Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Л.А. БЕКЛЕМИШЕВА
А.Ю. ПЕТРОВИЧ
И.А. ЧУБАРОВ
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ
И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
Под редакцией Д.В. Беклемишева
Издание второе, переработанное
УДК 514
ББК 22.151
Б42
Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: Учеб, пособие / Под ред. Д.В. Беклемишева. — 2-е изд., перераб. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 496 с. - ISBN 5-9221-0010-6.
Сборник соответствует объединенному курсу аналитической геометрии и линейной алгебры. Имеются теоретические введения ко всем разделам, большое число задач, способствующих усвоению основных понятий, и серии типовых задач с ответами.
Первое изд. — 1987 г.
Для студентов вузов с повышенной математической подготовкой.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 5
Глава 1. Векторы и координаты 7
Линейные соотношения 9
Скалярное произведение векторов 15
Векторное и смешанное произведения векторов 20
Замена базиса и системы координат 24
Глава 2. Прямая и плоскость 30
Прямая на плоскости 30
Плоскость и прямая в пространстве 38
Глава 3. Кривые второго порядка 56
Геометрические свойства кривых второго порядка и их канонические уравнения 61
Касательные к кривым второго порядка 71
Общая теория кривых второго порядка 75
Глава 4. Поверхности второго порядка 81
Уравнения множеств в пространстве и элементарная теория поверхностей второго порядка 81
Общая теория поверхностей второго порядка 93
Глава 5. Преобразования плоскости. Группы 103
Линейные и аффинные преобразования плоскости 103
Понятие о группах 120
Глава 6. Матрицы 127
Определители 127
Операции с матрицами 134
Ранг матрицы 150
Глава 7. Системы линейных уравнений 156
Системы линейных уравнений с определителем, отличным от 0 162
Системы линейных однородных уравнений 164
Системы линейных уравнений общего вида 166
Глава 8. Линейные пространства 175
Примеры пространств. Базис и размерность 180
Сумма и пересечение подпространств 185
Комплексные линейные пространства 188
Глава 9. Линейные отображения и преобразования 191
Основные свойства линейных отображений и преобразований. 191
Инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения линейных преобразований 213
Глава 10. Евклидовы и унитарные пространства .. 238
Скалярное произведение. Матрица Грама 241
Геометрия евклидова пространства 248
Унитарные пространства 260
Глава 11. Линейные преобразования евклидовых и унитарных пространств 265
Примеры линейных преобразований евклидова пространства.
Сопряженное преобразование 266
Самосопряженные и ортогональные преобразования 271
Линейные преобразования унитарного пространства 279
Глава 12. Функции на линейном пространстве 285
Линейные функции 285
Билинейные и квадратичные функции 292
Глава 13. Аффинные и точечные евклидовы пространства 307
Аффинные пространства 307
Точечные евклидовы пространства 315
Глава 14. Тензоры 323
Определение тензора. Тензорные обозначения, пространственные матрицы 328
Алгебраические операции с тензорами 334
Тензоры в евклидовом пространстве 341
Поливекторы и внешние формы 343
Решения 348
Ответы и указания 373
Банк столбцов и матриц 465
Список литературы 495
ПРЕДИСЛОВИЕ
Пособие предназначено для студентов физико-математических, инженерно-физических и инженерно-технических специальностей вузов. Цель авторов состояла в создании единого сборника задач, соответствующего объединенному курсу аналитической геометрии и линейной алгебры. Все составители задачника имеют опыт преподавания математики в Московском физико-техническом институте, и этот опыт нашел отражение в содержании сборника. Последовательность разделов, а также определения и обозначения в основном соответствуют учебнику Д.В. Беклемишева «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры».
Отметим методические особенности сборника.
В задачник включены некоторые разделы, отличающиеся от традиционных: в главу «Преобразования плоскости. Группы» введен ряд задач, в которых обсуждается общее понятие об отображениях; глава «Функции на линейном пространстве» содержит параграф «Линейные функции»; задачи, относящиеся к точечным п-мерным пространствам, выделены в отдельную главу «Аффинные и точечные евклидовы пространства», и круг этих задач значительно расширен; наконец, глава «Тензоры», помимо детального обсуждения основных понятий, связанных с тензорами, содержит большое число упражнений с пространственными матрицами.
Каждой главе, а также некоторым параграфам предпосланы теоретические введения. Введения начинаются со словаря — списка необходимых новых понятий, определения которых затем частично приводятся. Введения содержат также обозначения, сводки важнейших формул и подробное изложение некоторых алгоритмов.
В число задач включен ряд устных вопросов по курсу лекций. Иногда решение нескольких мелких вопросов приводит к решению нетривиальной задачи. Такие задачи расположены группами или обеспечены ссылками. Некоторые задачи предваряют применение линейной алгебры в других математических курсах.
Выбор задач, как нам кажется, позволит использовать пособие при различных системах построения курса лекций. Так в § 14 «Определители» включены задачи, в которых применяется умножение матриц, задачи из глав X и XI о евклидовых пространствах могут решаться как до, так и после задач на квадратичные формы и т.д.
Для облегчения работы преподавателя стандартные задачи даны большими сериями. При этом, чтобы сохранить объем задачника, авторам пришлось организовать банк столбцов и матриц (с. 465-494). При ссылках столбцы из банка обозначаются через с^, а матрицы — А^, где к — соответствующий номер в банке. Однако столбцы и матрицы из банка использованы не во всех задачах, частично изложение оставлено традиционным.
Некоторые типовые и более сложные задачи снабжены полными решениями, вынесенными в соответствующий раздел. Такие задачи отмечены знаком (р).
Настоящее издание дополнено и переработано. Заново написаны главы X и XI, составлен раздел о жордановой форме матрицы, добавлен ряд новых задач в другие разделы. Произведены также некоторые сокращения.
При составлении сборника были использованы учебные пособия, список которых приведен в конце книги, а также отдельные задачи, предлагавшиеся на приемных экзаменах или входящие в задания для студентов МФТИ.
Хотя каждый из авторов нес ответственность за определенную часть материала, труд их был в значительной мере коллективным. В работе над первым изданием большое участие принимал Б.В. Пальцев. В настоящем издании ему принадлежит § 34 и часть задач § 33. Некоторые задачи были предложены коллегами по Московскому физико-техническому институту — В.Б. Лидским, В.Р. Почуевым, А.А. Болибрухом. Всем им авторы приносят глубокую благодарность. При подготовке рукописи были с благодарностью учтены все замечания, поступившие по поводу первого издания. Особенно здесь нужно отметить вклад И.А. Борачинского и Ю.Ю. Соонталы.
Авторы считают своим приятным долгом отметить, что на их деятельность оказала решающее влияние система преподавания математики в МФТИ, сложившаяся под руководством члена-корреспондента РАН Л.Д. Кудрявцева.
Глава 1
ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ
В этой главе используются следующие основные понятия: век™ тор, нулевой вектор, равные векторы, коллинеарные и компланарные векторы, произведение вектора на вещественное число, сумма векторов, противоположный вектор, разносить векторов, линейная комбинация векторов, линейно зависимые векторы (линейно зависимая система векторов), базис на плоскости и базис в пространстве, координаты вектора в базисе, радиус-вектор точки, общая декартова система координат, координаты точки, длина вектора, угол между векторами, скалярное произведение двух векторов, проекция вектора на прямую, ортогональный и ортонормированный базисы на плоскости и в пространстве, прямоугольная система координат, ориентация тройки векторов в пространстве, ориентация пары векторов на плоскости, ориентация базиса, векторное произведение двух векторов, смешанное произведение трех векторов, определители второго и третьего порядков. Используются также основные свойства линейных операций, скалярного, векторного и смешанного произведений.
Пусть векторы а, Ь, с имеют в некотором базисе ei, 02, 63 координаты («1, а2, аз), (А, Аг, Аз), (71, 72, 7з)-
Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов является пропорциональность соответствующих координат этих векторов.
Необходимым и достаточным условием компланарности векторов а, Ь, с является обращение в ноль определителя
Q1 0^2 С^З
31 З2 Зз71 72 7з
Если базис ортонормированный, то: длина вектора а равна
|а| = у С^ + С^ + (Т3; скалярное произведение векторов а, b равно
(a, b) = ai3i + 01^32 + азЗз ;
векторное произведение векторов а, b равно
[a, b] = s[a, b] = sei е2 е3«1 «2 (Тз31 32 Ззei е2 е3«1 «2 (Тз31 32 Зз
[a, b] = s
[a, b] = s
ei е2 е3
«1 «2 (Тз
31 32 Зз
ei е2 е3
«1 «2 (Тз
31 32 Зз
где s = +1, если базис правый, и s = — 1, если базис левый. Опреде
литель следует понимать символически:
ei е2
«1 «2 01 02
Смешанное произведение векторов а, Ь, с в любом базисе выражается формулой:
(а,Ь,с) =(а,Ь,с) =ОД 0^2 С^з31 З2 Зз71 72 7зОД 0^2 С^з31 З2 Зз71 72 7з(ei,e2,e3).(ei,e2,e3).
(а,Ь,с) =
(а,Ь,с) =
ОД 0^2 С^з
31 З2 Зз
71 72 7з
ОД 0^2 С^з
31 З2 Зз
71 72 7з
(ei,e2,e3).
(ei,e2,e3).
Если базис ei, 62, 63 ортонормирован, то (61,02,63) = е (число е определено выше).
Тройка векторов а, Ь, с является правой, если знак определителя
«1 «2 013
31 З2 Зз
71 72 7з совпадает со знаком числа е, и левой в противном случае. Это утверждение справедливо при любом базисе.
Косинус угла р между векторами а, Ь, заданными своими координатами, можно вычислить по формуле
Площадь параллелограмма, построенного на векторах а, Ь, равна
Объем параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с, равенV = |(а,Ь,с)|.
Любой вектор b на плоскости или в пространстве можно представить в виде суммы двух векторов х + у так, чтобы вектор х был коллинеарен данному ненулевому вектору а, а вектор у ортогонален вектору а. Вектор х называется ортогональной проекцией вектора b на прямую, направление которой определяется вектором а; вектор у называется ортогональной составляющей вектора b относительно этой прямой.
Пусть в пространстве даны два базиса ei, 62, 63 и е'1? 62, 63, и векторы второго базиса выражаются через векторы первого базиса по формулам
^1 = <21161 + (22162 + (23163,
^2 = «1261 + «22^2 + «3263,(1)
63 = «1361 + «2362 + «3363.
Тогда координаты «1, «2, «з вектора в первом базисе выражаются через его координаты с^, а^ af3 во втором базисе следующим образом:
«1 = ащД + a^ + ^13^3,
0^2 = 021^1 4" ^22^2 4" ^23^3?(2)
«з = азрД + ^32^2 4- ^зз^з
(коэффициенты в строках формул (1) превращаются в коэффициенты в столбцах формул (2).
Пусть в пространстве даны две системы координат О. ei, 62, 63 и О’ ^ е^, е^, 63, причем начало второй системы координат имеет в первой системе координаты аю, <220, <230? а векторы второго базиса выражаются через векторы первого базиса по формулам (1). Тогда координаты ж, у. z точки в первой системе координат выражаются через ее координаты х’ у* z’ во второй системе формулами:
х = ацхг + a^V 4- ахз^ 4- аю,
У = a2ixr + a22V 4- a23V 4- а20,z = a3ix' + a^V 4- а33/ + а30.
В задачах § 1 система координат считается общей декартовой без каких-либо дополнительных условий. В задачах § 2, если не оговорено противное, координаты векторов задаются в ортонормированном базисе, а координаты точек — в прямоугольной системе координат. В задачах § 3, если не оговорено противное, координаты векторов задаются в ортонормированном правом базисе, координаты точек — в прямоугольной системе координат, базис которой имеет правую ориентацию.
Линейные соотношения
Доказать утверждения:
конечная система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима;
конечная система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима.
Может ли быть линейно зависимой система, состоящая из одного вектора?
Доказать, что для любых трех векторов а, Ь, си любых трех чисел оц Р^ у векторы аа —/ЗЬ, yb — ас, /Зс —уа линейно зависимы.
Даны три вектора а(1,2), Ь(—5,— 1), с(—1,3). Найти координаты векторов 2а + ЗЬ — с, 16а + 5Ь — 9с.
Даны три вектора а(1,3), b(2, — 1), с(—4,1). Найти числа а и /3 такие, что аа 4- /ЗЬ + с = о.
Проверить, что векторы а(—5,— 1) и Ь(—1,3) образуют базис на плоскости. Найти координаты векторов с(—1,2) и d(2,—6) в этом базисе.
Вектор а имеет в некотором базисе координаты (ж, 1 — ж), вектор b — координаты (ж2 — 2ж,ж2 — 2ж +1). При каких значениях ж векторы 1) коллинеарны; 2)одинаково направлены?
Даны четыре вектора а(3,0,— 2), Ь(1,2,—5), с(—1,1,1), d(8,4,1). Найти координаты векторов — 5a + b — 6с+ d, За — —b — с — d.
Даны четыре вектора а(4,1,-1), Ь(3, —1,0), с(—1,1,1), d(—1,3,4). Найти числа а, /3, у такие, что <aa + /3b + 7c + d = о.
Проверить, что векторы а(4,1,-1), Ь(1,2, —5) и с(—1, 1,1) образуют базис в пространстве. Найти координаты векторов 1(4,4,—5), т(2,4, —10), п(0,3,— 4) в этом базисе.
Проверить, будут ли компланарны векторы 1, m и п; в случае положительного ответа указать линейную зависимость, их связывающую (здесь а, Ь, с — три некомпланарных вектора):
1 = 2а — b — с, m = 2Ь — с — а, п = 2с — а — Ь;
l = a + b + c, m = b + c, п=—а + с;
1 = с, т = а —Ь —с, п = а —Ь + с.
Из одной точки пространства отложены три вектора а, Ь, с. Доказать, что конец вектора с тогда и только тогда лежит на отрезке, соединяющем концы векторов а и Ь, когда выполнено равенство с = аа + /ЗЬ, где а > 0, /3 > 0, а + /3 = 1. В каком отношении конец вектора с делит этот отрезок?
В параллелограмме АВ CD точка К — середина отрезка ВС и точка О — точка пересечения диагоналей. Принимая за базисные векторы АВ и AD, найти в этом базисе координаты векторов BD, СО, KD.
В треугольнике АВС точка М — середина отрезка АВ и точка О — точка пересечения медиан. Принимая за базисные векторы АВ и^ АС, найти в этом базисе координаты векторов АМ, АО, МО.
В трапеции АВ CD длины оснований AD нВС относятся как 3:2. Принимая за базисные векторы АС и BD, найти в этом базисе координаты векторов АВ, ВС, CD, DA.
В трапеции АВ CD длины оснований AD и ВС относятся как 3:1.0 — точка пересечения диагоналей трапеции, S — точка пересечения продолжений боковых сторон. Принимая за Jбазисные векторы AD и АВ, найти координаты векторов АС, АО, AS.
Точки Е и F являются серединами сторон АВ и CD четырехугольника ABCD. Доказать, что ЕЕ = (ВС + AD)/2.
Дан правильный шестиугольник ABC DEF. Принимая за базисные векторы АВ и AF, найти в этом базисе координаты векторов ВС, CD, DE, ЕЕ, BD, СЕ, СЕ.
В трапеции задачи 1.16 точка М — середина стороны CD. Найти координаты вектора AD в базисе OS, ОМ.
В треугольнике АВС точки К и L — середины сторон ВС п АС соответственно. Точки М и N лежат соответственно на отрезках АК и BL так, что \АМ\ : \МК\ = 6 : 1 и |B^| : ^L| =8:1. Точка Р — середина отрезка MN. Найти координаты вектора АВ в базисе MN, СР.
В треугольнике АВС точка М — середина стороны АС, точки К и L на сторонах АВ и ВС расположены так, что \АК\ : |К"В| =3:5, a \BL\ : \LC\ = 2:3. Найти координаты вектора ВМ в базисе AL, СК.
В треугольнике АВС точки К, L, М расположены соответственно на сторонах АВ, ВС и АС так, что \АК\ : : |К"В| = \BL\ : \LC\ = \СМ\ : \МА\ =3:1. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке Р. Найти координаты вектора АР в базисе LK, LM.
В тетраэдре ОАВС точки К, L, М, N, Р, Q — середины ребер О А, ОВ, ОС, АВ, АС, ВС соответственно, S — точка пересечения медиан треугольника АВС. Принимая за базисные векторы О А, ОВ и ОС, найти в этом базисе координаты:
векторов АВ, ВС, АС;
векторов КТ, PQ CN, MP. "KQ;
векторов OS и KS.
Даны три точки О, А, В, не лежащие на одной прямой. Принимая за базисные векторы О А и ОВ, найти:
координаты вектора ОМ, если точка М лежит на отрезке АВ и \АМ\ : \ВМ\ = т:п;
координаты вектора ON, если точка N лежит на прямой АВ вне отрезка АВ и |A^| : |B^| = т : п.
В треугольнике АВС проведена биссектриса AD. Найти координаты вектора AD в базисе, образованном векторами АВ и АС.
Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Принимая за начало координат вершину А, а за базисные векторы АС и АЕ, найти координаты вершин шестиугольника и его центра.
В трапеции АВ CD отношение длин оснований АВ и ВС равно 4. Принимая за начало координат вершину А, а за базисные векторы АВ и АВ, найти координаты вершин трапеции, точки М пересечения ее диагоналей и точки S пересечения боковых сторон.
Дан параллелепипед АВС ВАуВуСуВу. Принимая за начало координат вершину А, а за базисные векторы АВ, АВ и AAi, найти координаты:
вершин С, By и Ci;
точек К и L — середин ребер АуВу и С Су соответственно;
точек М и N пересечения диагоналей граней АуВуСуВу и АВВуАу соответственно;
точки О пересечения диагоналей параллелепипеда.
Три точки А^ху,ру\ В^х^р^У С(хз,рзУ не лежащие на одной прямой, являются последовательными вершинами параллелограмма. Найти координаты четвертой вершины В этого параллелограмма.
Даны две различные точки А^ху,ру,%уУ В^х^рз,^). Найти координаты:
точки М, лежащей на отрезке АВ и такой, что |АМ| : : |ВМ| = т : п;
точки N, лежащей на прямой АВ вне отрезка АВ и такой, что |A^| : |B^| = т : п.
31. Даны две точки А(3, — 2) и В(1,4). Точка М лежит на прямой АВ, причем |АМ| = 3|АВ|. Найти координаты точки М, если:
М лежит по ту же сторону от точки А, что и точка В;
М и В лежат по разные стороны от точки А.
Даны три точки А (яд, щ, щ),В(ж2, р^-, ^УС^хз, рз, %зУ не лежащие на одной прямой. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника АВС.
Зная радиус-векторы ri, Г2, гз, Г4 вершин А, В, В, Ау параллелепипеда АВС В АуВуСуВу, выразить через них радиус-векторы остальных четырех вершин.
Отношение длин оснований АВ и ВС трапеции АВС В равно т : п. Выразить радиус-векторы вершины В, точки М
пересечения диагоналей трапеции и точки S пересечения боковых сторон через радиус-векторы ri, Г2, Г3 вершин А, В, С.
Доказать, что радиус-вектор центра правильного многоугольника есть среднее арифметическое радиус-векторов его вершин.
Зная радиус-векторы ri, Г2, Г3 вершин треугольника, найти радиус-вектор центра окружности, вписанной в треугольник.
В плоскости треугольника АВС найти точку О такую, что О А + О В + ОС = о. Существуют ли такие точки вне плоскости треугольника?
В точках, имеющих радиус-векторы ri, ..., rn, сосредоточены массы mi, ..., тп. Найти радиус-вектор центра тяжести этой материальной системы.
Однородная проволока согнута в виде угла АО В со сторонами |ОА| = а и |ОВ| = Ь. Найти координаты центра тяжести проволоки в системе координат О, О А/а, ОВ/Ъ.
Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, имеющей форму четырехугольника АВ CD с вершинами в точках А(3,1), В(7,3), С(0,4), D(—1,2).
Доказать, что если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Точки К и L являются серединами сторон АВ и ВС параллелограмма ОАВС. Доказать, что точка пересечения диагоналей ОАВС совпадает с точкой пересечения медиан треугольника OKL.
Точка К лежит на продолжении стороны АВ треугольника АВС за точку В, точка L — на продолжении стороны ВС за точку С, точка М — на продолжении стороны С А за точку Л, причем\АВ\ : \ВК\ = \ВС\ : \CL\ = \СА\ : \АМ\. Доказать, что точки пересечения медиан треугольников АВС и KLM совпадают.
На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки М и К так, что \АМ\ : |ВМ| = mi :ni, |A^| : |C^| = т^ : П2- Точку пересечения отрезков BN и СМ обозначим через О. Найти отношения|ВО| : |CW| и |СО| : \ОМ\.
Применяя результат задачи 1.44 при mi = ni = m2 = = П2 = 1, доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
(р). Вершина D параллелограмма ABCD соединена с точкой К, лежащей на стороне ВС, такой, что |BF| : \КС\ = = 2:3. Вершина В соединена с точкой L, лежащей на стороне CD, такой, что \CL\ : |LD| = 5:3. В каком отношении точка М пересечения прямых DK и BL делит отрезки DK и BIB
На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС расположены соответственно точки М и ^ так, что \АМ\ : |ВМ| = т : 1, |C^| : |B^| = n : 1. Прямая MN пересекает высоту BD треугольника в точке О. Найти отношение
1) Доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина средней линии равна полусумме длин оснований (теорема о средней линии трапеции).
Точки Е и F являются серединами сторон АВ и CD четырехугольника ABCD (на плоскости или в пространстве). Доказать, что если |SF| = (|ВС| + |Л7?|)/2, то ABCD — трапеция (теорема, обратная теореме о средней линии трапеции).
На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты соответственно точки М, N, Р так, что \АМ\ = \АВ\/п, |B^| = = \ВС\/п, |СР| = \СА\/п. Площадь треугольника АВС равна S. Найти площадь треугольника, полученного при пересечении прямых AN, ВР и СМ. Вывести отсюда, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказать, что четыре отрезка, соединяющие вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 3:1, считая от вершины.
Доказать, что три отрезка, соединяющие середины скрещивающихся ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.
На диагоналях АВ\ и С Ах боковых граней треугольной призмы АВСА\В\С\ расположены соответственно точки Е и F так, что прямые ЕЕ и BCi параллельны. Найти отношение |FF| : |BCi|.
На диагонали ВС\ боковой грани треугольной призмы АВСА\В\С\ взята точка М, а на диагонали С Ах другой боковой грани — точка N. Прямая MN параллельна плоскости ABBiAi. Найти отношение |C^| : |СЛ1|, если |ВМ| : |SCi| = = 1:3.
§ 2. Скалярное произведение векторов
Найти скалярное произведение векторов а и Ь, если:
|а|=3,|b|= l,Z(a,b) = 45°;
|а|=6,|Ь|= 7,Z(a,b) = 120°;
|а|=4,|b|= 2,Z(a,b) = 90°;
1а1=5,1Ь1= Га и b сонаправлены;
|а|=2,|Ь|= 3,а и b противоположно направлены.
Вычислить выражение |а|2 — д/3(а,Ь) + 5|Ь|2, если:
|а| = 2, |b| = 1, Z(a,b) = 30°;
|а| = 3, |b| = 2, Z(a,b) = 150°.
Найти скалярное произведение векторов а и Ь, заданных своими координатами:
а(4, —1), b(—1, —7);
а(2,1), Ь(1,-3);
а(1,2), Ь(—4,2).
Найти угол между векторами а и Ь, заданными своими координатами:
а(1,2), Ь(2,4);
а(1,2), Ь(4,2);
а(1,2), Ь(-2,1);
а(1, —1), Ь(—4,2);
а(2, —1), Ь(—4,2).
Найти расстояние между точками Л и В, заданными своими координатами:
А(—1,2), В(5,10);
А(3, —2), В(3,3);
А(1,2), В(1,2).
Найти скалярное произведение векторов а и Ь, заданных своими координатами:
а(3,2,-5), Ъ(10,1,2);
а(1,0,3), Ъ(—4,15,1);
а(2,1,5), Ь(7,-9,-1).
Найти угол между векторами а и Ь, заданными своими координатами:
а(1,-1,1),Ь(5,1,1);
а(1,-1,1), Ь(-2,2,-2);
а(1,-1,1), Ь(3,-3,3);
а(1,-1,1),Ь(3,1,-2);
а(1,-1,1), Ь(4,4,-4).
Найти расстояние между точками Ан В, заданными своими координатами:
Л(4,-2,3), В(4,5,2);
Л(-3,1,-1), В(—1,1,—1);
Л(3,-3,-7), В(1,—4,—5).
Даны три вектора: а(—1,2), Ь(5,1), с(4, — 2). Вычислить:
Ь(а,с) — с(а,Ь);
|а|2-(Ь,с);
|Ь|2 + (Ь,а + 3с).
Даны три вектора: а(1,—1,1), Ь(5,1,1), с(0,3,— 2). Вычислить:
Ь(а,с) — с(а,Ь);
|а|2 + |с|2 — (а,Ь) • (Ь,с);
(а, с) • (а,Ь) - |ар(Ь,с).
Доказать, что векторы а и Ь(а,с) — с(а,Ь) взаимно перпендикулярны.
Верно ли, что для любых векторов a, b, с, d выполняется соотношение (а,Ь) • (c,d) = (а, с) • (b,d)?
Даны три вектора а, Ь, с такие, что |а| = |b| = |с| = 1, a + b + с = о. Вычислить (а,Ь) + (Ь,с) + (с,а).
В треугольнике АВС даны длины сторон. Найти скалярное произведение (АС, ВС), если:
\АВ\ = 5,\ВС\=3,\АС\ = 4;
|ЛВ| = 7,|ВС|=4,|ЛС| = 5;
\АВ\ = 3,\ВС\=2,\АС\ = 3.
2.15. Дан треугольник АВС. Выразить через b = АВ и с = = ЛС:
длину стороны ВС]
длину медианы АМ]
площадь треугольника.
В треугольнике АВС проведена высота АН. Най- ти^координаты вектора АН в базисе, образованном векторами АВ и АС.
Доказать, что для произвольного прямоугольника АВ CD и для произвольной точки М (лежащей или не лежащей в плоскости прямоугольника) имеют место равенства:
(МА,МС) = (MB,MD);
\МА\2 + \МС\2 = \МВ\2 + \MD\2.
В трапеции АВ CD отношение длин оснований | АО| : : |ВС| равно 3. Выразить через b = АВ и с = АС:
длины сторон и углы трапеции;
длину отрезка SM, где S — точка пересечения боковых сторон трапеции, М — точка пересечения диагоналей.
(р). Длины базисных векторов ei и 62 общей декартовой системы координат на плоскости равны соответственно V2 и 1, а угол между ними равен 45°. Вычислить длины диагоналей и углы параллелограмма, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты (2, 2) и (—1, 4).
Длины базисных векторов ei и 62 общей декартовой системы координат на плоскости равны соответственно 4 и 2, а угол между базисными векторами равен 120°. Относительно этой системы координат заданы вершины треугольника А(—2,2), В(—2,— 1), С(—1,0). Найти длины сторон и углы треугольника.
Длины базисных векторов ei, е2, ез равны соответственно 3, д/2, 4, а углы между ними равны Z(ei,e2) = =/(е2,ез) = 45°, /(ех,ез) = 60°. Вычислить длины сторон и углы параллелограмма, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты (1, — 3, 0) и (—1, 2, 1).
Длины базисных векторов ei, е2, ез равны соответственно 1, 1, 2; углы между ними равны Z(ei, 62) = 90°, Z(ei,e3) = Z(e2,e3) = 60°. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах а(—1,0,2) и Ь(2,—1,1).
Из одной точки отложены три вектора а(0, — 3, 4), b(4, 1, —8) и с. Вектор с имеет длину 1 и делит пополам угол между а и Ь. Вычислить координаты вектора с.
(р). Даны два вектора а и Ь, причем а Д о. Выразить через а и b ортогональную проекцию вектора b на прямую, направление которой определяется вектором а.
Найти сумму ортогональных проекций вектора а на стороны правильного треугольника.
Дан вектор а(1,1). Найти ортогональную проекцию вектора b на прямую, направление которой определяется вектором а, и ортогональную составляющую вектора b относительно этой прямой, если вектор b имеет координаты:
(1,-3); 2) (1,-1); 3) (3,3); 4) (-2,-2).
Дан вектор а(1,—1,2). Найти ортогональную проекцию вектора b на прямую, направление которой определяется вектором а, и ортогональную составляющую вектора b относительно этой прямой, если вектор b имеет координаты:
1) (2,-2,4); 2) (1,1,2); 3) (4,0,-2).
Даны два вектора а(3, — 1) и Ь(—1,1). Найти вектор х, удовлетворяющий системе уравнений (х,а) = 13, (х,Ь) = —3.
Даны векторы a(V3, — 3) и b(l, — 1). Найти все векторы х, образующие угол тг/З с вектором а и такие, что (b,x) = 1.
Даны три вектора а(4,1,5), Ь(0,5,2) и с(—6,2,3). Найти вектор х, удовлетворяющий системе уравнений (х,а) = = 18, (x,b) = 1, (х,с) = 1.
Даны ненулевой вектор а и скаляр р. Выразить через аир какой-нибудь вектор х, удовлетворяющий уравнению (х,а) = р.
Объяснить геометрический смысл всех решений векторного уравнения (х, а) = р. а также его частного решения, коллинеарного вектору а:
на плоскости;
в пространстве.
Объяснить геометрический смысл:
решения системы векторных уравнений (х,а)=р, (х,Ь) = q на плоскости (векторы а и b неколлинеарны);
решения системы векторных уравнений (х, а) = р, (x,b) = q. (х,с) = s, в пространстве (векторы а, Ь, с некомпланарны) .
(р). Даны два вектора а(1,—1,1) и Ь(5,1,1). Вычислить координаты вектора с, который имеет длину 1 и ортогонален векторам а и Ь. Сколько решений имеет задача?
Даны два вектора а (1,—1,1) и b (5,1,1). Вектор с имеет длину 1, ортогонален вектору а и образует с вектором b угол arccos (^2/27). Вычислить координаты вектора с. Сколько решений имеет задача?
В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. Найти углы треугольника.
В параллелограмме ABCD точки К и L — середины сторон ВС и CD. Найти |АО|, если \АК\ = 6, \AL\ = 3, а угол КАЬ = тг/3.
Длины сторон треугольника связаны соотношением а? + Ь2 = 5с2. Доказать, что две медианы треугольника перпендикулярны.
Длины соседних сторон параллелограмма относятся как т : п, а угол между этими сторонами равен а. Найти угол между диагоналями параллелограмма.
В выпуклом четырехугольнике сумма квадратов двух противоположных сторон равна сумме квадратов двух других противоположных сторон. Найти угол между диагоналями четырехугольника.
В прямоугольной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, а отношение длин оснований равно т : п (т > > п). Найти:
отношение длин боковых сторон;
отношение длин диагоналей;
величину острого угла трапеции.
Доказать, что если в треугольнике равны длины двух медиан, длины двух высот или длины двух биссектрис, то этот треугольник равнобедренный.
Пусть М — точка пересечения медиан треугольника АВС. Доказать, что \АМ\2 + |ВМ|2 + |СМ|2 = (|ЛВ|2 + + |ВС|2 + |ЛС'|2)/3.
Длины ребер AAi, АВ и AD параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ равны соответственно а, 6, с. Величины углов между ними ZBAD^ ZA±AD и ZA^AB равны соответственно а, /3, у. Найти длину диагонали АС г.
Дан произвольный тетраэдр ABCD. Доказать: если перпендикулярны ребра АВ и CD и ребра АС и BD. то ребра ВС и AD также перпендикулярны.
Даны два отрезка АВ и CD (вообще говоря, в пространстве). Доказать, что отрезки перпендикулярны, если | ЛС|2 + |ВВ|2 = |ЛВ|2 + \ВС\2. Верно ли обратное утверждение?
В правильном тетраэдре ABCD точки М и Р — середины ребер AD и CD соответственно, точки N и Q — центры граней BCD и АВС соответственно. Найти угол между прямыми MN и PQ.
Длина ребра куба ABCD A\B\C\D\ равна а. Точка Р — середина ребра CCi, точка Q — центр грани АА^В^В. От-
резок MN с концами на прямых AD и А^В^ пересекает прямую PQ и перпендикулярен ей. Найти длину этого отрезка.
В правильном тетраэдре АВ CD точки Е и F являются серединами ребер AD и ВС соответственно. На ребре CD взята точка N, на отрезке ЕЕ — точка М так, что ZMNC = 45°, ZNME = arccos(2/3). В каком отношении точки М и N делят отрезки ЕЕ и CD?
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF (S — вершина) длина стороны основания равна 2. Вершины К и М ромба KLMF лежат на ребрах АВ и SD соответственно, и \КМ\ = 3, а отрезок KL пересекает ребро SB. Найти объем пирамиды.
§ 3. Векторное и смешанное произведения векторов
Найти векторное произведение векторов а и Ь, заданных своими координатами:
а(3, -1, 2), Ь(2, -3, -5);
а(2, -1, 1), Ь(-4, 2, -2);
а(6, 1, 0), Ь(3, -2, 0).
Упростить выражения:
[а + b, а-Ь];
[а — Ь + с/2, — а + 2Ь — 5с].
Доказать, что векторное произведение не изменится, если к одному из сомножителей прибавить вектор, коллинеарный другому сомножителю.
Векторы а и b не коллинеарны. При каких значениях скаляра А коллинеарны векторы Ла + b и За + ЛЬ?
Векторы ex, е2, ез образуют:
ортонормированный правый базис;
ортонормированный левый базис;
ортогональный правый базис.
Выразить векторные произведения [ei, 62], [б2, 63], [ез, ei] через векторы ei, 62, 63.
Известно, что а = [b, с], b = [с, а], с = [а, Ь]. Найти длины векторов а, Ь, с и углы между ними.
Решить задачи: 1) 2.34; 2) 2.35, дополнительно потребовав, чтобы ориентация тройки векторов а, Ь, с совпадала с ориентацией ортонормированного базиса, в котором заданы координаты векторов.
На векторах а(2,3,1) и Ь(—1,1,2), отложенных из одной точки, построен треугольник. Найти:
площадь этого треугольника;
длины трех его высот.
(р). Длины базисных векторов ei и е2 общей декартовой системы координат на плоскости равны соответственно 3 и 2, а угол между ними равен 30°. В этой системе координат даны координаты трех последовательных вершин параллелограмма: (1,3), (1,0) и (—1,2). Найти площадь параллелограмма.
Доказать, что площадь выпуклого четырехугольника ABCD равна половине длины векторного произведения VAC.BDY
Доказать, что сумма векторов, перпендикулярных к граням произвольного тетраэдра, равных по длине площадям этих граней и направленных в сторону вершин, противолежащих этим граням, равна нулю.
Доказать, что для трех неколлинеарных векторов а, Ь, с равенства [а,Ь] = [Ь,с] = [с, а] выполняются тогда и только тогда, когда а + b + с = о.
(а, а) (а,Ь) (a,b) (b,b)(а, а) (а,Ь) (a,b) (b,b)1) |[а,Ь]|2 =1) |[а,Ь]|2 =Доказать тождества:
(а, а) (а,Ь) (a,b) (b,b)
(а, а) (а,Ь) (a,b) (b,b)
1) |[а,Ь]|2 =
1) |[а,Ь]|2 =
[а, [Ь,с]] = Ь(а,с) — с(а,Ь);
3) ([a,b],[c,d]) =3) ([a,b],[c,d]) =(а, с) (a,d) (b,c) (b,d)(а, с) (a,d) (b,c) (b,d)
3) ([a,b],[c,d]) =
3) ([a,b],[c,d]) =
(а, с) (a,d) (b,c) (b,d)
(а, с) (a,d) (b,c) (b,d)
Даны а, /3, у — плоские углы трехгранного угла. Найти его двугранные углы.
Даны два вектора а и b такие, что а^ 0, (а,Ь) = 0. Выразить через а и b какой-нибудь вектор х, удовлетворяющий уравнению [х,а] = Ь.
Объяснить геометрический смысл всех решений векторного уравнения [х,а]=Ь, а также его частного решения, коллинеарного вектору [а, Ь].
Из одной точки отложены четыре вектора a, b, с, d. Вектор d имеет длину 1 и образует с некомпланарными векторами а, Ь, с:
равные острые углы; 2) равные тупые углы. Выразить вектор d через векторы а, Ь, с.
Из одной точки отложены четыре вектора а(—1,1, — 1), Ь(—1,1,1), с(5,— 1,— 1) и d. Вектор d имеет длину 1 и образует с векторами а, Ь, с равные острые углы. Вычислить координаты вектора d.
Найти смешанное произведение векторов а, Ь, с, заданных своими координатами:
а(1,-1,1), Ь(7,3,-5), с(—2,2,—2);
а(3,5,1), Ь(4,0,-1), с(2,1,1);
а(2,1,0), Ь(3,4,-1), с(—1,—3,1);
а(1,2,3), Ь(5,-2,1), с(2,1,2).
Проверить, компланарны ли векторы, заданные своими координатами в произвольном базисе:
а(2,3,5), Ь(7,1,-1), с(3,-5,-11);
а(2,0,1), Ь(5,3,-3), с(3,3,10).
Векторы а, Ь, с некомпланарны. При каких значениях скаляра А компланарны векторы а + 2Ь + Ас, 4а + 5Ь + 6с, 7а + 8Ь + А2с?
Три некомпланарных вектора а, Ь, с отложены из одной точки. Найти:
объем треугольной призмы, основание которой построено на векторах а и Ь, а боковое ребро совпадает с вектором с;
объем тетраэдра, построенного на векторах а, Ь, с.
Даны точки А (2, 1, -1), В(3, 0, 2), С (5, 1, 1), D(0, — 1, 3), являющиеся вершинами тетраэдра. Найти:
объем тетраэдра;
длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины С.
Длины базисных векторов ei, е2, ез в пространстве равны соответственно 1, 2, V2, а углы между ними равны: Z(ei, 62) = 120°, Z(ei, ез) = 45°, Z(e2, ез) = 135°. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах, имеющих в этом базисе координаты (—1,0,2), (1,1,3), (2,—1,1).
Даны неколлинеарные векторы а, b и скаляр р.
Найти какой-нибудь вектор х, удовлетворяющий уравнению (х,а,Ь) = р.
Объяснить геометрический смысл всех решений уравнения (х, а, Ь) = р, а также его частного решения, ортогонального к векторам а, Ь.
Доказать тождества:
(a,b,c)2 + |[[a,b],c]|2= |[а,Ь]|2- |с|2;
[[a,b], [с, d]] = c(a,b,d) — d(a,b,c);
d(a,b,c) = a(b,c,d) + b(c,a,d) + c(a,b,d);
([a,b],[b,c],[c,a]) = (a,b,c)2;
5) (a,b,c)[x,y] =5) (a,b,c)[x,y] =a b c(a,x) (b,x) (c,x)(a,y) (b,y) (c,y)a b c(a,x) (b,x) (c,x)(a,y) (b,y) (c,y)
5) (a,b,c)[x,y] =
5) (a,b,c)[x,y] =
a b c(a,x) (b,x) (c,x)(a,y) (b,y) (c,y)
a b c(a,x) (b,x) (c,x)(a,y) (b,y) (c,y)
(a,b,c)(x,y,z) = (a,y) (b,y) (c,y) .
Доказать, что проекция вектора b на прямую, перпендикулярную вектору а, равна [а, [Ь,а]]/|а|2.
Доказать, что:
если векторы [а, Ь], [Ь,с], [с, а] компланарны, то векторы а, Ь, с компланарны;
если векторы [а,Ь], [Ь,с], [с, а] компланарны, то они кол
линеарны.
(р). Две тройки векторов ai, а2, аз и bi, b2, Ьз называются взаимными, если (а*,ЬД = 0 при г ^ Д (a^b^) = 1.
Доказать, что для существования тройки bi, b2, Ьз, взаимной к ai, а2, аз, необходимо и достаточно, чтобы векторы ai, а2, аз были некомпланарны;
выразить в этом случае векторы bi, b2, Ьз через векторы ai, а2, аз.
Доказать, что если векторы ai, а2, аз образуют базис, то векторы взаимной тройки образуют базис той же ориентации (базис, взаимный к базису ai, а2, аз).
Для тройки векторов аДЗД, 1), а2(—1,1,2), аз(1,2,1) найти взаимную тройку (см. задачу 3.29).
Решить систему векторных уравнений в пространстве: (х,а) =р, (x,b) = q, (х,с) = s (векторы а, Ь, с некомпланарны). Геометрическая интерпретация решения дается в задаче 2.33.
ТочкаМ лежит на ребре BBi куба ABCDA^B^CyD^ причем \ВМ\ : |MBi| = 2 : 1. Длина ребра куба равна а. Найти расстояние между прямыми СВ\ и MD.
Доказать, что площадь треугольника, составленного из медиан треугольника АВС равна 3/4 площади треугольника АВС.
В треугольнике АВС через точку Н на стороне А С проведена прямая параллельно стороне В С до пересечения со
стороной АВ в точке М. Площадь треугольника ВНМ в 4,5 раза меньше площади треугольника АВС. Найти отношение \АМ\ : \МВ\.
Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции, если длина высоты ее равна h.
Площадь трапеции ABCD равна S, отношение длин оснований |АО| : |В(7| = 3:1. Отрезок MN параллелен стороне CD и пересекает сторону АВ. При этом \АМ\ : |£W| = 3:2, |M^| : |CD| = 1 : 3; отрезок АМ параллелен отрезку BN. Найти площадь треугольника BN С.
Точка М — середина бокового ребра AAi параллелепипеда ABCDAiBiCiDi. Прямые BD, MD\ и AiC попарно перпендикулярны. Известны длины отрезков: |BD| = 2а, Д1С| = 4а, |ВС| = За/2. Найти длину высоты параллелепипеда.
Доказать, что любая плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся ребер произвольного тетраэдра, делит этот тетраэдр на две одинаковые по объему части.
В правильном тетраэдре ABCD проведены два сечения, параллельные ребрам А С и BD. Найти длину ребра тетраэдра, если площади сечений равны Si и S2, а расстояние между секущими плоскостями равно d.
Доказать, что все четыре грани произвольного тетраэдра равновелики тогда и только тогда, когда они конгруэнтны.
Замена базиса и системы координат
На плоскости даны два базиса ei, е2 и е^, е^. Векторы второго базиса имеют в первом базисе координаты (—1,3) и (2,-7) соответственно.
Найти координаты вектора в первом базисе, если известны его координаты d^ d2 во втором базисе.
Найти координаты вектора во втором базисе, если известны его координаты од, а^ в первом базисе.
Найти координаты векторов ei, €2 во втором базисе.
В пространстве даны два базиса ei, 02, €3 и е^, е^, е^. Векторы второго базиса имеют в первом базисе координаты (1,1,1), (—1,—2,—3), (1,3,6) соответственно.
Найти координаты вектора в первом базисе, если известны его координаты d^ d^ d^ во втором базисе.
Найти координаты вектора во втором базисе, если известны его координаты од, а^, ад в первом базисе.
Найти координаты векторов ei, е2, ез во втором базисе.
На плоскости даны две системы координат О, ei, е2 и О', е'х, е^. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты (—1,3), а базисные векторы второй системы имеют в базисе первой системы координаты (2,3) и (1,1) соответственно.
Найти координаты точки в первой системе, если известны ее координаты ж', у’ во второй системе координат.
Найти координаты точки во второй системе, если известны ее координаты ж, у в первой системе координат.
Найти координаты точки О во второй системе и координаты векторов ei, е2 в базисе второй системы координат.
В пространстве даны две системы координат О, ei, е2, ез и О', е'х, ©2, е^. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты (1,1,2), а базисные векторы второй системы координат имеют в базисе первой системы координаты (4,2,1), (5,3,2), (3,2,1) соответственно.
Найти координаты точки в первой системе координат, если известны ее координаты ж', у* z’ во второй системе.
Найти координаты точки во второй системе, если известны ее координаты ж, у, z в первой системе.
Найти координаты точки О во второй системе координат и координаты векторов ei, е2, ез в базисе второй системы.
Координаты ж, у каждой точки плоскости в системе координат О, ei, ©2 выражаются через координаты ж', у’ этой же точки в системе О', е'х, е^ формулами ж = 2ж' — у’ + 5, ?/ = Зж' + У+ 2.
Выразить координаты ж', у* через координаты ж, у.
Найти координаты начала О и базисных векторов ei, е2 первой системы координат во второй системе.
Найти координаты начала О' и базисных векторов е'х, ©2 второй системы координат в первой системе.
Координаты х, у, z каждой точки пространства в системе координат О, ei, ©2, ез выражаются через координаты ж', у* z’ этой же точки в системе О', е'х, е^, е^ формулами х = ж' + у’ + z’ - 1, у = -ж' + z’ + 3, Z = -ж' - у’ - 2.
Выразить координаты ж', у1 z1 через координаты ж, у. z.
Найти координаты начала О и базисных векторов ei, е2, ез первой системы координат во второй системе.
Найти координаты начала О' и базисных векторов е'1? е^ ©з второй системы в первой системе.
Найти координаты вектора в базисе еД2,3), ©2(3,4) на плоскости, если известны его координаты а^, а^ в базисе е'(1,-1), е'(2,-3).
Найти координаты вектора в базисе ©1(1,3,2), ©2(—1,1,0), ©з(2,—1,1) в пространстве, если известны его координаты q'x, а^ с^з в базисе е'х(—1,0,2), ©Д!,!,!), ©з(4,3,—1).
Найти координаты точки в системе координат 0(2, —1), ©1(1,5), ©2(—1,4) на плоскости, если известны ее координаты ж', р’ в системе координат О'(3,2), ©Д1,—1), е2(4,2).
Найти координаты точки в системе координат 0(1,3, 3), ©1(3,3,1), ©2(3,5,2), ©з(1,2,1) в пространстве, если известны ее координаты ж', р^ г1 в системе координат О'(—1,0,2), ©'1(1,-2,1), е'(4,2,1),е'(2,-1,3).
(р). В параллелограмме ABCD точка Е лежит на диагонали ВВ, причем |BS| : |FD| = 1:2. Найти координаты точки плоскости в системе координат Л, АВ, АВ, если известны ее координаты ж', р’ в системе координат Е, ЕС, ЕВ.
В параллелограмме ABCD точка Е лежит на стороне ВС, а точка F — на стороне АВ, причем |BS| : |BG| = = 1:4, |BF| : |AF| =2:5. Найти координаты точки плоскости в системе координат С, СЕ, СВ^ если известны ее координаты ж', р* в системе координат Е, ЕЕ, ЕР.
В треугольнике АВС точка В лежит на стороне В С, а точка Е лежит на продолжении стороны А С за точку С, причем |BD| : |FC| = 1:2, |А(7| : |CF| =3:1. Найти координаты точки плоскости в системе координат Л, АВ, АС, если известны ее координаты ж', р* в системе координат В, В А, BE.
В треугольнике АВС точка В лежит на стороне А С, а точка Е — на отрезке ВВ, причем |AD| : |А(7| = 1:3, |5F| : |FF| = 2:3. Найти координаты точки плоскости в системе координат Л, АВ, АВ, если известны ее координаты ж', р* в системе координат С, СВ, СЕ.
Дан правильный шестиугольник ABCBEF. Найти координаты точки плоскости в системе координат Л, АВ, AF, если известны ее координаты ж', р’ в системе координат С, СВ, СЕ.
В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке S, а длины оснований В С и АВ относятся как 2:3. Найти координаты точки плоскости в системе координат Л, АВ, АВ, если известны ее координаты ж', у1 в системе координат Е, ЕА, ЕВ.
В трапеции ABCD длины оснований В С и АВ относятся как 3:4, точка Е является серединой основания АВ, а продолжения боковых сторон пересекаются в точке F. Найти координаты точки плоскости в системе координат Е, ЕВ, ЕС, если известны ее координаты ж', у’ в системе координат F, ЕВ, ЕС.
В основании призмы АВС В А\В\С\Р\ лежит ромб с острым углом А, равным 60°. Точка К лежит на продолжении ребра АВ за точку В, причем угол АРК прямой. Найти координаты точки пространства в системе координат А, АВ, АВ, AAj, если известны ее координаты ж', у’, ^' в системе координат К, КА, КВ, КСЪ
В треугольной призме АВСА\В\С\ точка М — точка пересечения медиан грани А\В\С\. Найти координаты точки пространства в системе координат А, АВ, АС, АВ\, если известны ее координаты ж', у’, F в системе координат Ai, AiB, АТС, АТМ.
В тетраэдре АВСВ точка М — точка пересечения медиан грани ВС В. Найти координаты точки пространства в системе координат А, АВ, АС, АВ, если известны ее координаты ж', у’, F в системе координат М, МВ, МС, МА.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCBEF с вершиной S точка М является центром основания. Найти координаты точки пространства в системе координат А, АВ, AF, AS, если известны ее координаты ж', у*, г1 в системе координат S, SC, SB, SM.
Дан параллелепипед АВС В А\В\С\В\. Найти координаты точки пространства в системе координат А, АС, АВ\, AAj, если известны ее координаты ж', у*, г1 в системе координат Ву, BiB, BiCi, BiB.
Координаты ж, у каждой точки плоскости в первой системе координат выражаются через координаты ж', у' этой же точки во второй системе координат соотношениями ж = = ацж' + «12^ + аю, У = «21^ + а^у’ + «20- Первая система координат является прямоугольной. При каком необходимом и
достаточном условии вторая система также является прямоугольной?
Координаты ж, р. % каждой точки пространства в первой системе координат выражаются через координаты ж', р’ г’ этой же точки во второй системе координат соотношениями
ж = «цж' + «12^ + «13^ + «ю,Р = а21ж' + «22^' + «23^' + «20,% = «31ж' + «32^ + «33^' + «30-
Пусть первая система координат является прямоугольной. При каком необходимом и достаточном условии вторая система также является прямоугольной?
При каком необходимом и достаточном условии ориентация базисов первой и второй систем одинакова?
На плоскости даны две прямоугольные системы координат О, ei, е2 и О', е'1? е'2. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты жо, т/о, а векторы е'х и е2 получаются из векторов ei и е2 соответственно поворотом на один и тот же угол р) в направлении кратчайшего поворота от ei к е2.
Найти координаты точки в первой системе координат, если известны ее координаты ж', р* во второй системе.
Найти координаты точки во второй системе координат, если известны ее координаты ж, р в первой системе.
Найти координаты точки О во второй системе координат.
На плоскости даны две прямоугольные системы координат О, ei, е2 и О', е'х, е'2. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты 1,3, а векторы е'х и е2 получаются из векторов ei и е2 соответственно поворотом на один и тот же угол р) в направлении кратчайшего поворота от ei к е2. Найти координаты точки в первой системе координат, если известны ее координаты ж', р* во второй системе, считая угол ср равным:
1) 60°; 2) 135°; 3) 90°; 4) 180°.
На плоскости даны две прямоугольные системы координат О, ei, е2 и О', ех, е2. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты жо, ро^ а векторы е'х и — е2 получаются из векторов ei и е2 соответственно поворотом на один и тот же угол р) в направлении кратчайшего поворота от ei к е2.
Найти координаты точки в первой системе координат, если известны ее координаты ж', у* во второй системе.
Найти координаты точки во второй системе координат, если известны ее координаты ж, у в первой системе.
Найти координаты точки О во второй системе координат.
В прямоугольном треугольнике АВС длины катетов которого равны |АВ| = 3 и |ВС| =4, точка D является основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла. Векторы ex, е2, е'х, е'2 имеют длину 1, причем ei сонаправлен с ВА^ е2 сонаправлен с В С е'х сонаправлен с АСе^ сонаправлен с DB. Найти координаты точки плоскости в системе координат В, ei, е2, если известны ее координаты ж', у* в системе координат D, e'i, е^.
В пространстве даны две прямоугольные системы координат О, ei, е2, ез и О', е'х, е^, е^. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты —1,3,5. Вектор е'х образует углы, равные 60°, с векторами ei и е2 и острый угол с вектором ез. Вектор е'2 компланарен с векторами ei и 62 и образует с вектором е2 острый угол. Тройки ei, е2, ез и ех, е2, ез одинаково ориентированы. Найти координаты точки пространства в первой системе координат, если известны ее координаты ж', у*г1 во второй системе.
В пространстве даны две прямоугольные системы координат О, ei, е2, ез и О', ех, е2, е^. Точки О и О' различны, а концы векторов ег и е', отложенных соответственно из точек О и О', совпадают (г = 1,2,3). Найти координаты точки пространства в первой системе координат, если известны ее координаты ж', у*г1 во второй системе.
Глава 2
ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ
В этой главе уравнения прямой на плоскости, прямых и плоскостей в пространстве используются в векторной и координатной форме. Основные понятия: направляющий вектор прямой, направляющие векторы плоскости, нормальный вектор прямой на плоскости, нормальный вектор плоскостщ пучок прямых на плоскостщ пучок и связка плоскостей, а также параллельность, перпендикулярность, углы, расстояния и проекции. Всюду, кроме задач 6.33 и 6.34, под проекцией понимается ортогональная проекция.
Прямая на плоскости
Прямая линия на плоскости может быть задана:
векторным уравнением в параметрической форме
г = г0 + а/; (а ^ о),(1)
где а — направляющий вектор прямой, г о — радиус-вектор фиксированной точки на прямой;
нормальным векторным уравнением
(г —го,п)=О (п/о),(2)
где п — нормальный вектор прямой;
общим уравнением в декартовой системе координат
Ах^Ву^С = 0 (A2 + B2^V).(3)
Уравнение (2) можно записать в виде
(r,n) = D.
Если уравнение (1) записать в общей декартовой системе координат, то получим параметрические уравнения прямой на плоскости
x = x0^at, y = yQ^pt.
При а ^ О, Р ф 0 исключением параметра t параметрические уравнения прямой приводятся к канонической форме
а Р
При а = 0 каноническое уравнение прямой принимает вид X = ж0, при /3 = 0 — вид у = у0.
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки, может быть записано в векторной форме
г = Г1 + (г2 - Г1)#
и в координатной форме
х-хх = р-рхХ2 - Xi Рз — РХ*
Здесь ri и г2 — радиус-векторы данных точек, a яд, р^ и х^^ рз — их декартовы координаты. При яд = яд или р^ = р^ уравнение прямой принимает соответственно вид х = х\ или р = р^.
Для данной прямой линии ее направляющий и нормальный векторы определены с точностью до умножения на ненулевое число. Направляющим вектором прямой, заданной общим уравнением (3), является, например, вектор с координатами —В^А. Если система координат прямоугольная, то нормальным вектором прямой (3) является, например, вектор с координатами А^В.
Если прямая задана общим уравнением (3), то для координат всех точек, лежащих по одну сторону от нее («в положительной полуплоскости»), выполнено неравенство Ах + Вр + С > 0, а для координат всех точек, лежащих по другую сторону («в отрицательной полуплоскости»), — неравенство Ах + Вр + С < 0.
Расстояние от точки с радиус-вектором щ до прямой, заданной векторным уравнением (2), равно | (тд — го,п)|/|п|. Расстояние от точки М(яд,?/1) до прямой, заданной уравнением (3) в прямоугольной системе координат, равно
| Ахг + Byj + С | / ^Л2 + В2.
Векторные уравнения прямых (5.1—5.5)
При каком необходимом и достаточном условии прямые г = ri + аД и г = Г2 + а2^:
пересекаются в единственной точке;
параллельны, но не совпадают;
совпадают?
Найти угол между прямыми, заданными своими уравнениями:
г = ri + аД и г = г2 + а2£;
(r,ni) = Dx и (r,n2) = D2.
Две прямые заданы векторными уравнениями (г,п) = = D и г = го + а/;, причем (а, п) Д 0. Найти радиус-вектор точки пересечения прямых.
Даны точка М^ с радиус-вектором г о и прямая (г,п) = = D. Найти радиус-векторы:
проекции точки Mq на прямую;
точки Mi, симметричной с Mq относительно данной прямой.
Найти расстояние от точки Mo(rg) до прямой, заданной уравнением:
(r,n) = D; 2) r = ri+a/\
В задачах 5.6—5.21 система координат общая декартова
Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, которая:
имеет угловой коэффициент к;
задана общим уравнением Ах + By + С = 0.
1) Записать уравнение прямой х = 2 + 3/;, у = 3 + 2t в виде Ах + By + С = 0.
Записать уравнение прямой Зж — 4у + 4 = 0 в параметрической и канонической формах.
Найти угловой коэффициент прямой х = 2 + 3/;, у = 3 + 2t.
Составить уравнение прямой, проходящей через точку Л(—3,4) и параллельной прямой:
ж — 2т/ + 5 = 0;
. ж- 1 _ уГ2.
)23 7
ж = 2;
у = -1;
ж = 3 + t, у = 4 — 7t.
Составить уравнение прямой, проходящей через две данные точки:
Л(-3,1) и В(1,2);
Л(0,2) и В(-1,0);
Л(2,1) и В(2,-5);
Л(1,-3) и В(3,-3).
Установить, пересекаются, параллельны или совпадают прямые данной пары; если прямые пересекаются, найти координаты точки их пересечения:
ж -3?/-2 = 0и2ж+ ?/-! = 0;
ж + Зу — 1 = 0 и 2 — 2ж — бу = 0;
—ж — у — 3 = 0 и Зж + Зу + 1 = 0:
ж = 1 + 2С у = 1 — t и ж = 2 -t^ у = 2 + t.
При каких а прямые ах — 4у = 6 и ж — ау = 3:
пересекаются; 2) параллельны; 3) совпадают?
При каких а три прямые ах + у=1^ х — у = а, х + у = а? имеют общую точку?
5.13. Точка М лежит на прямой Ах + By + С = 0; вектор ММ\ имеет координаты А^В. Доказать, что точка М^ лежит в положительной полуплоскости относительно прямой с уравнением Ах + By + С = 0.
Точка М(3,2) является центром параллелограмма, а его стороны лежат на некоторых четырех прямых. На каждой из этих прямых расположена одна из точек: P(2,l), Q(4,—1), R(—2,0), S'(1,5). Найти уравнения прямых.
Даны две вершины треугольника (3,-1) и (1,4) и точка пересечения его медиан (0,2). Найти координаты третьей вершины треугольника и составить уравнения его сторон.
Составить уравнение прямой, проходящей через точку Л(1,2) так, что отрезок этой прямой, заключенный между прямыми Зж + у + 2 = 0 и 4х + у — 1 = 0, в точке А делится пополам.
Две медианы треугольника лежат на прямых х + у = = 3и2ж + 3?/ = 1,а точка Л(1,1) является вершиной треугольника. Составить уравнения сторон треугольника.
Точки К(1,— 2), L(3,4) и М(5,0) являются соответственно серединами сторон AD, АВ и ВС четырехугольника ABCD, диагонали которого пересекаются в точке 0(2,2). Найти координаты вершин четырехугольника.
Составить уравнения прямых, проходящих через точку Л(—1,5) и равноудаленных от двух точек В(3,7) и С(1,—1).
(р). Составить уравнения прямых, равноудаленных от трех точек А(3, —1), В(9,1) и О(—5,5).
Через вершину С параллелограмма АВ CD проведена прямая, пересекающая продолжения сторон АВ и AD соответственно в точках К и L таких, что \АК\/\АВ\ = 5|AL|/|AD|. Найти отношение площади параллелограмма к площади треугольника AKL.
В задачах 5.22—5.62 система координат прямоугольная
Указать хотя бы один нормальный вектор прямой, которая:
имеет угловой коэффициент к;
задана общим уравнением Ах + By 4-С = 0.
Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(—3,4) и перпендикулярной прямой:
ж —2у + 5 = 0;
. ж- 1 _ ^ЧН2е
23 7
ж = 2;
?/ = -1;
х = 3 + t, у = 4 — 7t.
Точка Л(3,—2) является вершиной квадрата, а точка М(1,1) — точкой пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон квадрата.
Длина стороны ромба с острым углом 60° равна 2. Диагонали ромба пересекаются в точке М(1,2), причем большая диагональ параллельна оси абсцисс. Составить уравнения сторон ромба.
На прямой 5 ж — у — 4 = 0 найти точку, равноудаленную от точек Л(1,0) и В(—2,1).
Найти расстояние от точки Л(1,—2) до прямой, заданной своим уравнением:
2ж-3?/ + 5 = 0;
4ж - Зу - 15 = 0;
4ж = Зу;
4ж — Зу — 10 = 0;
ж = 7;
у = 9.
Найти расстояние между параллельными прямыми Ах + By + Ci = 0 и Ах + By + С2 = 0.
Составить уравнения прямых, параллельных прямой —2ж + ?/ + 5 = 0 и отстоящих от точки Л(1,—2) на расстояние V20-
Точка А лежит на прямой 2ж —3?/ + 4 = 0. Расстояние от точки А до прямой Зу = 4ж равно 2. Найти координаты точки А.
Точка А лежит на прямой х + у = 8, причем А равноудалена от точки В(2,8) и от прямой ж — Зу + 2 = 0. Найти координаты точки А.
Найти координаты всех точек, равноудаленных от точки А(—1,1) и прямых у = —ж и у = ж + 1.
Найти множество точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух пересекающихся прямых А1Ж + Biy + Ci = 0 и Л2Ж + В^у + С2 = 0 есть постоянная величина к > 0.
(р). Даны точка Л(1,2) и прямая Зж — у + 9 = 0. Найти координаты:
проекции точки Л на прямую;
точки В, симметричной с Л относительно прямой.
Составить уравнение прямой, симметричной прямой Зж — у + 5 = 0 относительно прямой х + у = 1 •
Даны уравнения сторон треугольника: х + 2у + 1 = 0, 2ж — у — 2 = 0, 2ж + ?/ + 2 = 0. Составить уравнение высоты, опущенной на третью сторону.
Точка Н(—3,2) является точкой пересечения высот треугольника, две стороны которого лежат на прямых у = 2ж и у = — х + 3. Составить уравнение третьей стороны.
Даны координаты двух вершин треугольника Л (1,3), В(2,5) и точки пересечения его высот В(1,4). Найти координаты третьей вершины треугольника и составить уравнения его сторон.
у — 2~—-—. Составить уравненияу — 2~—-—. Составить уравненияТочка Л(1,2) является серединой одного из оснований прямоугольной трапеции, а точка В(3,-1) — серединой средней линии. Боковая сторона, перпендикулярная основа
у — 2~
—-—. Составить уравнения
у — 2~
—-—. Составить уравнения
ниям, лежит на прямой —- остальных сторон трапеции.
Точка Л (—1,4) — вершина ромба ABCD, диагонали которого пересекаются в точке М(2,3). Точка Р(3,1) лежит на стороне АВ. Составить уравнения сторон ромба.
Составить уравнения сторон прямоугольного треугольника, если С(—3,4) — вершина прямого угла, М(1,2) — середина гипотенузы, а точка 77(3,3) лежит на гипотенузе.
В треугольнике АВС точки Mi(2,3), М2(0,7) и Мз(—2,5) — середины сторон ВС, С А и АВ. Составить уравнение прямой АВ. Найти угол между медианами АМ\ и В М2.
В параллелограмме АВ CD вершины А и С имеют координаты (1,2) и (7,10) соответственно, 77(3,0) — основание высоты, опущенной из В на сторону AD. Составить уравнение прямой AD. Найти угол между прямыми AD и АВ.
В параллелограмме ABCD точки К(—1,2), L(3,4) и М(5,6) — середины сторон соответственно АВ, ВС и CD. Составить уравнение прямой ВС. Найти угол между прямыми AL и АМ.
В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС сторона CD перпендикулярна основаниям, точки А и С имеют координаты соответственно (5,2) и (—2,3), а продолжения боковых сторон пересекаются в точке Р(—3,6). Составить уравнение прямой AD. Найти угол между прямыми AD и АВ.
Точки /С(1,3) и L(—1,1) являются серединами оснований равнобедренной трапеции, а точки Р(3,0) и Q(—3,5) лежат на ее боковых сторонах. Составить уравнения сторон трапеции.
Найти угол между прямыми:
2х + у — 1 = 0 и у - ж = 2;
ж = 4 и 2ж — у — 1 = 0;
х ж — 2 _ ?/— 1х-1 _уГ2.
3 “ -4 И 4 “ 3 ’
4х £-1 = у-З ж-4 =
12-2-4’
х = ‘ЗГ у = — 1 + 21 и ж = 1 — 21. у = —5 +t.
Составить уравнения прямых, проходящих через точку Л(3,1) и образующих с прямой Зж = ?/ + 2 углы в 45°.
Точка Л(2,0) является вершиной правильного треугольника, а противолежащая ей сторона лежит на прямой ж + у — 1 = 0. Составить уравнения двух других сторон.
Основание равнобедренного треугольника лежит на прямой ж + 2у = 2, а одна из боковых сторон — на прямой у + 2ж = 1. Составить уравнение другой боковой стороны треугольника, зная, что ее расстояние от точки пересечения данных прямых равно 1 / V5.
Рассматривается тот угол между прямыми у = ж + 1 и у = 7ж + 1, внутри которого лежит точка Л(1,3). Найти координаты точки В, лежащей внутри этого угла и удаленной от данных прямых соответственно на расстояния 4д/2 и д/2-
Составить уравнения сторон угла с вершиной в точке В. В угол вписана окружность радиуса R с центром в точке А:
Л(-1,3), В(-4,1), В = 2;
Л(1,-2), В(-2,-1), В = 3.
(р). Составить уравнение биссектрисы того угла между прямыми ж — 7 у = 1 и ж + у = — 7, внутри которого лежит точка Л(1,1).
Составить уравнение биссектрисы острого угла между прямыми ж — 7у = 1 и ж + у = —7.
Составить уравнения биссектрис внутренних углов треугольника, стороны которого заданы уравнениями Зу = 4ж, 4у = Зж, Ьх + 12г/ = 10.
Вершинами треугольника являются точки А(20,15), В(—16,0), С(—8,— 6). Найти длины радиусов и координаты центров вписанной и описанной окружностей.
Даны координаты двух вершин треугольника Л(2, — 1), В(1,5) и точки пересечения его биссектрис £(3,0). Составить уравнения сторон треугольника.
Точки Л(1,2) и В (—3,0) — вершины равнобедренного треугольника АВС^ углы А и В при основании равны arccos(l/V5)- Найти координаты вершины С, зная, что она лежит по ту же сторону от прямой АВ, что и точка М(2,3).
Сторона АВ треугольника АВС задана уравнением х — у + 1 = 0, сторона ВС — уравнением 2ж —3?/ + 5 = 0, сторона АС — уравнением Зх — 4у + 2 = 0. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину С так, что точка пересечения этой прямой со стороной АВ удалена от стороны АС на расстояние 1/5.
Составить уравнения прямых, образующих угол arccos(l/V5) с прямой ж+ 2?/ —1 = 0, и удаленных от точки Л (1,1) на расстояние 1.
Найти радиус и координаты центра окружности, проходящей через точку Л(—1,3) и касающейся прямых 7ж + у = 0 иж — г/ + 8 = 0.
Гипотенуза прямоугольного треугольника лежит на прямой 2ж + ?/ — 2 = 0, а точка С(3, — 1) является вершиной прямого угла. Площадь треугольника равна 9/4. Составить уравнения прямых, на которых лежат катеты.
Замена системы координат (5.63—5.67)
Даны две системы координат О, ei, е2 и О', е'х, е^. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты «ю, «20) а базисные векторы второй системы имеют в базисе первой системы координаты «ц, «21 и «12, «22 соответственно. В первой системе координат прямая задана уравнением Ах + By + С = 0. Составить уравнение этой прямой во второй системе.
На плоскости даны три точки А (2, 3), В (1, 4), С (—1,2) и прямая ж —5?/ + 7 = 0. Составить уравнение этой прямой в новой системе координат Л, АВ. АС.
Прямые 3?/ = ж + 2 и Зж + 2?/ —5 = 0 являются соответственно осями О*^ и О* у* новой системы координат, а точка Л (—1,2) имеет в новой системе координаты (1,1).
Найти координаты точки в исходной системе координат, если известны ее координаты ж', у1 в новой системе.
Составить в новой системе координат уравнение прямой, которая в исходной системе задается уравнением 5ж — 4у + 7 = 0.
В прямоугольной системе координат О, ei, 02 прямая задана уравнением д/Зж + 2у — 6 = 0. Начало новой прямоугольной системы координат находится в точке О’(—2,3), а базисные векторы е^ и е^ получаются из векторов ei и 02 соответственно поворотом на угол 30° в направлении кратчайшего поворота от ei к 62. Составить уравнение данной прямой в системе координат О', е'17 е^.
Две взаимно перпендикулярные прямые, заданные в прямоугольной системе координат уравнениями 2ж — у + 1 = 0 и ж + 2у - 7 = 0, являются соответственно осями О'ж' и О* у* новой прямоугольной системы координат, а точка Л (2,0) имеет в новой системе положительные координаты.
Найти координаты точки в исходной системе координат, если известны ее координаты ж', у* в новой системе.
Составить в новой системе координат уравнение прямой, которая в исходной системе задается уравнением 4ж + у — 1 = 0.
Плоскость и прямая в пространстве
Плоскость может быть задана:
векторным параметрическим уравнением
r = r0 + au + br ([a,b]^o),(1)
где а, b — направляющие векторы плоскости, го — радиус-вектор фиксированной точки плоскости;
нормальным векторным уравнением
(г-г0,п)=0 (п/о),(2)
где п — нормальный вектор плоскости;
обидим уравнением в декартовой системе координат
АхГВуГСгГВ = 0 (А2 ГВ2 ГС2 ^0).(3)
Уравнение (2) можно записать в виде
(r,n) = D,
а уравнение (1) — в виде
(г — г0,а,Ь) = 0.(4)
Если уравнение (1) записать в общей декартовой системе координат, то получим параметрические уравнения плоскости
Ж = ж0 + U1U + «2^, У = Уо + Pin + Р^ г = г0 + 71 и + 72^.
Уравнение (4) в координатной форме равносильно уравнению
= 0.= 0.ж-ж0 у -у0 ^-^о
= 0.
= 0.
«1 Pi 71
«2^272
Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой, можно записать в векторной форме
(г-Го, Щ - Го, г2 -г0) =0
и в координатной форме
- ^0гх -г0^2-^0- ^0гх -г0^2-^0= 0.= 0.ж - жо у - уо
- ^0
гх -г0
^2-^0
- ^0
гх -г0
^2-^0
= 0.
= 0.
^1 - ^о Ух - Уо
Ж2 - Жо У2 - Уо
Здесь х^ У-и г%1 ^ = 0,1,2, — декартовы координаты данных точек, а г^ — соответствующие радиус-векторы.
Всякий вектор а(а,^,7), компланарный плоскости, заданной в общей декартовой системе координат уравнением (3), удовлетворяет уравнению Аа -\- ВР -\- С^у = 0. Если система координат прямоугольная, то нормальным вектором плоскости (3) является, например, вектор с координатами А, В, С.
Если плоскость задана уравнением (3), то для координат всех точек, лежащих по одну сторону от нее («в положительном полупространстве»), выполняется неравенство Ах-V By ^ Сz ^ D > 0, а для координат всех точек, лежащих по другую сторону («в отрицательном полупространстве»), — неравенство Ах + By + Сz + D < 0.
Расстояние от точки с радиус-вектором ri до плоскости, заданной уравнением (2), равно |(ri — Го,п)|/|п|. Расстояние от точки Мрс^у^,^i) до плоскости, заданной в прямоугольной системе координат уравнением (3), равно
| лЖ1 + вщ + с^ + d\/ V^Tb^Tcb.
Прямая линия в пространстве может быть задана:
векторным параметрическим уравнением
r = r0 + at (а/о),(5)
где а — направляющий вектор прямой, го — радиус-вектор фиксированной точки прямой;
векторными уравнениями
[г — г0, а] = о (а^о)
или
[г,а] = Ь (а ф о, (а,Ь) = 0), равносильными уравнению (5).
Если уравнение (5) записать в общей декартовой системе координат, то получим параметрические уравнения прямой линии:
ж = ж0 + ^, р^р^р-Ц ^ = ^0 + yt
Исключением параметра t параметрические уравнения приводятся к канонической форме
х-х0 _ р-рр _ ^-^оа р р
Если 7 = 0, то канонические уравнения принимают вид
X - Хр р-рр
= о Z = Zp. а Р
Аналогично записываются уравнения прямой, если а = 0 или Р = 0. Если Р = 7 = 0, то канонические уравнения прямой линии имеют вид р = рр, z = zp. Аналогично записываются канонические уравнения, если другая пара компонент направляющего вектора нулевая.
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки, можно задать в векторной форме
r = r1 + (r2-r1)t
и в координатной форме
Х-Х! _ p-pi _ Z-Z!Х2 -Х1р2- р\ ^2 - ^1 ’
Здесь ri, г2— радиус-векторы данных точек, a (xi,t/i,zi),
(^2,7/2^2) — их декартовы координаты. Если ал = ал, то уравнения р — Pl Z — Z1
прямой принимают вид х = ал, =. Если же ал = х^
Р2 -Pl Z2- ^1
И щ = 7/2, то уравнения прямой запишутся в виде х = ал, р = pi. Аналогично рассматриваются другие случаи совпадения одной или двух координат точек.
Прямую можно задать и как линию пересечения двух непараллельных плоскостей с помощью их уравнений.
Векторные уравнения прямых и плоскостей (6.1—6.12)
Записать уравнение:
плоскости г = го + ап + Ьт; в виде (г, n) = D;
прямой г = го + at в виде [г, а] = Ь;
прямой [г, а] = b в виде г = го + а/;;
прямой (г, nJ = Di, г = 1,2, в виде [г,а] = Ь;
прямой (г,nJ = Di, г = 1,2, в виде г = го + at.
Найти необходимое и достаточное условие, при котором ПЛОСКОСТИ (г,П1) = Dy и (г,П2) = D^*
пересекаются по прямой;
параллельны, но не совпадают;
совпадают.
Найти необходимое и достаточное условие, при котором прямые г = ri + аД и г = Г2 + a^t:
пересекаются (т.е. имеют единственную общую точку);
скрещиваются;
параллельны, но не совпадают;
совпадают.
Даны прямая г = rg + a/; и плоскость (r,n) = D. При каком необходимом и достаточном условии:
они пересекаются (имеют единственную общую точку);
они параллельны (не имеют общих точек);
прямая лежит в плоскости?
Найти радиус-вектор точки пересечения:
прямой г = го + at с плоскостью (г, n) = D (если (а, п) ^ ^0);
прямой [г, а] = b с плоскостью (г, n) = D (если (а, п) ^
Точка Mq определяется радиус-вектором гд. Составить уравнения:
прямой, проходящей через точку Mq перпендикулярно плоскости (г,п) = D\
плоскости, проходящей через точку М^ перпендикулярно прямой г = ri + at.
Составить векторное уравнение плоскости, проходящей через прямую г = г о + at и точку Л/ДеД, не лежащую на этой прямой.
Даны точка Mo(rg) и плоскость (r,n) = D. Найти радиус-вектор:
проекции точки М^ на плоскость;
точки М^ симметричной с Mq относительно плоскости.
Даны точка Мд(гд) и прямая г = ri + at. Найти радиус-вектор:
проекции точки М^ на прямую;
точки М^ симметричной с Mq относительно прямой.
Составить уравнения:
проекции прямой г = г о + at. не перпендикулярной плоскости (r,n) = D. на эту плоскость;
прямой, пересекающей прямую г = гх + at под прямым углом и проходящей через точку МДго), не лежащую на данной прямой (перпендикуляра, опущенного из точки Мо(го) на прямую г = ГД + at);
прямой, пересекающей две скрещивающиеся прямые г = ri + ах^ и г = Г2 + a^t и проходящей через точку МДгд), не лежащую ни на одной из этих прямых;
прямой, пересекающей две скрещивающиеся прямые г = гх + ах^иг = Г2 + а2^ под прямыми углами (общего перпендикуляра к этим прямым).
Найти расстояние:
от точки ТИо(го) до плоскости (r,n) = D;
между двумя параллельными плоскостями г = щ + ап + + Ьп и г = Г2 + ап + Ьщ
между двумя параллельными плоскостями (r,n) = Di и (r,n) = D^
от точки ТИо(го) до прямой г = гх + at;
от точки МДгд) до прямой [г, а] = Ь;
между двумя параллельными прямыми г = щ + at и г = r2 + at;
между двумя параллельными прямыми [r,a]=bx и [г, а] = Ь2,
между двумя скрещивающимися прямыми г = гх+ах^и г = г2 + а2£;
между двумя скрещивающимися прямыми [г, ах] = Ьх и [г,а2] =Ь2.
Даны прямая г = го + а/; и плоскость (r,n) = D, не параллельные между собой. Точка М лежит на прямой и удалена от плоскости на расстояние р. Найти радиус-вектор точки М.
В задачах 6.13—6.44 система координат общая декартова
Точка М лежит в плоскости Ах + By + Cz + D = О, вектор MMi имеет координаты (Л,В,С). Доказать, что точка Mi лежит в положительном полупространстве относительно данной плоскости.
1) Зная параметрические уравнения плоскости: ж = 1 + п — ж, у = 2 + и + 2ж, z = — 1 — и + 2ж, составить ее общее уравнение.
Зная общее уравнение плоскости 2ж — Зу + z + 1 = 0, составить ее параметрические уравнения.
Доказать, что направляющий вектор а прямой, заданной в виде пересечения двух плоскостей Адх + В±у + Ciz + +Di = 0, А^х + В^у + C^z + D^ = 0, можно находить по правилу «векторного произведения»
а =а =Bi В^Bi В^С1 С^С1 С^ei +ei +Ci с2Ci с2Л1Л2Л1Л2е2 +е2 +Л1Л2Л1Л2В1 В^В1 В^езез
а =
а =
Bi В^
Bi В^
С1 С^
С1 С^
ei +
ei +
Ci с2
Ci с2
Л1
Л2
Л1
Л2
е2 +
е2 +
Л1
Л2
Л1
Л2
В1 В^
В1 В^
ез
ез
не только в прямоугольной правой, но и в общей декартовой системе координат.
1) Записать уравнения прямой х = 2 + 3t. у = 3 — t, z = 1 + t в виде пересечения двух плоскостей и в канонической форме.
Записать уравнения прямой х — ?/ + 2^ + 4 = 0, —2х + у + -Vz + 3 = 0 в параметрической и канонической форме.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Л(1, — 1, 2) и параллельной плоскости:
х - Зу + 2^ + 1 = 0;2) X = 5;3) у = 4;4) г = 3;
5)ж = 4 —n + щ у=2+м+2щ z = — 1 + 7п + Зи.
Составить уравнения прямой, проходящей через точку Л(1,3,1) и параллельной прямой:
х + у — г + 2 = 0, 2х + Зу + z = 0;
ж + 1 _ у— 2 _ zV2.
)3 - 4 - 21 ’
ж = 2, у = 3;
х = 0, z = 0;
у = -\, z = 2.
Составить уравнения прямой, проходящей через две данные точки:
А(1,3-1)иВ(4)2,1);
А(3,2,5) и В(4,1,5);
А(—1,1,2) и В(5,1,2).
Составить уравнение плоскости, проходящей через три данные точки (если эти точки определяют плоскость):
А(2,1,3), В(-1,2,5), (7(3,0,1);
A(l,-1,3), В(2,3,4), Cf-l,!^);
А(3,0,0), В(0,-1,0), (7(0,0,4);
А(2,1,1), В(2,0,-1), <7(2,4,3);
А(1,1,2), В(2,3,3), (7(-1,-3,0).
Даны две плоскости. Установить, являются ли они пересекающимися, параллельными или совпадающими. Если
плоскости пересекаются, составить канонические уравнения линии пересечения. Плоскости заданы уравнениями:
Зж + у — г + 1 = 0и5ж + Зу + г + 2 = 0;
х + у — 2г + 1 = 0 и 6г — Зж — Зу — 3 = 0;
—х + у + z = 1 и х — у — z = 2]
4)ж = 3 + п + ж, у = 2 — n + ж, z = 3u — 2х и ж = 5 — п, у = 3 + ж, z = п + 2ж.
При каких а плоскости x + ay + z — 1 = 0и ах+ 9у + + ~г + 3 = 0:
пересекаются; 2) параллельны; 3) совпадают?
Проверить, лежит ли данная прямая в плоскости ж — — Зу + г + 1 = 0, параллельна этой плоскости или пересекает ее в единственной точке; в последнем случае найти координаты точки пересечения. Прямая задана уравнениями:
П ^^ = ^~ 1 = Х-
547 ’
ж = 2 + 3t, у = 7 +t. z = 1 +t;
ж — у + 2z = 0, ж + у — 3z + 2 = 0;
Зж - 2у - 1 = 0, 7у - 3z - 4 = 0;
ж = 2, у = 5 +1, z = 4 + 3t.
При каких а прямая — = - = -—-:
1 а — 1
пересекает плоскость За2 ж + ay + z — 4а = 0;
параллельна этой плоскости;
лежит в этой плоскости?
Даны две прямые. Установить, пересекаются они, скрещиваются, параллельны или совпадают. Если прямые пересекаются или параллельны, составить уравнение плоскости, в которой они лежат. Если прямые пересекаются, найти также координаты точки их пересечения. Прямые заданы уравнениями:
ж + z — 1 = 0, Зж + у — г + 13 = 0 и ж — 2у + 3 = 0, у + 2г —8 = 0;
2)ж = 3 + ^ у =—1 + 2^, z = 4 и ж + у —г = 0, 2ж — у + + 2z = 0;
ж = 2 + 4t, у = — 6^, z = —X—3t и ж = 7 —6t, у = 2 + 9t, г = 12^;
ж = 9t, у = 5t, z = — 3 +t и 2ж — Зу — 3z — 9 = 0, ж — 2у + г + 3 = 0;
ж = 1 + 2t. у = 7 +1, z = 3 + 4t и ж = 6 + 3t, у = — 1 — 2t, z = —2 -|-
.26. При каких а прямые
У
а 1'
пересекаются; 2) скрещиваются; 3) параллельны;
совпадают?
Исследовать взаимное расположение трех плоскостей; если существуют точки, одновременно принадлежащие трем плоскостям, найти координаты этих точек. Плоскости за
даны уравнениями:
2ж + Зу — 4г — 1 = 0, —х + Ьу — г — 3 = 0, Зх — Юг/ + 7г = = 0;
х + у — 2г + 1 = 0, —х — у + 2г + 1 = 0, 2х + 2у — 4г = 0;
х + 2у — г — 1 = 0, — 2х — 4у + 2г + 2 = 0, 4 + 4г — 4х — - 8у = 0;
Ьх — 2у + 4 = 0, Зх + г — 5 = 0, 8х — 2у + г + 7 = 0;
Ьх — 2у + 4 = 0, Зх + г — 5 = 0, 8х — 2у + г — 1 = 0.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Л(1,3,0) и параллельной прямым х + у — г + 3 = 0, 2х — ?/ + 5г + 1 = 0и —х + у = 1, Ьх + у — г + 2 = 0.
Составить уравнение плоскости:
х — 1 у + 2 г — 1
проходящей через прямую = —-— =и парал-
„„ ж у-1 г + 132
лельнои прямой — ==;
543
проходящей через прямую х = 3 +t, у = 2 + 5/;, г = — 1 +
+ 3t и параллельной прямой х = 4 — 2/;, у = —8 + £, г = 5 + 21.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Л(—1,1,2) и прямую, заданную уравнениями:
х = 1 + Ы^ у = —1 + С г = 2/;;
х + Ьу — 7г + 1 = 0, Зх — у + 2г + 3 = 0.
6.31. Составить уравнение плоскости, проходящей6.31. Составить уравнение плоскости, проходящейх — 1две параллельные прямые 5г + 3х — 1две параллельные прямые 5г + 3У + 23У + 23г - 11г - 11х — 2и “б-х — 2и “б-через= ^ =3через= ^ =3
6.31. Составить уравнение плоскости, проходящей
6.31. Составить уравнение плоскости, проходящей
х — 1
две параллельные прямые
5
г + 3
х — 1
две параллельные прямые
5
г + 3
У + 2
3
У + 2
3
г - 1
1
г - 1
1
х — 2
и “б-
х — 2
и “б-
через= ^ =
3
через= ^ =
3
1 '
Доказать, что две данные прямые пересекаются и составить уравнение содержащей их плоскости:
х ж + 1 у —2. г —5 ж + 5 у 4-8 г —4
—21 — 4 И 2 — 3 —1 ’
2) х = 1 + ЗС у = — 1 + 4/;, г = 2 + 5/и ,r = 1 - L у = —1 + + 2/;, г = 2 + 4Л
Прямая проектируется на плоскость Oyz параллельно оси Ох. Составить уравнения проекции, если прямая задана уравнениями:
х = 1 + 2Г у = 3/;, г = 1 — /;;
х + у + z — 1 = 0, х + 2у — Зг + 2 = 0.
Прямая проектируется на плоскость х + 2у — Зг + 2 = = 0 параллельно вектору 1(2, 1, — 1). Составить уравнения проекции, если прямая задана уравнениями:
1)ж = 1 + 2^ у = 3t, z = -6-t;
х + у + z — 1 = 0, у — Зг + 4 = 0.
Три грани параллелепипеда лежат в плоскостях х — Зг + 18 = 0, 2ж — 4у + 5г — 21 = 0, 6х + у + г — 30 = 0, а одна из его вершин А имеет координаты (—1, 3, 1). Составить уравнения остальных граней параллелепипеда и его диагонали, проходящей через вершину А.
Точки Л(1, 0, 3) и В(—1, 2, 1) являются вершинами тетраэдра ABCD, точка К^—1, 5, 2) — серединой ребра ВС, а точка Л/(0, 1, 4) — точкой пересечения медиан грани BCD. Составить уравнения плоскостей, в которых лежат грани тетраэдра.
Составить уравнения прямой, проходящей через точку О (0, 0, 0) и пересекающей две данные прямые:
ж — т/ + г + 2 = 0, ж — 2т/ + Зг — 8 = 0 и т/ — г + 1 = 0, х + + у — 2г + 4 = 0;
х = 1 + 2/;, у = 2 + 3/;, г = — t и х = 4/;, у = 5 — 5/;, г = = 3 + 2L
Составить уравнения прямой, проходящей через точку Л(—1, 1, — 1) и пересекающей две данные прямые:
ж — т/ + г + 2 = 0, ж — 2т/ + Зг — 8 = 0 и т/ — г = 0, ж + у — -2г + 4 = 0;
х х — 1 у — 2 г ху + 5г —3
'23И 4-52 ’
6.39. Составить уравнения прямой, пересекающей две пря-6.39. Составить уравнения прямой, пересекающей две пря-х + 3 у — 5 г ж — 10мые == - и 2315„ ж + 2 _ у- 1 _ г-3х + 3 у — 5 г ж — 10мые == - и 2315„ ж + 2 _ у- 1 _ г-3т/ + 7 г„= - и параллельной пря-т/ + 7 г„= - и параллельной пря-
6.39. Составить уравнения прямой, пересекающей две пря-
6.39. Составить уравнения прямой, пересекающей две пря-
х + 3 у — 5 г ж — 10
мые == - и
2315
„ ж + 2 _ у- 1 _ г-3
х + 3 у — 5 г ж — 10
мые == - и
2315
„ ж + 2 _ у- 1 _ г-3
т/ + 7 г„
= - и параллельной пря-
т/ + 7 г„
= - и параллельной пря-
6.40.прямую Л(1, 2, 5)6.40.прямую Л(1, 2, 5)
6.40.
прямую Л(1, 2, 5)
6.40.
прямую Л(1, 2, 5)
Составить уравнения плоскостей, проходящих через ж — 1 у — 1 г + 2
—-— = —-— = —-— и равноудаленных от точек
и В(3,0,-1).
Составить уравнения плоскостей, проходящих через точку Л(1, 0, 4) и равноудаленных от трех точек В (2, 1, 6), С(-2, 3, 2) иД(8, 1, 0).
Составить уравнения плоскостей, равноудаленных от четырех точек А (1, — 1, 3), В (3, 3, 5), С (1, 7, 3) и В (5, 1, 5).
Плоскость т содержит точки Л, В, С, S и пересекает координатные оси Ож, Оу, Oz в точках Р, Q, R, а координатные плоскости Оху, Oxz, Oyz — по прямым Zi, Z2, Z3. В плоскости т выбрана система координат А, АВ, АС. Известно, что точка S в этой системе координат имеет координаты (3, 4), а точки А, В, С в исходной пространственной системе координат имеют соответственно координаты:
(1, 2, 1), (-1,3,2), (1,4,0);
(2, 1, 1), (2, 3, 0), (1, 1, 2);
(1, -1, 0), (1, 0, -1), (0, 1, 1).
Найти координаты точек Р, Q, R, S и составить уравнения прямых Zi, Z2, Z3 в исходной пространственной системе координат.
Найти координаты точек Р, Q, R в составить уравнения прямых Zi, Z2, Z3 в системе координат А, АВ, АС.
(р). Через вершину Су параллелепипеда АВС ВАуВуСуВу проведена плоскость, пересекающая продолжения ребер АВ, АВ и ААу соответственно в точках Bq, Bq
,\АВ0\ \ABq\ |ЛЛо| ы.
и Ап таких, что —-—- = , . _ = 3, , , ,. Наити отношение ооъ- и ’ \АВ\ \АВ\ |ЛЛ1|
ема параллелепипеда к объему тетраэдра ABqBqAq.
В задачах 6.45—6.92 система координат прямоугольная
Найти нормальный вектор плоскости:
Ах + By + Cz + В = 0;
х = хуу РауиРа^х, у = у0 рЬуи + Ь^х, z = z0 + суиР с^х.
Составить уравнения прямой, проходящей через точку Л(1, — 1, 2) и перпендикулярной плоскости:
ж — 31/+ 2^ + 1 = 0;2) ж = 5;3) у = 4;4)^ = 3;
5)ж = 4 —n + ж, у = 2 + п + 2ж, z = — 1 + 7п + Зж.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Л(1, 3, 1) и перпендикулярной прямой:
ж + у — £ + 2 = 0, 2ж + Зу + z — 1 = 0;
^±1 = ^ = ^;3) ж = 2, у = 3;
ж = 0, z = 0;5) у = —1, z = 2.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Л (2, 1, — 1) и перпендикулярной двум плоскостям: ж — ?/ + 5г + 1 = 0 и 2ж + у = 3.
Составить уравнение плоскости, перпендикулярной плоскости х + Зу — г + 2 = О и проходящей через прямую:
х ж- 1 = у-1 = г- 1
2 “ 3 “ 4 ’
2ж — у + г = 0, х + 2у + z — 3 = 0.
В пучке, определяемом плоскостями х-\-2у — Зг + + 5 = 0 и 4х — ?/ + Зг + 5 = 0, найти две перпендикулярные друг другу плоскости, одна из которых проходит через точку М(1, 3, 1).
Точка А лежит на прямой С^ = 3 = ^ 1^ ’ ПРИ" чем Л равноудалена от точек В (3, 0, —2) и С (—1, 1, 5). Найти координаты точки А.
Найти расстояние от точки Л(3,1,— 1) до плоскости:
х — у — 5г+ 2 = 0;2) х — 2у + 2г — 2 = 0;
х — 2у + 2г + 7 = 0;4) х — 2у + 2г = 0;
х — 2у + 2г + 1 = 0;6) х = 1;
у = Ь- 8) г = 0.
Найти расстояние между параллельными плоскостями:
6х - Зу + 2г + 5 = 0 и 6х - Зу + 2г - 9 = 0;
2х + 2у — г + 3 = 0 и 2х + 2у — г + 18 = 0;
Зх + 4г + 1 = 0 и 6х + 8г — 1 = 0.
1) Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости бх — Зу + 2г + 5 = 0 и отстоящих от нее на расстояние 3.
Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости х + Зу — г + V^A = 0 и отстоящих от нее на расстояние 3.
Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости 2ж + 2?/ — г + 3 = 0 и отстоящих от точки Л(1,2, — 1) на расстояние 3.
Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости Зх + 4г + 1 = 0 и отстоящих от начала координат на расстояние 3.
6.55. Точка А лежит на прямой6.55. Точка А лежит на прямойх — 12х — 12Е зЕ з-—. Расстоя-—. Расстояние от точки А до плоскости х + у + г + 3 = 0 равно л/З. Найтиние от точки А до плоскости х + у + г + 3 = 0 равно л/З. Найтикоординаты точки А.координаты точки А.
6.55. Точка А лежит на прямой
6.55. Точка А лежит на прямой
х — 1
2
х — 1
2
Е з
Е з
-—. Расстоя
-—. Расстоя
ние от точки А до плоскости х + у + г + 3 = 0 равно л/З. Найти
ние от точки А до плоскости х + у + г + 3 = 0 равно л/З. Найти
координаты точки А.
координаты точки А.
6.56. Точка А лежит на прямой6.56. Точка А лежит на прямойж — 11ж — 11^/-з3^/-з3z + 4-5 ’z + 4-5 ’припричем А равноудалена от точки В (О,1,1) и от плоскости 2ж — у + + 2г + 1 = 0. Найти координаты точки А.чем А равноудалена от точки В (О,1,1) и от плоскости 2ж — у + + 2г + 1 = 0. Найти координаты точки А.
6.56. Точка А лежит на прямой
6.56. Точка А лежит на прямой
ж — 1
1
ж — 1
1
^/-з3
^/-з3
z + 4
-5 ’
z + 4
-5 ’
при
при
чем А равноудалена от точки В (О,1,1) и от плоскости 2ж — у + + 2г + 1 = 0. Найти координаты точки А.
чем А равноудалена от точки В (О,1,1) и от плоскости 2ж — у + + 2г + 1 = 0. Найти координаты точки А.
Точки Л(1,—1,2) и В(3,0,4) являются вершинами куба ABCDAiBiCiDi. Вектор AD перпендикулярен прямой х = 0, у — г = 0, а ориентация тройки векторов АВ, AD, AAi совпадает с ориентацией тройки базисных векторов системы координат, причем сумма координат вектора AAi отрицательна. Составить уравнения граней куба.
Точки Л(—3,0,0) и В(3,0,0) являются вершинами правильного тетраэдра ABCD, вершина С удалена от координатной плоскости Оху на расстояние 3^/2, причем все координаты точки С неотрицательны. Ориентация тройки векторов АВ, AC, AD совпадает с ориентацией тройки базисных векторов системы координат. Составить уравнения граней тетраэдра.
Дана точка Л(3,—1,1). Найти:
координаты проекций точки А на координатные плоскости и координаты точек, симметричных А относительно координатных плоскостей;
координаты проекции точки А на плоскость х + 2у + + 2г + 6 = 0 и координаты точки, симметричной с А относительно этой плоскости;
координаты проекции точки А на плоскость 2ж + Зу + + 6г + 40 = 0 и координаты точки, симметричной А относительно этой плоскости.
Составить уравнения прямой, симметричной прямой х — 2?/ +1 г — 2„л
== относительно плоскости эх — у + z — 4 = 0.
314у
Составить уравнения проекций на плоскость х + 5у — — г — 25 = 0 следующих прямых:
х ж-hl = У =1.
4 “ 2 “ 3 ’
х — у + 2г — 1 = 0, Зх — у + 2г + 2 = 0;
. ж+ 1 _У _ Z-\
'1 “ 5 “ -1 '
Найти угол между плоскостями:
х + 4у — г + 1 = 0иж + т/ — г — 3 = 0;
х + 2у — г = 1 и ж — у = 3;
х + 2у — 2г = 0 и г = 5;
х + 2у — z — 1 = 0 и Зж — Ьу — 72 = 0;
5)ж + 3?/ — 2 + 1 = 0 и х = 1 — п, у = 2 — Зи — ж, 2 = 7 + + п + ж;
х — Зу + 22 + 1 = 0 и 62 — 9у + Зх + 5 = 0.
Найти угол между прямыми:
2ж + у — 2 + 1 = 0, х + Зу + ^ + 2 = 0их + Зу — 2 + 2 = 0, ж + ?/ + 2-1 = 0;
х х — 1 _У 2 _ 2 + 3ж+1_ ?/_ 2 — 10
23-1 И -346 ’
х = 5 — 2Г y = 6 + 4t^ z = 8tnx = l + t, у =—2Г z = = 3 - 4L
6.64. Найти угол между6.64. Найти угол междуплоскостью 4х + 4у — 7z + 1 = 0h
6.64. Найти угол между
6.64. Найти угол между
прямой:
1)ж + у + 2 + 1 = 0, 2ж + у + 32 + 2 = 0;
ж—1 _ у + 2 _
)32-6’
ж —2 _ у — 1 _ z + 3.
)4 “ 4 “ -7 ’
х-1 _у + 1 _ z + 3
11 “ -4 “ 4 ’
6.65. Составить уравнения прямой, проходящей через точку Л(1, 3, 2) параллельно плоскости Оху и образующей:
угол 45° с прямой х = у^ 2 = 0;
угол arcsin(l/V10) с плоскостью х — у = 1.
6.66. Составить уравнение плоскости, проходящей через6.66. Составить уравнение плоскости, проходящей черезточку Л(—1,2,1) параллельно прямой щей угол 60° с прямой х = у, 2 = 0.точку Л(—1,2,1) параллельно прямой щей угол 60° с прямой х = у, 2 = 0.х2х2Е зЕ з= — 2 и образую-= — 2 и образую-
6.66. Составить уравнение плоскости, проходящей через
6.66. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку Л(—1,2,1) параллельно прямой щей угол 60° с прямой х = у, 2 = 0.
точку Л(—1,2,1) параллельно прямой щей угол 60° с прямой х = у, 2 = 0.
х
2
х
2
Е з
Е з
= — 2 и образую-
= — 2 и образую-
Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую х + by + z = 0, х — 2 + 4 = 0 и образующей угол 45° с плоскостью х — 4у — 82 + 1 = 0.
Доказать, что две данные прямые пересекаются, и составить уравнения биссектрис острого и тупого углов между ними:
х = 4 — 4С y=l-\-4t^ z = — 5 + 7t и х = — 3 +t^ у = —1 + + 2/:, z = —4 + 2/:;
ж = 4 +1, у = 1 — t^ z = 5 + 4t и ж = — 3 — 3t^ у = 8 + 3t, 2 = 1;
3)ж = 1 + 2С ?/ = 2 + 3^, 2 = 11-6^ и ж = 1 + С y = 3 + t, z = 7 — t.
Боковые стороны равнобедренного треугольника имеют общую вершину Л(3, 4, 5), две другие вершины лежат на осях Ох и Оу. а плоскость треугольника параллельна оси Oz. Найти углы треугольника и составить уравнение его плоскости.
Даны точка А (2, — 1, 0) и прямая I. Вычислить расстояние от точки А до прямой Z; найти координаты проекции точки А на I и координаты точки В. симметричной с А относительно Z; составить уравнения прямой, проходящей через точку А и пересекающей данную прямую под прямым углом («опустить перпендикуляр» из точки А на Z). Прямая I задана уравнениями:
T^Z = /у 1 = 2 3.
3 “ 4 “ 2 ’
х = 1 + 2t, y = 2-2t, z = -3 + t;
2х + у — г + 1 = 0, х + у + £ + 2 = 0.
Точка А лежит на прямой х — у — 3 = 0, 2у + z = 0. Расстояние от точки А до прямой х = у = z равно л/б- Найти координаты точки А.
Найти расстояние между прямыми:
х ж —4т/ + 1г —1 ж —5 у z
'36-2 И -6— 124’
ж = 3 + 2/;, у = 10 — 3t. z = 3 + 4t и ж = 1 + 3£, у = 1 — 2t. z = 1 + 3t;
3)x + y + z — 1 = 0, ж + 3?/ —^ + 2 = 0 и ж + 3?/ + г + 2 = 0, ж Т 2?/ — z + 1 = 0.
Даны прямые Zi и Z2. Составить уравнения их общего перпендикуляра (т.е. прямой, пересекающей Zi и Z2 под прямым углом); найти точки пересечения общего перпендикуляра с данными прямыми; вычислить расстояние между Zi и Z2. Прямые заданы уравнениями:
1)ж = 5 + £, y = 3 — t, z = 13 + tnx = 6 + t^ y = l + 2t, z = 10-t;
2ж + 7y — 13 = 0, Зу — 2z — 1 = 0 и х + у — 8 = 0, 2ж + + ^_^ = 0;
ж —6у — 1 z —10 ж+ 4 у —3 z — 4
1“ 2“ -1И -7“ 2 “ 3 ’
Точки Л(-1, -3, 1), В (5, 3, 8), С(-1, -3, 5), В (2, 1, —4) являются вершинами тетраэдра. Найти:
длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины D на грань АВС;
длину высоты основания АВС опущенной из вершины С на сторону АВ;
расстояние между скрещивающимися ребрами AD и ВС;
угол между скрещивающимися ребрами AD и ВС;
угол между ребром AD и гранью АВС.
Длина ребра куба ABC D А^В^СуВ^ равна 1. Найти:
расстояние от вершины А до плоскости В\СВ\;
расстояние между диагональю куба АС\ и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани С В у;
отношения, в которых точки пересечения общего перпендикуляра к прямым A Ci и CDi с этими прямыми делят отрезки A Ci и СВ\.
Три грани АВС В, ABBiAi и АВВ\А\ параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ лежат соответственно в плоскостях 2ж + Зу + 4z + 8 = 0, х + Зу — 6 = 0, г + 5 = 0; вершина Сх имеет координаты 6, —5, 1. Найти:
расстояние от вершины Ai до плоскости В^ВВ;
расстояние от вершины В до прямой АВ;
расстояние между прямыми А С и А^С^;
расстояние между прямыми AAi и ВС;
угол между прямыми А С и C\D\;
угол между плоскостями ВВВ\ и АСС\;
угол между прямой СА^ и плоскостью ВСС\.
Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы тот из четырех двугранных углов, образованных двумя пересекающимися не перпендикулярными плоскостями А\х + Biy + C\z + Д = 0 и А^х + В^у + C^z + В^ = 0, который содержит точку М^х^у^^У был:
острым; 2) тупым.
(р). Даны две плоскости х + 2у + 2;z = 0 и 7ж + 4?/ + +4z = 0. Третья плоскость т проходит через начало координат О так, что конец ее нормального вектора, отложенного из точки О, лежит в тупом двугранном угле, образованном данными плоскостями. Косинусы острых двугранных углов между т и данными плоскостями равны 2/15 и 4/45 соответственно. Составить уравнение плоскости т.
Рассматривается тот двугранный угол между плоскостями х — 2у + ^ + 3 = 0 и x + y + 2z = l^ внутри которого лежит точка Л(—1,0,0). Доказать, что множеством точек, лежащих внутри этого угла и удаленных от данных плоско-
стей соответственно на расстояния V6 и 2 V6, является прямая. Составить уравнения этой прямой.
Составить уравнение биссекторной плоскости того двугранного угла между плоскостями х — г — 5 = 0 и Зж + 5?/ + +4г = 0, внутри которого лежит точка Л(1,1,1).
Составить уравнение биссекторной плоскости острого двугранного угла между плоскостями х — z — 5 = 0 и Зж + + 5у + 4г = 0.
Грани тетраэдра заданы уравнениями х + 2у — 2z + +3 = 0, 4х — 4у + 7 г — 9 = 0, 8ж + 4?/+ г — 3 = 0, у — г = 0. Составить уравнения:
биссекторной плоскости внутреннего двугранного угла между первыми двумя гранями;
прямой, лежащей во внутреннем трехгранном угле между первыми тремя гранями, все точки которой равноудалены от этих трех граней.
Вершинами тетраэдра являются точки А(1, 2, 3), В (—2, 8, 9), С (5, 0, 7), D(3, 4, 2). Найти радиусы и координаты центров вписанной и описанной сфер.
Найти радиус и координаты центра сферы, проходящей через точку Л(0,1,0) и касающейся плоскостей х + у = 0^ x — y = 0. x + y + 4z = 0.
Найти координаты центра О и радиус г сферы, касающейся плоскостей 5ж — у + z — 17 = 0 и х + у — г + 11 = 0 и проходящей через точки Л(—7, —1,—1) и В(1,1,1).
Найти координаты центра О и радиус г сферы, касающейся плоскости х + 5у + z — 33 = 0 и проходящей через точки Л(2,3,—2), В(—2,3,4) и С(0,-1,2).
Вершинами треугольника являются точки А(1,2,3), В(1,5,—1), С(5,3, — 5). Найти радиусы и координаты центров вписанной и описанной окружностей.
Доказать, что три плоскости х — 2у + 2г + 3 = 0, 2ж + 2у + z — 6 = 0, 5ж + 14г/ — 2г — 21 = 0 не имеют общих точек, но три прямые, образованные при пересечении каждой пары этих плоскостей, параллельны, т.е. плоскости образуют призму. Найти радиус и уравнения оси прямой круговой цилиндрической поверхности:
1) вписанной в эту призму; 2) описанной около нее.
В правильной четырехугольной пирамиде SMNPQ (В — вершина) точки Н и F — середины ребер MN и NP со-
ответственно. Точка Е лежит на отрезке SH^ причем \SH| = 3, \SE\ =9/4. Расстояние от точки S до прямой ЕЕ равно Vb. Найти объем пирамиды.
В основании прямой призмы ABCDA\B\C\D\ лежит ромб АВ CD с углом А А = 60°. Длина стороны основания призмы равна а. длина бокового ребра равна д/3«- Точка Е является ортогональной проекцией вершины Сх на плоскость AB^D^ а точка F — ортогональной проекцией точки Е на плоскость AAiDiD. Найти объем пирамиды ADEF.
В правильной призме АВСА\В\С\ длина бокового ребра равна 3. Точка М — середина ребра АСточка N лежит на ребре В\С\^ а точка Р принадлежит грани АА^В^В и удалена от плоскости АВС на расстояние 1. Известно, что угол в 30° образуют каждая из прямых РМ и PN с плоскостью АА\В\В и прямая PN с плоскостью ВВ\С\С. Найти объем призмы.
В правильной призме АВСА\В\С\ длина стороны основания равна 2«, длина бокового ребра равна а. Через вершину А проведена плоскость перпендикулярно прямой ABi, через вершину В — плоскость перпендикулярно прямой BCi и через вершину С — плоскость перпендикулярно прямой СА\. Найти объем многогранника, ограниченного этими тремя плоскостями и плоскостью АуВ^С^.
Замена системы координат (6.93—6.97)
Даны две системы координат О, ei, е2, ез и О1^ е^, е^, 63. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты «ю, «20, «зо, а базисные векторы второй системы имеют в базисе первой системы координаты («ц,«21,«31), («12,«22,«32), («13,^23,^33) соответственно. В первой системе координат плоскость задана уравнением Ах + By + С^ + D = 0. Составить уравнение этой плоскости во второй системе.
В пространстве даны четыре точки А(1,2,1), В(—1,3,0), С(2,5,3), D(—2,3,4) и плоскость 2ж + у — Зг + 2 = 0. Составить уравнение этой плоскости в новой системе координат А, АВ^ АС, AD.
Плоскости х — 2у + 3z — 6 = 0, 2х + у — £ = 0, 4х + £ — — 5 = 0 являются соответственно плоскостями О'у' Р О' Рх\ О'х'у* новой системы координат, а точка А(2,0,1) имеет в новой системе координаты 1,1,1.
Найти координаты точки в исходной системе координат, если известны ее координаты ж', ?/, г' в новой системе.
Составить в новой системе координат канонические уравнения прямой, которая в исходной системе задается урав- ж — 1 т/ + 1 г — 2 нениями ==.
1-4-1
В прямоугольной системе координат О, ei, е2, ез плоскость задана уравнением Зж + Ьу + д/2^ + л/2 = 0. Начало новой прямоугольной системы координат находится в точке O^l,!,— 1), базисный вектор 63 противоположен вектору ез, а базисные векторы е^ и е^ получаются из векторов ei и 62 соответственно поворотом в содержащей ei и 62 плоскости на угол 45° в направлении кратчайшего поворота от ei к е2-
Найти координаты точки в исходной системе координат, если известны ее координаты ж', у\ У в новой системе.
Составить уравнение данной плоскости в новой системе координат.
Три плоскости, заданные в прямоугольной системе координат уравнениями ж + 2у — 2г + 3 = 0, 2ж + у + 2г = 0, 2ж — 2у — г + 3 = 0 (проверить, что они попарно перпендикулярны), являются соответственно плоскостями (УуУ, ОУх1, О'х'у* новой прямоугольной системы координат, а точка Л(—1,0,0) имеет в новой системе положительные координаты.
Найти координаты точки в исходной системе координат, если известны ее координаты ж', у1 %’ в новой системе.
Составить в новой системе координат канонические уравнения прямых, заданных в исходной системе уравнениями = = и ж = у = г. Вычислить в обеих системах координат угол и расстояние между этими прямыми; убедиться в совпадении результатов.
Глава 3
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В этой главе используются следующие основные понятия: алгебраическая, кривая, кривая второго порядка, окружность, эллипс, гипербола, парабола, центр, вершина, ось, полуось, фокус, директриса, эксцентриситет, хорда, асимптота, касательная, нормаль, каноническое уравнение кривой второго порядка, центральная кривая второго порядка.
Система координат, если не оговорено противное, прямоугольная.
Алгебраической кривой на плоскости называется множество всех точек плоскости, координаты (х,у) которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению Ф(х,у) = 0, где Ф(х,у) — многочлен от переменных х, у. Степень многочлена Ф(х,у) (максимальная степень k +I одночленов а^хку1, входящих в Ф(х,у^ называется порядком кривой. Порядок кривой не изменяется при замене системы координат.
Обгцее уравнение кривой второго порядка имеет вид
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = О (Л2 + В2 + С2 0). (1)
Выражение Ах2 + 2Вху + Су2 называется квадратичной частью, 2Dx + 2Еу — линейной частью, F — свободным членом уравнения (1).
Для всякой кривой второго порядка существует прямоугольная система координат, называемая канонической, в которой уравнение кривой имеет канонический вид (см. таблицу 1 на с.59).
Уравнение окружности радиуса R с центром в точке С(хо,уо) имеет вид
(ж - ж0)2 + (у - Уо)2 = В?-(2)
Эллипс (рис. 1) имеет каноническое уравнение
— ^^ = 1 а2 Ъ2 1
где а ^ b > 0; большая полуось эллипса равна а, а малая равна Ь. Вершинами эллипса называются точки (±а,0), (0,±6). Фокусами эллипса называются точки Fi(c,0) и F^^—с,0), где с = л/а2 — Ь2. При а = Ь эллипс есть окружность. Площадь части плоскости, ограниченной эллипсом, равна irab.
Гипербола (рис. 2) имеет каноническое уравнение
где а > О, b > 0; действительная полуось равна а. мнимая полуось равна Ь. Вершинами гиперболы называются точки (±а,0). Фокусами
Рис. 2
гиперболы называются точки Fi(c,0) и F^—с,0), где с =+ .
Асимптотами гиперболы являются прямые у = ± —ж. Гипербола — — аа2
— — = — 1 называется сопряженной к гиперболе — — — = 1 она о2а2 о2
имеет те же асимптоты, но ее ветви расположены в другой паре вертикальных углов между асимптотами.
Парабола (рис. 3) имеет каноническое уравнение у2 = 2рж,(5)
где р > 0. Число р называют параметром параболы. Вершиной параболы является начало координат, фокусом — точка F^p)^ 0).
Эксцентриситет эллипса или гиперболы равен е = с/а^ для эллипса 0 ^ е < 1, для гиперболы е > 1. Эксцентриситет параболы равен 1.
Расстояние от точки М(х,у), принадлежащей кривой второго порядка, до фокуса кривой называется фокальным радиусом точки М. Для эллипса (3) и гиперболы (4)
Рис. 3Рис. 3|MFi| = \а — ех\, \МЕ2\ = \а + ех\.
Рис. 3
Рис. 3
через фокус кривой второго порядка, называются ее фокальнымичерез фокус кривой второго порядка, называются ее фокальнымиФокальный радиус точки М^х,у\ принадлежащей параболе (5), равен ж+р/2. Прямые х = Га)£ называются директрисами эллипса (3) и гиперболы (4), (см. рис. 1 и 2). Директрисой параболы (5) называется прямая х = — р/2, (см. рис. 3). Отношение расстояния от любой точки эллипса, гиперболы или параболы до фокуса к ее расстоянию до соответствующей директрисы равно е. Хорды, проходящие
через фокус кривой второго порядка, называются ее фокальными
через фокус кривой второго порядка, называются ее фокальными
хордами.
Пусть точка М(хо,уо) лежит на кривой второго порядка. Касательная к кривой в этой точке определяется уравнением
ххпУУох2у2
= 1 для эллипса — += 1;
а2о2а2о2
хх0 ууох2у2
——= 1 для гиперболы — - — = 1;
а2 о2а2и2
ууо = р^х + жо) Для параболы у2 = 2рх и уравнением
Аххо + В^ху^ + хоу) + Сууо + D^x + х^ + Е(у + у0) + F = О для кривой, заданной общим уравнением (1).
Пусть кривая второго порядка задана уравнением Ф(х,у) = 0. Точка (9(жо,т/о) называется ее центром, если (Ф(жд + ot,y^ + 3) = = Ф(жо — а, у о — 3} Для любых чисел а и 3- Точка (9(жо,т/о) — центр кривой тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют системе уравнений
Ах^ + Ву^ + D = О,
ВхоГСуоГЕ = О.( j
Если линия второго порядка содержит хотя бы одну точку, то каждый ее центр — центр симметрии, и каждый центр симметрии есть центр; однако центр определен и для линий, являющихся пустым множеством.
Кривая называется центральной, если она имеет единственный центр. Центральными являются кривые первых пяти типов в табл. 1. Для них центр — начало канонической системы координат. Кривая является центральной в том и только том случае, когда
5 =5 =А ВВ сА ВВ с/0./0.
5 =
5 =
А В
В с
А В
В с
/0.
/0.
Таблица 1
Название
Каноническое уравнение
Эллипс
«Мнимый эллипс» (пустое множество)
«Пара мнимых пересекающихся прямых» (точка)
Гипербола
Пара пересекающихся прямых
Парабола
Пара параллельных прямых «Пара мнимых параллельных прямых» (пустое множество)
Пара совпавших прямых
а^Ь>0 а2 о2
-^ + ^ = -1, а 7^0, 6^0 а2 о2
—+=0
а2 Ь2
ж2 у2 _
а2 Ь2
ж2 У2 _ п
а2 Ь2
у2 = 2рж, р > 0
у2 = а2, а 7^ 0
у2 = — а2, а т^ 0
у2 = 0
Всего имеется девять типов канонических уравнений кривых второго порядка. В таблице 1 перечислены эти уравнения вместе с названиями соответствующих типов кривых.
Решение задачи приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду включает отыскание канонического уравнения кривой и канонической системы координат. Приведение к каноническому виду позволяет вычислить параметры кривой и определить ее расположение относительно исходной системы координат.
Приведение общего уравнения (1) кривой к каноническому виду осуществляется в несколько шагов. Опишем их.
Если исходная система координат не прямоугольная, перейдем к какой-нибудь прямоугольной системе координат. При этом общий вид уравнения (1) не изменится. Далее считаем систему координат прямоугольной.
Если в уравнении (1) коэффициент В ^ 0, то следует перейти к такой системе координат, чтобы в преобразованном уравнении коэффициент при произведении х'у' был равным нулю. Для этого систему координат надо повернуть вокруг начала координат на угол р:
х = xf cosp — у'sinp, у = х’ sin<^ + у' cosр.(7)
Значение р находится из уравнения
2Bcos2^ + (С — A) sin2<^ = 0(8)
или, при А ^ С,
2В
t82v=JTc^(9>
Уравнение (8) можно свести к уравнению
tg2^+^b— tgy>—1 = 0.(10)
Из нескольких возможных значений ср можно брать любое. При А = = С можно положить р = тг/4. Затем следует вычислить sin<^, cos<^, подставить их в формулы (7) и выполнить в уравнении (1) замену координат.
Если в уравнении (1) уже нет члена с произведением переменных, следует, если возможно, добиться исчезновения линейных членов. Это достигается переносом начала координат. А именно: если в уравнении имеются квадрат какой-либо переменной и одноименный линейный член, то эта пара дополняется до полного квадрата и начало координат переносится вдоль оси координат так, чтобы в преобразованном уравнении линейного члена уже не было.
Пример.
лл / 2 21?D2 \D2
Ах2 + 2Dx = А I х2 4——х + — — =
\ АА2А
D\2 D2Л D2
ААА
где х’ = х 4- D/А.
Если уравнение (1) содержит лишь три члена: квадрат одной переменной, первую степень другой и свободный член, то с помощью переноса начала координат вдоль оси, соответствующей линейному члену, можно добиться исчезновения свободного члена.
Пример.
Ах2 + *2Еу + F = Ах2 + 2S ( у + — ) = 0.
Замена у + F/2Е = у* дает Ах2 + 2Еу' = 0.
После выполнения указанных в пн. 1-4 действий мы придем к уравнению, которое отличается от канонического разве что числовым множителем, порядком координат, переносом членов из одной части уравнения в другую или знаком коэффициента при линейном члене. Такое уравнение удобно называть «почти каноническим». Для приведения уравнения к окончательной канонической форме следует выполнить необходимые преобразования уравнения и замены системы координат. При этом можно обойтись без смены ориентации исходной системы координат. Изменение порядка координат достигается дополнительным поворотом на 90°. Чтобы сменить знак коэффициента при линейном члене уравнения, можно дополнительно
повернуть систему координат на 180°. При этом, почти каноническое уравнение Ах2 + 2Еу = 0 преобразуется х2 = ^—2Е)А^у^ замена х = —у\ у = х’ приводит к у’2 = ( —2Е ( А^х’. Если Е/А > 0, то требуется еще замена х’ = —х” , у’ = —уи, после чего получается каноническое уравнение параболы ум2 = 2рхм где р = Е/А > 0.
Для отыскания канонической системы координат выписываем каждую из формул перехода, подставляем их одна в другую и получаем окончательное выражение исходных координат через канонические
х = ахХ + 02У + «о, у = Р1Х + ^У + Ро-
Коэффициенты этих формул дают координаты начала канонической системы координат О* (о^Ро) и ее базисных векторов Е1(ал,/3[), Е2 (027^2) относительно исходной системы координат.
Если система уравнений (6) совместна (в частности, если 8 = = АС — В2 ^ 0 — случай центральной кривой), то упрощение уравнения кривой удобно начинать с переноса начала координат в центр кривой: х = жо + х\ у = у о + у’. Тогда в преобразованном уравнении коэффициенты при х’ и у’ обращаются в нуль (см. задачи 9.18, 9.20). Затем следует выполнить шаг 2.
В первом приближении тип кривой второго порядка можно определить до упрощения ее уравнения по знаку 5.
Кривая относится к эллиптическому типу (эллипс, мнимый эллипс, пара мнимых пересекающихся прямых) при 8 > 0; к гиперболическому типу (гипербола, пара пересекающихся прямых) при 8 < 0; к параболическому типу (остальные типы в табл. 1) при 5 = 0.
Уравнение второго порядка (1) в подходящей декартовой системе координат приводится к одному из канонических уравнений:
х2 + у2 = 1; 2) х2 + у2 = —1; 3) х2 + у2 = 0; 4) х2 — у2 = 1;
х2 — у2 = 0; 6) у2 = ж; 7) у2 = 1; 8) у2 = — 1; 9) у2 = 0.
Таким образом, существуют 9 аффинных типов кривых второго порядка.
§ 7. Геометрические свойства кривых второго порядка и их канонические уравнения
Окружность (7.1—7.10)
Найти радиус и координаты центра окружности:
х2 -\-у2 + 4у = 0;
ж2 + у2 + 5х — Ьу + 12 = 0;
2ж2 + 2у2 — 12ж + у + 3 = 0;
7ж2 + 7у2 — 2ж — 7у — 1 = 0.
При каком необходимом и достаточном условии уравнение Ах2 + By2 + 2Сх + 2Dy + Е = 0 задает окружность? Выразить радиус и координаты центра окружности через коэф-
фициенты уравнения.
Составить уравнение окружности с центром в точке М(2,2), касающейся прямой Зж + у — 18 = 0.
Найти необходимое и достаточное условие того, чтобы прямая Ах + By + С = 0:
не имела общих точек с окружностью (х — а)2 + + (у-ьу = н^
имела с этой окружностью две общие точки;
касалась этой окружности.
1) Составить уравнение касательной, проведенной к окружности (ж — I)2 + (у + 2)2 = 25 в точке М(—3,1).
Составить уравнения касательных к окружности (ж — I)2 + (у + I)2 = 9, проходящих через точку Л/(1,4).
Составить уравнения касательных к окружности (ж + З)2 + (у + I)2 = 4, параллельных прямой 5ж — 12у + 1 = 0.
Проверить, что две данные окружности касаются, и составить уравнение их общей касательной, проходящей через точку касания:
(ж - I)2 + (у - 2)2 = 18, (ж - 5)2 + (у - 6)2 = 2;
(ж + I)2 + (у - I)2 = 45, (ж - I)2 + (у - 5)2 = 5.
Составить уравнения общих касательных к окружностям (ж — 2)2 + (у + I)2 = 9 и (ж — 4)2 + (у — З)2 = 1.
Через точку Л, лежащую вне окружности, проведены прямая, касающаяся окружности в точке В, и еще одна прямая, пересекающая окружность в точках С и D. Доказать, что |ЛВ|2 = |ЛВ|.|ЛС|.
Две окружности касаются внешним образом. Через точку их касания проведена прямая, пересекающая первую окружность еще в одной точке Л, а вторую окружность еще в одной точке В. Доказать, что касательные к окружностям в точках А и В параллельны.
Множества точек на плоскости, при изучениикоторых используются уравнения кривых второгопорядка (7.11—7.20)
Доказать, что множеством точек М таких, что для двух фиксированных точек А и В отношение \МА\(\МВ\ постоянно и равно к > 0, является прямая линия при к = 1 и окружность при к ^ 1. Выразить радиус этой окружности через к и длину отрезка АВ.
Доказать, что множеством точек М таких, что для двух фиксированных точек А и В сумма ^МА^ + \МВ\ постоянна и равна 2а, является эллипс с фокусами АиВ. Выразить длины полуосей этого эллипса через а и длину отрезка АВ.
Доказать, что множеством точек М таких, что для двух фиксированных точек А и В модуль разности \МА\ — \МВ\ постоянен и равен 2а, является гипербола с фокусами А и В. Выразить полуоси этой гиперболы через а и длину отрезка АВ.
Доказать, что множеством точек, равноудаленных от фиксированной точки А и фиксированной прямой Z, является парабола с фокусом А и директрисой I.
Определить множества точек, которые в прямо
угольной системе координат задаются неравенствами:
1) ж2 + (у + 2)2 <4;
У (г+|)\(а_|)\25;
ж2 + у2 + Зж < 0, у < 0;
— 1 < ж2 Гу2 — 2ж + 2у < 7;
6)6)ж2 у2Т + "д"ж2 у2Т + "д"
6)
6)
ж2 у2Т + "д"
ж2 у2Т + "д"
1<-+у2<9.
4ж2 — 4ж + 9?/2 + бу + 1 < 0;
удузд+уун У(ж + 1)2+Д < 6;
У (ж2 + (у - 1)2 + Да^ + Д+Зр > 4;
_2
13) ^+^<2;
Зж2 — 9?/2| > 1;
з/(ж^2р^Ь^2 - дДх + 2у + у2 < 2;
у2 < 4ж;
у2 > 6ж;
х < у2 < Зж;
—2ж — ж2 <у2 < —2ж.
Какие кривые на плоскости задаются следующими параметрическими уравнениями:
х = 3cos/;, у = 3sin/;, 0 < t < 2тг;
х = 1 + 2cos/;, у = 2 + 2sin/;, 0 < t < 2л;
х = cos/;, у = sin/;, 0 < t < л?
Доказать, что параметрические уравнения ж = жд + + a cos/;, у = уо + 5sin/; (а > 0, b > 0) задают эллипс с центром в точке (жд,уо) и с полуосями а и Ь.
Доказать, что параметрические уравнения ж = жд + + a ch/;, у = yg + 6sh/;, где а > 0, b > 0, задают правую ветвь гиперболы с центром в точке (жд, уд) и с полуосями а и Ь. Как нужно изменить эти уравнения, чтобы задать обе ветви гиперболы?
Изобразить множество точек, которое в полярных координатах задается уравнением:
г = 1;2) г = -—;
1 — 2cos<^
г = ;4) г = —.
2-cos<^sin2 (92/2)
На плоскости дан отрезок АВ (|ЛВ| = а\ Найти множество точек М таких, что угол при вершине А в треугольнике АВМ вдвое больше угла при вершине М.
Эллипс (7.21-7.34)
Точка А лежит вне эллипса с фокусами F^ F^ отрезки AF^ AF2 пересекают эллипс в точках В, D соответственно, и С — точка пересечения отрезков FlD, F^B. Доказать, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
Найти длины полуосей, эксцентриситет, координаты фокусов, составить уравнения директрис эллипса:
^ + ^ = 1, а>Ь>0;
а2 о2
— + ^ = 1, Ъ>а>^
а2 о2
9ж2 + 25у2 = 225;
4ж2 + у2 = 1.
Дан эллипс 25ж2 + 144у2 = 1. Определить, лежит ли точка А на эллипсе, внутри или вне его:
1) Л(1,1/6);2) Л(1/13,1/13);3) Л(1/6,-1/24).
Вычислить длину фокальной хорды эллипса ж2 у2
— + — = 1, перпендикулярной большой оси.
В данной системе координат эллипс имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если:
расстояние между вершинами, лежащими на большой оси, равно 16, а расстояние между фокусами равно 10;
хорда, соединяющая две вершины эллипса, имеет длину 5 и наклонена к его большой оси под углом arcsin(3/5);
фокусами эллипса являются точки (±1,0), а точка (V3, V3/2) принадлежит эллипсу;
фокусами эллипса являются точки (±2,0), а директрисами являются прямые х = ±18;
расстояние от директрисы до ближайшей вершины равно 4, а до вершины, лежащей на оси Оу, равно 8;
треугольник с вершинами в фокусах и в конце малой оси правильный, а диаметр окружности, проходящей через центр и две вершины эллипса, равен 7;
отрезок оси Ох между фокусом Fi и дальней вершиной А большой оси делится вторым фокусом Fa пополам, а расстояние от Fa до прямой, проходящей через А и вершину малой оси, равно 1/V17;
директрисами эллипса являются прямые х = ±4, а четырехугольник с вершинами в фокусах и концах малой оси — квадрат;
эксцентриситет эллипса равен V7/4, а четырехугольник, вершинами которого являются вершины эллипса, описан около окружности радиуса 4,8.
Вычислить эксцентриситет эллипса, если:
расстояние между фокусами равно среднему арифметическому длин осей;
отрезок между фокусом и дальней вершиной большой оси делится вторым фокусом в отношении 2:1;
расстояние от фокуса до дальней вершины большой оси в 1,5 раза больше расстояния до вершины малой оси;
отрезок между фокусами виден из конца малой оси под прямым углом;
большая ось видна из конца малой оси под углом 120°;
отрезок между фокусом и дальней вершиной большой оси виден из конца малой оси под прямым углом;
стороны квадрата, вписанного в эллипс, проходят через фокусы эллипса.
Составить уравнения сторон квадрата, вписанного в и2
эллипс — += 1, (а > b > 0). Какую часть площади, ограни-
а2 о2
ченной эллипсом, составляет площадь этого квадрата?
Найти множество точек, являющихся серединами и2
хорд эллипса 25 + g = параллельных прямой х + 2у = 1.
Через точку Л(7/2,7/4) провести хорду эллипса ж2 + + 4?/2 = 25, делящуюся в этой точке пополам.
Через точку Л/(0,3) провести прямую, пересекающую эллипс ж2 + 4?/2 = 20 в двух точках Ан В так, что \МА\ = = 2|Л1В|.
ж2
На эллипсе — + у2 = 1 найти точки, из которых отрезок, соединяющий фокусы, виден:
под прямым углом;
под углом 60°;
под наибольшим углом.
Составить уравнения семейств эллипсов:
с общими фокусами (±с,0);
с общими директрисами ж = ±d и общим центром в на
чале координат.
Составить уравнение эллипса, если:
точки Fi(5,l) и ^Д—1,1) являются фокусами, а прямая ж = 31/3 — одной из директрис;
точка F (—6,2) является одним из фокусов, точка А (2, 2) — концом большой оси, эксцентриситет равен 2/3;
оси эллипса параллельны осям координат, точки Л(4,0) и В(0,4) принадлежат эллипсу, а точка В находится на расстоянии Зл/2 от одного из фокусов и на расстоянии 6 от соответствующей директрисы.
Пусть О — центр эллипса, а, Ь — его полуоси, а А и В — такие точки эллипса, что прямые О А и ОВ взаимно
перпендикулярны.Доказать, что величинаперпендикулярны.Доказать, что величина1111w + W постоянна дляw + W постоянна длявсех возможных пар точек А и В.Найти наибольшее и наименьшее значения длины отрезка АВ.всех возможных пар точек А и В.Найти наибольшее и наименьшее значения длины отрезка АВ.
перпендикулярны.
Доказать, что величина
перпендикулярны.
Доказать, что величина
1
1
1
1
w + W постоянна для
w + W постоянна для
всех возможных пар точек А и В.
Найти наибольшее и наименьшее значения длины отрезка АВ.
всех возможных пар точек А и В.
Найти наибольшее и наименьшее значения длины отрезка АВ.
Гипербола (7.35—7.50)
Найти полуоси, эксцентриситет, координаты фокусов, составить уравнения директрис и асимптот гиперболы:
а2 Ь2 ’ а2 Ь2 ’ „ 2
— —— = 1;4) у2 — х2 = 1;
169’7 у’
ху = 1;6) ху = —2.
Дана гипербола 100ж2 — 36г/2 = 1. Определить, лежит ли точка А на гиперболе, внутри одной из ее ветвей или между ветвями:
7.37. Вычислить длину фокальной хорды гиперболы7.37. Вычислить длину фокальной хорды гиперболыЛ(1/8,—1/8); 2) Л(1,1); 3) Л(1,7); 4) Л(-1/2,0).
7.37. Вычислить длину фокальной хорды гиперболы
7.37. Вычислить длину фокальной хорды гиперболы
Т
— — = 1, перпендикулярной действительной оси.
В данной системе координат гипербола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если:
расстояние между вершинами равно 10, а расстояние между фокусами равно 12;
длина вещественной оси равна 1, а точка (1,3) принадлежит гиперболе;
директрисами гиперболы являются прямые х = ±у^5/6, а точка (—9,4) принадлежит гиперболе;
длина мнимой полуоси равна 1, а вершина гиперболы делит отрезок между фокусами в отношении 4:1;
эксцентриситет гиперболы равен 7/5, а расстояние от вершины до ближайшего фокуса равно 2;
точка (7, —2д/3), принадлежащая гиперболе, удалена от левого фокуса на расстояние 4д/7;
угол между асимптотами, содержащий фокус, равен 60°, а расстояние от директрисы до ближайшей вершины равно |(2-V3);
точка (—5/4, 3/2) принадлежит гиперболе, а асимптотами являются прямые у = ±2ж;
точка (—1, 3) принадлежит гиперболе, а асимптотами являются прямые у = ±2ж.
Составить каноническое уравнение гиперболы, содержащей точку (—1,3) и имеющей асимптоты у = ±2ж (сравнить с задачей 7.38, 9)).
Вычислить эксцентриситет гиперболы, если:
ее полуоси равны (равносторонняя гипербола);
угол между асимптотами, содержащий фокус, равен 120°;
асимптотами гиперболы являются прямые у = ±3ж.
Вычислить эксцентриситет гиперболы, имеющей в данной системе координат каноническое уравнение, если:
расстояния от точки Л/(5, —4), принадлежащей гиперболе, до директрис относятся как 2:1;
сумма расстояний от точки ^(—5,—4) до асимптот гиперболы равна 20/3.
Выразить эксцентриситет гиперболы через эксцентриситет е эллипса, имеющего с этой гиперболой общие фокальные хорды, перпендикулярные действительной оси.
Составить уравнение гиперболы, которая имеет общие фокальные хорды, перпендикулярные действительной оси, с эллипсомh — = 1.
53
Найти множество точек, являющихся серединами хорд гиперболы ж2 — 2у2 = 1, параллельных прямой 2ж — у = 0.
г2гг2гЧерез точку Л(4,4) провести хорду гиперболы у2 1
г2г
г2г
- — = 1, делящуюся в этой точке пополам.
На гиперболе ж2 —— = 1 найти точки, из которых отрезок, соединяющий фокусы, виден:
под прямым углом;
под углом 60°;
под наибольшим углом.
Составить уравнения семейств гипербол:
с общими фокусами (±с,0);
с общими директрисами ж = ±d и общим центром в начале координат;
с общими асимптотами у = ±кх.
Составить уравнение гиперболы, если:
точки ^(З, —2) и ^(5, —2) являются фокусами, а прямая ж = 7/2 — одной из директрис;
точка F(l,3) является одним из фокусов, точка Л (—4, 3) — вершиной, а эксцентриситет равен 3/2;
точка F(0, 0) является одним из фокусов, а прямые х ± у + 2 = 0 — асимптотами.
Доказать, что для данной гиперболы следующие величины постоянны, и выразить их через полуоси а, b гиперболы:
произведение расстояний от любой точки гиперболы до ее асимптот;
площадь параллелограмма, одна из вершин которого лежит на гиперболе, а две стороны лежат на асимптотах.
Доказать, что вершины гиперболы и четыре точки пересечения ее директрис с асимптотами лежат на одной окружности. Выразить радиус этой окружности через длину действительной полуоси.
Парабола (7.51-7.64)
Найти координаты фокуса и составить уравнение директрисы параболы:
у2 = 2рж, р > 0;2) у2 = —рх^ р > 0;3) у2 = 6ж;
у2 = —Зж; 5) у = ж2;6) у = — V3x2.
Как расположены по отношению к параболе у2 = Юж следующие точки:
(5, -7);2) (8, 9);3) (5/2, -5)?
Вычислить длину фокальной хорды параболы у2 = = ж/5, перпендикулярной оси параболы.
В данной системе координат парабола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если:
точка (5,-5) принадлежит параболе;
расстояние от фокуса до директрисы равно 12;
длина хорды, проходящей через фокус под углом 45° к оси параболы, равна 18.
Найти уравнение множества точек, являющихся серединами хорд параболы у2 = Зж, параллельных прямой 2ж + Зу — 5 = 0.
Доказать, что середины хорд параболы, параллельных некоторой прямой, лежат на прямой, параллельной оси параболы.
Через точку Л(5,3) провести хорду параболы у2 = = 6ж, делящуюся в этой точке пополам.
На параболе у2 = Юж найти точку М такую, что:
прямая, проходящая через точку М и фокус параболы, образует с осью Ох угол 60°;
площадь треугольника с вершинами в искомой точке М^ фокусе параболы и точке пересечения оси параболы с директрисой равна 5;
расстояние от точки М до вершины параболы равно расстоянию от М до фокуса;
расстояния от точки М до вершины параболы и до фокуса параболы относятся как 8 : 7.
Найти множество значений, которые может принимать отношение расстояния от точки параболы до ее вершины к расстоянию от той же точки до фокуса.
Составить уравнение параболы с параметром р, вершина которой имеет координаты (а, 6), а направление оси совпадает:
с положительным направлением оси Ох;
с отрицательным направлением оси Ох;
с положительным направлением оси Ор;
с отрицательным направлением оси Ор.
Составить уравнения семейства парабол:
имеющих общий фокус (0,0) и симметричных относительно оси Ох;
имеющих общую директрису х = 0 и симметричных относительно оси Ох.
Составить уравнение параболы, если:
точка F(7,0) является фокусом, а прямая х = 1 — директрисой;
точка F(7,0) является фокусом, а прямая ж = 8 — директрисой;
точка F(0,1) является фокусом, парабола симметрична относительно оси Ор и касается оси Ох;
ось параболы параллельна оси Ор. фокус лежит на оси Ож, парабола проходит через начало координат и высекает на оси Ох отрезок длины 6.
Найти наибольший радиус окружности, лежащей внутри параболы р2 = 2рж и касающейся этой параболы в ее вершине.
Две параболы, оси которых взаимно перпендикулярны, имеют четыре точки пересечения. Доказать, что эти четыре точки лежат на одной окружности.
Кривые р = х5 — 5 и ж = 3 — р2 пересекаются в четырех точках, лежащих на одной окружности. Найти координаты центра этой окружности.
§ 8. Касательные к кривым второго порядка
Составить уравнение касательной к кривой:
1)
ж2
12
+
У2
4
= 1
В
точке
(з, 1);
2)
ж2
36
+
У2
12
= 1
в
точке
(3, -3)
3)
ж2 ~9~
—
У2
12
= 1
в
точке
(-3, о)
4)
ж2
32
—
У2
8
= 1
в
точке
(6, 1);
5) ху = 8 в точке (4, 2);
6) у2 = 6ж в точке (3/2, 3).
Составить уравнение касательной к кривой:
. (ж-а)2 (у — /З)2х (ж-а)2 _ (у-/3)2.
7 а2 +№’’ а?№’
жу = к-,
(у —/З)2 = 2р(ж — а) в точке (жд, уо), принадлежащей данной кривой.
При каком необходимом и достаточном условии прямая Ах + By + С = 0 касается:
х2 у2х^
эллипса — += 1;2) гиперболы — — — = 1;
а2о2а2 о2
X2 у2
гиперболы — — — = — 1;4) гиперболы ху = к:
а2 о2
параболы у2 = 2рж?
При каком необходимом и достаточном условии вектор 1(а,/3) является направляющим вектором некоторой каса- х2 у2
тельной к гиперболе — — — = 1? а2 о2
Проверить, что данная прямая касается данной кривой, и найти координаты точки касания:
Зж - 2у - 24 = О, ^ + ^ = 1;
7 у’ 48 36’
х2 и2
Зж — ?/— 12 = О, --<- = 1;
7 у’ 20 36’
Зж — 16г/ + 24 = 0, ху = — 3;
х + у + 1 = 0, у2 = 4ж.
Составить уравнения касательных к эллипсу — + = 13024'
параллельных прямой 2ж — у — 1 = 0;
перпендикулярных этой же прямой;
образующих угол 45° с прямой х + Зу + 3 = 0.
Составить уравнения касательных к гиперболе — — — = 1, параллельных прямой:
4х = Зу^ 2) х = 1;3) х — 2у + 1 = 0.
Составить уравнение касательной к параболе у2 = = Юж, перпендикулярной прямой:
2ж + у — 4 = 0;2) у = 3;3) х = 0.
Какие точки на данной кривой второго порядка удалены на наименьшее расстояние от данной прямой? Найти это расстояние.
^ж2 + -у2 = 1, Зж + 4у + 5 = 0;
||ж2 + ®у2 = 1, Зж + 4у = 0;
6ж2 — Ьу2 = 19, 12ж + Ьу — 6 = 0;
6ж2 — Ьу2 = 19, 12ж + Ьу = 0;
у2 = 64ж, 4ж — Зу — 76 = 0.
Дан эллипс ж2 + 2у2 = 1. Найти расстояния:
от фокусов эллипса до касательной к нему в точке Л(1/3, 2/3);
между касательными к эллипсу, параллельными прямой х^у = 1.
Составить уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, если он:
содержит точку Л(—3,2) и касается прямой 4ж — Qy — - 25 = 0;
касается прямых х + у — 5 = 0 и ж + 4?/ - 10 = 0.
Составить уравнение гиперболы, оси которой совпадают с осями координат, если она:
содержит точку Л(4,— 2д/2) и касается прямой Зх + у + + 8 = 0;
касается прямых х = 1 и Ьх — 2у + 3 = 0.
Составить уравнение гиперболы с асимптотами V3x ± у = 0, касающейся прямой 2 ж — у — 3 = 0.
Составить уравнение параболы:
симметричной относительно оси Оу и касающейся прямых у + 2ж = 0, 8ж — 2у — 3 = 0;
заданной каноническим уравнением и касающейся прямой х + у + 1 = 0.
у2
Составить уравнения нормалей к эллипсу — + — = = 1, образующих угол 45° с его большой осью.
Составить уравнение касательной к параболе у2 = = — 8ж, отрезок которой между точкой касания и директрисой делится осью Оу пополам.
Пусть О — вершина параболы, М — произвольная ее точка, Zi и Z2 — касательные к параболе в точках О и М, N — точка пересечения прямых Zi и Z2, Р — проекция отрезка ОМ на Zi. Доказать, что точка N делит отрезок ОР пополам. Указать вытекающий отсюда способ построения касательной к параболе.
Доказать, что:
отрезок касательной к гиперболе, заключенный между ее асимптотами, делится точкой касания пополам;
все треугольники, образованные асимптотами гиперболы и произвольной касательной к ней, имеют одну и ту же площадь; выразить эту площадь через полуоси гиперболы.
Доказать, что хорда, соединяющая точки касания эллипса (гиперболы) двумя параллельными прямыми, проходит через центр кривой.
Доказать, что середины хорд эллипса (гиперболы), параллельных некоторой прямой Zi, лежат на одной прямой Z2. При этом касательные к кривой в точках ее пересечения с прямой Z2 параллельны прямой Zi.
Составить уравнения сторон квадрата, описанного у2
около эллипсаh — = 1.
54
Составить уравнения сторон правильного треуголь- х2
ника, описанного около эллипса= 1, если:
’9
одна из вершин треугольника лежит на оси Ох;
одна из вершин треугольника лежит на оси Оу.
При каком необходимом и достаточном условии через точку А/о(жо,^/о) можно провести две касательные:
х2у2х2 у2
к эллипсу — += 1;2) к гиперболе — — — = 1;
а2о2а2о2
к параболе у2 = 2рж?
Составить уравнения касательных к эллипсу
— + — = 1, проходящих через точку:
188q
1) (-6, 0);2) (2,7; ^7);3) (-4,--^2);4) (1, 2).
Составить уравнения касательных к гиперболе - у2 = 1, проходящих через точку:
1) (-2, 2);2) (1,6; 0);3) (4, ^3);4) (4, 1);
5) (8, 4);6) (0, 0).
Составить уравнения касательных к параболе у2 = 16ж. проходящих через точку:
1) (1, -2);2) (1, 4);3) (1, 5).
Если этих касательных две, то вычислить площадь треугольника, образованного касательными и директрисой.
Через точку Мц(х^уо) проведены две касательные к кривой второго порядка. Доказать, что прямая, проходящая
через точки касания, задается уравнением: х ХХпX2 у2
= 1 для эллипса — + fy = 1;
а2 о2а2 о2
хХХ^УУОX2у2
——= 1для гиперболы— - — = 1:
а2о2а2о2
УУо = р(^+ ж0) для параболыу2 = 2рх.
Составить уравнения общих касательных к двум
кривым второго порядка:кривым второго порядка:1)2)3)4)5)6)7)1)2)3)4)5)6)7)ж2 У2 = .205ж2 У2 = .205ииж2 4у280 + ~ж2 4у280 + ~у +у2 = 1 и у2 = 2ж;у +у2 = 1 и у2 = 2ж;—— У = 1 и3 уу2 = 2ж и — ■У3—— У = 1 и3 уу2 = 2ж и — ■У3у2 = 2ж;2’у2 = 2ж;2’х2 у228у = -ху 9х2 у228у = -ху 9И 2516’И 2516’и у2 = х — 1.и у2 = х — 1.8.29. Доказать, что:1) нормаль к эллипсу в произвольной его точке делит пополам угол, образованный лучами, выходящими из этой точки и проходящими через фокусы эллипса;8.29. Доказать, что:1) нормаль к эллипсу в произвольной его точке делит пополам угол, образованный лучами, выходящими из этой точки и проходящими через фокусы эллипса;
кривым второго порядка:
кривым второго порядка:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
ж2 У2 = .
205
ж2 У2 = .
205
и
и
ж2 4у2
80 + ~
ж2 4у2
80 + ~
у +у2 = 1 и у2 = 2ж;
у +у2 = 1 и у2 = 2ж;
—— У = 1 и
3 у
у2 = 2ж и — ■
У3
—— У = 1 и
3 у
у2 = 2ж и — ■
У3
у2 = 2ж;
2’
у2 = 2ж;
2’
х2 у2
28
у = -х
у 9
х2 у2
28
у = -х
у 9
И 2516’
И 2516’
и у2 = х — 1.
и у2 = х — 1.
8.29. Доказать, что:
1) нормаль к эллипсу в произвольной его точке делит пополам угол, образованный лучами, выходящими из этой точки и проходящими через фокусы эллипса;
8.29. Доказать, что:
1) нормаль к эллипсу в произвольной его точке делит пополам угол, образованный лучами, выходящими из этой точки и проходящими через фокусы эллипса;
касательная к гиперболе в произвольной ее точке делит пополам угол, образованный лучами, выходящими из этой точки и проходящими через фокусы гиперболы;
нормаль к параболе в произвольной ее точке делит пополам угол, образованный лучом, выходящим из этой точки и проходящим через фокус параболы, и лучом, выходящим из этой точки, лежащим внутри параболы и параллельным ее оси.
Доказать, что:
касательные в точках пересечения эллипса и гиперболы, имеющих общие фокусы, взаимно перпендикулярны;
касательные в точках пересечения двух парабол с общим фокусом и противоположно направленными осями взаимно перпендикулярны.
Из произвольной точки директрисы кривой второго порядка проведены две касательные к этой кривой. Доказать, что прямая, соединяющая точки касания, проходит через фокус, соответствующий этой директрисе.
Составить уравнения касательных к кривой бху + 8?/2 — 12ж — 26г/ + 11 = 0:
параллельных прямой 6ж + 17?/ — 4 = 0;
перпендикулярных прямой 41.x — 24г/ + 3 = 0;
параллельных прямой у = 2.
