Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
А.И.Плис
Н.А.Сливина
MATHCAD：
математический практикум для экономистов и инженеров
Рекомендовано
Министерством общего и профессионального образования Российской Федерации в качестве учебного пособия доя студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим и техническим специальностям
в МОСКВА ' ФИНАНСЫ И СТАТИСТИКА11 1999
УДК681.3:51 (076.5)
ББК22.1с51я7Э
П38
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
Кафедра прикладной математики
Московского государственного институтаэлектроники и математики (технический университет)
М.И. Шабунин.
доктор педагогических наук, профессорИздание осуществлено при финансовой поддержкеНаучно-технической компании
ГЕММА-М
Плис А.И., Сливина Н.А.
П38Mathcad: математический практикум для экономистов и
инженеров: Учеб. пособие. -М.: Финансы и статистика, 1999. - 656 с.: ил.
ISBN 5-279-02155-5
Пособие представляет собой сборник заданий по стандартному курсу высшей математики для экономических и некоторых инженерных специальностей. Задания включают постановку задачи, краткое описание математического метода ее решения, анализ результатов вычислений. Примеры содержат все необходимые рекомендации по работе с математической моделью и пакетом.
Для студентов экономических и инженерных вузов, преподавателей математики, научных работников, пользователей компьютеров, применяющих математические методы в практической работе.
2404000000 - 014УДК 681.3:51(076.5)
П ———————————ББК 22.1с51я73
010 (01) - 99010 (01) - 99145 - 98
010 (01) - 99
010 (01) - 99
i Плис А.И., Сливина Н.А., 1999
ISBN 5-279-02155-5
ОГЛАВЛЕНИЕ
99Предисловие
9
9
Глава 1. Введение в Mathcad13
Что такое Mathcad?13
Основные характеристики Mathcad15
Начало работы в среде Mathcad19
Простейшие вычисления и операции в Mathcad22
Простейшие арифметические вычисления (23). Определение переменнойи еезначения.Вычисление значений выражений,со
держащих переменные (25). Определение и вычисление значения функциив точке.Построениетаблицызначений функции (26).По
строение декартова графика функции (27). Сохранение рабочего документа в файле на диске (28). Открытие нового рабочего документа (29). Чтение рабочего документа из файла на диске (29).
Меню Mathcad30
Панели инструментов Mathcad41
Режим справки46
Решение задач элементарной математики в Mathcad .52
Преобразование алгебраических выражений (53). Определение, построение таблиц значений и графиков функций (56). Символьное решение уравнений и систем (58).
Глава 2. Задачи линейной алгебры60
Используемые инструменты Mathcad60
Действия с матрицами67
Основные матричные операции (67). Транспонирование. Вычисление обратной матрицы. Ортогональные матрицы (70). Вычисление степени матрицы. Некоторые специальные матрицы (73).
Определители и их свойства75
Вычисление определителей (75). Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера (78).
Системы линейных алгебраических уравнений81
Матричная форма записи линейных систем.Решение матричных
уравнений (81). Решение линейной системы методом Гаусса (83).
Решение системылинейных алгебраическихуравнений методом
простых итераций (86).
Общая теория линейных систем89
Однородные системы линейных алгебраических уравнений (90). Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений (95).
Линейное пространство. Основные понятия98
Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в заданном базисе (99). Исследование линейной зависимости. Ранг матрицы (102). Ортонормированные базисы и ортогональные матрицы (105).
Элементарная теория линейных операторов109
Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису (109). Образ и ядро линейного оператора (112). Собственные значения и собственные векторы линейного оператора (115).
Матричные вычисления в экономических задачах119
Модель межотраслевого баланса Леонтьева. Вычисление совокупного выпуска по заданному спросу (119). Цены в системе межотраслевых связей (126). Простейшая модель экспорта и импорта (128).
Линейная модель международной торговли (131).
Геометрическое решение задачи линейного программирования 133
Решение переопределенных систем ..139
Проекции на подпространство и метод наименьших квадратов (139). Аппроксимация эмпирических данных методом наименьших квадратов (143).
148148Глава 3. Задачи математического анализа
148
148
Используемые инструменты Mathcad148
Определение функций и построение графиков (148). Вычисление пределов (153). Дифференцирование (154). Интегрирование (156).
Суммирование рядов(157).Разложение функций по формуле
Тейлора (157).
Сходимость числовых последовательностей159
Предел функции166
Предел функции в точке (166). Бесконечно малые функции.
Сравнение бесконечно малых (169).
Классификация точек разрыва. Поведение функции на границах области определения173
Непрерывность и разрывы функции. Классификация разрывов (173).
Непрерывные функции. Свойства непрерывных функций (176).
Производная и ее вычисление179
Односторонние производные (180). Геометрический смысл производной (183).
Исследование функций и построение графиков186
Вертикальные и наклонные асимптоты(186).Исследованиефунк
ции с помощью производной (189). Исследование функции с использованием второй производной (191).
Кривая на плоскости195
Кривыенаплоскости,заданныев декартовыхкоординатах (195).
Кривыенаплоскости,заданныепараметрически(199). Кривые на
плоскости, заданные в полярных координатах (201).
Формула Тейлора203
Функции одной переменной в экономических задачах 208
Функции спроса. Равновесная цена (208). Функции спроса. Зависимость спроса от дохода (211). Максимальная прибыль (214).
Средние и предельные показатели(216).Эластичностьэкономиче
ских функций (218).
Неопределенный интеграл. Интегрирование заменой переменной221
Определенный интеграл226
Определение и вычисление определенного интеграла (226). Формула Ньютона — Лейбница. Интегрирование заменой переменной (229).
Несобственные интегралы233
Интегралкакфункция верхнего предела(233).Несобственные
интегралыпонеограниченному промежутку(236).Несобственные
интегралы от неограниченных функций (238).
Числовые ряды240
Основные понятия. Ряды с неотрицательными членами (240).
Знакопеременные ряды (248).
Разложение элементарных функций в ряд Тейлора250
Разложение функций в ряд Фурье254
Сходимостьряда Фурье. ЯвлениеГиббса(254). Приближение
функций.Минимальное свойство коэффициентов Фурье (260).
Зависимостьскорости сходимости ряда Фурье от гладкости функ
ции (262). Ряд Фурье на произвольном отрезке (267).
Функции многих переменных. Основные понятия269
Графики функцийдвухпеременных. Линии уровня. Локальные
экстремумы (269).Частные производные. Производнаяпо напра
влению. Градиент. Производные высших порядков (275).
Формула Тейлора для функции многих переменных .279
Формулы Тейлора и Маклорена. Аппроксимация функции многочленом (279). Локальный экстремум (283).
Функции многих переменных в экономических задачах288
Производственные функции (288). Эластичностьпроизводственной функции(эластичностьвыпуска)(292). Производственная
функция Кобба — Дугласа (293). Производственная функция CES (функция с постоянной эластичностью замещения) (295).
298298298298Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения
298
298
298
298
Используемые инструменты Mathcad
Решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка (301). Решение задачи Коши для дифференциальных уравнении высших порядков (302). Решение задачи Коши для нормальнойсистемы дифференциальныхуравнений (303). Решение
задачи Коши для жесткой системы (304). Построение интегральных ифазовыхкривых автономнойсистемы(305).Построение
векторного поля автономной системы (306).
Дифференциальные уравнения первого порядка308
Уравнение с разделяющимися переменными (309). Численное решение задачи Коши методом Рунге — Кутты (312).
Уравнения высших порядков. Системы дифференциальных уравнений315
Линейные дифференциальные уравнения321
Принцип суперпозиции (321). Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Общее решение (323). Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Общее решение. Метод подбора (327).
Жесткие системы. Решение дифференциальных уравнений методом матричной экспоненты330
Автономные системы на плоскости338
Фазовая плоскость, фазовые кривые (339). Точки покоя линейной автономной системы (343). Векторное поле автономной системы (348) Устойчивые решения. Предельные циклы. Фазовые портреты нелинейных систем (353).
Динамические системы в экономических задачах356
Динамика популяций. Уравнения Вольтерра — Лотка (356). Уравнения Вольтерра — Лотка с логистической поправкой (361). Модель Холдинга — Тэннера (364). Выравнивание цен (367).
370370370374370374Глава 5. Теория вероятностей
370
370
370
374
370
374
Функции и инструменты Mathcad
Случайные величины. Функции распределения
Функция распределения случайной величины (375). Наиболеерас
пространенные распределения дискретных случайных величин (377).
Предельные распределения для биномиального распреде-
384384ления
384
384
Теорема Пуассона (384). Локальная теорема Муавра — Лапласа (385). Интегральная теорема Муавра—Лапласа (387). Теорема Бернулли (389).
Непрерывные случайные величины391
Наиболее распространенные распределения непрерывных случайных величин (391). Квантили (402).
Совместные распределения нескольких случайных величин403
Многомерные случайные величины Функции распределения многомерных случайных величин (403). Независимость случайных величин (406).
Условные распределения случайных величин408
Условные распределения дискретных случайных величин (408). Условные распределения непрерывных случайных величин (413).
Функции от случайных величин419
Плотность вероятности суммы двух случайных величин (422).
Более сложные функции от случайных величин (424).
Числовые характеристики случайных величин427
Математическое ожидание случайной величины (427). Дисперсия случайной величины (429). Моменты (431). Эксцесс (435). Среднее гармоническое и среднее геометрическое случайныхвеличин,
принимающих только положительные значения (437).
Числовые характеристики двумерных случайных величин438
Математическое ожидание (439). Дисперсия (441). Условное математическое ожидание (443). Ковариация (453). Корреляция (456).
Глава 6. Задачи математической статистики462
Используемые инструменты Mathcad462
Ввод и вывод файлов данных (462). Функции вычисления выборочных характеристик (464). Построение эмпирическихраспределений (466). Моделирование выборок из стандартныхраспределе
ний (468).
Основные задачи статистики. Выборки. Гистограммы. Полигоны частот469
Эмпирические распределения и числовые характеристики (470). Числовые характеристики выборки (476). Оценка функции распределения (479).
Точечные оценки параметров распределений486
Точечные оценки математического ожидания (486). Точечные оценки дисперсии (489). Точечная оценка вероятностисобытия (491). Точечная оценка параметров равномерногораспреде
ления (492).
Методы получения точечных оценок495
Метод максимального правдоподобия для дискретной случайной величины (495). Метод максимального правдоподобия длянепре
рывной случайной величины (498).
Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины505
Доверительныеинтервалыдля математического ожидания(506).
Доверительный интервал для дисперсии (508). Доверительный интервал дляпараметровпуассоновского распределения (511). Доверительный интервал для вероятности (514). Доверительныйин
тервал для коэффициента корреляции (515).
Проверка статистических гипотез о параметрах нормально распределенной случайной величины519
Проверкагипотезы о числовом значении математического ожи
дания при известной дисперсии (521). Проверка гипотезы о числовомзначении математическогоожидания при неизвестной
дисперсии(526). Проверка гипотезыо числовом значении дис
персии (529). Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданийпри известных дисперсиях(532). Проверка гипотезы
о равенстве математических ожиданий распределений при равных неизвестных дисперсиях (535).
Линейная регрессия538
Элементы дисперсионного анализа549
Однофакторный дисперсионный анализ (549). Двухфакторный дисперсионный анализ (556).
564564Приложение. Варианты заданий
564
564
Глава 2 564
Глава 3 589
Глава 4 617
Глава 5 627
Глава 6 640
Литература654
Чрезвычайная простота интерфейса Mathcad сделала его одним из самых популярных и безусловно самым распространенным в студенческой среде математическим пакетом. Он предоставляет пользователю обширный набор инструментов для реализации графических, аналитических и численных методов решения математических задач на компьютере. Выполняя рутинные или несущественные (в контексте изучаемого раздела) операции, пакет позволяет студенту, не владеющему в полной мере техникой математических преобразований, самостоятельно выполнить громоздкие вычисления, решить содержательные задачи, приобрести устойчивые навыки решения прикладных задач. При этом учащийся общается с вычислительной средой на уровне понятий, идей, общих подходов и за небольшое время может рассмотреть самостоятельно много примеров. Эти свойства общения со средой особенно важны для развития творческого, критического и независимого мышления, поскольку учащийся может всесторонне исследовать новые объекты, выделить общие закономерности и сформулировать обобщающие утверждения на основе собственных наблюдений.
Пакет Mathcad можно использовать как средство модернизации курсов, как среду для общения учащегося с преподавателем, как средство контроля и самоконтроля, как инструмент помощи учащемуся при самостоятельной работе. При создании учебных курсов Mathcad помогает преподавателям подготовить динамичные яркие иллюстрации, перенести акценты на концептуальные аспекты изучаемых проблем, обогатить курс примерами, возникающими в различных областях науки и практики, которые обычно не рассматриваются в учебных курсах из-за их сложности. Лекционные демонстрации можно подготовить таким образом, что каждый учащийся получит столько примеров, сколько именно ему необходимо для понимания существа вопроса. Для одного и того же раздела можно подготовить самые различные по объему, форме и глубине учебные курсы.
Предлагаемая читателю книга представляет собой сборник компьютерных занятий в среде Mathcad по стандартному курсу (с включением некоторых специальных разделов) высшей математики для инженерных и экономических вузов. Часть занятий целиком отводится экономическим приложениям.
В книге приведены примеры решения задач в среде Mathcad 7.0, интерфейс которого мало отличается от интерфейса следующей версии — Mathcad 8.0 (Mathcad 8.0 начал распространяться в России с конца 1998 г.). Структура практикума такова, что большая часть материала не связана с конкретным программным обеспечением и его можно успешно использовать не только с любой другой версией Math- cad, но и с другими математическими пакетами.
Каждый раздел практикума посвящен изучению определенной темы или метода решения математической задачи и содержит:
теоретическое введение, включающее определения и сводку основных результатов;
описание математического метода решения задачи;
формулировку одного или нескольких заданий с индивидуальными
вариантами для группы из 20 студентов;
описание порядка выполнения работы в среде Mathcad;
пример решения типовой задачи, включающий фрагмент или пол
ный текст рабочего документа Mathcad, снабженный комментариями и краткими указаниями, помогающими реализовать решение задачи на компьютере.
Цель практикума — научить быстрои легкорешатьвсреде
Mathcadпростейшие математическиезадачи.Поэтомувкниге нет
полногоописаниявозможностей ифункций пакета,апредставлены
только операции, вынесенные вменю икнопочныепанели,атакже
наиболее часто используемые встроенные функции.
Книга состоит из шести глав. В начале каждой главы приводится краткое описание функций и инструментов Mathcad, используемых при решении задач главы, и даны примеры использования этих инструментов. Искушенный читатель, столкнувшийся с необходимостью решить конкретную задачу, возможно, ограничится чтением этого раздела.
В главе 1 дана краткая характеристика пакета Mathcad, описаны простейшие приемы работы с ним и приведены примеры решения основных задач элементарной математики. Глава в основном адресована начинающим пользователям. Авторы предполагают, что эта категория читателей получитпредставлениео возможностяхMathcad
и, выполнив задания, справится с предложенными в следующих главах задачами.Пользователь, знакомый с работойвсреде Mathcad,сможет
здесь познакомиться с особенностями новой версии пакета.
В главе 2 рассматриваются задачи линейной алгебры. Здесь описаны методы решения практически всех задач стандартного курса: от простейших операций с матрицами до элементарной теории линейных
операторов. В качестве приложений приводятся задачи межотраслевого баланса, геометрическое решение задачи линейного программирования и задача аппроксимации экспериментальных данных методом наименьших квадратов.
В главе 3, самой большой по объему, описывается решение основных задач математического анализа функций одной и нескольких переменных, начиная с вычисления предела последовательности и заканчивая исследованием сходимости тригонометрических рядов. При изложении материала широко используются графические возможности пакета. Привлечение графики позволяет наглядно продемонстрировать и объяснить многие тонкие и традиционно трудные для понимания математические понятия. Некоторые разделы главы знакомят читателей с понятиями и функциями, используемыми в экономике (функции спроса и предложения, производственные функции одной и нескольких переменных, эластичность и др.).
При отборе материала главы 4, посвященной дифференциальным уравнениям, авторы достаточно далеко отошли от общепринятого стиля изложения этого раздела в стандартном курсе высшей математики. Здесь практически не рассматриваются аналитические методы решения, занимающие в обычных курсах львиную долю учебного времени. Основное внимание уделено численным методам решения задачи Коши, включая методы решения жестких систем, а также качественным аспектам теории дифференциальных уравнений. В главе представлены традиционные приложения качественной- теории — модели конкурирующих видов и экономических систем.
В главе 5, где собраны задачи теории вероятностей, дано много полезной справочной информации о наиболее часто используемых распределениях, их числовых характеристиках и свойствах, приведено множество графиков.
Последняя глава посвящена статистическим методам. Здесь описаны методы решения практически всех основных задач анализа данных — от простейших описательных статистик и построения гистограмм до факторного анализа и проверки статистических гипотез, приведено много полезной справочной информации. В процессе решения задач этой главы читатель не только научится оценивать параметры распределений, но и познакомится с методами статистического моделирования и численного эксперимента.
В приложении приведены варианты индивидуальных заданий для группы из 20 студентов.
Изложение материала каждой главы независимо. Поэтому, если читатель хочет научиться решать задачи определенного раздела математики, он может ограничиться изучением только нужной ему главы.
Книга адресована широкому кругу читателей: студентам, преподавателям вузов, специалистам, использующим пакет в практической работе.
Преподаватели математических дисциплин найдут в практикуме методически полностью проработанные компьютерные занятия. Авторы предполагают, что для многих коллег материал книги послужит творческим импульсом для подготовки собственных учебных курсов на базе универсальных математических пакетов.
Преподаватели смежных дисциплин, использующих математические модели, смогут расширить круг рассматриваемых задач, поскольку компьютер снимает многие ограничения на сложность используемых моделей.
Студенты инженерных вузов найдут в книге описание практически всех математических задач, встречающихся в инженерных расчетах.
Студенты экономических вузов, поручив компьютеру выполнение рутинных вычислений, смогут сосредоточиться на анализе содержательных, качественных свойств исследуемых моделей.
Пользователи получат сборник примеров решения стандартных математических задач в среде Mathcad.
Авторы приносят глубокую благодарность проф. М.И. Шабунину и проф. Е.М. Воробьеву за полезные замечания и доброжелательное отношение к данной работе, И.П. Боровикову, директору корпорации СофтЛайн, по инициативе которого была написана эта книга, — за предоставленную для работы версию пакета. (Корпорация СофтЛайн (127087, Москва, а/я 362, root@softline.msk.ru, http://www.softline.ru) является эксклюзивным дистрибьютером Mathcad в России.) Авторы считают своим приятным долгом выразить особую благодарность А.Н. Канатникову, вдумчивые замечания которого были им чрезвычайно интересны и полезны.
ГЛАВА X
ВВЕДЕНИЕ В MATHCAD
1.1
ЧТО ТАКОЕ MATHCAD?
Mat head 一 программное средство, среда для выполнения на компьютере разнообразных математических и технических расчетов, предоставляющая пользователю инструменты для работы с формулами, числами, графиками и текстами, снабженная простым в освоении графическим интерфейсом*.
В среде Mathcad доступны более сотни операторов и логических функций, предназначенных для численного и символьного решения технических проблем различной сложности. Mathcad содержит:
обширную библиотеку встроенных математических функций;
инструменты построения графиков различных типов;
средства создания текстовых комментариев и оформления отчетов;
конструкции, подобные программным конструкциям языков программирования, позволяющие писать программы для решения задач, которые невозможно или очень сложно решить стандартными инструментами пакета;
удобно организованную интерактивную систему получения справки и оперативной подсказки.
Программные средства такого типа в отечественной литературе называют универсальными математическими пакетами^ системами или средами.
При проектировании Mathcad ставилась цель — создать мощное, гибкое и простое в использовании средство для проведения инженерных расчетов. Для достижения этой цели в Mathcad реализованы следующие соглашения:
используется традиционный для математической литературы способ записи функций и выражений;
Л Графический интерфейс ——совокупность способов взаимодействия пользователя с программой с помощью пиктограмм, диалоговых окон, меню и других инструментов, расположенных на экране.
пользователю предоставляется интерфейс WYSIWYG (не существует скрытой информации ——все показывается на экране, напечатанные документы выглядят на бумаге так же, как на экране);
простые выражения для последующей обработки вводятся с клавиатуры;
для облегчения работы предусмотрены панели инструментов;
построение графиков, вычисление интегралов, суммирование рядов и другие относительно сложные операции выполняются заполнением в рабочем документе помеченных позиций;
возможности, предоставленные средой, раскрываются пользователю в соответствии с его потребностями; если, например, пользователь не применяет матричных вычислений, то он может считать, что в пакете их нет;
для реализации приближенных вычислений отобраны самые надежные стандартные алгоритмы;
наиболее часто используемые процедуры Mathcad оформлены в виде набора легко доступных текстов — шпаргалок (Quick Sheets), содержание которых легко п перетаскивается,? в рабочий документ пользователя;
в течение всего сеанса работы пользователю пр ед о ставлена обширная, легко доступная и логично организованная справочная система, снабженная собственным простым интерфейсом, гипертекстовыми ссылками и др.;
доступен ,^нacтoльный,^ справочник, содержащий множество полезных формул, математических и физических констант;
Mathcad предоставляет пользователю оперативные возможности электронной таблицы и текстового процессора.
Основное отличие Mathcad от других программных средств этого класса состоит в том, что математические выражения на экране компьютера представлены в общепринятой математической нотации —— имеют точно такой вид, как в книге, тетради, на доске.
Записав в привычной форме математическое выражение, можно выполнить с ним самые разнообразные символьные или численные математические операции: вычислить значение, выполнить алгебраические преобразования, решить уравнение, продифференцировать, построить график и т.п. Можно снабдить вычисления текстовыми
комментариями, иллюстрациями, по стр о енными в других приложениях, и получить полный отчет о проделанных вычислениях, как, например, приведенный ниже текст о вычислении площади треугольника.
ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
Площадь:—hb2N(P - a)・(p - b)・(p - c)l-a-b-sin( в)Площадь:—hb2N(P - a)・(p - b)・(p - c)l-a-b-sin( в)
Площадь:
—hb
2
N(P - a)・(p - b)・(p - c)
l-a-b-sin( в)
Площадь:
—hb
2
N(P - a)・(p - b)・(p - c)
l-a-b-sin( в)
Вычисление площади по высоте h и основанию b
Формула Герона, р - полупериметр
Вычисление площади по двум сторонам и синусу угла между ними
Пример: Найдем площадь тругольника с высотой h=12.3cm и основанием b=32.6cm
Решение: b 二 32.6 cm h ：= 12.3 cm S ：= _ b h S = 0,02m 2
1.2
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ MATHCAD
Mathcad 7 поставляется в двух конфигурациях： Mathcad 7 Professional и Mathcad 7 Standard. В приведенном ниже перечне знаком pro отмечены функции и инструменты, реализованные только в профессиональной версии пакета*.
Расширенные возможности математических операций:
операции с действительными, комплексными числами, а также с величинами, имеющими размерность;
операторы и логические функции, выполняющие действия с числами, векторами и матрицами;
операторы дифференцирования, интегрирования, суммы и произведения;
вычисление значений и построение графиков элементарных и специальных функций;
быстрое преобразование Фурье;
немедленная обработка любого символьного выражения;
символьное решение уравнений и систем;
символьное интегрирование, дифференцирование, вычисление пределов и суммирование рядов;
простейшие алгебраические преобразования： раскрытие скобок, приведение подобных, разложение на множители, разложение на простейшие дроби;
прямые и обратные интегральные преобразования;
обращение и транспонирование матриц, вычисление определителей, собственных значений и собственных векторов;
20 операций с массивами, вложенными массивами и блоками матриц; 6 функций для вычисления размеров и границ массивов;
более сложные операции линейной алгебры, включая разложения Холецкого, LU-, QR- и SVD-разложения (pro);
13 функций для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, систем обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных и граничных задач (pro, в Mathcad Standard только одна функция);
64 статистические функции для анализа данных, от простейших описательных статистик и построения гистограмм до параметрических и непараметрических критериев согласия, дисперсионного анализа и метода Монте-Карло;
аппроксимация сплайнами и построение интерполяционных многочленов;
сглаживание данных, анализ временных рядов, метод наименьших квадратов.
Улучшенный интерфейс:
поддерживаются все соглашения и возможности интерфейса Windows NT и Widows 95, включая контекстные меню;
упрощены ввод и редактирование выражений；
поддерживается ОЬЕ2-технология клиент-сервер;
автоматически поддерживается ОLE2-технология, использующая VBScript;
новые приемы форматирования областей рабочего документа.
Автоматическое преобразование размерностей:
определена полная система единиц СИ;
определены наиболее часто используемые единицы систем MKS, CGS, US；
выполняются автоматическая проверка и преобразование размерности.
Ввод-вывод данных:
быстрый ввод и удаление данных;
преобразование данных из Excel, m-файлов MATLAB, ASCII-файлов и пр.;
подготовка компонент для Excel, MATLAB и Axum (pro).
Мощное функциональное программирование (pro):
процедурные операторы для построения функциональных программ;
определение локальных переменных, строк, данных сложной структуры и вложенных массивов;
выполнение циклов, рекурсии и ветвления с помощью операторов Return и Continue;
контроль ошибок времени исполнения;
использование в программах символьных выражений.
Math Connex (pro)*:
определение, связывание и перетаскивание (drag-and-drop) компонент MathConnex, включая данные и выходные таблицы в форматах Mathcad, Excel, MATLAB и др.;
объединение данных и управление данными и вычислениями в различных приложениях;
анализ и отладка вычислений;
ConnexScript — для записи математических выражений;
автоматическое внедрение OLE-компонент, использующих языки VB Script и Jscript.
Графика:
интерактивная двумерная и трехмерная графика; в том числе декартовы, параметрические, полярные, точечные, линии уровня, параметрические поверхности, гистограммы, векторные поля;
трассировка, анимация;
быстрое построение плоских графиков.
Форматирование текстов:
проверка орфографии;
форматирование текстов, вставка формул в текст, форматирование страниц;
предварительный просмотр текста перед печатью.
Новые возможности Web:
постоянный доступ к поисковым программам во время работы в среде пакета с помощью Internet Explorer;
поддержка интерфейса MAPI;
определение локальных гипертекстовых ссылок или ссылок в Web;
присоединение к Collaboratory — общедоступному Internet-форуму, объединяющему всемирное сообщество пользователей Mathcad.
Открытость (pro):
определение собственной библиотеки функций;
расширение предметно-ориентированных функциональных возможностей добавлением специализированных пакетов;
расширение графических возможностей подключением пакета Ах- um во время работы;
определение собственного стиля математической записи.
Новые справочные возможности：
300 шпаргалок (быстрых подсказок);
технические справочные таблицы и руководство по прикладной статистике;
руководство по решению уравнений в Mathcad;
руководство по программированию в Mathcad;
постоянно обновляемая Web-библиотека документов Mathcad и Электронных книг;'
контекстная справка, справка с оглавлением и инструментами поиска.
НАЧАЛО РАБОТЫ В СРЕДЕ MATHCAD
Установив пакет, создайте на рабочем сФоле значок Mathcad 7.
駆駆——значок Mathcad. Двойной щелчок по нему вызывает на экран компьютера заставку пакета (рис. 1.1), которая находится
駆
駆
на экране все время, пока производится автоматическая загрузка программ, необходимых для работы пакета.
Mat b 5uf t
Mathcad 7
Professional
Ihe wnrlriwidrt 曲ndrsd ； lur ledcxd cuIculoHuns
Рис. 1.1. Заставка пакета
Через некоторое время заставка исчезает, и на экране открывается окно, которое в терминологии Windows называется окном приложенил"^, а для нас это окно Mathcad (рис. 1.2) ——- пространство, где размещены все требуемые для работы инструменты и рабочий документ, т.е. пространство, в котором будут вводиться команды и выражения для вычислений и в котором будут отображены результаты вычислений. В дальнейшем будем говорить "на зкранв", имея в виду "в окне Mathcad".
Верхняя строка окна (см. рис. 1.2) —- стандартная строка windows-приложений. В ней слева приведено имя приложения ——Mathcad Professional, затем имя файла, в котором сохраняются результаты работы (на рис. 1.2 это надпись: [Вид окна Mathcad 7]), а справа ——три стандартные функциональные кнопки для работы с окнами Windows 95 —目回図， соответственно означающие: свернуть, развернуть на полный экран и закрыть окно приложения.
Все, что расположено ниже, относится к работе в среде пакета.
；.' Mathcad Piofessionel - (Вид окна Mdthcdd 7|
-ffllxl-ffllxl以“ tik V- мм t"・K 4Jn-S*i»B* 我立以 Н*：.
-ffllxl
-ffllxl
』*RI倒位21 ,，F」电卜T "常I剧d■l巴!◎:川ёщ;
[й^^3 |ГЗ3№3 u：，|u|定=二|
剧学因⑶陶三I喇葡I•
巡簪S^re巡簪S^re
巡簪S^re
巡簪S^re
Рис. 1.2. Окно Mathcad 7
Вторая строка экрана — строка меню (рис. 1.3).
變 Eh Edt -^cw Imerl. dm%诚犷堂吧3, Window Help^|g[ x|
Рис. 1.3. Строка меню Mathcad 7
Меню имеет набор стандартных для windows-приложений пунктов: File (Файл) Edit (Редактировать) View (Просмотр) Format (Формат) Window (Окно) Help (Помощь) и специфические для Mathcad пункты: Insert (Вставка) Math (Математика) Symbolics (Символьные операции).
Щелчок по пункту меню открывает ниспадающее меню со списком доступных в данном пункте меню операций. Правила работы с меню более подробно описаны ниже.
Следующие три строки окна содержат панели инструментов, часть из которых ——стандартные для windows-приложений операции работы с файлами и текстом (рис. 1.4), а другая часть ——специфические функции Mathcad (рис. 1.5), например, кнопка с надписью 〃£) открывает список встроенных функций.
t1y1面留313上匿匠m|兰|打_| I」_1 I」_I电
回后后 … 二 FjTrR^m*］二:WJj£g3更陷I川:医圍词
Рис. 1.4. Панель с кнопками управления файлами и форматирования текста
J I I—1_1_1_иХШ^1#^-Ж1«и1
Рис. 1.5. Панель с кнопками специфических операций Mathcad
В отдельной строке расположена панель инструментов для выполнения математических операций (рис. 1.6), которую в дальнейшем будем называть панелью математических инструментов или панелью математических операций.
Ej1学闸画圏冃阿师
Рис. 1.6. Панель математических инструментов
Математические операции в Mathcad разделены на группы и каждая кнопка панели математических инструментов открывает доступ к определенной группе операций ——щелчок по кнопке этой панели открывает другую, дополнительную, панель, на которой собственно и расположены кнопки математических операций соответствующей группы (подо бно тому, как щелчок по пункту меню открывает ниспадающее меню). Более подробно правила работы с панелями описаны ниже.
Под строками панелей инструментов находится окно рабочего документа Mathcad — пространство, в котором располагаются все введенные команды и выражения, куда Mathcad выводит результаты вычислений и графики и где размещаются текстовые комментарии. Содержимое этого окна можно редактировать, форматировать, сохранять в файлах на диске, печатать и др. Окно снабжено двумя полосами
прокрутки ——вертикальной и горизонтальной. Щелчком по соответствующей кнопке со стрелкой или ,5 перетаскиванием55 кнопки-75 лифта" можно просматривать фрагменты окна, находящиеся вне пределов экрана.
И, наконец, последняя, нижняя строка окна ——строка состояния (рис. 1.7). В ней записаны рекомендации к дальнейшим действиям, описано текущее состояние среды и указан номер отображенной на экране страницы рабочего документа.
Fi^s F1 |ц Fdp[МаК I I Fcut 1
Рис. 1.7. Строка состояния окна Mathcad
В приведенном на рис. 1.7 примере в строке состояния указано, что видна первая страница рабочего документа (Page 1), что система находится в состоянии ожидания (Wait), и программа рекомендует пользователю обратиться за помощью к справке, нажав на клавиатуре клавишу <F1> (Press Fl for help).
Прежде чем переходить к более подробному описанию меню и панелей инструментов, познакомимся со способами выполнения в среде Mathcad самых простых операций. Читатель, имеющий навыки работы с windows-приложениями и знакомый с работой других математических пакетов, после чтения приведенного ниже описания простейших операций сразу поймет специфику интерфейса Mathcad. Читателю же, который не имеет таких навыков или полагает, что недостаточно искушен в работе за компьютером, знакомство с описанием простейших вычислений облегчит чтение последующих разделов.
ПРОСТЕЙШИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
И ОПЕРАЦИИ В MATHCAD
Те, кто хотя бы один раз работал в среде Mathcad, могут без всякого ущерба пропустить этот раздел. Он адресован читателям, совершенно не знакомым с пакетом и не имеющим устойчивых навыков работы в среде Windows 95. Здесь приведено подробное описание того, как в Mathcad можно выполнить простейшие арифметические вычисления, ввести выражение, содержащее переменные, определить функцию и построить ее график, а также, как сохранить рабочий документ в файле на диске или прочитать ранее сохраненные файлы. Выполняйте последовательно все действия, указанные в левом столбце приведенного
ниже текста, сравнивая отображение результатов этих действий на экране с рисунками, приведенными в правом столбце текста. В описании примеров даны указания к действиям без всяких объяснений. Выполнив предписанное, читатель сам сообразит, что произошло и каким способом достигнут результат. Все необходимые пояснения и общие принципы работы приведены в следующих разделах. Для сокращения записи условимся обозначать клавиши, которые нужно нажимать на клавиатуре, угловыми скобками: например, запись <х> означает, что необходимо нажать на клавиатуре клавишу с буквой х; если нужно нажать на клавиатуре одновременно две клавиши, записываем <...> + <... >: следовательно, запись <Shift> + <х> означает, что нужно нажать на клавиатуре клавишу <Shift> и, не отпуская ее,—— клавишу с буквой х. Запись <F1> показывает, что на клавиатуре требуется нажать функциональную клавишу с надписью F1 (функциональные клавиши расположены в верхнем ряду клавиатуры); запись <Space> —— нажать клавишу Пробел (широкая клавиша в нижней части клавиатуры).
Итак, найдите на рабочем столе значок пакета, щелкните дважды мышью по этому значку, дождитесь, пока с экрана исчезнет заставка пакета (см. рис. 1.1) и появится рабочее окно пакета (см. рис. 1.2), и приступайте к работе, стараясь как можно точнее следовать приведенным в левом столбце текста инструкциям.
Простейшие арифметические вычисления
и 1212
Вычислим значения арифметических выражений 25 + ~ и 25 + —.
Указания к действию
Отображение на экране
Щелкните мышью по любому месту в рабочем документе — в поле появится крестик, обозначающий позицию, с которой начинается ввод
Введите с клавиатуры символы в следующей последовательности: 25 + 12/3
窓 卜 К Зт ，・， V， у，' 、!■・・' “h" 1«
」生鱼：3л.G ,I ，kI "1勺 日I n i^!
圖书#1圓倒司喇司I•
Указания к действию
Отображение на экране
25 + ?二典.25 + ?二典.25 十 U 二 28 I 425 十 U 二 28 I 4
25 + ?二典.
25 + ?二典.
25 十 U 二 28 I 4
25 十 U 二 28 I 4
Введите с клавиатуры знак равенства, нажав клавишу <=>. Math- cad вычисляет значение выражения и выводит справа от знака равенства результат
Щелкните мышью справа внизу возле цифры 3 и нажмите клавишу <Backspace> (справа во втором ряду клавиатуры). Теперь значение выражения не определено, место ввода помечено черной меткой и ограничено угловой рамкой
Введите с клавиатуры цифру 4 и щелкните мышью вне выделяющей рамки
Теперь удалим выражение с экрана. Щелкните мышью по любому месту в выражении
Нажимайте клавишу <Space> до тех пор, пока все выражение не будет выделено угловой синей рамкой
Нажмите клавишу <Backspace> (поле ввода окрасится в черный цвет) и, нажав клавишу <Del>, удалите выделенное. Выражение исчезнет с экрана
Из приведенного примера можно понять простейшие принципы организации интерфейса и работы Mathcad:
формулы отображаются на экране в общепринятой математической нотации;
правильно определяется порядок действий;
после ввода знака равенства справа от него отображается результат вычислений;
после ввода знака деления ”/” Mathcad указывает черной меткой позицию для ввода знаменателя;
при вводе выражения в рабочем документе выделяется ограниченное прямоугольником поле ввода;
введенное выражение можно изменить (отредактировать) и получить вычисленное значение нового выражения, щелкнув мышью вне выделяющей рамки;
можно выделить и удалить любой фрагмент рабочего документа.
Определение переменной и ее значения. Вычисление значений выражений, содержащих переменные
Вычислим значение выражения 勺 при 力=5, а = 9.8.
Отображение на экранеОтображение на экранеУказания к действию
Отображение на экране
Отображение на экране
Щелкните мышью по свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры символы а =
Введите с клавиатуры символы瞬е聲瞬е
9 . 8
и щелкните по свободному месту а ：= 9£ вне поля ввода
ММ. — ( ■ 1 - = 1 vr
1 1 .
а ：= 9.8t ：= 5
+
Щелкните мышью по свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры t ： 5
щелкните по свободному месту вне поля ввода*
Щелкните мышью по свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры
а * t 2 <Space> / 2 <Space> <Space> =
и щелкните по свободному месту вне поля ввода
Если при вводе выражения была допущена ошибка, выделите неправильный символ угловой рамкой (щелкните мышью справа внизу возле символа), удалите выделенный символ (нажмите клавишу <Backspace>) и введите в помеченной позиции исправление.
Mathcad читает и выполняет введенные выражения слева направо и сверху вниз, поэтому следите, чтобы выражение для вычисления располагалось правее или ниже определенных для него значений переменных.
Определение и вычисление значения функции в точке.
Построение таблицы значений функции
Определим функцию f(x) = —^ ; вычислим ее значение при ж = 1.2 и построим таблицу значений функции для х Е [0, 10] с шагом 1.
Указания к действию
Щелкните по свободному месту в рабочем документе, введите с клавиатуры
f ( х ) — х + 1 <Space> / х人 2 <Space> + 1
и затем щелкните по рабочему документу вне поля ввода
Щелкните по свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры f(l. 2)=
Сразу после ввода знака равенства немедленно выводится вычисленное значение функции 以х) при а = 1.2
Отображение на экранеОтображение на экранеf(x):二 土t丄f(1.2) = 0.902/ + 1f(x):二 土t丄f(1.2) = 0.902/ + 1Г(1.2) = 0.902Г(1.2) = 0.902Определите дискретные значения аргумента х е [0, 10] с шагом 1： щелкнув по свободному месту в рабочем документе, введите с клавиатуры х : 0 , 1 ; 1 0 и щелкните вне поля ввода
Отображение на экране
Отображение на экране
f(x):二 土t丄f(1.2) = 0.902
/ + 1
f(x):二 土t丄f(1.2) = 0.902
/ + 1
Г(1.2) = 0.902
Г(1.2) = 0.902
Щелкнув по свободному месту в рабочем документе, введите с клавиатуры f ( X )=
В результате под именем функции появится таблица значений функции
Построение декартова графика функции
Построим график функции /(土)= е".
Указания к действию
Щелкните по свободному месту в рабочем документе и введите с клавиатуры
f ( t ) : е х р ( - 02 <Space> ) и щелкните мышью вне поля ввода
Щелкните по свободному месту в рабочем документе, затем — по кнопке 療 в панели математиче
Отображение на экране画怦怦I闻闿訂I词创Kt) ：= е5ф(-1?)Отображение на экране画怦怦I闻闿訂I词创Kt) ：= е5ф(-1?)ских инструментов и в открывшейся панели щелкните по кнопке
Отображение на экране画怦怦I闻闿訂I词创
Kt) ：= е5ф(-1?)
Отображение на экране画怦怦I闻闿訂I词创
Kt) ：= е5ф(-1?)
Курсор установлен в помеченной позиции возле оси абсцисс. Введите с клавиатуры имя аргумента t, затем щелкните по помеченной позиции возле оси ординат, введите с клавиатуры f(t)“
и щелкните вне прямоугольной рамки
График получился невыразительным. Нужно определить промежуток изменения аргумента равным [—2, 2]. Для этого щелкните по полю графика, затем — по числу, задающему наименьшее значение аргумента (число в левом нижнем углу ограниченного рамкой поля графиков), нажмите на клавишу <Backspace> и введите с клавиатуры —2. Аналогично измените вторую границу ——вместо числа в правом нижнем углу поля графика введите 2
ЖЕЖЕЩелкните мышью вне поля графика
ЖЕ
ЖЕ
Сохранение рабочего документа в файле на диске
Сохраним рабочий документ в файле с именем workl на диске с: в папке user.
Отображение на экранеОтображение на экране[Unlitled:1][Unlitled:1]l hUlhcdd Piolessional[ilfl hUlhcdd Piolessional[ilfУказания к действию
Отображение на экране
Отображение на экране
[Unlitled:1]
[Unlitled:1]
l hUlhcdd Piolessional
[ilf
l hUlhcdd Piolessional
[ilf
Щелкните в меню по пункту File (Файл) и в спустившемся меню —— по строке Save As (Сохранить как …)
В открывшемся окне диалога установите имя диска (с:) — откройте стрелкой список дисков в верхнем окне ввода и щелкните дважды по нужной строке, затем найдите в списке и откройте папку user (щелкните дважды по соответствующему имени в списке)
Введите в окне "Имл файла?, имя workl и щелкните по кнопке Сохранить
「Сохранение Файла
g二irE^"3 互!为后工I
Mi Ей. рйИ
Открытие нового рабочего документа
Указания к действиюУказания к действиюОтображение на экранеОтображение на экране
Указания к действию
Указания к действию
Отображение на экране
Отображение на экране
Щелкните в панели инструментов по кнопке [^] — в окне пакета откроется чистое поле ввода и вывода данных, новый рабочий документ, а в верхней строке появится название, которое Math- cad присваивает автоматически новому рабочему документу — Untitled: 2Щелкните в панели инструментов по кнопке [^] — в окне пакета откроется чистое поле ввода и вывода данных, новый рабочий документ, а в верхней строке появится название, которое Math- cad присваивает автоматически новому рабочему документу — Untitled: 21-^ Mathcdd Piote^sioRal - [Urttitled:2]1-^ Mathcdd Piote^sioRal - [Urttitled:2]审曰 £ii Л л |» I Fs/w g* ”М・з 'лч iiv 卜* W[H1 01a*| "7WI，唯I里包三]了 k工 3 R33歹-3上鼠|岂)#|国同《1。佃审曰 £ii Л л |» I Fs/w g* ”М・з 'лч iiv 卜* W[H1 01a*| "7WI，唯I里包三]了 k工 3 R33歹-3上鼠|岂)#|国同《1。佃
Щелкните в панели инструментов по кнопке [^] — в окне пакета откроется чистое поле ввода и вывода данных, новый рабочий документ, а в верхней строке появится название, которое Math- cad присваивает автоматически новому рабочему документу — Untitled: 2
Щелкните в панели инструментов по кнопке [^] — в окне пакета откроется чистое поле ввода и вывода данных, новый рабочий документ, а в верхней строке появится название, которое Math- cad присваивает автоматически новому рабочему документу — Untitled: 2
1-^ Mathcdd Piote^sioRal - [Urttitled:2]
1-^ Mathcdd Piote^sioRal - [Urttitled:2]
审曰 £ii Л л |» I Fs/w g* ”М・з 'лч iiv 卜* W[H1 01a*| "7WI，唯I里包三]了 k工 3 R33歹-3上
鼠|岂)#|国同《1。佃
审曰 £ii Л л |» I Fs/w g* ”М・з 'лч iiv 卜* W[H1 01a*| "7WI，唯I里包三]了 k工 3 R33歹-3上
鼠|岂)#|国同《1。佃
Отображение на экранеОтображение на экране
Отображение на экране
Отображение на экране
Чтение рабочего документа из файла на диске
Откроем (прочтем в рабочем окне пакета) файл workl.med, сохра
ненный ранее на диске с: в папке user.
Указания к действию
Щелкните в панели инструментов по кнопке I爲I, установите в соответствующем поле ввода имя диска, выберите папку и имя файла (выбор осуществляется щелчком мыши по соответствующей строке) и щелкните по кнопке Открыть
Закройте окно Mathcad, щелкнув по кнопке 因 в верхнем правом углу экрана
Познакомившись с простейшими приемами работы в среде Math- cad, можно переходить к обзору инструментов, позволяющих выполнять более сложные и разнообразные вычисления. Эти инструменты описаны в следующем разделе.
1.5
МЕНЮ MATHCAD
Большинство вычислений в Mathcad можно выполнить тремя способами:
выбором операции в меню;
с помощью кнопочных панелей инструментов;
обращением к соответствующим функциям.
Почти все операции, закрепленные за пунктами меню, дублируются соответствующими кнопками панелей инструментов. Для обращения к встроенной функции можно вставить функцию в рабочий документ, выбрав нужное имя из списка функций, можно ввести имя функции с клавиатуры или, для наиболее часто используемых функций, вставить имя функции щелчком по кнопке в панели инструментов. Таким образом, во всех трех случалх соблюдается один и тот же порядок действий:
выбор операции производится щелчком мыши по пункту меню или по кнопке в панели инструментов, после чего, если нужно, пользователь получает доступ к ниспадающему меню или к дополнительной панели;
когда операция выбрана, пользователь вводит необходимую информацию в окне диалога или заполняет помеченные поля в поле ввода, которое открывается непосредственно в рабочем документе.
Как уже упоминалось выше, вторая строка рабочего окна Mathcad —строка меню (см. рис. 1.3).
Рассмотрим содержание каждого пункта меню и опишем правила выполнения наиболее часто используемых операций.
Некоторые строки ниспадающих меню содержат знак ►, означающий, что здесь доступны операции? список которых разворачивается, если приостановить курсор мыши на строке, помеченной значком ►. Полное описание меню можно найти в руководстве польз ователя [24] и
во встроенном справочнике по работе с пакетом. Для того чтобы не повторять описания одних и тех же операций, в дальнейшем рядом с названиями некоторых пунктов меню изображены кнопки панели инструментов, дублирующие операции меню (если таковые есть).
Рис. 1.8. Меню ФайлРис. 1.8. Меню ФайлМеню File (Файл). Щелчком по слову File открывается меню операций с файлами (рис. 1.8). Пункты New (Новый) 叵 ,Open (Открыть) ^\, Close (Закрыть), Save (Сохранить) |НI, Save As (Сохранить как) предназначены соответственно для выполнения операций открытия нового рабочего документа, чтения с диска созданного ранее рабочего документа, закрытия текущего рабочего документа, сохранения рабочего документа в файле на диске в текущей папке или сохранения в файле, имя и папка которого указываются при сохранении. Все эти операции выполняются стандартным для Windows 95 способом: указанием имен и папок
Рис. 1.8. Меню Файл
Рис. 1.8. Меню Файл
в окнах диалога.
Следующие два пункта содержат операции, доступные пользователям, компьютеры которых имеют выход в Internet: Collaboratory (Сотрудничество) — присоединение через сервер MathSoft к Collaboratory, бесплатному Internet-форуму, обслуживающему всемирное сообщество пользователей Mathcad, Internet Setup ——установка связи с сервером MathSoft.
Пункты Page Setup (Параметры страницы), Print Preview (Предварительный просмотр), Print (Печать) |S] содержат соответственно операции подготовки, просмотра и печати рабочих документов Matcad.
Следом в спускающемся меню File расположен список имен последних четырех документов Mathcad. Щелчком по строке с именем можно вызвать на экран любой из этих документов. И последний пункт —— Exit (Выход), как и у всех windows-приложений, завершает сеанс работы с Matcad. '
Меню Edit (Редактирование). Это меню (рис. 1.9) содержит стандартные для windows-приложений операции редактирования рабочего документа: Undo (Отменить последнюю операцию) [^], Redo (Отменить последнюю операцию Undo), Cut (Вырезать) | X | ,
Сору (Копировать)［电 |, Paste (Вставить) I鱒 ,Paste Special (Специальная вставка), Delete (Удалить), Select АП (Выделить все), Find (Найти), Replace (Заменить), Go to Page (Перейти к странице), Check Spelling (Проверка орфографии) |^|, Links (Связывание), Объект (Для MathConnex и OLE).
Меню View (Просмотр). Это меню (рис. 1.10) содержит операции настройки окна Mathcad. Если строка меню Toolbar (Панель инструментов), Format Ваг (Панель форматирования) или Math Palette (Панель математических инструментов) помечена символом，，то на экране размещается соответствующая панель инструментов. Пункты Regions (Области), Zoom (Микроскоп)圆I，Refresh (Перерисовывание) содержат операции преобразования изображения в рабочем документе. Animate (Анимация) и Playback (Воспроизвести, Проиграть) ——операции построения и запуска анимаций.
Меню Insert (Вставить). В этом меню (рис. 1.11) пункт Graph (График)厚| открывает доступ к семи операциям построения различных типов графиков, которые собраны в дополнительное меню графиков (рис. 1.12).
手吋 Insert Formal Walk
ЦпсЬAk+Bksp
eц ' 匚虱郁
PasteEXW
Paale^peDh1
DsHeCM+D
三7*
fi -I%hF=
3 唄 wclSHlt4=5
上 lut-jyt Chcrk Spelfirr).
Links...
D^_ar
Рис. 1.9. Меню редактирования
y EoimatSar
w Maih Pdlelte
Fsuurr
J|e|||iJ||JJ||||J
Herein匚曲 R
Animate”
Flyback..
Рис. 1.10. МенюПросмотр
Рис. 1.11. Меню вставки
Н，№ £“ n гл 里「dow
g■
ЗЕ
>№-u £плг k
SurfacsPkt . _ Cunlcui Plot 車 Г；сЛ：ЕГРг* ЮЦ» Chait 如5隔廿%1
С ,DtIt7
Qr^2 5W
TyMGiFaj 亩.
q倒ц啾..,： " ，igfe :二.
Рис. 1.12. Меню графиков
После щелчка по строке дополнительного меню (см. рис. 1.12) в рабочем документе открывается поле построения:
X-Y Plot [^]графика функции одной переменной в декартовых координатах;
Polar Plot [®]графика функции одной переменной в полярных координатах;
Surface Plot |阖 一 графика функции двух переменных в декартовых координатах ——поверхности;
Contour Plot [^] — контурных линий (линий уровня функции двух переменных) в декартовых координатах;
3D Scatter Plot [^]— изображения точек в трехмерном пространстве, заданных декартовыми координатами;
3D Bar Chart — трехмерной гистограммы;
Vector Field PJot [EI]一 векторного поля.
Порядок действий при построении всех графиков одинаков. После щелчка мышью по строке меню в рабочем документе открывается поле построения графика с помеченными для ввода позициями, которые нужно заполнить для определения графика. Когда график определен (заполнены все помеченные позиции), то для построения графика нужно щелкнуть по строке Calculate (Вычислить) в меню Math, нажать на клавиатуре клавишу <F9> или щелкнуть в панели Toolbar по кнопке [』I. При автоматическом режиме вычислений график будет построен после щелчка мышью вне поля графика.
Mathcad предоставляет пользователю разнообразные средства форматирования графика ——изменение толщины и цвета линии, вида осей координат, координатные сетки, текстовые комментарии и др. Для того чтобы изменить вид изображения, нужно щелкнуть дважды по полю графика и установить требуемые параметры в окнах настройки. Научиться форматировать графики лучше всего экспериментально: постройте график, затем щелкните дважды по полю графика, определите параметр в окне настройки, щелкните по кнопке Применить и проанализируйте изменение на графике. Используйте кнопку контекстной подсказки Справка в окне настройки параметров. Правила ввода и форматирования графиков подробно описаны в соответствующих разделах руководства пользователя [24] и во встроенном справочнике. Примеры построения графиков приведены в разд* 1.8 и 3.1.
Щелчок по Matrix (Матрица) f^] открывает в рабочем документе окно определения размерности матрицы (число строк, число столбцов). После того как размерность матрицы определена, в рабочем документе
открывается поле ввода матрицы с помеченными позициями для ввода элементов. Примеры ввода матрицы приведены в разд. 2.1.
Щелчок по Function (Функция)网 | открывает окно диалога списка встроенных функций Mathcad. Для того чтобы вставить функцию в рабочий документ, нужно выбрать в окне с помощью стрелок прокрутки нужную функцию из списка функций, щелкнуть по кнопке
М$в" и ввести в помеченных позициях аргументы (аргумент)
функции.
Щелчок по Unit (Единица) [1?| открывает окно списка определенных в Mathcad единиц измерения (рис. 1.13). В окне System (Система) следует ввести используемую систему единиц (SI, CGS, US или MKS), в окне Dimension (Размерность) — выбрать стрелками прокрутки соответствующую размерность, а в окне Unit (Единица) — нужную единицу измерения. После щелчка по кнопке | — М皐曰t | соответствующее наименование будет вставлено в рабочий документ, а окно выбора единицы останется открытым; после щелчка по кнопке | 口尺 ~| бу
дет вставлено наименование единицы измерения и окно закроется.
Рис. 1.13. Окно выбора единиц измерения
Пункт Picture (Рисунок) задает операцию вставки рисунка. Пункт Text Region (Область текста) используется для определения поля текстовых комментариев; щелчком по строке Math Region (Математическая область) в текстовый комментарий вставляется поле ввода математических символов; щелчком по строке Page Break (Разрыв страницы) в рабочий документ вставляется признак конца страницы.
Операции Hiperlink, Reference, Component и Object предназначены для создания достаточно сложных конструкций: 蹙 Hiper- link содержит набор операций для создания гипертекстовых ссылок; Reference — операция создания перекрестных ссылок для документов
Mathcad; |擊 | Component и Object ——операции внедрения компонент
и объектов из других приложений.
Меню Format (Формат). Все операции этого меню (рис. 1.14) предназначены для определения стиля и формы отображения выражений, данных, результатов вычислений и графиков в рабочем документе ——определения цветов фона и надписей, размера и типа шрифта, выравнивания текстов в рабочем документе, разделения рабочего документа на области и др. При установке Mat head по умолчанию выбран некоторый нейтральный стиль оформления. Если пользователь хочет разнообразить оформление, он может ознакомиться с возможностями меню Format в справочнике, руководстве поль-
нв h出丫”曰广NumLsr..Pquaiirn:工配"."」中Мм-；金41卜. 中口Г--ЬhfisnR^ans r，_urfkPe-U[t^也3«1 七 3 ersнв h出丫”曰广NumLsr..Pquaiirn:工配"."」中Мм-；金41卜. 中口Г--ЬhfisnR^ans r，_urfkPe-U[t^也3«1 七 3 ersРис. 1.14, Меню ф op матир ованияРис. 1.14, Меню ф op матир ованиязователя или 5,экcпepимeнтaльнo^^. Ниже рассматриваются только пункты Number (Число) и Graph (График), которые часто использу
нв h出丫”曰广
NumLsr..
Pquaiirn
:工配"."
」中Мм-；
金41卜
. 中口Г--Ь
hfisnR^ans r，
_urfkPe-U[t^
也3«1 七 3 ers
нв h出丫”曰广
NumLsr..
Pquaiirn
:工配"."
」中Мм-；
金41卜
. 中口Г--Ь
hfisnR^ans r，
_urfkPe-U[t^
也3«1 七 3 ers
Рис. 1.14, Меню ф op матир ования
Рис. 1.14, Меню ф op матир ования
ются при решении математических задач.
Рис. 1.15. Окно настройки отображения чиселРис. 1.15. Окно настройки отображения чиселПункт Number (Число) содержит операции определения форматов вывода числовых данных и результатов. Щелчок по Number открывает диалоговое окно ввода параметров (рис. 1.15).
Рис. 1.15. Окно настройки отображения чисел
Рис. 1.15. Окно настройки отображения чисел
В поле Radix (Основание системы счисления) помечается выбранная система счисления (на рис. 1.15 — десятичная). В поле Precision (Точность) можно установить число знаков в различных формах отображения чисел в указанных справа границах; в поле Imaginary (Мнимая единица) можно выбрать символ для отображения мнимой единицы (С или 7). В нижней части окна расположены поля, позволяющие определить, применяются ли установки ко всему рабочему документу (Set
as worksheet default) или только к текущей области ввода (Set for current region only).
Пункт Graph (График) содержит операции форматирования графиков. Здесь, в зависимости от позиции курсора в рабочем документе и от определений, введенных в рабочий документ, открываются два различных дополнительных меню (рис. 1.16).
』Т*1』Т*15&рага(вЯв?!：ге5&рага(вЯв?!：ге@驴 RegionsLick Regjnns@驴 RegionsLick RegjnnsHeadwsj'ToQlers.Headwsj'ToQlers.Рис. 1.16. Дополнительные меню настройки графиковРис. 1.16. Дополнительные меню настройки графиков
』Т*1
』Т*1
5&рага(вЯв?!：ге
5&рага(вЯв?!：ге
@驴 Regions
Lick Regjnns
@驴 Regions
Lick Regjnns
Headwsj'ToQlers.
Headwsj'ToQlers.
Рис. 1.16. Дополнительные меню настройки графиков
Рис. 1.16. Дополнительные меню настройки графиков
Когда курсор установлен вне поля двумерного декартова графика, открывается меню определения параметров графиков X-Y Plot, Polar Plot, 3D Plot —-плоского декартова, полярного или трехмерного. Щелчок по соответствующей строке открывает окно настройки параметров изображения (см. описание Graph в меню Insert). Если же курсор установлен в открытом для ввода поле двумерного декартова графика, то дополнительное меню содержит строки X-Y Plot — форматирование графика, Trace (Трассировка, След) — - определение координат точки на помеченной линии и Zoom (Микроскоп) — увеличение масштаба изображения помеченной области графика. Примеры,
показывающие, как выполняются соответствующие операции, приве
坦且ffibg修 Wndow Нс二"Uddd心业哪*d &1шп*二 С@с」Ьпг山 L ii^dlunJjhjfrРис. 1.17. Менюматематики坦且ffibg修 Wndow Нс二"Uddd心业哪*d &1шп*二 С@с」Ьпг山 L ii^dlunJjhjfrРис. 1.17. Менюматематикидены в разд. 1.8 и 3.1.
坦且ffibg修 Wndow Нс
二"Uddd心业哪*
d &1шп*二 С@с」Ьпг
山 L ii^dlun
Jjhjfr
Рис. 1.17. Менюматематики
坦且ffibg修 Wndow Нс
二"Uddd心业哪*
d &1шп*二 С@с」Ьпг
山 L ii^dlun
Jjhjfr
Рис. 1.17. Менюматематики
Меню Math (Математика). Это меню (рис. 1.17) содержит операции управления вычислениями.
После щелчка по Calculate (Вычислить) I = J вычисляются выражения, расположенные выше и левее курсора. После щелчка по
Calculate Worksheet (Пересчитать рабочий документ) выполняются все вычисления и пер срисовываются все графики, определенные в рабочем документе. Если строка Automatic Calculation (Вычислять автоматически) помечена символом ，, то любое выражение вычисляется немедленно после окончания ввода, а график строится после щелчка вне поля графиков. Если же пометка отсутствует, то вычисления и построения производятся только после соответствующей команды (щелчок по Calculate, например). Если строка Optimization (Оптимизация) помечена символом，)то включен режим оптимизации вычислений. Режим оптимизации —— это режим вычислений с включенным символьным процессором. В этом режиме сначала упрощаются все выражения, помещенные справа от знака присвоения :=, и только затем выражение обрабатывается числовым процессором. В противном случае числовой процессор обрабатывает выражение в исходном виде.
Щелчок по строке Options (Опции) открывает окно настройки режима вычислений (рис. 1.18), в котором можно определить Tolerance (Допуск) — допустимую погрешность численнных алгоритмов, Array Origin (Начало массива) — — номер первого элемента массива, Precision (Точность) — число значащих цифр при записи данных в файл,
! M^Ui(^ie忘二二•：：；；：：：：：.：：：
Et,tinVaf«fciet J JmtS^I Dnemuffil
二 <
Ata,缝*0 三1 MIGIhl 旧
P中…“i®*
Fe，电I ,. |F■国PFhFEEaSIQN 國
5i制ЧМЬ『J用h8LWi£h 明
Sand vslu» Ira r№doT r*jrmh$u f"""口］
辱?<MeD晶u爆I
Рис. 1.18. Окна настройки параметров вычисленийРис. 1.18. Окна настройки параметров вычисленийI fiK I Зтмвна I Сгсжм
Рис. 1.18. Окна настройки параметров вычислений
Рис. 1.18. Окна настройки параметров вычислений
Column Width (Ширина столбца) -— ширину столбца, используемую при записи данных в файл, Seed value for random numbers (Начальное число для инициализации датчика случайных чисел)—- число, инициализирующее датчик случайных чисел, Unit System (Система единиц) — систему единиц, Dimensions (Размерности) —- размерности физических единиц. Все подлежащие изменению параметры заносятся в соответствующие поля ввода в окнах диалога.
Меню Symbolics (Символьные вычисления). Это меню (рис. 1.19) содержит операции символьной математики. Пункт Evaluate (Вычислять) содержит три операции (рис. 1.20): Symbolically (Символьно), Floating Point (С плавающей запятой), Complex (Комплексное).После щелчка по одной из этих трех строк вычисляется значение выделенного в ра-Меню Symbolics (Символьные вычисления). Это меню (рис. 1.19) содержит операции символьной математики. Пункт Evaluate (Вычислять) содержит три операции (рис. 1.20): Symbolically (Символьно), Floating Point (С плавающей запятой), Complex (Комплексное).После щелчка по одной из этих трех строк вычисляется значение выделенного в ра-SymbolicsSymbolicsLvauzie 罐 ^^^^|窿PrilwilTTHl Ff ГГГ-14MqUh Tldle Lil IE'^lusicnEyeLvauzie 罐 ^^^^|窿PrilwilTTHl Ff ГГГ-14MqUh Tldle Lil IE'^lusicnEyeРис. 1.19. Менюсимвольных операцийРис. 1.19. Менюсимвольных операций
Меню Symbolics (Символьные вычисления). Это меню (рис. 1.19) содержит операции символьной математики. Пункт Evaluate (Вычислять) содержит три операции (рис. 1.20): Symbolically (Символьно), Floating Point (С плавающей запятой), Complex (Комплексное).
После щелчка по одной из этих трех строк вычисляется значение выделенного в ра-
Меню Symbolics (Символьные вычисления). Это меню (рис. 1.19) содержит операции символьной математики. Пункт Evaluate (Вычислять) содержит три операции (рис. 1.20): Symbolically (Символьно), Floating Point (С плавающей запятой), Complex (Комплексное).
После щелчка по одной из этих трех строк вычисляется значение выделенного в ра-
Symbolics
Symbolics
Lvauzie 罐 ^^^^|窿
PrilwilTTHl Ff ГГГ-14
MqUh Tldle Lil I
E'^lusicnEye
Lvauzie 罐 ^^^^|窿
PrilwilTTHl Ff ГГГ-14
MqUh Tldle Lil I
E'^lusicnEye
Рис. 1.19. Менюсимвольных операций
Рис. 1.19. Менюсимвольных операций
бочем документе выражения, причем вычисления производятся соответственно символь- но, численно с плавающей за-бочем документе выражения, причем вычисления производятся соответственно символь- но, численно с плавающей за-Su ibulL all'SMI+F9二"MlПсаГшд Ran誨2心m阿Su ibulL all'SMI+F9二"MlПсаГшд Ran誨2心m阿пятой или с использованием арифметики комплексных чисел. Щелчком по строке Sim-пятой или с использованием арифметики комплексных чисел. Щелчком по строке Sim-Рис. 1.20. Меню режимоввычисленийРис. 1.20. Меню режимоввычислений
бочем документе выражения, причем вычисления производятся соответственно символь- но, численно с плавающей за-
бочем документе выражения, причем вычисления производятся соответственно символь- но, численно с плавающей за-
Su ibulL all'SMI+F9
二"MlПсаГшд Ran
誨2心m阿
Su ibulL all'SMI+F9
二"MlПсаГшд Ran
誨2心m阿
пятой или с использованием арифметики комплексных чисел. Щелчком по строке Sim-
пятой или с использованием арифметики комплексных чисел. Щелчком по строке Sim-
Рис. 1.20. Меню режимоввычислений
Рис. 1.20. Меню режимоввычислений
plify (Упростить) символьному процессору передается выражение, вы
деленное в рабочем документе, а преобразованное выражение отобра
жается в рабочем документе ниже или справа от исходного выражения (см. описание опции Evaluation Style). Совершенно аналогично после щелчка по Expand (Развернуть) в выделенном выражении раскрываются скобки, а после щелчка по Factor (Разложить на множители) выделенное выражение раскладывается на множители. В результате щелчка по Collect (Собрать) в выделенном выражении приводятся подобные.
Если выражение является многочленом относительно выделенного фрагмента, то после щелчка по строке Polynomial Coefficients (Коэффициенты полинома) в рабочий документ выводится вектор-столбец коэффициентов многочлена, записанных в порядке возрастания степеней выделенного выражения. На рис. 1.21 представлен результат такой
операции, когда в исходном выражении выделено а.
а + 2 a b + b2 - (3 а2 Ь) + a2а + 2 a b + b2 - (3 а2 Ь) + a2b2
а + 2 a b + b2 - (3 а2 Ь) + a2
а + 2 a b + b2 - (3 а2 Ь) + a2
1 +2 b
-3 b + 1
Рис. 1.21. Вычисление полиномиальных коэффициентов
Каждая из следующих трех строк (см. рис. 1.19) — Variable (Переменная), Matrix (Матрица), Transform (Преобразование) — объединяет группу символьных операций: символьные вычисления относительно выделенной переменной, символьные вычисления с выделенной матрицей и интегральные преобразования соответственно.
В пункте Variable объединены операции математического анализа (рис. 1.22):
решение уравнений (Solve);
замена переменной;
подстановка (Substitute);
дифференцирование (Differentiate);
интегрирование (Integrate);
разложение по формуле Тейлора (Expand to Series);
разложение дроби на простейшие дроби (Convert to Partial
Fraction).
叱加口 m 闾 Qjslfcicnts叱加口 m 闾 Qjslfcicnts柒傍1久1d川 n|7iu尸 li柒傍1久1d川 n|7iu尸 li
叱加口 m 闾 Qjslfcicnts
叱加口 m 闾 Qjslfcicnts
柒傍1久1d川 n|7iu尸 li
柒傍1久1d川 n|7iu尸 li
曲m 力川h撰I》曲m 力川h撰I》Zvniinh- ^l>l-Zvniinh- ^l>l-卓制對露i:廳|善翼事|i鼻尊貫彎［и擊豊
曲m 力川h撰I》
曲m 力川h撰I》
Zvniinh- ^l>l-
Zvniinh- ^l>l-
Ctff-ie itnic
Irits^sle
Exzanc h Sees.
Сигме lu Pdl J FfcM-turi
Рис. 1.22. Меню операций математического анализа
Если в рабочем документе в некотором выражении выделена переменная, то после щелчка по соответствующей строке меню в рабочем документе отображается результат выполнения операции относительно выделенной переменной. Примеры использования этих пунктов меню приведены в разд. 1.8 и 3.1.
В пункте Matrix(pHC. 1.23) объединены символьные вычисления с матрицами:
Transpose (Транспонирование);
Invert (Обращение) — вычисление обратной матрицы;
MpMp，1国里凶耳，1国里凶耳н|』|и『н|』|и『Determinant (Определитель) — вычисление определителя квадратной матрицы.
Mp
Mp
，1国里凶耳
，1国里凶耳
н|』|и『
н|』|и『
Evalusiej||itoLulk_tГ du inn 闻. rf r rr)UEvalusiej||itoLulk_tГ du inn 闻. rf r rr)UZjansposcDrisEmn-antZjansposcDrisEmn-ant5收5收Symbolics：
Evalusie
j||ito
Lulk_t
Г du inn 闻. rf r rr)U
Evalusie
j||ito
Lulk_t
Г du inn 闻. rf r rr)U
Zjansposc
DrisEmn-ant
Zjansposc
DrisEmn-ant
5收
5收
M ji.ix
EyMi” 5 Me
Рис. 1.23. Меню символьных операций с матрицами
Операции этой группы выполняются, только если в рабочем документе выделена матрица. Тогда после щелчка по строке меню в рабочем документе отображается результат выполнения соответствующей операции. Примеры использования этих пунктов меню приведены в разд. 2.1.
В пункте Transform объединены символьные вычисления прямых и обратных интегральных преобразований (рис. 1.24) — Fourier и Inverse Fourier (преобразование Фурье), Laplace и Inverse Laplace (преобразование Лапласа), Z и Inverse Z (Z-преобразование)— вычисление производящей функции.
Рис. 1.24. Меню интегральных операцийРис. 1.24. Меню интегральных операций
Рис. 1.24. Меню интегральных операций
Рис. 1.24. Меню интегральных операций
Щелчком по строке меню Evaluation Style (Стиль выражения) открывается окно, в котором определяется формат вывода результатов символьных вычислений (рис. 1.25).
Г"上 ил Сыип» к?
Г Е心 LjakiFbcn
Рис. 1.25. Параметры формата символьных результатов
В поле Show evaluation steps (Показать результаты вычислений) можно установить режим отображения результатов символьных вычислений в строке, расположенной непосредственно под исходным выражением (Vertically, inserting lines), прямо под исходным выражением (Vertically, without inserting lines) или справа от исходного выражения (Horizontally).
Cn=ngel:«isY U lilt：-Cn=ngel:«isY U lilt：-Рис. 1.26. Меню ОкноРис. 1.26. Меню ОкноМеню Window (Окно). Это меню (рис. 1.26) позволяет устанавливать стиль расположения окон, содержащих различные рабочие документы Mathcad. Окна можно расположить ^^кacкaдoм,,, чтобы они перекрывались, но при этом были видны заголовки окон (Cascade), без перекрытия по горизонтали (Tile Hori-
Cn=ngel:«is
Y U lilt：-
Cn=ngel:«is
Y U lilt：-
Рис. 1.26. Меню Окно
Рис. 1.26. Меню Окно
zontal) или по вертикали (Tile Vertical); можно также упорядочить ярлычки окон в панели задач (Arrange Icons). В нижней части меню
расположен список всех окон, открытых в текущий момент. Щелчком
по соответствующей строке можно вызвать на экран любое из окон.
ПАНЕЛИ ИНСТРУМЕНТОВ MATHCAD
В окне Mathcad обычно располагаются три кнопочные панели инструментов (рис. 1.27)..
Верхняя ——панель Toolbar (Панель инструментов), большая часть кнопок которой стандартные для windows-приложений кнопки работы с файлами и текстом.
,口1*1圍.昌I国学I*1患|也[川.・喉丨.剧。 1»1%修1具1里図I—
(KdtfI 3 1再旧1 _3 尹|r|qj后尝I望I,
Рис. 1.27. Панели инструментов
Средняя —— панель Format Ваг (Панель форматирования), содержащая кнопки выбора шрифтов, размеров шрифтов, стиля (полужирный, наклонный, с подчеркиванием), а также кнопки форматирования текста на странице (выравнивание по левому краю, центрирование и выравнивание по правому краю);
Нижняя ——Math Palette (Математическая палитра), каждая кнопка которой открывает дополнительную панель, содержащую кнопки операций с математическими объектами определенного класса.
Правила работы со всеми панелями одинаковы: щелчком по кнопке открываем вспомогательную панель, щелчком по кнопке выбираем в ней нужную операцию и заполняем в рабочем документе помеченные позиции для ввода данных, аргументов или параметров операции.
Панель Toolbar. Большинство кнопок этой панели дублируют меню File и Edit (они описаны в разд. 1.5). Кнопка [^] выполняет операцию вставки гипертекстовых ссылок, кнопка 陰 | открывает интерактивный диалог вставки компонент, кнопка ^] —— окно Math Connex. Следующие две кнопки [®] |^J относятся к справочному режиму и будут описаны ниже (см. разд. 1.7).
Панель Math Palette. Это панель математических инструментов (дословно 7,математическая палитра")——наиболее часто используемая панель, поскольку именно здесь расположены кнопки вычислительных операций и операций конструирования вычислительных процедур.
Панель математических инструментов содержит восемь кнопок, каждая из которых открывает дополнительную панель математических операций. Далее, в начале каждой главы, описаны дополнительные панели математических операций, наиболее часто используемые при решении задач главы. Здесь же просто перечислены кнопки панели математических операций и приведен вид каждой дополнительной панели.
Кнопка 圓]—Arithmetic Palette (Калькулятор) открывает панель простейших вычислений (рис. 1.28).
Рис. 1.28. Панель калькулятора
Щелчком по кнопке этой панели в рабочий документ вставляем имя функции, символ, цифру или знак операции с помеченными для ввода позициями:
*Л («) -'1 е' ln(・)、
Кнопка (^] — Evaluation and Boolean Palette (Панель равенств и отношений) открывает панель, изображенную на рис. 1.29.
Рис. 1.29. Панель отношений
Щелчком по кнопкам этой панели в рабочий документ вставляются соответствующие знаки отношений:
1=1・工・ ・f ■三，!< I |> I |<| I >| II III I
Z\
I I
Кнопка 图]—Graph Palette (Панель графиков) открывает панель, изображенную на рис. 1.30.
Щелчком по кнопке этой панели в рабочий документ вставляем поле графика соответствующего типа. Правила и примеры построения графиков разных типов приведены в разд. 1.8 и 3.1.
Кнопка [Л] — Vector and Matrix Palette (Панель векторных и матричных операций) открывает панель, изображенную на рис. 1.31.
В
匕殳1y
@困引
Рис. 1.30. Панель графиков Рис. 1.31. Панель матричных операций
Кнопки этой панели и правила выполнения соответствующих операций с векторами и матрицами описаны в разд. 2.1.
Кнопка [W]— Calculus Palette (Панель операций математического анализа) открывает панель, изображенную на рис. 1.32.
Кнопки этой панели и правила выполнения соответствующих операций описаны в разд. 3.1.
Рис. 1.32. Панель операции м ат ем атиче ского анализаРис. 1.32. Панель операции м ат ем атиче ского анализа八 Jd I >11*八 Jd I >11*v/ппэv/ппэctierAi=ectierAi=eCDHtmUSCDHtmUSfcrfcrretunretunKg*Kg*on enoion enoiРис. 1.33. Панель программированияРис. 1.33. Панель программированияКнопка 團]—Programming Palette (Панель программирования) открывает панель, представленную на рис. 1.33.
Рис. 1.32. Панель операции м ат ем атиче ского анализа
Рис. 1.32. Панель операции м ат ем атиче ского анализа
八 Jd I >11*
八 Jd I >11*
v/ппэ
v/ппэ
ctierAi=e
ctierAi=e
CDHtmUS
CDHtmUS
fcr
fcr
retun
retun
Kg*
Kg*
on enoi
on enoi
Рис. 1.33. Панель программирования
Рис. 1.33. Панель программирования
Щелчком по кнопкам этой панели вставляем в рабочий документ соответствующую программную конструкцию. В разд. 6.1 и 3.1 описано использование операций Add Line (Добавить линию) и if (если) для ввода функций, имеющих на разных промежутках различные аналитические выражения. Ниже приведен пример программы решения методом Ньютона с погрешностью е уравнения /(£)— 0, поясняющий, как выполняются операции, закрепленные за кнопками панели. Рядом изображен фрагмент рабочего документа Mathcad с помеченными полями ввода.
newtonff,df^xold,^):=
while I
newtontf,dfTxold,£)二newtontf,dfTxold,£)二f(xold)xnew*— xold -——
newtontf,dfTxold,£)二
newtontf,dfTxold,£)二
df(xold)
while I xnew - xold |> £
xold*— xnew
xnew— xold -xnew— xold -f(xold)df( xold)f(xold)df( xold)
xnew— xold -
xnew— xold -
f(xold)df( xold)
f(xold)df( xold)
xnew
f( x) ：= exp(- x) + 10-x df(x) ：= —f( x)
newton(t dt 0,0.001) =-0.112
f( newton(f, df,0,0.001)) = 2.909*10 '
Кнопка 陷j — Greek Symbol Palette (Панель греческих букв) открывает панель, изображенную на рис. 1.34.
Щелчком по кнопке с соответствующим символом вставляем его в нужное место рабочего документа.
Кнопка [^] — Symbolic Keyword Palette (Ключевые слова символьных вычислений) открывает панель, изображенную на рис. 1.35.
■T "耳露費l"i,i floatccrnplsxexpand?оЬе9 mplif/suo9tltu:ecolledsenesassumepartraccoeffs传由Г■fojrlerг 1арГасэ ,zlraneinvfcurle*ir.vlaplaceindansH： T八|M| rModfers■T "耳露費l"i,i floatccrnplsxexpand?оЬе9 mplif/suo9tltu:ecolledsenesassumepartraccoeffs传由Г■fojrlerг 1арГасэ ,zlraneinvfcurle*ir.vlaplaceindansH： T八|M| rModfersВВРис. 1.35. Панель ключевых словРис. 1.35. Панель ключевых слов
■T "
耳露費
l"i,i float
ccrnplsx
expand
?оЬе
9 mplif/
suo9tltu:e
colled
senes
assume
partrac
coeffs
传由Г
■fojrler
г 1арГасэ ,
zlrane
invfcurle*
ir.vlaplace
indans
H： T
八
|M| r
Modfers
■T "
耳露費
l"i,i float
ccrnplsx
expand
?оЬе
9 mplif/
suo9tltu:e
colled
senes
assume
partrac
coeffs
传由Г
■fojrler
г 1арГасэ ,
zlrane
invfcurle*
ir.vlaplace
indans
H： T
八
|M| r
Modfers
В
В
Рис. 1.35. Панель ключевых слов
Рис. 1.35. Панель ключевых слов
Видно, что кнопки панели дублируют соответствующие пункты меню символьных операций, описанные в разд. 1.5. Щелчком по кнопке вставляем в рабочий документ ключевое слово с помеченными позициями для ввода данных. Ниже приведены текст, который вставляется в рабочий документ после щелчка по кнопке Factor (Разложить на множители), и результат выполнения операции после заполнения полей ввода.
■ factor, я f
x2 - 2 x + 3 x - 2 factor, x - 1 (x + 2)-(x - 1)
Примеры использования панели символьных операций приведены в разд. 1.8.,
РЕЖИМ СПРАВКИ
Mathcad предоставляет пользователю несколько чрезвычайно удобных способов получения справки.
Щелчком по пункту Help (Помощь) в меню окна Mathcad открывается меню справочного режима (рис. 1.36).
ЕЕЗ
也(hcadHeh F
' B«ouicc Center
liuuftlitDdi...
Пргг Dnnk U6n什叫
fit>=Ut Moihccd ,
Рис. 1.36. Меню справочного режима
Щелчок по первой строке — Mathcad Help (Справка Mathcad) открывает окно диалога справочного режима со стандартными закладками Содержание, Предметный указатель, Поиск и кнопками управления (рис. 1.37).
Такое же действие ——открыть окно справки ——выполняется щелчком по кнопке ш в панели Toolbar или, как и во всех windows- приложениях, нажатием на клавиатуре клавиши <F1>.
В справочном режиме можно получить подробное описание всех правил и приемов работы в Mathcad. В режиме поиска можно получить справку по введенному ключевому слову. Для примера на рисунках приведены фрагмент справки об импорте данных из других приложений (рис. 1.38) и окно поиска справки по графикам (рис. 1.39).
Щелчок по строке Resource Center (Центр ресурсов) открывает окно содержания Resource Center (рис. 1.40), содержащее разделы Overview (Обзор), Tutorial (Учебник), Quick Sheets (Шпаргалки), Web Library (Библиотека в Internet), Reference Tables (Справочные таблицы), Practical Statistics (Справочник по прикладной статистике), The Treasury Guide to Solving (Путеводитель по методам
Рис. 1.37. Окно справочного режимаРис. 1.37. Окно справочного режима
Рис. 1.37. Окно справочного режима
Рис. 1.37. Окно справочного режима
Справочная система: Mathcad 7 Professional Help
6 EuuMb”
6 Т-к.
•匚 uigxliuiM 也&』(》 鱼 TouXu Js .
♦ W』ksFZ niardjetnenf
• VectJis cfd ni<dltce¥ 急凱2
♦ Firckm
电砧阊5 鱼 S*H&h « SclkiriG 日QUd'juM
♦ 6ataM«Hqoiiier* 脸0必八皿「
решения уравнений), The Treasury Guide to Programming (Путеводитель по программированию).
m :二m :二143.00114 而］143.00114 而］Т(х) ：= if(x<120;0;x)Т(х) ：= if(x<120;0;x)Раздел Overview представляет собой интерактивный справочник, описывающий основные возможности Mathcad. Он написан настолько просто, что будет понятен пользователю, не владеющему английским языком. Ниже приведен фрагмент Overview, демонстрирующий визуализацию цифровой информации, сохраненной в матрице М.
m :二
m :二
143.00114 而］
143.00114 而］
Т(х) ：= if(x<120;0;x)
Т(х) ：= if(x<120;0;x)
{вро^цх xpdartHdn s сл\Э1ллэл0 я и xey -ndartHdu aHmHaiaodn i^n-edg -oced ‘HOIHSFiXd工ЗНИ ИЭ1ГЭНРП СНЧЙЮРЮП Э И I4dXi12HSPIfM Э ИИНЭЖ12(11ЧН ptfoss pifHapdn рхэярп зВз(1з s iqiogpd soFtandn хиннонэо хээя кинрэипо кэхтзж^Уоэ {Biio^njj g ，[匕・[*Md ен на^эяийи понне來dsi/co пэн я птчн -нзПзшчн э oJodoiOM рняо Пин 'хин93bx Hi4HH9odx30 0工£ [Ejo^nj;
•ХКИНЭ1ГЭИЫЧ0 хипs чхряоечтоиэи и ihgfi
-КхоВ HHbogiad я ^i-esodHuoMO онжоп л\этллэл0 工нзу<лз(1ф qogoip
ЛЯО1ГЭ Хкояэьсягя он ряэиоп эиижэд я ияярёпэ ОНУ。'6£・【'ЭИДЛЯО1ГЭ Хкояэьсягя он ряэиоп эиижэд я ияярёпэ ОНУ。'6£・【'ЭИДxiqHHptf sidonivH 90 ияявбпэ хнэриедф ・g£・[ 'эи^xiqHHptf sidonivH 90 ияявбпэ хнэриедф ・g£・[ 'эи^
ЛЯО1ГЭ Хкояэьсягя он ряэиоп эиижэд я ияярёпэ ОНУ。'6£・【'ЭИД
ЛЯО1ГЭ Хкояэьсягя он ряэиоп эиижэд я ияярёпэ ОНУ。'6£・【'ЭИД
xiqHHptf sidonivH 90 ияявбпэ хнэриедф ・g£・[ 'эи^
xiqHHptf sidonivH 90 ияявбпэ хнэриедф ・g£・[ 'эи^
，『U 眠卩］130Vs 画岬珂XuuHl」
grin丄 ран
卜&叫硼二七工皿工之叩56屮限」
祖 sq^jlb \sT й|йгё?ёр 6 J сХ J
吉№ “¥ в 山Г. Етр~Ни【рггЛ^
:у Ецёр Е ujb，j g|«j 3. i_iiL|
juoiiolTjuj: е а=п ^т- hwjioa os op о। r 二阿卩 m jjc? 11 и bulged/; jj u 1 idxj /4 m у 喇ep v шио v E*诃田 лц '8]u tap в июу 仙 Ей м-з Eq 卩君nqe用 эр s^p Guuq иво них
4VIVO OHUHOdVIl
「*叩.T辅中叩一卜哼再皿齐|aet小小
Ov^fVi^w
“后 2修0■ T^Ы09
Practicai Statiofics
'论［able i)l Contents - Пнкшиге Грп(р1
Mathcad
Tutorial
ввWish L ibraryWish L ibraryP Td』* FWiS Г1P Td』* FWiS Г17M 粉m修巾0ийй h> Ptbf/nmming7M 粉m修巾0ийй h> Ptbf/nmmingTh. П^йшгу Cuicf* re SolvingTh. П^йшгу Cuicf* re Solving*帅产 QuickShaate*帅产 QuickShaateРис. 1.40. Окно содержания Resource CenterРис. 1.40. Окно содержания Resource Center隗
в
в
Wish L ibrary
Wish L ibrary
P Td』* FWiS Г1
P Td』* FWiS Г1
7M 粉m修巾0ийй h> Ptbf/nmming
7M 粉m修巾0ийй h> Ptbf/nmming
Th. П^йшгу Cuicf* re Solving
Th. П^йшгу Cuicf* re Solving
*帅产 QuickShaate
*帅产 QuickShaate
Рис. 1.40. Окно содержания Resource Center
Рис. 1.40. Окно содержания Resource Center
Tutorial Contents ■ Resoutce Center
.就翩档踹I砌痂踊丽鬭^蠢・
ДДbitroduction: The Mathcad Advantage
Д
Д
...A product overview
A Ouiek Tour of Mathead's Featcres
An interactive journey that lets yousee many Mathcad features in actionl
Toolban and Palettes
...An introduction to the toolbars and menus.
Step-by-Step Editing Guide
...Spend just 20 minutes to get 皆 and running fast, building and editing your own Mathcad worksheets.
Where to Get More Help
...Resources tn Mathcad itself and at MaihSoft, Inc
Рис. 1.41. Фрагмент оглавления встроенного учебника Mathcad
можно изменить параметры операторов и наблюдать последующие изменения. Окно Tutorial имеет стандартные для справочных режимов windows-приложений кнопки управления, смысл которых понятен из пиктограмм и надписей на кнопках.
Quick Sheets ——это справочник функций Mathcad для тех, кто предпочитает учиться на примерах. Он содержит сборник примеров решения задач из самых разнообразных приложений. На рис. 1.42 приведено оглавление раздела Бизнес и финансы. Каждый раздел со-
держит во всех подробностях разобранный пример решения типичной задачи с необходимыми теоретическими и техническими указаниями.
. Computing Compound Interest
Present Value
Present Value of a Stream of Periodic Payments
. Net Present Value
Future Value
Future Value of an Annuity
g . bitere st Rate of an Annuity
J . Payment on a Loan:；扌
^^WfelWBI：W-雌ftl^lOtt断竄工陶兩幅
Рис. 1.42. Оглавление одного из разделов режима подсказок
Web Library ——библиотека электронных книг, расположенная на сервере MathSoft, которая доступна пользователям, подключенным к сети Internet. Общение с Web Library предполагает минимальные познания в английском языке, поэтому приводим на рис. 1.43 страничку Web Library без комментариев.
4 hHp：y/www.mathsott.cam/MATHCAD/bbi<iiv^ntte>< n>cd ■ Resource Cenlet 蹲回躋
elf NT，l例国间7|闺q|elf NT，l例国间7|闺q|
elf NT，l例国间7|闺q|
elf NT，l例国间7|闺q|
Welcome to the Mathcad Web ЫЬгагу, apart of the MathSoft WWW site consisting exclusively of linked Mathcad files. Here you'll find a vanety of Maihcad Eles and selections from our line of Electronic Books. If you want general MathSoft pro duct and corporate infomiation, including the latest Technical Support infbrmation, be sure to visit our home page at http://wwiy-m.athsoft.com.
Mathcad Electronic Books дым еьоа, g& iawy
• Personal Enance, by Marc Vandcnplas
. BiJlding Thermal Analysis, by Andreas Athienitis
・ Astronomical Formulas, by Martin Zombeck・ Astronomical Formulas, by Martin ZombeckРис. 1.43. Фрагмент первой страницы библиотеки электронных книгРис. 1.43. Фрагмент первой страницы библиотеки электронных книг
・ Astronomical Formulas, by Martin Zombeck
・ Astronomical Formulas, by Martin Zombeck
Рис. 1.43. Фрагмент первой страницы библиотеки электронных книг
Рис. 1.43. Фрагмент первой страницы библиотеки электронных книг
Reference Tables — это богатое собрание справочников по самым разнообразным областям знаний: математические формулы, физические, химические константы, свойства материалов и т.п. Фрагмент
оглавления Reference Tables и фрагмент таблицы свойств металлов приведены на рис. 1.44.
с『|"т* 附 in 阐 I 133
g Calculus Rpfcrente Formulas霊
. Table of Derivative Formulas
与 • Table of Integral Formulas I
У Properties of Metals
；♦ Thermal Conductivity
I . Specific Gravity
I • Linear Expansion Coefficient
. Electrical Resistivity
$ • Poisson's Ratio
ii . Modulus of Elasticity
扌 • Approximate Melting Point
£ . Temperature Coeflieiertt of Resistivity
I Pj-opeities nF liquids窗
H 1『
円*1」川j固|图闺、|闺"]円*1」川j固|图闺、|闺"]Рис. 1.44. Фрагменты текстов из встроенного справочникаРис. 1.44. Фрагменты текстов из встроенного справочника
円*1」川j固|图闺、|闺"]
円*1」川j固|图闺、|闺"]
Рис. 1.44. Фрагменты текстов из встроенного справочника
Рис. 1.44. Фрагменты текстов из встроенного справочника
Practical Statistics (Справочник по прикладной статистике), The Treasury Guide to Solving (Путеводитель по методам решения уравнений), The Treasury Guide to Programming (Путеводитель по программированию) 一 совершенно аналогично устроенные интерактивные справочные пособия.
Остальные строки меню Help открывают доступ к полезным советам, к общей информации о Mathcad, а также позволяют открыть электронные книги ——электронные учебники по различным областям знания, подготовленные специальными средствами Mathcad и предназначенные для изучения предмета с его, Mathcad, использованием.
5252Глава 1. Введение в Mathcad
52
52
Помимо описанных в меню возможностей справочного режима, в Mathcad реализована контекстно-зависимая справка: нажав на клавиатуре клавиши <Shift>+<Fl> в момент, когда курсор установлен в рабочем документе на операторе (функции, выражении), пользователь получает справку из соответствующего раздела.
Если указатель мыши размещается на кнопке или на другом элементе управления окна, то через некоторое время на экране в специальном временном окошке появляется название этого элемента управления.
И, наконец, в нижней, информационной строке окна Mathcad всегда размещена информация о текущей операции или приглашение к следующей операции.
Завершая краткое описание справочного режима пакета, отметим, что пользователь, не имеющий навыков работы в среде Mathcad, у которого возникла потребность выполнить технический расчет, обратившись за помощью к встроенному справочнику Mathcad, получит все необходимые инструкции и справится со своей задачей. Естественно, что несколько быстрее с задачей справится пользователь, владеющий английским языком.
Можно смело утверждать, что вдумчивая работа в справочном режиме позволяет в полной мере овладеть искусством работы в среде пакета и научиться выполнять достаточно сложные вычисления.
1.8
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ В MATHCAD
Завершая первое знакомство с Mathcad, попробуем решить в среде пакета несколько простейших задач элементарной математики.
Для того чтобы преобразовать алгебраическое выражение, вычислить значение функции, построить график функции или решить уравнение, необходимо прежде всего ввести соответствующее выражение в рабочий документ Mathcad. Правила ввода выражений в Mathcad описаны в разд. 1.1. Последовательность действий при вводе выражений будет описана для каждого конкретного примера.承
Как отмечалось выше, большинство вычислений в Mathcad можно выполнить тремя способами — выбором операции в меню, с помощью кнопочных панелей инструментов или обращением к соответствующим функциям. Далее, при решении каждой конкретной задачи, выбран один из возможных способов действий, но в совокупности будут продемонстрированы разные способы вычислений.
Преобразование алгебраических выражений
В Mathcad можно выполнить следующие символьные преобразования алгебраических выражений:
symplify (упростить)——выполнить арифметические операции, привести подобные, сократить дроби, использовать для упрощения основные тождества (формулы сокращенного умножения, тригонометрические тождества и т.п.);
expand (развернуть)——раскрыть скобки, перемножить и привести подобные;
factor (разложить на множители) —— представить, если возможно, выражение в виде произведения простых сомножителей;
substitute (подставить)——заменить в алгебраическом выражении букву или выражение другим выражением;
convert to partial fraction —— разложить рациональную дробь на простейшие дроби.
Если Mathcad не может выполнить требуемую операцию, то он выводит в качестве результата вычислений исходное выражение.
Все приведенные вычисления выполнены в предположении, что в меню Math установлен автоматический режим вычислений и отключен режим оптимизации (см. разд. 1.4).
Следует помнить, что Mathcad далеко не всегда преобразует выражение к самому простейшему виду.
Пример 1. Упростите выражение
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями.
У к а з а н и е. Установите режим отображения результатов вычислений по горизонтали. Для этого щелкните по строке Evaluation Style в меню Symbolic и установите, как показано на рис. 1.45, соответствующие метки в окне диалога. Для того чтобы ввести выражение, щелкните левой клавишей мыши по свободному месту в рабочем документе и введите выражение с клавиатуры. Сначала введите
первый сомножитель ——нажмите на клавиатуре клавиши в следующей последовательности:
<1> < +〉<2> </> <3> <> <-> <1>
Прежде чем вводить знак умножения и второй сомножитель, нажмите несколько раз клавишу <Space> (Пробел); нажимайте пробел до тех пор, пока весь первый сомножитель не будет заключен в выделяющую рамку (см. рис. 1.45). Затем введите знак умножения и второй сомножитель — нажмите на клавиатуре клавиши в следующей по следов ательности: *
<*> <(> <1> <-> <9> <*> <х> < > <9> <*> <х> <> <2>
<Space>... <Space>(выделить 9х — 9х2) </> <3> <*> <х> <+〉<1>
<Space>... <Space> (выделить второй сомножитель) < +〉<1>.
Для того чтобы упростить введенное выражение, используйте меню символьных операций: щелкните справа внизу у последнего символа выражения и выделите его, нажимая клавиу <Space> (см. рис. 1.45). Затем щелкните в меню Symbolics по строке Simplify. Результат (преобразованное выражение) будет отображен в рабочем документе справа от исходного выражения.
r*"Mathcad Professional - [H v]
£yihril'r£yihril'r国I® 口「上庵匾I国I® 口「上庵匾I'Equate'Equate2.nipl lu2.nipl luWindow HepWindow Hep
£yihril'r
£yihril'r
国I® 口「上庵匾I
国I® 口「上庵匾I
'Equate
'Equate
2.nipl lu
2.nipl lu
Window Hep
Window Hep
■: Expand ....用呷£口,叁t(bvnOn>P CoeFiicBioCs■: Expand ....用呷£口,叁t(bvnOn>P CoeFiicBioCs
■: Expand ....
用呷
£口,叁t
(bvnOn>P CoeFiicBioCs
■: Expand ....
用呷
£口,叁t
(bvnOn>P CoeFiicBioCs
Рис. 1.45. Упрощение алгебраических выражений через меню SymbolicsРис. 1.45. Упрощение алгебраических выражений через меню Symbolics
Рис. 1.45. Упрощение алгебраических выражений через меню Symbolics
Рис. 1.45. Упрощение алгебраических выражений через меню Symbolics
Пример 2. Раскройте скобки и приведите подобные в выражении c(z + I)2 — 2z(c + z).
Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями и изображением использованного меню приведен на рис. 1.46.
Указание. Сначала, как и в предыдущем примере, установите в меню Symbolics — режим отображения результатов вычислений по горизонтали (см. рис. 1.45). Затем введите выражение для преобразования, выделите его и щелкните по строке Expand в меню Symbolics (см. рис. 1.46). Результат (преобразованное выражение) отображается в рабочем документе справа от исходного выражения.
х (а + 1/ - 2 I (х + i)
Рис. 1.46. Упрощение выражений с использованием операции Expand
Пример 3. Разложите на множители выражение а? + ab? + 2abc + Ь% + а% + ас? + Ьс2.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями.
a2 b + a b2 + 2 а b с + Ь2 с + а2 с + а с2 + b с2 (а + Ь) (с + а) (с + Ь)
Указание. Введите выражение для преобразования, выделите его и щелкните по строке Factor в меню Symbolics. Результат отображается в рабочем документе справа от исходного выражения. При вводе выражения не забывайте вводить знак умножения (<*>), а после ввода показателя степени (<f>) нажимать клавишу <Space>.
Пример 4. Разложите на простейшие дроби рациональную дробь
川-3步+ 7
(2-1)2(22 + £+])*
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями.
х2 - 3-х + 752 十2 (5 + 3-х)
(х - 1)2-(х2 + X + 1)(3-(х - 1)2) (х-1) 3 (Х2 + х + ^
Указание. Введите описанным выше способом выражение для преобразований, выделите переменную х и щелкните по строке Convert to Partial Fraction в пункте Variable меню Symbolics.
Определение, построение таблиц значений и графиков функций
Пример 5. Постройте таблицу значений функции /(х) = xsiny^^l на отрезке [0, 4тг2].
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями.
f(х)二 х-sin(Jh<l)i 二 0..20 x. ：= i±^
Указание. Определите функцию /(£)=£sin，j^j. Для этого введите с клавиатуры имя функции и имя аргумента, заключенное в круглые скобки, знак присваивания (введите с клавиатуры знак равенства или нажмите на клавиатуре
клавиши <Shift>+<:> и следом — выражение для функции. Чтобы ввести знак квадратного корня, щелкните в панели калькулятора [W] по кнопке 卜]. Подкоренное выражение введите в позиции, указанной меткой. Знак абсолютной величины вводите аналогично, щелчком по кнопке 卜“ Определите диапазон изменения индекса г узлов сетки д\ на заданном отрезке. Для этого введите с _' 47r2
клавиатуры： i = 0 ; 20*. Определите узлы сетки g = г-^~)для этого введите с клавиатуры： х [ i <Space> = i * 4 * (<Ctrl>+<p>) ^2 <Space.. ,Space> /20.
Определите матрицу-столбец F для хранения таблицы значений функции в узлах сетки: Fi 二 /(g)・ Для этого введите с клавиатуры: F [ i Space : f,( х [ i <Space> ). Чтобы вывести таблицу значения функции на экран, введите с клавиатуры: F =. В рабочем документе появится таблица значений функции. Щелкните по полю таблицы ——в рабочем документе откроется окно для просмотра всей таблицы со
стрелками прокрутки.
Пример 6. Постройте график функции /(土)= 土sin，[^J.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими определениями и графиком.
Указание. Определите функцию /(м), как в предыдущем примере, щелкните по свободному месту в рабочем документе правее и ниже определения функции /(х), затем ЩелкниТе по кнопке декартова графика 园 в панели графиков ffl и введите в позиции, указанной меткой возле оси абсцисс, имя аргумента £, а возле оси ординат имя функции — /(■). График будет построен после щелчка по рабочему документу вне поля графиков. Параметры изображения можно изменить, щелкнув дважды по полю графиков и определив параметры (вид отображения осей, толщину и цвет линии, надпись на графике). На рис. 1.47 изображены окна диалога с параметрами настройки графика, изображенного вьппе.
Пример 7. Решите графически уравнение /(①)=0, где /(①)= * + 3川 - 2.
Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими определениями, графиками и окнами диалога приведен ниже.
Указание. Определите функцию /(м) и постройте ее график, действуя, как в предыдущем примере. Для того чтобы найти корни уравнения — абсциссы точек пересечения графика функции с осью у = 0, щелкните по строке Trace в пункте Graph меню Format (см. разд. 1.5). Затем щелкните по полю графиков и установите (стрелками клавиатуры или мышью) маркер (перекрещивающиеся пунктирные линии) в точке пересечения графика функции с осью абсцисс. В окне диалога отображаются координаты маркера: значение координаты х в окне и есть искомое приближенное значение корня.
•их4① dr。IO Feed!!。①SHOWAXO4w0HO9BdnH9/Ed9OIO н^ч^ю ——BMHBHgddA
ITHdox ① иненрне ——IPIqKASd OIHBWAHO4WOLOgEd « ”。① w AWOHHOgo"。ou зипппгэ 日 м SHHgHeed* qHnmod онясАн Колоной окйщнвиокно0HH9W ① dBnBWS ——① >IOS Ho BRBdn。Bs^snoc m в 点0HoimBd* И1вн ^owrtac BITOHHOXCBdlq(qIHm① d) Bos rt§4w 0J0① LCHirX ювввз SSWS8COHH ① нмопщнв^йга f^l 内инззинпн йлклчод^ки и①нвп и ш>-0« 飞HBHnBdA кин①mod ①мпон工 он щнкямчщ^л •①SHBCBMA
Анно I ① емине0 Pgqe кин ① HmBdA OJOIm винвгп ① d ^0340§SQ •о H N(m — e)A — N(z BWHBHGEdA BISmBd ・8 dWHdu
WUIJHJ H ^SSVSA^^ 3HHmwd UOHquoaf。
ЕХИФЕа」p1aoldpx。4nodswEdEU их5sodBEH EJOITBH4EHXO -^^'M JSX-
^^1'一賣5L vn^ 0 岂
-«^£«^- «1^ f 二 "a LX
-OK >x WJ'as _^-s-SQ aG^-15u
WOE >.x psp-vs ^-=u-3a T-15^
^u^^^ Щ 9HH9H①0篇 T внес
Пример 9. Решите систему уравнений
'c(z + I)2 — 2z(c + z) = 0〉< (1 + «)У^2-2« = 0,、，у — 5 (z — 2) + z = 0.
Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями приведен ниже.
Given
х (z + 1)2 - 2 z (х + z)=0
(1 + х2) 4Jy _ 2 - 2 х2=0
«/у - 2 • (z - 2) + z=0
0 1
Find(x,y,z) f 2 3
0 1
Указание. Введите с клавиатуры ключевое слово Given (дано), затем правее и ниже ключевого слова — левую часть первого уравнения системы, далее — символьный знак равенства (нажмите на клавиатуре клавиши <Ctrl>+<=> ) и правую часть уравнения (нуль). Аналогично введите остальные два уравнения системы. Правее и ниже последнего уравнения системы введите имя функции Find (найти), перечислите в скобках имена переменных, значения которых нужно вычислить, выделите Find(工,у,z), щелкните по кнопке … в панели 叵］. Вычисленное решение системы будет отображено после щелчка мышью вне выделяющей рамки в рабочем документе справа от стрелки — в виде матрицы, каждый столбец которой содержит одно из решений системы. В приведенном выше фрагменте рабочего документа найдены два решения системы: т = 0, у = 2, г — 0ит=1, j/ = 3, z = l.
ГЛАВА 4
ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
2.1
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ MATHCAD
Приступая к непосредственному решению в Mathcad задач линейной алгебры, познакомимся с инструментами, которые предоставляет пакет для этой цели.
В задачах линейной алгебры практически всегда возникает необходимость выполнять различные операции с матрицами. Предварительно матрицу нужно определить и ввести в рабочий документ Mathcad. Для того чтобы определить матрицу, введите с клавиатуры имя матрицы и знак присваивания ——нажмите на клавиатуре комбинацию клавиш <Shift>+<:>. Затем щелкните по кнопке [Ж1 в панели математических инструментов, чтобы открыть панель операций с матрицами и векторами (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Панель операций с матрицами и векторами
Откройте щелчком по кнопке | 開| окно диалога (рис. 2.2), определите число строк (Rows), число столбцов (Columns) и закройте окно диалога, щелкнув по кнопке 口К .
В рабочем документе справа от знака присваивания открывается поле ввода матрицы с помеченными позициями для ввода элементов. Для того чтобы ввести элемент матрицы, установите курсор в помеченной позиции и введите с клавиатуры число или выражение. Фраг-
мент рабочего документа Mathcad в момент ввода элементов матрицы приведен ниже.
Рис. 2.2. Окно диалога определения размеров матрицы
Большинство вычислений с матрицами, как и другие вычисления в Mathcad, можно выполнить тремя способами ——с помощью панелей инструментов, выбором операции в меню или обращением к соответствующей функции.
Панель операций с матрицами и векторами открывается щелчком по кнопке 1^~1 в панели математических инструментов. За кнопками панели (см. рис. 2.1) закреплены следующие функции:
1Ж1 一 определение размеров матрицы;
CHJ — вычисление определителя матрицы: Щ = det А; вычисление длины вектора |ж|, |т|2 = £ 吟 г=1
1孙—поэлементные операции с матрицами: если А = {ciij}^ В = ~ {匕牙})т。4В ~ {^ijbij}5
L__J — вычисление скалярного произведения векторов: ху = * ^iyi]
ЕН] — вычисление векторного произведения двух векторов: ахЬ = =(a2b3 一 a3b2? a3瓦一а/з? а1历一敗瓦)；
— вычисление суммы компонент вектора: *廿=
&用山口 1忆:&用山口 1忆:向现江画I 叱⑶匿向现江画I 叱⑶匿■ -Callecf '■ -Callecf ';：7.Polynomial Coefficients ■;：7.Polynomial Coefficients ■Transpose 一…Invert determinantTranspose 一…Invert determinantРис. 2.3. Меню символьных операций с матрицамиРис. 2.3. Меню символьных операций с матрицами
&用山口 1忆:
&用山口 1忆:
向现江画
I 叱⑶匿
向现江画
I 叱⑶匿
■ -Callecf '
■ -Callecf '
;：7.Polynomial Coefficients ■
;：7.Polynomial Coefficients ■
Transpose 一…
Invert determinant
Transpose 一…
Invert determinant
Рис. 2.3. Меню символьных операций с матрицами
Рис. 2.3. Меню символьных операций с матрицами
I ” 1 ——определение столбца матрицы: М<» j-й столбец матрицы;
EI — транспонирование матрицы: М = {т切}〉М? = {т#;
陶］——визуализация цифровой информации, сохраненной в матрице.
Для того чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно выделить матрицу и щелкнуть в панели по кнопке операции либо щелкнуть по кнопке в панели и ввести в помеченной позиции имя матрицы.
Меню символьных операций с матрицами (рис. 2.3) содержит три функции — транспонирование (Transpose), обращение матрицы (Invert) и вычисление определителя матрицы (Determinant).
Window Help 'Evaluate
■ Ewpand ■
Если требуется произвести какую-либо операцию через меню, нужно выделить матрицу и щелкнуть в меню по строке операции.
Функции, предназначенные для решения задач линейной алгебры, можно разделить на три группы: функции определения матриц и операции с блоками матриц, функции вычисления различных числовых характеристик матриц и функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры. Опишем наиболее часто используемые функции.
Функции определения матриц и операции с блоками матриц:
matrix(m, n, f) — создает и заполняет матрицу размерности m х п, элемент которой, расположенный в г-й строке,力м столбце, равен значению f(£J) функции f(gg);
diag(v)——создает диагональную матрицу, элементы главной диагонали которой хранятся в векторе v;
identity(n) —— создает единичную матрицу порядка п;
augment(A, В) — формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится матрица А, а в последних — матрица В (матрицы А и В должны иметь одинаковое число строк);
stack(A, В) — формирует матрицу, в первых строках которой содержится матрица А, а в последних — матрица В (матрицы А и В должны иметь одинаковое число столбцов);
submatrix(A, ir, jr, ic, jc) —— формирует матрицу, которая является блоком матрицы А, расположенным в строках с ir по jr и в столбцах с ic по jc, ir < jr, ic < jc.
Номер первой строки (столбца) матрицы или первой компоненты вектора хранится в Mathcad в переменной ORIGIN. По умолчанию в Mathcad координаты векторов, столбцы и строки матрицы нумеруются начиная с О (ORIGIN := 0). Поскольку в математической записи чаще используется нумерация с 1, здесь и в дальнейшем перед началом работы с матрицами будем определять значение переменной ORIGIN равным 1, т.е. будем прежде всего выполнять команду ORIGIN := 1.
ORIGIN ：= 1f(x,y) ：= X + уORIGIN ：= 1f(x,y) ：= X + уA ：=^matrix(3?4Л)A ：=^matrix(3?4Л)Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий примеры исполнения перечисленных выше функций, приведен ниже.
ORIGIN ：= 1
f(x,y) ：= X + у
ORIGIN ：= 1
f(x,y) ：= X + у
A ：=^matrix(3?4Л)
A ：=^matrix(3?4Л)
0 12 3
А = 12 3 4
2 3 4 6
i 二 1 4 V.二 ii 二 1 4 V.二 iВ ：= diag(v)В ：= diag(v)В =В =10 0 00 2 0 00 0 3 00 0 0 410 0 00 2 0 00 0 3 00 0 0 4
i 二 1 4 V.二 i
i 二 1 4 V.二 i
В ：= diag(v)
В ：= diag(v)
В =
В =
10 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
10 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
0 12 3
10 0
D ：= augment(A,E) D =
12 3 4
0 1 0
2 3 4 5
0 0 1
E 二 identity 3)
E =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
F 二 stack(A4B)F =
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
4
G ：= submatrix(F,4,5,1.2)
G
=
1
0
0
2
Функции вычисления различных числовых характеристик матриц:
last(v) — вычисление номера последней компоненты вектора v;
length(v) — вычисление количества компонент вектора v;
rows(A) — вычисление числа строк в матрице А;
cols(A) — вычисление числа столбцов в матрице А;
тах(А)——вычисление наибольшего элемента в матрице А;
tr(A) — вычисление следа квадратной матрицы А (след матрицы равен сумме ее диагональных элементов);
rank(A) — вычисление ранга матрицы А (определение ранга матрицы см. в разд. 2.5);
norml(A), norm2(A)) norme(A), normi(A) — вычисление норм квадратной матрицы А (определение норм матрицы см. в разд. 2.4).
Ниже представлен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий примеры использования названных функций для матриц, определенных в приведенном ранее рабочем документе.
last(v) = 4 rows(D) = 3 tr(B) = 10 norm1(B) = 4
length(v) = 4
cols(D) = 7 max(D) = 5
rank(A) = 2
norm2(B) = 4 normi(B) = 4 norme(B) = 5.477
Функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры:
rref(A) — приведение матрицы к ступенчатому виду с единичным базисным минором (выполняются элементарные операции со строками матрицы);
eigenvals(A) — вычисление собственных значений квадратной матрицы А (определение собственных значений см. в разд. 2.7);
eigenvecs(A) — вычисление собственных векторов квадратной матрицы А; значением функции является матрица, столбцы которой есть собственные векторы матрицы А, причем порядок следования векторов отвечает порядку следования собственных значений, вычисленных функцией eigenvals(A);
eigenvec(At I) — вычисление собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению I;
)solve(A, b) — решение системы линейных алгебраических уравнений А①=b.
Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий примеры использования перечисленных функций, приведен ниже.
ORIGIN ：= 1ORIGIN ：= 15.439 eigenvals(C) = 0.271 -2.715.439 eigenvals(C) = 0.271 -2.710.625 0.76 -0.4150.625 0.76 -0.415eigenvecs(C) = 0.321 41.611 ~0・432eigenvecs(C) = 0.321 41.611 ~0・4320.711 0.222 0.8010.711 0.222 0.801L ：= eigenvals(C)-0.76eigenvec^C, = 0.611-0.222L ：= eigenvals(C)-0.76eigenvec^C, = 0.611-0.222
ORIGIN ：= 1
ORIGIN ：= 1
5.439 eigenvals(C) = 0.271 -2.71
5.439 eigenvals(C) = 0.271 -2.71
0.625 0.76 -0.415
0.625 0.76 -0.415
eigenvecs(C) = 0.321 41.611 ~0・432
eigenvecs(C) = 0.321 41.611 ~0・432
0.711 0.222 0.801
0.711 0.222 0.801
L ：= eigenvals(C)
-0.76
eigenvec^C, = 0.611
-0.222
L ：= eigenvals(C)
-0.76
eigenvec^C, = 0.611
-0.222
14b := 81414b := 8141
14
b := 8
14
14
b := 8
14
X ：= lsohre(C,b) X = 2
3
Вычисления с использованием описанных функций выполняются стандартным для Mathcad способом (см. гл.1). Чтобы обратиться к функции, введите с клавиатуры имя функции, перечислите в скобках ее аргументы, введите знак равенства и щелкните по свободному месту в рабочем документе вне выделяющей рамки. Результат вычислений в соответствующем виде (число, вектор, матрица) будет отображен в рабочем документе справа от знака равенства. Если предполагается использовать результаты в дальнейших вычислениях, им следует присвоить имя. Для этого введите с клавиатуры имя переменной и знак присваивания, а справа от него — имя функции со списком аргументов в круглых скобках. Если теперь ввести с клавиатуры имя переменной, знак равенства и щелкнуть по свободному месту в рабочем документе вне выделяющей рамки, то результат вычислений будет отображен
справа от знака равенства. Имя функции можно вставить из списка: щелкните по месту вставки, затем — по строке Function в меню Insert, выберите в окне списка стрелками прокрутки нужную функцию и подтвердите выбор щелчком по кнопке 口 К в окне диалога (рис. 2.4).
InsertInsertFormat jjath Symbolics Windovj Help
Insert
Insert
GraphGraphMatrixMatrixCtrl+MCtrl+M上受I圆创=1修心国园号上受I圆创=1修心国园号
Graph
Graph
Matrix
Matrix
Ctrl+M
Ctrl+M
上受I圆创=1修心国园号
上受I圆创=1修心国园号
Function... Ctrl+F J
urPK-MITe二р=-也re-ссoturPK-MITe二р=-也re-ссotinsert FuncHaninsert FuncHanFunctionFunctionEpsilonlu I，kJ erf(K] error(str) 脚旧 FFTMEpsilonlu I，kJ erf(K] error(str) 脚旧 FFTMDescriptionDescription□「口L IInsert I ▼ | Cdncel I□「口L IInsert I ▼ | Cdncel Ia matrix whose columns constitute a set of eigenvectors for thel^Billiit^^^^jjj^^jti 龔確ДИ廳jjjB!Bt鱷a matrix whose columns constitute a set of eigenvectors for thel^Billiit^^^^jjj^^jti 龔確ДИ廳jjjB!Bt鱷
urPK-MITe二р=-也re-ссot
urPK-MITe二р=-也re-ссot
insert FuncHan
insert FuncHan
Function
Function
Epsilonlu I，kJ erf(K] error(str) 脚旧 FFTM
Epsilonlu I，kJ erf(K] error(str) 脚旧 FFTM
Description
Description
□「口L I
Insert I ▼ | Cdncel I
□「口L I
Insert I ▼ | Cdncel I
a matrix whose columns constitute a set of eigenvectors for the
l^Billiit^^^^jjj^^jti 龔確ДИ廳jjjB!Bt鱷
a matrix whose columns constitute a set of eigenvectors for the
l^Billiit^^^^jjj^^jti 龔確ДИ廳jjjB!Bt鱷
символом，). Если автоматический режим отключен, результат будет вычислен после щелчка по строке Calculate в меню Math.
ИЩИ Symbolics Window He■ Т承咚…F9. IJ; Calculate^J/orksheet
v Automatic Calculation0庙 mi 龍 Нm,
Рис. 2.5. Настройка режима вычислений
2.2
ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ
Основные матричные операции
Основными матричными операциями являются умножение матрицы на число, сложение и перемножение двух матриц.
По определению, чтобы умножить матрицу на число^ нужно умножить на это число все элементы матрицы.
Суммой двух матриц одинаковой размерности называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых.
Операция умножения матрицы на матрицу определяется более сложным образом. Пусть заданы две матрицы А и В, причем число столбцов первой из них равно числу строк второй. Если
/ ^11&12• • ■&1氾、/ ^11瓦2…瓦卜、
厶_a21a22… a2n 3 _ 匕21匕22…b2k
\ Qml&m2• * •^mn /\ 匕nl^n2• ■ ■6几七 /
то произведением матриц А и В называется матрица
(Qi В …си、
С —С21С22с2k
\ Cml Cm2 …Cmk / элементы которой вычисляются по формуле
С订.~ &£1匕1/ + &2 匕 2j + •…+ ^in^nj〉 i — 1,. .. , 772, J ~ 1,.. . , k.
Произведение матриц А и В обозначается АВ, т.е. С = АВ. Оно, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей. Если АВ = ВА^ то матрицы А и В называются перестановочными.
В множестве квадратных матриц определена единичная матрица —квадратная матрица, все диагональные элементы которой — единицы, а остальные ——нули:
/1 0 ... 0\
口 0 1 О
Е = .
\0 0 1 /
Единичная матрица чаще всего обозначается буквой Е или 斗, где п ——порядок матрицы. Непосредственным вычислением легко проверить основное свойство единичной матрицы: АЕ = ЕА = А.
Скалярной матрицей называется диагональная матрица с одинаковыми числами на главной диагонали; единичная матрица ——частный случай скалярной матрицы.
Из приведенных ниже вычислений видно, что умножением на матрицы специального вида можно переставить в матрице столбцы или строки, вычислить сумму элементов любых строки или столбца, получить матрицу, равную каким-либо строке или столбцу матрицы, реализовать операцию умножения матрицы на число.
1 2 3
D ：= 4 5 6 7 8 9
Суммирование элементов по столбцам Выделение одного столбца
Выделение одной строкиС1 ：= (1 0 0 ) C1 D = [1 2 3]С2 ：= (0 1 0 ) С2 D = [4 5 б]Выделение одной строкиС1 ：= (1 0 0 ) C1 D = [1 2 3]С2 ：= (0 1 0 ) С2 D = [4 5 б]Crow ：= (1 1 1 )
Выделение одной строки
С1 ：= (1 0 0 ) C1 D = [1 2 3]
С2 ：= (0 1 0 ) С2 D = [4 5 б]
Выделение одной строки
С1 ：= (1 0 0 ) C1 D = [1 2 3]
С2 ：= (0 1 0 ) С2 D = [4 5 б]
Crow D = [ 12 15 18 ]
Суммирование элементов по строкам 16 '
Ccol ：= 1 D Ccol = 15
124
Умножение на единичную матрицу
10 0
12 3
12 3
Е ：=
0 1 0
Е D =
4 5 6
D Е =
4 5 6
0 0 1
7 8 9
7 8 9
Умножение на число, умножение на скалярную матрицу
2D =
2
8
1
4
10
4 16
6
12
18
Е2 ：=
2 0 0
0 2 0
Е2 D =
2
8
14
4
10
16
6
12
18
0 0
2
Перес
С12 ：=
гановка』 0 10 1 0 0
1вух строк Г 4 5 6
С12 D =123
[1
С23 ：= 0
0
0
J 1 С23 D
12 3 7 8 9
Переа
D С12
0 га
0 1
мовка』
2 1
5 4
8 7
7
&ух столбцов
3
6
9
В 9
[0
D С23 =
1 0
13 2
4 6 5
7 9 8
4 5 6
ЗАДАНИЕ 2.1
Умножая на матрицы специального вида, сформируйте матрицу-столбец и матрицу-строку, соответственно равные столбцу и строке матрицы А с заданными в условии номерами. Вычислите суммы элементов столбца и строки, номера которых указаны в задании. Переставьте указанные в задании строки и столбцы матрицы.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматического выполнения вычислений.
Определите и введите матрицу А.
Введите матрицу, умножение на которую выделяет столбец и строку матрицы с указанным номером. Выполните умножение.
Введите матрицу, умножение на которую суммирует элементы указанных столбца и строки. Выполните умножение.
Введите матрицу, умножение на которую переставляет указанные столбцы и строки. Выполните умножение.
Пример выполнения задания
Выше приведен пример выполнения задания для матрицы
Транспонирование. Вычисление обратной матрицы.
Ортогональные матрицы
Для прямоугольных матриц определена операция транспонирования. Рассмотрим произвольную прямоугольную матрицу А. Матрица, получающаяся из матрицы А заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к матрице А и обозначается 4丁：
'〃11〃12■ • •^1п \( 〃11〃21• • •^ml '
4 — a21 а22 …a2n - 012 а22 …am2
\1amiа?п2…^тп /\ ^ln.〃2n…^тп /
Квадратная матрица А называется обратимой^ если существует квадратная матрица X, удовлетворяющая соотношениям АХ = ХА = —Е. Матрица X называется обратной к матрице А и обозначается А? т.е. АА^1 =А^А = Е.
Квадратная матрица А, для которой 4丁 = А, называется симметричной. Элементы такой матрицы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны.
Квадратная матрица U, для которой U~i = UT^ называется ортогональной матрицей. Модуль определителя ортогональной матрицы равен единице; сумма квадратов элементов любого столбца ортогональной матрицы равна единице; сумма произведений элементов любого столбца ортогональной матрицы на соответствующие элементы другого столбца равна нулю*. Такими же свойствами обладают строки ортогональной матрицы.
Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий символьные вычисления с ортогональной матрицей, приведен ниже.
Ортогональная матрица
U cos( a) sin( а)
-sin(a) cos(a)
Определитель cos(a) sin(a),,
cos(a)2 + sin (a)2 -sin(a) cos(a)
Транспонирование
cos(a) sin(a)-sin(a) cos(a)cos(a) sin(a)-sin(a) cos(a)ТТcos(a) -sin(a) sin(a) cos( a)cos(a) -sin(a) sin(a) cos( a)
cos(a) sin(a)
-sin(a) cos(a)
cos(a) sin(a)
-sin(a) cos(a)
Т
Т
cos(a) -sin(a) sin(a) cos( a)
cos(a) -sin(a) sin(a) cos( a)
Обращение
cos(a)-(cos(a)2 + sin(a)bsin(a)(cos(a)2 + sin(a)2)cos(a)-(cos(a)2 + sin(a)bsin(a)(cos(a)2 + sin(a)2)-sin(a)(cos(a)2 + sin(a)2)cos(a)(cos(a)2 + sin(a)2)-sin(a)(cos(a)2 + sin(a)2)cos(a)(cos(a)2 + sin(a)2)
cos(a)-
(cos(a)2 + sin(a)bsin(a)(cos(a)2 + sin(a)2)
cos(a)-
(cos(a)2 + sin(a)bsin(a)(cos(a)2 + sin(a)2)
-sin(a)(cos(a)2 + sin(a)2)cos(a)(cos(a)2 + sin(a)2)
-sin(a)(cos(a)2 + sin(a)2)cos(a)(cos(a)2 + sin(a)2)
Повторное обращение
1 -1 (U'1)=1 -1 (U'1)=cos(a) sin(a)
1 -1 (U'1)=
1 -1 (U'1)=
-sin(a) cos(a)
У к аз а н иe. Для определения символьной матрицы введите с клавиатуры ее им% символьный знак равенства (нажмите на клавиатуре одновременно клавиши <Ctrl> и <=> — на экране будет отображен знак равенства), определите размеры матрицы и введите ее элементы. Ввести букву греческого алфавита можно, щелкнув по кнопке с нужной буквой в панели |貴61. Символьные операции с матрицами (транспонирование, вычисление определителя и обращение) выполняются через меню символьных операций Symbolics. Заключите символьную матрицу в выделяющую рамку (щелкните по любому элементу и нажимайте клавишу <Space> пока выделяющая рамка не охватит всю матрицу), затем выберите нужную операцию в пункте Matrix меню Symbolics. Чтобы упростить выражение для определителя матрицы U, заключите выражение в выделяющую рамку и выберите пункт Symplify в меню Symbolics. Для ввода Ат щелкните по кнопке транспонирования р1" |
в панели
ЗАДАНИЕ 2.2
Докажите, что матрица Н = Е — 2^^~ (0 —— вектор-столбец) — ортогональная матрица. Проверьте для нее свойства ортогональной матрицы. В качестве 0 возьмите первый столбец матрицы А из задания 2.1.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений.
Присвойте переменной ORIGIN значение, равное единице.
Введите матрицу-столбец V и единичную матрицу Е соответствующей размерности.
Вычислите матрицу Н.
Вычислите произведения НТН и ННТ.
Вычислите Н~1. Сравните Я-1 и Нт.
Покажите, что векторы-столбцы матрицы Н имеют единичную длину и попарно ортогональны. Убедитесь, что выполняется равенство |detH| = 1.
Пример выполнения задания
Фрагмент рабочего документа Mathcad с отчетом о выполнении задания 2.2 для вектора v = (1 0 1 1)丁 приведен ниже.
Е ：= ldendW(4)Е ：= ldendW(4)Вычисление матрицы НВычисление матрицы Н0.3330-0.667 -0.6670100-0.66700.333 -0.667-0,6670-0.667 0.3330.3330-0.667 -0.6670100-0.66700.333 -0.667-0,6670-0.667 0.333V V (|V 1)2V V (|V 1)20.3330-0.667 -0.6670100-0.66700.333 -0.667-0.6670-0.667 0.3330.3330-0.667 -0.6670100-0.66700.333 -0.667-0.6670-0.667 0.333
Е ：= ldendW(4)
Е ：= ldendW(4)
Вычисление матрицы Н
Вычисление матрицы Н
0.333
0
-0.667 -0.667
0
1
00
-0.667
0
0.333 -0.667
-0,667
0
-0.667 0.333
0.333
0
-0.667 -0.667
0
1
00
-0.667
0
0.333 -0.667
-0,667
0
-0.667 0.333
V V (|V 1)2
V V (|V 1)2
0.333
0
-0.667 -0.667
0
1
00
-0.667
0
0.333 -0.667
-0.667
0
-0.667 0.333
0.333
0
-0.667 -0.667
0
1
00
-0.667
0
0.333 -0.667
-0.667
0
-0.667 0.333
Доказательство ортогональности матрицы Н
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1
Вычисление обратной матрицы
■ 0.333 0 -0.667 -0.667
0 0 0 0
01 00
d т
0 0 0 0
Н'1 - н =
-0.667 0 0.333 -0.667
0 0 0 0
-0.667 0 -0.667 0.333
0 0 0 0
Проверка свойств ортогональной матрицы
ORIGIN 二 1Н<1> Н<1> =1ORIGIN 二 1Н<1> Н<1> =1Н“> н"> = 1Н<3> Н<3> =1Н“> н"> = 1Н<3> Н<3> =1н<1> н<2> = о=о =он<1> н<2> = о=о =оН〈1> н〈з>н〈1>н<4>Н〈1> н〈з>н〈1>н<4>Н〈2> н<3> =0Н〈2>Н〈4> = 0н<3> н<4> = оН〈2> н<3> =0Н〈2>Н〈4> = 0н<3> н<4> = о
ORIGIN 二 1
Н<1> Н<1> =1
ORIGIN 二 1
Н<1> Н<1> =1
Н“> н"> = 1
Н<3> Н<3> =1
Н“> н"> = 1
Н<3> Н<3> =1
н<1> н<2> = о
=о =о
н<1> н<2> = о
=о =о
Н〈1> н〈з>
н〈1>н<4>
Н〈1> н〈з>
н〈1>н<4>
Н〈2> н<3> =0
Н〈2>Н〈4> = 0
н<3> н<4> = о
Н〈2> н<3> =0
Н〈2>Н〈4> = 0
н<3> н<4> = о
Н〈4> н〈4> =1
Указание. Для того чтобы вычислить сумму квадратов элементов одного столбца или сумму произведений соответственных элементов двух столбцов, перемножьте столбцы матрицы скалярно — щелкните по кнопке |而 | в панели |囲| и введите в помеченных позициях имена сомножителей. Для определения столбца матрицы нажмите на клавиатуре клавиши <Ctrl>+<6> и введите в помеченной позиции номер столбца. Символом |Н| в рабочем документе Mathcad обозначен определитель матрицы Н.
Вычисление степени матрицы.
Некоторые специальные матрицы
Для квадратных матриц определена операция возведения в целую неотрицательную степень:
4。=旦 4】=А, А2 = АА,…，>Г =
Матрица Р называется идемпотентной^ если Р2 = Р.
Матрица I называется инволютивной^ если /2 = Е.
ЗАДАНИЕ 2.3
Докажите, что матрица Р идемпотентна. Вычислите ее определитель*. Покажите, что матрица I = 2Р — Е инволютивна. Вычислите ее определитель и обратную матрицу.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений.
Введите матрицу Р.
Вычислите Р2 и Р2 — Р.
Вычислите detP и Р-1.
Введите единичную матрицу Е той же размерности, что и матрица Р.
Об определителях матрицы см. разд. 2.3.
Вычислите матрицу I = 2Р — Е.
Вычислите матрицу Z2.
Вычислите det / и /一丄
Пример выполнения задания
Докажите, что матрица
/-26
—18
-27
р= I
21
15
21
\ 12
8
13
идемпотентна. Вычислите ее определитель. Покажите, что матрица I = 2尸—Е инволютивна. Вычислите ее определитель и обратную матрицу.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями.
-26 -18 -27
Р ：= 21 15 21
12813
Матрица Р идемпотентна
ОООООООООООООООООО-26 -18 -27 1
ООО
ООО
ООО
ООО
ООО
ООО
Р2 = 21 15 21 Р2 - Р =
12 8 13
-18158-18158-272113-272113-14 = -4.263*10-14 = -4.263*10Р'1 не существуетР'1 не существуетЕ ； identity⑶ Е =Е ； identity⑶ Е =1 0 00 1 0 0 0 11 0 00 1 0 0 0 1Матрица I инволютивна-53 -36 -54I = 42 29 4224 16 25Матрица I инволютивна-53 -36 -54I = 42 29 4224 16 25I =2 Р - ЕI =2 Р - Е100I2 =010001100I2 =010001
-18
15
8
-18
15
8
-27
21
13
-27
21
13
-14 = -4.263*10
-14 = -4.263*10
Р'1 не существует
Р'1 не существует
Е ； identity⑶ Е =
Е ； identity⑶ Е =
1 0 0
0 1 0 0 0 1
1 0 0
0 1 0 0 0 1
Матрица I инволютивна
-53 -36 -54
I = 42 29 42
24 16 25
Матрица I инволютивна
-53 -36 -54
I = 42 29 42
24 16 25
I =2 Р - Е
I =2 Р - Е
100
I2 =010
001
100
I2 =010
001
Вычисление определителя и обратной матрицы для I
-53
-36
-54
-53 -36 -54
42
29
42= -1 Г1 =
42 29 42
24
16
25 ]|
24 16 25
Указание. Для того чтобы вычислить Р2, нажмите на клавиатуре клавиши <Р><^><2>, Матрица Р не имеет обратной, потому что вычисленное значение определителя матрицы Р с точностью до погрешностей округления равно нулю. В разд. 2.4 показано, что матрицы с нулевым определителем не имеют обратных.
2.3
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА
Вычисление определителей
Пусть А ——квадратная матрица порядка п, п > 1:
4 __a21а22…a2九
\ ^nl ^п2…^nn /
Определителем квадратной матрицы А порядка n, n > 1, называется число
det А =
a11a12…aln
a21a22…a2n
=w%(-1尸+1以?> 六1
0nl 〃n2* • ■ ^nn
где М?> определитель квадратной матрицы порядка п — 1, полученной из матрицы А вычеркиванием первой строки и j-ro столбца.
Из приведенного определения легко получить простое выражение определителя квадратной матрицы второго порядка через элементы матрицы*:
detdet1&211&21&12&22&12&22&11&21&11&21&12&22&12&22=011^22 - 021al2,=011^22 - 021al2,
det
det
1&21
1&21
&12
&22
&12
&22
&11
&21
&11
&21
&12
&22
&12
&22
=011^22 - 021al2,
=011^22 - 021al2,
поскольку ТИ：〉= &22, А/产〉=&21・
"Полагаем, что матрицей порядка п — 1 является число и определитель такой матрицы равняется этому числу.
Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий вычисления определителя квадратной матрицы второго порядка (символьное и численное), приведен ниже.
Символьное вычисление определителя матрицы второго порядка
1 2 ->-23 41 2 ->-23 4Э11 12
1 2 ->-2
3 4
1 2 ->-2
3 4
f 小 1”22 " а12 а21 Числовой пример:
®21 ®22 I I
Формулу det А = £ ay^—Y)^1 М^3> называют формулой вычисле- 7=1
ния определителя разложением по первой строке. Число (―1戸+1"：‘>
называется гшгебраическйм дополнением элемента aij.
Пусть М?> — определитель квадратной матрицы порядка п — 1, полученной из матрицы 4 вычеркиванием г-й строки и j-ro столбца; число (—l)"‘Af『‘> называется гшгебраическим дополнением элемента а^ матрицы А. Справедливо следующее утверждение.
Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их гшгебраические дополнения, т.е. для произвольной квадратной матрицы порядка п для всех £, 1 < г < п,
и для всех j, 1 < j < п, справедливы формулы:
йп@12•••*
det/=021022°2n=
ап1а九2…апп
п71
=e耿(-1严"严>=£%(-1严
Приведенные формулы называют формулами вычисления определителя разложением по г-й строке и разложением по j-му столбцу соответственно.
Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий вычисление определителя четвертого порядка разложением по первой строке, приведен ниже.
ORIGIN ； 1
1 -2 3 О
2 3 0 1
А ；
-7 5 6 7
М11 ：= submat「ix(A,2,4,2,4)
М12 ：= augment(submatrix(A>2?4> 1,1)>8иЬтаи!х(А?2л4,3?4))
М13 ：= augment(submatrix(A,2,4,1.2),submatrix(A?2?4,4?4))
М14 :=
(submatrix (А,2,4,1,3))
301][201 ][231
М11 二
5 6 7М12 =-7 6 7М13 =-7 5 7
10 12 13[ 3 12 13 J[ 3 10 13
2 3 0
М14 =
-7 5 6
3 10 12
detA ：=
1 I М11 I - (-2)1 M12 | + 3 | M13 I detA = 477| A | = 477
Указание. Для того чтобы столбцы и строки матрицы нумеровались, начиная с единицы, присвойте переменной ORIGIN значение； равное единице. Затем определите и введите матрицу А. Для определения блоков Mil, М12, М13, М14, полученных вычеркиванием 1-й строки из матрицы А и соответственно 1-, 2-, 3-и 4-го столбцов, используйте функции submatrix и augment. Функция submatrix(A, 2,4, 2, 4) формирует матрицу третьего порядка МП, содержгццую элементы 2-4-й строк 24-го столбцов матрицы А, т.е. матрицу, полученную вычеркивёкнием 1-й строки и 1-го столбца; функция augment(submatrix(A,2,4,1,1), submatrix(A,2,4,3,4)) формирует матрицу третьего порядка М12 ——матрицу, полученную вычеркиванием 1-й строки и 2-го столбца： к блоку, содержащему элементы 2-4-й строк 1-го столбца матрицы А, дописываем справа элементы 2-4-й строк 3-го и 4-го столбцов матрицы А. Аналогично сформируйте блоки М13 и М14. Когда все нужные матрицы третьего порядка сформированы и выведены на экран, вычислите определитель разложением по 1-й строке. Введите с клавиатуры имя detA, знак присваивания и выражение detA = 1 ■ detMll — (—2) • М12 + 3 • М13 — detM14. Выведите на экран вычисленное значение определителя. Затем вычислите определитель матрицы； используя панель матричных операций, и сравните полученные результаты.
ЗАДАНИЕ 2.4 Вычислите разложением по указанной строке (столбцу) определитель матрицы '&11012…flin、
4=@21 @22 …^2n
\ a7ll @712…@7171 /
Выполните вычисления для матрицы Н, построенной в задании 2.2, разложением по 2-й строке (варианты 1-10), по 2-му столбцу (варианты 11-20).
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений.
Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1.
Введите матрицу.
Запишите в тетради выражение для вычисления определителя матрицы разложением по указанной в задании строке (столб-
■цу)-
Сформируйте матрицы, полученные вычеркиванием соответствующих строк и столбцов заданной матрицы, и выведите их на экран.
Введите выражение для вычисления определителя, вычислите и выведите на экран его значение.
Вычислите определитель матрицы, используя функцию Mathcad. Сравните результаты.
Пример
выполнения задания
Выше приведен пример вычисления определителя матрицы А, где
-230\30156710 12 13 /-230\30156710 12 13 /
-230\
301
567
10 12 13 /
-230\
301
567
10 12 13 /
Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера
При решении задач линейной алгебры необходимость вычислять определитель возникает достаточно часто. Наиболее распространенные приложения определителя ——исследование и решение линейных систем. Исследованию линейных систем посвящен специальный раздел. Здесь рассмотрим решение линейных систем по формулам Крамера. Пусть
^11*^1 + &12®2 + * …+ ^In^n =玩,^21^1 + a22齿2 + -• + @2n^n =
、CJ^iXi + @712^2 + …* + Rnn^Ti =匕几
система 几 линейных алгебраических уравнений относительно 几 неизвестныхеm・ Матрица
/ an ai2 - • •〃1几 '
A =&21&22• ■ •&2n
"几2… Gnn /
называется матрицей системы^ а вектор-столбец b =(历 匕2 • ■-匕几)' столбцом правых частей системы. Рассмотренная система линейных алгебраических уравнений может быть записана в матричной форме в виде Ах — Ь, где ж ——вектор-столбец неизвестных, х = (х\ х? • • ■ хп)Т.
Справедливо следующее утверждение. Если определитель △ = det А матрицы системы Ах = b отличен от нуля, то система имеет единственное решение 任1： х^ • • •, £九,определяемое формулами Крамера Xi = где Дг ——определитель матрицы n-го порядка, полученной из матрицы системы заменой г-го столбца столбцом правых частей.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий решение линейной системы
Xi + 2/2 + зе3 + 4/4 = 30,
—£1 + 2数 + Зхз + 4^4 = 10,一/2 -任3 + £4 = 3,
3 + ②2 + 化3 + ②4 = 10.
A : 1 A | A = -4A : 1 A | A = -4отличен от нуля,отличен от нуля,ORIGIN 二 1
A : 1 A | A = -4
A : 1 A | A = -4
отличен от нуля,
отличен от нуля,
Определитель
система имеет единственное решение
30
2 3
4
1
30 3
4
10
2 -3
4
A2 二
-1
10 -3
4
3
1 -1
1
0
3 -1
1
10
1 1
1
А1 =-4
1
10 1
1
А1 ：=
А2 =-в
АЗ ：=АЗ ：=
АЗ ：=
АЗ ：=
А1
Указание. Для вычисления определителей Al, А2, АЗ, А4 проще всего скопировать матрицу А в буфер обмена, затем щелкнуть по кнопке |"矶 в панели I丽I, вставить в помеченной позиции матрицу из буфера обмена (<CtrI>+<C> или пункт Insert меню Edit) и затем заменить элементы соответствующего столбца элементами столбца правых частей.
ЗАДАНИЕ 2.5
Исследуйте и, если решение существует, найдите по формулам Крамера решение системы
^11*^1 十 @12^2 十…* 十 ^ln*^n ~ Ь]_,a21^1十a22 土2 + 。…+a2几土几—历,
@711 土 1 十 a?12 土2 + •…+ ^7171 *^П ~ ^71 ■
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматического выполнения вычислений и режим отображения результатов вычислений по горизонтали.
Присвойте переменной ORIGIN значение, равное единице.
Введите матрицу системы и столбец правых частей.
Вычислите определитель матрицы системы. Система имеет единственное решение, если определитель отличен от нуля.
Вычислите определители матриц, полученных заменой соответствующего столбца столбцом правых частей.
Найдите решение системы по формулам Крамера.
Пример выполнения задания Выше приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий решение системы
Х1 + 2^2 + Зхз + 4^4 = 30,
-Х1 + 2x2 + Зхз + 4窃=10,
-Х2 -禽 + £4 = 3,
Х1 + £2 + £3 + £4 = 10.
2.4
СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Матричная форма записи линейных систем.
Решение матричных уравнений
Рассмотрим систему п линейных алгебраических уравнений относительно п неизвестных xi, Х2, ..., хп:
{
^11*^1 +。12*2 + • • • + ^ln*^n =瓦， @21々1 + @22^2 + …+ d2n^n = b?,
^nl^-1 + %2々2 + …+ ^nn^n = Ъп.
Эта система в "свернутом" виде может быть записана в виде
〉：a£j£j =瓦, 2 = 1, 2,…,n.
В соответствии с правилом умножения матриц (см. разд. 2.2) рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричном виде Ах = Ь, где
/@11 句2 • • •句几、/*1、/ 瓦 '
4 _ @21 @22 … a2n勺 _ 々2 b _ 》
\ ^nl @n2 … ^nn /\ ^n /\ Ьп /
Матрица А, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками — коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении, называется матрицей системы] матрица-столбец Ь, элементами которой являются правые части урав-
нений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы. Матрица-столбец х, элементы которой ——искомые неизвестные, называется решением системы.
Таким образом, система линейных алгебраических уравнений может быть записана в матричном виде ——в виде простейшего матричного уравнения Ах = Ь.
Если матрица системы невырождена, то у нее существует обратная матрица и тогда решение системы легко получить, умножив обе части уравнения Ах = b слева на матрицу А-1: А~1(Ах) = А~гЬу а поскольку А~^А = Е и Ех = х, то х = А~^Ь.
Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий решение системы трех линейных^уравнений относительно трех неизвестных, приведен ниже.
1
х = (solve(А, Ь) х = О
2
Указание. В приведенном документе для сравнения найдено решение системы с использованием функции решения систем линейных алгебраических уравнений lsolve(A, b) (см. разд. 2.1).
ЗАДАНИЕ 2.6
Решите как матричное уравнение Ах = b систему линейных алгебраических уравнений из задания 2.5.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений.
Введите матрицу системы и матрицу-столбец правых частей.
Вычислите решение системы по формуле с ~ А~УЬ.
Проверьте правильность решения умножением матрицы системы на вектор-столбец решения.
Найдите решение системы с помощью функции IsoIve и сравните результы вычислений.
Пример выполнения задания
Выше приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий решение системы
{
с + 2у + 3z = 7,
с — Зу + 2z = 5,X + у + 2=3.
Решение линейной системы методом Гаусса
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений можно разделить на точные и приближенные.
Метод решения задачи относят к классу точных, если в предположении отсутствия округлений с его помощью можно найти решение в результате конечного числа арифметических и логических операций.
В разд. 2.3 рассмотрен точный метод решения линейной системы — решение системы по формулам Крамера.
Метод Гаусса ——точный метод решения невырожденной системы линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса^ его еще называют методом гауссовых исключений^ состоит в том, что систему п линейных алгебраических уравнений относительно п неизвестных xi,
{
011^1 + a12c2 + …• + a1几h几-瓦, a21cl + a22c2 + …+ Cb2nxn =匕2〉
*^nl^l + ^п2^2 + ♦…+ Onn^n ~ 匕几
приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей
{
С] + С]2c2 + …• + ClnCyi = d], e2 +-. +С2几h71 = ^2,
решение которой находят по рекуррентным формулам
^п = 4,^п = 4,£, = dj^ik^k,2 =九 1,九 2 ? • • •)1 •
^п = 4,
^п = 4,
/с=г+1
В матричной записи это означает, что сначала (прямой ход метода Гаусса) элементарными операциями* над строками приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:
(ац
^12 、
• a1Tl
/1
C12 •
■ Qn
击\
4P =
^21
a22 •
• а2n
^2
0
1 .
