Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Z\Z\
1 ПО ДВУМ СТОРОНАМИ УГЛУ МЕЖДУ НИМИ
3. ПО ТРЕМ СТОРОНАМ
2. ПО СТОРОНЕ
И ПРИЛЕГАЮЩИМ К НЕЙ УГЛАМ
ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ
с||Ь, если:
Zt = Z2(Z3 = Z4)
или
Z1 + Z4 = 180°
(Z2 + Z3 = 180°)
СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
(ТЕОРЕМА ПИФАГОРА]
а = с sin а b
КОСИНУСА
ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА,
СООТНОШЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
а2 + Ь2 = с
с cos а, а = Ь tg а
функции
уг;
и:
0°
30v
45е
60е
90°
180°
sin
0
1 т
•
уз 2
1
0
COS
1
Уз"
2
1
у 2"
1 Т
0
— 1
tg
0
1
уз"
1
уз"
—
0
И ТАНГЕНСА НЕКОТОРЫХ УГЛОВ
ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ
А.В.ПОГОРЕЛОВ
ГЕОМ ЕТРИЯ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ
610 КЛАССОВ
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
ДОПУЩЕНО МИНИСТЕРСТВОМ ПРОСВЕЩЕНИЯ СССР
МОСКВА
„ПРОСВЕЩЕНИЕ" 1982
ББК 22.151я72П43
^ 4306020400—488
® 163 (03) — 82
ИВф. ПИСЬМО
Издательство «Просвещение», 1982 г.
6 класс
ПЛАНИМЕТРИЯ
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТЕЙШИХГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
Геометрия — это наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» — греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Такое название связано с применением геометрии для измерений на местности.
Примеры геометрических фигур: треугольник, квадрат, окружность (рис. 1).
' Геометрические фигуры бывают весьма разнообразны. Часть любой геометрической фигуры является геометрической фигурой. Объединение нескольких геометрических фигур есть снова геометрическая фигура. На рисунке 2 фигура слева состоит из треугольника и трех квадратов, а фигура справа состоит из окружности и частей окружности. Всякую геометрическую фигуру мы представляет. себе составленной из точек.
Геометрия, которая изучается в школе, называется евклидовой, по имени древнегреческого ученого Евклида (III век до н. э.), создавшего замечательное руководство по математике под названием «Начала». В течении длительного времени геометрию изучали по этой книге.
Мы начнзм изучение геометрии с планиметрии. Планиметрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 5Рис. 5
Рис. 5
Рис. 5
ТОЧКА И ПРЯМАЯ
Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. На чертеж точки и прямые наносятся остро отточенным карандашом. Для построения прямых пользуются линейкой. Точки принято обозначать прописными латинскими буквами: А, В, С, D, ... . Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: а, b, с, d, ... .
На рисунке 3 вы видите точку А и прямую а.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ТОЧЕКИ ПРЯМЫХ
Посмотрите на рисунок 4. Вы видите прямые а, 6 и точки А, В, С. Точки А и С лежат на прямой а. Можно сказать также, что точки А и С принадлежат прямой а или что прямая а проходит через точки Аи С.
Точка В лежит на прямой Ъ. Она не лежит на прямой а. Точка С лежит и на прямой а, и на прямой 6. Прямые а и Ъ пересекаются в точке С. Точка С является точкой
пересечения прямых а и Ъ.
На рисунке 5 вы видите, как с помощью линейки строится прямая, проходящая через две заданные точки А и В.
Основными свойствами принадлежности точек и прямых на плоскости мы будем называть следующие два свойства:
Yv Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
1г. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Прямую можно обозначать двумя точками, лежащими на ней. Например, прямую а на рисунке 4 можно обозначить АС, а прямую Ь можно обозначить ВС.
Могут ли две различные прямые иметь более одной точки пересечения? Не могут. Если бы они имели две точки пересечения, то через эти точки проходили бы две различные прямые. А это невозможно, так как через две точки проходит только одна прямая. Таким образом, получается следующее свойство:
Две различные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЗАИМНОГО РАСПОЛОЖЕНИЯ ТОЧЕК НА ПРЯМОЙ И НА ПЛОСКОСТИ
Посмотрите на рисунок 6. Вы видите прямую а и три точки А, В, С на этой прямой. Точка В лежит между точками А и С, она разделяет точки А и С. Можно также сказать, что точки А и С лежат по разные стороны от точки В. Точки А и В лежат по одну сторону от точки С, они не разделяются точкой С. Точки В и С лежат по одну сторону от точки А.
Отрезком называется часть прямой, которая состоит из
всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Эти точки называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов. Когда говорят или пишут: «отрезок АВ», то подразумевают отрезок с концами в точках А и В.
На рисунке 7 вы видите отрезок АВ. Он является частью прямой АВ. Эта часть прямой выделена жирной линией. Точка X прямой лежит между точками А и В. Поэтому она принадлежит отрезку АВ. Точка У не лежит между точками А и В. Поэтому она не принадлежит отрезку АВ.
Посмотрите на рисунок 8. Прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости. Это разбиение обладает следующим свойством. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересека-
стоя с прямой. Если концм отрезка принадлежат разным полуплоскостям. то отрезок пересекается с прямой. На рисунке 8 точки А и В лежат в одной из полуплоскостей, на которые прямая а разбивает плоскость. Поэтому отрезок АВ не пересекается с прямой а. Точки С и D принадлежат разным полуплоскостям. Поэтому отрезок CD пересекает прямую а.
Основными свойствами расположения точек на прямой и на плоскости мы будем называть следующие свойства:
П]. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Нг- Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
Задача (9). Даны прямая и три точки А, В, С, не лежащие на этой прямой. Известно, что отрезок АВ пересекает прямую, а отрезок АС не пересекает ее. Пересекает ли прямую отрезок ВС? Объясните ответ.
Решение. Прямая разбизает плоскость на две полуплоскости. Точка А принадлежит одной из них. Отрезок АС не пересекает прямую. Значит, точка С лежит в той же полуплоскости, что и точка А. Отрезок АВ пересекает прямую. Значит, точка В лежит в другой полуплоскости. Таким образом, точки В и С лежат в разных полуплоскостях. А это значат, что отрезок В С пересекает нашу прямую.
Полупрямой или лучом называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки. Эта точка называется начальной точкой жолупрямой. Различные полупрямые одной и той же прямой с общей начальной точкой называются дополнительными.
На рисунке 9 вы видите прямую а и точку А на ней. Точка А разбивает прямую а на две полупрямые. Одна из них выделена жирной линией, а другая — ТОНКОЙ.
Полупрямые обозначаются строчными латинскими буквами. Можно обозначать полупрямую двумя точка- цми: начальной и еще какой-нибудь
точкой, принадлежащей полупрямой.
Рис. 9При этом начальная точка ставится на
первом месте. Например, полупрямую, которая выделена жирной линией на рисунке 9, можно обозначить АВ.
Задача (13). На отрезке АВ взята точка С. Среди полупрямых АВ, АС, СА и СВ назовите пары совпадающих полупрямых, дополнительных полупрямых. Объясните ответ.
Решение. Данные полупрямые имеют начальной точкой либо точку А, либо точку С. Рассмотрим сначала полупрямые с начальной точкой А (полупрямые АВ и АС). Точка С лежит между точками А и В, так как по условию задачи она принадлежит отрезку АВ. Значит, точка А не лежит между точками 13 и С, т. е. точки В и С лежат по одну сторону от точки А. Поэтому полупрямые АВ и АС совпадающие.
Рассмотрим теперь полупрямые с начальной точкой С (полупрямые С А и СВ). Точка С разделяет точки А и В. Поэтому точки А и В не могут принадлежать одной полупрямой, а значит, полупрямые С А и СВ дополнительные.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ИЗМЕРЕНИЯ ОТРЕЗКОВ И УГЛОВ
Для измерения отрезков применяются различные измерительные инструменты. Простейшим таким инструментом является линейка с делениями на ней. На рисунке 10 отрезок АВ равен 10 см, отрезок АС равен 6 см, а отрезок ВС равен 4 см. Длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС.
Основными свойствами измерения отрезков мы будем называть следующие свойства:
Illi. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Это значит, что если на отрезке АВ взять любую точку С, то длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС. Длину отрезка АВ называют также расстоянием между точками А и В.
Задача (16). Три точки А, В, С лежат на одной прямой. Известно, что АВ = 4,3 см, АС = 7,5 см, ВС = 3,2 см. Может ли точка А лежать между точками В и С? Может ли точка С лежать между точ-
Углом называется фигура, личных полупрямых с общейУглом называется фигура, личных полупрямых с общейками А и В? Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими?
Углом называется фигура, личных полупрямых с общей
Углом называется фигура, личных полупрямых с общей
Решение. Если точка А лежит между точками В и С, то по свойству измерения отрезков должно быть: АВ + + АС = ВС. Но 4,3 +7,5=# =# 3,2. Значит, точка А не лежит между точками В и С.
Если точка С лежит между точками А и В, то должно быть: АС + ВС = АВ. Но 7,5 + 3,2 =# 4,3. Значит, точка С не лежит между точками А и В.
Из трех точек на прямой А, В, С одна точка лежит между двумя другими. Значит, этой точкой является В. которая состоит из двух раз- начальной точкой. Эта точка
называется вершиной угла, а полупрямые — сторонами угли. Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развернутым.
На рисунке 11 вы видите угол с вершиной О и сторонами а, Ь. Угол обозначается либо указанием его вершины, либо указанием его сторон, либо указанием трех точек: вершины и двух точек на сторонах угла. Слово «угол» иногда заменяют значком Z_. Угол на рисунке 11 можно обозначить тремя способами: Z_O, Z_(ab), zLAOB. В третьем способе обозначения угла буква, обозначающая вершину, ставится по
середине.
Посмотрите на рисунок 12. Мы будем говорить, что луч с проходит между сторонами угла (об), если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла.
В случае развернутого угла мы считаем, что любой луч, исходящий из его вершины и отличный от его сторон, проходит между сторонами угла.
Углы измеряются в градусах при помощи транспортира. На рисунке 13 угол (ab) равен 120°, полупрямая с проходит между сторонами угла (ab). Угол (ас) равен 90°, а угол (Ьс) равен 30°. Угол (аб) равен сумме углов (ас) и (6с).
Основными свойствами измерения углов мы будем называть следующие свойства:
Шг. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
Это значит, что если луч с проходит между сторонами угла (ab), то угол (ab) равен сумме углов (ас) и (6с).
Задача (28). Может ли луч с проходить между сторонами угла (об), если Z_ (ас) = 30°, Z_ (cb) = 80°, Z_ (ab) — 50°?
Решение. Если луч с проходит между сторонами • -угла (аб), то по свойству измерения углов должно быть: Z_ (ас) + Z_ (cb) = Z_ (аЪ). Но 30° + 80° ^ 50°. Значит, луч с не может проходить между сторонами угла (ab).
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОТКЛАДЫВАНИЯ ОТРЕЗКОВ И УГЛОВ
На рисунке 14 показано, как с помощью линейки на полупрямой а с начальной точкой А можно отложить отрезок данной длины (3 см).
Посмотрите на рисунок 15. Полупрямая а, будучи продолжена за начальную точку А, разбивает плоскость на две полуплоскости. На рисунке показано, как с помощью транспортира отложить от полупрямой а в верхнюю полуплоскость угол с данной градусной мерой (60°).
Основными свойствами откладывания отрезков и углов мы будем называть следующие свойства:
IVi. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
IV2. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180е, и только один. •
Задача (35). На луче АВ отложен отрезок АС, меньший отрезка АВ. Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими? Объясните ответ.
Решение. Так как точки В и С лежат на одной полу- трямой с начальной точкой А, то они не разделяются точкой А, т. е. точка А не лежит между точками В и С. Может ли точка В лежать между точками А и С? Если бы она лежала между точками А и С, то было бы АВ 4' ВС = АС. Но это невозможно, так как по условию отрезок АС меньше отрезка ЛВ. Значит, точка В не лежит между точками Л и С. Из трех точек А, В, С одна лежит между дзумя другими. Поэтому точка С лежит между точками Л и В.
СУЩЕСТВОВАНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА, РАВНОГО ДАННОМУ
Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. На рисунке 16 вы видите треугольник с вершинами А, В, С и сторонами АВ, ВС, АС. Треугольник обозначается указанием его вершин. Вместо слова «треугольник» иногда употребляют значок А. Например, треугольник на рисунке 16 обозначается так: АЛВС.
Углом треугольника АВС при вершине А называется угол,
«о
образованный полупрямыми АВ и АС. Так же определяются углы треугольника при вершинах В и С.
Два отрезка называются равными, если они имеют одинаковую длину. Два угла называются равными, если они имеют одинаковую угловую меру в градусах. Треугольники АВС и АХВХСХ называются равными, если у них А А — А Av АВ = АВХ, АС = ACY, АВ = АхВк, ВС = ВА» АС = = AiCl. Кратко это выражают словами: треугольники равны, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны.
На рисунке 17 вы видите два равных треугольника: АВС и ALBXCV У них А А = ААи АВ = A Bv, АС = ACv АВ = АД, ВС = BkClt АС = AVCV На чертеже равные отрезки обычно отмечают одной, двумя или тремя черточками, а равные углы — одной, двумя или тремя дужками.
Для обозначения равенства треугольников используется обычный знак равенства: =. Запись А АВС = AAVBVCV читается: «Треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1». При этом имеет значение порядок, в котором записываются вершины треугольника. Равенство А АВС = АА1В1С1 означает, что А А = ААХ,А В = А-Вх,... . А равенство ААВС = = АВгА1Сг означает уже совсем другое: АА = А Вх, А В = = А А» ... .
Задача (43). Треугольники АВС и PQR равны. Известно, что сторона АВ равна 10 м, а угол С равен 90°. Чему равны сторона PQ и угол В? Объясните ответ.
Решение. Так как треугольники АВС и PQR равны, то у них АС = AR, АВ = PQ. Значит, PQ = 10 м, AR = = 90°.
Пусть мы имеем треугольник АВС и луч а (рис. 18). Переместим треугольник АВС так, чтобы его вершина А совмести
лась с началом луча а, вершина В попала на луч а, а вершина
С оказалась в заданной полуплоскости, определяемой лучом а и его продолжением. Вершины нашего треугольника в этом новом положении обозначим Av Вх, С^ Треугольник А^^Су
равен треугольнику АВС. Существование треугольника Л^В^Сц равного треугольнику АВС и расположенного указанным образом относительно заданного луча а, мы относим к числу основных свойств простейших фигур. Это свойство мы будем формулировать так:
IV3. Каков бы ни был треугольник, существует равный ежу треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
Две прямые на плоскости называются параллельными, вели они не пеоесекаются. При этом прямые считаются неограни
ченно продолженными в обоих направлениях.
На рисунке 19 показано, как с помощью угол ,ника и линейки провести через данную точку В прямую Ъ, параллельную данной прямой а.
Для обозначения параллельности прямых используется значок ||. Запись а || Ь читается: «Прямая а параллельна прямой 5».
Основное свойство параллельных прямых со
стоит в следующем:
V. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой. параллельной данной.
Задача (45). Может ли прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, не пересекать другую? Объясните ответ.
Решение. Обозначим через а и Ъ две параллельные прямые, а через с обозначим прямую, пересекающую одну из прямых а или Ъ, например а. Обозначим через А точку пересечения прямых аис (рис. 20). Если бы прямая с не пересекала прямую Ь, то через точку А проходили бы две прямые, не пересекающие прямую Ъ:
прямая а и прямая с. Но по свойстзу параллельных прямых это невозможно. Значит, прямая с, пересекая прямую а, должна пересекать и прямую Ь.
АКСИОМЫ, ТЕОРЕМЫ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путем рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. Предложение, выражающее свойство геометрической фигуры, которое доказывается, называется теоремой. Приведем пример.
Теорема 1.2. Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон.
Доказательство. Пусть прямая а не проходит ни через одну из вершин треугольника АВС и пересекает его сторону АВ (рис. 21). Прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости. Точки Аи В лежат в разных полуплоскостях, так как отрезок АВ пересекается с прямой а. Точка С лежит в одной из этих полуплоскостей. Если точка С лежит в одной полуплоскости с точкой А, то отрезок АС не пересекается с прямой а, а отрезок ВС пересекается с этой прямой (рис. 21, а). Если точка С лежит в одной полуплоскости с точкой В, то отрезок АС пересекается с прямой а, а отрезок ВС не пересекается (рис. 21, б). В обоих случаях прямая а пересекает только один из отрезков АС или ВС. Вот и все доказательство.
Основные свойства простейших фигур, сформулированные в данном параграфе, являются отправными в доказательствах других свойств. Основные свойства не доказываются и называются аксиомами.
При доказательстве теорем разрешается пользоваться основными свойствами простейших фигур, т. е. аксиомами, а также свойствами, уже доказанными, т. е. доказанными теоремами. Никакими Другими свойствами фигур, даже если они нам кажутся очевидными, пользоваться нельзя.
При доказательстве теорем разрешается пользоваться чертежом как геометрической записью того, что мы выражаем
слэвамл. Не разрешается использовать в рассуждении свойства фигуры, видные на чертеже, если мы не можем обосновать их, опираясь на аксиомы и теоремы, доказанные ранее.
Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что дол к- но быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Условие теоремы 12 состоит в том, что прямая не проходит ни через одну из вершин треугольника и пересекает одну из его сторон. Заключение теоремы состоит в том, что эта прямая пересекает только одну из двух других сторон треугольника.
В геометрии наряду с такими словами, как аксиома и теорема, используется также слово «определение». Дать опреог- ление чему-либо — значит объяснить, что это такое. Например, говорят: «Дайте определение треугольника». На это отвечают: «7реугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки». Другой пример: «Дайте определенно параллельных прямых». Отвечаем: «Прямые называются параллельными, если они не пересекаются». Вы уже знаете определения равенства отрезков, равенства углов и треугольников.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Что такое геометрия?
Приведите примеры геометрических фигур.
Что такое планиметрия?
Назовите основные геометрические фигуры на плоскости.
Каким чертежным инструментом пользуются для проведения прямых?
Как обозначаются точки и прямые?
Какие точки, отмеченные на рисунке 4, лежат на прямой а, какие точки — на прямой Ь? В какой точке прямые а и Ь пересекаются?
Сформулируйте основные свойства принадлежности точек и прямых.
Объясните, почему две различные прямые не могут иметь две точки пересечения.
Какая из трех течек на рисунке 6 разделяет две другие? Как расположены точки В и С относительно точки А?
Объясните, что такое отрезок с конями в данных точках.
Какими свойствами обладает разбиение плоскости на две полуплоскости?
Сформулируйте основные свойства взаимного расположения точек на прямой и на плоскости.
Что такое полупрямая или луч? Какие полупрямые называются дополнительными?
Как обозначаются полупрямые?
Каким инструментом пользуются для измерения отрезков^
Сформулируйте основное свойство измерения отрезков.
Что называется расстоянием между двумя данными точками?
Какая фигура называется углом?
Назовите вершину и стороны угла на рисунке 11.
Какой угол называется развернутым?
Как обозначается угол?
Объясните, что означает выражение: «Полупрямая проходит между сторонами угла».
В каких единицах измеряются углы и с помощью какого инструмента? Объясните, как проводится измерение.
Сформулируйте основные свойства измерения углов.
Сформулируйте основные свойства откладывания отрезков и углов.
Что такое треугольник?
Назовите вершины и стороны треугольника на рисунке 16.
Что такое угол треугольника при данной вершине?
Какие отрезки называются равными?
Какие углы называются равными?
Что означает выражение: «Треугольник АВС равен треугольнику А^В^С^**! Как обозначается равенство треугольников?
Как на рисунке отмечаются у равных треугольников соответствующие стороны и углы?
Объясните по рисунку 18 существование треугольника, равного данному.
Какие прямые называются параллельными? Какой значок используется для обозначения параллельности прямых?
Сформулируйте основное свойство параллельных прямых.
Что такое геометрическое доказательство?
Что такое теорема?
Приведите пример теоремы и ее доказательства.
Сформулируйте аксиомы принадлежности точек и прямых.
Сформулируйте аксиомы измерения отрезков и углов.
Сформулируйте аксиомы откладывания отрезков и углов.
Сформулируйте аксиому существования треугольника, равного данному.
В чем состоит аксиома параллельных?
Какими свойствами геометрических фигур разрешается пользоваться при доказательстве теоремы?
4G. Как используется чертеж при доказательстве теоремь.’ 47. Из каких двух частей состоит формулировка теоремы? 48. Что значит дать определение чему-либо? Дайте определения равенства отрезков, углов и треугольников.
упражнения 1
Проведите прямую. Отметьте какую-нибудь точку А, лежащую ла прямой, и точку В, не лажашую на прямой.
Проведите две пересекающиеся прямые а и Ь. Отметьтэ точку С пересечения прямых, точку А на прямой а, не лежащую на прямой Ь, точку О, не лежащую ни на одной из прямых а и Ъ.
Отметьте на листе бумаги две точки. Проведите через них от руки прямую. С помощью линейки проверьте правильность построения. Повторите упражнение.
Отметьте на листе бумаги две точки. Отметьте теперь третью точку на глаз так, чтобы она лежала на прямой, проходящей через первые две точки. Проверьте правильность построения с помощью линейки. Повторите упраж нение.
Проведите прямую а. Отметьте на прямой две какие- нибудь точки А и В. Отметьте теперь точку С так, чтобы точ.^а А лежала между точками В и С.
Проведите прямую а. Отметьте на прямой две какие- нибудь точки Л и В. Отметьте теперь какую-нибудь точку С отрезка АВ.
Сколько точек пересечения могут иметь два отрезка, если они не лежат на одной прямой? Объясните ответ.
Проведите пря дую и отметьте какую-нибудь точку А, не лежащую на этой прямой. Отметьте теперь две точки В и С так, чтобы отрезок АВ пересекал прямую, а отрезок ВС не пересекал ее.
Даны прямая и три точки А, В, С, не лежащие на этой прямой. Известнэ, что отрезок АВ пересекает прямую, а отрезок АС не пересекает ее. Пересекает ли прямую отрезок ВС? Объясните ответ.
Даны прямая и четыре точки А, В, С и D, не лежащие на этой прямой. Пересекает ли прямую отрезок AD, если: 1) отрезки АВ, ВС и CD пересекают прямую; 2) отрезки АС и BD пересекают прямую, а отрезок АВ не пересекает; 3) отрезки АВ и CD пересекают прямую, а отрезок ВС не пересекает; 4) отрезки АВ и CD не пересекают прямую, а отрезок ВС пересекает; 5) отрезки
1 Многие упражнения настоящего учебника взяты из школьных уч ебников и задачников прошлых лет, в особенности из «Геометрии ■ А. П. Кисе ■ лева и «Сборника задач по геометрии» Н. Рыбкина.
АВ, ВС и CD не пересекают прямую; 6) отрезки АВ, АС и CD пересекают прямую? Объясните ответ.
Даны пять точек и пряная, не проходящая ни через одну из этих точек. Изевстно, что три точки расположены в одной полуплоскости относительно этой прямой, а две точки — в другой полуплоскости. Каждая пара точек соединена отрезком. Сколько отрезков пересекает прямую? Объясните ответ.
Отметьте две точки А и В. Проведите полупрямую АВ.
На отрезке АВ взята точка С. Среди полупрямых АВ, АС, С А, СВ назовите пары совпадающих полупрямых, дополнительных полупрямых. Объясните ответ.
Точка М лежит на прямой CD между точками С и D. Найдлте длину отрезка CD, если: 1) СМ = 2,5 см, MD = 3,5 см; 2) СМ = 3,1 дм, MD = 4,6 дм; 3) СМ = = 12,3 м, MD = 5,8 м.
Отметьте на прямой две точки. Отметьте на глаз середину отрезка, соединяющего эти точки. Проверьте правильность построения измерениями с помощью линейки. Повторите упражнение.
Три точки А, В, С лежат на одной прямой. Известно, что АВ = 4,3 см, АС = 7,5 см, ВС = 3,2 см. Может ли точка А лежать между точками В и С? Может ли точка С лежать между точками А и В? Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими?
Точки А, В, С лежат на одной прямой. Принадлежит ли точка В отрезку АС, если: 1) АС = 5 см, ВС = 7 см;
" 2) АС = 9,1 м, АВ = 9,2 м; 3) АВ = 3 дм, ВС = 4 дм, АС =^ 7 дм? Объясните ответ.
Точки А, В, С лежат на одной прямой. Может ли точка В разделять точки А и С, если: 1) АС = 5 см, АВ = = 7 см; 2) АС = 7 м, ВС = 7,6 м? Объясните ответ.
Могут ли точки А, В, С лежать на одной прямой, если АВ = 1,8 м, АС = 1,3 м, ВС = 3 м? Объясните ответ.
Расстояния от точки А до точек В и С равны 5 см и 7 см, а расстояние между точками В и С равно 6 см. Могут ли точки А, В и С лежать на одной прямой? Объясните ответ.
Могут ли три точки А, В, С лежать на одной прямой, если длина большего отрезка АВ меньше суммы длин отрезков АС и ВС? Объясните ответ.
Точки А, В, С лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка ВС, если АВ = 2,7 м, АС = 3,2 м. Сколько решений имеет задача?
На отрезке АВ взята точка С. Какой отрезок длиннее: АВ или АС? Почему?
Может ли точка X принадлежать отрезку АВ, если АХ > АВ? Объясните ответ.
На отрезке АВ длиной 15 м отмечена точка С. Найдите длины отрезков АС и ВС, если: 1) отрезок АС на 3 м длиннее отрезка ВС*, 2) отрезок АС в два раза длиннее отрезка ВС; 3) точка С — середина отрезка АВ; 4) длины отрезков АС и ВС относятся как 2:3.
Проведите из одной точки три произвольных луча. Определите на глаз углы, образуемые этими лучаыи. Проверьте ваши ответы, измерял углы транспортиром. Повторите упражнение.
Луч а проходит между сторонами угла (cd). Найдите угол (cd), если: 1) Z. (ас) = 35°,2_ (ad) = 75°;
21 (ас) =- 57°, 2_(ad) = 62°; 3) 2_(ас) = 94,21 (ad) = = 85°.
Может ли луч с проходить между сторонами угла (аЪ), если: 1) 2_ (ас) = 30°,2_ (сЪ) = 80°, 2_ (ab) = 50°;
2_ (ас) = 10Э , 2_(сЬ) = 90°; 3) угол (ас) больше угла (аЬ)?
Луч с проходит между сторонами угла (ab). Какой угол больше: Z_ (ab) или 2_ (ас)? Почему?
Между сторонами угла (аЪ), равного 60°, проходит луч с. Найдите углы (ас) и (Ьс), если: 1) угол (ас) на 30° больше угла (Ьс); 2) угол (ас) в два раза больше угла (Ьс); 3) луч с делит угол (аЬ) пополам; 4) градусные меры углов (ас) и (Ьс) относятся как 2 : 3.
Проведите прямую. Отметьте на ней какую-нибудь точку А. А теперь отметьте на i лаз точку Б этой прямой так, чтобы АВ = 5 см. Проверьте точность построения точки В линейкой. Повторите упражнение для: 1) АВ = = 3 см, 2) АВ = 7 см, 3) АВ = 10 см.
Постройте на глаз углы 30°, 45°, 60°, 90°. Проверьте точность построения транспортиром. Повторите упрая,- нение.
Существует ли на полупрямой АВ такая точка X, отличная от В, что АХ = АВ? Объясните ответ.
Сколько существует точек X на прямой АВ, отличны:, от В, для которых АХ = АВ? Объясните ответ.
На луче АВ отложзи отрезок АС, меньший отрезка АЬ. Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими? Объясните ответ.
На луче АВ отмечена точка С. Найдите длину отрезка ВС, если: 1) АВ = 1,5 м, АС = 0,3 м; 2) АВ = 2 см, АС = 4,4 см.
Постройте на глаз треугольник с равными сторонами (равносторонний треугольник). Проверьте точность построения измерением сторон.
На стороне АВ треугольника АВС взята точка О. Чему равна сторона АВ треугольника, если АО = 5 см, а ВБ = 6 см?
На стороне АВ треугольника АВС взята точка D. Чему равен угол С треугольника, если 2LACD = 30°, а А ВОВ = 70°?
Начертите какой-нибудь треугольник. Постройте от руки, на глаз, равный ему треугольник. Проверьте правильность построения, измеряя соответствующие углы и стороны. Повторите упражнение.
Треугольники АВС и PQR равны. Известно, что АВ = = 5 см, ВС = 6 см, АС = 7 см. Найдите стороны треугольника PQR. Объясните ответ.
Треугольники АВС и PQR равны. Углы второго треугольника известны: /_Р = 40°, Z_Q = 60°, Z_R = 80". Найдите углы треугольника АВС.
Треугольники АВС и PQR равны. Известно, что сторона АВ равна 10 м, а угол С равен 90°. Чему равны сторона PQ и угол Р? Объясните ответ.
Треугольники ABC, PQR и XYZ равны. Известно, что АВ = 5 см, QR = 6 см, ZX — 7 см. Найдит: остальные стороны каждого треугольника.
Может ли прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, не пересекать другую? Объясните ответ.
Даны две пересекающиеся прямые. Можно ли провести третью прямую, параллельную каждой из двух данных?
Может ли прямая, не преходяща я ни через одну из вер шин треугольника, пересекать каждую его сторону? Почему?-
Даны четыре точки: Л, В, С и D. Известно, что точки А, В, С лежат на одной прядей и точки В, С, D так; же лежат на одной прямой. Докажите, что все четыре точке: лзжат на одной прямой.
Даны четыре прямые: а, Ь, с и d. Известно, что прямые а, Ъ, с пересекаются в одной точке и прямые b, с, d также пересекаются в одной точке. Докажите, что все четыре данные прямые проходят через одну точку.
Прямая АВ пересекает отрезок CD, а прямая CD пересекает отрезок АВ. Докажите, что отрезки АВ и CD пересекаются.
Дан треугольник АВС. На стороне АС взята точка Bv а на стороне ВС — точка Л1. Докажите, что отрезки AAV и ВВХ пересекаются.
Отпэзки АВ и CD, не лежащие на одной прямой, пересекаются в точке Е. Докажите, что отрезок АС не пересекает прямую BD.
Рис. 23Рис. 23§ 2. УГЛЫ
Рис. 23
Рис. 23
СМЕЖНЫЕ УГЛЫ
Определение. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
На рисунке 22 углы (щб) и (а2Ь) смежные. У них сторона 6 общая, а стороны ах и а2 являются дополнительными полупрямыми.
Пусть С ■— точка на прямой АВ, лежащая между точками А и В, a D — точка, не лежащая на прямой АВ (рис. 23). Тогда углы BCD и ACD смежные. У них сторона CD общая. Стоу сны С А и СВ являются дополнительными полупрямыми прямой АВ, так как точки А и В этих полупрямых разделяются начальной точкой С.
Теорема 2.1. Сумма смежных углов равна 180°.
Д ^казательство. Пусть А (щб) и А (а2Ь) — данные смежные углы (см. рис. 22). Луч b проходит между сторонами ах и а2 развернутого угла. Поэтому сучима углов (щЬ) и (а26) равна развернутому углу, т. е. 180°. Теорема доказана.
Из теоремы 2.1 следует, что если Эва угла равны, то смежные с ними углы равны.
Задача (3). Найдите смежные углы, если один из них в два раса больше другого.
прямой уголпрямой уголРешение. Обозначим градусную меру меньшего из углов через х. Тогда градусная мера большего угла будет 2х.
прямой угол
прямой угол
Сумма углов равна 180°. Итак, х + 2х = 180.
Отсюда х = 60. Значит, наши смежные углы равна 60° и 120°.
Угол, равный 99 , называется прямым углом. Ив теоремы 2.1 следует, что угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Угол, меньший 90°, называется острым углом. Угол, больший 90° и меньшим 180°, называется тупъи и Так как сумма смежных углов равна 180°, то угол, смежный с острым, туи )й, а угол, смежный с тупым, острый. На рисунке 24 изображены три вида углов.
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ
Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.
На рисунке 25 углы ^bi) и (а„&2) вертикальные. Стороны аа и &2 второго угла являются дополнительными полупрямыми сторон а^ и bY первого угла.
Теорема 2. 2. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Пусть (,а1Ь1) и Va^b^ — данные ертикальные углы (рис. 25). Угол («162) является смежным с углом (0151) и с углом (а2Ь2). Отсюда по теореме 2.1 заключаем, что каждый из углов (a^j) и ^а^Ъ^ дополняет угол ^а^Ь^ до 180°, т. е. углы («ibi) и (а2Ь2) равны. Теорема доказана.
Задача (8). Сумма двух углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равна 50°. Найдите эти углы.
Решение. Два угла, которые получаются при пересечении двух прямых, либо смежные, либо вертикальные. Данные углы не могут быть смежны ми,
так как их сумма равна 50°, а суммаа7*
смежных углов равна 180°. Значит, они вертикальные Так как вертикальные углы равны и по условию их сумма 50°, Рис. 25 то каждый из углов равен 25°.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕРис. 28Рис. 28Пусть а и b — две пересекающийся прямые (рис. 26). Они образуют четыре угла. Пусть а — один из этих углов. Тогда любой из остальных трех углов будет либо смежным с углом а, либо вертикальным с углом а. Отсюда следует, что если один из углов прямой, то остальные углы тоже прямые. В этом случае мы говорим, что прямые пересекаются под прямым углом.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ
Рис. 28
Рис. 28
Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом (рис. 27).
Перпендикулярность прямых обозначается значком ±. Запись а ± Ъ читается: «Прямая а перпендикулярна прямой 6».
Определение. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, имеющий концом их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.
На рисунке 28 перпендикуляр АВ проведен из точки А к прямой а. Точка В — основание перпендикуляра.
Теорема 2.3. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Д казательство. Пусть а — данная прямая и А — данная точка на ней. Обозначим через at одну из полупрямых прямой а с начальной точкой А (рис. 29). Отложим от полупрямой ах угол («161), равный 90°. Тогда прямая, содержащая луч 6П будет перпендикулярна прямой а.
Допустим, что сущестпует друга я пр лагая, тоясе проходящая через точку А и перпендикулярная прямой а. Обозначим через сг полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом bv
Углы («161) и (fliCj), равные 90° каждый, отложены в одну полуплоскость ОТ полупрямой Oi- Но от полупрямой ах в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Поэтому не может быть другой прямой, проходящей через точку Л и перпендикулярной прямой а. Теорема доказана.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО
Способ доказательства, который мы применили в теореме 2.3, называется доказательством от противного. Этот способ доказательства состоит в том, что мы делаем сначала предположение, противоположное тому, что з'тверждается теоремой. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и уже доказанные теоремы, приходам к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что наше предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы.
Поясним это на примере доказательства теоремы 2.3. Теоремой утверждается, что через каждую точку прямой можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Допустив, что таких прямых можно провести две, мы пришли к выводу, что от данной полупрямой в данную полуплоскость можно отложить два угла с одной и той же градусной мерой (90°). А это противоречит аксиоме откладывания углов. Согласно этой аксиоме от данной полупрямой в данную полуплоскость можно отложить только один угол с данной градусной мерой.
УГЛЫ, ОТЛОЖЕННЫЕ В ОДНУ ПОЛУПЛОСКОСГЬ
Теорема 2.4. Если от данной полупрямой отложить в одну полуплоскость два угла, то сторона меньшего угла, отличная от данной полупрямой, проходит между сторонами большего угла.
Доказательство. Пусть Z_ (ab) и Z- (< с) — углы, отложенные от данной полупрямой а в одну полуплоскость, и пусть угол (ab) меньше угла (ас) (рис. 30). Докажем, что луч b проходит между сторонами угла (ас).
Обозначим через ах полупрямую, дополнительную к а. Отметим на луче а какую-нибудь точку А, на луче aY точку В и на луче с точку С.
Прямая, содержащая луч Ь, пересекает сторону АВ треугольника АВС, а значит, пересекает одну из двух других его сторон: АС или ВС. Пересечение производится лучом Ь, так как дополнительный луч лежит в другой полуплоскости.
Допустим, что луч b пересекает отрезок ВС, а значит, проходит между сторонами угла (atc) (рис. 30," с). Тогда угол (а^) больше угла (щЬ). А для смежных им углов будет: угол (ас) меньше угла (ab). Но это противоречит условию теоремы. Итак, луч b не пересекает отрезок ВС. Значит, он пересекает отрезок АС (рис. 30, б) и поэтому проходит между сторонами угла (ас). Теорема доказана.
Задача (16). От полупрямой АВ в разные полуплоскости отложены углы Z_BAC =80° и ZLBAD = 70°. Найдите угол CAD.
Решение. Так как точки С и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АВ, то отрезок CD пересекает эту прямую (рис. 31). Значит, луч АВ или дополнительный луч АЕ проходит между сторонами угла CAD. Поэтому угол CAD равен либо сумме углов ВАС и BAD, либо сумме смежных им углов ЕАС и EAD. В первом случае ин равен 80° + 70е = =150°, а во втором (180°—80°)+(180е—
— 70°) = 210°. Второй случай невозможен, так как градусная мера угла не превосходит 180°. Итак, угол CAD равен 150*.
Определение. Биссектрисой угла называется луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит угол пополам.
На рисунке 32 вы видите угол (аб). Луч с исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и далит угол пополам: Z_(ac) = zl(bc). Луч с является биссектрисой угла (ab).
Задача (20). Найдите угол между биссектрисами смежных углов.
Решение. Пусть Z_ (ab) и Z. (а^Ь) — смежные углы и с, сх — их биссектрисы (рис. 33). Обозначим угол (ас) через х. Тогда
/Да^) = 180° — х, Z_ tab) = 2х, Z_ ^b) - 180°— 2х, , ,.180° —2х nno
Z. (ajcJ =- =90 — x.
Так как угол (агс) больше угла (а^), то луч сх проходит между сторонами угла (а^). Значит,
Z(ccJ = /Дахс) — Z-^cJ = (180° — х) — (90° — х) = 90°.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Какие углы называются смежными?
Объясните, почему углы DC А и DCB на рисунке 23 смежные.
Докажите, что сумма смежных углов равна 180°.
Докажите, что если два угла равны, то смежные с ни ли углы также равны.
Какой угол называется прямым (острым, тупым)?
Докажите, что угол, смежный прямому, есть прямой угол.
Какие углы называются вертикальными?
Докажите, что вертикальные углы равны.
Д( кажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые. Ю. Какие прямые называются перпендикулярными? Какой значок используется для обозначения перпендикулярности прямых?
Что такое перпендикуляр к прямой?
Докажите, чти через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Объясните, в чем состоит доказательство от противного.
Докажите теорему об углах, отложенных в одну полуплоскость.
Что называется биссектрисой угла?
УПРАЖНЕНИЯ
Найдите углы, смежные с углами: 1) 30 \ 2) 45°, 3) 60°, 4) &0\
Могут ли два смежных угла Выть оба: 1) острыми; 2) тупыми; 3) прямыми? Обоснуйте ответ.
Найдите смежные углы, если один из них в два раза больше другого.
Найдите смежные углы, если: 1) один из них на 30° больше другого; 2) кх разность равна 40°; 3) один из них в 3 раза меньше другого.
Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как: 1) 2 : 3; 2) 3 : 7; 3) 11 : 25; 4) 22 : 23.
Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен 30°. Чему равны остальные углы?
Чему равен угол, если два смежных с ним угла составляют в сумме 100°?
Сумма двух углов, которые поручаются при пересечении двух прямых, равна 50°. Найдите эти углы.
Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, в 4 раза больше другого. Найдите эти углы.
Один из углов, которые получаются при пересечени" двух прямых, на 50° меньше другого. Найдите эти углы.
Найдите углы, которые получаются при пересечении двух прямых, если сумма трех из этих углов равна 270°.
Докажите, что если три из четырех углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равны, то прямые перпендикулярны.
Проходит ли луч с между сторонами угла (об), если: 1) Z_ (об) = 40°, Z_ (ас) = 50°; 2) углы (ас) и (5с) тупые?
Из вершины развернутого угла (ааг) в одну полуплоскость проведены лучи бис. Чему равен угол (6с), если: 1) Z_(a6) = 50°, Z_(uc) = 70°; 2) Z.(a^) =50", Z_ (ac) = = 70°; 3) Z. (a6) = 60°, Z_ (aLc) = 30°?
Из вершины развернутого угла (aa^ проведены лучи 6 и с в одну полуплоскость. Известно, что 2_ (об) = 60°, а Z_(ac) = 30°. Найдите углы (ахб), (Ojc) и (6с).
От полупрямой АВ в разные полуплоскости отложены углы 2_ ВАС = 80° и Z_ BAD = 70°. Найдите угол CAD.
От полупрямой АВ в разные полуплоскости отложены
углы ВАС и BAD. Найдите угол CAD, если: 1) А ВАС = 80°, ABAD = 170°; 2) ABAC = 87°, A BAD = 98°; 3) А ВАС = 140°, A BAD = 30°.
Чему равен угол между биссектрисой и стороной данного утла, равного: 1) 30°; 2) 52°; 3) 172е?
Найдите угол, если его биссектриса образует со стороной угсл, равный: 1) 60°; 2) 75°; 3) 89°.
Найдите угол между биссектрисами смежных углов.
Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.
Найдите угол между биссектрисой и продолжением одной из сторон данного угла, равного: 1) 50°; 2) 90°; 3) 150°.
Рис. 35Рис. 35Докажите, что если луч, исходящий из вершины угла, пер эсекает отрезок АВ с концами на сторонах угла, то он пересекает: 1) отрезок АС с концами на сторонах угла (рис. 34); 2) любой другой отрезок CD с концами на сторонах этого угла (рис. 35).
Рис. 35
Рис. 35
| 3. ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
ПРРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема 3.1 (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двуп сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательств1. Пусть у треугольников АВС и АВА А А = AAV, АВ = АД, АС = АД (рис. 36). Докажем, что треугольники равны, т. е. докажем, что у них и АВ = АВИ АС = АСи ВС = BYCV
По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник АхВ2С2, равный треугольнику АВС, у которого ьерпшна Ва лежит на луче AYBY, а вер-
Рис. 37Рис. 37Рис. 36
Рис. 37
Рис. 37
шина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной Сх относительно прямой ЛХВХ. Так как ЛХВХ = АуВг, то по аксиоме откладывания отрезков точка В2 совпадает с точкой Вх. Так как Z_ ВуАуСу = Z_ B2AXC24 то по аксиоме откладывания углов луч АХС2 совпадает с лучом ЛХСХ. И так как ЛХСХ = ЛХС2, то вершина С2 совпадает с вершиной Су. Итак, треугольник АуВуСу совпадает с треугольником АуВ2С2, а значит, равен треугольнику АВС. Теорема доказана.
Задача (1). Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС = 10 м?
Решение. Треугольники АОС и BOD равны по первому признаку равенства треугольников (рис. 37). У них углы АОС и BOD равны как вертикальные, а ОА = ОВ и ОС = OD потому, что точка О является серединой отрезков АВ и CD. Из равенства треугольников АОС и BOD следует равенство их сторон АС и BD. А так как по условию задачи АС = 10 м, то и BD = 10 м.
ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема 3.2 (признак равенства треугол эников по стороне и прилежащим к ней углам). Если сторона и прилч- ясаи^ие к н^й углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть АВС и АуВуСу — два треугольника, у которых Л В = АуВу, zLA= ААХ и Z_ В = — Z_ By (рис. 38). Докажем, что треугольники равны, т. е. докажем, что АС = АхСи ВС = ВуСу и Z_C = Z_Cy.
По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник AiB2C2, равный треугольнику АБС, у которого вершина В2 лежит на луче Ai-Bi, а вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной Ci относительно прямой А1Б1. Так как ALB2 = AjBi, то вершина В2 совпадаете вершиной Bv Так как А ВхАгС2 = ABvAyCv и Z-AiBiC2 = АА1В1С1, то по аксиоме откладывания углов луч AiCi совпадает с лучом А,С2, а луч BiCi совпадает с лучом BiC2. Отсюда следует, что вершина С2 совпадает с вершиной Ci. Итак, треугольник AiBiCi совпадает с треугольником AiB2C2, а значит, равен треугольнику АВС. Теорема доказана.
РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.
На рисунке 39 изображён равнобедренный треугольник АБС. У него боковые стороны АС и ВС, а основание АВ.
Теорема 3.3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство. Пусть АВС — равнобедренный треугольник с основанием АБ (рис. 39). Докажем, что у него А А = АВ. Треугольник САВ равен треугольнику СВА по первому признаку равенства треугольников. Действительно, С А = СБ, СВ = С А, АС = АС. Из равенства треугольников следует, что А А = АВ. Теорема доказана.
Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.
Задача (13). Докажите, что у равностороннего треугольника все углы равны.
Рис. 38Рис. 39Рис. 40
Решение. Пусть АВС — данный треугольник с равными сторонами: АВ = ВС = СА (рис. 40). Так как АВ = =ВС, то этот треугольник равнобедренный с основанием АС. По теореме 3.3 A С = А А. Так как ВС = С А, то треугольник АЗС равнобедренный с основанием АВ. По теореме 3.3 А А = АВ. Таким образом, АС = АА = АВ, т. е. все углы треугольника равны.
Теорема 3. 4. Если в треугольнике два угла раены, то он равнобедренный.
Доказательство. Пусть АВС — треугольник, в котором А А = АВ (см. рис. 39). Докажем, что он равнобедренный с основанием АВ. Треугольник АВС равен треугольнику ВАС по второму признаку равенства треугольников. Действительно, АВ = ВА, АВ = А А, А А = АВ. Из равенства треугольников следует, что АС = ВС. Теорема доказана.
Теорема 3.4 называется обратной теореме 3.3. Заключение теоремы 3.3 является условием теоремы 3.4. А условие теоремы 3.3 является заключением теоремы 3.4. Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть нееерна. Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.
Задача (14). Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению задачи 13.
Решение. В задаче 13 условие состоит в том, что треугольник равносторонний, т. е. все его стороны равны, а заключение — в том, что все углы треугольника равны. Поэтому обратная теорема должна формулироваться так. Если у треугольника все углы равны, то у него все стороны равны. Докажем эту теорему.
Пусть АВС — треугольник с равными углами: А А = = АВ = АС. Так как АА=АВ, то по теореме 3.4 АС = = СВ. Так как А В = АС, то по теореме 3.4 АС = АВ. Таким образом, АВ = АС = СВ; т. е. все стороны треугольника равны.
МЕДИАНА, БИССЕКТРИСА И ВЫСОТАТРЕУГОЛЬНИКА
Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенные из этой вер- пшны к прямой, содержащей противолежащую сторону треугольника. На рисунке 41 вы видите два треугольника, у которых проведены высоты из вершин Ви Bv На рисунке 41, а основание высоты лежит на стороне треугольника, на рисунке 41, б — на продолжении стороны треугольника.
Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вергтины, называется отрезок биссектрисы угла треуголь- еика, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне (рис. 42).
Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника (рис. 43).
Теорема 3.5. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, являете). биссектрисой и высотой.
Рис. 41Рис. 41ВВРис. 42Рис. 42ВВРис. 43Рис. 43ССРис. 44Рис. 44Доказательство. Пусть АВС — данный равнобедренны?! треугольник с основанием АЗ (рис. 44). Пусть CD — медиана,. проведенная к основанию. Треугольники CAD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников. (У них стороны АС и ВС равны, потому что треугольник АВС равнобедренный. Углы CAD и CBD равны по теореме 3.3. Стороны AD и BD равны, потому что D — середина отрезка ЛВ.)
Рис. 41
Рис. 41
В
В
Рис. 42
Рис. 42
В
В
Рис. 43
Рис. 43
С
С
Рис. 44
Рис. 44
Из равенства треугольников следует равенство углов: Z_ ACD = Z_ BCD, Z_ ADC = Z_ BDC. Так как углы ACD и BCD равны, то CD — биссектриса. Так как углы ADC и BDC смежные и равны, то они прямые, поэтому CD — высота треугольника. Теорема доказана.
Задача (27). Докажите, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, противолежащей основанию, является медианой и высотой.
Решение. Пусть АВС — равнобедренный треугольник с основанием аВ и CD — его биссектриса (см. рис. 44). Треугольники ACD и BCD равны по второму поизнаку. (У них стороны АС и ВС равны как боковые стороны равнобедренного треугольника АВС-, углы при вершине С равны потому, что CD — биссектриса угла АСВ, а углы при вершинах А и В равны как углы при основании равнобедренного треугольника АВС.) Из равенства треугольников следует равенство сторон AD и BD. Значит, CD — медиана треугольника АВС. По теореме 3.5 она является и высотой.
ТГ-ЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТР-УГОЛЬНИКОП
Теорема 3.6 (признак равенства треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть АВС и А1В1С1 два треугольника, у которых АВ = Л1В1, АС = AtC., ВС = BVCV (рис. 45). Докажем, что эти треугольники равны.
По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник Л1В1С2, равный треугольни
ку АВС, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной Сх относительно прямой A tBt (рис. 45).
А*жХв А*Ж*В1
Рис. 45
Допустим, что вершина С^ не лежит ни на луче АС^ ни на луче BYCV Пусть D — середина отрез-
ка СхСа. Треугольники АХСХС2 и В1С1С2 — равнобедренные с общим основанием С\С2. По теореме 3.5 их медианы АХВ и BJD являются высотами. Значит, прямые AXD и BXD перпендикулярны прямой СХС,. А так как через точку В прямой ^Cg можно провести только одну перпендикулярную ей прямую (теорема 2.3), то эти прямые должны совпадать. Но они различны, потому что точка В по построению не лежит на прямой А1В1. Мы пришли к противоречию. Значит, вершина С2 лежит либо на луче АХСХ, либо на луче ВХСХ. В первом случае точка С2 совпадает с Сх, так как АХСХ = АС. А это значит, что треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1. Точно так же приходим к выводу о равенстве треугольников во Biopoxvi случае. Теорема доказана.
Задача (28). У треугольников АВС и А1В1С1: АВ = = А1В1, АС = А1С1, Z_C = Z_CX = 90°. Докажите, что А АВС = ААХВХСХ.
Решение. На продолжении стороны АС отложим отрезок CD, равный АС (рис. 46). Треугольники АВС и ВВС равны по первому признаку. У них углы при вершине С прямые, а значит, равны, сторона ВС общая, а стороны АС я CD равны по построению. Из равенства треугольников стедует равенство сторон АВ и ВВ.
Отложим на продолжении стороны АХСХ отрезок СХВХ, равный стороне АХСХ. Так же, как и для треугольников АВС и ВВС доказываем, что треугольники АХВХСХ и ВХВХСХ равны. Из равенства треугольников следует равенство сторон: АХВХ = ВХВХ.
Теперь по третьему признаку заключаем, что треугольники ABD и АХВХВХ равны. У них АВ = А, В, по условию, BD = ВХВХ, так как ВВ = АВ, a ВХВХ = АХВХ, наконец, AD = АХВХ, так как АС = АХСХ. Из равенства треугольников АВВ и АХВХВХ следует равенство их углов: Z_A —Z_ Ах. д' В)
Теперь приходим к выводу ДЖ
о равенстве исходных треуго- / ,\
льников АВС и АХВХСХ по У/
первому признаку. У них /\/
АВ = А]Вх, АС = А^! по ус- /_/_ д
ловию, a Z_A = Z_AX по до- а С Б А, С, D, казанному.Рис. 46
2 А. В. Погоре.-эв
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Сформулируйте и докажите первый признак равенства треугольников.
Сформулируйте и докажите второй признак равенства треугольников.
Какой треугольник называется равнобедренным? Какие стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами? Какая сторона называется основанием?
Докажите, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Какой треугольник называется равносторонним?
Докажите, что если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Объясните, что такое обратная теорема. Приведите пример. Для всякой ли теоремы верна обратная?
Что такое высота треугольника?
Что такое биссектриса треугольника?
Что такое медиана треугольника?
Докажите, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Докажите третий признак равенства треугольников.
УПРАЖНЕНИЯ
Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС = 10 м?
Через середину отрезка АВ проведена прямая, перпендикулярная прямой АВ. Докажите, что каждая точка этой прямой одинаково удалена от точек А и В.
От вершины С равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ отложены равные отрезки: СА, — на стороне С А и CBV — на стороне СВ. Докажите равенство треугольников: 1) САВХ hCBAv, 2) АВВХ tl BAAv
На основании АВ равнобедренного треугольника АВС даны точки Ai и Bt. Известно, что АВХ = ВАХ. Докажите, что треугольники АВгС и ВАХС равны.
На стороне АВ треугольника АВС взята точка D, а на стороне АХВХ треугольника АХВХСХ взята точка Dx. Известно, что треугольники ADC и АХОХСХ равны и отрезки DB и DXBX равны. Докажите равенство треугольников АВС и АХВХСХ.
Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, между которыми нельзя пройти по прямой (рис. 47), выбирают такую точку С, из которой
8.
9.
10.
11.
12.
можко пройти и к точке А, и к точке В и из которой видны обе эти точки. Провешивают1 расстояния АС и ВС, продолжают их за точку С и отмеряют CD = = АС и ЕС = СВ. Тогда отрезок ЕВ равен искомому расстоянию. Объясните почему.
Чтобы измерить на местности расстояние :„ежду двумя точками А и В, из которых одна (точка Л) недоступна, провешивают направление отрезка АВ (рис. 48) и на его продолжении отмеряют произвольный отрезок BE. Выбирают на местности точку!), из которой видна точка А и можно пройти к точкам В и Е. Провешивают прямые BDQ и EDE и отмеряют ED = DE и DQ=BD. Затем идут по прямой FQ, глядя на точку А, пока не найдут точку Н, которая лежит на прямой AD. Тогда HQ равно искомому расстоянию. Докажите. Отрезки АВ и CD пересекаются в
Рис. 47
Рис. 48
точке О. Докалпгге
равенство треугольников АСО и DBO, если известно, что угол АСО равен углу DBO и ВО = СО.
Отрезки АС и BD пересекаются в точке О. Докажите
равенство треугольников ВАО и DCO, если известно, что угол ВАО равен углу DCO и АО = СО.
Периметр (сумма длин сторон) равнобедренного треугольника равен 1 м, а основание равно 0,4 м. Найдите длину боковой стороны.
Периметр равнобедренного треугольника равен 7,5 м, а боковая сторона равна 2 м. Найдите основание.
Периметр равнобедренного треугольника равен 15,6 м. Найдите его стороны, если: 1) основание меньше боковой стороны на 3 м; 2) основание больше боковой сторо
ны на 3 м.
13. Докажите, что у равностороннего треугольника все уг
лы равны.
Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению задачи 13.
На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты точки Сг и С2. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если треугольники ABCY и ВАСа равны.
1 Отмечают направление шестами-вехами.
1b. Треугольники ACC^ и BCCV раины. Их вершины А и В лежат по разные стороны ст прямой CCV Докажите что треугольники АВС и АВСХ равнобедренные.
докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются также вершинами равнобедренного треугольника.
Докажите, что середины сторон равностороннего треугольника являются также вершинами равностороннего треугольника.
Докажите, что у равнобедренного треугольника: 1) биссектрисы, проведенные из вершин при осно 1ании, равны; 2) медианы, проведенные из тех же вершин, тоже равны.
Докажите, что у равных треугольников АВС и ^ВХС<.
медианы, проведенные из вершин А и Ах, равны;
биссектрисы, проведенные из вершин А и Ах, равны.
Точки А, В, С, D лежат на одной прямой, причем отрезки АВ и СВ имеют общую середину. Докажите, что если треугольник АВЕ равнобедренный с основанием АВ, то треугольник CDE тоже равнобедренный с основанием CD.
Докажите равенство треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежашгей к этому углу.
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВМ. На ней взята точка D. Докажите равенегзо треугольников: 1) AED и CBD", 2) AMD и С MD.
Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если у него: 1) медиана BD является высотой; 2) высота BD является биссектрисой.
На стороне АВ треугольника АВС взята точка D. Найдите длину отрезка CD, если периметры треугольников ABC, ACD и BCD соответственно равны 50 м, 45 м и 85 м.
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BJ). Найдите ее длину, если периметр треугольника АВС равен 50 ы, а треугольника ABD — 40 м.
Докажите, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, противолежащей основанию, является медианой и высотой.
У треугольников А ВС и AtE\C,: АВ = А1В1, АС = - А,СХ1 АС = АСХ = 90е. Докажите, что А АВС = = aaybxcv
Докажите, что у раанобедренного треугольника высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой.■
Треугольники АВС и ABCL равнобедренные с общим основанием АВ. Докажите равенство треугольников ACCy и BCCv.
Точки А, В, С, В лежат на одной прямой. Докажите; что если треугольники АВЕ^ и АВЕг равны, то треугольники СВЕг и СВЕ2 тоже раьны.
Дна отрезка АВ и CD пересекаются в точке О, которая являемся серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников ACD и ВВС.
Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.
Отрезки АВ и СВ пересекаются. Докажите, что если отрезки АС, СВ, BD и АВ равны, то луч АВ является биссектрисой угла САВ и луч СО — биссектрисой утла АС В.
Д окажите, что в задаче 34 прямые АВ и СВ перпендикулярны.
Треугольники АВС и BAD равны, причем точки С и В лежат по разные стороны от прямой АВ. Докажите, чтс: 1) треугольники CBD и В АС равны; 2) прямая СВ . долит отрезок АВ пополам.
Отрезки равной длины АВ и СВ пересекаются в точке О так, что АО = OD. Докажите равенство треугольников АВС и ВСВ.
Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, исходящим из одной вершины.
Докажите равенство треугольников по стопоне, медиане, проведенной к этой стороне, и углам, которые образует с ней медиана.
Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника.
§ 4. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ
Теэреыа 4.1. Дез прямые, параллельные третьей, параллельны аруг оругу.
Доказательство. Пусть прямые а и Ь параллельны прямой с. Допустим, что прямые а и Ъ не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке С. Значит, через точку С проходят две прямые, параллельные прямой с. Но это невозможно, так как через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Теорема доказана.
Пусть АВ и CD — две прямые. Пусть АС — третья прямая, пересекающая прямые АВ и CD (рис. 49). Прямая АС по отношению к прямым АВ и CD называется секущей. Углы, которые образуются при пересечение пря1.:ых АВ и CD секущей АС, имеют специальные названия. Если точки В и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой АС, то углы ВАС и DCA называются внутренними односторонними (рис. 49, о). Если точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС, то углы ВАС и DC А называются внутренними накрест лежащими (рис. 49, б).
Секущая АС образует с прямыми АВ и CD два пары внутренних односторонних и две пары внутренних накрест лежащих углов. Из свойства смежных углов следует, что если внутренние накрест лежа щие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны, а сумма внутренних односторонних углов каждой пары равна 180°. Обратно, если сумма внутренних односторонних углов
одной пары равна 180°, то сумма внутренних односторонних углов другой пары тоже равна 180°, а внутренние накрест лежащие углм каждой пары равны. Поясним первое утверждение.
Посмотрите на рисунок 60. Если внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то внутренние накрест лежащие углы 3 и 4, как смежные углам 1 и 2, тоже равны. Углы 1 и 4 являются внутренними односторонними. Так как угол 4 дополняет угол 2 до 180°, а угол 2 равен углу 1, то сумма углов 1 и 4 равна 180°.
Теорема 4.2. Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов риска 180°, то прямы з параллельны (рис. 60).
Доказательство. Допустим, что прямые а и b не параллельны; следовательно, они пересекаются в некоторой точке С (рис. 51). Отложим на продолжении отрезка СА отрезок AD, равный отрезку ВС, а на продолжении отрезка СВ отметим какую-нибудь точку Е. Треугольники ВАС и ABD равны по первому признаку равенства треугольников. У них сторона АВ общая, углы СВ А и DAB равны по условию теоремы как накрест лежащие, a AD = ВС по построению.
Из равенства треугольников следует равенство углов ABD и ВАС. А угол ВАС равен накрест лежащему углу АВЕ. Такии образом, углы ABD и АВЕ равны. А так как они отложены от полупрямой В А в одну полуплоскость, то прямые BD и BE совпадают. Но это невозможно, потому что точка D нэ лежит на прямой BE. Следовательно, исходное предположение о том, что прямые а и Ъ не параллельны, неверно. Теорема доказана.
Теорепы 4.1 и 4.2 выражают признаки параллельности прямых.
Задача (3). Дань, прямая АВ и точка С, не лежащая на этой прямой. Докажгг -е, что через точку С ложно провести прямую, параллельную прямой АВ.
Решение. Прямая АС разбивает плоскость на две полуплоскости (рис. 52). Точка В лежит в одной из них. Отложим от полупрямой С А в другую полуплоскость угол ACD, равный углу САВ. Тогда прямые АВ и CD будут параллельны. В самом деле, для этих прямых и секущей АС углы ВАС и DC А внутренние накрест лежащие. А так как сни равны, то по теореме 4.2 прямые АВ и CD параллельны.
Сопоставляя утверждение задачи 3 и аксиомы V (основного свойства параллельных прямых), приходим к важному выводу:
Рис. 51Рис. 51Рис. 62Рис. 62
Рис. 51
Рис. 51
Рис. 62
Рис. 62
Ркс. 53Ркс. 53черв# точку, не леясаи^ую на банной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну.
Ркс. 53
Ркс. 53
Теорема4.3 (обратнаятеореме4.2). Если ове параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна }80°.
Доказательство. Пусть прямые а и Ь параллельны, а прямая с их пересекает. Проведем через точку А прямую ах так, чтобы сумма внутренних односторонних углов, образованных секущей с и прямыми av и 6, была равна 186° (рис. 53). Тогда по теореме 4.2 прямая а^ будет параллельна прямей 6. Но через точку А проходит только одна прямая, параллельная Ъ. Следовательно, прямая а совпадает с прямой av Итак, сумма внутренних с дносторонних углов, обра- в^ьанных секущей с и параллегнити а и Ь, равна 18С\ а значит, накрест лежащие углы равны. Теорема доказана
полностью.
