 — со-

ответственно электрическая и магнитная постоянные; Е и ц — соответственно электрическая и магнитная проницаемость среды].

Связь между мгновенными значениями напряженностей электрического (Е) и магнитного (Л) полей электромагнитной волны 7v£ = л/НоНя-

Волновое уравнение электромагнитной волны

и? Э/2v2 9t2

Г32Д2 Д2

Д = ——+ —— 十— — оператор Лапласа; и — фазовая скорость элек-

Lа%2 Ну? Эг2 т _

тромагнитных волн; Е и Н — соответственно векторы напряженностей электрического и магнитного полей электромагнитной волнн]. Уравнения плоской электромагнитной волны

E0cos(a)t - kx + ср), Н = //Ocos(wt - /гх + (р)

[瓦 и HQ —соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны; со — круговая частота; k = w/v —— волновое число; (р — начальная фаза колебаний в точке с координатой х = 0].

Объемная плотность энергии электромагнитного поля

%£e2 h0从h2W 2~―2~

[Е — напряженность электрического поля волны; Н — напряженность магнитного поля волны].

Вектор плотности потока электромагнитной энергии — вектор

Умова—Пойнтинга一 _

S = [ЕЩ

[£ ——вектор напряженности электрического поля электромагнитной волны; Н — вектор напряженности магнитного поля электромагнитной волны].

Примеры решения задач

Электромагнитная волна с частотой v = 5 МГц переходит из немагнитной среды с диэлектрической проницаемостью £ = 2 в вакуум. Определить изменение ее длины волны.

Дано:

Решение:

V = 5 МГц = 5 • 106 Гц £=2 ц = 1

a 入 *-一 ?

Ответ: △入=17,6 м*

入一，入= 2 = £=

Определить длину электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен колебательный контур, если максимальный заряд на пластинах конденсатора Qm = 50 нКл, а максимальная сила тока в контуре fm = 1，5 А. Активным сопротивлением контура пренебречь.

Дано: Решение:

Qm = 50 нКл = 5 • 10-8 КлQ = Q】】】cos①方，工=需=-coQmSin⑴土,

入—？入—？①Qm，①Qm，入口£入口£271c(0271c(0co = 2nv, _ 2kcQmco = 2nv, _ 2kcQm

入—？

入—？

①Qm，

①Qm，

入口£

入口£

271c(0

271c(0

co = 2nv, _ 2kcQm

co = 2nv, _ 2kcQm

Ответ:入=62,8 м.

Длина 入 электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен колебательный контур, равна 12 м. Пренебрегая активным сопротивлением контура, определить максимальный заряд Qm на пластинах конденсатора, если максимальная сила тока в контуре

Дано:Дано:Решение:

Дано:

Дано:

入—12 м入—12 мА = сТ,А = сТ,

入—12 м

入—12 м

А = сТ,

А = сТ,

T=2几券,入= с・2!1言,

Ответ'. Qm = 6,37 Кл.

В вакууме вдоль оси X распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны равна 10 В/м. Определить амплитуду напряженности магнитного поля волны.

Дано:Решением

е = 1Eq 二 10 В/ме = 1Eq 二 10 В/м^ZqzE 二 Jn()nH ,^ZqzE 二 Jn()nH ,£ = £0cos(a)i 一 kx).£ = £0cos(a)i 一 kx).H = HqCos (①方-kx).H = HqCos (①方-kx).% — ?% — ?При £ = 1 и 卩=1 阮/ 工 風Но ,/ =佟 /•При £ = 1 и 卩=1 阮/ 工 風Но ,/ =佟 /•NqNq

е = 1

Eq 二 10 В/м

е = 1

Eq 二 10 В/м

^ZqzE 二 Jn()nH ,

^ZqzE 二 Jn()nH ,

£ = £0cos(a)i 一 kx).

£ = £0cos(a)i 一 kx).

H = HqCos (①方-kx).

H = HqCos (①方-kx).

% — ?

% — ?

При £ = 1 и 卩=1 阮/ 工 風Но ,/ =佟 /•

При £ = 1 и 卩=1 阮/ 工 風Но ,/ =佟 /•

Nq

Nq

Ответ'. Но = 26,5 мА/м.

В вакууме вдоль оси X распространяется плоская электромагнитная волна и падает по нормали на поверхность тела, полностью ее поглощающего. Амплитуда напряженности магнитного поля волны равна 0,15 А/м. Определить давление, оказываемое волной на тело. Воспользуйтесь результатом теоремы Максвелла о том, что если тело полностью поглощает падающую на него энергию, то давление численно равно среднему значению объемной плотности энергии в падающей электромагнитной волне.

Дано:

E = 1

ц = 1

Яо = 0,15 А/м p =(6

Решение:

月ЁЕ =加林Н, Е = E0cos(cot - kx),

l,епеЕ2卩科 H2

H = HqCOS(⑴t-左%), w3 =-2

^3 _ Мм， 3 —记3 + 如М 一 2% 一 2вм,

W = 21VM = Ц0ЦЯ2 =卩0卩日^ 0052(0^ — fex).

р — ?

〈切〉=<ЦоцНд cos2(cut -用吗〉,

<cos2(o^ - kx}} = I, p =〈6 = ,Ho .

Ответа p = 17,7 пПа.

В вакууме вдоль оси X распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны составляет 50 мВ/м. Определить интенсивность волны /.

Дано:Е = 1卩=]Е° = 50 мВ/м = 5 • 10 2 В/м/ — ?Дано:Е = 1卩=]Е° = 50 мВ/м = 5 • 10 2 В/м/ — ?Решение:

Дано:

Е = 1

卩=]

Е° = 50 мВ/м = 5 • 10 2 В/м

/ — ?

Дано:

Е = 1

卩=]

Е° = 50 мВ/м = 5 • 10 2 В/м

/ — ?

1=6〉，

S = ЕН = EqHqCOS2^ - kx),

<cos2(wi - kx)} a T，3> = ^ 后声0,

Т^^о = 7^o^ ^o>1 = <S> I Eq .

Ответ: I == 3,32 мкВт/м2.

Задачи для самостоятельного решения

Колебательный контур содержит конденсатор электроемкостью С = 0,5 нФ и катушку индуктивностью L = 0,4 мГн. Определите длину волны излучения, генерируемого контуром.

Скорость распространения электромагнитных волн в некоторой среде составляет и = 250 Мм/с. Определите длину волны электромагнитных волн в этой среде, если их частота в вакууме v0 = 1 МГц.

В вакууме вдоль оси X распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности магнитного поля волны равна 1 мА/м. Определите амплитуду напряженности электрического поля волны.

В вакууме вдоль оси X распространяется плоская электромагнитная волна и падает по нормали на поверхность тела, полностью его поглощающего. Амплитуда напряженности электрического поля волны равна 2 В/м. Определите давление, оказываемое волной на тело.

ОТВЕТЫ: 235. 843 м. 236. 250 м. 237. 0,377 В/м. 238. 8,85 пПа.

0

Оптика.

Квантовая природа излучения

ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ

ОСНОВНЫЕ понятия

Световой лучОптически однородная средаОтносительный показатель преломленияАбсолютный показатель преломленияПолное отражениеПараксиальные лучиОптическая сила линзыСветовой лучОптически однородная средаОтносительный показатель преломленияАбсолютный показатель преломленияПолное отражениеПараксиальные лучиОптическая сила линзыФазовая скоростьЛинза, тонкая линзаГлавная оптическая осьОптический иентр линзыПобочная оптическая осьФокальная плоскость линзыФокус линзыФокусное расстояниеФормула тонкой линзыФазовая скоростьЛинза, тонкая линзаГлавная оптическая осьОптический иентр линзыПобочная оптическая осьФокальная плоскость линзыФокус линзыФокусное расстояниеФормула тонкой линзы

Световой луч

Оптически однородная среда

Относительный показатель преломления

Абсолютный показатель преломления

Полное отражение

Параксиальные лучи

Оптическая сила линзы

Световой луч

Оптически однородная среда

Относительный показатель преломления

Абсолютный показатель преломления

Полное отражение

Параксиальные лучи

Оптическая сила линзы

Фазовая скорость

Линза, тонкая линза

Главная оптическая ось

Оптический иентр линзы

Побочная оптическая ось

Фокальная плоскость линзы

Фокус линзы

Фокусное расстояние

Формула тонкой линзы

Фазовая скорость

Линза, тонкая линза

Главная оптическая ось

Оптический иентр линзы

Побочная оптическая ось

Фокальная плоскость линзы

Фокус линзы

Фокусное расстояние

Формула тонкой линзы

Основные формулы

Абсолютный показатель преломления

тг = £

[с — скорость электромагнитных волн в вакууме; и — фазовая скорость электромагнитных волн в среде].

Относительный показатель преломления второй среды относительно первой

也 21 =一

[nx и п2 ——абсолютные показатели преломления первой и второй сред]. Закон отражения света

Закон преломления света

sini] sini2sini] sini2=秋1=秋1

sini] sini2

sini] sini2

=秋1

=秋1

(4 — угол падения; X； ——угол отражения; % — угол преломления; п21 — относительный показатель преломления второй среды относи-

тельно первой; п^ и тг2 ——абсолютные показатели преломления первой и второй сред].

Оптическая сила тонкой линзы

Дано:Дано:Решение:Решение:=^91 »sini2Sint2 = =^91 »sini2Sint2 = X - ?X - ?x ED = CD sin(90° - ц),x ED = CD sin(90° - ц),BD =,tg(90°-%)'BD =,tg(90°-%)'ВС = d tgz2,ВС = d tgz2,-d tg% sin(90° - 厶),-d tg% sin(90° - 厶),x = dsinij 1x = dsinij 1cost]厶2 — sin2jycost]厶2 — sin2jy

Дано:

Дано:

Решение:

Решение:

=^91 »

sini2

Sint2 =

=^91 »

sini2

Sint2 =

X - ?

X - ?

x ED = CD sin(90° - ц),

x ED = CD sin(90° - ц),

BD =,

tg(90°-%)'

BD =,

tg(90°-%)'

ВС = d tgz2,

ВС = d tgz2,

-d tg% sin(90° - 厶),

-d tg% sin(90° - 厶),

x = dsinij 1

x = dsinij 1

cost]

厶2 — sin2jy

cost]

厶2 — sin2jy

[/ ——фокусное расстояние линзы; N = п/п^ ― относительный показатель преломления (тг и п1 — соответственно абсолютные показатели преломления линзы и окружающей среды); R-^ и R2 ~ радиусы кривизны поверхностей линзы (五 > 0 для выпуклой поверхности, R < 0 для вогнутой)].

Формула тонкой линзы

丄=丄+丄fab

[f ——фокусное расстояние линзы; а — расстояние от линзы до предмета; Ъ — расстояние от линзы до изображения предмета].

Примеры решения задач

На плоскопараллельную стеклянную (п = 1,5) пластинку толщиной d = 5 см падает под углом 厶=30° луч света (рис. 52). Определить боковое смещение луча, прошедшего сквозь эту пластинку.

п = 1,5

d = 5 см а 5 • 10~2 м

А = 30°

Ответ: x = 9,69 мм.

If = al - a2, I =,

a-f

¥ = 0 (условие min): da

Рис, 53

亚=2a(a -力-a? = °, da(a~/У'

2a(a - /)—浸=o,(

7 = 2九

240. Предельный угол полного отражения на границе стекло — жидкость 2np = 65°. Определить показатель преломления жидкости, если показатель преломления стекла п = 1,5.Дано: Решение'.240. Предельный угол полного отражения на границе стекло — жидкость 2np = 65°. Определить показатель преломления жидкости, если показатель преломления стекла п = 1,5.Дано: Решение'.…65。n = 1,5sin\p= y*几ж =二 sini11PПж — ?…65。n = 1,5sin\p= y*几ж =二 sini11PПж — ?Ответ:几冰=1,36.Ответ:几冰=1,36.241. Необходимо241. Необходимоизготовить плосковыпуклую линзу с оптичеизготовить плосковыпуклую линзу с оптической силой Ф = 4 дптр. Определить радиус кривизны выпуклой поской силой Ф = 4 дптр. Определить радиус кривизны выпуклой поверхности линзы, если показатель преломления равен 1,6.верхности линзы, если показатель преломления равен 1,6.материала линзыматериала линзыДано'.Решение'.Дано'.Решение'.Ф = 4 дптр п = 1,6R — ?Ф = 4 дптр п = 1,6R — ?где N =—, п1где N =—, п1几1 = 1, N = п.几1 = 1, N = п.—=Ф, = °°, Rn ~ R, Ф = (п ~ 1) —■, R =——- /12RФ—=Ф, = °°, Rn ~ R, Ф = (п ~ 1) —■, R =——- /12RФОтвет: R = 15 см*Ответ: R = 15 см*242. Определить расстояние а от двояковыпуклой линзы до предмета, при котором расстояние от предмета до действительного изображения будет минимальным (рис. 53).242. Определить расстояние а от двояковыпуклой линзы до предмета, при котором расстояние от предмета до действительного изображения будет минимальным (рис. 53).Дано:Дано:Решение:Решение:匕+a匕+a1 ~ JO111 ~ JO11b+ b йab+ b йaОтвет: a = 2/.

240. Предельный угол полного отражения на границе стекло — жидкость 2np = 65°. Определить показатель преломления жидкости, если показатель преломления стекла п = 1,5.

Дано: Решение'.

240. Предельный угол полного отражения на границе стекло — жидкость 2np = 65°. Определить показатель преломления жидкости, если показатель преломления стекла п = 1,5.

Дано: Решение'.

…65。

n = 1,5

sin\p= y*

几ж =

二 sini11P

Пж — ?

…65。

n = 1,5

sin\p= y*

几ж =

二 sini11P

Пж — ?

Ответ:几冰=1,36.

Ответ:几冰=1,36.

241. Необходимо

241. Необходимо

изготовить плосковыпуклую линзу с оптиче

изготовить плосковыпуклую линзу с оптиче

ской силой Ф = 4 дптр. Определить радиус кривизны выпуклой по

ской силой Ф = 4 дптр. Определить радиус кривизны выпуклой по

верхности линзы, если показатель преломления равен 1,6.

верхности линзы, если показатель преломления равен 1,6.

материала линзы

материала линзы

Дано'.Решение'.

Дано'.Решение'.

Ф = 4 дптр п = 1,6

R — ?

Ф = 4 дптр п = 1,6

R — ?

где N =—, п1

где N =—, п1

几1 = 1, N = п.

几1 = 1, N = п.

—=Ф, = °°, Rn ~ R, Ф = (п ~ 1) —■, R =——- /12RФ

—=Ф, = °°, Rn ~ R, Ф = (п ~ 1) —■, R =——- /12RФ

Ответ: R = 15 см*

Ответ: R = 15 см*

242. Определить расстояние а от двояковыпуклой линзы до предмета, при котором расстояние от предмета до действительного изображения будет минимальным (рис. 53).

242. Определить расстояние а от двояковыпуклой линзы до предмета, при котором расстояние от предмета до действительного изображения будет минимальным (рис. 53).

Дано:

Дано:

Решение:

Решение:

匕+a

匕+a

1 ~ JO

11

1 ~ JO

11

b

+ b йa

b

+ b йa

Задачи для самостоятельного решения

На горизонтальном дне бассейна глубиной h = 1,5 м лежит плоское зеркало. Луч света входит в воду под углом ц = 45°. Определите расстояние s от места вхождения луча в воду до места выхода его на поверхность воды после отражения от зеркала. Показатель преломления воды п = 1,33.

Луч света выходит из стекла в вакуум. Предельный угол inp = 42°. Определите скорость света в стекле.

Двояковыпуклая линза с показателем преломления п = 1,5 имеет одинаковые радиусы кривизны поверхностей, равные 10 см. Изображение предмета с помощью этой линзы оказывается в 5 раз больше предмета. Определите расстояние от предмета до изображения.

ОТВЕТЫ: 243. 1,88 м. 244. 201 Мм/с. 245. 72 см.

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Волновой цуг♦ Оптическая разность хода

Время когерентности♦ Условие интерферениионного

Длина когерентностимаксимума

.Временная когерентность* Условие интерференционного

сминимума

Пространственная когерентность_

「「♦ ширина интерферениионной полосы

Ра^УС когерентности* п0Aoeы равного наклона

Интерференция света* Полосы равной толшины

Оптическая длина пути* Кольца Ньютона

Основные формулы

Скорость света в среде

п

[с — скорость распространения света в вакууме; п ——абсолютный показатель преломления среды].

Оптическая длина пути

L = ns

[s — геометрическая длина пути световой волны в среде; п — показатель преломления этой среды].

Оптическая разность хода двух световых волн

[丄1 и 工2— соответственно оптические длины, проходимые волнами путей].

Разность фаз двух когерентных волн

入。

[入о — длина волны в вакууме; △ — оптическая разность хода двух световых волн].

Условие интерференционных максимумов Д = ± т■入 °

[т = 0, 1, 2,...;入° — длина волны в вакууме].

Условие интерференционных минимумов

А = ±(2т + 1育

[т = 0, 1, 2, ...; % — длина волны в вакууме].

Ширина интерференционной полосы

b =—入 пd 0

[d — расстояние между двумя когерентными источниками, находящимися на расстоянии I от экрана (2》d)].

Условия максимумов и минимумов при интерференции света, отраженного от верхней и нижней поверхностей тонкой плоскопараллельной пленки, находящейся в воздухе (孔。=1),

2dTtcosr ± ~ = 2d J孔2 一 sin?纟 ± ? = mX0,

2dzicos厂 ± у = 2djM - siMi ± ^ = (2m + 1/

[d — толщина пленки; n — ее показатель преломления; t — угол падения; 广一угол преломления; тп = 0, 1, 2,...

В общем случае слагаемое ±^ обусловлено потерей полуволны при отражении света от границы раздела].

Радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете (или темных в проходящем свете)

[лг = 1, 2, 3, ... — номер кольца; R — радиус кривизны линзы;入° — длина волны в вакууме].

Радиусы темных колец Ньютона в отраженном свете (или светлых в проходящем свете)

[?п = 0, 1, 2, ... — номер кольца;五一радиус кривизны линзы;入° — длина волны в вакууме].

В случае просветления оптики интерферирующие лучи в отраженном свете гасят друг друга при условии

入

п = Jnc, nd = (2m + 1)T

[nc — показатель преломления стекла; п — показатель преломления пленки; nd — оптическая толщина пленки; m = 0, 1, 2, ...; Хо — длина волны в вакууме].

Примеры решения задач

Дано:Дано:Ответ'. Дос = 5 • 10 4 рад.Ответ'. Дос = 5 • 10 4 рад.В опыте Юнга расстояние 2 от щелей до экрана равно 3 м (рис. 54). Определить угловое расстояние между соседними светлыми полосами, если третья светлая полоса на экране отстоит от центра интерференционной картины на расстоянии 4,5 мм.

Дано:

Дано:

Ответ'. Дос = 5 • 10 4 рад.

Ответ'. Дос = 5 • 10 4 рад.

Z = 3 м

m = 3

х = 4,5 мм = 4,5 • 10-3 м

Если в опыте Юнга на пути одного из интерферирующих лучей поместить перпендикулярно этому лучу тонкую стеклянную пластинку (п = 1,5), то центральная светлая полоса смещается в положение, первоначально занимаемое пятой светлой полосой. Длина волны 入=0,5 мкм. Определить толщину пластинки.