Составить уравнения касательных к кривой 5ж2 + + бху + Ьу2 — 16ж — 16?/ — 16 = 0, проходящих через точку:
(3,3);2) (0,-0,8);3) (0,1).
Общая теория кривых второго порядка
Приведение уравнения кривой второго порядка кканоническому виду (9.1—9.10)
Определить тип кривой второго порядка, составить ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат:
6ж2 + бу2 + 6х — 2у — 1 = 0;
9ж2 — 16?/2 — 6х + 8у — 144 = 0;
9ж2 + 4?/2 + 6х — 4у — 2 = 0;
12ж2 — 12ж — 32?/— 29 = 0;
9?/2 - 7у - 16 = 0;
2ж2 + у2 + 4х — бу + 11 = 0;
2ж2 + у2 + 4х — бу + 12 = 0;
4ж2 - 25у2 - 2ж - 75у + 44 = 0;
25ж2 - ЗОж + 9 = 0;
45ж2 - 36у2 - 90ж - 24у + 41 = 0.
При каком необходимом и достаточном условии уравнение Ах2 + By2 + 2(7ж + 2Dy + Е = 0 задает:
эллипс; 2) гиперболу?
Определить тип кривой второго порядка, составить ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат:
2ж2 + бху + Ю?/2 — 121 = 0;
9ху + 4 = 0;
2ж2 - 2V3xy + 9 = 0;
18ж2 + 24ж?/ + П?/2 -3 = 0;
ж2 — 2ху + у2 + 2ж + 2у = 0;
9ж2 — бху + у2 — 10 = 0;
81ж2 — 36ж?/ + 4?/2 = 0;
Зж2 — 4V5xy + 4?/2 = 0.
Определить тип кривой второго порядка, составить ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат:
2ж2 — 4ху + 5у2 + 8ж — 2у + 9 = 0;
(р) 4ху — Зу2 — 4ж + Юг/ — 6 = 0;
9ж2 — 24ж?/ + 16г/2 — 8ж + 19?/ + 4 = 0;
ж2 — ху + у2 + х + у = 0;
ж?/ + 2ж + ?/ = 0;
х2 — 2ху 4-у2 — Юж — 6г/ + 25 = 0;
5ж2 + 12ж?/ + Юг/2 — 6ж + 4у — 1 = 0;
8ж2 + 34ж?/ + 8у2 + 18ж - 18?/ -17 = 0;
25ж2 — ЗОж?/ + 9у2 + 68ж + 19 = 0;
8ж2 + бху + 6ж + Зу + 1 = 0;
4ж2 + 12ж?/ + 9у2 — 8ж — 12г/ — 5 = 0;
225ж2 — 240ж?/ + 64г/2 + ЗОж — 16?/ + 1 = 0;
ж2 + 2ху + у2 — 5ж — бу + 4 = 0;
5ж2 — бху + Ьу2 + 2ж — 14?/ + 13 = 0;
ж2 — 2ху + у2 + 8ж — 8у + 22 = 0;
15ж2 + 24ж?/ + 15?/2 + ЗОж - 24?/ - 20 = 0;
15ж2 — 16ж?/ — 15г/2 — 62ж — 44у — 13 = 0.
Доказать, что кривая второго порядка, заданная уравнением 34ж2 + 24ж?/ + 41?/2 — 44ж + 58у + 1 = 0, является эллип-
сом. Найти длины полуосей и эксцентриситет этого эллипса, координаты центра и фокусов, составить уравнения осей и директрис.
Доказать, что кривая второго порядка, заданная уравнением 7ж2 + 48ж?/ — 7у2 — 62ж — 34г/ + 98 = О, является гиперболой. Найти длины полуосей и эксцентриситет этой гиперболы, координаты центра и фокусов, составить уравнения осей, директрис и асимптот.
Доказать, что кривая второго порядка, заданная уравнением ж2 + 2ху + у2 + х = 0, является параболой. Найти параметр этой параболы, координаты вершины и фокуса, составить уравнения оси и директрисы.
Пусть М(ж, у) = Лж2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F — многочлен второй степени от координат (х^у) точки в прямоугольной системе координат. Обозначим
S = A + C, 5 =S = A + C, 5 =А ВВ С ’А ВВ С ’А =А =А В D ВСЕ D Е FА В D ВСЕ D Е F
S = A + C, 5 =
S = A + C, 5 =
А В
В С ’
А В
В С ’
А =
А =
А В D ВСЕ D Е F
А В D ВСЕ D Е F
Доказать, что величины S, 5, А не изменяются при переходе к другой прямоугольной системе координат (т.е. являются ортогональными инвариантами многочлена М(х^у)\
Кривая второго порядка в прямоугольной системе координат задана уравнением Лж2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + + F = 0. Доказать следующие утверждения (обозначения см. в задаче 9.8):
Корни Ai и А2 характеристического уравнения Л2 — SX + + 5 = 0 вещественны, и хоть один из них отличен от нуля.
Кривая является гиперболой тогда и только тогда, когда 5 < 0 и А Д 0. Выразить полуоси гиперболы через 5, A, Ai, А2.
Кривая является эллипсом тогда и только тогда, когда 5 > 0, a SA < 0. Выразить полуоси эллипса через 5, A, Ai, А2.
Кривая является параболой тогда и только тогда, когда 5 = 0, а А ^ 0. Выразить параметр параболы через S и А.
Применяя ортогональные инварианты (задачи 9.8 и 9.9), определить тип и составить каноническое уравнение кривой:
ж2 + Зху — Зу2 + 5ж — 7у + 1 = 0;
5ж2 + 2ху + Ьу2 — 12ж + 20г/ + 32 = 0;
ж2 — 4ж?/ + 4?/2 + 2ж + 13 = 0.
Кривые второго порядка в общей декартовойсистеме координат (9.11—9.22)
Доказать, что:
кривая, заданная уравнением х2 + у2 = 1, является эллипсом;
кривая, заданная уравнением ж2 — у2 = 1, является гиперболой;
кривая, заданная уравнением у2 = ж, является параболой;
уравнение ж2 — у2 = 0 задает пару пересекающихся прямых;
уравнение ж2 + у2 = 0 задает одну точку;
уравнение у2 — 1 = 0 задает пару параллельных прямых;
уравнение у2 = 0 задает одну прямую (пару совпавших прямых);
кривая, заданная уравнением ху = 1, является гиперболой;
кривая, заданная уравнением у = х -|—, является гиперболой.
Доказать, что кривая, заданная в общей декартовой системе координат уравнением Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + +2Еу + F = 0, является гиперболой тогда и только тогда, когда 5 < 0 и АДО, эллипсом тогда и только тогда, когда 5 > О и SA < 0, параболой тогда и только тогда, когда 5 = 0 и А Д 0.
Определить тип кривой второго порядка, заданной уравнением:
(Зж - 4?/)2 - 5(ж + 2у - I)2 = 1;
(12ж - 17?/ - 6)2 + (17?/ + 5ж + I)2 = 1;
(х — у — 3)(х + у + 3) = 4;
(4ж + Зу — I)2 + (4ж + Зу + 2)2 = 5;
17ж2 — 2ху + у2 — Зж — у — 3 = 0;
4ж2 + 23ху + 49?/2 — Зж — 15?/ + 2 = 0;
4ж2 - 12ж?/ + Зу2 - 15ж + 25у +14 = 0;
2ж2 + 2ху + Ьу2 — 2у + 4 = 0;
2ж2 — Ьху — Зу2 + 9ж + у + 4 = 0;
ж2 + Юху + 25у2 + 2ж + 10?/ - 3 = 0;
5ж2 — 16ж?/ + 13?/2 + 6ж — 10?/ + 2 = 0;
ж2 — 4ж?/ + 4?/2 + 4ж — Зу + 5 = 0;
ж2 — Зху + 16?/2 + 6ж — 24?/ + 9 = 0.
Составить уравнение и определить тип кривой второго порядка, проходящей через 5 точек, заданных своими ко
ординатами:
(-1, -1), (1, 0), (0, 1), (3, 2), (2, 3);
(1, 1), (1, 0), (0, 1), (3, 2), (2, 3);
(-1,0),(1,0),(0,1),(3, 2), (2,3);
(-3,0),(1,0),(0,1),(3, 2), (2,3);
(-1,1),(0,1),(2,3),(-2, -1),(3,4);
(1, 0), (0, 1), (1/4, 1/4), (4/9, 1/9), (1/9, 4/9).
Исследовать зависимость типа кривой второго порядка от параметра:
4ж2 + 2Хху +у2 = 1;
А(ж2 + у2) - Юху + х + у + 4 = 0*
х2-2ху + у2(Х-1) + 2Х(х-у + 1) = 0;
Аж2 — 2ху + 2у2 — 2х + 2у — 1 = 0.
Какие типы кривых второго порядка могут быть заданы уравнением:
\а^х Вуу С^2 = А^х В^у С^,
(Лхж + Biy + Ci)2 + (А^х + В^у + С^2 = 1;
(Лхж + Biy + Ci)2 - (Л2ж + В^у + С2)2 = 1;
(Л1ж + Вх?/ + С1)(Л2ж + В2?/ + С2) = 1;
(Л1ж + В17/ + С1)(Л2ж + В2т/ + С2) = 0?
Составить уравнения асимптот гиперболы (Предполагается, что Л1В2 — Л2В1 ^ 0).
(Лхж + В^у + Ci)2 - (Л2ж + В^у + С2)2 = 1;
(Лхж + Вуу + Ci)(A2X + В^у + С2) = 1.
Не используя уравнений (6) из введения к настоящей главе, доказать, что начало координат является центром симметрии кривой второго порядка тогда и только тогда, когда уравнение кривой не содержит членов с первыми степенями переменных х и у. Опираясь на это утверждение, вывести уравнения (6) для координат центра кривой второго порядка.
Проверить, что данная кривая второго порядка является центральной. Найти координаты центра и избавиться в уравнении от членов первой степени при помощи переноса начала координат в центр:
х2 — 8ху + 17?/2 + 8х — 38?/ + 24 = 0;
5ж2 + ху — 4х — у — 1 = 0;
8ж2 — 24ж?/ + 16г/2 + Зх — 7у — 2 = 0.
Доказать, что кривая Лж2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + + 2Еу + F = 0 имеет единственный центр симметрии тогда и только тогда, когда 5 ^ 0.
Доказать, что множество центров симметрии кривой второго порядка либо пусто, либо состоит из одной точки, либо является прямой линией.
1) Доказать, что множество центров симметрии алгебраической кривой либо пусто, либо состоит из одной точки, либо является прямой линией.
Доказать, что множество центров симметрии произвольного множества точек на плоскости либо пусто, либо состоит из одной точки, либо бесконечно.
Привести пример непрерывной кривой, множество центров симметрии которой бесконечно, но не является прямой линией.
Глава 4
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 10. Уравнения множеств в пространстве иэлементарная теория поверхностей второго порядка
В этом параграфе использованы следующие основные понятия: уравнение множества, однородный многочлен, алгебраическая, поверхности, порядок алгебраической поверхности, параметрические уравнения поверхности, поверхности вращения, конус, прямой круговой конус, цилиндр, прямой круговой цилиндр, однополостный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды, пересечение поверхностей, сечение поверхности плос- костию, прямолинейная образующая поверхности, проекция некоторого множества на плоскости, образующие и направляющие цилиндра и конуса, вершины эллипсоида, гиперболоида, параболоида и конуса, оси и полуоси эллипсоида и гиперболоида, каноническое уравнение и тип поверхности второго порядка.
Всюду предполагается, что система координат декартова прямо
угольная, а проекции, если не оговорено противное, ортогональные.
Для каждой поверхности второго порядка существует декартова прямоугольная система координат, в которой эта поверхность имеет каноническое уравнение. Всего имеется 17 типов поверхностей второго порядка. Каждый тип поверхностей характеризуется своей формой канонического уравнения. Все типы поверхностей второго
порядка и соответствующие уравнения перечислены во введении к §11. Здесь приведем канонические уравнения и изображения девяти основных типов:
эллипсоид
(рис. 4);
однополостный гиперболоид
х2у2Z2а2Ъ2с2двуполостный гиперболоидх2у2%2а2Ь2с2х2у2Z2а2Ъ2с2двуполостный гиперболоидх2у2%2а2Ь2с2(рис. 5);(рис. 5);(рис. 6);(рис. 6);(1)(1)
х2у2Z2
а2Ъ2с2
двуполостный гиперболоид
х2у2%2
а2Ь2с2
х2у2Z2
а2Ъ2с2
двуполостный гиперболоид
х2у2%2
а2Ь2с2
(рис. 5);
(рис. 5);
(рис. 6);
(рис. 6);
(1)
(1)
конус
эллиптический параболоид
— + rt=2z (рис. 8);
а2 о2
гиперболический параболоид
— - — =2z (рис. 9);(2)
эллиптический цилиндр
и2
^ + т5 = 1 (рис. 10);
а2 о2
гиперболический цилиндр
и2
— - — = 1 (рис. 11);
а2 о2
параболический цилиндр
— =2z (рис. 12).
а2
При а = b конус и эллиптический цилиндр называют прямим круговым конусом и прямым круговым цилиндром.
Приведем уравнения семейств прямолинейных образующих двух важных типов поверхностей второго порядка.
Два семейства прямолинейных образующих однополостного гиперболоида (1) могут быть описаны при помощи следующих систем уравнений:
где а, Р — произвольные числа, такие, что а2 + Р2 + 0. Два семейства прямолинейных образующих гиперболического параболоида (2) описываются системами уравнений
где а, Р — произвольные параметры, такие, что а2 + /З2 ^ 0.
Алгебраическое уравнение вида Ф(х,у) = 0 (не содержащее переменной z) определяет цилиндрическую поверхность. Прямолинейные образующие этого цилиндра параллельны оси Oz\ они имеют уравнения х = ж0, у = у0, где Ф(х0,у0) = 0.
Рис. 8
Рис. 9
Рис. 11 Рис. 12
Уравнение вида Ф(ж2 + ?/2,z) = О1) определяет поверхность вращения (S). Сечение С этой поверхности плоскостью Oxz^ имеющее на плоскости Oxz уравнение Ф(ж2,г) = 0, симметрично относительно оси Oz. Каждая «половинка» кривой С^ вращаясь вокруг оси Oz^ образует поверхность S.
Пусть две поверхности Т и Q определяются алгебраическими уравнениями F(x^z) = 0 и G(x,y,z) = 0 соответственно. Тогда множество П = Г П Q определяется системой уравнений
F(x,y,z) = 0, G(x1y1z) = 0.
Уравнение, определяющее множество Л4, следует из уравнения, определяющего множество ЛА, если Ы С М. Уравнение, определяющее поверхность М. является следствием системы уравнений, определяющих поверхности Т и Q. тогда и только тогда, когда F Г9 С Л4.
') Оно может быть получено из алгебраического уравнения Ф(щг) = О заменой и = ж2 + у2, v = z. При этом, вообще говоря, можно не исключать случая, когда уравнение не имеет вещественных решений. В этом случае говорят о «мнимой» поверхности.
Изображение поверхности второго порядка.
Типы поверхностей второго порядка (10.1—10.17)
1) Что представляет собой алгебраическая поверхность первого порядка?
Привести пример алгебраической поверхности третьего порядка и изобразить ее в декартовой прямоугольной системе координат.
Может ли алгебраическая поверхность второго порядка представлять собой прямую? Плоскость? Пустое множество? Привести примеры.
Семейство поверхностей задано в прямоугольной системе координат уравнением, содержащим произвольный параметр А. Определить тип поверхности при всевозможных Л:
ж2 + у2 + г2 = А; 2) Аж2 + у2 + г2 = 1;
Аж2 + у2 + г2 = А; 4) ж2 + у2 — г2 = А;
ж2 — у2 — z2 = А; 6) ж2 + Х^у2 + г2) = 1;
ж2 + А(?/2 + г2) = А; 8) ж2 + у2 = Аг;
Аж2 + ?/2 = г; 10) А(ж2 + ?/2) = г;
ж2 + Ху2 = Аг; 12) ж2 + Ху2 = Аг + 1;
ж2 + у2 = А; 14) ж2 — у2 = А.
1) Указать такие типы поверхностей второго порядка, которые не содержат ни одной поверхности вращения.
Перечислить типы поверхностей второго порядка, которым принадлежат какие-нибудь поверхности вращения.
Написать уравнение сферы:
с центром в точке С(1, 1, 1) и радиусом д/З;
с центром в точке С (1, 2, 3) и радиусом 1.
Найти координаты центра С и радиус R сферы:
ж2 + у2 + г2 — 4ж — 4у — 4г = 0;
2ж2 + 2у2 + 2г2 + 4ж + 8?/ + 12г + 3 = 0.
Найти координаты центра поверхности, ее полуоси и уравнения плоскостей симметрии, изобразить поверхность в исходной системе координат:
ж2 + 2у2 + Зг2 + 2ж + 4у + 6г = 0;
Зж2 + 2у2 + г2 + 6ж + 4у + 2г — 6 = 0.
Найти координаты центра поверхности, ее вершин, уравнения оси симметрии и плоскостей симметрии, изобразить поверхность в исходной системе координат:
ж2 — 2у2 — Зг2 + 6ж + 4у + 6г = 0;
2я2 + Зу2 - 4г2 + 4ж - 8г + 10 = 0.
Определить тип поверхности:
2ж2 + у2 — Зг2 + 4ж — 4у = 0;
2ж2 + у2 — Зг2 — 4ж + 4у + 6 = 0;
2ж2 + у2 — Зг2 + 6г = 0;
2ж2 + ?/2 + 2г + 1 = 0;
2ж2 — у2 + 2г + 1 = 0;
2ж2 + г2 + 2ж + г = 0.
Определить тип поверхности, изобразить поверхность в исходной системе координат:
ж?/= 0;2) ж?/= 1;3) ху = -1;
2ху + г = 0;5) 2ху — г = 0.
Найти ось вращения поверхности, изобразить поверхность ж2 + г2 + х = 0.
Определить тип поверхности, найти ось вращения, координаты вершин, изобразить поверхность:
ж2 + г2 + 2у = 1;2) г2 = 2ху.
Найти координаты центра поверхности, уравнения оси вращения и горловой окружности, определить радиус горловой окружности, изобразить поверхность х2 + 2yz = 1.
Найти точки пересечения поверхности ж2 + ?/2 = г и прямой:
1) х = у = ^, г = 4^;2) х = у = г + 1;
пх ж - 1 _ уГ1 _ г + 6
118 '
Сколько общих точек могут иметь прямая и поверхность второго порядка? Привести примеры.
Определить, лежит ли точка М( 1,1,1) внутри или вне эллипсоида ж2 + 2у2 + Зг2 = 4.
Ось О г направлена вверх. Определить, лежит ли точка М(1,1,1) выше или ниже параболоида ж2 + 2у2 = 2г.
Поверхности вращения, цилиндры и конусы(10.18-10.45)
Привести примеры поверхностей вращения, которые являются алгебраическими поверхностями порядка 2, 3, 4.
Назвать типы и выписать канонические уравнения цилиндрических поверхностей второго порядка.
Привести примеры цилиндрических поверхностей, которые являются алгебраическими поверхностями порядка 3, 4.
Привести пример цилиндрической поверхности, не являющейся алгебраической.
Привести примеры цилиндров и конусов, не являющихся поверхностями вращения.
Доказать, что всякое уравнение вида F(x,y,z) = О, где F — однородный многочлен, определяет конус с вершиной в начале координат.
Привести пример конической поверхности, не являющейся алгебраической.
Можно ли рассматривать плоскость как частный случай конической поверхности? Как частный случай цилиндра? Как поверхность вращения?
Составить векторное уравнение прямого кругового цилиндра радиуса Н^ имеющего ось г = г о + at.
Составить векторное уравнение сферы с центром в точке Мо(го) и радиусом R.
Составить векторное уравнение прямого кругового конуса с вершиной в точке Мо(го) и осью г = г о + at, зная, что угол между его образующей и осью равен а.
Составить векторное уравнение эллипсоида, получаемого вращением эллипса с фокусами в точках Mi(ri), Л12(г2) и большой полуосью а вокруг большой оси эллипса.
Найти уравнение поверхности, получаемой вращением параболы г2 = ж:
вокруг оси Oz^ 2) вокруг оси Ох.
Найти уравнение и определить тип поверхности, получаемой вращением гиперболы ж2 — у2 = 2:
вокруг оси Ож; 2) вокруг оси Оу.
Найти уравнение поверхности, получаемой вращением окружности ж2 + у2 — 4ж + 3 = 0 вокруг оси Оу.
Найти уравнения поверхностей, получаемых вращением гиперболы ху = 1 вокруг асимптот.
1) Написать параметрические уравнения поверхности, образованной вращением кривой z = /(ж) (ж > 0) вокруг оси Oz.
Написать параметрические уравнения поверхности, образованной вращением кривой х = rW^ У = ФЦ^ z = x(t) вокруг оси Oz.
Доказать, что цилиндрическая поверхность с направляющей, заданной параметрическими уравнениями х = = r^Y У = Y^Y z = xW> и с образующей, параллельной вектору а(ах,а2,аз), определяется уравнениями х = (р(и) + aiu, у = ффи) + «2^, z = хМ + ази.
Доказать, что конус с направляющей, заданной параметрическими уравнениями х = <p(tY y = Y>(tY z = x(tY и с вершиной в начале координат определяется уравнениями х = шрф^ у = иф^иф z = ux^Y
Найти уравнение прямого кругового цилиндра радиуса д/2 с осью х = 1 +Г у = 2 +1, z = 3 +t.
Найти уравнение прямого кругового цилиндра, проходящего через точку Л/(1,1,2) и имеющего ось ж = 1 + £, у = 2 + ^ z = 3 +t.
Найти уравнение прямого кругового конуса с вершиной в начале координат и направлением оси, определяемым вектором а(1,1,1), зная, что образующие конуса составляют с его осью угол arccos(l/V3)-
Найти уравнение и определить тип поверхности, образованной вращением прямой х = 1 +Г у = z = 3 + t вокруг оси Oz.
Найти уравнение и определить тип поверхности, образованной вращением прямой х = 0, у — z + 1 = 0 вокруг оси Oz.
Найти уравнение и определить тип поверхности, образованной вращением прямой х = — ^, у = z = 2t вокруг прямой х = у = z.
Найти уравнение конуса с вершиной в точке М(1,1,1), касающегося сферы ж2 + у2 + 22 = 2.
Найти параметрические уравнения цилиндра с образующей, параллельной вектору а(1, 1, 1), и направляющей, заданной уравнениями х = — 1 + 2cos£, у = — 1 + 2sin£, z = 3 — — 2cos£ — 2sint
Исключив параметры, получить алгебраическое уравнение поверхности х = и + cos?;, у = и + sin?;, z = и — — cos?; — sin?;. Что это за поверхность?
Сечения поверхностей второго порядка (10.46—10.76)
1) Сечения поверхности ж2 + 2у2 — З^2 — 1 = 0 плоскостями х = 0, х = 1, х = 2 спроектированы на плоскость Oyz. Изобразить проекции.
Сечения поверхности ж2 + 2у2 — Зг2 = 0 плоскостями ж = = — 1, ж = 0, ж = 1 спроектированы на плоскость Oyz. Изобразить проекции.
Сечения поверхности 2ж2 — у2 = 2z плоскостями ж = — 1, ж = 0, ж = 1 спроектированы на плоскость Oyz. Изобразить проекции.
Сечения поверхности 2ж2 — у2 = 2z плоскостями у = —1^ у = 0, у = 1 спроектированы на плоскость Oxz. Изобразить проекции.
Сечения поверхности 2ж2 — у2 = 2z плоскостями z = — 1, z = 0, z = 1 спроектированы на плоскость Оху. Изобразить проекции.
1) Сечения поверхностей ж2 + 2у2 — Зг2 — 1 = 0, ж2 + + 2у2 — Зг2 = 0, ж2 + 2у2 — Зг2 + 1 = 0 плоскостью ж = 0 спроектированы на плоскость Oyz. Изобразить проекции.
Сечения тех же поверхностей плоскостью z = 1 спроектированы на плоскость Оху. Изобразить проекции.
1) Является ли линия пересечения двух поверхностей второго порядка плоской кривой? Привести примеры.
Пусть линия пересечения двух поверхностей второго порядка плоская. Будет ли эта линия алгебраической? Если да, то какого порядка? Рассмотреть примеры.
Определить вид линии пересечения поверхностей ж2 + у2 = 2z, ж2 + у2 + z2 = 8 и найти ее параметрические уравнения.
Доказать, что линия пересечения поверхности второго порядка с плоскостью есть алгебраическая линия не выше второго порядка. Привести примеры, когда это линия первого порядка.
Пусть Т — поверхность, определяемая алгебраическим уравнением F^x^y^ = О, С — непустое множество точек, определяемое уравнениями F^x^y) = 0, z = 0. Доказать утверждения:
Т — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси Oz, и направляющей Д
£ есть сечение ^ плоскостью Охр;
£ есть проекция ^ на плоскость Охр;
£ есть проекция любой направляющей цилиндра на плоскость Охр;
Ь^ £ содержит проекцию на плоскость Охр любой кривой, лежащей на цилиндре ^.
Найти уравнение проекции линии пересечения поверхностей ж2 + 2у2 = 2г, х + ^р + 2 = 1 на плоскость Охр. Что представляет собой эта линия?
Пусть S — сечение параболоида ж2 + р2 = 2г плоскостью, которая пересекает положительную полуось Ог в единственной точке. Доказать, что проекция 5 на плоскость Охр есть окружность.
Доказать, что линия пересечения поверхностей ж2 + + р2 = 2г, ж + р + г = 1 есть эллипс, и найти его параметрические уравнения.
По какой линии пересекаются параболоид ж2 — р2 = = 2г и плоскость ж + р + г = 1?
Найти координаты центра и радиус окружности ж2 + р2 + г2 — 12ж + 4р — 6г + 24 = 0, 2ж + ^р + г + 1 = 0.
Составить параметрические уравнения конуса с вершиной в начале координат и направляющей, определенной уравнениями ж2 + р2 = 2г, ж + р + г = 1.
Найти уравнение цилиндра с образующей, параллельной оси Ог, и направляющей — окружностью ж2+?/2 + + г2 = 3, г = 1.
Образующая цилиндра параллельна оси Ог, его направляющая — окружность ж2 + р2 = 2г, ж2 + р2 + г2 = 8. Найти уравнение цилиндра.
Образующие цилиндра параллельны оси Ог, его направляющая — эллипс ж2 + р2 = 2г, ж + у + г = 1. Доказать, что это — прямой круговой цилиндр, написать его уравнение, найти ось и радиус.
Образующие цилиндра параллельны вектору а (1,1,1), его направляющая — окружность ж2 + р2 = 2г, ж2 + р2 + г2 = 8. Написать уравнение цилиндра.
Найти уравнение конуса с вершиной в точке О (0,0,0) и направляющей — окружностью ж2 + р2 + г2 = 1, ж + р + г = 1.
Найти уравнение эллипсоида, плоскости симметрии которого совпадают с плоскостями координат, содержащего точку М(3,1,1) и окружность ж2 + ?/2 + г2 = 9, х — z = 0.
Доказать, что центры плоских сечений эллиптического цилиндра лежат на его оси.
Найти центр сечения эллипсоида ж2 + 2 г/2 + 4г2 = 40 плоскостью:
х + у + 2г = 5; 2) х + у + z = 7.
(р). Найти центр сечения гиперболоида ж2 + 2у2 — — 4г2 = —4 плоскостью ж + у + 2г = 2.
Пусть Мо(5,7,2О) — точка плоскости, а р(—З/д/И, 1/VH, 1/VH), q(l/V6, 1/^6, 2/^6) — ортонормированный базис на ней. Написать уравнения линии пересечения этой плоскости и конуса ж2 + Ьу2 — г2 = 0 во внутренней системе координат Мд, р, q. Найти координаты центра линии пересечения и уравнения ее осей симметрии в исходной (пространственной) системе координат.
(р). Найти уравнение множества центров сечений эллипсоида ж2 + 2у2 + Зг2 = 4 плоскостями, параллельными плоскости ж + у + z = 1.
Найти уравнение множества центров сечений гиперболоида ж2 + у2 — Зг2 = 2 плоскостями, параллельными плоскости ж + у + z = 1.
Найти уравнение множества центров сечений параболоида ж2 + у2 = 2г плоскостями, параллельными плоскости x + y + z = 1.
(р). Найти уравнение плоскости, пересекающей эллипсоид ж2 + 2у2 + 4г2 = 9 по эллипсу, центр которого находится в точке (7(3,2,1).
Найти уравнения проекций линии пересечения эллипсоида Зж2 + 4?/2 + 5г2 = 36 и сферы ж2 + у2 + z2 = 9 на координатные плоскости. Что представляет собой сечение?
Найти уравнения проекций линии пересечения эллипсоидов ж2 + 2у2 + Зг2 = 4, Зж2 + Ьу2 + 6г2 = 10 на координатные плоскости. Что представляет собой эта линия?
Написать уравнения проекций линии пересечения поверхностей х2 + у2 — г2 = 1, x2 — y2 = 2z на координатные плоскости. Что представляет собой эта линия? Найти ее параметрические уравнения.
(р). Найти уравнения проекций линии пересечения поверхностей 5ж2 — Зу2 + 4г2 = 0, ж2 — у2 + г2 + 1 = 0 на координатные плоскости.
Доказать, что линия пересечения параболоида ж2 + + 2у2 = 4г + 10 и сферы ж2 + т/2 + г2 = 6 состоит из двух окружностей. Найти точки пересечения этих окружностей и их радиусы.
Прямолинейные образующие поверхностей второгопорядка (10.77—10.88)
Назвать типы поверхностей второго порядка, имеющих прямолинейные образующие.
Может ли число прямолинейных образующих, проходящих через одну точку поверхности второго порядка, равняться 0? 1? 2? 3? ... Может ли оно быть бесконечным? Привести примеры.
Найти уравнение семейства прямолинейных образующих цилиндра х — у = 1.
Найти уравнение семейства прямолинейных образующих конуса ж2 + у2 — г2 = 0.
Найти прямолинейные образующие параболоида 4ж2 — у2 = 16г, пересекающиеся в точке М(2,0,1).
Найти уравнение плоскости, проходящей через точки МДДД) и ^(2,0,2) и пересекающей параболоид ж2 — у2 = = 2г по паре прямых.
Найти уравнение плоскости, пересекающей гиперболоид ж2 + 4?/2 — 9г2 = 36 по паре прямых, проходящих через точку М(6,—3,2).
Даны параболоид ж2 — у2 = 2г и плоскость ж + + y + z = 1. Найти уравнение плоскости, параллельной данной и пересекающей параболоид по паре прямых. Найти уравнения этих прямых и угол между ними.
Две прямолинейные образующие гиперболоида вращения ж2 + у2 — г2 = 1 пересекаются в точке, принадлежащей плоскости z = К. Найти угол между ними:
при h = 0; 2) при Л=1; 3) при произвольном h.
Найти множество точек поверхности 5, в которых пересекаются ее взаимно ортогональные прямолинейные образующие, если 5 определена уравнением:
х2 + т/2 — г2 = 1; 2) х2 — у2 = 2г; 3) х2 — 4?/2 = 2г.
Доказать, что проекции прямолинейных образующих параболоида х2 — у2 = 2г на плоскость Oxz касаются параболы х2 = 2г.
Доказать, что проекции прямолинейных образующих гиперболоида х2 + т/2 — г2 = 1 на плоскость Охр касаются окружности х2 + у2 = 1.
§ 11. Общая теория поверхностей второго порядка
В этом параграфе используются следующие определения: малая и большая квадратичные формы поверхности второго порядка, тип поверхности второго порядка, инварианты — ранг и сигнатура малой и большой квадратичных форм поверхности, центр поверхности, каноническое уравнение поверхности, канонический базис и каноническая система координат.
Имеется 17 различных типов поверхностей второго порядка. Каждый тип характеризуется своим набором инвариантов и своей формой канонического уравнения — простейшей формой, к которой можно привести уравнение поверхности с помощью выбора декартовой прямоугольной системы координат. Соответствующие базис и система координат также называются каноническими.
Мы воспроизводим таблицу типов и канонических уравнений поверхностей второго порядка из [2]. Ранги и модули сигнатур большой и малой квадратичных форм поверхности обозначены соответственно через R, У, г, а.
Изложим некоторые детали алгоритма приведения уравнения второго порядка к канонической форме. Этот алгоритм может быть использован для упрощения уравнений с любым числом переменных. Исходная система координат предполагается прямоугольной. При всех заменах координат также совершается переход к прямоугольным системам координат.
Главным моментом является «уничтожение», с помощью подходящей замены базиса, членов уравнения, содержащих произведения переменных. Остановимся на этом моменте. Уравнение поверхности ацх2 + 2«12жг/ + а^у2 + 2ах3жг + 2<22з^+
+<233г2 + 2а^х + ^а^у + 2^зг + к = 0 (1) можно записать в матричной форме
£,тА£, + 2а£,+ А: = 0, (2)
где
хУхУЛ =Л =(2ц (212 ^13(212 ^22 ^23(213 а23 ^33(2ц (212 ^13(212 ^22 ^23(213 а23 ^33а= ||сц а2 а3||-а= ||сц а2 а3||-
х
У
х
У
Л =
Л =
(2ц (212 ^13
(212 ^22 ^23
(213 а23 ^33
(2ц (212 ^13
(212 ^22 ^23
(213 а23 ^33
а= ||сц а2 а3||-
а= ||сц а2 а3||-
Таблица 2
Название
Каноническое уравнение
R
Е
Т
ст
«Мнимый эллипсоид» (пустое множество)
а2 /З272
4
4
3
3
Эллипсоид
а2 /З272
4
2
3
3
Однополостный гиперболоид
а2 Р2 у2
4
0
3
1
Двуполостный гиперболоид
а2 Р2 у2
4
2
3
1
«Мнимый конус» (точка)
€2тС2
а2/З272
3
3
3
3
Конус
€2^2С2
а2/З272
3
1
3
1
Эллиптический параболоид
З2 п2
а2 /З24
4
2
2
2
Гиперболический параболоид
£2 п2
4
0
2
0
Эллиптический цилиндр «Мнимый эллиптический
а2
г?
3
1
2
2
цилиндр» (пустое множество)
-—|- ZL — -1 а2 /З2
3
3
2
2
Г иперболическийци
линдр
а2 /З2
3
1
2
0
Парапересекающихся
плоскостей
«Пара мнимых пересе
^-^ = 0
а2 Р2
£2 ц2
-—h — = 0 а2 Р2
2
0
2
0
кающихся плоскостей» (прямая линия)
2
2
2
2
Параболический цилиндр
£2 = 2ац
3
1
1
1
Пара параллельных плос
^2 — а2 = 0
2
0
1
1
костей
«Пара мнимых парал
лельных плоскостей»
£2 + а2 = 0
2
2
1
1
(пустое множество)
«Пара совпавших плоско
е2 = о
1
1
1
1
стей» (плоскость)
Формулы замены координат при заданной матрице перехода S также запишем в матричном виде:
^ = S^.(3)
После подстановки (3) в (2) получим уравнение
^ТА!^ + ^с + к = 0.
Константа к при замене координат (3) не меняется: к1 = к.
af = aS, Al = ST AS.(4)
Отыскиваем ортонормированный базис, в котором матрица А' диа- гональна. Для этого: 1) вычисляем корни характеристического уравнения | А — AS| = 0; 2) для каждого корня составляем систему уравнений (А — ХЕ^ = о и находим ее фундаментальную систему решений; 3) применяя процесс ортогонализации и нормируя полученные векторы, находим искомый базис; 4) из базисных столбцов составляем матрицу перехода S. В новом базисе матрица А’ диагональна, на ее главной диагонали расположены корни характеристического уравнения, взятые с их кратностями в том же порядке, что и соответствующие столбцы в матрице S. Коэффициенты при линейных членах преобразованного уравнения вычисляем по формуле а' = aS.
Если матрица А диагональна: А = diag(Ai, А2, A3), то уравнение поверхности не содержит произведений переменных и имеет вид
Ахж2 + Х^у2 + A3Z2 + 2<21Ж + 2<22^ + 2а3г + к = 0.(4)
Полное упрощение уравнения (1) происходит в несколько этапов.
Если в уравнении есть члены, содержащие произведения переменных, то заменяем базис с помощью ортогональной матрицы перехода S так, как описано выше. Преобразованное уравнение примет вид (4).
Если в уравнении уже нет членов, содержащих произведения переменных, но имеются квадраты переменных и одноименные линейные члены, то дополняем эти пары членов «до полных квадратов» и переносим начало координат так, чтобы в преобразованном уравнении соответствующих линейных членов не было.
Если уравнение упрощено так, что в нем есть квадраты только двух переменных, линейный член с третьей переменной, а кроме этого только свободный член, то переносом начала координат вдоль оси, соответствующей линейному члену, можно обратить в нуль свободный член. Например, в уравнении
Ахж2 + Х^у2 + az + к = 0 выполняем замену z = z' — к/а и получаем уравнение
Ахж2 + Х^ + az’ = 0(6)
без свободного члена.
Если в уравнении имеется квадрат лишь одной переменной, линейные члены, содержащие другие переменные и, может быть, свободный член, то можно сделать замену координат в плоскости, соот-
ветствующей линейным членам так, чтобы все члены ниже второй степени заменились на один. Например, упростим уравнение
Аж2 + ay + bz + с = 0.(7)
Положим
у' = рГА{ау + bz + с), z' = уГА( —by + az), где у = V^rb2• (8) Формулы (8) определяют ортогональную замену координат. Уравнение (7) переходит в
Аж2 + цу' = 0.(9)
Выполнив описанные выше действия, мы получим уравнение поверхности в «почти канонической» форме. Почти каноническими мы называем уравнения, отличающиеся от табличных канонических уравнений, самое большее, числовым множителем, нумерацией координат, переносом членов из одной части равенства в другую или знаком при линейном члене. Соответствующий базис и систему координат также будем называть почти каноническими. Переход от почти канонической системы координат к канонической очевиден. Она получается из почти канонической возможно изменением нумерации базисных векторов и заменой направления каких-либо из этих векторов на противоположные. Начала канонической и почти канонической системы координат совпадают.
Отыскание формул перехода к канонической системе координат происходит одновременно с упрощением уравнения поверхности и также распадается на несколько этапов. При этом полезно помнить, что:
при последовательных заменах координат матрицы перехода перемножаются, причем множитель, соответствующий последующей замене, пишется правее;
применяя алгоритм, изложенный выше, на каждом этапе мы получаем координаты нового начала в промежуточной системе координат.
Задача упрощения уравнения поверхности второго порядка считается полностью решенной, если найдено каноническое уравнение поверхности и каноническая система координат.
Добавим, что каноническая система координат для данной поверхности определена не однозначно, также как и почти каноническое уравнение и почти каноническая система координат.
Существуют и другие способы приведения уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. В некоторых из них перенос начала координат предшествует изменению базиса, обращающему в нуль члены с произведениями координат. Эти способы связаны с понятием центра поверхности. Если уравнение поверхности задано в форме (2), то координаты центра определяются из уравнения
Ас + ат = о.(10)
Если поверхность имеет центр и содержит хоть одну вещественную точку, то центр является центром симметрии поверхности.
Приведем один из таких способов упрощения уравнения поверхности, заданного в форме (2). Пусть р — самосопряженное преобразование, заданное в стандартном базисе арифметического пространства 8 матрицей A; Q, Р — ядро и множество значений этого преобразования. Поскольку Р ф Q = 5, можно разложить строку а в сумму а = рт + qT, где р Э Р, a q Э Q. Имеются две возможности:
q = 0. В этом случае аТ = р, и система уравнений (10) совместна. Замена Е= Е? -\-с приведет (2) к виду, не содержащему линейных членов.
q ф 0. Система (10) не совместна, поверхность не имеет центра. В этом случае q — собственный вектор преобразования у?, отвечающий нулевому собственному значению, и найдется диагонализирующая А ортогональная матрица S со столбцом q / |q|. Система уравнений Ab + p = O; (2q^ + p^)b + ^0 (11) обязательно совместна. Пусть b — одно из ее решений. После замены Е = SE,' + b уравнение (2) станет почти каноническим.
Для демонстрации обоих вышеизложенных способов в главе «Решения» разобраны задачи 11.22, 16) и 11.22, 24).
Инварианты. Общие свойства поверхностейвторого порядка (11.1—11.18)
Перечислить поверхности второго порядка, для которых:
5) г = 3;6) г = 2;5) г = 3;6) г = 2;7) г = 1.7) г = 1.1) R = 4;2) R = 3;3) R = 2;4) R = 1;
5) г = 3;6) г = 2;
5) г = 3;6) г = 2;
7) г = 1.
7) г = 1.
Охарактеризовать с помощью инвариантов «основную» группу вещественных поверхностей второго порядка: эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды.
Охарактеризовать с помощью инвариантов следующие группы поверхностей второго порядка:
параболоиды и параболические цилиндры;
поверхности, состоящие из плоскостей;
«мнимые» поверхности: «мнимые эллипсоиды», «мнимые конусы», «мнимые эллиптические цилиндры», «пары мнимых пересекающихся плоскостей», «пары мнимых параллельных плоскостей».
.4. 1) Какие из «мнимых» поверхностей второго порядка (см. задачу 11.3, 3)) не имеют вещественных точек? Охарактеризовать с помощью инвариантов эту группу поверхностей.
Какие из «мнимых» поверхностей второго порядка имеют вещественные точки и как эти поверхности выглядят? Охарактеризовать с помощью инвариантов эту группу поверхностей.
Охарактеризовать с помощью инвариантов поверхности второго порядка, не вырождающиеся в пустое множество, в точку, прямую, плоскость или пару плоскостей.
Охарактеризовать с помощью инвариантов вещественные поверхности, имеющие:
два семейства прямолинейных образующих;
одно семейство прямолинейных образующих.
.7. Перечислить поверхности второго порядка, канонические уравнения которых содержат ненулевой свободный член. Охарактеризовать эти поверхности с помощью инвариантов.
.8. Пусть уравнение поверхности записано в матричной форме (2), преобразованное — в форме (4) (см. введение к § 11). Выразить коэффициенты Л', а', к' через Л, а, к, если:
£,= £/ + Ь; 2) =
.9. 1) Проверить, что существуют такие уравнения второй степени, в которых с помощью перехода к новой декартовой системе координат нельзя уничтожить все члены с первыми степенями переменных. Перечислить все типы таких поверхностей и охарактеризовать их с помощью инвариантов.
Проверить, что существуют такие уравнения второй степени, в которых с помощью перехода к новой декартовой системе координат можно уничтожить все члены ниже второй степени. Перечислить все типы таких поверхностей и охарактеризовать их с помощью инвариантов.
.10. 1) Какие вещественные поверхности второго порядка имеют центр симметрии?
Сколько центров симметрии может иметь поверхность второго порядка?
Доказать, что для поверхности второго порядка осуществимы только следующие возможности. Поверхность:
не имеет центра симметрии;
имеет единственный центр симметрии;
имеет прямую, состоящую из центров симметрии;
имеет плоскость, состоящую из центров симметрии.
11.11. Перечислить и охарактеризовать через инварианты типы поверхностей второго порядка:
не имеющих центра;
имеющих единственный центр;
имеющих бесконечно много центров.
Доказать утверждения:
если поверхность второго порядка имеет центр, и он расположен в начале координат, то уравнение поверхности не содержит линейных членов;
если уравнение поверхности второго порядка не содержит линейных членов, то поверхность имеет центр, расположенный в начале координат.
1) Пользуясь результатами задач 11.8 и 11.12, получить систему уравнений для центра поверхности второго порядка (т. е. уравнение (10) из введения к § 11).
Как изменится свободный член уравнения (2), если начало координат поместить в центр поверхности второго порядка?
Доказать, что условие det Л Д 0 необходимо и достаточно для существования единственного центра у поверхности второго порядка, заданной уравнением (2).
Обосновать второй способ упрощения уравнения поверхности второго порядка, изложенный во введении к § 11, т. е. доказать каждое из утверждений пунктов а) и б).
1) Уравнение поверхности второго порядка записано в развернутой форме (1) и в матричной форме (2). Все коэффициенты развернутого уравнения умножены на число ц Д 0. Что произойдет с матрицей Л? Как изменятся при этом корни характеристического уравнения | Л — АВ| = 0?
Уравнение поверхности второго порядка записано в прямоугольной системе координат, и в нем совершен переход к другой прямоугольной системе. Доказать, что при этом не изменится характеристическое уравнение | Л — АВ| = 0, а поэтому не изменятся его корни. Изменится ли det Л?
.17. 1) Дано уравнение второго порядка в матричной форме (2). Выразить матрицу В большой квадратичной формы поверхности, заданной этим уравнением, через Л, а, к.
В уравнении поверхности совершена замена координат £, = St! + Ь. Выписать матрицу Т, с помощью которой преобразуется большая квадратичная форма поверхности, и доказать, что при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой det В не меняется.
Доказать, что при ортогональной замене координат, оставляющей начало координат на месте, не изменяется характеристическое уравнение |В —АВ| = 0, а потому не изменяются его коэффициенты и корни.
Пусть в некоторой общей декартовой системе координат уравнение поверхности второго порядка по форме совпадает с одним из канонических уравнений. Доказать, что существует декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой поверхности будет каноническим того же типа.
Определение вида и расположения поверхности,заданной общим уравнением второго порядка(11.19-11.23)
Пользуясь результатом задачи 11.18, определить тип поверхности, заданной в общей декартовой системе координат уравнением:
(х + т/ + г)(х-?/+125г) = 1;
(ж + у)(ж + у + 1) = 1;
(ж + у)(ж + у + 1) = ж-у;
(ж + у + г + 1)(ж-у + г) = ж + г + 1;
(ж + у + г+1)(ж-у + г) = ж + 2г + 1;
(ж + у)(ж-у) = г;
(ж + у + г)(ж-у + г) = 0;
(ж + 2у)(ж + 2у + 1) = г;
(ж + у)(ж-75у) = г2;
(ж + у)2 = Зж + г;
(ж + 2у+ 3г)(2ж + Зу+ 4г) + (Зж + 4у + 75г)2 = 1;
(ж + 2у + Зг)(2ж + Зу + 4г) — (Зж + 4у + 75г)2 = 1;
(ж + у)г — ж2 — ж = 0;
(ж + у + г)2 + (ж + 2у + Зг)2 + (2ж - у + г)2 = 0;
(ж + у + г)2 + (ж + 2у + Зг)2 + (2ж + Зу + 4г)2 = 0;
(ж + у + г)2 + (ж - 2у + г)2 = 0;
(ж + у + г)2 + (ж + у)2 + (у + г)2 = 1987;
(ж + у + г)2 + (ж + у)2 = 1987;
(ж + у + г)2 + (ж + у)2 + (2ж + 2у + г)2 = 1;
(ж + у)2 + г2 + 1 = 0.
В общей декартовой системе координат гиперболоид задан уравнением (х + ?/ + г)(х — ?/ + г) — (2х — у + 2г)2 = 1. Найти уравнение его асимптотического конуса.
Поверхность задана в общей декартовой системе координат уравнением, содержащим параметр к. Определить тип поверхности при всех значениях к.
х2 + ^2 + 4^з + 4ж1Ж3 + 2x2X3 + 2x1 + 2x2 + 5хз + к = 0;
2х2 + кх^ + 8x1X2 + 4xiX3 — 4xi — 8x2 — 4хз = 0;
Зх2 + 2х^ + 2^з + 4xiX2 — 2x1^3 + 4x1 + 4x2 + 4хз + к = 0;
кх2 + 8x2 + х| + 16xiX2 + 4х1Хз + 4х2Хз — 4xi — 4x2 + + 2хз = 0;
3x2 + Х3 + 6xiX2 + 2х1Хз + 4х2Хз + кх^ + хз + 1 = 0;
(р) X2 — 2X2 — З^з — 4X1X2 — 6x1X3 — 2X1 + 4X2 + 6x3 + + к = 0.
11.22. Поверхность задана уравнением в декартовой прямоугольной системе координат. Найти каноническую систему координат и каноническое уравнение этой поверхности. Определить тип поверхности.
2х2 + 9у2 + 2г2 — 4ху + 4у2 — 1 = 0;
4у2 — Зг2 + 4ху — 4x2 + 8^2 = 0;
х2 + у2 + 4г2 — 2ху + 4x2 — 4^2 — 2х + 2у + 22 = 0;
х2 + у2 + г2 — ху + Х2 + у2 + Зх + Зу — 32 = 0;
х2 — Зг2 — 4у2 — 4у + 22 + 5 = 0;
х2 + у2 + 22 — 2ху — 4х + 4у + 3 = 0;
у2 + 2x2 + 2х + 22 + 1 = 0;
х2 + 2у2 + 5г2 + 4у2 + 20у + 20г — 10 = 0;
—х2 + Зу2 + 5г2 + 8у2 + 2х + 12у + 24г + 36 = 0;
2х2 + Зу2 + 5г2 + бу2 + 4х + 16у + 16г + 10 = 0;
4х2 + 4у2 — 4ху — 12х — 12у — 5г + 1 = 0;
х2 + у2 + г2 + 2ху — 12х + 4у + 6г — 3 = 0;
4х2 + 9у2 - 12ху + 2х + 10?/ + 1 = 0;
бху — 8у2 — г2 + 60г/ + 2г + 89 = 0;
5х2 + 8у2 + 4ху + 2х + 44у — 36г + 65 = 0;
(р) —х2 + у2 + г2 — 2у2 + 2х + Зу — 5г + 1 = 0;
9у2 + 16г2 + 24уг + 5х + Юг/ + 5г + 11 = 0;
16х2 + 9у2 - г2 - 24ху - 9х - 12у + 4г + 71 = 0;
2х2 + 2у2 + г2 - Юху + 20х - 8у + 29 = 0;
—х2 + 7у2 — 24уг + 2х + 120г/ = 0;
х2 — 4у2 — 4г2 + Юуг + 2х + 2у + 2г + 3 = 0;
Зх2 + 4ху + 8х + 8у — 4г = 0;
—х2 — 9у2 + бху + 50х — 50у — 15г — 100 = 0;
(р) 4х2 + у2 + 9г2 + 4ху — 12хг — бу2 + 2х + бу — 6г — -5 = 0.
11.23. Поверхность задана в декартовой прямоугольной системе координат уравнением, содержащим параметр к. При данном значении к найти каноническую систему координат и каноническое уравнение поверхности. Определить тип поверхности при всевозможных к. Если поверхность представляет собой прямую, плоскость или пару плоскостей, найти линейные
уравнения этих множеств в исходной системе координат.
5ж2 + 5у2 + Зг2 + 2ху + 2a/2xz + 2\^yz + 26ж + 34?/ +
+ 10^ + 49 = 0.
2ж2 + 9у2 + 2г2 — 4ху + 4yz + 4х + 2у — 4г — 1 = 0;
4?/2 — Зг2 + 4ху — 4жг + 8yz + 4х — 2г + к = 0; а) к = — 1;
б) к = 5; в) к = 11.
2х2 + 2у2 + 2г2 + 2ху + 2жг + 2yz + 4ж — 4у + 4 = 0;
Зж2 + З?/2 + Зг2 — 2ху — 2жг — 2yz — 8ж + 8у + к = 0;
к = 4; б) к = 8.
х2 + у2 + 4г2 — 2ху + 4жг — 4yz — 12ж + 12?/ — 24г + 6 = 0;
х2 + у2 + 4г2 — 2ху + 4жг — 4yz + 24г/ — 24г +12 = 0;
х2 + у2 + 4г2 — 2ху + 4жг — 4yz + Ьх + у — 2г = 0;
2х2 + 2у2 + 2г2 — 2ху + 2жг + 2уг — 6ж — бу — 12г + к = 0;
а) к = 15; б) к = 18.
2х2 + 2у2 + 2г2 — 2ху + 2жг + 2yz + 18г + 18 = 0;
х2 + 2у2 + г2 — 2ху — 2yz + бх — бу + к = 0;
а) к = 8; б) к = 9.
ж2 + 2у2 + г2 — 2ху — 2уг + 18ж — бу + 6г — 18 = 0;
Зж2 — Чу2 + Зг2 + 8ху — 8уг — 8жг — 4ж + бу + 8г + к = 0;
а) к = —12; б) к = —3; в) к = 6.
2у2 — Зг2 — 2V^xy — 4жг + 4д/3?/г + 50г + к = 0;
а) к = -75; б) к = -70; в) к = -80.
2ж2 + 2у2 + 2г2 + 8ху + 8жг — 8уг — 8ж — 4у + 8г + к = 0;
а) к = —4; б) к = 2; в) к = 8.
4ж2 + 4у2 — 2г2 + 4жу — 8жг + 8уг + 12ж — 12у + 24г + + к = 0; а) к = -42; б) к = -36; в) к = -30.
8у2 + 4жу + 2жг + 4yz + 4ж + 8у + к = 0;
а) к = 0; б) к = —9.
8у2 + 4жу + 2жг + 4yz + 8ж + бу + 4г + 6 = 0;
4ж2 + у2 + 9г2 + 4жу — 12жг — буг + 11ж + Зу — г + 1 = 0;
4ж2 + у2 + 9г2 + 4жу — 12жг — буг + 6ж — 2у — 6г + 11 = 0;
4ж2 + у2 + 9г2 + 4жу — 12жг — буг + 4ж + 2у — 6г + к = 0;
а) к = 1; б) к = —13.
—ж2 + Юг/2 — г2 — 8ху + бжг + 8?/г + 24ж — 8у — 16г +
+ к = 0* а) к = -26; б) к = -14; в) к = -2.
2ж2 — у2 + 2г2 + 4ж?/ — 2жг + 4?/г + Юж — 2у — 2г + к = 0;
а) к = 2; б) к = 5; в) к = 8.
ж2 + у2 — 2г2 + Юж?/ + 4жг — 4yz + 13ж + 11?/ + 2г +
+ 6 = 0.
ж2 + у2 — 2г2 + Юж?/ + 4жг — 4yz + 24ж — 12г + к = 0;
а) к = -12; б) к = -6.
Глава 5
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ. ГРУППЫ
§ 12. Линейные и аффинныепреобразования плоскости
В этом параграфе используются следующие основные понятия: отображение одного множества в другое, преобразование множества, образ элемента и множества, полный прообраз элемента и множества, вложение (инъективное отображение), взаимно однозначное (биективное) отображение, наложение (сюръективное отображение), произведение отображений, обратное отображение, линейное преобразование плоскости, аффинное преобразование, образ вектора при линейном преобразовании, линейное преобразование векторной плоскости, симметрия плоскости относительно прямой, симметрия плоскости относительно точки, гомотетия, параллельный перенос плоскости, сжатие к прямой с коэффициентом к, ортогональное преобразование, главные направления аффинного преобразования, собственные векторы линейного преобразования векторной плоскости.
Отображение f: X —> У множества X в множество У — это правило, которое каждому элементу ж Е X сопоставляет единственный элемент у = f(x) Е У, называемый образом элемента х при отображении /. Множество X называется областью определения, а множество У — областью значений отображения /. Совокупность f(X) образов всех элементов х Е X называется множеством значений отображения / (образом множества X при отображении /). Отображение /: X -А X называется преобразованием множества X. Ограничением отображения f: X У на подмножестве М С X называется отображение Jm- М ^ У, совпадающее с / на М.
Отображение /: X -Е У называется вложением (или инъективным отображением), если из яд ф х^ следует /(яд) ф /(^2). Отображение / называется наложением (или сюръективным отображением), если f(X) = y. Отображение / называется взаимно однозначным отображением X на У (или биективным отображением), если оно является вложением и наложением.
Прямым (или декартовым) произведением X х У множеств X, У называется множество упорядоченных пар {(ж,?/)|ж Е Х,у Е УУ Число элементов конечного множества (порядок) обозначается через \Х\.
Произведением отображений f: X У и у: У Z называется отображение h = gf; X Z, определяемое равенством (gf) (х) =
= g^f^x^ (х Е X). Произведение gf определено, если множество значений отображения / входит в область определения отображения д.
Тождественное преобразование г (или г^) множества X определяется равенством г (ж) = х для любого элемента х Е X.
Отображение д\ У -Е X называется обратным к отображению /: X -Е У и обозначается /-1, если для любых х Е Х^ уЕХ справедливы равенства /-1(/(ж)) = ж, /(/-1(^/)) = у. Обратное отображение существует, если / является взаимно однозначным: f-1(y) = х^ где х — единственный элемент из X. такой, что /(ж) = у.
Прообразом элемента (в геометрии — точки) у Е X при отображении f: X —> X называется любой элемент х Е X такой, что /(ж) = у. Полным прообразом /-1(5) множества 5 С X называется совокупность всех прообразов всех элементов из S.
Точка х Е X называется неподвижной точкой преобразования f: X X. если /(ж) = х. Множество М С X называется неподвижным относительно преобразования /, если все его точки неподвижны. Множество М называется инвариантным относительно преобразования /, если для любой точки х Е М также /(ж) Е М. Любое неподвижное множество инвариантно, обратное неверно.
Пусть / — преобразование плоскости, на которой задана декартова система координат. Координаты ж*, у* образа произвольной точки плоскости выражаются через координаты ж, у этой точки с помощью пары вещественных функций от двух переменных:
ж* = Дж,у), у*=Дж,у).(1)
Формулы (1) называются координатной записью преобразоваНИЯ плоскости.
Линейное преобразование плоскости задается в любой декартовой системе координат формулами
= aixXbiyXci,у* = д^хХЬ^уА-с^.
Взаимно однозначное линейное преобразование плоскости называется аффинным преобразованием. Линейное преобразование, записанное формулами (2), аффинно тогда и только тогда, когда
Образом вектора а = АВ при линейном преобразовании / называется вектор а* = f(A)f(B\ В силу этого, линейное преобразование плоскости определяет преобразование множества векторов плоскости. Оно обозначается той же буквой / и задается формулами
а* = а^а + bi3^ 3* = а^аb^
где (а^З) и (aY3*) — координаты вектора и его образа. Преобразование множества векторов, задаваемое такими формулами в некотором базисе, называется линейным преобразованием.
Пусть О, ei, е2 — декартова система координат, в которой преобразование / задается формулами (2), /(е^) = е* (г = 1,2), f(O) = О*. Тогда ei(ai,a2), е^ьЬг), O*(ci,c2).
Аффинное преобразование / называется преобразованием первого рода, если базисы ei, е2 и /(еД, /(62) ориентированы одинаково; второго рода — если противоположно. Для аффинного преобразования первого рода А > 0, для преобразования второго рода А < 0.
Если Ф — фигура на плоскости, имеющая площадь S, a S* — площадь ее образа при аффинном преобразовании /, то S* / S = | А |.
Ортогональным, называется преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками. Ортогональное преобразование аффинно и задается в прямоугольной системе координат формулами х* = xcosp — ?/sin^ + xq,/о\
у* = xsin<^ + у cosp + уо'
для преобразования первого рода и
х* = xcosp + ?/sin^ + xq,/.х
у* = xsin<^ — у cosip + уо
для преобразования второго рода.
Сжатием с коэффициентом А > 0 к прямой I называется аффинное преобразование, задаваемое формулами ж* = ж, у* = Ху, если прямая I выбрана в качестве оси абсцисс прямоугольной системы координат. (При А > 1 это преобразование можно называть растяжением.)
Всякое аффинное преобразование / является произведением f = hyh^y^ где у — ортогональное преобразование, a hy и h^ — сжатия к двум взаимно перпендикулярным прямым. Направления этих прямых называются главными или сингулярными направлениями преобразования /.
Ненулевой вектор а называется собственным вектором линейного преобразования / векторной плоскости, если существует число А такое, что /(а) = Аа. Число А, удовлетворяющее этому условию, называется собственным значением преобразования /. Собственные значения находят как вещественные корни уравнения
ау — A by а^ 62 — Аау — A by а^ 62 — А= 0.= 0.
ау — A by а^ 62 — А
ау — A by а^ 62 — А
= 0.
= 0.
Преобразованием подобия с коэффициентом к > 0 называется такое преобразование / плоскости, при котором |/(А)/(В)| = к\АВ\ для любых точек А, В.
В задачах этого параграфа угол поворота плоскости при заданном базисе на плоскости отсчитывается в направлении кратчайшего поворота от первого базисного вектора ко второму.
Общие свойства отображений (12.1—12.24)
Пусть У: А? У — отображение. Доказать, что:
если Л1 С Д2 С А?, то У(Лх) С У(Л2);
/(Л1иЛ2) = /(Л1)и/(Л2);
если Si,S2 СУД) CJ, то уЩ^П#^
= Г1(в1)П/-1№);
/(Лх П Л2) С /(Лх) П /(Л2). Может ли образ пересечения не совпадать с пересечением образов?
Сколькими способами можно установить взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, содержащими по п элементов?
1) Сколько существует преобразований множества, состоящего из п элементов? Сколько среди них взаимно однозначных?
Сколько возможностей имеется для множеств значений преобразований множества из п элементов?
Сколько существует отображений множества из т элементов в множество из п элементов?
Пусть У: А? У? |^| =|У| = Может ли отобра
жение У быть:
Наложением при n > т?
Вложением при n < т?
Пусть /: X -Л У, где А?, У — конечные множества, состоящие из одинакового числа элементов. Доказать равносильность следующих утверждений:
У — вложение;
У — наложение;
У взаимно однозначно.
Привести примеры таких отображений У: X —> У бесконечных множеств А?, У? что:
У является наложением, но не вложением;
У является вложением, но не взаимно однозначно.
Установить взаимно однозначные соответствия между множеством всех натуральных чисел и данным множеством:
множество всех целых чисел;
множество всех четных чисел;
множество всех рациональных чисел;
множество всех точек плоскости, координаты которых рациональны (рациональных точек);
множество всех интервалов на прямой с рациональными концами;
множество всех кругов на плоскости с центрами в рациональных точках и рациональными радиусами;
множество всех многочленов р(х) = ад + а\х + ... + ап^п (п = 0, 1, 2, ...) с целочисленными коэффициентами сц (г = = 0, 1, ..., п).
Доказать, что:
между множеством всех целых чисел и множеством всех последовательностей чисел 0 и 1 нельзя установить взаимно однозначного соответствия;
существует взаимно однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех последовательностей чисел 0 и 1.
Пусть X. У — бесконечные множества, У: X —> У — взаимно однозначное отображение и X^Z = 0. Придумать взаимно однозначное отображение X на У U Я, если:
Z конечно; 2) Z счетно.
Доказать, что у любого отображения f: X —> У имеется не более одного обратного отображения.
Придумать взаимно однозначное отображение прямой:
на интервал (—1,1);2) на отрезок [—1,1].
Придумать преобразование плоскости, которое взаимно однозначно отображает плоскость:
на открытый круг ж2 + р2 < 1;
на замкнутый круг ж2 +у2 < 1;
на квадрат |ж| < 1, |у| < 1 (система координат — прямоугольная) .
Дано линейное преобразование числовой прямой: ф(х) = ах + Ь (сц b — действительные числа). Доказать, что:
У взаимно однозначно тогда и только тогда, когда а Д 0;
У сохраняет направление векторов на прямой при а > 0 и меняет на противоположное при а < 0;
при а Д 0 образом интервала длины I является интервал длины \а\1.
Дано преобразование f(x) = ax + b числовой прямой. Найти:
неподвижные точки преобразования У;
преобразование, обратное к преобразованию У (а ДО).
Написать формулу, задающую линейное отображение интервала (а, Ь) на интервал (с, d) числовой прямой.
Даны линейные преобразования У и д числовой прямой: У (ж) = ах+ b^ д^ = cx + d. Найти произведения fg и gf. В каком случае fg = gf?
Отображение f числовой прямой в плоскость задано формулами в прямоугольной системе координат: х = a cost , у = bsmt (а > 0, Ь>0\
Найти образ 5 прямой при отображении f.
Является ли отображение f вложением?
Указать какие-либо множества на прямой, которые взаимно однозначно отображаются на 5.
Отображение f числовой прямой в плоскость задано формулами в прямоугольной системе координат: х = — ch^, у = sht
Найти образ 5 прямой при отображении f.
Является ли отображение f вложением?
Найти прообраз t каждой точки из 5.
Преобразование f плоскости задано в прямоугольной системе координат формулами: х* = ж2 — у2. у* = 2ху.
Является ли преобразование f; а) наложением, б) взаимно однозначным?
Найти полный прообраз произвольной точки (ж*, у*) плоскости.
Преобразование f плоскости задано в прямоугольной системе координат формулами: ж* = e^cos?/, у* = e^sin?/.
Является ли преобразование f взаимно однозначным?
Выделить на плоскости области, на которых f взаимно однозначно. _
Пусть У — ограничение преобразования f на полосе 0 < <у < тг. Найти формулы, задающие обратное к f отображение.
Даны отображения f : Л* У, 9 • У —> Z и h : Z —> -4- IX. Доказать ассоциативность умножения отображений, т. е. равенство h (gf) = (hg) f.
Пусть X. У — непустые множества, Z = X х У Отображение тг: Z —> У (проектирование Z на У) определяется равенством тг((ж,у)) = у. Показать, что тг — наложение.
Показать, что для всякого множества X существует вложение 5: X —> X х X.
Графиком отображения f : X ^ X называется подмножество Г = {(ж,/(ж))|ж G АД С Л* х У-
Найти образ множества X при отображении <р\ X -^ X х У, определяемом равенством (Дж) = (ж,/(ж)).
Доказать, что / = тгу? (определение тг см. 12.22).
Доказать, что отображение / является вложением тогда и только тогда, когда вложением является <р.
Доказать, что / является наложением тогда и только тогда, когда тг(Г) = У-
Геометрические свойства линейных и аффинныхпреобразований плоскости (12.25—12.36)
Найти радиус-вектор образа произвольной точки М(г) при данном преобразовании плоскости:
гомотетия с центром в точке МДгд) и коэффициентом к Д 0;
центральная симметрия относительно точки МДгд);
параллельный перенос на вектор а;
ортогональное проектирование на прямую г = rg + ^а;
симметрия относительно прямой г = rg + ^а;
сжатие к прямой г = г о + ta с коэффициентом А > 0.
Аффинное преобразование переводит три точки Л, В, С, не лежащие на одной прямой, соответственно в точки В, С, А. Найти неподвижные точки этого преобразования. При каком необходимом и достаточном условии преобразование будет ортогональным?
Аффинное преобразование переводит вершины треугольника АВС в середины К, L, М противолежащих им сторон. Найти образы точек К, L. М и точки О пересечения медиан треугольника АВС. Выяснить геометрический смысл этого преобразования.
Доказать, что:
если Ан В — две различные неподвижные точки аффинного преобразования, то и все точки прямой АВ неподвижны;
если аффинное преобразование / имеет единственную неподвижную точку, то все инвариантные прямые (если они существуют) проходят через эту точку;
точка пересечения двух инвариантных прямых аффинного преобразования неподвижна.
Доказать, что аффинное преобразование, имеющее пучок инвариантных прямых, пересекающихся в точке М, является гомотетией с центром в точке М.
Доказать, что линейное преобразование плоскости тогда и только тогда будет аффинным, когда образ каждого ненулевого вектора отличен от нуля.
Доказать, что две касательные к эллипсу (или гиперболе) параллельны тогда и только тогда, когда точки касания и центр кривой лежат на одной прямой.
Доказать, что если эллипс касается стороны описанного около него параллелограмма в ее середине, то он касается остальных сторон этого параллелограмма также в их серединах.
Около эллипса с центром О описан четырехугольник ABCD. Доказать, что сумма площадей треугольников О АВ и OCD равна сумме площадей треугольников О ВС и OAD.
Доказать, что вершины ромба, описанного около эллипса, лежат на осях симметрии этого эллипса.
Точки Л, В, С, D лежат на эллипсе с центром О, причем площади секторов АО В и COD равны. Доказать, что площади треугольников АОВ и COD также равны.
Точки А и В лежат на эллипсе с центром О, длины большой и малой полуосей которого равны а и b соответственно. Найти площадь сектора АОВ, если угол АОВ равен ср, О < ср ^ тг, а точки Л и В симметричны относительно большой оси эллипса.
Координатная запись линейных и аффинныхпреобразований плоскости (12.37—12.62)
В задачах 12.37-12.52 система координат предполагается общей декартовой.
Записать формулы, задающие данное преобразование плоскости:
гомотетия с центром в начале координат и коэффициентом к*,
гомотетия с центром в точке М(х$,уо) и коэффициентом к*,
центральная симметрия относительно точки М(х^,уоУ,
параллельный перенос на вектор а(а,/3).
Аффинное преобразование плоскости задается формулами х* = Зж + 2у — 6, у* = 4х — Зу + 1. Найти образы:
точек а) 0(0,0); б) Bi(l,0); в) В2(0,1); г) В(1,1); д) М-1,5);
прямых а) у = 0; б) х = 0; в) х — т/+ 1 = 0; г) х — у — -1 = 0; д) 2ж + Зх/ = 7.
Аффинное преобразование плоскости задается формулами х* = 2ж + Зу — 1, у* = — Зх — 4у + 2. Найти прообразы:
точек а) 0(0,0); б) Л(—1,2); в) В(4, —5);
прямых а) у = 0; б) х = 0; в) х + у — 1 = 0; г) х — у — -1 = 0; д) х-у+1 = 0.
Записать формулы, задающие аффинное преобразование плоскости, переводящее точки Л, В, С соответственно в А\ В\ С*:
А(1,0), В(0,1), 0(1,1), Л*(—3,5), В*(4,-3), С*(0,0);
А(3/7,1), В(1,1/4), 0(2,-1), А*(-4,2), В*(-1,6), (4,13);
А(1,0),В(—1/2, V3/2),C(-l/2,-V3/2), А* = В,
В* = С, С* = А;
А(1,2), В(-7,4), <7(3,-6); А*, В*, С* - середины сторон треугольника АВ О, противолежащие вершинам А^ В С соответственно.
Найти всевозможные линейные преобразования плоскости, переводящие точки А, В, С соответственно в А*, В*, С*, если такие преобразования существуют:
1)А(1,4), В(-2,1), (7(0,3), А*(0,0), В*(1,0), О*(0,4);
А(-2, 0), В (2, -1), 0(0, 4), Л*(-2,1), В*^ 1), О*(0,1);
А(2, 0), В(3,-1), С(4,—2), А*(2,1), В*(-2, -1), О*(—6, -3);
4)А(0, 0), В(-1,2), <7(1,-2), А*(—1, —1), В*(0,0), О*(1,1).
Найти все неподвижнвте точки аффинного преобразования, заданного формулами:
ж* = 7ж — Зу, у* = ж + у;
ж* =-5ж + у, у* = 6ж;
ж* = — 5ж + у, у* = 6ж 4-1;
ж* = 2ж — у + 3, у* = —2ж + 2у — 6;
ж* = 4ж + Зу-1, у* = -Зж - 2у + 1;
ж* = ж, у* = у.
Найти инвариантные прямые линейного преобразования, заданного формулами:
х* = 2х + 3у, у* = -у;
х* = —х + у, у* = х — у;
3)ж* = у —9, у*=9ж + 1;
х* = у, у* = -ж + 1;
х* = 2ж + у - 3, у* = 2ж + Зу - 6;
х* = 5ж + Зу + 1, У* = —Зж — у;
^i bi а^ Ьз^i bi а^ Ьзлинейноголинейногож* = Зж —2у + 5, у*=2ж-у + 5.
^i bi а^ Ьз
^i bi а^ Ьз
линейного
линейного
Доказать, что определитель Л = преобразования, заданного формулами
х* = aix + biy + щ, у* = а^х + Ъ^у + с2
не зависит от выбора системы координат.
Точки Л, В, С имеют в системе координат О, ei, е2 координаты (1,0), (0,1), (1Д) соответственно, а в системе координат О*, е^, е2 — координаты (1,-1), (—3,2), (0,1) соответственно. Записать формулы, задающие в системе координат О, ei, е2 аффинное преобразование / такое, что /(О) = О*,
Даны формулы перехода от системы координат О, ei, е2 к системе О', е^, е2. Записать формулы, задающие в системе координат О, ei, е2 аффинное преобразование / такое, что/(О) = О', /(ei) = e'1, /(е2) = е'2:
х = х' + у’ — 2, у = 2ж' — у' + 3;
х = Зж' — 4у’ — 5, у = 4ж' + Зу' + 1.
Записать формулы, задающие аффинное преобразование:
переводящее прямые х — у + 1 = 0^ х + у — 1 = 0 соответственно в прямые Зх + ^у — 3 = 0, 2ж + Зу + 1 = 0, а точку Л(1,1) — в точку В(—1, —2);
переводящее прямые А\х + Biy + Ci = 0 и Л2ж + В^у + + С2 = 0 соответственно в ось ординат и ось абсцисс, а точку Л(жо,уо) — в точку В (1,1) (точка А не лежит на данных прямых).
Дано аффинное преобразование ж* = 2ж + 3?/, у* = = Зж + Ьу. Составить уравнение образа кривой:
ж2 + у2 = 1;2) ж2 — у2 = 1;3) ху = 2;
у2 = —6ж;
(Зж + 4у — 1)(4ж — Зу + 1) = 0;
(х + у- 1)(ж + ?/ + 1) = 2.
Дано аффинное преобразование ж* = —х + Ьу + 1, у* = Зж — 2у — 1. Составить уравнения прообраза кривой:
1)®2 + у2=4;2) у2 = 1;
(у + 1)2 = 8(ж —1);
(ж + у- 1)(ж-у- 1) = 1;
(ж + 2у - 2) (ж + 2у + 2) = 0.
1) Записать формулы аффинного преобразования ж2
первого рода, переводящего эллипс — + у2 = 1 в себя так, что
точка Л(1,^/2) переходит в точку В(—2,0).
Решить такую же задачу для аффинного преобразова
ния второго рода.
Записать формулы аффинного преобразования, переводящего гиперболу —— = 1 в себя так, что точка Л(5,4)
переходит в точку B(V5,0).
Найти аффинное преобразование, если оно переводит параболу ж2 = 4у в себя и:
точка ЛД2Д) переходит в точку Bi(4,4), а точка Л2Д, 1/4) — в точку В2(3,9/4);
определитель преобразования равен 1.
В задачах 12.53-12.62 система координат предполагается прямоугольной.
Написать формулы, задающие данные преобразования плоскости:
поворот на угол ср вокруг начала координат;
поворот на угол ср вокруг точки М(жо,До);
ортогональное проектирование на ось абсцисс;
ортогональное проектирование на прямую ж — Зу + 1 = = 0;
симметрия относительно оси ординат;
симметрия относительно прямой Зх + 4у — 1 = 0;
сжатие к оси абсцисс с коэффициентом А > 0;
сжатие к прямой ж + у — 2 = 0 с коэффициентом 1/3;
сжатие к прямой 2ж — у + 5 = 0 с коэффициентом 2.
Какие из преобразований задачи 12.53 являются:
аффинными; 2) ортогональными?
Охарактеризовать геометрически преобразования:
ж* = ж, у* = Зу- 2) ж* = 2ж, у* = 2у-
3)ж* = ж —1, у*=у + 1;
ж* = —ж, у* = у;5) ж* = —ж, у* = —у;
ж* =-у, у* = ж;7) ж* = у, у*=ж;
8)ж* = ^(ж-у), у* = ^(ж+у);
х* = ^(ж + у), у* = -^(ж-у);
ж* = 3ж-6, у* = Зу + 2;
ж* =-ж-^-у-1, у* = —ж+-у + 1;
ж* = -ж + ^у-1, у* = ^х--у + А
ж* =-ж-2, у* = —у + 2;
ж* = 1(21ж + 12у), у* = ^(12ж + 14у);
ж* = |(2ж + у — 2), у* = ^ (ж + 2у + 2);
из задачи 12.40, 3);
из задачи 12.41, 2).
При повороте плоскости на угол Зтг/4 вокруг точки Л(0,1) найти:
образы точек 0(0,0) и Р(1,0);
прообразы точек О и В;
образы прямых х = 0 и у = х,
прообразы прямых у = 0 и у = —х.
На какой угол нужно повернуть прямую Зж — 4у + + 25 = 0 вокруг точки М(—7,1), чтобы ее образ:
был параллелен оси абсцисс;
касался окружности ж2 + у2 = 25/2?
Центром квадрата является точка Р(—1,2), а одна из сторон задана уравнением ж + ^у = 0. Составить уравнения остальных сторон квадрата.
Центром правильного шестиугольника является точка Р(д/3, 3/2), а одна из сторон задана уравнением у = д/Зж. Составить уравнения остальных сторон шестиугольника.
Вычислить:
площадь параллелограмма, стороны которого заданы уравнениями а^х + Ъуу + щ = 0, а^х + Ь^у + с^ = 0, aix + biy + + d\ = 0, а^х + b^y + d2 = 0;
(р) площадь треугольника, стороны которого заданы уравнениями а^х + biy + ci = 0, а^х + b^y + С2 = 0, а^х + Ь^у + сз = 0.
Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(—7,13) и образующей с прямыми 2ж + ?/ + 3 = 0иж + + у — 2 = 0 треугольник площади 9.
Окружность задана уравнением ж2 + у2 — 6ж + Зу = = 0. Составить уравнение окружности:
симметричной данной окружности относительно прямой х + у — 6 = 0;
полученной из данной окружности поворотом на угол arctg(4/3) относительно начала координат;
полученной из данной окружности в результате гомотетии с центром Л(6,0) и коэффициентом 4.
Операции с линейными преобразованиями. Структура ортогональных и аффинных преобразований
(12.63-12.89)
Система координат, если не оговорено, считается прямоугольной.
Записать формулы, задающие произведения фд и дф данных аффинных преобразований (система координат общая декартова):
ф; х*=у^ у* = х^ д: ж* = Зж + 4у + 1, у* = — 7ж + Ьу — 2;
ф: х* = 4ж — 2у + 6, у* = — Зж + у; д* х* = х — у, у* = 4ж + + у + 1.
Записать формулы, задающие произведение фд данных аффинных преобразований / и у, и охарактеризовать это произведение геометрически (система координат общая декартова):
ф — параллельный перенос на вектор а(—1,1); д — гомотетия с центром в точке М(1,2) и коэффициентом 3;
/ — гомотетия с центром в точке М(2, — 1) и коэффициентом — 1/2; д — центральная симметрия относительно точки 7V(3,1).
Записать формулы, задающие преобразование, обратное к данному (система координат общая декартова), если такое преобразование существует:
х* = у + 3, у* = -х + Зу - 1;
ж* = Зж + 4?/ + 8, ?/* = 5ж + 7?/ + 6;
о\ *431342
ж=-ж + -у + -,у= -ж —-у —-;
555555
х* = Зх + Ьу — 4, у* = Ьх + 9у + 6;
х* = Зх - 24, у* = —х + 4у + 12;
х* = 2х — у, у* = — 4ж + 2у^
х* = 4х - Зу, у* = Зж + 4у*
х* = 4ж + Зу^ у* = 3х — 4у;
х* = r^xcosip — у sin у), у* = г (ж sin ^ + у cos ^) (г > 0);
х* = г(жсо8^ + у8ш^), у* = r(xsm(p — у cos у) (г > 0).
Записать формулы, задающие n-ю степень данного преобразования (п — натуральное число):
х* = xcosq — ysina, у* = ж sin a + ycosa;
л/Чл/Ч 1
ж =-ж + — у, у =——ж + -у;
х* = х + у, у* = у; 4) х* = Зж, у* = ж + 2у.
Записать формулы, задающие произведение fg данных аффинных преобразований У и д:
У — гомотетия с центром в точке М(0,1) и коэффициентом 5, д — симметрия относительно прямой ж — 2у — 3 = 0;
У — сжатие с коэффициентом 3 к прямой у = ж, д — сжатие с коэффициентом 1/3 к прямой ж + у + 1 = 0;
У — гомотетия с центром в точке М(2, — 1) и коэффициентом 4, д — поворот вокруг точки Л(1,1) на угол тг/6;
У — сжатие с коэффициентом 1/2 к прямой 2ж + Зу = 0, д — гомотетия с центром в точке М(1,0) и коэффициентом —3/2.
Написать формулы и охарактеризовать геометрически преобразования, обратные к преобразованиям задачи 12.55, 1)-15).
Написать формулы, задающие произведения fg и gf ортогональных преобразований У и у:
У — поворот на угол тг/2 вокруг точки Л (1,1), д — параллельный перенос на вектор а(—1,—1);
У — симметрия относительно прямой ж — 2у — 5 = 0, д — параллельный перенос на вектор а(2,1);
У — поворот на угол 2тг/3 вокруг начала координат, д — симметрия относительно прямой у = 2;
У — симметрия относительно прямой ж — у — 1 = 0, д — симметрия относительно прямой ж + у — 1 = 0;
У — симметрия относительно прямой Зж — у — 1 = 0, д — симметрия относительно прямой Зж — у + 1 = 0;
У — поворот на угол arcsin(4/5) вокруг точки Л(1,0), д — поворот на угол arccos(4/5) вокруг точки В(—1,0);
У — поворот на угол 30° вокруг точки Л(1,0), д — поворот на угол 330° вокруг точки В(0,1).
1) Доказать, что произведение поворота плоскости вокруг некоторой точки и параллельного переноса является поворотом вокруг некоторой другой точки.
Найти координаты неподвижной точки Р преобразования, заданного формулами (3) из введения к § 12, при у Д 2тгп, п 6 Z. Доказать, что преобразование является поворотом на угол у вокруг точки Р.
Охарактеризовать геометрически преобразования фд и дф задачи 12.69, 1).
1) Доказать, что преобразование, заданное формулами_ ЖСО8(^ + т/sin у?, у* = xsin^ — ?/cos^,
является симметрией относительно некоторой прямой, проходящей через начало координат. Найти уравнение этой прямой.
При каком условии преобразование, заданное формулами (4) из введения к § 12, является симметрией относительно некоторой прямой? Найти уравнение этой прямой.
1) Доказать формулы (3), (4) введения к § 12.
Доказать, что любое ортогональное преобразование первого рода является либо параллельным переносом на некоторый вектор, либо поворотом вокруг некоторой точки.
Доказать, что любое ортогональное преобразование второго рода является произведением двух перестановочных преобразований — симметрии относительно некоторой прямой и параллельного переноса на некоторый вектор (вектор переноса^ коллинеарный этой прямой1). Найти вектор переноса а для преобразования, определенного формулами (4) введения к § 12.
Охарактеризовать геометрически преобразование, заданное формулами:
х* = х + 1,у* = -у;
х* = $Н у* = -у + 2;
х* = х, у* = —у + 2.
Выяснить, какого рода ортогональными преобразованиями являются преобразования /, д, фд и дф задачи 12.69. Охарактеризовать геометрически (в смысле задачи 12.72) преобразования фд и дф задач 12.69, 3) и 6).
Написать формулы ортогонального преобразования первого рода, переводящего точку Л(2,0) в точку Л*(1 + \f2^ 1),
’) Если вектор переноса отличен от о, то преобразование называют сколъзяии^ей симметрией.
а точку В(2,2) — в точку В*(1,1 + л/2) • Доказать, что это преобразование является поворотом вокруг своей единственной неподвижной точки. Найти координаты этой точки и угол поворота.
Написать формулы ортогонального преобразования второго рода, переводящего точку Л(2,0) в точку Л*(1 + +V2, 1), а точку В(2,2) — в точку В*(1,1 + V2)- Доказать, что это преобразование является произведением симметрии относительно некоторой прямой и параллельного переноса на вектор, коллинеарный этой прямой. Найти координаты вектора переноса и составить уравнение оси симметрии.
1) Доказать, что произведение двух преобразований, каждое из которых — симметрия относительно некоторой прямой, является параллельным переносом, если эти прямые параллельны, и поворотом, если прямые не параллельны.
Охарактеризовать геометрически преобразования fg и gf задачи 12.69, 4).
Тот же вопрос для задачи 12.69, 5).
1) Доказать, что произведение двух поворотов вокруг различных точек на углы, сумма которых равна 2тг, является параллельным переносом.
Охарактеризовать геометрически преобразования fg и gf задачи 12.69, 7).
Доказать, что квадрат ортогонального преобразования второго рода является параллельным переносом.
Представить данное преобразование в виде произведения нескольких преобразований, каждое из которых является осевой симметрией:
поворот на угол у вокруг точки М;
параллельный перенос на вектор а;
произвольное ортогональное преобразование второго рода.
Найти координаты векторов, задающих главные направления данного аффинного преобразования:
ж* = Зж, у* = 4у*2)ж* = —Зж, у* = 4у;
ж* = 3ж, у* = -Зу;
х* = х-у, у* = х + у;
ж* = ж, у* = — ж + у]
ж* = Зу-2, у* = — 4ж;
ж* = 2ж + Ьу, у* = - Пж + Ют/;
ж* = -4ж + 7т/, у* = 8х + у;
9)ж* = —4ж + 8у, у* = -7ж-11у;
ж* = ж + V3y + 2, y* = -3^ + 3y + V3.
Представить каждое из аффинных преобразований задачи 12.81 в виде произведения J = h^hig^ где д — ортогональное преобразование, a hi и h^ — сжатия к двум взаимно перпендикулярным прямым.
Разложить в произведение hg^ где д — ортогональное преобразование, a h — гомотетия, каждое из преобразований У и у1 задачи:
12.65, 7);2) 12.65, 8);3) 12.65, 9);4) 12.65, 10).
Доказать, что преобразование подобия представляет собой произведение ортогонального преобразования и гомотетии.
Найти собственные значения и координаты отвечающих им собственных векторов линейного преобразования (система координат общая декартова), если:
ж* = 7ж, д* = —х + 5д;
х* = 2х + д, д* = 2х + 3д*
ж* = 5ж — 4д, д* = 4х — Ьд^
ж* = 8ж + 17т/, д* = 17ж + 8д;
ж* = 2ж, д* = 2д-
ж* = ж — д^ д* = —ж + д*.
ж* = Пж - Ьд, д* = 12ж - д*
ж* = 7ж — 2д^ д* = 8ж — д.
Доказать, что аффинное преобразование, заданное формулами ж* = ах + bg, д* = Ьх + сд, имеет два взаимно перпендикулярных собственных вектора.
Аффинное преобразование У задается формулами ж* = а\х + big^ д* = а^х + Ь^д^ а преобразование fi — формулами х* = aix + а^д^ д* = bix + b^g. Доказать, что главные направления преобразования У совпадают с направлениями собственных векторов преобразования fif.
Каждая точка плоскости М^д) отождествляется с комплексным числом z = ж + гд. Доказать, что:
преобразование ^н^Не^ = ж является ортогональным проектированием на ось абсцисс;
преобразование z нд "z = ж — гд является симметрией относительно оси абсцисс;
преобразование z нч z + ^о, гДе ^о = жо + %^ — фиксированное комплексное число, является параллельным переносом на вектор а(жд>Уо);
преобразование z нч az, где а — действительное число, не равное нулю, является гомотетией с центром в начале координат и коэффициентом а;
преобразование z нч (cosy? + гsinp^z = e^z (у? — фиксированное действительное число) является поворотом на угол у? вокруг начала координат.
Выяснить геометрический смысл преобразования У комплексной плоскости (см. задачу 12.88):
У(^) = az, где а = г (cos у? + г sin у?), г > 0;
У(z) = az + b, где a,b — комплексные числа, а Д 0.
Понятие о группах
В этом параграфе используются следующие основные понятия: бинарная алгебраическая операция, группа, единичный элемент, обратный элемент, абелева группа, циклическая группа, подгруппа, гомоморфизм, изоморфизм групп, нормальная подгруппа, факторгруппа.
Непустое множество G называется группой, если в G задана бинарная алгебраическая операция (чаще всего называемая умножением), т. е. для каждой упорядоченной пары (а, Ь) элементов из G определен единственный элемент с = а • b G G — их произведение в указанном порядке, причем выполнены следующие аксиомы:
Умножение ассоциативно; (а • Ь) • с = а • (Ь • с) для любых а, Ь, с Е G.
В G существует нейтральный (единичный) элемент е такой, что е • а = а • е = а для всех а Е G.
Для любого а Е G существует обратный элемент а-1 Е G такой, что а • а-1 = а-1 • а = е.
Группа G называется коммутативной или абелевой, если а -Ь = = b • а для любых a, b Е G. В абелевой группе операцию иногда называют сложением и сумму обозначают а + Ь. При этом нейтральный элемент обозначается нулем 0, а обратный к а элемент называется противоположным и обозначается —а.
Число элементов группы G (если оно конечно) называется порядком группы G и обозначается |G|. Группа G при этом называется конечной. Если множество G бесконечно, то группа G называется бесконечной.
Целые степени элемента а Е G определяются рекуррентно: а0 = е, ап+г = апа для натурального п, ап = (а-Д-* для целого отрицательного п. Группа G называется циклической группой с образующим элементом а, если все элементы группы G являются целыми степенями элемента а.
Наименьшее натуральное число п, для которого ап = е (если оно существует), называется порядком (периодом) элемента а. Если ап ^ е для любого п, то а считается элементом бесконечного порядка.
Подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно операции, заданной в G. Подгруппа Н группы G называется нормальной в G (или нормальным делителем группы G), если для любых элементов h Е Н, g Е G элемент ghg~r также принадлежит Н. Элемент группы вида ghg~r называется сопряженным с элементом h посредством д.
Две группы Gi и G2 (с операциями • и * соответственно) называются изоморфными, если существует такое взаимно однозначное (биективное) отображение р: Gi -Е G^^ что для любых двух элементов а и b из G выполняется равенство
р(а • Ь) = р(а) * р(Ъ).
Обозначение изоморфизма групп: Gi = G^.
Пусть Н — подгруппа в G. Левым смежным классом элемента д Е G по подгруппе Н называется множество
дН = ^gh : h € Я}.
Аналогично определяется правый смежный класс Нд = {hg : h Е Н^.
Группа G разбивается на попарно не пересекающиеся левые (правые) смежные классы по подгруппе Н, причем мощность любого смежного класса равна мощности Н. Отсюда следует теорема Лагранжа*, порядок конечной группы делится на порядок любой ее подгруппы.
В общем случае gН ^ Нд; если подгруппа Н нормальна в G, то дН = Нд для всех д Е G. При этом множество G/Н смежных классов группы G по подгруппе Н является группой относительно операции умножения классов, определяемой равенством
(аН)(ЬН) = (ab)H.
Эта группа называется факторгруппой группы G по нормальной подгруппе Н.
Пусть Sn — совокупность всех взаимно однозначных преобразований множества X = {!,..., п}. Любое преобразование а Е Sn определяет перестановку (ii,...,in) чисел (1,...,п) (см. § 14); само преобразование ст называется подстановкой (или также перестановкой) степени п и изображается двухрядным символом, указывающим образ любого числа k (1 к < п): а = [П
v7Ч
Умножение перестановок определяется так же, как и для любых преобразований. Относительно операции умножения множество 8п образует группу — симметрическую группу степени п.
Образует ли группу относительно операции умножения данное множество преобразований плоскости:
множество всех параллельных переносов;
множество всех параллельных переносов на ненулевые векторы;
множество всех поворотов вокруг фиксированной точки;
множество всех поворотов;
множество всех ортогональных преобразований;
множество всех ортогональных преобразований второго рода;
множество всех ортогональных преобразований, имеющих общую неподвижную точку;
множество всех аффинных преобразований;
множество всех линейных преобразований;
множество, состоящее из тождественного преобразования и симметрии относительно данной прямой;
множество поворотов плоскости вокруг центра правильного n-угольника, совмещающих этот n-угольник с самим собой (вращения правильного n-угольника);
множество всех преобразований подобия?
Образует ли группу относительно операции умножения множество преобразований плоскости, заданных формулами:
ж* = Аж, у* = Ху;
ж* = Ху. у* = А-1ж, А ^0;
ж* = Аж, у* = у. А 0;
ж* = ж, у* = Аж + у;
ж* = аж + by. у* = сж + dy;
ж* = аж + by. у* = сж + dy. ad — bc^ 0;
ж* = аж — by. у* = bx + ау. а2 + Ь2 0;
ж* = r(xcosip — у sin у), у* =r(xsm(p +ycos(p).г>0;
х* = а^х + biy + щ, у* = а2Ж + b^y + С2,а^ -a^bi=1?
Образует ли группу относительно операции сложения:
множество всех действительных чисел;
множество всех неотрицательных действительных чисел;
множество всех рациональных чисел;
множество всех целых чисел;
множество всех четных чисел;
множество всех нечетных чисел;
множество всех комплексных чисел;
множество всех чисто мнимых комплексных чисел;
множество из одного числа 0?
Образует ли группу относительно операции умножения:
множество всех действительных чисел;
множество всех положительных действительных чисел;
множество всех рациональных чисел;
множество всех натуральных чисел;
множество всех ненулевых комплексных чисел;
множество всех комплексных чисел, по модулю равных 1;
множество всех ненулевых чисто мнимых комплексных чисел;
множество комплексных корней n-й степени из 1 (п — натуральное число)?
Доказать, что в любой группе:
единичный элемент е единственен;
для любого элемента а обратный элемент а-1 единственен;
равенство ах = b равносильно х = а-1Ь, а равенство ха = = b равносильно х = Ьа-\
для любых элементов а и b выполняется равенство (ab)-1 = bxaV
Доказать, что если квадрат любого элемента группы равен единичному элементу, то группа абелева.
Доказать, что все аффинные преобразования плоскости, при которых данный треугольник переходит в себя, образуют неабелеву группу. Найти порядок этой группы.
Доказать, что две группы изоморфны:
группа комплексных чисел относительно операции сложения и группа параллельных переносов плоскости относительно операции умножения (композиции);
группа комплексных чисел, по модулю равных 1, относительно операции умножения и группа поворотов плоскости вокруг фиксированной точки относительно операции умножения;
группа ненулевых действительных чисел относительно операции умножения и группа гомотетий с центром в данной точке относительно операции умножения (коэффициент гомотетии отличен от нуля);
группа ненулевых комплексных чисел относительно операции умножения и группа преобразований плоскости, заданных формулами х* = ах — by, у* = bx + ау (а2 + Ь2 > 0), относительно операции умножения;
группа действительных чисел относительно операции сложения и группа положительных действительных чисел относительно операции умножения;
группа Сп вращений правильного n-угольника относительно операции умножения и группа Un комплексных корней n-й степени из 1 относительно операции умножения.
Доказать, что существуют только две неизоморфные группы, содержащие четыре элемента. Привести примеры для обоих случаев.
Доказать, что данная группа является циклической, и найти ее образующий элемент:
группа всех целых чисел относительно сложения;
группа nZ целых чисел, кратных данному натуральному числу п, относительно сложения;
группа Un комплексных корней степени п из 1 относительно умножения;
группа Сп вращений правильного п-угольника.
Найти все подгруппы групп из задачи 13.10.
Доказать, что:
всякая бесконечная циклическая группа изоморфна группе целых чисел;
все конечные циклические группы одинакового порядка изоморфны друг другу.
Доказать, что:
всякая подгруппа циклической группы сама циклическая;
порядок любой подгруппы конечной циклической группы является делителем порядка группы.
Пусть Н — непустое подмножество группы G. Доказать, что Н является подгруппой в G тогда и только тогда, когда выполняются два условия: а) если hi^h^ Е Н. то hih^ Е ГГ б) если h Е Н^ то h-1 Е Н.
Пусть Н — непустое подмножество группы G, замкнутое относительно умножения (т. е. выполнено условие а) задачи 13.14). Доказать, что при любом из следующих условий Н будет подгруппой в G:
Н — конечное множество;
все элементы из Н имеют конечные порядки.
Показать, что:
группа всех ортогональных преобразований, сохраняющих данный правильный n-угольник (называемая его группой симметрии, а также группой диэдра степени п, Dn\ содержит 2п преобразований;
группа Си вращений правильного n-угольника является нормальной подгруппой в Оп.
Пусть |G| = 2п и Н — подгруппа в G порядка п. Доказать, что Н — нормальная подгруппа группы G.
Доказать при помощи теоремы Лагранжа, что:
порядок конечной группы делится на порядок любого ее элемента;
группа простого порядка является циклической.
Пусть G = Оз — группа симметрии правильного треугольника (см. задачу 13.16), а Н — ее подгруппа, состоящая из тождественного преобразования г и симметрии относительно одной из высот треугольника. Найти разбиение группы G на левые и правые смежные классы по Н и убедиться в том, что Н не является нормальной подгруппой в G.
Доказать, что:
параллельные переносы образуют нормальную подгруппу группы ортогональных преобразований плоскости;
преобразования, имеющие общую неподвижную точку, образуют подгруппу группы ортогональных преобразований плоскости, но она не является нормальной.
Доказать, что:
если конечное множество аффинных преобразований плоскости образует группу, то все преобразования из этого множества имеют общую неподвижную точку;
всякая конечная группа ортогональных преобразований плоскости является группой симметрии или группой вращений некоторого правильного многоугольника.
Найти (с точностью до изоморфизма) факторгруппу G/Н, если:
G — группа всех комплексных чисел с операцией сложения, Н — подгруппа всех вещественных чисел.
G — группа ненулевых комплексных чисел с операцией умножения, Н — подгруппа положительных вещественных чисел.
G — группа ненулевых комплексных чисел с операцией умножения, Н — подгруппа чисел, по модулю равных 1.
G — группа всех вещественных чисел с операцией сложения, Н — подгруппа целых чисел.
G = Z — группа целых чисел с операцией сложения, Н = пХ — подгруппа чисел, кратных данному натуральному числу п.
G — группа всех ортогональных преобразований плоскости первого рода с операцией умножения преобразований, Н — подгруппа параллельных переносов.
1) Доказать, что множество Sn всех подстановок степени п является группой относительно операции умножения преобразований (симметрической группой степени п). Найти порядок этой группы.
Доказать, что группы Sn некоммутативны при п ^ 3.
13.24. Вычислить:
13.25. Доказать, что все четные перестановки (см. введение к § 14) образуют нормальную подгруппу Ап в Sn, и найти
ее порядок.
Пусть V — нециклическая подгруппа четвертого порядка в S4. Доказать, что:
1) У С Л4;2) V нормальна в S4;3) S4/V S3.
Найти:
все подгруппы в S3;
все нормальные подгруппы в S4.
Глава 6
МАТРИЦЫ
§ 14. Определители
В этом параграфе используются следующие основные понятия: матрица, подматрица, строка матрицы, столбец матрицы, перестановка, четная или нечетная перестановка, число нарушений порядка в перестановке, определитель (детерминант) квадратной матрицы, минор матрицы, элементарные преобразования матрицы, транспонирование матрицы. В задачах 14.33-14.44 используются и другие операции с матрицами и некоторые специальные виды матриц; соответствующие обозначения и определения даны во введении к § 15.
Квадратная матрица порядка п
пи ai2 ... «in^21 ^22 • • • а2п
^-nl ^n2 • • • ^nn
обозначается также через Цп^Ц или (aij). Элементы а^у,...,а^п образуют г-ю строку, элементы ayj,... ,anj — j-й столбец матрицы А. Говорят, что элемент а^ лежит на пересечении ее г-й строки и j-ro столбца. Всюду в этой главе, кроме нескольких специально оговоренных случаев, предполагается, что элементы матриц — вещественные или комплексные числа. Определитель матрицы А обозначается через det А, |А| или
пц ау2 ... ауп
anl ап2 • • • ^пп
Приведем основные формулы для вычисления определителей:
а b с dа b с d= ad — be;= ad — be;(1)(1)ay by су a2 b2 C2 аз ^з c3ay by су a2 b2 C2 аз ^з c3= ay= ay^2 C2Ьз сз^2 C2Ьз сз"by"bya2 C2 . a2 b2+ Cy 7 аз c3 1 a^ b3a2 C2 . a2 b2+ Cy 7 аз c3 1 a^ b3
а b с d
а b с d
= ad — be;
= ad — be;
(1)
(1)
ay by су a2 b2 C2 аз ^з c3
ay by су a2 b2 C2 аз ^з c3
= ay
= ay
^2 C2
Ьз сз
^2 C2
Ьз сз
"by
"by
a2 C2 . a2 b2
+ Cy 7 аз c3 1 a^ b3
a2 C2 . a2 b2
+ Cy 7 аз c3 1 a^ b3
— ауЬ2Сз — ауЬзС2 + а^ЬуС2 — а2ЬуСз + а2Ьз>су — азЬ2Су. (2) Рекуррентные формулы:
^А = ^(-\у+ка1кМ1кк=1^А = ^(-\у+ка1кМ1кк=1(3)(3)
^А = ^(-\у+ка1кМ1к
к=1
^А = ^(-\у+ка1кМ1к
к=1
(3)
(3)
(формула разложения определителя по г-й строке)
detA^^-l)k+jakjMkj к=1detA^^-l)k+jakjMkj к=1(4)(4)
detA^^-l)k+jakjMkj к=1
detA^^-l)k+jakjMkj к=1
(4)
(4)
(формула разложения определителя по j-му столбцу). В формулах (3), (4) через М^ обозначен дополнительный минор элемента а^ т.е. определитель матрицы порядка п — 1, полученной из А вычеркиванием строки и столбца, в которых расположен элемент а^.
^и ... ain^и ... ainani...аппani...апп5252(5)(5)
^и ... ain
^и ... ain
ani...апп
ani...апп
52
52
(5)
(5)
— формула полного разложения (или полного развертывания) определителя, выражающая определитель матрицы n-го порядка через ее элементы. В слагаемых формулы (5) значения индексов Д, ..., zn образуют всевозможные перестановки чисел 1, 2, ..., п, а через N (Д, ..., zn) обозначено число нарушений порядка в перестановке (zi,...,zn). Напомним, что перестановка (Д, ..., zn) называется чет- ной^ если число N (Д, ..., zn) четно, и нечетной в противном случае.
Приведем формулировку теоремы Лапласа. Минором порядка s (s С п) матрицы А называется определитель матрицы, образующейся в пересечении каких-либо з строк и з столбцов матрицы А. Если эти строки имеют номера (Д,... ,zs), а столбцы — номера (Д,...,Д), то соответствующий минор обозначается через L%A ^js-
pAv-As Av AspAv-As Av As^1Л • • • ^Л is^1Л • • • ^Л isa^gj^ ... а^8д8a^gj^ ... а^8д8
pAv-As Av As
pAv-As Av As
^1Л • • • ^Л is
^1Л • • • ^Л is
a^gj^ ... а^8д8
a^gj^ ... а^8д8
Через мА -1.8 обозначаем минор, дополнительный к минору LA‘\S , т. е. определитель матрицы порядка п — s, полученной из А вычеркиванием выделенных строк и столбцов. Для любого натурального числа s (s С п) и любого фиксированного набора строк с номерами Д, • • • As таких, что Д < Д < ... < zs, справедлива формула
det^= 52 (6)
где сумма берется по всевозможным наборам значений индексов Д,... Asтаким, что 1 ^ Д < Д < ... < Д ^ ти Формулу (6) можно назвать формулой разложения определителя по данным з строкам. Аналогична формула разложения определителя по данным з столбцам:
detA= ^2
Здесь индексы jh...js фиксированы, а сумма берется по всевозможным наборам значений индексов zi,...,zs таким, что 1 ^ zi < ... ... <is ^п.
Перестановки (14.1—14.3)
1) Доказать, что последовательно переставляя соседние числа, можно поменять местами любые два элемента перестановки, сохранив при этом расположение остальных элементов.
Доказать, что четность перестановки изменится, если в ней поменять местами два элемента.
1) Доказать, что конечное число (к) раз переставляя соседние числа, можно расположить элементы перестановки в порядке возрастания. Однозначно ли определено к?
Пусть s — число нарушений порядка в перестановке. Доказать, что числа к и s имеют одинаковую четность.
Указать последовательность из s перемен мест в парах соседних чисел, в результате которой все элементы перестановки будут расположены в порядке возрастания.
Последовательно переставляя соседние числа, расположить элементы следующих перестановок в порядке возрастания. Найти число нарушений порядка и определить четность перестановки:
( 5 4 3 2 1 );2) ( 6 4 5 2 3 1 );
( 1 2 4 5 6 3 );4) (124359876 );
(987654321 );6) (432159876 );
(п, п-1,1 );
( 1, 3, 5,2п-1, 2, 4, 6,2п);
( 2, 4, 6,2п, 1, 3, 5, 2п + 1 ).
Вычисление определителей (14.4—14.32)
Вычислить определитель второго порядка:
|Л5|;2) |Л6|;3) Д7|;
|Л81|;5) Щ77|;6) Щ8|.
Вычислить lAysl при е = е7™/3.
Пусть х = г cos у?, у = г sin у?. Вычислить якобиан дх/дг Эх (dip ду/дг ду/др) *
Вычислить определитель третьего порядка:
Ц2оо|;2) 1^2011;з) |Л202|;4) |Л2оз|;
|Л2о4|;6) |Л2об|;7) |Л2од|;8) |Л2ю|;
|Л365|;10) |Л364|; И) |Лзбб|; 12) |Л368|.
Вычислить |Л3б3| при ш = е2?гг/3.
Пусть х = г cos у cos ^ у = г sin^cos^, ^ = г^тф). дх/дг дх/д^р дх/дф)
Вычислить якобиан ду/дг Эу)Эг ду/дф> .
dz/dr dz/dip dz/дф
Решить относительно неизвестного А уравнение:
| Л2ц - А5| = 0;2) | Л2Х2 - А5| = 0;
|Л213-А5|=0.
Сколько слагаемых входит:
в формулу полного разложения определителя четверто
го порядка;
в формулу полного разложения определителя пятого порядка?
1) Имеются ли в формуле полного разложения определителя матрицы \ \aij 11 пятого порядка слагаемые ai5«i2«34«2i«43, ^55^12^34^21^43?
С какими знаками входят в формулу полного разложения определителя матрицы пятого порядка слагаемые «12^21^34^45^53, «15а23а34«41«52?
Пусть в матрице А порядка п точно п элементов равны 1, а остальные — нули. Чему может быть равен определитель матрицы А?
Доказать, что определитель диагональной матрицы
равен произведению ее диагональных элементов.
Доказать, что определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.
1) Как изменится определитель, если в матрице переставить две строки?
Как изменится определитель, если к одной строке матрицы прибавить другую?
Как изменится определитель, если одну строку в матрице умножить на число А?
Как будет изменяться определитель, если со столбцами матрицы совершать такие же элементарные преобразования?
Изменится ли определитель, если матрицу транспонировать?
Как изменится определитель, если все элементы матрицы заменить комплексно сопряженными числами?
Сформулировать несколько достаточных условий, при которых определитель матрицы А равен 0. Сформулировать необходимое и достаточное условие.
Пусть det Л Д 0. Доказать, что, применяя к строкам матрицы элементарные преобразования, сохраняющие определитель, можно получить: 1) треугольную матрицу; 2) диагональную матрицу.
Вычислить определитель четвертого порядка:
1) И4зо|;2) |Л431|;3) |Л432|;4) |Л435|;
Ц43б|;6) IA437I;7) |Л438|;8) |Л43д|;
Ц44о|; Ю) p44i|; п) Ц434|;12) |A442|;
Д44з|;14) Ц444|;15) Ц445|.
Вычислить определитель пятого порядка:
Цбзо|; 2) |Л532|;3) |А533|;4) |A54i|;5) |Л53б|.
Вычислить определитель порядка п;
Ибоо|;2) Щб01|; 3) Цбю|;4) Щби|;5) Щб1з|;
6) Цб0б|;7) |Лб14|;8) Щб15|;9) Д622|;10) |А633|;
Дб2б|;12) Цб2б|;13) Дб24|;14) |Лб2§|;
Щб41|;16) |Лб3б|;17) Щб39|; 18) Цб21| (п = 2к).
24. Вычислить определитель порядка п (полезно получить рекуррентную формулу):
Иб2з|;2) |Л629|;з) Щбз1|;
Цб32|;5) Щб34|;6) Цвзб!;
|^4-б44| («детерминант Вандермонда»);
1 - а^1 - «16"
8)9)8)9)— aibi1 — aibn
8)
9)
8)
9)
1-аЖ
Ib X! b ! b
^n^l1 ^Tl^n
1 + Ж1 ...1+ ж"
1 + ж2 .1+ ж2 .
1 + ®п . .. 1 + ж”
0 0 0 ... 1 2а
11)
2 cos у
1
0
1
2 cos
1
0
У 1...
2 COS (/7 . ..
00
00
00
0
0
0...
1 2 COS (/7
2 ch 9?
1
0... 0
0
1
2chy>
1... 0
0
12)
0
1
2 ch у ... 0
0
5
13) (p) Дб38|
0
0
0... 1 2 ch p
Показать, что определитель матрицы А порядка п равен 0, если в ней имеется нулевая подматрица размеров к х I и к + 1 > п.
Вычислить det Л, зная, что в матрице А сумма
строк с четными номерами равна сумме строк с нечетными номерами.
Как изменится определитель, если переставить столбцы матрицы, расположив их в обратном порядке?
Как изменится определитель, если матрицу транспонировать относительно второй диагонали?
Числа 1081, 1403, 2093 и 1541 делятся на 23. Объяснить без вычислений, почему число
10 8 1
14 0 3
2 0 9 3
15 4 1 также делится на 23.
Пусть Mij — дополнительный минор элемента а^
матрицы А. Доказать, что a^jМ^ (—1 )г+^ = 0 при к ^ г (п — j=i
порядок А).
1) Пусть все элементы матрицы второго порядка являются дифференцируемыми функциями от одной переменной t. Доказать, что для производной от определителя, рассматриваемого как функция от t. имеет место формула
a(t) b(t) 1 _ a'(t) b’^a(t) 5(f)
c(t) d^ — c(t) d^d(f) df(t) *
Составить и доказать формулу дифференцирования определителя порядка п.
Доказать, что det (А — ХЕ) — многочлен от А, и вычислить его коэффициенты.
Задачи, в которых употребляются операции сматрицами и специальные виды матриц (14.33—14.44)
Справедливы ли тождества (п — порядок матрицы А);
det (А + В) = det А + det В;
det (АЛ) = A det Л;
det (АЛ) = A™ det Л;
det(Ak) = (detA)k?
Пусть А — квадратная матрица порядка n; bij — дополнительный минор ее элемента а^; c^j — алгебраическое дополнение элемента а^; из них образованы матрицы В = (Ь^), С = (cij). Доказать, что detB = detC = (detA)71-1.
Доказать, что определитель эрмитовой матрицы — вещественное число.
Доказать, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен 0.
Доказать, что если матрица А унитарна, то | detA| = 1.
Доказать, что для любой вещественной матрицы А выполнено det ААТ ^ 0.
Пусть В],...,!^— квадратные матрицы,
By
н =н =— б л очно диагональная матрица. Доказать,
н =
н =
Вк
что det Н° = det By... det Вк.
Пусть A, D — квадратные матрицы, Н = блочно треугольная матрица. Доказать, что
А ОВ DА ОВ Ddet Н° = det А • det D.
А О
В D
А О
В D
Пусть А — квадратная матрица порядка n, det Л =
А 2АЗА 4АА 2АЗА 4А= а, Н == а, Н =. Вычислить det№.. Вычислить det№.А А2А3 А4А А2А3 А4степени, Н =степени, Н =. Вычислить detBD.. Вычислить detBD.Пусть А — квадратная матрица, Л2, Л3, А4 — ее
А 2А
ЗА 4А
А 2А
ЗА 4А
= а, Н =
= а, Н =
. Вычислить det№.
. Вычислить det№.
А А2
А3 А4
А А2
А3 А4
степени, Н =
степени, Н =
. Вычислить detBD.
. Вычислить detBD.
14.43. 1) Пусть А, В, С, Е — квадратные матрицы порядка14.43. 1) Пусть А, В, С, Е — квадратные матрицы порядкап, Е — единичная матрица, Н = det#n = det(A-BC).п, Е — единичная матрица, Н = det#n = det(A-BC).Л ВС ЕЛ ВС Е. Доказать, что. Доказать, что2) Всегда ли справедливо равенство det Н° = det(AD —2) Всегда ли справедливо равенство det Н° = det(AD —— ВС) для блочной матрицы Н =— ВС) для блочной матрицы Н =А В С DА В С D
14.43. 1) Пусть А, В, С, Е — квадратные матрицы порядка
14.43. 1) Пусть А, В, С, Е — квадратные матрицы порядка
п, Е — единичная матрица, Н = det#n = det(A-BC).
п, Е — единичная матрица, Н = det#n = det(A-BC).
Л В
С Е
Л В
С Е
. Доказать, что
. Доказать, что
2) Всегда ли справедливо равенство det Н° = det(AD —
2) Всегда ли справедливо равенство det Н° = det(AD —
— ВС) для блочной матрицы Н =
— ВС) для блочной матрицы Н =
А В С D
А В С D
Выразить определитель кронекеровского произведения А® В через определители матриц А, В.
§ 15. Операции с матрицами
В этом параграфе используются следующие основные понятия: матрица, размеры матрицы, подматрица (блок, клетка матрицы), элементарные преобразования матрицы, сумма матриц, произведение матрицы на число, произведение матриц, перестановочные (коммутирующие) матрицы, обратная матрица, след матрицы, многочлен от матрицы. В некоторых задачах предполагается знакомство с алгоритмом Гаусса. Подробное изложение алгоритма Гаусса дано во введении к § 16.
Приведем некоторые обозначения и определения. Матрица
^11^12 ••• Clin
Д_ 021а22••• Cl2n
^ml ^m2 • • • Ct-mn
содержит m строк и п столбцов, имеет размеры (размер) т х п, ширину п и высоту т. Рассмотрим матрицы А, В, С с элементами а^, b^j, сц соответственно.
Матрица В называется произведением матрицы А на число а, если для всех элементов этих матриц выполнены равенства b^j = aa^j (размеры матриц А, В одинаковые). Обозначение: В = а А.
Пусть А, В, С — матрицы одинаковых размеров. Матрица С называется суммой матриц А и В и обозначается С = А Г В, если для всех значений индексов i,j выполнены равенства с^- = а^ Ab^.
Пусть число п столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Матрица С называется произведением А на В (справа), С = АВ, если для всех значений индексов г,] выполнены равенства Cij = '^2^aikbkj- Если А имеет размеры т х п, а В — размеры п х р, k=i
то матрица С = АВ имеет размеры т х р. Матрицы А и В коммутируют, если АВ = В А.
Следующие два типа преобразований строк назовем основными элементарными преобразованиями строк матрицы:
умножение строки на число, отличное от нуля;
прибавление к какой-либо строке матрицы другой ее строки.
К элементарным преобразованиям строк относят также:
перестановку двух строк матрицы;
прибавление к какой-либо строке матрицы другой ее строки, умноженной на число.
Матрица В называется транспонированной по отношению к матрице А и обозначается В = АТ, если строками матрицы В являются соответствующие столбцы матрицы А, т. е. для всех г О выполнены равенства bij = а^- Операция перехода от А к Ат называется транспонированием матрицы А. Если А имеет размеры m х п, то АТ имеет размеры п х т.
Матрица В называется комплексно сопряженной по отношению к комплексной матрице А и обозначается В = А, если для всех г О выполнено равенство b^j = сц§. Матрица В называется эрмитово сопряженной по отношению к матрице А и обозначается В = Ан, если —т, ,
В = А , т. е. для всех i,j выполнено b^j = а^.
Матрица называется нулевой, А = О, если все ее элементы равны 0. Матрица А называется матричной единицей с индексами го ? Jo и обозначается А = EiQjQ, если все ее элементы, кроме aiojo, нулевые, а aiojo = 1*
Элементы an,a22v ^апп образуют (главную) диагональ квадратной матрицы А= Н^Н порядка п и называются ее диагональными элементами. Сумма диагональных элементов называется следом матрицы А и обозначается trA. Таким образом, trA = ^^ag.
г=1
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее недиагональные элементы равны 0, т. е. aij = 0 при i^j. Диагональная матрица порядка п обозначается diag(an,..., апп). Диагональная матрица порядка п, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной и обозначается Е или Еп. Элементы единичной матрицы обозначаются 5^ j: Е = 115ij 11,
х _ Г 1 ПРИ i = A
v |^ 0 при г ^ j.
Пусть А — квадратная матрица порядка п. Матрица В называется обратной к А и обозначается В = А-1, если АВ = ВА = Е. Элементы обратной матрицы можно вычислить по формуле:
ij" det А ’
где Mji — дополнительный минор элемента а^ в матрице А. Матрица А обратима, если det А ^ 0.
Пусть p(t) = do + ait + ... + a^tk — многочлен. Матрица В = = а^Е А ауА А ... A a^Ak называется многочленом от матрицы А и обозначается В =р(А).
Перечислим некоторые специальные виды квадратных матриц А = Ца^Ц порядка п:
скалярная: А = diag(A,..., А), где А — некоторое число;
вырожденная (особая): det А = 0;
невырожденная (неособая): det А ^ 0;
унимодулярная: det А = 1;
матрица перестановки: матрица А получена из единичной матрицы Е перестановкой строк;
элементарная матрица: матрица А, полученная из Е элементарным преобразованием;
верхняя треугольная: aij = 0 при г > у
нижняя треугольная: aij = 0 при г < j;
симметрическая (или симметричная): АТ = А; кососимметрическая (или кососимметричная): АТ = —А; эрмитова: Ан = А;
косоэрмитова: Ан = — А;
ортогональная: АТ = А-1;
унитарная: Ан = А-1;
неотрицательная: а^ ^ 0 при всех z,J;
стохастическая (марковская): aij ^ 0 при всех ij и '^^агк = 1 к=1
при г = 1,..., п;
нильпотентная: Ак = О при некотором натуральном к (наименьшее из таких к называется показателем нильпотентности матрицы А);
периодическая: Ak = Е при некотором натуральном к (к называется периодом матрицы А).
Матрица В называется блочной (клеточной)если ее элементами являются матрицы Bij размеров mi х nj. При этом все матрицы В^ принадлежащие одной строке В. имеют одинаковую высоту, а все матрицы В^ принадлежащие одному столбцу В. имеют одинаковую ширину. Операции с блочными матрицами определяются по тем же правилам, что и с обычными числовыми матрицами. Если числовая матрица А разбита горизонтальными и вертикальными прямыми на блоки В^ занумерованные естественным образом, и из этих блоков сформирована блочная матрица В = ||В^||, то говорим, что матрица В получена из А разбиением на блоки. Пусть, наоборот, дана блочная матрица В = 1| Bij 1|. Из элементов матриц Bij можно естественным образом сформировать числовую матрицу А размеров У^т^ х ^~^п7~. В этом случае мы говорим, что матрица А получе-
г3
на объединением блоков матрицы В и пишем А = В°. Когда для путаницы нет оснований, значок □ опускаем, и числовую матрицу обозначаем той же буквой, что и блочную.
Пусть А = || aij || и В — числовые матрицы, С = НС^Н — блочная матрица, определенная равенствами Cij = aijВ при всех цу Числовая матрица, получаемая объединением блоков матрицы С, называ-
ется (правым) кронекеровеким произведением (или правым прямым произведением) матриц А и В и обозначается А^В.
Основные операции с матрицами: умножение начисло, сложение и умножение матриц (15.1—15.24)
Сформулировать требования, которые надо предъявить к матрицам для того, чтобы их можно было сложить.
2) 22) 2221221187-151 -5 -6 11187-151 -5 -6 115 24-1 -25 24-1 -2-7 -17 3 ’-7 -17 3 ’О56О56Вычислить линейную комбинацию матриц:
2) 2
2) 2
2
2
1
2
2
1
187-15
1 -5 -6 11
187-15
1 -5 -6 11
5 24
-1 -2
5 24
-1 -2
-7 -1
7 3 ’
-7 -1
7 3 ’
О
5
6
О
5
6
6) 2А573-А571;6) 2А573-А571;4) Л18 + Л40;5) A28-4i2;
6) 2А573-А571;
6) 2А573-А571;
7) 2(С51 + с52)-
Описать условия, при которых верны следующие тождества, и доказать эти тождества (Л, В, С — матрицы, о, Р — числа):
а + В = В + А-2) А+(В + С) = (А + В) + С;
о(/ЗЛ) = (о/3)Л;4) а (А + В) = аА + аВ;
(а + Р)А = аА + РА.
.4. 1) Можно ли умножить строку длины т на столбец высоты п?
Можно ли умножить столбец высоты пна строку длины т?
.5. Вычислить произведение матриц:.5. Вычислить произведение матриц:Ц2 -3 0||оч 1 13 51 15 97) Л110Л12;АеоМбоб;15) Дб17)2;Ц2 -3 0||оч 1 13 51 15 97) Л110Л12;АеоМбоб;15) Дб17)2;4з ;14з ;1431431II2 -3 О ||;II2 -3 О ||;4) ^4x^412 55) Л4Л395;6) А442С168;4) ^4x^412 55) Л4Л395;6) А442С168;8) Л3Л205;9) Л436С166;12) A6o546oi;13) (Л2об)2;16) (А^)2 при е = е1^1^.8) Л3Л205;9) Л436С166;12) A6o546oi;13) (Л2об)2;16) (А^)2 при е = е1^1^.Ю) 46о146о2;14) (А2Оо)2;Ю) 46о146о2;14) (А2Оо)2;
.5. Вычислить произведение матриц:
.5. Вычислить произведение матриц:
Ц2 -3 0||
оч 1 13 5
1 15 9
7) Л110Л12;
АеоМбоб;
15) Дб17)2;
Ц2 -3 0||
оч 1 13 5
1 15 9
7) Л110Л12;
АеоМбоб;
15) Дб17)2;
4
з ;
1
4
з ;
1
4
3
1
4
3
1
II2 -3 О ||;
II2 -3 О ||;
4) ^4x^412 55) Л4Л395;6) А442С168;
4) ^4x^412 55) Л4Л395;6) А442С168;
8) Л3Л205;9) Л436С166;
12) A6o546oi;13) (Л2об)2;
16) (А^)2 при е = е1^1^.
8) Л3Л205;9) Л436С166;
12) A6o546oi;13) (Л2об)2;
16) (А^)2 при е = е1^1^.
Ю) 46о146о2;
14) (А2Оо)2;
Ю) 46о146о2;
14) (А2Оо)2;
Каким условиям должны удовлетворять матрицы А и В, чтобы:
существовало произведение АВ;
существовало произведение В А;
существовали произведения АВ и В А?
Выразить размеры матрицы АВ через размеры А и В.
Матрицы Л, С имеют размеры соответственно т х хп и р х q. и существует произведение АВС. Каковы размеры матриц В. АВС?
Проверить справедливость тождества (Л, В, С, D — матрицы, а — число):
о^АВ) = (аА)В; 2) (АВ)С = А^ВСу
А(В + С) = АВ + АС*
(А + В)С = АС + ВС-
А(В + С + D) = АВ + АС + AD.
Проверить, существует ли произведение, и если да,
то вычислить его:то вычислить его:1 2Г 3 43) ||1 2||1 2Г 3 43) ||1 2||21 ’21 ’2121.11. Вычислить:.11. Вычислить:1 11 11 11 11О О1О О4) (А)";8) Д601)п;4) (А)";8) Д601)п;^ИЭ12ii4) Л2Л8С8Л2.^ИЭ12ii4) Л2Л8С8Л2.1001001 о о1 о опп3)3)2121о о о оо о о о1 о о о1 о о оо 1 о оо 1 о оо о1 оо о1 озз5) (А13)”;9) Д614)п;5) (А13)”;9) Д614)п;6) Д14)п;6) Д14)п;Ю) (Лиз)".Ю) (Лиз)".7) <А77Г,7) <А77Г,15.12. Транспонировать матрицу:15.12. Транспонировать матрицу:1)1)7 -4-5 37 -4-5 32)2)О^пО^пAiОAiО3)||12 3||; 4)3)||12 3||; 4)12341234
то вычислить его:
то вычислить его:
1 2
Г 3 4
3) ||1 2||
1 2
Г 3 4
3) ||1 2||
2
1 ’
2
1 ’
2
1
2
1
.11. Вычислить:
.11. Вычислить:
1 1
1 1
1 1
1 1
1
О О
1
О О
4) (А)";
8) Д601)п;
4) (А)";
8) Д601)п;
^ИЭ12ii
4) Л2Л8С8Л2.
^ИЭ12ii
4) Л2Л8С8Л2.
1
0
0
1
0
0
1 о о
1 о о
п
п
3)
3)
2
1
2
1
о о о о
о о о о
1 о о о
1 о о о
о 1 о о
о 1 о о
о о
1 о
о о
1 о
з
з
5) (А13)”;
9) Д614)п;
5) (А13)”;
9) Д614)п;
6) Д14)п;
6) Д14)п;
Ю) (Лиз)".
Ю) (Лиз)".
7) <А77Г,
7) <А77Г,
15.12. Транспонировать матрицу:
15.12. Транспонировать матрицу:
1)
1)
7 -4
-5 3
7 -4
-5 3
2)
2)
О
^п
О
^п
Ai
О
Ai
О
3)||12 3||; 4)
3)||12 3||; 4)
1
2
3
4
1
2
3
4
5) А9;6) А390;7) А544;8) Аб32-
Проверить справедливость тождества:
(аА)т = аАт- 2) (АВ)Т = ВТАТ-
(АВСУ = СТВТАТ- 4) (А + Bf = Ат + Вт.
Вычислить матрицу Р = Е — (е; — ek)T(et — е^) (через е» обозначена г-я строка единичной матрицы Е\
Пусть а, b — столбцы одинаковой высоты и Н = = аЬт. Доказать, что Н^ = ХН для некоторого числа А.
Всегда ли верно матричное равенство АВ = В А? Привести примеры коммутирующих и некоммутирующих матриц.
Что можно сказать о размерах матриц А, В, если АВ = В А?
Вычислить матрицу \А^В\=АВ — ВА (коммутатор матриц Л, В), если:
А = Д2, В = А5;2) А = Л20, В = А16.
Проверить справедливость тождества (см. задачу 15.18):
[Л, В] = -[В,Д; 2) [Л, Л] = О; 3) [Л, В] = [В, Л] = О;
[Д(В + С)] = [ДВ] + [ДС].
Вычислить матрицу {Л, В} = ^(ЛВ + ВЛ) (произведение Йордана матриц Л, В), если:
Л = Л12, В = Д; 2) А = Л20, В = Лх^.
Проверить справедливость тождества (см. задачу 15.20):
{Л,В} = {В,Л};2) {Л,Л} = Л2;3) {Л,В} = Л;
{Д(В + С)} = {ДВ} + {ДС}.
Вычислить /(Л), если:
ц£) = -е-21+1, а= П ;
pt) = e-2t+i, а= И ;
/(i) = t2 — 3i + 2, А = АП;
/Д = (#-£)2, А = А78;
f(t) = t2 At А = А206.
Разложив многочлен f(t) на множители, вычислить
= t2-t, А = Дзо; 2) f(t) = t2A2t-3, А = Д14
Проверить, справедливы ли матричные тождества:
1А А В)2 = А2 А 2АВ А В2;
Д + В)Д-В) = Д-В)Д + В);
А2 — В2 = Д + В)Д-В);
(А + В)3 = А3 + ЗА2 + ЗА + Е.
Связь умножения матриц и элементарныхпреобразований (15.25—15.38)
Доказать, что Вй столбец матрицы АВ равен произведению матрицы А на Вй столбец В.
Сформулировать и доказать предложение, аналогичное 15.25, для строк.
Доказать, что Вй столбец матрицы АВ равен линейной комбинации столбцов матрицы А с коэффициентами из элементов Вго столбца матрицы В.
Сформулировать и доказать аналог предложения 15.27 для строк.
Доказать, что:
при перестановке двух строк матрицы Л соответствующие строки в АВ также переставляются;
если к-ю строку матрицы А умножить на число А, то к-я строка АВ также умножится на Л;
если к к-я строке матрицы А прибавить ее j-ю строку, то с матрицей АВ произойдет то же элементарное преобразование.
Сформулировать и доказать аналоги предложений 15.29 для столбцов.
1) Доказать, что прибавление к строке матрицы линейной комбинации остальных ее строк может быть осуществлено при помощи последовательного применения основных элементарных преобразований строк.
Доказать аналогичное утверждение для преобразования, состоящего в перестановке двух строк матрицы.
Вычислить произведение е^Ле^ для произвольной матрицы А (через е* обозначена г-я строка единичной матрицы подходящего размера).
Для произвольной матрицы А и матричной единицы Eij подходящего размера вычислить произведение:
E^jA; 2) АЕ^.
Пусть матрицы А я В таковы, что для произвольных столбцов Е и ц подходящей высоты выполнено равенство Ej Av\ = Е,тВт\. Доказать, что А = В.
Пусть А — матрица размеров т х п, Ет и Еп — единичные матрицы порядка тип соответственно. Доказать, что ЕтА = АЕп = А.
На какую матрицу следует умножить матрицу А, чтобы в результате получить:
первый столбец Л; 2) первую строку А?
Подобрать элементарную матрицу К так, чтобы матрица КА получалась из А:
перестановкой двух первых строк А;
прибавлением первой строки ко второй;
умножением первой строки А на число Л ^ 0.
Подобрать элементарную матрицу К так, чтобы произведение АК получалось из А при помощи заданного элементарного преобразования столбцов.
Обратная матрица (15.39—15.65)
Привести примеры вырожденных и невырожденных матриц.
Пусть А — вырожденная матрица второго порядка, т — натуральное число. Доказать, что существует число А такое, что Ат = Хт-1А для всех т.
Обратима ли прямоугольная матрица?
Доказать, что если матрица В, обратная к Л, существует, то det Л Д 0, det В Д 0, det В = (det Л)-1.
1) Доказать, что если А, В, С — квадратные матрицы и АВ = В, АС = Е, то В = С.
Возможно ли равенство АВ = Е для прямоугольных матриц? Справедливо ли утверждение 1) для прямоугольных матриц?
Дана квадратная матрица А= ||щ7Ц. Выписать систему уравнений, которой удовлетворяют элементы Дго столбца матрицы А-1.
Вычислить:
3 5
5 9
-1
2)
2
О
-1
-1
2
-1
О
-1
1
-1
3)
О
Ai
-1
vn
О
4) (А34)-1;
8) (^2оз)
5) Д77) х; б) (Де) х; 7) (А207) х;
9) (А202)-1;10) (А227)-1-
15.46. Доказать, что матрица, обратная к элементарной, есть элементарная матрица.
Проверить, справедливо ли тождество:
(АТ)-1 = (А-1)Т;2) (оАД1 = с^А-1;
(AS)"1 = S"1A"1;4) (ABC)-1 = С'-1В-1А-1;
(А"1)* = (АЩ1;6) (А + В)"1 = А-^В"1.
1) Доказать, что квадратную матрицу с помощью элементарных преобразований строк можно перевести в единичную тогда и только тогда, когда она невырождена.
Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для элементарных преобразований столбцов матрицы.
(р). Доказать, что всякая невырожденная матрица есть произведение элементарных матриц.
Разложить данную матрицу в произведение элемен
тарных матриц:тарных матриц:1) (Р)1) (Р)1 1О -21 1О -21 -1 11 -1 13) ? з ; 4)3) ? з ; 4)1 о о1 1 21 1 31 о о1 1 21 1 3
тарных матриц:
тарных матриц:
1) (Р)
1) (Р)
1 1
О -2
1 1
О -2
1 -
1 1
1 -
1 1
3) ? з ; 4)
3) ? з ; 4)
1 о о
1 1 2
1 1 3
1 о о
1 1 2
1 1 3
1) Пусть А, В — матрицы одного порядка и матрица Л с помощью цепочки элементарных преобразований строк переведена в единичную матрицу Е. В какую матрицу переведет та же цепочка элементарных преобразований матрицу Е? Матрицу В?
Ответить на те же вопросы для цепочки элементарных преобразований столбцов матрицы Л, переводящих А в Е.
1) Описать и обосновать способ вычисления матрицы А-1, использующий элементарные преобразования строк матрицы ||В5||П.
□□АЕАЕОписать и обосновать способ вычисления матрицы А-1, использующий элементарные преобразования столб-
□
□
А
Е
А
Е
Вычислить:
0 0 -1 01
п 0 0 0 19.-1
110 0 0’1
0-1000
(А430Г1;5) (А432)-1;
(А439) х;9) (Agoi) Х;
(Aeos)-1;13) (Aeis)-1.
1 1 01 11 -1
210. 0 1 ... 1
4 10’’
0030 0 ... 1
6) (А433)-1; 7) (А434)-1; Ю) (A6i4) х; 11) (Абоэ) Х;
цов матрицы
15.55. Пусть А2 + А + Е = О. Доказать, что матрица А невырождена, и указать простейший способ вычисления А-1.
Пусть Ат = О. Доказать, что (Е — Л) г=Е+А+ + ... + дт-1.
Матрица А коммутирует с В. Доказать, что тогда А-1 коммутирует с В-1 (предполагается, что матрицы обратимы) .
Проверить формулу (S^ASy™ = 8-1Ат8.
Пусть S~A AS = В и f (tA — многочлен. Доказать, что /(В) = 8-4^8.
Пусть а, b — столбцы одинаковой высоты, 1/ц = = 1 + Ьта ДО, В = Е + abT. Проверить справедливость равенства В1 = Е — цаЬт.
Пусть а, b — столбцы высоты п, А — обратимая матрица порядка п, 1/ц = 1 + ЪТ А" 1 а Д 0 и В = Л + abT. Проверить справедливость равенства В-1 = А-1 — цА-1аЪтА-1.
1) Описать и обосновать способ вычисления произведения Л-1 В, использующий элементарные преобразования строк матрицы ||В В||п.
□□матрицыматрицыААОписать и обосновать способ вычисления произведения АВ , использующий элементарные преобразования столбцов
□
□
матрицы
матрицы
А
А
Вычислить произведения матриц:
1)1)О 1О 12 51 32 51 32) А205А03;3) Ао3^2О5;2) А205А03;3) Ао3^2О5;
1)
1)
О 1
О 1
2 5
1 3
2 5
1 3
2) А205А03;3) Ао3^2О5;
2) А205А03;3) Ао3^2О5;
4) ^210^205!5) Д^Аш; 6) Agis^-gi?’
Пусть матрицы А, С невырожденные. Решить мат
ричное уравнение:
АХ = О- 2) АХ = В- 3) ХА = В;
АХС = В; 3) А(Х + С) = В.
15.65. Найти матрицу X из уравнения:
1)
3)
2
1
5
3
2 1
1 1
2 1
1 1
10
17
2) X
1
4) 2
0
2 5
1 з :
2 0
5 -2
-2 5
1 0 0
0 1 1
0 1 0
5) X
5 5 2
5 8-1
^11
1 -1
1 -1
7)
1 1
О 1
1 1
О 1 ’
Л12Х = Л5;9) ХЛХ2 = ЛХ2; 10) Х-^^Х = A2V,
И) АщХ = А22§;12) Л22дХ = Лцб; 13) Л2оз^" = С5з;
Л12бХ = Л2зо; 15) ЛцзХ = Л21з;16) ХЛ22у = Л22д.
Другие операции с матрицами и специальные видыматриц (15.66—15.130)
Пусть А, В — диагональные матрицы одного порядка, а — число. Доказать, что матрицы а Л, Л + В, АВ, В А тоже диагональные и АВ = В А.
Пусть А = diag(Ai,..., Хп\ Доказать, что:
столбцы матрицы В А получаются умножением столбцов матрицы В на числа Ai,..., Ап;
строки матрицы АВ получаются умножением строк В на числа Ai,...,An.
Пусть А — диагональная матрица, /(f) — многочлен. Доказать, что тогда матрица /(Л) также диагональна.
Пусть матрица А диагональна, все ее диагональные элементы различны и АВ = В А. Доказать, что тогда и матрица В диагональна.
Матрица А перестановочна с любой диагональной матрицей порядка п. Доказать, что А — диагональная матрица порядка п.
Матрица А перестановочна со всеми матричными единицами порядка п. Доказать, что А — скалярная матрица.
Матрица А перестановочна с любой матрицей порядка п. Доказать, что А — скалярная матрица.
(р). Найти все матрицы, перестановочные с каждой невырожденной матрицей порядка п.
Найти матрицу, эрмитово сопряженную данной матрице:
1) Я82;2) А86;3) А89;4) A8i.
Проверить справедливость тождества:
Д + В)я = ЛЯ + ВЯ; 2) (аА)н = аАН' 3) (Ан)н = А;
(А - В)я = ВНАН- 5) (AHV = (А"1)11.
Определить, является ли указанная матрица второго порядка диагональной, скалярной, треугольной, симметри-
ческой, кососимметрической, эрмитовой, косоэрмитовой, унитарной, ортогональной или матрицей перестановки:
^82;2) Л12;3) Л§7;4) Age; 5) А77;6) А15;
А46;8) А23;9) ^А88;10) ^22; И) у|^1б-
Доказать, что:
все диагональные элементы кососимметрической матрицы равны 0;
диагональные элементы эрмитовой матрицы вещественны;
диагональные элементы косоэрмитовой матрицы мнимые.
Доказать, что:
если матрица А эрмитова, то матрица г А косоэрмитова;
если матрица А косоэрмитова, то гА эрмитова.
1) Найти общий вид эрмитовых матриц второго порядка.
Найти общий вид косоэрмитовых матриц второго порядка.
Указать все матрицы перестановок второго порядка.
Доказать утверждения 15.80-15.86.
Если матрица А диагональна и все ее диагональные элементы отличны от 0, то А-1 существует и является диагональной.
(р). Если матрица А верхняя треугольная и все ее диагональные элементы отличны от 0, то А-1 существует и является верхней треугольной.
Если А — невырожденная симметрическая матрица, то А-1 — также симметрическая матрица.
Если А — невырожденная кососимметрическая матрица, то А-1 — также кососимметрическая матрица.
Если А — ортогональная матрица, то А-1 существует и ортогональна.
Если А — унитарная матрица, то А-1 существует и унитарна.
Если А — матрица перестановки, то А-1 существует и также является матрицей перестановки.
Доказать, что данная матрица ортогональна и найти обратную к ней: 1) А77; 2) A3i3; 3) A3i8; 4) А322; 5) А445.
Доказать, что данная матрица унитарна и найти обратную к ней:
Лщз; 2) -^Л488-
Пусть матрицы А и В — верхние треугольные. Выразить элементы матрицы АВ через элементы матриц А и В.
Пусть матрицы А и В — верхние треугольные. Доказать, что матрицы А + В и АВ — также верхние треугольные.
Пусть матрицы А и В симметрические. Доказать, что:
А + В — симметрическая матрица;
Ак — симметрическая матрица при любом натуральном к;
матрица АВ является симметрической тогда и только тогда, когда матрицы Ап В перестановочны.
Пусть матрицы А и В кососимметрические. Доказать, что:
А + В — кососимметрическая матрица;
Ак — кососимметрическая матрица при нечетном к и симметрическая матрица при четном к:
матрица АВ является симметрической тогда и только тогда, когда Ап В перестановочны.
Сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие кососимметричности произведения матриц А и В.
Пусть А — произвольная квадратная матрица. Доказать, что матрицы А + АТ и ААТ симметрические, матрица А — Ат кососимметрическая.
Доказать, что любую квадратную матрицу можно разложить в сумму симметрической и кососимметрической матриц. Единственно ли это разложение?
Разложить данную матрицу в сумму симметрической и кососимметрической матриц:
Л49;2) Л16;3) Л234.
Пусть S — невырожденная матрица и STAS = В. Доказать, что каждое из свойств: симметричность, кососимметричность — выполняется для матриц А и В одновременно (т. е. если оно выполнено для матрицы Л, то выполнено и для В, и обратно).
Доказать утверждение: всякая эрмитова вещественная матрица является симметрической.
Пусть матрицы А и В эрмитовы. Доказать, что:
матрица А + В эрмитова;
матрица АВ является эрмитовой тогда и только тогда, когда матрицы Ап В перестановочны.
Пусть А — эрмитова матрица и А = В + гС^ причем В и С — вещественные матрицы. Доказать, что В — симметрическая матрица, а С — кососимметрическая.
Доказать, что любую квадратную матрицу можно разложить в сумму эрмитовой и косоэрмитовой. Единственно ли это разложение?
Доказать утверждения 15.101-15.104.
Вещественная унитарная матрица ортогональна.
Если матрицы А и В ортогональны, то АВ ортогональна.
Если матрицы Ап В унитарны, то АВ унитарна.
Пусть А — ортогональная матрица. Тогда сумма квадратов элементов любой ее строки равна 1, а сумма попарных произведений соответствующих элементов двух различных строк равна 0. Являются ли эти свойства определяющими?
Сформулировать и доказать свойства столбцов ортогональной матрицы, аналогичные 15.104.
Сформулировать и доказать свойства унитарной матрицы, аналогичные свойствам 15.104, 15.105 ортогональной.
Доказать, что матрица перестановки ортогональна.
Доказать, что если Ап В — матрицы перестановок, то АВ — также матрица перестановки.
Известно, что матрица А диагональна и ортогональна. Что можно сказать о ее диагональных элементах АД
Матрица А диагональна и унитарна. Что можно сказать о ее диагональных элементах АД
Проверить, является ли данная матрица периодичной, нильпотентной или стохастической; найти период, показатель нильпотентности:
1) ^22;2) Л14;3) 2^12’4) ^55^) ^77’
Я24з;7) Л235;8) Л237;9) Л2зб; Ю) Л430;
И) ^431;12) Л457;13) -А434;14) Л61з.
Проверить свойства квадратных матриц, сформулированные в задачах 15.112-15.121.
Нильпотентная матрица всегда вырождена, периодичная — невырождена.
Если А — нильпотентная матрица второго порядка, то А2 = О.
Треугольная матрица нильпотентна тогда и только тогда, когда все ее диагональные элементы нулевые.
Если матрицы А, В нильпотентны и перестановочны, то А + В и АВ нильпотентны.
Если матрицы А и В периодические и перестановочные, то АВ — периодическая матрица. Выразить какой- либо ее период через периоды матриц А, В.
Пусть Ат + Ат-1 + ... + Е = О. Доказать, что А — периодическая матрица.
Всякая матрица перестановки периодична.
Пусть матрица А является одновременно унитарной и эрмитовой. Доказать, что А периодична.
Пусть S — невырожденная матрица и S-1AS = В. Тогда каждое из свойств: периодичность, нильпотентность — выполняется для матриц А и В одновременно (т. е. если оно выполнено для матрицы А, то выполнено и для В, и обратно).
Пусть матрицы Ли В неотрицательные. Тогда А + + В, АВ — также неотрицательные матрицы.
Пусть I — столбец из единиц, и матрица А неотрицательная. Доказать, что условие AI = I — необходимое и достаточное условие стохастичности А.
Доказать, что если матрицы Л и В стохастические, то матрица АВ также стохастическая.
Пусть матрица А стохастическая. Существует ли А-1? Будет ли Л-1 стохастической, если она существует?
В каком случае стохастическая матрица является ортогональной?
Доказать справедливость тождества:
tr(A + B) = trA + trB; 2) trАВ = trBA.
Пусть A — треугольная матрица, т — натуральное число. Вычислить след матрицы Ат.
Пусть Л — произвольная матрица. Вычислить:
tr(ATA); 2) 1г(ЛяЛ);
Доказать, что если П(ЛЯЛ) = 0, то А = О.
Доказать, что если А — нильпотентная матрица второго порядка, то trA = 0.
Доказать, что не существует матриц А и В таких, что АВ — В А = Е.
Блочные матрицы (15.131—15.141)
Пусть А и В — блочные матрицы второго порядка. Сформулировать условия, при которых эти матрицы можно перемножить. Доказать, что если существует произведение АВ, то (АВ)П = АПВП.
Пусть Ан В — верхние блочно треугольные матрицы второго порядка и произведение АВ существует. Получить формулу для вычисления матрицы А^В^.
Пусть А — блочная матрица второго порядка, В — блочная матрица — столбец из двух блоков.
Сформулировать условия, при которых определено произведение АВ.
Доказать, что если АВ существует, то (АВ)^ = А°В°.
Получить формулу для вычисления А^В^.
Пусть А п В — блочно диагональные матрицы. Сформулировать условия, при которых:
определено произведение АВ*,
(АВ)° = А°В°-
определены произведения АВ и В А;
АВ = В А.
Проверить справедливость тождеств (А + В)^ = = Лп + В^, (АВ)^ = А^В^ для произвольных блочных матриц.
Разбивая данные матрицы на блоки, вычислить
произведение:
1) А430А431;2) Л432Л450;3) Л450Л433;
Л451Л452;5) Л436Л437;6) А530А531.
Найти матрицу (Н^) х, если Н — блочная матрица:
1)Н =2) Н =1)Н =2) Н =Е А О ЕА ВО СЕ А О ЕА ВО С(матрицы А и С обратимы).(матрицы А и С обратимы).
1)Н =
2) Н =
1)Н =
2) Н =
Е А О Е
А В
О С
Е А О Е
А В
О С
(матрицы А и С обратимы).
(матрицы А и С обратимы).
Пусть Е — единичная матрица порядка г; D — произвольная матрица размера г х s; о, Ь, х — столбцы. Решить уравнение:
1) ||SD||nx = o; 2) ||SD||nx = b.
Вычислить кронекеровское произведение матриц:
Л17®С7;2) С7®Л17;3) Ai§®c§;4) c§®^i§;
Ai7®Ai§; 6) Л18®Л17;7) Лхэ^Лщ.
Пусть а = Цсц,... ,an||, b = ||&i,... ,Ьт||т. Вычислить а®Ь, Ь®а и сравнить с Ьа.
Проверить справедливость тождества:
(аА) ® В = а^А ® В);
(Л + В)®^ = А® С + В®С;
Л ® (В + G) = А®В + А®С*
А®(В®С) = (А®В)®С-
АВ ®CD = (А®С)(В ® D\,
(А® В)"1 = А"1®В"1.