Из теорем 4.2 и 4.3 следует, что бее прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Если прямая перпендикулярна "одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой (рис. 54).
Задача (7). Угол АБС равен 80е, а угол BCD равен 120е. Могут ли прямые АВ и CD быть параллельными? Обоснуйте ответ.
Решение. Для прямых АВ и CD и секущей ВС углы АВС и BCD являются либо внутренними односторонними
/рИС. 55, а), либо внутренними нак! ест лежащими (рис. 55, б). Если бы прямые АВ и CD были параллельными, то либо А АВС = A BCD, если углы на«реет лежащие, либо / АВС + / BCD = 18С°, если углы односторонние. Но 80° ^ ^120° и 80 + 120й = 200° #= 180°. Значит, прямые АВ и CD не могут быть параллельными.
СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
Теорема4.4. Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство. Пус.ь АВС — данный треугольник (рис. 56). Отметим середину О стороны ВС. Отложим на продолжении отрезка АО отрезок OD, равный отрезку С А. Треугольники BOD и СОА равны, так как у них углы при вершине О равны как вертикальные, а ОБ = ОС и ОА = OD по построению. Из равенства треугольников следует, что угол DBO равен углу АСО.
Для прямых AC, BD и секущей ВС углы DBO и АСО являются внутренними накрест лежащими. Действительно, точки А и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой ЕС, Tai: как отрезок AD пересекает прямую ВС (в точке О). Из равенства внутренних накрест лежащих углов ВЕЗ и АСО по теореме 4.2 следует, что прямые АС и BD параллельны.
Для прямых AC, BD и секущей АВ углы DBA и СЛВ являются внутренними односторонними. Действительно, точки С и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ, именно в той полуплоскости, где лежит точка О. Так как прямые АС и BD параллельны, то сумма внутренних односторонних углов САВ и DBA равна 180°.
Угол DBA равен сумме углов DBC и АВС, так как луч ВС пересекает ст- резок AD с концами на сторонах угла ABD. По доказанному угол DBC равен \ s </ углу АСВ. Следовательно, сумма углов \ треугольника АВС, т. е. А ВС А + + А АВС + А С АВ, равна сумме XZ* внутренних односторонних углов При #’' ^
параллель пых АС и BD и секущей АВ, т. е. равна 180°. Теорема доказана.Рие. 66
кИз теоремы 4.4 следует, что у любо-
I х.го треугольника хотя бы два угла ост-
/ х. внешний рые.
/х. угол Доказательство. Допус-
/'Х'Х тим, что у треугольника только один
*'острый угол или вообще нет острых уг-
Рис. 57лов. Тогда у этого треугольника есть
В два угла, каждый из которых не мень- ше 90°. Сумма этих двух углов уже не / меньше 180°. А это невозможно, так /\ как сумма всех трех углов треугольни-
Ска равна 180°.
Рпс. 58Задача (12). Чему равны углы
сравностороннего треугольника?
.Решение. У равностороннего
\треугольника, какмы знаем, всеуглы
\ х.равны (задача 13 §3). Так каконив
\ X.сумме дают 180°, то каждый из них
\равен 60°.
pg* Внешним углом, треугольника при
данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине (рис. 57). Чтобы не путать угол треугольника при данной вершине с внешним углом при этой же вершине, его назы
вают внутренним углом.
Теорема 4. 5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Доказательство. Пусть АВС — данный треугольник (рис. 58). По теореме 4.4 A A + АВ -V АС = — 180°. Отсюда следует, что А А + АВ = 180° — АС. В правой части этого равенства стоит градусная мера внешнего угла треугольника при вершине С. Теорема доказана.
Из теоремы 4.5 следует, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Задача (28). В треугольнике АВС проведена высота CD. Какая из трех точек А, В, D лежит между двумя другими, если углы А и В треугольника острые?
Решение. Точка В не может лежать между А и Л. Если бы она лежала между А и D (рис. 59), то острый угол
АВС как внешний угол треугольника CBD был бы больше прямого угла CDB. Точно так же доказывается, что и точка А не может лежать ме:кду В и D. Значит, течка D лежит между А и В.
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. Так как сумма углов треугольника равна 18U , то у прямоугольного треугольника только один прямой угол. Два других угла прямоугольного треугольника острые. Острые углы дополняют друг друга до 90°. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами (рис. 60).
Для прямоугольных треугольников, кроме трех известных нам признаков равенства, имеются другие признаки. Вот эти признаки:
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольники, то такие треугольники равны. (Признак равенства по гипотенузе и острому углу.)
Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катеру и про- ■псвслежащгму углу другого треугольника, то такие треугольники равны. (Признак равенства по катету и противолежащему углу.)
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны. (Признак равенства по гипотенузе и катету.)
катетРпс. 60катетРпс. 60Доказательство. Пусть /ВС и АХВХСХ — прямоугольные треугольники с прямыми углами С и Сх (рис. 61), для которых выполняется одно из условия:
катет
Рпс. 60
катет
Рпс. 60
АБ = АХВХ, А А = Z-Ap,
ВС = BXCV Z_A = Z_AX,
АВ = АХВХ, ВС = ВХСХ.
Докажем, что треугольник:: равны.
Для доказательства первых двух признаков достаточно заметить, что если А А — А Аг, то А В = A 8V. А тогда треугольники в обоих случаях равны до второму признаку равенства треугольников.
Доказательство признака равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету было дано в решении задачи 28 § 3.
Задача (35). Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.
Решение. Пусть АВС — прямоугольный треугольник с прямым утлом С и острым углом В, равным 30“ (рис. 62). Отложим на продолжении стороны АС отрезок CD, равный АС. Треугольники АВС и DBG равны по первому признаку. У них углы при вершине С прямые, стерона ВС общая, а АС = CD по построению. Из равенства треугольников следует, hto Z.D = АА = 60°, ACBD = АСВА = 30°, а зна- четт, AABD = 60°. Отсюда следует, Ч2О треугольник ABD разносторонний. Поэтому АС = -^AD = ^ АВ, что и требовалось доказать.
СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ
перпендикуляра к прямой
Теорема 4. 3. Из любой точки, не лежаи^ей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.
Доказательство. Пусть а — данная прямая и А — не лежащая на ней точка (рис. 63). Проведем через точ-
Рис. £4Рис. £4
Рис. £4
Рис. £4
ну А прямую 6, параллельную прямой а (задача 3 § 4). Проведем теперь через точку А прямую с, перпендикулярную прямой Ь. Она будет перпендикулярна прямой а (теорема 4.3) и пересечет ее в некоторой точке В. Отрезок АВ — перпендикуляр, опущенный из А на прямую с.
Допустим, что из точки А можно опустить на прямую а два перпендикуляра: АВ и АС. Тогда у треугольника АВС было бы два прямых угла, что невозможно. Теорема доказана.
Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстоянием от точки во прямой.
Задача (42). Докажите, что расстояния от любых двух точек прямой до параллельной прямой равны.
Решение. Пусть а и b — параллельные прямые (рис. 64). Отметим на прямой а две точки А и Av и опустим из них перпендикуляры АВ и AVBV на прямую Ь. Прямоугольные треугольники АВАХ и В1Л1В равны по гипотенуве и острому углу. У них гипотенуза ВЛ1 общая, а острые углы ААХВ и ВХВАХ равны как внутренние накрест лежащие при параллельных а и 6 и секущей ВАХ. В самом деле, эти углы либо внутренние накрест лежащие, либо внутренние односторонние. Они не могут быть внутренними односторонними, так как, будучи острыми, не дают в сумме 180 . Из равенства треугольников следует равенство сторон АВ и ЛхВ^ т. е. равенство расстояний от точек А и Ах прямой а до пря- * мой Ь.
Как видим, расстояния от всех точек прямой до параллельной прямой равны. Поэтому говорят, что параллельные прямые — равноотстоящие. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой-нибудь точки одной прямей до другой прямой.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу.
Объясните, какие углы называются внутренними одно-
сторонними. Какие углы называются внутренними накрест лежащими?
Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутоенние накроет лежащие углы другой пары тоже равны, а сумма внутренних односторонни": углов каждой пары равна 180°.
Обратно, если сумма внутренних односторонних углов одной пары равна 180°, то сумма влутрелигх односгорсн- них углов другой пары той № равна 180°, а внутренние . накрест лежащие углы каждой пары равны.
Сформулируйте и докажите признак параллельности прямых по их углам с секущей.
Докажите, что через точку, не лежащую на данной прямей, к эжно провести параллельную ей прямую. Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через точку, не лежащую на этой прямой?
Докажите, что если две параллельные прямые пересекаются третьей поямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Если прямая перпендикулярна одной из длух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Вопросы к доказательству теоремы 4.4 о сумме углов треугольника (см. рис. 56):
объясните, почему утлы CBD и ВС А являются внутренними накрест лежащы гя для прямых АС, ВТ) и секущей ВС;
объясните, почему углы ABD и ВАС являются внутренними односторонними для прямых AC, B.D и секущей АВ;
объясните, почему угол ABD равен сумме углов АВС и DBC.
Докажите, что у любого треугольни ка по крайней мере два угла острые.
Что такое внешний угол треугольника?
Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Докажите, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Какой треугольник называется прямоугольным?
Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?
Какая сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой? Какие стороны называются катета и?
Сформулируйте и докажите признаки рдЕенсвва прямоугольных треугольников.
Докажите, что из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикл ляр, и только один.
Что называется расстоянием от точки до прямой?
Объясните, что такое расстоянье между параллельными прямыми.
УПРАЖНЕНИЯ
Докажите, что если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Дан треугольник АВС. На стогюне АВ отмечена точка BL, а на стороне АС — точка Cv Назовите внутренние односторонние и внутренние накрест лежащие углы при - прямых АВ, АС и секущей ВгСг.
Даны прямая АВ и точка С, не лежащая на этой прямой. Докажи-е, что через точку С можно провести прямую. параллельную прямой АВ.
Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных параллельными и секущей, параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых.
Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Е и делятся этой точкой пополам. Докажите, что прямые АС и BD параллельны.
Треугольники АВС и BAD равны. Точки С и D лежат по разные стороны от прямой АВ. Докажите, что прямые АС и BD параллельны.
Угол АВС равен 80°, а угол BCD равен 120°. Могут ли прямые АВ и CD быть параллельными? Обоснуйте ответ.
Разность двух внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей равна 30°. Найдите эти углы.
Сумма двух внутренних накрест лежащих углов при двух параллельных прямых и секущей равна 150°. Чему равны эти углы?
Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 72е. Найдите остальные семь углов.
И. Один из углов, которые получаются при пересечении двух паралле еьных прямых секущей, равен 30°. Может лк один из остальных семи углов равняться 70°? Объясните ответ.
Чему равны углы равностороннего треугольника?
Под каким углом пересекаются биссектрисы дьух внут- ршниь односторонних углов при параллельных прямых?'
Найдите неизвестный угол треугольника, если у него
два угла равны: 1) 50° и 30°; 2) 40° и 75°; 3) 65° и 80°; 4) 25° и 120°.
Найдите углы треугольника, если пни пропорциональны числам: 1) 1, 2, 3; 2) 2, 3, 4; 3) 3, 4, 5; 4) 4, 5, 3; 5) 5, 6, 7.
Может ли в треугольнике быть: 1) два тупых угла;
тупой и прямой углы; 3) два прямых угла?
Может ли быть тупым угол при основании равнобедренного треугольника?
Найдите угол между боковыми сторожами равнобедренного треугольник», сели угол при основании у неги равен: 1) 40°, 2) 55°, 3) 72°.
Найдите угол при основании равнобедренного треугольника, если угол между боковыми сторонами равен: 1) 80\ 2) 120°, 3) 30е.
Один из углов равнобедренного треугольника равен 100°. Найдите остальные углы.
Один из углов равнобедренною треугольника равен 70°. Найдите остальные углы. Сколько решений имеет задача?
В равнобедренном треугольнике АЗС с основанием ЛС проведена биссектриса CD. Найдите углы треугольника, если угол ADC равен а.
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и углом при вершине В, равным 36J, проведана биссектриса AD. Докажите, что треугольники CD А и ADB равнобедренные,
В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин А и В. Точка их пересечения обозначена D. Найдите угол ADB, если: 3.) Z_ A = a, АЪ = 0; 2) АС = у.
Один из внешних уг. ов равнобедренного треугольника равен 70°. Найдите углы треугольника.
Найдите углы треугольника, зная, что внешние углы при двух его вершинах равны 120° и 150°.
Два внешних угла треугольника равны 100° и 150°. Найдите третий внешний угол.
В треугольнике АВС проведена высота CD. Какая из трех точек А, В, D лежит между двумя другими, если углы А и В треугольника острые?
Из вершины прямого угла треугольника АВС проведена высота BD. Найдите угол CCD зная, что АА = а.
Из вершины тупого угла В треугольника АВС проведена высота BD. Найдите углы треугольников ABD и CBD, зная, что А А = а, А В = 6.
Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.'
Сумма внешних углов треугольника АВС при вершинах
А и В, взятых по одному для каждой вершины, равна 240°. Чему равен угол С треугольника?
Д1н треугольник АВС. На продолжении стороны АС отложены отрезки AD = ЛВ и СЕ = СВ. Как найти углы треугольника DBE, зная углы треугольника АВС?
У треугольника один из внутренних углов равен 30°, а один из внешних 40°. Найдите остальные внутренние углы треугольника.
Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.
Найдите углы прямоугольного равнобедренного треугольника.
В равностороннем треугольнике АВС проведена медиана АО. Найдите углы треугольника ABD.
Высоты треугольника АВС, проведенные из вершин А и С, пересекаются в точке М. Найдите 2_АМС, если А А = 70°, Z-C = 80°.
В треугольнике АВС медиана ВО равна половине стороны АС. Найдите угол В треугольника.
Прямая а пересекает отрезок ВС в его середине. Докажите, что точки В и С находятся на одинаковом расстоянии от прямой а.
Отрезок ВС пересекает прямую а в точке О. Расстояния от точек В и С до прямой а равны. Докажите, что точка О является серединой отрезка ВС.
Докажите, что расстояния от любых двух точек прямой до параллельной прямой равны.
§ 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
ОКРУЖНОСТЬ
Определение. Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности.
Расстояние от точек окружности до ее центра называется радиусом окружности. Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром (рис.65).
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называзт- ея хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром. На рисунке 66 ВС — хорда, АО — диаметр.
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Pre. 67
Центр окружности, описанной" около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторона» треугольника, проведанных через середины этих сторон.
Доказательство. Пусть АВС — данчый треугольник н О — центр описанной около него окружности (рис. 67). Треугольник АОС рэинобедренный; у него стороны ОА и ОС равны как радиусы. Медиана OD этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне АС и проходящей через ее середину. Точно так же доказывается, что центр окружности лежит на перпендикуляра.*: к двум другим сторонам треугольника.
Замечание. Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, часто называют серединные перпендикуляром. В связи с этим иногда говорят, что центр окружности, описанной около треугольника, леж™Т на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Прямая, проходящая через точку окружности псрпечдн-
пулярно к радиусу, проваленному в эту точку, называется касательной. При этом данная точка окружности называется точкой касания. На рисунке 68 примая а проведена через течку окружности А перпендяк^ -ярно к радиусу О А. Прямпя а является картельной к окружности. Точла А являсуся точкой касания. Можно сказать также, что окружность касается прямой а в точке А.
Окружностл назызаотся вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
Центр скоужности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.
Доказательство. Пусть АВС — данный треугольник, О — центр вписанной в него окружности, D, Е и F — то пси касания окружности со сторонами (рис. 69). Прямоугольные треугольники AOD и АОЕ равны по гипотенузе и катету. У них гипотенуза АО общая, а катеты OD и ОЕ равны как радиусы. Из равенства треугольников следует равенство углов OAD и ОАЕ. А это значит, что точка О лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины А. Точно так же доказывается, что точка О лежит на двух других биссектрисах треугольника.
Говорят, что две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в этой точке общую касательную (рис. 70). Касание окружностей называв гея внутренним., если цзнтры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной (рис. 70, а). Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной (р ас. 70, О').
ЧТО ТАКОЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
В задачах на построение идет речь о построении геометрической фигуры с помощью данных чептежлых инструментов. Такими инструментами чаще всего являются линейка и парку ль. Решэние задачи состоит не столько в построениг: фигуры, сколько в решэнии вопроса о том, как это сделать, и соответствующем доказал ельстве. Задача считается решен •
ной, если указан способ построения фигуры н доказг.но, что в результате выполнения указанных построений действительно получается фигура с требуемыми свойствами.
С помощью линейки Лак инструмента геометрических построений можно провести произвольную пряную; произвольную прямую, проходящую че-
б)рез данную точку; прямую, проходящую
Рис 71 через две данные точки. Никаких других операций выполнять линейкой чель- вя. В частности, нельзя откладывать линейкой отрезки, даже если на ней имеются деления.
Циркуль как инструмент геометрических построений по- вволяет описать из данного центра окружность данного радиуса. В частности, циркулем можно отложить данный отре- вск на данной прямой от данной точки.
Рассмотрим простейшие задачи на построение.
ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА С ДАННЫМИ СТОРОНАМИ
Задача 5. 1 Построить треугольник с Ванными сторонами а, Ъ, с (рис. 71, о).
Решение. С помощью линейки проводим произвольную прямую и отмечаем на ней произвольную точку В (рис. 71, б). Раствором циркуля, равным а, описываем окружность с центром В и радиусом а. Пусть С — течка ее пересечения с прямой. Теперь растворим циркуля, равным с, описываем окружность из центра В, а раствором циркуля, равным 6, описываем окружнссть из центра С. Пусть А — точка пересечения этих окружностей. Проведем о трезки АВ и АС. Треуголт ник АВС имеет стороны равные а, Ь, с.
Г УСТРОЕНИЕ УГЛА, РАВНОГО ДАННОМУ
Задача 5.2. Отложить от Ванной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
Решение. Проведы произвольную окружность с цент-
ром в вершине Л данного угла (рис. 72, «). Пусть В и С —точки пересечения окружности со сторонами угла. Радиусом ЛВ проведем окружность с центром в точке О — начальной точке данной полупрямой (рис. 72, б). Точку пересечения этой окружности с данной полупрямой обозначим В^ Опишем окружность с центром В, и радиусом ВС. Точка Сх пересечения построенных окружностей в указанной полуплоскости лежит на стороне искомого угла. Для доказательства достаточно заметить, что треугольники ЛВС и OB^t равны как треугольники с соответственно равными сторонами. Углы Л и О являются соответствующими углами этих треугольников.
ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ УГЛА
а д а ч а 5. 3. Построить биссектрису данного угла.
Решение. Из вершины А данного угла, как из центра, описываем окружность произвольного радиуса (рис. 73). Пусть В и С — точки ее пересечения со сторонами угла. Из точек В и С тем же радиусом описываем окружности. Пусть D — точка их пересечения, отличная от Л. Проводим полупрямую AD. Она делит угол ВАС пополам. Это следует из равенства треугольников ABD и ACD, у которых углы DAB и DAC являются соответствующими.
ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА ПОПОЛАМ
а д а ч а 5. 4. Разделить отрезок пополам.
Решение. Пусть АВ — данный отрезок (рис. 74). Из точек А ж В радиусом Л В описываем окружности. Пусть С и Ct — точки пересечения этих окружностей. Они лежат
Гис. 74Гис. 74Рис. 76Рис. 76
Гис. 74
Гис. 74
Рис. 76
Рис. 76
в разных полуплоскостях относительно прямой АВ. Отрезок ССг пересекает прямую АВ в некоторой точке О. Эта точка и есть середина отрезка АВ.
Действительно; треугольники САСХ и СВС\ равны по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда следует равенство углов АСО и ВСО. Треугольники АСО и ВСО ра вин по первому признаку равенства треугольников. Стороны АО и ВО этих треугольников являются соответствующими, а поэтому они равны. Таким образом, С—середина отрезка АВ.
ПОСТРОЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙПРЯМОЙ
3 а д а ч а 5. 5. Через данную точку О провести прямую, перпендикулярную данной прямой а.
Решение. Возможны два случая:
точка О лежит на прямой а;
точка О не лежит на прямой а. Рассмотрим первый случай (рис. 75). Из точки О проводим произвольным радиусом окружность. Она пересекает прямую а в двух точках: А и В. Из точек А и В проводим окружности радиусом АВ. Пусть С — точка их пересечения. Искомая прямая проходит через точки О и С. Перпендикулярность прямых ОС и АВ следует из равенства углов при вершине О треугольников АСО и ECO. Эти треугольники равны по третьему
признаку равенства треугольников.
Рассмотрим второй случай (рис. 76).
Из точки О проводим окружность, пересекающую прямую а. Пусть А и В — точки ее пересечения с прямой а. Из точек А и В тем же радиусо: i проводим окружности. Пусть Сх — точка их пересечения, лежащая в полуплос-
кости, отличной от той, в которой лежит точка О. Искомая прямая проходит через точки О и Oi. Докажем это. Обозначим через С точку пересечения прямых АВ и ООХ. Треугольники АОВ и АОгВ равны по третьему признаку. Поэтому угол ОАС равен углу О,АС. А тогда треугольники ОАС и OVAC равны по первому признаку. Значит, их углы АСО и АСОХ равны. А так как они смежные, то они прямые. Таким образом, ОС — перпендикуляр, опущенный из точки О на прямую с.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК
Одним из методов решения задач на построение является метод геометрических мест. Геометрическим местом тенек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством. Например, окружность можно определить как геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.
Важное геометрическое место точек дает следующая тео
рема:
Теорема 5.6. Геометрическое место точек, равноудален
ных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его
середину.
Доказательство. Пусть А и В — данные точки, а — прямая, проходящая через середину О отрезка АВ пер
пендикулярно к нему (рис. 77). Мы должны доказать, что:
каждая точка прямой а равноудалена от точек А и В;
каждая точка D плоскости, равноудаленная от точек А и
ААРис. 77Рис. 77В, лежит на прямой а. То, что каждая точка С прямой а находится на одинаковом расстоянии от точек А и В, следует из равенства треугольников АОС и ВОС. У этих треугольников углы при вершине О прямые, сторона ОС общая, а АО = ОВ, так как О — середина отрезка АВ. Покажем теперь, что каждая точка В плосаюсти, равноудаленная от точек А и В, лежит на прямой а.
А
А
Рис. 77
Рис. 77
Рассмотрим треугольник AD В. Он равнобедренный, так как AD = BD. В нем ВО — г'едиана. По свойству равнобедренного треугольника медиа! к, проведенная к основанию, является высотой. По теореме 2.3 прямая OD совпадает с а, а значит, точка D лежит на прямой й. Теорема доказана.
МЕТОД ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ
Сущность метода геометрических мест, используемого при решении задач на построение, состоит в следующем. Пусть, решая задачу на построение, нам надо найти точку X, удовлетворяющую двум условиям. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому усдовщо, есть некоторая фигура Fy, а геометрическое песто точек, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фигура Г2. Искомая точка X принадлежит Ег и Рй, т. е. является их точкой пересечения. Зсли эти геометрические места простые (скажем, состоят из прямых и окружностей), то мы можем их построить и найти интересующую нас точку X. Приведем пример.
Задача (38). Даны три точки: А, В, С. Построй! е точку X, которая сгщнаково удалена от точек А и В и находится на дг.нном расстоянии от точки С.
Решение. Искомая точка X удовлетворяет двум условиям: 1) она одинаково уделена от точек А и У; 2) она находится на данном расстоянии от точки С. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть прямая, перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через его середину (рис. 78). Геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть окружность данного радиуса с центром в точке С. Искомая точка X лежит на пересечении ыих геометрических мест.
УГЛЫ, ВПИСАННЫЕ В ОКРУЖНОСТЬ
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называемся вписанным в скружвость (рис. 76).
Теорема 6. 7. Все вписанные в окружность углы, стероны которых проходят через две данные з очки окружности, а вер-
Sb
Рис. 80Рис. 80
Рис. 80
Рис. 80
шины лезкат по обну сторону от прямой, соеоинянма^й эти точки, равны (рис. 8С).
Доказательство. Пусть АВС — угол, вписанный в окружность с центром О (рис. 81). Проведем диаметр BD. Треугольники АО В и СОВ равнобедренные. По свойству внешнего угла треугольника (теорема 4.5) A AOD = А ОАВ+ + AOBA =2 AOBA. Отсюда AOBA = ■- A AOD. Анало
гично А ОЗС — — A COD.
2
На рлгуяке 81 представлены различные случаи взаимного расположения сторон вписанного угла, центра окружности О и диаметра BD. На ригунке 81, а и в точки В и О лежат ео одну сторону от прямой АС, а на рисунке 81, б — по разные. На рисунке 81, а и б диахетр BD проходит между сторонами угла, а на рисунке 81, в не проходит между ними.
В случае, который ьредставлеь на рисунке 81,а,
А АВС = A A BD 4- А СВЬ =-\А AOD^-A COD) = - А АОС.
Рис. 81
Рис. 82Рис. 82
Рис. 82
Рис. 82
В случае, представленном на рисунке 81, б,
Z. АВС = Л ABD 4- Л CBD = 1 (zl AOD 4- + Л COD) = ' [(180° — Л AOB) + (180° —
— ЛCOB)] = 180° — zL AOC.
В случае, представленном на рисунке 81, в,
ЛАВС= ЛАВО — ЛСВВ =
= ^ V-AOD- ЛСОВ) = 1 ЛАОС.
Если хорда АС является диаметром (рис. 82), то
Л АВС = Л ABD + Л CBD =
= ^ (Л AOD^-Л COD) = 90\
Мы видим, что если вершина вписанного угла В и центр О лежат по одну сторону от прямой АС, то ЛАВС = = -|- ЛАОС; если вершина В и центр О лежат по разные стороны от прямой АС, то ЛАВС = 180° — - ЛАОС.
2
Если хорда АС является диаметром, то ЛАВС = 90°.
Таким образом, все вписанные в окружность углы, стороны которых проходят через две данные точки окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки, имеют одну и ту же градусную меру, а значит, равны. Теорема доказана.
Задача (48). Точки А, В, С лежат на окружности. Чему равен угол АВС, если хорда АС равна радиусу окружности? (Два случая.)
Решение. Если точка В лежит по одну сторону с центром О относительно прямой АС (рис. 83, а), то по свойству вписанного угла Л АВС = ^ Л АОС. Так как по условию хорда АС равна радиусу, то треугольник АОС равносторон-
ний, а значит, угол АОС равен 60°. Поэтому Z_ АВС = 30°. Если точки В и О лежат по разные стороны от прямой АС (рис. 83, б), то по свойству вписанного угла Z_ABC = 180е—= — - Z_ АОС = 150°.
2
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Что такое окружность, центр окружности, радиус?
Что такое хорда окружности? Какая хорда называется диаметром?
Какая окружность называется описанной около треугольника?
Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Какая прямая называется касательной к окружности?
Какая окружность называется вписанной в треугольник?
Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.
Что значит: окружности касаются в данной точке?
Какое касание окружностей называется внешним, какое — внутренним?
Объясните, как построить треугольник по трем сторонам.
Объясните, как отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
Объясните, как разделить данный угол пополам.
Объясните, как разделить отрезок пополам.
Объясните, как через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.
Что такое геометрическое место точек?
Что представляет собой геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек?
В чем состоит метод геометрических мест, используемый при решении задач на построение? Приведите пример.
Какой угол называется вписанным в окружность?
Сформулируйте и докажите теорему об углах, вписанных в окружность.
Чему равен вписанный в окружность угол АВС, если:
а) вершина угла В и центр окружности О лежат в одной полуплоскости относительно прямой АС*, б) вершина угла В и центр О лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС", в) хорда АС является диаметром окружности?
УПРАЖНЕНИЯ
Докажите, что любой луч, исходящий из центра окружности, пересекает окружность в одной точке.
Докажите, что прямая, проходящая через центр окружности, пересекает окружность в двух точках.
Докажите, что диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.
Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению задачи 3.
Из точки данной окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найдите угол между ними.
Из точки данной окружности проведены две хорды, равные радиусу. Найдите угол между ними.
Может ли окружность касаться прямой в двух точках? Объясните отчет.
Докажите, что касательная к окружности не имеет других общих точек с окружностью, кроме точки касания.
Какие углы образует хорда АВ, равная радиусу окружности, с касательной в точнее А?
Найдите углы, под которыми пересекаются прямые, касающиеся окружности в концах хорды, равной радиусу.
Окружности с радиусами 30 см и 40 см касаются. Найдите расстояние между центрами окружностей в случаях внешнего и внутреннего касаний.
Могут ли касаться окружности, если их радиусы равны 25 см и 50 см, а расстояние между центрами 60 см?
1) Точки А, В, С лежат на прямой, а точка О — вне прямой. Могут ли два треугольника АО В и ВОС быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС? Обоснуйте ответ.
Могут ли окружность и прямая пересекаться более чем в двух точках?
1) Окружности с центрами О и Ох пересекаются в точках А ч В. Докажите, что прямая АЗ перпендикулярна прямой OOV
Докажите, что две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках.
1) Через точку А окружности с центром О проведена прямая, не касающаяся окружности. ОВ — перпендикуляр, опущенный на прямую. На продолжении отрезка АВ отложен отрезок ВС = АВ. Докажите, что точка С лежит на окружности.
Докажите, что если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, то она является касательной к окружности в этой точке.
Докажите, что если две окружности имеют только одну общую точку, то они касаются в этой точке.
1) Из одной точки проведены две касательные к окружности (рис. 84). Докажите, что отрезки касательных МР и MQ равны.
Докажите, что через одну точку не может проходить боль
ше двух касательных к окруж-рпс Е4
нести.
Постройте треугольник с данными сторонами а, бис, если: 1) а = 2 см, 6=3 см, с = 4 см; 2) а = 3 см, 6=4 см, с = 5 см; 3) а = 4 см, 6=5 см, с = 6 см.
Дан треугольник АВС. Постройте другой равный ему треугольник ABD.
Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу
описанной окружности.
Постройте окружность данного радиуса, проходящую
через две данные точки.
Постройте треугольник АВС по следующим данным:
по двум сторонам и углу между ними:
АВ=5см,АС = 6 см,Z_A=40°;
АВ=3см,ВС = 5 см,zL В=70е;
по стороне и прилежащим к ней углам:
а) АВ=6см,zL А = 30°,zL В=50°;
С) АВ=4см,zLA = 45°,zL В=60е.
Постройте треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему большей из них:
а = 6 см,6=4 см,а = 70°;
а = 4 см,6 = 6 см,р = 100е.
Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при основании.
Разделите угол на четыре равные части.
Постройте углы 60° и 30°.
Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.
Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.
Дан треугольник. Постройте его медианы и высоты.
Постройте треугольник по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и радиусу описанной окружности.
Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе
н катету.
Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на третью сторону.
Постройте треугольник по стороне и проведенным к ней медиане и высоте.
Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на одну из них.
Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте, опущенной на основание.
Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности.
Докажите, что геометрическое место точек, удаленных от данной прямой на расстояние Л, состоит из двух прямых, параллельных данной и отстоящих ст нее на й.
На данном прямой найди" е точку, которая находится на данном расстоянии от другой данной прямой.
Даны три точки: А, В, С. Постройте точку X, которая одинаково удалена от точек А и В и находится на данном расстоянии от точки С.
На да:пгой прямой найдите тачку, равноудаленную от двух данных точек.
Даны четыре точки: А, В, С, D. Найдите точку X, которая одинаково удалена от точек Л и В и ода ча ово уда- леаа от i очек С и D.
Построй!? треугольник, если »аданы сторона, приле- ■капиз к ней угод и сумма двух других сторон.
Постройте треугольник, ес. их stanaww сторона, прилежащий к ней угол и разность двух других сторон.
Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме другого катета и гипотенузы.
Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и высоте, проведенной из верши аы этого угла.
Постройте окружность, которая каеаетсг сторон данного угла, причем одной из них — в данной точке.
Стопона треугольника равна 10 см, а противолежащий ей угол — 150°. Нацдите радиус описанной окружности.
Точки А, В, С лежат на окружности. Чему равна хорда АС, если угол АВС равен 30°, а диаметр окружности 10 см?
Точки А, В, С лежат на окружности. Чему равен угол ЛВС, если хорда АС равна радиусу окружности? (Два случая.)
Докажите, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина ги- иотенуа ы.
Докажитз, что меди 1на прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два равнобедренных треугольника.
Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.
На окружности отмечены четыре точки: А, В, С, D. Чему равен угол ADC, если угол ЛВС район а? (Два случая.)
Хорды окружности AD и ВС пересекаются. Угол АВС равен 10°, угол ACD равен 20°. Найдите угол CAD.
1) Проведите через данную точку прямую, касающуюся данной окружности.
Как построить касательную к двум окружностям?
1) Через точку S проведены касательные SA и SB к окружности (рис. 85). Касательная t пересекает отрезки SA и SB в точках Ах и Вг. Докажите, что периметр треугольника SA^^ не зависит от того, какая взята касательная t, и равен SA + SB.
Даны угол и точка. Как провести через эту точку прямую, чтобы она отсекала от данного утла треугольник е данным периметром?
1) Докажите, что серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются (не параллельны). 2) Докажите, что серединные перпендикуляры к трем сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Докажите, что около любого треугольника можно описать окружность, и только одну.
1) Через вершины треугольника АВС проведены прямые, параллельные противолежащим сторонам (рис. 86). Точки их пересечения являются вершинами нового треугольника. Докажите, что вершины данного треугольника являются серединами его сторон.
Докажите, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
1) Докажите, что две биссектрисы треугольника пересекаются.
Докажите, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Докажите, что в любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
Докажите, что геометрическое место вершин углов с заданной градусной мерой, стороны которых проходят через две данные точки, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки, есть часть окружности с концами в этих точках (рис. 87).
7 класс
§ 6. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
ВЫПУКЛЫЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
Четыпехуголанчком называется фигура, которая состоит из четырех точек и чет дрех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не долж ■ ны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырехугольника. На рисунке 88 представлены три фигуры, каждая из которых состоит из четырех точек А, В, С, D и четырех последовательно соединяющих их отрезком АВ, ВС, CD и AD. Четырехугольником является только третья фигура: у первой фигуры точки А, В, С лежат на одной прямой, а у второй отрезки ВС и АБ пересекаются.
Вершины четырехугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями. У четырех угольника ня рисунке 89 диагоналями являются отрезки АС и BD.
Стороны четырехугольника, исходящие из одной зершины, называются соседними сторонами. Стороны, не имеющие
Рис. 90Рис. 90Рис. 91Рис. 916565
Рис. 90
Рис. 90
Рис. 91
Рис. 91
65
65
общего конца, называются противолежащими сторонами. У четырехугольника на рисунке 89 противолежащими являются стороны АВ и CD, ВС и AD.
Четырехугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. При этом сама прямая считается принадлежащей полуплоскости. На рисунке 90, а четырехугольник выпуклый, а на рисунке 90, б — не выпуклый.
Четырехугольник обозначается указанием его вершин. Например, четырехугольник на рисунке 89 обозначается так: ABCD. В обозначении четырехугольника рядом стоящие вершины должны быть соседними. Четырехугольник ABCD на рисунке 89 можно также обозначить BCDA или CDAB. Но нельзя обозначить ABDC (В и D — не соседние вершины'1
Далее мы будем рассматривать только выпуклые четырехугольники. Углом выпуклого четырехугольника ABCD при вершине 4 называется угол, образованный полупрямыми АВ и AD.
Задача (1). Докажите, что если диагонали четырехугольника пересекаются, то он выпуклый.
Решение. Пусть ABCD — четырехугольник, у которого диагонали пересекаются (рис. 91). Возьмем любую сторону четырехугольника, например АВ. Прямая АВ разбивает плоскость на две полуплоскости. Точка S — точка пересечения диагоналей — лежит в одной из них. В той же
3 А. В Погорелов
полуплоскости лежат и вершины С и D. Поэтому стороны ВС, CD и DA лежат в той полуплоскости, где лежит точка S, т. е. по одну сторону от прямой АВ. То же самое можно повторить для любой из трех остальных сторон четырехугольника. Значит, четырехугольник ABCD выпуклый.
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т. е. л°жат на параллельных прямых (рис. 92).
Теорема 6.1. Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то ?тот четырехугольник — параллелограмм.
Доказательство. Пусть ABCD — данный четырехугольник и О — точка пересечения его диагоналей (рис. 93). Треугольники AOD и СОВ раьны. У них углы при вершине О равны как вертикальные^ a OB = OD и ОА = = ОС по условию теоремы. Значит, углы ОВС и ODA равны. А они являются внутренними накрест лежащими при прямых AD и ВС и секущей BD. По теореме 4.2 прямые AD и ВС параллельны. Параллельность прямых АВ и CD доказывается с помощью равенства треугольников АО В и COD. Теорема доказана.
Теорема 6.2 (обратная теореме 6.1). Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство. Пусть ABCD — данный параллелограмм (рис. 94). Проведем его диагональ BD. Отметим на ней середину О и на продолжении отрезка АО отложим отрезок ОСк, равный АО. По теореме 6.1 четырехугольник ABCkD есть параллелограмм. Следовательно, прямая ЬСк параллельна AD. Но через точку В можно провести только одну прямую, параллельную AD. Значит, Прямая ЬСк совпадает
с прямой ВС. Так же доказывается, что прямая DCV совпадает с прямой DC. Значит, точка Cv совпадает с С. Параллелограмм ABCD совпадает с АВС'О. Поэтому его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся попо
лам. Теорема доказана.
Задача (6). Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок ее, заключенный между параллельными сторонами, делится в
этой точке пополам.
Решение. Пусть ABCD — данный параллелограмм и EF — прямая, пересекающая параллельные стороны АВ и CD (рис. 95). Треугольники ОАЕ и OCF равны по второму признаку. У них стороны О А и ОС равны, так как О — середина диагонали АС (теорема 6.2). Углы при вершине О равны как вертикальные, а углы ЕАО и FCO равны как внутренние накрест лежащие при параллельных АВ, CD и секущей АС. Из равенства треугольников следует равенство сторон ОЕ = OF. Что и требовалось доказать.
Теорема 6.3. У параллелограмма противолежащие сторо
ны равны, противолежащие углы равны.
Доказательство. Пусть ABCD — данный параллелограмм (рис. 96). Проведем диагонали параллелограмма. Пусть О — точка их пересечения. Равенство противолежащих сторон АВ и CD следует из равенства треугольников АОВ и COD. У них углы при вершине О равны тесак вертикальные, а ОА = ОС и OB = OD по теореме 6.2. Точно так же из равенства треугольников AOD и СОВ следует равенство другой пары противолежащих сторон — AD и ВС.
Равенство противолежащих углов АВС и CD А следует из равенства треугольников АВС и CDA (по трем сторонам). У них АВ = CD и ВС = DA по доказанному, а сторона АС общая. Точно так же равенство противолежащих углов BCD и DAB 5
следует из равенства треугольников у" /
BCD и DAB. Теорема доказана пол- / ностью./ —v
Задача (15). Докажите, что ес- °"
ли у выпуклого четырехугольника двеРис. 96
Рис. 97Рис. 97стороны параллельны и равны, то он является параллелограмм ом.
Рис. 97
Рис. 97
Решение. Пусть ABCD — данный четырехугольник, у которого стероны АВ и CD параллельны и равны (рис. 97). Проведем через вершину В прямую Ь, параллельную стороне AD.
Эта прямая пересекает прямую DC в некоторой точке Cv Точка CY принадлежит лучу DC, так как дополнительный луч и прямая 6 лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AD. Четырехугольник ABC\D есть параллелограмм. По теореме 6.3 CYD = АВ. А по условию AB=CD. Значит, DC = DCV Отсюда следует, что точки С и CY совпадают. Таким образом, четырехугольник ABCD совпадает с параллелограммом ABCXD, а значит, является параллелограммом.
ПРЯМОУГОЛЬНИК. РОМБ. КВАДРАТ
Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые (рис. 98).
Тео рема 6.4. Прямоугольник есть параллелограмм. Диагонали прямоугольника равны.
Доказательство. Пусть ABCD — данный прямоугольник (см. рис. 98). Прямые AD и ВС, будучи перпендикулярными прямой АВ, параллельны. Прямые АВ и CD перпендикулярны АОи поэтому тоже параллельны. Следовательно, прямоугольник —■ параллелограмм.
Второе утверждение теоремы следует из равенства прямоугольных треугольников BAD и CD А. У них углы BAD и CD А прямые, катет AD общий, а катеты АВ и CD равны как противолежащие стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует, что их гипотенузы равны. А гипотенузы есть диагонали прямоугольника. Теорема доказана.
Задача (21). Докажите, что если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.
Решение. Углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, являются внутренними односторонними, поэтому их сумма равна 180°« Так как по условию задачи эти углы равны, тс каждый из них прямой. А параллелограмм, у которого все углы прямые, есть прямоугольник.
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны (рис. 99).
Теорема 6.5. Диагоне пи ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Доказательство. Пусть ABCD — данный ромб (см. рис. 99), О — точка пересечения его диагоналей. По свойству параллелограмма АО = ОС. Значит, в равнобедренном треугольнике АВС отрезок ВО является медианой. По свойству равнобедренного треуголь- нлка медиана, проведенная к его основанию, является биссектрисой и высотой. А это значит, что диагональ ВО является биссектрисой угла В и перпендикулярна диагонали АС. Теорема доказана.
Задача (28). Докажите, что если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.
Решение. Пусть ABCD — параллелограмм с перпендикулярными диагоналями и О — точка пересечения диагоналей (рис. 100). Треугольники АО В и AOD равны по первому признаку равенства треугольников. У них углы при вершине О по условию прямые, сторона АО общая, а ОВ =
Рис. 99Рис. 99Рис. 100Рис. 100Рис. 101Рис. 101— OD по свойству параллелограмма (теорема 6.2). Из равенства треугольников следует равенство сторон: АВ = AD. А по теореме 6.3 AD = ВС, АВ = CD. Итак, все стороны параллелограмма равны, а значит, он есть ромб.
Рис. 99
Рис. 99
Рис. 100
Рис. 100
Рис. 101
Рис. 101
Квадрат — эго прямоугольник, у которого все стороны равны (рис. 101).
Квадрат является также ромбом, поэтому обладает свойствами прямоугольника и ромба.
ТЕОРЕМА ФАЛЕСА
Теорема 6.6 (теорема Фалеса). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают ровные отрезки и на другой его стороне (рис. 102).
Доказательство. Пусть Av, А.., А3 — точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла и Ай лежит между Аг и Аа (рис. 102). Пусть Ви В2, В3 — соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если Л1Л2 = Л2Л3, то ВхВй = В2В3.
Сначала докажем, что точка В2 лежит между Bv и В„. Точки Al и Аз лежат по разные стороны от прямой А2В2, так как отрез эк АрАз пересекает эту прямую (в точке Л2). Точки Аг н Вх лежат по одну сторону от прямой АйВй, так как отрезок AjBx параллелен прямой А2В2, а значит, не пересекает ее. Точно так же точки Аз и Ва лежат по одну стерону от прямой А2В2. Значит,точкиBt и Ва лежат по разные стороны от этой прямой, и поэтому отрезок ВхВа пересекает прямую А2В2 (в точке В^.
Проведем через точку В2 прямую ЕЕ, параллельную прямей АхАа. По свойству параллелограмма АХА2 ЕВ2, А2А3 = В2Е. И так как AVA2 = А2Аа, то ЕВ2 = В2Е.
Треугольники В2ВХЕ и В.гВ3Е равны по втопому признаку. У них В-Е = В2Е по доказанному. Углы при вершине В2 равны как вертикальные, а углы В2ГВХ и ВйЕВ3 равны как внутренние накрест лежащие при параллельных АХВХ и АаВа и секущей ЕЕ, Из равенства треугольников следует равенство сторон: ВХВ2 = В8В3. Теорема доказана.
Задача 6. 7. Разделить данный отрезок ЛВ на п равных частей.
Решение. Проведем из точки А полупрямую а, не ле кащую на прямой АВ (рис. 103). Отложим на полупрямой а разные отрезки: ЛА,, Л1Л2, Л2Л3, .... Ап_г Ап. Проведем через точки Ап и В прямзто Ь. Прямые, параллельные Ъ, проходящие через точки А,, Л2, ..., Л^, пересекают отрезок АВ в точках ВИ В2, ..., Вп-1, которые делят отрезок АВ на п равных отрезков (теорема 6.6).
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющей середины двух его сторон.
Рис. 102Рис. 102Рис. 103Рис. 103
Рис. 102
Рис. 102
Рис. 103
Рис. 103
Теорема 6.8. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стероне и равна ее половине.
Доказательство. Пусть DE — средняя линия треугольника АВС (рис. 104). Проведем через точку D прямую, параллельную АВ. По теореме 6.6 она пересекает отрезок АС в его середине, т. е. содержит среднюю линию DS. Первое утверждение доказано.
Проведем теперь среднюю линию DF. Она параллельна стороне АС. Четырехугольник AEDF — параллелограмм. По свойству параллелограмма EX) = AF, а так как AF = = FB, то ED = АВ. Теорема доказана.
Задача (47) Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
Решение. Пусть ABCD — данный четырехугольник и Е, F, G, Н — середины его сторон (рис. 105), EF — средняя лилия треугольника АВС. Поэтому EF || AC. GH — средняя линия треугольника ADO. Поэтому GH || АС. Итак, EF || GH, т. е. противолежащие стороны EF и GII четырехугольника EFGH параллельны. Точно так же доказывается параллельность другой пары противолежащих сторон. Значит, четырехугольник EFGH — параллелограмм.
Рис. 105
ТРАПЕЦИЯ
Трапецией называется выпуклы.! четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны (рис. 106). Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Теорема 6.9. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство. Пусть ABCD — данная трапеция (рис. 107). Проведем через вершину В и середину Р боковой стороны CD прямую. Она пересекает прямую AD в некоторой точке Е. Треугольники РВС и PED равны по второму признаку равенства треугольников. У них СР — DP по построению, углы при вершине Р равны как вертикальные, а углы РСВ и PDE равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей CD. Из равенства треугольников следует равенство сторон РВ = = РЕ, ВС = ED. Значит, средняя линия PQ трапеции является средней линией треугольника АВЕ. По свойству средней линии треугольника PQ || АЕ и отрезок PQ = — АЕ =
= — (ЛО + ВС). Теорема доказана.
Задача (60). Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен полуразности оснований.
Решение. Пусть ABCD — данная трапеция с большим основанием CD (рис. 108). Проведем через середину G боковой стороны ВС прямую, параллельную основаниям.
Рис. 108Рис. 108Она пересечет диагонали в точках Е и F, которые являются их серединами. EG — средняя линия треугольника DEC, EG — средняя линия треугольника АВС. Отрезок ЕЕ равен разности этих средних линий:
Рис. 108
Рис. 108
CD АВ CD —АВ ЕЕ = ■-
222
Что и требовалось доказать.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1.2.1.2.8.8.Качая фигура называется четырехУгол ?
1.
2.
1.
2.
8.
8.
Какая из трех фигур на рисунке 88 является четырехугольником? Почему две другие фигуры не ЯВЛЯются четырехугольниками?не являются
Какие вершины четырехугольника называются соседними, какие — противолежащими?
Что такое диагонали четырехуголЬниКа?
Какие стороны четырехугольника называются сосет- ними? Какие называются противолежат ими?
Как обозначается четырехугольник?
Какой четырехугольник называется выпуклым?
Что такое угол выпуклого четырехугольника при данной вершине?1
Что такое параллелограмм?
Докажите, что если диагонали яетыреХугольника пересекаются и точкой пересечения делятся.
1пополам, то он
является параллелограммом.
И. Докажите, что диагонали параллелограмма ека. ются и точкой пересечения делятся пополам
Докажите, что у параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны
Что такое прямоугольник?
Докажите, что прямоугольник является папаллелогпзм- мом; диагонали прямоугольника Равны. Р ллелограм
Что такое ромб?
Докажите, что диагонали ромба пересекаются под ппя- глым углом; диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Что такое квадрат? Перечислите Свойства квалпятя
Докажите теорему Фалеса.квадрата.
Докажите, что средняя линия треугольника равна половине соответствующей стороны.
Какой четырехугольник называется трапецией?
Докажите, что средняя линия трапеции а 'VCVM. ме оснований.3 8
УПРАЖНЕНИЯ
Докажите, что если диагонали четырехугольника пересекаются, то он выпуклый.
Медианы треугольника АВС, проведенные из вершил А и С, пересекаются в точка М. Докажите, чго четырехугольник АВСМ новыпуклый.
Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в грех заданных точках, не лежащих на одной прямой?
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 м. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр (сумму длин всех сторон) получившегося параллелограмма.
Четырехугольник ABCD — параллелограа м с периметром 10 см. Найдите длину диагонали BD, зная, что периметр треугольника ABD равен 8 см.
Через течку пересечения диагоналей параллелограмма проведена пряма я. Докажите, что отрезок ее, заключенный между параллельны:™ сторонами, делится в этой точке пополам.
В параллелограмме ABCD через точку пересечения диагоналей проведена прямая, которая отсекает на сторонах ВС и АВ отрезки BE = 2 м и АЕ = 2,3 м. Найдите стороны ВС и Azi.
С дин из углов параллелограмма равен 40°. Найдите остальные углы.
Найдите углы параллелограмма, зная, что один из них больше другого на 50°.
Может ли один угол параллелограмма быть равным 40°, а другой — 50е?
Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 25° и 35°. Найдите углы параллелограмма.
Найдите все углы пачаллелогоамма, если сумма двух из них равна: 1) 80; 2) 100°; 3) 160й.
Найдите все углы параллелограмма, если разность двух из них равна: 1) 70е; 2) 110°; 3) 140°.
В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны ВС, a F — середина стороны AD. Докажите, что четырехугольник BEDE — параллелограмм.
Докажите, что если у выпуклого четырехугольника две стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом.
В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке Е. Чему равны отрезки BE и ЕС, если АВ = 9 см, AD = 15 см?
Две стороны параллелограмма относятся как 3 : 4, а периметр его равен 2,8 м. Найдите стороны.
В параллелограмме ABCD перпендикуляр, опущенный из вершины В на сторону АВ, делит ее пополам. Найдите диагональ BD и стороны параллелограмма, если известно, что периметр параллелограмма равен 3,8 м, а периметр треугольника ABD равен 3 м.
Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и диагонали; 2) по стороне и двум диагоналям.
Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и углу; 2) но диагоналям и углу между ними.
Докажите, что если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.
Докажите, что если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.
Биссектриса одного из углов прямоугольника делит сторону прямоугольника пополам. Найдите периметр прямоугольника, если его мень пая сторона равна 10 см.
В прямоугольнике точка пересечения диагоналей от- сторт от меньшей стероны на 4 см дальше, чем от большей стороны. Периметр прямоугольника равен 56 см. зайдите стороны прямоугольника.
Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, которые удалены от центра на 6 см и 10 см. Найдите их длины.
В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 6 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол. Найдите периметр прямоугольника.
В рг внобедренныч прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие — на катетах. Чему равны стороны прямоугольника, если известно, что они относятся как 5 : 2, а гипотенуза треугольника равна 45 см?
Докажите, что если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.
Докажите, что если диагональ параллелограмма является биссектрисой его углов, то он является ромбом.
Углы, образуемые диагоналями ромба с одной из его сторон, относятся как 4 : 5. Найдите углы ромба.
Докажите, что четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.
В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите углы ромба..
Постройте ромб: 1) по углу и диагонали, исходящей из вершины этого угла; 2) по диагонали и нротиволежашеиу углу.
Постройте ромб: 1) по стороне и диагонали; 2) по двум диагоналям.
В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого 2 м, вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите периметр квадрата.
Дан квадрат ABCD. На каждой из его сторон отложены равные отрезки: А 4Х = ВВХ = ССХ = DDV Докажите, что четырехугольник v41B1C1D1 есть квадрат.
Диагональ квадрата равна 4 м. Сторона его равна диагонали другого квадрата. Найдите сторону последнего.
Дан квадрат, сторона которого 1 м, диагональ его равна стороне другого квадрата. Найдите диагональ последнего.
ЗЭ. В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой его стороне находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Найдите стороны прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна 12 м.
3 равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а другие две — на катетах. Найдите сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 3 м.
Из внешней точки проведены к окружности две взаимно перпендикулярные касательные; радиус окружности 10 см. Найдите длины касательных (расстояние от данной точки до точки касания).
Стороны треугольника равны 8 см, 10 см, 12 см. Найдите стороны треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.
Периметр треугольника равен 12 см; середины сторон соединены отрезками. Найдите периметр полученного треугольника.
Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 3 см. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 16 см.
Как построить треугольник, если заданы середины его сторон?
Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, проходящей через середины двух его сторон.
Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
Найдите стороны параллелограмма из предыдущей задачи, если известно, что диагонали четырехугольника равны 10 м и 12 м.
У четырехугольника диагонали равны а и Ъ. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.
Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
Боковая сторона трапеции разделена на три равные части, и из точек деления проверены к другой стороне отрезки, параллельные основаниям. Чему равны длины этих отрезков, если основания трапеции равны 2 м и 5 м?
Докажите, что у равнобокой трапеции углы при основании равны.
Чему равны углы равнобокой трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 40г?
В равнобокой трапеции большее основание равно 2,7 м, боковая сторона равна 1 м, угол между ними 60°. Найдите меньшее основание.
В равнобокой трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки 6 см и 30 см. Найдите основания трапеции.
Меньшее основание равнобокой трапеции равно боковой стероне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции.
По одну сторону от данной прямой даны две точки А и В на расстояниях 10 м и 20 м от нее. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до данной прямой.
По разные стороны от данной прямой даны две точки А и В на расстояниях 10 см и 4 см от нее. Найдите расстояние от сепедины отрезка АВ до данной прямой.
Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен полуразности оснований.
Основания трапеции относятся как 2:3, а средняя линия равна 5 м. Найдите основания.
Концы диаметра удалены от касательной к окружности на 1,6 м и 0,6 м. Найдите длину диаметра.
Средняя линия трапеции равна 7 см, а одно из ее оснований больше другого на 4 см. Найдите основания трапеции.
Высока, проведенная из вершимы тупого угла равнобокой трапеции, делит большее основание на части, имеющие длины а и Ь (а >5). Найдите среднюю линию трапеции.
Постройте трапецию по основаниям и боковыь. стеронам.
Постройте трапецию по основаниям и диагоналям.
1) В треугольнике АВС проведены медианы ZAt и В 6ц которые пересекаются в точке М (рис. 109). В треугольнике АМВ проведена средняя линия PQ. Дока-
жите, что четт-трехугольпик ABtPQ — параллелограмм.
Докажите, что любые две медианы треугольника, пересекаются и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Докажите, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
£ 68. Докажите, что у выпуклого В, -“ четырехугольника диагонали
пересекаются. .
Рис. 10969. Докажите, что у выпуклого че
тырехугольника, вписанного в окружность, сумма противолежащих углов равна 180°.
Докажите, что у четырехугольника, описанного около окружности, суммы длин противолежащих сторон одинаковы.
§ 7. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
КОСИНУС УГЛА
Косинусом, острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус угла а обозначается так: cos а. Сказывается, что косинус угла зависит только от градусной меры угла, но не зависит от размеров треугольника и его расположения, т. е. у двух треугольников с одним и тем же острым углом косинусы этого угла равны.
Теорема 7.1. Косинус угла зависит только от градусной меры угла.
Доказательство. Пусть АВС и А'В'С — дха прямоугольных треугольника с одним и тем же углом при
вершинах А и А', равным а (рис. 110). Требуется доказать, что
А'С ас, .
= -—.(г)
а в* _;в
Отложим на луче АВ отрезок APV, равный отрезку А' В’, и опустим перпендикуляр BVCX на прямую АС. Треугольники ЛВ^! и А'В’С равны по гипотенузе и острому углу. Поэтому А'С = АС^. Следовательно, чтобы доказать равенство (*), достаточно доказать, что
АС, _ _АС АВХ — АВ * ттАСХ , ЛСАС. АС
Допустим, что ^, например, что L >•
АВХ ZB^45^ -AS
AC AC
Возьмем на отрезке АС, точку С» так, чтобы =.
АВХ АВ
Разобьем отрезок АС на большое число п равных частей и проведем через точки деления прямые, параллельные прямой ВС. По теореме Фалеса эти прямые разбивают отрезок АВ на п равных отрезков. При достаточно большом п на отрезке СхСа будут точки деления. Обозначим одну из них через У, а соответствующую точку на стороне АВ — через X.
„АС АВ
Пусть а = —, о = — и пусть т — число малых от- пп
резков разбиения, которые лежат на отрезке АУ. Имеем: АС = по, АВ = nb, АУ = та, АХ = mb. Мы видим, что АС _ AY АВ ~ АХ*
Заменим в правой части равенства величину АУ меньшей ге- личиной АСг, а величину АХ — большей АВХ. Тогда АС АС- .
правая часть уменьшится, и мы получим: — >. А по вы-
_„АС АС- -
бору точки Сг должно быть — = —Мы пришли к про- АВ АВХ
тиворечмю. Теорема доказана.
Задача (1). Постройте угол, косину? которого равен—.
б
Решение. Строим прямоугольный треугольник с катетом 3 единицы длины и гипотенузой 5 единиц. У этого треугольника угол, противолежащий второму катету, будет искомым.
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Теорема 7.2 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство. Пусть АВС —- данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С (рис. 111).
По определению косинуса угла
cos А = — • =. Отсюда АВ • AD =АС“.
АС АВ
Аналогично
cos В = 52 = 52. Отсюда АВ • BD =- ВС2, вс АВ
Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD + DB = АВ, получим:
АС2 + ВС2 ^ AB (AD + DB^ = АВ2.
Теорема доказана.
Из теоремы Пифат ора следует, что в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы. Отсюда, в свою очередь, следует, что cos а<1 для любого острого угла а.
Задача (16). Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной Ь.
Решение. Находим высоту CD (рис. 112), опущенную на основание. По теореме Пифагора
CD = VAC2—AD2=y Ъ1 — (- ".
Обозначим радиус описанной окружности через R. Если центр О окружности лежит на высоте CD (рис. 112, а), тс OD = CD — R. Если центр окружности лежит на продолжении высоты
(рис. 112, б), то OD = R — CD. По теореме Пифагора АО- = OD1 4- AD2, или(рис. 112, б), то OD = R — CD. По теореме Пифагора АО- = OD1 4- AD2, илиОтсюда находим:Отсюда находим:
(рис. 112, б), то OD = R — CD. По теореме Пифагора АО- = OD1 4- AD2, или
(рис. 112, б), то OD = R — CD. По теореме Пифагора АО- = OD1 4- AD2, или
Отсюда находим:
Отсюда находим:
Пусть В А — перпендикуляр, опущенный из точки В на прямую а, и С—любая точка прямой а, отличная от А. Отрезок ВС называется наклонной, проведенной из точки В к прямой а (рис. 113). Точка С называется основанием наклонной. Отрезок АС называется проекцией наклонной.
Из теоремы Пифагора следует, что если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то наклонная больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.
Задача (21). Стороны треугольника а, Ь, с. Найдите
высоту треугольника, опущенную на сторону с.
Решение. Обозначим проекцию стороны а на пря
мую, содержащую сторону с, через х. Тогда проекция стороны Ъ на эту прямую будет либо с — х (рис. 114, а), либо с 4- х (рис. 114, б). По теореме Пифагора в первом случае CD2 = а2 — х2, CD2 = Ъ2 — (с — хУ
Отсюда получаем уравнение:
аа — ха = Ь2 — (с — х)3.
Решаем его:
а2 — х2 = Ь3 — с2 + lex — х2, а2 = Ь2 — с3 + 2сх,
х = — (а2 — Ь2 + с*).
2с
Находим высоту CD:
CD = 1 /а2 -(а2 - Ь2 + с2)2 .
V4с2
Во втором случае ответ получается такой же. Проведите вычисления самостоятельно.
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИВ ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Пусть АВС — прямоугольный треугольник с прямым углом С и острым углом при вершине А, равным а (рис. 115). Согласно определению cos а равен отношению катета, прилежащего к углу а, к гипотенузе.
Синусом, угла а (обозначается sin а) называется отношение противолежащего катета ВС к гипотенузе АВ:
. ВСsma —АВ
Тангенсом угла а (обозначается tg а) называется отношение противолежащего катета ВС к прилежащему катету АС:
ЬС
АС*
Синус и юнгенс угла, так же как и косинус, зависят только от величины угла.
Действительно, по теореме Пифагора
ВС = V^ — AC1,
. ВС , Г- (АС» 1 =;
sina=- — = 1/ 1— — =1 — cos-a .
АВ V \АВ)
Так как cos а зависит только от вели- зависит только от
, АС sinaАВ cos a
Рис. 116Рис. 116Отсюда видно, что и tg сс зависит только от величины угла.
Рис. 116
Рис. 116
Из определения sin ct, cos а и tg а получаем следующие правила:
Катет, противолежащий углу а равен произведению гипотенузы на sin а.
Катет, прилежащий к углу а, равен произведению гипотенузы на cos а.
Катет, противолежащий углу а, равен произведению второго катета на tg а.
Эти правила позволяют, зная одну из сторон прямоугольного треугольника и острый угол, находить две другие стороны; зная две стороны, находить острые углы.
Задача (31). В ппямоугольном треугольнике даны гипотенуза с и острый угол а. Найдите катеты, их проекции па гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.