Дано:n = 1,5m = 5入=0,5 мкм = 5 ■ 10 7 мd — ?Ответ: d = 5 мкм.Дано:n = 1,5m = 5入=0,5 мкм = 5 ■ 10 7 мd — ?Ответ: d = 5 мкм.Решение.Д nd - d = d(n - 1),A = mA, тЛ = d(n - 1),n - 1Решение.Д nd - d = d(n - 1),A = mA, тЛ = d(n - 1),n - 1248. На плоскопараллельную пленку с показателем преломления п = 1,33 под углом i = 45° падает параллельный пучок белого света (рис. 55). Определить, при какой наименьшей толщине пленки зеркально отраженный свет наиболее сильно окрасится в желтый свет (入=0,6 мкм).248. На плоскопараллельную пленку с показателем преломления п = 1,33 под углом i = 45° падает параллельный пучок белого света (рис. 55). Определить, при какой наименьшей толщине пленки зеркально отраженный свет наиболее сильно окрасится в желтый свет (入=0,6 мкм).Дано:Дано:Решение:Решение:п = 1,33i = 45。入=0,6 мкм = 6 ■ 10 7 мd — ?п = 1,33i = 45。入=0,6 мкм = 6 ■ 10 7 мd — ?АЕ = 2d tgr sini,АЕ = 2d tgr sini,А = ^^ - 2d tgr sini + ^ ,А = ^^ - 2d tgr sini + ^ ,cosrcosrmax: A = mZ (m = 0, 1, 2,…), Д - (AC + BC)n - [AE - ^ , AB = BC ~ 才 AD = d tg cos『"max: A = mZ (m = 0, 1, 2,…), Д - (AC + BC)n - [AE - ^ , AB = BC ~ 才 AD = d tg cos『"sini 『sini 『tgLtgLsinrCOSTsinrCOST-^- (n - sinrsini) += X (m = 1),cosr2-^- (n - sinrsini) += X (m = 1),cosr22d I、 cos r I2d I、 cos r ISin23] sinr/Sin23] sinr/A2A2纯(1 - siMr) = A , cosr2纯(1 - siMr) = A , cosr2入一2入一24 n cos г4 n cos гcosr = 71 - sin2г = - Jn2 - sin2z,cosr = 71 - sin2г = - Jn2 - sin2z,d =d =47л2 - sin2 i47л2 - sin2 i

Дано:

n = 1,5

m = 5

入=0,5 мкм = 5 ■ 10 7 м

d — ?

Ответ: d = 5 мкм.

Дано:

n = 1,5

m = 5

入=0,5 мкм = 5 ■ 10 7 м

d — ?

Ответ: d = 5 мкм.

Решение.

Д nd - d = d(n - 1),

A = mA, тЛ = d(n - 1),

n - 1

Решение.

Д nd - d = d(n - 1),

A = mA, тЛ = d(n - 1),

n - 1

248. На плоскопараллельную пленку с показателем преломления п = 1,33 под углом i = 45° падает параллельный пучок белого света (рис. 55). Определить, при какой наименьшей толщине пленки зеркально отраженный свет наиболее сильно окрасится в желтый свет (入=0,6 мкм).

248. На плоскопараллельную пленку с показателем преломления п = 1,33 под углом i = 45° падает параллельный пучок белого света (рис. 55). Определить, при какой наименьшей толщине пленки зеркально отраженный свет наиболее сильно окрасится в желтый свет (入=0,6 мкм).

Дано:

Дано:

Решение:

Решение:

п = 1,33

i = 45。

入=0,6 мкм = 6 ■ 10 7 м

d — ?

п = 1,33

i = 45。

入=0,6 мкм = 6 ■ 10 7 м

d — ?

АЕ = 2d tgr sini,

АЕ = 2d tgr sini,

А = ^^ - 2d tgr sini + ^ ,

А = ^^ - 2d tgr sini + ^ ,

cosr

cosr

max: A = mZ (m = 0, 1, 2,…), Д - (AC + BC)n - [AE - ^ , AB = BC ~ 才 AD = d tg cos『"

max: A = mZ (m = 0, 1, 2,…), Д - (AC + BC)n - [AE - ^ , AB = BC ~ 才 AD = d tg cos『"

sini 『

sini 『

tgL

tgL

sinr

COST

sinr

COST

-^- (n - sinrsini) += X (m = 1),

cosr2

-^- (n - sinrsini) += X (m = 1),

cosr2

2d I、 cos r I

2d I、 cos r I

Sin23] sinr/

Sin23] sinr/

A

2

A

2

纯(1 - siMr) = A , cosr2

纯(1 - siMr) = A , cosr2

入一2

入一2

4 n cos г

4 n cos г

cosr = 71 - sin2г = - Jn2 - sin2z,

cosr = 71 - sin2г = - Jn2 - sin2z,

d =

d =

47л2 - sin2 i

47л2 - sin2 i

Ответ: d = 133 нм.

На стеклянный клин (п= 1,5) с преломляющим углом ct = 40" нормально падает монохроматический свет с длиной волны 入=600 нм (рис. 56). Определить в интерференционной картине расстояние между двумя соседними минимумами.

Дано:п = 1,5а = 40〃 = 1,94 • 10-4 рад入=600 нм = 6 • 10~7 мДано:п = 1,5а = 40〃 = 1,94 • 10-4 рад入=600 нм = 6 • 10~7 м匕一？а = (тп + 1)九- mA — Z2bn 2&nОтвет: b = 1,03 мм.匕一？а = (тп + 1)九- mA — Z2bn 2&nОтвет: b = 1,03 мм.Решение:2dncosr + ^ = (2m + 1g(z?i = 0, 1, 2, ...), г = 0, 2dM = 77i入，d =処， since =+_% ,since ~ a,b =-—— (ct — в радианах).Решение:2dncosr + ^ = (2m + 1g(z?i = 0, 1, 2, ...), г = 0, 2dM = 77i入，d =処， since =+_% ,since ~ a,b =-—— (ct — в радианах).250. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохроматическим светом с длиной волны 入=0,6 мкм, падающим нормально (рис. 57). Пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнено жидкостью, и наблюдение ведется в проходящем свете. Радиус кривизны линзы Л = 4 м. Определить показатель преломления жидкости, если радиус второго светлого кольца г = 1,8 мм.250. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохроматическим светом с длиной волны 入=0,6 мкм, падающим нормально (рис. 57). Пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнено жидкостью, и наблюдение ведется в проходящем свете. Радиус кривизны линзы Л = 4 м. Определить показатель преломления жидкости, если радиус второго светлого кольца г = 1,8 мм.

Дано:

п = 1,5

а = 40〃 = 1,94 • 10-4 рад

入=600 нм = 6 • 10~7 м

Дано:

п = 1,5

а = 40〃 = 1,94 • 10-4 рад

入=600 нм = 6 • 10~7 м

匕一？

а = (тп + 1)九- mA — Z

2bn 2&n

Ответ: b = 1,03 мм.

匕一？

а = (тп + 1)九- mA — Z

2bn 2&n

Ответ: b = 1,03 мм.

Решение:

2dncosr + ^ = (2m + 1g

(z?i = 0, 1, 2, ...), г = 0, 2dM = 77i入，

d =処， since =+_% ,since ~ a,

b =-—— (ct — в радианах).

Решение:

2dncosr + ^ = (2m + 1g

(z?i = 0, 1, 2, ...), г = 0, 2dM = 77i入，

d =処， since =+_% ,since ~ a,

b =-—— (ct — в радианах).

250. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохроматическим светом с длиной волны 入=0,6 мкм, падающим нормально (рис. 57). Пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнено жидкостью, и наблюдение ведется в проходящем свете. Радиус кривизны линзы Л = 4 м. Определить показатель преломления жидкости, если радиус второго светлого кольца г = 1,8 мм.

250. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохроматическим светом с длиной волны 入=0,6 мкм, падающим нормально (рис. 57). Пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнено жидкостью, и наблюдение ведется в проходящем свете. Радиус кривизны линзы Л = 4 м. Определить показатель преломления жидкости, если радиус второго светлого кольца г = 1,8 мм.

Дано:入=0,6 мкм = 6 ТО— м 7? = 4 мm = 2г = 1,8 мм = 1,8 • 10-3 мn~~？Дано:入=0,6 мкм = 6 ТО— м 7? = 4 мm = 2г = 1,8 мм = 1,8 • 10-3 мn~~？Решение:Решение:r Н J五2_(区_内2 = j2Rd, d=r Н J五2_(区_内2 = j2Rd, d=Д = 2dтг,孔=3Д = 2dтг,孔=32dzz = mZ, n2dzz = mZ, nmX2dmX2dmax:厶=/и入max:厶=/и入m入，2正=mXR2 г2г2m入，2正=mXR2 г2г2

Дано:

入=0,6 мкм = 6 ТО— м 7? = 4 м

m = 2

г = 1,8 мм = 1,8 • 10-3 м

n~~？

Дано:

入=0,6 мкм = 6 ТО— м 7? = 4 м

m = 2

г = 1,8 мм = 1,8 • 10-3 м

n~~？

Решение:

Решение:

r Н J五2_(区_内2 = j2Rd, d=

r Н J五2_(区_内2 = j2Rd, d=

Д = 2dтг,孔=3

Д = 2dтг,孔=3

2dzz = mZ, n

2dzz = mZ, n

mX

2d

mX

2d

max:厶=/и入

max:厶=/и入

m入，2正=mXR

2 г2г2

m入，2正=mXR

2 г2г2

Ответ: п = 1,48.

d — ?d — ?A =2dn,min: A = (2zn + 1)-d =(2m + 1)入=(2zn + 1)九4R4版.A =2dn,min: A = (2zn + 1)-d =(2m + 1)入=(2zn + 1)九4R4版.2dn = (2т 十 1)|,2dn = (2т 十 1)|,(тп = 0, 1, 2,...).(тп = 0, 1, 2,...).Ответ: d =Ответ: d =

d — ?

d — ?

A =

2dn,

min: A = (2zn + 1)-

d =

(2m + 1)入=(2zn + 1)九

4R4版.

A =

2dn,

min: A = (2zn + 1)-

d =

(2m + 1)入=(2zn + 1)九

4R4版.

2dn = (2т 十 1)|,

2dn = (2т 十 1)|,

(тп = 0, 1, 2,...).

(тп = 0, 1, 2,...).

Ответ: d =

Ответ: d =

Для уменьшения потерь света из-за отражения от поверхности стекла осуществляют «просветление оптики»: на свободную поверхность линз наносят тонкую пленку с показателем преломления п = б©. В этом случае амплитуды отраженных лучей Г, 2' (рис. 58) от обеих поверхностей такой пленки одинаковы. Определить толщину d слоя, при которой отражение для света с длиной волны 九 от стекла в направлении нормали равно нулю.

Дано:Дано:Решение:

Дано:

Дано:

На рис. 59 показана схема интерференционного рефрактометра, применяемого для измерения показателя преломления прозрачных веществ. S — узкая щель, освещаемая монохроматическим светом с длиной волны Л = 589 нм; I и 2 ——кюветы длиной I = 10 см, которые заполнены воздухом (п0 = 1,000277). При замене в одной из кювет воздуха на аммиак интерференционная картина на экране сместилась на т= 17 полос. Определить показатель преломления аммиака.

Дано:Дано:

Дано:

Дано:

入=589 нм = 5,89 • 10-7 мZ = 10 см = 0,1 м п0= 1,000277 m = 17入=589 нм = 5,89 • 10-7 мZ = 10 см = 0,1 м п0= 1,000277 m = 17

入=589 нм = 5,89 • 10-7 м

Z = 10 см = 0,1 м п0= 1,000277 m = 17

入=589 нм = 5,89 • 10-7 м

Z = 10 см = 0,1 м п0= 1,000277 m = 17

А = 1冷一£厶0 = i(n - Ai。)， Д = тХ, Z(ft ~ 孔о)= mA, п = —у— + ?Iq.

m - ?

Ответа тг = 1,000377.

Задачи для самостоятельного решения

Расстояние между двумя щелями в опыте Юнга d = 0,5 мм (入=0,6 мкм). Определите расстояние I от щелей до экрана, если ширина b интерференционных полос равна 1,2 мм.

На стеклянный клин (п = 1,5) нормально падает монохроматический свет (Л = 698 нм). Определите угол между поверхностями клина, если расстояние b между двумя соседними интерференционными минимумами в отраженном свете равно 2 мм.

Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохроматическим светом, падающим нормально. При заполнении пространства между линзой и стеклянной пластинкой прозрачной жидкостью радиусы темных колец в отраженном свете уменьшились в 1,21 раза. Определите показатель преломления жидкости.

256* Для измерения показателя преломления аммиака в одно из плеч интерферометра Майкельсона помещена закрытая с обеих сторон откачанная до высокого вакуума стеклянная трубка длиной 2 = 15 см. При заполнении трубки аммиаком интерференционная картина для длины волны 入=589 нм сместилась на 192 полосы. Определите показатель преломления аммиака.

На пути лучей интерференционного рефрактометра помещаются трубки длиной Z = 2 см с плоскопараллельными стеклянными основаниями, наполненные воздухом (孔q = 1,000277). Одну трубку заполнили хлором, при этом интерференционная картина сместилась на /та = 20 полос. Определите показатель преломления хлора, если наблюдение производится в монохроматическом свете с длиной волны 入=589 нм.

ОТВЕТЫ: 253」= db/4= 1 м. 254. а =入/(2孔匕)，а =24、255. 1,46.

256.冷=乎 + 1 = 1,000377. 257. 1,000866.

5.3. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ

Дифракция светаПриниип ГюйгенсаПриниип Гюйгенса--ФренеляМетол зон ФренеляЛифракиия ФренеляДифракция на круглом отверстииДифракиия на лискеЛифракиия ФраунгофераЛифракиия Фраунгофера на шелиОдномерная дифракционная решеткаДифракция светаПриниип ГюйгенсаПриниип Гюйгенса--ФренеляМетол зон ФренеляЛифракиия ФренеляДифракция на круглом отверстииДифракиия на лискеЛифракиия ФраунгофераЛифракиия Фраунгофера на шелиОдномерная дифракционная решеткаЛифракиия Фраунгофера

Дифракция света

Приниип Гюйгенса

Приниип Гюйгенса--Френеля

Метол зон Френеля

Лифракиия Френеля

Дифракция на круглом отверстии

Дифракиия на лиске

Лифракиия Фраунгофера

Лифракиия Фраунгофера на шели

Одномерная дифракционная решетка

Дифракция света

Приниип Гюйгенса

Приниип Гюйгенса--Френеля

Метол зон Френеля

Лифракиия Френеля

Дифракция на круглом отверстии

Дифракиия на лиске

Лифракиия Фраунгофера

Лифракиия Фраунгофера на шели

Одномерная дифракционная решетка

на одномерной дифракционной решетке

Пространственная дифракиионная решетка

Дифракиия

на пространственной решетке

Критерий Рэлея

Разрешающая способность спектрального прибора

Разрешающая способностьдифракционной решетки

Основные формулы

Радиус внешней границы m-й зоны Френеля для сферической волны

m ^a + b

[m ——номер зоны Френеля;入一длина волны; а и b — соответственно расстояния диафрагмы с круглым отверстием от точечного источника и от экрана, на котором дифракционная картина наблюдается].

Условия дифракционных максимумов и минимумов от одной щели, на которую свет падает нормально:

a sin(p = ±(2m + 1)- , asin(p = ± 2т - (zn = l, 2,3,…)

[а — ширина щели; ф ——угол дифракции; m ——порядок спектра;入 —— длина волны].

Постоянная (период) дифракционной решетки

d = а + b, d ^ —

[а ——ширина каждой щели решетки; д ——ширина непрозрачных участков между щелями; ^0 ——число щелей, приходящихся на единицу длины дифракционной решетки].

Условия главных максимумов и дополнительных минимумов дифракционной решетки, на которую свет падает нормально:

dsintp = ±2тп专(m = 0, 1, 2,...);

d sin(p = 士”帝 (m = 1，2, 3,…，кроме 0, N, 2N,…)

[d — период дифракционной решетки; N — число штрихов решетки].

Формула Вульфа—Брэггов (условие дифракционных максимумов от пространственной дифракционной решетки)

2d sin8 = тк (m = 1, 2, 3,...)

[d ——расстояние между атомными плоскостями кристалла; О ——угол скольжения; Л ——длина волны рентх^еновс ко го излучения].

Угловая дисперсия дифракционной решетки

D =図=m

®6入 d cos(p

[ср — угол дифракции; m — порядок спектра; d — период решетки].

Разрешающая способность спектрального прибора

R=—

[6% — минимальная разность длин волн двух соседних спектральных линий, при которой эти линии регистрируются раздельно].

Разрешающая способность дифракционной решетки

^диф. реш — mN

[пг — порядок спектра; N — общее число штрихов решетки].

Примеры решения задач

Точечный источник света S (入= 0,5 мкм) расположен на расстоянии а = 1 м перед диафрагмой с круг- М лым отверстием диаметра d = 2 мм (рис. 60). Определить расстояние Ъ от диафрагмы до точки наблюдения, если отверстие открывает три зоны Френеля.

Дано'.入=0,5 мкм = 5 • 10-7 ма = 1 мd = 2 мм = 2 • 1.0-3 мm = 3Ъ — ?Дано'.入=0,5 мкм = 5 • 10-7 ма = 1 мd = 2 мм = 2 • 1.0-3 мm = 3Ъ — ?Решение:Решение:г2 = а2 - (а - %)2, А,《а,入《Ь,г2 = а2 - (а - %)2, А,《а,入《Ь,戸=[ь + т~^ - (Ь + х)2,戸=[ь + т~^ - (Ь + х)2,匕24(а + Ь)2匕24(а + Ь)2М入2.М入2.ЬтХ2(а + 6)ЬтХ2(а + 6)

Дано'.

入=0,5 мкм = 5 • 10-7 м

а = 1 м

d = 2 мм = 2 • 1.0-3 м

m = 3

Ъ — ?

Дано'.

入=0,5 мкм = 5 • 10-7 м

а = 1 м

d = 2 мм = 2 • 1.0-3 м

m = 3

Ъ — ?

Решение:

Решение:

г2 = а2 - (а - %)2, А,《а,入《Ь,

г2 = а2 - (а - %)2, А,《а,入《Ь,

戸=[ь + т~^ - (Ь + х)2,

戸=[ь + т~^ - (Ь + х)2,

匕24(а + Ь)2

匕24(а + Ь)2

М入2.

М入2.

ЬтХ2(а + 6)

ЬтХ2(а + 6)

鼻7n入，6а + bат\- г2鼻7n入，6а + bат\- г2Дано:Дано:

鼻7n入，6

а + bат\- г2

鼻7n入，6

а + bат\- г2

Дано:

Дано:

Слагаемое —— m2X2 пренебрежимо мало, г2 4(а + 6)2

b = • • а"?

4am入-1/2

Ответ: Ь = 2 м.

Определить радиус третьей зоны Френеля для случая плоской волны. Расстояние Ъ от волновой поверхности до точки наблюдения равно 1,5 м (рис. 61). Длина волны 入=0,6 мкм.

т = 3

Ъ = 1,5м

入=0,6 мкм = 6 ■ 10^7 м г — ?

Ответ.'. г= 1,64 мм.

Дифракция наблюдается на расстоянии I от точечного источника монохроматического света (九=0,5 мкм). Посередине между источником света и экраном находится непрозрачный диск диаметром 5 мм (рис. 62). Определить расстояние I, если диск закрывает только центральную зону Френеля.