• c2n
d2
、ап1
^п2•
• ^nn
ьП丿
〔0
0 .
• 1
dn丿
а затем (обратный ход метода Гаусса) эту ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых п столбцах получилась единичная матрица:
，1 0 …0 £］、О 1 …0 £2
\0 0 …1 хп /
Последний, (п+1)-й столбец этой матрицы содержит решение системы.
В Mathcad прямой и обратный ходы метода Гаусса выполняет функция rref(A).
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий решение методом Гаусса системы трех линейных уравнений относительно трех неизвестных.
7Ь:= 537Ь:= 531 2 3
7
Ь:= 5
3
7
Ь:= 5
3
А ：= 1 -3 2
1 1 1
12 3 71-325111312 3 71-3251113ORIGIN ：= 1
12 3 7
1-325
1113
12 3 7
1-325
1113
Аг ：= augment(A, b) Аг =
Ag = rref( Аг)Ag = rref( Аг)10 0 1Ад = 0 10 0 0 0 1210 0 1Ад = 0 10 0 0 0 12х ：= submatrix(Ag, 1.3ЛЛ)х ：= submatrix(Ag, 1.3ЛЛ)1 0 21 0 2О
Ag = rref( Аг)
Ag = rref( Аг)
10 0 1
Ад = 0 10 0 0 0 12
10 0 1
Ад = 0 10 0 0 0 12
х ：= submatrix(Ag, 1.3ЛЛ)
х ：= submatrix(Ag, 1.3ЛЛ)
1 0 2
1 0 2
Ах -b = О
О
Указание. Для того чтобы сформировать расширенную матрицу системы, используйте функцию augment(A, b), которая формирует матрицу, добавляя к столбцам матрицы системы А справа столбец ^равых частей b (в приведенном документе расширенной матрице системы присвоено имя Аг). Функция rref(Ar) выполняет элементарные операции со строками расширенной матрицы системы Аг — приводит ее к ступенчатому виду с единичной матрицей в первых столбцах, т.е. выполняет прямой и обратный ходы гауссова исключения, Ag ——имя результата (ступенчатой формы матрицы Аг). Функция submatrix(Ag, 1,3,4,4), выделяя последний столбец матрицы Ag, формирует столбец решения системы. Проверка (вычисление Ах — Ь) позволяет убедиться в правильности решения.
ЗАДАНИЕ 2.7 Найдите методом Гаусса решение системы линейных алгебраических уравнений
ацХ1 + 012^2 + …+ Gln^n =瓦〉
021^1 + a22，2 + …+ O2n^n =b2,
、anl^l + an2^2 + …+ Gnn^n = bn
из задания 2.5.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений.
Присвойте переменной ORIGIN значение, равное единице.
Введите матрицу системы и матрицу-столбец правых частей.
Сформируйте расширенную матрицу системы.
Приведите расширенную матрицу системы к ступенчатому виду.
Сформируйте столбец решения системы.
Проверьте правильность решения умножением матрицы системы на вектор-столбец решения.
Пример выполнения задания
Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий пример решения системы третьего порядка, приведен выше.
Решение системы линейных алгебраических уравнений методом простых итераций
Точные методы решения линейных систем применяют для решения линейных систем относительно небольшой размерности (до 103). Для решения систем большей размерности (103-106) используют итерационные методы. Итерационные методы хороши для систем с разреженными матрицами. Рассмотрим простейший итерационный метод решения линейной системы ——метод простых итераций.
Метод состоит в том, что система уравнений Сх = d преобразуется к виду z = b + Ах и ее решение вычисляется как предел последовательности
= b + Ах^~^\ А; = 1,.2,...
Преобразовать систему Сх = d к виду z = Ь + Ах можно, выделив диагональные элементы:
Q —(& -〉： CjjHj ),Q —(& -〉： CjjHj ),2 -—~ 1, 2, ... , 72.2 -—~ 1, 2, ... , 72.
Q —(& -〉： CjjHj ),
Q —(& -〉： CjjHj ),
2 -—~ 1, 2, ... , 72.
2 -—~ 1, 2, ... , 72.
Для того чтобы сформулировать достаточное условие сходимости метода, напомним определения норм, наиболее часто употребляемых при исследовании линейных систем. Понятие нормы позволяет оценить степень близости двух векторов. В частности, если норма разности точного и приближенного решений системы мала, то, по-видимому, приближенное решение хорошо аппроксимирует точное решение.
Существует много способов введения нормы вектора. Чаще всего используются следующие три нормы:
I岡 11 = e1*；I 岡 |2 = 、e岡2； I 罔 li = m河01,
Внешне столь различные, эти нормы эквивалентны: когда некоторая последовательность векторов по одной из этих норм стремится к нулю, то она стремится к нулю и по другой норме.
Если для векторов х = (с】,Z2, хп) введена норма ||х||, то согласованной с ней нормой матриц называют величину
Так, в случае нормы Цх^ согласованная норма матрицы равна ЦА^ = п
=max ^2 \aij\i а в случае нормы 口⑦必 согласованная норма матрицы 'п
равна ||力|卜 =шах £ |。订 |. Обе этих нормы легко вычислить.
Сложнее дело обстоит с вычислением нормы ||Л||2, согласованной с нормой векторов ||х||2. Точная формула для нее имеет вид ||Л||2 = =，大тах(ААТ), где 大max(力力Т) — максимальное собственное значение матрицы ААТ.
Вычисление нормы ||Л||2 трудоемкая задача. Однако, поскольку / п п справедливо неравенство ||Л||2 < ||А||е, где норма ||А||е =《/£ £ \aij\2
вычисляется просто, в оценках вместо ||А||2 можно использовать || А||е. Норму ||А||е называют евклидовой нормой матрицы.
Для сходимости метода простых итераций х^ = Ь + Ах^к~^ достаточно, чтобы выполнялось условие ||А|| < 1 по какой-либо норме матрицы, согласованной с нормой векторов. В качестве условия окончания итерационного процесса можно взять условие
叫々
假叫 一
где £ ——заданная погрешность приближенного решения х а х^
ЗАДАНИЕ 2.8
Найдите методом простых итераций приближенное решение линейной системы
^11^-1 + ^12^2 + …• + ^In^n =瓦,a21£1 + a22数 + …+ a2rLXr = 62?
^nl^-l + ^n2^2 + …• + ^nn^n ~ ^n •
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений.
Преобразуйте исходную систему Сх = d к виду в = Ь + Ах.
Введите матрицы А и Ь.
Проверьте достаточное условие сходимости.
Определите нулевое (начальное) приближение решения.
Задайте количество итераций.
Введите формулу вычисления последовательных приближений решения и вычислите их.
Выведите на экран матрицу приближенных решений.
Вычислите погрешность найденного приближения.
Пример выполнения задания
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий решение методом простых итераций линейной системы
TOOci + 6x2 — 2七3 = 200,< 6xi + 2002 — Юхз = 600,
、 七1 + 2x2 — ЮОхз = 500.
Преобразованная система имеет вид:
'七1 = 2 — 0.06^2 + 0・02g,《с? = 3 — 0.03xi + 0.05хз,
хз = 5 — O.Olxi — 0.02x2-
2
3
А :=
0
-олз
-0.06 0
0.02
0Л5
5
-0Л1
-0.02
0
norm1(A) = 0Л8 norm2(A) = 0.070975 norme(A) = 0.088882 normi(A) = 0Л8 x<0> ：= b k ：= 1.. 10 x<k>：=b + i
X =
6
7
8
9
0
1.907024
1.907024
1.907024
1.907024
1
3.188647
3.188647
3.188647
3.188647
2
4.917157
4.917157
4.917157
4.917157
<1O><9> I
…!£ = 8.662467 <10
X«>
Указание. Для проверки выполнения достаточного условия сходимости метода можно ограничиться любой из описанных выше норм. Здесь для примера вычислены нормы матрицы всеми имеющимися в Mathcad встроенными функциями. Для реализации итерационных вычислений с векторами в Mathcad удобно использовать описание вектора-столбца прямоугольной матрицы. В качестве нулевого приближения здесь выбран вектор правых частей преобразованной системы.
Затем вычислены десять приближений решения, которые сохраняются в матрице х так, что fc-e приближение хранится в ее км столбце x<k>. Для того чтобы вывести на экран все найденные приближения, введите с клавиатуры имя матрицы решений х и знак равенства. При выводе на экран больших матриц в рабочем документе открывается окно с полосами прокрутки. Чтобы вычислить норму вектора для оценки погрешности, щелкните по кнопке | 岡 | в панели матричных инструментов и введите в помеченной позиции имя вектора (в оценке погрешности использована норма ||х||е).
Приведенные в документе вычисления реализованы с помощью встроенных функций пакета. Если использовать возможности программирования в Mathcad, то можно организовать процесс вычисления последовательных приближений так, чтобы вычисления автоматически заканчивались при выполнении условия окончания вычислений с заданным значением погрешности е.
2.5
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений относительно п неизвестных xi, £2，- хп:
Дцx1 + a12£2 + …+ CLln^n =历，a21£1 + a22£2 + …+ fl2n^n = b2,
、^ml^l + am2±2 + •…+ ^mn^n ~ bm・
Решением системы называется совокупность п значений неизвестных
£1=£],£2 =城,…,£n = £：,
при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.
Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной^ система, не имеющая ни одного решения,——несовместной.
Система линейных уравнений может быть записана в матричном виде: Ах = Ь, где А — матрица системы, b — правая часть, х — искомое решение, Ар — расширенная матрица системы:
'&11 &12 …а1п 瓦 \&21 a22 …а2н %
Однородные системы линейных алгебраических уравнений
Однородной системой линейных уравнений называется система, правая часть которой равна нулю:
{
a112].+a1222 ++ ainCri = °)
a2121 + a2222 + …. + ^2n^n = 0,
^ml^l + *^m2^2 + •…+ ^mn-^n = °*
Однородная система всегда совместна, поскольку имеет по крайней мере одно решение: xi — 0, я；2 — 0, ..., хп = 0.
Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение ——нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди них есть ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной. Доказано, что при т = п для нетривиальной совместности системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю.
Применив к матрице системы алгоритм гауссовых исключений, описанный в предыдущем разделе, приведем матрицу системы к ступенчатому виду
(1 С]2 ■ • • Sr .. . С]几 '
01•• •С2「.-•已2几
00*••1.> > Суд
0000
\0 000 /
Число г ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы называется рангом матрицы^ обозначаем г = rg(X) или г = Rg(X).
Справедливо следующее утверждение. Для того чтобы однородная система была нетривиально совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг г матрицы системы был меньше числа неизвестных п.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с исследованием на совместность однородной системы
2xi + х2 + 4х3 + Зз；4 = 0, Зз；1 — 42 + 7з；з + 5^4 = 0, 4xi — 9土 2 + 8g + 5з；4 — 0, —Зз；1 + 2*2 — 5鄧 + Зз；4 = 0.
В Mathcad ранг rank(A).В Mathcad ранг rank(A).матрицы можно вычислить с помощью функции
В Mathcad ранг rank(A).
В Mathcad ранг rank(A).
2 14 3
A 二A 二3-475
A 二
A 二
4-985
-32-53
I А I = 136 гапк(А) = 4I А I = 136 гапк(А) = 4Система тривиально совместна, имеет только нулевое решение
I А I = 136 гапк(А) = 4
I А I = 136 гапк(А) = 4
Указание. Вставьте в рабочий документ через меню имя функции: щелкните по свободному месту в рабочем документе, затем — по строке Function в меню Insert, выберите в списке функции имя rank и введите с клавиатуры в помеченной позиции имя матрицы А*.
Если однородная система нетривиально совместна, то она имеет бесконечное множество решений, причем линейная комбинация любых решений системы тоже является ее решением. Доказано, что среди бесконечного множества решений однородной системы можно выделить ровно п — г линейно независимых решений. Совокупность п~г линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений; любое решение системы линейно выражается через фундаментальную систему. Таким образом, если ранг г матрицы 4 однородной линейной системы Ах = 0 меньше числа неизвестных п и векторы б, % …，en_r образуют ее фундаментальную систему решений (Aei = 0, £ = 1, 2,.…，гг — т), то любое решение х системы Ах = О можно записать в виде
G — С1С1 + С2в2 + …+ Сп^еп-г,
где ci, С2, ..■, Сп-г ——произвольные постоянные.
9292
92
92
Выражение
•c = 5ё1 + С2e2 + " - 。 + ^п—т^и—т называется общим решением однородной системы.
Исследовать однородную систему ——это значит установить, является ли она нетривиально совместной, и если является, то найти фундаментальную систему решений и записать выражение для общего решения системы.
Исследуем однородную систему методом Гаусса.
Пусть
'@11@12…@1п \
/ _ 敗1 a22…%—
\ @ml am2 …Qmn /матрица исследуемой однородной системы, ранг которой г <п.
/10 ..0с1,г+1•• Cln'01 ..0С2,г+1 ••С2Tl00 ..1备,r+1••今7100 ..00 ..0<00 ..00 .0 //10 ..0с1,г+1•• Cln'01 ..0С2,г+1 ••С2Tl00 ..1备,r+1••今7100 ..00 ..0<00 ..00 .0 /Такая матрица гауссовыми исключениями приводится к ступенчатому виду
/1
0 .
.0
с1,г+1•
• Cln'
0
1 .
.0
С2,г+1 •
•С2Tl
0
0 .
.1
备,r+1•
•今71
0
0 .
.0
0 .
.0
<0
0 .
.0
0 .
0 /
/1
0 .
.0
с1,г+1•
• Cln'
0
1 .
.0
С2,г+1 •
•С2Tl
0
0 .
.1
备,r+1•
•今71
0
0 .
.0
0 .
.0
<0
0 .
.0
0 .
0 /
Соответствующая эквивалентная система имеет вид
£1 + ^Ijr+l^r + l + * 七2 + C2,r+l^r+l + •
• + cln^n =。, • + C2n^n = 0,
、% + 5r+1七丁+1 + .
• + Crn^n = 0.
Отсюда легко получить выражения для переменных xi,窃，• •■)хг через £「+1, хг+2, ..., хп. Переменные xi, Х2, • • •, хт называют базисными переменным^ а переменные xr+i,企丁+2, • •, хп —— свободными переменными, .
Перенеся свободные переменные в правую часть, получим формулы
£1 = 一С1,r+]£丁+1 一.一—Cln^n，
①2 =一С2#+1£r+1 —一. - с2п^и4
^r = —^r,r+l^r+l —…♦ — Crn^n, которые определяют общее решение системы.
Положим последовательно значения свободных переменных равными
4+1 = 1,
£?+2 = 0,
£?+з ~ 0,• •
• I£ц = 0,
£?+1 = 0)
4+2 = 1,
4+3 = 0,・•
• 5£?1 = 0,
4+1 = 0,
4+2 = 0,
н?+з = 0,• •
・，①л = 1
и вычислим соответствующие значения базисных переменных. Полученные п —г решений линейно независимы и, следовательно, образуют фундаментальную систему решений исследуемой однородной системы:
(-Jr+l'
、Q,r+2'
-С2,г+1
一從"2
~C2,n-l
— 5,71
—Сг,г+1
一%?+2
— cr}n-1
^^ГуП
1
，е2 =
0
,…,еп—г—1 =
0
,^n—г =
0
0
1
0
0
0
0
1
0
卜0丿
1 。丿
I 0丿
\ 1/
ЗАДАНИЕ 2.9
Исследуйте однородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = 0.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений.
Введите матрицу системы.
Вычислите ранг матрицы системы.
Приведите матрицу системы к ступенчатому виду.
Определите базисные и свободные переменные.
Запишите полученную эквивалентную систему.
Используя символьные вычисления, решите полученную систему относительно базовых переменных.
Запишите общее решение системы.
Найдите фундаментальную систему решений.
Пример выполнения задания
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий исследование однородной системы
'3 +4з?2+ 2нз +Зз；5=0,
221 +922+ 5支3 + 224 + 25=0,
zi +3h2+ g 一 2h4 — 9^5=0,
—3xi + 12隼2+ баз — 8x5=0,
、2工1+ 1022 + ба3 + 4x4 + 7g = 0.
1 4 2 0 -3
2 9 5 2 1
A= 1 3 1 -2 -9
3 12 6 0 -8
2 10 6 4 7
rank(A) = 3 Система нетривиально совместна.
Приведем матрицу системы к ступенчатому виду:
10-2-00
0 112 0
Ад 二 rref( А) Ад 飞 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Свободные переменные хЗ, х% базисные переменные х1, х2, х5, Запишем и решим эквивалентную систему:
Given х1 - 2 хЗ - 8 х4=0 х2 + хЗ + 2 х4«0 х5=0Given х1 - 2 хЗ - 8 х4=0 х2 + хЗ + 2 х4«0 х5=02 хЗ + 8 х4 Find(x1,х2,х5) f -хЗ - 2 х4 х52 хЗ + 8 х4 Find(x1,х2,х5) f -хЗ - 2 х4 х5
Given х1 - 2 хЗ - 8 х4=0 х2 + хЗ + 2 х4«0 х5=0
Given х1 - 2 хЗ - 8 х4=0 х2 + хЗ + 2 х4«0 х5=0
2 хЗ + 8 х4 Find(x1,х2,х5) f -хЗ - 2 х4 х5
2 хЗ + 8 х4 Find(x1,х2,х5) f -хЗ - 2 х4 х5
Запишем общее решение системы:
2 хЗ + 8 х4
-хЗ - 2 х4
Х(хЗ, х4) ：= хЗ
х4
Найдем фундаментальную систему решений:
Х(ГО)=Х(ГО)=8
Х(ГО)=
Х(ГО)=
-2
Х(0,1) = О1
О
Указание. Для того чтобы символьно решить систему относительно базисных переменных, используйте функцию Find. Введите с клавиатуры ключевое слово Given, затем — уравнения системы: сначала левую часть уравнения, далее символьный знак равенства (<Ctrl>+<=>) и нулевую правую часть. Разрешите систему относительно базисных переменных xl, х2, хЗ: введите функцию Find(xl,х2,хЗ), знак символьных вычислений (<Ctrl>+<.>) и щелкните по свободному месту в рабочем документе. Общее решение системы определите как вектор-функцию； зависящую от свободных переменных х4, х5. Для этого введите с клавиатуры имя вектор-функции Х(х4, х5), знак присваивания, определите матрицу из пяти строк и одного столбца, скопируйте в первые три строки выражения для базисных переменных xl, х2, хЗ, вычисленных функцией Find(xl, х2, хЗ), и введите с клавиатуры в последних двух строках имена свободных переменных х4, х5. Определенное таким способом выражение можно использовать для вычисления любого частного решения. Так, векторы Х(1,0) и Х(0,1) — решения, полученные при х4~1, х5=0 и при х4=0, х5=1 соответственно. Эти два решения линейно независимы, они образуют искомую фундаментальную систему решений.
Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений
Рассмотрим неоднородную систему m линейных алгебраических уравнений относительно п неизвестных Xi, •.., хп:
(
йц^1 + ^12^2 + …+ flln^n = bl, a216 +a22政 + …+^2n^n = 62,1I^1I # 0
、^ml^l + ^m2*^2 + ….+ ^mn^n = °m,
В отличие от однородной системы эта система совместна не всегда. Справедливо следующее утверждение (теорема Кронекера — Капелли): для того чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы совпадал с рангом матрицы системы.
Исследовать неоднородную систему —- это значит установить, является ли она совместной, и если является ——найти выражение для общего решения системы.
Исследуем неоднородную систему методом Гаусса.
ПустьПусть/ @11@12•• fl In&= 021@22•• a2Tl62\ QmlQm2 •• ^mnbfn // @11@12•• fl In&= 021@22•• a2Tl62\ QmlQm2 •• ^mnbfn /
Пусть
Пусть
/ @11
@12•
• fl In
&= 021
@22•
• a2Tl
62
\ Qml
Qm2 •
• ^mn
bfn /
/ @11
@12•
• fl In
&= 021
@22•
• a2Tl
62
\ Qml
Qm2 •
• ^mn
bfn /
расширенная матрица исследуемой системы, ралг которой г равен рангу матрицы системы и г < п.
Такая матрица гауссовымм исключениями приводится к ступенчатому виду
/1
0 .
.0
Clfr4-1 •
• Qn
di、
0
1 .
.0
C2,r+1
■ C2n
^2
0
0 •
• 1
Cr,r+1 •
0
0 •
• 0
0.
.0
0
〈0
0 .
.0
0 .
・0
0/
Соответствующая эквивалентная система имеет вид
£1 + С1,г+14+1 + …+ Cin£n ― di,《 妆 +e2,r+14+1 + •…+ C2n^-n ~ 查,
、хT + 气г+14+1 + …+ Crn^n = dГ.
Из этой системы легко получить выражения базисных переменных £i,效，…，5 через свободные переменные £用，今+2,…，£п・ Формулы
£1 =由一Ci,r+]£「+]—…—Cln£n, .« #2 = d? — C2,r+l.£r+l — • • ■ — ^2n*^n,.
Xr ~ (Lp — Cr,r+i£r+i ~ ■ • • ~ Crn^n
определяют общее решение системы. Положив свободные переменные равными нулю, 斗+i = 0, 斗+2 = 0, …，％ = 0, и вычислив соответствующие значения базисных переменных, получим частное решение исследуемой системы:
£ 1 — dj_,£2 =)・• •， £丁 =？£丁+1 = 0, Хд —- 0.
ЗАДАНИЕ 2.10
Исследуйте однородную систему линейных алгебраических уравнений "Ах = b для двух различных правых частей b = b⑴，Ъ = №)•
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений,
Введите матрицу системы и расширенные матрицы системы для обеих правых частей.
Вычислите ранги основной матрицы и ранги расширенных матриц обеих систем.
Сформулируйте и запишите в рабочем документе соответствующий вывод.
Приведите расширенную матрицу совместной системы к ступенчатому виду.
Определите базисные и свободные переменные.
Залишите эквивалентную систему и разрешите ее относительно базисных переменных.
Запишите общее решение системы.
Найдите два различных частных решения системы.
Проверьте правильность найденных решений.
Пример выполнения задания
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий иссследование однородной системы
£1 +
工 2= 61
/1、
Х1 +
数+ g=b2,
b = b ⑴=
4
,Ь =m2)=
4
数+g+以+д= ь3.
2
2
2xi
3效 + 2^3 + ①4 + ①5 = i>4)
7
7
3^1
3^2 + 2^3 + ①4 + 近5 = b5,
〈10丿
⑺
110 0 0
1
1
1110 0
4
4
A ：=
0 1111
Ы ：=
2
Ь2 ：=
2
2 3 2 1 1
7
7
3 3 2 0 0
10
9
Аг1 ：= augment(Al Ы)
1 4
Ar2
：=augment^A, b2)
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0 1
0 0
0 0
1 4
Ar1 =
0
1
1
1
1
2
Ar2 =
0
1
1
1
1
2
2
3
2
1
1
7
2
3
2
1
1
7
3
3
2
0
0
10
3
3
2
0
0
9
гапк(А) = 3 гапк(Аг1) = 4 rank(ArZ) = 3
『д(Д)-3,『д(Дг1 卜％ гд(Д) отличен от гд(Аг1)9 система Ах»Ы несовместна; rg(A)*rg(Ar2)*3, система Д^»Ь2 совместна.
Приведем матрицу системы к ступенчатой форме
1 0 0 -1 *1 2 0 10 11-1
rref( Аг2)=
001003
000000
000000
Свободные переменные х4, хб, базисные переменные х1,х2,хЗ. Запишем и решим эквивалентную систему
Given х1 - х4 - х5=2 х2 + х4 + х5=-1 х3&3Given х1 - х4 - х5=2 х2 + х4 + х5=-1 х3&3х4 + х5 + 2
Given х1 - х4 - х5=2 х2 + х4 + х5=-1 х3&3
Given х1 - х4 - х5=2 х2 + х4 + х5=-1 х3&3
х4 + х5 + 2-х4 - х5 - 1Х(х4,х5)=3х4х5х4 + х5 + 2-х4 - х5 - 1Х(х4,х5)=3х4х5Общее решение:Общее решение:■ 3-23 '-2Х(1,0)=3Х(0,1)=31001■ 3-23 '-2Х(1,0)=3Х(0,1)=31001Частные решения:Частные решения:Find(x1, x2, хЗ) -* -х4 - х5 - 1 хЗ
х4 + х5 + 2
-х4 - х5 - 1
Х(х4,х5)=
3
х4
х5
х4 + х5 + 2
-х4 - х5 - 1
Х(х4,х5)=
3
х4
х5
Общее решение:
Общее решение:
■ 3
-2
3 '
-2
Х(1,0)=
3
Х(0,1)=
3
1
0
0
1
■ 3
-2
3 '
-2
Х(1,0)=
3
Х(0,1)=
3
1
0
0
1
Частные решения:
Частные решения:
Указание. Для того чтобы сформировать расширенную матрицу системы, используйте функцию augment(A, b), которая добавляет к столбцам матрицы А справа столбец b (в рассмотренном случае матрица Ari получена добавлением к матрице А столбца правых частей Ы, а матрица Аг2 ——добавлением столбца Ь2).
2.6
ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Пусть М ——множество элементов произвольной природы, для которых определены операции сложения и умножения на действительное число:
паре элементов х W М^ у Е М отвечает элемент 纪 + у W М называемый суммой элементов х и у;
паре х7 а, где х Е М и a — любое действительное число, отвечает элемент ax е М, называемый произведением числа а и элемента х.
Будем называть множество М линейным пространством^ если для всех его элементов определены операции сложения и умножения на действительное число и для любых элементов ж, у^ z Е М и произвольных чисел а, (3 справедливо:
х -\-у = у -\- х^ сложение коммутативно;
н + (у + n) = (в + у) + N, сложение ассоциативно;
существует нулевой элемент О Е М такой, что о: + 0 = в;
для каждого элемента существует противоположный элемент —х такой, что х + (—z) = О；
a(0z) = (а。)％ умножение на число ассоциативно;
1 ■ х — ж; .
а(х + у) = az + ay, умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;
(а + /3)х = ан + (Зх, умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.
Равенства 1-8 называют аксиомами линейного пространства.
Линейное пространство часто называют векторным пространством^ а его элементы ——векторами.
Базис и размерность линейного пространства.
Координаты вектора в заданном базисе
Говорят, что элемент (вектор) линейного пространства L линейно выражается через элементы (векторы) ei, в2,..., en G L, если его можно представить в виде линейной комбинации этих элементов, т.е. представить в виде х = ai^i +«2^2 + •…+ &几七几.
Если хотя бы один вектор системы ei,七2, • • •, еп векторов линейного пространства L линейно выражается через остальные векторы системы, то система векторов называется линейно зависимой. Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой.
Справедливо следующее утверждение.
Система ei,七2, • • • ? еп векторов линейного пространства L линейно независима тогда и только тогда, когда из равенства ai^i + + «2^2 + •…+ anen = 0 следует равенство нулю всех коэффициентов: 6 = 0, а? = 0,…，a几=0.
Если в линейном пространстве L существует линейно независимая система из 几 векторов, а любая система из (п+1)-го вектора линейно зависима, то число 几 называется размерностью пространства L и обозначается 几 = dim(L). В этом случае пространство L = Ln называют п-мерным линейным пространством или п-мерным векторным пространством.
Любая упорядоченная линейно независимая система п векторов ei, в2, • ■., еп n-мерного линейного пространства L образует базис про- странства^ и любой вектор 0 W £ единственным образом выражается через векторы базиса: ж =①© + ①2七2 + …+ хпеп.
Числа xi,①2,…，хп называют координатами вектора х в базисе ei, в2, • ■ •, еп и обозначают ж =(①，①2, …，①п)・ При этом для любых двух произвольных векторов n-мерного линейного пространства х = =(① 1,①2，• ■ • j ①п), У =(У1)J/2)•…,Уп) и произвольного числа а справедливо: 0 + у = (%1 +уь ①2 + J/2,…，工п + Уп) н а。= (а① 1, а①2, , &忆几)* Это означает, что все n-мерные линейные пространства " устроены55 одинаково: как пространство Rn векторов-столбцов из п действительных чисел, т.е. что все они изоморфны пространству IRn.
Линейные пространства X и У называются изоморфными^ если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что если векторам ① и ①‘ из X соответствуют векторы у и yz из У, то вектору хЛ-х1 соответствует вектор у + у' н при любом а вектору ах £ X соответствует вектор ау £ Y.
Изоморфизм n-мерных линейных пространств пространству Rn означает, что соотношения между элементами n-мерного линейного пространства и операции с ними можно изучать как соотношения между векторами из Кп и операции с ними и что всякое утверждение относительно векторов из Rn справедливо для соответствующих элементов любого n-мерного линейного пространства.
Налример, доказано, что система векторов ei, в2, • •., еп из Rn
сц \/ С12、/ ein '
с _ ‘21с _ ‘22с 一е2n
е1 —) е2 —)■ • • ) еП —
\ бп1 /\ ^п2 /\ ^пп /
образует базис в Rn тогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель матрицы со столбцами ei, в2, еп:
°11^12…％
detA=621622…е2n#0
°nlen2…enn
Для векторов ei, 貶 …，еп из Ln это означает, что они образуют базис в Ln тогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель матрицы, столбцами которой являются компоненты векторов %
Пусть ei, в2, ..., еп и 九 力，…，fn — два базиса в %
Матрицей перехода от базиса ei, в2, ..., еп к базису /ь /2, /п называется матрица С, столбцами которой являются координаты векторов fi, /2, fn в базисе ei, €2, • • •, ем
/1 = (/11 /21/п1)Г,Л = (/12 /22 …/п2)Т,/1 = (/11 /21/п1)Г,Л = (/12 /22 …/п2)Т,fn = /1п^1 + /2п^2 + •• • + /пп^п,fn = /1п^1 + /2п^2 + •• • + /пп^п,fn = (/in Anfn = (/in An…/пп),…/пп),/1 = /11^1 + /21^2 + …+ /nlCn) Л = /1261 + /22^2 + …+ /п2Сп,
/1 = (/11 /21/п1)Г,
Л = (/12 /22 …/п2)Т,
/1 = (/11 /21/п1)Г,
Л = (/12 /22 …/п2)Т,
fn = /1п^1 + /2п^2 + •• • + /пп^п,
fn = /1п^1 + /2п^2 + •• • + /пп^п,
fn = (/in An
fn = (/in An
…/пп),
…/пп),
/ /11/12…/in、
C= /21 /22/2п , detc#o.
\ /nl /n2 ■ • • fnn /
Вектор линейно выражается через векторы обоих базисов. Тогда, если х =屯勺 +数£2 + …+ anen = У1/1 + У2/2 + •. + Уп/п, то координаты *1, *2,*7i вектора в базисе ei, €2, ..., еп и его координаты yi,
У2, ..., уп в базисе /1, /2, •• •〉/п связаны соотношениями
此
//и
/21
/12 •
/22 ■
•/1п '
•『2п
\Хп)
к /п1
/п2•
/пп /
/ У1 \
У2
\Уп/
или хе = Cxf, Xf = C^g, если ввести обозначения хе = (rti Х2 … 叫)'
Xf = (yi у2 уп) для векторов-столбцов координат вектора х в соответствующих базисах*.
ЗАДАНИЕ 2.11
Докажите, что векторы 九 力，/з,九 образуют базис в пространстве &, и найдите координаты вектора х в этом базисе.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений.
Введите матрицу С со столбцами 九 力，/з, /4.
Покажите, что определитель матрицы С отличен от нуля.
Вычислите матрицу, обратную к матрице С.
Запишите выражение и вычислите координаты вектора в базисе /1, /2, /з,九.
Проверьте вычисления, выполнив обратный переход.
Пример выполнения задания
Докажите, что векторы
/ 1\/1 =；,『2 =I 1丿/ 1\/1 =；,『2 =I 1丿
/ 1\
/1 =；,『2 =
I 1丿
/ 1\
/1 =；,『2 =
I 1丿
/ 2\
-11
/ 5\
-2
-3
\ 1/
образуют базис в пространстве L^ и найдите координаты вектора :г = (1 —13 —2)т в этом базисе. Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями приведен ниже.
Матрица перехода 12 5 1
■2 -1 -2 -1
С ：= 1 1 -3 1
Координаты вектора х в старом базисе
I с|= 12
Проверка
xf ：= С1 хе
xf =
0.083
1.333
-0.417
С xf =
т
-1
3
0.333
-2
Координаты х вектора в новом базисе
Указание. Проверка подтверждает правильность вычислений, поскольку если xf — координаты вектора х в базисе 九 力，/з,九 то произведение С ■ xf — координаты вектора х в исходном базисе.
Исследование линейной зависимости. Ранг матрицы
Пусть Л ——прямоугольная матрица размерности m х п:
'@11@12…@1п、
人 @21«22…a2n
\ @ml @m2• • • ^тп /
Столбцы матрицы можно рассматривать как векторы из Rm:
/ a^j、
/<»= g , 5 = 1,2,еRm
\amj /
и исследовать их на линейную зависимость. Исследовать систему векторов на линейную зависимость — это значит установить, является система векторов линейно зависимой или нет.
Доказано, что ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы. Это утверждение позволяет исследовать систему векторов Rn на линейную зависимость следующим образом. Пусть 九 力，…，九一исследуемая система векторов. Запишем матрицу F, столбцами которой являются векторы /1, /2, ■ • • ? А- 尸<» =办，彳=工，2,…，к, и вычислим ее ранг: г = Rg(尸)• Если т = к, то исследуемая система векторов линейно независима, если же г < А:, то она линейно зависима.
Более того, если матрица F приведена к ступенчатому виду элементарными операциями со строками
/1
0 ... 0
«1,г+1
…ам\
0
1 ... 0
«2,г+1
… a2k
F =
0
0 ... 1
^r,r+l
… Qu
0
00
0
0
\0
0 ... 0
0
0 /
то векторы-столбцы /1, /2? • • •, /г? входящие в базисный минор, образуют линейно независимую подсистему, а векторы 万十匕 /г+2,..., fk следующим образом линейно выражаются через базисные векторы:
/г+1 — О；1,г+1/1 + 仪2产+1力 + …+ аг)г+1/г,/г+2 =修/+2 力 + «2,г+2/2 + …+ ttr,r+2/r5
九=Q1止力+ a2太了2 +…+ ^r.kfr-
ЗАДАНИЕ 2.12
Исследуйте на линейную зависимость системы векторов /1, /2, /з, /4 и 91)92? 9з, 94 • Выделите в линейно зависимой системе линейно независимую подсистему. Найдите линейные выражения всех векторов линейно зависимой системы через векторы линейно независимой подсистемы.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений,
Присвойте переменной ORIGIN значение, равное единице.
Введите матрицы С и D, столбцами которых являются векторы 九 力，/з ,九 м дь 92, дз, 94 соответственно.
Найдите ранги матриц С v. D.
Сформулируйте вывод о линейной зависимости исследуемых систем векторов.
Приведите матрицу линейно зависимой системы к ступенчатому виду и выделите линейно независимую подсистему.
Запишите выражения для всех векторов линейно зависимой системы через линейно независимую подсистему и проверьте их.
Пример
выполнения задания
Исследуйте на линейную зависимость системы векторов
Л/2/3/4Л/2/3/4= (1111 2)т,gi = (1 1 1 1 2)т,
Л/2/3/4
Л/2/3/4
= (1112 3)т, н 92 = (1 1 1 2 3)т,= (1 1 2 3 4)т,дз = (1 1 2 3 4)т,
=(1 1 2 2 3)т94 = U 2 3 4 5)т
Выделите в линейно зависимой системе линейно независимую подсистему. Найдите линейные выражения всех векторов линейно зависимой системы через векторы линейно независимой подсистемы.
Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями приведен ниже.
ORIGIN ：= 1
1111
f1-C<1>
1111
g1»D<1>
1111
СиС<2>
1112
g2=D<2>
с：=
112 2
В=С<з> D =
112 3
g3=D<3>
12 3 2
МС<4>
12 3 4
д4«Ю<4>
2 3 4 3
2 3 4 5
rank( С) = 3Векторы-столбцы матрицы С линейно зависимы
rank(D) = 4Векторы-столбцы матрицы D линейно независимы
10 0 10 10-1rref(C)=0 0 110 0 0 00 0 0 010 0 10 10-1rref(C)=0 0 110 0 0 00 0 0 0Первые три столбца матрицы С линейно независимыПервые три столбца матрицы С линейно независимы
10 0 1
0 10-1
rref(C)=
0 0 11
0 0 0 0
0 0 0 0
10 0 1
0 10-1
rref(C)=
0 0 11
0 0 0 0
0 0 0 0
Первые три столбца матрицы С линейно независимы
Первые три столбца матрицы С линейно независимы
Выражение векторов линейно-зависимой системы f1, fZ9 Н, ft через векторы линейно независимой подсистемы ft, С, В
f1=f1仪=仪0=0f4=f1 - G +13f1=f1仪=仪0=0f4=f1 - G +13Проверка1
f1=f1
仪=仪
0=0
f4=f1 - G +13
f1=f1
仪=仪
0=0
f4=f1 - G +13
1
14 ：= C«> - C”> + С<3> й = 2 2
3
У к а з а н и е. Для того чтобы определить вектор-столбец матрицы, используйте панель матричных операций. Введите с клавиатуры имя матрицы, щелкните по кнопке 卜> I в панели матричных операции и введите в помеченной позиции номер столбца. Функция rref приводит матрицу к ступенчатому виду элементарными операциями со строками матрицы (не переставляет столбцы). Запишите выражение для линейно зависимых векторов (в приведенном фрагменте это вектор f4).
Ортонормированные базисы и ортогональные матрицы
Линейное пространство Е называется евклидовым^ если каждой паре векторов z, у из этого пространства поставлено в соответствие действительное число х • у, называемое скалярным произведением^ и при этом для любых z, у, z из Е м любого действительного числа а справедливы следующие равенства:
ху^ух;
(az)・g = a(z ・у);
3)(X + у) Z = X Z + у • Z]
х х > 0 при х ^ О, 0 • 0 = О, 0 — нулевой вектор.
Число |х| = у/х х называется длиной вектора х; число |啰—у| =
= у/(х ~ у) - (х — у) —— расстоянием между векторами х, у; угол
—углом между векторами—углом между векторами夕 € [0, я], косинус которого COS(/9 = ：；", \х\\у\
—углом между векторами
—углом между векторами
① и у, Z# О, “0.
Векторы х, у из евклидова пространства Е называются ортого- налънымщ если ж ■ у = 0.
Система ei,色，…〉后九 векторов евклидова пространства называется ортонормированной^ если векторы системы попарно ортогональны и имеют единичную длину.
Базис конечномерного евклидова пространства называется ортонормир о ванным базисом^ если образующие его векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину. Поскольку доказано, что в любом конечномерном евклидовом пространстве существует орто- нормированный базис^ будем рассматривать в n-мерном евклидовом пространстве Еп только ортонормированные базисы.
Простейший пример евклидова пространства дает нам пространство Еп —— пространство столбцов Rn, в котором скалярное произведение введено формулой ху = ^2 xiyi- £=1
Тогда ДЛЯ любых X =(X1 Z2 . .. £几)丁, У = ®1 沙2 Уп)Т ИЗ Rn справедливы формулы:
Все евклидовы пространства размерности п устроены так же, как пространство Вп.
Величины х • у^ |ж|, \у\ и cos夕 характеризуют взаимное расположение векторов и не зависят от выбранного ортонормированного базиса.
Если €i, €2, • • •, еп и у1т /2)• • •» /п — два ортонормированных базиса в n-мерном евклидовом пространстве, то матрица перехода от одного из этих базисов к другому — ортогональная* матрица.
ЗАДАНИЕ 2.13
Заданы векторы ж, у и gi, g?, дз, д《евклидова пространства Е* Докажите, что векторы д】，д?, дз, 94 образуют ортонормированный базис в 石击 Вычислите х • у, |х{, \у\ и cos夕. Найдите координаты векторов т, у в базисе gi, 92, 9з, 94 и вычислите х ■仇 罔，|у| и cos” Сравните полученные величины. Докажите, что матрица перехода к базису gi；g2, 9з, 94 — ортогональная матрица. Выполните вычисления для ж = (1 1 1 2)丁，沙=(1 1 2 2)Т и векторов gi, 92, 9з)94 из предыдущего задания.
"Матрица U называется ортогональной, если U~】=UT.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений.
Присвойте переменной ORIGIN значение, равное единице.
Введите векторы-столбцы ж, у.
Определите матрицу U, столбцами которой являются векторы 31)§2, Зз)34, и вычислите ее ранг.
Вычислите длины и попарные скалярные произведения векторов gi, §2, дз, 341 вычислите J7-1 и UT. Сформулируйте вывод об ортогональности матрицы U.
Вычислите х • у, |®|, |у|, cos ср.
Вычислите координаты векторов х, у ь базисе gi, g?, дз, 94・
Вычислите х • у, \х\, |у|, cosg в базисе gi, g2, Зз, 34-
Пример выполнения задания
Докажите, что векторы
，52 = U 2 ~ 2'
т _ р• 1 1
，54 = U _ 2 - 2 2；
2 Т 2 22 Т 2 2образуют ортонормированный базис в Е^. Вычислите х • у, |ж|, |у|, cosg для векторов н = (1 1 1 2)丁, У = (1 1 2 2)'. Найдите их координаты в базисе д^ §2, дз, 94 и вычислите в новом базисе х • у,岡，®|, cos(p. Сравните полученные числа. Докажите, что матрица перехода к базису 31, §2)дз, 94 — ортогональная матрица. Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями приведен ниже.
2 Т 2 2
2 Т 2 2
gi=U<1> g2=H> g3=U<3> д4=и<"
Столбцы матрицы U единичной длины и попарно ортогональны
и<1> ц<1> = 1и<2> у<2> =[U<1>・u<2>=0 j<1> _и<з> _ 0U<2>・u<3> =(j (J<2> .у<4> - Qи<1> ц<1> = 1и<2> у<2> =[U<1>・u<2>=0 j<1> _и<з> _ 0U<2>・u<3> =(j (J<2> .у<4> - QU<3"u<3>=iу<4> и<4>и<1> и<4> =0 и<з"и<4> = оU<3"u<3>=iу<4> и<4>и<1> и<4> =0 и<з"и<4> = о
и<1> ц<1> = 1и<2> у<2> =[
U<1>・u<2>=0 j<1> _и<з> _ 0
U<2>・u<3> =(j (J<2> .у<4> - Q
и<1> ц<1> = 1и<2> у<2> =[
U<1>・u<2>=0 j<1> _и<з> _ 0
U<2>・u<3> =(j (J<2> .у<4> - Q
U<3"u<3>=iу<4> и<4>
и<1> и<4> =0 и<з"и<4> = о
U<3"u<3>=iу<4> и<4>
и<1> и<4> =0 и<з"и<4> = о
Транспон
ит =
ированная матрица
0.5 0.5 0.5 0.5
0.5 0.5 -0.5 -0.5
-0.5 0.5 -0.5 0.5
0.5 "0.5 -0.5 0.5
)и
Об
и1 =
ратная матрица 0.5 0.5 0.5 0.5
0.5 0.5 -0.5 "0.5
4).5 0.5 4).5 0.5
0.5 4).5 4).5 0.5
х-у = 8
^Jx ；=
2.646
Jry
=4167
ху =0
.956
Jj^・而
Координаты векторов х и у в базисе g1, g2, g3, g4
xgyg =8xgyg =8л)хд xg jyg ygл)хд xg jyg yg=0.956=0.956
xgyg =8
xgyg =8
л)хд xg jyg yg
л)хд xg jyg yg
=0.956
=0.956
У казание. Для того чтобы вычислить скалярное произведение векторов, щелкните по кнопке 同 | вычисления скалярного произведения в панели матричных инструментов и введите с клавиатуры в помеченных позициях имена сомножителей, выделите выражение, введите с клавиатуры знак равенства и щелкните по рабочему документу вне выделяющей рамки. Чтобы вычислить длину вектора, щелкните в панели математических инструментов по кнопке || в панели |鬪| и определите подкоренное выражение как скалярное произведение вектора на себя, выделите выражение, введите знак равенства и щелкните по рабочему документу вне выделяющей рамки. В приведенном документе именами xg и yg обозначены векторы-столбцы координат векторов н и у в базисе pi, р2, рз, р4- Вычисления подтверждают, что величина скалярного произведения векторов не зависит от базиса.
2.7
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Пусть заданы линейные пространства X и У. Правило, по которому каждому элементу 啰 W X ставится в соответствие единственный элемент у W У, называется оператором, действующим в линейных пространствах X, У. Результат действия оператора Л на элемент ж обозначают у = Ах или у = Л(«). Если элементы х и у связаны соотношением у = Лж, то у называют образом элемента ж, а ж ——прообразом у.
Множество элементов линейного пространства X〉для которых определено действие оператора Л, называют областью определения оператора Л и обозначают 0(/)・
Множество элементов линейного пространства У, которые являются образами элементов из 0(/), называют образом оператора Л и обозначают Im(/)・ Если у = Л«, то ж € 0(/), у W 1т(Л).
Оператор Л, действующий в линейных пространствах X, У, называется линейным оператором^ если
4& + V)= 4&) + /®) и4aи) = а/®)
для любых и, ь из X и для любого числа а.
Если пространства X и У совпадают, то говорят, что оператор действует в пространстве X. В дальнейшем ограничимся рассмотрением линейных операторов, действующих в линейном пространстве X.
Линейный оператор и его матрица.
Переход к другому базису
Рассмотрим линейный оператор Л, действующий в конечномерном линейном пространстве X, dim(X) = п, и пусть ei, в2, ..., еп ——базис в X. Обозначим через
/e1 - ((2h5a21,…，^nl))/e2 =(a⑵ a22,…，an2),…，
образы базисных векторов ei,改，…，en.
Матрица
/ айа12…^in、
4=^21仪22…a2Tl
\ Лп1Лп2…<lnn /
столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе.
Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве X, отвечает единственная квадратная матрица порядка 叫 и обратно — каждая квадратная матрица порядка п задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения
У = Лх,У = Лх,u2=\Уп /u2=\Уп /%11a12…叫、a21 a22 • • • a2n%11a12…叫、a21 a22 • • • a2n'a^i (zn2 • • • ^nn /'a^i (zn2 • • • ^nn /
У = Лх,
У = Лх,
u2=
\Уп /
u2=
\Уп /
%11a12…叫、
a21 a22 • • • a2n
%11a12…叫、
a21 a22 • • • a2n
'a^i (zn2 • • • ^nn /
'a^i (zn2 • • • ^nn /
с одной стороны, связывают координаты образа у = Ах с координатами прообраза ①，с другой стороны, описывают действие оператора, заданного матрицей А.
При изменении базиса линейного пространства матрица оператора, очевидно, изменяется. Пусть в пространстве X произошел переход от базиса е = {ei, €2,еп} к базису е/ = {因,е^,е^}. Связь между матрицей Ае оператора А в базисе е и матрицей 4紋 этого оператора в базисе е' задается формулой 4絞=Р^Р>ЛеРе^е>, Ае = Р^.А^Р：”.
Здесь Рете，，Р』 —матрица перехода от базиса е к базису е/ и обратная к ней.
ЗАДАНИЕ 2.14
Оператор Д, действующий в линейном пространстве Х^, задан своей матрицей. Найдите координаты образа у = Ах вектора х G Хп.
В линейном пространстве Хп введен новый базис. Найдите координаты вектора х G Хп, координаты образа у = Ах и матрицу оператора в новом базисе.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений.
Введите заданную матрицу оператора и вектор х.
Вычислите координаты образа Ах вектора х.
Введите матрицу Р перехода к новому базису в пространстве Хп и найдите обратную к ней.
Найдите координаты вектора х в новом базисе.
Найдите матрицу оператора в новом базисе.
Найдите координаты образа Ах в новом базисе.
Пример выполнения задания
Оператор Л, действующий в линейном пространстве X* задан своей матрицей
/ 1234\
△0-320
А= -45110
\ 5432/
Найдите координаты образа вектора х = (1 —1 2 —2)4 В линейном пространстве Х4 введен новый базис е^ = (1 0 0 0)Т, е^ = (1 1 0 0)Т, €3 = (111 О)т, е^ = (1 1 1 if Найдите координаты вектора х, координаты образа у = Ах и матрицу оператора в новом базисе. Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями приведен ниже.
-10-10ynew ：= Р'1 уynew ：= Р'1 уynew =ynew =1010
-10
-10
ynew ：= Р'1 у
ynew ：= Р'1 у
ynew =
ynew =
10
10
3
1 6 7 11
Anew ：= Р'1 А Р Anew =Anew ：= Р'1 А Р Anew =4 Т -13 -13
Anew ：= Р'1 А Р Anew =
Anew ：= Р'1 А Р Anew =
-9 -в 0 -2
5 9 12 14
Р Anew к =Р Anew к =12340-320Т 51105 43212340-320Т 51105 432Проверка: [40 -6
Р Anew к =
Р Anew к =
1234
0-320
Т 5110
5 432
1234
0-320
Т 5110
5 432
Anew xnew = 10
3
Указание. Для того чтобы проверить правильность вычислении, найдите по формуле %，= Ae/Xef координаты образа элемента н в новом базисе (в обозначениях, использованных в приведенном фрагменте, — Anew xnew) и сравните с результатом, полученным выше; вычислите матрицу оператора в старом базисе по формуле Ае = Ре-^е^е1^^^ и сравните с заданной матрицей.
Образ и ядро линейного оператора
Рассмотрим линейный оператор Л, действующий в конечномерном линейном пространстве X. Доказано, что образ 1ш(Л) линейного оператора Л ——линейное пространство. Размерность образа линейного оператора называется рангом оператора^ обозначается Rg(/)： г = Rg(/) = dim(Im(/))・
Ядром линейного оператора называется множество элементов из X, образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают Кег(Д): Кег(Д) = {n € X: 4r = 0}. Ядро линейного оператора ——линейное пространство; размерность ядра линейного оператора называется дефектом оператора^ обозначается Def(/): d = Def(/)= =dim(Ker(/))・
Для линейного оператора Д, действующего в n-мерном линейном пространстве Хп, справедливы следующие утверждения:
сумма ранга и дефекта оператора Д равна размерности пространства, в котором действует оператор: Def (Л) + Rg(/) = п;
ранг оператора равен рангу его матрицы;
ядро оператора совпадает с множеством решений линейной однородной системы, матрицей которой является матрица оператора; размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;
столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора, образуют базис в образе оператора.
Сформулированные утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора*, заданного матрицей, на языке матричных преобразований и общей теории линейных систем.
*Под описанием структуры линейного пространства в данном случае понимается определение его размерности и построение какого-либо базиса.
ЗАДАНИЕ 2.15
Опишите структуру образа и ядра линейного оператора, действующего в линейном пространстве X, заданного своей матрицей. Проверьте, принадлежат ли векторы аг, у ядру оператора, а векторы и, и ——его образу.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений.
Присвойте переменной ORIGIN значение, равное единице.
Введите матрицу оператора и векторы-столбцы х, у, и, и.
Вычислите ранг матрицы оператора. Сформулируйте вывод о ранге и дефекте оператора.
Приведите матрицу оператора к ступенчатому виду.
Укажите базис в образе оператора.
Запишите линейную однородную систему, которая описывает ядро оператора, и разрешите ее относительно базисных переменных.
Найдите базис в ядре оператора.
Проверьте принадлежность векторов х и у ядру оператора.
Проверьте принадлежность векторов и и v образу оператора.
Пример выполнения задания
Опишите структуру образа и ядра линейного оператора, действующего в линейном пространстве X* заданного матрицей
/1 1 1 1\
41112
А= 1122'\2 2 2 3/
Проверьте, принадлежат ли векторы 0 = (113 4)丁 и у = (1 —10 0)г ядру оператора, а векторы и = (4 5 6 9)г и и = (1 2 3 4)г — его образу. Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями приведен ниже.
ORIGIN ：= 1
гапк(А) = 3гапк(А) = 3Ранг оператора хЗ, дефект оператора d»n-r*43-1Ранг оператора хЗ, дефект оператора d»n-r*43-1rref(A)二rref(A)二110 00 0 100 0 0 10 0 0 0110 00 0 100 0 0 10 0 0 0В базисным минор входят 2~й, 3<й и 4-й столбцы матрицы, они образуют базис в образе оператораВ базисным минор входят 2~й, 3<й и 4-й столбцы матрицы, они образуют базис в образе оператораБазис в образе оператора образуют векторыБазис в образе оператора образуют векторы
гапк(А) = 3
гапк(А) = 3
Ранг оператора хЗ, дефект оператора d»n-r*43-1
Ранг оператора хЗ, дефект оператора d»n-r*43-1
rref(A)二
rref(A)二
110 0
0 0 10
0 0 0 1
0 0 0 0
110 0
0 0 10
0 0 0 1
0 0 0 0
В базисным минор входят 2~й, 3<й и 4-й столбцы матрицы, они образуют базис в образе оператора
В базисным минор входят 2~й, 3<й и 4-й столбцы матрицы, они образуют базис в образе оператора
Базис в образе оператора образуют векторы
Базис в образе оператора образуют векторы
Базисные переменные х2)хЗ, *4, свободная переменная х1 Given х1 + х2»0-х1
x3=0 Find(x2?x3/x4) -> 0x4=Uх4
Базис в ядре оператора - вектор Е1 ：=
0
Вектор Ах отличен от нуля, х не принадлежит Кег(川， Ау»0, у принадлежит Кег(А)
rank(augment(submatrix(A> I^.Z^)^ и)) = 3
Базисные столбцы матрицы оператора и вектор и образуют линейно зависимую систему;
вектор и принадлежит lm(A)
rank( augment(submatrix( Ал 1,4.2,4) / v)) = 4
Базисные столбцы матрицы оператора и вектор v образуют линейно независимую систему;
вектор V не принадлежит lm(A)
Указание. Используйте функцию rank(A) для вычисления ранга матрицы оператора. Для того чтобы найти базис в образе оператора, приведите матрицу оператора к ступенчатому виду функцией rref(A), которая приводит матрицу к ступенчатому виду, не переставляя столбцы. Поэтому столбцы, входящие в базисный минор ступенчатой формы матрицы, образуют базис в образе оператора (в приведенном фрагменте это 2-4-й столбцы). Для того чтобы найти базис в ядре оператора, запишите, используя ступенчатый вид матрицы, эквивалентную систему и найдите ее фундаментальную систему решений (см. разд. 2.4). Чтобы проверить принадлежность векторов х и у ядру оператора, найдите образы Ах и Ау- Вектор принадлежит ядру, если его образ — нулевой вектор. Для проверки принадлежности вектора образу оператора вычислите ранг матрицы, столбцами которой являются базисные столбцы матрицы оператора и исследуемый вектор. Если ранг такой матрицы равен рангу матрицы оператора, то исследуемый вектор линейно выражается через базисные столбцы и, следовательно, принадлежит образу оператора. Если же ранг построенной матрицы больше ранга оператора, то ее столбцы линейно независимы и исследуемый вектор не выражается через базисные столбцы, т.е. не принадлежит образу оператора. В приведенном фрагменте вычисляются ранги матриц, построенных с помощью функций augment(submatrix(A,l,4,214),u) и augment(submatrix(Atl,4,2t4)(v). Функция submatrix(A,l,4,2,4) формирует матрицу, содержащую 2-, 3- и 4-й (базисные) столбцы матрицы А, а функция aug- ment(submatrix(All,4(2,4),u) дописывает к ним справа вектор-столбец и.
Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
Пусть Д ——линейный оператор, действующий в линейном пространстве.
Число А называется собственным значением^ а ненулевой вектор х ——соответствующим собственным вектором линейного оператора Д, если они связаны между собой соотношением Ах = Ах.
Пусть А — матрица оператора в некотором базисе. Собственные значения оператора и соответствующие им собственные векторы связаны соотношением (Д — AZ)x = 0. где Z ——единичный оператор, а 0 —— нулевой элемент пространства X. Это означает, что собственный вектор оператора является ненулевым решением линейной однородной системы (А — ХЕ)х = 0, которое существует тогда и только тогда, когда dat(4 — ХЕ) = 0. Следовательно, собственные значения линейного оператора могут быть вычислены как корни уравнения det(4 —入后)=0, а собственные векторы — как решения соответствующих однородных систем.
Уравнение det (А — ХЕ) = 0 называется характеристическим уравнением оператора, а многочлен det (А — ХЕ)——характеристическим многочленом оператора.
Для собственных значений и собственных векторов линейного оператора справедливы следующие утверждения:
характеристический многочлен det (Л — ЛЕ) оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве, является многочленом п-й степени относительно А;
линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве, имеет не более п различных собственных значений;
собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы;
если линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве X, имеет п различных собственных значений, то в пространстве X существует базис из собственных векторов оператора; этот базис называют собственным базисом оператора; матрица оператора в базисе из его собственных векторов имеет диагональную форму с собственными значениями на диагонали.
ЗАДАНИЕ 2.16
Найдите собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей. Залишите матрицу оператора в базисе из собственных векторов, если таковой существует. Запишите матрицу перехода к собственному базису.
Выполните вычисления для оператора Л из задания 2.14.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений.
Присвойте переменной ORIGIN значение, равное единице.
Введите матрицу оператора 4
Запишите характеристический многочлен оператора и найдите его корни.
Для каждого собственного значения А налдите собственные векторы ——фундаментальную систему решений однородной системы (А — ХЕ)х = 0 (см. разд. 2.5).
Проверьте подстановкой правильность вычислений.
Запишите матрицу оператора в базисе из собственных векторов.
Налдите собственные значения и собственные векторы оператора, используя встроенные функции Mathcad.
Сравните результаты вычислений.
Пример выполнения задания
Найдите собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей
/1 1 23\
л 0 2 24
0 0 1-2
\0 0 02/
Запишите матрицу оператора в базисе из собственных векторов и матрицу перехода к собственному) базису. Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями приведен ниже.
ORIGIN
А ：=
1
0
0
0
1
2
0
0
2 3
2 4
1 -2
0
2
Е ：= identi^(4) Е =
1 о о о
о 1 о о
0
0
1
0
0
0
0
1
1 -入
0
0
1
2一入
0
0
2
2
1 -入
О
3
4
-2
2-Х
rref(A- 1 Е)
0
0
0
1
0
0
0
2 0
0 о
0 1 о о
Е1 ：=
А Е1
С ：= eigenvals(A)
С =
ЕС ：= eigenvecs(A)
ЕС =
О
О
О
0.707 0.707 О
О
О 0.894 -0.447
О
2 0.408 О 0.816 -0.408
АЕС«> =
АЕС<2> =
О
О
1.414 1.414 О
Д ЕС<3> =
О 0.894 -0.447
О
АЕС<4> =
0.816 О
1.633 -0.816
Указание. Введите единичную матрицу с именем Е той же размерности, что и матрицы А, используя функцию identity(n) (см. разд. 2.1). Определите и введите матрицу А — АЕ. Чтобы вычислить характеристический многочлен^ вычислите символьно определитель матрицы А — ЛЕ, используя меню символьных операций (см. разд. 2.1). Корни характеристического уравнения найдите, используя символьную операцию Solve (см. гл. 1). Приведите матрицы А — АЕ к ступенчатому виду, используя функцию rref, для А = 1 и А = 2. Запищите соответствующую эквивалентную систему и найдите ее фундаментальную систему решений. Для того чтобы проверить вычисления, умножьте собственные векторы слева на матрицу А и убедитесь в справедливости равенств А ■ El = El, А - Е2 = Е2, А - ЕЗ ~ ЕЗ)А - Е4 = 2Е4. Полученные собственные векторы образуют базис в пространстве Х% матрица оператора в этом базисе имеет диагональную форму. В приведенном фрагменте эта матрицы введена с именем As. Теперь вычислите собственные значения и собственные векторы, используя встроенные функции eigenvals(A) и eigenvecs(A). Полученные с помощью встроенных функций собственные векторы отличны от тех, которые представлены выше.
2.8
МАТРИЧНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
В ЭКОНОМИЧЕС1СИХ ЗАДАЧАХ
Модель межотраслевого баланса Леонтьева.
Вычисление совокупного выпуска по заданному спросу
Межотраслевой баланс в экономике, как известно, — это метод анализа взаимосвязей между различными секторами экономической системы.
Предположим, что исследуемую экономическую систему можно разделить на несколько отраслей (секторов), производящих определенные товары и услуги (сельское хозяйство, промышленность, транспорт, энергетика и т.п.). При производстве товаров и услуг в каждом секторе расходуются ресурсы в виде сырья, рабочей силы, оборудования и др., которые производятся как в других секторах хозяйства, так и в данном секторе. Это означает, что каждый сектор экономики выступает в системе межотраслевых связей одновременно производителем и потребителем.
Цель балансового анализа ——определить, сколько продукции должен произвести каждый сектор для тоео, чтобы удовлетворить все потребности экономической системы в его продукции.
Рассмотрим упрощенную модель межотраслевого баланса — баланс экономики*, состоящей из трех секторов —— из сельского хозяйства, промышленности и домашних хозяйств. В качестве единицы измерения объемов товаров и услуг каждого сектора выберем их стоимость. Предположим, что вся продукция сельского хозяйства составляет 200 денежных единиц, из них 50 единиц потребляется внутри самого сектора, 40 единиц ——в промышленности и ПО ——в домашних хозяйствах. Продукция промышленности составляет 250 единиц, из них 70 единиц потребляются в сельскохозяйственном производстве, 30 ——в секторе промышленности и 150 —— в домашних хозяйствах. Домашние хозяйства производят 300 единиц продукции, из них 80 единиц потребляются в сельском хозяйстве, 180 ——в промышленности и 40 ——внутри самого сектора. Эти данные сведены в таблицу межотраслевого баланса приведенную на рис. 2.6.
Числа, расположенные в строках таблицы, показывают, как распределяется произведенная продукция каждого сектора, последний элемент строки ——объем произведенной сектором продукции (общий выпуск). Данные, расположенные в столбцах показывают, какую
* Примеры и модели взяты из книги В. Леонтьева ?? Межотраслевая экономика" [21].
продукцию потребляет каждый сектор в процессе производства, последнее число в столбце — суммарные затраты сектора. На рис. 2.6 представлена таблица межотраслевых связей экономической системы, в которой все секторы являются производящими, вся произведенная продукция потребляется этими же производящими секторами. Такая модель межотраслевых связей называется замкнутой. В замкнутой модели объем затрат каждого сектора (сумма элементов в столбце таблицы) равен объему произведенной продукции (сумма элементов в соответствующей строке).
Сельское хозяйство
Промышленность
Домашние хозяйства
Общий выпуск
Сельское хозяйство
50
40
ПО
200
Промышленность
70
30
150
250
Домашние хозяйства
80
180
40
300
Затраты
200
250
300
Рис. 2.6. Таблица межотраслевого баланса для простейшей модели народного хозяйства
Таблицы межотраслевого баланса описывают потоки товаров и услуг между секторами' экономики в течение фиксированного промежутка времени, например в течение года.
Данные, сохраняемые в таблицах, естественно описывать и анализировать в терминах матричной алгебры.
Если обозначить через В = {bij}fj=i матрицу, элемент которой bij — количество товаров и услуг г-го сектора экономики, потребляемого в j-м секторе, то в замкнутой экономической системе баланс между совокупным вьшуском и затратами каждого сектора можно описать равенствами пп
bkj = М, Л = 1, 2,..., п.
/=1£=1
Матрица В называется матрицей межотраслевого баланса (ее также называют матрицей Леонтьева).
Рассмотрим открытую систему межотраслевых связей, в которой вся произведенная продукция (совокупный продукт) разделяется на две насти: одна часть продукции (промежуточный продукт) идет на потребление в производящих секторах, а другая ее часть (конечный продукт) потребляется вне сферы материального производства — в
секторе конечного спроса; при этом потребление в секторе конечного спроса может меняться.
Обозначим:
g — объем выпуска г-го сектора (объем товаров и услуг, произведенных в одном из п производящих секторов), г = 1, 2,..., п;
bij — объем товаров и услуг г-го сектора, потребляемых в J-m секторе;
уг ——конечный продукт г-го сектора (объем продукции г-го сектора, потребляемой в секторе конечного спроса);
=———количество продукции г-го сектора, которое расходуется при производстве одной единицы продукции j-ro сектора {коэффициенты прямых затрат).
Межотраслевой баланс —— это равенство объема выпуска каждого производящего сектора суммарному объему его продукции, потребляемой производственными секторами и сектором конечного спроса. В приведенных обозначениях имеем соотношения баланса^* \
& = £ &f + %， 〃 = 1,2,…，几・
Соотношения баланса, записанные через коэффициенты прямых - затрат, имеют вид:
g =):= ...,
или, что то же самое,_
Ej —〉:djjXj — J/i2 = 1,2,72.
Последние равенства описывают технологию производства и структуру экономических связей и означают, что в сектор конечного спроса от каждого производственного сектора поступает та часть произведенной продукции, которая остается после того, как обеспечены потребности производящих секторов.
Если обозначить вектор выпуска через X, вектор спроса (вектор конечного продукта)——через У, а структурную матрицу экономики ——матрицу, элементами которой являются коэффициенты прямых
затрат aij^ ——через А, то соотношения баланса в матричной форме будут иметь вид:
(E~A)X = Y.
Одна из основных задач межотраслевого баланса ——найти при заданной структурной матрице экономической системы в условиях баланса совокупный выпуск, необходимый для удовлетворения заданного спроса.
Пр ед положим, что в течение некоторого промежутка времени коэффициенты прямых затрат a»j остаются постоянными, а конечный спрос изменяется. Это означает, что существует линейная связь между выпуском и затратами и изменение выпуска хотя бы в одном секторе экономики влечет за собой пропорциональное изменение затрат всех производящих секторов. Коэффициентами пропорциональности этой связи являются элементы структурной матрицы. То есть в линейной модели "затраты — выпуск" соотношения баланса описывают связь неизвестного выпуска с заданным спросом. Эти соотношения позволяют определить, каким должен быть совокупный выпуск в каждом секторе, чтобы удовлетворить изменившиеся потребности общества.
На языке линейной алгебры это значит, что требуется решить систему линейных уравнений (Е — А)Х 二 У относительно неизвестного вектора X при заданной матрице системы Е — 4 и правой части Y. Решение такой задачи описано в разд. 2.4： Если матрица Е — А обратима, то X = (Е — А)-1 У.
Обозначим D = (Е - 4)т = {2)}・
Если записать выражение компонент вектора выпуска X через компоненты вектора конечного спроса У:
① 1 =山1沙1 + 备2y2 + • • • + dinyn,①2 = d21yl + &22沙2 + …+ Л2пУпч
En = ^п1У1 + df12y 2 + …+ d几几％г,
то становится понятным, что элемент d订 матрицы [Е — А)-1 показывает, на сколько нужно увеличить выпуск г-го сектора & при увеличении на единицу конечного спроса yj на продукцию j-ro сектора.
Матрица D = (Е ~ А)-1 называется матрицей полных затрат.
В экономической системе с заданной структурной матрицей А спрос всегда удовлетворяется, если для любого вектора спроса У существует вектор выпуска X = (Е — 4尸У, все компоненты которого
неотрицательны. Доказано, что условий Хаукинса ——Саймонанеотрицательны. Доказано, что условий Хаукинса ——Саймонадля этого необходимо выполнениедля этого необходимо выполнение
неотрицательны. Доказано, что условий Хаукинса ——Саймона
неотрицательны. Доказано, что условий Хаукинса ——Саймона
для этого необходимо выполнение
для этого необходимо выполнение
1 — оц —012• • • ~О1п
一a211 一a22 …-a2n
—a^i—аП2• • • 1 ~ апп
1 — ^11—&12• ■ •—ai)n-i
一a211-敢2 …-02,n-1
—^n-1,1—Лп-1,2…1 ~ Лп-1,п-1
1 - 0н а12>0
敢1 1 -a22'
-向1 > 0.
Можно сформулировать более простое достаточное условие неотрицательности элементов матрицы (Е — А)-"1: если сумма элементов столбцов структурной матрицы А не превышает единицы и хотя бы одна из этих сумм строго меньше единицы, то элементы &? матрицы (Е — 4)т неотрицательны: если £ 仪力 < 1, j = 1, 2,…，％ и существует 71. '=1
такое k, 1 S k S % что £ а掠 < 1, то элементы &/ матрицы (Е ~ А)-1 г=1
неотрицательны,办 > 0.
ЗАДАНИЕ 2.17
Исследуйте заданную таблицей межотраслевого баланса модель экономической системы. Найдите объем выпуска каждой отрасли по заданному конечному спросу. Найдите зависимость выпуска каждой отрасли от конечного спроса. Укажите, как должен измениться выпуск каждого сектора при указанном изменении спроса на продукцию одного из производящих секторов.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений и режим отображения результатов символьных вычислений по горизонтали.
Присвойте переменной ORIGIN значение, равное единице.
Составьте и введите матрицу межотраслевого баланса.
Вычислите объем выпуска и платежи в сектор конечного спроса для каждой отрасли.
Составьте структурную матрицу экономики А.
Проверьте справедливость условия Хаукинса — Саймона.
Найдите матрицу (Е — А)-1.
Вычислите объем выпуска для каждого сектора экономики по заданному конечному спросу.
Вычислите увеличение выпуска продукции при заданном изменении начального спроса на продукцию указанного сектора.
Сохраните результаты вычислений в файле.
Пример выполнения задания Рассматривается модель экономики, в которой выделены четыре сектора: три производящих сектора (промышленность, сельское хозяйство, транспорт) и домашние хозяйства в качестве сектора конечного спроса. Структура экономики описана в таблице межотраслевого баланса, приведенной на рис. 2.7 (объемы указаны в единицах стоимости).
Сельское хозяйство
Промышленность
Транспорт
Домашние хозяйства (сектор конечного спроса)
Общий выпуск
Сельское хозяйство
50
16
120
60
246
Промышленность
30
10
180
100
320
Транспорт
15
14
140
80
249
Рис. 2.7. Межотраслевой балгшс открытой трехсекторной экономики
Вычислите вектор выпуска для вектора конечного спроса У = =(100 150 120)'. Как должен измениться выпуск каждого сектора, если спрос на транспортные услуги увеличится на 5%?
Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями и комментариями приведен ниже.
50 16 120 6050 16 120 60В ：= 30 10 180 100В ：= 30 10 180 100ORIGIN :二 1
50 16 120 60
50 16 120 60
В ：= 30 10 180 100
В ：= 30 10 180 100
Матрица межотраслевого баланса
15 14 140 80
246
Вектор выпускаВектор выпускаX :: ВX :: ВX = 320
Вектор выпуска
Вектор выпуска
X :: В
X :: В
249
Построение структурной матрицы
i - 1 3 X1 ：=—
1 X.
1
А ：=
submatrixtB, 1,3,1,3) diag(X1)
■ 0.20325
0.05
0.48193
Структурная матрица
А =
0.12195
0.03125
0.72289
0.06098
0.04375
0.56225
Матрица ЕЛ
0.79675
-0.05
-0.48193
ЕА ：= identity(3) - А ЕА =
-0.12195
0.96875
-0.72289
-0.06098
-0.04375
0.43775
Проверка условия Хаукинса - Саймона
I ЕА I = 0.27677
I submatrix(ЕАл 1,2,1,2) | == 0.76575
| submatrix (ЕА, 1JJJ) | = 0.79675
Вычисление выпуска при конечном спросе
1.41796 0.15526 1.81745
AEinv ：= (ЕА)'1А曰nv =
0.35215 1.15401 2.29338
0.23271 0.13696 2.76677
100
'383.17958
Y ：= 150X ：= AEinv Y
X = 483.52147
120
375.82706
Элементы 3-го столбца матрицы AEinv указывают на изменение выпуска в производственных секторах при увеличении на одну единицу потребности в услугах транспорта.
Увеличение потребности в транспортных услугах на 5% составляет 0.05 Х3 二 18.79135
Со ответствующее увеличение выпуска равно
34.15239
0.05 Х3 AEinv<3> 二 43.09576
51.99133
Указание. Определите матрицу межотраслевого баланса В — щелкните по первой верхней кнопке в панели | ［闾 и введите размеры матрицы в окне диалога. Вычислите вектор выпуска X — суммы элементов строк матрицы В, умножив матрицу В справа на вектор-столбец с единичными элементами*. Для того чтобы найти структурную матрицу, разделите элементы каждого столбца матрицы В на соответствующий (имеющий тот же номер) элемент вектора выпуска X. Это можно сделать так: определите вектор Xinv, элементы которого — числа, обратные элементам вектора выпуска, и умножьте матрицу В справа на диагональную матрицу с диагональю Xinv. Определите вектор-столбец конечного спроса Y. Затем воспользуйтесь функцией identity(3) для определения матрицы АЕ = Е — А. Для проверки условия Хаукинса — Саймона вычислите главные миноры матрицы АЕ. Для этого щелкните по кнопке |〔矶 в панели画и введите в помеченной позиции имя или определение матрицы (в приведенном документе функция submatrix(AE, 1, i, 1, i) определяет главный минор г-го порядка матрицы АЕ). Определите матрицу AEinv, обратную к матрице АЕ, и вычислите вектор выпуска X, умножив матрицу AEinv справа на вектор конечного спроса Y. Вычислите, сколько единиц составляют 5% транспортных услуг, указанных в исходной матрице В, умножив третий элемент вектора выпуска X на 0.05, и найдите соответствующее увеличение выпуска, умножив на полученное число третий столбец матрицы AEinv, Чтобы определить столбец матрицы, щелкните по кнопке | 仙口 в панели | Е矶 и введите в помеченной позиции номер столбца.
Цены в системе межотраслевых связей
Цены в рассмотренной выше открытой модели межотраслевых связей определяются из системы уравнений, каждое из которых устанавливает, что цена единицы продукции производящего сектора должна быть равна совокупным издержкам производства в расчете на единицу выпущенной в этом секторе продукции. В издержки входит не только плата за ресурсы, приобретенные в данном секторе и других секторах, но и добавленная стоимость (заработная плата, прибыль предпринимателей, правительственные налоги, выплачиваемые правительству и другим секторам конечного спроса, и др.).
Обозначим:
3 — суммарные платежи г-го сектора за одну единицу произведенной С-м сектором продукции;
Pj — цена единицы продукции j-ro сектора;
* Такое произведение — вектор-столбец, элементы которого равны суммам элементов соответствующей строки первого сомножителя.、
bij ——объем товаров и услуг г-го сектора, потребляемых при производстве продукции в j-м секторе (как и выше).
п.
Тогда XiPi = £ bjiPj + ViXi, но поскольку 瓦?・=а订土高 то XiPi = 7 = 1 nj
=〉:aji^iPj + зд.
Разделив на ненулевые g, получим для искомых цен систему уравнений
(1 — ^11)Р1 ~ a21P2 — ^nlPn = &1〉< —a12Pl + (1 —。22»2 — •…—«п2Рп = &2,
、—OlnPl —。271P2 —・…+ (1 — ^nn)Pn = vn-
В матричной форме система уравнений для цен имеет вид
(Е - AfP = V,
где 4 — структурная матрица экономики; V — заданный вектор платежей;尸 ——искомый вектор цен. Тогда цены 尸 можно найти по формуле Р= ((Е —4)丁)一1匕 или, что то же самое, Р= ((Е —4厂1)丁匕 Аналитические выражения цены 尸 через платежи V имеют вид:
{
Р1 = diis +(/21&2 + …+ dnl^n, P2 = di2&l + d22&2 + • • • + dn2^n5
Pn =山九&1 + ^2п^2 + …+ dnnvn.
Из приведенных равенств видно, что элемент d^ матрицы (Е — А)-1 показывает, как изменится цена pi единицы продукции г-го сектора при изменении на единицу платежа Vj в j-m секторе.
Поскольку XTV = Хт{Е — А)тР = ((Е — 4)Х)‘ = YTP, то для рассмотренной модели межотраслевого баланса справедливо тождество пп
£ дз = £ yiPi- г=1г=1
Левая часть этого тождества равна общей сумме добавленных стоимостей, выплачиваемых в сектор конечного спроса, а правая часть — суммарная стоимость продукции, поставленной производственными секторами в сектор конечного спроса. Другими словами, приведенное тождество подтверждает совпадение произведенного и использованного национального дохода.
ЗАДАНИЕ 2.18
Найдите цены, на единицу продукции каждого производственного сектора модели экономики из задания 2.17 для заданного в условии вектора платежей. Укажите, как увеличиваются цены на транспортные услуги при увеличении на единиц платежей в сектор сельского хозяй* ства.
Порядок выполнения задания
Откройте файл, в котором сохранен рабочий документ с решением задачи задания 2.17.
Определите вектор конечного спроса и вектор платежей.
Вычислите цену единицы продукции каждого производственного сектора по заданным платежам, используя вычисленную ранее матрицу (Е — А)"1.
Пример выполнения задания
Решение задачи для модели из примера к заданию 2.17 при платежах V = (0.4 0.1 О.5)т приведено ниже.
0.71875
Р ：= AEinJ V Р = 0.24599
2.3397
AEinJ =
1.41796 0.35215 0.23271
0.15526 1.15401 0.13696
1.81745 2.29338 2.76677
При увеличении на одну единицу платежей в сектор сельского хозяйства (1>й сектор в таблице) стоимость единицы транспортных услуг (3-й сектор в таблице) возрастает на величину AEinv1 3 = 1.81745
Простейшая модель экспорта и импорта
Рассмотрим открытую систему межотраслевых связей на государственном уровне. Если экономика государства перестает быть самообеспечивающейся и государство начинает импортировать и экспортировать продукцию производственных секторов, в то время как сектор конечного спроса потребляет те же количества продукции производственных секторов, то устанавливается новый баланс между затратами и выпуском. Структурная матрица экономики, а следовательно, и
Матричные ььгмсления » зксномиуескнх закатах 129 матрица (Е — Л)-1 остаются прежними, изменяется конечный спрос. К величине платежей в сектор конечного спроса каждого сектора нужно добавить объем экспорта и вычесть из него объем импорта: 沙卜=у} + е% к = 1, 2,...,几. Здесь ук ——неизменившийся заданный конечный спрос на продукцию к-го сектора; у£ — объем конечного продукта к-го сектора при наличии экспорта и импорта, 〃 一 объем экспорта 做 > 0) или импорта (е* < 0) продукции k~ro сектора.
Таким образом, в таблице межотраслевого баланса столбец сектора конечного спроса разбивается на три столбца: столбец заданного конечного спроса, столбец экспорта-импорта и столбец конечного продукта (рис. 2.8), причем каждый элемент последнего из этих трех столбцов равен сумме соответствующих чисел в предыдущих двух.
Конечный спрос
Экспорт- импорт
Конечный продукт
Сельское хозяйство
60
-20
60-20
Промышленность
100
40
100 + 40
Транспорт
80
0
80 + 0
Рис. 2.8. Данные об экспорте и импорте
Выпуск X вычисляется по формуле
XjE-a)”，
где У' = У + EI; У ——неизменившийся конечный спрос; EI ——экспорт- импорт; А — структурная матрица экономики.
Вычислив вектор выпуска X〉можно найти по формуле bij = aijXj элементы b“ матрицы нового межотраслевого баланса В.
ЗАДАНИЕ 2.19
Исследуйте заданную структурной матрицей модель экономической системы. Найдите объем выпуска каждой отрасли по заданному конечному спросу при наличии экспорта и импорта. Найдите матрицу нового баланса. Проверьте правильность вычислений.
Порядок выполнения задания
Откройте файл, в котором сохранен рабочий документ с решением задачи задания 2.17.
Определите вектор экспорта-импорта и вычислите вектор конечного продукта.
Вычислите объем выпуска каждого сектора, используя вычисленную ранее матрицу (后一4尸 и новый вектор конечного продукта.
Вычислите матрицу нового баланса.
Проверьте правильность вычислений. Для этого найдите вектор выпуска для новой матрицы баланса и сравните его с вектором, вычисленным в п. 3.
Пример выполнения задания
Данные для вычисления выпуска в примере к заданию 2.17 при наличии экспорта и импорта приведены в таблице на рис. 2.8 (объемы указаны в единицах стоимости). Решение задачи в среде Mathcad представлено ниже.
Вычисление конечного продукта
■-20
EI ：= 40 Y ：=B<4>+EI
Вычисление выпуска при конечном продукте
40Y = 1408040Y = 14080X ：= AEinv Y X =X ：= AEinv Y X =223.85138
40
Y = 140
80
40
Y = 140
80
X ：= AEinv Y X =
X ：= AEinv Y X =
359.11727
249.82434
Вычисление матрицы нового межотраслевого баланса i”3 j =1 3 BiJ ：=А.Х.В"> ：=Y
В =В =45.49825272989513.6494745.49825272989513.6494717.95586 120.39727 40
В =
В =
45.49825
2729895
13.64947
45.49825
2729895
13.64947
11.22241 180.59591 140
15.71138 140.46348 80
Проверка ВПроверка В-X =-X =000000
Проверка В
Проверка В
-X =
-X =
0
0
0
0
0
0
Линейная модель международной торговли
Рассмотрим модель международной торговли, в которой участвуют 几 стран.
Обозначим:
g — национальный доход г-й страны;
aij ——доля национального дохода j-й страны, которую она расходует на закупку товаров г-й страны;
Pi ——общая выручка от внутренней и внешней торговли.
Будем полагать, что каждое государство расходует весь свой национальный доход на закупку товаров внутри страны и на импорт из других стран. Это означает, что
п
〉:atj — 1, j = 1, 2,…，л,.
i=i
Матрица Л, элементами которой являются коэффициенты а^, называется структурной матрицей торговли. Сумма элементов каждого столбца этой матрицы равна единице.
Предположим, что в течение определенного фиксированного промежутка времени структура международной торговли не меняется (не меняется структурная матрица торговли), а национальные доходы торгующих стран могут измениться.
Требуется определить, какими могут быть эти национальные доходы, чтобы международная торговля осталась сбалансированной, т.е. чтобы сумма платежей всех государств была равна суммарной выручке от внешней и внутренней торговли.
Общая выручка pi от внешней и внутренней торговли г-го государ- п
ства вычисляется по формуле 科=£ aijXj.
片1
В сбалансированной системе международной торговли не должно быть дефицита, т.е. у каждой страны выручка от торговли должна быть не меньше ее нгщионального дохода： р{ > х^ г — 1, 2,..., п.
п—
Однако, поскольку £ 口订=1, 7 = 1, 2,п, то пп пп ппп
е3 = ееa产/ = e叼£旳=e叼2 eg■
Последнее неравенство справедливо только в случае, когда р» = д, г = 1, 2,..., п, т.е. у всех торгующих стран выручка от внешней и внутренней торговли должна совпадать с надиональным доходом.
В матричной записи это означает, что имеет место равенство АХ = X, где Л — структурная матрица международной торговли, а X — вектор надиональных доходов.
Отсюда следует, что баланс в международной торговле будет достигнут, если единица является собственным значением структурной матрицы международной торговли, а вектор надиональных доходов торгующих стран — собственным вектором, отвечающим этому единичному собственному значению.
ЗАДАНИЕ 2.20
Найдите надиональные доходы торгующих стран в сбалансированной системе международной торговли с заданной структурной матрицей торговли.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений.
Определите структурную матрицу торговли.
Найдите собственный вектор, отвечающий собственному значению структурной матрицы торговли, равному единице.
Пример выполнения задания
Найдите надиональные доходы торгующих стран в сбалансировалной системе международной торговли со структурной матрицей торговли
/1111\
3524
1111
6244
41084
1111\4584/
Решение задачи в среде Mathcad приведено ниже.
11:11352411116244А ：=11114而841111458411:11352411116244А ：=11114而8411114584elgenvec(A, 1)=elgenvec(A, 1)=0.5990.58503560.4150.5990.58503560.415
1
1
:1
1
3
5
2
4
1
1
1
1
6
2
4
4
А ：=
1
1
1
1
4
而
8
4
1
1
1
1
4
5
8
4
1
1
:1
1
3
5
2
4
1
1
1
1
6
2
4
4
А ：=
1
1
1
1
4
而
8
4
1
1
1
1
4
5
8
4
elgenvec(A, 1)=
elgenvec(A, 1)=
0.599
0.585
0356
0.415
0.599
0.585
0356
0.415
Из приведенных вычислений видно, что для сохранения баланса в системе международной торговли национальные доходы 矶 此, 工3,立4 четырех торгующих стран должны удовлетворять условию (11,物 сз,工4)= с(0.599, 0.585, 0.356, 0.415) с произвольной константой с.
2.9
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
В общем случае задача линейного программировалия формулируется следующим образом. Найти величины Xi, Х2, хп, доставляющие минимум линейной функции
./(С].,化2, • • •)^п} = С|XI +。2土2 + • • • + ^п*^п
и удовлетворяющие условиям, которые могут быть только равенствами и неравенствами вида
а61£1 +a€2化2 + . . . +afn七门Wь2,
а比1N1 + a比262 + - - + dkn^n =玩,
ap1C1 + aР2e2 + .…+ flpn^n 2 bp, £ R k R p.
Среди ограничений часто встречаются условия неотрицательности всех или части переменных:
Xj > 0.
Хотя условия неотрицательности являются частным случаем ограничений общего вида, их принято выделять в особую группу.
Функция /(xi,X2,...,xn) называется целевой функцией.
Пример 1. Найти значения переменных х, у, которые доставляют максимум функции f(x,y) = х + 2у при условиях
—3z + 14y < 1,
n+心16,
z +旬》4,
x > 0, у > 0.
Поскольку в задаче только две переменные, можно рассмотреть геометрическую интерпретацию данных задачи на плоскости и найти решение геометрическими методами.
Каждое неравенство означает, что допустимые значения переменных —координаты точек, лежащих в области, ограниченной координатными осями (условия х > 0, у 之 0) ниже соответствующей прямой (для последнего неравенства — выше). Изображения соответствующих областей для каждого из трех условий, построенные в среде Mathcad, приведены на рис. 2.9.
Область изменения х, у, удовлетворяющих всем трем ограничениям, —многоугольник ABCDE〉ограниченный пересекающимися прямыми и координатной осью Ох (рис. 2.10).
Линии уровня функции f(x^y) = С — семейство параллельных прямых х + 2у = С. Чем больше значение константы С, тем правее расположена соответствующая прямая. Линии уровня для С = 1, 3, 5, 7 приведены на рис. 2.11 (они изображены толстой линией).
-Зх+14у<=1-Зх+14у<=1Рис. 2.9. Геометрическое изображение ограниченийРис. 2.9. Геометрическое изображение ограничений
-Зх+14у<=1
-Зх+14у<=1
Рис. 2.9. Геометрическое изображение ограничений
Рис. 2.9. Геометрическое изображение ограничений
-Зх+14у<=1 х+у<=6 х-у<=3 х+4у>=4 х>=0 у>=0-Зх+14у<=1 х+у<=6 х-у<=3 х+4у>=4 х>=0 у>=0У"х)У2(х)У3(х)_У4(х)У"х)У2(х)У3(х)_У4(х)Рис. 2.10. Область допустимых значенийРис. 2.10. Область допустимых значенийУ1(х)У2(х)_уЗ(х)У4(х)У1(х)У2(х)_уЗ(х)У4(х)У"х)У2(х) 火).У4(х)У"х)У2(х) 火).У4(х)У"х)У2(х) /纹У4(х)У"х)У2(х) /纹У4(х)XXРис. 2.11. Линии уровня х + 2т/ = 1, 3, 5, 7 целевой функции /(£,д) = х + 2уРис. 2.11. Линии уровня х + 2т/ = 1, 3, 5, 7 целевой функции /(£,д) = х + 2у
-Зх+14у<=1 х+у<=6 х-у<=3 х+4у>=4 х>=0 у>=0
-Зх+14у<=1 х+у<=6 х-у<=3 х+4у>=4 х>=0 у>=0
У"х)
У2(х)
У3(х)_
У4(х)
У"х)
У2(х)
У3(х)_
У4(х)
Рис. 2.10. Область допустимых значений
Рис. 2.10. Область допустимых значений
У1(х)
У2(х)
_уЗ(х)
У4(х)
У1(х)
У2(х)
_уЗ(х)
У4(х)
У"х)
У2(х) 火).
У4(х)
У"х)
У2(х) 火).
У4(х)
У"х)
У2(х) /纹
У4(х)
У"х)
У2(х) /纹
У4(х)
X
X
Рис. 2.11. Линии уровня х + 2т/ = 1, 3, 5, 7 целевой функции /(£,д) = х + 2у
Рис. 2.11. Линии уровня х + 2т/ = 1, 3, 5, 7 целевой функции /(£,д) = х + 2у
Из рис. 2.11 видно, что целевая функция достигает наибольшего значения в самой правой верхней вершине многоугольника, в точке D (в точке пересечения прямых —Зх + 14y = 1 н ①+ у = 6).
Mathcad позволяет легко вычислить координаты этой точки и значение целевой функции в ней. Фрагмент рабочего документа с вычислением координат точки максимума и значения целевой функции в ней приведен ниже.
Given -3；х + 14у=—
х + у=6 flnd(x,y) f [9
17
f(x,y) = х + 2у f 惇 ^)=7.118
Таким образом, задача линейного программирования для двух переменных решена геометрически: найдено наибольшее допустимое значение целевой функции:
тах〃с,у) = тах(с + 2у) = / 請]|) ~ 7.118.
Легко видеть, что минимум целевой функции достигается в самой левой вершине многоугольника, в точке В.
Пример 2. Найти значения переменных х, у, которые доставляют максимум (минимум) функции / (土，沙)=6工 + Зу при условиях
‘2土+ у ? 2,
Зх — 4у < 12,
С 2 о, У >о.
На рис. 2.12 изображена область допустимых значений переменных х и у, ограниченная прямыми 2土+ у = 2, Зх — 4у — 12 и координатными осями.
Рис. 2.12. Неограниченная область допустимых значений переменныхРис. 2.12. Неограниченная область допустимых значений переменных
Рис. 2.12. Неограниченная область допустимых значений переменных
Рис. 2.12. Неограниченная область допустимых значений переменных
С увеличением значения константы С линия уровня целевой функции сдвигается вправо. Как видно из рис. 2.12, область допустимых значений не ограничена в этом направлении. Это означает, что целевая функция может принимать как угодно большие значения, т.е. задача об отыскайии максимума целевой функции при заданных ограничениях не имеет решения. С другой стороны, с уменьшением С линия уровня целевой функции сдвигается влево и при С = 6 совпадает с границей области допустимых значений переменных. Последнее означает, что задача об отыскании минимума целевой функции имеет бесконечно много решений. Наименьшее допустимое значение целевой функции /(х,у) = 6 достигается на отрезке прямой 2х + у = 2, х Е [0, 2].
ЗАДАНИЕ
Найдите минимум целевой функции /(х,у) — ах + Ьу при ограничениях
Г@11① + О12У < 瓦，@21① + @22У W 历，@31① + О32У W &3,
/ > 0, у >0.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений.
Запишите в виде y = kx + b уравнения прямых, ограничивающих область допустимых значений переменных.
Изобразите на графике соответствующие прямые и определите область допустимых значений переменных.
Постройте для одного или нескольких значений С линии уровня целевой функции /(х,у) = С (столько, сколько понадобится, чтобы понять, имеет ли задача решение и где достигается искомый экстремум).
Если задача имеет единственное решение, найдите вершину, в которой достигается искомое экстремальное значение (максимум или минимум) целевой функции, и укажите ее координаты.
Вычислите значение целевой функции в найденной точке.
Если задача имеет бесконечное множество решений, экстремум достигается на отрезке, на полупрямой или на прямой, то вычислите соответствующее экстремальное значение целевой функции и опишите множество решений.
• 8. Сформулируйте и запишите в рабочем документе вывод.
Пример выполнения задания
Найти минимум целевой функции /(£,у) = 2/ + Зу при ограничения^
х + у<5, х + 2у>4, 2х + у > 5, х > 0? у 2 0.
Фрагмент рабочего документа Mathcad с решением задачи приведен ниже.
х + у・5 -х + 5х + у・5 -х + 5у1(х) л 5у1(х) л 5х + 2 у=4х + 2 у=4--x + 2 2--x + 2 2у2(х) ：= — х + 2у2(х) ：= — х + 22 х + у«5 -2 х + 52 х + у«5 -2 х + 5уЗ(х) ：= -2 х + 5уЗ(х) ：= -2 х + 5
х + у・5 -х + 5
х + у・5 -х + 5
у1(х) л 5
у1(х) л 5
х + 2 у=4
х + 2 у=4
--x + 2 2
--x + 2 2
у2(х) ：= — х + 2
у2(х) ：= — х + 2
2 х + у«5 -2 х + 5
2 х + у«5 -2 х + 5
уЗ(х) ：= -2 х + 5
уЗ(х) ：= -2 х + 5
2 х + 3 у=с —х + - с с ：= 7332 х + 3 у=с —х + - с с ：= 733У4(х)：=У4(х)：=-21一х + - С 33-21一х + - С 33
2 х + 3 у=с —х + - с с ：= 733
2 х + 3 у=с —х + - с с ：= 733
У4(х)：=
У4(х)：=
-21
一х + - С 33
-21
一х + - С 33
Задача имеет единственное решение. Минимум целевой функции достигается в точке пересечения прямых х+2=4, 2х+у*5.
Given х + 2 у=4
2 х + у=5 Find(x,y)->.
f(x,y) ：= 2 х + З у fmin ：= f(2 J) fmin = 7
Минимальное значение целевой функции равно 7, оно достигается в точке х=2, у^1. fmln»^,!)»?.
Указание. Для того чтобы ввести и разрешить относительно у ограничение £ + у М 5, введите левую часть неравенства, знак символьного равенства (<Ctrl> + < = >) и правую часть неравенства; пометьте выделяющей рамкой переменную у, щелкните в меню Symbolic по строке Solve ——результат вычислений будет выведен в рабочем документе справа от уравнения; введите имя функции (в рассматриваем примере ——yl(x)) и присвойте ей полученное выражение. Таким образом определено уравнение одной из прямых, ограничивающих область допустимых значений. Аналогично введите остальные ограничения. Введите уравнение ах -\-Ъу = С линии уровня целевой функции. Действуйте\так же, как и при вводе ограничений, но, перед тем как разрешать уравнение относительно д, присвойте какое-нибудь значение константе С. Постройте графики —— прямые, ограничивающие область допустимых значений, и линии уровня целевой функции (см. гл. 1). На рис. 2.13 изображено окно определения параметров графика, приведенного в рабочем документе. Изменяя значение константы С, например С = 2, 3, 4,..., 10, наблюдайте за движением прямой, определяющей линии уровня целевой функции, и сформулируйте вывод о разрешимости задачи. В приведенном фрагменте минимум целевой функции достигается в точке пересечения прямых £ + у = 5, £ + 2g = 4. Найдите координаты точки, используя функцию Find.
；Fotmalling Cuitenlly Selected X-Y Ptot；Fotmalling Cuitenlly Selected X-Y Ptot"I ^9 I |]du&| Ым1ь[ ММ“"I ^9 I |]du&| Ым1ь[ ММ“「Log S pale; 厂 Ц111d Lines 卩 Ni.-awd P A itcscde Г £gv&%$ P uJcSd Numbei 就 'T…Г £iiarV r h'"»「Log S pale; 厂 Ц111d Lines 卩 Ni.-awd P A itcscde Г £gv&%$ P uJcSd Numbei 就 'T…Г £iiarV r h'"»Г 4МГГ" 3 «J L г нI? 5 MM17耻4冲 Г"孙独麻金融Н Р А^зОцС Nur bo, с! GWГ 4МГГ" 3 «J L г нI? 5 MM17耻4冲 Г"孙独麻金融Н Р А^зОцС Nur bo, с! GWГ EjudS^fafГ EjudS^fafFoiroailing CunenUy Selected X-Y PlotFoiroailing CunenUy Selected X-Y Plotini I П| ► * I IC■，出nv.ini I П| ► * I IC■，出nv.Рис. 2.13. Настройка параметров графиковРис. 2.13. Настройка параметров графиков
；Fotmalling Cuitenlly Selected X-Y Ptot
；Fotmalling Cuitenlly Selected X-Y Ptot
"I ^9 I |]du&| Ым1ь[ ММ“
"I ^9 I |]du&| Ым1ь[ ММ“
「Log S pale; 厂 Ц111d Lines 卩 Ni.-awd P A itcscde Г £gv&%$ P uJcSd Numbei 就 '
T…
Г £iiarV r h'"»
「Log S pale; 厂 Ц111d Lines 卩 Ni.-awd P A itcscde Г £gv&%$ P uJcSd Numbei 就 '
T…
Г £iiarV r h'"»
Г 4МГ
Г" 3 «J L г н
I? 5 MM
17耻4冲 Г"孙独麻金融Н Р А^зОцС Nur bo, с! GW
Г 4МГ
Г" 3 «J L г н
I? 5 MM
17耻4冲 Г"孙独麻金融Н Р А^зОцС Nur bo, с! GW
Г EjudS^faf
Г EjudS^faf
Foiroailing CunenUy Selected X-Y Plot
Foiroailing CunenUy Selected X-Y Plot
ini I П| ► * I IC■，出nv.
ini I П| ► * I IC■，出nv.
Рис. 2.13. Настройка параметров графиков
Рис. 2.13. Настройка параметров графиков
2.10
РЕШЕНИЕ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
Проекции на подпространство и метод наименьших квадратов
В разд. 2.5 представлена структура решений совместной системы линейных алгебраических уравнений Ах = Ь. Здесь будут рассмотрены задачи, в которых возникает необходимость решения несовместных систем.
Обозначим буквой г вектор невязки: г = Ах — Ь. Если система совместна и вектор х — ее решение, то Ах = Ь, или, что то же самое, вектор невязки г равен нулю. Справедливо и обратное: если г = Ах — b равен нулю, то х — решение системы Ах = Ь. Тогда можно сказать, что система Ах = b несовместна^ если для любого вектора ж вектор невязки г = Ах — b отличен от нуля. Отсюда следует парадоксальное утверждение о том, что любая линейная система после ввода в память компьютера становится^ вообще говоря, несовместной. Действительно, поскольку при вводе правой части и матрицы системы в память компьютера появляются погрешности округления, точное равенство Ах = b нарушается и система уравнений становится несовместной. Если система Ах = b несовместна (не существует такого вектора ж, для которого справедливо равенство г = Ах — Ь = 0), то попытаемся найти такой вектор ж, при котором разность Ах — b в каком-либо смысле минимальна.
Назовем невязкой длину |г| вектора невязки г = (ri г^ ... гп)т, п
т.е. |г|2 = ^2 ri- Вектор ж*, доставляющий минимум невязке |г| = =\Ах — Ь|, назывгьется нормальным обобщенным решением системы Ах = Ь, min \Ах — Ь| = \Ах* — Ь|. Очевидно, что в случае совместной системы min \Ах — Ь| = \Ах* — Ь| = 0 и обобщенное решение совпадает с обычным (классическим) решением. '
Пусть X =(Х1 七2 …хп)Т И 4<1>, А<2>, А<п> — столбцы матрицы А. Тогда равенство Ах = b можно записать в виде xiA<r> + + 七2厶<2> + •. • + xnA<n> = Ь, откуда следует, что линейная система Ах = b совместна тогда и только тогда, когда правая часть b принадлежит пространству столбцов матрицы* А.
Естественно предположить (рис. 2.14), что невязка |г| минимальна, когда вектор невязки г = Ах — b ортогонален пространству столбцов матрицы А и вектор Аж*— ортогональная проекция Ах на пространство столбцов матрицы А, т.е. min \Ах — b| = min у/(Ах — Ь) (Ах — Ь).
В матричной форме это можно записать следующим образом.
Для произвольного у W IRn вектор Ау ортогонален вектору 4纪* — Ь, откуда:
(Ау)-(Ах*-Ь) = 0, (4y)T(Ar*-b)=0,уТ(*4Е*-4rb) =0, у^Ах* -^^=0, j/GRn.
Рис. 2.14. Проекция правой части системы Ах = b на пространство столбцов матрицу А
Следовательно,
4TAг* - 4% = 0.
Таким образом, нормальное обобщенное решение системы Ах = Ь является решением системы
4Tb = 0
и, если матрица А7 А обратима, его можно вычислить по формуле
с* = (АТЛ)~1АТЬ.
Линейная система АТАх = 4Tb называется нормальной системой уравнений метода нименъших квадратов для Ах = Ь, а описанный метод решения линейной системы ——методом наименьших квадратов^ поскольку
п п2
陶血一u=噩E(e吁厂幻.
\ г=1 j=l
ЗАДАНИЕ 2.21
Найдите нормальное обобщенное решение линейной системы Ах = Ь для Ь = Ь<1>, Ь = Ь<2>. Вычислите классическое решение системы, если оно существует, и сравните его с обобщенным.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений.
Присвойте переменной ORIGIN значение, равное единице.
Введите матрицу системы и обе правые части.
Найдите матрицу и правые части нормальной системы метода наименьших квадратов.
Найдите нормальные обобщенные решения системы для обеих правых частей.
Найдите значения невязок, достигнутые на нормальных решениях.
Сформулируйте и запишите в рабочем документе вывод о совместности систем.
Найдите классическое решение совместной системы. Сравните его с обобщенным решением.
Найдите невязку для классического решения.
Сформулируйте вывод и запишите его в рабочем документе.
Пример выполнения задания
Найдите нормальное обобщенное решение линейной системы Ах = b Для
/11 2 \2/11 2 \22 3\2 45 74 6 /2 3\2 45 74 6 /ь = b<i> =ь = b<i> =/3\37\6//3\37\6/b = Ь<2> =b = Ь<2> =/3\37/3\37
/1
1 2 \2
/1
1 2 \2
2 3\
2 4
5 7
4 6 /
2 3\
2 4
5 7
4 6 /
ь = b<i> =
ь = b<i> =
/3\
3
7\6/
/3\
3
7\6/
b = Ь<2> =
b = Ь<2> =
/3\
3
7
/3\
3
7
Фрагмент рабочего документа Mathcad с решением задачи приведен ниже.
ORIGIN ：= 1
10 22 35
АР^Ьа Ьр1 ：= А1^ Ы 6卩2 ：=炉力2 АР = 22 49 77 35 77 123
хп1 ：= АР'1 Ьр1 хп1 = 1
-9.76996 dO"15
2.66667
хп2 ：= АР" Ьр2 хп2 = 0-33333 -В.43769-10"15
г1 ：= | А хп1 - Ы |г1 ：= | А хп1 - Ы |г2 ：= | А хп2 - Ь2 |г2 ：= | А хп2 - Ь2 |
г1 ：= | А хп1 - Ы |
г1 ：= | А хп1 - Ы |
г2 ：= | А хп2 - Ь2 |
г2 ：= | А хп2 - Ь2 |
г1 = 2.70127-10~13г2 = 0.57735
Минимум невязки для системы Ах=Ы с точностью до погрешностей округления равен нулю. Следовательно, система Ах=Ы совместна. Минимум невязки для системы Ах=Ь2 равен -0.57735, отличен от нуля, следовательно, система Ах=Ь2 несовместна
г ：= I А х - Ы Iг = 0г ：= I А х - Ы Iг = 010 0 1
г ：= I А х - Ы I
г = 0
г ：= I А х - Ы I
г = 0
0 10 1
rref(augment(A, Ь1)) = 口 °〔 °
0 0 0 0
Классическое решение х совместной системы Ах=Ы совпадает с нормальным обобщенным решением хп1, минимум невязки для точного решения равен нулю
Указание. Для того чтобы вычислить минимум невязки, щелкните в панели матричных инструментов по кнопке | 図 | и введите в помеченной позиции имя или выражение (в приведенном фрагменте это А ■ xnl — Ы и А ■ хп2 — Ь2).
Точное решение системы Ах = bl легко получить из ступенчатой формы расширенной матрицы системы (в приведенном фрагменте, очевидно, эквивалентная система имеет вид £i = 1,皿=1)£з = 0).
Аппроксимация эмпирических данных методом наименьших квадратов
Необходимость решения несовместных систем достаточно часто возникает в практических расчетах, например при анализе эмпирических данных, в том числе и экономических.
В экономике рассматриваются связи между стоимостью продукции, объемом производства, ценой и прибылью. Несмотря на сложность этих связей, в определенных моделях они могут быть линейными (см. разд. 2.8). Пусть, например, выпуск 九 экземпляров изделия обходится в сумму Ji? выпуск 力2 экземпляров — в сумму 统 И т.д. Тогда производитель может оценить сумму издержек у на следующей неделе, предположив, что она линейно зависит от объема выпуска W: у = ct + d^ и оценив значения коэффициентов с, d по уже
имеющимся данным. Коэффициент с называется предельной стоимостью производство^, а коэффициент d определяет накладные рас- ходы^
Предположив, что эмпирические данные （力i, gi）,（力2, У2）, • • •, （%п, Уп） подчиняются зависимости у = ct + d）получим относительно неизвестных с, d систему линейных алгебраических уравнений
ch + d = yi,（夕1 \Ct2+d = U2, Ах = ь 4 =«21,ь =У2En + d = Уп,'% 1丿\Уп）ch + d = yi,（夕1 \Ct2+d = U2, Ах = ь 4 =«21,ь =У2En + d = Уп,'% 1丿\Уп）
ch + d = yi,
（夕1 \
Ct2+d = U2, Ах = ь 4 =
«21
,ь =
У2
En + d = Уп,
'% 1丿
\Уп）
ch + d = yi,
（夕1 \
Ct2+d = U2, Ах = ь 4 =
«21
,ь =
У2
En + d = Уп,
'% 1丿
\Уп）
в которой при п > 2 уравнений больше, чем неизвестных. Линейная система, число уравнений в которой больше числа неизвестных, называется переопределенной.
Если линейное соотношение действительно справедливо и эмпирические данные （力i,yi）〉（力2,У2）〉（力п,Уп） измерены точно, то полу
ченная система совместна, ранг матрицы системы равен двум （число неизвестных） и значения коэффициентов линейной зависимости можно найти из первых двух уравнений системы. На практике такая ситуация невозможна — эмпирические данные по своей природе всегда содержат ошибку, а линейная модель лишь приближенно описывает реальные связи величин. Следовательно, система несовместна и ее нормальное обобщенное решение позволяет найти наилучшие приближенные значения коэффициентов линейной функции, поскольку в этом случае невязка минимальна. Построенному таким образом решению можно дать геометрическую интерпретацию. Поскольку min \Ах — Ь| =
. ГпV
= rtiin 4/兄（Е： + d —仇）2, то линейная зависимость v = с/ + d — это прямая на плоскости переменных & у, сумма квадратов расстояний до которой от заданных эмпирических точек （力i,yi）,（力2,У2）,…（力тг,Уп） минимальна.
Нормальное обобщенное решение в этом случае является решением нормальной системы метода наименьших квадратов:
（屜4）⑵=（4%）,
* Обычно важнее знать величину предельной стоимости с, чем накладные расходы d.
где
ЗАДАНИЕ 2.22
Найдите методом наименьших квадратов значения коэффициентов линейной зависимости у = ан + b по заданным эмпирическим данным. Используя найденную линейную зависимость, вычислите значение у в указанной точке х.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений.
Присвойте переменной ORIGIN значение, равное единице.
Введите векторы ж, у, элементы которых — заданные эмпирические данные.
Определите матрицу Л соответствующей линейной системы, первый столбец которой 力<1> = ж а элементы второго —— единицы.
Найдите решение нормальной системы метода наименьших квадратов, используя функцию IsoIve.
Вычислите аппроксимирующую прямую, используя функции intersept(x, у) и slope(x, у), которые вычисляют по заданным векторам экспериментальных данных ж, у коэффициенты 6, а.
Изобразите графики полученных линейных функций и заданные экспериментальные точки.
Найдите значение у = ас + b в указанной точке х.
Пример выполнения задания
Для изучения зависимости октанового числа бензина от чистоты катализатора (%) провели 11 измерений, приведенных ниже.
Октановое число
98.8
98.9
99.0
99.1
99.2
99.3
99.4
99.5
99.6
99.7
99.8
Чистота катализатора
87.1
86.6
86.4
87.3
86.1
86.8
87.2
88.4
87.2
86.4
88.6
Найдите коэффициенты а, b линейной зависимости у — ах + Ъ октанового числа от чистоты катализатора. Вычислите значение октанового числа для чистоты катализатора 87%. Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий соответствующие вычисления и графики, приведен ниже.
0.871
0.988
1
0.861
0.989
1
0.864
0.990
1
0.873
0.991
1
0.861
0.992
1
X 二
0.868
Y =
0.993
Д<О = X
А<2> ,=
1
0.872
0.994
1
0.884
0.995
1
0.872
0.996
1
0.864
0.997
1
0.886
0.998
1
а
：=lsolve(A^ А,лТ Y) 1(х) ：= а х + b
lm(x) ：= intercept(X,Y) + slope(X?Y) х i ：= 1 11lm(x) ：= intercept(X,Y) + slope(X?Y) х i ：= 1 11Im (0.870) = 0.993Im (0.870) = 0.9931(0.870)二 0.9931(0.870)二 0.993a 二 0.204a 二 0.204b = 0.815b = 0.815slope(X.Y) = 0.204slope(X.Y) = 0.204intercept X,Y) = 0.815intercept X,Y) = 0.815
lm(x) ：= intercept(X,Y) + slope(X?Y) х i ：= 1 11
lm(x) ：= intercept(X,Y) + slope(X?Y) х i ：= 1 11
Im (0.870) = 0.993
Im (0.870) = 0.993
1(0.870)二 0.993
1(0.870)二 0.993
a 二 0.204
a 二 0.204
b = 0.815
b = 0.815
slope(X.Y) = 0.204
slope(X.Y) = 0.204
intercept X,Y) = 0.815
intercept X,Y) = 0.815
У казание. Функция lsolve(A, b) возвращает вектор x решения системы Ах = b, налденного методом Гаусса с оценкой числа обусловленности. Здесь не используется явная формула решения нормальной обобщенной системы н = =(А7А)-1 ^Ь^ поскольку часто в задачах об аппроксимации эмпирических данных
Foimatling Cunenlf^ Sele I« il " Y PielFoimatling Cunenlf^ Sele I« il " Y Piel"«*1 M JI J|^2sJ|purw jj|2_J"«*1 M JI J|^2sJ|purw jj|2_JГ ЧсэДгдлткп;» P ^-dsLcasrc 'Г ЧсэДгдлткп;» P ^-dsLcasrc 'Рис. 2.15. Окна настройки параметров графиковРис. 2.15. Окна настройки параметров графиков
Foimatling Cunenlf^ Sele I« il " Y Piel
Foimatling Cunenlf^ Sele I« il " Y Piel
"«*1 M JI J|^2sJ|purw jj|2_J
"«*1 M JI J|^2sJ|purw jj|2_J
Г ЧсэДгдлткп;» P ^-dsLcasrc '
Г ЧсэДгдлткп;» P ^-dsLcasrc '
Рис. 2.15. Окна настройки параметров графиков
Рис. 2.15. Окна настройки параметров графиков
матрица А А получается плохо обусловленной* и при вычислении обратной к ней матрицы возникают большие погрешности округления. Функции intersept(x, у) и slope(x, у) возвращают значения коэффициентов 6 и а линейной функции у = =с + А аппроксимирующей экспериментальные данные, сохраненные в векторах х и у. Для того чтобы построить графики, щелкните по свободному месту в рабочем документе и по кнопке декартова графика [Е^ в панели графиков И- Введите в качестве аргумента имя Xj, а в качестве функции, через запятую, имена Yj, l(Xj), 1т(Х；). Здесь Yj — экспериментальные точки； l(Xj) —— линейная функция, вычисленная с помощью IsoIve; Im(Xj)——линейная функция, вычисленная с помощью intersept и slope. На рис. 2.15 представлен вид окон настройки графиков, из обряженных в документе. Значения октанового числа, вычисленные для частоты катализатора 0.870 по обеим формулам, совпадают. Совпадают и приведенные в последних строках рабочего документа коэффициенты линейной функции, вычисленные обоими способами.
ГЛАВА “
ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
3.1
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ MATHCAD
Приступая к решению в Mathcad задач математического анализа, познакомимся с инструментами, которые предоставляет для этого пакет. Как определить функцию и вычислить ее значение, как построить график функции, решить простейшее уравнение, описано в гл. 1. В этой главе будет показано, как построить графики функций, заданных в полярных координатах и в параметрической форме, как вычислить предел, производную, определенный и неопределенный интеграл, найти разложение функции по формуле Тейлора и вычислить сумму ряда. Заметим, что рассматриваются лишь некоторые функции Mathcad, предназначенные для решения задач анализа, и не обсуждаются возможности программирования в пакете.
Как отмечалось ранее, большинство вычислении в Mathcad можно выполнить тремя способами: используя соответствующее меню, с помощью панелей инструментов или обращением к функции. Предполагается, что предварительно в меню Math установлены режимы автоматических вычислений и отображения результатов символьных вычислений по горизонтали.
Определение функций и построение графиков
Для того чтобы определить функцию одной переменной, введите с клавиатуры имя функции с аргументом в круглых скобках, знак равенства (он будет отображен в рабочем документе как знак присваивания ” :=”) и справа от него ——выражение для вычисления функции. В записи выражения для функции можно использовать знаки (имена) элементарных функций, вводя их с клавиатуры или вставляя в рабочий документ функцию, выбранную из списка Function (Функция) в меню Insert (Вставка) (рис. 3.1).
При вводе выражения через меню установите курсор в нужной позиции, щелкните по строке Function в меню Insert, выберите с
Рис. 3.1. Вид меню InsertРис. 3.1. Вид меню Insertи окна диалога со списком встроенных функцийи окна диалога со списком встроенных функций
Рис. 3.1. Вид меню Insert
Рис. 3.1. Вид меню Insert
и окна диалога со списком встроенных функций
и окна диалога со списком встроенных функций
помощью стрелок прокрутки имя нужной функции и щелкните по кнопке Г Insert I，
Выражение можно вводить также с помощью кнопок панели ин
струментов Arithmetic (Калькулятор) (рис. 3.2), которая открывает-
ся щелчком по кнопкеся щелчком по кнопкеРис. 3.2. Панель инструментов для ввода простейших выраженийРис. 3.2. Панель инструментов для ввода простейших выраженийинструментов.инструментов.
ся щелчком по кнопке
ся щелчком по кнопке
Рис. 3.2. Панель инструментов для ввода простейших выражений
Рис. 3.2. Панель инструментов для ввода простейших выражений
инструментов.
инструментов.
Для того чтобы вставить в выражение имя или символ функции из панели, установите курсор в нужной позиции, щелкните по кнопке в панели и введите в помеченных позициях аргументы и параметры функции. Поскольку в математическом анализе для обозначения переменных часто используются буквы греческого алфавита, в панели математических инструментов есть кнопка |喇,щелчок по которой открывает панель греческого алфавита. Для того чтобы вставить букву в выражение, установите курсор в нужной позиции и щелкните по кнопке с нужной буквой.
Чтобы вычислить значение функции в точке, введите в рабочий документ с клавиатуры имя функции, укажите в скобках значение аргумента, выделите выражение, введите знак равенства и щелкните по свободному месту в рабочем документе.
Пример 1. Определение функции 〃力)=2tsm(3t-1)一 arctg ；. Вычисление значений функции в точках 土 = 1 и 力=2.
Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями приведен ниже.
f⑴=а®м з t - 1)一 atan (；) f(1) = 1.093 t = 2 f(t) = -0.199
Инструменты для построения графиков в Mathcad доступны в панели инструментов Graph (Графики), которая открывается щелчком по кнопке }?У] в панели математических инструментов, через меню Graph — в меню Insert (рис. 3.3).
InsertInsertF整 nwtF整 nwtMath蝕mbog蜘面整Math蝕mbog蜘面整
Insert
Insert
F整 nwt
F整 nwt
Math蝕mbog蜘面整
Math蝕mbog蜘面整
GraphGraph「『％ ib「『％ ib
Graph
Graph
「『％ ib
「『％ ib
Msbw- Eunctou母MMsbw- Eunctou母MDrUM CtrkF CrMJ RATDrUM CtrkF CrMJ RAT_ folarPlot Surface Plot CDltDUrPfot 髓 Sca4«FI& X£« Chart_ folarPlot Surface Plot CDltDUrPfot 髓 Sca4«FI& X£« ChartСЫ*7◎16СЫ*7◎16Yqf Wh 3rl■J^t RegionYqf Wh 3rl■J^t Region
Msbw- Eunctou
母M
Msbw- Eunctou
母M
DrUM CtrkF CrMJ RAT
DrUM CtrkF CrMJ RAT
_ folarPlot Surface Plot CDltDUrPfot 髓 Sca4«FI& X£« Chart
_ folarPlot Surface Plot CDltDUrPfot 髓 Sca4«FI& X£« Chart
СЫ*7
◎16
СЫ*7
◎16
Yqf Wh 3rl
■J^t Region
Yqf Wh 3rl
■J^t Region
йй工и邑мж№七®・工и邑мж№七®・
й
й
工и邑мж№七®・
工и邑мж№七®・
P^gteak
Hypertnk geference. £ompon«i、 Qb3・
Рис. 3.3. Вид меню и панели инструментов для построения графиков
Правила работы с меню и кнопочной панелью при построении графиков такие же, как и при определении функции, — щелкните по рабочему документу и по соответствующей строке в меню или по кнопке в панели. Можно построить график функции, заданной в декартовых координатах или в параметрической форме (пункт меню
X-Y Plot или кнопка匝), а также график функции, заданной в полярных координатах (пункт меню Polar Plot или кнопка動
Для построения графиков функции, заданной в декартовых координатах, щелкните по рабочему документу, по пункту меню X-Y Plot (или по кнопке [^]); в рабочем документе откроется окно построения графиков. Введите в помеченной позиции возле оси абсцисс имя аргумента, а в позиции возле оси ординат ——имя функции и щелкните по рабочему документу вне окна графиков. Если нужно построить одновременно графики нескольких функций, введите, разделяя запятой, их имена в позиции возле оси абсцисс. Вместо имени функции можно ввести выражение для ее вычисления. Параметры изображения (цвет и толщина линий, координатная сетка, разметка осей, надписи на графиках и др.) проще всего изменить, щелкнув дважды по полю графика и установив настройки в соответствующих окнах диалога.
Пример 2. Построение графиков функций /(£)= £ + sin土 и g(七)=Esinc
Фрагмент рабочего документа Mathcad с определениями функций и их графиками приведен ниже.
f(x) ：= х + sin(x)
Вид окон диалога настройки параметров графиков приведен на рис. 3.4.
Графики функций, заданных в параметрической форме, строятся аналогично. Отличие состоит в том, что в позициях аргумента и функции вводятся выражения или имена соответствующих функций параметра.
Пример 3. Построение кривой, заданной в параметрической форме выражениями:
У =У =t(l-/)1+# •t(l-/)1+# •
У =
У =
t(l-/)
1+# •
t(l-/)
1+# •
Фрагмент рабочего документа Mathcad с определениями функций и их графиками приведен ниже. Представлена кривая функции у — у(н), координаты каждой точки (х, у) которой вычислены как функции параметра 左(х, у) = (土(川 У«))・
t(1 -t2)t(1 -t2)y(t)：=y(t)：=
t(1 -t2)
t(1 -t2)
y(t)：=
y(t)：=
liiiiiliili 嚥:|!1善|||1!
Рис. 3.4. Окна диалога настройки параметров графиков
Пример 4. Построение лемнискаты Бернулли г — 3,2 cos2g. Ниже приведен рабочий документ Mathcad с изображением лемнискаты.
r(*)；r(*)；
r(*)；
r(*)；
Для построения графика функции, заданной в полярных координатах, щелкните по рабочему документу, по пункту меню Polar Plot (или по кнопке |®|)——в рабочем документе откроется окно построения графиков. Введите в помеченных позициях имя аргумента и имя или выражение для функции, установите в окнах диалога, как и в предыдущих примерах, параметры изображения и щелкните по рабочему документу вне поля графиков.
Вычисление пределов
Большинство инструментов для решения задач математического анализа в Mathcad собрано в панели Calculus (Анализ), которая открывается щелчком по кнопке 偃]в панели математических инструментов. Вид панели приведен на рис. 3.5.
Рис. 3.5. Панель инструментов Calculus
Три нижние кнопки в панели предназначены для вычисления пределов. Кнопкой [^] в рабочий документ вставляется оператор вычисления предела функции в точке или на бесконечности, кнопками [^] и [^~| — операторы вычисления односторонних пределов соответственно
справа и слева.
Для того чтобы вычислить предел, щелкните по свободному месту в рабочем документе, затем щелкните по нужной кнопке, введите с клавиатуры в помеченных позициях имя или выражение допредельной функции и предельной точки, выделите все выражение и щелкните по строке Symbolically в пункте Evaluate в меню Symbolics (или нажмите на клавиатуре комбинацию клавиш <Shift>-F<F9>).
Пример 5. Вычисление пределов
limG—> + 8limG—> + 8，土 十 1，土 十 1lim е^,lim е^,lim е^.lim е^.
lim
G—> + 8
lim
G—> + 8
，土 十 1
，土 十 1
lim е^,
lim е^,
lim е^.
lim е^.
На рис. 3.6 приведен вид окна Mat head с вычисленными пределами и со всеми использованными в работе меню и панелями^
Рис. 3.6. Вычисление пределовРис. 3.6. Вычисление пределов
Рис. 3.6. Вычисление пределов
Рис. 3.6. Вычисление пределов
Указание. Установите режим автоматических вычислений и режим отображения результатов символьных вычислений по горизонтали. Для ввода символа квадратного корня и экспоненты используйте панель калькулятора. При вычислении пределов последовательностей определяйте элемент последовательности как функцию номера элемента и вычисляйте предел на бесконечности.
Дифференцирование
Выражение для производной функции в Mathcad можно найти двумя способами: с помощью панели инструментов Calculus и через меню символьных операций Symbolics.
Чтобы найти производную, щелкните по свободному месту в рабочем документе, щелкните в панели Calculus по кнопке [ ^ |, введите с клавиатуры в помеченных позициях имя или выражение функции и
аргумента, заключите все выражение в выделяющую рамку и щелкните по строке Symbolically в пункте Evaluate в меню Symbolics (или нажмите на клавиатуре комбинацию клавиш <Shift>+<F9>). Можно поступить иначе: выделить выражение для производной и щелкнуть в панели 叵]по кнопке При вычислении производных высших порядков щелкните по кнопке | 昌 |, введите в помеченных позициях выражение для функции, имя аргумента и порядок производной, а дальше действуйте так же, как при вычислении производной первого порядка.
Для того чтобы найти производную с помощью меню, введите в рабочий документ выражение для функции, выделите аргумент и щелкните по строке Differentiate в пункте Variable меню Symbolics (рис. 3.7).
Evaluate
M哂
Expand
Ewtor
Ebmmial Coe耻 ier^
Л ，・“，，，•、、，
[W*im£ 戸[W*im£ 戸食olwS』％：冲#tr食olwS』％：冲#tr，ЫШ1 И t|Bh储lh」4，ЫШ1 И t|Bh储lh」4Y，加寸依
[W*im£ 戸
[W*im£ 戸
食olw
S』％：冲#tr
食olw
S』％：冲#tr
，ЫШ1 И t|
Bh储lh」4
，ЫШ1 И t|
Bh储lh」4
EvahaticmS^ta.0EvahaticmS^ta.0gntegr 业gntegr 业£vand to Scries^.Convert g Part倔 Fraofai£vand to Scries^.Convert g Part倔 FraofaiIrenfoHn
EvahaticmS^ta.
0
EvahaticmS^ta.
0
gntegr 业
gntegr 业
£vand to Scries^.
Convert g Part倔 Fraofai
£vand to Scries^.
Convert g Part倔 Fraofai
Рис. 3.7. Символьное дифференцирование в меню Symbolics
Пример 6. Вычисление производных (с*)' и (хх)г,.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислением производной.
—Xх хх(1п(х) + 1)—— Xх хх(1п(х) + I)2 + ™
tlxd*2X
У к а з а н и е. Установите режим отображения результатов символьных вычислений по горизонтали и вычислите производную, используя панель Calculus.
Интегрирование
Символьное вычисление неопределенного интеграла в Mathcad можно выполнить двумя способами: с помощью панели инструментов Calculus и через меню символьных операций Symbolics.
Для того чтобы найти неопределенный интеграл, щелкните по свободному месту в рабочем документе, затем в панели Calculus ——по кнопке [Т], введите с клавиатуры в помеченных позициях выражение для функции и имя переменной интегрирования, заключите все выражение в выделяющую рамку и щелкните по строке Symbolically в пункте Evaluate в меню Symbolics (или нажмите на клавиатуре комбинацию клавищ <Shift>+<F9>). Определенный интеграл вычисляется аналогично: щелкните по кнопке | £ |? введите в помеченных позициях выражение для функции, имя переменной интегрирования и пределы интегрирования, а дальше действуйте так же, как при вычислении неопределенного интеграла.
Для того чтобы найти неопределенный интеграл с помощью меню, введите в рабочий документ выражение для интегрируемой функции, выделите переменную интегрирования и щелкните по строке Integrate в пункте Variable меню Symbolics.
1 + cosx1 + cosxdx иdx и1 +COSC1 +COSCПример 7. Вычисление интегралов
1 + cosx
1 + cosx
dx и
dx и
1 +COSC
1 +COSC
tanL- x1 + cos(x) \2 jtanL- x1 + cos(x) \2 j1 + cos(x)1 + cos(x)
tanL- x1 + cos(x) \2 j
tanL- x1 + cos(x) \2 j
1 + cos(x)
1 + cos(x)
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями.
1 + cos(x)
У каэание. Установите режим отображения результатов вычислений по горизонтали, вычислите неопределенный интеграл, используя сначала меню, а затем палель Calculus. Вычислите определенный интеграл, используя панель Calculus.
Суммирование рядов
Символьное вычисление конечных сумм и сумм сходящихся рядов в Mathcad выполняется с помощью палели инструментов Calculus.
Для того чтобы вычислить сумму, щелкните по свободному месту в рабочем документе, затем — по кнопке [й] в панели Calculus, введите с клавиатуры в помеченных позициях выражение для функции, имя индекса суммирования, его первое и последнее значения (для рядов введите в качестве последнего значения символ бесконечности, щелкнув по кнопке с символом оо в той же палели), заключите все выражение в выделяющую рамку и щелкните по строке Symbolically в пункте Evaluate в меню Symbolics (или нажмите на клавиатуре комбинацию клавиш <Shift>+<F9>). Для того чтобы получить вычисленное значение в десятичном формате, выделите его, щелкните в том же меню по строке Floating Point и введите в окне диалога требуемое число десятичных знаков. Можно сразу получить значение суммы в десятичном формате, если щелкнуть вместо Symbolically по строке Floating Point.
Пример 8. Вычисление частичных сумм ряда и суммирование рядов
1и乙氤n=0n=0
У — ехр(1) ехр(1) = 2.718 J п!и — О 102.717 V2.718厶n!п = 0У — ехр(1) ехр(1) = 2.718 J п!и — О 102.717 V2.718厶n!п = 0Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислением сумм рядов.
У — ехр(1) ехр(1) = 2.718 J п!
и — О 10
2.717 V2.718
厶n!
п = 0
У — ехр(1) ехр(1) = 2.718 J п!
и — О 10
2.717 V2.718
厶n!
п = 0
〉— ехр(х)
п = О
5
『1163
п = О
Указание. Установите режим отображения результатов символьных вычислений по горизонтали, вычислите сумму ряда； значение экспоненты, значение частичной суммы (суммы первых шести членов ряда) и преобразуйте его в десятичный формат; вычислите значение второй частичной суммы сразу в десятичном формате (см. разд. 1.3).
Разложение функций по формуле Тейлора
В Mathcad можно найти разложение функции по формуле Тейлора в окрестности любой точки из области определения функции. Сделать это можно через меню символьных вычислений или с помощью панели
Symbolic Keyword (Ключевые слова символьных операций), которая открывается щелчком по кнопке | 司 в панели математематических инструментов (рис. 3.8).
Рис. 3.8. Панель символьных операцийРис. 3.8. Панель символьных операций
Рис. 3.8. Панель символьных операций
Рис. 3.8. Панель символьных операций
При работе через меню введите функцию, выделите переменную, щелкните по строке Expand to Series (Разложение в ряд) в пункте Variable (Переменная) меню Symbolics, введите в окне диалога (рис. 3.9) степень старшего члена в разложении и щелкните по кнопке I Qk I.
Рис. 3.9. Мёню и окно диалога разложения по формуле Тейлора функции costРис. 3.9. Мёню и окно диалога разложения по формуле Тейлора функции cost
Рис. 3.9. Мёню и окно диалога разложения по формуле Тейлора функции cost
Рис. 3.9. Мёню и окно диалога разложения по формуле Тейлора функции cost
При работе с панелью символьных операций щелкните сначала по свободному месту в рабочем документе, затем — по кнопке 冲侬 ， введите перед ключевым словом series выражение для функции, а после ключевого слова ——имя переменной и точку, в окрестности которой строится разложение, щелкните в рабочем документе вне выделяющей рамки.
При работе с меню в рабочем документе отображается соответствующее разложение с остаточным членом в форме Пеано, при работе с панелью ключевых слов — только многочлен Тейлора (частичная сумма ряда Тейлора).
Пример 9. Разложение функции cos® по формуле Тейлора в окрестности нуля и в окрестности точки х = тг/2.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями.
1 21 4
cos(x) series^xeO 1 - --х +—х 224
,,. 霆f11 /1 v1 / 1 v
cos(x) senes. х=—->-х +_-я+ _-х---я-——■ х - --я
226 \2 丿120 \ 2 У
cos(x) 1 - 1-Х2 + £”Х“ + О(Х6)
Указание. Установите режим отображения результатов символьных вычислений по горизонтали и найдите разложение в окрестности нуля, используя панель символьных операции. Аналогично найдите разложение в окрестности точки тг/2. Испо,1ьзуя меню символьных операции, найдите разложение до шестой степени.
3.2
СХОДИМОСТЬ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Последовательность {ап} —— это функция, заданная на множестве натуральных чисел N = {1, 2,...}. Число а называется пределом последовательности {ап}, если для любого положительного числа е, как бы мало оно ни было, существует такой номер N, что для всех ап с номерами п> N справедливо неравенство |ап — а\ < е.
Неравенство \ап — а| < е, эквивалентное неравенству а — в < ап < < а -I- £, означает, что для любого £〉0 все ап с номерами п> N расположены между а — е и а-}- е.
Последовательность, предел которой ― число а, называется сходящейся^ и ее предел обозначают lim ап = а, п->оо
Если изобразить элементы последовательности ап на плоскости точками с координатами (п, ап), то неравенства а~-е<ап<а-^е означают, что все точки (п, ап) с номерами п> N расположены между параллельными оси абсцисс прямыми а — е и а + е.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, в котором исследована сходящаяся последовательность ап = >/2 и построен график, иллюстрирующий процесс сходимости.
Вычисление N&)Вычисление N&)(п/2-1)-£(п/2-1)-£Ш(2)1п(1 + £)Ш(2)1п(1 + £)N⑺；N⑺；М(2)(П(1 + £)М(2)(П(1 + £)Сходящаяся последовательность а(п):二脸
Вычисление N&)
Вычисление N&)
(п/2-1)-£
(п/2-1)-£
Ш(2)1п(1 + £)
Ш(2)1п(1 + £)
N⑺；
N⑺；
М(2)
(П(1 + £)
М(2)
(П(1 + £)
N(0.1) =7.273N(ODI) =69^61
I а(8) - 1 | = 0Л91| а(70) - 1 | = 9351«10~3
с 二 0.1 п ：= 1 ..50
^Последовательность {а„}, предел которой равен нулю ( lim а几=0), 几T8
называется бесконечно малой.
Ниже представлен фрагмент рабочего документа Mathcad с исследованием и графическим изображением бесконечно малой последовательности Ьп = (—l)nsini.
Бесконечно малая последовательность
b(n) ：= (-l)n-sln^lj lim b(n) -> 0
Вычисление N伯)Вычисление N伯)1asln(c)1asln(c)N（£）：= —^—asln（£）N（£）：= —^—asln（£）
Вычисление N伯)
Вычисление N伯)
1asln(c)
1asln(c)
N（£）：= —^—
asln（£）
N（£）：= —^—
asln（£）
N(0J) =9P83I b(10) I = 0.1£ ：= 0.1 n ：= 1 ..30N(0J) =9P83I b(10) I = 0.1£ ：= 0.1 n ：= 1 ..30N(OJD1) =99998I Ь(1(Ю) - 1 I = 099N(OJD1) =99998I Ь(1(Ю) - 1 I = 099
N(0J) =9P83
I b(10) I = 0.1
£ ：= 0.1 n ：= 1 ..30
N(0J) =9P83
I b(10) I = 0.1
£ ：= 0.1 n ：= 1 ..30
N(OJD1) =99998
I Ь(1(Ю) - 1 I = 099
N(OJD1) =99998
I Ь(1(Ю) - 1 I = 099
Последовательность {%} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа М, как бы велико оно ни было, существует такой номер N, что для всех 0n с номерами п > N справедливо неравенство 10nl > М, Залисывается это так: lim 0n = оо. птоо
Фрагмент рабочего документа Mathcad с исследованием и графическим изображением бесконечно большой последовательности 仇= =71п(10п4-1) предстешлен ниже.
Бесконечно больвая последовательность c(n) ：= 7-ln(10 п + 1) lim c(n) f・ n f ■
Вычисление N(M)7ln(10-n + 1)-MN(30) =7.165I c(8) I = 30.761Вычисление N(M)7ln(10-n + 1)-MN(30) =7.165I c(8) I = 30.761N(40) =30217I c(31) I = 40.179N(40) =30217I c(31) I = 40.179
Вычисление N(M)
7ln(10-n + 1)-M
N(30) =7.165
I c(8) I = 30.761
Вычисление N(M)
7ln(10-n + 1)-M
N(30) =7.165
I c(8) I = 30.761
N(40) =30217
I c(31) I = 40.179
N(40) =30217
I c(31) I = 40.179
Из приведенных вычислений видно, что сп > 30 при п > 8 и сп > 40 при п > 31.
Рассмотрим сходящуюся последовательность хп = 2arctgn4, для которой lim хп = 7г. Это означает, что, увеличивая п, можно по формуле хп = 2arctgn4 как угодно точно вычислить значение числа 7г. Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий вычисление приближенного значения 7г до шести десятичных знаков после запятой. Для сравнения приведено значение 7г с пятнадцатью десятичными знаками.
Приближенное вычисление числа я
x(n) ：= 2-atan(n4) lim x(n) я П f в
整=3.141592653589793 n ：= 1.. 100
С…(n)С…(n)0123.141496133.141523143.141541153.141553163.141562173.141569183.1415740123.141496133.141523143.141541153.141553163.141562173.141569183.141574
С…(n)
С…(n)
0
12
3.141496
13
3.141523
14
3.141541
15
3.141553
16
3.141562
17
3.141569
18
3.141574
0
12
3.141496
13
3.141523
14
3.141541
15
3.141553
16
3.141562
17
3.141569
18
3.141574
ЗАДАНИЕ 3.1
Найдите пределы последовательностей {ап}, {Ь^}, {%}• Для указанных значений £ = Ю~к найдите такие N(e), чтобы все элементы последовательности с номерами 冗 > N(e) совпадали с предельным значением до кто знака после запятой. Для заданных значений М укажите такие значения ^(Лf), чтобы для всех членов бесконечно большой последовательности {сп} с номерами 几 > N(M) выполнялось неравенство |cn| > М. Изобразите графически сходящиеся последовательности и их пределы. Изобразите графически бесконечно большую последовательность.
Порядок выполнения задания
Убедитесь, что в меню Math установлен режим автоматических вычислений.
Введите элемент последовательности {а^} как функцию переменной п.
Используя символьную математику пакета, найдите аналитически предел а последовательности {aj
Запишите уравнение для определения N(e) и решите его, используя символьную математику.
Для каждого заданного значения £ вычислите по полученной формуле значение N(&).
Для любого n > N(£), например для n = [N(&)] + 1, вычислите |ап — а| и сравните его с £•
Выбрав достаточно большое значение ^, вычислите значения элементов последовательности для n = 1, 2,..., ^ и изобразите на графике элементы последовательности как функции п.
Изобразите на том же графике горизонтальные прямые у = =а ± £. Найдите на графике значение N(&).
Выполните аналогичные вычисления (пп. 1-7) для последовательности {Ьп}.
Аналогично исследуйте бесконечно большую последовательность {%}.
Пример выполнения задания
Исследуйте последовательность an =，几 一 2 — \ДГ二 3. Для £, равного 0.1, 0.05, 0.01, укажите соответствующее значение N(&). Изобразите графически процесс сходимости. Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями.
а(п):二小-2 -小-3а(п):二小-2 -小-3lim a(n) f 0 n f вlim a(n) f 0 n f вВычисление N(&(jn.T 2 — Jn - 3 ) — ■£Вычисление N(&(jn.T 2 — Jn - 3 ) — ■£1 (10-«2 + 1+«4)1 (10-«2 + 1+«4)JJN(0.1) = 27.502N(0.05) = 102.501N(0.1) = 27.502N(0.05) = 102.501I a(28) I = 0.099| a(103) | = 0.05I a(28) I = 0.099| a(103) | = 0.05м/ X 1 10 £2 + 1 + £4N(£)：= 4/3 N(0.01) =2.503*10°I a(2504) I = 9.997-10~3м/ X 1 10 £2 + 1 + £4N(£)：= 4/3 N(0.01) =2.503*10°I a(2504) I = 9.997-10~3
а(п):二小-2 -小-3
а(п):二小-2 -小-3
lim a(n) f 0 n f в
lim a(n) f 0 n f в
Вычисление N(&
(jn.T 2 — Jn - 3 ) — ■£
Вычисление N(&
(jn.T 2 — Jn - 3 ) — ■£
1 (10-«2 + 1+«4)
1 (10-«2 + 1+«4)
J
J
N(0.1) = 27.502N(0.05) = 102.501
N(0.1) = 27.502N(0.05) = 102.501
I a(28) I = 0.099| a(103) | = 0.05
I a(28) I = 0.099| a(103) | = 0.05
м/ X 1 10 £2 + 1 + £4
N(£)：=
4/
3 N(0.01) =2.503*10°
I a(2504) I = 9.997-10~3
м/ X 1 10 £2 + 1 + £4
N(£)：=
4/
3 N(0.01) =2.503*10°
I a(2504) I = 9.997-10~3
£ ：= 0.1 п 二 1 ..50
-0.5
У к аз ание. Введите определение элементов последовательности как функции переменной. Для этого введите с клавиатуры последовательно а(п), знак присваивания (знак ”=” в данном случае) и выражение для вычисления элемента последовательности. Для того чтобы ввести знак квадратного корня, щелкните в панели калькулятора ][Й~| по кнопке ]厂一|. Чтобы вычислить предел аналитически, щелкните в панели |像| по кнопке | 加 |, введите в помеченных позициях соответствующие символы и выражения, нажмите на клавиатуре комбинацию клавиш vCtrl〉+V・〉и щелкните по рабочему документу вне выделяющей рамки. Чтобы получить аналитическое выражение для N(e), используйте меню символьных операций. Запишите левую часть уравнения для вычисления N(e), выделите п и щелкните по строке Solve в пункте Variables меню Symbolics, как показано на рис. 3.10. Символ £ вставляется щелчком по кнопке | £~| в панели Е^]・ Скопируйте решение уравнения и присвойте его переменной N(e).
,堂画風里m
a(n) ：= 7(n - 2)-石1a(n) ：= 7(n - 2)-石1Вычисление N®Вычисление N®吟…立咽叫，吟…立咽叫，► fi^wrt»» ■一：；■兩дни ：— Ewand la Seri阵“Ewwt 梅 *МЫ Fw^fan► fi^wrt»» ■一：；■兩дни ：— Ewand la Seri阵“Ewwt 梅 *МЫ Fw^fan
a(n) ：= 7(n - 2)-石1
a(n) ：= 7(n - 2)-石1
Вычисление N®
Вычисление N®
吟
…立咽叫，
吟
…立咽叫，
► fi^wrt»» ■
一：；■兩дни ：
— Ewand la Seri阵“
Ewwt 梅 *МЫ Fw^fan
► fi^wrt»» ■
一：；■兩дни ：
— Ewand la Seri阵“
Ewwt 梅 *МЫ Fw^fan
Рис. 3.10. Решение уравнения относительно переменнойс использованием меню символьной математики
Для того чтобы вычислить |а('п)|, щелкните по кнопке | 図 | в панели калькулятора, введите в помеченной позиции выражение а(п) и знак "=". На этом аналитическое исследование последовательности закончено. Чтобы дать геометрическую иллюстрацию, сначала определите значение и задалте диапазон изменения номера п (например, диапазон от 1 до 50 определяет команда n = L.5O, которая вводится с клавиатуры последовательностью клавиш: <пХ：Х1><；><5><0>), затем откройте панель |?^| и определите декартов график, щелкнув по кнопке |庭|. Укажите имя аргумента и диапазон его изменения в помеченных позициях возле оси абсцисс; введите, разделяя запятыми, в помеченной позиции возле оси ординат имена или определения функций, графики которых нужно построить. Щелкните дважды по полю графика и установите в окнах диалога параметры изображения. Для того чтобы определить по графику значение N(f), используйте операцию определения координат точки кривой: щелкните по графику и по соответствующему пункту в меню Graph (рис. 3.11).
Рис. 3.11. Меню графики
В окне отображаются координаты точки, помеченной мышью (точка пересечения пунктирных линий) (рис. 3.12).
Рис. 3.12. Определение координат точки пересечения двух линий
В этом же меню есть операция просмотра графиков в увеличенном масштабе — Zoom. Выделите (щелкните, мышью и растяните) прямоугольную область и щелкните в окне диалога по кнопке | ^00т |, в окне графиков будет отображен увеличенный фрагмент (рис. 3.13).
Вернуться к исходному графику можно, щелкнув по кнопке | FUMew ]
Рис. 3.13. Просмотр выделенного графика в увеличенном масштабе
3.3
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Предел функции в точке
Рассмотрим функцию /(с), определенную в некоторой окрестности (а — △, а + △) точки а, △ > 0, за исключением, быть может, самой точки* а.