Решение (рис. 116). АС = АВ cos а = с cos а; ВС = = АВ sin а = с sin а; BD = ВС sin а = с sin2 а; AD =■ = AC cos а. = с cos2 а; CD = AC sin а = с sin а cos а.
Из этих выражений получаются следующие соотношения: АС = У АВ - AD, ВС = VAB • BD, CD - VAD • BD. Эти соотношения полезно помнить. Их выражают словами так:
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.
Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между . проекциями катетов на гипотенузу.
Название «среднее пропорциональное» оправдывается тем, что число х = Vab является средним членом пропорции а : х = х : Ъ.
КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ ТАБЛИЦАМИ СИНУСОВ, КОСИНУСОВИ ТАНГЕНСОВ
Для sin a, cos а и tg а составлены специальные таблицы. Эти таблицы позволяют по данному углу а найти sin а, Соз а и tg а или по значениям sin а, cos а, tg а найти соот-
Бедствующий угол. Поясним, как пользоваться этими та .лицами на примере решения задачи 32.
Задача (32). 1) Пользуясь таблицами, найдите: sin 22е, sin 22°ЗбЧ sin 22э38', sin 22°41'; cos 68°, cos 68°18', cos 68 20', cos 68 23'.
Найдите угол х, если sin х =■ 0,2840; sin х = 0,2844; cos х = 0,2710.
Решение (см. таблицы В. М. Брадиса, с. 52). 1) Найдем sin 22“. В первой колонке таблицы ищем 22°. Рядом во второй колонке видим число 0j3746. Эго и есть sin 22°.
Найдем sin 22°3о'. Снова ищем 223 в первой колонке. Затем, передвигаясь по строке, в которой стоит 22°, ищем колонку, у которой вверху стоит 36'. В этой колонке и будет sin 22°36'. Он равен 0,3843.
Найдем sin 22с38'. Ищем ближайшее к 38 число, кратнее 6. Это будет 33. Находим sin 22°36' и прибавляем к нему поправку на 2'. Поправки на 1', 2' и 3' даны в трех последних колонках таблицы. В строке, где 22е, находим поправку на 2'. Она равна 5. Теперь находим sin 22 38' = 0,3843 + + 0,0005 = 0,3848.
Найдем sin 22341'. Ищем sin 22’42' и поправку на 1' вычитаем. Находим sin 22 41' = 0,3853.
Значения косинуса можно получить с помощью таблицы синусов, пользуясь равенством cos а = sin (90° — а) (оно будет доказано в теореме 7.3). Но можно найти косинус и непосредственно. Найдем cos 68'. Ищем в четвертой колонке с правой стороны таблицы 68°. Рядом слева от него стоит число 0,3746. Это и есть cos 68°. Заметим, что cos 68° = = cos (90 — 22) = sin 22°. A sin 22е также равен 0,3746.
Найдем cos 38°18'. Ищем строку, где 68°. Перемещаемся по этой строке влево. В колонке, где внизу стоит 18', находим cos 68°18'. Он равен 0,3ti97.
Чтобы найти cos 68 20', берем cos 68 18' и учитываем поправку на 2'. Поправку надо вычитать. Получаем cos 68°20' = = 0,3697 — 0,0005 = 0,3692.
Чтобы найти cos 68 23', берем cos 68 24' и учитываем поправку на 1'. Ее надо прибавлять. Получаем cos 68°23' = = 0,3681 + 0,0003 = 0,3684.
При работе с поправками надо иметь в виду, что синус при увеличении угла увеличивается, а косинус уменьшается 84
(см. теорему 7.4). Поэтому нетрудно сообразить, прибавлять поправку или вычитать.
Значения тангенса по таблице тангенсов находятся так же, как значения синусов по таблице синусов.
Найдем теперь угол х, для которого sin х = 0,2810. Ищем в таблице синусов число 0,2840. Мы видим, что это число стоит в строке, где слева стоит 16 , и в колонке, где сверху стоит 30'. Значит, х = 16’30'.
Найдем х, для которого sin х = 0,2844. Ищем в таблице синусов число 0,2844 или ближайшее к нему. Ближайшим числом будет 0,2840. Это sin 16э30'. Если прибавить поправку на 1', то получим 0,2843. Если прибавить поправку на 2', то получим 0,2843. Поэтому с точностью до 1' надо считать х = 16°ЗГ.
Найдем х, для которого cos х = 0,2710. Ищем в таблице число 0,2710 или ближайшее к нему. Это число будет 0,2705. Око есть cos 7418'. Наше число больше. Значит, угол меньше. Поправка на 1' будет 0,0003, а на 2' будет 0,0003. Берем поправку на 1'. Получаем с точностью до 1* угол х = 74°17',
Угол по значению тангенса ищется с помощью таблицы тангенсов так же, как угол по значению синуса с помощью таблицы синусов.
ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА
Докажем следующие тождества:
sin2 а + cos2 а = 1,1 + tg2 а = —_—,1 + —— = —-—.
сэв2 atg2 а sin2 а
Возьмем любой прямоугольный треугольник АВС с углом при вершине А, равным се (рис. 117). По теореме Пифагора
ВС2 + АС1 = АВ\
Рис. 117Рис. 117Разделим обе части равенства на АВ2. Получим:
Рис. 117
Рис. 117
/вс 2 /лс\а _ 1
Ub Us/ '
ВСАС
Но — = sin а, — = cos се. Таким образом,
АВАВ
sin2 a -f- cos2 а = 1.
Это равенство сеть тождество. Оно верно при любом а (а < 90 ). Чтобы получить второе тождество, разделим обе части полученного тождества на cos3 а. Получим:
1- 1 =, или 14- tg- се =.
cos2 а cos2 аcos2 а
Если обе части тождества sin2 а + cos2 а = 1 разделить на sin2 а, то получим третье тождество:
tg2asin2 а
Значение этих тождеств заключается в том, что они позволяют, зная одну из величин sin се, cos а или tg се, найти две другие.
Задача (47). Вычислите значения sin а и tg а, если cos а = - .
13
Решение. Так как sin2 a 4- cos2 a = 1, то
•i2чf 5'я 12gin a12
sin a = } i — cos2 a = 1- — • — = —• tg a == —.
V\13'cos a5
ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА НЕКОТОРЫХУГЛОВ
Теорема 7.3. Для любого острого угла a sin (90 — се) = = cos a, cos (90° — a) — sin a.
Доказательство. Пусть ABC —прямоугольный треугольник с острым углом се при вершине А (рис. 113). Тогда острый угол при вершине В равен 90° — а. Согласно определению . ВСАС
since ——, cos се =—,АВ/В
sin (90° — a) = —, cos (90 — a) = —. ' ABAB
Из второго и третьего равенств получаем: sin (90 — a) = = cos а. Из первого и четвертого равенств получаем: cos (90°— a) = sin а. Теорема доказана.
Найдем синус, косинус и тангенс угла 45°. Для этого построим прямоугольный треугольник с острым углом 45° (рис. 119). Второй его острый угол тоже 45°, поэтому треугольник равнобедренный. Пусть катеты треугольника рав- 85
A
Рис. 118
ны а. По теореме Пифагора гипотенуза будет а) 2. Находим! sin45° = -^ = JL = &
аУ2У 22
cos 45° ==_i=12; tg45° = - = l.
ay 2У22а
Найдем синус, косинус и тангенс угла 30°. Возьмем равносторонний треугольник АВС (рис. 120). Проведем в нем медиану AD. Она будет биссектрисой и высотой. Поэтому треугольник ABD — прямоугольный с острым углом при вершине А в 30°. Пусть а — сторона равностороннего треугольника. Тогда BD = ^. По теореме Пифагора
AD = VaB2 — BD3 = |/"а2 — fj -j = 5-Ь£.
Значит,
sin30° = — :а= —; cos30° = ^LL : а =tg30° = -L-
2222^3
По теореме 7.3
sin 60° = cos 30° = cos 60° = sin 30° = —;
22
tg60° = ^^= pT.
cos 60’
ИЗМЕНЕНИЕ sina, cos a и tg a ПРИ ВОЗРАСТАНИИ УГЛА a
Теорема 7.4. При возрастании острого угла sin a u tg a возрастают, a cos а убывает.
Доказательство. Пусть а и Р — острые углы, причем a < р. Отложим углы а и 0 от полупрямой АВ в одну полуплоскость (рис. 121). Проведем через точку В прямую, перпендикулярную АВ. Она пересекает стороны наших углов в точках С и D. Так как a < р, то точка С лежит между В и D. Поэтому ВС < BD. А значит, по свойству нак-
лонных, проведенных из одной точки к прямой, АС < AD. Так как
АВ о АВ cosa= —, cosp = ——.
ACAD
то cos a > cos P, t. e. при возрастания угла косинус убывает.
Так как sin a = р 1 — cos2 а, а cos а убывает при возрастании угла, то sin а возрастает.
sin а возрастает, a cos а убыsin а возрастает, a cos а убыТак как tg a = ^? и cos a
sin а возрастает, a cos а убы
sin а возрастает, a cos а убы
вает при возрастании а, то tg а возрастает при возрастании а. Теорема доказана.
НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА
Если то чки А и В различны, то расстоянием, между ними называется длина отрезка АВ. Если точки А и В совпадают, то расстояние между ними принимается равным нулю.
Неравенством треугольника называется свойство расстояний между тремя точками, которое выражается следующей теоремой:
Теорема 7.5. Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстоянии от них до третьей точки.
Доказательство. Пусть А, В, С — три данные точки. Если две точки из трех или все три точки совпадают, то утверждение теоремы очевидно. Если все точки различны и лежат на одной прямой, то одна из них лежит между двумя другими, например В. В этом случае АВ + ВС = АС. Отсюда видно, что каждое из трех расстояний не больше суммы двух других.
Допустим теперь, что точки не лежат на одной прямой (рис. 122). Докажем, что АВ < АС + ВС. Опустим перпендикуляр CD на прямую АВ. Так как в прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы, то АВ < АС, ЬО < ЬС.
По доказанному АВ ^ АЛ + BD. Следовательно, АВ < < АС -4- ВС. Теорема доказана.
Заметим, что в случае, когда точки не лежат на одной прямой, в неравенстве треугольника — строгое неравенство. Это значит, что в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы, двух других сторон.
Задача (70). Докажите, что любая хорда окружности не больше диаметра и равна диаметру только тогда, когда сама является диаметром.
Решение (рис. 123). По неравенству треугольника АВ ^ О А + О В = 2R, причем если центр О не лежит на отрезке АВ» то неравенство строгое. Равенство имеет место только в случае, когда хорда проходит через центр, т. е. является диаметром.
.ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Дайте определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника.
Докажите, что косинус угла зависит только от градусной меры угла.
Докажите теорему Пифагора.
Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов.
Докажите, что cos а < 1 для острого угла а.
Докажите, что если из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные, то наклонная больше перпендикуляра. Равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.
Дайте определение синуса и тангенса острого угла. Докажите, что они зависят только от градусной меры угла.
Как выражается катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол, через острый угол и другой катет?
Объясните, как по таблицам найти значение синуса данного угла. Как по таблицам найти значение косинуса и тангенса данного угла?
Объясните, как по таблицам найти угол, если задан его синус, косинус или тангенс.
Докажите тождества: sin2 а + cos2 а = 1;
14-tg2a = —; 1 + — =—.
cos2 a tg2 a sin2 а
Докажите, что для любого острого угла а sin (90° — а) = cos а. cos (90° — а) = sin а.
Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса углов 30°, 45°, 60°?
Докажите, что sin а и tg а возрастают при возрастании острого угла a, a cos а убывает.
Докажите «неравенство треугольника».
Докажите, что в треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
УПРАЖНЕНИЯ
- _„3
Построите угол, косинус которого равен —.
б
Постройте угол, косинус которого равен: 1) —; 2) 0,5;
3) 0,8.
Две стороны прямсугольного треугольника равны 3 м и 4 м. Найдите третью сторону. (Два решения.)
Найдите сторону ромба, если его диагонали равны: 1) 6 см и 8 см; 2) 16 дм и 30 дм; 3) 5 м и 12 м.
Стороны прямоугольника равны 60 см и 91 см. Чему равна диагональ?
Диагональ квадрата равна а. Чему равна сторона квадрата?
Можно ли из круглого листа железа диаметром 1,4 м вырезать квадрат со стороной 1 м?
Катет прямоугольного треугольника равен 5 м, а его проекция на гипотенузу 3 м. Найдите гипотенузу и второй катет.
Найдите катеты прямоугольного треугольника, если их проекции на гипотенузу равны: 1) 9 см и 16 см;
2) 36 м и 64 м.
Даны отрезки а и Ь. Как построить отрезок:
Ко2 -г &2г?) Уа? — Ь2, а > 6?
Даны отрезки а и Ь. Как построить отрезок- с = Vab?
Между двумя фабричными зданиями устроен покатый желоб для передачи материалов. Расстояние между зданиями равно 10 м, а концы желоба расположены на высоте 8 м и 4 м над землей. Найдете длину желоба.
Стороны прямоугольника равны а и Ь. Найдите радиус описанной окружности.
В окружность вписан прямоугольник, стороны которого относятся как 8 : 15. Найдите эти стороны, если радиус окружности 34 см.
В равнобедренном треугольнике боковая сторона 17 см, а основание 16 см. Найдите высоту, опущенную на основание.
Найдите радиус окружности, описанной сколо равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной Ь.
В равностороннем треугольнике со стороной а найдите высоту.
В равнобокой трапеции основания равны 10 см и 24 см, боковая сторона 25 см. Найдите высоту трапеции.
В равнобокой трапеции боковая сторона равна 41 см, высота 40 см, а средняя линия 45 см. Найдите основания.
Боковые стороны треугольника 30 см и 25 см, а высота, опущенная на основание, 2-1 см. Найдите основание.
Стороны треугольника а, Ь, с. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с.
Боковые стороны треугольника 30 см и 25 см. Найдите высоту треугольника, опущенную на основание, равное: 1) 25 см; 2) 11 см.
Найдите высоты треугольника, у которого стороны 13 см, 14 см и 15 см.
Периметр равнобедренного треугольника равен 64 см, а его боковая сторона на 11 см больше основания. Найдите высоту, опущенную на боковую сторону.
1) Из точки В к прямой а проведена наклонная. Цока- жите, что из точки В к прямой а можно провести еще одну наклонную той же длины.
Можно ли провести из данной точки вне прямой три наклонные равной длины? Объясните ответ.
У прямоугольного треугольника один катет равен 8 см, а синус противолежащего ему угла равен 0,8. Найдите гипотенузу и второй катет.
Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием с и боковом стороной Ь.
Найдите радиус г вписанной и радиус R описанной окружностей для равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна а, а один из острых углов а. Найдите второй острый угол и катеты.
В прямоугольном треугольнике катет равен о, а противолежащий ему угол а. Найдите второй острый угол, противолежащий ему катет и гипотенузу.
В прямоугольном треугольнике даны гипотенуза с и острый угол а. Найдите катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.
1) Пользуясь таблицами, найдите: sin 22’, sin 22°36 , sin 22’38', sin 22°4Г; cos 68°, cos 68’18', едз 68°20', cos 68’23'.
Найдите угол х, если sin х = 0,2840; sin х = 0,2844; cos х = 0,2710.
Найдите по таблицам значения синуса и косинуса углов: 1) 16°; 2) 24’36'; 3) 70’32'; 4) 88’49'.
Найдите по таблицам величину острого угла х, если:.
sin х = 0,0175; 2) sin х — 0,5015; 3) cos х" = = 0,6814; 4) cos х = 0,0670.
Найдите по таблицам значение тангенса угла: 1) 10‘;
40’40'; 4) 50’30'; 4) 70’15'.
Найдите по таблицам острый угол х, если: 1) tg х — = 0,3227; 2) tg х = 0,7846; 3) tg х = 6,152; 4) tg х = = 9,254.
Высота равнобедренного треугольника равна 12,4 м, а основание 40,6 м. Найдите углы треугольника и боковую сторону.
Отношение катетов прямоугольного треугольника равно 19 : 28. Найдите его углы.
Стороны прямоугольника равны 12,4 и 26. Найдите угол между диагоналями.
Диагонали ромба равны 4,73 и 2,94. Найдите его углы.
Сторона ромба 241 м, высота 120 м. Найдите углы.
Радиус окружности равен 5 м. Из точки, отстоящей от центра на 13 и, проведены касательные к окружности. Найдите длины касательных и угол между ними.
Тень от вертикально стоящего шеста, высота которого равна 7 м, составляет 4 м. Выразите в градусах высоту солнца над горизонтом.
Основание равнобедренного прямоугольного треугольника равно а. Найдите боковую сторону.
Найдите неизвестные стороны и острые углы прямоугольного треугольника по следующим данным: 1) по двум катетам:
а) а = 3, Ь = 4;б) а = 9, 6 = 40;
в) а = 20, Ь = 21;г) а = И, b = 60;
по гипотенузе и катету:
а) с = 13, а = 5;б) с = 25, а = 7;
в) с = 17, а = 8;г) с = 85, а = 84;
по гипотенузе и острому углу:
а) с = 2, а = 20°;б) с = 4, а = 50’20';
в) с = 8, а = 70’36';г) с = 16, а = 76°2Г;
по катету и противолежащему углу:
а) а — 3, а = 30’27';б) а = 5, а = 40’48';
в) а = 7, а = 60’35';г) а = 9, а = 68°.
Упростите выражения: 1)1 — sin3 а;
(1 — cos а) (1 + cos а); 3) 1 + sin2 а + cos2 а;
sin a — sin a cos2 a; 5) sin4 a + cos1 a+ 2 sin2 a cos2 a;
tg3 a — sin2 a tg2 a; 7) cos2 a 4- tg2 a cos3 a;
£) tg2 a (2 ccs2 a 4- sin2 a — 1); 9) ,1 —te^ + tg^ .
cos2 a
Вычислите значения sin a и tg a, если:
cos a = —;2) cos a = —;3) cos a = 0,6.
13'17'
Найдите cos a и tg a, если:
sin a =2) sin a = —;3) sin a = 0,8.
641
Постройте угол a, если известно, что: 1) cos a ;
7
sina = 4? 3) sin a = 0,5; 4)tga = -; 5)tga = 0,7.
75
В прямоугольном треугольнике с гипотенузой а и острым углом Ci найдите катет, противолежащий этому углу.
Найдите радиус г окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной а, и радиус В окружности, описанной около него.
В треугольнике больший угол при основании паьен 45°, а высота делит основание на части 20 см и 21 см. Найдите большую боковую сторону.
У треугольника одна из сторон равна 1 м, а прилежащие к ней углы равны 30° и 45°. Найдите другие
стороны треугольника.
Диагональ прямоугольника в два раза больше одной из его сторон. Найдите углы между7 диагоналями.
Диагонали ромба равны а и аУ^Г. Найдите углы ромба.
Какой из углов больше: а или р, если:
sina = '-, sinP = —;2) sina = —, sinp = —;
3434
3)cosa = —, cosp = —;4) cos a = 0,75, cos p= 0,74;
5)tga=2,l, tgp=2,5; 6)tga = p tgp=^
У прямоугольного треугольника ABC угол Л больше угла В. Какой из катетов больше: АС или ВС?
У прямоугольного треугольника АВС катет ВС больше катета АС. Какой угол больше: А или В?
У равнобедренного треугольника стороны равны 3 м и 7 м. Какая из них является основанием?
Докажите, что расстояние между любыми двумя течками, взятыми на сторонах треугольника, не больше наибольшей из его сторон.
Докажите, что точки Л, В, С лежат на одной прямей, если 1) АВ = 5 м, ВС = 7 м, АС = 12 м; 2) АВ =• = 10,7, ВС = 17,1, АС = 6,4.
Может ли у параллелограмма со сторонами 4 см и 7 см одна из диагоналей быть равной 2 см?
В треугольнике одна сторона равна 1,9 м, а другая 0,7 м. Найдите третью стирону, зная, что ее длина равна целому числу мэтров.
Докажите, что медиана треугольника АВС, проведенная из вершины А, меньше полусуммы сторон АВ и АС.
Докажите, что сумма высот треугольника меньшэ его периметра.
Известно, что диагонали четырехугольника пересекаются. Докажите, что сумма их длин меньше периметра, но больше полуперчметра четырехугольника.
Даны четыре точки: А, В, С, D. Известно, что отрезки АВ и CD пересекаются. Найдите точку, сумма расстояний от которой до точек А, В, С, D наименьшая.
Могут ли стороны треугольника быть пропорциональными числам 1, 2, 3?
Докажите, что в треугольнике каждая сторона меньше половины периметра.
Докажите, что любая хорда окружности не больше диаметра и разна ему только тогда, когда сама является диаметром.
Внутри окружности радиуса Н взята точка на расстоянии d от центра. Найдите наибольшее и наименьшее расстояния от стой точки до точек окружности.
Вне окружности радиуса R взята точка на расстоянии d от центра. Найдите наибольшее и наименьшее расстояния от этой точки до точек окружности.
Могут ли пересекаться окружности, центры которых находятся на расстояния 20 см, а радиусы 8 см и 11 см? Объясните ответ.
Могут ли пересекаться окружности, центры которых находятся на расстоянии 5 см, а радиусы 6 см и 12 см? Объясните ответ.
Докажите, что в задаче 73 окружности находятся одна вне другой, а в задаче 74 окружность радиуса 6 см находится внутри окружности радиуса 12 см.
Могут ли пересекаться окружности с радиусами RL и Ra и расстоянием между центрами d, если Rv + R2 < d?
ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ
ВВЕДЕНИЕ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ
Проведем на плоскости через точку О две взаимно перпендикулярные прямые х и у — оси координат (рис. 124). Ось х (она обычно горизонтальна) называется осью абсцисс, а ось у — осью ординат. Точкой пересечения О — началом коор-
У
11 (-,+)
1
(+,+)
О
X
III
IV
(-,-)
(+,-)
Рис. 12G
динат — каждая из осей разбивается на две полуоси. Условимся одну из них называть положительной, отмечая ее стрелкой, а другую отрицательной.
Каждой точке А плоскости мы сопоставим пару чисел — координаты точки — абсциссу (х) и ординату (у) по такому
правилу.
Через точку А проведем прямую, параллельную оси'орди- нат (рис. 125). Она пересечет ось абсцисс х в некоторой точке Ах. Абсциссой точки А мы будем называть число х, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до Ал. Это число будет положительным, если Ах принадлежит положительной полуоси, отрицательным, если А, принадлежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси ординат у, то полагаем х равным нулю.
Ордината (у) точки А определяется аналогично. Через точку А проведем прямую, параллельную оси абсцисс х (см. рис. 125). Она пересечет ось ординат у в некоторой точке Ау. Ординатой точки А мы будем называть число у, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до Ау. Это число будет положительным, если Ау принадлежит положительной полуоси, отрицательным, если Ау принадлежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси абсцисс х, то полагаем у равным нулю.
Координаты точки будем записывать в скобках рядом с буквенным обозначением точки, например: А (х, у) (на первом месте — абсцисса, на втором — ордината).
Оси координат разбивают плоскость на четыре части — четверти — I, II, III, IV (рис. 126). В пределах одной четверти знаки обеих координат сохраняются и имеют значения, указанные на рисунке.
Точки оси х (оси абсцисс) имеют равные нулю ординаты (у = 0), а точки оси у (оси ординат) имеют равные ну-
лю абсциссы (х = 0). У начала координат абсцисса и ордината равны нулю.
Плоскость, на которой введены описанным выше способом координаты х и у, будем называть плоскостью ху. Произвольную точку на этол плоскости с координатами х и у будем иногда обозначать просто (х, у).
Введенные на плоскости координаты х, у называются декартовыми, по имени французского ученого Р. Декарта (1596—1650), который впервые применил их в своих исследованиях.
Задача (9). Даны точки а (—3, 2) и В (4, 1). Докажите, что отрезок АВ пересекает ось у, но не пересекает ось х.
Решение. Ось у разбивает плоскость ху на две полуплоскости. В одной полуплоскости абсциссы точек положи- гэльны, а в другой отрицательны. Так как у точек А и В абсциссы противоположных знаков, то точки А и В лежат в разных полуплоскостях. А это значит, что отрезок АВ пересекает ось у.
Ось х также разбивает плоскость ху на две полуплоскости. В одной полуплоскости ординаты точек положительны, а в другой — отрицательны. У точек А и В ординаты одного знака (положительны). Значит, точки А и В лежат в одной полуплоскости. А следовательно, отрезок АЗ не пересекается с осью х.
КООРДИНАТЫ СЕРЕДИНЫ ОТРЕЗЧА
точки С. Допустим,точки С. Допустим,Пусть А (хи уу) и В (х2, у2) — две произвольные точки и С (х, у) — середина отрезка АВ. Найдем координаты х, у
точки С. Допустим,
точки С. Допустим,
что отрезок АВ не параллелен оси у, т. е. X! =^ х2. Проведем через точки А, В, С прямые, параллельные оси у (рис. 127). Они пересекут ось х в точках Аг (хо 0), By (х2, 0), Су (х, 0). По теореме Фалеса точка Су будет серединой отрезка А1В1.
Так как точка Су — середина отрезка А Ву, то АуСу= ВуСу, а значит, |х— xj = |х — х2|. Отсюда следует.
что либо х — xL = х — xz, либо х — xt = —(.г — kJ. Пер • вое равенство невозможно, так как хк ^ х2. Поэтому верно второе. А из него получается формула
х = Xt + Xa
2"
Если X! = ха, т. е. отрезок АВ параллелен оси у, то все три точки Alf Blt CL имеют одну и ту же абсциссу. Значит, формула остается верной и в этим случае.
Ордината точки С находится аналогично. Через точки А, В, С проводятся прямые, параллельные оси х. Получается формула
92"
Задача (17). Даны три вершины параллелограмма ABCD: А (1, 0), В (2, 3), С (3, 2). Найдите координаты четвертой вершины (О) и точки пересечения диагоналей.
Решение. Точка пересечения диагоналей является серединой каждой из них. Поэтому она является серединой отрезка АС, а значит, имеет координаты
1+3 о0+2-
х = —— =2,у = —— = 1.
22
Теперь, зная координаты точки пересечения диагоналей, находим координаты х, у четвертой вершины D. Пользуясь тем, что точка пересечения диагоналей является серединой отрез ка BD, имеем:
2 -|-х g 3 +у _ ।
2*2"
Отсюда х = 2, у = —1.
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ
Пусть на плоскости ху даны дне точки: Aj с коорд’шатами хп у! и Аа с координатами хг, уа. Выразим расстояние между точками Aj и А2 через координаты этих точек.
Допустим, что х^ =+ х2 и у^ у2. Проведем через точки At и Аг прямые, параллельные осям координат, и обозначим через А точку их пересечения (рис. 128). Расстояние между точками А и Ay равно |уг — у-г!. а расстояние между точками
97974 А. В. Погорелое
97
97
верней и в другихверней и в другихА и Аа равно )Хл — х2|. Применяя к прямоугольному треугольнику AALA2 теорему Пифагора, получим:
верней и в других
верней и в других
(Г- = (Х[ _ ZJ2 + (Ух — Уг)\ (*) где d — расстояние между точками А, и А2.
Хотя формула (♦) для расстояния между точками выведена нами в предположении Ху#=хг, Уу¥=У2» она остается случаях. Действительно, если хх = х^
У1 ^ У21 то d равно fуг — у2\. Тот же результат дает и формула (*). Аналогично рассматривается случай, когда х, #=
5^ха, yY = у2. При xY = х2, yY = уг точки Ау и А2 совпадают
и формула (*) дает d = 0.
Задача (27). Найдите на оси х точку, равноудаленную от точек (1, 2) и (2, 3).
Решение. Пусть (х, 0) — искомая точка. Приравни
вая расстояния от нее до данных точек, получим:
(х — I)2 + (0 — 2)2 = (х — 2)2 т (0 — З)2.
Отсюда находим: х = 4. Таким образом, искомая точка есть (4, 0).
УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ
Уравнением фигуры на плоскости в декартовых координатах называется уравнение с двумя неизвестными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры. И обратно, любые два числа, удовлетворяющие этому урав-
нению, являютсянению, являютсякоординатеми некоторой точки фигуры.
нению, являются
нению, являются
Составим уравнение окружности с центром в точки Ао (с, 6) и радиусом R (рис. 129). Возьмем произвольную точку А (х, у) на окружности. Расстояние от нее до центра Ао равно R. Квадрат расстояния от точки А до Ло равен (х — о)2 + (у — 6)2. Таким образом, координаты х, у каждой точки А окружности удовлетворяют уравнению
(х - аУ + (у — ЪУ = R2.
Обратно: любая точка А, координаты которой удовлетворяют уравнению (*), принадлежит окружности, так как расстояние от нее до точки А равно R. Отсюда следует, ч^о уравнение (*) действительно является уравнением окружности с центром Ло и радиусом R.
Заметим, что если центром окружности является начало координат, то уравнение окружности имеет вид:
ж2 + у2 = R1.
Задача (33). При каком условии окружности с радиусами а и b и расстоянием между центрами с пересекаются?
Решение. Пусть О и Ох — центры окружностей. Примем точку О за начало декартовой системы координат, а полупрямую ОО- — за положительную полуось х. Уравнениями окружностей будут:
х2 + У2 = а2, (х — с)2 + у2 = Ь2.(**)
Если окружности пересекаются, то координаты х, у тачки пересечения удовлетворяют с согни уравнениям (**). И обратно, если система уравнений (**) имеет решение, т. е. существуют х и у, удовлетворяющие обоим уравнениям, то они являются координатами точки пересечения окружностей. Число точек пересечения, если кружности пересекаются, равно числу решений системы.
Будем решать систему уравнений (**). Для этого сначала вычтем уравнения почленно. Получи?;: 2сх — с2 = а2 — Ь2.
Ог^-С» — Ъг —
Отсюда х = ——. Подставляя это значение х в первое
уравнение, получим:
ОтсюдаОтсюда\ 2с )\ 2с )
Отсюда
Отсюда
\ 2с )
\ 2с )
Преобразуем правую часть равенства как разность квадратов.
Получим:Получим:= — (2ас 4- а2 + с2 — У2) (2ас — а2 — с3 + 62) == — (2ас 4- а2 + с2 — У2) (2ас — а2 — с3 + 62) =4»4»•7•7
Получим:
Получим:
= — (2ас 4- а2 + с2 — У2) (2ас — а2 — с3 + 62) =
= — (2ас 4- а2 + с2 — У2) (2ас — а2 — с3 + 62) =
4»
4»
•7
•7
Fnc. ISOFnc. ISOb+c=ab+c=aFnc. 131Fnc. 131
Fnc. ISO
Fnc. ISO
b+c=a
b+c=a
Fnc. 131
Fnc. 131
= Л ^O + C^ - ^ ^ ~ <° ^ =
= ^ (« + b + c) (a + e — b) (6 + a — c) (b — a 4- e).
Итак,
У1 = (a + b + c) (a + c — b) (a + b — c) (b + c — a).
Отсюда видно, что если а + с > b, а + b >сиЬ+с>а, то правая часть равенства положительна и, следовательно, система (**) имеет решения. Причем таких решений будет два. Соответственно окружности пересекаются в двух точках (рис. 130).
Если хотя бы один из сомножителей a + с — b, а + b — с, b + с — а равен нулю, то система (**) имеет одно решение. Окружности касаются (рис. 131).
Если один из сомножителей в правей части отрицателен, то система (**) не имеет решений и окружности не пересекаются (рис. 132). Два сомнож ятеля не могут быть отрицательными, так как тогда их сумма отрицательна. А она заведомо положительна. Например, если a + с — b < 0 и a 4* b — с < 0, то их сумма (п + с — Ь)+ (о 4-6 — с) = 2a < 0. А это невозможно. Точно так же будет и в других случаях.
Таким образом, если одно из чисел а, Ъ, с больше суммы двух других, то окружности не пересекаются; если одно из етих чисел равно сумме двух других, то окружности касаются; если каждое из этих чисел меньше суммы двух других, то окружности пересекаются в двух точках.
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
Докажем, что любая прямая в декаотэвых координатах х, у имеет уравнение зида
ах + by + с =- 0.(*)
Пусть h — произвольная прямая на плоскости ху. Про- вэдзм какую-нибудь прямую, перпендикулярную прямой h, и отложим на ней от точки пересечения С с прямой h равные отрезки CAV и СА» (рис. 133).
Пусть av, bY — координаты точки Лг и а2, Ъ2 — координаты точки Аа. Как мы знаем, любая точка А (х, у) прямой h равноудалена от точек Ay и А2. Поэтому координаты ее удовлетворяют уравнению
(х — aj2 + (у — ЬгУ = (х — а2)2 + (у — Ь^(**)
Обратно, если координаты х и у какой-нибудь точки удовлетворяют уравнению (**), то эта точка равноудалена от точек At и Л 2, а значит, принадлежит прямой h. Таким образом, уравнение (**) является уравнением прямой h. Если в этом уравнении раскрыть скобки и перенести все члены уравнения в левую его часть, то оно примет вид (*):
2 (а2 — а^х + 2 (Ь2 — b^y + (а? + bl — а2 — bl) = 0. Утверждение доказано.
прямой, котораяпрямой, котораяЗадача (47). Составьте уравнение проходит через точки А (—1, 1), В (1, 0).
прямой, которая
прямой, которая
Решение. Как мы знаем, наша прямая имеет уравнение вида ах +&у + 4- с = 0. Точки Л и В л ежат на прямой, а значит, их координаты удовлетворяют этому уравнению. Подставляя координаты точек Л и В в уравнение прямой, получим:
—а + Ъ + с = 0, а + с — 0.
Из этих уравнений можно выразить два коэффициента, например а и Ь, черев третий: а = —с, b = —2с. Подставляя эти значения а и Ъ в уравнение прямой, получим:
—сх — 2су + с = О.
На с можно сократить. Тогда получим:
—х — 2z/ + 1 - 0.
Это и сеть уравнение нашей прямой.
РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ ОТНОСИТЕЛЬНО СИСТЕМЫКООРДИНДТ
Выясним, как расположена прямая относительно осей координат, если ее уравнение ах + by + с = 0 имеет тот или иной частный вид.
а = 0, b ф 0. В этом случае уравнение прямой можно переписать так:
с
У = -Т
Так;ди образом, все точки прямой имеют одну и ту же орди
натунатус\
нату
нату
— г, следовательно, прямая параллельна оси х ь 1
(рис. 134, а). В частности, если и с = 0, то прямая совладает
с осью X.
b = 0, а =/= 0. Этот случай рассматривается авалегич- но. Прямая параллельна оси у (рис. 134, б) и совпадает с ней, если и с = 0.
3. с = 0. Прямая проходит через начало координат, так как его координаты (0, 0) удовлетворяют уравнению прямой (рис. 134, в).3. с = 0. Прямая проходит через начало координат, так как его координаты (0, 0) удовлетворяют уравнению прямой (рис. 134, в).
3. с = 0. Прямая проходит через начало координат, так как его координаты (0, 0) удовлетворяют уравнению прямой (рис. 134, в).
3. с = 0. Прямая проходит через начало координат, так как его координаты (0, 0) удовлетворяют уравнению прямой (рис. 134, в).
фициент при у не равен нулю, то это уравнение можно разрешить относительно у. Получим:
съ'съ'
с
ъ'
с
ъ'
с= 9, получи!":с= 9, получи!":
с
= 9, получи!":
с
= 9, получи!":
Или, обозначая — — — к, ь
у = kx + q.
Выясним геометрический смысл коэффициента к в этом уравнении. Возьмем две точки на прямой Л (Хц уО, В(х2, у^ (хх < xj). Их координаты удовлетворяют уравнению прямой:
У1 = kxY + q,ya = кхе + q.
Вычитая эти равенства почленно, получим: у.2 — yv =* = к (л-, — Xj). Отсюда
6=Ы.
^2—*!
В случае, представленном на рисунке 135; а, ——— = tga.
—Ж1
В случае, представленном на рисунке 135, б, ■ :—— =—tga.
Таким образом, коэффициент к в уравнении прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью х.
Коэффициент к в уравнении прямой называется угловым коэффициентом прямой.
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРРМОЙ С ОКРУЖНОСТЬЮ
Рассмотрим вопрос о пересечении прямой с окружностью. Пусть R — радиус окружности и d — расстояние от центра окружности до прямой. Примем центр окружности за начало координат, а прямую, перпендикулярную к данной, — за ось х (рис. 136). Тогда уравнением окружности будет х2 + у2 = R2, а уравнением прямой х = d. Для того чтобы прямая и окружность пересекались, надо, чтобы система дьух уравнений
х2 + у2 = R-, х = d
имела решение. И обратно, всякое решение этой системы дает координаты х, у точки пересечения прямой с окружностью. Решая нашу систему, получим:
х = d, у = ± /Л2 — d2.
Из выражения для у видно, что система имеет два решения, т. е. окружность и прямая имеют Эве точки пересечения, если R >4 (рис. 136, а). Система имеет одно решение (прямая и окружность касаются, рис. 136, б), если R = d. Система не имеет решения, т. е. прямая и окружность не пересекаются, если R < d (рис. 136, в).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА ДЛЯ ЛЮБОГОУГЛА ОТ 0° ДО 180°
До сих пор значения синуса, косинуса и тангенса были определены только для острых углов. Т еперь мы определим их для любого угла от 0° до 180°. Возьмем окружность на
Рис. 136
плоскости ху с центром в начале координат и радиусом R (рис. 137). Пусть а — острый угол, который образует радиус ОА с положительной полуосью х. Пусть х и у — координаты точки А. Значения sin a, cos а и tg а для острого угла а выражаются через координаты течки А, а именно:
cosa = — , sina = -, iga = —.
RR*
Определим теперь значения sin a, cos a и tg a этими фор мулами для любого угла а. (Для tg а угсл а = 90° исключается.) Кри таком определении sin 99'=1, cos 90е = 0, sin 18G° = 0, cos 180°= —1. Считая, что совпадающие лучи образуют угол 0 , будем иметь: sin 0° — 0, cos 0G = 1, tg 0° = О.
Теорема 8.1. Для любого угла а, 0е < а < 180°, sin (180° — а) = sin а, cos (180 — а) = — cos а. Для угла а ^ =^ 90 tg (180° — а) = — tg а.
Рис. 187Рис. 187Рис. 1?8Рис. 1?8Доказательство. Треугольники САВ и САхВг равны по гипотенузе и острому углу (рис. 138). Из равенства
Рис. 187
Рис. 187
Рис. 1?8
Рис. 1?8
треугольников следует, что АВ = AiBls т. е. у = уг, ОБ =* = OBv, следовательно, х = —д^. Поэтому
cos (180' — a) = -j-cos (180' — a) = -j-—- = — cos a. R—- = — cos a. Rsin (180° — a^ = д = я = s™ “'
cos (180' — a) = -j-
cos (180' — a) = -j-
—- = — cos a. R
—- = — cos a. R
Разделив почленно равенство sin (180° — a) = sin ct на равенство cos (180е — a) = —cos a, получаем: tg (18G° — a) = =; —tg a. Теорема доказана.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Объясните, как определяются координаты точки.
Какие знаки у координат точки, если она принадлежит первой (второй, третьей, четвертой) четверти?
Чему равны абсциссы точек, лежаших на оси ординат?
Чему равны ординаты точек, лежащих на оси абсцисс? Чему равны координаты начала координат?
Выведите формулы для координат середины отрезка.
Выведите формулу для расстояния между точками.
Что такое уравнение фигуры в декартовых координатах?
Выведите уравнение окружности.
Докажите, что прямая в декартовых координатах имеет уравнение вида ах + by + с = О.
Как расположена прямая, если в ее уравнении ах + + by + с — О коэффициент о = 0 (коэффициент Ь=0, коэффициент с = О)?
Какой геометрический смысл имеет коэффициент h в уравнении прямой у = kx + е?
При каком условии прямая и окружность не пересекаются, пересекаются в двух точках, касаются?
Дайте определение синуса, косинуса и тангенса для любого угла от 0° до 180°.
Докажите, что для любого угла а, 0° < а < 180°, sin (180° — а) = sin а, cos (180° — а) =; —cos а, tg (180° — а) = —tg а.
УПРАЖНЕНИЯ
Проведите оси координат, выберите единицу длины на осях, постройте точки с координатами: (1, 2), (—2, 1), (-1, -3), (2, -1).
Возьмите наудачу четыре точки на плоскости ху. Найдите координаты этих точек.
На прямой, параллельной оси х, взяты две точки. У одной из них ордината у = 2. Чему равна ордината другой точки?
На прямой, перпендикулярной оси х, взяты две точки. У одной из них абсцисса х = 3. Чему равна абсцисса другой точки?
Из точки А (2, 3) опущен перпендикуляр на ось х. Найдите координаты основания перпендикуляра.
Через точку А (2, 3) проведена прямая, параллельная оси х. Найдите координаты точки пересечения ее с осью у.
Найдите геометрическое место точек плоскости ху, для которых абсцисса х = 3.
Найдите геометрическое место точек плоскости ху, для которых |х| = 3.
Даны точки А (—3, 2) и В (4, 1). Докажите, что отрезок АВ пересекает ось у, но не пересекает ось х.
Какую из полуосей оси у (положительную или отрицательную) пересекает отрезок АВ в предыдущей задаче?
Найдите расстояние от точки (—3,4) до: 1) оси х; 2) оси у.
Найдите расстояние от точки (—3, 4) до начала координат.
На биссектрисе первой четверти взята точка с ординатой у = 2. Чему равна абсцисса этой точки?
Решите предыдущую задачу, если точка находится на биссектрисе второй четверти.
Найдите геометрическое месте точек плоскости ху, для которых X = у.
Найдите гесметрическсе место точек плоскости ху, для которых X = —у.
Даны три вершины параллелограмма ABCD : А (1, 0), В (2, 3), С (3, 2). Найдите координаты четвертой вершины D и точки пересечения диагоналей.
Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках А (—1, —2), В (2, —5), С(1, —2), В (—2,1) является параллелограммом. Найдите точку пересечения его диагоналей.
Найдите координаты середины отрезка с концами (2, С) и (О, 2).
Даны один конец отрезка (1, 1) и его середина (2, 2). Найдите второй конец отрезка.
Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках А (4, 1), В (0, 4), С(—3, О), D (1, —3) является квадратом.
Докажите, что четыре точки (1, О), (—1, 0), (О, 1), (О, —1) являются вершинами квадпата.
Найдите расстояние меж; у течками: 1) (1, О) и (3, 0); 2) (1, 0) и (—3, О).
Докажите, что расстояние между точками (х,, О) и (х2, 0) оси х при любых Xj и хг определяется по формуле d = | х2 — Xj |.
Даны три точки; А (4, —2); В (1, 2); С (—2, 6). Найдите расстояния между этими точками, взятыми попарно.
Докажите, что точки А, В, С в задаче 25 лежат на одной прямой. Какая из них лежит между / вумя другими?
Найдите на оси х точку, равноудаленную от точек (1, 2) и (2, 8).
Найдите точку, равноудаленную от осей координат и от точки (3, 6).
Какие из точек (1, 2), (3, 4), (—4, 3), (0, 5), (5, —1) лежат на окружности, заданной уравнением х2 + у2 =25?
Найдите на окружности, заданной уравнением х2 + у2 = = 169, точки: 1) с абсциссой 5; 2) с ординатой —12.
Даны точки А (2, 0) и В (—2, 6). Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок АВ.
Даны точки А (—1, —1) и С (—4, 3). Составьте урав- не:1ие окружности с центром в точке С, проходящей через точку A. .
При каком условии окружности с радиусами а и b и расстоянием с между центрами пересекаются?
Докажите, что если каждое из трех положительных чисел а, Ь, с меньше суммы двух других, то существует треугольник со сторонами, равными а, Ъ, с.
Можно ли построить треугольник со сторонами:
а = 1 см, Ъ = 2 см, с = 3 см; 2) а = 2 см, Ъ = 3 см, с = 4 см; 3) а = 3 см, & = 7 см, с = 11 см; 4) а = = 4 см, Ь = 5 см, с = 9 см?
Найдите центр окружности на оси х, если известно, что окружность проходит через точку (1, 4) и радиус окружности равен 5.
Найдите координаты точек пересечения окружности х + у2 — 8х — 8у + 7 = 0 с осью х
Найдите координаты точек пересечения двух окружностей:
х2 + у2 + 8х — 8у — 8 = О, х2 + у2 — 8х 4- 8у — 8=0.
Составьте уравнение окружности с центром в точке (1, 2), касающейся оси х.
Составьте уравнение окружности с центром (—3, 4), проходящей через начало координат.
Докажите, что окружность х2 + У2 + 2ах + 1 — 0 не пересекается с осью у.
Докажите, что окружность х2 + у2 + 2ах = 0 касается оси у.
Составьте уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух данных точек (0, 1) и (1, 2).
Найдите точки пересечения с осями координат прямой, заданной уравнением: 1) х + 2у + 3 = 0; 2) Зх + 4у = = 12; 3) Зх — 2у + 6 = 0; 4) 4х — 2у — 10 = 0.
Найдите на прямой, заданной уравнением Зх + 4у = 1, точку с абсциссой х = —1; точку с ординатой у = —2.
Найдите точку пересечения прямых, заданных уравнениями:
4х 4- 5у 4- 6 = 0;
2т + у — 8=0;
4х — 2у — 6 = 0.
Составьте уравнение прямой, которая проходит через точки А (—1, 1), В (1, 0).
Составьте уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами: 1) (2, 3) и (3, 2); 2) (4, —1) и (—6, 2); 3) (5, —3) и (—1, —2).
Чему равны коэффициенты а и b в уравнении прямой ах т- by = 1, если известно, что она проходит через точки (1, 2) и (2, 1)?
Чему равен коэффициент с в уравнении прямой х + у + с = 0, если она проходит через точку (1, 2)?
При каком значении с прямая х + у + е = 0 касается окружности Ха + у2 = 1?
Докажите, что три прямые х + 2у = 3, 2х — у = 1 и Зх + у = 4 пересекаются в одной точке.
Докажите, что прямые х + 2у = 3 и 2х + 4у = 3 не пересекаются.
Составьте уравнение прямой, зная, чти она параллельна оси х и проходит через точку (2, 3).
Составьте уравнение прямой, зная, что она прсхсдит через начало координат и точку (2, 3).
Найдите синус, косинус и тангенс углов 120°, 135°, 150°.
Пользуясь таблицами, найдите: 1) sin 160', 2) cos 140°, 3) tg 130°.
Пользуясь таблицами, найдите значения синуса, косинуса и тангенса углов: 1) 40е; 2) 14°36'; 3) 70и20'; 4) 8016'; 5) 145е; 6) 150с30'; 7) 150°33'; 8) 170°28'.
Пользуясь таблицами, найдите углы, для которых:
1} sin и, = 0,2, 2) cos а2 = —0,7, 3) tg а3 = —0,4.
69. Найдите значения sin а и tg се, если: 1) cos а — у ;
cos а = —0,5; 3) cos а = у^; 4) cos а = — ^3 . 61. Найдите значения cos а и tg а, если: 1) sin а = 0,6,
0е < а < 90 ; 2) sin а = 1, 90° < а < 180 ; 3) sin а =>
= Д=, 0° < а < 180°.
62.63.64.65.66.62.63.64.65.66.V26
62.
63.
64.
65.
66.
62.
63.
64.
65.
66.
Известно, что tg а = — —. Найдите sin а и cos а.
Постройте угол а, если известно, что sin а = - .
5'5'Постройте угол а, если известие, что cos а
5'
5'
Докажите, что если cos а = cos р, то а = р. Докажите, что если sin а = sin р, то либо а = р, либо а = 186° — р.
§ 9. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР
ПРИМЕРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФИГУР
Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной. Приведем несколько примеров.
X*Рис, 141X*Рис, 141Рис. 143Рис. 143
X*
Рис, 141
X*
Рис, 141
Рис. 143
Рис. 143
Первый пример. Пусть О — фиксированная точка и X — произвольная точка плоскости (рис. 139). Отложим на продолжении отрезка ОХ за точку О отрезок ОХ', равный ОХ. Точка X’ называется симметричной точке X относительно точки О. Точка, симметричная точке О, есть сама точка О. Очевидно, что точка, симметричная точке X', есть точка X•
Преобразование фигуры F в фигуру F', при котором каждая се точка X переходит в точку X', симметричную относительно данной точки О, называется преобразованием симметрии относительно точки О. При этом фигуры F и F' называются симметричными относительно точки О (рис. 140).
Если преобразование симметрии относительно точки О переводит фигуру F в себя, то она называется центрально-симметричной, а точка О называется центром симметрии. Например, параллелограмм является центрально- симметричной фигурой. Его центром симметрии является точка пересечения диагоналей (рис. 141).
Второй пример. Пусть g — фиксированная прямая (рис. 142). Возьмем произвольную точку X и опустим перпендикуляр XX на прямую g. На
продолжении этого перпендикуляра за точку X отложим отрезок XX', равный отрезку XX. Точка X* называется симметричной точке X относительно прямой g. Если точка X лежит на прямой g, то симметричная ей точка есть сама точка X. Очевидно, что точка, симметричная точке X’, есть точка X.
не
Рис. 146Рис. 146
Рис. 146
Рис. 146
Преобраз<ьание фигуры Б в фигуру р1, при котором каждая ее точка X переходит в точку X', симметричную относительно данней прямой 8, называется преобразованием симметрии относительно прямой 8. При этом фигуры Б и Б' называются симметричными относительно прямой 8 (рис. 143).
Если преобразование симметрии относительно прямой g переводит фигуру Б в себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямой 8, а прямая 8 называется осью симметрии фигуры. Например, прямые, проходящие через течку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются осями симметрии прямоугольника (рис. 144). Прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии (рис.145).
Задача (6). Докажите, что прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии.
Решение. Пусть О — центр окружности и а — прямая, преходящая через точку О (рис. 146). Очевидно, преобразованье симметрии относительно прямой а переводит точку С окружности в точку С', а тезку О оставляет на месте. Возьмем произвольную точку X на окружности и построим точку X , в которую переходит точка X при симметрии относительно прямой а.
Треугольники ОАХ и ОАХ' равны по первому признаку. У них углы при вершине А прямые, сторона ОА общая, а стороны А.X и АХ' равны по определению симметрии. Из равенства треугольников следует равенство сторон
ОХ и OX', т. e. точка X' лежит на окружности. А это значит, что окружность при симметрии относительно прямой а переходит в себя. Значит, а есть ось симметрии окружности.
Третий пример. Пусть F — данная фигура и О — фик- спр званная точка (рис. 147). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ', равный к • ОХ, где й — положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в точку X', построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число А называется коэффициентом гомотетии. Фигуры F и F' называются го- мотгтичными.
ДВИЖЕНИЕ
Преобразование фигуры F в фигуру F' называется дви
жением, если оно сохраняет расстояние между точками, т. е. переводит любые две точки X и Y фигуры F в точки X’, Y’ фигуры F' так, что XY = X'Y'.
Теорема 9.1. Преобразование симметрии относительно точки является движением,
Доказательство. Пусть X и У — две произвольные точки фигуры F (рис. 148). Преобразование симметрии относительно точки О переводит их в точки X' is. Y'. Рассмотрим треугольники XOY и X'OY'. Эти треугольники
равны по первому признаку равенства треугольников. У них углы при вершине О равны как вертикальные, а ОХ = ОХ', OY = OY' по определению симметрии относительно точки О. Из равенства треугольников следует равенство сторон XY = = X'Y'. А это значит, что симметрия относительно точки О есть движение. Теорема доказана.
Теорема 9.2. Преобразование симметрии относительно прямой является движением.
Доказательство. Примем дачную прямую за ось у декартовой системы координат (рис. 149). Пусть произвольная точка X (х, у) фигуры F переходит в точку X" (V, у') фигуры F*.
Из определения симметрии относительно прямой следует, что у точек X и X' равные ординаты, а абсциссы отличаются только знаком: х' = —х.
Возьмем две произ зольные точки Ху (х,, Ух) и Хг (х2, у2). Оли перейдут в точки Xi (—хи уу) и Хг (—х2, у^.
Имеем:
ХуХ?. = (х2 - Ху? + (у, - У1)3,XX? = (—х2 + xj2 + (у2 — уДч
Отсюда видно, что ХуХ2 = Х1Х2. А это значит, что преобразование симметрии относительно прямой есть движение. Теорема доказана.
Поворотом около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из згой точки.
поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении (по часовой стрелке или против часовой стрелки) (рис. 150).
Задача (14). Постройте равносторонний треугольник, у которого одна вершина задана, а две другие вершины лежат на двух данных прямых.
Р е ш е н и е. Пусть О АВ — искомый треугольник, у которого верши
на О задана, а вершины А и В лежат
на данных прямых ана данных прямых аи b (рис. 151). Выполним поворот прямой b около точки О на 60°. При этом она перейдет в прямую 6', проходящую через точку А. Таким образом, чтобы найти вершину А, достаточно построить прямую Ь’. Вершина А будет точкой пересечения прчмых а и 6'.
на данных прямых а
на данных прямых а
Дия построения прямой 6' достаточно взять любые две точки прямой Ъ и построить точки, в которые они переходят при повороте. Прямая 6' будет проходить через эти точки.
Построив вершину А, строим вершину В. Она совпадает с точкой пересечения серединного перпендикуляра к отрезку ОА и прямой Ь. Соединяя точки О, А, В отрезками, полу
чаем искомый треугольник.
СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ
Теорема 9. 3. При движении точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие" на пряхой, и сохраняется порядок их взаимного расположения*
Это значит, что если точки А, В, С, лежащие на прямей, переходят в точки Ах, Вх, Сх, то этч точки также лежат на прямой; если точка В лежит между точками А и С, то точка Вх лежит между точками Ах и Сх.
Доказательство. Пусть точка В лежит между точками А и С. Если точки Ах, Вх, Сх не лежат на прямой, то они являются вершинами треугольника.
Поэтому АХСХ < ^^ + ВХСХ. По определению движения отсюда следует, что АС < АВ + ВС. Однако по свойству измерения отрезков АС = АВ + ВС.
Мы пришли к противоречию. Первое утверждение теоремы доказано.
Покажем теперь, что точка Вх лежит между Ах и Сх. Дс- пустим, что Ах лежит между Вх и Сх. Тогда АХВХ + АХСХ = = ВХСХ и, следовательно, АВ + АС — ЕС. Но это противоречит равенству АВ + ВС = АС. Таким образом, течка А, не м^жет лежать между Bv и Сх. Аналогично доказывается, что течка Сх не может лежать между Ах и Вх. Так как. из трех точек А, Вх, Сх одна лежит между двумя другими, то этой точкой может быть только Вх. Теорема доказана полностью.
Из теоремы 9.3 следует, что при движении прямые переходят в прямые, полупрямые — е полупрямые, отрезки — в отрезки.
Поясним это на поимере отрезка. Пусть АВ — данный отрезок. При движении точки А и В переходят в некоторые
X* А*X* А*Рис. 152Рис. 152точку X' отрезка А" В'.точку X' отрезка А" В'.Для всякойДля всякойточки А* и В' (рис. 152). Покажем, что отрезок АБ переходит в отрезок А'Б . Возьмем произвольную точку X на отрезке АВ. Она переходит в некоторую точку X’ прямой А' В', лежащую между точками А* и В' (теорема 9.3), т. е. точка X отрезка АВ переходит в
X* А*
X* А*
Рис. 152
Рис. 152
точку X' отрезка А" В'.
точку X' отрезка А" В'.
Для всякой
Для всякой
ли точки X' отрезка А'В* найдется точка X отрезка АВ, которая при нашем движении переходит в точку X'? Да, для всякой точки. Если взять такую точку X на отрезке АВ, что АХ = А* X", то она как раз и переходит в точку X*.
Пусть АВ и АС — две полупрямые, исходящие из точки А, не лежащие на одной прямой (рис. 153). При двия.ении эти полупрямые переходят в некоторые полупрямые Л1В1 я ЛД. Так как движение сохраняет расстояния, то треугольники АВС и А^Е^Сх равны по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует равенство углов ВАС и ВхАхСх. Следовательно, при движении сохра няются углы между полупрямыми.
Пусть фигура F переводится движением в фигуру F', а фигура F' переводится движением в фигуру F" (рис. 154). Пусть при первом движении точка X фигупы F переходит в точку X' фигуры F', а при втором движении точка X' фигуры F' переходит в точку X" фигуры F". Тогда преобразование фигуры F в фигуру F", при котором произвольная точка X фигуры F переходит в точку X" фигуры F", сохраняет расстояние между точкам, а значит, является также движением. Эго свойство движения выражают словами: два движения, выполненные последовательно, дают снова движение.
Пусть преобразование фигуры F в фигуру F' переводит 'различные точки фигуры F в различные точки фигуры F*. Пусть произвольная точка X фигуры F при этом преобразовании переходит в точку X’ фигуры F'. Преобразование фигуры F' в фигуру F, при котором точка X' переходит в точку X, называется преобразованием, обратгным данному. Движение сохраняет расстояние между точками,
поэюму перегодит различные точки в различные. Очевидно, преобразование, обратное движению, является также движением,.
РАВЕНСТВО ФИГУР
Фигуры F и F' называются равными, если они движением переводятся одна в другую.
Для обозначения равенстга фигур используется обычный знак равенства. Запись F = F’ означает, что фигура F равна F'. В записи равенства треугольников: А АВС = А А1В1С1— предполагается, что совмещаемые при движении вершины стоят на соответствующих местах. При таком условии равенство треугольников, определяемое через их совмещение движением, и равенство, как мы его понимали до сих пор, выражают одно и то же. Докажем ото.
Пусть треугольник АВС совмещается движением с тре- уголт ником АХВХСХ, причем вершина А переходит в вершину А, В — в Вх и С — вС]. Так как при движении сохраняются расстояния и углы, то для наших треугольников АВ = = А^, ВС = ВХСХ, АС = АХСХ, Z_A= Z_AV, Z_B=Z_BV, Z_C = Z_CX, т. e. треугольники равны в том смысле, кг к мы это понимали до сих пор.
угольникугольникАХВ2С2.АХВ2С2.Пусть теперь у треугольников АВС и А^^ АВ = АХВИ ВС = ВХСХ, АС = ЛС\, Z_A = Z_AX,Z_B = Z_BX, Z_C = = Z_CX. Докажем, что они совмещаются движением, причем вершина А переходит в вершину Ап В — в Вх и С — в Сх. Подвергнем треугольник АЕС преобразованию симметрии относительно прямой а, перпендикулярной к отрезку АА] и проходящей через его серед1:ну (рис. 155). Получим тре- Лодвергнем его симметрии относительно прямей 6, соединяющей точку Ах с серединой отрезка ВХВ2. Получим треугольник АХВХС3.
угольник
угольник
АХВ2С2.
АХВ2С2.
Если точки Cj и Сз лежат по одну сторону прямой АХЕХ, 7^i С,(С3} то они совпадают. Действителт - < / но, так как углы ВХАХСХ и ВХАХС3 равны, то лучи АХСХ и ^ АХС3 совпадают, а так как отрезки АХСХ и АХС3 равны, то
Рис. 1Ь5совпадают точки Сх и С3.
Таким образом, треугольник АВС движением п зреведен в треугольник А1В1С'1.
Если точки CY и С3 лежат по разные стороны прямэй AVBL, то надо еще применить симметрию относительно прямой А1В1.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ
Преобразование фигуры F в фигуру F* называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз (рис. 156). Это значит, что если произвольные течки X, У" фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки X', Y' фигуры F’, то X'Y' = й • XY, причем число й одно и то же для всех точек X, У. Число й называется коэффициентом подобия.
Теорема 9.4. Гомотетия есть преобразование подобия.
Доказательство. Пусть О — центр гомотетия и й — коэффициент гомотетии (рис. 157). Введем декартовы координаты х, у. приняв точку О за начало координат. Рассмотрим преобразование, при котором произвольная точка (х, у) переходит в точку (йх, йу). Мы утверждаем, что это и есть наша гомотетия.
А лежит наА лежит наПусть А (х„ у,) — произвольная точка фигуры. Она переходит в точку А' (йх^ ку^. Прямая ОА проходит через начало координат, а значит, имеет уравнение вида ах + by = 0. Ему удовлетворяют координаты точки А*, так как айХх + + Шух = й (ах, + ЬУ1) = 0. Значит, точка А' лежит на прямой ОА. А так как xL и йхп yL и йу, одного знака, то луче О А.
А лежит на
А лежит на
Имеем:
СЛ = ]/^+U, О А' -У^^ + ^х^У ^ + У^ Отсюда О А' = кОА. Следовательно, преобразование действительно является гомотетией относительно центра О с коэффициентом гомотетия к.
Возьмем теперь две произвольные точки А (хА, уО и В (г2, y.J. Они переходят в точки А' ^кхх, kl'i)« В' (kx2, ку^Й Имеем:
АВ2 = (х.2 — х^2 + (у2 — yj2,А'В'2 = <кх2 — кх^2 + ^ку2 — ку^ ==к2 [(х2 - х,)а + (у2 - yj2] = к2АВ2.
Отсюда А'В' = к АВ. А это и значит, что рассматриваемое преобразование есть преобразование подобия. Теорема доказана.
Так же, как и для движения, доказывается, что при преобразовании подобия три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, переходят в три точки Лп Вг, Со также лежащие на одной прямой. Причем, если точка В лежит между точками Л и С, то Вх лежит между точками Лх и Cv Отсюда следует, что преобразование подобая переводит прямые в прямые, ‘полупрямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки.
Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми. Действительно, пусть угол АВС преобразованием подобия с коэффициентом к переводите я в угол Л)ВХСХ (рис. 158). Подвергнем угол АВС преобразо- вг нию гомотетии относительно его вершины В с коэффициентом гомотетии к. При этом точки Л и С перейдут в точки Л2 и Cv Треугольники А2ВС2 и А^ВхС^ равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов А2ВСй и А-В-Сх. Значит, углы АВС и Л1В1С1 равны. Что и требовалось доказать.
Задача (36). Даны угол (ab) и внутри него точка А. Постройте окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку А.
Решение. Строим какую-нибудь окружность, каса- ющуюся сторон угла (рис. 159). Проводим прямую через вершину угла и точку А. Пусть В — точка пересечения этой прямой с построенной окружностью. Гомотетия относительно вершины угла, переводящая точку В в точку А, переводит построенную окружность в искомую.
ПОДОБИЕ ФИГУР
Две фигуры F и F' называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия. Для обозначения подобия фигур используется специальный значок: оэ. Запись F оз F' читается так: «Фигура F подобна фигуре F'». В записи подобия треугольников: А АВС оз ZxAyByCy — предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. А переходит в Alt В в Bv и С в Cv
Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, у подобных треугольников АВС и АхВхСх
^А = zLAu Z_B = ZBy, Z_C = Z_ C^
AB BC = AC
AyByB,CyAyCy
Признаки подобия треугольников дает следующая теорема:
Теорема 9. 5. Два треугольника подобны:
если два угла одного соответственно равны двум углам другого;
если две стороны одного пропорциональны двум сторонам" другого и углы, образованные этими сторонами, равны;
если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.
Доказательство. Пусть АВС и AyBvCx — два треугольника, для которых выполняется одно из условий: 1)£А = 44,£В»£В152>^М, ^ =
АВАС ВС1111
Л1В1Л1С1ВуСу
Докажем, что треугольники подобны. Пусть й = ——.
Подвег гнем треугольник A^jCj какому-нибудь преобразованию подобия с коэффициентом подобия й, например преобразованию гомотетии (рис. 160). При этом получим некоторый треугольник А2В,С2, рагкый треугольнику АВС. Действительно, в первом случае имеем:
Z_A = Z_AX = А. А2, А_ В = /_ Вх = А_ В2, А2В2 = кЛхЕх = АВ.
Треугольники АВС и А2ВВ2 равны по второму признаку
равенства треугольников.
Во втором случае
А_ А = А_А2, А4В, = АВ, А.С2 = АС.
Треугольники равны но первому признаку равенства треугольников.
В третьем случае
А2В.2 = АВ, В XL, = ВС, А2С2 = АС.
Треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников. Так как треугольник А2В2С2 равен треугольнику АВС, то он переводится в него движением. Значит, треугольник АХВХСХ переводится в треугольник АВС последовательным выполнением преобразования подобия и движения, а это есть преобразование подобия. Признаки подобия треугольников доказаны.
Задача (37). Херды АВ и CD окружности пересекаются в точке S. Докажите, что AS ■ BS = CS • DS.
Решение. Проведем прямую BD (рис. 161). Течки А и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой BD, именно в по луплоскости, где лежит точка S,
Рис. 161Рис. 161Значит, вписанные углы DCB и DAB равны. Таким же способом доказываем равенство вписанных углов АВС и ADC. Из равенства указанных углов следует, что треугольники ASD и CSB подобны (теорема 9.5) Из подобия треугольников следует пропорция
Рис. 161
Рис. 161
DS , AS
BS CS*
Отсюда AS ■ BS = CS • DS.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПСВТОГЕНИЯ
Объясните, какие точки называются симметричными относительно данной точки.
Какое преобразование называется симметрией сгноси- тельно данной точки?
Какая фигура называется центрально-симметричной?
Что такое центр симметрии фигуры? Приведите пример центрально-симметричной фигуры.
Какие точки называются симметричными относительно данной прямой?
Какое преобразование называется симметрией относительно данной прямой?
Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой?
Что такое ось симметрии фигуры? Приведите пример.
Какое преобразование называется гомотетией? Что такое центр гомотетии, коэффициент гомотетии?
Какое преобразование фигуры называется движение.!?
Докажите, что симметрия относительно точки есть движение.
Докажите, что симметрия относительно прямой есть движение.
Объясните, что такое поворот.
Докажите, что при движении точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.
Во что переходят прямые, полупрямые, отрезки при движении?
Докажите, что при движении сохраняются углы.
Какие фигуры называются равными?
Докажите, что отрезки равной длины и углы с равной градусной мерой совмещаются движением.
Что такое преобразование подобия?
Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия.
Докажите, что преобразование подобия сохраняет углы.
Какие фигуры называются подобными?
Сформулируйте и докажите признаки подобия треугольников.
УПРАЖНЕНИЯ
Постройте точки, симметричные точкам А (1, 1), В (2, 3), С (—3, 1), D (—2, 2), Е (—3, —4), F (2, —1) относительно начала координат.
Постройте точки, симметричные двум вершинам треугольника, относительно третьей его вершины.
Докажите, что центр окружности является ее центром симметрии.
1) Постройте точки, симметричные точкам А (1, 1), В (—2, 3), С (О, —1) относительно оси х.
Постройте точки, симметричные точкам D (2, О), Е (—4, 1), F (—2, —2) относительно оси у.
Дан треугольник АВС. Постройте точку С, симметричную С относительно прямой АВ, пользуясь циркулем.
Докажите, что прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии.
Постройте точки, в которые при гомотетии с центром в начале координат переходят точки А (1, 2), В (2, 2), С (—1, 1), В (3, —1), если коэффициент гомотетии равен: 1) 2, 2) 3.
При гомотетии точка X переходит в точку X*, а точка У — в точку У'. Найдите центр гомотетии, если точки X, X', У, У' не лежат на одной прямой.
При гомотетии точка X переходит в X'. Постройте центр гомотетии, если к равен: 1) 2; 2) 3; 3) 4.
При симметрии относительно некоторой точки точка X переходит в точку X'. Постройте точку, в которую при этой симметрии переходит точка У.
При симметрии относительно некоторой прямой точка X переходит в точку X'. Постройте точку, в которую при этой симметрии переходит точка У.
Расстояние между любыми двумя точками одной фигуры меньше 10 см, а расстояние между некоторыми двумя точками другой фигуры больше 10 см. Могут ли эти две фигуры быть симметричными относительно: 1) точки; 2) прямой?
Постройте фигуру, в которую переходит треугольник АВС при повороте его около вершины С на угол 60°: 1) по часовой стрелке; 2) против часовой стрелки.
Постройте равносторонний треугольник, у которого одна вершина задана, а две другие вершины лежат на двух данных прямых.
Может ли у треугольника быть центр симметрии?
Докажите, что четырехугольник, у которого есть центр симметрии, является параллелограммом.
Докажите, чтс прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, является осью симметрии треугольника.
1) Докажите, что если у треугольника есть ось симметрии, то она проходит через одну из его вершин.
Докажите, что если у треугольника есть ось симметрии, то он равнобедренный.
Докажите, что если у треугольника есть две оси симметрии, то он равносторонний.
Докажите, чтс прямая, содержащая биссектрису угла, является его осью симметрии.
Даны отрезок АВ и точка О, не лежащая на прямой АВ. Что представляет ссбой фигура, симметричная отрезку АВ относительно точки О? Постройте ее.
Даны прямая а и точка О, не лежащая на этой прямой. Что представляет собой фигура, симметричная прямой а относительно точки О? Постройте ее.
Сколько центров симметрии у фигуры, состоящей из двух параллельных прямы:.? Где они расположены?
Сколько осей симметрии у равностороннего треугольника?
Докажите, что у параллелограмма точка пересечения диагоналей является центром симметрии.
Сколько осей симметрии имеет отрезок?
Сколько осей симметрии имеет прямая?
Докажи ге, что прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей квадрата параллельно его сторонам, являются осями симметрии.
Докажите, что диагонали ромба являются его осями симметрии.
Даны перосекающиеся прямые и точка, не лежащая на этих прямых. Постройте отрезок с концами на данных прямых и серединой в данной течке.
Даны три попарно пересекающиеся прямые: а, Ь, с. Постройте отрезок, перпендикулярный к прямой 6, с серединой на прямой b и концами на прямых а и с.
У параллелограммов ABCD и AvB.CvDv АВ = ^jBit AD = AVDV и Z_ А = Z- A^ Докажите, что параллелограммы равны, т. е. совмещаются движением.
Докажите, что два ромба равны, если у них равны диагонали.
Докажите, что две окружности одинакового радиуса равны, т. е. совмещаются движением.
Докажите, что фигура, подобная окружности, есть окружность.
Найдите геометрическое место точек, которые делят в
отношении т : п все хорды, имеющие общим концом данную точку окружности.
Даны угол и внутри него точка А. Постройте окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку А.
Хорды окружности АВ и CD пересекаются в точке S. Докажите, что AS • BS = CS ■ DS.
Впишите в данный треугольник квадрат, у которого две вершины лежат на данной стороне.
Стороны треугольника относятся как 4:5:6. Найдите стороны подобного треугольника, если меньшая из них равна 0,8 м.
Стороны треугольника относятся как 2:5:4. Найдите стороны подобного треугольника, если его периметр равен 55 м.
Докажите подобие равнобедренных треугольников с равными углами при вершинах, противолежащих основаниям.
У двух равнобедренных треугольников углы между боковыми сторонами равны. Боковая сторона и основание одного треугольника равны 17 см и 10 см; основание другого равно 8 см. Найдите его боковую сторону.
У треугольников АВС nA^^Cv- Z_A = /-А^ Z_B = = Z_ Bv АВ = 5 м, ВС = 7 м, AiBj^ = 10 м, А,С1 == = 8 м. Найдите остальные стороны треугольников.
Решите задачу 43 при условии, что АВ = 16 см, ВС = = 20 см, AVBV = 12 см, АС — A_CV = 6 см.
Докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
Основание высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, делит ее на отрезки 9 см и 16 см. Найдите стороны треугольника.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а один из катетов равен 10 см. Найдите проекцию другого катета на гипотенузу.
У подобных треугольников АВС и /1В1С1 проведены высоты BD и B.D,. Докажите, что -—д_ =
'В,^ АД
В треугольник с основанием а и высотой h вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании треугсльни’са, а другие две — на боковых сторонах. Вычислите сторону квадрата.
Углы В и В, треугольников АВС и А1В1С1 равны. Стороны треугольника АВС, прилежащие к углу В, в 2,5 раза больше сторон треугольника А1В1<С1, прилежащих к углу Вк. Найдите АС и ^С^, если их сумма равна 4,2 м.
В треугольнике АВС сторона АВ = 15 м, а сторона АС = 20 м. На стороне АВ отложен отрезок АВ = 8 м, а на стороне АС — отрезок АЕ = 6 м. Подобны ли треугольники: 1) АВС и АВЕ; 2) АВС и АЕВ?
Решите предыдущую задачу при АВ = 9 м и АЕ = 12 м.
Подобны ли два прямоугольных треугольника, если у одного из них есть угол 40°, а у другого — угол, равный: 1) 50е; 2) 60е?
Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересекает сторону АС в точке Р, а сторону ВС — в Q. Докажите, что треугольники АВС и PQC подобны.
Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, делит его сторону АС в отношении т : п, считая от вершины С. В каком отношении она делит сторону ВС?
В треугольнике АВС проведен отрезок BE, параллельный стороне АС (конец В отрезка лежит на стороне АВ, а Е — на стороне ВС). Найдите АВ, если АЬ = = 16 см, АС = 20 см и BE = 15 см.
В задаче 56 найдите отношение АВ : ВВ, если известно, что АС : BE = — : —.
711
Найдите длину отрезка BE в задаче 56, если:
АС = 20 см, АВ = 17 см и ВВ = 11,9 см;
АС = 18 дм, АВ = 15 дм и АВ = 10 дм.
__ас
Даны отрезки а, о, с. Построите отрезок х = —.
Подобны ли два равносторонних треугольника?
Подобны ли треугольники АВС и Л^С,, если:
АВ = 1 м, АС = 1,5 м, ВС = 2 м; АХВХ = 10см, АХСХ = 15 см, ВХСХ = 20 см;
АВ = 1 м, АС = 2 м, ВС = 1,5 м; АХВХ = 8 дм, АХСХ = 16 дм, ВХСХ = 12 дм;
АВ = 1 м, АС = 2 м, ВС = 1,25 м; АХВХ = 10 см, АХСХ = 20 см, ВХСХ = 13 см?
Стороны треугольника равны 0,8 м, 1,6 м и 2 м. Найдите стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 5,5 м.
Периметр одного треугольника составляет — периметра подобного ему треугольника. Разность двух соответствующих сторон равна 1 м. Найдите эти стороны.
Длина тени фабричной трубы равна 35,8 м; в это же время вертикально воткнутый в землю кол высотой 1,9 м дает тень длиной 1,62 м. Найдите высоту трубы.
Постройте треугольник с заданным периметром, подобный данному.
В треугольник АВС вписан ромб ADEF так, что угол А у них общий, а вершина Е находится на стороне ВС. Найдите сторону ромба, если АВ — с и АС = Ь.
Найдите отношение отрезков диагонали трапеции, на которые она разбивается другой диагональю, если основания трапеции относятся как m : п.
Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции, делит одно основание в отношении т : п. В каком отношении она делит другое основание?
В трапеции ABCD с диагональю АС углы А ВС и ACD равны. Найдите диагональ АС, если основания ВС п AD соответственно равны 12 м и 27 м.
Линия, параллельная основаниям трапеции, делит одну боковую сторону в отношении т : п. В каком отношении делит она вторую боковую сторону?
Продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Найдите стороны треугольника AED, если АВ = 5 см, ВС = 10 см, CD = 6 см, AD = 15 см.
Найдите высоту треугольника AED из задачи 71, если ВС — 7 см, AD = 21 см и высота трапеции разча 3 см.
У равнобедренного треугольника АВС с основанием АС и противолежащим углом 36° проведена биссектриса AD. 1) Докажите подобие треугольников АВС и CAD. 2) Найдите основание треугольника АВС, если его боковая сторона равна а.
Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке М. Докажите, что около четырехугольника можно описать окружность, если АМ • СМ = ВМ • DM.
Из точки А, лежащей вне окружности, проведены две секущие, которые пересекают окружность в точках Вг и Cv, Вг и С8 (В± лежит между А и Сг, а В8 — между А и С2). 1) Докажите подобие треугольников ABVC2 и AB^Cv 2) Докажите, что ABt • АСг = АВ^ • АС».
Из точки М проведены секущая, пересекающая окружность в точках А и В, и касательная с точкой касания С. Докажите, что квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, т. е. МС2 = МА ■ МВ.
Как далеко видно из самолета, летящего на высоте 4 км над Землей, если радиус Земли 6370 км?
Вычислите радиус горизонта, видимого с вершины телебашни в Останкино, высота которой 533 м.
8 класс
§ 10. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ перенос
Введем на плоскости декартовы координаты х, у. Преобразование фигуры F, при котором произвольная ее точка (х, у) переходит в точку (х + а, у + Ь), а и b постоянные, называется параллельным переносом (рис. 162). Параллельный перенос задается формулами
*' = х + а, у' = у + Ь. (*)
Эти формулы выражают координаты х', у' точки, в которую переходит точка (х, у) при параллельном переносе.
Параллельный перенос есть движение. Действительно, две произвольные точки А (хп у^ и В (х2, у2) переходят в точки A* (Xj + а. У! + Ь)> В’ (х2 + а, у2 + Ь). Поэтому
АВ^ = (х2 - xj2 + (У2 - У.)2,А'В' = (х2 — xj2 + (у 2 — у,)2.
Отсюда АВ = А'В'. Таким образом, преобразование сохраняет расстояния, а значит, является движением.
Название ♦параллельный перенос» оправдывается тем, что при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние. Действительно, пусть точки А(хъ у() и S(x2,y2) переходят в точки А'(*1+о>У1+&) и В' (х2 + а, у2 + Ь) (рис. 163). Середина отрезка АВ1 имеет координаты
х = ж, +х2 + а= у, + Уа + b
2’ У 2
Те же координаты имеет и середина
д' отрезка А'В. Отсюда следует, что диаго- /нали четырехугольника АА'В'В пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Значит, этот четырехугольник — параллелограмм. А у параллелограмма противолежащие стороны АА' и ВВ' параллельны и равны.
Рис. 164Заметим, что у параллелограмма
АА' В' В параллельны и две другие про- хX* тиволежащче стороны АВ и А В . Отсю-
\у* дд следует, что при параллельном переносе
хОупрямая переходит в пара п дельную пря-
.ух.жую (или в себя).
X ,Замечание. В предыдущем до-
ААп
казательстве предполагалось, что точка Б Рис. 165 не лежит на прямой АА'. В случае, когда точка В лежит на прямой АА', точка В тоже лежит на этой прямой, так как середина отрезка АВ' совпадает е серединой отрезка В 4' (рис. 164). Значит, все точки А, В, А', В* лежат на одной прямой. Далее,
АА' = У\хг + а — xj8 + (У1 + & - уАр = Vtf + Ь1, ВВ' = 1^2 + а — х2)2 + (у, + 6 — уЗ1 = 1 д2 + &2 .
Таким образом, в этом случае точки А и В смещаются по прямой АВ на одно и то же расстояние р^а2 + &2, а прямая АВ переходит в себя.
Теорема 10.1. Каковы бы ни были две точки А и А', существует и притом единственный параллельный перенес, три котором точка А переходит в точку А'.
Доказательство. Начнем с доказательства единственности. Пусть X — произвольная точка фигуры и X’ — точка, в которую она переходит при параллельном переносе (рис. 165). Как мы знаем, отрезки ХА* и АХ' имеют общую середину О. Задание точки X однозначно определяет точку С — середину отрезка А’ X. А точки А и О однозначно определяют точку X', так как О является серединой отрезка АХ’. Однозначность в определении точки X' и означает единственность параллельного переноса.
Докажем существование параллельного переноса, переводящего точку А в А'. Введем декартовы координаты на
плоскости. Пусть at, a2 — координаты точки А и щ, а2 — координаты точки А'. Параллельный пер гное, заданный формулами
х = х + a[ — au у’ = у + а2 — а2, переводит точку А в А*. Действительно, при х = аг и у = аа получаем: х* = щ, у’ = а2. Теорема доказана полностью.
Задача (3). При параллельном перев осе точка (1, 1) переходит в точку (—1, О). В какую точку переходит начало координат?
Решение. Любой параллельный перенос задается формулами х* = х + а, у' = у + Ь. Так как точка (1, 1) переходит в точку (—1, О), то —1 = 1 + а, 0 = 1 + Ь. Отсюда a = —2, 6 = —1. Таким образом, наш параллельный перенос, переводящий точку (1, 1) в (—1, О), задается формулами х' = х — 2, у' = у — 1. Подставляя в эти формулы координаты начала (х = О, у = 0), получим: х = —2, у' =—1. Итак, начало координат переходит в точку (—2, —1).
Теорема 10.2. Преобразование, обратное параллельному переносу, есть параллельный перенос. Два параллельных переноса, выполненные один за другим, дают снова параллельный перенос.
Доказательств о. Любой параллельный перенос задается формулами вида
х' = х + а, у' = у + Ь.
Обратное преобразование задается формулами того же вида:х = х' — а, У = у' — Ь,
а следовательно, является параллельным переносом. Первое утверждение доказано.
Пусть теперь имеем два параллельных переноса, заданные формулами
х' = х + а,у’ = у + Ь;
х" = х + с,у” = у' + d.
Преобразование, которое получается в результате последовательного выполнения этих параллельных переносов, задается формулами
х" = х + а + с, у” = у + Ь + d.
Это преобразование есть параллельный перенос. Теорема доказана полностью.
5 А. В. Погорелов129
ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА
Некоторые физические величины (сила, скорость, ускорение и др.) характеризуются не только величиной, но и направлением. Например, для того чтобы охарактеризовать движение тела в данный момент, недостаточно сказать, что оно движется со скоростью 60 км/ч, надо еще указать направление его движения, т. е. направление скорости. В связи с этим указанные физические величины удобно изображать направленными стрезками. Такой способ изображения физических величин отличается не только наглядностью, но имеет также и другие основания. Приведем пример. Опыт показывает, что если к телу А приложены две силы а и b (рис. 166), то их действие равносильно действию одной силы с, которая изображается диагональю параллелограмма, построенного на отрезках а и Ь. Можно было бы привести и другие примеры, где операции над физическими величинами при изображении их направленными отрезками сводятся к простым геометрическим построениям, как в данном примере.
Направленный отрезок называется вектором (рис. 167). Для обозначения векторов будем пользоваться строчными латинскими буквами а, Ь, с, ... . Иногда вектор обозначают указанием концов отрезка, изображающего вектор. Например, вектор а на рисунке 167 можно обозначить АВ. При таком способе обозначения вектора а точка А называется началом, а точка В — концом вектора а. При обозначении вектора посредством указания концов изображающего его отрезка на первом месте всегда ставится начало вектора. Иногда вместо слова «вектор» над буквенным обозначением вектора ставится стрелка или черта, например, запись а читается: «вектор а*.
АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА И НАПРАВЛЕНИЕ ВЕКТОРА
Две полупрямые называются одинаково направленными, если они совмещаются параллельным переносом. То есть существует параллельный перенос, который переводят одну полупрямую в другую.
Если полупрямые а иЪ одинаково направлены и полупрямые Ъи с одинаково направлены, то полупрямые а и с тоже одинаково направлены.
Действительно, так как а и Ъ одинаково направлены, то существует параллельный перенос, который переводит полупрямую о в 6. Так как бис одинаково направлены, то существует параллельный перенос, который переводит полупрямую b в с. Эти два параллельных переноса, выполненные последсвательн э, дают параллельный перенос, который переводит полупрямую а в с. Следовательно, полупря гае а и с одинаково направлены.
Две полупрямые называются противоположно направленными, если каждая из них одинаково направлзна с полупрямой, дополнительной к другой.
Задача (5). ЛВ и CD — параллельные прямые. Точки А и D лежат по одну сторону секущей ВС. Докажите, что лучи ВА и CD одинаково направлены.
Решение. Подвергнем луч CD параллельному переносу, при котором точка С переходит в точку В (рис. 168). При этом прямая CD совместится с прямой ВА. Точка D, смещаясь по прямой, параллельной СВ, остается в той же полуплоскости относительно прямой ВС. Поэтому луч CD совместится с лучом ВА, а значит, эти лучи одинаково направлены.
Рис. 168Рис. 168Векторы АВ и CD называются одинаково направленными, если полупрямые АВ и CD одинаково направлены. Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютная величина вектора а обозначается |а|.
Рис. 168
Рис. 168
Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и
Б*W
/ конец одного чектора соответственно в на- В / чало и конец другого вектора. Отсюда следует, что равные векторы одинаково направ- ^ лены и равны по абсолютной величине. Об- Рис. 169 ратно, е< ли векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то Jt они равны. Действительно, пусть АВ и // CD — одинаково направленные векторы,
// равные по абсолютной величине (рис. 69).
4 / Параллельный перенос, переводящий точ-
с ку С в точку А, совмещает полупрямую CD Рис. 170 с полупрямой АВ, так как они одинаково направлены. А так как отрезки АВ и CD равны, то при этом точка D совмещается с точкой В, т. е. параллельный перенос переводит вектор CD в ректор АВ.
Значит, векторы АВ и CD равны.
Задача (9). ABCD — параллелограмм. Докажите равенство векторов АВ и DC.
Решение. Подвергнем вектор АВ параллельному переносу, при котором точка А переходит в точку D (рис. 170). При этом переносе точка А смещается по прямой AD, а значит, точка В смещается пс параллельной прямой ВС. Прямая АВ переходит в параллельную прямую, а значит, в прямую DC. Следовательно, точка В переходит в С. Таким образом, наш параллельный перенос переводит вектор АВ в вектор DC, а значит, эти векторы равны.
Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор будем называть нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается нулем с черточкой (0). О направлении нулевого вектора не говорят. Абсолютная вел"1чина нулевого вектора считается равной нулю. Все нулевые векторы равны по определению.
Из свойств параллельного переноса (из теоремы 10.1) следует, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору, и только один. Для доказательства достаточно выполнить параллельный перенос данного вектора, при котором его начале перейдет в заданную точку.
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
Пусть вектор а имеет началом точку Av (хи yt), а концом— точку А4 (х2, yj. Координатой вектора а будем называть числа а^ = х2 — xt, с2 = у2 — yv Координаты вектора будем ставить рядом с буквенным обозначением вектора, в данном случае о (ап о2), или просто (alt а,). Координаты нулевого вектора равны нулю.
Из формулы, выражающей расстояние между двумя точками через их координаты, следует, что абсс лютная величина вектора с координатами а,, а2 равна V dv + cj.
Теорема 10.3. Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. И обратно, если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.
■ Доказательство. Пусть At (хп у^ и А4 (х^, у2)— начало и конец вектора а. Так как равный ему вектор а* получается из вектора а параллельным переносом, то его началом и концом будут соответственно: Av (хт + с, уг + d). Аг (х2 + с, у4 + d). Отсюда видно, что оба вектора а и с' имеют одни и те же координаты: х2 — хи у4 — yv
Докажем теперь обратное утверждение. Пусть соответствующие координаты векторов АгАг и AiA2 равны. Докажем, что векторы равны. Пусть xv и yi — координаты точки At, а х2, у г — координаты точки А2. По условию теоремы *2 — Xi = х2 — х1, у2 — У! = у2 — ух. Отсюда х2 = х4 + + Xi — xt, у2 = у2 + yi — У1. Параллельный перенос, заданный формулами
х' = х + x'i — хо у* = у -\- yv — У1,,
переводит точку Аг в точку At, а точку А4 в точку А2, т. е. векторы АгА2 и aJa! равны. Теорема доказана.
Задача (13). Даны три точки: А (1, 1), В (—1, 0\ С (0, 1). Найдите такую точку D (х, у), чтобы векторы АВ и CD были равны.
Решение. Координатами вектора АВ будут —2, —1. Координатами вектора CD будут х — 0, у — 1. Так как АВ = = CD, то х — 0 = —2, у — 1 = —1. Отсюда находим координаты точки Р: х = —2, у = 0.
СЛОЖЕНИЕ ЕЕКТОРОВ
Суммой векторов а и Ъ с координатами а^ а2иЬ11 Ьг называется вектор с с координатами ох + 6П а2 + 62» т- е-
Мат» °а) + 6 (^’ ЬЛ — с (Qi + Ь1» “2 + 62).
Для любых векторов a (av а2), 6 (bv b2), с (cv с2)a -J- b = b 4- а,а 4" (^+О = (® 4* ) Ч- с*
Для доказательства достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, стоящих в правой и левой частях равенств. Мы видим, что они равны. А по теореме 10.3 векторы с соответственно равными координатами равны.
Теорема 10.4. Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное равенство•
АВ + ВС = АС.
Доказательство. Пусть А (хи у^, В (х2, у2), С (х3, уз) — данные точки. Координатами вектора АВ бу
дут х2 — *!, у2 — Уи координатами вектора ВС будутх3 —х2. Уз — Уг- Следовательно, координатами вектора АВ + ВС будут х3 — хп уа — yv А это есть координаты вектора АС. По теореме 10.3 векторы АВ 4- ВС и АС равны. Теорема
доказана.
Теорема 10.4 дает следующий способ построения суммы произвольных векторов а и Ъ. Надо от конца вектора а от
ложить вектор Ъ', равный вектору Ь. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец — с концом вектора Ь', будет суммой векторов а и 6 (рис. 171).
Задача (16). ABCD — параллелограмм. Докажите векторное равенство АВ + AD = —АС («правило параллелограмма* слежения векторов).
Решение. Имеем: АВ + ВС = АС (рис. 172). Но векторы ВС и AD равны (см. задачу 9). Поэтому АВ 4- AD —АС.
Разностью векторов а (ах, а2) и 6 (61е Ь2)
А это значит.А это значит.называется такой вектор с (си с2), который в сумме с вектором 6 дает вектор а: 6 + -р с = а. Отсюда находим координ ны вектора с = о — Ъ : ск = ак — &j; с2 = а2—62.
А это значит.
А это значит.
Задача (19). Даны векторы с общим началом: АВ и АС (рис. 173). Докажите, что АС — АВ = ВС.
Решение. Имеем: АВ + ВС = АС. что АС — АВ = ВС.
УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
Произведением вектора (ао а2) на число А называется вектор (Аап Аа2), т. е.
(а1, а2) А — (Аап Аа2).
По опрэделеаию (ап а2) А = А (ап а^.
Из определения операции умножения вектора на число следует, что для любого векторе а и чисел- X, р
(А + р) а = Аа + ра.
Для любых двух векторов а и Ьи числа А
А (а + 6) = Ал + АЬ.
Теорема 10.5. Абсолютная величина взктора Аа равна |А| |а|. Направление вектора Ха при а #= 0 совпадает с направлением вектора а, если А >9, и противоположно направлению вектора а, если А < 0.
Доказательств г. Построим векторы ОА и ОВ, равные а и Аа соответственно (О — начало координат). Пусть аг и а2 — координаты вектора а. Тогда координатами точки А будут числа av и а2, а координатами точки В будут ХаИ Ха2. Уравнение прямой ОА имеет вид:
ах + Ру = 0.
Тчк как уравнению удовлетворяют координаты точки А (а1г а2), то ему удовлетворяют и координаты точки В (Aat, Aa2). Отсюда следует, что точка В лежит на прямой О А. Координаты ск, с2 любой точки С, лежащей на полупря-
мой ОА, имеют те же знаки, что и координаты аи а2 точки А, а координаты любой точки, которая лежит на полупрямой, дополнительной к ОА, имеют противоположные знаки. Поэтому если К > О, то точка В лежит на полупрямой ОА, а следовательно, векторы а и Ла одинаково направлены. Если Л < О, то точка В лежит на дополнительной полупрямой, векторы а и Ла противоположно направлены.
Абсолютная вели’Т1на вектора Ла равна | Ла | = =У |Ла1|2+|Ла2|2 = | Л^й! + а2 = [ Л ||"а|. Теорема доказана.
Задача (22). Даны различные точки: А (Хц у у) и В (х2, у2). Докажите, что векторы АВ и ВА противоположно направлены.
Решение. Координатами вектора АВ будут х2 — х, и уа — yY. Координатами вектора В А будут хг — х2 и yY—уа. Мы видим, что АВ = (—1) ВА. А значит, по теореме 10.5 векторы АВ и ВА противоположно направлены.
Два отличных от нуля вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Теорема 10.6. У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. И обратно, если у двух векторов соответствующие координаты пропорциональны, то векторы коллинеарны.
Доказательство. Пусть а (ап а2) и Ъ (Ь^, Ъ2) — данные векторы. Допустим, что векторы коллинеарны. Рас
— I с | —
смотрим вектор с = ± Ъ, где беоется знак «-г», когда _ _161
векторы а и Ъ одинаково направлены, и знак *—», когда они противоположно направлены. Вектор с равен вектору а, так как по теореме 10.5 они одинаково направлены и имеют одну и ту же абсолютную величину. Приравнивая координаты векторов а и с, получим:
aL = ± -S- bv а2 = ±6,.
161_|б|
Отсюдг ' = ± 4г1-. — = ± 4^-* Значит, ^, т. е. клорпи- °i| а | °а| а |Oj в2
ваты векторов а и 6 пропорциональны.
Пусть теперь у векторов а и 6 координаты пропорциональны. Докажем, что векторы коллинеарны. Имеем:
с, й2
Обозначая общее значение этих отношений через Л, получим: bx = Лап Ь2 = Ля2. Отсюда следует, что Ь = Ха. А это значит (теорема 10.5), что векторы коллинеарны.
Задача (31). Известно, что ректоры a (1, —1) и 6 (—2, т) коллинеарны. Найдите, чему равно тп.
Решение. У коллинеарных векторов координаты пропорциональны. Следовательно, -^ = -^-. Отсюда т=2.
Вектор называется единичным, если его абсолютная величина равна единице. Единичные векторы, имеющие направления положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами. Мы будем их обозначать е, (1, О) на оси х и е4 (О, 1) на оси у.
Любой вектор a (alt а^) допускает представление в виде a = aYe! + а^.
Действительно, (at, a2) — (ап О) + (О, а2) = а! (1, О) -|- а2(0, 1)= — а^е^ ~Ь а2е2.
Задача (35). Даны векторы а (1, О), b (1, 1), с (—1, 0). Найдите такие числа Лир, чтобы имело место векторное равенство с = Ла + ро.
Решение. Приравнивая соответствующие координаты векторов си Ла -}- pb, получим два уравнения, из которых находим Лир: —1 = Л • 1 + р • 1, 0 = Л • 0 + + р • 1. Отсюда р = 0, Л — —1.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОР СВ
Скалярным произведением векторов a (а^, a2) и Ъ (6И Ъ^ называется число а^Ь^ + а2Ь2. Для скалярного произведения векторов используется такая же запись, как и для произведения чисел. Скалярное произведение аа обозначается а2. Очевидно, а2 = |а|2.
Из определения скалярного произведения векторов следует, что для любых векторов а (а^» Ои)» Ъ (5lf &2), с (clt с2)
(а + Ь) с = ас + Ъс.
ш
Рис. 174Рис. 174Действительно, леиая часть равенства есть (at + bj сл 4- (а2 + 62) с2, а правая a^Ct + агс4 + Ьа + Ьгсг. Очевидно, они равны.
Рис. 174
Рис. 174
Углом между ненулевыми векторами АВ и А© называется угол ВАС. Углем между любыми двумя векторами а и 6 называется угол между равными им векторарл с общим началом. Угол между одинаково направленны
ми векторами считается равным нулю.
Теорема 10.7. Скалярное произведение векторов ровно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.
Доказательство. Пусть а и 6 — данные векторы и <р — угол между ними. Имеем:
(л 4* б)2 = (л 4- 6) (а 4- 6) = (а 4* 6) а 4 (а 4~ б) b ^ = ал 4" Ьа 4- ab 4- bb = а2 4" 2а6 4" &\
ИЛИ
|а 4- ЬГ = | а]2 4- |бТ 4- 2аЬ.
Отсюда видно, чтэ скалярное произведение ab выражается через длины векторов а, Ъ и а 4" Ь, а поэтому не зависит от выбора системы координат, т. е. скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать специальным образом. Возьмем систему координат ху так, как показано на рисунке 174. При таком выборе системы координат координатами вектора а будут । а | и О, а координатами вектора 6 будут |6| cos ф и |б| sin ф. Скалярное произведение
ab = |а || Ь| cos ф 4-0 |6| sin ф = |а || o' cos ф. Теорема доказана.
Из теоремы 10.7 следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно, если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.
Задача (47). Даны векторы а (1,0) и b (1, 1)и Найдите такое число А, чтобы вектор а + Аб был перпендикулярен вектору а.
Решение. Имеем: а (а"4-Аб) =0, а2 4- А (аб) = О.
Отсюда А = — ab 1
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Объясните, что такое параллельный перенос.
Докажите, что параллельный перенос есть движение.
Докажите, что при параллельном переносе точки фигуры смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.
Докажите, что при параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в себя).
Докажите существование и единственность параллельного переноса, переводящего данную точку А в данную точку А'.
Докажите, что преобразование, обратное параллельному переносу, есть параллельный перенос. Два параллельных переноса, выполненные один за другим, де ют снова параллельный перенос.
Что такое вектор?
Какие полупрямые называются одинаково направленными?
Докажите, что если полупрямая а одинаково направлена с полупрямыми b и с, то полупрямые Ъ и с тоже одинаково направлены.
Какие полупрямые называются противоположно направленными?
Что значит: векторы АВ и CD одинаково направлены?
Что такое абсолютная величина вектора?
Какие векторы называются равными?
Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору, н только один.
Докажите, что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. И обратно, одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине, равны.
Что такое координаты вектора?
Дскажиге, что равные векторы имеют соответственно равш te координаты, а векторы с соответственно равными координатами равны.
Дайте определение сложения векторов.
Докажите, что для любых векторов а и b а + b = b + а.
Докажите, что для любых трех векторов а, Ь, с а + (о + с) = (а + б) + с.
Докажите векторное равенство АВ + ВС = АС._
Докажите, что для получения суммы векторов а и 6 надо от конца вектора а отложить вектор 6', равный 6. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом
вектора а, а конец — с концом вектора Ь', будет равен а 4- Ь.
23" Дайте определение разности векторов.
Дайте определение умножения вектора на число.
Докажите, что абсолютная величина вектора Ха равна | X || а |, направление вектора Ха при а =^0 совпадает с направлением вектора а, если X > О, и противоположно направлешно вектора а, если X < 0.
Какие векторы называются коллинеарными?
Докажите, что векторы (аи а2) и (bi, b J коллинеарны тогда и только тогда, когда — = —.
^1^2
Какой вектор называется единичным?
Докажите, что любой вектор а (аи а2) допускает представление а = а^ + а2е2, где eL и е2 — единичные векторы координатных осей.
Дайте определение скалярного произведения векторов.
Докажите, что для любых трех векторов а, Ь, с (а + Ь) с = ас + Ьс.
Как определяется угол между векторами?
Чему равен угол между одинаково направленными векторами?
Докажите, что скалярное произведение векторе□ равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.
Докажите, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно, если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.
УПРАЖНЕНИЯ
Параллельный перенос задается формулами х' = х +1, у' = у — 1. В какие точки при этом параллельном переносе переходят точки (0, 0), (1, 0), (0, 2)?
Найдите величины а и Ь в формулах параллельного переноса х = х + а, у’ = у + Ь, если известно, что: 1) точка (1, 2) переходит в точку (3, 4); 2) точка (2, —3) — в точку (—1, 5); 3) точка (—1, —3) — в точку (0, —2).
При параллельном переносе точка (1, 1) переходит в точку (—1, 0). В какую точку переходит начало координат?
Существует ли параллельный перенос, при котором: 1) точка (1, 2) переходит в точку (3, 4), а точка (0, 1)— в точку (—1, 0); 2) точка (2, —1) перехсдит в точку (1, 0), а точка (—1, 3) — в точку (0, 4)?
АВ и CD — параллельные прямые. Точки А и D лежат пс одну сторону от секущей ВС. Докажите, что лучи ЗА и CD одинаково направлены.
Докажите, что в задаче 5 лучи В А и CD противоположно направлены, если точки А и D лежат пс разные стороны от секущей ВС.
Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Среди лучей АЬ, ВА, ВС, СВ, CD, DC, AD, DA назовите пары одинаково направленных и противоположно направленных лучей.
На прямой даны три точки: А, В, С, причем точка В лежит между А и С. Среди векторов АВ, АС, ВА и ВС назовите одинаково направленные и противоположно направленные.
ABCD — параллелограмм. Докажите равенство векторов АЬ и DC.
Д< кажите, что для векторов АВ, ВС и АС имеет место нераьенство jAC) ^ |АВ| + |ВС|.
Д кажите, что для любых векторов а и Ъ имеет место неравенство |a + b|^|a| + |b|.
Даны точки А (0, 1), В (1, 0), С (1, 2), D (2, 1). Докажите равенство векторов АВ и CD.
Даны три точки: А (1,1), В (—1, 0), С(0,1). Найдите такую точку D (х, у), чтобы векторы АВ и CD были равны.
Абсолютная величина вектора а (5, т) равна 13. Найдите т.
Абсолютная величина вектора Ъ (п, 24) равна 25. Найдите п.
ABCD — параллелограмм. Докажите векторное равенство АВ + AD = АС.
Найдите сумму векторов: 1) а (1, —2) и b (2, —3); 2) а~(—3, 4) и (Г (2,-3); 3) а (3, 1) и Ъ (—2, — 1); 4) <Г(—5, 4) и b (2, -2); 5) а (—1, 1)_и b (2, 4).
Найдите вектор а — Ь, если: 1)_ а (1,4), b (1, 3); 2) а (—3, 2),_б(2, —1); 3) а (5, 3), Б (4, 4); 4) а (3, 3), b (4, 2); 5) а (1, 5), b (2, 7).
Даны векторы с общим началом: АВ и АС. Докажите, что АС — АВ = ВС.
Найдите абсолютную величину вектора а 4- Ъ, если: 1) ^(1, —4); ь (—4, 8); 2) а (2, 5), 6 (4, 3); 3) а (10, 7), b (2, —2).
Найдите абсолютную величину вектора а — Ъ, если: 1) а (1, —4),6 (—4, 8);2) а (—2, 7), "Ь (4, —1);
a (15, 0), b (0, —8).
Даны различные точки: А (хп у^ и В (х2, у2). Докажите, что векторы АВ и ЗА противоположно направлены.
Докажите, что векторы а (1, 2) и b (0,5; 1) одинаково направлены, а векторы с (—1, 2) и d (0,5; —1) противоположно направлены.
Дан вектор а (3, 4). Найдите вектор b (blf б2\ имеющий в два раза большую длину и направленный с вектором а: 1) одинаково; 2) противоположно.
Даны векторы а (3, 2) и b (0, —1). Найдите вектор: 1) — 2а + 4b; 2) За — b; 3) 4а + Ь.
Даны векторы а (3, 2) и b (0, —1). Найдите абсолютную величину вектора: 1) —2а + 4Ь; 2) 4а + ЗЬ;
3) 5а + 10^
Найдите абсолютную величину вектора За, если: 1) а (3,4); 2) а (—5, 12); 3) а (—6,—8).
Абсолютная величина вектора Ха равна 5. Найдите X, если: 1) а (—6, 8); 2) а (3, —4); 3) а (5, 12).
2D. Даны векторы а (2, —4), b (1, 2), с (1, —2), d (—2, —4). Укажите пары коллинеарных векторов.
Какие векторы задачи 29 одинаково направлены, а какие — противоположно направлены? Какие из этих векторов имеют равные абсолютные величины?
Известно, что векторы а (1, —1) и b (—2, т) коллинеарны. Найдите, чему равно т.
При каком значении п векторы а (п, 1), b (4, п) коллинеарны и одинаково направлены?
Среди векторов а (— —, — \ Ъ — -, с (0, —1), / о * \\55 /\ 33 /
а —,найдите единичные и укажите, какие из \ 55 /
них коллинеарны.
Найдите единичный вектор, коллинеарный вектору а (6, 8), одинаково с ним направленный.
Даны векторы а (1, 0), b (1, 1) и с (—1, 0). Найдите такие числа Яир, чтобы имело месте векторное равенство с = Я а + р Ь.
Точки М и N являются серединами отрезков АВ и CD соответственно. Докажите векторное равенство ММ =; = 1(АС + BD').
в! (1,0) и ег (Э, 1) — координатные векторы. Чему равны координаты вектора 2ех — Зе2?
Чему равны X и р в -представлении вектора а (—5, 4): а = X ек + р е2?
Докажите, что для любых векторов а и b (ab)* ^ а2Ь2.
Найдите угол между векторами а (1, 2), ь(1, —— 1. к 2/
Даны векторы а и Ь. Найдите абсолютную величину вектора а + Ь, если известно, что абсолютные величины векторов а и b равны 1, а угол между ними 60°.
Найдите угол между векторами а и а + b предыдущей задачи.
Даны вершины треугольника А (1, 1), В (4, 1), С (4, 5). Найдите косинусы углов треугольника.
Найдите углы треугольника с вершинами А (0, КЗ), В (2, КЗ), С (|, 15).
Докажите, что векторы а ^т, и) и b (—п, т^ перпендикулярны или равны нулю.
Даны векторы а (3, 4) и b (т, 2). При каком значении ш эти векторы перпендикулярны?
Даны векторы а (1, 0) и b (1, 1). Найдите такое число X, чтобы вектор а + X b был перпендикулярен вектору а.
При каком значении X вектор а + X Ъ в задаче 47 перпендикулярен вектору Ь?
Докажите, что если а и b — единичные неколлинеарные векторы, то векторы а 4* b и а — b отличны от нуля и перпендикулярны.
Единичные векторы а и 5 образуют угол 60°. Докажите, что вектор 2Ь — а перпендикулярен вектору а.
Векторы а + b и а — b перпендикулярны. Докажите, что |а| = |Ь|.
Докажите с помощью векторов, что диагонали ромба перпендикулярны.
1) Даны три точки: О, А, В. Точка X делит отрезок АВ в отношении X : р, считая от точки А. Выразите вектор ОХ через векторы ОА = а и ОВ = Ь. 2) Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2:1, считая от соответствующих вершин.
Даны четыре точки: А (1, 1), В (2, 3), С (0, 4), D (—1, 2). Докажите, что четырехугольник ABCD — прямоугольник.
Даны четыре точки: А (0, 0), В(—1, 1), С (0, 2), В (1, 1). Докажите, что четырехугольник ABCD — квадрат.
§ 11. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ
Теорема 11.1 (теорема косинусов). Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла мея'ду нитш.
Доказательство. Пусть АВС — данный треугольник (рис. 175). Докажем, что ВС3 = АВ2 + АС2 — — ЗАВ - АС - cos А.
Имеем векторное равенство АВ + ВС = АС. Отсюда ВС = АС — АВ. Возводя это равенство скалярно в квадрат, получим:
ВС2 = дв2 + АС2 — ЗАВ ■ АС.
Отсюда
|ВС|2 = | АВ|3 + |ЛС|2—2| АВ || АС\ cos А. Теорема доказана.
Заметим, что |AC|cosA равно по абсолютной величине проекции AD стороны АС на сторону АВ (рис. 175, а) или ее продолжение (рис. 175, б). Знак | AC | cos А зависит от угла А: ♦ +», если угол А острый, «—», если угол А тупой. Отсюда получается следствие: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон *+» удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак «+» надо брать, когда противолежащий угол тупой, а знак «—», когда угол острый.
Задача (1). Даны стороны треугольника а, Ь, с. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с.
Решение. Имеем: а2 = Ъ2 + са ± Зс • AD (рис. 176).
а2 £2 с2
Отсюда AD = ±• По теореме Пифагора
cd = Vac2—ad2 = 1/ ь2 — (° — ) •у \ 2c J
Из теоремы косинусов следует, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. Действительно, пусть ABCD — параллелограмм (рис.
. Применим теорему косинусов к треугольникам АВС и ABD, получим:
АС2 = АВ2 + ВС2 — 2АВ • ВС cos 0,BD2 = АВ2 + AD2 — 2АВ • AD cos а.
Складывая эти равенства и замечая, что cos 0 = —cos а, АВ = CD, получим:
АС2 + BD2 = АВ2 + ВС2 + CD2 + AD1.
Что и требовалось доказать.
ТЕОРЕМА СИНУСОВ
Теорема 11.2 (теорема синусов). Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Доказательство. Пусть АВС — треугольник со сторонами а, Ь, с и противолежащими углами а, 0, у (рис. 178). Докажем, что
sin а sin 0-sin уаbс
Опустим из вершины С высоту CD. Из прямоугольного треугольника ACD, если угол а острый, получаем: CD = = b sin а (рис. 178, а). Если угол а тупой, то CD =
=b sin(180°— a)=bsin a (рис. 178, б). Аналогично из треугольника BCD получаем: CD —a sin р. Итак, a sin р = Ь sin a. Отсюда
sin р sin ab a "
/..нелогично доказывается равенство
• ein P ein уb c
Для доказательства надо провести высоту треугольника из вершины А. Теорема доказана.
Задача (9). Докажите, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Решение. Пусть АЕС—данный треугольник и BD — ... -.АР АВ
его биссектриса (рис.179). Докажем, что — =
Применим теорему синусов к треугольникам ABD и CBD:
АР АВ СР _ ВС ВС
Bin р sin a sin р ein (189° — a)sin a
Если первое равенство разделить на второе, то получим:
АР _ АВСР ~ ВС*
Что и требовалось доказать.
Из теоремы синусов следует, что если в треугольнике со сторонами a, b и противолежащими им углами а, р будет а > р, то а >6. И обратно, если а > Ь, то а> р. Ко- 5роче говоря, в треугольникепротив
большего угла ле; кит большая сторо- х.на, про. ив большей сторонылежит
Iбольший угол.
I \ х^Действительно, если углы аир
I *2v. gt-ocX острые (рис. 180, а), то при а>р д1 - иу\*С будет sin а > sin р. А так как
еш a ein р
Рис. 179о b *
Рис. 180Рис. 180Рис. 181Рис. 181треугольника.Решение.треугольника.Решение.
Рис. 180
Рис. 180
Рис. 181
Рис. 181
треугольника.
Решение.
треугольника.
Решение.
то а > Ь. Если угол а тупой (оба угла не могут быть тупыми), то угол 180° —а острый (рис. 180, б). Причем 180°— а больше р, как внешний угол треугольника, не смежный с р. Поэтому sin а = sin (180° — —а) > sin р. И мы снова
заключаем, что а > Ь. Об
ратное утверждение доказывается от противного.
Задача (21). Докажите, что в теореме синусов каждое из трех отношений: sin <х sin В sin v
г ——, — равно
а bс
—, где к — радиус окружности, описанной около
Проведем диаметр BD (рис. 181). По
угол при вершиугол при вершисвойству углов, вписанных в окружность,
угол при верши
угол при верши
не D прямоугольного треугольника BCD равен либо а, если точки А и D лежат по одну сторону от прямой ВС (рис. 181, а), либо 180° — а, если они лежат по разные стороны от прямой ВС (рис. 181, б). В первом случае ВС = BD sin а, во втором ВС = BD sin (180° — а). Так как sin (180° — а) = sin а, то в любом случае а = 2В sin а.
sin аСледовательно, аsin аСледовательно, а^ . Что и требовалось доказать.
sin а
Следовательно,
а
sin а
Следовательно,
а
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Решение треугольников состоит в нахождении неизвестных сторон и углов треугольника по известным его углам и сторонам. Будем обозначать стороны треугольника через а, Ь, с, а противолежащие им углы через а, р, у.
Задача I. Даны сторона и два угла треугольника. Найти третий угол и остальные две стороны.
Способ решения. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то третий угол выражается через заданные углы. Имея сторону и все три угла, по теореме синусов находим две остальные стороны. Задача всегда имеет решение, и притом единственное. Конечно, сумма двух данных углов должна быть меньше 18ЭС. Единственность решения следует из второго признака равенства треугольников.
Задача Ы. Даны две стороны, например а и Ь, и угол у между ними. Найти остальные два угла и третью сторону.
Способ решения. По теореме косинусов находим сторону с. Теперь, имея три стороны, по теореме косинусов можно найти косинусы остальных углов и сами углы. Проще, однако, воспользоваться теоремой синусов и найти синусы неизвестных углов. Но при этом надо иметь в виду, что дл я данного значения синуса получается два угла. Поэтому из полученных углов надо взять те, которые удовлетворяют известным соотношениям: сумма углов треугольника равна 180°, против большей стороны лежит больший угол. Задача всегда имеет решение, и притом единственное. Единственность решения следует из первого признака равенства тре- у гольников.
Задача III. Даны две стороны, нспример а и Ъ, и угол, противолежащий одной из них, например а. Найти остальные два угла и третью сторону.
Способ решения. По теореме синусов находим sin р. По sin р находим отвечающие ему углы Pt и р2. Выбираем из них один или оба, имея в виду, что против большей из сторон а и Ъ лежит больший угол. Зная углы аир, находим угол у = 180° — а — р, а затем находим сторону с по теореме синусов. Эта задача в отличие от двух предыдущих может не иметь решения, иметь одно решение или два решения.
Задача IV. Даны три стероны треугольника. Наши его углы.
Способ решения. По теореме косинусов находим один из углов. А затем поступаем, как во второй задаче. Эта задача имеет решение, если большая из сторон меньше суммы двух других. Единственность решения следует из третьего признака равенства треугольников.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Сформулируйте и докажите теорему косинусов.
Докажите, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон «±» удвоенное произведение одной из этих сторон на проекцию другой. От чего зависит знак «+* или «—»?
Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
Докажите теорему синусов.
Докажите, что в любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и против большего угла лежит большая сторона.
Даны сторона и два угла треугольника. Как найти третий угол и две остальные его стороны?
Даны две стороны треугольника и угод между ними. Как найти остальные два угла и третью сторону?
Даны две стороны и угол, противолежащий одной из них. Как найти остальные два угла и третью сторону?
Даны три стороны треугольника. Как найти его углы?
УПРАЖНЕНИЯ
Даны стороны треугольника а, Ь, с. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с.
Даны стороны треугольника а, 6, с. Найдите медианы та, ть, тс, проведенные к этим сторонам.
Даны диагонали параллелограмма с и d и угол между ними а. Найдите стороны параллелограмма.
Даны стороны параллелограмма а и b и один из углов а. Найдите диагонали параллелограмма.
о, Ь, с — стороны треугольника. Докажите теорему, обратную теореме Пифагора: если а2 -|- Ь2 = с2, то треугольник прямоугольный с прямым углом, противолежащим стороне с.
а, Ь, с — стороны треугольника. Докажите, что если а2 -|- Ь2 > с2, то угол, противолежащий стороне с, острый. Если а2 + Ь2 < с2, то угол, противолежащий стороне с, тупой.
У треугольника две стороны равны 20 м и 21 м, а синус угла между ними равен 0,6. Найдите третью сторону.
Стороны треугольника 13 м, 14 м, 15 м. Найдите косинусы углов треугольника.
Докажите, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Из вершины С треугольника АВС проведена биссектриса CD. Сторона АС больше стороны ВС. Какой из отрезков больше: AD или BD?
Дан треугольник ABC. CD — его биссектриса, проведенная к стороне АВ. Докажите, что если угол САВ больше угла СВА, то AD меньше BD.
В треугольнике АВС £_А = 40°, Z_B = G0c, А-С = 80 . Какая из сторон треугольника наибольшая, какая — наименьшая?
У треугольника АВС стороны АВ — 5,1 м, ВС = 6,2 м, АС = 7,3 м. Какой из углов треугольника наибольший, какой — наименьший?
Что больше: основание или боковая сторона равнобедренного треугольника, если прилежащий к основанию угол больше 60е?
У треугольника АВС угол С тупей. Докажите, что если толка X лежит на стороне АС, то ВХ < АВ.
У треугольника АВС угол С тупой. Докажите, чтс если толка X лежит на стороне АС, а точка У — на стороне ВС, то XY < АВ.
На стороне АВ треугольника АВС отмечена точка D. Докажите, что отрезок CD меньше по крайней мере одной из сторон: АС или ВС.
Дан треугольник ABC. CD — медиана, проведенная к стороне АВ. Докажите, что если АС > ВС, то угол ACD меньше угла BCD.
Докажите, что биссектриса треугольника не меньше высоты и не больше медианы, проведенных из той же
вершины.
Как изменяется сторона АВ треугольника АВС, если угол С возрастает, а стороны АС и ВС остаются без изменений?
Докажите, что в теореме синусов каждое из трех от- „ в1п а в1п В sin -у1„
ношении , —-, —1 равно —, где В — радиус
аb с218
окружности, описанной около треугольника
У треугольника две стороны равны 5 см и 6 см. Может ли угол, противолежащий стороне 5 см, быть тулым?
У треугольника АВС АВ = 15 см.
АС - 10 см. Может ли sin В =—?
4
Объясните, как найти расстояние от точки А до недоступной точки В (рис. 182), зная расстояние АС и углы аир.
Объясните, как найти высоту х здания (рис. 183) по углам а и Р и расстоянию а.
Даны сторона и два угла тре- уголгника. Найдите третий угол и остальные две стороны, если:
27
1)
2)
3)
4)
5)
а а а b
= 5 .
= 20.
= 35, = 12.
= 14,
0 = 30
a
= 75
0 = 40°,
a a
= 36°,
= 64°,
23.
30
Даны две
стороны и
тиволежащий третьей Найдите остальные два третью сторону, если:
у = 45°;
0 = 60°;
у = 120°;
0 = 25 s;
0 = 48°.
угол, про-
стороне,угла и
1)
2)
3)
4)
5)
6)
У
а а b b а а
= 12
= 7,
= 9,
= 14
= 32, = 24.
Ь = 8
b с с с
= 23 = 17, = Ю, = 23, = 18,
Т Т a a
= 60°;
= 130е = 95°; = 145
0 = 152°: 0 = 15°.
Рис. 183
треугольника заданы две стороны
1) a = 12,
b = 5,
a = 120°;
2) a = 27,
b = 9,
a = 138е;
3) a = 34,
b = 12,
a = 154°;
4) a = 2,
6=4,
и = 60°;
5) a = 6
6=8,
a = 30°.
Даны три
стороны
треугольника.
если:
1) a = 2,
6=3,
c = 4;
2) a = 7,
6=2,
c = 8;
3) а = 4,
6=5,
c = 7;
4) a = 15,
6 = 24,
c = 18;
5) a = 23,
6 = 17,
c = 39;
6) a = 55,
6 = 21,
c = 38.
29.
Докажите,
Найдите его углы.
противолежащий стороне а. Найдите и сторону треугольника, если:
а, b и угол а, остальные углы
что геометрическое место точек, сумма
квадратов расстояний от которых до двух данных точек постоянна, есть окружность с центром в середине отрезка, соединяющего данные точки.
§ 12. МНОГОУГОЛЬНИКИ
ЛОМАНАЯ
Ломаной AiA2A3...A, называется фигура, которая состоит из точек А, А2, . , Ачи соединяющих их отрезков А1АЭ, А2А3, •••. Ап_А. Точки А„ А2, .... А„ называются вершинами ломаной, а отрезки АцА2, А2А3, ..., An_vAn—-звеньями ломаной. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений. На рисунке 184, а показана простая
ломаная, а на рисунке 184, б — ломаная с самопересечением (в точке В). Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.
Теорема 12.1. Длина ломаной не меньше Зеины отрезка, соединяющего ее концы.
Доказательство. Пусть А1АгА3 ... А„ — данная ломаная. Заменим звенья ломаной АХА2 и А2А3 одним звеном ^Аз. Получим ломаную АХА3А4 ... А„. По неравенству треугольника она имеет длину, не большую, чем исходная ломаная. Заменяя таким же способом звенья А^Аз и А3А4 звеном АХА4, переходим к ломаной АХА4А5 ... Ап. И так далее. В конце концов мы придем к отрезку АхАп, соединяющему концы ломаной. Отсюда следует, что исходная ломаная имела длину, не меньшую длины отрезка ААп . Теорема доказана.
Задача (1). Даны две окружности с радиусами Rv и R2 и расстоянием между центрами d > В, + R2. Чему равны наибольшее и наименьшее расстояния между точками X и У этих окружностей?
Решение. Для ломаной ОхХУО2 по теореме 12.1 0^2 ^ OVX + XY + УО2 (рис. 185). Значит, d ^ Rx + + XY + R2. Отсюда XY ^ d — Вх — R2. Так как АС = = d — Вх — R2, то наименьшее расстояние между точками
окружностей равно d — В1 — — В2.
Для ломаной XOxO2Y ХУ ^ Bj + d + В2. Так как ВО = d + Bt + В2, то наибольшее расстояние между точками окружностей равно d + Rx + В 2.
Рис. 186Рис. 186Рис. 187Рис. 187
Рис. 186
Рис. 186
Рис. 187
Рис. 187
ВЫПУКЛЬ'Е МНОГОУГОЛЬНИКИ
Ломаная называеся замкнутой, если у нее концы совпадают. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой (рис. 18b). Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной — сторонами многоугольника. Отрезки соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями. Многоугольник с п вершинами, а значит, и с п сторонами, называется п-угольнчком.
Плоским многоугольником или многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником (рис. 187).
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. При этом сама прямая считается принадлежащей полуплоскости. На рисунке 188, а изображен выпуклый многоугольник, а на рисунке 188, б — невыпуклый. Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине.
Теорема 12.2. Сумма углов выпуклого п-угольника равна 180е (п — 2).
Рис 189Рис 189Аз, .Ai,
Рис 189
Рис 189
Доказательство. Пусть Р: АхАй ... Ап — данный выпуклый многоугольник (рис. 189). Проведем диагональ АгАз. Получим треугольник АхАаАз и многоугольник сп — 1 вершинами Pi: AtA3 ... Ап. Углы при вершинах Ах и А3 многоугольника Р равны сумме углов многоугольника Pt и треугольника AiA2A3 при этих вершинах. Отсюда следует, что сумма углов многоугольника Р равна сумме углов многоугольника Рг плюс сумма углов треугольника АхА-Аз, т. е. 180°. Далее таким же способом заключаем, что сумма углов многоугольника Рх равна сумме углов многоугольника Р2: AiA4 ... А„ плюс 180°. А значит, сумма углов многоугольника Р равна сумме углов многоугольника Рг плюс 180° • 2.
Продолжая таким же образом, на (л — 3)-м шаге мы придем к треугольнику А1АП_1А„. А сумма его углов равна 180°. В итоге сумма углов многоугольника Р равна 180° (ге — 3) -f- + 180° = 180° (л — 2). Теорема доказана.
Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине.
Задача (8). Чему равна сумма внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине?
Решение. Сумма внутреннего угла многоугольника и смежного с ним внешнего равна 180°. Поэтому сумма всех внутренних и внешних углов равна 180° ■ п. Но сумма всех внутренних углов по теореме 12.2 равна 180° ■ (л — 2). Значит, сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, равна 180° п — 180° (и — 2) = 360°.
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.
Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.
Теорема 12.3. Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.
Доказательство. Пусть А и В — две соседние вершины многоугольника (рис. 190). Проведем биссектрисы углов многоугольника из вершин А и В. Пусть О — точка их пересечения. Треугольник АОВ равнобедренный с основанием АВ и углами при основании, равными —, где а — угол многоугольника Соединим точку О с вершиной С, соседней с В. Треугольники АВО и С ВО равны по первому признаку равенства треугольников. У них сторона ОВ общая, стороны АВ и ВС равны как стороны многоугольника, а углы при вершине В равны - . Из равенства треугольников следует, что треугольник ОВС равнобедренный с углом при вершине С, равным -^-. А значит, СО есть биссектриса угла С многоугольника.