Решение:Решение:入=0,5 мкм = 5 ■ 10-7 мd = 5 мм = 5 • 10~3 мт = 1а = Ъ = 〃2入=0,5 мкм = 5 ■ 10-7 мd = 5 мм = 5 • 10~3 мт = 1а = Ъ = 〃2a2 ~ (a — x)2 + r2, a2 = a2 - 2ax + x2 + r2,(b + rn^ = (b 十 x)2 + г2,a2 ~ (a — x)2 + r2, a2 = a2 - 2ax + x2 + r2,(b + rn^ = (b 十 x)2 + г2,&2 + ЪтХ + 載戸4&2 + ЪтХ + 載戸4=/ + 2bx + х2 4- г2,=/ + 2bx + х2 4- г2,х2 и — пренебрежимо малы, х =——42aх2 и — пренебрежимо малы, х =——42ab?n 入=2fo— , ЪтХ = 2戸,2ab?n 入=2fo— , ЪтХ = 2戸,2a2222—,bmk = 2b x + r2, 42=必.—,bmk = 2b x + r2, 42=必.Дано:

Решение:

Решение:

入=0,5 мкм = 5 ■ 10-7 м

d = 5 мм = 5 • 10~3 м

т = 1

а = Ъ = 〃2

入=0,5 мкм = 5 ■ 10-7 м

d = 5 мм = 5 • 10~3 м

т = 1

а = Ъ = 〃2

a2 ~ (a — x)2 + r2, a2 = a2 - 2ax + x2 + r2,

(b + rn^ = (b 十 x)2 + г2,

a2 ~ (a — x)2 + r2, a2 = a2 - 2ax + x2 + r2,

(b + rn^ = (b 十 x)2 + г2,

&2 + ЪтХ + 載戸

4

&2 + ЪтХ + 載戸

4

=/ + 2bx + х2 4- г2,

=/ + 2bx + х2 4- г2,

х2 и — пренебрежимо малы, х =——

42a

х2 и — пренебрежимо малы, х =——

42a

b?n 入=2fo— , ЪтХ = 2戸,2a

b?n 入=2fo— , ЪтХ = 2戸,2a

2

2

2

2

—,bmk = 2b x + r2, 42

=必.

—,bmk = 2b x + r2, 42

=必.

Ответ: Z = 50 м.

На щель шириной a = 0,1 мм падает нормально монохроматический свет с длиной волны Л = 500 нм. Дифракционная картина проецируется на экран, параллельный плоскости щели, с помощью линзы, расположенной вблизи щели (рис. 63). Определить расстояние от экрана до линзы, если расстояние I между первыми дифракционными минимумами, расположенными по обе стороны центрального максимума, равно 1 см.

Дано:

Решение:

a = 0,1 мм = IO-4 м

入=500 нм = 5 • 10-7 м

E = 1 см = 10-2 м

m = 1

L — ?

a sin(p = ±mk (m = 1, 2, ...),1 = 2Ltg(p,

T《L, tg(p ~ sin(p, I = 2L sin(p,

sin (p = —^- ,a -= "z入， L = °'.

屮 2丄2L2ml

Ответ: L = 1 м.

На дифракционную решетку нормально к ее поверхности падает монохроматический свет с длиной волны 入=550 нм. На экран,

1П"1П"Дано:Дано:находящийся от решетки на расстоянии L = 1 м, с помощью линзы, расположенной вблизи решетки, проецируется дифракционная картина, причем первый главный максимум наблюдается на расстоянии / = 12 см от центрального (рис. 64). Определить: 1) период дифракционной решетки; 2) число штрихов на 1 см ее длины; 3) общее число максимумов, даваемых решеткой; 4) угол дифракции, соответствующий последнему максимуму.

1П"

1П"

Дано:

Дано:

Решение:

入=550 нм = 5,5 • 10- 7 м工=1 мтп = 12 = 12 см = 0,12 м1=1 см = 0,01 м入=550 нм = 5,5 • 10- 7 м工=1 мтп = 12 = 12 см = 0,12 м1=1 см = 0,01 мd — ?п — ?^ - ?Фтах — ?d — ?п — ?^ - ?Фтах — ?dsintp = ±тХ (по условию, т = 1), tgcp = В ,£ « L, tg(p = sincp,

入=550 нм = 5,5 • 10- 7 м

工=1 м

тп = 1

2 = 12 см = 0,12 м

1=1 см = 0,01 м

入=550 нм = 5,5 • 10- 7 м

工=1 м

тп = 1

2 = 12 см = 0,12 м

1=1 см = 0,01 м

d — ?

п — ?

^ - ?

Фтах — ?

d — ?

п — ?

^ - ?

Фтах — ?

Idjm入工 "2'

—=wa, a = —— , n =-,

L/d

Jsin(p^+mX, mmax《彳(sin(pinax = 1),

N = 2W1,

dsincpmax = Wnax入，屮maxarCSin

Ответ: 1) d = 4,58 мкм; 2) n — 2,18 ■ 103 cm-1; 3) ^ = 17;

4)9max = 73,9。.

263. Дифракционная решетка длиной I = 5 мм может разрешить в первом порядке две спектральные линии натрия (入]=589,0 нм и 入2 = 589,6 нм). Определить, под каким углом в спектре третьего порядка будет наблюдаться свет с 入з = 600 нм, падающий на решетку

нормально.

Дано:

1 = 5 мм = 5 • 10-3 м

入1 = 589,0 нм = 5,890 • 10 7 м 入2 = 589,6 нм = 5,896 ■ 10-7 м 入3 = 600 нм = 6 • 10-7 м ТП] = 1

т^ = 3

Решение:

dsmtp = m3 入 з，sin(p = 3 ,

d = — , R = m^N =

(A入=入2-入]),N = —-Г , bl] △人

mJAA.m3 入з 入 1

d —, sm(p —,

人1仃11L A人

3入3入1

Ф = arcsin,

mJ A入

ф ~" ?

Ответ: <р = 20°42'.

Задачи для самостоятельного решения

Посередине между точечным источником монохромам веского света 入=550 нм и экраном находится диафрагма с кругпь匸壮 отверстием. Дифракционная картина наблюдается на экране, расположенном на расстоянии 5 м от источника. Определите радиус отверстия, при котором центр дифракционных колец, наблюдаемых на экране, будет наиболее темным.

Определите радиус четвертой зоны Френеля, если радиус второй зоны Френеля для плоского волнового фронта равен 2 мм.

Дифракция наблюдается на расстоянии 1 м от точечного источника монохром атического света (九=0,5 мкм). Посередине между источником света и экраном находится диафрагма с круглым отверстием. Определите радиус отверстия, при котором центр дифракционных колец на экране является наиболее темным.

На щель шириной а = 0,1 мм падает нормально монохроматический свет с длиной волны 入=0,5 мкм. Дифракционная картина наблюдается на экране, расположенном параллельно щели. Определите расстояние 2 от щели до экрана, если ширина центрального дифракционного максимума 匕=1 см.

На дифракционную решетку длиной 2 = 1,5 мм, содержащую N = 3000 штрихов, падает нормально монохроматический свет

с длиной волны 入=550 нм. Определите: 1) число максимумов, наблюдаемых в спектре дифракционной решетки; 2) угол, соответствующий последнему максимуму.

На дифракционную решетку нормально падает монохроматический свет с длиной волны 入=0,6 мкм. Угол дифракции для пятого максимума равен 30°, а минимальная разрешаемая решеткой разность 5Л. длин волн составляет 0,2 нм. Определите: 1) постоянную дифракционной решетки; 2) длину дифракционной решетки.

Постоянная d дифракционной решетки длиной / = 2,5 см равна 5 мкм. Определите разность длин волн, разрешаемую этой решеткой, для света с длиной волны 入=0,5 м4M в спектре второго порядка.

ОТВЕТЫ: 264. 1,17 мм. 265. 2,83 мм. 266. 0,5 мм. 267. 1 м. 268. 1) 18; 2) 81°54'. 269. 1) 6 мкм; 2) 3,6 мм. 270. 50 пм.

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНС ВЕЩЕСТВОМ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ

Дисперсия светаДисперсия света в призмеДисперсия веществаНормальная и аномальная дисперсия ♦ Электронная теория дисперсии светаПоглощение (абсорбция) светаДисперсия светаДисперсия света в призмеДисперсия веществаНормальная и аномальная дисперсия ♦ Электронная теория дисперсии светаПоглощение (абсорбция) светаЗакон БугераЭффект Доплералля электромагнитных волн в вакуумеПродольный и поперечный эффектыДоплераКрасное и фиолетовое смешенияЭффект Вавилова—ЧеренковаЗакон БугераЭффект Доплералля электромагнитных волн в вакуумеПродольный и поперечный эффектыДоплераКрасное и фиолетовое смешенияЭффект Вавилова—Черенкова

Дисперсия света

Дисперсия света в призме

Дисперсия вещества

Нормальная и аномальная дисперсия ♦ Электронная теория дисперсии света

Поглощение (абсорбция) света

Дисперсия света

Дисперсия света в призме

Дисперсия вещества

Нормальная и аномальная дисперсия ♦ Электронная теория дисперсии света

Поглощение (абсорбция) света

Закон Бугера

Эффект Доплера

лля электромагнитных волн в вакууме

Продольный и поперечный эффекты

Доплера

Красное и фиолетовое смешения

Эффект Вавилова—Черенкова

Закон Бугера

Эффект Доплера

лля электромагнитных волн в вакууме

Продольный и поперечный эффекты

Доплера

Красное и фиолетовое смешения

Эффект Вавилова—Черенкова

Основные формулы

Связь между углом <р отклонения лучей призмой и преломляющим углом А призмы

ф = А(п - 1)

[п — показатель преломления призмы].

Уравнение вынужденных колебаний оптического электрона под

действием электрической составляющей поля электромагнитной волны (простейшая задача дисперсии)

,2е£0

X + ыпх =—~ cos и/

[еЕ° — амплитудное значение силы, действующей на электрон со стороны поля волны; соо — собственная частота колебаний электрона; со — частота внешнего поля; т, е — масса и заряд электрона].

Зависимость показателя преломления вещества п от частоты со внешнего поля, согласно элементарной электронной теории дисперсии,

n2=1+也

ё0 ■^谓 _ 0j2

[е0 ——электрическая постоянная; пт ——концентрация электронов; т — масса электрона; е — заряд электрона].

Закон Бугера (закон ослабления интенсивности света в веществе)

/ = 70е~ах

[/0 и / ——интенсивности плоской монохроматической световой волны соответственно на входе и выходе слоя поглощающего вещества толщиной х； ot ——коэффициент поглощения].

Эффект Доплера для электромагнитных волн е вакууме

V 三

U1+(U/C)CGS6

[v0 и v — соответственно частоты электромагнитного излучения, испускаемого источником и воспринимаемого приемником; и — скорость источника электромагнитного излучения относительно приемника; с — скорость света в вакууме; 0 — угол между вектором скорости 3 и направлением наблюдения, измеряемый в системе отсчета, связанной с наблюдателем].

Продольный эффект Доплера (6 = 0)

v = v0 "=二.二.Jl + и/.Поперечный эффект Доплера (В =冗/2)

V = V0Vl -.

Эффект Вавилова—Черенкова

cos^ =—nv

[0 ——угол между направлением распространения излучения и вектором скорости частицы; п — показатель преломления среды].

Примеры решения задач

Луч света выходит из стеклянной призмы (п = 1,5) под тем же углом, что и входит в нее. Определить угол отклонения (р луча призмой, если ее преломляющий угол А = 60° (рис. 65).

Дано:Дано:Решение:Решение:% =出=аА = 60°% =出=аА = 60°Bl = % = в = ^Bl = % = в = ^sin а = MsinG = nsinsin а = MsinG = nsin(р — ?(р — ?ос = arcsin^nsin^ос = arcsin^nsin^Ф = 2а - А = 2arcsin^nsin^Ф = 2а - А = 2arcsin^nsin^00sin а sinp '(Вsin а sinp '(В

Дано:

Дано:

Решение:

Решение:

% =出=а

А = 60°

% =出=а

А = 60°

Bl = % = в = ^

Bl = % = в = ^

sin а = MsinG = nsin

sin а = MsinG = nsin

(р — ?

(р — ?

ос = arcsin^nsin^

ос = arcsin^nsin^

Ф = 2а - А = 2arcsin^nsin^

Ф = 2а - А = 2arcsin^nsin^

0

0

sin а sinp '(В

sin а sinp '(В

Ответ: (р = 37°11".

Определить максимальную скорость вынужденных колебаний свободного электрона, если в точке его нахождения радиопередатчик, работающий на частоте 500 кГц, создает поле электромагнитного излучения Е° = 10 мВ/см.

Дано:

Решение:

е = 1,6 • IN Кн

/п = 9,11 • 10~31 кг

V = 500 кГц = 5 • 105 Гц

Е° = 10 мВ/см = 1 В/м

X + СОл X = —" cos cot,co = 2nv t

⑴о = °， Fhhh = eE()，尤=噎 cos st, е/ .е£0еЕ0

X = V = —- Sill cot, Umq£ =^ =—

max*

m(omco 2mTtv

Ответ: %ах = 55,9 км/с.

273. Определить концентрацию п0 свободных электронов ионосферы, если для радиоволн с частотой v = 97 МГц ее показатель пре-

ломления n = 0,91.

Дано:

Решением

v = 97 МГц = 97 ■ 106 Гц n = 0,91

e к 1,6 ■ 10~19 Кл

m = 9,11 • 10 31 кг

n = JER,卩=1, n = Ve , E = 1 + X,

尸-X£o£o, P = /гоех1пах,

— E=l + X = l+= 1 +,

匕0也0匕0口0

no — ?

п2 =(л2 - 1) °^° , ©"max

% + Wn X =—coscdW,% + Wn X =—coscdW,co = 2tiv, x = Acosco^,co = 2tiv, x = Acosco^,m(coo - u)0m(coo - u)03o = 0,3o = 0,%max 一 厶，%max 一 厶，YmaxYmax入=Q —入=Q —吟上— е2/吟上— е2/(1 - 孔2)(1 - 孔2)e% mco?4n2v2eome% mco?4n2v2eome2e2

% + Wn X =—coscdW,

% + Wn X =—coscdW,

co = 2tiv, x = Acosco^,

co = 2tiv, x = Acosco^,

m(coo - u)0

m(coo - u)0

3o = 0,

3o = 0,

%max 一 厶，

%max 一 厶，

Y

max

Y

max

入=Q —

入=Q —

吟上— е2/

吟上— е2/

(1 - 孔2)

(1 - 孔2)

e% mco?

4n2v2eom

e% mco?

4n2v2eom

e2

e2

Ответ'. 〃。弋 2,01 • 107 см-3.

Свет падает нормально поочередно на две пластинки, изготовленные из одного и того же вещества, имеющие соответственно толщины %] = 5 мм и %2 = 1° мм. Определить коэффициент поглощения этого вещества, если интенсивность света, прошедшего через первую пластинку, составляет 82% , а через вторую — 67% .

Решение:厶= АeЗ], /2 = /。广。也，£1 _ ^а(尤2 一 X]) а — Ina/")Решение:厶= АeЗ], /2 = /。广。也，£1 _ ^а(尤2 一 X]) а — Ina/")Дано:

Решение:

厶= АeЗ], /2 = /。广。也，£1 _ ^а(尤2 一 X]) а — Ina/")

Решение:

厶= АeЗ], /2 = /。广。也，£1 _ ^а(尤2 一 X]) а — Ina/")

勺=5 мм 二 5 • 10-3 м х2 = 10 мм = 10-2 м

厶=О,82/о

4 = S67F。

а— ?

Ответ: а = 0,404 см-1.

В спектральных линиях, излучаемых астрономическими объектами — квазарами, наблюдалось красное смещение, отвечающее трехкратному уменьшению частоты. Определить, с какой скоростью при этом должен был бы удаляться квазар.

Дано:V = v()/38 = 0V——?Дано:V = v()/38 = 0V——?Решение'.Решение'.1 一空_从с2V = V0，1 +- cos6 с1 一空_从с2V = V0，1 +- cos6 с8 = 0, cosO = 1,8 = 0, cosO = 1,Ответ: v = 0,8с.Ответ: v = 0,8с.

Дано:

V = v()/3

8 = 0

V——?

Дано:

V = v()/3

8 = 0

V——?

Решение'.

Решение'.

1 一空

_从с2

V = V0，

1 +- cos6 с

1 一空

_从с2

V = V0，

1 +- cos6 с

8 = 0, cosO = 1,

8 = 0, cosO = 1,

Ответ: v = 0,8с.

Ответ: v = 0,8с.

Вывести выражение для уширения △入/入 спектральных линий в случае поперечного эффекта Доплера.

Дано:Дано:8 = л/2△入/入—？8 = л/2△入/入—？с- V=入 о, л-2с- V=入 о, л-2£,v£,vif广if广Решение;

Дано:

Дано:

8 = л/2

△入/入—？

8 = л/2

△入/入—？

с- V

=

入 о, л-2

с- V

=

入 о, л-2

£,v

£,v

if广

if广

r[+黑]，人一入+从^二桌

Са九 U2

Ответ:—=—

入2c2

Определить доплеровское смещение АЛ для спектральной линии атомарного водорода (入= 486,1 нм), если ее наблюдать под прямым углом к пучку атомов водорода с кинетической энергией Т = 100 кэВ.

Дано:Дано:九=486,1 нм = 486,1 • 10~9 м 6 =兀/2Т = 100 кэВ = 1,6 • 10-14 дж т = 1,67 * 10-27 кг с = 3 • 108 м/сАл — ?RO九=486,1 нм = 486,1 • 10~9 м 6 =兀/2Т = 100 кэВ = 1,6 • 10-14 дж т = 1,67 * 10-27 кг с = 3 • 108 м/сАл — ?ROТ =Т =mt>2mt>2Решение:Решение:N = Х+ ДХ,N = Х+ ДХ,入 + ДЛ [~ = 1 +入 + ДЛ [~ = 1 +АЛ = М 又一姦АЛ = М 又一姦红и红иАЛ =入-~—-. тс2АЛ =入-~—-. тс2

Дано:

Дано:

九=486,1 нм = 486,1 • 10~9 м 6 =兀/2

Т = 100 кэВ = 1,6 • 10-14 дж т = 1,67 * 10-27 кг с = 3 • 108 м/с

Ал — ?

RO

九=486,1 нм = 486,1 • 10~9 м 6 =兀/2

Т = 100 кэВ = 1,6 • 10-14 дж т = 1,67 * 10-27 кг с = 3 • 108 м/с

Ал — ?

RO

Т =

Т =

mt>2

mt>2

Решение:

Решение:

N = Х+ ДХ,

N = Х+ ДХ,

入 + ДЛ [

~ = 1 +

入 + ДЛ [

~ = 1 +

АЛ = М 又一姦

АЛ = М 又一姦

红и

红и

АЛ =入-~—-. тс2

АЛ =入-~—-. тс2

Ответа △入=入-^ - тс2

Определить минимальную ускоряющую разность потенциалов Umin，которую должен пройти электрон, чтобы в среде с показателем преломления п = 1,5 возникло черепковское излучение.

7П = 9,11 ■ 10-31 кг п = 1,5cosO = — , и =—,『min тс2[(1川-嗚Jc2』mm*7П = 9,11 ■ 10-31 кг п = 1,5cosO = — , и =—,『min тс2[(1川-嗚Jc2』mm*Дано:Дано:Решение:Решение:%in = ^ (cos® = 0),%in = ^ (cos® = 0),'min ~ 同 °min， °min'min ~ 同 °min， °minTmin = "2Tmin = "2- 11,- 11,^——1 2—1^——1 2—1me2me2пп以2 - 1以2 - 1

7П = 9,11 ■ 10-31 кг п = 1,5

cosO = — , и =—,

『min тс2[(

1川-嗚Jc2

』mm*

7П = 9,11 ■ 10-31 кг п = 1,5

cosO = — , и =—,

『min тс2[(

1川-嗚Jc2

』mm*

Дано:

Дано:

Решение:

Решение:

%in = ^ (cos® = 0),

%in = ^ (cos® = 0),

'min ~ 同 °min， °min

'min ~ 同 °min， °min

Tmin = "2

Tmin = "2

- 11,

- 11,

^——1 2—1

^——1 2—1

me2

me2

п

п

以2 - 1

以2 - 1

Ответ'.。皿浦工 175 кВ.