§ 16. Ранг матрицы
В этом параграфе используются понятия: ранг матрицы, базисный минор матрицы, базисные столбцы и строки матрицы. При решении задач полезны теоремы о связи этих понятий, а также основной факт, состоящий в том, что ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях ее строк и столбцов.
Дадим описание некоторых методов упрощения матрицы с помощью элементарных преобразований ее строк.
Мы говорим, что матрица А размеров т х п имеет упрощенный вид, если: 1) некоторые т (г ^ 0) ее столбцов являются первыми т столбцами единичной матрицы порядка т, 2) при г < т последние m — г ее строк нулевые. Ранг упрощенной матрицы равен г.
Метод приведения матрицы к упрощенной форме, называемый методом Гаусса-Жордана, сводится к последовательному выполнению шагов, каждый из которых превращает один из столбцов данной матрицы в столбец единичной матрицы.
Опишем сначала один шаг преобразования. Предварительно отметим, что, хотя после каждого элементарного преобразования получается новая матрица, для простоты изложения мы сохраняем для всех таких матриц обозначение А = 11 a^j 11.
Пусть выбран некоторый ненулевой элемент а^ матрицы А. Назовем его ведущим элементом данного шага. Строку и столбец с номерами г, j, в которых он расположен, будем называть ведущей строкой и ведущим столбцом. Один шаг состоит из следующих элементарных преобразований. 1) Ведущая строка переставляется на новое место. Новый номер ведущей строки равен номеру шага. 2) Ведущая строка умножается на число (а^-1, в результате чего
ведущий элемент становится равным единице. 3) К каждой строке, отличной от ведущей, прибавляется ведущая строка, умноженная на некоторое число А. Числовые множители выбираются так, чтобы обратить в 0 все элементы ведущего столбца матрицы, кроме ведущего элемента: для к-й строки (к ^ г) полагаем А = —a^j.
В результате преобразований 1)-3) j-й столбец матрицы А превращается в s-й столбец единичной матрицы, где з — номер шага.
Теперь дадим общее описание одной из возможных последовательностей шагов.
Если все столбцы матрицы А нулевые, то А имеет упрощенный вид, г = 0. В противном случае, просматривая столбцы матрицы слева направо, находим первый ненулевой столбец. Пусть его номер равен Ji. В качестве ведущего элемента первого шага выбираем любой ненулевой элемент этого столбца и выполняем первый шаг преобразования. Теперь в матрице первые ji — 1 столбцов нулевые, а §-й столбец равен первому столбцу единичной матрицы. Если при этом m = 1 или в строках с номерами 2,...,т нет ненулевых элементов, то г = 1 и приведение к упрощенному виду закончено. В противном случае выберем самый левый столбец с номером j^ > Д, у которого имеются отличные от 0 элементы ниже первой строки. Любой из этих элементов может быть взят в качестве ведущего элемента второго шага. Выполнив второй шаг процедуры упрощения матрицы, можно продолжить просмотр остальных столбцов и при необходимости перейти к третьему шагу. Шаг с номером т будет последним, если г = т или если в строках с номерами г + 1,..., т не останется ненулевых элементов. На этом процесс упрощения матрицы заканчивается.
Другим употребительным способом упрощения матрицы с помощью элементарных преобразований строк является метод Гаусса. Вычисления распадаются на два этапа. На первом этапе, называемом прямим ходом метода Гаусса, мы выполняем, как и в методе Гаусса-Жордана, т шагов. При выбранном ведущем элементе а^ з- й шаг состоит из трех действий: 1) ведущую строку переносим на s-e место; 2) делим эту строку на а^ 3) из каждой строки с номером, большим чем s, вычитаем s-ю строку, умноженную на некоторое число А. Множители А выбираются так, чтобы обратить в 0 все элементы ведущего столбца, расположенные ниже ведущего элемента. Последовательный выбор ведущих столбцов и ведущих элементов совершаем точно так же, как и в методе Гаусса-Жордана. После последнего (r-го) шага матрица приобретает так называемый ступенчатый вид.
Ведущие столбцы ступенчатой матрицы образуют первые г столбцов верхней треугольной матрицы, у которой все диагональные элементы равны 1. Все строки ступенчатой матрицы с номерами, большими чем г, нулевые. Ранг ступенчатой матрицы равен т.
При отыскании ранга матрицы достаточно привести ее к ступенчатой форме.
Для того чтобы привести ступенчатую матрицу к упрощенному виду, можно использовать обратней ход метода Гаусса. Он состоит из г — 1 шагов. На s-м шаге ведущим столбцом является столбец с номером jr-s+b а ведущей строкой — строка с номером г — s + 1. При этом из каждой строки с номером, меньшим г — s + 1, вычитается ведущая строка с таким множителем А, чтобы обратить в 0 все элементы ведущего столбца, расположенные выше ведущего элемента. После г — 1 шагов все ведущие столбцы превратятся в столбцы единичной матрицы, а данная матрица А приобретет упрощенный вид.
Дать описание всех матриц ранга 0.
Дать описание всех матриц ранга 1.
Возможно ли, чтобы в матрице не было базисного минора?
Указать какой-нибудь базисный минор и определить
ранг матрицы:
5)5)0000о оо о2)2)1212-1-2-1-23)3)1010001001о1 оо1 оо о оо о о6)6)1231231231231341347)7)о12242о1224211211121112111214)4)123112313413410 10 0 ’0 10 0 ’
5)
5)
0
0
0
0
о о
о о
2)
2)
1
2
1
2
-1
-2
-1
-2
3)
3)
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
о
1 о
о
1 о
о о о
о о о
6)
6)
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
3
4
1
3
4
7)
7)
о
1
2
2
4
2
о
1
2
2
4
2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
4)
4)
1
2
3
1
1
2
3
1
3
4
1
3
4
1
0 1
0 0 ’
0 1
0 0 ’
Указать базисные строки в матрицах 1)-7) задачи 16.4.
Указать базисные столбцы в матрицах 1)-7) задачи 16.4.
Указать базисный минор, базисные столбцы и базисные строки в квадратной матрице с определителем, отличным от 0. Чему равен ранг такой матрицы?
Доказать утверждения 16.8-16.13
Ранг диагональной матрицы равен числу ее элементов, отличных от нуля.
Если в матрице равны нулю все миноры порядка к, то и все миноры порядка к +1 равны нулю.
Ранг матрицы не меньше ранга любой ее подматрицы.
Приписывание к матрице нулевого столбца не меняет ее ранга.
Приписывание к матрице столбца, равного линейной комбинации ее столбцов, не меняет ее ранга.
Если столбцы матрицы В являются линейными комбинациями столбцов матрицы А, то rgB ^ rgA.
Оценить ранг матрицы ||ЛВ||П через ранги матриц А и В.
Пусть матрицы А и В имеют одинаковую высоту, и ранг А не меняется после приписывания к ней любого из столбцов В. Доказать, что ^||Л В||п = rgЛ.
Доказать следующие свойства ранга матрицы:
Умножение какой-либо строки матрицы на число, отличное от нуля, не меняет ее ранга.
Перестановка строк матрицы не меняет ее ранга.
Прибавление к какой-либо строке матрицы линейной комбинации остальных строк не меняет ее ранга.
Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях ее столбцов.
Описать способ вычисления ранга матрицы с использованием элементарных преобразований ее строк и столбцов.
Вычислить ранг матрицы:
||10||;2) ЦО1ОЦ; 3) Л21;4) Л20;5) Л13;
6) Лх2; 7) Лу; 8) Л81;9) Лщ; 10) Л202;
11) >1205;
16) Л396;
21) А444;
12) Азз;
17) Aos;
22) А54;
13) А145
18) А52;
23) А43;
14) Азг;
19) Азе;
24) As7i
15) Aos;
20) Азз;
25) Азз;
26) Л544;
27) А92;
28) Азг;
29) Аз4-
16.19. Вычислить ранг матрицы при всевозможных значе-
ниях параметра:
1) As; 2) А367;
5) Aos; 6) А29;
3) Абб; 4)
7) А45-
Я-зез;
Вычислить ранг матрицы А — ХЕ при всех значениях параметра А, если:
Л = Л47;2) Л = Л2ц; 3) Л = Л431.
Доказать, что если det Л = 0, то строки матрицы Л, так же как и ее столбцы, линейно зависимы.
Матрица А имеет порядок п и содержит нулевую подматрицу порядка п — 1. Оценить ранг А.
Матрица А имеет порядок п и содержит нулевую подматрицу порядка з. Оценить ранг А.
Матрица А имеет порядок п и содержит подматрицу порядка п — 1, имеющую ранг 1. Оценить ранг А.
1) Оценить ранг произведения двух матриц через ранги сомножителей.
Привести примеры, когда выполнены соотношения: т^АВ <т^А^ т^АВ<т^В^ rgЛB < min(rgЛ,rgB), т^АВ = = rgЛ, rgЛB = rgB.
1) Пусть а — строка, b — столбец. Вычислить ранг матрицы Ьа.
(р). Пусть rgЛ = 1. Доказать, что матрица А равна произведению некоторого столбца на некоторую строку.
(р). Пусть Л, В, С — матрицы, det Л ^ 0 и определены произведения АВ. С А. Доказать, что rgЛB = rgB, rgCЛ = = rgC. Может ли быть выполнено какое-либо из этих равенств, если det Л = О?
Доказать, что если ^Л = г, то минор, стоящий на пересечении г линейно независимых строк и г линейно независимых столбцов матрицы Л, отличен от 0.
Пусть матрица А состоит из г линейно независимых столбцов, В — из г линейно независимых строк. Чему равен ранг АВ?
Матрицы А и В имеют размеры соответственно m х г и г х п, и rg АВ = г. Найти ранги матриц А и В.
Разложение матрицы А в произведение А = ВС называется скелетним^ если rgЛ = rgB = rgC и матрицы В и С имеют полный ранг (т.е. ранг, равный одному из размеров матрицы) .
Доказать, что всякую матрицу А можно представить как произведение матрицы М^ состоящей из базисных строк Л, на некоторую матрицу К (скелетное разложение матрицы по строкам).
Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для скелетного разложения матрицы по столбцам.
Как связаны между собой различные скелетные разложения одной матрицы?
Найти какие-нибудь скелетные разложения (см. задачу 16.31) по строкам и столбцам для следующих матриц:
^1452) Л231;3) Л251;4) Л40з;5) Л454.
Доказать, что любую матрицу ранга т можно представить в виде суммы г матриц ранга 1.
Указать, какие из выписанных ниже соотношений возможны. Какие из них выполнены для произвольной пары матриц одинаковых размеров?
rg(Л+ В) = rgЛ;
rg(Л + В) = max(rgЛ,rgB);
^(Л+ В) = ^Л+ rgB;
rg^ + B) < min(rg Л,rgB);
^(Л+ B) < rgЛ + rgB;
rg^+ B) < rgЛ + rgB.
(p). Пусть матрицы Л и В имеют размеры соответственно тхпипхр, и пусть АВ = О. Доказать, что rg Л + + rgB < п.
Доказать, что
sin(ai+5i) sin(ai+&2) ••• sin(ai+6n)
sin(an + 6i) sin(an + 62) ••• sm^a™ + bn)
Доказать, что
= rgЛ + rgB.
Доказать, что
> rgЛ + rgB.
Пусть A — квадратная матрица. Доказать, что Л Л2 D
rg Аз А4 =rgA
Пусть Е — единичная, Л, В — произвольные квадратные матрицы порядка п. Доказать, что
Е В °
rg А АВ =п-
Доказать, что
= rgЛ + rgB.
Пусть А невырожденная квадратная матрица порядка п, а матрицы В, С и D — прямоугольные. Найти необходимое и достаточное условие для того, чтобы
А ВС DА ВС D= п.= п.
А В
С D
А В
С D
= п.
= п.
Глава 7
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
В этой главе используются следующие понятия и термины: однородная и неоднородная система линейных уравнений, основная матрица системы (матрица коэффициентов), определитель системы п линейных уравнений с п неизвестными, расширенная матрица системы , столбец свободных членов, совместная и несовместная система уравнений, эквивалентные системы уравнений, частное решение и обгцее решение системы линейных уравнений, фундаментальная система решений и фундаментальная матрица однородной системы линейных уравнений, базисные неизвестные и параметрические (свободные) неизвестные, однородная система линейных уравнений, сопряснсенная данной.
Основные теоремы: теорема о существовании и единственности решения системы п линейных уравнений с п неизвестными (теорема Крамера), а также два критерия совместности системы т уравнений с п неизвестными: теорема Кронекера-Капелли и теорема Фредгольма.
Приведем некоторые формулы и обозначения.
Система т линейных уравнений с п неизвестными
ацхг + ... + ain^n = bi, (1) ^ml^l "Г • • • “Ь ^тп^п — Ьт
может быть записана в матричном виде:
Ах = Ь,
где через х и b обозначены столбцы ||xi...xn||T и ||^i...^m||T соответственно. Матрицы
А =А =<2ц ... ain<2ц ... ainи HIM =и HIM =an ... ain bian ... ain bi^ml • • • ^mn^ml • • • ^mnат1 • • • Umn bmат1 • • • Umn bm
А =
А =
<2ц ... ain
<2ц ... ain
и HIM =
и HIM =
an ... ain bi
an ... ain bi
^ml • • • ^mn
^ml • • • ^mn
ат1 • • • Umn bm
ат1 • • • Umn bm
называются основной и расширенной матрицами системы уравнений. Решением системы (1) называется упорядоченный набор чисел, такой, что после подстановки г-го числа вместо неизвестной х^ для каждого г во все уравнения мы получим т истинных равенств. Эти числа называются компонентами решения. Решение системы уравнений записываем в виде столбца. Множество всех решений однородной системы линейных уравнений с п неизвестными задается формулой
X — 1ц^\ + ... + hn_T^CnX — 1ц^\ + ... + hn_T^Cn(2)(2)
X — 1ц^\ + ... + hn_T^Cn
X — 1ц^\ + ... + hn_T^Cn
(2)
(2)
Здесь: столбцы Xi,...,Xn_r — линейно независимые частные решения данной однородной системы, hi^...^hn_r — произвольные постоянные числа (параметры), r = rgA — ранг системы. Множество {Х!,...,Хп-г} называется фундаменталъной системой решений однородной системы уравнений. Все решения однородной системы образуют линейное подпространство в пространстве столбцов высоты п; фундаментальная система решений есть базис в этом подпространстве. Правая часть формулы (2) называется обидим решением однородной системы. Формуле (2) можно придать матричный вид
X = ФН. (3)
Здесь Ф — матрица из столбцов Xi,...,Xn_r, ah — столбец высоты п — г из произвольных постоянных hi^... hn_r. Матрица Ф называется фундаменталъной матрицей однородной системы уравнений.
Общее решение неоднородной системы линейных уравнений может быть записано в векторной форме
X = /цХ, + ... + hn_TXn_T + Хо (4) или в матричной форме
Х = ФН + Х0, (5) где Хо — некоторое (произвольное) частное решение неоднородной системы уравнений, a hiXi + ... + hn_rXn_r = ФН — общее решение соответствующей однородной системы.
Системы уравнений, имеющие одно и то же множество решений, называются эквивалентными. Это понятие относим лишь к совместным системам. Мы говорим также, что система уравнений (Б) следует из (А), если множество решений (Б) содержит множество решений (А). При решении некоторых задач полезны утверждения: подсистема есть следствие системы; присоединение к системе уравнений ее следствий заменяет данную систему на эквивалентную.
Основным аппаратом при исследовании совместности системы линейных уравнений и отыскании ее решений служат преобразования системы уравнений, соответствующие элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы. При этих преобразованиях несовместная система переходит в несовместную, а совместная — в совместную систему уравнений, эквивалентную данной.
С помощью элементарных преобразований строк расширенная (и одновременно основная) матрица системы может быть приведена к упрощенной форме. Система уравнений, соответствующая упрощенной расширенной матрице, называется у пройденной.
Для того чтобы решить систему уравнений, можно придерживаться следующей схемы.
Расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований строк приводим к упрощенной форме.
Проверяем совместность упрощенной системы, пользуясь теоремой Кронекера-Капелли. Признаком совместности системы является наличие базисного минора расширенной матрицы внутри основной матрицы системы. Система несовместна тогда и только тогда, когда в упрощенный вид расширенной матрицы входит строка цоо...о1||.
Решаем упрощенную систему уравнений, если она оказалась совместной.
Допустим, что базисными являются первые г столбцов матри-
цы А совместной системы.
Тогда упрощенная расширенная матрица
имеет вид
1 0 ...
0 «11 . .. «1,П-г
/31
0 1 ...
0 «21 ••• «2,п-г
/32
0 0 ...
1 «Н • • • Ор,п —г
к .(6)
0 0 ...
00...0
0
0 0 ...
0...0
0
Ей соответствует упрощенная система уравнений
х^ Т ot]^xr_^ Т • • • ~Р «1,п—гхп — /31, (7)
Хт Т «г1Жг + 1 "р . . . "р OL<r-)Tt—-rXTt — Зт*
Неизвестные Xi,... ,жг, соответствующие базисным столбцам матрицы, называются базисными^ остальные неизвестные — xr+i,...^хп — свободными. Задав значения hy^... ,hn_r свободных неизвестных, находим базисные неизвестные из системы уравнений (7). Общее решение получим в параметрической форме
Xi = —ацН1 — ... — ai n_Thn_T + /31,
хт = -aTihi - ... - aT)U_Thn_T + /Зг,v }
^r + l^1 ? • • • ? ^n ^n —г ?
где /ii,..., hn_r — произвольные постоянные. Общее решение (8) можно записать в векторной (4) и матричной (5) форме, положив
/31
Ж1/3
Х = ... , Хо = р , Ф =
0
—«11 ... —«цп_г
,(9)
«г1 • • •г
1...0
0...1
Xz — столбцы Ф.
Пусть г = rg A, Д < г^ < ... < гт — номера базисных столбцов А, Д+i < ... <гп — номера остальных ее столбцов. Фундаментальная матрица, строки которой с номерами Д+i < ... <1п образуют единичную подматрицу, называется нормальной фундаментальной матрицей, соответствующей базисным неизвестным ж^,..., х^Т.
Столбцы нормальной фундаментальной матрицы образуют нормальную фундаментальную систему решений однородной системы уравнений. В частности, Ф в формуле (9) — нормальная фундаментальная матрица однородной системы
(10)(10)Ху + ОууХр^у + . . . + ^Цп-г^п = О,
(10)
(10)
Хр “К аТухТ^-у ~Н • • • ~Н ^г,п—т*^ть — О,
соответствующая базисным неизвестным Ху,... ,хт.
Нормальную фундаментальную матрицу Ф, частное решение Xq и формулу общего решения можно выписать прямо по расширенной матрице (6). Если расширенную матрицу кратко записать в виде
Ер D (3О О о ’
то
и (5) примет вид
(5’)
Здесь Ет, Еп_т — единичные матрицы порядка г и п — г соответственно, а (3 — столбец из чисел Зу,... ,3Т.
Общее решение системы уравнений в форме (4) и (5) можно получить из систем уравнений (7), (10) без обращения к формуле (8). Частное решение можно найти из системы (7), задав каким- нибудь образом свободные неизвестные (если мы приравняем их к 0, то получим частное решение, определяемое формулой (9)). Столбцы фундаментальной матрицы можно найти как решения системы (10), придавая параметрическим неизвестным значения, образующие в совокупности невырожденную матрицу. В частности, если приравнять значения ||жг+1,... ,жп||т к столбцам единичной матрицы, то решения системы (10) образуют фундаментальную матрицу (9).
Замечание. Допустим, что данная система уравнений совместна, но базисными являются не первые т столбцов основной матрицы, а какие-то другие. В этом случае, чтобы решить упрощенную систему уравнений, можно действовать одним из двух способов.
Способ!. Аналогично п. 3 составляем упрощенную систему уравнений, называем базисными неизвестные, соответствующие базисным столбцам матрицы системы, выражаем базисные неизвестные через остальные (свободные) и записываем общее решение в форме (4) или (5).
С и о с о б 2 . Неизвестные, соответствующие базисным столбцам матрицы системы, обозначаем через у у,..., уг, остальные — через ут^_у,... ,уп. После этой замены неизвестных получаем упрощенную систему уравнений вида (7), решаем ее и делаем обратную замену.
Таким образом, существует много путей получения общего решения системы линейных уравнений и много различных форм его записи. Ниже рассмотрен пример неоднородной системы линейных уравнений, имеющей бесконечное множество решений. Общее решение получено в параметрической (8), векторной (4) и матричной форме (5).
Для сокращения записи в этой главе системы линейных уравнений и ответы к ним лишь частично приведены в развернутой форме (1) и (8). Некоторая часть систем уравнений задана с помощью расширенной матрицы. В ответах к этим упражнениям мы помещаем фундаментальную матрицу решений однородной системы уравнений и столбец какого-либо частного решения неоднородной системы. Как в условиях задач, так и в ответах матрицы и столбцы не выписаны непосредственно, а указаны их номера в банке.
Пример. Система уравнений задана расширенной матрицей 11^-581 less|| (задача 19.6, 42)). В банке находим
20-56520-56513 579
20
-5
65
20
-5
65
11^581 |С58 || —11^581 |С58 || —1-2 3-4 5
11^581 |С58 || —
11^581 |С58 || —
2 11 12 25 22
Эта расширенная матрица соответствует системе уравнений
Xi + 3^2 + 5хз + 7х4 + 9x5 = 20,
Xi — 2х2 + Зх3 — 4x4 + 5х5 = —5,(И)
2xi + И^2 + 12х3 + 25x4 + 22х5 = 65.
Применяя алгоритм Гаусса, приводим расширенную матрицу к упрощенному виду:
1 00 11 00 119Т2519Т252 335 Т11 4Т 52 335 Т11 4Т 50 0 0 0 00 0 0 0 0550550(12)(12)
1 0
0 1
1 0
0 1
19
Т
2
5
19
Т
2
5
2 33
5 Т
11 4
Т 5
2 33
5 Т
11 4
Т 5
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
5
5
0
5
5
0
(12)
(12)
Замечаем, что система совместна, так как в расширенной матрице (12) базисными являются два первых столбца. Расширенная мат
рица (12) соответствует системе уравнений
19233
^1 + — Х3 + -Х4 + — х5 = 5,
(13)(13)555
(13)
(13)
2114
^2 + -Х3 + — х4 + -х5 = 5,
555
эквивалентной данной. Базисные неизвестные — xi, Х2, свободные — хз, Х4, Х5. Обозначим последние через h-^ h^^ h^ получаем общее решение:
19 7233 7 г
^1 =- 7^2 - ~h3 + 5,
555
2114
^2 = -7^1 ““ 7^3 + 5,
555
(14)
ж3 = /и, x4 = h2, x5 = h3.
Общее решение системы уравнений (13) можно получить другим способом. Сначала, положив в (13) х3 = х4 = х3 = 0, находим ее частное решение:
Хо =
5 5 О
О О
Далее рассмотрим однородную систему
19233
ад + —х3 + -Х4 + —х3 = О,
555
2114
Ж2 + -Х3 + — Х4 + -ХЬ = 0.
555
(15)
Положив х3 = 1, х4 = х3 = 0, находим х^ = —19/5, х2 = —2/5. Положив х3 = 0, х4 = 1, х3 = 0, находим ад = —2/5, х2 = —11/5. Положив х3 = х4 = 0, Х5 = 1, находим Xi = —33/5, х2 = —4/5. Таким образом, мы находим три линейно независимых частных решения однородной системы уравнений (фундаментальную систему решений):
-19/5-2/5
-2/5-11/5
1,0.
01
00
-33/5 -4/5
,0
0 1
-19/5
-2/5
-33/5
5
-2/5
-11/5
-4/5
5
Х = /ц
1
+ h2
0
+ ^з
0
+
0
■(16)
0
1
0
0
0
0
1
0
Теперь можно записать общее решение данной системы уравнений (11) в векторной форме
Очевидно, что (16) есть другая запись формулы (14).
Наконец, можно получить общее решение системы уравнений (13) сразу в матричной форме (5’). В данном случае
19/5 2/5 33/5 2/5 11/5 4/5 ’
3 =
5
5
Таким образом, общее решение
-19/5 -2/5 -33/55
-2/5 -11/5 -4/55
Х =100 h+ 0 ,(17)
0100
0010
где h — столбец из произвольных постоянных h-^ h^ h^. Ясно, что (17) есть матричная запись (16).
Заменим произвольные постоянные hi, h^, h^ на —5/ii, —5^2,
—5/гз соответственно. Формула (17) примет вид
19
2
33
5
2
11
4
5
х =
-5
0
0
h +
0
, где
h =
^2
■(18)
0
-5
0
0
^3
0
0
-5
0
В ответе к данной задаче 19.6, 42) указаны фундаментальная матрица А409 и столбец С231- В банке находим
192 33
5
2 114
5
Ф — А409 —
-50 0
,С231 —
0
0-5 0
0
00-5
0
что соответствует решению (18). Напомним, что и фундаментальная система решений, и частное решение определены не однозначно.
§17. Системы линейных уравнений с определителем,отличным от О
Выписать расширенную матрицу данной системы уравнений. Решить систему:
2ж1 + ж2 = Ю, 2) Зж + 5?/ = 2, Ж1 + Ж2 = 17;5х + 9у = 4;
2жх + ж2 —жз = 2,4) г/ + 3^ = — 1
3ж1 + Ж2 — 2жз = 3,2ж + Зу + 5г = 3,
жх + жз = 3;Зж + 5у + 7 г = 6;
Зжх + 4ж2 + 2жз + Ж4 = 16,
Ж1 + 7ж2 + Жз + ж4 = 23,
2ж1 + Ж2 + Зжз + 5ж4 = 10,
4жх — Зж2 + 4жз + 6Ж4 = 1;
2ж + Зу + 4г + 5t = 30,
Зж + Зу + 4г + 5t = 34, 4ж + 4у + 4г + 5t = 41 , ж + ?/ + г + £=10;
Жх + ж2 + ж3 + ж4 + ж5 = 1,
Ж1 + ж3 + ж4 + ж5 = -3,
Ж1 +ж2 +ж3 +ж4 = О,
Ж1 +ж2 +ж3 +ж5 = 3, Ж1 + ж2 + Ж4 + Ж5 = -2;
Ж1+ж2 = 3,
Ж1 + ж3 = 4, жх + ж4 = —2, жх +ж5 = -1, жх +ж6 = О, ж2 + ж3 + ж4 + ж5 + Ж6 = -1.
Выписать систему линейных уравнений, соответствующую данной расширенной матрице. Решить систему, пользуясь правилом Крамера:
Щ4о|с7||;2) ||Л6|с9||;3) || Л202 |с54||;4) || Л209 |с551|;
||Л204|с5б||;6) ||Л20з|с5з||;7) ||Л2оз|о||.
Доказать утверждения:
Если уравнения системы (Б) являются линейными комбинациями уравнений совместной линейной системы (А), то множество решений системы (Б) содержит множество решений (А).
Присоединение к совместной системе линейных уравнений линейных комбинаций из ее уравнений заменяет систему на эквивалентную.
При элементарных преобразованиях строк расширенной матрицы совместная система линейных уравнений заменяется на эквивалентную.
Как изменяются решения системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях столбцов основной матрицы?
Какую систему уравнений простейшего вида можно получить, применяя алгоритм Гаусса к строкам расширенной матрицы данной системы п линейных уравнений с п неизвестными, если основная матрица невырождена?
Составить систему линейных уравнений по данной расширенной матрице. Решить систему (нижеследующие матрицы разбиты на 4 группы по порядку основной матрицы): п = 2:
||Л18|сю||;2) ||Л8|С12||;3) ||Л10|с12||;
п = 3:
Щ21б|с59||;5) Щ217|с6о||;6) Щ218|с61||;
||Л219|с98||;8) ||Л220|с6з||;
п = 4:
||Л446|С154||;10) ||Л447|С155||;11) || Л448|С185 ||;
ЦЛ4491С157Ц;13) ||Л442|с158||;14) ||Л442|с159||;
||Л439|с160||;
п = 5:
||Л537|с232||;17) ||Л5з8|с238||;18) ||Л5з9|с2зз||;
||Л540|с2з4||;20) ||Л541|с235||;21) ||Л542|с2з6||;
||Л542|с237||;23) ||Л543|с268||.
Системы линейных однородных уравнений
Выписать матрицу коэффициентов данной системы линейных однородных уравнений. Решить систему:
х — у = 0;2) xi — х2 + 2х8 = 0;
xi + х2 + х3 + Х4 + х5 = 0;
х + 3у + 2г = 0,5) 5х — 8?/+ 3^ = 0,
2х + 4у + 3^ = 0; 2х — Зу + % = 0;
х + 2у + Зг = 0, 2х + Зу + 4г = 0, x + y + z = 0;
5x1 — 8х2 + Зхз + 3x4 = 0, 4xi — 6х2 + 2хз + Х4 = 0;
Xi + Зх2 + 4хз + Х4 = 0, 2xi + 2х2 + Зхз + Х4 = 0, 3xi + Зх2 + 4хз + Х4 = 0;
2xi + 4х2 + 6x3 + Х4 = 0, Xi + 2х2 + Зхз + Х4 = 0, 3xi + 6х2 + 9хз — Х4 = 0, Xi + 2х2 + Зхз + 5x4 = 0;
Х1 + Х2 + Хз — Х4 = 0, 3xi + 2х2 + х3 - х5 = 0;
Xi + Зх2 + Зхз + 2x4 + 6x5 = О,
Xi — х2 — 2хз — Зхз = О,
Xi + Их2 + 7хз + 6x4 + 18x5 = 0;
Xi + Зх2 + 2хз + 2x4 + 5x5 = О, 2xi + 2х2 + Зхз + 2x4 + 5x5 = О, 3xi + х2 + хз + 2x4 + 2x5 = О, Х1 + Х2 — Хз + Х4 = 0.
Доказать, что:
сумма двух решений однородной системы линейных уравнений есть решение той же системы;
произведение какого-либо решения однородной системы линейных уравнений на число есть решение той же системы.
Пусть к — максимальное число линейно независимых решений однородной системы линейных уравнений. Выразить к через размеры и ранг матрицы системы. В каком случае к = О?
Сколько линейно независимых решений имеет однородная система линейных уравнений, если ее матрица невырождена?
Может ли однородная система линейных уравнений оказаться несовместной?
Сформулировать условия (и проверить их необходимость и достаточность), при которых однородная система линейных уравнений имеет: 1) единственное решение; 2) бесконечно много решений.
Составить и решить однородную систему линейных уравнений, заданную своей матрицей коэффициентов:
||12||;2) Ц111Ц;3) Ц13 0 1Ц;4) Л391;5) Л455;
Л5оо; 7) Л514; 8) Л519; 9) Л573; 10) Л582; И) Л583.
Составить однородную систему линейных уравнений по заданной матрице коэффициентов, содержащей параметр. Решить систему при всевозможных значениях параметра:
Л =Л221 —ХЕ;2)Л = Л212 — ХЕ;
Л =Л222 —ХЕ;4)Л = Л365;
Л =Л213 —ХЕ;2)Л = Л363.
Решить однородную систему линейных уравнений, заданную своей матрицей коэффициентов. Составить и решить соответствующую сопряженную систему:
^114; 2) Лц5; 3) Лц8; 4) Л20б; 5) Л209; 6) Л368;
Л4о8; 8) Л145; 9) Л146; 10) Л443; 11) Лз8у; 12) Л536.
Могут ли данная однородная система линейных уравнений и ее сопряженная система иметь одинаковое число линейно независимых решений?
Могут ли совпадать множества решений данной однородной системы линейных уравнений и ее сопряженной?
Доказать, что однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, ко-
гда строки основной матрицы сопряженной системы линейно зависимы.
Зная одну фундаментальную матрицу Ф, найти общий вид произвольной фундаментальной матрицы той же системы уравнений.
Данная матрица является фундаментальной матрицей некоторой однородной системы линейных уравнений. Найти хотя бы одну нормальную фундаментальную матрицу:
1) Лц7; 2) Лц8; 3) Л397.
Данная матрица является фундаментальной матрицей некоторой системы линейных уравнений. Найти все нормальные фундаментальные матрицы этой системы уравнений:
1) Лц9; 2) С197;3) Лц2; 4) Л398.
В системе уравнений Лх = о (х — столбец), имеющей фундаментальную матрицу Ф, выполнена замена неизвестных х = Sy (detS 7^ 0). Какая система уравнений получится для у? Укажите фундаментальную матрицу решений этой системы.
Найти хотя бы одну однородную систему линейных уравнений, для которой данная матрица является фундаментальной:
Лцо; 2) Л147;3) С197;4) (р) Лы8; 5) Л4Ц.
Найти все однородные системы уравнений, эквивалентные данной системе Лх = о.
Найти все однородные системы уравнений, для которых данная матрица Ф является фундаментальной.
Дана матрица Л, строки которой линейно независимы. Снизу к ней приписали транспонированную фундаментальную матрицу системы Лх = о. Доказать, что детерминант полученной матрицы отличен от нуля.
Системы линейных уравнений общего вида
Системы линейных неоднородныхуравнений (19.1—19.12)
Решить систему линейных уравнений:
2ж — Зу = 4;2) ад + ж2 + 2ж3 + Зад = 1;
2ж + у + % = 4,
Зх + 2 = 4;
(Д2 + 1)ж + (^2-1)у-^ = 1 + А ж + (3 - 2 V2) у + (V2 - 2) г = 1;
ж + 2?/ + Зг = —4,6) Ж1 + 2ж2 + жз = 2,
2ж + Зу + 4г = 1,2ж1 + Зж2 + Ж4 = 1;
Зх + 4у + 5г = 6;
5^1 + 4^2 + хз + Зж4 = —5, 2жх + ж2 + хз + 4х4 = 2, Зжх + 2^2 + хз + Х4 = — 3, Xi + Зж2 — 2жз + 2ж4 = —4;
Зжх + Х2 + хз + 2^4 = —2, 5жх + 2жз + 5^4 = —2, бжх + ж2 + 5ж3 + 7ж4 = -4, 2^1 4" ^2 Ч- 2жз 4" 2^4 = —2;
Х1 +хз +Ж4 + ж5 = 6, Ж2 + жз + ж4 + ж5 = 8;
6а?1 4- Зж2 4- 14жз — 2ж4 + Жб = 2, 20ж1 4- 5^2 4- Южз 4- 4x4 + Пжб = 20, 13ж1 4- 4^2 4- 12жз 4- Х4 4- 6x5 = 11, 4ж1 4- 7^2 4- 46жз — 12^4 — 7хз = —12, xi — 2^2 — 16жз 4- 5^4 4- 4^5 = 7.
Доказать, что:
разность двух решений неоднородной системы линейных уравнений есть решение соответствующей однородной системы;
сумма любого решения неоднородной системы линейных уравнений и любого решения соответствующей однородной системы есть также решение данной неоднородной системы.
На сколько единиц ранг основной матрицы системы может отличаться от ранга расширенной?
Пусть система т линейных уравнений с п неизвестными несовместна, а ее основная матрица имеет ранг п. К какому простейшему виду можно привести эту систему уравнений, применяя к строкам расширенной матрицы алгоритм Гаусса?
Сформулировать необходимое и достаточное условие того, что система т линейных уравнений с п неизвестными имеет единственное решение.
Составить систему линейных уравнений по заданной расширенной матрице. Решить систему или установить
ее несовместность. (Нижеприведенные матрицы разбиты на 4 группы по числу столбцов основной матрицы. Внутри каждой группы матрицы упорядочены по числу строк.)
п = 3:
||Я.232|С64||;2)11^232|С651|;3)||Я.2381Сбб||5
11^239кб7||;5)Ця.241 IcesII;6)||^2зз|с7о||;
11^206|С55II;8)||А20б|с51||;9)||^2Об1с7о||;
Щ4оо|С162||;11) Щ408|С24з||;12) ||Я^5|С24ОII;
||Af81|c239||.
п = 4:
Щ^45|с14||;15)Щ50б|с1з||;16)Щ^49|с15||;
|ЦбО1|С1б||;18)|Ц502|С17||;19)||4.51о|С7з||;
|Ц511|С74||;21)||Яб12|С751|;22)||Аб1з|Сб2||;
Нб17|сбз||;24)Нз99|с5о||;25)H444|ci67||;
11Я.5201С24411;27) Щ521|С244||;28) 11-4523|С2411|;
11Я.5241С24211;30) 114.587|С245 II;
п = 5:
||4.574|с1з||;32)||4.575|с4б||;33)||4.576|сзз||;
||4.581|С77||;35)||4.581|С7б||;36)||Я^2|С72II;
||Я577|с7з||;38)||4.584|с79||;39)||4.578|с8о||;
||4.579|с81||;41)||4.58о|С82||;42)||A58i (0531|;
|К2|с163||;44) ||A^23|c164||;45) |К4|с165||;
||4.588|с1бб||;47) ||4.52О|с17о||;48) 11Я5441024611;
||4.533|с247||.
п = 6:
||4.591|с271||-
Составить систему линейных уравнений по заданной расширенной матрице, содержащей параметр. Найти все значения параметра, при которых система совместна, и решить ее:
1) 1И22з|с85||;2) ||4.224|с8б||;3) ||Л225|с87||;
||Я22б|с88||-
Описать все линейные комбинации решений данной неоднородной системы линейных уравнений, которые являются решениями этой же системы.
Описать все такие линейные комбинации решений данной линейной неоднородной системы уравнений, которые являются решениями соответствующей однородной системы.
Пусть столбец из свободных членов линейной системы уравнений равен сумме столбцов ее основной матрицы. Указать какое-либо частное решение системы.
Пусть столбец из свободных членов линейной системы уравнений совпадает с последним столбцом ее основной матрицы. Указать какое-либо частное решение системы.
Пусть х, у — столбцы решений систем уравнений Ах = а, Л у = b соответственно и а, /3 — некоторые числа. Какой системе уравнений удовлетворяет:
z = ах; 2) z = x + y; 3) z = ax + /3y
Условия совместности системылинейных уравнений (19.13—19.20)
Доказать, что если столбцы основной матрицы линейно независимы, то система линейных уравнений имеет не более одного решения.
Доказать, что если строки основной матрицы линейно независимы, то система уравнений совместна при любом столбце свободных членов.
Доказать следующее утверждение: если система линейных уравнений совместна при любом столбце свободных членов, то строки ее основной матрицы линейно независимы.
Доказать, что всегда имеет место одна из двух возможностей: либо система линейных уравнений совместна при любом столбце свободных членов, либо ее сопряженная однородная система имеет ненулевое решение (альтернатива Фредгольма).
Сформулировать условия (и доказать их необходимость и достаточность), которым должна удовлетворять основная матрица для того, чтобы число решений системы линейных уравнений, в зависимости от столбца b свободных членов, равнялось:
0 или 1; 2) 1 или сю; 3) 0 или сю; 4) 1 при всех Ь.
Система линейных уравнений задана своей расширенной матрицей. Проверить совместность этой системы, пользуясь теоремой Фредгольма и результатом задачи 18.9 для соответствующей сопряженной системы уравнений:
|Ц114|С89||; 2) ||Лц8|с9о||; 3) ||Л587|С171||.
Система уравнений задана своей расширенной матрицей, содержащей параметр. Применяя теорему Фредгольма, найти все значения параметра, при которых система совместна, и решить ее:
Щ2О5|С91||; 2) || Л515 |с911|; 3) || Л507|с911|.
Система уравнений задана своей расширенной матрицей 11^-6441С2821L зависящей от параметров Ai,..., Ап,ц. Опи-
сать множество значений параметров, при которых система совместна, и решить ее.
Эквивалентные системы уравнений (19.21—19.29)
Доказать, что если эквивалентны совместные системы линейных неоднородных уравнений, то эквивалентны и соответствующие однородные системы.
1) Доказать, что нетривиальные уравнения1) aixi + ... + аихи = 0 и biXi Нк Ьпхп = 0 эквивалентны тогда
и только тогда, когда rgи только тогда, когда rgау ... а, bi ... ь,ау ... а, bi ... ь,= 1.= 1.
и только тогда, когда rg
и только тогда, когда rg
ау ... а, bi ... ь,
ау ... а, bi ... ь,
= 1.
= 1.
Доказать, что нетривиальные1) уравнения aixi + ... ... + апхп = а и biXi НН bnxn = b эквивалентны тогда и толь-
ко тогда, когда rgко тогда, когда rgtil ... ап а bi bn btil ... ап а bi bn b= 1.= 1.
ко тогда, когда rg
ко тогда, когда rg
til ... ап а bi bn b
til ... ап а bi bn b
= 1.
= 1.
Сформулировать признак попарной эквивалентности к линейных уравнений.
1) Доказать, что системы линейных уравнений
Л rg вЛ rg в= rg Л = rgB.= rg Л = rgB.Лх = о, Вх = о эквивалентны тогда и только тогда, когда
Л rg в
Л rg в
= rg Л = rgB.
= rg Л = rgB.
Доказать, что совместные системы линейных уравнений
Л а rs в ьЛ а rs в ь= rg Л = rgB.= rg Л = rgB.Ах = а, Вх = b эквивалентны тогда и толвко тогда, когда
Л а rs в ь
Л а rs в ь
= rg Л = rgB.
= rg Л = rgB.
Проверить эквивалентность систем уравнений 18.1, 11) и 18.1, 12).
Проверить, эквивалентны ли системы уравнений, определяемые расширенными матрицами:
(^502|С17) И (Л5оз|С12);2) (Л239кб7) И (Л24о|С147);
3) (^581|С69) И (Л422|С72).
Проверить эквивалентность всех систем данной совокупности (каждая система уравнений задана расширенной матрицей): (Л501|с16), (Л509|сб7) и (Л51о|с7з).
1) Допустим, что добавление к данной однородной системе линейных уравнений еще некоторого числа линейных однородных уравнений не меняет множества ее решений. До
’) Линейное уравнение нетривиалъно если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от 0.
казать, что добавленные уравнения являются линейными комбинациями уравнений данной системы.
Доказать то же утверждение для совместной системы линейных неоднородных уравнений. Сравнить с задачей 17.3. 2).
1) Допустим, что каждое решение однородной системы линейных уравнений (А) является также и решением однородной системы линейных уравнений (Б). Доказать, что тогда каждое уравнение системы (Б) является линейной комбинацией уравнений системы (А).
Доказать то же утверждение для совместных систем линейных неоднородных уравнений. Сравнить с задачей 17.3. 1).
1) Доказать, что две однородные системы линейных уравнений эквивалентны тогда и только тогда, когда уравнения каждой из них являются линейными комбинациями уравнений другой системы.
Доказать то же утверждение для совместных систем линейных неоднородных уравнений.
Приложения (19.30—19.49)
(р). Пусть Ах = b — произвольная система линейных уравнений. Доказать, что система уравнений (ЛЛ4)X = АГЬ совместна.
(р). Дана квадратная матрица А = ||а^||- Доказать, что если при всех г выполнено неравенство |Щг|>^21а^Ь то det Л ДО.^^
Доказать, что для любых попарно различных чисел &1,..., аи^\ и любых чисел 61,..., buw существует единственный многочлен /(£) степени не выше п такой, что
/(«1) = Ьь ..., /(an+i) = Ьп+1.
Найти многочлен /(t) третьей степени такой, что /(1) = /(2) = /(3) = 1, /(4) = 7.
Приведенные ниже задачи 19.34-19.49 относятся к прямой, окружности, плоскости и сфере. Следует брать за определение алгебраическое уравнение соответствующего множества, а при решении задач применять теорию систем линейных уравнений, не пользуясь методами аналитической геометрии.
1) (р) Сформулировать в терминах рангов и доказать условие на декартовы координаты (a^biY (^2^2)? (^^b^)
трех точек плоскости, необходимое и достаточное для того, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.
Решить тот же вопрос для четырех точек плоскости.
(р). Доказать, что через две различные точки с декартовыми координатами (a-^bi), (^2,62) проходит единственная прямая, и найти ее уравнение.
Показать, что через три точки с координатами (ai,6i), ((22,62), («3,63), не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, и найти ее уравнение. Система координат декартова прямоугольная.
1) Три прямые заданы на плоскости в общей декартовой системе координат уравнениями А^х + В^у + Ci = О, г = 1,2,3. Сформулировать в терминах рангов и доказать условие на коэффициенты уравнений, необходимое и достаточное для того, чтобы эти прямые не проходили через одну точку.
Решить тот же вопрос для четырех прямых.
Используя результат задачи 19.37, определить, имеют ли данные прямые общую точку:
2х + Зу + 1 = 0, 7х + Пу + 4 = 0, Зж + 4у + 1 = 0;
х + Зу + 1 = 0, 7ж - у + 1 = 0, Их - 2^у - 1 = 0, 8ж + 7?/ + 2 = 0.
1) Четыре точки заданы своими декартовыми координатами (а^б^с^), г = 1,2,3,4. Сформулировать в терминах рангов и доказать условие, необходимое и достаточное для того, чтобы эти точки не лежали в одной плоскости.
Решить тот же вопрос для пяти точек.
Используя результат задачи 19.39, определить, лежат ли данные точки на одной плоскости:
(7,-1,2), (2,3,1), (0,10,0), (3,4,1), (6,-2,2);
(6,1,2), (2,3,1), (3,4,1), (6,2,2).
Показать, что через четыре точки с координатами (щ, bi^Ci\ г = 1,2,3,4, не лежащие в одной плоскости, проходит единственная сфера, и найти ее уравнение. Система координат декартова прямоугольная.
Три точки заданы своими декартовыми координатами (а^б^с^), г = 1,2,3.
(р) Сформулировать в терминах рангов и доказать условие, необходимое и достаточное для того, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.
Решить тот же вопрос для т точек (т ^ 4).
Используя результат задачи 19.42, определить, лежат ли данные точки на одной прямой:
(2,3,1), (3,4,2), (0,1,-1), (-2,-1,-3), (-6,-5,-7);
(2,3,1), (3,4,2), (0,1,1), (2,1,3), (6,5,4).
Доказать, что через три точки с декартовыми координатами ^а^Ъ^щ\ г = 1,2,3, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость, и найти ее уравнение.
Две плоскости заданы в общей декартовой системе координат уравнениями А^х + В^у + CiZ + Di = 0, г = 1,2. Сформулировать в терминах рангов и доказать условия на коэффициенты уравнений, необходимые и достаточные для того, чтобы эти плоскости:
совпадали;
имели единственную общую прямую;
были параллельными, но не совпадали.
Три плоскости заданы в общей декартовой системе координат уравнениями AiX + Biy + CiZ + Di = 0, г = 1,2,3. Сформулировать в терминах рангов и доказать условия на коэффициенты уравнений, необходимые и достаточные для того, чтобы эти плоскости:
совпадали;
имели единственную общую точку;
имели единственную общую прямую;
были параллельными, но не все совпадали;
образовывали призму.
Используя результат задачи 19.46, определить взаимное расположение плоскостей:
Зж + 2у + 5г - 1 = 0, 2ж + Зу + Зг + 1 = 0, 9ж + 16?/ + 13г + 1 = 0;
х — у — г + 1 = 0, Ьх — 21?/ — 17г + 1 = 0, 6ж — 26?/ — 21г + 1 = 0.
Четыре плоскости заданы в общей декартовой системе координат уравнениями AiX + В^у + CiZ + Di = 0, г = 1,2, 3,4. Известно, что пары, соответствующие г = 1,2 и г = 3,4, определяют прямые линии. Сформулировать в терминах рангов и доказать условия на коэффициенты уравнений, необходимые и достаточные для того, чтобы эти прямые:
пересекались;
были параллельными, но не совпадали;
совпадали;
скрещивались.
Используя результат задачи 19.48, определить взаимное расположение прямых:
| Зж + 2?/ + 5^ —1 = О,
[ —х + 2у + 3z — 1 = О,
( 4х — бу + 7^ + 2 = О,
[ 5ж + 3?/-8^-3 = 0;
( x + 3y + 3z —2 = 0,
[ х — Оу — 6z — 5 = О,
| 2ж — 14?/— 9^ — 9 = О,
[ 4х + 2у + z — 7 = 0.
Глава 8
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В этой главе используются следующие основные понятия и термины: вещественное линейное пространство (линейное пространство над полем вещественных чисел), комплексное линейное пространство (линейное пространство над полем комплексных чисел), линейная комбинация векторов, линейно зависимая система векторов, базис в линейном пространстве, координаты вектора в базисе, координатный столбец вектора, конечномерное линейное пространство и его размерность, арифметическое пространство (вещественное и комплексное), бесконечномерное линейное пространство, матрица перехода от одного базиса к другому, линейное подпространство, нулевое подпространство, линейная оболочка системы векторов (линейное подпространство, натянутое на эту систему векторов), сумма и пересечение двух (и любого конечного числа) подпространств, прямая сумма двух (и любого конечного числа) подпространств.
Перечислим основные примеры линейных пространств.
Геометрическое пространство — множество векторов (направленных отрезков) пространства, изучаемого в элементарной геометрии.
Арифметическое n-мерное линейное пространство 7^п над полем вещественных чисел (вещественное арифметическое пространство) — пространство столбцов высоты п с вещественными элементами. Операции сложения столбцов и умножения столбца на число осуществляются покомпонентно. Базис этого пространства, состоящий из столбцов единичной матрицы, называется стандартным. Координатами столбца относительно стандартного базиса являются его элементы.
Арифметическое n-мерное линейное пространство Сп над полем комплексных чисел (комплексное арифметическое пространство) — пространство столбцов высоты п с комплексными элементами. Операции и стандартный базис определяются так же, как и в 7^п.
Пространство ЕтХп вещественных матриц размера т х п над полем вещественных чисел с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на число. Размерность пространства ЕшХп равна тп. В пространстве 7^mXn стандартным называем базис, состоящий из матричных единиц Е^, г = 1,..., т*, j = 1,..., п (см. введение к § 15). Базисные матрицы упорядочиваем следующим образом: Ец, E^^ • • • Ет\, Е^з, • • • Ет2, • • • Е1п, ..., Етп ).
’) О другом способе упорядочивания см. введение к гл. 12.
Пространство СтХп комплексных матриц размера т х п над полем комплексных чисел. Операции, размерность, стандартный базис — такие же, как и в 7^mXn-
Пространство Р^ многочленов с вещественными коэффициентами от одной переменной £, имеющих степени, не превосходящие данного числа п. Операции — обычные операции сложения многочленов и умножения многочлена на число. Размерность пространства рМ равна п + 1. Стандартным базисом называем базис из многочленов 1, £, £2, ..., tn.
Произвольное линейное пространство обозначаем буквой С. его размерность — dim£. Если dim£ = щ то пишем: Сп. Элементы линейного пространства называем векторами, их координаты записываем в виде столбцов.
Пусть Е, = (£i,••• ,£П)Т — координатный столбец вектора х в базисе е = (ei,..., еп\ Тогда
ж = ^^ек=е£„ (1) k=i
где е понимается как строка из векторов ei,...,en. Формула (1) называется формулой разложения вектора х по базису е.
Пусть векторы e'x,..., е^ базиса е' заданы своими координатами относительно базиса е= (ei,...,en):
е'г = ^2<тыек, г = (2)
к=1
Матрица S, столбцами которой являются координатные столбцы новых базисных векторов е^,...,^ относительно старого базиса е, называется матрицей перехода от базиса е к базису е'. Равенство (2) можно переписать так:
е' = е8. (3)
Это равенство сохранится, если вместо строк из векторов е и е' рассматривать матрицы из координатных столбцов векторов ei,..., еп и е^... ^е^ в некотором фиксированном базисе.
Если вектор х имеет координатный столбец Е, в базисе е и координатный столбец Е^ в базисе ez, a S — матрица перехода от базиса е к базису е', то
^ = 8^'. (4)
При фиксированном базисе пространства каждой линейной комбинации векторов взаимно однозначно соответствует такая же линейная комбинация их координатных столбцов.
Пусть векторы а^.^а^ заданы своими координатными столбцами. Составим из этих столбцов матрицу А и будем делать элементарные преобразования ее строк. Столбцы преобразованной матрицы можно интерпретировать как координатные столбцы тех же
векторов в новом базисе. Матрица перехода к нему получается из единичной матрицы Е с помощью тех же элементарных преобразований строк.
Элементарным преобразованиям столбцов матрицы А соответствует переход к системе векторов, являющихся линейными комбинациями данных. Матрица из коэффициентов этих линейных комбинаций получается из Е теми же элементарными преобразованиями столбцов.
Приведем схемы решения некоторых важных типичных задач.
Векторы /1,...,/п базиса f и вектор х даны своими координатными столбцами относительно базиса е. Найти координатный столбец Е^ вектора х относительно базиса f.
Решение. Столбец Е^ находится из матричного уравнения (4), где Е, — координатный столбец вектора х в базисе е, a S — матрица из координатных столбцов векторов /i,...,/n в базисе е. Для того, чтобы вычислить столбец Е^ матрицу || S | Е, || с помощью элементарных преобразований строк упрощаем так, чтобы на месте S оказалась единичная матрица. Тогда на месте столбца Е, окажется искомый столбец Е,'.
Векторы базисов f = (Д,...,/п) и g = (yi,... ^дп) заданы своими координатными столбцами относительно третьего базиса е = = (ei,...,en). Найти матрицу перехода S от базиса f к базису g.
Решение. Пусть F и G — матрицы из координатных столбцов векторов /1,...,/п и д^... ^дп. Применяя в нашем случае матричное равенство (3), имеем: G = FS.
Матрицу 8 = FAG можно вычислить с помощью элементарных преобразований строк матрицы || F | G ||. Если после элементарных преобразований строк на месте матрицы F окажется единичная матрица, то на месте G будет искомая матрица S.
Векторы di,...,а^ заданы своими координатными столбцами в некотором базисе е. Проверить, образуют ли данные векторы базис в пространстве, выявить линейные зависимости между ними, найти базис в линейной оболочке системы ai,..., а^.
Решение. Пусть А — матрица из координатных столбцов данных векторов. Элементарное преобразование строк А равносильно умножению А слева на невырожденную матрицу Т. При этом все столбцы А также умножаются слева на Т, и линейные зависимости между столбцами матрицы не меняются. Эти действия можно понимать как замену координат: новые столбцы — новые координаты данных векторов.
Данные векторы образуют базис в £п тогда и только тогда, когда к = п и det А ^ 0. Обозначим линейную оболочку а-^...^ через V. Базис в Р состоит из таких векторов а^ координатные столбцы которых являются базисными столбцами матрицы А. Остальные векторы раскладываются по ним с теми же коэффициентами, с которыми соответствующие координатные столбцы раскладываются по базисным столбцам А. Для отыскания этих коэффициентов матри-
цу А следует привести к упрощенной форме с помощью элементарных преобразований строк.
Например, пусть векторы ai, а^ а^ четырехмерного пространства имеют в некотором базисе е координатные столбцы
Матрицу
1 1 2
1 1 О
1 0 1
О 1 1
с помощью преобразований строк приводим к виду
1 0 1
О 1 1 ООО ООО
Очевидно, третий столбец матрицы А равен сумме двух первых. Поэтому третий столбец матрицы А также равен сумме двух первых, и аз = ai Г а^,.
Базис в линейной оболочке системы векторов можно найти так же, упрощая матрицу А с помощью элементарных преобразований столбцов. Эти преобразования заменяют данные векторы на их независимые линейные комбинации, и их линейная оболочка остается неизменной.
Множество решений системы линейных однородных уравнений с п неизвестными можно рассматривать как множество координатных столбцов векторов некоторого линейного подпространства в пространстве Сп. В этом смысле каждая система линейных однородных уравнений с п неизвестными определяет линейное подпространство в Сп. Базис этого подпространства есть совокупность векторов, координатные столбцы которых образуют фундаментальную систему решений данной однородной системы линейных уравнений.
Векторы di,...,а^ заданы своими координатными столбцами относительно базиса е пространства С^. Найти систему линейных уравнений, определяющую линейную оболочку Г данных векторов.
Решение. Выпишем матрицу А из координатных столбцов векторов di,...,а^. Пусть rg А = г. Для того чтобы вектор с координатным столбцом ^ = (яд,... ..х^ принадлежал подпространству Р, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А = || А| £,|| также был равен т. Элементарными преобразованиями строк матрица А приводится к ступенчатому виду; при этом последние п — г строк становятся нулевыми. Если такие же преобразования проделать с мат-
рицей А, то в последних п — г строках на (к + 1)-м месте появятся некоторые линейные комбинации чисел Xi,... ,хп. Приравняв их нулю, получим искомую систему линейных уравнений.
Составим, например, систему уравнений, определяющую линейную оболочку системы векторов ai, а^ аз из предыдущего номера. Матрица
1-11 О1-11 О11 О111 О12 xi
1
-1
1 О
1
-1
1 О
1
1 О
1
1
1 О
1
О х2 1 ж3 1 Х4
приводится к ступенчатому виду
1 1 2О 1 1ОООООО1 1 2О 1 1ООООООXi
1 1 2
О 1 1
ООО
ООО
1 1 2
О 1 1
ООО
ООО
$4Х3 - Х1 фХ4Xi + Х2 — 2X4
Ранг матрицы без четвертого столбца равен 2; для того чтобы ранг всей матрицы тоже был равен 2, необходимо и достаточно выполнение условий Xi + Х2 — 2х4 = 0, Xi — хз — Х4 = 0. Это и есть искомая система линейных уравнений, определяющая линейную оболочку векторов oi, <22, (2з в базисе е.
Суммой конечного числа линейных подпространств М, JV^ .. МР называется линейная оболочка объединения множеств Л4, АГ, ..., Р. Сумма М ф JV ф ... ф Р конечного числа линейных подпространств называется прямой суммой, если каждое из подпространств М^ Ы\ ..., Р имеет нулевое пересечение с суммой остальных подпространств. Прямая сумма обозначается так: М ФЛ/*Ф ... Ф Р.
Если С = М ф Л/-, то проекцией вектора х Е С на линейное подпространство М параллельно линейному подпространству Ы называется слагаемое Xi в разложении х = Xi фХ2, где Xi Е М, х^ еЫ.
Остановимся на основных задачах, связанных с понятиями суммы и пересечения подпространств.
Линейные подпространства Р и Q заданы как линейные оболочки векторов (21,..., а к и &i,... .b[ соответственно. Найти базис суммы Р ф Q.
Решение. Подпространство Р ф Q является линейной оболочкой системы векторов оц,...,а^bi^... ^Ьь Поэтому задача сводится к задаче 3).
Линейные подпространства Р и Q заданы системами линейных однородных уравнений. Найти пересечение Р П Q.
Решение. Подпространство Р П Q задается системой уравнений, составленной из уравнений обеих данных систем. Размерность подпространства Р П Q можно вычислить по формуле Грассмана dim(Pn Q) = dimP4dimQ-dim(P4 Q).
Линейные подпространства Р и Q — линейные оболочки систем векторов ai,... ,а& и ^1,...,bi. Эти векторы заданы их коорди-
натными столбцами, которые образуют матрицы А и В соответственно. Найти размерность и базис суммы V + Q и пересечения V П Q.
Решение. Приведем матрицу ||А|В|| к упрощенному виду ||А'|В'|| при помощи элементарных преобразований строк. При этом выберем упрощенный вид так, чтобы в число базисных столбцов вошли все базисные столбцы А и столько столбцов из В. сколько потребуется. Тогда векторы, соответствующие базисным столбцам матрицы IIA'lB'H, составляют базис в V + Q, а соответствующие базисным столбцам, расположенным в А’составят базис в Т.
Для того, чтобы найти размерности Q и V П Q, упростим теперь матрицу В* с помощью элементарных преобразований столбцов так, чтобы не менять ранее найденных базисных столбцов (назовем эти столбцы основными). Полный набор базисных столбцов преобразованной матрицы В” соответствует базису в Q, а базисные столбцы В”дополняющие основные, соответствуют базису в V П Q. Для того чтобы проследить за тем, какие линейные комбинации векторов ^1,... Д/ они образуют, и таким образом найти исходные координаты базисных векторов подпространства V П Q, можно проделать со столбцами единичной матрицы порядка I те же элементарные преобразования, что и со столбцами В’.
В главе «решения» приведено решение задачи 21.7, 11) указанным способом.
Примеры пространств.Базис и размерность
Можно ли подходящим введением операций сложения и умножения на число сделать линейным пространством:
пустое множество; 2) множество из одного элемента;
множество из двух элементов?
Доказать, что:
если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то она линейно зависима;
если система векторов линейно независима, то любая ее подсистема также линейно независима;
если векторы а^ ..., а^ линейно независимы, а векторы ао, ^1, ..., а^ линейно зависимы, то вектор ао является линейной комбинацией векторов а^ а^.
Выяснить, является ли линейным подпространством данное множество векторов в n-мерном пространстве, и если является, то найти его размерность:
множество векторов, все координаты которых равны между собой;
множество векторов, первая координата которых равна 0;
множество векторов, сумма координат которых равна 0;
множество векторов, сумма координат которых равна 1.
Выяснить, является ли линейным подпространством данное множество векторов геометрического пространства, и если является, определить его размерность:
множество векторов плоскости, параллельных данной прямой;
множество векторов трехмерного пространства, перпендикулярных данной прямой;
множество векторов плоскости, по модулю не превосходящих 1;
множество векторов плоскости, образующих угол а с данной прямой (0° < а < 90°).
Доказать, что множество матриц размера тхп образует линейное пространство относительно обычных операций сложения матриц и умножения матрицы на число. Найти размерность и базис этого пространства Нтхп.
Выяснить, является ли данное множество квадратных матриц порядка п, линейным подпространством в пространстве всех квадратных матриц порядка п, и если является, то найти его размерность:
множество матриц с нулевой первой строкой;
множество диагональных матриц;
множество верхних треугольных матриц;
множество симметрических матриц;
множество кососимметрических матриц;
множество вырожденных матриц.
Выяснить, образует ли данное множество функций на произвольном отрезке [а, Ь] линейное пространство относительно обычных операций сложения и умножения на число:
множество функций, непрерывных на [а, Ь];
множество функций, дифференцируемых на [а, Ь];
множество функций, интегрируемых по Риману на [а, Ь];
множество функций, ограниченных на [а, Ь];
множество функций таких, что 8ир|/(ж)| ^ 1;
множество функций, неотрицательных на [а, Ь];
множество функций таких, что /(а) = 0;
множество функций таких, что /(а) = 1;
множество функций таких, что lim /(ж) = оо;
ж—^а+0
множество функций, монотонно возрастающих на [а,Ь];
множество функций, монотонных на [а, 6].
Доказать, что при любом натуральном п данное множество функций образует конечномерное линейное пространство; найти размерность и указать базис этого пространства:
множество многочленов степени не выше п (обозначается г^у
множество четных многочленов степени не выше п;
множество нечетных многочленов степени не выше п;
множество тригонометрических многочленов порядка не выше п, т. е. множество функций вида f^ = no + aicos/; + + bi sin/; + ... + ancosnt + bn sinn/;;
множество четных тригонометрических многочленов порядка не выше п;
множество нечетных тригонометрических многочленов порядка не выше п;
множество функций вида /(£) = eat(ao + ai cost + + bi sin/; + ... + ancosnt + bn sinn/;), где a — фиксированное действительное число.
Доказать, что данное множество функций образует бесконечномерное линейное пространство:
множество всех многочленов;
множество всех тригонометрических многочленов;
множество функций, непрерывных на некотором отрезке.
Найти линейную комбинацию столбцов:
3ci - -с2;2) -С29+ сзз+ 2c3i;
-С143 — -С13§;4) C2Q6 - ЗС198 + 2С199.
Найти линейную комбинацию матриц 1 .1 ...
3^215 — 2^252 + Л253 — Л254.
Найти столбец х из уравнения:
IС141+Х С14б+х
С28 + С29 - 2х = С32;2) = С142;
3(С197 + х)+ 2(с202 -х) =4(с204 -х).
Выявить линейные зависимости между данными столбцами:
С34, С35, С29’,2) С84, С83, С120;
С166, Cigs, С199, C201;4) С166, С197, C2Q5, C2Q6-
Найти размерность и базис линейной оболочки данной системы столбцов:
ci, С2;2) сз1,С28,сзо; 3) С31, С30, С32;
С121, С124, Сиз;5)С166,С198, С199, С201;
С196, С198, С202;7)С166,С196,С197, Cigg;
о; 9) С166, С203, С204, С197.
Найти размерность и базис линейной оболочки системы матриц Л391, Л390, Л389.
Найти размерность и базис линейной оболочки системы многочленов (1 + /;)3, t3 1, t + t2.
Доказать что векторы ei,... ,еп образуют базис в п- мерном арифметическом пространстве, и найти координатный столбец вектора х в этом базисе:
n = 1, ei = ci, х = С2;
п = 2, ei = С28, ©2 = С29, х = С30;
п = 3, ei = cue, е2 = С120, ез = с122,х = С49;
п = 4, ei = ci96, е2 = С197, ез = сю8,04 = С199,х=С200;
п = 5, ei = С255, ^2 = С263, ез = С264,64 = С265,£5 = С266,
х = С267
Доказать, что матрицы Л5, Лю, Л13, Ле образуют базис в пространстве квадратных матриц порядка 2, и найти координатный столбец матрицы Л26 в этом базисе.
0.19. Доказать, что матрицы Л200, ^202, Л205, ^204, Л203, Л242 образуют базис в пространстве симметрических матриц порядка 3, и найти координатный столбец матрицы Л215 в этом базисе.
Доказать, что многочлены 1, t — q, (t — а)2, ... ..., (t — аД образуют базис в пространстве многочленов степени не выше п, и найти координатный столбец произвольного многочлена pn(t) степени не выше п в этом базисе.
(р). Доказать, что многочлены 2/; + /;5, t3 — tb, t + t3 образуют базис в пространстве нечетных многочленов степени не выше 5, и найти координатный столбец многочлена 5t — t3 + + 2^5 в этом базисе.
Найти размерность и базис линейного подпространства, заданного в некотором базисе системой линейных уравнений:
Л27х = о; 2) А2ззх = о; 3) А24дх = о; 4) Л391Х = о;
АцОх = о; 6) А442х = о; 7) А577х = о.
Составить систему уравнений, определяющую линейную оболочку данной системы столбцов:
С66, сзз; 2) сзх, сзо; 3) С30, С29;
С166, С196;5) С197;6) С166, С198, С199, С201;
С166, С196, С197, С198;8) (0, 0, 0, <.
Доказать, что каждая из двух систем векторов fi,... ..., fn и gi, ..., gn является базисом в п-мерном арифметическом пространстве, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты вектора в первом базисе, если известны его координаты ^, ..., ^ во втором базисе:
n= 1, fl =C1, gi = с3;
2)n = 2, fl=C29, f2 = C33, gl = C32, g2 = C28’,
n = 3, fl = Сцд, f2 = C117, Гз = C94, gl = Cii9, g2 = C84, ёз = сзз;
П = 4, fi=Ci66, f2 = Ci96, f3 = C197, f4 = Ci98, gl = C199, g2 = C200, g3 = C202, g4 = C203-
Доказать, что каждая из двух систем матриц Л132, Л143, Л134, Л133, Лио, Л135 И Л136, Л137, Л112, Л138, Л139, Лиз является базисом в пространстве матриц размера 3 х 2, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты матрицы 3 х 2 в первом базисе, если известны ее координаты ^,... Дд во втором базисе.
(р). Доказать, что каждая из двух систем матриц Л250, Л251, Л252 и Л253, Л254, Л255 является базисом в пространстве кососимметрических матриц порядка 3, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты кососимметрической матрицы порядка 3 в первом базисе, если известны ее координаты ^, ^, £3 во втором базисе.
Доказать, что каждая из двух систем функций t -t2, t3, 1 + 5f + f3, (1 + f)3 и (1 + i)3, (1 - i)3, t -t2 + f3, 1 +1 + + t2 +t3 является базисом в пространстве многочленов степени не выше 3. Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и координаты многочлена в первом базисе, если известны его координаты ^, ^, £3, £4 во втором базисе.
Доказать, что каждая из двух систем функций (1 + £2)2, (1 — £2)2, 1 и 1 +t2 +t4. 1 — t2 + t\ t4 является базисом в пространстве четных многочленов степени не выше 4, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты четного многочлена степени не выше 4 в первом базисе, если известны его координаты ^, £^ €3 во втором базисе.
Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если:
поменять местами г-й и J-й векторы первого базиса;
поменять местами г-й и j-й векторы второго базиса;
расположить векторы обоих базисов в обратном порядке.
Матрица Si является матрицей перехода от первого базиса ci,..., еп в п-мерном линейном пространстве ко второму базису /1,..., /п ? а матрица S^ — матрицей перехода от второго базиса к третьему базису giv^gn- Найти матрицу перехода:
от первого базиса к третьему;
от второго базиса к первому.
Описать взаимное расположение двух базисов в трехмерном линейном пространстве, если матрица перехода от первого базиса ко второму:
диагональная;
верхняя треугольная;
нижняя треугольная.
Векторы базисов а^..., ап и bi,..., bn даны своими координатными столбцами относительно базиса е. Эти столбцы составляют соответственно матрицы А и В. Найти матрицу перехода от базиса а к базису Ь, если:
А = Л54, В = Лб4; 2) Л = Лю, В = Л34;
Л = Л427, в = л468.
20.33. Доказать, что20.33. Доказать, чтомногочлены Лежандра 1, t^
20.33. Доказать, что
20.33. Доказать, что
|(3£2 — 1), |(5£3 — 3£) образуют базис в пространстве многочленов степени не выше 3. Найти матрицы перехода от стандартного базиса к данному и обратно.
Найти координаты многочлена p(t) в стандартном базисе пространства многочленов степени не выше Зив базисе задачи 20.33:
p(t) = 5t3 - 3t;2)p(t) = 2t-l;3) p(t) = 9t2 - 1;
p(t) = 1 — 4t — 3t2 + 10t3.
§21. Сумма и пересечение подпространств
Доказать, что пространство квадратных матриц порядка п является прямой суммой подпространства симметрических матриц и подпространства кососимметрических матриц того же порядка.
Доказать, что пространство многочленов степени не выше п является прямой суммой подпространства четных многочленов степени не выше п и подпространства нечетных многочленов степени не выше п.
1) Доказать, что n-мерное линейное пространство является прямой суммой подпространства векторов, все координаты которых равны между собой, и подпространства векторов, сумма координат которых равна 0.
Дана матрица Л из п строк. Доказать, что п-мерное арифметическое пространство является прямой суммой линейной оболочки столбцов А и подпространства решений системы линейных уравнений Атх = о.
Доказать, что n-мерное арифметическое пространство является прямой суммой линейных подпространств, натянутых на системы векторов ai,..., а& и bi,..., Ь/:
1)п = 2, а1 = сзо, а2 = С32, Ь1 = сз5;
п = 3, ai = ci4i, a2 = ci46, bi = C66, b2 = ci4o;
П = 4, ai = Cigs, а2 = Cigg, bi = С197, Ь2 = С166, Ьз = С206;
П = 4, ai = C196, a2 = Cigs, аз = C202, Щ = Cigg, bl = C166, b2 = C204-
Разложить данный вектор x из n-мерного арифмети
ческого пространства в сумму двух векторов, один из которых лежит в Р, а другой — в 2, где Р — линейная оболочка системы векторов ai,...,a&, a Q — линейная оболочка системы
векторов bi,...,b/. Проверить единственность разложения:
1)п =2,х= с29,ai = c28,Ь1 = с30;
n =3,х= С120,ai= С84,a2 =С83,bi =egg;
n =3,x= C145,ai= cs4,a2 =css,bi =c66;
П =3,X= C139,31= C84,a2 =C83,bl =Cee;
n = 4, x = C200, ai = ci66, a2 = C198, аз = C207, bi = C202, b2 = C205-
Найти проекцию данного вектора х из п-мерного арифметического пространства на линейное подпространство Р параллельно линейному подпространству 2, где Р — линейная оболочка системы векторов 31,...,з&, a Q — линейная оболочка системы векторов bi,..., Ь/:
1)п = 2,х = с32,ai = c30,bi = c34;
2)n = 2,х = С37,ai = с3о,bi = c34;
3)n = 2,x = C35,ai = c30,bi = c34;
= 3,x = ci46,ai = cee,a2 = ci2i,a3=ci22,bi = C145;
n = 4,x = C201,ai = cigg,a2 = C199,bi=C197,b2 = cigs-
Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств n-мерного арифметического пространства, натянутых на системы векторов ai,... ,а^ и bi,... ,Ь/:
l)n = 2, ai = С34, а2 = С37, 33 = 035, bi = сзо, Ьг = сзе, Ьз = С32;
п = 3, ai = сне, з2 = сщ, аз = сцд, bi = С122, b2 = С125, Ьз = С1зз;
n = 3, ai = сев, a2 = ci39, аз = С140, bi = С94, Ьг = сш, Ьз = С117;
(р) п = 3, ai = сзз, 32 = сиг, аз = С143, bi = С84, Ьг = = С144, Ьз = С117;
п = 3, ai = Сбб, а2 = сне, аз = С145, bi = ci22, b2 = С146, Ьз = С147;
6)n = 3, ai = сзз, 32 = C84, аз = ci2o, bi = cee, b2 = ci2i, Ьз = C122;
n = 4, ai = ci96, a2 = c2oo, З3 = C217, bi = C211, b2 = C218, Ьз = C219;
n = 4, ai = Bigg, a2 = C198, аз = c202, bi = ciee, b2 = c204, Ьз = C197;
n = 4, ai = Glee, З2 = Ci96, аз = C197, bi = с2оз, b2 = c2Q5, Ьз = C206;
n = 4, ai = ci66, 32 = cigs, аз = С19б, 34 = 0202, bi = = C207, b2 = C204, Ьз = C197, b4 = C205;
ll)(p)n = 4, ai=||l -1 1 0||T,a2=||l 1 0 1 ||T,
a3 = || 2 0 1 2 ||T, a4 = || 2 0 1 1 ||r, bi = || 3 5 -1 4 ||T, b2 = ||l 1 0 0||T, Ьз = ||2 2 0 3||T, b4 = ||l 3 -1 1||T
Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств пространства квадратных матриц порядка 3, натянутых на системы матриц Л202, Л201, Л209? Л204 и Л256, А205, Л257, Л258-
Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств пространства многочленов степени не выше 3, натянутых на системы многочленов 1 + 2/; + /;3, 1 +1 +1^, t — t^ +1^ и 1 + ^, 1 + 3t +1^, 3t — t^ +13.
Используя понятие суммы двух линейных подпространств, доказать неравенство rg(Л + B) ^rgЛ + rgB, где Л и В — две матрицы одного размера т х п.
Доказать, что сумма £ двух линейных подпространств Р и Q тогда и только тогда будет прямой суммой,
когда хотя бы один вектор х Е С однозначно представляется в виде х = у + г, где у Е Р, z Е Q.
Пусть Р и Q — два линейных подпространства конечномерного линейного пространства. Доказать, что:
если сумма размерностей Р и Q больше размерности всего пространства, то пересечение Р П Q содержит ненулевой вектор;
если размерность суммы Р и Q на единицу больше размерности их пересечения, то одно из этих подпространств содержится в другом.
Доказать, что для любого линейного подпространства Р конечномерного линейного пространства существует другое подпространство Q такое, что все пространство является прямой суммой Р и Q.
Пусть £,1 М^М — три линейных подпространства; Р = (тАДЯ-МпАТ), Q =
Доказать, что Р С Q.
Возможен ли случай Р Д Q? Привести соответствующий пример.
Доказать, что сумма линейных подпространств £^ совпадает с множеством векторов, представимых в виде х = Xi + •. • + х^^ где х^ Е С^г\ г = 1, ..., к.
Пусть £,1 М^М — три линейных подпространства. Доказать, что
С^М^М = (Г + Л1)+АГ = >С + (Л1+АГ).
Доказать, что сумма С линейных подпространств ) тогда и только тогда будет прямой суммой, когда хотя бы один вектор х Е С однозначно представляется в виде х = ад + •. • + х^, где Xi Е С^ (обобщение задачи 21.11).
§ 22. Комплексные линейные пространства
Найти линейную комбинацию столбцов:
(1 + Дс4 - гс5; 2) 2гс42 + (3 + г)с30 - c4i;
3
(1 — 2z)ci4§ +-С152.
Найти линейную комбинацию матриц
(2 + г) Л§9 + Мю + Л27 — 2Лдх.
Найти столбец х из уравнения:
(1 + г)(х-с44) - (2 + г)(х + с45) = с43;
2ci53 — ci4g + гх = cisq.
Выявить линейные зависимости между данными столбцами:
С26, С29, С43;2) С26, €30, С40;3) С131, С132, С133.
Найти размерность и базис линейной оболочки данной системы столбцов:
С5;2) С27, С39;3) С26, €43, С44;
С134, С151, С152;5) С275, €215, €276’,
С166, С215, С196, С193, С216
Доказать, что векторы ei,...,en образуют базис в комплексном n-мерном арифметическом пространстве, и найти координатный столбец вектора х в этом базисе:
l)n=l, ei = С4, х = С5;
n = 2,ei= C3i,е2= С35,х = сзд;
п = 2,ei= С26,€2= С40,x = C4i;
4)n = 2,ei= C26,€2= 027,х = сзз;
5)n = 3,ei= ci26,e2 = C127, €3 = ci28, х = с27з;
n = 4, ei = ci66, e2 = C207, €3 = 0274, €4 = 0275, x = C276-
Найти размерность и базис линейного пространства, заданного в некотором базисе системой линейных уравнений:
Л90х = о; 2) Л9хх = о; 3) Л3б9х = о;
Л371Х = о; 5) Л525Х = о.
Составить систему уравнений, определяющую линейную оболочку данной системы столбцов:
1) 040, С42;2) 026, С42;3) С215;4) 0128, €2735
0275, €276, С214, €215.
Доказать, что каждая из двух систем векторов fi, ... ..., fn и gi, ..., gn является базисом в комплексном п-мерном арифметическом пространстве, и найти матрицу перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты вектора в первом базисе, если известны его координаты ^,... ,^ во втором базисе:
n= 1, fl = с4, gi = с6;
n = 2, fi = c3i, f2 = c45, g1 = c44, g2 = c39;
n = 3, fi=Ci29, f2 = Ci28, fs = C130, gl = C122, g2 = C126, g3 = c94.
Найти проекцию данного вектора х двумерного комплексного арифметического пространства на линейное под-
пространство Г параллельно линейному подпространству Q, где Г натянуто на вектор С44, a Q натянуто на вектор С40:
1)х = с2е; 2)х = с42;32) х = с45.
Найти размерность и базис суммы и пересечения линейных подпространств комплексного n-мерного арифметического пространства, натянутых на системы векторов ai, ...
ak и bi, .... b/:
n = 3, ai = С83, a2 = C134, аз = c^s, bi = C132, b2 = C149, Ьз = ciao;
n = 3, ai = C131, a2 = C132, аз = C133, bi = C134, b2 = C135, Ьз = ci36;
n = 4, ai = ci66, a2 = C220, a3 = c2i6, a4 = C215, bi = C221, Ь2 = С222, Ьз = С223, b4 = C214-
1) Доказать, что если в n-мерном комплексном линейном пространстве рассматривать умножение векторов лишь на вещественные числа, то получим 2п-мерное вещественное линейное пространство.
В двумерном комплексном арифметическом пространстве рассматривается операция умножения векторов лишь на вещественные числа. Найти базис в полученном вещественном пространстве и координатный столбец вектора С27 в этом базисе.
Доказать, что множество многочленов степени не выше п с комплексными коэффициентами можно рассматривать и как комплексное линейное пространство, и как вещественное линейное пространство. В обоих случаях найти:
базис и размерность пространства;
координатный столбец многочлена 1 — 2г + (3 + г)/; — З/;2 в найденном базисе (при п = 2).
Глава 9
ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Основные свойства линейных отображенийи преобразований
Общие понятия, относящиеся к отображениям, введены в § 12. В настоящем параграфе используются также следующие понятия: линейное отображение, линейное преобразование, ранг и ядро линейного отображения, изоморфизм, матрица линейного отображения в паре базисов, матрица линейного преобразования в данном базисе, сумма и произведение линейных отображений, произведение линейного отображения на число, подобные линейные преобразования и матрицы.
Пусть £, £ — линейные пространства над одним и тем же полем (оба вещественные или оба комплексные). Отображение ф : £ —> £ называется линейным, если для любых векторов х,у Е £ и любого числа а справедливы равенства
Дж + у) = Дж) + Ду), ^ах^ = а^х\ (1)
Если пространства С и L совпадают, условия (1) определяют линейное преобразование пространства £. Нередко используют также термины линейный оператор из £ в £ и линейный оператор в пространстве £, особенно для дифференциальных и интегральных операторов в пространствах функций.
Множество значений ф(£) = Im^ линейного отображения ф : £ —У -Е £ является линейным подпространством в £. Его размерность называется рангом отображения ф и обозначается rg<^. Ядром линейного отображения ф называется множество Кег<^ = {ж Е £\ф(х) = о}. Отображение ф называется вырожденным, если Кег<^ ф {о}, в противном случае — невырожденным.
Взаимно однозначное линейное отображение пространства £ на пространство £ называется изоморфизмом £ на £. Если существует изоморфизм £ на £, то пространства £ и £ называются изоморфными.
Пусть ф \ £ —у £ — линейное отображение, е = (ei,... ,еп) — базис пространства £, f = (/1,..., fm) — базис пространства £. Матрицей линейного отображения ф в паре базисов е, f называется матрица А = А^, столбцами которой являются координатные столбцы
векторов ^(ei),... ,^(еп) в базисе f. Матрицей линейного преобразования р в базисе е называется матрица линейного отображения р : £ -л С в паре базисов е, е.
Если £, — координатный столбец вектора х Е £ в базисе е, а ц — координатный столбец его образа <^(ж) 6 £ в базисе f, то
п = Л£.(2)
Пусть е и е' — два базиса в пространстве £, f и f - два базиса в пространстве £, S и Т — матрицы перехода от е к е' и от f к f' соответственно. Если А и А! — матрицы линейного отображения р \ £ ^ £ в парах базисов е, f и е', f, то
А'= Т-1А8.(3)
В частности, если А и А’ — матрицы линейного преобразования в базисах е и е', a S — матрица перехода от е к е', то
А’ = S^AS.(4)
Матрицы Л, Л', связанные соотношением (4) для некоторой невырожденной матрицы S, называются подобными (Af ~ Л).
Линейные преобразования р и ф пространства £ называются подобными, если существует такое обратимое линейное преобразование ш, что ф = ш-^рш.
Пусть линейное отображение ^ имеет матрицу А в паре базисов е, f. Ядро отображения р определяется в базисе е системой уравнений Аф = о. Множество значений отображения р является линейной оболочкой системы векторов, координатными столбцами которых в базисе f являются столбцы матрицы А. Ранг отображения р равен рангу его матрицы.
Нулевое отображение 0 \ £ ^ £ определяется формулой 0(х) = = о для всех х Е £. Тождественное преобразование линейного пространства £ обозначается г. Естественное вложение р ; М ^ £ линейного подпространства ФА С £ в £ определяется равенством р(х) = х для х Е М. Гомотетия (растяжение, преобразование подобия) пространства £ с коэффициентом А ^ О определяется формулой р(х) = Хх (х Е £).
Пусть £ является прямой суммой ненулевых линейных подпространств £! и £", тогда любой вектор х Е £ однозначно представляется в виде х = хх + ж2 где хх Е £’, х^ Е £”. Проектированием пространства £ на подпространство £’ параллельно подпространству £” называется преобразование тг пространства £, определяемое равенством тг(ж1 + ^2) = хх- Проектирование можно рассматривать и как отображение пространства £ на £J. Отражением пространства £ в подпространстве £! параллельно £" (или симметрией пространства £ относительно £’ параллельно £”) называется преобразование р : £ -Е £, определяемое равенством р(хх + #2) = хх — х^.
Линейное пространство Е векторов плоскости или трехмерного пространства с заданным в нем скалярным произведением в даль-
нейшем упоминается как геометрическое векторное пространство (двумерное или трехмерное). В нем можно рассматривать преобразования ортогонального проектирования и ортогонального отражения (ортогональной симметрии) в подпространстве (прямой или плоскости) . Подробнее об ортогональном проектировании в геометрическом векторном пространстве см. введение к гл. 12.
Суммой двух линейных отображений р^ ф *. £ ^ £ называется отображение р + ф такое, что для всех х Е £
(^ + Ф^ (х) = р (х) + Ф (ж).
Произведение отображения р на число а определяется для всех х Е £ равенством (ар)х = арфхф
Примеры линейных отображений и преобразований.Ядро, множество значений. Матрицылинейных отображений и преобразований (23.1—23.51)
Пусть х= (жх, Ж2, ..., хп)Т — произвольный вектор n-мерного арифметического пространства. Исследовать линейность преобразования р^ если:
р (х) = (ж2, хх - х^ (п = 2);
ip (х) = (ж2, Ж1Ж2)Т (п = 2);
Дх) = (ж2, Ж1-3, ж3)т (п = 3);
р> (х) = (2ж3 + жх, 2ж3Ж1, жх - ж2)т (п = 3);
фф = (О,0)т;
ip(х) = (О, Ж1 + Зж2, х^Е (п = 3);
7)^(х) = (0,1)т;
р> (х) = (8ШЖ1, со8ж2, ж3)т (п = 3);
<р (х) = (ж„, ж„_1, ..., жх)т;
р (х) = (2ж1, 2|ж2|, 2ж3)т (п = 3).
Доказать линейность преобразования р пространства £. выяснить, является ли р инъективным, сюръективным или биективным, указать его матрицу в произвольном базисе пространства £, если ср есть:
нулевое отображение;
тождественное преобразование;
гомотетия.
Пусть р — линейное отображение пространства £ в £. Доказать, что:
vE) = °-~
ядро р есть линейное подпространство в £;
образ р)(М) линейного подпространства М С £ есть подпространство в £, причем сНт(Д.М) < dimM;
ср инъективно тогда и только тогда, когда Кегу? = {о};
dimKert/? + dimimt/? = dim£.
Пусть Л4 — подпространство линейного пространства С. Доказать, что естественное вложение М ^ £ — инъективное линейное отображение. Может ли оно быть изоморфизмом?
Пусть М — подпространство линейного пространства £. Отображение р \ £ ^ М определено правилами: р(х) = = х при х Е М^ р(х) = о при х ^ М. Линейно ли отображение у??
Пусть х — произвольный вектор, а, п — фиксированные ненулевые векторы геометрического векторного пространства (двумерного или трехмерного). Проверить линейность преобразования р^ заданного следующей формулой, и выяснить его геометрический смысл, если:
у (х) = (х,а)^;2) у (х) = т|Да ((а,п) ^ 0);
^(х) = х-(х,п)^;
Дх) = х- ^а ((а,п)^0);
Дх) = х-2(х,п)ЗГ;6) Дх) = 2(а,х)-^-х.
Проверить линейность и выяснить геометрический смысл преобразования р трехмерного геометрического векторного пространства, заданного формулой (a, u, v — фиксированные векторы):
1)Дх) = [х, а] (|а| = 1);
Дх) = и(х, v)-v(x,u) ([u, v]/0).
Пусть а и n — ненулевые векторы трехмерного геометрического векторного пространства, причем (а, п) Д 0, Ci — прямая с направляющим вектором а, а £2 — плоскость с нормальным вектором п. Записать формулой преобразование р^ проверить его линейность, найти ядро, множество значений и ранг, если р есть:
ортогональное проектирование на £2;
ортогональное проектирование на £4;
проектирование на £2 параллельно вектору а;
проектирование на £1 параллельно £2;
ортогональное отражение относительно £2*^
ортогональное отражение относительно £у\
отражение в С^ параллельно вектору а;
отражение в £i параллельно С^.
В задачах 23.9-23.14 линейные подпространства трехмерного геометрического векторного пространства £3 заданы своими уравнениями в некотором ортонормированном базисе.
Вычислить матрицу ортогонального проектирования пространства £3 на подпространство £,, если (L есть:
прямая х = z = 0;
прямая х = у = z^
плоскость х + у + z = 0;
плоскость, натянутая на векторы а(—1, 1, — 1) и Ь(1,—3, 2).
Вычислить матрицу проектирования пространства £3 на подпространство (L параллельно подпространству М, если:
£ определено уравнением х = 0, М — уравнениями 2х = = 2y = -z;
£ имеет уравнение х = у. М определяется системой уравнений х + у + z = 0, 2х + у + 4z = 0;
£ определено уравнениями — 20ж = 15?/ = 12г, М — уравнением 2х + Зу — z = 0;
£ определено системой уравнений х — у + z = 0, 2х — — Зу + 4г = 0, М — уравнением 2х + Зу — 4г = 0.
Преобразования пространства £3 из задач 23.9 и 23.10 рассматриваются как линейные отображения пространства £3 на подпространство £. Вычислить матрицу каждого из этих отображений в какой-либо паре базисов.
Найти матрицу линейного преобразования <р, если ср — ортогональное отражение пространства £3:
относительно плоскости х = 0;
относительно прямой х = 2у = г;
относительно линейной оболочки векторов а(1,0,—1) и Ь(1,1,-2).
Найти матрицу отражения пространства £3:
в плоскости х = 0 параллельно прямой 2х = у = — г;
в прямой х = г, х — ?/ + г = 0 параллельно плоскости х + у = 0.
В трехмерном геометрическом векторном пространстве £3 задан ортонормированный базис ei, е2, 63. Вычислить матрицу поворота пространства:
на угол а вокруг вектора ез;
на угол тг/2 вокруг вектора ei;
на угол 2тг/3 вокруг прямой, имеющей уравнения х = = 9 = ^-
Пусть линейное пространство £ является прямой суммой ненулевых подпространств £f £п.
Доказать, что преобразование р проектирования £ на £’ параллельно £п линейно. Найти ядро и множество значений р. Записать матрицу преобразования р в базисе, составленном из базисов подпространств £* и £п.
Решить задачу, рассматривая р как отображение пространства £ на £’.
Пусть линейное пространство £ является прямой суммой ненулевых подпространств £\ £П. Доказать, что отражение р пространства £ в £’ параллельно £п есть линейное преобразование пространства £. Найти его ядро и множество значений. Показать, что р является изоморфизмом. Записать матрицу р в базисе, составленном из базисов подпространств £!, £!’.
Пусть р: £^£ — линейное отображение, М = = р^£\ Рассмотрим р как линейное отображение р \ £ ^ М. Доказать, что:
ядра отображений р и р совпадают так же, как их ранги;
р сюръективно;
р инъективно тогда и только тогда, когда р инъективно.
если dim £ = dim £. то р тогда и только тогда является изоморфизмом, когда изоморфизмом является р. Выяснить связь между матрицами отображений р и р (выбрать согласованные базисы в £ и Л4).
Доказать, что ранг матрицы линейного отображения не зависит от выбора пары базисов в линейных пространствах.
Доказать, что:
ранг матрицы линейного сюръективного отображения равен числу ее строк;
ранг матрицы линейного инъективного отображения равен числу ее столбцов.
Пусть р : £ ^ £ линейное отображение, dim£ = = n, dim£ = m, А — матрица р в некоторой паре базисов, rgA = г. Доказать, что:
г§р = г; 2) dimKert/? = п — г.
Доказать, что:
отображение, обратное к изоморфизму, существует и также является изоморфизмом;
линейное отображение, не являющееся изоморфизмом, не имеет обратного.
1) Чему равен ранг и каково ядро линейного отображения р : С С. являющегося изоморфизмом?
Как связаны матрицы А, В линейного отображения и обратного к нему?
Пусть р \ С С — линейное отображение, и dim С = dim С. Доказать равносильность утверждений:
р изоморфизм;
р инъективно;
р сюрьективно.
Показать, что при dim С Д dim С из 2) или 3) не следует 1).
Пусть р \ С С — линейное отображение, и dim£ = dim С. Доказать утверждения:
Для того чтобы уравнение р^ = у (х Е £) было разрешимо при любом у Е С необходимо и достаточно, чтобы однородное уравнение р(х) = о имело только нулевое решение.
Если уравнение р^ = у разрешимо при всех у Е £, то оно имеет для каждого у единственное решение.
Пусть уравнение р(х) = у разрешимо не при всех у Е С, но при некотором у разрешимо. Тогда его решение не единственно.
Доказать, что любое n-мерное линейное пространство изоморфно n-мерному арифметическому пространству над тем же полем и, следовательно, все линейные пространства одинаковой размерности (над одним и тем же полем) изоморфны.
Линейное преобразование трехмерного арифметического пространства задано в стандартном базисе матрицей А. Найти образы векторов ai, а2, аз и объяснить геометрический смысл преобразования (кроме 3)):
А = ^261, ai = (1, О, -1)т, а2 = (0, 1, 0)т, а3=(3,3,3)т;
А = А221, ах = (1, 1, 2У, а2 = (1, 2, 3)т, а3=(1,2,4)т;
А = А241, ах = (0, 1, 1)т, а2 = (1, О, -1)т, а3=(2,1,0)т;
4)Л = Л262, ах = (0, 1, 1)т, а2 = (2, 2, 3 + г)т,
а3 = (2,2, 3 — г)^;
5)А = А263, ai = (1, 1, -1)т, а2 = (1 + г, 1, ~^Т, аз = (1-Л 1, i)T-
Линейное отображение n-мерного арифметического пространства в m-мерное задано матрицей А. Числа тип определяются размерами матрицы. Вычислить образы указанных векторов:
1)А = А507, а = (4, —1, —1, 3)т;
А = А455, а=(-1, 1, 1, — if;
3)Л = Л522, а=(-2, 1, 3,-if;
т = п, А = АбО7, а4 = (1, 1, ..., if, а2 = (1,-1, 0, ... Of, а„ = (1, 0, О, -if.
Линейное преобразование n-мерного линейного пространства С задано матрицей А в базисе е. Число п определяется порядком матрицы. Найти ядро и множество значений преобразования. Выяснить, является ли оно изоморфизмом, если:
4) А = Л465;4) А = Л465;1) А = Азо; 2) А = А2зб; 3) 4 = ^2645
4) А = Л465;
4) А = Л465;
А = А466;6) А = Л547.
Линейное отображение n-мерного линейного пространства в m-мерное задано матрицей А в базисах е и f. Числа т и п определяются размерами матрицы. Найти ядро и множество значений отображения. Выяснить, является ли оно сюръективным, инъективным, если:
1) Л = Л51б;2) Л = Л4о5;3) А = А4об; 4) 4 = ^575;
А = 442о;6) А = 4585.
Линейное отображение n-мерного арифметического пространства в т-мерное задано в стандартных базисах этих пространств матрицей А. Числа тип определяются размерами матрицы. Вычислить полный прообраз вектора а, если:
1)А = А51з, а=(-1, 0, if;
2)A = A58i, а=(1, 2, if;
А = Аш, а = (4, 2, 9, -20, -3)т;
А = Аш, а=(0, 1, 1, 2, -if.
Линейное отображение n-мерного арифметического пространства в т-мерное задано в стандартных базисах этих пространств матрицей А. Числа тип определяются размерами матрицы. Найти полный прообраз подпространства М С 7£ш, если:
А = А576, М натянуто на вектор (3, — 1)т;
4 = 4517, М задано системой уравнений жх+ж2 = 0, Ж1 — жз = 0;
А = Л592, М задано системой уравнений 2хх — х^ = О, 2^2 + жз — 2x4 = 0;—Х2 + 2x4 — Хб = 0, Х5 = 0.
Доказать, что пространство Ктхп вещественных матриц размеров тх п (задача 20.5) изоморфно арифметическому пространству Етп.
Пусть а= (ад, ai, ..., ап)Т. Показать, что отображение У (а) = ад + ait + ... + antn устанавливает изоморфизм (п + 1)-мерного арифметического пространства и линейного пространства многочленов степени, не превосходящей п.
Отображение двумерного вещественного арифме
тического пространства в линейное пространство веществен
XУXУ-ух-ухных квадратных матриц второго порядка задано формулой
X
У
X
У
-ух
-ух
. Доказать линейность и инъективность ото
бражения ф. Вычислить его матрицу в стандартных базисах
пространств.
Отображение трехмерного вещественного арифме
тического пространства в пространство матриц второго поряд
ка сопоставляет вектору (xi, Х2, х^т матрицука сопоставляет вектору (xi, Х2, х^т матрицу^2^3-Хз Х1^2^3-Хз Х1ДоДо
ка сопоставляет вектору (xi, Х2, х^т матрицу
ка сопоставляет вектору (xi, Х2, х^т матрицу
^2^3
-Хз Х1
^2^3
-Хз Х1
До
До
казать линейность и инъективность отображения. Вычислить
его матрицу в стандартных базисах пространств.
х3 xi + гх2 xi - гх2 -х3х3 xi + гх2 xi - гх2 -х3Пусть Л^2х2 — множество комплексных матриц второго порядка, рассматриваемое как вещественное линейное пространство со стандартным базисом Su, iEn^ E^ iE^ S12, iSi2, S22, гЕ^ (см. задачу 22.12). Отображение ф : S3 -4- MsxS
х3 xi + гх2 xi - гх2 -х3
х3 xi + гх2 xi - гх2 -х3
сопоставляет вектору (х1,Х2,хз)т матрицу
Доказать, что отображение ф линейно и инъективно. Найти его матрицу в стандартных базисах пространств.
а b—Ь аа b—Ь аОтображение ф: S4 М^х^ (см. задачу 23.36) за-
а b
—Ь а
а b
—Ь а
дано формулой ф^ =дано формулой ф^ =, где (х1,Х2,хз,х4)т, а = хх + гх2,
дано формулой ф^ =
дано формулой ф^ =
а = хх — 2X2, 5 = хз + 2x4. Доказать, что ф линейно и инъективно, найти его матрицу в стандартных базисах пространств.
Доказать, что данное множество квадратных матриц является вещественным линейным пространством, изоморфным арифметическому пространству S3:
множество всех вещественных матриц второго порядка с нулевым следом;
множество всех вещественных кососимметрических матриц третьего порядка;
гж3 яд + гж2-Х1+гж2 -гж3гж3 яд + гж2-Х1+гж2 -гж3множество всех комплексных матриц вида
гж3 яд + гж2
-Х1+гж2 -гж3
гж3 яд + гж2
-Х1+гж2 -гж3
где Xi, ж2, жз — вещественные числа.
Пусть D = — — операция дифференцирования, coat
поставляющая функции /(t) ее производную f'(ty Показать, что D является линейным преобразованием линейного пространства функций, бесконечно дифференцируемых на интервале (а^Ь).
Пусть Р^ — линейное пространство вещественных
многочленов степени не выше т.
Проверить, что дифференцирование (определенное в задаче 23.39) есть линейное преобразование D: Р^ -^Р^т\ найти его ядро и множество значений. Вычислить матрицу преобразования D:
в стандартном базисе 1, t, ..., tm;
в базисе 1, t — tg? • • • > (^ — ^о)т; t tm
в базисе 1, —, ..., —-.
Найти матрицу дифференцирования как линейного отображения D : Р^базисах 1, t, ..., и 1, t, ...
(т — 1)!
Показать, что дифференцирование (задача 23.39) определяет линейное отображение:
пространства четных многочленов степени не выше 2п в пространство Р нечетных многочленов степени не выше 2п — 1;
пространства нечетных многочленов степени не выше 2n + 1 в пространство Q четных многочленов степени не выше 2п.
Найти ядро, множество значений и ранг отображения. Записать его матрицу А в стандартных базисах пространств.
Проверить, что функции eXtp(ty где А — фиксированное число, p(t) — многочлен степени не выше п, образуют линейное пространство, а дифференцирование является его линейным преобразованием. Вычислить матрицу преобразования в базисе —eAt (к = 0,1,... ,п).
1) Показать, что дифференцирование является линейным преобразованием пространства тригонометрических многочленов /(f) = а0 + «1 cost + bi sin/; + ... + ап cos nt + + bn slant порядка не выше п (см. задачу 20.8.4). Найти матрицу преобразования D в стандартном базисе 1, cosf, sinf, ... ...cosnt^ slant этого пространства.
2) Доказать, что дифференцирование D устанавливает изоморфизм между линейными пространствами нечетных тригонометрических многочленов bi sin/; + b^ sin2t + ... + bn slant и четных тригонометрических многочленов вида nicosf + + «2 cos2t + .. • + an cos nt (n — фиксированное число). Вычислить матрицы отображения D и обратного отображения в базисах sinf, ..., slant и cosf, ..., cosnt.
Пусть f(t) — непрерывная функция (t Е R). Рас- t
смотрим операцию интегрирования I: f(t) —> J f(^)d^.
о
Проверить, что интегрирование определяет линейное отображение I: p(n-1) —^ Р^ (n ^ 1), найти его ядро, множество значений и ранг. Записать матрицу отображения в стандартных базисах.
Интегрирование рассматривается как линейное преобразование пространства Р всех вещественных многочленов. Найти его множество значений. Является ли это преобразование сюръективным, инъективным, изоморфизмом?
Пусть Л4 — пространство многочленов с нулевым свободным членом, I :Р М — операция интегрирования и D : М —> Р — дифференцирование. Доказать, что эти линейные отображения взаимно обратны.
Пусть Т — линейное пространство функций /(f), непрерывных на отрезке [—1,1], Т — линейное пространство непрерывно дифференцируемых на [—1,1] функций /(f) таких, что /(0) = 0, 9 и Р — подпространства четных и нечетных функций в Т соответственно.
Интегрирование I из задачи 23.44 (—1 < t < 1) рассматривается как линейное преобразование пространства Т. Является ли это преобразование инъективным, сюръективным? Обратимо ли оно?
Доказать, что интегрирование определяет изоморфизм I: Т Т. Найти для него обратное отображение.
Показать, что интегрирование определяет линейные отображения Д : Q —> В и I2 : В Q. Ответить для этих отображений на вопросы п. 1).
Пусть линейное преобразование пространства всех многочленов от t переводит каждый многочлен ^ в t2k (к = = 0, 1, 2, ...). Убедиться в том, что это преобразование инъективно, но не сюръективно. Найти множество его значений.
Пусть Втхп — линейное пространство матриц размеров т х п.
Доказать, что умножение матриц размеров т х п слева на фиксированную матрицу А размеров к хт есть линейное отображение ср : TZmxn —^ Т^кхп- Вычислить матрицу отображения ср в стандартных базисах, если п = 2, А = Л27. Найти ядро и множество значений этого отображения.
Доказать, что умножение матриц размеров т х п справа на фиксированную матрицу В размеров п х к есть линейное отображение р): Втхп —^ Т^тхк- Вычислить матрицу отображения ср в стандартных базисах, если т = 2, В = Л126- Найти ядро и множество значений отображения ср.
Пусть Xi, ..., хп — столбцы матрицы X = = || Xi.. .хп || размеров т х п, и У = || хх.. .хп_х ||. Отображение <р : Втхп —^ ^mx(n-x) определим равенством у (А") = ^ •
Доказать, что отображение (р линейно, найти его ядро и множество значений.
Вычислить матрицу отображения у в стандартных базисах пространств.
Показать, что (р является одним из отображений, определенных в задаче 23.47, для подходящей матрицы В.
Пусть M^v. мМп — фиксированные матрицы порядка т, х = (жх,..., жп)т. Отображение р>: Ви Втхт определим формулой у(х) = Ж1М1 + ... + хпМп. Доказать линейность отображения ср. Найти ядро, множество значений, ранг и вычислить матрицу А отображения ср в стандартных базисах, если п = 4, М^ = Л12, М^ = Лхз, М3 = Лщ, М4 = Л20.
В линейном пространстве вещественных многочленов р(х,у) от двух переменных х^у преобразование 99 определено формулой у (у (ж, у)) = у (ж + а, у + b) (a, b — фиксированные числа). Показать, что (р определяет линейное преобразование пространства многочленов не выше второй степени, и вычислить его матрицу в базисе 1, ж, у, ж2, жу, у2.
Показать, что однородные многочлены степени п вида р(х^у) = ^^а^хп~кук образуют линейное подпростран- к=0
ство 14^ пространства всех многочленов от двух переменных. Преобразование ^ определено одной из следующих формул:
1)Др) = Ж|^;2)Др)=у^;
ох оу
Доказать, что р — линейное преобразование пространства Т/^, и вычислить его матрицу в базисе хп. хп-1у, ..., xyn-\ уп. Найти ядро и множество значений преобразования р.
Матрицы линейных отображений и преобразований в разных базисах. Подобные матрицы (23.52—23.77)
Пусть ei,..., еп — базис в линейном пространстве Д a fiv -Лп — произвольные векторы из линейного пространства С. Доказать, что существует единственное линейное отображение р \ С С такое, что ДеД = Д (г = 1,... ,п).
1) Пусть ai,...,ар — линейно независимые векторы линейного пространства Д a b\v..^ — некоторые векторы пространства С. Доказать, что существует линейное отображение р : £ ^ £ такое, что р^а^ = bi (г = 1,... к\ В каком случае отображение р единственно?
Пусть di,..., ар — векторы из Д a bi^.^b^ — векторы из £. Сформулировать необходимые и достаточные условия, при которых: а) существует линейное отображение р \ £ ^ £ такое, что р^а^ = bi (г = 1,..., к); б) это отображение единственно.
Пусть А — невырожденная матрица порядка п, В — матрица размеров т х п. Доказать, что существует единственное линейное отображение п-мерного арифметического пространства в m-мерное, при котором образами столбцов матрицы А являются соответствующие столбцы матрицы В. Найти матрицу этого отображения:
в стандартных базисах пространств;
в базисе пространства 7Д из столбцов матрицы А и стандартном базисе пространства В,т;
в базисе пространства 7Д из столбцов матрицы А и ба-
зисе пространства Вт из столбцов матрицы В (при условии, что т = п и В невырождена).
Пусть Ан В — невырожденные матрицы порядка п. Доказать, что существует единственное линейное преобразование n-мерного арифметического пространства, переводящее столбцы матрицы А в соответствующие столбцы матрицы В. Найти матрицу этого преобразования:
в стандартном базисе;
в базисе из столбцов матрицы Л;
в базисе из столбцов матрицы В.
Линейное преобразование ср двумерного арифметического пространства переводит вектор а7 в вектор Ь7 (г = 1,2). Вычислить матрицу преобразования ср в стандартном базисе, если:
ах = (1,-1)т,а2 = (-1, 2)т, Ьх = (2, 0)т, Ь2 =(-3,1)т;
ах = (4,-3)т,а2 = (2, 1/, bi = (-2, -2)т,Ь2=(4,4)т;
ах = (—5, 3)т,а2 = (-3, 1)т, Ьх = (4, 15Щ,Ь2=(0,1)т;
ах = (1,1)т, а2 = (1, 3)т, Ьх = (0, V2)T,
b2 = (-V2, WSp.
Матрицы Л, В составлены из координатных столбцов векторов ах, а^ аз и Ьх, Ь^ Ьз в некотором базисе е трехмерного линейного пространства С. Для приведенных ниже случаев проверить, что существует единственное линейное преобразование ср пространства £. переводящее векторы а^ в bi (г = 1,2,3). Вычислить матрицу преобразования ср:
а) в базисе е; б) в базисе ai, а^ аз, если:
Л = Л2б5, в = Л266;2) Л = Л268, В = Л269;
3) Л = Л27о, В = Л27х;4) Л = Л229, В = Л272.
Показать, что существует и единственно линейное отображение р): Tt^ -^ 7^т, переводящее столбцы данной матрицы А в соответствующие столбцы матрицы В. Найти матрицу отображения ср;
в стандартных базисах пространств Вп и 7£т;
в базисе пространства В,п, состоящем из столбцов матрицы Л, и стандартном базисе пространства Вт.
п = 2, т = 3, А = Л 33, В = Л140;
п = 3, т = 2, А = Л276, В = Л894;
п = 2, т = 5, А = Л34, В = Лх7х;
п = 4, т = 2, А = Л 4^7, В = Л505;
п = 3, т = 4, А = Л227, В = Л407;
п = 4, т = 3, А = Л484, В = Л518.
Выяснить, существует ли линейное преобразование у?, переводящее столбцы матрицы А в соответствующие столбцы матрицы В. В случае существования вычислить матрицу ср в стандартном базисе:
А = Л5, В = Л35;2) Л = Л5, В = Л12;
Л = Л277, В = Л278;4) Л = Л213, В = Л279-
При линейном отображении ср : Вп —^ Вт столбцы матрицы А переходят в соответствующие столбцы матрицы В. Выяснить, является ли отображение ср инъективным, сюръективным, найти размерность ядра и ранг отображения ср. Вычислить образ вектора а, если:
1)Л = Л123, 5 = А24, а=(1, 7, 3)т;
А = Л392, 5 = А2зо, а=(3, 1)т;
3)А = А422, B = A20i, а = (4, —4, —3, 12, 2)т;
4)А = Л241, В = А42о, а =(16, 5, -6)т.
Показать, что существует единственное линейное преобразование комплексного арифметического пространства Сп. переводящее столбцы данной матрицы А в соответствующие столбцы матрицы В. Вычислить матрицу этого преобразования в стандартном базисе, если:
п=2,А = Л92, В= Л93;
п=2,Л = Л94, В= Л95;
п=2,А = Л96, В= Л97;
п=3,Л = Л373, В = Л374.
Линейное преобразование ср имеет в данном базисе матрицу Л, а координатные столбцы новых базисных векторов образуют матрицу S. Вычислить матрицу преобразования в новом базисе, если:
Л = Л36, S = Л33;2) Л = Л37, S = Лщ;
Л = Лз§, S = Л39;4) Л = Л40, S = Л104;
Л = Л280, S = Л203;6) Л = Л281, S = Л282;
Л = Л28з5 S = Л284;8) А = Л285, S = Л2бз;
Л = Л469, S = Л470;10) А = Л471, S = Л439.
Линейное преобразование комплексного арифметического пространства имеет в стандартном базисе матрицу А. Новый базис задан матрицей перехода S. Вычислить матрицу преобразования в новом базисе:
Л = Л87, S = Л94;
А = Л79, S = Л80 (£ = е2^/3).
А = Л2ез, S = Л375;
А = Л259, S = Лзбз (^ = е27Г"/3);
Л = Л472, S = Л473;6) Л = Л474, S = Л475.
Линейное отображение n-мерного арифметического
пространства в m-мерное задано в стандартных базисах мат
рицей Л, столбцы новых базисных векторов f = (/i,...,/п) и g = (щ,.. ^дт) составляют соответственно матрицы S и Т. Вы
числить матрицу отображения в базисах f и g:
l)n = 3, ш = 2, Л = Лз92, S = Л286, Т = А42; 2) п = 4, т = 2, Л = Лзо2, S = А^^ Т = Лю; 3) п = 2, m = 3, А = Ац7, S = Л9, Т = Л227;
4) n = 3, т = 4, Л = Л4оз, S = A^s, Т = Л495
Вычислить матрицу линейного преобразования ср множества векторов плоскости с заданным на ней базисом, ес
ли ср есть:
отражение плоскости в прямой ж + 2?/ = 0 параллельно прямой х + Зу = 0;
проектирование плоскости на прямую ж + у = 0 параллельно прямой 4х + Зу = 0;
сжатие с коэффициентом А = 2 к прямой Зх — ^у = 0 параллельно прямой х — у = 0.
Вычислить матрицу линейного преобразования у трехмерного геометрического векторного пространства (в котором задан ортонормированный базис), пользуясь надлежащей заменой базиса, если у есть:
^проектирование на плоскость Зх — у = 0 параллельно прямой х + г = 0, х + у + 2г = 0;
отражение пространства в прямой х = у = —2г параллельно плоскости х + у + Зг = 0;
сжатие с коэффициентом А = 2 к плоскости х — 2г = 0 параллельно прямой х = у = г;
поворот вокруг прямой х = у = — г на угол тг/2;
поворот вокруг прямой х + у = 0^у — г = 0 на такой угол, что первая из данных плоскостей переходит во вторую.
Пусть D — дифференцирование в пространстве многочленов степени не выше т. Вычислить матрицу преобразования D. если базис состоит из многочленов:
1 + ^, £ + 2£2, 3£2 — 1 (т = 2);
^3 + 1, 1-^, 1-^ + ^2, 1-^ + ^2-^3 (т = 3);
3)1, 1 + Л 1 + ^ + ^,1 + л + - + ^ ^^^
1, 1 +t. 1 +t + f2, ..., 1 +t + ... + tm ^тп ^ 1)5
1, t-1, t2-t, fm-fm"T (m^l).
Вычислить матрицу преобразования дифференцирования в пространстве тригонометрических многочленов порядка не выше п (см. задачу 23.43), если базис состоит из функций:
1, cost — sin£, cos^ + sin^, ..., cosnt — sinn^, cosnt + + smnt (n > 1);
1, l + cos£, ..., 1 + cost + ... + cosnt, sin£, ..., sin£ + ... ... + sinn^;
2cos2^, 2sin2£, sin^ + cos^, sin^ —cos^, (sin^ + cos^)2 (n = 2).
Как изменится матрица линейного отображения, заданная в паре базисов ei, ..., еп; Д, ..., /т, если:
поменять местами векторы е^ и еф
поменять местами векторы Ди//;
вектор вг умножить на число А ^ 0, а ^ умножить на ^7^0;
вектор е» заменить на е» + ej, а вектор Д — на Д — // (^ J, k^l)?
Как изменится матрица линейного преобразования, заданная в базисе ei, ..., еп, если:
поменять местами векторы ег и ej;
вектор ei умножить на число Л ф 0;
вектор ег заменить на ег + ^7;
перейти к базису en, ei, ..., en-i;
перейти к базису en, en_i, ..., ei?
1) Пусть А и В — матрицы линейного отображения в двух парах базисов. Доказать, что В можно получить из А элементарными преобразованиями строк и столбцов.
Пусть А и В — матрицы линейного преобразования в двух базисах. Доказать, что В можно получить из А согласованными друг с другом элементарными преобразованиями строк и столбцов.
Пусть ф \ С С — линейное отображение. Доказать, что:
если базисный вектор линейного пространства С принадлежит ядру ф, то соответствующий столбец матрицы отображения нулевой;
если ei, ..., еп — базис пространства Д причем век-
торы er+i, ..., еп (г < п) образуют базис ядра ^, то векторы (ДеД, ..., ф(еТ) образуют базис в Д£).
Доказать, что для всякого линейного отображе
Е ОО ОЕ ОО Ония ср существует пара базисов, в которых матрица отображе
Е О
О О
Е О
О О
ния имеет простейший видния имеет простейший вид. Чему равен порядок мат
ния имеет простейший вид
ния имеет простейший вид
рицы Е?
В стандартных базисах арифметических пространств 77^ и Ет линейное отображение у имеет матрицу А. Найти пару базисов, в которой матрица отображения ср имеет простейший вид (см. задачу 23.73):
Л = Лх2; 2) Л = Л32;3) Л = Л253;
Л = Л288;5) Л = Л576;6) Л = Л420.
Пусть А — матрица линейного преобразования в некотором базисе. Доказать, что матрица, полученная из А центральной симметрией, является матрицей того же преобразования в другом базисе.
Доказать, что подобны матрицы:
А77 и обратная к ней; 2) А259 и A26q.
Найти все матрицы, каждая из которых подобна только самой себе.
Операции с линейными отображениями ипреобразованиями (23.78—23.104)
Даны линейные отображения у: 77гг^77ш, ^ :
Указать условия на m, n, к. Z, необходимые и достаточные для существования произведений р)ф и фр).
Пусть х = Г'Ф- Показать, что у — линейное отображение. Как связаны матрицы отображений у?, фр х^
Пусть р>^ ф, х — линейные отображения арифметических линейных пространств, а — число. При каких условиях на размерности пространств справедливо каждое из следующих равенств:
vW) = (W)x;
Д^ + х) = <N + ух;
(у +Дх = ух + Д;
а фр + ф) = ар) + аф?
Показать, что матрицы данных отображений удовлетворяют тем же равенствам.
Доказать, что всякое линейное отображение представимо в виде произведения сюръективного и инъективного линейных отображений.
Пусть £ = £/ ©£/ф где Д, £н — ненулевые подпространства линейного пространства С. Показать, что тождественное преобразование представляется в виде суммы 6 = 7Г1+тг2, где 7Г1 (7Г2) — проектирование пространства С на подпространство С* {С") параллельно подпространству £J’ {£!\
Координатные столбцы векторов ai, <22, «з; ^1, ^2, Ь3; ci, С2, с3 образуют соответственно матрицы Л289, Л 229, ^285- Линейное преобразование у? переводит векторы ai, ^2, ^3 в ^1, ^2, ^з, а линейное преобразование ф переводит bi, ^2, ^з в щ, с2, сз соответственно. Найти матрицу преобразования фр\
в исходном базисе;
в базисе ai, «2, а3;
в базисе bi, 62, Ь3.
Пусть р. ф — линейные преобразования двумерного арифметического пространства, 99 имеет матрицу Л44 в стандартном базисе, а ^ — матрицу Л ют в базисе из столбцов матрицы Л45. Вычислить матрицу преобразования:
р2 — 6^ + 9t;2) ф2 + 4ф + 4ц
р2 — ф2 в стандартном базисе;
4(^/0-1 в базисе из столбцов матрицы Л45;
(р + ф)4 в базисе, образованном столбцами (1, 2)т, (О,-If.
Пусть Р^ — пространство многочленов степени не выше п (n ^ 1) с вещественными коэффициентами. Отображения
. р^п-Ц р^Рф ф . pH -рф-Х) определим формулами
р (фо + ait + ... + ап_itn 1) = a^t + ait2 + ... + an_itn
ф (<2q + ait + ... + antn) = (2i + ... + autn . Проверить линейность отображений и показать, что фр — тождественное преобразование, а рф — нет.
Пусть С — линейное пространство функций с базисом е, D — дифференцирование. Найти матрицу преобразования Dk (к = 1, 2, ...), если:
Аф С — пространство многочленов степени не выше п,
С — пространство тригонометрических многочленов порядка не выше п (см. задачу 23.43), е = (1, cos£, sin£, ..., cosn£, sinn^).
В пространстве всех многочленов от t рассматриваются линейные преобразования: т — умножение на t и дифференцирование D = —. Найти преобразование:
at
rD; 2) Dr; 3) коммутатор [D, т] = Вт — tD.
Доказать равенство Втт — тВт = mDm-1 (т = = 1, 2, ...; В° = ф.
Доказать, что коммутатор [у?, ф\ = рф) — фр двух линейных преобразований конечномерного линейного пространства не может быть тождественным преобразованием (ср. задачу 15.130).
Доказать, что матрицы подобных линейных преобразований подобны.
Доказать, что отношение подобия между линейными преобразованиями является отношением эквивалентности (т.е. р у; из р ф следует ф ~ р; из р ф и ф х следует
Пусть р^ ф — линейные преобразования линейного пространства С. Доказать, что:
если ф подобно р. то для любого базиса е пространства С, существует такой базис е', что матрица преобразования ф в базисе е' совпадает с матрицей р в базисе е;
если для преобразований р и ф в С существуют такие базисы е и е\ что матрица преобразования р в базисе е совпадает с матрицей преобразования ф в базисе е', то р и ф подобны.
Пусть линейные преобразования р и ф подобны. Показать, что подобны также преобразования:
р(р) = aot + aip +... + апрп и рффф где р(£) = а0 + + ait + . •. + antn — произвольный многочлен;
р-1 и ф-1 если р и ф обратимы.
Пусть р и ф — линейные преобразования некоторого линейного пространства, хотя бы одно из которых невырождено.
Доказать, что преобразования рф и фр подобны.
Сформулировать и доказать матричный вариант этого утверждения.
Доказать, что линейное отображение ранга г представимо в виде суммы г линейных отображений ранга 1, но не представимо в виде суммы меньшего числа таких отображений (ср. задачу 16.33).
Пусть р. ф — линейные отображения пространства £ в £. Доказать, что rg (у? + ф) ^ rg^ + rg^ (ср. задачу 16.34, 6)).
Пусть р : £ ^ М^ ф : М Ы линейные отображения, dimM = т. Доказать:
rg<p + rgi/> — m ^ rg(t/><p) < min(rg(/?, rg^) (неравенства Сильвестра);
dim Ker ффр^ ^ dim Ker p + dim Ker'0;
если фр = 9, то rg p + rgф ^ m (напомним, что через 9 обозначено нулевое отображение).
Пусть р : £ ^ £ — линейное преобразование. Доказать, что для любого к, удовлетворяющего условию rg(/? ^ к ^ ^ n = dim£, существует линейное преобразование ф такое, что фр = 9 и rg р + rgф = к.
Доказать, что для любых двух перестановочных линейных преобразований р и ф имеет место включение Кег р + + Ker^ С Кег(^).
Пусть р — линейное преобразование n-мерного линейного пространства и р2 = ь. Доказать, что:
rg(</> +1) + rg(y> - t) = n;
dimKer(y> +1) + dimKer(y) — t) = n.
Пусть p^ ф^ % — такие линейные отображения, что произведение рфх существует. Доказать, что
rg(W)+rg(^%) ^rg^ + rg^x)-
Пусть Р, Q — вещественные линейные пространства и L(P, Q) — множество всех линейных отображений р : V Q-
Доказать, что L(T\ 2) — линейное пространство относительно операций сложения линейных отображений и умножения отображения на число.
Пусть dimP = n, dim Q = т. Построить базис пространства ЬфР^ 2) и найти его размерность.
Показать, что в условиях и. 2) пространство L^P, 2) изоморфно пространству РтХтг вещественных матриц размеров т х п.
Выяснить, образует ли данное множество линейных отображений линейное подпространство в L(P, 2) (см. задачу 23.100):
множество всех отображений ранга к ^ 1;
множество всех отображений ранга, не превосходящего к 1;
множество всех отображений, ядра которых содержат некоторое фиксированное подпространство из Р;
множество всех инъективных отображений;
множество всех сюръективных отображений;
множество всех отображений, множества значений которых содержатся в фиксированном подпространстве из Q.
Пусть в линейном пространстве С задан базис е. Доказать, что данное множество линейных преобразований пространства С является группой относительно операции умножения преобразований:
множество всех невырожденных преобразований;
множество всех преобразований с определителем, равным 1;
множество всех невырожденных преобразований, матрицы которых в базисе е верхние треугольные;
множество всех невырожденных преобразований, заданных в базисе е диагональными матрицами;
множество всех гомотетий At, где число Л отлично от 0;
множество всех преобразований, имеющих в базисе е матрицы перестановок.
В линейном пространстве С дан базис е. Является ли группой относительно умножения данное множество линейных преобразований пространства С;
множество всех линейных преобразований;
множество всех преобразований, матрицы которых диа- гональны в базисе е;
множество всех невырожденных преобразований, которые в базисе е задаются целочисленными матрицами, т. е. матрицами Цщ^Ц, где а^ — целые числа;
множество всех преобразований, матрицы которых в базисе е целочисленны и имеют определители, равные 1 или — 1;
множество всех преобразований с данным определителем d;
множество всех невырожденных преобразований, имеющих в базисе е матрицы, каждая строка и каждый столбец которых содержат ровно по одному ненулевому элементу?
В технике используется уголковый отражатель. Он представляет собой трехгранный угол, грани которого — взаимно перпендикулярные зеркала. Доказать, что луч света, выпущенный из точки внутри этого трехгранного угла, отразившись от всех его граней, сменит свое направление на противоположное .
Инвариантные подпространства,собственные векторы и собственные значениялинейных преобразований
В этом параграфе используются понятия: инвариантное подпространство, ограничение линейного преобразования на инвариантном подпространстве, собственное значение, собственный вектор и собственное подпространство линейного преобразования, характеристический многочлен и характеристическое число матрицы линейного преобразования, диагонализируемое линейное преобразование, аннулирующий многочлен, минимальный аннулирующий многочлен матрицы (линейного преобразования), корневой вектор, корневое подпространство, нильпотентное преобразование, циклическое подпространство, жорданова цепочка, жорданов базис, жорданова клетка, жорданова матрица.
Подпространство Л4 линейного пространства L называется инвариантным относительно линейного преобразования у (или инвариантным подпространством преобразования р), если для любого х Е М выполнено р(х) 6 М. Ограничением (сужением) преобразования р на инвариантном подпространстве Л4 называется преобразование рм пространства М, определенное равенством Рм Д) = (ж) для х е М.
Если подпространство Кег(<^ — Xl) ненулевое, оно называется собственным подпространством преобразования р, отвечающим собственному значению А. Ненулевые векторы собственного подпространства называются собственными векторами. Иначе, ненулевой вектор х называется собственным вектором преобразования р, принадлежащим собственному значению А, если существует такое число А, что р (х) = Хх.
Укажем метод отыскания собственных значений и собственных векторов линейного преобразования, заданного матрицей. Пусть р : С ^t С — линейное преобразование и в £ выбран базис, в котором А — матрица преобразования р, а ^ — координатный столбец собственного вектора, отвечающего собственному значению А. Тогда £, является решением системы линейных уравнений
(А-ХЕ)^ = о.(1)
Для существования ненулевого решения системы (1) необходимо, чтобы
(2)(2)det(A- ХЕ) = 0.
(2)
(2)
Уравнение (2) называется характеристическим уравнением, а его корни — характеристическими числами матрицы А. В комплексном линейном пространстве все характеристические числа матрицы линейного преобразования являются его собственными значениями, а в вещественном пространстве — только вещественные характеристические числа.
Выражение Ра^) = det (А — tE) является многочленом от t степени п = dim£, который называется характеристическим многочленом матрицы А:
pA(t) = det(A - tE) = (-t)n + tr Л(-<)п"1 +... + det Л. (3) Характеристический многочлен матрицы А линейного преобразования не изменяется при замене базиса, следовательно, не изменяются его коэффициенты, в частности след и определитель матрицы А, а также характеристические числа. Это дает основание называть характеристическим многочленом, характеристическими числами, определителем и следом линейного преобразования соответствующие объекты для матрицы преобразования в некотором (любом) базисе.
Собственные векторы линейного преобразования, заданного геометрически или явной формулой, иногда можно находить непосредственно, не вычисляя его матрицы.
Решение задачи на собственные значения и собственные векторы линейного преобразования <р включает: а) вычисление корней его характеристического многочлена; б) в случае вещественного пространства — отбор вещественных корней, так как только они являются собственными значениями; в) отыскание максимальной линейно независимой системы собственных векторов преобразования р, которая состоит из базисов собственных подпространств С\ для каждого собственного значения А.
Матрица линейного преобразования р в некотором базисе диа- гональна тогда и только тогда, когда все базисные векторы — собственные для р. При этом на диагонали матрицы находятся соответствующие собственные значения. Линейное преобразование пространства С называется диагонализируемым (или преобразованием простой структуры), если в £ существует базис, в котором матрица преобразования диагональна. Матрица, подобная диагональной, называется диагонализируемой (матрицей простой структуры). Диагонализируемость зависит от поля, над которым определено пространство £. Вещественная матрица, имеющая комплексные характеристические числа, не диагонализируема как матрица линейного преобразования в вещественном пространстве, но может быть диагонализируемой над полем комплексных чисел.
Привести линейное преобразование (или его матрицу) к диагональному виду — значит найти базис из собственных векторов преобразования и записать матрицу преобразования в этом базисе.
Пусть р — линейное преобразование вещественного линейного пространства, А, А — пара его комплексно сопряженных характери-
стических чисел. Они являются корнями квадратного трехчлена t2 ф + pt + q, где р = — (А + А) и q = АА. Подпространство Ker(<^2 Арр) + + qt) — ненулевое и инвариантное относительно р. Оно называется квазисобственным подпространством, отвечающим характеристическому числу А.
Многочлен /(f) называется аннулирующим многочленом матрицы А или линейного преобразования ср, если /(Л) = О (соответственно f(p) = о). Согласно теореме Гамильтона-Кэли характеристический многочлен матрицы (преобразования) является аннулирующим.
Многочлен (со старшим коэффициентом, равным 1) минимальной степени среди аннулирующих многочленов называется минимальным многочленом и обозначается ц^ф) или цД^)-
Пусть характеристический многочлен линейного преобразования раскладывается на множители
Pv(t) = (-i)n(t-xAkl..At-xs)k=
(все Ai, ..., As попарно различны). Тогда подпространство
K-i = Ker (у?-XiAki (г = 1, s)
называется корневым подпространством, а его ненулевые векторы — корневыми векторами.
Для любого преобразования ср комплексного пространства £
С, = АД ф ... ф К,8.(4)
Для вещественного С это верно, если все Ai, ..., As вещественны.
Линейное преобразование ф называется нильпотентным, если фт = о для некоторого натурального т. Число т называется его показателем нильпотентности. Ограничение фг = (р — АД Д преобразования (ср — Xiф на подпространстве KLi является нильпотентным, и его показатель нильпотентности не превосходит ki.
Будем говорить, что корневой вектор ж имеет высоту К, если ф^фф = о, но Д-1 ?^ °- Собственные векторы ср — корневые векторы высоты 1. Вектор е1 называется присоединенным к собственному вектору е°, если ффеф = е°. По индукции, Z-й присоединенный вектор определяется равенством ффе1) = е1-1. Если вектор em+1 не существует, то собственный вектор е° и присоединенные к нему е1, ..., ет образуют жорданову цепочку.
Линейная оболочка векторов жордановой цепочки — инвариантное подпространство. Матрица ограничения преобразования ср на нем имеет вид
Xi 1 0 ... О
О Xi 1 ... О
О .... А, 1
О .... О Xi
Матрицы такого вида называются жордановыми клетками. Жорданову клетку порядка т обозначают JmW.
В каждом корневом подпространстве существует базис, состоящий из жордановых цепочек. Если имеет место разложение (4), то объединение таких базисов — базис в С. называемый жордановым базисом. В жордановом базисе матрица преобразования р имеет жорданову форму: является клеточно-диагональной матрицей с жордановыми клетками на диагонали. (Собственные значения клеток не обязательно различны.)
Общее число всех жордановых клеток равно сумме размерностей всех собственных подпространств.
Пусть дан матричный ряд ^^А^\ где А^ — матрицы одинако- fc=0
вых размеров с элементами а^. Суммой этого ряда называют матрицу, составленную из сумм числовых рядов ^^а^- Экспонентой квад-
k
ратной матрицы А называется сумма матричного степенного ряда:
к\
к=0
Собственные векторы и собственные значения(24.1-24.65)
Доказать, что множество всех собственных векторов линейного преобразования, отвечающих одному собственному значению, дополненное нулевым вектором, совпадает с собственным подпространством.
Доказать, что:
ядро линейного преобразования совпадает с собственным подпространством, отвечающим нулевому собственному значению;
Собственное подпространство преобразования р, отвечающее собственному значению А, есть множество векторов, удовлетворяющих условию р(х) = ^х-
Пусть А — матрица, а А — собственное значение линейного преобразования n-мерного линейного пространства. Чему равна размерность собственного подпространства, отвечающего собственному значению А, если ранг матрицы А — ХЕ равен г?
Какой вид имеет матрица линейного преобразования, если первые к базисных векторов являются его собственными векторами?
Доказать, что размерность собственного подпространства, отвечающего данному корню характеристического многочлена, не превосходит кратности этого корня.
Пусть ж, у — собственные векторы линейного преобразования, отвечающие различным собственным значениям, а числа а. Р отличны от нуля. Доказать, что вектор ах + Ру не является собственным.
Доказать, что ненулевое линейное преобразование, для которого все ненулевые векторы собственные, является гомотетией.
Доказать, что система собственных векторов, отвечающих попарно различным собственным значениям линейного преобразования, линейно независима.
Доказать, что матрица линейного преобразования в некотором базисе тогда и только тогда диагональна, когда все векторы базиса собственные.
Доказать, что линейное преобразование п-мерного линейного пространства, имеющее п различных собственных значений, диагонализируемо.
Пусть ф — линейное преобразование конечномерного линейного пространства С. Доказать, что следующие высказывания равносильны:
диагонализируемо;
в С существует базис из собственных векторов преобразования ф\
объединение базисов собственных подпространств является базисом в £;
кратность каждого корня А характеристического уравнения равна размерности собственного подпространства /Д;
С является прямой суммой собственных подпространств.
Доказать, что:
в комплексном линейном пространстве каждое характеристическое число матрицы линейного преобразования является собственным значением, так что произвольное линейное преобразование имеет хотя бы один собственный вектор;
в вещественном пространстве каждое вещественное характеристическое число является собственным значением.
Доказать, что линейное преобразование нечетномерного (например, трехмерного) вещественного линейного пространства имеет хотя бы один собственный вектор.
1) Доказать, что характеристический многочлен, определитель и след матрицы линейного преобразования не зависят от выбора базиса.
Найти выражение коэффициентов характеристического многочлена, в частности следа и определителя матрицы порядка п, через характеристические числа.
Найти собственные векторы и собственные значения каждого из следующих преобразований:
нулевого; 2) тождественного; 3) гомотетии.
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе n-мерного линейного пространства матрицей А^ = J-nW-
Пусть матрица линейного преобразования в некотором базисе — верхняя или нижняя треугольная с диагональными элементами Ai, ..., Хп. Найти все собственные значения этого преобразования.
Пусть £, = CJ ^ CJ', где С\ CJ' — ненулевые подпространства. Найти собственные значения и собственные подпространства линейного преобразования р\ доказать, что р имеет базис из собственных векторов, и указать диагональный вид его матрицы, если р есть:
проектирование на подпространство С! параллельно Сн\
отражение в подпространстве С! параллельно Ш’.
Найти собственные значения и собственные подпространства, привести к диагональному виду матрицы линейных преобразований, определенных в задаче 23.65.
Найти собственные значения, собственные подпространства, привести к диагональному виду матрицу линейного преобразования, определенного в задаче:
23.9, 1); 2) 23.9, 2); 3) 23.9, 3); 4) 23.9, 4); 5) 23.10, 1);
23.10, 2);7) 23.10, 3);8) 23.10, 4);9) 23.12, 1);
23.12, 2); 11) 23.12, 3); 12) 23.13, 1);13) 23.13, 2).
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, определенного в задаче:
23.14, 1);2) 23.14, 2);3) 23.14, 3);4) 23.66, 1);
23.66, 2); 6) 23.66, 3); 7) 23.66, 4); 8) 23.66, 5). Можно ли из собственных векторов преобразования составить базис?
1) Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования р^ заданного матрицей
А = (ai, ..., n??,) (^i) • • • ^ Ьп^ ^ О.
Найти необходимое и достаточное условие диагонализи- руемости преобразования р.
Выяснить, диагонализируемы ли преобразования, заданные матрицами: а) А213; б) А222-
Пусть к, т, п — натуральные числа, 1 < к < т < п. Привести пример линейного преобразования n-мерного линейного пространства, для которого данное число А является корнем характеристического многочлена кратности тп, а отвечающее ему собственное подпространство имеет размерность к.
Пусть линейное преобразование р трехмерного комплексного линейного пространства в некотором базисе имеет вещественную матрицу и по крайней мере одно характеристическое число этой матрицы не является вещественным. Доказать, что р диагонализируемо.
Пусть ж — собственный вектор линейного преобразования р, отвечающий собственному значению A, ap(t) — многочлен. Доказать, что вектор ж является собственным для преобразования р(р) и принадлежит собственному значению р(Х\
Пусть Ai, ,..., Хп — характеристические числа линейного преобразования р в n-мерном линейном пространстве. Чему равны характеристические числа (с учетом кратностей) преобразования:
(р) (Д;2) (р) рт (т — натуральное число);
р-1 (при условии, что р обратимо);
р(р\ где p(t) — произвольный многочлен (при условии, что Ai, ..., Хп различны)?
Пусть характеристические многочлены квадратных матриц Ап В имеют простые корни Ai, ..., Хт и цх, ..., цп соответственно. Найти характеристические числа кронекеров- ского произведения А® В матриц А, В. (См. введение к § 15.)
Пусть линейное преобразование р линейного пространства £ диагонализируемо. Доказать утверждения:
Im 99 есть линейная оболочка множества всех собственных векторов, отвечающих ненулевым собственным значениям;
£ = Im 99 ф Кегу?.
Привести пример линейного преобразования р пространства Вп. для которого Вп ^ Im(/7 + Кег(/7.
Линейное преобразование вещественного п-мерного линейного пространства задано своей матрицей. Вычислить
собственные значения и найти максимальную линейно независимую систему собственных векторов преобразования. Если найденная система векторов образует базис, записать в нем матрицу преобразования и выяснить геометрический смысл преобразования:
п = 2:
Л46;2) Ли;3) Л36;4) Л47;5) Л48;
Л13;7) Л12;8) Л5;9) Л30;10) Л49;
п = 3:
и) >126i;
12) Л243;
13) Л.29О5
14) Л291;
15) Л292;
16) Л2д3;
17) >12945
18) А295;
19) >12215
20) >12675
21) >1296;
22) Л297;
23) А2д8;
24) Л273;
25) Л235;
26) Л230; п = 4:
27) Л237;
28) А299;
29) >12875
30) >12835
31) Л477;
32) Л479;
33) Я480;
34) Л481;
35) л4825
36) Л449;
37) >14835
38) А484;
39) >14855
40) >1469-
24.31. Линейное преобразование
комплексного
п-мерного
линейного пространства задано своей матрицей. Найти базис из собственных векторов и записать матрицу преобразования в этом базисе:
п = 2:
Л2о;2) Л5о;3) Л82;4) Л79 (в = е27гг/3);
А94;6) А77;7) А78 (s = e2"/3).8) А87;
п = 3:
Л23д;10) Л262;11) Л263;12) ЛЗОо; 13) Л3ох;
Л260;15) Л3бз (ш = е2™/3);16) А376;17) А377;
п = 4:
Л432;19) Л447;20) Л486;21) Л472.
32. Найти собственные значения и максимальную линейно независимую систему собственных векторов линейного преобразования, заданного своей матрицей. Объяснить, почему преобразование не диагонализируемо:
Л51;2) Л52;3) Л28б54) Л303;5) Л2895
Л23б;7) Л457;8) Л487;9) Л548.
33. Найти характеристические числа линейного преобразования, заданного своей матрицей. Выяснить, диагонализируемо ли преобразование: а) в вещественном пространстве, б) в комплексном пространстве. Если да, то найти базис из собственных векторов и записать в нем матрицу преобразования; в противном случае указать, какое из необходимых условий диа-
гонализуемости не выполнено:
Л45;2) Л77;3) Л259;4) Л44;5) Л253;
Л98;7) Л436;8) Л430;9) Л478;10) Л474.
Решить задачу на собственные значения и собственные векторы и указать диагональный вид матрицы линейного преобразования, заданного в стандартном базисе:
вещественного n-мерного арифметического пространства:
^604;2)A62i(n = 2m);3) Л625;4)Л627;
5) Л64о;6)Лб39;7)Лб34;8) Лб2о;
Лооб (Ai = • • • = Хт = 1, Am+i = ... = Ап = 2; m = [(п + + 1)/2]);
-4-606 (Ai — ... — Хт — 1, Am+i — • • • — Хп — 0; тп — [(п + + 1)/2]);
комплексного n-мерного арифметического пространства:
Л-605 (Ai = ... = Хт = 1, Am+i = ... = Ап = — 1;
т= [(п+1)/2]);
А614;13) Л635.
Найти характеристические числа матрицы:
^49о;2) Л49х;3) Л492;4) Л349;5) Л550;
Л638;7) Л64з;8) Л642;9) Л645 (п—нечетно).
Вычислить:
) 2n+1 ГТ cos ;2) V^ cos ;
п + 17п+1
п-1 к=^
У?^^2; гдс = е27гг/п, п = 2m + 1;
Одна из матриц Л457, Л458, ^455 подобна матрице ^(О). Какая именно?
Задачи 24.39-24.41 решить как задачи на собственныевекторы и собственные значения
Треугольники АВС и А* В* С* подобны (с коэффициентом подобия А). Если длины сторон треугольника АВС равны а. Ь. с, то соответствующие стороны треугольника А* В* С* имеют длины За + b + с, а + ЗЬ + с, а + b + Зс. Доказать, что треугольники правильные, и найти Л.
Сумма различных натуральных чисел пх, П2, П3, П4 равна 18. После того как их увеличили в одинаковое число Л раз, получились числа пх + П2 + пз + П4, пх + П2 — пз — П4, Пх — П2 +пз — П4, Пх — 2п2 — П3 + ЗП4. НаЙТИ Пх, П2, Пз, П4, Л.
Последовательность {жп} задана рекуррентной 21
формулой: жп+1 = -жп + -xn~x (n = 1, 2, ...); ж0 = а, жх = Ь. Доказать, что последовательность сходится, и найти ее предел.
Найти собственные значения и собственные векторы (собственные функции) дифференцирования D как линейного преобразования каждого из следующих линейных пространств вещественных функций (п — фиксированное натуральное число):
пространство всех многочленов степени не выше п;
пространство всех тригонометрических многочленов вида У (t) = a^ + ai cost + bi sin/; + ... + ancosnt + bnsmnt;
линейная оболочка системы функций еХ1\ eXnt^ где Ах, ..., Ап — попарно различные числа.
пространство всех функций вида eXotp (t^ где р (t) — любой многочлен степени не выше п, Ад — фиксированное число (Ад 0).
Найти собственные значения и собственные векторы преобразования D2 в пространствах функций задачи 24.42.
Проверить, что функции вида у = ^pt^ где p(t) — многочлен не выше второй степени, образуют линейное пространство С. Убедиться в том, что у) — линейное преобразование пространства С. и решить для у задачу на собственные значения и собственные векторы:
(у) = у" - 2у' + У, Т. е. уз = D2 - 2D + ц
у = Z)3 - 2D2-3) у = D3 - 3D2 + 3D + l.
Проверить, что функции вида у = e-t (acost + bsin/;) образуют линейное пространство М и что преобразование ср = = p(D^ где p(t) — данный многочлен, D — дифференцирование, является линейным преобразованием пространства М. Решить для ср задачу на собственные значения и собственные векторы, если:
1) p(t) = (t+l)2; 2)p^) = t2-l.
В линейной оболочке функций cos 2/;, sin 2/;, tco$2t^ tsin2t задано линейное преобразование ip=p^DY где p(t) — многочлен, D — дифференцирование. Решить для у задачу на собственные значения и собственные векторы, если:
1) Р (О = £2 + 4; 2) р (t) = t4 + 8/Л
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования у пространства вещественных многочленов p(t) не выше второй степени, если:
у? (р) = tp'-, 2) р (р) = (tp)';
У (р) = t^p" - tp' + 2р.
Найти собственные значения и собственные векторы преобразования дифференцирования в пространстве функций, бесконечно дифференцируемых на всей числовой прямой.
Пусть С — множество функций ykt\ бесконечно дифференцируемых на отрезке [0, тг] и таких, что у(0) = = у(тг) = О.
Проверить, что £ — линейное пространство.
Найти собственные векторы и собственные значения линейного преобразования у пространства £, заданного формуЛОЙ р(у) = у".
А СО ВА СО ВПусть А, В — квадратные матрицы, и матрица □
А С
О В
А С
О В
диагонализируема. Доказать, что матрицы А, В диа
гонализируемы. Показать на примере, что обратное утверждение неверно.
Зафиксируем вещественный многочлен po(t) степени т (т ^ 1). Любой многочлен p(t) можно разделить на Po(t) с остатком, т. е. однозначно представить в виде
p(t) = д(ф(Д) + Щ) (4) (степень остатка r(t) меньше степени po(t)\ Преобразование у) пространства В всех вещественных многочленов определим формулой у (р (f)) = г (f).
Показать, что преобразование р) линейно и р? = р).
Найти собственные значения и собственные векторы преобразования р).
Доказать, что формула (4) дает разложение пространства В в прямую сумму собственных подпространств.
Пусть р) — операция взятия остатка от деления на многочлен p^t^ (см. задачу 24.51) в пространстве многочленов степени не выше 3. Найти базис из собственных векторов и записать матрицу преобразования р) в этом базисе, если:
l)po^) = t; 2) р0Ц) = t2+ 1;3) p0(t) = (t- l)3.
В пространстве 7£nxn квадратных матриц порядка п рассматривается операция транспонирования т : А Ат. Проверить, что т — линейное преобразование и т2 = ь. Найти собственные значения и собственные векторы преобразования т. Разложить пространство 7^пхп в прямую сумму собственных подпространств преобразования т.
Множество комплексных матриц порядка п рассматривается как вещественное линейное пространство М размерности 2п2.
Проверить, что операция г): А Ан = А эрмитова сопряжения матрицы является вещественным линейным преобразованием пространства М, причем ц2 = t.
Найти собственные значения и собственные векторы преобразования ц.
Показать, что преобразование ц не является линейным преобразованием комплексного пространства Спхп.
Пусть А — матрица второго порядка. Формула р) (X) = АХ определяет линейное преобразование пространства матриц второго порядка (задача 23.47). Найти собственные значения и максимальную линейно независимую систему собственных векторов преобразования р>. В случае, когда эта система является базисом, записать в нем матрицу преобразования р?:
Л = Л4б; 2) А = Ав2;
А = Л50 (в пространстве комплексных матриц).
Решить задачу на собственные значения и собственные векторы для преобразования р?(Х) = ХВ пространства матриц второго порядка, если:
В = Л36;2) В = Л51 (пространство вещественное);
В = Л45 (пространство комплексное).
Преобразование пространства матриц второго порядка определено формулой ^(Х) = АХ — ХА, где А — фиксированная матрица.
Показать, что преобразование ^ линейно, и найти его матрицу в стандартном базисе.
Решить для преобразования у задачу на собственные значения и собственные векторы, если:
А = Люб;
Л = Л22 (пространство вещественное);
А = Л20 (пространство комплексное).
Пусть А — невырожденная матрица второго порядка. Показать, что формула (^(Х) = ААХА определяет линейное преобразование пространства матриц второго порядка. Решить для преобразования у задачу на собственные значения и собственные векторы, если:
А = Л22;2) Л = Л13.
Найти собственные векторы и собственные значения преобразования сдвига в пространстве многочленов от двух переменных, определенного в задаче 23.50, если:
1)а=1, Ь = 0;2)а=1, Ь=—2.