Число А называется пределом функции /(с) при 土，стремящемся к а, если для любого положительного числа е, как бы мало оно ни было, существует такое положительное число В, что для всех :г, удовлетворяющих соотношению 0 < |д; — а| < 5, справедливо неравенство
*В этом случае говорят, что функция определена в проколотой окрестности точки а, и обозначают Ь(а).
|у(х) — А\< е. Говорят ^предел функции /() в точке а" и обозначают lim/(x) = А.
ста
Неравенства |/(х) — А\ < г и 0 < |х — а| < J, эквивалентные неравенствам А — е < /(х) < Л + £, а — 6 < х <а + 8^ с* а, означают, что для любого е > 0 существует такое 6, что для а — 8 < х < а + 6 график функции /(①)расположен на плоскости хОу в прямоугольнике а — 6 < х < а + 6^ А —е <у < А + е.
При вычислениях на компьютере мы имеем дело с дискретными значениями переменных. Поэтому удобнее пользоваться другим, эквивалентным приведенному, определением предела, а именно: lim /(х)= Л, если для любой сходящейся к а последовательности значений аргумента {①九}, хп * а, соответствующая последовательность значений функции {/(①п)} сходится* к числу 4
Если lim / (ж) = 4 то для любого £〉0 существует такое 6, что ста.
точки с координатами (хп, /(①九)),для которых а — 8<хп<а + 6 и хп 力 а, находятся на плоскости хОу внутри прямоугольника а ~ 6 < <£<а + 6, А~е<у < А + е.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержа- 1
щий исследование предела в нуле функции /(х) = е ^^ = ехр(—^^) и график, иллюстрирующий поведение функции в окрестности нуля.
lim f(x) ->0 xf Оlim f(x) ->0 xf О
lim f(x) ->0 xf О
lim f(x) ->0 xf О
8(0.1) = 0.2866(0.05) =0.193
f( 0.286) =0.1f(0.193) =0.05
Если для любой последовательности значений хп^а соответствующая последовательность значений функции /(хп) бесконечно большая, то функция /(х) называется бесконечно большой в точке а. Если /(①) бесконечно большая в точке а, то для любого положительного числа М как бы велико оно ни было, существует такое число <5 > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < |х — а| < <5, справедливо неравенство \f(x)\ > М.
Ниже представлен фрагмент рабочего документа Mathcad, в котором исследовано поведение функции /(①)=—iy, являющейся бесконечно большой в точке х = 1, и построен ее график, иллюстрирующий поведение функции в окрестности точки х = 1.
х
В приведенном ниже рабочем документе Mathcad построены графики функции /(б) = sinp не имеющей предела в нуле.
ЗАДАНИЕ 3.2
Найдите предел функции /(冲 в точке 土 = а. Для указанных значений Е = 10~k найдите 6(e) такие, что значения функции при 0 < |гт — а| < 6 совпадают с предельным значением до Л-го знака после запятой. Изобразите графически поведение функции в окрестности точки 土 = а.
Порядок выполнения задания
Убедитесь, что в меню Math установлен режим автоматических вычислений.
Определите функцию /(х).
Используя символьную математику пакета, найдите lim /(х).
Запишите уравнение для определения J(e) и решите его, используя символьную математику.
Для каждого заданного значения £ вычислите по полученной формуле значение 6(e).
Вычислите max |/(х) — А| и сравните его с 0<|х—а|<5
Постройте график функции в окрестности точки т — а.
Изобразите на том же графике горизонтальные прямые у = =Л±£. Найдите на графике значение “£)•
Пример выполнения задания
В приведенном вьппе документе дан примерный вариант выполнения задания. На рис. 3.14 показано, как с помощью операции Trace можно определить значение “£)по графику.
Бесконечно малые функции.
Сравнение бесконечно малых
Рассмотрим функцию /(х), определенную в некоторой окрестности (а — △, а + △) точки а, А > 0, за исключением, быть может, самой точки а. Функция /(х) называется бесконечно малой при х, стремящемся к а, если lim /(х) = 0.
Рис. 3.14. Вычисление 8(f) по графику функ耳ии
〃z)=exp(喑)〃z)=exp(喑),бесконечно малой в нуле.,бесконечно малой в нуле.
〃z)=exp(喑)
〃z)=exp(喑)
,бесконечно малой в нуле.
,бесконечно малой в нуле.
Если /(土)——бесконечно малая в точке 土 = а, то для любого положительного числа % как бы мало оно ни было, существует такое положительное число(5, что для всех & удовлетворяющих неравенству О < |з; — а| < J, справедливо неравенство |/(z)| < £•
Неравенства |/(土)| < е для всех 0 < |з; — а| < ^ означают, что для любого s > 0 существует такое J, что для а — д<х<а-\-6^ /，&
график функции /(z) расположен на плоскости хОу в прямоугольнике
а — 8 < х < а + ё, —£<у< +£• На рис. 3.14 приведен график функции
Ниже представлен рабочий документ Mathcad, в котором опреде
лены и построены графики двух бесконечно малых функций.
f(x) ：= Ji + X2 - 1
lim f(x) ft) x f 0
u(x) ：= x2 cos(x)
lim u(x) ~> 0
На графике видно различие в поведении функций в окрестности предельной точки ——одна из функций стремится к нулю "скорее", чем ДРУгзя.
Пусть а(£)и 队£)— две функции, бесконечно малые в точке
= а. Если lim = 0, то говорят, что а(①)более высокого по- >а夕(с) ' '' ' '
рядка малости, чем 3(①),и обозначают а(х) = о(/3(х)У Если же lim = оо, то 伙①)более высокого порядка малости, чем а(以 т.е. нта р(х)
伙①)= о(а(£)). Бесконечно малые функции а(①)и 0(①)называются бесконечно малыми одного порядка малости^ если lim = const / 0.
土та р(х)
Если lim 纱А = 1, то бесконечно малые функции а(с) и 伙％) называются эквивалентными (а(①)~/3(七)).Если же lim,^^ не существует, то бесконечно малые функции а(七)и 0(①)несравнимы.
Ниже представлен фрагмент рабочего документа Mathcad, в котором выполнено сравнение бесконечно малых в нуле функций /(①)，g(£), ZZ⑵，0(七)，w(rr).
f(x) ：= 7l + x2 - 1 Km f(x) ->0
p(x) ：= exp(x2) - 1 iim p(x) ->U x -> 0
u(x) ； x ln<1 + Jx丿 lim u(x) -> 0
x -> 0
v(x) ：= 1 - cos(x3)lim v(x) -> 0
x -> 0
w(x) ：= x sinw(x) ：= x sin©©lim w(x) -> 0 x -> 0lim w(x) -> 0 x -> 0
w(x) ：= x sin
w(x) ：= x sin
©
©
lim w(x) -> 0 x -> 0
lim w(x) -> 0 x -> 0
Вывод: все приведенные функции бесконечно малые
|im HR 一1f(xhO(p(x))
> p(x) 2'ОО и p(x) бесконечно малые
*одного порядка малости
f(X)lim — — f undefined и w(x) несравнимы一 0 w(x)f(X)lim — — f undefined и w(x) несравнимы一 0 w(x)ЗАДАНИЕ 3.3ЗАДАНИЕ 3.3
f(X)
lim — — f undefined и w(x) несравнимы
一 0 w(x)
f(X)
lim — — f undefined и w(x) несравнимы
一 0 w(x)
ЗАДАНИЕ 3.3
ЗАДАНИЕ 3.3
Постройте графикаПостройте графикаСравните бесконечно малые в нуле функции, функций в окрестности предельной точки.
Постройте графика
Постройте графика
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений.
Определите все заданные функции.
Вычислите аналитически пределы функций в нуле, чтобы убедиться в том, что все заданные функции — бесконечно малые в указанной точке.
Сравните заданные бесконечно малые функции, вычислив пределы их отношений в нуле.
Сформулируйте и запишите в рабонем документе вывод.
Постройте графики всех заданных функций, подтверждающие сходство и различие поведения бесконечно малых в окрестности предельной точки.
Пример выполнения задания Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий исследование бесконечно малых в нуле функций, приведен выше.
3・4
КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК РАЗРЫВА.
ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ
НА ГРАНИЦАХ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Непрерывность и разрывы функции. Классификация разрывов
Рассмотрим функцию /(х), определенную на некотором промежутке (a, b) С R.
Функция / (%) непрерывна в точке xq С (а, Ь), если предел функции в точке хо равен значению функции в этой точке: lim /(х) = /(%())・
Функция, непрерывная в каждой точке промежутка (а, Ь), называется непрерывной на промежутке. Если функция /(х) определена на промежутке (a, b), b > а, то при исследовании поведения функции в окрестности точки а имеет смысл говорить о пределе функции /(х) в точке а справа, а при исследовании в окрестности точки b ——о пределе функции /(£)в точке b слева. Число А называется пределом справа функции /(х) при £, стремящемся к а, если для любого положительного числа £, как бы мало оно ни было, существует такое положительное число 5, что для всех 名 удовлетворяющих неравенству а < х < а + 5, справедливо неравенство |/(х) — А\<£. В таких случаях говорят unpe- дел справа функции /(х) в точке а" и обозначают lim f (х) = А.
сТа+О
Аналогично, говорят ^предел слева функции /(х) в точке Ь” и обозначают lim /(х) = В, если для любого положительного числа е, z—>д—О
как бы мало оно ни было, существует такое положительное число В, что для всех х, удовлетворяющих неравенству Ь —В < £ < Ь, справедливо неравенство |/(х) — В\<
Для существования предела функции в точке необходимо и достаточно, чтобы существовали и совпадали односторонние пределы функции в этой точке.
По той же схеме вводится понятие непрерывности слева и непрерывности справа. Функция, определенная на отрезке [а, Ь\^ b > а, непрерывна справа в точке а, если lim /(х) = /(а), и непрерывна ста+О
слева в точке 6, если lim /(х) = /(b). Для того чтобы функция была непрерывна в точке д, необходимо и достаточно, чтобы односторо^ ние пределы функции в точке совпадали со значением функции в этой точке: lim 〃£)= /(&)= lim /(£)• Если хотя бы одно из равенств нарушается, говорят о разрыве в точке xq.
Если lim /(х) = lim 〃z) и односторонние пределы конечны, ^->хо+Остсо—О
то разрыв в точке хо называется устранимый. Если lim /(х) = А, х—>zo+O
lim /(£)= В, А ^ В, и оба од но стор онних предела конечны, то х—>хо—О
говорят о скачке функции в точке. Устранимый разрыв и скачок называются разрывами первого рода.
Если один из односторонних пределов бесконечен или не существует, то разрыв называется разрывом второго род^.
Так же, как для предела и непрерывности, говорят о разрыве слева и разрыве справа.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий аналитическое и графическое исследование разрывов функции.
f(х) ：= x・cos(!)
lim f(x) f 0 lim f(x) f И
x f 0 'x f 0 •
Найдите точки разрыва заданных функций и определите их тип.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов символьных вычислений по горизонтали.
Определите выражение для функции.
Вычислите предел функции в точке разрыва.
Вычислите односторонние пределы функции в точке разрыва.
Постройте график функции в окрестности точки разрыва.
Сформулируйте вывод.
Выполните вычисления пп. 2-6 для всех функций из задания.
Пример выполнения задания
Вариант исследования разрывов функций /(土) = a;cos(l/x), u(c)= =arctg(l/x), т;(①)=2】/ приведен выше. Все три функции имеют разрыв в точке £ = 0. Функция /(①)=xcos(l/x) имеет в нуле устранимый разрыв. Положив /(0) = 0, получим непрерывную функцию. Функция и(①)= arctg(l/rr) имеет в нуле скачок. Функция т;(х) = 2，/① имеет в нуле разрыв второго рода, поскольку бесконечен предел в нуле справа.
Непрерывные функции.
Свойства непрерывных функций
Для функции, непрерывной на отрезке [а, 6], справедливы следующие утверждения.
Функция, непрерывная на отрезке [а, 6], достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений*, т.е. на отрезке [а, 6] существуют точки ①т, 土м такие, что
/(£m) = min /(①)=m, /(①м) = max /(土)= M,
m < /(①)< Af, Vt W [a, b]・
Если функция /(①)непрерывна на отрезке [а, 6] и принимает на концах значения разных знаков, то на интервале (а, 6) существует точка с, в которой функция обращается в нуль**, т.е. если /(a)/(b) < 0, то существует такая точка с W (а, Ь), что /(с) = 0.
*Это утверждение называется теоремой Вейерштрасса.
Второе из этих утверждений применяют для отделения корней уравнений /(/) = 0 с непрерывной левой частью: если найден отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков, то можно утверждать, что на этом отрезке есть хотя бы один корень уравнения.
ЗАДАНИЕ 3.5
Найдите (аналитически и графически) точки, в которых достигаются наибольшее и наименьшее значения заданной на отрезке непрерывной функции. Найдите нуль функции на заданном отрезке, т.е. решите уравнение /(ж) = 0.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов символьных вычислений по горизонтали.
Определите выражение для функции.
Постройте график функции.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Решите уравнение /(с) = 0, используя функцию root, выбрав в качестве нулевого приближения сначала левый, а потом правый конец заданного отрезка.
Пример выполнения задания
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции /(ж) = 2* — 4с на отрезке [0,1]; решите на этом отрезке уравнение 2* — 4с = 0.
f(x) ； 2х - 4 хf(x) ； 2х - 4 хНиже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий соответствующие графики и вычисления.
f(x) ； 2х - 4 х
f(x) ； 2х - 4 х
m = f(1) m = -2
М ：= f(0) М = 1
х ：= 0rootfZ* - 4 х, х) = 0.31
х ：= 1rootfZ* - 4 х, х) = 0.31
Лава 3. Baqaw
Указание. Функция, рассмотренная в примере, непрерывна на отрезке и монотонно убывает на нем. Наибольшего значения функция достигает в левом конце отрезка, в точке аз = 0, наименьшего — в правом конце, в точке 七=1. Для вычисления нуля функции на отрезке используйте встроенную функцию root(f, х). Перед обращением к root(f, х) необходимо присвоить переменной х начальное значение. В приведенном фрагменте корень вычислялся дважды, в качестве начального приближения использованы сначала левый, а потом правый конец отрезка. Для того чтобы найти корень уравнения графически, используйте операцию вычисления координат точки на кривой. Более точные значения координат корня можно получить, увеличив график в окрестности корня, с помощью операции Zoom пункта Graph меню Format.
Ниже представлен фрагмент рабочего документа Mathcad, в котором приведены результаты соответствующих операций и график функции на промежутке (0,6).
X-Value |0/317匚叩g|
Y-Value [о 022263匚叩”|
旷 Track Data PointsClooe|
f(x) .- 2х-4 x
Из приведенного графика видно, что на концах отрезка [2,6] функция принимает значения разных знаков и имеет нуль в точке х = 4, принадлежащей этому промежутку.
3.5
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ВЬИИСЛЕНИЕ
Пусть функция /(х) определена на промежутке (а, 6), точка хо — произвольная точка из области определения функции. Обозначим через А/(хо) = /(хо + Ах) — /(£о) приращение функции в точке хо, вызванное приращением Дх независимой переменной х. Производной функции /(х) в точке х = хо, хо € (а, Ь), называется предел отношения приращения функции Д/(хо) к приращению Ах при стремлении Дх к нулю, т.е.
\ г △/(го) г “Со + Ас)-/的)/ (±о) = hm —-——=Jim г.
△сто AsАх
Здесь /'(so) — производная функции в точке хо € (а, Ь).
ЗАДАНИЕ 3.6
Найдите по определению производную функции /(х). Вычислите значение производной в указанной точке.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений и режим ото бражения результатов вычислений по горизонтали.
Определите функцию.
Определите приращение функции в указанной точке.
Вычислите предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.
Вычислите производную аналитически.
Пример выполнения задания
Найдите в точке / = 0 производную функции
z#0；N = 0.z#0；N = 0.COS 工 f cos 3工
z#0；
N = 0.
z#0；
N = 0.
〃н)=〃н)=£
〃н)=
〃н)=
0,
Поскольку /(0) = 0, то приращение функции △/(/) в точке / = 0 равно Д/(0) = /(0 + △/) -/(0) = /(△/) -/(0) = /(△*)•
Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащего необходимые вычисления, приведен ниже.
Значение функции при % отличном от нуля
f(x) ； ск(х) - cos(3 Х)
X
lim —i f 4
AxfU Дх
Производная функции f(x) в точке х=0 существует и равна 4
Г(х) = 4
Указание. Символ приращения А выберите в палели греческого алфавита. Предел вычисляется средствами символьной математики пакета. Для того чтобы вычислить производную с использоваяием меню символьных операций, введите выражение дифференцируемой функции, выделите переменную х и щелкните по строке Differentiate в строке Variable меню Symbolics (рис. 3.15). Можно поступить по-другому. Щелкнув по кнопке |攘 |, разверните панель инструментов Calculus (Анализ), щелкните в ней по кнопке дифференцирования | 去 | 】введите имя функции и переменной в помеченных позициях, выделите выражение и нажмите на клавиатуре комбинацию клавиш <Shift>+<F9>.
Односторонние производные
Если /(/) определена при ◎ > а。, то можно определить правую производную функции 〃*) в точке с。：
lim R(*Q)= /13о), △〃◎()) = 〃①о+ △£)-/(*£)), ^х > 0.
△нт+О △£
Рис. 3.15. Символьное дифференцирование
Аналогично определяется левая производная функции /(化)в точке xq. если /(化)определена при х < с。：
lim △乎°)= /：(д), ZV(g) =/(g + Z\c) —/(g), Аз; < 0.
Функция f(x) имеет в точке g производную /'(g) тогда и только тогда, когда в точке g совпадают ее левая и правая производные: 『(g)=及(g)=忆(迎).
ЗАДАНИЕ 3.7 Вычислите производную функции f(x) по определению. Найдите значение производной функции в указанных точках. Вычислите по определению односторонние производные функции g(x) = \ f(x)\ в указанных точках. Постройте графики обеих функций и объясните различие поведения функций в окрестности указанной точки.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений и режим отображения результатов вычислений по горизонтали.
Найдите производную от функции f(x) как предел отношения приращения функции к приращению аргумента.
Вычислите значения производной в указанных точках.
Попытайтесь так же найти производную функции д(х).
Вычислите по определению производную и односторонние производные функции g(N)в указанной точке. Сравните полученные значения.,
Постройте графики функций /(с) и д(х).
Пример выполнения задания
Вычислите производную функции /(с) = с? — 4 по определению. Найдите значение производной функции в точках с° — ±2. Вычислите в
указанных точках по определению односторонние производные функции д(с) =〔с? — 4|. Постройте графики обеих функций и объясните различие поведения функций в окрестности указанной точки. Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениям^ приведен ниже.
Производная функции 2хГ(х>2х, Г(1)»2, ГРКПроизводная функции 2хГ(х>2х, Г(1)»2, ГРКlim((* + Ах)2-4)二Хе
Производная функции 2х
Г(х>2х, Г(1)»2, ГРК
Производная функции 2х
Г(х>2х, Г(1)»2, ГРК
Ах -> О А*
Hm & + А幻々I-肾JHm & + А幻々I-肾JАх->0Ах->0АхАх->undefined->undefinedПроизводная функции в произвольном точке х не может быть найденаПроизводная функции в произвольном точке х не может быть найдена5 k+g|』T~5 k+g|』T~Ах -> ОАх -> ОАхАхВ точке х»1 производная функции равна -2В точке х»1 производная функции равна -2lim к+Ах)2±|Т±4|Ах-> О*А*lim к+Ах)2±|Т±4|Ах-> О*А*В точке х«1 существует правая производная, ее значение 2В точке х«1 существует правая производная, ее значение 2lim 1(1+А*)Т」Т 7lim 1(1+А*)Т」Т 7Ах->0'Ах->0'АхАхВ точке х-1 существует левая производная, ее значение -2В точке х-1 существует левая производная, ее значение -2мН:山一мН:山一Ах -> ОАх -> ОАхАхВ точке хв2 производная не существуетВ точке хв2 производная не существует
Hm & + А幻々I-肾J
Hm & + А幻々I-肾J
Ах->0
Ах->0
Ах
Ах
->undefined
->undefined
Производная функции в произвольном точке х не может быть найдена
Производная функции в произвольном точке х не может быть найдена
5 k+g|』T~
5 k+g|』T~
Ах -> О
Ах -> О
Ах
Ах
В точке х»1 производная функции равна -2
В точке х»1 производная функции равна -2
lim к+Ах)2±|Т±4|
Ах-> О*А*
lim к+Ах)2±|Т±4|
Ах-> О*А*
В точке х«1 существует правая производная, ее значение 2
В точке х«1 существует правая производная, ее значение 2
lim 1(1+А*)Т」Т 7
lim 1(1+А*)Т」Т 7
Ах->0'
Ах->0'
Ах
Ах
В точке х-1 существует левая производная, ее значение -2
В точке х-1 существует левая производная, ее значение -2
мН:山一
мН:山一
Ах -> О
Ах -> О
Ах
Ах
В точке хв2 производная не существует
В точке хв2 производная не существует
|(2 + Ах)2-4|-|22_4|нт f 4Дх-*0+Ах|(2 + Ах)2-4|-|22_4|нт f 4Дх-*0+АхВ точке х=2 существует правая производная, ее значение 4В точке х=2 существует правая производная, ее значение 4
|(2 + Ах)2-4|-|22_4|нт f 4
Дх-*0+Ах
|(2 + Ах)2-4|-|22_4|нт f 4
Дх-*0+Ах
В точке х=2 существует правая производная, ее значение 4
В точке х=2 существует правая производная, ее значение 4
lim 1(少迂4生@7Дх -> 0' Ахlim 1(少迂4生@7Дх -> 0' АхВ точке *2 существует левая производная, ее значение 4В точке *2 существует левая производная, ее значение 4XX
lim 1(少迂4生@7
Дх -> 0' Ах
lim 1(少迂4生@7
Дх -> 0' Ах
В точке *2 существует левая производная, ее значение 4
В точке *2 существует левая производная, ее значение 4
X
X
Приведенные графики исследуемых функций подтверждают результаты вычислений: функция /(х) = х2 — 4 — гладкая всюду, а функция д(б) н |х2 — 4| теряет гладкость в точках х = ±2.
Геометрический смысл производной
Пусть /(х) — функция, определенная на промежутке(Q, Ь). Прямая, проходящая через точки (хо, /(土о)),(3, /(*1)),初，土i W(Q, b), x0 / xi, называется секущей графика функции /(х).
Угловой коэффициент к секущей равен "叨)一"工°), и ее уравнение Т1 — То
имеет вид
У =及^~及^ (с - со) + /Зо)・
Касательной к графику функции /(х) в точке (хо, /(хо)) называется предельное положение секущей, проходящей через точки (хо, /(©о)), (Х1, У(Х1)), когда 工1 т 迎.
Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке, к =尸(窃)，и уравнение касательной имеет вид
у = f(XQ)(X-X0)-hf(XQ).
ЗАДАНИЕ 3.8
Для функции/(х) из предыдущего задания покажите, что касательная, проходящая через точку (а, /(а)),——предельное положение секущей. Для функции 5(х) = |/(х)| покажите, что у секущих, проходящих через точки (Ь,/(b)),(Ж1,у(а：1)), 11 > Ь, и (b,/(b)),(数,/(畋))，数 < "— разные предельные положения.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений и режим отображения результатов вычислений по горизонтали.
Определите функцию/(х).
Найдите производную функции /(х) и вычислите ее значение в точке х~а.
Запишите уравнение касательной в точке х = а: у(х)= =к{х — а) +/(а), к = /(а).
Определите угловой коэффициент секущей kSj проходящей через точки (/。，/(土。))，(rri, /(xi)), где ©о = а, a xi = а — i при п = 1.
Запишите уравнение секущей: у5(х) = к3(х — а) 4- /(а).
Постройте график функции /(х), а также касательную и секущую — графики функций у(е) и 弘(£).
Исследуйте поведение секущей, увеличивая значение п (при 71Toeci = q —丄 та; с изменением п на графике автомап
тически перерисуется секущая). Выполните построение для нескольких значений п.
Выполните вычисления пп. 4-7 для функции д(е). Секущие следует строить для х\~аид = а+-・
Пример выполнения задания
Для функции /(х) = х4 — 1 из задания 3.8 покажите, что касательная, проходящая через точку (1, /(1)), —— предельное положение секущей. Для функции д(с) = |х4 — 1| покажите, что у секущих, проходящих через точки (b ,/(Ь)),(們,/(g)),乃〉b, н (&,/(&)),(数,/(数))，数 < 仇 разные предельные положения. На рис. 3.16 приведены графики функции /(х), касательных к нему и секущих, построенных для п = 1, 2, 4,10.
Рис. 3.16. Касательные и секущие графика гладкой функцииРис. 3.16. Касательные и секущие графика гладкой функции
Рис. 3.16. Касательные и секущие графика гладкой функции
Рис. 3.16. Касательные и секущие графика гладкой функции
Ниже представлен фрагмент рабочего документа Mathcad, в котором выполнены все вычисления и построен график функции и секущая при п = 100.
f(x) ：= х4 - 1 —f(x) -► 4 х3 к ：= 4 13 у(х) ：= к-(х - 1) + f(1) dx
n ：= 100 x1 ：= 1 - 2 Is ：二"*)- ”1) ys(x)：= ks-(x - 1) + f(1)
nx1 - 1
На рис. 3.17 представлены графики функции g(N), касательная к нему и секущие, построенные для n = 1, 2,10.
Рис. 3.17. Касательные и секущие к графику функции д(х)
Ниже представлен фрагмент рабочего документа Mathcad, в котором приведены все необходимые вычисления, график функции, касательная к нему и секущая, построенная при п = 100.
g(x) ：= I х4 - 1 I п ：= 100
х11 =1+1 ksl ：=史乃”)-д⑴ ysl(x) ：= ksl (х - 1) + g(1) nx1l - 1
• 1 I g(x1r) - g(1),、■ ,
x1r ：= 1 - - ksr ysr(x) ：= ksr (x - 1) + g(1)
nx1r - 1
Приведенные выше графики объясняют геометрический смысл односторонних производных. Он заключается в следующем. Пусть непрерывная функция д(£)не имеет производной в точке д, но в этой точке определены односторонние производные д[(£о) и д：(£о)・ Тогда предельное положение секущей у = -虱土。)+ gQ。)при xi —> ©о, ©1〉©о(£i стремится к ©о справа) есть прямая с угловым коэффициентом, равным значению д[(£о) правой производной функции д(£)в точке £()• Эта прямая проходит через точку(£о,д(£о)) и пересекает график функции только в одной этой точке. Такую прямую можно назвать "правой касательнойп к графику функции (на приведенных выше графиках она нарисована пунктиром). Аналогично предельное положение секущей у = “*» 一虱*。)+g(©o) при g —> ©о, g < xq (xi стремится к ©о слева) есть "левая касательная" к графику функции (на приведенных выше графиках она изображена точечной линией).
3.6
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
Вертикальные и наклонные асимптоты
Рассмотрим функцию /(£), определенную на промежутке (а, Ь). Характер поведения функции в области определения* можно исследовать, опираясь на следующие утверждения:
если /(©о) = 0, то график функции в точке ©о пересекает ось абсцисс;
если 0 € (а, Ь), то график функции пересекает ось ординат в точке Uo = /(O)；
Возможно (а, 6) = (—оо, оо))(а, 6) = (а, оо) или (а, 6) = (—оо, 6).
если в точке хо W (а, Ь) функция имеет бесконечный разрыв, то график функции имеет вертикальную асимптоту х = хо；
если (а, Ь) = (—оо, оо), (а, Ь) = (а, оо) или (а, Ь) = (—оо, Ь), существуют и конечны пределы k = lim м b = lim (/(х) — кх), то НТ+8 XHT+gW '/
прямая у — кх Л-Ь — асимптота графика функции при х т +оо; аналогично находят асимптоту при ① т — оо;
если lim f(x) = ±оо, то график функции имеет на левой границе 土 та+О
области определения вертикальную асимптоту х — а. Аналогично, если lim /(*) = ±оо, то график функции имеет на правой границе области определения вертикальную асимптоту с = Ь;
если (а, Ь) = (—оо, оо) и существует такое число Т/0, что /(а+Т) = =/(х) для любого х W (—оо, оо), то исследуемая функция периодична с периодом Т; в этом случае достаточно построить график функции на промежутке (О, Г) и доопределить его по периодичности на всю числовую ось;
если /(—х) = /(х) для любого х W (—а, а), то исследуемая функция четная. В этом случае график симметричен относительно оси ординат; достаточно построить график функции на промежутке (О, а) и отобразить его симметрично относительно оси ординат на промежуток (—а,0);
если /(—х) = —/(х) для любого х £ (—а, а), то исследуемая функция нечетная; в этом случае график симметричен относительно начала координат; достаточно построить график функции на промежутке (О, а), а затем отобразить его на промежуток (—а, 0) симметрично относительно начала координат.
ЗАДАНИЕ 3.9
Изобразите график заданной функции и подтвердите построение аналитическим исследовавием: найдите координаты точек пересечения с координатными осями; найдите и постройте наклонные асимптоты. Запишите уравнения вертикальных асимптот.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений и режим отображения результатов вычислений по горизонтали.
Определите функцию /(с) и постройте ее график.
Найдите точку пересечения с осью ординат, вычислив /(0). Сравните с данными на графике.
Найдите точку пересечения с осью абсцисс, решив уравнение /(х) = 0. Сравните с данными на графике.
Найдите точки разрыва функции, вычислите соответствую-
щие односторонние пределы, запишите уравнения вертикальных асимптот. Сравните с данными на графике.
6.7.6.7.Вычислите пределы k = lim и b = lim (/(£)— кх)\ изобразите прямую у = kt + Ь.
6.
7.
6.
7.
Покажите, что равен нулю предел на бесконечности расстояния d от точки на кривой до наклонной асимптоты (d<\f(x)-(kx + b)\).
Пример выполнения задания
Постройте график и проверьте построение аналитическим исследованием для функции
/ + 6с + 9/⑵=х + 4
Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями и графиками приведен ниже.
f(0) =2.25 W +巴+ 9f(0) =2.25 W +巴+ 9
f(0) =2.25 W +巴+ 9
f(0) =2.25 W +巴+ 9
lim |f(x) - (х + 2) I f О
X f в
Исследование функции с помощью производной
Если функция дифференцируема на промежутке (& b), за исключением, быть может, конечного числа точек этого промежутка, то можно дополнить изучение поведения функции исследованием на экстремум, используя следующие утверждения.
Для того чтобы дифференцируемая на (а, Ь) функция не убывала (не возрастала) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы 尸3) > 0 (ff(x) < 0) на (а, Ь).
Пусть в точке х = xq производная /'(£о) = 0. Если существует окрестность точки xq такая, что в этой окрестности /'(£)〉0 при X < Xq И ff(x) < 0 при X > Xq, ТО фунКЦИЯ ИМевТ В ТОЧКе £о максимум. Если же /'(£)< 0 при х <xq и /'(n)〉0 при х > xq^ то функция имеет в точке Xq минимум.
На рис. 3.18 изображены график функции /(£)= 2 — 3/ — ж3, имеющей максимум и минимум, и график ее производной, иллюстрирующие приведенные утверждения.
Если непрерывная в точке xq функция /(£)дифференцируема на (a, no) U (no, Ь), при этом /'(£)> 0 на (а, д) и /'(£)< 0 на (g, b), то функция имеет в точке з；о максимум; если же /'(£)< 0 на (а, д) и /'(£)> 0 на (д, Ь), то функция имеет в точке xq минимум.
На рис. 3.19 изображены график функции /(七)=，济 _4忆 + 3)2, имеющей максимум и минимум, и график ее производной, иллюстрирующие последнее утверждение.
Рис. 3.19. График функции /(х)=.(仁2 _ 4工 + 3)2
ЗАДАНИЕ 3.10
Изобразите график заданной функции и подтвердите построейие аналитическим исследованием: постройте график производной, найдите нули производной. Найдите координаты точек экстремума.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений и режим отображения результатов вычислений по горизонтали.
Определите функцию /(н) и постройте ее график.
Постройте график производной.
Найдите нули производной, решив уравнение 尸(н) = 0.
Вычислите и запипште координаты точек экстремума. Укажите их тип (максимум/минимум).'
Пример выполнения задания
Постройте график и подтвердите построение аналитическим исследованием для функции
/(х) = 2х3 + 3土 2 — 5.
Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями и графиками приведен ниже.
f(x) =2 *3+3 x2-5 п(х) ：= —f(x)
2 х3 + З х2 - 56 х2 + 6-х2 х3 + З х2 - 56 х2 + 6-х
2 х3 + З х2 - 56 х2 + 6-х
2 х3 + З х2 - 56 х2 + 6-х
fl(-l) = 0f(-1) = -4Точка максимума (-1, 4)
fl(O) = 0f(0) = -5Точка минимума (0,-5)
азание. Для того чтобы вычислить точно координаты экстремумов, вычислите аналитически производную, затем найдите нули производной (выделите переменную х и щелкните по строке Solve пункта Variable в меню Symbolics); вычислите для проверки значения производной и функции в найденных точках.
Исследование функции
с использованием второй производной
Если функция дважды дифференцируема на промежутке (а, Ь), за исключением, быть может, конечного числа точек этого промежутка, то исследование поведения функции можно дополнить исследованием выпуклости и вогнутости.
График функции /(х) называется выпуклым (выпуклым вниз) на промежутке (а, д), если он расположен вьппе касательной, проведенной
в любой точке (①〉/(①))〉① W (а, Ь). Если же график функции лежит ниже касательной, то он называется вогнутым (выпуклым вверх).
Справедливо следующее утверждение. Если дважды дифференцируемая на промежутке (а, Ь) функция 〃z) имеет на нем положительную вторую производную, то функция выпукла на (а, Ь). Если же вторая производная отрицательна на промежутке (а, Ь), то функция на нем вогнута.
Если вторая производная равна нулю в точке z = д, а слева и справа от нее имеет значения разных знаков, то точка х = xq ——точка перегиба.
На рис. 3.20 представлен график функции с тремя точками перегиба.
Рис. 3.20. График функции и ее второй производной
ЗАДАНИЕ 3.11
Изобразите график заданной функции и подтвердите построение аналитическим исследованием: постройте график второй производной, найдите нули второй производной. Найдите координаты точек перегиба.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений.
Определите функцию f(c) и постройте ее график.
Постройте график второй производной.
Найдите нули второй производной, решив уравнение /"(z) = 0.
Вычислите и запишите координаты точек перегиба.
Опишите интервалы выпуклости и вогнутости функции.
Пример выполнения задания
Постройте график и подтвердите построение аналитическим исследованием для функции
Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями и графиками приведен ниже.
f(x) ：=-f(x) ：=-х +2,х +2,
f(x) ：=-
f(x) ：=-
х +2,
х +2,
-2 —*— + 2 —f(x)
(x + 2)2 (x + 2)3
-2X
一：—+ 8—-— - 6-2—r(х)
(х+2)2(x+2)3(x+2)4
&(х-1)(Х+2『&(х-1)(Х+2『Упрощенное выражение .Г(х)Упрощенное выражение .Г(х)
&(х-1)
(Х+2『
&(х-1)
(Х+2『
Упрощенное выражение .Г(х)
Упрощенное выражение .Г(х)
Упрощенное выражение f(x)Упрощенное выражение f(x)f(x>»0 Точка максимумаf(x>»0 Точка максимума
Упрощенное выражение f(x)
Упрощенное выражение f(x)
f(x>»0 Точка максимума
f(x>»0 Точка максимума
х. (х+2)(x2-(x+3))Wх. (х+2)(x2-(x+3))W-2-2(-2,1587)(-2,1587)f(-2) = 1.587f(-2) = 1.587f(1) =-0.111f(1) =-0.111Точка перегиба (1, 4).111)Точка перегиба (1, 4).111)
х. (х+2)
(x2-(x+3))W
х. (х+2)
(x2-(x+3))W
-2
-2
(-2,1587)
(-2,1587)
f(-2) = 1.587
f(-2) = 1.587
f(1) =-0.111
f(1) =-0.111
Точка перегиба (1, 4).111)
Точка перегиба (1, 4).111)
Указание. На графике точка перегиба почти не видна. Однако аналитическое исследование — вычисление нуля второй производной, а также ее график подтверждгиот, что функция имеет перегиб при х = 1. В рассмотренном случае удобно установить режим отображения результатов по вертикали (пункт Evaluation Style в меню Symbolics). Тогда вычисления производятся следующим образом. Скопируйте в рабочий документ выражение для функции, выделите переменную, найдите первую производную, выделите переменную в выражении для первой производной и продифференцируйте таким же образом; в выражении для второй производной выделите переменную и найдите ее нуль, щелкнув по строке Solve в пункте Variable в меню Symbolics.
ЗАДАНИЕ 3.12 Постройте график функции и подтвердите изображение аналитическим исследованием.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений.
Определите функцию и постройте ее график.
Найдите наклонные асимптоты и изобразите их.
Постройте график первой производной и найдите точки экстремума.
Постройте график второй производной и найдите точки перегиба.
Пример выполнения задания
Постройте график функции f (е)= 夕叫工 + 3) и подтвердите изображение аналитическим исследованием.
Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями приведен ниже.
к ：= lim W1 f 1 b ：= lim (f(x) - x) f 1 x -> ■ xx f ■
к = 1 b = 1 Наклонная асимптота y^x+1
f(x)Их)
^х2-(х + 3)^х2-(х + 3)•(2-x-(x+3) + x2)*
^х2-(х + 3)
^х2-(х + 3)
Упроченное выражение Г(х) Г(х)-0 Точка максимума
"(х + 2)(В(х + 3)МГ(х)(х + 2)(х2(х + 3))"(х + 2)(В(х + 3)МГ(х)(х + 2)(х2(х + 3))-2-2f(-2) = 1^87f(-2) = 1^87(-2,1^87)(-2,1^87)Упрощенное выражение Г(х)Упрощенное выражение Г(х)-2-2(х+3)*(х + 3))(х+3)*(х + 3))
"(х + 2)
(В(х + 3)М
Г(х)
(х + 2)
(х2(х + 3))
"(х + 2)
(В(х + 3)М
Г(х)
(х + 2)
(х2(х + 3))
-2
-2
f(-2) = 1^87
f(-2) = 1^87
(-2,1^87)
(-2,1^87)
Упрощенное выражение Г(х)
Упрощенное выражение Г(х)
-2
-2
(х+3)*(х + 3))
(х+3)*(х + 3))
Знаменатель Г(х)Знаменатель Г(х)Г(х)-0 не существует Точка перегибаГ(х)-0 не существует Точка перегиба
Знаменатель Г(х)
Знаменатель Г(х)
Г(х)-0 не существует Точка перегиба
Г(х)-0 не существует Точка перегиба
(x + 3)-(x2-(x + 3))W(x + 3)-(x2-(x + 3))W0f(-3) =0-30f(-3) =0-3(3,0)(3,0)
(x + 3)-(x2-(x + 3))W
(x + 3)-(x2-(x + 3))W
0f(-3) =0
-3
0f(-3) =0
-3
(3,0)
(3,0)
Указание. Из рабочего документа удалены громоздкие выражения для первой и второй производной, а приведены их упрощенные выражения. Для того чтобы упростить выражение производной, выделите выражение и щелкните по строке Simplify меню Symbolics. При исследовании перегибов найдите точки, в которых вторая производная не существует — это нули ее знаменателя. Поскольку один из нулей знаменателя второй производной (z — 0) имеет кратность, равную двум, при переходе через него вторая производная не меняет знака. Функция имеет перегиб во второй точке (z = —3).
3.7
КРИВАЯ НА ПЛОСКОСТИ
Кривые на плоскости, заданные в декартовых координатах
Кривая на плоскости в прямоугольных (декартовых) координатах —— это множество точек, координаты которых (七,у) связаны одним из соотношений у = /(七),х W (а, Ь), х = д(у), у W (с, d) или 尸(土,у) = 0; первые два соотношения задают кривую явно, последнее ——неявно.
Кривая, заданная уравнением у = / (a), a W (а, Ь), называется гладкой^ если функция /(х) дифференцируема на промежутке (а, Ь). В каждой точке (хо, /(хо)) гладкой кривой можно провести касательную, уравнение которой
У = //(^о)(^-^о)+/(^о)-
Уравнение нормали в той же точке имеет вид
1У = ~7Ы1У = ~7Ы(£ — ао) + /Зо)(£ — ао) + /Зо)ИЛИ Н =尸的)(?/-/(a0)) +^0-ИЛИ Н =尸的)(?/-/(a0)) +^0-
1
У = ~7Ы
1
У = ~7Ы
(£ — ао) + /Зо)
(£ — ао) + /Зо)
ИЛИ Н =尸的)(?/-/(a0)) +^0-
ИЛИ Н =尸的)(?/-/(a0)) +^0-
Кривая, заданная неявно уравнением F(x,y) = 0, называется глад- кощ если на ней нет особых точек. Уравнения касательной и нормали к такой кривой, проходящих через точку (хо, уо),少(土о,Уо) = 0, имеют соответственно вид
现（n）,伙））（土一土0） + 耳（土0用0）仅一д。） = 0
и
^(^о,уо)(^-з：о)-^(^о,уо)(у-уо) = 0.
ЗАДАНИЕ 3.13
Изобразите линии, заданные в декартовых координатах явно уравнением у = /(х) и неявно уравнением F(x,y) = 0. Запишите уравнения касательной и нормали к каждой кривой в указанных точках и изобразите их на графике.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов вычислений по горизонтали.
Определите функцию /(х).
Запишите уравнение касательной, проходящей через заданную точку, в виде, разрешенном относительно переменной у.
Запишите уравнение нормали, проходящей через заданную точку, в виде, разрешенном относительно переменной у.
Постройте график функции и изобразите на нем касательную и нормаль.
Введите левую часть уравнения, задающего линию в неявной форме, и разрешите его относительно переменной у.
Определите функции, задающие явно части кривой, определенной в условии неявно.
Проверьте, лежат ли заданные точки на кривой и не являются ли они особыми.
Запишите уравнения касательной и нормали в каждой из точек в виде, разрешенном относительно переменной у.
Постройте графики функций, определенных в п. 7. Изобразите на тех же графиках касательные и нормали к ним.
Пример выполнения задания
Построите цепную линию, уравнение которой у =——-——=спх, и касательную и нормаль к ней в точке (l,chl). Постройте эллипс 青 + |^ = 1 и касательные и нормали к нему в точках (1〉±^^),
Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями и графиками приведен ниже.
х -х.
f(x)工一Lf1(x) ； Jf(x)
k = f1(1) yk(x) ：= k (x - 1) + f(1) yn(x)；」(x - 1) + f( 1) k
Проверка принадлежности точек
(1, 土(1,-кривой
JW ⑴产у1 ⑴=2.598
9у2(1) = -2.598
Вычисление частных производных x2d11
—- 1- хFx(x,y) ：= - x
4922
d，22
彳 + ^-1-УFy(x,y)=@y
喚 2.598喚 2.598уИ(х) ：= у1(1) - —*(х - 1)уп1(х) ：= у1(1) + — (х " 1)уИ(х) ：= у1(1) - —*(х - 1)уп1(х) ：= у1(1) + — (х " 1)ук2(х) ：=у2(1)-_(х-1)уп2(х) ：= у2(1) + — (х - 1)ук2(х) ：=у2(1)-_(х-1)уп2(х) ：= у2(1) + — (х - 1)Уравнения касательных и нормалей
喚 2.598
喚 2.598
уИ(х) ：= у1(1) - —*(х - 1)
уп1(х) ：= у1(1) + — (х " 1)
уИ(х) ：= у1(1) - —*(х - 1)
уп1(х) ：= у1(1) + — (х " 1)
ук2(х) ：=у2(1)-_(х-1)
уп2(х) ：= у2(1) + — (х - 1)
ук2(х) ：=у2(1)-_(х-1)
уп2(х) ：= у2(1) + — (х - 1)
УКх)
У2(х)
Ук1(х)
Ук2(х)
уп1(х)
уп2(х)
Указание. Все вычисления в этом примере выполняются так же, как и в предыдущих заданиях. Разрешите уравнение неявно заданной функции относительно переменной у. Для этого скопируйте левую часть уравнения (выражение для F(x, у)) в рабочий документ, выделите переменную у, затем щелкните по строке Solve в пункте Variable меню Symbolics. В рабочем документе будет отображен результат — два выражения. Определите две функции переменной х (в приведенном вьпие документе их имена у1(х) и у2(х)), присвоив каждой из них одно из
полученных выражений. Для того чтобы вычислить частные производные F^x^y) и 凡(z,y), скопируйте выражение для F(x，у) в рабочий документ, выделите переменную X, затем щедкните по строке Differentiate в пункте Variable меню Symbolics и присвойте полученное выражение функции Fx(x, у)； аналогично, выделив переменную у, найдите частную производную по у и присвойте полученное выражение функции Fy(x, у).
Кривые на плоскости, заданные параметрически
Уравнения х = 3(£), У =也(%), где 屮(力)и 也(£)непрерывны при £ € (а, ©)? устанавливающие зависимость декартовых координат (х, у) точки плоскости от значения параметра 土 € (а, ©), определяют на плоскости кривую, заданную в параметрической форме (говорят еще: заданную параметрически).
Поскольку производная функции у = /(£), заданной параметрически уравнениями w = g(t), у = 也(£), в точке, которая не является особой точкой кривой, вычисляется по формуле у'(£)= то уравнения касательной и нормали к кривой, проходящих через точку (хо, уо?) =(3面)，^(^о)))имеют соответственно вид:
У ~ }/^"-3面))+^(^о), у = _^П(£一д«。)) +处(力)，
3 丿第(Л。丿
ЗАДАНИЕ 3.14
Изобразите на плоскости кривую, заданную параметрически, и касательную и нормаль к ней в указанной точке.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов по горизонтали.
Определите функции, задающие кривую параметрически.
Найдите аналитически (символьно) производные обеих функций.
Запишите уравнения касательной и нормали в точках в виде функций переменной х.
Постройте график функции и изобразите на нем касательную и нормаль.
Пример выполнения задания
Для значений Л, равных 1, 0.5, 2, постройте циклоиды х = t — Asint, у = 1 — Л cost, £ € (0, 4тг), а также касательные и нормали к ним в точке
Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствуюФрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями и графиками приведен ниже.щими вычислениями и графиками приведен ниже.
Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствую
Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствую
щими вычислениями и графиками приведен ниже.
щими вычислениями и графиками приведен ниже.
А 二 1*(t) •= t- AWn(t) ,(t) ：= 1 - A-cos(t)
Указание. Для того чтобы построить график функции, заданной параметрически, введите в позиции, указанной меткой возле оси абсцисс, функцию, задающую значения аргумента (в рассматриваемом слунае это 0(t)), в позиции возле оси ординат ——функцию, определяющую аргумент (в рассматриваемом случае это 吵(t)). Чтобы построить на том же графике функции аргумента х, введите в позиции для функции (через запятую) имена функции переменной х, а в позиции для аргумента, через запятую, — имя аргумента х. В приведенном фрагменте вычисления организованы таким образом, что для исследования циклоиды с другим значением параметра А достаточно изменить значение параметра в правой части оператора присваивания в первой строке рабочего документа. Ниже приведены изображения циклоиды для А 二 0.5 и А = 2.
Кривые на плоскости, заданные в полярных координатах
Декартовы координаты (х, у) точки на плоскости связаны с полярными координатами (г, д) соотношениями ①=rcosg, у =『sing.
Многие кривые на плоскости удобно описывать как функции
радиуса-вектора и полярного угла — в полярных координата-х. Так, уравнение единичной окружности в полярных координата-х имеет вид
т = L Уравнение кривой в полярных координатах обычно имеет вид г — т(з). Угловой коэффициент касательной к графику функции, заданной уравнением т = т(д), в точке (т(9о),3о) равен ^^, а декартовы координаты(£о,уо) точки (т(9и),3и) равны соответственно g = T(30)COS3u И 如=r(^o)sin(^o-
ЗАДАНИЕ 3.15
Изобразите кривую, заданную в полярных координатах. Запишите уравнения касательной и нормали к ней.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений и режим отображения результатов вычислений по горизонтали.
Определите функцию г = т(з).
Изобразите в полярных координатах линию для значений 屮 из указанного в задании промежутка.
Найдите аналитически (символьно) производную rl = т'(з).
Найдите аналитически выражение для углового коэффициента касательной.
Запишите в декартовых координатах уравнения касательной и нормали к кривой в указанной точке.
Выполните аналогичные построения для других значений параметров, изменив в рабочем документе соответствующие константы.
Пример выполнения задания
Изобразите архимедовы спирали т =仪屮 для а = 1, 0.5, 2. Запишите уравнения касательных и нормалей к ним в точках 屮=彳〉-,тг. Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями и графиками приведен для а = 1,屮 = 不 ниже.
хО ：= fO cos(^O) уО ：= гО0п(фО)
ук(х) ：= к (х - хО) +у0 уп(х) := — (х - хО) +у0 к
У к а з а н и е. Для того чтобы построить график спирали в полярных координатах для 夕 € [0, 4тг], щелкните в панели инструментов графиков по кнопке画. В открывшемся окне графиков введите имя функции в полярных координатах, в метке, расположенной в правом верхнем углу окна, введите наибольшее значение аргумента (в приведенном фрагменте это значение равно 4тг) и щелкните по рабочему полю вне окна графиков. Буквы греческого алфавита вставляйте щелчком мьппи по кнопке с нужной буквой в панели греческого алфавита. Ниже изображены две архимедовы спирали, построенные в полярных координатах при различных значениях параметра а.
3.8
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Пусть функция /(х) имеет в точке g производные всех порядков до 几-ro включительно. Тогда для /(х) справедлива формула Тейлора
/(£)= /(^о) + 力『3 - g) + ^^(£ — £。产 +
+ …+ ~_^。)(② _ £0尸 +0((£一£0尸),
где о((х — ^o)n) = Rn(^)——остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано^ являющийся при х —> хо бесконечно малой более высокого порядка малости чем (х —хо)п.
Положив д；о = 0 и вычислив соответствующие производные в нуле, получим формулы Тейлора для основных элементарных функций:
碎=1+。+各+号+…+ 1+。（叫;
тЗ 丁5т2п-1
c。sc = l-方+ 豕 +…+(T)" 丽+。(/吋；
(1 + x)m = 1 + me + 制7^： *2 + …+
+磁Г一l)；,-n+嶋П +gП)
―—=1 + rr + rr2 + rr3 + ... + rrn + o(xn);；
11 + X11 + X1 —x
1
1 + X
1
1 + X
1 — z + « — / +…+ (~l)nxn +。(肝);
T2丁3丁几
ln(l + X)= X- + — + ... + (一 1尸一11- o(xn).
23n
Если отбросить остаточный член, то получится приближенная формула Тейлора彳
/3) У/Зо) +/3) У/Зо) +书i+乎…+…+5…,书i+乎…+…+5…,
/3) У/Зо) +
/3) У/Зо) +
书i+乎…+…+5…,
书i+乎…+…+5…,
правая часть которой называется многочленом Тейлора функции /(£); его обозначают Т^⑺.Приближенная формула /(х) ^ Тп(х) позволяет заменять в различных математических расчетах (аналитических и численных) произвольную функцию ее многочленом Тейлора. Из формулы Тейлора видно, что, чем точка х ближе к точке 窃，тем выше точность такой аппроксимации и эта точность растет с ростом степени многочлена. Это означает, в свою очередь, что, чем больше производных имеет функция в некоторой окрестности точки 迎, тем выше точность, с которой соответствующий многочлен Тейлора аппроксимирует функцию в этой окрестности.
В Mathcad многочлены Тейлора можно вычислить через меню символьных операций (Expand to Series в пункте Variable меню Symbolics) или с помощью панели математических инструментов (кнопка senes в панели [^]).
ЗАДАНИЕ 3.16
Запишите формулу Тейлора заданной функции. Исследуйте аналитически и графически зависимость погрешности приближенной формулы Тейлора от степени многочлена и от расстояния \х — гсо|. Исследуйте поведение остаточного члена формулы Тейлора. Выполните вычисления для функции /(re) из задания 3.13.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов вычисления по горизонтгши.
Определите функцию f(x).
Запишите разложение функции по формуле Тейлора до указанного порядка к.
Определите многочлены Тейлора степени n = 1, 2,..., Л.
Постройте график функции и многочленов Тейлора степени тъ — 2,к•
Изобразите для этих степеней графики остаточных членов.
Пример выполнения задания
Исследуйте формулу Тейлора для функции sine в окрестности нуля, вычисляя многочлены Тейлора до 7-й степени и соответствующие остаточные члены. Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями и графиками приведен ниже.
sin(x) х - Ld +_L» x7 + 0(х9)
61205040
Т7(х) ：= х - Ld + — хб - —1—х7R7(x) ：= sin(x) - Т7(х)
61205040
Т5(х) ：= х - 1-х3 + -2- х5R5(x) ：= sin(x) - Т5(х)
Т3(х) ：= х - 1-х3R3(x) ：= sln(x) - Т3(х)
6
Т1(х) ：= хТ1(х) ：= хR1(x) ：= sin(x) ■ Т1(х)
Т1(х) ：= х
Т1(х) ：= х
sin( х )
Т7(х)
Тб(х)
Т3(х)
Т1(х)
R7(x)
R5(x)
R3(x)
R1(x)
Указание. Для того чтобы получить разложение функции по формуле Тейлора в окрестности нуля, введите функцию, выделите переменную х, щелкните по строке Expand to Series в пункте Variable меню Symbolics и укажите в окне диалога порядок остаточного члена (рис. 3.21). Затем определите многочлены Тейлора как функции переменной х и скопируйте в них нужное число слагаемых из вычисленного выражения. Остаточные члены определите как функции переменной х, равные разности функции и соответствующего многочлена Тейлора.
•Mdthcad
иТ讶Ы
I Frin1! tn '1Г11—
dci if ^TiflJift4l м『“I
Рис. 3.21. Меню и окно ввода для разложения функции по формуле Тейлора
ЗАДАНИЕ 3.17
Запишите для заданной функции формулу Тейлора указанного порядка в окрестности точки с» Изобразите график функции и ее многочлена Тейлора.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов вычисления по горизонтали.
Определите функцию /(х).
Выполните замену переменной i = х — хо и запишите полученную функцию переменной t
Разложите функцию переменной i по формуле Тейлора в окрестности нуля.
Определите функцию переменной ^ равную правой части формулы Тейлора, и выполните в ней замену х = i+ хо-
Постройте графики функции /(х) и ее многочлена Тейлора.
Пример выполнения задания
Запишите формулу Тейлора четвертого порядка для функции /(н)= =isinx в окрестности точки хо = —1. Постройте график функции и ее многочлена Тейлора в окрестности этой точки. Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями и графиками приведен ниже.
Вх + 1 x«t- 11__
X С-1)
11-1-t-t2-f3-t4 + 0(f)-1-t-t2-f3-t4 + 0(f)
1
1
-1-t-t2-f3-t4 + 0(f)
-1-t-t2-f3-t4 + 0(f)
-2 - X - (х + 1)2 - (х + 1)3 _ (х + 1)4 + о((х + [)6)
Т4(х) ：= -2 - X - (х + 1)2 - (х + I)3 - (х + 1)4
Указание. Для того чтобы выполнить замену переменной z = £ + с。, скопируйте в буфер обмена стандартным для Windows способом выражение t + хо для X, выделите в выражении для /(х) переменную х и щелкните по строке Substitute в пункте Variable меню Symbolics (рис. 3.22). В дальнейшем действуйте так же, как в предыдущем задании.
Рис. 3.22. Символьная замена переменной
3.9
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
Функции спроса. Равновесная цена
Микроэкономика^ как известно, занимается анализом отдельных элементов экономической системы. Один из важнейших разделов микроэкономики ——изучение спроса и предложения. Спрос на некоторый товар — это потребность в определенном количестве товара, ограниченная действующими ценами и платежеспособностью (доходами) потребителей. Предложение ——это количество товара, которое может быть представлено для продажи по данной цене.
Здравый смысл подсказывает: увеличение выпуска требует дополнительных затрат и, для того чтобы заинтересовать производителя в увеличении выпуска, нужно предложить ему повышенную цену. Отсюда следует, что предложение S нужно рассматривать как возрастающую функцию уены Р. Если предложение зависит от цены, то и цена зависит от предложения. Экономисты обычно именно функцию Р = S(Q) называют функцией предложения^ а ее график ——кривой предложения] здесь Q ——количество товара, предложенного для продажи по цене Р.
Тот же здравый смысл подсказывает: если цена на определенный товар начинает расти, то количество проданного товара будет уменьшаться ? т.е. зависимость спроса D от цены Р — убывающая функция. Экономисты называют функцией спроса функцию Р = D(Q), а ее график —— кривой спроса; здесь Q — количество товара, приобретенного потребителями по цене Р.
Хотя любое предположение о виде функциональных зависимостей S(Q) и D(Q) будет упрощением действительности, исследование этих функций позволяет частично ,,оценить,5 реальную ситуацию. Таким образом, анализируя модель, можно оценивать, предсказывать изменение исследуемых величин. Чем ближе модель к реальности, тем, вообще говоря, она сложнее и тем более точными могут оказаться прогнозы и оценки.
Некоторые содержательные выводы о взаимном влиянии показателей можно сделать, исследуя поведение графиков соответствующих функций. Посмотрим, налример, на графики функций спроса и предложения, приведенные ниже.
D(Q) = -5 Q + 150 функция спроса
Представляет интерес точка пересечения кривых спроса и предложения. Эта точка называется точкой равновесия^ а соответствующая цена ——равновесной ценой. Пересечение графиков при Р = 100 означает, что при такой цене весь произведенный товар раскупается, спрос и предложение совпадают. При ценах ниже равновесной (Р < 100) спрос превышает предложение, D(Q) > S(Q), возникает "дефицит” товара и
производители могут повышать цену, рыночная цена будет стремиться к равновесной. Если же цены выше равновесной цены, Р > 100, то S(Q) больше D(Q), предложение превышает спрос, остается нереализованная продукция, что побуждает производителей снижать цену, и рыночная цена будет стремиться к равновесной. Следует заметить, что здесь рассмотрена очень упрощенная модель: ведь цена — не единственный фактор, определяющий изменение спроса и предложения; с некоторыми другими факторами мы познакомимся в разделе, посвященном функциям нескольких переменных в экономических задачах.
ЗАДАНИЕ 3.18
Изобразите кривые спроса и предложения. Найдите равновесную цену.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений.
Определите функцию предложения как функцию переменной Q,
Определите функцию спроса как функцию переменной Q.
Постройте на одном графике кривую спроса и кривую предложения. Найдите графически координаты точки пересечения.
Найдите символьное значение Q, при котором достигается равновесная цена.
Вычислите равновесную цену как значение функции спроса в соответствующей точке.
Пример выполнения задания
Вариант решения задачи для линейной функции спроса D(Q) = 150—5Q и для функции предложения S(Q) = ^Q2 + ~Q + 70 приведен выше. В приведенном ниже документе показано символьное и графическое вычисление равновесной цены.
D(Q) ：= -5 Q + 150 функция спроса
Q2 Q
S(Q) ：= — + —十 70 функция предложения 42
Given
俘 + 号 + 7“ - (5Q + 150)-0
Find(Q) f (10 -32 ) P ：= D(10) P = 100
У казание. Для того чтобы найти равновесную цену графически, щелкните
по строке Trace пункта Graph меню Format и установите стрелками или мышью маркер на пересечении линий. Чтобы найти равновесную цену символьно, введите ключевое слово Given, затем ——разность функций спроса и предложения, символьный знак равенства (<Ctrl> + <=>) и приравняйте левую часть нулю. Введите функцию Find(Q), выделите ее, щелкните в панели по кнопке ' и по рабочему документу вне выделяющей рамки. Вычислите равновесную цену
как функцию вычисленного значения Q.
Функции спроса. Зависимость спроса от дохода
Предметом теории потребления является исследование того, как люди распределяют заработную плату между различными расходными статьями своего бюджета, в каких объемах они покупают продукты потребления и т.д.
Функции спроса описывают зависимость спроса D на приобретаемый продукт потребления от цены Р этого продукта и от дохода потребителя ж, О = О(с)Р). При фиксированной цене Р функция спроса зависит только от дохода: D = D(x).
Рассмотрим в качестве примера функции спроса Торнквиста^ D⑺〉которые описывают зависимость величины спроса на различные группы товаров в зависимости от их цены и роли в потребительской корзине:
Q?(出 + 6)
Dg(x)———спрос на малоценные товары;
* Функции Торнквиста приведены в [9].
01(c) = "Z — спрос на товары первой необходимости;
。2(£)=2jT^спрос на товары второй необходимости (относительная роскошь);
OtX\X —
■Оз (z)=—— 军0спрос на предметы роскоши.
Здесь q, j0, 7 — некоторые фиксированные параметры.
Ниже приведены графики функций спроса Торнквиста, построенные в Mathcad.
Графики функций спроса Торнквиста
а ：= 10 В ：= 3а ：= 10 В ：= 3у =2 х - доходу =2 х - доходD0⑴=空 х2 + уD0⑴=空 х2 + уD1(x)D1(x)-ftXX + В-ftXX + ВD2(x) “У.-工)x + 6D2(x) “У.-工)x + 6спрос на малоценные товарыспрос на товары первой необходимостиспрос на товары второй необходимости (относительная роскошь)спрос на малоценные товарыспрос на товары первой необходимостиспрос на товары второй необходимости (относительная роскошь)
а ：= 10 В ：= 3
а ：= 10 В ：= 3
у =2 х - доход
у =2 х - доход
D0⑴=空 х2 + у
D0⑴=空 х2 + у
D1(x)
D1(x)
-ftX
X + В
-ftX
X + В
D2(x) “У.-工)
x + 6
D2(x) “У.-工)
x + 6
спрос на малоценные товары
спрос на товары первой необходимости
спрос на товары второй необходимости (относительная роскошь)
спрос на малоценные товары
спрос на товары первой необходимости
спрос на товары второй необходимости (относительная роскошь)
Из приведенных графиков видно, что при а = 10, 0 = 3, ? = 2 спрос на малоценные товары растет при малых доходах, а затем с ростом доходов начинает падать и стремится к величине а сверху. Спрос на товары первой необходимости растет с ростом доходов и стремится к
величине а снизу. Товары второй необходимости и предметы роскоши приобретают только люди с доходом, превьппающим 7 = 2. При этом спрос на товары второй необходимости отстает от спроса на товары первой необходимости и ограничен сверху значением а. И только спрос на предметы роскоши с ростом доходов постоянно растет.
ЗАДАНИЕ 3.19
Постройте график заданной функции спроса. Исследуйте вид кривой при разных значениях параметров.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений.
Определите функцию спроса как функцию дохода и параметров.
Постройте на одном графике кривые спроса для разных значений параметров.
Пример /выполнения задания
Ниже приведены графики функций Торнквиста спроса на малоценные товары при а = 10,夕=2 для)= 1, 2, 3, 4.
Графики функций спроса Торнквиста
а ：= 100 二 3 х - доход
D(X,y) ：=―2———
Y + у
Максимальная прибыль
В наиболее общем виде прибыль* тг — разность между выручкой предприятия от реализации продукции R и полными издержками (затратами) С: тг — R~ С.
Поскольку цена определяется не тем, сколько хочет получить производитель, а тем, сколько готов заплатить потребитель, то полный доход, полученный от реализации товара в количестве Q по цене Р, вычисляется по формуле R = QP(Q* где Р = P(Q) — соответствующая функция спроса.
Полные издержки С разделяют на постоянные (Су), которые не зависят от объема производства Q, и переменные (&) — затраты на производство единицы продукции, т.е.
c = j+aQ.
Задача об определении максимальной прибыли состоит в определении такого объема производства Qmax, при котором достигается максимальная прибыль, т.е. требуется при заданных значениях С/, & и заданной функции спроса Р — P(Q) найти максимум функции
WQ)二 QP(Q)-(J + aQ)・
Ниже приведено графическое решение задачи о максимальной прибыли для квадратичной функции P(Q) = 10Q — Q2 и для С/ = 70, Си = 0.7.
Cf ：= 70 Cv ：= 0.7
Указание. Для того чтобы найти геометрически выпуск продукции Q, при котором достигается максимум прибыли, изобразите на одном графике кривую полного дохода и линию издержек. Максимум прибыли достигается в точке, где расстояние между кривыми максимально. Видно, что производство прибыльно только при Qi V Q V Q2 } где Qi н Q2 — точки пересечения графиков полного дохода и затрат, поскольку при таких значениях Q полный доход превышает издержки. В приведенном документе координаты точки максимальной прибыли определены с помощью функции Trace пункта Graph меню Format.
Ниже приведено символьное вычисление точек, определяющих границы прибыльного объема производства, и точки максимальной прибыли. Границы интервала, на котором полный доход превышает издержки, вычислены как решения уравнения R(Q) — C(Q) = 0, а точка максимальной прибыли — как решение уравнения 既？)= 0.
dQ
Given (-Q2 + 10-Q) - (C+ Cv-Q)»0
Flnd(Q) f (4.65-6J553935905885297355i 4£5 + 6.95539359058852973551)
Q1 ：= 1.5479845261507801434 Q2 ：= 7.7520154738492198566
Given —pl(Q)*O
dQ
Find(Q) f (.0351857050762570006 6.631480961590409666 )
Qmax ：= 6^31480961590409666 pi(Qmax) = 73.494
ЗАДАНИЕ 3.20
Найдите графически и численно максимальную прибыль и границы прибыльного производства для заданной функции полного дохода и функции издержек.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений.
Определите функцию полного дохода как функцию объема проданного товара.
Определите функцию издержек как функцию объема проданного товара.
Постройте на одном графике кривую полного дохода и линию издержек.
Найдите графически максимальную прибыль и границы доходного производства.
Постройте график функции прибыли.
Глава 3. Задачи
Найдите аналитически границы прибыльного производства.
Найдите производную функции прибыли и точку максимальной прибыли.
Вычислите максимальную прибыль.
Пример выполнения задания
Фргамент рабочего документа Mathcad, содержащий вычисления для R(Q) = —Q2 + 10Q, C(Q) = 70 + 0.7Q, приведен выше.
Средние и предельные показатели
Переменные в экономическом анализе называлот показателями. В экономике широко используются средние величины: средняя производительность, средний доход, средние издержки и др. Однако с помощью средних показателей нельзя определить, какое влияние на результат деятельности (прибыль, объем производства и др.) оказывает изменение одного из показателей. Здесь следует анализировать приращения переменных, т.е. применять методы дифференциального
исчисления.
R(Q)R(Q)Предельный доход определяется как производная полного дохода R = R(Q) по количеству товара Q: R(Q)=彳紀,т.е. он равен скорости изменения дохода при изменении объема продаж.
R(Q)
R(Q)
Q '嚼)—pQ '嚼)—pСредний доход — это доход на единицу продаж: Rcp =
Q '
嚼)—p
Q '
嚼)—p
Если R(Q) = PQ, где Р — цена единицы товара, то Rcp =
т.е. средний доход равен цене единицы продукции.
Совершенно аналогично определяются предельные и средние показатели для других экономических показателей.
Средние и предельные издержки: Cf(Q) = ^^, Сф = -^\ где °(Q) — функция издержек.
Средняя и предельная производительность: Q'(E)=写*, Qcp = =Qg", где Q(E) — производственная функция, описывающая зависимость объема приз веденной продукции Q от количества вложенного труда L.
Средняя и предельная склонность к потреблению^ С(У)=专界, Сф =■, где С(У) — функция потребления, описывалощая зависимость объема потребления С от национального дохода* У.
Средняя и предельная склонность к сбережению: S'(Y) = ^^, Sep = 号^, где S(Y) — функция сбережения, описывающая зависимость объемов капиталовложений S от национального дохода У. Заметим, что для простейшей двухсекторной модели У = С + S н, следовательно, С (У) + S'(У) = 1, Сср + Scp = 1.
ЗАДАНИЕ 3.21
Вычислите средние и предельные величины для заданной экономической функции.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений.
Определите заданную экономическую функцию и постройте ее график.
/3. Определите среднюю величину и постройте ее график.
Найдите предельную величину и изобразите ее на том же графике.
Пример выполнения задания
Ниже приведены вычисления и графики предельной и средней производительности труда для производственной функции у = 3 v^.
У(х) = 3 з衣
Эластичность экономических функций
Эластичность ——это безразмерная величина, которая показывает способность функции реагировать на изменение аргумента. Эластичностью функции в точке называется предел отношения процентного изменения функции к вызвавшему это изменение процентному изменению аргумента, т.е.
Ef = limEf = lim100%100%100%100%
Ef = lim
Ef = lim
100%
100%
100%
100%
Эластичность можно определить через средние и предельные величины:
Ef =Ef =学100 lim ^ △5 包 100学100 lim ^ △5 包 100lim 〃' +竽 73)△стО Дд；lim 〃' +竽 73)△стО Дд；N — г//）С /（С）而г，⑺而=砌N — г//）С /（С）而г，⑺而=砌
Ef =
Ef =
学100 lim ^ △5 包 100
学100 lim ^ △5 包 100
lim 〃' +竽 73)
△стО Дд；
lim 〃' +竽 73)
△стО Дд；
N — г//）С /（С）而г，⑺而=砌
N — г//）С /（С）而г，⑺而=砌
или как логарифмическую производную:
Ef =Ef =dln/(x) dlnx 'dln/(x) dlnx '
Ef =
Ef =
dln/(x) dlnx '
dln/(x) dlnx '
поскольку
、 df(i)dx
Для функции, заданной на конечном множестве значений Xf, рассматривают конечную (процентную) эластичность:
^^ -100%Е = _^-100%
Xi
Эластичность спроса по цене определяется равенствами:
dD
下dD Р dQ Р
d 圾dP D dP Q、
P
где D — 0(P) — функция спроса.
Напомним, что функция спроса D = 0(Р) — убывающая функция, следовательно, эластичность Е° отрицательна (точнее, неположительна) и анализу подвергается величина |瓦|・
В зависимости от значений \Е^\ различают товары эластичного и неэластичного спроса. Если |Eq| > 1, т.е. относительное повышение
3.9. Функции одной переменной в экономических задачах 219 цены на 1% приводит к относительному падению спроса более чем на 1%, и наоборот, падение цены на 1% приводит к увеличению спроса более чем на 1%, то говорят о товаре эластичного спроса. В противном случае, когда |£р| < 1, товар называют товаром неэластичного спроса.
Существует связь между предельным доходом и эластичностью спроса по цене.
Как уже отмечалось выше, суммарный доход R(Q) вычисляется по формуле R(Q) = QP(Q)^ где P(Q) — функция спроса. Тогда предельный доход R'(Q) можно выразить через Ер：
畝 Q)=畜 з9)) = Р+嚼=Р (+続)"(1 - 詣)
справедливо для любой функциисправедливо для любой функцииспроса. Отсюда следует, что при реализации товаров неэластичногоспроса. Отсюда следует, что при реализации товаров неэластичногоРавенство R'(Q)=尸(1 — щ-j^
справедливо для любой функции
справедливо для любой функции
спроса. Отсюда следует, что при реализации товаров неэластичного
спроса. Отсюда следует, что при реализации товаров неэластичного
спроса (|Ео| < 1) предельный доход отрицателен и суммарный доход
падает; если же спрос на товар эластичен (|班| > 1), то предельный доход положителен и, следовательно, суммарный доход растет. Спра
ведливо утверждение: для товаров эластичного спроса суммарный
доход — возрастающая функция.
Эластичность предложения по цене определяется равенствами:
dSlP=dP'S = dP"Q，dSlP=dP'S = dP"Q，
dS
lP=dP'S = dP"Q，
dS
lP=dP'S = dP"Q，
где S = S(P) — функция предложения. Функция предложения S = S(P) возрастающая, эластичность Е$ неотрицательная, и анализу подвергается величина
Ниже приведены вычисления предельного дохода и эластичности спроса по цене, графики эластичности, предельного дохода и график дохода. В приведенном документе показано вычисление значения Р, при котором спрос на исследуемый товар теряет эластичность.
-Q23-Q2377ED(Q):号二 dQED(Q):号二 dQ1P(Q)1P(Q)
-Q23
-Q23
7
7
ED(Q):号二 dQ
ED(Q):号二 dQ
1
P(Q)
1
P(Q)
R(Q) = Q P(Q)Rp(Q) = 1_R(Q)R(Q) = Q P(Q)Rp(Q) = 1_R(Q)R(Q) f QR(Q) f QRp(Q)Rp(Q)（箭（箭+ 1Q + 1+ 1Q + 1510510■1 93—-Q + _-Q105■1 93—-Q + _-Q105++才q£q+^才q£q+^
R(Q) = Q P(Q)
Rp(Q) = 1_R(Q)
R(Q) = Q P(Q)
Rp(Q) = 1_R(Q)
R(Q) f Q
R(Q) f Q
Rp(Q)
Rp(Q)
（箭
（箭
+ 1Q + 1
+ 1Q + 1
510
510
■1 93
—-Q + _-Q
105
■1 93
—-Q + _-Q
105
+
+
才q£q+^
才q£q+^
Find(Q)f 2-；而 2 + ；再
Q ：=2+g 府 Q = 4.517 P(Q) = 1.37
Указание. Графики подтверждают высказанные выше утверждения о связи эластичности спроса по цене с предельным и суммарным доходом. В документе показано символьное вычисление значения Q, при котором \Ed\ = 1 (найдено решение уравнения —Ed = 1), и вычисление соответствующего значения цены Р =尸(Q). Исследуемый товар является товаром эластичного спроса, и суммарный доход от его реализации растет, когда цена товара не превьппает величины Р 二 1.37. При такой цене достигается максимум суммарного дохода.
ЗАДАНИЕ 3.22
Найдите для заданной функции спроса Р = P(Q) эластичность Eq спроса по цене и соответствующий предельный доход. Постройте графики эластичности Ed и предельного дохода. Найдите значение Q и соответствующую цену, при которой \Ed\ = 1. Сформулируйте выводы.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений.
Определите функцию спроса Р = P(Q)・
Найдите эластичность спроса по цене.
Определите функцию суммарного дохода.
Найдите предельный доход.
Постройте графики эластичности и предельного дохода.
Постройте график суммарного дохода.
Найдите на графике точку, в которой |Ed| = 1 (Е。= —1, поскольку Ed < 0).
Найдите символьно точку Q, в которой \Е^\ = 1.
Вычислите аналитически соответствующее значение цены.
Пример выполнения задания
Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий вычисления для E(Q) = —O.IQ? + 0.6Q + 0.7, приведен выше.
3.10
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЗАМЕНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Рассмотрим функцию /(с), определенную на промежутке (а, Ь). Дифференцируемая на промежутке (а, Ь) функция F(x), производная которой в каждой точке (а, Ь) равна /(х), называется первообразной функции /(х):
F'(x)^f(x).
Поскольку (F(x) + су = F'(z) = /(х) для любой постоянной С, то можно говорить о семействе первообразных ——множестве функций вида F(z) + С,尸(工)=/(£)•
Семейство первообразных F(h) + С функции /(н) называется неопределенным интегралом функции /(т) и обозначается символом //⑴红
/ f(x) dx — F(t) + С, т 6 (a, 6),
где / —- знак интеграла; f(x)dx — подынтегральное выражение; f ⑺—-подынтегральная функция; х — переменная интегрирования; F(c) + С — значение неопределенного интеграла, т.е. семейство первообразных функции /(н):
^ f(x)dxj = (F^ + C)' = /(ж).
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислениями некоторых неопределенных интегралов и с графиками семейств первообразных.
F(x)：=呉⑵+2瓜F(x)：=呉⑵+2瓜Указание. Для того чтобы вычислить неопределенный интеграл, щелкнитеУказание. Для того чтобы вычислить неопределенный интеграл, щелкнитепо кнопкепо кнопкевведите с клавиатуры в помеченных позициях повведите с клавиатуры в помеченных позициях пов пав падынтегральную функцию и переменную интегрирования, выделите все выражениедынтегральную функцию и переменную интегрирования, выделите все выражение
F(x)：=呉⑵+2瓜
F(x)：=呉⑵+2瓜
Указание. Для того чтобы вычислить неопределенный интеграл, щелкните
Указание. Для того чтобы вычислить неопределенный интеграл, щелкните
по кнопке
по кнопке
введите с клавиатуры в помеченных позициях по
введите с клавиатуры в помеченных позициях по
в па
в па
дынтегральную функцию и переменную интегрирования, выделите все выражение
дынтегральную функцию и переменную интегрирования, выделите все выражение
рамкой, затем щелкните по кнопкерамкой, затем щелкните по кнопкев панели |色|. Первообразная, в кото
рамкой, затем щелкните по кнопке
рамкой, затем щелкните по кнопке
рой по умолчанию значение произвольной константы равно нулю, будет отображена справа от стрелки. Скопируйте вычисленное выражение и присвойте его функции переменной х (в приведенном фрагменте это F(x)). Для того чтобы проверить первообразную, вычислите ее производную. Для этого скопируйте в буфер обмена выражение первообразной, щелкните по кнопке дифференцирования 圧]вставьте из буфера обмена выражение первообразной, введите с клавиатуры переменную дифференцирования и дальше действуйте так же, как при символьном вычислении первообразной. Построить графики семейства первообразных можно, щелкнув по кнопке困в панели [?jF|. Далее следует ввести в помеченной позиции возле оси ординат, разделяя запятой, выражения для первообразных с различными эначени- ями константы (в приведенном фрагменте — это F(x) ± 5, ±10, ±15) и щелкнуть по рабочему документу вне поля графиков.
Если 夕⑴ —— непрерывно дифференцируемая функция, то, полагая £ —夕(£)，получим формулу интегрирования заменой переменной:
Фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислением неопределенного интеграла заменой переменных приведен ниже.
f(x) ：= X?刃 1 - х t(x) ：= ^1 - x
用匚7 -11 -13 at2
x23/T^(1-t3)2(t3)W
*1。+戸一¥
107410742.(1-х)®Л(1-х)®-1(1_х)©
1074
1074
1074
_ (1 - х)'з/.(14 (1 - х)2-5 + 40 х)
140
Проверка
Л (1 - x)W (14 (1 - х)2-5 + 40 х) -_Г_ (1 - x)w (12 + 28 x)
Ответ F(x) =^ (1 - x)w (14 (1 - х)2-5+40 х)
Указание. Для того чтобы выполнить в неопределенном интеграле замену переменной х новой переменной t = ^1 — х, введите в рабочий документ 网二 х — t и разрешите его относительно переменной х (выделите х, щелкните по строке Solve в пункте Variable меню Symbolics), затем скопируйте в рабочий документ подынтегральную функцию переменной х, скопируйте в буфер обмена выражение для х и выполните замену (выделите х, щелкните по строке Substitute в пункте Variable меню Symbolics). Вычислите неопределенный интеграл по t, действуя как описано вьппе, и выполните обратную подстановку (замените переменную t ее выражением через х); упростите выражение, используя меню символьных операций.
ЗАДАНИЕ 3・23
Вычислите не опр ед еденный интеграл и проверьте правильность вычислений; постройте графики семейства первообразных.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов вычислений по горизонтали.
Определите подынтегральную функцию как функцию переменной х.
Найдите первообразную, используя символьную математику пакета.
Определите первообразную как функцию переменной.
Найдите производную первообразной, используя символьную математику пакета.
Упростите производную от первообразной, сравните результат с подынтегральной функцией.
Постройте на одном графике изображения нескольких первообразных.
Пример выполнения задания
Вычислите . проверьте вычисления дифференцировани-
у v2x2 — х + 2
ем, постройте график семейства первообразных. Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями приведен ниже.
F(х) ：= 1 ^2 asinhF(х) ：= 1 ^2 asinh
F(х) ：= 1 ^2 asinh
F(х) ：= 1 ^2 asinh
Указание. Все пояснения к выполнению вычислений даны в примерах, рассмотренных выше. Если не удается упростить производную первообразной, можно выполнить упрощения постепенно. Скопируйте на свободное место в рабочем документе через буфер обмена выражение для производной, выделите рамкой часть выражения и упростите ее, затем скопируйте полученное упрощенное выражение и упростите его. Один из возможных вариантов упрощения в два приема показан на рис. 3.23.
/15/15ь二Malhcad Piufessiundl - [f3_1_3]ь二Malhcad Piufessiundl - [f3_1_3]£й Е土 Maw .鹏駅 tirat МыЬ£й Е土 Maw .鹏駅 tirat МыЬI "二‘"3「中函>1 I1 -IIJ I I ，研，ol'= rjIrHbnrijgiEil^l利阐朗烈嗣3I "二‘"3「中函>1 I1 -IIJ I I ，研，ol'= rjIrHbnrijgiEil^l利阐朗烈嗣311老倒制电w1 X住同11老倒制电w1 X住同Рис. 3.23. Упрощение выражения в два приемаРис. 3.23. Упрощение выражения в два приема
/15
/15
ь二Malhcad Piufessiundl - [f3_1_3]
ь二Malhcad Piufessiundl - [f3_1_3]
£й Е土 Maw .鹏駅 tirat МыЬ
£й Е土 Maw .鹏駅 tirat МыЬ
I "二‘"3「中函
>1 I1 -IIJ I I ，研，ol'= rjIrHbnrijgi
Eil^l利阐朗烈嗣3
I "二‘"3「中函
>1 I1 -IIJ I I ，研，ol'= rjIrHbnrijgi
Eil^l利阐朗烈嗣3
11老倒制电w1 X住同
11老倒制电w1 X住同
Рис. 3.23. Упрощение выражения в два приема
Рис. 3.23. Упрощение выражения в два приема
3.11
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Определение и вычисление определенного интеграла
Рассмотрим функцию /(х), определенную на промежутке [а, Ь]. Разобьем промежуток на п произвольных частей точками
CZ = Xq V И? 1 V 土2 V * * • V £ji—1 V £ji — Ь
и обозначим
△i =— Xi-i, г = 1,..., n, . △= max
1<г<п
На каждом промежутке 風7 g] возьмем произвольную точку ^ и вычислим в ней значение функции /(以 Выражение
s = £/(&)&
г=1
называется интегральной суммой функции /(х). Если при △ О существует и конечен предел lim S, не зависящий ни от способа разбиения промежутка [а, Ь] точками д,力=1, 2,….,几一1, ни от выбора точек §i е (土£—1,土£), то этот предел называют определенным интегралом от функции /(х) по промежутку [а, 6], а саму функцию —— интегрируемой на [а, Ь]. Обозначают
0/5 = / f(x)dx.а
Из приведенного определения естественно следует геометрический
смысл определенного интеграла: если /(х) > 0, то / f(x)dx равен а
площади фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и прямыми х = а^ х = Ь.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, в котором вычислено значение интеграла от линейной функции, определена площадь соответствующей фигуры, залисаны выражения для интегральных сумм (при разбиении отрезка интегрирования на N равных частей длины △ = ^^), найдены пределы интегральных сумм и построены графики зависимости интегральных сумм от ^ и от △.
f(x) ：= 2 х + 1 а ：= 1
•5
f(x) dx f 28
Ji
S”y.(5 — 1)
S =28
SI(N)：=SI(N)：=lim SI(N) f 28 I —> <Dlim SI(N) f 28 I —> <DЗначения подынтегральной функции вычисляются в правых концах отрезковЗначения подынтегральной функции вычисляются в правых концах отрезковх b - а b - зf а + (I + 1) _^ —— i= Ох b - а b - зf а + (I + 1) _^ —— i= Оlim Sr(N) f 28 f a>lim Sr(N) f 28 f a>Значения подынтегральной функции вычисляются в серединах отрезковЗначения подынтегральной функции вычисляются в серединах отрезковSm(N) ：= ^ f а + ^i + 2j-^Z^ i = ОSm(N) ：= ^ f а + ^i + 2j-^Z^ i = Оlim Sm(N) f 28 ! —> a>lim Sm(N) f 28 ! —> a>Значения подынтегральной функции вычисляются в левых концах отрезков
SI(N)：=
SI(N)：=
lim SI(N) f 28 I —> <D
lim SI(N) f 28 I —> <D
Значения подынтегральной функции вычисляются в правых концах отрезков
Значения подынтегральной функции вычисляются в правых концах отрезков
х b - а b - з
f а + (I + 1) _^ —— i= О
х b - а b - з
f а + (I + 1) _^ —— i= О
lim Sr(N) f 28 f a>
lim Sr(N) f 28 f a>
Значения подынтегральной функции вычисляются в серединах отрезков
Значения подынтегральной функции вычисляются в серединах отрезков
Sm(N) ：= ^ f а + ^i + 2j-^Z^ i = О
Sm(N) ：= ^ f а + ^i + 2j-^Z^ i = О
lim Sm(N) f 28 ! —> a>
lim Sm(N) f 28 ! —> a>
Указание. Для того чтобы вычислить определенный интеграл, щелкните в пане皿圜по кнопке I J? I и введите с клавиатуры в помеченных позициях пределы интегрирования, подынтегральную функцию и переменную интегрирования; выделите выражение, щелкните по кнопке EZZ в панели |百|, а затем — по рабочему документу вне выделяющей рамки. Вычисленное значение интеграла будет отображено в рабочем документе справа от стрелки. Постройте график функции. Геометрическая фигура, ограниченная графиком функции, осью абсцисс и прямыми х — а, х — 6, — трапеция. Вычислите площадь трапеции и сравните со значением интеграла. Разбейте отрезок [а, Ь] на N равных частей и определите три интегральные суммы как функции N, различающиеся способом выбора точки 帛 на отрезке [g,3+i]: SI(N) для & =g, Sr(N) для & 工 £導1 и Sm(N) для 标=乏亨十• Чтобы определить соответствующую интегральную сумму, введите с клавиатуры ее имя и знак присваивания; щелкните по кнопке囿в панели И и введите в помеченных
позициях индекс суммирования, его начальное и конечное значения и выражение для вычисления слагаемого. Чтобы найти предел интегральной суммы при N —> оо, щелкните по кнопке | | в панели |1關,введите в помеченных позициях N, оо и имя соответствующей интегральной суммы, выделите выражение предела, щелкните по
кнопкекнопкев панели |喻 | и по рабочему документу вне выделяющей рамки.
кнопке
кнопке
Сравните значения полученных пределов между собой и со значением интеграла. В приведенном фрагменте построены два графика интегральных сумм. Левый график — изображение зависимости интегральных сумм от N. На графике видно, что при любом значении ^ интегральная сумма Sm(N) равна значению интеграла, а интегральные суммы SI(N) и Sr(N) стремятся к нему с ростом ^, монотонно возрастая и убывая соответственно. На правом графике изображена зависимость значений интегральных сумм от длины отрезка разбиения [х；,工计住 E+i - g =，而\ b> a. Видно, что, когда длина отрезка разбиения стремится к нулю, значения интеграль-
ных сумм стремятся к точному значению определенного интеграла.
ЗАДАНИЕ 3.24
Для заданной функции исследуйте поведение интегральных сумм на заданном отрезке интегрирования, разбивая отрезок интегрирования на равные части. Вычислите определенный интеграл и сравните его значение со значениями пределов интегральных сумм.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов по горизонтали.
Определите подынтегральную функцию как функцию переменной х и постройте ее график.
Вычислите определенный интеграл.
Запишите выражение для интегральной суммы, полученной при разбиении отрезка интегрирования на равные части,
когда значение функции вычисляется в левом конце отрезка разбиения. Найдите ее предел при числе отрезков разбиения, стрёмящемся к бесконечности.
Запишите выражение для интегральной суммы, полученной при разбиении отрезка интегрирования на равные части, когда значение функции вычисляется в правом конце отрезка разбиения. Найдите ее предел при числе отрезков разбиения, стремящемся к бесконечности.
Запишите выражение для интегральной суммы, полученной при разбиении отрезка интегрирования на равные части, когда значение функции вычисляется в середине отрезка разбиения. Найдите ее предел при числе отрезков разбиения, стремящемся к бесконечности.
Сравните полученные значения пределов между собой и со значением интеграла.
Постройте графики интегральных сумм как функций числа разбиений отрезка интегрирования.
Постройте графики интегральных сумм как функций длины отрезка разбиений.
Пример выполнения задания
Фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислениями для интеграла 5
J(2а + 1) dx приведен выше.
1
Формула Ньютона — Лейбница.
Интегрирование заменой переменной
Значение определенного интеграла от непрерывной на промежутке [а, Ь] функции /(а) может быть вычислено по формуле Ньютона — Лейбница
/ f(x)dx = F(b')-F(a), а
где FQ) — первообразная функция для /(х).
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислением определенного интеграла средствами символьной математики пакета и по формуле Ньютона — Лейбница.
f(x) ：= sin(x)-sin(2'x)*sin(3-x)
-111
f(x)dx -*—-cos(4-x) - --cos(2-x) +—-cos(6-x)16824
F(x):二一-cos(4-x) - --cos(2-x) + —-cos(6*x) 16824
倒-F(0) = 0.167倒-F(0) = 0.1672 = 0.167 62 = 0.167 6F f(x)dx->- 06
倒-F(0) = 0.167
倒-F(0) = 0.167
2 = 0.167 6
2 = 0.167 6
Если 夕(力)一непрерывно дифференцируемая на отрезке [а,例 функция, з(а) = а, 奴/З) = 6 и 奴力)€ [а, 6], когда t изменяется в промежутке [а, /?], то, положив х = ¥>(<), получим формулу замены переменной в определенном интеграле:
Фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислением определенного интеграла заменой переменных и с соответствующими комментариями приведен ниже.
f(x)f(x)cos(x)-(1 + cos(x))cos(x)-(1 + cos(x))Символьное вычисление интегралаСимвольное вычисление интеграла+ 1эг+ 1эгЗамена переменной ^tg(x) t(x) ：= tan(x)Замена переменной ^tg(x) t(x) ：= tan(x)
f(x)
f(x)
cos(x)-(1 + cos(x))
cos(x)-(1 + cos(x))
Символьное вычисление интеграла
Символьное вычисление интеграла
+ 1эг
+ 1эг
Замена переменной ^tg(x) t(x) ：= tan(x)
Замена переменной ^tg(x) t(x) ：= tan(x)
Вычисление новых пределов интегрирования
t(0) =0t(0) =0
t(0) =0
t(0) =0
Выражение x»x(t) и символьное вычисление производном от х по t
tan(x) - ttan(x) - tatan(t)atan(t)（i+e）（i+e）
tan(x) - t
tan(x) - t
atan(t)
atan(t)
（i+e）
（i+e）
Замена переменной в подынтегральной функции и упрощение полученного выражения
Вычисление и упрощение подынтегрального выражения (1+t2)11
Qi + *+J。) (小+二+J
Символьное вычисление определенного интеграла
/,…“…1^ dt f [-石 + asinh(1)
Jo
Вычисление числового значения с пятью десятичными знаками
1-£ + asinh(1) .46717
Указание. Сначала попытайтесь, действуя как в предыдущем задании, сим- вольно вычислить определенный интеграл. В рассмотренном случае аналитическое выражение для интеграла оказалось очень сложным. Для того чтобы выполнить замену переменных, определите выражение для новой переменной как функции от х (в рассмотренном примере* t = tg£. Затем вычислите значения новых пределов интегрирования; для этого введите с клавиатуры t(a) и знак равенства, аналогично вычислите t(b) (в приведенном примере это t(0) и tQ)). Чтобы получить выражение переменной х, разрешите уравнение 夕(算)一t = 0 относительно х. Вычислите производную, чтобы использовать ее при подстановке. Выполните замену переменной и упростите полученное выражение ——выделите его рамкой и щелкните по строке Simplify в меню Symbolics. Вычислите интеграл по t, действуя так же, как при интегрировании по х, скрпировав в соответствующие позиции t(a), t(b) и преобразованное выражение подынтегральной функции. Для того чтобы получить числовое значение интеграла, скопируйте в рабочий документ полученное символьное выражение для интеграла, щелкните по строке Floating Point в пункте Evaluate меню Symbolics или выделите вычисленное выражение для интеграла и щелкните по строке Floating Point. В открывшемся окне укажите нужное количество десятичных знаков. На рис. 3.24 приведены меню, использованные при вычислении интеграла.
В Mathcad функция tg£ залисывается как tan(x).
Floating Point Evaluation И
Рис. 3.24. Инструменты, используемые при вычислении интеграла заменой переменныхРис. 3.24. Инструменты, используемые при вычислении интеграла заменой переменных
Рис. 3.24. Инструменты, используемые при вычислении интеграла заменой переменных
Рис. 3.24. Инструменты, используемые при вычислении интеграла заменой переменных
ЗАДАНИЕ 3.25
Вычислите определенный интеграл от заданной функции по указанному отрезку непосредственно и с помощью замены переменных.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов вычислений по горизонтали.
Определите подынтегральную функцию как функцию от х.
Найдите определенный интеграл символьно.
Введите выражение для новой переменной t как функции от х.
Вычислите новые пределы интегрирования по t.
Выразите переменную х через 力 решив уравнение д(с)—力=0.
Найдите символьно производную х по t.
Скопируйте в буфер обмена выражение для х через 力 и выполните символьно замену переменной в подынтегральной функции.
Упростите подынтегральную функцию.
Запишите и упростите новую подынтегральную функцию, которая получается умножением выражения, полученного в предыдущем пункте, на производную х по t.
Вычислите определенный интеграл, интегрируя полученную функцию по 力 по отрезку, найденному в п. 4.
Пример выполнения задания
Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий вариант выполнения задания для
тг/4
7-dx丿 cosx- (1 +cosx)
заменой переменной 力=tgw и пояснения к вычислениям, приведен выше.
3.12
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Интеграл как функция верхнего предела
Для функции /(х), интегрируемой на [а, х] для х > а, значение интеграла / /(力)d力 зависит от значения верхнего предела х. Можно а
рассмотреть функцию переменной с: каждому значению ж ставится в соответствие число, равное значению интеграла /f(t)dt. Таким а
образом, определенный интеграл можно рассматривать как функцию верхнего предела: F(£)= / f(t)dt (функция F(x) определена в области а
интегрируемости подынтегральной функции /(£))•
Если Ф(х) — первообразная для непрерывной функции /(х), то значение F(x) можно вычислить по формуле Ньютона — Лейбница:
X
尸(工)=/ 〃t)dt = @(z) —①(а),а
Существуют интегрируемые функции, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. В этом случае функция F(x) = //(t)dt не может быть записана с помощью элементарных а
функций. Среди функций, которые не выражаются через элементарные функции, выделяется группа специальных функций. Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий определение и вычисление значений двух функций, заданных интегралом. Первая из них выражается через специальную функцию
вторая — SE = j^^d% — это специальная функция, называемая интегральным синусом.
ехр(-・)dt - l-^J»-erf(x)
Ju2
F(x) ：= expC-t2)^ F(0) =0F(1) =0.747F(2) =0^82
I a：") dtfSi(x)
F(x) ：= I 吋^1水 F(0) =0 F停)=137
Функцию F(n) = //(t)d% можно исследовать, не вычисляя перво- а
образной. Для интегрируемой при х >а функции f(x) справедливы следующие утверждения:
F(n) непрерывна на промежутке [а, оо), причем F(a) = 0;
если /(х) > 0 при х > а, то F(h) монотонно возрастает на промежутке [а, оо);
если /(х) непрерывна при ж > а, то F(n) дифференцируема на промежутке [а, оо), причем 户(n) = ^ j f (t) dt = f(x).
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий исследование функции, заданной интегралом.
F(x) ； expf-t2) dtJoF(x) ； expf-t2) dtJo汙（吁旳"）汙（吁旳"）ехр(・*)dt-> 1J« erf(x)
F(x) ； expf-t2) dtJo
F(x) ； expf-t2) dtJo
汙（吁旳"）
汙（吁旳"）
F(0) =0F(1) = 0.747F(2) =0Л82
F(x) ->-2-x-exp(-x2) dx2
ЗАДАНИЕ 3.26
Исследуйте функцию, заданную интегралом.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов вычислений по горизонтали.
Введите выражение интеграла с переменным верхним пределом и вычислите его символьно.
Определите функцию, заданную введенным в предыдущем пункте интегралом.
Найдите первую и вторую производные определенной в предыдущем пункте функции.
Найдите горизонтальные асимптоты, если они существуют, вычислив пределы функции на ±оо.
Постройте график функции, заданной интегралом, и изобразите на нем горизонтальные асимптоты.
Пример выполнения задания
Примерный вариант выполнения задания для функции F(c) = / e~^dt о приведен выше.
Несобственные интегралы
по неограниченному промежутку
Пусть функция /(с) интегрируема на промежутке [а, н] для всех х> a Xс
и F(x) = / f(t)dt. Предел lim F(x) = lim f f(t)dt называют несоб- 力НТ+8НТ+8；
ственным интегралом по неограниченному промежутку и обозначают его / f(t)dt. Если предел конечен, то говорят, что несобственный а
оо интеграл сходится^ и его значение вычисляют по формуле / f(t)dt = а
lim J/(/)dt.
Аналогично определяется интеграл
аа
//(土)d±= lim //(土)d 土
/工T一8/
-оо£
для функции /(х), интегрируемой на любом отрезке [х, а], х < а, и интеграл
ооу
/ f(t)dt = lim / /(/) dt
-00…£
для функции /(х), интегрируемой на любом конечном промежутке.
Если рассмотренные пределы бесконечны, то говорят, что соответствующий несобственный интеграл расходится.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислением несобственных интегралов от неограниченных функций с использованием символьной математики Mathcad (непосредственно и с помощью пределов). Приведены графики соответствующих допредельных функций.
f(x)f(x)F(x):二 f(t)dt JoF(x):二 f(t)dt JoУказание. Для того чтобы вычислить несобственный интеграл, щелкните по кнопке「『I в панели圈, введите в помеченных позициях пределы интегрирования, один из которых бесконечен, подынтегргыьную функцию и переменную интегрирования, выделите интеграл, щелкните по кнопке … в панели 事 |, а затем ——в рабочем документе вне выделяющей рамки. Как видно из приведенного фрагмента, значение несобственного интеграла, вычисленное с помощью предела, совпадает со значением, вычисленным непосредственно. На графике функции, заданной интегралом с переменным верхним пределом, видно, что эта функция имеет горизонтальную асимптоту у = С^ где С — значение несобственного интеграла.Указание. Для того чтобы вычислить несобственный интеграл, щелкните по кнопке「『I в панели圈, введите в помеченных позициях пределы интегрирования, один из которых бесконечен, подынтегргыьную функцию и переменную интегрирования, выделите интеграл, щелкните по кнопке … в панели 事 |, а затем ——в рабочем документе вне выделяющей рамки. Как видно из приведенного фрагмента, значение несобственного интеграла, вычисленное с помощью предела, совпадает со значением, вычисленным непосредственно. На графике функции, заданной интегралом с переменным верхним пределом, видно, что эта функция имеет горизонтальную асимптоту у = С^ где С — значение несобственного интеграла.
f(x)
f(x)
F(x):二 f(t)dt Jo
F(x):二 f(t)dt Jo
Указание. Для того чтобы вычислить несобственный интеграл, щелкните по кнопке「『I в панели圈, введите в помеченных позициях пределы интегрирования, один из которых бесконечен, подынтегргыьную функцию и переменную интегрирования, выделите интеграл, щелкните по кнопке … в панели 事 |, а затем ——в рабочем документе вне выделяющей рамки. Как видно из приведенного фрагмента, значение несобственного интеграла, вычисленное с помощью предела, совпадает со значением, вычисленным непосредственно. На графике функции, заданной интегралом с переменным верхним пределом, видно, что эта функция имеет горизонтальную асимптоту у = С^ где С — значение несобственного интеграла.
Указание. Для того чтобы вычислить несобственный интеграл, щелкните по кнопке「『I в панели圈, введите в помеченных позициях пределы интегрирования, один из которых бесконечен, подынтегргыьную функцию и переменную интегрирования, выделите интеграл, щелкните по кнопке … в панели 事 |, а затем ——в рабочем документе вне выделяющей рамки. Как видно из приведенного фрагмента, значение несобственного интеграла, вычисленное с помощью предела, совпадает со значением, вычисленным непосредственно. На графике функции, заданной интегралом с переменным верхним пределом, видно, что эта функция имеет горизонтальную асимптоту у = С^ где С — значение несобственного интеграла.
ЗАДАНИЕ 3.27
Вычислите несобственный интеграл по неограниченному промежутку непосредственно и через предел. Постройте график допредельной функции, заданной интегралом с переменным пределом.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов вычислений по горизонтали.
Введите выражение подынтегральной функции.
Вычислите не со б ственный интеграл от заданной функции по заданному неограниченному промежутку непосредственно —— используя операцию вычисления определенного интеграла.
Определите функцию, заданную интегралом с переменным пределом.
Вычислите соответствующий предел функции, определенной в предыдущем пункте.
Сравните полученные значения несобственного интеграла.
Постройте график допредельной функции, определенной в п. 3, и его горизонтальные асимптоты, вычисленные в п. 5.
Пример выполнения заданна
Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий примерный ва
риант выполнения задания для интеграла / 4 ах, приведен выше.
о
Несобственные интегралы от неограниченных функций
Пусть функция /(ж) интегрируема на любом отрезке, целиком содержащемся в промежутке [а, Ь), и не ограничена в точке х = Ь. Если Ь—Е
существует предел lim / f(t) dt, то этот предел называют несоб- ставенным интегралом от неограниченной функции /(©) по [а, 6) и обозначают его / f(x)dx. Если предел конечен, то говорят, что несоб- а
ственный интеграл сходится^ и его значение вычисляют по формуле
J f(t)dtаJ f(t)dtаЬ—£Ь—£f(t)dt.f(t)dt.
J f(t)dtа
J f(t)dtа
Ь—£
Ь—£
f(t)dt.
f(t)dt.
Аналогично определяется интеграл
J* f(t)dt = lim^ У f(t)dtа叶g
для интегрируемой на любом конечном отрезке, содержащемся в (а, 6], неограниченной в точке 8 = а функции /(£)•
Если пределы бесконечны, то говорят, что соответствующий несобственный интеграл расходится.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислением несобственных интегралов от неограниченных функций с использованием символьной математики Mathcad непосредственно и с помощью пределов. Приведены графики подынтегральных функций и функций, заданных интегралами с переменными пределами.
F(£)：= f(x)dxF(£)：= f(x)dxlim F(£)-> 2 £ f Qlim F(£)-> 2 £ f Q
F(£)：= f(x)dx
F(£)：= f(x)dx
lim F(£)-> 2 £ f Q
lim F(£)-> 2 £ f Q
Указание.Указание.Из приведенного графика подынтегральной функции видно,
Указание.
Указание.
что она не ограличена в точке 仁=0. Несобственные интегралы и пределы
вычисляются так же, как в предыдущих заданиях. Для того чтобы построить
график функции, заданной пределом, в рассматриваемом случае нужно сначала
1-而 £0 = 1，£20 = °-1-而 £0 = 1，£20 = °-на сетке q =на сетке q =сформировать таблицу ее значений F； = F(q)
1-而 £0 = 1，£20 = °-
1-而 £0 = 1，£20 = °-
на сетке q =
на сетке q =
Видно, что график функции, заданной интегралом с переменным нижним пределом
£, стремится при £ —> 0 к значению несобственного интеграла.
ЗАДАНИЕ 3.28
Вычислите несобственный интеграл от неограниченной функции по заданному отрезку непосредственно и через предел. Постройте график подынтегральной функции и график функции, заданной интегралом с переменным пределом.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов вычислений по горизонтали.
Введите выражение подынтегральной функции.
Постройте график подынтегральной функции, чтобы убедиться в том, что она является бесконечно большой на одном из концов промежутка интегрирования.
Вычислите несобственный интеграл от заданной функции по заданному неограниченному промежутку непосредственно, используя операцию вычисления определенного интеграла.
Определите функцию, заданную интегралом с переменным пределом.
Вычислите предел функции, определенной в п. 5.
Сравните полученные значения несобственного интеграла.
Сформируйте таблицу значений переменного предела и таблицу соответствующих значений функции, заданной интегралом.
Постройте график табличной функции, вычисленной в предыдущем пункте.
Сравните значение функции в нуле на графике с вычисленным значением несобственного интеграла.
Пример выполнения задания
Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий примерный ва- dx
приведен выше, о "
3.13
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Основные понятия.
Ряды с неотрицательными членами
Рассмотрим произвольную числовую последовательность {un}. Формально составленное выражение
ОО
n=l
называют числовым рядом или просто рядом. Члены последовательности {^п} называют членами ряда. Сумма первых п членов ряда
п
Sn — U1 + 〃2 + …• + Un — $[ Uk
k=l
называется п-й частичной суммой ряда.
оо
Ряд ui + 〃2 + •…+ 〃п + •…= £ 〃п называется сходящимся^ если п=1
существует и конечен предел последовательности {Sn} частичных сумм этого ряда. При этом предел последовательности частичных сумм называется суммой ряда.
Обозначаем
0000
lim Sn = S, / Un = S или /— lim
n—>00厶1厶1n—>00
n=ln=l
Если предел последовательности частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд расходится. Справедливо следующее утвер- 00
ждение. Для того чтобы ряд £ ип сходился, необходимо, чтобы последовательность его членов {мп} стремилась к нулю при п —> сю. Другими словами, если ряд сходится, то его члены стремятся к нулю на бесконечности. Обратное, вообще говоря, неверно. Члены ряда могут стремиться к нулю, но ряд при этом расходится.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий исследование расходящегося и сходящегося рядов; для каждого исследуемого ряда построен график последовательности частичных сумм и членов ряда.
Гармонический ряд
1у-,1
u(n) ：= —〉—■ Рядрасходится
П^х^п
и = 1
Ряд Лейбница v(n) 3 пРяд Лейбница v(n) 3 пZ U22 ->-in(2) п ■ 1Z U22 ->-in(2) п ■ 1Ряд сходитсяРяд сходится
Ряд Лейбница v(n) 3 п
Ряд Лейбница v(n) 3 п
Z U22 ->-in(2) п ■ 1
Z U22 ->-in(2) п ■ 1
Ряд сходится
Ряд сходится
п
S(n) = Z v(k)
Указание. Для того чтобы вычислить символьно сумму ряда, щелкните по кнопке | W| в панели 傀］,введите с клавиатуры в помеченных позициях переменную суммирования и границы ее изменения, введите имя или выражение для члена ряда, как функции переменной п, выделите ряд рамкой, щелкните по кнопке … в панели画и по рабочему документу вне выделяющей рамки.
В приведенном фрагменте исследована сходимость двух часто 爭1。
встречающихся рядов — расходящегося ряда * который называ- п=1п
.爭(Т)П
ется гармоническим рлаом^ и сходящегося ряда * -, называемого п=171
рядом Лейбница. Другие часто встречающиеся ряды ——обобщенныйгармонический ряд £ —, который сходится при а > 1 и расходитсяп=1 №оо“
при* а < 1, и ряд типа прогрессии £ aq% который сходится при |q| < 1 и расходится при |g| > 1.九=。
Исследовать на сходимость числовые ряды с неотрицательными членами можно, используя теоремы сравнения и признаки сходимости.
Рассмотрим два числовых ряда с неотрицательными членами ОООО
£ ап н £ йп, ап > 0, дп > 0. Если при всех п, начиная с некоторого, П=1П—1оо
справедливо неравенство ап > дп, то из сходимости ряда £ а^ следует П=1
*При а — 1 получаем гармонический ряд.
0000
сходимость ряда £ bn; и наоборот, из расходимости ряда £ Ьп
П = 100П = 1
следует расходимость ряда X ап,
П = 1
8е^s ^8е^s ^Рассмотрим два числовых ряда с неотрицательными членами 00
8е^s ^
8е^s ^
ап и ^ Ьп, ап > О, Ьп > 0. Если lim 替=с, с / 0, с / оо, то ряды п=1ПТ00 On
00
ап и £ bn сходятся или расходятся одновременно. 71=1
При использовании теорем сравнения исследуемый ряд чаще всего
сравнивают с простейшими рядами — с обобщенным гармоническим или с рядом типа прогрессии.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с исследованием на основе теорем сравнения.
4 П п - 1
(咖(n)产
sin(n)2
Ряд Z 今n " 1
сходится,
(sin⑺产
тоже сходится,
llmn "► •llmn "► •n 2S1(n) f llm У 咖⑻n 2S1(n) f llm У 咖⑻
llmn "► •
llmn "► •
n 2
S1(n) f llm У 咖⑻
n 2
S1(n) f llm У 咖⑻
n
S1(n) ：= Z u(k)k- 1
сумма ряда 工
n ■ 1
sin(n)2n2
сммвольно не вычисляется
6
10
15
Признак сходимости Даламбера. Для ряда с положительными
ОО
членами V аП1 ^п > 0, вычислим предел lim = d. Если d < 1, П-1ПТ8 ап
ОО
то ряд £ ап сходится, если d〉1 ——расходится. При d = 1 вопрос о сходимости ряда остается открытым: ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.
Признак сходимости Коши. Для ряда с положительными
ОО
членами £ 仪小 仪几〉0, вычислим предел lim = с. Если с < 1,
ОО
то ряд £ ап сходится, если с > 1, —— расходится. При с = 1 вопрос о сходимости ряда остается открытым: ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий исследование рядов с использованием обоих признаков сходимости.
,，4n„U(n + 1) сс
u(n)：=——lim —i f 0Ряд сходится
n! nf・ u(n)
£ u(n) f exp(4) ~ 1 n - 1
v(n)：=—— lim “(n) -* 0 Ряд сходится
(ln(n))n n-> -
2 v(n) -> 2 Сумма ряда символьно
厶1.(In(n)n) не вычисляется
ЗАДАНИЕ 3.29
ОООООО
Исследуйте на сходимость ряды 52 ап, £ ^九 и £ 仇・ Изобразите
П—1П=1，п=1
графики членов ряда и последовательности частичных сумм. Если
удается, вычислите сумму ряда.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов по горизонтали.
Определите члены исследуемых рядов как функции переменной п.
Определите частичные суммы рядов как функции переменной п.
Вычислите пределы членов ряда и частичных сумм при п —> оо.
Постройте графики членов ряда и частичных сумм как функций переменной п.
ОО
Примените к ряду £ ап первую теорему сравнения, сравни-
П=1
вая его с обобщенным гармоническим рядом или с рядом типа прогрессии.
Сформулируйте и запипште в рабочем документе вывод. ОО,
Примените к ряду £ Ьп признак Даламбера.
Сформулируйте и залишите в рабочем документе вывод. ОО'
Примените к ряду £ Ьп признак Коши.
И. Сформулируйте и залишите в рабочем документе вывод.
Пример выполнения задания
Исследуйте на сходимость числовые ряды
^ 23^丄.27r^ 川^空
Z 九2 + 6九'Z 陋 Sm 2n +PN 3Tl + 1'N 7n ‘
n=lП=1 Yn=ln=l
Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями приведен ниже.
По первой теореме сравнения ряд 乙 u(n) сходится п ■ 1
G ,、一 h27,、 1 ~ 厶 * \
〉 ц(п) f w(n)：=——-sin 2-
纟1202f + "
wl(n) ：= степень больше 1, ряд 工 w1(n) сходится
п《п・1
.. w(n) lim —-> я
n-> • wl(n)
По второй теореме сравнения рядПо второй теореме сравнения рядZ w(n) n - 1Z w(n) n - 1сходитсясходитсяa(n)：=3n + 1a(n)：=3n + 1Z w(n) f n == 1Z w(n) f n == 12—2 (2-n + 1)2—2 (2-n + 1)lim 咆+ 1) n-> • Mn)lim 咆+ 1) n-> • Mn)n ：= 1.20n ：= 1.20
По второй теореме сравнения ряд
По второй теореме сравнения ряд
Z w(n) n - 1
Z w(n) n - 1
сходится
сходится
a(n)：=
3n + 1
a(n)：=
3n + 1
Z w(n) f n == 1
Z w(n) f n == 1
2—2 (2-n + 1)
2—2 (2-n + 1)
lim 咆+ 1) n-> • Mn)
lim 咆+ 1) n-> • Mn)
n ：= 1.20
n ：= 1.20
По признаку Даламбера ряд g а(п) расходитсяn ■ 1
Z a(n) f n e 1Z a(n) f n e 1n!n!У3 ")У3 ")
Z a(n) f n e 1
Z a(n) f n e 1
n!
n!
У
3 ")
У
3 ")
Ь（П）：= 7nЬ（П）：= 7nllm ^bjn) f - n "► •7llm ^bjn) f - n "► •7
Ь（П）：= 7n
Ь（П）：= 7n
llm ^bjn) f - n "► •7
llm ^bjn) f - n "► •7
По признаку Коши ряд g b(n) сходится
Z b⑺咛
Знакопеременные ряды
Если в последовательности {un} бесконечно много положительных и ОО
отрицательных членов, то ряд £ ип называется знакопеременным. п=1
ОО
Ряд £ (—l)71-^。^, ап > 0, называется знакочередующимся. Для знако-
П=1
ОО переменных рядов введено понятие абсолютной сходимости. Ряд £ un п=1
ООназывается абсолютно сходящимся^ если сходится ряд £ \ип\. ЕслиП=1
ОООО
ряд £ \ип\ расходится, а ряд £ un сходится, то говорят, что ряд П=1П=1
ОО
£ ип сходится условно. Справедливо следующее утверждение*. Если
П=1
последовательность {ап}, ап > 0, стремится к нулю, монотонно убывая, ОО
lim ап = 0, то ряд £ (—1)п~1ап сходится.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с исследованием на сходимость знакопеременных рядов.
u(n)；(・1尸・； v(n) ：= | u(n) | lim v(n) f О
Это утверждение носит название теорема ^Лейбница.Это утверждение носит название теорема ^Лейбница.n ：= 1..50n ：= 1..50
Это утверждение носит название теорема ^Лейбница.
Это утверждение носит название теорема ^Лейбница.
n ：= 1..50
n ：= 1..50
ЗАДАНИЕ 3.30
ОООО
Исследуйте на сходимость знакопеременные ряды £ а^, £ 6П и
8П = 1П=1
£ сп. Изобразите графики членов ряда, последовательности частич- п=1
ных сумм. Если удается, вычислите сумму ряда.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов по горизонтали.
Определите члены исследуемого ряда как функции переменной п.
Определите абсолютные величины членов ряда как функции переменной п.
Вычислите предел абсолютных величин членов ряда при п т 8・
Постройте графики членов ряда и их абсолютных величин как функций переменной п.
Исследуйте на сходимость ряд из абсолютных величин.
Сформулируйте и запишите в рабочем документе вывод об абсолютной или условной сходимости исследуемого ряда.
Пример выполнения задания
Фрагмент рабочего документа Mathcad с исследованием ряда £ -■ -2 п=1 *^ приведен выше.
3.14
РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
В РЯД ТЕЙЛОРА
ОО
Функциональный ряд £%(£ — £())% где {%}——числовая последо- п=0
вательность, называется степенным рядом. Степенной ряд сходится на интервале (迎一凡现+7?) с центром в точке д; число R — радиус сходимости степенного ряда. При исследовании свойств бесконечно дифференцируемых функций изучают их степенные ряды ——ряды Тейлора.
Пусть функция /(х) определена в некоторой окрестности точки хо и имеет в этой точке производные всех порядков. Ряд
ООООназывается рядом Тейлора функции /(£)в точке хо- При хо = 0 такой ряд называют рядом Маклорена：
ОО
ОО
(0)/
Функция /(х) может быть разложена в степенной ряд на интервале (xo—-R, хо+К), если существует степенной ряд, сходящийся к /(ж) на промежутке (现一凡 £()+/?)• Если функция раскладывается в некоторой окрестности точки с。в степенной ряд, то этот степенной ряд ——ее ряд Тейлора./
Когда ряд Тейлора функции f ⑺ сходится на некотором интервале к /(ж)? Ответить на этот вопрос можно, вспомнив уже известные свойства разложения функции по формуле Тейлора.
Напишем формулу Тейлора для функции /(£)：
e ¥ 3也("-迎产+丛(叫"1,2,…k=0
Здесь Rn(x) — остаточный член формулы Тейлора. Доказано, что функция /(а) равна сумме своего ряда Тейлора на интервале
(xq~R, xq-^-R) тогда и только тогда, когда при всех х из этого интервала ее остаточный член стремится к нулю: lim Rn(x) — О, птоо
х G (xq—Rj eo+R). Пусть функция /(х) бесконечно дифференцируема на (б。一R, бо+R) и все ее производные ограничены в совокупности на этом интервале, т.е. существует такая постоянная М > 0, тто для всех х е (б。一R, бо+R) и для всех n = 1, 2,... справедливо неравенство |/(n)(x)| < М. Тогда для всех х 6 (с。一R, g+R)
加)=f:胃吗
n=0'
Ниже приведены разложения в ряд Тейлора некоторых элементарных функций в нуле.
±2 仁3£九.
е“ = 1 + с + — + 豆"+ …Н—р + …，£ G (—oo, oo);
63/2<2n-1
sinrr = X— — + — + ... + (_])nT^几二口! + …)6 € (-8〉8)；
、 X2 X4, 2n
cosx = 1 -驶 + ^p + …+ (-1厂(2九)! + …,*w (-00, оо);
(1 + £)m = 1 + m* + m(；+ 1)*2 + …+
++m(m — 1)…(m — m + 1)m(m — 1)…(m — m + 1)n!n!^е(-1,1)；^е(-1,1)；
+
+
m(m — 1)…(m — m + 1)
m(m — 1)…(m — m + 1)
n!
n!
^е(-1,1)；
^е(-1,1)；
= 1 + £ + 6? + с' + ... + б" + ・.*, X G (— 1, 1)J
= 1 ——+ …+ (― 1)ПХП + X G —1,1)； 1 +£
ln(l + X)= X —+ - + …+ (-1X €1].
23n
Фрагмент рабочего документа Mathcad с исследованием ряда Тейлора для функции 1п(1 + х) представлен ниже.
f(x) ； ln(1 + х)пS(n,x) ：= Z c(k)-xkk- 1f(x) ； ln(1 + х)пS(n,x) ：= Z c(k)-xkk- 1c(n) ：=n■Z c(n)-x° f ln(1 + x)n * 1c(n) ：=n■Z c(n)-x° f ln(1 + x)n * 1
f(x) ； ln(1 + х)
п
S(n,x) ：= Z c(k)-xkk- 1
f(x) ； ln(1 + х)
п
S(n,x) ：= Z c(k)-xkk- 1
c(n) ：=
n
■
Z c(n)-x° f ln(1 + x)
n * 1
c(n) ：=
n
■
Z c(n)-x° f ln(1 + x)
n * 1
Указание. Определите коэффициенты Тейлора как функции номера п, а частичные суммы и остаток ряда — как функции двух переменных 一 п и х.
ЗАДАНИЕ 3.31
Исследуйте поведение частичных сумм ряда Тейлора заданной функции. Исследуйте поведение остатка ряда.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений.
Определите функцию /(х).
Используйте разложение функции по формуле Тейлора для записи ряда Тейлора функции.
Вычислите символьно сумму полученного ряда.
Запишите выражение частичной суммы ряда как функцию числа слагаемых и переменной х.
Постройте график функции и графики нескольких частичных сумм ряда.
Постройте графики соответствующих остатков ряда.
Пример выполнения задания
Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий исследовгшие частичных сумм ряда для функции f(x) = ln(l + гг), приведен выше.
ЗАДАНИЕ 3.32
Запишите для заданной функции разложение в ряд Тейлора в окрестности точки £()• Изобразите график функции и графики нескольких частичных сумм ряда Тейлора.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов по горизонтали.
Определите функцию f(x).
Выполните замену t = 土 一 土о н запишите полученную функцию переменной t.
Используйте разложение функции переменной i по формуле Тейлора в окрестности нуля, чтобы залисать для нее ряд Тейлора.
Определите частичную сумму ряда Тейлора как функцию числа слагаемых и переменной х.
Постройте графики функции /(н) и частичных сумм ее ряда Тейлора.
Пример выполнения задания
Запишите ряд Тейлора функции 1/х в окрестности точки xq = —2. Постройте график функции и частичных сумм ее ряда Тейлора в окрестности этой точки. Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями и графиками приведен ниже.
t*x + 2t*x + 2x-t- 2x-t- 2(t-2)(t-2)1(t^2)1(t^2)-1Т-1Т#一訳4乙¥+。（e#一訳4乙¥+。（ec(n)：=-c(n)：=-1Г+71Г+7S(n.x) ：= Z c(k)-(x + 2)kk-0S(n.x) ：= Z c(k)-(x + 2)kk-0111-01-0
t*x + 2
t*x + 2
x-t- 2
x-t- 2
(t-2)
(t-2)
1
(t^2)
1
(t^2)
-1
Т
-1
Т
#一訳4乙¥+。（e
#一訳4乙¥+。（e
c(n)：=-
c(n)：=-
1
Г+7
1
Г+7
S(n.x) ：= Z c(k)-(x + 2)kk-0
S(n.x) ：= Z c(k)-(x + 2)kk-0
1
1
1-0
1-0
3.15
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯД ФУРЬЕ
Сходимость ряда Фурье. Явление Гиббса
Каждой абсолютно интегрируемой на отрезке [—тг, тг] функ1хйи /(х) можно поставить в соответствие ее тригонометрический ряд Фурье:
00
/(x)〜—+ ^2(akcoskx + bksinkx).
Коэффициенты тригонометрического ряда Фурье называют коэффициентами Фурье и вычисляют по формулам Эйлера —— Фурье:
7Г% = — / f(x)coskx dx,J—7Г7Г% = — / f(x)coskx dx,J—7Г7Г玩=^/ f(x)sinkxdx.—7Г7Г玩=^/ f(x)sinkxdx.—7Г
7Г
% = — / f(x)coskx dx,J
—7Г
7Г
% = — / f(x)coskx dx,J
—7Г
7Г
玩=^/ f(x)sinkxdx.
—7Г
7Г
玩=^/ f(x)sinkxdx.
—7Г
Справедливо следующее утверждение. Если функция /(х) кусочно
-гладкая на отрезке [—тг, тг], то ее тригонометрический ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка. При этом, если
ОО
S(x) = — + ^2(ajt coskx + bjtsinkc)k=i
/3-0)+/3 + 0)/3-0)+/3 + 0)S(c)=S(c)=сумма тригонометрического ряда Фурье, то
/3-0)+/3 + 0)
/3-0)+/3 + 0)
S(c)=
S(c)=
2
ДЛЯ любого X W [—7Г, 7г] И
S（7T）=S（7T）=/(7Г -0)+/(万 + 0)/(7Г -0)+/(万 + 0)22= S( — 7T).= S( — 7T).
S（7T）=
S（7T）=
/(7Г -0)+/(万 + 0)
/(7Г -0)+/(万 + 0)
2
2
= S( — 7T).
= S( — 7T).
Обозначим 5п(х) = ~ + ^2 (afccoskx + b^sin/cx) n-ю частичную сумму ряда Фурье кусочно-гладкой на отрезке [—тг, тг] функции /(х). Тогда утверждение теоремы можно записать в виде:
lim 5п(хо) = /(хо), если /(х) непрерывна в точке хо；
П—>00
lim Sn(co) = /go — O)：j@o + 0), если /(х) терпит разрыв первого 71T82
рода (скачок) в точке хо-
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с графиком функции
z ig；：0,同冶
и графики частичных сумм 5п(х) ее ряда Фурье.
На графиках видно, как сходятся частичные суммы ряда Фурье. В окрестности точек непрерывности функции /(х) разность между значением функции в точке х и значением частичной суммы ряда в этой точке стремится к нулю при п —> оо, что полностью соответствует теории, поскольку в этом случае lim Sn(x) = /(ж). Видно также, что п—>оо
разность Sn(x) —/(£)стремится к нулю тем скорее, чем дальше от точек разрыва функции расположена точка х. В окрестности точек разрыва ст。= ±^ функции /(х) частичные суммы Фурье ведут себя иначе. При этом видно, что, хотя
b q //(2；0 - 0) + /(2；о) + 0 _ 0 + 1 _
>oo2Z
существуют такие последовательности un —> rro + 0 и vn -^ xq~ 0, что пределы Sn(un) и Sn(vn) при п —> оо различны и оба отличаются от f(co — 0) ^/(工。)+ 0. Эта особенность поведения частичных сумм Фурье в окрестности точек разрыва называется явлением Гиббса. Явление Гиббса состоит в том, что для некоторых функций /(£)в точке хо ее скачка существуют такие значения а, что
lim s/鄧 ±屮现+Q.
п—>оо \ п/2
Это утверждение не противоречит теории, поскольку у Гиббса рассмотрен предел Sn(rrn), а в теореме — Sn(x).
ЗАДАНИЕ 3.33
Исследуйте графически поведение частичных сумм ряда Фурье заданной функции /(х). Вычислите значение суммы ряда Фурье в указанных точках и в точках —тг, тг.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов по горизонтали.
Определите заданную функцию переменной х и постройте ее график.
Найдите выражения для коэффициентов Эйлера — Фурье и для частичной суммы ряда как функции S(x^n) переменных X И 7Г.
Положив п = 50, вычислите коэффициенты Эйлера — Фурье и частичную сумму ряда S(e,50).
Постройте графики S(x,l), S(x,2), S(x,5), S(x, 10), S(a,50) и сравните их между собой и с графиком /(х).
Вычислите значения S(x,l), S(e,2), S(x,5), S(x,10), S(e,50) в указанных точках и в точках —тг, тг.
Для х = хо, где хо ——точка непрерывности функции, постройте график частичной суммы S(n,ti) как функции переменной п.
Пример выполнения задания
Исследуйте графически поведение частичных сумм ряда Фурье для функции
Постройте графики частичных сумм для n = 1, 2, 5,10, 20, 50. Вычислите значения частичных сумм ряда Фурье для п = 10, 20, 50 в точках X = —7Г, 0, ^, 7Г.
Примерный вариант выполнения задания приведен ниже.
f(x) ：= тj Х if -я<х^0п ：= 50
22
2
2
Вычисление коэффициентов Фурье по формулам Эйлера — Фурье
к ：= 0.. п
1「1「
ак ：= —• f(x) cos(k-x)dx bk ：= —• f(x)-sin(k x) dx
Вычисление частичной суммы ряда Фурье
ппS(x,n) := у + XS(x,n) := у + X(%・cos(k・x) + bk-sin(k-x))(%・cos(k・x) + bk-sin(k-x))
п
п
S(x,n) := у + X
S(x,n) := у + X
(%・cos(k・x) + bk-sin(k-x))
(%・cos(k・x) + bk-sin(k-x))
X ：=+я
100
f(-») = 0f(-») = 0
f(-») = 0
f(-») = 0
S(-»,10) =-5.84-10~5S(-»,20) =-5.84*10"5S(-m,50) =-5.84-10"5S(-»,10) =-5.84-10~5S(-»,20) =-5.84*10"5S(-m,50) =-5.84-10"5S 母 10)=0Л35S 停,2“ =0.76S 停,50)=0.795S 母 10)=0Л35S 停,2“ =0.76S 停,50)=0.795f(0) =-1.571f(0) =-1.571<(я) =0<(я) =0
S(-»,10) =-5.84-10~5
S(-»,20) =-5.84*10"5
S(-m,50) =-5.84-10"5
S(-»,10) =-5.84-10~5
S(-»,20) =-5.84*10"5
S(-m,50) =-5.84-10"5
S 母 10)=0Л35
S 停,2“ =0.76
S 停,50)=0.795
S 母 10)=0Л35
S 停,2“ =0.76
S 停,50)=0.795
f(0) =-1.571
f(0) =-1.571
<(я) =0
<(я) =0
S(0,10) = -1.226-ю-3 S(0,20) =-2.394-10~3 S(0,50) =-5.899-Ю'3п ：= 1 ..50S(0,10) = -1.226-ю-3 S(0,20) =-2.394-10~3 S(0,50) =-5.899-Ю'3п ：= 1 ..50S(»,10) =-5.84»10-5S(»,20) =-5.84d0~5S(»,50) =-5.84»10~5S(»,10) =-5.84»10-5S(»,20) =-5.84d0~5S(»,50) =-5.84»10~5
S(0,10) = -1.226-ю-3 S(0,20) =-2.394-10~3 S(0,50) =-5.899-Ю'3
п ：= 1 ..50
S(0,10) = -1.226-ю-3 S(0,20) =-2.394-10~3 S(0,50) =-5.899-Ю'3
п ：= 1 ..50
S(»,10) =-5.84»10-5
S(»,20) =-5.84d0~5
S(»,50) =-5.84»10~5
S(»,10) =-5.84»10-5
S(»,20) =-5.84d0~5
S(»,50) =-5.84»10~5
Указание. Для того чтобы определить функцию, заданную разными анали
тическими выражениями на разных промежутках, лучше всего поступить следую
щим образом. 图，回圓щим образом. 图，回圓Щелкнув в панели математических инструментов по кнопкам | W〕|) откройте соответствующие панели и разместите их на рабочем до
щим образом. 图，回圓
щим образом. 图，回圓
кументе, как показано на рис, 3.25. Введите имя функции переменной х, щелкните в панели калькулятора по кнопке присваивания 卜二 |, затем в панели программирования —по кнопке Add Une в рабочем документе справа от знака присваивания появится вертикальная черта с двумя помеченными строками для ввода. Перейдите в первую строку и щелкните по кнопке 斤 ,введите слева от слова if выражение для вычисления функции, а справа — соответствующее ограничение на аргумент. При вводе выражений используйте кнопки панелей калькулятора, знаков отношений и греческого алфавита. Аналогично введите выражение во второй строке. Сохраните выражения для коэффициентов Фурье в виде векторов а и Ь. Для этого определите размерность вектора п равной 50 и определите диапазон изменения номера к компонент векторов а и b от 0 до п. Для того чтобы найти выражение для коэффициента Фурье а^, введите с клавиатуры а, знак нижнего индекса (нажмите клавишу <[>), введите в позиции нижнего индекса к, вернитесь в основную строку, введите знак присваивания и выражение для коэффициента. Аналогично определите выражения для коэффициентов Ь^ Частичную сумму ряда определите как функцию двух переменных — п и х. Прежде чем строить графики частичных сумм, задайте таблицу значений аргумента х на отрезке [~тг, тг] с некоторым шагом (в рассмотренном выше примере выбран шаг тг/100). Численное исследование частичных сумм состоит в сравнении значений частичных сумм для различных N со значениями функции на концах отрезка, в точке скачка и в точке непрерывности. Введите имя функции (частичной суммы), указав в скобках нужное значение аргумента, и нажмите клавишу <=>, в результате на экране будет отображено значение функции в точке. Полезную информацию о поведении частичных сумм дает график зависимости значений от п.
Рис. 3.25. Панели инструментов для ввода функции с использованием панели программирования
Приближение функций. Минимальное свойство коэффициентов Фурье
Функция
п
Тп （土） — ^2 （ur cos кх + Ok sin k土）,
где ur, Ok ——произвольные числа, называется тригонометрическим многочленом. Тригонометрическим многочленом наилучшего приближения п-й степени функции /（土） на отрезке [—тг, тг] называется триго- п
неметрический многочлен 4（土） = £ （ukcoskx + ^sinfcx）, среднеква- k=0
дратичное отклонение сгп（х） которого от функции /（土） минимально:
7Г7Г
Для любой ограниченной интегрируемой на [—тг, тг] функции /（土） частичная сумма S^ （土） ее ряда Фурье является тригонометрическим многочленом, наилучшего приближения n-й степени.
ЗАДАНИЕ 3.34
Найдите для заданного значения погрешности е тригонометрический многочлен наилучшего приближения функции /（土） и наименьшей сте-
пени со среднеквадратичным отклонением, меньшим е. Постройте график зависимости среднеквадратичного отклонения от степени многочлена.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов по горизонтали.
Определите заданную функцию переменной х.
Введите наибольшее значение п числа слагаемых в частичной сумме ряда Фурье, которое будет использовано в вычислениях .
Найдите выражения для коэффициентов Эйлера — Фурье и для частичной суммы ряда как функции переменных х и п.
Найдите выражение для среднеквадратичного отклонения как функции степени тригонометрического многочлена п.
Выведите на экран таблицу значений о(6) среднеквадратичного отклонения для А; от 1 до п.
Сравнивая табличные значения о(6) с заданным е, найдите наименьшее 汽 для которого справедливо о(6) < е.
Пример выполнения задания
Для /(с) = \х\ найдите тригонометрический многочлен наилучшего приближения наименьшей степени со среднеквадратичным отклонением, меньшим 0.02. Постройте график зависимости среднеквадратичного отклонения от степени многочлена.
Примерный вариант выполнения задания для функции приведен ниже.
f(x) ：= I х I п ：= 30
Вычисление коэффициентов Фурье по формулам Эйлера — Фурье
к ：= 0.. п
1「1 гя
ак ：= _- f(x)-cos(k x)dx bk ：= —• f(x) sin(k-x)dx
Вычисление частичной с^ммы ряда Фурье
@ п
S(x,n) ：= — + X (報七口虱％*) + bk-sin(k-x))
Вычисление среднеквадратичного отклонения
k ：= 1.. n sk ：= a(k)k ：= 1.. n sk ：= a(k)a(n) ：=(f(x) - S(x,n))2dx
k ：= 1.. n sk ：= a(k)
k ：= 1.. n sk ：= a(k)
w一蒐
01234 1 56780 00.273 Ш.2730.1090409^0.0610.061^0.040.0401234 1 56780 00.273 Ш.2730.1090409^0.0610.061^0.040.04Наименьшее значение n=15Наименьшее значение n=15
0
12
3
4 1 5
67
8
0 0
0.273 Ш.273
0.109
0409^0.061
0.061^0.04
0.04
0
12
3
4 1 5
67
8
0 0
0.273 Ш.273
0.109
0409^0.061
0.061^0.04
0.04
Наименьшее значение n=15
Наименьшее значение n=15
Указание. Все операции выполняются так же, как в предыдущем задании. Для того чтобы отобразить таблицу значений среднеквадратичного отклонения по горизонтали； присвойте его значения соответствующим элементам вектора s и выведите в рабочий документ вектор s'. Чтобы вывести в рабочий документ s', введите с клавиатуры s и щелкните по кнопке | *| в панели | 困 |.
Зависимость скорости сходимости ряда Фурье от гладкости функции
Скорость сходимости ряда Фурье функции f(x) зависит от ее гладкости (количества непрерывных производных). Если f(x) непрерывно дифференцируема г раз на отрезке [—тг, тг], то справедливо неравенство
max |/(e) - Sn(c)| < к"吗 + 1), [-ТТЛ]九
где max \ f^r\x）\ < М. Для среднеквадратичного отклонения справед- [-7Г,7Г]
лива оценка
0"（力-丽切7'
где
7Г
/ /2（£）d① < С
—7Г
ЗАДАНИЕ 3.35
Сравните сходимость ряда Фурье для двух заданных функций разной гладкости.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов по горизонтали.
Определите функции и постройте их графики.
Найдите производные функций и постройте их графики.
Найдите выражения коэффициентов Фурье, частичных сумм ряда Фурье и среднеквадратичных отклонений для обеих функций.
Постройте графики частичных сумм и среднеквадратичных отклонений для обеих функций.
Выведите выражения для коэффициентов Фурье обеих функций и сравните степени номеров коэффициентов в знаменателях полученных выражений.
Пример выполнения задания
Сравните поведение частичных сумм и выражения коэффициентов Фурье для функций
О,—тг < 2： < О,/]（£）=«Х（Х-7Г） п 」I 一亠L，0<~«7Г；О,—тг < 2： < О,/]（£）=«Х（Х-7Г） п 」I 一亠L，0<~«7Г；О,—7Г < 2： < О,/2（2）=（产（…）2I 4'—О,—7Г < 2： < О,/2（2）=（产（…）2I 4'—
О,—тг < 2： < О,
/]（£）=«Х（Х-7Г） п 」
I 一亠L，0<~«7Г；
О,—тг < 2： < О,
/]（£）=«Х（Х-7Г） п 」
I 一亠L，0<~«7Г；
О,—7Г < 2： < О,
/2（2）=（产（…）2
I 4'—
О,—7Г < 2： < О,
/2（2）=（产（…）2
I 4'—
Примерный вариант выполнения задания для функции приведен ниже.
Q(x)=Q(x)=О if -я <х<02(X - Я)2х L if 0<х<я4О if -я <х<02(X - Я)2х L if 0<х<я4Вычисление производных 1-го порядкаВычисление производных 1-го порядкаЛ1(х) ：= 0 if -ж<х<0j_-x(X-里 if DCS dx 2Q1(x) ：= 0 if -»<xsO—x2(X~ Я^ if 0<х<я dx 4Л1(х) ：= 0 if -ж<х<0j_-x(X-里 if DCS dx 2Q1(x) ：= 0 if -»<xsO—x2(X~ Я^ if 0<х<я dx 4яяn = 20 k ：= 0.. n1「*a. ：= —•f1(x) cos(k x) dx寮Jrn = 20 k ：= 0.. n1「*a. ：= —•f1(x) cos(k x) dx寮Jr— f1(x)*sin(k*x) dx— f1(x)*sin(k*x) dx^ak-cos(k-x) + bk-sin(k-x))^ak-cos(k-x) + bk-sin(k-x))k- 1k- 1
Q(x)=
Q(x)=
О if -я <х<0
2(X - Я)2
х L if 0<х<я
4
О if -я <х<0
2(X - Я)2
х L if 0<х<я
4
Вычисление производных 1-го порядка
Вычисление производных 1-го порядка
Л1(х) ：= 0 if -ж<х<0
j_-x(X-里 if DCS dx 2
Q1(x) ：= 0 if -»<xsO
—x2(X~ Я^ if 0<х<я dx 4
Л1(х) ：= 0 if -ж<х<0
j_-x(X-里 if DCS dx 2
Q1(x) ：= 0 if -»<xsO
—x2(X~ Я^ if 0<х<я dx 4
я
я
n = 20 k ：= 0.. n
1「*
a. ：= —•f1(x) cos(k x) dx
寮Jr
n = 20 k ：= 0.. n
1「*
a. ：= —•f1(x) cos(k x) dx
寮Jr
— f1(x)*sin(k*x) dx
— f1(x)*sin(k*x) dx
^ak-cos(k-x) + bk-sin(k-x))
^ak-cos(k-x) + bk-sin(k-x))
k- 1
k- 1
f1(x) ：= 0 if - Я <Х <0
Х(Х - Я) у ，-21 if 0<Х<Я
2
я
X ：= 。*..* +я
20
(Н(п) ：=(f1(x) - S1(x,n))2dx
f2(x)*cos(k*x)dxf2(x)*cos(k*x)dxак :=ак :=S1(x,2)fl(x) IS1(x,2)fl(x) I公公
f2(x)*cos(k*x)dx
f2(x)*cos(k*x)dx
ак :=
ак :=
S1(x,2)
fl(x) I
S1(x,2)
fl(x) I
公
公
S2(x,n) = у +
n
X (ak-cos(k-x) + bk-sin(kx)) k= 1
7
o2(n) ：=(f2(x) - S2(x,n))2dx
- я
S1(x.3)■
/^\S2(x.2)
△
X
X
Аналитическое вычисление коэффициентов Фурье гя
1 х-(х - ж) /ь 、」4
—i cos(k x)dx f
я2
J。1 -1 (k-cos(k-jr) jr - 2-sin(k-jr)) 1
一 3r 2k3(2-k)
「寮「寮1 я1 яd G ；1 Lcos(kx) dx fd G ；1 Lcos(kx) dx fО->О->1 -1 (-12sin(kjr) + 6-kcos(kjr)jr + i(2sln(kjr)jr2)3]-■ —-— —-jt1 -1 (-12sin(kjr) + 6-kcos(kjr)jr + i(2sln(kjr)jr2)3]-■ —-— —-jtяя2211яJoяJo―!_——1 sin(k х) dx1 [-1 (k-sin(kjr)-^ +2cos(k»))1n 2炉―!_——1 sin(k х) dx1 [-1 (k-sin(kjr)-^ +2cos(k»))1n 2炉1 я1 яX? (х 丁)一 sin(k x)dx ->X? (х 丁)一 sin(k x)dx ->
「寮
「寮
1 я
1 я
d G ；1 Lcos(kx) dx f
d G ；1 Lcos(kx) dx f
О
->
О
->
1 -1 (-12sin(kjr) + 6-kcos(kjr)jr + i(2sln(kjr)jr2)3]
-■ —-— —-jt
1 -1 (-12sin(kjr) + 6-kcos(kjr)jr + i(2sln(kjr)jr2)3]
-■ —-— —-jt
я
я
2
2
1
1
я
Jo
я
Jo
―!_——1 sin(k х) dx
1 [-1 (k-sin(kjr)-^ +2cos(k»))1
n 2炉
―!_——1 sin(k х) dx
1 [-1 (k-sin(kjr)-^ +2cos(k»))1
n 2炉
1 я
1 я
X? (х 丁)一 sin(k x)dx ->
X? (х 丁)一 sin(k x)dx ->
0101
0
1
0
1
Указание. Все операции выполняются так же, как в предыдущих заданиях. Для того чтобы ввести символ производной, щелкните по кнопке | 畏 | в панели I攘 I. Для получения аналитических выражений коэффициентов Фурье скопируйте в рабочий документ формулу для вычисления, выделите ее, щелкните по кнопке
・т в панели | и по рабочему документу правее и ниже стрелки.
Ряд Фурье на произвольном отрезке
Для кусочно-гладкой на отрезке [—L, L] функции /(е) задача о разложении в ряд Фурье на отрезке [—L, L] линейной заменой сводится к задаче о разложении функции на отрезке [—я, я]:
/(z)~£ + £(akcos^ + 6ksin^),k=l
где
" =^/ "c) cos 野加," =^/ "c) cos 野加,bkbkу / /(E)sin^^dE. 上/L-Lу / /(E)sin^^dE. 上/L-L
" =^/ "c) cos 野加,
" =^/ "c) cos 野加,
bk
bk
у / /(E)sin^^dE. 上/L
-L
у / /(E)sin^^dE. 上/L
-L
ЗАДАНИЕ 3.36
Исследуйте поведение частичных заданной на отрезке [—厶 L].Исследуйте поведение частичных заданной на отрезке [—厶 L].сумм ряда Фурье функции /(е),сумм ряда Фурье функции /(е),
Исследуйте поведение частичных заданной на отрезке [—厶 L].
Исследуйте поведение частичных заданной на отрезке [—厶 L].
сумм ряда Фурье функции /(е),
сумм ряда Фурье функции /(е),
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов по горизонтали.