Определить минимальный импульс, которым должен обладать электрон, чтобы эффект Вавилова——Черенкова наблюдался в среде с показателем преломления п = 1,5*

Дано:тп = 9Д1 ■ 10-31 кг п = 1,5Дано:тп = 9Д1 ■ 10-31 кг п = 1,5cos 0 =—,cos 0 =—,Решение:Решение:-(cos8 = 1), П-(cos8 = 1), Пncosb ' minncosb ' min

Дано:

тп = 9Д1 ■ 10-31 кг п = 1,5

Дано:

тп = 9Д1 ■ 10-31 кг п = 1,5

cos 0 =—,

cos 0 =—,

Решение:

Решение:

-(cos8 = 1), П

-(cos8 = 1), П

ncosb ' min

ncosb ' min

Ответ: pmin = 2,44 • 10~22 кг • м/с.

Задачи для самостоятельного решения

Докажите, что если монохроматический пучок света падает на грань призмы с показателем преломления п под малым утлом, то при малом преломляющем угле А призмы угол отклонения <р лучей призмой не зависит от угла падения и равен А(п 一 1).

Электромагнитная волна с частотой со распространяется в разреженной плазме. Концентрация свободных электронов в плазме равна п0. Определите зависимость диэлектрической проницаемости £ плазмы от частоты со. Взаимодействием волны с ионами плазмы пренебречь.

При прохождении в некотором веществе пути х интенсивность света уменьшилась в 3 раза. Определите, во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохождении пути 2х.

Коэффициент поглощения некоторого вещества для монохроматического света определенной длины волны а = 0,1 см^1. Определите толщину слоя вещества, которая необходима для ослабления света: 1) в 2 раза; 2) в 5 раз. Потери на отражение света не учитывать.

Источник монохроматического света с длиной волны 入о = 0,5 мкм движется по направлению к наблюдателю со скоростью 0,15с (с — скорость света в вакууме). Определите длину волны, которую зарегистрирует приемник наблюдателя.

Известно, что при удалении от нас некоторой туманности линия излучения водорода (入=656,3 нм) в ее спектре смещена в красную сторону на АХ = 2,5 нм. Определите скорость удаления туманности.

Определите кинетическую энергию протонов, которые в среде с показателем преломления п = 1,6 излучают свет под углом 8 = 20° к направлению своего движения. Ответ выразите в электронвольтах.

ОТВЕТЫ'. 281. £= 1-旬経/(%小口)2). 282. В 9 раз. 283. 1) 6,93 см;

2) 16,1 см. 284. 430 нм. 285. 1,14 Мм/с. 286. 0,319 ГэВ.

ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ

Световой векторЕстественный светПоляризованный светЧастично поляризованный светПлоскополяризованный светЭллиптически поляризованный свег11иркулярно поляризованный светПлоскость поляризацииСсепень поляризацииЗакон МалюсаЗакон БрюстераДвойное лучепреломлениеОптическая ось кристаллаСветовой векторЕстественный светПоляризованный светЧастично поляризованный светПлоскополяризованный светЭллиптически поляризованный свег11иркулярно поляризованный светПлоскость поляризацииСсепень поляризацииЗакон МалюсаЗакон БрюстераДвойное лучепреломлениеОптическая ось кристаллаГлавная плоскость (главное сечение) кристаллаОдноосные кристаллы(положительные и отрицательные)Призмы поляризационныеи лвоякопреломляюшиеПолучение эллиптически поляризованного светаПластинки - , - , Л 4 2Анализ поляризованного светаВрашение плоскости поляризаиииГлавная плоскость (главное сечение) кристаллаОдноосные кристаллы(положительные и отрицательные)Призмы поляризационныеи лвоякопреломляюшиеПолучение эллиптически поляризованного светаПластинки - , - , Л 4 2Анализ поляризованного светаВрашение плоскости поляризаиии

Световой вектор

Естественный свет

Поляризованный свет

Частично поляризованный свет

Плоскополяризованный свет

Эллиптически поляризованный свег

11иркулярно поляризованный свет

Плоскость поляризации

Ссепень поляризации

Закон Малюса

Закон Брюстера

Двойное лучепреломление

Оптическая ось кристалла

Световой вектор

Естественный свет

Поляризованный свет

Частично поляризованный свет

Плоскополяризованный свет

Эллиптически поляризованный свег

11иркулярно поляризованный свет

Плоскость поляризации

Ссепень поляризации

Закон Малюса

Закон Брюстера

Двойное лучепреломление

Оптическая ось кристалла

Главная плоскость (главное сечение) кристалла

Одноосные кристаллы

(положительные и отрицательные)

Призмы поляризационные

и лвоякопреломляюшие

Получение эллиптически поляризованного света

Пластинки - , - , Л 4 2

Анализ поляризованного света

Врашение плоскости поляризаиии

Главная плоскость (главное сечение) кристалла

Одноосные кристаллы

(положительные и отрицательные)

Призмы поляризационные

и лвоякопреломляюшие

Получение эллиптически поляризованного света

Пластинки - , - , Л 4 2

Анализ поляризованного света

Врашение плоскости поляризаиии

Основные формулы

Степень поляризации света

I -I .р __ так ml口

nun

[Ртах и Anin 一一 соответственно максимальная и минимальная интенсивности частично поляризованного света, пропускаемого анализатором].

Закон Малюса

/ = /0 cos2a

[/ и /q ——интенсивности плоскополяризованного света, прошедшего через анализатор и падающего на анализатор; сс ——угол между плоскостями поляризатора и анализатора].

Закон Брюстера

tg%=也21

[»в — Угол падения, при котором отраженный от диэлектрика луч является плоскополяризованным; n2i — относительный показатель преломления среды].

Оптическая разность хода для кристаллической пластинки:

в четверть длины волны

(% -n^d^ ±(тп + 夕入(тп = 0, 1, 2,…)，

в полдлины волны

5。- %)d = ±(m + I) X (m = 0, 1, 2,...),

в целую длину волны

(% - ле) d = 士 zn入(m = 0, 1, 2,...)

[знак плюс соответствует отрицательным одноосным кристаллам, минус — положительным;入一длина волны; d — толщина пластинки; d — соответственно показатели преломления обыкновенного и необыкновенного лучей в направлении, перпендикулярном оптической оси].

У гол поворота плоскости поляризации:

для оптически активных кристаллов и чистых жидкостей

(р = ad,

161161для оптически активных растворов ср = [aj Cd [d ——длина пути, пройденного светом в оптически активном веществе; ot0[ot] — удельное вращение; С — массовая концентрация оптически активного вещества в растворе].

161

161

6 Справочник но физике

Примеры решения задач

Определить степень поляризации Р света, который представляет собой смесь естественного света с плоскополяризованным, если интенсивность поляризованного света равна интенсивности естественного.

Дано:Дано:Ai естAi естmax minJ +/「max nunmax minJ +/「max nunmaX-^+peCT = ^n+|4=PnmaX-^+peCT = ^n+|4=Pn尸—?尸—?min — 2 ecT — g，Emin — 2 ecT — g，E0,5.0,5.Решение:

Дано:

Дано:

Ai ест

Ai ест

max min

J +/「

max nun

max min

J +/「

max nun

maX-^+peCT = ^n+|4=Pn

maX-^+peCT = ^n+|4=Pn

尸—?

尸—?

min — 2 ecT — g，E

min — 2 ecT — g，E

0,5.

0,5.

Ответ'. P = 0,5.

Определить, во сколько раз ослабится интенсивность света, прошедшего через два николя, расположенных так, что угол между их главными плоскостями а = 60°, а в каждом из николей теряется 8% интенсивности падающего на него света （рис. 66）.

Дано:

Решение:

ос = 60°

厶="。（1-左），Г7r

左=0,08

А）〃2 - ?

/2 — -^1（1 /г）соз2а,/ S7 J】\Z1\

/2 = ^/o（l -色）%0S沁，Риe. 66

包=2

『2（1 -比）2cos2a

Ответ: /0//2 = 9,45.

Предельный угол полного отражения для пучка света на границе кристалла каменной соли с воздухом равен 40,5°. Определить угол Брюстера при падении света из воздуха на поверхность этого кристалла.

Дано:Решением

inp = 40,5°

sin% _ % 江2 —1t j 一々—]

sin（兀/2）n2 * 也 1 sininp'Б тц sininp

% — ?

看 arctg ...

Ответ: гБ = 57°.

Рис. 67Рис. 67Плоскополяризованный свет, длина волны которого в вакууме 入=589 нм, падает на пластинку исландского шпата перпендикулярно его оптической оси ОО' (рис. 67). Принимая показатели преломления исландского шпата для обыкновенного и необыкновенного лучей соответственно п0 = 1,66 и пе = 1,49, определить длины волн этих лучей в кристалле.

Рис. 67

Рис. 67

Дано:

入=589 нм = 5,89 • 10~7 м 九=сТ, п0 == 1,66

пе = 1,49% =工，

儿一？

Решение:

% = %т， % = N，

% = &， 九о =丄， 入е = А

%%%

Ответ:入° = 355 нм; Хе = 395 нм.

Определить наименьшую толщину кристаллической пластинки в четверть длины волны для 入=530 нм, если для данной длины волны разность показателей преломления обыкновенного и необыкновенного лучей п0~ пе = 0,01.

Дано:

Решение:

入=530 нм = 5,3 • 10-7 м

По-пе = 0,01

△=入/4

а -久)d=±(zn + ^», (% - %)&min = 4

&тЕ — ?

(кристалл отрицательный, m = 0),

mm 4(%-%)

Ответ: d叫也=13,3 мкм.

Пластинка кварца толщиной d】=2 мм, вырезанная перпендикулярно оптической оси кристалла, поворачивает плоскость поляризации монохроматического света определенной длины волны на угол ср】=30°. Определить толщину d2 кварцевой пластинки, помещенной между параллельными николями, чтобы данный монохроматический свет гасился полностью.

% = 2 мм = 2 • 10-3 м

% = а%,

①2 =渔,

(рх = 30°

屮1

(р2 = 90°

e2d2

&2 — ?

Решением

Дано:

Ответ'. % = 6 мм.

Определить массовую концентрацию С сахарного раствора, если при прохождении света через слой раствора Z = 20 см плоскость поляризации света поворачивается на угол (р = 10°. Удельное вращение [а] сахара равно 1,17 • 10' 2 рад • м2/кг.

Решение.中=印а e=^, 1° = 1,75- 10 2 рад.Решение.中=印а e=^, 1° = 1,75- 10 2 рад.Дано:

Решение.

中=印а e=^, 1° = 1,75- 10 2 рад.

Решение.

中=印а e=^, 1° = 1,75- 10 2 рад.

Z = 20 см = 0,2 м

(р = 10°

[а] = 1,17 • 10-2 рад • м2/кг

С — ?

Ответа С = 74,8 кг/м3.

Задачи для самостоятельного решения

Степень поляризации частично поляризованного света составляет 0,75. Определите отношение максимальной интенсивности света, пропускаемого анализатором, к минимальной.

Определите, во сколько раз уменьшится интенсивность света, прошедшего через два николя, главные плоскости которых образуют угол 60°, если каждый из николей как поглощает, так и отражает 5% падающего на них света.

Определите показатель преломления стекла, если при отражении от него света отраженный луч полностью поляризован при угле преломления 35°.

Параллельный пучок света падает нормально на пластинку из исландского шпата толщиной 50 мкм, вырезанную параллельно оптической оси. Принимая показатели преломления исландского шпата для обыкновенного и необыкновенного лучей соответственно п0 = 1,66 и пе = 1,49, определите разность хода этих лучей, прошедших через пластинку.

Кристаллическая пластинка из исландского шпата с наименьшей толщиной d = 0,86 мкм служит пластинкой в четверть

волны для 入= 0,59 мкм. Определите разность Дп показателей преломления обыкновенного и необыкновенного лучей.

Определите наименьшую толщину кристаллической пластинки в целую длину волны для 入=530 нм, если разность показателей преломления обыкновенного и необыкновенного лучей для данной длины волны пе~ п0 = 0,01.

Раствор глюкозы с массовой концентрацией С^ = 0,21 г/см3, находящийся в стеклянной трубке, поворачивает плоскость поляризации монохроматического света, проходящего через раствор, на угол (pj = 24°. Определите массовую концентрацию С2 глюкозы в другом растворе в трубке такой же длины, если он поворачивает плоскость поляризации на угол(р2 = 18°.

ОТВЕТЫ: 294. /max//min = 7. 295. В 9,88 раза. 296. 1,43. 297. 8,5 мкм. 298. 0,171. 299. 53 мкм. 300. 0,157 г/см3.

КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ

Квантовая гипотеза ПланкаТепловое излучениеЭнергетическая светимость телаСпектральная плотностьэнергетической светимости телаСпектральная поглощательная способность телаЧерное телоСерое телоОптическая пирометрияРадиационная температураЗакон КирхгофаЗакон Стефана --БольиманаЗакон смешения ВинаФормула РэлеяДжинсаКвантовая гипотеза ПланкаТепловое излучениеЭнергетическая светимость телаСпектральная плотностьэнергетической светимости телаСпектральная поглощательная способность телаЧерное телоСерое телоОптическая пирометрияРадиационная температураЗакон КирхгофаЗакон Стефана --БольиманаЗакон смешения ВинаФормула РэлеяДжинсаФормула ПланкаВнешний фотоэффектВнутренний фотоэффектВентильный фотоэффектВольт-амперная характеристика фотоэффектаМногофотонный фотоэффектФотоныДавление излученияЭффект КомптонаКорпускулярно-волновой дуализм свойств электромагнитного излученияЗаконы внешнего фотоэффектаУравнение Эйнштейнадля внешнего фотоэффектаФормула ПланкаВнешний фотоэффектВнутренний фотоэффектВентильный фотоэффектВольт-амперная характеристика фотоэффектаМногофотонный фотоэффектФотоныДавление излученияЭффект КомптонаКорпускулярно-волновой дуализм свойств электромагнитного излученияЗаконы внешнего фотоэффектаУравнение Эйнштейнадля внешнего фотоэффекта

Квантовая гипотеза Планка

Тепловое излучение

Энергетическая светимость тела

Спектральная плотность

энергетической светимости тела

Спектральная поглощательная способность тела

Черное тело

Серое тело

Оптическая пирометрия

Радиационная температура

Закон Кирхгофа

Закон Стефана --Больимана

Закон смешения Вина

Формула РэлеяДжинса

Квантовая гипотеза Планка

Тепловое излучение

Энергетическая светимость тела

Спектральная плотность

энергетической светимости тела

Спектральная поглощательная способность тела

Черное тело

Серое тело

Оптическая пирометрия

Радиационная температура

Закон Кирхгофа

Закон Стефана --Больимана

Закон смешения Вина

Формула РэлеяДжинса

Формула Планка

Внешний фотоэффект

Внутренний фотоэффект

Вентильный фотоэффект

Вольт-амперная характеристика фотоэффекта

Многофотонный фотоэффект

Фотоны

Давление излучения

Эффект Комптона

Корпускулярно-волновой дуализм свойств электромагнитного излучения

Законы внешнего фотоэффекта

Уравнение Эйнштейна

для внешнего фотоэффекта

Формула Планка

Внешний фотоэффект

Внутренний фотоэффект

Вентильный фотоэффект

Вольт-амперная характеристика фотоэффекта

Многофотонный фотоэффект

Фотоны

Давление излучения

Эффект Комптона

Корпускулярно-волновой дуализм свойств электромагнитного излучения

Законы внешнего фотоэффекта

Уравнение Эйнштейна

для внешнего фотоэффекта

Основные формулы

Энергия кванта (фотона)

入

[Л ——постоянная Планка; v ——частота; с ——скорость распространения света в вакууме;入一длина волны].

Закон Кирхгофа

厶v, Т

[7?v т ——спектральная плотность энергетической светимости тела; А т — спектральная поглощательная способность тела; rVj г — спектральная плотность энергетической светимости черного тела].

Энергетическая светимость черного тела

ОО8

% = J &血=卜入？d入Оо

[rv т (т'入 т)——спектральная плотность энергетической светимости].

Закон Стефана—Больцмана

Re = оТ4

[Re — энергетическая светимость черного тела; о — постоянная Стефана—Больцмана; Т — термодинамическая температура].

Энергетическая светимость серого тела

R[ = ArpRe =/уг(уТ4

\АТ — поглощательная способность серого тела; Re — энергетическая светимость черного тела; о — постоянная Стефана—Больцмана; Г — термодинамическая температура].

Закон смещения Вина

т. =纟人 max Т

[九max — длина волны, соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости черного тела; b — постоянная Вина; Т — термодинамическая температура].

Зависимость максимальной спектральной плотности энергетической светимости черного тела от температуры

(入 T)max = CT5

[С = 1,30 ■ 10~5 Вт/(м3 * К5)].

Формула Рэлея——Джинса для спектральной плотности энергетической светимости черного тела

rv, Тrv, Тс2с2

rv, Т

rv, Т

с2

с2

[kT — средняя энергия осциллятора с собственной частотой v (用 ——постоянная Больцмана, Т ——термодинамическая температура); с — скорость распространения света в вакууме].

Формула Планка

=2冗九“31

V，Т^2~ehv/(kT) _ I，

=2兀С2九I

入，T炉一詼7[?方口У

亿，т，г入，т — спектральные плотности энергетической светимости черного тела соответственно как функция частоты v и длины волны 入].

Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта

2

hv = А+ т^ах или с。。=九(V - v0)

[v — частота падающего фотона; h — постоянная Планка; А — работа 2

выхода электрона из металла; —— максимальная кинетическая

энергия фотоэлектрона; UQ — задерживающее напряжение; v0 — красная граница фотоэффекта].

Красная граница фотоэффекта

[入о ——максимальная длина волны излучения (v0 ——соответственно минимальная частота), при которой фотоэффект еще возможен; А — работа выхода электрона из металла].

hvhvИмпульс фотона

hv

hv

Р=~

[九V ——энергия фотона].

Давление, производимое светом при нормальном падении на поверхность,

p=^(l + p) = w(l + p)с

[£е = ^Лv — облученность поверхности; р — коэффициент отражения; w — объемная плотность энергии излучения].

Изменение длины волны излучения при комптоновском рассеянии (комптоновский сдвиг)

△入=入'-入=丄(l-cos8)=也 sii?* =2入「sin?*

meme 2^2

[入 и[入'——длина волн падающего и рассеянного излучения; т — масса электрона; 6 — угол рассеяния;入。=h/(mc)——комптоновская длина волны (入с = 2,43 пм)].

Примеры решения задач

Температура внутренней поверхности муфельной печи при открытом отверстии площадью 30 см2 равна 1,3 кК. Принимая, что отверстие печи излучает как черное тело, определить, какая часть мощности рассеивается стенками, если потребляемая печью мощность составляет 1,5 кВт.