Теперь соединяем точку О с вершиной В, соседней с С, и доказываем, что треугольник СОВ равнобедренный и ВО — биссектриса угла В многоугольника. И так далее. В итоге получается, что каждый треугольник, у которого одной стороной является сторона многоугольника, а противолежащей вершиной — точка О, является равнобедренным. Все эти треугольники имеют равные бокогые стороны. Отсюда следует, что все вершины многоугольника находятся на окружности с центром О и радиусом, равным боковым сторонам треугольников, а все стороны многоугольника касаются окружности с центром О и радиусом, равным высотам треугольников, проведенным из вершины О. Теорема
доказана.Найдем радиус В описанной окружности и радиус г вписанной окружности для правильного многоугольника со сто-доказана.Найдем радиус В описанной окружности и радиус г вписанной окружности для правильного многоугольника со сто-роной а и числом сторон п (рис. 191). Имеем: в = до —-“ = 90° г2роной а и числом сторон п (рис. 191). Имеем: в = до —-“ = 90° г2R = OB =R = OB =СВСВааР 28iBJ^,Р 28iBJ^,2гт = ОС =2гт = ОС =пСВпСВаапДля правильного треугольникапДля правильного треугольника^Р 2tg2521п^Р 2tg2521пп=3, — = 60,8п=3, — = 60,8
доказана.
Найдем радиус В описанной окружности и радиус г вписанной окружности для правильного многоугольника со сто-
доказана.
Найдем радиус В описанной окружности и радиус г вписанной окружности для правильного многоугольника со сто-
роной а и числом сторон п (рис. 191). Имеем: в = до —-“ = 90° г2
роной а и числом сторон п (рис. 191). Имеем: в = до —-“ = 90° г2
R = OB =
R = OB =
СВ
СВ
а
а
Р 28iBJ^,
Р 28iBJ^,
2г
т = ОС =
2г
т = ОС =
п
СВ
п
СВ
а
а
п
Для правильного треугольника
п
Для правильного треугольника
^Р 2tg2521
п
^Р 2tg2521
п
п=3, — = 60,8
п=3, — = 60,8
Рис. 192Рис. 192
Рис. 192
Рис. 192
аааа
2 sin 60° Vs2 tg 60° 2уЗ
Дня правильного четырехугольника (Квадрата) п = 4, ^- = 45°, 4
~ 2 sin 45° ~ /2’~ 2 tg 45° ~ 2-
Для правильного шестиугольника п = 6, ^- = 30°,
6
R == а; г = = ——•
2 sin 30°2tg30°2
Задача (23). Докажите, что сторона правильного восьмиугольника вычисляется по формуле аа = R К2 — У 2, где R — радиус описанной окружности. '
Решение. Пусть АВ — сторона вписанного квадрата, АС — сторона восьмиугольника (рис. 192). Имеем: АС = УАПг + СПг, AD = — = 5Z£ CD = ОС — GD =
22
о «Уй
= R—, и поэтому
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИДЛИНА ОКРУЖНОСТИ
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ
Наглядное представление о длине окружности получается следующим образом. Представим себе нить в форме окружности. Разрежем ее и растянем за концы. Длина полученного отрезка и есть длина окружности. Как най.и длину окружности, зная ее радиус? Из наглядных соображений ясно, что длина окружности сколь угодно мало отличается
от периметра вписанного в нее выпуклого многоугольника с достаточно малыми сторонами. Исходя из этого, докажем некоторые свойства длины окружности.
Теорема 12.4. Отш шение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, т. е. одно и то же для любых двух окружностей.
Доказательство. Возьмем две произвольные окружности. Пусть Rx и R^ — их радиусы, a Z, и Z2 — длины окружностей. Допустим, что утверждение теоремы неверно и — #= —, например 27?,27?а
(*)(*)11 < X27?,27?а"
(*)
(*)
Впишем в наши окружности правильные выпуклые многоугольники с большим числом сторон п. Если п очень велико, то длины наших окружностей будут очень мало отличаться от периметров рх и ра вписанных многоугольников. Поэтому неравенство («) не нарушится, если в нем заменить Zj на ри a Z2 на р/.
27?,27?аv '
Выразим периметры рг и рг через радиусы окружностей. Из формулы R =—— для радиуса окружности, опи-
2 sin п санной около правильного многоугольника, следует, что стороны вписанных многоугольников равны 2RY sin -^-, п
2Кг sin^-. Поэтому периметрами многоугольников будут р, = п . 180°. 180°„ р, . 180° р2
^-2R, п sin, р» = 2R„ п sin. Отсюда — = n sin,=
пП27?,п 27?а
= nsin-^-, т. е.— = —. А это противоречит неравенству (»«). п 27?,27?а
Теорема доказана.
Отношение длины окружности к диаметру принято обозначать греческой буквой л (читается «пи»): г — = л. 27? Число л — иррациональное. Приближенное значение л я 3,1416.
Таким образом, длина окружности вычисляется по формуле 1 = 2лк.
Рис. 193Рис. 193Рис. 194Рис. 194
Рис. 193
Рис. 193
Рис. 194
Рис. 194
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УГОЛ И ДУГАОКРУЖНОСТИ
Плоским углом называется часть плоскости, ограниченная двумя различными лучами, исходящими из одной точки. Эти лучи называются сторонами угла. Существует два плоских угла с данными сторонами. Они называются дополнительными. На рисунке 193 заштрихован один из плоских углов со сторонами а и Ь.
Если плоский угол является частью полуплоскости, то его градусной мерой называется градусная мера обычного угла с теми же сторонами. Если плоский угол содержит полуплоскость, то его градусная мера равна 360° — а,
где а — градусная мера дополнительного плоского угла.
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу (рис. 194). Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера
соответствующего центрального угла.
Найдем длину дуги окружности, отвечающей центральному углу в п°. Развернутому углу соответствует длина полуокружности лВ. Следовательно, углу в 1° соответствует TtRо
дуга ——, а углу в п соответствует дуга
I = —п.
180
Радианной мерой угла называется отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности. Из формулы для длины дуги окружности следует, что
Z л— = —п,R 180т. е. радианная мера угла получается из градусной умноже-нием на В частности, радианная мера угла 180° равна
л л, радианная мера прямого угла равна —.
Единицей радианной меры углов является радиан. Угол в один радиан — это угол, у которого длина дуги равна радиусу. Градусная мера угла в один радиан равна ^— « 57°. л
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Что такое ломаная, длина ломаной?
Докажите, что длина ломаной не менте длины отрезка, соединяющего ее концы.
Что такое многоугольник, выпуклый многоугольник?
Что такое угол выпуклого многоугольника при данной вершине?
Что такое внешний угол выпуклого многоугольника?
Выведите формулу для суммы углов выпуклого многоугольника.
Докажите, что правильный многоугольник является вписашлям в окружность и описанным около окружности.
Выведите формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей правильного п-угольника.
Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей для правильнсго треугольника, квадрата, шестиугольника.
Докажите, что отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, т. е. одно и то же для всех окружностей.
По какой формуле вычисляется длина окружности?
Что такое плоский угол?
Что такое центральный угол?
Что такое дуга окружности, отвечающая данному центральному углу?
По какой формуле вычисляется длина дуги окружности?
Что такое радианная мера угла?
Чему равны радианные меры углов 18U' и СЭ°?
УПРАЖНЕНИЯ
Дады две окружности с радиусами Rx и R^ и расстоянием между центрами d > Ri + 7?г. Чему равны наибольшее и наименьшее расстояния между точками У и X этих окружностей?
Раптито задачу 1 при условии, что d < R^ — R^.
Докажите, что если вершины ломаной не лежат на одной прямой, то длина ломаной больше длины отрезка, соединяющего ее концы.
Докажите, что у замкнутой ломаной расстояние между любыми двумя вершинами не больше половины длины ломаной.
Докажите, что у замкнутой ломаной длина каждого звена не больше суммы длин остальных звеньев.
Может ли замкнутая ломаная иметь звенья длиной 1 м, 2 м, 3 м, 4 м, 11 м? Объясните ответ.
Д 'кя жите, что если концы ломаной лежат по разные стороны от данной прямой, то она пересекает эту прямую.
Чему равна сумма внешних углов выпуклого п-уголь- ника, взятых по одному при каждой вершине?
Углы выпуклого четырехугольника пропорциональны числам 1, 2, 3, 4. Найдите их.
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен: 1) 13b°, 2) 150°?
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, ес- I ли каждый из внешних его углов равен: 1) 36°, 2) 24 ?
Докажите, что взятые через одну вершины правильного 2п-угольника являются вершинами правильного п-уголь- 1 ника.
Докажите, что середины сторон правильного п-уголь- ника являются вершинами другого правильного п- угольника.
Докажите, что правильные n-угольники с одинаковыми сторонами равны, т. е. совмещаются движением.
Докажите, что правильные n-угольники подобны, т. е. переводятся друг в друга преобразованием подобия.
Сколько диагоналей у п-угольника?
Хорда, перпендикулярная радиусу и проходящая через его середину, равна стороне правильного вписанного треугольника. Докажите.
У правильного треугольника радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности. Докажите.
Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна а. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.
В окружность, радиус которой 4 дм, вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.
Конец валика диаметром в 4 см опилен под квадрат. Определите наибольший размер, который может иметь сторона квадрата.
Конец винта газовой задвижки имеет правильную трехгранную форму. Какой наибольший размер может
иметь каждая грань, если цилиндрическая часть винта имеет диаметр 2 см?
Докажите, что сторона правильного 8-Угольника вы" числяется по формуле ag = R/2-]/2, где R — радиус описанной окружности.
Докажите, что сторона правильного 12-Угольника ЕЫ" числяется по формуле а1г = 7?) 2 —|3, где R — радиус описанной окружности.
Найдите стороны правильного пятиугольника и пРа" вильного 10-угольника, вписанных в окружность радиуса R.
Сторона правильного многоугольника равна а, а радиус описанной окружности R. Найдите радиус вписанной окружности.
Сторона правильного многоугольника равна а, а радиус вписанной окружности г. Найдите радиус описанной окружности.
Выразите сторону Ъ правильного описанного многоугольника через радиус R окружности и сторону а правильного вписанного многоугольника с тем же чис' лом сторон.
Выразите сторону а правильного вписанного многоугольника через радиус R окружности и сторону Ъ правильного описанного многоугольника с тем же числом сторон.
Впишите в окружность правильный 12-угольник.
Опишите около окружности правильный 8-угольник.
Вычислите длину окружности, если радиус равен: 1) 10 м; 2) 15 м.
На сколько изменится длина окружности, если радиус изменится на 1 мм?
Найдите отношение периметра правильного вписанного 8-угольника к диаметру и сравните его с приближенным значением л.
Решите задачу 34 для правильного 12-угольника.
Найдите радиус земного шара, исходя из того, что 1 метр составляет одну 40-миллионную долю длины экватора.
На сколько удлинился бы земной экватор, если бы радиус земного шара увеличился на 1 см?
п равных окружностей, расположенных внутри окружности радиуса R, касаются между собой и данной окружности. Найдите радиус этих окружностей, если число их п равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6.
Решите предыдущую задачу, если окружности расположены вне данной окружности.
Шкив имеет в диаметре 1,4 м и делает 80 оборотов в минуту. Найдите скорость точки на окружности шкива.
6 А. В. Погорелов161
площадь большого квадрата равна сумме площадей малых квадратов. Так как площадь большого квадрата равна единице, а число малых квадратов равно 102”, то площадь ма1 лого квадрата
Так как числа а : — = а ■ 10” и Ъ : — = b . 10” 10"10"
целые, то стороны прямоугольника можно разбить на целое число частей, равных ^. На стороне а их будет а • 10", а на стороне Ъ их будет b • 10”. Проведем через точки де
ления сторон прямые, параллельные сторонам прямоугольника. При этом мы получим разбиение прямоугольника на
малые квадраты со стороной —. Число их будет а ■ 10’ х
X Ь ■ 10”. Площадь прямоугольника равна сумме площадей содержащихся в нем малых квадратов. Так как плсщадь малого квадрата равна ^^« а число их равно об • 102'', то площадь прямоугольника равна ab • 102" ■ 1 = ab.
102"
Пусть теперь хотя бы одна из сторон прямоугольника а и Ъ выражается бесконечной десятичной дробью. Обозначим через щ и ай приближенные значения числа а с недостатком и с избытком с точностью до п десятичных знаков. Приближенные значения числа Ьстой же точностью обе значим через Ь1 и 62. Прямоугольник со сторонами а1 и Ь1 имеет площадь меньшую, чем данный, так как его можно поместить внутрь
данного. Прямоугольник со сторонами а2 и Ъг имеет площадь большую, чем данный, так как данный прямоугольник можно поместить внутрь него. По доказанному площадь прямоугольника со сторонами ах и Ьх равна ахЬх, а площадь прямоугольника со сторонами а3 и ^2 равна а«Ьо. Таким образом, площадь S нашего прямоугольника заключена между ахЬх и а4Ье. Так как a^t и айЬ2 дают приближенное значение аЪ с любой наперед заданной точностью, если п достаточно велико, то S = ab. Итак, плси^адъ прямоугольника вычисляется по формуле
S = ab.
ПЛОЩАДИ ПРОСТЫХ ФИГУР
Найдем площадь параллелограмма. Пусть ABCD — данный параллелограмм (рис. 197). Если он не является прямоугольником, то один из его углов, Л или В, острый. Пусть для определенности угол А острый, как изображено на рисунке 197. Опустим перпендикуляр АЕ из вершины А на прямую CD. Площадь трапеции АВСЕ равна сумме площадей параллелограмма ABCD и треугольника ADE.
Опустим перпендикуляр BF из вершины В на прямую CD. Тогда площадь трапеции АВСЕ равна сумме площадей прямоугольника ABFE и треугольника BCF. Прямоугольные треугольники ADE и BCF равны, а значит, имеют равные площади. Отсюда следует, что площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника ABFE, т. е. равна АВ • BF. Отрезок BF называется высотой параллелограмма, соответствующей сторонам АВ и CD.
Итак, плои^адъ параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Найдем площадь треугольника. Пусть АВС — данный треугольник (рис. 198). Дополним этот треугольник до параллелограмма ABCD, как указано на рисунке. Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников АВС и CDA. Так как эти треугольники равны, то площадь параллелограмма равна удвоенной площади тре-
угольника АЕС. Высота параллелограмма, соответствующая стороне АВ, равна высоте треугольника АВС, проведенной к стороне АВ.
Отсюда следует, что пло- шл8ъ треугольника равна половине произведения его стероны на высоту, проведенную к этой стороне.
Задача (16). Докажите справедливость формулы для площади треугольника ABC; S = ~-АВ ' -^ ' sin -А-
Решение. Проведем в треугольнике АВС высоту BD (рис. 199). Имеем: S = "^^ ‘ -®^- ^з прямоугольного треугольника ABD BD = АВ • sin а, если угол а острый (рис. 199, а), BD = АВ sin (180J — а), если угол а тупой (рис. 199, о). Так как sin (180° — с.) = sin а, то в любом случае ВD = АВ sin а. Следовательно, площадь треугольника S = ^-АС • АВ sin А.
2
Задача (37). Выведите формулу Герона для площади треугольника:
5 ^р^р — а^р — Ъ^р — с^ ,
где а, Ь, с — длины сторон треугольника, up — полупериметр.
Решение. Имеем:
Л = — ab sin v,
2
где у — угол треугольника, противолежащий стороне с. По теореме косинусов
са = а2 + Ьг — 2ab cos у.
ОтсюдаОтсюдаа2 4 ^2 — с8
Отсюда
Отсюда
СОЗ V = 1,2аЬ
sin" у = 1 — cos2 у = (1 COS у) (1 + cos у) =<
= И _ °s + Ь2 — с2 \ Л J о2 + Ь* — с*\ _
\2аЬ ) \2аЬ )
_ 2аЬ — О1 Ь2 + с* 2аЬ 4- а2 4™ Ь2 — с2
2а62аЬ
_ с2 — (с — 6)2 , (Д 4- 6)2 СЧ _2оЬ2аЬ
= ^(с-° + 6)(с + й-Ь)(й + 6-с)(а + 6 + с).
Замечая, что (а + b + с) = 2р, а + Ъ — с = 2р — 2с, а + с — b = 2р — 2Ь, с — а 4- Ь = 2р — 2а, получаем:
sin у = ^:Ур<Р — а) (р — b)(p — с) •ао
Таким образом,
S = 1 об sin у = Vр(р — а^р — Ь) (Р — с) .
Найдем площадь трапеции. Пусть ABCD — данная трапеция (рис. 200). Диагональ трапеции АС разбивает еэ на два треугольника: АВС и CDA. Следовательно, площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников. Площадь треугольника АВС равна АВ • СЕ, площадь треугольника ACD равна ^ ВС ■ AF. Высоты СЕ и AF этих треугольников равны расстоянию между параллельными прямыми АВ и CD. Это расстояние называется высотой трапеции.
Следовательно, пяощадь трапеции равно произведению полусуммы ее оснований на высоту.
Рис. 200
Задача (38). Выведите следующие формулы для радиусов описанной (В) и вписанной (г) окружностей треугольника:
„ abc2S
R —, Г =,
4Sа + Ъ + с
где а, Ь, с — стороны треугольника, aS — его площадь.
Решение. Начнем с формулы для R. Как мы знаем,
R = —-—, где а — угол, противолежащий сторс не а тре- 2 s’” а
угольника (задача 21 § 11).
Умножая числитель и знаменатель правой части на Ьс 1 ,.~abc
и замечая, что — ос sin а = S, получим: R = —.
24S
Выведем формулу для г (рис. 201). Плошадь треугольника АВС равна сумме площадей треугольников О 1В, ОВС и ОСА:
S — — сг + — аг + -Ъг.222
Отсюда.
2Sг = —.
а + Ь + с
ПЛОЩАДИ ПОДОБНЫХ ФИГУР
Пусть Ft и f2 — Две подобные простые фигуры. Вычснлм, как относятся площади этих фигур. Так как фигуры подобны, то существует преобразование подобия, при котором фигура J?! переходит в фигуру В2.
Разобьем фигуру FT на треугольники А,', А', Д' Преобразование подобия, переводящее фигуру Ft в F2, переводит эти треугольники в треугольники А], А2, Аз, ... разбиения фигуры Fa. Площадь фигуры Fx равна сумме площадей треугольников AJ, А2, .... а площадь фигуры Fa равна сумме площадей треугольников Аь А2, ... .
Если коэффициент подобия равен к, то размеры треугольника Л„ в к раз больше соответствующих размеров треугольника Ап. В частности, стороны и высоты треугольника Ак
в h раз больше, чем соответствующие стороны и высоты треугольника △„. Отсюда следует, что S (А„) = A2 S (А^). Складывая эти равенства почленно, получим:
S (FJ - А28 (F,).
Коэффициент подобия А равен отношению соответствующих линейных размеров фигур F2 и FJ Поэтому площади подобных фигур относятся ках квадраты их соответствуй едих линейных размеров.
ПЛОЩАДЬ КРУГА
Кругом называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром круга, а данное расстояние — радиусом круга. Границей круга является окружность с теми же центром и радиусом. Найдем формулу для площади круга.
Прежце всего докажем, что площадь выпуклого многоугольника, описанного около круга, вычисляется по формуле
8 = ^
2
где р — периметр, т. е. сумма длин сторон многоугольника, аг — радиус круга.
Проведем отрезки, соединяющие центр круга с вершинами многоугольника (рис. 202). Они разбивают наш многоугольник на треугольники АХОА2, А2ОА3, ... . Площадь многоугольника равна сумме площадей треугольников. Площади треугольников:
5 <АХОА^ = ^ А,А2 - т, S (А2ОА,) = А АаА3 - г Складывая площади треугольников, получим площадь многоугольника:
S - А АХА2 - г + 1а2Аэ • г + ... =
= (А,А2 + А2А3 + ...) г.
В скобках стоит периметр многоугольника. Формула доказана.
Найдем теперь площадь S круга радиуса R. Опишеи около круга пра
вильней п-угсльник Рх и впишем в РиС1 202
круг правильный n-угольник Р- (рис. 203). Многоугольник Рх содержит круг, а следовательно, имеет площадь, большую площади круга. Многоугольник Р2 содержится в круге, а поэтому имеет площадь, меньшую площа и круга. Площади многоугольников Р, и Р»:
Si = — PiP, S2 = — pj",
где г — радиус окружности, вписанной в многоугольник Ру а рг и рй — периметры мн эгоугольников Pv И Ру
Пусть Ъ и а — стороны многоугольников Рг и Р2. Из треугольника АСВ (рис. 203) получаем:
а
, „ ACb 2. „ . „180’
АВ =, или — = — , где а — А ВАС =.
cos а2 cos ап
Отсюда пЬ = -^-, т. е. рг= ——. Из треугольника О АС по- cosacos а
лучаем: г = ОС = Р cos а. Теперь
с 1 В с 1
»1 = ~р2., S3=-p2Pcosa.
2 cos а2
При достаточно большом п периметр р2 сколь угодно мал э отличается от длины окружности круга, cos а сколь угодно мало отличается от 1, так как угол а сколь угодно мал. Следовательно, 8к сколь угодно мало от 1ичается от —, где I — длина окружности круга. По тем же соображениям 2
и S2 сколь угодно мало отличается от — Площадь круга
S заключена между 8г и S2, поэтому и она сколь угодно ма- IR АК
ло отличается от —. А это может быть только в том случае, когда S = —.
Итак, площадь круга вычисляется по формуле
S=— = лР2.
2
Круговым сектором называется часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла (рис. 204).
К пограбь кругового сектора вычисляется по формуле:К пограбь кругового сектора вычисляется по формуле:S—S—360 “’360 “’
К пограбь кругового сектора вычисляется по формуле:
К пограбь кругового сектора вычисляется по формуле:
S—
S—
360 “’
360 “’
где R — радиус круга, а а — градусная мера соответствую
щего центрального угла.
Круговым сегменты: называется общая часть круга и полуплоскости (рис. 205). Площавь сегмента, не равного полукругу, вычисляется по формуле
S =<z +
360 - д’
где а — градусная мера центрального угла, который содержит дугу этого кругового сегмента, а £д —■ площадь треугольника с вершинами в центре круга и концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор. Знак «—» надо брать, когда а < 180°, а знак «т» надо брать, когда а > 180°.
ВОПРОСЫ для ПОВТОРЕНИЯ
Сформулируйте свойства площади.
Докажите, что площадь прямоугольника со сторонами а и Ъ равна ab.
Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Докажите, что площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Докажите, что площадь описанного выпуклого многоугольника равна произведению его пслупериметра на радиус круга.
Как относятся площади подобных фигур?
Выведите формулу площади круга.
По каким формулам вычисляются площади кругового сектора и кругового сегмента?
УПРАЖНЕНИЯ
Докажите, что сумма площадей квадратов, построэнных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.
Стороны двух участков земли квадратной формы равны 100 м и 150 м. Найдите сторону квадратного участка, равновеликого им.
Найдите площадь квадрата S по его диагонали а.
Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в ту же окружность?
Как изменится площадь квадрата, если каждую его сторону увеличить в 3 раза?
Во сколько раз надо уменьшить стороны квадрата, чтобы его площадь уменьшилась в 25 раз?
Чему равны стороны прямоугольника, если они относятся как 4:9, а его площадь 144 м2?
Чему равны стороны прямоугольника, если его периметр 74 дм, а площадь 3 м"2?
Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если площадь его равна половине площади прямоугольника.
Квадрат и ромб имеют одинаковые периметры. Какая из фигуо имеет большую площадь? Объясните ответ.
Найдите площадь ромба, если его высота 10 см, а острый угол 30'.,
Найдите площадь ромба, если его высота 12 см, а меньшая диагональ 13 см.
Докажите, что площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
Найдт'те сторону ромба, зная, что его диагонали относятся как 1 : 2, а площадь ромба равна 12 см2.
Докажите, что если диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны, то его площадь равна половине произведения диагоналей.
Докажите справедливость формулы для площади треугольника АВС;
/
S = —АВ- AC sin А.
2
У треугольника АВС АС = а, ВС = Ъ. При каком угле С площадь треугольника будет наибольшей?
Найдите площадь равнобедренного треугольника, у которого боковые стороны равны 1 м, а угол между ними равен 70°.
Найдите площадь параллелограмма, если его стороны 2 м и 3 м, а один из углов равен 70°.
Найдите площадь треугольника по стороне а и прилежащим к ней углам а и р.
Докажите, что площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.
Дс кажите, что среди всех параллелограммов с данными диагоналями наибольшую площадь имеет ромб.
Разделите данный треугольник на три равновеликих части прямыми, проходящими через одну вершину.
Решите предыдущую задачу, взяв вместо треугольника параллелограмм.
Чему равна площадь равнобедренного треугольника, если его основание 120 м, а боковая сторона 100 м?
Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой а.
У треугольника со сторонами 8 см и 4 см проведены высоты к этим сторонам. Высота, прсведенная к стороне 8 см, равна 3 см. Чему равна высота, проведенная к стороне 4 см?
Докажите, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам, т. е.
„ . . . „ 1 1 1
а : о : с = — : — : —.
ha ^Ь ^с
Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной а.
Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в круг радиуса Я.
Чему равна площадь прямоугольного треугольника, если его высота делит гипотенузу на отрезки 32 см и 18 см?
Чему равны катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 73 см, а площадь равна 1320 см2?
Найдите плошадь треугольника по трем сторонам: 13, 14, 15.
Найдите метшую высоту треугольника со сторонами 13, 14, 15.
Найдите площадь трапеции, у которой параллельные стороны 60 см и 20 см, а непараллельные — 13 см и 37 см.
В равнобокой трапеции большее основание равно 44 м, боковая сторона 17 м и диагональ 39 м. Найдите площадь трапеции.
Выведите формулу Герона для площади треугольника: s = КХр —о)(р —Ь)Ср —«) '
где а, Ъ, с — длины сторон треугольника, ар — полупериметр.
Выведите следующие формулы для радиусов описанной (7?) и вписанной (г) окружностей треугольника: _ abc2S
В = —-, г =,
4Sа + Ь + с
где а, Ь, с — стороны треугольника, a S — его площадь.
Найдите радиусы описанной (В) и вписанной (г) окружностей для треугольника со сторонами: 1) 13, 14, 15;
15, 13, 4; 3) 35, 29, 8; 4) 4, 5, 7.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 6 см, высота равна 4 см. Найдите радиус описанной окружности.
Докажите, что в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой.
Катеты прямоугольного треугольника равны 40 см и 42 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.
Найдите площадь круга, если длина окружности L
Найдите площадь кругового кольца (рис. 206), заключенного между двумя окружностями с одним и тем же центром и радиусами: 1) 4 см и 6 см; 2) 5,5 м и 6,5 м;
а и 6 (а > 6).
Во сколько раз увеличится площадь круга, если его диаметр увеличить: 1) в 2 раза ; 2) в 5 раз; 3) в т раз?
Найдите отношение площади круга к площади вписанного в него: 1) квадрата; 2) правильного треугольника, 3) правильного шестиугольника.
Найдите отношение площади круга, вписанного в правильный треугольник, к площади круга, описанного около него.
Найдите отношение площади круга, описанного около ■ квадрата, к площади круга, вписанного в него.
Найдите площадь сектора круга радиуса R, если соответствующий этому сектору центральный угол равен: 1) 40°; 2) 90°; 3) 150°; 4) 240°; 5) 300°; 6) 330°.
Дана окружность радиуса К. Найдите площадь сектора, соответствующего дуге с длиной, равной: 1) R; 2) I.
Найдите площадь кругового сегмента с основанием а} 3 „ а и высотой —.
2
Найдите площадь той части круга, которая расположена вне вписанного в него: 1) квадрата, 2) правильного треугольника, 3) правильного шестиугольника. Радиус круга R.
9 класс
СТЕРЕОМЕТРИЯ
АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ
Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. В стереометрии так же, как и в планиметрии, свойства геометрических фигур устанавливаются путем доказательства соответствующих теорем. При этом отправными являются свойства основных геометрических фигур, выражаемые аксиомами. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. Введение нового геометрического образа — плоскости — заставляет расширить систему аксиом. А именно мы вводим группу аксиом С, которая выражает основные свойства плоскостей в пространстве. Эта группа состоит из следующих трех аксиом:
Cv Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и течки, не принадлежащие ей.
С2. Если Эве различные плоскости имеют общую точку, то они net есекаются по прямой.
Этой аксиомой утверждается, что если две различные плоскости аир имеют общую точку, то существует прямая с, принадлежащая каждой из этих плоскостей. При этом если точка С принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой с.
С3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну,
Это значит, чти если две различные прямые а и b имеют общую точку С, то существует плоскость у, содержащая прямые а и Ь. Плоскость, обладающая этим свойством, единственна.
Таким образом, система аксиом стереометрии состоит ив аксиом планиметрии и группы аксиом С. Для удобства изложения напомним аксио±лы планиметрии первой группы.
Ir Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и течки, не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ АКСИОМ СТЕРЕОМЕТРИИ
Теорема 14.1. Через прямую и не лежащую на н?й точку можно провести плоскость, и притом только одну.
Доказательство. Пусть а — данная прямая и В — не лежащая на ней точка (рис. 207). Отметим на прямой а какую-нибудь точку А. Такая точка существует по аксиоме It. Проведем через точки А и В прямую b (аксиома 12). Прямые а и Ь различны, так как точка В прямой b не лежит на прямой а. Прямые а и b имеют общую точку А. Проведем через прямые а и Ь плоскость а (аксиома Сз). Эта плоскость проходит через прямую а и точку В.
Докажем теперь, что плоскость а, проходящая через прямую а и точку В, единственна. Допустим что существует другая, отличная от а, плоскость а', проходящая через прямую а и точку В. По аксиоме С2 плоскости а и а', будучи различными, пересекаются по прямой. Следовательно, любые три общие точки плоскостей а и а' лежат на грямой. Но точка В н две точки прямой а заведомо не лежат на одной прямой. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана полностью.
Задача (5). Четыре точки не лежат в одной плоскости. Могут ли какие-нибудь три из них лежать на одной прямой? Объясните ответ.
Решение. Допустим, что какие-нибудь три точки лежат на одной прямой. Проведем через эту прямую и четвертую точку плоскость (теорема 14.1). В этой плоскости лежат все четыре точки. А это противоречит условию задачи. Значит, никакие три точки не могут лежать на одной прямой.
Рпс. 207Рпс. 207Теорема 14.2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.
Рпс. 207
Рпс. 207
Доказательство. Пусть а — данная прямая и а — данная плоскость (рис. 208). По аксиоме 1£ существует точка А, не лежащая на прямой а. Проведем через прямую а и точку А плоскость а'. Если плоскость а' совпадает с а, то плоскость а содержит прямую а, что и утверждается теоремой. Если плоскость а' отлична от а, то эти плоскости пересекаются по прямой а, содержащей две точки прямой а. По аксиоме L. прямая а' совпадает с а и, следовательно, прямая а лежит в плоскости а. Теорема доказана.
Из теоремы 14.2 следует, что плоскость и не лежащая на ней прямая либо не
Гис. 210Гис. 210пересекаются, либо пересекаются в одной точке.
Гис. 210
Гис. 210
Задача (7). Даны две различные прямые, пересекающиеся в точке А. Докажите, что все прямые, пересекающие две данные и не проходящие через точку А, лежат в одной плоскости.
Р е ш е н и е. Проведем через данные прямые а и 6 плоскость а (рис. 209). Это можно сделать по аксиоме С3. Прямая с, пересекающая данные прямые, имеет с плоскостью а две общие точки М и N (точки пересечения с данными прямыми). По теореме 14.2 эта прямая должна лежать в плоскости а.
Теорема 14.3. Через три точки, не лежащие на прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
Доказательство. Пусть А, В, С — три данные точки, не лежащие на одной прямой (рис. 210). Проведем рямые АВ и АС; они различны, так как точки А, В, С не лежат на одной прямой. По аксиоме С3 через прямые АВ и АС можно провести плоскость а. Эта плоскость содержит точки А,В.С.
Докажем, что плоскость а, проходящая через точки А, В, С, единственна. Действительно, плоскость, проходящая через точки А, В, С, по теореме 14.2 содержит прямые АВ и АС. А по аксиоме С3 такая плоскость единственна.
Задача (11). Можно ли провести плоскость через три точки, если они лежат на одной прямой? Объясните ответ.
Решение. Пусть А, В, С — три точки, лежащие на прямой а. Возьмем точку D, не лежащую на прямой а (аксиома IJ. Через точки А, В, D можно провести плоскость (теорема 14.3). Эта плоскость содержит две точки прямой а — точки А и В, а значит, содержит и точку С этой прямой (теорема 14.2). Следовательно, через три точки, лежащие на одной прямей, всегда можно провести плоскссть.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Что такое стереометрия?
Сформулируйтз аксиомы группы С.
Докажите, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.
Докажите, что если две точки прямей принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит плоскости.
Докажите, что через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
УПРАЖНЕНИЯ
Точки Л, В, С и В не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые АВ и СВ не пересекаются.
Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, не лежащую с ними в одной плоскости? Объясните ответ.
Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.
Даны три различные попарно пересекающиеся плоскости. Докажите, что если две из прямых пересечения этих плоскостей пересекаются, то третья прямая проходит через точку их пересечения.
Четыре точки не лежат в одной плоскости. Могут ли какие-нибудь три из них лежать на одной прямой? Объясните ответ.
Даны две не пересекающиеся плоскости. Дскажите, что поямая, пересекающая одну из этих плоскостей, пересекает и другую.
Даны две различные прямые, пересекающиеся в точке А. Докажите, что все прямые, пересекающие данные и не проходящие через точку А, лежат в одной плоскости.
Дскажите, уто все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости.
Докажите, что если прямые АВ и CD не лежат в одной плоскости, то прямые АС и ВВ также не лежат в одной плоскости.
Даны четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько можно провести различных плоскостей, проходящих через три из этих точек? Объясните ответ.
Можно ли провести плоскость через три точки, если они лежат на одной прямой? Объясните ответ.
Можно ли через той точки, лежащие на одной прямой, провести две раз,личные плоскости? Объясните ответ.
Даны четыре точки. Известно, что прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки. Докажите, что данные четыре точки не лежат в одной плоскости.
§ 15. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекают< я. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются (жреидааюи^имася.
Рис. 211Рис. 211Задача (1). Докажите, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости.
Рис. 211
Рис. 211
Решение. Так как данные прямые а и 6 параллельны, то через них можно провести плоскость (рис. 211). Обозначим ее а. Прямая с, пересекающая данные параллельные прямые, имеет с плоскостью а две общие точки — точки пересечения с данными прямыми. По теореме 14.2 эта прямая лежит в плоскости а. Итак, все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости — плоскости а.
Т е о р е м а 15.1. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.
Доказател ь с т в о. Пусть а — данная прямая и А — точка, не лежащая на этой прямой (рис. 212). Проведем через прямую а и точку А плоскость а. Проведем через точку А в плоскости а прямую аг, параллельную а. Докажем, что прямая щ, параллельная а, единственна.
Допустим, что существует другая прямая а2, проходящая через точку А и параллельная прямой а. Через прямые а и а2 можно провести плоскость а2. Плоскость а2 проходит через прямую а и точку А; следовательно, по теореме 14.1 она совпадает с а. Теперь по аксиоме параллельных прямые ах и а2 совпадают. Теорема доказана.
Задача (2). Прямые а и Ь пересекаются. Докажите, что все прямые, параллельные прямой b и пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости.
Решение. Пусть с — прямая, параллельная прямой b и пересекающая прямую а (рис. 213). Проведем через прямые а и Ь плоскость а. Проведем через точку С пересечения прямых а и с в плоскости а- прямую с , параллельную Ъ. По теореме 15.1 через точку С можно провести только одну прямую, параллельную Ъ. Отсюда следует, что прямая с совпадает с прямой с*, а значит, лежит в плоскости а. Итак, любая прямая с, параллельная 6 и пересекающая прямую а, лежит в плоскости ос. Что и требовалось доказать.
Теорема 15.2. Дее прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
Д о к а з aтельство, Пусть прямые Ъ и с параллельны прямой а. Докажем, что прямые бис параллельны.
Случай, когда прямые о, 6, с лежат в одной плоскости, был рассмотрен в планиметрии. Поэтому предположим, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Пусть р— плоскость, в которой лежат пряные а и b, а у— плоскость, в которой лежат прямые а и с. Плоскости р и у различны (рис. 214). Отметим на прямой b какую-нибудь точку В и проведем плоскость i^ через прямую с и точку В. Она пересечет плоскость р по прямой bv
Прямая bj не пересекает плоскость у. Действительно, течка пересечения должна принадлежать прямой а, так как
прямая bi лежит в плоскости р. С другой стороны, сна должна лежать и на прямой с,так как прямая bj лежит в плоскости Yi- По прямые а и с как параллельные не пересекаются.
Так как прямая bY лежи-k в плоскости р и не пересекает прямую а, то она параллельна а, а значит, совпадает с b по аксиоме параллельных. Таким образом, прямая Ь, совпадая с прямой bu лежит в одной плоскости с прямой с (в плоскости yj и не пересекает ее. Значит, прямые b и с параллельны. Теорема доказана.
Задача (1Э). Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
Решение. Пусть ABCD — данный пространственный четырехугольник (вершины четырехугольника не лежат в одной плоскости) (рис. 215). Пусть Ап Ви Сх, Dx — середины его сторон. Тогда А1Вг — средняя линия треугольника АВС, параллельная стороне АС, С1В1 — средняя линия треугольника ACD, тоже параллельная стороне АС. По теореме 15.2 прямые ^В! и СгВх параллельны, а значит, лежат в одной плоскости. Точно так же доказывается параллельность прямых AvD^ и BYCV Итак, четырехугольник A1B,C1D1 лежит в одной плоскости и его противолежащие стороны параллельны. Следовательно, он — параллелограмм.
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ и плоскости
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются.
Теорема 15 3. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна гакой-нмбудь прямой в этой плос-
кости, то она параллельна и самой плоскости.
Доказательство. Пусть а— плоскость, а — не лежащая в ней прямая и ^ — прямая в плоскости а, параллельная прямой а. Проведем плоскость а± через прямые а и аг (рис. 216). Она отлична от а, гак как прямая а не лежит в плоскости а. Плоскости а и at пересекаются по прямой av Если бы прямая а пересекала плоскость а, то точка пересечения принадлежала бы прямой аЛ. Но
это невозможно, так как прямые а и ак параллельны. Итак, прямая а не пересекает плоскость а, а значит, параллельна плоскости а. Теорема доказана.
Задача (16). Докажите, что через любую из двух скрещивающихся пря
мых можно провести плоскость, парал- Рис. 217 лельную другой прямой.
Решение. Пусть а и b — две скрещивающиеся прямые (рис. 217). Возьмем на прямой а любую точку и проведем через нее прямую Ь', параллельную прямой Ь. Проведем через прямые а и Ь' плоскость а. По теореме 15.3 она будет параллельна прямой Ь.
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Теорема 15.4. Две плоскости параллельны, если одна из них параллельна двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости.
некоторой пря-некоторой пря-Доказательство. Пусть аир — данные плоскости и Ьг, Ь2 — две пересекающиеся прямые в плоскости Р, параллельные плоскости а (рис. 218). Плоскости аир раз
некоторой пря-
некоторой пря-
личны. Допустим, что они пересекаются по мой с. Прямые bi и Ь2 не пересекают плоскость а; следовательно, не пересекают прямую с этой плоскости. Но это невозможно по аксиоме параллельных, так как прямые Ьц b2 ис лежат в одной плоскости — плоскости р. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
Задача (19). Даны Две скрещивающиеся прямые. Как провести через них две параллельные плоскости?
Рис. 220Рис. 220Рис. 219
Рис. 220
Рис. 220
Решение. Пусть а и b — данные скрещивающиеся прямые (рис. 219). Через произвольную точку прямой а проведем прямую Ь', параллельную д, а через произвольную точку прямой 6 проведем прямую а', параллельную а. Теперь проведем две плоскости—одну через прямые а и д', а другую через прямые b и а'. По теореме 15.4 эти плоскости параллельны. В первой из них лежит прямая а, а во второй — прямая Ь.
Теорема 15.5. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.
Доказательство. Проведем в данной плоскости «"какие-нибудь две пересекающиеся прямые а и Ь (рис. 220). Через данную точку А проведем параллельные им прямые аг и bv Плоскость р, проходящая через прямые aY и bY, по теореме 15.4 параллельна плоскости а.
Допустим, что через точку А проходит другая плоскость— Р', параллельная плоскости а. Плоскость параллельных прямых а и аЛ пересекает плоскость Р' по прямой а'. Прямая а" не пересекает прямую а, так как она не пересекает содержащую а плоскость а. Поэтому прямая а' параллельна прямой а и, значит, по аксиоме параллельных совпадает с прямой аг. Плоскость параллельных прямых b и Ъх пересекает плоскость Р' по прямой Ь'. Прямая Ь' не пересекает прямую д. Поэтому прямая д'параллельна прямой д, а значит, совпадает с прямой bv Так как по аксиоме С3 через прямые ах и Ьх можно провести только одну плоскость, то плоскость р' совпадает с плоскостью р. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
Задача (23). Плоскости аир параллельны плоскости у. Могут ли плоскости аир пересекаться?
Решение. Плоскости а и р не могут пересекаться. Если бы плоскости а и Р имели общую точку, то через эту точку проходили бы две плоскости (а и Р), параллельные плоскости у. А это противоречит теореме 15.5.
Тео рема 15.6. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны (рис.221).
Доказательство. Согласно определению параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Наши прямые лежат в одной плоскости — секущей плоскости. Они не пересекаются, так как не пересекаются содержащие их параллельные плоскости. Значит, прямые параллельны. Теорема доказана.
Задача (33). Даны две параллельные плоскости at и a2 и точка А, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Через точку А проведена произвольная прямая. Пусть Хг и Х2 — точки пересечения ее с плоскостями оц и а4. Докажите, что отношение длин отрезков АХ^ : АХг не зависит от взятой прямой.
Р е ш е н и е. Проведем через точку А другую прямую и обозначим через Yt и Y„ точки пересечения ее с плоскостями at и а2 (рис. 222). Проведем через прямые АХк и АУ1 плоскость. Она пересечет плоскости at и а2 по параллельным прямым ^Yi и XX» (теорема 15.6). Отсюда следует подобие треугольников AXxYx и AX2Y2. А из подобия треугольников следует пропорция
АХ _ ЛАХ2 ~ ЛУ2*
т. е. отношения АХх: АХ2 и AY1 : ЛУ2 одинаковы для обеих прямых.
Теорема 15.7 Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.
Доказательство. Пусть о^ и а3 — параллельные плоскости, а и b — пересекающие их параллельные пря-
мые, Ai, А2 и Blt В2—точки пересечения прямых с плоскостями (рис. 223). Проведем через прямые а и b плоскость. Она пересекает плоскости а£ и а2 по параллельным прямым ALBt и А2В2. Четырехугольник AlBiB2A2 — параллелограмм, так каку него противолежащие стероны параллельны. А у параллелограмма противолежащие стороны равны. Значит, AjAg = В1В2. Теорема доказана.
ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЛГУРНА ПЛОСКОСТИ
Для изображения пространственных фигур на плоскости обычно пользуются параллельным проектированием. Этот способ изображения фигуры состоит в следующем. Берем произвольную прямую п, пересекающую плоскость чертежа, и проводим через произвольную точку А фигуры прямую, параллельную й. Точка Ах пересечения этой прямой с плоскостью чертежа будет изображением точки А (рис. 224). Построив таким образом изображение каждой точки фигуры, получим изображение самой фигуры. Такой способ изображения пространственной фигуры на плоскости соответствует зрительному восприятию фигуры яри рассматривании ее издали.
Отметим некоторые свойства изображения фигуры на плоскости, вытекающие из описанного ее построения.
Прямолинейные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа отрезками (рис. 225). Действительно, все прямые, проектирующие точки отрезка АС, лежат в одной плоскости, пересекающей плоскость чертежа а по прямой А1С1. Произвольная точка В отрезка АС изображается точкой Bv отрезка Aj^.
Замечание. В только что доказанном свойстве и далее предполагается, конечно, что проектируемые отрезки не
параллельны направлению проектирования.
Параллельные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежи параллельными отрезками (рис. 226). Дейст-
Рис. 227Рис. 227вительно, пусть АС и А'С'— параллельные отрезки фигуры. Прямые АХСХ и AiCi параллельны, так как они получаются при пересечении параллельных плоскостей с плоскостью а. Первая из этих плоскостей проходит через прямые АС и ААк, а вторая — через прямые А'С' и A'Ai.
Рис. 227
Рис. 227
Отношение отрезков одной прямой или параллельных прямых сохраняется
при параллельном проектировании.
Покажем, например, что (рис. 227)
АВ _ Д1^1
ВС BVC, "1 ’
Проведем через точку В прямую, параллельную AXCV Треугольники ВАА2 и ВСС2 подобны. Из подобия треугольников следует пропорция (•).
Задача (39). Дана параллельная проекция треугольника. Как построить проекции медиан этого треугольника?
Решение. При параллельном проектировании сохраняется отношение отрезков прямой. Поэтому середина стороны треугольника проектируется в середину проекции этой стороны. Следовательно, проекции медиан треугольника будут медианами его проекции.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Какие прямые в пространстве называются параллельными?
Какие прямые называются скрещивающимися?
Докажите, что через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.
Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Что значит: прямая и плоскость параллельны?
Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая параллельны, если в плоскости найдется прямая, параллельная данной прямой.
Какие плоскости называются параллельными?
Докажите, что две плоскости параллельны, если одна из них параллельна двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости.
Докажите, что через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.
Докажите, что если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.
Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.
Перечислите свойства параллельного проектир ованля.
УПРАЖНЕНИЯ
Докажите, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости.
Прямые а и Ь пересекаются. Докажите, что все прямые, параллельные прямой b и пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости.
Докажите, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, те она пересекает и другую.
Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках Аи Вг и Mv Найдите длину отрезка ММг, если отрезок АВ не пересекает плоскость и если: 1) А4. =5 м, ЗВ, =7 м; 2) ААк =3,6 дм, BBL = 4,8 дм; 3) ААк = 8,3 см, ВВХ = 4,1 см; 4) АА, = a, BBL = &.
Решите предыдущую задачу при условии, что отрезок АВ пересекает плоскость.
Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие пл юность в точках Вх и Сх. Найдите длину отрезка ВВк, если: 1) ССХ = 15 см, АС:ВС=2: 3; 2) СС^вД см, АВ : ЛС=11 : 9; 3) АВ= = 6 см, АС : СС, = 2 : 5; 4) АС = а, ВС = b, СС =с.
Даны гараллелэграмм ABCD и не пересекающая его плоскость. Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, пересекающие данную плоскость в точках Alt BL, CX,DV Найдите длину отрезка DDk, если: 1) АА, =2 м, ВВ; =3 м, CCV =8 м; 2) ААХ =4 м, ВВк = 3 м, CCL = 1 м; 3) ААк = а, ВВк=Ь, ССк=с.
Прямые а и b не лежат в одной плоскости. Можно ли провести прямую с, параллельную прямым а и Ь? Объясните ответ.
Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и ВС, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AD и CD.
Докажите, что середины сторон пространственного че- тырэхугольника являются вершинами параллелограмма.
Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины от-
резков АВ и CD, АС и BD, AD и ВС, пересекаются в одной точке.
Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке Ад, а сторону ВС — в точке Bv Найдите длину отрезка AVBL, если: 1) АВ = 15 сы, АЛ, : АС = = 2:3; 2) АВ = 8 см, АА, : Л,С =5:3; 3) ВХС = = 10 см, АВ: ВС =4: 5; 4) ААк = а, АВ = 6, АкС = с.
Через данную точку проведите прямую, ‘параллельную каждой из двух данных пересекающихся плоскостей.
Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямые АС и BD тоже скрещивающиеся.
Прямые АВ и CD пересекаются. Могут ли прямые АС и BD бгатъ скрещивающимися?
Докажите,что через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.
Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а, пересекают плоскость а по параллельным прямым, то прямая а параллельна плоскости а.
Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.
Даны две скрещивающиеся прямые. Как провести через них две параллельные плоскости?
Через данную точку пространства проведите прямую, пересекающую каждую из двух скрещивающихся прямых. Всегда ли это возможно?
Докажите, что геометрическое место середин отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых есть'плоскость.
Даны четыре точки А, В, С и D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что любая плоскость, параллельная прямым АВ и CD, пересекает прямые АС, AD, BD и ВС в вершинах параллелограмма.
Плоскости аир параллельны плоскости у. Могут ли плоскости аир пересекаться?
Плоскости аир пересекаются. Докажите, что любая плоскость у пересекает хотя бы одну из плоскостей а, р.
Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку параллельно данной плоскости, лежат в одной плоскости.
Через данную точку проведите плоскость, параллельную каждой из двух пересекающихся прямых» Всегда ли это возможно?
Параллелограммы ABCD и ABCkDk лежат в разных плоскостях. Докажите, что четырехугольник CDDkCk тоже параллелограмм.,
Через вершины параллелограмма ABCD, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость
в точках А[, Bt, Сх, Dv. Докажите, что четырехугольник A1B1Cl,Dl тоже параллелограмм.~
Через вершины треугольника АВС, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках Аг, Ви Ct. Докажите равенство треугольников АВС и AiBiCf
Три прямые, проходящие через одну точку, пересекают данную плоскость в точках А, В, С, а параллельную ей плоскость в точках Ап Въ Cv Докажите подобие треугольников АВС и А1В1С1.
Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А, пересекают плоскость а в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную а и не проходящую через А, тоже в вершинах параллелограмма.
Даны две параллельные плоскости. Через точки А и В одной из этих плоскостей проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках Aj и Bv Чему равен отрезок А1В1, если АВ = о?
Даны две параллельные плоскости et и а2 и точка А, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Через точку А проведена произвольная прямая. Пусть Хг и Х2 — точки пересечения ее с плоскостями а^ и а2. Докажите, что отношение длин отрезков AXt : АХ2 не зависит от взятой прямой.
Точка А лежит вне плоскости а, X — произвольная точка плоскости а, X* — точка отрезка АХ, делящая его в отношении т : п. Докажите, что геометрическое место точек X' есть плоскость, параллельная плоскости а.
Даны три параллельные плоскости: alf as, «з- -Хц Х2, Х3 — точки пересечения этих плоскостей с произвольной прямой. Докажите, что отношение длин отрезков XtX2: Х2Х3 не зависит от прямой, т. е. одинаково для любых двух прямых.
Даны четыре параллельные прямые. Докажите, что если какая-нибудь плоскость пересекает эти прямые в вершинах параллелограмма, то любая плоскость, не параллельная данным прямым, пересэкает их в вершинах некоторого параллелограмма.
Даны две параллельные плоскости, пересекающая их прямая и окружность в одной из плоскостей. Через каждую точку X окружности проводится прямая, параллельная данной прямой и пересекающая вторую плоскость в некоторой точке X'. Что представляет собой геометрическое место точек X"? Объясните ответ.
Даны две параллельные плоскости, точка вне этих плоскостей и окружность в одной из плоскостей. Через каждую точку X окружности и данную точку проводпт-
ся прямая, пересекающая вторую плоскость в некоторой точке X'. Что представляет собой геометрическое место точек X'*? Объясните ответ.
Дана параллельная проекция треугольника. Как построить проекции медиан этого треугольника?
Дана параллельная проекция треугольника. Чем изобразится проекция средней линии треугольника?
Может ли при параллельном проектировании параллелограмма получиться трапеция? Объясните ответ.
Может ли проекция параллелограмма при параллельном проектировании быть квадратом?
Докажите, что параллельная проекция центрально- симметричной фигуры также является центрально-симметричной фигурой.
Дана параллельная проекция окружности и ее диаметра. Как построить проекцию перпендикулярного диаметра?
§ 16. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХИ ПЛОСКОСТЕЙ
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ
Так же, как и на плоскости, две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Теорема 16.1. Пересекающиеся прямые, параллельные перпендикулярным прямым, сами перпендикулярны.
Доказательство. Пусть а и b—перпендикулярные прямые, ах и Ъх — параллельные им пересекающиеся прямые. Докажем, что прямые ах и Ьх перпендикулярны. Если прямые а, Ъ, ах, Ьх лежат в одной плоскости, то они обладают указанным в теореме свойством (рис. 228). Действительно, так как прямые b и Ъх параллельны, то прямая а, будучи перпендикулярна прямой Ь, будет перпендикулярна и прямой Ьх. Так как прямые а непараллельны, то прямая Ьх, будучи перпендикулярна а, будет перпендикулярна и ах.
Допустим теперь, что наши прямые не лежат в одной плоскости. Тогда прямые а и b лежат в некоторой плоскости а, а прямые ах и Ьх—в некоторой плоскости ах (рис. 229). Йо теореме 15.3 прямые а и b параллельны плоскости оц. По теореме 15.4 плоскости а и аг параллель-
ны. Пусть С — точка пересечения прямых а и Ь, а Сх — точка пересечения прямых ах и Ъх. Проведем в плоскости параллельных прямых а и ах прямую, параллельную прямой ССХ. Она пересечет ппямые а и ах в точках А и Ах. В плоскости прямых b и Ьх проведем прямую, параллельную прямой ССХ, и обозначим через В и Вх точки ее пересечения с прямыми Ъ иЪх.
Четырехугольники CAAt Сх и СВВХСХ — параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Четырехугольник АВВХАХ также параллелограмм. У него стороны ААХ, ВВХ параллельны, потому что каждая из них параллельна прямой ССХ. Таким образом, четырехугольник лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые ААХ и ВВХ. А она пересекает параллельные плоскости а и at по параллельным прямым АВ и A^t.
Так как у параллелогра-тма противолежащие стороны равны, то АЗ = АХВХ, АС = АХСХ, ВС = ВХСХ. По третьему признаку равенства треугольников треугольники АВС и АХВХСХ равны. Следовательно, угол АХСХВХ, равный углу АСВ, прямой, т. е. прямые ах и Ьх перпендикулярны. Теорема доказана.
Задача (1). Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.
Решение. Пусть а — данная прямая и А — точка на ней (рис. 230). Возьмем любую точку X вне прямой а и проведем через эту точку и прямую а плоскость а (теорема 14.1). В плоскости а через точку А можно провести прямую Ь, перпендикулярную прямой а. Что и требовалось доказать.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЕМОЙ и плоскости
Рис. 231Рис. 231Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку пересечения данной прямой и плоскости. .
Рис. 231
Рис. 231
На рисунке 231 прямая а перпендикулярна плоскости а.
Теорема 16.2. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения, то она перпендикулярна плоскости.
Доказательство. Пусть а — прямая, пересекающая плоскость а в точке А и перпендикулярная прямым Ъ и с в этой плоскости, которые проходят через точку А (рис. 232). Докажем, что прямая а перпендикулярна плоскости а.
Проведем произвольную прямую х через точку А в плоскости а и покажем, что ока перпендикулярна прямой а. Можно с читать, что прямая х отлична от пряных Ь и с. Проведем в плоскости а произвольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую прямые Ь, с и х. Пусть точками пересечения будут В, С и X.
Отложим на прямой а от точки А в разные стороны равные отрезки: ААХ и ААг. Треугольник А^Аа равнобедренный, так как отрезок АС является высотой по условию теоремы и медианой по построению (ААХ = АА.^. По той ясе причине трэугольник А<ВАа тоже равнобедренный. Следовательно, треугольники AJ3C и А ВС рааны по третьему признаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников А^ВС
Рис. 233Рис. 233и А^ВС следует равенство углов А^ВХ, АВХ и, следовательно, равенство треугольников АхВХ и А2ВХ по первому признаку равенства треугольников. Из равенства сторон АУХ и А^Х этих треугольников заключаем, что треугольник АуХА» равнобедренный. Поэтому его медиана ХА является также высотой. А это и значит, что прямая х перпендикулярна а. Теореме доказана.
Рис. 233
Рис. 233
Задача (4). Докажите, что через любую точку данной прямой можно провести перпендикулярную ей плоскость.
Решение. Пусть а — данная прямая и А — точка на ней (рис. 233). Проведем через точку А две различные перпендикулярные ей пря^гые (см. задачу 1). Проведем через эти прямые плоскость а (ексиома С3). Плоскость а проходит через точку А и перпендикулярна прямой а (теорема 16.2).
Теорема 16.3. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Доказательство. Пусть^иОг—две параллельные прямые и а — плоскость, перпендикулярная прямой at
(рис. 234). Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а2. Проведем через точку пересечения прямой а2 с плоскостью а произвольную прямую х2 в плоскости а. Проведем через точку пересечения прямой а^ с плоскостью а прямую хп параллельную прямой х2. Она лежит в плоскости а. Так как прямая at перпендикулярна плоскости а, то прямые щ и xv перпендикулярны. А по теореме 16.1 параллельные им пересекающиеся прямые о2 и ха тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая о2 перпендикулярна любой прямой хг в плоскости ос. А это значит, что прямая а2 перпендикулярна плоскости а. Теорема доказана.
Задача (6). Докажите, что через любую точку А можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости ct.
Решение. Проведем в плоскости а две пересекающиеся прямые Ъ и с (рис. 235). Через точку их пересечения проведем плоскости р и у, перпендикулярные прямым Ъи с соответственно. Они пересекаются по некоторой прямой а. Прямая а перпендикулярна прямым b и с, а значит, и плоскости а. Проведем теперь через точку А прямую d, параллельную а. По теореме 16.3 она перпендикулярна плоскости а.
Теорема 16.4. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
Доказате л ь с т в о. Пусть а и b — две прямые, перпендикулярные плоскости а (рис. 236). Допустим, что прямые а и b не параллельны. Проведем через какую-нибудь точку С прямой b прямую Ь', параллельную прямой а. Прямая Ь* перпендикулярна плоскости а (теорема 16.3). Пусть В нВ' — точки пересечения прямых b и Ь' с плоскостью а. Тогда прямая ВВ' перпендикулярна пересекающимся прямым b и Ь’. А это невозможно. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ
Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из стой точки на плоскость.
Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, не являющийся перпендикуляром к плоскости, с одним концом в данной точке, а другим — на плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
На рисунке 237 из точки А проведены к плоскости а перпендикуляр АВ и наклонная АС. Точка В — основание перпендикуляра. точка С — основание наклонной, ВС — проекция наклонной АС на плоскость а.
Задача (9). Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.
Рис. 237Рис. 237Решение. Пусть а — данная прямая и а — данная плоскость (рис. 238). Возьмем на прямой а две произвольные точки X и Y. Их расстояния до плоскости а — это длины перпендикуляров XX' и YY', опущенных на эту плоскость. По теореме 16.4 прямые XX' и YY' параллельны; следовательно, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскость а по прямой X'Y'. Прямая а параллельна прямой X'Y', так как не пересекает содержащую ее плоскость а. Итак, у четырехугольника XX'Y'Y противолежащие стороны параллельны. Следовательно, он параллелограмм, а значит. XX' = YY', что и требовалось
Рис. 237
Рис. 237
доказать.
193193Теорема 16.5 (теорема о трех перпендикулярах). Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной. И обратно, если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
193
193
7 А В Погорелов
Рис. 239Рис. 239Рис. 240Рис. 240
Рис. 239
Рис. 239
Рис. 240
Рис. 240
Доказательство. Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости а, АС—наклонная и с—прямая в плоскости а, проходящая через основание С наклонной (рис. 239). Проведем прямую СА', перпендикулярную плоскости а. Она параллельна прямой АВ (теорема 16.4). Проведем через прямые АВ и А'С плоскость р. прямая с перпендикулярна прямой С А*. Если она перпендикулярна прямой СВ, то она перпендикулярна плоскости р, а значит, и прямой АС.
Аналогично, если прямая с перпендикулярна наклонной СА, то она, будучи перпендикулярна и прямой С А', перпендикулярна плоскости р, а значит, и проекции наклонной ВС. Теорема доказана.
Задача (32). Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равно
удалена от сторон треугольника.
Р е ш е н и е. Пусть А, В, С—точки касания сторон треугольника с окружностью, О — центр окружности и S—точка на перпендикуляре (рис. 240). Так как радиус ОА перпендикулярен стороне треугольника, то по теореме 16.5 отрезок SA есть перпендикуляр к этой стороне, а его длина—расстояние от точки S до стороны треугольника. По теореме Пифагора SA = l^AO2 + OS2 = р^г2 + OS2, где г—радиус вписанной окружности. Аналогично находим: SB = рг2 -р OS3, SC = j/r2 + OS2, т. e. все расстояния от точки S до сто
рон треугольника равны.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.
Нь рисунке 241, а вы видите две перпендикулярные плоскости аир, пересекающиеся по прямой с. Плоскость у, перпендикулярная прямой с, пересекает плоскости а и р по перпендикулярным прямым а и Ь. Определение перпендикулярности плоскостей не зависит от выбора плоскости у. Действительно, если взять другую плоскость у', перпендикулярную прямей
19$19$
19$
19$
с, то она пересечет плоскости аир по прямым а' и д', которые параллельны прямым а и b соответственно (рис. 241, б). По теореме 16.1 из перпендикулярности прямых а и b следует перпендикулярность прямых а' и Ь'.
Теорема 16.6. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Доказательство. Пусть ос — плоскость, b — перпендикулярная ей прямая, Р — плоскость, проходящая через прямую Ь, и с — прямая, по которой пересекаются плоскости а и р (рис. 242). Докажем, что плоскости аир перпендикулярны. Проведем в плоскости а прямую а через точку пересечения прямой b с плоскостью а, перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и Ь плоскость у. Она перпендикулярна прямой с, так как прямая с перпендикулярна прямым а и Ь. Так как прямые а и Ь перпендикулярны, то плоскости аир перпендикулярны. Теорема доказана.