Определите функцию и постройте ее график.
Определите значение L и наибольшее число слагаемых п.
Найдите аналитические выражения коэффициентов Фурье.
Постройте графики частичных сумм ряда для различных значений п.
Пример выполнения задания
Исследуйте поведение частичных сумм ряда Фурье функции /(£)= ех на отрезке [—厶 L].
Примерный вариант выполнения задания в Mathcad для этой функции приведен ниже.
1,、/.я \ .... (cos(k-»)+k-»-sin(k-»))
_• exp(x)-cos к —-х dx -* ехр(1)-2—：—1i—士 +
L J\ L /(1 + k2-»2)
+ 0冲卜，)卜e0^**) +K*-sln(kx))
(1 ч-к2-»2)
exp(x)-sin k-— x dx f -exp(1) 2：2. +
L\ L 丿(1+k2 次 2)
+ exp(-1) (к * cos(k w) +sin(k *)) (1 + к2-»2)
n ：= 10к ：= 0..n
Г「［
ак ：= f(x)-cos(kjr x)dx bk ：= f(xj-sln(k~* x) dx * -1• -1
n
S(x,n) ：= — + VJ ^ак*со$(к-я-х) + bk*sin(k-*-x))
k- 1
n ：= 1 ..50
S(xa1)f(x)S(xa1)f(x)n・2n・2n=10n=10
S(xa1)
f(x)
S(xa1)
f(x)
n・2
n・2
n=10
n=10
3.16
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Графики функций двух переменных.
Линии уровня. Локальные экстремумы
Переменная z (с областью изменения Z) называется функцией независимых переменных дув множестве 7И, если каждой паре (gg) их значений из М по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из множества Z.
Множество М — область определения функции, множество Z 一 область ее значений. Функциональная зависимость z от ху у обозначается так： z = z^x^y), z = /(gg), z = g(gy) и т.п.
Возьмем в пространстве систему координатных осей с, у, z, изобразим на плоскости хОу множество М] в каждой точке (х, у) этого множества восстановим перпендикуляр к плоскости и отложим на нем значение z = / (2用).
Геометрическое место полученных таким образом точек и является пространственным графиком функции z = /(£?у).
Фрагмент рабочего документа Mathcad с графиками функций z = с? + у、а = су, V = sin(c2 + у?) приведен ниже.
f(x?y) ：= X2 +/
N 二 20
2小厶)2小厶)х ：= -2 + 0.2 I I
2小厶)
2小厶)
Указание. Для того чтобы построить в Mathcad график функции двух переменных, необходимо предварительно вычислить значения функции на прямоугольной сетке, т.е. построить таблицу значений функции. Для этого введите с клавиатуры имя функции двух переменных f(x,y), знак равенства и выражение для ее вычисления. Присвойте переменной N значение, равное количеству узлов квадратной сетки в плоскости переменных х, у. Определите диапазон изменения
целых индексов i и j узлов сетки Xj,刀 соответственно. Для этого введите i:=0..N и j:=O..N (нажмите последовательно на клавиатуре клавиши <iX=X0><;><N> и <j><=> <0><;XN>). Определите значения Xj из промежутка [—2, 2] с шагом 0.2; введите с клавиатуры х, нажмите клавишу <[>, введите в позиции нижнего индекса i, знак присваивания и выражение для вычисления Xj. Аналогично определите узлы yj. Табличные значения z；j определите как значения функции в узлах сетки, Zjj = f(xj,yj). Таким же образом определите значения двух других функций. Затем щелкните в панели |身| по кнопке |^^[ введите в помеченной позиции имя z и щелкните по рабочему документу вне поля графиков. Дважды щелкните по полю графиков и установите в окнах параметры изображения. На рис. 3.26 представлен вид окон настройки графиков, приведенных в документе. Графики функций и~ху и и = sin(c2 +у2) постройте таким же способом. При работе с панелями настройки параметров изображения можно посмотреть результат, полученный при изменении параметра изображения, не закрывая панели. Для этого после изменения параметра щелкните по кнопке Применить .
3D Plot Fsmat3D Plot Fsmat麻4 j CihVi -»*.| "« I麻4 j CihVi -»*.| "« IIlDtex Щ" 3lo：CT ‘ iji [35" fimSBiy m瑜也雪上:阿 Mia里摩IlDtex Щ" 3lo：CT ‘ iji [35" fimSBiy m瑜也雪上:阿 Mia里摩dxk Tam Г gbILolei IEayCdiwjJidxk Tam Г gbILolei IEayCdiwjJi30 Plot Famal30 Plot Famalj a%*I- G»1 irn Г Nur^eiod 17 r“i nJj a%*I- G»1 irn Г Nur^eiod 17 r“i nJГ 53Г 53口*aI p дцГ«лР1с1 「口*fim*1 Г *o <o^ И I C Jf td Udri口*aI p дцГ«лР1с1 「口*fim*1 Г *o <o^ И I C Jf td Udri{p1 ■SEi&jWI 厂 Sfv#bij[{p1 ■SEi&jWI 厂 Sfv#bij[30 Plot Famat30 Plot Famat^wi I A»h LctaLLnct |~；fl I'.鹼注ig: $6； j _r专曲!te般"冲 г Сект^wi I A»h LctaLLnct |~；fl I'.鹼注ig: $6； j _r专曲!te般"冲 г СектW I ^ня-а I t > 1 - I LrucuW I ^ня-а I t > 1 - I Lrucu厂白哽岂、Г НовЫв^ Г 巾 Н Ий厂白哽岂、Г НовЫв^ Г 巾 Н Ий
3D Plot Fsmat
3D Plot Fsmat
麻4 j CihVi -»*.| "« I
麻4 j CihVi -»*.| "« I
IlDtex Щ" 3lo：CT ‘ iji [35" fimSBiy m瑜也雪上:阿 Mia里摩
IlDtex Щ" 3lo：CT ‘ iji [35" fimSBiy m瑜也雪上:阿 Mia里摩
dxk Tam Г g
bILolei I
EayCdiwjJi
dxk Tam Г g
bILolei I
EayCdiwjJi
30 Plot Famal
30 Plot Famal
j a%*
I- G»1 irn Г Nur^eiod 17 r“i nJ
j a%*
I- G»1 irn Г Nur^eiod 17 r“i nJ
Г 53
Г 53
口*a
I p дцГ«лР1с1 「口*fim*
1 Г *o <o^ И I C Jf td Udri
口*a
I p дцГ«лР1с1 「口*fim*
1 Г *o <o^ И I C Jf td Udri
{p1 ■SEi&jW
I 厂 Sfv#bij[
{p1 ■SEi&jW
I 厂 Sfv#bij[
30 Plot Famat
30 Plot Famat
^wi I A»h LctaLLnct |~；fl I
'.鹼注ig: $6； j _r专曲!te般"冲 г Сект
^wi I A»h LctaLLnct |~；fl I
'.鹼注ig: $6； j _r专曲!te般"冲 г Сект
W I ^ня-а I t > 1 - I Lrucu
W I ^ня-а I t > 1 - I Lrucu
厂白哽岂、
Г НовЫв^ Г 巾 Н Ий
厂白哽岂、
Г НовЫв^ Г 巾 Н Ий
j . I3R ~| (Миена I 巾广句 №нви
Рис. 3.26. Панели настройки параметров изображения
Линией уровня функции двух переменных хну называется геометрическое место точек в плоскости хОу^ в которых функция принимает одно и то же значение. Линии уровня функции 2 = /(z,g) определяются уравнением /(z,g) = С, где О = const.
Рассматривая линии уровня функции двух переменных, можно исследовать характер изменения функции, найти (приближенно, но как угодно точно) координаты точек экстремума. На рис. 3.27 приведены линии уровня функций, графики которых изображены выше.
Рис. 3.27. Линии уровня функций двух переменныхРис. 3.27. Линии уровня функций двух переменных
Рис. 3.27. Линии уровня функций двух переменных
Рис. 3.27. Линии уровня функций двух переменных
Указание. Линии уровня можно построить, щелкнув в панели графиков по кнопке [^]. В данном случае использован другой способ ——линии уровня получены изменением параметров настройки графиков. На рис, 3.28 изображены панели настройки параметров графиков линий уровня для каждого из графиков, приведенных на рис. 3.27.
Рис. 3.28. Панели настройки параметров изображений линий уровняРис. 3.28. Панели настройки параметров изображений линий уровня
Рис. 3.28. Панели настройки параметров изображений линий уровня
Рис. 3.28. Панели настройки параметров изображений линий уровня
Точка (①“go) W Q называется точкой локального минимума^ (максимума) функции z = /(①，力 определенной в области Q, если существует такая проколотая окрестность 17(也如)U Q, что для всех точек (①,У)W U(①о,Уо) справедливо неравенство /(①о,уо) < /(①,у) (/(①о,Уо) > >f^.y)Y
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с построением графика функции z = sin^exp(—rr2 — у2) в области —1 < rr < 1, -1 < У < 1-
f(x，y)二 sinf(x，y)二 sin(訴р"-『)(訴р"-『)
f(x，y)二 sin
f(x，y)二 sin
(訴р"-『)
(訴р"-『)
N = 50 i ：= 0..N j =0 N
A
Из графика видно, что функция имеет локальные минимумы и локальные максимумы.
На рис. 3.29 слева изображены линии уровня без числовой индикации, справа — на каждой линии уровня написано соответствующее значение функции. Видно, что в изображенной области функция имеет два локальных минимума (во втором и четвертом квадрантах), координаты точек локального минимума можно определить приближенно (это точки (0.6, —0.6) и (—0.6, 0.6)), и две точки локального максимума (в первом и третьем квадрантах) — это точки (0.6, 0.6) и (—0.6, —0.6). Точка (0, 0) — седловая точка. Поведение функции в окрестности этой точки близко к поведению функции и =工у： график которой — гиперболический параболоид — называют э, седлом".
* Такие экстремумы (максимумы и минимумы) называют нестрогими. Строгие экстремумы имеют место в случае, когда выполнены строгие неравенства.
Рис. 3.29. Линии уровня функции ^ = sin —Рис. 3.29. Линии уровня функции ^ = sin —ехр(-с2 - у?)ехр(-с2 - у?)
Рис. 3.29. Линии уровня функции ^ = sin —
Рис. 3.29. Линии уровня функции ^ = sin —
ехр(-с2 - у?)
ехр(-с2 - у?)
ЗАДАНИЕ 3.37
Изобразите график и линии уровня функции z = f(x：y) в указанном прямоугольнике а < ж < Ь, с < у < d. Опишите поведение функции в заданной области (укажите приближенно координаты локальных экстремумов и седловых точек, если они есть).
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений.
Введите определение функции.
Определите в плоскости переменных (ж, у) прямоугольную сетку ±i = а + ih^ % = 1, 2,..., N, ^ = а + ih^ 歹=1, 2N, в области a<x<b^c<y<d.
Сформируйте матрицу Zij значений функции z = f(x^y) на сетке: z^ =
Постройте линии уровня функции.
Проанализируйте картину линий уровня, найдите точки экстремума и седловые точки, если они есть, и укажите приближенно их координаты.
Пример выполнения задания
Постройте график и исследуйте поведение функции z = хехр^—х2 —~-^ в прямоугольной области —2 < ж < 2, —2 < т/ < 2.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с линиями
уровня функции Z.
f(x,y) ：= х-ехр(-х2 - ^)
N 二 40
1 J^H1 J^H
1 J^H
1 J^H
Указание. Для того чтобы построить линии уровня заданной функции, значения которой на прямоугольной сетке сохранены в матрице z, щелкните по кнопке I經I в панели Е, введите в помеченной позиции имя z. Из графиков линий уровня видно, что функция имеет локальный минимум в точке (—0.3, 0) (координаты определяются приближенно) и локальный максимум в точке (0.3, 0). Изображенный на рис. 3.30 график функции подтверждает сделанные выводы.
Частные производные.
Производная по направлению. Градиент.
Производные высших порвдков
Пусть /(①用)…функция двух переменных х｝仇 определенная в некоторой окрестности точки (£5 до). Если существует конечный предел
lim /(初 +△伤加)一/So,加)
то говорят, что функция /(①,у) имеет в точке (хо, Уо) частную производную по переменной х. Аналогично определяется частная производная по у. Обозначают
lim△стОlim△стО/(ro+zkc,yo)-/(ro,Uo)Ах/(ro+zkc,yo)-/(ro,Uo)Ах=Л(^o,Уо) = 0"(го,ио) = 8"(70,沙0),=Л(^o,Уо) = 0"(го,ио) = 8"(70,沙0),lim△утОlim△утО"①5如+△g)一/(①(),如)△у"①5如+△g)一/(①(),如)△у=/у(£(),?/о) = Dy 1f(£q, уд) — %/(£(),go).=/у(£(),?/о) = Dy 1f(£q, уд) — %/(£(),go).
lim△стО
lim△стО
/(ro+zkc,yo)-/(ro,Uo)Ах
/(ro+zkc,yo)-/(ro,Uo)Ах
=Л(^o,Уо) = 0"(го,ио) = 8"(70,沙0),
=Л(^o,Уо) = 0"(го,ио) = 8"(70,沙0),
lim
△утО
lim
△утО
"①5如+△g)一/(①(),如)
△у
"①5如+△g)一/(①(),如)
△у
=/у(£(),?/о) = Dy 1f(£q, уд) — %/(£(),go).
=/у(£(),?/о) = Dy 1f(£q, уд) — %/(£(),go).
Пусть /(©),①=(xi, X2, ... ,з：п) G G G Rn — функция 几 переменных, определенная в области G n-мерного пространства Rn.
Частной производной функции /(^1,^2,...,хп) по переменной Xi называется конечный предел
-/ (①1，①2,^i + △①?,①n) 一 / (①1,£2，"一，①^n )
lim ；=
△£t->0△g
_3/(①1)£2广一，①?,-…,①九)
dxi'
Обозначаем: f^., 累,D# dXif.
Для приращения дифференцируемой функции /(xi,X2,...,xn) справедливо равенство
△/(①1声2广…,£九)~
= /(£]. + △，£2 + △?? • • • ? ^n + Ап) — /(£1，仁2,£九)=
寻А +汴+••• + £▲OX I 0X2oxn寻А +汴+••• + £▲OX I 0X2oxn+ о (/△? + 田 + …+ 片｝
寻А +汴+••• + £▲OX I 0X2oxn
寻А +汴+••• + £▲OX I 0X2oxn
Если в пространстве Rn задан единичный вектор
£ = (cosq， cosqz, ・••, cosan)y
14 = V COS2 al + COs2q2 + …+ COs2q九=1,
то изменение дифференцируемой функции f(x) в направлении £ характеризуется производной по направлению:
а/(£1,б2, • * • №п)а/(£1,б2, • * • №п)0cl少土2С^Х)20cl少土2С^Х)2
а/(£1,б2, • * • №п)
а/(£1,б2, • * • №п)
0cl少土2С^Х)2
0cl少土2С^Х)2
ИЛИИЛИgrad / =grad / =
ИЛИ
ИЛИ
grad / =
grad / =
寡=(grad/,£),
где (grad /, £)— скалярное произведение вектора
на вектор направления 2.
Поскольку 管 =|grad/||£|cos</?, где 屮 一 угол между векторами grad/ и 厶 то вектор grad/ указывает направление наискорейшего возрастания функции /(ж).
Дифференцируя частную производную как функцию нескольких переменных по одной из переменных, полуним частные производные
второго порядка:
言（器）言（器）a2/dxidxja2/dxidxja (df\ =/ a =竺 дх{ \dxj / dxjdxiJ dxi \dxi / 班？
言（器）
言（器）
a2/dxidxj
a2/dxidxj
Если смешанные производные —~-— и -~-— непрерывны, то их значения не зависят от порядка дифференцирования.
Аналогично определяются производные более высоких порядков:
а / а2/ \ = аз』 а / а2/ \ 二 巒/dxj ydxidxj / dxidxj5 dxj \dxidxj / dxjdxidxj
dxi 丿 a*
и т.п.
ЗАДАНИЕ 3.38
Найдите частные производные и градиент для функции и = /(х,у,г). Вычислите в заданно立 точке производную по указанному направлению и градиент функции в этой точке. Найдите
дхду^ дх21 dxdz' ду2' 5г2'
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов по горизонтали.
Введите определение функции.
Используйте меню символьной математики для вычисления частных производных по всем переменным.
Определите частные производные как функции переменных g у, z.
Определите вектор grad/ как вектор, координаты которого — определенные в предыдущем пункте функции.
Вычислите grad/ и |grad/| в указанной точке.
Определите вектор налравления.
Вычислите производную по налравлению в указанной точке, с 口 “d2f d2f d2f
Найдите производные 謳，舒，赤.
Найдите смешанные производные.
Пример выполнения задания
Найдите частные производные и градиент функции и = xyz^^2. Вычислите в точке А/(0,1, —1) производную по налравлению £ = =f-, —. 0)и градиент функции в этой точке. Найдите ^4, \2 2/охду
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями.
f(x,y, z) = х у z ехр(х + у + z)
—х у z ехр(х + у + z) f у z ехр(х + у + z) + х у z ехр(х + у + z) dx
—х у z ехр(х + у + z) f х z ехр(х + у + z) + х у z ехр(х + у + z)
—х у z ехр(х + у + z) f х у ехр(х + у + z) + х у z ехр(х + у + z) dz
dfx(x,y, z) ：= —f(x;y,z)
dx
dfx(x,y, z) ：= у z exp(x + у + z) + x у z exp(x + у + z)
dfx(x,y,z) ：= у z exp(x + у + z) (1 + x)
d»(x,y,z) ：= Lf(x,y,z) dy
dfy(x,y, z) ：= х z ехр(х + у + z) + х у z ехр(х + у + z)
d®(x,y, z)：二 z х ехр(х + у + z)-(1 + у)
dfz(x,y,z) ：= —f(x,y,z) dz
dfz(x,y,z) ：= х у ехр(х + у + z) + х у z ехр(х + у + z)
dfz(x,y,z) ：= х у ехр(х + у + z) (1 + z)
g『adf(x,y,z)：=g『adf(x,y,z)：=dfx(x,y, z) d"(x,y,z) dfz(x,y,z)dfx(x,y, z) d"(x,y,z) dfz(x,y,z)22£т£тООВторая производная по хВторая производная по х.2f(x,y, z) ->2 у z ехр(х + у + z) + х у z ехр(х + у + z) d х2.2f(x,y, z) ->2 у z ехр(х + у + z) + х у z ехр(х + у + z) d х22 у z ехр(х + у + z) + х у z ехр(х + у + z)2 у z ехр(х + у + z) + х у z ехр(х + у + z)у z ехр(х +у + z) (2 + х)у z ехр(х +у + z) (2 + х)f(x,y,z) -> z exp(x + у + z)-(1 + x) (1 + y) dxdyf(x,y,z) -> z exp(x + у + z)-(1 + x) (1 + y) dxdyУказание. Частные производные функции нескольких переменных можноУказание. Частные производные функции нескольких переменных можновычислить разными способами,способа. Щелкните по кнопке &вычислить разными способами,способа. Щелкните по кнопке &В приведенном фрагменте использованы дваВ приведенном фрагменте использованы двав панели團в панели團выражение для функции и переменную, по которойвыражение для функции и переменную, по которойвведите в помеченных позициях вычисляется производная, затемвведите в помеченных позициях вычисляется производная, затемщелкните по кнопке ЕЕ： в панели й и по рабочему документу правее и ниже стрелки. Выражение для производной будет отображено в рабочем документе справа от стрелки. Для того чтобы определить частную производную по х как функцию переменных х, у, z, присвойте ей имя и перечислите в скобках аргументы (в приведенном фрагменте имя частной производной по х — dfx(x, у, z)), введите знак присваивании и, как описано выше, используя кнопки соответствующих панелей, введите справа оператор дифференцирования по х. Заключите правую часть оператора присваивания в выделяющую рамку и щелкните по строке Simplify в меню Symbolics (рис. 3.31). Полученное выражение можно упростить. Выделите рамкой правую часть полученного для производной выражения и щелкните по строке Factor в меню Symbolics (рис. 3.31).Для того чтобы вычислить модуль градиента в указанной точке, щелкнитещелкните по кнопке ЕЕ： в панели й и по рабочему документу правее и ниже стрелки. Выражение для производной будет отображено в рабочем документе справа от стрелки. Для того чтобы определить частную производную по х как функцию переменных х, у, z, присвойте ей имя и перечислите в скобках аргументы (в приведенном фрагменте имя частной производной по х — dfx(x, у, z)), введите знак присваивании и, как описано выше, используя кнопки соответствующих панелей, введите справа оператор дифференцирования по х. Заключите правую часть оператора присваивания в выделяющую рамку и щелкните по строке Simplify в меню Symbolics (рис. 3.31). Полученное выражение можно упростить. Выделите рамкой правую часть полученного для производной выражения и щелкните по строке Factor в меню Symbolics (рис. 3.31).Для того чтобы вычислить модуль градиента в указанной точке, щелкнитепо кнопкепо кнопкев панелив панелии введите в помеченной позиции имя вектора.и введите в помеченной позиции имя вектора.Совершенно аналогично введите вектор направления и вычислите его модуль. И,Совершенно аналогично введите вектор направления и вычислите его модуль. И,
g『adf(x,y,z)：=
g『adf(x,y,z)：=
dfx(x,y, z) d"(x,y,z) dfz(x,y,z)
dfx(x,y, z) d"(x,y,z) dfz(x,y,z)
2
2
£т
£т
О
О
Вторая производная по х
Вторая производная по х
.2
f(x,y, z) ->2 у z ехр(х + у + z) + х у z ехр(х + у + z) d х2
.2
f(x,y, z) ->2 у z ехр(х + у + z) + х у z ехр(х + у + z) d х2
2 у z ехр(х + у + z) + х у z ехр(х + у + z)
2 у z ехр(х + у + z) + х у z ехр(х + у + z)
у z ехр(х +у + z) (2 + х)
у z ехр(х +у + z) (2 + х)
f(x,y,z) -> z exp(x + у + z)-(1 + x) (1 + y) dxdy
f(x,y,z) -> z exp(x + у + z)-(1 + x) (1 + y) dxdy
Указание. Частные производные функции нескольких переменных можно
Указание. Частные производные функции нескольких переменных можно
вычислить разными способами,способа. Щелкните по кнопке &
вычислить разными способами,способа. Щелкните по кнопке &
В приведенном фрагменте использованы два
В приведенном фрагменте использованы два
в панели團
в панели團
выражение для функции и переменную, по которой
выражение для функции и переменную, по которой
введите в помеченных позициях вычисляется производная, затем
введите в помеченных позициях вычисляется производная, затем
щелкните по кнопке ЕЕ： в панели й и по рабочему документу правее и ниже стрелки. Выражение для производной будет отображено в рабочем документе справа от стрелки. Для того чтобы определить частную производную по х как функцию переменных х, у, z, присвойте ей имя и перечислите в скобках аргументы (в приведенном фрагменте имя частной производной по х — dfx(x, у, z)), введите знак присваивании и, как описано выше, используя кнопки соответствующих панелей, введите справа оператор дифференцирования по х. Заключите правую часть оператора присваивания в выделяющую рамку и щелкните по строке Simplify в меню Symbolics (рис. 3.31). Полученное выражение можно упростить. Выделите рамкой правую часть полученного для производной выражения и щелкните по строке Factor в меню Symbolics (рис. 3.31).
Для того чтобы вычислить модуль градиента в указанной точке, щелкните
щелкните по кнопке ЕЕ： в панели й и по рабочему документу правее и ниже стрелки. Выражение для производной будет отображено в рабочем документе справа от стрелки. Для того чтобы определить частную производную по х как функцию переменных х, у, z, присвойте ей имя и перечислите в скобках аргументы (в приведенном фрагменте имя частной производной по х — dfx(x, у, z)), введите знак присваивании и, как описано выше, используя кнопки соответствующих панелей, введите справа оператор дифференцирования по х. Заключите правую часть оператора присваивания в выделяющую рамку и щелкните по строке Simplify в меню Symbolics (рис. 3.31). Полученное выражение можно упростить. Выделите рамкой правую часть полученного для производной выражения и щелкните по строке Factor в меню Symbolics (рис. 3.31).
Для того чтобы вычислить модуль градиента в указанной точке, щелкните
по кнопке
по кнопке
в панели
в панели
и введите в помеченной позиции имя вектора.
и введите в помеченной позиции имя вектора.
Совершенно аналогично введите вектор направления и вычислите его модуль. И,
Совершенно аналогично введите вектор направления и вычислите его модуль. И,
Рис. 3.31. Символьное дифференцирование и упрощение выражения для производнойРис. 3.31. Символьное дифференцирование и упрощение выражения для производнойпомеченных позициях имена векторов-сомножителей.помеченных позициях имена векторов-сомножителей.наконец, вычислите производную по направлению как скалярное произведение соответствующих векторов ——щелкните по кнопке |' | в панели ［丽 | и введите в
Рис. 3.31. Символьное дифференцирование и упрощение выражения для производной
Рис. 3.31. Символьное дифференцирование и упрощение выражения для производной
помеченных позициях имена векторов-сомножителей.
помеченных позициях имена векторов-сомножителей.
3.17
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Формулы Тейлора и Маклорена.
Аппроксимация функции многочленом
Если функция 2 = f(x^y) имеет в некоторой окрестности точки(£5 у。) непрерывные частные производные до (п+1)-го порядка включительно, то для любой точки(£, у) из этой окрестности справедлива формула Тейлора n-го порядка:
/(С,у) = /(со,%) + £^i((с-д)^ + ®一沙°)^) f^o^yo) +。(。")，
где р =，(2 -g)2 + (沙一沙0)2,
((с—g)^ + ®-2/o)^)/(g,2/o)m(c—co)^^ + ®-go)^^‘
((м-£о)石 + (у-уо)瓦丿 /(^о,Уо)=
= (сто) 初2+ 2(cto)(L"。)—石訪厂 + 匂寸。) Qy2
И т.д.
Формула Тейлора, записанная в окрестности точки (0, 0), называется формулой Маклорена. Например, для п = 2 в окрестности точки (0, 0) справедлива формула Маклорена:
"、丄 а"о,0)丄力(0,0)丄"〃0,0)2 丄
= /(0,0) ++
дхдуay2
Выражение
Tn(x,y) = 〃£о,уо) + £点((£-土。)瓦 +(У-Уо)у-) /Зо’Уо)
называется многочленом Тейлора п-го порядка.
Из формулы Тейлора видно, что /(ж,у) —Тп(х^у)=。(。办)；это означает, что в окрестности точки (жо, уо) функцию можно приближенно заменить, или, как говорят, аппроксимировать^ ее многочленом Тейлора, т.е. /(ж,у) у Т^х^у). Чем ближе точка (х, у) к точке (хо, уо), тем выше точность такой аппроксимации; кроме того, точность аппроксимации растет с ростом величины п. Это означает, что, чем больше непрерывных производных имеет функция /(ж, у), тем с более высокой точностью многочлен Тейлора 7\(®,у) аппроксимирует функцию /⑵y).
Пример. Рассмотрим функцию /(ж,у) = sin(rr + sin у) в окрестности точки Л/(1, 2). Запишем для нее многочлены Тейлора нулевого, первого и второго порядка:
ТоЗ,у) = 〃1,2),
3"2) +缉7+順…
охоу
S = №2) +鹤f +宇…+
⑵2_w52/(1,2)
Вычислим точные значения функции и ее многочленов Тейлора 7Ь, Т1, Т*2 в точках Мо(1.4, 2.8), Mi(1.2, 2.4) и М2(0.99,1.98) и расстояния этих точек до точки М.
На рис. 3.32 приведена таблица соответствующих значений, вычисленных в Mathcad. В 1-й строке таблицы приведены расстояния от точки М до точек Мо, ЛЛ и 扬・ Во 2-, 3-, 4- и 5-й строках соответственно —значения 虱，7\,弓 и /(х,у), вычисленные в точках Mo, Mi и Мг (в правой таблице — разности /(ж,у) —7} и значения /(ж,у)).
■о
0Л944Э
丄 0.44721
4
0Л2236
р
0Л944Э
儿 044721
4
0Л22Э6
Р
0 34325
0 34325
0S4325
То
0Л433
0Л1069
6.1585 Ю-4
F"
F =
0 32098
0^3212
0S4381
* R =
0Л6557
0Л2183
5^9419-10^
F]
1Л1548
0S8655
0 35574 0^5395
0S4387
0S4387
% F
-0.02893
(ГЖ55
-1.79407-10'3 0^5395
Н2236-10-7 0 34387
Е F
Рис. 3.32. Значения первых трех многочленов Тейлораи точные значения функции
Из приведенных данных видно, что для каждого многочлена Тейлора с уменьшением расстояния до точки М уменьшается погрешность аппроксимадии (разность между значением многочлена и значением функции в точке): для многочлена 7Ь она уменьшается от 0.09 в точке Мо до 0.0006 в точке М2, т.е. приблизительно в сто пятьдесят раз, тогда как расстояние до точки М уменьшилось приблизительно в сорок раз; для многочлена Ti погрешность уменьшилась от 0.06557 до 0.00006, а для Тг — от 0.02893 до нуля (с точностью до пятого десятичного знака). С другой стороны, погрешность в каждой точке уменьшается с ростом степени многочлена: в точке Мо — от 0.09 до 0.02893, в точке Mi — от 0.0107 до 0.00179 и в точке Мо — от 0.0006 до нуля. Приведенные числовые дгшные подтверждают, что в достаточно малой окрестности точки можно заменять значение функции значениями ее многочлена Тейлора.
ЗАДАНИЕ 3.39
Залишите для заданной функции z = /(ж,у) многочлены Тейлора нулевого, первого и второго порядка в окрестности указанной точки. Вычислите и сравните значения многочленов и функции в указанных точках. Приведите вычисленные значения в виде таблицы. Исследуйте зависимость погрешности алпроксимации функции многочленом Тейлора от расстояния между точками и от степени многочлена.
Выполните вычисления для функции из задания 3.37. Сравнивайте значения многочленов Тейлора в середине и в любых двух вершинах указанного прямоугольника.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов по горизонтали.
Введите определение функции.
Найдите частные производные первого порядка.
Найдите все частные производные второго порядка.
Вычислите значения производных в заданной точке.
Запишите выражения для многочленов Тейлора нулевой, первой и второй степени как функций переменных (х, у).
Вычислите расстояния от заданных точек до центра окрестности, значения функции и многочленов Тейлора в заданных точках; присвойте вычисленные значения элементам матрицы и выведите их в виде таблицы (матрицы).
Пример выполнения задания
Выполните задание для функции /(х,у) =sin(c + siny) из рассмотренного выше примера в окрестности точки М(1, 2). Вычислите значения функции и ее многочленов Тейлора То, Ti, 耳 в точках Мо(1.4, 2.8), Mi(1.2, 2.4) иМ2(0.99,1.98).
Фрагмент рабочего документа с соответствующими вычислениями приведен ниже.
f(x,y) ：= sin(x + sin(y))
—sin(x + sin(y)) cos(x + sin(y))
dx
^Х(Х*У)= cos(x + sin(y)) f(1,2) = 0.94325
—sin(x + sin(y)) cos(x + sin(y))-cos(y)
fy(x,y) ：= cos(x +sin(y))-cos(y)
——cos(x + sin(y)) -sin(x + sln(y))
dx
fxx(x,y) ：=-sin(x + sin(y))
—cos(x + sin(y))-cos(y)
dy2
-sin(x + sin(y)) cos(y) - cos(x + sin(y))-sin(y) 1yy(x,y) ：= -sln(x + sin(y))-cos(y)2 - cos(x + sin(y))-sin(y)
—cos(x + sin(y))-sin(x + sin(y))-cos(y)
dy
fxy(x.y) ：= -sin(x + sin(y))-cos(y)
a ：= fx(1,2) a = -0.33207A ：= fxx(1,2)A = -0 54325a ：= fx(1,2) a = -0.33207A ：= fxx(1,2)A = -0 54325b = "(1,2) b = 0.13819В =fxy(1,2)В = 039253b = "(1,2) b = 0.13819В =fxy(1,2)В = 039253C = ^y(1,2)C = 0.1386C = ^y(1,2)C = 0.1386
a ：= fx(1,2) a = -0.33207
A ：= fxx(1,2)
A = -0 54325
a ：= fx(1,2) a = -0.33207
A ：= fxx(1,2)
A = -0 54325
b = "(1,2) b = 0.13819
В =fxy(1,2)
В = 039253
b = "(1,2) b = 0.13819
В =fxy(1,2)
В = 039253
C = ^y(1,2)
C = 0.1386
C = ^y(1,2)
C = 0.1386
TD(x.y) = f(IZ)
T1(x,y) ：=TO(x,y) + a-(x- 1) + b-(y-2)
T2(x,y) ：=T1(x,y) + ^-(A-(x-1)2+2-B-(x-1)-(y-2) + C-(y-2)2)
r(x,y) ：= -/(x- 1)2 + (y-2)2r(x,y) ：= -/(x- 1)2 + (y-2)2Указание. Все вычисления выполняйте так； как показано в документе. В приведенном фрагменте многочлены Тейлора нулевого, первого и второго порядка обозначены соответственно как ТО, Т1 и Т2. Производные первого и второго порядка исследуемой функции обозначены fx, fy, fxx, fyy и fxy и определены соответственно как функции переменных х, у. Выражения для вычисления производных присваиваются копированием в буфер обмена из рабочего документа выражения, вычисленного средствами символьной математики.Указание. Все вычисления выполняйте так； как показано в документе. В приведенном фрагменте многочлены Тейлора нулевого, первого и второго порядка обозначены соответственно как ТО, Т1 и Т2. Производные первого и второго порядка исследуемой функции обозначены fx, fy, fxx, fyy и fxy и определены соответственно как функции переменных х, у. Выражения для вычисления производных присваиваются копированием в буфер обмена из рабочего документа выражения, вычисленного средствами символьной математики.
r(x,y) ：= -/(x- 1)2 + (y-2)2
r(x,y) ：= -/(x- 1)2 + (y-2)2
Указание. Все вычисления выполняйте так； как показано в документе. В приведенном фрагменте многочлены Тейлора нулевого, первого и второго порядка обозначены соответственно как ТО, Т1 и Т2. Производные первого и второго порядка исследуемой функции обозначены fx, fy, fxx, fyy и fxy и определены соответственно как функции переменных х, у. Выражения для вычисления производных присваиваются копированием в буфер обмена из рабочего документа выражения, вычисленного средствами символьной математики.
Указание. Все вычисления выполняйте так； как показано в документе. В приведенном фрагменте многочлены Тейлора нулевого, первого и второго порядка обозначены соответственно как ТО, Т1 и Т2. Производные первого и второго порядка исследуемой функции обозначены fx, fy, fxx, fyy и fxy и определены соответственно как функции переменных х, у. Выражения для вычисления производных присваиваются копированием в буфер обмена из рабочего документа выражения, вычисленного средствами символьной математики.
Локальный экстремум
Обозначим через △/(жо)уо) = /(^,у) —/(£о,Уо) приращение функции /(ж,у) в точке (жо, уо)- Если (ио, уо) — точка локального минимума функции /(ж,у), то существует окрестность(5(жо, уо), в которой
△/Зо, уо)〉0. Из формулы Тейлора первого порядка
△/(^о,Уо) =х(①一①口)+д(У-Уо) + О(р)охоу
следует, что приращение △/(①°,уо) дважды непрерывно дифференцируемой функции /(①,у) сохраняет знак, если главная линейная часть приращения функции в точке экстремума (максимума или минимума) равна нулю, т.е. выполнено необходимое условие экстремума.
Если (①о, уо) — точка локального экстремума функции /(①,у), то в этой точке обращаются в нуль обе частные производные первого попялка- а〃工。,У。)— о ИОилДКа. с — 5
дхду
Такая точка называется стационарной точкой. Если в точке (①о,Уо) выполнено необходимое условие экстремума, то приращение функции в этой точке имеет вид
△〃7о,Уо) = а- д)2 +
+_ уо) +_ %)2 + 0(р).
охоуоу£
Обозначим
//(就用。)52/(го,Уо)52/(хо,уо)
~一~~■
Справедливо следующее достаточное условие экстремума. Пусть функция /(①,у) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки (wo, уо) и
а/(，о,Уо) n 9f(x0,y0)
Если АС — В?〉°, то в точке (д：о, уо) функция достигает экстремума. При этом если Л > 0, то этот экстремум — минимум, а если Л < 0, то этот экстремум — максимум. Если же АС — В2 < 0, то в точке (初 уо) экстремума нет.
Геометрически достаточное условие экстремума означает, что в окрестности экстремума график функции z = /(①，у) близок к поверхности параболоида z = 4(z — xq)2 + 2B(z —喲® — Уо) + C(g — yo)2-
ЗАДАНИЕ 3.40
Запишите для заданной функции z = /(①,у) формулу Тейлора указанного в условии порядка в окрестности указанной точки. Найдите
стационарные точки функции. Исследуйте каждую из них на экстремум. Изобразите график и линии уровня функции в окрестности стационарных, точек.
Выполните вычисления для функции из задания 3.37. Формулу Тейлора залисывайте в центре указанного в этом задании прямоугольника..
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов по горизонтали.
Введите определение функции.
Найдите частные производные функции.
Постройте линии уровня задалной функции.
Найдите стационарные точки.
Вычислите
_ d2f(x0,y0)d2f(x0,y0)d2f(x0,y0)
~~
в каждой стационарной точке (хо, уо) и исследуйте ее на экстремум.
Изобразите поверхность
Z = 4с - а；о)2 + 2В(С - Со)® - Уо) + С(у - уо)2
и график функции z = /(х,у) в окрестности каждой стационарной точки (xq, уо).'
Изобразите линии уровня функции
Z = А(х - а；о)2 + 2В(С - 1о)(у- Уо) + С® — Уо)2
и график функции z = /(х,у) в окрестности каждой стационарной ТОЧКИ(Хо, Уо).
Пример ■ /выполнения задания
Залишите формулу Тейлора четвертого порядка для функции z = =sinxyexp(—х2 — у2) в окрестности точки (1, 0). Найдите стационарные точки функции. Исследуйте каждую из них на экстремум. Изобразите график и линии уровня функции в окрестности стационарных точек.
Фрагмент рабочего документа с соответствующими вычислениями и графиками приведен ниже.
f(x,y) ：= sin(x-y)-exp(-(x2+ /))
f( х,у) series, x=1 ,y=0,4 f?
у exp(-1 i - у expi> 1) ( x - 1) - ( x - 1 Г у exp(-1 i - - y' exp( -1)
dfx(x.y) = —f(x,y) dx
dfx(x,y) = exp(-x2 - y?)-(cos(x-y)-y - 2-x sin(x-y))
d®(x,y) ：= ^-f(x,y) dv
dly(x^y) = -exp(-x2 - y2) ( cos(x y) x + 2 sin(x y) y)
N 二 50i ：= 0 .Nj =0..N
%=т+* yj =1+^j"=《％)
zz
z
z
Given
exp(-x2 - y?)-(cos(x-y)-y - 2-x-sin(x-y))»0
-exp(-x2 - y?)-(-cos(x-y)-x + 2-sin(x-y)-y)=0
xO：=Find(x,y) wJ.2A：=— f(x.y)d *2A = 0.775A C - B2 = 0.588xO：=Find(x,y) wJ.2A：=— f(x.y)d *2A = 0.775A C - B2 = 0.588xO = -0.681xO = -0.681yO = 0.681yO = 0.681В Н辰寸y)В Н辰寸y)В =0.113В =0.113。=3力C = 0J75。=3力C = 0J75
xO
：=Find(x,y) wJ
.2
A：=— f(x.y)
d *2
A = 0.775
A C - B2 = 0.588
xO
：=Find(x,y) wJ
.2
A：=— f(x.y)
d *2
A = 0.775
A C - B2 = 0.588
xO = -0.681
xO = -0.681
yO = 0.681
yO = 0.681
В Н辰寸y)
В Н辰寸y)
В =0.113
В =0.113
。=3力
C = 0J75
。=3力
C = 0J75
g(x,y):二 A (x - x0)2 + (2-B-(x - xO)-(y - yO)) + C-(y - yO)2
i = 0 ..10j ：= 0 ..10
х. = хО - 0.01 + 0.002 i у ：= уО - 0.01 + 0.002 j
-1 -о.б-1 -о.б1-1-0.5□1-1-0.5□
-1 -о.б
-1 -о.б
1-1-0.5□
1-1-0.5□
3fL力+。（介3fL力+。（介Указание. Для того чтобы получить формулу Тейлора четвертого порядка в окрестности точки (1, 0) для функции, определенной в рабочем документе именем f(x,y), воспользуйтесь панелью инструментов символьной математики. Для этого щелкните по свободному месту в рабочем документе, в панели画щелкните по кнопке разложения в ряд series |, введите в соответствующих позициях имя функции, координаты точки и порядок формулы: f(x,y) series, х=1, у=0, 4. Затем щелкните в рабочем документе правее и ниже стрелки. Результат — разложение по степеням х — 1 и у будет отображен в рабочем документе справа от стрелки. В приведенном фрагменте получено разложение
3fL力+。（介
3fL力+。（介
z = sixi£gexp(—а;? — у2)=——у
Частные производные первого порядка вычислите так же, как при выполнении задания 3.38. Для того чтобы определить стационарные точки, нужно решить систему двух нелинейных уравнений относительно двух переменных, символьное решение которой удается не всегда. Для отыскания численного решения задайте
начальное приближение решения. Постройте, действуя известным из предыдущего раздела образом, график поверхности и линии уровня. Определите по графику начальное приближение первой из стационарных точек (в приведенном фрагменте выбрана точка из второго квадранта). Присвойте переменным х, у начальные значения из окрестности выбранной для исследования точки. Для решения системы уравнений используйте функцию Find. Введите в рабочий документ ключевое слово Given, затем — выражения для частных производных и приравняйте их нулю, используя знак символьного равенства. Далее присвойте вектору-столбцу с двумя символьными координатами хО, уО решение, найденное функцией Find(xty), Для того чтобы выполнить исследование на экстремум в найденной точке, вычислите значения А, В, С и значение АС — В2. В приведенном примере в точке (хО, уО)= (0.681, 0.681) выполнено достаточное условие максимума. Определите функцию двух переменных, равную А(х — хо)2 十 28(с — со)(д — уо)十 С(у — уо)2, сформируйте таблицы ее значений и значений исследуемой функции в окрестности стационарной точки х € (с。— 0.01, жо 十 0.01), у € (уо — 0.01, уо + 0.01), постройте их графики и линии уровня. Сравните полученные изображения. Выполните аналогичные исследования для остальных стационарных точек функции.
3.18
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
Производственные функции
Производственная функция нескольких переменных описывает зависимость объема выпускаемой продукции от затрачиваемых или используемых ресурсов, т.е. в записи у =/(矶吻…，£п) выпуск у единиц продукции определяется объемами 矶 数,…，хп затрачиваемых ресурсов. Естественно, что областью определения производственной функции ( говорят еще: многофакторной производственной функции) является множество xj > 0, з：2 > 0, ..., хп > 0.
Если производственная функция описывает технологию действующего предприятия, то в качестве ресурсов могут фигурировать затраты рабочего времени, сырья, комплектующих изделий, энергии, основного капитала. Если производственная функция описывает экономику региона, то в качестве ресурсов обычно рассматривают основной капитал, живой труд и природные ресурсы, а значением функции в этом случае обычно является совокупный продукт (доход) региона.
Рассмотрим производственную функцию двух переменных Q = —/(KJ), описывающую зависимость выпуска продукции Q от вложенного капитала К и затраченного труда L
График производственной функции двух переменных — поверхность в трехмерном пространстве. Линия уровня производственной функции, т.е. линия, в каждой точке которой объем выпуска при разных значениях К и Е один и тот же, называется изоквантой или кривой безразличия производства. Уравнение изокванты имеет вид f{K,L) = const.
Уравнение касательной к изокванте /(К,Е) = Qq в точке (Ко, Е。), /(Ко,Ео) = Qo, записывается так:
(К — К。)貳7/(К°, Ео) + (Е - Lo)—f(Ko^Lo) = 0.
Изокванты не пересекаются; большему объему производства отвечают изокванты, более удаленные от начала координат; касательные к изоквантам имеют отрицательный угловой коэффициент.
При исследовании свойств производственной функции используют предельные величины.
Предельным продуктом капитала называется предел отношения приращения количества произведенной продукции к вызвавшему это приращение приросту вложенного капитала, т.е. частная производная производственной функции Q = /(К,Е) по переменной К:
Qk =Qk =lim△КтОlim△КтО〃К+ △&£) — 〃&£)〃К+ △&£) — 〃&£)=笳=笳
Qk =
Qk =
lim△КтО
lim△КтО
〃К+ △&£) — 〃&£)
〃К+ △&£) — 〃&£)
=笳
=笳
Аналогично предельным продуктом труда называется предел отношения приращения количества произведенной продукции к вызвавшему это приращение приросту вложенного труда, т.е. частная производная производственной функции Q = /(К,Е) по переменной L:
Ql ~Ql ~lim△LtOlim△LtO/(К/+ △£)-〃/)/(К/+ △£)-〃/)= "(")•= "(")•
Ql ~
Ql ~
lim△LtO
lim△LtO
/(К/+ △£)-〃/)
/(К/+ △£)-〃/)
= "(")•
= "(")•
При одновременном изменении вложенного труда и калитала приращение выпуска можно приближенно вычислять по формуле
Величина R =—導，вычисленная в точках изокванты, называется коэффициентом заменяемости ресурсов. Он показывает, на сколько единиц нужно увеличить вложение капитала при уменьшении на единицу вложенного труда с тем, чтобы выпуск не изменился. Геометрический смысл коэффициента заменяемости ресурсов ——угловой коэффициент касательной к изокванте.
можно вычислить какможно вычислить какпроизводную функции,производную функции,Величину R =—绘 заданной неявно:
можно вычислить как
можно вычислить как
производную функции,
производную функции,
Q{K,L) = const,Q{K,L) = const,R =R =dKdKdLdLdQ dQ_ Jb'dK'dQ dQ_ Jb'dK'
Q{K,L) = const,
Q{K,L) = const,
R =
R =
dK
dK
dL
dL
dQ dQ_ Jb'dK'
dQ dQ_ Jb'dK'
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с графиком производственной функции Q = К1^4^^4 и ее изоквантами. Здесь же вычислены предельные продукты труда и капитала, а также коэффициент заменяемости ресурсов, построена изокванта KX^L^^ = 1 н касательная к ней в точке К = 1, L = \.
1 з
Q(K,L) ：= К4 L4
Предельный продукт трудаПредельный продукт трудаQ|(K,L) ：=£.Q(KA)Q|(K,L) ：=£.Q(KA)qmk,lT&)4qmk,lT&)4
Предельный продукт труда
Предельный продукт труда
Q|(K,L) ：=£.Q(KA)
Q|(K,L) ：=£.Q(KA)
qmk,lT&)
4
qmk,lT&)
4
Предельный продукт капитала
Qk(K,L) =1_Q(K,L) Qk(K,L) d К
Коэффициент заменяемости ресурсов
R(KL)=S 双…畔
Изокванта K*L-1 и касательная к ней
KI(L) = 1 L0 = 1КО = KI(LO)КО = 1
Kk(L) ：= 1 - (L- 1)i =0 40^ ：= (1 + 1) 0.1
ЗАДАНИЕ 3.41
Постройте график и изокванты заданной производственной функции. Вычислите предельные продукты труда и калитала, а также коэффициент заменяемости ресурсов. Постройте какую-нибудь изокванту и касательную к ней.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений.
Определите производственную функцию как функцию двух переменных К и L.
Постройте график производственной функции и изокванты.
Налдите выражение для предельного продукта труда.
Налдите выражение для предельного продукта капитала.
Найдите коэффициент заменяемости ресурсов.
Залишите уравнение какой-либо изокванты, разрешите его относительно К.
Для произвольного фиксированного значения L вычислите соответствующее значение К на изокванте.
Залишите уравнение касательной к изокванте в вычисленной точке.
Изобразите на графике изокванту и касательную к ней.
Пример выполнения задания
Примерный вариант выполнения задания для функции Q = K'l*制& приведен вьппе.
Эластичность производственной функции
(эластичность выпуска)
Эластичность выпуска по труду 后厶 и эластичность выпуска по капиталу Ек определяются формулами:
瓦=瓦=L8QL8QЕк =Ек =К 8Q QdKК 8Q QdK
瓦=
瓦=
L8Q
L8Q
Ек =
Ек =
К 8Q QdK
К 8Q QdK
и показывают, на сколько процентов произойдет относительное увеличение выпуска при относительном увеличении соответствующего ресурса на 1%. п
Сумма Е = £ Е； значений эластичности вьшуска по всем ресурсам
называется эластичностью производства: Е = Ек + El・
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий вычисления значений эластичности функции, рассмотренной в предыдущем примере.
1 з
Q(K,L) ：= К4 L4
Ek(K,L)f ；3E1(K,L)f ；E(K,L)f 1Ek(K,L)f ；3E1(K,L)f ；E(K,L)f 1Ek(K,L) ：=—?!—Q(K,L)]
Ek(K,L)f ；
3
E1(K,L)f ；
E(K,L)f 1
Ek(K,L)f ；
3
E1(K,L)f ；
E(K,L)f 1
Q(K,L)丿丿
日(K,L) ：= —-—Q(KA)j
' 丿 Q(K,L)“
E(K,L) ：= Ek(K,L) + EI(K,L)
ЗАДАНИЕ 3.42
Найдите значения эластичности вьшуска по ресурсам и эластичности производства для производственной функции из предыдущего задания.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений.
Определите производственную функцию как функцию двух переменных.
Вычислите эластичность вьшуска по труду и по капиталу.
Вычислите эластичность производства.
Пример выполнения задания
Примерный вариант выполнения задания для функции Q =小“炉/‘ приведен выше..
Производственная функция Кобба — Дугласа
Производственной функцией Кобба —— Дугласа называется функция вида
Q^K^^AK0^,
где Q — объем выпускаемой продукции; К — затраты капитала; L — объем трудовых затрат; Л, а, /3 — положительные параметры, а < 1, /3 < 1, причем величина А зависит от выбранных единиц измерения величин Q, К к L, а также от эффективности производственного процесса.
Для величины эффективности выпуска в модели, описываемой функцией Кобба — Дугласа, справедливы соотношения:
Q(K,L) _ AKaL^ _ 必
Q(tKM) = №+0)-1 芷二 t(a+e)_iQ(K,D,tKK"aК
Q(K,L) _ AK°L。_ AKa
Z~ ~Z=岁_0，
Q”M) _ №+0)-1 丝 _ 心+0)-1 空也
-tL -—F—L •
Приведенные равенства означают, что если увеличить затраты труда и капитала в 力 раз, то при а + 0 = 1 эффективность производства не изменится: при а + 0 < 1 она падает, а при а + 0〉1 растет.
Предельная производительность калитала, предельная производительность труда и предельная норма замены труда капиталом для функции Кобба — Дугласа соответственно равны:
ас
dQ _ Q dQ О „ 玩 0К
дк=aк' 玩=0； 小=画=近
дК
Для эластичности gkl предельной нормы замещения труда капи-
талом справедливо соотношение:dl畤- dlnR^L=奉rталом справедливо соотношение:dl畤- dlnR^L=奉r
талом справедливо соотношение:
dl畤
- dlnR^L
=奉r
талом справедливо соотношение:
dl畤
- dlnR^L
=奉r
т.е. для функции Кобба —— Дугласа эластичность предельной нормы замещения труда капиталом постоянна и равна единице. Это важнейшее свойство функции Кобба ——Дугласа.
Исследование с помощью Mathcad производственной функции Кобба —Дугласа Q(K,E) = 2KQ'3LQ,7 представлено ниже.
Q(K,L) ：= 2-K°'3-L0'7Q(K,L) ：= 2-K°'3-L0'7Ek(kJ)：=Ek(kJ)：=Ek(K,L) f .3Ek(K,L) f .3_?_Lq(K,L)
Q(K,L) ：= 2-K°'3-L0'7
Q(K,L) ：= 2-K°'3-L0'7
Ek(kJ)：=
Ek(kJ)：=
Ek(K,L) f .3
Ek(K,L) f .3
Q(K,L) dK
El(kJ) ：= ―-——Q(K,L)
Q(K,L) dL
E(K,L) = Ek(K,L) + EI(K,L)
EI(K,L) -> .7EI(K,L) -> .7E(K,L) f 1.0E(K,L) f 1.0R(K,L) ：=-R(K,L) ：=-汩5)总5)汩5)总5)1.0
EI(K,L) -> .7
EI(K,L) -> .7
E(K,L) f 1.0
E(K,L) f 1.0
R(K,L) ：=-
R(K,L) ：=-
汩5)总5)
汩5)总5)
R(K,L) -> -2 3333333333333333333 —
ЗАДАНИЕ 3.43
Изобразите график заданной функции Кобба ——Дугласа двух переменных. Постройте для нее изокванты. Вычислите значение эластичности выпуска по ресурсам и предельную норму замены ресурсов.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений.
Определите функцию Кобба — Дугласа как функцию двух переменных Кт L.
Определите сетки значений обеих переменных и сформируйте матрицу значений в узлах сетки.
Постройте график функции, выбрав в окне параметров графика режим построения поверхности.
Постройте изокванты, выбрав в окне параметров графика режим построения линий уровня.
Вычислите эластичность выпуска, эластичность производства и предельную норму замены труда капиталом как функции двух переменных.
Пример выполнения задания
Примерный вариант вьшолнения задания для функции у = 2з吟7 приведен вьппе.
Производственная функция CES
(функция с постоянной эластичностью замещения)
Рассмотренная выше функция Кобба — Дугласа — это производственная функция с эластичностью замещения, равной единице.
Естественным обобщением функции Кобба — Дугласа являются функции с постоянной, но не обязательно единичной, эластичностью замещения. Такие производственные функции называются CES- функциями* и имеют вид:
Q(K,L) = A(uK~p + (1- и)Ь~р)~^.
Здесь р > —1, п > О, Л > 0, 0 < u < 1.
CES-функция определена при К〉О, Е〉0.
равнаравнаПредельная норма замещения труда капиталом для такой функции
равна
равна
复 Л(-^) {uK-P + (1 - u)L-P)~^-\l - u^-p^L-P-1
-券一厶(-^) (uK-P + (1 - ^L-py^u^-p^-P^—
1
а эластичность замещения постоянна и равна 匸斤:
0KL =0KL =山畤(HuRkl山畤(HuRkl計佇計佇-S+D面也⑴-S+D面也⑴F~〈灭丿 =1+^'F~〈灭丿 =1+^'
0KL =
0KL =
山畤
(HuRkl
山畤
(HuRkl
計佇
計佇
-S+D面也⑴
-S+D面也⑴
F~〈灭丿 =1+^'
F~〈灭丿 =1+^'
Как и для функции Кобба — Дугласа, поведение эффективности определяется параметрами производственной функции и не зависит от величины К к L.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с определением CES-функции Q(K^L) = 1.002(0.6412/С-0,81 +O.3588L_0'81)-1^0'081, ее графиком и изоквантами, а также с вычислением предельной нормы замены труда капиталом и эластичности.
Q(K,L) ：= 1.002 (0.6412-К'081 + 0.3588 L'061)°81
п ：= 1п ：= 1А ：= 1.002 и ：= 0.6412 р ：=0.81
п ：= 1
п ：= 1
i ：= 1..20 j ：= 1.20
к = i-o.1 L ：=j 0.1 Zi j =Q(%,Lj)
.55957579538365564567 ^i 8i.55957579538365564567 ^i 8i11.8111.81—Q(K,L)
.55957579538365564567 ^i 8i
.55957579538365564567 ^i 8i
11.81
11.81
R(K,L)=—
—Q(K.L) dK
1 аа = 0.552
ЗАДАНИЕ 3.44
Исследуйте поведение заданной CES-функции. Изобразите ее график и изокванты. Вычислите предельную норму замены труда калиталом и эластичность.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений.
Определите заданную CES-функцию как функцию двух переменных К и L
Определите сетки значений обеих переменных и сформируйте матрицу значений в узлах сетки.
Постройте график функции, выбрав в окне параметров графика режим построения поверхности.
. Постройте линии уровня, выбрав в окне параметров графика режим построения линий уровня.
Определите предельную норму замены труда капиталом и ее эластичность как функцию двух переменных и введите выражения для их вычисления.
Выведите полученные выражения в рабочий документ.
Пример выполнения задания
Выше приведен примерный вариант выполнения задания для CES- функции
Q(K,£) = 1.002 (О.6412АГ~0-81 + 0.3588L-0'81) -1/0081
ГЛАВА Г
ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
4.1
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ MATHCAD
Познакомимся с основными функциями Mat head, пр едн означенными для численного* решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, и с некоторыми инструментами для исследования уравнений: построения фазовых кривых и векторных полей. Используемые для решения задачи Коши алгоритмы и методы исследования решений описаны в последующих разделах. Решение граничных задач и уравнений с частными производными в книге не рассматриваются.
Все функции Mathcad предназначены для решения задачи Коши нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений; задача Коши для уравнений сводится к решению задачи для системы. Рассмотрим задачу Коши:
У1 =/1(^,У1,У2)---,Уп),
%1(c0)=У0,1,
弘=/2(2用1,u2,Un),<
y2侬0)=У0,2,
Уп = fn(X,yi,y2,...,yn\
<Уп{^о} ~ У0,п
Численное решение этой задачи состоит в построении таблицы приближенных значений 仇j,仇,2, • • •,仇,n, i = 1, 2,..., TV, решения Ji(c), У2(с), …，Уп(^) на отрезке [xq, ^^] в точках с。，Xi, …，土％, которые называются узлами сетки.
Обозначив
У(2)=(У1(2), У2(с),…，Уп(с)),
匕=(Уо,о, Уо,1,У0,п),
г = (£(2),必(2),…，认⑺)，
F(c,У) = (/1 (*^>У1 > • • • >Un), /2(2,J/i, • • ■,Un), • ■ •, /n(c,Ui, • • •,Un)),
В Mathcad нет средств символьного решения дифференциальных уравнений.
где У — искомое решение; К — вектор начальных условий; F(x,Y)— вектор правых частей, запишем систему дифференциальных уравнений в векторной форме:
У' = ^(с,У), У(со)=К.
В Mathcad решить задачу Коши для такой системы можно с помощью следующих функций:
rkfixed(y, xl, х2, npoints, D) —решение задачи на отрезке методом Рунге — Кутты с постоянным шагом;
Rkadapt(y, xl, х2, npoints, D) —решение задачи на отрезке методом Рунге — Кутты с автоматическим выбором шага;
rkadapt(y, xl, х2, асе, npoints, D, kmax, save) — решение задачи в заданной точке методом Рунге — Кутты с автоматическим выбором шага;
Bulstoer(y, xl, х2, npoints, D) — решение задачи на отрезке методом Булирша — Штера;
bulstoer(y, xl, х2, асе, npoints, D, kmaxt save) — решение задачи в заданной точке методом Булирша — Штера;
Stiffr(y, xl, х2, асе, D, J) — решение задачи для жестких систем на отрезке с использовалием алгоритма Розенброка;
stiffr(y, xl, х2, асе, D, J, kmax, save)——решение задач для жестких систем в заданной точке с использовалием алгоритма Розенброка;
Stiffb(y, xl, х2, асе, D, J)——решение задачи для жестких систем на отрезке с использованием алгоритма Булирша — Штера;
stiffb(y, xl, х2, асе, D, J, kmax, save) — решение задач для жестких систем в заданной точке с использованием алгоритма Булирша — Штера.
Смысл параметров для всех функций одинаков и определяется математической постановкой задачи:
у — вектор начальных условий К, % = (У%;
xl, х2 — начальная и конечная точки отрезка интегрирования системы; для функций, вычисляющих решение в задалной точке, х1 —— начальная точка, х2 — задалная точка;
npoints — число узлов на отрезке 向/2); при решении задачи на отрезке результат содержит npoints + 1 строку;
D — имя вектора-функции D(x^y)^ содержащей правые части 尸(н,У), Di(x,y) = fi(x,yr,...,yn)-
J — имя матрицы-функции J(£,y) размерности п х (п+1), в которой содержится матрица Якоби правых частей:
J(/y)=
/ a/i(r,y) дх
а『2(г,у) дх
2A (7用)
дуг ■
а『2(г,у)
2Л(г,у)、
■ дуп
а『2(г,у)
'дУп
а/п(г,и)
а/п(г,у)
а/п(г,у)
\ дх
дуп /
асе ―- параметр, контролирующий погрешность решения при автоматическом выборе шага интегрирования (если погрешность решения больше асе, то шаг сетки уменьшается; шаг уменьшается до тех пор, пока его значение не станет меньше save);
kmax — максимальное число узлов сетки, в которых может быть вычислено решение задачи на отрезке (максимальное число строк в результате);
save — наименьшее допустимое значение шага неравномерной сетки.
Результат работы функции — матрица, содержащая п + 1 столбец; ее первый столбец содержит координаты узлов сетки, второй столбец —вычисленные приближенные значения решения yi(x) в узлах сетки, (к+1)-й — значения решения 砍(£)・
При решении задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка результаты вычислений всех приведенных вьппе функций —матрица, в первом столбце которой содержатся координаты узлов сетки хо, xi,…，хп, а во втором — значения приближенного решения в соответствующих узлах.
Задача Коши для дифференциального уравнения порядка выше первого (п-го порядка) сводится к задаче Коши для эквивалентной нормальной системы дифференциальных уравнений n-го порядка.
Пусть 户)=/(х, у,у', ..., 户-D), у(го) = Уо, у'(го) = Уо,1, У(пт)(го) =У0,п-1.
Обозначив
У1(г)=У(г), У2(х)=у'(х),
Ук(х) =у('к~1\х), Уп(г) =у(пт)(с),
Уо = у(со), У0,1 = 2/7^0), •••,
Уо/ = У(*)(г),У0.П-1 =У(п-1)(1),
получим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений, решение которой в Mathcad описано выше:
工=统,уА = Уз,工=统,уА = Уз,‘勿(迎)=д0,0,
工=统,уА = Уз,
工=统,уА = Уз,
У2(д) = go,i,
Уп-1 =Ут
Уп(^0)— У0,п—1'Уп(^0)— У0,п—1'、風=/(①用1,g2,・，・,%1-1),
Уп(^0)— У0,п—1'
Уп(^0)— У0,п—1'
Решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Найдем на отрезке [0, я] приближенное решение уравнения J = sinxy^ удовлетворяющее начальным условиям у(0) = 1, и построим график найденного решения. Решим задачу численно, используя алгоритм Рунге ——Кутты с фиксированным шагом на сетке из 20 равноотстоящих узлов.
Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий вычисления и график, приведен ниже.
1
2
1
0
1
2
0.157
1.012
3
0.314
1.05
4
0.471
1.115
5
0.628
1.208
6
0.785
1.331
7
0.942
1.477
8
1.1
1.633
9
1.257
1.774
10
1.414
1.874
ORIGIN 二 1 汽：二 1 D(x,y) ：= sin(x yj
Y ：= rkfixed(y,0,^,20,D)
Указание. Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1, чтобы нумерация компонент вектора начиналась с единицы. При решении задачи Копш для уравнения первого порядка вектор решения имеет единственную компоненту у]. Вектор правых частей также содержит одну компоненту. Перед обращением к функции rk- fixed присвойте переменной у】 начальное значение, равное единице, а переменной D(x, у) —— выражение для правой части уравнения, равное sin(x • у】)・ В приведенном фрагменте результаты вычислений функции rkfixed(y,0)7r)20)D) присвоены матрице Y; она содержит в первом столбце координаты 20 узлов равномерной сетки на отрезке [0, тг], а во втором — приближенные значения решения в этих узлах (в приведенном документе представлена только часть таблицы). Для того чтобы вывести
в рабочий документ таблицу значений решения, нажмите на клавиатуре клавиши <Y><=>, и таблица значений будет выведена в рабочем документе справа от знака равенства. Щелкните по полю таблицы и просмотрите ее, используя стрелки прокрутки. Для того чтобы построить график решения, щелкните по кнопке [fe| в панели графиков [?^*| и введите в качестве переменной на оси абсцисс Y<^> (столбец координат узлов сетки), а на оси ординат — 丫<?> (столбец значений решения в узлах сетки). Чтобы ввести номер столбца, введите имя матрицы, щелкните по кнопке 口 I в панели |Т引 | и введите в помеченной позиции номер столбца.
Решение задачи Коши для дифференциальных уравнений высших порядков
Найдем на отрезке [0, 3] приближенное решение уравнения у11 — е-1^, удовлетворяющее начальным условиям у(0) = 1, /(0) = 1, и построим график найденного решения.
Сведем решение задачи для уравнения второго порядка к задаче для эквивалентной нормальной системы второго порядка. Обозначим У1(с)=贝с) и 沙2(с) = у'(с)・ Поскольку у"(х)=仅'(с))'=必(с), то получим
,加=y2,[91(0) = 1,
.必= ехр(-物)，(У2(0) = 1.
Решим задачу численно, используя алгоритм Рунге — Кутты с фиксированным шагом на сетке из 20 равноотстоящих узлов.
Фрагмент рабочего документа Mat head, содержащий вычисления и график, приведен ниже.
у"=ехр(-ху), у(0)=1, у'(0)=1
У2
ORIGIN 工 1 D(x,y)：=
[exp(-x-yj
fl〉fl〉123101120.11.1051.09530.21.2191.17940.31.341.25150.41.4691.31360.51.6021.36370.61.7411.40380.71.8831.43490.82.0271.457100.92.1741.4741112.3221.485121.12.4711.494123101120.11.1051.09530.21.2191.17940.31.341.25150.41.4691.31360.51.6021.36370.61.7411.40380.71.8831.43490.82.0271.457100.92.1741.4741112.3221.485121.12.4711.494у ：=Y ：= rkfixed(y,0J3,30J D)
fl〉
fl〉
1
2
3
1
0
1
1
2
0.1
1.105
1.095
3
0.2
1.219
1.179
4
0.3
1.34
1.251
5
0.4
1.469
1.313
6
0.5
1.602
1.363
7
0.6
1.741
1.403
8
0.7
1.883
1.434
9
0.8
2.027
1.457
10
0.9
2.174
1.474
11
1
2.322
1.485
12
1.1
2.471
1.494
1
2
3
1
0
1
1
2
0.1
1.105
1.095
3
0.2
1.219
1.179
4
0.3
1.34
1.251
5
0.4
1.469
1.313
6
0.5
1.602
1.363
7
0.6
1.741
1.403
8
0.7
1.883
1.434
9
0.8
2.027
1.457
10
0.9
2.174
1.474
11
1
2.322
1.485
12
1.1
2.471
1.494
Указание. Определите вектор у и вектор-функцию D(x, у) как матрицы размерности 2x1. Присвойте компонентам вектора у начальные значения, а компонентам вектора D(x, у) — выражения для правых частей уравнений системы. В остальном действуйте так же, как в примере 1.
Решение задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений
Найдем на отрезке [0, 3] приближенное решение задачи Коши
，加=f + sinc%, ＜内=一就，
.Уз =-УЗ-У1,
pi(0) = 1, (仅(0) = 0, [уз(0) = 1pi(0) = 1, (仅(0) = 0, [уз(0) = 1и построим графики для найденного решения. Решим задачу численно, используя алгоритм Рунге —- Кутты с фиксированным шагом на сетке из 30 равноотстоящих узлов.
pi(0) = 1, (仅(0) = 0, [уз(0) = 1
pi(0) = 1, (仅(0) = 0, [уз(0) = 1
При решении этой задачи все действия в Mathcad выполняются совершенно так же, как при решении задачи предыдущего примера. Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий вычисления и график, приведен ниже.
ORIGIN ：= 1
|-y2 + sin(X-y3)
У = о D(x,y) :=(у,2
1-Уз -
Y ：= rkfixed(y,0,3,30,D)
12341010120.10.9990.10.8130.20.9950.1990.63840.30.9840.2980.48350.40.9640.3930.34460.50.9320.4830.22170.60.8890.5660.11380.70.8330.640.02190.80.7640.704-0.057100.90.6830.757-0.1211110.5910.797-0.17121.10.490.827-0.205131.20.3820.846-0.22712341010120.10.9990.10.8130.20.9950.1990.63840.30.9840.2980.48350.40.9640.3930.34460.50.9320.4830.22170.60.8890.5660.11380.70.8330.640.02190.80.7640.704-0.057100.90.6830.757-0.1211110.5910.797-0.17121.10.490.827-0.205131.20.3820.846-0.227Указание. Для того чтобы построить графики найденного решения (графики функций yi(ж), j/2(x), уз(£)), введите в качестве переменной на оси абсцисс 丫＜1＞ (столбец координат узлов сетки), а на оси ординат введите, разделяя запятой, 丫＜2＞, 丫＜3＞ и 丫＜4＞ (столбцы, содержащие соответственно значения jn(£),呢(£)и уз(£)в узлах сетки).
1
2
3
4
1
0
1
0
1
2
0.1
0.999
0.1
0.81
3
0.2
0.995
0.199
0.638
4
0.3
0.984
0.298
0.483
5
0.4
0.964
0.393
0.344
6
0.5
0.932
0.483
0.221
7
0.6
0.889
0.566
0.113
8
0.7
0.833
0.64
0.021
9
0.8
0.764
0.704
-0.057
10
0.9
0.683
0.757
-0.121
11
1
0.591
0.797
-0.17
12
1.1
0.49
0.827
-0.205
13
1.2
0.382
0.846
-0.227
1
2
3
4
1
0
1
0
1
2
0.1
0.999
0.1
0.81
3
0.2
0.995
0.199
0.638
4
0.3
0.984
0.298
0.483
5
0.4
0.964
0.393
0.344
6
0.5
0.932
0.483
0.221
7
0.6
0.889
0.566
0.113
8
0.7
0.833
0.64
0.021
9
0.8
0.764
0.704
-0.057
10
0.9
0.683
0.757
-0.121
11
1
0.591
0.797
-0.17
12
1.1
0.49
0.827
-0.205
13
1.2
0.382
0.846
-0.227
Решение задачи Коши для жесткой системы
Найдем на отрезке [0, 2] приближенное решение задачи Коши
认=-llgi + 9g2, [ J/i(°) = 1,必=9yi - I* (№(0) = 0
и построим графики найденного решения.
Эта система относится к классу жестких систем. Решим задачу численно на сетке из 20 равноотстоящих узлов с помощью функции Stiffr, предназначенной для решения жестких систем и использующей алгоритм Рунге ——Кутты. Перед обращением к функции Stiffr необходимо, помимо начального вектора у и вектора правых частей 。(①力 определить матрицу J(£用)размерности 2x3:
J(gy)=J(gy)=/ a/i(c,y)dxa/2(z,u)\ dx/ a/i(c,y)dxa/2(z,u)\ dxa/i(c,y) dfi(x,y) \ a?ia?2 I _ /о -и9 \
J(gy)=
J(gy)=
/ a/i(c,y)dx
a/2(z,u)
\ dx
/ a/i(c,y)dx
a/2(z,u)
\ dx
а%®?) а『2(、у) I \° 9 丿
Все остальные действия в Mathcad выполняются совершенно так же, как при решении задач предыдущих примеров. Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий вычисления и график, представлен ниже.
ORIGIN ：= 1
1-11 У1 +9у2У ：=D(x,y)：=[О][9・у「“Y = Stiffr(y/0,2,20,DJ)1-11 У1 +9у2У ：=D(x,y)：=[О][9・у「“Y = Stiffr(y/0,2,20,DJ)0j(x,y) = 00j(x,y) = 0-119-1199-119-11123101020.10.4770.34230.20.3440.32640.30.2760.27350.40.2250.22560.50.1840.18470.60.1510.15180.70.1230.12390.80.1010.101123101020.10.4770.34230.20.3440.32640.30.2760.27350.40.2250.22560.50.1840.18470.60.1510.15180.70.1230.12390.80.1010.101
1-11 У1 +9у2
У ：=D(x,y)：=
[О][9・у「“
Y = Stiffr(y/0,2,20,DJ)
1-11 У1 +9у2
У ：=D(x,y)：=
[О][9・у「“
Y = Stiffr(y/0,2,20,DJ)
0
j(x,y) = 0
0
j(x,y) = 0
-11
9
-11
9
9
-11
9
-11
1
2
3
1
0
1
0
2
0.1
0.477
0.342
3
0.2
0.344
0.326
4
0.3
0.276
0.273
5
0.4
0.225
0.225
6
0.5
0.184
0.184
7
0.6
0.151
0.151
8
0.7
0.123
0.123
9
0.8
0.101
0.101
1
2
3
1
0
1
0
2
0.1
0.477
0.342
3
0.2
0.344
0.326
4
0.3
0.276
0.273
5
0.4
0.225
0.225
6
0.5
0.184
0.184
7
0.6
0.151
0.151
8
0.7
0.123
0.123
9
0.8
0.101
0.101
При исследовании автономных систем дифференциальных уравнений второго порядка полезную информацию можно получить, рассматривая интегральные и фазовые кривые системы.
Построение интегральных и фазовых кривых автономной системы
Построим фазовую и интегральную задачи из примера 4.
加=-Пу1+9у2,
У2 = 9У1 - Пуг,
кривые, отвечающие решениюкривые, отвечающие решению< У1(0) = к粗 2(0) =0.< У1(0) = к粗 2(0) =0.Ниже приведены изображения интегральной и фазовой кривых, решения задачи, найденного с помощью функции Stiffr.
кривые, отвечающие решению
кривые, отвечающие решению
< У1(0) = к粗 2(0) =0.
< У1(0) = к粗 2(0) =0.
У казание. Для того чтобы построить интегральную кривую, щелкните по свободному месту в рабочем документе, затем — по кнопке | 妇| в панели графиков и введите через запятую в помеченной позиции имена векторов- столбцов матрицы решения Y: Y<^>, Y<3>, Y<1>・ При таком порядке следования столбцов на графике отображаются точки с абсциссами (у), ординатами @2)* и аппликатами 工丁 Параметры настройки графика установите так, как показано на рис. 4.1. Чтобы изобразить фазовую кривую, щелкните по кнопке |&| в панели |?^| и укажите в качестве аргумента второй столбец Y<^>, а в качестве функции — Y<" При этом на оси абсцисс отображаются координаты (勿)储 на. оси ординат -— (j/2)储 Параметры графика установите так, как показано на рис. 4.2.
При исследовании автономных систем дифференциальных уравнений второго порядка полезную информацию о свойствах решений можно получить, построив векторное поле системы.
Запишем автономную систему второго порядка
y'i = Ь(У1,У2),
抬= /2®1,У2)・
30 Plot Formal
炉* %械 DuhfcLne.f-*^e [ fhw -Abw —
ЕЛззг 丁」2『W |L^i
1 D *" 31"加 33看
4 1 F ▲ |ГТ 1 ill'）） Is I
一「叫%越
Г .irfowHci庄М3整叮广域
「二TmHci Г ：：£afChart
Заг*гъ I0ч■戸 а | ~г\_дя~п= | Орае*/
Рис, 4.1. Окна настройки параметров изображенияинтегральных кривых
Fotmalting Cutienl^? Selected X-Y PlotFotmalting Cutienl^? Selected X-Y PlotKVi-м 11丛旧"也曦］口理d/为［KVi-м 11丛旧"也曦］口理d/为［КЗ rUgScsIs Г 口dLbes P hlMsc P Aj>m.Hc Г mZmme P AjmGtr Ni.rber<.f j'dc ГКЗ rUgScsIs Г 口dLbes P hlMsc P Aj>m.Hc Г mZmme P AjmGtr Ni.rber<.f j'dc ГГ L外 Safe Г GicUs P "Eereu P АЛ^лв Г 5шщ Patchs P “e，cГ L外 Safe Г GicUs P "Eereu P АЛ^лв Г 5шщ Patchs P “e，cXT 4dt Tf*es hm吸| 口也心IXT 4dt Tf*es hm吸| 口也心I，，"麗5酶! В0Й5 尸 Her®，，"麗5酶! В0Й5 尸 Her®Lwdsbsf 纟5 g 5 二 pe 虫小Lwdsbsf 纟5 g 5 二 pe 虫小"КеслтмМnagгиGare 5-игам-Иwaгч.ЬЯгкБют&с向Ira1」J"КеслтмМnagгиGare 5-игам-Иwaгч.ЬЯгкБют&с向Ira1」Jliene 1 ' [гиге £| [й1Й £j ]曰习 |кеГWIT3；liene 1 ' [гиге £| [й1Й £j ]曰习 |кеГWIT3；17 二del fytni17 二del fytniРис. 4.2. Окна настройки параметров изображения фазовых кривыхРис. 4.2. Окна настройки параметров изображения фазовых кривых
Fotmalting Cutienl^? Selected X-Y Plot
Fotmalting Cutienl^? Selected X-Y Plot
KVi-м 11丛旧"也曦］口理d/为［
KVi-м 11丛旧"也曦］口理d/为［
КЗ rUgScsIs Г 口dLbes P hlMsc P Aj>m.Hc Г mZmme P AjmGtr Ni.rber<.f j'dc Г
КЗ rUgScsIs Г 口dLbes P hlMsc P Aj>m.Hc Г mZmme P AjmGtr Ni.rber<.f j'dc Г
Г L外 Safe Г GicUs P "Eereu P АЛ^лв Г 5шщ Patchs P “e，c
Г L外 Safe Г GicUs P "Eereu P АЛ^лв Г 5шщ Patchs P “e，c
XT 4dt Tf*es hm吸| 口也心I
XT 4dt Tf*es hm吸| 口也心I
，，"麗5酶
! В0Й5 尸 Her®
，，"麗5酶
! В0Й5 尸 Her®
Lwdsbsf 纟5 g 5 二 pe 虫小
Lwdsbsf 纟5 g 5 二 pe 虫小
"КеслтмМnagги
Gare 5-игам-Иwaгч.
ЬЯгкБют&с向Ira1」J
"КеслтмМnagги
Gare 5-игам-Иwaгч.
ЬЯгкБют&с向Ira1」J
liene 1 ' [гиге £| [й1Й £j ]曰习 |кеГWIT3；
liene 1 ' [гиге £| [й1Й £j ]曰习 |кеГWIT3；
17 二del fytni
17 二del fytni
Рис. 4.2. Окна настройки параметров изображения фазовых кривых
Рис. 4.2. Окна настройки параметров изображения фазовых кривых
Эта система полностью определяется заданием векторного поля 尸他）=（/1®1 用2）, /2（У1,У2））, поскольку векторное поле 尸（у） задает в каждой точке касательную и направление движения вдоль фазовой кривой системы, проходящей через эту точку.
Построение векторного поля автономной системы
Построим векторное поле системы
•（ У1 = -11У1 + 9у2,
У2 = 9yi 一 11У2-
Фрагмент рабочего документа Mathcad с построением векторного поля системы приведен ниже.
т2(х,у) = 9 х - 1Гу1) у. ：= 0.002 (j - 1)т2(х,у) = 9 х - 1Гу1) у. ：= 0.002 (j - 1)"广巫卜小）"广巫卜小）
т2(х,у) = 9 х - 1Гу
1) у. ：= 0.002 (j - 1)
т2(х,у) = 9 х - 1Гу
1) у. ：= 0.002 (j - 1)
"广巫卜小）
"广巫卜小）
ORIGIN 二 1f1(x,y) ：= -И х + 9 у
i 120 j ：= 120 х. ：= 0.05-(
Xj=f1(x~j)
Указание. Введите выражения для вычисления правых частей. Определите диапазоны изменения индексов узлов сетки. Установите, как показано в документе, матрицы координат векторов векторного поля. Для того чтобы построить векторное поле, щелкните в панели графиков |身| по кнопке векторного поля ш и введите в помеченной позиции через запятую сначала имя матрицы, содержащей первые координаты векторов, а затем ——имя матрицы со вторыми координатами и щелкните по рабочему документу вне поля графиков. Щелкнув дважды по полю графиков, установите параметры изображения, как на рис. 4.3.
3D Pio* Гогнзг3D Pio* ГогнзгГ Slid LinasF? Ru巾niidI* лчп 1«lГ Slid LinasF? Ru巾niidI* лчп 1«l'nt：f" 5k；'nt：f" 5k；BMn他BMn他H“VdH“VdРис. 4.3. Окно настройки параметров изображения векторного поляРис. 4.3. Окно настройки параметров изображения векторного поля
3D Pio* Гогнзг
3D Pio* Гогнзг
Г Slid Linas
F? Ru巾niid
I* лчп 1«l
Г Slid Linas
F? Ru巾niid
I* лчп 1«l
'nt：f" 5k；
'nt：f" 5k；
BMn他
BMn他
H“Vd
H“Vd
Рис. 4.3. Окно настройки параметров изображения векторного поля
Рис. 4.3. Окно настройки параметров изображения векторного поля
4.2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение
F(gy,，) =0,
где F — известная функция трех переменных, определенная в области G С R3; £ — независимая переменная из интервала (а, Ь), у = y(z)— неизвестная функция; у' = у'(£)— ее производная.
Функция у = у(с) называется решением дифференциального урае- нения^ если она при всех £ е (а, Ь) удовлетворяет уравнению
F(x,y(x\y'(x)) =0.
График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения. В дальнейшем будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной, т.е. уравнения в нормальной форме:
у' = f^,yY
Если дифференциальное уравнение первого порядка у' = /(£,у), (ж, у) W G, имеет в области G решение, то, вообще говоря, таких решений бесконечно много, они могут быть заданы в виде у = у{х^С\ где С — произвольная константа, такая, что (д;, у(х,С)) G G, и ，(£,С)三/(£,у(д。)) при произвольных значениях С. Однако, если поставить задачу —— найти решение, удовлетворяющее начальному условию у(£о) = уо5 то при определенных условиях такая задача имеет единственное решение. Задача об отыскании решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Кош^.
Рассмотрим задачу Коши，= /(£,у), у(£о) = уо- Если функция /(х,у) и ее частная производная ?'^“)непрерывны в области G, (хо, уо) G G, то на некотором интервале (g —h；c()+ h) существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию.
Для дифференциального уравнения у' = /(£,у) теорема существования и единственности имеет простую геометрическую интерпретацию —при непрерывных в области G С R2 правой части /(с,у) и ее
* Начальные условия для обыкновенных дифференциальных уравнений называют условиями Коши.
частной производной -^^^частной производной -^^^через каждую точку（£о,уо） Е G проходит
частной производной -^^^
частной производной -^^^
только одна интегральная кривая у = у（£,Со） семейства у 三 у（х^С）^ та
кая, что у（£о, Со） = Уо・ На рис. 4.4 изображено несколько интегральных кривых уравнения у = у ~у .
Рис. 4.4. Семейство интегральных кривых уравнения первого порядкаРис. 4.4. Семейство интегральных кривых уравнения первого порядка> ^ > > > 2 3 4 5 6 < < < < < Y Y Y Y Y /ПК г(\ /ПК /fx> ^ > > > 2 3 4 5 6 < < < < < Y Y Y Y Y /ПК г(\ /ПК /fx
Рис. 4.4. Семейство интегральных кривых уравнения первого порядка
Рис. 4.4. Семейство интегральных кривых уравнения первого порядка
> ^ > > > 2 3 4 5 6 < < < < < Y Y Y Y Y /ПК г(\ /ПК /fx
> ^ > > > 2 3 4 5 6 < < < < < Y Y Y Y Y /ПК г(\ /ПК /fx
Уравнение с разделяющимися переменными
Для уравнения с разделяющимися переменными, имеющего вид
выражение
задает решение у = у（х） задачи Коши с начальным условием у（£о） = уо как функцию переменной х, неявно.
*Это уравнение называют уравнением логистической модели^ которая применяется для анализа роста народонаселения, популяций и других самораэвивающихся систем.
ЗАДАНИЕ 4.1
Найдите решение уравнения с разделяющимися переменными 式= = Х(±)У(у), удовлетворяющее начальному условию у(土о) = уо・ Изобразите график решения.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов символьных вычислений по горизонтали.
Разделите аналитически (на бумаге) переменные в заданном уравнении, эалисав его правую часть в виде /(ж,у)= = Х(с)У(у).
Определите подынтегральные функции Х(土)и —^-. у (у)
Вычислите символьно интегралы с переменными верхними пределами.
Запишите уравнение, задгиощее неявно у(土)как функцию ж, и решите его символьно относительно переменной у.
Определите решение как функцию переменной х.
Постройте график найденного решения.
Пример выполнения задания
Решите следующую задачу Коши: у' = —г, у(0) = 1. Изобразите график решения.
Разделив переменные, получим
Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями и графиком приведен ниже.
Y⑺=УY⑺=Уv/ 、 ехр(х)
Y⑺=У
Y⑺=У
Х(х)：=L
1 + exp(x)
Y(t)*f gy2-；Y(t)*f gy2-；•x
Y(t)*f gy2-；
Y(t)*f gy2-；
X(t) dt -> ln(1 + exp(x)) - ln(2) Jo
ln(1 + ехр(х)) - ln(2) - (-•/ - _
-J2 1rl (1 + ехр(х)) - 2ln(2) + 1 J2 1rl (1 + ехр (х)) - 5 In (2)+1
у(х)：=丿2仙(1 + ехр(х)) - 21rl(2) + 1
Указание. Для того чтобы вычислить символьно интегралы с переменными верхними пределами, щелкните по кнопке瓦в панели В введите в помеченных
позициях пределы интегрирования, подынтегральную функцию и переменную интегрирования, выделите интеграл рамкой, щелкните по кнопке | ・ 一 | в панели | 询 | и затем в рабочем документе вне выделяющей рамки. Чтобы найти явное выражение для решения, запишите в рабочем документе разность вычисленных при интегрировании функций, выделите рамкой переменную у и щелкните по строке Solve в пункте Variable меню Symbolics (рис. 4.5).
Нс 5 **№ ；П>91 1KZ Wn ^Q^Q Wr*% icbНс 5 **№ ；П>91 1KZ Wn ^Q^Q Wr*% icbl^lol еД|^|У| jtl^lell^lol еД|^|У| jtl^lelM聲回闵I闺叫喇喇IM聲回闵I闺叫喇喇IEx gnd'喻!^而視 Cqeliicifinl#Ex gnd'喻!^而視 Cqeliicifinl#1м( 1 + елр(>1м( 1 + елр(>■ 1л 2i■ 1л 2iVdnoblVdnobl产产Fy^L^vJ'if lyeFy^L^vJ'if lyeРис. 4.5. Символьное решение уравненияРис. 4.5. Символьное решение уравненияВ приведенном примере уравнение имеет два решения, второе из них, поскольку именно для него у(0) = 1〉0. чтобы построить график найденного решения, щелкнитеВ приведенном примере уравнение имеет два решения, второе из них, поскольку именно для него у(0) = 1〉0. чтобы построить график найденного решения, щелкнитеВыбираем Для того по кнопкеВыбираем Для того по кнопке[^] в панели [^| и введите в помеченных позициях аргумент х и имя функции переменной х.[^] в панели [^| и введите в помеченных позициях аргумент х и имя функции переменной х.
Нс 5 **№ ；П>91 1KZ Wn ^Q^Q Wr*% icb
Нс 5 **№ ；П>91 1KZ Wn ^Q^Q Wr*% icb
l^lol еД|^|У| jtl^lel
l^lol еД|^|У| jtl^lel
M聲回闵I闺叫喇喇I
M聲回闵I闺叫喇喇I
Ex gnd
'喻!^而視 Cqeliicifinl#
Ex gnd
'喻!^而視 Cqeliicifinl#
1м( 1 + елр(>
1м( 1 + елр(>
■ 1л 2i
■ 1л 2i
Vdnobl
Vdnobl
产
产
Fy^L^vJ'if lye
Fy^L^vJ'if lye
Рис. 4.5. Символьное решение уравнения
Рис. 4.5. Символьное решение уравнения
В приведенном примере уравнение имеет два решения, второе из них, поскольку именно для него у(0) = 1〉0. чтобы построить график найденного решения, щелкните
В приведенном примере уравнение имеет два решения, второе из них, поскольку именно для него у(0) = 1〉0. чтобы построить график найденного решения, щелкните
Выбираем Для того по кнопке
Выбираем Для того по кнопке
[^] в панели [^| и введите в помеченных позициях аргумент х и имя функции переменной х.
[^] в панели [^| и введите в помеченных позициях аргумент х и имя функции переменной х.
Численное решение задачи Коши методом Рунге — Кутты
Аналитическое выражение для решений дифференциальных уравнений, за исключением линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, удается получить достаточно редко. В Mathcad нет средств символьного решения уравнений, но достаточно хорошо представлены методы численного решения задачи Коши.
Численное решение задачи Коши состоит в построении таблицы приближенных значений yi, т/2).…,y^ решения y(z) в узлах сетки 6, £2,£n, У(3)* Уг- Если 僚 =£()+ kh, k = 1, 2,…，N, то сетка
называется равномерной (h — шаг метода).
Численный метод решения задачи Коши называется одношаговым^ если для вычисления решения в точке х^ + h используется информация о решении только в точке
Для оценки погрешности метода на одном шаге сетки точное решение раскладывают по формуле Тейлора в окрестности узла д:
y(g+i) = у(д + /г) = y(Xi) + у'(з)/г +
+ ^y'(工0卢 + …+ 0{hp) = yi + f{xi,yi)h + …+ 0{hp).
Если расчетные формулы численного метода согласуются с разложением по формуле Тейлора до членов порядка 忆 то число р называется порядком метода.
Методом Рунге — Кутты обычно называют одношаговый метод четвертого порядка, относящийся к широкому классу методов Рунге — Кутты. В этом методе величины 仇+i вычисляются по следующим формулам:
自=/(吃加，用2 = /(3 +*後+莊1),
кз = f(xi + ^,yi + ^k2), k4 = f(xi + h,yi + hk3),
%+i =耳("i + 2 k2 + 2А：з + 府4).
Погрешность метода на одном шаге сетки равна Mh4. Практически оценить величину М достаточно сложно. При оценке погрешности обычно используют правило Рунге. Для этого сначала проводят вычисления с шагом h, а затем — с шагом g. Если у^ — приближение, ,(加/2)h
вычисленное с шагом /г, а у)''——с шагом -, то справедлива оценка
威/2)一(物心^威/2).或1.
За оценку погрешности решения, вычисленного с шагом * принимают величину
1n宮威例一碟1i 15
В Mathcad для решения задачи Коши на отрезке [xq, g^d] методом Рунге — Кутты с постоянным шагом h =—竺云 предназначена функция rkfixed(y,X0,Xend，N,D).
Результаты вычислений функции rkfixed ——матрица, в первом столбце которой содержатся координаты узлов равномерной сетки хо, 步1〉…，^^ = ^end, ，во втором ——значения приближенного решения в соответствующих узлах. Перед обращением к функции rkfixed необходимо присвоить переменной у значение уо, переменной хд —— начальное значение аргумента, переменной xenj ——значение конечной точки отрезка интегрирования, переменной N — количество узлов равномерной сетки. Переменной D(x, у) присваивается выражение для вычисления правой части /(х,у).
ЗАДАНИЕ 4.2
Решите на отрезке [®),生nd] задачу Коши у7 = /(ж,у), у(жо) = уо методом Рунге ——Кутты с постоянным шагом. Изобразите графики решений, вычисленных с шагом /г, 2h и ^.
Порядок выполнения задания
1.2.3.4.5.9.10.11.12.1.2.3.4.5.9.10.11.12.Установите автоматический режим вычислений.
1.
2.
3.
4.
5.
9.
10.
11.
12.
1.
2.
3.
4.
5.
9.
10.
11.
12.
Присвойте переменной ORIGIN значение, равное единице.
Присвойте начальное значение решения переменной у「 Определите правую часть уравнения f(x,y).
Вычислите решение, используя функцию rkfixed с параметром
N, вычисленным по формуле N =[圧加j W].
Сохраните решение в матрице Y1.
Вычислите решение, используя функцию rkfixed с параметром
N, вычисленным по формуле N = 2 [圧沙，■竺」].
Сохраните решение в матрице Y2.
Вычислите решение, используя функцию rkfixed с параметром
N, вычисленным по формуле N =『⑺；；工°1].
Сохраните решение в матрице Y3.
Постройте на одном графике все три найденные решения.
Оцените погрешности найденных решений по формуле Рунге.
Пример выполнения задания Решите задачу Коши у# = a;2y3sin3(a; + у), у(0) = 1 на отрезке [0, 3] методом Рунге — Кутты с постоянным шагом. Изобразите графики решений, вычисленных с шагом 0.3, 0.6, 0.15. Фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислениями и графиками приведен ниже.
ORIGIN ：= 1 у* = 1
f(x,y) ：= x2 (y『(sin(x + yi))3
Y1 = rktixed(y,U,3,1U,t) YZ = "ixed(y,U,3,ZU,t；
Y3 .- rkflxed(y/0,3/5J)
Y1«>，丫2<1>，丫3<1>
i ：= 1.. 10 k ：= 1.. 5
Erl. ：=|(У1<2>))- (Y2<2>)2..| er1 ：= 丁号屮.erl = 8.852-10~3
Er2k :=| (Y3<2>)k- (Y1<2>)2 k I er2 ：= ^1^2 ег2 = 0.032
Указание. Присвойте значение решения в начальной точке первой и единственной координате вектора решения у「Определите функцию f(x,y), вычисляющую значения правой части уравнения. Присвойте матрице с именем Y1 решение, вычисленное функцией rkfixed(y,0.3,10,f). Присвойте матрицам Y2 и УЗ решения, вычисленные на сетках из 20 и 5 узлов соответственно. Для того чтобы изобразить на одном графике все три решения, введите в окне графиков в позиции аргумента, разделяя запятой, имена первых столбцов матриц решений 丫1<1>, 丫2<1>, 丫3<1>, а в позиции функции, также разделяя запятой, введите имена вторых столбцов 丫1<2>, 丫2<2>, 丫3<2>・ Приведенные в документе оценки погрешностей решений erl, ег2 означают, что погрешности решений, вычисленных с шагом 0.15 и 0.3,—— соответственно величины порядка 0.01 и 0.05.
4.3
УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида F(M,y,y‘,у",…,卢))=0, где F — известная функция тг + 2 переменных, определенная в области D С Rn+2; х — независимая переменная из интервала (а, Ь); у ——неизвестная функция; п ——порядок уравнения.
Функция у = у(х) называется решением дифференциального уравнения, если она удовлетворяет уравнению
F(x,y(x),y'(x),y"(x),...,y^n\x)) =0.
График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения.
В дальнейшем будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной, т.е. уравнения в нормальной форме:
Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений. Однако задача об отыскании решения, удовлетворяющего начальному условию
贝窃)=до, "(窃)=g0,1, d"T)(窃)= д0,n-ь
при определенных ограничениях на правую часть уравнения имеет единственное решение. Справедлива следующая теорема.
Если функция 〃м,у), у = (1/1, J/2,…，J/п))и ее частные производные "У", г = 1, 2,..., п, непрерывны в области D С 区几+\ (х, у)= =(n, yi, J/2, • • • ? Уп) W D то на некотором интервале (%()— Л, хо + 无)существует единственное решение уравнения 卢)=〃z,y,J/l卢一“), удовлетворяющее начальным условиям у(хо) = уо, у^^о) = Уо,1, У(п-1)(ХО)=уо,п-1；(X, Уо) =(7, Уо, У0,1, •••, уо,п-1) с D.
На рис. 4.6 приведены графики решений дифференциального уравнения второго порядка
yw =： —o\k\y — с^2у, k = 0.1, (j2 = 0.25,
316 Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения описывающего изменение объема производства в некоторой замкнутой экономической системе.
у(Р)-1О увр)-0.1у(Р)-1О увр)-0.1Рис. 4.6. Графики решений уравнения второго порядка с различными начальными условиямиРис. 4.6. Графики решений уравнения второго порядка с различными начальными условиями
у(Р)-1О увр)-0.1
у(Р)-1О увр)-0.1
Рис. 4.6. Графики решений уравнения второго порядка с различными начальными условиями
Рис. 4.6. Графики решений уравнения второго порядка с различными начальными условиями
Задана Коши для дифференциального уравнения n-го порядка
产=f(工用,У,…,*-D),沙(3))=沙0, у'^о) =Уо,1, /т)(0)) = Уо,п-1
может быть сведена к задаче Коши для системы п дифференциальных уравнений 1-го порядка, которая в векторной форме имеет вид
Y^F^Y), У(со) = К,
где
У‘ = (认(以弘(以弘(£)),
F(£, У) = (р2, Уз, • • , Уп〉/(£, У1,Уп) ) •
Численное решение задачи Коши для этой системы состоит в построении таблицы приближенных значений у*，勿,2•…，亚,n координат 以£)вектора решения у(е)в точках £ь £2,…，£m
Чтобы получить расчетные формулы метода Рунге — Кутты для систем дифференциальных уравнений, достаточно в расчетных формулах для уравнений первого порядка заменить у, /(£,у), к], к?, %з, ^4 на匕F血y)，也，也，也，№.
Параметры функции rkfixed(y,xo/end，N,D), вычисляющей решение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений n-го порядка на отрезке [хо, хеп(/] с постоянным шагом h = ~"先？ имеют следующую структуру:
вектор-столбец у содержит начальное значение решения в точке х()；
xq, Xend — границы отрезка интегрирования системы;
N — число узлов сетки;
вектор-столбец D содержит выражения для правых частей уравнений системы.
Результаты вычислений функции rkfixed(y,x(),Xend，N,D) — матрица размерности (^+l) х (п+1). Первый столбец матрицы D содержит координаты узлов равномерной сетки, а остальные п столбцов —— значения искомых решений % в узлах сетки*, т.е. £)<叶1> =% или, что то же самое, 土)= О”，°川+1 = ^i(xj)-
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий решение задачи Коши у" — 2|川，—о?2у, к ~ 0.1, J = 0.25, у(0) = 1, /(О) = 0.1. В документе приведены необходимые комментарии.
d
У[=у у2-_у dx
—у 1 п У 2 —У 2 " 0-2 У 2 _ °・25 У 1
dxdx
ORIGIN ：= 1 нумерация координат вектора начинается с единицы
N ：= 3000число узлов сетки равно 3000
p,y):=p,y):=начальные условияначальные условия02y2 - 0-25 у102y2 - 0-25 у1вектор правых частейвектор правых частейY ：=「кПхшЦу,必莉，N/)Y ：=「кПхшЦу,必莉，N/)матрица Y содержит значения решения уравнения и его производной в узлах сетки
p,y):=
p,y):=
начальные условия
начальные условия
02y2 - 0-25 у1
02y2 - 0-25 у1
вектор правых частей
вектор правых частей
Y ：=「кПхшЦу,必莉，N/)
Y ：=「кПхшЦу,必莉，N/)
> > > 12 3 / / /> > > 12 3 / / /содержит координаты узлов
> > > 12 3 / / /
> > > 12 3 / / /
содержит значения решения в узлах
содержит значения производной решения в узлах
1
2
3
1
0
0.1
0.2
2
0.01
0.102
0.2
3
0.02
0.104
0.2
4
0.03
0.106
0.2
5
0.04
0.108
0.201
6
0.05
0.11
0.201
ЗАДАНИЕ 4.3
Решите задачу Коши у{ = h^^^^ 弘=h8乂кП*, %(&) = %,(), У2(а) = У2,о на отрезке [а, 6] методом Рунге — Кутты с постоянным шагом h = 0.1. Изобразите графики решений, вычисленных с шагами h, 2h,
''2
Порядок выполнения задания 1. Установите режим автоматических вычислений,
Присвойте переменной ORIGIN значение, равное единице.
Присвойте начальное значение решения вектору-столбцу с именем у.
Определите правую часть уравнения, присвойте соответствующие выражения элементам вектора-столбца с именем f(x,y).
Найдите величину N = 产£”& ~窃1
Вычислите решение, используя функцию rkfixed(y,a,b,N,f) с параметром N, найденным в предыдущем пункте.
Сохраните решение в матрице YL
8.
9.
10.
11.
12.
Вычислите решение, используя функцию rkfixed(y,a,b,N,f) с параметром N, найденным по формуле N = 2 [Еп/*о| Сохраните решение в матрице Y2.
Вычислите решение, используя функцию rkfixed(y,a,b,N,f)
параметром N, найденным по
Сохраните решение в матрице Y3.
формуле N = PWy? •
Постройте на одном графике все три найденные решения.
с
13. Оцените погрешности найденных решений по формуле Рунге.
Пример
выполнения задания
Решите на отрезке [0, 3] методом Рунге — Кутты с постоянным шагом задачу Коши
Гг/1 =У2, [гл(О) = О,\у'2 = е~ху\ [夕2(0) = 0・
Оцените погрешности решений, вычисленных с шагами 0.1, 0.05, и изобразите графики приближенных решений. Фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислениями и графиками приведен ниже.
ORIGIN ：= 1 N ：= 30
0
Пх，У）：=
Y1 ：= rkfixed(y,0,3J N,f)
Y1
<1>
1
2
3
1
0
0
0
2
0.1
5И03
0.1
3
0.2
0.02
0.2
4
0.3
0.045
0.299
5
0.4
0.08
0.397
6
0.5
0.124
0.492
7
0.6
0.178
0.584
Y2 ：=「kfixed(y,(],3,2 N,f)
1
2| 3
1
0
0
0
2
0.05
1.25-10^
0.05
3
0.1
5-10J
0.1
4
0.15
0.011
0.15
5
0.2
0.02
0.2
6
0.25
0.031
0.25
Y3 =
1
2
3
1
0
0
0
2
0.2
0.02
0.2
3
0.4
0.08
0.397
4
0.6
0.178
0.584
5
0.8
0.312
0.753
6
1
0.477
0.893
7
1.2
0.667
1
i ：= 1 . 30
Ег1. ：= I (Y1<2> ). - (Y2<2> )2 j I er1 ：= ?丁1)ed = 3 8g8.1(j-3
Er2. ：= I (Y3<2> ). - (Y1<2> )_ . I er2 二 max(Er2) er2 = 7.797ToT
Укаэание. Переменной N присвойте значение, равное ^ 】” =巨=30, а компонентам вектора у — значение решения в начальной точке. Определите и введите вектор-столбец правых частей f(x,y). Решение, вычисленное функцией rkfixed(y,0,3,N,f), присвойте матрице с именем Y1. В матрицах Y2 и Y3 сохраните решения, вычисленные для N = 60 и N = 15. Для того чтобы изобразить на одном графике приближенные решения yi и ⑦，введите в позиции аргумента графика имя 1-го столбца матрицы решений Y1<L>> а в позиции функции — имена 2-го и 3-го столбцов Yl<2>, Yl<3>. Аналогично постройте графики приближенных решений, вычисленные для N = 60 и N = 15. Приведенные в документе величины erl и ег2 означают, что погрешности решений, вычисленных с шагами 0.05 и 0.1,——величины порядка 0.005 и 0.01.
4.4
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Принцип суперпозиции
Линейным дифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение вида
У^ + ai(c)yST)+ …+ ап^у = /3),
где у = у(£)— неизвестная функция; ai(x), 從(£), …，an(x), /(x) — известные функции, которые будем полагать непрерывными на промежутке (а, Ь).
Выражение в левой части уравнения называется линейным дифференциальным оператором n-го пор^^ха:
Ь(у)=夕⑺ + ai(i)y(n-1) + ...+ ап(х)у.
Уравнения
*)+ ai(x)y(n-1) + ... + ап{х)у = О
И
у^ + ai(x)y(n-1) + ... + an(c)y = /3), /3)壬 о,
называются соответственно однородным и неоднородным линейным дифференциальным уравнением n-го порядка. Будем залисывать однородное и неоднородное линейные дифференциальные уравнения в виде Е(у) =0 и L(y) = /(с).
Принцип суперпозиции основан на следующих свойствах решений линейных уравнений:
Если yi(x) и 沙2(土) —— два решения однородного линейного уравнения L(y) = 0, то их линейная комбинация у(х) = ciyi(x) + с2g2(土)при любых постоянных ci, С2 является решением однородного уравнения.
Если yi(x) и 沙2(£)— два решения неоднородного линейного уравнения Е(у) = /(х), то их разность у(х) = yi(х) — У2(±) является решением однородного уравнения Е(у) = 0.
Любое решение неоднородного линейного уравнения Е(у) = /(х) есть сумма частного (фиксированного) решения неоднородного уравнения и некоторого решения однородного уравнения.
Если yi(x) и 沙2(土)——решения неоднородных линейных уравнений Е(У)= /13) и Е(У)=『2(土)，то их сумма у(х) = yi(x) +呢(土) является решением уравнения Е(у) = /Цх) +『2(£)・
Например, функции yi(х) — 1пх и уг(^) = ^ — два решения линейного уравнения:
„1,1с
у +Н(17Пну-闽匸1/产=。，
а функция уз(х) = 1 二丁吟—решение неоднородного уравнения:
〃1 г1_ 1 — 1пх
“ +/(1—In/)"х2(1 — 1пх)^ X3 '
Подстановкой в уравнения легко проверить, что функция у(х)= =ciyi(x) + С2?/2(^) является решением однородного уравнения при любых с^ С2, а функция у(х) = ciyi(x) 4-С2У2(^) +Уз(/) — решением приведенного выше неоднородного уравнения.
Ниже представлен фрагмент рабочего документа Mathcad, в котором выполнены соответствующие подстановки.
ORIGIN ：= 1
у1(х) ：= 1п(х)
У1(х)Х2(1-|П(Х))У1(х)Х2(1-|П(Х))ООj у1(х) + F ：-『'、、仁УМ*力 d х2[х (1 - ln(x)) \dx/
У1(х)
Х2(1-|П(Х))
У1(х)
Х2(1-|П(Х))
О
О
у2(х) ：= х
d*2[х (1 - ln(x)) \dx/
у(х,d,й)二 d у1(х) +(2-у2(х)
y(x,d,c2) +y(x,d,c2) +х (1-ln(x))х (1-ln(x))у(х,с1,с2)х2(1-1п(х))у(х,с1,с2)х2(1-1п(х))
y(x,d,c2) +
y(x,d,c2) +
х (1-ln(x))
х (1-ln(x))
у(х,с1,с2)
х2(1-1п(х))
у(х,с1,с2)
х2(1-1п(х))
У3(х)_x2 (1 - ln(x)) f -(-1 + ln(x))У3(х)_x2 (1 - ln(x)) f -(-1 + ln(x))
У3(х)_
x2 (1 - ln(x)) f -(-1 + ln(x))
У3(х)_
x2 (1 - ln(x)) f -(-1 + ln(x))
、1 - 2 1п(х)
У3(х) ：=—-_」 4 х
—уЗ(х) +|!色 уЗ(х))
dx2 [x(1-ln(x)) \dxJ ' 1
у4(х с1с2) = у(х, с1, с2) + уЗ(х)
"_414 _Л ]у4(х,с1,с2)
——y4ix,c1,c2; + …...丁...；——〈〈 —у4(х,с1,с2)-—-
dx?x (1-ln(x)) \dx/]x2(1-ln(x))
」-1 + ln(x))
X3
Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Общее решение
Для уравнения
У^ + %夕("7 + ... + (с)夕=О,
где oi, ..., ап — произвольные постоянные коэффициенты, справедливы следующие утверждения.
Существуют п линейно независимых решений gi(£),沙2(土)，• • •, Уп(е) уравнения, а любые n + 1 решений линейно зависимы.
При любых значениях констант ci,也 …，仇 функция у(х)= cigi(e) + с2g2(企)+ • •・ + СпУп(£)является решением уравнения.
Для любых начальных значений zo, go, уо,ь Уо,п-1 существуют такие значения 吟 唸 …，с*, что решение у*(е)=啦1(£)+ + 啦2(企)+ …+ c*yn(z) удовлетворяет начальным условиям у*(хо) = до, е*(д))'=夕0,1,仅*(со))тт =ио,п-1・
Выражение у(е) = qgi(£)+ с2g2(企)+ …+ СпУп(^) называется общим решением линейного однородного уравнения.
Для построения системы п линейно независимых решений gi(e), 沙2(企))…Уп(е), называемой фундаментальной системой решений^ существует простой алгоритм, основанный на том, что если решение уравнения имеет вид у(е) = е'*, то число Л является корнем характеристического уравнения Лп + aiXn~i + … + an-i》+ an = 0. Левая часть характеристического уравнения называется характеристическим многочленом линейного дифференциального уравнения. Таким образом, задача о решении линейного однородного уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами сводится к решению алгебраического уравнения.
Если характеристическое уравнение имеет п различных действительных корней Л1, Л?, ..., Лп, то фундаментальная система решений уравнения имеет вид:
u1(2)=e入Н，夕2(e)=e'2工,y虱⑴=^"土
Если какой-либо из действительных корней характеристического уравнения повторяется г раз, те имеет кратность г, то ему отвечают г функций в фундаментальной системе решений. Например, если Ад： = Afc+i = ... = Afc+r«i == А, то в фундаментальную систему решений уравнения входят г функций, отвечающих этому r-кратному корню: yk(x) = eXx, yk+i(r) хеХх,故+2(с) =/ен,…，yk+r_1(i') = хт-хеХх.
Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни, то каждой паре простых* комплексных корней А^^+1 = а±£/3 в фундаментальной системе решений отвечает пара функций: ?/氏(£)= eQX cos/3x, 寐+1(7)= eaxsin/3x.
Если же комплексная пара корней имеет кратность г, А^^+i =.・•= =工2氏+2r-2,2k+2r-i = a±£/3> то в фундаментальную систему входят 2r функций, отвечающих этой r-кратной паре комплексных корней:
eax cos /Зх, еах sin /Зх, £产 cos 伙г, не。* sin 伙г, «即 cos /Зх, 川野 sin/Зд;,
xr-ieaz cos^x^ xr~leaxsm/3x.
ЗАДАНИЕ 4.4
Найдите общее решение линейного однородного уравнения второго порядка. Решите задачу Коши с начальными условиями у(а) = уо, 『(а) = yi- Проверьте правильность решения. Изобразите его график.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений.
Присвойте переменной ORIGIN значение, равное единице.
Запишите характеристический многочлен уравнения и найдите его корни.
Определите функции фундаментальной системы решений как функции аргумента х.
Запишите общее решение уравнения как функцию переменных х, cl, с2.
Найдите производные первого и второго порядка общего решения.
Запишите и решите систему уравнений для определения констант cl, с2.
Определите решение задачи Коши как функцию переменной х.
Проверьте решение подстановкой в уравнение.
Проверьте выполнение начальных условий.
Постройте график решения.
Решите задачу Коши методом Рунге — Кутты и постройте график приближенного решения.
Сравните полученные графики.
Пример выполнения задания
Найдите общее решение однородного уравнения у11 + 2『+ Зу = 0. Решите задачу Коши с начальными условиями у(0) = 1, у'(0) = 1. Проверьте правильность решения. Изобразите его график. Фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислениями и графиками приведен ниже. Для сравнения приведено решение задачи с помощью функции rkfixed и его график.
Р(А) ：= А2 + 2 А +3Р(А) ：= А2 + 2 А +3Р(А)=Р(А)=у1(х) ：= exp(*x)-cosу1(х) ：= exp(*x)-cos（石一х）（石一х）у2(х) ；= exp(-x) sinу2(х) ；= exp(-x) sin(邑)(邑)
Р(А) ：= А2 + 2 А +3
Р(А) ：= А2 + 2 А +3
Р(А)=
Р(А)=
у1(х) ：= exp(*x)-cos
у1(х) ：= exp(*x)-cos
（石一х）
（石一х）
у2(х) ；= exp(-x) sin
у2(х) ；= exp(-x) sin
(邑)
(邑)
у(х.с1,с2) ：= d у1 (х) + с2-у2(х)
у(х,с1,с2) ：= d-(exp(-x)-cos(j2-x)) + c2-(exp(-x)-sin(/j2-x)}
dy1(x,d,c2) = —y(x,c1.c2)dy2(x,d,c2) ：= y(x,d,c2)
dy2(х,с1,с2) + 2-йу1(х,с1,с2) + 3-у(х,с1,с2) -► 0
dy1(x,c1,c2) -► -c1-exp(-x)-cos(^-x) - d-exp(-x)-sin(^2-x)-^2 -
-c2-exp(-x)-sin(^-x) + c2-exp(-x)-cos(j2-x)-j2
dy1(x,c1,c2) ：= -d-exp(-x)-cos(j2-x) - d-exp(-x)-sin(/^2-x)-^ -
-c2-exp(-x)-sin(/j2-x) + c2・exp(-x)・cos(石・x) •石
y(0,d,c2) f dy(0,d,c2) f ddy1(0,c1,c2)-d + c2dy1(0,c1,c2)-d + c2
y(0,d,c2) f d
y(0,d,c2) f d
dy1(0,c1,c2)-d + c2
dy1(0,c1,c2)-d + c2
Given с1=1 -cl + с2 ^2«1
Find(c1fc2) 厂 ус(х) ：= yl(x) + ^2-у2(х) 山 ■d2
dyd(x)：=——yc(x)dyc2(x):二 yc(x)
dxdx2
dyc2(x) + 2 dyc1(x) + 3-yc(x)0
yc(O) = 1 dyd(O) = 1
2
、L」LTI 0246
ORIGIN :二 1
Y ：= rkfjxed(y.U・6,60,f)
Указание. Для того чтобы вычислить корни характеристического многочлена, выделите в выражении для Р(Л) рамкой переменную Л и щелкните в строке Solve пункта Variable меню Symbolics. В дальнейшем действуйте так, как показано в приведенном фрагменте. Для проверки правильности вычисленного решения определите первую и вторую производные как функции переменной х, запишите вы- ражениедля^М выделите его рамкой щелкните в панели ffl по кнопке раменне для L(y/, ваАВки丄е ci и рс^мкин, шклкниiц в намели • i uu книике | а затем — по рабочему документу справа от стрелки.
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Общее решение.
Метод подбора
В соответствии с принципом суперпозиции общее решение линейного неоднородного уравнения может быть записано как сумма общего решения однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения.
Метод подбора применяют для отыскания частных решений неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и правыми частями вида:
Pk{x)^x cos/3x + Qm{x)^x sin/3x,
где R(z), Qm(z) — многочлены соответственно степени кит. Правые части такого вида называют обобщенными многочленами.
Метод подбора, или метод неопределенных коэффициентов^ состоит в следующем.
Искомое решение уравнения записывается в виде:
у(х) = Xs (А (х) cos /Зх + Qr (х) sin/3x) eQI,
где 月(工)=孙工「+协一1工'-1 + …+込е+ ро, Qг(z)= 分工「 + 分一］"_1 + + …+ 6工 + 宛一многочлены степени г = max(fc,m) с неизвестными коэффициентами рг, pr_i, pi, ро, Qr,分一1,91, Qo-
Сомножитель xs называют резонансным сомножителем. Резонанс имеет место в случаях, когда среди корней характеристического уравнения есть корень Х = a ±i(3 кратности s, действительная часть которого совпадает с коэффициентом в показателе степени экспоненты, а мнимая — с коэффициентом в аргументе тригонометрической функции в правой части уравнения.
Подставив выражение для решения с неопределенными коэффициентами в левую часть уравнения, получим обобщенный многочлен того же вида, что и многочлен в правой части уравнения. Два обобщенных многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при сомножителях вида х1^ cos /Зх, хгеах sin/Зх с одинаковыми степенями t Приравняв коэффициенты при таких сомножителях, получим систему 2(r + 1) линейных алгебраических уравнений относительно 2(r + 1) неизвестных. Можно показать, что такая система совместна и имеет единственное решение. Решение системы — неизвестные коэффициенты многочленов, входящие в искомое выражение для частного решения неоднородного уравнения.
ЗАДАНИЕ 4.5
Найдите общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка Е(у) = /(£). Проверьте правильность решения.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений.
Присвойте переменной ORIGIN значение, равное единице.
Воспользуйтесь выражением для общего решения однородного уравнения из задания 4.4 либо выполните пп. 1-4 из порядка выполнения этого задания.
Запишите выражение для частного решения как функцию переменной х и неизвестных коэффициентов.
Найдите выражения для производных решения и выражение Для Е(у).
Запишите матрицу линейной системы для неизвестных коэффициентов.
Решите систему.
Запишите частное решение как функцию переменной х.
Запишите выражение для общего решения как функцию переменной и произвольных констант cl, с2.
Проверьте решение подстановкой в уравнение.
Пример выполнения задания Найдите общее решение неоднородного уравнения у" + 2 J + Зу =川 +1. Проверьте правильность решения.
Фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислениями приведен ниже.
УКх) ：= exp(-x) cos(^2 x) у2(х)：=exp(-x)sin(/^2-x)
у(х, с1? с2) ：= с1у1(х) + с2 у2(х)
у(х,c1zс2) ：= с1(ехр(-х) cos(^ x)) + c2(exp(-x) sin(/^2 x))
f(x) ：= X2 + 1
ycn(x, a2, a1,加)；a2 x2 + a1x + aO
dycn1(x,a2,a1,a0) ：= —ycn(x,a2,a1,a0) dx
dycn2(x, а2, а1, аО)二ycn(x, а2, а1, аО) d *2
dycn2(x, a2, a1, aO) + 2 dycn1(x, aZ, a1, aO) + 3 ycn(x, @2, a1, aO)->
-> 2 a2 + 4 a2 x + 2 a1 + 3 a2 x2 + 3 a1 x + 3 aO
a2 + 4 a2 x + 2 a1 + 3 a2 x2 + 3 al x + 3 aO
a2 x2 + (3 a1 + 4 a2) x + 2 a2 + 3 aO + 2 a1 = x2 + 1
Given 3 a2nl]
a2 + 3 a1=0
a2 + 2 a1 + 3 a0=1 Find(a2, а1л aO)—
11
27
,.1 2 411'
ycn(X)二—X - - X + —
927
dd2
dycn1(x) ：= —ycn(x) dycn2(x) ：= ycn(x)
dxdx2
dycn2(x) + 2 dycn1(x) + 3 ycn(x) -> 1 + x2
Указание. Действуйте так же, как при выполнении предыдущих заданий. Для того чтобы привести подобные в выражении, полученном после подстановки выражения для решения в £(д), выделите рамкой переменную х и щелкните по строке Collect в меню Symbolics (рис. 4.7).
Рис. 4.7. Приведение подобных в Mathcad
4.5
ЖЕСТКИЕ СИСТЕМЫ.
РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УМВНЕНИЙ
МЕТОДОМ МАТРИЧНОЙ ЭКСПОНЕНТЫ
В вычислительной практике часто встречаются системы дифференциальных уравнений, которые принято называть жесткими. Не приводя точного определения жесткой системы, проиллюстрируем содержание этого понятия и возникающие проблемы на примере линейной системы двух дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Пусть требуется численно решить задачу Коши
:诉=-2gi -998^/2,达=-Ю00у2,
Ш(0) = 2,g2(0) = 1,
которую можно записать в векторной форме yf = 4y у(0) = у。，где
л /-2-998、，勿、
А =__ __ ) — матрица системы; у =——искомое решение;
y(0) =Уоy(0) =Уо\ u - 10UU /
y(0) =Уо
y(0) =Уо
——начальное значение решения.
Точное решение системы нетрудно вычислить описанным в преды
дущем разделе методом:
У =У =e-2 工 + g-looo 上e-2 工 + g-looo 上e-1000ze-1000z(у^х) = е-2х + е-м. Ых)=е-М.(у^х) = е-2х + е-м. Ых)=е-М.
У =
У =
e-2 工 + g-looo 上
e-2 工 + g-looo 上
e-1000z
e-1000z
(у^х) = е-2х + е-м. Ых)=е-М.
(у^х) = е-2х + е-м. Ых)=е-М.
Слагаемое e"100021 убывает очень быстро, а слагаемое е-21 — гораздо медленнее. Попытаемся применить к этой задаче метод Рунге — Кутты. Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий решение задачи методом Рунге — Кутты с различными шагами, графики полученных решений и график точного решения, приведен ниже.
ORIGIN ：= 1ORIGIN ：= 122Пх,У):二Пх,У):二-2 y1 - 998 y2-1000 y2-2 y1 - 998 y2-1000 y2
ORIGIN ：= 1
ORIGIN ：= 1
2
2
Пх,У):二
Пх,У):二
-2 y1 - 998 y2
-1000 y2
-2 y1 - 998 y2
-1000 y2
Y1 ：= rkfixed(y^0/0.1/30J)Y1 ：= rkfixed(y^0/0.1/30J)y1(x) ：= exp(-2 x) + exp(-1000 x)y1(x) ：= exp(-2 x) + exp(-1000 x)Y2 ：= rkfixed(y, 0,0.1,50Л)Y2 ：= rkfixed(y, 0,0.1,50Л)y2(x) := exp(*1000 x)y2(x) := exp(*1000 x)
Y1 ：= rkfixed(y^0/0.1/30J)
Y1 ：= rkfixed(y^0/0.1/30J)
y1(x) ：= exp(-2 x) + exp(-1000 x)
y1(x) ：= exp(-2 x) + exp(-1000 x)
Y2 ：= rkfixed(y, 0,0.1,50Л)
Y2 ：= rkfixed(y, 0,0.1,50Л)
y2(x) := exp(*1000 x)
y2(x) := exp(*1000 x)
Видно, что полученные приближенные решения уже на первых шагах содержат большие ошибки. Для получения правдоподобного результата на отрезке [0, 0.1] нужно выбрать шаг, меньший 0.003. Если интервал интегрирования достаточно велик, то потребуется выполнить вычисления для очень большого числа шагов. Казалось бы, эту трудность можно преодолеть следующим образом: вести вычисления с малым шагом, а затем, когда компонента е-1000а: станет пренебрежимо малой, увеличить шаг и до конца промежутка интегрирования вести вычисления с большим шагом. На самом деле это не так. Вторая компонента заставляет вести интегрирование с малым шагом на всем промежутке интегрирования. Это и означает, что система жесткая. Жесткость системы проявляется тогда, когда длина промежутка ин-
тегрирования Т удовлетворяет соотношению Т > -■1 , где Атах —
I 入max I наибольшее собственное число матрицы системы (наибольший по абсолютной величине корень характеристического уравнения).
Для интегрирования жестких систем необходимо применять специально разработанные методы. Опишем метод, предназначенный для интегрирования только однородных систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Задача Коши для такой системы формулируется в векторной форме следующим образом: найти решение системы
У‘ = 4у, У(О)=Уо,
где
/ а”
向2 •
•^1п
/ Ую\
А =
@21
@22 •
,У =
У20
ап2 ■
• апп 丿
\Уп/
\УпО/
Аналитическое решение этой задачи записывается в виде
У = еАхуо,
где е'工 ——матричная экспонента, определяемая формулой:
gA工=Е + 力① +(/с)2 + …—-(Aa?)n + …
2!n!
Здесь Е — единичная матрица той же размерности, что и матрица 4
Если матрица имеет диагональную форму:
4 =4 =，А】0，… 0 \О Л?…О，А】0，… 0 \О Л?…О
4 =
4 =
，А】0，… 0 \О Л?…О
，А】0，… 0 \О Л?…О
\ 0 0 ... Ап/
т.е. если А】，А?, ..., Ап — собственные значения матрцы А, то матричная экспонента может быть вычислена по формуле
еАх =еАх =工 ОО工 ООО \ОО \ОО оО о
еАх =
еАх =
工 О
О
工 О
О
О \
О
О \
О
О о
О о
Если матричная экспонента известна, то решение задачи Коши вычисляется по универсальной формуле у = еЛхуо с различными начальными условиями у。.
Матрицу системы можно привести к диагональной форме, если она имеет собственный базис (см. разд. 2.8)——базис из собственных векторов, и тогда решение задачи Коши может быть записано в виде: у = САС—%。，где С — матрица перехода от исходного базиса к собственному базису матрицы А, Л — матричная экспонента, записанная в собственном базисе матрицы А. Матрицы жестких систем таковы, что погрешности вычисления С и С-1 приводят к совершенно недостоверным результатам.
Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий решение задачи Коши для жесткой системы по формуле у = СЛС-1^ со всеми необходимыми комментариями, приведен ниже.
ORIGIN :二 1ORIGIN :二 1Решение задачи Коши методом матричной экспоненты
ORIGIN :二 1
ORIGIN :二 1
2Y0 ：=2Y0 ：=-2 -998д ■-
2
Y0 ：=
2
Y0 ：=
О -1000
Точное решение Yprec(x) Ypr(x)：=Точное решение Yprec(x) Ypr(x)：=ехр(-2 х) + ехр(-1000 х)ехр(<1000 х)
Точное решение Yprec(x) Ypr(x)：=
Точное решение Yprec(x) Ypr(x)：=
Приведение матрицы А к диагональному виду в собственном базисе матрицы А
-2 0
С = eigenvecs(A) Adiag ：= С1 А С Adiag =.
0 -1*10
Формирование матрицы ехр(Ах) в собственном базисе
ехр(-2 х) 0 expAd(x)：=
0 ехр(-1 103 х)
Вычисление матричной экспоненты в исходном базисе ехрА(х) ：= С expAd(x) С1
Вычисление решения Y(x) ：= ехрА(х) Y0
Сравнение сточным решением
Y(0.1)二Y(0.1)二0.81900.8190Ypr(0.1)=Ypr(0.1)=0.81900.8190
Y(0.1)二
Y(0.1)二
0.819
0
0.819
0
Ypr(0.1)=
Ypr(0.1)=
0.819
0
0.819
0
Теперь рассмотрим алгоритм, не требующий существования собственного базиса у матрицы правых частей системы.
Пусть необходимо проинтегрировать систему с шагом Н, те найти решения в точках, кратных Н. Если известна матричная экспонента eAh, то решение в точках х = Н; 2Н, ЗЯ,... вычисляется по формулам:
у(Н)=еАНу0,贝 2切=礙小(切，у^Н}=еАНу^Н)
И т.д.
Задача сведена к точному вычислению матрицы еля. Можно поступить следующим образом:
разбить отрезок [О, Н] на к частей так, чтобы шаг h — Н/к удовлетворял условию ||Л/г|| < 0.1;
в тейлоровском разложении матричной экспоненты взять 4-5 членов* и вычислить е" по схеме Горнера:
d'e+4g+?伍+学出+…)))；
вычислить г-й столбец матрицы е"% используя формулу (е'")<г> = =(е"71)比石⑴,где Е^ ——вектор-столбец, в г-й строке которого стоит единица, а остальные элементы ——нули.
Условие II工川I < 0.1 обеспечивает достаточно высокую точность вычисления eAh.
Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий решение описанным методом задачи Коши для жесткой системы на отрезке [О, ЮН] со всеми необходимыми комментариями, приведен ниже.
Решение задачи Коши методом матричной экспоненты
ORIGIN ：= 1
-2 -998[2
АY0 ：= Н ：= 0.1 Е ：= identity(2)
01000[1
ехр(-2 х) + ехр(-1000 х)
Точное решение Yprec(x) Ypr( х)：= ехр(-1000 х)
Приближенное вычисление матричной экспоненты
Выбор шага h к ； 2000 norml 卜 g 二。」h ：=
Вычисление матричной экспоненты exp(Ah) по формуле Тейлора
Ah := A h expAh ：= Е + Ah Е + 2 Ah Е + g Ah(Е + ； Ah)
Вычисление матричной экспоненты ехр(АН) ехрАН ：= expAh
Вычисление матрицы решений в точках, кратных Н i-й столбец матрицы Y содержит решение в точке (i-1)H
Сравнениеу" > 二сточным решениемСравнениеу" > 二сточным решением2Ypr(O)=.2Ypr(O)=.
Сравнениеу" > 二
сточным решением
Сравнениеу" > 二
сточным решением
2
Ypr(O)=.
2
Ypr(O)=.
Y〈2) =Y〈2) =1.9510.9511.9510.951Ypr(H)=Ypr(H)=
Y〈2) =
Y〈2) =
1.951
0.951
1.951
0.951
Ypr(H)=
Ypr(H)=
Указание. Результаты приближенного решения задачи Коши сохраните в матрице У, две строки которой содержат значения yi и у2 ъ точках 土 = = И, 2Н, ЗН,... ДОН. Для этого определите известным способом диапазон изменения индекса i от 1 до 10 и присвойте i-му столбцу матрицы У значения приближенного решения в точке 土 = (i — 1)Н. При построении графиков введите в качестве аргумента величину (i — 1)Н, а в качестве функции — элементы матрицы Y. На левом графике изображены точные и приближенные значения yi, на правом —也 Из приведенных вычислений видно, что точное и приближенное решения совпадают с точностью до погрешности графики.
В Mathcad для численного решения жестких систем могут использоваться две функции Stiffb и Stiffr с одними и теми же параметрами: StifFb(y, xq,xenj, асе, D, J, k, save) и Stiffr(y,xq,xenj, acc, D, J, k, save). Обе эти функции реализуют специальные, отличные от метода матричной экспоненты, алгоритмы решения жестких систем и решают задачу Коши для произвольных жестких систем дифференциальных уравнений. Правила обращения к этим функциям описаны в разд. 4.1. При решении на отрезке [xg, xenj] задачи Коши
'必=f®ni>…>Пп),
'2/1(0) =2/10,
У‘2 =『2(%У\,…>Уп\<
2/2 (0) =2/20,
、& = /n(r 例,…,2/п),
、Уп(0) = УпО
вектор у, вектор-функция D(x^y) и матричная функция J®y) имеют вид:
/ У10、
（力（①八…，уп）、
У =
2/20
, О(с,у)=
『2(① J/1 ? • • ■ ? Уп)
\УпО/
k fn(£, J/1, Уп) /
J(c,y)=J(c,y)=也班5/2一班也班5/2一班
J(c,y)=
J(c,y)=
也班5/2一班
也班5/2一班
空空 空'班 5yi ■" дуп /
Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий решение задачи Коши для системы из предыдущего примера, приведен ниже.
ORIGIN ：= 1 уORIGIN ：= 1 у22f(X,y)：=f(X,y)：=-2 у1 - 998 y2-1000 у2-2 у1 - 998 y2-1000 у2J(x,y):=J(x,y):=О -2 -998О 0 -1000О -2 -998О 0 -1000
ORIGIN ：= 1 у
ORIGIN ：= 1 у
2
2
f(X,y)：=
f(X,y)：=
-2 у1 - 998 y2
-1000 у2
-2 у1 - 998 y2
-1000 у2
J(x,y):=
J(x,y):=
О -2 -998
О 0 -1000
О -2 -998
О 0 -1000
у1(1)二 0.135335у2(1)二 0у1(1)二 0.135335у2(1)二 0
у1(1)二 0.135335у2(1)二 0
у1(1)二 0.135335у2(1)二 0
Ystb = stiffb (у, U ,1,0DO1,f,J, 100,0.0001)
0.01
0^74782
-5.417153 »10 “
0.014723
0.971017
3.285001 «Ю-5
0.054048
0^97541
3.404638 »10-7
0.290923
0.558866
5.298028 Ю~10
1
0.135373
1.261773-Ю"13
2
Ystb =
у2(х) ：= ехр(-1000 х)у2(х) ：= ехр(-1000 х)у1(х) ：= ехр(-2 х) + ехр(-1000 х)
у2(х) ：= ехр(-1000 х)
у2(х) ：= ехр(-1000 х)
Указание. Из приведенных в документе графиков и численньгх значении видно, что погрешность решения задачи на отрезке [0, 1] функцией Stiffb с выбранными значениями параметров превышает погрешность метода матричной экспоненты. В представленном фрагменте увеличено число отображаемых знаков результатов вычислении. Для того чтобы установить нужное число знаков при выводе, щелкните по строке Number в меню Format и введите в окне нужное число знаков.
ЗАДАНИЕ 4.6
Найдите в указанных точках решение задачи Коши для заданной жесткой системы методом матричной экспоненты и с использованием функций Stiffb или Stiffr. Матричную экспоненту вычислите приближенно, используя тейлоровское разложение. Постройте и сравните графики полученных решений.
Порядок выполнения задания
Присвойте переменной ORIGIN значение, равное единице.
Введите начальные условия и значение Н.
Выберите значение h.
Вычислите приближенно матричную экспоненту eAh.
Вычислите матричную экспоненту ел^.
Вычислите приближенное решение задачи Коши в указанных точках и постройте его график.
Вычислите решение задачи Коши на указанном промежутке, используя стандартные функции Mathcad. Постройте график решения.
Сравните полученные графики.
Пример выполнения задания
Примерный вариант вьшолнения задания для решения на отрезке [0,1] задачи Коши
（〃 =-2yi - 998y2,J 弘（0） = 2,
Ут, = -Ю00у2,[沙2（0） = 1
приведен выше.
4.6
АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ
Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется ав- тономной^ если независимая переменная не входит явно в систему. В теории автономных систем принято обозначать независимую переменную буквой t, а искомое решение — H（t）.
имеет вид:имеет вид:Автономная система n-го порядка, записанная в нормальной форме,
имеет вид:
имеет вид:
^ = /3),at
гдегдех — x(^t)=х — x(^t)=/ ①i«)、①2后J⑴丿/ ①i«)、①2后J⑴丿dxdtdxdt/ dxi~dtdx-n./ dxi~dtdx-n.
где
где
х — x(^t)=
х — x(^t)=
/ ①i«)、
①2后
J⑴丿
/ ①i«)、
①2后
J⑴丿
dxdt
dxdt
/ dxi~dt
dx-n.
/ dxi~dt
dx-n.
，/1(a)、/ /1 (① 1,①2，* ••声ri) '
/(F)_/2(Р)_/2(，1/2, • • •ri)
\ /п(ж) /\ /п(^1,^2? • • • 5^n) / 1
Название автономная система оправдано тем, что решение са- dx мо управляет своим изменением, поскольку производная — зависит at
только от х. Автономные системы называют также динамическими системами.
Любая нормальная система может быть преобразована в автономную: если — = f(t,x), то, обозначив xn^i = t, можем записать автономную систему:
'皆= f(cn+i№),
I d£n+i — -I
Фазовая плоскость, фазовые кривые
Ограничимся случаем п = 2 и будем полагать, что правая часть системы /(х) непрерывно дифференцируема в области G С R2, т.е. заведомо справедлива теорема существования и единственности решения. В дальнейшем рассматриваем автономные системы второго порядка:
粤=/1(^1,2^2),等=/2(С1#2).
Пусть zi = 31 ⑴，①2 = W2(力)——решение автономной системы второго порядка. Тогда уравнения
С1 = 91(%),数=92⑴
задают в параметрической форме кривую на плоскости 土，土2・ Эта кривая называется фазовой кривой, или фазовой траекторией системы.
Плоскость, на которой расположены фазовые траектории, называется фазовой плоскостью автономной системы.
Интегральные кривые рассматриваемой системы изображаются в трехмерном пространстве переменных 土， Х2, t. Если ®i = gi（£）, 土2 = 32（力）一решение системы, то интегральная кривая задается в параметрической форме уравнениями
£1 =31G）,
£2 = 32（",
а фазовая траектория — не что иное, как проекция интегральной кривой на фазовую плоскость （плоскость 初 数）.
На рис. 4.8 приведены изображения интегральной кривой и фазовой траектории автономной системы
祟= 3б+4аat
dtdt=-3g — 3土2,=-3g — 3土2,
dt
dt
=-3g — 3土2,
=-3g — 3土2,
£1（0） = 1, %2（0） = 0.
Рис. 4.8. Интегральная кривая и фазовая траектория автономной системыРис. 4.8. Интегральная кривая и фазовая траектория автономной системы
Рис. 4.8. Интегральная кривая и фазовая траектория автономной системы
Рис. 4.8. Интегральная кривая и фазовая траектория автономной системы
Указание. Графики, приведенные на рис. 4.8, получены следующим образом. Сначала с помощью функции rkfixed решена задача Коши для системы. Затем в пространстве xi, хг, t построено изображение интегральной кривой ——линии, координаты точек которой x\j,仁2力 拄 вычислены функцией rkfixed, а на плоскости 工1,工2 построено изображение соответствующей фазовой траектории ——линии, координаты точек которой х^, Х2>.
ЗАДАНИЕ 4.7
Изобразите интегральные кривые и соответствующие фазовые кривые заданной системы, проходящие через заданные точки.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений.
Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1.
Определите вектор-столбец начальных условий для первой задачи Коши.
Определите вектор-столбец правых частей системы.
Выберите значение шага интегрирования 九 и вычислите количество шагов N интегрирования системы на отрезке [r0, rend] по формуле N =[eП)-妝1].
Решите задачу Коши для первого начального условия.
Изобразите интегральную кривую для первой задачи Коши.
Изобразите соответствующую фазовую кривую.
Определите вектор-столбец начальных условий для второй задачи Коши.
Решите задачу Коши для второго начального условия.
Изобразите интегральную кривую для второй задачи Коши.
Изобразите соответствующую фазовую кривую.
Пример выполнения задания Изобразите интегральные кривые и соответствующие фазовые кривые системы
七；=
3?2 — -①1 — 0.1(Xj - 1)3?2,
проходящие через точки £i(0) = 1, хг(0) = — 1 и xi(0) — 0.5, хг(О) = —0.5.
Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий решение задачи, приведен ниже.
Здесь в качестве интегральных и фазовых кривых изображены графики соответствующих приближенных решений и их проекции. Соответствующие задачи решены методом Рунге — Кутты с фиксированным шагом h = 0.2.
ORIGIN ：= 1ORIGIN ：= 1仆）仆）个-0.1{(%)2-1 卜2个-0.1{(%)2-1 卜2
ORIGIN ：= 1
ORIGIN ：= 1
仆）
仆）
个-0.1{(%)2-1 卜2
个-0.1{(%)2-1 卜2
X 二 rkfixed(x/0J20J00/f) i ：= 1.. 100
22Х”> х"> X” >Х”> х"> X” >
2
2
Х”> х"> X” >
Х”> х"> X” >
Х《2〉Х《з〉Х《1 >
У казание. Решите задачу Коши методом Руме — Кутты с фиксированным шагом, присвоив решение матрице X. Элементы 1-го столбца Х<^> матрицы X содержат координаты 友 точек （（£i）厶（£2）厶友），соответствующие значения （仁力, （C2）t присвоены элементам 2-го и 3-го столбца матрицы X. Для того чтобы построить график интегральной кривой, щелкните по кнопке |弟| в панели |舟卜 введите через запятую в позиции, указанной меткой, имена векторов-столбцов матрицы X: Х<2>, Х<", Х<^>. При таком порядке следования столбцов на графике отображаются точки с абсциссами（£）, ординатами （笈2）£ и аппликатами ti. Параметры настройки графика установите так, как показано на рис. 4.9. Чтобы изобразить фазовую кривую, щелкните по кнопке |庭 | в панели |帚| и укажите в качестве аргумента Х<^>, а в качестве функции — Х<^>. При этом на оси абсцисс отображаются координаты（£1）订 на оси ординат ——（X2）i- Параметры графика установите так, как показано на рис. 4.10. Затем введите в качестве начальных условий ординату второй точки и решите задачу Коши, сохранив все параметры функции rkfixed, и изобразите новую интегральную кривую и соответствующую ей фазовую траекторию. Из приведенных рисунков видно, что с ростом t точка на фазовой плоскости （xi, с?） удаляется от заданной начальной точки, а интегральные кривые имеют вид спирали, раскручивалощейся в направлении оси t.
Рис. 4.9・ Окна настройки параметров изображения интегральных кривыхРис. 4.9・ Окна настройки параметров изображения интегральных кривых3D Plot Fciffidl3D Plot FciffidlForoMtltinii Cunently Selected X-Y PlotForoMtltinii Cunently Selected X-Y Plot京京-Uu5i^Г £jidlriM 卩 hjjrteK■ %」*j|-1 ih'i>-Uu5i^Г £jidlriM 卩 hjjrteK■ %」*j|-1 ih'i>Г Lqjfd Г G|K： Lan 卩 HurhaedГ Lqjfd Г G|K： Lan 卩 HurhaedHunIHunIГ Jn~ “c p >211 J ll hu I n <1 I-II> ГГ Jn~ “c p >211 J ll hu I n <1 I-II> ГFormatting Cuirenlly Selected X-Y HolFormatting Cuirenlly Selected X-Y HolX¥Ak9$ Tegs [Labeb I D硏引/悔[X¥Ak9$ Tegs [Labeb I D硏引/悔[及 卜田」•二"jJI宀J - JГ {s^sunenlt P _dsLeg»v及 卜田」•二"jJI宀J - JГ {s^sunenlt P _dsLeg»v广 Boa«t'；L «t1*! 广Мм-广 Boa«t'；L «t1*! 广Мм-
Рис. 4.9・ Окна настройки параметров изображения интегральных кривых
Рис. 4.9・ Окна настройки параметров изображения интегральных кривых
3D Plot Fciffidl
3D Plot Fciffidl
ForoMtltinii Cunently Selected X-Y Plot
ForoMtltinii Cunently Selected X-Y Plot
京
京
-Uu5i^
Г £jidlriM 卩 hjjrteK
■ %」*j|-1 ih'i>
-Uu5i^
Г £jidlriM 卩 hjjrteK
■ %」*j|-1 ih'i>
Г Lqjfd Г G|K： Lan 卩 Hurhaed
Г Lqjfd Г G|K： Lan 卩 Hurhaed
HunI
HunI
Г Jn~ “c p >211 J ll hu I n <1 I-II> Г
Г Jn~ “c p >211 J ll hu I n <1 I-II> Г
Formatting Cuirenlly Selected X-Y Hol
Formatting Cuirenlly Selected X-Y Hol
X¥Ak9$ Tegs [Labeb I D硏引/悔[
X¥Ak9$ Tegs [Labeb I D硏引/悔[
及 卜田」•二"jJI宀J - J
Г {s^sunenlt P _dsLeg»v
及 卜田」•二"jJI宀J - J
Г {s^sunenlt P _dsLeg»v
广 Boa«t
'；L «t1*! 广Мм-
广 Boa«t
'；L «t1*! 广Мм-
Рис. 4.10. Окна настройки параметров изображенияфазовых кривых
Точки покоя линейной автономной системы
Для фазовых траекторий автономной системы х1 = f(x) с непрерывно дифференцируемой правой частью f(x) справедливы следующие утверждения:
если существует такая точка а, кто /(а) = 0, то 力(力)=а, —оо < / < < ос, является решением автономной системы, т.е. соответствующая фазовая траектория 一 точка;
две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают;
фазовая траектория, отличная от точки, есть гладкая кривая*;
Гладкой называется кривая, в каждой точке которой есть ненулевой касательный вектор.