Дано:Дано:S = 30 см2 = 3 • 10-3 м2 Т=1,3 кК = 1,З Ю3КР = 1,5 кВт = 1,5 ・ 103 ВтS = 30 см2 = 3 • 10-3 м2 Т=1,3 кК = 1,З Ю3КР = 1,5 кВт = 1,5 ・ 103 ВтРешение:

Дано:

Дано:

S = 30 см2 = 3 • 10-3 м2 Т=1,3 кК = 1,З Ю3К

Р = 1,5 кВт = 1,5 ・ 103 Вт

S = 30 см2 = 3 • 10-3 м2 Т=1,3 кК = 1,З Ю3К

Р = 1,5 кВт = 1,5 ・ 103 Вт

Рнзл = &eS = bKS,

Ответ: 0,676.

Принимая Солнце за черное тело и учитывая, что его максимальной спектральной плотности энергетической светимости соответствует длина волны 入=500 нм, определить: 1) температуру поверхности Солнца; 2) энергию, излучаемую Солнцем в виде электромагнитных волн за 10 мин; 3) массу, теряемую Солнцем за это время за счет излучения.

Дано:入=500 нм = 5 ТОТ мi = 10 мин = 600 сВс = б,95 108 мтс = 1,98 • 1030 кгТ — ?W — ??п — ?Дано:入=500 нм = 5 ТОТ мi = 10 мин = 600 сВс = б,95 108 мтс = 1,98 • 1030 кгТ — ?W — ??п — ?入max入maxbГbГРешение:T = 匕九maxРешение:T = 匕九maxW = ReSt = oK -4^^ 务 m = jW = ReSt = oK -4^^ 务 m = j

Дано:

入=500 нм = 5 ТОТ м

i = 10 мин = 600 с

Вс = б,95 108 м

тс = 1,98 • 1030 кг

Т — ?

W — ?

?п — ?

Дано:

入=500 нм = 5 ТОТ м

i = 10 мин = 600 с

Вс = б,95 108 м

тс = 1,98 • 1030 кг

Т — ?

W — ?

?п — ?

入max

入max

b

Г

b

Г

Решение:

T = 匕

九max

Решение:

T = 匕

九max

W = ReSt = oK -4^^ 务 m = j

W = ReSt = oK -4^^ 务 m = j

Ответ'. 1) T = 5,8 kK; 2) W = 2,34 • 1029 Дж; 3) th = 2,6 • 1012 кг.

Определить, какая длина волны соответствует максимальной спектральной плотности энергетической светимости (rv г)тах) равной 1,3 • 1011 Вт/мЛ

Дано:Дано:Решение:Решение:

Дано:

Дано:

Решение:

Решение:

（г入,T）max = СТ",入max（г入,T）max = СТ",入max（々,Т）тах=1，3 70"Вт/мЗ С= 1,3 ■ 105 Вт/（м3 • К5）

（г入,T）max = СТ",入max

（г入,T）max = СТ",入max

入 max — ?

（'入，T）max 入такС， ^111ах —匕

Ответа Xmax =183 мкм.

2 7Т V з 1

Пользуясь формулой Планка 厂旷，т 々“（而）- , дока

зать, что в области малых частот （Av《kT） она совпадает с формулой Рэлея——Джинса.

305. Пользуясь формулой Планка rv, г305. Пользуясь формулой Планка rv, г2n/iv3 1с2 е力у/（хт》_工2n/iv3 1с2 е力у/（хт》_工вывесвывес

305. Пользуясь формулой Планка rv, г

305. Пользуясь формулой Планка rv, г

2n/iv3 1

с2 е力у/（хт》_工

2n/iv3 1

с2 е力у/（хт》_工

вывес

вывес

Дано:

Решением

广 —2Kftv31

hv «用T,e九v/沿于）=1 +包，

v，тс2 е%*"｛走Т） _ 1

kT

hv《kT

ehv/（kT）_ J ~ Ay

kT

% T — ？

=2冗；丫3九 /；左Т）=空^%Т （формула Рэлея—Джинса）.

ти из нее закон Стефана—Больцмана.

Дано:

r h 2n九v3i

v, Tc2 ehv/（kT） _ J

Решение:

88

R = frv Tdv =产吗v3/ _^,

00

Re к ОТ4?

五=2:1_肥к f%3dx =打4

'c2h3 J ex - 1

0

x=^,d%=汕，dv = ^dx,

kTkTh

n2兀内4 f x3dl2n5左4

, где q = — =—-, так как

М力3 J已上—1 15c2九3

0

г хГх =昼

J ех_ i — 15 * о

Ответ: Re = оТ4.

Для вольфрамовой нити при температуре Т = 3 500 К поглощательная способность Ат = 0,35. Определить радиационную температуру нити.

Дано:Решением

Т = 3500 КRT =厶『仃丁4,/?т = от； ,4716T4 =仃牙：，

Ат = 0,35&

T；=厶戸4, тР = T炳..

Ответ: Тр = 2,69 кК.

Калий освещается монохроматическим светом с длиной волны 400 нм. Определить наименьшее задерживающее напряжение, при котором фототок прекратится. Работа выхода электронов из калия равна 2,2 эВ.

入=400 нм = 4 ■ 10-7 м

А = 2,2 эВ = 3,52 • 1079 дж е= 1,6 • 10~19Кл h = 6,63 • 10-34 Дж • с

% — ?

22

九V=&+ ^^,^1^ =eUQ,

v入，入A + e%，Uo

Дано:

Решение'.

Ответ: Uo = 0,91 В.

Задерживающее напряжение для платиновой пластинки (работа выхода 6,3 эВ) составляет 3,7 В. При тех же условиях для другой пластинки задерживающее напряжение равно 5,3 В. Определить работу выхода электронов (в эВ) из этой пластинки.

Дано:厶 1 = 6,3 эВU1 = 3,7B и2 = 5,3 ВДано:厶 1 = 6,3 эВU1 = 3,7B и2 = 5,3 ВРешение:

Дано:

厶 1 = 6,3 эВ

U1 = 3,7B и2 = 5,3 В

Дано:

厶 1 = 6,3 эВ

U1 = 3,7B и2 = 5,3 В

Лу =>Ц + eUi， Av =&2 + еи?，

▲1 + eи1=/2 +e。2，

42 =/1 + eUj - eо2*

Ответ'.厶？ = 4,7 эВ.

При освещении катода вакуумного фотоэлемента монохроматическим светом с длиной волны 入=310 нм фототок прекращается при некотором задерживающем напряжении. При увеличении длины волны на 25% задерживающее напряжение оказывается меньше на 0,8 В. Определить по этим экспериментальным данным постоянную Планка.

Дано:入=310 нм = 3,1 • 10~7 м入 2 — 1,25入]U2 = U1- AU△и = 0,8 В九—？Дано:入=310 нм = 3,1 • 10~7 м入 2 — 1,25入]U2 = U1- AU△и = 0,8 В九—？Решение:Решение:^― = А + et7],^― = А + et7],=叫一 %),=叫一 %),1,25入1丿1,25入1丿he入2he入2=A + e%，=A + e%，5e%AU5e%AU

Дано:

入=310 нм = 3,1 • 10~7 м

入 2 — 1,25入]

U2 = U1- AU

△и = 0,8 В

九—？

Дано:

入=310 нм = 3,1 • 10~7 м

入 2 — 1,25入]

U2 = U1- AU

△и = 0,8 В

九—？

Решение:

Решение:

^― = А + et7],

^― = А + et7],

=叫一 %),

=叫一 %),

1,25入1丿

1,25入1丿

he

入2

he

入2

=A + e%，

=A + e%，

5e%AU

5e%AU

Ответ: Л = 6,61 • ICT% дж . c>

Определить длину волны фотона, импульс которого равен импульсу электрона, прошедшего разность потенциалов U = 9,8 В.

Дано:е - 1,6 • 10~19Кл U = 9,8 В%=РЛ — ?Дано:е - 1,6 • 10~19Кл U = 9,8 В%=РЛ — ?=J2“U,=J2“U,

Дано:

е - 1,6 • 10~19Кл U = 9,8 В

%=Р

Л — ?

Дано:

е - 1,6 • 10~19Кл U = 9,8 В

%=Р

Л — ?

=J2“U,

=J2“U,

Ер = — (1 + р) = 1^(1 + р),孔=史W =,£ = /IV =坐，1+р入Лс(1 + p)，Ж = E.St =^N, E =:pc1 + pN 一吃6坟- pcSt入一?S纨，^ = ncSt El+P)"'Ле(1 + р)ЛсЕр = — (1 + р) = 1^(1 + р),孔=史W =,£ = /IV =坐，1+р入Лс(1 + p)，Ж = E.St =^N, E =:pc1 + pN 一吃6坟- pcSt入一?S纨，^ = ncSt El+P)"'Ле(1 + р)ЛсРешение:Решение:1) п — ?2)N — ?1) п — ?2)N — ?

Е

р = — (1 + р) = 1^(1 + р),

孔=史

W =,£ = /IV =坐，

1+р入

Лс(1 + p)，

Ж = E.St =^N, E =

:pc

1 + p

N 一吃6坟- pcSt入一

?S纨，^ = ncSt El+P)

"'Ле(1 + р)Лс

Е

р = — (1 + р) = 1^(1 + р),

孔=史

W =,£ = /IV =坐，

1+р入

Лс(1 + p)，

Ж = E.St =^N, E =

:pc

1 + p

N 一吃6坟- pcSt入一

?S纨，^ = ncSt El+P)

"'Ле(1 + р)Лс

Решение:

Решение:

1) п — ?

2)N — ?

1) п — ?

2)N — ?

Ответ:入=392 нм.

Давление р монохроматического света с длиной волны 入=600 нм на зачерненную поверхность, расположенную перпендикулярно падающему излучению, составляет 0,1 мкПа. Определить: 1) концентрацию п фотонов в световом пучке; 2) число N фотонов, падающих ежесекундно на 1 м2 поверхности.

Дано:

р = 0,1 мкПа = 10-7 Па 入=600 нм = 6 • 10-7 м р = 0

t = 1 с

6 = 1 м?

Ответ'. 1) п = 3,02 • 1011 м-3; 2) N = 9,06 • 1019.

Фотон с энергией е = 1,025 МэВ рассеялся на первоначально покоившемся свободном электроне. Определить угол рассеяния фотона, если длина волны рассеянного фотона оказалась равной комптоновской длине волны Хс = 2,43 пм.

Дано:

е - 1,025 МэВ = 1,64 ■ 10~13 Дж

X =入с

入с = 2,43 пм = 2,43 • 10-12 м

Решение'.

ЛЕ

入‘=入+入eа- cos8),

Xc = — + 入c。~ cosO), cos» =竺,8 = arccos［竺］.

瓦瓦Дано:入=5 им = 5 • 10~12 м6 = 90°1) АЛ — ?2)匕 一 ？3)% —?Дано:入=5 им = 5 • 10~12 м6 = 90°1) АЛ — ?2)匕 一 ？3)% —?

瓦

瓦

Дано:

入=5 им = 5 • 10~12 м

6 = 90°

1) АЛ — ?

2)匕 一 ？

3)% —?

Дано:

入=5 им = 5 • 10~12 м

6 = 90°

1) АЛ — ?

2)匕 一 ？

3)% —?

Ответ'. О = 60°.

Фотон с длиной волны 入=5 пм испытал комптоновское рассеяние под углом 6 = 90° на первоначально покоившемся электроне (рис. 68). Определить： 1) изменение длины волны при рассеянии； 2) энергию электрона отдачи; 3) импульс электрона отдачи.

Решение:

厶入=入'-入=Хс(1 - cos®)=入с (cosB = 0),

万=五+万，日)2 М用F^了，

Ответ: 1)厶入=2,43 пм; 2) We = 81,3 кэВ; 3) pe = 1,6 • 10"22 кг ■ м/с.

Задачи для самостоятельного решения

Черное тело находится при температуре % = 3 кК. При остывании тела длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светимости, изменилась на ЛХ = 8 мкм. Определите температуру Т?, до которой тело охлади

лось.

Черное тело нагрели от температуры Т】=600 К до Т2 = =2400 К. Определите: 1) во сколько раз увеличилась его энергетическая светимость; 2) как изменилась длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светимости.

Преобразуйте формулу Планка для спектральной плотности энергетической светимости черного тела от переменной v к переменной Л.

Определите максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с поверхности металла, если фототок прекращается при приложении задерживающего напряжения Ug = 3,7 В.

Красная граница фотоэффекта для некоторого металла равна 500 нм. Определите: 1) работу выхода электронов из этого металла; 2) максимальную скорость электронов, вырываемых из этого металла светом с длиной волны 400 нм.

Фотоны с энергией е = 5 эВ вырывают фотоэлектроны из металла с работой выхода А = 4,7 эВ. Определите максимальный импульс, передаваемый поверхности этого металла при вылете электрона.

Давление монохроматического света с длиной волны 入=500 нм на зачерненную поверхность, расположенную перпендикулярно падающему излучению, равно 0,15 мкПа. Определите число фотонов, падающих на поверхность площадью 40 см2 за 1 с.

Фотон с энергией е = 0,25 МэВ рассеялся на первоначально покоившемся свободном электроне. Определите кинетическую энергию электрона отдачи, если длина волны рассеянного фотона изменилась на 20%.

ОТВЕТЫ: 314. 323 К. 315. 1) В 256 раз; 2) уменьшилась на 3,62 мкм. 317. 1,14 Мм/с. 318. 1) 2,49 эВ; 2) 468 км/с. 319. 2,96 - 10 25 кг • м/с. 320. 4,52 * 1017. 321. 41,7 кэВ.

~I Элементы

6 квантовой механики

ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА МИКРОЧАСТИЦ

ОСНОВНЫЕ понятия

Гипотеза де БройляАлина волны де БройляПлоская волна де БройляГипотеза де БройляАлина волны де БройляПлоская волна де Бройля♦ Скорость волн де Бройля♦ Скорость волн де Бройля(фазовая и групповая)♦ Соотношения неопределенностей(фазовая и групповая)♦ Соотношения неопределенностей

Гипотеза де Бройля

Алина волны де Бройля

Плоская волна де Бройля

Гипотеза де Бройля

Алина волны де Бройля

Плоская волна де Бройля

♦ Скорость волн де Бройля

♦ Скорость волн де Бройля

(фазовая и групповая)

♦ Соотношения неопределенностей

(фазовая и групповая)

♦ Соотношения неопределенностей

Основные формулы

Связь между длиной волны де Бройля частицы и ее импульсом р

[й — постоянная Планка].

Для нерелятивистской частицы

\т ——масса частицы; v — ее скорость; Т ——кинетическая энергия частицы].

Для релятивистской частицы и ~ с

入=/1 —卫 или А.=入=/1 —卫 или А.=mu л/ Мmu л/ М

入=/1 —卫 или А.=

入=/1 —卫 или А.=

mu л/ М

mu л/ М

[тп — масса частицы; и — ее скорость; с — скорость распространения света в вакууме; Т — кинетическая энергия частицы].

Фазовая скорость волны де Бройля

[Е =力① ——энергия частицы (со ——циклическая частота); р ==方左 ——импульс (左=孥 ——волновое число),方==.

Групповая скорость волны де Бройля

_ dco _ dEd尼dp

Соотношения неопределенностей:

для координаты и импульса частицы

А% Дрх》方，厶у Ару》力， 厶z Ар^》力

[Лх, Ар, Аг — неопределенности координат; Ар%, Ар, Др? — неопределенности соответствующих проекций импульса частицы на оси координат];

для энергии и времени

АЕ At》力

[△Е — неопределенность энергии некоторого состояния системы; At ——промежуток времени, в течение которого оно существует].

Примеры решения задач

Определить длину волны де Бройля для нейтрона, движущегося со средней квадратичной скоростью при Т = 290 К.

РешениемРешением入=2= 五 = 为Р т〈％в〉 Т^Г?入=2= 五 = 为Р т〈％в〉 Т^Г?Дано:

Решением

Решением

入=2= 五 = 为

Р т〈％в〉 Т^Г?

入=2= 五 = 为

Р т〈％в〉 Т^Г?

m = 1,675 • 10-27 кг

Т = 290 К

入—？

Ответ:入=148 пм.

Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U = 500 В, имеет длину волны де Бройля 入=1,282 пм. Принимая заряд этой частицы равным заряду электрона, определить ее массу.

Дано:U = 500 В入 к 1,282 им = 1,282 • 10~12 м е = 1,6 * 10-19 Клm — ?Дано:U = 500 В入 к 1,282 им = 1,282 • 10~12 м е = 1,6 * 10-19 Клm — ?Решение:eU =, р = л/2тпе。,2I 一 九一九 „ - Л2P j2meU2e/uРешение:eU =, р = л/2тпе。,2I 一 九一九 „ - Л2P j2meU2e/u

Дано:

U = 500 В

入 к 1,282 им = 1,282 • 10~12 м е = 1,6 * 10-19 Кл

m — ?

Дано:

U = 500 В

入 к 1,282 им = 1,282 • 10~12 м е = 1,6 * 10-19 Кл

m — ?

Решение:

eU =, р = л/2тпе。,

2

I 一 九一九 „ - Л2

P j2meU2e/u

Решение:

eU =, р = л/2тпе。,

2

I 一 九一九 „ - Л2

P j2meU2e/u

Ответ: m = 1,672 • IO-27 кг.

Вывести зависимость между длиной волны де Бройля релятивистской частицы и ее кинетической энергией.

Дано:

Решение:

九，T

入(Т) — ?

入=2, рс= 〃(Т + 2тпс2), р= JP + 2

入二上 一

^Т(Т + 2тс2)

Ответ:入=

Jr(T+ 2m*

Исходя из общей формулы для фазовой скорости (и^ = =(D/fe), определить фазовую скорость волн де Бройля свободно движущейся с постоянной скоростью V частицы в случаях: 1) нерелятивистском; 2) релятивистском.

326. Определить связь между волн де Бройля.326. Определить связь между волн де Бройля.групповой и фазовой скоростямигрупповой и фазовой скоростями

326. Определить связь между волн де Бройля.

326. Определить связь между волн де Бройля.

групповой и фазовой скоростями

групповой и фазовой скоростями

Дано:Решение:

^ф =①/在

1) и《с

2) V ~ с

2m中 1 2mp 2m 2m 2

D % 1 — ?

口dEmc^

v - с, E9 =—二=—.

中上 pmvv

2)% 2 — ?

Ответа 1) ^ = } 2) % 2 = $

Дано:

Решение:

五，уф

= 号，Со н d巾用，左=隼， и = 豊,

屮 左ф入dk

仆）一 ？

Ответ: и =

327. Учитывая для движущейся вдоль оси X микрочастицы соотношение неопределенностей для Дх и Ар^, найти аналогичное соотношение для Д£ и At, где △£ ——неопределенность энергии, Ai — неопределенность промежутка времени, в течение которого изменяется энергия.

Решение:

厶л: Дрх》无， Е,

2"？mа力*

〔Pr = ^% и 乙=第,

Л£Л/ = ДхДрх, ^E^t > 九.

328. Используя соотношение неопределенностей в форме АкДр*》方, оценить минимально возможную полную энергию электрона в атоме водорода. Принять неопределенность координаты равной радиусу атома. Сравнить полученный результат с теорией Бора.

Дано:

Ах Ар* > 力

Ах = г п = 1 Z = 1

Решение:

Дх~ 1,р т n у =正

Рхх Ах

Е = Т + П= ^- +^-L Е =

2m I 4ле0г>2mr2

.迎二" 蓮一£+ 遇，

rmin:击-0 dr mr3 4兀%г2

e24ле0г

Z [4兀％ mrj ' min me2

力 2_&2= _ me4

2mr：；n4 冗 €。「min2(4т1Е0)2Й2

T，%in = W・

2冗8九2K

Ответ: Emin = --^； = -13,6 эВ.