Решить задачу о собственных значениях и собственных векторах для линейных преобразований пространства од
нородных многочленов степени п от двух переменных, определенных в задаче 23.51.
Пусть А — матрица второго порядка, (ж*, у*) = = (ж, у) А. Преобразование р) пространства многочленов р(ж, у) степени не выше п определим формулой р)(р(х, р^ = р (ж*, у*\ Показать, что р) — линейное преобразование. Найти его собственные векторы и собственные значения, если п = 2 и
D-4- 2 : 2М=: 3>А=■
Пусть /С(ж, у) = уо(у)+жух(у)+ж2у2(у), где у0(у), 91(уУ 92 (у) ~ непрерывные функции на отрезке [—1, 1]. Показать, что преобразование р), определяемое формулой
1
Др(ж)) = ^(ж, y)p(y)dy,(5)
-1
является линейным преобразованием пространства многочленов р(ж) степени не выше 2. Найти собственные значения и собственные векторы преобразования р), если:
/С (ж, р) = Зх2р + 5ж?/2;
К б, у) = У2 + ^х (у - 1) + (1 - Зу2) ж2.
Показать, что формула
7Г
(/ (ж)) = I К-^уИ (у) d-У
О
определяет линейное преобразование ср пространства тригонометрических многочленов вида:
acosx + Ьвтж, если /С (ж, р) = 8ш(ж + р);
а + Ьсов2ж + свт2ж, если К, (х^ р) = сов2(ж — р). Найти собственные значения и собственные векторы преобразования ср.
Найти собственные значения и собственные векто- д2 д2
ры оператора Лапласа А = —— + тгч в пространстве много- ох2 оу2
членов р(х^ р) с вещественными коэффициентами.
Пусть р^ ф — подобные преобразования линейного пространства С (см. формулу (5) введения к § 23). Доказать, что:
характеристические многочлены преобразований ср и ф совпадают;
если х — собственный вектор преобразования ср, то lj-^t) — собственный вектор преобразования ф, отвечающий тому же собственному значению;
если в £ существует базис, в котором матрица преобразования ср диагональна (треугольна), то аналогичный базис существует и для ф.
Показать на примере, что совпадение характеристических многочленов двух линейных преобразований не влечет подобия этих преобразований.
Инвариантные подпространства.
Перестановочные преобразования (24.66—24.112)
Доказать, что 1) ядро и 2) множество значений линейного преобразования являются инвариантными подпространствами.
Доказать, что собственное подпространство линейного преобразования инвариантно.
Пусть ср — линейное преобразование линейного пространства £, М — подпространство в £. инвариантное относи-
тельно у?, и p(t) — многочлен. Доказать, что данное подпространство в С инвариантно относительно р)\
у?(.М);2) у?-1 (М) (если у обратимо);
рт^М^ (т>1);4) Кегр(^); 5) р((р)(Л4).
Доказать, что 1) сумма двух (и вообще любого конечного множества) и 2) пересечение двух (и вообще любого множества) инвариантных подпространств линейного преобразования — инвариантные подпространства.
Пусть ф — линейное преобразование линейного пространства. Доказать, что любое подпространство, содержащее Im у?, инвариантно.
Доказать, что если линейное преобразование ср невырождено, то ср и ср-1 имеют одни и те же инвариантные подпространства.
Какой вид имеет матрица линейного преобразования n-мерного линейного пространства, если базис инвариантного подпространства образован:
первыми к базисными векторами;
последними п — к базисными векторами?
1) Пусть линейное пространство является прямой суммой двух инвариантных подпространств линейного преоб
А О О ВА О О Вразования. Доказать, что тогда в некотором базисе матрица
А О О В
А О О В
преобразования имеет видпреобразования имеет видрицы.2)рицы.2), где А, В — квадратные мат
преобразования имеет вид
преобразования имеет вид
рицы.
2)
рицы.
2)
Сформулировать и доказать обратное утверждение.
Доказать, что:
характеристический многочлен линейного преобразования делится на характеристический многочлен его ограниче
ния на инвариантном подпространстве;
если все корни характеристического многочлена линейного преобразования у линейного пространства С принадлежат полю, над которым определено £, то всякое подпространство в Д инвариантное относительно ^, содержит собственный вектор этого преобразования;
если линейное пространство является прямой суммой инвариантных подпространств линейного преобразования у?, то характеристический многочлен у равен произведению характеристических многочленов ограничений у на этих инвариантных подпространствах.
Найти все подпространства, инвариантные относительно гомотетии линейного пространства.
Найти подпространства, инвариантные относительно поворота плоскости вокруг начала координат на угол а.
Найти подпространства трехмерного геометрического векторного пространства, инвариантные относительно поворота на угол а вокруг прямой х = ta (а Д 0).
Пусть линейное преобразование n-мерного линейного пространства имеет п попарно различных собственных значений. Найти все инвариантные подпространства и подсчитать их количество.
Пусть р — диагонализируемое линейное преобразование n-мерного линейного пространства £. Найти все подпространства в £. инвариантные относительно преобразования р.
Пусть в базисе ei, ..., еп линейного пространства £ линейное преобразование р имеет матрицу:
Л(А) (п = 2);2) ^з(А) (п = 3);3) Л(А).
Найти все подпространства в £. инвариантные относительно р.
Пусть £ = £i Ф £2. Найти инвариантные подпространства данного линейного преобразования пространства £:
проектирования на £i параллельно £2;
отражения в £\ параллельно £2.
1) Показать, что преобразование р проектирования линейного пространства обладает свойством: р2 = р.
Доказать, что ненулевое линейное преобразование р ^ г для которого р2 = р, есть проектирование на Im 99 параллельно Кегух
1) Показать, что преобразование р отражения линейного пространства в подпространстве обладает свойством У?2 = L.
Доказать, что линейное преобразование р, отличное от ±6, для которого р2 = 6, есть отражение пространства в подпространстве неподвижных векторов параллельно некоторому дополнительному подпространству.
Пусть р — линейное преобразование пространства £. Доказать, что при любом а каждое подпространство, содержащее 1т(^ + аб), инвариантно относительно р.
Доказать утверждения:
Если линейное преобразование n-мерного линейного пространства имеет собственный вектор, то для него существует и (п — 1)-мерное инвариантное подпространство.
Пусть Л — матрица линейного преобразования у в некотором базисе е, А — собственное значение и строка а определена уравнением а (Л — AS) = о. Тогда уравнение а^ = 0 в базисе е определяет (п — 1)-мерное подпространство, инвариантное относительно преобразования ср. Справедливо ли обратное утверждение?
Всякое /с-мерное инвариантное подпространство линейного преобразования комплексного пространства содержит (к — 1)-мерное инвариантное подпространство.
Линейное преобразование ср арифметического пространства R,n в стандартном базисе ех, ..., еп задано матрицей Л. Найти подпространства, инвариантные относительно у?, если:
Л = Л36; 2) А = А^\ 3) Л = Л30б; 4) Л = Л287;
5)Л = Л604; 6) А = Л621 (n = 2m); 7)Л = Л625.
Найти (п — 1)-мерные подпространства в 77п, инвариантные относительно линейного преобразования, заданного своей матрицей Л, если:
Л = Л241; 2) Л = Л222; 3) Л = Л23§; 4) Л = Л262;
Л = Л487; 6) Л = Л447; 7) Л = Л54д; 8) А = Лб4о-
1) Пусть А = а -\-гР {Р Д 0) — характеристическое число вещественной матрицы А порядка n, 1 = х + гу — собственный вектор линейного преобразования пространства Сп с матрицей А (х, у — вещественные векторы). Доказать, что х и у образуют базис двумерного инвариантного подпространства линейного преобразования пространства 77п, заданного матрицей А.
Найти двумерные инвариантные подпространства £ для линейного преобразования пространства S4, заданного в стандартном базисе матрицей Л474.
Пусть ср — линейное преобразование вещественного линейного пространства, А, А — пара его комплексно сопряженных характеристических чисел, р= — (А + А) и q = АА. Доказать, что квазисобственное подпространство Ker(y?2 + рр> + qt) — ненулевое и инвариантно относительно ср.
24.90. Найти квазисобственные подпространства преобра-
зования у?,
заданного
матрицей У
1 0 -1
2
1) А =
и
-1
-2
1
0 -
2
2
-2 0
2) А =
0
-1
1 -2
2 1
-1 0
-2
1 0
1
0
1
2
-2
3) А =
-1
-2
0
-2
2
0
2
-1
;4) Л423;
5) Л474
2
-2
1
0
Доказать, что квазисобственное подпространство не содержит собственных векторов, и через каждый его вектор проходит двумерное инвариантное подпространство.
Доказать, что размерность квазисобственного подпространства — четное число.
Доказать, что квазисобственное подпространство можно разложить в прямую сумму двумерных инвариантных подпространств.
Доказать, что размерность квазисобственного пространства не превосходит удвоенной кратности соответствующего характеристического числа.
Доказать, что в двумерном инвариантном подпространстве преобразования ср, не содержащем собственных векторов, можно выбрать базис так, что матрица ограничения ср будет иметь вид “у '
Доказать, что любое двумерное инвариантное подпространство, не содержащее собственных векторов, лежит в некотором квазисобственном подпространстве.
Доказать, что любые два квазисобственные подпространства имеют нулевое пересечение.
Доказать, что собственные и квазисобственные подпространства линейного преобразования расположены так, что сумма их — прямая сумма.
Для каждого из преобразований задачи 24.90 найти матрицу перехода к такому базису, в котором его матрица — клеточно диагональная, и найти матрицу преобразования в этом базисе. (В каждом случае найти хотя бы одно решение.)
1) Пусть линейное преобразование ср n-мерного линейного пространства £ обладает цепочкой вложенных друг
§ 24- Собственные векторы и собственные значения 231 в друга попарно различных инвариантных подпространств: Су С £2 С ... С Сп = С. Доказать, что в С существует базис, в котором матрица преобразования ip верхняя треугольная.
Пусть в базисе ei, ..., еп матрица линейного преобразования ср пространства С верхняя треугольная. Доказать, что подпространства С^ = £{ei, ... ,е^} (k = 1, ..., п) инвариантны относительно р и £^ С С^у (к = 1, ..., п — 1).
Линейное преобразование пространства Т^з задано матрицей А в стандартном базисе. Привести матрицу преобразования к треугольному виду, если:
Л = Л241;2) Л = Л222;
Л = Л283;4) Л = Л263-
1) Пусть Су С С^ С ... С СТ = С — цепочка подпространств линейного пространства £, инвариантных относительно линейного преобразования р)^ dim Ci = тц (ni < П2 < ... . ..<nr = n). Допустим, что базис ei, ..., еп выбран так, что векторы ei, ..., еп. принадлежат Ci (г = 1, ..., г). Показать, что матрица А^ — верхняя блочно треугольная с диагональными блоками размеров ki х к^ где ki = rii — щ_\ (г = 2, ..., г), ку = ni.
Пусть в некотором базисе матрица линейного преобразования — верхняя блочно треугольная. Доказать, что преобразование обладает цепочкой инвариантных подпространств. Выразить их размерности через порядки диагональных блоков.
Пусть С — линейное пространство бесконечно дифференцируемых функций /(f) (t G R), п — целое неотрицательное число, А — фиксированное действительное число. Доказать, что данное множество функций образует подпространство в С, инвариантное относительно дифференцирования D;
множество всех многочленов;
множество всех многочленов степени не выше п;
множество всех тригонометрических многочленов порядка не выше п;
множество всех линейных комбинаций функций еХ1\ ... ...,
множество всех функций /(f) = eXtp(t^ где p(t) — произвольный многочлен;
множество всех функций / (f) = eXtT (f), где Т (t) — произвольный тригонометрический многочлен;
множество всех функций p(t)cost, p(t) sin£, где p(t) — произвольный многочлен.
Пусть С — линейное пространство функций задачи 24.103, ^р = D2. Доказать, что данное множество функций является подпространством в С, инвариантным относительно преобразования ф. Найти собственные значения и собственные векторы ограничения преобразования на этом подпространстве:
множество всех четных многочленов степени не выше 2п;
множество всех нечетных многочленов степени не выше 2n +1;
множество всех четных тригонометрических многочленов ад + Щ cos t + .. • + ап cos nt;
множество всех нечетных тригонометрических многочленов 6i sin/; + ... + bn sin nt.
Найти все подпространства линейного пространства всех многочленов, инвариантные относительно дифференцирования.
Показать, что линейное преобразование пространства всех многочленов, состоящее в умножении многочленов на t, не имеет ни собственных векторов, ни инвариантных подпространств (кроме нулевого подпространства и всего пространства) .
Найти подпространства, инвариантные относительно операции взятия остатка (см. задачу 24.51) в пространстве всех многочленов.
Пусть ср — линейное преобразование пространства многочленов р(х, у\ определенное в задаче 24.61. Доказать, что подпространства однородных многочленов степени п (п = = 0, 1, ...) инвариантны относительно преобразования ср.
Найти подпространства линейного пространства матриц порядка п, инвариантные относительно транспонирования.
В пространстве 7£пхп рассматривается преобразование ср (X) = АХ, где А — фиксированная матрица. Доказать, что Т^пхп является прямой суммой п подпространств, инвариантных относительно ср.
В пространстве 7^пхп рассматривается преобразование <р (X) = АХ — XА, где А — фиксированная матрица. До-
казать, что данное множество образует инвариантное относительно р подпространство:
множество всех матриц с нулевым следом;
множество всех верхних треугольных матриц (если матрица А верхняя треугольная);
множество всех кососимметрических матриц (если матрица А кососимметрическая);
множество всех диагональных матриц (если матрица А диагональная).
Линейное преобразование р пространства 7£пхп вещественных матриц порядка п определено формулой р (X) = = АТХ + ХА, где А — фиксированная матрица.
Доказать, что кососимметрические матрицы образуют подпространство в 7£пхп, инвариантное относительно преобразования р;
выразить характеристические числа ограничения р на этом подпространстве через характеристические числа матрицы А.
Линейное преобразование пространства матриц порядка п определено формулой р (X) = А-1ХА, где А — невырожденная матрица. Доказать, что данное множество матриц является подпространством, инвариантным относительно преобразования р:
множество всех матриц с нулевым следом;
множество всех скалярных матриц;
множество всех верхних треугольных матриц (если матрица А верхняя треугольная);
а) множество всех симметрических матриц; б) множество всех кососимметрических матриц (если матрица А ортогональная) ;
а) множество всех эрмитовых матриц; б) множество всех косоэрмитовых матриц (если А — унитарная матрица и если эти множества — подпространства 2п2-мерного вещественного пространства комплексных матриц порядка п).
Линейное преобразование р комплексного пространства матриц второго порядка задано формулой р(Х) = = А-1 ХА, где А = А77, а — вещественное число. Найти собственные значения и собственные векторы ограничения преобразования р на подпространстве:
симметрических матриц; 2) матриц с нулевым следом.
Жорданова форма матрицы (24.115—24.138)
Привести пример матрицы порядка п > 1, имеющей характеристическое число А кратности к. 1 ^ к ^ п, и собственное подпространство размерности т. Сколько жордановых клеток отвечает этому А, и чему равна сумма порядков этих клеток?
Проверить прямым вычислением терему Гамильтона-Кэли для данной матрицы и определить ее минимальный многочлен:
1) ^375 2) Л38; 3) Л29; 4) Л82;
Лд8; 6) Л2зз; 7) Л222; 8) Л28б.
Может ли минимальный многочлен матрицы порядка n 1) быть многочленом первой степени; 2) иметь вид (t — А)п. Привести примеры.
1) Показать, что собственный вектор является корневым. Чему равна высота собственного вектора?
Доказать, что матрица линейного преобразования тогда и только тогда диагонализуема, когда высота каждого корневого вектора равна 1.
Доказать, что корневые векторы, отвечающие попарно различным собственным значениям, линейно независимы.
Пусть /Сх и /С2 корневые подпространства, отвечающие собственным значениям Ai ^ А2. Доказать, что /С2 инвариантно относительно ^i = у — Ait, и ограничение ^1 на /С2 невырождено.
Доказать, что размерность корневого подпространства равна кратности соответствующего собственного значения как корня характеристического многочлена.
Доказать линейную независимость векторов жордановой цепочки.
Доказать, что начальные векторы жордановых цепочек, составляющих базис корневого подпространства, образуют базис соответствующего собственного подпространства.
Пусть размерность собственного подпространства, соответствующего характеристическому числу А, меньше кратности А. Каждый ли собственный вектор имеет присоединенный вектор?
Найти базисы корневых подпространств линейного преобразования, заданного матрицей Л:
^27;2) Лц; 3) Л5;4) Л51;5) Л19§;6) Л222;
7) Л303;8) Л289-
Проверить, что линейное преобразование, заданное матрицей Л, нильпотентно и найти для него жорданов базис и жорданову форму матрицы:
Л5; 2) Л38 - 2Е; 3) Л52 - 5Е; 4) Л236; 5) Л235;
Л283 + ^;7) Л458;8) Л457;9) Л485.
Привести к жордановой форме матрицу:
Л51; 2) Л30; 3) Л4д; 4) Л52; 5) Лщ8; 6) Л299;
Л247;8) Л24з;9) Л264; Ю) Л273; И) ^тзз;
(р) Л283;13) Л289;14) Л484;15) (р) Л465;
Л46о;17) Л46д;18) Л487.
Приводятся ли к жордановой форме следующие матрицы линейных преобразований вещественного пространства? Найти их жорданову форму как матриц линейных преобразований комплексного пространства:
^45;2) Л62;3) Л44;4) Л262;5) Л30х;
Л447;7) Л474.
Привести к жордановой форме матрицу линейного преобразования комплексного арифметического пространства:
1) ^8252) Л78;3) Л8о; 4) Лд3.
Вычислить значение следующих многочленов от матрицы Jn(A) :
(£ —A)m; 2) tm; 3) произвольный многочлен /(^).
Найти жорданову форму матрицы:
2) JnW (m натуральное); 3)(А^О).
Что можно сказать о матрице Л порядка п, если ее минимальный многочлен удовлетворяет следующему условию:
имеет все корни кратности 1;
с точностью до знака совпадает с характеристическим многочленом.
Пусть фт = l для некоторого натурального числа т. Доказать, что жорданова форма матрицы ср диагональна. Какие числа стоят на диагонали этой матрицы?
Найти жорданову форму линейного преобразования комплексного арифметического пространства с матрицей:
^594;2) Л599;3) Л609;4) Л615;5) Л619;
Аб2о; 7) Лез2; 8) ^635; 9) Л.640; 10) Аб41-
Не находя жордановых базисов, установить жордановы формы матриц, зная, что их характеристические многочлены равны (t — I)4:
1) Л458 + Е; 2) Л460; 3) Л469.
Проверить, что матрицы Л221 и — Л273 имеют одинаковые характеристические многочлены. Найти их минимальные многочлены и жордановы формы.
Определить жорданову форму матрицы Л по заданному характеристическому многочлену p(t) = — (£ + 1)3(£ — — 2)2, зная, что Rg(Л — 2Е) = 3, а Rg(Л + Е) = 4.
Найти экспоненту матрицы:Найти экспоненту матрицы:1) Л(0);1) Л(0);Л5;Л5;0 7 -7 о 0 ’0 7 -7 о 0 ’
Найти экспоненту матрицы:
Найти экспоненту матрицы:
1) Л(0);
1) Л(0);
Л5;
Л5;
0 7 -
7 о 0 ’
0 7 -
7 о 0 ’
Пусть линейные преобразования р)^ ф перестановочны. Доказать, что:
ядро и множество значений одного из них инвариантны относительно другого;
собственные подпространства преобразования ср инвариантны относительно ф.
Пусть Ад — собственное значение линейного преобразования ср.
Доказать, что подпространства С}. = Ker(<p — Aot)^ (к = = 1, 2, ...) инвариантны относительно ср.
Показать, что С^ С C^i. Может ли включение быть строгим?
Доказать, что:
любые два перестановочных линейных преобразования комплексного пространства имеют общий собственный вектор;
то же утверждение верно для вещественного пространства, если все характеристические числа преобразований вещественны.
Пусть ср — вырожденное линейное преобразование конечномерного линейного пространства. Доказать, что существует такое sq > 0, что для всех |s| < sq, преобразование ср + el невырождено.
Доказать, что для любых двух линейных преобразований ср, ф одного и того же линейного пространства характеристические многочлены преобразований (рф афер совпадают.
Пусть р^ ф) — перестановочные линейные преобразования n-мерного пространства, причем р имеет п различных собственных значений. Доказать, что все собственные векторы преобразования р являются собственными и для ф, так что матрицы р и ф диагональны в общем для них базисе.
Пусть линейное преобразование р диагонализируемо и каждое его собственное подпространство инвариантно относительно линейного преобразования ф. Доказать, что рф = фр.
Пусть £, = CJ © С1^ где С^ С” — ненулевые линейные подпространства в С.
Пусть р — проектирование пространства С на CJ параллельно С” а ф — некоторое линейное преобразование в £,. Доказать, что рф = фр тогда и только тогда, когда подпространства £’ и £п инвариантны относительно ф.
Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для отражения пространства С в С1 параллельно CJ’.
Пусть р^ ф — линейные преобразования п-мерного линейного пространства. Дано, что рп = 6^ dimKer(/? = l и \ф^ р\ = фр — рф = р. Доказать, что ф имеет п собственных значений вида А, А —1, ..., A—(n—1), где А — некоторое число.
(р). Пусть р и ф — линейные преобразования пространства £ф причем р взаимно однозначно. Найдите такое е > 0, что для любого 5 Е (—е, е) линейное преобразование р + бф взаимно однозначно.
Глава 10
ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В этой главе используются следующие основные понятия: скляр- ное умножение, евклидово пространство, унитарное (эрмитово) пространство, длина (норма) вектора, угол между векторами, матрица Грама, ортогональная и ортонормированная системы векторов, ортонормированный базис, базис, биорто г опальный данному базису, ортогональное дополнение подпространства, ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора, процесс ортогонализации, Q R-разложение матрицы, обьем к-мерного параллелепипеда, угол между вектором и подпространством, угол между двумя подпространствами.
Операция евклидова скалярного умножения в вещественном линейном пространстве С ставит в соответствие каждой паре векторов х и у из Г вещественное число, обозначаемое (х, у) таким образом, что для любых векторов х, у и z и чисел а и (3 выполнены следующие условия:
(ж, у) = (у, ж);
(аж + By, z) = а (х, z) + 3 (у, z);
(х, х) > 0 для любых X 7^ о.
Операция унитарного скалярного умножения в комплексном линейном пространстве С ставит в соответствие каждой паре векторов х и у из С комплексное число, обозначаемое (х, у) таким образом, что для любых векторов х, у и z и чисел аи8 выполнены следующие условия:
(^, у) = (у, Д
(аж + Зу, z) = а (ж, z) + 3 (у, z>,
(х, х) > 0 для любых X 7^ о.
Вещественное (или комплексное) линейное пространство с введенной в нем операцией скалярного умножения называется евклидовым (или, соответственно, унитарным). Мы обозначаем евклидовы пространства буквой 8, а унитарные — U.
Число (х, у) называется скалярным произведением (при необходимости, с уточнением: евклидовым или унитарным).
В задачах этой главы часто используются следующие важные примеры евклидовых и унитарных пространств. Множество всех векторов пространства, изучаемого в элементарной геометрии. Его мы будем называть геометрическим пространством.
В n-мерном вещественном арифметическом пространстве Rn стандартным скалярным произведением векторов х и у называется
число (ж, у) = жту = Ж1У1 + ... + ж„у„.
В n-мерном комплексном арифметическом пространстве Сп стандартным скалярным произведением векторов ж и у называется число (ж, у) = жту = Ж1уГ + ... + ж„у^.
В линейном пространстве Ет х п вещественных матриц размеров т х п с обычными операциями сложения и умножения на вещественное число стандартное евклидово скалярное произведение матриц X = Цж^Ц и Y = 11^^11 определяется формулой
(Ж? ^)= 5252ж^%/с-(1)
j = l & = 1
Это же число может быть записано и как trXTK (см. задачу 25.4).
Аналогично в пространстве комплексных матриц СтХп стандартное унитарное скалярное произведение определяется формулой
3 = 1k=l
или, что то же, (X, У) = tr XTY.
В пространстве вещественных многочленов от переменной t. имеющих степень не выше фиксированного числа п, стандартное скалярное произведение определяется формулой (см. задачу 25.8, 1)):
1
(р, g) = Jp^q^dt-,
-1
В евклидовом пространстве скалярное произведение выражается через координаты векторов в выбранном базисе ei, ..., еп формулой
у) = У Pij^j =
где Г — матрица из элементов g^ = (е^, Cj\ называемая матрицей Грама базиса ei, ..., еп.
Для унитарного пространства соответствующая формула имеет аналогичный вид (ж, у) = £,тГц.
Если 8 — матрица перехода от базиса е к базису е', то матрицы Грама этих базисов связаны формулой Г' = 8ТГ8 для евклидова пространства, иГ = 8ТГ8 — для унитарного.
Как в евклидовом, так и в унитарном пространстве длиной вектора, а также евклидовой (унитарной) нормой называется число |ж| = ^(х, х). Вектор длины 1 называется нормированным вектором. Для любых векторов ж и у выполняется неравенство Коши- Буняковского
Угол между векторами определяется формулой а = = агссо8((ж, у) / (|ж| \у\^. Векторы х и у называются ортогональными, если (ж, у) = 0. Система попарно ортогональных векторов называется ортогональной и ортонормированной, если эти векторы нормированы.
Пусть а — фиксированный вектор евклидова пространства 8. Сопоставим произвольному вектору х Е 8 число (а, ж). Это определяет линейную функцию, присоединенную вектору х. Соответствие, сопоставляющее каждому вектору его присоединенную функцию — изоморфизм пространства 8 на его сопряженное пространство. Этот изоморфизм не зависит от выбора базиса и потому позволяет отождествить эти пространства: принято отождествлять вектор с его присоединенной функцией.
Если в 8 выбран базис ei, ..., еп, то функции, составляющие его взаимный базис в сопряженном пространстве, отождествляются с такими векторами е^, ..., е* , что
Базис е*, связанный таким соотношением с базисом е, называется ему биортогональным.
Вектор называется ортогональным линейному подпространству евклидова или унитарного пространства, если он ортогонален каждому вектору пространства.
Множество всех векторов, ортогональных подпространству С, называется ортогональным дополнением £ и обозначается £^. Это линейное подпространство, и £ ф = 8. Если ж = ж' + ж", где ж' Е £, а хП Е £\ то ж' называется ортогональной проекцией ж на £, а хП — ортогональной составляющей х относительно £.
Говорят, что вектор ж — ^х” получен из ж ортогональным отражением в подпространстве £.
Процесс ортогонализации позволяет построить из произвольной линейно независимой системы векторов Д, ..., fm ортогональную систему ненулевых векторов gi, ..., gm. В частности, произвольный базис можно преобразовать в ортогональный, а при последующей нормировке — в ортонормированный. Для этого из каждого из векторов Д, • • • ^ fm вычитают его проекцию на линейную оболочку предыдущих векторов. Это приводит к следующим рекуррентным формулам
_ /(A, 9г)
9k —Jk / I 12 9г*
г=1
Существенно, что матрица перехода от Д, ..., fm к gi, ..., gm является верхней треугольной (как и матрица обратного перехода).
Линейное подпространство £1 называется ортогональным £3, если £1 С £^_ Тогда и £2 С £^.
Рассмотрим к линейно независимых векторов /х, • • •, А в п- мерном евклидовом пространстве. Под к-мерным параллелепипедом {/1, ..., А}? построенным на них, мы будем понимать множество всех их линейных комбинаций с коэффициентами а^ 0 ^ а^ ^ 1, (г = 1, ..., к). Векторы Д, ..., А назовем ребрами параллелепипеда. Параллелепипед {А, ..., А-1} естественно назвать основанием параллелепипеда {/1, ..., А}- а высотой, соответствующей этому основанию, назовем длину \hk\ ортогональной составляющей А вектора fk относительно линейной оболочки /х, ..., fk-i-
Объем одномерного параллелепипеда {/} мы определим как длину его единственного ребра: V{/} = |/|, а об^ем к-мерного параллелепипеда Е{А> • • • ? А} определим по индукции как произведение объема основания на высоту.
Объем ^-мерного параллелепипеда вычисляется по формуле
VUi, /Ц = Vdetrf,
где Pf — матрица Г рама системы векторов /х, ..., А • Пусть е — произвольный базис, a F — матрица из координатных столбцов векторов /1, • • •, А в этом базисе. Тогда
VUi, /„} = |detF|Vdetre = |detF|y{ei, е„}.
В частности, для ортонормированного базиса У {А, • • • > А} = | det F|.
Углом между вектором х и линейным подпространством L называется точная нижняя грань угла, который х образует с различными векторами из L.
Пусть £х и /^2 — два ненулевых линейных подпространства. Если одно из них лежит в другом, то угол между ними по определению равен нулю. В противном случае обозначим через С^ и С^ ортогональные дополнения подпространства Сх П С^ соответственно в Сх и /А Углом между подпространствами Сх и С^ называется точная нижняя грань значений угла между векторами х Е С^ И У € £°-
В § 25 и § 26 рассматривается евклидово пространство, а в § 27 — унитарное. Это не будет каждый раз оговариваться.
Скалярное произведение. Матрица Грама.
Определение евклидова пространства (25.1—25.19)
Пусть п — фиксированный ненулевой вектор в геометрическом пространстве. Сопоставим произвольной паре векторов х, у:
смешанное произведение (п, х, у);
скалярное произведение (х + n, у + п);
(п, х)(п, у);4) |п|(х, у);5) |х| |у|.
Можно ли принять такую функцию за скалярное произведение?
Может ли скалярное произведение в вещественном п-мерном линейном пространстве задаваться следующей функцией от координат векторов:
ЖГУ1 + 2х2У2) а) п = 2; б) п = 3;
xiyi + ж2, п = 2;
ЗЖ1У1 + 2Ж1У2 + ж2ут + ж2у2, П = 2;
2a?iyi + Ж1у2 + ж2у1 + 2ж2у2, п = 2;
Ж1У1 + 2ж1у2 + 2ж2у1 + ж2у2 + ®зУз, п = 3.
(р). На плоскости нарисован эллипс с полуосями 2 и 1. Пусть дан вектор х. Рассмотрим вектор xq, сонаправлен- ный с х, начало которого — центр эллипса, а конец лежит на эллипсе. Положим ^ (х) = |x|/|xq|, и <р(о) = 0. Теперь произвольной паре векторов можно сопоставить число
F<^ у) = (У(х + у)-</?2(х-у).
Доказать, что этим определено скалярное произведение. Найти его выражение через координаты векторов в канонической системе координат эллипса.
1) Доказать, что функция F (X, У) = trXTY записывается через элементы матриц формулой (1) из введения и может быть принята за скалярное произведение в пространстве вещественных матриц размеров т х п.
Евклидовой нормой матрицы называется ее длина при этом скалярном произведении. Доказать, что евклидова норма равна квадратному корню из суммы квадратов всех элементов матрицы.
Найти длины векторов стандартного базиса и углы между ними относительно такого скалярного произведения.
Рассматривается пространство квадратных матриц порядка п, и каждой паре матриц сопоставлено число:
F(X, Y)=trXY- 2) F(X, УН^гУ;
F(X, У) = det XY.
Может ли такая функция быть принята за скалярное произведение?
Пусть Р фиксированная квадратная матрица порядка т. При каких условиях на эту матрицу функция F (X, У) = = tr XTPY является скалярным произведением в линейном пространстве матриц размеров m х п?
В линейном пространстве функций, непрерывных на отрезке [—1, 1], функциям / и g сопоставляется число
1
(Л у) = J
-1
Доказать, что этим определено скалярное произведение.
В линейном пространстве многочленов степени не выше п двум многочленам р и q сопоставлено число F (р^ q). Доказать, что этим определено скалярное произведение:
1
^(р, ^ = jР^ч^)^
-1
F — сумма произведений производных порядка F вычисленных в точке ^0)
п
F^p, q) = ^P^4to)q(k4to>,
k=Q
F — сумма произведений коэффициентов при равных степенях,
F{p, q) = ^«аА;
F — сумма произведений значений р и q в т > п различных точках, т
F(p, q) = ^P^q^;
к=1
(Убедиться, что требование т> п необходимо.)
Доказать, что в евклидовом пространстве из задачи 25.8,1) многочлены Лежандра
образуют ортогональный базис. Найти длины (нормы) этих многочленов.
Пусть е — базис в линейном пространстве 8. Доказать, что в £ существует одно и только одно скалярное произведение, относительно которого базис е — ортонормированный.
Пусть в вещественном линейном пространстве заданы два скалярных произведения (ж, y)i и (ж, у^- Доказать, что для любых положительных чисел Лиц функция (ж, у) = = А (ж, уД + ц^х^ у^2 — также скалярное произведение.
Дано линейное пространство £ — прямая сумма подпространств £i и £2^ в которых заданы скалярные произведения (ж, у)1 и (ж, у^2- Пусть Ж = Ж1+Ж2 и у = у1+у<21 где Ж1? yi 6 £i; Х2^ 02 Е £2- Доказать, что функция (ж, у) = = (жь у 1)1 + (ж2,3/2)2 есть скалярное произведение на £.
Пусть |ж| длина вектора ж в евклидовом пространстве. Доказать, что:
(ж, у) Д(|ж + у|2-|я-у|2);
(ж, У) = |(1ж + у|2 - |ж|2 - |у|2)-
Пусть в вещественном линейном пространстве заданы два скалярных произведения (ж, y)i и (ж, у)2^ и любой вектор имеет одинаковые длины в каждом из них: (ж, жД = (ж, жД. Доказать, что скалярные произведения совпадают.
В пространстве многочленов степени ^ 3 со стандартным скалярным произведением задан треугольник со сторонами t Д3 и t — Д. Найти 1) углы треугольника; 1) длины его сторон.
Доказать, что треугольник в евклидовом пространстве прямоугольный тогда и только тогда, когда длина одной из сторон равна длине другой стороны, умноженной на косинус угла между этими сторонами.
Доказать, что медиана треугольника в евклидовом пространстве короче одной из сторон, между которыми она лежит.
Доказать, что сумма углов произвольного треугольника в евклидовом пространстве равна тг.
Пусть £ конечномерное линейное пространство. Доказать, что выбор определенного изоморфизма £ на его сопряженное £* равносилен заданию скалярного произведения в £.
Скалярное произведение в координатах (25.20—25.44)
В арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти скалярные произведения
||1 1 1 1||Ти||1 2 5 8||Т;
2)||1 2 1 4||^ и || 1 -1 1 0||Т;
||-1 2 1 -4||Ти||4 -1 -2 1||Т;
С171 И С172;5) С174 И С175.
Найти угол между ребром и диагональю п-мерного куба.
Найти длины векторов и косинусы углов между ними в задаче 25.20.
Пусть в некотором базисе квадрат длины любого вектора х равен сумме квадратов его координат. Доказать, что базис ортонормированный.
Нарисовать на плоскости какой-либо базис с матрицей Грама Aig. Описать все множество таких базисов.
Найти скалярное произведение векторов, если зада
ны их координаты в некотором базисе и матрица Грама Г этого
базиса:
1 -21-25-41 -461 -21-25-41 -462) II"1 -1 ЦО 1 <> Г =2) II"1 -1 ЦО 1 <> Г =123123258258381438141)||1 1 <. ||1 3 1||т, г =
1 -21
-25-4
1 -46
1 -21
-25-4
1 -46
2) II"1 -1 ЦО 1 <> Г =
2) II"1 -1 ЦО 1 <> Г =
1
2
3
1
2
3
2
5
8
2
5
8
3
8
14
3
8
14
С20, С23, Г = Л24;4) С23, С36, Г = Л17;
5) ||1 . .. 1||Т, С282, Л630.
Найти углы между векторами, заданными их коор
динатами:динатами:1)2)3)1)2)3)1 11 1||, ||0 202 ||; базис ортонормированный;2 1V2 1||,|| 020 2 ||; базис ортонормированный;5 02 1||, ||2 1211|; базис ортонормированный;1 11 1||, ||0 202 ||; базис ортонормированный;2 1V2 1||,|| 020 2 ||; базис ортонормированный;5 02 1||, ||2 1211|; базис ортонормированный;4) ||1 0 II,4) ||1 0 II,|| 0 11|; базис с матрицей Грама|| 0 11|; базис с матрицей Грама1 11 4 ’1 11 4 ’
динатами:
динатами:
1)
2)
3)
1)
2)
3)
1 11 1||, ||0 202 ||; базис ортонормированный;
2 1V2 1||,|| 020 2 ||; базис ортонормированный;
5 02 1||, ||2 1211|; базис ортонормированный;
1 11 1||, ||0 202 ||; базис ортонормированный;
2 1V2 1||,|| 020 2 ||; базис ортонормированный;
5 02 1||, ||2 1211|; базис ортонормированный;
4) ||1 0 II,
4) ||1 0 II,
|| 0 11|; базис с матрицей Грама
|| 0 11|; базис с матрицей Грама
1 1
1 4 ’
1 1
1 4 ’
Ci2, С33; базис с матрицей Грама Л58;
Cis, С12; базис с матрицей Грама Л58.
Найти длины векторов в задаче 25.25.
При каких значениях параметров е, а данные матрицы могут служить матрицами Грама в евклидовом пространстве: 1) Л8о; 2) Л77; 3) Л76.
Доказать, что в n-мерном пространстве квадратная матрица Г порядка п может служить матрицей Грама какого- либо базиса тогда и только тогда, когда найдется квадратная матрица S с детерминантом, отличным от нуля, такая, что Г = = STS.
Доказать, что в n-мерном пространстве квадратная матрица Г порядка п может служить матрицей Грама какого-либо базиса тогда и только тогда, когда она положительно определена, то есть Г = ГТ и Е,ТГЕ, > 0 для любого столбца + °
Пусть Г — матрица Грама некоторого базиса е. Доказать, что матрицами Грама некоторых базисов являются также матрицы:
Г-1;2) Г2;3) ГД где к целое.
Пусть Гх и Г2 — матрицы Грама базисов ei и е2- Доказать, что при любых положительных коэффициентах матрица Г = а1Г1 + а2Г2 также есть матрица Грама некоторого базиса.
В матрице Грама некоторого базиса все элементы равны либо 0, либо 1, либо — 1. Доказать, что базис ортонор- мированный.
Доказать, что максимальный по модулю элемент матрицы Грама расположен на главной диагонали.
Может ли третья строка матрицы Грама некоторого базиса в четырехмерном пространстве быть строкой:
1)||1 1 1 1||;2) -1 -1 -1 -1||;3) ||1 0 1 0||;
----■2242 II----■2242 II4)||0 10 1||;5)
----■
2242 II
----■
2242 II
Найти матрицу Грама стандартного базиса пространства квадратных матриц второго порядка1) со скалярным произведением, определенным в задаче 25.6, если Р равно:
^17;2) Л24-
В пространстве многочленов степени не выше двух со стандартным скалярным произведением найти матрицу Грама стандартного базиса.
В пространстве квадратных матриц порядка п со скалярным произведением задачи 25.4 найти матрицу Грама стандартного базиса.
Дана матрица Грама базиса е. Найти матрицу Грама его биортогонального базиса е*.
Пусть любые два различных вектора из системы Ж1, ..., хп образуют угол тг/З. Доказать, что эти векторы линейно независимы.
Даны две системы векторов ад, ..., жр и ух, ..., ур, и из скалярных произведений Cij = (ад, уД составлена матрица С.
Доказать, что det С = 0, если хоть одна из систем линейно зависима.
Верно ли обратное утверждение?
’) См. введение к § 15
Две упорядоченные системы векторов ei, ..., е^ и /1, ..., Д в евклидовом пространстве называются биортого- нальными, если (е*, Д) = 0 при г^ j, а (е*, Д) = 1 для всех г. Доказать, что каждая из двух биортогональных систем линейно независима.
Для системы векторов ад, ..., хр евклидова пространства составляется матрица С с элементами с^ = (х^ Xj\ Пусть Rg С = к и минор порядка к в левом верхнем углу — базисный. Указать какую-нибудь максимальную линейно независимую подсистему данной системы векторов.
Используя свойства матрицы, составленной из всевозможных скалярных произведений, доказать, что для любой матрицы А выполнено Rg ЛТЛ = RgЛ.
Ортогональные матрицы (25.45—25.58)
Какие из следующих матриц являются ортогональными:
Л32;2) А^ 3) Л1б; 4) Л15;5) А^ 6) Лб4;
Л243;8) Л253;9) Л255; Ю) Л329; И) Л330;
Л432;13) Л433;14) Л445;15) Л436.
Останется ли ортогональная матрица ортогональной если:
переставить ее строки;
переставить ее столбцы;
написать элементы строк, имеющих нечетные номера, в обратном порядке;
транспонировать;
повернуть вокруг побочной диагонали;
умножить одну из строк на число;
прибавить одну из строк к другой.
Пусть А и В — ортогональные матрицы одного порядка. Являются ли ортогональными матрицы:
А + В; 2) АВ- 3) АВТ-, 4) аА- 5) Ак, к целое.
Найти все такие пары ортогональных матриц второго порядка, сумма которых — ортогональная матрица.
При каком условии для ортогональной матрицы А найдется число а ^ 0 такое, что матрица А + аЕ также является ортогональной? Существуют ли такие матрицы, отличные от Е и —Е, для п = 2, 3, 4?
Может ли ортогональная матрица четвертого по
- - 0 ^2 2 V2- - 0 ^2 2 V2??рядка содержать строку:
- - 0 ^
2 2 V2
- - 0 ^
2 2 V2
?
?
1)||Ю10||;2)
Дана строка длины п, сумма квадратов элементов которой равна 1. Существует ли ортогональная матрица порядка п с такой строкой?
вую строкувую строкуНайти все ортогональные матрицы, имеющие пер-
вую строку
вую строку
2 2 2 2
1) Могут ли все элементы ортогональной матрицы быть положительными?
Доказать, что ортогональная матрица, все элементы которой неотрицательны, получается из единичной матрицы перестановкой столбцов.
Найти все ортогональные матрицы, являющиеся верхними треугольными.
При каком условии подматрица ортогональной матрицы также будет ортогональной?
Допустим, что все элементы ортогональной матрицы порядка п равны между собой по абсолютной величине. Чему равна абсолютная величина элемента?
Доказать, что ортогональные матрицы, описанные в задаче 25.56, существуют, если п = 2\ к — натуральное число.
1) Даны два ортонормированных базиса ei, ..., еп и /1, ..., fn. Доказать, что матрица из скалярных произведений (е^, Д) — ортогональная.
Даны две ортонормированные системы по к < п векторов в n-мерном евклидовом пространстве. При каком условии ортогональна матрица из попарных скалярных произведений векторов этих систем?
§ 26. Геометрия евклидова пространства
Ортогональное дополнениеподпространства (26.1—26.21)
Пусть а — ненулевой вектор n-мерного евклидова пространства. Доказать, что уравнение (а, ж) = О определяет подпространство размерности п — 1.
Пусть множества Р и Q векторов евклидова пространства таковы, что (ж, у) = 0 для любых х 6 Р и у Е Q. Доказать, что линейные оболочки этих множеств ортогональны.
В евклидовом пространстве £ найти ортогональные дополнения 1) нулевого подпространства; 2) пространства £.
Пусть подпространства 221, ..., £,s евклидова пространства попарно ортогональны. Доказать, что £\ + ... + Ls — прямая сумма.
Доказать следующие свойства операции перехода к ортогональному дополнению: 1) ^Сх + £2^ = £\ П £^\
(£1 П ГгЦ = ^ +3)= Г.
Подпространства £\ и 222 ортогональны. Обязательно ли ортогональны С^ и £2^4
Найти нормированный вектор, ортогональный заданным:
||4 0 4 f, ||2 6 5||Т, базис ортонормированный;
||2321f,||1012f,||0100f, базис ортонормированный;
||3 if, базис с матрицей Грама Л56;
|| — 1 1 Of, ||0 1 if, базис с матрицей Грама ^207-
Подпространство С, задано в ортонормированном базисе системой линейных уравнений А£ = о. Найти:
базис в 22х;2) систему уравнений подпространства 22 х.
Пусть ai,..., ар — базис подпространства 22, и координатные столбы векторов ai^...^ap в ортонормированном базисе пространства £ составляют матрицу А. Найти:
базис в 22х;2) систему уравнений подпространства 22х.
Решите с помощью геометрических соображений задачу 18.20.
Подпространство 22 задано в базисе е с матрицей Грама Г системой линейных уравнений А£ = о. Найти:
базис в 22х;
матрицу системы уравнений подпространства 22х.
Пусть <21, ..., ар — базис подпространства 22, и координатные столбы векторов ai, ..., ар в базисе е пространства £ составляют матрицу А. Дана матрица Грама Г базиса е. Найти:
базис в 22х;
матрицу системы уравнений подпространства 22х.
Подпространство £ задано как линейная оболочка векторов, имеющих в ортонормированном базисе координаты в столбцы:
||312|Ц;2) ||1 -5 1||Т. ||-111||Т;
||3 - 15 9 1|Ц, ||3 -6 — 3 2|Ц;
||43 — 3 2|Д, ||—1 3 2 — 3|Ц, ||2 9 1 —4|Д.
Найти:
матрицу системы уравнений, определяющей £\
базис в £^.
Подпространство £ задано в ортонормированном
базисе системой линейных уравнений АЕ, = о. Найти базис подпространства £\ если матрица А равна:
1) Ц32 1Ц;2)1) Ц32 1Ц;2)1 -5 1-1 1 11 -5 1-1 1 13)3)13-122-13 5;1 10 -6 113-122-13 5;1 10 -6 14)4)1 -5 -6 115 1-431 8 7 151 -5 -6 115 1-431 8 7 155) Л519; 6) Л582;7) A5i§; 8) Л514.5) Л519; 6) Л582;7) A5i§; 8) Л514.
1) Ц32 1Ц;2)
1) Ц32 1Ц;2)
1 -5 1
-1 1 1
1 -5 1
-1 1 1
3)
3)
13-12
2-13 5;
1 10 -6 1
13-12
2-13 5;
1 10 -6 1
4)
4)
1 -5 -6 11
5 1-43
1 8 7 15
1 -5 -6 11
5 1-43
1 8 7 15
5) Л519; 6) Л582;7) A5i§; 8) Л514.
5) Л519; 6) Л582;7) A5i§; 8) Л514.
Подпространство £ задано в ортонормированном базисе системой линейных уравнений АЕ, = о. Найти систему уравнений подпространства £"4
х Ж1 -Ж2 + Ж3 + Ж4 = 0,
' 8жх — Х2 + 2хз + 4x4 = 0;
11X1 + 2X2 — Х3 — Х4 = 0,
2) 8x1 — Х2 + 2хз — 4x4= 0,
—6x1 + 3x2 — 4хз + 6x4 = 0;
3X1 + 5X2 + Хз + 3X4 + 11X5= 0,
, 4xi + 7x2 + 2хз + 5x4 + 16x5 = 0;
.X 5xi + 24x2 — 7хз — 3x4 = 0,
—Xi — 2x2 + 7хз + 3x4 = 0;
5) Система уравнений имеет матрицу а) Л573, б) Лбзз-
26.16. Подпространство £ задано в базисе е с матрицей
Грама Г системой линейных уравнений АЕ, = о:
1) А = ||1 2 1|Ц, Г = А207;1) А = ||1 2 1|Ц, Г = А207;А =А =3 1 21 1 13 1 21 1 1, Г = А38б;, Г = А38б;2) А =А =2) А =А =1 0 11 1 01 0 11 1 0Г = А385;Г = А385;-1 10 11-210-1 10 11-210, Г = А424., Г = А424.
1) А = ||1 2 1|Ц, Г = А207;
1) А = ||1 2 1|Ц, Г = А207;
А =
А =
3 1 2
1 1 1
3 1 2
1 1 1
, Г = А38б;
, Г = А38б;
2) А =
А =
2) А =
А =
1 0 1
1 1 0
1 0 1
1 1 0
Г = А385;
Г = А385;
-1 10 1
1-210
-1 10 1
1-210
, Г = А424.
, Г = А424.
Найти: а) базис в £-*■; б) матрицу системы уравнений подпространства £■*■.
26.17. Пусть ai, а^ — базис подпространства £, и координатные столбцы векторов ai, ..., а^ в базисе е пространства £ составляют матрицу А. Дана матрица Грама Г базиса е:26.17. Пусть ai, а^ — базис подпространства £, и координатные столбцы векторов ai, ..., а^ в базисе е пространства £ составляют матрицу А. Дана матрица Грама Г базиса е:1) Л = || 1 1 2 Н2", Г = Л207;2) А =1) Л = || 1 1 2 Н2", Г = Л207;2) А =13) А = 1113) А = 1111 , 211 , 2Г = А386;4) А =Г = А386;4) А =12121212121121211221121 О ,11 О ,1г = А385;г = А385;Г = Л424.Г = Л424.
26.17. Пусть ai, а^ — базис подпространства £, и координатные столбцы векторов ai, ..., а^ в базисе е пространства £ составляют матрицу А. Дана матрица Грама Г базиса е:
26.17. Пусть ai, а^ — базис подпространства £, и координатные столбцы векторов ai, ..., а^ в базисе е пространства £ составляют матрицу А. Дана матрица Грама Г базиса е:
1) Л = || 1 1 2 Н2", Г = Л207;2) А =
1) Л = || 1 1 2 Н2", Г = Л207;2) А =
1
3) А = 1
1
1
3) А = 1
1
1
1 , 2
1
1 , 2
Г = А386;4) А =
Г = А386;4) А =
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
1 О ,
1
1 О ,
1
г = А385;
г = А385;
Г = Л424.
Г = Л424.
Найти а) ства С3-.26.18. ВНайти а) ства С3-.26.18. Вбазис в Z^; б) систему уравнений подпростран-
Найти а) ства С3-.
26.18. В
Найти а) ства С3-.
26.18. В
пространстве квадратных матриц со стандарт
ным скалярным произведением найти ортогональное дополне-
ние подпространства
матриц со следом, равным нулю;
верхних треугольных матриц.
В пространстве многочленов степени не выше п со стандартным скалярным произведением найти ортогональное дополнение подпространства многочленов четной степени.
Пусть евклидово пространство £ — прямая сумма подпространств^ (г = 1, ..., s), и х = ^Xi = (xt, pt Е Е С-У Доказать, что подпространства £г попарно ортогональны, если (ж, у) = 52 (ЖЬ Уг) для любых ж и у.
1) Для нахождения коэффициентов разложения вектора b по векторам аГ и а^ составлена система из трех линейных уравнений с двумя неизвестными. Установить, что теорема Фредгольма для этой системы равносильна следующему (геометрически очевидному) утверждению: вектор b раскладывается по о? и aj тогда и только тогда, когда он ортогонален каждому вектору у, ортогональному этим векторам.
Доказать теорему Фредгольма, пользуясь результатом задачи 26.5, 3).
Ортогональные проекции (26.22—26.41)
В евклидовом пространстве £ задан вектор ж. Найти его ортогональную проекцию и ортогональную составляющую при проектировании
1) на нулевое подпространство; 2) на £.
В подпространстве С С £ задан базис ai, ..., а^. В ортонормированном базисе пространства £ координатные
столбцы этих векторов составляют матрицу А. Вектор х G 8 задан своим координатным столбцом £,. Найти ортогональные проекции х’ и хП вектора ж на£ и £Л.
В ортонормированном базисе подпространство С задано системой линейных уравнений с матрицей А (строки А линейно независимы). Вектор х задан своим координатным столбцом £,. Найти ортогональные проекции х’ и х” вектора х на L и £Л.
В пространстве 8 выбран базис е с матрицей Грама Г. Подпространство С натянуто на линейно независимые векторы ai, ..., а^ координатные столбцы которых составляют матрицу А. Вектор х G 8 задан своим координатным столбцом £,. Найти ортогональные проекции х' и хп вектора ж на £ и СЛ.
В базисе е с матрицей Грама Г подпространство £ задано системой линейных уравнений с матрицей А (строки А линейно независимы). Вектор х задан своим координатным столбцом Е,. Найти ортогональные проекции х’ и хп вектора х на 8 и СА.
Подпространство С — линейная оболочка векторов ai, ..., а^. В ортонормированном базисе заданы координатные столбцы этих векторов и координатный столбец Е, вектора х. Найти координатные столбцы Е^ и Ej' ортогональных проекций вектора х соответственно на L и L^\
ai =|| 10 5 5||Т, £ = ||3 0 0||Т;
2)a1=||6 1 5||Т, а2 = ||4 -1 3||Т, £ = ||1 3 -2 ||Т;
ai=||2 1 1 2||Т, £ = ||5 3 7 of;
ai=||3 -2 1 1||Т, а2 =|| 1 0 -1 1||Т,
£ = ||2 -1 3 -2||Т;
ai =|| 2 3 0 if, а2 = ||0 5 -2 -1 |Г, £ = ||б 0 4 2 f;
ai=||4 3 -3 2 ||Г, а2 =||2 9 1 -4f,
а3 =||-1 3 2 -3||Т, £ = ||2 4 -1 3||Т;
ai=||3 1 -2 -2 |f, а2 = ||3 1 -1 -3||т,
а3 = ||3 -1 0 -2||Т, ^ = ||б 4 -2 -4||Т;
ai=||3 1 1 2 ||Г, а2=||4 0 2 1 ||Т, а3=||8 0 2 3||Т, £ = ||-7 1 3 1||Т;
9)ai=c2oi, а2 = с2о2, £, = ci6g;
Ю) ai = С176, а2 = С161, Е, = ci93;11) ai = С236, &2 = С271, а2 = С283, t = С23226.28. В ортонормированном базисе подпространство £ задано системой линейных уравнений с матрицей Л, а вектор х — координатным столбцом £ Найти проекции ж на £ и на £^:Ю) ai = С176, а2 = С161, Е, = ci93;11) ai = С236, &2 = С271, а2 = С283, t = С23226.28. В ортонормированном базисе подпространство £ задано системой линейных уравнений с матрицей Л, а вектор х — координатным столбцом £ Найти проекции ж на £ и на £^:1) А =111||.Е = Р 2 3 Р2) А =32-5-1 -12- £ = ||4 2 6||Г;3) А =11111, £ = Р 4 3 2 1||т4) А =2-3513-561, £= 7 -5 9 4||т;5) А =4 3 5 -23 2 4 -110 3 1 3, t. = ||-2 4 2 0||Т;6) А =4 10 18 3 11, t = ||8 -5 3 -1||т1) А =111||.Е = Р 2 3 Р2) А =32-5-1 -12- £ = ||4 2 6||Г;3) А =11111, £ = Р 4 3 2 1||т4) А =2-3513-561, £= 7 -5 9 4||т;5) А =4 3 5 -23 2 4 -110 3 1 3, t. = ||-2 4 2 0||Т;6) А =4 10 18 3 11, t = ||8 -5 3 -1||т
Ю) ai = С176, а2 = С161, Е, = ci93;
11) ai = С236, &2 = С271, а2 = С283, t = С232
26.28. В ортонормированном базисе подпространство £ задано системой линейных уравнений с матрицей Л, а вектор х — координатным столбцом £ Найти проекции ж на £ и на £^:
Ю) ai = С176, а2 = С161, Е, = ci93;
11) ai = С236, &2 = С271, а2 = С283, t = С232
26.28. В ортонормированном базисе подпространство £ задано системой линейных уравнений с матрицей Л, а вектор х — координатным столбцом £ Найти проекции ж на £ и на £^:
1) А =
111||.
Е = Р 2 3 Р
2) А =
32-5
-1 -12
- £ = ||4 2 6||Г;
3) А =
11111
, £ = Р 4 3 2 1||т
4) А =
2-351
3-561
, £= 7 -5 9 4||т;
5) А =
4 3 5 -2
3 2 4 -1
10 3 1 3
, t. = ||-2 4 2 0||Т;
6) А =
4 10 1
8 3 11
, t = ||8 -5 3 -1||т
1) А =
111||.
Е = Р 2 3 Р
2) А =
32-5
-1 -12
- £ = ||4 2 6||Г;
3) А =
11111
, £ = Р 4 3 2 1||т
4) А =
2-351
3-561
, £= 7 -5 9 4||т;
5) А =
4 3 5 -2
3 2 4 -1
10 3 1 3
, t. = ||-2 4 2 0||Т;
6) А =
4 10 1
8 3 11
, t = ||8 -5 3 -1||т
Для векторов и подпространств, заданных в задаче 26.28 найти координаты вектора р^ получаемого отражением вектора х в подпространстве £.
Найти ортогональную проекцию многочлена 35£4 + + 15£3 — 15£2 — 8^ + 4 на подпространство многочленов степени не выше 2 в пространстве многочленов:
со стандартным скалярным произведением;
со скалярным произведением, определенным в задаче 25.8, 3).
В пространстве многочленов со стандартным скалярным произведением найти расстояние от многочлена tn до линейной оболочки многочленов 1, ^, ..., fn-1:
при п = 2; 2) при п = 3.
Пусть Д, ..., fk базис подпространства £. Доказать, что ортогональная проекция произвольного вектора х на £ равна сумме его проекций на одномерные подпространства, натянутые на /1, ..., Д, тогда и только тогда, когда базис ортогональный.
Пусть для любого вектора х 6 8 сумма его ортогональных проекций на подпространства £\^ £^ С 8 равна ортогональной проекции х на их сумму £\ + £^. Доказать, что подпространства £\ и £2 ортогональны.
Рассматривается пространство функций, непрерывных на отрезке [—1, 1], со скалярным произведением, опреде-
ленным в задаче 25.7. Ортогональную проекцию функции / на подпространство Р^ многочленов степени не выше к. разложить по базису, состоящему из многочленов Лежандра Pi(t) (задача 25.9).
Пусть х* — ортогональная проекция х на подпространство. Доказать, что |ж'| ^ |ж|, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда х* = х.
Пусть х’ — ортогональная проекция х на подпространство Е С 8. а хП — ортогональная составляющая. Доказать, что для любого вектора у G Е. отличного от ж', выполнено И < |ж-у|.
Пусть Е^ (г = 1, ...,$) попарно ортогональные подпространства евклидова пространства. Доказать, что сумма квадратов длин проекций произвольного вектора х на эти подпространства не превосходит |ж|2, и эта граница достигается, если х принадлежит сумме подпространств.
Рассмотрим два подпространства Е\ С Е^. Обозначим через ЕЕ ортогональное дополнение Еу в Е^ a Ж1, х^ и х’ ортогональные проекции вектора х на подпространства £i, £2 и ЕЕ. Доказать, что:
Ж2 = ад + аД
|жх| < |ж2|, причем для любого х равенство имеет место тогда и только тогда, когда Е\ = Е^.
Пусть Е — /с-мерное подпространство n-мерного евклидова пространства 8. Пусть также ei, ..., еп — ортонормированный базис в £, а е^, ..., е^ ортогональные проекции этих к
векторов на Е. Доказать, что 52 |е^|2 = /л
г=1
(р). Пусть ei, ..., еп — ортонормированный базис в евклидовом пространстве и система векторов щ, ..., gu такова, п
что 52 1ег — 9г\ < 1- Доказать, что эта система векторов линейно г=1
независима.
Пусть ei, ..., еп — ортонормированный базис в евклидовом пространстве и система векторов щ, ..., gn такова, п
что 52 СО8(^7^г) ^ (2п — 1)/2. Доказать, что эта система векто- г=1
ров линейно независима.
Ортогонализация (26.42—26.48)
Ортогонализовать следующие системы векторов арифметического пространства со стандартным скалярным произведением:
1)||13-2||Т, ||3 7-2||Т;
||2 1 О -1||Т, || 3 6 2 6||Т;
3)||13<, ||5 13||Т, ||1 6 -8|Ц;
4)||2 12||Т, ||6 2 2||Т, ||1 4 -3|Ц;
5)||12 3||Т, ||2 11||Т, ||6-7-2f;
|| 1 2 1 2|Ц, || 4 0 4 1||Т, || 1 13 -1 -3||Т;
||1 -1 -1 1||Т, || 2 3 3 2 |Ц, || 4 4 О 2 ЦЦ
II1 -5 "5
В евклидовом пространстве 8 выбран ортонормиро- ванный базис е. В нем заданы координаты векторов базиса а подпространства L С 8. С помощью процесса ортогонализации найти в е координатные столбцы векторов ортонормированного базиса в £ и выписать матрицу перехода от базиса а к этому базису:
1)||3 1||т, ||9-7||Т;
2)||1 1 0|Щ ||2 О -1|Ц, ||0 О 3|Ц;
1 1 -2^2 |Т, |3 -1 -2V2||T, ||4 2 -V2||T;
1 1 1 — 1 Д, | 3 3 1 -1||Т, || 3 1 -1 3||Т,
||1 -1 3 3||Т;
||1212|Ц,||23 О if,||3 2 -1 2 |Ц, ||41 2if;
|| 1423 |Ц,|| 15 0 3 |Ц,||-1 9 2 7 |Ц;
|| 4-2-1 0|Ц,|| 9 -2 -20|Ц, || -3 -111if;
|| 1213 |Ц,|| 43 2 6 |Ц,|| 4 3 -7 4 |Ц.
Ортогонализовать и нормировать систему векторов, заданных в базисе е своими координатными столбцами. Матрица Грама Г базиса е задана:
1)||13|Д ||2 4|Д Г = А19;
2)||12 0|Д ||2 0 3f, ||18 6f, Г = А387;
3)||111|Д ||4 2 1|Д ||19-8|Д Г = Л386;
4)||-3 2 1||, ||-8 5 4||, ||2 4 0||, Г = А207.
1) С помощью процесса ортогонализации доказать, что невырожденная квадратная матрица может быть разло-
жена в произведение ортогональной матрицы Q и верхней треугольной матрицы R с положительными диагональными элементами (QTZ-разложение).
Доказать единственность Q 72-разложения невырожденной матрицы.
26.46. Получить Q 72-разложение данной матрицы ча 26.45):26.46. Получить Q 72-разложение данной матрицы ча 26.45):(зада-(зада-4)4)1111-26 ’-26 ’2)2)31319-7 ’9-7 ’3)3)11113-13-12^2 -2V22^2 -2V242V242V2;5);5)111-1111-111 0331-111 0331-12 о12 о10о ;-10о ;-131-1331-131-1331-133;6);6)121212122301230132-1232-1241214121
26.46. Получить Q 72-разложение данной матрицы ча 26.45):
26.46. Получить Q 72-разложение данной матрицы ча 26.45):
(зада-
(зада-
4)
4)
1
1
1
1
-2
6 ’
-2
6 ’
2)
2)
3
1
3
1
9
-7 ’
9
-7 ’
3)
3)
1
1
1
1
3
-1
3
-1
2^2 -2V2
2^2 -2V2
4
2
V2
4
2
V2
;5)
;5)
1
1
1
-1
1
1
1
-1
1
1 0
3
3
1
-1
1
1 0
3
3
1
-1
2 о
1
2 о
1
0
о ;
-1
0
о ;
-1
3
1
-1
3
3
1
-1
3
1
-1
3
3
1
-1
3
3
;6)
;6)
1
2
1
2
1
2
1
2
2
3
0
1
2
3
0
1
3
2
-1
2
3
2
-1
2
4
1
2
1
4
1
2
1
Грама произвольного бази-Грама произвольного бази-Доказать, что матрица
Грама произвольного бази-
Грама произвольного бази-
са может быть разложена в произведение Г = RTR^ где R — верхняя треугольная матрица с положительными элементами на диагонали. (Сравнить это с задачей 25.29.)
В евклидовом пространстве известна матрица Грама базиса f. Найти матрицу перехода к ортонормированному базису, получаемому ортогонализацией f:
г =г =2525513513Г =Г =1313313 ’313 ’1Г = 231Г = 23258258314314Г =Г =4О О44О О4О 44 ОО 44 ОО 48 ОО 48 О4ОО204ОО20Объем (26.49-26.54)Доказать, что детерминант матрицы Грама системы векторов не меняется при ортогонализации этой системы (без нормировки векторов).Найти объем параллелепипеда, построенного на заданных векторах. Координатные столбцы векторов в ортонор- мированном базисе составляют матрицу:Объем (26.49-26.54)Доказать, что детерминант матрицы Грама системы векторов не меняется при ортогонализации этой системы (без нормировки векторов).Найти объем параллелепипеда, построенного на заданных векторах. Координатные столбцы векторов в ортонор- мированном базисе составляют матрицу:1) Леху при п = 4;1) Леху при п = 4;2)2)11-1011-10111-1111-13) ^395;4) Л397;.51. Найти объем3) ^395;4) Л397;.51. Найти объем5)5)^3985^3985111 ’16) А412;7) Адзб.111 ’16) А412;7) Адзб.параллелепипеда, построенного на запараллелепипеда, построенного на заданных векторах. Координатные столбцы векторов в базисе еданных векторах. Координатные столбцы векторов в базисе е
г =
г =
2
5
2
5
5
13
5
13
Г =
Г =
1
3
1
3
3
13 ’
3
13 ’
1
Г = 2
3
1
Г = 2
3
2
5
8
2
5
8
3
14
3
14
Г =
Г =
4
О О
4
4
О О
4
О 4
4 О
О 4
4 О
О 4
8 О
О 4
8 О
4
О
О
20
4
О
О
20
Объем (26.49-26.54)
Доказать, что детерминант матрицы Грама системы векторов не меняется при ортогонализации этой системы (без нормировки векторов).
Найти объем параллелепипеда, построенного на заданных векторах. Координатные столбцы векторов в ортонор- мированном базисе составляют матрицу:
Объем (26.49-26.54)
Доказать, что детерминант матрицы Грама системы векторов не меняется при ортогонализации этой системы (без нормировки векторов).
Найти объем параллелепипеда, построенного на заданных векторах. Координатные столбцы векторов в ортонор- мированном базисе составляют матрицу:
1) Леху при п = 4;
1) Леху при п = 4;
2)
2)
1
1
-1
0
1
1
-1
0
1
1
1
-1
1
1
1
-1
3) ^395;4) Л397;
.51. Найти объем
3) ^395;4) Л397;
.51. Найти объем
5)
5)
^3985
^3985
1
1
1 ’
1
6) А412;7) Адзб.
1
1
1 ’
1
6) А412;7) Адзб.
параллелепипеда, построенного на за
параллелепипеда, построенного на за
данных векторах. Координатные столбцы векторов в базисе е
данных векторах. Координатные столбцы векторов в базисе е
составляют матрицу Усоставляют матрицу У1) А = Л402, Г =1) А = Л402, Г =Матрица Грама базиса е равна Г:
составляют матрицу У
составляют матрицу У
1) А = Л402, Г =
1) А = Л402, Г =
2 10 0
12 10
0 12 1’
0 0 12
3) А = Л397, Г = Л424.3) А = Л397, Г = Л424.А = Л404, Г = Л6зо при п = 4;
3) А = Л397, Г = Л424.
3) А = Л397, Г = Л424.
Доказать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах Д, ..., Д, не превосходит произведения длин его ребер:
Г{/1, M = detr(/1, ...ЛпИ Ш\2...\и\
и равенство имеет место тогда и только тогда, когда ребра по
парно ортогональны.
Для квадратной матрицы А порядка п:
доказать неравенство Адамара
п п
|detA|2 < П(Е V-Hk| 5
к=1 г=1
выяснить условия, при которых неравенство Адамара выполнено как равенство;
выписать неравенство Адамара для матрицы Лх§. Чем объясняется такая большая разница между правой и левой частью?
1) Пусть ех, ..., еп — базис в евклидовом пространстве, и е^+1, ..., е^ — ортогональные проекции векторов e/.+i,... ..., еп на ортогональное дополнение линейной оболочки ei, ..., е^. Доказать, что V{ei, ..., е„} = V{ei, ..., efc} V{e£+1, ..., е"}-
В п-мерном евклидовом пространстве дано подпространство С, и линейно независимые векторы ах, ..., ар. Обозначим Д, .dp ортогональные проекции этих векторов на С. Доказать, что det Г (ах, ..., ар) > det Г (Д, ..., d^.
Доказать, что объем параллелепипеда V {Д, ..., ДД, построенного на векторах Д, ..., Д, не превосходит произведения объемов V{Д, ..., Д} и V{А+1, ..., f^Y
Угол между вектором и подпространством(26.55-26.58)
Пусть ж' — ортогональная проекция вектора ж на подпространство С. Доказать, что угол вектора ж и подпространства С равен углу между жиж', если жД о, и равен тг/2, если ж' = о.
Пусть х* — ортогональная проекция вектора х на подпространство £ и угол вектора х и подпространства £ равен ср. Доказать, что cosy? = |ж'|/|ж|.
Доказать, что сумма углов вектора х с подпространствами £ и £l равна тг/2. 2
В ортонормированном базисе векторы ж и Д, ..., ^ заданы их координатными столбцами £, и (pi, ..., (р^. Найти угол между вектором х и подпространством £. натянутым на х И /1, А:
£ = ||1 2 1 2|Ц, Ф1=||5 0 -4 2|Ц, ф2=||3 1 -5 0|f
t = ||l 1 3 3||Т, Ф1=||-4 4 2 3||Т, ф2=||-5 2 1 0||Т;
£ = ||2 6 2 6|fV1=||0 -1 -1 if,
Ф2=||1 0 1 -1 |f, ф3 =|| -3 1 1 0||.
Отражение (26.59—26.62)
26.59. Пусть ненулевые векторы х и а заданы их координатными столбцами ^ и а соответственно, подпространство £ определяется уравнением (а, ж) = 0. Найти образ у при отражении вектора ж в подпространстве £;1) М|1 1|Г а = 1|1<, базис ортонормированный;26.59. Пусть ненулевые векторы х и а заданы их координатными столбцами ^ и а соответственно, подпространство £ определяется уравнением (а, ж) = 0. Найти образ у при отражении вектора ж в подпространстве £;1) М|1 1|Г а = 1|1<, базис ортонормированный;2)3)4)2)3)4)t = Ci62, а = Ci7i, базис ортонормированный;^ = || 1 1 |Г, а = || 1 0 ||Т, базис с матрицей Грама Aig;t = Ci62, а = Ci7i, базис ортонормированный;^ = || 1 1 |Г, а = || 1 0 ||Т, базис с матрицей Грама Aig;Ь = ||2Ь = ||2ГрамаГрама4 ОО44 ОО4О 44 ОО 44 ОО 48 ОО 48 О2 1 — 1||Т, а = ||1 1 О 0||Т, базис с матрицей 4ОО '82 1 — 1||Т, а = ||1 1 О 0||Т, базис с матрицей 4ОО '8
26.59. Пусть ненулевые векторы х и а заданы их координатными столбцами ^ и а соответственно, подпространство £ определяется уравнением (а, ж) = 0. Найти образ у при отражении вектора ж в подпространстве £;
1) М|1 1|Г а = 1|1<, базис ортонормированный;
26.59. Пусть ненулевые векторы х и а заданы их координатными столбцами ^ и а соответственно, подпространство £ определяется уравнением (а, ж) = 0. Найти образ у при отражении вектора ж в подпространстве £;
1) М|1 1|Г а = 1|1<, базис ортонормированный;
2)
3)
4)
2)
3)
4)
t = Ci62, а = Ci7i, базис ортонормированный;
^ = || 1 1 |Г, а = || 1 0 ||Т, базис с матрицей Грама Aig;
t = Ci62, а = Ci7i, базис ортонормированный;
^ = || 1 1 |Г, а = || 1 0 ||Т, базис с матрицей Грама Aig;
Ь = ||2
Ь = ||2
Грама
Грама
4 О
О
4
4 О
О
4
О 4
4 О
О 4
4 О
О 4
8 О
О 4
8 О
2 1 — 1||Т, а = ||1 1 О 0||Т, базис с матрицей 4
О
О '
8
2 1 — 1||Т, а = ||1 1 О 0||Т, базис с матрицей 4
О
О '
8
1М =А =А =А =А =1М =А =А =А =А =
1М =
А =
А =
А =
А =
1М =
А =
А =
А =
А =
В ортонормированном базисе подпространство £ задано системой линейных уравнений с матрицей Л, а век
тор ж — координатным столбцом £ Найти образ у при отраже
нии вектора ж в подпространстве £;
1 1 1||, £ = ||1 2 3|f;
J Л "2 , ^ = 1|4 2 6|f 11111, £, = || 5 4 3 2 1 ||Т;
3=5 б! - H|7 -5 9 4f;
3 2 4 11 - ^ = 11-2 4 2 Of;
6) А =6) А =10 3 1 34 10 18 3 1110 3 1 34 10 18 3 11£ = ||8 -5 3 -1||т£ = ||8 -5 3 -1||т
6) А =
6) А =
10 3 1 3
4 10 1
8 3 11
10 3 1 3
4 10 1
8 3 11
£ = ||8 -5 3 -1||т
£ = ||8 -5 3 -1||т
При каком необходимом и достаточном условии вектор х можно перевести в вектор у с помощью отражения в (п — 1)-мерном подпространстве £Л Как найти такое подпространство, если условие выполнено?
Подобрать (п—1)-мерное подпространство С так, чтобы вектор х при отражении в нем перешел в данный вектор у. Векторы заданы в ортонормированном базисе их координатными столбцами и тр
£, = || 1 2 |Щ П=||2 1||Т; 2)^ = ci92, Л = Ci97;
3)£, = С16О, П=С182; 4)£, = С203, П=С168-
Линейные функции на евклидовом пространстве(26.63-26.74)
Найти коэффициенты линейной функции, присоединенной к данному вектору. Вектор задан координатным столбцом а в базисе с матрицей Грама Г:
а = ||1 1 1||Т, Г = Л294:2) а = ||1 1 -1||Т, Г = А308;
а = ||-2 1 0|Ц, Г = Л207-
Найти координатный столбец вектора, присоединенного к данной линейной функции. Функция задана строкой коэффициентов <р в базисе с матрицей Грама Г:
Ф=||4 0 4||, Г = Л294;2) <р = || 4 0 2 ||, Г = Л308;
<р = || 3 5 3 ||, Г = А207.
В пространстве квадратных матриц порядка п со скалярным произведением (X, У) = tr XTY найти вектор (матрицу) (7, присоединенный к функции:
1) ЦХ) = ^Х;2) № = Y^ 3) п = 4и/(Х)рав-
но элементу произведения матрицы А444 на X. расположенному в первой строке и первом столбце.
В пространстве многочленов степени ^ 3 со стандартным скалярным произведением линейная функция сопоставляет многочлену p(t) его свободный член р(0). Найти вектор (многочлен), присоединенный к этой линейной функции.
В базисе е переставлены векторы. Как изменится его биортогональный базис?
В арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением столбцы £,|, ..., Е,п составляют базис. Найти соответствующий биортогональный базис:
1)£1=||2 0||Т, £,2=||0 3|Ц;
2Щ1=||1 2|f £2=||2 1f;
^=||1 3||Т, ^=||2 5||Т;
£i=||l 1 if, ^2 =|| 1 1 0|Ц, £3=||10 0||Т
В евклидовом пространстве в базисе е с матрицей Грама Г даны координаты векторов базиса h. Найти координаты векторов биортогонального базиса h*:
1)||13|Г, ||2 5|Ц, Г = А19;
2)||1-1|Г, ||1< Г = Л32;
3)||10 0||Т, ||1 1 Of, ||1 1 if, Г = А387;
4)||0 11f, ||1 2 l|f, ||-1 1 1||Т, Г = Л385.
В пространстве многочленов степени не выше 2 со стандартным скалярным произведением найти базис, биортогональный базису 1, Г Д.
Доказать, что координаты вектора ж в базисе е можно вычислить по формулам £г = (ж, е*), г = 1, ..., п, где е* — векторы базиса, биортогонального е.
Доказать, что скалярное произведение в евклидовом пространстве можно вычислить по формуле (ж, у) =^77* + ... • • • + ^пу^ гДе ^ Ц • • •: €п координаты вектора ж в базисе е, а Ц|, ..., ц* — координаты вектора у в биортогональном базисе е*.
1) Найти матрицу перехода от базиса е к его биор- тогональному базису е*.
Используя полученный результат, доказать, что Ге* = = Г-1
Пусть S — матрица перехода от базиса е к базису f. Найти матрицу перехода от базиса е*, биортогонального е, к базису f*, биортогональному f.
§27. Унитарные пространстваОпределение
Будет ли комплексное двумерное линейное пространство унитарным, если в нем задать скалярное произведение следующей функцией от координат векторов:
1) ®1У1 + ж2у2; 2) Ж1У1 + ж2у2;
Ж1УХ + ж2у2; 4) ж^ + ж2у2 •
1) Доказать, что функция F^X, У) = trXTY может быть принята за унитарное скалярное произведение в пространстве комплексных матриц размеров тх п.
Найти длины векторов стандартного базиса и углы между ними относительно такого скалярного произведения.
Рассматривается пространство комплексных квадратных матриц порядка п, и каждой паре матриц сопоставлено число F (X, У) = tr X trK. Может ли такая функция быть принята за унитарное скалярное произведение?
Унитарной нормой матрицы называется ее длина при скалярном произведении, определенном в задаче 27.2, 1). Доказать, что унитарная норма равна квадратному корню из суммы квадратов модулей всех элементов матрицы.
Пусть е — базис в комплексном линейном пространстве £. Доказать, что в £ существует одно и только одно унитарное скалярное произведение, относительно которого базис е — ортонормированный.
Пусть в комплексном линейном пространстве заданы два унитарных скалярных произведения (ж, y)i и (ж, р^- Доказать, что для любых вещественных положительных чисел А и ц функция (ж, у) = Л (ж, y)i + /Дж, у) ^ — также унитарное скалярное произведение.
Доказать, что в унитарном пространстве равенства из задачи 25.13 выполняются не для любых пар векторов.
Пусть в комплексном линейном пространстве заданы два скалярных произведения (ж, y)i = (ж, у) 2 и любой вектор имеет одинаковые длины в каждом из них: (ж, жД = (ж, ж)2- Доказать, что скалярные произведения совпадают.
Доказать, что треугольник со сторонами х, у и z в унитарном пространстве прямоугольный, если |г| = |ж|со8(жД), и может не быть прямоугольным, если |г| = |ж|соз(5Д).
Доказать, что в унитарном пространстве из (ж, у) = О следует |ж|2 + |2/|2 = |ж + г/|2- Что можно сказать о произведении (ж, у^ если последнее равенство выполнено?
Скалярное произведение в координатах (27.10—27.25)
В комплексном арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти скалярные произведения векторов
Ц1 С IH <; 2) ||1 <, || 1 <;
||1 + 2г -1 + 2г||Т, || 2 — г 2 + г ||Г; 4) || 1 г 1||Т, ||? 1 г||Т;
||1 + г 1 + г 1 + г||Т, ||1-г1-^||Т;
С222, С223;7) С221, С215.
В задаче 27.10 для каждой пары векторов найти длину первого вектора.
Найти скалярное произведение векторов унитарно-
базисе е и матрице Гра-базисе е и матрице Гра-1)1|1<, ||2ilf, Г =1)1|1<, ||2ilf, Г =2 г—г 22 г—г 23) С40,С41, Г = Л§7 ;4) С44,3) С40,С41, Г = Л§7 ;4) С44,31 — гС40,31 — гС40,1 ’Г = Л861 ’Г = Л865) || 2 + г 0 1 + 2г |Ц, || 2 — г 1 2 + г |Ц,5) || 2 + г 0 1 + 2г |Ц, || 2 — г 1 2 + г |Ц,Г =Г =1—г01—г0г2гг2гО—г2О—г26)||116)||11||1 О 1||Т, г =||1 О 1||Т, г =2—г02—г0г2гг2го—г2о—г27) 11-17) 11-1Г =Г =111 — г1 — гоо8) lb28) lb23—г23—г20 г20 г2001 — г 03 г—г 21 — г 03 г—г 2го пространства по их координатам в ма Г этого базиса:
базисе е и матрице Гра-
базисе е и матрице Гра-
1)1|1<, ||2ilf, Г =
1)1|1<, ||2ilf, Г =
2 г
—г 2
2 г
—г 2
3) С40,С41, Г = Л§7 ;4) С44,
3) С40,С41, Г = Л§7 ;4) С44,
3
1 — г
С40,
3
1 — г
С40,
1 ’
Г = Л86
1 ’
Г = Л86
5) || 2 + г 0 1 + 2г |Ц, || 2 — г 1 2 + г |Ц,
5) || 2 + г 0 1 + 2г |Ц, || 2 — г 1 2 + г |Ц,
Г =
Г =
1
—г
0
1
—г
0
г
2
г
г
2
г
О
—г
2
О
—г
2
6)||11
6)||11
||1 О 1||Т, г =
||1 О 1||Т, г =
2
—г
0
2
—г
0
г
2
г
г
2
г
о
—г
2
о
—г
2
7) 11-1
7) 11-1
Г =
Г =
1
1
1 — г
1 — г
о
о
8) lb2
8) lb2
3
—г
2
3
—г
2
0 г
2
0 г
2
0
0
1 — г 0
3 г
—г 2
1 — г 0
3 г
—г 2
В задаче 27.12 для каждой пары векторов найти длину первого вектора.
Доказать, что эрмитова матрица Г может служить матрицей Грама в унитарном пространстве тогда и только тогда, когда для любого ненулевого столбца выполнено > 0.
Доказать, что квадратная матрица Г порядка п может служить матрицей Грама в п-мерном унитарном пространстве тогда и только тогда, когда найдется такая невырожденная матрица S, что Г = STS.
Выбрать из банка эрмитовы матрицы (за исключением вещественных симметричных) и среди них те, которые могут служить матрицами Грама в унитарном пространстве.
В матрице Грама некоторого базиса в унитарном пространстве все ненулевые элементы по модулю равны 1. Доказать, что базис ортонормированный.
В матрице Грама некоторого базиса:
ко всем элементам главной диагонали прибавили вещественное число а;
к некоторым элементам главной диагонали прибавили положительное число а;
переставили две строки;
переставили две строки, а также два столбца с теми же номерами, что и у строк.
Осталась ли матрица эрмитовой, может ли она быть матрицей Грама какого-либо базиса?
Доказать, что детерминант матрицы, составленной из попарных скалярных произведений некоторой системы векторов — вещественное неотрицательное число, равное нулю тогда и только тогда, когда эта система векторов линейно зависима.
Доказать, что для любой комплексной матрицы RgATA = Rg Л.
Выбрать из банка унитарные матрицы, не являю- щиесяК вещественными ортогональными матрицами.
Написать какую-нибудь унитарную матрицу третьего порядка.
Описать все треугольные унитарные матрицы.
Может ли унитарная матрица четвертого порядка
содержать строку:1) \\г —г г —гз) д д’ Vs V8содержать строку:1) \\г —г г —гз) д д’ Vs V8II; Ч ||^— 1 + г 1гII; Ч ||^— 1 + г 1гV8 V8V8 V8О ОО О^11^^11^
содержать строку:
1) \\г —г г —г
з) д д
’ Vs V8
содержать строку:
1) \\г —г г —г
з) д д
’ Vs V8
II; Ч ||^
— 1 + г 1г
II; Ч ||^
— 1 + г 1г
V8 V8
V8 V8
О О
О О
^11^
^11^
Пусть А и В — вещественные квадратные матрицы порядка п. Из них можно составить комплексную матрицу С = = А + гВ и вещественную матрицу порядка 2п
D =D =А\—ВВ АА\—ВВ А□□
D =
D =
А\—В
В А
А\—В
В А
□
□
Доказать, что:
С эрмитова тогда и только тогда, когда D симметрична;
С унитарна тогда и только тогда, когда D ортогональна.
Ортогональность
В комплексном арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти базис в ортогональном дополнении подпространства, заданного системой линейных уравнений: 1) ад + гад = 0;
ад + гх^ + (1 — г)ад = 0; —гад + (2 + г)ад — ад = 0;
однородная система с матрицей Л377;
однородная система с матрицей Лзб§;
однородная система с матрицей Л372.
В комплексном арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти базис в ортогональном дополнении подпространства, натянутого на следующие векторы:
||1 if-, 2) ||-г 1 1 + <;3) ||1 -г lf,||i 1 0||Т;
столбцы матрицы Л372;5) столбцы матрицы Л368.
При помощи процесса ортогонализации построить ортонормированный базис в линейной оболочке заданных векторов комплексного арифметического пространства со стандартным скалярным произведением:
1)НМГ ||1<;2)||2-г<, ||4-г2-3<;
3)||1 г 1||Д ||2-г г-1 2||Т;
4)||1*С «Г 11-1 о
|| 1 + » 2 +г 1 — г |Ц, ||-2 4 + г 1 — г |Ц, || 1 2 + г 2 — г |Ц.
В комплексном арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти ортогональную проекцию вектора х на линейную оболочку векторов ai, ..., а^:
= Ц1 -с М11-1Ц;
ж = || 2 + г 0 2 — г ||Т, а = ||-1 г 1 + г f-
х = || 2 + г г 2 — if, ai = || 1 г 1 ||Т, а^ = || г 0 —г ||Т;
ж = ||1 + г 1 + г 1||Т, oi=||-l г 1 ||Т,
а2 = || 1 + г 1 — i 0 ||Т;
Ж = С1зо, «1 = С134,«2 = С132-
Глава 11
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВЫХИ УНИТАРНЫХ ПРОСТРАНСТВ
В этой главе используются следующие основные понятия: преобразование, сопряженное данному линейному преобразованию, самосопряженное преобразование, ортогональное преобразование, нормальное преобразование, унитарное преобразование, полярное разложение линейного преобразования, сингулярные числа преобразования, сингулярные базисы преобразования.
Определения ортогонального проектирования и ортогонального отражения даны во введении к гл. 10. Везде, где не оговорено противное, отражение и проектирование будут предполагаться ортогональными .
Преобразование р* называется сопряженным линейному преобразованию р, если для любых векторов х и у выполнено равенство (р(х), у) = (ж, р*(у)). У каждого преобразования существует единственное сопряженное преобразование. Его матрица в базисе е определяется по матрице А преобразования р формулой А* = Г1 ЛТГ, если пространство евклидово, и формулой А* = Г1 ЛТГ в унитарном пространстве. Г здесь обозначает матрицу Грама выбранного базиса. Если базис ортонормированный, эти формулы принимают, соответственно, вид А* = АТ и А* = Ат.
Линейное преобразование р как в евклидовом, так и в унитарном пространстве называется самосопряженным, если р = р*. В ортонормированном базисе его матрица симметрична в случае евклидова пространства и эрмитова в случае унитарного. Все корни характеристического уравнения самосопряженного преобразования вещественны, и существует ортонормированный базис из его собственных векторов.
Самосопряженное преобразование р называется положительным (неотрицательным), если (р(х),х)>0 (соответственно ^ 0) для любого ненулевого вектора х.
Линейное преобразование р евклидова пространства называется ортогональным, если оно сохраняет скалярное произведение: (р(х), р(у)) = (х, у). В унитарном пространстве преобразования, сохраняющие скалярное произведение, называются унитарными. В ортонормированном базисе матрица ортогонального преобразования является ортогональной, а унитарного преобразования — унитарной. Сопряженное для ортогонального или унитарного преобразования является ему обратным.
Если р — ортогональное преобразование, то найдется ортонор- мированный базис, в котором его матрица имеет следующий вид: на ее главной диагонали расположены либо числа +1 и — 1, либо подматрицы второго порядка, а остальные элементы матрицы равны нулю. При этом подматрицы второго порядка имеют вид
cos а — sin а sin а cos а ’
то есть, являются матрицами поворота плоскости в ортонормирован- ном базисе. Базис, в котором матрица ортогонального преобразования имеет описанный выше вид, называется каноническим базисом.
Линейное преобразование, перестановочное со своим сопряженным, называется нормальным. Соответственно, матрица А называется нормальной, если Ан А = ААН. Самосопряженные и унитарные преобразования являются нормальными. Если ср — нормальное преобразование унитарного пространства, то существует ортонормированный базис из собственных векторов р. В частности, это относится к унитарным преобразованиям. Для евклидова пространства аналогичное утверждение не верно. Например, у ортогонального преобразования в общем случае базиса из собственных векторов нет.
Линейное преобразование р евклидова пространства может быть разложено в произведение 6ф, где 6 — ортогональное, а ^ — неотрицательное самосопряженное преобразование. Такое разложение р называется полярным разложением. Собственные значения преобразования ф носят название сингулярных чисел преобразования р. Ортонормированный базис из собственных векторов ф и его образ при преобразовании 6 — это сингулярные базисы преобразования ср.
В некоторых задачах решение не единственно, например, искомый базис определен не однозначно. В таких случаях приводится один из возможных ответов.
В § 28 и § 29 пространство предполагается евклидовым, а в § 30 — унитарным.
Примеры линейных преобразований евклидовапространства. Сопряженное преобразование
Примеры (28.1-28.9)
Пусть ai, ..., ар — ортонормированный базис в подпространстве Г С £. Координатные столбцы этих векторов в ортонормированном базисе е пространства £ составляют матрицу А. Написать в базисе е матрицу
ортогонального проектирования на пространство L\
матрицу отражения в подпространстве L.
Пусть ai, а^ — базис в подпространстве С С 8. Координатные столбцы этих векторов в ортонормированном базисе е пространства 8 составляют матрицу Л. Написать в базисе е матрицу:
ортогонального проектирования на подпространство 22;
матрицу отражения в подпространстве С.
Пусть ai, ..., ар — базис в подпространстве С С 8. Координатные столбцы этих векторов в базисе е пространства 8 составляют матрицу Л. Дана матрица Грама Г базиса е. Написать в базисе е матрицу:
ортогонального проектирования на подпространство 22;
матрицу отражения в подпространстве 22.
1) Дан вектор а^ и подпространство 22 С 8 задано уравнением (а, ж) = 0. Найти образ вектора х при отражении в 22 и выразить матрицу этого преобразования через координатный столбец а вектора а в ортонормированном базисе.
Пусть даны вектор х и вектор у длины 1. Найти (п — 1)-
мерное подпространство, при отражении в котором х переходит в вектор Ху (Л > 0). Чему равно Л?
базисе:м£ =£ =Е,=базисе:м£ =£ =Е,=Найти матрицу отражения в (n — 1)-мерном подпространстве, переводящего вектор х в вектор у. Векторы заданы своими координатными столбцами ^ и г) в ортонормированном
базисе:
м
£ =
£ =
Е,=
базисе:
м
£ =
£ =
Е,=
12|Г- П = ||2<;
-1 2|Т, л=| 1 -2||Т;
1 1 1 Г, л = 11 -1 1 т;
2 1 -2 | Т, г) = | 0 3 0
1 0 2 1 |Т, л = | 2 -1 1 0 ||Т
Выяснить геометрический смысл преобразования, заданного в ортонормированном базисе матрицей:
(1/2)Л468; 2) (1/3)Л202; 3) (1/18) Л350; 4) Л430; 5) Л431.
Рассматривается четырехмерное евклидово пространство и ортонормированный базис е в нем. Во всех случаях
поворот производится в направлении от первого из указанных векторов ко второму. Написать матрицу:
поворота на тг/2 в линейной оболочке 22 векторов е2 + е3 и ex — е4 (векторы 22неподвижны);
поворота на тг/4 в линейной оболочке 22 векторов ei + е4 и е2 — е3 (векторы 22неподвижны);
поворота на тг/6 в линейной оболочке L векторов ei — е^ и ез — 64 (векторы £Л неподвижны);
поворота на тг/4 в линейной оболочке L векторов ei + е^ и 63 + 64 и на тг/4 в линейной оболочке L векторов 63 — 64 и 61 — 62
Пусть Д, ..., /т и gi, ..., дт — две системы векторов в n-мерном евклидовом пространстве. Их координатные столбцы в ортонормированном базисе составляют, соответственно, матрицы F и G. Найти матрицу преобразования
т
=52 (®> /м-
В подпространствах Л, В С £ выбраны ортонормиро- ванные базисы ai, ... ^ a^nbi^ ... ^ Ьт. Вектор х Е А проектируется на 8, а затем полученная проекция проектируется на А. Этим определено преобразование подпространства А. Найти его матрицу в базисе сц^ ...^ а^. Доказать, что собственные значения этого преобразования принадлежат отрезку [0, 1].
Сопряженное преобразование (28.10-28.37)
Пусть для некоторого преобразования ф евклидова пространства нашлось преобразование ф* такое, что (ф(х^ У) = = (ж, Г*(у)) Для любых векторов х и у. Доказать, что оба преобразования являются линейными.
Найти преобразование, сопряженное произвольному преобразованию ф одномерного евклидова пространства.
Найти преобразование, сопряженное преобразованию из задачи 28.8.
Доказать, что два преобразования перестановочны тогда и только тогда, когда перестановочны их сопряженные преобразования.
Пусть преобразование ф нильпотентно. Доказать, что его сопряженное преобразование также нильпотентно с тем же показателем нильпотентности.
Доказать, что для двух преобразований ф и ^ произведение ф*^ = о тогда и только тогда, когда Im(/7 ортогонально Im^.
Пусть ф — поворот плоскости на угол а. Найти сопряженное преобразование ф*.
Пусть а— фиксированный вектор трехмерного геометрического пространства. Преобразование <р сопоставляет каждому вектору ж векторное произведение [а, ж]. Найти (р*.
В арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением преобразование ср переводит векторы ai^ а^ аз соответственно в векторы b-^ Ь^ Ьз. Найти матрицу сопряженного преобразования (р*:
ttl = C99, «2 = С52, аз = С515 61 = Сцо, 62 = С89, Ьз = с64;
2)ai = ci42, ft2 = C66, аз = С144; bi = с§з, 62 = 0139, Ьз = = спи;
ai = С57, а^ = С77, аз = 054; by = С145, 62 = сци, Ьз = С67.
Дана матрица А преобразования ср в базисе е с матрицей Грама Г. Найти матрицу сопряженного преобразования (р*:
1)Л = Л50, Г = Л19;2)Л = Л16, Г = Лю4;
3)Л = Л2о, Г = Лц)4;4)Л = Л2бо, Г = Л178;
5)Л = Л199, Г = Л17б;6)Л = Л261, Г = Л17б;
7)Л = Л259, Г = Л177;8)A = A26o, Г = Л179;
9) А = ^269, Г = Л秧.
В трехмерном арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти преобразование, сопряженное проектированию на прямую х = 2р = Зг параллельно плоскости г = 0.
В пространстве Р2 многочленов степени не выше 2 со стандартным скалярным произведением преобразование 5 сопоставляет многочлену его производную. Найти сопряженное преобразование 5*. Написать матрицу 5*:
в базисе 1, t^ f2,2) в базисе 1, t^ (3t2 — 1)/2.
В пространстве Р2 многочленов степени не выше 2 со скалярным произведением, определенным в задаче 25.8, 3), преобразование 5 сопоставляет многочлену его производную. Найти сопряженное преобразование 5*. Написать матрицу 5*:
в базисе 1, t^ t2.2) в базисе 1, t^ (3t2 — 1)/2.
Пусть А — квадратная матрица порядка п. Любой квадратной матрице X того же порядка сопоставляется матрица ср(Х) = АХ. Этим определено линейное преобразование пространства квадратных матриц со стандартным скалярным произведением. Найти его сопряженное преобразование ср*.
Пусть А — невырожденная квадратная матрица порядка п. Любой квадратной матрице X того же порядка сопо-
ставляется матрица р (X) = А^ХА. Этим определено линейное преобразование пространства квадратных матриц со стандартным скалярным произведением. Найти его сопряженное преобразование р*.
Доказать следующие свойства операции перехода к сопряженному преобразованию в евклидовом пространстве:
(^ + < = 2) НУ = Г ^; 3) НГ =
Если р имеет обратное, то р* также обратимо, и
Доказать, что у сопряженных друг другу преобразований евклидова пространства совпадают: 1) ранги, 2) характеристические многочлены, 3) собственные значения, 4) размерности собственных подпространств.
Пусть преобразование р диагонализуемо. Доказать, что р* также диагонализуемо.
Пусть е — базис из собственных векторов преобразования р. Доказать, что его биортогональный базис е* состоит из собственных векторов сопряженного преобразования р*.
Пусть преобразование р в базисе е имеет матрицу А. Доказать, что р* в биортогональном базисе е* имеет матрицу АТ.
1) Доказать, что множество значений линейного преобразования р совпадает с ортогональным дополнением ядра сопряженного преобразования р*.
Убедиться, что утверждение 1) равносильно теореме Фредгольма для систем линейных уравнений.
Найти множество значений преобразования 5* из задачи 28.21 и непосредственно проверить, что оно совпадает с ортогональным дополнением ядра р.
Найти ядро преобразования р из задачи 28.17 и непосредственно проверить, что оно совпадает с ортогональным дополнением множества значений р*.
1) Пусть Ai и Л2 — различные собственные значения преобразования р евклидова пространства. Доказать, что Ker(<p — Л]Д С Im((/7 — A2t).
Верно ли такое утверждение для преобразования линейного пространства?
1) Пусть подпространство Г С 8 инвариантно относительно преобразования р. Доказать, что £Л инвариантно относительно р*.
Пусть преобразование р> имеет вещественное характеристическое число. Доказать, что у него есть (п — 1)-мерное инвариантное подпространство. Верно ли обратное утверждение?
Пусть все корни характеристического многочлена преобразования ср вещественны. Доказать, что найдется такой ор- тонормированный базис, в котором матрица преобразования верхняя треугольная.
.35. Преобразование р) задано в ортонормированном ба.35. Преобразование р) задано в ортонормированном базисе матрицей А. Найти ортонормированный базис, в которомзисе матрицей А. Найти ортонормированный базис, в которомего матрица А’ верхняя треугольная, и написать матрицу А':его матрица А’ верхняя треугольная, и написать матрицу А':А =А =31 -1022;-1 -1 131 -1022;-1 -1 1Л = Л22х;3) А = А292;Л = Л22х;3) А = А292;
.35. Преобразование р) задано в ортонормированном ба
.35. Преобразование р) задано в ортонормированном ба
зисе матрицей А. Найти ортонормированный базис, в котором
зисе матрицей А. Найти ортонормированный базис, в котором
его матрица А’ верхняя треугольная, и написать матрицу А':
его матрица А’ верхняя треугольная, и написать матрицу А':
А =
А =
31 -1
022;
-1 -1 1
31 -1
022;
-1 -1 1
Л = Л22х;3) А = А292;
Л = Л22х;3) А = А292;
Л = Л290;5) Л = Л261.
Пусть р) — линейное преобразование евклидова пространства. Доказать, что корневые подпространства ^ и (^*, принадлежащие неравным собственным значениям, орто
гональны.
Пусть р) — линейное преобразование евклидова пространства. Как связаны жордановы формы преобразований р) и (^*?
§ 29. Самосопряженные и ортогональныепреобразования
Самосопряженные преобразования (29.1—29.37)
Может ли матрица самосопряженного преобразования в каком бы то ни было базисе быть:
не симметричной; 2) кососимметричной.
Доказать, что матрица А является матрицей самосопряженного преобразования в базисе е тогда и только тогда, когда матрица ГеЛ симметрична.
Доказать, что все собственные значения самосопряженного преобразования равны нулю тогда и только тогда, когда это — нулевое преобразование.
Найти все самосопряженные нильпотентные преобразования.
Найти все самосопряженные ортогональные преобразования.
Найти все самосопряженные идемпотентные преобразования.
Пусть <р — самосопряженное преобразование пространства £. Доказать, что:
Е — прямая сумма подпространств Im 99 и Кег^, и эти подпространства ортогональны;
в Im^ существует базис из собственных векторов 99, соответствующих ненулевым собственным значениям.
Преобразование у задано в ортонормированном базисе матрицей Л452. Найдите какой-нибудь ортонормированный базис, векторы которого лежат в Im 99 и Кег^, и матрицу преобразования в этом базисе.
Сколько существует ортонормированных базисов из собственных векторов данного самосопряженного преобразования, если оно:
не имеет кратных характеристических чисел;
имеет кратные характеристические числа?
Может ли самосопряженное преобразование иметь базис из собственных векторов:
не ортонормированный; 2) не ортогональный.
Пусть в пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов преобразования ср. Доказать, что преобразование ср — самосопряженное.
Пусть Ai, ..., Хп — собственные значения, a ei, ... ..., еп — ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного преобразования ср (е^ принадлежит Х^. Найти <р (х) для произвольного вектора х.
Доказать, что матрица А может быть матрицей самосопряженного преобразования 99 в некотором базисе тогда и только тогда, когда найдется такая невырожденная матрица S, что S-1AS диагональная матрица.
Может ли самосопряженное преобразование в каком бы то ни было базисе иметь матрицу:
Л55,2) Л5о, 3) Л26,4) Л49.
Пусть £ = £1ф£2- Доказать, что проектирование на Ci параллельно С^ является самосопряженным преобразованием тогда и только тогда, когда £2 = £i-
Пусть преобразования у и ^ — самосопряженные. Доказать, что самосопряженными будут также преобразования:
1) окр + З'Ф ПРИ любых а, 3 ^ Ж 2) (рф +
ср-1 для невырожденного ср.
Доказать, что произведение самосопряженных преобразований является самосопряженным тогда и только тогда, когда они перестановочны.
Доказать, что в каждом инвариантном подпространстве самосопряженного преобразования найдется ортонормированный базис из собственных векторов этого преобразования.
Найти матрицу перехода к ортонормированному базису из собственных векторов преобразования у и матрицу преобразования в этом базисе, если у задано в ортонормирован- ном базисе матрицей: 1) Л59; 2) Л12; 3) Л28; 4) Л47; 5) Л200; 6) Л203; 7) Л350; 8) Л280; 9) Л294; Ю) Л288; 11) ^434; 12) Л456; 13) Л468; 14) Л484; 15) Л174; 16) Л175.
Преобразование р) арифметического пространства со стандартным скалярным произведением задано матрицей Лб27- Найти собственные значения и ортонормированный базис из собственных векторов этого преобразования.
Доказать, что для самосопряженного преобразования размерность собственного подпространства, соответствующего собственному значению А, равна кратности А как корня характеристического многочлена.
Доказать, что два самосопряженных преобразования перестановочны тогда и только тогда, когда имеют общий ортонормированный базис из собственных векторов.
Для двух самосопряженных преобразований, заданных в ортонормированном базисе матрицами:
найти матрицу перехода к общему ортонормированному базису из собственных векторов и матрицы преобразований в этом базисе.
Доказать, что любое самосопряженное преобразование ранга г можно разложить в сумму г самосопряженных преобразований ранга 1.
Доказать, что любое самосопряженное преобразование можно разложить в линейную комбинацию ортогональ-
ных проектирований на попарно ортогональные одномерные подпространства.
Самосопряженное преобразование р задано в орто- нормированном базисе матрицей А. Разложить р в линейную комбинацию ортогональных проектирований на попарно ортогональные подпространства:
1) Л = Л174; 2) Л = Л175; 3) Л = Л294-
Доказать, что самосопряженные преобразования р и ф) равны тогда и только тогда, когда (у? (ж), ж) = фф (ж), ж) для любого ж G 8.
Доказать, что самосопряженное преобразование у положительно (неотрицательно) тогда и только тогда, когда все его собственные значения положительны (соответственно неотрицательны).
Доказать, что положительное самосопряженное преобразование может быть разложено на произведение п сжатий по попарно ортогональным направлениям.
Разложить в произведение трех сжатий по попарно ортогональным направлениям (иначе — к трем попарно ортогональным плоскостям) преобразования, заданные в ортонор- мированном базисе матрицами 1) Л174; 2) Л175.
Доказать, что неотрицательное самосопряженное преобразование имеет обратное тогда и только тогда, когда оно положительно.
1) Доказать, что для неотрицательного самосопряженного преобразования у найдется неотрицательное самосопряженное преобразование тф такое, что фР = р. Необходима ли неотрицательность у??
Доказать, что преобразование ф) однозначно определено.
Преобразование р задано в ортонормированном базисе своей матрицей. Найти матрицу положительного самосопряженного преобразования ф) такого, что ф2 = р\
1) Л = Л47:1) Л = Л47:2) Л =2) Л =5/2 3/23/2 5/2 ;5/2 3/23/2 5/2 ;3) л =3) л =19 3 33 19 33 3 1919 3 33 19 33 3 19
1) Л = Л47:
1) Л = Л47:
2) Л =
2) Л =
5/2 3/2
3/2 5/2 ;
5/2 3/2
3/2 5/2 ;
3) л =
3) л =
19 3 3
3 19 3
3 3 19
19 3 3
3 19 3
3 3 19
Пусть собственные значения самосопряженного преобразования р пронумерованы так, что Ai > А2 > ... > Аи.
Доказать, что
AiAi= шахО^жЕб= шахО^жЕб(У>(х), х)И2(У>(х), х)И2minО^жЕбminО^жЕб(^(х), х)И2(^(х), х)И2
Ai
Ai
= шах
О^жЕб
= шах
О^жЕб
(У>(х), х)
И2
(У>(х), х)
И2
min
О^жЕб
min
О^жЕб
(^(х), х)
И2
(^(х), х)
И2
Доказать, что (у>(х^ ж)/|ж|2 = Ai (или Ап), тогда и только тогда, когда х — собственный вектор, принадлежащий Ai (соответственно Ап).
Доказать, что диагональные элементы симметрической матрицы заключены между ее минимальным и максимальным характеристическими числами.
Пусть А — симметрическая матрица, Ai и Хп — ее максимальное и минимальное характеристические числа, а Ц1 и Рк — максимальное и минимальное характеристические числа ее диагональной подматрицы1). Доказать, что Ai > цх > р^ ^
Ап*
Пусть ср линейное преобразование евклидова пространства. Доказать, что:
преобразования ip*ip и срср* — неотрицательные самосопряженные.
Кегср*(р = Кег^ и Im^*^ = Im у?*.
Rgy*y = Rg = Rgy-
собственные значения и их кратности у преобразований <р*<р и р)ф* совпадают.
Ортогональные преобразования (29.38—29.51)
Пусть преобразование ср изометрично^ т.е. (у? (ж), у? (ру^ = (ж, у) для любых векторов ж и у. Доказать, что ср линейно и взаимно однозначно.
Доказать, что ортогональные преобразования евклидова пространства 8 образуют группу относительно обычной операции умножения преобразований.
1) Убедиться, что сумма ортогональных преобразований в общем случае не является ортогональным преобразованием.
Является ли ортогональным преобразованием произведение ортогонального преобразования на число?
Доказать, что для любых двух векторов одинаковой длины найдется ортогональное преобразование, переводящее первый вектор во второй.
Доказать, что для любых двух ортонормированных базисов найдется ортогональное преобразование, переводящее первый базис во второй.
’) Подматрица диагональна, если ее главная диагональ — подмножество главной диагонали матрицы
Доказать, что преобразование из задачи 28.23 является ортогональным тогда и только тогда, когда матрица А ортогональна.
В евклидовом пространстве выбран базис с матрицей Грама Г. Найти условие на матрицу линейного преобразования, необходимое и достаточное для того, чтобы это преобразование было ортогональным.
Может ли ортогональное преобразование в некотором базисе иметь матрицу: 1) Л16, 2) Л34?
Ортогональное преобразование арифметического пространства со стандартным скалярным произведением переводит столбцы матрицы А в столбцы В. Как связаны матрицы А и В?
Линейное преобразование ср арифметического пространства со стандартным скалярным произведением переводит столбцы матрицы А в столбцы матрицы В. Является ли ср
ортогональным:
1) А =
4 2
7 1
1
1
В =
3
8 2
1 -1
;2) Л = Л44, В = Л34;
010
3) А =
0 -
-1
-6 ,
В =
1 -1 -3 ;
-1
1
0
-1 -1 -6
4) А = Л332,
В
= ^339?
Пусть Ж1, ..., х^ и у\. ..., у^ — векторы п-мерного евклидова пространства, и ортогональное преобразование ср таково, что (р ($г) = Уг^ i = 1, • • •, к. Доказать, что это возможно
тогда и только тогда, когда матрицы из попарных скалярных произведений обеих систем векторов равны.
Пусть £ — инвариантное подпространство ортогонального преобразования ср. Доказать, что £Л — также инвариантно относительно р). Как этот результат связан с задачей 25.55?
базисе:базисе:Ортогональное преобразование задано в ортонор- мированном базисе матрицей А. Найти матрицу S перехода к каноническому базису и матрицу А’ преобразования в этом
базисе:
базисе:
1 11 -1 ’1 11 -1 ’2>|2>|-1 -з -V6
1 1
1 -1 ’
1 1
1 -1 ’
2>|
2>|
-з -1 V6
Дб -Дб 2
00000-1
1 0 0 0 0 о
0 1 0 0 0 о
0 0 1 0 0 о
0 0 0 1 0 о
0 0 0 0 1 о
Доказать, что преобразование р*р ортогонально тогда и только тогда, когда ортогонально р.
Полярное разложение
Почему не является полярным разложением равен
ствоство5 04 55 04 50 11 00 11 04 55 04 55 029.53. Получить полярное разложение матрицы:29.53. Получить полярное разложение матрицы:1)5)1)5)11 10-2 50 04 -3 ’11 10-2 50 04 -3 ’2)6)2)6)5 0 4 3 ’V2 10 V25 0 4 3 ’V2 10 V2V3 -2о VsV3 -2о Vs4)4)7 71 17 71 1
ство
ство
5 0
4 5
5 0
4 5
0 1
1 0
0 1
1 0
4 5
5 0
4 5
5 0
29.53. Получить полярное разложение матрицы:
29.53. Получить полярное разложение матрицы:
1)
5)
1)
5)
11 10
-2 5
0 0
4 -3 ’
11 10
-2 5
0 0
4 -3 ’
2)
6)
2)
6)
5 0 4 3 ’
V2 10 V2
5 0 4 3 ’
V2 10 V2
V3 -2о Vs
V3 -2о Vs
4)
4)
7 7
1 1
7 7
1 1
В пространстве Р2 многочленов степени не выше 2 со стандартным скалярным произведением преобразование 5 сопоставляет многочлену его производную. Для полярного разложения 5 написать в базисе 1, t. t2 матрицу Q ортогонального и матрицу V самосопряженного преобразования.
Доказать, что для произвольного линейного преобразования р существует вторая форма полярного разложения: р = ф6^ где ф — неотрицательное самосопряженное преобразование, а 6 — ортогональное.
Доказать, что для квадратной матрицы А найдутся такие ортогональные матрицы Q и Р, что А = QDP, где D — диагональная матрица с сингулярными числами матрицы А на
диагонали.
1) Доказать, что каково бы ни было полярное разложение р = бф^ ортогональное преобразование 6 переводит собственный вектор преобразования ср* ср в собственный вектор рр*.
Доказать, что второй сингулярный базис состоит из собственных векторов преобразования рр*.
Пусть р — невырожденное преобразование, и р = 6ф = ф161^ где ф^ ф1 неотрицательные самосопряженные, а 0, 61 — ортогональные преобразования.
Доказать, что 6 = бу. 2) Как связаны ф) и ^i?
Доказать, что собственные значения ф) и ^у одинаковы, а собственные векторы, вообще говоря, различны.
Доказать, что неотрицательное самосопряженное преобразование ф) в полярном разложении ср = вф) определено однозначно.
Доказать, что для невырожденного преобразования полярное разложение единственно.
Доказать, что линейное преобразование является нормальным тогда и только тогда, когда перестановочны сомножители в его полярном разложении.
Доказать, что сингулярные числа самосопряженного преобразования равны модулям его собственных значений.
Найти сингулярные числа ортогональной матрицы.
Пусть ау^ ... ^ ап — сингулярные числа невырожденной матрицы А. Найти сингулярные числа А-1.
Матрица умножена на число а. Как изменились ее сингулярные числа?
Доказать, что у преобразования у и ему сопряженного ср* сингулярные числа совпадают.
Доказать, что сингулярные числа матриц Ан В совпадают тогда и только тогда, когда найдутся ортогональные матрицы U и V такие, что В = UAV.
Доказать, что для линейного преобразования ср отношение |у?(ж)|/|ж| при любом ненулевом векторе х заключено между минимальным и максимальным сингулярным числом ср.
Доказать, что модули всех собственных значений преобразования ср принадлежат отрезку \ап^ ад], где ау и аи — его наибольшее и наименьшее сингулярные числа.
Доказать, что для квадратной матрицы А произведение сингулярных чисел равно | det А |.
29.71. Найти сингулярные числа следующих матриц:29.71. Найти сингулярные числа следующих матриц:1) ^202,1) ^202,2) ^239,2) ^239,3) ^213,3) ^213,4)4)6-6312242-46-6312242-45) Л646.5) Л646.
29.71. Найти сингулярные числа следующих матриц:
29.71. Найти сингулярные числа следующих матриц:
1) ^202,
1) ^202,
2) ^239,
2) ^239,
3) ^213,
3) ^213,
4)
4)
6-63
122
42-4
6-63
122
42-4
5) Л646.
5) Л646.
Линейные преобразования унитарногопространства
Примеры преобразований. Сопряженноепреобразование (30.1—30.12)
Пусть ai, ..., ар — базис в подпространстве СсЫ. Координатные столбцы этих векторов в ортонормированном базисе е пространства IX составляют матрицу А. Написать в базисе е:
матрицу Р ортогонального проектирования на подпространство £.
матрицу Q отражения в подпространстве £.
Пусть СсЫ линейная оболочка векторов ар и ар В ортонормированном базисе е пространства IX даны координатные столбцы этих векторов. Написать в базисе е матрицу Р ортогонального проектирования на подпространство £ и матрицу Q отражения в подпространстве £:
||1 г 1 + г|Г, ||г 1 1-<;2)||г г <, ||2г 0 3||Т;
|| г 1 1 г||Т, || 2г 0 3 г||Т
Дан вектор а, и подпространство £ С1Х задано уравнением (а, ж) = 0. Найти образ вектора ж при отражении в £, и выразить матрицу этого преобразования через координатный столбец а вектора а в ортонормированном базисе.
В ортонормированном базисе дан координатный столбец а вектора а. Пусть у — отражение в подпространстве £ С1Х^ заданном уравнением (а, ж) = 0. Выразить матрицу преобразования р) через а, если:
а = || 3 — 1 2г ||Г; 2)a = Ci53; 3)а = сш; 4)а = с215
Доказать, что в унитарном пространстве операция перехода к сопряженному преобразованию обладает следующими свойствами:
^ + ^y = ^ + YY 2) ^Y = <^\ з)
если ср имеет обратное, то ср* также имеет обратное, и (уД-1 = (<Щ)*.
В ортонормированном базисе дана матрица линейного преобразования унитарного пространства. Найти матрицу сопряженного преобразования: 1) Л§§; 2) Л юз; 3) Люо-
Пусть А — матрица линейного преобразования в базисе с матрицей Грама Г. Найти матрицу сопряженного преобразования:
Л = Лд2, Г = Л§7; 2) Л = Лд7, Г = Л§6;
Л = Л375, Г = Л388.
.8. 1) Пусть вектор х является собственным для преобразования ср с собственным значением А и собственным для ср* с собственным значением ц. Доказать, что А = ц.
Доказать, что преобразование у?*, сопряженное преобразованию ср с собственными значениями Ai, ..., Ап, имеет собственные значения Ai, ..., Хп.
Пусть подпространство С инвариантно относительно преобразования ср. Доказать, что £Л инвариантно относительно сопряженного преобразования ср*.
1) Доказать, что множество значений линейного преобразования у унитарного пространства совпадает с ортогональным дополнением ядра сопряженного преобразования ср*.
Доказать, что теорема Фредгольма для комплексных систем линейных уравнений верна также и в следующей формулировке: система Лх = b совместна тогда и только тогда, когда
—т
каждое решение системы линейных уравнений Л у = о удовлетворяет равенству утЬ = 0.
1) Доказать, что у каждого линейного преобразования унитарного пространства есть (п — 1)-мерное инвариантное подпространство. Верно ли это утверждение для комплексных линейных пространств?
Доказать, что для каждого линейного преобразования унитарного пространства найдется такой ортонормированный базис, в котором матрица преобразования верхняя треугольная.
В ортонормированном базисе дана матрица А линейного преобразования ср. Найти матрицу S перехода к орто- нормированному базису, в котором у имеет треугольную мат-
рицу Л', и написать матрицу Л':
г 1 — г 0— 11 + г — 1г
1) Л = 0 10;2) А = 1 + г 11 + г
2 1+г 2—г1-г 1-г1
г г —г
3) Л = г 10 .
1 1 + г —г
Нормальные преобразования (30.13—30.24)
Найти условие на матрицу преобразования р> в ор- тонормированном базисе, необходимое и достаточное для того, чтобы ср было нормальным.
Для нормального преобразования р) пространства U доказать, что:
Кег^ = Кегу?*; 2) Im99 = Im 99*;3) U = Ker 99 фIm99.
Доказать, что преобразование 99 нормально тогда и только тогда, когда каждый собственный вектор для 99 является собственным и для 99*.
Пусть С — собственное подпространство нормального преобразования 99. Доказать, что £Л инвариантно относительно 99.
Пусть х и у — собственные векторы нормального преобразования 99, принадлежащие различным собственным значениям. Доказать, что х и у ортогональны.
Пусть р) — нормальное преобразование унитарного пространства U. Доказать, что
U — прямая сумма попарно ортогональных собственных подпространств пребразования 99.
В U существует ортонормированный базис из собственных векторов 99.
Пусть у преобразования существует ортонормированный базис из собственных векторов. Доказать, что оно яв
ляется нормальным.
Доказать, что произведение нормальных преобразований является нормальным, если они перестановочны. Верно ли обратное утверждение?
Доказать, что преобразование 99 унитарного про
странства является нормальным тогда и только тогда, когда для любого инвариантного подпространства С подпространство £Л также инвариантно.
30.22. Нормальное преобразование задано в ортонормиро-30.22. Нормальное преобразование задано в ортонормиро-ванном базисе матрицей Л. Найти матрицу S перехода к орто- нормированному базису из собственных векторов и матрицу А'ванном базисе матрицей Л. Найти матрицу S перехода к орто- нормированному базису из собственных векторов и матрицу А'преобразования в этом базисе:преобразования в этом базисе:1М =1М =2г2гг2 ’г2 ’2) А = О2) А = ОО ОО ООО3 -43 -4-34О-34О3 — г3 — гЗЩ=| 2 гЗЩ=| 2 гОО2г О3 2г2г 3 + г2г О3 2г2г 3 + г
30.22. Нормальное преобразование задано в ортонормиро-
30.22. Нормальное преобразование задано в ортонормиро-
ванном базисе матрицей Л. Найти матрицу S перехода к орто- нормированному базису из собственных векторов и матрицу А'
ванном базисе матрицей Л. Найти матрицу S перехода к орто- нормированному базису из собственных векторов и матрицу А'
преобразования в этом базисе:
преобразования в этом базисе:
1М =
1М =
2
г
2
г
г
2 ’
г
2 ’
2) А = О
2) А = О
О О
О О
О
О
3 -4
3 -4
-3
4
О
-3
4
О
3 — г
3 — г
ЗЩ=| 2 г
ЗЩ=| 2 г
О
О
2г О
3 2г
2г 3 + г
2г О
3 2г
2г 3 + г
Пусть преобразования р и ф — нормальные, и р)ф = = о. Следует ли отсюда, что фр = о?
Доказать, что:
для любой комплексной матрицы сумма квадратов модулей всех элементов не меньше суммы квадратов модулей всех собственных значений (каждое из которых считается столько раз, какова его кратность);
для нормальной матрицы упомянутые в первом пункте суммы равны.
Самосопряженные и унитарные преобразования(30.25-30.44)
Пусть преобразования р и ф самосопряженные. Доказать, что самосопряженными будут и преобразования рф + + фр и грф — гфр.
Доказать, что:
самосопряженные преобразования можно определить как нормальные преобразования, собственные значения которых вещественны;
унитарные преобразования можно определить как нормальные преобразования, собственные значения которых по модулю равны 1.
Доказать, что:
каждое преобразование р унитарного пространства можно представить в виде ^ = ^1+^2, где ^i и (^2 — самосопряженные преобразования;
р\ и р^ перестановочны тогда и только тогда, когда р — нормальное преобразование.
Доказать, что произведение ненулевого самосопряженного преобразования на число а будет самосопряженным тогда и только тогда, когда а вещественно.
Пусть преобразование р таково, что фрфхф ж) = О для любого вектора х EU. Доказать, что ^ = о, если:
р самосопряженное;
р удовлетворяет условию р = — р*.
Доказать, что фр(хф х) вещественно для любого вектора х EU тогда и только тогда, когда р — самосопряженное.
Пусть преобразования р и ф самосопряженные. Доказать, что фр (ж), ф (ж)) вещественно для любого вектора ж EU тогда и только тогда, когда р и ф перестановочны.
Пусть ср — неотрицательное самосопряженное преобразование и tr^ = 0. Доказать, что р) = о.
Доказать, что преобразование р) является нормальным тогда и только тогда, когда |^(ж)| = |^*(ж)| для любого вектора х.
Найти условие на матрицу линейного преобразования р) в базисе с матрицей Грама Г, необходимое и достаточное для того, чтобы преобразование было:
самосопряженным; 2) унитарным.
Доказать, что матрица А является матрицей самосопряженного преобразования ранга 1 в ортонормированном базисе тогда и только тогда, когда найдется такой столбец а, что А = аа7.
30.36. В ортонормированном базисе дана матрица А самосопряженного преобразования унитарного пространства. Найти матрицу перехода S к ортонормированному базису из собственных векторов и матрицу А' преобразования в новом30.36. В ортонормированном базисе дана матрица А самосопряженного преобразования унитарного пространства. Найти матрицу перехода S к ортонормированному базису из собственных векторов и матрицу А' преобразования в новомбазисе:1) I —Зг -1 ||; 2)4) -4-377-базисе:1) I —Зг -1 ||; 2)4) -4-377-4 V3 + z л/З-г 14 V3 + z л/З-г 1; 3); 3)5 V^Cl + i)V2(l—г) 25 V^Cl + i)V2(l—г) 2
30.36. В ортонормированном базисе дана матрица А самосопряженного преобразования унитарного пространства. Найти матрицу перехода S к ортонормированному базису из собственных векторов и матрицу А' преобразования в новом
30.36. В ортонормированном базисе дана матрица А самосопряженного преобразования унитарного пространства. Найти матрицу перехода S к ортонормированному базису из собственных векторов и матрицу А' преобразования в новом
базисе:
1) I —Зг -1 ||; 2)
4) -4-377-
базисе:
1) I —Зг -1 ||; 2)
4) -4-377-
4 V3 + z л/З-г 1
4 V3 + z л/З-г 1
; 3)
; 3)
5 V^Cl + i)
V2(l—г) 2
5 V^Cl + i)
V2(l—г) 2
Пусть р? — самосопряженное преобразование. Дока
зать, что:
преобразование ф = фр — гф-1 фр + гф определено и является унитарным;
ф — ь имеет обратное, и р) = гфф -V ффф — t)-1.
1) Доказать, что линейное преобразование р) — унитарное тогда и только тогда, когда р)* = у-1.
Доказать, что для унитарного преобразования сопряженное — также унитарное.
Доказать, что унитарная норма матрицы А (задача 27.3) не меняется после умножения А справа или слева на унитарную матрицу U.
Пусть линейное преобразование р) унитарного пространства сохраняет длину каждого вектора: |^(ж)| = |ж|. Доказать, что оно унитарное.
Доказать, что линейное преобразование р) унитарное, если оно:
переводит какой-либо ортонормированный базис в орто- нормированный;
сохраняет попарные скалярные произведения базисных векторов некоторого базиса.
ср — нормальное преобразование, некоторая натуральная степень которого есть тождественное преобразование. Доказать, что ср — унитарное.
1) Будет ли сумма унитарных преобразований унитарным преобразованием?
Будет ли унитарным преобразованием произведение унитарного преобразования на число а?
Для унитарного преобразования, заданного в орто- нормированном базисе матрицей Л, найти ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу преобразования в этом базисе:
|\ д _ cos о — sin о .2) Л —3 + Зг
'— sin о cos о’,— 5 — V?
1 4 + Зг 4г—6 — 2г
3) А = -—4г4 — Зг -2 - 6г .
9 6 + 2г -2 — 6г 1
3 — Зг ’
Глава 12
ФУНКЦИИ НА ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 31. Линейные функции
В этом параграфе используются следующие основные понятия: линейная функция на линейном пространстве, строка коэффициентов (координатная строка?) линейной функции, операции сложения и умножения на число для линейных функций и свойства этих операций, сопряженное пространство, биорто г опальный базис.
Обозначения: Сп — линейное n-мерное пространство, Вп — арифметическое n-мерное пространство, 7£пХп — линейное пространство квадратных матриц порядка п, Р^ — линейное пространство многочленов степени не выше п. Через С^, Р^, Р^хп^ Р^* обозначаются соответствующие сопряженные пространства.
Стандартный базис в пространстве РпХп состоит из матричных единиц Ец, г, j = 1, ..., п (см. введение к § 15). В этом базисе коэффициенты линейной функции f, заданной на РпХп, естественным образом располагаются в матрицу: на пересечении ее г-й строки и J-ro столбца стоит коэффициент Cij = f (Eij). Матрицу С = ||с^|| мы будем называть координатной матрицей линейной функции.
В некоторых задачах, относящихся к линейным функциям на линейном пространстве векторов — направленных отрезков (в геометрическом векторном пространстве, обозначаемом через 82 или 83 в соответствии с размерностью) используется понятие ортогональной проекции вектора. Напомним его.
Векторной ортогональной проекцией вектора АВ на прямую или плоскость называется вектор АуВу, где Ai и Bi — ортогональные проекции точек А и В. Скалярной проекцией вектора АВ на ось (т. е. прямую, на которой задано направление при помощи ненулевого вектора а) называется число ±|AiBi|, где знак + или — выбирается в зависимости от того, одинаково или противоположно направлены векторы а и А1В1.
Определение линейной функции.
Примеры линейных функций (31.1—31.32)
Какие условия выделяют линейные функции из остальных линейных отображений?
Как преобразуется строка коэффициентов линейной функции при изменении базиса?
Как выражаются через базисные векторы коэффициенты линейной функции в базисе е?
Выпишите строку коэффициентов нулевой линейной функции.
Может ли для линейной функции f, заданной на Сп. при всех х 6 £п выполняться:
неравенство f (ж) > 0;
неравенство f (ж) > 0;
равенство f (ж) = а?
Даны линейная функция f на Д и число а. Всегда ли найдется такой вектор ж из Д, что f (ж) = а?
Определить множество значений произвольной линейной функции на вещественном линейном пространстве.
Пусть (^i, ^2, ^ — координатный столбец вектора ж 6 £3 в некотором базисе. Будет ли линейной функция f на £3, определенная равенством:
£(Ж)=^+^2;2) £(ж)=^-(^2)2;
3)£(Ж) = ^ + 1;4) £(Ж) = ^1 + 2^-3^3?
Выписать строку коэффициентов функции f в случаях 1), 4) задачи 31.8.
В некотором базисе пространства £3 функции f и g имеют координатные строки соответственно (1, 2, 3) и (3, 2, 1). Найти координатные строки функций:
l)f+g; 2) 2£;3) 3g;4) £ - g.
1) Пусть а — вектор из пространства £3. Сопоставим каждому вектору х из £3 его скалярную ортогональную проекцию на ось, определяемую вектором а. Доказать, что этим определяется линейная функция на £3. Найти координатную строку этой функции в каком-нибудь ортонормированном базисе пространства £3.
Пусть m — какая-нибудь плоскость в пространстве £3. Сопоставим каждому вектору из £3 длину его ортогональной проекции на т. Будет ли полученная числовая функция линейной?
1) Пусть а — фиксированный вектор на плоскости £2. Сопоставим каждому вектору х из £2 число, равное площади ориентированного параллелограмма, построенного на векторах а и х. Доказать, что этим определена линейная функ-
ция на £2, и вычислить ее координатную строку в каком-нибудь ортонормированном базисе.
Пусть а — фиксированный вектор на плоскости £2- Сопоставим каждому вектору х 6 £2 число, равное площади параллелограмма, построенного на векторах а и х. Будет ли построенная функция линейной?
1) Пусть а и b — фиксированные векторы в пространстве £3. Сопоставим произвольному вектору х 6 £3 число, равное объему ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах а, b и х, или нулю, если а, b и х компланарны. Доказать, что этим определена линейная функция, и вычислить ее координатную строку в каком-либо ортонормированном базисе.
Пусть а и b — фиксированные векторы в пространстве £3. Сопоставим произвольному вектору х 6 £3 число, равное объему параллелепипеда, построенного на векторах а, b и х, или нулю, если а, b и х компланарны. Будет ли построенная функция линейной?
1) Сопоставим столбцу высоты п отношение первых двух его элементов. Будет ли этим определена функция на 7£п?
Сопоставим каждому столбцу высоты п сумму квадратов всех его элементов. Будет ли этим определена линейная функция на Кп?
Сопоставим каждому столбцу высоты п его г-й элемент. Доказать, что этим определена линейная функция на 7£п, и найти ее координатную строку в стандартном базисе пространства 7£п.
Сопоставим каждому столбцу высоты п сумму его элементов. Доказать, что этим определена линейная функция на 7£п, и найти ее координатную строку в стандартном базисе пространства 7£п.
Функция trX сопоставляет каждой квадратной матрице X порядка п ее след. Проверить, что эта функция является линейной, и найти ее координатную строку (координатную матрицу) в стандартном базисе пространства матриц.
Пусть С — квадратная матрица порядка п. Сопоставим каждой квадратной матрице X порядка п число tr (СТХ\ Показать, что этим определена линейная функция на пространстве Т^пхп, и найти ее координатную строку (координатную матрицу).
Пусть f — какая-нибудь линейная функция, определенная на пространстве 7^пхп. Доказать, что существует такая квадратная матрица С, что для произвольной матрицы X Е Впхп выполнено равенство f (X) = tr (СТХ).
Пусть линейная функция f на пространстве 7^пхп для любых двух квадратных матриц АиВ порядка п удовлетворяет условию f (АВ) = f (ВА). Доказать, что f определяется равенством f (X) = atr X.
1) Сопоставим каждому многочлену р (t) степени ^ 3 число
1
f (р) = j (1 + t2)p(t)dt.
-1
Доказать, что этим определена линейная функция на пространстве многочленов р(3\ и вычислить ее координатную строку в базисе из многочленов 1, С С, t^.
Сопоставим каждому многочлену р (t) степени ^ 3 число
1
f (р) = IР (t2) dt.
о
Доказать, что этим определена линейная функция на пространстве многочленов В^Х и вычислить ее координатную строку в базисе из многочленов 1, С С, /Л
Сопоставим каждому многочлену р (t) степени ^ п его значение при t = 0. Доказать, что этим определена линейная функция на В^Х и вычислить ее координатную строку в базисе 1, Д2, ..., tu.
Пусть ф — фиксированное число. Сопоставим каждому многочлену р (t) степени ^ п его значение при t = to. Доказать, что этим определена линейная функция ср на пространстве В^. Вычислить координатную строку функции ср в базисах 1Д, ... Дп и 1Д — ^о, • • •, (^ — ^о)п-
Пусть Н, • • •, ^п+1 — попарно различные точки числовой оси, уд, ..., (^п+1 — соответствующие этим точкам линейные функции на пространстве В^пХ определенные в задаче 31.21.
Доказать, что функции р-^ уп-ц линейно независимы.
Доказать, что произвольная линейная функция на пространстве р(п) может быть разложена в линейную комбинацию функций фх, . . . , ^п+1.
Линейная функция б сопоставляет каждому многочлену р (£) степени п (п ^ 2) его свободный член. Разложить эту функцию в линейную комбинацию функций pi^ ср^ ^з?
сопоставляющих каждому многочлену его значение соответственно при ^ = 1Д = 2и^ = 3.
Пусть to — какое-нибудь, а Н, ^п+1 ~ попарно различные вещественные числа. Доказать, что найдутся такие числа Ai, ..., Ап+1, что для любого многочлена р (t) Е Р^ будет выполнено равенство р (to) = Aip (Н) + • • • + An^ip (£n+i).
Пусть k — натуральное число. Сопоставим каждому многочлену р (t) степени ^ п значение его k-Й производной при t = 0. Доказать, что этим определена линейная функция на пространстве Р^п\ и вычислить ее координатную строку в базисе 1, ^Д2, ..., tn.
Пусть к — натуральное число, Д пЛд вещественное число. Сопоставим каждому многочлену р (t) степени не выше п значение его к-й производной при t = to- Доказать, что этим определена линейная функция на пространстве Р^. Вычислить ее координатную строку в базисах:
1Д, ..., /Д 2) 1Д - to, ..., (t - t0)n.
31.27. Линейные функции пространстве Р^ равенствами31.27. Линейные функции пространстве Р^ равенствамиМр) =Мр) =dk(p)dtkdk(p)dtkбо, Ф, ..., бп определены(к = 0, 1, ..., п).бо, Ф, ..., бп определены(к = 0, 1, ..., п).нанаt=tot=to
31.27. Линейные функции пространстве Р^ равенствами
31.27. Линейные функции пространстве Р^ равенствами
Мр) =
Мр) =
dk(p)dtk
dk(p)dtk
бо, Ф, ..., бп определены
(к = 0, 1, ..., п).
бо, Ф, ..., бп определены
(к = 0, 1, ..., п).
на
на
t=to
t=to
Доказать, что функции Д, Ф, ..., бп линейно независимы.
Функции Д 51, ..., бп определены так же, как в задаче 31.27. Доказать, что произвольная линейная функция, заданная на пространстве Рп\ может быть разложена в линейную комбинацию функций 5^ (/с = 0, 1, ..., п).
Пусть в базисе ei, 62, ез линейная функция f выражается через координаты £i, £2, £3 вектора х формулой f (ж) = = £1 + 2^2 + З^з. Какой формулой выражается f (ж) через координаты ж в базисе е'х = ei + 62, е'2 = 62 + ез, 63 = ез + еД
Доказать, что всякую ненулевую линейную функцию f на Си подходящим выбором базиса в Си можно привести к виду f (ж) = ^1, где £1 — первая координата вектора ж.
В базисе е линейная функция f имеет строку коэффициентов и. Найти ее строку коэффициентов V в базисе е' = eS, если:
X = С^, S = ^20152) И = С^, S = ^202 5
и = сД, S = А203;4) и = с^, S = А204.
Функции ip-^ ф2^ ^з? определенные в задаче 31.23, а также функции 5g, 5i, 52, определенные с помощью формул
Ш = t ^ = 0,1,2,
образуют пару базисов в пространстве р(2)*. Выписать формулы перехода от первого базиса ко второму.
Биортогональный базис (31.33—31.42)
1) Многочлены 1, ^, ..., tn образуют базис в пространстве рМ. Найти соответствующий биортогональный базис.
Многочлены 1Д — fg, ...,(£ — ^о)п образуют базис в пространстве Р^. Найти соответствующий биортогональный базис.
Как преобразуется биортогональный базис, если данный базис преобразуется матрицей перехода S?
1) Пусть базису ei, 62, 63 пространства £3 биорто- гонален базис fi, £2, £3 пространства СГ Найти базис, биортогональный базису е^ = ei + 62, 62 = 62 + 63, 63 = 63.
В четырехмерном арифметическом пространстве столбцы матрицы Л433 образуют базис. Найти строки коэффициентов элементов биортогонального базиса.
Построить базис пространства Р^2\ биортогональный базису из функций ^1, ^2, ^3? определенных в задаче 31.23.
Найти базис пространства р(п\ биортогональный базису из функций ^1, ^2, • • •, ^п+15 построенному в задачах 31.21, 31.22. Вычислить координаты произвольного многочлена в найденном базисе.
Построить базис пространства Р^\ биортогональный базису из функций 5g, 5i, 52, определенных в задаче 31.32.
Пусть ei, ..., еп — базис в пространстве £П1 а fl, ..., fn — биортогональный ему базис в £*. Доказать, что для всех х 6 Сп выполнено равенство
ж = fl (ж) 61 + ... + fn (ж) еп,(1)
а для всех у Е £* - равенство
У = y(ei)fi + ... + y(en)fn.
Применить формулу (1) к базисам, рассмотренным в задаче 31.34.
Используя результат задачи 31.34, доказать, что многочлены ро? - - -, Рк степени не выше к линейно независимы тогда и только тогда, когда для некоторого to det \\р^ (£0) || Д 0.
Найти базис, биортогональный стандартному базису пространства 7^nXn- Вычислить матрицы С, соответствующие функциям этого базиса (в смысле задачи 31.17).
Матрицы Паули
СГ0 =СГ0 =1 о0 11 о0 1<71 =<71 =0 11 00 11 0<72 =<72 =0 —гг 00 —гг 0<73 =<73 =1 00 -11 00 -1
СГ0 =
СГ0 =
1 о
0 1
1 о
0 1
<71 =
<71 =
0 1
1 0
0 1
1 0
<72 =
<72 =
0 —г
г 0
0 —г
г 0
<73 =
<73 =
1 0
0 -1
1 0
0 -1
образуют базис в пространстве комплексных квадратных матриц порядка 2. Найти базис, биортогональный базису (7q, <7i, (72, (7з, и вычислить матрицы (7, соответствующие функциям этого базиса в смысле задачи 31.17.
Обращение линейной функции в нуль (31.43—31.49)
Доказать, что произведение двух линейных функций на Си тождественно равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы одна из функций нулевая.
Пусть f — линейная функция на Сп. Доказать, что множество Ы векторов, для которых f (ж) = 0, является линейным подпространством в Сп. Какова размерность АГ? Возможно ли совпадение ЛГ и ДД
Пусть f, g — линейные функции на Сп и f (ж) = 0 для всех тех ж, для которых g (ж) = 0. Доказать, что тогда найдется такое число а, что f = cig.
В пространстве £4 выбран базис и даны линейные функции с координатными строками (5, 24, —7, —1) и (—1, —2,7, 3). Найти множество векторов, на которых эти функции одновременно обращаются в 0.
Пусть ЛГ — линейное подпространство в ^, /С — множество всех линейных функций, обращающихся в 0 на Ы. Доказать, что /С является линейным подпространством в £*, и вычислить его размерность.
Подпространство ЛГ в (L^ задано в некотором базисе как линейная оболочка векторов с координатными столбцами (О, 0, 1, 1, 1)Т и (0, 1, О, О, 1)т. Найти в том же базисе координатные строки всех линейных функций, обращающихся в О на ЛГ.
Подпространство ЛГ С Р^ задано как множество всех многочленов вида (t — l)(t — 2)2 p(t), где р (Д G Р^3^ Найти множество линейных функций, определенных на Р^ и обращающихся в 0 на ЛГ.
Пусть fi, . . . , f^ и f линейные функции на линейном пространстве £, и ЛГ — множество таких векторов из С, что fi (ж) = ... = f^ (ж) = 0. Доказать, что f раскладывается по fl, ..., f& тогда и только тогда, когда f (ж) = 0 для всех ж из ЛГ.
§ 32. Билинейные и квадратичные функции
В этом параграфе используются следующие основные понятия: билинейная и квадратичная функции, симметричная билинейная функция, матрица билинейной или квадратичной функции (билинейной или квадратичной формы), диагональная и каноническая формы билинейной (квадратичной) функции, положительно и отрицательно определенные квадратичные функции, главные (угловые) миноры симметрической матрицы, ранг и индекс квадратичной функции (формы), присоединенное преобразование билинейной функции в евклидовом пространстве; эрмитова билинейная (полуторалинейная) функция (форма) в комплексном пространстве, эрмитова симметричная (эрмитова) функция, квадратичная эрмитова функция (форма).
Пусть С — вещественное или комплексное линейное пространство. Функция двух переменных b (ж, у) со значениями в поле, над которым определено пространство С, называется билинейной функцией в пространстве С, если
b (ж + у, г) = b (ж, Д + b (у, г),b (ж, у + г) = b (ж, у) + b (ж, г),b (ах, Ру) = аР b (ж, у)
для любых векторов ж, у, z из Г и чисел а, р.
Билинейная функция b называется симметричной, если b (ж, у) = = b (у, х) для любых векторов ж, у G С. Пусть b симметрична. Тогда функция к (ж) = b (ж, ж) называется квадратичной функцией, порожденной Ь. По данной квадратичной функции порождающая ее симметричная билинейная функция восстанавливается однозначно.
Пусть ci, ..., еп — базис в С. Числа b^ = b (е^, еД (г, j = = 1,..., п) называются коэффициентами, а матрица В = ||^j|| — матрицей билинейной функции в этом базисе. У симметричных
функций и только у них матрицы симметричны (В = ВТ). Матрицей квадратичной функции называется матрица порождающей ее симметричной билинейной функции. Значения функций b (х, у) и к (ж) выражаются через координатные столбцы Е, и г) векторов х и у по формулам
Ь(ж, у) = Вт\ = ^ bij^rij,(1)
Л j = l
к(Ж) = £тВ£= bijUj-(2)
Формой степени т от переменных £i, ..., £п называется однородный многочлен степени т от £i, ..., £п. Ввиду этого выражения (1) и (2) билинейной и квадратичной функций в координатах называются соответственно билинейной и квадратичной формами. Матрица из коэффициентов В = Ц^Ц называется также матрицей билинейной (квадратичной) формы.
Пусть S — матрица перехода от базиса е к базису е', а В и В' — матрицы билинейной функции в этих базисах. Тогда
В' = STBS.(3)
Билинейная форма
У
г=1
и квадратичная форма
г=1
называются диагональными. Если коэффициенты si, ..., Еп диагональной формы равны ±1 или 0, то она называется канонической.
Для каждой симметричной билинейной (квадратичной) функции в вещественном n-мерном линейном пространстве существует базис, в котором соответствующая билинейная (квадратичная) форма является канонической.
Привести билинейную (квадратичную) функцию к диагональному или каноническому виду — значит, найти такую форму и соответствующий ей базис (или формулы замены координат). Употребительно также выражение «привести билинейную (квадратичную) форму к диагональному или к каноническому виду».
Закон инерции квадратичных форм состоит в том, что число положительных коэффициентов р и число отрицательных коэффициентов q в канонической квадратичной форме не зависит от базиса, в котором функция к приведена к каноническому виду. Эти числа
называются положительным и отрицательным индексами инерции к. Не зависят от базиса и числа г = р + q и сг = р — q. называемые соответственно рангом и сигнатурой квадратичной функции. В произвольном базисе RgB = г.
Для приведения квадратичной формы к каноническому виду применяется метод выделения квадратов (метод Лагранжа). Можно использовать также элементарные преобразования матрицы квадратичной формы. При этом после каждого элементарного преобразования строк матрицы необходимо выполнить такое же преобразование столбцов. Для того, чтобы получить матрицу перехода к каноническому базису, нужно проделать те же элементарные преобразования со столбцами единичной матрицы.
Квадратичная функция к (ж) называется положительно (отрицательно) определенной^ если к (ж) > 0 (соответственно к (ж) < 0) для всех ж из С^ отличных от о. Если к (ж) ^ 0 (к (ж) ^ 0) для всех ж 6 С^ то функция к (ж) называется полуопределенной — неотрицательной (соответственно, неположительной). Такие же термины применяются для квадратичной формы, служащей координатной записью квадратичной функции. Для положительной определенности квадратичной формы с матрицей В = Н^ || необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры △& матрицы В были положительными:
^к =^к =Ъц ... WЪц ... Wbki ••• Ьккbki ••• Ькк> 0,> 0,к = 1, ..., пк = 1, ..., п(4)(4)
^к =
^к =
Ъц ... W
Ъц ... W
bki ••• Ькк
bki ••• Ькк
> 0,
> 0,
к = 1, ..., п
к = 1, ..., п
(4)
(4)
(критерий Сильвестра).
Пусть b (ж, у) — симметричная билинейная функция в евклидовом пространстве 8. Линейное преобразование р пространства 8 называется присоединенным к функции b (ж, у)^ если для всех ж, у Е 8*. b (ж, у) = (ж, р (у))- Присоединенное преобразование является самосопряженным. Преобразование, присоединенное к билинейной функции, называется также присоединенным к квадратичной функции к (ж) = b (ж, ж).
Для любой симметричной билинейной функции b (ж, у) (и квадратичной функции к (ж)) в евклидовом пространстве 8п существует ортонормированный базис, в котором она имеет диагональный вид:
ь (ж, у) = у^ I k (ж) = Е A^-2) •г=1 \ г=1 /
Векторы такого базиса являются собственными векторами присоединенного преобразования, а коэффициенты А^ — его собственными значениями.
С помощью ортогональной матрицы перехода можно привести к диагональному виду билинейную и квадратичную функцию в произвольном конечномерном линейном пространстве L. Для этого в L следует ввести скалярное произведение, относительно которого исходный базис е является ортонормированным, и найти ортонорми-
рованный базис ег из собственных векторов присоединенного преобразования. Тогда матрица перехода S от е к е' будет ортогональной, а матрица В’ = ST В S = S~rBS — диагональной.
Диагональный вид билинейной (квадратичной) функции можно использовать как промежуточный этап в ее приведении к каноническому виду: надо только умножить на подходящие числа векторы базиса, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид.
Пусть f (ж) и g (ж) — квадратичные функции (формы) в п- мерном вещественном линейном пространстве С. причем функция g (ж) положительно определена. Тогда в С существует базис, в котором обе формы диагональны, и, более того, g (ж) имеет канонический вид. Если F (ж, ?/) и G (ж, t/) — симметрические билинейные функции, порождающие квадратичные формы f (ж) и g(ж), то искомый базис — ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного преобразования, присоединенного к F (ж, уР относительно скалярного произведения, определяемого функцией G (ж, у).
Пусть F и G — матрицы форм f и g в некотором базисе е. Диагональные коэффициенты формы f в подходящем базисе являются корнями уравнения
det (F - AG) = 0,(5)
а соответствующие базисные векторы находятся из системы уравнений
(F - AG) £, = 0(6)
для каждого корня А уравнения (5).