Задача (52). Даны прямая а и плоскость а. Проведите через прямую а плоскость, перпендикулярную плоскости а.
Решение. Через произвольную точку прямой а проводим прямую Ь (рис. 243), перпендикулярную плоскости а (задача 6). Через прямые а и b проводим плоскость р. Плоскость р пер
пендикулярна плоскости а по теореме 16.6.
Теорема 16.7. Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести прямую, перпендикулярную прямой их пересечения, то она будет перпендикулярна и другой плоскости.
Доказательство. Пусть а и Р—данные перпендикулярные плоскости, пересекающиеся по прямой с, и а — прямая в плоскости а, перпендикулярная с (рис. 244). Докажем, что прямая а
7*
перпендикулярна плоскости р. Через точку С пересечения прямых а и с проведем прямую b в плоскости р, перпендикулярную прямой с. Плоскость у, проходящая через прямые а и 6, перпендикулярна прямой с, так как лежащие в ней прямые а и 6 перпендикулярны прямой с. Так как плоскости аир перпендикулярны, то прямые а и Ь перпендикулярны. Кроме того, прямые а и с
перпендикулярны (по условию), поэтому прямая а перпендикулярна плоскости р. Теорема доказана.
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ
Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.
Докажем, что две скрещивающие прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые.
Доказательство. Пусть а и Ь — данные скрещивающиеся прямые (рис. 245). Проведем через них параллельные плоскости аир (задача 13 § 15). Прямые, пересекающие прямую а и перпендикулярные плоскости а, лежат в одной плоскости (у). Эта плоскость пересекает плоскость р по прямой а', параллельной а. Пусть В — течка пересечения прямых а' и Ь. Тогда прямая АВ, перпендикулярная плоскости а, перпендикулярна и плоскости р, так как 6 параллельна а. Отрезок АВ — общий перпендикуляр плоскостей а и Р, а значит, и прямых а и Ъ.
Допустим, что у прямых а и Ь есть другой общий перпендикуляр CD. Проведем через точку С прямую Ь*, параллельную Ь. Прямая CD перпендикулярна прямой Ь, а значит, и Ь’. Так как она перпендикулярна прямой а, то она перпендикулярна плоскости а, а значит, параллельна прямой АВ. Выходит, что через прямые АБ и CD, как через параллельные, можно провести плоскость. В этой плоскости будут лежать наши скрещивающиеся прямые АС и BD, а это невозможно. Теорема доказана.
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Оно равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
. Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?
Докажите, что пересекающиеся прямые, параллельные перпендикулярным прямым, сами перпендикулярны.
Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости.
Докажите, что если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
Докажите, что если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Докажите, что две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
Что такое перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость?
Что называется расстоянием от точки до плоскости?
Что такое наклонная, проведенная из данной точки к плоскости? Что такое проекция наклонной?
Докажите теорему о трех перпендикулярах.
Какие плоскости называются перпендикулярными?
Докажите, что если плоскость, проходит через прямую, перпендикулярную данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Докажите, что если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести прямую, перпендикулярную прямой их пересечения, то она будет перпендикулярна другой плоскости.
Что такое общий перпендикуляр скрещивающихся прямых?
Докажите, что скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые.
Что называется расстоянием между скрещивающимися прямыми?
УПРАЖНЕНИЯ
Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провесги перпендикулярную ей прямую.
Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести две различные перпендикулярные ей прямые.
Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок СО, если: 1) АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см; 2) BD = 9 см, ВС = 16 см, АО = 5 см;
3) AB = b, EC = a, AD = d; 4) BD = c, EC = a, AD = d.
Докажите, что через любую точку данной прямой можно провести перпендикулярную ей плоскость.
Докажите, что через любую точку плоскости можно провести перпендикулярную ей прямую.
Докажите, что через любую точку А можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости а.
Докажите, что через точку, не лежащую в данной плоскости, нельзя провести более одной прямой, перпендикулярной плоскости..
Течка А находится на расстоянии а от вершин равностороннего треугольника со стороной с. Найдите расстояние ст точки А до плоскости треугольника.
Докажите что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.
Докажите, что расстояния ст всех точек плоскости до параллельной плоскости одинаковы.
1 айдите геометрическое место оснований наклонных данной длины, проведенных из дачной точки к плоскости.
Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см. Разность проекций этих наклонных равна 9 см. Найдите проекции наклонных.
Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых на 26 см больше другой. Проекции наклонных равны 12 см и 40 см. Найдете наклонные.
Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если они относятся как 1 : 2 и проекции наклонных равны 1 см и 7 см.
Из точки к плоскости проведены дзе наклонные, равные 23 см и 33 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2 : 3.
Через центр описанной около треугольника окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от вершин треугольника.
Из точки S вне плоскости а проведены к ней три равные наклонные SA, SB, SC и перпендикуляр SO. Докажите, что основание перпендикуляра О является центром окружности, описанной около треугольника АВС.
Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно а. Отрезок длины Ь своими концами упирается в эти плоскости. Найдите проекцию отрезка на каждую из плоскостей.
Два отрезка длин а и Ь упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины о)
на плоскость равна с. Найдите проекцию второго отрезка.
Концы данного отрезка, не пересекающего плоскость, удалены от нее на 0,3 м и 0,5 м. Как удалена от плоскости топка, делящая данный отрезок в отношении 3 : 7?
Через середину отрезка проведена плоскость. Докажите, что концы отрезка находятся на одинаковом расстоянии от этой плоскости.
Через диагональ параллелограмма проведена плоскость. Докажите, что концы другой диагонали находятся на одинаковом расстоянии ст этой плоскости.
Найдите расстояние от середины отрезка АВ до плоскости, не пересекающей этот отрезок, если расстояния от точек А и В до плоскости равны: 1) 3,2 см и 5,3 см; 2) 7,4 см и 6,1 см; 3) а и Ь.
Решите предыдущую задачу, считая, что отрезок АВ пересекает плоскость.
Отрезок длиной 1 м пересекает плоскость, концы его удалены от плоскости на 0,5 м и 0,3 м. Найдите длину проекции отрезка на плоскость.
Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не прэвисяет.
Через основание трапеции проведена плоскость, отстоящая ит другого основания на расстояние а. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до этой плоскости, если основания трапеции относятся как т : п.
Через сторону параллелограмма проведена плоскость на расстоянии а от противолежащей стороны. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей параллелограмма до этой плоскости.
Из точек А и В опущены перпендикуляры на плоскость а. Найдите расстояние между точками А и Вэ если перпендикуляры равны 3 м и 2 м, расстояние мзждv их основаниями равно 2,4 м, а отрезок АВ не пересекает плоскость.
Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, удаленных на расстояние 3,4 м, соединены перекладиной. Высота одного столба 5,8 м, а другого 3,9 м. Найдите длину перекладины.
Расстояния от точки А до вершин квадрата раз.гы а. Найдите расстояние от толки А до плоскости квадрата, если сторона квадрата равна Ь.
Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости тре-
угольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сюрон треугольника.
К плоскости треугольника из центра вписанной в него окружности радиуса 0,7 м восставлен перпендикуляр длиной 2,4 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.
Расстояние от данной точки до плоскости треугольника равно 1,1 м, а до каждой из его сторон 6,1 м. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Из вершины равностороннего треугольника АВС восставлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до стороны ВС, если AD= = 13 см, ВС = 6 см.
Через конец А отрезка АВ длины b проведена плоскость, перпендикулярная отрезку, и в этой плоскости проведена прямая. Найдите расстояние от точки В до прямой, если расстояние от точки А до прямой равно а.
Расстояния от точки А до всех сторон квадрата равны с. Найдите расстояние от точки А до плоскости квадрата, если диагональ квадрата равна d.
Из вершины квадрата восставлен перпендикуляр к его плоскости. Расстояния от конца этого перпендикуляра до других вершин квадрата равны а и b (а < Ь). Найдите длину перпендикуляра и сторону квадрата.
Из вершины прямоугольника восставлен перпендикуляр к его плоскости. Расстояния от конца этого перпендикуляра до других вершин прямоугольника равны а, Ь, с {а < с, b < с). Найдите длину перпендикуляра и стороны прямоугольника.
Точка М, лежащая вне плоскости данного прямого угла, удалена от вершины угла на расстояние а, а от его сторон на расстояние Ь. Найдите расстояние от точки М до плоскости угла.
Из вершины А прямоугольника ABCD восставлен перпендикуляр АК к его плоскости, расстояния от конца К которого до других вершин равны 6 м, 7 м и 9 м. Найдите длину перпендикуляра АК.
Из данной точки к плоскости проведены две равные наклонные длиной 2 м. Найдите расстояние от точки до плоскости, если наклонные образуют угол 60°, а их проекции перпендикулярны.
Из точки, отстоящей от плоскости па расстояние 1 м, проведены две равные наклонные. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если известно, что наклонные перпендикулярны и образуют с перпендикуляром к плоскости углы, равные 60°.
Через вершину прямого угла С прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость, параллельная
гипотенузе, на расстоянии 1 м от нее. Проекции катетов на эту плоскость равны 3 ми 5 м. Найдите гипотенузу.
Через одну сторону ромба проведена плоскость на расстоянии 4 м от противолежащей стороны. Проекции диагоналей на эту плоскость равны 8 м и 2 м. Найдите проекции сторон.
Стороны равностороннего треугольника равны 3 м. Найдите расстояние до плоскости треугольника от точки, которая находится на расстоянии 2 м от каждой из его вершин.
Дан равнобедренный треугольник с основанием 6 м и боковой стороной 5 м. Из центра вписанного круга восставлен перпендикуляр к плоскости треугольника длиной 2 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.
В равнобедренном треугольнике основание и высота равны 4 м. Данная точка находится на расстоянии 6 м от плоскости треугольника и на равном расстоянии от его вершин. Найдите это расстояние.
Из концов отрезка АВ, параллельного плоскости, проведены перпендикуляр АС и наклонная BD, перпендикулярная отрезку АВ. Чему равно расстояние CD, если АВ = а, АС = b, BD = с?
Из вершины острого угла прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С восставлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите расстояния от точки D до вершин В и С, если АС = а, ВС = b, AD = с.
Из вершины прямого угла С треугольника АВС восставлен перпендикуляр CD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы треугольника, если АВ = а, ВС = 6, CD = с.
Даны прямая а и плоскость а. Проведите через прямую а плоскость, перпендикулярную плоскости ос.
Даны прямая а и плоскость ос. Докажите, что все прямые, перпендикулярные плоскости ос и пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости, перпендикулярной плоскости а.
Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если: 1) АС = 6 м, BD = 7 м, CD = 6 м; 2) АС = = 3 м, BD = 4 м, CD = 12 м; 3) AD = 4 м, ВС = = 7 м, CD = 1 м; 4) AD = ВС = 5 м, CD = 1 м; 5) АС = a, BD = b, CD = с; 6) AD = а, ВС = Ь, CD = с.
Точка находится на расстояниях о и Ь от двух перпендикулярных плоскостей. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей.
Из вершин А и В равностороннего треугольника АВС восставлены перпендикуляры АА^ и BBV к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка АХВХ, если АВ = 2 м, САХ = 3 м, СВХ = 7 м и отрезок А1В1 не пересекает плоскость треугольника.
Из вершин А и В острых углов прямоугольн )го треугольника АВС восставлены перпендикуляры ААХ и ВВХ к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка АХВХ, если AVC = 4 м, А-А = 3 м, ВХС = 6 й, В,В = 2 м и отрезок АХВХ не пересекает плоскость треугольника.
Плоскости аир перпендикулярны. 3 плоскости а взята точка А, расстояние от которой до прямой с (линии пересечения плоскостей) равно 0,5 м. В плоскости р проведена прямая В, параллельная прямой с и отстоящая на 1,2 м от нее. Найдите расстояние от точки А до прямой Ь.
Перпендикулярные плоскости аир пересекаотся по прямой с. В плоскости а проведена прямая а || с, в плоскости р — прямая В || с. Найдите расстояние между прямыми о и 6, если расстояние между прямыми а и с равно 1,5 м, а между прямыми Вис 0,8 м.
Через точку А прямой а проведелы перпендикулярные ей плоскость р и прямая В. Докажите, что прямая 6 лежит в плоскости р.
§ 17. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ!
В ПРОСТРАНСТВЕ
ВВЕДЕНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
Возьмем три взаимно перпендикулярные прямые х, у, 2, пересекающиеся в одной точке О (рие. 246). Проведем через
каждую пару этих прямых плоскость. Плоскость, проходящая через прямые х и у, называется плоскостью ху. Две другие плоскости называются соответственно хг и уг. Прямые х, у, г называются координатными осями (или осями координат'), точка их пересечения О — началом координат, а плоскости ху, уг и хг — координатными плоскостями. Точка О разбивает каждую из осей координат на две полупрямые. Условимся одну из них называть положительной, а другую — отрицательной.
Возьмем теперь произвольную точку Л и проведем через нее плоскость, параллельную плоскости уг (рис. 247). Она пересечет ось х в некоторой точке Ал. Координатой х точки А будем называть число, равное по абсолютной величине длине отрезка ОА/. положительное, если точка Аа лежит на положительной полуоси х, и отрицательное, если она лежит на отрицательной полуоси. Если точка Аг совпадает с точкой О, то полагаем х = О. Аналогично определяются координаты у и г точки А. Координаты точки будем записывать в скобках рядом с буквенным обозначением точки: А (х, у, г). Иногда будем обозначать точку просто ее координатами (х, у, г).
Задача (1). Даны точки А (1, 2, 3), В (О, 1, 2), С (С, 0, 3), D (1, 2, О). Какие из этих точек лежат: 1) в плоскости ху; 2) на оси z; 3) в плоскости yz?
Решение. У точек плоскости ху координата г равна нулю. Поэтому только точка D лежит в плоскости ху. У точек плоскости уг координата х
равна нулю. Следовательно, точки В и С лежат в плоскости
уг. У точек на оси г две координаты (х и у) равны нулю. Поэтому точка С лежит на оси г.
Выразим расстояние между двумя точками Аг (xt, ylt Zi) и А2 (х2, у2, г,,) через координаты этих точек.
Рассмотрим сначала случай, когда прямая ALA2 не параллельна оси z (рис. 248). Проведем через точки Ах и Аг прямые, параллельные оси г. Они пересекут плоскость ху в точках Аг
и А2. Эти точки имеют те же координаты х, у, что и точки Аг, А2, а координата z у них равна нулю. Проведем теперь плоскость через точку Аг, параллельную плоскости ху. Она пересечет прямую AtAx в некоторой точке С. По теореме Пифагора
АгА2 = А, С2 + СА^.
Отрезки СА2 и АгА2 равны, а
А^ = (х8 — xj2 + (у 2 — У1)2-Длина отрезка А-С равна \гг — z2|. ПоэтомуAtAi = (х2 — xj2 + (Уг — УхУ + (г2 — =хУ-
Если отрезок АХА2 параллелен оси г, то A^Aj — |?1 — z2|. Тот же результат дает и полученная формула, так как в этом случае х2 = х2, у2 = и2.
Задача (4). В плоскости ху найдите точку В (х, у, 0), равноудаленную от трех данных точек: А (0, 1, —1), В (—1, 0, 1), С (0, —1, 0).
Решение. Имеем:
АВ2 = (х — О)2 + (у — I)3 + (0 + I)2,ВВЛ = (х + I)2 + (у — О)2 + (0 — I)2.СВ" = (х — О)2 + (у + I)2 + (0 — О)2.
Приравнивая первые два расстояния третьему, получим два уравнения для определения х и у:
—4у + 1=0, 2х — 2у 4- 1 = 0.
Отсюда у =—, х~ — —. Искомая точка В —-, У
44\44
Пусть Ai (xJt yt, г,) и А2 (х2, у2, г2) — две произвольные точки. Вырази.ч координаты х, у, г середины С отрезка АХА2 через координаты его концов Аг и А2 (рис. 249). Для этого проведем через течки At, А2 и С прямые, параллельные оси г. Они пересекут плоскость ху в точках Aj (х2, ух, 0), А2 (^2» У г* 0) и С(х, у, 0). По теореме Фалеса точка С является серединой отрезка АЧА2. А мы знаем, что на плоскости ху координаты середины отрезка выражаются через координаты его концов по формулам
х xt+x,= у, +у2
2*12*
Для того чтобы найти выражение для г, достаточно вместо плоскости ху взять плоскость хг или уг. При этом для г по iy- чается аналогичная формула:
;_гЛгг
2 "
Задача (8). Докаиште, что четырехугольник АВСВ с вершинами в точках А (1, 3, 2), В (0, 2, 4), С (1, 1,4), В (2, 2, 2) — параллелограмм.
Решение. Как me знаем, четырехугольник, у которого диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, есть параллелограмм. Воспользуемся этим для решения задачи. Координатами середины отрезка АС будут:
= L±2=i,у=3-±1=2,2 = ^=3.
222
Координатами середины отрезка BD будут:
0 + 2-2 + 2 о4 + 2„
х == 1, у == 2, г = — = 3.
222
Мы видим, что координаты середин отрезков АС и BD одинаковы. Значит, эти отрезки пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, четырехугольник ABCD — параллелограмм.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР В ПРОСТРАНСТВЕ
Понятие преобразования для фигур в пространстве определяется так же, как и на плоскости (§ 9). Так же, как и на плоскости, определяются преобразования симметрии относительно точки и прямой и гомотетия.
Кроме симметрий относительно точки и прямой в пространстве рассматривают преобразование симметрии относительно плоскости. Это преобразование состоит в следующем (рис. 250). Пусть а — произвольная фиксированная плоскость. Из точки X фигуры опускаем перпендикуляр XX на плоскость се и на его продолжении за точку X откладываем отрезокй'й'', равный XX. Преобразование, которое переводит точку X в симметричную ей точку X', называется преобразованием симметрии относительно плоскости а. Если преобразование симметрии относительно плоскости а переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно
плоскости ос, а плоскость а называется плоскостью симметрии.
Задача (15). Даны точки (1, 2, 3), (0. —1, 2), (1, о,3). Найдите точки, симметричные данным относительно координатных плоскостей.
Решение. Точка, симметричная точке (1, 2, 3) относительно плоскости ху, лежит на прямой, перпенди
кулярной плоскости ху. Поэтому у нее те же координаты х и у. х = 1, у — 2. Симметричная точка находится на том же расстоянии от плоскости ху. Поэтому координата г у нее отличается только знаком, т. е. 2 = —3. Итак, точка, симметричная точке (1, 2, 3) относительно плоскости ху, будет (1, 2, 3). Для других точек и других координатных плоскостей решение аналогично.
Так же, как и на плоскости, определяется понятие движения в пространстве. А именно: движением называется
преобразование, при котором сохраняются расстояния между точками. Преобразования симметрии относительно точки, прямой и плоскости в пространстве являются движениями.
Дословно так же, как и для движения на плоскости, доказывается, что при движении в пространстве прямые переходят в прямые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки и сохраняются углы между полупрямыми.
Новым свойством движения в пространстве является то, что движение- переводит плоскости в плоскости. Докажем это свойство.
Пусть ос — произвольная плоскость (рис. 251). Отметим на ней любые три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. При движении они перейдут в три точки А', В', С’, также не лежащие
на одной прямой. Проведем через них плоскость а'. Докажем, что при рассматриваемом движении плоскость ос переходит в плоскость а'. Пусть X — произвольная
точка плоскости ос. Проведем через нее какую-нибудь прямую а в плоскости ос, пересекающую треугольник АВС в двух точках Y и Z. Прямая а перейдет при движении в некоторую прямую а*. Точки У и Z прямой а перейдут в точки У' и Я', принадлежащие треугольнику А'В'С', а значит, плоскости а'. Итак, прямая а' лежит в плоскости а'. Точка X при движении переходит в точку X' прямой а', а значит, и плоскости ос'. Утвер
ждение доказано.
Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка (х, у, г) фигуры переходит в точку (х + а, у + Ь, г + с), где а, Ь, с — постоянные. Параллельный перенос в пространстве задается формулами
х‘ = х + а, у’ = у + Ъ, г = г + с, выражающими координаты х', у', г точки, в которую переходит точка (х, у, 2) при параллельном переносе. Так же, как и на плоскости, доказываются следующие свойства параллельного переноса:
Параллельный перенос есть движение.
При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.
При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя).
Каковы бы ни были точки А и А', существует единственный параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку А'.
Два параллельных переноса, выполненные последовательно, дают параллельный перенос.
Преобразование, обратное параллельному переносу, есть параллельный перенос.
Задача (17). Найдите значения а, Ь, с в формулах параллельного переноса х' = х + а, у' = у + Ь, г’ = г + с, если при этом параллельном переносе точка А (1, 0, 2) переходит в точку А' (2, 1, О).
Решение. Подставляя в формулы параллельного переноса координаты точек А и А', т. е. х=1, у—0, 2=2, х =2, у' =1, г =0, получим уравнения, из которых определяются с, Ь, с:
2=1+а, 1=0 + Ь, 0=2 +с.
Отсюда а = 1, Ь = 1, с = —2.
Новым для параллельного переноса в пространстве является следующее свойство:
При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.
Доказательство. Пусть а — произвольная плоскость. Проведем в этой плоскости две пересекающиеся прямые а и Ь. При параллельном переносе прямые а и Ъ переходят либо в себя, либо в параллельные прямые а и Ь'. Плоскость а переходит в некоторую плоскость а', проходящую через прямые а' и б'. Если плоскость а не совпадает с а, то по теореме 15.4 она параллельна а. Утверждение доказано.
Так же, как и на плоскости, определяются гомотетия и преобразование подобия в пространстве. Дословно так же, как и на плоскости, доказывается, что гомотетия в пространстве является преобразованием подобия.
УГЛЫ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ и плоскостями
Две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные углы. Вертикальные углы равны, а смежные углы дополняют друг друга до 180 . Угловая мера меньшего из них называется углом между прямыми. Угол между перпендикулярными прямыми равен 90 по определению. Угол между параллельными прямыми считаем равным нулю.
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися параллельными им прямы-
Рис. 252Рис. 252ми. Этот угол не зависит оттого, какие взяты пересекающиеся прямые. Докажем это.
Рис. 252
Рис. 252
Рис. 253Рис. 253bi и 62. А это иbi и 62. А это иПусть aY и а2 — пересекающиеся в точке А прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым (рис. 252). Пусть Ьг и Ьг — другие, пересекающиеся в точке В прямые, параллельные данным. По теореме 15.2 прямые ох и Ь, параллельны (или совпада ют) и прямые аг и 5а параллельны (или совпадают). Выполним параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку В. Так как при параллельном переносе каждая прямая переходит либо в себя, либо в параллельную прямую, то указанный параллельный перенос переводит прямую aY в прямую 6t, а прямую а4 в прямую Ъг. Так как параллельный перенос сохраняет величину угла, то угол между прямыми aY и а2 равен углу между прямыми требовалось доказать.
Рис. 253
Рис. 253
bi и 62. А это и
bi и 62. А это и
По данному ранее определению перпендикулярными называются прямые, пересекающиеся под прямым углом. Однако иногда скрещивающиеся прямые тоже называю!' перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
Определим понятие угла между прямой и плоскостью. Пусть а — плоскость и а — пересекающая ее прямая (рис. 253). Основания перпендикуляров, опущенных из точек прямой а на плоскость а, лежат на прямой а. Эта прямая называется проекцией прямой а на плоскость сс. Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Угол между параллельными прямой и плосксстью считается равным нулю, а угол мея'ду перпендикулярными прямой и плоскостью — равным 90 . Так как прямая а, ее проекция а на плоскость а и перпендикуляр к плоскости сс в точке ее пересечения с прямой а лежат в одной плоскости, то угол между прямой и плоскостью дополняет до 90J угол между этой прямой и перпендикуляром к плоскости.
Задача (20). Точка А отстоит от плоскости на расстояние h. Найдите длины наклонных, проведенных из этой точки под следующими углами к плоскости: 1) 30°, 2) 45°, 3) 60°.
Решение. Опустим перпендикуляр АА' на плоскость (рис. 254). Треугольник АА* В — прямоугольный с прямым углом при вершине А*. Острый угол этого треугольника, противолежащий катету АА', равен 30э (соответственно 45 ,
30). Поэтому в первом случае наклонная АВ = АА - 2А. Во sin 30'
втором случае АВ = й } 2 , в третьем АВ =
У з
Определим понятие угла между плоскостями. Угол между параллельными плоскостями считается равным нулю.
Пусть данные плоскости пересекаются. Проведем плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями (рис. 255). Определяемый так угол между плоскостями не зависит от выбора секущей плоскости. Докажем это.
Пусть а и Р — данные плоскости, пересекающиеся пэ прямой с. Проведем плоскость у, перпендикулярную прямой с. Она пересечет плоскости а и р по прямым а и Ъ. Угол между плоскостями а и р равен углу между прямыми а и Ъ. Возьмем другую секущую плоскость у', перпендикулярную прямой с. Пусть а' и Ь' — прямые пересечения этой плоскости с плоскостями а и р. Выполним параллельный перенос, при котором точка пересечения плоскости у с прямой с переходит в точку пересечения плоскости у' с прямой с. При этом параллельном переносе прямая а переходит в прямую а', а прямая Ъ — в прямую Ъ'. Это значит, что углы между прямыми а и Ъ, а' и Ь' равны. Утверждение доказано.
Задача (24). Две плоскости пересекаются под углом 30°. Точка А, лежащая в одной из этих плоскостей, отстоит от второй плоекости на расстояние а. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей.
Решение. Пусть аир — данные плоскости и А — точка, лежащая в плоскости а (рис. 256). Опустим перпендикуляр АА' на плоскость Р и перпендикуляр АВ на прямую с, по которой пересекаются плоскости. По теореме о трех перпендикулярах А'В 1с. Угол при вершине В прямоугольного треугольника АВА' равен 30 . Имеем:
. „ АА'1 о
АВ = —— = а : — = 2а.
sin 302
Расстояние от точки А до прямой с равно 2а.
ПЛОЩАДЬ ОРТОГОНАЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИМНОГОУГОЛЬНИКА
Ортогональной проекцией фигуры на данную плоскость называется ее параллельная проекция в направлении, перпендикулярное этой плоскости.
Теорема 17.1. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.
Доказательство. Рассмотрим сначала треугольник и его проекцию на плоскость, проходящую через одну из его сторон (рис. 257). Проекцией треугольника АВС является треугольник АВСг в плоскости а. Проведем высоту CD треугольника. По теореме о трех перпендикулярах отрезок CXD — высота треугольника ABCV Угол CDCV равен углу между плссксстью треугольника АВС и плоскостью проекции а. Имеем: CXD = CD • cos ф,
8.ДВГ = -ABCD, S.ABr = —АВ • CXD.
Отсюда8дЛВГ1 = S^ecs ф.
Таким образом, в рассматриваемом случае теорема верна. Теорема верна и в случае, когда вместо плоскости а взята любая параллельная ей плоскость. Действительно,при проектировании фигуры на пара ллельные плоскости ее проекции совмещаются параллельным переносом в направлении проектирования. А совмещаемые параллельным переносом фигуры равны. Рассмотрим теперь общий случай.
Разобьем данный многоугольник на треугольники. Каждый треугольник, у которого нет стороны, параллельной плоскости проекции, мы разобьем на два треугольника с общей стороной, параллельной плоскости проекции, как это показано для четырехугольника ABCD на рисунке 258.
Теперь для каждого треугольника А нашего разбиения и его проекции А запишем равенство 8- = = S cos ф. Сложим все эти равенства почленно. Тогда получим слева площадь проекции многоугольника, а справа площадь самого многоугольника, умноженную на cos ф. Теорема
доказана.
ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
В пространстве, как и на плоскости, вектором называется направленный отрезок. Буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия для векторов в пространстве: абсолютная величина вектора, направление вектора, равенство векторов.
Координатами вектора с началом в точке At (xlt ylt zj и концом в точке А2 (хг, у», г2) называются числа х2 — xIf У г — yv, г2 — г^ Так же, как и на плоскости, доказывается, что равные векторы имеют соответственно равные координаты, и обратно, векторы с соответственно разными координатами равны. Это дает основание для обозначения вектора его координатами: а (ап аг, а3) или просто (ап а2, а3).
Задача (32). Даны четыре точки: А (2, 7, —3), В (1, 0, 3), С (—3,—4, 5), D (—2, 3, —1). Укажите среди векторов АВ, ВС, DC, AD, АС и 3D равные векторы.
Решение. Надо найти координаты указанных векторов АВ, ВС, ...и сравнить соответствующие координаты. У равных векторов соответствующие координаты равны. Например, у вектора АВ координаты: 1 — 2 =— 1, О — 7 = —7, 3 — — (—3) = 6. У вектора DC такие же координаты:—3 —(—2)— = —1, —4 — 3 = —7, 5 — (—1) = 6. Таким образом, векторы АВ и DC равны. Другой парой равных векторэв будут ВС и AD.
Так же, как и на плоскости, определяются действия над векторами: сложение, умножение на число и скалярное произведение.
Суммой векторов а (аи а2, а3) и b (bt, Ъ2, Ь3) называется вектор с (at + bn a2 + b2, а3 + b3).
Так же. как и на плоскости, доказывается $ екторное равенство АВ + ВС = АС. _
Произведением вектора а (ап а2, а3) на число X называется вектор Ха = (Xan Лаг, ka^. Так же, как и на плоскости, доказывается, что абсолютная величина вектора Ха равна |Х| |а|, анаправление совпадает с направлением вектора а, если X >0, и противоположно направлению вектора а, если X <0
Задача (35). Дан вектор а (1, 2, 3). Найдите коллинеарный ему вектор с началом в точке А (1, 1, 1) и концом В на плоскости ху.
Решение. Координата г точки В равна нулю. Координаты вектора АВ*, х — 1, у — !• 0 — 1 = 1» Из коллинеарности векторов а и АВ получаем пропорцию
х —1 _ У — 1 _ —1
1 — 2 3 '
Отсюда находим координаты х, у точки В:
Скалярным произведением векторов (а,, а2, а3) и (Ьц Ьй, Ь$) называется число albl + с^Ь^ + а3Ь3. Буквально так же, как и на плоскости, доказывается, что скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между векторами.
Задача (40). Даны четыре точки: А (0, 1, —1), В (1, —1, 2), С (3, 1, 0), В (2, — 3, 1). Найдите косинус угла <р между векторами АВ и CD.
Решение. Координатами вектора АВ будут:
1 — 0=1, —1 — 1 = —2, 2 — (—1) = 8;
I АВ I = ТА^С-ЗР + З4 = V 14-
Координатами вектора CD будут 2—3= —1, —3—1=—4,1—0=1;
| CD | = К(—I)2 +(—4)2 + I8 = jA8.
Значит,
АВ ■ CD 1 • (— 1) + (—2) (—4) Д-3 15
COS (р = ————— = ———•
|ЛВ||СЛ|/14 /.3V63
Подобно тому как для векторов на плоскости, в пространстве имеет место разложение
О (flj, О2, ^з) ” ^1^1 4" ^2^2 "4" О3С3,
где е;, е2 и е3 — единичные векторы, имеющие направления координатных осей. Действительно,
(а„ а2, а3) = (а,, 0, 0) + (0, а2, 0) + (0, 0, а3) =
= ot (1, 0, 0) + а2(0. 1, 0)+ Оз (0, 0, 1)=а1е14" a3et-V а3е3.
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
Составим уравнение плоскости. Пусть Ао (х0, у^ г0) — какая-нибудь точка плоскости и п (а, Ь, с) — вектор, перпендикулярный плоскости (рис. 259). Пусть А (х, у, г) — произвольная точка плоскости. Векторы А0А и п перпендикулярны. Поэтому их скалярное произведение равно нулю. Координаты вектора А0А равны х — х01 у — у0. г — г0. Так как АСА ■ п = 0, то
а (х — х0) + b (у — уР) 4- с (г — г0) = 0.(*)
Обратно, если точка А (х, у, г) удовлетворяет этому уравнению, то А0А и = 0. А значит, точка А лежит в плоскости. 1 аким образом, уравнение^ есть уравнение нашей плоскости
Заметим, что коэффициенты а, 6, с в уравнении плоскости
ах + by -|- сг + d = О являются координатами вектора, перпендикулярного плоскости.
Задача (49). Даны точки А (1, 2, 3) и В (О, 1, —1). Найдите уравнение плоскости, которая проходит через точку А и перпендикулярна прямой АВ.
Решение. Вектор АВ перпендикулярен плоскости. Его координатами будут —1, —1, —4. Поэтому уравнение плоскости можно записать так: (—1)хт(—1)у+(—4)«+d=0. Так как точка А лежит в плоскости, то ее координаты должны
удовлетворять этому уравнению:
(-1) - 1 + (—1) - 2 + (-4) • 3 + d = О.
Отсюда d = 15. Уравнение искомой плоскости:
—х — у — 4г + 15 = О.
Как мы знаем, любая прямая полностью определяется, если заданы две плоскости, проходящие через эту прямую. Отсюда следует, что любая прямая в пространстве задается двумя линейными уравнениями—уравнениями плоскостей, проходящих через эту прямую:
avx + а2у + а3г + о4 = О,bvx + b,y + Ь3г + Ь4 = О.
Точка (х, у, г), удовлетворяющая этим двум уравнениям, принадлежит каждой из плоскостей, а значит, принадлежит прямой. Обратно, координаты каждой точки прямой удовлетворяют обоим уравнениям, так как точка принадлежит каждой из плоскостей.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Где лежат те точки пространства, для которых координаты х и у равны нулю?
Выразите расстояние между двумя точками через координаты этих точек.
Выведите формулы для координат середины отрезка через координаты его концов.
Что такое преобразование симметрии относительно точки? Какая фигура называется центрально-симметричной?
Объясните, что такое преобразование симметрии относительно плоскости. Что такое плоскость симметрии фигуры?
Какое преобразование фигуры называется движением?
Докажите, что преобразование симметрии относительно тс чки есть движение.
Докажите, что преобразование симметрии относительно координатной плоскости ху задастся формулами х' = х, у' = У, 2* = —2. Дока;ките, что преобразование симметрии относительно плоскости есть движение.
Докажите, что движение в пространстве переводит плоскость в плоскость.
Дайте определение параллельного переноса.
Докая'ите, что при параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную плоскость.
Дайте определение угла между прямыми.
Докажите, что угол <р между прямыми, содержащими векторы а и Ъ, определяется из уравнения
| а • Ь j = | а| b | ■ cos qj.
Дайте определение угла между прямой и плоскостью.
Дайте определение угла между плоскостями.
Что такое ортогональная проекция фигуры на плоскость?
Докажите, что площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость разна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью его проекции.
Дайте определение координат ректора с начален в точ- _ ке А± (Хц ух, 2t) и концом t точке А2 (х2, у2, г2).
Что таксе абсолютная величина вектора? Какие векторы называются одинаково направленными?
Дайте определения действий над векторами: сложения, умно жения на число, скалярного произведения.
Докажите, что любой вектор я (щ, а2, я3) можно представить в виде а=я1е1 +а2е2+а3е3, где «и е2, е3—единичные векторы, имеющие направления координатных осей.
Выведите уравнение плоскости.
Какой геометрический смысл имеют коэффициенты я, Ь, с в уравнении плоскости ах + by + сг + d = 0?
Какими уравнениями задается прямая в пространстве?
УПРАЖНЕНИЯ
Даны точки А (1, 2, 3), В (0, 1, 2), С (0, 0, 3), В (1, 2, 0). Какие лз этих течек лежат: 1) в плоскости ху; 2) на оси г; 3) в плоскости у А?
Дана точка А (1, 2, 3). Найдите основания перпендикуляров, опущенных из этой точки на координатные оси и координатные плоскости.
Найдите расстояния от точки (1, 2, ■—3) до: 1) координатных плоскостей, 2) осей координат, 3) начала координат.
В плоскости ху найдите точку D (х, у, 0), равноудаленную от трзх данных точек: А (0, 1, —1), В (—1, 0, С (О, -1, 0).
Найдите точки, равноотстоящие от точек (0, 0, 1), (О, 1, О), (1, О, О) и отстоящие от плоскости уг на расстояние 2.
На оси х найдите точку С (х, О, 0), равноудаленную от двух точек А (1, 2, 3), В (—2, 1, 3).
Составьте уравнение геометрического места точек пространства, равноудаленных от точки А (1, 2, 3) и начала координат.
Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках А (1, 3, 2), В (О, 2, 4), С (1, 1, 4), В (2, 2, 2) есть параллелограмм.
Докажите, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, если: 1) А (О, 2, —3),В (—1, 1, 1),
С (2, —2, —1), D (3, —1, —5);2) А (2, 1, 3),
В (1, О, 7), С (—2, 1, 5), D (—1, 2, 1).
Докажите, что четырехугольник ABCD является ромбом, если: 1) А (6, 7, 8), В (8, 2, 6), С (4, 3, 2), D^ 8, 4); 2) А(0, 2,0), В(1,0, О), С(2, О, 2), D (1, 2, 2).
Даны один конец отрезка А (2, 3, —1) и его середина С (1, 1, 1). Найдите второй конец отрезка В (х, у, г).
Найдите координаты вершины D параллелограмма АЗСВ, если координаты трех других его вершин известны: 1) А (2, 3, 2), В (О, 2, 4), С (4, 1, О); 2} А (1, —1, О), В (О, 1, —1), С (—1, О, 1); 3) А (4, 2, —1), В (1, —3, 2), С (—4, 2, 1).
Докажите, что середина отрезка с концами в точках А (а, с, —Ь) и В (—а, d, b) лежит на оси у.
Докажите, что середина отрезка с концами в точках С (а, Ь, с) и D (р, q, —с) лежит в плоскости ху.
Даны точки (1, 2, 3), (0, —1, 2), (1, О, — 3). Найдите точки, симметричные данным относительно координатных плоскостей.
Даны точки (1, 2, 3), (0, —1, 2), (1, О, —3). Найдите точки, симметричные им относительно начала координат.
Найдите значения а, Ь, с в формулах параллельного пе- ' реноса х' = х + а, у’ = у + Ь, г = z + с, если при этом параллельном переносе точка А (1, О, 2) переходит ч точку А* (2, 1, О).
При параллельном переносе точка А (2, 1, —1) переходит в точку А' (1, —1, О). В какую точку переходит начал ) координат?
Существует ли параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку В, а точка С — в точку D, еслп*.
А (2,1, О),В (1, О, 1), С (3, —2. 1), D (2, —3,О);
А (—2, 3, 5), В (1, 2, 4), С (4, —3, 6),D (7, —2,5);
А (О,1, 2),В (—1, О, 1), С (3, —2, 2),D (2, —3,1);
А (1,1, О),В (О, О, О), С (—2, 2, 1), D(1, 1, 1)?
Точка А отстоит от плоскости на расстояние Л. Найдите длины наклонных, проведенных из нее под следующими углами к плоскости: 1) 30 ; 2) 45°; 3) 60°.
Наклонная равна а. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если наклонная составляет с плоскостью угол, равный: 1) 45°; 2) 60°; 3) 30 ?
Отрезок длиной 10 м пересекает плоскость; концы его находятся на расстояниях 2 м и 3 м от плоскости. Найдите угол между данным отрезком и плоскостью.
Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а их плоскссти образуют угол 60°. Общее основание равно 16 м; боковая сторона одного треугольника 17 м, а боковые стороны другого перпендикулярны. Найдите расстояние между вершинами треугольников.
Две плоскости пересекаются под углом 30°. Точка А. лежащая в одной из этих плоскостей, отстоит от второй плоскости на расстояние а. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей.
Равнобедренные треугольники АВС и ABD с общим основанием АВ лежат в разных плоскостях, угол между которыми равен сс. Найдите cos а, если: 1) АВ = 24 м, АС = 13 м, AD = 37 м, CD = 35 м; 2) АВ = 32 м, АС = 65 м, AD = 20 м, CD = 63 м.
Найдите угол между плоскостями, если точка, взятья на одной из них, отстоит от прямой пересечения плоскостей вдвое дальше, чем от второй плоскоеги.
Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы в 45° и 30°, а между собой прямой угол Найдите расстояние между концами наклонных.
Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45°, а между собой угол 60°. Найдите расстояние между концами наклонных.
Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника проведена плоскость под углом 45° ко второму катету. Найдите угол между гипотенузой и плоскостью.
Из точки, отстоящей от плоскости на а, проведены две наклонные под углом 30° к плоскости, причем их проекции образуют угол 120°. Найдите расстояние между концами наклонных.
Катеты прямоугольного треугольника равны 7 м и 24 м. Найдите расстояние от вершины прямого угла до плоскости, которая проходит через гипотенузу и составляет угол 30° с плоскостью треугольника.
Даны четыре точки: А (2, 7, —3), В (1,0,3), С (—3, —4,5), D (—2, 3, —1). Укажите среди векторов АВ, ВС, DC, AD, АС и BD равные векторы.
Даны три точки: А (1, 0, 1), В (—1, 1, 2), С (0, 2, —1). Найдите точку D (х, у, г), если известно, что: 1) векторы АВ и CD равны; 2) сумма векторов АВ и CD равна нулю.
При каких значениях тип данные векторы коллинеарны: 1) а (2, п, 3), b (3, 2, т); 2) а (т, 2, 5), b (1, —1, п); 3) а (т, п, 2), b (6, 9, 3)?
Дан вектор а (1, 2, 3). Найдите коллинеарный ему вектор с началом в точке А (1, 1, 1) и концом В на плоскости ку.
При каком значении п данные векторы перпендикулярны:
а (2, —1, 3), Ъ (1, 3, п); 2) а (п, —2, 1), b (n, —п, 1);
а (и, —2, 1), Ь (п, 2л, 4); 4) а (4, 2п, —1), b (—1, 1, п)?
Даны три точки: А (1, 0, 1), В (—1, 1, 2), С (0, 2, —1). Найдите на оси г такую точку D (0, 0, с), чтобы векторы АВ и CD были перпендикулярны.
Векторы а и b образуют угол 60°, а вектоо с им перпендикулярен. Найдите абсолютную величину вектора а + b + с.
Векторы а, Ъ, с единичной длины образуют попарно углы 60 . Найдите угол ф между векторами 1) а и b + с; 2) а и b — с.
Даны четыре точки: А (0, 1, —1), В (1, —1, 2), С(3, 1, 0), D(2, —3, 1). Найдите косинус угла ф между векторами АВ и CD.
Даны три точки: А (0, 1, —1), В (1, —1, 2), С (3, 1, 0). Найдите косинус угла С треугольника АВС.
Из вершины А треугольника АВС восставлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите косинус угла ф между векторами ВС и BD, если угол ABD равен а, а угол АВС равен В.
Наклонная образует угол 45° с плоскостью. Через основание наклонной проведена прямая в плоскости под углом 45е к прсекции наклонной. Найдите угол ф между этой прямой и наклонной.
Из точки вне плоскости проведены перпендикуляр и два равные наклонные, образующие углы а с перпендикуляром. Найдите угол <р между проекциями наклонных, если угол между наклонными 0.
Найдите единичный вектор, коллинеарный вектору а (2, 1, —2).
Даны две точки: А (1, О, 2) и В (—1, 1, 1). Найдите координаты. единичного вектора е (а, Ь, с), коллинеарного вектору АВ и одинаково с ним направленного.
При каком условии вектор а (ац а2, а3) параллелен оси г?
При каком условии плоскость, заданная уравнением ах + Ъу + сг + d = О, параллельна плоскости ху?
Даны точки А (1, 2, 3) и В (О, 1, —1). Найдите уравнение плоскости, которая проходит через точку А и перпендикулярна прчмой АВ.
Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку А и перпендикулярна прямой АВ, если: 1) А (—1, 1, 2), В(2, 0, 1); 2) А (1, 0, —1), В(4, 3, —3); 3) А (3, —4, 5), В (2, 1, 2).
Найдите отрезки, которые плоскость ах+by +сг 4-d=0 отсекает на осях координат, если а, Ь, с, d не равны нулю.
Докажите, что прямая пересечения плоскостей, заданных уравнениями avx + bxy = dlt агх -V b2y = dt, параллельна оси г,
Докажите, что плоскости, заданные уравнениями ах 4- by + сг + d =* О, ах + by + сг 4- dv = О, не имеют общих точек, если d ^ dx.
Докажите, что любая плоскость, параллельная плоскости ах + by + сг + d = О, задается уравнением вица ах + by + сг 4- d' = 0, где d' ^ d.
Плоскость задана уравнением ах 4- by 4- сг 4- d = О. Какому условию должны удовлетворять координаты точки Р (А, I, т), чтобы прямая, проходящая через эту точку и начало координат, была перпендикулярна плоскости?
Дана точка Р (к, I, т). Найдите уравнение плоскости, которая проходит через начало координат О и перпендикулярна прямой ОР.
Найдите точку пересечения трех плоскостей, заданных уравнениями:
х4-У4- а = 1,х — 2у = О,2х4-у 4- Зг 4- 1 = О;
х—у= 3,у 4- г = 2,х— 2 = 4;
х4*2= О,2х — у = 3,Зх4- 2 г/ — 2=8;
„4)х4-2у4- Зг=1,Зх 4- У 4- 2г =2,2х4- Зу 4- г = 3.
Докажите, что плоскости, заданные уравнениями х 4- у 4- г = 1, 2х 4- у 4- Зг + 1 = О, х 4- 2г 4- 1 = О, не имеют ни одной общей точки.
При каком условии плоскость, заданная уравнением ах + by + сг + d = О, 1) параллельна оси г; 2) проходит через ось г?
При каком условии плоскость, заданная уравнением ах + by + сг + d = О, перпендикулярна плоскости ху?
Плоскость задана уравнением 2х + Зу + г = 1. Укажите какой-нибудь вектор, параллельный плоскости.
Прямая является пересечением плоскостей 2х 4 Зу 4 4-2 = 1, х 4- у + г = 1. Укажите какой-нибудь вектор, параллельный прямой.
10 класс
§ 18. МНОГОГРАННИКИ
МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой (рис. 260). Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая — ребром двугранного угла.
Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани ио двум полупрямым. Угол, образованный этими полупрямыми, называется линейным углом двугранного угла. За меру двугранного угла принимается мера соответствующего ему линейного угла. Все линейные углы двугранного угла совмещаются параллельным переносом, а значит, равны. Поэтому мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла.
Задача (1). Из точек А и В, лежащих в гранях двугранного угла, опущены перпендикуляры AAY и ВВ, па ребро угла. Найдите длину отрезка АВ, если AAY = a, BBY = = b, AjBj = си двугранный угол равен а (рис. 261).
Решение. Проведем прямые AYC || ВВХ и ВС || A,3Y. Прямая AYBY перпендикулярна плоскости треугольника Ал С, так как она перпендикулярна двум прямым в этой плоскости AAY и CAy. Следовательно, параллельная ей прямая ВС тоже перпендикулярна этой плоскости. Значит, треугольник АВС прямоугольный с прямым углом С. По теореме косинусов AC2=AAY + AYC2 — 2AAY AYC-cos а = а2 + Ь2— 2ab cos а.
Рис. 262
Пэ теореме Пифагора АВ=УА&-\-ВСг =
Рис.Рис.263263= ) о‘ + Ь2 — 2tib cos а -}- с2 .
Рис.
Рис.
263
263
Трехгранным углом (abc) называется фигура, составленная из трех плоских углов: (об), (be) и (ас) (рис. 262). Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны — ребрами. Общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы, образуемые гранями и их продолжениями, называютсядвугранными углами трехгранного угла.
Аналогично определяется понятие многогранного угла (ага2а3 ... ап) — как фигуры, составленной из плоских углов (а^), (а2а3), (а3а4), .... (anaj. Для многогранного угла определяются понятия граней, ребер и двугранных углов так же, как и для трехгранного угла (рис. 263).
3 а д а ч а (3). У трехгранного угла один плоский угол равен у (у < л), а прилежащие к нему двугранные углы
О Рис. 264О Рис. 264равны фравны фНайдите два других плоских угла а и угол р, который образует плоскость угла у с противолежащим ребром.
О Рис. 264
О Рис. 264
равны ф
равны ф
= --. Имеем:2SC = —, sin (p= --. Имеем:2SC = —, sin (pАС = tg<pАС = tg<pОтсюдаОтсюдаSCtg a =ОСSCtg a =ОСoc = —T tgT T tg<p • tg — sin (poc = —T tgT T tg<p • tg — sin (pОА= "-=-!»-.УУsin - tg ф sin -AS у tg<ptgy• tgp = tg ф • sin cos q2ОА= "-=-!»-.УУsin - tg ф sin -AS у tg<ptgy• tgp = tg ф • sin cos q2Решение. Опустим из произвольной точки S ребра, противолежащего углу у, перпендикуляр SA на плоскость угла у и перпендикуляпы SB и SC на его стороны (рис. 264). По теореме о трех перпендикулярах отрезки АВ и АС перпендикулярны сторонам угла у. Прямоугольные треугольники SCA и SBA равны по катету и противолежащему углу. Поэтому АВ = АС. Прямоугольные треугольники АОВ и АОС равны по катету и гипотенузе. Поэтому Z_ АОС = Zx АОВ =•
= --. Имеем:
2
SC = —, sin (p
= --. Имеем:
2
SC = —, sin (p
АС = tg<p
АС = tg<p
Отсюда
Отсюда
SC
tg a =
ОС
SC
tg a =
ОС
oc = —
T tgT T tg<p • tg — sin (p
oc = —
T tgT T tg<p • tg — sin (p
ОА= "-=-!»-.
УУ
sin - tg ф sin -
AS у tg<ptgy
• tgp = tg ф • sin cos q2
ОА= "-=-!»-.
УУ
sin - tg ф sin -
AS у tg<ptgy
• tgp = tg ф • sin cos q2
МНОГОГРАННИК
Многогранником называется тело, ограниченное конечным числом плоскостей. Граница многогранника называется его поверхностью (рис. 265).
Многогранник называется выпуклым, если он лежит пи одну сторону от каждой из ограничивающих плоскостей. Общая часть поверхности выпуклого многогранника и ограничивающей его плоскости называется гранью. Стороны граней многогранника называются ребрами, а вершины — вершинами многогранника.
Поясним данное определение на примере знакомого вам куба (рис. 266). Куб есть выпуклый многогранник. Его по верхность со
стоит из шести квадратов: ABCD, BEFC,.... Они являются его гранями. Ребрами куба являются стороны этих квадратов АВ, ВС, BE, ... . Вершинами куба являются вершины квадратов А, В, С, D, Е, ... . У куба шесть граней, двенадцать ребер
и восемь вершин.
ПРИЗМА
Призмой называется многогранник, образованный заключенными между двумя параллельными плоскостями отрезками всех параллельных прямых, которые пересекаю г плоский многоугольник в одной из плоскостей. Грани призмы, лежащие в этих плоскостях, нязываются основаниями призмы. Другие грани называются боковыми гранями. Все боковые грани — параллелограммы. Ребра призмы, соединяющие вершины оснований, называются боковыми ребрами. Все боковые ребра призмы параллельны.
На рисунке 267 изображена призма. Она образована отрезками XX' параллельных прямых, пересекающих многоугольник Р: А^гАз ... А„ в плоскости а. Основаниями призмы являются многоугольник Р и равный ему многоугольник Р' в плоскости а*. Боковыми гранями призмы являются параллелограммы A1AaA2A'1, А2А3А^А2, ... . Боковыми ребрам:! призмы являются отрезки А,^, А2А'2, АзА^, ... .
Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы. Диагональным сечением призмы называ ется сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. Призма называется прямой, если ее боковые
ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае призма называется наклонной. Прямая призма называется правильной, если ее основания являются правильными многоугольниками.
Задача (8). Основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной а, а боковые грани — квадраты. Найдите диагонали призмы и площади ее диагональных сечений.
Решение. Диагональные сечения призмы представляют собой прямоугольники (рис. 268), у которых основаниями являются диагонали оснований призмы! а высотой — высота призмы. Диагонали основания равны: большая 2а и меньшая а^З. Так как высота призмы равна стороне основания а, то площади диагональных сечений равны 2а* и а2 КЗ. Диагонали призмы являются диагоналями диагональных сечений. По теореме Пифагора диагонали призмы равны У(2а)‘ - а2 = а Кб, VККЗ)2 + а2 = 2а.
Е оковой поверхностью призмы (точнее, площадью боковой поверхности) называется сумма плошадей боковых граней. Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и площадей оснований.
Теорема 18.1. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т. е. на длину бсксвоге ребра.
Доказательство. Боковые грани прямой призмы — прямоугольники. Основания этих прямоугольников являются сгсу нами многоугольника, лежащего в основании призмы, а в*, эты равны длине боковых ребер. Отсюда следует, чго боковая поверхность призмы равна
S = aj + aj + ... + anl = pl, где p — периметр оснс вания призмы, а I — длина боковых ребер. Теорема доказана.
Задача (17). В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все бо-
ковые ребра. Найдите боковую поверхность призмы, если периметр сечения равен р, а боковые ребра равны I
Решение. Плоскость проведенного сечения разбивает призму на две части (рис 269). Подвергнем одну из них параллельному переносу, совмещающему основания призмы. При этом получим прямую призму, у которой основанием служит сечение исходной призмы, а боковые ребра равны /. Эта призма имеет ту же боковую поверхность, что и исходная. Таким образом, боковая поверхность исходной призмы равна pl.
ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКИХ СЕЧЕКИЙ1
В стереометрии нередко приходится рассматривать сечения тел, в частности многогранников, различными плоскостями. Мы уже имели дело с такими сечениями в простейших случа ях, решая задачи 8 и 17. Обычно задача состоит в том, чтобы построить сечение, имея параллельную проекцию тела. При ведем некоторые соображения, которыми пользуются при построении сечений многогранников.
Прежде всего заметим, что сечение выпуклого многогранника есть выпуклый плоский многоугольник, вершины которого в общем случае являются точками пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а стороны — с его граня?, i.
Для построения прямой пересечения плоскостей обычно находят две ее точки и проводят через них прямую. Для построения точки пересечения прямой и плоскости находят в плоскости прямую, пересекающую данную. Тогда искомая точка получается в пересечении найденной пр й с данной.
Приведем пример, из которого видно, ка : эти общие соображения применяются.
Задача (9). В правильной шестиугольной призме, у которой боковые грани — квадраты, проведите плоскость через сторону нижнего основания и противолежащую ей сторону верхнего основания. Сторона основания равна а. Найдите площадь построенного сечения.
Решение. Сечение проходит через параллельные прямые АВ и E.DV (рис 270). Ребра А.В и ЕуВх являются сторонами нногоугольника в сечении. Найдем сторону этого многоугольника, лежащую в грани CCvByD. На прямой DyX мы знаем одну точку — точку Dy. Другой точкой является точка F пересечения прямых АВ и CD. Ока лежит в плоскости грани CCyD,D и в плоскости сечения, а значит, и на прямой их пересечения DxX. Соединяя точки Dy и F прямой, получим точку X. Отрезок DxX есть сторона сечения в грани CCyDyD. Аналогично находим точку Y. Искомый многоугольник в сечении есть ABXDxExY.
Найдем теперь площадь сечения. Шестиугольник в основании призмы является ортогональной проекцией шестиугольника в сечении. Поэтому площадь сечения S = - °-, где cos а
So — площадь основания призмы, а а — угол, который обра
зует секущая плоскость с плоскостью основания.
Так как ЕА ± АВ, то ЕХА ± АВ (теорема о трех перпендикулярах). Поэтому а = Z. EAEV А гак как ЕЕХ = а, АЕ = aV^ (сторона правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса а),_то АЕХ = ^а2 - (a ^3)" = 2а. Поэтому cos а = —— -^-. Площадь основания призмы
сечениясеченияcos аcos аравна So = 6 ---a2 sin 60" = 51^Л. Итак, площадьS = -^- = За2.
сечения
сечения
cos а
cos а
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется тшуиллслспимбдом. Y параллелепипеда все грани параллелограммы. На рисунке 271, а изображен наклонный
8 А. В. Погорелов
225
параллелепипед, а на рисунке 271, б — прямой параллелепипед.
Теорема 18.2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство. Рассмотрим какие-нибудь две диагонали параллелепипеда, например АхА^ и А4 А^рис. 272). Так как четырехугольники А1А3А3А4 и А^А^^Аз — параллелограммы, то четырехугольник АцАхА'^А^ гоже параллелограмм. Диагонали параллелепипеда А4А' и А4А^ являются диагоналями этого параллелограмма. Поэтому они пересекаются и точкой пересечения О делятся пополам. Аналогично доказывается, что диагонали А] А' и А2А', а также диагонали Ai Aj и А3А' пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда заключаем, что все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.
Из теоремы 18.2 следует, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.
Задача (24). В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 5 см, а одна из диагоналей основания 4 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диагональ образует с плоскостью основания угол 60 (рис. 273).
Решение. Находим вторую диагональ основания. Так как основанием служит параллелограмм, а у параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон, то вторая диагональ основания равна |/2 З2 + 2 ■ 52 — 42 = J/52 > > 4. Боковое ребро равно 4 tg 60° = = 4 р^З. Большая диагональ параллелепипеда равна V (К 52)2+(4)/3)2= = 10 (см)
Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются про- ш иволежащими.
Тео рема 18.3. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.
Доказательство. Рассмотрим какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда, например
А4АгА'А' и А3А4А'А' (рис. 274). Так как все грани параллелепипеда— параллелограммы, то прямая At А, параллельна прямой А3А4, а прямая А4А' параллельна прямой А4А'. Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней параллельны. Из того, что грани параллелепипеда — параллелограммы, следует, что все отрезки: Л4Л4, А,А', А'А' и А2А3 параллельны и равны. Отсюда заключаем, что грань Л1Л2Л'Л' совмещается параллельным переносом вдоль ребра А4А4 с гранью А3А4А'А'. Значит, эти грани равны. Аналогично доказывается параллельность и равенство любых двух противолежащих граней параллелепипеда. Теорема доказана.
Задача (28). У параллелепипеда три грани имеют площади 1 м2, 2 ма и 3 м2. Чему равна полная поверхность параллелепипеда?
Решение. Так как у параллелепипеда противолежащие грани равны, а следовательно, имеют равные площади, то у нашего параллелепипеда есть две грани с площадью по 1 м2, две грани — по 2 м2 и две грани — по 3 м2. Так как у параллелепипеда ровно шесть граней, то его полная поверхность равна 2-14-2-2 + 2- 3=12 м2.
Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани — прямо угольники.
Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами. У прямоугольного параллелепипеда три линейных размера.
Теорема 18.4. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его линейных размеров.
Доказательство. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA' B'C'D' (рис. 275). Из прямоугольного треугольника АС С по теореме Пифагора получаем:
Рис. 275Рис. 275АС*1 = АС + СС,е.
Рис. 275
Рис. 275
Из прямоугольного треугольника АСВ па теореме Пифагора получаем: AC—AB--Y" ВС Отсюда
АС'* = СС" + АВ2 + ВС.
Ребра АВ, ВС и СС' не параллельны, а следовательно, их длины являются линеи- ными размерами параллелепипеда. Теорема доказана.
Задача (33). Диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, равны а, Ь, с. Найдите линейные размеры параллелепипеда.
Решение. Обозначим через х, у, г линейные размеры параллелепипеда (рис. 276). Имеем: х2+у2 = с2, у2 + г2 = а2, г2+ х2 = Ь2. Почленно складывая первые два уравнения и вычитая третье, получим: 2у2=с2+а2—Ь2. Отсюда у = 7 . ^-| (с2 + и2 — Ь2) • Аналоги чно Г|#2 + с2- а2), г = У | (а2 + 62 - с2).
ПИРАМИДА
Пирамидой называется многогранник, образованный всеми отрезками, соединяющими данную точку — вершину пирамиды — с точками плоского многоугольника — основания пирамиды. Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань — треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей ей стороной — сторона основания пирамиды. Боковыми ребрами пирамиды называются ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
На рисунке 277 изображена пирамида. Ее основаньем является многоугольник АгА.2 ... Ап , вершина пирамиды — S, боковые ребра — SAlt ЯА2,..., 8АП , высота пирамиды — SX. Пирамида называется п-угольной, если в ее основании лежит n-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.
Рис. 280Рис. 280
Рис. 280
Рис. 280
Задача (35). Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды.
Решение. Так как все боковые ребра равны, то вершины основания одинаково удалены от основания высоты пирамиды (рис. 278), т. е. АО = ВО = СО = DO. Значит, основанием высоты пирамиды является центр окружности, описанной около основания, т. е. точка пересечения диагоналей прямоугольника. Поэтому высота пирамиды равна катету прямоугольного треугольника, у которого другой катет равен половине диагонали основания, а гипотенузой является боковое ребро. Диагональ основания AC = ^62 + 82 = 10 см. Поэтому высота пирамиды SO = V 132 — 52 = 12 см.
Теорема 18.5. Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее, отсекает подобную пирамиду.
Доказательство. Пусть S — вершина пирамиды, а — плоскость ее основания и а' — секущая плоскость (рис. 279). Возьмем две произвольные точки X и Y на основании пирамиды. Плоскость а' пересекает отрезки XS и YS в точках X' и Y'. Прямые XY и X'Y' параллельны, так как лежат в одной плоскости, плоскости треугольника XYS, и не
пересекаются. Из подобия треугольников SXY и SX' Y' следует, что отношения и ^—^ равны, т. е. отношение
XS YS
-—- = й не зависит от взятой точки X". XS
Отсюда следует, что отсекаемая плоскостью а' пирамида получается из данной пирамиды преобразованием гомотетии относительно точки S с коэффициентом гомотетии h. А гомотетичные фигуры подобны. Теорема доказана.