8也2%

Длина волны 入 излучаемого атомом фотона составляет 0,6 мкм. Принимая время жизни атома в возбужденном состоянии Ai = 10-8 с, определить отношение естественной ширины энергетического уровня, на который был возбужден электрон, к энергии, излученной атомом (рис. 69).

Дано:

入=0,6 мкм = 6 • 10~7 м

△t ^ 10-8 с

АЕ/Е — ?

竺=a А =入

Е bthc cAt "

Ответ,'. — = 2 ■ 10~7. Е

Задачи для самостоятельного решения

Определите импульс и энергию: 1) рентгеновского фотона; 2) электрона, если длина волны того и другого равна 10-10 м.

Определите, какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы длина волны де Бройля для него была равна 1 нм.

Кинетическая энергия электрона равна 1 кэВ. Определите длину волны де Бройля.

Кинетическая энергия электрона равна 0,6 МэВ. Определите длину волны де Бройля.

Ширина следа электрона (обладающего кинетической энергией Т = 1,5 кэВ) на фотопластинке, полученного с помощью камеры Вильсона, составляет △% = 1 мкм. Определите, можно ли по данному следу обнаружить отклонение в движении электрона от законов классической механики.

Воспользовавшись соотношением неопределенностей, оцените размытость энергетического уровня в атоме водорода: 1) для основного состояния; 2) для возбужденного состояния (время его жизни равно 10 8 с).

ОТВЕТЫ:330. 1)р = 6,63 • 10-24 кг • м/с; Е = 12,4 кэВ;

2)р = 6,63 • 10-24 к「. м/с;石=151 эВ. 331.0,822 мВ. 332. 38,8 пм.

333. 1,26 им. 334.也=10 4; нет. 335. 1) 0; 2) 414 нэВ.

УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА

И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ

Волновая функиияи ее статистический смыслПлотность вероятностиУсловие нормировки вероятностейПринцип суперпозииии состоянийОбшее уравнение ШрёдингераУравнение Шрёдингерадля стационарных состоянийВолновая функиияи ее статистический смыслПлотность вероятностиУсловие нормировки вероятностейПринцип суперпозииии состоянийОбшее уравнение ШрёдингераУравнение Шрёдингерадля стационарных состоянийСредние значения физических величинДвижение свободной частииыОдномерная прямоугольная потенциальная яма с бесконечно высокими «стенками»Туннельный эффектКоэффициент прозрачности потенциального барьераЛинейный гармонический осцилляторСредние значения физических величинДвижение свободной частииыОдномерная прямоугольная потенциальная яма с бесконечно высокими «стенками»Туннельный эффектКоэффициент прозрачности потенциального барьераЛинейный гармонический осциллятор

Волновая функиия

и ее статистический смысл

Плотность вероятности

Условие нормировки вероятностей

Принцип суперпозииии состояний

Обшее уравнение Шрёдингера

Уравнение Шрёдингера

для стационарных состояний

Волновая функиия

и ее статистический смысл

Плотность вероятности

Условие нормировки вероятностей

Принцип суперпозииии состояний

Обшее уравнение Шрёдингера

Уравнение Шрёдингера

для стационарных состояний

Средние значения физических величин

Движение свободной частииы

Одномерная прямоугольная потенциальная яма с бесконечно высокими «стенками»

Туннельный эффект

Коэффициент прозрачности потенциального барьера

Линейный гармонический осциллятор

Средние значения физических величин

Движение свободной частииы

Одномерная прямоугольная потенциальная яма с бесконечно высокими «стенками»

Туннельный эффект

Коэффициент прозрачности потенциального барьера

Линейный гармонический осциллятор

Основные формулы

Вероятность нахождения частицы в объеме dV

dw =屮屮* dV= |T|2dV

[T = ¥(%, y, z, t) — волновая функция, описывающая состояние частицы; +* — функция, комплексно сопряженная с 屮；|Т|2 =乎乎* — квадрат модуля волновой функции].

Для стационарных состояний

dW =屮屮* dP = I屮F dP

[屮=屮(л：, у, z) — координатная (амплитудная) часть волновой функции].

Плотность вероятности

[|¥产=4nF* — квадрат модуля волновой функции]. Вероятность обнаружения частицы в объеме V

W= jdW =j乎猿亚

VУ

[dW — вероятность обнаружения частицы в объеме d'K; ¥ = =屮(尢，у, z, t) — волновая функция, описывающая состояние частицы].

Условие нормировки вероятностей

ОС

J I 乎 12 dp = 1

-ОС

[интегрирование производится по всему бесконечному пространству, т. е. по координатам х, у, г от -°° до +е].

Среднее значение физической величины £, характеризующей частицу, находящуюся в состоянии, описываемом волновой функцией 屮，

+ 8+8

〈£〉= J L|+|2dp= j ^*L^ dV

—OO亠 8

[интегрирование производится по всему бесконечному пространству, т. е. по координатам х, yt г от до +g].

Вероятность обнаружения частицы в интервале от хг до х2

Ж = J |\)/(x)|2dx

[屮(％)——координатная часть волновой функции].

Общее уравнение Шрёдингера (временное уравнение Шрёдингера) 一史_a+ + U优力千=访學

[屮=T(x, у, z, i)——волновая функция, описывающая состояние частицы; 力=无/(2л); т ——масса частицы; Д ——оператор Лапласа

/3?屮 Э2Т Д2Ш、-

А乎=_ + —_ + ； i — мнимая единица; U(r, t) — потенциаль-

lЭx2 8齡 dd 丿

ная функция частицы в силовом поле, в котором частица движется].

Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний

厶屮+需(e - U)屮=О

[屮=屮(х, у, z) — координатная часть волновой функции; +(%, g, z, £)=

=屮(尤，у, z丿 е 力 ；U = U(x, у, z) — потенциальная энергия частицы; Е — полная энергия частицы].

Волновая функция, описывающая одномерное движение свободной частицы,

-久Et ~рхх)乎(％, t)=A е h

[А — амплитуда волны де Бройля; рх = hk — импульс частицы; Е =力① ——энергия частицы].

Энергия свободно движущейся частицы

e =力2论2 =屋

2т 2m

[рх =方狗一импульс частицы; m — масса частицы].

Собственные значения энергии Еп частицы, находящейся н 忆-м энергетическом уровне в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими «стенками»,

Е「2嘗 ("1,2,3,…)

[方=， 一постоянная Планка; I ——ширина ямы; т — масса ча- стицы].

Собственная волновая функция, соответствующая вышеприведенному собственному значению энергии,

屮伞)=J| sin 竿 х(n = 1, 2, 3,...).

Коэффициент прозрачности D прямоугольного потенциального барьера конечной ширины I

D = Do ехр[-^ j2m(U - Е)1 ]

[£)0 ——множитель, который можно приравнять к единице; U ——высота потенциального барьера; Е — энергия частицы].

Уравнение Шрёдингера для линейного гармонического осциллятора в квантовой механике

М屮 Эх2М屮 Эх2+得回吵+得回吵

М屮 Эх2

М屮 Эх2

+得回吵

+得回吵

2 2

7n①产к

=U — потенциальная энергия осциллятора; й)0 ——собствен

ная частота колебаний осциллятора; т — масса частицы

Собственные значения энергии гармонического осциллятора

Е^ = {" + I)力①о 5 = °' 1，2,…)

[方 ——постоянная Планка;①。——собственная частота колебаний осциллятора].

Энергия нулевых колебаний гармонического осциллятора

/ = ^方①①

Примеры решения задач

336. \/-Функция некоторой частицы имеет вид 屮=336. \/-Функция некоторой частицы имеет вид 屮=厶厶e-r/a,e-r/a,где г ——где г ——

336. \/-Функция некоторой частицы имеет вид 屮=

336. \/-Функция некоторой частицы имеет вид 屮=

厶

厶

e-r/a,

e-r/a,

где г ——

где г ——

расстояние этой частицы до силового центра (рис. 70); а ——некоторая постоянная. Используя условие нормировки вероятностей, определите нормировочный коэффициент А.

Дано:А , 屮=ее-г/аа = constА — ?Дано:А , 屮=ее-г/аа = constА — ?Решение:J 屮12 d『=1, dV = 4лг2 dr,J与 e~2r/a ■ 4лг2 dr = 1, оРешение:J 屮12 d『=1, dV = 4лг2 dr,J与 e~2r/a ■ 4лг2 dr = 1, оОО47rA2 j e -2г/a dr =0ОО47rA2 j e -2г/a dr =0- — A^a e「2ba- — A^a e「2ba=2nA2a,=2nA2a,271A2a = 1,271A2a = 1,Ответ'. A =Ответ'. A =

Дано:

А , 屮=ее-г/а

а = const

А — ?

Дано:

А , 屮=ее-г/а

а = const

А — ?

Решение:

J 屮12 d『=1, dV = 4лг2 dr,

J与 e~2r/a ■ 4лг2 dr = 1, о

Решение:

J 屮12 d『=1, dV = 4лг2 dr,

J与 e~2r/a ■ 4лг2 dr = 1, о

ОО

47rA2 j e -2г/a dr =0

ОО

47rA2 j e -2г/a dr =0

- — A^a e「2ba

- — A^a e「2ba

=2nA2a,

=2nA2a,

271A2a = 1,

271A2a = 1,

Ответ'. A =

Ответ'. A =

Волновая функция, описывающая некоторую частицу, мо-

жет быть представлена в виде Т(х, t)=屮(％) е 丸 .Показать, что плотность вероятности нахождения частицы определяется только координатной 屮-функцией.

Дано:Решение:

I w = 1Т(х,力2, I屮(％,方)|2 =屮(к, t)T^(x, t),

¥(к, t)=屮⑺e方LEt

■T w = \|/(x)e 方 屮*(=)e方=屮(％)屮*(x)=

'=1w⑺E

Ответ: w = |\|/(x)|2.

Волновая функция 屮=Asin(2nx/1) определена только в области 0 С х ^ Z. Используя это условие нормировки, определить нормировочный коэффициент А.

Дано:Дано:WWAsin 窄Asin 窄О < x C ZО < x C ZА — ?А — ?里丄2 4л里丄2 4лРешение:Jl屮(*)|2d# 二 1, I屮(％)» = A2sin2—^, оjlv(^)l2dx = pl2sin2 ^£Edx =厶2卜也2 —^dx = оо0Решение:Jl屮(*)|2d# 二 1, I屮(％)» = A2sin2—^, оjlv(^)l2dx = pl2sin2 ^£Edx =厶2卜也2 —^dx = оо0II002 J IО2 J IОооsin ―—sin ―—Ответ: ЛОтвет: Л

Дано:

Дано:

W

W

Asin 窄

Asin 窄

О < x C Z

О < x C Z

А — ?

А — ?

里丄

2 4л

里丄

2 4л

Решение:

Jl屮(*)|2d# 二 1, I屮(％)» = A2sin2—^, о

jlv(^)l2dx = pl2sin2 ^£Edx =厶2卜也2 —^dx = оо0

Решение:

Jl屮(*)|2d# 二 1, I屮(％)» = A2sin2—^, о

jlv(^)l2dx = pl2sin2 ^£Edx =厶2卜也2 —^dx = оо0

I

I

0

0

2 J IО

2 J IО

о

о

sin ―—

sin ―—

Ответ: Л

Ответ: Л

339.屮-①ункция некоторой частицы имеет вид 屮=△ е—У где г ——расстояние этой частицы до силового центра;。——некоторая постоянная. Определить среднее расстояние〈г〉частицы до силового центра.

Дано屮=鼻е^г/ага = const⑺一?Дано屮=鼻е^г/ага = const⑺一?РешениеРешение<r> = J 厂|屮|2dp - j「ww*di, о0<r> = J 厂|屮|2dp - j「ww*di, о0dV = 4nr2 dr.dV = 4nr2 dr.(см. задачу 336),(см. задачу 336),882 1 a882 1 ae~2〃a • 47M dr = _ f re~2r/a dre~2〃a • 47M dr = _ f re~2r/a drо0о0

Дано

屮=鼻е^г/аг

а = const

⑺一?

Дано

屮=鼻е^г/аг

а = const

⑺一?

Решение

Решение

<r> = J 厂|屮|2dp - j「ww*di, о0

<r> = J 厂|屮|2dp - j「ww*di, о0

dV = 4nr2 dr.

dV = 4nr2 dr.

(см. задачу 336),

(см. задачу 336),

88

2 1 a

88

2 1 a

e~2〃a • 47M dr = _ f re~2r/a dr

e~2〃a • 47M dr = _ f re~2r/a dr

о0

о0

Ответ:⑺=|

Волновая функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид 屮=Ае~г/а, где г — расстояние электрона до ядра, a ——первый боровский радиус. Определить наиболее вероятное расстояние q электрона до ядра.

Дано:Дано:Решение:

Дано:

Дано:

.dW =d匕dV = 4兀产 dr (см. задачу 336),

屮=Ае /

'dr理=8冗金2r3-2"a+ 4兀42Г2e-2г/a(_2],'dr理=8冗金2r3-2"a+ 4兀42Г2e-2г/a(_2],а = const dw = 4л A2r2е-2〃а dr,W == 4兀 42r2е~2г/а,

'dr

理=8冗金2r3-2"a+ 4兀42Г2e-2г/a(_2],

'dr

理=8冗金2r3-2"a+ 4兀42Г2e-2г/a(_2],

^J£ = n8冗 А2г е~2厂/“( 1 -= 0,1 - — =0, г = а.

drIа丿ав

Ответ: гв = а.

Определить длину волны фотона, испускаемого при переходе электрона в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» шириной I = 0,2 нм из состояния с п = 2 в состояние с наименьшей энергией.

Дано:Решение:

=0,2 нм = 2 • 10 10 м=0,2 нм = 2 • 10 10 м

=0,2 нм = 2 • 10 10 м

=0,2 нм = 2 • 10 10 м

тг = 2т = 1тг = 2т = 1S = 1, 2, 3,…),S = 1, 2, 3,…),

тг = 2

т = 1

тг = 2

т = 1

S = 1, 2, 3,…),

S = 1, 2, 3,…),

入—？入—？E，L / 一 ％ = 4/-E「3马.E，L / 一 ％ = 4/-E「3马.

入—？

入—？

E，L / 一 ％ = 4/-E「3马.

E，L / 一 ％ = 4/-E「3马.

с力 = 2chml2 _ 8cml2 砺_3 ?12й2 _ 3~~

Ответа =1^

Волновая функция, описывающая состояние частицы в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высо” кими «стенками», имеет вид 屮(笈)=Asinfex. Определить: 1) вид собственной волновой функции 屮〃(х); 2) исходя из условия нормировки вероятностей, коэффициент А.

Дано: Решением

V(x) = A sinfexV(x) = A sinfex屮(0) = w(Z) = 0,屮(0) = w(Z) = 0,屮(N) = A sinkl屮(N) = A sinkl0. kl = пл,0. kl = пл,1）屮/）一 ？2）厶一？1）屮/）一 ？2）厶一？左=罕，屮式*）=45m|明久,左=罕，屮式*）=45m|明久,J|Vn(x)|2dx 工 1,J|Vn(x)|2dx 工 1,2sin2 [竿%] dx = ^Л2^ = l2sin2 [竿%] dx = ^Л2^ = l

V(x) = A sinfex

V(x) = A sinfex

屮(0) = w(Z) = 0,

屮(0) = w(Z) = 0,

屮(N) = A sinkl

屮(N) = A sinkl

0. kl = пл,

0. kl = пл,

1）屮/）一 ？

2）厶一？

1）屮/）一 ？

2）厶一？

左=罕，屮式*）=45m|明久,

左=罕，屮式*）=45m|明久,

J|Vn(x)|2dx 工 1,

J|Vn(x)|2dx 工 1,

2sin2 [竿%] dx = ^Л2^ = l

2sin2 [竿%] dx = ^Л2^ = l

Ответа 1)屮弘(к) = A sin 竽工；2) А = J^ .

Рис. 71Рис. 71??3 4-£п 1-33 4-£п 1-32-22-2X dX d1-31-31 _ 31 _ 3

Рис. 71

Рис. 71

?

?

3 4

-£

п 1-3

3 4

-£

п 1-3

2-2

2-2

X d

X d

1-3

1-3

1 _ 3

1 _ 3

Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной 2 с бесконечно высокими «стенками» (рис. 71). Определить вероятность W обнаружения электрона в средней трети «лмы», если электрон находится в возбужденном состоянии (п = 3). Пояснить физический смысл полученного результата, изобразив графически плотность вероятности обнаружения электрона в данном состоянии.

Дано:Дано:Решение:

Дано:

Дано:

Ответ: W =-.

Протон с энергией £ = 5 эВ движется в положительном направлении оси X, встречая на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой ?7 = 10 эВ и шириной I = 0,1 нм. Определить： 1) вероятность прохождения протоном этого барьера; 2) во сколько раз надо сузить барьер, чтобы вероятность прохождения его протоном была такой же, как для электрона при вышеприведенных условиях.

тр = 1,67 • 10~27 кгЕ = 5эВ = 8*10-19ДжЕ7 = 10 эВ = 1,6 • 10-18 Дж 2 = 0,1 нм = 10-10 м те к 9,11 ■ 10 31 кгтр = 1,67 • 10~27 кгЕ = 5эВ = 8*10-19ДжЕ7 = 10 эВ = 1,6 • 10-18 Дж 2 = 0,1 нм = 10-10 м те к 9,11 ■ 10 31 кг卜р = Q = exp -~j2mp(U - Е)卜р = Q = exp -~j2mp(U - Е)-符й 0-e)］，-符й 0-e)］，D唯一？ 2)р -? 普必而厂瓦D唯一？ 2)р -? 普必而厂瓦Wp = We = exp 卜乎 J2%(U — E)Wp = We = exp 卜乎 J2%(U — E)—^ J2双e(U — E)，—^ J2双e(U — E)，

тр = 1,67 • 10~27 кг

Е = 5эВ = 8*10-19Дж

Е7 = 10 эВ = 1,6 • 10-18 Дж 2 = 0,1 нм = 10-10 м те к 9,11 ■ 10 31 кг

тр = 1,67 • 10~27 кг

Е = 5эВ = 8*10-19Дж

Е7 = 10 эВ = 1,6 • 10-18 Дж 2 = 0,1 нм = 10-10 м те к 9,11 ■ 10 31 кг

卜р = Q = exp -~j2mp(U - Е)

卜р = Q = exp -~j2mp(U - Е)

-符й 0-e)］，

-符й 0-e)］，

D唯一？ 2)р -? 普必而厂瓦

D唯一？ 2)р -? 普必而厂瓦

Wp = We = exp 卜乎 J2%(U — E)

Wp = We = exp 卜乎 J2%(U — E)

—^ J2双e(U — E)，

—^ J2双e(U — E)，

Дано:Дано:Решением

Дано:

Дано:

Ответ: l)Wp = 1,67 • 10~43; 2) ^ = 42,8.

E<U

屮 1(0)=屮 2(°)

屮式0)="2(0)

Эх2力

您+晉(E — U)屮=0,

дх2«宀

1w2("严一？

Vi(x) = e1

РешениемРешениемДано:Дано:Частица с энергией E движется в положительном направлении оси X и встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой U, причем Е < U (рис. 72). Принимая 厶1 = 1 (как это обычно делается) и воспользовавшись условиями непрерывности волновой функции и ее первой производной на границе областей I и 2, определить плотность вероятности обнаружения частицы на расстоянии х от потенциального барьера.