На практике пару квадратичных форм f, g приводят к диагональному виду в два этапа: 1) находят базис е7, в котором форма g является канонической (например, методом Лагранжа), и преобразуют форму f к базису е7, 2) находят базис е77, матрица перехода к которому от базиса е7 ортогональна и в котором форма f имеет диагональный вид: в этом базисе форма g остается канонической. Если S — матрица перехода от базиса е к промежуточному базису е7, а Т — матрица перехода от е7 к базису е77, то матрица перехода от е к е77 равна ST.
Функция h (ж, у) в комплексном линейном пространстве L называется эрмитовой билинейной (полуторалинейноиР если
h [х + у, г) = h (ж, г) + h (у, г),h (ж, у + г) = h (ж, у) + h (ж, г),h (аж, Ру) = аР h (ж, у)
для всех х, у, z Е £ и. оц Р Е С. Эрмитова билинейная функция называется симметричной (эрмитовой), если Н(ж, у) = h (у, х) для всех ж, у Е £. Такая функция порождает квадратичную эрмитову функцию к (ж) = h (ж, ж). Ее матрица эрмитова: ВТ = В.
Пусть В, В* — матрицы эрмитовой билинейной функции h (ж, у) в базисах е, е7 комплексного пространства, S — матрица перехода
от е к е', а £,, ц — столбцы координат векторов х. у в базисе е. Тогда
1Щ, у) = Е,ТВц,=
В' = STBS.
Многочлен, служащий координатной записью билинейной (квадратичной) эрмитовой функции, называется соответственно билинейной (квадратичной) эрмитовой формой.
Квадратичная форма в n-мерном комплексном пространстве приводится к каноническому виду ^ Й^ гДе г — ранг формы. j=i
Квадратичная эрмитова форма приводится к каноническому виду 52 £з 1£?|2’ гДе £з Равны 1? — 1 или 0. Закон инерции и крите- j=i
рий положительной определенности (критерий Сильвестра) квадратичной эрмитовой формы формулируются точно так же, как для вещественной квадратичной формы. Для квадратичной эрмитовой формы к (ж) в унитарном пространстве существует ортонормирован- ный базис, в котором она диагональна: к (ж) = 52 ^з К;!2- Если В — з=1
матрица формы в ортонормированном базисе, то коэффициенты Xj являются характеристическими числами матрицы В.
Билинейные и квадратичные функции
в вещественном линейном пространстве (32.1—32.26)
Составить матрицу данной билинейной формы и записать соответствующую ей квадратичную форму в п-мерном линейном пространстве:
Х1У1 (n = 1);2) Ж1У1 (п = 2);
2®iyi - ®1у2 - ж2у1 - 5ж2у2 (п = 2);
®1У2 - 3®1у3 + 7ж2уз + ж2у1 - Зж3у1 + 7ж3у2 + ж3у3 (п =
= 3); пп
Е^Ж6) ЕжгУп-г+1;7) Е жгУг
7=1г=1|г-Л^1
Восстановить симметричную билинейную форму в п- мерном линейном пространстве по данной квадратичной форме и составить ее матрицу:
—ЗЖ| (n = 1);
— 18Ж1Ж2 + 9ж2 (п = 2);
Ж| + 4жхЖ2 + 4жхжз + 5ж2 + 12ж2^з + 7ж| (п = 3);
п—1
2ж^ — 6x1^2 — 3^2 (п = 3);5) ^2 х^х^у.
г=1
Записать квадратичную форму, имеющую данную матрицу:
Л47;2) Л37;3) Л307;4) Л28о;5) Л484;
^47157) Л593;8) Л634.
1) Восстановить симметричную билинейную функцию по порожденной ей квадратичной функции.
Доказать, что любую билинейную функцию b (ж, ?/) можно единственным образом представить как сумму b (х, у) = = Ь+ (ж, у) + Ь_ (ж, у\ где Ь+ (ж, у) = Ь+ (у, ж), а Ь_ (ж, у) = = — Ь_ (у^ х\ Доказать, что при этом b (ж, ж) = Ь+ (ж, ж).
Как изменится матрица билинейной (квадратичной) функции, если изменить базис ei, ..., еп следующим образом:
поменять местами г-й и Дй векторы базиса;
умножить г-й базисный вектор на число А ^ 0;
вектор ег заменить на ег + Хе^ (г ф эУ
векторы базиса расположить в обратном порядке?
Квадратичная функция и линейное преобразование имеют в некотором базисе одинаковые матрицы. Какой должна быть матрица перехода от этого базиса к другому базису для того, чтобы в другом базисе матрицы квадратичной функции и линейного преобразования также совпадали?
Квадратичная функция дана в базисе ei, ..., еп. Записать эту квадратичную функцию в базисе еУ ..., еД
25ж^ — 14Ж1Ж2 + 2ж^, е^ = ei + 62, 62 = —ei +
ЗЖ| + 10Ж1Ж2 + 9ж^, е’^ = 2ei — 62, 62 = ei — 62;
X 99/11/11
4Ж1 - 12ж1Ж2 + 9жо, вл = -ei - -е2, е2 = -ei + -62;
4646
Ж| + 4жхЖ2 + 4жхжз — Ж3, е'у = 61 + 62 + 63, е'2 = 2ei — — 62 + 63,63 = —ei + 2б2 — Зез;
Ж| + 2Ж1Ж2 — Ж1Ж3 — Ж2 + 2Ж2Ж3 + ж|, е^ = 2ei — ез, е'2 = = -ei + 2е2 - е3, 63 = —е2 + е3;
5Ж| + 5ж2 + ЗЖ3 + 2Ж1Ж2 + 2д/2ж1Жз + 2д/2ж2Жз, е^ = ei + +62 — 2д/2вз,62 = ei — 62,63 = д/2в1 + л/2б2 + 63;
п—1
X жгЖг+1, е- = ei + ei+i + ... + еп, г = 1, 2, ..., п. г=1
Привести данную квадратичную форму к каноническому виду с помощью метода Лагранжа или элементарных
преобразований ее матрицы. Найти ранг, положительный и отрицательный индексы инерции и сигнатуру этой формы:
4х^ + 4xiX2 + 5^2;
Х| — Ж1Ж2 — х^;
-xix2;
25a?i + 30x1^2 + 9х^;
2xiX2 — ^1 — 2х^;
24xiX2 — 16^1 — 9х^;
х^ + 4х1Хз + ^2 + 2x2X3 + 4х|;
х^ + 2xiX2 + 2жхжз — Зх^ — 6x2x3 — 4х|;
2х^ + 8x1X2 + 4x1^3 + 9^2 + 19х|;
9х^ — 12xiX2 — 6x1x3 + 4х^ + 4ж2^з + х|;
8х^ + 8х^ + Ж3 + 16x1^2 + 4х1Жз + 4ж2^з;
(р) ххх2 + х2х3 + Ж1Ж3;
Ж| + 2х| + 2хз + ЗЖ4 + 2X1X2 + 2x2X3 + 2x3X4;
Х| — 2x1X3 + Х2 — 2x2X4 + х| — 2x3X5 + Х4 — 2x4X5 + х^ + +жб5
Х1Х2 + 2X2X3 — ЗХ3Х4;
Х1Х2 + Х2Х3 — Х^ — Х2 — Х3.
Выяснить, какие квадратичные формы из задачи 32.8 являются положительно определенными, отрицательно определенными, полуопре де ленными.
Привести к каноническому виду данную билинейную форму:
Ж1У1 + Ж1У2 + Ж2У1 + Зж2У2;
Ж1У1 - Ж1У2 - Ж2У1 + Ж2У2;
13Ж1У1 - 5Ж1У2 - бж2у1 + 2ж2№;
-Ж1У2 - Ж2У1 + Ж2У2;
Ж1У2 + Ж2У1 + Ж1УЗ + ЖЗУ1 + Ж2уз + ж3у2;
Ж1У1 + 2ж2У2 + Зжзуз + Ж1У2 + Ж2У1 + Ж1у3 + ж3у1 + 2ж2уз + +2ж3у2;
Ж1У1 + Ж1У2 + Ж2У1 + ж2уз.
Доказать, что несимметричную билинейную функцию нельзя привести к диагональному виду.
Привести квадратичную форму, зависящую от действительного параметра А, к каноническому виду при всевозможных значениях Л:
ЗХ| — 2xiX2 + АХ2;
8Х| + AxiX2 + 2x2;
2Х| + 8x1X2 + 4х1Хз + 6x2 + Ах|;
ж^ + ^2 + 4ж| + АХ4 + 4x1^3 + 2x1^4 + 2x2x3 + 2x2x4 + +5х3х4;
3X2 + 6x1X2 + 2Х1Хз + 4X2X3 + АХ2Х4 + Х3 + Х3Х4 + Х4.
Привести к каноническому виду данную квадратичную форму в n-мерном пространстве:
®1 + 2 52 ж^ - 2 Е ЖгЖг+1;
г=2г=1
®1 + 2 52 (-!)гЖгЖг+1; г=1
Е ^ + Е 4) 52
г=1 l^i<j^nl^i<j^n
тг
- 52 ^ + 2 52 i$t$j;
г=1l^i<j^n
Е ((^ - Ц2 + 1) Ж? + 252 ixiXj.
г=1l^i<j^n
Доказать, что для положительной определенности квадратичной функции к (х) необходимо и достаточно любое из условий:
к ^е^ > 0 (г = 1, ..., п) для любого базиса ei, ..., еп;
к (х) приводится к диагональному виду с положительными коэффициентами;
к (х) приводится к каноническому виду £2 + ... + ^.
Показать, что для положительной определенности квадратичной функции необходима, но недостаточна положительность всех диагональных элементов ее матрицы в некотором базисе.
Доказать, что квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда знаки главных миноров ее матрицы чередуются следующим образом:
Д1<0, Д2 > 0, Д3 < О, signAn = (-lf.
Пусть ранг квадратичной функции к (х) в п-мерном линейном пространстве С равен т. Доказать утверждения:
в С существует базис, в котором главные миноры Д^ матрицы функции к (х) отличны от нуля при k = 1, ..., г и равны нулю при к = г + 1, ..., п.
пусть в некотором базисе главные миноры Д^ (к = = 1, ... , г) матрицы функции к (х) отличны от нуля. Тогда
к (ж) приводится к диагональной форме ^ "X^ (Aq = 1) и fc=iA^-i
г
к канонической форме ^2 е^, где s& = sign — (k = l_ .. ,r). k=i
При каких значениях параметра А данная квадратичная форма положительно, отрицательно определена или по- луопределена:
Ах2 — 4xiX2 + (А + 3) Х2;
— 9х2 + 6AxiX2 — Х2;
Ах2 + 8x2 + Х3 + 16xiX2 + 4х1Хз + 4х2Хз;
х2 + 2AxiX2 + 2x1x3 + 4х^ — ^э + 2x2x3;
(4 — А) х2 + (4 — А) Х2 — (2 + А) х| + 4xiX2 — 8x1X3 + + 8х2х3?
Пусть к (х) — квадратичная функция в линейном пространстве С. Является ли линейным подпространством в С множество всех векторов х из С^ для которых к (х) ^ 0 (к (х) ^ < 0)? Рассмотреть примеры к (х) = х2 + Х2 — х| (п = 3) и h (х) = Xi + Х2 (п = 3).
1) В матрице положительно определенной квадратичной формы увеличили один диагональный элемент. Доказать, что детерминант матрицы увеличился.
Доказать, что в матрице положительно определенной квадратичной формы максимальный по модулю элемент положителен.
1) Доказать, что в линейном пространстве вещественных квадратных матриц порядка п функция к(Х) = = tr(XTX) является положительно определенной квадратичной функцией.
Доказать, что в линейном пространстве вещественных квадратных матриц порядка п функция k(X) = tr(X2) является квадратичной функцией. Найти ее ранг и сигнатуру.
Доказать, что функция
1
= I f (t) д (t) dt
-1
является симметричной билинейной функцией в пространстве многочленов степени не выше п. Привести ее к каноническому виду при п = 3.
Доказать, что ранг билинейной функции равен 1 тогда и только тогда, когда эта функция — произведение двух ненулевых линейных функций.
Доказать, что для представимости квадратичной функции в виде произведения двух линейных вещественных функций необходимо и достаточно, чтобы либо ранг этой квадратичной функции не превосходил 1, либо ранг был равен 2, а сигнатура равна нулю.
При каком необходимом и достаточном условии квадратичные функции к (ж) и — к (ж) могут быть приведены к одному и тому же каноническому виду?
1) Пусть b (ж, у) — билинейная функция в линейном пространстве С. Назовем функцию b (ж, у) инвариантной относительно линейного преобразования ср пространства С, если b (ср (ж), ср (у)) = b (ж, у) для всех ж, у Е С. Доказать, что b тогда и только тогда инвариантна относительно ^, когда их матрицы (В и А соответственно) в некотором базисе удовлетворяют равенству АТВА = В.
Найти все линейные преобразования двумерного пространства, относительно которых инвариантна билинейная форма:а) Ж1Щ + х2у2*, б) х^ - х2у2.
Квадратичные функции в евклидовом пространстве.
Пары форм (32.27—32.39)
Квадратичная (билинейная) функция записана в ортонормированном базисе n-мерного евклидова пространства. Найти ортонормированный базис, в котором данная функция имеет диагональный вид, и записать этот диагональный вид.
п = 2:
—4ж^ + 10Ж1Ж2 — 4ж^;
4 93 9
-Ху - 2жхж2 + -ж9;
7ж^ + 4^Ж1Ж2 + Зж9;
-жхщ + Зж1?/2 + Зж2щ - 9ж2?/2;
ч11
-жхщ + -Ж1Т/2 + -ж2щ - х2у2;
п = 3:
— Ху + жхж2 — ж9;
2ж^ — 4жхж2 + 9ж9 + 4ж2жз + 2ж|;
жхщ - Ж1?/2 - ж2щ + 2ж2?/2 - х2у3 ~ х3у2 + ж3?/з;
2ж1у2 + 2ж2У1 - 2ж1у3 - 2ж3у1 + 4ж2у2 + 4ж2у3 + 4ж3у2 - - Зж3уз;
(р) 2ж^ + 4жхж2 — 2жхж3 — ж^ + 4ж2ж3 + 2ж|;
Зж^ — 2жхж2 — 2жхж3 + Зж^ — 2ж2ж3 + ЗЖ3;
ЗЖ| + 8жхж2 — 8жхж3 — 7ж| — 8ж2ж3 + ЗЖ3;
Жх - Ж1Ж2 + Ж1Ж3 + Ж2 + Ж2ж3 + Ж3;
4ж^ + 4ж1Ж2 — 12ж1Ж3 + ж^ — 6ж2ж3 + 9ж^;
Ж1у2 + ж2у1 - 2ж1у3 - 2ж3у1 - Ж1У1 - ж2у2 + 2ж2у3 + + 2ж3у2 - 4ж3у3;
Ж1У2 + Ж2У1 + Ж1УЗ + ЖзУ1 + Ж2У2 “ ®ЗУЗ-
п = 4:
ж^ + 2ж1Ж2 + 2ж1Ж3 + 2Ж1Ж4 + Ж2 — 2ж2ж3 — 2ж2Ж4 + Ж3 — - 2ж3Ж4 + Ж4;
Ж^ — 2Ж1Ж2 + 6Ж1Ж3 + 8Ж1Ж4 + 4ж| — 2Ж2Ж4 — 6ж3Ж4 + Ж4;
2Ж| — 4жхж2 + 4жхж3 + 6ж^ — 6ж2ж3 + 2ж2Ж4 + 6Ж3 + 2ж3Ж4 + + 4ж^;
ж^ + 2жхж2 + 2жхж3 + 2жхЖ4 — Ж2 — Ж3 — Ж4;
1111
т^уг + 2Ж2У1 + 2ЖзУ4 + ^Уз;
ЗЖ| — 8ж1Ж2 — Зж| — Ж3 + 4ж3Ж4 — 4ж^;
Е 4 + Е жгХр
Е к-^-Г^гУз1,25) Е ЖгХ^п-г,
i,j=lг=1
У^ Х^ + У2 %i%2n—г+1527) У2 ^г^г+1-
г=1г=1г=1
Найти канонический вид, ранг и сигнатуру каждой из квадратичных и билинейных форм задачи 32.27.
Доказать, что квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все характеристические числа ее матрицы положительны, и отрицательно определенной тогда и только тогда, когда отрицательны.
Пусть все характеристические числа вещественной симметрической матрицы А принадлежат отрезку [a, bY Доказать, что квадратичная форма с матрицей А — ХЕ положительно определена при А < а и отрицательно определена при Л > Ь.
Доказать, что квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все коэффициенты характеристического многочлена ее матрицы отличны от нуля
§ 32. Билинейные и квадратичные функции 303 и знаки этих коэффициентов чередуются, причем свободный член положителен.
1) Доказать, что линейное преобразование ср евклидова пространства, присоединенное к заданной в нем симметричной билинейной функции b (ж, уУ является самосопряженным.
Пусть в некотором базисе е билинейная функция b (ж, у) имеет симметричную матрицу В, а матрица Грама базиса е равна Г. Найти матрицу преобразования, присоединенного к функции b (ж, у).
В базисе е евклидова пространства задана квадратичная форма. Найти в том же базисе матрицу присоединенного к ней преобразования, если матрица Грама базиса е равна Г:
4ж^ + 16Ж1Ж2 + 6Ж2, Г = Азе;
4ж^ — 6Ж1Ж2 — 5ж2, Г = А55;
2Ж1Ж2 — Ж2, Г = Ад;
2Ж1 + 4Ж1Ж2 - 2ж1Жз - Ж2 + 4ж2Жз + 2ж|, Г = А2от;
5Ж1 + Ж2 + 4ж| + 2ж1Ж2 + 4жхж3 + 4ж2ж3, Г = А308;
Ж^ + Ж2 + Ж3 + Ж4 + 2Ж1Ж2 + 2Ж1ЖЗ + 2Ж1Ж4 — 2Ж2Ж3 — — 2Ж2Ж4 — 2Ж3Ж4, Г = А471.
Пусть в некотором базисе е n-мерного евклидова пространства с матрицей Грама Г квадратичная функция к (ж) имеет матрицу В. Доказать, что ортонормированный базис, в котором к (ж) диагональна, и ее диагональные коэффициенты в этом базисе находятся как решения обобщенной задачи на собственные значения и собственные векторы: В^ = АГ£, (Е, 6
Пусть М — r-мерное линейное подпространство п- мерного евклидова пространства. Функция к (ж) равна квадрату длины ортогональной проекции вектора ж на подпространство М. Доказать, что функция к (ж) является квадратичной. Найти диагональный вид, который имеет эта функция в некотором ортонормированном базисе.
Проверить, что по меньшей мере одна из двух данных квадратичных форм является знакоопределенной. Найти замену координат, приводящую эти две формы одновременно к диагональному виду, и записать этот диагональный вид обеих форм.
f = Ж^ + 2Ж1Ж2 + ЗЖ2, g = 4ж^ + 16Ж1Ж2 + 6Ж2;
5
f = 2х2 — 3x1^2 — -x^, § = 2х2 + 6x1X2 + 5х^;
f = Их2 — 6X1X2 + X^, g = 13х2 — 10X1X2 + 3x^5
f = 9х2 — Юж 1^2 + Зх^, g = 2xiX2 — ^2;
f = X2 — 2X1X2 + X^, g = 17х2 + 8X1X2 + Х2;
7
f = X2 + 2X1X2 + 5X2, g = 2X1X2 — “X2 — х|;
f = (1 + 4д/б) ж2 + 2д/б^1Х2, g = 5х2 + 4xiX2 + х^;
f= (l-^mVcr^P^Xi-^Vc^^ g=(l + m2)x2 +
+ 2mxiX2 + X2, где тиа — вещественные параметры, а2 + а ^
> 0;
f = 5х2 + 2xiX2 + 4xiX3 + Х2 + 4x2x3 + 4х|, g = 5х2 — — 2X1X2 + 4X1X3 + Х^ + 2X3;
f = 15X2 — 4X3 — IOX1X2 — 8x1X3 + 22X2X3, g = х2 — — 2x1x3 + 4x2 + 4х2Хз + 5х|;
(р) f = 6х2 + 6x1X3 + Х2 — 6x2X3 + 6x3, g = 2х2+2х1Хз + + Х2 — 2x2X3 + 2х|;
f = 2х? — 2xiX2 — 2x1X3 + Х2 + 2х|, g = 9х2 — 12xiX2 — — 24xiX3 + 4х| + I6X2X3 + 16х|;
f = х 1 + 7x2 + I6X3 + 19х2 — 4xiX2 + 10х1Хз — — IOX1X4 — 26x2X3 + 8x2X4 — 2X3X4, g = —X2 + 2X1X2 — 2X2 + + 4x2X3 — 5х| + 6x3X4 — Юх2;
f = х^ — 4x2x3 + 4х| — 4x3x4 + 4х2, g = х2 — 2xiX2 + + 2х| — 2x2X3 + 2х| — 2x3X4 + 2х2.
Доказать, что если среди линейных комбинаций двух квадратичных функций имеется положительно определенная, то эти две функции одновременно приводятся к диагональной форме. Показать на примере, что это условие не является необходимым.
В некотором базисе е n-мерного линейного пространства квадратичные функции f и g имеют соответственно матрицы F и G. Пусть в базисе е', заданном матрицей перехода
П 2
S от базиса е, функция g имеет каноническую форму ^ ^ ,а
функция f — диагональную форму zL Х^ . Доказать, что:
г=1
det (F - AG) = (det S)2(AX - А) ... (An - А);
векторы базиса е' находятся из системы уравнений (F — — AG) £ = о для каждого корня А уравнения det (F — AG) = 0.
Не находя замены координат, приводящей положительно определенную квадратичную форму g к каноническому
виду, а квадратичную форму f к диагональному виду, найти этот диагональный вид формы £
f = X2 + 2X1X2 + Х2, g = 10X1 + 6x1X2 + Х2;
f = 89xi — 42xiX2 + 6x2, g = 41xi — 18x1x2 + 2x^;
f = 7X1X2 + 31X2, g = X2 + 2X1X2 + 2X2;
f = 8X1 — 5X1X2 + -X2, g = X2 — X1X2 + -X2-
Билинейные и квадратичные функциив комплексном пространстве (32.40—32.47)
Показать, что:
если b (х, у) — билинейная функция в n-мерном комплексном арифметическом пространстве, то функция h(x, у) = = b (х, у) является эрмитовой билинейной;
если b (х, у) — эрмитова билинейная функция в пространстве Сп, то b (х, у) = h (х, у) — билинейная функция.
Привести следующие квадратичные формы к каноническому виду:
4х? — 12гх1Х2 — 9x2*,
9xi + 24(г + 1) Х1Х2 + I6X2;3) Х1Х2;
s2x2 — SX1X2 + х^, £ = е27гг/3;
(1 + г) х2 + (2 + 2г) Х1Х3 + гх^ + ЗХ3;
х2 + (2 — 2г)х1Х2 + 2x1X3 + 2гх^ + (2 + 2г)х2Хз + (1 + i^x^
—х2 — 4zxiX2 — (2 — 2г) Х1Х3 + 4х^ ~ (4 + 4г) Х2Х3 + 2гх|.
Составить матрицы данных эрмитовых билинейных форм в n-мерном пространстве:
-гх^1 (п = 1);2) -гх1уг (п = 2);
3xi^i + 4гх1^2 - 5aWi + гх2^2 (™ = 2);
-Згх^1 + 2xi^2 + 2х2^1 + (1 - г) х2у2 (™ = 2);
(1 + г) х^2 + (1 + г) х2^1 - 5х2^2 (п = 2);
(1 + г) х^2 + (1 - г) x2^i - 5x2^2 (п = 2);
xiy1 - Зх2у2 + (2 + г) х3у3 - гхуу2 + (4 + г)х3У1 (п = 3);
2xi^i - &W2 + (1 + 3V^) ж3у3 + 3xi^2 + Зх2^1 + (2 - - 5г) Х1^3 + (2 + 5г) х3ух + 4гх2^3 - 4гх3^2 (п = 3);
п
Е®гУг-
г=1
Какие из эрмитовых билинейных форм в задаче
32.42 симметричны? Записать соответствующие им эрмитовы квадратичные формы.
Записать эрмитову квадратичную форму, имеющую данную матрицу:
Л47;2) Л79 (при е = е2?гг/3);3) Л280;4) Л491.
Эрмитова квадратичная форма записана в ортонор- мированном базисе n-мерного унитарного пространства. Найти ортонормированный базис, в котором данная эрмитова квадратичная форма имеет диагональный вид, и записать этот диагональный вид:
2 |Ж1|2 + 2X1X2 - 2X2X1 + 2 |Х212 (п = 2);
|xi|2 + (3 - 42) Х1Х2 + (3 + 42) х2Х1 + |х2|2 (п = 2);
|xi|2 + вХ1Х2 +ёх2Х1 + |х2|2 (е = е2?гг/3) (п = 2);
3 |xi|2 + 3 |х2|2 - 5 |х3|2 - 2X1X2 + 2x2xi (п = 3);
|xi|2 + |х2|2 + |х3|2 + Х1Х2 + х2Х1 +2X1X3 -2Х3Х1 +2Х2Х3 - — 2x3X2 (п = 3);
121 Xi |2 - (1 + 2) Х1Х2 - (1 - 2) х2Х1 + 2Х1Х3 + 2х3Х1 + (3 + + З2) Х1Х4 + (3 - З2) Х4Х1 + 12 |х2|2 + (1 - 2) Х2х3 + (1 + 2)х3х2 - — 2x2x4 — 2x4x2 + 8 |хз|2 — (1 + 2) Х3Х4 — (1 — 2) Х4Х3 + 8 |х4|2 (п = 4).
Восстановить симметричную эрмитову билинейную функцию h (х, у) по эрмитовой квадратичной функции к (х) = = h (х, х).
Доказать, что в линейном пространстве комплексных матриц порядка п функция k(X) = tr (х • ХТ^ является положительно определенной эрмитовой квадратичной функцией.
Глава 13
АФФИННЫЕ И ТОЧЕЧНЫЕЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
§ 33. Аффинные пространства
В этом параграфе используются следующие основные понятия: вещественное п-мерное аффинное пространство и его пространство векторов, декартова система координат, декартовы координаты и координатный столбец точки, независимая система точек, плоскость в аффинном пространстве, прямая линия, гиперплоскость, направляющее подпространство плоскости, проекции точки и вектора на плоскость параллельно другой плоскости, отрезок, выпуклое множество, выпуклая оболочка множества, симплекс, треугольник, тетраэдр, грани и ребра симплекса, параллелепипед, параллелограмм, граница, грани, ребра, вершины, диагонали параллелепипеда.
Единственную точку В аффинного пространства такую, что АВ = ж, обозначаем Р (А, ж).
Система точек А^, Ai, ..., Ak аффинного пространства называется независимой (или системой в общем положении), если система векторов AqAi, А0А2, ..., AqA^ является линейно независимой.
Рассмотрим плоскость т в аффинном пространстве Л. Пусть Ад — фиксированная точка, принадлежащая плоскости, bi, bk — базис направляющего подпространства плоскости, а О - фиксированная точка аффинного пространства. Радиус-вектором точки А относительно точки О называется вектор О А. Точка А с радиус-вектором ж принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда
Ж = Ж0 +tib! + ... + tkbk.(1)
Параметры ti, ..., tk принимают произвольные значения и однозначно определяются точкой А.
Если ввести декартову систему координат с началом в точке О, то все векторы в уравнении (1) могут быть заменены их координатными столбцами в этой системе координат О, е:
X = х0 + НЬ1 + ... + tkbk.
Наконец, записывая уравнение (1) покоординатно в базисе е, мы получим параметрические уравнения плоскости m в системе координат О, е:
Xi = ж,о + рЬц + ... + tkbik, г = 1, ..., к
Пусть тит' — две плоскости в аффинном пространстве А с пространством векторов С, а Л4 и АГ — направляющие подпространства этих плоскостей. Если Л4 С ЛЕ или ЛЕ С Аф то плоскости m и т' называются параллельными. Если m и т' не имеют общих точек и не параллельны, то эти плоскости называются скресциваюсцимися. Различают два случая: если при этом М П М7 = {о}, то плоскости называются абсолютно скреи^иваюи^имися^ если же тит' скрещиваются, а пересечение М П М* содержит ненулевой вектор, но не совпадает ни с одним из подпространств М и ЛЕ, то плоскости называются скресциваюсцимися параллельно подпространству МПМГ.
Если прямая сумма направляющих подпространств М и М7 плоскостей тит' совпадает с пространством векторов С, то плоскости тит' имеют единственную общую точку. В этом случае определено понятие проекции точки А Е А на одну из этих плоскостей параллельно другой, а именно: проекцией точки А на плоскость mf параллельно плоскости m (или параллельно Л4) называется точка пересечения плоскости т' с плоскостью, имеющей направляющее подпространство М и содержащей точку А.
Отрезком АВ, соединяющим точки А и В аффинного пространства, называется множество всех точек вида Р (A, tAB), t Е [0, 1]. Хотя в аффинном пространстве расстояние между точками не определено, тем не менее можно ввести понятие деления отрезка в заданном отношении. Если р и q — некоторые числа, р + q ф 0, то говорят, что точка С делит отрезок АВ в отношении р : q, если qAC = рСВ. Если отношение р : q отрицательно, то точка С лежит вне отрезка АВ.
Серединой отрезка называется точка, делящая этот отрезок в отношении 1:1.
Множество Q точек аффинного пространства называется выпуклым, если для любых двух точек из Q весь отрезок, их соединяющий, целиком содержится в Q.
Выпуклой оболочкой некоторого множества М аффинного пространства называется пересечение всех выпуклых множеств, содержащих М.
Выпуклая оболочка независимой системы точек Aq, Ai, ..., А^ называется к-мерным симплексом с вершинами Aq, Ai, ..., А^. Нульмерным симплексом является точка, одномерным — отрезок; двумерный симплекс с вершинами Aq, Ai, А^ называется треугольником, трехмерный симплекс с вершинами Aq, Ai, Аз, А^ называется тетраэдром. Всякий р-мерный симплекс, вершинами которого являются некоторые точки Bq, Bi, ..., Вр из множества вершин данного ^-мерного симплекса, называется р-мерной гранью данного /^-мерного симплекса (0 ^ к < р). Одномерные грани симплекса называются ребрами.
Пусть заданы точка Ад аффинного пространства А с пространством векторов С и система /1, ..., Д линейно независимых векторов С. Множество всех точек вида
Р (Ло, Mi + • • • + Мк), 0 << 1, j = 1, ... А (2)
называется к-мерным параллелепипедом П (Ло; Д, ..., fk) с вершиной Ло, построенным на векторах Д, ..., Д. Нульмерным параллелепипедом является точка, одномерным параллелепипедом — отрезок; двумерный параллелепипед называется параллелограммом. Границей параллелепипеда П (Ло; Д, ..., fk) называется подмножество тех его точек, для которых значения по крайней мере одного из параметров tj в (2) равны либо 0, либо 1. Множество точек границы параллелепипеда, для которых какие-нибудь фиксированные р параметров принимают произвольные значения, а значения остальных к — р параметров постоянны и равны либо 0, либо 1, называется р-мерной гранью параллелепипеда (к = 0, 1, ..., р — 1). Вершиной параллелепипеда называется любая его нульмерная грань (т. е. точка границы, для которой каждый из параметров tj принимает значение либо 0, либо 1). Одномерные грани параллелепипеда называются его ребрами. Отрезок, соединяющий какие-либо две вершины параллелепипеда и не лежащий ни в одной из его граней, называется диагональю параллелепипеда.
Проверить, что n-мерное линейное пространство С, является аффинным пространством с пространством векторов, совпадающим с Д если точками этого аффинного пространства считать векторы из Г и всякой упорядоченной паре векторов а, b ставить в соответствие вектор х = b — а.
Доказать, что в аффинном пространстве Л:
А А = о для любой точки А из Л;
Р (Л, о) = Л для любой точки А из Л;
АВ = —ВА для любых точек Л и В из Л;
равенство АВ = АуВу имеет место тогда и только тогда, когда ЛЛ1 = BBi.
1) Доказать, что система точек Ло, Л1, ..., Ак аффинного пространства независима тогда и только тогда, когда не существует плоскости размерности, меньшей к, содержащей эту систему точек.
Доказать, что система точек Ло, Л1, ..., Ак аффинного пространства независима тогда и только тогда, когда для произвольной точки О из равенств
Х^ОА^ + А1ОЛ1 + ... + ХкОАк = о,
Aq + Ai + ... + А^ = 0
следует, что Ao = Ai = ... = Хк = 0.
Независима ли система точек с координатами:
(0,1,1), (1,0,1), (1,1,0);
(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (2, 2, 2);
(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (2/3, 2/3, 2/3)?
Показать, что понятие независимости системы точек Ло, Лх, ..., А^ равноправно относительно всех точек этой системы. А именно, если система векторов ЛоЛ1, Л0Л2, ..., А^А^ линейно независима, то линейно независима и любая система Л^Ло, • • •, Л^Л^_1, AjAj-^y, ..., AqA^, 3' = 1, 2, ..., k.
Пусть шиш' — плоскости с направляющими подпространствами М и М. Доказать, что:
если М С М, то либо m и nV не имеют общих точек, либо m С т/
если М = М, то т и nV либо не имеют общих точек, либо совпадают.
Доказать, что если прямая имеет две различные общие точки с плоскостью, то она принадлежит этой плоскости.
Доказать, что если /с-мерная плоскость mi содержит независимую систему точек Ло, Л1, ..., Л/., общих с плоскостью m2, то mi С m2.
Доказать, что существует ровно одна /с-мерная плоскость, содержащая независимую систему точек Ло, Л1, ..., А^.
Пусть Ло, Л1, ..., Л^ — независимая система точек в /с-мерной плоскости т, а О — фиксированная точка аффинного пространства. Доказать, что m состоит из тех и только тех точек Л, для которых
О А = АоОЛ0 + А1ОЛ1 + ... + Х^ОА^
где Ao, Ai, ..., А/. — числа, удовлетворяющие равенству Ао + + Ai + ... + А/. = 1.
Пусть li, I2, I3, I4 — прямые в аффинном пространстве, причем li параллельна I2, a I3 параллельна I4. Пусть, далее, I3 пересекает li и I2 в точках Л1 и By соответственно, a I4 пересекает li в точке А^. Доказать^ что I4 пересекает и I2 в точке В2 такой, что Л1Л2 = ВуВ2, АуВу = А2В2.
Доказать, что любые две прямые n-мерного аффинного пространства (п ^ 3) целиком содержатся в некоторой трехмерной плоскости.
При каком необходимом и достаточном условии две прямые х = ао + ayt и х = bo + byt содержатся в одной двумерной плоскости?
Составить уравнения:
прямой, проходящей через точки Л(—1, 0, 3, —2) и В (2, 1, 4, 5);
двумерной плоскости, проходящей через точки А (-2, 1, 1, 1), В (1, 3, -5, 2) и С (0, 1, 1, 4);
трехмерной плоскости (гиперплоскости), проходящей через точки А(1, 1, 0, —1), В (2, — 1, 3, 3), С (1, — 1, 1, 5) и D (0, 0, 3, -1).
Пусть А (ж'ь ж'2, ..., ж^) и В ^х'^ х'^ ..., ж") — две различные точки, р и q — некоторые числа. Найти координаты точки С, делящей отрезок АВ в отношении р : q.
Пусть точки А, В, С в п-мерном пространстве не лежат на одной прямой. Доказать, что медианы треугольника АВС проходят через одну точку и делятся в этой точке в отношении 2:1, считая от вершины.
Точка М принадлежит гиперплоскости^ заданной уравнением aixi + ... + апхп + по = 0, а вектор ММ\ имеет координатный столбец (ai, а^ ..., ап)Т. Доказать, что координаты точки Mi удовлетворяют неравенству aixi + ... + аихи + + ад > 0.
Составить параметрические уравнения плоскости, заданной системой линейных уравнений:
Л27Х = С4б; 2) Лщх = С29;3) Л19§х = С123;
Л249Х = С124;5) A267x = Сбб; 6) Л517Х = С125;
А403Х = С208;8) Л586Х = С123
Составить систему уравнений, определяющую данную плоскость:
х = с28 + ^33;2) х = с83 + Нс84 + ^с6б;
X = С147 + ^С146;4) X = сХ68 + £с207;
X = С199 + НС166 + ^2^200-
Составить уравнение гиперплоскости в четырехмерном пространстве, проходящей через точку М (—1, 2, 3, 5) параллельно гиперплоскости 2жх + Зж2 — 4жз + Ж4 + 5 = 0.
Составить уравнение прямой в четырехмерном пространстве, проходящей через точку М (—1, 3, 4, 0) параллельно прямой жх = 2 + 3f, Ж2 = — 1 + ^ Ж3 = ?С ж4 = 2 — t.
Составить уравнения трехмерной плоскости в пятимерном пространстве, проходящей:
через точку М (0, 1, — 1, 3, 4) параллельно трехмерной плоскости жх + 2ж2 + Зжз = Ж4, ху + ж2 + Ж3 + Ж4 = 2жз;
через точки Mi (1, 3, 1, 0, 1) и М2 (0, 0, 1, 1, —1) параллельно двумерной плоскости жх + Ж2 — 1 = 0, xi — ж3 + Ж4 = О, жх + ж3 - ж5 + 1 = 0;
через точки Mi (—1, 2, 0, 0, 4), М2 (1, 1, 1, 1, 1), М3 (0, 1, 3, — 1, 1) параллельно прямой жх = 1 + 2£, Ж2 = 3 — t. Ж3 = = 4, Ж4 = 1 +t- Ж5 = —t.
Пусть 1 и m — две плоскости в аффинном пространстве с направляющими подпространствами Г и АЛ соответственно, проходящие: 1 — через точку Л, m — через точку В. Доказать, что:
пересечение 1 с m непусто тогда и только тогда, когда вектор АВ принадлежит подпространству С + АЛ;
если плоскости 1 и m пересекаются, то пересечение 1 П m представляет собой плоскость с направляющим подпространством Г П АЛ.
Пусть две плоскости размерностей ki и к2 в п- мерном аффинном пространстве имеют общую точку, и Ад + + к2 > п. Доказать, что размерность пересечения данных плоскостей не меньше, чем ki + к2 — п. Дать формулировки этого утверждения для всех возможных случаев при п = 3 и п = 4.
Пусть плоскость 1 с направляющим подпространством С, проходит через точку Л, плоскость m с направляющим подпространством АЛ проходит через точку В, не совпадающую с А. Доказать, что существует и единственна плоскость наименьшей размерности, содержащая как 1, так и т; при этом направляющим подпространством искомой плоскости является сумма Г + АЛ + В, где Р — подпространство, натянутое на вектор АВ.
Сформулировать и доказать утверждение, аналогичное утверждению в задаче 33.25, для трех плоскостей.
Составить уравнения заданной плоскости в четырехмерном пространстве:
двумерной плоскости, содержащей точку Л(—1, 0, 2, 3) и прямую Ж] = 1 — С Ж2 = 3 + 2t. Ж3 = 1 + f, Ж4 = ЗА;
двумерной плоскости, содержащей параллельные прямые жх = —1 + 2А, Ж2 = t, жз = 0, Ж4 = — 5 — t и жх = 3 + 21. Ж2 = —4 + С жз = 1, Ж4 = —А;
трехмерной плоскости, содержащей точку А (—3, 0, 1, 0) И двумерную ПЛОСКОСТЬ Жх — Ж2 + Жз — 1 = 0, Жх + Ж2 + Ж4 = 0.
Составить уравнения плоскости наименьшей размерности, содержащей две данные плоскости пятимерного пространства:
прямые Xi = 1 — С Ж2 = 2 + 3/;, жз = 4/;, Ж4 = —t, Ж5 = 3 и жх = 2 + С Ж2 = 2/;, жз = 1 +Ж4 = —1 + 2/;, Ж5 = 3 — ^;
прямую жх = 2 + ^ Ж2 = —t, жз = — 1 + С Ж4 = 1 + 2/;, ж5 = — 3t и двумерную плоскость жх = 1^ + З^, ж2 = — 1 + 4ti — - ^2, Жз = -3 + £1 + ^2, Ж4 = 4 - И + ^2, Ж5 = -2 4- ^25
двумерные плоскости жх — жз + Ж4 — 1 = 0, жх + 2ж4 — — Ж5 — 2 = О, Ж2 + Жз — 2 = О И Жх = Ж2 = Жз = 1.
1) Доказать, что если две плоскости в п-мерном пространстве абсолютно скрещиваются, то сумма их размерностей не превосходит п — 1.
Доказать, что если две плоскости в п-мерном пространстве скрещиваются параллельно r-мерной плоскости, то сумма их размерностей не превосходит п + г — 1.
Исследовать взаимное расположение прямой и двумерной плоскости в четырехмерном пространстве, если двумерная плоскость задается уравнениями жх — 2жз + 1 = 0, жх + + 2ж2 — Зжз + ж4 — 2 = 0, а прямая задана параметрически:
жх=3 + 2/;, Ж2 = 5, жз =2 + t. Ж4 = t;
жх=—2 + 3/;, Ж2 = 3 — Lжз = —1 + 2/;, Ж4 =—4 + 4/;;
жх=6 + /;, Ж2 = 5 — /;, Ж3= 1 + 2£, Ж4 = 1 +3/;;
жх=— 1 + 2/;, Ж2 = 1 + ^жз = t, Ж4 = 1 — t.
Исследовать взаимное расположение двух двумерных плоскостей в пятимерном пространстве, если первая плоскость задается уравнениями жх = Ж2 = 1, жз + Ж4 = Ж5, а вторая — параметрическими уравнениями:
жх = 2 + И, Ж2 = 3, жз = 3 + 2/;2, Ж4 = 4, Ж5 = 5 + + И + ^2?
жх = —И, Ж2 = 3 + 2Н, жз = 2 + И, Ж4 = 1 + И — £2, ж5 = 2 + £2;
Жх = 2 + И + ^2? Ж2 = 3 + И + ^2? Жз = 3 + 2П + ^2) Ж4 = 4 + И, Ж5 = 5 — 2^;
Жх = и — ^2, ^2 = L Жз = И, Ж4 = 1 — ^2, ^5 = 3 — — И + ^2;
Жх = 1, Ж2 = 4, Жз = 1 + и + t^, ж4 = 2 + 2Н - 2/;2, ж5 = -5 + ЗН - ^;
жх = 1, Ж2 = 1, жз = 2 + 2Н + ^2, Ж4 = -3 + И - 3/;2, Ж5 = -1 + ЗН-2^2.
Доказать, что две прямые в четырехмерном пространстве, заданные уравнениями х = С209 + ^197 и х = С210 + + £с201, имеют единственную общую точку. Найти координаты этой точки и составить уравнения двумерной плоскости, содержащей данные прямые.
Точками аффинного пространства являются многочлены степени не выше 4, векторами являются те же многочлены: pi (<t^p2 (t) = рз (t) — pi (t\ Первая прямая содержит точки 2/;4 — 2f и t4 +t3 — Г вторая прямая содержит точки 5 + 10/;2 + 2t3 и — 1 — 2t2 + 2t3. Доказать, что эти прямые имеют единственную общую точку, и найти эту точку (многочлен).
Составить параметрические уравнения прямой в четырехмерном пространстве, содержащей точку с координатным столбцом С211 и пересекающей прямые х = С212 + ^202 и х = С213 + ^с2ю; найти координаты точек пересечения.
Система точек Ах, ..., А^ В^ ... Bj независима. Доказать, что существуют непересекающиеся плоскости 1 и m размерностей к — 1 и j — 1 соответственно такие, что плоскость 1 содержит точки Ai, ..., А^ а плоскость m содержит точки Bi, ..., Bj.
Пусть 1 и m — плоскости аффинного пространства такие, что пространство векторов аффинного пространства является прямой суммой направляющих подпространств £ и Л4 этих плоскостей. Доказать, что:
проекция любой точки аффинного пространства на плоскость 1 параллельно плоскости m определена однозначно;
проекция любого вектора АВ на плоскость 1 параллельно плоскости m является проекцией этого вектора на подпространство С параллельно подпространству М.
Найти координаты проекции точки М (5, 0, — 3, 4) четырехмерного пространства:
на гиперплоскость жх + Ж2 — Ж3 + 2x4 = 2 параллельно прямой Ж] = 1 — L Ж2 = 3 + 4£ Хз = 3£ Ж4 = 1 + t;
на двумерную плоскость х^ — Ж2 + Ж3 + 1 = О, х\ + ж 2 = Ж4 параллельно двумерной плоскости Ж1 + Ж2 + Ж3 + Ж4 = О, Ж1 — - 2ж4 - 3 = 0.
Является ли выпуклым множество точек в п-мерном аффинном пространстве (п = 1, 2, ...), координаты жх, ..., жп которых в декартовой системе координат удовлетворяют условию:
Q1X1 + . . . + ClnXn + ^0 — О?
Q1X1+... + апхп + а0> О;
Ахж?+... + Хпх^ < 1,гдеА^ >О,г =1,...,п;
ХуХу+... + Хпх^ 1,гдеА^ >О,г =1,...,п;
жх >О,Ж2 > О, ..., жп> О;6)жхж2 ...жп>О?
Доказать выпуклость fc-мерного параллелепипеда.
Доказать, что пересечение выпуклых множеств является выпуклым множеством.
Найти проекцию четырехмерного симплекса, ограниченного гиперплоскостями жх = О, х^ = 0, хз = 0, ж 4 = 0 и жх + ж2 + жз + ж 4 = 1, на гиперплоскость жх + ж2 + жз + Ж4 = О параллельно прямой жх = ж2 = Ж3 = Ж4.
Доказать, что все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, называемой центром параллелепипеда.
Для fc-мерного параллелепипеда найти число:
различных р-мерных граней;
различных диагоналей.
Определить форму и вершины сечений четырехмерного параллелепипеда — 1 ^ Жг ^ 1, г = 1, 2, 3, 4, гиперплоскостью Ж1 + Ж2 + Жз + Ж4 = 0.
§ 34. Точечные евклидовы пространства
В этом параграфе используются следующие основные понятия: точечное евклидово пространство, расстояние между точками, декартова прямоугольная система координат, ортогональные проекции точки и вектора на плоскость, правильный симплекс, прямоугольный параллелепипед, к-мерный куб, обьем к-мерного параллелепипеда, сфера, центр и радиус сферы, расстояние между двумя множествами, угол между вектором и плоскостью, между прямой и плоскостью, угол между двумя плоскостями.
Декартова система координат О, е называется декартовой прямоугольной системой координат, если базис е ортонормированный.
Ортогональной проекцией точки А на плоскость m с направляющим подпространством М называется проекция точки А на m параллельно А/Д. Аналогично определяется ортогональная проекция АуВу вектора АВ на плоскость т.
Правильным симплексом в точечном евклидовом пространстве называется симплекс, у которого длины всех ребер равны между собой. Параллелепипед П (Ао; Д, ..., Д) называется прямоугольным, если система векторов Д, ..., Д ортогональная; /с-мерный прямоугольный параллелепипед называется к-мерным кубом, если длины всех его ребер равны между собой.
Сферой с центром в точке Ад и радиусом R > 0 точечного евклидова пространства называется множество точек {А :| |АдА| = Н^.
Расстоянием между двумя множествами АЛ и JV точечного евклидова пространства называется величина
inf \АВ\.
АеМ^ВеМ
Углом между ненулевым вектором и плоскостью m называется угол между этим вектором и направляющим подпространством плоскости т. Углом между прямой 1 и плоскостью т называется угол между направляющим вектором прямой 1 и направляющим подпространством плоскости т.
Углом между двумя плоскостями называется угол между направляющими подпространствами этих плоскостей.
В задачах § 34 координаты векторов задаются в ортонормиро- ванном базисе, а координаты точек — в декартовой прямоугольной системе координат.
Проверить, что расстояние р (А, В) между точками А и В в точечном евклидовом пространстве обладает следующими свойствами:
р (А, В) = р (В, А) для любых точек А и В;
р (А, В) < р (А, С) + р (В, С) для любых точек А, В, С;
для любой точки С такой, что А С = ЛАВ, выполняется равенство р (А, С) = |Л|р(А, В).
Найти длины сторон и внутренние углы треугольника АВС, заданного координатами вершин:
А(-1, 0, -1, 2), В (0, 2, 0, 3), С (2, 1, 1, 2);
А(1, 2, 2, -1), В(3, 0, 3, -1), С (2, 1, 1, 0);
А (0, 1, -1, 2, -1), В (4, 1, 1, 2, 3), С(3, 4, 2, 5, -1).
Доказать, что множеством точек, равноудаленных от двух заданных различных точек А и В, является гиперплоскость, проходящая через середину отрезка АВ перпендикулярно этому отрезку.
Найти центр и радиус сферы, описанной около четырехмерного симплекса, заданного координатами вершин:
Ао (4, -2, -1, -1), Ai (1, 1, 2, 2), А2 (3, 1, 0, 0), А3(0, 2, 3, -1), А4(1, -5, -4, 2);
Ао (3, 3, 1, -1), Ai (1, 3, 3, 1), А2 (0, 3, 4, -1), Аз (2, 1, 2, 3), А4 (2, 3, 0, 1).
Гиперплоскость m в четырехмерном точечном евклидовом пространстве содержит тетраэдр, заданный координатами своих вершин: АД4, 4, — 1, 1), А2 (—2, —8, —5, 1),
Лз (3, 3, 1, 3), А4 (1, —2, 4, 1). Гиперплоскость m рассматривается как трехмерное точечное евклидово пространство. Найти в этом пространстве центр и радиус сферы, описанной около данного тетраэдра.
Доказать, что расстояние от точки А до ^-мерной плоскости m равно:
расстоянию между точкой Л и ее ортогональной проекцией на т;
длине ортогональной составляющей вектора АВ (В — произвольная точка из т) относительно направляющего подпространства плоскости т.
Пусть 1 и m — плоскости с направляющими подпространствами СиМ соответственно, проходящие: 1 — через точку А и m — через точку В. Доказать, что расстояние между плоскостями 1 и m равно длине ортогональной составляющей вектора АВ относительно подпространства С + М.
Гиперплоскость m задана уравнением а\Х\ + ... ... + аихи + ао = 0- Доказать, что:
вектор с координатным столбцом (ai, ..., а^ ортогонален т;
расстояние от точки А (щ, ..., уп) до m равно
|aiyi + ... + апуп + «О|/ДГ+77+Д.
Точка А задана координатами, гиперплоскость m — уравнением. Найти расстояние от А до т, если:
А (9, 2, — 3, 1), т: 3xi + х^ — х^ — 6x4 + 3 = 0;
А (1, — 3, 0, —2, 4), т: 2xi — 5x2 + Х3 + 8x4 + 6x5 — 7 = 0.
Составить уравнение гиперплоскости, параллельной гиперплоскости m и расположенной от m на заданном расстоянии d. если:
m: 5xi + 2x2 — 4хз + 2x4 = 3, d = 2;
т: Xi — 4x2 + 2хз + 2x4 = 4, d = 5;
т: 2xi — Х2 — Х3 + Х4 + 8x5 = —5, d = 3.
Найти ортогональную проекцию точки А на гиперплоскость т:
А (7, — 1, 6, 1), т: 3xi — Х2 + 2хз + Х4 = 5;
А (1, 2, 8, —2), т: 2xi — 2хз + Х4 = 11;
А (3, 0, — 1, 2, 6), т: 5xi + 8x2 — 2хз — Х4 + 4хз = —16.
Точки А и В заданы своими координатами. Найти ортогональную проекцию вектора АВ на гиперплоскость т, если:
А (-3, 0, 1, 3), В (5, 2, 2, 3), т: 2хх + х2 - х4 = 3;
А (3, 3, -8, -3, 4), В (3, 2, -1, -2, 2), т: хг + х2 - — 2х3 + Х4 + Х$ = 5.
Найти отношение длины ортогональной проекции произвольного ребра n-мерного куба на его диагональ к длине диагонали.
Найти точку, ортогонально симметричную точке А относительно гиперплоскости т:
А (5, 5, 3, 3), т: 2хх + Зх2 + х3 + 2^4 + 2 = 0;
А (3, 5, —3, 5), т: xi — Зх2 + 4х3 — 6x4 — 2 = 0;
А (3, 6, 3, 8, 1), т: xi — х2 — 2x4 + 2хз — 3 = 0.
Найти ортогональную проекцию точки А на прямую 1:
А (1, -5, 2, 0); 1: хх = 4 + С х2 = 3 + 2^, х3 = -3 - t, Х4 = 7 + 3/;;
Л (-2, 1,4, 2); l:xi = -3 + 2£, х2 = 3 - t, х3 = -1 + С Х4 = — 3 + Г
Л(2, 4, 3, -1, 1); 1: хх = 2 - 2^, х2 = -1 + 3^, х3 = = —1 + 2L Х4 = 2 + t^ х^ = — t.
Точка А не принадлежит плоскости т. Доказать, что существует единственная прямая, проходящая через точку Л, пересекающая m и перпендикулярная к т.
Составить уравнения перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую 1:
А (1, -3, -2, 4); 1: xi = 4 + ЗС х2 = 2 + С х3 = 3 + С Х4 = —1 — ^;
Л (1,-3, -1,3); 1: хх = 2 + ^, х2 = 1 - 2^, х3 =-1 + + 2С Х4 = t;
А (4, 0, 1, 1, 1); 1: xi = С х2 = 3 - 2^, х3 = -2 + t, Х4 = —3 + 2С Х5 = t.
Найти точку, ортогонально симметричную точке А относительно прямой 1:
А (4, 1, — 1, —1), 1 — прямая задачи 34.15, 1);
Л (2, 5, —3, —2), 1 — прямая задачи 34.15, 2).
Найти угол между вектором, заданным координатным столбцом а, и гиперплоскостью т, если:
а = (0, 1, 0, 1)т, т: Зхх — х2 + х3 — 6x4 = 2;
а = (1, — 1, 1, 1)т, т: Зхх — Х2 + 2хз + 2x4 = 5;
а = (1, —3, 2, — 1, — 1)т, т: хх + Х2 — 2хз + ЗХ4 — Х5 = 1.
Найти угол между прямыми 1Х и Ь, если:
h* Xi = 4 + С Х2 = —2t, Х3 = 1 — t, Х4 = 2; h: хх = 3, Х2 = t. Х3 = 5 + t, Х4 = — 1;
11: хх = 1 + С Х2 = 2 + С хз = 3 + t, Х4 = 2С Х5 = = 1 — t; I2 : хх = t, Х2 = 5, Х3 = — 1 + С Х4 = 3 — 2t. Х5 = = 2t.
Найти расстояние от точки А до прямой 1:
А (0, 3, 2, —5); 1: хх = 1 + t, Х2 = —t, хз = 2 + 2t. х4 = -2 + 2t;
А (2, —2, 1, 5); 1: хх = 3 + ^ Х2 = —1 + С хз = 2 + t, Х4 = —t;
Л(3, 3, 1, 0, 0); 1: хх = 2 + 3^ х2 = 1 + 2^ х3 =-t, Х4 = 1 + х3 = —1 — t;
А (1, — 1, — 1, 1); 1: хх + Х2 + 2хз + 1 = 0, 3x2 + 2хз — — Х4 — 1 = 0, ХХ — Х2 + Хз + Х4 + 2 = 0.
Прямая 1Х с направляющим вектором ai проходит через точку Лх, прямая I2 с направляющим вектором а^ проходит через точку А^. Доказать, что:
если ai и а2 не коллинеарны, то квадрат расстояния между 1Х и I2 равен det Г (ЛХЛ2, ах, «2)/ det Г (ах, g^);
если ai и а^ коллинеарны, то квадрат расстояния между 1Х и I2 равен detr(AxA2, аХ)/|аХ|2.
Найти расстояние между прямыми 1Х и I2:
11 • хх = 1 + t, Х2 = —1, хз = — СХ4 = —2 + t;
I2:хх = 4 + t, Х2 = 2t, Х3 = 1 + t,Х4 = t;
1х: хх = 2 + t, Х2 = —1 — 2t,Х3 = 2 + 2t,Х4 =1 — t;
I2: хх = 3 — t, Х2 = 1 + 2t, хз = —1 — 2t, Х4 = 2 +
li: xx = 3 + t, X2 = 2, X3 =t, X4 =3 +t, X5= —t;
I2:xx = 1 + 2t, X2 = 2t, X3 = 1 — t, X4 = t,X5= 2;
lx:xx = 1 +1,X2 = 2t,X3 = 1 —t, X4 = —1 +1,X5 = t;
I2:xx = 3+ t, X2 =—2t, X3 = — 1 — t,X4 = l + t, X5= 2 + t;
li:xx = 1 —2t, X2 =0, X3 =t, X4 = 1 +1,X5 = 2;
I2:xx = —1 + t, X2= —1 + t,X3 = 0,X4 = 1, X5 =—2 — t.
Составить уравнения перпендикуляра, опущенного из точки А на плоскость т, если:
А (3, 7, —2, 1); т: хх = 2 + tx, Х2 = 2 + t^, Х3 = tx + + t2, х4 = -t2;
А (-3, -1, 4, 7, -3); m: xi = ti + £3, ж2 = 2 + t2 + ^з, Хз = 2 4- tv, Ж4 = 1 + t2 + ^3, Ж5 = 1 + ^2-
Найти ортогональную проекцию точки А на плоскость т, если:
А (-3, 2, 2, -2); т: хг = 2 + Н + t2, ж2 = 4 + 2Н, Ж3 — Н5 Х4 — t2l
А (3, 2, 1, 4, — 1); т: жх = 1 + ti, ж2 = — 1 + t2, жз = = 2 + Н + ^2, ^4 = -2 - t^ хз = £2;
А (0, — 1, 5, 1, —2); т: жх = 1 + Н, ж2 = ^з, хз = 1 + + Н + t2l Ж4 = —2 + £3, Х5 = — 1 + t2.
Найти точку, ортогонально симметричную точке А относительно плоскости т, если:
А (5, 3, -1, -1); т: жх = 1 + Н, ж2 = t2, Ж3 = -2 + + t2l Ж4 = — 1 + Н?
А (3, 5, 0, 2, 2); т: жх = ti, ж2 = 2 + t2, Ж3 = —3 + Н, Ж4 = 3 — tx — t2, Хз = 1.
Пусть т — плоскость с направляющим подпространством М проходящая через точку Ад, а /х, • ••, А — базис в М. Доказать, что квадрат расстояния от точки Ai до плоскости m равен
det Г (Л0Л1, /1, ..., Д)/detr(/b ..., Д).
Найти расстояние от точки А до плоскости т:
в задаче 34.24, 1);
в задаче 34.24, 2).
Найти расстояние от точки А до плоскости т, заданной параметрически, если:
А (1, 2, 1, 1); т: жх = -2Н + 4£2, ж2 = -1 + Н - ^2, ж3 = “^3- Ж4 = Н — ^2;
А (3, 1, 1, 0); т: жх = —2 + Н, ж2 = — Н + 2t2, Ж3 = = Н ~ ^2? Ж4 = 1 — П — ^25
А (1, 2, 1, 3, 0); т: жх = 1 + Н, ж2 = — Н + t2, Ж3 = = 1 + t2, Ж4 = -1 - t2, Х3 = t\.
Найти расстояние от точки А до плоскости т, заданной системой линейных уравнений, если:
А (1, 0, 0, 1); их: жх + 2ж2 + 2жз — ЗЖ4 = 7, жх — 2жз + + 2ж4 = —6;
А (1, 2, 0, 0); их: жх + ж2 — жз — Ж4 = 1, 2ж2 — Зжз + + Ж4 = 2, 2жх + жз — ЗЖ4 = 0.
Точки А и В заданы своими координатами. Найти угол между вектором АВ и плоскостью их, если:
Л(1, 2, 2, 3), В (4, О, О, 2); m: хг = 1-Иь х2 = 2 + + ^2, ж3 = —Н + ^2? Х4 = 3;
Л (О, 1, -1,0, 1), В (3, 1,0, 1,2); т: xi=H + *2, ж2 = 5, х3 = -^2, ж4 = -ti + t2, х5 = 2 + Н;
А (-1, -1, 1, О, 1), В (2, 1, 1, 1, 0); т: хг = Н + ^з, х2 = 2 + t2, х3 = 1 — t2, х4 = -ti + ^з? ж5 = -2^3.
Плоскости 1 и т из n-мерного точечного евклидова пространства с направляющими подпространствами Т и М, соответственно проходят: 1 — через точку Л, m — через точку В. Пусть ^1, ..., ^ — базис в подпространстве С + М. Доказать, что квадрат расстояния между плоскостями 1 и m равен
det Г (АВ, gi, 9k)/det Г (gi, .gk\
Найти расстояние между плоскостями 1 и т:
1)1: xi = 2 — 2t, х2 = 4 + t. хз = 1 + х4 = 0; т: Xi = 1 — 2Н, ж2 = 1 + 2Н + 3^2? хз = 1 + Н, х4 = 1 + + 2Н + 2^;
1: Xi = 3 + Н + 2£2, х2 = -Н, хз = 1 + Н - ^2, х4 = -tY - £2; т: х4 = 2Н + ^2, х2 = 1 - ЗД + ^2, хз = -8 - t2, х4 = 1 + Н - ^25
3)1: xi = 2 + ^ х2 = 2/;, хз = 1, х4 = t. хз = 0; т: Xi = 0, х2 = 1 + Н + t2, хз = 3 + 2^, х4 = 2Н, хз = = 1 + Н — t2\
1: Xi = 1+/;2, x2=t2, х3 = Н, х4 = Н, х5 = 2Н; т: xi = t2 + 2^з, х2 = 2 + Н + 2£3, х3 = х4 = 1 + Н - t2 + ^з, хз = 2 + Н — t2 + 2/д;
1: 2x1 — ^з + Зж4 = 0, 2xi — 2x2 + Зхз — Зх4 = 8; т: Х2 = — Зхз — 2х4 = 2, xi — хз — х4 = 0;
1: xi + х2 — хз = 1, 2xi + х2 — х4 = 4; т: xi + х2 + + Хз = —1, Х1 + Хз + Х4 = 1, 2xi — Х2 — х4 = 0.
В n-мерном пространстве плоскости mi и m2 размерностей ki и к2 соответственно абсолютно скрещиваются. Доказать, что:
существует единственная плоскость размерности п — — ki — к2^ ортогональная к mi и к m2 и пересекающая каждую из этих плоскостей;
существует единственная прямая, ортогональная к mi и к m2 и пересекающая каждую из этих плоскостей.
Найти уравнения плоскости максимальной размерности, ортогональной к заданным плоскостям mi и m2 и пересекающей каждую из этих плоскостей, а также уравнения
общего перпендикуляра к mi и m2, если:
mi и m2 — прямые в задаче 34.23, 1);
mi и m2 — прямые в задаче 34.23, 3);
mi и m2 — плоскости в задаче 34.33, 3).
Найти угол между плоскостями mi: ад = 2 + /4 + + ^2, ^2 = ^3 = H, ж4 = -1 + Н - ^2 и m2: Xi = ti + 2t2, х2 = = 3 + ^2, $3 = 2 - t\ - 2t2, Х4 = —t2.
В правильном пятимерном симплексе Л0Л1Л2Л3Л4Л5 найти угол:
между гранями Л0Л1Л2 и Л0А3Л4;
между гранями Л0Л1Л2 и Л0А3Л4Л5;
между гранями Л0Л1Л2 и Л1Л2Л3Л4Л5.
Глава 14
ТЕНЗОРЫ
В § 35 используются следующие основные понятия: инвариант, тензор типа (р, q) (р раз контравариантный, q раз ковариантный, (р -\- q)-валентный тензор), ковектор, компоненты тензора, матрица из компонент тензора, закон преобразования компонент тензора при замене базиса.
Линейное n-мерное пространство обозначается через Сп. Всюду в этой главе предполагается, что пространство Сп вещественное. Тензор обозначается одной буквой, его компоненты — той же буквой с индексами. Например, компоненты тензора а типа (2, 1) обозначаются через а'^ (предполагается, что индексы г, j, к принимают всевозможные натуральные значения от 1 до п, где п — размерность пространства). Через а^ можно обозначать и сам тензор.
Нижние и верхние индексы называются также ковариантными и контравариантными соответственно.
Для элементов матрицы S перехода от одного базиса к другому принято стандартное обозначение aj (г — номер строки, j — номер столбца). Через Tj обозначаются элементы матрицы Т, обратной к S. Компоненты тензора типа (2, 1) при переходе к новому базису изменяются по формуле
its ij т s кat =akTiT9at-
В правой части равенства предполагается суммирование по индексам г, j, к. Все индексы пробегают натуральные значения от 1 до п. Аналогичный вид имеет закон преобразования компонент произвольного тензора. Говорят, что ниэюние индексы преобразуются с помощью элементов матрицы перехода S, а верхние — с помощью элементов обратной матрицы.
Инвариант, т.е. числовую величину, не зависящую от базиса, считают тензором типа (0, 0) (с одной компонентой). Относительным инвариантом веса р называется числовая величина, которая при переходе от базиса е к базису eS умножается на (det S)p.
Тензоры, все компоненты которых равны 0, называются нулевыми. В некоторых задачах употребляется тензор типа (1, 1), называемый символом Кронекера. Его компоненты во всех базисах определяются формулой
1010при i = j, при г / j.при i = j, при г / j.
1
0
1
0
при i = j, при г / j.
при i = j, при г / j.
В тех случаях, когда нужно выписать все компоненты какого-либо тензора, мы пользуемся матричной записью. Скажем о ней подробнее.
Предварительно все индексы тензора упорядочим следующим образом: сначала все верхние индексы слева направо, затем все нижние индексы слева направо ). Упорядочив индексы, мы можем совокупность компонент двухвалентного тензора записать в виде квадратной матрицы порядка п; при этом первый индекс компоненты полагаем равным номеру строки, второй — номеру столбца.
Аналогично, совокупность компонент трехвалентного тензора можно расположить в виде трехмерной матрицы n-го порядка. Чтобы записать трехмерную матрицу, поступаем следующим образом. Зафиксировав какое-либо значение к третьего индекса, мы получаем двумерный слой или двумерное сечение трехмерной матрицы — квадратную матрицу А к порядка п. В матрице А^ компоненты данного тензора расположены так, что значение первого индекса компоненты равно номеру строки, второго — номеру столбца, а третий индекс равен к. Теперь все компоненты данного тензора можно записать в виде (плоской) прямоугольной матрицы А = || Ai А 2 ... Ап |п ) размеров п х п2, образованной из элементов блоков А^. Матрицу А также условно называем трехмерной матрицей. Например, при п = 2 компоненты тензора аг-к образуют «трехмерную матрицу второго порядка»
аЦ а21 ^12 а22 «11 «21 «12 «22’
содержащую два двумерных слоя.
Компоненты четырехвалентного тензора в Сп образуют четырехмерную матрицу порядка п. Зафиксировав какие-либо значения к. I двух последних индексов, мы получаем квадратную матрицу Аы порядка н — двумерное сечение четырехмерной матрицы. В матрице Ак1 компоненты данного тензора расположены так, что значение первого индекса компоненты совпадает с номером строки, значение второго — с номером столбца, а третий и четвертый индексы равны соответственно к и I. Теперь все компоненты данного тензора можно записать в виде плоской квадратной матрицы А = || А^ |п порядка п2, образованной из элементов блоков А^. Матрица А также может быть названа условно четырехмерной матрицей. Например, при п = 2 тензору а^ы соответствует «четырехмерная матрица
второго порядка»
^1111 ^1211
^1112 ^1212
<^2111 ^2211
^2112 ^2212
^1121 &1221
^1122 ^1222
&2121 &2221
&2122 ^2222
содержащая четыре двумерных слоя.
В §36 рассматриваются следующие тензорные операции: сложение тензоров, умножение на число, умножение тензоров, свертывание по одному верхнему и одному нижнему индексу, свертывание двух тензоров, транспонирование, симметрирование и альтернирование тензора по некоторому множеству нижних или верхних индексов.
Вообще говоря, тензор, полученный в результате некоторой алгебраической операции, обозначается новой буквой. Так, тензор, полученный транспонированием тензора а^, можно обозначить bij; при этом для всех компонент выполнено равенство Ь^ = а^- Операция симметрирования обозначается заключением в круглые скобки тех индексов тензора, по которым производится симметрирование. Если внутри скобок оказались индексы, по которым симметрирования нет, эти индексы выделяются прямыми чертами. Например, тензор b^jki = ct(i\j\k)i получается из a^ki симметрированием по индексам г, к. Аналогичное замечание можно сделать об операции альтернирования, обозначаемой с помощью заключения в квадратные скобки индексов, по которым производится альтернирование. Умножение тензоров обозначается значком 0 или точкой. Умножение тензоров не коммутативно. Так, если a^j и bki — компоненты тензоров а и Ь, то можно записать а 0 b = с, b 0 а = d; при этом с^ды = CHjbkb dijki = bijUki- Тензоры c, d получаются один из другого транспонированием.
В § 37 рассматриваются тензоры в n-мерном евклидовом пространстве 8п. В 8п определен метрический тензор д. Его компоненты в произвольном базисе ei, ..., еп определяются через скалярные произведения базисных векторов формулой д^ = (е^, е^. Тензор д — симметричный типа (0, 2); его компоненты образуют в каждом базисе матрицу Грама Г этого базиса. Матрица Г-1 определяет симметричный тензор д* типа (2, 0) — контравариантный метрический тензор пространства 8п. Его компоненты обозначаются через дгГ Имеют место формулы: glkgkj = 5j, gikgk^ = 5^. В ортонормирован- ном базисе компоненты тензоров д^к и дгк образуют единичные матрицы.
В евклидовом пространстве определены операции поднятия и опускания индекса. Для того чтобы у тензора можно было опустить индекс, необходимо, чтобы данный тензор имел хотя бы один верхний индекс. В результате опускания индекса из тензора а получается новый тензор, у которого число нижних индексов увеличено на 1, а число верхних индексов уменьшено на 1 по сравнению с а. Новый
тензор во всех ортонормированных базисах имеет те же компоненты, что и старый. Перечисленные требования однозначно определяют операцию опускания индекса. В неортонормированном базисе компоненты старого и нового тензоров уже не совпадают. Аналогично определяется операция поднятия индекса.
Тензор, полученный из данного тензора в результате поднятия или опускания индекса, обозначается той же буквой, но с иным расположением индексов. Если некоторый верхний индекс появился взамен нижнего, то на месте исчезнувшего индекса оставляется пропуск или ставится точка, а вновь появившийся верхний индекс ставится над ней. Порядок перечисления индексов в преобразованном тензоре должен остаться тем же, что и в исходном, т. е. при упорядочивании индексов вновь появившийся верхний индекс занимает место исчезнувшего нижнего. При этом обычное правило порядка (все верхние индексы раньше всех нижних) может быть нарушено. Точки отмечают места нарушения.
Для того чтобы опустить индекс у тензора а. заданного своими компонентами в произвольном базисе, можно вычислить свертку произведения а 0 д или д 0 а и, при необходимости, изменить порядок индексов в полученном тензоре (транспонировать его матрицу). Аналогично, с помощью тензорных произведений а 0 д* и д* 0 и, осуществляется подъем индекса.
Поясним сказанное примерами.
Опускание индекса у тензора а^. В результате опускания индекса должен получиться тензор типа (0, 2). Обычный порядок индексов у тензоров а^ и а^ совпадает, поэтому опускание индекса у тензора a'j приводит к тензору a^j = gik^j‘
Подъем первого индекса у тензора a^j аналогичен:
~ кг
^з — д akj — akjg .
Поднимем второй индекс у тензора а^ т. е. вычислим тензор а?.. Вычисляя компоненты свертки aikg^k = Ц по обычным правилам, индекс j считаем первым, г — вторым. В тензоре а?. индекс г — первый, з — второй (при тех же значениях компонент). Матрица тензора а?. транспонирована по отношению к матрице тензора Ц.
Аналогично, тензор аг*к может быть вычислен как свертка аг1кд1^ но при записи его матрицы порядок индексов должен быть таким: г, j, к.
В некоторых задачах используются ориентация п-мерного евклидова пространства и дискриминантный тензор. Приведем их определения. Все базисы пространства 8п могут быть разделены на два класса так, что детерминант матрицы перехода от любого базиса из одного класса к базису из другого класса отрицателен, а детерминант матрицы перехода, связывающей два базиса из одного класса, положителен. В пространстве 8п задана ориентация^ если
выбран один из двух классов базисов. По аналогии с трехмерным случаем базисы этого класса можно называть правыми, а базисы другого класса — левыми. Ориентацию пространства можно задать, например, выбрав один какой-нибудь базис в качестве представителя правых базисов. Если ориентация выбрана, пространство называется ориентированным.
Дискриминантный тензор в ориентированном евклидовом пространстве определяется как тензор типа (0, п^ имеющий в некотором правом ортонормированном базисе координаты
'О, если среди значений индексов есть равные,
(—i)^(n...^)’ если значения индексов
, попарно различны.
Через 7V (И ... гД обозначено число нарушений порядка в перестановке (zi ... гД. Пользуясь законом преобразования компонент, мы можем найти компоненты дискриминантного тензора в любом базисе. В частности, его компоненты в любом правом ортонормированном базисе те же, что и в исходном.
В § 38 используются следующие понятия: поливектор (р-век- тор\ внешняя форма степени q (q-форма), простой (разложимый) поливектор^ разложимая внешняя форма. Теоремы и определения, касающиеся поливекторов, совершенно аналогичны теоремам и определениям, касающимся внешних форм. Поэтому задачи, сформулированные для поливекторов, могут быть поставлены и для внешних форм, и наоборот.
Под внешним произведением внешних форм и и г степеней р и q понимается их тензорное произведение, альтернированное по всем индексам и умноженное на число (р + q)!/(p?q!)- Оно обозначается и Г v. Аналогично определяется внешнее произведение поливекторов. Разложимый р-вектор представим в виде и = $i Г ... Л жр, где жх, ..., жр — векторы.
Внешнее произведение линейно по каждому сомножителю. В силу этого для данного р-вектора и множество таких векторов ж, для которых и Л ж = о, является линейным подпространством С. Говорят, что подпространство С определяется (или порождается) р-век- тором и.
В задачах этого параграфа мы, если не оговорено противное, задаем поливекторы (и внешние формы) с помощью их существенных компонент — тех компонент г?1"'^, для которых значения индексов удовлетворяют условию И < г 2 < • • • < Д (остальные компоненты поливектора и определяются по существенным с помощью условий антисимметрии). Существенные компоненты мы будем располагать в столбец или строку в лексикографическом порядке: компонента иИ ■"%р располагается перед и31 ‘"Д если для некоторого з^1 выполнено zi = Ji, ..., zs-i = Js-i, zs < js. Например, бивекто-
ру (2-вектору) в £4 соответствует столбец существенных компонент (и12, и13, и14, и23, и24, и34)т, а 3-форме в £4 соответствует строка (/123, /124, /134, /234)-
Под значением q-формы f на системе q векторов жх, ..., xq понимается свертка произведения f 0 жх 0 ... 0 xq. В частности, 2-форма определяет билинейную функцию, матрица которой в любом базисе кососимметрична:
=FT = -F
Матрица F называется матрицей 2-формы в рассматриваемом базисе.
§ 35. Определение тензора. Тензорные обозначения,пространственные матрицы
Пусть ^4, ^2 и ту, ту2 — координаты векторов х и у в произвольном базисе двумерного линейного пространства. Сопоставим этому базису числа:
^+г 2) е+г з) .
Как изменяются эти числа при замене базиса? Проверьте, является ли каждая из данных величин тензором.
Сопоставим каждому базису в линейном пространстве £п:
число 1;2) упорядоченный набор чисел 1, ..., п.
Будет ли данное соответствие тензором? Инвариантом?
Пусть ср — линейное преобразование линейного пространства £3. Обозначим через А = || аг- || его матрицу в произвольном базисе и сопоставим этому базису число:
det Л; 2) cos det Л; 3) RgЛ;
det АТЛ; 5) aj + а^ 6) aj + а^ + а|.
В каких случаях этим определен инвариант?
Пусть b — билинейная функция, В = || bij || — ее матрица в произвольном базисе пространства £п. Сопоставим этому базису число:
1) det В: 2) Ьц + ... + Ьии^ 3) 6ц;
detBTB; 5) RgB; 6) sign det В.
Как изменяется каждая из этих величин при замене базиса? В каких случаях она определяет инвариант?
Пусть f — линейная функция на линейном пространстве £п и (ах, ..., ап) — строка ее коэффициентов в произвольном базисе. Сопоставим этому базису:
число ах + ... + ап;
упорядоченный набор чисел ai, ..., ап.
Как изменяются данные величины при замене базиса? Какие из них являются тензорами? Инвариантами?
1) Какого типа тензор в £п определяет билинейная функция? Как найти компоненты этого тензора?
Какого типа тензор в £и определяет квадратичная функция? Как найти компоненты этого тензора?
Линейные функции f, g имеют в базисе е пространства £и коэффициенты од, ..., ап и 61, ..., 6П соответственно. Показать, что функции:
1) f;2) fg
определяют тензоры в £п. указать их типы и выписать для каждого компоненты в базисе е.
Линейные функции f, g имеют в базисе е пространства £и коэффициенты од, ..., ап и 61, ..., 6П соответственно. Сопоставим каждой паре векторов ж, у из £п число:
l)f^)g(y);2)Г(жЩу).
Показать, что каждая из полученных функций определяет тензор в £и^ указать его тип и выписать компоненты в базисе е.
Каждой паре векторов ж, у линейного пространства £и (л ^ 3) сопоставлено число f (ж, у\ определяемое через компоненты ^, .••) С и Ч1) Чп этих векторов, заданные в базисе е, одной из следующих формул: п
Даны тензоры а^, а^ £4ifbi. Величины с, d. д^ h определены в каждом базисе формулами:
1)с = а^У; 2) а = а^е^",
g = а^;4) /1 = b^.
Опираясь на закон преобразования компонент данных тензоров, показать непосредственно, что эти величины являются инвариантами.
Даны тензоры dj, ^гЬ^ Величины сг, di определены в каждом базисе формулами с? = а1^3 и di = a^bj соответственно. Опираясь на закон преобразования компонент данных тензоров, показать, что сг есть вектор, a di — ковектор.
Тензор типа (1, 1) имеет в некотором базисе компоненты
еслиг = Д
30, если г Д j.
Изменяются ли его компоненты при переходе к другому базису? Какой геометрический смысл имеет этот тензор?
Тензор типа (0, 2) имеет в некотором базисе компоненты
{
1, если г = Д
0, если г Д j.
Как изменятся его компоненты при переходе к другому базису? Какая билинейная функция соответствует этому тензору?
Тензор типа (1,0) имеет в некотором базисе компоненты
i 1, если г = го;
V = <
0, если г Д го
(го — фиксированное целое число, 1 ^ го ^ п). Найти компоненты данного тензора в базисе е' = eS.
Тензор типа (0, 1) имеет в некотором базисе компоненты
{
1, если г = ф;
0, если г го
(го — фиксированное целое число, 1 ^ ф ^ п). Найти компоненты этого тензора в базисе е' = eS.
Каждому базису пространства Си (п > 2) сопоставлены числа
1,= -г о1,= -г оесли г = к 7^ j = Z; если г = I ^ j = к^ в остальных случаях.
1,
= -г о
1,
= -г о
Будет ли такое соответствие тензором? Сколько нулевых компонент у этого тензора при п = 3?
Тензор 6 типа (0, 2) имеет в некотором базисе е линейного пространства £,и (п > 2) компоненты 6^1 = 5^° (Jo, Jo — фиксированные целые числа, 1 ^ ф ^ n, 1 ^ Jo ^ п, символ 5^° определен в задаче 35.18).
Выписать явно все компоненты тензора 6 в базисе е при п = 3.
Найти компоненты тензора 6 в базисе е' = eS.
Каждому базису пространства Сп (п > к ^ 1) сопоставлены числа:
если (Н, • • •, ч) — четная перестановка попарно различных чисел Ji, ..., 3^ если (Н, ..., г&) — нечетная перестановка попарно различных чисел Ji, ..., 3^ в остальных случаях.
Будет ли такое соответствие тензором?
1) Тензор типа (0, п) имеет в некотором базисе компоненты
{
^_1^(гт ...гп)^ если все числа Н, ..., г^ различны;
Ов остальных случаях
(N (Н ... гп) — число нарушений порядка в перестановке (Н, ..., in^Y Вычислить компоненты данного тензора в базисе е' = eS.
Каждому базису пространства £,и сопоставлены числа ^1,...,гп- Будет ли это соответствие тензором типа (0, п)?
В четырехмерном пространстве дан трехвалентный тензор. Сколько компонент он имеет? Сколько слагаемых входит в выражение новой компоненты через старую при записи закона преобразования компонент? Сколько сомножителей будет в каждом слагаемом?
В пространстве £2 дан тензор типа:
(1, 1);2) (2, 0);3) (1, 2).
В развернутой форме, не используя сокращенных обозначений суммирования, написать закон преобразования его компонент.
В двумерном пространстве задан тензор типа (р, q\ Упорядочим его компоненты так, чтобы они составили столбец а высоты 2р+9. Записать закон преобразования компонент тензора в виде а' = У а, где V — квадратная матрица порядка 2р+^ и:
Р = 1, q = 1;2) р = 2, q = 0;
р = 1, q = 2.
Записать в матричной форме закон преобразования компонент тензоров типа:
1) (0, 2);2) (1, 1);3) (2, 0).
Компоненты двухвалентного тензора типа (р, q) образуют в произвольном базисе е линейного пространства £п матрицу Ае. Сопоставим базису е матрицу А”1. Доказать, что это соответствие определяет тензор, и указать его тип, если:
Р = 0, 9 = 2;
р = 1, q = 1 (объяснить геометрический смысл полученного тензора);
р = 2, q = 0.
Тензоры каких типов имеют двумерные матрицы компонент? Трехмерные? Четырехмерные? /с-мерные матрицы компонент?
Трехмерная матрица Цщ^Ц второго порядка имеет сечение к = 1, состоящее из единиц, а сечение к = 2 — из нулей. Выписать а^к для всевозможных значений индексов.
Трехмерная матрица Цщ^Ц третьего порядка имеет сечения к = 1 и к = 2, состоящие из единиц, а сечение к = 3 — из нулей. Выписать двумерные сечения данной матрицы, соответствующие г = 1, г = 2, г = 3.
1) Сколько различных двумерных сечений имеет трехмерная матрица третьего порядка? Какой порядок имеет каждое сечение?
Сколько двумерных сечений имеет четырехмерная матрица второго порядка?
Сколько двумерных сечений имеет четырехмерная матрица третьего порядка?
Числа 5^ образуют четырехмерную матрицу второго порядка.
Выписать все ее двумерные сечения, соответствующие фиксированным нижним индексам.
Найти связь между сечениями матрицы ||5^|| и матрицей Ц^/Ц (символы 5^z, 6^ определены в задачах 35.18, 35.19 соответственно).
1) Даны базис е и (р + д)-мерная матрица А. Доказать, что существует тензор типа (р, д), имеющий в базисе е матрицу А.
Доказать, что существует тензор любого наперед заданного типа.
Пусть f — вещественная функция от трех аргументов х 6 £п. у Е Сп^ z Е Сп^ линейная по каждому из этих аргументов при фиксированных остальных.
Выразить значение данной функции через компоненты векторов ж, р, z.
Показать, что совокупность коэффициентов полученной формы представляет собой тензор типа (0, 3).
Выразить компоненты этого тензора через значения f на базисных векторах.
Линейные функции f, g, h на £,3 имеют в базисе е коэффициенты од, a?, ot^ /31, /З2, /З3; 71, 72, 73 соответственно. Сопоставим тройке векторов ж, р, z из £3 число:
f (®)g (y)h (2);2) f (ж)£ (y)f (г);
f (®)f (y)f (2) + g (®)g (y)g (г) + h (ж)Ь (y)h (г).
Показать, что каждая из построенных функций определяет тензор в £3, указать его тип и выписать матрицу в базисе е.
Каждой тройке векторов пространства £3 сопоставлено число f (ж, у^ z\ определяемое через компоненты этих векторов в некотором базисе —£2, £3; ц2, ц2, ц3; С1? С2? С3 —
одной из следующих формул:
f (ж, у, г) = ^у2^ + ^у2^;
з . . .
f (®, у, г) = £
г=1
Указать тип соответствующего тензора и выписать его матрицу.
Пусть В — линейное пространство билинейных функций на £п. а у?: £п —> В — линейное отображение. Показать, что ср определяет тензор типа (0, 3) в пространстве £п.
Тензор типа (р, q) в базисе ei, 62, 63 пространства £3 задан матрицей А. Найти его матрицу в базисе е^, е^ е^ если:
р = 2, q = 1, А = Л726, ei = eb е'2 = е3, е3 = е2;
р = 2, 9 = 1, А = Л727, ei = -ei, е'2 = -е2, е'3 = -е3;
р = 0, д = 3, А = ^723, ei = 2ei, е2 = —е2, е^ = Зе3.
Определить, как изменяются компоненты тензора типа (1, 2), заданного в пространстве при произвольной перестановке базисных векторов.
Р= 1,q=2,А=Лб52,S=А24;р= 0,q=3,А=Л654,S=Aig;р= 0,q=3,А=Лб54,S=Л24;р= 2,q=1,А=Лб54,S=А24.Р= 1,q=2,А=Лб52,S=А24;р= 0,q=3,А=Л654,S=Aig;р= 0,q=3,А=Лб54,S=Л24;р= 2,q=1,А=Лб54,S=А24.Тензор типа (р, д) в базисе е пространства £2 задан матрицей А. Найти его матрицу в базисе е' = eS, если:
Р= 1,q=2,А=Лб52,S=А24;
р= 0,q=3,А=Л654,S=Aig;
р= 0,q=3,А=Лб54,S=Л24;
р= 2,q=1,А=Лб54,S=А24.
Р= 1,q=2,А=Лб52,S=А24;
р= 0,q=3,А=Л654,S=Aig;
р= 0,q=3,А=Лб54,S=Л24;
р= 2,q=1,А=Лб54,S=А24.
Алгебраические операции с тензорами
Линейные операции, умножение тензоров (36.1—36.20)
Проверить закон преобразования компонент суммы тензоров аг^к и Ъ1^ исходя из закона преобразования компонент слагаемых.
Как связана сумма линейных преобразований с суммой соответствующих тензоров?
Пусть Ае — матрица линейного преобразования ip. Ве — матрица билинейной функции b в базисе е. Определена ли сумма Ае + Вс? Будет ли тензором соответствие, сопоставляющее каждому базису е сумму матриц Ае + Ве?
Тензоры а и b одного типа имеют в базисе е матрицы компонент Аи В. Найти компоненты тензоров: а) а + Ь; б) 2а + 36; в) b — 2а в том же базисе, если:
А = Лб5о, В = Аб51;2) А = Aesi, В = А^;
А = Лб52, В = АббЗ;4) А = Лб93, В = Аб97-
Заданы матрицы А, В, С, D из компонент четырех тензоров. Определить, являются ли тензоры линейно зависимыми, если:
А = Абб2,В=Ages,С=Аббз,D = Аб52;
А = А650)В=А651,С=А652,D = А6бз;
А = Аббб,В=Аббз?С=Аббо,D = Аб52-
1) Какова размерность линейного пространства £ тензоров типа (р, q) в двумерном пространстве?
Указать какой-нибудь базис в С.
Указать еще один базис в С.
Базису е двумерного линейного пространства соответствует базис е* в пространстве тензоров типа:
1) (0, 1);2) (1, 1);3) (р) (0, 2);4) (1, 2).
Базис е* состоит из тензоров, имеющих в базисе е одну компоненту, равную 1, а остальные — равные 0. Как преобразуется базис е*, если базис е преобразуется матрицей перехода S?
Проверить закон преобразования компонент тензора а ® Ь, исходя из законов преобразования компонент сомножителей аг-к, Ьг-к.
Найти тип и матрицу тензора а ®Ь^ если:
тип а
матрица а
тип b
матрицаb
1)
(1, 0),
С12,
(1, 0),
сз1;
2)
(1, 0),
С12,
(0,1),
т c3i;
3)
(1, 0),
Т с12,
(1, 0),
С31;
4)
(0, 1),
Т с12,
(0,1),
т сзц
5)
(о, 2),
-417,
(0,1),
Д;
6)
(0, 1),
т
С7>
(0, 2),
^417;
7)
(2, 0),
^418,
(1, о),
cs;
8)
(1, Г,
-418,
(1, о),
cs;
9)
(1, о),
С8,
(2, 0),
^418;
ю)
(1, о),
С8,
(1, 1),
И18;
П)
(0, 3),
^650,
(0, 1),
т с25;
12)
(0, 1),
т с25>
(0, 3),
4ббо;
13)
(1, 2),
Я.651,
(0, 1),
т cs;
14)
(0, 1),
т с8>
(1, 2),
^51;
15)
(0, 2),
^417,
(0, 2),
^418;
16)
(0, 2),
^418,
(0, 2),
Я17;
17)
(1, Г,
Я13,
(1, Г,
Я19;
18)
(2, 0),
-413,
(1, 1),
-419-
Записать матрицу из компонент тензора:
агЫ; 2) a^bj^ 3) агЬ^ 4) щУ
как кронекеровское произведение матриц из компонент этих тензоров.
Пусть а.Ь — двухвалентные тензоры с матрицами Л, В. Какого типа должны быть эти тензоры, чтобы матрица их тензорного произведения была (правым) кронекеровским произведением:
1) А® В* 2) В® А?
Линейные функции f и g заданы в базисе е координатными строками и и ц. Найти матрицу тензора:
f 8 g; 2) g 8 £
Какой геометрический смысл имеют эти тензоры?
Линейная функция f задана в базисе е координатной строкой и. вектор у — столбцом ц. Найти матрицу тензора f ® у. Какой геометрический смысл имеет этот тензор?
1) Пусть х — вектор, f — ковектор. Доказать, что f 8 х = х 8 f.
Привести пример тензоров а и 5, для которых а 8 b Д Д b 8 а.
Пусть Ж1, Ж2, Ж3 — векторы, a fi, £2, fa — ковекторы. Какие из приведенных ниже выражений имеют смысл? Если данное выражение есть тензор, указать его тип:
Ж1 8 ж2 + ж28 ж3;2) Ж1 8ж2 8 Хз + ж28 Хз\
Ж1 8 fi - 2£8 Xi;4) ад 8£2 + fi 8 £2;
xi 8 £2 + ж28 fi;6) £ 8 жх 8 ж2 + ж2 8ж38 f2;
Ж1 8 Ж2 + хз8 хз — Ж1 8 Ж1;
fi8f2-3(f28f3).
Найти компоненты тензоров 1), 3), 5), 7), 8) задачи 36.15, если векторы Ж1, Ж2, Ж3 и ковекторы fi, f2, f3 заданы с помощью столбцов и строк соответственно: С20, С12, С25, с§\ т т
С105 С22'
1) Пусть а = ж 8 у. а векторы ж и у имеют в базисе е компоненты 1, 0, 0 и 0, 1, 0 соответственно. Найти компоненты тензора а в базисе е и в базисе е' = eS, где S = ^207-
Пусть а = f 8 g, а ковекторы f и g имеют в базисе е координатные строки (1, 0, 0) и (0, 1, 0) соответственно. Найти компоненты тензора а в базисе е и в базисе е' = eS, где S = ^207-
Пусть а = ж 8 f, а вектор ж и ковектор f имеют в базисе е компоненты 1, 0, 0 и 0, 1, 0 соответственно. Найти компоненты тензора а в базисе е и в базисе е' = eS, где S = Л.207-
Сравнить результаты задач 1), 2), 3).
Разложить тензор в произведение одновалентных тензоров, если он имеет:
тип (2, 0) и матрицу Л5;
тип (2, 1) и матрицу Л573.
1) Пусть а — тензор типа (1, 1) и матрица его компонент имеет ранг г. Доказать, что найдутся г линейно независимых векторов ai, ..., аг и г линейно независимых ковекторов
fl, ..., fr таких, что а = 52® fT
Q—1
Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для тензоров типа (2, 0).
1) Пусть тензор а типа (0, 2) имеет в некотором базисе матрицу ранга г. Доказать, что существуют г линейно независимых ковекторов fi, ..., fr и г линейно независимых г
ковекторов gi, ..., gr таких, что а = 52 ^ ® go-
Q=1
Представить билинейную функцию З^ц1 + 2£хц2 + + З^ц1 + 2£2ц2 как произведение линейных. Единственно ли такое представление?
Билинейная функция f в некотором базисе линейного пространства задана матрицей Л454. Представить ее как сумму двух произведений пар линейных функций: f (ж, у) = = fi (ж) gi (у) + f2 (ж) g2 (у\ Единственно ли это представление?
Свертывание (36.21-36.29)
Исходя из законов преобразования тензоров а?^ а1^ Ьг^ Щ^ Ьг^ ак1т1 ^к проверить закон преобразования компонент сверток:
1) а},;2)3) а^;4)
Исходя из геометрического смысла тензоров щ, Д, (Ар bij^ объяснить геометрический смысл сверток:
1)2) 4^;3) Ъ^-
Можно ли свернуть:
вектор и ковектор? 2) вектор и вектор?
пару ковекторов?
Записать произведение линейных преобразований в тензорных обозначениях.
Тензоры dp 8;х^ заданы матрицами: Л232, С104, Ciq4. Вычислить свертки:
а^.2) а}^;3) a^xt.
Сколько различных тензоров можно образовать при помощи свертывания из данного тензора типа (2, 2)?
Тензор ак задан матрицей:
^65152) Л655.
Найти матрицы сверток: а) а?; б) а - .
Тензор а^ задан матрицей:
А649;2) А693;3) Лб94-
Вычислить свертки: a) a-f; б) а^ в) а^ г) a-f; д) а^; е) а^.
1) Каждому базису пространства £п сопоставлен упорядоченный набор чисел а^1т (все индексы пробегают значения от 1 до п). Известно, что для произвольного вектора ^к числа а^т£? являются компонентами тензора типа (2, 2). Доказать, что а^1т — тензор типа (2, 3).
Каждому базису пространства £п сопоставлен упорядоченный набор чисел (1^т (все индексы пробегают значения от 1 до п). Известно, что для произвольного тензора и^ типа (1, 2) числа CL^lmn^ являются компонентами тензора типа (0, 2). Доказать, что аг^т — тензор типа (2, 3).
Транспонирование, симметрирование,альтернирование. Симметричные иантисимметричные тензоры (36.30—36.57).
Можно ли транспонировать тензор:
типа (1, 1);2) типа (2, 0)?
Один тензор типа (0, 2) получается из другого транспонированием. Как связаны соответствующие билинейные функции?
Тензоры
а^;2) aV; 3) a^;4) а^к
заданы соответственно матрицами А^^ А-^ А^^ A^q. Найти матрицы транспонированных тензоров.
1) Сколько различных тензоров можно получить с помощью операции транспонирования из данного тензора
ч "
Тензор типа (0, 3) задан матрицей Ag7o. Выписать матрицы всех тензоров, получаемых из него транспонированием. Изменится ли ответ, если данный тензор имеет тип (3, 0)?
Тензор а с компонентами сц^к задан матрицей А727. Выписать матрицы транспонированных тензоров b и с, если Ъ^к = — ^jki*) C-ijk — ^ikj'
Тензор а с компонентами a^kl задан матрицей А717. Выписать матрицы транспонированных тензоров b и с, если bijkl = ^kjUi cijkl = &lkjv
Пусть сц Ь — тензоры типа (1, 1). Выразить тензор с = b ® а через d = а ® Ь.
Не используя сокращенных обозначений, выпишите все компоненты тензоров, заданных в пространстве £2*
хгук\ 2) х^гук\ 3) х^гук^\ 4) хга^\
хгагк\ 6) хкаг^ 7) х^ар 8) х^ар
10) а^ 11)12) 5^;
5^;14) ^;15) 5^;16) а^.
Тензор агз задан матрицей:
1) Лщ; 2) Л77;3) Л24;4) Л232.
Найти компоненты тензоров: а) aN\ б) a^V
Тензор а^к задан матрицей:
Л650;2) Л651;3) Л720.
Найти компоненты тензоров: а) а^ь б) сц^у в) а щуку г) a(ijky
Тензор а^ задан матрицей:
Л694;2) Л684.
Найти компоненты тензоров: а) а^р; б) а^; в) а^.
Тензор а^к задан матрицей:
Л650;2) Л651;3) Л720.
Найти компоненты тензоров: а) а^уь б) а^кУ в) а[,ф-|/ф
Тензор а^ задан матрицей:
Л694;2) Лб84.
Найти компоненты тензоров: а) сь^; б) аУ^у в) ^^.
Тензор а^к задан матрицей:
Л726;2) Л721.
Найти компоненты тензоров: а) а^ку^ б) ащку
Тензор типа (0, 3) задан матрицей:
Л723;2) Л725;3) Л720;4) Л650;5) Л722.
Выяснить, является ли тензор симметричным (антисимметричным), и если да, то по каким индексам.
Тензор dj задан матрицей А:
Л58;2) Л207.
Вычислить инварианты: а) агу б) ciya^y в) аУ^-а^у Сравнить найденные инварианты с коэффициентами характеристического многочлена матрицы Л.
1) Доказать, что тензор £ii...in (см- задачу 35.21) кососимметричен по любой паре индексов.
Доказать, что тензор е^...^ кососимметричен по любому подмножеству множества индексов.
Доказать, что тензор ^ ‘ ^к (см* заДачУ 35.20) кососимметричен по любой паре верхних индексов.
Доказать, что тензор ^ ‘‘ ^ кососимметричен по любому подмножеству множества верхних индексов.
Доказать утверждение 4) для нижних индексов.
Пусть а^з и Ъгз — компоненты соответственно симметричного и антисимметричного тензоров. Вычислить свертку ацЪ4.
Для тензора <^"'^, определенного в задаче 35.20, и произвольных тензоров а31"*3к и Ь^_^к доказать, что:
°31-3к-°bi...3kV
Пусть а^^3^ = 0 для любого вектора Д. Доказать, что а^ц = 0.
Доказать, что а^ар = а^агр а^аТ = a\jakV
Вычислить:
Ш 2)3)
ij/Ji^ 5) ^«4.
1) Пусть тензор симметричен по некоторой паре индексов. Доказать, что операция симметрирования по этим индексам тензора не меняет, а операция альтернирования дает нулевой тензор.
Пусть тензор антисимметричен по некоторой паре индексов. Доказать, что операция симметрирования по этим индексам дает нулевой тензор, а операция альтернирования тензора не меняет.
1) Доказать, что для симметричного по двум первым индексам тензора имеет место тождество
a(ijk) — g V^ijk + ^kij + ^jki)*
Доказать, что для антисимметричного по двум первым индексам тензора имеет место тождество
^\гзк\ — "^v^ijk + ^kij + ^jki)*
1) Тензор типа (0, 3) симметричен по двум первым и симметричен по двум последним индексам. Доказать, что он симметричен также и по первому и третьему индексам.
Тензор типа (0, 3) антисимметричен по двум первым и антисимметричен по двум последним индексам. Доказать, что он антисимметричен также и по первому и третьему индексам.
Пусть тензор типа (0, 3) симметричен по двум первым индексам и антисимметричен по двум последним индексам. Доказать, что он нулевой.
1) Привести пример тензора типа (0, 3), для которого а^ц = 0, но не симметричного по трем индексам.
Привести пример тензора типа (0, 3), для которого a^j^ = 0, но не антисимметричного по трем индексам.
Доказать, что для ненулевого тензора а типа (0, 3) возможно одновременное выполнение равенств a^j^ = 0 и а^ц = 0.
Доказать, что любой тензор типа (0, 2) или (2, 0) можно разложить в сумму симметричного и антисимметричного тензоров.
Разложить в сумму симметричного и антисимметричного тензоров тензор типа (0, 2), заданный матрицей:
Л49;2) Л16;3) Л234.
Из символа Кронекера с помощью тензорных операций получить тензоры:
5^;2) ^"‘^ (см. задачи 35.18, 35.20).
1) Пусть симметричный тензор а типа (0, 2) имеет в некотором базисе матрицу ранга г. Доказать, что существуют г линейно независимых ковекторов fi, ..., £г, таких, что а = X fa ® fa- а=1
Сформулировать и доказать обратное утверждение.
Квадратичная функция у в С^ задана матрицей Л56. Представить ее как сумму квадратов двух линейных функций. Единственно ли это представление?
Тензоры в евклидовом пространстве
Векторы вр е^ заданы своими координатами (1, 0) и (cos a, sin а) относительно некоторого ортонормированного базиса ci, в2 двумерного евклидова пространства. Выписать матрицы: а) метрического, б) контравариантного метрического, в)
дискриминантного тензоров в базисах:
1) ei, е2;2) ei, е^.
Доказать, что в произвольном базисе евклидова пространства дискриминантный тензор имеет следующие компоненты: £г1...гп = 0, если среди значений индексов есть равные, и
= ( —l)^^1'"^^Vdet Г, если индексы попарно различны. Здесь Г — матрица метрического тензора, N(ii ... гп) — число нарушений порядка в перестановке (Д, ..., гп); а = 1 для правых базисов, ст = — 1 для левых базисов.
Доказать, что во всех правых ортонормированных базисах дискриминантный тензор имеет следующие компоненты: Eii...in = 0, если среди индексов есть равные, и е^...^ = = (—ДМо.-.г™), если Д...гп попарно различны. Здесь N(ii.. лп) — число нарушений порядка в перестановке (Д, ..., гп\
Какой тензор получается, если у метрического тензора поднять один индекс? Оба индекса?
Какой тензор получается, если у символа Кронекера опустить индекс? Поднять индекс?
Привести примеры свертывания с метрическим тензором, встречавшиеся в курсе линейной алгебры.
1) Тензор аг- определяет линейное преобразование в евклидовом пространстве Еп. Найти тензор, определяющий сопряженное преобразование.
Сформулировать условие, при котором тензор аг- определяет самосопряженное преобразование.
Метрический тензор и тензор а^ заданы соответственно матрицами:
^55)2) Л57, Л18;3) Л245, ^210-
Найти матрицы тензоров: а) аГ; б) а?; в) агз.
Верно ли утверждение: если матрица тензора а^ симметрична, то симметричны и матрицы тензоров:
^;2) ^?
Метрический тензор и тензор аг- заданы соответственно матрицами:
Л58, ^40;2) Л207, Л232.
Найти матрицы тензоров: а) сц^ б) а?.
Метрический тензор и тензор аг-к заданы соответственно матрицами:
^55) ^65о;2) Л55, A65i;3) Л207, ^722-
Найти матрицу тензора: а) а^к^ б) ар^ в) а^; г) аНк.
Метрический тензор и тензор ар заданы соответственно матрицами:
^57) ^697 52) Ащ, Лб94.
Найти матрицы тензоров: а) а^кГ, б) аНк1_
Упростить выражения:
^ijg^ + ^а^д1к)дкз; 2) б^д^ау, 3) а^д^д^д13.
Известно, что а^ = д^д^а^к- Выразить atmk через ар.
(р). Пусть ср — линейное преобразование евклидова пространства, ср* — сопряженное преобразование. У тензора, соответствующего произведению преобразований рхр* опускают индекс. Показать, что полученный тензор имеет тип (0, 2) и симметричен.
В двумерном евклидовом пространстве £2 вектору ^к сопоставляется вектор g^Ejk^- Доказать, что этим определено линейное преобразование пространства £2, и выяснить его геометрический смысл.
В трехмерном евклидовом пространстве паре векторов <Д гр сопоставляется вектор Ср = g^EujC7]^ Доказать, что вектор Ср есть векторное произведение векторов Ср и гр.
В четырехмерном евклидовом пространстве векторам ж, у. z с компонентами <Д у\ Ср сопоставляется линейная функция f с коэффициентами х/ = Eijkl^g^ Ск • Доказать, что £(ж) = £(у) = f(z) = о.
В четырехмерном евклидовом пространстве векторам х. у, z с компонентами <Д ц7, Ср сопоставляется вектор и с компонентами gTnlEujkC?Tp (к •
Доказать, что вектор и ортогонален векторам ж, у. z.
Доказать, что вектор п, соответствующий тройке ж, у. z, отличается множителем — 1 от вектора п, соответствующего тройке у. х. z.
Поливекторы и внешние формы
Функция fa от двух векторов на трехмерном векторном пространстве сопоставляет любым векторам ж и у смешанное произведение (а, ж, у). Доказать, что £а — 2-форма.
Выразить ее матрицу в ортонормированном базисе через координаты вектора а.
Найти связь между векторным произведением двух векторов и их внешним произведением.
Написать матрицу 2-формы ш в базисе е пространства £4^ если дано ее выражение через 1-формы, составляющие базис, биортогональный е:
l)w = f1Af2; 2) w =-fx A f3 + f2 A f4:
ЗЩ = f1 A f2 + f1 A f3 + f1 A f4 + f2 A f3 + f3 A f4.
Найти внешнее произведение двух 1-форм, заданных координатными строками:
Суд, С^;2) Сд5, Сд^
cf74, cf66;4) cf56, cf93.
Найти внешнее произведение трех 1-форм, заданных координатными строками:
с12? с13^ с14’2) Сд9, С52, с^;3) Cg3, cf24, cf18;
4) c172’ C154’ C218’^) C197’ C198’ СГо7’ ^) C255’ C256’ C257’
2-форма задана матрицей, 1-форма задана координатной строкой. Найти их внешнее произведение.
^-254? с81)2) Л254, С^;3) ^252? с^3;
4) A4gg, С162’5) А432, С204*
Пусть n, ui, v и w — внешние формы степеней соответственно р. р. q и г. Доказать, что:
(An) A v = А (п А п);
(п + пД А и = и А и + ni А щ
(п A п) A w = п A (п A w);
п А п = (—iyqx А и.
Доказать, что значение g-формы на системе векторов жх, ..., xq фактически зависит только от ^-вектора х\ А ... A xq.
Пусть f1, ..., fр — 1-формы. Найти значение р-фор- мы f1 А ... A fp на системе векторов жх, ..., хр.
2-форма в £4 задана строкой ее существенных компонент <р, а векторы х и у — координатными столбцами ^^ тр Найти значение 2-формы на паре ж, у:
Ф = с279> ^ = с174, 7) = С186;
<Р = с^б9, Е, = ст, г) = си?.
Доказать, что для линейной зависимости векторов til, ..., ар необходимо и достаточно, чтобы ai А ... А ар = 0.
Пусть ci, ..., еп — базис в £п. Доказать, что:
бивекторы вг К вj для всех пар г, j таких, что г < j. образуют базис в пространстве бивекторов пространства £п.
р-векторы е^ Л ... Л е^р для всех сочетаний индексов Д, ..., ip (Д < ... < ip) образуют базис в пространстве р- векторов пространства £п.
Базису е = (ei, 62, ез, 64) пространства £4 сопоставим базис t = (ei Л 62, ei Л 63, ei Л 64, 62 Л 63, 62 Л 64, ез Л 64) соответствующего пространства бивекторов, а базису е' — аналогично построенный базис е\ Найти матрицу перехода от е к Д если матрица перехода от е к ef есть S.
Внешнее произведение гр1"12™-1 векторов Ж1, ... ..., жп_1 из £п имеет п существенных компонент. Доказать, что при замене базиса в Д с матрицей перехода S строка а = = (а1, ..., ап) из существенных компонент аг = п1,->г~1>г+1> преобразуется по формуле а' = aS(detS)-1.
Используя результат задачи 38.8, доказать, что линейное пространство р-форм может быть отождествлено с сопряженным к линейному пространству р-векторов.
Доказать, что в £3 каждый бивектор разложим.
Доказать, что для разложимости бивектора uv в £4 необходимо и достаточно выполнение равенства п12п34 — — n13n24 + п14п23 = 0.
Пусть ai, ^2, ^з и ^4 — линейно независимые векторы. Разложимы ли бивекторы:
ai Л а2 + аз Л <24;
аз Л а2 + ai Л а4 + ах Л «2;
ai Л а2 + аз Л а4 + аз Л а2 + ах Л а4?
Разложим ли бивектор в £4^ задаваемый в некотором базисе столбцом существенных компонент а:
а = С279;2) а = С2бэ; 3) а = c27s;4) а = с281?
Доказать, что подпространство, порождаемое р- вектором, имеет размерность г ^ р, причем равенство достигается для разложимых р-векторов и только для них.
1) Пусть разложимый бивектор в базисе ei, ..., еп имеет компоненты иН. Доказать, что векторы 1г = uHej лежат в пространстве, порождаемом этим бивектором.
Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для разложимых р-векторов.
Может ли размерность подпространства, порождаемого бивектором в пространстве £4^ равняться 1? 3?
В некотором базисе пространства £4 бивектор и определен столбцом существенных компонент а. Найти линейное подпространство, порождаемое этим бивектором:
1) а = С279; 2) а = с269; 3) а = с278; 4) а = с280
Доказать, что разложимый р-вектор, определяющий подпространство £р^ может быть найден по этому подпространству с точностью до числового множителя.
1) А = Л502;2) А = Л503;3) А = Л506.1) А = Л502;2) А = Л503;3) А = Л506.Подпространство £2 в пространстве £4 задано системой линейных уравнений с матрицей Л. Найти компоненты бивектора, определяющего £2*.
1) А = Л502;2) А = Л503;3) А = Л506.
1) А = Л502;2) А = Л503;3) А = Л506.
Подпространства £1 и £2 в пространстве £4 порождены соответственно вектором х и бивектором и. Вектор задан координатным столбцом £,, а бивектор — столбцом существенных компонент а. Проверить, что £1 С £2^ и найти такой вектор у^ что и = х Г у:
£ = (-2, 6, 1, Щ, а = (10, 1, 3, 2, -4, -1)т;
£ = (1, 2, 0, 1/, а = (2, 1, 3, 2, 4, -1)т
.27. Подпространства £i и £2 в пространстве £4 порождены соответственно вектором х и бивектором и. Вектор задан координатным столбцом £,, а бивектор — столбцом существенных компонент а. Проверить, что £\ П £2 = {о}, и найти 3-вектор, порождающий £ = £\ ф £2. Найти уравнение подпространства £;
£ = (2, 2, 1, 1)т, а = (2, 1, 3, 2, 4, -1)т;
£ = (1, 0, 1, 1)т, а = (9, 5, 1, 4, -1, -1)т.
Пусть 1-формы f1, ... , ffc линейно независимы и для 1-форм д\ ..., дк выполнено равенство f1 л д1 + ...
... + £к Гдк = 0. Доказать, что дг = ^ а^^ Для всех г = 1,... Д,
7=1
причем агз = ар (лемма Картана).
1-формы f1, f2 и д1 заданы координатными строками ф1, ф2,^1. Существует ли такая 1-форма Д, что f1 Л д1 + + f2 Л Д = 0? Найти все такие формы, если они существуют:
!) ф1 = cf72, ф2 = cf73, t1 = cf66;
ф1 = cf97, ф2 = cf85, t1 = cf66;
Ф1 = cf66, <р2 = с^, £? = Д27;
ф1 = Д71, ф2 = cf86, f,1 = cf93.
Доказать, что для каждой 2-формы ш существует базис f1, ... , fn в пространстве 1-форм такой, что форма ш имеет канонический вид w = f^A f2 + f3A f4 + ... + f2p-1A f2p (2p < n).
2-форма задана своей матрицей в некотором базисе. Привести ее к каноническому виду, описанному в задаче 38.30:
^25о;2) Л439;3) Л490;4) Л499.
РЕШЕНИЯ
Введем на плоскости базис AD = а, АВ = Ь. Имеем:
DK = DC + СК = b - -a, BL = ВС + CL = а - -b, DM = XDK, 58
ВМ = p,BL. Найдем неизвестные А и ц. Так как
_/ з \/ з \
АМ = AD + DM = а + A I b - -а I = (1-АI а + АЬ,
\5 /\5/
/5 \/ 5 \
АМ = АВ +ВМ = b + д1 a-b I= ца +I 1 — -у I Ь,
у8 уу 8 у
3
то, приравнивая коэффициенты при а и Ь, имеем 1А = ц, А = 5
,5Л 316
= 1 — -ц, откуда А = -, ц = —. Окончательно, 8525
\DM\ : \МК\ =3:2, \ВМ\ : \ML\ = 16 : 9.
Параллелограмм строится на векторах а = 2ei + 2е2, b = = — ei + 4е2- Длины диагоналей параллелограмма — это длины векторов а + b и а — Ь. Имеем: а + b = ei + 6е2, а — b = 3ei — 2е2*, |а + b|2 = |ei|2 + 36|е212 + 12 (ei, 02), |а — b|2 = 9|ei|2 + 4|е212 — — 12(ei,e2). Поэтому |а + Ь|2 = 50, так как (ei, е2) = 1; |а — Ь|2 = 10. Итак, длины диагоналей параллелограмма равны 5\/2 и V10.
Один из углов параллелограмма — это угол у> между векторами а и Ь; cos<^ = / ’ J . Имеем (a, b) = — 2|eiI2 + 8|е212 +6(ei, 62) = = 10, |а|2 = 4|ех|2 + 4|е212 + 8 (еь е2) = 20, |Ь|2 = |ех|2 + 16|е212 - — 8 (ei, 02) = 10; cos<^ = 1/V2- Итак, острый угол параллелограмма равен 45°.
По определению b = х + у, где вектор х коллинеарен вектору а, а вектор у ортогонален вектору а. Иначе говоря, b = Аа + у, где (а, у) = 0. Умножая обе части векторного равенства скалярно на а, имеем
(а, Ь) = А|а|2 + (а, у) = А|а|2,
(а, Ь) (а, Ь)
откуда А = ———. Итак, х = ——— а.
|а|2 |а|2
Пусть вектор с имеет координаты ж, г/, %. Из условия ортогональности векторам а и b имеем: ж — г/ + ^ = 0, 5ж + г/ + ^ = 0. Выражая из первого уравнения z = у — ж и подставляя во второе, име-
ем: 2у + 4ж = 0, откуда у = —2ж, % = —Зж. Условию ортогональности векторам а и b удовлетворяет бесконечно много векторов с с координатами (ж, —2ж, —Зж). Из условия |с| = 1 имеем |ж| = 1/V14, откуда ж = ±1/V14. Задача имеет два решения: (1/V14, —2/V14, —3/V14) и (—1/V14, 2/V14, 3/V14).
Площадь параллелограмма равна S = |[ВА, ВС]| (если плоскость рассматривать в пространстве). Имеем В А = Зе2, ВС = = — 2ei + 2е2, |[ei, ©2]| = 3, \ВА^ ВС] = 6 [©2, 62 — ei] = 6 [©2, ©2] + + 6 [ei, 02] = 6 [ei, 02]. Искомая площадь равна S = 6 | [ei, 02] | = 18.
1) Если векторы ai, а2, аз компланарны, то, например, а3 = Aai + ца2. Так как (b3, аД = (b3, а2) = 0, то и (Ь3, а3) = 0, что противоречит равенству (b3, а3) = 1. Пусть теперь векторы ai, а2, а3 некомпланарны. Докажем, что в этом случае взаимная тройка существует. Так как (b3, аД = (b3, а2) = 0, то b3 = A[ai, а2]. Скаляр А находим из условия (b3, а3) = 1. Имеем A([ai, а2], а3) = 1, откуда А = l/(ai, а2, а3), a b3 = [ai, a2]/(ai, а2, а3). Аналогично находим bl = [а2, a3]/(ai, а2, а3), b2 = [а3, ai]/(ab а2, а3).
Формулы описаны выше.
По формуле задачи 3.26, 4), (bi, b2, b3) = l/(ai, a2, a3). Поэтому знаки чисел (ai, a2, a3) и (bi, b2, b3) совпадают. Значит векторы bi, b2, b3 образуют базис той же ориентации, что и ai, а2, а3.
, ЕС = ED^DC =, ЕС = ED^DC =—-2—-
, ЕС = ED^DC =
, ЕС = ED^DC =
11. Имеем: ED = "^BD =
2—- 1—-
= "^AD + "^АВ. Поэтому базисные векторы второй системы координат выражаются через базисные векторы первой системы так: 1222- - - -
е^ = 2^1 Т ~^25 ©2 = —3^ 3^2 Д^лее, АЕ = АВ -|- BE = АВ -|-
+ - (AD — AbV поэтому начало второй системы координат имеет
в первой системе координатыв первой системе координаты1 ,2 ,2зж"зу+з1 ,2 ,2зж"зу+з2 ,2зж + 32 ,2зж + 32 1\-, - . Теперь остается записать:3’3/ Р1+ з-2 1\-, - . Теперь остается записать:3’3/ Р1+ з-
в первой системе координаты
в первой системе координаты
1 ,2 ,2
зж"зу+з
1 ,2 ,2
зж"зу+з
2 ,2
зж + 3
2 ,2
зж + 3
2 1\
-, - . Теперь остается записать:
3’3/ Р
1
+ з-
2 1\
-, - . Теперь остается записать:
3’3/ Р
1
+ з-
Если бы три точки А, В, С лежали по одну сторону от искомой прямой, то они принадлежали бы одной прямой, параллельной искомой. Но точки А, В^ С не лежат на одной прямой; значит, две из них лежат по одну сторону от искомой прямой, третья — по другую.
Если Аи В лежат по одну сторону от прямой, С — по другую, то искомая прямая проходит через точки L (2, 3) и М (—1, 2) — середины отрезков ВС и АС соответственно; ее уравнение — = -—-,
т.е. ж — Зу + 7 = 0.
Аналогично разбираются два других случая расположения точек А, В, С относительно прямой.
Задача имеет три решения: х — Зу + 7 = 0, Зх + 4у — 18 = 0, 2ж + + 7г/ - 12 = 0.
Проведем через точку А(1, 2) прямую, перпендикулярную прямой Зх — у + 9 = 0. Ее параметрические уравнения х = = 1 + 3^, у = 2 — t (так как направляющий вектор имеет координаты (3, — 1)). Пусть Ai — искомая проекция. Обозначим через to значение параметра t на прямой х = 1 + 3^, у = 2 — t, соответствующее точке пересечения с прямой Зх — у + 9 = 0 (т.е. точке АД. Найдем это значение to из уравнения 3 (1 + З^о) — (2 — to) + 9 = 0, откуда to = — 1. Тогда искомая проекция имеет координаты (—2, 3). Далее, так как вектор А^В = AAi имеет координаты (—3, 1), то точка В имеет координаты (—5, 4).
5х/2V25х/2V2Точки, равноудаленные от двух данных прямых, имеют |ж-7у-1| |ж + у + 7| координаты, удовлетворяющие уравнению
5х/2V2
5х/2V2
Множество таких точек — пара прямых (биссектрисы двух углов между данными прямыми). Угол, содержащий точку А(1, 1), определяется неравенствами х — 7у — 1<0, х + у + 7>0. Поэтому урав- - х + 7у + 1 х + у + 7
нение искомой биссектрисы 5^/2 = ^/2’ Т'е' —
+ 17 = 0.
Введем систему координат с началом в точке А и базисными векторами ei = AAi, 02 = АВ, ез = AD. По условию задачи Ао (А/3, 0, 0), Во (0, А, 0), D (0, 0, А), где А > 0. Уравнение плоскости AoBqDo во введенной системе: Зх + у + z = А. Точка Ст имеет координаты (1, 1, 1) и принадлежит плоскости AoBoDo*^ значит, А = 5.
Объем параллелепипеда V = (AAi, АВ, AD ) . Объем тетраэдра
V' = 1V' = 1Л Ло, ЛВ(), ЛВдЛ Ло, ЛВ(), ЛВд-ЛЛЬ АЛВ, XAD-ЛЛЬ АЛВ, XADу18у18
V' = 1
V' = 1
Л Ло, ЛВ(), ЛВд
Л Ло, ЛВ(), ЛВд
-ЛЛЬ АЛВ, XAD
-ЛЛЬ АЛВ, XAD
у
18
у
18
(1)(2)(3)(1)(2)(3)
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
Уравнение плоскости с нормальным вектором п (А, В, С), проходящей через начало координат: Ах + By + Сz = 0. Из условия задачи имеем:
\Ap2B + 2С| _ 2
3V^2 + В2 + С2 ” 15 ’
|7Л + 4В + 4С| _ 4э+г+РТС1 - 45"Разделим (1) на (2):
2|Л + 2В + 2С| = |7Л + 4В + 4С|.
Конец нормального вектора искомой плоскости, отложенного из начала координат, имеет координаты ЛА, ХВ, ХС, где А ф 0. Условие принадлежности этого конца тупому двугранному углу между данными плоскостями имеет вид
(1 • 7 + 2 • 4 + 2 • 4) (ХА + 2ХВ + 2АС) (7АА + 4АВ + 4АС) > 0
(см. задачу 6.75), т.е. (А + 2В + 2С) (7А + 4В + 4С) > 0. Значит, (3) раскрывается как 2(А + 2В + 2С) = 7А + 4В + 4С, т.е. А = 0. Тогда из (1) имеем: 5|В + С\ = VB2 + С2, что равносильно 12В2 + + 25ВС + 12С2 = 0. Отношение В/С отсюда принимает два значения: —3/4 и —4/3. Нормальный вектор искомой плоскости можно взять равным п (0, 3, —4) или п (0, 4, — 3). Задача имеет два решения: 3?/ = 4г; 4у = Зг.
Введем полярную систему координат, полюс которой находится в центре эллипса, а полярная ось направлена по большой оси. Тогда х = г cos ф^ и эллипс имеет уравнение
а2Ъ2a2 sin2 ф + b2 cos2 фа2Ъ2a2 sin2 ф + b2 cos2 фг cos ф)2 (гзтф)2
а2Ъ2a2 sin2 ф + b2 cos2 ф
а2Ъ2a2 sin2 ф + b2 cos2 ф
-1^ = 1, т.е. г
о2
Так как по условию полярные углы точек А, В равны ф и ф + 7Г/2, то
2)АВ2 = О А2 + ОВ22)АВ2 = О А2 + ОВ211 a? sin2 ф + b2 cos2 ф a? cos2 ф + b2 sin2 ф а? + Ь2ОЛ2 + ОВ2 =^2+= а1Ь1 ■
2)
АВ2 = О А2 + ОВ2
2)
АВ2 = О А2 + ОВ2
а2Ъ2а2Ъ2
a2 sin2 ф + b2 cos2 ф a2 cos2 ф + b2 sin2 ф
а2Ъ2а2Ъ2
P + qcos2(^ р — qeos2ф1
где р = где р = а2 — Ь22q = > 0, так что АВ =42’а2 — Ь22q = > 0, так что АВ =42’2pa?b22pa?b2р2 — q2 cos2 2фр2 — q2 cos2 2ф
где р =
где р =
а2 — Ь22
q = > 0, так что АВ =
42’
а2 — Ь22
q = > 0, так что АВ =
42’
2pa?b2
2pa?b2
р2 — q2 cos2 2ф
р2 — q2 cos2 2ф
Наименьшее значение АВ достигается при cos2ф = 0 и равно= ,
уА2 + 62 наибольшее значение АВ достигается при cos2y? = ±l и равно
2) Найдем угол поворота ф системы координат из формулы (9) (при этом можно считать, что 0 < ф < тг/2, тогда sin2y> > 0, и
413
знаки tg2y> и cos2y> совпадают): tg2^ = -, cos2y> = —/===== = -,
•12 о
sin ф = cos ф = —=. Замена координат при повороте на угол ф
V5v 5
2х7 — у1 х1 + 2у* осуществляется по формулам (7): х = —, у = —. Под-
V5v 5
ставляя эти выражения в уравнение кривой, получим после упроще- 22224ния: х’ — 4у’ 4—— х’ 4—— 6 = 0. Выделим полные квадраты по у5v 5ставляя эти выражения в уравнение кривой, получим после упроще- 22224ния: х’ — 4у’ 4—— х’ 4—— 6 = 0. Выделим полные квадраты по у5v 5/2 + 2ж' •/2 + 2ж' •— 6 = 0, т.е.— 6 = 0, т.е.11 Л— + 4/55/5 V1 \2/ з-= ) - 4[ у'-/5/VV511 Л— + 4/55/5 V1 \2/ з-= ) - 4[ у'-/5/VV5/2/239\9/5 + 5/ “ 539\9/5 + 5/ “ 5ло координат по формулам х1ло координат по формулам х1) +1 = 0. Перенесем нача-1„,3у = уи получим/5у5) +1 = 0. Перенесем нача-1„,3у = уи получим/5у5хп2 — 4т//2 = — 1. Так как это уравнение отличается от канонического уравнения гиперболы знаком свободного члена, требуется дополнительный поворот системы на угол тг/2: х" = — У, у" = X, после которого получаем каноническое уравнение гиперболы: 4Х2 — У2 = 1. Записав теперь окончательные формулы перехода от исходной системы - X - 2У2Х - Ухп2 — 4т//2 = — 1. Так как это уравнение отличается от канонического уравнения гиперболы знаком свободного члена, требуется дополнительный поворот системы на угол тг/2: х" = — У, у" = X, после которого получаем каноническое уравнение гиперболы: 4Х2 — У2 = 1. Записав теперь окончательные формулы перехода от исходной системы - X - 2У2Х - Укоординат к канонической: ж =координат к канонической: ж =—1, у ==Ц, нахо-5V5—1, у ==Ц, нахо-5V5дим каноническую систему координат: Огдим каноническую систему координат: Ог1 2/5’ V5/1 2/5’ V5/ЕзЕз2121
ставляя эти выражения в уравнение кривой, получим после упроще- 22224
ния: х’ — 4у’ 4—— х’ 4—— 6 = 0. Выделим полные квадраты по у5v 5
ставляя эти выражения в уравнение кривой, получим после упроще- 22224
ния: х’ — 4у’ 4—— х’ 4—— 6 = 0. Выделим полные квадраты по у5v 5
/2 + 2ж' •
/2 + 2ж' •
— 6 = 0, т.е.
— 6 = 0, т.е.
11 Л
— + 4
/55/5 V
1 \2/ з
-= ) - 4[ у'-
/5/VV5
11 Л
— + 4
/55/5 V
1 \2/ з
-= ) - 4[ у'-
/5/VV5
/2
/2
39\9
/5 + 5/ “ 5
39\9
/5 + 5/ “ 5
ло координат по формулам х1
ло координат по формулам х1
) +1 = 0. Перенесем нача-
1„,3
у = уи получим
/5у5
) +1 = 0. Перенесем нача-
1„,3
у = уи получим
/5у5
хп2 — 4т//2 = — 1. Так как это уравнение отличается от канонического уравнения гиперболы знаком свободного члена, требуется дополнительный поворот системы на угол тг/2: х" = — У, у" = X, после которого получаем каноническое уравнение гиперболы: 4Х2 — У2 = 1. Записав теперь окончательные формулы перехода от исходной системы - X - 2У2Х - У
хп2 — 4т//2 = — 1. Так как это уравнение отличается от канонического уравнения гиперболы знаком свободного члена, требуется дополнительный поворот системы на угол тг/2: х" = — У, у" = X, после которого получаем каноническое уравнение гиперболы: 4Х2 — У2 = 1. Записав теперь окончательные формулы перехода от исходной системы - X - 2У2Х - У
координат к канонической: ж =
координат к канонической: ж =
—1, у ==Ц, нахо-
5V5
—1, у ==Ц, нахо-
5V5
дим каноническую систему координат: Ог
дим каноническую систему координат: Ог
1 2
/5’ V5/
1 2
/5’ V5/
Ез
Ез
21
21
Найдем уравнения проекции сечения на плоскость Оху, исключив г из данных уравнений. Получим ж2 + 2у2 — (2 — х — у)2 = = — 4, или у2 — 2ху + 4х + 4у = 0. Теперь найдем центр полученной линии второго порядка, используя уравнения (6) из введения к гл. 3. или задачу 9.18. Уравнения (6) имеют вид — 2у + 4 = 0, 2у — 2х + 4 = = 0. Находим ж о = 4, у о = 2. Так как искомая точка лежит на данной плоскости, то х0 + Уо + 2^о = 2, откуда го = —2. Ответ: С (4, 2, —2).
Изложим один из способов решения задачи. Сначала составляем уравнения проекции на плоскость Oyz сечения данного эллипсоида плоскостью х + у + г = h и находим центр полученной линии второго порядка. Искомый центр сечения имеет те же координаты уо, го, что и центр проекции; при найденных уо, го коорди
нату xq центра сечения легко определить из уравнения плоскости. Принимая h за параметр, таким образом находим искомое множе
ство точек.
Выполним намеченную программу. Уравнение проекции на плоскость О у z получим, исключая х из уравнений х2 + 2у2 + Зг2 = 4 и х + у + г = h. Получаем
Зу2 + 4г2 + 2yz — 2hy — 2hz + h? — 4 = 0.
Составляем уравнения для определения центра этой кривой (см. задачу 9.18)
^у + 2г — 2h = 0, 8г + 2у — 2h = 0.
Отсюда у о = З/г/11, го = 2/г/11. Подставляя эти числа в уравнение плоскости х + у + г = h, получим xq = 6/г/11. Итак, xq = 6/г/11, уо =
= ЗЛ/11, го = 26,/И. Обозначив h = Ilf, получим х = 6f, у = 3f, г = = 2f — уравнения линии центров. Однако искомому множеству принадлежат не все точки прямой, а лишь лежащие внутри эллипсоида. Вычисляя значения параметра t = ±^2/33, соответствующие точкам пересечения прямой и эллипсоида, находим ограничение на t. Ответ: х = 6f, у = 3t. z = 2t^ \t\ < ^2/33.
Укажем один из способов решения задачи. Запишем уравнение плоскости в параметрическом виде: х = 3 + а±и + bvuу = = 2 + а^и + 62 г, z = а^и + b^v. Подставив эти уравнения в уравнение эллипсоида, получим уравнение сечения во внутренних координатах плоскости:
(3 + а^и + 61г)2 + 2(2 + а^и + 62г)2 + 4(1 + а^и + 63г)2 = 9. (9)
Так как по условию центр этого эллипса лежит в точке с координатами uq = 0, го = 0, то в уравнении (9) отсутствуют линейные члены. Приравнивая нулю коэффициенты при этих членах, получим условия на координаты направляющих векторов плоскости: бах + 8^2 + 8^з = 0, 661 + 862 + 863 = 0. Они показывают, что за нормальный вектор искомой плоскости можно взять вектор п (6, 8, 8). Но наша плоскость по условию проходит через точку С (3, 2, 1). Поэтому ее уравнение имеет вид 6 (ж — 3) + 8(у — 2) + 8(г — 1) = 0, или Зх + 4у + 4г — 21 = 0.
Найдем проекцию сечения на плоскость Оху. Для этого исключим из данных уравнений z. Получим ж2 + у2 — 4 = 0. Следовательно, искомая проекция содержится в окружности. Однако для точек данного гиперболоида х2 — у2 + г2 + 1 = 0 всегда х2 — у2 + 1 < 0. Поэтому искомая проекция состоит из двух дуг окружности, заключенных внутри ветвей гиперболы х2 — у2 + 1 = 0. Найдя точки пересечения гиперболы и окружности, получаем ответ: г = 0, х2 + у2 = = 4, \у\ ^ V5/2 (или |ж| ^ ^3/2). Остальные проекции находятся аналогично.
1) Допустим, что данная поверхность — эллипсоид. В канонической системе координат уравнение эллипсоида линейных членов не содержит. Любая другая система координат с началом в центре симметрии эллипсоида отличается от канонической лишь базисом. Формулы замены базиса однородные, и при такой замене совокупность членов второй степени переходит в совокупность членов второй степени; линейные члены не могут «возникнуть». Для остальных типов поверхностей доказательство аналогичное. Отметим, что если у поверхности бесконечно много центров симметрии, то каждый из них можно принять за начало канонической системы координат.
6) Для решения задачи можно привести уравнение поверхности к канонической форме путем перехода к какой-нибудь декартовой (не обязательно прямоугольной) системе координат. После
этого определить тип поверхности можно по таблице типов, воспользовавшись результатом задачи 11.8 или непосредственно вычисляя ранги и сигнатуры большой и малой квадратичных форм поверхностей.
Упрощение данного уравнения выполним двумя способами.
Способ 1. Выделяя полные квадраты, содержащие последовательно переменные яд, ^2,^3, данное уравнение запишем в виде
(яд - 2ж2 - Зж3 - I)2 - 6 (яд + ^з)2 - 6x3 + к - 1 = 0.
Положим
яд - 2яд - Зж3 - 1 = Щ, ж2 + ж3 = и2, ж3 = и3.
Эта замена переменных, очевидно, обратима. Уравнение поверхности в новых координатах
и2 — 6^2 — 6U3 + к — 1 = 0
является почти каноническим. Легко убедиться, что при к = 1 это уравнение приводится к канонической форме
= 0,
соответствующей конусу, при к > 1 — к канонической форме
е , ч2е , ч2с2с2к - 1 к - 1 6(fe - 1)к - 1 к - 1 6(fe - 1)= 1,= 1,
е , ч2
е , ч2
с2
с2
к - 1 к - 1 6(fe - 1)
к - 1 к - 1 6(fe - 1)
= 1,
= 1,
соответствующей однополостному гиперболоиду, при к < 1 — к канонической форме, соответствующей двуполостному гиперболоиду.
Способ 2. Выписываем матрицу большой квадратичной формы поверхности и приводим ее к диагональному виду, применяя элементарные преобразования к строкам (по методу Гаусса) и такие же преобразования к столбцам. Если при этом последний столбец и последняя строка не прибавляются с какими-либо множителями
к остальным и не умножаются на числа, отличные от единицы, то элементарные преобразования соответствуют матрице перехода Т задачи 11.17, 2). Попутно эти преобразования упрощают и матрицу малой квадратичной формы поверхности, не меняя рангов и сигнатур. В данном случае
1 -2 -3 -11 -2 -3 -1-2-202-30-33— 12 3 А;-2-202-30-33— 12 3 А;10000-6-6 о0 -6 -120000 к - 110000-6-6 о0 -6 -120000 к - 110 000-60000-6000 0 к - 110 000-60000-6000 0 к - 1
1 -2 -3 -1
1 -2 -3 -1
-2-202
-30-33
— 12 3 А;
-2-202
-30-33
— 12 3 А;
1000
0-6-6 о
0 -6 -120
000 к - 1
1000
0-6-6 о
0 -6 -120
000 к - 1
10 00
0-600
00-60
00 0 к - 1
10 00
0-600
00-60
00 0 к - 1
При к > 1: R = 4, г = 3, У = 0, ст = 1. Поверхность — однополост- ный гиперболоид. При к = 1: R = г = 3, У = ст = 1. Поверхность — конус. При к < 1: R = 4, г = 3, У = 2, ст = 1. Поверхность — двупо- лостный гиперболоид.
16) Последовательно выполним рекомендованные действия. Сначала с помощью ортогональной замены координат
упростим квадратичную форму поверхности. В данном случае достаточно лишь обратить в нуль член с произведением yz. Выпишем матрицу из коэффициентов членов второй степени, содержащих у и г, и строку коэффициентов при у и z в первой степени:
1 -1 -1 1 ’1 1 ’5=|||3 -5||.5=|||3 -5||.
1 -
1 -
1 1 ’
1 1 ’
5=|||3 -5||.
5=|||3 -5||.
Составим характеристическое уравнение |А — AS| = 0:
1 - А -1 -1 1 - А1 - А -1 -1 1 - А= 0.= 0.
1 - А -1 -1 1 - А
1 - А -1 -1 1 - А
= 0.
= 0.
Корни этого уравнения Ai = 0, А2 = 2. Для нахождения ортонорми- рованного базиса из собственных векторов составляем систему уравнений (А — ХЕ) £, = о. В данном случае
1 -1-1 11 -1-1 1-1 -1-1 -1-1 -1-1 -1£ = о, £ =£ = о, £ =£ = о, ^ =£ = о, ^ =1111-11-11h,h,h,h,Различным собственным значениям Ai = 0 иРазличным собственным значениям Ai = 0 иА = 0;А = 0;А = 2;А = 2;(4)(4)(5)(5)А2 = 2 принадлежатА2 = 2 принадлежатвзаимно ортогональные собственные векторы. Поэтому для отыскавзаимно ортогональные собственные векторы. Поэтому для отыскания ортонормированного базиса из собственных векторов достаточно пронормировать найденные столбцы (4) и (5). Получаем столб-ния ортонормированного базиса из собственных векторов достаточно пронормировать найденные столбцы (4) и (5). Получаем столб-11ЦЫ —7=V2ЦЫ —7=V211111И —т=V21И —т=V2-11-11Искомая замена координатИскомая замена координат~1имеет матрицу перехода Ь =~1имеет матрицу перехода Ь =1 -11 11 -11 1zz= S= SV z'V z'составленную из этихсоставленную из этих
1 -1
-1 1
1 -1
-1 1
-1 -1
-1 -1
-1 -1
-1 -1
£ = о, £ =
£ = о, £ =
£ = о, ^ =
£ = о, ^ =
1
1
1
1
-1
1
-1
1
h,
h,
h,
h,
Различным собственным значениям Ai = 0 и
Различным собственным значениям Ai = 0 и
А = 0;
А = 0;
А = 2;
А = 2;
(4)
(4)
(5)
(5)
А2 = 2 принадлежат
А2 = 2 принадлежат
взаимно ортогональные собственные векторы. Поэтому для отыска
взаимно ортогональные собственные векторы. Поэтому для отыска
ния ортонормированного базиса из собственных векторов достаточно пронормировать найденные столбцы (4) и (5). Получаем столб-
ния ортонормированного базиса из собственных векторов достаточно пронормировать найденные столбцы (4) и (5). Получаем столб-
1
1
ЦЫ —7=
V2
ЦЫ —7=
V2
1
1
1
1
1
И —т=
V2
1
И —т=
V2
-1
1
-1
1
Искомая замена координат
Искомая замена координат
~1
имеет матрицу перехода Ь =
~1
имеет матрицу перехода Ь =
1 -1
1 1
1 -1
1 1
z
z
= S
= S
V z'
V z'
составленную из этих
составленную из этих
столбцов. При такой замене координат члены данного уравнения ?/2 + z2 — 2т/z переходят в 2Д2. Чтобы найти коэффициенты при ли
нейных членах преобразованного уравнения, используем формулу а7 = aS. Получим а' = (—1/V2, —2\/2). Остальные члены уравнения при нашей замене координат не меняются. Мы можем выписать преобразованное уравнение
-ж2 + 2/2 + 2ж - V2y' - 4V2z' + 1 = 0.
Теперь необходимо перенести начало координат в пространстве. Для этого группируем одноименные переменные и дополняем их до полного квадрата; наше уравнение приобретает вид
-(ж - I)2 + (?V2 - 2)2 - W -2 = 0
ИЛИ
-(ж - I)2 + 2(? - V2)2 - V2(y' + V2) = 0.
Делаем замену координат ж = £ + 1, у' = ц — \/2, Д = £ + \/2 (пере
нос начала координат в точку О с координатами 1, — V2, V2 относи-
тельно повернутой системы). Получаем почти каноническое уравнение
Ч2 + 2<2 - 72т? = 0.Ч2 + 2<2 - 72т? = 0.(6)(6)
Ч2 + 2<2 - 72т? = 0.
Ч2 + 2<2 - 72т? = 0.
(6)
(6)
Ясно, что данное уравнение описывает гиперболический параболоид.
Сделаем некоторые дополнительные замечания к решению задачи. Прежде всего вычислим исходные координаты точки О. Отметим, что при замене только переменных у и 2 первая координата любой точки остается неизменной. Поэтому первая координата точки О равна 1 и в повернутой, и в исходной системе координат. Остальные координаты можно вычислить, пользуясь формулой перехода:
хУ zхУ zЗамена координат (9) имеет матрицуЗамена координат (9) имеет матрицу0 0 11 0 00 1 о0 0 11 0 00 1 ои соответствует пеи соответствует пе
х
У z
х
У z
Замена координат (9) имеет матрицу
Замена координат (9) имеет матрицу
0 0 1
1 0 0
0 1 о
0 0 1
1 0 0
0 1 о
и соответствует пе
и соответствует пе
Таким образом, старые координаты точки О суть 1, —2, 0.
Поясним, как выписать формулу перехода от координат х^ т^ z к £7 ^7 С Она имеет матричный вид
1
(7)(7)-20
(7)
(7)
где матрица перехода S содержит S в качестве подматрицы:
1 о о
S =S =0 1/72 -1/72
S =
S =
0 1/72 1/72
Раскрывая матричную формулу (7), получим итоговую замену координат в развернутой форме
ж = £ + 1, у =_ 2 г=фт?+фф (8)
72727272
Наконец, остановимся на переходе от почти канонического уравнения к каноническому. Можно, например, умножить обе части равенства (6) на 1/2, перенести линейный член в правую часть и сделать замену координат
£ = < »? = 7, С = 7-(9)
После этого уравнение (6) превратится в каноническое уравнение
рестановке базисных векторов. Переход от исходных координат к каноническим в силу (8) и (9) определяется формулами
ж = т/ + 1,ж = т/ + 1,У = -ф7 + Фс'-2,7272У = -ф7 + Фс'-2,7272Z =Z =
ж = т/ + 1,
ж = т/ + 1,
У = -ф7 + Фс'-2,
7272
У = -ф7 + Фс'-2,
7272
Z =
Z =
24). Приведем важнейшие этапы решения, не останавливаясь на деталях отыскания собственных значений, собственных векторов, подпространств Р и Q, разложения вектора ат в сумму р + Q, выбора и нормировки столбцов матрицы S, решения системы уравнений (11). Все обозначения приведены во введении к § 11. Ссылки на уравнения относятся к формулам того же введения.
В нашем случае
а = || 1 3 -3 ||, к = -5.
Характеристические числа матрицы 14, 0, 0, соответствующие собственные векторы || 2 1 — 3 ||Т, || —1 2 О ||Т, || 6 3 5 ||Т. Они попарно ортогональны. Подпространство Р натянуто на первый из них, Q — линейная оболочка второго и третьего. В разложении ат = р + q получаем р = || 2 1 — 3 ||Т, q = || — 1 2 О ||Т.
Значит, за столбцы S можно принять нормированные собствен
ные векторы:
2V5 —V14 6
— ^328-— ^328-V5 2V14 3
— ^328-
— ^328-
-3V505
Выписываем систему уравнений (11):
4
2
-6
2
2
1
-3
ь +
1
= 0.
-6
-3
9
-3
0
5
-3
-5
Последнее уравнение — это (2qT + рт)Ь + к = 0. Находим частное решение b = || — 1 1 0 || . Замена переменных £ = ££' + b приведет данное уравнение к виду (4): коэффициенты А\ а/, к* вычисляем, пользуясь формулами из ответа к задаче 11.8, 2), а также свойствами матрицы S и системы уравнений (11): А’ = diag(14, 0,0),
а’ = (bTА + рт + qT)S = qTS = || 0 \q\ 0 || = || 0 V5 0 || , к’ = (2qT + рт)Ь + к = 0. Таким образом, уравнение (4) принимает почти канонический вид
14ж2 + Vbp = 0,
что соответствует ответу задачи.
2) Обозначим искомую площадь через S. Преобразование х* = а^х + Ъ^у + щ, у* = а^х + Ъ^у + с2(11)
переводит первые две прямые в оси Оу и Ох. Найдем образ I* третьей прямой, подставив решения системы (11):
1^з1^зX* — Щ U* - С2X* — Щ U* - С2bi^2bi^211«1 Ж* — С1 «2 У* - С2«1 Ж* — С1 «2 У* - С25з =5з =«I bl 0,-2 Ь^«I bl 0,-2 Ь^
1
^з
1
^з
X* — Щ U* - С2
X* — Щ U* - С2
bi
^2
bi
^2
1
1
«1 Ж* — С1 «2 У* - С2
«1 Ж* — С1 «2 У* - С2
5з =
5з =
«I bl 0,-2 Ь^
«I bl 0,-2 Ь^
в уравнение прямой а^х + 63?/ + с^ = 0. Получим
-Cl bl , аг-у* - ci bi 3 а2-Cl bl , аг-у* - ci bi 3 а2х* — ci ai biу* - c2 Сз а2 biх* — ci ai biу* - c2 Сз а2 bi= о,= о,
-Cl bl , аг
-у* - ci bi 3 а2
-Cl bl , аг
-у* - ci bi 3 а2
х* — ci ai bi
у* - c2 Сз а2 bi
х* — ci ai bi
у* - c2 Сз а2 bi
= о,
= о,
илиилит.е.т.е.«1 bi х* — ci «2 b2 у* - C-2, «з ?>з -сз«1 bi х* — ci «2 b2 у* - C-2, «з ?>з -сз= 0,= 0,
или
или
т.е.
т.е.
«1 bi х* — ci «2 b2 у* - C-2, «з ?>з -сз
«1 bi х* — ci «2 b2 у* - C-2, «з ?>з -сз
= 0,
= 0,
«1 bi х* 02 Ъ2 У*«з Ь3 О«1 bi х* 02 Ъ2 У*«з Ь3 Оai bi ci а2 Ь2 с2 аз Ь3 с3ai bi ci а2 Ь2 с2 аз Ь3 с3= Д.= Д.
«1 bi х* 02 Ъ2 У*
«з Ь3 О
«1 bi х* 02 Ъ2 У*
«з Ь3 О
ai bi ci а2 Ь2 с2 аз Ь3 с3
ai bi ci а2 Ь2 с2 аз Ь3 с3
= Д.
= Д.