всякая фазовая кривая принадлежит к одному из трех типов — гладкая кривая без самопересечений, замкнутая гладкая кривая (цикл), точка;
если фазовая кривая, отвечающая решению 5c(匕)=屮(匕)，есть гладкая замкнутая кривая, то это решение есть периодическая функция.
Точка а, в которой правая часть системы обращается в нуль, /(а) = 0, называется положением равновесия системы. Положение равновесия называют также точкой покоя автономной системы.
Точка покоя а называется устойчивой по Ляпунову, если:
существует такое △ > 0, что для |х()— а| < △ решение задачи Коши с начальным условием аз(О) = 5co существует при 0 < i < оо;
для всякого е > 0 существует такое 6(e) > 0, что если 15co — а| < <5 и аз(О) = ®о, то |с(力)—а| <е при всех 0 < i < оо.
Устойчивая точка покоя называется асимптотически устойчивой^ если Пт с(力)=а при достаточно малых — а|.
Очевидно, что линейная автономная система с невырожденной матрицей
《咕=aнХ1 +a12£2,W =a213 +a22£2
имеет единственную точку покоя: точку (0,0) — £i(t)三 0,忆2(匕)三 0, —ОО < t < ОО.
При этом характер точки покоя (ее устойчивость, асимптотическую устойчивость, неустойчивость) можно установить по значениям собственных чисел матрицы системы.
А именно, пусть 尢，》2 — собственные значения матрицы
А=(ап
\〃21 ^22 /
исследуемой системы, тогда:
если 入 1,入2 — действительные отрицательные числа, то точка покоя устойчива и называется устойчивым узлом (рис. 4.11 а);
если》i,》2 — действительные положительные числа, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым узлом (рис. 4.11 г);
если》i,》2 ——действительные числа, имеющие разные знаки, то тонка покоя неустойчива и называется седлом (рис. 4.11 е);
х*=х+0.5у, у'=0.5х+у
х-0.1х-4у, у--4х+0.1у
Рис. 4.11. Фазовые портреты линейных систем в окрестности точек покоя： а, 6, 8 — устойчивые точки покоя (а, б——асимптотически устойчивые) ;г, ду е ——неустойчивые точки покоя, точнее: а ——устойчивый узел; 6 ——устойчивый фокус; в ——центр; г ——неустойчивый узел; 8 —— неустойчивый фокус; е — седло; ж — диакритический узел; з — точки покоя лежат на прямой у = —(3/4)土
если 大1,大2 ——комплексные числа,大 1,2 = Re А ± г Im А и ReA < 0, то точка покоя устойчива, точнее, при Re 大=0 точка устойчива, но не асимптотически устойчива и называется центром (рис. 4.11 в), а при Re А < 0 она асимптотически устойчива и называется устойчивым фокусом (рис. 4.11 0; если же ReA〉0, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым фокусом (рис. 4.11 2)；
если 大1 =大2 R 0 ——действительные числа, то точка покоя ——узел специального вида, называемый диакритическим (устойчивым при 大1 =大2 < 0 м неустойчивым, когда Ai — А2 > 0 (рис. 4.10 ж));
если Ai = 0,大2 R 0, то существует прямая, проходящая через начало координат, все точки которой являются точками покоя (рис. 4.11 з);
если 大1 =大2 = 0, то все точки плоскости являются точками покоя.
На рис. 4.11 приведены фазовые кривые. линейных автономных систем в окрестности точки покоя (0, 0), построенные В Mathcad.
ЗАДАНИЕ 4.8
Определите характер точки покоя заданной линейной системы и изобразите несколько фазовых кривых.
Порядок выполнения задания
Установите автоматический режим вычислений.
Присвойте переменной ORIGIN значение, равное единице.
Определите матрицу системы и вычислите ее собственные значения.
Определите характер точки покоя. 1
Выберите различные начальные точки и решите соответствующие задачи Коши с шагом h = 0.1. Начальные точки выбирайте близкими к точке покоя для неустойчивых точек и удаленными от нее — для устойчивых.
Постройте на одном графике соответствующие фазовые траектории.
Пример выполнения задания
Определите характер точки покоя автономной системы ”
芯=+4e2,产4 - 一2数
и изобразите несколько фазовых кривых. Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий решение задачи, приведен ниже.
Исследование системы х-2х+4у, у»-2х
ORIGIN ：= 1
А：=А：=2 40 -22 40 -2eigenvals(A)=eigenvals(A)=22
А：=
А：=
2 4
0 -2
2 4
0 -2
eigenvals(A)=
eigenvals(A)=
2
2
Собственные значения 2 и - 2 действительные, имеют разные знак% точка покоя неустойчива - седло
2 % + 4 х2-2Х22 % + 4 х2-2Х2а ：= 0 b ：= 20а ：= 0 b ：= 20
2 % + 4 х2
-2Х2
2 % + 4 х2
-2Х2
а ：= 0 b ：= 20
а ：= 0 b ：= 20
-109.5-109.5Х1 ：= rkfixed(x, a, b, ±fХ1 ：= rkfixed(x, a, b, ±f
-10
9.5
-10
9.5
Х1 ：= rkfixed(x, a, b, ±f
Х1 ：= rkfixed(x, a, b, ±f
х ：=х ：=10-9.510-9.5Х2 ：= rkfixed(x,a,b,*fХ2 ：= rkfixed(x,a,b,*f-910-910ХЗ ：= rkflxed/x,а,b,^ЛХЗ ：= rkflxed/x,а,b,^Л10-1110-11Х4 ：= rkfixedfx,а,Ь^ЛХ4 ：= rkfixedfx,а,Ь^Лхз<3>хз<3>x2⑸x2⑸x4⑸x4⑸ХМХМХ1<2> ,x2е^ ,x3е2> , Х4<2>Х1<2> ,x2е^ ,x3е2> , Х4<2>
х ：=
х ：=
10
-9.5
10
-9.5
Х2 ：= rkfixed(x,a,b,*f
Х2 ：= rkfixed(x,a,b,*f
-9
10
-9
10
ХЗ ：= rkflxed/x,а,b,^Л
ХЗ ：= rkflxed/x,а,b,^Л
10
-11
10
-11
Х4 ：= rkfixedfx,а,Ь^Л
Х4 ：= rkfixedfx,а,Ь^Л
хз<3>
хз<3>
x2⑸
x2⑸
x4⑸
x4⑸
ХМ
ХМ
Х1<2> ,x2е^ ,x3е2> , Х4<2>
Х1<2> ,x2е^ ,x3е2> , Х4<2>
Указание. Для вычисления собственных значений матрицы линейной системы используйте функцию eigenvals(M). Определите матрицу системы А, щелкните в меню Insert по строке Function, выберите в открывшемся списке стрелками прокрутки имя нужной функции и щелкните по нему дважды, введите в помеченной позиции имя матрицы А, выделите все выражение рамкой и введите с клавиатуры знак равенства. Все остальные построения и вычисления выполняйте так же, как в предыдущем задании. Чтобы различить фазовые кривые, выходящие из разных точек, выберите для них разные типы линий. Начальные точки для фазовых траектории и отрезок интегрирования выбирайте экспериментально так, чтобы получить понятный рисунок. Из приведенного в документе графика видно, что все четыре траектории начинаются в точках, удаленных от начала координат, затем приближаются к началу координат и снова уходят от него.
Векторное поле автономной системы
Если в каждой точке области G С Rn задан n-мерный вектор 尸(X), X G G С Rn, то говорят, что в области G задано векторное поле.
Запишем автономную систему второго порядка
< X1 = fi^,у),у'= f2(x, у)
в векторной форме:
X' = F(X),
где
Х = (н,у), F(X) = (f式工,у), f2(t,n)).
Автономная система X’ =尸(X) полностью определяется заданием векторного поля 尸(X). Действительно, в каждой точке Хо = (с。，у。) гладкой фазовой кривой х = x(i), у = у(£) существует касательный вектор (хх(to), ^(^о))? равный (в силу системы) вектору 尸(X。)= =(/i(g力『2(с,У))・ Иными словами, векторное поле 尸(X) автономной системы задает в каждой точке направление касательной к фазовой кривой системы, проходящей через эту точку.
Точки векторного поля, в которых вектор 尸(X) нулевой, называют особыми точками векторного поля. Такнм образом, точки покоя автономной системы — это особые точки векторного поля.
Ниже представлены фрагменты фазовых портретов и векторных полей нескольких линейных систем с точками покоя разных типов. Из приведенных рисунков видно, что по векторному полю автономной системы можно воссоздать ее фазовый портрет и обнаружить точки покоя системы.
X,Y
ЗАДАНИЕ 4.9
Для системы из задания 4.8 изобразите векторное поле в окрестности точки покоя.
Порядок выполнения задания
Прочитайте файл с рабочим документом задания 4.8.
Определите диапазоны изменения индексов узлов сетки по переменным (xj, yj).
Вычислите значения (xj, у, узлов сетки.
Определите функции переменных х, у вычисления координат векторного поля.
Сформируйте матрицы, содержащие координаты векторов, изображаемых на векторном поле. Элементы этих матриц — значения в узлах сетки (xj, yj) функций, определенных в предыдущем пункте.
Изобразите вычисленное векторное поле.
Пример выполнения задания
Изобразите векторное поле в окрестности точки покоя системы
£； = 2X1 + 4/2,抬——2/2*
Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий решение задачи, приведен ниже.
i ：=1 20 j ：= 1 20
х. ：= -2 + 0.2 i
у. ：= -2 + 0.2 j
х"(х,У)= 2 x + 4 у yv(x,y) := -2 у
Yj屮(х“)
X,Y
Указание. Прочитайте сохраненный ранее файл с решением задачи предыдущего задания. Определите диапазоны изменения индексов узлов сетки. Определите, как показано в приведенном фрагменте, матрицы координат изображаемых векторов векторного поля. Чтобы построить векторное поле, щелкните по свободному месту в рабочем документе, затем -— по кнопке векторного поля「如 | в панели графиков и введите через запятую в помеченной позиции имя матрицы, содержащей первые координаты векторов, имя матрицы со вторыми координатами и щелкните по рабочему документу вне поля графиков. Щелкнув дважды по полю графиков, установите параметры изображения (рис. 4.12).
Рис. 4.12. Окно настройки параметров изображения векторного поля
Устойчивые решения. Предельные циклы» Фазовые портреты нелинейных систем
Рассмотрим автономную систему второго порядка 警=九（工1,工2）, 、号=力（%工2）
с гладкими правыми частями. Пусть g =仍（力）,土2 = 32 （力）,или в векторной форме（p（t）=（夕1（力），屮2（t）），—— некоторое решение этой системы.
Решение 屮（力）называется устойчивым по Ляпунову^ если:
существует такое △ > 0, что для |①о —屮（0）| < △ при 0 < i < оо существует решение 啰（力）задачи Коши с начальным условием 啰（0） = g;
для всякого £ > 0 можно указать такое 6（£）> 0, что если |ж（0）—夕（0）| <，то \x（t）—夕（力）| < £ при всех 0 < i < оо.
Устойчивое решение 屮（力）называется асимптотически устойчивым, если lim |啰（力）一屮（力）| = 0 при достаточно малых |啰（0） —（р（0）|.
Если фазовая траектория g =屮1（力）> 土2 = W2（力）——замкнутая гладкая кривая 7, в некоторой окрестности которой нет других замкнутых траекторий, то она является предельным циклом: все траектории, которые начинаются достаточно близко от 7, спиралевидно приближаются к ней либо при t —> +сю, либо при t —> —00.
Предельные циклы бывают трех типов:
устойчивые — близкие траектории при t —> +00 "навиваются” на цикл;
неустойчивые — близкие траектории при 力—> +оо "уходят51 от цикла;
полу устойчивые —— траектории, лежащие по одну сторону от цикла, „навиваютсяu на него при 力—> +оо, а лежащие по другую сторону — "отходят,5 от цикла.
ЗАДАНИЕ 4.10
Покажите графически, что заданная автономная система имеет предельный цикл, и определите его характер （устойчивый, неустойчивый, полуустойнивый）. Начинайте строить фазовые кривые в окрестности указанной в задании точки.
Порядок выполнения задания
Постройте, действуя как в задании 4.8, несколько фазовых траекторий, начинающихся в окрестности указанной точки.
Обнаружив предельный цикл, постройте еще одну фазовую траекторию с началом внутри цикла.
Постройте фазовую траекторию с началом вне цикла.
Определите по результатам построений тип цикла.
Изобразите векторное поле системы в окрестности предельного цикла.
Пример выполнения задания
Покажите графически, что автономная система
-3 + 262 + 若 + 土^ + 6162,
имеет предельный цикл, внутри которого лежит точка (1.7, 0), и определите его характер.
Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий решение задачи, приведен ниже.
Исследование системы х«-3+2у+хА2+уА2+ху, ув--2х-хА2
ORIGIN ：= 1
nО ;nО ;-3 + 2飞+01)2 + ®)2 + 小%
nО ;
nО ;
-2 x「伯)2
x ：=x ：=1.701.70XI ：= rirfixed(x,0,10,100/)XI ：= rirfixed(x,0,10,100/)
x ：=
x ：=
1.70
1.70
XI ：= rirfixed(x,0,10,100/)
XI ：= rirfixed(x,0,10,100/)
X2 ：= rkHxedCxJJOJOOJ)
X3 ：= rkfixed(x, 0,10,100,f)
X4 ：= rkfixed(x?0J0J00J)
N = 10 i =1 N j：=1 N
xv(x,y) ：= -3 + 2 у + х2 + у2 + х у yv(x,y) ：= -2 х - х2
X产-2 + i 0.4 У) ：= -2 +J 0.4 Xj(j ：= xv(xHy.) Y^.：=旷(耳$)
Указание. Все вычисления выполняйте так же, как в предыдущих задгшиях. Поскольку траектории, начинающиеся как вне, так и внутри цикла, стремятся к нему с ростом t, можно утверждать, что цикл устойчив.
4.7
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
Методы исследования поведения решений дифференциальных уравнений, изложенные в предыдунщх разделах, можно успешно применять при исследовании моделей реальных систем, зависящих от времени. В этом разделе будут описаны известные биологические и экономические модели.
Динамика популяций.
Уравнения Вольтерра — Лотка
В динамике популяций есть много примеров, когда изменение численности популяций во времени носит колебательный характер. Одним из самых известных примеров описания динамики взаимодействующих популяций являются уравнения Вольтерра — Лотка.
Рассмотрим модель взаимодействия хищников и их добычи, когда между особями одного вида нет соперничества. Пусть х\ и х^ — число жертв и хищников соответственно. Предположим, что относительный прирост жертв — равен а — 6x2, 4 b > 0, где а — скорость размножения жертв в отсутствие хищников, —bg — потери от хищников. Развитие популяции хищников зависит от количества пищи (жертв), при отсутствии пищи (土1 = 0) относительная скорость изменения популяции хищников равна — = —с, с > 0, наличие пищи компенсирует
убывание, и при Xi > 0 имеем — = —с + da：i, d > 0.
Таким образом, система Вольтерра — Лотка имеет вид:
W = (a-bx2)xi,、必=(-c + dci)72,
где а, Ь, с, d > 0.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержа- ищй определение системы Вольтерра ——Лотка, фазовый портрет системы при а = 4, Ь = 2.5, с = 2, d = 1 и графики решения с начальным условием xi(0) = 3,妆(°) = L
Модель "хищник — жертва" Вольтерра ——Лотка
^х产(a-b%) Х[ ^-(-c + d x^ х2
ORIGIN ：= 1
а ：= 4 b ：= 2<5 с ：= 2 d ：= 1
33х ：=х ：=F(t,x)=F(t,x)=(a-b%"(-c + d・％) *2(a-b%"(-c + d・％) *2X ：= rkflxed(x,0,10,400,F)X ：= rkflxed(x,0,10,400,F)жертвыжертвыхищникихищникижертвыжертвы
3
3
х ：=
х ：=
F(t,x)=
F(t,x)=
(a-b%"(-c + d・％) *2
(a-b%"(-c + d・％) *2
X ：= rkflxed(x,0,10,400,F)
X ：= rkflxed(x,0,10,400,F)
жертвы
жертвы
хищники
хищники
жертвы
жертвы
Видно, что процесс имеет колебательный характер. При заданном начальном соотношении числа особей обоих видов 3:1 обе популяции сначала растут. Когда число хищников достига-ет величины b = 2.5, популяция жертв не успева-ет восстанавливаться и число жертв начинает убывать. Уменьшение количества пищи через некоторое время начинает сказываться на популяции хищников, и, когда число жертв
достигает величины ①i = ^ = 2, число хищников тоже начинает сокращаться вместе с сокращением числа жертв. Сокращение популяций происходит до тех пор, пока число хищников не достигнет величины ^ = 1.6. С этого момента начинает расти популяция жертв; через некоторое время пищи становится достаточно, чтобы обеспечить прирост хищников, обе популяции растут, и процесс повторяется снова и снова. На графике четко виден периодический характер процесса. Количество жертв и хищников колеблется возле величин х\ = 2, ①2 = L6 соответственно. Периодичность процесса явственно видна на фазовой плоскости: фазовая кривая (①i(£),①2(切一замкнутая линия. Самая левая точка этой кривой, Х2 = - = 1.6,——это точка, в которой число жертв достигает наименьшего значения. Самая правая точка,① 1 = 4,①2 = 1.6, — точка пика популяции жертв. Между этими точками количество хищников сначала убывает до нижней точки фазовой кривой,:г】=q = 2, где достигает наименьшего значения, а затем растет до верхней точки фазовой кривой (х： = 2,①2 = 2.5). Фазовая кривая охватывает точку х： = 2,①2 = 1-6.
На языке дифференциальных уравнений это означает, что система имеет стационарное состояние 再=0,必=0, которое достиг гнется в точке ① 1 = 2,①2 = 1-6. Если в начальный момент система находилась в стационарной точке, то решения ①i(f),忆2(力)не будут изменяться во времени, останутся постоянными. Всякое же другое начальное состояние приводит к периодическому колебанию решений. Неэллиптичность формы траектории, охватывающей центр, отражает негармонический характер колебаний.
Отметим, что рассмотренная модель может описывать поведение конкурирующих фирм, рост народонаселения, численность воюющих армий, изменение экологической обстановки, развитие науки и др.
ЗАДАНИЕ 4.11
Постройте графики решения и фазовые портреты динамической системы, моделирующей взаимодействие популяций
% = (а— 6① 2)① 1,必=(—c + dxi)x2,
при заданных значениях параметров a, b, с, d. Исследуйте поведение решения, изменяя параметры в указанном диапазоне.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений.
Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1.
Определите вектор-столбец начальных условий для первой задачи Коши.
Определите вектор-столбец правых частей системы.
Выберите значение шага интегрирования h и вычислите количество шагов N интегрирования системы на отрезке [со, xend] по формуле N =卜“/刊.
Решите задачу Коши для первого начального условия.
Изобразите соответствующую фазовую кривую и график решения.
Определите векторы-столбцы начальных условий для каждого начального условия
Решите соответствующие задачи, сохранив каждое решение в отдельной матрице.
Изобразите соответствующие фазовые кривые и графики решений.
Пример выполнения задания
Примерный вариант решения задачи для а = 4, b = 2.5, с = 2, d = 1 приведен ниже.
Модель Нхищник ——жертва" Вольтерра — Лотка
UKIGIN ：= 1
(3-ЬХ2) Х1
а ：= 4 b ：= 2.5 с ：= 2 d ：= 1 F(t, х)：=
'2
х ：=X1 ：= rkfixed(x?0,10?400л F)
1.6
2
x ；= ^ X2 ：= rkfixed(x,U, 10,400, F)
3
x ；X3 :二 rkfixed(x,O/10,400? F)
1
3
х ：= 3 Х4 ：= rkflxed(x?0/10,400, F)
х1(0)=2 х2(0)=1.6х1(0)=2 х2(0)=1
х1(0)=3 х2(0)=1х1(0)=3 х2@)=3
Указание. Для того чтобы построить графики решений и фазовые кривые для различных начальных значений, определите значения параметров системы, определите и введите вектор-столбец начальных условий х для первого решения, определите и введите вектор-функцию правых частей F(t,x) и сохраните в матрице
XI решение, вычисленное методом Рунге — Кутты с постоянным шагом на отрезке [О, 10] в 400 точках (воспользуйтесь функцией rkfixed(x)0,10,400, F)). Первый столбец этой матрицы содержит значения аргумента t — координаты 400 узлов сетки, второй столбец — значения х1 (число жертв) в узлах сетки, а третий —— значения х2 (число хшцников). Чтобы вычислить решение при других начальных значениях, присвойте новые значения вектору х и сохраните вычисленное решение в другой матрице. В приведенном документе найдены решения при четырех различных начальных значениях, которые сохранены в матрицах XI, Х2, ХЗ и Х4. Чтобы построить фазовые кривые, линии, зад анныев параметрической форме уравнениями (х = xi(t), у =尘2(£)), щелкните по кнопке |也|, введите через запятую в позиции возле оси абсцисс Х1<^>, Х2<^>, Х3<^>, Х4<2>, а в позиции возле оси ординат — Х1<3>, Х2<^>, Х3<^>, Х4<3>. Фазовые кривые изображены линиями разной толщины. Фйзовая кривая, отвечающая стационарному состоянию, представляет собой одну точку. Графики решении строятся ангигогично. При этом аргумент — значения t в узлах сетки — сохранен в Х1<1> для первого начгшьного условия и вХ2<1>,ХЗ<1>,Х4<1> —для остальных. Чтобы исследовать систему при других значениях параметров, измените в рабонем документе значение параметра и щелкните в меню Math по строке Calculate Worksheet.
Уравнения Вольтерра — Лотка с логистической поправкой
Рассмотрим модель конкурирующих видов с ^логистической поправ- £； = (@ 一近2)①1 - к；, 名=(-Cd£l)①2 - Q 遂
В этом случае поведение решений в окрестности стационарной точки меняется в зависимости от величины и знака параметра а.
Ниже приведено исследование системы для a = 0.1, a = 4, b = 2.5, с = 2, d = L Видно, что в этом случае стационарная точка превращается в устойчивый фокус, а решения ——в затухающие колебания. При любом начальном состоянии через некоторое время состояние системы становится близким к стационарному и стремится к нему при t т оо.
Модель "хищник — жертва" Вольтерра ——Лотка с логистической поправкой
ORIGIN = 1 а ：= 4 b ：= 2.5 с ：= 2 d ：= 1 a = 0.1
F(、x)：=F(、x)：=(а - b-x2)-x1 - a《xj2
F(、x)：=
F(、x)：=
(-c + dxM-or&y
[3
х ：= X ：= rkfixed(x,0J0,400,F)
хищникихищникихищники 4 тхищники 4 т1234жертвы1234жертвы
хищники
хищники
хищники 4 т
хищники 4 т
1234
жертвы
1234
жертвы
Ниже приведены графики решений и фазовая кривая для тех же значений параметров, но при а = —0.1. Как видно, в этом случае стационарная точка является неустойчивым фокусом и амплитуда колебаний численности видов растет. Как бы близко ни было начальное состояние к стационарному, с течением времени состояние системы будет сильно отличаться от стационарного.
жертвыжертвыхищникихищникижертвыжертвы
жертвы
жертвы
хищники
хищники
жертвы
жертвы
ЗАДАНИЕ 4.12
Исследуйте поведение системы, моделирующей взаимодействие популяций
±j = (а _ Ь±2)±] — а%
、抬=(—Cd±l)±2 -党
при заданных значениях параметров а, 6, с, d и при различных значениях параметра логистической поправки а. Постройте графики решения и фазовые портреты для нескольких различных начальных состояний системы. Найдите значения параметра а, при которых стационарное состояние является устойчивым, а при каких —— неустойчивым.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений.
Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1.
Задайте а = 0 и определите значения параметров системы.
Определите вектор-столбец начальных условий для первой задачи Коши.
Определите вектор-столбец правых частей системы.
I^end 一 工01I^end 一 工01Выберите значение шага интегрирования h и вычислите количество шагов 7V интегрирования системы на отрезке (迎,Rnd] по формуле N =
I^end 一 工01
I^end 一 工01
Решите задачу Коши для первого начального условия.
Изобразите соответствующую фазовую кривую и график решения.
Определите векторы-столбцы начальных условий для каждого начального условия.
Решите соответствующие задачи, сохранив каждое решение в отдельной матрице.
Изобразите соответствующие фазовые кривые и графики решений.
Измените в рабочем документе значение параметра а, присвоив ему положительное значение, не превосходящее 1.
Выполните вычисления для нескольких значений параметра а из [0,1].
Измените в рабочем документе значение параметра а, присвоив ему отрицательное значение, не превосходящее единицы по абсолютной величине. Сформулируйте вывод о характере стационарной точки и свойствах решений.
Выполните вычисления для нескольких значений параметра а из [—1, 0]. Сформулируйте вывод о характере стационарной точки и свойствах решений.
Пример выполнения задания
Примерный вариант решения задачи для а = 4, b = 2.5, с = 2, d = 1 приведен выше.
Модель Холдинга — Тэннера
На примере модели Вольтерра ——Лотка и модели Вольтерра —— Лотка с логистической поправкой было продемонстрировано одно из важнейших свойств центров ——они легко разрушаются даже при самых малых изменениях правой части.
Большинство моделей является идеализацией действительности: в них внимание сосредоточено на некоторых основных переменных и соотношениях между ними. Поэтому устойчивость моделей относительно малых возмущений чрезвычайно важна в приложениях. Модели, не чувствительные к малым возмущениям, называются грубыми.
Модель Вольтерра ——Лотка неустойчива относительно возмущений, поскольку ее стационарное состояние ——центр.
Существует другой вид моделей, в которых возникают незатухающие колебания, — это модели, имеющие на фазовых портретах предельные циклы. Такая модель существует для системы конкурирующих видов — это модель Холдинга — Тэннера.
Скорость роста популяции жертв 工；в этой модели равна сумме трех величин:
скорости размножения в отсутствие хищников —— tci；
влияния внутривидовой конкуренции за пищу при ограниченных ресурсах聲；
влияния хищников — wx2-^— в предположении, что хищник D
перестает убивать, когда насыщается.
Скорость роста популяции хищников 必 строится так же, как в модели Вольтерра — Лотка, в предположении, что жертвы встречаются редко. Если для поддержания жизни одного хищника нужно J жертв, то популяция из z】жертв сможет обеспечить пищей 号 хищников. Модель роста популяции хищников, в которой их число не может превысить эту критическую величину, имеет вид % =该（$ -红工2）•
Таким образом, имеем модель Холдинга—Тэннера:
w=Т(1一沙…2爲,
где г, s, К, D, J > 0.
Можно показать, что при
г K-D-2s <
К 1 + 0
на фазовом портрете системы будет устойчивый предельный цикл.
Ниже приведено решение системы при т = 1, К = 7, w = 1, Z) = 1, 6 = 0.2, J = 0.5 и двух различных начальных состояниях. На фазовом портрете хорошо виден предельный цикл. Фазовые кривые системы с начальными состояниями вне и внутри области, ограниченной предельным циклом, "наматываются” извне или изнутри на одну и ту же замкнутую кривую.
Модель Холлинга — Тэннера
wx1 х2D + X, 1wx1 х2D + X, 1ORIGIN ：= 1ORIGIN ：= 1
wx1 х2
D + X, 1
wx1 х2
D + X, 1
ORIGIN ：= 1
ORIGIN ：= 1
3
Х1 ：= rknxedtx^OJOOJOO^F)
х ：=х ：=Х2 ：= rkfixed(x,0,100,400,F)
х ：=
х ：=
жертвы хищникижертвы хищникихищникихищники
жертвы хищники
жертвы хищники
хищники
хищники
ЗАДАНИЕ 4.13
Постройте графики решения и фазовые портреты, найдите предельные циклы динамической системы Холдинга — Тэннера
моделирующей взаимодействие конкурирующих видов в условиях ограниченных ресурсов. Исследуйте поведение решения, изменяя параметры г, ^, w, s, J в указанном диапазоне.
Порядок выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений.
Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1.
Определите вектор-столбец начальных условий для первой задачи Коши.
Определите вектор-столбец правых частей системы.
Выберите значение шага интегрирования h и вычислите количество шагов N интегрирования системы на отрезке [g, xend\ по формуле N =卜“/*1].
Решите задачу Коши для первого начального условия.
Изобразите соответствующую фазовую кривую и график решения.
Определите векторы-столбцы начальных условий для каждого начального условия.
Решите соответствующие задачи, сохранив каждое решение в отдельной матрице.
Изобразите соответствующие фазовые кривые и графики решений.
Пример выполнения задания
Примерный вариант решения задачи для т = 1, К = 7, w = 1.5, 0 = 1, J = 0.5 приведен выше.
Выравнивание цен
Модель выравнивания цен по уровню актива интересна тем, что в ней можно наблюдать гармонические колебания решений возле стационарного состояния.
Предположим, что изменение уровня актива q пропорционально разности между предложением s и спросом & т.е. q‘ = k(s — d), k > 0. Предположим далее, что изменение цены р пропорционально отклонению актива q от некоторого фиксированного уровня qo, так что р‘ = —m(q — q()), m > 0. Таким образом, модель выравнивания цен по уровню актива имеет вид
^" = ^(з(р)-ф)),
У = -m{q - q0).
В документе, представленном ниже, приведено решение системы для s(p) = ap + so, d(p) = do + ср, /с = 0.3, m = 0.1, qo = 20, a = 20, so = 10, do = 50, c = -10 при начальном состоянии q(0) = 19, p(0) = 2.
Видно, что цена и актив колеблются возле стационарного состояния Q = Qo, Р =盡一‘°• Фазовая траектория представляет собой эллипс, a — с
охватывающий стационарную точку. Это означает, что колебания актива и цены гармонические.
Модель выравнивания цен
ORIGIN ：= 1
к ； 0.3 m ：= 0.1 q0 ：= 20
а ：= 20 sD ：= 10 с ：= -10 d0 ：= 50
s(p) ：= а р + s0 d(p) ：= с р + dO
x ;x ;192192F(t,x)F(t,x)
x ;
x ;
19
2
19
2
F(t,x)
F(t,x)
X 二 rkfixed(x/0>20J00/F)
АЛЛАЛЛ
АЛЛ
АЛЛ
ЗАДАНИЕ 4.14
Постройте графики решения и фазовые портреты динамической системы, моделирующей выравнивание цен по уровню актива
q' = k (s{p)-d{p)), р' = *(q - qo)
при заданных функциях спроса и предложения s(p), d(p) и при заданных значениях параметров модели. Найдите стационарное состояние и определите его характер. Исследуйте модель, изменяя ее параметры.
Порядок
выполнения задания
Установите режим автоматических вычислений.
Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1.
Определите параметры модели.
Введите выражения для вычисления значений функций спроса и предложения.一
Определите вектор-столбец начальных условий.
Определите вектор-столбец правых частей системы.
Выберите значение шага интегрирования h и вычислите количество шагов N интегрирования системы на отрезке Е, Xend] по формуле ^ =[回*刊■
Решите задачу Коши.
Изобразите соответствующую фазовую кривую и графики решения.
Исследуйте свойства решений при различных значениях параметров.
И. Определите векторы-столбцы начальных условий для каждого начального условия.
Решите соответствующие задачи, сохранив каждое решение в отдельной матрице.
Измените в рабочем документе параметры модели и опишите соответствующие изменения в свойствах решений.
Пример выполнения задания
Примерный вариант решения задачи для к = 0.3, m = 0.1, 如=20, S(P)= ар + «о, d(p) = ср + do, а = 20, s° = 10, d° = 50, с = —10 приведен выше.
ГЛАВА
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
5.1
ФУНКЦИИ И ИНСТРУМЕНТЫ MATHCAD
Прежде чем приступать к решению задач теории вероятностей в Mathcad, познакомимся с инструментами, которые предоставляет пакет для их решения.
Напомним, что дискретная случайная величина 3 принимающая значения xi <Х2 < ... <х» < ... с вероятностями pi,「2, • • •, R, • • •, может быть задана распределением —— таблицей вида
6
3
£2
g
• • ■
р
Р1
Р2
•»•
Pi
•»»
Pn
Такие таблицы в среде Mathcad удобно хранить в виде матрицы размерности 2 х п.
Функция распределения случайной величины, имеющей приведенное выше распределение, имеет вид
0,х < xi,
Р1,С1 <х<х2,
F{x} =Р1+Р2,工2 SC,
Pl + Р2 + •♦ • + Pn-1, ^п—1 V С < ^пу、1,^п W С*
Ниже приведен фрагмент рабочего документа с определением распределения случайной величины, ее функции распределения и графиком функции распределения для случайной величины, имеющей следующее распределение:
1
0
7
4
-2
p
0.1
0.5
0.1
0.1
0.2
Распределение случайной величины
ORIGIN ：= 1ORIGIN ：= 1-20147
ORIGIN ：= 1
ORIGIN ：= 1
А ；=
0.2 0.5 0.1 0.1 0.1
Функция распределения случайной величины
F(x)二F(x)二0 if - ® < х<А..
F(x)二
F(x)二
&1 汗 4.1 -Х<А1.2
(^2.1 + ^2.2)讦 Ad 2<X<Ad 3
(%1 + %2 + %3)" Ad 3<x<A1В4
(%1 + %2 + %3 + %4)" Ad 4^x<A15
1 И к"…
Функция распределения случайной величины, определенная другим способом
G(x) ：= 0 if -® <х<-2 0.2 if -2<х<0
0.2 + 0.5 if 0<х<1
0.2+ 0.5+0.1 if 1<х<4
0.2 + 0.5 + 0.1 +0.1 if 4<х<7
1 if 7<х<®
График функции распределения случайной величины
G(x)G(x)
G(x)
G(x)
У казание. Распределение случайной величины сохранено в матрице А: 4i,z ——значения случайной величины; Аг,г ——соответствующие вероятности; г = 1, 2, 3, 4, 5. Функцию распределения, заданную разными выражениями на разных интервалах изменения аргументов, можно определить следующим образом: разверните панель пр огр аммных элементов щелчком по кнопке | | и панель знаков
отношений — щелчком по кнопке |*| и не закрывайте их, пока не закончите определение функции. Введите имя функции переменной х и знак присваивания, щелкните в панели программных элементов по кнопке Add Une |, введите в помеченной позиции нуль, щелкните по кнопке | 1f | и введите неравенства, определяющие первый интервал изменения аргумента (символ оо можно ввести щелчком по соответствующей кнопке в панели ［像|); затем перейдите во вторую строку определения функции, введите Азд ——имя переменной, содержащей значение pi} или число 0.2 —значение pi, выделите, нажимая клавишу <Space>, выражение для функции, щелкните по кнопке 斤 ,введите неравенства, определяющие второй интервал изменения аргумента (знак можно ввести щелчком по соответствующей кнопке в панели отношений); выделите, нажимая клавишу <Space>, вторую строку определения функции, щелкните по кнопке *d Line и введите, действуя, как описано выше, определение функции на следующем интервале. В рабочем документе приведены два способа определения функции — с использованием имен переменных и с использованием конкретных значений этих переменных. Графики функций распределений построены стандартным для декартовых графиков способом. Следует помнить, что Mathcad не совсем корректно строит графики ступенчатых функций, соединяя отрезками прямых значения фунвд^ии в точке скачка. Более точный график функции распределения представляет собой отрезки, параллельные оси абсцисс, с "выколотым” правым концом.
Распределение дискретного случайного вектора
У1
续
Уп
金1
Р12
Pin
石2
Р21
Р22
Р2п
Pml
Pm2
Ртп
также удобно хранить в матрице размерности (т + 1) х (п + 1). Первому элементу первой строки этой матрицы присваивается нулевое значение, остальные элементы первой строки содержат значения случайной компоненты ту, элементы первого столбца ——значения случайной компоненты 3 а остальные элементы — соответствующие вероятности: элемент, расположенный в (j+1)-m столбце (г+1)-й строки содержит значение вероятности pij того, что случайный вектор (З7?) принимает значение (д,訪).
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с определением распределения дискретного случайного вектора, заданного следующей таблицей:
1
3
5
7
2
0.01
0.01
0.17
0.01
4
0.1
0.2
0.1
0.2
6
0.02
0.05
0.09
0.04
0
1
3
5
7
2
0.01
0.01
0.17
0.01
P 二
4
0.1
0.2
0.1
0.2
6
0.02
0.05
0.09
0.04
Для вычислений со случайными величинами (непрерывными и дискретными) в Mathcad есть богатая библиотека встроенных функций наиболее распространенных стандартных распределений. Каждое распределение представлено в библиотеке тремя функциями — плотностью вероятностей, функцией распределения и функцией, обратной к функции распределения.
Например, для работы с нормальным распределением предназначены функции dnorm(x,^,tT), pnorm(x,〃,o) и qnorm(x,〃,o). Значением функции dnorm(x,〃,o) является значение в точке 七 плотности вероятностей случайной величины 3 имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием М{ = 〃 и дисперсией D& = а2; значение функции pnorm(x,^,tT)— значение функции распределения этой же случайной величины §; значением функции qnorm(p,〃,o) служит решение уравнения F(w) =р, где F(w) ——функция распределения, определенная функцией pnorm(x,^,tT), т.е. значением qnorm(p,〃,o) является квантиль уровня р нормально распределенной случайной величины. Имена всех встроенных функций, определяющих плотности вероятностей, начинаются с буквы d, определяющих функции распределения — с буквы р, определяющих квантили — с буквы q.
Ниже приведены список всех распределений, представленных в библиотеке Mathcad, и имена соответствующих функций:
бета-распределение — dbeta(x,si,S2), pbeta(x,si,S2)? qbeta(p,Si,S2); биномиальное распределение — dbinom(k,n,p), pbinom(k,n,p), qbinom(p,n,r); распределение Коши — dcauchy(x,l,s), pcauchy(x,l,s), dcauchy(p,l,s);
у2-распределение ——dchisq(x,d), pchisq(x,d), qchisq(p,d); экспоненциальное распределение — dexp(x,r), pexp(x, r), qexp(p,r); распределение Фишера (F-распределение) — dF(x,d，d2), pF(x,di,d2),
qF(p,di,d2);
гамма-распределение — dgamma(x,s), pgamma(x,s), qgamma(p,s); геометрическое распределение — dgeom(x,p), pgeom(x,p), qgeom(p,r); логнормальное распределение —— dlnorm(x,〃,o), р1погт(х,д,сг), qlnorm(p,^,cr); логистическое распределение — dlogis(x,l,s), plogis(x,l,s), qlogis(pj,s);
отрицательное биномиальное распределение — dnbinom(k,n,p), pnbinom(k,n,p), qnbinom(p,n,r);
нормальное распределение ——dnorm(x,〃,o), рпогт(х,д,сг), qnorm(p,^,cr);
распределение Пуассона— dpois(x,A), ppois(x,A), qpois(p,A);
распределение Стьюдента — dt(x,d), pt(x,d), qt(p,d);
равномерное распределение ——dunif(x,a,b), punif(x,a,b), qunif(p,a,b); распределение Вейбулла— dweibull(x,s), pweibull(x,s), qweibull(p,s).
Ниже приведены графики и вычисления, демонстрирующие некоторые свойства функций, связанных со стандартным нормальным распределением N(0,l).
р(х) ：= dnorm(x,0,1) плотность вероятностей
F(x) ； pnorm(x,0,1) функция распределения
X
а ：= qnorm(0.1,0,1) а 二-1.282 рпогт(а,0,1) = 0.1
Кроме того, в библиотеке встроенных функций Mathcad, естественно, есть функция Лапласа erfz = — / е^ dt. Для вычисления числовых 4 о
характеристик дискретных и непрерывных случайных величин применяются операторы интегрирования и дифференцирования, вычисления конечных сумм и суммирования рядов, которые вызываются щелчком мыши по кнопке в панели [Ж] и заполнением соответствующих помеченных полей. Примеры использования этих операций при решении задач теории вероятностей приведены в последующих разделах этой главы.
5.2
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Теория вероятностей изучает математические модели случайных явлений окружающего нас мира. Одно из центральных понятий теории вероятностей ——понятие случайной величины. Случайной величиной
называется числовая функция, заданная на множестве случайных событий.
Например, случайной величиной является число очков, выпавших при бросании игральной кости, или рост случайно выбранного из учебной группы студента. В первом случае мы имеем дело с дискретной случайной величиной (она принимает значения из дискретного числового множества*) М = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; во втором случае — с непрерывной случайной величиной (она принимает значения из непрерывного числового множества ——из промежутка числовой прямой I = [100, 230]). В дальнейшем случайные величины будем обозначать греческими буквами.
Функция распределения случайной величины
Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.
Если £ — случайная величина, то функция F(c)=呉(土)=尸任 < с) называется функцией распределения случайной величины 《. Здесь 尸(£ < х)——вероятность того, что случайная величина £ принимает значение, меньшее 6.
Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:
F(c) определена на всей числовой прямой R;
F⑺ не убывает, т.е. если g < 也 то F(a；i) < F®)；
F(—оо) = 0 и F(+oo) = 1, т.е. lim F(c) = 0 и lim F(x) = 1;
X->-00土 T+8
F(x) непрерывна слева, т.е. lim F(c) = F(co).
x^xq-0
Важно понимать, что функция распределения является "паспортом" зунайной величины: она содержит всю информацию об этой случайной величине, и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения^ которую часто называют просто распределением. Так что когда говорят о нормальном распределении^ то подразумевают случайную величину, имеющую нормальную функцию распределения. В дальнейшем будем использовать термин распределение.
У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, в приведенном ниже фрагменте рабочего документа Mathcad определена функция распределения числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости.
* Дискретным называется множество, состоящее из конечного или счетного числа элементов.
F(x)：=F(x)：=О If -»<х<1О If -»<х<1
F(x)：=
F(x)：=
О If -»<х<1
О If -»<х<1
2 if 1<х<2 6
if 2<х<3if 2<х<31 1 _ + _ 6 6
if 2<х<3
if 2<х<3
1 1 1 _ + _ + _ 6 6 6
」+丄+1+丄if 5<х<6
6 6 6 6 6
1 if 6<x<«>
Указание. Следует отметить, что Mathcad, изображал ступенчатые функции, соединяет отрезком прямой значения функции в тоннах разрыва. Разрывные функции принято изображать иначе — помечая стрелкой налравление разрыва (стрелка вправо — функция непрерывна в точке справа, стрелка влево — для точек, где функция непрерывна слева). На рис. 5.1 приведен график функции распределения в общепринятом виде.
Если функция распределения 凡(с) непрерывна, то случайная величина £ называется непрерывной случайной величиной. Если функция распределения 凡(с) непрерывно дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине &ает плотность вероятности случайной величины р^(ж), которая связана с функцией распределения *(/) формулами
竣(e) = / &(力)山 и P^)="号网—ОО
Рис. 5.1. График функции распределения, исправленный в графическом редактореРис. 5.1. График функции распределения, исправленный в графическом редакторе
Рис. 5.1. График функции распределения, исправленный в графическом редакторе
Рис. 5.1. График функции распределения, исправленный в графическом редакторе
Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины
8
/ р《х) dx = 1.
-ОО
Если § — дискретная случайная величина, принимающая значения ①匕 物 …，瑞，… с вероятностями pi, />2, •■., Рг, ..., то таблица вида
Z1£2Р1Р2Z1£2Р1Р2g.>.Pig.>.Pi
Z1
£2
Р1
Р2
Z1
£2
Р1
Р2
g
.>.
Pi
g
.>.
Pi
называется рядом распределения дискретной случайной величины или просто распределением дискретной случайной величины. В практических задачах именно такая форма представления распределения наиболее удобна.
Вероятность того, что значение случайной величины f попадает в интервал (а, Ь), вычисляется для непрерывной случайной величины по формуле
Р(а <^ <b) F^b) - F^a)=
а а для дискретной случайной величины ——по формуле
Р(а < С < 6) = £ Рз
修 €(%Ь)
Наиболее распространенные распределения дискретных случайных величин
Познакомимся с дискретными случайными величинами, которые чаще всего используются при решении практических задач со случайными
378378Глава 5. Теория вероятностей величинами, имеющими биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое и пуассоновское распределения.
378
378
Биномиальное распределение (схема Бернулли). Пусть проводится серия из п независимых испытаний, каждое из которых заканчивается либо 11 успехом11, либо "неуспехом". Пусть в каждом испытании (опыте) вероятность успеха р, а вероятность неудачи — q = \ — р. С таким испытанием можно связать случайную величину 3 равную числу успехов в серии из п испытаний. Эта величина принимает целые значения от 0 до п. Ее распределение называется биномиальным и определяется формулой Бернулли где
о <р < 1, q=l-p, /с = 0, 1,с^ = М(п/)!，
Нетрудно убедиться, что £ Pk = L
В Mathcad для вычисления плотности вероятности и функции распределения случайной величины, имеющей биномиальное распределение, предназначены функции dbinom(k,n,p) и pbtnom(k,п,р), значения которых — соответственно 伙 и R(k).
Геометрическое распределение. Со схемой испытаний Бернулли можно связать еще одну случайную величину: т/ ——число испытаний до первого успеха. Эта величина принимает бесконечное множество значений от 0 до +оо, и ее распределение определяется формулой
Рк = Р^ = Л) = qkp, А: = 0, 1,..., 0 <р < 1, q = l-p.
Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической ОО прогрессии, легко показать, что £ 弘=L fc=0
В Mathcad для вычисления плотности вероятности и функции распределения случайной величины, имеющей геометрическое распределение, предназначены функции dgeom(k,p) и pgeom(k,p), значения которых —соответственно рк и F(k).
Гипергеометрическое распределение. Пусть в партии из N изделий имеется М (М < N) доброкачественных и (N — М) дефектных изделий. Если случайным образом из всей партии выбрать контрольную партию из п изделий, то число доброкачественных изделий в этой
партии будет случайной величиной, которую обозначим & Ее распределение имеет вид:
Pk = P(£ = k) = См^^-、М, k = 0,1,min(ri)Af),
и называется гипергеометрическим. Для любых значений параметров, min(n,M)
входящих в распределение параметров, £ Pk = ^-
儿=0
В Mathcad нет встроенных функций для вычисления плотности вероятности и функции распределения случайной величины, имеющей гипергеометрическое распределение. При необходимости эти функции можно определить по приведенным выше формулам.
Пуассоновское распределение. Пуассоновское распределение имеет случайная величина //, принимающая значения А: — 0,1, 2,... с вероятностями
Рк = Р(〃 = %) = 7? % = 0,1,2,…，
где А > 0 — параметр пуассоновского распределения. При любых А > 0 ОО
£рк = 1・
В Mathcad для вычисления плотности вероятности и функции распределения случайной величины, имеющей пуассоновское распределение, предназначены функции dpois(k,А) и ppois(k,A), значения которых —соответственно р^ и F(k).
ЗАДАНИЕ 5.1
Для указанных значений параметров вычислите и постройте графически биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое и пуассоновское распределения. Проверьте для них равенство £pjt = 1.
Постройте графики функций распределения. Вычислите вероятность попадания значений случайной величины в указанный интервал. Для каждого распределения найдите значение к, для которого величина 尸(£ = к) максимальна. Исследуйте зависимость этой вероятности от параметров распределения.
Порядок выполнения задания
Введите параметры распределения.
Определите интервал изменения значений случайной величины.
Определите вектор, номера компонент которого равны значе- .ниям случайной величины, и присвойте компонентам вектора значения вероятности соответствующих значений.
Определите функцию распределения случайной величины.
Постройте графики распределения и функции распределения случайной величины.
Найдите по графику наиболее вероятное значение случайной величины.
Введите в рабочий документ наибольшее значение вероятности (значение вероятности в точке, вычисленной в предыдущем пункте).
Вычислите сумму всех значений вероятностей.
Вычислите вероятность попадания значения случайной величины в указанный интервал как разность соответствующих значений функции распределения.
Измените значения параметров распределения и повторите вычисления. Сравните полученные результаты.
Выполните вычисления пп. 1-10 для всех приведенных в задании распределений.
Пример выполнения задания
Постройте биномиальное распределение для серии из 20 независимых испытаний с вероятностью успеха р = 0.4, 0.6, 0.8. Постройте графики распределения и функций распределения. Для р = 0.4 найдите значение к, для которого величина Р(§ = к) максимальна. Проверьте равенство £рк = 1. Вычислите вероятность попадания значений случайной к
величины в интервал (1, 5).
Постройте пуассоновское распределение с параметром А = 0.2, 0.4, гипергеометрическое распределение для N = 30, М = 10, п = 10, геометрическое распределение с такими же параметрами, что и биномиальное (р = 0.4). Проверьте равенство £pjt = L Постройте график
ки распределения и функций распределения. Вычислите вероятность попадания значений случайной величины в интервал (1, 5) для всех распределений, кроме гипергеометрического. Вычислите вероятность попадания значений случайной величины, имеющей гипергеометрическое распределение, в интервал (1, 2). Для каждого распределения найдите значение fc, для которого величина Р(§ = к) максимальна.
Фрагмент рабочего документа, содержащий вычисления для биномиального распределения, приведен ниже.
к ：= 0 20к ：= 0 20Р4к ：= dbinom(k,20,0.4)Р6к ：= dbinom(к,20,0.6)Р8 ：= dbinom(k,20>0.8)Р4к ：= dbinom(k,20,0.4)Р6к ：= dbinom(к,20,0.6)Р8 ：= dbinom(k,20>0.8)F4(k) ：= pbinomtk^O^OJ)F6(k) ：= pbinom(k,20,0.6)F8(k) ：= рЬтотСк^О.О.»)F4(k) ：= pbinomtk^O^OJ)F6(k) ：= pbinom(k,20,0.6)F8(k) ：= рЬтотСк^О.О.»)
к ：= 0 20
к ：= 0 20
Р4к ：= dbinom(k,20,0.4)
Р6к ：= dbinom(к,20,0.6)
Р8 ：= dbinom(k,20>0.8)
Р4к ：= dbinom(k,20,0.4)
Р6к ：= dbinom(к,20,0.6)
Р8 ：= dbinom(k,20>0.8)
F4(k) ：= pbinomtk^O^OJ)
F6(k) ：= pbinom(k,20,0.6)
F8(k) ：= рЬтотСк^О.О.»)
F4(k) ：= pbinomtk^O^OJ)
F6(k) ：= pbinom(k,20,0.6)
F8(k) ：= рЬтотСк^О.О.»)
20
X P4k 二 1F4(5) - F4(1)二 0.125
k= 0
Указание. Для того чтобы определить по графику распределения наиболее вероятное значение случайной величины, щелкните в меню Format (Формат) в пункте Graph (График) по строке Trace (Следование), установите перекрестье маркера на точке максимума распределения и выведите в рабочий документ вероятность значения, указанного в окне X-Value (Величина X). Для исследуемой случайной величины наиболее вероятное значение равно 8, вероятность этого события равна 0.18.
Фрагмент рабочего документа, содержащий вычисления для пуассоновского распределения, приведен ниже.
к ：= 0 20 Р2к ：= dpois(kz0.2) F2(k) := ppMs(k,0・2)
Р4к ：= dpois(k,0.4) F4(k) ：= ppois(k,0.4)
20
X P2k = 1F2(5) - F2(1) = 0.018
k= 0
Как видно из рисунка, наиболее вероятное значение случайной величины нулевое; вероятность того, что случайная величина при А = 0.2 примет нулевое значение, равна 0.0819.
Фрагмент рабочего документа, содержащий вычисления для гипергеометрического распределения, приведен ниже.
р := 0.4 N ：= 30 М := 10 п ：= 10 к ：= 04
Указание. В отличие от остальных распределений здесь распределение и функцию распределения пришлось вычислять по формулам, а не с помощью встроенных функций Mathcad.
Фрагмент рабочего документа, содержащий вычисления для геометрического распределения, приведен ниже.
к ：= 0.. 20 Рк ：= dgeom(k,0.4) F(k):二 pgeom(k,0.4)
01 2345678 9 1011121314151617181920к
20
Ро = 0.4Z Рк = 1F(5) - F(1) = 0.313
к= 0
Наиболее вероятное значение случайной величины нулевое, вероятность этого значения равна 0.4.
5.3
ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ДЛЯ БИНОМИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Теорема Пуассона
При большом количестве испытаний вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Однако в ряде случаев их можно заменить более простыми асимптотическими формулами. Одна из них основана на теореме Пуассона, утверждающей следующее. Если число испытаний п т оо и р т 0 так, что пр т * А > 0, то 尸(f = к)= C%kqn-1c трд： = —-е~л при любых А: = 0, 1, 2,... Это означает, что при больших п и малых р вместо вычислений по точной формуле
口『)=脸寸
можно воспользоваться приближенной формулой
尸代=к)= 噂с—”
ЗАДАНИЕ 5.2 Исследуйте для приведенного в задании эксперимента точность асимптотической формулы Пуассона.
Порядок выполнения задания
Вычислите требуемые вероятности по формуле Бернулли.
Вычислите требуемые вероятности по формуле Пуассона.
Сравните полученные результаты.
Пример выполнения задания
В здании 1000 лампочек. Вероятность р выхода из строя одной лампочки в течение года равна 0.003. Найдите вероятность того, что в течение одного года выйдет из строя не менее трех
ламп, используя формулу 尸(§ > 3) = 1 -尸(§ < 3) = 1 -竣(3) для биномиального распределения и по приближенной формуле Пуассона 尸(从 > 3) = 1 —尸(从 < 3) = 1 — -/^(3) для случайной величины 〃，имеющей распределение Пуассона с параметром X — пр = 3. Здесь § — случайная величина, значения которой равны числу ламп, вышедших из строя в течение года. Для сравнения вычислите по формуле Бернулли и по формуле Пуассона для 入=пр = 2 вероятность того же события, когда в здании 10 лампочек и вероятность р отказа в течение года для одной лампочки равна 0.2. Сравните результаты.
Фрагмент рабочего документа Mathcad с решением задачи приведен ниже.
РВ ：= 1 - pbinom(3/1000^0.003)
РР ：= 1 - ppois(3,3)РР ：= 1 - ppois(3,3)РР 二 0.353РР 二 0.353
РР ：= 1 - ppois(3,3)
РР ：= 1 - ppois(3,3)
РР 二 0.353
РР 二 0.353
РВ10 ：= 1 - pbinom(3? 10,0.2)РВ10 ：= 1 - pbinom(3? 10,0.2)РВ10 = 0.121РВ10 = 0.121
РВ10 ：= 1 - pbinom(3? 10,0.2)
РВ10 ：= 1 - pbinom(3? 10,0.2)
РВ10 = 0.121
РВ10 = 0.121
РР10 ：= 1 - ppois(3.2)РР10 ：= 1 - ppois(3.2)РР10 = 0.143РР10 = 0.143
РР10 ：= 1 - ppois(3.2)
РР10 ：= 1 - ppois(3.2)
РР10 = 0.143
РР10 = 0.143
Из приведенных вычислений видно, что в первом случае (п = 1000, р = 0.003) результаты вычислений по точной и асимптотической формулам совпадают, а во втором (п = 10, р = 0.2) —— отличаются.
Локальная теорема Муавра — Лапласа
На практике пуассоновским приближением пользуются при npq < 9. Если npq > 9, то для расчетов используют приближение в соответствии с теоремой Муавра — Лапласа.
rnpqrnpqПусть 0 < р < 1 и величина 工兀=七^!2f ограничена при п -> оо, тогда
rnpq
rnpq
Требование ограниченности величины 工兀 означает, что при 71Toо величина к тоже должна расти вместе с величиной п. Точность формулы
растет как с ростом величин пик, так и по мере приближения величин
1 Р и g к -.
ЗАДАНИЕ 5.3
Исследуйте для указанных значений параметров биномиального распределения точность асимптотической формулы Муавра — Лалласа.
Порядок выполнения задания
Вычислите требуемые вероятности по формуле Бернулли.
Вычислите требуемые вероятности по интегральной формуле Муавра — Лапласа.
Сравните полученные результаты.
Пример выполнения задания
Для п = 10, 20, 50 и для р = 0.5, 0.3, 0.2 вычислите вероятность того, что случайная величина, имеющая биномиальное распределение, принимает значение, равное 皆 Проведите вычисления по формуле Бернулли и по приближенной формуле Муавра ——Лалласа. Сравните результаты.
Фрагмент рабочего документа Mathcad с решением задачи приведен ниже.
п ：= 10 к -
2
РВ1 := dbinom(k>n>0.5) РВ2 := dbinom(k^n>0.3)
РВЗ ：= dbinom(k^n>0.2)
* к - п О.5_ к - п-0.3_ к - п-0.2
х1 ：= ，•；，“，，，. х2 ：=— хЗ :=二 — 一
Jn 0.5 -0.57n 0-3 0.7Jn 0.2 0.8
PB1 = 0.246PB2 = 0.103PB3 = 0.026
PM1 二 0.252PM2 = 0.106PM3 二 0.019
n ：= 20 к =— 2
PB1 ：= dbinom(k/n,0.5) PB2 := dbinom(k>n>0.3)
PB3 ：= dbinom(k>n>0.2)
* k - n-0.5x1 ：=—Jn -0.5-0.5* k - n-0.5x1 ：=—Jn -0.5-0.5_ k - n-0.3*2 :二 一；Jn -0.3 -0.7_ k - n-0.3*2 :二 一；Jn -0.3 -0.7хз = J^H£Jn *0.2 -0.8хз = J^H£Jn *0.2 -0.8exP*PM1 ：= t '42-я-п-0.5-0.5exP*PM1 ：= t '42-я-п-0.5-0.5PM2 :: 丁，…' JJ2-»n0.3-0.7PM2 :: 丁，…' JJ2-»n0.3-0.7PM3：= v /42-я-п-0.2 0.8PM3：= v /42-я-п-0.2 0.8РВ1 =0.176РВ1 =0.176РВ2 = 0.031РВ2 = 0.031РВЗ = 2.031 -10-3РВЗ = 2.031 -10-3РМ1 =0.178РМ1 =0.178РМ2 = 0.029РМ2 = 0.029РМЗ =8.043*10РМЗ =8.043*10п ：= 50п ：= 50пп22
* k - n-0.5
x1 ：=—
Jn -0.5-0.5
* k - n-0.5
x1 ：=—
Jn -0.5-0.5
_ k - n-0.3
*2 :二 一；
Jn -0.3 -0.7
_ k - n-0.3
*2 :二 一；
Jn -0.3 -0.7
хз = J^H£
Jn *0.2 -0.8
хз = J^H£
Jn *0.2 -0.8
exP*
PM1 ：= t '
42-я-п-0.5-0.5
exP*
PM1 ：= t '
42-я-п-0.5-0.5
PM2 :: 丁，…' J
J2-»n0.3-0.7
PM2 :: 丁，…' J
J2-»n0.3-0.7
PM3：= v /
42-я-п-0.2 0.8
PM3：= v /
42-я-п-0.2 0.8
РВ1 =0.176
РВ1 =0.176
РВ2 = 0.031
РВ2 = 0.031
РВЗ = 2.031 -10-3
РВЗ = 2.031 -10-3
РМ1 =0.178
РМ1 =0.178
РМ2 = 0.029
РМ2 = 0.029
РМЗ =8.043*10
РМЗ =8.043*10
п ：= 50
п ：= 50
п
п
2
2
РВ1 ：= dbinom(k>n>0.5) РВ2 ：= dbinom(k>n,0.3)
РВЗ ：= dbinom(k,n>0.2)
0.5 0.50.5 0.5_ k - n -0.3x2 ：=，,/Jn -0.3-0.7_ k - n -0.3x2 ：=，,/Jn -0.3-0.77 二”2Jn *0.2 *0.87 二”2Jn *0.2 *0.8
0.5 0.5
0.5 0.5
_ k - n -0.3x2 ：=，,
/Jn -0.3-0.7
_ k - n -0.3x2 ：=，,
/Jn -0.3-0.7
7 二”2Jn *0.2 *0.8
7 二”2Jn *0.2 *0.8
PM1 ：=、42-я-п-0.5-0.5PM1 ：=、42-я-п-0.5-0.5ё即俘PM2 ：= ,\/.42-я-п-0.3'0.7ё即俘PM2 ：= ,\/.42-я-п-0.3'0.7рмз：= TLл|2вЯ'П*0.2-0.8рмз：= TLл|2вЯ'П*0.2-0.8
PM1 ：=、
42-я-п-0.5-0.5
PM1 ：=、
42-я-п-0.5-0.5
ё即俘
PM2 ：= ,\/.
42-я-п-0.3'0.7
ё即俘
PM2 ：= ,\/.
42-я-п-0.3'0.7
рмз：= TL
л|2вЯ'П*0.2-0.8
рмз：= TL
л|2вЯ'П*0.2-0.8
РВ1 =0.112РВ1 =0.112РВ2 = 1.436d0~3РВ2 = 1.436d0~3РВЗ = 1.602 do-6РВЗ = 1.602 do-6РМ1 =0.113РМ1 =0.113РМ2 = 1.053»10~3РМ2 = 1.053»10~3РМЗ = 1.102 «Ю-7РМЗ = 1.102 «Ю-7
РВ1 =0.112
РВ1 =0.112
РВ2 = 1.436d0~3
РВ2 = 1.436d0~3
РВЗ = 1.602 do-6
РВЗ = 1.602 do-6
РМ1 =0.113
РМ1 =0.113
РМ2 = 1.053»10~3
РМ2 = 1.053»10~3
РМЗ = 1.102 «Ю-7
РМЗ = 1.102 «Ю-7
Приведенные вычисления полностью подтверждают теоретические утверждения: погрешность аппроксимации уменьшается с ростом п и по мере приближения р и q к 0.5.
Интегральная теорема Муавра ——Лапласа
Пусть 0 <р< 1, тогда для случайной величины, имеющей биномиальное ргьспределение с параметром р, при п -> оо для любых а и b справедлива формула
ььаа尸腔濡4А尸腔濡4Аexp (-万)da;exp (-万)da;
ь
ь
а
а
尸腔濡4А
尸腔濡4А
exp (-万)da;
exp (-万)da;
Это означает следующее. Для вычисления вероятности того, что число успехов в 几 испытаниях Бернулли заключено между 比 и 后, можно использовать формулу
尸("1 < € < а；2)«尸("1 < € < а；2)«dt =①(效)-Ф(з；1),dt =①(效)-Ф(з；1),土 1土 1
尸("1 < € < а；2)«
尸("1 < € < а；2)«
dt =①(效)-Ф(з；1),
dt =①(效)-Ф(з；1),
土 1
土 1
где ①(①)= ехр(一万)必 一 функция Лапласа; g = 今几^;数 =
—00-
Точность этой приближенной формулы растет с ростом п. Если npq сравнительно невелико, то лучшее приближение дает формула
Р(а<Р(а<£ — пр <£ — пр <fnpqfnpqь)ь)
Р(а<
Р(а<
£ — пр <
£ — пр <
fnpq
fnpq
ь)
ь)
т.е. для вычисления вероятности того, что число успехов в п испытаниях Бернулли заключено между 航 м ”2, можно использовать формулу
р因р因
р因
р因
fci — пр卜2 一 пр
где1 ,数—~/——•
\/npqy/npq
В Mathcad для вычисления значений ①(①)предназначена функция pnorm(x,0) 1).
ЗАДАНИЕ 5.4
Исследуйте для указанного биномиального распределения точность интегральной формулы Муавра — Лапласа.
Порядок выполнения задания
Вычислите требуемые вероятности по формуле Бернулли.
Вычислите требуемые вероятности по интегральной формуле Муавра — Лапласа.
Вычислите требуемые вероятности по модифицированной интегральной формуле Муавра ——Лапласа.
Сравните полученные результаты.
Пример выполнения заданияВероятность рождения мальчика р = 0.51, а девочки — q = 1 —р = 0.49. Найти вероятность того, что среди 10000 новорожденных мальчиков будет не менее 4 000 и не более 5 000. Проведите вычисления по формуле Бернулли и по приближенным интегральным формулам Муавра —— Лапласа. Сравните результаты.Фрагмент рабочего документа Mathcad с решением задачи приведен ниже.Пример выполнения заданияВероятность рождения мальчика р = 0.51, а девочки — q = 1 —р = 0.49. Найти вероятность того, что среди 10000 новорожденных мальчиков будет не менее 4 000 и не более 5 000. Проведите вычисления по формуле Бернулли и по приближенным интегральным формулам Муавра —— Лапласа. Сравните результаты.Фрагмент рабочего документа Mathcad с решением задачи приведен ниже.р ：= 0.51 q ：= 1 - р п ：= 10000 к1 := 4000 k2 ：= 5000р ：= 0.51 q ：= 1 - р п ：= 10000 к1 := 4000 k2 ：= 5000РВ ：= pbinom(k2? n, р) - pbinom(k1, и, р)РВ ：= pbinom(k2? n, р) - pbinom(k1, и, р)РВ = 0.023РВ = 0.023丄 k1 - прx1 ：=Jnpq丄 k1 - прx1 ：=JnpqPM ：= рпогт(х2/0/1) - pnorm(x1/0J 1)PM ：= рпогт(х2/0/1) - pnorm(x1/0J 1)РМ = 0.023РМ = 0.023k1 - прa ：=…」Jnpqk1 - прa ：=…」Jnpqk2 - п р Jnpqk2 - п р Jnpq2小р q2小р qРМ1 ：= рпогт(Ы/0> 1) - рпогт(а1/0/1)РМ1 ：= рпогт(Ы/0> 1) - рпогт(а1/0/1)РМ1 = 0.023РМ1 = 0.023Приведенные вычисления полностью подтверждают теоретические утверждения: приближенные значения вероятностей совпадают с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли.Приведенные вычисления полностью подтверждают теоретические утверждения: приближенные значения вероятностей совпадают с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли.Теорема БернуллиТеорема БернуллиМногие важные задачи, связанные со схемой Бернулли, решаются с помощью теоремы Бернулли. Так, если £ — число успехов в п испытаниях Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании р, 0 < р < 1, то для любого е > 0Многие важные задачи, связанные со схемой Бернулли, решаются с помощью теоремы Бернулли. Так, если £ — число успехов в п испытаниях Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании р, 0 < р < 1, то для любого е > 0lim Р п—>ооlim Р п—>оо1.1.
Пример выполнения задания
Вероятность рождения мальчика р = 0.51, а девочки — q = 1 —р = 0.49. Найти вероятность того, что среди 10000 новорожденных мальчиков будет не менее 4 000 и не более 5 000. Проведите вычисления по формуле Бернулли и по приближенным интегральным формулам Муавра —— Лапласа. Сравните результаты.
Фрагмент рабочего документа Mathcad с решением задачи приведен ниже.
Пример выполнения задания
Вероятность рождения мальчика р = 0.51, а девочки — q = 1 —р = 0.49. Найти вероятность того, что среди 10000 новорожденных мальчиков будет не менее 4 000 и не более 5 000. Проведите вычисления по формуле Бернулли и по приближенным интегральным формулам Муавра —— Лапласа. Сравните результаты.
Фрагмент рабочего документа Mathcad с решением задачи приведен ниже.
р ：= 0.51 q ：= 1 - р п ：= 10000 к1 := 4000 k2 ：= 5000
р ：= 0.51 q ：= 1 - р п ：= 10000 к1 := 4000 k2 ：= 5000
РВ ：= pbinom(k2? n, р) - pbinom(k1, и, р)
РВ ：= pbinom(k2? n, р) - pbinom(k1, и, р)
РВ = 0.023
РВ = 0.023
丄 k1 - пр
x1 ：=
Jnpq
丄 k1 - пр
x1 ：=
Jnpq
PM ：= рпогт(х2/0/1) - pnorm(x1/0J 1)
PM ：= рпогт(х2/0/1) - pnorm(x1/0J 1)
РМ = 0.023
РМ = 0.023
k1 - пр
a ：=…」
Jnpq
k1 - пр
a ：=…」
Jnpq
k2 - п р Jnpq
k2 - п р Jnpq
2小р q
2小р q
РМ1 ：= рпогт(Ы/0> 1) - рпогт(а1/0/1)
РМ1 ：= рпогт(Ы/0> 1) - рпогт(а1/0/1)
РМ1 = 0.023
РМ1 = 0.023
Приведенные вычисления полностью подтверждают теоретические утверждения: приближенные значения вероятностей совпадают с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли.
Приведенные вычисления полностью подтверждают теоретические утверждения: приближенные значения вероятностей совпадают с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли.
Теорема Бернулли
Теорема Бернулли
Многие важные задачи, связанные со схемой Бернулли, решаются с помощью теоремы Бернулли. Так, если £ — число успехов в п испытаниях Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании р, 0 < р < 1, то для любого е > 0
Многие важные задачи, связанные со схемой Бернулли, решаются с помощью теоремы Бернулли. Так, если £ — число успехов в п испытаниях Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании р, 0 < р < 1, то для любого е > 0
lim Р п—>оо
lim Р п—>оо
1.
1.
Это означает, что с ростом числа испытаний 几 относительная
частота успехов - приближается к вероятности р успеха в одном
испытании.
Определим, сколько нужно произвести испытаний, чтобы отклонение относительной частоты успехов 串 от вероятности р было меньше £ с вероятностью, большей или равной 0, т.е. найдем п, для которого выполняется неравенство
Р信/ <£"仇
Доказало, что число п обеспечивает выполнение этого неравенства, если оно удовлетворяет соотношению
П-4^
где N° — решение уравнения ①(咽=斗旦
Следует обратить особое внимание на замечательный факт — искомое значение п не зависит от р и поэтому формулой п > £^/(4后2) следует пользоваться для оценки минимально необходимого числа испытаний при неизвестной вероятности р. Если вероятность р изначально известна, то необходимое число испытаний определяется формулой тг 之困吗/
В Mathcad значение корня для уравнения Ф(х) =р дает функция qnorm(p,0,l).
ЗАДАНИЕ 5.5
Найдите наименьшее число испытаний Бернулли, необходимое для того, чтобы с вероятностью, не меньшей заданной, можно принять относительную частоту успехов за вероятность успеха в одном испытании с погрешностью, не превышающей заданную.
Порядок выполнения задания
Введите условия задачи ——значения погрешности и вероятности.
Залипште уравнение для вычисления величины £小
Вычислите требуемое число испытаний.
Пример выполнения задания
Производитель утверждает, что вероятность отрицательного отношения покупателя к новому товару невелика. Сколько нужно опросить человек, чтобы с вероятностью не менее 0.9 можно было утверждать, что относительная частота отрицательного отношения к новому товару отличается от заявленной производителем не более чем на 0.01.
Фрагмент рабочего документа Mathcad с решением задачи приведен ниже.
JB ：= 0.9JB ：= 0.9£ ：= 0.01£ ：= 0.011 +в р 二21 +в р 二2xjB ：= qiwimgOJ) n ：= _-4 JxjB ：= qiwimgOJ) n ：= _-4 Jn =6.764*10n =6.764*10п ：= 6764п ：= 6764Указание. Для того чтобы ввестиУказание. Для того чтобы ввестив рабочий документ буквы греческогов рабочий документ буквы греческогоалфавита, щелкните по нужной кнопке в панели греческого алфавита, котораяалфавита, щелкните по нужной кнопке в панели греческого алфавита, котораяоткрывается щелчком по кнопке Искомое значение п = 6764.открывается щелчком по кнопке Искомое значение п = 6764.в панели математических инструментов.в панели математических инструментов.5.4НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ5.4НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫНаиболее распространенные распределения непрерывных случайных величинНаиболее распространенные распределения непрерывных случайных величинРавномерное распределение. Непрерывная случайная величина §, принимающая значения на отрезке [а,班 распределена равномерно на [а沟，если плотность распределения р§(±) и функция распределения случайной величины § имеют соответственно вид:Равномерное распределение. Непрерывная случайная величина §, принимающая значения на отрезке [а,班 распределена равномерно на [а沟，если плотность распределения р§(±) и функция распределения случайной величины § имеют соответственно вид:р《(с)= <р《(с)= <'0, х [а, Ь],1二「川 %⑵=(Ie，се[а，ь)，'0, х [а, Ь],1二「川 %⑵=(Ie，се[а，ь)，'0,х < а,о — а、1,X >Ь.'0,х < а,о — а、1,X >Ь.Ниже приведены построенные в Mathcad графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины 3 принимаю-Ниже приведены построенные в Mathcad графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины 3 принимаю-
JB ：= 0.9
JB ：= 0.9
£ ：= 0.01
£ ：= 0.01
1 +в р 二
2
1 +в р 二
2
xjB ：= qiwimgOJ) n ：= _-
4 J
xjB ：= qiwimgOJ) n ：= _-
4 J
n =6.764*10
n =6.764*10
п ：= 6764
п ：= 6764
Указание. Для того чтобы ввести
Указание. Для того чтобы ввести
в рабочий документ буквы греческого
в рабочий документ буквы греческого
алфавита, щелкните по нужной кнопке в панели греческого алфавита, которая
алфавита, щелкните по нужной кнопке в панели греческого алфавита, которая
открывается щелчком по кнопке Искомое значение п = 6764.
открывается щелчком по кнопке Искомое значение п = 6764.
в панели математических инструментов.
в панели математических инструментов.
5.4
НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
5.4
НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Наиболее распространенные распределения непрерывных случайных величин
Наиболее распространенные распределения непрерывных случайных величин
Равномерное распределение. Непрерывная случайная величина §, принимающая значения на отрезке [а,班 распределена равномерно на [а沟，если плотность распределения р§(±) и функция распределения случайной величины § имеют соответственно вид:
Равномерное распределение. Непрерывная случайная величина §, принимающая значения на отрезке [а,班 распределена равномерно на [а沟，если плотность распределения р§(±) и функция распределения случайной величины § имеют соответственно вид:
р《(с)= <
р《(с)= <
'0, х [а, Ь],
1二「川 %⑵=(
Ie，се[а，ь)，
'0, х [а, Ь],
1二「川 %⑵=(
Ie，се[а，ь)，
'0,х < а,
о — а
、1,X >Ь.
'0,х < а,
о — а
、1,X >Ь.
Ниже приведены построенные в Mathcad графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины 3 принимаю-
Ниже приведены построенные в Mathcad графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины 3 принимаю-
В Mathcad значения в точке х плотности распределения и функции распределения случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке [а, Ь], вычисляются встроенными функциями соответственно dunif(x,a,b) и punif(x,a,b).
Экспоненциальное (показательное) распределение. Непрерывная случайная величина f имеет показательное распределение с параметром Л > 0, если плотность распределения р$(£)имеет вид
х<0,
Р^ = \Хе~^, х>0.
Отсюда видно, что показательно распределенная случайная величина принимает только неотрицательные значения. Функция распределения такой случайной величины имеет вид
_ '0,х<0,
1 — е~Хх, х > 0.
Ниже приведены графики плотности вероятностей и функций распределения случайных величин, имеющих показательное распределение с параметрами Л = 1 и Л = 2, построенные в Mathcad.
В Mathcad значения в точке х плотности распределения и функции распределения случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение с параметром Л, вычисляются встроенными функциями соответственно dexp(x,Л) и рехр(х, А).
Нормальное распределение. Это распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей и математической ста-
тистике. Случайная величина g нормально распределена с параметрами а и а, а > 0, если ее плотность распределения имеет вид
Р£（Н）Р£（Н）1(н-а)2、1(н-а)2、
Р£（Н）
Р£（Н）
1(н-а)2、
1(н-а)2、
Если случайная величина g имеет нормальное распределение с параметрами а и ст, то будем записывать это в виде g ~ N(a^a).
Случайная величина g имеет стандартное нормальное распределение, если а = 0н(т=1, £~ ^(0,1). Плотность стандартного нормального распределения имеет вид
а его функция распределенияа его функция распределенияЛапласа:Лапласа:—果(z) = Ф(х), где Ф(х) — функция—果(z) = Ф(х), где Ф(х) — функцияФ(х)Ф(х)—оо—оо
а его функция распределения
а его функция распределения
Лапласа:
Лапласа:
—果(z) = Ф(х), где Ф(х) — функция
—果(z) = Ф(х), где Ф(х) — функция
Ф(х)
Ф(х)
—оо
—оо
Функция распределения нормальной величины q~N(a,(T)также выражается через функцию Лапласа:
Ниже приведены построенные в Mathcad графики плотности вероятностей и функций распределения для g ~ ^(0,1) и т? ~ ^(l,2).
В Mathcad значения в точке х плотности распределения и функции распределения нормальной случайной величины с параметрами a, a вычисляются встроенными функциями соответственно dnorm(x,a,a) и рпогт(х,а,а).
Распределение хи-квадрат (^-распределение). Пусть £匕 ^2, ..., §п ——независимые случайные величины, каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение ^(0,1). Составим случайную величину
;d=日+憂+…+给
Ее распределение называется х2-распределением с п степенями свободы. Для справочных целей приведем здесь выражение плотности распределения этой случайной величины:
где Г(х) — гамма-функция Эйлера:
Ниже приведены графики плотности вероятностей и функций распределения для х •распрЗД^бния с двумя, четырьмя и восемью степенями свободы, построенные в Mathcad. Для сравнения приведены графики для § ~ ^(0,1).
dchisq(x,2)
\
dchisq(x,4)0.4 г Л
dchisq(x,8): X
апогт(х,0,1):、
Если ^ и Хп независимы, говорят, что она имеетЕсли ^ и Хп независимы, говорят, что она имеет
Если ^ и Хп независимы, говорят, что она имеет
Если ^ и Хп независимы, говорят, что она имеет
pchisq(x,2)
pchisq( х, 4 )
pchisq(X|8)
pnorm(x,0,1)
В Mathcad значения в точке х плотности распределения и функции Х2-распределения с п степенями свободы вычисляется встроенными функциями соответственно dchisq(x,n) и pchisq(x,п).
ЗАДАНИЕ 5.6
Постройте графики плотности распределения и функции распределе
ния х? с указанным числом степеней свободы.
Порядок выполнения задания
Постройте графики плотности распределения х2 с указанным числом степеней свободы.
Постройте графики функции распределения х? с указанным числом степеней свободы.
Пример выполнения задания
Постройте графики плотности распределения и функции распределения х? с п = 2, 4, 8 степенями свободы. Примерный вариант выполнения задания приведен выше.
Распределение Стьюдента. Пусть случайная величина § имеет стандартное нормальное распределение, а случайная величина Хп —
Х2-распределение с п степенями свободы.
то про случайную величину тп = 丿「， у/Хп/п
распределение Стьюдента с числом степеней свободы п. Доказано〉
что плотность вероятности этой случайной величины вычисляется по
формуле
71+171+1х 6 R.х 6 R.
71+1
71+1
х 6 R.
х 6 R.
При больших п распределение Стьюдента практически не отличается от ^(0,1).
Ниже приведены графики плотности вероятностей и функций распределения для п = 2, 5,10, построенные в Mathcad. Для сравнения приведены графики для £ 〜^(0,1).
XXXX
X
X
X
X
В Mathcad значения в точке n плотности распределения и функции Стьюдента с п степенями свободы вычисляются встроенными функциями соответственно dt(x,n) и pt(x,n).
ЗАДАНИЕ 5.7
Постройте графики плотности распределения и функции распределения Стьюдента с указанным числом степеней свободы.
Порядок выполнения задания
Постройте графики плотности распределения Стьюдента с указанным числом степеней свободы.
Постройте графики функции распределения Стьюдента с указанным числом степеней свободы.
Пример выполнения задания
Постройте графики плотности распределения и функции распределения *2 с ti = 2, 5, 10 степенями свободы. Примерный вариант выполнения задания приведен выше.
F-распределение Фишера. Пусть случайные величины *^ и *^ независимы и имеют распределение х2 с п и m степенями свободы соответственно. Тогда случайная величина ^Пт =屮： имеет F-pac- пределение с плотностью вероятности
Ниже приведены построенные в Mathcad графики плотности вероятностей и функций распределения для п = 2, 5 и m = 5, 2.
х
Укаэание. В Mathcad значения в точке с плотности распределения и функции Фишера вычисляются встроенными функциями соответственно dF(x,n,m) и pF(x,n,m).
ЗАДАНИЕ 5.8
Постройте графики плотности распределения и функции распределения Фишера для указанных значений пит.
Порядок выполнения задания
Постройте графики плотности распределения Фишера для указанных значений пит.
Постройте графики функции распределения Фишера для указанных значений пит.
Пример выполнения задания
Пример выполнения задания для распределения Фишера со значениями п = 2, 5 и т = 5, 2 приведен выше.
Распределение Парето. Распределение Парето часто применяется в экономических исследованиях. Плотность вероятностей для случайной величины, распределенной по Парето, имеет вид
/、 /0, х<а,
где а > 0, р > 0.
Как видно из этой формулы, случайная величина, распределенная по Парето, принимает значения только в области х>а.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий определения и графики плотности вероятностей и функций распределения Парето. Поскольку в Mathcad нет встроенных функций
для этого распределения, они определены, с соблюдением соглашения об именах для имеющихся статистических функций, как функции переменной х и параметров аир: dP(x, р,а) и рР(х,р,а) — соответственно для плотности вероятностей и функции распределения Парето (параметр р обозначен как р).
dP(x,p,a) ：= (р-ар-х'(р+ А^) if х >а
О if х<а
рР(х,р,а) ：= 0 if х<а
гх
р ар f(₽ + ndt if х>а
ЗАДАНИЕ 5.9
Постройте графики плотности распределения и функции распределения Парето для указанных значений аир.
Порядок выполнения задания
Определите плотность распределения Парето как функцию с и параметров аир.
Определите функцию распределения Парето как функцию 七 и параметров а и р.
Постройте графики плотности распределения Парето для заданных значений аир.
Постройте графики функции распределения Парето для заданных значений аир
Пример выполнения задания
Постройте графики плотности распределения и функции распределения Парето для р = 1 и а = 1, 2. Примерный вариант выполнения задания приведен выше.
Логистическое распределение. Это еще одно распределение, широко применяемое в экономических исследованиях. Оно имеет следующую функцию распределения:
竣(e)=1+eхp(一厅竣(e)=1+eхp(一厅
竣(e)=
1+eхp(一厅
竣(e)=
1+eхp(一厅
где а и /3 — параметры распределения.
Плотность распределения вероятностей для логистического распределения вычисляется по формуле:
По своим свойствам логистическое распределение очень похоже на нормальное.
Ниже приведены графики плотности вероятностей и функций распределения для а = 0 и /3 = 1,2, построенные в Mathcad. Для сравнения приведены графики для нормального распределения 7V(0,2).
dlogi 貳 х,0.1)dlogi 貳 x.CI.2) dnorm(xl012)dlogi 貳 х,0.1)dlogi 貳 x.CI.2) dnorm(xl012)
dlogi 貳 х,0.1)
dlogi 貳 x.CI.2) dnorm(xl012)
dlogi 貳 х,0.1)
dlogi 貳 x.CI.2) dnorm(xl012)
plogisCx.0,1) plogisCx.O^) pc5m[x. 0.2)plogisCx.0,1) plogisCx.O^) pc5m[x. 0.2)
plogisCx.0,1) plogisCx.O^) pc5m[x. 0.2)
plogisCx.0,1) plogisCx.O^) pc5m[x. 0.2)
В Mathcad значения в точке x плотности распределения и функции распределения для логистического распределения вычисляются встроенными функциями соответственно dlogis(x,a,/3) и plogis(x,a,/3).
ЗАДАНИЕ 5.10
Постройте графики плотности распределения и функции распределения для логистического распределения при указанных значениях параметров а м 0.
Порядок выполнения задания
Постройте графики плотности распределения для логистического распределения с указанными значениями параметров.
Постройте графики функции распределения для логистического распределения с указанными значениями параметров.
Пример выполнения задания
Постройте графики плотности распределения и функции распределения для логистического распределения с параметрами а — 0 и /3 = 1, 2. Примерный вариант выполнения задания приведен выше.
Квантили
При решении практических задач часто требуется найти значение н, при котором функция распределения случайной величины принимает заданное значение, т.е. требуется решить уравнение *(н) =р. Решения такого уравнения в теории вероятностей называются квантилями.
Квантилью жр (р-квантилью, квантилью уровня р) случайной величины £, имеющей функцию распределения 竣(е), называют решение хр уравнения 型(£)=р, р € (0,1).
Для некоторых р уравнение 整(н) ~р может иметь несколько решений, для некоторых ——ни одного. Это означает, что для соответствующей случайной величины некоторые квантили определены неоднозначно, а некоторые квантили не существуют.
Квантили, наиболее часто встречающиеся в практических задачах, имеют свои названия:
медиана — квантиль уровня 0.5;
нижняя квартиль — квантиль уровня 0.25;
верхняя квартиль ——квантиль уровня 0.75;
децили — квантили уровней 0.1, 0.2, ..., 0.9;
процентили ——квантили уровней 0.01, 0.02,0.99.
Для тех распределений, для которых в Mathcad представлены встроенные функции плотности распределения и функции распределения, определены и встроенные функции вычисления квантилей.
Например, если плотности распределения и функции распределения в точке х для логистического распределения с параметрами а и /3 вычисляются встроенными функциями соответственно dlogis(x,a,/3) и pbgis(x,a,0), то р-квантиль для логистического распределения является значением функции qbgis(p,a,0).
Ниже приведены вычисленные в Mathcad медиана, верхняя и нижняя квартили и 0.95-квантиль для стандартного нормального распределения ^(0) 1).
Япогт(0.5л0,1) = 0 медиана
qnorm(0.25?0? 1) =-0,674 нижняя квартиль
qnorm(0.75J0 /1) = 0.674 верхняя квартиль
qnorm(0.95/0? 1) = 1.645 0.95<квантиль
ЗАДАНИЕ 5.11
Найдите медиану, верхнюю и нижнюю квартили и р-квантиль заданного уровня р для заданного распределения.
Порядок выполнения задания
Постройте графики плотности распределения для логистического распределения с указанными значениями параметров.
Постройте графики функции распределения для логистического распределения с указанными значениями параметров.
Пример выполнения задания
Вычисление медианы, верхней и нижней квартили и 0.95-квантили для стандартного нормального распределения ^(0Jl) приведено выше.
5・5
СОВМЕСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
НЕСКОЛЬКИХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
В одном и том же случайном эксперименте можно рассматривать не одну, а несколько —— 九一функций, аргументом которых являются случайные события. Совокупность таких функций называется многомерной случайной величиной или случайным вектором и обозначается € — (€1，§2,€п)-
Многомерные случайные величины.
Функции распределения
многомерных случайных величин
Функцией распределения случайного вектора £ = (£，£2, •••, Sn) или совместным распределением случайных величин §i, €2,€п называется вероятность
煙3) = %,&,…,/(屯卢2,…卢п) =p(a <屯总 <效,…& <Cn), где х = (с】〉土2,…，^n) •
Распределение каждой из компонент &, S2, ••・,Sn можно найти по многомерной функции 展(н)・ Например, если £ = (&, £2)——двумерная
случайная величина, имеющая совместное распределение 生，&（土匕土2）, TO lim *1,&（з/2）=找1（工1）, Um ^.^（^i,^） = ^2（x2）.
H2T+8H1T+8
В дальнейшем будем рассматривать только двумерные случайные величины.
Случайный вектор f = （fi, §2）называется непрерывным случайным вектором^ если существует такая неотрицательная функция Р&,&（£1，忆2）, что для любого прямоугольника Q на плоскости （①匕 土2） вероятность события £ е С равна
Р（£еС） = jjPA&gMdsd① 2,
①ункцня р&,&（£1,^2）в этом случае называется совместной плотностью распределения.
Легко показать, что
/У P&&（3#2）dgd£2 = L
К2
Если「貿,&（工1,工2）——совместная плотность распределения случайного вектора £ = &, &）, то плотности распределения компонент двумерного случайного вектора равны соответственно:
+оо+8
Рg（3）= / 改1,&（n1/2）加2,Р&（21）= / P4,&（3声2）"1.
—8—ОО
Если （3 刀）——дискретный случайный вектор, то совместным распределением случайных величин f н 〃 чадце всего называют таблицу вида
S7
У1
У2
Ут
£1
Р11
Р12
Pim
£2
Р21
Р22
Р2m
①п
Рп1
Рп2
Рпт
где р^ = Р（£ = xi,r] = ад）, г = 1,2, ...,n, j = 1,2, ...,m, и ^Pij = 1-
По этой таблице можно найти распределение каждой из случайных величин и т? по формулам:
mп
/=1£=1
Пусть, например, две случайные величины £ и т/ имеют совместное
распределениераспределение€70810.10.120.10.230.20.3€70810.10.120.10.230.20.3
распределение
распределение
€7
0
8
1
0.1
0.1
2
0.1
0.2
3
0.2
0.3
€7
0
8
1
0.1
0.1
2
0.1
0.2
3
0.2
0.3
Тогда распределение величины £ имеет вид
1
2
3
р
0.2
0.3
0.5
а распределение величины 77 —
4
0
8
Р
0.4
0.6
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad/ содержащий решение этого примера, выполненное средствами пакета.
X ：= (1 2 3) Y := (0 8)
0.1 0.1PXY ：= 0.1 0.20.2 0.3РХ ：= PXY SRow'0.2РХ = 0.30.5рХ ：= stack(X,PXT)pY ：= stack(Y.PY)0.1 0.1PXY ：= 0.1 0.20.2 0.3РХ ：= PXY SRow'0.2РХ = 0.30.5рХ ：= stack(X,PXT)pY ：= stack(Y.PY)SRow ：=SCol1PY ：= SColT PXYPY = [ 0.4 0.6 ]SRow ：=SCol1PY ：= SColT PXYPY = [ 0.4 0.6 ]
0.1 0.1
PXY ：= 0.1 0.2
0.2 0.3
РХ ：= PXY SRow
'0.2
РХ = 0.3
0.5
рХ ：= stack(X,PXT)
pY ：= stack(Y.PY)
0.1 0.1
PXY ：= 0.1 0.2
0.2 0.3
РХ ：= PXY SRow
'0.2
РХ = 0.3
0.5
рХ ：= stack(X,PXT)
pY ：= stack(Y.PY)
SRow ：=SCol
1
PY ：= SColT PXY
PY = [ 0.4 0.6 ]
SRow ：=SCol
1
PY ：= SColT PXY
PY = [ 0.4 0.6 ]
ЗАДАНИЕ 5.12
По заданному совместному распределению двух дискретных случайных величин найдите распределение каждой из них.
Порядок выполнения задания
Определите векторы-строки значений каждой случайной величины.
Определите матрицу совместного распределения двумерной случайной величины.
Определите вспомогательные матрицы для суммирования по строкам и по столбцам.
Найдите умножением на соответствующую вспомогательную матрицу распределение каждой случайной величины.
Сформируйте для каждой случайной величины матрицу-таблицу, содержащую значения случайной величины и их вероятности.
Пример выполнения задания
Пример вьшолнения задания для разобранной задачи приведен выше.
Независимость случайных величин
Решить обратную задачу, т.е. восстановить совместное распределение (£, 〃) по распределениям величин £ и 〃, вообще говоря, невозможно. Однако эту задачу можно решить, когда случайные величины и т; независимы.
Случайные величины называются независимыми^ если для любых Xi,数W映
%№1声2)=尸"1喝(工2)■
Для непрерывных случайных величин это определение эквивалентно такому: случайные величины называются независимыми, если
收“31 卢 2)=PHc1)P"(C2)
во всех точках непрерывности входящих в это равенство функций.
Для дискретных случалных величин £ и ” матрицей совместного распределения {./} условие независимости £ и 〃 имеет вид
Pij = Р(£ = /е =的)=Р(£ =窃*伪=的)=PciP^j
для всех г = 1, 2,n, j = 1, 2,т.
В частности, в приведенном выше примере рц = 0.1 ^ Р^дРт/д = =0.2 • 0.4 = 0.08. Значит, рассмотренные там случайные величины не являются независимыми, т.е. они зависимы.
В то же время в совместном распределении g и т/ вида
0
8
1
0.08
0.12
2
0.12
0.18
3
0.20
0.30
величины § и т/ независимы.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий построение распределений и т/ и проверку их независимости.
ORIGIN 二 1
0.08 0.12
X = (1 2 3) Y ：= (0 8) PXY ：= 0.12 0.18 0.20 0.30
2
0.2
i ：= 1.3РХ. = У PXY. .РХ 二
0.3
j= 1
0.5
3
j ：= 1 2PY. ：= Z PXYi jPY =
0.4
0.6
i= 1
/Г 1 2 3 I
dX ：= stacklX.PX'pX =
0.2 0.3 0.5
/ nГ 1 2 3 1
pX = stack〈X,PX 丿pX =
[0.2 0.3
).5
ff 0 8
pY ：= stacktY, PY1 丿pY =
0.4 0.6
0 0PN - PXY = 0 00 00 0PN - PXY = 0 00 0ЗАДАНИЕ 5.13 дискретных случай- них и проверьте ихЗАДАНИЕ 5.13 дискретных случай- них и проверьте ихПроверка независимости
0 0
PN - PXY = 0 0
0 0
0 0
PN - PXY = 0 0
0 0
ЗАДАНИЕ 5.13 дискретных случай- них и проверьте их
ЗАДАНИЕ 5.13 дискретных случай- них и проверьте их
i ：= 1 3 j ：= 1 2 PN. . ：= pX2 . pY2 .
По заданному совместному распределению двух ных величин найдите распределение каждой из
независимость.
Порядок выполнения задания
Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1.
Определите векторы-строки значений каждой случайной величины.
Определите матрицу совместного распределения двумерной случайной величины.
Вычислите вероятности для каждой случайной величины суммированием элементов матрицы совместного распределения соответственно по строкам и по столбцам.
Сформируйте для каждой случайной величины матрицу-таблицу, содержащую значения случайной величины и их вероятности.
Проверьте независимость случайных величин, входящих в совместное распределение.
Пример выполнения задания
Пример выполнения задания для разобранной задачи приведен выше.
5・6
УСЛОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Если две случайные величины Еи77 зависимы, то информация о том, какое значение приняла одна из них, меняет наше представление о распределении другой. В связи с этим можно ввести понятие условного распределения.
Условные распределения
дискретных случайных величин
Пусть дана двумерная случайная величина 怎 〃)с распределением
У1
У2
• ♦ •
Ут
Р12
Р1т
效
Р21
Р22
Р2m
Рп1
Рп2
Рпт
Тогда распределение случайной величины § имеет вид
£2
р
Р1-
Р2・
Ре
где точка в индексе означает суммирование по строкам: р^. = £ р^^ и распределение случайной величины т?)=1
4
У1
У2
Ут
р
Р・1
Р・2
Р-т
п
Здесь точка в индексе означает суммирование по столбцам: р.» = £ р^. г=1
Условным распределением случайной величины f при условии, что случайная величина п приняла значение 刀=у/, называется следующее распр еделение:
£1
土2
£71
р
p・j
P2j
P・j
Pnj
P，j
Нетрудно убедиться, что сумма вероятностей величины f в этом распределении равна 1.
Аналогично условным распределением случайной величины т? при условии, что случайная величина f приняла значение f =刀厶 называется распределение
4
У1
У2
Ут
P
Pa
Pi-
Pt 2 Pi*
Pim. Pi*
Тогда распределение каждойТогда распределение каждой1780.20.60.21780.20.60.2351011P0.130.260.360.25351011P0.130.260.360.25Рассмотрим пример, поясняющий понятие условного распределения. Пусть двумерная случайная величина (£, т?) имеет распределение
Тогда распределение каждой
Тогда распределение каждой
1
7
8
0.2
0.6
0.2
1
7
8
0.2
0.6
0.2
3
5
10
11
P
0.13
0.26
0.36
0.25
3
5
10
11
P
0.13
0.26
0.36
0.25
z
3
5
10
11
1
0.01
0.01
0.17
0.011
7
0.1
0.2
0.1
0.2
8
0.02
0.05
0.09
0.04
из
них имеет вид:
Найдем теперь условное распределение величины т? при условии, что величина f приняла значение, равное f = 8. В этом случае р^. =рз. = 0.2,
尸⑺=3/S = 8)=胆== 0.1,尸(7? = 5/^ = 8) = — == 0.25,
Рз・ 0.2рз. 0.2
尸①=10/S = 8)=跑=嚮=0.45,尸⑺= И/€ = 8) = —=穿=0.2,
P3*U.2Рз・ 0.2
а условное распределение имеет вид
3
5
10
11
p
0.1
0.25
0.45
0.2
Таким образом, условное распределение случайной величины 〃 отличатся от ее безусловного распределения. Это означа-ет, что случайные величины £ к п зависимы.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий вычисление всех условных распределений обеих случайных величин.
ORIGIN ：= 1
Распределение двумерной случайной величины
0
3
5
10
11
1
0.01
0.01
0.17
0.01
7
0.1
0.2
0.1
0.2
8
0.02
0.05
0.09
0.04
Распределение случайной величины Е
1
submatrix (^ ЛАЛ Л) = 7
8
5
0.2
j = 1 3tmp. ：= £ 曰j + 1 itmp =
0.6
I- 2
0.2
Е 二 stack(submatrix(曰7,4,1.1 )T.tmpT)E =
0.2 0.6 0.2
Распределение случайной величины 审
submatrix(曰 JJ,2,5) = [ 3 5 10 11 ]
4
0.13
j - 4tmp. = X 曰j j + 1
tmp =
0.26
0.36
i = 2
0.25
胃:二 stHck〈sijbmHtrix(E^・1,1・2・5)・tmp
351011
0.13 0.26 0.36 0.25
Условные распределения ^ при Е, 7,8Условные распределения ^ при Е, 7,8
Условные распределения ^ при Е, 7,8
Условные распределения ^ при Е, 7,8
0.05 0.167 0.1
0.05 0.333 0,25г <о
0.85 0.167 0.45 ?Р = augment[ I?丿 ,Р?
0.05 0.333 0.2
3
0.05
0.167
0.1
5
0.05
0.333
0.25
■?Р =
10
0.85
0.167
0.45
11
0.05
0.333
0.2
Условные распределения Е при ^=3,5,10,11
i = 1..3 j = 1..4 卩与i = 1..3 j = 1..4 卩与0.0770.0770.0380.0380.4720.4720.040.040.7690.7690.7690.7690.2780.2780.80.810.0770.0380.4720.0470.7690.7690.2780.880.1540.1920.250.1610.0770.0380.4720.0470.7690.7690.2780.880.1540.1920.250.160.1540.1540.1920.1920.250.250.160.16ЕР ：= augment[lEЕР ：= augment[lE1 .PE1 .PE
i = 1..3 j = 1..4 卩与
i = 1..3 j = 1..4 卩与
0.077
0.077
0.038
0.038
0.472
0.472
0.04
0.04
0.769
0.769
0.769
0.769
0.278
0.278
0.8
0.8
1
0.077
0.038
0.472
0.04
7
0.769
0.769
0.278
0.8
8
0.154
0.192
0.25
0.16
1
0.077
0.038
0.472
0.04
7
0.769
0.769
0.278
0.8
8
0.154
0.192
0.25
0.16
0.154
0.154
0.192
0.192
0.25
0.25
0.16
0.16
ЕР ：= augment[lE
ЕР ：= augment[lE
1 .PE
1 .PE
ЗАДАНИЕ 5.14
Вычислите распределение компонент заданной двумерной случайной величины и все их условные распределения. Постройте многоугольники соответствующих распределений.
Порядок выполнения задания
Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1.
Определите матрицу S〃 для хранения распределения двумерной случайной величины. Эта матрица в первом столбце и в первой строке содержит значения компонент двумерной случайной величины, ее элемент S^ii = 0, а элемент ^5)равен вероятности того, что двумерная случайная величина принимает значение (&,勿).
Выделите столбец, содержащий значения первой компоненты двумерной случайной величины.
Вычислите распределение первой компоненты.
Сформируйте матрицу распределения первой компоненты, которая содержит в первой строке значения компоненты, а во второй — соответствующие вероятности.
Выделите строку, содержащую значения второй компоненты двумерной случайной величины.
Вычислите распределение второй компоненты.
Сформируйте матрицу распределения второй компоненты, которая содержит в первой строке значения компоненты, а во второй ——соответствующие вероятности.
Вычислите условные вероятности второй компоненты для всех возможных значений первой.
Сформируйте матрицу условного распределения второй компоненты следующим образом: в первом столбце матрицы записаны значения второй компоненты, а элемент г-й строки j-ro столбца ——вероятность того, что вторая компонента принимает значение r)i при условии, что первая компонента принимает значение
Вычислите условные вероятности первой компоненты для всех возможных значений второй.
Сформируйте матрицу условного распределения первой компоненты следующим образом: в первом столбце матрицы записаны значения первой компоненты, а элемент г-й строки J-FO столбца — вероятность того, что первая компонента принимает значение & при условии, что вторая компонента принимает значение 勿.
Сохраните рабочий документ в файле на диске. Он будет использован при выполнении заданий раздела 5, Числовые характеристики случайных векторов".
Пример выполнения задания
Вьппе приведен пример выполнения задания для двумерной случайной величины
Z
3
5
10
11
1
0.01
0.01
0.17
0.011
7
0.1
0.2
0.1
0.2
8
0.02
0.05
0.09
0.04
Условные распределения
непрерывных случайных величин
Для непрерывных двумерных случайных величин условные распределения строятся по следующей схеме.
Если Р5（£〉у）——плотность вероятностей совместного распределения двумерной случайной величины （£,刀），то плотности вероятностей каждой ее компоненты вычисляются по формулам:
+8+8
Р^у）=Р^у）=以/用）曲， р^у）=
Р^у）=
Р^у）=
— ОО—ОО
Условной плотностью распределения случайной величины f при условии, что случайная величина т/ принимает значение 〃 = уо, называется функция переменной х, определяемая формулой
找 （e加=У0）=找 （e加=У0）=&m（gyo）Рг/（УО）&m（gyo）Рг/（УО）
找 （e加=У0）=
找 （e加=У0）=
&m（gyo）Рг/（УО）
&m（gyo）Рг/（УО）
Аналогично условной плотностью распределения случайной величины 刀 при условии, что случайная величина f принимает значение f = No, называется функция переменной у, определяемая формулой
Prj（y/£ =窃）=Prj（y/£ =窃）=P6用（窃，y）&（со）P6用（窃，y）&（со）
Prj（y/£ =窃）=
Prj（y/£ =窃）=
P6用（窃，y）
&（со）
P6用（窃，y）
&（со）
Рассмотрим пример. Пусть двумерная случайная величина （f,刀） распределена равномерно в круге х2 + у2 < 1. Тогда плотность совместного распределения этой случайной величины равна
找用（土用）=，找用（土用）=，二，/ + у2《1,.О, / + у2〉1.
找用（土用）=，
找用（土用）=，
Плотности вероятностей каждой ее компоненты вычисляются по формулам:
£ € [-1〉1]〉£ 隹[—1,1],£ € [-1〉1]〉£ 隹[—1,1],
£ € [-1〉1]〉
£ 隹[—1,1],
£ € [-1〉1]〉
£ 隹[—1,1],
Рт)(у)= <Рт)(у)= <-■/1- у2, 7ГО,-■/1- у2, 7ГО,У € [Т 1],У ^[-1,1].У € [Т 1],У ^[-1,1].
Рт)(у)= <
Рт)(у)= <
-■/1- у2, 7Г
О,
-■/1- у2, 7Г
О,
У € [Т 1],У ^[-1,1].
У € [Т 1],У ^[-1,1].
Условная плотность распределения случайной величины £ при условии, что случайная величина 〃 принимает значение 〃 = Уо = О, равна
咽次=0)=胃需=咽次=0)=胃需=£ € [—1,1], ^^[-1,1].£ € [—1,1], ^^[-1,1].
咽次=0)=胃需=
咽次=0)=胃需=
£ € [—1,1], ^^[-1,1].
£ € [—1,1], ^^[-1,1].
Таким образом, при 〃 = 0 случайная величина £ равномерно распределена на отрезке [—1,1].
Для сравнения найдем условное распределение случайной величины £ при условии, что случайная величина 〃 принимает значение 〃 = =уо = 0.5. Рассматриваемая случайная величина £ может принимать значения только из отрезка [—\/1 — 0.52, «二б 5?)=[—乎,亨],а условная плотность вероятностей равна
Рн* = 0.5) =吗券)」26：0.52 =行Г€卜学，明， 91 о. 匍子间
Видно, что условное распределение вероятностей случайной величины £ зависит от значения, которое принимает случайная величина 〃.Это приводит к мысли, что случайные величины £ и 〃 зависимы. Впрочем, в зависимости случайных величин § и 〃 можно убедиться, проверив условие независимости p(tTJ(x,y) = р((х)рл(у):\ .
12 2 у
Р5(г,У)= -, Р?(ж) = -Vl-ж2, р„(у) = -0-у2,'7Г7Г .7Г
P((^)Pr)(y)=今，1-工2 ,l—y2# 1
в круге ж2 + у2 < 1.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий вычисление и графики всех описанных в примере распределений для обеих непрерывных случайных величин.
р^(х.у) ：= — if х2 +/<1Я
Распределение плотности вероятностей величины ЕРаспределение плотности вероятностей величины ЕРаспределение плотности вероятностей величины 丁Распределение плотности вероятностей величины 丁О if х2 + />1
Распределение плотности вероятностей величины Е
Распределение плотности вероятностей величины Е
Распределение плотности вероятностей величины 丁
Распределение плотности вероятностей величины 丁
Условные распределения плотности вероятностей величины Е
а (у)J1 - /а (у)J1 - /Р晦（х，У）=Р晦（х，У）=Е dy)О if I к |>а(у)Е dy)О if I к |>а(у)
а (у)J1 - /
а (у)J1 - /
Р晦（х，У）=
Р晦（х，У）=
Е dy)
О if I к |>а(у)
Е dy)
О if I к |>а(у)
ЗАДАНИЕ 5.15
Вычислите распределение компонент заданной двумерной случайной величины и все их условные распределения.
Порядок выполнения задания
Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1.
Вычислите плотность вероятностей двумерной случайной величины (3 刀).
Вычислите плотности вероятностей каждой компоненты и постройте их графики.
Вычислите условную плотность вероятностей заданной компоненты.
Постройте графики условных вероятностей заданной компоненты при нескольких различных значениях второй компоненты.
Сохраните рабочий документ в файле на диске. Он будет использован при выполнении заданий раздела 5, Числовые характеристики случайных векторов”.
Пример выполнения задания
Пример выполнения задания для двумерной случайной величины с распределением р^(^,У)=丄 при х2 + у2 < 1 приведен выше.
Важный пример дает случайный вектор (3 т/), имеющий нормальное распределение. В наиболее общем случае плотность вероятностей такого вектора зависит от пяти параметров а$, а^, 。$,。耳,к^ и имеет вид
%", у)=%", у)=
%", у)=
%", у)=
При любых значениях параметров а$, а^,。§ > 0, а^ > 0, |fc^n| < 1 эта функция удовлетворяет условиям нормировки:
+8+8+8+8-оо —оо-оо —ооP^n^yy^dxdy = 1.P^n^yy^dxdy = 1.
+8+8
+8+8
-оо —оо
-оо —оо
P^n^yy^dxdy = 1.
P^n^yy^dxdy = 1.
Кроме того, можно легко найти плотность распределения каждой из случайных величин бит?:
ОО
&3)P^x^dy = ^^-
ОО
ОО
Рп⑺• = jP^7]^,y)dx = ^^с exp
ОО
1 / с — а?、21 / с — а?、2т.е. случайные величины бит? имеют нормальные распределения с параметрами а^, сг^ > 0, и а^, а^ > 0: £ ~ N(a^a^\ 77 ~ N(a刀,сг刀).
1 / с — а?、2
1 / с — а?、2
Рассмотрим теперь условное распределение £ при условии rj — у.
女("7? = y)=女("7? = y)=Р& 虱 0П)—Р& 虱 0П)—р£у)р£у)11ехр <ехр <1'1'22Для этого, выполнив несложные вычисления, найдем
女("7? = y)=
女("7? = y)=
Р& 虱 0П)—
Р& 虱 0П)—
р£у)
р£у)
1
1
ехр <
ехр <
1'
1'
2
2
Это нормальное распределение с параметрами а =佻 + 妬篁(У —旬)
Аналогично можно найти условное распределение
%®/£ = х)=%®/£ = х)=11
%®/£ = х)=
%®/£ = х)=
1
1
которое также является нормальным распределением с параметрами
а = а^ + к^ — (х — %)а = а^ + к^ — (х — %)
а = а^ + к^ — (х — %)
а = а^ + к^ — (х — %)
ЗАДАНИЕ 5.16
Вычислите плотности вероятностей и условные плотности вероятностей нормального случайного вектора (3 т?) с заданными параметрами. Постройте график плотности вероятностей случайного вектора, графики плотностей вероятностей компонент случайного вектора и графики условных плотностей вероятностей каждой компоненты для указанных значений другой компоненты.
Порядок выполнения задания
Присвойте значения параметрам распределения случайного вектора.
Вычислите плотности вероятностей каждой компоненты.
Вычислите условные плотности вероятностей обеих компонент.
Определите таблицу значений плотности вероятностей случайного вектора и постройте ее график.
Постройте графики плотностей вероятностей компонент случайного вектора.
Постройте графики условных вероятностей заданной компоненты при заданных значениях второй компоненты.
Пример выполнения задания
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислением и графиками плотностей вероятностей и условных плотностей вероятностей случайного вектора (3 т;), имеющего нормальное распределение с параметрами а^ = 0, а^ = 1, а^ = 1, а^ = 2, к^ = 0.5. Графики условных вероятностей компоненты § построены для значений второй компоненты т; = а^ и т;=彻；J Графики условных вероятностей компоненты т; построены для значений другой компоненты § = % и § = & 广•
РЕ^(х,У)：=РЕ^(х,У)：=аЕ :二 0 оЕ ：= 1 а^ ：= 1 叮：=2 k^ :二 0.5аЕ :二 0 оЕ ：= 1 а^ ：= 1 叮：=2 k^ :二 0.5
РЕ^(х,У)：=
РЕ^(х,У)：=
аЕ :二 0 оЕ ：= 1 а^ ：= 1 叮：=2 k^ :二 0.5
аЕ :二 0 оЕ ：= 1 а^ ：= 1 叮：=2 k^ :二 0.5
pt(x) ：= dnorm(x>a^,a^) p^con(x^y) ：= РГ(х,У)pt(x) ：= dnorm(x>a^,a^) p^con(x^y) ：= РГ(х,У)Р^(У)：= dntnm(y,“5)Р^(У)：= dntnm(y,“5)Pi心需Pi心需
pt(x) ：= dnorm(x>a^,a^) p^con(x^y) ：= РГ(х,У)
pt(x) ：= dnorm(x>a^,a^) p^con(x^y) ：= РГ(х,У)
Р^(У)：= dntnm(y,“5)
Р^(У)：= dntnm(y,“5)
Pi心需
Pi心需
i ：= 0..40j ：= 0..40
斗：=aE + (i - 20)-0.2 v. ：= a^ + (j - 20) 0.2 兀：=p曰^u.,v.)
5.7
ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Если § — случайная величина с областью значений Х《и функция /(х) определена на множестве Х「то т; = /(^) — тоже случайная величина. Задача об отыскании функции распределения случайной
величины т/ по известной функции распределения случайной величины £ легко решается, если /(£)— непрерывная монотонно возрастающая функция. В этом случае
現⑵=Р(77 < e) = p(/(e) < e) = Р(g < 广1(喇=用(厂1(工)).
Итак,
43)=找(尸3)).
Здесь 竣(£)——известная функция распределения случайной величины 3 а символом /т(£)обозначена функция, обратная к функции /(以
Плотность распределения случайной величины т/ для дифференцируемой функции /(£)находится по формуле
р№)=&(/TQ))"j咽.
ЗАДАНИЕ 5.17
Найдите по заданному распределению аргумента указанную в задании функцию случайной величины и ее распределение.
Порядок выполнения задания
Определите заданную функцию переменной х.
Определите функцию, обратную к заданной, как функцию переменной х.
Найдите производную обратной функции и определите ее как функцию переменной х.
Определите (явно или используя встроенную функцию Mathcad) плотность распределения аргумента.
Определите искомую плотность распределения функции случайной переменной.
Постройте график найденной плотности распределения.
Пример выполнения задания
Найдите плотность вероятностей случайной величины т/ = е^, если €~N(0,l).
Два различных варианта выполнения задания приведены ниже. Распределение, полученное в результате, называется логнормальным.
Первый способ
f(x) ：= ехр(х)f(x) ：= ехр(х)finv(x) ：= 1п(х)finv(x) ：= 1п(х)
f(x) ：= ехр(х)
f(x) ：= ехр(х)
finv(x) ：= 1п(х)
finv(x) ：= 1п(х)
ехр(х) - у—1п(х)-> — dxхехр(х) - у—1п(х)-> — dxх1п(У)1п(У)finv(x) := 1п(х)finv(x) := 1п(х)dfinv(x)：=—dfinv(x)：=—
ехр(х) - у
—1п(х)-> — dxх
ехр(х) - у
—1п(х)-> — dxх
1п(У)
1п(У)
finv(x) := 1п(х)
finv(x) := 1п(х)
dfinv(x)：=—
dfinv(x)：=—
а ：= Оа ：= Орх(х) ：= dnorni(x>a>a)рх(х) ：= dnorni(x>a>a)ру(х) := dnorni(ln(x),a,a) dfinv(x)ру(х) := dnorni(ln(x),a,a) dfinv(x)
а ：= О
а ：= О
рх(х) ：= dnorni(x>a>a)
рх(х) ：= dnorni(x>a>a)
ру(х) := dnorni(ln(x),a,a) dfinv(x)
ру(х) := dnorni(ln(x),a,a) dfinv(x)
Указание. В приведенном фрагменте обратная функция определена в результате символьного решения уравнения е1 — у = 0 относительно переменой х. Для того чтобы найти решение этого уравнения, введите его левую часть, выделите х и щелкните по строке Solve в пункте Variable меню Symbolics. Затем введите имя обратной функции как функции переменной х (в приведенном фрагменте —— finv(x)) и присвойте ей вычисленное выражение, скопировав его через буфер обмена. Производную обратной функции вычислите символьно. В этом варианте решения задачи плотность стандартного нормального распределения определена с помощью встроенной функции Mathcad dnorm(x,0,1).
Второй способ
f(x) ：= ехр(х)f(x) ：= ехр(х)finv(x) ：= 1п(х)finv(x) ：= 1п(х)
f(x) ：= ехр(х)
f(x) ：= ехр(х)
finv(x) ：= 1п(х)
finv(x) ：= 1п(х)
ехр(х) - у—1п(X) ! dx хехр(х) - у—1п(X) ! dx хln(y) finv(x) ：= ln(x)1dfinv(x)：=—ln(y) finv(x) ：= ln(x)1dfinv(x)：=—a ：= 0a ：= 0
ехр(х) - у
—1п(X) ! dx х
ехр(х) - у
—1п(X) ! dx х
ln(y) finv(x) ：= ln(x)1dfinv(x)：=—
ln(y) finv(x) ：= ln(x)1dfinv(x)：=—
a ：= 0
a ：= 0
px(x)px(x)
px(x)
px(x)
(1п(х) - а)2(1п(х) - а)2
(1п(х) - а)2
(1п(х) - а)2
Указание. В приведенном фрагменте рабочего документа Mathcad выражение для плотности распределения стандартного нормального закона записано в явном виде/ При построении искомой плотности распределения все действия выполняйте так же, как в предыдущем варианте; для того чтобы выполнить подстановку PS (/-1(х)))скопируйте в буфер обмена выражение для обратной функции, выделите а; в выражении р^ (ж) и щелкните по строке Substitute в пункте Variable меию Symbolics.
Плотность вероятности суммы двух случайных величин
В теории вероятностей очень часто возникает необходимость в определении плотности вероятности суммы двух независимых случайных величин. Если & и f?——непрерывные независимые случайные величины с плотностями вероятности соответственно pi(x) и「2(土), то плотность вероятностей суммы т；=立 +§? вычисляется по формуле*
+оо+оо
「”(工)=/pi(t)P2(r-t)dt= /pi(r-t)P2(t)dt.
—ОО-ОО
ЗАДАНИЕ 5.18
Найдите плотность распределения вероятности суммы двух независимых непрерывных случайных величин, заданных своими плотностями вероятностей.
'Интеграл такого вида называется сверткой функций pi(x) и р2(^)-
Порядок выполнения задания
Определите плотности вероятности слагаемых как функции переменной х и введите их выражения.
Запишите выражение для свертки, скопировав в него соответствующие выражения плотности вероятности слагаемых.
Вычислите свертку символьно.
Определите плотность вероятности суммы как функцию переменной х и скопируйте в нее вычисленное выражение для свертки.
Постройте на одном графике плотности вероятностей слагаемых и суммы.
Пример выполнения задания
Пусть & 〜N(OJ), &〜N(0J) — независимые случайные величины. Найдем плотность вероятности случайных величин т? = & +S2 и т/ = =Si +S1 = 2sl• Построим их графики. Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий вариант решения задачи, представлен ниже. Из приведенных в нем вычислений видно, что распределения случайных величин & + & и & +& = 2& различны. В первом случае получено нормальное распределение с параметрами а = 0, ст = 4、а во втором —— нормальное распределение с параметрами а = 0, ст = 2.
,、12
Р(Х)：= -—-ехр __
finv( х) ：= g dfinv( х)：=-
Указание. Для того чтобы символьновычислить интеграл, выделите его, щелкните по кнопке в панели画и по рабочему документу вне выделяющей рамки.
Более сложные функции от случайных величин
Пусть (馬〃)——дискретный случайный вектор с распределением
1
2
3
4
0
0.01-
0.02
0.03
0.04
1
0.1
0.1
0.2
0.4
2
0.05
0.01
0.01
0.03
Найдем распределение случайной величины《=Е которая принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8. Вычислим соответствующие вероятности:
P(C = 5 = O)=P(S = O,〃 = 1) + P(S = O,〃 = 2) +
+ P(s = О, Т? = 3) + P(S = 0,7/ = 4) = 0,01 + 0.02 十 0.03 十 0.04 = 0.1,
P(C = 1) = P(S = 1M = 1) = O 丄
P(C = 2) = P(S = 1川=2) + P(S = 2, T) = 1) = 0.1 十 0.05 = 0.15.
В результате получим распределение случайной величины《=^ту:
0
1
2
3
4
6
8
р
0.1
0.1
0.15
0.2
0.41
0.01
0.03
Для того чтобы найти распределение произведения непрерывных случайных величин, необходимо выполнить более громоздкие вычисления. Пусть (3 〃)——~ двумерный непрерывный случайный вектор с
плотностью распределения「^，"匕数). Построим функцию распределения случайной величины《=《仆 Согласно определению
F《(c) = Р(《< х) = Р^г)< с) = 〃 p^xi,x2)dxidx2.
Для вычисления этой вероятности рассмотрим отдельно случаи х > 0 и х < 0. Области интегрирования для обоих случаев на рис. 5.2 закрашены.
Рис. 5.2. Области интегрирования для вычисления распределения произведенияРис. 5.2. Области интегрирования для вычисления распределения произведения
Рис. 5.2. Области интегрирования для вычисления распределения произведения
Рис. 5.2. Области интегрирования для вычисления распределения произведения
В обоих случаях имеем
0 оооо х/х\
F《(c) = Р(《< 7)= / tfoi / pf,№i№2)dc2 + /dci / p^x^^dx^.
—8х/X\0 —оо
ЗАДАНИЕ 5.19
Найдите функцию распределения произведения двух независимых случайных величин, каждая из которых распределена равномерно на указанном промежутке.
Порядок выполнения задания
Запишите выражение для вычисления функции распределения.
Вычислите соответствующие интегралы символьно.
Опишите полученную функцию и постройте ее график.
Найдите плотность вероятностей произведения.
Пример выполнения задания
Пусть бит/ ——независимые случайные величины, распределенные равномерно на промежутке [0,1]. Найдем функцию распределения их произведения《=£小 Случайная величина《неотрицательна, поскольку значения сомножителей неотрицательны. Это означает, что 7^(с) = О при х < 0. Прежде чем воспользоваться формулой для вычисления функции распределения при х > 0, заметим, что при х > 1 гипербола Х1Х2 = х не пересекает квадрат Q = [0,1] х [0, 1] (рис. 5.3), т.е. область интегрирования* совпадает с квадратом П и ~(с) = 1 при ①〉1.
Рис. 5.3. Области интегрирования для вычисления функции распределенияРис. 5.3. Области интегрирования для вычисления функции распределения
Рис. 5.3. Области интегрирования для вычисления функции распределения
Рис. 5.3. Области интегрирования для вычисления функции распределения
При 0 < х < 1 первый интеграл в формуле функции распределения равен нулю, а второй разбивается на два слагаемых:
x/xi/ &闺(① 1, ①2)d①2.0x/xi/ &闺(① 1, ①2)d①2.0X1
x/xi
/ &闺(① 1, ①2)d①2.
0
x/xi
/ &闺(① 1, ①2)d①2.
0
/ dg(£1/2)&2 и 00
Вычисление интегралов, определение функции распределения и построение ее графика приведены ниже.
Из приведенных вычислений видно, что плотность распределения бесконечно большая в окрестности точки х = 0. Но это не означает, что вероятность какого-либо события может оказаться большей 1, поскольку /(—In①)de =1. 0
РЮ ：=
1 if 0<х<1Р7(У):
1 if 0<у<1
0 if у < х<0
0 if -® <у<0
0 if х>1
0 if у>1
飞，式工1 产2)= 0 вне квадрата Q и %式工1户2)= 1 внутри квадрата Q.
*х
•1 •11dydt + О Jx•1 •11dydt + О Jx1dydt1dydtF(x) f x - x-ln(x)F(x) f x - x-ln(x)p(x) ：= —F(x)dxp(x) ：= —F(x)dxp(x) ->-ln(x)p(x) ->-ln(x)FE(x)FE(x)0 if x<0 F(x) if 0<x<1 1 if x>10 if x<0 F(x) if 0<x<1 1 if x>1РП(х)：=РП(х)：=0 if xsO p(x) if 0<x<1 0 if X210 if xsO p(x) if 0<x<1 0 if X21F(x)= Jo
•1 •1
1dydt + О Jx
•1 •1
1dydt + О Jx
1dydt
1dydt
F(x) f x - x-ln(x)
F(x) f x - x-ln(x)
p(x) ：= —F(x)dx
p(x) ：= —F(x)dx
p(x) ->-ln(x)
p(x) ->-ln(x)
FE(x)
FE(x)
0 if x<0 F(x) if 0<x<1 1 if x>1
0 if x<0 F(x) if 0<x<1 1 if x>1
РП(х)：=
РП(х)：=
0 if xsO p(x) if 0<x<1 0 if X21
0 if xsO p(x) if 0<x<1 0 if X21
5.8
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения. В то же время при решении практических задач достаточно знать несколько числовых параметров, которые позволяют представить основные особенности случайной величины в сжатой форме. К таким величинам относятся в первую очередь математическое ожидание и дисперсия.
Математическое ожидание случайной величины
Математическое ожидание — число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины.
Если § ——дискретная случайная величина с распределением
€
£1
£2
р
Р1
Р2
Рп
то ее математическим ожиданием ——оно обозначается М^ ——называется величина
№ = £”д,
г=1
если число значений случайной величины конечно. Если число значений случайной величины счетно, то
8№ = ^Pi^i-г=1
При этом если ряд в правой части равенства расходится или сходится условно, то говорят, что случайная величина £ не имеет математического ожидания.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей р《（£）вычисляется по формуле
8
— ОО
При этом если интеграл в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина £ не имеет математического ожидания.
Если случайная величина 〃 является функцией случайной величины 爲?? = /（€）, то ОО
Мт] =//（£）「§（£）dx.'—оо
Аналогичные формулы справедливы для функций дискретной случайной величины: поо
收= е也/（/）,"6 =e科/（/）.
г=1г=1
При вычислении математического ожидания случайной величины полезны следующие его свойства:
математическое ожидание константы равно этой константе, т.е. Мс = с;
математическое ожидание —— линейный функционал случайной величины, т.е. при произвольных постоянных а и Ь верно равенство М（а^ + 历у） = аМ^ + ЬМт]；
математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. Af (切)=М0 Мт].
Приведем формулы математических ожиданий для наиболее известных распределений:
биномиальное распределение (尸(£ = k) = C^pkqn^k): М£ = пр;
С上 <in —Л:С上 <in —Л:):№ =):№ =геометрическое распределение ^ = к^=門)：ME U；
С上 <in —Л:
С上 <in —Л:
):№ =
):№ =
гипергеометрическое распределение
тМ
пуассоновское распределение (Р(£ = к) = %е~Л) ： М£ = Xравномерное распределение (р^(х) =： 1/(6 —a), w W [а, 6]): М^ = ^^；экспоненциальное (показательное) распределение Q(w) = Ле~Лх, 化 > 0)： М£ = 3пуассоновское распределение (Р(£ = к) = %е~Л) ： М£ = Xравномерное распределение (р^(х) =： 1/(6 —a), w W [а, 6]): М^ = ^^；экспоненциальное (показательное) распределение Q(w) = Ле~Лх, 化 > 0)： М£ = 3нормальное распределение N(a,o) (р") М^ = а;нормальное распределение N(a,o) (р") М^ = а;急eхp［一；（跚）］）急eхp［一；（跚）］）распределение хи-квадрат (^-распределение) с п степенями свобо-распределение хи-квадрат (^-распределение) с п степенями свобо-Ды （&2（2）= ［「售）2^Ды （&2（2）= ［「售）2^z 2 е 2, z > 0 ): Мх' = %z 2 е 2, z > 0 ): Мх' = %распределение Стьюдента (^-распределение) с п степенями свободы=煮「然Ж) (1 + ^Г)2)：М% = 0；F-распределение Фишера спит степенями свободы (「尸(£)=распределение Стьюдента (^-распределение) с п степенями свободы=煮「然Ж) (1 + ^Г)2)：М% = 0；F-распределение Фишера спит степенями свободы (「尸(£)== Г((п + тп)/2)—「т/2)Г(тп/2) распределение= Г((п + тп)/2)—「т/2)Г(тп/2) распределение偿齐2(1 +守安 "。)： mf=^，m>2;Парето 血(£)= pa^x-pT? х > а, а, р > 0) имеет偿齐2(1 +守安 "。)： mf=^，m>2;Парето 血(£)= pa^x-pT? х > а, а, р > 0) имеетматематическое ожидание только при р > 1： Mg = —^―а;математическое ожидание только при р > 1： Mg = —^―а;
пуассоновское распределение (Р(£ = к) = %е~Л) ： М£ = X
равномерное распределение (р^(х) =： 1/(6 —a), w W [а, 6]): М^ = ^^；
экспоненциальное (показательное) распределение Q(w) = Ле~Лх, 化 > 0)： М£ = 3
пуассоновское распределение (Р(£ = к) = %е~Л) ： М£ = X
равномерное распределение (р^(х) =： 1/(6 —a), w W [а, 6]): М^ = ^^；
экспоненциальное (показательное) распределение Q(w) = Ле~Лх, 化 > 0)： М£ = 3
нормальное распределение N(a,o) (р") М^ = а;
нормальное распределение N(a,o) (р") М^ = а;
急eхp［一；（跚）］）
急eхp［一；（跚）］）
распределение хи-квадрат (^-распределение) с п степенями свобо-
распределение хи-квадрат (^-распределение) с п степенями свобо-
Ды （&2（2）= ［「售）2^
Ды （&2（2）= ［「售）2^
z 2 е 2, z > 0 ): Мх' = %
z 2 е 2, z > 0 ): Мх' = %
распределение Стьюдента (^-распределение) с п степенями свободы=煮「然Ж) (1 + ^Г)2)：М% = 0；
F-распределение Фишера спит степенями свободы (「尸(£)=
распределение Стьюдента (^-распределение) с п степенями свободы=煮「然Ж) (1 + ^Г)2)：М% = 0；
F-распределение Фишера спит степенями свободы (「尸(£)=
= Г((п + тп)/2)
—「т/2)Г(тп/2) распределение
= Г((п + тп)/2)
—「т/2)Г(тп/2) распределение
偿齐2(1 +守安 "。)： mf=^，m>2;
Парето 血(£)= pa^x-pT? х > а, а, р > 0) имеет
偿齐2(1 +守安 "。)： mf=^，m>2;
Парето 血(£)= pa^x-pT? х > а, а, р > 0) имеет
математическое ожидание только при р > 1： Mg = —^―а;
математическое ожидание только при р > 1： Mg = —^―а;
©Ее z = e©Ее z = e
©Ее z = e
©Ее z = e
логистическое распределение М^ = а.
Дисперсия случайной величины
Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса значений случайной величины около ее математического ожидания.
Если случайная величина £ имеет математическое ожидание М£、 то дисперсией случайной величины £ называется величина О£ = =Af(^ — Af£)2. Легко показать, что О£ = М^2 — (MQ2. Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных
случайных величин, так и для непрерывных. Величина Л/己 вычисляется по формулам:
М^2 = ^piX^М^2 = ^piX^М^ = / x2p^(x)dxМ^ = / x2p^(x)dx
М^2 = ^piX^
М^2 = ^piX^
М^ = / x2p^(x)dx
М^ = / x2p^(x)dx
для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно.
Еще одним параметром для определения меры разброса значений случайной величины является среднеквадратичное отклонение сг& связанное с дисперсией соотношением сг《=y/D^.
Перечислим основные свойства дисперсии:
дисперсия любой случайной величины неотрицательна: D& > 0;
дисперсия консталты равна нулю: De = 0;
для произвольной константы с: 0(&) = с2。^；
дисперсия суммы (разности) двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(^ ±т?) = 0£ + Dr?.
Приведем формулы для дисперсий наиболее известных стандартных распределений:
биномиальное распределение: 0£ = npq;
геометрическое распределение: D( = -^；
пс M(N-M)(N — n)n
гипергеометрическое распределение: 必= ―、旧出 1)~
пуассоновское распределение: = А;
равномерное распределение: =、丿；
экспоненцигшьное (показательное) распределение: D^ = А~2;
нормгшьное распределение N(a«): 0£ = ст2；
распределение хи-квадрат (х2-распределение) с п степенями свобо
ды: 必2 = 2%
распределение Стьюдента с п степенями свободы: D& =」—，п〉2;
F-распределение Фишера спит степенями свободы: DF = 一 2m2(n + m-2)&F-распределение Фишера спит степенями свободы: DF = 一 2m2(n + m-2)&п(т-2)2(т-4У*п(т-2)2(т-4У*распределение Парето: D& =распределение Парето: D& =(p-W-2)(p-W-2),Р > 2;,Р > 2;
F-распределение Фишера спит степенями свободы: DF = 一 2m2(n + m-2)&
F-распределение Фишера спит степенями свободы: DF = 一 2m2(n + m-2)&
п(т-2)2(т-4У*
п(т-2)2(т-4У*
распределение Парето: D& =
распределение Парето: D& =
(p-W-2)
(p-W-2)
,Р > 2;
,Р > 2;
ЗАДАНИЕ 5.20
Вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины § = 5(т?), которая представляет собой площадь указанной в задании геометрической фигуры, для случайной величины т/, имеющей заданное распределение.
Порядок выполнения задания
Запишите выражение для функции = S(ri) от случайной величины т;, определяющей площадь фигуры.
Вычислите математическое ожидание случайной величины &
Вычислите математическое ожидание случайной величины ^2.
Вычислите дисперсию случайной величины £ = 5(т?) по 巾。声 муле О£ = М? — (М£)2.
Пример выполнения задания
Случайная величина т; распределена равномерно на промежутке [0,1]. Найдем математическое ожидание и дисперсию площади квадрата со стороной т/, т.е. характеристики случайной величины £ = S(ri) = т;2.
Ниже приведено решение задачи в среде Mathcad.
Математическое ожидание площади квадрата Е
Л°
Математическое ожидание квадрата случайной величины Е
М2(Е) ：= х4 _LdxM2(E)-»U
2-15
Ji
Дисперсия площади квадрата Е
934
D(^) ：= М2(^)-М(^)2D(E)f 芸
Указание. Математическое ожидание и дисперсию площади квадрата со стороной ту вычислите символьно по формулам М$ = МтД D& = Mtf — (М^)2. Определите искомые математическое ожидание и дисперсию как функции переменной &
Моменты
В теории вероятностей и математической статистике, помимо математического ожидания и дисперсии, используются и другие числовые характеристики случайных величин. В первую очередь это начальные и центральные моменты.
Начальным моментом к-го порядка случайной величины £ называется математическое ожидание к・й степени случайной величины £, т.е. ak = М^.
Центральным моментом к~го порядка случайной величины £ называется величина 〃加，определяемая формулой 限=М依一М£)匕
Заметим, что математическое ожидание случайной величины —— начальный момент первого порядка, &i = М^ а дисперсия ——центральный момент второго порядка: 偿=Л1(£ — М^)? = 0&
Существуют формулы, позволяющие выразить центральные моменты случайной величины через ее начальные моменты. Одна из таких формул приведена выше: 0£ = М(^ — Mg?=偿一登.
В дальнейшем будет использована формула 毋=色一За2al + 2碎
Нетрудно понять, что если плотность распределения вероятностей случайной величины симметрична относительно прямой х = М^ то все ее центральные моменты нечетного порядка равны нулю.
В теории вероятностей и в математической статистике в качестве меры асимметрии распределения служит коэффициент асимметрии, который определяется формулой
где 〃з ——центральный момент третьего порядка; с《=v^? = vT^ —— среднеквадратичное отклонение.，
Коэффициент асимметрии — безразмерная величина, а по его знаку можно судить о характере асимметрии.
Ниже приведено вычисление коэффициентов асимметрии распределения Рэлея, плотность вероятностей которого р(с) = 土ехр(—^~), и коэффициентов асимметрии распределения с плотностью вероятностей р(н) = 12/(1 — ^)» 0 < < 1.
p1(x) ：= x-exp(g)p1(x) ：= x-exp(g)М1(Е)；М1(Е)；х-р1(х) dxх-р1(х) dxJOJO件21(E)=件21(E)=(x - M1(^))2-p1(x)dx(x - M1(^))2-p1(x)dx
p1(x) ：= x-exp(g)
p1(x) ：= x-exp(g)
М1(Е)；
М1(Е)；
х-р1(х) dx
х-р1(х) dx
JO
JO
件21(E)=
件21(E)=
(x - M1(^))2-p1(x)dx
(x - M1(^))2-p1(x)dx
“ME)=“ME)=JO* в(x- M1(£))3-p1(x)dxJO* в(x- M1(£))3-p1(x)dxJOJO°1(Е) “21(E)61(E) ：=^1Щ6(Е)3°1(Е) “21(E)61(E) ：=^1Щ6(Е)361(E) -*.63104261(E) -*.631042
“ME)=
“ME)=
JO
* в
(x- M1(£))3-p1(x)dx
JO
* в
(x- M1(£))3-p1(x)dx
JO
JO
°1(Е) “21(E)61(E) ：=^1Щ
6(Е)3
°1(Е) “21(E)61(E) ：=^1Щ
6(Е)3
61(E) -*.631042
61(E) -*.631042
р1(х)р1(х)XX
р1(х)
р1(х)
X
X
р2(х) ：= 12 х2-(1 - х) М2(Е) ：= х р2(х) dx
Д22(^) ：=(х- M2(^))2-p2(x)dx
Jo
-2 62(E) *-2 62(E) *
-2 62(E) *
-2 62(E) *
У к аз ан и е. Для того чтобы вычислить значение коэффициента асимметрии, выделите выражение для него, щелкните в строке Floating Point в меню Symbolics и укажите в окне диалога число десятичных знаков в выводе.
Как видно? коэффициент асимметрии первого распределения положителен и у графика плотности вероятностей пкруче левый склон”. У второго распределения, наоборот, коэффициент асимметрии отрицателен и у графика плотности вероятностей ” круче правый склон".
ЗАДАНИЕ 5.21
Вычислите коэффициент асимметрии случайной величины《с заданным распределением.
Порядок выполнения задания
Определите значения параметров распределения случайной величины.
Определите центральный момент третьего порядка как функцию параметров распределения случайной величины.
Определите центральный момент второго порядка как функцию параметров распределения случайной величины.
Вычислите коэффициент асимметрии.
Постройте график плотности вероятности.
Пример выполнения задания
Случайная величина £ имеет нормальное распределение N(l,3). Найдем коэффициент асимметрии. Ниже приведено решение задачи в среде Mathcad.
а ：= 1а ：= 10 :二石0 :二石^3(а,а)：=^3(а,а)：=^2(а,а)：=^2(а,а)：=(*-а)21——(*-а)21——(х-а)3-——(х-а)3-——дЗ(а,а)fОдЗ(а,а)fОn2(»)f 3n2(»)f 36(E)；6(E)；Д3(а,а)Д3(а,а)3Д2(а,а)23Д2(а,а)26(E)f О6(E)f Оdnorm(x, 1.3)dnorm(x, 1.3)хх
а ：= 1
а ：= 1
0 :二石
0 :二石
^3(а,а)：=
^3(а,а)：=
^2(а,а)：=
^2(а,а)：=
(*-а)21——
(*-а)21——
(х-а)3-——
(х-а)3-——
дЗ(а,а)fО
дЗ(а,а)fО
n2(»)f 3
n2(»)f 3
6(E)；
6(E)；
Д3(а,а)
Д3(а,а)
3
Д2(а,а)2
3
Д2(а,а)2
6(E)f О
6(E)f О
dnorm(x, 1.3)
dnorm(x, 1.3)
х
х
Из приведенных вычислений видно, что коэффициент асимметрии
нормального распределения равен нулю.
Эксцесс
Нормальное распределение наиболее часто используется в теории вероятностей и в математической статистике, и поэтому график плотности вероятностей нормального распределения стал своего рода эталоном, с которым сравнивают другие распределения. Одним из параметров, определяющих отличие сравниваемого распределения от нормального, является эксцесс.
Эксцесс 7 случайной величины § определяется равенством 7 = =从 4 _ о
У нормального распределения, естественно, )= 0. Если 7 > 0, то это означает, что график плотности вероятностей р^(х) сильнее "заострен” ,чем у нормального распределения, если же 7 < 0, то "заостренность” графика р^(х) меньше, чем у нормального распределения.
ЗАДАНИЕ 5.22
Вычислите эксцесс случайной величины f с заданным распределением.
Порядок выполнения задания
Определите значения параметров распределения случайной величины.
Определите центральный момент четвертого порядка как функцию параметров распределения случайной величины.
Определите центральный момент второго порядка как функцию параметров распределения случайной величины.
Вычислите коэффициент асимметрии.
Постройте график плотности вероятности.
Пример выполнения задания
Ниже приведены вычисления эксцесса и графики соответствующих плотностей вероятностей для двух случайных величин, первая имеет распределение Лапласа, плотность вероятностей которого р(х) = ；е-岡, а вторая распределена равномерно на отрезке [—1,1]. Для сравнения вместе с графиками плотности вероятностей исследуемых случайных величин приведен график плотности вероятностей нормального распределения ^(0,1).
1
Р(Х)=2еХР('Х)
Р2(х)：=-
7
а <ж>
館1(口 =2 -
х2-р(х) dx
出22（号）：=
х2-р2(х) dx
0
-1
Г
№Е) =2
х4-р(х) dx
世42（7）：=
х4 p2(x)dx
0
-1
?2（7）：=?2（7）：=М2(?)(通⑴产М2(?)(通⑴产Указание. Mathcad не справляется с вычислением интегралов функций, заданных разными выражениями на разных промежутках. Поэтому при вычислении моментов используйте свойство интеграла по симметричному промежутку от четной функции. Для того чтобы определить плотность в^)оятностей равномерного распределения, щелкните по кнопке Add Une в панелц [0|, введите в первой строке выражение для функции, щелкните по кнопке 注 ]и введите условие; аналогично определите во второй строке функцию на втором промежутке.
?2（7）：=
?2（7）：=
М2(?)
(通⑴产
М2(?)
(通⑴产
Из приведенных вычислений видно, что график плотности вероятностей распределения с отрицательным эксцессом имеет более псгла- женный55 максимум, чем у плотности вероятностей нормального распределения, а плотность вероятностей с положительным эксцессом, наоборот, "острее^, чем плотность вероятностей нормального распределения.
Среднее гармоническое и среднее геометрическое случайных величин, принимающих только положительные значения
Среднее гармоническое и среднее геометрическое случайной величины —числовые характеристики, используемые в экономических вычислениях.
Средним гармоническим случайной величины, принимающей положительные значения, называется величина 々=М(^~1)-1. Например, для непрерывной случайной величины, распределенной равномерно на отрезке [а, Ь], 0 < а < Ь, среднее гармоническое вычисляется следующим образом:
dx 1иЬ — 1иа
х Ь — а
Ь — аЬ — аInb —InaInb —InaСредним геометрическим случайной величины, принимающей положительные значения, называется величина G《 = e"(in9.
Ь — а
Ь — а
Inb —Ina
Inb —Ina
丄п丄п丄 п丄 п丄п丄пЧтобы понять происхождение термина ,? среднее геометрическое11, обратимся к дискретной случайной величине, имеющей равномерное распределение
丄п
丄п
丄 п
丄 п
丄п
丄п
В этом случае среднее геометрическое вычисляется следующим образом:
...ail =▼石1a2二&
i=l
т.е. получилось традиционное определение среднего геометрического чисел 的,
Вычислим среднее геометрическое случайной величины, имеющей, например, показательное распределение с параметром А:
MQnS)= I Xe~Xx\nxdx =-(С+ \п\),= е-(с+1пЛ)= L-,
О
где С а 0.577 — постоянная Эйлера.
ЗАДАНИЕ 5.23
Вычислите среднее геометрическое и среднее гармоническое неотрицательной случайной величины £ с заданным распределением.
Порядок выполнения задания
Определите значения параметров распределения случайной величины &
Определите математическое ожидание | как функцию параметров распределения случайной величины.
Определите среднее гармоническое случайной величины как функцию параметров распределения случайной величины.
Определите математическое ожидание Inf как функцию параметров распределения случайной величины.
Определите среднее геометрическое случайной величины как функцию параметров распределения случайной величины.
Пример выполнения задания
Случайная величина f распределена равномерно на отрезке [2,3]. Найдите для нее среднее гармоническое и среднее геометрическое. Ниже приведено решение задачи в среде Mathcad.