Задача (36). Высота пирамиды разделена на четыре равные части и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Площадь основания равна 400 см2. Найдите площади сечений (рис. 280).
Решение. Сечения подобны основанию пирамиды с коэффициентами подобия —, — и —. Площади подоб
ных фигур относятся как квадраты ли-
нейных размеров. Поэтому отношения площадей сечений к
—),(—) и I। . Следо- 4 / \ 4 /\ 4 /
вательно, площади сечений равны
400 • ^ja = 25 см2, 400 -= 100 см3, 400 • ^j2 = 225 см*.
Пира гида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центрш I этого многоугольника. Осью правильной пи- ра.-иды называется прямая, содержащая ее высоту. Очевидно, у правильной пирамиды боковые ребра равны; следовательно, боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. Боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.
Теорема 18.6. Бьговаяповерхносгь правильной пирамиды равна произведению полупераметра основания на апофему.
Доказательство. Если сторона основания а, а число сторон п, то боковая поверхность пирамиды будет: o' a:il pl .,„
— п = — = 2, гДе — апофема, ар — периметр основания. Теорема доказана.
Задача (51). у которой площадь новании равны <р.
Решение.
Найдите боковую поверхность пир амиды, основания Q, а двугранные углы при ос-
Пусть A^lj ... Ап — многоугольник в
основании пирамиды (рис. 281). Проведем высоту пирамид!.: МО и высоту МВ грани МА^А^ До теореме о трех перпендикулярах ОБ — высота треугольника ОА1Аг. Имеем: МВ =
^5—. Отсюда — А1А2 - МВ = — AtA2 •
cosф22
—-—'-!~—. Диалогично получаем: S
——. Или S ,. у= COS фДЛ,4,М
СОЗ ф
АДг4,М совф
®ДА,А.О
И т. д.
Рис. 281
Складывая эти равенства почленно, в левой части получим боковую поверхность пирамиды, а в правой — площадь основания Q, деленную на сов ф. Итак, площадь боковой поверхности пирамиды равна .
сов ф
По теореме 18.5 плоскость а', параллельная плоскости а основания пирамиды и пересекающая пирамиду, отсекает от нее подобную пирамиду. Другая часть также представляет собой многогранник, который называется усеченной пирамидой (рис. 282). Грани усеченной пир^иды,
лежащие в параллельных плоскостях а и а', называются основаниями пирамиды", остальные грани называются боковыми гранями. Основания усеченной пирамиды представляют собой подобные (более того, гомотетичные) многоугольники, боковые грани — трапеции. Усеченная пирамида, которая получается из правильной пирамиды, также называется правильной.
Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные равнобокие трапеции; их высоты называются апофемами.
Задача (58). Докажите, что боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
Решение. Боковые грани пирамиды — трапеции с одним и тем же верхним основанием а, нижним b и высотой
(апофемой) I. Поэтому площадь одной грани равна — (с +
+ by. Площадь всех граней, т. е. боковая поверхность, равна
Van + bn)l, где ап и ЬпVan + bn)l, где ап и Ьп— периметры оснований.— периметры оснований.
Van + bn)l, где ап и Ьп
Van + bn)l, где ап и Ьп
— периметры оснований.
— периметры оснований.
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.
Существует пять типов правильных выпуклых многогранников (рис. 283): правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.
У правильного тетраэдра грани — правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны.
SУ куба все грани — квадраты; в кахщой
вершине сходится по три ребра. Куб пред- //пл\ ставляет собой прямоугольный параллеле- / /М х пипед с равными ребрами.
У' /РА \^ октаэдра грани — правильные треу-
гольники, но в отличие от тетраэдра в каж- \/ ^^ ег0 вершине сходится по четыре ребра.
Х>1оАХ У додекаэдра грани — правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра.
V'У икосаэдра грани — правильные треу-
Рис. 284 гольники, но в отличие от тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходится по пять ребер. Задача (70). Найдите двугранные углы правильного тетраэдра.
Решение. Проведем из вершины S тетраэдра высоты SA, SB, SC его граней, сходящихся в этой вершине, и высоту SO тетраэдра (рис. 284). Если ребро тетраэдра обозначить че-
„ „„
рез а, то высоты граней будут равны ~2 -. Из равенства высот SA, SB, SC следует равенство отрезков ОА, ОВ, ОС. А
они перпендикулярны сторонам треугольника в основании тетраэдра (теорема о трех перпендикулярах). Отсюда следует, что точка О является центром окружности, вписанной в основание тетраэдра. Следовательно, отрезки ОА, ОВ и ОС
равны ■. Обозначим через ср двугранный угол при ребре, содержащем течку А. Тогда
ОА а рЙГо "^31
cos го = — = —— : —-— =—, со « 70.
AS 623
Очевидно, двугранные углы при остальных ребрах тетраэдра такие же по величине.
ВОПРОСЫ для повторения
Что такое двугранный угол (грань угла, ребро угла)?
Что такое линейный угол двугранного угла?
Почему мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла?
Объясните, что такое трехгранный угол (грани и ребра трехгранного угла).
б. Объясните, что такое плоские и двугранные углы трехгранного угла.
Что такое многогранный угол?
Что такое многогранник (поверхность многогранника)?
Какой многогранник называется выпуклым?
Что такое грань выпуклого многогранника, ребро, вершина?
Что такое призма (основания призмы, боковые гранп, ребра)?
Что такое высота призмы?
Что такое диагональ призмы? Что такое диагональное сечение?
Какая призма называется прямой (наклонной)?
Какая призма называется правильной?
Что такое боковая поверхность призмы (полная поверхность призмы)?
Докажите, что боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Какими соображениями пользуются при построении плоских сечений многогранников?
Что такое параллелепипед?
Докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.
Докажите, что у параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.
Какой параллелепипед называется прямоугольным? Что такое линейные размеры прямоугольного параллелепипеда?
Что такое куб?
Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его линейных размеров.
Что такое пирамида (основание пирамиды, боковые грани, ребра, высота)?
Докажите, что плоскость, параллельная основанию пирамиды, отсекает от нее подобную пирамиду.
Какая пирамида называется правильной? Что такое ось правильной пирамиды?
Что такое апофема правильной пирамиды? Докажите, что боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.
Объясните, что такое усеченная пирамида. Докажите, что боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
Какой многогранник называется правильным?
Перечислите пять типов правильных многогранников п опишите их.
УПРАЖНЕНИЯ
Из точек Л и В, лежащих в гранях двугранного угла, опущены перпендикуляры AAV и BBt на ребро угла. Найдите длину отрезка АВ, если ААХ = а, ВВХ = Ь, АХВХ = с и двугранный угол равен а.
В задаче 1 найдите двугранный угол а, если ААг = 3, BBL = 4, А1В1 =6, АВ = 7.
У трехгранного угла один плоский угол равен у (у < < л), а прилежащие к нему двугранные углы равны Ф |ф < ^. Найдите два других плоских угла а и угол ₽, который образует плоскость угла у с противолежащим ребром.
У трехгранного угла два плэские угла острые и равны а, а третий угол равен у. Найдите двугранные углы ф, противолежащие плоским углам а, и угол р между плоскостью у и противолежащим ребром.
В прямой треугольной призме стороны основания равны 10 см, 17 см и 21 см, а высота призмы 18 см. Найдите площадь сечения, проведенного через боковое ребро и меньшую высоту основания.
Боковое ребро наклонной призмы равно 15 см и наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найдите высоту призмы.
В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами равны 37 см, 13 см и 40 см. Найдите расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром.
Основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной а, а боковые грани — квадраты. Найдите диагонали призмы и площади ее диагональных сечений.
Внутри правильной шестиугольной призмы, у которой боковые грани — квадраты, проведите плоскость через сторону нижнего основания и противолежащую ей сторону верхнего основания. Сторона основания равна а. Найдите площадь построенного сечения.
Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая боковые грани по прямым, составляющим угол а. Найдите угол наклона этой плоскости к основанию призмы.
В правильной четырехугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом а. Сторона основания равна а. Найдите площадь полученного сечения.
В правильной четырехугольной призме площадь основания 144 см2, а высота 14 см. Найдите диагональ призмы.
В правильной четырехугольной призме площадь боковой грани равна Q. Найдите площадь диагонального сечения.
Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 15, высота равна 20. Найдите кратчайшее расстояние от стороны основания до не пересекающей ее диагонали призмы.
В прямой треугольной призме все ребра равны. Боковая поверхность равна 12 м®. Найдите высоту.
Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы равна 32 м2, а полная поверхность 40 м2. Найдите высоту.
В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите боковую поверхность призмы, если периметр сечения равен р, а боковые ребра равны L
Расстояния между боковыми ребрами наклонной треугольной призмы равны 2 см, 3 см и 4 см, а боковые ребра 5 см. Найдите боковую поверхность призмы.
По стороне основания а и боковому ребру b найдите полную поверхность правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
Плоскость, проходящая через сторону основания правильной треугольной призмы и середину противолежащего ребра, образует с основанием угол 45°. Сторона основания I. Найдите боковую поверхность призмы.
Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 1) 1, 2, 2; 2) 2, 3, 6; 3) 6, 6, 7.
Боковое ребро прямого параллелепипеда равно 5 м, стороны основания равны 6 м и 8 м, а одна из диагоналей основания равна 12 м. Найдите диагонали параллелепипеда.
Ребро куба равно а. Найдите расстояние от вершины куба до его диагонали.
В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 5 см, а одна из диагоналей основания 4 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диагональ образует с плоскостью основания угол 60°.
Найдите диагонали прямого параллелепипеда, у которого каждое ребро равно а, а угол основания равен 60°.
В прямоугольном параллелепипеде стороны основания 7 дм и 24 дм, а высота параллелепипеда 8 дм. Найдите площадь диагонального сечения.
В прямом параллелепипеде боковое ребро равно 1 м, стороны основания равны 23 дм и 11 дм, а диагонали основания относятся как 2:3. Найдите площади диагональных сечений.
У параллелепипеда три грани имеют площади 1 м2, 2 м2 и 3 м2. Чему равна полная поверхность параллелепипеда?
Найдите поверхность прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 10 см, 22 см, 16 сМ.
Найдите боковую поверхность прямоугольного параллелепипеда, если его высота h, площадь основания Q, а площадь диагонального сечения Л/.
В прямом параллелепипеде стороны основания 6 м и 8 м образуют угол 30°; боковое ребро равно 5 м. Найдите полную поверхность этого параллелепипеда.
В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 8 см; угол между ними 80'. Боковая поверхность равна 220 см2. Найдите полную поверхность.
Диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, равны а, Ь, с. Найдите линейные размеры параллелепипеда.
Основание пирамиды — равнобедренный треугольник, у которого основание равно 12 см, а боковая сторона 10 см. Боковые грани образуют с основанием раввыэ двугранные углы, содержащие по 45°. Найдите высоту пирамиды.
Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды.
Высота пирамиды разделена на четыре равные части и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Площадь основания равна 400 см2. Найдите площади сечений.
Высота пирамиды равна 16 м. Площадь основания равна 512 м2. На каком расстоянии от основания находится сечение, параллельное ему, если площадь сечения 50 м"?
Основанием пирамиды является правильный треугольник; одна из боковых граней перпендикулярна основанию, а две другие наклонены к нему под углом а. Как наклонены к плоскости основания боковыо ребра?
В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой а. Каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол 0. Найдите высоту пирамиды.
Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите высоту пирамиды.
В правильной треугольной пирамида через сторону основания проведена плоскость, перпендикулярная противолежащему боковому ребру. Найдите площадь сечения, если сторона основания а, а высота пирамиды h.
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 7 см, а сторсна основания 8 см. Найдите боковое ребро.
Основание пирамиды — параллелограмм, у которого стороны 3 см и 7 см, а одна из диагоналей 6 см; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей, она равна 4 см. Найдите боковое ребро пирамиды.
В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен а. Найдите двугранный угол х при основании пирамиды.
По данной стороне основания а и боковому ребру 6 найдите высоту правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
По данной стороне основания а и высоте Ь найдите апофему правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
По стороне основания а и высоте h найдите полную поверхность правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
Найдите полную поверхность правильной шестиугольной пирамиды, если ее боковое ребро а, а радиус окружности, вписанной в основание, — г.
В правильной четырехугольной пирамиде боковая поверхность равна 14, 76 м2, а полная поверхность 18 м2. Найдите сторону основания и высоту пирамиды.
По стороне основания а найдите боковую псверхность правильной четырехугольной пирамиды, у которой диагональное сечение равновелико основанию.
Найдите боковую поверхность пирамиды, у которой площадь основания Q, а двугранные углы при основании равны <р.
Найдите двугранные углы при основании правильной пирамиды, у которой площадь основания равна Q, а боковая поверхность — S.
Найдите сторону основания и апофему правильной треугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно 10 см, а боковая поверхность равна 144 см2.
В правильной четырехугольной пирамиде найдите сторону основания, если боковое ребро равно 5 см, а полная поверхность 16 см2.
Основание пирамиды — ромб с диагоналями 6 м и 8 м; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба и равна 1 м. Найдите боковую поверхность пирамиды.
Основание пирамиды — равнобедренный треугольник со ‘ сторонами 40 см, 25 см и 25 см. Высота пирамиды проходит через вершину угла,, противолежащего стороне 40 см, и равна 8 см. Найдите боковую поверхность пирамиды.
Основание пирами, (ы — квадрат, ее высота проходит через одну из вершин основания. Найдите боковую поверхность пирамиды, если сторона основания равна 20 дм, а высота 21 дм.
Докажите, чти боковая поверхность правильной усеченной пирамиды разна произведению полусуммы периглет- ров оснований на апофему.
Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 7 см. Стороны оснований равны 10 см и 2 см. Найдите боковое ребро пирамиды.
Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды 4 дм и 1 дм. Боковое ребро 2 дм. Найдите высоту пирамиды.
В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 2 см, а стороны оснований 3 см и 5 см. Найдите диагоне ль пирамиды.
Стороны оснований усеченной правильной треугольной пирамиды 2 см и 6 см. Боковая грань образует с боль- шии основанием угол 60°. Найдите высоту.
В правильной усеченной треугольной пирамиде сторона большего основания а, сторона меньшего 6. Боковое ребро обпазует с основанием угол 45°. Найдите площадь сечения, проходящего через боковое ребро и ось пирамиды.
Высота правильной четырехугольной усеченней пирамиды равна 4. Стороны оснований равны 2 и 8. Найдите площади диагональных сечений.
В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны основания 8 м и 5 м, а высота 3 м. Проведите сечение через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания. Найдите площадь сечения и двугранный угол между сечением и нижним основанием.
В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований 8 м и 2 м. Высота равна 4 м. Найдите полную поверхность.
Найдите полную поверхность правильной усеченной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной! 3) шестиугольной, если высота Л, а стороны оснований а и Ь.
Докажите, что центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра являются вершинами куба.
Докажите, что концы двух непараллельных диагоналей противолежащих граней куба являются вершинами тетраэдра.
Найдите двугранные углы правильного тетраэдра.
Найдите двугранные углы октаэдра.
Рис. 285Рис. 285Рис. 287Рис. 287
Рис. 285
Рис. 285
Рис. 287
Рис. 287
§ 19. ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
ЦИЛИНДР
Цилиндром (точнее, круговым цилиндром) называется тело, образованное заключенными между двумя параллельными плоскостями отрезками всех параллельных прямых, пересекающих круг в одной из плоскостей. Отрезки с одним концом на окружности этого круга называются образующими цилиндра.
Поверхность цилиндра состоит из оснований цилиндра — двух равных кругов, лежащих в параллельных плоскостях, и боковой поверхности.
Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой
цилиндр, называя его для краткости просто цилиндром.
На рисунке 285 изображен прямой цилиндр. Он образован отрезками XX' параллельных прямых, заключенными между параллельными плоскостями а и а'. Его основаниями являются круги К и К' в этих плоскостях.
Прямой цилиндр можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг его стороны как оси (рис. 286).
Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Лысо той цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением. Плоскость, проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра.
Задача (2). Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь которого Q. Найдите площадь основания цилиндра.
Решение. Сторона квадрата диаметру основания. Поэтому площадь основания равна
Л к 2 / 4 '
Теорема 19.1. Плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.
Доказательство. Пусть р — плоскость, перпендикулярная осс цилиндра (рис. 287). Эта плоскость параллельна основаниям. Параллельный перенос в направлении оси цилиндра, совмещающий плоскость р с плоскостью основания цилиндра, совмещает сечение боковой поверхности плоскостью р с окружностью основания. Теорема доказана.
Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая призма, основания которой — равные многоугольники, вписанны з в основания цилиндра. Зе боковые ребра являются образующими цилиндра (рис. 288, а). Призма называется описанной около цилиндра, если ее основания — равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости ее граней касаются боковой повэрхности цилиндра (рис. 288, б).
3 а д а ч а (7). 8 цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковом грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.
Решение. Боковые грани призмы — квадраты, так как сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу (рис. 289). Ребра призмы параллельны оси цилиндра, поэтому угол между диагональю грани и осью цилиндра равен углу между диагональю и боковым ребром. А этот угол равен 45°, так как грани — квадраты.
КОНУС
Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, образованное всеми отрезками, соединяющими данную точку — вершину конуса — с точками некоторого круга — осно-
Рис. 292Рис. 292
Рис. 292
Рис. 292
вания кокуса. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.
Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом.
На рисунке 290 изображен прямой конус. Его вершиной является точка S, а основанием — круг К в плоскости ос. Конус образован всеми отрезками SX, соединяющими вершину S с точками X основания.
Прямой конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси (рис. 291).
Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого конуса называется прямая, содержащая его высоту. Сеченые конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением. Плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса.
Задача (12). В равностороннем конусе (в осевом сечении — ттррвильну й треугольник) радиус основания В. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен ос.
Решение. Сечение представляет собой равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными диаметру основания (27?), и углом между ними, равным а (рис. 292). Площадь этого треугольника равна — (27?) (27?) sin а = 27?а sin а.
Тео рема 19.2. Плоскость, перпендикулярная оси. конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность — по окружности с центром на оси конуса.
Доказательство. Пусть 0 — плоскость, перпендикулярная оси конуса и пересекающая конус (рис. 293). Преобразование гомотетии относительно вершины конуса, совмещающее плоскость 0 с плоскостью основания, совмещает сечение конуса плоскостью 0 с основанием конуса. Следовательно, сечение конуса плоскостью есть круг, а сечение боковой поверхности — окружность с центром на оси конуса.
Плоскость, перпендикулярная оси конуса, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченные конусом (рис. 294).
Задача (15). Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии d от вершины. Найдите площадь сечения, если радиус основания конуса В, а высота Н.
Решение. Проведем осевое сечение конуса (рис. 295). Из подобия треугольников SAB и SAVBV получаем: - J- = = -^- Так как АВ = 27?, -А^л = 2г (г — радиус круга в сечении), CS = Н, OVS = d, то
2r _ d_ Rd2R~ Н' ~ н'
Площадь сечения лг2 = л .
Пирамидой, вписанной в конус, называется тачая пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса (рис. 296). Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, являются образующими конуса. Пирамида называется описанной около конуса, если ее основанием является многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса (рис. 297). Плоскости боковых граней описанной пирамиды являются касательными плоскостями кснуса.
Задача (27). У пирамиды все боковые ребра равны. Докажите, что она является вписанной в некоторый конус.
Решение. Опустим перпендикуляр SO из вершины пирамиды на плоскость основания (рис. 298) и обозначим длину боковых ребер пирамиды через I. Вершины основания удалены от точки О на одно и то же расстояние Н = V^ — OS2. Отсюда следует, что наша пирамида вписана в конус, у которого вершиной является вершина пирамиды, а основание — круг с центром О и радиусом R.
ШАР
Шаром называется тело, кэторое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстоя1 ие — радиусом шара. Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. Таким образом, точками сферы являются все те точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, также называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки шаро-
вой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.
Рис. 299Рис. 299Шар так же, как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси (рис. 299).
Рис. 299
Рис. 299
Теорема 19.3. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляре, опушенного из центра шара на секущую плоскости.
Доказательство. Пусть а — секущая плоскость и О — центр шара (рис. 300). Опустит перпендикуляр из
Рис. 301Рис. 301Рис. 302Рис. 302центра шара на плоскость а и обозначим через О' основание этого перпендикуляра. Пусть X — произвольная точки шара, принадлежащая плоскости а. По теореме Пифагора ОХ2 = ОО'2 + ОХ". Так как ОХ не больше радиуса R шара, то О’Х ^ Кн2—ОО'2, т. е. любая точка сечения шара плоскостью а находится от точки О’ на расстоянии, не большем jR2 — ОО'2, следовательно, она принадлежит кругу с центром О' и радиусом ]Лд2—ОО'2. Обратно, любая точка X этого круга принадлежит шару. А это значит, что сечение шара плоскостью а есть круг с центром в точке О'. Теорема доказана.
Рис. 301
Рис. 301
Рис. 302
Рис. 302
Из доказательства теоремы следует, что радиус круга, который получается в
сечении шара плоскостью, можно вычислить по формуле
R' = р"Б2 — ОО'2.
Отсюда видно, что плоскости, равноудаленные от центра, пересекают шар по равным кругам,. Круг в сечении плоскостью а будет тем больше, чем ближе плоскость а к центру шара, т. е. чем меньше расстояние ОО'. Наибольший круг получается в сечении плоскостью, проходящей через центр шара. Радиус этого круга равен радиусу шара.
Плоскость, проходящая через центр шара, называется диа
метральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом (рис. 301), а сечение сферы — большой окружностью.
Задача (29). Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?
Решение. Если радиус шара R (рис. 302), то радиус круга в сечении будет Д/R2— (—) — R дГ^. Отношение площади этого круга к площади большого круга равно —:- = _.
пД2 4
Теорема 19.4. Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.
Рис. 304Рис. 304
Рис. 304
Рис. 304
Доказательство. Пусть ос — диаметральная плоскость и X — произвольная точка шара (рис. 303). Построим точку X', симметричную точке X относительно плоскости а. Отрезок XX’ перпендикулярен плоскости а и пересекается этой плоскостью посередине (в точке А). Из равенства прямоугольных треугольников ОАХ и О АХ' следует, что ОХ'— ОХ. Так как ОХ ^ Л, то и ОХ' ^ R, т. е. точка, симметричная точке X, принадлежит шару. Первое утверждение теоремы доказано.
Пусть теперь X" — точка, симметричная точке X относительно центра шара. Тогда ОХ" = ОХ^. R, т. е. точка X" принадлежит шару. Теорема доказана полностью.
Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности и перпен-
дикулярная к радиусу, проведенному
в точку А, называется касательной, плоскостью. Точка А называется точкой касания (рис. 304).
Теорема 19.5. Касательная плоскость имеет с шаром только одну об- щую точку — точку касания.
Доказательство. Пусть а — плоскость, касательная к шару.
и А — точка касания (рис. 305). Возь-Рис. 305
мем произвольную точку X плоскости а, отличную от А. Так как О А — перпен
дикуляр, а ОХ — наклонная, то ОХ > О А = R. Следовательно, точка X не принадлежит шару. Теорема доказана.
Прямая, проходящая через точку А шаровой поверхности
перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной,.
Теорема 19.6. Через любую точку шаровой поверхности
проходит бесчисленное множество касательных, все они лежат в касательной плоскости шара.
Доказательство. Действительно, пусть а — касательная плоскость шара в точке А (см. рис. 305). Тогда любая прямая в плоскости а, проходящая через точку А, перпендикулярна радиусу О А и, следовательно, является касательной. Любая касательная, проходящая через точку А, перпендикулярна радиусу ОА, а следовательно, лежит в плоскости а.
Задача (38). Шар радиуса В касается всех сторон правильного треугольника со стороной а. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.
Решение. Пусть А, В, С — точки касания шара со сторонами треугольника (рис. 306). Опустил из центра О шара перпендикуляр ООЛ на плоскость треугольника. Отрезки О А, О В и ОС перпендикулярны сторонам. По теореме о трех перпендикулярах отрезки ОХА,
УРАВНЕНИЕ СФЕРЫУРАВНЕНИЕ СФЕРЫОХВ и OVC тоже перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника. Из равенства прямоугольных треугольников OOVA, OOYB, OOtC (у них катет ООХ общий, а гипотенузы равны радиусу) следует равенство сторон: OtA = О,В = OtC. Следовательно, Ох — центр окружности, вписанной в треугольник. Радиус этой окружности, как мы знаем, равен ^р • По теореме Пифагора находим искомое расстояние. Оно равно
УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ
УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ
Составим уравнение сферы в декартовых координатах х, у, г. Пусть центр сферы находится в точке А (а, Ь, с), а радиус сферы В. Точками сферы являются те й только те точки пространства, расстояния от которых до точки А равны В. Квадрат расстояния от точки (х, у, г) до точки А равен
(х - а)2 + (у - ЬУ + (2 - с)2.
Поэтому уравнение сферы имеет вид:
(х — а)2 + (У - ЬУ + (2 — с)2 = В\
Если центром сферы является начало координат, то уравнением сферы является*
х2 + У2 + 2а = В\
Задача (43). Найдите уравнение сферы, которая проходит через точки (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, О, О).
Решение. Мы знаем, что уравнение сферы имеет вид: (х — а)2 + (у — ЬУ + (г — с)2 = В2. Координаты данных точек должны удовлетворять этому уравнению. Подставляя их в уравнение, получаем систему уравнений относительно неизвестных с, Ь, с и В:
иг -Vb- + с2 = RSа2 + Ь- + (1 - - е)2 = 7?2,а2 + (1 — ЬУ + е2 = R-,(1 — а)2 + Ь2 + с2 = R2.
.члеино вычитая первое уравнение из остальные, получим. 2с— 1 = о, 2fr — 1=0, 2с — 1=0. Отсюда
а = —,6 = -,с = —,R = Vа2 + &2 + с3= 1/ - .
222f 11у 4
Искомое уравнение сферы:
Теорема 19.7t Линия пересечения двух сфер есть окружность.
Доказательств:», Примем прямую, соединяющую центры сфер, за ось х. Пусть точка (с, О, 0) — центр первой сферы, a Rx — ее радиус. Точка (Ь, О, 0) — центр второй сферы, a R2 — ее радкус. Уравнениями сфер будут:
(х _ О)2 + у2 4- г2 = №v (1) (х _ 6)2 + у2 + 22 = R2. ^
Точками пересечения сфер являются те точки пространства, которые удовлетворяют уравнениям (1) и (2). Поэтому они удовлетворяют уравнению, которое получается почленным вычитанием уравнений (1) и (2), т. е. уравнению
2(Ь — а)х = R2 _j^_e2 + 6» (3)
Это уравнение является уравнением плоскости, параллельной плоскости уг. Таким образом, пересечение наших сфер совпадает с пересев ениеы плоскости, заданной уравнением (3), с любой из данных сфер. А это пересечение, как мы знаем, является окружностью. Теорема доказана.
Задача (45). Два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.
Р е ш е н и е. Проведем сечение через центры шаров (рис. 207). Линия, о которой идет речь в задаче, есть окружность (теорема 19. 7). Ее радиус равен высоте равностороннего треугольника OAOi со сторонами, равными R. Высота равна —I—- Следовательно, длина линии равна лЛ, 3.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Объясните, что такое круговой цилиндр (образующая цилиндра, основания и боковая поверхность цилиндра).
Какой цилиндр называется прямым?
Что такое радиус цилиндра, высота цилиндра, ось цилиндра, осевое сечение цилиндра, касательная плоскость цилиндра?
Докажите, что плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.
Что такое призма, вписанная в цилиндр (описанная около цилиндра)?
Что такое круговой конус, вершина конуса, образующая конуса, основание конуса, боковая поверхность конуса?
Какой конус называется прямым?
Что такое высота конуса, ось конуса, осевое сечение конуса, касательная плоскость конуса?
Докажите, что плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает боковую поверхность по окружности с центром на оси конуса.
Что такое усеченный конус?
Какая пирамида называется вписанной в конус (описанной около конуса)?
Что такое шар (шаровая поверхность или сфера)?
Что такое радиус шара, диаметр шара? Какие точки шара называются диаметрально противоположными?
Докажите, что пересечение шара с плоскостью есть круг.
Какая плоскость называется диаметральной плоскостью шара? Что такое большой круг?
Докажите, что любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.
Какая плоскость называется касательной к шару?
Докажите, что касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку — точку касания.
Какая прямая называется касательной к шару? Докажите, что через любую точку шаровой поверхности проходит бесчисленное множество касательных прямых, все они лежат в касательной плоскости шара.
Выведите уравнение сферы.
Докажите, что линия пересечения двух сфер есть окружность.
УПРАЖНЕНИЯ
Радиус основания цилиндра 2 м, высота 3 м. Найдите диагональ осевого сечения.
Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь которого Q. Найдите площадь основания цилиндра.
Высота цилиндра 6 см, радиус основания 5 см. Найдите площадь сечения, проведенного параллельна оси цилиндра на расстоянии 4 см от нее.
Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5 дм. Цилиндр пересечен плоскостью так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от этого сечения до оси.
Высота цилиндра 6 дм, радиус основания 5 дм. Концы данного отрезка длиной 10 дм лежат на окружностях обоих оснований. Найдите кратчайшее расстояние от него до оси.
В равностороннем цилиндре (диаметр равен высоте цилиндра) точка окружности верхнего основания соединена с точкой окружности нижнего основания. Угол между радиусами, проведенными в эти точки, равен 60°. Найдите угол х между проведенной прямой и осью цилиндра.
В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.
Высота цилиндра 2 м. Радиус оснований 7 м. В этот цилиндр наклонно вписан квадрат так, что все вершины его лежат на окружностях оснований. Найдите сторону квадрата.
Радиус основания конуса 3 м, высота 4 м. Найдите образующую.
Образующая конуса I наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдитэ высоту.
Радиус основания конуса R. Осевыы сечением является прямоугольный треугольник. Найдите его площадь.
В равностороннем конусе (в осевом сечении — правильный треугольник) радиус основания R. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен а.
Высота конуса 20, радиус его основания 26. Найдите площадь сечения, проведенного через вершину, если расстояние от него до центра основания конуса равно 12.
Радиус основания конуса R, а образующая наклонена к плоскости сснования под углом а. Через вершину конуса проведена плоскость под углом <р к его высоте. Найдите ллещадь полученного сечения.
Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии d от вершины. Найдите площадь сечения, если радиус основания конуса R, а высота Н.
Высота конуса Н. На каком расстоянии от вершины надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади основания?
Через середину высоты конуса проведена прямая параллельно образующей I. Найдите длину отрезка прямой, заключенного внутри конуса.
Образующая конуса 13 см, высота 12 см. Конус пересечен прямой, параллельной основанию; расстояние от нее до основания равно 6 см, а до высоты 2 см. Найдите отрезок этой прямой, заключенный внутри конуса.
В конусе даны радиус основания R и высота Н. Найдите ребро вписанного в него куба.
В конусе даны радиус основания R и высота Н. В него вписана правильная треугольная призма, у которой боковые грани — квадраты. Найдите ребро призмы.
Радиусы оснований усеченного конуса 3 м и 6 м, высота 4 м. Найдите образующую.
Радиусы оснований усеченного конуса R и г; образующая наклонена к основанию под углом 45°. Найдите высоту.
Образующая усеченного конуса равна 2а и наклонена к основанию под углом 60°. Радиус одного основания вдвое больше радиуса другого основания. Найдите каждый из радиусов.
Радиусы оснований усеченного конуса 3 дм и 7 дм, образующая 5 дм. Найдите площадь осевого сечения.
Площади оснований усеченного конуса 4 дм2 и 16 дм2. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основаниям. Найдите площадь сечения.
Площади оснований усеченного конуса Мит. Найди- те площадь среднего сечения, параллельного основаниям.
У пирамиды все боковые ребра равны. Докажите, что она является вписанной в некоторый конус.
Шар, радиус которого 41 дм, пересечен плоскостью на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.
Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?
Радиус шара R. Через конец радиуса проведена плоскость под углом 60° к нему. Найдите площадь сечения.
Дан шар радиуса R. Через одну точку его поверхности проведены две плоскости: первая — касательная к шару, вторая — под углом 30° к первой. Найдите площадь сечения.
Радиус земного шара R. Чему равна длина параллели, если ее широта 60е?
Город N находится на 60е сегерной широты. Какой путь совершает этот пункт в течение 1 ч вследствие вращения Земли вокруг своей оси? Радиус Земли принять равным 6J00 км. •
На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6 см, 8 см и 10 см. Радиус шара 13 си. Найдите расстояние от центра до плоскости, проходящей через эти точки.
Диаметр шара 25 см. На его поверхности даны точка А и окружность, все точки которой удалены (по прямой) от А на 15 см. Найдите радиус этой окружности.
Полу пар и впнсан'*/ый в нею конус игеют общее осно- ваиге и общую высоту. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Докажите, что площадь сечения, заключенного между боковой поверхностью конуса и поверхностью полушара, равна половине площади основания.
Тело ограничено двумя концентрическими типовыми поверхностям!; (полый шар). Докажите, что его сечение плоскостью, проходящей через центр, равновелико сечению, касательному к внутренней шаровой поверхности.
38 Шар радчуса R касается всех сторон правильною треугольника со стороной а Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.
Стороны треугольника 13 см, 14 см и 15 см. Найдите расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника. Радиус шара 5 см.
Диагонали ромба 15 см и 20 см. Шаровая поверхность касается всех его сторон. Радиус шара 10 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости ромба.
Через течку, лежащую на поверхности шара, проведены две взаимно перпендикулярные плоскости, которые пересек дот шар по кругам радиусов гх и г2 Найдите радиус шара В.
Радиус шара 7 см. На его поверхности даны две равные окружности, имеющие общую хорду длиной 2 см. Найдите радиусы окружностей, зная, что их плоскости перпендикулярны.
Найдите сравнение сферы, которая проходит чеоез точки (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0).
Найдите уравнение сферы радиуса 3, проходящей через точки (0, 0, 0), (4, 0, 0), (С, 4, 0).
Два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найди-
те длину линии, по которой пересекаются их поверхности.
Радиусы шаров равны 25 дм и 29 дм, а расстояние между их центрами 36 дм. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.
Найдите радиус шара, описанного около куба со стороной а.
Найдите радиус шара, описанного около правильного тетраэдра с ребром а.
Шар радиуса R вписан в усеченный конус. Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания конуса равен а. Найдите радиусы оснований и образующую усеченного конуса.
Правильная n-угольная призма вписана в шар радиуса R. Ребро основания призмы равно а. Найдите высоту пэизыы при: 1) п = 3; 2) п = 4; 3) п = 6.
Сторона основания правильной n-угольной пирагг ды равна а, двугранный угол при основании равен <р. Найди- ‘ то радиус шара, вписанного в пирамиду.
Найдите радиус шара, описанного около правильной n-угольной пирамиды, если сторона основания равна а, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом а.
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а плоский угол при веишине равен а. Найдите радиусы вписанного и описанного шаров.
В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида с плоскими углами а при ее вершине. Найдите высоту пирамиды.
§ 20, ОБЪЕМЫ ТЕЛПОНЯТИЕ ОБЪЕМА
Представим себе два сосуда: один в форме куба, а второй произвольной формы (рис. 308). Пусто оба сосуда доверху наполняются жидкостью. Допустим, что для наполнения первого сосуда потребовалось m кг
жидкости, а для наполнения второго сосуда п кг жидкости. Естественно считать, что второй сосуд в — разболь- m
ше первого. Число, указывающее, во сколько раз второй сосуд больше первого, мы будем называть объемом второго сосуда. Первый сосуд является здесь единицей измерения. Из этого определения понятия объема получают-
ся следующие его свойства. Во-первых, так как для заполнения каждого сосуда требуется определенное количество жидкости, то каждый сосуд имеет определенный (положительный) объем. Во-вторых, для заполнения равных сосудов требуется одно и то же количество жидкости. Поэтому равные сосуды имеют равные объемы. В-третьих, если данный сосуд разделить на две части, то количество жидкости, необходимое для заполнения всего сосуда, состоит из количества жидкости, необходимого для заполнения его частей. Поэтому объем всего сосуда равен сумме объемов его частей.
По данному нами определению для того, чтобы узнать объем сосуда, надо заполнить его жидкостью. В жизни, однако, требуется решать как раз обратную задачу. Требуется узнать количество жидкости, необходимое для заполнения сосуда, не производя самого заполнения. Если бы мы знали объем сосуда, то количество жидкости мы получили бы, умножая объем сосуда на количество жидкости, необходимое для заполнения единицы объема. Как же узнать объем сосуда?
Мы будем называть тело простым, если его можно разбить на конечное число тетраэдров, т. е. треугольных пирамид. В частности, такие тела, как призма, пирамида, вообще выпуклый многогранник являются простыми. Сейчас мы найдем формулы для вычисления объема простых тел и тем самым докажем, что отмеченные нами три свойства объема полностью его определяют.
ОБЪЕМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
Найдем объем прямоугольного параллелепипеда. На рисунке 309 изображены куб, являющийся единицей измерения объема, и прямоугольный параллелепипед, объем которого надо измерить. Единицей длины служит ребро куба.
Рассмотрим сначала случай, когда длины ребер параллелепипеда а, Ь и с выражаются конечными десятичными дробями и число десятичных знаков после запятой не более п.
Разобьем ребра куба, исходящие из одной вершины, на 10" равных частей и проведем через точки деления плоскости, перпендикулярные этим ребрам. При этом куб разобьется на 10" • 10" ■ 10" = 103" малых кубов с ребрами, равны- 1 ми —. юг
Найдем объем малого куба. По свойству объема объем большого куба равен сумме объемов малых кубов. Так как объем большого куба равен единице, а число малых кубов равно 103", то объем малого куба равен ^7-
Рис. 309Рис. 309ааТак как числаТак как числа= аЮ" , — = 610",= аЮ" , — = 610",-^— = с10" це- 10"-^— = с10" це- 10"Ю"Ю"10"10"
Рис. 309
Рис. 309
а
а
Так как числа
Так как числа
= аЮ" , — = 610",
= аЮ" , — = 610",
-^— = с10" це- 10"
-^— = с10" це- 10"
Ю"
Ю"
10"
10"
лыз, то ребра параллелепипеда можно разбить на целое число частей, равных ^. На ребре а их будет аЮ" , на ребре b будет 610" , на ребре с будет с1С" . Проведем через точки деления ребер перпендикулярные ребрам плоскости. При этом мы получаем разбиение параллелепипеда на малые кубы со стороной !-. Число их равно а10" • 610" • с10" = абсЮ3’. Объем параллелепипеда равен сумме объемов содержащихся в нем малых кубов. Так как объем малого куба равен ™^« а их число равно abc • 10s", то объем параллелепипеда равен abc • 103" • -^— = abc.
10®1
Рассмотрим теперь случай, когда длина хотя бы одного пз ребер а, 6, с выражается бесконечной десятичной дробью. Обозначим через ах и а2 приближенные значения числа а с недостатком и с избытком с точностью до п десятичны.! знаков. Приближенные значения чисел 6 и с с той же точностью обозначим через bv и 6S, сх и с2. Параллелепипед с ребрами Оц 6, и Ci имеет объем меньший, чем данный параллелепипед, так как его можно поместить внутрь данного. Параллелепипед с ребрами о2, Ь2, с2 имеет объем больший, чем данный параллелепипед, так как данный параллелепипед можно поместить внутрь него. По доказанному объем параллелепипеда с ребрами а,, Ьи ^ равен ai6iCv, а объем параллелепипеда с ребрами а2, 62, с2 равен а26^с2. таким образом, объем дан-
кого параллелепипеда заключен между а^С! и а^Ь^с^,. Так как а1б1с1 и aLb2c2 дают приближенное значение числа abc с любой наперед заданной точностью, если п достаточно велико, то V = abc. Итак, объем. прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле
V = аЪс.
Задача ( 3 ). Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 93 см3. Чему равно ребро куба?
Решение. Обозначим ребро куба через х, тогда (х + 2)3 — х3 = 98, т. е. х2 + 2х — 15 = О. Уравнение имеет два корня: х = 3, х = —5. Геометрический смысл имеет только положительный корень. Итак, реоро куба равно 3 см.
ОБЪЕМ НАКЛОННОГО ПАРАЛЛЕЛЕГИПЕДА
Найдем объем наклонного параллелепипеда (рис. 310, а). Проведем через ребро ВС плоскость, перпендикулярную основанию ABCD, и дополним параллелепипед треугольной призмой Е51В2СС,С2. Отсечем теперь от полученного тела треугольную призму плоскостью, проходящей через ребро AD и перпендикулярной основанию ABCD. Тогда получим снова параллелепипед. Э""от параллелепипед имеет объем, равный объему исходного параллелепипеда. Действительно, достроенная призма и отсекаемая совмещаются параллельным переносом на отрезок АВ, следовательно, имеют одинаковые объемы. При описанном преобразовании параллелепипеда сохраняются площадь его основания и высота. Сохраняются также плоскости двух боковых граней, а две другие становятся перпендикулярными основанию. Применяя еще раз такое преобразование к наклонным граням, получим параллелепипед, у которого все боковые грани перпендикулярны основанию, т. е. прямой параллелепипед. Полученный прямей параллелепипед подвергнем аналогичному преобразовани ю в прямоугольный параллелепипед, до-
Рес.Рес.
Рес.
Рес.
bbРис. ЗИРис. ЗИполняя его сначала призмой 1, а затем отсекая призму 2 (рис. 310, б). Это преобразование также сохраняет объем параллелепипеда, площадь основания и высоту.
b
b
Рис. ЗИ
Рис. ЗИ
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его линейных размеров. Произведение двух линейных размеров есть площадь основания параллелепипеда, а третий размер — его высота. Таким образом, у прямоугольного парал-
лелепипеда объем равен произведению площади основания на высоту. Так как при описанном выше преобразовании данного параллелепипеда в прямоугольный каждый раз сохраняются объем, площадь основания и высота, то и у исходного параллелепипеда объем равен произведению площади основания на высоту.
Итак, объем, любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Задача ( 9 ). В прямом параллелепипеде стороны основания а и 6 образуют угол 30°. Боковая поверхность равна S. Найдите его объем.
Решение. Обозначим высоту через х (рис. 311). Тогда (2а + 2’#) х = В. Отсюда х =—. Площадь основания парал-
(а + Ь)
лелепипеда равна ab sin 30г = —. Объем равен .
24 (а + Ь)
ОБЪЕМ ПРИЗМЫ
Найдем объем призмы. Рассмотрим сначала треугольную призму (рис. 312). Дополним ее до параллелепипеда, как указано на рисунке. Точка О является центром симметрии параллелепипеда. Поэтому достроенная призма симметрична исходной относительно точки О, следовательно, имеет объем, равный объему исходной‘призмы. Таким образом, объем построенного параллелепипеда равен удвоенному объему данной призмы.
Объем параллелепипеда равен произведению площади его основания на выс >ту. Площадь его основания равна удвоенной площади треугольника АВС, а высота равна высоте исходной призмы. Отсюда заключаем, что объем исходной призмы равен произведению площади ее основания на высоту.
Рассмотрим теперь произвольную призму (рис. 313). Разобьем ее основание на треугольники. Пусть А — один из этих треугольников. Проведем через произвольную точку X треугольника А прямую, параллельную боковым ребрам.
Пусть ах — отрезок этой прямой, принадлежащий призме. Когда точка X описывает треугольник А, отрезки ах заполняют треугольную призму. Построив такую призму для каждого треугольника Л, мы получим разбиение данной призмы на треугольные. Все эти призмы имеют одну и ту же высот17, равную высоте исходной призмы.
Объем данной призмы равен сумме объемов треугольных призм, ее составляющих. По доказанному объем треугольной призмы равен произведению площади ее основания на высоту. Отсюда следует, что объем данной призмы равен
V = SJI + 8гН + ... + SnH = = (Sj + sa + ... 4- S„)H, где Su S2, ..., Sn— площади треугольников А, на которые разбито основание призмы, а Н — высота призмы. Сумма площадей треугольников А равна площади S основания данной призмы. Поэтому
V = SH.
Итак, объем любой призмы равгн произведению плсг^ади ее основания на высоту.
Задача ( 21 ). В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите объем призмы, если площадь сечения Q, а боковые ребра равны Z.
Решение. Плоскость проведенного сечения разбивает призму на две части (рис. 314). Подвергнем одну из них параллельному переносу, совмещающему основания призмы. При этом получим прямую призму, у которой основанием служит сечение исходной призмы, а высота равна Z. Эта призма имеет тот же объем. Таким образов, объем исходной призмы равен QZ.
ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ
Рис. 215
—, поэтому объем п
содержит слой пирамиды. Имеем:
Для того чтобы найти объем треугольной пирамиды, естественно было бы попытаться дополнить ее равными пирамидами до параллелепипеда и, таким образом, зная объем параллелепипеда, найти объем пирамиды. К сожалению, это в общем случае сделать нельзя. Поэтому мы применим другой способ.
Разобьем высоту пирамиды на п равных частей и через точки деления проведем плоскости, параллельные основанию пирамиды (рис. 315). При этом пирамида разобьется на слои. Для каждого такого слоя построим две призмы: призму, содержащую слой, и призму, содержащуюся в слое, как показано на рисунке 315.
Обозначим через Vm объем m-го слоя пирамиды, считая от верши™. Основание призмы, содержащей слой пирамиды, подобно основанию пирамиды, и поэтому его площадь равна S (— I , где S — площадь основания пирамиды. Высота призмы SHm? „
призмы равен . Так как призма
п3
то она имеет больший объем.
SHm?
п3
^[(m + iy-m8!
потому что
(m + I)3 — т3 Зт2 + Зт +1-_
-—Z— > т2 при т > 0.
3г /
Объем пирамиды равен
V=VXA-V^ ... + Уя<^[(п + 1У-1] =
=4- AV — А] < —+ А?
3 [\ п) п3|3 ( п
Так как объем призмы, содержащейся в слое, меньше объема слоя, то при т > 1
Vm >> g № - ^ - (т - 2)а],
потому что
(Ш —1)S —(rn —2)® = (И — 1)» — Пи — 1) — 1р
333
3
3
= (т — I)8 — (т — 1) + — < (т — I)2 при т > 1.
Отсюда получаем:
7=Г1 + ЮТ +7=Г1 + ЮТ +— (п —1)3 =За®4— (п —1)3 =За®4
7=Г1 + ЮТ +
7=Г1 + ЮТ +
— (п —1)3 =
За®4
— (п —1)3 =
За®4
Таким образом,SH U1 \8SH Л । 1 \э
3 \п)3 \ п)
При достаточно большом п правая и левая части неравенства сколь угодно мало отличаются от —, а значит, заклю- з
ченная между ними величина V также сколь угодно мало SH ч-
отличается от —. Но это может быть только тогда, когда
3 *
Исак, объем любой треугольной пирамиды равгн одной трети произведения площади основания на высоту:
пирали,цы равен разности объемов двух голшх пирамид: одной — с площадью основания Qj и высотой х, другой — с площадью основания Q2 и высотой х — h.
Из подобия этих пирамид находим х: — = |I .
Qa \Х — h)
Отсюда х = — й ^^ Объем усеченной пирамиды равен
14-Гр/
3L Vqx-Vq» Ч4-Ге2 Л
=5114^2^ = 1 й (Q, Уад + е2).
3 Ге, - VQa 3
ОБЪЕМЫ ПОДОБНЫХ ТЕЛ
Пусть Т и Т' — два простых подобных тела. Это значит, что существует преобразование подобия, при котором тело Т переходит в тело Т*. Обозначим через /г коэффициент подобия.
Разобьем тело Т на треугольные пирамиды Ри Р-, ... ..., Рп. Преобразование подобия, которое переводит тело Т в тело Т', переводит пирамиды Рп Р», ..., Рп в пирамиды Р^ Р2, .... Р'. Эти пирамиды составляют тело Т', и поэтому объем тела Т' равен сумме объемов пирамид Р,, Р2, ..., Р^.
Так как пирамиды Р'. и Р[ подобны и коэффициент по
добия равен к, то отношение их высот равно к, а отношение площадей их оснований равно к2. Следовательно, отношение объемов пирамид равно к3. Так как тело Т составлено из пирамид Р#, а тело Т' составлено из пирамид Р', то отношение объемов тел Т' и Т тоже равно к3.
Число к — коэффициент подобия — равно отношению расстояний между любыми двумя соответствующими парами точек при преобразовании подобия. Следовательно, это число равно отношению любых двух соответствующих линейных
размеров тел Т' и Т. Таким образом, мы приходим к следующему выводу:
Объемы двух подобных тел относятся кан кубы их соответ ствутонких линейных размеров.
Задача (48). Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная основанию. В каком отношении она делит объем пирамиды?
Решение. Как мы знаем, проведенная плоскость отсекает подобную пирамиду (рис. 31Т). Коэффициент подо-
бия равен отношению высот, т. е. -. Поэтому объемы пирамид
относятся как — : 1. Следовател: .но, плоскость делит нашу \ 2 /
пирамиду на части, объемы которых относятся как 1 ; (1= 1:7.
88/
ОБЪЕМЫ ЦИЛИНДРА И КОНУСА
Найдем объем V цилиндра с радиусом основания R и высотой Н.
При выводе формулы для площади круга (§ 13) были построены два многоугольника: один — содержащий круг, второй — содержащийся в круге, с площадями, как угодно мало отличающимися от площади Kpvra. Построим такие многоугольники для круга в основании цилиндра. Пусть Р — многоугольник, содержащий круг, а Р' — многоугольник, содержащийся в круге. Пусть площади этих многоугольников отличаются от площади круга меньше чем на в.
Построим две прямые призмы с основаниями Р и Р' и высотой Н, равной высоте цилиндра. Первая призма содержит цилиндр, а значит, имеет объем, больший объема цилиндра. Вторая призма содержится в цилиндре, а следовательно, имеет объем, меньший объема цилиндра.
Площадь основания первой призмы меньше л.й2 + в, поэтому ее" объем не больше (лЛ2 + в) Н. Площадь основания второй призмы больше лД2 — в, а ее объем не меньше (лД2 — в)Я". Объем цилиндра заключен между объемами призм:
Н (лД2 — в) < V < (лД2 + е) Н.
Отсюда
—Не < V — лД2П < Не,
т. е. величина |К — лЯ2Н| сколь угодно мала. А так как она имеет вполне определенное значение, то V — nR^H = О. Таким образом, объем цилиндра с радиусом основания R и высотой Н равен
V = л-ТЯ.
Таким же способом для объема конуса получается формула
V =- лНЧ1,
3
где д — радиус основания конуса, a Н — высота. При выводе этой формулы строятся две пирамиды с основаниями Р и Р' и вершиной в вершине конуса.
Задача ( 56 ). Найдите объем усеченного конуса, у которого радиусы оснований Ri и Л3 (2?» < Ri), а высота к.
Решение. Дополним данный усеченный конус до полного (рис. 318). Пусть х — его высота. Объем усеченного конуса равен разности объемов двух полных конусов: одного — с радиусом основания R! и высотой х, другого — с радиусом основания R« и высотой х — к. _„х Rx
х = ———. Объем усеченного конуса равен . — R,х = ———. Объем усеченного конуса равен . — R,У =У =1 Г „2 — .41113 L1 Г „2 — .41113 LЯ] — Я2Я] — Я2лВ3лВ3ЬНгRt — RaЬНгRt — RaИз подобия конусов находим х: —- = —, X — Д
х = ———. Объем усеченного конуса равен . — R,
х = ———. Объем усеченного конуса равен . — R,
У =
У =
1 Г „2 — .4111
3 L
1 Г „2 — .4111
3 L
Я] — Я2
Я] — Я2
лВ3
лВ3
ЬНг
Rt — Ra
ЬНг
Rt — Ra
11
= - лй —- = - лй (R1+ R^i + Д0.
3я, —Яа3
ОБЩАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ОБЪЕМОВ ТЕЛ ВРАЩГНИЯ
Телом вращения в простейшем случае называется такое тело, которое плоскостями, перпендикзшярными некоторой прямой (оси вращения), пересекается по кругам с центрами на этой прямой. Круговой цилиндр, конус, шар являются примерами тел вращения. Найдем формулу для вычисления объема тела вращения.
Введем декартовы координаты х, у, 2, приняв ось тела за ось х. Плоскость ху пересекает поверхность тела по линии, для которой ось х является осью симметрии. Пусть y=f (х)— уравнение той части линии, которая расположена над осью (рис. 319).
Проведем через точку х оси абсцисс плоскость, перпендикулярную к ней, и обозначим через V (х) объем части тела, лежащей слева от этой плоскости, тогда V (х) является функцией от х. Найдем ее производную.
У'(х)==ИвД^^71-»0ЬУ'(х)==ИвД^^71-»0ЬПо определению
У'(х)==ИвД^^
71-»0Ь
У'(х)==ИвД^^
71-»0Ь
Разность V (х + к) — V (х) представляет собой объем слоя тела толщиной к между двумя плоскостями, перпендикулярны.™ оси х, проходящими через точки с абсциссами х и х + й. Пусть М — наибольшее, а т — наименьшее значение функции / (х) на
отрезке [х, х + й]. Тогда рассматриваемый слой тела содержит цилиндр с радиусом т, высотой й и содержится в цилиндре с радиусом М и той же высотой й (см. рис. 319). Поэтому лт2й < У (х + й) — У (х) < nM-h,
„ / V(x+*) — У (х)лтп2 < —-—!— — <
Если f (х) — непрерывная функция, то при й -* О левая и правая части последнего неравенства стремятся к одному и тому же пределу л/2 (х). К тому же пределу стремится и отношение, заключенное между ними, т. е. производная V' (х) = л/2 (х).
По известной формуле анализа
6
V (6) — V (о) = J л/2 (x)dx, а < 6.а
Эта формула и дает объем части тела, заключенной между параллельными плоскостями х = а и х = Ъ.
ОБЪЕМ ШАРА И ЕГО ЧАСТЕЙ
Применим полученную формулу для объемов тел вращения к вычислению объема шара и его частей: шарового слоя и сегмента.
Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Шаровым слоем называется часть шара, расположенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар (рис. 320).
Введем декартовы координаты, приняв центр шара за начало координат. Плоскость ху пересекает шар радиуса R по окружности, которая, как известно, задается уравнением
х 2 + у2 = Л2.
Полуокружность, расположенная над осью х, задается уравнением
у = Нх) = + К Л2 — х2, — Л<х<Л.Поэтому объем шарового слоя междуплоскостями х = а и х = b определя-ется по формулеь
V = V (6) — V (а) = л j (В3 — х2) dx =
- В3х - - i|лЛ2 (Ь - а) -^^-о?).
Для объема всего шара надо взять а= = —Л, 6 = Л. Тогда получим объем шара:
У = - лЛ3.3
Для получения объема шарового сегмел- та высотой Н надо взять а = R — Н, 6 = R. Получим объем шарового сегмента:
V = лЯ2^— 4Д\ 3 /
Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса следующим образом. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется (рис. 321). Объем шарового сектора
получается сложением или вычитанием объемов соответству
ющих сегмента и конуса. Для объема i ьарового сектора получается следующая формула:
Y=-nR4I,
3
где R — радиус шара, а К — высота соответствующего шарового сегмента.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Сформулируйте основные свойства объема.
Докажите, что объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его линейных размеров.
Докажите, что объем любого параллелепипеда равен пооизведению площади его основания на высоту.
Докажите, что объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.
Выведите формулу для объема треугольной пирамиды.
Докажите, что объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.
Докажите, что объемы подобных тел относятся как кубы соответствующих линейных размеров.
Выведите формулу для объема цилиндра (конуса).
Выведите общую формулу для объемов тел вращения.
Что такое шаровой сегмент, шаровой слой, шаровой сектор?
Вывед-гге формулы для объема шара, шарового сегмента, шарового сектора.
УПРАЖНЕНИЯ
Три латунных куба с ребрами 3 см, 4 см и 5 см переплавлены в один куб. Какую длину имеет ребро этого куба?
Металлический куб имеет внешнее ребро 10,2 см и массу 514,15 г. Толщина стенок равна 0,1 см. Найдите плотность металла, из которого сделан куб.
Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 см3. Чему равно ребро куба?
Если каждое ребро куба увеличить на 1 м, то его объем увеличится в 125 раз. Найдите ребро.
Кирпич размером 25 X 12 X 6,5 см имеет массу 3,51 кг. Найдите его плотность.
Требуется установить резервуар для воды емкостью 10 м3 на площадке размером 2,5 X 1,75 м, служащей для него дном. Найдите высоту резервуара.
Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м и 36 м. Найдите ребро равновеликого ему куба.
Измерения прямоугольного бруска 3 см, 4 см и 5 см. Если увеличить каждое ребро на х сантиметров, то поверхность увеличится на 54 см"2. Как увеличится его объем?
В прямом параллелепипеде стороны основания а и 6 образуют угол 30°. Боковая поверхность равна S. Найдите его объем.
В прямом параллелепипеде стороны основания 2 }^2 см и 5 см образуют угол 45°. Меньшая диагональ параллелепипеда равна 7 см. Найдите его объем.
Основание прямого параллелепипеда -— ромб, площадь которого 1 м2. Площади диагональных сечений 3 м2 и 6 м2. Найдите объем параллелепипеда.
Решите предыдущую задачу в общем случае, если площадь ромба Q, а площади диагональных сечений М и N.
Основание наклонного параллелепипеда — квадрат, сторона которого равна 1 м. Одно из боковых ребер равно 2 м и образует с каждой из прилежащих сторон основания угол 60°. Найдите объем параллелепипеда.
Грани параллелепипеда — равные ромбы со стороной а и острым углом 60°. Найдите объем параллелепипеда.
По стороне основания а и боковому ребру найдите объем правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
Деревянная плитка в форме правильного восьмиугольника со стороной 3,2 см и толщиной 0,7 см имеет массу 17,3 г. Найдите плотность дерева.
Чугунная труба имеет квадратное сечение, ее внешняя ширина 25 см, толщина стенок 3 см. Какова масса 1 погонного метра трубы (плотность чугуна 7,3 г/см3)?
Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 3,5 см, а диагональ боковой грани 2,5 см. Найдите объем призмы.
Сторона основания правильной треугольной призмы
равна а, боковая поверхность равновелика сумме оснований* Найдите ее объем.
В правильной шестиугольной призме площадь наибольшего диагонального сечения 4 м2, а расстояние между двумя противолежащими боковыми гранями 2 Mt Найдите объем призмы.
В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите объем призмы, если площадь сечения Q, a боковые ребра равны I.
Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны 15 м, а расстояния между ними 2G м, 25 м и 17 м. Найдите объем призмы.
Вычислите пропускную способность (в кубических метрах за 1 ч) водосточной трубы, сечение которой имеет вид равнобедренного треугольника с основанием 1,4 м и высотой 1,2 м. Скорость течения 2 м/с.
Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции с нижним основанием 14 м, верхним 8 м и высотой 3,2 м. Найдите, сколько кубических метров земли приходится на 1 км насыпи.
В прямой треугольной призме стороны оснований равны 4 см, 5 см и 7 см, а боковое ребро равно большей высоте основания. Найдите объем призмы.
Площадь основания прямой треугольной призмы равна 4 см2, а площади боковых граней 9 си2,10 см2 и 17 см2. Найдите объем.
Основание призмы — треугольник, у которого одна сторона равна 2 см, а две другие по 3 ем. Боковое ребро равно 4 см и составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите ребро равновеликого куба.
Основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник со стороной а; одна из боковых граней перпендикулярна основанию и представляет собой ромб, у которого меньшая диагональ равна с. Найдите объем пр азмы..
Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого а составляет с плоскостью основания угол а, а с боговой гранью — угол р?
Каждое ребро параллелепипеда равно 1 см. У одной из вершин параллелепипеда все три плоских угла острые, по 2а каждый. Найдите объем параллелепипеда.
В параллелепипеде длины трех ребер, исходящих из одной вершины, равны а, Ь, с. Ребра а и b взаимно перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из них угол а. Найдите объем параллелепипеда.
Чему равен объем прямой четырехугольной призмы, если ее высота Л, диагонали наклонены к плоскости ос-
нования под углами а и р и острый угол между диагоналями основания равен у?
Ио стороне основания а и боковому ребру b найдите объем правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды а, а двугранный угол при основании равен 45°. Найдите объем пирамида!.
Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно Ь. Найдите объем пирамиды.
Чему равен объем правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания а, а боковые ребра взаимно перпендикулярны?
По ребрзт а правильного тетраэдра найдите его объем.
По pt бру а октаэдра найдите его объем.
Основание пирамиды — прямо угольник со сторонами 9 м и 12 м; все боковые ребра равны 21,5 ы. Найдите объем пирамиды.
Основание пирамиды — равнобедренный треугольник со сторонами 6 см, 6 см и 8 см. Все боковые ребра равны 9 си. Найдите объем пирамиды.
Одно ребро треугольной пирамиды равно 4 ем, каждое из остальных 3 см. Найдите объем пипамидьт..
Найдите объем усеченной пирамиды с площадями оснований 51 и Q2 № > 9з) и высотой h.
В пирамиде с площадью основания Qv проведено сечение, параллельное основанию, на расстоянии h от пего. Площадь сечения равна Q2- Найдите высоту пирамиды.
В правильной усеченной четырехугольной пират де стороны нижнего и верхнею оснований равны а и Ь, а двугранный угол при ребре нижнего основания равен а. Найдите объем пирамиды.
Решите предыдущую задачу в случае правильной усеченной треугольной пирамиды.
В основании пирамиды лежит прямоугольник. Каждое боковое ребро пчра миды равно I и составляет со смежными сторонами прямоугольника углы аир. Найдите объем пирамиды.