Подставим у* = 0 и ж* = 0 в уравнение прямой 1* и найдем, что 1* отсекает на осях Ох и Оу отрезки длины |Д/51| и |Д/52|, где
51 =51 =«2 Ь2а3 Ь3«2 Ь2а3 Ь3ai bi аз b3ai bi аз b3
51 =
51 =
«2 Ь2
а3 Ь3
«2 Ь2
а3 Ь3
ai bi аз b3
ai bi аз b3
Следовательно, 1* образует с осями координат треугольник площади Д2Д2
S* = 9IA А Г Так как S*Is = 15з1’ т0 5 = 91Л Л Л Г
10) Обозначим искомый определитель через Дп. Раскладывая его по первой строке, получим рекуррентное соотношение Дп = 2аДп_1 — Дп-2- Пусть q таково, что 2а = q А— (решив квад- q
ратное уравнение, находим, например, что q = а + Vc^2 — 1, - = q
= а — Vc^2 — 1). Из равенства Дп = \ q А— ) Дп-1 — Дп-2 следуют
\ q/
два рекуррентных соотношения
^п q^n—1 — (Дп—1 q^n—2)?
1^1Г2)
△п Дп—1 = q (△п—1△п—2)-
Отсюда заключаем, что величины
— △п ^Дп —1 И Sn — Дп ^Дп_1(1^)
образуют геометрические прогрессии со знаменателями - и q соот- q
ветственно. Вычислим
/1\2/1
г 2 = Д2 - дД1 = 4а2 - 1 - *2qa = ( q + --1-д(д+-) = ^;
\9/\9/92
(п(п>1).>1).21,
(п
(п
>1).
>1).
аналогично получим з^ = q откуда следует тп = — и sn = q qn
Из формул (13) следует, что sn — rn = I q1 An-i. Поэтому при
q ф ±1 Дп-1 = ( qnI / ( qI . Заменив q его выражением через а и раскрыв степени по биному Ньютона, получим
△п —1 —△п —1 —(а + V^2 — 1)™ — (а — V«2 — 1)П
△п —1 —
△п —1 —
2n-1V«2 — 1
[(п-1)/2]
= Е-^к.
к=0
Заменяя п — 1 на п, получим ответ задачи.
Рассмотрим случай q = ±1 (а = ±1). При q = 1 обе формулы (12) совпадают и показывают, что Ап образуют арифметическую прогрессию со знаменателем, равным 1. Так как при этом Д1 = 2, то An = п + 1. Аналогично убеждаемся, что при q = — 1 (а = — 1) Ап = = (—l)n(n + 1). Эти частные случаи также содержатся в формуле, указанной в ответе задачи.
13) Пусть b ^ 0. Вынося из каждой строки определителя множитель b и обозначая а/b = ж, получим
х 1 0 ... 0 0
1 х 1 ... 0 0
0 0 0 ... 1 х
Следовательно, задача сводится к 14.24, 10), что дает после соответствующих замен обозначений первую из приведенных в ответе формул. Эта формула остается справедливой и в пропущенном нами тривиальном случае b = 0.
Чтобы получить ответ в другой форме, будем считать х переменной величиной. Тогда А можно рассматривать как многочлен от х степени п со старшим коэффициентом, равным Ьп. По теореме Безу
А = А (ж) = Ьп П (ж - afe),
к=1
где а^ — корни уравнения А (ж) = 0. Из ответа к задаче 14.24, 11), следует, что Ап = 0 при ср = —(к = 1, ..., п). Сравнивая Ап и А, убеждаемся, что многочлен А (ж) имеет п различных корней тгк
а к = 2 cos, откуда и получаем п + 1
А = b II - 2 cos =11 | а - 26 cos .
\ 6п+ 1/\п+ 1/
к=1 х7к=1 х7
Очевидно, эта формула верна и в пропущенном тривиальном случае 6 = 0.
Каждое элементарное преобразование строк матрицы А эквивалентно умножению ее слева на элементарную матрицу, которая получается из единичной матрицы с помощью того же элементарного преобразования. Невырожденную матрицу с помощью элементарных преобразований можно перевести в единичную. Значит, в этом случае получаем Sk • • • S^A = Е, откуда Sk ... Si = А-1, А = = Sf1... SkV Матрицы Sf \ ..., Sf \ так же как и Si, ..., S^ элементарные; они получаются из единичной матрицы «обратными» элементарными преобразованиями строк.
1) Общие соображения: в силу решения задачи 15.50, А = Sf1 ... Sf \ где матрицы Si, ..., Sk соответствуют элементарным преобразованиям строк матрицы А, переводящим ее в единичную матрицу. Подобрав Si, ..., S^ затем находим Sf1, ..., Sf1. На данном примере ниже показано, что процесс можно сократить
на один шаг. Упрощаем матрицу А =на один шаг. Упрощаем матрицу А =1 10 -21 10 -2. Умножим вторую. Умножим вторую
на один шаг. Упрощаем матрицу А =
на один шаг. Упрощаем матрицу А =
1 1
0 -2
1 1
0 -2
. Умножим вторую
. Умножим вторую
строку на —1/2. Это равносильно умножению А слева на матрицу
100 -1/2100 -1/2. Получим. Получим100 -1/2100 -1/21 10 -21 10 -2(14)(14)Матрица В элементарная. ВычисляемМатрица В элементарная. Вычисляем0 -1/20 -1/21 00 -21 00 -2
10
0 -1/2
10
0 -1/2
. Получим
. Получим
10
0 -1/2
10
0 -1/2
1 1
0 -2
1 1
0 -2
(14)
(14)
Матрица В элементарная. Вычисляем
Матрица В элементарная. Вычисляем
0 -1/2
0 -1/2
1 0
0 -2
1 0
0 -2
Умножая обе части равенства (14) на S слева, получим искомое раз
ложениеложение1 10 -21 10 -2= SB == SB =1 00 -21 00 -21 10 11 10 1
ложение
ложение
1 1
0 -2
1 1
0 -2
= SB =
= SB =
1 0
0 -2
1 0
0 -2
1 1
0 1
1 1
0 1
Диагональная матрица diag (1, 2, ..., п) невырождена. Используя эту матрицу, мы можем применить результат задачи 15.69, откуда следует диагональность данной матрицы А. Остается доказать равенство всех диагональных элементов А. Если А —
матрица второго порядка: А =матрица второго порядка: А =справа на матрицу S =справа на матрицу S =0 -11 00 -11 0Ai 00 А2Ai 00 А2, то умножим ее слева и, то умножим ее слева иПриравнивая AS и SA, убедимПриравнивая AS и SA, убедим
матрица второго порядка: А =
матрица второго порядка: А =
справа на матрицу S =
справа на матрицу S =
0 -1
1 0
0 -1
1 0
Ai 0
0 А2
Ai 0
0 А2
, то умножим ее слева и
, то умножим ее слева и
Приравнивая AS и SA, убедим
Приравнивая AS и SA, убедим
ся, что Ai = А2. Аналогичным образом, подбирая S для диагональной матрицы А произвольного порядка, проверим равенство любых двух диагональных элементов А.
Обратную матрицу ищем методом Гаусса, исходя из матрицы || А\Е || (см. задачу 15.53). Процесс упрощения начинаем с нижней строки. При этом элементы матриц 4 и Г, расположенные
ниже главной диагонали, не меняются. В итоге из единичной матрицы должна получиться верхняя треугольная.
Пусть А — данная матрица перестановки. Рассмотрим всевозможные матрицы Ак. Это — матрицы перестановок (см. задачу 15.108). Число различных матриц перестановок одного порядка конечно. Поэтому существуют натуральные числа р, q такие, что р > q и Aq = Ар; отсюда Aq-p = Е.
2) Пусть b — отличный от о столбец матрицы А. Все столбцы А пропорциональны Ь. Если а — строка из коэффициентов пропорциональности, то А = Ьа.
В = А-1^АВ\ С = ^СА^А-1. Применяя теорему об оценке ранга произведения матриц (задача 16.25, 1)), получим неравенства rg В ^ rg АВ ^ rg В, rg С ^ rg С А ^ rg С, откуда и следуют утверждения.
£г О О О ’£г О О О ’Уравнение АВ = О эквивалентно уравнению (SАТ)(Т-1 В) = О, где S, Т — любые невырожденные матрицы под
£г О О О ’
£г О О О ’
ходящего порядка. Подберем S, Т так, чтобы А* = SAT =
где Ет — единичная матрица порядка г = rg А. Обозначим В’ = = Т^В. Легко проверить, что первые т строк произведения А*В* совпадают с первыми г строками матрицы В*. Поэтому равенство А’В’ = О возможно, лишь если первые г строк матрицы В' нулевые. Следовательно, rgB' ^ п — г. Но rgB' = rgB, rg А’ = rg А = г, поэтому rg А + rg В = rg А' + rg В' ^ п. Другое решение задачи получим, если будем интерпретировать столбцы В как решения системы уравнений Ах = о. Тогда данная задача сводится к оценке максимального числа линейно независимых решений этой системы.
4) Ранг данной фундаментальной матрицы равен п — г = = 4 — г = 2, так что ранг искомой системы уравнений: г = 2. Будем искать два независимых уравнения вида aiXi + 02^2 + 03X3 + 04X4 = = 0. Столбцы данной матрицы им удовлетворяют:
и^ Т ^2 Т &з Т ^4 = 0, Q-i Т 2п2 Т &з Т Зй4 = 0.
Столбцы фундаментальной матрицы этой системы уравнений
дают коэффициенты искомой системы из двух независимых уравнений: —яд + хз = 0, Xi — 2x2 Т яд = 0. Ответ не однозначен.
Проверим для системы уравнений (АТА) х = АТЬ условия теоремы Фредгольма. Пусть уо — решение сопряженной однородной системы у (АТА) = о. Тогда у о (АТА) у^ = 0, откуда (уоАт) (уоАт)Т = 0, что возможно, только если (уо Ат) = о. Умножая последнее равенство на Ь, получим при любом столбце Ь: Уо Дть) = о, т.е. действительно условия теоремы Фредгольма
выполнены. Отсюда следует совместность системы уравнений (ЛТЛ) х = АТЪ.
Допустим противное. Тогда система уравнений ^ ajkxk = к = 1
= О (J = 1,..., п) имеет нетривиальное решение а^,..., ж^. Если ж^ — максимальная по модулю компонента этого решения, то х^ ^ 0, и 3-е уравнение системы дает ajj + ^ азк^х^! х^ = 0, откуда ввиду
\х^/х^\ ^ 1 получаем \а^\ ^ ^ \ajk\, что противоречит условию.
к^з
Будем искать прямую Ах + By + С = 0, содержащую три данные точки. Рассматриваем равенства
Лпх 4- Bbi 4" С = О,
Л<12 ВЬ2 4" С = О,
Лп3 4" ВЬ^ 4" С = О
как систему уравнений относительно неизвестных Л, В, С с матрицей коэффициентов
М =М =Ui bi 1
М =
М =
П2 b^ 1
«з Ь3 1
Любое нетривиальное решение системы удовлетворяет условию Л2 + + В2 ^ О, так как последний коэффициент в каждом уравнении равен единице. Поэтому нетривиальные решения системы и только они соответствуют прямым, содержащим три данные точки. Условие rg М = 3 необходимо и достаточно для того, чтобы система уравнений нетривиальных решений не имела, т. е. оно необходимо и достаточно для того, чтобы три данные точки не лежали на одной прямой.
1) Будем искать уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки, в виде Ах + By + С = 0. Рассмотрим систему уравнений для определения Л, В, С:
Лих 4- Bbi 4" С = 0,
Agl2 4" Bb^ 4" С = 0.
Ее матрица естьЕе матрица естьai bi 1U2 b^ 1ai bi 1U2 b^ 1= М. Каждое нетривиальное решение= М. Каждое нетривиальное решение
Ее матрица есть
Ее матрица есть
ai bi 1
U2 b^ 1
ai bi 1
U2 b^ 1
= М. Каждое нетривиальное решение
= М. Каждое нетривиальное решение
системы удовлетворяет условию Л2 + В2 ^ 0, так как последний коэффициент в каждом уравнении равен единице. Поэтому нетривиальные решения системы и только они соответствуют прямым, содержащим две данные точки. Если точки («i, bi) и (п2, Ь^) различны, то rg М = 2 и система уравнений имеет одно линейно независимое решение, т. е. существует единственная прямая, содержащая данные точки.
Для того чтобы три точки с координатами (ж, г/), (ai, ^i), (ci27 ^2) лежали на одной прямой, необходимо и достаточно (см. решение задачи 19.34) условие
= 0.= 0.х у 1
= 0.
= 0.
di bi 1
0,2 ^2 1
Это и есть искомое уравнение. Заметим, что если данные точки различны, то хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от 0, т. е. полученное уравнение действительно определяет прямую.
1) Будем искать всевозможные плоскости, содержащие три данные точки. Эта задача приводит к системе уравнений
Acii Т Bbi 4" Cci Т D = 0,
Аа^ + ВЬ^ + С с-2 + D = 0,
Аа^ + ВЬ^ + Сс^ + D = 0 относительно неизвестных А, В, С, D. Так как последний коэффициент в каждом уравнении равен единице, то каждое нетривиальное решение системы уравнений удовлетворяет условию А2 + В2 + С2 ф 0 и действительно дает плоскость, содержащую три данные точки. Нас интересует случай, когда фундаментальная система решений содержит единственное решение — в этом случае существует единственная плоскость, содержащая данные точки. Для этого необходимо и достаточно, чтобы
= 3.= 3.di bi ci 1
= 3.
= 3.
rgrgU2 b^ с2 1
rg
rg
Оз ^3 С3 1
Пространство нечетных многочленов степени не выше 5 имеет размерность 3; представим данные многочлены их координатными столбцами в базисе t^ f3, t5. Приведем соответствующую расширенную матрицу к треугольному виду:
2 012 011-102011-100 1-31-102011-100 1-30 15
2 0
1
2 0
1
1-102
011-1
00 1-3
1-102
011-1
00 1-3
1 1 -1
-102
Теперь ясно, что многочлены 2t + В, t3 — t5^ t Pt3 образуют базис в пространстве нечетных многочленов степени не выше 5. Продолжаем элементарные преобразования расширенной матрицы:
1 00 1 о о1 00 1 о о0 4
1 0
0 1 о о
1 0
0 1 о о
0 2
1 -3
Многочлен 5t — t3 + 2t5 имеет в базисе 2t + t5, t3 — t5, t + t3 координатный столбец (4, 2, — 3)т.
Пространство кососимметрических матриц порядка 3 имеет размерность 3; базис образуют матрицы
ОО1 ОО ОО о1 ОО ОО оО О 1ООО-10 0О О 1ООО-10 0О 0 0О 0 1 0-10О 0 0О 0 1 0-10МатрицаМатрицаО а—а О—Ь —сО а—а О—Ь —с(а, Ь. с)т. Так как(а, Ь. с)т. Так какс имеетО1 3 11 5 О-12 3с имеетО1 3 11 5 О-12 3в этом базисе координатный столбецв этом базисе координатный столбец= 13 ф 0, то вторая система является= 13 ф 0, то вторая система является
О
О
1 О
О О
О о
1 О
О О
О о
О О 1
ООО
-10 0
О О 1
ООО
-10 0
О 0 0
О 0 1 0-10
О 0 0
О 0 1 0-10
Матрица
Матрица
О а
—а О
—Ь —с
О а
—а О
—Ь —с
(а, Ь. с)т. Так как
(а, Ь. с)т. Так как
с имеет
О
1 3 1
1 5 О
-12 3
с имеет
О
1 3 1
1 5 О
-12 3
в этом базисе координатный столбец
в этом базисе координатный столбец
= 13 ф 0, то вторая система является
= 13 ф 0, то вторая система является
базисом. То, что первая система является базисом, можно специально не проверять — этот факт обнаружится в ходе дальнейших вычислений. Матрица перехода S ищется из уравнения G = FS^ т. е.
10 -1-2 -1234-210 -1-2 -1234-2S.S.1 3 1
10 -1
-2 -12
34-2
10 -1
-2 -12
34-2
S.
S.
1 5 0
-12 3
Для решения этого матричного уравнения составим матрицу 11F | G11. Элементарными преобразованиями строк приведем «левую половину» к единичному виду (этим будет автоматически проверено, что первая система является базисом); при этом «правая половина» преобразуется в искомую матрицу S. Имеем
10-113 1-2-1215 03 4-2-12310-113 1-2-1215 03 4-2-1231 0 094090 10-3 -11 -200183781 0 094090 10-3 -11 -20018378
10-113 1
-2-1215 0
3 4-2-123
10-113 1
-2-1215 0
3 4-2-123
1 0 09409
0 10-3 -11 -2
0018378
1 0 09409
0 10-3 -11 -2
0018378
Искомая связь координат имеет вид: £i = 9^ + 40^ + 9^, £2 = = -3^ - И^ - 2^, £3 = 8^ + 37^ + 8^.
21.7. 4) Составим системы уравнений, определяющие данные
подпространства Р и Q. Имеем (
см. введение к гл. 8):
1 0 1 xi1
01хх
2 1 1 х2 - 0
1—1 Х2 — 2X1
3 1 2 х30
00 Х3 - Х2 - Х1
4 1 5 Xi1
02х3
3 1 3 х2 - 0
1—3 х2 — Зх3
1 0 2 х30
00 Xi — х2 — х3
первое подпространство задается одним уравнением хз — Х2 — xi = 0, второе — одним уравнением xi — Х2 — хз = 0. При этом мы замечаем также, что dimP = dim Q = 2. Базис в V образуют, например, векторы ai и а2; базис в Q образуют, например, векторы bi и b2.
Найдем размерность и базис суммы V F Q. Имеем
10 4 12 13 13 11010 4 12 13 13 11010 4 10 1110 0 3 110 4 10 1110 0 3 1
10 4 1
2 13 1
3 110
10 4 1
2 13 1
3 110
10 4 1
0 111
0 0 3 1
10 4 1
0 111
0 0 3 1
dim (Р + Q) = 3, т. е. сумма Р + Q совпадает со всем трехмерным пространством; базис суммы образуют, например, векторы ai, а2, bi.
Пересечение Р П Q задается системой уравнений
Xi + ж2 - жз = 0, ац - ж2 - ж3 = 0.
Матрица этой системы элементарными преобразованиями строк приводится к виду
1 1 -11 -1 -11 1 -11 -1 -11 0 -10 1 о1 0 -10 1 о
1 1 -1
1 -1 -1
1 1 -1
1 -1 -1
1 0 -1
0 1 о
1 0 -1
0 1 о
Ранг матрицы равен 2, значит, dim (Р П Q) = 3 - 2 = 1, что, впрочем, можно было определить и раньше по формуле
dim (Р П Q) = dim Р + dim Q — dim (Р + Q).
Базисный вектор пересечения имеет координатный столбец, удовлетворяющий условиям Xi — жз = 0, ж2 = 0; можно взять столбец (1, о, 1)г.
11) Используем обозначения и алгоритм, изложенный в разделе 7 введения к гл. 8.
а) Составляем и упрощаем с помощью элементарных преобра-
зований строк матрицу
1
1 0
1
2 0
1
2
2 0
1
1
4 1
6 1
-1 0
4 0
1
1 0
3
2
4
-1
1
II Л|В|| =
1
-1
1 0
1 0
0
1
-10-
-1
0
0 1
0 0
0
1
1
0
4 0
0 0
1
1
3
-1
= IM15' II
0 0
0
0
1 1 -
-1
1
б) Составляем и упрощаем с помощью элементарных преобразований столбцов матрицу
В'
Е
=
-10-10
4 013
0 01-1
11-1 1
10 0 0 0 10 0
0 010
0 0 01
0-1-10
0140
0100
1000
0 01-1
11-11
0101
0 001
=
В"
Е"
в) Видно, что число независимых столбцов матрицы А! равно 3, это первые ее три столбца. Вместе со вторым столбцом В* они являются базисными столбцами в матрице || А* | В* ||. Поэтому векторы di, п2, пз образуют базис в Р, а векторы cii, п2, пз, 52 — базис в Р + Q (т. е. сумма совпадает со всем пространством).
Число независимых столбцов матрицы Вп равно 3, поэтому dim Q = 3, и
dim(P DQ) = dimP + dim Q - dim(P + Q) = 2.
Базис в Р П Q образуют векторы, соответствующие второму и третьему столбцам В”*, это два линейно независимых столбца, принадлежащих обоим подпространствам. Действительно, второй столбец В” равен, как показывает матрица Е” сумме второго и третьего столбцов В* ^ то есть соответствует вектору 62 + ^з- Аналогично, третий столбец Вп соответствует вектору Ь\ — Ь^. В то же время, как видно из сравнения с матрицей А\ второй и третий столбцы Вп раскладываются по первым трем столбцам А’ а именно,
^2 + ^3 = — &1 + 0-2 + и^ Ь1 — Ь^ = —(21 + 4(Z2.
Вычисляя координатные столбцы этих линейных комбинаций, получаем || 2 2 0 3 ||Т и || 3 5 — 1 4 ||Т, что совпадает с ответом задачи. Непосредственное сравнение координат правых и левых частей последних равенств может служить проверкой.
Пусть А — матрица преобразования р в некотором базисе и
det (А - ХЕ) = (Ai - А) ... (Ап - А).
Заменив А на —А, имеем также
det (А + ХЕ) = (Ai + А) ... (Ап + А).
Перемножив эти равенства, получим
det (А2 - А2#) = (А2 - А2) ... (А2 - А2),
ИЛИ
det (А2 - t£^) = (А2 - t) ... (А2 - t),
где t = А2.
В разложении характеристического многочлена заменим А на Xsk (к = 0, ..., m — 1), где е = е^г1т ^Ет = 1):
det (А - ХЕ) = (Ai - А) ... (Ап - А),det (А — ХеЕ) = (Ai — Хе) ... (Ап — As),
det (А - Хе^Е) = (Ai - А^-1) ... (Ап - А^”1).
Поскольку матрицы А — XskE (к = 0, ... т — 1) перестановочные, перемножив равенства почленно, получим
det (Am - ХтЕ) = (А™ - Хт) ... (А™ - Хт\
или, положив Хт = £, требуемое
det (Am - tE) = (А™ - t) ... (А™ - t).
Здесь использовано разложение ат — Хт = (а — Х)(а — Хе) ... (а — — Xsm-1). Чтобы получить его, достаточно заметить, что многочлен Qm _ дт имеет Корни П, QE^ . . . ^ Q£m-1.
24.127. 12) Характеристическое уравнение (А + I)3 = 0.
351
В — А28З + Е —В — А28З + Е —-1 -20-2 -3 -1-1 -20-2 -3 -1
В — А28З + Е —
В — А28З + Е —
-1 -20
-2 -3 -1
-1 -20
-2 -3 -1
RgB = 2. Собственное подпространство одномерно. Находим его базисный вектор: ^i = || — 2 1 1 || . Составляем систему уравнений для первого присоединенного вектора:
3 5-1 -2-2 -33 5-1 -2-2 -31 -21 -20 1-1 10 1-1 1
3 5
-1 -2
-2 -3
3 5
-1 -2
-2 -3
1 -2
1 -2
0 1
-1 1
0 1
-1 1
Ее решение h^ = || 1 — 1 0 \\Т. Система уравнений для второго присоединенного
3511
-1 -20 -1
-2 -3 -10
Из нее находим /2,3 = || 1 0 2 \\Т. Итак, А' = J3( —1). Матрица перехода к жорданову базису
-211
1 -1 0
102
15) Характеристическое уравнение А3(А — 2) = 0. Найдем собственное подпространство для А = 0. Матрица А^ элементарными преобразованиями строк приводится к виду
10 0 0
01-11
1 11 -1-3 -1-3 11 11 -1-3 -1-3 1-110-110Поэтому собственное подпространство двумерное. Так как корневое пространство трехмерное, должен быть один присоединенный вектор. Найдем его. Произвольный собственный вектор можно написать как h = а 11 0 1 1 0 11Т + Р 11 0 0 1 1 11Т. Присоединенный вектор существует у того вектора, для которого совместна система уравнений с матрицей
1 1
1 -1
-3 -1
-3 1
1 1
1 -1
-3 -1
-3 1
-110
-110
одним собственным вектором, например, h3 = || 0 1 1 О \\Т. Нетрудно найти собственный вектор Л4 = || 1 0 2 1 ||Т для А = 2. В базисе ^17 ^27 ^87 ^4 матрица преобразования равна diag(J2(0), 0, 2).
При 5 = 0 преобразование взаимно однозначно. При 5 Д 0 его можно представить в виде у> + 5ф = 5<Д5-1г + ^-1/0). Преобразование будет взаимно однозначным тогда и только тогда, когда взаимно однозначен второй сомножитель. Таким образом, мы ищем те 5, для которых det (р^ф + 5-1г) ф 0. Для этого достаточно, чтобы |5-1| был больше максимального из модулей собственных значений преобразования р-1ф. Пусть это число равно р. Тогда можно положить г = р-1.
Пусть х = qxq, и в канонической системе координат х(£, хо (Со, %). Тогда у>2(х) = а2 и
S .22 so 12 \2
+ Л = a I у + Ло ) = а •
Поэтому +2(х) = ^2/4 + ц2. Пусть у (£1, 771). Легко подсчитать, что F (х, у) = ^i + 477771. Используя это выражение, проверяем свойства скалярного произведения.
Предположим, что система gi, ..., дп линейно зависима, и докажем, что приведенная в условии сумма больше или равна 1. Действительно, при таком предположении д^^ ..., дп лежат в некотором (п — 1)-мерном подпространстве L. Обозначим через a, |tz| = 1 единичный базисный вектор в £Л. Для любого % = 1, ... , п проекция на £Л равна ^ = (е^, а) а. Так как дг Е С^ по результату задачи 26.36 имеем |^| < |е4 - дД. Отсюда следует, что 52 Ы2 < 52 let - Д2-
Но Е, Ы2 = £(ei, а)2 = 1а12 = !• Следовательно, 52 ki - ft|2 1- Теперь легко видеть, что ^ \е% — 9г\ ^ 1- Действительно, в противном случае каждый из модулей меньше единицы, и сумма их квадратов подавно меньше 1.
12) Сделаем замену координат
ЯД = Я^ + ^2, ЯД = Ху — Х^ Ж3 = Ж3.(15)
В новых координатах форма примет вид
жх — ж2 + 2хуХ^ = (жх + х3) — х2 — х3 .
После второй замены координат
Ж1 = Ж1 + ^з,^2 = ^2, Х3 = х3(16)
данная квадратичная форма примет канонический вид
//2//2//2
Xi -х2 -х3 .
Положительный индекс инерции данной формы равен 1, отрицательный равен 2. Ранг формы равен 1 + 2 = 3, сигнатура равна 1 - 2 = -1.
Можно записать замену координат, приводящую данную форму к каноническому виду, как суперпозицию замен (15) и (16):
ЯД = Ху + ^2 — х", ЯД = Ху — х'^ — х’^ Хз = Х^ .
10) Матрица данной квадратичной формы В = А203 имеет характеристические числа 3 (кратности 2) и 3 (кратности 1). Инвариантное подпространство, соответствующее собственному значению 3, задается однородной системой линейных уравнений с матрицей В — ЗЕ; находим два линейно независимых собственных вектора ai, а^ с координатными столбцами (1, 0, — 1)т и (2, 1, 0)т соответственно. Собственное подпространство, соответствующее собственному значению — 3, задается однородной системой линейных уравнений с матрицей В + ЗЕ; находим один линейно независимый собственный вектор а^ с координатным столбцом (1, —2, 1)т. Векторы di, П2, из образуют собственный базис присоединенного преобразования данной квадратичной формы, но нас интересует ортонормированный собственный базис. Так как собственные векторы самосопряженных линейных преобразований евклидова пространства, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны, то автоматически (ах, а^) = (од, пз) = 0. Остается провести ортогонализацию системы векторов ау, а^. Положим 5i = di, ^2 = U2 — aai; а выбираем так, чтобы (61, 62) = 0, т. е. а = (cii,1,
= = I, откуда получаем, что вектор о^ имеет координатный
столбец ( — 1, — 1, — 1)т. Векторы 61, 62, «з образуют ортогональный собственный базис присоединенного преобразования; пронормировав эти векторы, получим искомый ортонормированный собственный базис. Для удобства мы изменим знаки всех координат вектора Ь^. Координатные столбцы полученных векторов образуют матрицу перехода от данного ортонормированного базиса к базису 61, —62, аз — матрицу S = Лз22- В найденном базисе квадратичная форма имеет диагональный вид За;^2 + Зж^2 — Зя^2. Можно, пользуясь матрицей S, записать замену координат, приводящую данную квадратичную форму к диагональному виду:
11) Укажем два способа решения задачи.
Способ 1. Обе формы будем рассматривать в трехмерном арифметическом пространстве столбцов. Выпишем матрицы данных форм в исходном базисе:
F =F =60301 -33-3660301 -33-36G =G =2 О 1О 1 -11 -122 О 1О 1 -11 -12
F =
F =
603
01 -3
3-36
603
01 -3
3-36
G =
G =
2 О 1
О 1 -1
1 -12
2 О 1
О 1 -1
1 -12
Все главные миноры матрицы G
2,2,2 О2 О2 О 1О 1 -11 -122 О 1О 1 -11 -12= 1= 1
2,
2,
2 О
2 О
2 О 1
О 1 -1
1 -12
2 О 1
О 1 -1
1 -12
= 1
= 1
положительны, следовательно, по критерию Сильвестра форма д положительно определена. Соответствующую ей билинейную функцию хт Gy = 2Ж1У1 + Ж1у3 + ж3у1 + ж2у2 - ж2у3 - ж3у2 + 2ж3у3
примем за скалярное произведение и теперь считаем пространство евклидовым. С помощью метода, изложенного во введении к § 32, найдем ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного линейного преобразования ^), присоединенного к форме f. Собственные значения и собственные векторы вычисляем по формулам (6) и (7) § 32:
det (F - XG) =det (F - XG) =6 - 2А 03 - А
det (F - XG) =
det (F - XG) =
01-А —3 + А
3 —А —3 + А 6-2А
-(3 - А)2(3 + А); А = ±3.
00 0
0-2 0
00 0
Фундаментальное решение системы уравнений (F + 3G) £ = о равно х = (—1, 3, 2)т. Значение функции g (х) на векторе (—1, 3, 2)т есть квадрат его длины. Вычисляя это значение, находим нормированный собственный вектор, соответствующий А = — 3: е^ = = ( —1/V3, V3, 2/V3)T. Из системы уравнений (F — 3G) £ = о находим, что собственному значению А = 3 соответствует собственная плоскость Х2 = 0. Найдем в ней два ортогональных собственных вектора. В качестве первого вектора можно взять любое ненулевое решение уравнения ж2 = 0, например, b = (1, 0, 0)т. Для нахождения второго собственного вектора с = (xi, х^ х^т к уравнению ^2 = 0 присоединяем условие ортогональности векторов b и с: bTGc = 2x1 + хз = 0. Из двух уравнений Х2 = 0 и 2xi + хз = 0 находим, что с = (1, 0, —2)т с точностью до числового множителя. Теперь найденные векторы b и с нормируем, вычисляя квадраты их длин g (b) = 2 и g (с) = 6. Заметим, что векторы b и с ортогональны к а, так как соответствующие собственные значения различны, а преобразование у> самосопряженное. Мы получили ортонор-
мированный базис из собственных векторов преобразования р: е^ = = (-1/V3, V3, 2/V3)T, е2 = (1/V2, о, 0)т, е^ = (1/V6, О, -2/V6)T. В этом базисе матрица F' формы f диагональна, а значит, f имеет диагональный вид:
F’ = diag (-3, 3, 3); f (х) = -З^2 + Зж^2 + Зжд2.
Так как базис е^, е^, 63 ортонормирован относительно введенного скалярного произведения, то в нем скалярный квадрат вектора (значение функции g на векторе) выражается канонической формой
/ \/ 2/ 2/ 2
g (х) = жт + ж2 + ж3 .
Осталось составить из столбцов е^, е2, е3 матрицу перехода
1/V6о-2/V61/V6о-2/V6-1/V3 1/V2
1/V6о-2/V6
1/V6о-2/V6
V3 о2/V3 О
а по ней — формулы замены координат
ж 2 = Vsx^;ж 2 = Vsx^;
ж 2 = Vsx^;
ж 2 = Vsx^;
Обратим внимание читателя на очевидную уже из хода решения неединственность искомого базиса (ср. ответ).
Способ 2. Дадим лишь его краткое описание. Прежде всего убеждаемся, что форма g положительно определена, и с ее помощью вводим скалярное произведение. Затем находим какой-нибудь базис, в котором форма g имеет канонический вид. Это можно сделать методом выделения квадратов или с помощью элементарных преобразований. Новый базис е' является ортонормированным относительно введенного скалярного произведения. Пусть Si — матрица перехода к базису е\ Вычислим матрицу F' формы f в базисе е'. Так как базис е' ортонормирован, то присоединенное к f преобразование р имеет в этом базисе ту же матрицу F*. Найдем собственные значения и ортонормированный базис е" из собственных векторов преобразования р по его матрице F’ обычным способом, используя уравнения (1) и (2) § 24. Обозначим через S2 ортогональную матрицу перехода от базиса е' к базису е" (она состоит из координатных столбцов векторов е", е^ и е" относительно базиса е'). В базисе еп матрица преобразования р равна матрице формы f и диагональна с собственными значениями на диагонали, а форма g по-прежнему выражает скалярный квадрат вектора в ортонормированном базисе и, значит, равна сумме квадратов координат вектора. Матрица S перехода от базиса е к базису е" определяется формулой S = S1S2. Действительно, из е" = е’S^ и е' = eSi следует е" = eSiS^. В столб-
цах матрицы S стоят координаты векторов е", е^ и е" относительно исходного базиса е.
Напишем выражение старых компонент тензора через новые. С этой целью умножим обе части равенства а^ = a^a^aki на ТрТ^ и просуммируем по г и 3. Тогда
TpTq Cl^j ^p^q^i ^j^kl OpOq^kl ^pq-
Следовательно, apq = ТрТ^а'-. Эти равенства можно написать в матричном виде:
«11«12«21«22«11«12«21«221 '21 '2Л 21 '2Л 21 '2-2_11 '2-2_11 '2-2 21 '2-2 21 '2«11«12«21«11«12«21«22«22(17)(17)
«11
«12
«21
«22
«11
«12
«21
«22
1 '2
1 '2
Л 2
1 '2
Л 2
1 '2
-2_1
1 '2
-2_1
1 '2
-2 2
1 '2
-2 2
1 '2
«11
«12
«21
«11
«12
«21
«22
«22
(17)
(17)
Вспомним теперь, что в произвольном линейном пространстве (а значит, и в пространстве тензоров типа (0, 2)) старые компоненты вектора выражаются через новые формулой ^ = SE^. Это означает, что матрица из произведений ТрТ^ в формуле (17) и есть искомая матрица перехода. Нетрудно проверить, что она равна Тт 0 Тт.
Используя результат задачи 37.7, 1), находим компоненты тензора, соответствующего произведению дд*:
сзк — 9ms«/ 9 ^9ik^j — ^sPkj'
Если ввести обозначение b^j = дп^ = «^7 т0 csk = 9 ^sl^kj^ cks = 9 ^kl^sj-
Используя симметрию тензора д1^ можно проверить, что выражения Cks и csk отличаются только обозначением индексов суммирования и порядком числовых сомножителей.
Иначе можно рассуждать так: матрица тензора с^ в ортонорми- рованном базисе симметрична, так как совпадает с матрицей самосопряженного преобразования фф*. Поскольку тензор имеет тип (0, 2), его матрица симметрична и в любом базисе. Это решение кажется проще, но оно опирается на несколько теорем, тогда как первое решение не использует ничего, кроме определений.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
(-12, -2), (0, 0). 1.5. а = 2/7,/3 = 13/7. 1.6. с(1/16, 11/16), d (0, -2). 1.7. 1) ж = 0, ж = 1, ж = 3/2; 2) ж = 0. 1.8. (О, О, 0), (1, -7, -3). 1.9. а = 0, /3 = -1, 7 = -4. 1.10. 1(1, 1, 1), т(0, 2, 0), n(0, 1, 1). 1.11. 1) да; 1 + m + п = 0; 2) нет; 3) да; 21 + m — п = 0. 1.12. /3 : а. 1.13. BD (-1, 1), СО (-1/2, -1/2), 1<D (-1, 1/2). 1.14. АМ (1/2, 0), АО (1/3, 1/3), МО (-1/6, 1/3). 1.15. АВ (3/5, -2/5), ВС (2/5, 2/5), CD (-2/5, 3/5), DA (-3/5, -3/5). 1.16. АО (1/3, 1), AO (1/4, 3/4), AS (0, 3/2). 1.18. ВС (1, 1), CD (0, 1), DE (-1, 0), EF (-1, -1), BD (1, 2), CF (-2, 0), CE (-1, 1). 1.19. AD (1, 3). У к а з а н и e: разложить векторы AD, OS, ОМ по базису AD, АВ. Равенство AD = xOS + уОМ представляется как система из двух линейных
уравнений с двумя неизвестными. Аналогично рекомендуется
решать задачи 1.20-1.22. 1.20. (-71/22,-1/11). 1.21. (-13/12,
-14/15).1.22.(4/21, -20/21).1.23.1) АВ (-1,1,0),
ВС (0, -1, 1), АС (-1, 0, 1); 2) KL (-1/2, 1/2, 0), PQ (-1/2, 1/2, 0), CN (1/2,1/2,-1), МР (1/2,0,0), "KQ (-1/2,1/2,1/2);
OS f|, |, |YkS (-|, |, |1 1.24. V)Om(—^—, —
\3 3 3/\ 6 3 3/
2}On(—^—, —1 1.25.
\п-т т — п)\JAB| + |AC| |АВ| + \АС\ /
А (0, 0), В (2/3, -1/3), 0(1, 0), 0(2/3, 2/3), В (0, 1),
В (—1/3, 2/3), 0(1/3, 1/3); О — центр шестиугольника. 1.27. А (О,
0), В(0, 1), 0(1/4, 1), 0(1, 0), М (1/5, 4/5), 5(0, 4/3). 1.28. 0(1,
1, 0), Вг (1, 0, 1), Ci (1, 1, 1), К (1/2, 0, 1), L(l, 1, 1/2), M (1/2,
1/2, 1), А (1/2, 0, 1/2), О (1/2, 1/2, 1/2). 1.29. О(ж1-ж2 + ж3,
У1-Уг + Уз)- 1.30.У1-Уг + Уз)- 1.30.2) N2) Nn$i — тж2п — тn$i — тж2п — тпользовать задачу т „2 /Ж! + Ж2 + Ж3'\3пользовать задачу т „2 /Ж! + Ж2 + Ж3'\3ПЖ1 + тж2 пух + ту-2 nzx + mzi т + п ’ т + п ’ т + п пух - ту2 nzx - mz2 \ ЛГ , . Указание: ис- п — т п — т /1.24.1.31.1) (-3, 16); 2) (9, -20).У1 + У2 + Уз ^1 + ^2 + 233’3ПЖ1 + тж2 пух + ту-2 nzx + mzi т + п ’ т + п ’ т + п пух - ту2 nzx - mz2 \ ЛГ , . Указание: ис- п — т п — т /1.24.1.31.1) (-3, 16); 2) (9, -20).У1 + У2 + Уз ^1 + ^2 + 233’31) м1) м. 1.33. гс = Г2 + г3 -. 1.33. гс = Г2 + г3 -
У1-Уг + Уз)- 1.30.
У1-Уг + Уз)- 1.30.
2) N
2) N
n$i — тж2п — т
n$i — тж2п — т
пользовать задачу т „2 /Ж! + Ж2 + Ж3
'\3
пользовать задачу т „2 /Ж! + Ж2 + Ж3
'\3
ПЖ1 + тж2 пух + ту-2 nzx + mzi т + п ’ т + п ’ т + п пух - ту2 nzx - mz2 \ ЛГ , . Указание: ис- п — т п — т /
1.24.1.31.1) (-3, 16); 2) (9, -20).
У1 + У2 + Уз ^1 + ^2 + 23
3’3
ПЖ1 + тж2 пух + ту-2 nzx + mzi т + п ’ т + п ’ т + п пух - ту2 nzx - mz2 \ ЛГ , . Указание: ис- п — т п — т /
1.24.1.31.1) (-3, 16); 2) (9, -20).
У1 + У2 + Уз ^1 + ^2 + 23
3’3
1) м
1) м
. 1.33. гс = Г2 + г3 -
. 1.33. гс = Г2 + г3 -
- Г1, гВ1 = г2 + г4 - Г1, Гд, = г3 + г4 - ri, гС1 = г2 + г3 + г4 - 2г4.
ТТЛТТЛ
rD = ri Н(г3 - г2), гм = ,—гх Ч■—r3, rs =
пт ^ п т + п
= П + т 1 36|Г1 - г2|г3 + |г2 - r3|ri + |г3 - гх|г2
п-т т — п "'' |ri - г2| + |г2 - г3| + |г3 - Г1|"
Точка пересечения медиан треугольника; вне плоско-
777,11*1 + ... + тпгп сти треугольника таких точек нет. 1.38..
mi + ... + mn
(—-, —-). 1.40. (—,—). 1.44. |SO| : \ON\ =
\2(а + 6) ’ 2(а + Ь) /\ 99 /1111
= (™,+^146 |лм|;|л„| = 3;2.
777,1772771777,2
\ВМ| : \ML\ = 16 : 9. 1.47. —±—. 1.48. Указание: исполь
зовать задачу 1.17. 1.49. Ц— S. 1.52. 1 : 3. 1.53. 2 : 3.
772 — 77 + 1
1. 1)3/V2;2) -21; 3)0; 4) 5; 5) -6. 2.2. 1) 6; 2) 38. 2.3. 1)3;2)-1;
0. 2.4. 1) 0; 2) arccos (4/5); 3) 90°; 4) arccos (-3/V10); 5) 180°.
5. 1) 10; 2) 5; 3) 0. 2.6. 1) 22; 2) -1; 3) 0. 2.7. 1) arccos (5/9);
180°; 3) 0; 4) 90°; 5) arccos (-1/3). 2.8. 1) 5V2; 2) 2; 3) 3.
9. 1) (-28, -14); 2) -13; 3) 77. 2.10. 1) (-25, -20, 5);
11; 3) -28. 2.12. Нет. 2.13. -3/2. 2.14.1) 0; 2) -4;
2. 2.15. 1) V|b|2 + |c|2-2(b,c); 2) 1 V|b|2 + |c|2 + 2(b,c); 3)
T/ibHci2 —(iTc)2 2 16 ( lC' ~ ^C^ ^ ~ ^’c) A 2V|b| |c|(b,c) . . 6. ^|b|2+|c|2_2(b,c)’ |b|2+ |c|2-2(b,c)J'
1) |ЛН| = |b|, |SC| = V|b|2 + |c|2 - 2(b,c), |ЛД = 3|BC|, |СД = V9|b|2 + 4|c|2 - 12(Ь,С), cos 2Л = У"^2, ^B = = 180° - /Л, cos ZD = ЯД^_ДД ZC = 180° - ZD- 2) |SM| = — ^/4 | b |2 + |c|2 — 4(b, c). 2.19. Длины диагоналей
5\/2 и x/10, острый угол 45°.2.20. \AB\ = 6, \AC\ = 4V3,
\BC\ = 2V3, AA = 30°, AB = 90°, AC = 60°. 2.21. Длины сторон 3 и 5, острый угол arccos (4/5). 2.22. V94- 2.23. — (10, —11, -2). 2.24. ^j^a- 2-25- |а- 2-26- i) (-1, -1) и (2- -2); 2) (0, 0) и (1, -1); 3) (3, 3) и (0, 0); 4) (-2, -2) и (0, 0).
21
1) (2, -2, 4) и (0, 0, 0); 2) -(1, -1, 2) и -(1, 5, 2);
3) (О, О, 0) и (4, О, -2). 2.28.(5, 2). 2.29.3) (О, О, 0) и (4, О, -2). 2.28.(5, 2). 2.29.(1, 0) или(1, 0) илиз +V32з +V322.30.2.30.(1, -1, 3). 2.31.(1, -1, 3). 2.31.РРх = г^а- |а|2х = г^а- |а|2Указание: вектор х искать в виде Ла. 2.32. 1)Указание: вектор х искать в виде Ла. 2.32. 1)МножествоМножествоконцов векторов, удовлетворяющих уравнению (х, а) = р, является прямой линией (все векторы отложены из некоторой точки О). Нормальным вектором этой прямой является вектор а. Проекциейконцов векторов, удовлетворяющих уравнению (х, а) = р, является прямой линией (все векторы отложены из некоторой точки О). Нормальным вектором этой прямой является вектор а. Проекцией
3) (О, О, 0) и (4, О, -2). 2.28.(5, 2). 2.29.
3) (О, О, 0) и (4, О, -2). 2.28.(5, 2). 2.29.
(1, 0) или
(1, 0) или
з +V3
2
з +V3
2
2.30.
2.30.
(1, -1, 3). 2.31.
(1, -1, 3). 2.31.
Р
Р
х = г^а- |а|2
х = г^а- |а|2
Указание: вектор х искать в виде Ла. 2.32. 1)
Указание: вектор х искать в виде Ла. 2.32. 1)
Множество
Множество
концов векторов, удовлетворяющих уравнению (х, а) = р, является прямой линией (все векторы отложены из некоторой точки О). Нормальным вектором этой прямой является вектор а. Проекцией
концов векторов, удовлетворяющих уравнению (х, а) = р, является прямой линией (все векторы отложены из некоторой точки О). Нормальным вектором этой прямой является вектор а. Проекцией
точки О на прямую является конец вектора Xq = 2) Множество концов векторов, удовлетворяющих уравнению (х, а) = р, является плоскостью (все векторы отложены из некоторой точки О). Нормальным вектором этой плоскости является вектор а.
Проекцией точки О на плоскость является конец вектора Xq = ;—г^а. |а|2
1) Радиус-вектор точки пересечения двух прямых (см. задачу
. 2) Радиус-вектор общей точки трех плоскостей (см. задачу
. 2.34. Два решения: ±^_ (1, —2, — 3). 2.35. Два решения:
114
—ч=(0, 1, 1) и —— (5, —3, —8). 2.36. Угол при вершине arccos-. у27у25
I т2 —I
4.2.39. Острый угол arccos:.
у т4 + п4 — 2m2n2 cos 2а
/2,2\ V2
90».2.41.1)"‘ +" ~"‘"); 2)
\ тп /
3) arcsin ( —-—Щ^ ).2.44.|ЛС1|2 = а2 + Ь2 + с2 +
\ т2 + п2 — тп /
+ 2ab cos + 2bccos а + 2асcos 3- 2.47. arccos (1/18). 2.48. а.
49. \ЕМ\ : \MF\ = \CN\ : ^D| = 3 : 1. 2.50. 6/3. 3.1. 1) (11, 19, -7); 2) (0, 0, 0); 3) (0, 0, -15).3.2.1) 2 [b, а];
[а, Ь] + 4 [Ь, с] + | [с, а]. 3.4. А = ±/3. 3.5. 1) [61,62] = 63, [е2,е3] = ei, [e3,ei] = е2; 2) [еъе2] = -е3, [е2,е3] = -еъ [e3,ei] = -е2; ох г 1 lei| 11е2| г ,|е2| •|е3||е3| •|ei|
[ei,e2] - ——-—е3, [е2,е3] - ———ei, [e3,ei] - ——-—е2. 1ез||ei||е2|
Либо все векторы а, Ь, с нулевые, либо они образуют ортонор- мированный базис (тройка векторов а, Ь, с правая). 3.7. Задача 2.34: единственное решение ^_ ( — 1, 2, 3); задача 2.35: единственное решение —^ (0, 1, 1). 3.8. 1) - V3; 2) 5 у/3/14, —^=, 5 у/3/14.
18. 3.14. cos#=-^7—c°S C°S 7, где 9 — двугранный угол, sin р sin у
образованный плоскими углами /3, 7. Остальные углы выражаются
аналогичными формулами. У к а з а н и е: при вычислениях исполь
х = . ’. Указание:х = . ’. Указание:зовать формулу задачи 3.13, 3). 3.15.
х = . ’. Указание:
х = . ’. Указание:
вектор х искать в виде А [а, Ь]. 3.16. Множество концов векторов,
удовлетворяющих уравнению [х, а] = Ь, является прямой линией (все векторы отложены из некоторой точки (9). Направляющим
вектором этой прямой является вектор а. Проекцией точки О на прямую является конец вектора xq = [а, b]/|a|. 3.17. d = ±f/|f|, f = |а| [b,c] + |b| [с, a] + |c| [a, b]; 1) знак + соответствует правой тройке а, Ь, с, знак — соответствует левой тройке; 2) знак + соответ
ствует левой тройке а, Ь, с, знак — соответствует правой тройке.
ф(1, 2, 0). 3.19. 1) 0; 2) -23; 3) 0; 4) 6. 3.20. 1) Да; V 5
нет. 3.21. А = 3, А =-4. 3.22. 1) |(а, Ь, с)|/2; 2) |(а, Ь, с)|/6.
1) 1/3; 2) 1/V30. 3.24. 10^2. 3.25. Множество концов векторов, удовлетворяющих уравнению (х, а, Ь) = р, является плоскостью (все векторы отложены из некоторой точки (9). Эта плоскость параллельна векторам а и Ь. Проекцией точки (9 на
плоскость является конец вектора xq = 77— а, b ; этот вектор|[а, Ь]|2является частным решением данного уравнения. У к а з а н и е: использовать результат задачи 2.32.3.26. Указания:2) использовать формулу двойного векторного произведения (задача 3.13, 2)); 3) и 4) — использовать формулу задачи 3.26, 2); 5) положить в формуле задачи 3.26, 3) d = [х, у], при выплоскость является конец вектора xq = 77— а, b ; этот вектор|[а, Ь]|2является частным решением данного уравнения. У к а з а н и е: использовать результат задачи 2.32.3.26. Указания:2) использовать формулу двойного векторного произведения (задача 3.13, 2)); 3) и 4) — использовать формулу задачи 3.26, 2); 5) положить в формуле задачи 3.26, 3) d = [х, у], при вычислении смешанных произведений 3.13,3). 3.29. 2) bi =-^^-,Ь2 (ai,a2,a3)числении смешанных произведений 3.13,3). 3.29. 2) bi =-^^-,Ь2 (ai,a2,a3)3.30.3.31.3.30.3.31.bi G-bi G-14’ 4/14’ 4/ь2 (--,2 V 6 ’ь2 (--,2 V 6 ’p[b, c] + q[c, a] + s[a, b]p[b, c] + q[c, a] + s[a, b]использовать формулу задачи_[a3,ai]^ _[ai,a2](ai, a2, a3)(ai, a2, a3)11A , / 171A—, - h b3 —, —, — .62/3 \!2 124/использовать формулу задачи_[a3,ai]^ _[ai,a2](ai, a2, a3)(ai, a2, a3)11A , / 171A—, - h b3 —, —, — .62/3 \!2 124/3.32.3.32.3.34.3.34.2 : 1 или2 : 1 или
плоскость является конец вектора xq = 77— а, b ; этот вектор
|[а, Ь]|2
является частным решением данного уравнения. У к а з а н и е: использовать результат задачи 2.32.3.26. Указания:
2) использовать формулу двойного векторного произведения (задача 3.13, 2)); 3) и 4) — использовать формулу задачи 3.26, 2); 5) положить в формуле задачи 3.26, 3) d = [х, у], при вы
плоскость является конец вектора xq = 77— а, b ; этот вектор
|[а, Ь]|2
является частным решением данного уравнения. У к а з а н и е: использовать результат задачи 2.32.3.26. Указания:
2) использовать формулу двойного векторного произведения (задача 3.13, 2)); 3) и 4) — использовать формулу задачи 3.26, 2); 5) положить в формуле задачи 3.26, 3) d = [х, у], при вы
числении смешанных произведений 3.13,3). 3.29. 2) bi =-^^-,Ь2 (ai,a2,a3)
числении смешанных произведений 3.13,3). 3.29. 2) bi =-^^-,Ь2 (ai,a2,a3)
3.30.
3.31.
3.30.
3.31.
bi G-
bi G-
1
4’ 4/
1
4’ 4/
ь2 (--,2 V 6 ’
ь2 (--,2 V 6 ’
p[b, c] + q[c, a] + s[a, b]
p[b, c] + q[c, a] + s[a, b]
использовать формулу задачи
_[a3,ai]^ _[ai,a2]
(ai, a2, a3)(ai, a2, a3)
11A , / 171A
—, - h b3 —, —, — .
62/3 \!2 124/
использовать формулу задачи
_[a3,ai]^ _[ai,a2]
(ai, a2, a3)(ai, a2, a3)
11A , / 171A
—, - h b3 —, —, — .
62/3 \!2 124/
3.32.
3.32.
3.34.
3.34.
2 : 1 или
2 : 1 или
3.39.3.39.51 + 52 + ^+51 + 52 + ^+4.1. 1) CQ — —Q^ -|- 2«^,4.1. 1) CQ — —Q^ -|- 2«^,q2 = За'х — 7«2? 2) 01^ = —7«i — 2q2, «2 = —Зад — a^ 3) ei (—7, —3), e2 (—2, —1). 4.2. 1) 07 = оц — Q2 A- 0^3, c^2 = ^1 — 2c^2 4- Зс^^, ад = a/ — 3(^2 4" 60^; 2) a^ = Зад — Зад 4" ад, Q2 = 3cii — 5q2 4" 2<тз,
3.39.
3.39.
51 + 52 + ^+
51 + 52 + ^+
4.1. 1) CQ — —Q^ -|- 2«^,
4.1. 1) CQ — —Q^ -|- 2«^,
а; = ai - 2а2 + а3; 3) ei (3, 3, 1), е2 (-3, -5, -2), е3 (1, 2, 1).4.3.1) ж = 2ж' + у' - 1, у= Зж' + у'+ 3;
ж' = -ж + у -4, у' = Зж - 2у + 9; 3) О (-4,9), в! (-1, 3),
е2 (1, -2). 4.4. 1) ж = 4ж' + 5у' + 3/ + 1, у = 2ж' + Зу' + 2/ + 1, z = ж' + 2у' + z'+ 2;2) ж' = ж — у — г + 2, у'= —у + 2z— 3,
/ = -х + Зу - 2z+ 2;3) О (2, -3, 2), ei (1, О, -1), е2 (-1,-1,
3), е3(-1, 2, -2). 4.5. 1) ж'= |ж + |у - ^, у'=-|ж + |у + ^;
555555
/71 1 \/ 1 Q\/ 19\
О --, - , б1 -, - V е2 -, - , 3) О' (5, 2), el (2,
3), ©2 (—1, 1). 4.6. 1) х' — х — у + z + 6, у' — —х + у — 2z — 8, z' = ж + г + 3;2) 0(6, -8,3), ei(l, -1, 1),е2 (-1, 1, 0),
е3(1, -2,1);3) О'(-1,3,-2), е; (1, -1,-1), е;(1, О,
-1), е; (1,1,0).4.7.«1= -7а; - 17а;, а2 = 5а; + 12а;.
ах= --а'2 + -а;+4а;, а2 = уа;- -а^ - 18а;,
1722
а3 = 5а; - 9а^. 4.9. ж = -ж' + 2у' + -, у = --ж' - 2у' - -. 4.10. ж =
= 4ж' + Зу' + 6/, у = —8ж' - Зу' - 13/ - 1, z = 13ж' + 4у' + 23г' + 1. 1,2,22,2,11 ,,
ж = -жу 4—, У = -ж Н—у Н—. 4.12. ж = -ж — у + 1, 3333333
2 ,,2,2,21 ,,1
У = ?ж + у .4.13. ж = --х - -у + -, у = --х + у + -.
313
х = х' Ч—у' У = —Зж'у’ + 3. 4.15. х = —х* — г/' + 2, 55
,,3 ,2 ,32 ,2 ,2
У = -ж+ У + 1.4.16.х =--х+ -у + -,у= --х - -у+ -.
55 5555
х = —х'— 2i/+ 2,у =— 2ж' — у’+2.4.18.х =
= —2ж' — 2yr — z' + 2, у =у’ +z', z = г'. 4.19.х = 2ж' + у* + ^z’ — 1,
у = у' А—zz = —х’ — у* + 1. 4.20. х = -ху’z’ Ч—,
У У 3У33^33
,2 ,1 ,11 ,1 ,1 ,1,
у = —х А—уz А—,г = —хуz А—• 4.21. х = 2х +
У 333333
+ 2yf + z\ у = х’ + 2yf + z', z = —х1 — у' — z' + 1. 4.22. х = —z1 + 1, у = у' + 2/ — 1, z = —х1 — у’ — ^z’ + 2. 4.23. а^ + a^i = 1?
а12 + а22 = 1, ^11^12 + ^21^22 = 0.4.24.1) (2^ + ^21 + а31 =
a12 + ^i2 + ^32 = 1, ^13 + ^23 + 4з =^11^12 + ^21^22 + ^31^32 = О,
^11^13 + ^21^23 + ^31^33 = 0,<212^13 + ^22^23 + ^32^33 = 0;
2)2)(2ц ^12 <^13(221 <^22 ^23<^31 ^32 <^33(2ц ^12 <^13(221 <^22 ^23<^31 ^32 <^33> 0.> 0.4.25.1) х = х' cos ф — у* sin ф + жо,4.25.1) х = х' cos ф — у* sin ф + жо,
2)
2)
(2ц ^12 <^13
(221 <^22 ^23
<^31 ^32 <^33
(2ц ^12 <^13
(221 <^22 ^23
<^31 ^32 <^33
> 0.
> 0.
4.25.1) х = х' cos ф — у* sin ф + жо,
4.25.1) х = х' cos ф — у* sin ф + жо,
у = х' sin ф + у’ cos ф + у^ 2) х’ = (х - х0) cos ф + (у - уо) sin ф, у* = (у — уо) cos ф — (ж — xq) sin у?; 3) О (—xq cos ф — уо sin ф , 1 V3 V5 1
ж08ту? - y0cosp). 4.26. 1) ж = -х' - — у' + 1, у = — х' + -у' + 3;
1 , 1—ж—/2 V21 , 1—ж—/2 V21/21/2= х' + 3; 4) х = —х1 + 1, у = —у' + 3. * + Ожо , у = х' sin ф — у’ cos ф + уо ; 2) х'= х' + 3; 4) х = —х1 + 1, у = —у' + 3. * + Ожо , у = х' sin ф — у’ cos ф + уо ; 2) х'- ^у' + 3; 3) х = -у' + 1, у = 4.27. 1) х = х' cos ф + у’ sin ф + ' = (ж - Ж0) COS ф + (у - Уо) sin ф.- ^у' + 3; 3) х = -у' + 1, у = 4.27. 1) х = х' cos ф + у’ sin ф + ' = (ж - Ж0) COS ф + (у - Уо) sin ф.у' = (х — Xq) sin ф — (у — Уо) COS ф^ 3) О ( — XQ COS ф — УоЙШфу' = (х — Xq) sin ф — (у — Уо) COS ф^ 3) О ( — XQ COS ф — УоЙШф— Xq sin ф + Уо COS ф). 4.28. X— Xq sin ф + Уо COS ф). 4.28. X3 / 5Ж3 / 5Ж45454.29.4.29.1 ,х = —х -21 , 1 , -^ж + —=z хПV22 ,1,2—х 4—у3 3У 31 ,х = —х -21 , 1 , -^ж + —=z хПV22 ,1,2—х 4—у3 3У 3V2V21,1,УУ4.30.4.30.23232323232348 ' 25-х'2Г'48 ' 25-х'2Г'4- 531-у' зу23'4- 531-у' зу23'3 , 36 5У 25 ^' + 3,2 , 2 зг + 3’3 , 36 5У 25 ^' + 3,2 , 2 зг + 3’
1 , 1
—ж—
/2 V2
1 , 1
—ж—
/2 V2
1
/2
1
/2
= х' + 3; 4) х = —х1 + 1, у = —у' + 3. * + Ожо , у = х' sin ф — у’ cos ф + уо ; 2) х'
= х' + 3; 4) х = —х1 + 1, у = —у' + 3. * + Ожо , у = х' sin ф — у’ cos ф + уо ; 2) х'
- ^у' + 3; 3) х = -у' + 1, у = 4.27. 1) х = х' cos ф + у’ sin ф + ' = (ж - Ж0) COS ф + (у - Уо) sin ф.
- ^у' + 3; 3) х = -у' + 1, у = 4.27. 1) х = х' cos ф + у’ sin ф + ' = (ж - Ж0) COS ф + (у - Уо) sin ф.
у' = (х — Xq) sin ф — (у — Уо) COS ф^ 3) О ( — XQ COS ф — УоЙШф
у' = (х — Xq) sin ф — (у — Уо) COS ф^ 3) О ( — XQ COS ф — УоЙШф
— Xq sin ф + Уо COS ф). 4.28. X
— Xq sin ф + Уо COS ф). 4.28. X
3 / 5Ж
3 / 5Ж
4
5
4
5
4.29.
4.29.
1 ,
х = —х -
2
1 , 1 , -^ж + —=z хПV2
2 ,1,2
—х 4—у
3 3У 3
1 ,
х = —х -
2
1 , 1 , -^ж + —=z хПV2
2 ,1,2
—х 4—у
3 3У 3
V2
V2
1,
1,
У
У
4.30.
4.30.
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
48 ' 25
-х'
2
Г'
48 ' 25
-х'
2
Г'
4
- 53
1
-у' зу
2
3'
4
- 53
1
-у' зу
2
3'
3 , 36 5У 25 ^' + 3,
2 , 2 зг + 3’
3 , 36 5У 25 ^' + 3,
2 , 2 зг + 3’
1) ai и а2 не коллинеарны; 2) ai и а2 коллинеар
ны, ai и г2 — ri не коллинеарны; 3) ai, а2, г2 — ri коллинеарны. 5.2. 1 arccos k , ; 2 arccos k , 7 . 5.3. r0 +—z7 a.
|ai|-|a2|(a,n)
. D — (r0,n). D — (r0,n). |(r0,n) — D\
4. 1 r0 +r^n;2 r0 + 25.5. 1
—^1" = ^-^—; 3) у = 4; 4) ж = —3; 5) ж = —3 + 7t, у = 4 + t. 5.24. 5ж-у -17 = 0, 5ж - у + 9 = О, х +Ьу - 19 = О,
ж + 5г/+ 7 =0.5.25. х - у V3 + 3V3 - 1 = 0, х - yV3+ V3 - 1 = О,
X + yV3 - ЗТЗ -1 = 0, X + yV3 - V3 - 1 = о. 5.26.(3, 11).
5.27. 1) уДЗ; 2) 1; 3) 2; 4) 0; 5) 6; 6) 11. 5.28. |С2 - Ct\/VA^TB^. 5.29. 2х -у - 14= 0, 2х - у + 6 = 0. 5.30. (7,6) или (-3,
-2/3). 5.31.(3,5) или (-37, 45). 5.32. (-1.5,0.5) и (-0.5,
. 5.33. Пара прямых: А^х + Вху + Сх = ±А(А2ж + В^у + С^\ где А = kVV^TBt^K^TB^. 5.34. 1) (-2, 3); 2) (-5, 4). 5.35.х - Зу + 7 = 0. 5.36. Ьх - Юу - 11 = 0.5.37.х=5.
(7, -5); 2х - Зу + 11 = 0; 2х + у - 9 = 0;х + у- 2=0.
Зх + 4у - 11 = 0, Зх + 4у + 1 = 0, 63ж +59г/ -205=0.
Зж + 4г/— 13 = 0, Зж + 4г/— 23 = 0, у = 2, у = 4.5.41.х = -3,
у = 4, х — 2у + 3 = 0. 5.42. 2х + у — 1 = 0; тг/4. 5.43. х — 2у + 3 = 0; тг/4. 5.44. 2х — Зу + 6 = 0; arctg (6/43). 5.45. х — Зу + 1 = 0; тг/4. 5.46. х у — 4 = 0, ж + г/= 0, у = ^ х = 3. 5.47. 1) arccos (1/V10); 2) arccos (2/V5); 3) 90°; 4) 0; 5) arccos (4/V65). 5.48. 2 прямые: 2х + у — 7 = 0, х — 2у — 1 = 0. 5.49. х = 2 + у (2 + V3^ ж = 2 + у(2 - V3). 5.50. 2ж - Пу + 16 = О или 2ж - Пу + 6 = 0. 5.51.(3, 12). 5.52. 1) у = 1, 12ж - 5у + 53 = 0; 2) ж =-2,
4ж - Зу + 5 = 0. 5.53. Зж - у + 17 = 0. 5.54. ж + Зу + 9 = 0. 5.55. 77х + 21г/ — 50 = 0, 7х — 56г/ + 25 = 0, у = х. 5.56. Радиус вписанной окружности равен 4, радиус описанной окружности равен 325/16. Центр вписанной окружности имеет координаты (—8, — 1), центр описанной окружности имеет координаты (—3/16, 51/4). 5.57. 6ж + г/— 11 = 0, ж + 6г/+ 4 = 0, 146ж + 99г/— 641 = 0. 5.58. (-3, 5). 5.59. Их - 15г/+ 11 = 0. 5.60. х = 2, х = 0, Зх - 4у + 6 = О, Зх — 4у — 4 = 0. 5.61. Два решения: 1) радиус равен 2 V2, центр имеет координаты (—3, 1); 2) радиус равен V2^ центр имеет координаты (-2, 4). 5.62. х = 3, у = -1, или Зх + 4у - 5 = 0, 4х - Зу - 15 = 0. 5.63. (Аац + Ba2i)xf + (Аах2 + Ba22)yf + ^4^io + Ba2o + С = 0. 5.64. Зх’ — у' + 3 = 0.5.65.1) х = — —х' — ^г/ + 1,
4
у = — —х' + — у' + 1; 2) 2х* + Ьу* — 4 = 0. 5.66. Ьх* + V3yf — 4д/3 = 0.
х1,2,2 ,1 ,
1) х =— х ++ 1, у =+ 3;
V5 V5V5 V5
6Д - 7 у’ — 6\/5 = 0.6.1.1) (г, [а, Ь]) = (г0, а, Ь);
[г, а] = [г0, а]; 3) г =+ at; 4) [г, [щ, n2]] = B2ni -
г =+ а^ а = [пь п2].6.2.1) [щ, п2]0;
1аГ
2)[П1,п2]= 0; если ni = Лп2, то Dyф XD^ 3) [ni,n2] = 0;если
ni= Лп2,то Dy = XD^. 6.3. 1) [ai,a2] ^ 0, (г2 - ri,ai,a2)=0;
2)[ai,a2]/ 0, (г2 - ri,ai,a2) ^ 0; 3)[аъа2] = 0, [г2 - rbai]/0;
4)[ai,a2]= 0, [r2 — ri,ai] = 0. 6.4.1) (а, п) / 0; 2) (а, п)=0,
(г0,п) / D- 3) (а, п) = 0, (г0,п) = D. 6.5. 1) г0 + ° . Д’”4; (а, п)
.[a,b] Dial2 — (а, Ь, п).. ..
2)Л-ЛН———1а.6.6. 1)г = r0 + nt; 2) (г -г0, а) = 0.
|а|1а| (а, п)
6.7. (г - г0, ri - г0, а) = 0. 6.8. 1) г0 + —Ду2—2) г0 +9£Ч£о1п)(го-гьа)(го-гьа)
Ч- 2||9^* 6.9. 1) г^ Ч- । |2^2г^ Го ±2119^”
|пД|а|^|а|^
6.10.1) (r, n) = D, (г - r0, а, п) = 0; 2) (г - г0, ri - г0, а) = 0,
(г - Го, а) = 0; 3) (г - г0, гх - г0, аД = 0, (г - г0, г2 - г0, а2) = 0; 4) (г - гь аь [аь а2]) = 0, (г - г2, а2, [аь а2]) = 0. 6 11 П l(ro,n)-D| l(ri-r2,a,b)||Di-D2||[г0-Г1,а]|.
|п||[а, Ь]||п||а|
|[г0,а] — Ь|, |[гх - г2,а]|. |bi - b2|. |(ri - r2,ai,a2)|, |а|’|а|’|а|’|[ai,a2]|’
9)
|(ai, b2) + (a2, bi) |
6.14.
I[ai,a2]|
D — (ro, n) ± plnl . 6.12. Два решения: r0 47г
a.
1) 4ж — у + Зг + 1 = 0; 2) x = u^ у = v, z = — 1 — 2u + 3u.
6.16.
1) x + 3y — 11 = 0, у + z — 4 = 0;
2) x
= 7 + 3t, у = 11 + 5t, z = t,
х — 2
3
х - 7
3
У - 3 = - 1
. У-11
"5
z - 1
1
Z
1
6.17. l)x-3y^2z-8 = 0-2)x = l-3)y = -l-4)z = 2*5)x = l— и + -с, у = — 1 ± и + 2г;, z = 2 + 7и + Зи. 6.18. 1) х -V у — z — 3 = 0,
_„. _ _ х — 1 у-з
2х + Зу + z - 12 = 0; 2)^ = ^ = ^ ; 3) х = 1, у = 3; 4) х = 1,
z = 1; 5) у = 3, z = 1.
6.19. 1) х + Зу — 10 = 0, 2у + z — 5 = 0;
2) х + у — 5 = 0, z = 5; 3) у = 1, z = 2. 6.20. 1) 2у — z + 1 = 0; 2) 6ж + у - Юг + 25 = 0; 3) 4х - 12г/ + 3z - 12 = 0; 4) х = 2; 5) три данные точки лежат на одной прямой и не определяют плоскость.
6.21. 1) Пересекаются по прямой — =
3
- 2
3) параллельны; 4) пересекаются по
6.22. 1) а ±3; 2) а = 3; 3) а = -3.
прямой
6.23.
1
2 ” 4
—-—; 2) совпадают;
х + 3 у г — 2
3” 1 ” - 1 '
1) Прямая лежит в
плоскости; 2) пересечение в точке (53, 24, 18); 3) пересечение в точке (—3/4, 1/4, 1/2); 4) прямая лежит в плоскости; 5) прямая параллельна плоскости. 6.24. 1) а ф ±1/2; 2) а = —1/2; 3) а = 1/2.
1) Пересекаются в точке ( —3, 0, 4) и лежат в плоскости 2ж — у + 6г — 18 = 0; 2) скрещиваются; 3) параллельны и лежат в плоскости 5ж — 22у + 19г + 9 = 0; 4) совпадают; 5) пересекаются в точке (—3, 5, —5) и лежат в плоскости 9ж + Юг/ — 7г — 58 = 0. 6.26. 1) а = 3; 2) а ±1, а 3; 3) а = -1; 4) а = 1. 6.27. 1) Плоскости имеют единственную общую точку (1, 1, 1); 2) плоскости не имеют общих точек — попарно параллельны; 3) плоскости совпадают (множество общих точек — вся плоскость х Р 2у — z — 1 = 0); 4) плоскости образуют призму (каждая пара пересекается по прямой, три прямые пересечения попарно параллельны); точек,
г — 5-6 'г — 5-6 'одновременно принадлежащих трем плоскостям, не существует;
г — 5
-6 '
г — 5
-6 '
о) плоскости пересекаются по общей прямой — = —-—
39ж + 27у - 11г - 120 = 0. 6.29. 1) 4ж + у - 8г + 6 = 0; 2) 7х — 8у + 11г + 6 = 0. 6.30. 1) х + 7у — 6г + 6 = 0; 2) Юж + 2у - г + 10 = 0. 6.31. 2ж - Зу - г - 7 = 0. 6.32. 1) 13ж - бу + 8г - 15 = 0; 2) бх - 17?/ + Юг - 43 = 0. 6.33. 1) х = 0, у = 3t, г = 1 - t; 2) х = 0, у - 4г + 3 = 0. У к а з а н и е: исключая х из уравнений данной прямой, получим уравнение проектирующей плоскости. 6.34. 1) ж = — 5 — 4t, у = — 3 + Ы^ г = — 3 + 21. Указание: составить параметрические уравнения проектирующей плоскости. 2) 2ж + ?/ + 5г — 6 = 0, х + 2у - Зг + 2 = 0. 6.35. х - Зг + 4 = 0, 2ж - 4у + 5г + 9 = 0, бх + у + г + 2 = 0; —^— = = —-—. 6.36. 4х + у — Зг + 5 = 0, Юж + у - Зг + 11 = 0, 20ж + бу + Зг - 29 = 0, ж - 2у - Зг + 8 = 0. 6.37. 1) 5ж — бу + 7г = 0, ж — Зу + 2г = 0; 2) 2ж — у + г = 0, 25ж + 12?/ - 20г = 0. 6.38. 1) 13ж - 12?/ + 11г + 36 = 0, ж — 2?/ + г + 4 = 0; 2) ж — у — г + 1 = 0, 8ж + 14г/ + 19г + 13 = 0. 6.39. 2ж — Зу + 5г + 21 = 0, ж — у — z — 17 = 0. 6.40. 2 плоскости: 11ж — 13г/ + 8г + 18 = 0, 20ж — 8у — 5г — 22 = 0. 6.41. 4 плоскости: ж + 4?/ + г — 5 = 0, ж — Юг/ — 6г + 23 = 0, 2ж + у + 2г — 10 = 0, 2ж + у + 9г — 38 = 0. 6.42. 7 плоскостей: 5ж + у — 7г + 13 = 0, Зж — у — 5г + 15 = 0, г — 4 = 0, ж + ?/ + г — 7 = 0, ж — г + 1 = 0, ж + т/-Зг + 5 = 0, ж-2г+ 6 = 0. 6.43. 1) а) Р (11/3, 0, 0), Q (0, 11/2, 0), R(0, 0, 11/4), S(-5, 13, 0); h: Зж + 2у + 4г - 11 = 0, г = 0; 12: Зж + 2у + 4г - 11 = 0, у = 0; 13: Зж + 2у + 4г - 11 = 0, ж = 0; б) Р(7/2, 0, 0), Q(0, 7, 0), R (0, 0, 7/2), S(-2, 7, 2); li: 2ж + у + 2г — 7 = 0, г = 0; 12: 2ж + у + 2г — 7 = 0, у = 0; 11: 2ж + ?/+ 2г — 7 = 0, ж = 0; в) Р(2/3, 0, 0), Q (0, 2, 0), R (0, 0, 2), S(-3, 10, 1); li: Зж + t/+ г — 2 = 0, г = 0; 12: Зж + ?/+ г - 2 = 0, у = 0; 13: Зж + у + г - 2 = 0, ж = 0; 2) а) Р (-4/3, -1/3), Q (1/2, 3/2), R (1/2, -5/4), h: и - ж + 1 = 0, 12: иР 2ж + 2 = 0, 13: и = 1/2; б) Р(-1/2, -3/2), Q (3, 2), Р( —1/2, 2), h: и - v - 1 = 0, 12: и = -1/2, 13: ж = 2; в) Р(1/3, 1/3), 0(1, 1), Р(-1, 1), 11: и — ж = 0, 12: и + 2ж - 1 = 0, 13: ж = 1. 6.44. 18:125. 6.45. 1) (А, В, С\, 2) [щ, п2], где пг (щ,
bi, Ci\ г = 1, 2. 6.46. 1)= ^ = ^; 2) у = -1, z = 2;
ж = 1, z = 2; 4) ж = 1, у = -1; 5) ^2 = Е±1 =
47.1) 4ж - Зу + z + 4 = 0; 2) Зж + 4у + 21z - 36 = 0;
z = 1; 4) у = 3; 5) ж = 1.6.48. 5ж - 10у - 3z - 3 = 0.
1) 5ж - 2у - z - 2 = 0; 2) 7ж - у + 4z - 3 = 0.
ж — у + 2z = 0, 39ж + 15у — 12z + 90 = 0. 6.51. (1,-3, 2). 6.52. 1) V3; 2) 1; 3) 2; 4) 1/3; 5) 0; 6) 2; 7) 4; 8) 1. 6.53. 1) 2; 2) 5; 3) 3/10. 6.54. 1) 6ж - Зу + 2z + 26 = 0 и 6ж - Зу + 2z - 16 = 0; 2) ж + Зу — z + 4V1T = 0 и ж + Зу — z — 2V1T = 0; 3) 2ж + 2у — z + 2 = О и 2ж + 2у - z - 16 = 0; 4) Зж + 4г ± 15 = 0. 6.55. (1,0, -1) или (-1, -3, -2). 6.56.(О, О, 1) или (-6/97, -18/97, 127/97).
2ж — 2у — z — 2 = О, ж + 2у — 2z + 5 = О, 2ж + у + 2z — 5 = О,
2x — 2y — г — 11 = 0, x + 2y — 2г + 14 = 0, 2х + у + 2г — 14 = 0.хл/2 + г — 3\/2 = 0, хл/2 — г + Зд/2 = 0, yV2 ± г = 0.1) (3, -1, 0), (3, -1, -1); (3, 0, 1), (3, 1, 1); (0, -1, 1), (-3, -1, 1); 2) (2, -3, -1), (1, -5, -3); 3) (1, -4, -5), (-1, -7,2x — 2y — г — 11 = 0, x + 2y — 2г + 14 = 0, 2х + у + 2г — 14 = 0.хл/2 + г — 3\/2 = 0, хл/2 — г + Зд/2 = 0, yV2 ± г = 0.1) (3, -1, 0), (3, -1, -1); (3, 0, 1), (3, 1, 1); (0, -1, 1), (-3, -1, 1); 2) (2, -3, -1), (1, -5, -3); 3) (1, -4, -5), (-1, -7,-11). 6.60.-11). 6.60.х + 5 у — 2 г — 4х + 5 у — 2 г — 4-117-11788. 6.61. 1) ж + 5у - z - 25 = О,. 6.61. 1) ж + 5у - z - 25 = О,
2x — 2y — г — 11 = 0, x + 2y — 2г + 14 = 0, 2х + у + 2г — 14 = 0.
хл/2 + г — 3\/2 = 0, хл/2 — г + Зд/2 = 0, yV2 ± г = 0.
1) (3, -1, 0), (3, -1, -1); (3, 0, 1), (3, 1, 1); (0, -1, 1), (-3, -1, 1); 2) (2, -3, -1), (1, -5, -3); 3) (1, -4, -5), (-1, -7,
2x — 2y — г — 11 = 0, x + 2y — 2г + 14 = 0, 2х + у + 2г — 14 = 0.
хл/2 + г — 3\/2 = 0, хл/2 — г + Зд/2 = 0, yV2 ± г = 0.
1) (3, -1, 0), (3, -1, -1); (3, 0, 1), (3, 1, 1); (0, -1, 1), (-3, -1, 1); 2) (2, -3, -1), (1, -5, -3); 3) (1, -4, -5), (-1, -7,
-11). 6.60.
-11). 6.60.
х + 5 у — 2 г — 4
х + 5 у — 2 г — 4
-117
-117
8
8
. 6.61. 1) ж + 5у - z - 25 = О,
. 6.61. 1) ж + 5у - z - 25 = О,
6.62.1) arccos (V6/3);6.62.1) arccos (V6/3);
6.62.1) arccos (V6/3);
6.62.1) arccos (V6/3);
17ж — 7у — 18z + 35 = 0; 2) ж + 5у — z — 25 = 0, 7ж — у + 2z + 8 = 0;
3)3)2)2)2)4)2)4)12V3arccos—= ; 3) arccos-; 4) 90°; 5) 90°; 6) 0. 6.63. 1) arccos—;2V33V590°; 3) 0. 6.64.1) arcsin (1/V6); 2) arcsin (62/63); 3) 90°;0. 6.65. 1) у = 3, z = 2 или ж = 1, z = 2; 2) 2ж — у + 1 = 0,12V3arccos—= ; 3) arccos-; 4) 90°; 5) 90°; 6) 0. 6.63. 1) arccos—;2V33V590°; 3) 0. 6.64.1) arcsin (1/V6); 2) arcsin (62/63); 3) 90°;0. 6.65. 1) у = 3, z = 2 или ж = 1, z = 2; 2) 2ж — у + 1 = 0,г = 2 или х — 2у + 5 = О или 14ж + 13г/ — 11г — 1г = 2 или х — 2у + 5 = О или 14ж + 13г/ — 11г — 1, z = 2.= 0., z = 2.= 0.6.66.6.66.х + ^у + 7г - 12 = 0.х + ^у + 7г - 12 = 0.6.68.6.68.6.67. у - 56.67. у - 52ж + ?/ + г — 1 = 0 х — г + 4 = 0 или2ж + ?/ + г — 1 = 0 х — г + 4 = 0 или2)_ У - 52)_ У - 5^/-2- 1^/-2- 1г - 1г - 1х — 3х — 37-3V37-3V3- 2 ’г - 5- 2 ’г - 51х — 31х — 32 ^/-2- 12 ^/-2- 1-7 + 6V3’-7 + 6V3’7 + 2V37 + 2V36.69. 90°, 45°, 45°; 4ж + Зу-24 = 0. 6.70.6.69. 90°, 45°, 45°; 4ж + Зу-24 = 0. 6.70.г — 2 х- 1 ’ 1_ г - 1” 1 '7 + 3V3г — 2 х- 1 ’ 1_ г - 1” 1 '7 + 3V3у — 5 г — 2у — 5 г — 2-10-13’-10-13’3)3)х — 37-2V3 ” г - 5-7-6V3'х — 37-2V3 ” г - 5-7-6V3'2),2),х — 2х — 222х - 213х — 211х - 213х — 211- 2У + 1 _- 2У + 1 _1’ ! 31’ ! 3гг5t/ + 185t/ + 187’7 ’7’7 ’319~ ’3319~ ’349 ’1549 ’151) 3, (4, -3, 1), (6, -5,1) 3, (4, -3, 1), (6, -5,887’7 ’ 7 Г7’7 ’ 7 Г19 ’2319 ’2332У432У4|. 6.71. (3, 0, 0) или (2, -1, 2). 6.72. 1) V26/7;|. 6.71. (3, 0, 0) или (2, -1, 2). 6.72. 1) V26/7;единственная точка (0, 5, 0).
3)
3)
2)
2)
2)
4)
2)
4)
12V3
arccos—= ; 3) arccos-; 4) 90°; 5) 90°; 6) 0. 6.63. 1) arccos—;
2V33V5
90°; 3) 0. 6.64.1) arcsin (1/V6); 2) arcsin (62/63); 3) 90°;
0. 6.65. 1) у = 3, z = 2 или ж = 1, z = 2; 2) 2ж — у + 1 = 0,
12V3
arccos—= ; 3) arccos-; 4) 90°; 5) 90°; 6) 0. 6.63. 1) arccos—;
2V33V5
90°; 3) 0. 6.64.1) arcsin (1/V6); 2) arcsin (62/63); 3) 90°;
0. 6.65. 1) у = 3, z = 2 или ж = 1, z = 2; 2) 2ж — у + 1 = 0,
г = 2 или х — 2у + 5 = О или 14ж + 13г/ — 11г — 1
г = 2 или х — 2у + 5 = О или 14ж + 13г/ — 11г — 1
, z = 2.
= 0.
, z = 2.
= 0.
6.66.
6.66.
х + ^у + 7г - 12 = 0.
х + ^у + 7г - 12 = 0.
6.68.
6.68.
6.67. у - 5
6.67. у - 5
2ж + ?/ + г — 1 = 0 х — г + 4 = 0 или
2ж + ?/ + г — 1 = 0 х — г + 4 = 0 или
2)
_ У - 5
2)
_ У - 5
^/-2
- 1
^/-2
- 1
г - 1
г - 1
х — 3
х — 3
7-3V3
7-3V3
- 2 ’
г - 5
- 2 ’
г - 5
1
х — 3
1
х — 3
2 ^/-2
- 1
2 ^/-2
- 1
-7 + 6V3’
-7 + 6V3’
7 + 2V3
7 + 2V3
6.69. 90°, 45°, 45°; 4ж + Зу-24 = 0. 6.70.
6.69. 90°, 45°, 45°; 4ж + Зу-24 = 0. 6.70.
г — 2 х
- 1 ’ 1
_ г - 1
” 1 '
7 + 3V3
г — 2 х
- 1 ’ 1
_ г - 1
” 1 '
7 + 3V3
у — 5 г — 2
у — 5 г — 2
-10-13’
-10-13’
3)
3)
х — 3
7-2V3 ” г - 5
-7-6V3'
х — 3
7-2V3 ” г - 5
-7-6V3'
2),
2),
х — 2
х — 2
2
2
х - 2
13
х — 2
11
х - 2
13
х — 2
11
- 2
У + 1 _
- 2
У + 1 _
1’ ! 3
1’ ! 3
г
г
5
t/ + 1
8
5
t/ + 1
8
7’7 ’
7’7 ’
31
9~ ’
3
31
9~ ’
3
4
9 ’
15
4
9 ’
15
1) 3, (4, -3, 1), (6, -5,
1) 3, (4, -3, 1), (6, -5,
8
8
7’7 ’ 7 Г
7’7 ’ 7 Г
1
9 ’
23
1
9 ’
23
32
У
4
32
У
4
|. 6.71. (3, 0, 0) или (2, -1, 2). 6.72. 1) V26/7;
|. 6.71. (3, 0, 0) или (2, -1, 2). 6.72. 1) V26/7;
V62; з) 1/V59. 6.73. 1) 5ж + 4у - z - 24 = 0, 4ж - у + 2z - 43 = 0; (5, 3, 13) и (6, 1, 10); V14; 2) 2ж - 5у + 8z - 9 = 0, ж - z + 8 = 0; (-4, 3, 4) и (-1, 9, 7);3V6; 3) Зж - 2у - z - 6 = О, 5ж + 34у - llz - 38 = 0; (7, 3, 9) и (3, 1, 1); 2V21. 6.74. 1) 2) |^V2; 3) —^=; V V 7 7 V2 И 3\/41
arccos (3V2/10); 5) arcsin (1/10). 6.75. 1) 2/V3; 2) 1/V6; 3) отрезок АС у делится в отношении 2:1, отрезок С Dy делится в отно- х 30х 15 ,—х 9,—хх118
шении 1 : 1. 6.76. 1)2) —v29; 3) —Vo5; 4) 6; 5) arccos——;
V65137 1177143
6.77. 1) Выражение (AiA2 + BiB2 +6.77. 1) Выражение (AiA2 + BiB2 +3.15
6.77. 1) Выражение (AiA2 + BiB2 +
6.77. 1) Выражение (AiA2 + BiB2 +
arccos-—; 7) arcsin—.
713’ 719VI0
+ C-yC^ • (Ai^o + Byy$ + Ci^o + Bi) • (A2xq + B^y® + С2го + B2) отрицательно; 2) то же выражение положительно. 6.78. Зу — 4г = 0 или 4у — Зг = 0. 6.79. х + у + 2г + 11 = 0, х — 2?/ + г — 3 = 0.
32^14. Центр вписанной сферы имеет32^14. Центр вписанной сферы имеетописанной сферы равенописанной сферы равен8х + Ьу — г — 25 = 0. 6.81. 2х — Ьу — 9г — 25 = 0. 6.82. 1) х - 10?/ + 13г - 18 = 0; 2) х - 10?/ + 13г - 18 = 0, Зх + 2г — 3 = 0. 6.83. Радиус вписанной сферы равен 1, радиус
3
2^14. Центр вписанной сферы имеет
3
2^14. Центр вписанной сферы имеет
описанной сферы равен
описанной сферы равен
координаты (2, 3, 4), центр описанной сферы имеет координаты (5/2, 5, 15/2). 6.84. Два решения: 1) радиус равен V2, центр имеет координаты (0, 2, 1); 2) радиус равен V2/3, центр имеет коор-
(0, 2/3, 1/3). 6.85.= о -7’\ 7’7’(0, 2/3, 1/3). 6.85.= о -7’\ 7’7’динаты—2) и гдинаты—2) и г141 гО (—3, 2, — 1) и г = --V3. v767вписанной окружности равен141 гО (—3, 2, — 1) и г = --V3. v767вписанной окружности равенДва решения: г = Зл/З^ О (—2, —2, —2^ . 6.86. Два решения: г = 3\/3, ^/15 170 77 \~ _
(0, 2/3, 1/3). 6.85.
= о -
7’\ 7’7’
(0, 2/3, 1/3). 6.85.
= о -
7’\ 7’7’
динаты
—2) и г
динаты
—2) и г
141 г
О (—3, 2, — 1) и г = --V3. v767
вписанной окружности равен
141 г
О (—3, 2, — 1) и г = --V3. v767
вписанной окружности равен
О —-, —— , — • 6.87. Радиус \ 676767/Л
V2, радиус описанной окружности
27 г
равен —V2. Центр вписанной окружности имеет координаты 8
(2, 18/5, —4/5), центр описанной окружности имеет координаты (31/8, 6/5, —29/40).6.88. Радиус вписанного цилиндра равен
5
1/3, радиус описанного цилиндра равен —V13. Ось вписанного
у z + 3- = , ось описан-12 ’у z + 3- = , ось описан-12 ’х — 4 цилиндра задается уравнениями —
у z + 3
- = , ось описан-
12 ’
у z + 3
- = , ось описан-
12 ’
х -17/36 у -16/9 г ного цилиндра задается уравнениями = =
г- 20V229 о3^27V3 .
4 Уб или —6.90. —а3. 6.91.. 6.92. —^а3.
9V35024
(Аац + Ba2i + Са^у^х1 + (Aai2 + Ва22 + Ca^2^yf + (А^хз + + Ва2з + Ca^s^z' + Аауо + Ва2о + Ca^Q + D = 0. 6.94. у' + 14г7 — 3 = 0.
1) ж = -ж' + бу' - 4/ + 1, у = 6ж' - ЗЗу' + 28/ - 1,
z = 4ж' - 24у' + 20/ + 1; 2)6.96. 1) ж =
У7724- 91
= Ж + 1, у =+ 1- 1; 2) 4ж' + у' - / + 4V2 = 0.
„п1 ,2 ,2 ,,2 ,1 ,2 ,
1)х =-х—-у+-г—1,у =-х—-у—-z .
7333333
arccos(2V2/3); V^«
1) 2; (0, -2); 2) (-2.5, 2.5); 3) ^; ( 3, -|);
9/14; (1/7, 1/2). 7.2. А = В ^ ^ С2 + D2 > АЕ. Радиус равен л/С2 + D2 — АЕДА\, координаты центра (—С/A, —D/A). 7.3. (ж — 2)2 + (у — 2)2 = 10. 7.4. 1) \Аа + Bb + С\ > RVA2 + В2;
|Ла + Bb + С| < RVA2 + В2- 3) |Ла + ВЬ + С| = Вл/А2 + В2. 7.5. 1) 4ж - Зу + 15 = 0; 2) 4ж + Зу - 16 = 0; 4ж - Зу + 8 = 0. 7.6. 5ж - 12у + 29 = О, 5ж - 12у - 23 = 0. 7.7. 1) ж + у - 9 = 0;
ж + 2у - 16 = 0. 7.8. ж - 5 = О, у - 2 = О, Зж - 4у + 5 = О,
4ж + Зу - 20 = 0. 7.11.4ж + Зу - 20 = 0. 7.11.7.13. а, > -\АВ\2 — а2.V 47.13. а, > -\АВ\2 — а2.V 4^Т^-\АВ\. 7.12. a, Jа2 —-\АВ\2.
4ж + Зу - 20 = 0. 7.11.
4ж + Зу - 20 = 0. 7.11.
7.13. а, > -\АВ\2 — а2.V 4
7.13. а, > -\АВ\2 — а2.V 4
7.15. 1) Внутренность круга радиуса 2 с
центром в точке (0, —2) (вместе с точками окружности); 2) внешность круга радиуса 5 с центром в точке ( — 1/2, 3/2) (без точек окружности); 3) часть внутренности круга радиуса 3/2 с центром в точке (—3/2, 0), лежащая в нижней полуплоскости (без точек границы); 4) часть плоскости, заключенная между окружностями радиусов 1 и 3 с общим центром в точке (1, — 1) (вместе с точками этих окружностей); 5) внутренность эллипса с полуосями 4 и 3, центром которого является точка (0, 0), а фокусы лежат на оси Ох (вместе с точками границы); 6) внешность эллипса с полуосями 3 и 2, центром которого является точка (0, 0), а фокусы лежат на оси Оу (без точек границы); 7) часть плоскости, заключенная между двумя эллипсами с центрами в точке (0, 0) и фокусами на оси Ох, один из эллипсов имеет полуоси 9 и 3, другой — полуоси 3 и 1 (вместе с точками границы); 8) внутренность эллипса с полуосями 1/2 и 1/3, центром которого является точка (1/2, —1/3), а большая ось параллельна оси Ох (без точек границы); этот эллипс вписан в IV координатный угол; 9) внутренность эллипса с фокусами в точках (1, 0) и ( — 1, 0) и большой полуосью, равной 3 (без точек границы);
малая полуось равна 2\/2; 10) внешность эллипса с фокусами в
точках (0, 1) и (0, — 1) на оси Оу и большой полуосью, равной 2 (без точек границы); малая полуось равна \/3; 11) часть плоскости, заключенная между двумя ветвями гиперболы с центром в точке (О, 0) и фокусами на оси Ох (вместе с точками границы); действительная полуось гиперболы равна 4, мнимая равна 3; 12) части плоскости, находящиеся правее правой ветви и левее левой ветви гиперболы с центром в точке (0, 0) и фокусами на оси Ох (вместе с точками границы); действительная полуось гиперболы равна 2, мнимая равна 3; 13) часть плоскости, ограниченная отрезками осей координат и параболой с вершиной с точке О'(1, 1), осью, со- направленной с вектором а(1, 1) и параметром 2\/2 (точки границы включены в множество); 14) часть плоскости, заключенная между четырьмя ветвями двух гипербол с общим центром в точке (0, 0) (без точек границы); фокусы первой гиперболы находятся на оси Ох. действительная полуось равна 2, мнимая равна 6; фокусы второй гиперболы находятся на оси Оу. действительная полуось равна 6, мнимая равна 2; 15) внешность области, заключенной между четырьмя ветвями двух гипербол с общим центром в точке (0, 0) (без точек границы); фокусы первой гиперболы находятся на оси Ох^ действительная полуось равна 1/V3, мнимая равна 1/3; фокусы второй гиперболы находятся на оси Оу. действительная полуось равна 1/3, мнимая равна 1/V3; 16) часть плоскости, находящаяся правее левой ветви гиперболы с фокусами в точках (2, 0) и (—2, 0) и действительной полуосью, равной 1 (без точек границы), мнимая полуось равна ДЗ; 17) внутренность параболы, вершина которой находится в точке (0, 0), а фокус — в точке (1, 0) (вместе с точками границы); 18) внешность параболы, вершина которой находится в точке (0, 0), а фокус — в точке (1,5, 0) (без точек границы); 19) часть плоскости, заключенная между двумя параболами с общей вершиной в точке (0, 0), (вместе с точками границы); фокус одной из парабол находится в точке (1/4, 0), другой — в точке (3/4, 0); 20) часть плоскости, заключенная между параболой с вершиной в точке (0, 0) и фокусом в точке ( — 1/2, 0) и окружностью радиуса 1 с центром в точке (1, 0) (без точек границы). 7.16. 1) Окружность радиуса 3 с центром в точке (0, 0); 2) окружность радиуса 2 с центром в точке (1, 2); 3) верхняя полуокружность радиуса 1 с центром в точке (0, 0). 7.18. Другая ветвь гиперболы задается параметрическими уравнениями х = ж о — acht, у = у о + 6sht; обе ветви сразу — уравнениями х = xq ± acht, у = уо -\- b skit. 7.19. 1) Окружность радиуса 1 с центром в начале координат; 2) ветвь гиперболы, фокус которой находится в начале координат, вершина — в точке ( — 1/3, 0), центр — в точке (—2/3, 0), действительная полуось равна 1/3, мнимая равна 1/ДЗ; 3) эллипс, левый фокус которого находится в начале координат, центр — в точке (1, 0), большая полуось равна 2, малая
равна V3; 4) парабола, фокус которой находится в начале координат, а вершина — в точке ( — 1, 0). 7.20. Ветвь гиперболы, фокус
которой находится в точке А, действительной осью является прямая АВ, длина действительной полуоси равна а/3, мнимой — a)V3.
7.22.1) а и 6; л/Т^^Ь/а?)2^ (лА2 — А 0) и (—\А2 — А 0);
ж = ± a2 j\/ а2 — 62; 2) b и а; уА — ^afby^ (0, уА — а2) и
(0, — \/Ь2 — а2); у = ±62/V^2 — а2; 3) 5 и 3; 4/5; (4, 0) и (—4, 0);
х = ±25/4; 4) 1 и 1/2; V3/2; (0, V3/2) и (0, -V3/2); у = ±2/V3.
7.23.1) Вне эллипса; 2)
8
липса. 7.24.-.7.25.
принадлежит эллипсу; 3) внутри эл-
.2
ж2 г/2
3) т + ^ =4)
х2 у2
36 + 32
,2
,2
1) + ^ = 1; 2)= i;
7 6439’ 7 169
16
у
9
х2 и2х2 и2
= 1; 5)+= 1; 6)+= 1;
’ 7 1612’ 7 2821’
,2
,2
,2
7) -4Н ^= 1; 8) — +—= 1; 9) — +—= 1. 7.26. 1) 4/5;
7 9/321/4’ 7 84’ 7 64367 7
у
у
2) 1/2; 3) 1/2; 4) 1/V2; 5) У^З; 6) (V5 - 1)/2; 7) (V5 - 1)/2.
। abab4аЬ
Va2^-^' ^\А2 ± 62 ’ iv Ya2 ± Ь2
7.28. Часть пря
мой 18ж — 25г/ = 0, лежащая внутри эллипса. 7.29. х ± 2у — 7 = 0.
7.30.
2 решения: у = 3 ± —. 7.31. 1) 4
точки
2) 4
точки (±4х/2/3, ±1/3); 3) точки (0,
.2
7.32.
а
У2а2 — с2
= 1, где а
х2
2)
а 2
±1); (угол 120°).
с?2 у2
где 0 < а < , 5(у-2)2
7.33.
1)
— 2)2
(у-1)2
а2(сР—
= 1,
25
,2
64
(у- !)
1
или
(ж + 22)2
16
(у-^У
= 1; 2)
(5ж ± 14)2
576
18
9
81
М3!
162
(ж - 12)
162
= 1.
576
2
(у
-7)
81
7.34.
2) шах АВ = \/а2 ± 62, min АВ =
320
- = 1,
= 1; 3)
4 решения:
А-4)
9
1
18
2
- = 1,
7 ОА 2аЬ
\А2 ± 62
1
ОВ2
7.35.
а2 ± Ь2 а2Ь2 ’
1) а и 6;
л/1 ± (b/a)2; (Va2 ± 62, 0) и (—V<22 ± 62, 0); х = -^а2)\/а2 ± 62; Ъх ± ау = 0; 2) b и а; ^1 ± (а/b)2; (0, V^2 ± Ь2) и (0, — V&2 ± Ь2); у = ±62/д/^п2 ± 62; Ъх ± ау = 0; 3) 4 и 3; 5/4; (5, 0) и (—5, 0); х = ±16/5; Зх ± 4у = 0; 4) 1 и 1; у4; (0, V2) и (0, -V2) ; У = ±1/V2; у^х = 0; 5) V2 и V2; V2; (V2, V2) и (-V2, - V2); х ± у ± V2 = 0;
х = 0 и у = 0; 6) 2 и 2; V2; (—2, 2) и (2, —2); у —2 = 0; ж = О и
у = 0. 7.36. 1) Принадлежит гиперболе; 2) внутри (правее) правой
ветви; 3) между двумя ветвями; 4) внутри (левее) левой ветви.
р Р х2 рР
7.ЭТ. 49. 7.38. 1) - - ^ = 1; 2) - -= 1: 3)- ^ = 1 „„„
ж2 _у2= р 4х ж2_ у2= рЖ2 _ у2= ж2_ У2 =
485/67760’ ' 9/641/4’2524’ ' 72’
РРРX2Y2
= 1; 8) х2 = 1; 9) нет решений. 7.39.— = 1.
93455/4
40.1)V2;2)2;3)V10илиV10/3.7.41.1)3/V5или
^/4175;2)3/V5или6/5.7.42.1Д.7.43.^-Ц-=1.
44. Два луча прямой х — 4у = 0, лежащие правее правой ветви и левее левой ветви гиперболы. 7.45. 4х — Зу — 4 = 0. 7.46.1) 4 точки (±3/V5, ±4/V5); 2) 4 точки ^±^17/5,
±4^3/5); 3) (±1, 0) (угол 180°). 7.47. 1) ^ - р 2 = 1, где /аса
х2
0<tt<|C|;2) --
с?2у2_
а2 (а2 - d2)’ ГД6
х2
«> 1^1; з) -
и2
- —— = ±1. Ра2
7.48. 1) 2(ж - 4)2
-2(у + 2)2 = 1; 2)
(ж + 2)2 _ (у - 45
S = 1 „л.
(ж + 14)2 _ (у - З)2
-1: 3)М^-
и2
— = 1. 7.49.
1)
100125
’ 72
2
а2 + Ь2
2) у. 7.50. а. 7.51. 1)
(р/2, 0), х = —р/2; 2) (— р/4 , 0), х = р/4;
(ж-а)(ж0-а) (У - ЗШо - 3). ч\ _, _ 9ь
5ть = 1; 3) жу0 + уж0 = 2к;
а2о2
(у — 3)(уо — 3) = р^х ± х0 — 2а). 8.3.1) а2А2 + Ъ2В2 = С2;
а2 А2 - Ъ2В2 = С\ С ф 0; 3) а2А2 - Ъ2В2 = -С2, С 0; 4) 4АВк = С2, С ф 0; 5) рВ2 = 2АС. 8.4.а\3\ > Ь\а\.
5.1) (6, -3); 2) (5, 3); 3) (-4, 3/4); 4) (1, -2).
6. 1) 2х - у ±12 = 0; 2) х ± 2у ± 3\/14 = 0; 3) 2х ± у ± 12 = 0; х — 2у ± 3 V14 = 0. 8.7. 1) 4х — Зу ± 16 = 0; 2) х = ±5; 3) нет решений. 8.8. 1) х — 2у ± 10 = 0; 2) х = 0; 3) нет решений. 8.9. 1) (—2/3, / 41 \/41 \
-2/3), 1/15; 2) и-, — , 0; 3) (2, -1), 1;
(2, —1) и (—2, 1), 19/13; 5) (9, 24), 112/5. Указание: рассмот-
ч 3\/2± 1 реть касательные, параллельные данной прямой. 8.10. 1) -=—;
2) V3. 8.11. 1)2) V3. 8.11. 1)х2 4у2_16ж29у2_ . х2 у2 _
2) V3. 8.11. 1)
2) V3. 8.11. 1)
25 + "25" “ ИЛИ 225 + 100 “ ’20 + У “ '
8.12.8.13.8.12.8.13.7 89277 8927^21— = 1 или8^21— = 1 или89т2 и29т2 и2у2у21. 8.14. 1) у = 2х2 ±-; 2) у2 = 4х. 8.15. 4 прямые1. 8.14. 1) у = 2х2 ±-; 2) у2 = 4х. 8.15. 4 прямые
8.12.
8.13.
8.12.
8.13.
7 8
927
7 8
927
^21
— = 1 или
8
^21
— = 1 или
8
9т2 и2
9т2 и2
у2
у2
1. 8.14. 1) у = 2х2 ±-; 2) у2 = 4х. 8.15. 4 прямые
1. 8.14. 1) у = 2х2 ±-; 2) у2 = 4х. 8.15. 4 прямые
х ± у ± х/2/3. 8.16. х± у —2 = 0 или х — у —2 = 0.8.18.2) ab.
21. х ± у ± 3 = 0.8.22.1) х = -3, х ±лДу -2V3 =0 или
х = 3, х ± V3y ± 2\/3= 0;2) у = -1, ^xV3± у -2х/7 =0 или
у = 1, 4lxV3 ± у ± 2V7= 0.8.23. 1) —2 +>1(точкалежит
а2 о2
X2 у2
вне эллипса); 2) 0 —^ — ^ < 1 (точка лежит между ветвями гиперболы, но не на асимптотах); 3) уд > 2ржо (точка лежит вне параболы). 8.24. 1) 2ж ± Зу + 12 = 0; 2) Юж + 3\/7у - 48 = 0 и Юж + 51V?y - 384 = 0; 3) 8ж + З^у + 36 = 0 (точка лежит на эллипсе); 4) точка лежит внутри эллипса, решений нет. 8.25. 1) х ± 2 = 0 и 5ж ± 8?/ — 6 = 0; 2) 5х ± бу — 8 = 0; 3) х — V3y — 1 = 0 (точка лежит на гиперболе); 4) точка лежит правее ветви гиперболы, решений нет; 5) 17ж — 30г/ — 16 = 0 (точка лежит на асимптоте); 6) точка совпадает с центром гиперболы, решений нет. 8.26. 1) точка лежит внутри параболы, решений нет; 2) 2х — у ± 2 = 0 (точка лежит на параболе); 3) ж-^ + 4 = 0и4ж-^/ + 1 = 0; площадь треугольника равна 37,5. 8.28. 1) 4 касательные х ± 4у ± 10 = 0; 2) 4 касательные х ± у ± 1 = 0; 3) 2 касательные х ± V6y ±3 = 0; 4) 2 касательные х ± V2y ± 1 = 0; 5) 4 касательные х ± V2y + 1 = 0, х ± V6y ± 3 = 0; 6) 4 касательные х ± у ± 3 = 0; 7) 2 касательные
х ± Qy + 8 = 0. 8.32. 1) 6ж + Пу - Ю = 0 и 6ж + 17?/ - 46 = 0; 2) 24ж + 41г/ — 22 = 0 и 24ж + 41г/ — 94 = 0; 3) решений нет (данная кривая является гиперболой, а данная прямая — ее асимптотой). 8.33. 1) х + Зу - 12 = 0 и Зх + у - 12 = 0; 2) 13ж + 15?/ + 12 = 0 (точка лежит на кривой); 3) решений нет (данная кривая является эллипсом, а данная точка лежит внутри этого эллипса). 9.1. 1) Эллипс (окружность радиуса |) ^ + ^ = ^ °' (“^ |^Е1 ^’ °)’
X2 У2 /1 1 \
Е2 (0, 1); 2) гипербола —— = 1; О' I - , - L Ei (1, 0), Е2 (0, 1);
эллипс X2эллипс X24/94/9О’О’парабола У2 =парабола У2 =|, -1), Ei (0, 1), Е3(-1, 0); 5) пара|, -1), Ei (0, 1), Е3(-1, 0); 5) пара
эллипс X2
эллипс X2
4/9
4/9
О’
О’
парабола У2 =
парабола У2 =
|, -1), Ei (0, 1), Е3(-1, 0); 5) пара
|, -1), Ei (0, 1), Е3(-1, 0); 5) пара
параллельных прямых у = 16/9, у = — 1; Y2 = (25/18)2; О' (0, 7/18), Ei (1, 0), Е2 (0, 1); 6) пара мнимых прямых (ж + 2)2 + (у — З)2 = 0, пересекающихся в вещественной точке О’ ( — 1, 3); 7) мнимый эллипс X2 + 2У2 = — 1, О* ( —1, 3), Ei (1, 0), Е2 (0, 1); 8) гипербола X2 У2
— + — = 1, О’ (1/4, -3/2), Е1 (0, 1), Е2 (-1, 0); 9) пара сов
павших прямых х = 3/5; У2 = 0; О’ (3/5, 0), Ei (0, 1), Е2 (—1, 0); 10) пара пересекающихся прямых 3\/5 (ж — 1) = ±2 (Зу + 1);
1/51/51/41/4= 0;О'(1, -1/3), Ei (1, 0), Е2(0, 1). 9.2. Обозначим= 0;О'(1, -1/3), Ei (1, 0), Е2(0, 1). 9.2. ОбозначимЛ2Л2С2 Л2 .К = -^- + —— Е. 1) Кривая является эллипсом тогда и только то-С2 Л2 .К = -^- + —— Е. 1) Кривая является эллипсом тогда и только то-
1/5
1/5
1/4
1/4
= 0;О'(1, -1/3), Ei (1, 0), Е2(0, 1). 9.2. Обозначим
= 0;О'(1, -1/3), Ei (1, 0), Е2(0, 1). 9.2. Обозначим
Л2
Л2
С2 Л2 .
К = -^- + —— Е. 1) Кривая является эллипсом тогда и только то-
С2 Л2 .
К = -^- + —— Е. 1) Кривая является эллипсом тогда и только то-
гда, когда А, В. К не равны нулю и все одного знака; центр в точке (-С/А, —D/В). При А = В окружность радиуса у/К/А, оба фокуса совпадают с центром. При |А| < \В\ большая полуось равна ^KjA^ г—— 1( С , [к К о\
малая равна у/К/В\ фокусы в точках I——±У — — —, ~В/
При |А| > \В\ большая полуось равна ^К(В^ малая равна ^KjA^ п(сD , Гк FA
фокусы в точках—-, — — ± л / — . 2) Кривая являет-
JI АВ у ВAl } Р
ся гиперболой тогда и только тогда, когда А, В. К не равны нулю и АВ < 0; центр в точке (-С/А, —D/В}. При АК > 0 действительная полуось равна ^К ) А^ мнимая равна ^—KjB^ фокусы в точках ^—— ±— — -^, — ^^- При В К > 0 действи
тельная полуось равна у/К/В^ мнимая равна ^—К)А\ фокусы
С D в точках —— — \ А ВС D в точках —— — \ А ВНачало каноническойНачало каноническойсистемы координат везде совпадает с началом исходной системы.системы координат везде совпадает с началом исходной системы.У2/ 31 \Эллипс —— + — = 1; Ei ( —==,=121 11 \Дб До/X2 У2/ 11гипербола—:—= 1:Ех ( —— ,—} Р8/98/9’ VV2V2У2/ 31 \Эллипс —— + — = 1; Ei ( —==,=121 11 \Дб До/X2 У2/ 11гипербола—:—= 1:Ех ( —— ,—} Р8/98/9’ VV2V2, Е2, Е21133гипербола —— = 1; Eiгипербола —— = 1; Ei33—, — I, Е2 2’ 3 I—, — I, Е2 2’ 3 I, E2 ( —7, E2 ( —711эллипсэллипс
С D в точках —— — \ А В
С D в точках —— — \ А В
Начало канонической
Начало канонической
системы координат везде совпадает с началом исходной системы.
системы координат везде совпадает с началом исходной системы.
У2/ 31 \
Эллипс —— + — = 1; Ei ( —==,=
121 11 \Дб До/
X2 У2/ 11
гипербола—:—= 1:Ех ( —— ,—
} Р8/98/9’ VV2V2
У2/ 31 \
Эллипс —— + — = 1; Ei ( —==,=
121 11 \Дб До/
X2 У2/ 11
гипербола—:—= 1:Ех ( —— ,—
} Р8/98/9’ VV2V2
, Е2
, Е2
1
1
3
3
гипербола —— = 1; Ei
гипербола —— = 1; Ei
3
3
—, — I, Е2 2’ 3 I
—, — I, Е2 2’ 3 I
, E2 ( —7
, E2 ( —7
1
1
эллипс
эллипс
— + — = 1.; Е! -, -- , Е2 -, - ; 5) парабола У2 = V^X-, о/ 2 1/9 \о о/ \о о/
Ei (—1/V2, —1/V2), Е2 (1/V2, —1/V2); 6) пара параллельных прямых Зж - у ± ДО = 0; У2 = 1; Ei (1/VTO, З/До), Е2 (-З/ДО, 1/До); 7) пара совпавших прямых 9ж — 2у = 0; У2 = 0; Ei (2/V85, 9/Дб), Е2 (—9/V85, 2/V85); 8) пара пересекающихся прямых
(Д ± Д) ж - 2у =(Д ± Д) ж - 2у =9.4. 1) Эллипс — + —9.4. 1) Эллипс — + —1/8= 1; О'1/8= 1; О'„ V5 2\ _2 V5\’ 1 3 ’ зу ’ 2 з’ з у дз, -i),Ei(A. X\e2(-^„ V5 2\ _2 V5\’ 1 3 ’ зу ’ 2 з’ з у дз, -i),Ei(A. X\e2(-^
(Д ± Д) ж - 2у =
(Д ± Д) ж - 2у =
9.4. 1) Эллипс — + —
9.4. 1) Эллипс — + —
1/8
= 1; О'
1/8
= 1; О'
„ V5 2\ _2 V5\
’ 1 3 ’ зу ’ 2 з’ з у дз, -i),Ei(A. X\e2(-^
„ V5 2\ _2 V5\
’ 1 3 ’ зу ’ 2 з’ з у дз, -i),Ei(A. X\e2(-^
2 \Д/ 12
—7=2) гипербола ——— У2 = 1;O'(—1, 1),Ei I —= ^—
Д/1/4’h \ДД
E2 (2/Д, 1/Д); 3) парабола У2 = Xj^ O' (6/25, -8/25),
/4/ 34\x2 У2
/ 11 \/11 \j^2 ул2
Ei I —p , —p I, E2 (I; 5) гипербола — — = 1; O' (—1,
-2), Ei (1/Д, 1/Д), E2 (-1/Д, 1/Д); 6) парабола У2 = 4ДХ;-2), Ei (1/Д, 1/Д), E2 (-1/Д, 1/Д); 6) парабола У2 = 4ДХ;\Д Д/ \ Д Д/44 v
-2), Ei (1/Д, 1/Д), E2 (-1/Д, 1/Д); 6) парабола У2 = 4ДХ;
-2), Ei (1/Д, 1/Д), E2 (-1/Д, 1/Д); 6) парабола У2 = 4ДХ;
/ 1 i \/11 \у"2
O' (2, 1), Ex I —7=, —7= ), E2 ( —7= ); 7) эллипс —— + У2 = 1;
\V2 V2/V V2 V2/14
Oz(3, -2), X2 У2 179 ” 1725 9) параболаOz(3, -2), X2 У2 179 ” 1725 9) парабола/ 32 \/ 23 \
Oz(3, -2), X2 У2 179 ” 1725 9) парабола
Oz(3, -2), X2 У2 179 ” 1725 9) парабола
Ex I ,— , , E2 I , , ,— I; 8) гипербола \Дз Дз/ \Дз Дз/
= i; o'd, -i), Ei 0=, -X), e2 ^ 1^.
y2 _ ^X. O' (31 12^1 E (_A_ _ M V34 ’\ 17’ 17/’ 1 k V34’734/
E2 (AE2 (A3 \ x1
E2 (A
E2 (A
— ^/^J ’ 4^) паРа пересекающихся прямых ж
4ж + Зу + 1 = 0; — - У2 = 0; О' (--, -J
Е2 (— 1/710, 3/710); 11) пара параллельных прямых 2ж + Зу — 5 = 0, 2ж + Зу + 1 = 0; У2 = 9/13; О' (4/13, 6/13), Ei (3/713, -2/713), Е2 (2/713, 3/713); 12) пара совпавших прямых 15ж — 8у + 1 = 0; У2 = 0; О' (-15/289, 8/289), Ei (8/17, 15/17), Е2 (-15/17, 8/17); 13) пара параллельных прямых ж + у — 4 = 0, ж + у — 1 = 0; У2 = 9/8; О' (5/4, 5/4); Ei (1/72, -1/72), Е2 (1/72, 1/72); 14) пара мнимых прямых X2 + 4У2 = 0, пересекающихся в вещественной точке О' (1, 2); Ei (1/72, 1/72), Е2 (-1/72, 1/72); 15) пара мнимых параллельных прямых (ж — у + 4)2 = —6; 16) мнимый эллипс
17) пара пересекающихся прямых Зх — Ьу — 13 = 0,
5ж + Зу + 1 = 0; X2 - У2 = 0; О' (1, -2), Ei (1/717, 4/717), Е2 (-4/717, 1/717). 9.5. Длины полуосей равны V2 и 1, эксцентриситет равен I/V27 центром является точка (1, — 1), уравнение большой оси Зх + 4у + 1 = 0, уравнение малой оси 4х — Зу — 7 = 0. Фокусу Fi (1/5, —2/5) соответствует директриса 4х — Зу + 3 = 0, фокусу Fa (9/5, —8/5) соответствует директриса 4х — Зу — 17 = 0. 9.6. Длины обеих полуосей равны V27 эксцентриситет равен V27 центром является точка (1, 1), уравнение действительной оси 4х + Зу — 7 = 0, уравнение мнимой оси Зх — 4у + 1 = 0. Фокусу Fi (—1/5, 13/5) соответствует директриса Зх — 4у + 6 = 0, фокусу Fa (И/5, —3/5) соответствует директриса Зх — 4у — 4 = 0. Уравнения асимптот х + 7 у = 8 и 7х — у = 6.9.7. Парабола:
р = \Р1)3^ вершина О’ ( — 1/16, —3/16), фокус F ( — 1/8, —1/8), ось 4х + 4у + 1 = 0, директриса 4х — 4у = 1. 9.9. 2) -^/^Д/ФХ?, ^/5A2; 3) У-Д/5А1,4) ^-^jS^. 9.10. 1) Гипербола
Д2 У2Д2 У2
:—— —;—= 1;2)эллипс —-г-+ —7-= 1;3) парабола 200/147200/63’ ’1/32/9’ v р
У2 = 0, 16 • 75Х.9.13.1) Гипербола; 2) эллипс; 3) гипербо
ла; 4) пара параллельных прямых 4х + Зу = 0, 4х + Зу + 1 = 0; 5) эллипс; 6) парабола; 7) гипербола; 8) мнимый эллипс; 9) пара пересекающихся прямых х — Зу + 4 = 0, 2ж + ?/ + 1 = 0; 10) пара параллельных прямых х F Ьу — 1 = 0, ж +5?/+ 3 = 0; 11) пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке (1, 1); 12) пара мнимых параллельных прямых; 13) пара совпавших прямых х — 4у + 3 = 0. 9.14. 1) Их2 — 20жг/ + 11г/2 — Зх — Зу — 8 = 0 (эллипс); 2) х2 — 4ху + у2 + Зх F3y — 4 = 0 (гипербола); 3) х2 — 2ху + у2 — 1 = 0 (пара параллельных прямых х — у + 1 = 0, х — у — 1 = 0); 4) Зх2 — Юху + Зу2 + 6х + бу — 9 = 0 (пара пересекающихся прямых Зх — у — 3 = 0, Зу — х — 3 = 0); 5) четыре точки из пяти лежат на
одной прямой х — ?/ + 1 = 0, и данные 5 точек не определяют однозначно кривую второго порядка; 6) ж2 — 2ху + у2 — 2х — 2у + 1 = О (парабола). 9.15. 1) Эллипс при |А| < 2, гипербола при |А| > 2, пара параллельных прямых при А = ±2; 2) мнимый эллипс при А < 41/8, эллипс при 5<А<41/8и при А < —5, пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке, при А = 41/8, парабола при А = 5, гипербола при — 5 < А < 5, пара параллельных прямых при А = — 5; 3) эллипс при А > 2; гипербола при А < 2, А / 0, пара совпавших прямых при А = 2; пара пересекающихся прямых при А = 0; 4) эллипс при А > 1/2; гипербола при А < 1/2, А т^ 1/3; парабола при А = 1/2; пара пересекающихся прямых
при А = 1/3. 9.16.
Если А =
^41 ^2
Bi в2
Ф 0, то данные уравнения
задают: 1) параболу; 2) эллипс; 3) гиперболу; 4) гиперболу; 5) пару пересекающихся прямых. Если А = 0, то уравнения 1)-4) могут
задавать пару параллельных прямых, пару мнимых параллельных прямых; уравнение 5) может задавать пару параллельных прямых, пару совпавших прямых. В случае А = 0 при некоторых значениях коэффициентов уравнения 1)-5) могут вообще не задавать кривую второго порядка. 9.17. 1) А^х + В^у + Ст = ^А^х + В2у + С2у 2) Агх + Вгу + Ci = 0, А2х + В2у + С2 = 0. 9.19. 1) (8, 3), х’2 - Wy’ + 17?/2 - 1 = 0; 2) (1, -6), 5а/2 + х’у’ = 0; 3) (-9/8, -5/8), 8а/2 — 24ж'г/' + 16г/'2 — 1,5 = 0. 9.22. 2) Указание: если Ли В — два центра симметрии, то точка, симметричная А относительно В, также является центром симметрии. 3) у — sin х = 0.
10.3. 1) При А > 0 эллипсоид, при А = 0 точка, при А < 0 пустое множество; 2) при А > 0 эллипсоид, при А = 0 эллиптический цилиндр, при А < 0 однополостный гиперболоид; 3) при А > 0 эллипсоид, при А = 0 прямая, при А < 0 двуполостный гиперболоид; 4) при А > 0 однополостный гиперболоид, при А = 0 конус, при А < 0 двуполостный гиперболоид; 5) При А > 0 двуполостный гиперболоид, при А = 0 конус, при А < 0 однополостный гиперболоид; 6) при А > 0 эллипсоид, при А = 0 пара параллельных плоскостей, при А < 0 двуполостный гиперболоид; 7) при А > 0 эллипсоид, при А = 0 плоскость, при А < 0 однополостный гиперболоид; 8) при А / 0 эллиптический параболоид, при А = 0 прямая; 9) при А > 0 эллиптический параболоид, при А = 0 параболический цилиндр, при А < 0 гиперболический параболоид; 10) при А т^ 0 эллиптический параболоид, при А = 0 плоскость; 11) при А > 0 эллиптический параболоид, при А = 0 плоскость, при А < 0 гиперболический параболоид; 12) при А > 0 эллиптический параболоид, при А = 0 пара параллельных плоскостей, при А < 0 гиперболический параболоид; 13) при А > 0 эллиптический цилиндр, при А = 0 прямая, при А < 0 пустое множество; 14) при А ф 0 гиперболический цилиндр, при А = 0 пара пересекающихся плоскостей. 10.5. 1) х2 + у2 + г2 — 2х — 2у — 2г = 0;
ж2 + у2 + г2 - 2ж - 4у - 6г + 13 = 0. 10.6. 1) С (2, 2, 2), R = 2л/3; 2) С(-1, -2, -3), R = 5/V2. Ю.7. 1) Эллипсоид; центр С ( — 1, —1, — 1), полуоси \/б, л/3, \р2^ плоскости симметрии х = — 1, у = —1, г = — 1; 2) эллипсоид; центр С ( — 1, —1, — 1), полуоси 2, \/б7 2\/3, плоскости симметрии х = —1, у = — 1, г = — 1. Эллипсоиды подобны. 10.8. 1) Двуплостный гиперболоид; центр симметрии С (—3, 1, 1), вершины А (—5, 1, 1), В( —1, 1, 1), ось симметрии у = г = 1, плоскости симметрии х = — 3, у = 1, г = 1; 2) двуполостный гиперболоид; центр симметрии С (— 1, 0, — 1), вершины А ( — 1, 0, — 1 — v^), В(—1, 0, — 1 + а/З), ось симметрии х = — 1, у = 0, плоскости симметрии х = — 1, у = 0, г = — 1. 10.9. 1) Однополостный гиперболоид; 2) конус; 3) двуполостный гиперболоид; 4) эллиптический параболоид; 5) гиперболический параболоид; 6) эллиптический цилиндр. 10.10. 1) Координатные плоскости Oxz и Oyz; 2), 3) гиперболический цилиндр с образующими, параллельными оси Oz и направляющей — данной гиперболой на плоскости Оху; 4) гиперболический параболоид; плоскости симметрии х = Ау. 10.11. Цилиндр радиуса 1/2 с осью х = —1/2, z = 0. 10.12. 1) Параболоид вращения вокруг отрицательной части оси Оу. вершина С (О, 1/2, 0); 2) конус с вершиной в начале координат, ось вращения — прямая х = у^ z = 0. 10.13. Однополостный гиперболоид. Центр — начало координат. Ось вращения х = 0, у + z = 0. Плоскость горловой окружности у = г; ее уравнение ж2 + 2yz — 1 = 0, у = г; радиус 1. 10.14. 1) (0,0, 0) и (2, 2, 8); 2) точек пересечения нет; 3) (3, 1, 10). 10.16. Вне. 10.17. Ниже. 10.26. |[г - г0, а] | = В|а|. 10.27. |г - r0| = R. 10.28. |(г - г0,а)| = |г - г01|а|| cosa|. 10.29. |r - rx| + |г - г2| = 2а. 10.30. 1) х2 + у2 — г4 = 0; 2) х = у2 + z2. 10.31. 1) Двуплостный гиперболоид х2 — у2 — z2 = 2; 2) однополостный гиперболоид х2 — у2 + z2 = 2. 10.32. Тор (ж2 + у2 + z2 + З)2 = 16(ж2 + г2). 10.33. х2^у2 + г2) = 1 и у2^2 + г2) = 1. 10.34. 1) х = t cos 9^ у = t sin#, z = /(t) (t > 0, 0 C # < 2?r); 2) x = <ДЦ cos#, у = ф^ sin#, г = %W (0 C # < 2?r). 10.37. x2 + y2 + z2 — xy — xz — yz + 3x — 3z = 0. 10.38. x2 + y2 + z2 — xy — xz — yz + 3x — 3z + 2 = 0. 10.39. zy + + xz + yz = 0. 10.40. Однополостный гиперболоид x2 + у2 — 2z2 + + 4z — 4 = 0. Указание: см. задачу 10.34, 2). 10.41. Конус х2 + у2 — (z — I)2 = 0. Указание: прямая пересекает ось Oz. 10.42. Конус xy + xz + yz = 0. Указание: см. задачу 10.28. 10.43. xy + xz + yz — 2х — 2у — 2z + 3 = 0. 10.44. х = и + 2cosr, у = = и + 2 sin г, z = 4 + и — 2 cos г — 2 sin х. Указание: см. задачу 10.35. 10.45. Цилиндр (2х — у — г)2 + (2у — х — г)2 = 9. 10.49. Окружность х = 2 cost, у = 2sint, z = 2. 10.52. Эллипс х2 + 2у2 + 2х + 4у — 2 = 0. 10.54. х = — 1 + 2 cos t, у = — 1 + 2 sin t, z = 3 — 2 cos t — 2 sin t. Указание: исключив z из данных уравнений, получим уравнение проекции эллипса на плоскость Оху — уравнение окружности (ж + I)2 + (у + I)2 = 4. За параметр
принимаем угловой параметр окружности. 10.55. По гиперболе. У к а з а н и е: найти уравнение проекции линии пересечения на плоскость Оху. 10.56. Центр С (10/3, —14/3, 5/3), радиус R = 3. 10.57. х = u( —1 + 2 cos г), у = u( —1 + 2 sin г), г = и(3 — 2 cos г — — 2 sin г). Указание: использовать задачу 10.54 10.58. х2-\-у2 = 2. 10.59. х2-\-у2=4. 10.60. х2 + у2 + 2х + 2у — 2 = 0. Ось х = у = — 1, R = 2. Указание: см. задачу 10.54. 10.61. (ж — г + 2)2 -V (у — — г + 2)2 = 4. 10.62. ху + yz + xz = 0. 10.63. Зж2 + 4?/2 + 5г2 = 36. и2
1) (2, 1, 1); 2) (4, 2, 1). 10.66. (4, 2, -2). 10.67. — + г2
+ — = 1; (5,7, 20); X = 5 + t, у = 7 + t, z = 20 + 2t; х = 5 - 3t, у = 7 + t, z = 20 + t 10.68. Диаметр x = 6t, у = 3p z = 2t (И V^/^^) * Ю.69. Диаметр x = 3t, y = 3t. z = —t. 10.70. Диаметр x = у = —1, г > 1.10.71. Зх + 4у + 4z — 21 = 0.
ж2 - z2 = О (|ж| < 3/«2); у2 + 2z2 = 9; 2ж2 + у2 = 9. Сечение представляет собой пару окружностей, лежащих в плоскостях х = ±г.10.73. х2 + у2 = 2; у2 + Зг2 = 2; Зг2 — х2 = О
(Щ ^ V^Y Сечение представляет собой пару эллипсов, лежащих в плоскостях х = ±а/3 z. 10.74. х ± у ± V2 = 0; z ± xV2 + 1 = 0; z ± yV^ —1 = 0. Сечение состоит из четырех прямых: х = t, у = ±(t + V^Y 2 = 1 — ^V2 и х = t, у = ±(t — V2Y z = 1 + 1V2. 10.75.2х2 + z2 = 3; 2у2 — z2 = 5, \у\2 (|г|V3) (две дуги
гиперболы); х2 + У2 = 4, |у| ^ ++ (И ^ V^) (Две ДУ™ окруж- ПОСТИ). 10.76. Точки пересечения: М^ (V2, 0, —2), М^ (—V2, О, —2); радиусы R = 2.10.79. орх — у) = /3, /3(ж + у) = а
(а2 + р2 0). 10.80. a^z — у) = Рх^ P^z + у) = ах^о? + Р2 0). 10.81. х = t, у = 2t — 4, z = t — 1; х = t, у = 4 — 2t, z = t — 1. 10.82. 3x^y-2z-2 = ^. 10.83. x - 2y - 3z - 6 = 0. 10.84. Плоскость x + у + z = 0; прямые x = t — 2, у = t, z = 2 — 2t и x = t, h2
у = —t, z = 0. Угол 7Г/2. 10.85. 1) тг/2; 2) тг/З; 3) arccos ^2*
1) Окружность x2 + у2 = 1, z = 0; 2) пара прямых у ± х = О, z = 0; 3) гипербола 4ж2 — 16г/2 + 3 = 0, z = — 3/8.
Указание к задачам 11.1-11.11: при вычислениях и доказательствах использовать таблицу, приведенную в начале § 11. 11.1.1) Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды; 2) конусы и
цилиндры; 3) пары не совпавших плоскостей; 4) пары совпавших плоскостей; 5) эллипсоиды, гиперболоиды, конусы; 6) параболоиды, цилиндры (кроме параболического), пары пересекающихся плоскостей; 7) параболические цилиндры, пары плоскостей (кроме пересекающихся). 11.2. R = 4 > У. 11.3. 1) R = г + 2; 2) R 2; 3) R = У > 1. 11.4. 1) «Мнимые эллипсоиды», «мнимые эллиптические цилиндры», «пары мнимых параллельных плоскостей»,
R = У > г; 2) «мнимые конусы» (точки), «пары мнимых пересеR = У > г; 2) «мнимые конусы» (точки), «пары мнимых пересекающихся плоскостей» (прямые), R = У = г > 1. 11.5. R ^ 3, Я-У >2. 11.6. 1) R = 4, У = 0; 2) R = 3, У = 1. 11.8. 1) Д ЪТ А + а, Ът АЬ + 2аЬ + к- 2) STAS, (ЪТА + a)S, ЪТАЪ + 2аЬ + к. 11.9. 1) Параболоиды и параболические цилиндры, R = г + 2; 2) конусы и пары плоскостей (кроме параллельных), R = г. 11.10. 1) Вещественные эллипсоиды, гиперболоиды, конусы, цилиндры (кроме параболического), пары плоскостей; 2) 0, 1 или бесконечно много. 11.11. 1) См. ответ к 11.9, 1); 2) эллипсоиды, гиперболоиды, конусы, г = 3; 3) цилиндры (кроме параболического), пары плоскостей, R ^ г + 1 С 3. 11.13. 2) К нему добавится ас, где с —кающихся плоскостей» (прямые), R = У = г > 1. 11.5. R ^ 3, Я-У >2. 11.6. 1) R = 4, У = 0; 2) R = 3, У = 1. 11.8. 1) Д ЪТ А + а, Ът АЬ + 2аЬ + к- 2) STAS, (ЪТА + a)S, ЪТАЪ + 2аЬ + к. 11.9. 1) Параболоиды и параболические цилиндры, R = г + 2; 2) конусы и пары плоскостей (кроме параллельных), R = г. 11.10. 1) Вещественные эллипсоиды, гиперболоиды, конусы, цилиндры (кроме параболического), пары плоскостей; 2) 0, 1 или бесконечно много. 11.11. 1) См. ответ к 11.9, 1); 2) эллипсоиды, гиперболоиды, конусы, г = 3; 3) цилиндры (кроме параболического), пары плоскостей, R ^ г + 1 С 3. 11.13. 2) К нему добавится ас, где с —координатный столбец центра. 11.16. 1) Матрица А и все корни характеристического уравнения умножатся на ц; 2) det А не изменится.координатный столбец центра. 11.16. 1) Матрица А и все корни характеристического уравнения умножатся на ц; 2) det А не изменится.11.17.11.17.) в =) в =А ат а кА ат а к□• 2) Т =□• 2) Т =S ь ° о 1S ь ° о 1.18. Указание:.18. Указание:
R = У > г; 2) «мнимые конусы» (точки), «пары мнимых пересе
R = У > г; 2) «мнимые конусы» (точки), «пары мнимых пересе
кающихся плоскостей» (прямые), R = У = г > 1. 11.5. R ^ 3, Я-У >2. 11.6. 1) R = 4, У = 0; 2) R = 3, У = 1. 11.8. 1) Д ЪТ А + а, Ът АЬ + 2аЬ + к- 2) STAS, (ЪТА + a)S, ЪТАЪ + 2аЬ + к. 11.9. 1) Параболоиды и параболические цилиндры, R = г + 2; 2) конусы и пары плоскостей (кроме параллельных), R = г. 11.10. 1) Вещественные эллипсоиды, гиперболоиды, конусы, цилиндры (кроме параболического), пары плоскостей; 2) 0, 1 или бесконечно много. 11.11. 1) См. ответ к 11.9, 1); 2) эллипсоиды, гиперболоиды, конусы, г = 3; 3) цилиндры (кроме параболического), пары плоскостей, R ^ г + 1 С 3. 11.13. 2) К нему добавится ас, где с —
кающихся плоскостей» (прямые), R = У = г > 1. 11.5. R ^ 3, Я-У >2. 11.6. 1) R = 4, У = 0; 2) R = 3, У = 1. 11.8. 1) Д ЪТ А + а, Ът АЬ + 2аЬ + к- 2) STAS, (ЪТА + a)S, ЪТАЪ + 2аЬ + к. 11.9. 1) Параболоиды и параболические цилиндры, R = г + 2; 2) конусы и пары плоскостей (кроме параллельных), R = г. 11.10. 1) Вещественные эллипсоиды, гиперболоиды, конусы, цилиндры (кроме параболического), пары плоскостей; 2) 0, 1 или бесконечно много. 11.11. 1) См. ответ к 11.9, 1); 2) эллипсоиды, гиперболоиды, конусы, г = 3; 3) цилиндры (кроме параболического), пары плоскостей, R ^ г + 1 С 3. 11.13. 2) К нему добавится ас, где с —
координатный столбец центра. 11.16. 1) Матрица А и все корни характеристического уравнения умножатся на ц; 2) det А не изменится.
координатный столбец центра. 11.16. 1) Матрица А и все корни характеристического уравнения умножатся на ц; 2) det А не изменится.
11.17.
11.17.
) в =
) в =
А ат а к
А ат а к
□
• 2) Т =
□
• 2) Т =
S ь ° о 1
S ь ° о 1
.18. Указание:
.18. Указание:
вычислить инварианты R, г. 11.19. 1) Гиперболический цилиндр; 2) пара параллельных плоскостей; 3) параболический цилиндр; 4) гиперболический цилиндр; 5), 6) гиперболический параболоид; 7) пара пересекающихся плоскостей; 8) параболический цилиндр; 9) конус; 10) параболический цилиндр; 11) однополостный гиперболоид; 12) двуполостный гиперболоид; 13) однополостный гиперболоид; 14) «мнимый конус»; 15), 16) «пара мнимых пересекающихся плоскостей»; 17) эллипсоид; 18), 19) эллиптический цилиндр; 20) «мнимый эллиптический цилиндр». 11.20. (ж + у + Д^х — У + г) = (^х — У + 2г)2. 11.21. 1) При к > 7/4 двуполостный гиперболоид, при к = 7/4 конус, при к < 7/4 однополостный гиперболоид; 2) при к < 0 двуполостный гиперболоид, при к = 0 гиперболический цилиндр, при к > 0 однополостный гиперболоид; 3) при к > 6 «мнимый эллипсоид», при к = 6 «мнимый конус», при к < 6 эллипсоид; 4) при к > 8 эллипсоид, при к = 8 эллиптический цилиндр, при к < 8 однополостный гиперболоид; 5) при к ^ 3 гиперболический параболоид, при к = 3 гиперболический цилиндр; 6) при к > 1 однополостный гиперболоид, при к = 1 конус, при к < 1 двуполостный гиперболоид. 11.22. В ответах к задачам этого номера перечисляются; матрица из координатных столбцов базисных векторов почти канонического базиса (в тех случаях, когда имеет смысл делать замену базиса лишь в какой-нибудь из координатных плоскостей, в ответе приведена соответствующая матрица второго порядка), координаты начала О канонической системы координат, почти каноническое уравнение данной поверхности, записанное в координатах £, у, (, тип данной поверхности. Для полного решения задачи, т. е. нахождения канонической системы координат и канонического уравнения поверхности, в некоторых случаях необходимо выполнить еще одно или несколько несложных преобразований уравнения и системы координат. Подробно о переходе от почти канонического уравнения к канони-
ческому сказано во введении к § 11. См. таксисе решения задач 16) и 24). 1) А31з; О (О, О, 0); £2 + 2ц2 + 10£2 = 1; эллипсоид; 2) А314; 0(0, 0, 0); £2 + 6ц2 - 6<2 = 0; конус; 3) A3i5; 0(0, О, 0); V3£2 = параболический цилиндр; 4) Азхе; О (О, 0, 0); £2 + у2 + 2\/3£ = 0; эллиптический параболоид; 5) Ago; О (0, 2, — 1); £2 — 4ц2 + £2 = 0; конус; 6) Аб1; О (1, —1, 0); 2ц2 + £2 = 1; эллиптический цилиндр; 7) A6i; О ( —1, 0, — 1); £2 + Ц2 — £2 = 1; однополостный гиперболоид; 8) А60; О (0, —5, 0); £2 + бу2 + £2 = 60; эллипсоид; 9) A6i; О (1, 2, —4); £2 — 9ц2 — £2 = 1; двуполостный гиперболоид; 10) Абх; О ( — 1, —1, — 1); £2 + 4у2 + С2 = 4; эллипсоид; 11) A6i; 0(3, 3, — 7); 2£2 + 6ц2 = 5^; эллиптический параболоид; 12) A6i; О (О, 2, —3); 2£2 + С2 = -^Л^; эллиптический параболоид; 13) А6з; 0(2/13, —3/13, 0); х/ТЗту2 = 2^; параболический цилиндр; 14) Аб4; О ( — 10, 0, 1); £2 — 9ц2 — £2 = -90; однополостный гиперболоид; 15) А6о; О (1, —3, 0); 9£2 + 4ц2 = 36(^; эллиптический параболоид; 16) A6i; 0(1, — 2, 0); —£2 + 2£2 = V^y; гиперболический параболоид; 17) А317; О (—26/15, —1/3, 0); 5£2 = —V2£; параболический цилиндр; 18) А62; О (3, 4, 2); 25£2 — С2 = 15ц; гиперболический параболоид; 19) Абх; О (0, 2, 0); З^2 — 7у2 — £2 = 21; двуполостный гиперболоид; 20) А62; О (1, 0, 5); £2 — 16ц2 + 9£2 = 1; однополостный гиперболоид; 21) А6х; О (—1, —1, —1); £2 + ц2 — 9£2 = 0; конус; 22) А6о; О (1, —2, —1); 4£2 — у2 = 4^ гиперболический параболоид; 23) А325; 0(1, —3, 0); 2ц2 = 7^ параболический цилиндр; 24) А328; 0(1, — 1, 0); 14£2 + Vby = 0; параболический цилиндр. 11.23. Ответы к задачам этого номера содержат: матрицу из координатных столбцов базисных векторов почти канонической системы координат^ ко ординаты начала О канонической системы координат, почти канонические уравнения поверхностей при заданных значениях параметра к,описание вида данных поверхностей при всевозможных значениях параметра. См. также замечание к ответам задачи 11.22. 1) A3i8; О (—2, —3, 0); 2£2 + 4ц2 + 7(2 = 28; при к < 77 эллипсоид, при к = 77 точка О, при к > 77 пустое множество; 2) А313; О (—2, —1, 2); £2 + 2ц2 + 10£2 = 10; при к < 9 эллипсоид, при к = 9 точка О, при к > 9 пустое множество; 3) А3Х4; О (—2, О, 1); а) £2 + бу2 — 6£2 = 6; б) £2 + 6ц2 — 6£2 = 0; в) £2 + 6ц2 — 6£2 = —6; при к < 5 однополостный гиперболоид, при к = 5 конус, при к > 5 двуполостный гиперболоид; 4) Азхэ; О (—2, 2, 0); £2 + у2 + 4£2 = 4; при к < 8 эллипсоид, при к = 8 точка О, при к > 8 пустое множество; 5) А319; О (1, -1, 0); а) 4£2 + 4ц2 + (2 = 4; б) £ = у = < = 0; при к < 8 эллипсоид, при к = 8 точка О, при к > 8 пустое множество; 6) А82о; О (1, —1, 2); £2 = 5; при к < 36 пара параллельных плоскостей х — у -V 2z — 6 ± V36 — к = 0, при к = 36 плоскость х — у -V 2г — 6 = 0, при к > 36 пустое множество; 7) А320; О (2, 0, 2); С2 = -2х/2^; при всех к параболический цилиндр; 8) A82i; О (0, 0, 0); V6£2 = —Vby; при всех к параболический цилиндр; 9) Азхе;
О (17 1, 2); а) £2 + ту2 = 1; б) £ = у = 0; при к < 18 прямой круговой цилиндр, при к = 18 прямая х = у = 3 — г, при к > 18 пустое множество; 10) A3i6; О (-1, -1, 2); £2 + ту2 = 2х/3<; при всех к параболоид вращения; 11) А322; О (—2, 1, 1); а) £2 + 3£2 = 1; б) £ = £ = 0; при к < 9 эллиптический цилиндр, при к = 9 прямая у = г = х + 3, при к > 9 пустое множество; 12) А322; О ( — 1, 5, 5); £2 + 3£2 = —бх/Зц; при всех к эллиптический параболоид; 13) А323; О (10/9, 5/9, 8/9); а) £2 + 9ц2 — 9(2 = —9; б) £2 + 9ц2 — 9(2 = 0; в) £2 + 9ц2 — 9(2 = 9; при к < — 3 двуполостный гиперболоид; при к = — 3 конус; при к > —3 однополостный гиперболоид; 14) А324; О (2, —2\/3, 3); а) 5£2 + ту2 — 5(2 = 0; б) 5£2 + ту2 — 5(2 = 5; в) 5£2 + ту2 — 5(2 = —5; при к > —75 однополостный гиперболоид; при к = — 75 конус; при к < — 75 двуполостный гиперболоид; 15) A32g; 0(0, 1, 0); а) £2 + ту2 — £2 = 1; б) £2 + ту2 — £2 = 0; в) £2 + ту2 — £2 = — 1; при к < 2 однополостный гиперболоид; при к = — 2 конус; при к > 2 двуполостный гиперболоид; 16) А32о; О (1, —1, 2); а) £2 + ту2 — £2 = 1? б) £2 + ту2 — £2 = 0; в) ^2 + ?у2 — С2 = — 1;при к < —36 однополостный гиперболоид; при к = — 36 конус; при к > — 36 двуполостный гиперболоид; 17) A32e; О (8/9, —4/9, —10/9); а) 9£2 — ту2 = 0; б) 9£2 — ту2 = 9; при к / 0 гиперболический цилиндр, при к = 0 пара пересекающихся плоскостей х + 2у = 0 и 2у + z + 2 = 0; 18) А326; О (2/9, —1/9, —16/9); ту2 — 9£2 = 6£; при всех к гиперболический параболоид; 19) А327; О ( — 1/7, —1/14, 3/14); 14£2 = 5х/3ту; при всех к параболический цилиндр; 20) А328; О (—8/7, 27/14, 3/14); 14£2 = 2х/5щ при всех к параболический цилиндр; 21) А238; О ( — 1/7, —1/14, 3/14); а) £2 = 0, б) £2 = 1; при к < 1 пара параллельных плоскостей 2х + у — 3z + 1 ± V1 — к = 0; при к = 1 плоскость 2х + у — Зг + 1 = 0; при к > 1 пустое множество. 22) А323; О (1/6, 4/3, -13/6); а) £2 + 6ц2 - 3£2 = 6; б) £2 + 6ц2 - 3£2 = 0; в) £2 + 6ц2 — 3£2 = —6; при к < —14 однополостный гиперболоид; при к = —14 конус; при к > —14 двуполостный гиперболоид; 23) А322; О (-1, -1, 1); а) £2 + ц2 - <2 = 1; б) £2 + ц2 - <2 = 0; в) £2 + ту2 — £2 = — 1; при к < 5 однополостный гиперболоид; при к = 5 конус; при к > 5 двуполостный гиперболоид; 24) А320; О (0, -2, 2); ^2 - л/бту2 = £; при всех к гиперболический параболоид; 25) А320; О (0, —2, — 1); а) £2 — ту2 = 1; б) £2 — ту2 = 0; при к / — 6 гиперболический цилиндр, при к = — 6 пара пересекающихся плоскостей (V3 ± V2)x + (V3 =F ^У Т + 2 V3 =F 3 V2 = 0.
12.2. n\. 12.3. 1) nn, nV. 2) 2n; 3) mn. 12.4. 1) Нет; 2) нет.