а ：= 2
М(алЬ)：=М(алЬ)：=M(a,b) f 1п(3) - 1п(2)M(a,b) f 1п(3) - 1п(2)11」
М(алЬ)：=
М(алЬ)：=
M(a,b) f 1п(3) - 1п(2)
M(a,b) f 1п(3) - 1п(2)
dxx b - a
2
Н…』Н…』H(a,b) fH(a,b) f(ln(3)-ln(2))(ln(3)-ln(2))Mln(a,b)：=Mln(a,b)：=2)达22)达2Mln(a,b) f 3 1n(3) - 1 - 2 ln(2)Mln(a,b) f 3 1n(3) - 1 - 2 ln(2)
Н…』
Н…』
H(a,b) f
H(a,b) f
(ln(3)-ln(2))
(ln(3)-ln(2))
Mln(a,b)：=
Mln(a,b)：=
2)达
2
2)达
2
Mln(a,b) f 3 1n(3) - 1 - 2 ln(2)
Mln(a,b) f 3 1n(3) - 1 - 2 ln(2)
G(a,b) ：= exp(Mln(aJb))G(a,b) ：= exp(Mln(aJb))G(a,b) f g exp(-1)4G(a,b) f g exp(-1)4
G(a,b) ：= exp(Mln(aJb))
G(a,b) ：= exp(Mln(aJb))
G(a,b) f g exp(-1)
4
G(a,b) f g exp(-1)
4
5.9
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДВУМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
В этом разделе рассмотрены числовые характеристики только двумерных случайных величин, поскольку обобщение на случай п > 2 не вызывает затруднений.
Математическое ожидание
Пусть (3 〃)一 двумерная случайная величина, тогда М(^ rj)= =(М^ Мт])〉те математическое ожидание случайного вектора — это вектор из математических ожиданий компонент вектора.
Если (£, г/)——дискретный случайный вектор с распределением
У1
У2
Ут
Pll
P12
Pim
立2
P21
P22
P2m
^n
Pnl
Pn2
■ •.
Pnm
то математические ожидания компонент вычисляются по формулам:
п пп п
，Мп=УзР^з •г=1 /=1:=1 /=1
Эти формулы можно записать в сокращенном виде. Обозначим
mPi- = УТ Р(У'片1mPi- = УТ Р(У'片1- пР-з = У?Р 次г=1- пР-з = У?Р 次г=1
m
Pi- = УТ Р(У'
片1
m
Pi- = УТ Р(У'
片1
- п
Р-з = У?Р 次
г=1
- п
Р-з = У?Р 次
г=1
тогда
М£ = ^XiPi，,г=1М£ = ^XiPi，,г=1mMTjnfnjp.j.尸1mMTjnfnjp.j.尸1
М£ = ^XiPi，,г=1
М£ = ^XiPi，,г=1
m
MTjnfnjp.j.
尸1
m
MTjnfnjp.j.
尸1
Эти формулы естественно обобщаются на непрерывный случай.
Если р《扰伤 у)——совместная плотность распределения двумерной случайной величины (3 〃)，то
М^М^ОО ОООО ОО—8 —ОО—8 —ООxp^{x,y}dxdy,xp^{x,y}dxdy,Мт/ =Мт/ =ОО ОО//ОО ОО//— ОО —ОО— ОО —ООJ/P3“(H,y)d，dy.J/P3“(H,y)d，dy.
М^
М^
ОО ОО
ОО ОО
—8 —ОО
—8 —ОО
xp^{x,y}dxdy,
xp^{x,y}dxdy,
Мт/ =
Мт/ =
ОО ОО
//
ОО ОО
//
— ОО —ОО
— ОО —ОО
J/P3“(H,y)d，dy.
J/P3“(H,y)d，dy.
Поскольку
оо оооо оо
^Ax^dxdy= / xdx / %№，y)dy,
ОО
а / &用(c,y)dy =р§(с) — не что иное, как плотность распределения
случайной величины £, то М^ = / xp^(x)dx и аналогично Мт/ =
О?—00
=/ yPn(y)dy-
—8
ЗАДАНИЕ 5.24
Вычислите математическое ожидание дискретного двумерного случайного вектора с заданным распределением.
Порядок выполнения задания
Определите матрицу заданного распределения.
Вычислите математические ожидания обеих компонент.
Сохраните рабочий документ в файле на диске.
Пример выполнения задания
Вычислите математическое ожидание дискретного двумерного случайного вектора с распределением
z
0
1
2
2
0.1
0.1
0.2
7
0.2
0.2
0.2
Примерный вариант выполнения задания приведен ниже.
ORIGIN ：= 1
Распределение двумерной случайной величины
0 012
轲：=2 0.1 0.1 0.2
7 0.2 0.2 0.2
Первый способ
Математическое ожидание ЕМатематическое ожидание ЕМатематическое ожидание 丁Математическое ожидание 丁
Математическое ожидание Е
Математическое ожидание Е
Математическое ожидание 丁
Математическое ожидание 丁
ME = X X 門「飘Ji= 2 j = 2ME = X X 門「飘Ji= 2 j = 234i= 2 j = 234i= 2 j = 2
ME = X X 門「飘Ji= 2 j = 2
ME = X X 門「飘Ji= 2 j = 2
34
i= 2 j = 2
34
i= 2 j = 2
Щ = 5Щ = 5M^ = 1.1M^ = 1.1
Щ = 5
Щ = 5
M^ = 1.1
M^ = 1.1
Второй способМатематическое ожидание Е34i= 2卜 2ME =5Второй способМатематическое ожидание Е34i= 2卜 2ME =5Математическое ожидание 丁Математическое ожидание 丁43j = 2 i = 243j = 2 i = 2M^ = 1.1M^ = 1.1
Второй способ
Математическое ожидание Е
34
i= 2卜 2
ME =5
Второй способ
Математическое ожидание Е
34
i= 2卜 2
ME =5
Математическое ожидание 丁
Математическое ожидание 丁
43
j = 2 i = 2
43
j = 2 i = 2
M^ = 1.1
M^ = 1.1
Рассмотрим случайную величину, имеющую двумерное нормальное распределение:
&,〃(0У)=&,〃(0У)=_2b工-%_2b工-%
&,〃(0У)=
&,〃(0У)=
_2b工-%
_2b工-%
Чтобы найти М^ необходимо вычислить двойной интеграл:
ОООООО xdx У p^x^dy. . -ОООО xdx У p^x^dy. . -ОООО ОО
ОО
ОО
ОО xdx У p^x^dy. . -ОО
ОО xdx У p^x^dy. . -ОО
Mg= j / xp^x^dxdy = /
—oo —оо—оо
Внутренний интеграл уже вычислялся в разделе "Условные распределения случайных величинп. Там показано, что случайная величина § имеет нормальное распределение с параметрами 仪 и % т.е. М^ =依 и аналогично Мг) = а^.
Таким образом, параметры 仪 и а” имеют простой теоретиковероятностный смысл ——это математические ожидания случайных величин § и ту.
Дисперсия
Понятие дисперсии нетривиальным образом обобщается на многомерные случайные величины. Это обобщение будет сделано в следующем разделе. Здесь лишь приведем формулы для вычисления дисперсии компонент двумерного случайного вектора. Если (§, ту) — двумерная случайная величина, то
О£ = м^ - "£)2 = м『—("§)2, Dn = М(?7 - М峭2 = Мт?2 - (Мт;)2.
Входящие в эту формулу математические ожидания вычисляются по приведенным выше формулам.
ЗАДАНИЕ 5.25
Вычислите дисперсию дискретного двумерного случайного вектора с заданным распределением.
Порядок выполнения задания
Прочитайте с диска файл предыдущего задания.
Вычислите математические ожидалия квадратов обеих компонент.
Вычислите дисперсии обеих компонент.
Пример выполнения задания
Пример выполнения задалия для дискретного двумерного случайного вектора из задания 5.24 приведен ниже.
ORIGIN ：= 1
Распределение двумерной случайной величины
0 123
曰：二 2 0.1 0.1 0.2
7 0.2 0.2 02
М£2 二 31Дисперсия ЕDE = МЕ2 - * 眠=6М£2 二 31Дисперсия ЕDE = МЕ2 - * 眠=6М^2 = 5-1Дисперсия 胃D干:=Mr2 - М^2 Dr = 0.69М^2 = 5-1Дисперсия 胃D干:=Mr2 - М^2 Dr = 0.69
М£2 二 31
Дисперсия Е
DE = МЕ2 - * 眠=6
М£2 二 31
Дисперсия Е
DE = МЕ2 - * 眠=6
М^2 = 5-1
Дисперсия 胃
D干:=Mr2 - М^2 Dr = 0.69
М^2 = 5-1
Дисперсия 胃
D干:=Mr2 - М^2 Dr = 0.69
Математическое ожидание Е
Математическое ожидание 胃
3
4
34
МП Z
Z “i」曰ij
M" Z Z曰з以5
i = 2
j = 2
i= 2 j= 2
唯=5
Why = 2J
Математическое ожидание £?
Математическое ожидание ^2
3
4
43
睢2 ：= Z
（曰i/）' Z 曰i.j
m雜 = Z （日3）2 Z E九
i = 2
j = 2
j=2i = 2
Обратимся еще раз к двумерной случайной величине, имеющей двумерное нормальное распределение. Так как компонента £ двумерного нормального распределения имеет нормальное распределение с параметрами 仪 и % то можно сделать вывод о дисперсии £: D& =磋. Аналогично Dr]=暗
Таким образом, ясен теоретико-вероятностный смысл четырех из пяти параметров двумерного нормального распределения: 仪=М^ 01Tl = Ма 碎=D£, a^ = Dq Смысл последнего, пятого, параметра k станет ясным в следующем разделе.
Условное математическое кидание
Между случайными величинами может существовать функциональная зависимость. Например, если £ — случайная величина и 〃 = R то т/ ——тоже случайная величина, связалная с £ функциональной зависимостью. В то же время между случайными величинами может существовать зависимость другого рода, называемая стпожастпическои. В разделе, посвященном условным распределениям, уже обсуждалась такая зависимость- Из рассмотренных там примеров видно, что информация о значении одной случайной величины (одной компоненты случайного вектора) изменяет распределение другой случайной величины (другой компоненты случайного вектора), а это может, вообще говоря, изменить и числовые характеристики случайных величин.
Математическое ожидание, вычисленное по условному распределению, называется условным математическим ожиданием.
Для двумерного дискретного случайного вектора (£, т?) с распределением
У1
У2
Ут
匂
Pn
Р12
Pim
七2
P21
Р22
Р2m
...
• ♦ •
Pnl
Pn2
Рпт
условное математическое ожидалие случайной величины £ при условии, что случайная величина п принимает значение у：, вычисляется по формуле
п
£ 岔iPij
i=l
равноравноАналогично условное математическое ожидание случайной величины 〃 при условии, что случайная величина £ принимает значение д,
равно
равно
m
g УМ
M(r//( = Xi)=三
片1
Рассмотрим пример. Пусть дискретный случайный вектор (§, 〃) имеет распределение
1
2
3
1
0.1
0.1
0.2
2
0.2
0.2
0.2
Ниже приведены вычисления математических ожиданий случайных величин и т/ и их условных математических ожиданий, выполненные в Mathcad.
ORIGIN ：= 1
Распределение двумерной случайной величины
0 12 3
曰：=1 0.1 0.1 0.2
2 0.2 0.2 0.2
Распределение случайной величины Е
submatrix(^,2,3,1 J)二
4
j = 1 2 tmpj ：= Z E』+ ii tmp i= 2
E ：= stack (submatrix (^, 2,3,1,1 )^, tmp^)
12
0.4 0.6
Математическое ожидание E
2
ME = X J J
i = 1
Условные математические ожидания Е
Т ：=Т ：=2i = 12i = 12Z 曰i + 1J + 12Z 曰i + 1J + 1
Т ：=
Т ：=
2
i = 1
2
i = 1
2
Z 曰i + 1J + 1
2
Z 曰i + 1J + 1
T1T2ТзT1T2Тз1.6671.6671.6671.51.6671.5Точечный график регрессии M^=f(y)Точечный график регрессии M^=f(y)
T1
T2
Тз
T1
T2
Тз
1.667
1.667
1.667
1.5
1.667
1.5
Точечный график регрессии M^=f(y)
Точечный график регрессии M^=f(y)
0.30.30.40.30.30.4
0.3
0.3
0.4
0.3
0.3
0.4
Распределение случайной величины 丁
submatrix(^ J,1,2,4) = [ 1 2 3 ]
3
j = 1 3 tmp. ：= X 曰i j + i tmp =
i = 2
7 ：= stack(submatrix(^,1,1,2,4)Лтр^)
123
~ 0.3 0.3 0.4
Математическое ожидание 丁
3
m" Z露户21 m"2.1
i= 1
Условные математические ожидания 丁
Точечный график регрессии 1И£可=f&）
4
М呜 2
0 2 4吗+ 1.1
Видно, что условное математическое ожидание случайной величины £ является функцией значений случайной величины 〃， т.е. М®п =沙）=/1（沙）и совершенно аналогично М（т//^ =七）=『2（工）.
Функцию /1（у） называют регрессией случайной величины £ на случайную величину т/, а 力（土） — регрессией случайной величины п на случайную величину ^.
Формулы условных математических ожиданий для дискретных случайных величин естественным образом обобщаются на непрерывные
случайные величины. Если pg^(土,у) — совместная плотность вероятностей двумерной случайной величины (3 刀)，то
оооо'
/工Р自虱工,也也/VP^x^dy
М(£/т? = y) = ^^, M(r)/( = x) = ^•
/ P5(z,y)dz/ P^x^dy
—оо—00
Рассмотрим непрерывный случайный вектор (3 т;) с плотностью распределения
'山，х2 + у2<1, 火力(Z,y)="
、0, х2 + у2 > 1.
Нетрудно проверить, что
〃 ％"(c,y)dcdy = L
土 ?+y2sl
Найдем распределения компонент случайного вектора и их математические ожидания и условные математические ожидания:
00%(z) = / Pfm3，y)，dy =-оо00%(z) = / Pfm3，y)，dy =-ооооР"(у) = / Pg,r}3,办 df =— ОО1ооР"(у) = / Pg,r}3,办 df =— ОО1v 1—х2/宁f l + xv 1—х2/宁f l + x2/———dy = 一 (m + 1)х/1 一*7Г2/———dy = 一 (m + 1)х/1 一*7Гde = 2，］—必7Гde = 2，］—必7ГМ(=М(=4"4"必 S/S = £)= 0.必 S/S = £)= 0.="I-"'，Ы $ 1；="I-"'，Ы $ 1；
00
%(z) = / Pfm3，y)，dy =
-оо
00
%(z) = / Pfm3，y)，dy =
-оо
оо
Р"(у) = / Pg,r}3,办 df =
— ОО
1
оо
Р"(у) = / Pg,r}3,办 df =
— ОО
1
v 1—х2
/宁
f l + x
v 1—х2
/宁
f l + x
2/———
dy = 一 (m + 1)х/1 一*
7Г
2/———
dy = 一 (m + 1)х/1 一*
7Г
de = 2，］—必7Г
de = 2，］—必7Г
М(=
М(=
4"
4"
必 S/S = £)= 0.
必 S/S = £)= 0.
="I-"'，Ы $ 1；
="I-"'，Ы $ 1；
В этом случае регрессия ° на § равна нулю, а регрессия § на ° описывается уравнением ”(§/〃 = у) = ；(1 — у2).
ЗАДАНИЕ 5.26
Вычислите условные математические ожидания и постройте графики регрессий компонентов двумерных случайных величин из заданий 5.14 и 5.15.
Порядок выполнения задания
Прочитайте фа-йл, содержащий вычисление условных распределений в задании 5.14.
Удалите вычисление условных распределений.
Вычислите математические ожидания обеих компонент.
Вычислите условные математические ожидания каждой компоненты для всех значений другой компоненты.
Изобразите точечные графики регрессий.
Прочитайте файл, содержащий вычисление условных распределений в задании 5.15.
Вычислите условные математические ожидания каждой компоненты для всех значений другой компоненты.
Постройте графики регрессий.
Пример
выполнения задания
Ниже приведен примерный вариант выполнения задания в среде Math-
cad для дискретного случайного вектора, имеющего следующее распределение:
§7
3
5
10
И
1
0.01
0.01
0.17
0.011
7
0,1
0.2
0.1
0.2
8
0.02
0.05
0.09
0.04
ORIGIN ：= 1
Распределение двумерной случайной величины
0
3
5
10
11
1
0.01
0.01
0.17
0.01
7
0.1
0.2
0.1
0.2
8
0.02
0.05
0.09
0.04
Распределение случайной величины Е
submatrix (^7,2,4, L1) = 7
8
j ：= 1..3
tm₽j = X 印j+仆i = 2
0.2
tmp = 0.6
0.2
E ：= stack (submatrix (印,2,4,1,1『,tmpT)
178
0.2 0.6 0.2
Математическое ожидание E
3
ME = % J J ME =6
Условные математические ожидания E
2
Z ^i+i.i'^t+ij+1
TJ-=TJ-=2
TJ-=
TJ-=
6.455
6.714
3.222
6.714
Точечный график регрессии M^«f(y)
Распределение случайной величины 电
submatrix(^J,1Л2,5) = [3 5 10 11 ]
4
■ 0.13
j ：= 1 -4tmp. ：= £ 曰ij + 1tmp =
0.26
0.36
i- 2
0.25
电：=stack^submatrix(^ J Jf2,5)Дтр
351011
0.13 0.26 0.36 0.25
Математическое ожидание 电
4
Z 14f.i"Ь=8.04
Условные математические ожидания 电
3
Z 曰1J+1■印i+ij+i
j 二 1..3
Т ：=
3
Z ^i+ij+i
M鹤二M鹤二35103510
M鹤二
M鹤二
3
5
10
3
5
10
35
0.01 0.01
0.1 0.2
0.02 0.05
1011
0.17 0.01
0.1 0.2
0.09 0.04
Т1
м碓：=Т2
Тз
л"г 04EI ] [ trq I 七彳3 UBl3」+]л"г 04EI ] [ trq I 七彳3 UBl3」+]
л"г 04EI ] [ trq I 七彳3 UBl3」+]
л"г 04EI ] [ trq I 七彳3 UBl3」+]
Точечный график регрессии ME即=f(y)
io•
М嗚
J 5 - -•
О510
+1.1
Указание. После того как математическое ожидание компоненты вычислено, найдите ее условные математические ожидания и сохраните их в матрице. Для этого определите диапазон изменения номеров строк в матрице (в приведенном фрагменте —— это диапазон от 1 до 4 для первой компонены и от 1 до 3 — для второй), затем вычислите условные математические ожидания каждой компоненты, определите размерность и введите элементы матрицы условных математических ожиданий и изобразите точечные графики функциональной зависимости условного математического ожидания одной компоненты от значений другой. На рис. 5.4 приведен вид окон настройки точечных графиков.
Гn m ating f'uii-nll ■ Si I rh il Ч Y Pi t
XYAm» T-«m)Lflb!!h| Drifl^j
Legend ^ЬвС-£упх1 七-Goior- Bf» 固向
Рис. 5.4. Окна настройки параметров точечных графиков
Ниже приведен фрагмент рабочего документа, содержащий решение задачи для описанного выше непрерывного случайного вектора с
распределением
Р5(7,у)= <
，工+ 1
7Г О,
X2 + у2 < 1, 炉 +у2〉］
Р印（Х,у）：=
士Ll if x2 + /<1
О if
х2 + р>1
i(x)：
-х2
x + 1 .
dy
i(x) f 2・(x + 1)d
я
и (у)：=
И (У)
2 2L—2 2L—-1 (-1 + у2 - 2-^1 - у2) + 1 (-1 + у2 + 2-^1 - /)
2 2L—
2 2L—
2
i1(y) ：= 2・Jl -上
Распределение плотности вероятностей величины Е
pE(x) ：= i(x) if I x |<1 0 if I x |>1
Распределение плотности вероятностей величины 丁
Р?(У)：= M(y) if |y |<1 0 if I у |>1
Математическое ожидание Е
Математическое ожидание 丁
■14
1 yi1(y) dy M7fo
Условные математические
Условные математические
ожидания Е
ожидания 歹
Ковариация
Если между случайными величинами ^ и 77 существует стохастическая связь, то одним из параметров, характеризующих меру этой связи, является ковариация cov(£,q). Ковариацию вычисляют по формулам:
cov(e,7?) =М[^- M0S - М喇=М(5) — М£ • Mq
Если случайные величины £ и 刀 независимы^ то cov(《,q) = 0. Обратное, вообще говоря, неверно. Из равенства ковариации нулю не следует независимость случайных величин. Случайные величины могут быть зависимыми, в то время как их ковариация нулевая!
Но зато, если ковариация случайных величин отлична от нуля, между ними существует стохастическая связъ} мерой которой и является величина ковариации.
Интересно отметить, что cov(£,£) = D& и cov(刀,刀)=Dr).
Кроме того, важны следующие свойства ковариации:
cov(£ + G,7； + C2)=соу(£,77);
cov(£,77)=covm,0;
cov(&S + C2%C) = &cov(GQ + C2Covm,Q.
Ковариационной матрицей случайного вектора (£, ту) называется матрица вида
\cov(77,0 covS,# 丿 \covSO d 丿
Эта матрица симметрична и положительно определена. Ее определитель называется обобщенной дисперсией и может служить мерой рассеяния системы случайных величин (£, 〃).
Как уже отмечалось ранее, дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: 0(£ + 〃) =。£ + Drj. Если же случайные величины зависимы, то
0(£ ±〃)= 0£ + Drj ± 2cov(^,7?).
Рассмотрим пример. Пусть дискретный случайный вектор (£, 〃) имеет распределение
Ниже представлены вычисления в среде Mathcad ковариации его компонент и вычисление дисперсии их суммы по приведенной формуле и непосредственно. Видно, что, как и следовало ожидать, вычисленные разными способами значения дисперсии совпадают.
ORIGIN ：= 1
Распределение двумерной случайной величины
О 24
曰：=1 0.1 0.2
3 0.3 0.4
Распределение случайной величины Е
submatrixt^^^,!, 1)=
j 二 1.2
3
tmPj = X Sj + 仆
1=2
tmp =
03
0J
130.3 07130.3 07:二 stack(submatiiK(H・2・3 J/)'.Imp')
13
0.3 07
13
0.3 07
2
Математическое ожидание E ME :二 彳 £(Л2 ； i= 1
Распределение случайном величины 号 submaldK(耳.1.1.2.3) = [ 2 4 ]
040£040£3
04
0£
04
0£
J =12 叫=X 曰5 + 1tmp
l»2
240.4 0.6240.4 0.6Y 二 stack(submatrix(&f f 1 J>2,3),tmp^)
24
0.4 0.6
24
0.4 0.6
Математическое ожидание r
2
由=X 14f.i
№y = 32
2 prod^v ：= 0.1
6
0.3
12
0.4
Mprod曰：= £ prod^1 . prod?T2 .i= 1
Ковариация VfДисперсия EКовариация VfДисперсия E
Ковариация Vf
Дисперсия E
Ковариация Vf
Дисперсия E
cov(t ：= Mprod^ - M&M号 sv^v = -0.08
Дисперсия 7
2
DE ； £ 3尸匕
2
D” X Gi.)F -崎
DE = 0.84
D 丁 = 0.96
Дисперсия E•中
DE + D丁 + 2 cwt? = 1-64
357
Распределение Е+中sum曰：= 。〔° $ g д
3
Msum^ ：= Z sum^1 . -sum^2 . Msum曰=5.6 i= 1
3
Dsum^ :二 Z （sumE中］.）2 sum^2 ； - Msum^2 Dsum^ = 1.64 i= 1
Указание. Для вычисления ковариации найдите распределение произведения компонент и его математическое ожидание. Дисперсию суммы вычислите двумя способами ——через ковариацию и непосредственно. Для этого найдите дисперсии компонент, распределение суммы компонент и ее дисперсию.
ЗАДАНИЕ 5.27
Вычислите ковариацию и дисперсию компонент двумерных случайных величин из заданий 5.14 и 5.15.
Порядок выполнения задания
Прочитайте файл, содержащий вычисление условных распределений в задании 5.14.
Вычислите математические ожидания каждой компоненты.
Определите распределение произведения компонент.
Найдите математическое ожидание произведения компонент.
Вычислите ковариацию компонент.
Вычислите дисперсию суммы.
Определите распределение суммы компонент.
Найдите математическое ожидание и дисперсию суммы компонент.
Пример
выполнения задания
Примерный вариант выполнения задания для двумерной случайной величины приведен вьппе.
Корреляция
Понятно, что значение ковариации зависит не только от "тесноты" связи случайных величин, но и от самих значений этих величин, например, от единиц измерения этих значений.
Для исключения этой зависимости вместо ковариации используется коэффициент корреляции
=cov(^,77)=cov(^,77)
=cov(^,77)
=cov(^,77)
Этот коэффициент обладает следующими свойствами:
он безразмерен;
его модуль не превосходит единицы, т.е. \k^\ < 1;
если § и 刀 независимы, то к^ = 0 (обратное, вообще говоря, неверно!);
если \к^ \ = 1, то случайные величины f и 刀 связаны функциональной зависимостью ви%а г] = а^ + Ь, где а и b — некоторые числовые коэффициенты;
Корреляционной матрицей случайного вектора называется матрица
Если % = \/^ и。刀=\/^, то ковариационная и корреляционная матрицы случайного вектора (£, т;) связаны соотношением Cov(^,7))= =SKS, где
ЗАДАНИЕ 5.28
Вычислите ковариационную и корреляционную матрицы двумерного случайного вектора из задания 5.14.
Порядок выполнения задания
Прочитайте файл, содержащий вычисление условных распределений в задании 5.27.
Определите и введите ковариационную матрицу.
Вычислите корреляционный коэффициент компонент случайного вектора.
Определите и введите корреляционную матрицу.
Определите и введите вспомогательную диагональную матрицу со среднеквадратичными отклонениями компонент на диагонали.
Вычислите корреляционную матрицу умножением ковариационной матрицы на вспомогательную.
Пример выполнения задания
Примерный вариант выполнения задания приведен ниже.
К =К =2： К 2：2： К 2：0.84 -0.08-0.08 0.960.84 -0.08-0.08 0.96嗎7 = -0.089嗎7 = -0.0894J.0894J.089TJ.089 1TJ.089 10.84 4LU8-0.08 0.960.84 4LU8-0.08 0.96
К =
К =
2： К 2：
2： К 2：
0.84 -0.08
-0.08 0.96
0.84 -0.08
-0.08 0.96
嗎7 = -0.089
嗎7 = -0.089
4J.089
4J.089
TJ.089 1
TJ.089 1
0.84 4LU8
-0.08 0.96
0.84 4LU8
-0.08 0.96
Рассмотрим случайный вектор （窘 〃）,имеющий нормальное распределение. В наиболее общем случае плотность вероятностей такого вектора зависит от пяти параметров —— 佻〉&小"М "п，卜6刀—и имеет вид
% 仙，g)=% 仙，g)=一 2%一 2%
% 仙，g)=
% 仙，g)=
一 2%
一 2%
При любых значениях параметров а$, а力 ％ о巾 ％ эта функция удовлетворяет условиям нормировки:
— ОО —ОО— ОО —ОО1.1.
— ОО —ОО
— ОО —ОО
1.
1.
Параметры %, а力 ％ о力 ％ имеют простой теоретике-вероятностный смысл:
а$ ——математическое ожидание случайной величины 3 М£ = а$;
а^ ——математическое ожидание случайной величины 〃 Мг/ = 〃刀；
。6 ——среднеквадратичное отклонение случайной величины §, 0£ =哈
。刀 ——среднеквадратичное отклонение случайной величины 7 m =若；.
% — коэффициент корреляции случайных величин и т/.
Таким образом, зная плотность вероятностей двумерного нормального распределения, можно найти его числовые характеристики и построить ковариационную и корреляционную матрицы:
С…Z 号
№日1/\。円п№п牙
ЗАДАНИЕ 5.29
По заданной плотности вероятностей нормального двумерного распределения найдите нормировочный множитель, вычислите ковариационную и корреляционную матрицы.
Порядок выполнения задания
Определите плотность вероятностей двумерного нормального распределения как функцию переменных £, у.
Найдите нормировочный коэффициент и проверьте вычисления.
Определите новое выражение для плотности вероятностей двумерного нормального распределения.
Найдите плотность вероятностей, математическое ожидание и дисперсию каждой компоненты.
Найдите математическое ожидание произведения компонент.
Вычислите ковариадию компонент.
Вычислите коэффициент корреляции компонент.
Определите и введите ковариационную матрицу.
Определите и введите корреляционную матрицу.
Вычислите корреляционную матрицу другим способом.
Пример выполнения задания
Выполните задание для плотности вероятностей
Р5 (с, у) = 4ехр [— (« + 2с + 2ху + 6у + 4у2)].
Ниже приведено решение задачи в среде Mathcad.
рЕк(х,У):= А ехр(-(х2 + 2 х + 2 х-у + 6-у + 4•『))
ехр(-(х2 + 2 х + 2-х у + 6-у + 4-у^)) dxdy -> --expfl j-я-^
А：=А：=Р^(х,У)=Р^(х,У)=-ехр(-(х2 + 2-х + 2-х-у + 6-у + 4-у2))-ехр(-(х2 + 2-х + 2-х-у + 6-у + 4-у2))
А：=
А：=
Р^(х,У)=
Р^(х,У)=
-ехр(-(х2 + 2-х + 2-х-у + 6-у + 4-у2))
-ехр(-(х2 + 2-х + 2-х-у + 6-у + 4-у2))
Плотность вероятностей, дисперсия и математическое ожидание Е
pЮ ：二pЮ ：二-ехр(-(х2+2 х + 2-х-у + 6-у + 4-у2)) dy-ехр(-(х2+2 х + 2-х-у + 6-у + 4-у2)) dy
pЮ ：二
pЮ ：二
-ехр(-(х2+2 х + 2-х-у + 6-у + 4-у2)) dy
-ехр(-(х2+2 х + 2-х-у + 6-у + 4-у2)) dy
3 2 1 \ exp -_-x - _-x I п. t …—1\12 42 С
Плотность вероятностей Е РЕ(х) "* 中
2 G
Математическое ожидание ЕМатематическое ожидание Ех-х-ехр」-，」*1 Ш 42ехр」-，」*1 Ш 4222Дисперсия ЕДисперсия Еexp」-*?」 a1.g42exp」-*?」 a1.g4222
Математическое ожидание Е
Математическое ожидание Е
х-
х-
ехр」-，」*
1 Ш 42
ехр」-，」*
1 Ш 42
2
2
Дисперсия Е
Дисперсия Е
exp」-*?」 a1.g42
exp」-*?」 a1.g42
2
2
Р丁（y）=Р丁（y）=
Р丁（y）=
Р丁（y）=
-12
ME ：二— D^ ：= _ 33
Плотность вероятностей, дисперсия и математическое ожидание 丁
ехр(-(х2 + 2-х + 2 х у + 6у + 4 у2)) dx
Плотность вероятностей 丁
3
Математическое ожидание р
\ 石
Дисперсия р
Математическое ожидание 印
Cov^ ：=
嗎
噫干/嗎Dr
2 :=
кЕт J% Dr
Cov^ =
0.667 -0,167
-0.167 0.167
辰0
0 J^
2 К 2
0.667 -0.167
-0.167 0.167
ГЛАВА U
ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
6.1
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ MATHCAD
Познакомимся с основными функциями Mathcad, предназначенными для решения задач математической статистики, а также с методами ввода данных для последующей статистической обработки. Попутно будут рассматриваться основные понятия математической статистики, постановка задач, алгоритмы и методы их решения.
Ввод и вывод файлов данных
При решении практических задач статистического анализа данных чаще всего приходится иметь дело с большими объемами исходной информации. Зачастую такие данные представляют собой заранее введенные в файл аппаратными средствами экспериментальные данные, подготовленные специальными приложениями и сохраненные в файле таблицы чисел. Ниже будет рассказано о том, как в Mathcad можно генерировать последовательности случайных чисел. Такие последовательности позволяют имитировать результаты реальных измерений той или иной случайной величины. При многократном использовании больших массивов данных их удобно хранить в файлах на диске.
Mathcad предоставляет пользователю специальные функции ввода данных из файла на диске и вывода данных в файл, т.е. функции доступа к файлам — READ, WRITE, APPEND, READPRN, WRITEPRN, APPENDPRN. Подробное описание этих функций и правила работы с ними можно найти в литературе по пакету, во встроенном в систему справочнике, в руководстве пользователя.
Познакомимся подробнее с функциями READ(file) и WRITE(file), предназначенными соответственно для чтения и записи числового значения. Файл данных для Mathcad ——это файл чисел, записанных в формате ASCII, разделенных пробелом, запятой или символом конца строки. Числа могут быть целыми или с плавающей запятой, записанными с десятичной точкой или в экспоненциальной форме. При
обращении к файлу Mathcad по умолчанию обращается в ту папку (каталог, директорию), из которой загружался рабочий документ или в которую документ последний раз загружался. Однако можно работать с файлами из любых папок, указывая полное имя файла. В приведенных ниже примерах всегда будет указываться полное имя файла.
Функция READ(file) считывает значение из файла и присваивает его переменной. Поскольку чаще всего читаются массивы чисел, обращение к функции записывается следующим образом: х^ := READ(file).
Предположим, что на диске с: в папке tmp в файле с именем data.txt записаны 20 различных чисел, подготовленных текстовым процессором и сохраненных в указанном файле. Ниже представлен фрагмент рабочего документа Mathcad, в котором этот файл прочитан.
i ：=0.. 19 х. ：= READ(Mc:\tmp\data.txt")
0
1
2
з
4
5
6
7
8
0 4.591
4.326
4.868
6.018
5.181
5.513
5.74
4.984
5.279
Указание. Поскольку в Mathcad массив — это вектор-столбец, запишите в рабочем документе х‘，чтобы вывести массив х в виде строки. Для того чтобы просмотреть все данные, щелкните по полю вывода элементов массива и просмотрите содержимое массива с помощью линеек прокрутки.
Функция WRITE(file) записывает в файл на диске числовое значение переменной. Поскольку, как правило, записываются массивы чисел, то чаще всего она указывается следующим образом: WRITE(file) := Xj. Если файла с указанным именем не существует, то он будет создан; если такой файл есть, то при зациси предыдущая информация будет потеряна.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, в котором массив, сформированный в предыдущем фрагменте, записан в файл с именем datal.txt в папке tmp на диске с:, а затем (для проверки) прочитан и выведен в рабочий документ.
i ：= 0 .19
WRITEC'cAtmp^atal.txf1) ：= х. у. ：= READ("c:\tmp\data1 ЛхГ)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 4.591
4.326
4.868
6.018
5.181
5.513
5.74
4.984
5.279
Указание. Здесь продемонстрирована работа двух функций доступа к файлам, позволяющих простейпшм способом читать и записывать файлы. Для
того чтобы аккуратно работать с файлами, необходимо обязательно ознакомиться с полным описанием того, как с помощью этих функций происходит обращение к файлу.
Функции вычисления выборочных характеристик
Первичная обработка данных состоит обычно в отыскании максимального ®тах и минимального хт[п значений выборки, а также в построении вариационного ряда ——массива выборочных значений, занумерованных (записанных) в порядке возрастания. Для выполнения этих вычислений в Mathcad предназначены соответственно функции тах(Л), min(4) и sort(4).
Кроме того, Mathcad имеет шесть функций, вычисляющих точечные оценки параметров распределения случайной величины. В последующих разделах главы даны все необходимые определения и описаны методы получения оценок. Здесь приведем только определения функций и правила обращения к ним.
Следующие четыре функции вычисляют числовые характеристики выборки, содержащейся в массиве 4 размерности m х п.
Функция теап(Л) вычисляет значение выборочного среднего:
1 ттг—1 п—1теап(Л)=
i=0 j=0
Функция var(A) вычисляет смещенную точечную оценку дисперсии, называемую выборочной дисперсией'.、
-т—1n—12
var⑷=薪 E £ (4L mean⑷).
i=0 j=0
Функция stdev(Л) определяет среднеквадратичное отклонение, т.е. stdev(Л) = ,\/аг(ЛУ・
Функция median⑷ вычисляет медиану — величину, меньше и больше которой в выборке содержится одинаковое количество элементов.
Еще две функции предназначены для вычисления числовых характеристик двумерного случайного вектора, выборочные значения двух
*Для комплексных выборочных значений выборочная дисперсия вычисляется по
формуле
i=0 ;=0i=0 ;=0Aij - mean(A)|2.Aij - mean(A)|2.
i=0 ;=0
i=0 ;=0
Aij - mean(A)|2.
Aij - mean(A)|2.
компонент которого расположены соответственно в массивах /нВ размерности m х п.
Функция cvar(?l,B) вычисляет значение выборочной ковариации*:
1771—1 П—1
~аг(4В)к££(&—mean(/))(%—mean(B)).
"!=0 尸0
Функция согг(Л,В) определяет коэффициент корреляции:
согг(Л,В)=согг(Л,В)=cvar(/,B)，var(/)，var(B)cvar(/,B)，var(/)，var(B)
согг(Л,В)=
согг(Л,В)=
cvar(/,B)
，var(/)，var(B)
cvar(/,B)
，var(/)，var(B)
Ниже представлен фрагмент рабочего документа Mathcad, в котором выполнены следующие действия: прочитаны из файла на диске некоторые экспериментальные данныет а затем с помощью описанных выше функций вычислены числовые характеристики этих выборочных данных.
i = 0 .19
х. ：= READ ("c:\tmp\datax.txC)
y. ：= READ("c:\tmp\datay.txf")
Xmin 二 min(x) Xmin = 3.72
Xmax ：= max(x) Xmax = 8.048
Ymin ：= min(y) Ymin = 3,72
x ：= sort(x)у ：= sort(y)
Ymax ：= max(y) Ymax = 8.048
Xmean ：= mean(x) Xvar ：=
var(x) Xstdev ：= stdev(x)
Xmean = 5.026Xvar =
0.888Xstdev = 0.943
Ymean := mean(y) Yvar ：=
var(y) Ystdev ：= stdev(y)
Ymean = 5.026Yvar =
0.888Ystdev = 0.943
covxy ； cvar(x,y) corrxy
;corr(x,y)
* Для комплексных выборочных значений выборочная ковариация вычисляется по формуле
cvar(4,B) = -^- ^2 ^2(^^ — mean(A)) (в^ - mean(B)), i=0 ;=0
в которой горизонтальная черта ——знак комплексно сопряженного числа.
covxy = 0.888covxy = 0.888соггху = 1соггху = 1
covxy = 0.888
covxy = 0.888
соггху = 1
соггху = 1
Указание. Выборочные данные прочитаны из файлов datax.txt и datay.txt, расположенных на диске с: в папке tmp, в массивы (переменные) соответственно х и у. Для экономии места прочитанные выборочные значения выведены в рабочий документ в виде строки.
Построение эмпирических распределений
Наиболее наглядной формой графического представления выборок является гистограмма. В Mathcad для построения гистограмм предназначена функция hist(A,А). Для того чтобы построить гистограм
му, нужно сначала сгруппировать выборочные данные, записанные в массиве А, и сохранить граничные точки интервалов группировки в
векторе А, размерность которого равна числу интервалов. Результат вычислений функции hist(A, А) — вектор, каждый элемент которого равен количеству выборочных значений, попадающих в соответству
ющий интервал группировки.
Размерность вектора hist(A, А) совпадает с размерностью вектора А и равна числу интервалов группировки. Если 5),灰,•…,6щ —
/3)=飙沁,А, 2,…,т, в виде столбчатой Диаграммы, которая/3)=飙沁,А, 2,…,т, в виде столбчатой Диаграммы, котораяназывается гистограммой.называется гистограммой.длины интервалов группировки, a Zi, Z2,...,无m ——их середины иЛ^ = ———относительные частоты попадания наблюдений в j-й интервал группировки, то можно построить изображение ступенчатой функции
/3)=飙沁,А, 2,…,т, в виде столбчатой Диаграммы, которая
/3)=飙沁,А, 2,…,т, в виде столбчатой Диаграммы, которая
называется гистограммой.
называется гистограммой.
Используя функцию hist(A, А), можно построить полигон частот —
ломаную линию, соединяющую точки с абсциссами, равными середи
нам интервалов группировки, и ординатами, равными соответствующим частотам.
Другие способы графического представления выборок описаны в разд. 6.2.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий гистограммы и полигоны частот, построенные для выборок, описанных в приведенном выше фрагменте. Здесь же представлены точечные графики каждой выборки и точечный график выборки из двумерного случайного вектора, выборочные значения компонент ко
торого находятся соответственно в массивах х и у.
i =0.19
х. ：= READ("c:\tmp\datax.txt") у. ：= READ( "cAtmpVdatay.txt")
Xmin ：= min(x) Xmin = 3.72 Xmax ：= max(x) Xmax = 8.048
Ymin ：= mln(y) Ymln = 3.72 Ymax ：= max(y) Ymax = 8.048 x ：= sort(x) у ：= sort(y)
Rx = Xmax - Xmln Ry ：= Ymax - Ymin n ：= 20
Rx = 4.328Ry = 4.328
D v
mx 二 4 Д ：= j ：= 0..mx к = 0..mx - 1
mx
my ：= 9 A := _ j ：= 0.. my к ：= 0.. my - 1 my
耳：=Xmin + —(2-j - 1)
f := hist(6,y) A = 0.481
io -т
8
4
2 4111111
3456769
Указание. Прежде чем приступать к группировке выборок, нужно их упорядочить с помощью функции sort. Перед обращением к функции hist следует вычислить середины интервалов группировки и присвоить их значения элементам массива х. На рис. 6.1 представлены окна настройки параметров изображения гистограмм и графиков.
Рис. 6.1. Окна настройки графиковРис. 6.1. Окна настройки графиков
Рис. 6.1. Окна настройки графиков
Рис. 6.1. Окна настройки графиков
Моделирование выборок из стандартных распределений
Mahtcad обладает богатой библиотекой встроенных функций, предназначенных для генерирования выборок из генеральных совокупностей с наиболее распространенными стандартными распределениями. Например, для генерации нормального распределения предназначена функция rnorm(A;,/z,(T), значением которой является вектор, содержащий к выборочных значений нормально распределенной случайной величины с математическим ожиданием М^ = 〃 и дисперсией О§ = ст2.
Ниже приведен список функций Mathcad, генерирующих выборки:
Бета-распределение: rbeta的si,$2)•
Биномиальное распределение: rbinom(fc,n,p).
Распределение Коши: rcauchy(Aj,Z,5).
у2-распределение: rchisq(A;,(/).
Экспоненциальное распределение： гехр(к,т).
Распределение Фишера (F-распределение): г^(к^т,п).
Гамма-распределение: rgamma(fcJs).
Геометрическое распределение: rgeom(A:)p).
Логнормальное распределение: "norm(к,о).
Логистическое распределение: rlogis(k",s).
Отрицательное биномиальное распределение： гпЬ!пот(А:тп,р).
Нормальное распределение: morm(k,〃《).
Распределение Пуассона： rpois(k,A).
Распределение Стьюдента: rt(k,d).
Равномерное распределение: runif(k,a,b).
Распределение Вейбулла: rweibul)(A:,s).
Выборка х, которая исследовалась в приведенных выше фрагментах, ——выборка 20 значений из стандартного нормального распределения. Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий функции построения этой выборки и сохранения ее в файле datx.txt на диске с: в палке tmp.
х ：= rnorm(20,0J) i =0 .19WRITE(Mc:\tmp\datx.txf) := x.
6.2
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ СТАТИСТИКИ.
ВЫБОРКИ. ГИСТОГРАММЫ.
ПОЛИГОНЫ ЧАСТОТ
Математическая статистика в основном занимается изучением случайных величин и случайных событий по результатам наблюдений. Ее главная задача — извлечь максимум информации из эмпирических данных.
Важнейшими понятиями математической статистики являются генеральная совокупность и выборка.
Генеральная совокупность ——это вероятностное пространство с определенной на нем случайной величиной £• Функцию распределения этой случайной величины 生(а) часто называют теоретической функцией распределения^ хотя более правильным представляется другой термин ——истинная функция распределения^ в отличие от эмпирической (экспериментальной, приближенной) функции распределения, которая будет определена ниже.
В результате проведения п экспериментов со случгьиной величиной £ получаем п выборочных значений Хг, г = 1, 2, ...,п. Вся совокупность этих значений называется выборкой.
Выборка ——это, вообще говоря, случайный вектор: если в одной серии из п испытаний получена выборка （土匕 土2〉£п）〉т。в другой серии будет получена, скорее всего, другая выборка （九 抬，…，風）.
Эмпирические распределения и числовые характеристики
Выборка из генеральной совокупности является основным источником информации о случайной величине. По выборке оценивается класс распределений, к которому принадлежит распределение исследуемой случайной величины, устанавливаются интервалы, в которых лежат истинные значения параметров распределения, проверяются гипотезы об этой случайной величине и формулируются выводы о других ее свойствах.
Чтобы использовать аппарат математической статистики, нужно прежде всего уметь находить некоторые числовые характеристики выборок и строить эмпирические распределения, с помощью которых в дальнейшем можно делать соответствующие выводы.
Рассмотрим некоторые правила предварительной обработки выборочных данных. Представленная ниже таблица выборки объема* п — 250 будет использоваться далее во всех вычислениях, а также станет источником построения выборок для индивидуальных вариантов заданий.
145.61
143.206
145.267
140.485
133.143
150.435
148.794
155.564
171.918
158.087
159.851
158.622
159.156
156.73
139.557
150.691
142.444
156.967
148.181
143.556
142.769
144.834
155.58
147.552
150.895
162.618
142.945
150.019
161.076
158.926
120.991
128.429
152.06
143.842
138.023
150.99
157.708
153.059
150.113
142.355
145.909
143.262
148.678
160.181
151.805
155.133
157.398
149.837
152.788
151.622
154.285
145.248
143.045
180.482
147.135
137.201
157.594
146.073
137.964
139.631
149.807
150.32
152.649
154.915
152.383
143.155
133.852
164.113
159.715
138.44
151.437
166.972
146.797
129.688
135.888
136.747
144.829
150.621
144.042
146.693
155.391
152.186
154.05
138.441
138.949
138.966
145.927
136.867
121.596
162.762
157.911
151.429
139.937
140.73
141.22
152.777
145.978
163.02
136.219
153.803
154.377
167.603
143.527
155.51
165.465
131.784
163.079
139.511
154.591
139.478
137.579
154.241
130.834
148.761
154.132
164.656
137.711
146.154
154.763
151.862
151.96
155.206
158.229
159.314
158.972
152.601
143.066
154.656
148.493
141.368
171.144
137.64
133.062
153.865
135.711
* Объемом выборки называют количество наблюдений или количество значений случайной величины.
145.891
158.742
144.311
140.903
141.323
160.971
139.771
137.484
156.247
142.623
155.409
156.641
155.196
151.459
149.488
153.16
152.488
148.294
145.475
152.937
151.507
140.659
157.925
157.163
160.438
158.11
156.17
147.549
149.142
156.848
157.911
153.578
147.887
148.445
151.36
158.639
169.584
150.688
155.646
155.572
168.911
164.788
127.059
156.623
145.593
145.263
150.889
143.012
153.472
141.25
169.001
122.741
158.702
171.791
160.849
161.757
140.286
134.241
154.64
164.744
161.654
142.365
155.094
154.96
141.977
143.729
144.466
146.54
145.355
152.509
146.266
147.269
162.895
151.941
170.865
134.377
150.79
154.205
166.274
156.198
132.828
136.274
173.96
157.332
149.975
141.54
139.826
133.692
139.462
161.159
159.455
157.597
139.385
145.867
166.069
150.237
146.685
145.436
153.969
154.961
149.211
150.83
154.224
142.28
148.655
135.371
152.018
166.807
140.923
157.864
148.745
138.823
157.239
152.912
141.182
Первичная обработка данных состоит обычно в отыскании максимального £тах и минимального xmin значений выборки (в Mathcad они вычисляются соответственно функциями тах(£) и min(§)), а также размаха варьирования R = хтах — xmjn. Для приведенной выше выборки эти величины равны:②max = 180.482,②min = 120.991, R = 59.49.
Следующий этап первичной обработки ——группировка и ее графическое представление. Группировка выборки объема п состоит в следующем. Промежуток [②min, ^max] разбивают на т интервалов группировки (чаще всего одинаковой длины) и подсчитывают число 吗 выборочных значений, которые попали в ji-й интервал. Обычно выбирают m = 7 — 20. Теперь каждый интервал группировки Aj =(出、％) представлен своими левой aj и правой % границами и числом п^ элементов выборки, принадлежащих ему. Каждый интервал удобно представлять не двумя границами, а одним числом ——срединным значением.
Наиболее наглядная форма графического представления группи
ровки ——гистограмма.
Если Bi,。2, • •・,Вт ——длины интервалов группировки, a Ti, ^2,...,
хт ——их середины и hy =———относительные частоты попадания
наблюдений в j-й интервал группировки, то можно построить график
ступенчатой функции: /(£)=ступенчатой функции: /(£)=55£ Е △力 j = 1, 2,...£ Е △力 j = 1, 2,...т.т.Этот график называется гистограммой. В Mathcad для построенияЭтот график называется гистограммой. В Mathcad для построения
ступенчатой функции: /(£)=
ступенчатой функции: /(£)=
5
5
£ Е △力 j = 1, 2,...
£ Е △力 j = 1, 2,...
т.
т.
Этот график называется гистограммой. В Mathcad для построения
Этот график называется гистограммой. В Mathcad для построения
гистограмм пр едназ начена функция hist(A5^).
Очевидно, что величина интервала группировки существенно влияет на вид гистограммы. При малой их ширине в каждый интервал попадает незначительное число наблюдений или даже не попадает ни одного, в результате гистограмма становится сильно ^^iизpeзaннoй^^ и
плохо передает основные особенности изучаемого распределения. Другая крайность — большие интервалы группировки; в этом случае скрадываются характерные черты распределения.
Иная форма графического представления группированных данных — полигон частот. Полигон частот — это ломаная линия, соединяющая точки с координатами (豆厶 /г：), т.е. с абсциссами, равными серединам интервалов группировки, и ординатами, равными соответствующим частотам.
Можно также построить полигон накопленных частот ——график ломаной, соединяющей точки с координатами (%, £ 几加)или (3 п、/
(%,工—к т.е. с абсциссами, равными правым границам интервалов группировки, и ординатами, равными соответствующим накопленным частотам или относительным накопленным частотам.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислением Emax, Emin и R = хтах - Emin для исследуемой выборки, а также с гистограммами и полигонами частот для различных интервалов группировки.
ORIGIN ：= 1
xmax ：= max(^) xmin ：= min(^) R ：= xmax - xmin
xmax = 180.482 xmin = 120.991 R = 59.491 n ：= 250
m ：= 10
j ：= 1-m k ：= 1.. m - 1
X. ：= xmin + ^ (2-j - 1)
f ：= hist(x.E) A = 5.949
кj= 1кj= 1
к
j= 1
к
j= 1
а. ：= xmin + A-(j - 1) b. ：= а. + А
j㈠， j j
а. ：= xmin + A-(j - 1)
b. ：= а.
+ А
m 二 100m 二 100
m 二 100
m 二 100
Д ：= 一 j ：= 1.. m к ：= 1.. m - 1
1)
f ：= hist(x,£) A = 0.595
j= 1j= 1
j= 1
j= 1
a. ：= xmin + Д-(j - 1) b. ：= a^ + Д
У казание. В приведенном фрагменте 250 выборочных значений сохранены в массиве с именем £. Прежде чем приступать к группировке выборки, необходимо упорядочить выборочные значения в порядке их возрастания. Эту операцию выполняет функция sort⑹. Группировка производится с помощью функции hist(x.^), где х ——массив, содержащий значения середин интервалов группировки. Прежде чем обратиться к функции hist(x,^), необходимо вычислить середины интервалов группировки и присвоить их значения элементам массива х. Значения функции hist(x,^) — вектор, компоненты которого равны количеству элементов массива £, которые попадают в интервал группировки； середина которого равна соответствующей компоненте массива х. На рис. 6.2 приведены окна настройки параметров изображения гистограмм.
FiMindlting CuriHiit^ Selected X-Y RotFiMindlting CuriHiit^ Selected X-Y RotFoimdtling Cunent^ Selected X-Y PiolFoimdtling Cunent^ Selected X-Y Piolaa
FiMindlting CuriHiit^ Selected X-Y Rot
FiMindlting CuriHiit^ Selected X-Y Rot
Foimdtling Cunent^ Selected X-Y Piol
Foimdtling Cunent^ Selected X-Y Piol
a
a
л> 即*“ X賊! L虫巾 I Dc&ii»!.'
guГ k&ih . 厂 ^Ln? «ЦпЬК：-• A ./A， Г 5&9ыМз«№ 声 A J!» Grid NgtfdXd， ГguГ k&ih . 厂 ^Ln? «ЦпЬК：-• A ./A， Г 5&9ыМз«№ 声 A J!» Grid NgtfdXd， ГbgvdUba» 副g|bgvdUba» 副g|Г Fcu.SqimГ Fcu.SqimРис. 6.2. Окна настройки графиковРис. 6.2. Окна настройки графиков□рачи□рачи
gu
Г k&ih . 厂 ^Ln? «ЦпЬК：
-• A ./A， Г 5&9ыМз«№ 声 A J!» Grid NgtfdXd， Г
gu
Г k&ih . 厂 ^Ln? «ЦпЬК：
-• A ./A， Г 5&9ыМз«№ 声 A J!» Grid NgtfdXd， Г
bgvdUba» 副g|
bgvdUba» 副g|
Г Fcu.Sqim
Г Fcu.Sqim
Рис. 6.2. Окна настройки графиков
Рис. 6.2. Окна настройки графиков
□рачи
□рачи
При первичной обработке выборочных данных можно рекомендовать несколько общих правил:
Перед началом группировки следует упорядочить выборочные значения в порядке возрастания. Такая упорядоченная в порядке возрастания выборка называется вариационным рядом.
При выборе числа интервалов группировки следует ориентироваться на 10-20 интервалов.
Пр ед по чтитель не е использовать интервалы одинаковой длины.
При анализе охватывайте всю область данных.
Избегайте полуоткрытых промежутков.
Интервалы группировки не должны перекрываться.
ЗАДАНИЕ 6.1
Вычислите максимальное, минимальное значения и размах для заданной части приведенной выше выборки. Выполните группировку для заданных значений т, постройте соответствующие гистограммы, полигоны частот и полигоны накопленных частот.
Порядок выполнения задания
Определите и введите вектор-столбец выборочных значений.
Упорядочите выборку в порядке возрастания выборочных значений.
Вычислите минимальное значение и размах для полученной выборки.
Определите число интервалов группировки и их длину.
Определите вектор-столбец, содержащий середины интервалов группировки.
Определите с помощью функции hist(x,^) вектор-столбец частот для полученных интервалов группировки.
Определите вектор-столбец накопленных частот.
Постройте гистограмму, полигон частот.
Постройте полигон накопленных частот и полигон относительных накопленных частот.,
Выполните вычисления пп. 6-9 для всех заданных значений т.
Сохраните рабочий документ в файле на диске.
Пример выполнения задания
Примерный вариант выполнения задания для всей выборки для m = =10, 20,100 приведен выше.
Числовые характеристики выборки
Показатели положения. Среднее значение выборки вычисляется по формуле
0
В Mathcad для вычисления выборочного среднего значения выборки, сохраненной в матрице Л, предназначена функция теап(Л).
Выборочной квантилью уровня р называется решение уравнения
K(N)=В
где Fn(x) — выборочная функция распределения.
В частности, выборочная медиана есть решение уравнения Fn(x)— =0.5, т.е. выборочная медиана — это выборочная квантиль уровня 0.5. Выборочная медиана разбивает выборку пополам: слева и справа от нее оказывается одинаковое число элементов выборки. Если число элементов выборки четно, n = 2fc, то выборочную медиану определяют по формуле 以上广坦где х^ и 以+i — fc-e и (fc+l)-e выборочные значения из вариационного ряда. При нечетном объеме выборки (ri = 2k + 1) в качестве значения медианы принимают величину 以+1・
В Mathcad для вычисления выборочной медианы выборки, сохраненной в матрице Л, предназначена функция median(A).
К показателям положения относятся минимальный и максимальный элементы выборки, а также верхняя и нижняя квартили (они ограничивают зону, в которой сосредоточены 50% элементов выборки).
Для вычисления минимального и максимального элементов выборки, размещенной в матрице А, в Mathcad предназначены соответственно функции min(A) и тах(А).
Показатели разброса. К показателям разброса относятся дисперсия выборки (выборочная дисперсия), стандартное отклонение, размах выборки, межквартильный размах, коэффициент эксцесса (выборочный эксцесс).
Выборочной дисперсией называется величина
Однако в статистике чаще в качестве выборочной дисперсии используется величина
°
Причина такого, на первый взгляд неожиданного, способа вычисления дисперсии будет объяснена в разд. 6.3.
В Mathcad для определения дисперсии выборки, сохраненной в матрице А, предназначена функция var⑷，а величину s2 можно вычислить по формуле s2 = ^~^аг(4).
Стандартное отклонение рассчитывается по формуле 3 = >/s^.
Размах выборки вычисляется по формуле R = хтах — xmjn.
Межквартилъный размах равен £0.75 — £0.25, где £0.75 ——75 %-ная квартиль, решение уравнения ^(хо.75) = 0.75, хо.25 — 25 %-ная квартиль, решение уравнения 凡(£().25) = 0.25.
Выборочный эксцесс определяется следующим образом. Сначала отыскивается величина выборочного центрального момента 4-го порядка
应=^£(0 -亍)4.
А затем по формуле Е = ^(s2)~2 — 3 вычисляется выборочный эксцесс.
Показатели асимметрии. На основании этих показателей изучают информацию о симметрии распределения выборочных данных около центра выборки. Сюда в первую очередь относится коэффициент асимметрии, который вычисляется по формуле
где 0з = - £ (/ —元)3 — выборочный центральный момент 3-го порядка, а £ — стандартное отклонение, формула для вычисления которого приведена выше.
ЗАДАНИЕ 6.2
Для выборки, сформированной в предыдущем задании, вычислите все описанные выше выборочные характеристики.
Порядок выполнения задания
Прочтите сохраненный ранее файл, содержащий выборку.
Вычислите максимальный и минимальный элементы и размах выборки.
Рассчитайте выборочное среднее.
Найдите медиану.
Вычислите выборочную дисперсию и стандартное отклонение.
Найдите выборочные моменты 3-го и 4-го порядков.
Вычислите выборочный эксцесс.
Определите коэффициент асимметрии.
Пример выполнения задания
Ниже представлен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий вычисление характеристик выборочных данных, приведенных в начале раздела.
П :二 250
xmax ：= max(E)
xmin ：= min(E)
R ：= xmax - xmin
xmax = 180.482
xmin = 120.991
R = 59.49
mean ：= mean(^)
s2 ：=——--var(g) n - 1
a ：=
mean = 149.849
s2 = 98.174
a = 9.908
闵二;，备一 i= 1
mean)产4 ：= _■
/n
n
Z 备-mean)4 i= 1
median ：= median(^)Е ：= — - 3 a ：=—
s22а3
median = 150.69E = 0.136 a = -0.055
Указание. В Mathcad нет встроенных функции для вычисления выборочных моментов. Для определения среднеквадратичного отклонения в Mathcad предназначена функция stdev(A) = д/уаг(А). Рассчитываемое с ее помощью значение среднеквадратичного отклонения отлично от определенного выше, поэтому среднеквадратичное отклонение следует вычислять как xf^.
Оценка функции распределения
Как уже упоминалось ранее, распределение случайной величины является ее "паспортом”，содержащим всю информацию о случайной величине.
Рассмотрим методы оценивания функции распределения 竣(土)случайной величины, о которой известно, что она непрерывна.
Пусть 金={zi, Z2,...,色九}——совокупность выборочных значений случайной величины £, т.е. выборка из случайной величины £. Расположим наблюдения Xi,效，1几 в порядке их возрастания. Обозначим новую упорядоченную последовательность ——вариационный ряд —— Хр а；2，■.., х^, х[ < хг2 < ... < хгп. По этому вариационному ряду построим следующую неубывающую ступенчатую функцию:
{
о, Х<х\,
^^, х^._1 <х<х'к, А: = 1,2,
х>х；.
Из приведенной выше формулы видно, что функция Fn(x) претерпевает в каждой точке вариационного ряда скачок, равный по величине 1/п. Если какая-нибудь точка вариационного ряда повторяется m раз (т точек вариационного ряда совпадают), то скачок функции Fn(x) в этой точке равен т/п.
Функция Fn(x) называется эмпирической функцией распределения.
Замечание. Эмпирическая функция распределения Fn(x) зависит не только от х, но и от всей выборки х. Чтобы обратить внимание на этот факт, будем обозначать эмпирическую функцию распределения через 耳(н,金). Именно Fn(x}x) принимают за оценку теоретической функции распределения F(x).
Остается выяснить, насколько хорошо эмпирическая функция распределения аппроксимирует теоретическую функцию распределения.
Если 7^(土)一 теоретическая функция распределения, a Fn(x) — эмпирическая функция распределения, построенная по заданной выборке х значений случайной величины ^, то в качестве меры расхождения теоретической и эмпирической функций распределения возьмем величину
Dn(x) =sup|Fn(z)-压(с)|・X
Эта функция от выборочных значений с называется статистикой Колмогорова. Следует помнить, что Dn(分)——случайная величина и что ее распределение не зависит от неизвестной теоретической функции распределения 竣(с), если она непрерывна. Более того, справедлива теорема Колмогорова: если функция распределения *(土) случайной величины § непрерывна, a Fn(x)——ее выборочная функция распределения, то при п —> оо
{
0,г < 0,
f (-1)『『 z>0.
Е = —8
Функция K(z) представляет собой функциональный ряд, который следует протабулировать. Сразу обратим внимание на то, что этот ряд сходится абсолютно для всех г > 0, но неравномерно на промежутке [0, +оо]. Это означает, что для достижения заданной точности при вычислении K(z) число N членов в соответствующей частичной сумме зависит от г. Если £ — требуемая точность вычисления K(z), то число N вычисляется по формуле
韜1/1'11
+1,
где символом [ ] обозначена целая часть числа.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий приближенное определение функции K{z) для е = 0.001, N = 3, и соответствующие графики.
Из приведенных в документе графиков видно, что для малых z величину K(z) можно положить равной нулю, а для z〉2 можно считать К (z) равной единице.
Зададимся вероятностью а такой, что событие, происходящее с вероятностью 1 — а, представляется практически достоверным. Вычислим корень % уравнения 1 — K(z) = а, тогда неравенство
Fn(^) — ^^ < 尸f(z) < 尸n(z) + ^^
выполняется для всех действительных х с вероятностью, близкой к 1 - а.
Таким образом, в окрестности эмпирической функции распределения построен ,,коридор,\ в котором лежит истинная, теоретическая функция распределения 竣(z)・ С ростом п "ширина” этого коридора стремится к нулю.
Вместо эмпирической функции распределения будем использовать функцию накопленных относительных частот, поскольку Fn(x)=氏 для £W(Sa：-i,S4 и значения функций совпадают вне промежутка ［々min〉々max'
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с постро
ением 95 %-ного 17 коридора^ для функции величины по приведенной выборке.
m ：= 250 А ：= — j ：= 1m k m
"：=xmin + ^. (2-j - 1) f ：= hist(x.E)
распределения случайнойраспределения случайнойД 二 0.238二 fД 二 0.238二 fdj ：二 xmin + A -(j - 1) 与：二 dj + A
распределения случайной
распределения случайной
Д 二 0.238
二 f
Д 二 0.238
二 f
Указание. Как уже отмечалось выше, в качестве эмпирической функции распределения использована эмпирическая функция накопленных частот. Заметим, что Mathcad вместо графика ступенчатой функции строит ломаную линию, соединяя "ступеньки” вертикальными отрезками прямых. Корень уравнения 1 —K{z) =a проще всего найти графически, используя операцию Trace пункта Graph меню Format (см. разд. 1.8) как точку пересечения графика K(z) и прямой g = 1 — а. Ниже приведен фрагмент окна Mathcad с окном отображения координат точки пе-
Для оценки плотности распределения случайной величины можно воспользоваться полигоном частот, который представлен выше. При не очень обременительных ограничениях доказано, что выборочная плотность вероятностей, т.е. полигон частот, с ростом объема выборки до бесконечности стремится к истинной, теоретической, плотности распределения исследуемой случайной величины.
ЗАДАНИЕ 6.3
Постройте для выборки, сформированной в задании 6.1, 95 %-ный ”ко・ ридор57 для функции распределения исследуемой случайной величины.
Порядок выполнения задания
Прочитайте файл, сохраненный при выполнении задания 6.1.
Определите статистику Колмогорова — функцию K(z) и постройте ее график.
Определите значение величины а.
Решите графически уравнение 1 — K(z) = а.
Постройте "коридор^ для теоретической функции распределения.
Пример выполнения задания
Пример построения 95 %-ного " коридора11 функции распределения для исследуемой во всех примерах этого раздела выборки 250 значений случайной величины приведен выше.
При анализе статистических данных большую роль играет опыт и интуиция исследователя. В этой связи чрезвычайно полезными представляются следующие упражнения. Пользователь генерирует достаточно большую выборку значений случайной величины, имеющей известное непрерывное распределение с известными параметрами. А затем производит описанные выше вычисления, изменяя параметры задачи ——объем выборки, количество интервалов группировки, доверительные вероятности и др., и сравнивает полученные оценки с известными теоретическими значениями. Здесь прежде всего полезно изучить равномерное и нормальное распределения. Приведенное ниже задание 6.4 заключается в решении именно такой задачи —— исследование выборки значений случайной величины с заданным распределением.
Напомним, что исследованная во всех примерах раздела выборка представляет собой сгенерированную функцией Mathcad rnorm выборку 250 значений случайной величины, имеющей нормальное распределение ^(150,10). С ледовательно, внимательный читатель может не затрудняться ручным вводом выборки для индтеидуального варианта задания, а просто аккуратно сгенерировать ее.
ЗАДАНИЕ 6.4 Сгенерируйте выборку значений случайной величины с заданным непрерывным распределением и выполните ее полный предварительный анализ для указанных значений объема выборки, числа интервалов группировки и доверительной вероятности. Постройте графики плотности вероятностей и функции распределения и сравните их с полученными графиками соответствующих выборочных функций.
Порядок выполнения задания
Установите в меню Math режим Optimization.
Присвойте переменной п значение, равное 100.
Постройте для заданного распределения графики плотности вероятностей и функции распределения.
Найдите математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение, медиану, моменты 3- и 4-го порядка, ■ асимметрию и эксцесс заданного распределения (см. гл. 6).
Сгенерируйте выборку объема п значений случайной величины, имеющей заданное распределение.
Определите как функции переменной п и найдите выборочные значения среднего, среднеквадратичного отклонения, моментов 3- и 4-го порядка, асимметрии и эксцесса.
Постройте гистограмму, полигон частот, график накопленных относительных частот.
Постройте 95 %-ный "коридор" для теоретической функции распределения и изобразите на этом же графике функцию заданного в условии распределения вероятностей.
Сравните вычисленные теоретические и выборочные значения параметров.
Выполните вычисления пп. 4-7 для п = 150, 200, 300, 500.
Пример выполнения задания
Ниже приведен пример выполнения задания для стандартного нормального распределения ^(0Jl).
ORIGIN 二 1
0
駕：=户 BE = 0*：=竺^ - 3*=0
I哄2
码2
median := qnorm(0.5,0>1) median = О
63
ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ
ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
Предположим, что функция распределения случайной величины § зависит от неизвестного параметра 6: Р(§ < х)=竣(土; 6).
Если xi, 土2, ••■)^п ——выборка из генеральной совокупности случайной величины 3 то оценкой 0 параметра 0 называется произвольная функция от выборочных значений* 0 =伙土1 卢2,…卢 j
Конечно, используемые на практике оценки %(土i业2,…卢п) — не совсем произвольные функции: они обладают рядом свойств, которые обеспечивают в некотором смысле оптимальное извлечение информации из выборок. Обсудим эти свойства более подробно.
Точечные оценки математического ожидания
Прежде всего заметим, что значение оценки J меняется от выборки к выборке и, значит, 0 есть случайная величина. Естественно потребовать, чтобы значения этой случайной величины в большинстве экспериментов были близки к значению оцениваемого параметра. Этого можно достигнуть, если для любого значения п математическое ожидание величины 0п равно истинному (теоретическому) значению параметра 3: Мвп =仇
Оценки %, удовлетворяющие условию М0п = % называются несмещенными. Не смещение сть оценки означает, %то эта оценка не несет в себе систематической ошибки.
Еще одно важное свойство, которым должны обладать оценки,—— состоятельность. Оценка 0П называется состоятельной оценкой параметра 0, если для любого е〉0 справедливо lim Р(|0П — 01 < е) = 1.
Поясним смысл последнего равенства. Пусть е〉0 — как угодно малое положительное число. Тогда с ростом п растет наша уверенность в том, что значение оценки % отличается от истинного значения параметра 0 не более чем на величину е. Таким образом, определение
* Функции от выборочных значений часто называют статистиками.
состоятельной оценки находится в полном соответствии со здравым смыслом: с ростом объема выборки увеличивается точность результата! Правда, здесь приходится отойти от традиционного понятия точности: нет гарантии, что % — 0| < е, однако утверждается, что начиная с некоторого п событие |0П — 0| < е становится практически достоверным.
Вообще говоря, для оценки одного и того же параметра можно придумать много различных несмещенных и состоятельных оценок. Рассмотрим несколько примеров.
Пусть Xi, а；2, ..■, хп —— выборка из генеральной совокупности, соответствующей случайной величине § с неизвестным математическим ожиданием М^ = В и известней дисперсией Of = ст2. Построим несколько оценок неизвестного параметра М^ =仇
Например, если 舒)=②匕 то М^ = М± = 0 =初 т.е. рассматриваемая оценка является несмещенной оценкой. Но, поскольку значение 碍)=xi вообще не зависит от объема выборки п, то оценка 舒) не является состоятельной.
Рассмотрим другую оценку:
2(2) _ 工1 + 2齿2 + • • • + Tixn
~2
Найдем М砂):
m齋)=мm齋)=мn(n +1) ~2~2n(n + 1)n(n +1) ~2~2n(n + 1)Si + 2& + …+Si + 2& + …+•9(1 + 2 + ...+п) =——'n(n + l)•9(1 + 2 + ...+п) =——'n(n + l)n(n+l) — G~2~'n(n+l) — G~2~'
m齋)=м
m齋)=м
n(n +1) ~2~
2
n(n + 1)
n(n +1) ~2~
2
n(n + 1)
Si + 2& + …+
Si + 2& + …+
•9(1 + 2 + ...+п) =——
'n(n + l)
•9(1 + 2 + ...+п) =——
'n(n + l)
n(n+l) — G~2~'
n(n+l) — G~2~'
т.е. имеем несмещенную оценку. Проверим ее состоятельность.
2
4。2 n(n+ l)(2n +1)2(2n +1) 2
n2(n-{- 1)263几(几+1)° '
Поскольку。製 —> 0 при п —> оо, то, согласно закону больших чисел, для е〉0 справедливо lim 尸（疏）— 创 < е） = 1〉т.е. имеем п—>оо состоятельную оценку.
Рассмотрим еще одну оценку неизвестного математического ожидания:
у которой
м^ = ^м^ + м^ + --- + м^ = ^-еп = е,
吸）=2（% +D& +…+ %）吃"67、?一。
при п —> оо, т.е. последняя оценка также несмещенная и состоятельная.
碑）碑）Какой же оценке отдать предпочтение? Для того чтобы ответить на этот вопрос, сравним дисперсии последних двух оценок. Поскольку
碑）
碑）
n 7 п 3几（几 + 1） n \3（几 + 1）丿
то碗） > 晒） ,т.е. оценка 駕）дает меньший разброс около значений параметра 0 и, следовательно, предпочтительнее. В таком случае говорят, что оценка 醤）эффективнее оценки 醤）. Теперь естественно поставить вопрос о построении самой эффективной оценки ——об оценке с минимальной дисперсией. Такая оценка называется эффективной оценкой.
Доказано, что эффективной оценкой математического ожидания нормально распределенной случайной величины является оценка 6n = = 當丄十方^:二 + 旦.. Именно поэтому последняя оценка так широко используется в математической статистике.
Итак, впредь для оценки неизвестного математического ожидания случайной величины будем использовать выборочное среднее^ т.е.
g3 +效+…+2r
Существуют стандартные （регулярные） методы получения оценок неизвестных параметров распределения. Наиболее известные из них: метод моментов, метод максимального правдоподобия и метод наименьших квадратов. С основными идеями этих методов мы познакомимся на конкретных примерах получения оценок параметров наиболее известных распределений.
Точечные оценки дисперсии
Для дисперсии ст2 случайной величины £ можно предложить следующую оценку:
dx = ^£(g-既
г=1
где х — выборочное среднее.
Доказано, что эта оценка состоятельная, но смещенная.
В качестве состоятельной несмещенной оценки дисперсии* используют величину
г=1
Именно не смещенностью оценки 52 объясняется ее более частое использование в качестве оценки величины D0
Заметим, что Mathcad предлагает в качестве оценки** дисперсии величину DX, а не 52: функция var(x) вычисляет величину
(勺-mean(rr)产,
г=1I n
где mean(£)— выборочное среднее - £ g.
ЗАДАНИЕ 6.5
Найдите состоятельные несмещенные оценки математического ожидания М^ и дисперсии。£ случайной величины £ по приведенным в задании выборочным значениям zi, а；2, ..., хп.
Порядок выполнения задания
Прочитайте с диска файл, содержащий выборочные значения, или введите заданную выборку с клавиатуры.
Вычислите точечные оценки М^ и 奴.
Пример выполнения задания
Найдите состоятельные несмещенные оценки математического ожидания М£ и дисперсии D^ случайной величины £ по выборочным значениям, заданным следующей таблицей.
X
904.3
910.2
916.6
928.8
935.0
941.2
947.4
953.6
959.8
966.0
972.2
978.4
п
1
3
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
* Вообще говоря, эта оценка не является эффективной, что можно легко показать на примере случайной величины, имеющей нормальное распределение.
**См. разд. 6.1.
Для выборки, заданной таблицей такого типа (приведено выборочное значение и число, указывающее, сколько раз это значение встре- нается в выборке), формулы для состоятельных несмещенных оценок математическдго ожидания и дисперсии имеют вид:
п 1=1п 1=1九一九一n九=):九运1=1n九=):九运1=1
п 1=1
п 1=1
九一
九一
n
九=):九运
1=1
n
九=):九运
1=1
где k ——количество значений в таблице; щ ——количество значений х^ в выборке; п ——объем выборки.
Фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислениями точечных оценок приведен ниже.
ORIGIN ：= 1
1 904.3
1 947.4
3 910.2
1 953.6
i ：= 1 . 12
1 916.6
1 959.8
D1 二
D2 ：=
1 928.8
1 966.0
1 935.0
2 972.2
D ：= stack(D1,D2)
2 941.2
1 978.4
12
п = 16п = 16Мх = 940.456Мх = 940.456n = E %
п = 16
п = 16
Мх = 940.456
Мх = 940.456
12
Mx =1 V D -D. o n 乙 一 1，2
12
Dx ：= _1_ £ Qу @ 2 - Mx)2 Dx = 632.811
12
Dx1 =1 Z Q 1 (Q 2 - Mx)2 Dx1 = 593.26
Из приведенных вычислений видно, что смещенная оценка дает заниженное значение оценки дисперсии.
Точечная оценка вероятности события
Предположим, что в некотором эксперименте событие А (благоприятный исход испытания) происходит с вероятностью р и не происходит с вероятностью g = 1 —р. Задача состоит в получении оценки р неизвестного параметра распределения р по результатам серии п случайных экспериментов. При заданном числе испытаний п количество благоприятных исходов m в серии испытаний — случайная величина, имеющая распределение Бернулли*. Обозначим ее буквой д.
Если событие А в серии из п независимых испытаний произошло m раз, то оценку р величины р предлагается вычислять по формуле
Выясним свойства предлагаемой оценки. Поскольку случайная величина д имеет распределение Бернулли, то Мр=пр и Мр = М^^ =р, т.е. налицо несмещенная оценка.
Для испытаний Бернулли справедлива теорема Бернулли, согласно которой lim Р( — —р < £)= 1, т.е. оценка р состоятельная.
ПТ8 \| П I /
Доказано, что эта оценка эффективна, так как обладает при прочих равных условиях минимальной дисперсией.
В Mathcad для моделирования выборки значений случайной величины, имеющей распределение Бернулли, предназначена функция rbinom(k,%p), которая формирует вектор из к случайных чисел, каждое из которых равно числу успехов в серии из п независимых испытаний с вероятностью успеха р в каждом.
ЗАДАНИЕ 6・6
Смоделируйте несколько выборок значений случайной величины, имеющей распределение Бернулли с заданным значением параметра р. Вычислите для каждой выборки оценку параметра р и сравните с заданным значением. Представьте результаты вычислений графически.
Порядок выполнения задания
Используя функцию rbinom(l,n,p), опишите и сформируйте последовательность значений случайной величины, имеющей распределение Бернулли с заданными р и п для п = =10, 20,..., ^, как функцию объема выборки п.
"Распределение Бернулли обсуждалось в разд. 5.2.
Вычислите для каждого значения п точечные оценки р вероятности р.
Постройте график зависимости величины р от объема выборки.
Пример выполнения задания
Пример получения точечных оценок выборок объема п = 10, 20,..., 200 значений случайной величины 儿，имеющей распределение Бернулли с параметром р = 0.3, приведен ниже.
Указание. Поскольку значением функции является вектор, число успехов в серии /г независимых испытаний с вероятностью успеха р в каждом испытании содержится в первой компоненте вектора rbinom(l,п,р) , т.е, число успехов равно rbinom(l,n,p)]. В приведенном выше фрагменте А>я компонента вектора Р содержит число успехов в серии 10А: независимых испытаний для А: = 1, 2, ..., 200.
Точечная оценка параметров равномерного распределения
Обратимся еще к одному поучительному примеру. Пусть с，物■ • •, хп —— выборка из генеральной совокупности, соответствующей случайной величине £, имеющей равномерное распределение на отрезке [0, J] с неизвестным параметром J. Наша задача — оценить этот неизвестный параметр.
Рассмотрим один из возможных способов построения требуемой оценки. Если £ — случайная величина, имеющая равномерное распределение на отрезке [0,0], то М^ — -. Поскольку оценка величины М£ известна, М^ =豆，то за оценку 孤D параметра J можно взять оценку J⑴=2历2 ni=l
Несмещенность оценки очевидна: Л/矶D = 2Л/£ =仇
Вычислив дисперсию состоятельности оценкиВычислив дисперсию состоятельности оценкиd⑴赦d⑴赦и предел D^и предел D^при п —> оо, убедимся впри п —> оо, убедимся в
Вычислив дисперсию состоятельности оценки
Вычислив дисперсию состоятельности оценки
d⑴
赦
d⑴
赦
и предел D^
и предел D^
при п —> оо, убедимся в
при п —> оо, убедимся в
D^ = DD^ = D4~4//
D^ = D
D^ = D
-.n.D^ = -^.n-- = -^0
при 72 ―> 8.
Для получения другой оценки 6(2)параметра 0 обратимся к другой
статистике.статистике.случайной величины 讯?):случайной величины 讯?):Пусть 讯2)= max(土 1,土2,…卢п)・ Найдем распределение
статистике.
статистике.
случайной величины 讯?):
случайной величины 讯?):
崛2)(土) =P(max(Xi,3；25...,rrn) < x)=
= P(C1 <C, ...,Гп<Г)=(訂,= P(C1 <C, ...,Гп<Г)=(訂,О < I < 6».О < I < 6».
= P(C1 <C, ...,Гп<Г)=(訂,
= P(C1 <C, ...,Гп<Г)=(訂,
О < I < 6».
О < I < 6».
равны соответственно:равны соответственно:D^ =D^ =几几(71+1)2(71+ 2)(71+1)2(71+ 2)处处
равны соответственно:
равны соответственно:
D^ =
D^ =
几
几
(71+1)2(71+ 2)
(71+1)2(71+ 2)
处
处
и дисперсия случайной величиныи дисперсия случайной величиныТогда математическое ожидалие 矶2)с распределением
и дисперсия случайной величины
и дисперсия случайной величины
т.е. оценка 讯?)состоятельная, но смещенная. Однако если вместо讯2)= max(土 1,土2,£п) рассмотреть 讯？)= ZL^lL maxQbg,…卢п), то
M讯3) = J н。讯з)=M讯3) = J н。讯з)=и несмещенная.При этом, посколькуи несмещенная.При этом, поскольку吋 + 2), и, следовательно, оценка吋 + 2), и, следовательно, оценка讯з) состоятельная讯з) состоятельная
M讯3) = J н。讯з)=
M讯3) = J н。讯з)=
и несмещенная.
При этом, поскольку
и несмещенная.
При этом, поскольку
吋 + 2), и, следовательно, оценка
吋 + 2), и, следовательно, оценка
讯з) состоятельная
讯з) состоятельная
De^ з
Dew -^ + 2 '
оценка 讯з) существенно эффективнее оценки 讯】). Например, при ri = 97 разброс оценки 6⑶ в 33 раза меньше разброса оценки 矶】).
Последний пример еще раз показывает, что выбор статистической оценки неизвестного параметра распределения ——важная и нетривиальная задача.
В Mathcad для моделирования выборки значений случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке [а, Ь], предназначена функция runif(fc,a,b), которая формирует вектор из к случайных чисел, каждое из которых — значение равномерно распределенной на отрезке [а, Ь] случайной величины.
ЗАДАНИЕ 6.7
Смоделируйте несколько выборок разного объема значений случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке [0, 6] для
значения 0 = N/2 (N ——номер варианта), и найдите оценки 6。)н@з) параметра в. Постройте график зависимости 讯D и 初з) от объема выборки.
Порядок выполнения задания
Используя функцию runif(n,0,7V/2), опишите и сформируйте последовательность п значений случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке [О, N/2].
Вычислите для каждого значения п точечные оценки 利】)и 初з) параметра в.
Постройте график зависимости величин 讯D и 讯?)от объема выборки.
Пример
выполнения задания
Пример полученияПример полученияточечных оценокточечных оценок讯1)н 讯з) параметра 6 для выборок
Пример получения
Пример получения
точечных оценок
точечных оценок
объема п = 10, 20,..., 200 значений случайной величины f, имеющей равномерное распределение на отрезке [0,0], 0=1, приведен ниже.
ORIGIN ：= 1 к = 1 . 20
Т\ ：= _3_ 2runif(10 k,0J)Т1„ = 0.986
к 10 к
ТЗ. ：= 10 -+1 max(runif(10 к,0,1))= 1.005
К 10 кз
Указание. Как видно из приведенных в документе вычислений, выборке объема 170 соответствует оценка & = 0.986, в то время как & = 1.005. Оценка & существенно тоянее оценки & (напомним, что истинное значение оцениваемого параметра 6 равно 1).Указание. Как видно из приведенных в документе вычислений, выборке объема 170 соответствует оценка & = 0.986, в то время как & = 1.005. Оценка & существенно тоянее оценки & (напомним, что истинное значение оцениваемого параметра 6 равно 1).
Указание. Как видно из приведенных в документе вычислений, выборке объема 170 соответствует оценка & = 0.986, в то время как & = 1.005. Оценка & существенно тоянее оценки & (напомним, что истинное значение оцениваемого параметра 6 равно 1).
Указание. Как видно из приведенных в документе вычислений, выборке объема 170 соответствует оценка & = 0.986, в то время как & = 1.005. Оценка & существенно тоянее оценки & (напомним, что истинное значение оцениваемого параметра 6 равно 1).
Поскольку значением функции runif(10k,0,1) является вектор^ содержащий 10k значений случайной величины, имеющей равномерное распределение, для вычисления £ g щелкните по кнопке 卜^ | в панели | Е矶 и введите в помеченной позиции i= 1
обращение к функции runif(10k,0,1). Для вычисления max(xi,Х2,■ ■ • ,^п) используйте выражение max(runif(10k, 0,1)).
6.4
МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК
Как уже упоминалось ранее, существуют регулярные методы получения точечных оценок. Один из них — метод максимального правдоподобия.
Оценки, полученные методом максимального правдоподобия, обладают хорошими асимптотическими свойствами: при 71Toe они становятся эффективными, несмещенными, состоятельными. Познакомимся с этим методом на примерах.
Метод максимального правдоподобия для дискретной случайной величины
Пусть £ — дискретная случайная величина, распределенная по закону Пуассона с неизвестным параметром А, т.е.尸(£ = m)= 与厂入 и mi, m2, • • •, шп ——результаты независимых наблюдений случайной величины & Задача состоит в построении точечной оценки неизвестного параметра А. Для ее решения введем в рассмотрение функцию правдоподобия^ заданную равенством
L(mi,m2,...,mn) = Р(^ = mi, & =恤，…，£〃 = mn),
где £i, £2, •…,fn — независимые случайные величины, распределенные так же, как и случайная величина &
Поскольку случайные величины ^ независимы и 尸©=т?) = —-е-А, ТО
L(mi,m2,...,mn) = P(£i = mi)P(& = m?)…■?(§〃 = mn)
=r2e-nA
mi!.. .mn! '
Как видно из последнего равенства, функция правдоподобия зависит только от результатов наблюдений mi, m2,…，mn и от неизвестного параметра А.
За оценку неизвестного параметра Л примем такое число Л, которое доставляет максимум функции правдоподобия.
Такой подход к построению оценки представляется естественным. В самом деле, значением функции правдоподобия является вероятность того, что случайные величины &, &,…・,£п принимают именно те значения mi, m^ ..., mn, которые увидел наблюдатель. Вряд ли наблюдатель был свидетелем крайне маловероятного события. Здравый смысл подсказывает, что, скорее всего, наблюдатель видит то, что наиболее вероятно, что должно происходить. Другими словами, он является свидетелем события, вероятность которого является наибольшей и равна maxL(mi,m2,.. • ,пгп). Такова основная идея метода ■ максимального правдоподобия, отраженная в его названии.
При решении задач отыскания максимума функции правдоподобия чаще всего находят максимум функции InL:
(
》mi +…+mn、
—-е-пЛ ) = —nA + (mi + ... + mn) In A — mi!.. .mn!/
которая достигает максимума в той же точке, что и функция правдо- бодобия L(mi,m2,..• ,шп).
Из необходимого условия экстремума
丁一 + —~А~~~ = °
имеем искомую оценку Л =丄(m】+. ..H-mn) неизвестного параметра Л.
Вспомнив, что математическое ожидание случайной величины £, имеющей распределение Пуассона с параметром Л, равно М£ = Л и что эффективной несмещенной состоятельной оценкой математического ожидания £ по выборке mi, m2, ..., mn является величина m = -(mi + …+ mn) = Л, можем утверждать, что методом максимального правдоподобия получена естественная оценка параметра Л.
В Mathcad для моделирования выборки значений случайной величины, распределенной по Пуассону, предназначена функция rpois(A;,A)), которая формирует вектор из к случайных чисел, распределенных по Пуассону с параметром Л.
ЗАДАНИЕ 6.8
Смоделируйте несколько выборок объема п значений случайной величины 3 имеющей распределение Пуассона с параметром Л = 0.1N,
N ——номер варианта. Для одной выборки постройте график функции правдоподобия. Найдите оценку максимального правдоподобия параметра А как функцию объема выборки. Выполните вычисления для п = ION, 20N,…,50^ при ^ < 15 и для п = ^) 2N,…,10^ при N > 15. Изобразите на графике зависимость оценки от объема выборки. Сравните полученные оценки с заданным значением параметра.
Порядок выполнения задания
Смоделируйте выборку значений случайной величины, имеющей распределение Пуассона с заданным значением параметра А.
Определите логарифм функции максимального правдоподобия и изобразите его график,
Смоделируйте несколько выборок разного объема значений случайной величины, имеющей распределение Пуассона с заданным значением параметра А.
Вычислите оценку максимального правдоподобия параметра А как функцию объема выборки.
Изобразите на графике зависимость оценки максимального правдоподобия от объема выборки.
Пример выполнения задания
В приведенном ниже фрагменте рабочего документа выполнены требуемые вычисления для распределения Пуассона с параметром А = 3.
ORIGIN ：= 1Р ：= rpois(IOOJ)
-1600
?
П
n = 1100k(n) = L X 耳
i= 1
k(5Q)=3"100)=2.77
Метод максимального правдоподобия、
для непрерывной случайной величины
Пусть § — случайная величина, распределенная по показательному закону с неизвестным параметром А:
0,£<0,
^)= (ле-^ ,>о.
Задача состоит в построении методом максимального правдоподобия оценки А параметра А по выборочным значениям ①匕 土2,…,土小
По аналогии с предыдущим разделом определим функцию правдоподобия равенством
厶(h1户2,…卢 П) = П^?^*)=大%-"1+…+N").
1=1
Как видно, функция правдоподобия зависит не только от выборочных значений, но и от неизвестного параметра распределения А. Как и выше, за оценку неизвестного параметра А примем такое число А, которое доставляет максимум функции прав до подо бия. Снова переходим к логарифму функции правдоподобия, применяем необходимое
условие экстремума и после несложных вычислений получаем:
InL = nlnA - (с】+ .+ хп)А, °^丄=g — (с】+ ….+ 土九)=О,
А =— ~,
Ei + . .. + Xn X
что естественно, поскольку математическое ожидание случайной величины, имеющей показательное распределение с параметром Л, равно j.
В Mathcad для моделирования выборки значений случайной величины, имеющей показательное распределение, предназначена функция гехр(к,Л), которая формирует вектор из к случайных чисел, распределенных показательно с параметром Л.
ЗАДАНИЕ 6.9
Смоделируйте несколько выборок объема п значений случайной величины £, имеющей показательное распределение с параметром Л = 0.1N, где N — номер варианта. Для одной выборки постройте график функции правдоподобия. Найдите оценку максимального правдоподобия параметра Л как функцию объема выборки. Выполните вычисления для п = 10N, 20^^..., 50^ при ^ < 15 и для п = N、27V,..., 10^ при N > 15. Изобразите на графике зависимость оценки от объема выборки. Сравните полученные оценки с заданным значением параметра.
Порядок выполнения задания
Смоделируйте выборку значений случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение с заданным значением параметра Л.
Определите логарифм функции максимального правдоподобия и изобразите его график.
Смоделируйте несколько выборок разного объема значений случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение с заданным значением параметра Л.
Вычислите оценку максимального правдоподобия параметра Л как функцию объема выборки.
Изобразите на графике зависимость оценки максимального правдоподобия от объема выборки.
Пример выполнения задания
В приведенном ниже фрагменте рабочего документа выполнены требуемые вычисления для экспоненциального распределения с параметром Л = 2*
ORIGIN := 1 Р ：=「ехр( 100.2)
100LnL(A) ：= 100 ln(A) - А £ Р.i= 1
n ：= 1..100А(п) ：= А(50) =2.33
п
V Р
.厶 1 А (100) = 1.948
Обратимся еще к одному примеру. Рассмотрим распределение, которое зависит более чем от одного параметра.
Пусть случайная величина 刀 имеет распределение Лапласа, зависящее от двух неизвестных параметров 外 и &：
以(2)=言e-6，出〉0,
и пусть £，Х2,…，нп — выборка из генеральной совокупности,
отвечающей случайной величине ту. Задача состоит в построении
методом максимального правдоподобия оценок 办 и & параметров 01 ие2.
Для рассматриваемого нами распределения функция максимального правдоподобия имеет вид
£(立1声2,…卢п) =—
' Z=1
и
1пЕ(£1,£2,…,£п) = -nln(202)- 丁 £|д-°1|・2 £=1
Здесь нельзя использовать необходимое условие экстремума для гладких функций, так как функция 1п£ (а значит, и функция £) не дифференцируема по 01. Однако задача легко решается, поскольку при постоянном 02 максимум 1п£, очевидно, достигается в точке минимума функции £|n£ —。1 卜 Если объем выборки п — нечетное число, то г—1
оценка & совпадает с медианой выборки д, х?、..., £几. При четном 71
п минимум £|伤一仇| достигается в любой точке отрезка между проранжированными наблюдениями с номерами - — 1 и -.
Оценка максимального правдоподобия 夕2 параметра % удовлетворяет уравнению = U и имеет вид
_1 n
‘2 = ^£|g-&k1=1
т.е. равна средней величине модуля отклонения выборочных значений от 01-.
Замечание. В Mathcad нет функции, генерирующей выборки случайных величин, имеющих распределение Лапласа, Однако, поскольку плотность распределения Лапласа всюду непрерывна*, можно моделировать распределенные по Лапласу случайные величины из выборок равномерной случайной величины. Обозначим 万一寸忆)функцию, обратную функции распределения 尸⑵.Такая функция определена на отрезке [0, 1], поскольку R(e) монотонно возрастает. Доказано, что если случайная величина т/ равномерно распределена на отрезке [0, 1], то случайная величина £ = F-1^) имеет функцию распределения F(x).
'Случайные величины, имеющие непрерывную плотность распределения, называются абсолютно непрерывными слуиайнымн величинами.
Например, для случайной величины, имеющей распределение Лапласа с плотностью вероятностей「(£,历粗2)=「(£,&」)= *7工一久 функция распределения и обратная к ней имеют соответственно вид
F(c,e)= <F(c,e)= <1工№26'1 -丄е-н+821工№26'1 -丄е-н+82х<0,х>0,х<0,х>0,
F(c,e)= <
F(c,e)= <
1工№
26'
1 -丄е-н+82
1工№
26'
1 -丄е-н+82
х<0,
х>0,
х<0,
х>0,
J + hi2£,0 < х < 0,5,
6-1п(2(1 —с)), 0.5 < I < 1.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий моделировалие выборки объема п = 50 случайной величины, имеющей распределение Лапласа с параметрами % = 0 н & = L В документе представлены гистограмма выборки с графиком теоретической плотности вероятностей, а также график эмпирической функции распределения с графиком теоретической функции распределения.
ORIGIN ：= 1 Е ：= runif(500.0 J)0=0
-*ехр(х - fl)) if -® <х<в
1 - _-ехр(-х + fl) 1 if в<х<«
f(x・6)：=f(x・6)：=(в + 1п(2 х)) if 0<х<-
f(x・6)：=
f(x・6)：=
(в - ln(2 (1 - х))) if 2<х<1
р(х,в) ：=1ехр(-| X - fl I)
п ：= 500 i ：= 1.. 500 fx.二 fg—d) X ：= sort(fx) xmax ：= max(X) xmin :二 min(X) R ：= xmax - xmin xmax = 5.295xmin = -6.349R = 11.643
方；xmin + ^ (Z j - 1) f ：= hist(x.X) Д = 0.97
ЗАДАНИЕ 6.10
Смоделируйте выборку объема п = 200 значений случайной величины 3 имеющей распределение Лалласа с указанными параметрами 01 и 02- Найдите оценки максимального правдоподобия параметров 仇 и 02-
Порядок выполнения задания
Смоделируйте выборку значений случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке [0,1].
Определите функцию распределения Лапласа с заданными значениями параметров & н %
Определите функцию, обратную функции распределения Лапласа с заданными значениями параметров Ji и 02-
Смоделируйте выборку заданного объема значений случайной величины, имеющей распределения Лапласа с заданными значениями параметров & и %
Проверьте "на глаз" адекватность выборки.
Вычислите оценку максимального правдоподобия параметров 01 И %
Пример выполнения задания
В приведенном ниже фрагменте рабочего документа построена выборка и найдены оценки максимального правдоподобия параметров & и % Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий моделирование выборки и графики для глазомерной проверки, приведен вьпие. (Моделировалась выборка с параметрами & = 0 н & 三 L)
ORIGIN ：= 1ORIGIN ：= 1E ：= runif(200.0J) fl ：= 0E ：= runif(200.0J) fl ：= 0n ； 200n ； 200
ORIGIN ：= 1
ORIGIN ：= 1
E ：= runif(200.0J) fl ：= 0
E ：= runif(200.0J) fl ：= 0
n ； 200
n ； 200
_-exp(x - 6)j if -® <x<fi
1 - g exp(・x + 6)) if fl<x<®
f(x.e)；f(x.e)；(fl + ln(2-x)) if 0<x<-(fl + ln(2-x)) if 0<x<-(в-1п(2-(1-х)))(в-1п(2-(1-х)))if -<x<12if -<x<12
f(x.e)；
f(x.e)；
(fl + ln(2-x)) if 0<x<-
(fl + ln(2-x)) if 0<x<-
(в-1п(2-(1-х)))
(в-1п(2-(1-х)))
if -<x<12
if -<x<12
p(x,&) ：= - exp(-| x - fl I)
i = 1200fx产 f(M，e)i = 1200fx产 f(M，e)X ：= sort(fx)X ：= sort(fx)
i = 1200fx产 f(M，e)
i = 1200fx产 f(M，e)
X ：= sort(fx)
X ：= sort(fx)
fiest! ：= Xg9fiest! ：= Xg9©esG ：= X100©esG ：= X100
fiest! ：= Xg9
fiest! ：= Xg9
©esG ：= X100
©esG ：= X100
0est1 = 0.0350est1 = 0.0359est2 = 0.0419est2 = 0.041
0est1 = 0.035
0est1 = 0.035
9est2 = 0.041
9est2 = 0.041
n02est1 = 1 £ I X. - 0est1n02est1 = 1 £ I X. - 0est1#2est2 ：=— n#2est2 ：=— nnZ I Xj - 0est2nZ I Xj - 0est2
n
02est1 = 1 £ I X. - 0est1
n
02est1 = 1 £ I X. - 0est1
#2est2 ：=— n
#2est2 ：=— n
n
Z I Xj - 0est2
n
Z I Xj - 0est2
02est1 = 0.93702est1 = 0.93702est2 = 0.93702est2 = 0.937
02est1 = 0.937
02est1 = 0.937
02est2 = 0.937
02est2 = 0.937
Таким образом, для выборки из генеральной совокупности, отвечающей распределению Лапласа с параметрами 仇=0 и & = 1, получены две оценки максимального правдоподобия для &: 0.035, если в качестве оценки выбрано значение Х^_] = Х99, и 0.041, если в качестве оценки выбрано значение Х^.; для параметра 62 в обоих случаях получены одинаковые оценки, равные 0.937.
Интересно проследить за сходимостью полученных оценок к истинным значениям оцениваемых параметров с ростом объема выборки. Такие вычисления рекомендуется выполнить в качестве дополнительного задания.
6・5
ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ
СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Точечные оценки дают приближенное значение неизвестного (оцениваемого) параметра. Сама оценка является случайной величиной, и если известно ее распределение или хотя бы дисперсия, то можно указать пределы, в которых с достаточно большой вероятностью лежит неизвестное значение параметра. Эти пределы легко вычисляются через дисперсию. Важно понимать, что пользоваться полученными значениями пределов можно, только если они не зависят от самого оцениваемого параметра.
Зададимся достаточно малой с практической точки зрения вероятностью а и рассмотрим выборку 土匕 土2, •…〉хп из генеральной совокупности, отвечающей случайной величине §〉имеющей распределение 7^(х,0), где 0 ——неизвестный параметр. Предположим, что удалось найtи две такие функции 包(e1,土2,・. • ,en)и J(①lе2,，一,сn), для которых:
])g(①< g(。1,e2, • • • , *^n ) при ееёХ 土 ], 3Т2, • • •, e71；
2) Р(2 < е < 研=1 - а.
В этом случае интервал (g, 0) называется доверительным интервалом для параметра 仇 соответствующим доверительной вероятности 1 —
В ряде практически важных случаев функции 包(土1,土2八・・，土71) и 0(з；1,Z2,... ,хп) можно найти в явном виде.
Чтобы привести соответствующие примеры, обратимся к интервальному оцениванию параметров нормально распределенной случайной величины.
Доверительные интервалы для математического ожидания
Известная дисперсия。々 Пусть £ — нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием а и известной дисперсией О£. Задача состоит в построении доверительного интервала для неизвестного математического ожидания а.
В качестве оценки параметра а возьмем выборочное среднее х =
—-£/£• Относительно случайных величин х и х — а известно ni=l
следующее:
случайная величина х распределена нормально и ее математическое ожидание равно а, Мх = а;
случайная математическоедисперсияслучайнаятрами 0 и 1.случайная математическоедисперсияслучайнаятрами 0 и 1.величина х — а тоже распределена нормально и ее ожидание равно нулю, М(х — а) = 0;
случайная математическое
дисперсия
случайная
трами 0 и 1.
случайная математическое
дисперсия
случайная
трами 0 и 1.
случайной величины х — а равна D(x — а)=—;
величина :。 распределена нормально с параме-
Таким образом, построена функция 片乙 — "агрегат” из выборочных значений, который представляет собой случайную величину со стандартным распределением, в данном случае — с нормальным N(0,1). Распределение N(0,1) не зависит ни от оцениваемого параметра а, ни от единиц измерения выборочных значений.
Пусть Ф (①)一 функция распределения случайной величины, имеющей стандартное нормальное распределение:
Ф(Х)= ^ /ехр(一分dz
-ОО
Зададимся доверительной вероятностью а и определим величину /а из уравнения Ф(ха) = 1 — 0.5a.
Из рис. 6.3 видно, что если случайная величина £ имеет стандартное нормальное распределение, то с вероятностью 1 — а ее значение попадает в интервал (—xa, ха). А поскольку случайная величина ••： 一尸 имеет стандартное нормальное распределение, то с вероятностью 1 — a ее значение тоже лежит в интервале (—①&,勺仪)и, следовательно, с вероятностью 1 — а выполняется неравенство
<a<x + xaJ^<a<x + xaJ^
<a<x + xaJ^
<a<x + xaJ^
Рис. 6.3. Доверительный интервал для математического ожиданияРис. 6.3. Доверительный интервал для математического ожидания
Рис. 6.3. Доверительный интервал для математического ожидания
Рис. 6.3. Доверительный интервал для математического ожидания
Это означает, что с вероятностью р = 1 — а интервал
накрывает неизвестный параметр а. Получен универсальный алго
=0 + Са=0 + Саритм построения доверительных интервалов для неизвестного математического ожидания при известной дисперсии.
=0 + Са
=0 + Са
Итак, в данном случае £ = х — xQ
Неизвестная дисперсия Dg・ Если из выборочных значений иa
составить случайную величину т то, естественно, возникает
вопрос о вычислении "аналога" D& Обычно вместо О£ подставляют
оценку дисперсии
пп22
п
п
2
2
и рассматривают величину 工」,которая распределена не по нор- у52/п
мальному закону, а по закону Стьюдента с п — 1 степенями свободы. Опять зададимся доверительной вероятностью а и определим ве
личину 力％71—1 из уравнения
-Fn—1(^а,п—1) = 1 ~ 0.5а,
где 芻т(力) —— функция распределения Стьюдента с п — 1 степенями свободы.
Строим доверительный интервал
；V a S 历 + ^а,п-1；V a S 历 + ^а,п-1Этот интервал с вероятностью 1 — а накрывает оцениваемый параметр а, т.е. неравенства
；V a S 历 + ^а,п-1
；V a S 历 + ^а,п-1
£ — ^а,п~1
выполняются с вероятностью 1 — а, и в этом случае:
2 = 2 — 'а,几 ~12 = 2 — 'а,几 ~1夕=£ + ^а,п—1夕=£ + ^а,п—1
2 = 2 — 'а,几 ~1
2 = 2 — 'а,几 ~1
夕=£ + ^а,п—1
夕=£ + ^а,п—1
Доверительный интервал для дисперсии
Известное математическое ожидание. Требуется найти доверительный интервал для неизвестной дисперсии ст нормально распределенной случайной величины §, если известно ее математическое ожидание а. Составим для ст2 оценку 接=-£ (д — а)2 и рассмотрим отношение ~
5 几0
Поскольку каждая из случайных величин —~- имеет стандартное ипао
нормальное распределение, то случайная величина —— имеет х 'Распределение с 几 степенями свободы.
Для построения доверительного интервала зададимся доверительной вероятностью а и определим величины 廿& и 乂久 так, чтобы выполнялись условия:
Тогда
Р(М,а V 筝 & Hq) = 1 - ■
Отсюда имеем с вероятностью 1 — а неравенства
Па2 о Па2
—<^2<—,
/ па2 па2、 и и т.е. ( -у-, )——доверительный интервал для неизвестной диспе
рсии.
Замечание. Квантили х}@ и Х±а находятся как корни уравнений Fn(Xi^) = 0・5а и %(х^,а) = 1 - 0.5а, где 耳(с)——функция х2-распре- деления с п степенями свободы.
I Пдля ст2 оценку s2 = £ ⑵—х)2 и1I Пдля ст2 оценку s2 = £ ⑵—х)2 и1Неизвестное математическое ожидание. Требуется найти доверительный интервал для неизвестной дисперсии ст2 нормально распределенной случайной величины £〉если не известно ее матема-
I Пдля ст2 оценку s2 = £ ⑵—х)2 и
1
I Пдля ст2 оценку s2 = £ ⑵—х)2 и
1
тическое ожидание. Составим
рассмотрим отношение
_ 1 п Здесь х = ~ Xi п 2=1_ 1 п Здесь х = ~ Xi п 2=1(п — I),(?2(п — I),(?271 Q1=171 Q1=1——оценка неизвестного математического ожидания.——оценка неизвестного математического ожидания.Можно доказать, что случайная величинаМожно доказать, что случайная величина^^^ имеет х2-распре-^^^ имеет х2-распре-деление с п — 1 степенями свободы. Определим квантили 君@ и Хг,а так же, как и ранее, по х^-распрекеленню с п — 1 степенями свободы.Тогдаделение с п — 1 степенями свободы. Определим квантили 君@ и Хг,а так же, как и ранее, по х^-распрекеленню с п — 1 степенями свободы.Тогдарр<<(几-l)s2(几-l)s2ст2ст2ии(п — l)s(п — l)s,2,2
_ 1 п Здесь х = ~ Xi п 2=1
_ 1 п Здесь х = ~ Xi п 2=1
(п — I),(?2
(п — I),(?2
71 Q
1=1
71 Q
1=1
——оценка неизвестного математического ожидания.
——оценка неизвестного математического ожидания.
Можно доказать, что случайная величина
Можно доказать, что случайная величина
^^^ имеет х2-распре-
^^^ имеет х2-распре-
деление с п — 1 степенями свободы. Определим квантили 君@ и Хг,а так же, как и ранее, по х^-распрекеленню с п — 1 степенями свободы.
Тогда
деление с п — 1 степенями свободы. Определим квантили 君@ и Хг,а так же, как и ранее, по х^-распрекеленню с п — 1 степенями свободы.
Тогда
р
р
<
<
(几-l)s2
(几-l)s2
ст2
ст2
и
и
(п — l)s
(п — l)s
,2
,2
те' Хг,адисперсии.те' Хг,адисперсии.(п — 1)32 \ии
те
' Хг,а
дисперсии.
те
' Хг,а
дисперсии.
-——L— I — доверительный интервал для неизвестной
ЗАДАНИЕ 6.11
Найдите доверительные интервалы для математического ожидания М^ и дисперсии О£ по заданной выборке xi,方，…，&i мз нормального распределения.
Порядок выполнения задания
Определите и введите компоненты вектора выборочных значений случайной величины.
Вычислите точечные оценки М^ и D号
Вычислите 95 %-ный доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии.
Вычислите 90 %-ный доверительный интервал для дисперсии.
Пример выполнения задания
Найдите доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии приведенной ниже выборки из нормального распределения.
N
904.3
910.2
916.6
928.8
935.0
941.2
947.4
953.6
959.8
966.0
972.2
978.4
n
3
1
2
7
8
10
4
2
4
1
1
1
Фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислениями доверительных интервалов представлен ниже (в приведенном фрагменте опущено определение массива 0, который во втором столбце содержит значения случайной величины, а в первом ——их количество в выборке).
ORIGIN ：= 1ORIGIN ：= 1i ：= 1..12i ：= 1..1212п = X储i= 112Mx 4" X D：iR.2i= 112Dx = 7~7 X Q.1 (%2 - Mx)2 i= 112п = X储i= 112Mx 4" X D：iR.2i= 112Dx = 7~7 X Q.1 (%2 - Mx)2 i= 1”44”44Mx = 938.693Mx = 938.693Dx = 282.988Dx = 282.988
ORIGIN ：= 1
ORIGIN ：= 1
i ：= 1..12
i ：= 1..12
12
п = X储i= 1
12
Mx 4" X D：iR.2
i= 1
12
Dx = 7~7 X Q.1 (%2 - Mx)2 i= 1
12
п = X储i= 1
12
Mx 4" X D：iR.2
i= 1
12
Dx = 7~7 X Q.1 (%2 - Mx)2 i= 1
”44
”44
Mx = 938.693
Mx = 938.693
Dx = 282.988
Dx = 282.988
95%-й доверительный интервал для математического ожидания
t = 2.015xl = 933.582t = 2.015xl = 933.582хг = 943.804хг = 943.804
t = 2.015
xl = 933.582
t = 2.015
xl = 933.582
хг = 943.804
хг = 943.804
90%-й Доверительный интервал для дисперсии
hl := qchisq(^l,n - 1)hl := qchisq(^l,n - 1)hl = 28.965hl = 28.965
hl := qchisq(^l,n - 1)
hl := qchisq(^l,n - 1)
hl = 28.965
hl = 28.965
hr = 59.304
dl = 205.19dl = 205.19dr = 420.114dr = 420.114」■ n (n-1) dl 二 Dx-- hr
dl = 205.19
dl = 205.19
dr = 420.114
dr = 420.114
Таким образом, найдены 95 %-ный доверительный интервал для математического ожидания (933.582, 943.804) и 90 %-ный доверительный интервал для дисперсии (205.19, 420.114).
Доверительный интервал для параметра пуассоновского распределения
Пусть £],工2,…，£九一выборка из пуассоновского распределения с параметром А, т.е.
Р(Е = д)= £е-АР(Е = д)= £е-А2 ^— 1, 2,几.2 ^— 1, 2,几.
Р(Е = д)= £е-А
Р(Е = д)= £е-А
2 ^— 1, 2,几.
2 ^— 1, 2,几.
Опишем алгоритм построения доверительного интервала для неизвестного параметра А. Как уже упоминалось ранее (см. разд. 6.3), точечная оценка для А имеет вид
1几
g.
Легко убедиться в том, что МА = А и DA =
Теперь задача состоит в том, чтобы образовать из А и А случайную величину со стандартным распределением, не зависящим от неизвестного параметра А. Можно показать, что при п т оо случай
ная величина
2VA-2v/A
стремится к случайной величине со стандартным нормальным распределением (асимптотически распределена нормально с параметрами 0 и 1).
Тогда, если ха— решение уравнения Ф(ха) = 1 — 0.5а, где Ф(х) — функция Лапласа, то для любого значения А
(2\А-2х/Х、
и доверительный интервал для А можно записать в виде
С вероятностью Р * 1 — а этот интервал накрывает оцениваемый параметр А пуассоновского распределения.
ЗАДАНИЕ 6.12
Найдите доверительный интервал для параметра А по заданной выборке xi, Х2, ..•, ^п из пуассоновского распределения.
Порядок выполнения задания
Сгенерируйте выборку из 500 значений случайной величины, имеющей пуассоновское распределение с заданным параметром А по первым 100, 150, 200, ..., 500 элементам выборки.
Найдите для заданного значения доверительной вероятности а квантиль уровня 1 — 0.5а стандартного нормального распределения.
Найдите точечную оценку параметра А.
Вычислите доверительный интервал для А с заданным значением доверительной вероятности а.
Постройте график зависимости ДА = A^ght —入匕仕 от п для различных а.
Пример выполнения задания
Фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислением доверительного интервала для А с доверительной вероятностью а = 0.1 приведен ниже.
ORIGIN ； 1
а ：= 0.1 X ：= 3 N ：= 500 Р ：= rpois(N,A)
Pmax ：= тах(Р)Pmin ：= min(P)R ：= Ртах - Pmin
Ртах = 9Pmin = 0R = 9 PS ：= sort(P)
m ：= 9 Д ：= — j ：= 1.. m к ：= 1.. m - 1
ха = 1,645
n ：= 10 .500
ха ：= qnorml 1
n
Xest(n) := 1 V1 P Xest(50) = 3 Xest(IOO) = 2,77 n Q J
Meft(n)
Xright(n)：=
Таким образом, для выборки из 500 значений случайной величины, имеющей пуассоновское распределение с параметром 入=3, получен следующий 90 %-ный доверительный интервал для параметра А： (2.811,3.063).^
Доверительный интервал для вероятности
В практических задачах достаточно часто возникает необходимость строить доверительные интервалы для оценки неизвестной вероятности события. Выше уже отмечалось, что точечной оценкой вероятности события в схеме независимых испытаний Бернулли является величина р = —, где п ——число испыталий, a m ——число появлений Пи
события в серии из п испытаний.
Если ха— решение уравнения Ф(гга) = 1 — 0.5а, где ©Q) — функция Лапласа, то с вероятностью Р ^ 1 — а неизвестный параметр р накрывается интервалом
С ростом объема выборки п растет и точность вычисления границ доверительного интервала.
ЗАДАНИЕ 6.13
Найдите доверительный интервал для вероятности события по заданным значениям числа испытаний п и числа m появлений события в серии из ri испытаний.
Порядок выполнения задания
Найдите для заданного значения доверительной вероятности а квантиль уровня 1 — 0.5а стандартного нормального распределения.
Найдите точечную оценку параметра р.
Вычислите доверительный интервал для параметра р с заданным значением доверительной вероятности а.
Пример выполнения задания
Фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислением доверительного интервала для р с доверительной вероятностью а = 0.1 приведен ниже.
■ ORIGIN ：= 1 а ：= 0.1 п ：= 100 m ：= 50
xcr := qnormh - ^.,0,11 ха = 1.645 р .= — р =0.5
pleft = 0.418pleft = 0.418р right = 0.623р right = 0.623Доверительный интервал для параметра р: (0.436,0.595)Доверительный интервал для параметра р: (0.436,0.595)п 二 10 .100п 二 10 .100m(n) = rbinom(10JnJ0.5)1 p(n) ：= —_ nm(n) = rbinom(10JnJ0.5)1 p(n) ：= —_ nДоверительный интервал для коэффициента корреляцииДоверительный интервал для коэффициента корреляции
pleft = 0.418
pleft = 0.418
р right = 0.623
р right = 0.623
Доверительный интервал для параметра р: (0.436,0.595)
Доверительный интервал для параметра р: (0.436,0.595)
п 二 10 .100
п 二 10 .100
m(n) = rbinom(10JnJ0.5)1 p(n) ：= —_ n
m(n) = rbinom(10JnJ0.5)1 p(n) ：= —_ n
Доверительный интервал для коэффициента корреляции
Доверительный интервал для коэффициента корреляции
В заключение приведем алгоритм построения доверительного интервала для коэффициента корреляции. Пусть Qi, gi),(数，У2), (xn, yn)——выборка объема п из двумерной случайной величины (3 rj). Точечной оценкой коэффициента корреляции к^ является выборочный коэффициент корреляции к, который вычисляется следующим образом. Сначала находятся выборочные средние
_ 1 А _ 1 А
г=1г=1
Затем рассчитываются величины
市=-e(出-行)(仇-可)，礫=-e(出一引2,證= ；?£(折-可产2=12=12=1
и, наконец, находится
Если, как обычно, xa — решение уравнения Ф(ха) = 1 — 0.5а, то доверительный интервал, накрывающий коэффициент корреляции к^ с вероятностью 尸 к 1 — а, имеет вид
(вfarthA;；S =), efarth/cН
Здесь the = -— гиперболический тангенс, a arthc
凸cht ex+e~x戶，。
обратная гиперболическому тангенсу функция, которую можно найти
из уравнения thy = н.
Найденный доверительный интервал, конечно, приближенный. Однако уже при небольших объемах выборки он практически не отличается от точного.
Замечание. Точечную оценку для коэффициента корреляции можно вычислить по формуле
ЗАДАНИЕ 6.14
Найдите доверительный интервал для коэффициента корреляции по заданной выборке (hi, yi),(化2, У2),・・・, (нп, Уп) из двумерной случайной величины.
Порядок выполнения задания
Определите и введите компоненты вектора выборочных значений случайной величины.
Вычислите выборочные средние для 土 н у.
Вычислите величины т, а^ и 考.
Найдите для заданного значения доверительной вероятности а квантиль уровня 1 — 0.5а стандартного нормального распределения.
Найдите точечную оценку коэффициента корреляции.
Вычислите доверительный интервал для коэффициента корреляции с заданным значением доверительной вероятности а.
Найдите точечную оценку коэффициента корреляции по другой формуле.
Вычислите доверительный интервал для коэффициента корреляции с заданным значением доверительной вероятности а, используя точечную оценку коэффициента корреляции, найденную в п. 7.
Пример выполнения задания Найдите доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии выборки, заданной в нижеследующей таблице.
X
-0.439
-0.679
-0.473
-0.951
-1.686
0.044
-0.121
0.556
2.192
0.809
У
-3.580
-2.573
2.566
-0.035
-2.667
3.385
4.4
4.825
7.506
3.189
Фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислениями доверительных интервалов приведен ниже.
ORIGIN ：= 1
а ：= 0.1 п 二 10а ：= 0.1 п 二 10ха ：= qnorm 1 -ха ：= qnorm 1 -ха = 1.645ха = 1.645
а ：= 0.1 п 二 10
а ：= 0.1 п 二 10
ха ：= qnorm 1 -
ха ：= qnorm 1 -
ха = 1.645
ха = 1.645
-0.439 -0.679 -0.473 -0.951 -1.686 0.044 -0.121 0.556 2.192 0.809 XY =
-3.580 -2.573 2.566 -0.035 -2.667 3.385 4.4 4.825 7.506 3.189
nXmean ：= 1* £ XY.nXmean ：= 1* £ XY.пYmean ：= 1- £ XY^(i= 1пYmean ：= 1- £ XY^(i= 1
n
Xmean ：= 1* £ XY.
n
Xmean ：= 1* £ XY.
п
Ymean ：= 1- £ XY^(i= 1
п
Ymean ：= 1- £ XY^(i= 1
n
:=1- £(XY[ . - Xmean) (X% ； - Ymean i=1
ППn
П
П
а2х ：= -1- Z (х^1 . - Xmean)2 a2y ：= L £ (^2「Ymean)2
mJa2xp 2ymJa2xp 2yк = 0.813к = 0.813
m
Ja2xp 2y
m
Ja2xp 2y
к = 0.813
к = 0.813
kright :二 tanh atanh(k) +kright :二 tanh atanh(k) +kleft :二 tanh atanh(k)-kleft :二 tanh atanh(k)-kleft = 0.474kleft = 0.474kright = 0.942kright = 0.942
kright :二 tanh atanh(k) +
kright :二 tanh atanh(k) +
kleft :二 tanh atanh(k)-
kleft :二 tanh atanh(k)-
kleft = 0.474
kleft = 0.474
kright = 0.942
kright = 0.942
Доверительный интервал для коэффициента корреляции: (0.474,0.942) '
nnnnк = 0.813к = 0.813kmin = 0.474kmin = 0.474kmin ：= tanh atanh(k)-kmin ：= tanh atanh(k)-kmax = 0.942kmax = 0.942kmax ：= tanh atanh(k) +kmax ：= tanh atanh(k) +п Xп X•|Z(X%)2T•|Z(X%)2T二 IX IX二 IX IXПП22U=1U=1
n
n
n
n
к = 0.813
к = 0.813
kmin = 0.474
kmin = 0.474
kmin ：= tanh atanh(k)-
kmin ：= tanh atanh(k)-
kmax = 0.942
kmax = 0.942
kmax ：= tanh atanh(k) +
kmax ：= tanh atanh(k) +
п X
п X
•|Z(X%)2T
•|Z(X%)2T
二 IX IX
二 IX IX
П
П
2
2
U=1
U=1
Доверительный интервал для коэффициента корреляции: (0.474,0.942)
Обратим внимание на следующую закономерность: при заданной доверительной вероятности с ростом объема выборки ширина доверительного интервала уменьшается и при п -^ оо стремится к нулю. При заданном объеме выборки с ростом доверительной вероятности ширина доверительного интервала тоже растет. Это означает, что, чем надежнее оценка, тем меньше точность этой оценки. И, наоборот, чем выше точность оценки, тем меньше ее надежность (достоверность).
6.6
ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
О ПАРАМЕТРАХ НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Пусть дана некоторая оценка 0, -построенная по выборке из случайной величины & Есть основания считать, что истинное значение оцениваемого параметра равно 恤 Однако выборочное значение 3 вряд ли будет совпадать с 6°, поскольку 0 ——случайная величина. В связи с этим возникает вопрос, при каком отклонении 6 от % и с какой степенью уверенности можно утверждать, что истинное значение оцениваемого параметра 8 отлично от 6» Ответом на этот вопрос может служить вероятность (вычисленная в предположении 6 = %) того, что 6 — % больше некоторого фиксированного числа, о величине которого будет сказано ниже. Если эта вероятность мала, то мы являемся свидетелями маловероятного события, т.е. отличие эмпирического значения 0 от гипотетического значения б。представляется значимым^ и гипотеза о том, что 6 = б。，должна быть отвергнута. Если же эта вероятность велика, то отклонение 6 от 6口, по-видимому, обусловлено естественной случайностью, и, следовательно, гипотеза о том, что 6 = 6口，может быть принята.
Рассмотрим простой пример. Предположим, что нужно проверить игральную- кость. Если кость "честная15, то вероятность выпадения каждой грани равна 1/6. Отсюда следует, что при 600 бросках каждая грань должна выпасть около 100 раз. Если в результате получим, что грань с цифрой 1 выпала 100 раз, с цифрой 2 ——99 раз, с цифрой 3 —— 98, с цифрой 4 ——102, с цифрой 5 — 100 и с цифрой 6 ——101 раз, то вряд ли кто-нибудь усомнится в том, что кость "правильная”. Если же, скажем, 1 выпала 600 раз, то, хотя вероятность такого исхода отлична от нуля, вряд ли кто-нибудь поверит в "правильность" кости.
Наша задача состоит в выработке общего подхода к процедуре, которая называется проверкой гипотез. Пусть 6 — выборочное значе-
ние оцениваемого параметра 8 и пусть 隔一плотность вероятностей случайной величины 0 при условии, что В = В»
На рис. 6.4 изображен график функции 党，на котором отмечены ТОЧКИ 仇е/£ И Orighb ДЛЯ КОТОРЫХ ВЫПОЛНенЫ УСЛОВИЯ： Р(8 < 仇е/£)= 0.5«, Р(8 > Bright) = 0・5а, где а — некоторое малое число. Это число имеет простой смысл: если вероятность события не превышает а, то событие маловероятно и мы не можем стать свидетелем такого события, т.е. если вычисленное значение 8 окажется вне промежутка (Oieft} Oright}^ то есть все основания усомниться в том, что истинное значение параметра 8 равно 仇), и в этом случае гипотезу о том, что 8 =阮，следует отвергнуть (отклонить). Если же 8 попадает в интервал (0/е^, 0right)^ то гипотеза о том, что 8 = 8(), может быть принята. Вероятность а, использованная при вычислении интервала (Olefti bright)^ называется уровнем значимости] области значений вг при которых гищотеза отвергается или принимается, называются соответственно областью отклонения (критической областью) и областью принятия гипотезы.
Рис. 6.4. Области принятия и отклонения гипотез
В приведенном на рис. 6.4 примере критерий проверки гипотезы был двусторонним^ поскольку значимыми были отклонения 8 от % в обе стороны. Если отклонения значимы только в одну сторону (0 > % или 8 V ®о), то строятся односторонние критерии.
Следует обратить внимание на то, что в рассматриваемых нами задачах принятие или отклонение гипотезы не носят категорического характера. Решение об отклонении или принятии гипотезы может оказаться ошибочным: гипотеза отклоняется, хотя она на самом деле верна (ошибка первого рода), и гипотеза принимается, хотя она на самом деле неверна (ошибка второго рода).
Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания при известной дисперсии
Пусть М& = а — неизвестная величина, а дисперсия D^ — о? известна. Сформулируем нулевую гипотезу Но о том, что неизвестный параметр а равен заданному числу а。，т.е. %: а = а。. Альтернативную гипотезу Hi можно сформулировать тремя способами:
Я1： a^a0;
Hi： a > 〃о；
%: а < ао-
Рассмотрим подробно каждый из этих трех случаев.
Обратимся к первому случаю: нулевая гипотеза %: а 二 а° и альтернативная гипотеза %: a ^ aQ, Зададимся некоторым уровнем значимости а и вычислим по выборке 金=(矶窃，…，^п) значение критерия
Если гипотеза Hq верна, то случайная величина 屮 имеет стандартное нормальное распределение, и здравый смысл подсказывает, что в большинстве экспериментов величина g будет мало отличаться от нуля. Если же ее отклонения от нуля велики, то это, скорее всего, указывает на ошибочность гипотезы Hq. Придадим приведенным соображениям более четкую форму.
Выделим для критерия g критическую область^ т.е. укажем такие значения 屮，при которых гипотезу % следует отвергнуть. На рис. 6.5 изображена плотность распределения критерия 屮(плотность стандартного нормального распределения).
Рис. 6.5. Критическая область для альтернативной гипотезы Н】：а / ао
Определим границы критической области 勺。и ①丁。так, чтобы
Р(9<£/,а) = ^ И Р(9>а；г,а) = £
Критические точки £/,& и £丁。расположены симметрично относительно нуля, правая является корнем уравнения Ф(хла) = 1 — 0.5а, а левая вычисляется по формуле £(。=
Когда критическая область найдена, можно вычислить по выборке значение критерия 屮 и проверить, попадает ли оно в критическую область.
Если 屮 < Qq или 屮 > хг^ то гипотеза Н° отвергается и принимается гипотеза Hi・ Если же x()Q <(р< хт^ то принимается гипотеза Hq.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий проверку гипотезы о величине математического ожидания нормально распределенной случайной величины Н°: a = 1 при альтернативной гипотезе а / 1.
ORIGIN = 1
а ：= 0.1 N ：= 100 Е ：= rnorm(N,1,2) о ： 2
Xmean ：= mean(^)Xmean = 0.699
Xright ：= qnn「m(1 - ^,0,1) Xleft ：= -Xright
Xright = 1.645Xleft = -1.645
Гипотеза Ho： ME=1 принимается
Указание. Сначала с помощью функции rnorm(N,т,(т) сгенерирована выборка объема N 二 100 из значений случайной величины, имеющей нормальное распределение N(l,2). Для уровня значимости а = 0.1 вычислены границы критической области, Xright = 1.645, Xleft = —1.645, и оценка математического ожидалия Xmean = 1.12. Высказана нулевая гипотеза о том, что значение параметра М^ = а равно ао = 1, т.е. Но： ао = 1- Затем вычислено значение критерия g = —1.505 и, поскольку —1.505 € (—1.645, 1.645), нулевая гипотеза принимается на уровне значимости а = 0.1.
Рассмотрим второй случай- с нулевой гипотезой Но： а = а。и альтернативной гипотезой Н\： а > ад. Снова зададимся некоторым уровнем значимости а и вычислим по выборке 金=(£】？工2, ■ • •)£孔) значение критерия
х — aQ
raeW=_£g.
В рассматриваемом случае критическая область значений критерия 3, при которых гипотеза Нд отвергается, правосторонняя (рис. 6.6).
Рис. 6.6. Критическая область для альтернативной гипотезы /Л： a > ао
Критическая точка удовлетворяет условию 尸(屮〉£r,a) = а и находится как решение уравнения Ф(с-а) = 1 — а.
Когда критическая область найдена, можно вычислить по выборке значение критерия 屮 и проверить, попадает ли оно в критическую область. Если 屮 > xr)Q, то гипотеза Hq отвергается и принимается гипотеза Нг Если же(^ < хт^ то гипотеза % не отвергается.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий проверку гипотезы %: а — а^ о величине математического ожидания а нормально распределенной случайной величины при альтернативной гипотезе Ну： а > ар
ORIGIN ； 1
а ：= 0.05 N ：= 100 X ：= rnorm(N> 1,0.2) а - 0.2
Xmean ：= mean(X)Xmean = 0.972
Xright 二 qnorm(1 - а.0,1) Xright = 1.645
Xmean - 1Xmean - 1[а2т[а2тф =-1.391ф =-1.391Гипотеза Н口: М£Т принимается, поскольку -1.391 <1.645Гипотеза Н口: М£Т принимается, поскольку -1.391 <1.645В третьем случае с нулевой гипотезой Hq： а = а° и альтернативной гипотезой 7?i： а <а^ опять зададимся некоторым уровнем значимости а и вычислим по выборке 金=（立卜 牙2? • • ■ ?立孔）значение критерияВ третьем случае с нулевой гипотезой Hq： а = а° и альтернативной гипотезой 7?i： а <а^ опять зададимся некоторым уровнем значимости а и вычислим по выборке 金=（立卜 牙2? • • ■ ?立孔）значение критериях — ао3=-产х — ао3=-产где 历=一 £Пг=1,В рассматриваемом случае критическая область значений критерия3, при которых гипотеза Hq отвергается, левосторонняя （рис. 6.7）.где 历=一 £Пг=1,В рассматриваемом случае критическая область значений критерия3, при которых гипотеза Hq отвергается, левосторонняя （рис. 6.7）.Рис. 6.7. Критическая область для альтернативной гипотезы Hi： а < а。Рис. 6.7. Критическая область для альтернативной гипотезы Hi： а < а。
Xmean - 1
Xmean - 1
[а2т
[а2т
ф =-1.391
ф =-1.391
Гипотеза Н口: М£Т принимается, поскольку -1.391 <1.645
Гипотеза Н口: М£Т принимается, поскольку -1.391 <1.645
В третьем случае с нулевой гипотезой Hq： а = а° и альтернативной гипотезой 7?i： а <а^ опять зададимся некоторым уровнем значимости а и вычислим по выборке 金=（立卜 牙2? • • ■ ?立孔）значение критерия
В третьем случае с нулевой гипотезой Hq： а = а° и альтернативной гипотезой 7?i： а <а^ опять зададимся некоторым уровнем значимости а и вычислим по выборке 金=（立卜 牙2? • • ■ ?立孔）значение критерия
х — ао
3=-产
х — ао
3=-产
где 历=一 £
Пг=1,
В рассматриваемом случае критическая область значений критерия
3, при которых гипотеза Hq отвергается, левосторонняя （рис. 6.7）.
где 历=一 £
Пг=1,
В рассматриваемом случае критическая область значений критерия
3, при которых гипотеза Hq отвергается, левосторонняя （рис. 6.7）.
Рис. 6.7. Критическая область для альтернативной гипотезы Hi： а < а。
Рис. 6.7. Критическая область для альтернативной гипотезы Hi： а < а。
Критическая точка удовлетворяет условию Р（д < н,。） = а и находится по формуле 2（。= —2г,а, где хг^а ——решение уравнения 巾（立仆@）= =1 — а. Когда критическая область найдена, можно вычислить по выборке значение критерия g и проверить, попадает ли оно в критическую область. Если g < х^а1 то гипотеза Hq отвергается и принимается гипотеза Ну. Если :же g > 工g то гипотеза Hq не отвергается.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий проверку гипотезы о величине математического ожидания а нормально распределенной случайной величины %: а = 6 при альтернативной гипотезе %: а < 6.
ORIGIN = 1
а ：= 0.05 N ：= 100 X ：= rnorm（N,5,1） а ：= 1
Xmean ：= mean(X) Xmean = 4.85
Xnght ：= qnorm(1 - a,0,1)Xleft ：= -Xright Xleft = -1.645
Xmean - 6Xmean - 6® =-11.505® =-11.505
Xmean - 6
Xmean - 6
® =-11.505
® =-11.505
Гипотеза HQ: ME=6 отвергается, поскольку -11.505<-1.645
ЗАДАНИЕ 6.15
Смоделируйте выборку 100 значений нормально распределенной случайной величины с указанными параметрами. Сформулируйте нулевую гипотезу о величине математического ожидания и проверьте для заданных уровней значимости три альтернативные гипотезы.
Порядок выполнения задания
Смоделируйте описанную в условии выборку.
Найдите по выборке точечную оценку математического ожидания.
Сформулируйте нулевую гипотезу о значении математического ожидания %: a = ао-
Вычислите значение критерия.
Найдите границы критической области для альтернативной гипотезы Hi： a 我 的・
Сравните значение критерия с границами критической области и сформулируйте соответствующее утверждение.
Найдите границы критической области для альтернативной гипотезы Hi： a > ao-
Сравните значение критерия с границами критической области и сформулируйте соответствующее утверждение.
Найдите границы критической области для альтернативной гипотезы Hi： a < ao-
Сравните значение критерия с границами критической области и сформулируйте соответствующее утверждение.
Пример выполнения задания
В каждом из приведенных выше трех фрагментов рабочих документов Mathcad произведены проверки для одной из альтернативных гипотез.
Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания при неизвестной дисперсии
Методика проверки гипотез в этом случае практически не отличается от описанной выше. Однако теперь критерий g имеет распределение Стьюдента, а не стандартное нормальное, как в предыдущем случае.
Если х = (xi, Х2, ..., ±п)——выборка из нормального распределения и величины 正=-£ g и F = £ (g — х)2, то при проверке нулевой
nt=l1 г=1“
гипотезы Но： а = а。используется критерий
с — а。
который при выполнении гипотезы Но имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы п — 1.
Как и в описанной выше методике, рассмотрим три случая альтернативных гипотез при проверке гипотезы Но： а = а。：
Hi： aRao；
Hi： а > а。；
Hi： а V ао-
В первом из этих случаев, Hi： а ^ ао, критическая область двусторонняя и ее границы определяются из условий 尸(屮 V 勺戶)=0.5а и Р(з > z『,a) = 0.5а. Причем в силу симметричности распределения Стьюдента достаточно вычислить только 写川 поскольку з。= —4。.
Зададимся некоторым уровнем значимости а и вычислим значение 写。как решение уравнения 凡一1 (&•#) = 1 — 0・5а〉где 耳一式胃)一 функция распределения Стьюдента с п — 1 степенями свободы. Когда критическая область найдена, можно вычислить по выборке значение критерия 屮 и проверить, попадает ли оно в критическую область. Если з < 土厶& или з > ±г,а〉то гипотеза Но отвергается и принимается гипотеза Н]. Если же 土厶& < 3 < хг)а, то принимается гипотеза Н().
Во втором случае, когда альтернативной является гипотеза Н\: а > @о, критическая область значений критерия 仍 при которых гипотеза Но отвергается, правосторонняя. Она представляет собой интервал (хг)а, +оо), где критическая точка удовлетворяет условию Р(3 > д,а) = от и находится как решение уравнения Т^-i (工丁依)=1 亠 а при некоторым заданном уровне значимости а.
Теперь вычислим по выборке 密=(工匕 土2,^п) значение критерия
X — (Jq
где 豆=—£ 吃 и s? = £(g — х)2, и проверим, попадает ли оно
в критическую область. Если g > хг^ то гипотеза Hq отвергается и принимается гипотеза Н^.
В третьем случае альтернативной гипотезы Н^ а < ао критическая область левосторонняя и представляет собой интервал (—оо, х/)а). Критическая точка z4a удовлетворяет условию 尸(д < 3。) = а и находится по формуле ④厶^ = —хг)а, где xr)a ——решение уравнения 耳г—1 (^г)а) = ] 一
Если выборочное значение критерия попадает в критическую область, т.е. g < х/：а, то гипотеза % отвергается и принимается гипотеза Н^. Если же g〉q。，то^гипотеза Hq не отвергается.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий проверку гипотезы Но： а = а。о величине математического ожидания а нормально распределенной случайной величины для всех трех альтернативных гипотез Hi，Вычисления выполнены для выборки объемом 20, представленной в следующей таблице.
4.277
4.483
5.558
4.755
5.09
6.262
4.294
5.002
6.108
5.893
2.099
2.843
5.206
4.384
3.802
5.099
5.771
5.306
5.011
4.236
Выборочные значения сохранены в файле data.txt в папке tmp на диске с:.
ORIGIN ：= 1 а ：= 0.1 N ：= 20
i ：= 1 ..20 X. ：= READ("c:\tmp\data.txt")
Xmean ：= mean(X)Xmean ：= mean(X)t var(X)t var(X)Xmean 二 5.026s = 0.967Xmean 二 5.026s = 0.967
Xmean ：= mean(X)
Xmean ：= mean(X)
t var(X)
t var(X)
Xmean 二 5.026
s = 0.967
Xmean 二 5.026
s = 0.967
Гипотеза H〔 ： a?5.5
Xright ：= qt(1 -巒N - 1) Xleft ：= -Xright Xleft = -1.729
@ = -2.19@ = -2.19
@ = -2.19
@ = -2.19
Гипотеза HQ : a=5.5 отвергается, поскольку -2,19<-1.729, принимается альтернативная гипотеза а?5.5.
Xright 二 1.328ф = -2.19Xright 二 1.328ф = -2.19Гипотеза : а>5.5
Xright 二 1.328
ф = -2.19
Xright 二 1.328
ф = -2.19
Xmean - 5.5Xmean - 5.5Xright ：= qt(1 - a,N - 1)
Xmean - 5.5
Xmean - 5.5
Гипотеза HQ : a=5.5 принимается, поскольку ^.19< 1.328, отвергается альтернативная гипотеза а>5.5.
Гипотеза Н1 : а<5.5
Xright = qt(1 - a,N - 1) Xleft ：= - Xright Xleft =-1.328
Xmean - 5.5Xmean - 5.5
Xmean - 5.5
Xmean - 5.5
Гипотеза HQ : a=5.5 отвергается, поскольку 7,19<-1.328, принимается альтернатива а<5.5
ЗАДАНИЕ 6.16
Смоделируйте выборку 100 значений нормально распределенной случайной величины с указанными параметрами. Сформулируйте нулевую гипотезу о величине математического ожидания и проверьте для заданных уровней значимости три альтернативные гипотезы.
Порядок выполнения задания
Смоделируйте описанную в условии выборку.
Найдите по выборке точечную оценку математического ожидания.
Найдите по выборке точечную оценку дисперсии.
Сформулируйте нулевую гипотезу о значении математического ожидания Но： а = ао-
Вычислите значение критерия.
Найдите границы критической области для альтернативной гипотезы 吊：
Сравните значение критерия с границами критической области и сформулируйте соответствующее утверждение.
Найдите границы критической области для альтернативной гипотезы Нм а > ао-
Сравните значение критерия с границами критической области и сформулируйте соответствующее утверждение.
Найдите границы критической области для альтернативной гипотезы Hi： а < ад.
Сравните значение критерия с границами критической области и сформулируйте соответствующее утверждение.
Пример выполнения задания
Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий вычисления для выборки из файла c:\tmp\data.txt, приведен выше.
Проверка гипотезы о числовом значении дисперсии
Пусть х =（Х1, Х2, ..., хп）——выборка объема 几 из нормального распределения. Требуется проверить нулевую гипотезу о том, что параметр нормального распределения о2 равен заранее заданному числу 唸 т.е. Я0：扰=哈
В процедуре проверки гипотезы используется критерий
3 =（几一Df
] П
где s2 = £（伤—x）2 — несмещенная точечная оценка дисперсии,
元=-£ £z ——оценка математического ожидания. Поскольку расп г=1“
сматривается выборка из нормального распределения, то критерий g имеет у2-распределение с 几一1 степенями свободы.
Как и ранее, рассмотрим три случая альтернативных гипотез при проверке гипотезы М =時
я я я D ?гя я я D ?г:拉我就；
я я я D ?г
я я я D ?г
:/ >吟
：R < （7q.
В первом из этих случаев,印：ет2 ^ етд, критическая область двусторонняя （рис. 6.8） и ее границы определяются из условий Р（д < ②厶а）— =0.5а и Р（з > а） = 0.5а.
Зададимся некоторым уровнем значимости а и найдем значение как решение уравнения К—1（©厶а） = 0・5а, а жг（а ——как решение
уравнения 及_i（£「,a） = 1 — 0.5а, где Fn^i（x）——функция у2-распреде- ления с n— 1 степенями свободы. Когда критическая область найдена,
Рис. 6.8. Критическая область для альтернативной гипотезы Hi： а2 / <т^
можно вычислить по выборке значение критерия 屮 и проверить, попадает ли оно в критическую область. Если 屮 < x/jQ или 屮 > хЛа, то гипотеза Hq отвергается и принимается гипотеза Н、. Если же хца < <р < Су то принимается гипотеза Нд
Во втором случае； когда альтернативная гипотеза Яр а2 > 唸 критическая область значений критерия 屮，при которых гипотеза Hq отвергается, правосторонняя и представляет собой интервал (xr>Q, +оо), где критическая точка удовлетворяет условию Р((р > хг)а) = а и находится как решение уравнения Fn^i(xr^a) = 1 — а при некотором заданном уровне значимости а.
Теперь вычислим по выборке х = (xi,，2, • • •, ^п) значение критерия 3 и проверим, попадает ли оно в критическую область. Если 夕 > хг)а, то гипотеза Но отвергается и принимается гипотеза Н].
В третьем случае сшьтернативной гипотезы Hi： а2 < ctq критическая область левосторонняя и представляет собой интервал (0, х^а)} где критическая точка ①厶。удовлетворяет условию Р(з < хла) = а и находится как решение уравнения 兄t(qq) = а. Если выборочное значение критерия попадает в критическую область, т.е. <р < х/(а, то гипотеза Но отвергается и принимается гипотеза 死.Если же ср > x^Qy то гипотеза Hq не отвергается.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий проверку гипотезы %: о? = 4 о величине дисперсии нормально распределенной случайной величины для всех трех альтернативных гипотез Hi： 扰 * 4, Hi： а2 > 4, Hi： а2 < 4 для выборки, рассмотренной в предыдущем примере.