Найдите объем пирамиды, имеющей основанием треугольник, два угла которого аир, радиус описанного круга R. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом у.
Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная основанию. В каком отношении она делит объем пчрамиды?
Высота пирамида! й. На каком расстоянии от вершины находится сечение, параллельное основанию и делящее ее объем пополам?
25 метров медной проволоки имеют массу 100,7 г. Найдите диаметр проволоки (плотность меди 8,94 г/см3).
Насос, подающий воду в паровой котел, имеет два во- дтных цилиндра. Диаметры цилиндров 80 мм, а ход поршня 150 мм. Чему равна часовая производительность насоса, если каждый поршень делает 50 рабочих ходов в минуту?
Во сколько раз надо увеличить высоту цилиндра, не меняя основание, чтобы объем увеличился в п раз? Во сколько раз надо увеличить радиус основания цилиндра, не меняя высоту, чтобы объем увеличился в п раз?
В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в призму вписан цилиндр. Найдите отношение объемов цилиндров.
Найдите объем цилиндра, вписанного в правильную шестиугольную призму, у которой каждое ребро равно а.
Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см3) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса 25 м этой трубы?
Найдите объем усеченного конуса, у которого радиусы оснований Rx и Ri (Ri < -R,), а высота К.
Сосновое бревно длиной 15,5 м имеет диаметры концов 42 см и 25 см. Какую ошибку (в процентах) совершают, вычисляя объем бревна умножением площади его среднего поперечного сечения на длину?
Радиусы оснований усеченного конуса R и г; образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем.
Площадь осевого сечения усеченного конуса равна разности площадей оснований, а радиусы оснований R и г. Найдите объем конуса.
Усеченный конус, у которого радиусы оснований 4 см и 22 см, требуется превратить в разновеликий цилиндр такой же высоты. Чему равен радиус основания этого цилиндра?
По данным радиусам оснований К и г определите отношение объемов усеченного конуса и полного конуса.
Куча щебня имеет коническую форму, радиус основания которой 2 м, а образующая 3,5 м. Найдите объем кучи щебня.
Осевым сечением конуса является равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого 9 м2. Найдите объем конуса.
Длина образующей конуса равна I, а длина окружности основания с. Найдите объем конуса.
Образующая конуса I составляет с плоскостью основания угол а. Найдите объем конуса.
Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом. Радиус его основания 2,5 м, высота 4 м, причем цилиндрическая часть стога имеет высоту 2,2 м. Плотность сена 0,03 г/см3. Определите массу стога сена.
Жидкость, налитая в конический сосуд 0,18 м высоты и 0,24 м в диаметре основания, переливается в цилиндрический сосуд, диаметр основания которого 0,1 м. Как высоко будет стоять уровень жидкости в сосуде?
Равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны а. Найдите объем полученного тела вращения.
Прямоугольный треугольник с катетами а и Ъ вращается около гипотенузы. Найдите объем полученного тела.
Чугунный шар регулятора имеет массу 10 кг. Найдите диаметр шара (плотность чугуна 7,2 г'см3).
Требуется переплавить в один шар дза чугунных шара с диаметрами 25 см и 35 см. Найдите диаметр нового шера.
Имеется кусок свинца массой 1 кг. Сколько шариков диаметром 1 см можно отлить из куска? (Плотность свинца 11,4 г/см3.)
Из деревянного цилиндра, высота которого равна диаметру основания, выточен наибольший шар. Сколько процентов материала сточено?
Внешний диаметр полого шара 18 см. Толщина стенок 3 см. Найдите объем материала, из которого изготовлен шар.
Сосуд имеет форму полушара радиуса R, дополненного цилиндром. Какой высоты должна быть цилиндрическая часть, чтобы сосуд имел объем V?
Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3 см и 9 см. На какие части делится объем шара?
Какую часть объема шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара?
Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части шаров к объему целого шара?
Диаметр шара, равный 30 см, является осью цилиндра, у которого радиус основания равен 12 см. Найдите объем части шара, заключенной внутри цилиндра.
Чему равен объем шаровою сектора, если радиус окружности его основания равен 60 см, а радиус шара равен 75 см?_
Круговой сектор с углом 30° и радиусом R вращается около одного из боковых радиусов. Найдите объем полученного тела.
§ 21. ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕЛ
ПОНЯТИЕ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ
Рассмотрим одну практическую задачу. Представим себе купол здания и плоский лист железа в форме квадрата со стороной 1 м. Пусть купол здания и лист железа окрашиваются. Если на окраску купола пошло Vj л краски, а на окраску листа железа У2 л краски, то естественно считать, у
что площадь купола здания в — раз больше площади листа
железа. Величина — характеризует величину площади поверхности купола в сравнении с единицей площади в 1 м2. Количестве V2 краски, необходимое для окраски листа железа, примерно равно объему параллелепипеда с квадратом 1 X 1 м в основании и высотой й, равной '.олщике красочного покрытия. Поэтому для оценки площади поверхнос- у ти купола получается величина —
Перейдем теперь к геометрическому определению площади поверхности. Пусть F — данная поверхность. Построим тело Fh, состоящее ив всех точек пространства, для каждой из которых найдется точка поверхности F на расстоянии, не большом й. Наглядно тело F можно представить себе как тело, заполненное краской при окрашивании поверхности с обеих сторон елеем краски толщиной й.
Пусть VA — объем тела Fh. Площадью поверхности F ыы будем называть предел отношения — при й -> О, т. е.
5 = lim
h-»0 2h
Можно доказать, что для таких простых вппуклых поверхностей, как боковая поверхность призмы и пирамиды, данное определение дает прежнее значение площади поверхности — сумму площадей боковых граней.
Рис. 322Рис. 322ПЛОЩАДЬ СФЕРЫ
Рис. 322
Рис. 322
Найдем площадь сферы. Пусть F — данная сфера радиуса R. Тело FM о котором идет речь в определении площади поверхности, представляет собой слой между двумя концентрическими сферами радиусов Л-р 4- й и R — й (рис. 322). Объем этого тела равен разности объемов шаров радиусов R + й и R — й, т. е.
Г^^лКЯ + ^-СН-ЪУ'].
Имеем:
^ = — (G№ + 2й3) = 4лД2 4- —\
21 ЭЙ\ 1 ЗДа/
При й -> О отношение ^ стремится к пределу 4лЛ2. Таким образом, площадь сферы радиуса R равна 4 nRa.
Б ОК 03 А Я ПОВЕРХНОСТЬ ЦИЛИНДРА
Найдем площадь боковой поверхности цилиндра радиуса R и высоты Н. Тело Fh, о котором идет речь в определении площади поверхности, в данном случае заключено между цилиндрическими поверхностями радиусов R + h, R — h и двумя плоскостями, перпендикулярными оси цилиндра, отстоящими на расстояние Н + 2й (рис. 323). Часть этого слоя, расположенная между двумя плоскостями оснований, отстоящими на расстояние Н, целиком принадлежит телу Fh. Отсюда следует, что
¥ь < [л (R + й)3 — л (R — й)8](Я + 2й),Vh > [л (R + й)2 — л (R — й)2] Я.
Или
4nRhH <Vh < 4nRh (Н + 2й).
Отсюда
2nRH < —л < 2nRH + 4лВй.
2Л
При й -> О правая часть неравенства стремится к 2nRH. Следовательно,
Um —= 2лДЯ. h—О 2й
Рис. 323Рис. 323Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра определяется по формуле
Рис. 323
Рис. 323
S = 2лЕЯ, где R — радиус цилиндра, а Я — высота. Аналогично можно найти площадь боковой поверхности конуса и сферического сегмента.
Площадь боковой поверхности конуса равна
S=nRl,
где R — радиус основания конуса, а I — длина образующей. Плоиуидъ поверхности сферического сегмента равна
S = 2лВН,
где R — радиус сферы, а Н — высота сегмента.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Что такое площадь поверхности тела?
Выведите формулу для площади поверхности шара.
По какой формуле вычисляется площадь поверхности шарового сегмента?
Выведите формулу для боковой поверхности цилиндра.
По какой формуле находится площадь боковой поверхности конуса?
УПРАЖНЕНИЯ
Поверхности двух шаров относятся как m : п. Как относятся их объемы?
Гипотенуза и катеты являются диаметрами трех шаров. Какая существует зависимость между их поверхностями?
Цилиндрическая дымовая труба с диаметром 65 см имеет высоту 18 м. Сколько жести нужно для ее изготовления, если на заклепку уходит 10% материала?
Полуцилиндрический свод подвала имеет 6 м длины и 5,8 м в диаметре. Найдите полную поверхность подвала.
Из круглого листа металла выштампован цилиндрический стакан диаметром 25 см и высотой 50 см. Предполагая, что площадь листа при штамповке не изменилась, найдите диаметр листа.
В цилиндре площадь основания равна Q, а площадь осевого сечения М. Чему равна полная поверхность цилиндра?
Конусообразная палатка высотой 3,5 м с диаметром основания 4 м покрыта парусиной. Сколько квадратных метров парусины пошло на палатку?
Крыша силосной башни имеет форму конуса. Высота крыши 2 м, диаметр башни 6 м. Найдите поверхность крыши.
Площадь основания конуса S, а образующие наклонены к основанию под углом а. Найдите боковую поверхность конуса.
Как относятся между собой боковая и полная поверхности равностороннего конуса (в сечении — правильный треугольник)?
Полукруг свернут в коническую поверхность. Найдите угол между образующей и осью конуса.
Радиус кругового сектора равен 3 м, его угол 120°. Сектор свернут в коническую поверхность. Найдите радиус основания конуса.
Сколько квадратных метров латунного листа потребуется, чтобы сделать рупор, у которого диаметр одного конца 0,43 м, другого конца 0,036 м и образующая 1,42 м ?
Сколько олафы потребуется для окраски внешней поверхности 100 ведер конической формы, если диаметры ведер 25 см и 30 см, образующая 27,5 см и если на 1 ь® требуется 150 г олифы?
"Полная поверхность равностороннего конуса равяове- лина поверхности шара, построенного на его высоте как на диаметре. Докажите.
Поверхность тела, образуемого вращением квадрата около стороны, равновелика поверхности шара, имеющего радиусом сторону квадрата. Докажите.
Радиус шара 15 см. Какую площадь имеет часть его поверхности, видимая из точки, удаленной от центра на 25 см?
Шар радиуса 10 см цилиндрически просверлен по оси. Диаметр отверстия 12 см. Найдите полную поверхность
тела.
ОТВЕТЬ! И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
1.
. Не более одной. 10. 1), 2), 4) Пересекает; 3), б), 6) не пересекает. 11. 6 отрезков. 14. 1) 6 «и; 2) 7,7 дм; 3) 18,1 м. 17. 1), 2} Не принадлежит, 3) прина; j ehcht. 18. 1), 2) Не может. 19. Не могут. 2Э. Не могут. 21. Не могут. 22. 0,6 м или 5,9 м. 23. Отрезок АВ. 24. Не может. 25. 1) АС ■= 9 м, ВС = 6 м; 2) АС = 10 м, ВС = 5 м; 3) АС = ВС = 7,5 м; 4) АС = 6 м, ВС = 9 м. 27. 1) 110°; 2) 119°; 3) 179°. 28. 2), 3) Не иожет. 29. Угол (аЬ) больше. 30. 1) /(се) = 45°, /(Ьс) = 15°; 2) /(ос) = 40°, ZW = 20°; 3) Z(ac) = Х(И = 30°; 4) Z(“c) = 24°, /(be) = 36е. 33. He существует. 34. Одна. 36. 1) 1,2 м; 2) 2,4 см. 38. 11 см. 39. 100°. 41. PQ = 5 см, QR = = 3 см, РН = 7 см. 42. ХА = 40Р, ХВ = 60°. ZC = 80°. 44. В ХЛВС‘. АВ = 5 см, ВС = 6 см, АС = 7 см. 46. Нельзя. 47. Не может.
150", 135е, 120°, 60е. 2. 1), 2) не могу; 8) #.огу. 4. 1) 105" и 75°; 2) 110° и 70°; 3) 46е и 135°. Б. 1) 72° и 108е; 2) 54° и 126°; 3) 55° и 125°; 4) 88° и 92°. 6. 150°, 160”, 30°. 7. 130°. 9. 144' и 36°. 10. 65° и 115е. И. Все углы прямые. 13. 1) Не может; 2) ге может. 14. 1) 20°; 2) 60е; 3) 90°. 1Б. Z(°ib)= = 120°, Z("ic) = 150°, /Abe) = 30°. 17. 1) 110°; 2) 175°; 3) 170°. 18. 1) 15°; 2) 26°; 3) 86°. 19. 1) 120°; 2) 150°; 3) 178°. 21. Указание. Воспользуйтесь результатом задачи 20 и теоремой 2.3. 22. 1) 155"; 2) 185°; 3) 105°. 23. 2) Указание. Соедините отрезком точки А и С и воспользуйтесь утверждением задачи 23, 1).
0,3 м. 11. 3,5 м. 12. 1) 3,2 м, 6,2 м, 6,2 м; 2) 7,2 м, 4,2 м, 4,2 м.
Указание. Воспользуйтесь свойством мед$ аны в равнобедренно л треугольнике. 25. 15 м. 26. 15 м. 29. Указание. Воспользуйтесь утверждением задачи 28. 38. Указание. Продлите медианы на их длину. 40. Указание. Продлите медианы на их длину.
§ 4.
Углы ABtCi и АС1В1 и углы ВВ^ и СС1В1 внутренние односторон ние, а углы ABVCV и COBi и углы В В^ и АС1В] внутренние накрест лежь щие. 8. 105° и 75°. 9. 75°. 10. Три угла по 72е каждый и четыре угла по 108" каждый. 11. Не может. 13. 90°. 14. 1) 100е; 2) 65; 3) 35°; 4) 35°. 1Б. 1) 30°, 60°, 90 ; 2) 40°, 6С°, 80°; 3) 45°, 60°, 75°; 4) 48°, 60", 72°; 5) 50°, 60°, 70°. 16. Не может. 17. Не может. 18. 1) 100°; 2) 70°; 3) 36°. 19. 1) 50°; 2) 30°; 3) 75°. 20. 40°, 40°. 21. 70° и 40° или 55° и 55°. 22. Два угла равны 120° — 241v
— —а и один—а — 60". 24. 1) 180° — — (а + 0); 2) 90" 4. 25. 110°, 35°, 35°. 26. 60°, 30° и 90°. 27. 110°. 29. а. 30. Углы ААВВ: ХА = а, АВ = = 90°, ДВ = 90° — а, углы ДСВП. £В = 90 , ХВ = а + 0 — 90°, ZC = = 180° — а — 0. 32. 60°. 33. АВ = ^ХА, ХВ = "ХС, ХВВЕ = ХВ + + ~ (ХА + АО. 34. 140°, 10°. 36. 90°, 45°, 45°. 37. ХВ = 90е, ZB = 60°, АА = ЗОР. 38. 150°. 39. 90°.
§ Б.
1. Указание. Отложите на луче отрезок, равный радиусу. 2. См. задачу 1. 5. 60°. 6. 120°. 7. Не может. 9. 30°. 10. 60° и 120°. И. 70 см, 10 см. 12. Не могут. 13. 1) Не могут; 2) не могут. 25. Указание. Начните с построения равностороннего треугольника. 27. Указание. В искомом треугольнике продлите медиану на ее длину. 32. Указание. Начните с построения высоты. 36. См. задачу 42 § 4. 37. См. задачу 36. 45. Указа* н и е. Центр искомой окружности лежит на биссектрисе угла. 46. 10 см. 47. Б см. 50. См. задачу 49. 52. а или 180°— а. 53. 150°. 54. Указание. 1) Точка касания, данная точка и центр окружности являются вершинами прямоугольного треугольника. 2) Сведите решение задачи к предыдущей, построив вспомогательную окружность, концентричную одной из данных, радиусом, равным сумме или разности радиусов данных окружностей. 59. Указание. Воспользуйтесь свойством углов, вписанных в окружность.
§ 6.
Три. 4. 10 м. 5. 3 см. 7. ВС = АВ = 4,8 м. 8. 40°, 140°, 140°. 9. 115° и 65°. 10. Не могут. 11. 60°, 60°, 120°, 120°. 12. 1) 40°, 40°, 140°, 140°; 2) 50°, 50°, 130°, 130°; 3) 80°, 80°, 100°, 100°. 13. 1) 55°, 55°, 125°, 125°; 2) 35°, 35°, 145°, 14 5°; 3) 20°, 20°, 160°, 160°. 16. BE = 9 см, СЕ = 6 см. У к а з а н и е. Докажите, что треугольник АВЕ равнобедренный с основанием АЕ. 17. 0,6 м и 0,8 м. 18. АВ = BD = 1,1 м; АВ = 0,8 м. 23. 60 см. 24. 10 см и 18 см. 25. 12 см, 20 см. 26. 12 см. 27. 10 см и 25 см или 7,5 см и 18,75 см. 30. 80° и 100°. 32. 60е и 120°. 35. 4 м. 37. 2 м. 38. 2 м. 39. 4 м, 8 м. 40. 1 м. 41. 10 см. 42. 4 см, 5 см, 6 см. 43. 6 см. 44. 6 см, 5 см, 5 см. 48. 5 м, 6 м. 49. а + + Ь. 52. 3 м, 4 м. 54. 70° и 110°. 55. 1,7 м. 56. 24 см, 36 см. 57. 60° и 120°. 58. 15 м. 59. Зсм. 61. 4 м, 6 м. 62. 2,2 м. 63. 9 см и 5 см. 64. а. 65. Указание. Постройте сначала треугольник, две стороны которого равны боковым сторонам трапеции, а третья — разности оснований. 66. Указание. Постройте сначала треугольник, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья — сумме ее оснований. 68. Указание. Воспользуйтесь свойством углов, отложенных в одну полуплоскость (теорема 2.4).
а
5 м или утм. 4. 1) 5 см; 2) 17 дм; 3) 6,5 м. 5. 109 см. 6. ~т=-. 7. Нель-
зя 8 —9. 1) 15 см, 20 см; 2) 60 м, 80 м. 11. Указание. Искомый
" ' 3 3
отрезоквысота прямоугольного треугольника, основание которой делит
гипотенузу на отрезки анЬ. 12. У"116 м ~ 10,8 м. 13. —Vс? + Ьг. 14. 32 см,
60 см. 15. 15 см. 17. ° ^ ^ 18. 24 см. 19. 36 см, 54 см. 20. 25 см или 11 см.
168
1) 24 см; 2) 24 см. 23. 12 см, 11,2 см, — см. 24. 13,44 см. 25. 2) Нельзя.
10 см, 6 см. 27. -^|/|^?. 28. R = ^ см, г = ™ см. 29. 90° - а.
fl cos a, о sin a. 30. 90° — a, -° ■,. 3?. 1) sin 16° = 0.2756, cos 16° =
tg a sin a
= 0,9613; 2) sin 24 36' = 0,4163, соз 24 36' = 0,9092; 3) sin 70 32' = 0,9428, соз 70°32' = 0,3333; 4) sin 88°49 = 0,9998, соз 88 49' = 0,0203. 34. 1) x = = 1°; 2) * = 30'6'; 3) x = 47°3'; 4) x = 86°9'. 35. 1) tg ±0° = 0,1763; 2) tg 40°40' = 0,8591; 3) tg 50 30' = 1,213; 4) tg 70 15' = 2,785. 36. 1) x = = 17 53'; 2) x = 38°7'; 3) x = 80°43'; 4) x = 83°50'. 37. 31°25'; 31°25'; 117°10'; 23,8 cm. 38. 34°10' и 55сБ0'. 39. 51°. 40. 11616' и 63°44'. 41. 29°52' и 150'8'. 42. 12 м, 45°14'. 43. 60°16'. 44. -Де-. 45. 1) a) 5; 36°52'; 53'8';
41; 12°41'; 77°19'; в) 29; 43°36'; 46°24'; r) 61; 10°23'; 79°37'. 2) a) 12; 22°37'; C7J23'; 6) 24; 16‘ 16'; 73°44'; в) 15; 28 4'; 61°56'; r) 13; 81°12'; S‘48'. 3) a) 70°; 0,68; 1,88; 6) 39'40'; 3,08; 2,55; в) 19°24'; 7,55; 2,66; r) 13°39'; 15,55; 3,78. 4) a) 59°33’; 5,92; 5,10; 6) 49°12'; 7,65; 5,79; в) 29°25';8,04; 3,95; r) 22°; 9,71; 3,64. 46. 1) cos8 a; 2) sin8 a; 3) 2; 4) sin3 a; 5) 1; 6) sin2 a; 7) 1; 8) sin2a;
121288
1 + tg6 a. 47. 1) sin a= —, tg a= —; 2) sin a= —, tg a = —; 3) sin a=0,8, 1351715
443940
tg a = —. 48. 1) cos a = —, tg a = —;2) cos a = —,tg <z = —;
354419
4-о
cos a = 0,6, tg a — —. 50. —l—. 51. r = ——, R = —. 52. 29 cm. 6322^3)3
,Уз —1
(УЗ— 1) м — 0,732 м, — м = 0,517 м. 54.60° и 120°. 55. 60°, 60°,120°, К2
120°. 56. 1), 6) а; 2), 3), 4), 5) р. 57. ВС. 58. /А. 59. 3 м. 62. Не может. 63. 2 м. 67. Точка пересечения отрезков АВ и CD. 68. Не могут. 71. R — d, R Ь d. Указание. Воспользуйтесь неравенством треугольника. 72. d + R, d — R. Указание. Воспользуйтесь неравенством треугольника. 73. Не могут. 74. Не могут. 75. Указание. Сравните расстояние „ежду центрами окружностей с их радиусами. 76. Не мо^ут.
8 8.
2. 4. 3. 5. (2, 0). 6. (0, 3). 7. Прямая, параллельная оси у. 8. Две прямые х = 3 и х = —3. 10. Положительную. 11. 4 (3). 12. 5. 13. х = 2. 14. х = —2. 15. Прямая, содержащая биссектрисы I и III четвертей. 16. Прямая, содержащая бизсектрисы II и IV четвертей. 18. (0, •—2). 19. (1, 1). 20. (3, 3). 23. 1) 2; 2) 4. 25. АВ =5, АС = 10, ВС = 5. 26. Точка В. 28. (3, 3) и (15, 15). 29. (3, 4), (—4, 3), (0, 5). 30. (5, 12) я (5, —12); (5, —12) и (-5, -12). 31. ж2 + (у — З)2 = 13. 32. (х + 4)2 + (у — З)2 = 25. 34. См. задачу 33. 35. 1), 3), 4) нельзя, 2) можно. 36. (—2, 0) или (4, 0). 37. (7, 0) и (1, 0). 38. (2, 2) и (—2, —2). 39. (х — I)2 + (у — 2)2 = 4. 40. (х + З)2 + + (У - 4)2 = 25. 43. х + у = 2. 44. 1) (—3, 0), (0; -1,5); 2) (4, 0), (0, 3); 3) (—2, 0); (0, 3); 4) (2,5; 0), (0, —5). 45. (—1, 1); (3, —2). 46. 1) (1, —2); 2) (2, 4); 3) (0,5; —2). 48. 1) х + у = 5; 2) Эх + Юу = 2; 3) х + бу = —13. 49. а = Ь = —. 50. —3. 51. ±1^2. 52. Указание. Найдите точку пересечения двух прямых и проверьте, лежит ли она на третьей прямой. 54. у = 3. 56. sin 120° = tjL, cos 120° = — - tg 120° = — УЗ; sin 135° =
= ", cos 135° = —", tg 135° =-l; sin 150° = —, ccs 150 = — E.L, Г 2 у 2 2 2
.21^2sin a= —r3.21^2sin a= —r3tg 150° = ~yy • 57. sin 160°= 0,3420; cos 140°= —0,7 660; tg 130°=—1,192. 58. 1) sin 40° = 0,6428; cos 40° = 0,7660; tg 40° = 0,8391; 2) sin 14°36' = = 0,2521; cos 14°36' = 0,9677; tg 14°36' = 0,2605: 3) sin 70°20' = 0,9417; cos 70°20' = 0,3365; tg 70 20' = 2,798; 4) sin 30°16' = 0,5040; cos 30°16' = = 0,8637; tg 30°16' = 0,5836; 5) sin 130° = 0,7660; cos 130° = —0,6428; tg 130° = —1,192; 6) sin 150°30' = 0,4924; cos 150°30' = —0,8704; tg 150 30' = =—0,5658. 59. o^ = 11°32' или 168°28'; a2 ~ 134 26'; a3 „ 158°12'. 60. 1)
.21^2
sin a= —r
3
.21^2
sin a= —r
3
tg a = 2 /2; 2) sin a = 12L, tg a = — V3; 3) sin a = r
tg a =1; 4)tg a =1; 4)= _2^23 ’= _2^23 ’•1 .13
tg a =1; 4)
tg a =1; 4)
= _2^2
3 ’
= _2^2
3 ’
tg a = —; з) cos a = —-д=2^2/2tg a = —; з) cos a = —-д=2^2/2tg a -—1 или cos a =У 2tg a -—1 или cos a =У 2sin a — —, tg a = —y^‘ 61- У cos a = 0'8» tg a = ~S 2) cos a=
tg a = —; з) cos a = —-д=
2^2/2
tg a = —; з) cos a = —-д=
2^2/2
tg a -—1 или cos a =
У 2
tg a -—1 или cos a =
У 2
.512 ■
tg a = 1. 62. sin a = —, cos ex = ——.
1313
1) He могут, 2) не могут. 15. He может. 20. Отрезок. 21. Прямая. 22. Бесконечное множестро. На прямой, параллельной данным и равноотстоящей от них. 23. Трн. 25. Две. 26. Бесконечное множество. 29. Указание. Воспользуйтесь преобразованием симметрии относительно данной точки. 30. Указание. Воспользуйтесь симметрией относительно прямой Ь. 35. Окружность. Указание. Воспользуйтесь гомотетией относительно общего конца хорд. 38. Указание. Воспользуйтесь гомотетией относительно вершины треугольника, противолежащей данной стороне. 39. 0,8 м; 1 м; 1,2 м. 40. 10 м, 25 м, 20 м. 42. 13,6 см. 43. АС = 4 м, ВгСл = = 14 м. 44. АС = 24 см, А^ = 18 см, В^ — 15 см. 46. 15 см, 20 см, 25 см.
21 см. 49. . 50. А1С1 = 1,2 м; АС = 3 м. 51. 1) Не подобны;
a + Л
подобны. 52. 1) Подобны; 2) не подобны. 53. 1) Подобны; 2) не подобны. 27
—. 56. 4 см. 57. —. 58. 1) 14 см; 2) 6 дм. 59. Указание. На одной п28
стороне угла отложите от его вершины отрезки а и Ъ, а на другой — отрезок с. Проведите через конец отрезка а прямую, параллельную прямой, которая проходит через концы отрезков Ь и с. 60. Подобны. 61. 1) да; 2) да; 3) нег.
Ьс
1 м, 2 м, 2,5 м. 63. 6,5 м, 5,5 м. 64. =42 м. 66. . 67. т : п. 68. п ;
о —с
т. 69. АС = 18 м. Указание. Треугольники АС В и СВ А подобны. 70. т : п. 71. 15 см, 18 см. 72. 4,5 см. 73. “ ^ ^ —• 77. =225,8 км (см. задачу 76). 78. =82,4 км (см. задачу 76).
(1, —1), (2, —1), (1, 1). 2. 1) a = Ъ = 2; 2) a = — 3, Ъ = 8; 3) a = — b = 1. 4. 1) He существует; 2) существует. 7. Одинаково направленные лучи: АВ и DC, ВС и AD, СП и В A, DA и СВ. Противоположно направленны а лучи: АВ и CD, ВС и DA, DC и BA, AD и СВ. 8. Векторы АВ, АС и БС оди- никово направлены, вектор БА и любой из векторов АВ, АС, ВС противоположно натравлен! г. И. См. задачу Ю. 14. m = ±12. 15. п = ±7. 17. 1) (3,^5); 2) (—1ГТ); 3) (МЙ; 4) (-^зП); 5) (1?5). 18- 1) (ОЛ); 2) (—5, 3); 3) (1^=1); 4) (=1Л); 5) (—1; -2)- 26. 1) 5; 2) 10; 3) 13. 21. 1) 13; 2) 10; с) 17. 24. 1) И6, 8); 2) b"(—6, —8). 25. 1) (—6?^Б); 2) (9, 7); 3) (12, 7).
15
1) 10; 2) 13; 3) 15. 27. 1) 15; 2) 39; 3) 30. 28. 1) ±—; 2) ±1; 8) ±—.
Вект*$>ы а яс одинаково направлены, векторы b и d противоположно направлены; Й = |d|, (bj = |с|. 32. и = 2. 33. Единичные векторы а, с, а; векторы ено коллинеарны. 34. (0,6; 0,8). 37. (2, —3). 38. X = —5, р = 4. 40. 90°. 41. )л±42. 30°. 43. соа А = 0,6; cos В = 0; cos С = 0,8. 44. А А = g1
= 30°, /В = 60°, ZC = 90°. 46. m = —. 48. X = —-. 53. 1) ОХ = 32
_ pa + Xb -
р + X
§ И.
ш» = ^2^ + с2) — а2, ть = —/2 (а2 ± с2) — Ж т^ = = — ^2 (а2 ± Ьг) — с2. 3. -^с2 ± <Р ± 2о4 cos а. 4. У а2 -4- У1 ± 2аЪ cos а.
13 к илк ] г1513 м ~ 38,9 м. 8. —, —, —. Ю. Бельше отрэзок ЛБ. 12. Сто13 65 5
рона АВ наибольшая, сторона ВС наименьшая. 13. Угол В наибольший, угол С ваиегеныпий. 14. Бокоьия сторона больше. 20. Сторона АВ увели^н- —.„AC sin Р
вается. 22. Не пожег. 23. Нс может. 21. АВ . 25. * =
sin (a +
a sin a sin p
sin (a — 0) ’
26. 1)
a = 1C5°,
b я 2,59,
c =; 3,66;
2)
a = 45°,
b = 17,93,
t- =: 14,64;
3)
a = 20°,
b =; 65,78,
c ;= 88,62;
4)
T = 119°,
a =: 16,69,
c =: 24,83:
5)
T = 68°,
a =; 13,57,
b =: 11,22.
27. 1)
a == 79°6',
P = 40°54 ,
c =1 10,58;
2)
a =■ 11°2',
P =: 38°58 ,
c =: 28,02;
3)
P ?= 26°45',
V =: 58°15',
a =: 19,92;
4)
P =: 20°30',
V = 14°30',
a = 22,92;
28.
а = 16°20',
а = 129W,
Т = 11°40', . у = 35°10',
Ъ = 53,41;
Ъ ^ 8,09.
1)
с = 8,69,
Р = 21°9',
у = 38°51';
2)
с = 19,63,
Р = 12°53',
у = 29°7’;
3)
с = 22,30,
Р = 5°35',
V = 10°25'.
4)
Решения не
имеет.
5)
с = 11,40,
Р = 4149',
у = 108 11'
ИЛИ С :
= 2,46,
Р = 138°1Г,
у = 11°49'.
29.
1)
а = 28*57'»
Р = 46-'Э4',
у = 104°29'
2)
а = 53°35',
Р = 13е 18',
у = 113°7';
3)
а = 34в3’,
Р = 44°25',
у = 101°32';
4)
а = 38°38',
Р = 9250',
у = 48г32';
5)
а = 1Г58',
Р = 11°,
у = 154°2';
6)
а = 135°35',
Р = 15°30',
у = 28°55'.
30. Указание. Воспользуйтесь задачей 2.
§ 12.
2. fl^Rg—d, R^ R,-d. 6. He южет. 9. 36°, 72°, 108°, 144°. 10. 1) 8; 2) 12. 11. 1) 10 сторон; 2) 15 сторон. 12. Указание. У этого n-угелы ика все стороны равны, все углы равны. 13. Указание. У этого и-утольника все стороны равны, вее углы равны. 16. —и (п — 1). 18. Указание. Выразите оба радиуса через сторону треугольника. 19. a "^[ ^. Указание. Найдите сначала радиус окружности. 20. 2 ]/б дм. 21. 2 1^2 см. 22. уг3см.24. Указание. Воспользуйтесь теореме” косинусов. 25. Указание. Сначала с по: ющью задачи 73 § 9 найдите сторону 10-угольнигса, а затем по теореме косинусов — сторону 5-уголъннка.
.„,«С1==*1,«, = Л|/1^. 26.
1 / гг л.28. Ь =^.29. а =.
У Т 4/4Д2—а2Vr4Ra + b2
Указание. Впишите сначала правильны! шестиугольник. 31. Указание. Опылите сначала квадрат. 32. 1) 62,8 м; 2) 94,2 м. 33. 6,28 мм. 34. = 3,06. Указание. Воспользуйтесь результатом задачи 23. 35. ~ 8,11. Указание. Воспользуйтесь результатом задачи 24.
R Vs" R R
= 6366,2 км. 37. =6,3 см. 38. 1) —; 2)—; 3)—. Ука-
2 + ], 31 + V2 3
з а н и е. Центры кругов являются вершинами правильного л-угольнпка. 39. 1) R (3 + 2 |^3); 2) R (1 + >^2); 3) R. Указание. Центры кругов являются вершинами правильного п-уголькика. 40. = 351,9 ы/'тин. 41. 1) 300- и 60°; 2) 230° и 130°; 3) 190° и 170°. 42. 1) 120°; 2) 90°; 3) 72°; 4) 60“; 5) 240°; 6) 270°. 43. 31". 44. 1) = 0,79 м; 2) = 0,52 м; 3) = 2,09 м; 4) = 0,80 м;
ла ха 2лс
=1,06 м; 6) =2,63 м. 45. 1) —-; 2) —; 3) —=. Указание.
'32)w у W
По хорде и соответствующе* * центральному углу найдите радиус окружности. 46. 1) —2; 2) ^S^j. 3) ? ^ Z. Указание. Найдсте сначала разг л 2л
Ллл
диус окружности. 47. 1)—;2)—;3)—.
643
§ 13.
1. Указание. Припеките теореку Пифагора. 2. ~ 180 м. 3. 8 = —.
В два разг. 5. Площадь увеличится в 9 раз. 6. В 5 раз. 7. 8 м, 18 м. 8. 12 дм, 25 дм. 9. 30 . 10. Кзадрат. 11. 200 см2. 12. 202,8 см2. 14. /15 см.
/С = 90'. 18. ~ 0,47 м2. 19. 5,64 м2. 20. -21. Указа-2 sin (а 4- Р)
с2
н и е. Воспользуйтесь утверждением задачи 16. 25. 4800 м . 26. . 27. 6 см.
29. ELUL 30. ^5U^L. 31. 600 см2. 32. 55 см, 48 см. 33. 84. 34. 11,2. 44■
35. 480 см2.
65
. 36. 540 м2. 39. 1) Я = —,
65 г=4;2)Я=-,
г = 1,5; 3) Я =
145
=, г =
6
735
—; 4) Я = -т= ^ 3,6; г =
3/96
= *— = 1,2. 40. 2
4,5 см. 42. Я =
= 29 см, г
Z2
1 = 12 см. 43. —. 44. 1) 4л
20 л см2; 2) 12 л
м2; 3) л (а2 — Ь2).
45. 1) В 4
раза; 2) в 25 раз; 3) в ш2
раз. 46. 1) —; 2) 2
4л2Л
—7=; 3) —т=. 3 /33 /3
47.48.
4
ля2ля2
2. 49. 1) ——; 2) ——; 3) У4
5лЯ22ЛЛ25ЛЯ2ПлЯ2
~> 4); 5)■; 6)■,
123612
Я"
50. 1) —;
2) —. 51. а2 —— LL
2\ 34 >
1. 52. 1) (л — 2) Я2;
2) (л—Ц±,Я2; \4 /
3) /л — 3У3 ) К1.
\2 )
§ 14.
Можно. 6. Указание. Возьмите точку в другой плоскости и проведите через нее и данную прямую плоскость Примените к этой плоскости аксиому параллельных. 10. Четыре плоскости. 12. См. задачу 11.
§ 15.
1) 6 м; 2) 4,2 дм; 3) 6,2 см; 4) ^~^- 5. 1) 1 м; 2) 0,6 дм; 3) 2,1 см;
. I с — ЬIIЪ\
4) —-—L. 6. 1) 37,5 см; 2) 9,9 см; 3) 15 см; 4) с 11 + — . 7. 1) 7 м; 2) 2 м;
\а ]
■ очка лежит в плоскости прямых 32. Л!Bi = а. 35. Указание. Сравните отношение отрезков двух произвольных прямых: ХлХчХа и У,У£УЭ. 37. Окружность. 38. Окружность. 40. Средней линией. 41. Не может. 42. Может. 43. Указание. Отношение отрез.сов сохраняется. 44. У к аз а н и е. Проекция перпендикулярного диаметра проходит через середины хорд, параллельных проекции данного диаметра
§ 16.
Сы. задачу 1. 3. 1) 6,5 см; 2) 15 см; 3) ^я2 — Ь2 + d2; 4) У а2 — с2 + 2с".8. а "|/^|"- ^* Окружность. 12. 6 см, 15 см. 13. 16 см,
41 см. 14. 4 см, 8 см. 15. 9 си. 18. рлЬ2 — а2.19. рлЬ2 + с2 — а2. 29. 0,36 м или 0,44 м. 23. 1) 4,25 см; 2) 6,75 см; 3) —~—. 24. 1) 1,05 см; 2) 0,65 см;
| а — Ъ|ат
) —. 25. 0,6 м. 26. 9 м. 27. ——— (т соответствует основанию, через
которое проведена плоскость). 28. ^. 29. 2,6 м. 30. — 3,9 м. 31. р^а2—L. 33. 2,5 м. 34. 6 м. 35. 14 см. 36. У а 62. 37. j/я2—AL. 381 Длина
перпендикуляра У 2а2 — Ь2, длина стороны |ЛЬ2 — а2. 39. )л2 + Ь2 — с2.
/с2 — а2, ^с2 — Ь2. 40. У№ — а2. 41. 2 м. 42. У 2 м. 43. 2 У 2 м. 44. 6 и. 45. 5 м, 3 м. 46. 1 м. 47. 2,5 м. 48. 6,5 м. 49. У а2 -- с2 — Ь2. 50. BD = = У а2 + Ь2 -г с2, CD = У ci1 + с2. 61. 1/ Ь2 + с2 — -. 53. Указ ага*
н и е. Прямые, перпендикулярные плоскости, параллельны. 54. 1) 11 м; 2) 13 м; 3) 8 м; 4) 7 м; 5) Ус2 4- Ь2 + с2; 6) Ус2 - - Ь2 — с2. 55. У а2 4 У, 56. ]<23 и. 57. 4 м. 58. 1,3 м. 59. 1,7 м.
§ 17.
(1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3); (1, 2, 0), (1, 0, 3), (0, 2, 3). 3. Расстояние от плоскости ху равно 3, от плоскости хг равно 2, от плоскости уг равно 1; расстояния от осей х, у, г соответственно равны ] ' 13, УТб, У 5; расстояние от начала координат равно УЙ. 5. (2, 2, 2) и (—2, —2, —2). 6. С (0, 0, 0).
ж + 2у + За = 7. 11. В (0, —1, 3). 12. 1) D (6,2, —2); 2) D (0, —2,2);
D (—1, 7, —2). 16. (—1, —2, —3), (0, 1, —2), (—1, 0, 3). 18. (—1, —2, 1).
19. 1), 2), 4) не существует;19. 1), 2), 4) не существует;22. 30' 23. 13 м. 25. 1) cos а =22. 30' 23. 13 м. 25. 1) cos а =3) существует. 21. 1) -7^-; 2) —-; 3) ° ^31 У 222
19. 1), 2), 4) не существует;
19. 1), 2), 4) не существует;
22. 30' 23. 13 м. 25. 1) cos а =
22. 30' 23. 13 м. 25. 1) cos а =
12—
—; 2) cos а =—. 26. 30°. 27. я I 6. 28. с У 2.
1421
30‘. 30. Зя. 31. 3,36 м. 33. 1) D (—2, 3, 0); 2) D (2, 1, —2). 34. 1) и = = А то=_ 2) т = —2, п —2,5; 3) т = 4, и = 6. 36. 1) и = А.
323
2) n = —1; 3) n = 2; 4) n = 4. 37. e — L 38. ре2 + Ь2 + с2 + H • 1Ы-
1
39. 1) cos <p = y^'
43. 60°. 44. cos ф =
2) ф = 90°. 41. cos C =
cos 8 — cos2 ct — C 2
E— . 45. e —,
sin1 a\ 3
У^ ^- 42. cos 4>=cos a • cos §.
12\21 2\
—, — — I или el, — —, — .
33/\ 33 3/
46 уГД, -Lк /б ’ /б
1 \
Ke J
47. aL — a2 = 0, a3 * 0. 48. a = b = 0, с += 0,
d * 0. 50. 1) Зх — у — 2 + 6 = 0; 2) 3x + 3y — 2z — 5 = 0; 3) x — 5y +
+ 32 — 38 — 0. 51. I-, I— I, I— I. 55. к = la, I = lb, m = le, 1*0. | a | | b | | c |
56. kx + ly 4- тг = 0. 57. 1) (2, 1, —2); 2) (4,5; 1,5; 0,5); 3) (—2, —7, —28); /2 21\
4) | — ,— I. 58. Указание. Сложите почленно первое и третье
уравнения. 59. 1) с = О, d * 0: 2) с = d = 0. 60. с = О (см. задачу 59). 61. Указание. Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный вектору (2, 3, 1). 62. Указание. Найдите вектор, перпендикулярный векторам (2, 3, 1) н (1, 1, 1).
§ 18.
2cos ci
2. 60°. 4. cos ф =-, cos Р = -. 5. 144 см2. 6. 7,5 см. 7. 12 си.
tgaу
cos—2
.а 7а2,—
9. За2.10. cos х = УЗ tg —-. 11. . 12. 22 см. 13. Q К&14. 12.15. 2 м.
28 cos а
16. 4 м. 18. 45
см’2. 19. 1) ЗаЬ + ^Ц4; 2) 4аЬ + 2а8; 3) 6аЬ + За2 УЗ.
20. 3Z2 КЗ". 21. 1) 3; 2) 7; 3) 11. 22. 13 м, 9 и. 23. а р^. 25. 2а, а У2. 26. 2 м2. 27. 2 м2, 3 м2. 29. 1464 см2. 30. 2 У М2 +"3Qh2. 31, 188 ы2. 32. —262 см2. 34. 3 см. 37.11 и. 38. tg а, = — tg a, tg а2 = tg а3 = 2—5. tg а.
39.
a tg рг—
—40. 2 УЗ см. 41.
2
За2к
4У a? +3h2 "
42, 9 см. 43. 5 см, 6 см. 44. cos х =
= tg-^. 45. 1) 1/b2 —^; 2) р^Ь2 —^; 3) УЬ2 — а2. 46.1) 1/к2 + ”1;
+ № + (a + b) V12» 4 (о — b^ 2) a1 + b2 + (a + 5) У4№ 4- (a — b)4 3) 0^3 (c2 4- b2) + (a "k b) /4Л2 4- 3 (a — b)2). 71. 109°28'. Указание. Докажите сначала, что в каждой вершине октаэдра сходится две пары перпендикулярных ребер. Затем примените формулу задачи 4.
§ 19.
1. 5 м. 3. 36 см2. 4. 3 дм. 5. 3 дм. 6. tg х = —. 8. 10 м. 9. 5 м. 10. — 221. 5 м. 3. 36 см2. 4. 3 дм. 5. 3 дм. 6. tg х = —. 8. 10 м. 9. 5 м. 10. — 2211.16.23.11.16.23.R2.R2.В2 tg a r13. 500. 14. У 1 — tg2 a . tg2 m, con фо о 't-В2 tg a r13. 500. 14. У 1 — tg2 a . tg2 m, con фо о 't-если a 4 Ф < 90°.если a 4 Ф < 90°.Я 3!HR У‘2„ HRV3-7=. 17. —. 18. 3 см. 19. —=. 20. . 21. 5 m. 22. R—r.У 24H + RV2 H +/?УЗЯ 3!HR У‘2„ HRV3-7=. 17. —. 18. 3 см. 19. —=. 20. . 21. 5 m. 22. R—r.У 24H + RV2 H +/?УЗa, 2a. 24. 30 дм2. 25. 9 дм2. 26. — (У M 4- /т)2. 28. 16л м2. 30. —.44a, 2a. 24. 30 дм2. 25. 9 дм2. 26. — (У M 4- /т)2. 28. 16л м2. 30. —.44
1. 5 м. 3. 36 см2. 4. 3 дм. 5. 3 дм. 6. tg х = —. 8. 10 м. 9. 5 м. 10. — 22
1. 5 м. 3. 36 см2. 4. 3 дм. 5. 3 дм. 6. tg х = —. 8. 10 м. 9. 5 м. 10. — 22
11.
16.
23.
11.
16.
23.
R2.
R2.
В2 tg a r
13. 500. 14. У 1 — tg2 a . tg2 m, con фо о 't-
В2 tg a r
13. 500. 14. У 1 — tg2 a . tg2 m, con фо о 't-
если a 4 Ф < 90°.
если a 4 Ф < 90°.
Я 3!HR У‘2„ HRV3
-7=. 17. —. 18. 3 см. 19. —=. 20. . 21. 5 m. 22. R—r.
У 24H + RV2 H +/?УЗ
Я 3!HR У‘2„ HRV3
-7=. 17. —. 18. 3 см. 19. —=. 20. . 21. 5 m. 22. R—r.
У 24H + RV2 H +/?УЗ
a, 2a. 24. 30 дм2. 25. 9 дм2. 26. — (У M 4- /т)2. 28. 16л м2. 30. —.
44
a, 2a. 24. 30 дм2. 25. 9 дм2. 26. — (У M 4- /т)2. 28. 16л м2. 30. —.
44
31.31.лл2
31.
31.
. 32. лВ. 33. = 785 км. 34. 12 см. 35. 12 см. ЗЭ. 3 см. 40. 8 см. 4
41. Vr^ 4-42. 5 см. 44. (х — 2)s 4- (у — 2)2 4" (г ± I)2 = 9. 46. 4л м.
47. г1. 48.-121. 49. В tg —; ——;50. 1) 2№ — ^;
242 a sin аУ 3
2) 2 "J/ В2 — 5L; 3) 2 УR2 — a”. 51.
180°'^"^180е *
Z
a
—tg—,,.
9/4a\
—. 54. 2B 1—sin2—
,.a\32
T l+t£T
S 20.
6 cm. 2. =2 8,4 г/см®. 4. 25 cm. 5.1,8 г/см8.6. =; 2,29 м. 7. 30 м. 8. Вдвое.
60 см8. И. 3 м8.12. j/^^--13. Г 2 м®. 14.^=. 15. D ^><,Ь; 2) a2b; а3
®У8.а2Ъ. 16. 0,5 г/с--8. 17. =192,72 кг. 18. 3 см®. 19. -. 20. 6 м*. 22. 3060 м8. 23. 6048 м8,час. 24. 35 200 м8. 25. <8 см8. 26. 12 см®. 27. 2 с..
—ас т/"12а2—Зс2. 29. о® sin a - sin 0 У cos2 a—sin2 ₽. 30. 2]/" sin 3a • sin- a.
8 ciri,
M. »Г==2.=3. 1) -K^5=2>
gj ?1уз (52a2). 34. —a®. Указание. Высота пирамиды равна радиусу
окружности, вписанной в основание. 35. "^"Ь®.36.окружности, вписанной в основание. 35. "^"Ь®.36.a3a37=. 37.12/27=. 37.12/21212^..38.^..38.
окружности, вписанной в основание. 35. "^"Ь®.36.
окружности, вписанной в основание. 35. "^"Ь®.36.
a3
a3
7=. 37.
12/2
7=. 37.
12/2
12
12
^..38.
^..38.
Указание. Разбейте октардр на две правильные четырехугольные пирамиды. 39. 360 м®. 40. 48 см®. Указание. Основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды. 41. У П см®. 43. —У^ "— • 44. — (°3 — Ь®) tg а. Указание. Восполь- Ув1-Уёа 6
14
зуйтесь формулой задачи 42. 45. — (а® — b3)tg а. 46. — Р cos а . cos Рх
49. Л-.49. Л-.2
49. Л-.
49. Л-.
X Уsin2 a — cos2 р. 47. "^"-Н® s^n a sin P • ®in (a + P) tg Y-
=0,75 ли. 51. =4500 л. 52. В п раз; в /и раз. 53. 4:1. 54. ""Ла®.
Лл2
=61 кг. 57. =2%. 58. — 17?® — г®|. 59. — |Я® — г®|. 60. 14 см.
61. 1 —61. 1 —г \®— I , если т <R. 62. 2лВ /г \®— I , если т <R. 62. 2лВ /м®. 63. 9л м®. У к а з а н и е.м®. 63. 9л м®. У к а з а н и е.
61. 1 —
61. 1 —
г \®
— I , если т <R. 62. 2л
В /
г \®
— I , если т <R. 62. 2л
В /
м®. 63. 9л м®. У к а з а н и е.
м®. 63. 9л м®. У к а з а н и е.
Высота конуса равна радиусу его основания.Высота конуса равна радиусу его основания.64.64.с®с®65. — nZ® sin acos2 a. СЗ. =1,6 т. 67. =0,35 м. 365. — nZ® sin acos2 a. СЗ. =1,6 т. 67. =0,35 м. 368.68.ла1ла124Л® з24Л® зса.са.70. = 14 см. 71. = 39 см. 72. 167. 73. 33—%.70. = 14 см. 71. = 39 см. 72. 167. 73. 33—%.У кУ ка за зравен диаметру цилиндра. 71. = 2148 см®.равен диаметру цилиндра. 71. = 2148 см®.75.75.т-69-т-69-Ла-Ь3Ла-Ь33 Vа2+ Ь2'3 Vа2+ Ь2'а н и е. Диаметр шараа н и е. Диаметр шараУ 27R-лВ3 3У 27R-лВ3 376. 45л с i®.76. 45л с i®.
Высота конуса равна радиусу его основания.
Высота конуса равна радиусу его основания.
64.
64.
с®
с®
65. — nZ® sin acos2 a. СЗ. =1,6 т. 67. =0,35 м. 3
65. — nZ® sin acos2 a. СЗ. =1,6 т. 67. =0,35 м. 3
68.
68.
ла1
ла1
24Л® з
24Л® з
са.
са.
70. = 14 см. 71. = 39 см. 72. 167. 73. 33—%.
70. = 14 см. 71. = 39 см. 72. 167. 73. 33—%.
У к
У к
а з
а з
равен диаметру цилиндра. 71. = 2148 см®.
равен диаметру цилиндра. 71. = 2148 см®.
75.
75.
т-69-
т-69-
Ла-Ь3
Ла-Ь3
3 Vа2+ Ь2'
3 Vа2+ Ь2'
а н и е. Диаметр шара
а н и е. Диаметр шара
У 2
7R-
лВ3 3
У 2
7R-
лВ3 3
76. 45л с i®.
76. 45л с i®.
У кУ ка з а н н е. Разбейте ука-а з а н н е. Разбейте ука-243л см®. 77. 0,028. 78. 5 : 16. 79. 3528л см3.
У к
У к
а з а н н е. Разбейте ука-
а з а н н е. Разбейте ука-
занную часть шара иа цилиндр и два сегмента. 80. 112,5л дм® или 450л дм®.
— тЛ® (2 - • У 3). Указание. Тело является шаровым сектором.
§ 21.
У тп® : Уи®. 2. Бол1 лая поверхность равновелика сумме двух других.
: 40,7 м2. 4. = 116 м'. 5. 75 см. 6. лМ + 2Q. Указание. По площад .
основания найдите его радиус. 7. = 25,3 м2. 8. = 33,98 м2. 9. . У к а- '
cos a
з а н и е. По площади основания найдите его радиус. 10. 2 : 3. 11. 30°.
1м. Указание. Длина окружности основания равна длине дуги сектора. 13. =; 1,04 м2. 14. =2 4,3 кг. 15. Указание. Выразите объемы шара и конуса через длину образующей конуса. 16. Указание. Выразите обе поверхности через сторону квадрата. 17. 160л см2. 18. 512л см2.
СОДЕРЖАНИЕ
6 КЛАСС
ПЛАНИМЕТРИЯ
Основные свойства простейших геометрических фигур
Точка и прямая 4. Основные свойства принадлежности точек и прямых 4. Основные свойства взаимного расположения точек на прямой и на плоскости 5. Основные свойства измерения отрезков и углов 7. Основные свойства откладывания отрезков и углов 9. Существование треугольника, равного данному 10. Основное свойство параллельных прямых 12. Аксиомы, теоремы и доказательства 13. Вопросы для повторения 14. Упражнения 16-
Углы
Смежные углы 20. Вертикальнее углы 21. Перпендикулярные прямые 22. Доказательство от противного 23. Углы, отложенные в одну полуплоскость 23. Вопросы для повторения 25. Упражнения 26.
Признаки равенства треугольников
Первый признак равенства треугольников 27. Второй признак равенства треугольников 28. Равнобедренный треугольник 29. Медиана, биссектриса и высота треугольника 31. Третий признак равенства треугольников 32. Вопросы для повторения 34. Упражнения 34.
Сумма углов треугольника
Признаки параллельности прямых 37. Сумма углов треугольника 41. Прямоугольный треугольник 43. Существование и единственность перпендикуляра к прямой 44. Вопросы для повторения 45. Упражнения 47.
Геометрические построения
Окружность 49. Что такое задачи на построение 51. Построение треугольника с данными сторонами 52. Построение угла, равного данному 52. Построение биссектрисы угла 53. Деление отрезка пополам 53. Построение перпендикулярной прямой 54. Геометрическое место точек 55. Метод геометрических мест 56. Углы в окружности 56. Bonpoci i для повторения 59. Упражнения 60.
7 КЛАСС
Четырехугольники
Выпуклые четырехугольники 64. Параллелограмм 66. Прямоугольник. Ромб. Квадрат 68 Теорема Фалеса 70. Трапеция 72. Вопросы доя повторения 73.
Упражнения 74.’
Теорема Пифагора
Косинус угла 78. Теорема Пифагора 79. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике 82. Как пользоваться таблицами синусов, косинусов и тангенсов 83. Основные тригоиометричесхие тождества 85. Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов 86. Изменение sin «, cos а и tg а при возрастании угла а 87. Неравенство треугольника 88- Вопросы для повторения 89- Упражнения 90.■
Декартовы координаты на плоскости
Введение координат на плоскости 94. Координаты середины отрезка 96. Расстояние между точками 97. Уравнение окружности 98. Уравнение прямой 101. Расположение прямой относительно системы координат 102. Пересечение прямой с окружностью 104. Определение синуса, косинуса и тангенса дли любого угла от 0° до 180° 104 Вопросы для повторения 105. Упражнения 106.
Преобразования фигур
Примеры преобразований фигур 109. Движение 112. Свойства движения 113. Равенство фигур 116. Преобразование подобия 117. Подобие фигур 119. Вопросы для повторения 121. Упражнения 122.
8 КЛАСС
Векторы на плоскости
Параллельный перенес 127. Понятие вектора 130. - 1бсолютная величина и направление вектора 131. Координаты'вектора 133 Сложение векторов 134. Умножение вектора на число 135. Скалярное произведение векторов 137. Вопросы для повторения 139. Упражнения 140.
Решение треугольников
Теорема косинусов 144 Теорема синусов 145. Решение треугольников 147. Вопросы для повторения 149- Упражнения 149
Многоугольники
Ломаная 151. Выпуклые многоугольники 153. Правильные многоугольники 154. Длина окружности 156. Центральный угол и дуга окружности 158. Вопросы для повторения 159. Упражнения 159.
Площади фигур
Понятие площади 162. Площадь прямоугольника 163- Плошади простейших фигур 165 Площади подобных фигур 168 Площадь круга 169. Вопросы для повторения 171. Упражнения 172.„
9 КЛАСС
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Аксиомы стереометрии
Некоторые следствия аксиом стереометрии 176. Вопросы для повторения 177. Упражнения 178.
Параллельность прямых и плоскостей
Параллельные прямые в пространстве 178. Параллельность прямой и плоскости 180. Параллельное ть плоскостей 181. Изображение пространственных фигур на плоскости 184. Вопросы для повторения 185. Упражнения 186.
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Перпендикулярность прямых 189. Перпендикулярность прямой и плоскости 190. Перпендикуляр и наклонная 193. Перпендикулярность плоскостей 194. Расстояние между скрещивающимися прямыми 196. Вопросы для повторения 197. Упражнения 197.
Декартовы координаты и векторы в пространстве
Введение декартовых координат в пространстве 202. Преобразования фигур в пространстве 205 Углы между прямыми и плоскостями 207. Площадь ортогональной проекции многоугольника 210. Векторы в пространстве 211. Уравнение плоскости 212. Вопросы для повторения 213. Упражнения 214.
10 КЛАСС
Многогранники
Многогранные углы 220. Многогранник 221. Призма 222. Построение плоских сечений 224. Параллелепипед 225. Пирамида 228. Правильные многогранники 231. Вопросы для повторения 232. Упражнения 234.
Тела вращения
Цилиндр 238. Конус 240. Шар 243. Уравнение сферы 246. Вопросы для повторения 248. Упражнения 249.
Объемы тел
Понятие объе'-а 252. Объем прямоугольного параллелепипеда 253. Объем нак тонного параллелепипеда 255. Объем призмы 256. Объем пирамиды 258. Объемы подобных тел 260. Объемы цилиндра и конуса 261. Общая формула для объемов тел вращения 262. Объем шара и его частей 263. Вопросы для повторения 264. Упражнения 261.
Площади поверхностей тел
Понятие площадт, поверхности 270. Площадь сферы 270. Боковая поверхность цилиндра 271. Вопрос) i для повторения 272. Упражнения 272.
Ответы и указания к упражнениям 274.
СВЕДЕНИЯ О ПОЛЬЗОВАНИИ УЧЕБНИКОМ
№
Фаг.млйя и имя ученика
Учебный год
Соседние учебника
В начале года | В конце года
1
2
3
4
5
Алексей Васильевич Погорелов
ГЕОМЕТРИЯ
Учетное пособиедля 6—10 классовсредней школы
Спец, редактор А. М. ЗуСков .Редактор Т. А. Бурмистрова
Оформление художника Б. Л. Николаева
Художественный редактор Е. Н. Карасик Технический редактор Н. А. Биркина Корректор О. В. Ивашкина
ИВ № 7315
Сдано в набор 03.11.81. Подписано к печати 12.03.82. Формат бОхЭО1/^. Бум. типограф. Аб 1. Гарнит. школьн. Печать высокая. Усл. печ. л. -18ч 0.25 форз. Усл. кр. от. 18,6875 л. Уч.-изд. л. 16,38-|-0,43 форз. Тираж 3302000 экв. Заказ 227. Цена 30 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Росглавполиграфпрома Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии н книжной торговли. Саратов, ул. Чернышевского, 59.
S = -у ab sin уS = -у ab sin у
S = -у ab sin у
S = -у ab sin у
СООТНОШЕНИЯ
В ПРОИЗВОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
sin аsin р _ sin у
а b с
(ТЕОРЕМА СИНУСОВ1
а2 = Ь2 + с2 — 2 Ъс cos а
(ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ]
S = ^р(р — а)(р — Ь)(р — с), ГДЕ р = ^-(а+Ъ + с)
ЛАТИНСКИЙ АЛФАВИТ
ПЕЧАТНЫЕ Б> КВЫ
РУКОПИСНЫЕ Б> КВЫ
НАЗВАНИЯ БЛ КВ
Ла
^ti,
а
ВЬ
Вб-
бэ
< С
С с
113
Dd
Dd
дэ
Ее
В е
3
Ff
ч
эф
Gg
Q»
же
Hh
НК
аш
It
3 1
и
Ji
77
йот (жи)
Kk
к к
ка
и
сг
эль
Mm
Л1т
эм
ПЕЧАТНЫЕ БУКВЫ
РУКОПИСНЫЕ БУКВЫ
НАЗВАНИЯ БУКВ
Nn
Жт
ЭН
Оо
0 ff
О
Рр
Pt
ПЭ
0. q
ку
Rr
Kr
эр
Ss
So
ЭС
Tt
Tt
тэ
Uu
U и
Vu
Vv
вэ
Ww
Wur
дубль- вэ
Xx
Xx
икс
Yy
Vv-
игрек
Zz
Zz
зэт
НЕКОТОРЫЕ БУКВЫ ГРЕЧЕСКОГО АЛФАВИТА
буквы
а
0
Y
д
X
И
названия
альфа
бета
гамма
дельта
ламбда
мю
буквы
Л
Q
т
ш
названия
пи
ро
тау
фи
пси
омега
30 к.
1) ж 4 2у 4 3 — 0,
3) 4х 4* 5у 4- 8 = 0,
V = - SH.3
Пусть теперь имеем любую, не треугольную пирамиду. Разобьем ее основание на треугольники Ди А,, .... Ап. Пирамиды, у которых основаниями являются эти треугольники, а вершинами — вершина данной пирамиды, составляют данную пирамиду. Объем данной пирамиды равен сумке объемов составляющих ее пирамид. Так как все они имеют ту же высоту Hi что и данная пирамида, то объем данной пирамиды равен
У=^Н^А-8йА- ... +S„) = 1SH.
Итак, объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.
Задача ( 42 ). Найдите объем усеченной пирамиды с площадями оснований Qr и Qa № > QJ и высотой к.
Решение. Дополним данную усеченную пирамиду до полной (рис. 316). Пусть х — ее высота. Объем усеченной