.6. 1) X — множество целых чисел, У — множество целых неотрицательных чисел, /(ж) = ж2; 2) X = У — множество целых чисел, /(ж) = 2х. 12.9. 2) Указание: пусть X и У счетны, X = жп, У = уп. Z = zni f(xn) = уп (n = 1, 2, ...). Положим ^(^2^-1) = Уь ^(^2/с) = ^к- Тогда <^: X У U Z есть искомое отображение. В общем случае пусть уп — последовательность различных точек из У такая,
что /(ж„) = у„. Полагаем Дж2„_1) = у„, Дж2„) = z„ и Дж) = /(ж), если х / хп. 12.11. Указание: использовать задачу 12.9. 12.14. 1) Неподвижных точек нет при а = 1 и b / 0. При а = 1, b = 0 все точки прямой неподвижны. Если а / 1, b / 0, то неподвижная точка единственна: х = 6/(1 — а). 2) f-1(y) = • 12.15. f(x) =
d—с
= -(ж —<з) + с. 12.16. (fg)(x) = асх + ad-V b, (gf)(x) = асх + 6с + d;
fg = of ПРИ ^(а — 1) = Ь^с — 1).12.17. 1) Эллипс — + ^ = 1;
нет; 3) [2тгп, 2тг(п + 1)), п Е Z. 12.18. 1) Левая ветвь гиперболы
,2,2х2 — у2 = 1; 2) да; 3) t =
,2
,2
.19. 1) а) Да; б) нет; 2) точка О (0, 0) имеет один прообраз — О (0, 0); точка М* (ж* , у*) имеет два прообраза М (х, yY где
1/21/2.2.2рутся оба верхних или оба нижних знака). 12.20. 1) Нет; 2) например, полосы а < у < 6, где 0 < 6 — а ^ 2тг, и их произвольные подмно-рутся оба верхних или оба нижних знака). 12.20. 1) Нет; 2) например, полосы а < у < 6, где 0 < 6 — а ^ 2тг, и их произвольные подмно-жества; 3) ж =жества; 3) ж =22'arctg (у*/х*) при х у = < тг + arctg V fx^ при х'arctg (у*/х*) при х у = < тг + arctg V fx^ при хО,О,О,О,(тг/2при х* = 0.12.23. 5(х) = (х; xY 12.24. 1) Г. 12.25. 1) г* = г0 + Цг - г0);(тг/2при х* = 0.12.23. 5(х) = (х; xY 12.24. 1) Г. 12.25. 1) г* = г0 + Цг - г0);2) г* = -г + 2г0; 3) г* = г + а; 4) г* = г0 +2) г* = -г + 2г0; 3) г* = г + а; 4) г* = г0 +|а|2|а|2а; 5) г* =а; 5) г* =2 + у*2 (бе-
1/2
1/2
.2
.2
рутся оба верхних или оба нижних знака). 12.20. 1) Нет; 2) например, полосы а < у < 6, где 0 < 6 — а ^ 2тг, и их произвольные подмно-
рутся оба верхних или оба нижних знака). 12.20. 1) Нет; 2) например, полосы а < у < 6, где 0 < 6 — а ^ 2тг, и их произвольные подмно-
жества; 3) ж =
жества; 3) ж =
2
2
'arctg (у*/х*) при х у = < тг + arctg V fx^ при х
'arctg (у*/х*) при х у = < тг + arctg V fx^ при х
О,
О,
О,
О,
(тг/2при х* = 0.
12.23. 5(х) = (х; xY 12.24. 1) Г. 12.25. 1) г* = г0 + Цг - г0);
(тг/2при х* = 0.
12.23. 5(х) = (х; xY 12.24. 1) Г. 12.25. 1) г* = г0 + Цг - г0);
2) г* = -г + 2г0; 3) г* = г + а; 4) г* = г0 +
2) г* = -г + 2г0; 3) г* = г + а; 4) г* = г0 +
|а|2
|а|2
а; 5) г* =
а; 5) г* =
а.а.= 2г0 - г + 2-—5) г* = Др + д _ д)Го + д _ д)
а.
а.
.26. Неподвижна точка пересечения медиан треугольника АВС. Преобразование ортогонально тогда и только тогда, когда треугольник АВС правильный. 12.27. Гомотетия с центром в точке О и коэффициентом —1/2; точки К, L, М переходят в середины соответствующих медиан, точка О неподвижна. 12.36. аб arctg ^ ^g;^, если 0 < < тг; nab/Я, если ср = тг. 12.37. 1) х* = кх. у* = ку^ 2) х* = х0 + к^х - x^Y у* =УоА Цу - y^Y 3) х* = -х + 2ж0, У* = ~У + + 22/о; 4) х* =ж + а, у* = уАр. 12.38. 1) а) (-6, 1); б) (-3, 5); в) (-4, -2); г) (-1, 2); д) (1, -18); 2) а) 4х - Зу + 27 = 0; б) Зх + + 2у + 16=0; в) х — Ьу — 6 = 0; г) х — Ьу + 28 = 0; д) 18ж — Ьу — 6 = 0. 12.39. 1) а) (2, -1); б) (0, 0); в) (1, 1); 2) а) Зх + 4у - 2 = 0; б) 2х + Зу — 1 = 0; в) х + у = 0; г) Ьх + 7у — 4 = 0; д) Ьх + 7у — 2 = 0. 12.40. 1) х* = —4х + Зу + 1, у* = Зх - Ьу + 2; 2) х* = -4у, у* = 7х- 1;
3) ж* = —3) ж* = —11332Ж " ТУ’ У2Ж " ТУ’ УV3 1,13,1——х - -у- 4) х = --х — - у* = --у.22222V3 1,13,1——х - -у- 4) х = --х — - у* = --у.22222
3) ж* = —
3) ж* = —
1
1
3
3
2Ж " ТУ’ У
2Ж " ТУ’ У
V3 1,13,1
——х - -у- 4) х = --х — - у* = --у.
22222
V3 1,13,1
——х - -у- 4) х = --х — - у* = --у.
22222
.41. 1) Задача не имеет решений (точки А, В, С лежат на одной прямой, точки А*, В*, С* не лежат на одной прямой); 2) ж* = ж, у* = 1 (линейное, но не аффинное преобразование); 3) задача имеет бесконечно много решений: ж* = рх + (р + 4)у + 2 — 2р, у* = = qx + (q + 2) у + 1 — 2g, где р и q — параметры, принимающие всевозможные действительные значения; 4) задача не имеет решений (точки А, В, С лежат на одной прямой, причем А — середина отрезка ВС, точки А*, В*, С* лежат на одной прямой, но В* — середина отрезка А*С*). 12.42. 1) (0, 0); 2) неподвижная прямая у = 6ж; 3) нет неподвижных точек; 4) (—3, 0); 5) неподвижная прямая Зх + Зу — 1 = 0; 6) все точки неподвижны. 12.43. 1) х + у = 0, у = 0;2) х + у=0; х - у= 0;3) Зх + у - 13 = 0; Зх - у + 7 =0;
нетрешений;5)х + у — 3 =0, 2х — у + С = 0; 6) х + у + 1 =0;
214132
х -у + С =0.12.45.х*= —х + -у + -, у* = -х + -у +
555555
.46. 1) х* = х + у - 2, у* = 2х - у + 3; 2) х* = Зх - 4у - 5, у* = л оп ,164433 ,14132
= 4ж + 3?/ + 1. 12.47. 1) х* = -—ж+ —у-—у* = --Х-~У^ —; 555555
х* = (А1Ж +В^у + Ci)/(Ai^o + B^yQ +Ci), у* = (А^х + В^у+
+ С2)/(А2х0 +В2т/о + С2).12.48. 1)34х2 - 42хт/ +13т/2 =1;
16ж2 — 18ад/+ by2 = 1; 3) 15ж2 — 19жг/+ бу2 + 2 = 0;4) 9ж2—
- 12жр + 4р2 +ЗОж - 18т/ = 0; 5) (Зх - у- 1)(29ж - 18т/+ 1) =0;
(2х - у - 1)(2ж - у + 1) = 2. 12.49. 1) Юж2 - 22ху + 2V - - 8х + 14?/ - 2 = 0; 2) 35ж2 - 38ж?/ - Sy2 - 22х + бу + 7 = 0; 3) 9ж2 — 12ад/ + 4?/2 + 8х — 40г/ = 0; 4) (2х + Зу — 1) (7г/ — 4х + 1) = 1; 5) (5ж + у - 3)(5ж + у + 1) = 0.12.50.1)ж* = +ж - V3y,
у* = ^ж - ^у; 2) ж* = -|ж - V3y, у* = -^ж + р- 12-51- ж* = = Vb(x — у\ у* = +V5 (4ж/5 — у). 12.52. 1) х* = х + 2, у* = х + у + 1;
С С2
х* = х + С, у* = —х + у + —. 12.53. 1) х* = х cos р — у sin р, у* = х sin р + у cos р; 2) х* = xq + (х — xq) cos р — (у — уо) sin р, У* = Уо + (х - х^ sin р + (у - у^ cos р; 3) х* = х, у* = 0; 4) х* = (9ж + Зу - 1)/10, у* = (Зх + у + 3)/Ю; 5) х* = -х, у* = у- 6) ж* = (7х - 24?/ + 6)/25, у* = (-24ж - 7у + 8)/25; 7) х* =х,у* = Ху, 8) х* = (2х - у + 2)/3, у* = (-х -¥2уЛ- 2)/3; 9) х* = (9х - 2у + 10)/5, у* = (—2х + бу — 5)/5. Указание: использовать задачу 12.25. 12.54. 1): 1), 2), 5), 6), 7), 8), 9); 2): 1), 2), 5), 6). 12.55. 1) Сжатие к оси абсцисс с коэффициентом 3; 2) гомотетия относительно начала координат с коэффициентом 2; 3) параллельный перенос на вектор а ( — 1, 1); 4) симметрия относительно оси ординат; 5) симметрия относительно точки О; 6) поворот на угол тг/2 вокруг точки С; 7) симметрия относительно прямой у = х; 8) поворот относительно точки
1 +V3 1-V32’21 +V3 1-V32’2О на угол тг/4; 9) симметрия относительно прямой у = (V2 — 1) ж; 10) гомотетия относительно точки Р(3, — 1) с коэффициентом 3;
1 +V3 1-V3
2’2
1 +V3 1-V3
2’2
поворот на угол тг/З вокруг точки М
симметрия относительно прямой ж — V3y + 2 = 0; 13) симметрия
относительно точки К ( — 1, 1); 14) сжатие к прямой Зх — 4у = 0 с коэффициентом 1/2; 15) сжатие к прямой ж — у + 2 = 0 с коэффициентом 1/3; 16) поворот на угол 2 тг/З вокруг начала координат;
ортогональное проектирование на прямую т/ = 1. Указания: 9) найти образы базисных векторов; 10)-13) перенести начало координат в неподвижную точку. 12.56. 1) 14—7=) и
(о, 1 + V2); 2) (--^, 1 + /А и ^■'^, 4; 3) у = ж + 1 и
у = 1 + —^; 4) у = х + 1 + V2 и у = 1 + -/=. 12.57. 1) tg<^ = —3/4;2) —5тг/12, -тг/12, 7тг/12, 11тг/12, ....12.58. х + 2у - 6 = 0,у = 1 + —^; 4) у = х + 1 + V2 и у = 1 + -/=. 12.57. 1) tg<^ = —3/4;2) —5тг/12, -тг/12, 7тг/12, 11тг/12, ....12.58. х + 2у - 6 = 0,2х — у + 1 = 0, 2х — у + 7 = 0. Указание: использовать поворот вокруг точки Р. 12.59. ^х + у — 3 = 0, у = 3/4, ^х — у — 3 = 0^ V3x Ру — 6 = 0, у = 9/4. У к а з а н и е: использовать поворот вокруг 1 А2точки Р. 12.60. 1) |(ф - ci)((/2 - c2)(ayb2 - а2Ьу^ х|; 2)2101д2дз|2х — у + 1 = 0, 2х — у + 7 = 0. Указание: использовать поворот вокруг точки Р. 12.59. ^х + у — 3 = 0, у = 3/4, ^х — у — 3 = 0^ V3x Ру — 6 = 0, у = 9/4. У к а з а н и е: использовать поворот вокруг 1 А2точки Р. 12.60. 1) |(ф - ci)((/2 - c2)(ayb2 - а2Ьу^ х|; 2)2101д2дз|где А =где А =ay by су а2 62 с2 ^з ^з с3ay by су а2 62 с2 ^з ^з с37 51 =7 51 =^1 byа2 Ь2^1 byа2 Ь27 52 =7 52 =&2 62§ — аз ^3аз Ьз '3 - ay by&2 62§ — аз ^3аз Ьз '3 - ay by12.61. т/= 13, 15ж +7т/+14 = 0. 12.62. 1) х2 + у2 - 20ж - бу + 84 = 0;12.61. т/= 13, 15ж +7т/+14 = 0. 12.62. 1) х2 + у2 - 20ж - бу + 84 = 0;2) х2 + у2 - Юж = 0; 3) х2 + у2 + 12ж + 32т/ - 108 = 0. 12.63. 1) fg*. х* = — 7х + Ъу — 2, у* = Зх + 4у + 1; gf: х* = 4х + Зу + 1, у* = Ьх — 7у — 2; 2) fg; х* = — 4х — бу + 4, у* = х + 4у + 1; gf: х* =7х-ЗуР 6, у* = 13ж - 7у + 25. 12.64. 1) х* = Зх - 3, у* = Зу - 32) х2 + у2 - Юж = 0; 3) х2 + у2 + 12ж + 32т/ - 108 = 0. 12.63. 1) fg*. х* = — 7х + Ъу — 2, у* = Зх + 4у + 1; gf: х* = 4х + Зу + 1, у* = Ьх — 7у — 2; 2) fg; х* = — 4х — бу + 4, у* = х + 4у + 1; gf: х* =7х-ЗуР 6, у* = 13ж - 7у + 25. 12.64. 1) х* = Зх - 3, у* = Зу - 3(гомотетия с центром А (3/2, 3/2) и коэффициентом 3); 2)(гомотетия с центром А (3/2, 3/2) и коэффициентом 3); 2)1212
у = 1 + —^; 4) у = х + 1 + V2 и у = 1 + -/=. 12.57. 1) tg<^ = —3/4;
2) —5тг/12, -тг/12, 7тг/12, 11тг/12, ....12.58. х + 2у - 6 = 0,
у = 1 + —^; 4) у = х + 1 + V2 и у = 1 + -/=. 12.57. 1) tg<^ = —3/4;
2) —5тг/12, -тг/12, 7тг/12, 11тг/12, ....12.58. х + 2у - 6 = 0,
2х — у + 1 = 0, 2х — у + 7 = 0. Указание: использовать поворот вокруг точки Р. 12.59. ^х + у — 3 = 0, у = 3/4, ^х — у — 3 = 0^ V3x Ру — 6 = 0, у = 9/4. У к а з а н и е: использовать поворот вокруг 1 А2
точки Р. 12.60. 1) |(ф - ci)((/2 - c2)(ayb2 - а2Ьу^ х|; 2)
2101д2дз|
2х — у + 1 = 0, 2х — у + 7 = 0. Указание: использовать поворот вокруг точки Р. 12.59. ^х + у — 3 = 0, у = 3/4, ^х — у — 3 = 0^ V3x Ру — 6 = 0, у = 9/4. У к а з а н и е: использовать поворот вокруг 1 А2
точки Р. 12.60. 1) |(ф - ci)((/2 - c2)(ayb2 - а2Ьу^ х|; 2)
2101д2дз|
где А =
где А =
ay by су а2 62 с2 ^з ^з с3
ay by су а2 62 с2 ^з ^з с3
7 51 =
7 51 =
^1 by
а2 Ь2
^1 by
а2 Ь2
7 52 =
7 52 =
&2 62§ — аз ^3
аз Ьз '3 - ay by
&2 62§ — аз ^3
аз Ьз '3 - ay by
12.61. т/= 13, 15ж +7т/+14 = 0. 12.62. 1) х2 + у2 - 20ж - бу + 84 = 0;
12.61. т/= 13, 15ж +7т/+14 = 0. 12.62. 1) х2 + у2 - 20ж - бу + 84 = 0;
2) х2 + у2 - Юж = 0; 3) х2 + у2 + 12ж + 32т/ - 108 = 0. 12.63. 1) fg*. х* = — 7х + Ъу — 2, у* = Зх + 4у + 1; gf: х* = 4х + Зу + 1, у* = Ьх — 7у — 2; 2) fg; х* = — 4х — бу + 4, у* = х + 4у + 1; gf: х* =7х-ЗуР 6, у* = 13ж - 7у + 25. 12.64. 1) х* = Зх - 3, у* = Зу - 3
2) х2 + у2 - Юж = 0; 3) х2 + у2 + 12ж + 32т/ - 108 = 0. 12.63. 1) fg*. х* = — 7х + Ъу — 2, у* = Зх + 4у + 1; gf: х* = 4х + Зу + 1, у* = Ьх — 7у — 2; 2) fg; х* = — 4х — бу + 4, у* = х + 4у + 1; gf: х* =7х-ЗуР 6, у* = 13ж - 7у + 25. 12.64. 1) х* = Зх - 3, у* = Зу - 3
(гомотетия с центром А (3/2, 3/2) и коэффициентом 3); 2)
(гомотетия с центром А (3/2, 3/2) и коэффициентом 3); 2)
1
2
1
2
15
у* = —у — - (гомотетия с центром В (0, —5) и коэффициентом
1/2). 12.65. 1) х* = Зх - у - 10, у* = х - 3; 2) х* = 7х - 4у - 32,
4323411
У*=-5ж + Зу+22;3) х*=-х + -у +—,у*=-х--у-—;
о о5525
95531
4)ж*=-х—-у+33,у*= — -х +-у — 19;5)ж*= -ж+ 8,
У* =+ ^у - 1; 6)У* =+ ^у - 1; 6)'22223
У* =+ ^у - 1; 6)
У* =+ ^у - 1; 6)
обратное преобразование не существует;
= ^(Зж - N; 9)= ^(Зж - N; 9)ж* = /:(4ж + Зу), у* = ^(-Зж + 4у); 8) ж* = А(4ж + Зу), у* =
= ^(Зж - N; 9)
= ^(Зж - N; 9)
ж* = г х(ж cos (^ + у sin р\ у* = г х(—х sin у> +
+ у cos р); 10) х* = г 1 (ж cos р + у sin р), у* = г 1 (ж sin р — у cos р). 12.66. 1) х* = х cos па — у sin па, у* = х sin па + у cos па*, 2) х* =
7ГП . 7ГП. 7ГП^П
= х cos — + у sin —, у = — х sin — + у cos —; 3) х = х + пу, у = у,
х* = Зпх, у* = (Зп - 2П) х + ^у. 12.67. 1) х* = Зх + 4у + 6, у* = 4х - Зу - 16; 2) х* = (5х - 4у - 1)/3, у* = (-4х + Ьу - 1)/3; 3) х* = 2\/Зх - 2у - 2V3, у* = 2х + 2V3y + 5 - 2^/3; 4) х* = = (-ЗЗх + ^у + 55)/26, у* = (18ж - 51?/ - 30)/52. 12.68. В задачах 4), 5), 7), 9), 12), 13),= /; 1) х* = х, у* = у/3, сжатие
к оси абсцисс с коэффициентом 1/3; 2) х* = х/2, у* = у/2, гомотетия относительно начала координат с коэффициентом 1/2; 3) х* = х + 1, у* = у — 1, параллельный перенос на вектор а (1, — 1); 6) х* = у, у* = —х, поворот на угол — тг/2 вокруг начала координат; 8) х* = (х + y)/V2, у* = (—х + y)/V2, поворот на угол —тг/4 вокруг начала координат; 10) х* = (х + 6)/3, у* = (у — 2)/3, гомотетия относительно точки М (3, — 1) с коэффициентом 1/3; 11) х* = (х + V3y + 1 - V3) Д у* = (-V3x + у - 1 - ДЗ)/2, поворот на угол тг/З вокруг точки М(—(l + V3)/2, (1 — V3)/2); 14) х* = (14ж — 12?/)/15, у* = (—12ж + 21г/)/15, сжатие к прямой Зх — 4у = 0 с коэффициентом 2; 15) х* = 2х — у + 2, у* = — х + 2у — 2, сжатие к прямой х — у + 2 = 0 с коэффициентом 3. 12.69. 1) fg: х* = -у + 3, у* = х - 1; gf: х* = -у + 1, у* = х - 1; 2) fg = gf- х* = ^(Зж + 4у) +4, у* = |(4ж - Зу) - 3; 3) fg: х* = = |(-ж + V3y) - 2\/3, у* = ^Дх + у) - 2, gf. х* = |(-ж - V3y), У*= |(-\/Зж +у)+ 4;4) fg = gf: ж* = 2 - ж, у* =-у;5)fg:
ж*= ж + 1,2, у*=у - 0,4, gf:х*= х - 1,2, у* = у +0,4;6)fg:
х*= — у — 0,2,у*= х— 0,6,gf:х* = — у + 0,6, у*= х+0,2;
fg: ж* = ж+(1 -х/3)/2,у*= у + (V3 - 3)/2,gf:х* =
= ж + (V3 - 3)/2, у* = у + (1 - V3)/2. 12.70. 2) ^ (ж0 - у0 ctg ^ , — ^yo + жoctg^^; 3) fg — поворот вокруг точки Р (2, 1) на угол тг/2; gf — поворот вокруг точки Q(l, 0) на угол тг/2. 12.71. 1) х sin р/2 — у cos р)2 = 0; 2) ж0 cos (<^/2) + у^ sin (<^/2) = 0, (2х — х0) sin(<^/2) — (2у — уо) cos(<^/2) = 0. 12.72. 3) a (A cos (р/2), A sin (р/2)), где А = xq cos (р/2) + yQ sin (р/2). 12.73. 1) Скользящая
симметрия относительно оси Ох. вектор переноса а(1, 0); 2) скользящая симметрия относительно оси у = 1, вектор переноса а(1, 0); 3) симметрия относительно оси у = 1. 12.74. 1) Все преобразования первого рода; 2) преобразование д первого рода, остальные — второго; 3) преобразование / первого рода, остальные — второго; fg — скользящая симметрия относительно прямой xV?> — у + 2 = 0, вектор переноса (—х/З, — 3); gf — скользящая симметрия относительно прямой хл/З + у — 2 = 0, вектор переноса (—V3, 3); 4), 5) /, д второго рода, fgngf — первого; 6) все преобразования первого рода; fg — поворот на угол тг/2 вокруг точки Р(1/5, —2/5); gf — поворот на угол тг/2 вокруг точки Q (1/5, 2/5); 7) все преобразования первого рода. 12.75. х* = —— (х — у) + 1, у* = —— (х + у) + 1 — V2 — поворот
на угол тг/4 вокруг точки М (1, 1). 12.76. ж* = 1 + 2\/2 —-^(ж + т/), у* = 1 + V2 Нвектор переноса а (ось
V2VV2 V2/
симметрии х + у (V2 — 1) = V2 + 1. 12.77. 2) fg = gf центральная симметрия относительно точки Л(1, 0); 3) fg — параллельный перенос на вектор а (6/5, —2/5), gf — параллельный перенос на вектор —а.12.78.2) fg — параллельный перенос на век-
Л-Vs %/з —з\ „
тор I , I, gf -— параллельный перенос на вектор
/ V3 - 3 1 + х/зЛч
I —, I. 12.80.1) Произведение симметрий отно
сительно двух осей, угол между которыми равен ^/2, проходящих через точку М; 2) произведение симметрий относительно двух прямых, расстояние между которыми равно |а|/2, перпендикулярных вектору а; 3) Указание: / = hg^ где д — осевая симметрия, h — параллельный перенос (см. задачу 12.72, 3)), h разлагаем согласно 12.80, 2). Оси симметрии могут быть выбраны не единственным образом. См. также задачу 12.77, 1). 12.81. 1) (1, 0), (0, 1); 2) (1, 0), (0, 1); 3), 4) любая пара ненулевых взаимно ортогональных векто-
ров; 5) (2, 1 + х/б), (2, 1 - V5); 6) (1, 0), (0, 1); 7) (1, 1), (-1, 1); 8) (1, 2), (-2, 1); 9) (1, 3), (-3, 1); 10) (1, х/З), (-х/З, 1). 12.82. 1) д — тождественное преобразование, hi — сжатие к оси
абцисс с коэффициентом 3, h^ — сжатие к оси ординат с коэффициентом 4; 2) д — симметрия относительно оси абцисс, hi — сжатие к оси абцисс с коэффициентом 3, h^ — сжатие к оси ординат с коэффициентом 4; 3) д — симметрия относительно оси ординат, hi и h^ — сжатия к двум произвольным взаимно перпендикулярным прямым с коэффициентом 3; 4) д — поворот на угол тг/4 вокруг
начала координат, h 1 и h^ сжатия к двум произвольным взаимно перпендикулярным прямым с коэффициентом V2; 5) д — поворот на угол — arccos (2/V5) вокруг начала координат, hi — сжатие к прямой (1 — V5) х + 2у = 0 с коэффициентом (V5 + 1) /2, h^ — сжатие к прямой (1 + V5) х + 2у = 0 с коэффициентом (V5 — 1) /2; 6) д — поворот на угол — тг/2 вокруг точки М(—2/13, 8/13), hi — сжатие к прямой у = 8/13 с коэффициентом 3; h^ — сжатие к прямой х = —2/13 с коэффициентом 4; 7) д — поворот на угол — arccos (3/5) вокруг начала координат, hi — сжатие к прямой х + 7 у = 0 с коэффициентом 15, /i2 — сжатие к прямой 7х — у = 0 с коэффициентом 5; 8) д = gig2i где д2 — поворот на угол — arccos (З/VlO) вокруг начала координат, gi — симметрия относительно прямой у = х; hi — сжатие к прямой у = х с коэффициентом 3V10, h^ — сжатие к прямой у = — х с коэффициентом 2\/10; 9) д — поворот на угол —Зтг/4 вокруг начала координат, hi — сжатие к прямой 2х + у = 0 с коэффициентом 5V2, h 2 сжатие к прямой ж-2у + 5 = 0с коэффициентом 10^2; 10) д — поворот вокруг точки М (—1/9, —2/д/З) на угол — тг/З, hi — сжатие к прямой у = —2/V3 с коэффициентом 6, h2 — сжатие к прямой х = —1/9 с коэффициентом 2. 12.83. h — гомотетия относительно начала координат с коэффициентом к; 1) к = 5, д -— поворот вокруг начала координат на угол arcsin (3/5); 2) к = 5, д — симметрия относительно прямой х = Зу: 3) к = г, д — поворот вокруг начала координат на угол <^; 4) к = г, д — симметрия относительно прямой ж sin (^/2) = ?/cos(^/2). 12.85. Всюду а — произвольное ненулевое число: 1) Ai = 7, а (2, — 1); А2 = 5, а (0, 1); 2) Ai = 1, а (1, -1); Л2 = 4, а (1, 2); 3) Ai = 3, а (2, 1); А2 = -3, а (1, 2); все ненулевые векторы — собственные, А = 2; 6) Ai = 1, а (—1, 1); А2 = 0, а (1, 1); 7) собственных векторов нет; 8) А = 3, а(1, 2). 12.89. 1) Произведение поворота на угол у> вокруг начала координат и гомотетии с центром (0, 0) и коэффициентом г; 2) произведение поворота на угол <^, гомотетии с коэффициентом г, если а = r(cos (^ + zsin^), и параллельного переноса на вектор, изображаемый радиус-вектором точки 6, или произведение параллельного переноса на вектор, изображаемый радиус-вектором точки 6а-1, гомотетии с коэффициентом г и поворота на угол <^.
1) Да; 2) нет; 3) да; 4) нет; 5) да; 6) нет; 7) да; 8) да; 9) нет; 10) да; 11) да; 12) да. 13.2. 1) Нет; 2) нет; 3) да; 4) да; 5) нет; 6) да; 7) да; 8) да; 9) да. 13.3. 1) Да; 2) нет; 3) да; 4) да; 5) да; 6) нет; 7) да; 8) да; 9) да. 13.4. 1) Нет; 2) да; 3) нет; 4) нет; 5) да; 6) да; 7) нет; 8) да. 13.7. 6 элементов. 13.9. Обе группы содержатся в группе са- мосовмещений квадрата: циклическая группа вращений квадрата и нециклическая группа, состоящая из симметрий относительно средних линий квадрата, поворота на 180° и тождественного преобразования. 13.10. 1) ±1; 2) ±п; 3) cos (^/кк/п) + % sin ^2тгк1п\ где к < п и
взаимно просто с п; 4) повороты на углы (2тг&/п), где к < п и взаимно просто с п. 13.11. 1) nZ^ где п — любое целое число; 2) mZ^ где т — целое число, кратное п; 3) Umi где т — делитель п; 4) Ст1 где т — делитель п. 13.13. 1) Указание: пусть а — образующий элемент в G. Н — подгруппа в G и т — наименьшее натуральное
число такое, что b = ат Е Н. Тогда b — образующий элемент в Н.
13.15. Указание: найти элемент, обратный к а, среди положительных степеней а. 13.16. 1) Dn состоит из 2п преобразований: п поворотов и п осевых симметрий. 2) Указание: показать, что если а — поворот, а b — осевая симметрия, то b-1ab — также поворот. 13.18. 1) Указание: воспользоваться тем, что число элементов циклической подгруппы с образующим элементом а равно порядку этого элемента. 13.19. Пусть а — поворот треугольника на 2тг/3 вокруг его центра, b — симметрия относительно одной из высот. Тогда G = {г, а, а2 = а-1, 6, ab, a-1b^ Н = {г, 6}, b-1ab = а-1. Левые смежные классы по Н: Н^ аН = {щаб}, а-1Н = ^a-\a-1bY Правые смежные классы по Н: Н^ На = ^а^Ъа = а-1Ь^ Нах = ^a~\abY 13.20. Указание: пусть а — параллельный перенос, а b — орто
гональное преобразование с единственной неподвижной точкой. Доказать, что b-1ab — параллельный перенос. 13.22. 1) R; 2) группа
комплексных чисел, по модулю равных 1; 3) группа положительных вещественных чисел; 4) группа комплексных чисел, по модулю равных 1; 5) группа Zn классов вычетов {m + nZ}, т Е Z с операцией сложения: (т + nZ) + (к + nZ) = (т + к + nZ); 6) группа всех поворотов вокруг фиксированной точки. 13.23. 1) ti\. 13.24. 1) г;
/ 1 9 Ч \/ 1 2 Ч 4 \/ 1 2 Ч 4 \
2) (132р)^4) (1 4 3 2) и (з 2 1 Д 1325
13.27. 1) {г}, три подгруппы второго порядка с образующими эле
ментами
1 2 3
2 1 3
1 2 3\
1 3 2
рядка с образующим элементом
1
3
1
2
2
2
2
3
3
1
3
1
, подгруппа третьего по-
, вся группа S3; 2) поми-
мо {г} и всей группы S4, подгруппа четных перестановок Лд (порядка 12) и нециклическая группа У, состоящая из четырех элементов:
/ 1 2 3 4 А / 1 2 3 4 А / 1 2 3 4 А
8,р 1 4 3 ДЗ 4 1 2 Д4 3 2 1^
14.3. 1) 10, четная; 2) 13, нечетная; 3) 3, нечетная; 4) 7, нечетная; 5) 36, четная; 6) 12, четная; 7), 8) п(п — 1)/2, четная при п = 4к или п = 4к + 1 и нечетная в остальных случаях; 9) n(n + 1)/2, четная при п = 4к или п = 4к + 3 и нечетная в остальных случаях. 14.4. 1) 0; 2) 1; 3) 0; 4) 0; 5) 1; 6) -1487 600. 14.5. е. 14.6. г. 14.7. 1) -1; 2) -2; 3) -27; 4) -27; 5) -7; 6) 0; 7) -1; 8) 4; 9) 0; 10) —2(ж3 + у3); 11) (а - с^Ь - с)(Ь - а); 12) 0. 14.8. -Зг^З. 14.9. r2cos^. 14.10. 1) 3, 3, 2; 2) 3, 3,-2; 3) 0, 0, 6. 14.11. 1)24; 2) 120. 14.13. 1, 0 или -1. 14.21. 1) 1; 2) 1; 3) 1; 4) 0; 5) -1;
1; 7) -18; 8) 1; 9) 1; 10) -5; 11) -7; 12) -1; 13) 0; 14) 0; 15) 1. 14.22. 1) -2; 2) -10; 3) 0; 4) 48; 5) 0. 14.23. 1) п!; 2) Ах... А„; 3) 1; 4) Зп; 5) 1; 6) (-l)^”"1)/^! ... Ап; 7) (-l)n+1; 8) (-l)n+1; 9) 1 — n; 10) n!; 11) (-l)n(l - 2n); 12) (-2)”“1(5n - 2); 13) (-1)"-1; 14) (-2)n"2(l - n); 15) (-l)”^-1)/2^”-1^ + l)/2; 16) n + 1; 17) 0, если n нечетно, (—l)”/2[(n — l)!!]2, если n четно; 18) (—3fc). 14.24. В этой задаче через Дп обозначается опреде- лителъ порядка п. 1) [1 — (—1)"]/2. Указание: △„ = 1 — △„-!• 2) (—1)П[АП - Х^Цп + 1)/2]. 3) п! ( 2+i + i +... +- ). у 23п у
Указание: An = nAn~i + (п — 1)!.4)[1 + (—1)п]/2.
Указание: An = 1 — An_i. 5) 0, если п нечетно, и (—1)п/2, если четно. Указание: Ап = —Ап_2. 6) [1 + (—1)п]/2 Указание: Ап = Ап_2. 7) П (А^ — Х^. Указание: n^i^k^l
111
обозначим р(Х)обозначим р(Х). Так как p(Xi) = 0 для всех. Так как p(Xi) = 0 для всехAi ... An-i А
обозначим р(Х)
обозначим р(Х)
. Так как p(Xi) = 0 для всех
. Так как p(Xi) = 0 для всех
\П—1\П—11
Л1 • • • Лп-1 Л
г = 1,..., п, находим р(Х) = С(А — Ai)... (А — An_i), где С = An_i. 8) П (ai — akX^i — HY У к а з а н и е: выполнив деление, пред- п^г>к^1
ставить определитель как произведение двух определителей Вандермонда. 9) [2ж1Ж2 • • • ж» - (жх - 1)(ж2 - 1)... (ж„ - 1)] И (жг - $к\ п^г>к^1
У к а з а н и е: дополнить матрицу сверху строкой из нулей, а затем слева — столбцом из единиц. 10) ^2 С^Д1 ап-12к(а2 — 1)^; 11) S*. П^ к=оsin р
при р ^ ктг: п + 1 при р = 2/стг; (—1)п(п + 1) при р = (2к + 1)тг (к = = 0, ±1, ±2, ...) Указание: решение аналогично решению 10) при q = cos р + г sin^. Если q ф ±1, то An~i вычисляем, используя фор
мулу (егу?)п = e%w = cosn^ + zsinn^. 12) —при р ^ 0; п + 1 при sh р
^ = 0.13) EC2fc+y(-) (а2-4Ь2)^ П (a-26cos — к=о/к=1 \п + 1
0. 14.27. Умножится на (—1)п(п-1)/2. 14.28. Не изменится. Указание: использовать задачу 14.27. 14.29. Указание: умножить первый столбец матрицы на 1000, второй — на 100, третий — на 10, и сумму полученных столбцов прибавить к последнему столбцу. 14.30. Указание: данное выражение есть разложение по г-й строке определителя матрицы, полученной из А повторением к-й. строки на г-м месте.
14.31.2)
ап Д) . a2i Д) .
• &1п Д)
• ^2п Д)
<iW ••• ^in№ a2i Д) ... а^п Д)
^nl Д) •
• ^пп Д)
^nl Д) • • • ^пп Д)
^11 Д) • • • ^1п Д) а2Х Д) ... а2п Д)
. Указание: применить индукцию по
anl W • • • апп №
порядку матрицы. 14.32. Если обозначить det (А — ХЕ) = (—Х)п + + аД—А)п-1 + ... + an-i(—А) + ап, то а8 есть сумма всех диагональных миноров порядка з в матрице А; в частности, ах есть след А, ап — определитель А. Указание: если обозначить р Д) = det(A + tE)^
ТО О-п — к —
1 dkp^t) k\ dtk
. При вычислении производных от функ- t=0
ции p(t) использовать результат задачи 14.31. 14.33. 1), 2), вообще говоря, неверны, 3), 4) — верны. 14.34. Указание: согласно задаче 14.30 и формуле разложения определителя по строке: АСТ = diag (det А, ..., det А), откуда получаем det С при det А Д 0. Матрица В получается из С умножением г-й строки на (—1)г и j-ro столбца на (—I)-7 (для всех г, j). 14.35. Указание: использовать формулу det А = det А. 14.41. (—2)па2. Указание: из (п + к)-го столбца матрицы Н° вычесть удвоенный к-й столбец
(k = 1, ... , п) и применить результат задачи 14.40.14.42.
0.
У к а з а н и е: строки матрицы || А3 А4 ||п являются линейными комбинациями строк || А А2 |п (с коэффициентами из строк матрицы А2). 14.43. 1) Указание: строки матрицы || ВС В ||п
являются линейными комбинациями строк || С Е ||п.
det
А В ° С Е
= det
А-ВС О пС Е
Поэтому
. Далее применить
задачи 14.40. 2) Не всегда. 14.44. det A - (detB)n. 15.1.
ДОЛЖНЫ
иметь одинаковые размеры. 15.2.
Г О; 2)
результат
Матрицы4
I -И ;
-16
3)
-3
3
-821 -29
-8 -19
19 ; 4) 5Е; 5) 2А22; 6) А572; 7) с57. 15.3. 1),
2), 4) справедливы, если 5) верны всегда. 15.4.
8
-12
0
матрицы имеют одинаковые размеры; 3), 1) Если т = п; 2) да. 15.5.1) || —1 ||;
2) 6 -9 0; 3)
2
3
0
8 14
8 14
; 4) || 1 1 ||; 5) || 0 3 2 ||; 6) с172; 7) А115;
8) || 6 9 12 ||; 9) с173; 10) Е- 11) А606; 12) А607; 13) А246; 14) Е- 15) A6i8; 16) пАб1б- 15.6. 1) Ширина А равна высоте В^ 2) высота А равне ширине В; 3) ширина А равна высоте В. высота А
равна ширине В. 15.7. Ширина АВ равна ширине В. высота АВ
равна высоте А. размеры т х q.
В имеет размеры п х р. АВС имеет
Тождества справедливы, если выполнимы
употребляемые в них операции. 15.10. 1) Не существует; 2)
з) II 8
16 ||; 4) || -1200 1300 ||. 15.11. 1) 2^
1 1
1 1
1
; 2) о
о
8
16
1 1 0 0 о о
3)
9)
0
0
0
0
0 О
О О
О
О О
О
1 О О О
; 4) О при п > 1; 5) Л43; 6)
Л14; 7) Л67; 8)
Л6оз;
Е;
Ю)
О. 15.12.1)
7 -5
о
-4
3 ’ 2)
О
; 3)
4) II 1 дества
2 3
4 ||; 5) А^ 6) Л142; 7) Л546; 8) -Л632.
15.13.
2)-4) справедливы, если выполнимы употребляемые
операции; 1) справедливо всегда, перестановкой г-й и к-й строк, матрицы одного порядка. 15.18.
15.14.
15.17.
Р получается
1
2 ;
3
Тож-в нихиз Е
Л, В — квадратные
1) 2Л5; 2) О. 15.20. 1) Л5;
2) -Л^6. 15.22. 1) Е- 2) О- 3) О* 4) -Е- 5) Л247. 15.23. 1) О;
2) Л243. 15.24. Тождества 1)-3) справедливы, если матрицы А
и В перестановочны, 4) всегда. 15.26.,
произведению к-й строки А на матрицу В.
к-я строка АВ равна ,15.28. к-я строка
матрицы АВ равна линейной комбинации строк матрицы В с
коэффициентами из к-й строки А. 15.29.
Указание: зада
ча 15.26. 15.30. 1) При перестановке двух столбцов матрицы В соответствующие столбцы АВ также переставляются; 2) если к-й столбец матрицы В умножить на число А, то к-й столбец АВ также умножится на А; 3) если к г-му столбцу В прибавить j-й столбец, то с матрицей АВ произойдет такое же элементарное преобразование. 15.31. 2)Указание: для столбца из двух элементов преобразова-
ния следующие:
а b
15.32. а^ если А =
b
^ik ||-
b
—а
b
а
15.33.1) Матрица у которой
все строки нулевые, кроме г-й, на месте которой располагается j-я строка Л; 2) матрица, у которой все столбцы нулевые, кроме J-ro, на месте которого располагается г-й столбец А. 15.34. Указание: в качестве £, у взять всевозможные столбцы единичной матрицы. 15.36. 1) Умножить А справа на столбец || 1 0 0 ... 0 || ; 2) умножить А слева на строку || 1 0 ... 0 ||. 15.37, 15.38. Матрица К получается из Е таким же элементарным
преобразованием. 15.40. Указание: если А =
а b
ta tb 1
то
Ат = (а + tby^A. 15.43. Утверждение 1) для прямоуголь
ных матриц, вообще говоря, не верно. Пример: Л393 • Л128 = Е,
йцЖ1 -|- . . . -|- О-у^п — 0,
(а, b — произвольные числа). 15.44.
djl^i Ч- . . . “h (ljnXn — 1,
«nl^l Л • • • Л CLnriX-n, — 0,
или, в матричной форме, ЛХ = е^ где е7- — J-й столбец Е.
15.45.
9 -5
-5
3 ’ 2^
1
1
2
4) Л24; 5) Л^д
6)
Л25; 7)
л2455 8)
1 1
2 2 ; 3)
3 4
-Л2оз; 9)
0
1
-Л202; 10)
0
15.47.
1)
1/2 0
о
1
; 2)
О 1
1 0 ’
3)
1 о
-3 1
; 4)
5)
9)
1/3оо
1 -1
О 1
0
1
0
о
о ;
1
; ю)
6)
1 о
1
О
-2
—п
1
о
1 о
о о
1
; 7)
1 о о
о
-1 о
о
о ; 8)
1
1 о о
1 о о
Л229-
> О
- О ;
) 1
) О
) 1 ;
. о
2 1 о о о 1
вообще говоря, неверно.
11) Л2оо-
15.51.:
15.48.
Приведен
ных ответов. 1)
3)
-2 О
О 1
15.52. 1) Е
Утверждение 6),
один
1
3
1 о
о
1
А^-В
0
-2
о
1
1 о
1 о
1
1
4)
; 2)
1 о о
о 1 1
1 о
о о
1
-1
1
1
1 о
о
1 о
2 о о о 1
из
о
1
возмож
1 о о
1
1 о
1 о
о
1 о
2
1
А^В- 2) Е ~ Л"1; В
ВА-1. 15.53.
1) Со-
вершаем со строками матрицы || А Е ||п (т.е. со строками А и Е) элементарные преобразования, переводящие А в Е. После пре
образований на месте матрицы А окажется Е^
а на месте Е —
матрица А х. 2) Со столбцами матрицы
ментарные преобразования, переводящие А
на месте Е окажется матрица Л-1.15.54.
2)
1
6
2-310
-202 0
63-30’
000 2
1 -1 о ... о
О 1 -1 ... о
О 0 0 ... 1
□
совершаем эле
в Е. В результате 0 0 1 О X 000-1
-1 0 00 ’
0 10о
4) -Л430; 5) -Л432;
6) Л450; 7) -Л456; 8) Л440; 9) Лб02; Ю) Л^14; 11) Л617; 12) Л619;
13) Лб37-15.55. А 1 = —(А + Е). 15.62.1) Совершаем со
строками матрицы || А В |п элементарные преобразования, пе
реводящие матрицу А в Е. После этих преобразований на месте
матрицы А окажется S, а на месте В — матрица А А В. 2) Совер
шаем со столбцами матрицы
переводящие В в ца АВ”1. 15.63. 15.64. 1) О* 2) 15.65. 1) J "2
5)
2 1
3 0
1
1
А
В
□
элементарные преобразования,
Е. В результате на месте А окажется матри-
1) Л66; 2), 3) -Л205; 4) -Л208; 5) Л437; 6) Л617.
А^В- 3) BA”1- 4) А^ВС"1- 5) А^В - С.
^ 5 :8 . 3)
"21 ;4)
21 -14 -10
-1075
-432
; 6) решений нет. В ответах к задачам 7)-11) числа а,
6, с произвольны: 7)
а b
0 а
8)
a b Qx а 1 — а
1 — а -1-6 ;6 1-6 ;
10)
Указание: положитьУказание: положить15) решений нет; 16) Л244.15.70.
Указание: положить
Указание: положить
В = Е^ вычислить АВ и В А и применить результат задачи 15.67.
15.71. Указание: использовать задачу 15.70. 15.72. См. задачу 15.71. 15.73. Скалярные матрицы. 15.74. 1) — Л§2; 2) Л86; 3) Л§з; 4) Л§4. 15.76. 1) Косоэрмитова; 2), 9) симметричны; 3), 4) эрмитовы; 5), 10), 11) ортогональные; 6) диагональная; 7) треугольная; 8) кососимметричная; 9) унитарная; 10) матрица перестановки.
15.79. 1)15.79. 1)а 6 + гс b — гс dа 6 + гс b — гс d; 2); 2)га 6 + гс—b^ric idга 6 + гс—b^ric idвольные вещественные числа); 3)вольные вещественные числа); 3)1 00 11 00 10101(а, b, с, d — произ(а, b, с, d — произ1010. 15.87. Обрат-. 15.87. Обрат-
15.79. 1)
15.79. 1)
а 6 + гс b — гс d
а 6 + гс b — гс d
; 2)
; 2)
га 6 + гс
—b^ric id
га 6 + гс
—b^ric id
вольные вещественные числа); 3)
вольные вещественные числа); 3)
1 0
0 1
1 0
0 1
0
1
0
1
(а, b, с, d — произ
(а, b, с, d — произ
1
0
1
0
. 15.87. Обрат-
. 15.87. Обрат-
ная матрица транспонирована к данной. 15.88. Обратная матрица эрмитово сопряжена к данной: 1) Л юз; 2) —^Л^д. 15.89. Пусть А = || aij ||, В = || bij ||, С = АВ = || с^- ||. Тогда на главной диагонали С: сц = а^Ь^ на побочной диагонали:
Сщ+1 = агг^г,г+1 + аг,г+1^г+1,г+Ь на т"Й побочной Диагонали: С-гД-Дт — О'ггЬгДД-т Т (7г,г+1^г+1,г+т Т • • • Т а{^_^тЬ{_^т^_^т. Ниже ГЛавной диагонали — нули. 15.92. АВ = —ВА. 15.94. Разложение единственно: А = -(Л + Лт) + -(Л — Лт). 15.95. 1) Л59 + Л20;
2) Е + Л20; 3) Л242 + Л25з.Л = 1(Л + ЛГ) + |(Л-Щ. ортогональность матрицы.2) Е + Л20; 3) Л242 + Л25з.Л = 1(Л + ЛГ) + |(Л-Щ. ортогональность матрицы.Разложение единственно:
2) Е + Л20; 3) Л242 + Л25з.
Л = 1(Л + ЛГ) + |(Л-Щ. ортогональность матрицы.
2) Е + Л20; 3) Л242 + Л25з.
Л = 1(Л + ЛГ) + |(Л-Щ. ортогональность матрицы.
Эти свойства обеспечивают
Указание: проверить
свойства ортогональных матриц, сформулированные в задаче 15.104.15.108. Указание: умножение на матрицу
перестановки слева равносильно перестановке строк умножае-
мой матрицы. 15.109. Диагональные элементы равны или 1,
1), 2), 3), 6), с показателями 2, 3, п- 1), 6), равными 2, 2,1), 2), 3), 6), с показателями 2, 3, п- 1), 6), равными 2, 2,или — 1. 15.110. Для всех г: |Аг| = 1- 15.111. 13) стохастичны; 4), 7), 8), 9), 12), 14) нильпотентны нильпотентности, соответственно равными 2, 3, 2, 10), 11) периодичны с периодами, соответственно
1), 2), 3), 6), с показателями 2, 3, п- 1), 6), равными 2, 2,
1), 2), 3), 6), с показателями 2, 3, п- 1), 6), равными 2, 2,
4; 5) периодична при а = 2кр^ ее период равен q при р ^ 0 (р — целое, q — натуральное число, дробь несократима) и период 1 при а = 0. 15.113. Указание: использовать задачи 15.112, 15.40. 15.115. Указание: если Ак = О. В1 = О^ то (AB)kl = О и (А + В)к+1 = О. 15.116. АВ имеет период к = Zm, где Z, т — периоды А, В. 15.117. Указание: умножить обе части равенства на Е — А. 15.123. Указание: использовать результаты задач 15.121, 15.122. 15.124. Не всегда. Примеры: Ац /1 \
не обратима, I А2§ I не стохастична, но матрицы перестановок
стохастичны вместе со своими обратными. 15.125. Если матрица
является матрицей перестановки. 15.127. ^ ан^ если А = || а^ || 1
(г, j = 1, ... , п). Указание: задача 15.89. 15.128. 1) ^ ^^
52 Kfe|2; если А = || aik ||. 15.131. Если А = || Лу ||, В = || By ||,
(г = 1, 2), то для существования кающих из определения блочной(г = 1, 2), то для существования кающих из определения блочнойширина Ац равнялась высотеширина Ац равнялась высотесоте В2ц 15.132.соте В2ц 15.132.15.133. 1) Если А =15.133. 1) Если А =МОАцA2iМОАцA2iN пР^12А22N пР^12А22ВщВщАВ, помимо условий, выте- матрицы, требуется, чтобы ширина Ац равнялась вы-АВ, помимо условий, выте- матрицы, требуется, чтобы ширина Ац равнялась вы-D F О GD F О G, В =, В =□□MD MF+NG пMD MF+NG пООPGPGBi В^Bi В^, то, помимо условий,, то, помимо условий,
(г = 1, 2), то для существования кающих из определения блочной
(г = 1, 2), то для существования кающих из определения блочной
ширина Ац равнялась высоте
ширина Ац равнялась высоте
соте В2ц 15.132.
соте В2ц 15.132.
15.133. 1) Если А =
15.133. 1) Если А =
МО
Ац
A2i
МО
Ац
A2i
N п
Р
^12
А22
N п
Р
^12
А22
Вщ
Вщ
АВ, помимо условий, выте- матрицы, требуется, чтобы ширина Ац равнялась вы-
АВ, помимо условий, выте- матрицы, требуется, чтобы ширина Ац равнялась вы-
D F О G
D F О G
, В =
, В =
□
□
MD MF+NG п
MD MF+NG п
О
О
PG
PG
Bi В^
Bi В^
, то, помимо условий,
, то, помимо условий,
высоте В2. 3) А°В° =высоте В2. 3) А°В° =□. 15.134. 1)-3) Коли-□. 15.134. 1)-3) Коли-
высоте В2. 3) А°В° =
высоте В2. 3) А°В° =
□
. 15.134. 1)-3) Коли-
□
. 15.134. 1)-3) Коли-
вытекающих из определения блочной матрицы, требуется, чтобы ширина матрицы Ац равнялась высоте Вц а ширина Ац равнялась
АууВ-у + Ai2B2
^21-^1 + А22В2
порядки диагональных блоков, имеющих одинаковые номера.порядки диагональных блоков, имеющих одинаковые номера.4) Для того чтобы АВ = В А, необходимы и достаточны условия 1)4) Для того чтобы АВ = В А, необходимы и достаточны условия 1)и перестановочность диагональных блоков,и перестановочность диагональных блоков,имеющих одинаковыеимеющих одинаковыеномера.6) А545.номера.6) А545.15.136.15.137.15.136.15.137.1) -А4з2;1)1) -А4з2;1)2) Л460; 3)2) Л460; 3)Е -А пО Е :Е -А пО Е :;2);2)Е; 4) Л459; 5) Лдвх;Е; 4) Л459; 5) Лдвх;Л"1ОЛ"1О-А^ВС"1С"1-А^ВС"1С"1□□чества блоков на диагоналях матриц А, В совпадают, и совпадают
порядки диагональных блоков, имеющих одинаковые номера.
порядки диагональных блоков, имеющих одинаковые номера.
4) Для того чтобы АВ = В А, необходимы и достаточны условия 1)
4) Для того чтобы АВ = В А, необходимы и достаточны условия 1)
и перестановочность диагональных блоков,
и перестановочность диагональных блоков,
имеющих одинаковые
имеющих одинаковые
номера.
6) А545.
номера.
6) А545.
15.136.
15.137.
15.136.
15.137.
1) -А4з2;
1)
1) -А4з2;
1)
2) Л460; 3)
2) Л460; 3)
Е -А п
О Е :
Е -А п
О Е :
;2)
;2)
Е; 4) Л459; 5) Лдвх;
Е; 4) Л459; 5) Лдвх;
Л"1
О
Л"1
О
-А^ВС"1С"1
-А^ВС"1С"1
□
□
15.138.1)15.138.1)—D пЕ—D пЕ•h; 2)•h; 2)—D пЕ—D пЕ•h +•h +b поb по(Е — единич-(Е — единич-
15.138.1)
15.138.1)
—D п
Е
—D п
Е
•h; 2)
•h; 2)
—D п
Е
—D п
Е
•h +
•h +
b п
о
b п
о
(Е — единич-
(Е — единич-
ная матрица порядка s, о — нулевой столбец высоты s, h — произвольный столбец высоты s). 15.139. 1) Aieo; 2) Aiei; 3) А162; 4) Ai63; 5) А462; 6) А463; 7) А464. 15.140. а0 b = b0 а = Ьа. 16.3. Да, если матрица нулевая. 16.4. 1) Базисного минора нет; 2) базисным является любой элемент матрицы; 3)-5) базисные
миноры равны соответственноминоры равны соответственно1 ОО 11 ОО 11,1,О 11 оО 11 о6)-7) базисным6)-7) базисным
миноры равны соответственно
миноры равны соответственно
1 О
О 1
1 О
О 1
1,
1,
О 1
1 о
О 1
1 о
6)-7) базисным
6)-7) базисным
будет, например, минорбудет, например, минор. Ранги: 1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 1; 5) 2;
будет, например, минор
будет, например, минор
2; 7) 2. 16.5. 1) Не существует; 2) любая строка; 3) все строки;
первая строка; 5) вторая и третья строки; 6) любые две строки; 7) любая пара разных строк, например 1-я и 2-я (но не 1-я и 4-я). 16.6. 1) Не существует; 2) любой столбец; 3) все столбцы;
второй столбец; 5) первый и второй столбцы; 6) любые два столбца; 7) любая пара столбцов, один из которых имеет номер, больший чем 3, например первый и четвертый столбцы (но не первый и второй). 16.7. Базисный минор равен определителю
матрицы. Все строки, а также все столбцы матрицы базисные. Ранг равен порядку матрицы. 16.14. rg || А В ||п ^ rg А + TgB. 16.18. 1) 1; 2) 1; 3) 1; 4) 2; 5) 2; 6) 1; 7) 1; 8) 1; 9) 1; 10) 3; 11) 2; 12) 1; 13) 3; 14) 2; 15) 2; 16) 2; 17) 2; 18) 2; 19) 3; 20) 4; 21) 3; 22) 2; 23) 3; 24) 4; 25) 4; 26) 4; 27) 3; 28), 29) п, если п четно, и п — 1, если п нечетно. 16.19. 1) 1 при s = ±г; 2 при других s; 2) 2 при всех А; 3) 1 при а = 1, 2 при других а; 4) 1 при ш = 1, 2 при ш = 0 и ш = —2, 3 при остальных ш; 5) 2 при А = 3, 3 при других А;
1 при А = 0, п — 1 при А = - п (п + 1), п при остальных А; 7) 2
при е = 0; к. если s — первообразный корень к-и степени из 1 и к < п; п при остальных е. 16.20. 1) 1 при А = 4 и А = 9, 2 при остальных А; 2) 1 при А = 3; 2 при А = 2, 3 при остальных А; 3) 2 при А = ±г, 4 при остальных А. 16.22. 0 ^ rg А ^ 2; оценки точные при п ^ 2. 16.23. 0 ^ rg А ^ ^п — s); оценки точные при п ^ 2s. 16.24. 1 ^ rg А ^ 3; оценки точные при п ^ 3. 16.25. 1) rg АВ < min(rg A,rgВ). 16.26. 1)1,если а ^ о и b ^ о; 0 в других случаях. 16.27. Оба равенства выполнены, например, при А = В = С = О. 16.28. Указание: упростить матрицу с помощью элементарных преобразований строк и столбцов, приняв за базисные — выбранные строки и столбцы. Ранг матрицы, стоящей на их пересечении, не будет меняться, а сама эта матрица превратится в единичную. 16.29. г. Указание: в данном случае базисный минор АВ есть произведение базисных миноров матриц А и В. 16.30. rg А = rg В = г. 16.31. 1) Указание: строка матрицы К состоит из коэффициентов разложения строк
матрицы А по строкам М. 2) Всякую матрицу А можно представить как произведение матрицы М, состоящей из базисных столбцов А, на некоторую матрицу К: А = МК. При этом столбцы К состоят из коэффициентов разложения столбцов А по столбцам М. 3) Для любых двух скелетных разложений А = КМ = К’ М’матрицы А по строкам М. 2) Всякую матрицу А можно представить как произведение матрицы М, состоящей из базисных столбцов А, на некоторую матрицу К: А = МК. При этом столбцы К состоят из коэффициентов разложения столбцов А по столбцам М. 3) Для любых двух скелетных разложений А = КМ = К’ М’выполнены равенства К’ = KS \ М’ = SM.выполнены равенства К’ = KS \ М’ = SM.жденная матрица порядкажденная матрица порядкат = rg А. 16.32.т = rg А. 16.32.2)2)о о1о о1431431-14О-14О1 о1 о• II 2 -3 0 ||,• II 2 -3 0 ||,О1О116.33.16.33.1О1О-4 ОО 1-4 ОО 1-117 ’-117 ’5)5)862862; 4); 4)1 о -4О1 о -4ОО 15 1О 15 1Указание:Указание:1 -3/2 0 ||; 3)1 -3/2 0 ||; 3)11О-111О-1О-21-4О-21-42 41 22 41 26363представитьпредставить2-12-111111-4О1-4Огде1)О О1где1)О О1SS1111О1О1невыроневыроО-4О-4-1О ’-1О ’3 -1-2 -3 ’3 -1-2 -3 ’21-3121-311111111124-1224-1237-2537-251 2О О1 2О О3О3ОО1 'О1 'соответствующую упрощенсоответствующую упрощенную матрицу как сумму г матриц ранга 1. 16.34.1)-5) верныную матрицу как сумму г матриц ранга 1. 16.34.1)-5) верныненевсегда, примерывсегда, примерыобеспечиваются суммамиобеспечиваются суммами1О1ОООООО ОО 1 ’О ОО 1 ’1 о1 о0 11 10 11 10 0 10 0 10 0 10 0 1представить даннуюпредставить данную; 6) верно всегда. 16.36. Указание: матрицу как произведение матрицы из двух; 6) верно всегда. 16.36. Указание: матрицу как произведение матрицы из двухстрок на матрицу из двух столбцов. 16.38. Пример строгогострок на матрицу из двух столбцов. 16.38. Пример строгогонеравенства: rgнеравенства: rgО 1 о оО 1 о о0. 16.40. Указание: строки матрицы0. 16.40. Указание: строки матрицы
матрицы А по строкам М. 2) Всякую матрицу А можно представить как произведение матрицы М, состоящей из базисных столбцов А, на некоторую матрицу К: А = МК. При этом столбцы К состоят из коэффициентов разложения столбцов А по столбцам М. 3) Для любых двух скелетных разложений А = КМ = К’ М’
матрицы А по строкам М. 2) Всякую матрицу А можно представить как произведение матрицы М, состоящей из базисных столбцов А, на некоторую матрицу К: А = МК. При этом столбцы К состоят из коэффициентов разложения столбцов А по столбцам М. 3) Для любых двух скелетных разложений А = КМ = К’ М’
выполнены равенства К’ = KS \ М’ = SM.
выполнены равенства К’ = KS \ М’ = SM.
жденная матрица порядка
жденная матрица порядка
т = rg А. 16.32.
т = rg А. 16.32.
2)
2)
о о
1
о о
1
4
3
1
4
3
1
-1
4
О
-1
4
О
1 о
1 о
• II 2 -3 0 ||,
• II 2 -3 0 ||,
О
1
О
1
16.33.
16.33.
1
О
1
О
-4 О
О 1
-4 О
О 1
-11
7 ’
-11
7 ’
5)
5)
8
6
2
8
6
2
; 4)
; 4)
1 о -4
О
1 о -4
О
О 1
5 1
О 1
5 1
Указание:
Указание:
1 -3/2 0 ||; 3)
1 -3/2 0 ||; 3)
1
1
О
-1
1
1
О
-1
О
-2
1
-4
О
-2
1
-4
2 4
1 2
2 4
1 2
6
3
6
3
представить
представить
2
-1
2
-1
1
1
1
1
1
-4
О
1
-4
О
где
1)
О О
1
где
1)
О О
1
S
S
1
1
1
1
О
1
О
1
невыро
невыро
О
-4
О
-4
-1
О ’
-1
О ’
3 -1
-2 -3 ’
3 -1
-2 -3 ’
2
1
-3
1
2
1
-3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
4
-1
2
2
4
-1
2
3
7
-2
5
3
7
-2
5
1 2
О О
1 2
О О
3
О
3
О
О
1 '
О
1 '
соответствующую упрощен
соответствующую упрощен
ную матрицу как сумму г матриц ранга 1. 16.34.1)-5) верны
ную матрицу как сумму г матриц ранга 1. 16.34.1)-5) верны
не
не
всегда, примеры
всегда, примеры
обеспечиваются суммами
обеспечиваются суммами
1
О
1
О
О
О
О
О
О О
О 1 ’
О О
О 1 ’
1 о
1 о
0 1
1 1
0 1
1 1
0 0 1
0 0 1
0 0 1
0 0 1
представить данную
представить данную
; 6) верно всегда. 16.36. Указание: матрицу как произведение матрицы из двух
; 6) верно всегда. 16.36. Указание: матрицу как произведение матрицы из двух
строк на матрицу из двух столбцов. 16.38. Пример строгого
строк на матрицу из двух столбцов. 16.38. Пример строгого
неравенства: rg
неравенства: rg
О 1 о о
О 1 о о
0. 16.40. Указание: строки матрицы
0. 16.40. Указание: строки матрицы
16.41.16.41.^ являются линейными комбинациями строк || Е В ||п. Указание: с помощью элементарных преобразований
16.41.
16.41.
задачу свести к задаче 16.37. 16.42. D = С А гВ.
.1. 1) яд = -7, ж2 = 24; 2) ж = -1, у = 1; 3) хх = 2, ж2 = -1, жз = 1; 4) х = 1, у = 2, z = — 1; 5) хх = 1, х^ = 3, х^ = О, хд = 1; 6) х = 4, у = 3, z = 2Д = 1; 7) хх = —5, ж2 = 4, хз = 3, Х4 = —2, х^ = 1; 8) хх = 1, Х2 = 2, хз = 3, Х4 = —3, х^ = —2, х^ = —1. 17.2. 1) с20; 2) c2i; 3) с93; 4) с94; 5) с66; 6) -с92; 7) о. 17.4. С компонентами решений происходят те же элементарные преобразования. У к а з а н и е: использовать матричную запись системы уравнений и выражение элементарных преобразований через умножение матриц. 17.5. Основная матрица системы приводится к единичной, в правой части оказывается решение. 17.6. 1) с22; 2) ^^с8?
с24; 4) с93; 5) c5i; 6) с6з; 7) --с96; 8) -с52; 9) С174; 10) ст;
gCi64; 12) С195; 13) С175; 14) С176; 15) Ci77; 16) с248; 17) с236; 18) с249; 19) с25о; 20) c25i; 21) с2з7; 22) с2зе; 23) с27о- 18.1. В ответах через h, hx, h2, ... обозначены произвольные постоянные (параметры). 1) х = h, у = h] 2) хх = hx — 2h2, x2 = hx, X3 = h^^ 3) xx = — hx — Л2 — Л3 — h^ x2 = hx, X3 = h^ X4 = h^ x^ = h^, 4) x = у = h, z = —2Л; 5) x = у = z = h; 6) x = z = h, у = —2Л; 7) xx = hx + ЮД2, x2 = hx + 7Л2, x3 = hx, X4 = 2Л2; 8) xx = 0, x2 = X4 = h, X3 = — h/, 9) xx = — 2hx — ЗЛ2, X2 = hx, X3 = h2, X4 = 0; 10) xx = hx, x2 = h2, x3 = Ьз, x4 = Л1 + Л2 + Ьз, x5 = ЗД1 + 2h2 + ^3; 11), 12) xx = hx, x2 = hx + h2, X3 = h2, X4 = — 2hx, X5 = — h2- 18.3. k = n — г, где п — число столбцов матрицы, г — ее ранг; к = 0,
если столбцы матрицы линейно независимы. 18.4. 0. 18.5. Од
нородная система уравнений всегда совместна. 18.6. 1) Столбцы матрицы системы линейно независимы. 2) Столбцы матрицы системы линейно зависимы. 18.7. 1) с24; 2) Ai2q; 3) А401; 4) С97; 5) А150; 6) ^151; 7) А156; 8) ciso; 9) Ац0; Ю) Ацз; 11) Ai64. 18.8. В ответах указана фундаментальная матрица, а при ее отсутствии — нулевой столбец. 1) С98 при А = 2; Ащ при А = 3; о при остальных А; 2) С98 при А = —2; Ai22 при А = 3; о при остальных А; 3) АХ20 при А = 0; о при А ф 0; 4) АХ20 при а = 1; С77 при а ^ 1; 5) С8з при А = 6; Ai2q при А = 0; о при остальных А; 6) С77 при ш = 0; Ai2o при ш = 1; с277 при ш = —2; о при остальных ш. 18.9. В ответах указаны фундаментальные матрицы данной и сопряэюенной систем уравнений, а при их отсутствии — нулевые столбцы. 1) о, Сюо; 2) с8, АХ24; 3) о, с52; 4) Сю1, Сюь 5) о, о; 6) Сю2, Сюз; 7) Сю4, А4ц; 8) о, Ai54; 9) о, Ai52; 10) Ci78, С179; 11) А165, Cisi; 12) С259, с252. 18.10. Да, если основная матрица
системы квадратная. 18.11. Да, если, например, матрица системы симметрическая. 18.13. ФС, где det С ^0. 18.14. 1) Ai25; Ai29; А404. У к а з а н и е: все фундаментальные матрицы получаются
из одной с помощью элементарных преобразований столбцов.
15. 1) Ai2q и все матрицы, которые получаются из нее пере
становками строки || —1становками строки || —1-1 ||; 2) С197 и -С197; 3) Ai3i; 4) А398 и
становками строки || —1
становками строки || —1
все матрицы, которые получаются из нее перестановками строки || —1 — 1 — 1 ||. 18.16. А у = о, где А’ = AS, с фундаментальной матрицей Ф' = 5-1Ф. 18.17. 1) xx — Х2 — х3 = 0; 2) xx — Х2 — х3 = 0, 5x1 — Х2 + Х4 = 0; 3) хх — х2 = 0, 2xi — Х3 = 0, 2xi — Х4 = 0; 4) хх — хз = 0, хх — 2x2 + Х4 = 0; 5) 2xi — х2 + 13x4 + Х5 = 0, хз — 5x4 + Х5 = 0. 18.18. Системы с матрицами вида СА^ где столбцы С линейно независимы. 18.19. Системы с матрицами вида СА, где столбцы С линейно независимы, а АТ — фундаментальная матрица системы Фтх = о. 19.1. В ответах через h,
hi, h2, ... обозначены произвольные постоянные (параметры). 1) ж = 2 + 3h, у = 2h; 2) ti = 1 — hi — 2h2 — ЗЬз, Х2 = hi, хз = h2, ж4 = Из*, 3) х = у = h, г = 4 — ЗЛ; 4) х = hi + h^ у = 1 — hi + h2, z = — 2 + hi Vs + 2h2; 5) x = 14 + h, у = — 9 — 2h, z = h*, 6) xi = 1 — hi, X2 — —h2^ X3 = 1 + hi -h Sh2, X4 = —1 4" Shi 4“ 3/t,2; 7) xi = —2 — h, X2 = h, X3 = 2 4- h, X4 = 1; 8) xi = — 1 — bh, X2 = 6h, X3 = 1 — bh, X4 = 1 + 7h; 9) xi = 6 — hi — h2 — Ьз, X2 = 8 — hi — h2 — ^3, X3 = hi, X4 = h^ X5 = Ьз*, 10) xi = 2 4- 4Д1 — ИЛ2 — 14Дз, ^2 = 1 — 22/2,1 4" 32/2,2 4" 23/2,3, X3 = —1 4" 3/zi, X4 = —1 4" 15/2,2, X5 = — 1 + 15/2,3. 19.3. He более чем на 1. 19.4. xi = 0, X2 = 0, ..., xn = 0, 0 = 1. 19.5. Ранги основной и расширенной матриц равны п. 19.6. В ответах указаны частное решение и фундаментальная матрица, а если решение единственно — решение. 1) Сюз? Сцп; 2) С106, С101; 3) решений нет; 4) с89, Сюд; 5) -c6s, Ci42; 6) с77, АХ2з; 7) решений нет; 8) -c5i, Сю7; 9) -3ci4i, Сюз; 10) с90; 11) -сю7, сю4; 12) Сц0; 13) с96, ст; 14) -ci78, ЛХ54; 15) Ci93, Ai44; 16) Ci82, A155; 17) ci83, Ai57; 18) ci85, Ai58; 19) Ci83, Ai57; 20) ci84, Л151; 21) ci85, Ai58; 22) ci86, Ai73; 23) решений нет; 24) cX87, cX88; 25) cm, Ci89; 26) Ci78; 27) решений нет; 28) ci9i, Ai59; 29) ci67, Ai59; 30) ci67, Cisi; 31) C253, Л4ц; 32) c279, ^412; 33) -C255, ^415; 34) C266, A499; 35) решений нет; 36) —c246, Л166 ; 37) с23з, Л4ц; 38) c236, A4i2; 39) c258, Л1б7; 40) c257, Л168; 41) c258, Л170; 42) c23i, Л409; 43) --C261, Л169; 44) --C258, ^417; 45) “C246, Л418; 46) --C236, ^412; 47) c259, c26o; 48) C261, c258; 49) c272, c262; 50) -c269, ^419- 19.7. В ответах указаны; значение параметра, при котором система совместна, частное решение и фундаментальное решение однородной системы при этом значении параметра. 1) А = 15, спз, Сц3; 2) А = 9, с89, Сц4; 3) А = 7, с77, Сц5; 4) А = 12, с89, с77. 19.8. Линейные комбинации с суммой коэффициентов, равной 1. 19.9. Линейные комбинации с суммой коэффициентов, равной 0. 19.10. (1,1,...,!). 19.11. (0,0,..., 0,1). 19.12. 1) Az = аа; 2) Аг = а + Ь; 3) Аг = аа + рЪ. 19.16. Указание: теорема сводится к задачам 18.12, 19.14. 19.17. Если система уравнений содержит m уравнений с п неизвестными, и ранг основной матрицы равен г, то: 1) п = г; 2) т = г (указание: применить теорему Фредгольма); 3) п > г; 4) т = п = т. 19.18. 1) Несовместна; 2) совместна; 3) несовместна. 19.19. 1) Система уравнений совместна при а = 0, а = 1. При а = 0 фундаментальная матрица Cioi; при а = 1 фундаментальная матрица та же, частное решение с77. 2) Система уравнений совместна при а = 0, а = 1. При а = 0 фундаментальная матрица Л153; при а = 1 фундаментальная
матрица та же, частное решение —С192. 3) Система уравнений18матрица та же, частное решение —С192. 3) Система уравнений18совместна при а = 0, а = 1, а = 2. При а = О фундаментальная матрица А147; при а = 1, а = 2 фундаментальные матрицы те же;
матрица та же, частное решение —С192. 3) Система уравнений18
матрица та же, частное решение —С192. 3) Система уравнений18
частное решение при а = 1 равно С193, при а = 2 частное решение равно С194. 19.20. Система совместна, если: 1) все Az различны, или 2) при некотором г выполнено А^ = ц. В случае 1) решение единственно: Хк = fj —-—^—, к = 1, ..., п. В случае 2) в качестве i^k — ^к
частного решения можно взять столбец, у которого все компоненты, кроме г-й, равны 0, a Xi = 1. Для описания фундаментальной системы решений заметим, что базисными неизвестными являются
те неизвестные, которым соответствуют всевозможные различные столбцы коэффициентов. Поэтому к-е решение из фундаментальной системы решений имеет к-е свободное неизвестное, равное 1, базисное неизвестное, которому соответствует такой же столбец коэффициентов, равное — 1, а остальные компоненты к-ro решения фундаментальной системы равны 0. 19.21. Указание:
hiXi + ... + hnxn = h есть rghiXi + ... + hnxn = h есть rgai ... an a bi bn bai ... an a bi bn b= 1. Указание:= 1. Указание:представить решение однородной системы уравнений как разность двух решений неоднородной системы. 19.22. 3) Необходимое и достаточное условие попарной эквивалентности нетривиальных уравнений aiXi + ... + апхп = a, biXi + ... + bnxn = 5, ...,
hiXi + ... + hnxn = h есть rg
hiXi + ... + hnxn = h есть rg
ai ... an a bi bn b
ai ... an a bi bn b
= 1. Указание:
= 1. Указание:
hi ... hn h
сравнить каждое из данных уравнений с системой, полученной
объединением всех уравнений. 19.23. Указание аналогично указанию в 19.22. 19.24. Системы эквивалентны. 19.25. 1) Эквивалентны; 2) эквивалентны; 3) не эквивалентны. 19.26. Системы эквивалентны. 19.32. Указание: система уравнений для вы
числения коэффициентов имеет основную матрицу с определителем Вандермонда W (^i, ..., an+i) (см- задачу 14.28, 8)). 19.33. ж3 —
— 6ж2 +
Их — 5.
19.34.
1) rg
ai bi 1
a^ &2 1
аз Ьз 1
= 3; 2) rg
ai
^2 ^3
U4
bl 1 62 1
b3 1 b4 1
= 3.
X
2 + y2
X
У 1
ж у
1
a*
Дб?
ai
61 1
19.35.
«1 ь.
«2 k
L 1
2 1
—
0.
19.36.
a-
2 4- 1?
2 + °2 Ubl
a-2
а-з
62 1
63 1
—
0.
Ai
Bl
Ai
Вд
C
A j
л j
31
о
19.37.
г
) rg
A2
в2
< I
■g
A2
b,
i C
'2
; 2)
rg
->2
<
A3
B3
A3
B3 C
'3
A4 j
34
rg
Ах А2
Аз
А4
Вх В2 Вз
В4
С2 Сз с4
19.38.1) Прямые
пересекаются в единст-
19.39.1) rg
ах Ьх сх 1 а2 b2 с2 1 аз Ьз сз 1 а4 b4 с4 1
= 4; 2) rg
ах Ьх сх 1 а2 b2 с2 1 аз Ьз сз 1 а4 b4 с4 1 аз Ьз сз 1
= 4.
19.40. 1) Все точки лежат в одной плоскости; 2) данные точки не
точке; 2)
венной
в единственной точке.
прямые пересекаются
лежат
в
одной плоскости.
19.41.
ж2 + у2 + z2 а2 + Ъ2 + с2 а2 + Ь^ + с^ а2^Ъ2^ с2 а2 + Ь2 + с2
19.42.
ах Ьх сх
1) rg а2 Ъ2 с2 аз Ьз сз
1
1
1
= 3; 2)
rg
^1
^2
ах
а2
^з
а4
Ьх
^2
У
Ьх 1
Ь2 -
Ьз
Ь4 - сх
z
Сх
С2
Сз
С4
1
1
1
1
1
1
= 0.
19.43.
1) Все точки лежат
на
одной
жат на
одной прямой.
19.44.
ах ^2 аз
см. решение задачи 19.35.
19.45.
С2 1
3.
ат Ьт ст 1 прямой; 2) точки не ле-
3) г = 1, R = 2, где г = rg
19.46. 1) г = R = 1; 2) г
5) г = 2, R = 3, где г = rg
Ах Вх Сх а2 в2 с2
= Я = 3; 3)
Ах Вх Сх а2 в2 с2 Аз Вз Сз
У Ьх ^2 Ьз 1)
Z
Сх
С2
сз
1
1
1
1
= 0. Указание:
г = R =
1;
Аг
= А
2
Г = R = 2; 4) Ах , R = rg А2 Аз
2) г
= R = 2;
Si
Ci Di
в2
с2 d2 •
г =
1, R = 2;
Bi
Ci Di
В2
C2 D2 .
В3
C3 D3
19.47. 1) Плоскости образуют призму; 2) плоскости имеют одну общую прямую. 19.48. 1) г = R = 3; 2) г = 2, R = 3; 3) г = 2, R = 2;
4) г = 3, R = 4, где г = rg
Ai Bi Ci
, R = ^g
Ai Bi Ci Di A^ B2 C2 D^ A3 B3 C3 D3
a2
A3
b2 c2
B3 c3
a4
B4
c4
a4
B4
c4
d4
19.49. 1) Прямые скрещиваются; 2) прямые пересекаются.
20.1. 1) Нет; 2) да; 3) нет. 20.3. 1) Да; размерность равна 1. 2) Да; размерность равна п — 1. 3) Да; размерность равна п — 1. 4) Нет. 20.4. 1) Да; размерность равна 1. 2) Да; размерность равна 2. 3) Нет. 4) При а = 0° и при а = 90° данное множество является линейным подпространством размерности 1, при 0° < а < 90° не является линейным подпространством. 20.5. Размерность
пространства равна тп. Базис образуют занумерованные в
каком-нибудь порядке матричные единицы (см. введение к § 15).
Стандартный базис указан во введении к гл. 8. 20.6. 1) Да; размерность равна п^п — 1). 2) Да; размерность равна п. 3) Да; размерность равна п(п + 1)/2. 4) Да; размерность равна п^п + 1)/2; 5) Да; размерность равна п^п — 1)/2. 6) Нет. 20.7. 1) Да; 2) да; 3) да; 4) да; 5) нет; 6) нет; 7) да; 8) нет; 9) нет; 10) нет; 11) нет. 20.8. 1) Размерность
равна п + 1; базис: 1, t, ..., tn. 2) Размерность равна [n/2] + 1; базис: 1, t2, ..., t2fe (k = [n/2]). 3) Размерность равна [(n + 1)/2]; базис: t^ t\ ..., t2k-1 (k = ^(n + l)/2]). 4) Размерность равна 2n + 1; базис:
cost, sint, ..., cos nt, sinnt. 5) Размерность равна n + 1; базис:
cost, ..., cos nt. 6) Размерность равна n; базис: sint, sin2t, ...,
sin nt. 7) Размерность равна 2n + 1; базис: eat eat cost, eat sint, ..., eat cos nt, eat sin nt. 20.10. 1) (-11); 2) (1, -3)T; 3) (-3, 1/2, -5)T;
4) (5, -11, 14, —2)T. 20.11.4) (5, -11, 14, —2)T. 20.11.. 20.12. 1) (0,. 20.12. 1) (0,01/2-14/3
4) (5, -11, 14, —2)T. 20.11.
4) (5, -11, 14, —2)T. 20.11.
. 20.12. 1) (0,
. 20.12. 1) (0,
7/21-3
16/3 1-1
5)T; 2) (-4, 11, 5)T; 3) | (7, 9, 4, 0)T 20.13. 1) c29 = 10c34 - 7c35;
C120 — c84 - 2c83; 3) c20i — Ci99 - Ci98 - Ci66; 4) c205 — -ci66 + ci97, C206 = Ci66 + Ci97. 20.14. 1) Размерность равна 1; базис: Ci. 2) Размерность равна 2; базис: c3i, с28. 3) Размерность равна 1; базис: С31. 4) Размерность равна 2; базис: Ci2i, Ci24. 5) Размерность равна 3; базис: Ci66, Ci98, Ci99. 6) Размерность равна 2; базис: Ci96, Ci98. 7) Размерность равна 4; базис: Ci66, Ci96, Ci97, Ci98.
Размерность равна 0. 9) Размерность равна 2; базис: Ci66, Ci97.
.15. Размерность равна 2; базис: A89i, Аз99. 20.16. Размерность равна 3; базис: (1 + f)3, t3, 1. 20.17. 1) (-2); 2) (1/4, —1/4)Г; 3) (1, -2, -1)Т; 4) (1, -1, 2, —1)Т; 5) (1, 2, -1, О, 1)г.
18. (-1, 2, -1, 1)Т 20.19. (1, 1, -1, 1, 1, 1)г.
20. ^„(а), Д;(а), Д», ..., ^"’w) ■ 20.21. (4,2, -3)г. 20.22. 1) Размерность равна 1; базис: (3, 1)т. 2) Размерность равна 1; базис: (0, 1, 1)т. 3) Размерность равна 2; базис: (2, 0, — 3)т, (1, 3, 0)т; 4) Размерность равна 1; базис: (23, —18, 3)Т. 5) Размерность равна 0. 6) Размерность равна 0. 7) Размерность равна 3; базис: (1, 2, 0, 0, 0)т, (-13, 0, 10, 2, 0)т, (1, 0, 2, О, -2)т. 20.23. 1) Xi - 2х2 + ж3 = 0; 2) хх + х2 = 0; 3) 0 = 0; 4) xY - х3 = О,
Xi — 2х2 + Х4 = 0; 5) яд — х2 = 0, 2xi — х^ = 0, 2яд — Х4 = 0; 6) 3x1 - х2 - 2х3 = 0; 7) 0 = 0; 8) ад = х2 = х3 = Х4 = 0.
20.24.1) || 3 ||; ^ = 3^; 2)20.24.1) || 3 ||; ^ = 3^; 2)-61310 -20-61310 -20^ = -6^ + 13^,^ = -6^ + 13^,
20.24.1) || 3 ||; ^ = 3^; 2)
20.24.1) || 3 ||; ^ = 3^; 2)
-613
10 -20
-613
10 -20
^ = -6^ + 13^,
^ = -6^ + 13^,
^ = 9^ + 40^ + 9^, €2 = -3^1 - 11^ - 2^ £3 = 8^1 + 37^ + 8^.
0 -18 1 -10
20.27.
0-2 10
06 04
; 6 = -18^ + ^ - ю^,
€2 = -2^ + €з,
1-5 0-3
3/4 1/4 1/2
6 = 6^
+ 4^, е4 = €1
- 5^2 - 3^.20.28.
1/4 3/4 1/2 ;
00-1
311131
^ = 4^ + 4й + 2^ ^ = 4^ + 4й + 2^ ^ = "^ 20е29е Х) П°"
6 = Ю^1 - 20^; 3)6 = Ю^1 - 20^; 3)-5-413-5-413О-13О-13-44 ; €1 = -5^-1-44 ; €1 = -5^-1- 4^, €2 =- 4^, €2 == -4^1 - ^ + 4^, €з = 13^1= -4^1 - ^ + 4^, €з = 13^1+ 3^ - & 4)+ 3^ - & 4)33€1 = ^ - 2^ + 2^€2 =33€1 = ^ - 2^ + 2^€2 =117^^у^-^ + ^з- 20.25.117^^у^-^ + ^з- 20.25.3/2-8411/23/2-8411/2-3/29-5-7/2-3/29-5-7/2О-1О2О-1О22 0 О О2 0 О О-8^1+ 9^= 4^- 5^,1-4-3 3-3-3-175 -356-11913 -3121342919 -31920 ’021 011-25-287-192 30-186 --199-8^1+ 9^= 4^- 5^,1-4-3 3-3-3-175 -356-11913 -3121342919 -31920 ’021 011-25-287-192 30-186 --199€1 = €1 - 4^ - 3^ + 3^ - 3^ - 3£', ^ = -^ + 7^ + 5^ - - 3^ + 5^ + 6£', £з = 41 + 19^ + 13^ - 3^ + 12^ + 13^, ^4 = 4^ + 29^ + 19^ - 3^ + 19^ + 20^, £5 = 2^ + ^ + ^ + ^ ^ =€1 = €1 - 4^ - 3^ + 3^ - 3^ - 3£', ^ = -^ + 7^ + 5^ - - 3^ + 5^ + 6£', £з = 41 + 19^ + 13^ - 3^ + 12^ + 13^, ^4 = 4^ + 29^ + 19^ - 3^ + 19^ + 20^, £5 = 2^ + ^ + ^ + ^ ^ == -25^ - 287^ - 192^ + 30^ - 186^ - 199^. 20.26.= -25^ - 287^ - 192^ + 30^ - 186^ - 199^. 20.26.9 40 9-3 -11 -28 37 89 40 9-3 -11 -28 37 8
6 = Ю^1 - 20^; 3)
6 = Ю^1 - 20^; 3)
-5
-4
13
-5
-4
13
О
-1
3
О
-1
3
-4
4 ; €1 = -5^
-1
-4
4 ; €1 = -5^
-1
- 4^, €2 =
- 4^, €2 =
= -4^1 - ^ + 4^, €з = 13^1
= -4^1 - ^ + 4^, €з = 13^1
+ 3^ - & 4)
+ 3^ - & 4)
33
€1 = ^ - 2^ + 2^€2 =
33
€1 = ^ - 2^ + 2^€2 =
117
^^у^-^ + ^з- 20.25.
117
^^у^-^ + ^з- 20.25.
3/2
-8411/2
3/2
-8411/2
-3/29
-5
-7/2
-3/29
-5
-7/2
О-1
О2
О-1
О2
2 0 О О
2 0 О О
-8^1
+ 9^
= 4^
- 5^,
1
-4
-3 3
-3
-3
-1
7
5 -3
5
6
-1
19
13 -3
12
13
4
29
19 -3
19
20 ’
0
2
1 0
1
1
-25
-287
-192 30
-186 -
-199
-8^1
+ 9^
= 4^
- 5^,
1
-4
-3 3
-3
-3
-1
7
5 -3
5
6
-1
19
13 -3
12
13
4
29
19 -3
19
20 ’
0
2
1 0
1
1
-25
-287
-192 30
-186 -
-199
€1 = €1 - 4^ - 3^ + 3^ - 3^ - 3£', ^ = -^ + 7^ + 5^ - - 3^ + 5^ + 6£', £з = 41 + 19^ + 13^ - 3^ + 12^ + 13^, ^4 = 4^ + 29^ + 19^ - 3^ + 19^ + 20^, £5 = 2^ + ^ + ^ + ^ ^ =
€1 = €1 - 4^ - 3^ + 3^ - 3^ - 3£', ^ = -^ + 7^ + 5^ - - 3^ + 5^ + 6£', £з = 41 + 19^ + 13^ - 3^ + 12^ + 13^, ^4 = 4^ + 29^ + 19^ - 3^ + 19^ + 20^, £5 = 2^ + ^ + ^ + ^ ^ =
= -25^ - 287^ - 192^ + 30^ - 186^ - 199^. 20.26.
= -25^ - 287^ - 192^ + 30^ - 186^ - 199^. 20.26.
9 40 9
-3 -11 -2
8 37 8
9 40 9
-3 -11 -2
8 37 8
меняются местами г-я и j-я строки матрицы перехода; 2) поменяются местами г-й и J-й столбцы матрицы перехода; 3) матрица перехода,
рассматриваемая как квадратная таблица, отразится симметрично относительно своего центра. 20.30.1) S1S2; 2) S^1.
31. 1) е^ коллинеарны е^, г = 1, 2, 3; 2) е’^ и ву коллинеарны, ei, с2- ^2 компланарны; 3) 63 и е8 коллинеарны, 62, 63, е^ компланарны. 20.32. 1) S = 5"1 = А22; 2) S = А43 (п = -2), S”1 = А43
1 0 -1/2 О
(п = 2); 3)5 = А426 , 5-1 = А425. 20.33.(п = 2); 3)5 = А426 , 5-1 = А425. 20.33.О 10-3/2
(п = 2); 3)5 = А426 , 5-1 = А425. 20.33.
(п = 2); 3)5 = А426 , 5-1 = А425. 20.33.
0 0 3/20’
101/3 О 0103/5 002/3 О 0002/5101/3 О 0103/5 002/3 О 0002/5ООО 5/2
101/3 О 0103/5 002/3 О 0002/5
101/3 О 0103/5 002/3 О 0002/5
20.34. 1) 2ci93 и || 0 —3 0 5 ||Т; 2) Ci83 в обоих
базисах; 3) 2cig2 и || — 1 0 9 О \\Т; 4) С165 и || 1 — 4 —3 10 \\Т. 21.5.1) х = ai - 4bi; 2) х = ai - 2а2 6 Р: 3) х = у + z,
у = -ai - За2 = (-7, -9, -10)т е Р, z = 9bi € Q; 4) х = -2bi € Q; 5) х = у + z, у = -21а! + 29а2 =(8, 8, 8, 37)т € Р,
z = -9bi - 5Ь2 = (-9, 0, -14, —32)Т € Q. 21.6.1) х;
о; 3) -ах = ( --, - j ; 4) 2ах +а2 = (-1, 4, 2)Т; 5) а2 - ах = (2, —6, 6, 1)Т. 21.7. 1) Размерность суммы равна 2 (сумма совпадает со всем пространством); базис: ai, аз. Размерность пересечения равна 1 (пересечение совпадает со вторым подпространством); базис: bi. 2) Размерность суммы равна 3 (сумма совпадает со всем пространством); базис: ai, а2, аз. Размерность пересечения равна 2 (пересечение совпадает со вторым подпространством); базис: bi, b2. 3) Размерность суммы равна 3 (сумма совпадает со всем пространством); базис: ai, bi, b2. Размерность пересечения равна 0 (сумма прямая). 4) Размерность суммы равна 3 (сумма совпадает со всем пространством); базис: ai, а2, bi. Размерность пересечения равна 1; базис: (1, 0, 1)Т . 5) Размерность суммы равна 3 (сумма совпадает со всем пространством); базис: ai, а2, bi. Размерность пересечения равна 1; базис: (3,1,0) .6) Размерность суммы равна 3 (сумма совпадает со всем пространством); базис: ai, а2, bi. Размерность пересечения равна 1; базис: (40, 45, 43) .
Размерность суммы равна 3; базис: ai, а2, bi. Размерность пересечения равна 1; базис: (2, —6, 7, — 2)Т. 8) Размерность суммы равна 4 (сумма совпадает со всем пространством); базис: ai, а2, bi, Ьз. Размерность пересечения равна 0 (сумма прямая). 9) Размерность суммы равна 3; базис: ai, а2, аз. Размерность пересечения равна 2; базис: bi, b2. Сумма совпадает с первым подпространством, пересечение — со вторым. 10) Размерность суммы равна 4 (сумма совпадает со всем пространством); базис: ai, а2, аз, Ь4. Размерность пересечения равна 2; базис: bi, ai. 11) Размерность суммы равна 4 (сумма совпадает со всем пространством); базис: ai, а2, аз, Ь2. Размерность пересечения равна 2; базис: Ь2 + Ьз, и bi — Ь2 с координатными столбцами || 2 2 0 3 || и || 3 5 —1 4 ||Т. 21.8. Размерность суммы равна 5; базис: A2q2, ^2оь ^.209? ^204, ^256- Размерность пересечения равна 2; базис: А202, А258. 21.9. Размерность суммы равна 3; базис: 1 + 2t + t3, 1 + t2, 1 + t + t2. Размерность пересечения равна 1; базис: 2 + 3t + t2 + t3. 21.14. 2) Если С, M, КГ — одномерные пространства, натянутые на три компланарных, но не коллинеарных вектора, то Р ^ Q.
.1. 1) (4 - 8г); 2) (-2 + Зг, 9 + 5г)Т; 3)(4 + г, -18г, 1 - 10г)Т
22.2.22.2.1 + 5г —6 + г—11 + 13г —8 — 14г1 + 5г —6 + г—11 + 13г —8 — 14г22.3.22.3.1)(—1 —8г, -3 + 6г)Т;1)(—1 —8г, -3 + 6г)Т;
22.2.
22.2.
1 + 5г —6 + г
—11 + 13г —8 — 14г
1 + 5г —6 + г
—11 + 13г —8 — 14г
22.3.
22.3.
1)(—1 —8г, -3 + 6г)Т;
1)(—1 —8г, -3 + 6г)Т;
(2, -Юг, 4 — 6г)Т.22.4.1) с43 = (-1 + г)с26;
.2 + 9г — 3 4- 4 г .
С40 =—С26 + С30; 3) С133 = — 2ci3i + С132-
оо
1) Размерность равна 1; базис: С5. 2) Размерность равна 2; базис: С27, С39. 3) Размерность равна 1; базис: С26- 4) Размерность равна 1; базис: С134. 5) Размерность равна 2; базис: С215, С2756) Размерность равна 3; базис: Ci66, С215, С196. 22.6. 1) (1 + Зг); 2) (1 + 2г, 2 — г)Т; 3) (1, 2)Т; 4) (1 + г, -Зг)Т; 5) (1, -г, 2)Т; 6) (1 + г, —г, 0, 2)Т. 22.7. 1) Размерность равна 0. 2) Размерность равна 1; базис: (1 + Зг, —2)Т. 3) Размерность равна 1; базис: (1, 1, 1)Т. 4) Размерность равна 2; базис: (1 —г, —1, 0)Т, (2 + г, 0, — 1)т. 5) Размерность равна 2; базис: (—1, г, 1, 0)Т, (1 + г, 1, 0, -1)т. 22.8. 1) (3 - Зг)хт - 2х2 = 0; 2) 0 = 0; 3) Xi — Ж2 = 0, Xi — жз = 0, (1 — г)жх — Ж4 = 0; 4) (13 — 4г)хх + + 37^2 — (11 + 45г)хз = 0; 5) (1 — 7г)жх + (—11 + 7г)х2 + Юхз = 0, (-19 + 13г)х1 + (9 - Зг)х2 + Юх4 = 0. 22.9. 1) ||4 + г||;
6 = (4 + г)^;2) |6 = (4 + г)^;2) |-1- 6г -29 — 18г, _ 1 + 6г 29 + 18г
6 = (4 + г)^;2) |
6 = (4 + г)^;2) |
2 + г 10-5г’ ^ ”2 ^2^2’
€2 =€2 =2 + i ю -5гS1TS2,2 + i ю -5гS1TS2,2 — г12 г1 — г—2 — г 3 + Юг — 1 + Ы 1 + 2г 1 - 8г 1 - 4г2 — г12 г1 — г—2 — г 3 + Юг — 1 + Ы 1 + 2г 1 - 8г 1 - 4г;^1 = (2-гК(-;^1 = (2-гК(-
€2 =
€2 =
2 + i ю -5г
S1TS2,
2 + i ю -5г
S1TS2,
2 — г12 г1 — г
—2 — г 3 + Юг — 1 + Ы 1 + 2г 1 - 8г 1 - 4г
2 — г12 г1 — г
—2 — г 3 + Юг — 1 + Ы 1 + 2г 1 - 8г 1 - 4г
;^1 = (2-гК(-
;^1 = (2-гК(-
- (1 + 2г)& + (1 - г)^, ^2 = -(2 + г)^ + (3 + Юг)^ + (-1 + 5г)&,
6 = (1 + 2г)€1 + (! - 8г)^ + (1 - 4г)^. 22.10. 1) х = гс44; 2) о;
1) Размерность суммы1) Размерность суммы|(2 - 9г)с44 = | (9 + 2г, 4 - 18г)Т 22.11.
1) Размерность суммы
1) Размерность суммы
равна 3 (сумма совпадает со всем пространством); базис: ai, а2, bi. Размерность пересечения равна 1; базис: (0, 4, 3 — г) .2) Размерность суммы равна 3 (сумма совпадает со всем пространством); базис: ai, а2, bi. Размерность пересечения равна 1; базис: (9 + Юг, 2 — 16г, —10 — Зг) . 3) Размерность суммы равна 4 (сумма совпадает со всем пространством); базис: ai, а2, а4, Ь4. Размерность пересечения равна 2; базис: bi, b2- 22.12. 2) Базис образуют векторы (1,0) , (г, 0) , (0,1) , (0, г) . Вектор С27 имеет в этом базисе координатный столбец (—3, 2, 0, — 1)Т. 22.13. 1) Комплексное пространство (п + 1)-мерно; базис: 1, t, ... , tn. Вещественное пространство (2п + 2)-мерно; базис: 1, г, t, it^ ... , tn, itn. 2) В комплексном пространстве: (1 — 2г, 3 + г, —3)Т. В вещественном пространстве: (1, —2, 3, 1, —3, 0)т.
1), 5), 9) - линейно; 2), 3), 4), 6), 7), 8), 10) - нет.
В любом базисе: 1) нулевая матрица; 2) единичная матрица S; 3) скалярная матрица ХЕ (А — коэффициент гомотетии). 1) Не является; 2), 3) изоморфизм. 23.4. При ЛЛ = С. 23.5. Нет при {о} ^ М ^ С. 23.6. 1) Ортогональное проектирование на прямую
г = ^а; 2) проектирование на подпространство г = ta параллельно подпространству (г, п) = 0; 3) ортогональное проектирование на подпространство (г, п) = 0; 4) проектирование на подпространство (г, п) = 0 параллельно вектору а; 5) ортогональное отражение в подпространстве (г, п) = 0; 6) ортогональное отражение в прямой
г = ta.г = ta.23.7.23.7.на плоскость (х,на плоскость (х,Произведение ортогонального проектирования , а) = 0 и поворота на тг/2 вокруг прямой х = ta.
г = ta.
г = ta.
23.7.
23.7.
на плоскость (х,
на плоскость (х,
Произведение проектирования на плоскость (ж, и, г) = 0, поворота на угол тг/2 вокруг прямой х = ^[u, v] и гомотетии с коэффициентом |[u, v]|. 23.8. 1) у>(х) = х — ^ ’ |2)п; ЯДР° — прямая [г, п] = 0; множество значений — плоскость (г, п) = 0; rg ср = 2; 2) <^(х) = = (х, а) -——; ядро — плоскость (г, а) = 0; множество значений —
прямая [г, а] = 0; rg <^ = 1; 3) <^(х) = х — —-—7 а, ядро — прямая (а, п)
[г, а] = 0, множество значений — плоскость (г, п) = 0; rg ср = 2;
4) ^(х) =4) ^(х) =а; ядро — плоскость (г, п) = 0; множество значений
4) ^(х) =
4) ^(х) =
— прямая [г, а] = 0; rg ср = 1; 5) р>(х) = х - 2 (х, п) 6) р>(х) = 1ПГ= 2 (а, х) ^ - х: 7) ^(х) = х - 2^а; 8) ^(х) = 2^, - х;5)-8) преобразования являются изоморфизмами; Кег ср = {0};— прямая [г, а] = 0; rg ср = 1; 5) р>(х) = х - 2 (х, п) 6) р>(х) = 1ПГ= 2 (а, х) ^ - х: 7) ^(х) = х - 2^а; 8) ^(х) = 2^, - х;5)-8) преобразования являются изоморфизмами; Кег ср = {0};Im^ — все пространство; rg = 3.Im^ — все пространство; rg = 3.23.9. 1)23.9. 1)0000000100100 ОО0 ОО; 2) -’ 7 з; 2) -’ 7 з1111111111111111113> 53> 5зоватьзовать2-1-12-1-1-12-1-12-1-1-12-1-12разультатыразультаты2) | 22) | 22 32 3ОО1 -11 -13 0 ; 3)3 0 ; 3)5541 541 551251215-215-22-222-22. У. Ук а зк а за н и е:а н и е:исполь-исполь-задач 23.8,задач 23.8,1) и1) и2).2).23.10.23.10.1)1)0 0 0-110 ;2 0 10 0 0-110 ;2 0 1-6-6-9-9338 12 -4 ; 4)8 12 -4 ; 4)10101515-5-514142233-4-44 6-82 3-44 6-82 3-4. Указание:. Указание:
— прямая [г, а] = 0; rg ср = 1; 5) р>(х) = х - 2 (х, п) 6) р>(х) = 1ПГ
= 2 (а, х) ^ - х: 7) ^(х) = х - 2^а; 8) ^(х) = 2^, - х;
5)-8) преобразования являются изоморфизмами; Кег ср = {0};
— прямая [г, а] = 0; rg ср = 1; 5) р>(х) = х - 2 (х, п) 6) р>(х) = 1ПГ
= 2 (а, х) ^ - х: 7) ^(х) = х - 2^а; 8) ^(х) = 2^, - х;
5)-8) преобразования являются изоморфизмами; Кег ср = {0};
Im^ — все пространство; rg = 3.
Im^ — все пространство; rg = 3.
23.9. 1)
23.9. 1)
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0 О
О
0 О
О
; 2) -
’ 7 з
; 2) -
’ 7 з
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3> 5
3> 5
зовать
зовать
2
-1
-1
2
-1
-1
-1
2
-1
-1
2
-1
-1
-1
2
-1
-1
2
разультаты
разультаты
2) | 2
2) | 2
2 3
2 3
О
О
1 -1
1 -1
3 0 ; 3)
3 0 ; 3)
5
5
41 5
41 5
5
1
2
5
1
2
1
5
-2
1
5
-2
2
-2
2
2
-2
2
. У
. У
к а з
к а з
а н и е:
а н и е:
исполь-
исполь-
задач 23.8,
задач 23.8,
1) и
1) и
2).
2).
23.10.
23.10.
1)
1)
0 0 0
-110 ;
2 0 1
0 0 0
-110 ;
2 0 1
-6
-6
-9
-9
3
3
8 12 -4 ; 4)
8 12 -4 ; 4)
10
10
15
15
-5
-5
1
4
1
4
2
2
3
3
-4
-4
4 6-8
2 3-4
4 6-8
2 3-4
. Указание:
. Указание:
то же, что ито же, что ив задаче 23.9. 23.11. Если исходный базис в £3 орто-
то же, что и
то же, что и
нормированный, а базис в С состоит из вектора а (в случае прямой)
или пары векторов а, b (в случае плоскости), то: 23.9. 1) || 0 1 0 ||,
при а (0, 1, 0); 2) - || 1 1 1 || при а(1, 1, 1); 3) -при а (0, 1, 0); 2) - || 1 1 1 || при а(1, 1, 1); 3) -1 0 -10 1 -11 0 -10 1 -1припри
при а (0, 1, 0); 2) - || 1 1 1 || при а(1, 1, 1); 3) -
при а (0, 1, 0); 2) - || 1 1 1 || при а(1, 1, 1); 3) -
1 0 -1
0 1 -1
1 0 -1
0 1 -1
при
при
при а(0, 1, О), b(О, О, 1); 2) -при а(0, 1, О), b(О, О, 1); 2) -23 01 -1 523 01 -1 53) || 2 3 -123.12.1)3) || 2 3 -123.12.1)-10 00 1 00 0 1; 2) -’ 7 9-14 84-7484-11 -2 -2-21-2-2 -21-10 00 1 00 0 1; 2) -’ 7 9-14 84-7484-11 -2 -2-21-2-2 -21приа(1, 1, 0), Ь(0, О, 1);приа(1, 1, 0), Ь(0, О, 1);при а(—3, 4, 5); 4) || 1/2 3/4 — 1 || при а(1, 2, 3).при а(—3, 4, 5); 4) || 1/2 3/4 — 1 || при а(1, 2, 3).-10 01-12023.13. 1)-4 1 0; 2) -4 10. Указание: использо-4 0 132 2-3-10 01-12023.13. 1)-4 1 0; 2) -4 10. Указание: использо-4 0 132 2-3Указание:Указание:использовать результаты задач 23.8, 5) и 6).использовать результаты задач 23.8, 5) и 6).вать результаты задач 23.8, 7) и 8). 23.14. 1)вать результаты задач 23.8, 7) и 8). 23.14. 1)cos а =р sin а О± sin a cos а ОО 01cos а =р sin а О± sin a cos а ОО 012)2)1 О О1 О Оо оО Т1±1 оо оО Т1±1 о; 3) Л259 и ^260-; 3) Л259 и ^260-23.15.23.15.В 1) и 2) Кег р = £н,В 1) и 2) Кег р = £н,
при а(0, 1, О), b(О, О, 1); 2) -
при а(0, 1, О), b(О, О, 1); 2) -
23 0
1 -1 5
23 0
1 -1 5
3) || 2 3 -1
23.12.1)
3) || 2 3 -1
23.12.1)
-10 0
0 1 0
0 0 1
; 2) -
’ 7 9
-14 8
4-74
84-1
1 -2 -2
-21-2
-2 -21
-10 0
0 1 0
0 0 1
; 2) -
’ 7 9
-14 8
4-74
84-1
1 -2 -2
-21-2
-2 -21
приа(1, 1, 0), Ь(0, О, 1);
приа(1, 1, 0), Ь(0, О, 1);
при а(—3, 4, 5); 4) || 1/2 3/4 — 1 || при а(1, 2, 3).
при а(—3, 4, 5); 4) || 1/2 3/4 — 1 || при а(1, 2, 3).
-10 0
1
-120
23.13. 1)
-4 1 0
; 2) -
4 10
. Указание: использо-
4 0 1
3
2 2-3
-10 0
1
-120
23.13. 1)
-4 1 0
; 2) -
4 10
. Указание: использо-
4 0 1
3
2 2-3
Указание:
Указание:
использовать результаты задач 23.8, 5) и 6).
использовать результаты задач 23.8, 5) и 6).
вать результаты задач 23.8, 7) и 8). 23.14. 1)
вать результаты задач 23.8, 7) и 8). 23.14. 1)
cos а =р sin а О
± sin a cos а О
О 01
cos а =р sin а О
± sin a cos а О
О 01
2)
2)
1 О О
1 О О
о о
О Т1
±1 о
о о
О Т1
±1 о
; 3) Л259 и ^260-
; 3) Л259 и ^260-
23.15.
23.15.
В 1) и 2) Кег р = £н,
В 1) и 2) Кег р = £н,
Im р = £’. Если базис в £’ образуют первые к базисных векторов базиса пространства £. то: 1) diag (1, ..., 1, 0, ..., 0) (к единиц); 2) || Ед О ||п (Ед — единичная матрица порядка к). 23.16. diag(l, ... , 1, — 1, ... , — 1); р — изоморфизм (число единиц равно размерности £’\ 23.17. Пусть ei, ..., еТ — базис в Л4, а векторы er+i, ..., еп дополняют его до базиса в £. Матрица отображения р в паре базисов (ei, ... , еп^ (ei, ... , ет) получается из матрицы преобразования р в базисе (ei, ..., е^ вычеркиванием строк с номерами г + 1, ..., п. 23.22. 1) rg р = dim £ = dim £. Ker р = {о}; 2) В = А-1. 23.25. Указание: выбрать базис в £. включающий базис подпространства (если оно ненулевое). 23.26. 1) — 2ai, а2, 4аз. Произведение растяжений с коэффициентами —2, 1, 4 в направлении соответственно векторов ai, а2, аз. 2) Зах, За2, 2аз. Гомотетия с коэффициентом 3 в плоскости х = sai + ta^ и растяжение с коэффициентом 2 в направлении вектора аз. 3) о, (5, 0, — 5)Т, (11, 5, — 1)Т. 4) ai, Ш2, — Ш3. Произведение растяжений комплексного арифметического пространства в направлении векторов ai, а2, аз с коэффициентами 1, г, —г соответственно. 5) — ai, (1 + г)а2, (1 — 0аз- Произведение растяжений комплексного арифметического пространства в направлении векторов ai, а2, аз с коэффициентами — 1, 1 + г, 1 — г соответственно. 23.27. 1) (0, 6, 18) ; 2) о; 3) (-8, -И, 3, 0, -13)т; 4) <^(ai) = (2n — l)ai, p(a^) = —а^ (к = 2, ..., п). В ответах к задачам 23.28, 23.29 и 23.31 приведены координатные столбцы базисных векторов искомых подпространств. 23.28. 1) (12, —5)т и (5, 12)т; 2) (1, 1, -1)т, (3, 0, 2)т и (1, 1, -1)т; 3) (1, -1, 1)т и (1, 1, 0)т, (0, 1, -1)т; 4) (0, 1, 1, 0)т, (0, 0, 1, 1)т и (1, 1, -3, -3)т, (1, — 1, — 1, 1)т; 5), 6) Кег р = {о}, Im р = £. р — изоморфизм.
23.29. 1) (0, 2, О, 1)Т, (О, -3, 1, О)Т и (О, 1, О)Т, (1, О, -2)Т; 2) у? инъективно, Кегу> = {о}; (4, 3, — 1, 7)Т, (5, 2, 3, 7)Г, (9, 7, 2, 6)Т; 3) (3, 1, О)Т, (2, О, -1)Т и (-2, 1, 7, -3)Т; 4) (2, О, 1, —1, О)Т, (О, 1, 2, О, О)Т, (О, О, 1, О, 1)Т; у? сюръективно; 5) (О, 1, 1)Т и (-2, -2, -3, 4, 6)Т, (2, 2, 2, 1, -5)Т; 6) (1, 1, О, -3, 6)Т, (—2, О, 1, 5, 1О)Т; у? сюръективно. 23.30. Здесь С, Ci, Сз, Сз —
любые действительные числа. 1) (О, 0, 1/10, 1/5)Т + Ci (10, О, -7, б)т + С2 (0, 5, -1, —7)Т; 2) (7/2, 0, -1/2, О, 0)т + С/ (19, 2, -5, О, 0)т + С2 (41, 0, -11, 2, 0)т + Сз (1, 0, -2, О, 1)Т;
(О, О, 1)Т + С(1, -2, -3)Т; 4) (О, 1, О, 0)т + С (2, 2, 1, -1)т
1) (1, 1, О, О, 0)т, (О, 1, 2, О, 0)т, (2, О, 1, -1, 0)т, (О, О, 1, О, 1)Т; 2) (1, 1, -1, -1)Т, (0, 2, 1, 0)Т, (7, 23, О, — 11)Т; 3) (0, 3, -1, О, О, 0)т, (О, 1, О, -1, О, 0)т, (0, 4, О, О,
2) у?(ж) =2) у?(ж) =О ЯД $2—яд 0 ж3-яд -яд ОО ЯД $2—яд 0 ж3-яд -яд Оз) у(ж) =з) у(ж) =гхз-Х1 + %Х2гхз-Х1 + %Х2х^ + гх^х^ + гх^, где, гдеж = (яд, яд, x.f. 23.40.ж = (яд, яд, x.f. 23.40.1) Ядро — многочлены нулевой сте1) Ядро — многочлены нулевой степени; множество значений — многочлены степени не выше т — 1;пени; множество значений — многочлены степени не выше т — 1;а), б) Л594 (п = т + 1); в) Л613 (п = т + 1). 2) Л595 (размеров т х (т + 1)). 23.41. 1) Ядро состоит из многочленов нулевой степени; множество значений — Р; ранг п; Л = Л596', 2) ядро {о}; множество значений — Q; ранг п + 1; Л = diag (1, 3, ..., 2п + 1).а), б) Л594 (п = т + 1); в) Л613 (п = т + 1). 2) Л595 (размеров т х (т + 1)). 23.41. 1) Ядро состоит из многочленов нулевой степени; множество значений — Р; ранг п; Л = Л596', 2) ядро {о}; множество значений — Q; ранг п + 1; Л = diag (1, 3, ..., 2п + 1).
2) у?(ж) =
2) у?(ж) =
О ЯД $2
—яд 0 ж3
-яд -яд О
О ЯД $2
—яд 0 ж3
-яд -яд О
з) у(ж) =
з) у(ж) =
гхз
-Х1 + %Х2
гхз
-Х1 + %Х2
х^ + гх^
х^ + гх^
, где
, где
ж = (яд, яд, x.f. 23.40.
ж = (яд, яд, x.f. 23.40.
1) Ядро — многочлены нулевой сте
1) Ядро — многочлены нулевой сте
пени; множество значений — многочлены степени не выше т — 1;
пени; множество значений — многочлены степени не выше т — 1;
а), б) Л594 (п = т + 1); в) Л613 (п = т + 1). 2) Л595 (размеров т х (т + 1)). 23.41. 1) Ядро состоит из многочленов нулевой степени; множество значений — Р; ранг п; Л = Л596', 2) ядро {о}; множество значений — Q; ранг п + 1; Л = diag (1, 3, ..., 2п + 1).
а), б) Л594 (п = т + 1); в) Л613 (п = т + 1). 2) Л595 (размеров т х (т + 1)). 23.41. 1) Ядро состоит из многочленов нулевой степени; множество значений — Р; ранг п; Л = Л596', 2) ядро {о}; множество значений — Q; ранг п + 1; Л = diag (1, 3, ..., 2п + 1).
1 0
о, -1)Т,
(1, 0, 0,
о, о, О)7,
(о, о, 0, 0,
1, 0)Т 23.34.
0 1
0 -1
1 0
001
1 0
0 0
ООО
0 1
0 0
0 10
10 0
0 0
-1 0
0 0-1
0-10
0 0
0 1
23.35.
0 01
. 23.36.
10 0
. 23.37.
0 0
1 0
1 0 0
010
0 0
0 1
00-1
1 0
0 0
ООО
0 -1
0 0
23.38. Изоморфизм определяется равенством: 1) <^(ж) =
Ж1 ж2
Ж3 -Ж1
О 1-1 ОО 1-1 ОО п—п ОО п—п О
О 1
-1 О
О 1
-1 О
О п
—п О
О п
—п О
Л612 (п = т +1)• 23.43. 1) diag
(матрица порядка 2п + 1); 2) diag (1, ..., n), diag (1, 1/2, ..., 1/п). 23.44. 1) Ядро {0}; множество значений — подпространство многочленов степени не выше п с нулевым свободным членом; ранг п; Л = Л597. 2) А4; преобразование инъективно, но не сюръективно.
23.45.1), 3) Отображения инъективны, но не сюръективны и
не обратимы. 2) Обратное отображение — дифференцирование.
23.46.
3 о
1 0 ’
Четные многочлены.
о о
3
1
; базис образа
23.47.
1 0
-2 0 ’
1) diag (А, А). Базис ядра
О 1
Q 2 5 2) А589. Базис ядра
-2 4 3
ООО’
ООО
—2 4 3 ’ ^ сюРъективн0-
23.48. 1) Ядро состоит из
матриц, у которых первые п — 1 столбцов нулевые; р сюръективно. 2) || ^(п-!) о || матрица размеров m(n — 1) х тп. 3) р — умножение
справа на
Еп-1о
— матрицу размеров п х (п — 1). 23.49. Ядро
натянуто на вектор (1, —2, 1, —2)Т; множество значений — веще
ственные матрицы вида
а b с а
; rg р — 3; А — А496. 23.50. А590.
23.51. 1) Ядро — многочлены вида а^х^ множество значений состоит из многочленов без уп (ап = 0); 2) ядро — многочлены вида апуп, множество значений состоит из многочленов без хп (ад = 0); 3) при нечетном п преобразование является изоморфизмом, при п = 2m его ядро состоит из многочленов вида amxmym^ множество значений — из многочленов, не содержащих члена xmym. Матрицы 1)
О 1 о о
О 0 2 ... О
О 0 0 ... п о о о ... О
;2)
О п О
О о
... О
... О
п-1 ... О
о о о
;3)
О 0...10
п 0...
0 п — 2 ...
О
О
О
О
о о
0... -п + 2
0...0
О
—п
23.53. 1) При k = dim £. 2) а) Пусть ах, ..., ат образуют базис в линейной оболочке векторов ах, ..., а^. Тогда ar^i, ... , а^ должны быть такими же линейными комбинациями векторов
аТ. как Ът^ц • •• , bk — векторов 61, ... , br. Условие 1)
и г = dim Г. 23.54. 1) ВА”1- 2) В; 3) Е.
23.55.
2), 3) А^В. 23.56.
1) ВА"1;
1) ^4165 2) A3i; 3) А32; 4) A6i. 23.57. 1) а) А2б7;
-1
-1 2
б)
diag (1, 2, 2); 2)
а) А230; б) diag (0, 1, 1); 3) а)
-5 -1 2 ;
-7 -3 6
б)
б)
О
О
О
о
2 О
О 1 2
; 4) а)
А273; б)
-3 о о
1
-3 О
о о
2
23.58.
1) a) Ai4i;
^392 5
матрица
в.
^41725 г) А5о6; д) А40б; е) A5i6. 2) Во
Указание: использовать результат
23.59. 1)
а 1 — а
Ъ Y — b ;3)
2 —2 + За 2а
всех задачах: задачи 23.54.
2 —3 + 36 2а (а, 6, с — произвольные -34 + Зс 2с
числа). 2), 4) не существует. 23.60. 1) р сюръективно; dimKer р = 1; +(а) = (4, — 1) ; 2) р инъективно; rg р = 2; р(а) = (11, 10, —6) ;
3) ср сюръективно; dimKer<^ = 2; 2) р)^ = (—4, —6, 0)Т; 4) ср не
единственно, ранг может равняться двум или трем, размерность ядра 1 или 0 соответственно. Во втором случае <р инъективно.
^ = (-10, -10, -13, 10,
28)Т. 23.61.
3)
Л98; 4) Л262-
23.62.
1)
-1
О
4)
8)
2)
-2,
2)
-2 1
-12 7
3 -2 -3
1 -1
-3
5
5
0
-1
; 5)
2
-3
-3
4
0
5
0
0
0
5
О ;
4
6)
О
-2
1 I о : О I
; 9) Л497; 10) Л498.
; 2)
1)
1 о
(1 + г^Е- 2)
0
-9
; з)
2
1
0
2
0
о
о ;
-2
23.63.
7)
1)
-1 о о
1
-1 О
Л 82;
1
2 ’
О
1 :
-1
3
1 — г
1
; 3) diag( —1, 1 + г, 1 — г); 4) diag (1, ш\ си); 5) diag(2, 2,
2г); 6) diag
г
О
1
г
—г
О
1
—г
23.64.
1)
36 -25
23 -16
-42 -18 -20
48
15
7
7 -17
; з)
-5
-1
5
3
1
-3
; 4)
1
4
-3
1
5
1
-15
5
25
5
-3
-2
9
5
-31
1
23.65. 1)
сначала
векторов
2)
1
3
-5
2
-12
5 • 2>
-4
4
-5
5
; з)
4
4
-2
-1
. У к
а з а н и е:
записать
матрицу
в
базисе
из
направляющих
данных
прямых.
23.66.
1)
1
2
-1
-3
3
3
4
-2
4
3
-2
О
3
1
1
+ V3
;3)
1
О
-1
-1
О 1 О
2
2
3
4) -
7 3
1
- V3
1
1 О
3 0 ;
-1 2
- V3
и
3 -1-V3
1
о
-1 о
о о
1
-1 о о
1 и 3
1
2
1
-2
-2
2
-1
1
2
2
У к а з а н и е: сначала записать матрицу
преобразования в базисе,
составленном из базисов данных подпространств. 23.67. 1) Л383;
2) Л428; 3) Л61з (n = m + 1); 4) Л598 (n = т); 5) Л599 (п = т).
23.68. 1) Та же матрица, что и в ответе к 23.43, 1); 2)
где Л =
-1
1 О
-1 .
-1 .
2 .
-1
-1
-1
, В =
О -11 ...
О 0 -2 ...
1
1
О 0 .
п
О 00 ... —п
О
В
; з)
Л □
О
Л551.
23.69. 1) Поменяются местами г-й и J-й столбцы; 2) поменяются
местами k-я и l-я строки; 3) г-й столбец умножится на А, j-я строка разделится на ц; 4) к г-му столбцу прибавляется J-й, к Z-й строке прибавляется к-я. 23.70. 1) Поменяются местами две строки и два столбца с номерами г и j; 2) г-я строка умножится на А, г-й столбец разделится на А; 3) к г-му столбцу прибавится J-й, из j-й строки вычтется г-я; 4) произойдут аналогичные перестановки столбцов и строк матрицы; 5) матрица заменится на центрально симметрич
ную исходной. У к а з а н и е: при решении задач 23.69-23.71 мож
но использовать формулы (3), (4) из введения к § 23 и задачи
15.27-15.30. 23.73. rg р). У к а з а н и е: использовать задачу 23.72 или 23.71 и метод Гаусса. 23.74. 1) diag (1, 0) в базисах (1, 0)Т, ( — 1, 1)Т и (1, 1)Т, (0, 1)Т; 2) Е в базисах (1, 0)Т, (0, 1)Т и (1, 3)т, (3, Ю)Т; 3) diag (1, 1,0) в базисах (1,0, 0)т, (0,1, 0)Т; (1, 1, -1)т и (0, -1, -1)т, (1, 0, 1)т, (0, 0, 1)т; 4) diag (1, 0, 0) в базисах (1, 0, 0)Т, (1, 1, 0)Т, (1, -1, -1)Т и (1, -1, 2)Т, (0, 1, 0)Т, (0, 0, 1)Т; 5) Л570 в базисах: (1, 0, 0, 0, 0)Т, (0, 1, 0, 0, 0)т, (0, 1, 2, 0, 0)т, (2, 0, 1, -1, 0)т, (0, 0, 1, 0, 1)т и (1, 1)Т, (2, -2)Т; 6) Л416 в базисах: (1,0, 0)Т, (0,1, 0)Т, (0, 1, 1)Т и (-2, -2, -3, 4, 6)т, (-2, -2, -2, -1, 5)т, (0, 1, 0, 0, 0)т, (0, 0, 0, 1, 0)т, (0, 0, 0, 0, 1)т 23.77. ХЕ. где А — произвольное число. 23.78. 1) (^ существует при п = к. фр) существует при т = I. 23.79. Пусть р): Ек Е^ ф: Еп Ет1 %: Es -4 Et. 1) п = 5, т = /с; 2) s = п^ t = т^= к*. 3) t = к = n, I = ш; 4) к = n, I = т. 23.80. Если р: £ ч £ и М = рфСф то р) = i^ где pr. С -л М и
i: Л4 -4 L — естественное вложение.
23.82.
1)
-1
2
-1
4
-1
0
-2
-1 ;
1
2)
-3
0
-2
8
-5
5 -4 ; 3)
5
-3
2 8-5
4 5-4
3 13 -8
Указание: пусть А^ В^ С —
матрицы, составленные из координатных столбцов векторов а^ 5Z, с^ (г = 1, 2, 3), X, У — матрицы преобразований р) и ф в данном базисе. Тогда ХА = В, YB = С, YXA = YB = С.
т.е. матрица Z преобразования фр) удовлетворяет матричному
уравнению ZA = С. В базисе AZ* = С. В базисе 51, 62, 5з:
3)
25 -10
40 -15 ’
60
5 -6 ’
аъ а2, а^: Z’ = A”XZA = А^С, Z” = B~XZB. 23.83.1), 2) 0;
1 8 vг
п 1 . Указание:^ - ф = 5г.
23.85. 1) Матрица порядка п
+ 1:
О Е
О О
матрица порядка п — к + 1 при к ^ п^
где Е — единичная
0 при к > п; 2) матрица
порядка 2п + 1: ( — l)s diag (0, В, 2кВ^ ..., пкВф где В =
0 -1
1 0
при k = 2s — 1, В =
1 О
О 1
при к = 2s (к = 1, 2, ..., s = [(/с + 1)/2]).
1) (tD) (а0 + ait + ... + antn) = ait + 2a2t2 + ... + nantn; 2) (-От) (dg + ait + ... + antn) = ag + 2ait + ... + (n + l^antn*, 3) [D, т] = г; 4) указание: доказывать по индукции на основе результата задачи 3). 23.91. Ср. 15.59. 23.100. 2) Пусть отображение s^j имеет в некоторой паре базисов матрицу E^j (матричную единицу). Базис в L (Р, Q) состоит из всех отображений е^*, dim L (Р, Q) = тп. 23.101. 1), 2), 4), 5) — нет; 3), 6) - да. 23.103. 1), 2), 3), 5) при d 1 нет; 4), 6) - да. 23.104. Указание: если грани отражателя совместить с координатными плоскостями, то направляющий вектор луча подвергнется последовательным отражениям с матрицами diag(l, 1, — 1), diag(l, — 1, l),diag(—1, 1, 1).
В ответах к задачам на отыскание собственных значений
и собственных векторов для каждого собственного значения А указывается либо множество А соответствующих собственных векторов, либо базис собственного подпространства, а в случае диагонализируемого преобразования — диагональный вид матрицы преобразования и собственный базис или матрица из координатных столбцов векторов этого базиса. 24.1. Указание: рассматриваемое множество содержится в собственном подпро-, где Л = diag (Ai, .Хк),и собственных векторов для каждого собственного значения А указывается либо множество А соответствующих собственных векторов, либо базис собственного подпространства, а в случае диагонализируемого преобразования — диагональный вид матрицы преобразования и собственный базис или матрица из координатных столбцов векторов этого базиса. 24.1. Указание: рассматриваемое множество содержится в собственном подпро-, где Л = diag (Ai, .Хк),странстве. 24.3.странстве. 24.3.п — т. 24.4.п — т. 24.4.А В О СА В О С
и собственных векторов для каждого собственного значения А указывается либо множество А соответствующих собственных векторов, либо базис собственного подпространства, а в случае диагонализируемого преобразования — диагональный вид матрицы преобразования и собственный базис или матрица из координатных столбцов векторов этого базиса. 24.1. Указание: рассматриваемое множество содержится в собственном подпро-
, где Л = diag (Ai, .Хк),
и собственных векторов для каждого собственного значения А указывается либо множество А соответствующих собственных векторов, либо базис собственного подпространства, а в случае диагонализируемого преобразования — диагональный вид матрицы преобразования и собственный базис или матрица из координатных столбцов векторов этого базиса. 24.1. Указание: рассматриваемое множество содержится в собственном подпро-
, где Л = diag (Ai, .Хк),
странстве. 24.3.
странстве. 24.3.
п — т. 24.4.
п — т. 24.4.
А В О С
А В О С
a Ai, ..., А& — собственные значения. 24.13. Указание: многочлен нечетной степени с вещественными коэффициентами имеет хотя бы один вещественный корень.24.14.2) Пусть
det(Л - ХЕ) = (Ai - А)... (А„ - А); тогда ак =52 Ай ... Xik, где
(Б , • • •, Б )
(г'х, ..., г^ пробегает упорядоченные /с-элементные подмножества множества {1, 2, ... , п} (к = 1, ... , n); tr А = Ai + ... + Ап; det А = Xi ... Хп. 24.15. Все нулевые векторы. 24.16. Собственное значение А (кратности п), собственные векторы aei а ^ 0. 24.17. Ai,...,An. 24.18. Искомый базис е = (ei,..., еп), где (ei,..., е^) — базис в С’, (e^i, ..., еп) — базис в Сн. 1) diag (£д, О); 2) diag (Е^, —Еп_^) в базисе е. 24.19. 1) А = 1, х + 2у = 0; А = — 1, х + Зу = 0; diag ( — 1, 1) в базисе (—2, 1)^ (—3, I)2? 2) А = 1, х + у = 0; А = 0, 4х + Ьу = 0; diag (1, 0) в базисе (1, — 1)Т, (—5, 4)Т. 3) А = 1, Зх — 2у = 0; А = 2, х — у = 0; diag (1, 2) в базисе (2, 3)Т, (1, 1)Т. 24.20. 1) А = 1, прямая х = z = 0; А = 0, плоскость у = 0; diag (0, 1, 0) в данном базисе. 2) А = 1, прямая х = у = z = 0; А = 0, плоскость х + у + z = 0; diag (1, 0, 0) в базисе (1, 1, 1)Т, (1, — 1, 0)Т, (1, 0, — 1)Т. 3) А = 1, плоскость х + у + z = 0; А = 0, прямая х = = у = z\ diag (1, 1, 0) в базисе (1, — 1, 0)Т, (1, 0, — 1)Т, (1, 1, 1)Т.
А = 1, плоскость —ж + у + 2г = 0; А = 0, прямая —2ж = 2у = г; diag(l, 1, 0) в базисе (1, —1, l)2^ (1, —3, 2)^ ( — 1, 1, 2)^ 5) А = 1, плоскость х = 0; А = 0, прямая 2ж = 2у = —г; diag (1, 1, 0) в базисе (0, 1, 0)Т, (0, 0, 1)Т, (1, 1, ~2)Т. 6) А = 1, плоскость х = у. А = 0, прямая —2ж = Зу = 6г; diag (1, 1, 0) в базисе (1, 1, 0)Т, (0, 0, 1)т, (-3, 2, 1)Т 7) А = 1, прямая -20ж = 15?/ = 12г; А = 0, плоскость 2х + Зу — г = 0; diag(l, 0, 0) в базисе ( —3, 4, 5)Т, (1, 0, 2)Т, (0, 1, 3)Т 8) А = 1, прямая 2х = у = 2г; А = 0, плоскость 2х + Зу — 4г = 0; diag (1, 0, 0) в базисе (1, 2, 1)т, (—3, 2, 0)Т, (2, 0, 1)Т. 9) А = 1, плоскость х = 0; А = — 1, прямая у = г = 0; diag (—1, 1, 1) в базисе (1, 0, 0)Т, (0, 1, 0)Т, (0, 0, 1)Т. 10) А = 1, прямая х = 2у = г; А = —1, плоскость 2х + у + 2г = 0; diag (1, —1, —1) в базисе (2, 1, 2)т, (—1, 2, 0)Т, (1, 0, — 1)Т. 11) А = 1, плоскость х + у + г = 0; А = —1, прямая х = у = г; diag (1, 1, — 1) в базисе (1, — 1, 0)Т, (1,0, — 1)Т, (1,1, 1)Т- 12) А = 1, плоскость х = 0; А = — 1, прямая 2х = у = —г; diag(l, 1, —1) в базисе (0, 1, 0)Т, (0,0, 1)Т, (1, 2, —2)Т. 13) А = 1, прямая 2х = у = 2г; А = 1, плоскость х + у = 0; diag (1, —1, —1) в базисе (1, 2, 1)Т, (—1, 1, 0)Т, (0, 0, 1)Т. 24.21. 1) При а = 2ктг: А = 1, все ненулевые векторы собственные; при а = (2к + 1)тт: А = 1, X = {аез|а /0} и А = -1, X = {qci + ^62! |а| + \Р\ ф 0}; при а ктг: А = 1, X = {ае|а 0} (к — целое); 2) А = 1, X = {qci|q ф 0}; 3) А = 1, X = {а (1, 1, 1)Т |а 0}; 4) А = 1, X = {а(1, 1, -1)т |а 0} и А = 0, X = {а(-3, 1, 0)Т + + ^(0, 0, 1)Т | |а| + |^| 0}; 5) А = 1, X = {а (2, 2, -1)Т |а 0} и А = -1, X = {а (1, -1, 0)Т + /3 (3, 0, -1)Т | |а| + \0\ 0}; 6) А = 2, X = {а (1, 1, 1)Т |а 0} и А = 1, X = {а (0, 1, 0)Т + Р (2, 0, 1)Т | |а| + \Р\ ф 0}; 7) А = 1, X = {а (1, 1, -1)т |а ф 0}; 8) А = 1, X = {а (-1, 1, 1)Т |а 0}. 24.22. 1) А = 0, собственное подпространство Ъ^х^ + ... + Ьпхп = 0; если ару + ... + anbn ^ 0, то еще А = ару + ... + anbn, X = {a (ах, ..., an)T |а ^ 0}. 2) aibi + ... + anbn ^ 0; 3) а) да; б) нет. 24.23. Преобразование с матрицей diag(A5^_i, Jm+i(A), /^5„_m), где/z ^ А. 24.26. 1)А^,...,А2; 2) А™, ... , А™; 3) А^1, ... , А”1. Указание: доказать, что при А 0 det(A - AS) = (-l)"det А ■ det(A"1 - А"1 Е\ 4) p(Ai),..., р(А„). Указание: использовать задачу 24.25. 24.27. X^yj. У к а з а н и е: диагонализируемость матриц А и В влечет диа- гонализируемость А 0 В. 24.29. Преобразование с матрицей Jn(0). 24.30. 1) diag (—4, 4) в базисе (8, — 1)Т, (0, 1)Т; 2) diag(0, 1) в базисе (0, l)1^ (1, I)2; 3) diag ( — 1, —2) в базисе (2, —1)^ (1, — 1)Т; 4) diag (4, 9) в базисе (2, 1)Т, (—1, 2)Т; 5) diag(0, 25/12)
в базисе (3, 4)Т, (4, —3)Т; 6) А = 1, (1, 0)Т; 7) diag (2, 0) в базисе (1, 1)Т, (1, — 1)Т; 8) А - 0, (1, 1)Т; 9) diag (169, 0) в базисе (5, 12)Т, (-12, 5)Т; 10) А = -2, (1, 2)Т; 11) diag (-2, 1, 4) в базисе (1,0, -1)т, (О, 1, 0)т, (3, 4, 3)Т; 12) diag(l, 1, -1) в базисе (1, О, 0)т, (О, 1, 1)Т, (О, -1, 1)Т; 13) diag(l, -1, -2) в базисе (2, 1, 1)Т, (1, О, 1)Т, (1, -1, 1)Т; 14) diag(l, 2, 3) в базисе (О, 1, 1)Т, (1, 1, 1)т, (1, О, 1)Т; 15) diag (О, —1, 2) в базисе (1, О, 1)т, (О, 1, -2)т, (3, -2, 1)т; 16) diag (-2, 9, -4) в базисе (1, О, -1)т, (2, 1, 2)Г, (5, -4, 5)Т; 17) diag(l, 2, 10) в базисе (2, 1, -2)Т, (1, О, 1)Т, (-1, 4, 1)Т; 18) diag (14, 0, 0) в базисе (2, 1, -3)Т, (-1, 2, 0)т, (6,3, 5)т; 19) diag(3, 3, 2) в базисе (1, -1, 0)т, (1,0, 1)т, (1,2, 4)т; 20) diag(l, 2, 2) в базисе (1,1, 1)т, (1,0, -3)т, (О, 1, 3)Т; 21) diag (7, 7, -7) в базисе (1, -2, 0)Т, (О, 3, 1)Т, (2,1, -3)Т; 22) А = О, (1,0, 0)Т; А = -1, (О, 1, 0)Т; 23) diag(3, -1, -1) в базисе (1,1, 2)Т, (1, -1, 0)Т, (1, О, -1)Т; 24) А =-3, (2, О, 1)Т; А = 2, (О, -1, 1)т; 25) А = 0, (2, -1, 0)Т; 26) diag(O, 1, 1) в базисе (1, 1, -1)Т, (2, 1, 0)Т, (3, О, 2)Г; 27) А = О, (1, 1, 0)Т, (-1, 3, 2)Т; 28)А = -1, (2, -1, 0)Т, (1, -2, 1)Т; 29) diag (—1, 1, 1) в базисе (3, 5, 6)Т, (2, 1, 0)Т, (1, О, 1)г; 30) А =1, (-2, 1, 1)т; 31) diag (1, 1, -1, -1) в базисе (1, О, О, 1)Т, (О, 1, 1, 0)Т, (О, -1, 1, 0)Т, (-1, О, О, I)7; 32) diag (1, -1, 1, -1) в базисе (1, 1, О, 0)т, (-1, 1, О, 0)т, (О, О, 1, 1)т, (О, О, -1, 1)т; 33) diag (4, 9, 9, -1) в базисе (2, 1, О, 0)Т, (1, -2, О, 0)Т, (О, О, 1, 1)Т, (8, 4, -5, 5)Т; 34) diag (О, О, 0, 4) в базисе (1, 1, О, 0)Т, (О, 1, 1, 0)Т, (О, О, 1, 1)т, (1, -1, 1, -1)т; 35) А = О, (1, О, О, 1)т, (О, 1, 1, О)т; А = 2, (1, — 1, 1, — 1)Т; 36) diag (1, 3, 5, —4) в базисе (1, 0, — 1, 1)Т, (1, 1, О, -1)т, (1, 1, -1, 0)т, (О, 1, 1, —1)Т; 37) diag (-1, 1, 1, -2) в базисе (-2, 1, 1, 1)Т, (1, -1, О, 0)Т, (1, О, -1, 0)Т, (1, О, О, — 1)Т; 38) diag (2, 2, 2, -2), Л468; 39) А = 0, (1,1,1, 1)Т; 40) А = 1, (1, О, 1, 0)Т, (1, -3, О, 0)Т, (1, 1, -1, -1)Т. 24.31. 1) diag (г, —г) в базисе (1, —г)Т, (—г, 1)Т; 2) diag (г, е2), е = е2тг/3, в базисе (1, —е)Т, (—е, I)2; 3) diag (0, 2г) в базисе (1, —г)Т, (—г, I)2; 4) diag (—1, 1) в базисе (е, — 1)Т, (е, 1)Т; 5) diag (1 —г, 1 + г) в базисе (1, 1)Т, (—1, 1)Т; 6) diag (ега, е-г“) в базисе (1, —г)Т, (—г, 1)Т; 7) diag(e + z, е — г) в базисе (1, г)Т, (г, I)2; 8) diag(2 + V3, 2 — л/З) в базисе (V5—1, 1 — г)Т, (1 + «, 1 — V3)2; 9) diag (О, Зг, -Зг) в базисе (2, 2, -1)Т, (5, Зг — 4, 2 + 6г)Т, (5, -4-Зг,
2 — 6г)Т; 10) diag(l, г, —г) в базисе (0, 1, 1)Т, (2, 2, 3 + г)Т, (2, 2, 3 — г)Т; 11)diag (—1,1+ г, 1 — г) в базисе(1,1, — 1)Т,(1 + г,
—г)Т, (1 —1, г)Т; 12)diag (2, 3 + г, 3 — г)в базисе (2,1, 1)Т,
(4, 3, 2 — г)Т,(4, 3, 2+г)Т; 13) diag (2, — 1 + г,— 1 — г) вбазисе
(1, 0, -1)Т,(2, 2, —5—г)Т, (2, 2, -5 + if-14)diag(l,ш2),
ш = е^г/з^ в базисе Лзез; 15) diag (V3, — V3, ^V3) в базисе (1 + V3, 1, 1)Т, (1-V3, 1,1)Т,(О, 1, -1)Т; 16)diag(1 + г,1 + г, 2 + г)
в базисе (1, О, 0)Т,(0,2, 1)Т, (1 + г, 1,1)Т;17) diag (4, 1, 0) в
базисе (1 + г, Зг, 1)Т, (1, 0, г — 1)Т, (1 + г, —г, 1)Т; 18) diag (г, —г, г, —г) в базисеЛ486;19) diag (2, —4,— 1 + г, — 1— г) в базисе
(1, 1, 1, 1)Т, (1,-1,1, -1)Т, (1, г,-1,-г)Т,(1, —г, -1,
г)Т; 20) diag (1 + г, — 1 + г, 1 + г, — 1 + г) в базисе diag (Л16 , Лхе); 21) diag (2, 2, -2, 2г) в базисе Л473. 24.32. 1) А = -3, (-1, 2)Т; 2) А = 5, (1, 3)Т; 3) А = 3, (2, О, -1)Т; А = 2, (О, -1, 1)Т; 4) А = О, (2, 1, -1)Т; А = -1, (3, 3, -4)Т; 5) А = -1, (2, О, 1)Т; А = 1, (1, 1, 1)Т; 6) А = 0, (1, 1, -1)Т, (3, О, 2)Т; 7) А = О, (1, О, О, 1)Т, (О, 1, 1, 0)Т; 8) А = 1, (2, -1, 2, -1)Т; А = -1, (2, -1, -2, 1)Г; 9) А = 1, (1, 1, О, О, 0)т, (О, О, О, 1, 1)т; А =-1, (0,1,1, О, 0)Т 24.33. 1) Ai = г, Аг = е2; а) нет; б) diag (г, г2) в базисе (1,1- s)T (1,1- е2)Т (е = е2™/3). 2) Ai,2 = e±ia; а)(-1)пЕ при а = тЦп —целое), в любом базисе; при остальных а преобразование не диагонализируемо; б) diag (егод е-га^ Л94. 3) Ai = 1, А2 = Аз = w2; а) нет; б) diag (1, ш2 ш\ Л363 (^ = е27гг/3). 4) А1д = 3; а), б) нет. 5) Ai = О, А2Д = ±гл/3; а) нет; б) diag (0, г'л/З, —гд/З), Л384. 6) Ац2 = 1; а), б) нет. 7) Ац2 = (1 ± V5)/2, А3)4 = 1; а), б) нет. 8) А1д = г, Азд = —г; а) нет; б) diag (г, г, —г, —г), Л488. 9) Ац2 = 1 + г, Азд = 1 — г; а) нет; б) diag (1 + г, 1 + г, 1 — г, 1 — г), Л488. 10) А1д = г, Азд = —г; а), б) нет. 24.34. Пусть ei, ..., еп — стандартный базис, т = [(п + 1)/2], г = [п/2]. 1) diag (Ет, —Е^ в базисе из векторов ek + еп_к^! (к =1, ... ,т) и ек -еп_к^г (к = 1,... ,г).
diag (ЗЕт, —Ет) вбазисепримера 1).3) diag (2п — 1,—1,...
..., — 1) в базисе из векторовei + ... + en, ei — ек (к = 2,...,п).
diag (ж + (п — 1)ух — у..., х — у)в базисе примера3).
п —1
А = 0, базисный собственный вектор ^ ( — l)s^_1es+i; преоб- 5 = 0
разование не диагонализируемо. 6) diag (п — 1, п — 3, ..., 1 — п), компонентами к-ro базисного вектора являются коэффициенты многочлена (1 + t)n-k(l — t)k-1^ расположенного по возрастающим /7ГП7Г А
степеням t. 7) diag 2 cos, ..., 2 cos в базисе из у п + 1п + 1 /
k = 1, ... n. 8) diag (0, ..., 0, n)k = 1, ... n. 8) diag (0, ..., 0, n)irksвекторов ад; = V sines,s=i n+1
k = 1, ... n. 8) diag (0, ..., 0, n)
k = 1, ... n. 8) diag (0, ..., 0, n)
в базисе ai, ... , an, где ai, ... , an~i — базис подпространства жх - ж2 + ... + (-1)п-1жп = 0, ап = ех — е2 + ... + (-1)п-1еп. 9) diag(2Em, -2Em) при п = 2m; diag (2Em_x, 1, -2Em_x) при n = 2m —1в базисе из векторов ek + 2en_^+i (k = 1, ... , m), ek — 2en_^+i (k = 1, ... , r). 10) A = 0 с собственными векторами ei, ... , er; при n = 2m — 1 еще A = 1 с собственным вектором em; преобразование не диагонализируемо. 11) diag (zSm, —iE^ при n = 2m; diag (iEm_i 1, —iEm_i) при n = 2m —1в базисе из векторов ek + ien_k^i (k = 1, ..., m), ek - ien_k^i (k = 1, ..., r\ 12) diag (1, s, ..., sn-1) в базисе из векторов ak = ^ s^-1^ses (k = S=1
= 0, 1, ..., n — 1; £ = е27гг/п). 13) diag [ 2z cos —-— , ..., 2z cos ^^ ) \n+1n+1/
в базисе из векторов ak = V zs-1 sines, k = 1, ... , n. s=i^+1
1) ±| (V5± 1); 2) 4, 0, 2 ± 2^2; 3) 0, 8, 8, 12; 4) 0, ±4i,
±8г; 5) efe7ri/3 fe = q ±1, ±2; 6) a + 26 cos k = 1, , n. ’ ill) n+1
Указание: использовать преобразование аг + Ъ^^ где ^ — преобразование из 24.34, 7). 7) Xk = ai + а^£к + ... + ans^-1, где Ек = е27гЬ/п, к = 0, 1, ... , п — 1. Указание: перейти к базису Vk = (1, £к , ... , Ек-^Т^ = о, 1, ... , п - 1. 8) ai + ... + ап и ЕХк, где Хк = |ai + а^£к + ... + an^-1|, Ек = е27гЬ/п, 0 < к < [п/2], а при четном п также ai — а2 + ... + (—l)n-1an. 9) л/п, — \/п, г^т^ —гл/п с кратностями соответственно к + 1, К к, к при п = 4/с + 1и/с + 17 к + 1,
к + 1, к при п = 4к + 3. Указание: характеристические числа матрицы А2 равны п и — п с кратностями соответственно (п + 1)/2 и (п — 1)/2. 24.36. 1) 1 + (—1)п; 2) 0; 3) д/n при n = 4к + 1, г^п при п = 4к + 3; 4)_ Указание: воспользоваться
результатами задач 24.34, 7) и 24.35, 9). 24.37. 1) А2§7; 2) А2зо; 3) Азо4 - п2, Азо5 - Dv 24.38. 1) J3(-l); 2) А485. 24.39. 5.
b + За
9, 4, 3, 2; или 9, 2, 6, 1. А = 2. 24.41. . Указание:
4
проверить, чтопроверить, чтоВыразитьВыразить^п+1ЗС-п^п+1ЗС-п^п+1Жп^п+1Жп= А= Ачерезчереза bа b•^п^п —1•^п^п —1, где А — некоторая матрица., где А — некоторая матрица.и А. Для вычисления Ап привестии А. Для вычисления Ап привести
проверить, что
проверить, что
Выразить
Выразить
^п+1ЗС-п
^п+1ЗС-п
^п+1Жп
^п+1Жп
= А
= А
через
через
а b
а b
•^п
^п —1
•^п
^п —1
, где А — некоторая матрица.
, где А — некоторая матрица.