ORIGIN ：= 1 а ：= 0.1 N ：= 20
i ：= 1..20 X. ：= READ ("c:\tmp\data.txt")
Xmean := mean(X)Xmean := mean(X)Xmean = 5.026s = 0.967Xmean = 5.026s = 0.967
Xmean := mean(X)
Xmean := mean(X)
Xmean = 5.026
s = 0.967
Xmean = 5.026
s = 0.967
「мпотеза % :。2 H4
Xright ：= qchisqH - }Xright ：= qchisqH - }Xleft 二 qchisqg,NXleft 二 qchisqg,N
Xright ：= qchisqH - }
Xright ：= qchisqH - }
Xleft 二 qchisqg,N
Xleft 二 qchisqg,N
Xright = 30.144 Xleft = 10.117
s2
* := (N- 1) _@ = 4.442
Гипотеза HQ :。？=4 отвергается, поскольку 4.442<10.117
Гипотеза Н_ : о?>4
Xright ：= qchisq(1 - cc,N - 1) Xright = 27.204 s2
ф ：= (N - I)-—ф = 4.442
Гипотеза HQ : o?=4 принимается, поскольку 4.442<27.204
Гипотеза : а2<4
Xleft ：= qchisq(a,N - 1) Xleft 二 11.651 s2
® 二(N - 1) 一@ = 4.442
Гипотеза HQ : a2=4 отвергается, поскольку 4.442<11,651
ЗАДАНИЕ 6.17
Смоделируйте выборку 100 значений нормально распределенной случайной величины с указанными параметрами. Сформулируйте нулевую гипотезу о величине дисперсии и проверьте для заданных уровней значимости три альтернативные гипотезы.
Порядок выполнения задания
Смоделируйте описанную в условии выборку.
Найдите по выборке точечную оценку математического ожидания.
Найдите по выборке точечную оценку дисперсии.
Сформулируйте нулевую гипотезу о значении математического ожидания Но： М =唸
Вычислите значение критерия.
Найдите границы критической области для альтернативной гипотезы Hi： с?力吟
Сравните значение критерия с границами критической области и сформулируйте соответствующее утверждение.
Найдите границы критической области для альтернативной гипотезы Hi： а2 > 哈
Сравните значение критерия с границами критической области и сформулируйте соответствующее утверждение.
Найдите границы критической области для альтернативной гипотезы Hi： М < 哈
Сравните значение критерия с границами критической области и сформулируйте соответствующее утверждение.
Пример выполнения задания
Фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислениями для выборки, записанной в файле c:\tmp\data.txt, приведен выше.
Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий при известных дисперсиях
Пусть х =(①匕 牙2, • • •, ^п) —— выборка объема п из случайной величины 3 имеющей нормальное распределение с параметрами % и сг^, причем значение параметра % неизвестно, а значение а? известно.
Аналогично пусть у = (т/i,銓, …,Ут)——выборка объема m из случайной величины г/, имеющей нормальное распределение с неизвестным 2 параметром % и известным параметром 吋
Будем считать, что случайные величины £ и 〃 независимы. В этих условиях необходимо проверить гипотезу %: % = а力
Прежде всего построим критерий проверки этой гипотезы. Обратимся к величинам
г=1/=1
Легко показать, что х имеет нормальное распределение с параме-
2
трами Мх = а§ и Dx = —, величина 歹一нормальное распределение с
параметрами Му = а^ и Dy = —, а х — у ——нормальное распределение mМ 6T2
с параметрами МСх — у) = а^ — а„ и DCx — y) = — + —.
Если гипотеза Но： а《=旬 верна, то величина
8=■^工
V /г m
подчинена стандартному нормальному распределению ^(0,1).
Остановимся только на одном варианте альтернативной гипотезы Hi： % # а中 (С остальными двумя случаями читатель легко справится самостоятельно.) Зададимся некоторым уровнем значимости а. В рассматриваемом случае альтернативной гипотезы критическая область двусторонняя (см. рис. 6.8) и ее границы определяются из условий P(w < £,q) = 0.5а и P(w > £г,а) = 0.5а, т.е. q,& = —土г,a, a xr)Q — решение уравнения ①(土“)= 1 — 0.5а, где ①(с) — функция распределения стандартного нормального распределения. Когда критическая область найдена, можно вычислить по выборке значение критерия у и проверить, попадает ли оно в критическую область. Если 屮 < 土厶& или у > 土-то гипотеза Но отвергается и принимается гипотеза Н^. Если же x/5q <(р < хт^ то принимается гипотеза Hq.
Замечание. Рассмотренная задача чрезвычайно важна в приложениях. Например, на двух предприятиях производятся одинаковые товары и среднее значение некоторого параметра в контрольной партии с одного предприятия отличается от значения того же параметра, полученного при обследовании второго предприятия. Возникает вопрос: эти различия статистически значимы или нет, т.е. различия обусловлены только случайными факторами или организацией производства на предприятиях?
Рассмотрим две выборки из двух нормальных распределений с дисперсиями о? = 2 и 城=3. Выборки содержатся соответственно в файлах datal.txt и data2.txt в папке tmp на диске с:. Выборочные значения приведены ниже.
X
5.393
4.431
6.841
3.051
5.538
5.619
7.49
4.085
5.779
7.187
2.424
6.85
3.517
5.649
3.512
3.243
5.6
2.29
4.825
5.584
У
8.539
3.871
5.334
6.825
6.322
6.34
6.902
7.425
7.613
7.554
6.451
4.799
6.806
5.739
4.505
Проверим гипотезу Но о равенстве математических ожиданий исследуемых распределений против альтернативной гипотезы о том, что они не равны.
Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями представлен ниже.
ORIGIN ：= 1
i = 1..20 X. ：= READ(“c№mp\daia1・txi“)
i := 1.. 15¥ ：= READ( Mc:\tmp\data2.txt")
ax2 ：= 2 oy2 := 3 N ：= 20 M := 15 a ：= 0.1
Xmean ：= mean(X)Xmean = 5.026
Ymean ：= mean(Y)Ymean = 6.775
Xright = qnorm ^1 -措.U.1) Xright = 1.645
Xleft ：=-XrightXleft = -1.645
Xmean - Ymean
Гипотеза о равенстве математических ожиданий отвергается, поскольку ф< Xleft
Принимается альтернативная гипотеза о том, что математические ожидания не равны
ЗАДАНИЕ 6.18
Смоделируйте две выборки из 100 и 120 значений нормально распределенной случайной величины с указанными параметрами. Сформулируйте нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий и проверьте для заданных уровней значимости три альтернативные гипотезы.
Порядок выполнения задания 1. Смоделируйте описанные в задании выборки.
Найдите по выборкам точечные оценки математического ожидания.
Вычислите значение критерия.
Сформулируйте нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий.
Найдите границы критической области для альтернативной гипотезы Hi： 仪 #(1Tp
Сравните значение критерия с границами критической области и сформулируйте соответствующее утверждение.
Найдите границы критической области для альтернативной гипотезы Hi： а^ > а^.
Сравните значение критерия с границами критической области и сформулируйте соответствующее утверждение.
Найдите границы критической области для альтернативной гипотезы Hi： < а^.
Сравните значение критерия с границами критической области и сформулируйте соответствующее утверждение.
Пример выполнения задания
Фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислениями для выборок, записанных в файлах datal.txt и data2,txt, приведен выше.
Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий при равных неизвестных дисперсиях
Здесь речь пойдет о выборке из двух нормальных распределений с равными, но неизвестными дисперсиями, для которой требуется проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий.
Пусть 金=(工1, Х2, Хп) и р=(У1, у2, Ут) — выборки из генеральных совокупностей, отвечающих соответственно условиям £ 〜N(a^(j) и 〃〜N(a小ст). Вычислим значения следующих величин:
]пi=i]пi=iSf -Sf -11П —П —n亍)2,n亍)2,尸1尸111m —m —j=lj=l
]п
i=i
]п
i=i
Sf -
Sf -
1
1
П —
П —
n
亍)2,
n
亍)2,
尸1
尸1
1
1
m —
m —
j=l
j=l
величин известны: величина хвеличин известны: величина хРаспределения этих случайных
величин известны: величина х
величин известны: величина х
распределена нормально с параметрами 仪 и /=, величина у — нормально с параметрами 〃 и величина si имеет х -распределение с п — 1 степенями свободы, a s^ ——^-распределение с m — 1 степенями свободы.
Поскольку случайные величины § и 〃 независимы, то величина
(n-1 底 (m-l)g
имеет у2-распределение с n + m — 2 степенями свободы, а величина х — у распределена нормально, причем М（厉一歹）=气一а^ м D （元一歹）=
a2 m
二 一 + в то же время центрированная и нормированная случайная п m
величина
@一 歹） —（％-&〃）
имеет стандартное нормальное распределение N（0,I）, а отношение
@一歹）_a一%便+2d +也? 吟 一..
у п тук а2а2 / п + т — 2
имеет распределение Стьюдента с n + m — 2 степенями свободы.
Если гипотеза Но：气=% верна, то величина
х-у
+ 丄）（n-l）《 + （m-l局у \n 771/ П + 7П — 2
имеет распределение Стьюдента с n + m — 2 степенями свободы. Эта величина используется в качестве критерия для проверки гипотезы Hq.
Зададимся уровнем значимости а и построим критическую область для альтернативной гипотезы Н^ а§ 我 &“• Отметим, что в данном случае критическая область двусторонняя. Значение х^а находим как решение уравнения Fn+m_2（^i,a） = 0・5а, а хг）а ——как решение уравнения Fn+m-2^r,a） = 1 -0・5а, где 兄+皿-2（①）—функция распределения Стьюдента с n + m — 2 степенями свободы. Когда критическая область найдена, можно вычислить по выборке значение критерия 夕 и проверить, попадает ли оно в критическую область. Если g < g。или 夕 > ①т,а, то гипотеза Но отвергается и принимается гипотеза Hi，Если же 勿。< 3 < то принимается гипотеза Hq.
Рассмотрим две выборки из двух нормальных распределений с одинаковыми дисперсиями. Выборки содержатся соответственно в файлах data3.txt и data4.txt в папке tmp на диске с:. Выборочные значения приведены ниже.
:г
4.379
4.039
4.331
3,654
2.616
5.062
4.829
5.787
8.1
6.144
6.393
6.219
6.295
5.952
3.523
5.098
3.931
5.985
4.743
4.089
5.14
6.09
5.433
5.016
3.919
4.421
4.047
4.813
6.44
5.255
5.726
6.046
4.977
5.394
5.229
Проверим гипотезу % о равенстве математических ожиданий исследуемых распределений против альтернативной гипотезы о том, что они не равны. Фрагмент рабочего документа Mathcad с соответствующими вычислениями представлен ниже.
ORIGIN ：= 1
! ：= 1..20X. ：= READ( "c:\tmp\data34xr)
i ：= 1..15Y. ：= READ("c:\tmp\data4.txt11)
N ：= 20 M ：= 15 a ：= 0.1
Xmean ：= mean(X) Xmean = 5.058
Ymean ：= mean(Y) Ymean = 5.196
N
s£2 ：=J ■ £ (X. - Xmean)2 s£2 = 1.682
-i= 1
YmeanV s2 = 0.517YmeanV s2 = 0.517M
YmeanV s2 = 0.517
YmeanV s2 = 0.517
i= 1
Xright ：= qt,-巒 N + M - 2) Xright = 1.692
Xleft ：= - XrightXleft = -1.692
Xmean - Ymean
/11\ (N - 1) s^2 + (M - 1) s^2
J［而 + М/ST而二2
Гипотеза о равенстве математических ожиданий принимается, поскольку Xleft<^<Xright
ЗАДАНИЕ 6.19
Смоделируйте две выборки из 100 и 120 значений нормально распределенной случайной величины с указанными параметрами. Сформулируйте нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий и проверьте для заданного уровня значимости альтернативную гипотезу.
Порядок выполнения задания
Смоделируйте описанные в условии выборки.
Найдите по выборкам точечные оценки математического ожидания.
Вычислите значение критерия.
Сформулируйте нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий.
Найдите границы критической области для альтернативной гипотезы Hi： % # 彻・
Сравните значение критерия с границами критической области и сформулируйте соответствующее утверждение.
Пример выполнения задания
Фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислениями для выборок, записанных в файлал data3.txt и data4.txt, приведен выше.
6・7
ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ
Пусть требуется исследовать зависимость у(х), причем величины у и х измеряются в одних и тех же экспериментах. Без ограничения общности можно считать, что величина х измеряется точно, в то время как измерение величины у содержит случайные погрешности. Это означает, что погрешность измерения величины х пренебрежимо мала по сравнению с погрешностью измерения величины у. Таким образом, результаты эксперимента можно рассматривать как выборочные значения случайной величины 〃(①)，зависящей от х, как от параметра.
Регрессией называют зависимость 贝②)условного математического ожидания величины 〃(①)от переменной ◎, т.е. g(N)三 М(л/х).
Задача регрессионного анализа состоит в восстановлении функциональной зависимости у(①)по результатам измерений (g,%), i =
Аппроксимируем неизвестную зависимость у(х) заданной функцией /(£,口0,口1,・・・,aQ・ Это означает, что результаты измерений можно представить в виде
У =/(g,w,砲,…,你)+&,
где а。, а】,...,口加——неизвестные параметры регрессии, a ft — случайные величины, характеризующие погрешности эксперимента.
Обычно предполагается, что & — независимые нормально распределенные случайные величины с М& = 0 и одинаковыми дисперсиями D^i = a2.
Параметры а。，例，…，а следует выбирать таким образом, чтобы отклонение значений предложенной функции от результатов эксперимента было минимальным. Часто в качестве меры отклонения выбирают величину
п
①(ao,ai,...,aQ = e(/(3,肉,...，＜1光)一统)，
и, следовательно, параметры а。, а】,...,伙 определяют методом наименьших квадратов*.
Рассмотрим простейший случай линейной регрессии. Пусть выдвинута гипотеза о том, что функция f(£,a(),ai,…网)имеет вид f(x,aQ^ai) = а。+ nix. Найдем оценку параметров а。и % методом наименьших квадратов. Для этого минимизируем функцию
п
①(a0,％) = e(的+肉工£-改次
1=1
приравнивая нулю частные производные 器 и 券,откуда
ппппЕ % Е 建 一 Е & Е з 改г=1 г=1г=1 г=1ппппЕ % Е 建 一 Е & Е з 改г=1 г=1г=1 г=1а° = ПК~С7噹3Н营严)а° = ПК~С7噹3Н营严)仰仰nnnnnnn £ xiyi -£%£yt 1=11=11=1n £ xiyi -£%£yt 1=11=11=1
пппп
Е % Е 建 一 Е & Е з 改
г=1 г=1г=1 г=1
пппп
Е % Е 建 一 Е & Е з 改
г=1 г=1г=1 г=1
а° = ПК~С7
噹3Н营严)
а° = ПК~С7
噹3Н营严)
仰
仰
nnn
nnn
n £ xiyi -£%£yt 1=11=11=1
n £ xiyi -£%£yt 1=11=11=1
В Mathcad для вычисления параметров а。и ai предназначены соответственно функции intersept(x,y) и slope(x,y).
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий вычисление коэффициентов линейной регрессии а。и а】н соответствующие графики для представленных ниже экспериментальных данных.
£
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
У
1.156
1.332
1.553
1.705
1.831
2.204
2.388
2.656
X
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
У
3.019
3.081
3.299
3.486
3.692
3.867
3.896
Значения хну записаны на диске с: в папке tmp в файле data5.txt.
ORIGIN = 1 N ：= 15
:=1..:=1..х ：= i 0.1х ：= i 0.1у. := READ ("cAtmpXdataS.txC)у. := READ ("cAtmpXdataS.txC)
:=1..
:=1..
х ：= i 0.1
х ：= i 0.1
у. := READ ("cAtmpXdataS.txC)
у. := READ ("cAtmpXdataS.txC)
a1 = 2.107a1 = 2.107aO + a1aO + a1x.x.Dao =Dao =1-+п1-+пNХ(д-亍)2 г=1NХ(д-亍)2 г=1?2灰1 = -й£⑵-亍)2г=1?2灰1 = -й£⑵-亍)2г=1
a1 = 2.107
a1 = 2.107
aO + a1
aO + a1
x.
x.
Dao =
Dao =
1
-+
п
1
-+
п
N
Х(д-亍)2 г=1
N
Х(д-亍)2 г=1
?2
灰1 = -й
£⑵-亍)2
г=1
?2
灰1 = -й
£⑵-亍)2
г=1
aO ：= intercept(x,y) аО = 0.925
a1 ：= slope(x^y)
Эти жеЭти жеоценки дает метод максимального правдоподобия. В
Эти же
Эти же
практических задачах дисперсия 0宦=坟 обычно неизвестна, но с помощью метода максимального правдоподобия можно получить ее оценку ?2:
¥ = ^ем_aо_出д)2.1=1
Следует помнить, что ^2, ao, 6】 —— случайные величины. При сделанных выше предположениях ао и G】распределены нормально, Mag = ао, Ма^ = ai, т.е. эти оценки несмещенные, а дисперсии этих оценок вычисляются по формулам
где
Поскольку приведенная выше оценка дисперсии ?2 смещена (ее математическое ожидание равно ”台2 _ 22126r2), будем использовать для оценки дисперсии другую, несмещенную оценку:
S2 =三62 =£(切 _ % _ 出*2 =
г=1 - nnn
= ；^(E"F—8。£ 筑-Gi£色力г=1г=1г=1
Величина ⑺一имеет у2-распределение с п — 2 степенями свободы.
Используя информацию о свойствах случайных величин s2, Go, 61, можно построить доверительные интервалы для оцениваемых параметров а。, а】и ст2. Начнем с оценки ао- Если дисперсия ст2 известна, то случайная величина
〃о — 〃о
N
_ + -ЪJ e(修一初2\г—1
имеет стандартное нормальное распределение. Если а — доверительная вероятность и ха ——решение уравнения Ф(ха) = 1 — 0.5а, где Ф(х)——функция Лапласа, доверительный интервал
〃о — *а°〃о — *а°1 NEZE г=11 NEZE г=11X2…
〃о — *а°
〃о — *а°
1 N
EZE г=1
1 N
EZE г=1
1„ < Go < Go + xa^
n •£(&-亍)2
г=1
накрывает неизвестный параметр' ао с вероятностью 1 — а.
Если же дисперсия неизвестна, то в качестве критерия можно взять величину'
〃о — 〃о
1N
s ~ + ~^J e(Q一可N г=1
Здесь - nnn
s? =ggj
e=i i=i e=i
имеет распределение Стьюдента с n — 2 степенями свободы.
По заданному значению а найдем корень ta уравнения Fn^2(ta)= ~ 1 — 0.5а, где 耳—2(2)——распределение Стьюдента с п — 2 степенями свободы.
Теперь доверительный интервал имеет вид
а。— tasа。— tas1 N"e(g-亍)21=11 N"e(g-亍)21=1< a。< a。+ tas< a。< a。+ tas1N孔 £(d)21N孔 £(d)2
а。— tas
а。— tas
1 N
"e(g-亍)21=1
1 N
"e(g-亍)21=1
< a。< a。+ tas
< a。< a。+ tas
1N
孔 £(d)2
1N
孔 £(d)2
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий вычисление доверительного интервала для а。по выборке, которая приведена выше.
ORIGIN ：= 1ORIGIN ：= 1N ：= 15N ：= 15
ORIGIN ：= 1
ORIGIN ：= 1
N ：= 15
N ：= 15
i := 1.. N X. := i-0.1 у. ：= READ("c:\tmp\data5.txt")
а0 ：= 1п1егсер1(х,у) аО = 0.925 a1 ：=slope(x,y) a1 = 2.107
yr. ：= a0 + a1-x.
Xmean ：= mean(x) Xmean = 0.8
Ymean ：= mean(y) Ymean = 2.611
82 =NT2- E M 7「k) k= 1
t 二 1771t 二 1771Построение доверительного интервала для aQ
t 二 1771
t 二 1771
а ：= 0.1 t ：= qt(1 - ^.,N - 2
Л ГТ 1Xmean
aOIeft ：= aO - t-Js2- — +
aOIeft = 0.836aOIeft = 0.836N N
aOIeft = 0.836
aOIeft = 0.836
Z (x「Xmean)2
J k= 1
aOright ：= аО +aOright ：= аО +Xmean2Xmean2X (%-Xmean)X (%-Xmean)aOright = 1.014aOright = 1.014к= 1к= 1
aOright ：= аО +
aOright ：= аО +
Xmean2
Xmean2
X (%-Xmean)
X (%-Xmean)
aOright = 1.014
aOright = 1.014
к= 1
к= 1
Доверительный интервал для aQ (0.836,1.014)
Аналогично строится доверительный интервал для параметра &]. Если дисперсия а2 известна, то случайная величина
имеет стандартное нормальное распределение и, значит, с вероятностью 1 — а доверительный интервал
накрывает оцениваемый параметр а】. Здесь, как и выше, ха — решение уравнения Ф(ха) = 1 — 0.5а.
Если же дисперсия неизвестна, то в качестве критерия можно ^зятв величину
G1 — О1
которая имеет распределение Стьюдента с п — 2 степенями свободы^ и поэтому интервал
накрывает оцениваемый параметр а】с доверительной вероятностью 1 — а. Здесь ta — корень уравнения 耳一2网)=1 — 0.5а, где 耳一⑵一 функция распределения Стьюдента с п — 2 степенями свободы.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий вычисление доверительного интервала для а】 по той же выборке.
ORIGIN = 1 N ：= 15
у. ：= READ( "cAtmpVdataS.txt")у. ：= READ( "cAtmpVdataS.txt")i ：= 1N x. ：= i-0.1
у. ：= READ( "cAtmpVdataS.txt")
у. ：= READ( "cAtmpVdataS.txt")
aO ：= intercept(x,y)yr. ：= aO + a1-x.aO ：= intercept(x,y)yr. ：= aO + a1-x.Xmean ：= mean(x)Xmean ：= mean(x)Xmean = 0.8Xmean = 0.8Ymean := mean(y)Ymean := mean(y)Ymean = 2.611Ymean = 2.611аО = 0.925 а1 ：= slope(x^y) a1 = 2.107
aO ：= intercept(x,y)
yr. ：= aO + a1-x.
aO ：= intercept(x,y)
yr. ：= aO + a1-x.
Xmean ：= mean(x)
Xmean ：= mean(x)
Xmean = 0.8
Xmean = 0.8
Ymean := mean(y)
Ymean := mean(y)
Ymean = 2.611
Ymean = 2.611
立=Q. X(y「yrJk= 1
0.1 t ：= qtM - ^,N - 20.1 t ：= qtM - ^,N - 2t = 1.771t = 1.771
0.1 t ：= qtM - ^,N - 2
0.1 t ：= qtM - ^,N - 2
t = 1.771
t = 1.771
alleft ：= a1alleft ：= a1Построение доверительного интервала для a1
alleft ：= a1
alleft ：= a1
alleft = 2.009
Z (xk - Xmean)2
J k= 1
alright = 2.205alright = 2.205alright ：= al + ~.
alright = 2.205
alright = 2.205
X (xk - Xmean)2(=1X (xk - Xmean)2(=1
X (xk - Xmean)2
(=1
X (xk - Xmean)2
(=1
Доверительный интервал для а1 (2.009, 2.205)
И, наконец, построим доверительный интервал для дисперсии. Как и(71 — 2)529
уже отмечалось выше, случайная величина имеет х -распре
(71 — 2)s'(71 — 2)s'деление с п — 2 степенями свободы. Задавшись малой вероятностью а, решим два уравнения: Fn-2(Xi,a) = 0.5а и К—2(Хт。)= 1 - 0.5а, где 耳一2(£) 一 функция х^-расиределення с п — 2 степенями свобо-
(71 — 2)s'
(71 — 2)s'
ды. Случайная величинады. Случайная величинапопадает в интервал (Xz.Q, Хг>а) с
ды. Случайная величина
ды. Случайная величина
вероятностью 1 — а. Отсюда получаем доверительный интервал для /(71 — 2)/ (71 — 2) дисперсии: ,-
V Xr,a笛,a
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержа
щий вычисление доверительного интервала для дисперсии по той же выборке.
15а ：= 0.1
iу. ：= READCcAtmpVdataS.txt")
аО = 0.925 а1 ：= slope(x^y) a1 = 2.107
ORIGIN ：= 1 N ：=i ：= 1N X. ：= 0.1aO ：= inte「cept(x,y) yr ：= aO + a1 -x.Xmean ：= mean(x)Xmean = 0.8ORIGIN ：= 1 N ：=i ：= 1N X. ：= 0.1aO ：= inte「cept(x,y) yr ：= aO + a1 -x.Xmean ：= mean(x)Xmean = 0.8Ymean ：= mean(y)
ORIGIN ：= 1 N ：=
i ：= 1N X. ：= 0.1
aO ：= inte「cept(x,y) yr ：= aO + a1 -x.
Xmean ：= mean(x)
Xmean = 0.8
ORIGIN ：= 1 N ：=
i ：= 1N X. ：= 0.1
aO ：= inte「cept(x,y) yr ：= aO + a1 -x.
Xmean ：= mean(x)
Xmean = 0.8
Ymean = 2.611
^ =^2 Z M-yrJ 过=8.556•10-3 k= 1
Xleft ：= qchisq 伎，N - 2Xleft ：= qchisq 伎，N - 2Xright ：= qchisq, - y,N - 2Xright ：= qchisq, - y,N - 2.ft (N-2)-s2X「ight・u (N-2)-s2aright ：= 2i——Xleft.ft (N-2)-s2X「ight・u (N-2)-s2aright ：= 2i——XleftXleft = 5.892Xright = 22.362aleft = 4.974-10-3aright = 0.019Xleft = 5.892Xright = 22.362aleft = 4.974-10-3aright = 0.019Построение доверительного интервала для дисперсии
Xleft ：= qchisq 伎，N - 2
Xleft ：= qchisq 伎，N - 2
Xright ：= qchisq, - y,N - 2
Xright ：= qchisq, - y,N - 2
.ft (N-2)-s2
X「ight
・u (N-2)-s2
aright ：= 2i——
Xleft
.ft (N-2)-s2
X「ight
・u (N-2)-s2
aright ：= 2i——
Xleft
Xleft = 5.892
Xright = 22.362
aleft = 4.974-10-3
aright = 0.019
Xleft = 5.892
Xright = 22.362
aleft = 4.974-10-3
aright = 0.019
Доверительный интервал для дисперсии (0.005, 0.019)
Теперь задача о построении доверительных интервалов для параметров линейной регрессии решена полностью.
Рассмотрим еще некоторые свойства линейной регрессии.
Пусть линейная регрессия построена: /(x,ao?ai) =3° +2in. Возьмем в области изменения аргумента некоторую точку n° и вычислим 俞=6о + «1^0. Величина 击 случайная и меняется от выборки к выборке. Ее математическое ожидание равно истинному значению функции
/(х) в точке хо, т.е. величине уо = а。+ aixo- Найдем доверительный интервал для величины у。. Для этого рассмотрим статистику
(@0 + @160)- (а0 + а160)
1X2
£(g-可 i=l
Доказано, что она имеет распределения Стьюдента с п — 2 степенями свободы, и поэтому доверительный интервал
@0 + @160 - tas@0 + @160 - tas1N宀 宀F-^, Qo+Q16() + taSn £(g-初21=11N宀 宀F-^, Qo+Q16() + taSn £(g-初21=1\
@0 + @160 - tas
@0 + @160 - tas
1N宀 宀
F-^, Qo+Q16() + taS
n £(g-初2
1=1
1N宀 宀
F-^, Qo+Q16() + taS
n £(g-初2
1=1
1 N
n+^
£(g-亍)2丿
1=1/
накрывает истинное значение уо = а。+ 仰迎 с вероятностью 1 — а. Величина определена выше.
Граяицы доверительных интервалов в каждой точке хо образуют доверительную полосу, или доверительный коридор (см. ниже). Эта полоса, однако, не является доверительной областью для всей линии регрессии. Она определяет только концы доверительных интервалов для у при каждом значении х. С помощью коридора регрессии нельзя, например, построить одновременно два доверительных интервала в различных точках хо и xi.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий построение коридора регрессии.
Построение доверительного коридора i ：= 1.. N
Доверительная область для всей линии регрессии определяется с помощью следующих уравнений соответственно нижней и верхней границ полосы:
у = @о + aix —2fas —I-—,
\)2
у ==a0 + a1x + 2/asу ==a0 + a1x + 2/as1-+ n1-+ nN
у ==a0 + a1x + 2/as
у ==a0 + a1x + 2/as
1
-+ n
1
-+ n
~n
之(3-W)2
£=1
где fa — корень уравнения F2,n-2(fa) = 1 一 a;豆,吁2(立)一функция распределения Фишера с 2 и п 一 2 степенями свободы.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий вычисление доверительной области регрессии для выборки, анализируемой во всех предыдущих примерах.
Построение доверительной области
f ：= qF(1 - o,2,N - 2)
yleft ：= a0 + аГх. - 2yleft ：= a0 + аГх. - 2—+—+x. - XmeanVx. - XmeanVZ (xk - Xmean)2 (=1Z (xk - Xmean)2 (=1
yleft ：= a0 + аГх. - 2
yleft ：= a0 + аГх. - 2
—+
—+
x. - XmeanV
x. - XmeanV
Z (xk - Xmean)2 (=1
Z (xk - Xmean)2 (=1
Для заданной в условии выборки вычислите регрессию и найдите доверительные интервалы коэффициентов регрессии и дисперсии для заданной доверительной вероятности. Вычислите коридор и доверительную область регрессии. Изобразите выборку графически на одном графике с линией регрессии. Изобразите графически коридор и доверительную область регрессии.
Порядок выполнения задания
Определите и введите заданную выборку.
Найдите точечные оценки математического ожидания обеих переменных.
Вычислите точечную несмещенную оценку неизвестной дисперсии.
Найдите коэффициенты регрессии.
Постройте график линии регрессии и изобразите на нем экспериментальные точки.
Вычислите значение критерия для оценки коэффициента регрессии ао-
Найдите доверительный интервал для а().
Вычислите значение критерия для оценки коэффициента регрессии ар
Найдите доверительный интервал для ар
Вычислите значение критерия для оценки дисперсии.
Найдите доверительный интервал для дисперсии.
Вычислите коридор регрессии.
Изобразите на графике линию регрессии и границы коридора для нее.
Вычислите доверительную область для всей регрессии.
Изобразите на графике линию регрессии и доверительную область для нее.
Пример выполнения задания
Все приведенные выше фрагменты рабочих документов Mat head содержат последовательные этапы выполнения задания для выборки, описанной в тексте.
6.8
ЭЛЕМЕНТЫ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА
Однофакторный дисперсионный анализ
Дисперсионным анализом называют статистический анализ результатов, зависящих от качественных факторов. Сначала остановимся на случае однофакторного анализа.
Дусть, например, ставится задача исследования влияния технологии обработки почвы на урожайность. Технологию естественно назвать фактором, а каждую конкретную технологию Ti (〃= 1,2,... ,m)—— уровнем этого фактора. Здесь m ——полное число применяемых технологий. Обозначим Xij ——урожайность культуры, полученную в }-м году при использовании г-й технологии Ti (彳=1, 2,…「几* щ ——число лет, в течение которых производились наблюдения за применением технологии 賞).Сведем все данные в таблицу
1
2
3
Nil
£12
£13
^lni
Т2
£21
£22
£23
*^2п2
Тт
①ml
①m2
①m3
'тПт
Обратим внимание на то, что в разных строчках этой таблицы содержится, вообще говоря, разное число элементов.
Рассмотрим математическую модель, в которой предполагается, что каждая случайная величина Xij может быть представлена в виде Xij = % + е订,где & ——урожайность, характерная для технологии 賢，а £订 ——независимые случайные величины, которые описывают суммарный вклад всех случайных факторов, влияющих на итоговую урожайность. Наще всего полагают, что все £订 ~ ^(O,cг)J т.е. имеют нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и с одинаковой дисперсией а2.
Задача, которую предстоит решить, ставится следующим образом: выяснить, влияет ли выбор технологии обработки почвы на урожайность культуры или нет. На математическом языке это означает, что по результатам эксперимента необходимо проверить справедливость статистической гипотезы Hq о том, что все технологии 賓 одинаково эффективны, Hq： = @2 = …=Gn・
Анализ результатов будет основал на сопоставлении двух оценок неизвестной дисперсии ст2.
Одна из этих оценок не зависит от того, верна ли гипотеза Hq. Для другой оценки это предположение существенно, те эта оценка будет близка к значению 扰 только тогда, когда гипотеза Hq верна.
Если обе оценки близки, то гипотезу Hq следует принять. Если же оценки существенно отличаются, то гипотезу % следует отвергнуть.
Построим эти оценки.
Сначала для каждой строки вычислим средние
g —〉：①打 ‘ 2 — 1, 2,, ш,% 3=1
а затем величину tm ni
Важно отметить, что при сделанных предположениях о случайных величинах величина -~ имеет ух-распределение с п — m степенями свободы независимо от того, верна ли гипотеза Нд. Следовательно, первая оценка для получена.
Для получения второй оценки сначала найдем величину
-m п»
无=
где п = ri】+ 九2 + •…+ Пт, затем вычислим
пs^=〉2(/-亍产
При выполнении гипотезы Hq величины s； и s^ независимы, а 2
величина 巻 имеет х2-распределение с п — 1 степенями свободы.
Теперь сравним оценки £ и s^. Если гипотеза % верна, то величина
Н - s；(£H)П — 771
имеет распределение Фишера с п — 1 и п — m степенями свободы. Напомним, что распределение Фишера характеризуется двумя параметрами: числом степеней свободы числителя и числом степеней свободы знаменателя (см. разд. 5.4).
Зададимся достаточно малым уровнем значимости а и решим уравнение
-^п—1,п—т(^) = ] — Q.
Сравним корень этого уравнения ха с вычисленным выше значением 居.
При FH > ха гипотеза % отвергается, в противном случае — принимается.,
Выясним на уровне значимости а = 0.05, зависит ли урожайность сельскохозяйственной культуры от технологии обработки почвы, по результатам, приведенным в таблице, представленной ниже.
Номер
Годы
технологии
123456
1
140 141 140 141 142 145
6
2
150 149 150 147
4
3
147 147 145 150 150
5
4
144 147 142 146
4
Фрагмент документа Mathcad, содержгщий соответствующие вычисления, приведен ниже.
ORIGIN ：= 1
х4 . ：= 140 х„ _ := 141 х„ q := 140 х. . := 141
1.21.31.4
х1 5 ：= 142% 6 :二 145% 二 6
X2.1 = 150X2,2 = 149
x2 3 ：= 150 x2 4 ：= 147n2 ：= 4
X3.1= 147X3.2 = 147
xo o 二 145 xo . ：= 150
3.33.4
x, K ：= 150
n3 ：= 5
X4.1 = 144X4,2 = 147
X%3 = 142X4.4 = 146П4 ：= 4
m
m = 4N ：= £)
N = 19i ：= 1..m
i= 1
n.
mni
X =1- у X..
1 n.乙'-J
si T X Sr J
1 j=1
i = 1 j = 1
mni
m
XN :二 Lx..
N 乙 乙 i.J
s2= x 丁绅一力
i= 1 j= 1
i= 1
s1 = 57.05 s2 = 173.582
FN =螳色-巴) FN = 2.536 s1 (N- 1)
а ：= 0.05 ха ：= qF(1 - a,N - 1,N - m) xa = 2.353
r2 ：= — r2 = 3.043 s1
Указание. Для того чтобы найти решение уравнения Fn-\tn^m{x) = 1 — о, используйте встроенную функцию Mathcad qF(p,d],d2)с параметрами р = 1 — а, d] — п — 1)d2 = n — m, значением которой является искомый корень уравнения.
Поскольку в результате вычислений получено 居=2.536 и ха=2.353, т.е.居 > xQ, то гипотеза Н° отвергается. Делаем вывод о том, что выбор технологии влияет на урожайность. Следующая задача ——оценить степень этого влияния.
Для оценки степени влияния фактора используют выборочный коэффициент детерминации г2, который вычисляется по формуле
п
e缶-亍)2电2
2 _ ?=1 丝
££(，D2 $
где $2 ——оценка полной выборочной дисперсии:
П £=1 j=l
Чтобы разобраться со смыслом коэффициента детерминации, обратимся к одной из важнейших формул дисперсионного анализа
П Tlj[71%
^e丈（旳一b）2 + ^公丈（0-亍）2,
£=1 j=l£=1 j=lг=1 /=1
£=1 j=l
£=1 j=l
ИЛИ $2 = s； + s2
Из равенства s2 = s^ + s^ видно, что полная выборочная дисперсия 222
состоит из двух слагаемых sj и s}, причем sj ——это средняя величина групповых дисперсий, a s^ — дисперсия групповых средних. Величина S| характеризует изменчивость, обусловленную случайными факторами, а величина s^ определяет разброс средних значений в каждой группе около среднего значения всей выборки, т.е. зависит от различий параметров &. И понятно, что коэффициент детерминации г2 показывает, какую часть в общей дисперсии величин Xij составляет часть, обусловленная зависимостью от фактора Т.
В рассмотренном выше примере г2 = 0.753, т.е. 75.3% общей вариации урожайности обусловлены технологией.
Полученные результаты позволяют оценить параметры исходной модели.
Если гипотеза Н° принимается, т.е. ai = а2 = ... = ап = а, то оценкой параметра а （математического ожидания） является величина ж, а и2
оценкой дисперсии о” ——величина ——.
Если же гипотеза Н° отвергается, то оценкой 出 является 历订 а оценкой дисперсии о? для всех уровней ——величина —^—. Эффект влияния г-го уровня можно вычислять по формуле Xj — х.
Ниже приведены вычисления коэффициента детерминации и оценок параметров распределений каждого уровня для рассмотренного выше примера о влиянии технологии обработки почвы на урожайность.
9
141.5
г2 Lг2 = 0.753 а X
s1 +s2一 г г
149
a =
a2 :二 ”a :=a 二 1.95
147.8
N - m
144.75
У казание. Из приведенных вычислений следует, например, что урожайность при второй технологии обработки представляет собой случайную величину, имеющую нормальное распределение N(149,1.95).
На рис. 6.9 приведены графики плотности вероятностей урожайностей для всех четырех технологий обработки.
Рис. в.9. Графики плотности вероятностей урожайности
ЗАДАНИЕ 6.21
Установите влияние объема продаж товара в зависимости от типа используемой рекламы для заданного значения а. Установите меру влияния каждого типа рекламы. Определите параметры и постройте плотности вероятностей распределения числа продаж для каждого типа рекламы.
Дополнительное задание. Проверьте гипотезу о равенстве групповых дисперсий для данных задания 6.21. Примерный вариант выполнения дополнительного задания приведен выше.
Порядок выполнения задания
Определите и введите компоненты матрицы выборочных значений случайной величины 七可，i ——уровень фактора, j —— номер наблюдения.
Введите значение количества факторов и объем выборки для каждого уровня фактора.
Вычислите объем выборки.
Вычислите выборочное среднее и средние по группам.
Вычислите значения £ и “ н значение 居.
Для заданного значения а проверьте гипотезу о независимости конечного значения от уровня фактора.
Если гипотеза независимости от фактора отклоняется, вычислите коэффициент детерминации.
Запишите оценки параметров распределения исследуемой величины для каждого фактора.
Постройте графики плотности вероятностей для соответствующих распределений.
Пример выполнения задания
Примерный вариант задания для исследования зависимости урожайности от технологии обработки почвы приведен выше.
Замечание. Напомним еще раз, что описанная здесь методика дисперсионного анализа основана на предположении о том, что величины £可,описывающие в модели 旳=出 + е^ суммарное влияние случайных факторов, имеют одинаковые дисперсии.
.Если уверенности в таком распределении £巧 нет, то, прежде чем проводить дисперсионный анализ, следует убедиться в том, что групповые дисперсии для всех уровней фактора совпадают. На языке статистических гипотез это означает, что требуется убедиться в том, что гипотеза 拉о об одинаковых групповых дисперсиях о；, *、..., сг^ не противоречит результатам наблюдений. Для этого вычислим несмещенные оценки групповых дисперсий
г- i — i, 2,, ш,
и величины
2 _ （九1 - l）s? + （九2 - l）s； + …+ （%n - 1）限（九1 — 1） + （九2 — 1） + …+ （Птп — 1）'
q + з（m-1）［九］_ ］+十 +
^m — 1 （九 1 — 1）（^2 — 1） . .. （Птп — 1）7 j 5
Гs2s2s2 I
Ь — q （721 — 1） In —2 +（712 — 1） In —2 + ... +（7lm — 1） In ■
Величина Ь называется критерием Бартлетта.
Доказано, что если гипотеза ho верна и все 几£〉3, i = 1, 2,..., т, то случайная величина Ь имеет распределение, близкое к f-pacnpeqe- лению с m — 1 степенями свободы.
Зададимся уровнем значимости а и найдем правостороннюю критическую точку а;。一 решение уравнения /_1(£。) = 1 — а. Если 6 > ха, то гипотеза h° отклоняется. В противном случае полагаем, что гипотеза не противоречит результатам наблюдений.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий проверку гипотезы о равенстве групповых дисперсий для примера о зависимости урожайности от технологии обработки почвы.
m
& ：= —-—• У - х.у S ：= 二 1
П - 1 乙 L・J "m
'j=1Z
i= 1
x ：= qchisq(1 - a,m - 1)x ：= qchisq(1 - a,m - 1)x = 7.815x = 7.815
x ：= qchisq(1 - a,m - 1)
x ：= qchisq(1 - a,m - 1)
x = 7.815
x = 7.815
Двухфакторный дисперсионный анализ
Рассмотренная в предыдущем пункте методика однофакторного анализа легко обобщается на случай двух факторов.
Пусть случайная величина § зависит от двух признаков (факторов): А и В. Обозначим Af, г = 1, 2,..., тд, В/, j = 1, 2,..., mg, —— уровни факторов А и В соответственно. Результаты измерения случайной
величины § представлены в нижеследующей таблице.
1
2
3
тв
1
32
£13
Зтв
2
£22
£23
®2тв
mA
^ТПд 1
^тд2
^ТПд 3
Ет^тв
Для простоты остановимся на случае, когда в каждой клетке таблицы, т.е. при каждом сочетании уровней факторов, приведен результат только одного наблюдения (измерения). Тогда общее число наблюдений n = m/ma
Обозначим через % математическое ожидание § при уровне Л, г = 1, 2,, тв^ через bj — математическое ожидание § при уровне Bj, j = 1, 2,..., тв， Если при изменении фактора 4 сохраняется равенство а】=敗=…=атл, то естественно считать, что величина § не зависит от фактора Л; в противном случае § зависит от фактора А. Аналогично определяется зависимость от фактора В.
Однако априори значения % и bj не известны. Таким образом, проблема сведена к задаче проверки следующих гипотез: На- 5 = = g = … =Gnu и Нв： 瓦 =Ь?= … =bmA. При решении задачи будем предполагать, что выполняются следующие условия:
наблюдения при различных сочетаниях уровней факторов независимы;
при всех сочетаниях уровней факторов случайная величина § нормально распределена с одной и той же.дисперсией ст2.
Изменчивость наблюдаемых факторов при переходе от одной клетки таблицы к другой может быть обусловлена как изменением уровней факторов, так и случайными неконтролируемыми факторами. Изменчивость, вызванная случайными неконтролируемыми факторами, называется остаточной.
Вычислим о'бщую среднюю результатов измерений по формуле
1=1 )=1
Эту величину можно представить в другой форме, использующей групповые средние 亍脑 и х./
]тв
l—ll—l尸1
l—l
l—l
Точка в индексе величины 衣.означает, что суммирование ведется по г-й строке, а точка в индексе величины x.j ——что суммирование ведется по 彳-му столбцу. В этих обозначениях среднее результатов измерений вычисляется по любой из формул:
г=1j=l
Средняя изменчивость, вызванная фактором Л, вычисляется по формуле
i=l
Аналогично для изменчивости, вызванной фактором В:
徭="£(…•
Для общей характеристики изменчивости, обусловленной случайными факторами, вычисляем
q2 ] mg
备=從=£ 隔一备一 ％.+献i=l j=l
Общую изменчивость величины £ характеризуют величиной
а2а2пп1 тпд тв 二哈沪一可21 тпд тв 二哈沪一可2
а2
а2
п
п
1 тпд тв 二哈沪一可2
1 тпд тв 二哈沪一可2
Доказано, что
接=激+ % +备.
Понятно, что по соотношениям между 6% 咨 н 宕 можно судить о степени влияния факторов на случайную величину "
Проверка гипотезы На основывается на сравнении величин 酸 и ?q. Если гипотеза На верна, то величина
имеет распределение Фишера со степенями свободы к = тп工—1 и / = (т工-1)(тпв - 1).
Зададимся уровнем значимости а и найдем правостороннюю критическую точку ±а — решение уравнения 兄,《£&) = 1 — а. Если
значение Fa, вычисленное по результатам измерений, удовлетворяет неравенству F^ < xQ, то гипотеза Hq принимается. В противном случае гипотеза На отвергается, и можно заключить, что изменение фактора 4 влияет на изменение величины §.
Мерой этого влияния является коэффициент детерминации
который показывает, какая доля общей изменчивости величины § обусловлена изменением фактора А.
Аналогично проверяется гипотеза Не, которая основывается на сравнении величин 咨 м 略 Если гипотеза Нв верна, то величина
имеет распределение Фишера со степенями свободы к = тпв — 1 и I = (m^ — 1)(тв — 1). При уровне значимости а правосторонняя критическая точка ха — решение уравнения F^^Xa) = 1 — а* Если
удовлетворяет В противном что изменение этого влиянияудовлетворяет В противном что изменение этого влияниязначение 尸в, вычисленное по результатам измерений, неравенству Fb < xQ, то гипотеза Нв принимается, случае гипотеза Нв отвергается, и можно заключить,
удовлетворяет В противном что изменение этого влияния
удовлетворяет В противном что изменение этого влияния
фактора являетсяфактора являетсяВ влияет на изменение величины §. Мерой коэффициент детерминации
фактора является
фактора является
拉，拉，
拉，
拉，
который показывает, какая доля общей изменчивости величины § обусловлена изменением фактора В.
В рамках двухфакторного дисперсионного анализа можно получить более конкретное представление о случайной величине §. Ее модель на г-м уровне фактора А и на 外м уровне фактора В имеет вид
& = а + & + 片 + £灯、i = 1, 2,..., m/> j = lj 2,..., шд,
где a — генеральное среднее случайной величины §;
а： — слагаемое, которое описывает эффект влияния фактора 4 на случайную величину § на г-м уровне фактора А;
/3j — слагаемое, которое описывает эффект влияния фактора В на случайную величину § на j-м уровне фактора В;
Eij — слагаемое, которое описывает эффект влияния случайных факторов.
Величины ^ ——независимые случайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение £牙 〜N(0«), г = 1, 2,... ,тд, j = —2,...,
Если гипотезы Нд и Н® не отвергаются, то в рассмотренной модели параметры g = а?= … =атл = 0 и 仇 =% = … =0mB = 0.
Величина х представляет собой оценку параметра а, а величина
So2
——несмещенную оценку параметра о . (力厶—1)(тв — 1)
Если гипотезы Нд и Нв отвергаются, то:
оценка параметра а равна ①
оценка параметра & равна 可一W;
оценка параметра (3j равна x.j —
несмещенная оценка параметра а равна 7—.
(тд - 1)(тв - 1)
ЗАДАНИЕ 6.22
Проведите двухфакторный дисперсионный анализ данных из таблицы.
Порядок выполнения задания
Определите матрицу наблюдений и введите ее элементы; определите и введите число уровней каждого фактора и вычислите объем выборки.
Вычислите групповые и генеральную средние.
Вычислите оценки дисперсии.
Определите для первого фактора величину 居.
Найдите для первого фактора величину qF(l —а,к,1) (решение уравнения F (①)=1 — а для распределения Фишера F с соответствующим числом степеней свободы).
Сравните значения 居 со значением ха и сформулируйте вывод о справедливости гипотезы Нд.
Определите для второго фактора величину 居.
Найдите для второго фактора величину qF(l — a,kJ) (решение уравнения F(①)=1 —2 для распределения Фишера F с соответствующим числом степеней свободы).
Если гипотеза На отклоняется, вычислите коэффициент детерминации для первого фактора.
Сравните значения 居 со значением qF(l — a, kJ) и сформулируйте вывод о справедливости гипотезы Hq.
Если гипотеза Нв отклоняется, вычислите коэффициент детерминации для второго фактора.
Вычислите оценки параметров распределения исследуемой случайной величины.
Пример выполнения задания
Проведите двухфакторный дисперсионный анализПроведите двухфакторный дисперсионный анализниже.ниже.n ：= mA-mBn ：= mA-mB11.111.111.5111.5110.910.913.313.315.215.214.814.814.914.917.317.318.018.019.619.619.319.3mAmAтВтВXS = 14.651XS = 14.651j ：= 1. тВj ：= 1. тВmAmAХА ：= _L'тВХА ：= _L'тВтВi= 1тВi= 1ХАТХАТ10.852 14.5510.852 14.5518.55 ]18.55 ]mAmAХВ =—J mAХВ =—J mAХВХВ=[13.833 14.767=[13.833 14.76714.767 15.237 ]14.767 15.237 ]А тВ9А二—— nА тВ9А二—— nmAX (ХА. -xs)2i= 1mAX (ХА. -xs)2i= 1сгА = 9.88сгА = 9.88_ mA9В ：=—— п_ mA9В ：=—— пmBZ (XB「xs)2i= 1mBZ (XB「xs)2i= 1аВ = 0.26аВ = 0.26нижеследующей
Проведите двухфакторный дисперсионный анализ
Проведите двухфакторный дисперсионный анализ
ниже.
ниже.
n ：= mA-mB
n ：= mA-mB
11.1
11.1
11.51
11.51
10.9
10.9
13.3
13.3
15.2
15.2
14.8
14.8
14.9
14.9
17.3
17.3
18.0
18.0
19.6
19.6
19.3
19.3
mA
mA
тВ
тВ
XS = 14.651
XS = 14.651
j ：= 1. тВ
j ：= 1. тВ
mA
mA
ХА ：= _L'тВ
ХА ：= _L'тВ
тВ
i= 1
тВ
i= 1
ХАТ
ХАТ
10.852 14.55
10.852 14.55
18.55 ]
18.55 ]
mA
mA
ХВ =—
J mA
ХВ =—
J mA
ХВ
ХВ
=[13.833 14.767
=[13.833 14.767
14.767 15.237 ]
14.767 15.237 ]
А тВ
9А二—— n
А тВ
9А二—— n
mA
X (ХА. -xs)2
i= 1
mA
X (ХА. -xs)2
i= 1
сгА = 9.88
сгА = 9.88
_ mA
9В ：=—— п
_ mA
9В ：=—— п
mB
Z (XB「xs)2
i= 1
mB
Z (XB「xs)2
i= 1
аВ = 0.26
аВ = 0.26
mB mA
aO = 0.332aO = 0.332a = 10.472a = 10.472оО =1- V V (х. . - ХА - ХВ. + XS)2 j« 1 i= 1
aO = 0.332
aO = 0.332
a = 10.472
a = 10.472
mB mA
"；Z Z (x『XS)2
j = 1 i = 1
FA =— FA= 29.73 。0
qF(1 - a,mA- 1,(mA- 1)-(mB - 1)) = 5.143
Гипотеза Нд о том, что величина х не зависит от фактора А отвергается
гА ：= — гА = 0.943 FB ：= — FB = 0.781 оаО
qF(1 - a,mB - 1,(mA - 1) (mB - 1)) = 4.757
Гипотеза Нв о том, что величина х не зависит от фактора В принимается
гВ ：= — гВ = 0.025 а ：= XS а = 14.651
q2 ：= a2 = 0.665
(mA - 1)( mB - 1)
Обсудим полученные численные результаты. Коэффициент детерминации для фактора 4 равен гА = 0.943. Это означает, что более 94 % изменчивости исследуемой случайной величины обусловлено изменением этого фактора. На долю фактора В приходится только 2.5% изменчивости, поскольку гВ = 0.025.
Независимость § от фактора В позволяет построить уточненную модель исследуемой случайной величины в виде:
Cv = g. + £”■, i = 1, 2, 3, ^ = 1, 2, 3,
где Eij — независимые случайные величины, распределенные нормально с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а2 = 0.665.
С учетом вышеизложенного матрица, описывающая влияние факторов на изучаемое явление, имеет следующий вид:
Bi
口2
&
口4
4
10.852
10.852
10.852
10.852
<2
14.55
14.55
14.55
14.55
4з
18.55
18.55
18.55
18.55
Остальная часть элементов исходной матрицы обусловлена случайными факторами. Так, например, на уровнях <2 и Вз случайная величина &з имеет нормальное распределение ^(14.55) V0.66)= -^14.55,0.81).
Приложение
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
ГЛАВА 2
Задание 2.1. Умножая на матрицы специального вида, сформируйте матрицу-столбец и матрицу-строку, соответственно равные j-му столбцу и г-й строке матрицы А. Вычислите суммы элементов j-ro столбца и г-й строки матрицы А.
Варианты 1-10: переставьте 1-ю и 2-ю строки и 1-й и 2-й столбцы.
Варианты 11-20: переставьте 2-ю и 3-ю строки и 1-й и 3-й столбцы.
/10.51.5o \.3-0.333310.254 11.50.33330.50V-21-31/3. £ = 1, j=3,/ 31.52.53、.1 9190.7513.530.751.099\9.62-2.3333 /5. г = 2, j=1,/ 52.53.510л155251.25A= 5.58.3330.83331.609\ 263-1.6675/10.51.5o \.3-0.333310.254 11.50.33330.50V-21-31/3. £ = 1, j=3,/ 31.52.53、.1 9190.7513.530.751.099\9.62-2.3333 /5. г = 2, j=1,/ 52.53.510л155251.25A= 5.58.3330.83331.609\ 263-1.66751. , = 1, j = 1,1. , = 1, j = 1,7. i = 2)j = 3,4/549 0.8750-121 \ 1.750 1.9467 )4 =7.5 \50.43/5 11.67 16.33 49. г=3, j ==1,/ 94.55.536 \4 =2721812.259.5270.92.197\82.85-0.33339 /11.г = 3, j=3,/ И5.56.5554 =33331212.7511.540.330.91702.398\ 123.260.3333117. i = 2)j = 3,4/549 0.8750-121 \ 1.750 1.9467 )4 =7.5 \50.43/5 11.67 16.33 49. г=3, j ==1,/ 94.55.536 \4 =2721812.259.5270.92.197\82.85-0.33339 /11.г = 3, j=3,/ И5.56.5554 =33331212.7511.540.330.91702.398\ 123.260.3333112, i = l, j = / 2: 2,10 .333 1.524 0.6667 -2.6671 \0.50.69302 /A =62.5 1 、4.44. г=1,厂/ 4=4, 236、4 =122.667161 14.55.3330.8 1.386\16/82/5-24 /6. г=2,八/ 6=2, 3415、A =188361.5 16.5120.85701.792\37.23.5-1.3336丿8. г=2, / =/ 8=4,45284 =24166428.521.330.88902.079\ 65.604.5-0.6667610.г = 3, j / io=2, 5645 \A =3026.671002.5 I10.533.330.90902.303 '\ 1025.5010丿12.£ = 3// 12=4, 6766 \A =36401443 112.5480.92302.4850\ 146.46.50.666712 /2, i = l, j = / 2: 2,10 .333 1.524 0.6667 -2.6671 \0.50.69302 /A =62.5 1 、4.44. г=1,厂/ 4=4, 236、4 =122.667161 14.55.3330.8 1.386\16/82/5-24 /6. г=2,八/ 6=2, 3415、A =188361.5 16.5120.85701.792\37.23.5-1.3336丿8. г=2, / =/ 8=4,45284 =24166428.521.330.88902.079\ 65.604.5-0.6667610.г = 3, j / io=2, 5645 \A =3026.671002.5 I10.533.330.90902.303 '\ 1025.5010丿12.£ = 3// 12=4, 6766 \A =36401443 112.5480.92302.4850\ 146.46.50.666712 /
/1
0.5
1.5
o \
.3
-0.33331
0.25
4 1
1.5
0.33330.5
0
V-2
1
-3
1/
3. £ = 1, j
=3,
/ 3
1.5
2.5
3、
.1 9
1
9
0.75
1
3.5
3
0.75
1.099
\9.6
2
-2.333
3 /
5. г = 2, j
=1,
/ 5
2.5
3.5
10
л15
5
25
1.25
A= 5.5
8.333
0.8333
1.609
\ 26
3
-1.667
5
/1
0.5
1.5
o \
.3
-0.33331
0.25
4 1
1.5
0.33330.5
0
V-2
1
-3
1/
3. £ = 1, j
=3,
/ 3
1.5
2.5
3、
.1 9
1
9
0.75
1
3.5
3
0.75
1.099
\9.6
2
-2.333
3 /
5. г = 2, j
=1,
/ 5
2.5
3.5
10
л15
5
25
1.25
A= 5.5
8.333
0.8333
1.609
\ 26
3
-1.667
5
1. , = 1, j = 1,
1. , = 1, j = 1,
7. i = 2)j = 3,
4/5
49 0.8750
-1
21 \ 1.750 1.946
7 )
4 =
7.5 \50.4
3/5 11.67 16.33 4
9. г
=3, j =
=1,
/ 9
4.5
5.5
36 \
4 =
27
21
81
2.25
9.5
27
0.9
2.197
\82.8
5-0.3333
9 /
11.
г = 3, j
=3,
/ И
5.5
6.5
55
4 =
33
33
121
2.75
11.5
40.33
0.9170
2.398
\ 123.2
6
0.3333
11
7. i = 2)j = 3,
4/5
49 0.8750
-1
21 \ 1.750 1.946
7 )
4 =
7.5 \50.4
3/5 11.67 16.33 4
9. г
=3, j =
=1,
/ 9
4.5
5.5
36 \
4 =
27
21
81
2.25
9.5
27
0.9
2.197
\82.8
5-0.3333
9 /
11.
г = 3, j
=3,
/ И
5.5
6.5
55
4 =
33
33
121
2.75
11.5
40.33
0.9170
2.398
\ 123.2
6
0.3333
11
2, i = l, j = / 2
: 2,
1
0 .333 1.5
2
4 0.6667 -2.667
1 \
0.5
0.6930
2 /
A =
6
2.5 1 、4.4
4. г
=1,厂
/ 4
=4, 2
3
6、
4 =
12
2.667
16
1 1
4.5
5.333
0.8 1
.386
\16/8
2/5
-2
4 /
6. г
=2,八
/ 6
=2, 3
4
15、
A =
18
8
36
1.5 1
6.5
12
0.8570
1.792
\37.2
3.5
-1.333
6丿
8. г
=2, / =
/ 8
=4,
4
5
28
4 =
24
16
64
2
8.5
21.330.88902.079
\ 65.60
4.5
-0.66676
10.
г = 3, j / io
=2, 5
6
45 \
A =
30
26.67
100
2.5 I
10.5
33.33
0.9090
2.303 '
\ 102
5.5
0
10丿
12.
£ = 3/
/ 12
=4, 6
7
66 \
A =
36
40
144
3 1
12.5
48
0.9230
2.4850
\ 146.4
6.5
0.6667
12 /
2, i = l, j = / 2
: 2,
1
0 .333 1.5
2
4 0.6667 -2.667
1 \
0.5
0.6930
2 /
A =
6
2.5 1 、4.4
4. г
=1,厂
/ 4
=4, 2
3
6、
4 =
12
2.667
16
1 1
4.5
5.333
0.8 1
.386
\16/8
2/5
-2
4 /
6. г
=2,八
/ 6
=2, 3
4
15、
A =
18
8
36
1.5 1
6.5
12
0.8570
1.792
\37.2
3.5
-1.333
6丿
8. г
=2, / =
/ 8
=4,
4
5
28
4 =
24
16
64
2
8.5
21.330.88902.079
\ 65.60
4.5
-0.66676
10.
г = 3, j / io
=2, 5
6
45 \
A =
30
26.67
100
2.5 I
10.5
33.33
0.9090
2.303 '
\ 102
5.5
0
10丿
12.
£ = 3/
/ 12
=4, 6
7
66 \
A =
36
40
144
3 1
12.5
48
0.9230
2.4850
\ 146.4
6.5
0.6667
12 /
13.
г — 1, J = 3,
14.
I = 1)}
=2,
/ 136.5
7.5
78 \
/ 14
7
8
91
4 =
3947.67
169
3 25・
42
56
196
3.5
13.50 56.33
0.9290
2.565
14.50
65.33
0.9333
2.639
\171.67
1
13丿
\ 198.8
7.5
1.333
14
15.
i — 1} j = 3,
16.
£ = 1, /
=4,
/ 157.5
8.5
105 \
/ 16
8
9
120 \
А =
4565
2253.75
А =
48
74.67
256
4
15.5 75 0.9380 2.708
16.50
85.33
0.941
2.773
\ 22881.667
15 /
\ 259.2
8.5
2
16 /
17.
i = 2, j -1, / 178.5
18.
i = 2, j / 18
=2,
9.5
136 \
9
10
153 \
А =
5185
289
4.25
А =
54
96
324
4.5 J
17.5 96.33
0.9440
2.833
48.50
108 •
0.947
2.89
\ 292.49
2.333
17 /
\327.6
9.5
2.667
18 /
19.
г = 2, } = 3,
20.
£ = 2门
=4,
/ 199.5
10.5
171 \
/ 20
10
И
190 \
4 =
57107.7
361
4.75
60
120
400
5
19.5 120.3
0.9500
2.944
20.5
133.3
0.9520
2.996
\ 364.810
3
19 /
\404
10.5
3.333
20 /
Задание 2.2. Докажите, что матрица Р идемпотентна. Вычислите ее определитель. Покажите, что матрица I = 2尸一Е инволютивна. Вычислите ее определитель и обратную матрицу.
1. р=(
'0.646
-0.227
ч-0.421
-0.227 0.854
-0.270
-0.421 \
-0.270.
0.500 /
2. Р =(
С 0.587
0.189
ч-0.455
0.189
0.913
0.208
-0.455 \ 0.208 0.500 /
/
'0.990
0.070
-0.071 \
/
'0.714
-0.247
0.378、
3. Р =
0.070
0.510
0.495.
4.p=
-0.247
0.786
0.327
\
、-0.071
0.495
0.500 /
\
、0.378
0.327
0.500 丿
/
'0.540
0.136
0.479、
/
'0.961
0.134
0.140、
5.p=
0.136
0.960
-0.142 1.
6. Р =
0.134
0.539
-0.480 1
\
ч 0.479 -0.142
0,500 /
\
.0.140 -0.480
0.500 /
/
'0.784
-0.248
-0.328 \
/
'0.511
0.072
-0.495 \
7. Р =
-0.248
0.716
-0.377.
8. Р =
0.072
0.989
0.073
\
、一 0.328
-0.377
0.500 /
\
、-0.495
0.073
0.500 /
'0.915
0.188
-0.206、
/ 0.852
-0.228 0.272、
9•尸=
0.188
0.585
0.456•
10. Р =
-0.228
0.648
0.420
\
、一 0.206
0.456
0.500 /
\ 0.272
0.420
0.500 у
/0.872
0.218
0.253 \
/0..856
0.226
0.268
11. Р =
0,218
0.628
-0.431.
12. Р =
0.226
0.644
-0.422
\0.253
-0.431
0.5Q0 /
\ 0.268
-0.422
0.500
/ 0.912
-0.191 -0.210、
/ 0.509
-0.068 -0.495
13. Р =
-0.191
0.588
-0.454 1
• 14. Р =
1 -0.068
0.991
-0.068
\-0.210
-0.4540.500 /
\-0.495
-0.0680.500
< 0.7890.247 -0.325、/ 0.959-0.138 0.144、
15. Р = 1
0.2470.7110.380 1.16. Р = 1 -0.1380.5410.479
<-0.325 0.3800.50Q /\ 0.1440.4790.500 ；
(0.538-0.132 0.481 \/0.7180.2480.375、
17. Р = 1
-0.1320.9620*38 1.18. Р = I 0.2480.782-0.330
< 0.4810.1380.500 丿\ 0.375 -0.3300.500 ；
(0.989-0.074 -0.075 \/ 0.583-0.186 -0.456
19. Р = 1
-0.0740.511-0.494 ).20. Р = 1 -0.1860.917-0.204
卜—0.075-0.4940.500 丿卜―0.456-0.2040.500
Задание 2.3. Исследуйте и, если решение существует, найдите по формулам Крамера решение системы Ах = Ь.
1.
А =
/ 0.005
-0.090 0.150 〈2.857
0.004
-0.033
0.033
0.100
0.150
0.0067 0.050
-0.300
0 -0.098
0 0.025
/ 0.057 \
-0.098 0.183 \-0.041 /
(0.010
0.008
0.200
0.050 \
/ 0.186、
-0.080
0
0.013
0.050 I
г-0.126
2.
А =
0.250
0.067
0.067
0.069「
0.646
\ 0.0057
0.150
-0.267
0.050 /
\ 0.0086 /
(0.015
0.012
0.250
0.100 \
/ 0.388 \
-0.070
0.033
0.020
0.075 1
_-0.084 1
3.
А ='
» =
0.350
0.100
0.075
0.110 厂
1
.
.357 1
\ 0.0086
0.200
-0.233
0.075 /
\ 0
.149 /
/ 0.020
0.016
0.300
0.150\
/ 0.662 \
-0.060
0.067
0.027
0.100
_ 1 0.029
4.
Л =
Н = 1
0.450
0.133
0.080
0.139 '
1 2.312
\ 0.011
0.250
-0.200
0.100 /
\ 0.379/
/ 0.025
0.020
0.350
0.200 \
/1.008 \
-0.050
0.100
0.033
0.125 1
_0.212
5.
Л =
н =
0.550
0.167
0.083
0.161 I5
3.507
\ 0.014
0.300
-0.167
0.125 /
\ 0.700/
/ 0.030
0.024
0.400
0.250 \
/1.427 \
-0.040
0.133
0.040
0.150 I
一 1 0.465 1
6.
А =
Н = 1
1
0.650
0.200
0.086
0.179 1
4.940
\ 0.017
0.350
-0.133
0.150/
/ 0.035
0.028
0.450
0.300 \
/1.918Х
-0.030
0.167
0.047
0.175 I
—0.788
7.
А =
0.750
0.233
0.088
0.195 Г
6.611 '
卜 0.020
0.400
-0.100
0.175/
\ 1.613/
/ 0.040
0.032
0.500
0.350 \
/ 2.481 \
8.
А =
-0.020
0.200
0.053
0.200
В= if
0.850
0.267
0.089
0.208 '
1 8.520
\ 0.023
0.450
-0.067
0.200 /
\ 2.205/
/
0.045
0.036
0.550
0.400 \
/ 3.117
-0.010
0.233
0.060
0.225
n 1 1646
9. А =
0.950
0.300
0.090
0.220
，10.664
\ 0.026
0.500
-0.033
0.225 丿
\ 2.888
/0.050
0.040
0.600
0.450 \
/ 3.825、
0
0.267
0.067
0.250 I
п2.181
Ю« А =
1.050
0.333
0.091
0.230「
13.045
\ 0.029
0.550
0
0.250 /
\ 3.661 /
/0.055
0.044
0.065
0.500 \
/ 4.605 \
11. А-
0.010
0.300
0.073
0.275 1
в= 2785
1.150
0.367
0.092
0.240 1 1
15.662 1
\0.031
0.600
0,033
0.75 /
\ 4.524 丿
/0.060
0.048
0.700
6550、
/ 5.458 \
12. А =
0.020
0.333
0.080
0.300
3.460
1.250
0.400
0.092
0.248 '
18.515
\ 0.034
0.650
0.067
0.300 /
\ 5.478 /
/0.065
0.052
0.750
0.600 \
/ 6.383 \
0.030
0.367
0.087
0.325 I
Г» 1 4.205
13. А =
1.350
0.433
0.093
0.256「
21.603
\0.037
0.700
0.100
0.325 /
\ 6.522 /
/0.070
0.056
0.800
0.650 \
/ 7.380 \
14. 4 =
0.040
0.400
0.093
0.350 I
В =53
1.450
0.467
0.093
0.264『
24.926
\ 0.040
0.750
0.133
0.350 /
\ 7.657 /
/0.075
0.060
0.850
0.700 \
/ 8.450 \
15. А =
0.050
0.433
0.100
0.375
_5.906
1.550
0.500
0.094
0.248 '
28.484
\ 0.043
0.800
0.167
0.375 /
\ 8.882 /
/0.080
0.064
0.900
0.750 \
/ 9.592 \
16* А н
0.060
0.467
0.107
0.400
А _ I 6.862
1.650
0.533
0.094
0.277 '
=32.278
\ 0.046
0.850
0.200
0.400/
\ 10.198/
/0.085
0.068
0.950
0.800 \
/10.806 \
17. А =
0.070
0.500
0.113
0.425
7.888
1.750
0.567
0.094
0.283 '
36.306
\ 0.049
0.900
0.233
0.425 /
\ 11.604/
/ 0.09
0.072
1
0.85 \
/12.093 \
18. А =
0.08
0.533
0.12
0.45
А _8.985
1.85
0.6
0.095
0.289 '
~ 40.569
\0.051
0.95
0.267
0.45 /
\ 13.101/
/0.095
0.076
1.050
0.900 \
/13.452 \
19. 4 =
0.090
0.567
0.127
0.475
10.152
1.950
0.633
0.095
0.294 '
45.067
\ 0.054
1.000
0.300
0.475 /
\ 14.688/
/0.100
0.080
1.100
0.950 \
/14.883 \
20. А =
0.100
0.600
0.133
0.500 I
11.389
2.050
0.667
0.095
0.300 J
=49.799
\ 0.057
1.050
0.333
0.500/
\ 16-365/
Задание 2.4. Найдите методом простых итераций приближенное реше-
ние линейной системы Ах =氏
ТОО -14 13 \
/-1232\
1.
/
0.5 200 9.5 к
、-99300/
200 -13 12 \
В= 326.
\ 4335 / /—2470、
2.
仪
14009,
88600/
300 -12 11 \
В =904.
\ 7920 / /-3504\
3.
仪 /
1.5 600 8.5 ), 77900/
'400 -1110、
В =1884.
\ 1091 /
(-4334、
4.
н /
28008),
661200/
'500 -109\
В =3226 ).
\ 13290 / /-4960Х
5.
н
/
2.5 1000 7.5 , 「551500/
'600-98 \
В =5050.
\ 15080 / /-5382\
6.
/
312007,
、-441800/
'700 -87 \
В = 1 72360 . \ 16260 / /-5600Х
7.
т
/
3.5 14006.5 ),
332100/
‘800-76 \
В =9824 ].
\ 16850 / /-5614\
8.
т
/
416006,
222400/
'900 -65 \
В =12810 .
\ 16830 /
/-5424Х
9.
т
4.5 18005.5,
112700/
/1000-54
В= 1 16210 |.
\ 16220 /
\/-5030
10.
А =
520005
\ 003000
/1100-43
,В =20000
/\ 15000
\/ -4432
11.
А =
5.522004.5
\ 1-13300.
/1200-32
,В =24200
/\ 13190
\/-3630
12.
А =
624004
卜 2-23600.
/1300-21
,В = ( 2879 /V 1077
\/-2624
13.
А =
1 6.526003.5
\ 3-33900
/1400-10
,В= ( 3379
丿\ 7755
\/-1414
14.
728003
\ 4-4 4200
,В = ( 39200 /\ 4140
/1500
0
-1 \
( 0、
15-
А= 7.5
3000
2.5,
В = 45000 .
1 5
-5
4500/
\ -75 /
/1600
1
-2、
/ 1618 \
16.
А= 8
3200
2 Ь
В= 5121 I
〈6
-6
4800/
\-4890/
/1700
2
-з、
/ 3440 、
17.
А= 8.5
3400
1.5 ,
,В =57800
к 7
-7
5100/
\-10310,
/1800
3
-4、
/ 5466 '
18.
1 9
3600
1 )
,В =6482
\ 8
—8
5400/
\ -16320.
/1900
4
-5、
/ 76960
19.
4=9.5
3800
0.5
,В =72240
\ 9
-9
5700/
\ -22940
/2100
6
/ 12770
20.
А= 10.5
4200
-0.5
,В= 88270
\ И
-И
6300/
\-37970
0.0.Задание 2.5. Исследуйте однородную систему линейных алгебраических
0.
0.
1.
А =
<-14
-1
-14
-15
、-29
-9 -2
-9
-ii -20
-4 -2 -9 -И -20
1
-4 3
—3 0
6 -14 -2 —8 -10
2.
А =
<-13 0
-13
-13
\-26
-8
-1
-8
-9
-17
-3
7
3
4
7
27 \
—3 —13
4-1
-1 -6
3-7 /
(-12
-7
-2
3
8
/-11
-6
-1
49 \
1
0
8
-2
-12
2
1
9
-1 7
3.
А =
-12
-7
4
5
0
4.
А =
-11
-6
5
61
-11
-7
6
1
-4
-9
-5
8
32
\-23
-14
10
6
-4
\-20
-11
13
9-1 /
/-10
—5
0
5
10
\
/ 一9
-4
1
611 \
3
2
10
0
-10
4
3
11
1 -9
5.
А =
-10
-5
6
7
2
6・
4 =
-9
-4
7
83
-7
-3
10
5
0
-5
-1
12
72
—8
16
12
2
/
\-14
-5
19
155 /
/ -8
-3
2
7
12、
/一7
-2
3
813 \
5
4
12
2
—8
6
5
13
3 -7
7.
А =
-8
-3
8
9
4
8.
А =
-7
-2
9
105
-3
1
14
9
4
-1
3
16
116
-2
22
18
8)
\ -8
1
25
21 11 /
/-6
-1
4
9
14 \
/-5
0
5
10 15、
7
6
14
4
-6
8
7
15
5 -5
9.
А =
-6
-1
10
11
6
10. А =
-5
0
11
127.
1
5
18
13
8
3
7
20
15 10
J
4
28
24
14丿
\-2
7
31
27 17 /
уравнений Ах
/—4
1
6
11
16 \
/-з
2
7
12
17、
9
8
16
6
-4
10
9
17
7
-3
11.
4 =
-4
1
12
13
8
飞12. А =
-3
2
13
14
9
5
9
22
17
12
7
11
24
19
14
10
34
30
20，
к 4
13
37
33
23 /
<-2
3
8
13
18 \
/-1
4
9
14
19 \
И
10
18
8
-2
12
11
19
9
-1
13.
А =
-2
3
14
15
10
14. 4 =
-1
4
15
16
11
9
13
26
21
16
11
15
28
23
18
\ 7
16
40
36
26丿
19
43
39
29 /
/0
5
10
15
20 \
/1
6
И
16
21 \
13
12
20
10
0
14
13
21
11
1
15,
А =
0
5
16
17
12
16. 4 =
1
6
17
18
13
13
17
30
25
20
15
19
32
27
22
22
46
42
32/
\16
25
49
45
35/
/ 2
7
12
17
22 \
/ 3
8
13
18
23 \
15
14
22
12
2
16
15
23
13
3
17.
А =
2
7
18
19
14
18. А =
3
8
19
20
15
17
21
34
29
24
19
23
36
31
26
\19
28
52
48
38,
\22
31
55
51
4“
/ 4
9
14
19
24 \
/ 5
10
15
20
25 \
17
16
24
14
4
18
17
25
15
5
19.
А =
4
9
20
21
16
20. 4 =
5
10
21
22
17
21
25
38
33
28
23
27
40
35
30
、25
34
58
54
44/
、28
37
61
57
47丿
Задгшие 2.6. Исследуйте неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = b для двух различных правых частей b = bi и b = Ь? •
/-14 -9 -4 16\
/ —3.45、
/ -2.45、
-1 -2 6 -4 -14
-15.2
-15.1
1. 4 =
-14 —9 2 3 —2
,М =
-10.45
,厉=
-9.45
-15 -11 2 -3 -8
-18.65
-18.98
\-29 -20 4 0 -10 /
1-29.1 /
\ -29.6 /
/-13 -8 -3 27\
/ -2.8 \
'-1.8 \
0 -1 7 -3 -13
-26.3
-26.1
2. А =
-13 -8 3 4 -1
,bl =
-16.8
,儿=
-15.8
-13 -9 4 -1 -6
-29.1
-29.77
\-26 -17 7 3 -7,
\-45.9 /
、一46.9 /
/-12 -7 -2 38\
/ 1.95
/ 2.95 \
10 8-2 -12
-33.3
-33
3.4 =
-12 -7 4 50
,bl =
-19.05
,儿二
-18.05
-11 -7 6 1-4
-31.35
-32.35
\-23 -14 10 6 -4 丿
к -50.4
\ -51.9 /
/-11 -6 -1 49、
/ 10.8 \
< 11.8 \
21 9 -1 -11
-36.2
-35.8
4. А =
-И -6 5 61
,bl =
-17.2
）厉=
-16.2
—9 —5 8 3 —2
-25.4
-26.73
\-20 -11 13 9 -1 丿
\-42.6 /
、—44.6 у
5. Л =
/-10 -5 0 5 10\
3 2 10 0 -10
-10 -5 6 72
-7 -3 10 50
\-17 -8 16 122/
,bl =
/ 23.75 \ 35 -11.25 -11.25
\ -22.5 /
,厉
—
/ 24.75 \ 34.5 -10.25 -12.92
К -25 /
6.4 =
/ -9 -4 1 6 1Р
4 3 11 1 -9
-9 -4 7 8 3
-5 -1 12 7 2
\-14 -5 19 15 5,
,bi =
/ 40.8
-29.7
-1.2
11.1
\ 9.9
bz =
/41.8、 29.1
-0.2
9.1
\ 6.9 /
7. Л =
/ -8 -3 2 7 12、
5 4 12 2 -8
-8 -3 8 9 4
-3 1 14 9 4
\-11 -2 22 18 8/
,bl =
/ 61.95
-20.3
12.95
41.65
\ 54.6
历=
/ 62.5
-19.6
13.95
39.32
\ 51-1
/
8. Л =
/-7 -2 3 8 13 \
6 5 13 3 -7
-7 -2 9 10 5
-1 3 16 11 6
\-8 1 25 21 11 /
,bl =
< 87.2 \ -6.8
31.2
80.4
^111.6 /
儿=
\
88.2 \
-6
32.2
77.73
107.6 /
9. А =
/-6 -14 9 14 \
76144-6
-6-110116
1518138
\-54282414/
)bl =
<116.55 \
10.8
53.55
127.35
、180.9 丿
儿=
/117.55
11.7
54.55
124.35
\ 176.4
\
/
10. А =
/-5 0 5 10 15\
8 7 15 5 -5 -5 0 11 12 7
3 7 20 15 10 \-2 7 31 27 17 /
，bl =
150 \
32.5
80 182.5 262.5 /
b
/
=
\
151 、
33.5
81 179.167
257.5 /
11. А =
/-4 1 6 11 16、
9 8 16 6 -4
-4 1 12 13 8
5 9 22 17 12
\ 1 10 34 30 20 >
,bl =
/187.55
58.3
110.55
245.85 \ 356.4
加=
/ 188.55 \ 59.4 11.55 242.183
\ 350.9 丿
12. А =
/-3 2 7 12 17^
10 9 17 7 -3
-3 2 13 14 9
7 11 24 19 14
\ 4 13 37 33 23 /
,bl =
/ 229.2 \ 88.2 145.2 317.4
\ 462.6 /
% =
< 230.2 \ 89.4 146.2 313.4
<456.6 /
13. А =
/-2 3 8 13 18、 И 10 18 8 -2 -2 3 14 15 10
9 13 26 21 16
\ 7 16 40 36 26 丿
,bl =
/274.95' 122.2
183.95
397.15
\ 581.1
历=
/ 275.95 \
123.5
184.95
392.817
\ 574.6 丿
14.
А =
/-1 12
-1
11
<10
4 9
11 19
4 15
15 28
19 43
14
9
16
23
39
19\
-1
11
18
29/
,bl =
/324.8、
160.3
226.8
485.1
\ 711.9 ?
,Ь2 =
/ 325.8、
161.7
227.8 480.433 \ 704.9 /
15.
А =
/ о 13
0
13
из
5 10 15 20 \
12 20 10 0
5 16 17 12
17 30 25 20
22 46 42 32 /
> bi =
/378.75、
202.5
273.75
581.25
〈855 ?
,儿=
/379,75、 204
274.75
576.25
\ 847.5 /
16.
А =
/ 1 6 11 16 21 \
14 13 21 11 1
1 6 17 18 13
15 19 32 27 22
〈16 25 49 45 35 /
,bl =
/ 436.8 \
248.8
324.8
685.6
\ 1010 /
,岳=
'437.8 \
250.4
325.8
680.267
、1002 /
17.
А =
/27
15 14
2 7
17 21
\19 28
12 17
22 12
18 19
34 29
52 48
22 \ 2
14
24
38丿
7 bl =
(498.95、
299.2
379-95
798.15
\ 1178 ,
,儿=
/ 499.95 \ 300.9 380.95 792.483
\ ISO 丿
18.
А =
/38
16 15
3 8
19 23
\22 31
13 18 23 \
23 13 3
19 20 15
36 31 26
55 51 41丿
,bl =
/ 565.2 \ 353.7 439.2 918.9
\ 1258 /
,坛=
，566.2、 355.5
440.2
912.9 J349 丿
19.
А =
/ 4 9 14 19 24 \
17 16 24 14 4
4 9 20 21 16
21 25 38 33 28
\2 5 34 58 54 44丿
,bl =
/635.55'
412.3
502.55
1048
\ 1550
,/=
/ 636.55 \ 414.2 503.55
1042
\ 1541 /
20.
А =
/ 5 10 15 20 25 \
18 17 25 15 5
5 10 21 22 17
23 27 40 35 30 \28 37 60 57 47 丿
,bl =
/ 711 \ 475
570 1185 \1755 /
/
б=
\
711 \
477
571
1178
1755；
Задание 27 Докажите, что векторы 九 力，/з, /4 образуют базис в пространстве Е* и найдите координаты вектора 土 = (111 1)丁 в этом базисе.
/ 0.25 \
/ 0.33 \
P 工 I 0.333
—1 0.25
L 力=0.2
，%= 0.167
\ 01 /
\ 0.143/
/ 0.5 \
/ 0.667 \
„.0.667
,0.5
2-力=0.4
，力=0.333
\ 0.2 丿
\ 0.286 /
(1-25 \
/-0.667、
-0.667.
1.333
/3 =
2.2，%=
1.25
\ 3.1 /
\ -0.75 /
/ 1.5 \
/-0.33\
-0.333上
1.667
/3=
2.4亠
1.5
\ 3.2 /
\ -0.5 /
/0.75Х
1 \
/1,75\
/
0 、
3. /1 =
0.6
力=
0.75
0.5
力=
Тб '
九
1
2
•75
\ 0.3
丿
.0.429/
\
зз丿
\-0.25 /
/
1
/1.333 \
/
2、
/ 0.333 \
4. /1 =
1.33：
0.8
,Ь =
公7
,力=
0.333
2.8
,/4 =
2.333 2
\
0.4
丿
\0.571 /
卜
3.4 /
\
0.2
/
/ 1-25 \
/1.667 \
/ 2.25、
/0.667
5. /1 =
1.667
1.25
0.667
2.667
1
,力=
0,833
,/з -
3
4 :
2.25
\
0.5
/
\ 0.714/
3.5 /
\ 0.25
丿
/15、
/
2、
/2.
5\
/
1
6. /1 =
2
1.2
1
力=
3.2卜」
% =
3
2.5
\0.6；
\ 0.887 /
\3.
5/
\0.5
/ 1.75
/ 2.333 \
2.75 \
/1.333
7. /1 —
2.333
1.75
1.333
3.333
1.4
,力=
1.167
)/з =
3.4
4
2.75
\
0.7
丿
\
1丿
3.7 /
\ 0.75
丿
/
2
/ 2.667 \
/
з、
/1.667
8. /1 =
2.667
2
1.667
3.667
1.6
,力=
1.333
,/з =
3.6
4
3
\
0.8
丿
\ 1.143 У
\
3.8 /
\
1
丿
/
2.25
\
3 \
<3.25\
/
2 、
9. /i =
3
2.25
2
4 1
1.8
h =
1.5
f3 =
3.8卜
A =
3.25
0.9
J.286 /-
3.9 /
\1.25/
(2.5
/3.333
/ 3.5
、
/2.333
3.333
2.5
2.333
4 222
10. /1 =
2
，力二
1.667
1) /з
=
4
J4 =
3.5
\ 1
\ 1.429
\ 4
\ 1.5
/ 2.75
/3.667
/ 3.75
/2.667
11.力=
3.667
2.2
2.75
1.833
卜/з =
2.667
4.2
/4
=
4.667
3.75
\ 1.
1
\ 1.571
\ 4.1
\ 1.75
/ 3
<
4、
<
4 \
12.力=
4
2.4
,力=
И
,/з =
3
1.4「
九=
5
4
\12
>
<1-714 /
、4.2/
<2
丿
/ 3.25
\
/ 4.333 \
/ 4.25
\
/3.333
13.力=
4.333
2.6
,/2 =
3.25
2.167
,/з
=
3.333
4.6
A
5.333
4.25
\ 1.
3
丿
V-857/
\ 4.3
\ 2.25
/ 3.5 \/ 4.667 \/ 4.5 \/ 3.667 \
14.
/i =
4.667 2.8 卜 1.4 /
3.5 1 2.333 \ 2 /
,/з =
3.667 1
4.8 , \ 4.4 /
，Л =
5.667 4.5 卜 2.5 /
/3.75Х
5 \
/
4.75 \
(
4、
5
3.75
4
6 1
15.
Л -
3
/2 =
2.5
f3 =
5，
/4= 4.75
、 1.5 /
\
.2-143/
\
、4・5 /
\2.75/
/ 4 \
/ 5.333 \
/ 5、
/ 4.333 \
5.333
4
4.333
6.333
16.
Л =
3.2
,h =
2.667
,/з =
5.2
，Л =
5
\ L6/
\ 2.286/
\ 4.6 У
\ з /
/ 4.25、
/ 5.667 \
/ 5.25 \
/ 4.667 \
5.667
4.25
4.667
6.667
17.
Л =
3.4
2.833
)/з =
5.4
>/4 =
5.25
\ L7/
\ 2.429/
\ 4.7 丿
\ 3.25 /
/4.5、
/
6、
/
5.5 \
/ 5
6 I
4.5 I
5 I
° I 7
18.
力=
3.6 1
力=
3 Г
力=
5.6」
〃 =5.5
\1-8/
\ 2.571/
4.8/
\3.5
/ 4.75 \
/ 6.333 \
/ 5.75 \
/ 5.333 \
6.333
4.75
5.333
7.333 I
19.
/1 =
3.8
,h =
3.167
,/з =
5.8
5.75 1
\ 1-9 丿
\2.714 丿
\ 4.9 丿
\ 3.75 /
/ 5 \
/ 6.667 \
/ 6 \
/ 5.667 \
6.667
5
5.667
7.667
20.
力=
14
,力=
3.333
,/з =
6
,Л =
16
\ 2丿
\ 2.857 丿
\ 5丿
\ 4丿
Задание 2.8. Исследуйте на линейную независимость системы векторов /1, Д» /з)Л м gi, 92, дз, д《・ Выделите в линейно зависимой системе независимую подсистему. Найдите линейные выражения всех векторов линейно зависимой системы через векторы линейно независимой подсистемы.
1. Л1. Л/ 0.1、0.50.2\0.25// 0.1、0.50.2\0.25/力=力=/ 1-3 \ie= \l-75// 1-3 \ie= \l-75//1.5332.3331.733\ 1.833/1.5332.3331.733\ 1.833
1. Л
1. Л
/ 0.1、
0.5
0.2
\0.25/
/ 0.1、
0.5
0.2
\0.25/
力=
力=
/ 1-3 \
ie= \l-75/
/ 1-3 \
ie= \l-75/
/1.533
2.333
1.733
\ 1.833
/1.533
2.333
1.733
\ 1.833
/ 0.945 \ -0.276/-0.276 \-0.379gi --0.11,g?=-0.552、一0.138 у\ -0.69 // 0.945 \ -0.276/-0.276 \-0.379gi --0.11,g?=-0.552、一0.138 у\ -0.69 //-0.138 \/ -0.11 \-0.69-0.552дз =-0.276,д4 =0.779：\ 0.655 丿\-0.276 //-0.138 \/ -0.11 \-0.69-0.552дз =-0.276,д4 =0.779：\ 0.655 丿\-0.276 /
/ 0.945 \ -0.276
/-0.276 \
-0.379
gi -
-0.11
,g?=
-0.552
、一0.138 у
\ -0.69 /
/ 0.945 \ -0.276
/-0.276 \
-0.379
gi -
-0.11
,g?=
-0.552
、一0.138 у
\ -0.69 /
/-0.138 \
/ -0.11 \
-0.69
-0.552
дз =
-0.276
,д4 =
0.779：
\ 0.655 丿
\-0.276 /
/-0.138 \
/ -0.11 \
-0.69
-0.552
дз =
-0.276
,д4 =
0.779：
\ 0.655 丿
\-0.276 /
2.2./1-2\/1.6、/1.733243.333力=0.4，力=1.4,/з =2.2,Л =2.133\0.5/\1.5 丿、2.5丿\ 2.333/1-2\/1.6、/1.733243.333力=0.4，力=1.4,/з =2.2,Л =2.133\0.5/\1.5 丿、2.5丿\ 2.333
2.
2.
/1-2\
/1.6、
/1.733
2
4
3.333
力=0.4，力=
1.4
,/з =
2.2
,Л =
2.133
\0.5/
\1.5 丿
、2.5丿
\ 2.333
/1-2\
/1.6、
/1.733
2
4
3.333
力=0.4，力=
1.4
,/з =
2.2
,Л =
2.133
\0.5/
\1.5 丿
、2.5丿
\ 2.333
/-0.276 \
/-0.552 \
/ -0.69 \
/-0.379 \
_ I -0.11
_ I 0.779
I -0.276
1 -0.552
] -0.138
'92 = 1 -0.276
'93 = [ 0.655
，94 =-° 69
\ 0.945 丿
\ -о й /
\-0.138 丿
\-0.276/
/о.з\
/ 1.3 \
/1.9、
/1.933 \
с ，1 1.5 1
丄 1 2.5.
1 5.5丄
I 4.333 I
3•力=0.6 Г
力=1.6 ，力
=2.8一—
1 2.533 1
\0.75/
\ L75 丿
\3.25/
\ 2.833/
/ 0.945 \
/ -0.11 \
/ -0.38 \
/-0.276 \
_ I -0.11
[0.779
-0.276
-0.552
91 = 1 -0.138
卜 92 = 1 -0.276
，93 = [ 0.655
，94 = [ 一0 69
\-0.276 丿
\-0.552 丿
\ -0.69 丿
\-0.379/
4.
/1 =
gi =
,дз =
,-0.69
-0.138
-0.276
\ 0.655
2133、
5.333 2.933
3.333/
j, 94
/-0.379
-0.276
-0.552
\ -0.69
\ 1 /
/-0.276 \ 0.945 -0.11
\-0.138/
,92
2
/-0.552 \ -0.11 0.779
\-0.276/
5.
/ 0.5 \
2.5 I
/ 1.5 \
3.5.
/ 2.5
8.5
/ 2.333 \
I 6.333
/1 =
\1.25/
/-0.138 \
0.945
f2 H
V
2，% 二 4
.25/\4.75
/-0.276 \
-0.11 1
1 ) /4 -
/ 0.655 -0.138
二 3.333
\ 3.833/
/ -0.69
-0.276
gi =
-0.11
\-0.276/
,92
0.779
\-0.552^
,дз =
-0.276
\ -0.69
丿，94
-0.552
\-0.379
/0.6\/
‘1.6\
/2.8\
/ 2.533 \
3 11
4 1上
I 10 1.
7.333 I
6. /1 =
1.2，力=
2.2卜力二
4.6'倉=
3.733「
U-5/'
<2.5/
\ 4.333/
/-0.138、
/-0.276 \/ 0.945、
0.779
—I -0.276
1 -0.552I -0.11
gi =
-0.276 卜 92
=1 0.655
'93 =-0.69
，协=-0.138
\-0.552/
\ -0.69 丿
\ -0.379 7\-0.276/
/ 0.7 \
/ 1.7 \
/ 31 \
/ 2.733 \
3.5q
1 4.5 1 一
1 11.5 1.
—I 8.333
7.力=
1.4 '心
2.4卜力=5.2卜力
=1 4.133，
\1.75/
\2.75/
\6.25/
\ 4.833/
/ 0.945、
/-0.138 \
/-0.276、/ -0.11 \
-0.11
_ 1 -0.276
1 -0.552 II 0.779
gi =
-0.138 ' 92
=1 0.655
，93 =一° 69
「94 = —° 276
\-0.276/
\ -0.69 丿
\-0.379/\-0.552/
8・8・力=力=2.6\ 3 /2.6\ 3 // 2.933 \9.3334.533\ 5.333/
8・
8・
力=
力=
2.6
\ 3 /
2.6
\ 3 /
gi =
/ 0.945、
-0.11
-0.138 卜-0.276丿
1 , 92 =
/ -0.11 \ 0.779
-0.276 '
\-0.552 /
* =
/-0.276、
-0.552 I
-0.69
\-0.379/
94 =
/-0.138 \
-0.276 '
0.655 1
\ -0.69 /
/0.9\
/
L.9 \
/ 3.7
/ 3.133
9. /1 =
4.5 1
上5.5,
14.5
10.333
1.8 1 1
力=28 ,力=
6.4
,Л =
4.933
\2.25 /
\3.25/
\7.75
/
\ 5.833
/
/ 0.945、
/-0.276 \
/ -0.11、
/-0.138 \
-0.11
-0.552 I
0.779
-0.276
gi =
-0.138
卜92 =
-0.69『
дз =
-0：276
94 =
0.655
\-0.276 >
\-0.379/
\-0.552/
\ -0.69 /
/1、
/ 2 )
/ 4 )
/ 3：333 \
1 5
_[ 6
,I 16
—[11.333
10. /i=2
，力=3
，力=7
，九=]5.333
<2.5 丿
<8.5 丿
\ 6.333 丿
/-0.138Х/
0.945 \
/ -0.11 \
/-0.276
1 -0.276 11
-0.11 1
0.779
-0.552
91 =0.655' * = -0.138 '柒=
-0.276 卜 “и
-0.69
\ -0.69 /\-0.276 /
\-0.552/
\-0.379
/ 1-1 \
/ 2.1 \
/4.3\
/ 3.533、
5.5
,I 6.5
17.5
12.333
11. /1 =
2.2卜
力=3.2
7.6
,九=
5.733
V.75/
\375/
\9.25 /
\ 6.833
/-0.138、
/-0.276 \
/
0.655 \
，-0.69
0.945
1_ 1 -0.11
-0.138 I
-0.276
91 =
-0.11
1 '呢-0.779
,дз =
-0.276 1
—1
-0.552
\-0.276；
\-0.552/
-0.69 /
<-0.379
12. /!=
/1-2\
6
2.4 '
\ 3 /
/ -0.11 \
-0.138
0.945 ^-0.276/
f2 =
，92
/2.2 a；
\ 4
^ > /з =
0.779 \
-0.276 I
-0.11 卜
-0.552 /
/4.6、
19
8.2「 \ю/
дз=(
/ 3.733 \
/ 13.333 1
-0.276 \ 0.655
-0.138
-0.69 У
6.133 1 1
7.333 丿
91 =
，94 =(
-0.552
-0,69
-0.276
-0.379
/ L3 \
/2.3、
/ 4.9
/ 3.933
6.5
I 7.5 I ,
I 20.5
_ 14.333
13.
/1 =
2.6 -
h =
3.6卜力二
=8.8
,А =
二 6.533
卜
\3.25 )\4.25 /\ 10.75 /\ 7.833 /
91 =
/ -o.ii \ 0.779 -0.276
\-0.552 丿
,92 =
/ 0.945 \
-0.138 Г
\-0.276/
дз =
/—0.138、 '-0.276
I 0.655
\ -0.69 /
)94 =
/-0.276 \ -0.552 -0.69
\-0.379/
14.
/1 =
5
2.8 1
<3.5,
力=
/2.4、 8
3.8
<4.5 丿
/з =
,f4 =
'4.133 \ 15.333 I 6.933 1 8.333 /
9i =
/ 0.945、 -0.11
-0.138
卜一0.276/
,92
=
/-0.138Х
-0.276 0.655 \ -0.69 /
дз =
/-0.276、
-0.552
-0.69
\-0.379/
94 =
「0.11 \ 0.779
-0.276
\-0.552 /
15.
f2 =
/ 2.5 \ 8.5
\4-75>
,力
=
/ 5.5 \
23.5.
11 ，九
\ 12.25/
=
/ 4.333、 16.333 I
7.333 Н
\ 8.833 /
g】=
/ 0.945 \
-0.11
-0.138 卜-0.276丿
,92
=
/ -o n \ 0.779
-0.276
\-0.552 /
дз =
/-0.276、
-0.552
-0.69 \-0.379,
94 =
/-0.138 \ -0.276 0.655 \ -0.69 /
16.
力=
га 3.2 \ 4 /
f2 =
/2.6、 9
4.2
\ 5丿
/з =
/5・8\
25
10.6 \ 13 /
,Л =
'4.533 \ 17.333 I 7.733
、9.333 /
9i =
/-0.276 \
-0.552
-0.69
<一0.379/
,92
二
/ 0.945 \ ~0.ll -0.138
\-0.276/
дз =
/ -0.11、
■ 0.779
-0.276
\-0.552/
94 =
/-0.138 \ -0.276 0.655
\ -0.69 /
17.
/,=
/ 1.7、
8.5
3.4
<4.25 丿
力=
,力
\ 13.75 /
/ 4.733、 18.333 I
8.133 卜
\ 9.833 丿
gi=
/-0.138Х
-0.276 0.655 \ -0.69 丿
,92
=
/ 0.945 \ -0.11 -0.138 \-0.276 丿
，з =
/ -0.11、 0.779
-0.276
\-0.552/
д《=
/-0.276 \
-0.552
-0.69
\-0.379/
18.
Л =
3.6 1
、4."
力=
/2-8\
10
4.6
<5.5 丿
/з =
/ 6.4 \ 28 11.8
114.5/
> f4 =
4.933 \
19.333 I
8.533
10.333/
pi =
/-0.276、 0.945
-0.11
\-0.138 丿
,92
/-0.552\
-0.11 0.779 \-0.276 J
дз =
/ -0.69、
-0.138
-0.276
\ 0.655 /
1'
94 =
/-0.379 \
-0.276
-0.552
\ -0.69 丿
gi
д2 =
/ 6.7 \
29.5
12.4
\ 15.25/
九=
/ 5.133
20.333
8.933
\ 10.833
-0.138 \
0.945
-0.11
-0.276/
/-0.276 \-0.110.779
\-0.552/
дз =
/ 0.655 \
-0.138 I
-0.276 *
\ -0.69 /
д4
/ -0.69
-0.276
-0.552
\-0.379
gi =gi =д2 =д2 =(-0.276 \/-0.552 \-0.138 II -0.276-0.69' S’ =-° 3790.655 /\ -0.69 /(-0.276 \/-0.552 \-0.138 II -0.276-0.69' S’ =-° 3790.655 /\ -0.69 /
gi =
gi =
д2 =
д2 =
(-0.276 \/-0.552 \
-0.138 II -0.276
-0.69' S’ =-° 379
0.655 /\ -0.69 /
(-0.276 \/-0.552 \
-0.138 II -0.276
-0.69' S’ =-° 379
0.655 /\ -0.69 /
/ -о.п \0.945-0.276
\-0.138/
/ 0.779、-0.11-0.552
\-0.276/
(
5.333 \ 21.333 9.333 11.333/
Задание 2.9. Оператор Л, действующий в линейном пространстве Х^, задан своей матрицей в некотором базисе. Найдите координаты образа у = Ах вектора х € Хп. В линейном пространстве Хп введен новый базис. Найдите координаты вектора х W Х^ координаты образа у = Ах и матрицу оператора в новом базисе. Выполните вычисления для ж = (1 —12 — 2)丁 и el = (^ 0 0 О)?, & = (N N 0 0)т,呂=(N N N 0)т, е； = (N N N N)?, где N — номер варианта.
/0.333 -0.064 0.154 -0.321 \
/2.667 -0.513 1.231 -2.564 \
1. А=
0.333 -0.026 0.462 -1.128
2. Д =
2.667 -0.205 3.692 -9.026
0.167 -0.167 0.75 -0.833
1.333 -1.3336-6.667
\ 0.1 -0.062 0.158 -0.108 /
\
0.8 -0.429 1.262 -0.862 /
/0.333 -0.064 0.154 -0.321 \
7
3 -0.577 1.385 -2.885、
О Л _
0.333 -0.026 0.462 -1.128
3 -0.231 4.154 -10.154 |
«Э. А —
0.167 -0.167 0.75 -0.833
1.5 -1.5 6.75-7.5
\ 0.1 -0.062 0.158 -0.108丿
\0.9 -0.554 1.419 -0.969 /
/ 1 -0.192 0.462 -0.962 \
/
3.333 -0.641 1.538 -3.025
Е Л _
1 -0.077 1.385 -3.385 ]
3.333 -0.256 4.615 -11.282
О* А —
0.5 -0.5 2.25 -2.5 1
1.667 -1.667 7.5 -8.333
\0.3 -0,185 0.473 -0.323/
1-0.615 1.577 -1.077
/1.333 -0.256 0.615 -1.282 \
/
3.667 -0.705 1.692 -3.526 \
7.4=
1.333 -0.103 1.846 -4.513
8.4 =
3.667 -0.282 5.077 -12.41 '
0.667 -0.6673-3.333
1.833 -1.833 8.25 -9.167
\ 0.4 -0.246 0.631 -0.431 丿
\
1.1 -0.667 1.735 -1.185 /
/1.667 -0.321 0.769 -1.603 \
/ 4 -0.769 1.846 -3.846 \
9.厶=
1.667 -0.128 2.308 -5.641
10. А =
4 -0.308 5.538 -13.538
0.833 -0.833 3.75 -4.167
2-29-10
\ 0.5 -0.308 0.788 -0.538,
\12 -0.738 1.892 -1.292 /
11. 4 =/ 2 -0.385 0.923 -1.923\2 -0.154 2.769 -6.7691-14.5-5\0.6 -0.369 0.946 -0.646 丿13. А =/2.333 -0.449 1.077 -2.244 \ 2.333 -0.179 3.231 -7.897 1.167 -1.167 5.25 -5.83315. А =17. А =19. А =\ 0.7 -0.431 1.104 -0.754 ；/ 5-0.9622.308-4.808\5-0.3856.923-16.923|2.5-2.511.25-1.251\1.5-0.9232.365-1.615//0.333 -0.064 0.154 -0.321、0.333 -0.026 0.462 -1.1280.167 -0.167 0.75 -0.833\ 0.1 -0.062 0.158 -0.108//5.667 -1.09 2.615 -5.449'5.667 -0.436 7.846 -19.1792.833 -2.833 1.275 -14.167\ 1.7 -1.046 2.681 -1.831,11. 4 =/ 2 -0.385 0.923 -1.923\2 -0.154 2.769 -6.7691-14.5-5\0.6 -0.369 0.946 -0.646 丿13. А =/2.333 -0.449 1.077 -2.244 \ 2.333 -0.179 3.231 -7.897 1.167 -1.167 5.25 -5.83315. А =17. А =19. А =\ 0.7 -0.431 1.104 -0.754 ；/ 5-0.9622.308-4.808\5-0.3856.923-16.923|2.5-2.511.25-1.251\1.5-0.9232.365-1.615//0.333 -0.064 0.154 -0.321、0.333 -0.026 0.462 -1.1280.167 -0.167 0.75 -0.833\ 0.1 -0.062 0.158 -0.108//5.667 -1.09 2.615 -5.449'5.667 -0.436 7.846 -19.1792.833 -2.833 1.275 -14.167\ 1.7 -1.046 2.681 -1.831,/4.333 -0.833 2-4.167 \12. 4 =4.333 -0.333 6 -14.6672.167 -2.167 9.75 -10.833\ 1.3-0.8 2.05-1.4 丿/4.667 -0.897 2.154 -4.487 \14. 4 =4.667 -0.359 6.462 -15.7952.333 -2.333 10.5 -11.667\ 14 -0.862 2.208 -1.508 //7.333 -1.41 3.385 -7.051、1в. А =7.333 —0.564 10.154 2.4823.667 -3.667 1.65 -18.333\ 2.2 -1.354 3.469 -2.369 //7.667 -1.474 3.538 -7.372 \18. 4 =7.667 -0.59 10.615 -25.9493.833 -3.833 17.2 5 -19.167\ 2.3 -1.415 3.627 -2.477// 8 -1.538 3.692 -7.692、20. А =8 -0.615 11.077 -27.077 14-418-20 1\2.4 -1.477 3.785 -2.585 //4.333 -0.833 2-4.167 \12. 4 =4.333 -0.333 6 -14.6672.167 -2.167 9.75 -10.833\ 1.3-0.8 2.05-1.4 丿/4.667 -0.897 2.154 -4.487 \14. 4 =4.667 -0.359 6.462 -15.7952.333 -2.333 10.5 -11.667\ 14 -0.862 2.208 -1.508 //7.333 -1.41 3.385 -7.051、1в. А =7.333 —0.564 10.154 2.4823.667 -3.667 1.65 -18.333\ 2.2 -1.354 3.469 -2.369 //7.667 -1.474 3.538 -7.372 \18. 4 =7.667 -0.59 10.615 -25.9493.833 -3.833 17.2 5 -19.167\ 2.3 -1.415 3.627 -2.477// 8 -1.538 3.692 -7.692、20. А =8 -0.615 11.077 -27.077 14-418-20 1\2.4 -1.477 3.785 -2.585 /
11. 4 =
/ 2 -0.385 0.923 -1.923\
2 -0.154 2.769 -6.769
1-14.5-5
\0.6 -0.369 0.946 -0.646 丿
13. А =
/2.333 -0.449 1.077 -2.244 \ 2.333 -0.179 3.231 -7.897 1.167 -1.167 5.25 -5.833
15. А =
17. А =
19. А =
\ 0.7 -0.431 1.104 -0.754 ；
/ 5-0.9622.308-4.808\
5-0.3856.923-16.923|
2.5-2.511.25-1.251
\1.5-0.9232.365-1.615/
/0.333 -0.064 0.154 -0.321、
0.333 -0.026 0.462 -1.128
0.167 -0.167 0.75 -0.833
\ 0.1 -0.062 0.158 -0.108/
/5.667 -1.09 2.615 -5.449'
5.667 -0.436 7.846 -19.179
2.833 -2.833 1.275 -14.167
\ 1.7 -1.046 2.681 -1.831,
11. 4 =
/ 2 -0.385 0.923 -1.923\
2 -0.154 2.769 -6.769
1-14.5-5
\0.6 -0.369 0.946 -0.646 丿
13. А =
/2.333 -0.449 1.077 -2.244 \ 2.333 -0.179 3.231 -7.897 1.167 -1.167 5.25 -5.833
15. А =
17. А =
19. А =
\ 0.7 -0.431 1.104 -0.754 ；
/ 5-0.9622.308-4.808\
5-0.3856.923-16.923|
2.5-2.511.25-1.251
\1.5-0.9232.365-1.615/
/0.333 -0.064 0.154 -0.321、
0.333 -0.026 0.462 -1.128
0.167 -0.167 0.75 -0.833
\ 0.1 -0.062 0.158 -0.108/
/5.667 -1.09 2.615 -5.449'
5.667 -0.436 7.846 -19.179
2.833 -2.833 1.275 -14.167
\ 1.7 -1.046 2.681 -1.831,
/4.333 -0.833 2-4.167 \
12. 4 =
4.333 -0.333 6 -14.667
2.167 -2.167 9.75 -10.833
\ 1.3-0.8 2.05-1.4 丿
/4.667 -0.897 2.154 -4.487 \
14. 4 =
4.667 -0.359 6.462 -15.795
2.333 -2.333 10.5 -11.667
\ 14 -0.862 2.208 -1.508 /
/7.333 -1.41 3.385 -7.051、
1в. А =
7.333 —0.564 10.154 2.482
3.667 -3.667 1.65 -18.333
\ 2.2 -1.354 3.469 -2.369 /
/7.667 -1.474 3.538 -7.372 \
18. 4 =
7.667 -0.59 10.615 -25.949
3.833 -3.833 17.2 5 -19.167
\ 2.3 -1.415 3.627 -2.477/
/ 8 -1.538 3.692 -7.692、
20. А =
8 -0.615 11.077 -27.077 1
4-418-20 1
\2.4 -1.477 3.785 -2.585 /
/4.333 -0.833 2-4.167 \
12. 4 =
4.333 -0.333 6 -14.667
2.167 -2.167 9.75 -10.833
\ 1.3-0.8 2.05-1.4 丿
/4.667 -0.897 2.154 -4.487 \
14. 4 =
4.667 -0.359 6.462 -15.795
2.333 -2.333 10.5 -11.667
\ 14 -0.862 2.208 -1.508 /
/7.333 -1.41 3.385 -7.051、
1в. А =
7.333 —0.564 10.154 2.482
3.667 -3.667 1.65 -18.333
\ 2.2 -1.354 3.469 -2.369 /
/7.667 -1.474 3.538 -7.372 \
18. 4 =
7.667 -0.59 10.615 -25.949
3.833 -3.833 17.2 5 -19.167
\ 2.3 -1.415 3.627 -2.477/
/ 8 -1.538 3.692 -7.692、
20. А =
8 -0.615 11.077 -27.077 1
4-418-20 1
\2.4 -1.477 3.785 -2.585 /
Задание 2.10. Опишите структуру образа и ядра линейного оператора, действующего в линейном пространстве X, заданного своей матрицей в некотором базисе. Проверьте, принадлежат ли векторы х, у ядру оператора, а векторы и, и — его образу. Выполните вычисления для оператора из задания 2.9.
/ -0.18 \
/ 0.82 \
/ 0.103 \
/1.103 \
-0.898 I _
0.102 I
-0.359 1
0.641
1. х =
-0.359『
0.641 Г и =
-0.083 卜 V =
0.917
\ -0.18 /
卜 0.82 /
\ 0.088 丿
\1 088/
/ -018 \
/ 0.82 \
(0.205 \
/1.205 \
-0.898
0.102
-0.718
0.282 ]
2. х =
-0.359 卜"=
0.641，и =
-0.167，七=
0.833 j
\ -0.18 /
\ 0.82 /
\ 0.177 /
\ 1.177/
/ 0.18 \/ 1.18 \/
0.308 \/
1.308、
0.898—
1.898
-1.077 I
-0.077
3. х ==
0.359 卜"=
1.359 卜
-0.25' V =
0.75
\ 0.18 /\ 1.18 /\
0.265 /\
1.265 /
/ -0.18 \
/ 0.82 \
/ 0.41 \
/ 1.41
-0.898 I
0.102 ]
-1.436_
-0.436
4. х =
-0.359 卜，=
0.641 卜
-0.333，七=
0.667
\ -0.18 /
\ 0.82 /
\ 0.354 /
\ 1.354
/ 0.18 \/
1.18 \/
0.513 \/ 1.513 \
0.898
1.898
-1.795
-0.795
5. ①=
0.359 1 У=|
1.359 卜
-0.417 ，力二
0.583
\ 0.18 /\
1-18 /\
0.442 /\ 1.442 /
6(
0.18 \
0.898 I —
/ 118、
1.898
/
0.645 \
-2.154
/
1.615 \
-1.154 1
0.359『"=
1.359 卜
-0.5'
0.5'
0.18 /
\ 1-18 /
\ 0.531 /
\ 1.531 /
/
0.18、
/ 118 \
/
0.718 、
/
1.718 \
0.898 I _
1.898
—2.513
-1.513 I
7. х = 1
0.359 1 ”
1.359 5 "=
-0.583 1 力厂
0.417
0.18 /
\ 118 /
0.619 /
1.619 /
-0.18 \
/ 0.82 \
/ 0.821 \
/ 1.821 \
-0.898 1
1 0.102 I
'-2.872 I
'-1.872 I
8. ж = I
-0.359 '期
=1 0.641 卜"=
1 -0.667 卜力=
1 0.333
-0.18 丿
\ 0.82 /
\ 0.708 /
\ 1.708 /
/
0.18 \
/ L18 \
/ 0.923 \
/ 1.923 \
0.898_
1.898
-3.231
-2.231
9. х = I
0.359，У =
1.359 卜
-0.75 卜"=
0.25•
0.18 /
\ 1-18 /
\ 0.796 /
\ 1.796 /
/ 0.18 \
/ 118 \
/ 1.026 \
/ 2.026 \
0.898 ]
1.898
-3.59 ]
-2.59
10. х =
0.359 1 У
=1 1.359 卜 U =
-0.833 卜 V =
0.167
\ 0.18 /
\ 0.885 /
\ 1.885 /
/ 0.18 \
/ 118 \
/ 1.128 \
/ 2.128 \
0.898 I
1.898
-3.949 I
-2.949
11. х =
0.359『У
=1.359 卜 U =
-0.917 5 V =
0.083
\ 0.18 /
\ 1.18丿
\ 0.973 /
\ 1.973 /
/ 0.18 \
/ 1-18 \
/ 1.231 \
/ 2.231 \
0.898
1.898
-4.308 I
-3.308 I
12. х =
0.359，У
=1.359 ' U =
o '
\ 0.18 /
\ 118 /
卜1.062 /・
\ 2.062 /
/ -0.18 \
/ 0.82 \
/ 1.333 \
/ 2.333 \
-0.898
0.102 I
-4.667 I
I -3.667
13. х =
-0.359 Н
片 0.641 ' U
-1.083 卜”
-0.083
\ -0.18 /
\ 0.82 /
\ 1-15 /
\ 2-15 /
/ 0.18 \
/б
/ 1.436 \
/ 2.436 \
0.898
1.898
-5.026
-4.026 I
14. х =
0.359 5 У
=1.359 卜"=
-1.167，力=
-0.167 '
\ 0.18 /
\ 1-18 /
\ 1.238 /
\ 2.238 /
/ -0.18 \
/ 0.82 \
/ 1.538 \
/ 2.538 \
-0.898
0.102
-5.385 I
J -4.385
15. х =
-0.359，
"=0.641 ' U
-1.251 V
-0.25
\ -0.18 丿
\ 0.82 丿
\ 1.327 丿
\ 2.327 /
/ -0.18 \
/ 0.82 \
/ 1.641 \
/ 2.641 \
-0.898
0.102
-5.744
-4.744
16. а;=
-0.359 '
"=0.641 ' U
-1.333 1 ”
-0.333
\ -0.18 /
\ 0.82 /
\ 1.415 /
\ 2.415 /
/ -0.18 \
/ 0.82 \
/ 1.744 \
/ 2.744 \
-0.898 I
1 0.102 I
-6.103 I
■ -5.103
17. а;=
-0.359 '
"=0.641 ' U
—
-1.417 卜"
二
1 -0.417
\ -0.18 /
\ 0.82 /
\ 1.504 /
\ 2.504 /
/ 0.18、
/ 1.18 \
/ 1.846 \
/ 2.846 \
0.898
1.898 I
-6.462 I
-5.462
18. х =
0.359
1.359 卜
-1.5 Г V =
-0.5
к 0.18 丿
к L18 /
\ 1.592 /
\ 2.592 /
/ 0.18 \
/ 118、
/ 1.949 \
/ 2.949 \
0.898
1.898
-6.821 I
-5.821
19. х =
0.359
1.359 卜"=
-1.583 卜 V =
-0.583
\ 0.18 /
\ 1-18 /
\ 1.68Г /
\ 2.681 /
/ 0.18 \
/ 1-18、
/ 2.051 \
/ 3.051 \
0.898
1.898
-7.179 I
-6.179
20. х =
0.359
1.359 卜
-1.667 卜七二
-0.667
\ 0.18 /
\ 118 /
\ 1.769 /
\ 2.769 丿
Задание 2.11. Исследуйте заданную таблицей межотраслевого баланса модель экономической системы (в таблицах А и I ——сельское хозяйство, В и II 一 промышленность, С и III — транспорт, IV — сектор конечного спроса (домашние хозяйства), V —— общий выпуск). Найдите объем выпуска каждой отрасли по заданному конечному спросу. Найдите зависимость выпуска каждой отрасли от конечного спроса. Укажите, как должен измениться выпуск каждого сектора при увеличении спроса на транспортные услуги на к%, где к = N для вариантов N = 1 — 10, к = (N/2) — 5 для вариантов N = ll-20.
IIIIIIIVVА1016502096В315402381С226303290IIIIIIIVVА1016502096В315402381С2263032901. У = (100 100 11О)Т.1. У = (100 100 11О)Т.IIIIIIIVVА202210030172В6208026132С5326035132IIIIIIIVVА202210030172В6208026132С53260351322. У = (200 150 НО)'.2. У = (200 150 НО)'.
I
II
III
IV
V
А
10
16
50
20
96
В
3
15
40
23
81
С
2
26
30
32
90
I
II
III
IV
V
А
10
16
50
20
96
В
3
15
40
23
81
С
2
26
30
32
90
1. У = (100 100 11О)Т.
1. У = (100 100 11О)Т.
I
II
III
IV
V
А
20
22
100
30
172
В
6
20
80
26
132
С
5
32
60
35
132
I
II
III
IV
V
А
20
22
100
30
172
В
6
20
80
26
132
С
5
32
60
35
132
2. У = (200 150 НО)'.
2. У = (200 150 НО)'.
IIIIIIIVVА302815040248В102512030185С7389037172IIIIIIIVVА302815040248В102512030185С73890371723. У =(300 250 19О)Т3. У =(300 250 19О)ТIIIIIIIVVА403420050324В133016033236С104412040214IIIIIIIVVА403420050324В133016033236С1044120402144. Y = (400 250 25О)Т4. Y = (400 250 25О)Т
I
II
III
IV
V
А
30
28
150
40
248
В
10
25
120
30
185
С
7
38
90
37
172
I
II
III
IV
V
А
30
28
150
40
248
В
10
25
120
30
185
С
7
38
90
37
172
3. У =(300 250 19О)Т
3. У =(300 250 19О)Т
I
II
III
IV
V
А
40
34
200
50
324
В
13
30
160
33
236
С
10
44
120
40
214
I
II
III
IV
V
А
40
34
200
50
324
В
13
30
160
33
236
С
10
44
120
40
214
4. Y = (400 250 25О)Т
4. Y = (400 250 25О)Т
IIIIIIIVVА504025060400В163520036287С125015042254IIIIIIIVVА504025060400В163520036287С1250150422545. y = (410 300 300)t.5. y = (410 300 300)t.IIIIIIIVVА604630070476В204024040340С155618045296IIIIIIIVVА604630070476В204024040340С1556180452966. У = (500 400 350产6. У = (500 400 350产
I
II
III
IV
V
А
50
40
250
60
400
В
16
35
200
36
287
С
12
50
150
42
254
I
II
III
IV
V
А
50
40
250
60
400
В
16
35
200
36
287
С
12
50
150
42
254
5. y = (410 300 300)t.
5. y = (410 300 300)t.
I
II
III
IV
V
А
60
46
300
70
476
В
20
40
240
40
340
С
15
56
180
45
296
I
II
III
IV
V
А
60
46
300
70
476
В
20
40
240
40
340
С
15
56
180
45
296
6. У = (500 400 350产
6. У = (500 400 350产
IIIШIVVА705235080552В234528043391С176221047336IIIШIVVА705235080552В234528043391С1762210473367. y = (600 450 400)Т.7. y = (600 450 400)Т.IIIIIIIVVА805840090628В265032046442С206824050378IIIIIIIVVА805840090628В265032046442С2068240503788. У = (650 450 ©О)'8. У = (650 450 ©О)'
I
II
Ш
IV
V
А
70
52
350
80
552
В
23
45
280
43
391
С
17
62
210
47
336
I
II
Ш
IV
V
А
70
52
350
80
552
В
23
45
280
43
391
С
17
62
210
47
336
7. y = (600 450 400)Т.
7. y = (600 450 400)Т.
I
II
III
IV
V
А
80
58
400
90
628
В
26
50
320
46
442
С
20
68
240
50
378
I
II
III
IV
V
А
80
58
400
90
628
В
26
50
320
46
442
С
20
68
240
50
378
8. У = (650 450 ©О)'
8. У = (650 450 ©О)'
IIIIIIIVVА9064450100704В305536050495С227427052418IIIIIIIVVА9064450100704В305536050495С227427052418IIIIIIIVVА1007050011780В336040053546С258030055460IIIIIIIVVА1007050011780В336040053546С258030055460IIIIIIIVVА9064450100704В366544056597С278633057500IIIIIIIVVА9064450100704В366544056597С27863305750016. У = (720 610 520)716. У = (720 610 520)7IIIIIIIVVА12082600130932В40704860650С309236060542IIIIIIIVVА12082600130932В40704860650С30923606054217. У = (1000 700 600)т.17. У = (1000 700 600)т.IIIIIIIVVА130886501401008В4375V 52063701С329839062582IIIIIIIVVА130886501401008В4375V 52063701С32983906258218. У = (1100 750 620)т.18. У = (1100 750 620)т.
I
II
III
IV
V
А
90
64
450
100
704
В
30
55
360
50
495
С
22
74
270
52
418
I
II
III
IV
V
А
90
64
450
100
704
В
30
55
360
50
495
С
22
74
270
52
418
I
II
III
IV
V
А
100
70
500
11
780
В
33
60
400
53
546
С
25
80
300
55
460
I
II
III
IV
V
А
100
70
500
11
780
В
33
60
400
53
546
С
25
80
300
55
460
I
II
III
IV
V
А
90
64
450
100
704
В
36
65
440
56
597
С
27
86
330
57
500
I
II
III
IV
V
А
90
64
450
100
704
В
36
65
440
56
597
С
27
86
330
57
500
16. У = (720 610 520)7
16. У = (720 610 520)7
I
II
III
IV
V
А
120
82
600
130
932
В
40
70
48
60
650
С
30
92
360
60
542
I
II
III
IV
V
А
120
82
600
130
932
В
40
70
48
60
650
С
30
92
360
60
542
17. У = (1000 700 600)т.
17. У = (1000 700 600)т.
I
II
III
IV
V
А
130
88
650
140
1008
В
43
75
V 520
63
701
С
32
98
390
62
582
I
II
III
IV
V
А
130
88
650
140
1008
В
43
75
V 520
63
701
С
32
98
390
62
582
18. У = (1100 750 620)т.
18. У = (1100 750 620)т.
Задание 2.12. Найдите цену на единицу продукции каждого производственного сектора модели экономики из задания 2.11 для указанного в условии вектора платежей. Укажите, как увеличиваются цены на транспортные услуги при увеличении на единицу платежей в секторе сельского хозяйства.
N
Платежи
N
Платежи
1
0.5
0.6
0.3
5
0.3
0.4
0.5
2
0.4
0.2
0.1
в
0.3
0.5
0.6
3
0.4
0.3
0.2
7
0.3
0.6
0.7
4
0.4
0.4
0.5
8
0.4
0.6
0.7
N
Платежи
N
Платежи
9
0.5
0.4
0.2
15
0.4
0.5
0.6
10
0.2
0.2
0.3
16
0.4
0.4
0-5
11
0.3
0.4
0.1
17
0.4
0.4
0.4
12
0.5
0.3
0.1
18
0.5
0.5
0.5
13
0.2
0.4
0.2
19
0.5
0.6
0.6
14
0.3
0.3
0.4
20
0.5
0.6
0.7
Задание 2.13. Исследуйте заданную структурной матрицей модель экономической системы (А ——сельское хозяйство, В ——промышленность, С 一 транспорт, I — конечный спрос, II — экспорт-импорт, III — конечный продукт). Найдите объем выпуска каждой отрасли по заданному конечному спросу при наличии экспорта и импорта. Найдите матрицу нового баланса. Проверьте правильность вычислений.
1.IIIIIIА201020 + 10В233023 + 30С32-532-53.IIIIIIА402040 + 20В30-1030-10С37637 + 65.IIIIIIА60-2060-20В36536 + 5С42742 + 77.IIIША80-5080-50В43443 + 4С47-1047-109.IIIIIIА100-50100 - 50В501050 + 10С52-352-31.IIIIIIА201020 + 10В233023 + 30С32-532-53.IIIIIIА402040 + 20В30-1030-10С37637 + 65.IIIIIIА60-2060-20В36536 + 5С42742 + 77.IIIША80-5080-50В43443 + 4С47-1047-109.IIIIIIА100-50100 - 50В501050 + 10С52-352-3IIIIIIА301030 + 10В263026 + 30С35-535-5IIIIIIА301030 + 10В263026 + 30С35-535-54.4.6.6.10.10.IIIIIIА50-1050-10В33633 + 6С40-540-5IIIIIIА50-1050-10В33633 + 6С40-540-5IIIIIIА70-4070-40В401040 + 10С45545 + 5IIIIIIА70-4070-40В401040 + 10С45545 + 5IIIIIIА90-3090-30В46-646-6С50-2050-20IIIIIIА90-3090-30В46-646-6С50-2050-20IIIIIIА110-40110-40В53-653-6С55-1555-15IIIIIIА110-40110-40В53-653-6С55-1555-1511.IIIIIIА70-2070-20В401040 + 10С45-545-513.IIIIIIА90-3090-30В46-646-6С501050 + 1011.IIIIIIА70-2070-20В401040 + 10С45-545-513.IIIIIIА90-3090-30В46-646-6С501050 + 10IIIIIIА80-3080-30В43343 + 3С47347 + 3IIIIIIА80-3080-30В43343 + 3С47347 + 314.14.IIIIIIА10010100+10В501050 + 10С52-452-4IIIIIIА10010100+10В501050 + 10С52-452-4
1.
I
II
III
А
20
10
20 + 10
В
23
30
23 + 30
С
32
-5
32-5
3.
I
II
III
А
40
20
40 + 20
В
30
-10
30-10
С
37
6
37 + 6
5.
I
II
III
А
60
-20
60-20
В
36
5
36 + 5
С
42
7
42 + 7
7.
I
II
Ш
А
80
-50
80-50
В
43
4
43 + 4
С
47
-10
47-10
9.
I
II
III
А
100
-50
100 - 50
В
50
10
50 + 10
С
52
-3
52-3
1.
I
II
III
А
20
10
20 + 10
В
23
30
23 + 30
С
32
-5
32-5
3.
I
II
III
А
40
20
40 + 20
В
30
-10
30-10
С
37
6
37 + 6
5.
I
II
III
А
60
-20
60-20
В
36
5
36 + 5
С
42
7
42 + 7
7.
I
II
Ш
А
80
-50
80-50
В
43
4
43 + 4
С
47
-10
47-10
9.
I
II
III
А
100
-50
100 - 50
В
50
10
50 + 10
С
52
-3
52-3
I
II
III
А
30
10
30 + 10
В
26
30
26 + 30
С
35
-5
35-5
I
II
III
А
30
10
30 + 10
В
26
30
26 + 30
С
35
-5
35-5
4.
4.
6.
6.
10.
10.
I
II
III
А
50
-10
50-10
В
33
6
33 + 6
С
40
-5
40-5
I
II
III
А
50
-10
50-10
В
33
6
33 + 6
С
40
-5
40-5
I
II
III
А
70
-40
70-40
В
40
10
40 + 10
С
45
5
45 + 5
I
II
III
А
70
-40
70-40
В
40
10
40 + 10
С
45
5
45 + 5
I
II
III
А
90
-30
90-30
В
46
-6
46-6
С
50
-20
50-20
I
II
III
А
90
-30
90-30
В
46
-6
46-6
С
50
-20
50-20
I
II
III
А
110
-40
110-40
В
53
-6
53-6
С
55
-15
55-15
I
II
III
А
110
-40
110-40
В
53
-6
53-6
С
55
-15
55-15
11.
I
II
III
А
70
-20
70-20
В
40
10
40 + 10
С
45
-5
45-5
13.
I
II
III
А
90
-30
90-30
В
46
-6
46-6
С
50
10
50 + 10
11.
I
II
III
А
70
-20
70-20
В
40
10
40 + 10
С
45
-5
45-5
13.
I
II
III
А
90
-30
90-30
В
46
-6
46-6
С
50
10
50 + 10
I
II
III
А
80
-30
80-30
В
43
3
43 + 3
С
47
3
47 + 3
I
II
III
А
80
-30
80-30
В
43
3
43 + 3
С
47
3
47 + 3
14.
14.
I
II
III
А
100
10
100+10
В
50
10
50 + 10
С
52
-4
52-4
I
II
III
А
100
10
100+10
В
50
10
50 + 10
С
52
-4
52-4
15.15.17.17.19.19.16.16.18.18.20.20.IIIIIIА100-5050-50В56-656-6С57357 + 3IIIIIIА14010140 + 10В63-363-3С62862 + 8IIIIIIА100-5050-50В56-656-6С57357 + 3IIIIIIА14010140 + 10В63-363-3С62862 + 8IIIIIIА160-10160-10В703070 + 30С67-767-7IIIIIIА160-10160-10В703070 + 30С67-767-7
15.
15.
17.
17.
19.
19.
16.
16.
18.
18.
20.
20.
I
II
III
А
100
-50
50-50
В
56
-6
56-6
С
57
3
57 + 3
I
II
III
А
140
10
140 + 10
В
63
-3
63-3
С
62
8
62 + 8
I
II
III
А
100
-50
50-50
В
56
-6
56-6
С
57
3
57 + 3
I
II
III
А
140
10
140 + 10
В
63
-3
63-3
С
62
8
62 + 8
I
II
III
А
160
-10
160-10
В
70
30
70 + 30
С
67
-7
67-7
I
II
III
А
160
-10
160-10
В
70
30
70 + 30
С
67
-7
67-7
Задание 2.14. Найдите национальные доходы торгующих стран в сбалансированной системе международной торговли с заданной структурной матрицей торговли.
/0.0910.0590.1820.333 \1. А —0.4090.4410.3180.333 I0.1690.40.2730.167\ 0.3330.3670.2270.167//0.0770.0530.1540.333 \3. А =0.4230.4470.3460.3330.1430.2860.2310.167\0.3570.3820.2690.167 丿/0.0670.0480.1330.333 \5.А =0.4330.4520.3670.333 ]0.1250.2220.20.167\ 0.3750.3950.30.167//0.0590.0430.1180.333 \7・4 =0.4410.1110.4570.1820.3820.1760.333 I0.167\ 0.3890.4050.3240.167//0.0530.040.1050.333 \9. 4 =0.4470.10.460.1540.3950.1580.333 10.167\ 0.40.4130.3420.167//0.0480.0370.0950,167、11. А =(0.2020.0910.2130.1330.4050.1430.333 '0.167 1\ 0.6590.670.3570.333 //0.0430.0340.0870.167Х13. А =0.2070.0830.2160.1180.4130.130.3330.167\ 0.6670.6760.370.333//0.0910.0590.1820.333 \1. А —0.4090.4410.3180.333 I0.1690.40.2730.167\ 0.3330.3670.2270.167//0.0770.0530.1540.333 \3. А =0.4230.4470.3460.3330.1430.2860.2310.167\0.3570.3820.2690.167 丿/0.0670.0480.1330.333 \5.А =0.4330.4520.3670.333 ]0.1250.2220.20.167\ 0.3750.3950.30.167//0.0590.0430.1180.333 \7・4 =0.4410.1110.4570.1820.3820.1760.333 I0.167\ 0.3890.4050.3240.167//0.0530.040.1050.333 \9. 4 =0.4470.10.460.1540.3950.1580.333 10.167\ 0.40.4130.3420.167//0.0480.0370.0950,167、11. А =(0.2020.0910.2130.1330.4050.1430.333 '0.167 1\ 0.6590.670.3570.333 //0.0430.0340.0870.167Х13. А =0.2070.0830.2160.1180.4130.130.3330.167\ 0.6670.6760.370.333/2. А =/0.0860.4170.154\ 0.3460.0560.4440.3330.3750.167 0.333 0.250.250.333 \0.333 I0.1670.167//0.0710.050.1430.333 \4. 4 =0.4290.450.3570.3330.1330.250.2140.167\0.3670.3890.2860.167 //0.0630.0450.1250.333 \6. А.=0.4380.4550.3750.333 I0.1180.20.1880.167\ 0.3820.40.3130.167//0.0560.0420.1110.333 \8. =0.4440.4580.3890.333 I0.1050.1670.1670.167\ 0.3950.4090.3330.167// 0.050.0380.10.333 \10. А.=I 0.450.4620.40.333 I1 0.0950.1430.150.167\ 0.4050.4170.350.167//0.0450.0360.0910.167\12. 4 =0.2050.2140-4090.3330.0870.1250.1360.167\ 0.6630.6730.3640.333 //0.0420.0330.0830.167\14. 4 =0.2080.2170.4170.3330.080.1110.1250.167\ 0.670.6790.3750.333 /2. А =/0.0860.4170.154\ 0.3460.0560.4440.3330.3750.167 0.333 0.250.250.333 \0.333 I0.1670.167//0.0710.050.1430.333 \4. 4 =0.4290.450.3570.3330.1330.250.2140.167\0.3670.3890.2860.167 //0.0630.0450.1250.333 \6. А.=0.4380.4550.3750.333 I0.1180.20.1880.167\ 0.3820.40.3130.167//0.0560.0420.1110.333 \8. =0.4440.4580.3890.333 I0.1050.1670.1670.167\ 0.3950.4090.3330.167// 0.050.0380.10.333 \10. А.=I 0.450.4620.40.333 I1 0.0950.1430.150.167\ 0.4050.4170.350.167//0.0450.0360.0910.167\12. 4 =0.2050.2140-4090.3330.0870.1250.1360.167\ 0.6630.6730.3640.333 //0.0420.0330.0830.167\14. 4 =0.2080.2170.4170.3330.080.1110.1250.167\ 0.670.6790.3750.333 /
/0.091
0.059
0.182
0.333 \
1. А —
0.409
0.441
0.318
0.333 I
0.169
0.4
0.273
0.167
\ 0.333
0.367
0.227
0.167/
/0.077
0.053
0.154
0.333 \
3. А =
0.423
0.447
0.346
0.333
0.143
0.286
0.231
0.167
\0.357
0.382
0.269
0.167 丿
/0.067
0.048
0.133
0.333 \
5.А =
0.433
0.452
0.367
0.333 ]
0.125
0.222
0.2
0.167
\ 0.375
0.395
0.3
0.167/
/0.059
0.043
0.118
0.333 \
7・4 =
0.441
0.111
0.457
0.182
0.382
0.176
0.333 I
0.167
\ 0.389
0.405
0.324
0.167/
/0.053
0.04
0.105
0.333 \
9. 4 =
0.447
0.1
0.46
0.154
0.395
0.158
0.333 1
0.167
\ 0.4
0.413
0.342
0.167/
/0.048
0.037
0.095
0,167、
11. А =
(0.202
0.091
0.213
0.133
0.405
0.143
0.333 '
0.167 1
\ 0.659
0.67
0.357
0.333 /
/0.043
0.034
0.087
0.167Х
13. А =
0.207
0.083
0.216
0.118
0.413
0.13
0.333
0.167
\ 0.667
0.676
0.37
0.333/
/0.091
0.059
0.182
0.333 \
1. А —
0.409
0.441
0.318
0.333 I
0.169
0.4
0.273
0.167
\ 0.333
0.367
0.227
0.167/
/0.077
0.053
0.154
0.333 \
3. А =
0.423
0.447
0.346
0.333
0.143
0.286
0.231
0.167
\0.357
0.382
0.269
0.167 丿
/0.067
0.048
0.133
0.333 \
5.А =
0.433
0.452
0.367
0.333 ]
0.125
0.222
0.2
0.167
\ 0.375
0.395
0.3
0.167/
/0.059
0.043
0.118
0.333 \
7・4 =
0.441
0.111
0.457
0.182
0.382
0.176
0.333 I
0.167
\ 0.389
0.405
0.324
0.167/
/0.053
0.04
0.105
0.333 \
9. 4 =
0.447
0.1
0.46
0.154
0.395
0.158
0.333 1
0.167
\ 0.4
0.413
0.342
0.167/
/0.048
0.037
0.095
0,167、
11. А =
(0.202
0.091
0.213
0.133
0.405
0.143
0.333 '
0.167 1
\ 0.659
0.67
0.357
0.333 /
/0.043
0.034
0.087
0.167Х
13. А =
0.207
0.083
0.216
0.118
0.413
0.13
0.333
0.167
\ 0.667
0.676
0.37
0.333/
2. А =
/0.086
0.417
0.154
\ 0.346
0.056
0.444
0.333
0.375
0.167 0.333 0.25
0.25
0.333 \
0.333 I
0.167
0.167/
/0.071
0.05
0.143
0.333 \
4. 4 =
0.429
0.45
0.357
0.333
0.133
0.25
0.214
0.167
\0.367
0.389
0.286
0.167 /
/0.063
0.045
0.125
0.333 \
6. А.=
0.438
0.455
0.375
0.333 I
0.118
0.2
0.188
0.167
\ 0.382
0.4
0.313
0.167/
/0.056
0.042
0.111
0.333 \
8. =
0.444
0.458
0.389
0.333 I
0.105
0.167
0.167
0.167
\ 0.395
0.409
0.333
0.167/
/ 0.05
0.038
0.1
0.333 \
10. А.=
I 0.45
0.462
0.4
0.333 I
1 0.095
0.143
0.15
0.167
\ 0.405
0.417
0.35
0.167/
/0.045
0.036
0.091
0.167\
12. 4 =
0.205
0.214
0-409
0.333
0.087
0.125
0.136
0.167
\ 0.663
0.673
0.364
0.333 /
/0.042
0.033
0.083
0.167\
14. 4 =
0.208
0.217
0.417
0.333
0.08
0.111
0.125
0.167
\ 0.67
0.679
0.375
0.333 /
2. А =
/0.086
0.417
0.154
\ 0.346
0.056
0.444
0.333
0.375
0.167 0.333 0.25
0.25
0.333 \
0.333 I
0.167
0.167/
/0.071
0.05
0.143
0.333 \
4. 4 =
0.429
0.45
0.357
0.333
0.133
0.25
0.214
0.167
\0.367
0.389
0.286
0.167 /
/0.063
0.045
0.125
0.333 \
6. А.=
0.438
0.455
0.375
0.333 I
0.118
0.2
0.188
0.167
\ 0.382
0.4
0.313
0.167/
/0.056
0.042
0.111
0.333 \
8. =
0.444
0.458
0.389
0.333 I
0.105
0.167
0.167
0.167
\ 0.395
0.409
0.333
0.167/
/ 0.05
0.038
0.1
0.333 \
10. А.=
I 0.45
0.462
0.4
0.333 I
1 0.095
0.143
0.15
0.167
\ 0.405
0.417
0.35
0.167/
/0.045
0.036
0.091
0.167\
12. 4 =
0.205
0.214
0-409
0.333
0.087
0.125
0.136
0.167
\ 0.663
0.673
0.364
0.333 /
/0.042
0.033
0.083
0.167\
14. 4 =
0.208
0.217
0.417
0.333
0.08
0.111
0.125
0.167
\ 0.67
0.679
0.375
0.333 /
/ 0.04
0.032
0.08
0.167 \
/0.038
0.031
0.077
0.167 \
15. 4 =
0.21
0.218
0.42
0.333 ]
16. 4 =
0.212
0.219
0.423
0.333
0.077
0.105
0.12
0.167
0.074
0.1
0.115
0.167
\ 0.673
0.681
0.38
0.333 /
\0.676
0.683
0.385
0.333/
/0.037
0.03
0.074
0.167\
/0.036
0.029
0.071
0.167\
17. А =
0.213
0.22
0.426
0.333
18. А =
0.214
0.221
0.429
0.333
0.071
0.095
0.111
0.167
0.069
0.091
0.107
0.167
\ 0.679
0.685
0.389
0.333 /
\0.681
0.688
0.393
0.333 /
/0.034
0.029
0.069
0.167\
/0.033
0.028
0.067
0.167Х
19. А =
0.216
0.221
0.431
0.333
20. А =
0.217
0.222
0.433
0.333
0.067
0.087
0.103
0.167
0.065
0.083
0.1
0.167
\ 0.683
0.689
0.397
0.333 丿
\0.685
0.691
0.4
0.333 丿
Задание 2.15. Найдите минимум целевой функции /（£,g） = ах + by при указанных ограничениях.
N
f（4t/）
Ограничения
1
Зх 4- 2y
工 + y 04
£ + 2y 2 5
2x + y>6
т > 0
y>o
2
Зх 4- 2y
x + y<6
т 4- 2y > 7
2x + y>3
x >0
У > o
3
Зх 4- 2g
工 + у 08
£ + 2y 2 8
2x 4- у > 8
т > 0
У > о
4
Зх 4- 2y
x + y<9
x + 2y>7
2x + у >6
т > 0
У > о
5
Зс +2y
£ + У 0 6
x + 2y > 5
2c + у 2 3
x>0
?20
6
Зх 4- 2g
工+ ”8
x 4- 2y > 9
2x + y>7
x>0
У > о
7
Зх 4- 2y
£ + ”7
£ + 2y 2 7
2x + y>7
x>0
!/>0
8
Зс 4- 2y
x + y< 11
x + 2y>ll
2x + y> 11
ж > 0
y>0
9
Зх 4- 2y
ж + у < 9
x + 2y >9
2x + y>9
ж > 0
у 2 о
10
39 4- 2y
x 4- у < 10
x + 2y <1Q
2x + у < 10
x>0
v>o
11
2x 4- 5y
工 + у 2 1
① + 2y W 10
2x 4- у < 10
x > 0
v>o
12
2x 4- 5y
x + y>4
x + 2y <12
2z + у < 12
ж > 0
v>0
13
2x 4- 5y
①+ g 2 4
x + 2y <13
2c + у W 13
т > 0
y>^
14
2x 4- 5y
;r + g25
① + 2y $ 14
2c + у 0 14
т > 0
V>o
15
2c 4- 5y
x + y>b
① + 2y $ 15
2c + у 0 15
т > 0
y>0
16
2x 4- 5y
t + y 26
x + 2y<ll
2x 4- у < 8
x > 0
у 2。
17
2e 4- 5y
x + y>7
x + 2y <13
2忆 + У W 9
т > 0
y>0
18
2c 4- 5g
2c + у 2 8
£ + 2y W 15
2x 4- у < 10
x>0
У > о
19
2c + 5y
2x + y>9
x + 2y< 17
2x + у < 11
ж > 0
y>0
20
2x 4- 5y
2x + y>3
x 4- 2y < 3
2x + y <4
x>0
y>^
Задание 2.16. Найдите нормальное обобщенное решение линейной системы Ах = b для двух вариантов правых частей b = Ь】н b = Ь?・ Найдите
классическое решение системы, если оно существует, и сравните его с обоб
щенным.
1.