Решением

Решением

Дано:

Дано:

屮式0)=屮2(°)

1 +马=公2，

Рис. 72

1叫⑼=%(0)

к、- в［铀=左2/2，

d2久

22，

|<И2(х)|2 = |А2е^|2 =

汽］十2

0= J2m(U-E)

e-2吃

Ответ: |\|；2(х)

2 = …竺丄= 左1 + i01

j2mE r _ J2m(U-E) 方'P方•

曲=亜产,^^х) A2eik^x , й2 = J27n/-%

Доказать, что волновая функция \|/(х) = Ахе 2力 может быть решением уравнения Шрёдингера для гармонического осциллятора, масса которого т и постоянная квазиупругой силы k. Определить собственное значение полной энергии осциллятора.

Дано:Дано:Е — ?Е — ?Решение:

Дано:

Дано:

Е — ?

Е — ?

也i + 也—竺w = o ® к

Эх2方(2，2方

屮(工)=Axe~ax2,

剪=A^ax2 2oAx^e~ax2, ox

^^ -2aAxe~axZ - 4aAxe~ax2 + 4a2Ax3e~ax2 = Эх2

=-6aAxe~ax2 + 4偉2▲%3e一白*2,

方2方2

3Jmk I 2mk 加后加2用с "力总 3 Jink

E =E =3方/г^ = § ^ /А 2m 2 4 m3方/г^ = § ^ /А 2m 2 4 mI加%•I加%•Ответ: Е =Ответ: Е =О2方①0，О2方①0，2方4为2力2^.2方2力22%

E =

E =

3方/г^ = § ^ /А 2m 2 4 m

3方/г^ = § ^ /А 2m 2 4 m

I加%•

I加%•

Ответ: Е =

Ответ: Е =

О

2方①0，

О

2方①0，

Задачи для самостоятельного решения

Используя условие нормировки вероятностей, определите нормировочный коэффициент волновой функции 1|>(г) = Ае~г2/^2а2^, описывающей поведение некоторой частицы, где г ——расстояние частицы от силового центра; а — некоторая постоянная.

Волновая функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид 屮(厂)=Ае~г^, где г — расстояние электрона от ядра, а ——первый боровский радиус. Определите среднее значение квадрата расстояния (г2) электрона до ядра в основном состоянии.

Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет вид 屮(г)=Л. 丁储/(2&2), где г — расстояние частицы от силового

центра; а — постоянная. Определите наиболее вероятное расстояние гв частицы от силового центра.

Частица находится в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной I с бесконечно высокими «стенками». Запишите уравнение Шрёдингера в пределах «ямы» (0 < х < /) и решите его.

Известно, что нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими «стенками», имеет

вид屮式％)=вид屮式％)=阮Г sin唔V阮Г sin唔V,где I — ширина ямы. Определите среднее,где I — ширина ямы. Определите среднее

вид屮式％)=

вид屮式％)=

阮Г sin唔V

阮Г sin唔V

,где I — ширина ямы. Определите среднее

,где I — ширина ямы. Определите среднее

значение координаты〈X〉электрона.

Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину £ = 0,1 нм. Разность между высотой потенциального барьера и энергией движущегося в положительном направлении оси X электрона равна U - Е = 5 эВ. Определите, во сколько раз изменится коэффициент D прозрачности потенциального барьера для электрона, если разность U - Е возрастет в 4 раза.

ОТВЕТЫ: 347. А = 1/而7小 348. <r2> = 3а2. 349. rB = а. 350.屮(х) = A sinAx, где k = шт/Z. 351. (х) = 1/2 . 352. Уменьшится в 10 раз.

0

Элементы физики атомов и молекул

АТОМ ВОДОРОДА ПО БОРУ

И ЕГО КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ

ОСНОВНЫЕ понятия

Модель атома РезерфордаЛинейчатый спектр атома водородаРадиусы разрешенных орбитв боровской теории атома водородаЭнергия электрона в атоме водорода по БоруЭнергия ионизацииЭнергия связи данного состоянияМодель атома РезерфордаЛинейчатый спектр атома водородаРадиусы разрешенных орбитв боровской теории атома водородаЭнергия электрона в атоме водорода по БоруЭнергия ионизацииЭнергия связи данного состоянияЭнергия возбужденияСпектр атома водорода по БоруЭнергия электрона в атоме водорода при квантово-механическом описанииКвантовые числаСпектр атома водорода при квантовомеханическом описании15-состояние в атоме водородаЭнергия возбужденияСпектр атома водорода по БоруЭнергия электрона в атоме водорода при квантово-механическом описанииКвантовые числаСпектр атома водорода при квантовомеханическом описании15-состояние в атоме водорода

Модель атома Резерфорда

Линейчатый спектр атома водорода

Радиусы разрешенных орбит

в боровской теории атома водорода

Энергия электрона в атоме водорода по Бору

Энергия ионизации

Энергия связи данного состояния

Модель атома Резерфорда

Линейчатый спектр атома водорода

Радиусы разрешенных орбит

в боровской теории атома водорода

Энергия электрона в атоме водорода по Бору

Энергия ионизации

Энергия связи данного состояния

Энергия возбуждения

Спектр атома водорода по Бору

Энергия электрона в атоме водорода при квантово-механическом описании

Квантовые числа

Спектр атома водорода при квантовомеханическом описании

15-состояние в атоме водорода

Энергия возбуждения

Спектр атома водорода по Бору

Энергия электрона в атоме водорода при квантово-механическом описании

Квантовые числа

Спектр атома водорода при квантовомеханическом описании

15-состояние в атоме водорода

Основные формулы

Обобщенная формула Бальмера, описывающая серии в спектре

излучения атома водорода,

V =【т2V =【т2илиили

V =

【т2

V =

【т2

или

или

[v 一一 частота спектральных линий в спектре атома водорода;

RRпостояннаяпостояннаяРидберга;Ридберга;—волновое число; m определяет серию—волновое число; m определяет серию

R

R

постоянная

постоянная

Ридберга;

Ридберга;

—волновое число; m определяет серию

—волновое число; m определяет серию

(пг = 1, 2, 3, ...); п определяет отдельные линии соответствующей серии (п = т + 1, т + 2, ...); 7nHi (серия Лаймана),小=2 (серия Бальмера), т = 3 (серия Пашена), m — 4 (серия Брэкета), m = 5 (серия Пфунда), m = 6 (серия Хэмфри)].

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний)wePnrn = дй (n = 1, 2, 3,...)

[те масса электрона; ул ——скорость электрона по n-й орбите радиусом %].

Второй постулат Бора (правило частот)

hv = Е — Еп т

[Е相 и Ет ——энергии стационарных состояний атома соответственно до и после излучения (поглощения)].

Радиус "-宜 стационарной орбиты в боровской модели атома водорода

Гп = п2— (п = 1, 2, Зу •••)

[力 ——постоянная Планка; е0 ——электрическая постоянная; те ——масса электрона; е — элементарный заряд].

Первый боровский радиус

力2.47lEn а =力2.47lEn а ==52,8 пм.=52,8 пм.

力2.47lEn а =

力2.47lEn а =

=52,8 пм.

=52,8 пм.

Энергия электрона в атоме водорода по Бору

J =-丄宅5 = 1,2, 3,…),

m8为2gj

/ =-甯 эВ 5=1,2, 3,…)

[h ——постоянная Планка; те ——масса электрона; е — элементарный заряд].

Потенциальная энергия U(r) взаимодействия электрона с ядром в водородоподобном атоме

4ле0г

[г ——расстояние между электроном и ядром; Z — порядковый номер элемента].

Собственное значение энергии Еп электрона в водородоподобном атоме

Е〃 =-丄5=1，2,3,П2 8用2%

Энергия электрона в атоме водорода при квантово-механическом описании

Е“ = — (л = 1, 2, 3,...).

n.28ft2e0

Энергия ионизации атома водорода

8/z2Eq

Момент импульса (механический орбитальный момент) электрона

% =方j，”1)

[Z — орбитальное квантовое число, принимающее при заданном п следующие значения: 2 = 0, 1, ..., п - 1 (всего п значений)].

Проекция момента импульса на направление z внешнего магнитного поля

[т^ ——магнитное квантовое число, принимающее при заданном / следующие значения: mz = 0, ±1,±2 (всего 2/ + 1 значений)].

Правила отбора для орбитального и магнитного чисел

= ± 1, Ат/Т/ = 0, ± 1.

Нормированная волновая функция, отвечающая ls-состоянию (основному состоянию) электрона в атоме водорода,

屮10О(г)=

Г4吗力2-I

a —величина, совпадающая с первым боровским радиусом .

Lте2」

Вероятность обнаружить электрон в атоме водорода, находящем

ся в ls-состоянии, в интервале от г до г + dr

dW = Моор dv = |\v100l2 • 4仃2 廿

[dP= 4兀戸 dr — элемент объема в виде сферического слоя радиусом г и толщиной dr].

Примеры решения задач

353. Максимальная длина волны спектральной водородной ли-353. Максимальная длина волны спектральной водородной ли-нии серии Лаймана Хл = 0,12 мкм (рис. 73). Предполагая, что янная Ридберга неизвестна, определить максимальную длинунии серии Лаймана Хл = 0,12 мкм (рис. 73). Предполагая, что янная Ридберга неизвестна, определить максимальную длинупосто-волныпосто-волнылинии серии Бальмера.Дано:Z= 1Хл = 0,12 мкм = 1,2 • IL? м^л = 1тпБ = 2линии серии Бальмера.Дано:Z= 1Хл = 0,12 мкм = 1,2 • IL? м^л = 1тпБ = 2Решение:Решение:11大B 一 ？大B 一 ？^=五佳一青^=五佳一青00 二4 一3 一00 二4 一3 一22九в九в

353. Максимальная длина волны спектральной водородной ли-

353. Максимальная длина волны спектральной водородной ли-

нии серии Лаймана Хл = 0,12 мкм (рис. 73). Предполагая, что янная Ридберга неизвестна, определить максимальную длину

нии серии Лаймана Хл = 0,12 мкм (рис. 73). Предполагая, что янная Ридберга неизвестна, определить максимальную длину

посто-волны

посто-волны

линии серии Бальмера.

Дано:

Z= 1

Хл = 0,12 мкм = 1,2 • IL? м

^л = 1

тпБ = 2

линии серии Бальмера.

Дано:

Z= 1

Хл = 0,12 мкм = 1,2 • IL? м

^л = 1

тпБ = 2

Решение:

Решение:

1

1

大B 一 ？

大B 一 ？

^=五佳一青

^=五佳一青

00 二

4 一

3 一

00 二

4 一

3 一

2

2

九в

九в

屮；* * Y入口屮；* * Y入口

屮；* * Y

入口

屮；* * Y

入口

[丄一丄

1\ U2 22.

[22 32

Ответ: ЛБ = 0,648 мкм.

Доказать, что энергетические уровни атома водорода могут быть описаны выражением £л = - ^у R, где R ——постоянная Ридберга.

Дано:Z = 1Дано:Z = 1Решение:Решение:En = -^R -En = -^R -??2meVnrn =几力，=2，4克%%2meVnrn =几力，=2，4克%%"5 4兀%%М8九2^'"5 4兀%%М8九2^'8/l3£o8/l3£o

Дано:

Z = 1

Дано:

Z = 1

Решение:

Решение:

En = -^R -

En = -^R -

?

?

2

meVnrn =几力，=2

，4克%%

2

meVnrn =几力，=2

，4克%%

"5 4兀%%М8九2^'

"5 4兀%%М8九2^'

8/l3£o

8/l3£o

2n力r_.2ti力m葭4 _ 一 1 md

紋n 8胪^n28/i2£o

Определить: 1) частоту f вращения электрона, находящегося на первой боровской орбите; 2) эквивалентную ей силу тока.

Дано:

Решение:

.方Е 271rl

mvr = пй, 几=1, з =, Т =

厂1 = 52,8 пм =

丄 mr1D]

= 5,28-10~11м

f ==--一-,I = ~ = ef.

1) f — ?

T2 兀 г】Злт^Т

2) / — ?

Ответ: 1) /=6,58 • 1015 Гц; 2) I = 1,05 мА.

Основываясь на том, что первый потенциал возбуждения атома водорода(рй = 10,2 В, определить в электронвольтах энергию фотона, соответствующую второй линии серии Бальмера (рис. 74).

Дано:% = 10,2 ВДано:% = 10,2 ВРешение'.Решение'.2%E2%E??绅绅3-43-4e(Pi = Bvi 2,e(Pi = Bvi 2,2 ftv2 ftv22223-43-44-4-= hR( —= — hR =4 242 丿 16= hR( —= — hR =4 242 丿 16hR,hR,Рис. 74Рис. 74

Дано:

% = 10,2 В

Дано:

% = 10,2 В

Решение'.

Решение'.

2

%

E

2

%

E

?

?

绅

绅

3-4

3-4

e(Pi = Bvi 2,

e(Pi = Bvi 2,

2 ftv

2 ftv

22

22

3-4

3-4

4-

4-

= hR( —= — hR =

4 242 丿 16

= hR( —= — hR =

4 242 丿 16

hR,

hR,

Рис. 74

Рис. 74

Ответ: Е^ 2 = 2,55 эВ.

乃叫Tn皿乃叫Tn皿Vioo(r)= 7= е'г/аVioo(r)= 7= е'г/аа = constа = const«) — ？«) — ？2 42 48822U = _——4冗е0厂2U = _——4冗е0厂2,〈（7〉= j 0屮*屮（10，dP = 4兀户 dr,,〈（7〉= j 0屮*屮（10，dP = 4兀户 dr,①元一詰о①元一詰ое~2г/а • 4冗厂2 drе~2г/а • 4冗厂2 dr4п%цЗ4п%цЗГ е-2г/а drГ е-2г/а drе2 41!е2 41!е2 4 а2 = _ g2 1е2 4 а2 = _ g2 1оо4лЕоаз (2/а)24冗％&3 44兀％а4лЕоаз (2/а)24冗％&3 44兀％а

乃叫Tn皿

乃叫Tn皿

Vioo(r)= 7= е'г/а

Vioo(r)= 7= е'г/а

а = const

а = const

«) — ？

«) — ？

2 4

2 4

8

8

2

2

U = _——

4冗е0厂2

U = _——

4冗е0厂2

,〈（7〉= j 0屮*屮（10，dP = 4兀户 dr,

,〈（7〉= j 0屮*屮（10，dP = 4兀户 dr,

①元一詰

о

①元一詰

о

е~2г/а • 4冗厂2 dr

е~2г/а • 4冗厂2 dr

4п%цЗ

4п%цЗ

Г е-2г/а dr

Г е-2г/а dr

е2 41!

е2 41!

е2 4 а2 = _ g2 1

е2 4 а2 = _ g2 1

о

о

4лЕоаз (2/а)24冗％&3 44兀％а

4лЕоаз (2/а)24冗％&3 44兀％а

Записать возможные значения орбитального квантового числа I и магнитного квантового числа mz для главного квантового числа п = 4.

Решение:

=0.

=0, ± 1.

=0, ±1, ±2.

=0, ± 1, ±2, ±3.

Нормированная волновая функция, описывающая 1s-состояние электрона в атоме водорода, имеет вид 屮〔仆虱厂)= J 厂"％ где г —

расстояние электрона от ядра; а ——первый боровский радиус. Определить среднее значение потенциальной энергии электрона в поле ядра.

Дано:Дано:Решение:

Дано:

Дано:

Дано: 屮］о№)=г = 0,05аW — ?Дано: 屮］о№)=г = 0,05аW — ?193193

Дано: 屮］о№)=

г = 0,05а

W — ?

Дано: 屮］о№)=

г = 0,05а

W — ?

193

193

z>2 1

Ответ:〈U〉=.

4几%。

Нормированная волновая функция, описывающая Is-co- стояние электрона в атоме водорода, имеет вид ^юо(г)= 『《、 где г — расстояние электрона от ядра; а ——первый боровский радиус. Определить вероятность W обнаружения электрона в атоме внутри сферы радиусом г = 0,05а.

Решение:

dV = 4ЛГ2 dr,

dW = |\|/100(r)|2 dU = !/^： г/, 4冗厂2 ”, 0,05。

ТУ = — f r2 e~2r/a dr.

0

7 Справочник но физике

По условию задачи, г мало (rmax = 0,05а; а = 52,8 пм), поэтому сомножитель е~2г/а можно разложить в ряд:

e-2r/a = 1 一红 + 丄(红y -;

а 2!【а丿

Ж =Ж =440,05а「0,05аJ叩WW号j0,05а「0,05аJ叩WW号j4а34а3г3 з"г3 з"00,05а00,05аоо0,05аГ2 dr - - J Zdr00,05аГ2 dr - - J Zdr0002 т а 42 т а 40»05аП0»05аП00=1,54 • ЮУ=1,54 • ЮУ

Ж =

Ж =

4

4

0,05а「0,05а

J叩WW号j

0,05а「0,05а

J叩WW号j

4

а3

4

а3

г3 з"

г3 з"

0

0,05а

0

0,05а

о

о

0,05а

Г2 dr - - J Zdr0

0,05а

Г2 dr - - J Zdr0

0

0

2 т а 4

2 т а 4

0»05аП

0»05аП

0

0

=1,54 • ЮУ

=1,54 • ЮУ

Ответ: W = 1,54 ■ 10-4.

Задачи для самостоятельного решения

Определите энергию фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на второй.

Используя теорию Бора для атома водорода, определите: 1) радиус ближайшей к ядру орбиты (первый боровский радиус); 2) скорость движения электрона по этой орбите.

Определите скорость р электрона на третьей орбите атома водорода.

Основываясь на том, что энергия ионизации атома водорода Ej = 13,6 эВ, определите в электронвольтах энергию фотона, соответствующую самой длинноволновой линии серии Бальмера.

Волновая функция Vn^m/r> ®，ф)> описывающая атом водорода, определяется главным квантовым числом п, орбитальным квантовым числом I и магнитным квантовым числом т^ Определить число различных состояний, соответствующих данному л.

Волновая функция, описывающая ls-состояние электрона в атоме водорода, имеет вид 屮=С е~г/а, где г — расстояние электрона от ядра; а ——первый боровский радиус. Определите нормированную волновую функцию, отвечающую этому состоянию.

ОТВЕТЫ: 360. 1,89 эВ. 361. 1) 52,8 им; 2) 2,19 Мм/с. 362. и = =е2/(п • 4ле0й) = 0,731 Мм/с. 363. 1,89 эВ. 364. п2. 365.屮^式厂)=

1 е-г / а

72 ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ ФИЗИКИАТОМОВ И МОЛЕМ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ

Моменты механические и магнитные орбитальные электронов и атомовСпин электронаСпиновое квантовое числоМагнитное спиновое квантовое числоМагнетон БораТождественные частицыПринцип неразличимоститождественных частицМоменты механические и магнитные орбитальные электронов и атомовСпин электронаСпиновое квантовое числоМагнитное спиновое квантовое числоМагнетон БораТождественные частицыПринцип неразличимоститождественных частицПриниип ПаулиЭлектронные оболочки в атомеРентгеновские спектрыСплошной (тормозной) рентгеновский спектрХарактеристический рентгеновский спектрЗакон МозлиПриниип ПаулиЭлектронные оболочки в атомеРентгеновские спектрыСплошной (тормозной) рентгеновский спектрХарактеристический рентгеновский спектрЗакон Мозли

Моменты механические и магнитные орбитальные электронов и атомов

Спин электрона

Спиновое квантовое число

Магнитное спиновое квантовое число

Магнетон Бора

Тождественные частицы

Принцип неразличимости

тождественных частиц

Моменты механические и магнитные орбитальные электронов и атомов

Спин электрона

Спиновое квантовое число

Магнитное спиновое квантовое число

Магнетон Бора

Тождественные частицы

Принцип неразличимости

тождественных частиц

Приниип Паули

Электронные оболочки в атоме

Рентгеновские спектры

Сплошной (тормозной) рентгеновский спектр

Характеристический рентгеновский спектр

Закон Мозли

Приниип Паули

Электронные оболочки в атоме

Рентгеновские спектры

Сплошной (тормозной) рентгеновский спектр

Характеристический рентгеновский спектр

Закон Мозли

Основные формулы

Спин (собственный механический момент импульса) электрона L$ =方 J$(s + 1)

[s ——спиновое квантовое число (s = 1/2),方=^J .