А =
/0.5 1
1.5
<2.5
0.333 1
1.333
2.333
0.25 \
1
1.25「
2.25/
也=
К 0.833 \
/1.833 \ 3 3.833 \ 5.833/
姦，
<4.833/
岳=
/ 1
0.667
0.5 \
< 1.667 \
/ 2.667 \
2.
А=
1.5
2.5
1.333 2
1.25
1.75
加
=
2.833
4.5
厉=
3.833
5.5
、4
3.333
з /
<7.333 丿
\ 8.333 7
/1.5
1
0.75 \
2.5 \
/
3.5 \
3.
4 =
2
3.5
1.667
2.667
1.5
2.25
bl
=
3.667
6.167
Ь2 =
4.667 I
7.667
\5.5
4.333
3.75/
、9.833 丿
10.833/
/ 2
1.333
1 \
< 3.333 \
< 4.333 \
4.
4 =
2.5
4.5
2 3.333
1.75
2.75
bl
=
4.5
7.833
Ь2
=
5.5
8.833
\ 7
5.333
4.5丿
<12.333 У
\ 13.333 丿
/2.5
1.667
1.25 \
/ 4.167、
/ 5.167 \
5.
А =
3
5.5
2.333 4
2 3.25
bl
=
5.333
9.5
Ь2
=
6.333
10.5
\8.5
6.333
5.25/
、14.833,
\ 15.833 丿
/ з
2
1.5 \
5
6 \
6.
А=
3.5
6.5
2.667
4.667
2.25
3.75
bl
=
6.167
11.167
Ь2
二
7.167
12.167
\ю
7.333
6丿
卜 17.333
丿
< 18.333 >
/ 3.5
2.333
1.75
/ 5.833
/ 6.833
\
7.
А =
4
7.5
3 5.333
2.5
4.25
bl =
7 12.833
Ь2 =
8 13.833
\11.5
8.333
6.75
/
\ 19.833
\ 20.833
/ 4
2.667
2 \
/ 6.667
\
厶 7.667 \
8.
4.5
3.333
2.75
bl
7.833
8.833
1 8.5
6
4.75
14.5
b2
15.5
г
\13
9.333
7.5丿
<22.333
丿
<23.333,
/ 4.5
3
2.25 \
/ 7.5
/ 8.5
9.
А =
5
9.5
3.667
6.667
3 5.25
bi =
8.667
16.167
Ь2
9.667
17.167
\14.5
10.333
8.25/
\ 24.833,
V5.833/
/ 5
3.3332.5
/ 8.333
/ 9.333 \
10.
А =
5.543.25
1 10.57.3335.75
bl
=
I 9.5
1 17.833
b2
—
I 10.5
18.333
\ 16
11.3339
/
\ 27.333
\ 28.333 丿
/ 5.5
3.667 2・75\
/ 9.167
\
/10Л67\
11.
А =
64.3333.5
11.586.25
bl
=
I 10.333
19.5
b2
=
1 11.333
20.5
\17Л
12.333 9.75 /
\ 29.833
/
\ 30.833,
/ 6
4
з \
10 \
/
11 \
А =
6.5
4.667
3.75
bi =
11.167 I
t>2 =
12.167
12.
12.5
8.667
6.75
21.167 1
22.167
\ 19
13.333
10.5/
、32.333 丿
\
33.333/
/ 6.5
4.333
3.25 \
/10.833 \
/11.833 \
7
5
4
,bl =
12
,坛=
13
13а
13.5
9.333
7.25
22.833
23.833
〈20.5
14.333
11.25/
\ 34.833 丿
\ 35.833/
/ 7
4.667
3.5 \
'11.667 \
12.667 \
А =
7.5
5.333
4.25 I
bl =
12.833 I
13.833 I
14.5
10
7.75
24.5 1
25.5
\ 22
15.333
12丿
<37.333/
\
,38.333/
/ 7.5
5
3.75 \
/ 12.5、
/ 13.5 \
15.
4 =
8
5.667
4.5
,bl =
13.667
14.667
15.5
10,667
8.25
26.167
,02 -
27.167
\23.5
16.333
12.75/
\ 39.833/
\ 40.833 /
/ 8
5.333
4、
< 13.333 \
/
'14.333、
16.
厶=
8.5
6
4.75
bl =
14.5 I
15.5 I
16.5
11.333
8.75
27.833
°2 -
28.833
\ 25
17.333
13.5/
<42.333/
\
、43.333 /
/ 8.5
5.667
4.25 \
/14.1674
/15.167、
17.
А =
9
6.333
5
I 15.333
16.333
17.5
12
9.25
卜 bl —
29.5
30.5
\26.5
18.333
14.25 丿
\ 44.833 丿
<45.833 丿
/ 9
6
4.5 \
< 15 \
/
16 \,
18.
А =
9.5
6.667
5.25
bl = I
16.167 I
17.167 I
18.5
12.667
9.75
31.167 1
^2 =
32.167
\ 28
19.333
15丿
<47.333/
\
、48.333 丿
/ 9.5
6.333
4.75 \
/15.833 \
/16.833 \
19.
А =
10
7
5.5
,bl =
I 17
18
19.5
13.333
10.25
32.833
,&2 -
33.833
\29.5
20.333
15.75 丿
\ 42.833 丿
\ 50.833 /
/ ю
6.667
5 、
/16.667 \
/17.667 \
20.
А=
10.5
7.333
5.75
,bl =
17.833
,从=
18.833
20.5
14
10.75
34.5
35.5
\ 31
21.333
16.5 丿
\ 52.333 丿
\ 53.333 /
Задание 2.17. Найдите методом наименьших квадратов значения коэффициентов линейной зависимости у = ах + Ь по заданным эмпирическим данным. Используя найденную линейную зависимость, найдите значение у в точке х = ^ + 0.55, где N — номер варианта.
X
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
.1.8
1.9
2
У
0.686
0.742
0.767
0.646
0.807
0.774
0.97
0.932
0.936
0.978
1,048
X
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3
У
2.312
2.251
2.418
2.752
2.459
2.7
3.022
3-079
2.42
2.669
3.241
X
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4
У
4.615
4.591
5.13
5.481
5.492
5.553
5.471
5.727
5.798
6.11
6.605
X
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5
У
8.472
8.805
9.096
8.993
9.312
9.465
9.771
9.61
9.722
11.419
10.285
X
5
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
6
У
12.36
13.63
13.304
13.148
13.482
14.24
14.516
14.882
15.246
15.369
15.158
X
6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
7
У
17.631
19.747
19.783
18.806
19.886
21.118
20.208
19.481
20.153
20.505
21.29
7.
X
7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
8
У
25.243
25.133
25.669
26.627
26.753
27.234
26.491
26.876
27.228
28.065
27.781
8.
X
8
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
9
У
30.528
34.221
34.233
34.114
33.595
34.058
34.498
35.822
35.678
37.442
35.698
9.
X
9
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
10
У
41.742
42,244
43.884
42.167
43-696
45.042
42.461
45.727
44.056
45.863
44.953
10.
X
10
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
10.9
11
У
49.758
51.924
50.083
52.376
53.413
54.966
52.771
54.115
55.476
55.686
56.196
11.
X
11
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
11.7
11.8
11.9
12
У
62.173
63.055
63.725
64.237
64.086
63.587
65.412
65.284
65.05
68.876
65.74
12.
X
12
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
12.6
12.7
12.8
12.9
13
У
71.167
74.264
72.658
74.507
76.649
75.517
75.708
76.359
79.316
77.373
77.698
13.
X
13
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6
13.7
13.8
13.9
14
У
86.612
85.491
87.803
88.613
89.075
89.24
89.633
90.761
91.323
91.428
91.712
14.
X
14
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
14.6
14.7
14.8
14.9
У
99.811
100.31
99.492
102.61
103.20
104.36
104.73
105.16
104.65
105.58
15.
£
15
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
15.7
15.8
15.9
16
У
115.18
115.28
115.18
116.01
117.20
119.04
121.43
119.35
120.84
121.58
124.33
16.
X
16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
16.8
16.9
17
У
131.96
126.72
132.26
131.29
132.04
133.74
133.28
135.75
134.6
139.84
133.23
17.
您
17
17.1
17.2
17.3
17.4
17.5
17.6
17.7
17.8
17.9
У
147.67
150.75
149.74
150.74
147.94
147.77
152.08
154.65
154.98
152.55
18.
X
18
18.1
18.2
18.3
18.4
18.5
18.6
18.7
18.8
18.9
19
У
164.69
163.25
164.47
165.50
166.77
167.46
169.65
169.42
170.50
174.22
173.14
19.
X
19
19.1
19.2
19.3
19.4
19.5
19.6
19.7
19.8
19.9
20
У
186.36
180.38
184.45
186.04
189.29
188.32
184.83
186.44
194.55
192.34
191.89
20.
X
20
20.1
20.2
20.3
20.4
20.5
20.6
20.7
20.8
20.9
У
200.30
200.96
200.73
202.89
208.23
208.89
209.51
206.87
209.17
214.21
ГЛАВА 3
Задание 3.1. Найдите пределы последовательностей {а^}, {Ь^}, {сп}. Для указанных значений е = 10一比 найдите такие N(e), чтобы все элементы последовательности с номерами п> N совпадали с предельным значением до к~го знака после запятой. Для заданных значений М укажите такие значения N(M' чтобы для всех членов бесконечно большой последовательности {сп} с номерами п> N выполнялось неравенство |cn| > М, Изобразите графически сходящиеся последовательности и их пределы. Изобразите графически бесконечно большую последовательность.
N
ап
bn
Cn
к
М
1
（屮"吟）
21n(12n — 2)
2
10
2
arctg(n2)
（т）7*
\/九 + 2
2
10
3
>/3?5
(-1广(\/^_ ,九 + 1)
ln(2n + 2)
2
20
4
6п2 + 5 п2 +1
(-1)%-2；)
%г + 2
2
12
5
а/4?3
1 . -Sinn
51n(2n + 5)
2
12
6
arctg(n2 + 1)
/ 1山6层+ 5
（）絞 + 1
ln(2n2 — 2n)
2
14
7
sin((T?)
寸九4 +1
2
14
N
On
b“
C“
к
M
8
1 — 6п п + 1
ln(l + (-l)n；)
In” — 2n)
2
10
9
(-l)narctgi
vn2-01arctgn
2
10
10
./6п2 + 5\
(—I)”」6Tz n2 + l
21n(n + 10)
2
15
11
(T)”ntg±
% 冗3.02 + 5
2
25
12
4п — 3
2п + 1
(-l)nn2sin^
121n(n + 1)
2
12
13
l + si吟
vn^-01 axcctgn
2
10
14
(~l)n(^ -arctgn)
ln(n3 + 2)
2
10
15
_ /5 + 6п\
(-l)n(^-arctgM)
寸n5.02 + 5
2
5
16
（用
（"丄
41n(n + 5)
2
10
17
ln(n5 + 1)
2
10
18
（卄…宮）
令n3政111s + ])
2
20
19
6几2 + 5 n2 +1
1
-cosn
31n(2n + l)
2
12
20
7（『）
\/n301 + 5
2
12
Задание 3.2. Найдите предел функции /(х) в тонке х = а. Для значения е = 10-2 найдите 6(e) такое, чтобы значения функции в точках 0<|х —а|<6 совпадали с предельным значением до второго знака после запятой. Изобразите графически поведение функции в окрестности точки х = а.
N
/3)
a
N
/3)
a
1
(x2 - l)(x + 3) x — 1
1
3
х/1 + 2с-3 g- 2
4
2
Intgx cos 2x
7Г
4
4
(x3 - l)(x + 3) £ — 1
1
N
/3)
a
N
f(c)
a
5
*с—6+2 ±з + 8
-2
13
arctg(x2 — 2x) sin3?rx
2
6
2^-2 1пх
1
14
1 — X2 sin?rx
1
7
(х4 - 1)(с + 5) х — 1
1
15
，4 + c — \/^
4
8
sin7x — sin3x ei2 _ е4тг2
2тг
16
5工-5
Inx
1
9
(х3 +1)(/ + 3) с +1
-1
17
“8 + 3c - 立2 - 2
0
10
cos3x — cosx
7Г
18
lnsin3x
7Г
6
tg22x
(6x — 7Г)2
11
tgc — tg2 sinln(x — 1)
2
19
ln(2c — 5) gSinTri _ ]
3
12
x — b
b
20
(x2 -4)(c + 2) £-2
2
Задание 3.3. Сравните бесконечно малые в нуле функции. Постройте графики функций в окрестности предельной точки.
N
aQ)
/3®)
)3)
1
Vxsinx
ln(l +，Ssin，^)
2
1 — COS V^2
sin 4^
盯
v^cos-
X
3
ztgb
，l + r-l
V^sin —
X
4
arcsin
2工-1
4^^ . н + 3 sin——
5
arctg
exp 力4.5 - 1
5v^
4K . z + 1 vx° sin
X
6
exp(—-y/x) — 1
arctg，土L5
y/x
厂 z +1 V X COS —7=~ y/X
7
22—1
arcsin，^
X
./ +1 asm X
8
%1 + e3 - 1
y/x tgZ^
2 3
3工
sin(z3)sin^^ X
N
а(х)
33)
7(c)
9
1п(1 + >Д)
1 — COS x/x
\fx
(1 — cos 检)sin 土/ ]
10
1n(1 + l2.1)
sin，£2.1
V^.isinL
11
，^ arcsine
ln(l + y/xsmy/x)
12
1 - cos v^2
arcsin
泞
H^siJ
X
13
xarctgx/x
，c +1 — 1
Vx^
X
14
sin
3X-1
• N + 3 sin——
15
tg v^^
exp- 1
5v^
y~5「N + 1
sin
X
16
gxp(-х/^) - 1
tg %L5
厂N + 1
V^ COS —7=r-
17
210H _ 1
sin v^
X
./ + 1 sin X
18
%1 + № — 1
arctg(a;3 \/S)
2 3
sin(a;3) • sin * + 1 X
19
1П(1 + дД)
1 — COS y/x
(1 — cos 施)sin ^t^
20
ln(l + 2.1厶2.1)
arcsin d2」
，^2.1
，Qi sin —
Задание 3.4. Найдите точки разрыва заданных функций и определите их тип.
N
gQ)
h(x)
1
y/[x\sin-
X
1 arctg N — 7Г
31/Н
2
力-1 arctg —— ж - 1
1 arcctg
N — 1 r2 — 2n + 1
3
1
“工 + 1 arctg £ +1
1 l+exP(f .
1
±2 — 1
4
..1 sniEsm-
2
」+ exP(Y)
3-1/"
N
/3)
'9(c)
5
- l)sin- X
1 + exp 丄 X
£ + 1
济 + 2b + 1
6
1 arctg х sm-
X
th-
X
7
]n(l + (①-I)2sin2 —彳)
2 arctg —-— ①一1
3“
8
ln(2 + £cosl)
£ + 3
X
1 一呼2
9
1 arcsine cos —
X
X
2 arctg
X — 7Г
exp(z+ g)
10
- 1) sin—二
】 1
1
x4 — 1
11
sin(x — 1) sin—-— x — 1
2 a『2 T
（旷
12
\/|土 1| sin1
x — 1
1 arcctg,+ ]
3一1/*
13
sin- 1 arctg —二
th-1 —
£ + 1
cth(①—I)2
14
力 + 1 sin —- x + 1
3
l + exP(Y)
(2一1)3-1/(7
15
sin(x + 2) sin—二 £ + 2
21
arW 一
sin(N3i/*)
16
(е\/Й _ ° sin^
cth
£ + 1
17
tg —1 arctg
N — 1
1 arctg "七 + 7Г
arcsin(xe1^r)
18
3/Г1
tg v х — 1 arcctg x — 1
3
1 + ехР0)
（工+1）21/（计1）
19
1
sina; cos -
…]3
exP(D
20
ln(l + e + l)2sm2c+J
.1 arcsin — с
Замечание. Для вычисления arcctgx и arccosx используйте тождества arctg х + arcctg х = и arcsin х + arccos 工=^ •
Задание 3.5. Найдите (аналитически и графически) точки, в которых достигаются наибольшее и наименьшее значения заданной на отрезке непрерывной функции. Найдите нуль функции на заданном отрезке. Решите уравнение /(м) = 0.
N
/3)
Отрезок
1
{/2(2；-2)2(8-ж)-1
[0,6]
2
4
[1,4]
3
2 16 “
х Н16
X
[1,4]
4
2(/+ 3)1
£2 一 2土 + 5
[-з,з]
5
2\fx — x — 0.5
[0,4]
6
1+ %2(c-1)2(c — 7)
[-1,5]
7
x — 4^/^ + 3
[1,9]
8
10c
R + 1 3
[0,3]
9
-2+ %2(c + 1)2(5-c)
[-3,3]
10
с 2108“
2z Hо— 59
[2,4]
11
@ + 2)2
[-1,2]
12
%2叫e-3)
[-1，6]
13
2(-/ + 7—7) £2 - 2土 + 2
[1,4]
14
£-4"+ 2 +5.5
[-1,7]
15
]-〃2(7一 2)2(5一 7)
[1,5]
16
4土
±2 + 4
[-4,2]
17
8 X2
8 Н—
z 2
—4,-1]
18
1 + 〃2z2(z — 6)
[-2,4]
N
/3)
Отрезок
19
2х(2х + 3) 岔2 + 4н + 5
[-2, 1]
20
2(川 + 3) , 。
х2 + 2х + 5
[-5, -2.8]
Задание 3.6. Найдите по определению производную функции /(£)• Вычислите значение производной в точке х = 0, имея в виду, что /(0) = 0.
N
/3)
N
/(®)
1
tg(d + x2sin-^
11
,./ 2 • 6、
x + arcsinf ж sin - 1
2
arctg(£cos V)
12
tg^es^ — i + g
3
sin(tsin3)
13
arctgcsin —
X
4
arcsinf x2cos
'9xJ
14
2x2 + x2cos ± 9c
5
ln(l — sinQSsinL))
15
211
X cos —
9i
6
sin (exp (f sin ^) - 1) +e
16
2x2 + «cos - X
7
24 x2
£ cos-—1-— 3x 2
17
In COS £
8
у 1 + ln(l + dsin 丄)—1
18
6x + xsm- X
9
sin (exp (/sin 乡 -1) +c
19
£— COS £
10
.5
Sin X COS - X
20
exp(£sin5£)— 1
Задание 3.7. Вычислите производную функции /(х) по определению. Найдите значение производной функции в указанной точке. Вычислите по определению односторонние производные функции д(±) = |/(с)| в этой точке. Постройте графики обеих функций и объясните различие поведения функций в окрестности указанной точки.
N
/(®)
00
N
/3)
t（）
1
«-9
3
3
a;2-0.16
0.4
2
x2 — 1
1
4
x2 -x - 2
-1
N
/3）
⑦о
N
/3）
%
5
（£- 1）（£ + 3）
-3
13
（£-7）（2；- 1）
7
6
（е + 1）（с + 3）
-1
14
（e + 7）（£- 1）
-7
7
х2 — Зх + 2
2
15
« - 8n + 7
1
8
х2 + Зх + 2
-1
16
f-9/4
3/2
9
« + 4с + 4
-2
17
/ -100
10
10
« — 4/ + 4
2
18
（£+l）（N-3）
3
11
а;2-16
4
19
（£ — 1）3 — 3）
1
12
« — 0.25
0.5
20
/ + 5n — 4
1
Задание 3.8. Изобразите график заданной функции и подтвердите построение аналитическим исследованием: найдите координаты точек пересечения с координатными осями, найдите и постройте наклонные асимптоты. Запишите уравнения вертикальных асимптот.
N
f（H）
N
f（H）
1
4« + 5
4e + 8
11
2 一川 ，9工2 - 4
2
17-/
4n — 5
12
n$ + Зе? — 2n — 2
2-3必
3
/ - 3 "4① 2 - з
13
3/一7
名工1
4
* — 4x 3^2 — 4
14
/ _ 5
7蠢二R
5
4川 + 3* — 8n - 2
15
« — 6n + 4
2-322
2-2e
6
/ 一 3
\/3a;2 一 2
16
21-/
7e + 9
7
2/ — 6
X - 2
17
222一7 "322 - 2
8
М + ①2 — 3①-1
18
2/ — 3z2 — 2e + 1
z2 — 1
3^2 — 1
9
4* - 3 ① 4①2 - 1
19
f2 — 11 4①一3
10
« — 6n + 4
Зе — 2
20
2/-9 "①2 - 1
Задание 3.9. Изобразите график заданной функции и подтвердите построение аналитическим исследованием: постройте график производной, найдите нули производной. Найдите координаты точек экстремума.
^
N
1
3%(с + 4)2-2с —8
11
2
1 — %J；2 _ 2н
12
6令622
3 + 2)2+ 8
3
12〃(с + 2)2-8с-16
13
2z — 2_3*(c-l)2
4
12*6(с-2)2 х2 + 8
14
2+ 〃8z(z + 2)
5
8z-16-12%(z + 4)2
15
3〃6(c — 4)2 x2 — 4x + 12
6
12.6(с — 1)2 (z + l)2+ 8
16
3，z-2)2-2z + 4
7
9%(c + l)2-6c-6
17
3%6(c + l)2 Q + 3)2 + 8
8
*(e-2)2一1
18
*(c +2)2 — 1
9
%(n + 4)n
19
%(c + 4)(2 - 4)
10
6〃6(С-3)2
3 — 1)2+ 8
20
3*6(c — 5)2 3-3)2+ 8
Задание 3.10. Изобразите график заданной функции и подтвердите построение аналитическим исследованием: постройте график второй производной, найдите нули второй производной. Найдите координаты точек перегиба, если они есть.
N
f(c)
N
〃c)
1
8(c -1) (X + 1)2
4
re2+ 2
2
5x x2 + 3
5
/x + 2\2 b-2丿
3
x3 — 27c + 54
X3
6
3 + 1)产
N
/(®)
N
7
/ — 6с + 9 (7-1)2
14
Q+P
8
(ж + 4)е-1-3
15
2/ + 1
£2 + 3
9
Зс— 2 х3
16
(22 - 1ь2(1-工)
10
5/
Д；2 +2
17
5工2
Д；2 + 3
11
(2с + 4)е2(1+2)
18
За-2 (£ +1)3
12
Зе
19
（2c + 3诃2（1+工）
13
-(а； + 4)ет-з
20
8ж2 金2 + 8
Задание 3.11. Постройте график функции и подтвердите изображение аналитическим исследованием.
N
/3)
N
1
%(1 + 7)(z2 + 2c-2)
11
〃(]-z)(c2-22 — 2)
2
• (x2 — 4a + 3)2
12
壮 23+ 2)2
3
V^x2(x + 3)
13
"(z + 2)2(c —1)
4
%(c + 2)2(c —4)
14
弘(z-2)2(c+ 1)
5
〃(c+1)2-0(c + 2)2
15
*(7 + 2)2一%@ + 3)2
6
^/(х + 2У-{/(х-ЗУ
16
%(£ + 3产6
7
%(Z-l)2- %(2一 2产
17
，(立一l)? — *^
8
{/@-4)2(7+ 2)
18
%£2(£-6)
9
»(x2 — 2x — 3)2
19
呪e2(£ + 4)2
10
y^(3 + x)(x2 + 6a + 6)
20
*(2+7)(72 + 47 + 1)
Задание 3.12. Изобразите линии, заданные в декартовых координатах явно уравнением у = /(工)и неявно уравнением 尸(工,у) = 0. Запишите уравнения касательной и нормали к каждой кривой в указанных точках и изобразите их на графике.
N
f(c)
®O
FQ,y)
(g, Уо)
1
shx
1
行+ L
2
Inx
2
з + L
3
1 + - X
1
34
卜冷一冋
4
1 + - X
-1
72 y2 勺+ L
5
网(z-1)
2
3y2 - 4/ - 12
И)
6
罔(z-1) 土 + 1
-2
(л/9, л/8)
7
* — 32
X2
1
?一7一
（《一小）
8
/-32 X2
-5
(一^, -л/8)
9
.£(£ + 6)2
5
1"一万一
i甸
10
sh Зх
0.5
У2 X2 з + L
㈢）
11
1п(—Зх)
-1
29
C I)
12
2 + -
X
-1
京+L
13
2+- X
1
о 9
з+L
(厂I)
14
同(7-2) х + 2
3
4« + 3方 一 12
(h)
15
同3 - 2) 7+ 2
-3
1"一4一
（书
N
/3)
①0
尸 3,у)
(纪о, Уо)
16
{/е(£ + 6)2
-8
2 9 虻一兰
3 一彳一
(Т
17
/ + 8 7^4
3
22
УТ-
18
土2 + 8
V^2 — 4
-3
22
УТ-
(-Я
19
10/-9
，4e2 - 1
10
4« + зу2 - 12
ст
20
10/- 9
，422 - ]
-10
4« + зу2 - 12
(■4 т)
Задание 3.13. Изобразите на плоскости кривую, заданную параметрически, касательную и нормаль к ней в указанной точке.
N
c(t)
y(t)
(%, Уо)
1
(1, 1)
2
/
*
(1,-1)
3
/
1 + t3
1 +t3
鳥1)
4
/ 1+t3
1 + t3
5
/
1 + t3
1 + t3
6
俨
1 +/
1 + i3
7
cos?力 +COS 力
cos 力 sin 力 + sini
/1 + ^ 1 + 吟
[2，2 丿
8
.3 t
4 cos -
4
…3方
4 sin -
4
缽j)
9
/
1 + t2
/
1 + t2
N
c(t)
y(t)
(%, Уо)
10
/2
2/3
(1, 2)
11
/2
2户
(1, -2)
12
3t2
3力
1 +/3
1 + /3
13
3/
3/
1 + /3
1 + /3
14
3t2
3/
(У)
1 + /3
1 + /3
15
з/
3/
© 3
1 + #
1 + /3
16
2 cos2/ +cos/
2 cos/sin / + sin/
(2 + v^ 2 + 吟
(2，2 丿
17
4 cos3 7
4
4 sin3 7
4
缽,勻
18
t — sin/
1 — cos/
［厂亍—彳丿
19
t — 2sin/
1 — 2 cos t
(r 1-吩
20
-/2
2户
(-1, 2)
Задание 3.14. Изобразите кривую, заданную в полярных координатах.
N
P（8）
N
P（8）
1
9
6
—2ctgs
2
29+ 1
7
2，cos2w
3
3 + 2
8
2 sin 69
4
2sin39
9
2 cos(s/3)
5
2cos9 + 3
10
二+1 smq
N
Р（8）
N
P（8）
11
3
屮2
16
5sin^
12
2(1 — cos</?)
17
2cos 屮+ 1
13
5 sin 学
18
-+ 3
14
sin^
19
2cos 屮 + 2
15
2r
20
2 ctg 3
Задгшие 3.15. Запишите формулу Тейлора заданной функции. Исследуйте аналитически и графически зависимость погрешности приближенной формулы Тейлора от степени многочлена и от расстояния \x — xq\. Исследуйте поведение остаточного члена формулы Тейлора. Выполните задание для функции /(ж) из задания 3.12.
Задание 3.16. Запишите для заданной функции формулу Тейлора указанного порядка в окрестности точки xq. Изобразите график функции и ее многочлена Тейлора.
N
/(®)
•Co
n
1
x2 — 2exp(x — 1)
1
5
2
« — 4w — (w — 2) ln(x — 1)
2
4
3
cosx + chx
0，
5
4
x2 _ 2x — (x — l)lnz
1
6
5
sin2(z — 1)「« + 2c
1
5
6
z2 — 2x + 1 + 21n(6 + 1)
0
6
7
sinx + she — 2c
0
6
8
sin2(z — 2) — x2 + 4x — 4
2
5
9
(x — 2) sin(c — 2) + 4x — x2
2
6
10
« — 2c - 2exp(x — 2)
-2
5
11
(x — l)sin(x — 1) + 2x —x2
1
4
12
sin(c — 1) +2x — x2
1
5
13
x2-4z + 3 + 21nx
1
6
14
—cosx — chx
0
6
N
/(®)
®o
n
15
-/ —2е1
1
5
16
х3 — Зх2 — 6х — 5 + бе1
0
5
17
2х — sinx — shx
0
6
18
1 — 2х — х2 — 2cos(x + 1)
-1
5
19
sin2(x + 2) — « — 4® — 4
-2
5
20
16 + 15x + 6x2 +x3 — бе'+i
-1
5
Задание 3.17. Изобразите кривые спроса и предложения. Найдите равновесную цену. Выполните задание для функций 0(Q) = —AQ + В и S(Q) = Q2/c + q/o + e
N
4
В
c
Q
E
N
4
В
c
Q
E
1
3
120
4
2
80
11
4
140
5
5
50
2
5
12
4
2
80
12
5
130
5
7
80
3
4
100
3
2
70
13
7
150
5
7
80
4
5
120
2
5
70
14
6
140
7
7
70
5
7
100
2
5
70
15
4
140
7
7
70
6
6
120
3
7
90
16
3
120
3
2
70
7
4
140
7
2
60
17
5
120
3
2
70
8
5
130
7
2
60
18
4
100
2
5
70
9
7
100
7
2
60
19
6
120
2
5
70
10
6
140
5
5
50
20
7
100
3
7
90
Q£(£ + 3)Q£(£ + 3)Задание 3.18. Изобразите график заданной функции спроса. Исследуйте вид кривой при разных значениях параметров.
Q£(£ + 3)
Q£(£ + 3)
х2 +7 ”ахх2 +7 ”ахВарианты 1-10: исследуйте функцию 0о(£)=
х2 +7 ”ах
х2 +7 ”ах
^
a
0
7
^
a
0
7
^
a
0
7
^
a
J3
7
1
11
3
2
6
13
4
2
11
11
3
2
16
13
4
2
2
12
3
2
7
12
4
2
12
12
3
2
17
12
4
2
3
13
3
2
8
12
5
3
13
13
3
2
18
12
5
3
4
14
3
2
9
12
5
4
14
14
3
2
19
12
5
4
5
14
4
2
10
10
5
5
15
14
4
2
20
10
5
5
В арианты 11-20: исследуйте функцию Di(х)=
Задание 3.19. Найдите графически и численно максимальную прибыль и границы прибыльного производства для заданной функции полного дохода и функции издержек. Выполните вычисления для функции дохода Р = AQ — Q? и для функции издержек С = С『+ &Q.
N
А
Cv
N
А
q
G
N
A
Q
cv
N
A
cv
1
10
60
0.6
6
10
80
0.2
11
11
80
0.6
16
12
100
0.6
2
10
60
0.9
7
10
100
0.6
12
11
80
0.9
17
12
100
0.9
3
10
60
0.2
8
10
100
0.9
13
11
80
0.2
18
9
80
0.2
4
10
80
0.6
9
10
100
0.2
14
12
100
0.2
19
9
80
0.6
5
10
80
0.9
10
10
100
0.5
15
12
100
0.5
20
9
80
0.9
Задание 3.20. Вычислите средние и предельные величины для заданной производственной функции у = a(bx)m/fn.
N
a
&
m
n
N
a
&
m
n
1
2
2.2
4
5
11
1.1
2
3
4
2
3
3.3
3
4
12
2.3
3
2
3
3
4
4.4
4
5
13
3.4
4
3
4
4
5
5.5
3
4
14
4.5
5
2
3
5
4
6.7
4
5
15
5.6
4
3
4
6
3
7.6
3
4
16
6.5
3
2
3
7
2
5.4
4
5
17
5.5
2
3
4
8
1
4.5
3
4
18
7.4
1
2
3
9
0.9
2.9
4
5
19
4.7
0.9
3
4
10
1.9
3.0
3
4
20
3.3
1.9
2
3
Задание 3.21. Найдите для заданной функции спроса 尸(Q)工-aQ2 + + bQ + с эластичность Eq спроса по цене и соответствующий предельный доход. Постройте графики эластичности Eq и предельного дохода. Найдите значение Q и соответствующую цену, при которой |Eq| = 1. Сформулируйте выводы.
N
a
&
c
N
a
6
c
1
1/15
0.5
0.7
11
0.1
6/7
0.3
2
1/15
4/7
0.7
12
0.1
6/7
0.5
3
1/15
4/9
0.7
13
0.1
6/7
0.7
4
1/15.
5/7
0.7
14
0.1
6/7
1
5
1/15
5/9
1
15
2/15
6/7
1
6
1/15
5/9
0.8
16
2/15
6/7
0.9
7
1/15
5/9
0.5
17
2/15
6/7
0.8
8
1/15
5/9
0.6
18
2/15
6/7
0.7
9
0.1
5/9
1
19
2/15
6/7
0.5
10
0.1
5/9
0.8
20
2/15
6/7
0.3
Задание 3.22. Вычислите неопределенный интеграл //(土) d土 и проверьте правильность вычислений, постройте графики семейства первообразных.
N
/(®)
N
/3)
1
1
/
11
1 + COS X
sin2x(l — cosx)
1 + cosx + sinx
2
cosx — sinx
12
sine
(1 + sinx)2
1 +cosx + sinx
3
1
13
cosx
sinc(l — sine)
1 + cose + sinx
4
cosx
14
cosx
5 + 4 cos x
1 + cosx — sinx
5
cosx
15
cosx
1 +sinc — cosx
(1 +COS£ + sinrr)2
6
cosx
2 + sinx
16
sinx (1 + sinx)2
7
cose
17
sine
(1 — cosc)2
(1 + cosx — sinx)2
8
1
18
sin 2
cosx(l — cosx)
(1 + COSX + sinc)2
9
1
19
1
(1 + sinx - cosx)2
sinx(l + sinx)
10
1 + sinx
20
sinx
1 + sine — cosx
2 + sinx
Задание 3.23. Для заданной функции /(х) исследуйте поведение интегральных сумм на отрезке интегрирования [а, 6], разбивая его на равные части. Вычислите определенный интеграл и сравните его значение со значениями пределов интегральных сумм.
N
/3)
[a, b]
N
/(®)
[a,b]
1
« — 9
[0,3]
7
工2-0.16
[-0.4, 0.6]
2
x2-l
[-1,1]
8
x2 — x — 2
[-3,1]
3
(x 一 l)(x + 3)
[-3, 1]
9
(工-7)(c- l)
[1,7]
4
(x + l)(x + 3)
[-2, 0]
10
(x + 7)(x 一 1)
[-7,1]
5
« — 3c + 2
[2,4]
11
№ — 8x + 7
I 5]
6
c? + 3c + 2
[-1，3]
12
/ - 9/4
[2,3]
N
/(®)
[a,b]
N
〃0)
[a,b]
13
/ + 4n + 4
[-2,2]
17
/ - 100
[5, 10]
14
/ — 4м + 4
[2,4]
18
(工 + 1)(£ — 3)
[T 3]
15
/ — 16
[O,4J
19
(N — 1)(N — 3)
[1,4]
16
/ - 0.25
[-0.5, 0.5]
20
« + 5n — 4
[1,3]
Задание 3.24. Вычислите определенный интеграл //(£)d£ непосредственно и с помощью замены переменных.°
N
/(®)
[a,b]
N
/(®)
[a,b]
1
,256 -立2
[0,16]
11
(64-*3/2
[0, 4人]
2
[0,1]
12
4 X
(16 — X2)3/2
[0, 2V2]
3
1
[0,5]
13
1
[0,^]
(1 +/)3/2
(25 + х2)^5 + х2
4
/2-н
V^-6
[3,5]
14
/9-2н
V 2х-21
[6,9]
5
1 (5-/)3/2
15
/ 6 — X Vn-14
[8, 12]
6
X4 (1 — /2)3/2
16
/ 4 — x Vc-12
[6,10]
7
ехр(уШ)
(4 + X)，16 —①2
[0,4]
17
(9 +x2)3/2
[0,3]
8
，4 -e2
[0)2]
18
1 - % + 2 游 x + 2\/^+ Vx^
[1,64]
9
①2\/16 - X2
[0,4]
19
ехр(ЛЦ)
(3 + *)，9 —① 2
[0,3]
10
①2,25 -①2
[0,5]
20
(2 -/)3/2
[0,1]
Задание 3.25. Исследуйте функцию, заданную интегралом с переменным верхним пределом / f(t) dt.
N
а
N
Н，）
а
1
Гхр(-т)
0
11
*（一用
0
2
±xp（一宁）
0
12
7Г，9 — X2
0
3
7Г，4 — X2
0
13
4*ехр(-亍)
0
4
2*ехр(-^)
0
14
/ (£ + 2)2、
0
5
sinx
X
0
15
1 eхp(一汩
2 (1 + ехр(-宁
0
6
ехр(-т)
0
16
1 exp(W)
2(宀冲(号))2
0
7
总хp (-少
0
17
sin2x X3
1
8
Х\/^2 +1
1
18
2 coszx
X3
1
9
鳥 exp（-；（审））
0
19
x +12
X4 + X2 + 1
0
10
/хР(Т)
0
20
州pV)
0
Задание 3.26. Вычислите несобственный интеграл по неограниченному промежутку непосредственно и через предел. Постройте график допредельной функции, заданной интегралом с переменным пределом.
J (1 +工产 1J (1 +工产 18
J (1 +工产 1
J (1 +工产 1
/告
1
5.
ОО
1
6.
ОО
7
ОО
,1
8.
ОО
0
J X2
0
+ 2х + 2
/ (±2 + 1)2 1
J Cine 2
9.
ОО
0
一工2
10.
ОО
/ arctgx / 1 + X2
1
11.
ОО 2
0
12.
ОО
0
ОО
1
OO
ОО
7 1
ОО
13.
14.
/X
15.
16.
0
丿必
0
+ 2
/(1 + z)3 0
/ X2 Inx 2
17
ОО
尸2
+ 1
18.
ОО
/ 1
19.
ОО
7 с
20.
ОО
/产产 0
0
+ 1
丿 2，22 — 1
丿 1 + х3 0
Задание 3.27. Вычислите несобственный интеграл от неограниченной функции по заданному отрезку непосредственно и через предел. Постройте график подынтегральной функции и график функции, заданной интегралом с переменным пределом.
1/ dx010/ xln X02( dx1/ dx010/ xln X02( dx2.2.5.5.8.8.тг/2—COSX ,Г 113.0-z——dx 土厶тг/2—COSX ,Г 113.0-z——dx 土厶111116. У In2 х dxо219.J，《二 22016. У In2 х dxо219.J，《二 22020.20.1/，1 - h201/ (1 — x)x3 dx1/，1 - h201/ (1 — x)x3 dxо3о3/ dx/ (z-3)(z-2)2/ dx/ (z-3)(z-2)2112/ xdx2/ xdx(，(工一1)(2 - 工)-11о(，(工一1)(2 - 工)-11о3./0к/26./0In sin n deтг/29.1 — cosx , dx012.1(1 — x)x2dx03./0к/26./0In sin n deтг/29.1 — cosx , dx012.1(1 — x)x2dx015.15.18.18.
1
/ dx
0
1
0
/ xln X
0
2
( dx
1
/ dx
0
1
0
/ xln X
0
2
( dx
2.
2.
5.
5.
8.
8.
тг/2
—COSX ,
Г 1
13.
0
-z——dx 土厶
тг/2
—COSX ,
Г 1
13.
0
-z——dx 土厶
1
1
1
1
16. У In2 х dx
о
2
19.
J，《二 22
0
16. У In2 х dx
о
2
19.
J，《二 22
0
20.
20.
1
/，1 - h2
0
1
/ (1 — x)x3 dx
1
/，1 - h2
0
1
/ (1 — x)x3 dx
о
3
о
3
/ dx
/ (z-3)(z-2)
2
/ dx
/ (z-3)(z-2)
2
1
1
2
/ xdx
2
/ xdx
(，(工一1)(2 - 工)
-1
1
о
(，(工一1)(2 - 工)
-1
1
о
3.
/
0
к/
2
6.
/
0
In sin n de
тг/2
9.
1 — cosx , dx
0
12.
1
(1 — x)x2dx
0
3.
/
0
к/
2
6.
/
0
In sin n de
тг/2
9.
1 — cosx , dx
0
12.
1
(1 — x)x2dx
0
15.
15.
18.
18.
Задание 3.28. Исследуйте на сходимость ряды
ОООООООО
сп иdn.
П=1Я=1П=1П=1
Изобразите графики членов ряда и последовательности частичных сумм.
Если удается, вычислите сумму ряда.
N
On
bn
Cn
dn
1
2 п2 + п
1 .2
v^Sm 2n2 + l
n!
2n+ 1
713n
2
54
arctgn2 n2
2n
.n 3 arcsm — 7n
几2 + 5п + 4
((n-1)!)2
3
72
几2 + 5九+ 4
1 一 sinn n(n2 +1)
4n
S + 2)3几 71n
4
72
几2 + 6"+ 4
12
2九 +1
n!1
丽tg*
П + 3
"(3n +J
5
36
几2 +几+ 2
Inn n(n2 +1)
,1
n! sm
2n+ 1
n2
1пП(п + 2)
6
18
n2 — n — 2
1 . 1
sinv
\M + 4 2n + 1
3n!
2n + 3
2n32-n
7
36 n2 — 5n + 4
n +1 2n(п-1)!
n (3n + l、n 5n \ n /
8
54
n2 — lln + 28
n + 1
几(几2加- 1)
S + i)3“
((n + 2)!『
(n + 1)ЗП 7n
9
18 n2 — n — 2
呻（需"
3川 aS 2“+ 3
n /5n + 1\n 5nk 2n J
10
12
n2 + 3n
arctgn n(n2 +1)
n!
几n—2
*72 —n
23f
11
36
Wti + 2 ~4n+2
3n3
n2 + lOn + 10
lnn(n + 3)
12
90 n2 — 5n + 4
n2 cos —J- n2
n 卍n? + 1
(n + 12)!y5m^) 2〃+2 +12
S + 12)2几 nn
13
72 n2 - 7n + 10
n +11 n(n^n+ 11)
川，九3 + 2 (n - 1)4n+2
14
54
arctg3 n n(n2 +1)
arctg(n + 1) 3(n + 3)!
(n + l)3
n2 - 9n + 18
lnn+1(n+l)
N
Ьп
Cn
dn
15
6 п2 - Юп + 24
ехр&%)」
n! . л/п
，H (n + 2)!
e”2-n
16
8 п2 — 8п + 15
isin з
\/Зп 2n + 3
川(n +1)! ((n + 16)!)2
2 • n 3 n sin — 7n
17
10
п2 — 6п + 8
ln(x/n + n) n2(n+ 12)
n!(n +1)! nn
3n / n + l\n 2n\ 3n )
18
18
1 — sinn
n!(2n +1)! .(2(n+l))!
.n 5
smn
2n + 5
п2 — 13п + 40
(n+l)(n + 2)
19
36 п2-13п + 40
9亳-У
n + 19 (n + 11)!
6 + 1)3”
5n
20
12
п2 — 4п + 3
鹏）
4n(Зтг + 1)! (4(…))!
^n^sin71 — nn
Задание 3.29. Исследуйте на сходимость знакопеременные ряды
£(-l)nan,*(-1)%
П=1П=1П=1
Изобразите графики членов ряда и последовательности частичных сумм. Если удается, вычислите сумму ряда.
N
an
bn
Cn
1
]
，n3 +1
12n + l \/n4 + 3
n2
\/n3 +1
2
1 Sin—7== Vn3 +1
12n + l
g，n4 + 3
12諸 + 1
，n4 + 3
3
1
g “3 +1
.12n + l
Sin - 7……=
，几3 + 3
д/пб + 2
，九3 + ]
4
с"”? -1
11
cos —= - 1 x/n
n(cos 亲 т)
5
1
g Vn3 + 3
In 忌+ 1)
佝n(亲+ 1)
6
Vn3 + 3
仰/n -1)
n2 — n
，几3 + 3
7
1 sm—== \/n3 + 3
仰/^_1)2
®(21/G1)
N
bn
Cfi
8
a1/П-1)2
，九2 + 3
.几
sin—===
\/n2 + 3
9
\2п +1/
1
tgVn5 + 1
/ 3n \n \2n +1/
10
（犷
Кг；】）
nln(l + —) \ 2n +1 /
11
2п + 3
3几3
叫一1）2
(e2/Gi)T
12
si©
21
cos —= — 1
（犷呜。
13
/ 3n \n \2n2 + J
1
，n2 + 13
/ 3n \n \2n +1/
14
(cos/
(n2 +1) Inn (n + I)3
(n3 + l)lnn (n + 1)3
15
] x/M + 12
(c』T)2
代言T）3
16
1
Sin—F=== «4 + 12
(n + l)lnn n2
(n + l)lnn n
17
1
8 x/M + 12
\ 01 4~ 1/
nln(-4= + l)
Xi/n+T /
18
(а"”-：!)?
1
sin /=
，3?2 + 3
1 ' nsin—=
^Зп + 3
19
11
cos 顶 T
31/n-1
n(31/n-l)
20
1 ，"2 + 3.2
噁+ 1)
n Vn2 + 3.2
Задание 3.30. Разложите заданную функцию в ряд Тейлора по степеням и исследуйте поведение частичных сумм ряда Тейлора в окрестности нуля. Исследуйте поведение остатка ряда.
N
f(k)
N
f(k)
1
x sin(x — 1)
3
tg2c
X
2
arcsinx £
4
1
1 — X2
N
N
f⑺
5
9
20 — х — х2
13
x sin2 x
6
2 ① sin2
14
7①
12 + w
7
х shx
15
ln(x2 + 6① + 9)
8
(3-е-1)2
16
7
12 + w —① 2
9
х歹①-2
17
хе
10
5
6 — ± — ±2
18
х ch2x
11
IM* + 4土 + 4)
19
1
1 — ±4
12
x ch ж
20
tgr 1 1
X
Задание 3.31. Запишите для заданной функции разложение в ряд Тейлора в окрестности точки д. Изобразите график функции и графики нескольких частичных сумм ряда Тейлора.
N
f(a)
纪0
N
纪0
1
2
X
1
11
ln(2x2)
1
2
Inx
1
12
2
3
w
1
13
62 ch 土
1
4
sin^H 4
2
14
(c — /) sin土
7Г
4
5
X ±2 — 5土 + 6
5
15
(x — 2)2 ch 土
2
6
x5
1
16
In v^2
1
7
X
3 + 土
2
17
X
3 — x
2
8
e-公
1
18
a:3 4-1
1
9
物
1
19
7Г
COS -X 4
2
10
3
X
2
20
shx
1
Задание 3.32. Исследуйте графически поведение частичных сумм ряда Фурье заданной функции /(х). Постройте графики частичных сумм для п = 1, 2, 5,10,20, 50. Вычислите значение частичных сумм ряда Фурье для п = 10,20,50 в точках х = -тг, 0, тг.Варианты 1-10. Выполните задание для функцииЗадание 3.32. Исследуйте графически поведение частичных сумм ряда Фурье заданной функции /(х). Постройте графики частичных сумм для п = 1, 2, 5,10,20, 50. Вычислите значение частичных сумм ряда Фурье для п = 10,20,50 в точках х = -тг, 0, тг.Варианты 1-10. Выполните задание для функции/(н)= </(н)= <[О,[О,—7Г < Ж < О,—7Г < Ж < О,（开一工）河工亍 °<*<*（开一工）河工亍 °<*<*где N — номер варианта.Варианты 11-20. Выполните задание для функциигде N — номер варианта.Варианты 11-20. Выполните задание для функции〃н)= <〃н)= <-（7r+ 立）77二7，-"3工30,-（7r+ 立）77二7，-"3工30,(°-(°-О < X < 7Г,О < X < 7Г,где N — номер варианта.где N — номер варианта.Задание 3.33. Найдите для заданной функции /(х) и для заданного значения погрешности £ тригонометрический многочлен наилучшего приближения наименьшей степени со среднеквадратичным отклонением, меньшим £. Постройте график зависимости среднеквадратичного отклонения от степени многочлена.Варианты 1-10. Выполните задание для функцииЗадание 3.33. Найдите для заданной функции /(х) и для заданного значения погрешности £ тригонометрический многочлен наилучшего приближения наименьшей степени со среднеквадратичным отклонением, меньшим £. Постройте график зависимости среднеквадратичного отклонения от степени многочлена.Варианты 1-10. Выполните задание для функции〃н)= <〃н)= <(Е + 7Г)(Е + 7Г)(7Г — X)(7Г — X)N + 1N + 2,N + 1N + 2'N + 1N + 2,N + 1N + 2'—7Г < Ж < О,—7Г < Ж < О,,0 < Ж < 7Г,,0 < Ж < 7Г,
Задание 3.32. Исследуйте графически поведение частичных сумм ряда Фурье заданной функции /(х). Постройте графики частичных сумм для п = 1, 2, 5,10,20, 50. Вычислите значение частичных сумм ряда Фурье для п = 10,20,50 в точках х = -тг, 0, тг.
Варианты 1-10. Выполните задание для функции
Задание 3.32. Исследуйте графически поведение частичных сумм ряда Фурье заданной функции /(х). Постройте графики частичных сумм для п = 1, 2, 5,10,20, 50. Вычислите значение частичных сумм ряда Фурье для п = 10,20,50 в точках х = -тг, 0, тг.
Варианты 1-10. Выполните задание для функции
/(н)= <
/(н)= <
[О,
[О,
—7Г < Ж < О,
—7Г < Ж < О,
（开一工）河工亍 °<*<*
（开一工）河工亍 °<*<*
где N — номер варианта.
Варианты 11-20. Выполните задание для функции
где N — номер варианта.
Варианты 11-20. Выполните задание для функции
〃н)= <
〃н)= <
-（7r+ 立）77二7，-"3工30,
-（7r+ 立）77二7，-"3工30,
(°-
(°-
О < X < 7Г,
О < X < 7Г,
где N — номер варианта.
где N — номер варианта.
Задание 3.33. Найдите для заданной функции /(х) и для заданного значения погрешности £ тригонометрический многочлен наилучшего приближения наименьшей степени со среднеквадратичным отклонением, меньшим £. Постройте график зависимости среднеквадратичного отклонения от степени многочлена.
Варианты 1-10. Выполните задание для функции
Задание 3.33. Найдите для заданной функции /(х) и для заданного значения погрешности £ тригонометрический многочлен наилучшего приближения наименьшей степени со среднеквадратичным отклонением, меньшим £. Постройте график зависимости среднеквадратичного отклонения от степени многочлена.
Варианты 1-10. Выполните задание для функции
〃н)= <
〃н)= <
(Е + 7Г)
(Е + 7Г)
(7Г — X)
(7Г — X)
N + 1
N + 2,
N + 1
N + 2'
N + 1
N + 2,
N + 1
N + 2'
—7Г < Ж < О,
—7Г < Ж < О,
,0 < Ж < 7Г,
,0 < Ж < 7Г,
где N — номер варианта. Значение £ положите равным 0.03. Варианты 11-20. Выполните задание для функции
〃н)= <〃н)= <7Г < X < О,7Г < X < О,（I曜，（I曜，О < X < 7Г,О < X < 7Г,
〃н)= <
〃н)= <
7Г < X < О,
7Г < X < О,
（I曜，
（I曜，
О < X < 7Г,
О < X < 7Г,
Го,Го,/1(н)= </1(н)= <I 17r2(^ + 2),I 17r2(^ + 2),О < X < 7Г,О < X < 7Г,(О,(О,—7Г < X < О,—7Г < X < О,『2（Е）= <『2（Е）= <О < X < 7Г,О < X < 7Г,
Го,
Го,
/1(н)= <
/1(н)= <
I 17r2(^ + 2),
I 17r2(^ + 2),
О < X < 7Г,
О < X < 7Г,
(О,
(О,
—7Г < X < О,
—7Г < X < О,
『2（Е）= <
『2（Е）= <
О < X < 7Г,
О < X < 7Г,
где N — номер варианта. Значение £ положите равным 0.02.
Задание 3.34. Сравните сходимость ряда Фурье для двух заданных функций разной гладкости.
Варианты 1-10. Выполните задание для функции
-7Г < X < О,
где N — номер варианта.
Варианты 11-20. Выполните задание для функции
九(н)= <九(н)= <E + 工）鬻咼-W0,E + 工）鬻咼-W0,
九(н)= <
九(н)= <
E + 工）鬻咼-W0,
E + 工）鬻咼-W0,
1°-1°-0 < X < 7Г,0 < X < 7Г,
1°-
1°-
0 < X < 7Г,
0 < X < 7Г,
/2（工）=，/2（工）=，川S+工产号/兰賞,-7r ^工二支川S+工产号/兰賞,-7r ^工二支
/2（工）=，
/2（工）=，
川S+工产号/兰賞,-7r ^工二支
川S+工产号/兰賞,-7r ^工二支
О < X < 7Г,О < X < 7Г,2
О < X < 7Г,
О < X < 7Г,
где N — номер варианта.
Задание 3.35. Исследуйте поведение частичных сумм ряда Фурье функции /(х), заданной на отрезке [-L, 〃.
Варианты 1-10. Вьшолните задание для функции /(х) = 2~^х на
Г 1 N + 1 ― N + l]z
отрезке —1 - —1 + —~- , где N — номер варианта.
L十/十
Варианты 11-20. Выполните задание для функции /(х) = (х2) ^^ на
отрезке -1 ——~, 1 + —_— , где N ——номер варианта.
L N — 9*9」
-力-力Задание 3.36. Изобразите график и линии уровня функции z = /(工用) в указанной прямоугольной области. Опишите поведение функции (укажите приближенно координаты локальных экстремумов и седловых точек, если они есть) в заданной области.
-力
-力
-в) в-в) вВарианты 1-10. Рассмотрите функцию 2 =工'严€冲卜友 квадрате -а < х < а, -а < у < а.
-в) в
-в) в
N
к
m
А
В
а
N
к
m
А
В
а
1
1
1
3
4
4
6
2
2
2
2
2
2
2
1
3
4
4
7
2
2
4
2
4
3
1
2
3
4
4
8
2
1
4
2
4
4
2
2
3
4
4
9
1
2
4
2
4
5
2
2
3
2
4
10
1
1
3
9
3
Варианты 11-20. Рассмотрите функцию z = х* х ехр(—— прямоугольнике —а < х < а, —Ь<у<Ь,
N
к
А
В
а
b
N
к
А
В
а
b
11
1
2
4
1
2
16
1
2
4
2
2
12
2
2
4
1
2
17
2
2
4
2
4
13
3
2
4
1
2
18
2
4
4
4
4
14
1
2
2
2
2
19
2
2
4
4
4
15
1
4
2
4
2
20
3
3
4
4
4
Задание 3.37. Найдите частные производные и градиент функции и ;= /(H,y,z). Вычислите в заданной точке градиент функции и производную
по направлению из этой точки в начало координат. Найдите，
дхду ах2 dxdz
а2/ а2/
8у2 ' 02?
^
f(H,yz)
(H<), J/O) Zg)
1
xyzexp(x + 2у + 3z)
(1, 0, 1)
2
sin(wyz) cos(x + 2y + 3z)
信'a")
3
(x2 — у? + z) sin(x + 2y + 3z)
(务 a")
4
xyexp(x + 2z)
(1, 1, o)
5
，工2 + 2xy + Зхг
a, 1,1)
6
xy? exp(x2 + 2y + 3z)
(1, 1, 1)
7
，的 z/sin?
% °> ")
8
XV exp — z
(1, 1, 1)
9
cos(wyz) cos(x + 2y + 3z)
信,。'")
10
，工2 + 26yz + 3^3
a, 1,1)
11
xyz2 exp(x + 2y2 + 3z)
(1, 0, 0)
12
(x2 — y2 + z) cos(x + 2y + 3z)
S")
13
(x2 + y3 + z4)exp(2w + Зу? +4公)
(1, o, 0)
14
y:y+xz-^yz
(1, o, 0)
15
3xyz +1 3c + 2y — z
(1, 2, 3)
16
yzexp(c + 2z)
(1, 1, 1)
17
xcosy + у cosz + xyzcos(xyz)
% a ")
18
]n(/ + y3 + cyz)
(1, 3, 2)
19
(3x + 2y + z) sin(x + 2y + 3z)
传'0'")
20
x2yz exp(x + 2y + 3z?)
(1, 0, -1)
Задание 3.38. Залишите для заданной функции z = /(£,g) многочлены Тейлора нулевого, первого и второго порядка в окрестности указанной точки. Вычислите и сравните значения многочленов и функции в указанных точках. Приведите вычисленные значения в виде таблицы. Исследуйте зависимость погрешности аппроксимации функции многочленом Тейлора от расстояния между точками и от степени многочлена.
Выполните вычисления для функции из задания 3.36. Выполните вычисления в окрестности любой точки экстремума функции.
Задание 3.39. Залишите для заданной функции z = f(x,y) формулу Тейлора третьего порядка в окрестности указанной точки. Найдите стационарные точки функции. Исследуйте каждую из них на экстремум. Изобразите график и линии уровня функции в окрестности стационарных точек.
Выполните вычисления для функции из задания 3.36. Выполните вычисления в окрестности любой точки экстремума функции.
Задание 3.40. Постройте график и изокванты заданной производствен
ной функции. Вычислите предельные продукты труда и капитала, а такженой функции. Вычислите предельные продукты труда и капитала, а такжекоэффициент заменяемости ресурсов. Постройте какую-нибудь изокванту икоэффициент заменяемости ресурсов. Постройте какую-нибудь изокванту икасательную к ней.Выполните вычисления для производственной функции Q = Кр1^~р длякасательную к ней.Выполните вычисления для производственной функции Q = Кр1^~р дляследующих значений р.Варианты 1-10: р = варианта.следующих значений р.Варианты 1-10: р = варианта.N + р варианты 11-20:N + р варианты 11-20:Р =Р =N-10N-9N-10N-9,где N — номер,где N — номер
ной функции. Вычислите предельные продукты труда и капитала, а также
ной функции. Вычислите предельные продукты труда и капитала, а также
коэффициент заменяемости ресурсов. Постройте какую-нибудь изокванту и
коэффициент заменяемости ресурсов. Постройте какую-нибудь изокванту и
касательную к ней.
Выполните вычисления для производственной функции Q = Кр1^~р для
касательную к ней.
Выполните вычисления для производственной функции Q = Кр1^~р для
следующих значений р.
Варианты 1-10: р = варианта.
следующих значений р.
Варианты 1-10: р = варианта.
N + р варианты 11-20:
N + р варианты 11-20:
Р =
Р =
N-10
N-9
N-10
N-9
,где N — номер
,где N — номер
Задание 3.41. Изобразите график заданной функции Кобба ——Дугласа двух переменных. Постройте для нее изокванты. Вычислите эластичности выпуска по ресурсам и предельную норму замены ресурсов.
Выполните вычисления для функции ~^^Q(K,L), где Q(K,E) — функция из задания 3.40, a N — номер варианта.
Задание 3.42. Исследуйте поведение заданной CES-функции. Изобразите ее график и изокванты. Вычислите предельную норму замены труда капиталом и эластичность. Выполните вычисления для CES-функции Q(K,Z) = 4(ВК-р + (1 — В)£-Р)т"
N
4
В
Р
N
4
В
Р
1
1.03
'0.634
0.75
11
1.13
0.644
0.85
2
1.04
0.635
0.76
12
1.14
0.645
0.86
3
1.05
0.636
0.77
13
1.15
0.646
0.87
4
1.06
0.637
0.78
14
1.16
0.647
0.88
5
1.07
0.638
0.79
15
1.17
0.648
0.89
6
1.08
0.639
0.80
16
1.23
0.654
0.65
7
1.09
0.640
0.81
17
1.24
0.655
0.66
8
1.10
0.641
0.82
18
1.25
0.656
0.67
9
1.11
0.642
0.83
19
1.26
0.657
0.68
10
1.12
0.643
0.84
20
1.27
0.658
0.69
ГЛАВА 4
Задание 4.1. Найдите решение уравнения с разделяющимися переменными 2/ = Х(б)У(у), удовлетворяющее начальному условию у(бо) = уо- Изобразите график решения.
N
尸(С,У,у') = о
Начальное условие
1
(е* + l)dy + е*& = 0
У(0) = 0.5
2
у In у + £，= 0
贝1) = e
3
，4 — ®2，+ £才 + N = 0
У(0) = -tg2
4
2 — е工
Зе工 tgyd/H—dy ~0
cos2x
y(l) = arctg(2 — e)
5
(l + ex)yy' = ex
y(o)= 1
6
，sinx = у Iny
M*e
7
xdx ydy =u
1 +y 1 +n
У⑴=1
8
(1 + y2)dx = xdy
y(W)=i
9
2^? =，
y(0) = 1
10
(ex + 2) dg + 2e* Jx = 0
1■
У(0) = g
11
2y In у + xyf = 0
У⑴=e
12
'亍-R 〃 + xy2 + N = 0
y(0) = -1
13
xdx ydy
=o
1+g 1+n
y(0) = 1
14
у Inydx Л- xdy = 0
У⑴=1
15
^xdx — 6gdg = 262gdy — 3xy2 dx
У⑴=2
16
xdx — ydy = у/ dy — £力 dx
У⑴=1
17
3(£2g + g)dg+，2 + g2 dz = 0
у(0) = 1
18
，sinx = siny
/я\ 7Г
Ч2； = 2
19
，1 — /2，+ xy2 + x = 0
у(0) = 0
20
(e2H + 3)dy + 2e2Hdz = 0
у(0) = 0.25
Задание 4.2. Решите на отрезке [хо, xend] задачу Коши 式=/(工,，), у(工о) = у。методом Рунге — Кутты с постоянным шагом. Изобразите графики решений, вычисленных с шагами 儿 2/i и h/2.
Выполните вычисления для уравнений из задания 4.1. Значение хеп^ > £о выберите самостоятельно. Сравните результаты вычислений задания 4.2 и задания 4.1.
Задание 4.3. Решите задачу Коши 折 =力(工,力,，2),达=/2(工,2/，2/2), 2/1 (a) = 2/ii0, 2/2(a) = 2/2,0 на отрезке [a, b] методом Рунге — Кутты с постоянным шагом h = 0.1. Изобразите графики решений, вычисленных с шагом Л, 2Л и Л/2.
N
Л(®,!/1,!/3)
A(®,!/i,!/2)
Ui(a)
У 2(a)
a
b
1
^%+,"好)
sin(yiy2)
1
0
-1
1
2
arctg(x2+i/2)
sin(H + yi)
0.5
1.5
0
2
3
«У1 +У2
С08(У! +ЖУ2)
-1
1
0
4
4
ж2 + У2
砌沙2
1
0
0
5
5
X
У2
0.2
0
-1
1
у/1 + х2+у1
，1+72+必
6
8Ш(Ж2 + У2)
cos(xyi)
0
0
0
4
7
siny2
cosyi
0.5
-0.5
-1
3
8
XCOS(yi +у2)
sin(yi - У2)
-0.6
2
2
5
9
sinyi cos2 У2
cosyi COSJ/2
0
0
-1
3
10
2^3x2 + yl + yi
у Ж2 + y^ + У2
0.5
1.2
0
2
11
好
У2
У1 -У2
1
1
1
3
12
У2 + Jr? +必
У2 cosx —sin2x
0.8
3.5
2
4
13
exp(yi +У2)
u2 一① exp®i + y2)
1
-1
2
4
14
1
1
0
-3
2
5
3+ехр(-?л)
2 + exp(-yt)
15
COS (yi 1/2)
sin(yi +y2)
0
0
0
2
16
У2 In Ж
У1+У2
-2
-1
1
4
N
/1(®,У1>Уз)
Л(®,У1,у3)
Ут(а)
У?(а)
а
ь
17
Г +就
(У1 -У2)2
0
1
-1
1
18
arctg(xy2)
sinyi
0
0
-2
1
19
У1 +У2
1 + У? + У2
0
0
0
4
20
у1 + у1
У1У2
一1
1
0
4
Задание 4.4. Найдите общее решение линейного однородного уравнения второго порядка у" + &田 + a2y = 0. Решите задачу Коши у" + a】g‘ + a2y = 0, д(а) = у。，у1^ = У1- Проверьте правильность решения. Изобразите его график.
N
&
а?
У(а)
У‘(а)
а
1
2
0
1
1
0
2
-4
4
0
1
0
3
2
0
0
0
тг/2
4
0
1
3
0
-7г/2
5
2
5
0
0
1
6
-4
4
1
1
0.3
7
6
13
-1
1
0.25
8
0
1
4
1
7г/2
9
2
5
6
2
-7г/2
10
-4
8
0
2
1
11
2
0
0
2
0
12
-4
4
-1
0.5
2
13
0
1
1
1
тг/2
14
2
5
4
-0.5
-7г/2
15
6
13
5
2
0.8
16
-4
8
0
0.5
0.75
17
2
0
1
1
-1
18
-4
4
-1
0
7г/2
19
6
13
-2
2
1
20
0
1
8
0.5
0.3
Задание 4.5. Найдите общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка L(g) = /(с) с оператором L(y) из задания 4.4. Проверьте правильность решения.
N
『3)
N
f3)
1
4e*(sinw + cosw)
11
6eI(sinx4-cosx)
2
—sin2w
12
已 2* sin4w
3
е~з*cosж
13
—17sin2w
4
ex(sinx4-cosx)
14
3ex(sinx7)-cosx)
5
10cos ж
15
ex(—sinx + 2cosw)
6
е2х sin 5 ①
16
—2ex(sinx4-cosa;)
7
10ex(sinx + cosx)
17
e?當 sin3x
8
2 cos 5 ① + 3sin5w
18
已-з工cos4①
9
—2sin£
19
e*(5sin£ - 3cose)
10
2 cos 4x + 3sin4 ①
20
—cosw
Задание 4.6. Найдите в указанных точках решение задачи Коши для заданной жесткой системы н‘ = Ан, H(U) = Xq методом матричной экспоненты и с использованием функций Stiffb или StifFr. Матричную экспоненту вычислите приближенно, используя тейлоровское разложение. Постройте и сравните графики полученных решений.
1.
A =
/ -1.800
-51.350
12.175 \ 5.165
23.200
-41.500
-0.250
16.800
9.700
-40.000
5.000
30.300
8.350、
-31.350 1
2.175
21.500 /
bo =
(0.842 \ 0.540 -0.416
\ 0.909 /
/ 22.600
47.600
29.600
27.800 \
/ 0.909 \
2.
A=
-26.800
—4.600
-22.000
-17.000
-20.000
-10.000
-16.800 I
-9.600
bo =
-0.416
-0.654
\ 2.200
-27.600
-9.600
-13.000/
\-0.757/
/ 37.000
65.333
42.833
40.583 \
/ 0.141 \
3.
A=
-18.917
-13.042
-15.833
-27.083
-13.333
-18.333
-12.250 I
-16.375 1
配=
-0.990 0.960
\-20.583
-52.000
-29.500
-30.833 /
\-0.279/
/ 48.900
81.400
54.400
51.700 \
/-0.757 \
4.
A =
-15.200
-19.400
-13.000
-35.500
-10.000
-25.000
-10.200 I
-21.900 1
阮二
-0.653
-0.146
\-36.700
-71.400
-44.400
-44.500 /
\ 0.989 /
5.
59.800
13.150
-24.925
-50.150
96.800
-11.150
-43.250
-88.800
65.300
-8.000
-31.000
-57.300
62.150 \
-9.150
-26.925
-56.500 丿
/
,Ьо =
-0.959 \
0.284 I
-0.839
-0.544 /
/
70.200
111.870
75.867
72.267
/ 0.960 \
-11.933
-10.667
-6.667
8.600
1 .
0.960 1
6.
А — 1
I}=
-30.033
-50.667
-36.667
-31.700
0.844
-62.267
-105.200
-69.200
-67.667
\-0.537/
/
80.314
126.740
86.243
82.167 \
/0.657\
11.193
-10.214
-5.714
-8.336
0.759
7.
-34.904
-57.893
-42.143
-36.332
,bo =
0.137 ■
-73.621
-121.033
-80.529
-78.357 /
\ 0.991 /
/
90.25
141.50
96.5092.00 \
/ 0.989 \
-10.75
-9.94
-4.44-8.25 1
厶 1 -0.146 1
8.
-39.62
-65.00 -47.50「36.33 卜
阮=-0.958
\
-84.5 -136.50 -91.50 -88.75 /
\-0.288/
/
100.07
156.18
106.68
101.73 \
/
0.412 \
-10.510
-9.944
-4.444
-8.283
-0.839
9.
-39.625
-65.000
-47.500
-40.875
卜bo =
0.660'
-95.061
-151.73
-102.23
-98.944
\
-0.751 /
/ 109.80
170.80
116.80
101.73
\
/-0.544 \
-10.400
-10.000
-4.000
-8.400
-0.839
10.
А =
-48.800
-79.000
-58.000
-49.800
卜bo =
0.408
1一105.40
-166.80
-112.80
-109.00
\ 0.913 /
/ 119.47
185.38
126.88
121.03
/ -1.000
-10.395
-10.136
-3.636
8.577
-0.0044
11.
-53.302
-85.932
-63.182
-54.211
,Ьо =
-1.000
J15.58
-181.75
-112.80
-109.00
\-0.0088
/ 129.10
199.93
136.93
130.63
\
/-0.537 \
-10.467
-10.333
-3.333
-8.800
0.844
12.
-57.767
-92.833
-68,333
-58.600
,阮=
0.424
\-125.63
-196.60
-133.60
-128.83
/
\-0.906/
/ 138.69
214.46
146.96
140.21
\
/ 0.420 \
-10.596
-10.577
-3.077
-9.058
0.907 I
13.
А =
-62.202
-99.712
-73.462
-62.971
. 0.647 1
\-135.60
-211.38
-143.88
-138.65
\ 0.763/
/ 148.26
228.97
156.97
149.77
/ 0.991 \
-10.771
-10.857
-2.857
-9.343
0.137
14.
А =
-66.614
-106.57
-78.571
-67.329
卜尻=
-0.963
\-145.49
-226.11
-154.11
-148.43 /
\ 0.271 /
/ 157.80
243.47
166.97
459.32
/ 0.650 \
-10.983
-11.167
-2.667
-9.650
I -0.760
15.
А =
-71.008
-113.42
-83.667
-71.675
，Ьо =
1 0.154
\-155.32
-240.80
-164.30
-158.17/
\-0.988/
/ 467.32
257.95
176.95
168.85 \
/-0.288
16.
4 =
-11.225
-11.500
-2.500
-9.975
,Ьо =
-0.958
-75.387
-120.25
-88.750
-76.013
0.834
^-165.10
-255.45
-174.45
-467.88 丿
〈0.551
/ 176.84
272.42
186.92
178.37 \
/-0.961
4 =
-11.491
-11.853
-2.353
-10.315
-0.275
17.
-79.754
-127.07
-93.824
-80.343
,尻=
-0.849
\-174.84
-270.07
-184.57
-177.56 丿
\ 0.529
/ 186.33
286.89
196.89
187,89 \
/-0.751
18.
А =
-11.778
-12.222
-2.222
-10.667
1，阮=
0.660
-84.111
-133.89
-98.889
—84.667
-0Д28
\-184.56
-284.67
-194.67
-187.22 丿
\-0.992
/ 195.82
301.35
206.85
197.40、
/ 0.420 \
А=
-12.082
-12.605
-2.105
-11.029
0.989
19.
-88.459
-140.70
-103.95
-88.986
0.955
\-194.24
-299.24
-204.74
-196.87>
\ 0.296/
/ 205.30
315.80
216.80
206.90 \
/ 0.913
20.
4 =
-12.400
-13.000
-2.000
-11.400
卜bo =
0.408
-92.800
-147.50
-109.00
-93.300
-0.667
\-203.90
-313.80
-214.80
-206.50 >
\ 0.745
Задание 4.7. Изобразите интегральные кривые и соответствующие им фазовые кривые системы 注 =力（h1/2）, 达 工力廿n此），проходящие через заданные точки. Начальные точки на фазовой плоскости выберите самостоятельно.
N
Л（®1,®3）
『2（В1,д）
1
立2
*一風
2
土2
sinxi
3
£1（屯 +m一2）
Х2（1 -Ж1）
4
2w2
1 + *2+立彳
5
立1
6
sinX2
6
7
-2X1X2
Xj + 3^2 — 1
8
立；+ 土^ - 1
-2X1X2
9
3数
sin 3xi
10
362
h彳-4^2
11
X1（X1 + 2X2 一 3）
5x2（10 — 3xi）
12
sinxi
sinx2
N
/1(®1,®3)
/2(®!,®2)
13
sinX2
sinxi
14
3sint2
5xi
15
e2-4*
2xi
16
1 — x2 _ x2
2 cle2
17
1 + 2^2 — 4土彳 + X2
4 cle2
18
e1(1 +数)
e2(e1 +物+ 2)
19
效
COSX1
20
也(e1 +7出2)
数(1 +6)
Задание 4.8. Определите характер точки покоя линейной системы 工'= =ацх + 62У, У’ = <121 х + а22y и изобразите несколько фазовых кривых.
^
ап
a12
«21
a22
^
an
a12
a21
022
1
2
0
1
-5
11
-2
-5
2
2
2
-1
1
0
1
12
3
-4
1
-4
3
-1
2
0
0
13
2
0
1
1
4
3
4
1
-2
14
-2
-5
2
2
5
1
-2
3
4
15
-2
4
1
-2
6
-3
5
-1
2
16
1
-4
1
-1
7
0
1
-1
-10
17
-1
2
-3
-1
8
3
-1
2
1
18
-2
1
-1
-2
9
1
0
1
2
19
1
2
0
1
10
0
2
2
3
20
2
3
2
0
Задание 4.9. Покажите графически, что автономная система ж* = = /】(£,，), У’ =『2(н,у) имеет предельный цикл, и определите его характер (устойчивый, неустойчивый, полуустойчивый). Начинайте строить фазовые кривые в окрестности точки (xq, уо)-
N
&(н,У)
力（，,У）
(н(м Уо)
1
一у + с(4 —，土2 +у2)
e + y(4 -，e2 +炉)
(1,0)
2
(4-2.5у)х
(с-2)у
(1,1)
3
У
—(х — 0.5)у — 2х - у3
(-0.5, 0)
4
Х — у _ х(х2 +力)
х + у - у(х2 + у2)
(0.1, 0)
5
(2 - У)с
(с - 2)У
(1, 1)
N
/1(®, у)
/з(®,У)
(“о, Уо)
6
Зн — у —Н(« + у2)
х + Зу - у(х2 + у2)
(0.3, 0)
7
(2-у)с
(с-З)у
(1,1)
8
1 — 4н+ /у
Зх — х2у
(1,3)
9
(3 — 2.5у)н
(с - 2)У
(1,1)
10
一y + н(9 -，z2 + u2)
Z + U(9 -，z2 + u2)
(1,0)
11
(2 — 2.5у)х
(с-2)у
(1,1)
12
У
(1-х)у-2х-у3
(-0.5, 0)
13
0.5н + у — x3cosx
0.4у — х
(-0.4, 0)
14
х2у — 2.5н + 0.5
1.5н — х2у
(0.5, 0.5)
15
ix — y — х(х2 +力)
x + iy-y(x2 + y2)
(0.4, 0)
16
0.1н + у — ж3 COS ГЕ
ОЛу — х
(-0.1, 0)
17
У
(2-х)у-2х-у3
(-0.5, 0)
18
У
у-х-у
(-1Д 0)
19
/у — 4с + 0.5
Зс — х2у
(0.5, 0.5)
20
(2-у)с
(с - 3)у
(1, 1)
Задание 4.10. Постройте графики решения и фазовые портреты динамической системы, моделирующей взаимодействие популяций
必=(@ 一版2)工1,抬=(—с + dx\)x2
при заданных значениях параметров а, 6, с, d. Исследуйте поведение решения, изменяя параметры.
N
а
b
с
d
V
а
b
с
d
1
4
3
2
1
9
5
4
2
1
2
4
3
2
2
10
5
4
3
1
3
4
3.5
2
1
11
5
4
2
2
4
4
3.5
2
2
12
5
4
2
3
5
4
3.5
3
1
13
5
4.5
2
1
6
4
3.5
3
2
14
4
3
2
3
7
4
3.5
4
4
15
4
3
2
4
8
4
3.5
4
3
16
4
3.5
2
3
N
a
b
c
d
N
a
b
c
d
17
5
3
2
1
19
4
3.5
2
4
18
5
3
3
1
20
4
3.5
3
3
Задание 4.11, Исследуйте поведение системы
{
£；=（a -版 2）h1 - ан；, 抬=（一C+ d工1）н2 - ан；）,
моделирующей взаимодействие популяций. Выполните вычисления для значений а, “ с, d из задания 4.10 для приведенных ниже значений а.
N
a
N
a
N
a
N
a
N
a
1
0.1
5
0.05
9
0.17
13
0.3
17
0.07
2
0.15
6
0.22
10
0.18
14
0.4
18
0.09
3
0.20
7
0.12
11
0.1
15
0.5
19
0.11
4
0.25
8
0.14
12
0.2
16
0.05
20
o.io
Задание 4.12. Постройте графики решения и фазовые портреты, найдите предельные циклы динамической системы Холдинга — Тэннера
必=s（l 一 六2）n2,
моделирующей взаимодействие конкурирующих видов в условиях ограниченных ресурсов. Исследуйте поведение решения, изменяя параметры г, К, w, s, J, D.
N
r
К
w
8
J
D
1
1
7
1.5
0.2
0.5
1
2
1
7
L7
0.2
0.5
1
3
1
7
1.9
0.2
0.5
1
4
1
7
2
0.2
0.5
1
5
1
7
1.5
0.2
0.5
2
6
1
7
1.7
0.2
0.5
2
7
1
7
1.9
0.2
0.5
2
8
1
7
2
0.2
0.5
2
9
1
7
1.5
0.2
0.5
L5
10
1
7
1.7
0.2
0.5
1.5
N
г
К
W
g
J
D
11
1
7
1.9
0.2
0.5
1.5
12
1
7
2
0.2
0.5
1.5
13
1
7
1.5
0.2
0.5
1.5
14
1
7
1.7
0.2
0.5
1.2
15
1
8
1.9
62
0.5
1
16
1
8
2
0.25
0.5
1
17
1
8
1.5
0.3
0.5
1
18
1
8
1.7
0.15
0.5
1
19
1
8
1.9
.0.15
0.7
1
20
1
8
2
0.25
0.7
1
Задание 4.13. Постройте графики решения и фазовые портреты динамической системы, моделирующей выравнивание цен по уровню актива
'q' = k[s(p) - d(p)),р' = -m(q-q0)
при заданных функциях спроса d(p) = do + ср, предложения s(p) = ap + so и при заданных значениях параметров модели. Найдите стационарное состояние и определите его характер. Исследуйте модель, изменяя ее параметры.
N
к
а
8。
m
do
с
go
1
0.3
20
10
0.1
50
-10
20
2
0.3
20
10
0.2
50
-10
20
3
0.3
20
10
0.3
50
-10
20
4
0.3
20
10
0.4
50
-10
20
5
0.3
20
10
0.5
50
-10
20
6
0.4
20
10
0.1
50
-10
20
7
0.4
20
10
0.2
50
-10
20
8
0.4
20
10
0.3
50
-10
20
9
0.4
20
10
0.4
50
-10
20
10
0.4
20
10
0.5
50
-10
20
11
0.3
25
10
0.1
50
-10
20
12
0.3
25
10
0.2
50
-10
20
13
0.3
25
10
0.3
50
-10
20
14
0.3
25
10
0.4
50
-10
20
15
0.3
25
10
0.5
50
-10
21
N
к
а
So
т
do
с
q。
16
0.3
25
15
0.1
50
-10
20
17
0.3
20
15
0.2
60
-10
20
18
0.3
20
15
0.3
50
-10
22
19
0.3
20
15
0.4
50
-10
20
20
0.3
20
15
0.5
50
-10
20
ГЛАВА 5
Задание 5.1. Постройте биномиальное распределение для серии из п независимых испытаний с вероятностью успеха р, пуассоновское распределение с параметром А, гипергеометрическое распределение с параметрами N, М, п, геометрическое распределение с параметрами п, р・ Для каждого распределения выполните следующее:
проверьте равенство 汇弘=1, где pk =尸(§ =卜)；(k)
найдите значение к, для которого величина 尸(§ — к) максимальна;
постройте графики распределения и функций распределения;
вычислите вероятность попадания значений случайной величины в интервал (а,Ь).
N
п
Р
Л
N
М
а
Ь
1
20
0.1
1.00
100
90
2
4
2
22
0.11
0.95
ПО
100
3
5
3
24
0.12
0.90
120
100
2
5
4
26
0.13
0.85
130
120
3
6.
5
28
0.14
0.80
140
120
2
5
6
30
0.15
0.75
150
120
3
6
7
21
0.16
0.70
160
150
2
8
8
23
0.17
0.65
170
150
3
9
9
25
0.18
0.60
180
160
2
7
10
27
0.19
0.55
190
180
3
8
11
29
0.20
0.50
200
150
3
10
12
31
0.21
1.05
105
100
4
10
13
20
0.22
1.10
115
100
3
5
14
22
0.23
1.15
125
100
4
6
15
24
0.24
1.25
135
110
3
6
16
26
0.25
1.30
145
120
4
7
N
п
Р
Л
N
М
а
Ь
17
28
0.26
1.35
155
120
3
7
18
30
0.27
1.40
165
150
4
8
19
21
0.28
1.45
175
170
3
10
20
23
0.29
1.50
185
170
4
11
Задание 5.2. Исследуйте для приведенного в задании эксперимента точность асимптотической формулы Пуассона. Вычислите вероятность события £> к для биномиального распределения и по приближенной формуле Пуассона Л = пр. Для сравнения выполните вычисления для n】=O.Oln и Pi = 100р.
В ари анты 1-10. Провайдер обслуживает п абонентов сети Internet. Вероятность того, что любой абонент захочет войти в сеть в течение часа, равна р. Найти вероятность того, что в течение часа более к абонентов попытаются войти в сеть.
Варианты 11-20. Магазин продает в течение одного дня п коробок конфет, часть которых с сюрпризом. Вероятность того, что коробка с сюрпризом, равна р. Найти вероятность того, что в течение дня продано более к коробок с сюрпризом.
N
п
Р
к
N
п
Р
к
1
1000
0.003
3
11
2000
0.0020
6
2
1100
0.0029
4
12
2100
0.0019
3
3
1200
0.0028
5
13
2200
0.0018
4
4
1300
0.0027
5
14
2300
0.0017
б
5
1400
0.0026
4
15
2400
0.0016
8
6
1500
0.0025
3
16
2500
0.0015
5
7
1600
0.0024
3
17
2600
0.0014
4
8
1700
0.0023
6
18
2700
0.0013
3
9
1800
0.0022
9
19
2800
0.0012
3
10
1900
0.0021
9
20
2900
0.0011
4
Задание 5.3. Исследуйте для указанных значений параметров биномиального распределения точность асимптотической формулы Муавра —— Лапласа. Для указанных значений пир вычислите вероятность того, что случайная величина, имеющая биномиальное распределение, принимает значение, равное п/2. Проведите вычисления по формуле Бернулли и по приближенной формуле Муавра ——Лапласа. Сравните результаты.
N
п
Р
N
п
Р
1
10, 20, 70, 100
0.70, 0.20
3
13, 23, 73, 100
0.73, 0.23
2
12, 22, 72, 100
0.69, 0.19
4
7, 17, 67, 100
0.67, 0.17
N
п
р
N
п
Р
5
9, 19, 69, 100
0.71, 0.21
13
8, 18, 68, 100
0.72, 0.22
6
15, 25, 75, 100
0.60, 0.30
14
13, 23, 73, 100
0.60, 0.30
7
16, 26, 76, 100
0.59, 0.29
15
13, 23, 73, 100
0.59, 0.29
8
14, 24, 74, 100
0.61, 0.31
16
30, 50, 80, 100
0.61, 0.31
9
30, 50, 80, 100
0.50, 0.20
17
29, 49, 79, 100
0.50, 0.20
10
29, 49, 79, 100
0.51, 0.21
18
33, 43, 73, 100
0.51, 0.21
11
31, 51, 81, 100
0.49, 0.19
19
31, 51, 81, 100
0.55, 0.25
12
33, 43, 73, 100
0.53, 0.23
20
33, 43, 73, 100
0.55, 0.25
Задание 5.4. Исследуйте для указанного биномиального распределения точность интегральной формулы Муавра — Лапласа.
Варианты 1-10. Вероятность того, что произвольно выбранный абонент сети Internet — студент, равна р. Найти вероятность того, что среди п абонентов некоторого провайдера студентов не менее 七1 и не более к»
В арианты 11-20. Вероятность того, что человек, вошедший в магазин, купит что-нибудь, равна р. Найти вероятность того, что среди п посетителей магазина покупателей окажется не менее 自 и не более 七?•
N
Р
п
к1
卜2
N
Р
п
也
卜2
1
0.51
10000
4000
6000
11
0„61
20000
5000
7000
2
0.49
11000
4100
6100
12
0.62
10100
5100
7100
3
0.48
12000
4200
6200
13
0.63
10200
5200
7200
4
0.47
13000
4300
6300
14
0.63
10300
5300
7300
5
0.46
14000
4400
6400
15
0.64
10400
5400
7400
6
0.45
15000
4500
6500
16
0.65
20000
6000
8000
7
0.44
16000
4600
6600
17
0.66
21000
6100
8100
8
0.43
17000
4700
6700
18
0.67
22000
6200
8200
9
0.42
18000
4800
6800
19
0.68
23000
6300
8300
10
0.40
19000
4900
6900
20
0.39
24000
6400
8400
Задание 5.5. Найдите наименьшее число испытаний Бернулли, необходимое для того, чтобы с вероятностью, не меньшей заданной, можно было принять относительную частоту успехов за вероятность успеха в одном испытании с погрешностью, не превышающей заданной.
Варианты 1-10. Провайдер утверждает, что вероятность соединиться с сетью с первого звонка доста-точно велика. Сколько нужно произвести экспериментов, чтобы с вероятностью не менее 0 можно было утверждать, что относительная частота соединений с первого звонка отличается от заявленной вероятности не более, чем на е?
Варианты 11-20. Продавец утверждает, что вероятность купить коробку конфет с сюрпризом достаточно велика. Сколько коробок конфет нужно проверить, чтобы с вероятностью не менее 0 можно было утверждать, что относительная частота появления сюрприза отличается от заявленной вероятности не более, чем на е?
N
0
£
N
0
£
N
в
£
N
0
£
1
0.90
0.02
6
0.95
0.04
11
0.90
0.05
16
0.95
0.03
2
0.91
0.03
7
0.94
0.05
12
0.91
0.07
17
0.94
0.02
3
0.92
0.01
8
0.93
0.06
13
0.92
0.06
18
0.93
0.01
4
0.93
0.02
9
0.92
0.07
14
0.93
0.05
19
0.92
0.15
5
0.94
一0.03
10
0.91
0.05
15
0.94
0.04
20
0.91
0.20
Задание 5.6. Постройте графики плотности распределения и функции распределения f с указанным числом степеней свободы, равным k = N. Здесь N — номер варианта.
Задание 5.7. Постройте графики плотности распределения и функции распределения Стьюдента с числом степеней свободы, равным к = N. Здесь N — номер варианта.
Задание 5.8. Постройте графики плотности распределения и функции распределения Фишера для указанных значений пит.
N
п
m
N
п
m
N
п
m
N
п
m
1
6
4
6
9
5
11
4
2
16
9
5
2
7
4
7
8
5
12
5
2
17
10
5
3
8
4
8
7
5
13
6
3
18
9
5
4
9
4
9
6
3
14
7
4
19
8
5
5
10
4
10
5
3
15
8
4
20
7
5
Задание 5.9. Постройте графики плотности распределения и функции распределения Парето для указанных значений аир.
N
а
Р
N
а
Р
N
а
Р
N
а
Р
1
1
1
6
1.9
1
11
2.1
2
16
2.9
2
2
1.5
1
7
2.0
1.5
12
2.5
2
17
3.0
2.5
3
1.6
1
8
2.1
1.5
13
2.6
2
18
3.1
2.5
4
1.7
1
9
2.2
1.5
14
2.7
2
19
3.2
2.5
5
1.8
1
10
2.3
1.5
15
2.8
2
20
3.3
2.5
Задание 5.10. Постройте графики плотности распределения и функции распределения для логистического р ас пределения при значениях параметров а = а и 3 = Р для значений а и р из задания 5.9.
Задание 5.11. Найдите медиану, верхнюю и нижнюю квартили, а также 95%-ную квантиль для нормального распределения N(a,cr), а и а = ур для значений а и р из задания 5.9.
Задание 5.12. По заданному совместному распределению двух дискретных случайных величин найдите распределение каждой из них.
0110.150.120.10.2530.20.20110.150.120.10.2530.20.20310.120.1430.220.150.320.10310.120.1430.220.150.320.12.0200.110.1720.210.140.310.14・04100.130.11120.230.14.60.330.12.0200.110.1720.210.140.310.14・04100.130.11120.230.14.60.330.1
0
1
1
0.15
0.1
2
0.1
0.25
3
0.2
0.2
0
1
1
0.15
0.1
2
0.1
0.25
3
0.2
0.2
0
3
1
0.12
0.14
3
0.22
0.1
5
0.32
0.1
0
3
1
0.12
0.14
3
0.22
0.1
5
0.32
0.1
2.
0
2
0
0.11
0.17
2
0.21
0.1
4
0.31
0.1
4・
0
4
10
0.13
0.11
12
0.23
0.1
4.6
0.33
0.1
2.
0
2
0
0.11
0.17
2
0.21
0.1
4
0.31
0.1
4・
0
4
10
0.13
0.11
12
0.23
0.1
4.6
0.33
0.1
0500.140.082.10.240.12.60.340.10500.140.082.10.240.12.60.340.1061.10.150.053.20.250.1-4.40.350.1061.10.150.053.20.250.1-4.40.350.1
0
5
0
0.14
0.08
2.1
0.24
0.1
2.6
0.34
0.1
0
5
0
0.14
0.08
2.1
0.24
0.1
2.6
0.34
0.1
0
6
1.1
0.15
0.05
3.2
0.25
0.1
-4.4
0.35
0.1
0
6
1.1
0.15
0.05
3.2
0.25
0.1
-4.4
0.35
0.1
0700.090.23—3.20.190.11.540.290.10700.090.23—3.20.190.11.540.290.10810.080.2650.180.190.280.10810.080.2650.180.190.280.1
0
7
0
0.09
0.23
—3.2
0.19
0.1
1.54
0.29
0.1
0
7
0
0.09
0.23
—3.2
0.19
0.1
1.54
0.29
0.1
0
8
1
0.08
0.26
5
0.18
0.1
9
0.28
0.1
0
8
1
0.08
0.26
5
0.18
0.1
9
0.28
0.1
0900.070.120.170.2940.270.10900.070.120.170.2940.270.101010.060.130.160.3240.260.101010.060.130.160.3240.260.1
0
9
0
0.07
0.1
2
0.17
0.29
4
0.27
0.1
0
9
0
0.07
0.1
2
0.17
0.29
4
0.27
0.1
0
10
1
0.06
0.1
3
0.16
0.32
4
0.26
0.1
0
10
1
0.06
0.1
3
0.16
0.32
4
0.26
0.1
11.110.10.1520.250.130.20.211.110.10.1520.250.130.20.211.200.170.1120.10.2140.10.3111.200.170.1120.10.2140.10.31
1
1.1
1
0.1
0.15
2
0.25
0.1
3
0.2
0.2
1
1.1
1
0.1
0.15
2
0.25
0.1
3
0.2
0.2
1
1.2
0
0.17
0.11
2
0.1
0.21
4
0.1
0.31
1
1.2
0
0.17
0.11
2
0.1
0.21
4
0.1
0.31
11.310.140.1230.10.225ОД0.3211.310.140.1230.10.225ОД0.3241.4100.110.13120.10.234.60.10.3341.4100.110.13120.10.234.60.10.33
1
1.3
1
0.14
0.12
3
0.1
0.22
5
ОД
0.32
1
1.3
1
0.14
0.12
3
0.1
0.22
5
ОД
0.32
4
1.4
10
0.11
0.13
12
0.1
0.23
4.6
0.1
0.33
4
1.4
10
0.11
0.13
12
0.1
0.23
4.6
0.1
0.33
15.15.51.500.080.142.10.10.242.60.10.3451.500.080.142.10.10.242.60.10.3416.16.61.61.10.050.153.20.10.25-4.40.10.3561.61.10.050.153.20.10.25-4.40.10.3517.17.71.700.230.09-3.20.1,0.191.540.10.2971.700.230.09-3.20.1,0.191.540.10.2918.18.81.810.260.0850.10.1890.10.2881.810.260.0850.10.1890.10.2819.19.91.900.10.0720.290.1740.10.2791.900.10.0720.290.1740.10.2720.20.102.010.10.0630.320.1640.10.26102.010.10.0630.320.1640.10.26
15.
15.
5
1.5
0
0.08
0.14
2.1
0.1
0.24
2.6
0.1
0.34
5
1.5
0
0.08
0.14
2.1
0.1
0.24
2.6
0.1
0.34
16.
16.
6
1.6
1.1
0.05
0.15
3.2
0.1
0.25
-4.4
0.1
0.35
6
1.6
1.1
0.05
0.15
3.2
0.1
0.25
-4.4
0.1
0.35
17.
17.
7
1.7
0
0.23
0.09
-3.2
0.1
,0.19
1.54
0.1
0.29
7
1.7
0
0.23
0.09
-3.2
0.1
,0.19
1.54
0.1
0.29
18.
18.
8
1.8
1
0.26
0.08
5
0.1
0.18
9
0.1
0.28
8
1.8
1
0.26
0.08
5
0.1
0.18
9
0.1
0.28
19.
19.
9
1.9
0
0.1
0.07
2
0.29
0.17
4
0.1
0.27
9
1.9
0
0.1
0.07
2
0.29
0.17
4
0.1
0.27
20.
20.
10
2.0
1
0.1
0.06
3
0.32
0.16
4
0.1
0.26
10
2.0
1
0.1
0.06
3
0.32
0.16
4
0.1
0.26
Задание 5.13. По заданному совместному распределению двух дискретных случайных величин найдите распределение каждой из них и проверьте их независимость. Выполните вычисления для распределений из задания 5.12 и для приведенных ниже распределений.
1231.10.030.120.1520.070.280.35—1.323.73.00.060.060.1220.140.140.281231.10.030.120.1520.070.280.35—1.323.73.00.060.060.1220.140.140.28
1
2
3
1.
1
0.03
0.12
0.15
2
0.07
0.28
0.35
—1.3
2
3.7
3.
0
0.06
0.06
0.12
2
0.14
0.14
0.28
1
2
3
1.
1
0.03
0.12
0.15
2
0.07
0.28
0.35
—1.3
2
3.7
3.
0
0.06
0.06
0.12
2
0.14
0.14
0.28
-12500.030.090.182.50.070.210.42-12500.030.090.182.50.070.210.4212310.030.120.1520.070.280.3512310.030.120.1520.070.280.35
-1
2
5
0
0.03
0.09
0.18
2.5
0.07
0.21
0.42
-1
2
5
0
0.03
0.09
0.18
2.5
0.07
0.21
0.42
1
2
3
1
0.03
0.12
0.15
2
0.07
0.28
0.35
1
2
3
1
0.03
0.12
0.15
2
0.07
0.28
0.35
12.637.-60.030.150.1220.070.350.28-9239.00..030.210.092.90.070.490.2111121311.10.060.030.2130.140.070.49И121313.-130.060.090.15130.140.210.3512.637.-60.030.150.1220.070.350.28-9239.00..030.210.092.90.070.490.2111121311.10.060.030.2130.140.070.49И121313.-130.060.090.15130.140.210.3512310.030.180.0920.070.420.2112310.030.180.0920.070.420.211210-100.030.240.0620.070.560.141210-100.030.240.0620.070.560.1412.123120.060.060.18220.140.140.4212.123120.060.060.18220.140.140.4214.1.42.43.4-1.40.060.120.121.40.140.280.2814.1.42.43.4-1.40.060.120.121.40.140.280.28
1
2.6
3
7.-6
0.03
0.15
0.12
2
0.07
0.35
0.28
-9
2
3
9.0
0..03
0.21
0.09
2.9
0.07
0.49
0.21
11
12
13
11.1
0.06
0.03
0.21
3
0.14
0.07
0.49
И
12
13
13.-13
0.06
0.09
0.15
13
0.14
0.21
0.35
1
2.6
3
7.-6
0.03
0.15
0.12
2
0.07
0.35
0.28
-9
2
3
9.0
0..03
0.21
0.09
2.9
0.07
0.49
0.21
11
12
13
11.1
0.06
0.03
0.21
3
0.14
0.07
0.49
И
12
13
13.-13
0.06
0.09
0.15
13
0.14
0.21
0.35
1
2
3
1
0.03
0.18
0.09
2
0.07
0.42
0.21
1
2
3
1
0.03
0.18
0.09
2
0.07
0.42
0.21
1
2
10
-10
0.03
0.24
0.06
2
0.07
0.56
0.14
1
2
10
-10
0.03
0.24
0.06
2
0.07
0.56
0.14
12.
1
2
3
12
0.06
0.06
0.18
22
0.14
0.14
0.42
12.
1
2
3
12
0.06
0.06
0.18
22
0.14
0.14
0.42
14.
1.4
2.4
3.4
-1.4
0.06
0.12
0.12
1.4
0.14
0.28
0.28
14.
1.4
2.4
3.4
-1.4
0.06
0.12
0.12
1.4
0.14
0.28
0.28
15.
15
25
35
16.
-1.6
2
3
1.5
0.06
0.15
0.09
-16
0.06
0.18
0.06
2.5
0.14
0.35
0.21
26
0.14
0.42
0.14
17,
-1
2.7
3
18.
2.8
2.818
3
17
0.06
0.21
0.03
-2.71
0.09
0.03
0.18
27
0.14
0.49
0.07
3.14
0.21
0.07
0.42
19.
19
29
39
20.
2.0
2.2
3.2
0
0.09
0.06
0.15
0
0.09
0.09
0.12
2
0.21
0.14
0.35
2.0
0.21
0.21
0.28
Задание 5.14. Вычислите распределение компонент заданной двумерной случайной величины и все их условные распределения. Постройте многоугольники соответствующих распределений. Выполните вычисления для распределений из задания 5.12.
Задание 5.15. Вычислите распределение компонент двумерной случайной величины и все их условные распределения, если эта случайная величина распределена равномерно в области х2/а2 +g2/M < 1.
N
а
ь
N
а
ь
N
а
ь
N
а
b
1
1
2
6
2.5
3.5
11
3
4
16
6
6.5
2
1.2
2.3
7
3.5
4.5
12
3.2
4.2
17
6.5
7.0
3
2
4
8
4.5
5.5
13
8
10
18
7.0
7.5
4
2.2
4.4
9
5.5
6.5
14
8.2
10.4
19
7.5
1.9
5
1.5
2.5
10
6.5
7.5
15
7.5
6.5
20
1.9
2.0
Задание 5.16. Вычислите плотности вероятностей и условные плотности вероятностей нормального случайного вектора (^rf) с заданными параметрами. Постройте график плотности вероятностей случайного вектора, графики плотности вероятностей компонент случайного вектора и графики условных плотностей вероятностей каждой компоненты, когда значение другой компоненты равно ее математическому ожиданию.
N
%
彻
а”
标q
N
%
%
ап
标q
1
0
1
-0.6
3.5
0.5
7
1.1
3.5
0
0
0.5
2
0.1
2
-0.7
4.5
0.6
8
1.2
4.5
0.1
0.1
0.6
3
0.3
4
-0.9
6.5
0.6
9
1.3
5.5
0.2
0.2
0.5
4
0.4
5
-1
7.5
0.4
10
0
6.5
0.3
0.3
0.6
5
0.5
6
-1.1
8.5
0.5
11
-0.1
7.5
0.4
0.4
0.4
6
0.6
7
-1.2
9.5
0.6
12
-0.2
8.5
0.5
0.5
0.5
N
%
%
Ь"
%
N
气
%
b"
依"
13
0.7
8
-1.3
7.4
0.4
17
—0.3
9.5
0.6
0.6
0.6
14
0.8
9
1.4
4.7
0.5
18
-0.4
1.5
0.7
0.7
0.4
15
0.9
1.5
-1.5
5.7
0.6
19
-0.5
2.6
0.8
0.8
0.5
16
1
2.6
1.6
7.5
0.4
20
-0.6
3.5
0.9
0.9
0.6
Задание 5.17. Найдите по заданному распределению 改(£)аргумента функцию случайной величины 刀=/(§) и ее распределение р“(£).
N
pG)
»7 = /(^)
N
P€(®)
好f⑹
1
N(0, 1)
2S + 1
11
] 7T(1 +X2)
2S + 1
2
7Г(1 + X2)
InS
12
le-kl 2
2S + 1
3
^(10, 4)
e2f
13
e-1
2^ + 1
4
е-н
€3
14
N(-2, 2)
2S + 1
5
7Г(1 + X2)
arctg £
15
e-2H
2S + 1
6
NT 1)
arctg £
16
N(0, 1)
3$+ 2
7
7Г(1 +X2)
e2f
17
N(0, 1)
еЗ€
8
e-1
«
18
N(0, 1)
9
7Г(1 + X2)
19
N(0, 1)
arctg £
10
N(T 2)
arctg £
20
7T(1 + X2)
3$+ 2
.Задание 5.18. Найдите плотность распределения вероятности суммы двух независимых непрерывных случайных величин, заданных своими плотностями вероятностей pi(£)и Р2(£)・
N
Pl@)
P2(®)
1
N(0,l)
N(0,2)
2
g, re[0,2}, b，x^[0,2]
住 re[0,2], [o, z@[0,2]
N
Р1 (о)
P2(®)
3
e-2?
eV?
4
1
1
7Г(1 + X2)
7Г(1 + X2)
5
£e-^2/8 4
£e-^2/8 4
6
N(-1J)
N(l,l)
7
'1, x G [0, 1], .0, ^ 0 [0,1]
1, re[0,吐 Q x 0 [0,1]
8
1
T c [ 9 91
<
г1
卜,43 9
〔0,x0[-2,2]
7Гу4 — xz
.0,X 0 [-2, 2]
9
^(-1,1)
N(f2)
10
G r€ [0,4], b，X0[o,4]
3 re[。,4], .0,工阴[0,4]
11
е-н/2
e-2?
12
^(-l,10)
N(-1J)
13
4
f1
〔0,x^[-3,3]
aa«[~з, 3]
14
1
1
5тг(25 + х2)
5тг(25 + х2)
15
^(0,10)
N(0,l)
16
1) £w[fl], 0, x^[-l,l]
17
N(0,2)
N(0,2)
18
<
'1，re [0,3],
、0, x0[0,3]
'；,re[0,3], .0, x ^ [0, 3]
19
е-Зн
e-3工
20
1
1
2тг(4 + х2)
27r(4 + x2)
Задание 5.19. Найдите функцию распределения произведения двух независимых случайных величин, распределенных равномерно соответственно на промежутках [а,*6] и [с, d].
N
а
ь
с
d
N
а
ь
с
d
1
1
2
3
4
11
-1.5
1.3
0
1
2
1
2
4
5
12
-2.5
1.4
1
2
3
1
2
5
6
13
-3.5
1.5
0
1
4
1
2
6
7
14
—4.5
2.6
1
2
5
1
2
7
8
15
-5.5
3.7
0
1
6
1
2
8
9
16
1.2
1.6
-1.6
1.6
7
-1
2
-2
2
17
2.3
2.7
-1.7
1.7
8
~1
3
-2
3
18
3.4
3.8
-1.8
1.8
9
-1
4
-2
4
19
4.4
4.9
-1.9
1.9
10
-1
5
-2
5
20
5.5
6.0
-2.0
2.0
Задание 5.20. Вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины ^ = S（7?）, которая представляет собой площадь указанной в задании геометрической фигуры, для случайной величины 力 распределенной равномерно на промежутке [а, Ь].
N
Геометрически фигура
а
ь
1
Квадрат со стороной 〃
1
3
2
Правильный треугольник со стороной 刀
2
6
3
Круг радиуса 刀
3
9
4
Эллипс с полуосями 〃 и 2〃
4
4
5
Правильный шестиугольник со стороной 刀
5
7
6
Боковая поверхность тетраэдра с ребром 刀
6
8
7
Поверхность шара радиуса 〃
7
9
8
Прямоугольник со сторонами 刀 и 2刀
8
10
9
Осевое сечение конуса с радиусом основания 刀 и высотой 刀
9
11.5
10
Прямоугольный треугольник с катетами 刀 и 2〃
10
11.5
11
Прямоугольный треугольник с катетом 刀 и гипотенузой 2〃
9
12.5
12
Квадрат со стороной 刀
8
12
N
Геометрическая фигура
а
ь
13
Правильный треугольник со стороной 〃
7
10
14
Круг радиуса 〃
6
4
15
Эллипс с полуосями 7； я 2〃
5
6
16
Правильный шестиугольник со стороной т;
4
5
17
Боковая поверхность тетраэдра с ребром п
3
4
18
Поверхность шара радиуса п
2
4.5
19
Прямоугольник со сторонами т; я 2〃
1
4.5
20
Осевое сечение конуса с радиусом основания п И ВЫСОТОЙ 7；
1.5
3.5
Задание 5.21. Вычислите коэффициент асимметрии случайной величины с заданным распределением.
N
Распределение
Распределение
1
Биномиальное с параметрами п = 20, р = 0.3
9
Парето
р《(с)= <
плотностью '8с-з, с 之 2,
О,х <2
2
Пуассоновское с параметром А = 2
10
Геометрическое с параметрами п = 30, р = 0.35
3
Геометрическое с параметрами п = 20, р = 0.3
11
Рэлея с плотностью рО = /3"
4
Равномерное на промежутке [—2, 3]
12
Равномерное на промежутке [—2, 6]
5
Пуассоновское с параметром А = 3
13
Биномиальное с параметрами п = 25, р = 0.15
6
Нормальное N(l,4)
14
Равномерное на промежутке [0, 3]
7
Экспоненциальное с плотностью
产，с 2 0,
Pf(c)=
[0,с<0
15
Экспоне ностью
р《(с)= <
нциальное с плот-
£ ^ 0,
0,£<0
8
Логистическое с плотностью
1£-(£-1)/2
рК#- 2 (1 + е-(х-1)/2)2
16
Парето
р《(с)= <
二 плотностью '18с-з, 2；>з,
、0,с《3
Распределение
N
Распределение
17
19
Нормальное ^(l)2)
18
Биномиальное с параметрами п — 30, р = 0.2
20
Геометрическое с параметрами 几=25, р = 0.25
Задание 5.22. Вычислите эксцесс случайной величины § с заданным распределением. Выполните вычисления для распределений из задания 5.21.
Задание 5.23. Вычислите среднее геометрическое и среднее гармоническое неотрицательной случайной величины § с заданным распределением.
N
Распределение
N
Распределение
1
Биномиальное с параметрами п = 20, р = 0.3
9
Парето с плотностью (8х-3, х>2, р《(2)= <
，[0,с<2
2
Пуассоновское с параметром Л = 2
10
Геометрическое с параметрами 几=30, р = 0.35
3
Геометрическое с пара- метрамн 九=20, р = 0.3
11
Биномиальное с параметрами п = 12, р = 0.54
4
Равномерное на промежутке [2,10]
12
Равномерное на промежутке [1, 6]
5
Пуассоновское с параметром Л = 3
13
Биномиальное с параметрами 九=25〉р = 0.15
6
Биномиальное с параметрами 几=20, р = 0.5
14
Равномерное на промежутке [0, 3]
7
Экспоненциальное с плотностью
2е『х>0,
р")=
'[0,КО
15
Экспоненциальное с плотностью
[х > 0, Р")=《
'[О,х<0
8
Пуассоновское с параметром Л = 2.3
16
Парето с плотностью 18х-3, ж > 3,
&(2)= { п
[0,ж < 3
N
Распределение
N
Распределение 一
17
Парето с плотностью 375I-4,工？5, &⑵=3 х < 5
19
Геометрическое с параметрами п = 30, р = 0.3
18
Биномиальное с параметрами тг = 30, р = 0.2
20
Геометрическое с параметрами п = 25, р = 0.25
Задание 5.24. Вычислите математическое ожидание дискретного двумерного случайного вектора с заданным распределением. Выполните вычисления для распределения из задания 5.12.
Задание 5.25. Вычислите дисперсию дискретного двумерного случгьйно- го вектора с заданным распределением. Выполните вычисления для распределения из задания 5.12.
Задание 5.26. Вычислите условные математические ожидания и постройте графики регрессий компонент двумерных случайных величин из заданий 5.14 产 5.15.
Задание 5.27. Вычислите ковариацию и дисперсию компонент двумерных случайных величин из заданий 5.14 и 5.15.
Задание 5.28. Вычислите коваригщионную и корреляционную матрицы двумерного случайного вектора из задания 5.7.
Задание 5.29. По заданной плотности вероятностей нормального двумерного распределения (£, ??)
%"，？)= 4ехр%"，？)= 4ехр
%"，？)= 4ехр
%"，？)= 4ехр
найдите нормировочный множитель, вычислите ковариационную и корреляционную матрицы.
N
%
气
а”
旳
N
%
%
ап
旳
1
1
0.1
1.0
0.12
6
1.1
1.1
2.1
0.55
2
2
0.2
1.2
0.13
7
1.2
1.2
2.2
0.60
3
3
0.3
1.3
0.14
8
1.3
0.8
2.3
0.65
4
4
0.4
1.4
0.20
9
1.4
0.85
2.4
0.70
5
5
0.5
1.5
0.25
10
1.5
0.90
2.5
0.75
N
%
气
N
%
%
11
4
0.6
1.6
0.30
16
0.75
0.12
1
0.1
12
3
0.7
1.7
0.35
17
0.80
0.13
2
0.2
13
2
0.8
1.8
0.40
18
0.95
0.14
3
0.3
14
1
0.9
1.9
0.45
19
0.10
0.20
4
0.4
15
1.0
1.0
2,0
0.50
20
1.5
0.25
5
0.5
ГЛАВА 6
Задание 6.1. Вычислите максимальное, минимальное значения и размах для заданной выборки. Выполните группировку для значений m = 10, 20, постройте соответствующие гистограммы, полигоны частот и полигоны накопленных частот. Выполните вычисления для 100 чисел из приведенной в разд. 6.2 выборки, начиная с числа п, номер которого указан в таблице.
N
71
N
71
N
п
N
71
N
71
1
10
5
50
9
90
13
95
17
135
2
20
6
60
10
270
14
105
18
145
3
30
7
70
11
75
15
115
19
155
4
40
8
80
12
85
16
125
20
165
Задание 6.2. Для выбарки, сформированной в задании 6.1, вычислите все описанные в разд. 6.2 выборочные характеристики.
Задание 6.3. Постройте для выборки, сформированной в задании 6.1, 95%-ный коридор для функции распределения исследуемой случайной величины.
Задание 6.4. Сгенерируйте выборку объема п значений случайной величины с заданным непрерывным распределением и выполните полный предварительный ее анализ для числа интервалов группировки, равного целой части размаха и доверительной вероятности а. Постройте графики плотности вероятностей и функции распределения и сравните их с полученными графиками соответствующих выборочных функций.
N
Распределение
Параметры
71
а
1
Биномиальное
р = 0.1
50
0.95
2
Геометрическое
р = 0.2
50
0.90
3
Распределение Пуассона
А = 3
50
0.95
4
Равномерное
а = 0, b = 3
50
0.90
^
Распределение
Параметры
п
а
5
Нормальное
а = 1, сг = 3
50
0.95
6
Экспоненциальное
А = 3
50
0.90
7
2
X -распределение
п = 5
50
0.95
8
Распределение Стьюдента
71 = 7
50
0.90
9
Распределение Фишера
?! = 5, m = 7
50
0.95
10
Логистическое
a = 0.3,户=2
50
0.90
11
Биномиальное
р = о.з
60
0.95
12
Геометрическое
р = 0.4
70
0.90
13
Распределение Пуассона
А = 2
80
0.95
14
Равномерное
а = 1, 6 = 5
90
0.90
15
Нормальное
а = —1, о = 2
100
0.95
16
Экспоненциальное
А = 5
60
0.90
17
2
X -распределение
п = 3
70
0.95
18
Распределение Стьюдента
п = 5
80
0.90
19
Распределение Фишера
п = 3] m = 5
90
0.95
20
Логистическое
a = 2,户=3
100
0.90
Задание 6.5. Найдите состоятельные несмещенные оценки математического ожидания М^ и дисперсии 0s случайной величины § по заданным в задании 6.1 выборочным значениям.
Задание 6.6. Смоделируйте несколько выборок значений случайной величины, имеющей биномиальное распределение с заданным значением параметра р. Вычислите для каждой выборки оценку параметра р и сравните с заданным значением. Представьте результаты вычислений графически.
^
Р
^
Р
^
Р
N
Р
N
Р
1
0.1
5
0.11
9
0.15
13
0.21
17
0.31
2
0.2
6
0.12
10
0.25
14
0.22
18
0.32
3
0.3
7
0.13
11
0.35
15
0.23
19
0.33
4
0.4
8
0.14
12
0.45
16
0.24
20
0.34
Задание 6.7. Смоделируйте несколько выборок разного объема значений случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке [0,0] для значения 0 = N/2 (N — номер варианта), и найдите оценки 讯力 и 0⑶ параметра 仇 Постройте график зависимости G°)и 0(з)от объема выборки.
Задание 6.8. Смоделируйте несколько выборок объема п значений случайной величины 3 имеющей распределение Пуассона с параметром Л = 0.1N, где ^ ——номер варианта. Для какой-нибудь одной выборки постройте график функции правдоподобия. Найдите оценку максимального правдоподобия параметра А как функцию объема выборки. Выполните вычисления для n = ION, 20N，..., 50N при ^ < 10 и для п = N、2N,…,10N при N > 10. Изобразите на графике зависимость оценки от объема выборки. Сравните полученные оценки с заданным значением параметра.
Задание 6.9. Смоделируйте несколько выборок объема п значений случайной величины 3 имеющей экспоненциальное распределение с параметром А = 0.1N, где N ——номер варианта. Для какой-нибудь одной выборки постройте график функции пргшдоподобия. Найдите оценку максимального правдоподобия параметра Л как функцию объема выборки. Выполните вычисления для п = ION, 2QN,50N при Л^ < 10 и для п = ^J 2N,.…,10N при N > 10. Изобразите на графике зависимость оценки от объема выборки. Сравните полученные оценки с заданным значением параметра.
Задание 6.10. Смоделируйте выборку объема п = 200 знанений случайной величины имеющей распределение Лапласа с указанными параметрами 仇 и 02- Найдите оценки максимального правдоподобия параметров 仇 н &.
N
出
%
N
出
°2
N
出
°2
N
出
°2
1
1
1.5
6
3.5
4
11
1.5
1
16
4
3.5
2
1.5
2
7
4
4.5
12
2
1.5
17
4.5
4
3
2
2.5
8
4.5
5
13
2.5
2
18
5
4.5
4
2.5
3
9
5
5.5
14
3
2.5
19
5.5
5
5
3
3.5
10
5.5
1
15
3.5
3
20
1
5.5
Задание 6.11. Найдите доверительные интервалы для математического ожидания М^ и дисперсии D£ по заданной выборке, сформированной в задании 6.1.
Задание 6.12. Найдите доверительный интервал для параметра Л по заданной выборке из пуассоновского распределения. Сгенерируйте выборку, выбрав в качестве значения Л величину, равную 0.1N, где N — номер варианта.
Задание 6.13. Найдите доверительный интервал для вероятности события по заданным знанениям нисла испытаний п и нисла m появлений события в серии из 71 испытаний.
N
п
т
N
п
ГП
N
п
тп
N
п
ГП
1
50
35
4
50
25
7
40
22
10
65
32
2
60
35
5
60
25
8
45
24
11
70
34
3
70
35
6
70
27
9
50
26
12
75
36
N
п
m
N
п
m
N
п
m
N
п
m
13
80
35
15
80
34
17
55
28
19
80
38
14
90
35
16
90
33
18
60
30
20
85
40
Задание 6.14. Найдите доверительный интервал для коэффициента корреляции по заданной выборке （工匕 yi）,（工2, $2）, （xn, yn）, из двумерной, случайной величины.
X
1.682
0.386
-1.913
-1.754
-1.656
0.655
-0.704
2.704
У
-11.852
16.851
-11.315
4.084
-10.834
-8.111
5.832
-10.758
X
-2.656
0.861
0.975
3.621
-1.195
1.202
3.193
У
-3.552
8.853
19.607
-2.048
-3.235
10.168
11.248
X
0.492
1.141
1.746
1.9J63
1.894
0.62
-1.287
1.031
У
13.179
10.359
5.913
7.178
10.179
14.364
20.682
6.851
X
-0.201
-1.626
4.329
-2.372
-3.288
0.873
-2.758
У
8.606
4.25
36.788
12.15
-32.098
12.904
-10.121
X
-0.847
0.278
-1.298
0.794
-1.65
3.9
-5.352
1.84
У
-17.867
4.642
4.802
24.515
6.313
-7.856
-26.851
36.354
X
4.458
2.27
2.451
-1.843
-3.052
1.028
3.049
У
22.944
8.644
-1.023
-13.816
-24.199
-7.076
24.014
X
1.991
1.619
-2.023
-0.727
3.314
0.147
-0.563
-0.813
У
-6.922
9.229
15.093
1.123
-21.609
9.451
-22.941
2.193
X
0.894
1.092
-0.058
0.266
0.945
-1.444
-0.169
У
-12.419
-7.153
-2.961
0.026
4.406
17.23
-2.743
X
-1.124
—2.081
-0-953
-0^14
-0.196
-1.853
-0.469
-0.613
У
6.97
4.261
6.4%
-3儀9
3.114
6.043
4.598
22.696
X
-2.188
-0.091
-0.43\
-2.971
0.642
0.928
-5.095
У
8.84
-1.422
14.659
'25.827
-13.59 么
13.093
6.626
X
-2.7
-0.931
-0.257
1.383
-0.315
-3.05
0.054
0.835
У
-14.902
-18.113
6.138
13.813
-0.227
4.927
2.576
1.184
X
1.661
3.333
-1.12
0.377
—2.28
-5.092
3.124
У
-14.433
1.527
11.866
2.121
-6.254
1.58
13.972
X
-0.564
-0.519
3.022
-1.669
—0.446
-2.146
-0.498
-3.789
У
18.648
-29.637
11.949
-4.221
8.611
10.646
-0,823
7.915
X
2.741
-1.77
-3.803
-1.949
1.352
1.143
-0.883
У
— 12.198
24.134
12.219
-0.105
6.862
-11.786
-12.537
X
-4.987
3.874
1.606
3.361
1.687
0.991
-11.994
-6.09
У
-&. 904
9.675
6.019
9.419
6.966
5.52
-21.116
-9.901
宏
—0.056
-5.972
-1.238
-0.763
-2.87
-6.29
2.405
У
3.872
-9.468
2.273
-0.222
-1.214
-7.188
7.575
X
-0.111
0.167
-0.783
-2.572
0.558
1.016
0.348
1.772
У
-0.611
-9.194
—6.395
-13.155
-7.037
-0.359
-0.399
-2.346
X
2.111
3.516
-2.694
6.034
3.04
0.847
0.101
У
8.943
-0.641
-0.814
6.623
-2.174
-4.059
0.442
宏
—0.825
-0.658
-0.832
1.2
-0.193
-2.05
-0.605
-0.315
У
10.575
1.408
-23.196
15.557
-6.333
-8.882
-11.582
-16.36
X
2.35
-0.637
-0.503
2.115
-0.801
4.427
0.264
У
-3.379
-15.29
1.772
0.362
-4.942
1.712
15.249
X
0.682
-0.614
-2.913
— 2.754
-2.656
-0.345
-1.704
1.704
У
— 12.852
15.851
-12.315
3.084
-11.834
-9.111
4.832
-11.758
宏
-3.656
-0.139
-0.025
2.621
-2.195
0.202
2.193
У
-4.552
7.853
18.607
-3.048
-4.235
9.168
10.248
宏
-1.105
0.868
1.941
-1.477
—0.076
-1.043
0.372
-1.043
У
4.269
9.783
12.154
-13.444
8.797
-7.24
16.169
3.91
X
-1.279
-2.292
0.206
1.623
-0.455
-4.076
-0.941
У
3.935
15.171.
-3.238
20.272
-3.433-10-3
-9.358
-8.341
X
-2.07
0.404
-1.96
2.793
1.692
-1.82
-2.143
0.822
У
2.249
-16.375
— 12.108
6.09
14.304
-8.687
-7.723
22.213
宏
-1.079
'-0.725
0.447
1.559
-0.194
-1.236
-4.506
У
—3.647
2.218
11.291
-5.649
7.16
24.184
11.975
X
-1.644
-0.878
-0.89
1.999
-3.507
0.173
-4.158
-3.645
У
-2.026
12.799
13.037
19.017
23.779
12.654
11.919
0.929
X
0.938
-1.381
—3.606
1.339
-0.148
-1.209
-2.392
У
3.771
14.492
8.348
-3.705
-8.184
-3.405
12.577
工
-0.551
-0.23
-0.106
-2.775
2.319
-0.615
-1.054
-3.185
У
-10.951
12.784
-3.606
4.269
15.325
0.205
21.012
9.51
工
-4.728
1.495
-2.232
-0.731
1.397
-1.224
-1.171
У
27.754
-2.242
5.799
4.826
-10.824
-1.957
16.399
工
-1.912
4.523
-0.222
-0.542
1.264
-0.949
-0.513
-1.208
У
-4.39
-5.245
6.113
1.272
7.447
-5.868
-5.683
-20.858
宓
1.409
-1.813
1.332
-0.333
0.411
-2.15
0.864
У
4.818
-2.028
-10.5
2.677
1.962
0.443
21.922
工
-1.061
0.591
-2.272
1.438
-0.786
.0.227
-2.45
-1.358
У
1.108
-5.42
-6.696
-15.749
0.604
5.6
6.927
-12.176
工
-3.014
-1.388
0.569
-0.116
-0.417
-4.585-10-3
-1.467
У
14.867
0.183
-4.233
-19.772
0.14
4.523
-9.801
工
-3.612
-0.67
-0.437
6.001
6.926
4.594
8.662
-3.548
У
-4.652
2.623
2.925
16.764
19.384
14.043
21.13
-1.25
工
0.138
6.892
4.024
4.64
-2.018
-2.123
0.896
У
5.092
17.666
13.011
12.939
-1.254
0.277
4.883
工
2.181
—0.277
-1.102
2.222
-1.287
-0.043
— 1.992
0.773
У
1.131
-7.359
-5.862
-1.53.
-2.391
3.705
-3.384
4.14
宓
2.882
1.373
-3.02
1.332
-2.51
1.501
3.809
У
-6.567
3.948
-9.05
-2.653
-18.095
-4.123
-9.65
X
0.14
0.875
-0.399
-3.334
D.029
-0.517
-0.859
-0.424
У
4.499
-11.776
—7.779
1.058
-4.034
-2.842
-10.317
6.482
宓
0.039
0.379
0.278
-4.657
0.782
0.732
4.636
У
12.36
-20.694
15.673
-6.931
22.99
-1.26
18.032
Задание 6.15. Смоделируйте выборку 100 значений нормально распределенной случайной величины с указанными параметрами. Сформулируйте нулевую гипотезу о величине математического ожидания (при известной дисперсии) и проверьте для заданных уровней значимости три альтернативные гипотезы.
а
а
N
а
а
N
а
а
N
а
а
1
0.1
1.5
4
2.2
4
7
1.5
0.1
10
4
2.2
2
0.2
2
5
3.1
4.5
8
2
0.2
11
4.5
3.1
3
1.1
2.5
6
3.2
5
9
2.5
1.1
12
5
3.2
N
а
ст
N
а
ст
N
а
ст
N
а
ст
13
1.2
3
15
4.1
、5.5
17
3
1.2
19
5.5
4.1
14
2.1
3.5
16
4.2
6
18
3.5
2.1
20
6
4.2
Задание 6.16. Смоделируйте выборку 100 значений нормально распределенной случайной величины с параметрами из задания 6.15. Сформулируйте нулевую гипотезу о величине математического ожидания (при неизвестной дисперсии) и проверьте для заданных уровней значимости три альтернативные гипотезы.
Задание 6.17. Для выборки из задания 6.15 сформулируйте нулевую гипотезу о величине дисперсии и проверьте для заданных уровней значимости три альтернативные гипотезы.
Задание 6.18. Смоделируйте две выборки из 100 и 120 значений нормально распределенной случайной величины с параметрами из задания 6.15. Сформулируйте нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий и проверьте для заданных уровней значимости три альтернативные гипотезы.
Задание 6.19. Для выборок из задания 6.18 сформулируйте нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий (полагая, что дисперсии неизвестны и равны) и проверьте для заданных уровней значимости три альтернативные гипотезы.
Задание 6.20. Для заданной в условии выборки вычислите регрессию и найдите доверительные интервалы коэффициентов регрессии и дисперсии для заданной доверительной вероятности. Вычислите полосу и коридор регрессии. Изобразите выборку графически на одном графике с линией регрессии. Изобразите графически полосу и коридор регрессии.
X
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-05
-0.4
-0.3
-0.2
У
-1.45
-1.829
-1.247
-1.051
-1.241
-0.988
-0.766
-0.504
X
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
У
-0.339
0.075
0.088
0.318
0.987
0.858
1.626
X
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
У
-2.169
-1.376
-0.974
-0.312
-0.314
—0.715
-0.312
1.119
X
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
У
0.92
0.999
1.046
1.295
1.411
1.884
2.835
X
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
—0.2
У
0.484
0.628
0.282
0.676
1.482
1.207
1.301
1.463
X
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
У
1.919
2.149
2.176
2.425
2.727
2.568
2.96
X
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
У
-0.139
0.661
1.404
0.928
1.736
1.762
1.765
2.617
X
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
У
2.787
2.735
2.72
3.312
3.502
4.082
4.197
X
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
~0.5
-0.4
-0.3
-0.2
У
2.016
2.073
2.442
2.708
2.956
2.907
3.315
3.493
X
—0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
У
3.457
3.971
4.12
3.939
4.681
4.924
4.221
X
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
У
2.318
2.451
2.917
2.954
3.486
3.725
4.106
4.936
X
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
У
4.678
4.859
5.611
6.017
5.46
6.586
6.15
X
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
У
3.911
3.893
4.704
4.993
4.935
5.477
5.384
5.489
X
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
У
5.202
5.714
6.524
6.348
6.516
7.136
7.069
X
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
У
3.972
4.811
4.923
5.355
5.821
5.789
6.266
6.857
X
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
У
6.206
6.857
7.366
7.527
7.962
8.402
8.569
X
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
У
2.258
0.738
1.479
1.094
1.177
1.126
0.523
0.741
X
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
У
-0.364
0.673
0.259
-0.378
-0.568
-1.266
-1.376
X
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
У
2.235
2.849
2.237
2.63
1.761
2.163
1.813
1.707
X
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
У
1.137
1.348
0.799
0.997
0.273
0.057
-0.321
X
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
—0.5
-0.4
-0.3
-0.2
У
4.005
3.637
2.987
3.19
3.102
3.236
2.68
2.241
X
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
У
2.258
2.249
1.958
1.188
1.501
1.035
0.911
X
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
—0.5
-0.4
-0.3
-0.2
У
4.592
4.775
4.487
4.204
3.147
3.943
3.543
3.622
况
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
У
2.608
2.776
2.767
2.509
2.732
1.804
2.016
X
-0.9
—0.8
-0.7
—0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
У
5.892
5.103
5.624
5.197
4.749
4.653
4.253
4.249
X
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
У
4.555
3.955
4.076
3.869
3.241
2.782
2.667
X
-0.9
-0.8
-0.7
-66
-0.5
-0.4
-0.3
—0.2
У
7.689
7.513
7.314
6.951
6.632
6.515
5.653
5.61
X
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
У
5.076
4.768
4.503
4.224
3.35
3.869
3.405
X
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
宜
4.874
4.996
5.073
5.438
5.356
5.214
5.502
5.64
X
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
У
6.088
5.798
5.916
6.357
6.077
6.859
6.416
X
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
—0.3
—0.2
У
10.217
9.632
8.604
9.345
8.472
8.207
7.739
7.278
X
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
У
7.208
6.73
6.933
6.434
6.15
5.736
6.092
X
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
У
-2.83
-2.633
— 2.227
-1.281
— 2.609
— 1.574
-1.986
-1.48
X
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4 ，
0.5
У
—0.829
-1.305
-1.065
—0.552
-0.941
-0.55
0.168
X
—0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
У
-3.388
-3.367
-3.459
-3.025
-2.191
-1.763
-1.605
-1.658
X
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
У
— 1.433
-1.135
-0.824
-0.663
0.591
0.038
0.321
ж
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
У
—3.831
-3.335
-2.974
-3.287
-2.876
-2.821
-2.409
-2.421
X
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
У
-2.257
-2.209
-1.634
-1.222
-1.333
-1.676
-1.006
X
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
—0.3
-0.2
У
-5.315
-5.622
-5.509
-4.718
-4.679
-4.235
-3.742
-3.459
X
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
У
-2.848
-3.381
-3.083
-2.167
-1.688
-1.325
-1.641
Задание 6.21. Установите влияние объема продаж товара в зависимости от типа используемой рекламы для заданного значения а. Установите меру влияния каждого типа рекламы. Определите параметры и постройте плотности вероятностей распределения числа продаж для каждого типа рекламы.
Тип рекламы
Год
1991
1992
1993
1994
1995
1996
4
2.391
3.001
4.473
3.228
3.387
3.276
В
4.324
4.106
2.56
2.82
2.82
4.127
С
2.336
1.92
1.849
2.035
3.002
D
2.28
2.581
3.636
1.865
Тип рекламы
Год
1992
1993
1994
1995
1996
1997
4
3.251
3.146
3.386
2.572
2.374
5.743
В
3.742
2.848
4.683
3.647
2.917
3.067
С
2.983
3.029
3.238
3.442
3.214
D
2.384
1.547
4.27
3.874
Тип рекламы
Год
1991
1992
1993
1994
1995
1996
4
3.697
3.865
2.46
2.505
2.507
3.133
В
3.318
1.944
5.649
5.212
4.629
3.594
С
4.338
4.307
3.734
2.876
3.919
3.364
2.723
5.403
2.388
Тип рекламы
Год
1993
1994
1995
1996
1997
1998
4
1.547
4.783
5.961
4.976
5.058
3.126
В
3.582
5.418
6.327
6.049
4.313
5.458
С
4.446
3.278
3.436
3.502
3.689
D
3.582
4.226
3.664
3.754
Тип рекламы
Год
1992
1993
1994
1995
1996
1997
4
4.878
5.965
5.058
2.955
3.265
6.656
В
6.16
5.498
4.739
4.584
4.032
4.552
С
5.504
5.351
5.184
3.545
4.128
D
5.946
4.521
4.202
4.089
Тип рекламы
Год
1991
1992
1993
1994
1995
1996
4
5.357
5.447
4.929
5.075
5.38
4.305
В
5.879
4.683
6.182
7.513
5.183
6.708
С
4.206
3.26
4.137
3.806
4.646
D
4.092
4.465
5.852
5.724
Тип рекламы
Год
1990
1991
1992
1993
1994
1995
4
4.423
4.468
6.238
6.457
4.778
5.228
В
6.386
6.661
6.474
6.078
6.277
5.73
С
5.777
4.737
5.05
5.554
5.052
D
5.339
6.077
5.313
4.082
Тип рекламы
Год
1991
1992
1993
1994
1995
1996
4
5.979
6.331
6.703
7.455
5.451
6.125
В
5.929
4.663
8.361
6.591
5.377
5.527
С
6.205
6.464
5.177
7.476
6.536
D
7.167
6.435
4.859
6.894
Тип рекламы
Год
1992
1993
1994
1995
1996
1997
Л
5.643
7.473
6.345
6.247
7.509
6.708
В
7.53
6.997
7.871
6.896
6.627
8.164
С
6.141
4.66
7.599
5.569
4.654
D
5.488
6.973
6.879
5.968
Тип рекламы
Год
1993
1994
1995
1996
1997
1998
4
6.383
7.135
4.706
7.203
6.194
5.452
В
8.659
6.424
6.567
9.984
8.156
9.1
С
7.248
7.768
6.478
8.373
4.415
D
7.238
6.682
7.532
7.977
Тип рекламы
Год
1992
1993
1994
1995
1996
1997
4
5.18
6.13
3.242
2.737
4.143
3.819
В
3.68
4.38
4.166
5.719
3.046
4.56
С
1.628
4.569
4.164
5.173
4.798
D
4.396
2.731
3.689
4.158
Тип рекламы
Год
1991
1992
1993
1994
1995
1996
А
4.015
0.872
4.523
3.792
4.813
1.828
В
5.141
6.307
6.242
3.95
4.999
5.633
С
3.389
3.542
3.019
2.035
3.757
D
4.009
3.641
4.425
4.611
Тип рекламы
Год
1990
1991
1992
1993
1994
1995
А
5.884
2.468
7.268
5.622
4.416
4.005
В
5.838
3.679
6.32
5.488
4.581
4.961
С
4.037
4.495
5.594
4.961
5.413
D
5.785
5.555
5.482
6.156
Тип рекламы
Год
1991
1992
1993
1994
1995
1996
А
5.884
2.468
7.268
5.622
4.416
4.005
В
5.838
3.679
6.32
5.488
4.581
4.961
С
3.228
3.948
5.802
4.335
5.51
D
5.486
3.917
2.967
3.281
Тип рекламы
Год
1992
1993
1994
1995
1996
1997
А
4.594
5.535
4.678
4.65
4.777
4.853
В
3.751
6.752
6.153
6.471
8.436
4.842
С
7.315
5.734
4.394
5.137
4.9 .
D
4.921
3.966
6.971
4.089
Тип рекламы
Год
1993
1994
1995
1996
1997
1998
А
7.557
5.92
4.594
5.17
5.25
5.167
В
7.139
6.473
5.584
6.275
6.414
7.689
С
5.26
5.324
6.576
5.182
7.682
D
5.691
5.183
5.751
4.476
Тип рекламы
Год
1992
1993
1994
1995
1996
1997
А
5.29
4.973
7.7
7.619
6.171
6.169
В
6.271
7.356
7.254
7.668
9.036
7.239
С
8.395
7.35
4.682
8.497
6.396
刀
6.524
5.909
5.32
6.161
18.
Тип рекламы
Год
1991
1992
1993
1994
1995
1996
4
6.008
7.856
7.125
7.183
6.764
9.169
В
9.358
7.759
9.815
9.206
9.676
9.163
С
7.664
6.311
8.285
6.824
7.619
Р
6.643
7.484
4.305
6.98
19.
Тип рекламы
Год
1990
1991
1992
1993
1994
1995
4
6.231
6.709
7.204
6.372
8.121
6.491
В
6.922
8.707
7.314
8.602
8.446
9.736
С
9.024
5.944
6.545
7.39
7.379
Р
8.133
10.868
5.268
8.328
20.
Тип рекламы
Год
1991
1992
1993
1994
1995
1996
4
6.583
7.708
9.359
6.883
7.027
8.174
В
7.016
7.717
9.614
7.353
9.254
8.426
С
4.233
5.909
8.165
7.664
7.31
0
8.132
8.386
7.011
6.569
Задание 6.22. Проведите двухфакторный дисперсионный анализ данных
В1
В2
Вз
В4
41
2.335
3.071
3.719
4.654
儿2
3.77
3.497
5.38
4.476
Л3
2.974
3.042
5.233
5.238
из таблицы варианта.
В1
В2
Вз
В4
41
2.335
3.071
3.719
4.654
儿2
3.77
3.497
5.38
4.476
4з
2.974
3.042
5.233
5.238
В1
В2
Вз
В4
Л1
4.76
5.449
5.733
7.057
儿2
5.911
6.13
6.425
6.382
6.966
6.653
7.068
7.153
В1
В2
Вз
В4
А
5.693
6.437
6.066
6.374
&2
5.768
6.716
8.049
8.312
4з
7.259
7.545
7.989
8.631
В1
В2
Вз
В4
Л1
6.77
7,073
7.624
8.147
儿2
7.832
7.974
8.415
9.075
風
8.76
9.158
9.274
9.533
В1
В2
Вз
В4
А
2.609
3.055
5.013
4.53
儿2
4.191
4.452
5.683
4.647
Аз
6.067
5.446
3.665
5.621
В1
В2
Вз
В4
А
3.871
3.389
3.858
4.723
А2
5.68
5.408
4.998
5.628
▲з
6.432
6.397
6.057
7.201
母
В2
Вз
В4
41
6.417
4.323
4.567
6.608
А2
6.087
5.186
7.393
6.151
▲з
6.498
5.695
8.256
7.669
8.
81
当
Вз
84
А
5.661
6.629
7.079
5.453
А2
7.845
6.9
7.733
7.232
▲з
6.774
7.106
7.795
7.938
В1
В2
Вз
»4
6.014
7.907
6.628
7.882
А2
7.305
7.514
8.079
8.219
▲з
8.764
8.51
9.255
9.773
10.
81
82
Вз
84
4
3.676
4.838
3.876
4.223
厶2
4.969
5.807
5.919
7.903
厶3
6.241
6.234
6.364
5.888
11.
81
82
Вз
84
3.836
5.468
5.784
5.593
厶2
5.978
6.131
6.724
7.264
厶3
7,098
6.954
7.346
8.136
12.
81
&
Вз
84
4.36
6.763
6.001
3.935
厶2
5.622
6.062
8.202
7.596
厶3
7.278
7.508
8.831
7.603
13.
81
&
Вз
%
5.082
6.763
6.001
3.935
厶2
5.622
6.062
8.202
7.596
厶3
7.278
7.508
8.831
7.603
14.
81
82
Вз
84
4
5.265
6.998
6.032
8.851
厶2
9.656
7.239
7.552
9.684
厶3
9.16
8.084
10.504
9.045
15.
81
&
Вз
84
7.566
7.098
8.521
8.484
厶2
7.952
8.948
11.464
11.139
厶3
9.562
9.723
10.42
12.53
16.
J
J
Вз
马
2.887
3.46
6.206
5.975
А2
6.917
5.433
6.272
7.404
▲з
5.218
6.804
5.767
8.859
17.
81
82
Вз
84
7.278
4.691
6.00
7.25
А2
5.829
4.144
5.517
8.567
▲з
7.652
9.663
6.699
7.994
18.
81
J
Вз
&
8.304
7.532
6.213
6.939
厶2
8.155
6.605
8.469
7.14
厶3
9.926
10.092
9.143
10.383
19.
81
В2
Вз
84
8.208
7.943
7.453
8.69
А2
8.262
8.593
10.689
11.233
▲з
10.516
7.808
10.31
11.254
ЛИТЕРАТУРА
Афифи Ф., Эйзен С. Статистический анализ. Подход с исполь
зованием ЭВМ. - М.: Мир, 1982.
Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1975.
Васин А.П., Павлоцкая Л.М., Плис А.И., Сливина Н.А. Компью
терные занятия по высшей математике. - М.: Изд-во МЭИ, 1997.
Воеводин В.В. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1980.
Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кре
мера. - М.: Банки и биржи, 1998.
Гальперин В.М., Гребенников П.И., Леусский А.И., Тарасевич Л.С.
Макроэкономика. - СПб: Экономическая школа, 1994.
Доугерти К. Введение в эконометрику / Пер. с англ. - М.:
Инфра-М, 1997.
Дьяконов В.П. Справочник по Mathcad Plus 7.0 Pro. - М.: СК
Пресс, 1998.
Замков 0.0., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Матема
тические методы в экономике. - М: ДИС, 1997.
Иванов Ю.Н. Экономические доктрины. Теория потребле
ния. - М.: Наука,1997.
Иванов Ю.Н., Токарев В.В., Уздемир А.П. Математическое
описание элементов экономики. - М.: Наука, 1994.
Ильин В.А, Позняк Э.Г. Основы математического анализа. -
М.: Наука, 1980.
Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл. X. Математический
анализ. - М.: Изд-во МГУ, 1987.
Исследование операций в экономике / Под ред. Н.Ш. Креме
ра. - М.: Банки и биржи, 1997.
Колемаев В.А. и др. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1991.
Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономи
стов. - М.: Инфра-М, 1997.
Королюк B.C. и др. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. - Киев: Наукова думка, 1976.
Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. -
М.: Высшая школа, 1994.
Курицкий Б. Поиск оптимальных решений средствами Excel
7.0. - СПб, BHV, 1997.
Леман Э. Проверка статистическихгипотез. - М.:Наука,
1979.
Леонтьев В. В. Межотраслевая экономика. - М.: Экономика, 1997.
Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации. - М.: Изд-во МАИ, 1995.
Mathcad 6.0 Plus. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95 / Пер. с англ. - М.: Филин, 1996.
Mathcad 7. User's Guide. - MathSoft, 1997.
Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. - М.: Наука, 1970.
Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. - М.: Наука, 1992.
Очков В.Ф. Mathcad 7 Pro для студентов и инженеров. - М.: Компьютер пресс, 1998.
Петровский И.Г. Лекции по теории дифференциальных уравнений. - М.: Изд-во МГУ, 1984.
Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей математике. - М.: Высшая школа, 1994.
Севостьянов Б-A. Курс теории вероятностей и математической статистики. - М.: Наука, 1982.
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. - М.: Финансы и статистика, 1998.
Справочник по математике для экономистов / Под ред.
В.И. Ермакова. - М.: Высшая школа, 1997.
Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения / Пер. с англ.
- М.: Мир, 1980.
Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Рассказы о прикладной математике. - М.: Наука, 1979.
Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере / Под ред. В.Э. Фигурнова. - М.: Инфра-М, 1998.
Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1980.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: Наука, 1969.
Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. - М.: Высшая школа, 1982.
Эрлих А.А. Технический анализ товарных и финансовых рынков. - М.: Инфра-М, 1996.
Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями / Пер. с англ. - М.: Мир, 1986.
***В литературе о компьютерах приложением (Application) принято называть любую программу, работающую под управлением той или иной операционной системы. При этом программы, работающие в среде Windows, называют windows- приложенилми.
*На самом деле происходит следующее: Mathcad сохраняет результаты вычислений в переменной, имя которой указано слева от знака присваивания.
**Все величины, входящие в уравнения, выражены в единицах стоимости.
*B этом случае, если положить значение функции в точке равным значению односторонних пределов, функция станет непрерывной в точке.
**Если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен, то говорят о бесконечном разрыве.*
1 (-12-cos(k-jr) - 6-k*sin(k*ff )-я + d coslk jr^M)