Проекция спина на направление z внешнего магнитного поля

4z = hms

[ms — магнитное спиновое квантовое число (ms = ±1/2)]. Принцип Паули

Z(n, Z, тг, т^ = 0 или 1

[Z(n,厶 mv mJ ——число электронов, находящихся в квантовом состоянии, описываемом набором четырех квантовых чисел: п ——главное, I — орбитальное, т( — магнитное,人一магнитное спиновое].

Эти числа могут принимать следующие значения:

главное п = 1, 2, 3,…；

орбитальное 2Ho, 1, 2,…，п — 1;

магнитное mt = 0, ±1, ±2,…，±Z;

магнитное спиновое ms = ±1/2.

Максимальное число электронов Z(n), находящихся в состояниях, определяемых заданным главным квантовым числом п,

Дп)= £ 2(2£+ 1)= 2п2/ - о

[I — орбитальное квантовое число].

Коротковолновая граница сплошного рентгеновского спектра

min eU

[e — заряд электрона; U — разность потенциалов, приложенная к рентгеновской трубке].

Закон Мозли, определяющий частоты спектральных линий характеристического рентгеновского излучения:

"五(Z-◎%*

[R — постоянная Ридберга; Z ——порядковый номер элемента в периодической системе; о — постоянная экранирования; т определяет рентгеновскую серию (иг = 1, 2, 3, ...); п определяет отдельные линии соответствующей серии (п = т + 1у т + 2^ ...)].

Закон Мозли для линии Ка (с = 1)

Примеры решения задач

Электрон в атоме находится в d-состоянии. Определить: 1) момент импульса (орбитальный) L? электрона; 2) максимальное значение проекции момента импульса 1-/гтах на направление внешнего магнитного поля.

Дано: d-состояние / = 2Дано: d-состояние / = 2% =方J2(2+1),% =方J2(2+1),Решение:Решение:1)% — ?2)%zmax — ?1)% — ?2)%zmax — ?Ll = Йл/б,Ll = Йл/б,)mt = 0, ±1, ±2)mt = 0, ±1, ±2上气2 一方矶" l2zmax2九上气2 一方矶" l2zmax2九

Дано: d-состояние / = 2

Дано: d-состояние / = 2

% =方J2(2+1),

% =方J2(2+1),

Решение:

Решение:

1)% — ?

2)%zmax — ?

1)% — ?

2)%zmax — ?

Ll = Йл/б,

Ll = Йл/б,

)mt = 0, ±1, ±2

)mt = 0, ±1, ±2

上气2 一方矶" l2zmax2九

上气2 一方矶" l2zmax2九

Ответ: 1)工,工 2,45力；2) LZzmax = 2方.

Определить числовое значение: 1) собственного механического момента импульса (спина) Е§; 2) проекции спина Lsz на направление внешнего магнитного поля.

= 9,09 • 10-35 Дж • с;= 9,09 • 10-35 Дж • с;Решение'.

= 9,09 • 10-35 Дж • с;

= 9,09 • 10-35 Дж • с;

4 =方 Js(s + 1), § = В , L$ =力

Lsz =方m§,77is = ±^ , A? = ±方 * ^ = ±5,25 • 10-35 Дж ■ c.

Заполненной электронной оболочке соответствует главное квантовое число п = 3. Определить число электронов в этой оболочке, которые имеют одинаковые квантовые числа: т5 = -1/2, т1 = 0, т( = 7, = 1/2.

Дано:孔=3ms = -l/2叫=0mz = -1, ms = 1/2N — ?Ответ: ms = -- f N =Дано:孔=3ms = -l/2叫=0mz = -1, ms = 1/2N — ?Ответ: ms = -- f N =Решение:Решение:о=о=оо1-2+-1-2+-2+-1+-2+-1+-飞飞1-2士1-2士1-2=16;一i9;1-2=16;一i9;2=N2=N

Дано:

孔=3

ms = -l/2

叫=0

mz = -1, ms = 1/2

N — ?

Ответ: ms = -- f N =

Дано:

孔=3

ms = -l/2

叫=0

mz = -1, ms = 1/2

N — ?

Ответ: ms = -- f N =

Решение:

Решение:

о=

о=

о

о

1-2

+-

1-2

+-

2

+-

1

+-

2

+-

1

+-

飞

飞

1-2士

1-2士

1-2=

1

6;

一i

9;

1-2=

1

6;

一i

9;

2=N

2=N

Записать квантовые числа, определяющие внешний, или валентный, электрон в основном состоянии атома натрия.

Решение:

uNa: 1622s22рбз§

Валентный электрон: п = 3,Валентный электрон: п = 3,2 = 0, т； = 0, ms = ± I.2 = 0, т； = 0, ms = ± I.

Валентный электрон: п = 3,

Валентный электрон: п = 3,

2 = 0, т； = 0, ms = ± I.

2 = 0, т； = 0, ms = ± I.

370. Определить длину волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра, если скорость и электронов, бомбардирующих анод рентгеновской трубки, составляет 0,8с.370. Определить длину волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра, если скорость и электронов, бомбардирующих анод рентгеновской трубки, составляет 0,8с.Дано:Дано:Решение-Решение-V = 0,8ст = 9,11 • 10~31 кгV = 0,8ст = 9,11 • 10~31 кгeU =Т, Т = mc2f , 1-1},IJ1 - М/с? 丿eU =Т, Т = mc2f , 1-1},IJ1 - М/с? 丿®U=匹 入min®U=匹 入minI"】I"】Ответ:九min = 3,64 пм.Ответ:九min = 3,64 пм.

370. Определить длину волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра, если скорость и электронов, бомбардирующих анод рентгеновской трубки, составляет 0,8с.

370. Определить длину волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра, если скорость и электронов, бомбардирующих анод рентгеновской трубки, составляет 0,8с.

Дано:

Дано:

Решение-

Решение-

V = 0,8с

т = 9,11 • 10~31 кг

V = 0,8с

т = 9,11 • 10~31 кг

eU =Т, Т = mc2f , 1-1},

IJ1 - М/с? 丿

eU =Т, Т = mc2f , 1-1},

IJ1 - М/с? 丿

®U=匹 入min

®U=匹 入min

I"】

I"】

Ответ:九min = 3,64 пм.

Ответ:九min = 3,64 пм.

Определить порядковый номер элемента в периодической системе элементов Менделеева, если длина волны 入 линии К& характеристического рентгеновского излучения составляет 72 пм.

Решение:Решение:Дано:К"а-линия о=1入=72 nM=7,2'10-uMZ — ?Дано:К"а-линия о=1入=72 nM=7,2'10-uMZ — ?Ar"一硏壶俏，

Решение:

Решение:

Дано:

К"а-линия о=1

入=72 nM=7,2'10-uM

Z — ?

Дано:

К"а-линия о=1

入=72 nM=7,2'10-uM

Z — ?

z —z —m3五%m3五%+ 1.+ 1.五，=1,1 • 107 м-1, т = 1, п = 2, 尹硝Z—l)2{gH(Z72H 念,

z —

z —

m3五%

m3五%

+ 1.

+ 1.

(Z - 0)2 =(Z - 0)2 =365R入365R入Ха-линия:Ха-линия:Ответ: о = 5,63.Ответ: о = 5,63.R"-炉信-表）,R"-炉信-表）,

(Z - 0)2 =

(Z - 0)2 =

36

5R入

36

5R入

Ха-линия:

Ха-линия:

Ответ: о = 5,63.

Ответ: о = 5,63.

R"-炉信-表）,

R"-炉信-表）,

Ответ: Z = 42, молибден.

Определить постоянную экранирования о для L-серии рентгеновского излучения (рис. 75), если при переходе электрона в атоме вольфрама с М-оболочки на £-оболочку длина волны 入 испущенного фотона составляет 140 пм.

Дано:

Z= 74

L

入=140 пм = 1,4 • 10-10 м

Ьа-лйния

о——？

Задачи для самостоятельного решения

Электрон в атоме находится в /-состоянии. Определите возможные значения (в единицах 方)проекции момента импульса Llz орбитального движения электрона в атоме на направление внешнего магнитного поля.

Объясните, что лежит в основе классификации частиц на фермионы и бозоны, а также которые из них описываются симметричными волновыми функциями.

Исходя из принципа неразличимости тождественных частиц, дайте определение симметричной и антисимметричной волновых функций. Объясните, почему изменение знака волновой функции не влечет за собой изменение состояния.

Учитывая принцип Паули, определите максимальное число электронов, находящихся в состояниях, определяемых главным квантовым числом.

Заполненной электронной оболочке соответствует главное квантовое число п = 4. Определите число электронов на этой оболочке, которые имеют одинаковые следующие квантовые числа: 1) т1 = -3; 2) = 1/2, Z = 2; 3)飞=-1/2,叫=1.

Электронная конфигурация некоторого элемента Is2 2$2 2p63s23p63di。4s. Определите этот элемент.

Определите длину волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра, если при увеличении напряжения на рентгеновской трубке в два раза она изменилась на 50 пм.

В атоме вольфрама электрон перешел с М-оболочки на£-обо- лочку. Принимая постоянную экранирования о = 5,63, определите энергию испущенного фотона.

ОТВЕТЫ*. 377. 1) 2; 2) 5; 3) 3. 379. 100 пм. 380. 8,88 кэВ.

0

Элементы физики атомного ядра и элементарных частиц

ХАРАКТЕРИСТИКИ АТОМНОГО ЯДРА.ЯДЕРНЫЕСИЛЫ

ОСНОВНЫЕ понятия

Атомное ядро и его составЗарядовое числоЗаряд ядраМассовое числоИзотопыИзобарыИзотоныРадиус ядраАтомное ядро и его составЗарядовое числоЗаряд ядраМассовое числоИзотопыИзобарыИзотоныРадиус ядраСпин (собственный момент импульса) ядра

Атомное ядро и его состав

Зарядовое число

Заряд ядра

Массовое число

Изотопы

Изобары

Изотоны

Радиус ядра

Атомное ядро и его состав

Зарядовое число

Заряд ядра

Массовое число

Изотопы

Изобары

Изотоны

Радиус ядра

Магнитный м(?мент ядра

Ядерный магнетон

Энергия связи ядра

Дефект массы ядра

Удельная энергия связи ядра

Ялерные силы

Модели ядра

Основные формулы

Радиус ядра атома

R =五 0&1/3

[% = (1,3 —1,7) фм; А — массовое число].

Энергия связи ядра атома

Есв = 1^тр + (А — Z)mn - тя]с2 = [ZmH + (A- Z)mn - m]c2

[mp, mn, тя — соответственно массы протона, нейтрона и ядра; Z — зарядовое число; А ——массовое число; т^ = тр + те — масса атома водорода (:Н); т — масса атома].

Дефект массы ядра

Am = {Zmp + (厶 一 Z)mj - тя = [ZmH + (А ~ 2)тп] - т

[nip, т^ тя — соответственно массы протона, нейтрона и ядра; Z —— зарядовое число; А ——массовое число; тн = тр + те — масса атома водорода (；Н); т — масса атома].

У дельная энергия связи

5% =勺•

Спин (собственный момент импульса) ядра

L* =方 J『(/ + 1)

[Й = й/(2л) — постоянная Планка; I ——спиновое ядерное квантовое число (/ = 0, 1/2, 1, 3/2,…)].

Связь между магнитным моментом ртя и собственным моментом импульса (спина) Ья ядра

Ртн — gJh

[痂一ядерное гиромагнитное отношение]. Ядерный магнетон

[е ——заряд электрона;力=九/(2冗)——постоянная Планка; тр — масса протона].

Примеры решения задач

Определить удельную энергию связи ЬЕСВ (энергию связи, отнесенную к одному нуклону) для ядер: 1) ：Не; 2) ^^С * Массы нейтральных атомов гелия и углерода соответственно равны 6,6467 • IO»? кг и 19,9272 • 10 27 кг.

4

1) ；Не

% =

2)耻

3%

5£св - ?

2Не

Дано:Дано:Ответ: 1) 6&вОтвет: 1) 6&вРешение:

Дано:

Дано:

Ответ: 1) 6&в

Ответ: 1) 6&в

Aww?, Есв = [^тн + (4 一 Z)mn - т]с2 ^т-^ + (А ~ Z)mn~ т]с2

7,1 МэВ/нуклои; 2) 8ЕСВ = 7,7 МэВ/нуклон.7,1 МэВ/нуклои; 2) 8ЕСВ = 7,7 МэВ/нуклон.=6,6467 • 10"27кг, ТП12 = 19,9272 • 10~27кг, 1,675 • 10-27 кг) ^н = 1,6736 • 10-27 кг.

7,1 МэВ/нуклои; 2) 8ЕСВ = 7,7 МэВ/нуклон.

7,1 МэВ/нуклои; 2) 8ЕСВ = 7,7 МэВ/нуклон.

Энергия связи £св ядра, состоящего из трех протонов и четырех нейтронов, равна 39,3 МэВ. Определить массу т нейтрального атома.

Дано:Есв = 39,3 МэВ = 6,288 • 10~22 ДжZ = 3^ = 4тп = 1,675 • 10~27 кг7nH 1,6736 • 10~27 кгm — ?Дано:Есв = 39,3 МэВ = 6,288 • 10~22 ДжZ = 3^ = 4тп = 1,675 • 10~27 кг7nH 1,6736 • 10~27 кгm — ?Решение:Есв = [Z^h + (А — Z)m兀 一 т]с2, Е寸=Zm^ + (А - Z)mn - т, т = ZmH + (А - Z)mn - -у .Решение:Есв = [Z^h + (А — Z)m兀 一 т]с2, Е寸=Zm^ + (А - Z)mn - т, т = ZmH + (А - Z)mn - -у .

Дано:

Есв = 39,3 МэВ = 6,288 • 10~22 Дж

Z = 3

^ = 4

тп = 1,675 • 10~27 кг

7nH 1,6736 • 10~27 кг

m — ?

Дано:

Есв = 39,3 МэВ = 6,288 • 10~22 Дж

Z = 3

^ = 4

тп = 1,675 • 10~27 кг

7nH 1,6736 • 10~27 кг

m — ?

Решение:

Есв = [Z^h + (А — Z)m兀 一 т]с2, Е

寸=Zm^ + (А - Z)mn - т, т = ZmH + (А - Z)mn - -у .

Решение:

Есв = [Z^h + (А — Z)m兀 一 т]с2, Е

寸=Zm^ + (А - Z)mn - т, т = ZmH + (А - Z)mn - -у .

Ответ: т = 1,165 • 10~ кг.

Задачи для самостоятельного решения

Определите, пользуясь таблицей Менделеева, число нейтро- нов и протонов в атомах платины и урана.

Определите энергию связи ядра атома гелия^Не. Масса нейтрального атома гелия равна 6,6467 • 10~ кг.

Определите массу изотопа〔^N, если изменение массы при образовании ядра i^N составляет 0,2508 • 10~27 кг.

Среднее время жизни радиоактивного ядраБета-распадПериод полураспадаАльфа-распадГамма-излучение ядерСреднее время жизни радиоактивного ядраБета-распадПериод полураспадаАльфа-распадГамма-излучение ядер—постоян-—постоян-ОТВЕТЫ: 384. 28,4 МэВ. 385. 2,4909 • Ю"26 кг.

Среднее время жизни радиоактивного ядра

Бета-распад

Период полураспада

Альфа-распад

Гамма-излучение ядер

Среднее время жизни радиоактивного ядра

Бета-распад

Период полураспада

Альфа-распад

Гамма-излучение ядер

—постоян-

—постоян-

Закон радиоактивного распада

N = %е*

[N ——число нераспавшихся ядер к моменту времени t; ^0 ——начальное число нераспавшихся ядер (в момент времени 力=0);入一постоянная радиоактивного распада].

Число ядер, распавшихся за время t,

Д2V = Nq - N = No(l - e-^).

Связь между периодом полураспада Т^^2 и постоянной радиоактивного распада Л

т — In 2

Связь между средним временем жизни т радиоактивного ядра и постоянной 入 радиоактивного распада

Активность нуклида

Правила смещения:

для а-распада

気 f ^；Y + ；He;

для р_-распада

吃X — z+：Y + -；e;

для р+-распада

"-z；Y + +；e

[^Х — материнское ядро; У — символ дочернего ядра; ；Не — ядро ге-

/、 ок，

лия (а-частица);々е ——символическое обозначение электрона (заряд

его равен -1, а массовое число ——нулю); +；е ——символическое обозначение позитрона (заряд его равен + 1, а массовое число ——нулю)].

Схема электронного захвата

z^ + -Iе z-lY + oVe

[Qve — нейтрино].

Примеры решения задач

Определить, во сколько раз начальное количество ядер радиоактивного изотопа уменьшится за три года, если за один год оно уменьшилось в 4 раза.

Дано:Решение'

力1 = 1 год

N = NgH, N、= N户％ ,N? = N戸*2

^2 = 3 года

后=e* =4,入=吗

TVfj/N] = 4

NW - ?

ln4 ' f2

齿=e'G = e %= e31n4

川2

Ответ: No/N2 = 64.

Определить период полураспада радиоактивного изотопа, если 5/8 начального количества ядер этого изотопа распалось за время t = 849 с.

Дано:经_自N н N^e-"No 8t = 849 с一入土 = In -,『1/2 — ?8Дано:经_自N н N^e-"No 8t = 849 с一入土 = In -,『1/2 — ?8Ответ: Т1/2 = Ю мин.Ответ: Т1/2 = Ю мин.РешениемРешением

Дано:

经_自

N н N^e-"

No 8

t = 849 с

一入土 = In -,

『1/2 — ?

8

Дано:

经_自

N н N^e-"

No 8

t = 849 с

一入土 = In -,

『1/2 — ?

8

Ответ: Т1/2 = Ю мин.

Ответ: Т1/2 = Ю мин.

Решением

Решением

Вывести формулу для скорости (активности) радиоактивного распада через период полураспада Т、,? и начальное число ^Q радиоактивных атомов.

N。T1/2A — ?N。T1/2A — ?Дано:Дано:In 2In 2=-Л^ dt, А ==-Л^ dt, А =Решение:紀=AN, ^ = n尸mРешение:紀=AN, ^ = n尸m『1/2『1/2Ответ: А =Ответ: А =号%е 』1/2号%е 』1/21п2 ■ tT1/21п2 ■ tT1/2

N。

T1/2

A — ?

N。

T1/2

A — ?

Дано:

Дано:

In 2

In 2

=-Л^ dt, А =

=-Л^ dt, А =

Решение:

紀=AN, ^ = n尸m

Решение:

紀=AN, ^ = n尸m

『1/2

『1/2

Ответ: А =

Ответ: А =

号%е 』1/2

号%е 』1/2

1п2 ■ tT1/2

1п2 ■ tT1/2

Первоначальная масса радиоактивного изотопа