и А. Для вычисления Ап привести
и А. Для вычисления Ап привести
матрицу А к диагональному виду. 24.42. 1), 2) А = 0, собственные векторы — константы; 3) собственному значению Хк отвечает собственная функция eXkt^ к = 1, ..., п; 4) А = Ад, собственная функция
eW. 24.43. 1) А = 0, собственные векторы — многочлены at + b (|а| + \Ь\ ^ 0); 2) А = 0, собственные векторы — константы; А = — /с2, X = { ak cos kt + bk sin kt\ |a| + \b\ ф 0}, k = 1, ... , n; 3) A = A^, X = { ceXkt | с ф 0}, k = 1, ... , n; 4) A = Aq, X = { ceXot | с ф 0}. 24.44. 1) A = О, X = {(a0+ б^И |a0| + K| 0}; 2) A = -1, X = {ае*|а^0}; 3) A = 2, все ненулевые функции из С собственные. 24.45. 1) А = — 1, все ненулевые функции из Л4 собственные. 2) Нет собственных векторов. 24.46. 1) А = 0, X = {acos2^ + 6sin2^| |а| + \b\ ф 0}; 2) А = —16, все ненулевые функции собственные. 24.47. Через р, q обозначены базисные векторы собственных подпространств. 1) А = 0, р = 1; А = 1, р = t^ А = 2, р = t2; 2) А = 1, р = 1; А = 2, р = t; А = 3, р = t2; 3) А = 1, р = t; А = 2, р = 1, q = t2. 24.48. Собственные значения — всевозможные А G R. Собственные функции cexY с ф 0. 24.49. А = —п2, X = {сsinnt \ с ф 0}, п любое натуральное число. 24.50. А = В = С = Е. 24.51. 2) А = 1, собственные векторы —
многочлены степени меньше т; А = 0, собственные векторы — многочлены, делящиеся на po(tY 24.52. 1) diag (1, 0, 0, 0) в базисе 1, С ^2, £3; 2) diag (1, 1, 0, 0) в базисе 1, С t2 + 1, £3 + f; 3) diag (1, 1, 1, 0) в базисе 1, t — 1, (t — I)2, (t — I)3. 24.53. A = 1, собственные векторы — ненулевые симметрические матрицы; А = — 1,
собственные векторы — ненулевые кососимметрические матрицы. Формула А = -(А + АТ) + -(А — Ат) дает искомое разложение.
А = 1, собственные векторы — ненулевые эрмитовы матрицы; А = — 1, собственные векторы — ненулевые косоэрмитовы матрицы.А = 1, собственные векторы — ненулевые эрмитовы матрицы; А = — 1, собственные векторы — ненулевые косоэрмитовы матрицы.1) diag (—4, —4, 4, 4) в базисе1) diag (—4, —4, 4, 4) в базисео о0 1о о0 1; 2) А = 5, собственные матрицы; 2) А = 5, собственные матрицыS2 , £2\ £ =S2 , £2\ £ =е2тгг/3^ в базисее2тгг/3^ в базисе1 О— £ 0 ’1 О— £ 0 ’13о о13о о8-1оо1— £8-1оо1— £000000000013— £10013— £18-1 ’8-1 ’0 01 0 ’0 01 0 ’; 3) diag (s, s,; 3) diag (s, s,0О ’0О ’0 —Е0 —Е0024.56.24.56.1 20 0 ’1 20 0 ’1)о11)о1diag (-1, -1, -2, -2)diag (-1, -1, -2, -2)ввбазисебазисео2о2; 2) А = — 3, собственные матрицы; 2) А = — 3, собственные матрицы1 о2 о1 о2 о1 о1 о1 о1 о3) diag (s, s,3) diag (s, s,s2, e2Y е = е27™/3, в базисеs2, e2Y е = е27™/3, в базисе3 £- 1о о3 £- 1о оо3о3о1о2оо1о2о1о1о11о1о1£ - 1£ - 13030s2-l0s2-l0О о3 £2 — 1 'О о3 £2 — 1 '1) Если А =1) Если А =«11«21«11«21«12«22«12«22ТОТОА^А^о«21— «120о«21— «120«12«22 - «110— «12«12«22 - «110— «12-«210«11 - «22«21-«210«11 - «22«21о-«21«12 оо-«21«12 о. 2) а) А = 0, собственные. 2) а) А = 0, собственные
А = 1, собственные векторы — ненулевые эрмитовы матрицы; А = — 1, собственные векторы — ненулевые косоэрмитовы матрицы.
А = 1, собственные векторы — ненулевые эрмитовы матрицы; А = — 1, собственные векторы — ненулевые косоэрмитовы матрицы.
1) diag (—4, —4, 4, 4) в базисе
1) diag (—4, —4, 4, 4) в базисе
о о
0 1
о о
0 1
; 2) А = 5, собственные матрицы
; 2) А = 5, собственные матрицы
S2 , £2\ £ =
S2 , £2\ £ =
е2тгг/3^ в базисе
е2тгг/3^ в базисе
1 О
— £ 0 ’
1 О
— £ 0 ’
1
3
о о
1
3
о о
8
-1
оо
1
— £
8
-1
оо
1
— £
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
3
— £
1
0
0
1
3
— £
1
8
-1 ’
8
-1 ’
0 0
1 0 ’
0 0
1 0 ’
; 3) diag (s, s,
; 3) diag (s, s,
0
О ’
0
О ’
0 —Е
0 —Е
0
0
24.56.
24.56.
1 2
0 0 ’
1 2
0 0 ’
1)
о
1
1)
о
1
diag (-1, -1, -2, -2)
diag (-1, -1, -2, -2)
в
в
базисе
базисе
о
2
о
2
; 2) А = — 3, собственные матрицы
; 2) А = — 3, собственные матрицы
1 о
2 о
1 о
2 о
1 о
1 о
1 о
1 о
3) diag (s, s,
3) diag (s, s,
s2, e2Y е = е27™/3, в базисе
s2, e2Y е = е27™/3, в базисе
3 £- 1
о о
3 £- 1
о о
о
3
о
3
о
1
о
2
о
о
1
о
2
о
1
о
1
о
1
1
о
1
о
1
£ - 1
£ - 1
3
0
3
0
s2-l
0
s2-l
0
О о
3 £2 — 1 '
О о
3 £2 — 1 '
1) Если А =
1) Если А =
«11
«21
«11
«21
«12
«22
«12
«22
ТО
ТО
А^
А^
о
«21
— «12
0
о
«21
— «12
0
«12
«22 - «11
0
— «12
«12
«22 - «11
0
— «12
-«210
«11 - «22
«21
-«210
«11 - «22
«21
о
-«21
«12 о
о
-«21
«12 о
. 2) а) А = 0, собственные
. 2) а) А = 0, собственные
матрицы Е, Аю6; б) diag (О, в) diag(O, О, —2г, 2г) в базисематрицы Е, Аю6; б) diag (О, в) diag(O, О, —2г, 2г) в базисеО, 2, —2) в базисе Е^ Л22,О, 2, —2) в базисе Е^ Л22,1 ОО 11 ОО 1О -11 оО -11 о—г 11 г—г 11 гЛ, АТ; г 1 1 —г 'Л, АТ; г 1 1 —г '
матрицы Е, Аю6; б) diag (О, в) diag(O, О, —2г, 2г) в базисе
матрицы Е, Аю6; б) diag (О, в) diag(O, О, —2г, 2г) в базисе
О, 2, —2) в базисе Е^ Л22,
О, 2, —2) в базисе Е^ Л22,
1 О
О 1
1 О
О 1
О -1
1 о
О -1
1 о
—г 1
1 г
—г 1
1 г
Л, АТ; г 1 1 —г '
Л, АТ; г 1 1 —г '
24.58. 1) diag (1, 1, —1, — 1) в базисе Е, Л22, —Л5, ^-20; 2) А = 1, собственные матрицы Е, Аюе- 24.59. А = 1; собственные функции: 1) 1, у. у2:, 2) 1, 2ж + у. (2ж + у)2 • Указание: можно использовать результат задачи 23.50. 24.60. 1) А = 0, собственный вектор жп;
А = 0, собственный вектор уА 3) diag (п, п — 2, ..., — п) в базисе жп, хп-1у1 ..., уп-1х1 уп. Указание: можно использовать
задачу 23.51. 24.61. 1) А = 1, собственные векторы — константы; А = 0, собственные векторы ж, ху^ ж2. 2) diag (1, 1, 1, 1, — 1, — 1) в базисе 1, х + у, ху^ ж2 + у2 х — у, х2 — у2. 3) А = 1, собственные векторы 1, ж, ж2, г/2; А = — 1, собственные векторы у, ху. 24.62. 1) diag (2, —2, 0) в базисе ж + ж2, ж — ж2, 3 — 5ж2; 2) diag (2/3, 4/3, —8/15) в базисе 6ж + 1, ж, Зж2 — 1. 24.63. l)diag(Tr/2, — тт/2) в базисе sin ж + cos ж, sin ж — cos ж; 2) diag(?r/2, тг/4, тг/4) в базисе 1, соб2ж, 8ш2ж. 24.64. А = 0, собственные векторы — гармонические
многочлены, т.е. решения уравнения Лапласа Ар = 0. При п = 0 это
многочлены нулевой степени, а при п ^ 1 существуют два линейно
независимых однородных гармонических многочлена степени п;независимых однородных гармонических многочлена степени п;[п/2]«п = Е (-l)kC2kXn 2ky2k, ^[п/2]«п = Е (-l)kC2kXn 2ky2k, ^k=0Указание:k=0Указание:матрицамиматрицами1010k = 0un + ivn = (ж + гу)". 24.65.1 ’ и 0 1‘ 24-72- Г оk = 0un + ivn = (ж + гу)". 24.65.1 ’ и 0 1‘ 24-72- Г оW2]£ (-l)kC^+1xn"2k-1y2k+1W2]£ (-l)kC^+1xn"2k-1y2k+1Преобразования сПреобразования св □С ;2)в □С ;2)А О □В С 'А О □В С '
независимых однородных гармонических многочлена степени п;
независимых однородных гармонических многочлена степени п;
[п/2]
«п = Е (-l)kC2kXn 2ky2k, ^
[п/2]
«п = Е (-l)kC2kXn 2ky2k, ^
k=0
Указание:
k=0
Указание:
матрицами
матрицами
1
0
1
0
k = 0
un + ivn = (ж + гу)". 24.65.
1 ’ и 0 1‘ 24-72- Г о
k = 0
un + ivn = (ж + гу)". 24.65.
1 ’ и 0 1‘ 24-72- Г о
W2]
£ (-l)kC^+1xn"2k-1y2k+1
W2]
£ (-l)kC^+1xn"2k-1y2k+1
Преобразования с
Преобразования с
в □
С ;2)
в □
С ;2)
А О □
В С '
А О □
В С '
матрица А порядка /с. 24.75. Любое подпространство инвариантно.
24.76. Вся плоскость и нулевое подпространство. 24.77. Прямая х = ta и плоскость (х, а) = 0. 24.78. Если матрица преобразования диагональна в базисе ei, ..., еп, то ненулевые инвариантные подпро
странства натянуты на всевозможные системы векторов е^, ..., ец. Число инвариантных подпространств равно 2П. 24.79. Пусть С является прямой суммой собственных подпространств преобразования цг. С = Су ф ... ф Cs. Тогда любое инвариантное подпространство М имеет вид А4 = A4i Ф ... Ф М8^ где Mi — некоторое подпространство в Ci (г = 1, ... , s). 24.80. Подпространства {о} и линейные оболочки векторов ei, ..., е^ для каждого k = 1, ..., п. 24.81. Му + Л42, где Mi — произвольное подпространство в Ci г = 1, 2. 24.82. 2) Указание: использовать задачи 24.2 и 24.26, 4). 24.83. 2) Указание: использовать задачи 24.26, 1) и 23.98. 24.85. Указание: использовать задачу 24.84. 24.86. Очевидные инвариантные подпространства: {о} и все про-
странство. Другие инвариантные подпространства: 1) одномерные с базисными векторами (2, — 1) и (1, — 1) ; 2) одномерное с базисным вектором (—1, 2)5 3) одномерные подпространства с базисными векторами ai = (0, 1, 1)5 а2 = (1, —1, — 1)5 аз = (1, —1, —2) , двумерные: линейные оболочки пар векторов a*, a^ 1 г < к < 3; 4) одномерное инвариантное подпространство Р с базисным вектором (3, 5, 6) , двумерное инвариантное подпространство Q с базисом (2, 1, 0)5 (1, 0, — 1)5 все подпространства Л4 пространства Q; всевозможные суммы Л4 + Р. 5), 6) Собственные подпространства М^ с базисами из векторов ^к + en_fe+i, 1 С к С [(п + 1)/2] и ек - en_kvb 1 < к < [п/2]; все подпространства Р Q пространств М. Af; всевозможные суммы Р + Q. 7) Собственные подпространства М^ N с базисами ei + ... + еп и ex — 62, ..., Ci — еп; все подпространства Р пространства ^; все суммы Р + М. 24.87. (п — 1)-мерные инвариантные подпространства определяются уравнениями: 1) Ж1 — 2^2 + жз = 0 и Ж1 — ж2 + жз = 0; 2) (2а + 3^)ж1 - аж2 + Р$з = 0 (|а| + Д| ^ 0); 3) жх - ж2 + 2ж3 = 0; 4) Ж1 — ж2 = 0; 5) Ж1 + 2ж2 ± (ж3 + 2жД = 0; 6) Ж1 + ж3 ± (ж2 + Ж4) = 0; 7) 2ж1 + ж2 + Зж3 + ж4 - ж5 = 0; 8) жт + ж2 + ... + жп = 0. Указание: использовать результаты задачи 24.84 или 24.85, 2). 24.88. 2) Базис в Г: (1, -1, -1, 0)^ (0, 0, 0, 1)Т
24.89.
1) Указание: если ei,
..., ек
базис в Ск (к = 1
ТО 61, .
... , еп — искомый базис.
24.90.
Линейные оболочки пар
векторов: 1) | 1 0 2 |5 | 0 1 2
Г; 2) || 1
0 1 0 ||т, || 0 1 1
0 1||т
и
II 1 0 -
-1 0 ||Т, || 0 1 0 -1 II7; 3)
II 1 "V2
1 о f, || V2
L 0 1||
Т
и II 1 V2 1 0 II, || -V2 -1
0 1 |Г
1) все пространство;
1
0 2
5) II-
1 1 1 0 ||^ || 0 0 0 1 ||т
24.99.
1) S =0
1 2
2
2 -1
I 10
0 2
0 0
А* =
4 5 1)п 1
-5 4 0 ; 2) s = пап
.01
I -10
’ л ~0 0
0 0
2 -2
7
0 0 00 1
.0 -1
0 0
22
1 V2 1 -V2
-V5 -1
00
3) S
_ V2 -1 V2 -1
, А’
_10
00
10 10
“00 х
/2 -1
0101
00
10
10 0 20
-9 0 С
)-3 -3
-1 0
4) S =
0-1021
" 0-210’0
0 0 С
0 0 4
) ’4 3
1 0
1 0
7
02 0 10
0 1 с
)10
0 1
10 0 0
24.101.24.101.Искомый базис задан матрицей S.Искомый базис задан матрицей S.0-100
24.101.
24.101.
Искомый базис задан матрицей S.
Искомый базис задан матрицей S.
00 0 1
00-10
Решение не единственно. 1)Решение не единственно. 1)S =S =11О-120О -3 111О-120О -3 1;3);3)0 -25О 5О О0 -25О 5О О-1 -1 -1о -1 100-1-1 -1 -1о -1 100-1ооО 1 о 1 5 О1 4 1О 1 о 1 5 О1 4 11 1о о-1 о1 1о о-1 о;2);2)ОООО 0 1ООООООО 0 1ООО. 4) Матрица к. 4) Матрица к
Решение не единственно. 1)
Решение не единственно. 1)
S =
S =
11О
-120
О -3 1
11О
-120
О -3 1
;3)
;3)
0 -25
О 5
О О
0 -25
О 5
О О
-1 -1 -1
о -1 1
00-1
-1 -1 -1
о -1 1
00-1
о
о
О 1 о 1 5 О
1 4 1
О 1 о 1 5 О
1 4 1
1 1
о о
-1 о
1 1
о о
-1 о
;2)
;2)
ООО
О 0 1
ООО
ООО
О 0 1
ООО
. 4) Матрица к
. 4) Матрица к
треугольному виду над полем действительных чисел не приводится. Указание: применить задачу 24.100. Можно использовать результаты задачи 24.87. 24.102. 2) Если ki^ kr — порядки диагональных блоков, то dim £3 = k± + ... + kj (j = 1, ... , r). 24.104. 1) A = 0, собственные векторы — константы; 2) A = 0, at (а ф 0); 3) A& = — A;2, a cos kt (а ф 0), k = 0,1, ..., n; 4) Xk = —k^ b sin kt (5^0), k = 0, 1, ... , n. 24.105. Многочлен степени не выше п. 24.107. См. ответ к задаче 24.81, где £х — подпространство многочленов степени не выше т — 1, £2 — подпространство многочленов, делящихся на Po(t\ У к а з а н и е: преобразование является проектированием на Ci параллельно £2. 24.109. См. ответ к задаче 24.81, где £х — подпространство симметрических матриц, £2 — подпро
странство кососимметрических матриц. 24.110. Указание: £к есть множество матриц, у которых все столбцы, кроме /с-го, нулевые. 24.112. 2) А^ + Aj, 1 < г < j < п. 24.114. При а = тгк (к — целое) преобразования 1), 2) тождественные, А = 1, все нену- 7Г
левые матрицы порядка 2 собственные. При а = — + тхк имеется
а b b —аа b b —асобственное значение А = 1 с собственной матрицей Е для 1) и А20 для 2) и собственное значение А = — 1 с собственными матрицами
а b b —а
а b b —а
, |а| + \Ь\ ^ 0, для обоих преобразований. При а ф ък/2
собственное значение А = 1 с собственной матрицей Е для 1) и А20 для 2), а также собственные значения А = е±2г“ с собственными
матрицамиматрицами1 ЕгEi -11 ЕгEi -1соответственно для обоих преобразовасоответственно для обоих преобразова
матрицами
матрицами
1 Ег
Ei -1
1 Ег
Ei -1
соответственно для обоих преобразова
соответственно для обоих преобразова
ний. 24.115.ний. 24.115.Например, diag (А, ..., A, J^_m+i(A), ц, ..., ц),
ний. 24.115.
ний. 24.115.
т—1 п—к
при А ^ ц. Число клеток равно т, сумма их порядков равна к. 24.116. 1) (t - l)(t + 9); 2) (t - 2)2; 3) Щ — 3 — д/2); 4) t(t - 2г); 5) (t - г)2; 6) t(t - 2); 7) t2; 8) Г. 24.117. 1) t - А, если A = AS;
(t - A)n, если A = J„(X\ 24.118. 1) 1. 24.124. Пусть A = diag (SfO), 0). Собственное подпространство (A = 0) двумерно, и к вектору h = || 0 0 1 || не существует присоединенного, так как система Ах = h несовместна. 24.125. 1) Ai = 0, || 3 1 ||Т
и А2 = 7, || 1 -2 ||Т; 2) Ai = 1, || 2 -1 ||7 и А2 = 2, || 1 -1 ||7; 3) А = 0, || 1 О f, || О if (все пространство — корневое); 4) А = О, || 1 О О f, || 0 1 О f, || 0 0 1 \\Т (все пространство — корневое); 5) Ai = 0, || 1 1 -1 ||7 и А2 = 2, || 1 2 О ||7, || 3 0 2 ||7 (собственные пространства совпадают с корневыми); 6) А = 0, || 1 О О f, || 0 1 О f, || 0 0 1 \\Т (все пространство — корневое); 7) Ai = — 1, II О 1 -2 ||7, || 3 0 2 ||т И А2 = О, II 3 3 -4 ||7; 8) Ai = -1, || 2 0 1 ||Т и А2 = 2, || 1 1 О ||7, || 0 0 1 ||7. 24.126. Указывается жорданова форма и соответствующий ей базис. 1) J2(0), || 1 1 f, II 1 О ||Т; 2) J2(0), || 3 -3 ||7, || 0 1 f; 3) J2(0), || 2 6 f, || 0 -1 f; 4) diag (J2(0), 0), || 2 2 -2 ||7, || -1 О О ||7, || 3 0 2 ||7; 5) J3(0), || 2 -1 0 f, || -1 2 -1 ||7, ЦО-11 f; 6) J3(0), || 2 -1 -1 f, || 1 0 -1 f, || 0 0 1 f; 7) diag (J2(0), J2(0)), || 1 0 0 1 f, II 1 О О О ||7, || 0 1 1 О ||7, || 0 1 0 0 f; 8) diag (J3(0), 0), || 1 1 1 1 |Г, || 1 1 0 0 f, || 1 0 0 0 ||7, || 1 0 0 1 f; 9) J4(0), || 16 16 16 16 ||7, || 8 8 0 0 ||7, || 3 1 1 -1 ||7, || 1 0 0 0 ||T 24.127. 1) J2(-3), || 1 -2 ||T; ||0,-l/2||7; 2) diag(O, 169), II 12 "5 |Г, || 12 5 f; 3) J2(-2), || 3 6 f; || 1 1 ||7; 4) J2(5), || -2 -6 f, || 0 1 ||T; 5) diag (2, 2, 0), || 2 1 0 ||7, || 3 0 2 f, ||1 1 -if; 6) diag (J2(—1), -1), ||1 -2 if, || -1 0 0Ц7, || 2 -1 0 f; 7) diag(l, J2(l)), || 5 1 0 f, || 1 -3 4 f, || 1 0 0 f; 8) diag(O, J2(0)), || 0 1 0 f, || 16 -4 -8 f, || 1 0 0 f; 9) diag(O, ^2(1)), II 1 -1 1 f, II 0 1 -1 f, II 1 0 1 f; 10) diag(J2(-3), 2), || 5 0 -10 f, || -17 11 0 ||T, || 0 1 -1 ||7; 11) J3(2), || 1 2 1 ||7, ||1 1 0||7, || 0 -1 0 ||T; 12) J3(-l), || 2 -1 -1 ||T, ||-1 1 0||7, ||-10 2 ||7, 13) diag (J2(l), -1), Ц 2 2 2 Ц7, || 0 0 1 f, || 2 0 1 ||7; 14) diag (2, 2, 2, -2), || 1 1 1 -1 f, || 1 1 -1 1 f, || 1 -1 1 1 ||7, || -1 1 1 1 ||7; 15) diag(O, J2(0), 2), || 0 1 1 0 f, || 0 2 -2 -4 ||7, || 1 0 1 0 ||7, || 1 0 2 1 ||7; 16) diag (J3(l), 1), || 0 2 0 0 ||7, || -2 3-11 ||7, || 0 0 1 0 ||7, || 1 -1 0 0 ||7; 17) diag(J2(l), 1, 1), || -1-111 ||7, || 0 1 0 0 ||7, || 1 0 1 0 ||7, Ц 0 7 0 -1 Ц7; 18) diag (J2(l), J2(-l)), || 2 -12-1 ||7, || О 1 2 0 ||7, || 2-1-2 1 ||7, || 1 -1 1 0 ||7. 24.128. К вещественной жордановой форме приводится только матрица 3). 1) diag(s, s), || 1 1 — s ||Т, || 1 1 — s ||Т, s = е-27гг/3; 2) diag((4 + 3z)/5, (4-3z)/5), ||1 if, ||1-г|Г; 3) J2(3), || 1 2 ||T, || 0 -1 f;
4) diag (1, г, -г), || О 1 1 |Ц, || 2 2 3 + г ||Г, || 2 2 3 - г ||Т; 5) diag (2, —1 + г, —1-г), ||1 О —1|Ц, || 2 2 —5 — г |Ц, || 2 2 -5 + г||Т; 6) diag (2, -4, 1 + г, 1-г), || -2 -1 1 1 ||Т, || 1 -1 1 -1 f, || 3 г -1 -г ||Т, || 3 г -1 г f; 7) diag Д2(г), Л(Ч))> || 1 -1 -1 -г||Т, || О 1 —г Зг - 3 ||Т, || 1 -1 -1 if, || О 1 г —3 — Зг ||Т. 24.129. 1) diag (2г, 0), || 1 г ||Т, || 1 -if; 2) diag (е + i, е — г), || 1 г ||Т, || г 1 ЦУ 3) diag (1 + г, 1 — г), || 1 — 1 ||Т, || 1 1 ||Т, г = cos (—2ттг/3) + г sin (—2ттг/3); 4) 72(г), || 1 г ||Т, || О 1 ||Т 24.130. 1) При т < п матрица содержит единичную подматрицу порядка тг — m в правом верх
нем углу, остальные ее элементы равны нулю, а при т
ООматрицаматрицанулевая. 2)нулевая. 2)3)3)/(А)О/(А)О/'(А) Г(А)/2! .../'(А) Г(А)/2! ...о оо оО О /W(A)/n!О О /W(A)/n!/(А)/'(А) ... /^(А)/^-!)!/(А)/'(А) ... /^(А)/^-!)!ООООООООО оО о/'(А) /(А)/'(А) /(А)о оо о. 24.131. 1) Jn(A2). 24.131. 1) Jn(A2)при А Д 0. При А = О две клетки порядка К если п = 2Д и порядков к и к + 1, если п = 2к + 1. Указание: если ei, ..., еп жорданова цепочка y?(e^+i) = (г = 1, ..., п — 1), то относительно у)2 она рас-при А Д 0. При А = О две клетки порядка К если п = 2Д и порядков к и к + 1, если п = 2к + 1. Указание: если ei, ..., еп жорданова цепочка y?(e^+i) = (г = 1, ..., п — 1), то относительно у)2 она рас-
О
О
матрица
матрица
нулевая. 2)
нулевая. 2)
3)
3)
/(А)О
/(А)О
/'(А) Г(А)/2! ...
/'(А) Г(А)/2! ...
о о
о о
О О /W(A)/n!
О О /W(A)/n!
/(А)/'(А) ... /^(А)/^-!)!
/(А)/'(А) ... /^(А)/^-!)!
ОО
ОО
ОО
ОО
О о
О о
/'(А) /(А)
/'(А) /(А)
о о
о о
. 24.131. 1) Jn(A2)
. 24.131. 1) Jn(A2)
при А Д 0. При А = О две клетки порядка К если п = 2Д и порядков к и к + 1, если п = 2к + 1. Указание: если ei, ..., еп жорданова цепочка y?(e^+i) = (г = 1, ..., п — 1), то относительно у)2 она рас-
при А Д 0. При А = О две клетки порядка К если п = 2Д и порядков к и к + 1, если п = 2к + 1. Указание: если ei, ..., еп жорданова цепочка y?(e^+i) = (г = 1, ..., п — 1), то относительно у)2 она рас-
падается на две цепочки: еп, еп_2, ... и en_i, еп_3, ... из векторов, номера которых имеют одну четность. 2) Jn(Xm) при А ^ 0. При А = О относительно у)2 образуются т клеток, соответствующих цепочкам
векторов, номера которых имеют одинаковые остатки при делении на т. 3) Jn(А-1). 24.132. 1) Приводится к диагональному виду. 2) Для каждого характеристического числа имеется по одной жордановой клетке. 24.134. 1) Л+1(0); 2) Jn(l); 3) diag (s, ..., s^1), где е = cos (тг/п) + г sin (тг/п); 4) diag (0, ..., n); 5) 2г diag (cos a, ... ..., cosna), где a = тгДп + 1); 6) Jn(0); 7) diag (n — 1, n — 3, ..., 1 — n). 24.135. 1) diag(J2(l), J2(l)); 2) diag(J3(l), 1); 3) diag(J2(l), 1, 1). Указание: A258 = (A469 — S)2 = (X но Rg A458 = 2, a Rg (A469 - E) = 1. (A46o - ЕУ Д 0, (A46o - E)3 = O. 24.136. Характеристический многочлен (A — 3)2(A + 2); для A22i минимальный многочлен (A — 3)(A + 2), жорданова форма diag (3, 3, —2); для — А27з минимальный многочлен (А — 3)2(А + 2), жорданова форма diag(J2(3), —2). 24.137. diag (J3(—1), 2, 2).
1 (I!)"1 (2!)"1 ((«-I)!)’1
01(I!)”1 (2!)"1 ... ((п-2)!)-1
24.138. 1)
001(I!)”1 ... ((п-3)!)”1
; 2)
2 -1
1 0
0000...(I!)"1
0000...1
А77. 24.141. Указание: использовать утверждение 2) задачи 24.139. 24.142. Если Ад — наименьшее по модулю ненулевое собственное значение у?, то 0 < Sg < |Ад|. Если все собственные значения равны нулю, то годится любое Sg > 0. 24.143. Указание: если одно из преобразований невырождено, воспользоваться утверждением задачи 23.92. Если оба вырождены, то использовать утверждение задачи 24.142. В этом случае преобразования ф + ег и ф перестановочны, и имеют одинаковые характеристические многочлены при любом £ Е (0, Sg). Переходя к пределу при Е -^ +0, получаем требуемое. 24.144. Указание: применить утверждение задачи 24.141. 24.145. Указание: доказать, что Ф и ф имеют общий собственный базис. 24.146. Указание: применить утверждения задач 24.144 и 24.145. 24.147. Пусть (ДеД = о. Тогда ci собственный вектор для ф с некоторым собственным значением А. Векторы 62, ..., еп, такие, что ф(ек^_ф) = ек) (А? = 1, ...,n — 1), линейно независимы, причем ф(е^ = (А — к + 1фе^ (к = 1, ... , п). 24.148. Пусть Ад — максимальное по модулю собственное значение ф-1ф. Тогда £ = |Ад |—1.
1) Нет; 2) нет; 3) нет; 4) да; 5) нет. 25.2. 1) а) Да; б) нет; 2) нет; 3) нет; 4)да; 5) да. 25.4. 2) Стандартный базис ортонормирован. 25.5. 1) Нет; 2) нет; 3)нет. 25.6. Р должна быть положительно определенной (задача 25.30). Указание: составить скалярные произведения матриц стандартного базиса.
\рк\ = ДР^^Р- 25.14. У к а з а н и е: используйте результат задачи 25.13. 25.15. 1) cos^i = 761/5; COS ф2 = Т35/10; cos<^3 = 735/(2721); 2) У273; ДД; 4/7165. 25.20. 1) 16; 2) 0;
-12; 4) 7; 5) 3. 25.21. cos а = 1/Дг. 25.22.1) 2, 794,
8/794; 2) 766, 73, 0; 3) 722, 722, -6/11; 4) 73, 758, 7/7174;
2, 7П, 3/27П. 25.23. Указание: вычислите |е* + еД.
.24. Каждый базис с указанной матрицей Грама получается
из одного такого базиса некоторым ортогональным преобразованием плоскости. Обратите внимание, что для того, чтобы сделать
рисунок, необходимо выбрать единицу масштаба. 25.25.1) 0;
Нт)1 —
10; 3) 8; 4) 0; 5) пр + цф, где Р =' . 25.26. 1) тг/4;
/ 1 —\ 2 lid Z\
Ы2 = v-^+^3- -Г-^)' 25-28- Г Н < 1; 2) а = 2тгА;
(k G N); 3) ни при каком а. 25.29. Указ
зуйте связь ] один из них использовать
использовать ] 2) нет; 3) да; веты можно
матриц Грама двух базисов для
— ортонормированный. результат задачи 25.29.
неравенство
25.36. 1)
25.38.
25.31.
25.33.
а н и е: исполь- случая, когда Указание: Указание:
Коши-Буняковского.
25.35.
1) Да;
4) нет; 5) да. Указание: утвердительные от-
3
5 О
О
5
9 О О
обосновать,
написав
Еп2.
О О
3 5
О О
5 9
25.39.
;2)
Г"1
1
-1 О О
-1
2 О
О
О о
1 -1
соответствующие
о о
-1
2
. 25.37.
2О2/3
матрицы.
О 2/3 2/3 0.
О 2/5
а з
а н
и е:
помимо базиса
какой-нибудь ортонормированный базис
е, введите
и используйте матрицы
перехода от него к базисам е и е*. (См. также задачу 25.31). 25.41. 2) Нет. У к а з а н и е: выразите С через матрицы, состоящие из координатных столбцов векторов соответствующих систем
в некотором ортонормированном базисе. 25.43. яд, ... , х^. 25.44. Указание: используйте результат задачи 25.43. 25.45. 2), 4), 5), 6), 7), 10) 11), 12), 13), 14) — да, остальные — нет. 24.46. 1) Да; 2) да; 3) в общем случае, нет; 4) да; 5) да: поворот вокруг побочной диагонали можно осуществить так: переписать все строки и все столбцы в обратном порядке, а затем транспонировать (aij -^ an_j+i?n_^+i). 6) Только если число равно 1 или — 1. 7) Нет. 25.47. 1) Нет; 2) да; 3) да; 4) только при |а| = 1; 5) да. 25.48. Все пары, которые получаются из Е^ — А53 умножением обеих матриц на одну и ту же ортогональную матрицу. 25.49. Ортогональная
матрица должна отличаться от антисимметричной матрицы на слагаемое вида "^Е. Существуют при п = 2 и 4, а при п = 3 — нет.
25.50. 1) Нет; 2) да. 25.51. Да. Рассмотрим ортонормированный базис е и вектор, имеющий в этом базисе компоненты, равные элементам строки. Дополним этот вектор до ортонормированного базиса е'. Если S — матрица перехода от е к е', то ST — искомая
матрица. 25.52.
Произведение матрицы
1 0
0 Q
где Q — произ
вольная ортогональная матрица третьего порядка, на одну из таких матриц, например, А^з- 25.53. 1) Нет. 25.54. Диагональные матрицы с элементами +1 или — 1 на диагонали. 25.55. Остальные
элементы строк и столбцов, пересекающих подматрицу, равны нулю.
25.56.1/v^. 25.57. Указание: если А — ортогональная
матрица, то матрица
верьте это. 25.58. 2)
1
V2
AI-A
А А
Необходимо и
оболочки обеих систем совпадали.
также ортогональная. Продостаточно, чтобы линейные
У к а з а н и е: воспользуй-
тесь результатом задачи 25.55. 26.3. 1) £; 5) {о}. 26.6. Нет.
26.7. 1)
4) ±^= базиса в
± 2
3
11-15
1 2
3 “1
. 2) ±2=|| -1 О 1 of. 3) ±
-1 2 3
7 3 f. 26.8. 1) Координатные столбцы векторов
базисные столбцы матрицы АТ. 2) FTv\
= о, где
F — фундаментальная матрица системы АЕ, = о. 26.9. 1) Координатные столбцы векторов базиса в Е^ — фундаментальная система решений системы Лтц = о. 2) Лтц = о. 26.11. 1) Координаты векторов базиса в £ — базисные столбцы матрицы Г’1^, иначе — фундаментальная система решений системы из п. 2. 2) ГЧт) = о, где F — фундаментальная матрица системы
АЕ, = о.
26.12. 1) Координатные столбцы векторов базиса в Е
составляют матрицу Г AF, где F — фундаментальная матрица
системы Ат Е, = о, иначе —
стемы из и. 2. 2) АтГг) =
о.
фундаментальная система решений си-
26.13. 1) а) || 3 1 2 ||; б) || 1 -3 О ||Т,
б)
б)
цы
2)
5)
8)
1)
5)
1
-1
-5
1
1
1
II 8 1 0 —9 f,
векторов
базиса
1
в
-7
О 1 12 f;4) а)
0 2 1 |Ц.
3 -15
3 -6
-1 3
2 9
9 1 -3 2
2 -3 1 -4
26.14. Координатные столб-
Е^ составляют матрицу 1) || 3 2 1 ||Т;
1
3
2
2
2
1
0
2) а)
4) а)
1 -1
2
2
I 3
-3
-3
-5
1
3
1
1
1
1
1
1
. -1
5
-11
б) || 3
; з)
; 6)
7
-15
-6
-2
-7
-3
0
1
^410 7 б)
дт
^164’
-3
1
-1
-1
1
2
3-12
1 0
0 1
О 2
-2 О
з 8 ||; 2)
; б)
о
2
2
1
1
1
-1
-5
-1
. -1
. 1
> о
3 5
-1
1 0
; 4)
1
-2
3
; 7)
1 -5 -6
5
о
2
1 -4
-1
1
1
3
26.15. Система уравнений имеет
1 -10
О 2
26.16.
;б)
-9
3
1)
0
1
2 112
0 10 1
; з)
-3
о
1
11
3
-4
-2
матрицу:
2
0
3
4
3
2
1 о
-2 1
-3 О
-4 О
О 1 О
О О
1
4)
дт •
^151 ?
б)
1
О
4
1
-5
-2 ’
О
1
; б)
1
о
26.17. 1) а)
-5 О
О 1
1
О
1
-1
-8
-1
0
3
б)
110
0 1 1
;4) а)
0 11 -1 Г 0 10 1
10-20’ ^ 2 0 11
26.18. 1) Про
странство скалярных матриц. 2) Пространство нижних тре
угольных матриц с нулями на диагонали. 26.19. Подпространство многочленов нечетной степени. 26.22.1) о, ж;
ж, о. 26.23. £,' = А(АТА')"1АТЕ„ ^' = (Е - А^АТАухАТ^. 26.24.£/ = (£- АТ(ААТ)"1А)Е„ Е," = АТ(ААТ)"1АЕ,.
Е,1 = А(АТГА)~1АТГЕ,, Е," = (Е - А(АТГА)-1АТГ)Е,.
e,'=(s —г-1лт(лг-1лт)-1л)^, £"=r-MT^r-4T)-Mt. 26.27. 1) £,' = || 2 1 1 f, Е," = || 1 -1 -1 ||f 2) £ = || -3 2 -2 ||f Е,” = || 4 1 -5 ||f 3) £= || 4 2 2 4 f, £" = || 1 1 5 -4 ||f 4) Е,' = || 1 -2 3-1 f, Е,"=|| 1 1 0 -1f;5) £,' =|| 50 34 f,
Е," = || 1 0 1 -2||f 6) £,'=|| 3 3 -2 1||fе" = ||—11 12 ||f
^ = || 5 3 -3 -5 f, £" = || 1 1 1 1 ||f 8) V = || -6 3 2 -1 ||f Е,” = || -1 -2 12 ||f 9)Е:= -^at,Е,"= Е, -^;10)Е,' =
-^ai + ^а2, Е? = Е-Е>, 11) Е:=-|аъЕ," = Е- Е'.
1) Е' = || -1 0 1 f, Е" = II 2 2 2 ||f 2) £,' = || 4 4 4 f, Е" = || 0 -2 2 f; 3) £,' = || 2 1 0 -1 -2 f, £," = || 3 3 3 3 3 f; 4) Е' = || 3 1 -1 2 f, Е” = || 4 -6 10 2 f; 5) £' = || -3 3 1 1 ||f Е" = || 1 1 1 -1 |Г; 6) Е' = || 2 -6 4 -2 ||f Е" = || 6 1 -1 1 f. 26.29. 1) || -3 -2 -1 ||f 2) || 4 6 2 f; 3) || -1 -2 -3 -4 -5 ||f 4) || -1 7 -11 0 f; 5) || -4 2 0 2 ||f 6) || -4 -7 5 -3 f. 26.30. 1) 15£ + t + 1; 2) -15t2 - 8t + 4. 26.31. 1) 8/(32 • 5);
31
D Q - 4 4 , S
12
; 2) Q — -^320?
11
2V2 2V10 11
2V2 2VW ’
0 Vw
5) Q = Л445,
10-3V3
4V60
2-2V60’
30V3
412
"21V5VI06
221
"21V5VI06
0
^1Vw6
0 0 4=
V106
.21
15 V5 V70
>12
15 V5 V70
=o-4 ’
15VW
L 0 4
_ Vw 3VI6
"0
VIo Vw iii
V2V3V6
s =о4=—; з) Q
V3 V6
00 4
ч/б
4) Q = ^468, s =
0
3Vw
1
Vw
= Л318, s =0
0
- -12-4
2
°|-12
00--1’
2
°°°^
; 6) Q = 4=
V30
7) Q =V
]
; 8) Q =^
VW 22VW
01 40
Q _22
2 2VW
00 0 L_
Vw
i -Ve -V3
S = —= 0 V6 -V3 ;
V30r-
о о V3
121
V21 V5 VW6
12
s =0—
V5 V106
00 4=
Vw6
S =S =2)2)4)4)1 /15О1 /15ООО2/51/5О2/51/5О1 /О 111 /О 1126.44.1) |||26.44.1) |||11551 /14 1 /б1 /21 /14 1 /б1 /21 21 21 /12 11 /12 126.45. ца Р2) = QУказание:2 Q1= R2R;126.46.1)Q =Лет, R =R = /193 ; з) Q = л320, J/10 у/0 V"10R =0 2V2 А/2 ; 5) Q =00 v"10/10/10/10 /100221R =0021'000 /102> 520-31 ’3> 126.45. ца Р2) = QУказание:2 Q1= R2R;126.46.1)Q =Лет, R =R = /193 ; з) Q = л320, J/10 у/0 V"10R =0 2V2 А/2 ; 5) Q =00 v"10/10/10/10 /100221R =0021'000 /102> 520-31 ’3> 14)4)II -3 2 1 ||,II -3 2 1 ||,12121 /п1 /п|| 1 -2 3 ||Т,-L""V42|| 2 О -1 ||Г, А= || V84и 1 -11 II, V22 если Q1R1 = Q2R2, и ортогональная и|| 1 -2 3 ||Т,-L""V42|| 2 О -1 ||Г, А= || V84и 1 -11 II, V22 если Q1R1 = Q2R2, и ортогональная и|| -5 4 О f;|| -5 4 О f;-5 7 -8 ||Т;-5 7 -8 ||Т;11-19 8 3 ||.11-19 8 3 ||.то матри- треугольная.то матри- треугольная./2 2/2О 4/2/2= О О/2 2/2О 4/2/2= О О26.48.26.48.; 2) Q =; 2) Q =2 О2 ООО2 О о о2 О о оV2/V3V2/V34 2 О О4 2 О Оо4 2 Оо4 2 ОО о 42О о 42113 13 1; 4) Q — Л318,; 4) Q — Л318,; 6) Q — Л445,; 6) Q — Л445,1)1)1/V2 -5/V2 .1/V2 -5/V2 .ОО221 О О О1 О О ОО 1 О ОО 1 О ОО-11 оО-11 о-1 о о1-1 о о14)4)указание: составить систему уравнений дляуказание: составить систему уравнений для2 О О о2 О О оо 2 О оо 2 О оо 22 Оо 22 Оэлементовэлементов4ОО ’2ис4ОО ’2ис
S =
S =
2)
2)
4)
4)
1 /15
О
1 /15
О
О
О
2
/5
1
/5
О
2
/5
1
/5
О
1 /О 1
1
1 /О 1
1
26.44.1) |||
26.44.1) |||
1
1
5
5
1 /14 1 /б
1 /2
1 /14 1 /б
1 /2
1 2
1 2
1 /12 1
1 /12 1
26.45. ца Р
2) = Q
Указание:
2 Q1
= R2R;1
26.46.
1)
Q =
Лет, R =
R = /1
9
3 ; з) Q = л320, J
/10 у
/0 V
"10
R =
0 2V2 А
/2 ; 5) Q =
0
0 v
"10
/10
/10
/10 /10
0
2
21
R =
0
0
21'
0
0
0 /10
2> 5
2
0
-3
1 ’
3> 1
26.45. ца Р
2) = Q
Указание:
2 Q1
= R2R;1
26.46.
1)
Q =
Лет, R =
R = /1
9
3 ; з) Q = л320, J
/10 у
/0 V
"10
R =
0 2V2 А
/2 ; 5) Q =
0
0 v
"10
/10
/10
/10 /10
0
2
21
R =
0
0
21'
0
0
0 /10
2> 5
2
0
-3
1 ’
3> 1
4)
4)
II -3 2 1 ||,
II -3 2 1 ||,
1
2
1
2
1 /п
1 /п
|| 1 -2 3 ||Т,-L
""V42
|| 2 О -1 ||Г, А= || V84
и 1 -11 II, V22 если Q1R1 = Q2R2, и ортогональная и
|| 1 -2 3 ||Т,-L
""V42
|| 2 О -1 ||Г, А= || V84
и 1 -11 II, V22 если Q1R1 = Q2R2, и ортогональная и
|| -5 4 О f;
|| -5 4 О f;
-5 7 -8 ||Т;
-5 7 -8 ||Т;
11-19 8 3 ||.
11-19 8 3 ||.
то матри- треугольная.
то матри- треугольная.
/2 2/2
О 4/2
/2
= О О
/2 2/2
О 4/2
/2
= О О
26.48.
26.48.
; 2) Q =
; 2) Q =
2 О
2 О
О
О
2 О о о
2 О о о
V2/V3
V2/V3
4 2 О О
4 2 О О
о
4 2 О
о
4 2 О
О о 4
2
О о 4
2
1
1
3 1
3 1
; 4) Q — Л318,
; 4) Q — Л318,
; 6) Q — Л445,
; 6) Q — Л445,
1)
1)
1/V2 -5/V2 .
1/V2 -5/V2 .
О
О
2
2
1 О О О
1 О О О
О 1 О О
О 1 О О
О
-1
1 о
О
-1
1 о
-1 о о
1
-1 о о
1
4)
4)
указание: составить систему уравнений для
указание: составить систему уравнений для
2 О О о
2 О О о
о 2 О о
о 2 О о
о 2
2 О
о 2
2 О
элементов
элементов
4
О
О ’
2
ис
4
О
О ’
2
ис
комой треугольной матрицы (см. задачу 26.47).26.50.1) 1;
V32; 3) V21; 4) 8х/П; 5) 2; 6) V55; 7) 1. 26.51. 1) V14; 2) V107; 3) 4х/П0.26.53.1) Указание: воспользовать
ся результатом задачи 26.52. 2) Либо ^ aijaik = 0 при j / К г=1
либо один из столбцов матрицы — нулевой. 3) 4 ^ 200. Угол а между векторами || 1 3 || и || 2 4 || при стандартном скалярном произведении в R2 мал: cos а = 14/10/2 ^ 0.98995.
.54. 1) Указание: перейти к базису ei, ..., е^, /'+1, ..., е^
и использовать результат задачи 14.39. 2) Указание: если
5 0 0 04 0 0 010 0 03 0 0 05 0 0 04 0 0 010 0 03 0 0 0а", ... , ар — ортогональные составляющие соответствующих векторов, то Г(й1, ... , ар) = Г(а'1, ... , а’^ + Г(а", ... , а’^. Можно считать, что а'^ ... , ар линейно независимы, иначе результат очевиден. Пусть S — матрица перехода от а'^ ... , ар к тому базису, в котором квадратичная форма с матрицей Г(а^ ... , ар) имеет канонический вид. Умножим обе части равенства справа на S, а слева на ST и воспользуемся результатом задачи 32.20. 1). 26.58. 1) тг/3; 2) тг/6; 3) тг/З. 26.59. у имеет координатный столбец 1) || -1 1 f; 2) || 5 4 7 6 f; 3) || -3 1 f; 4) || 0 0 1 -1 f. 26.60. у имеет координатный столбец 1) || —3 —2 — 1 || ; 2) || 4 6 2 f; 3) || -1 -2 -3 -4 -5 f; 4) || -1 7 -11 0 f; 5) || -4 2 0 2 f; 6) || -4 -7 5 -3 f. 26.61. |ж| = |у|. Г перпендикулярно вектору а = х — у. 26.62. С перпендикулярно вектору 1) || -1 1 f; 2) ЦО-11 -2 f; 3) || -1 5 3 -3 f; 4) || 2 -2 2 2 f. 26.63. 1) || 0 9 4 ||; 2) || 2 0 -2 ||; 3) || 0 1 -2 ||. 26.64. 1) || 2 0 2 f; 2) || 1 1 0 f; 3) || 1 1 1 f. 26.65. 1) Е-
5 0 0 0
4 0 0 0
10 0 0
3 0 0 0
5 0 0 0
4 0 0 0
10 0 0
3 0 0 0
26.66. (9 - 15t2)/8.26.66. (9 - 15t2)/8.Cij = 1, (г, j = 1, ... , тг); 3)
26.66. (9 - 15t2)/8.
26.66. (9 - 15t2)/8.
Будет произведена та же перестановка базисных векторов.
1) || 1/2 0 f, || 0 1/3 f; 2) || -1/3 2/3 f, || 2/3 -1/3 f;
11-5 3||т, || 2 -if; 4) || 0 0 if, || 0 1 -if, || 1 -1 0||. 26.69. 1) ||-12 7 f, || 7 —4 f; 2) || 13/2 -2 f, || 7/2 -if;
|| 5/4 -3/2 3/4 f, || -3/4 3/2 -5/4 f, || 1/4 -1/2 3/4 f;
|| 1 0 0 f, II 3 3 1 f, || -3 -1 0 f. 26.70. (9 - 15t2)/8, 3t/2, (-15 + 45i2)/8. 26.73. Матрица Грама базиса е*. Указание:
использовать задачу 26.72. 26.74. reSFf 1. Указание: использовать задачу 26.73. 27.1. 1) Нет; 2) да; 3) нет; 4) нет. 27.2. 3) Нет. 27.9. Не (ж, у) = 0. 27.10. 1) 0; 2) 2; 3) Юг; 4) —г; 5) 6г; 6) 32 - 19г; 7) 4 + 2г. 27.11. 1) V2; 2) V2; 3) УЮ; 4) V3; 5) V8; 6) V33; 7) х/П. 27.12. 1) -Зг; 2) 1 + 7г; 3) 58 - 16г; 4) 6 + Зг; 5) 2 + 13г; 6) 4 - 2г; 7) 9г; 8) 16 + 4г. 27.13. 1) 7б; 2) х/П; 3) х/29; 4) х/5; 5) л/15; 6) х/б; 7) х/14; 8) х/14. 27.16. Эрмитовы Лзб, Л§7, Л юз, Л377, Л492. Из НИХ Л юз И Л377 не могут служить
матрицами Грама. 27.18. 1)Да; при а < 0 — нет; 2)да; да; 3) нет; 4) да; да. 27.21. Л юз- 27.23. Диагональные матрицы, с числами, по модулю равными 1, на диагонали. 27.24. 1) Нет; 2) да; 3) да. Указание: любой единичный вектор можно дополнить до ортонормированного базиса. 27.26. 1) || 1 — г ||Т; 2) || 1 —г 1 + г ||Г, || г 2 - г -if; 3) || 1-г 2 0 f, || 0 г if;
||1 -г if, pl Of; 5) || x/3 - V4 V4 - V2 V2 - ^ f. 27.27. 1) P 1 f; 2) || 1 -г 0 f, || 0 i - 1 1 f; 3) || -i 1 0 f;
4) II
-3 0 1 f; 5) || 1 г -2 f. 27.28.
1
2
1
4 Уб
1У14
1• ;2)
1 — г 77
1 -3г
—3 — 2г ; 4)
3> 5
1
3 + г -2.
О
5 + Зг5г
5-Зг
1
’ ЗУ7
; 4)
2) 2AAT - S.
1
/6
1
/3
2-г
г
1
г ,
1
2г
1 + Зг
-7
г
1 ; 5)
1
28.2.
1
/2
1
/6
г
1
1 - 2г
1, ^
о
27.29.1)
1
И
-7 - 4г
16 + 6г
6 - 5г
1) A(ATA)-1AT; 2)
1
-2
3)
1
Уз
1
» ; 5) -
2)
28.1.
з
1
i
1
г
1
1 — г
1 + 4г
4 а’
1) AAT;
2A(ATA)"1AT - S.
28.3. 1) А(АТГА)-1АТГ; 2) 2А(АТГА)-ХАТГ-Е. 28.4. 1) ^(ж) = = х — 2а (а, х) /|а|2, Е — 2 (а, ат) / (ат, а); 2) (а, х) = 0, где
О 11 ОО 11 О1)1)
О 1
1 О
О 1
1 О
1)
1)
а = Ху — х^ А = |ж|. 28.5.
; 2) А70; 3) diag(l, -1, 1);
4) -А202; 5) -А484. 28.6. мальным вектором || 1 — 1 с нормальным вектором
1) Отражение в пространстве с нор— 1 1 ||Т; 2) отражение в пространстве || 1 — 1 — 1 ||Т; 3) проектирование на
линейную оболочку вектора || 1 —4 1 ||Т; 4) поворот на тг/2 в
плоскостях, натянутых на пары векторов 62, е8 и ei, е4; 5) поворот
на тг/2 в плоскостях, натянутых на пары векторов ei, 63 и е4, е^.
28.7.
11 А‘а; 2) f
1 + V2-111 - V2
11 + V2-1 + V21
-1-1 + V21 + V2-1
1-V2-111 +V2
3> Z3> Z28.9.28.9.
3> Z
3> Z
28.9.
28.9.
; 4) ^Л478 - 28.8. GFT.
элементов g^j = (b^ а^.
Указание: см. задачу 26.35. 28.11. <^* = (р. 28.12. ^*(х) =
= ЕР, gj, fi\ 26.16.^* = V"1.28.17. V* = -^.
3 = 1
28.18.1)1 ?2 328.19.1)1954)-4-24-131144234-328)5-32 ;-12-128.18.1)1 ?2 328.19.1)1954)-4-24-131144234-328)5-32 ;-12-1на прямую х = уна прямую х = у3 1О 31 О3 1О 31 О2 -1; 5)9)2 -1; 5)9)3-13-12)2)-34-3-34-32)2)ООО 1 0 1 ООО1 1-2 -28 7ООО 1 0 1 ООО1 1-2 -28 7; 6)1-24; 6)1-24= 0 параллельно= 0 параллельно-4 -52 8О -5-4 -52 8О -520 13 -34 224 2 9 0 1 О 0 0-220 13 -34 224 2 9 0 1 О 0 0-2х60-33)-05-133-12х60-33)-05-133-123)3); 7); 7)-21 13-34 21-21 13-34 214 5-1-3 -3222-14 5-1-3 -3222-1.28.20. Проектированиеплоскости 6х + Зу + 2 г = 0..28.20. Проектированиеплоскости 6х + Зу + 2 г = 0.28.21. 5*(р) = Зр(1)(-1 + 2t + 5^2)/4 - Зр(-1)(-1 - 2t + 5£2)/4-p'(t).28.21. 5*(р) = Зр(1)(-1 + 2t + 5^2)/4 - Зр(-1)(-1 - 2t + 5£2)/4-p'(t).1)1)12120-5 060 2О 15 О0-5 060 2О 15 О; 2); 2)ООО 3 0 00 5 0ООО 3 0 00 5 0У к а з а и и е: интегрируем по чаУ к а з а и и е: интегрируем по частям и подбираем многочлены r(t) и s(t) так, чтобы для любого
28.18.
1)
1 ?
2 3
28.19.
1)
1
9
5
4)-4
-24
-13
11
44
23
4
-3
2
8)5
-3
2 ;
-1
2
-1
28.18.
1)
1 ?
2 3
28.19.
1)
1
9
5
4)-4
-24
-13
11
44
23
4
-3
2
8)5
-3
2 ;
-1
2
-1
на прямую х = у
на прямую х = у
3 1
О 3
1 О
3 1
О 3
1 О
2 -1
; 5)
9)
2 -1
; 5)
9)
3
-1
3
-1
2)
2)
-3
4
-3
-3
4
-3
2)
2)
ООО 1 0 1 ООО
1 1
-2 -2
8 7
ООО 1 0 1 ООО
1 1
-2 -2
8 7
; 6)
1
-2
4
; 6)
1
-2
4
= 0 параллельно
= 0 параллельно
-4 -5
2 8
О -5
-4 -5
2 8
О -5
20 13 -34 22
4 2 9 0 1 О 0 0-2
20 13 -34 22
4 2 9 0 1 О 0 0-2
х60-3
3)-05-1
33-12
х60-3
3)-05-1
33-12
3)
3)
; 7)
; 7)
-21 13
-34 21
-21 13
-34 21
4 5-1
-3 -32
22-1
4 5-1
-3 -32
22-1
.28.20. Проектирование
плоскости 6х + Зу + 2 г = 0.
.28.20. Проектирование
плоскости 6х + Зу + 2 г = 0.
28.21. 5*(р) = Зр(1)(-1 + 2t + 5^2)/4 - Зр(-1)(-1 - 2t + 5£2)/4-p'(t).
28.21. 5*(р) = Зр(1)(-1 + 2t + 5^2)/4 - Зр(-1)(-1 - 2t + 5£2)/4-p'(t).
1)
1)
1
2
1
2
0-5 0
60 2
О 15 О
0-5 0
60 2
О 15 О
; 2)
; 2)
ООО 3 0 0
0 5 0
ООО 3 0 0
0 5 0
У к а з а и и е: интегрируем по ча
У к а з а и и е: интегрируем по ча
многочлена q(t) выполнялось (г, q) = g(l) и (s, q)
Q(-l). о о 0 0 ;2 0Q(-l). о о 0 0 ;2 001001021 521 50 4 06 0-30 800 4 06 0-30 80. 28.23. р*(Х) = АТХ. 28.24. р* (X) = (А"1^ X Ат.. 28.23. р*(Х) = АТХ. 28.24. р* (X) = (А"1^ X Ат.28.22.5*(р) проекция на Р2 многочлена t(tp(t)y^ 1)
Q(-l). о о 0 0 ;
2 0
Q(-l). о о 0 0 ;
2 0
0
1
0
0
1
0
21 5
21 5
0 4 0
6 0-3
0 80
0 4 0
6 0-3
0 80
. 28.23. р*(Х) = АТХ. 28.24. р* (X) = (А"1^ X Ат.
. 28.23. р*(Х) = АТХ. 28.24. р* (X) = (А"1^ X Ат.
х
V3 1
V2
1
2^6 4V2 -1
28.35. 1) S =
-V3 1
V2
, А! = —
0 2^6 Зх/З ;
V6
0 -2
V2
уб
00 2V6
1
1 -7з -
V2
3 0 11/V2
2) S =-
1 V3 -
V2
; А =
о з -Аф ;
/ о
20
V2
0 02
1
0 -5 V5
-1 -
-2V6/3 -2/V30
3) S =
-V6 2 2\/5
, А' = о
24/V5;
V30
2Л
5 1 V5
0
00
х
1 0
1
-1 V2 4
4)S =
0 V2
о ,
А' =
0 -2 Зх/2 ;
V2
1 0 -
1
00 1
1 ?-
1
1
1 2
V2 0
5) S = -= V2
0
0 , Д =
0
40 . 28.37. Совпадают.
V2 о
1 -
1
0
0 -2
У к а з а н и е: всегда tr PQ = tr QP. 28.33. 2) Да. 28.34. 2) Да.
29.1.
1) Да; 2) только если она нулевая.
29.4. Нулевое преобразова
ние. 29.5. Ортогональное отражение в некотором подпространстве,
тождественное преобразование и центральная симметрия. 29.6. Ор-
тогональное
проектирование на
некоторое
подпространство.
29.8.
s = -
1 /42
0 V3 -4V2
0 2V3 -V2
о 3V3 2V2
V4200
-V7 2V7 -V7
0
, А' =
4 V14 0 0
V14 0 0
0
0
0
0 0
0 0
0 0
29.9.
1) 2’
пн\-
2) бесконечно много.
29.10.
1)
Да;
2)
да.
29.12.
4) нет.
у>(ж) =
29Л9.
f) А4ж, et, et\
Z = 1
1) 5 = (1/^)Л
29.14.
108, А*
1) Да;
’ = diag (-
2)
-з,
нет; 3) да; 2); 2) 5 =
= (1/V2)A69, А! = diag (2, 0); 3) S = (1/V2)A69, А! = diag (4, 2);
1 0
-1 о 1-1 о 1О V21 ОО V21 ОА! = diag (1,А! = diag (1,1, -1); 6) S =77 х/б1, -1); 6) S =77 х/б3, -3); 7) S = 2-Vo1 з Vs4 О -V21 -з Vs3, -3); 7) S = 2-Vo1 з Vs4 О -V21 -з Vs13V213V2V2 V3 1V2 0-2V2 -V3 1V2 V3 1V2 0-2V2 -V3 1А! = diag (3,А! = diag (3,, Л' = diag (3, 3, -3); 8) S =, Л' = diag (3, 3, -3); 8) S =, Л'= diag (9,-1,0); 9)5=^, Л'= diag (9,-1,0); 9)5=^-13 Vs4 0 V2i з -Vs-13 Vs4 0 V2i з -Vs4) S = (1/V5)Ai08, А! = diag (9, 4); 5) S = -^
-1 о 1
-1 о 1
О V2
1 О
О V2
1 О
А! = diag (1,
А! = diag (1,
1, -1); 6) S =
77 х/б
1, -1); 6) S =
77 х/б
3, -3); 7) S = 2-
Vo
1 з Vs
4 О -V2
1 -з Vs
3, -3); 7) S = 2-
Vo
1 з Vs
4 О -V2
1 -з Vs
1
3V2
1
3V2
V2 V3 1
V2 0-2
V2 -V3 1
V2 V3 1
V2 0-2
V2 -V3 1
А! = diag (3,
А! = diag (3,
, Л' = diag (3, 3, -3); 8) S =
, Л' = diag (3, 3, -3); 8) S =
, Л'= diag (9,-1,0); 9)5=^
, Л'= diag (9,-1,0); 9)5=^
-13 Vs
4 0 V2
i з -Vs
-13 Vs
4 0 V2
i з -Vs
A* = diag (10, 2, 1); 10) S = A315, A* = diag (6, 0, 0);
11) S = (1/2)A484, A' = diag (7, -1, -1, -1); 12) S = (1/2)A484, A* = diag (1, -7, -7, -7); 13) S = (1/2)A484, Ar = diag (2, 2, 2, -2);
14) S = (1/2)A468, A' = diag14) S = (1/2)A468, A' = diag2, 2, 2, -2); 15) S = (1/2)A347,2, 2, 2, -2); 15) S = (1/2)A347,A! = diag (9, 9, 27); 16) S =A! = diag (9, 9, 27); 16) S =13V213V2303303VsV2-VsVsV2-Vs1-4-11-4-1, A' = diag (2, 2, 20)., A' = diag (2, 2, 20).
14) S = (1/2)A468, A' = diag
14) S = (1/2)A468, A' = diag
2, 2, 2, -2); 15) S = (1/2)A347,
2, 2, 2, -2); 15) S = (1/2)A347,
A! = diag (9, 9, 27); 16) S =
A! = diag (9, 9, 27); 16) S =
1
3V2
1
3V2
3
0
3
3
0
3
Vs
V2
-Vs
Vs
V2
-Vs
1
-4
-1
1
-4
-1
, A' = diag (2, 2, 20).
, A' = diag (2, 2, 20).
29.20. Ai = ж + (n - l)y, ex = (1/V^) || 1 1 • • • 1 \\T; X^ = x - y, = (1/VA:2 + /с) || 1 ... 1 -k 0 ... 0 ||T (k = 1, ... , n - 1).
29.23. S=|
1 2
-2 2
2 1
-2
1
2
k
, A* = diag (9, 18, 18), B* = diag (9, -9, -9).
29.26. 1) 9AX+27A2, где Ax = ^
2) 2Ai + 20A2, где Ai = —
5 4-2
4 52
-2 28
17 41
42-4
1 -4 17
A^
4-42
-44 -2 ;
2 -21
= (1/18)Ai80;
3) ЮАХ + 2А2 + A3, где Ai — (l/18)Aig(h А2 — -
1
9
^2
1
2
4
2
-4
2
1
-2
-4
-2
4
. 29.30. A — Ai А2 A3, где Ai — -
1
9
17
16
16
16
41
32
16
32 ,
41
Аз
1
9
113
-104
52
-104 ИЗ
-52
1 0
1
41
16 -32
52
О
О
О
1 о
1
16
17
-16
-52 ; 2)
Аз —
-32
-16 ,
41
3
О
-1
о 2 О
-1 О
3
, A2 = -
1 29
13
2
4
2
10
2
4
2
13
, A3 = —
’ 318
35
37
-76
19
-76
322
-76
29.32.
1)
Необходима.
29.33.
«I
11
-2
-2
Аг
19
-76
37
14 ; 2) (1/2)А28;
3> 5
13
1
1
1
13
1
1
1
13
29.40.
Только
при
умножении на 1
или —1.
29.46.
29.44.
ATA = BTB.
29.50.
1) S
АТГА =
.29.47.
1
Г.
29.45.
1) Нет; 2)
нет.
1) Да; 2) нет; 3) да; 4) нет.
2) S — Л32о,
Л' = -
2
V4-2V2
-2
О
о
1
1
-1
1
, А'
1 о
о
-1
л-4=
V2
О
/а ; 3)
1
-1
-1
О о
1
-1 о о
О О
1
1
о о
-1
1
;4)S =
1
2V3
2
О
-2
О
2
О
О
2
О
-2
О
2
1 0
-1
V2 1 "a 2
1 - 0
1
— V2
1
О
Va
-1 A
О
1 A
Va
2
V2
1
О -1 1
2
1 - О
о
1
V2
1
V3
1 о
-1
V3
-2
О 2 О О о о
-2 О
О о о о
О О
1 О О
о о
-1
V3 о о
о о о о
V3
-1
о о о о
1
Указание:
для нахождения
инвариантных
подпространств воспользоваться
задачей 24.89.
29.52. Симметрическая матрица не является неотрицате ль-
ной. 29.53.
1)0 = Л2, V =
10 5
5 10
; 2) О =
1
г = 4
14
3
; a) Q = 5
3
2 -1
1 2
-V3
4) Q = л62, V = 5Л12; 5) Q = Л70, У = (12/5)Л48; 6) Q = |
29.54.
29.58.
4 V2
1
; (В задачах 4)
-5V3 2V5
О
О
2^ 15V3 О
V8 1
-1 V8 ’
и 5) разложение не единственно.)
-5^3/345х/3
, у = 4=
V3
о о
о
3
V5
О
О О 3V5
2) фг = О#"1.29.63.
Все равны 1.29.64.
04 1
г = 1, ...,п. 29.65. Умножились на |а|. 29.71. 1) ОД — С12 — с^з — ^5 2) од = с^2 = 3, Q3 = 0; 3) од = V14, с^2 = с^з = 0; 4) од = 9, с^2 = 6,
«з = 5; 5)
30.1.
ОД —
(Тп_1 — 1, ЛГ^ХЛТ,
30.2.
1)
2) Р
1
14
1
10
3
—г
—4г
2
г
7
-2
4г
5
3-6г
4г
-2
7
г
1
3
3
13
2г
2 —4г
—г
3
3 О О
О
1
1 — г
6г
—2г ,10
а) _ _аа^
— 2— а^ Q = Е — 2- —
2) Q =
1п
где Га
О
= АТА,
2
Q =
1
7
4)уД
9 2г
-6
3
-2
-2
—2г
9
3)
з)
S
1
—2г
—2 4" 2г
—г
-1 '
3 + 4г
-3 - 8г
6 + Юг
2-г 2 :
О г :
О о
— Л319;
1
5
-2
—г
—4г
2
г
2
-2
4г
-2 3
-6г4г
-2 2
г
30.4.
-6
6г
—6г -7
-2
3
-2
—2 4" 2г
; з)
3 О о
3
6
2г
2
—4г
—г
-2
Q = 2F
О
-12 - 2г
6г
Е.
О
2 -|- 2г *
1
-2г ; 3) F = 3
1) Матрица Q из
-2
-2
3
—2 4" 2г
о = I
-2 - 2г
-2 - 2г
-2 - 2г 1
. 30.3. у = х —
ответа к 30.2, 2).
1 г 1г
1
1 — г
о
. 30.6.
1) Л94; 2) Люз;
30.7.1)
2 + Зг
1 - 2г
9 4" 2г
—2 — 5г
; 2)
1
4
г 1
29 -13г ;
2
-2
5
1 — г
1
—2г
4г
1 - 5г
3) А?
30.11.
1) Да.
30.12.
1) А! =
S = Л260; 2) А'
1
3
ЗгОО
—2%/Зг
—ЗгО
V6(3 - г)
3
О г
О О
S
—г
1
/2
О 1 1
О -1
О 1
4-\/2 —Зг Зг 3\/2 4г —4г 0554-\/2 —Зг Зг 3\/2 4г —4г 055Да. Указание: использовать результат задачи 30.14.Да. Указание: использовать результат задачи 30.14.Указание: использовать задачи 30.11, 2) и 30.39.Указание: использовать задачу 30.29. 30.34. 1) Матрица ГТА — эрмитова; 2) ГА-1 = АТГ. 30.35. Указание:Указание: использовать задачи 30.11, 2) и 30.39.Указание: использовать задачу 30.29. 30.34. 1) Матрица ГТА — эрмитова; 2) ГА-1 = АТГ. 30.35. Указание:рассмотреть переход к данному ортонормированному базису от ор-рассмотреть переход к данному ортонормированному базису от ор-тонормированного базиса из собственных векторов. 30.36. 1) S =тонормированного базиса из собственных векторов. 30.36. 1) S =1Vw1Vw1 ЗгЗг 11 ЗгЗг 1А' = diag (-2, 8); 2) S = ДV5А' = diag (-2, 8); 2) S = ДV5А* = diag (0, 5); 3) S = —у=V 5А* = diag (0, 5); 3) S = —у=V 5х/3(1-г)—2г1-г-V3 о з—г\/3 2(1 + г) —гх/3(1-г)—2г1-г-V3 о з—г\/3 2(1 + г) —г-1х/2(1 + г)V2(l - г) 1-1х/2(1 + г)V2(l - г) 1-1-1VS-iVS-iVS-V гVS-V г11, А’ = diag (1, 6);, А’ = diag (1, 6);, А'= diag (0,1,4). 30.43. 1) В, А'= diag (0,1,4). 30.43. 1) Вобщем случае, нет. 2) Только если |а| = 1. 30.44. 1) S = (l/V2)Ag4,общем случае, нет. 2) Только если |а| = 1. 30.44. 1) S = (l/V2)Ag4,А* = diag (cos а + г sin a, cos а — г sin а); 2) S = -^=А* = diag (cos а + г sin a, cos а — г sin а); 2) S = -^== (1/5)diag(3+ 4г, 3 — 4г); 3) S Д= (1/5)diag(3+ 4г, 3 — 4г); 3) S Д22 —г22 —г—2г г 2г —2г2—2г г 2г —2г2А =А =, А = diag (1, г, —г)., А = diag (1, г, —г).
4-\/2 —Зг Зг 3\/2 4г —4г 055
4-\/2 —Зг Зг 3\/2 4г —4г 055
Да. Указание: использовать результат задачи 30.14.
Да. Указание: использовать результат задачи 30.14.
Указание: использовать задачи 30.11, 2) и 30.39.
Указание: использовать задачу 30.29. 30.34. 1) Матрица ГТА — эрмитова; 2) ГА-1 = АТГ. 30.35. Указание:
Указание: использовать задачи 30.11, 2) и 30.39.
Указание: использовать задачу 30.29. 30.34. 1) Матрица ГТА — эрмитова; 2) ГА-1 = АТГ. 30.35. Указание:
рассмотреть переход к данному ортонормированному базису от ор-
рассмотреть переход к данному ортонормированному базису от ор-
тонормированного базиса из собственных векторов. 30.36. 1) S =
тонормированного базиса из собственных векторов. 30.36. 1) S =
1
Vw
1
Vw
1 Зг
Зг 1
1 Зг
Зг 1
А' = diag (-2, 8); 2) S = Д
V5
А' = diag (-2, 8); 2) S = Д
V5
А* = diag (0, 5); 3) S = —у=
V 5
А* = diag (0, 5); 3) S = —у=
V 5
х/3(1-г)—2г1-г
-V3 о з
—г\/3 2(1 + г) —г
х/3(1-г)—2г1-г
-V3 о з
—г\/3 2(1 + г) —г
-1х/2(1 + г)
V2(l - г) 1
-1х/2(1 + г)
V2(l - г) 1
-1
-1
VS-i
VS-i
VS-V г
VS-V г
1
1
, А’ = diag (1, 6);
, А’ = diag (1, 6);
, А'= diag (0,1,4). 30.43. 1) В
, А'= diag (0,1,4). 30.43. 1) В
общем случае, нет. 2) Только если |а| = 1. 30.44. 1) S = (l/V2)Ag4,
общем случае, нет. 2) Только если |а| = 1. 30.44. 1) S = (l/V2)Ag4,
А* = diag (cos а + г sin a, cos а — г sin а); 2) S = -^=
А* = diag (cos а + г sin a, cos а — г sin а); 2) S = -^=
= (1/5)diag(3+ 4г, 3 — 4г); 3) S Д
= (1/5)diag(3+ 4г, 3 — 4г); 3) S Д
22 —г
22 —г
—2г г 2
г —2г2
—2г г 2
г —2г2
А =
А =
, А = diag (1, г, —г).
, А = diag (1, г, —г).
АТАААТ. 30.14. У к а з а н и е: перенести на унитарные про
странства результат задачи 29.37. 30.15. Указание: использовать результат задачи 30.14, 1). 30.16. Указание: использовать результаты задач 24.139 и 30.9. 30.17. Указание: использо
вать результат задачи 30.15. 30.18. Указание: использовать
результаты задач 30.16 и 30.17.30.20. Обратное неверно.
Указание: если у> — нормальное, то С содержит базис из
собственных векторов и в силу 30.15 инвариантно относительно <^*.
1) А' = diag (2 + г, 2 - г), S = A6i; 2) А' = diag (0, -5г, 5г),
5^25^2; 3) А' = diag (1 + г, 1, 1 - г), S = (1/3)Л202.
5^2
5^2
31.10. 1) (4, 4, 4); 2) (2, 4, 6);(а, х) /ч—.—:— (ад , 0^2,гДе <^17 ^2 7 ^3 —(—«2 , од), где «1, «2 — координа31.10. 1) (4, 4, 4); 2) (2, 4, 6);(а, х) /ч—.—:— (ад , 0^2,гДе <^17 ^2 7 ^3 —(—«2 , од), где «1, «2 — координаты а; 2) нет. 31.13. 1) (о^з - ^302 ^91 - «lA 7 <^1^2 - Аа2)7 гдеты а; 2) нет. 31.13. 1) (о^з - ^302 ^91 - «lA 7 <^1^2 - Аа2)7 где
31.10. 1) (4, 4, 4); 2) (2, 4, 6);
(а, х) /ч
—.—:— (ад , 0^2,гДе <^17 ^2 7 ^3 —
(—«2 , од), где «1, «2 — координа
31.10. 1) (4, 4, 4); 2) (2, 4, 6);
(а, х) /ч
—.—:— (ад , 0^2,гДе <^17 ^2 7 ^3 —
(—«2 , од), где «1, «2 — координа
ты а; 2) нет. 31.13. 1) (о^з - ^302 ^91 - «lA 7 <^1^2 - Аа2)7 где
ты а; 2) нет. 31.13. 1) (о^з - ^302 ^91 - «lA 7 <^1^2 - Аа2)7 где
31.1. Линейная функция в Сп линейное отображение в R (или в С, если Сп комплексное). 31.2. Если е7 = eS и х, V — координатные строки линейной функции в базисах е и е7, то х’ = xS. 31.3. х^ = /(ej, г = 1, ... , п. 31.4. (0, ...,0). 31.5. 1) Нет; 2) только для нулевой функции; 3) только при а = 0. 31.6. Для
ненулевой функции всегда, для нулевой только при а = 0. 31.7. Для
ненулевой функции R, для нулевой {0}. 31.8. 1), 4) Да; 2), 3) нет.
31.9. 1) (1, 1, 0); 4) (1, 2, -3). 3) (9, 6,3); 4) (-2,0,2). 31.11. 1) координаты а. 2) Нет. 31.12. 1)
«1, «2 7 аз и А? А 7 Зз — координаты векторов а, Ь; 2) нет. 31.14. 1), 2) Нет; 3) (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) (единица на г-м месте); 4) (1, ..., 1). 31.15. Еп. 31.16. С. 31.19. 1) (8/3, 0,16/15,0); 2) (1,1/3,1/5,1/7). 31.20. (1, 0, ...,0). 31.21. 1) (1, t0, ^о); 2) (1, 0, , 0). 31.23. 5 = 3^1 - 3^2 + ^з- 31.25. к\ (0, ... , 0, 1, 0, ... , 0) (единица на (к + 1)-м месте) при к ^ п; (0, ... , 0) при к > п. 31.26. 1) (хд, ... , хп), где и^ = 0 при % к и и^ = г(г — 1) ... ... (г — к)1г0-к-1 при г > к; 2) к\ (0, ... , О, 1, 0, ..., 0) (единица на (& + 1)-м месте). 31.29. /(х) = 3^ + 5^ + 4^. 31.31. 1) (0, 0,-2); 2) (5, -5, -2); 3) (3, 3, 3); 4) (0, 7, 2). 31.32. 50 = №, <51 = |(^з - ^1),
11 dk(p)
t=Ot=O2) fM = ^^2) fM = ^^^2=^1- 2(^2 + ^87 или 6 = -фАхду. 31.33. 1) 5к(р) = — ^к (к = 0, ... , п) или 5к(р) = а^ если p(t) = ао + ait + ... + а
t=O
t=O
2) fM = ^^
2) fM = ^^
t=t0t=t0(к = 0, ... , п). 31.34. С помощью мат-
t=t0
t=t0
рицы (S7)-1. 31.35. 1) /{ = Л, й = ь- fl, п = /з - Ь + fi; 2) Строки матрицы А^з = А450. 31.36. -(t — 2)(t — 3), (t — 1)(3 — t),
-(t—l)(t —2). 31.37. Рг(^) = П ~—— , г = 1, n + 1. Координаты 2к^г ^г — ^
многочлена p(t) равны р^Е\ ... p(tn+i). 31.38. 1, t — 2, (t — 2)2/2.
31.39. p(t)=p(toHp\toKt-toH^31.41. Ha
ni
ЗИС СОСТОИТ ИЗ функций Aj(X) = Х^ где X = || Х^з || 6 ЕпХп. Функ
ции fij соответствует матрица Cij = Е^. 31.42. Базис состает из функций Л(Х) = trCfX, г = 0, 1, 2, 3, где Со = |(т0, Ci = jc^,
Ci — —2^2, Сз — -^з- 31.43.Ci — —2^2, Сз — -^з- 31.43.У к а з а н иУ к а з а н ичу 31.30. 31.44. dim JV = n — 1 при f ф Очу 31.30. 31.44. dim JV = n — 1 при f ф Ое: использовать зада- и JV = Еп при 1=0.е: использовать зада- и JV = Еп при 1=0.31.45. У к а з а н и е: выбрать подходящий базис. 31.46. А151 (ci, с2) 7 с17 с2 — произвольные числа. 31.47. dim ТС = п — dim АЛ 31.48. (ci,c2,сз)^41О7 с17 с2, сз — произвольные числа. 31.49. Линейная оболочка функций р^ ф2^ ^ь определенных в задачах 31.2331.45. У к а з а н и е: выбрать подходящий базис. 31.46. А151 (ci, с2) 7 с17 с2 — произвольные числа. 31.47. dim ТС = п — dim АЛ 31.48. (ci,c2,сз)^41О7 с17 с2, сз — произвольные числа. 31.49. Линейная оболочка функций р^ ф2^ ^ь определенных в задачах 31.23
Ci — —2^2, Сз — -^з- 31.43.
Ci — —2^2, Сз — -^з- 31.43.
У к а з а н и
У к а з а н и
чу 31.30. 31.44. dim JV = n — 1 при f ф О
чу 31.30. 31.44. dim JV = n — 1 при f ф О
е: использовать зада- и JV = Еп при 1=0.
е: использовать зада- и JV = Еп при 1=0.
31.45. У к а з а н и е: выбрать подходящий базис. 31.46. А151 (ci, с2) 7 с17 с2 — произвольные числа. 31.47. dim ТС = п — dim АЛ 31.48. (ci,c2,сз)^41О7 с17 с2, сз — произвольные числа. 31.49. Линейная оболочка функций р^ ф2^ ^ь определенных в задачах 31.23
31.45. У к а з а н и е: выбрать подходящий базис. 31.46. А151 (ci, с2) 7 с17 с2 — произвольные числа. 31.47. dim ТС = п — dim АЛ 31.48. (ci,c2,сз)^41О7 с17 с2, сз — произвольные числа. 31.49. Линейная оболочка функций р^ ф2^ ^ь определенных в задачах 31.23
и 31.32.
32.1.32.1.1) l|i|b^;2)1) l|i|b^;2)1 о о о1 о о о7 ^; з)7 ^; з)2 -1-1 -52 -1-1 -52х^ — 2х1Ж2 — 5^2;2х^ — 2х1Ж2 — 5^2;4)4)О 1 -31 0 7-3 71О 1 -31 0 7-3 71, 2x1^2 — бац жз + 14x2^3 + х|; 5) единичная матрица,, 2x1^2 — бац жз + 14x2^3 + х|; 5) единичная матрица,
32.1.
32.1.
1) l|i|b^;2)
1) l|i|b^;2)
1 о о о
1 о о о
7 ^; з)
7 ^; з)
2 -1
-1 -5
2 -1
-1 -5
2х^ — 2х1Ж2 — 5^2;
2х^ — 2х1Ж2 — 5^2;
4)
4)
О 1 -3
1 0 7
-3 71
О 1 -3
1 0 7
-3 71
, 2x1^2 — бац жз + 14x2^3 + х|; 5) единичная матрица,
, 2x1^2 — бац жз + 14x2^3 + х|; 5) единичная матрица,
пппп—1
Е ж!; 6) ^604, Е ЖгЖ„-г+1; 7) А638 при а = b = 1, Е Ж1 + 2 Е ^«i+i.
г=1г=1г=1г=1
32.2.32.2.1) II -3 ||, -Зж1У1; 2)1) II -3 ||, -Зж1У1; 2)О -9-9 9О -9-9 99(-Ж1У2 - Ж2У1 + ж2у2);9(-Ж1У2 - Ж2У1 + ж2у2);3)3)1 2 22 5 62 6 71 2 22 5 62 6 7xiyi + 2жту2 + 2ж2ух + 2жту3 + 2ж3ут + 5ж2у2 + 6ж2у3 +xiyi + 2жту2 + 2ж2ух + 2жту3 + 2ж3ут + 5ж2у2 + 6ж2у3 ++ 6ж3у2 + 7ж3у3; 4)+ 6ж3у2 + 7ж3у3; 4)2-3 0-3 -3 ОО 0 02-3 0-3 -3 ОО 0 02Ж1У1 - Зж1у2 - Зж2у1 - Зж2у2;2Ж1У1 - Зж1у2 - Зж2у1 - Зж2у2;
32.2.
32.2.
1) II -3 ||, -Зж1У1; 2)
1) II -3 ||, -Зж1У1; 2)
О -9
-9 9
О -9
-9 9
9(-Ж1У2 - Ж2У1 + ж2у2);
9(-Ж1У2 - Ж2У1 + ж2у2);
3)
3)
1 2 2
2 5 6
2 6 7
1 2 2
2 5 6
2 6 7
xiyi + 2жту2 + 2ж2ух + 2жту3 + 2ж3ут + 5ж2у2 + 6ж2у3 +
xiyi + 2жту2 + 2ж2ух + 2жту3 + 2ж3ут + 5ж2у2 + 6ж2у3 +
+ 6ж3у2 + 7ж3у3; 4)
+ 6ж3у2 + 7ж3у3; 4)
2-3 0
-3 -3 О
О 0 0
2-3 0
-3 -3 О
О 0 0
2Ж1У1 - Зж1у2 - Зж2у1 - Зж2у2;
2Ж1У1 - Зж1у2 - Зж2у1 - Зж2у2;
1 П-1
-Л>34; - Z (ж»Уг+1 + ж^+1у4- 32.3. 1) 5ж^ - 4Ж1Ж2 + 8ж^; г=1
—4ж2 + 10x1^2 — 4^2; 3) 4т2 + 4xix2 + 8x1X3 — Зх^ + 4х^; 4) 4х1Ж2 + 2x1^3 + 8x2 + 4х2х3; 5) х2 + Х2 + Х3 + х2 + 2(xix2 + xix3 + + Х1Х4 — Х2Х3 — Х2Х4 — Х3Х4); 6) 2(х2 — Х1Х2 + Ж2 — Х2Х3 — Х2Х4 + Ж3 + + х2); 7) 2(х2 - xix3 + Ж2 - х2х4 + х| - х3х4 + х2 - х4х5 + х2 - х5х6 + + ^i); 8) 2 Е ^^+i- 32.4. 1) 6(х, у) = ^х + у) - к^ - к(у))/2- 2) м«, у) = У51И±У»51, М1, „) = »(«.»)-»(».«■).
.5. 1) Поменяются местами г-я и j-я строки, а также г-й и j-й столбцы; 2) г-я строка и j-й столбец умножатся на А (при этом элемент диагонали, стоящий на их пересечении, умножится на А2); 3) к г-й строке прибавится 3-^ умноженная на А, а также к г-му столбцу прибавится J-й, умноженный на А (при этом элемент диагонали, стоящий на их пересечении, преобразуется по формуле У- = Ьц + 2Xbij + А267у); 4) матрица отразится симметрично относительно побочной диагонали. 32.6. Ортогональная матрица. 32.7. 1) 13х'х2 — 46x^2 + 41х^2; 2) х(2 + 2х^2; 3) х'х2; 4) Sx^2 — 18x^2 — 8x^X3 + Зх^2 — 6x^X3 — 4жз2; 5) 7х'х2 — — Их^2 — 2хз 2 + 3x^2 — 6x^X3 + Иж^з; 6) 20х'х2 + 8х^2 + Зб^з2; 7) (п — 1)Ж12 + (п — 2)х^ + . . . + ^п-12 + (2^ — 3)37^2 + (2п — 5)37^3 + + (2п - 5)372^3 + ... + х^х’^ + ... + xEi^n- 32.8. 1) х’^ + х^2; 2, 2, 0, 2; 2) х'^ - х^2; 2, 1, 1, 0; 3) х'^ - х^2; 2, 1, 1, 0; 4) х’^- 1, 1, 0, 1; 5) -х^ - х^* 2, 0, 2, -2; 6) -х^- 1, 0, 1, -1; 7) х^ + х^ - х^2; 3, 2, 1, 1; 8) ж;2 - х’^ - ж^2; 3, 1, 2, -1; 9) х’^ + х’^ + х^2; 3, 3, 0, 3; 10) х^- 1, 1, 0, 1; 11) х'^ + ж^2; 2, 2, 0, 2; 12) х'^ - х'^ - х^- 3, 1, 2, -1; 13) x^2 + ^22 + Х32 + Ж42; 4, 4, 0, 4; 14) x^2 + ж^2 + Х32 + Ж42 — Ж52 — Жд2; 6, 4, 2, 2; 15) х^ + х*^ - х^ - ж^2; 4, 2, 2, 0; 16) -х^ - х*^ - ж^2; 3, 0, 3, — 3. 32.9. Пусть п — размерность линейного пространства. Положительно определенными являются формы: 1) при п = 2, 9) при п = 3, 13) при п = 4. Отрицательно определенными являются формы: 5) при п = 2, 16) при п = 3. Неотрицательными являются формы: 1) при п > 2, 4) п ^ 2, 10), 11) при п ^ 3, 9) при п > 3; 13) при п > 4. Неположительными являются формы: 5) при п > 2, 6) при
n > 2, 16) при п > 3. 32.10. 1) х'уу'у + х^у'^ 2) х^у'^ 3) х'уу'у + х^у'^ 4) х'ху'х ~ х'^ 5) х'ху'х ~ х'^ - х'^, 6) х'ху'х + х'.^ + ж^; 7) не приводится (форма несимметрична). 32.12. 1) х*у -V х2 ^ при А > 1/3, х’2 при А = 1/3, х’2 — х’2 при А < 1/3; 2) х’2 + х’2 при | А| <8, х’2 при |А| = 8, х’2 — х'2 при |А| > 8; 3) х’2 — х1^ + х1^ при А > —6, х’2 — х1^ при А = —6, х’2 — х’^ — х'3 при А < —6; 4) х’2 + .тф — х’^ + аф2 при А > 7/4, х-у + ^2 — х3 при А = 7/4, хх + х2 — х3 — х4 при А < 7/4; 5) Ху + х2 — х3 при А = 3, хТ + х2 — х3 — х4 при А / 3. 32.13. 1) £ ж'2; 2) £ (-Ц"^'2; 3) £ ж'2; 4) ж',2 - £ ж'2; г=1г=1г=1г=2
п 2п-12
— ^ Ж1 7 6) 52 ж^ • 32.18. 1) Положительно определена при г=1г=1
А > 1, неотрицательна при А = 1, отрицательно определена при А < —4, неположительна при А = —4; 2) отрицательно определена при | А| < 1, неположительна при А ± 1; 3) положительно определена при А > 8, неотрицательна при А = 8; 4) таких значений А нет; 5) положительно определена при А < —6, неотрицательна при А = — 6, отрицательно определена при А > 6, неположительна при А = 6. 32.21. 2) п2 и п. 32.22. ^ + Й + £3 + ^ в базисе ф, ^t, /5 3^-1[7 5t3-3t„
а, а. 32.25. Ранг — четное число, сигнату-
у 22 у 22
ра равна нулю. 32.26. 2) Все линейные преобразования, матрицы которых ортогональны в том базисе, в котором записана дан
ная форма. 32.27. Приводятся матрицы или формулы перехода
от данного базиса ei, ... , еп к базису еф ... , е’п и диагональная
форма в новом базисе. 1) Абь Ху Ху2 + 9^22; 4) А54, -Юж^^; 5) A6i,форма в новом базисе. 1) Абь Ху Ху2 + 9^22; 4) А54, -Юж^^; 5) A6i,2 - М2; 2) Л62, Ц^2; 3) А53, 13
форма в новом базисе. 1) Абь Ху Ху2 + 9^22; 4) А54, -Юж^^; 5) A6i,
форма в новом базисе. 1) Абь Ху Ху2 + 9^22; 4) А54, -Юж^^; 5) A6i,
-2Ж1У1 - 2Ж2у2; 6) diag(^61, 1),
фаа2 - |^22; 7) Л13, х’х + 2ж^2 + 10ж32; 8) Л319, х’ху’х + Зх'2у'2; 9) Ази, х'ху'х + бж^у^ - бЖдУд; 10) А322, З^2 + ж^2 - ж^2); 11) Л319, 4Ж12 + 4ж22 + ж32; 12) Л313, Эж^2 - ж22 - 9ж32; 13) 4316, |(яа2 + ж22); 14) А328, 14ж'х2; 15) A3i5, -бж^^; 16) А330, V^^x'xy'x - х'^-, 17) ф4б8,
2(ж12 + ж22 + ^з2 — х42); 18) Заф2 + Заф2 + 6^32 — б^2 в базисе ei = ~~^ei + е2 + ез), е2 = ф^(е2 — ез + 64)7 ез = ”^^в1 — е2 + 64), е4 = ^/|(е1 — ез — 64); 19) Ху2 + 2х22 + 5жд2 + 10х42 в базисе
<4 = ^ 3V2<4 = ^ 3V21/31/384 — 3(81 — 2в2 + 2ез); 20) — ж4■^(82 - 83), е2 = -^(е2 + 83 - :84 — 3(81 — 2в2 + 2ез); 20) — ж4■^(82 - 83), е2 = -^(е2 + 83 - :8з - 84), 83 = -Д=(е2 + е3 + 2е4),уб4 2 + 2^з2 — 2^42 в базисе е'^ =7 ез = ^(3^ + е2 + ез + е4),8з - 84), 83 = -Д=(е2 + е3 + 2е4),уб4 2 + 2^з2 — 2^42 в базисе е'^ =7 ез = ^(3^ + е2 + ез + е4),84 = ^(-81 + е2 + е3 + е4); 21) ^(ж'^ + ж2у2 - жзУз “ ^4^4) в ба"84 = ^(-81 + е2 + е3 + е4); 21) ^(ж'^ + ж2у2 - жзУз “ ^4^4) в ба"зисе е^ = ^|(е1 + е2), 62 = ^|(ез + е4), 63 = ^(е! “ е^\ е4 =зисе е^ = ^|(е1 + е2), 62 = ^|(ез + е4), 63 = ^(е! “ е^\ е4 =^(ез - е4); 22) 5(ж,12 - ж^2^(ез - е4); 22) 5(ж,12 - ж^2е2 = 4=V5е2 = 4=V5в базисе е^ = -^(2ei — 62),у 5в базисе е^ = -^(2ei — 62),у 5“/еДз — 2е4), 64 — ==(2ез+ е4); 23)—-—ж) + у5у51 п= —— 52 ед е^ е’ — какой-либо орто- Vn i=i“/еДз — 2е4), 64 — ==(2ез+ е4); 23)—-—ж) + у5у51 п= —— 52 ед е^ е’ — какой-либо орто- Vn i=iнормированный базис подпространства яд + ... + хп = 0, напри-нормированный базис подпространства яд + ... + хп = 0, напри-мер ^ = vM4 = ТЕ(-1ГУ ^ г=1мер ^ = vM4 = ТЕ(-1ГУ ^ г=17с-1\52 ei - (к - 1)6/, (к = 2, ... , п); 24) пх^у^7с-1\52 ei - (к - 1)6/, (к = 2, ... , п); 24) пх^у^ev^.. .^ — ортонормированный базис подпроev^.. .^ — ортонормированный базис подпро
<4 = ^ 3V2
<4 = ^ 3V2
1
/3
1
/3
84 — 3(81 — 2в2 + 2ез); 20) — ж4
■^(82 - 83), е2 = -^(е2 + 83 - :
84 — 3(81 — 2в2 + 2ез); 20) — ж4
■^(82 - 83), е2 = -^(е2 + 83 - :
8з - 84), 83 = -Д=(е2 + е3 + 2е4),уб
4 2 + 2^з2 — 2^42 в базисе е'^ =
7 ез = ^(3^ + е2 + ез + е4),
8з - 84), 83 = -Д=(е2 + е3 + 2е4),уб
4 2 + 2^з2 — 2^42 в базисе е'^ =
7 ез = ^(3^ + е2 + ез + е4),
84 = ^(-81 + е2 + е3 + е4); 21) ^(ж'^ + ж2у2 - жзУз “ ^4^4) в ба"
84 = ^(-81 + е2 + е3 + е4); 21) ^(ж'^ + ж2у2 - жзУз “ ^4^4) в ба"
зисе е^ = ^|(е1 + е2), 62 = ^|(ез + е4), 63 = ^(е! “ е^\ е4 =
зисе е^ = ^|(е1 + е2), 62 = ^|(ез + е4), 63 = ^(е! “ е^\ е4 =
^(ез - е4); 22) 5(ж,12 - ж^2
^(ез - е4); 22) 5(ж,12 - ж^2
е2 = 4=
V5
е2 = 4=
V5
в базисе е^ = -^(2ei — 62),у 5
в базисе е^ = -^(2ei — 62),у 5
“/еДз — 2е4), 64 — ==(2ез+ е4); 23)—-—ж) + у5у5
1 п
= —— 52 ед е^ е’ — какой-либо орто- Vn i=i
“/еДз — 2е4), 64 — ==(2ез+ е4); 23)—-—ж) + у5у5
1 п
= —— 52 ед е^ е’ — какой-либо орто- Vn i=i
нормированный базис подпространства яд + ... + хп = 0, напри-
нормированный базис подпространства яд + ... + хп = 0, напри-
мер ^ = vM
4 = ТЕ(-1Г
У ^ г=1
мер ^ = vM
4 = ТЕ(-1Г
У ^ г=1
7с-1\
52 ei - (к - 1)6/, (к = 2, ... , п); 24) пх^у^
7с-1\
52 ei - (к - 1)6/, (к = 2, ... , п); 24) пх^у^
ev^.. .^ — ортонормированный базис подпро
ev^.. .^ — ортонормированный базис подпро
странства 52I)7 1$i = 0; 25) хгг2 + ... + ж^2 - ж^+12 - ... - х^-^2
в базисе е'к = "^.ек + е2п-к^ < = еп, е'п^к = -^^к - е^п-к) (1 < к С
^П 1); 26) 2 52 Ж1 чек — /п^ек + е<2п-к-\-1)^ еп-\-к —^2n —&+1)
г=1У 2у^
(1 < к < п); 27) Е жк cos—ГТ в базисе е'к = А/ЦАЦ, где
А = Е sin -—6i (к = 1, ..., п\ 32.28. ж'/2 - ж22; 2, 0; 2) ж'/2; i=i п+1
1; 3) ж'/2 + ж!,'2; 2, 2; 4) -х'{у'{-, 1, -1; 5) -$iV{ - х'^', 2, -2; 6) -жД - ж^'2; 2, -2; 7) ж'/2 + ж^'2 + ж^'2; 3, 3; 8) х'{у'1 + ^У^, ^, 9) ж'/у" + х'^ - х'^ 3,1; 10) ж'/2 + ж^'2 - ж^'2; 3, 1; 11) ж"2 + ж^'2 + ж£2;
3; 12) ж'/2 - ж£2 - ж^'2; 3, -1; 13) ж'/2 + ж£2; 2, 2; 14) ж'/2; 1, 1; 15) —ж”2; 1, -1; 16) ж'/у/ - ж^'у^; 2, 0; 17), 18) ж'/2 + ж^2 + ж^2 - ж^'2;
2; 19) ж'/2, ж^2 + ж^2 + ж^'2; 4, 4; 20) ж'/2 - ж^'2 - ж^'2 - ж^2; 4, -2; 21) хМ + х^ - х'^ - хМ-, 4, 0; 22) xf - ж^'2 - ж^2; 3, -1;
ПП2п-1
Е < ; п, П- 24) хЗД-, 1, 1; 25) Е < - Е ж" i 2п - 1, 1; г=1г=1г=п+1
719п/ q^i \9
52 ж^ 7 п7 п5 27) 52 s§n ( cos7 ) ж^ 7 ранг равен 2[п/2]. г=1г=1\ п +
32.32. 2) Г"1#. 32.33. 1)
29.290
2-1-18 -1
4)
26
-12
-5
44 -49
-2124
-810
5)
1
3
5 1 2
8 4 8
-1 1 2
6)
оа 5/2 -1 . 9/2 -2 ’
3 100
51-1-1
30 0 -1 ' 3 0-10
32.35. хД + ... + хД, если го базиса принадлежат М.
первые г векторов ортонормированно-
а остальные п — г принадлежат М^.
32.36.
бх/2 -
//2
д = хг
пии
~^, № = ^ + -^ ! = ^ + ^2, S =
2)- W,
////// Д II1
I //2р //2 . 1 //2
+ ^2 ; 3) хх = —= 4—=, х2 =/ = х{ +,
Д Д1 Д Д17 2
„2 .„2^1 Ж^ж'/4ж2„2 .„2
д = хг + ж2 или ^ = — + — ж, =-= +-Д = 24 + ж2 , д =
22Xм
х" + 7x2 (обе формы положительно определены); 4) Ху = —Д 4—Д,
уЗ у 6
^2 =
^2 =
/о // I И £।//2//21 //2 г\5х^ 4“ Х^
/Зжх+ ^-х2;/ = хх +ж2 ’^ = ж1 “^Д2 ;5)Ж1 =^’
21^1 4- х^„2„2 ,„2^Х*/ + Х*4
——; / = 26х'/ , д = х/ + х” ; 6) хг =^^_ , х2 =
- 2ж" + Зж2 t „2 , „2 с ,/21 „2а/10ж" - 4ж2
Р^; / =+ ж2 , д = -5жт - -ж2 или Ж1 =, Ж2 = Ь^1±^1. у = 8ж»2 + 0 д ==_
V65
V2x^)/V5, х2 = ^/2 - 2Х/З)х/ + ^^2V^x^/Vb-, / = Зх/2 - 2х^2, д = х/2 — хД; 8) Xi = (Vft + l^i — V^x2)/V^a + 1? x2 = ((V^ —
— mVct + 1)х/ + (Va + 1 + тл/а^х1^/^2a + 1; / = (a + l)x/2 — ax^2, g = ж'/2 +жГ; 9 Ж1 = Д=, ж2 = Д + Д - Д, ж3 = Д - Д + Д;
Д Д Д Д Д Д Д
/ = Зж'/2 + 2ж22, д = ж'/2 + ж22
х’/ 5жп 7жо
ж2 =F + ^=1=1 ж3 =1= +
V5 2V32х/54V3
" V5 ’ 4V3
//2
- х2
г //2//2 .//2
5жд , д = ж'/ + ж^'
2ж^'2ж^
жз =Л + -Д; ,
2ж72ж^
12) Ж1 = ^ + ^Н
д2.
3 7
^11^11
11) Ж, = ^ + ^ - ^, Ж2 = ^Ж"
V2V6 V3
/ = За//2 + 3x22 — Зхд2, д = х/2 + х^2 + х^;
К
4ж'/ Зж2 2ж^
Зж" 5жз
р //2 .//2 .//2
J = Ху + ж2 + ж3
^2
Вх" - 2^2
V6
д = 14xi'2;
6x3 — 8x4
V3 ’
13) яд =
^з
$4
д
V6
//2//2
у — х2
9х'у - х'26x3 + 7^4
Зх^ -
V6
z6
Ж2
V3
Зхо + 4x7+ л- ^
6X32 — 6Ж42,
Ж3 + Ж4 f = Зж»2 Зж„2
- Ж3'2 — Ж4'2;14) Ж1 = ж" + Ж2 + Жз + Ж4,
Х1 = (ж'/ +^2 +^3 +ЗЖ4)/2, Жз = Жз +^4, х4 = (-х'{ 4^2 4 £3 + Ж4 )/2;
-^ ^х^2 ^xrf ^xrf. 32.37. Фор-
мы Ху и х^ диагональны, но среди их линейных комбинаций нет
положительно определенных форм. 32.39. 1) бж^2; 2) хг{2 + 4ж;
3)
5)
2)
49 „22 Ж1
—г
О
- -Х2 ; 4) 9ху - х2 .
■ х22 + жз'2; 6) Ху2 4
О
О ’ 3)
3
-5
6)
9)
8)
О
1 — г
-5
4г
г 1
1 О
4 4 г
4)
—г
-3
О
32.41.
^'2; 7)
-Зг
2
О
О ;
2 -|- г
1) ^2;
4\
2
1 — г
8)
; 2), 3), 4) 4
32.42.
; 5)
23
2 + 5г
1) о
единичная матрица. 32.43. 6) (1 + г^хух^ + (1 —
2|Х1|2
6|ж2|2
32.44.
3) 8|х2|2
4) 3(|Ж1|2
1)
,//2.
2 7
14г—5 ’
3 2 - 5г
-6 4г ;
-4г 1 + 3V2
г)ж2Ж1 - 5|ж2|2;
3x1^2 + 3x2^1 4 (2 — 5г)жхжз 4 (2 4 5г)хзЖ1 —
4zx2x3 - 4гжзж2 4 (1 4 Зд/2)|^з|2; 9)
5|xi|2 — 2х1Ж2 — 2ж2Ж1 4 8|ж2|2; 2) sxix22X1^2 + 2ж2^1 + Ж1Ж3 + Ж3Ж1 + 2ж2^3
+ еа^ац;
+ 2ж3ж2;
+ |ж2|2) + |ж3|2 + |^4|2 + ^1^2 + ^2^1 + 2г(ж1Ж4 - Ж4Ж1) -
— 2г(ж2^з — ^3^2) + жзж4 + ж4жз. 32.45. мулы замены координат при переходе к
рованному базису. KI2 + 3|х'|2; 2)
1) ху = (^ — ixr2)/V^^ _ 3 4 4г
Ж1 _ 5^2 (Ж1^’
т|2 - 4|ж^|2; 3) ху = (х'у + ^)/V2,
В ответах даны фор- искомому ортонорми- х^ = (-гху + x2)/V2, Х2 = (х'у - х’^]^,
Х2 = Е^Ху - х'^1^,
2|ж'1|2; 4) ху = (^ + гх’^]^^ х^ = (гж^ 4 х’^]^^ х^
2ЩI2 + 4|^|2 - 5HI2; 5) ж, - 4 + % + % Х^ = 4...у О у Z у Оу v
гх\ гх9 гхо юz
-/i — —^ + —^^ 3|ж1| ; 6) Ху = (—ху + ж3 + (1 —
^3 =
2^з
V6’
х4 = ((1 + г^х’у + ^2 + Ж4)А 4IX1I2 + 8|^2|2 + 12|жз|2 4 16|^4|2.
32.46. h (х у) =
к(х + у) — к(х) — к(у) .к(х 4 iy) — к(х) — к(у)
2
2
33.4. 1) Да; 2) да; 3) нет. 33.13. При условии линейной зависимости векторов а^ 6i, ао — 6q. 33.14. 1) xi = — 1 + 3t, X2 = t, хз = 3 + t, X4 = —2 + 7t; 2) xi = —2 + 3ti 4- ^."t^^ x^ = 1 + 2ti, X3 = 1 — 6ti, X4 = 1 + ti + 3t2; 3) 2xi — 32x2 — Юхз — 9x4 + 21 = 0. 33.15. cf^"L±^,...,'^±’^Y 33.18. ll^ + Si.^h 2) xi = — 1, x2 = 1; 3) xi = 1 + t, x2 = 1 + t, x3 = 1 — t; 4) xi = ti,
x2 = -3 + 3ti + 2t2, ^3 = t2; 5) xi = x2 = x3 = 1; 6) xi = 1 + 7t2, x2 = 2ti + 23t2, x3 = 1 + tx, x4 = 1 - 11^2; 7) ^i = lit, x2 = —1 — 7t, x3 = 1 + t; 8) xi = ti + 4t2 + 2t3 - 3t4, x2 = ti, x3 = 1 + t2, x4 = t3, x5 = t4. 33.19. 1) xi — 2x2 + 13 = 0; 2) 2xi — 3x2 + x3 + 1 = 0; 3) 4xi — x2 — 22 = 0, x2 — 4хз — 2 = 0; 4) xi — x2 + 1 = 0, xi — X3 = 0, 2xi — X4 = 0; 5) 14xi — 5x2 — 9хз — 4 = 0, xi + 2x2 — ЗХ4 + 13 = 0. 33.20. 2xi 4" 3x2 — 4хз 4" X4 -4 3 = 0. 33.21. xi = —1 4" 3t, x2 = 3 4" t, x3 = 4 + 7t, X4 = —t. 33.22. 1) xi+ 2x2+ 3x3-X4+ 6 = 0, xi+x2+x3 + + X4 — 2x5 + 5 = 0; 2) xi — x3 + X4 = 0, 5xi + x2 + 4x3 — 4x5 — 8 = 0; 3) 2xi + 3x2 — X4 — 4 = 0, X2 + 2хз + 2x4 + X5 — 6 = 0. 33.24. Если две двумерные плоскости в трехмерном пространстве имеют общую точку, то они содержат и общую прямую. Если в четырехмерном пространстве трехмерная и двумерная плоскости имеют общую точку, то они содержат и общую прямую. Если в четырехмерном пространстве две трехмерные плоскости имеют общую точку, то они содержат и общую двумерную плоскость. 33.26. Пусть mi, m2 и m3 — плоскости с направляющими подпространствами £, Л4 и Л/-, проходящие через точки А, В и С соответственно. Тогда существует единственная плоскость наименьшей размерности, содержащая mi, m2 и m3; направляющим подпространством искомой плоскости является сумма С + М + АГ + В, где Р — линейная оболочка системы векторов АВ, АС. 33.27. 1) 5xi — х2 + 7хз — 9 = 0, Зхз — Х4 — 3 = 0; 2) xi — 2x2 — 12хз + 1 = 0, х2 — Х3 + Х4 + 5 = 0; 3) 2x2 — хз + Х4 + 1 = 0. 33.28. 1) Трехмерная плоскость 5xi + + 2x2 + Ж4 + IIX5 — 42 = 0, llxi + 5x2 — хз + 20хз — 81 = 0; 2) четырехмерная плоскость 73xi — 6x2 — Шхз — 62x4 — 52x5 — 195 = 0; 3) четырехмерная плоскость х2 + хз — 2 = 0. 33.30. 1) Параллельны; 2) имеют единственную общую точку (1, 2, 1, 0); 3) скрещиваются (абсолютно); 4) прямая принадлежит двумерной плоскости. 33.31. 1) Абсолютно скрещиваются; 2) имеют единственную общую точку (1, 1, 1, 1/2, 3/2); 3) скрещиваются параллельно прямой xi = Х2 = 0, хз = Х4 = -Х5; 4) пересекаются по прямой xi = х2 = 1, х3 + х4 = х5 = 2; 5) параллельны; 6) совпадают. 33.32. (2, —2, 3, 3); 14xi — 4х3 — 3x4 — 7 = 0, 3xi + х2 — 2x4 + 2 = 0. 33.33. 2t3.
33.34. xi = 1, х2 = 4 + t, х3 = -1 -1, х4 = 5 + t; (1,1, 2, 2) и (1, 2, 1, 3). 33.37. 1) (12, -28, -24, -3); 2) (-5, 4, 8, -1). 33.38. 1) Является; 2) является; 3) является; 4) является при Ai = ... = Ап = 0, не является во всех остальных случаях; 5) является; 6) является
при п = 1, не является при п ^ 2. 33.41. Тетраэдр с верши
нами в точках (3/4, —1/4, —1/4, —1/4), (—1/4, 3/4, —1/4, —1/4), (-1/4, -1/4, 3/4, -1/4), (-1/4, -1/4, -1/4, 3/4). 33.43. 1) С^2к-Р- 2) 2*-1. 33.44. Октаэдр с вершинами в точках (1, 1, —1, — 1), (1, -1,1, -1), (1, -1, -1,1), (-1,1,1, -1), (-1,1, -1,1), (-1, -1,1,1).
34.2. 1) |ЛВ| = \ВС\ = V7, |ЛС| = V14, ZB = 90°, ZA = ZC = 45°;
2) |ЛВ| = 3, |ЛС| = 2, |ВС| = V7, /Л = 60°, ZB =
1 arccos —= 2V7
2_ _
ZC = arccos -^=; 3) |ЛВ| = |ВС| = |ЛС| = 6, ZЛ = ZB = ZC = 60°.
34.4. 1) (-2, -2, -1, -1), R = 6; 2) (0, -1, 1, -1), R = 5. 34.5. (1, -1, -3, 1), R = 7. 34.9. 1) 5; 2) 3. 34.10. 1) 5жт + 2ж2 - — 4жз 4- 2ж4 — Ci,2; Ох — 17, С^ — —11? 2) Жх — 4ж2 4~ 2жз Т 2ж4 — = 01,25 Oi = 29, О2 = —21; 3) 2жх — ж2 — жз + ж4 + Зжз = Oi,2; Ci = 7, С2 = -17. 34.11. 1) (1, 1, 2, -1); 2) (7, 2, 2, 1); 3) (-2, -3, 1, 3, 2). 34.12. 1) (2, -1, 1, 3); 2) (2, 1, 3, 3, 0). 34.13. 1/п. 34.14. 1) (-3,-7, -1,-5); 2) (5, -1,5, -5); (7, 2, 3,0, 9). 34.15.1) (1, -3, 0, -2); 2) (1, 1, 1, -1); 3) (0, 2, 1, 3, -1).
34.17. 1) Ж1 = 1 +t, х2 = -3 - t, ж3 = -2 - t, ж4 = 4 +t, 2) ж4 = 1 +t, ж2 = —3 + t, жз = —1 4-1, ж4 = 3 — t; 3) Ж1 = 4 4- 2t, ж2 = t, жз = 1 4- t, ж4 = 1, ж5 = 1 - t. 34.18. 1) (0, -3, -1, 3); 2) (-4, -1, 3, -2). 34.19. 1) 45°; 2) arccos(l/3); 3) 30°. 34.20. 1) 30°; 2) arccos(l/V5). 34.21. 1) 3; 2) 2V3; 3) 4; 4) VO. 34.23. 1) V3; 2) V5; 3) 2; 4) 2^2; 5) 4. 34.24. 1) Ж1 = 3 + f, ж2 = 7 4- 2f, ж3 = -2 - f, ж4 = 1 + f; 2) Ж1 = — 3 + t, ж2 = — 1 + t, жз = 4 — t, ж4 = 7 — 2t, Ж5 = —3 + t. 34.25. 1) (0, 2, -1, 1); 2) (-1, 0, 1, 0, 1); 3) (2, 1, 3, -1, 0). 34.26. 1) (1, 1, 1, 3); 2) (1, 1, -2, -2, 0). 34.28. 1) 2^/7; 2) 6V2. 34.29. 1) V2; 2) Д4; 3) 4. 34.30. 1) 3; 2) 1. 34.31. 1) arccos (V7/3); 2) 45°; 3) arccos i/2/З. 34.33. 1) 1/V5; 2) 5; 3) 2; 4) 3/^5; 5) ^6;
6) 25/3. 34.35. 1) ж4 — 2 T fi T f2, ж2 — —1 — fx, Ж3 — —1 4- fi, ж4 = — 1 —12 иЖ1 = 2-f-f, ж2 = — 1 — f, Ж3 = — 1 + f, ж4 = — 1; 2) Ж1 = 2 + ti,
ж2 — 2 +f2, Ж3 — —1 +t3, ж4 — 2 — 2ti — 2t2 + #3, Ж5 — 1 — ti — 2t2 + 2t3 и Ж1 = 2 +t, ж2 = 2, жз = — 1 +t, ж4 = 2 — t, Ж5 = 1 +t; 3) Ж1 = 3f4 + 2f2, ж2 = -1 - 2ti - t2, Ж3 = 1 + fi + f2, ж4 = -2 + fi, ж5 = 1 + f2 и
Ж1 = t, ж2 = —1 — t, жз = 1, ж4 = —2 + t, Ж5 = 1 — t. 34.36. 45°. 34.37. 1) arccos (2/3); 2) 45°; 3) arccos (1/V5).
35.1. i) (e')1 + и1? = (г/+т?)е + (т,1+т^е-, 2) (еэ1 + w =
(^D1 W)1
UT W)2
= det T •
e
e
из величин не является ни тензором, ни инвариантом, вариант; 2) набор из п инвариантов, не тензор. 35.3.
6) Инварианты; 5) нет. 35.4. 1), 4) Относительные
^2 • Ни одна
35.2. 1) Ин- 1), 2), 3), 4), инварианты;
5), 6) инварианты; 2), 3) не инварианты. 35.5. 1) Не инвариант;
2) тензор типа (0, 1). 35.6. 1) Тензор типа (0, 2); 2) тензор типа
(О, 2). 35.7. 1) Тензор типа (0, 2), а^ = а^а^ 2) тензор типа (0, 2), aik = сцЬк- 35.8. 1) Тензор типа (0, 2), а^ = сцЬ^ 2) тензор типа (О, 2), а^к = сцак- 35.9. 1) Тензор типа (0, 2), 6Zia = 1, а^д = 0 при »/1 или з ^ 3; 2) тензор типа (0, 2), а и = 1, а^д = 0 при г ^ j. 35.10. 1) Тензор типа (0, 1), ay = а^ = 1, а^ = ... = ап = 0; 2) тензор типа (0, 2), ац = (212 = «21 = 1, <Чз = 0 при г + j > 4; 3) тензор типа (0, 2), а^ = 1 при всех г, Д 4) тензор типа (0, 2), ац = 1, а^д = 0 при г ^ j. 35.14. Данный тензор («символ Кронекера», или «изотропный тензор») соответствует тождественному линейному преобразованию, его компоненты во всех базисах одинаковы. 35.15.5'- = 52 ^Г^- Билинейная функция, соответствующая
а = 1 п
этому тензору, в базисе е определяется формулой К (ж, у) = ^ СлУ г=1
где £\ rf — координаты векторов х и у. Она симметрична и положительно определена. 35.16. (0г)г = т/о, где Т = S-1 = ||tJ||. Данный тензор есть ф-й базисный вектор базиса е. 35.17. (0г)г = (Д°, где S = || aj ||. Ковектор ^ соответствует функции р: Сп R, которая в базисе е определяется формулой р(х) = С° (С° — координата с номером г'о вектора х в базисе е). 35.18. 5^ — изотропный тензор типа (2, 2). Указание: проверить закон преобразования компонент. При п = 3 среди компонент — 69 нулевых. 35.19. При г'о = jo все компоненты нулевые; при ф 7^ jo*- 0iojo = 1, @зого = — 1, остальные компоненты нулевые; 6’kl = cr^aj0 — ара3^. 35.20. Изотропный тензор типа (/с, к). Указание: проверить закон преобразования координат. 35.21. 1) е^ = (det S)^...^; 2) совокупность пп инвариантов, но не тензор. 35.22. Трехвалентный тензор в
четырехмерном пространстве имеет 64 компоненты. При замене
координат выражение для каждой компоненты будет содержать
64 слагаемых, каждое из которых состоит из четырех сомножителей. 35.23. Для всех возможных значений индексов г, j; (а'Уд = а^ег^т^ + + a^cr2^ + a^cTjT^ + а^сг2^ 2) для всех возможных значений индексов г, j; (а'У^ = аггтуг^ + а12т^ + а21^^ + а22^^; 3) для всех возможных значений индексов i, J Д: (dz)^ = d^crjcr^T-^ + d^crjcr^T^ +
। ^21 ^у СТкТ^а2ХСТз °kT2^aV2°j СТкТ2^аХ2СТз СТкТХ^а22СТз ^кТ1^а‘2‘2СГjакТ2‘
35.24. 1) V = Т ® ST:35.24. 1) V = Т ® ST:■2^1■2^1•2^1•2^1■2^2■2^21^21^2•2^2•2^2■2^2■2^21^21^2•2^2•2^2«1«2«1а2«1«2«1а2
35.24. 1) V = Т ® ST:
35.24. 1) V = Т ® ST:
■2^1
■2^1
•2^1
•2^1
■2^2
■2^2
1^2
1^2
•2^2
•2^2
■2^2
■2^2
1^2
1^2
•2^2
•2^2
«1
«2
«1
а2
«1
«2
«1
а2
2) У = Т ® Т:2) У = Т ® Т:(^У2 Ч1^1 тУт/ (Д)2 Т1Т1 Т'Т2 Т2Т1 Т2Т2 ^-2 1 _2_1 _2_1 ^-2 1Т1 '2 '2 Т1 '2 '2(Ч2)2 Г2Г2 Т^ (Г2)2(^У2 Ч1^1 тУт/ (Д)2 Т1Т1 Т'Т2 Т2Т1 Т2Т2 ^-2 1 _2_1 _2_1 ^-2 1Т1 '2 '2 Т1 '2 '2(Ч2)2 Г2Г2 Т^ (Г2)2а11 а12 а21а11 а12 а21«22«22; 3) если; 3) если
2) У = Т ® Т:
2) У = Т ® Т:
(^У2 Ч1^1 тУт/ (Д)2 Т1Т1 Т'Т2 Т2Т1 Т2Т2 ^-2 1 _2_1 _2_1 ^-2 1
Т1 '2 '2 Т1 '2 '2
(Ч2)2 Г2Г2 Т^ (Г2)2
(^У2 Ч1^1 тУт/ (Д)2 Т1Т1 Т'Т2 Т2Т1 Т2Т2 ^-2 1 _2_1 _2_1 ^-2 1
Т1 '2 '2 Т1 '2 '2
(Ч2)2 Г2Г2 Т^ (Г2)2
а11 а12 а21
а11 а12 а21
«22
«22
; 3) если
; 3) если
компоненты тензора а^к упорядочены так: а^, а|2, «217 «227 а117 «22, а217 «227 то V = Г 0 ST 0 ST. Указание: при вычислениях использовать результат соответствующего пункта задачи 35.23. 35.25. 1) А’ = STAS. где А = Н^Н; 2) А* = S^AS, где А = Ц^Ц; 3) А* = S-1A(S-1)Tгде А = Ца^'Ц. 35.26. 1) Тензор типа (2, 0); 2) тензор типа (1, 1); 3) тензор типа (0, 2); если данный тензор соответствует линейному преобразованию <^, то тензор, имеющий обратную матрицу, соответствует обратному преобразованию ^-1.
/с-мерные матрицы компонент имеют /с-валентные тензоры.
«Ш — «121 — <1211 — <1221 — 1, «112 — «212 — «122 — <1222 — 0.
А309 при всех г. 35.30. 1) 9 двумерных сечений третьего
0 00 00 00 00 1-1 0 ’0 1-1 0 ’0 -10 -10 00 0 ’0 00 0 ’порядка; 2) 24; 3) 54. 35.31. 1)2) матрица H^jb/Ц — сечение матрицы | 5к1 |, соответствующее фиксированным верхним индексам: i = io^ j = jo- 35.33. 1) f (ж, 1/, z) = = aijk^^^'i 3) a^^ = f (e^, e j , e^). 35.34. Тензоры типа (0, 3). 1) ^Hjk — CHbjCj^ 2) dijk — ^i^j^'k') 3) f^ijk — diCLjCLk T bibjbfc T C^CjC^. 35.35. Тензоры типа (0, 3). 1) «123 = «321 = 1, остальные компоненты нулевые; 2) ащ = <1222 = «ззз = 1, остальные компоненты нулевые. 35.37. 1) В каждом из сечений переставляются две последние строки и два последних столбца; кроме того, двапорядка; 2) 24; 3) 54. 35.31. 1)2) матрица H^jb/Ц — сечение матрицы | 5к1 |, соответствующее фиксированным верхним индексам: i = io^ j = jo- 35.33. 1) f (ж, 1/, z) = = aijk^^^'i 3) a^^ = f (e^, e j , e^). 35.34. Тензоры типа (0, 3). 1) ^Hjk — CHbjCj^ 2) dijk — ^i^j^'k') 3) f^ijk — diCLjCLk T bibjbfc T C^CjC^. 35.35. Тензоры типа (0, 3). 1) «123 = «321 = 1, остальные компоненты нулевые; 2) ащ = <1222 = «ззз = 1, остальные компоненты нулевые. 35.37. 1) В каждом из сечений переставляются две последние строки и два последних столбца; кроме того, два110 ’0 ’последних сечения меняются местами: А727. 2) Все элементыпоследних сечения меняются местами: А727. 2) Все элементыматрицы меняют знак. 3) I2A731.35.38. Если ej = emi1 томатрицы меняют знак. 3) I2A731.35.38. Если ej = emi1 тоfijт^тла к = атк 3.то S~A = ST.1-3 0^-310fijт^тла к = атк 3.то S~A = ST.1-3 0^-310У к а з а н и е: если S — матрица перестановки,У к а з а н и е: если S — матрица перестановки,35.39.1)35.39.1)2-12-1;4);4)-16 8 12-11 5 8-16 8 12-11 5 8-8 -6 21 14-43 12 8-8 -6 21 14-43 12 8119 ’119 ’2)2)7 9 12 1611 15 18 25 ’7 9 12 1611 15 18 25 ’36.4. 1) а)А660; б)А662,36.4. 1) а)А660; б)А662,
0 0
0 0
0 0
0 0
0 1
-1 0 ’
0 1
-1 0 ’
0 -1
0 -1
0 0
0 0 ’
0 0
0 0 ’
порядка; 2) 24; 3) 54. 35.31. 1)
2) матрица H^jb/Ц — сечение матрицы | 5к1 |, соответствующее фиксированным верхним индексам: i = io^ j = jo- 35.33. 1) f (ж, 1/, z) = = aijk^^^'i 3) a^^ = f (e^, e j , e^). 35.34. Тензоры типа (0, 3). 1) ^Hjk — CHbjCj^ 2) dijk — ^i^j^'k') 3) f^ijk — diCLjCLk T bibjbfc T C^CjC^. 35.35. Тензоры типа (0, 3). 1) «123 = «321 = 1, остальные компоненты нулевые; 2) ащ = <1222 = «ззз = 1, остальные компоненты нулевые. 35.37. 1) В каждом из сечений переставляются две последние строки и два последних столбца; кроме того, два
порядка; 2) 24; 3) 54. 35.31. 1)
2) матрица H^jb/Ц — сечение матрицы | 5к1 |, соответствующее фиксированным верхним индексам: i = io^ j = jo- 35.33. 1) f (ж, 1/, z) = = aijk^^^'i 3) a^^ = f (e^, e j , e^). 35.34. Тензоры типа (0, 3). 1) ^Hjk — CHbjCj^ 2) dijk — ^i^j^'k') 3) f^ijk — diCLjCLk T bibjbfc T C^CjC^. 35.35. Тензоры типа (0, 3). 1) «123 = «321 = 1, остальные компоненты нулевые; 2) ащ = <1222 = «ззз = 1, остальные компоненты нулевые. 35.37. 1) В каждом из сечений переставляются две последние строки и два последних столбца; кроме того, два
1
1
0 ’
0 ’
последних сечения меняются местами: А727. 2) Все элементы
последних сечения меняются местами: А727. 2) Все элементы
матрицы меняют знак. 3) I2A731.35.38. Если ej = emi1 то
матрицы меняют знак. 3) I2A731.35.38. Если ej = emi1 то
fijт^тл
а к = атк 3.
то S~A = ST.
1-3 0
^-310
fijт^тл
а к = атк 3.
то S~A = ST.
1-3 0
^-310
У к а з а н и е: если S — матрица перестановки,
У к а з а н и е: если S — матрица перестановки,
35.39.1)
35.39.1)
2
-1
2
-1
;4)
;4)
-16 8 12
-11 5 8
-16 8 12
-11 5 8
-8 -6 21 14
-43 12 8
-8 -6 21 14
-43 12 8
11
9 ’
11
9 ’
2)
2)
7 9 12 16
11 15 18 25 ’
7 9 12 16
11 15 18 25 ’
36.4. 1) а)А660; б)А662,
36.4. 1) а)А660; б)А662,
в)Аббз; 2) а)Абб4, б)Абб5, в)Абее; 3) а)Аббь б)Абб7, в)Аб71; 4) a)A7i8, 6)^714, в)А715. 36.5. 1), 3) линейно зависимы; 2) линейно независимы. 36.6. 1) 2р+9; 2) базис состоит из всевозможных тензоров,
у которых одна компонента равна единице, остальные — нули. 36.7. Упорядочим компоненты тензоров так: 2) (а^, d2 , «2, а2); 3) («п, «12, «21, «22); 4) («^, «|2, «^, «22, «^, а^ «21, ^22)7 и пусть Т = S-1. Тогда матрица перехода в пространстве тензоров есть: 1) Тт, 2) S 0 Тт; 3) Тт 0 Тт • 4) S^TT 0 Тт. 36.9. 1) (2, 0), А^ 2) (1, 1), А5; 3) (1, 1), А^ 4) (0, 2), А5; 5) (0, 3), А656; 6) (0, 3), А657; 7) (0, 3), А658; 8) (2, 1), А668; 9) (3, 0), А659; 10) (2, 1), А659; И) (07 4), А689; 12) (0, 4), А690; 13) (1, 3), A69i;
14) (1, 3), А710; 15) (0, 4), А695; 16) (О, 4), А696; 17) (2, 2), А716;
18) (3, 1), А697 . 36.10. 1) а 0 ЬТ = Ьт 0 а; 2) b 0 ат = ат У 6; 3) а У 6; 4) b 0 а. 36.11. 1) aijbkl; 2) аг^Ьк1; аг^Ьк; aijbki; a^bki; a^bki. 36.12. 1) хтц; 2) цтх. Билинейные функции, определяемые формулами: 1) Ь(ж, у) = fy^gQyy 2) Ь(ж, у) = g(x)t(y). 36.13. Ли
нейное преобразование у? пространства £П1 определяемое формулой
<р(х) = £(х)Уч имеет матрицу цх в базисе е. 36.14. См. ответ задачи 36.12. 36.15. 1) Тензор типа (2, 0); 3), 5) тензоры типа (1, 1); 6) тензор типа (2, 1); 7) тензор типа (2, 0); 8) тензор типа (0, 2);
выражения 2), 4) смысла не имеют. 36.16. 1)
5)
-11
7 -И
; 6) А672; 7)
4 8
6 18
; 8)
52 -18
-7642
Дно; 2) Л199, Ази; 3) Д99, A3i2. 36.18.
2 4
0 2
;3)
0 -4
22 ’
36.17. 1)Л199,
1) а ^ b^ 2) а 0 b О с,
где а, b — векторы, с — ковектор с компонентами, соответственно равными (1, 1), (1, — 1), (1, 2). 36.20. 2) (яд + х^Х^Уг + 2?/2); 3) координатные строки функций fi, gi, f2, g2 соответственно равны, например, (2, 1, -3, 0), (1, 2, 3, 0), (1, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 1).
Разложение не единственно. У к а з а н и е: использовать задачу 16.31. 36.22. 1) Значение линейной функции на векторе; 2) образ вектора при линейном преобразовании; 3) значение билинейной функции на паре одинаковых векторов. 36.23. 1) Да; 2) нет; 3) нет. 36.24. с} = а\Ьк (свертка). 36.25. 1) (6, 8, 2)Т; 2) (0, -1, -2);
3) -12. 36.26. 6.
3)Т. 36.28. 1) а)
36.27. 1) а) (4, 7)Т; б) (8, 8)Т; 2) а) (3, 0)Т; б) (5,
д) 3; е) -5; 2) а)
д) 0; е) 1; 3) а)
6
8
1
2
0
0
10
12
3
2
0 о
; б)
;б)
е) 4. 36.30. 1) Нет; 2) да.
2) А^^ 3) А648; 4) А649.
1
5
3)
4)
б)
-4
4
0
-5
-7
7
-5
0
-1 1
-4 4
5 -5
-5 13
-1
1
3
4
3
5
-1
-2
-2
2
-10
10
-2 1
-5
5
-4
3
2
6
36.31. £(ж, y)=g(y, ж). 36.32.
; д) 18;
1) ^16 5
36.33.
1) к'.; 2) Лб48, Аб49,
1 2
5 6
3
7
4
8 ’
3
7
1
2
3
2 4
6 8 ’
11
12
13
1 2
5 4
3 4
7 8
21
22
23
9
13
4
5
6
1 5
2 6
14
15
16
3 4
24
25
26
7
8
7
8
9
; для тензора типа
(3, 0) ответ
тот
же;
10
14
17 :
18 :
19 :
1 5
9 13
27
28
29
. 3
; 11
1
11
21
7
15
2
12
22
3
13
23
4
5
14 15
24 25
6
16
26
7
17
27
8
9
18 19 ;
28 29
11 12
15 16
2 6
10 14
4 8
12 16
36.34.
ckl — alk*
36.35.
1)
О
х^у1 х^у2
х2ух х2у2
3)
-(xV-^V)
5) (ж^п + £2(221 ,
|(ж1У2"
0
.2^1
1^2 I
; 2)
ж1^ + х
ю)
12), 13)
а1 а2
а^
ft2
16)
б)
«1 (22
О О О о
(21 (21
О -1
1
О
б)
О
о
-1
^2
О
а2
О
о о
G^2 ft2
оо-3/2
. 36.36. 1) а)
з) а)
1
3/2 . О
1 -1
-1
х^у1
l^y1 +
; 4)
1
2
х1ац хга21
х2ац x2a2i
^(ж2«1ар2 -
,2„,2
х1а12 хТа22
х2а12 х2а22
1
1
; 14) а^ +
а^ 15)
«1 о
а2 О а^ О
^2 °
О (21
О а2
О а^
О а2
2
3
3
3
;б)
0 2
-2 О
1 О
О 1 ’
2 ; б)
О
О
о
О ; 4) а)
1
2
2
3
2 5/2
2
5/2 ;
1
36.37. 1) а) А676; б) А650; в) А677; г) А678;
2) а) А679; б) А680; в) A68i; г) А682; 3) а) А683; б) А720; в) А729; г) А730.
36.38.
1) а) А698; б) А699; в) А700; 2) a) A70i; б) А702; в) А703.
36.39.
1) а) А675; б) О; в) А675; 2) а)
1 °в) 3/2
б) Л705;
б) Л 733;
О -3/2 -1
1
О
О -1/20 2 ,А .
■*; б) Л674;
1/2 О
g ; 3) а) Л722; б) О; в) Л725.
в) Аоб5 2) а) А707; б) А708; в) А709.
2) а) А723; б) А734.
-2 О
1) а) Л704;
1) а) Л731;
36.42.1) Антисимметричен по
трем индексам; 2), 3) антисимметричен по первому и третьему индексам; 4) симметричен по первому и третьему индексам; 5) антисимметричен по первому и второму индексам.
36.43.
36.49.
1) а) 6; б) 1; в) 0; 2) а) 11; б) 27; в) 1.36.45.
1) п; 2) 5^; 3) (п3 - Зп2 + 2п)/6; 4) (п3 + Зп2 + 2п)/6; 5) па‘
О
О
О
о
о
о
ООО
о
0. к 'к*
36.53.
1)0 0 3 0 0
О
5
О
2
О
О О О 0 ; 2) О
О о
О
ООО
О -5
о
3 о
о о
2
о о о
о о о
о о о
о о о
о о о
36.55.
1) -4.59 + ^-20 5 2) Е + А29; 3) А233 + А242. 36.56. 1) 25^5^
2) fc!^ ...%. 36.57. 3)(е1, £2) = к1 + е2)2 + (V^2
Представление не единственно. 37.1.2) а)
1 cos а cos а 1
37.2. Указание
если S — матрица перехода от некоторого ортонормированного базиса к данному базису е, то матрица Грама базиса е равна ST S\ можно использовать также задачу 35.21. 37.4. 6^дг^. 37.5. д^д^.
37.7.
1) g4gikay, 2) а^ = 0.37.8.
60 -34
б)
60
-34
-56
23
22
37.9.
1) Нет; 2)
6
8
11
402 -248
-2
6
3
-248153
; 2J
1 aj
1
—
1
; о;
19
4 7 13
2 -
-1 13
14 17
4 7 17
; б)
6
9 19
; ]
в)
8 9
11 19 25
13
17 25
5-
5 67
37.10. 1)
а)
10
-23
1 -4
; 1
; б)
-1
42
13 -
-37
б)
3
18
-9
2
-16
43
-2
33
-21
-37
21 ’
-9 ’ 3)
21
-1
7
51
71
37
16
-45
2) а)
10 17 24
1
-1
-3
37.11. 1) a) Л683; б) Аб47;
в) А647; б) Азе; б) А12-
37.16.
г) А686; 2)
а) As?; б) Ass; в)
Азт- 37.12. 1) а)
А684; г) Л685; 3) а) Л735;
Ais; б) A7i9; 2) а) Л7ц;
37.13. 1) 2«(is); 2) а»; 3) а^
37.14.
ij
^Imk — dlidmj^..^'
Вектор д получается из х поворотом на тг/2 в направ-
лении, противоположном направлению кратчайшего поворота
от ci к 62, если 61, е2 — правый базис. Указание: вычис
лить компоненты вектора д в правом ортонормированном базисе.
37.17. Указание: найти компоненты % в правом ортонорми
рованном базисе. 38.1.
0 а3 -а2
—аз 0 ai а2 —а!0
(знак + для правого
базиса). 38.3. 1) А29; 2) АзГ, 3) Азд. 38.4. 1) (42,-42,84); 2) (-2, 0, 4); 3) (-2, -2, -2, 0, 0, 0); 4) (0, 0, 6, 0, 6, 0). 38.5. 1) 0; 2) 4; 3) 156; 4) (-138, -192, 48, 114); 5) (0, 0, 1, 1); 6) (-12, -12, -18, 0, 18, 18, 0, 24, 24, 0). 38.6. 1) 6; 2) 0; 3) -6; 4) (-6, 33, 45, -15); 5) -с204. 38.9. (р!)-Че1||ГА)||. 38.10. 1) -8; 2) 3. 38.14. Матрица, составленная из миноров второго порядка матрицы S. 38.18. 1), 2) нет; 3) да. 38.19. 1), 3) да; 2), 4) нет. 38.21. Векторы р1--гР-1 = иг1"Лр”1кек лежат в подпространстве, порожденном разложимым р-вектором и. 38.22. Нет. 38.23. 1) Линейная оболочка векторов (1, 0, — 1, — 2)т, (0, 1, 2, 3)т. 3) Линейная оболочка векторов (—1, 1, —4, 0)т, (—1, 0, —2, 1)т. 2), 4) {о}. 38.25. 1), 2) | (2, 1, 3, 2, 4, -1); 3) | (9, 5, 1, 4, -1, -1).
1) (0, —10, — 1, —3)т + а£; 2) (0, 4, 2, 6)т + а£ (а — произвольное число). 38.27. 1) (4, 4, -4, —4), ^ - £2 - £3 + £4 = 0; 2) (13, 8, —3, 5), б^1 — 3£2 + 8£3 — 13£4 = 0. 38.29. 1), 4) не существует; 2) g2 = (l/2)fx + af2; 3) g2 = —f1 + af2 (а — произвольное число). 38.31. 1) f1 A f2, f1 = g1 - 3g3, f2 = g2 - 2g3; 2) f1 A f2 + f3 A f4, f1 = g1 + g2, f2 = g2 + g3 + g4, f3 = g3,f4 = g4; 3) f1 A f2 + f3 A f4, f1 = g1 - g3, f2 = g2, f3 = g3, f4 = g4; 4) f1 A f2, f1 = g1 + g3 - 3g4, f2 = g2 + g3 + 2g4 (g1, g2, g3, g4 — базис, биортогональный исходному базису в £4).
БАНК СТОЛБЦОВ И МАТРИЦ
Столбцы
1. II -3 II
2. II 6 ||
3.
II -9 II
4. || 1-
2г ||
5
• Ц7 + г||
7.
4
-1
6
-4
6. II 6-7г ||
-2
8.
1
9.
8
10.
6
40
1
1
7
-2
11.
85
!2. х
13. 2
14.
-1
15.
3
17
3
3
0
16.
-9
!7. (
18.,
19.
-4
20.
-2
10
L4
2
-2
2
21.
-6
22._
-9
23.
-1
24.
1
25.
4
26.
-1
$ + 2г
28.
1
29
3
-1
2г
27.
—г
6
е 2
30.
1
1
2
2
1
1
31.
-1
32.
-2
33.
1
34.
* 3
35.
4
36.
3
-3
37.
2
6
38
5 + 8г
_5 4" 2г
39.
3 + г
7 — 6г
40.
1 +
3
г
41.
1 + 2г
6 +2г
42.
3-г 3-бг
43.
1 -
-2 -
- г
- 2г
44.
г
2
45.
2 + Зг
—Зг
46.
2
-4
47.
1 + г
1 + Зг
2
0
1
1
48.
—4 + 2г
49.
1
50.
0
51.
1
52.
-1
—3 + 7г
10
-3
-1
1
7
9
4
2
1
53.
1
54. 0
55.1
.0
56.
11
57.
0
1
0
9
4
0
20
3
1
D
8
-5
58.
-5
59.1
0
60. J
5
61.
-3
62.
-2
65
1
4
1
5
-9
1
63.
1
2
-2
64.
-1
1
2
65.
-4
1
5
]
66.]
]
L
L67.
L
0
1
2
-1
-26
3
12
-5
68.
0
69.
-11
70.
9
71.4
72.
1
1
-67
6
3
3
-9
-3
1
1
0
73.
7
74.
71
75.
2
76.1
77.
-1
17
41
0
-3
1
3
20
2
6
-5
78.
1
79.
-2
80.
6
81. 3
82.
7
-7
42
11
3
-3
1
4
7
А
2
83.
2
84.
3
85.
-2
86.5
87.
А
3
1
А
7
5
5
1
2
а
15
88.
6
89.
2
90.
3
91. а2
92.
15
А
-1
1
Q3
-3
1
3
2
-3
23
93.
2
94. ‘
2
95.-
2
96.0
97.
-18
2
1
4
1
3
1
1
-1
1
—г
98.
2
99.
1
100.-
-1
101.-2
102.
1
4
1
2
1
0
V4
V3
1
5
14
103.
V2
: - V4
104.-2
105.-3
106.
-9
V3
V2
3
0
0
1
-1
2
2
107.
-3
108.
5
109.2
110.
-1
4
4
-1
1
-3
11
-5
20
111.
1
112.
-5
113
.3
114.
1
1
0
1
-12
-1
4
5
0
-1
115.
5
116.
2
117.
3
118.-4
119.
4
7
1
2
15
0
2
-3
-2
12
120.
-1
121.
2
122.3
123.
12
-5
0
1
-8
124.
-3
6
-15
125.
5
3
13
126.
1 — г
2 + г
3
127.
0
— 1 + 2г 3-г
-2
-1
—2 + г
1
128.
1 +
г
129.
2 + г130.1 + г131. -г
1
1
1
1 + г
1
-1
1
2
132.
0
133.
2г
134.-2135.1 + г
Зг
—2 + г
i
—г
0
7г
7
-2
136.
5 +
г
137.
—7
- 2г
138.
0139.-2
-3?
— 1 + 7г
12
-2
4
2
0
1
1
140.
4
141.1
142.1
143.1
144.1
4
1
1
2
0
2
1
5
2
145.
0
146.
4
147. -2
148.0
-1
1
-1
3 + г
1
—
1
2 -
- г
Зг
149.
4
150.
4
:151.-4 +2г152.-6г
3 + 2г
3-
4г
1 + 2г
-3
6
3
6
6
—г
1
П
6
.1
153.
-1
154.
5
155.
0156- 0157-10
—Зг
2
—
1
1
-7
9
8
4
1
9
158.
19
18
159.3
3
L1
160.:
1R13
31611 0
162. ^
13
-9
D
1
6
2
1
0
1
0
-2
2
1
1
163.
1
164.
165. J
166
. т 167. х
1
1
2
1
2
0
10
-1
-1
3
168.
1
0
469.19
1701 ^
171
1
• 1
172. ®
0
28
14
0
3
4
-1
1
-1
-2
173.
3
1
174.
175. »
176.
-217711
2
1
1
-1
2
178.
8
-5
10
-5
179.
2
0
-1
1
180.
5
-7
5
-6
181.
1
17
19
23
182.
1
0
0
1
1
-11
1
1
1
2
4
1
1
-3
183.
0
184.
0
185.
0
186.
-1
187.
1
0
0
0
1
0
7
-2'
-3
2
1
-9
(
1
-1
0
188.
1
189.
3£
?190.
)
1
191.
0
192.
3
3
£
0
1
0
0
2
10
1
1
193.
0
0
194.
0
0
195.
0
-7
196.
2
1
197.
1
2
1
0
6
3
2
1
3
-1
1
1
1
-5
8
-7
0
198.
1
199.
7
200.
-6
201.
5
202.
1
3
2
5
-2
3
2
3
0
2
1
203.
2
2
204.
3
3
205.
0
1
206.
2
3
207.
1
1
2
3
1
3
2
-4
5
1
1
3
-2
1
5
4
1
208.
-1
209.
9
210.
-2
211.
-1
212.
4
8
9
5
5
8
4
1
1
2
17
4 г
1
3
213.
-5
214.,
5 — г
215.
1
216.2
18
-2 — г
1 — г
4-
- г
0
3
4
L
10
-2
2
2
217.
-5
218.
6
219. :
5
220.:
L
8
3
8
3-
- г
0
0
0
1
1
2
2 4- i
0
221.
0
222.
0
223.0
224.
1
з-'
1
5 — 2г
6 + г
-1
225.
1
-1
2
0
226.
-1
1
1
3
227.
1
-1
1
-1
228.
0
1
0
1
229.
1
1
2
-1
5
2
4
10
1
5
2
-1
84
230.
0
0
231.
0
0
232.
0
-2
233.
-5
3
234.
6
27
0
0
-2
-1
1
-2
-2
2
4
8
-1
1
-1
235.
3
236.
0
237.0
238.
6
-1
1
-1
-12
3
2
-2
1
-1
2
2
4
2
2
-5
5
-1
-1
239.
-3
240.
9
241.
5
242.
1
243.
2
4
7
3
2
3
-5
-4
1
3
3
-2
-7
0
30000
10
-5
1
3000
244.
-10
245.
7
246.1
247.
100
-14
-59
0
40
30
9
2
3
-1
1
0
2
-1
-3
0
0
248.
0
249.
-2
250.-1
251.
2
1
3
0
-2
1
0
1
1
7
0
0
1
6
0
12
2
1
8
252.
2
253.5
254. 0
255.
. 1
256.
0
0
0
0
1
0
-17
0
1
1
0
0
1
-11
2
-3
-2
0
3
257.
3
258.
1
259
.3
260.
4
3
0
0
-1
0
0
2
0
261.
5.
8.
11.
2
-1 О
2
-1
262.
40000
-11000 1100
-50 1
263.
-1
2
1 О
3
269.
265.
270.
264.
2
1
4
2
1
-2
-1
О
О
1
2
—3 — г 6 + 4г 4 — Зг
274.
278.
283.
Матрицы
1
1
1
0 II
-1
-1
13574
28423
13647
28523
О -2
1 3
-12
13 ||
6.
3
5
4
7
9.
12.
1
1
1
1
з. II1
9
-5
1
1
7.
4. || О 1 О 0 ||
2 + V5 1
2
-5
3
13.
1
О
1
1
10.
14.
2
1
5
3
1
1
О
О
15.
-1 0
0 1
16.
1
1
-1
1
17.
3 5
5 9
18.
1 2
1 3 4
1 1
0
-1
0 0
0 1
19.
1 2
20.
1
0
21.
0 2
22.
• 1 0
0 2
1
-1
7 -4
5 14
23.
-2 0
24.
-1
2
25._
-53
26.
6 13
27.
1 -3
-2 6
28.
1
3
3
1
29.
Ve з
30. •
25 60
60 144
1 2
1
3
21
2 1
31.
1 2
32.
3 10
33._
1 -1
34.
1 1 1
1 -1
0 2
-4 5
35.
-2 2
36.
-1 -3
37.
5 -4
5 3
3
1
1 -2
0 2
38.
-3 -1
39.
-3
0
40. J
3 1
41.
12 -3
5 -8
1
п
Л Л5
-1
1 -1
42.
2 -3
43.
0
1
44* 4
1
45.
3 -2
46.
-4 0
1 4
47.
5 -2
2 8
48. 4
/3 -i
-1 3/4
4 -3
0 -
-1
7 -2
11 -2
49.
12 -8
50.
1 -
-1
51181
52.
18 -1
53.
1/2
V3/2
54.
i/Vio з/Vio
К к
2 3
-V3/2
1/2
-з/Vio i/Vio
ОО.
1 3 5
1 1
2 5
1
-2
1 2
56.
1 3
57.
5 13
58.2
: 5
59.
2 -2
60.
1/V5 -
-2/V5
61.
1/V2 -1/V2
624/5 3/5
2/V5
1/V5
1/V2 1/V2
-3/5 4/5
63.
-3/VT
[ -2/VT
64.
з/Vio
i/Vio
-2/Vl
з з/Vn
1/vTo -
з/Vio
1 4
1
2
cos Tia -
■ sin Tia
65.
67.
1 1
1
3
sin Tia
cos Tia
68.
5 -3
-1 1
69.
1
1
1
-1
703/5 4/571
701 4/5 -3/571
2 1
1 3 1
3 -1
5 2
_7
4
-4 -5
72.
2 4
73.
1 0
741 _8
-1
75.
10 10
76.
79.
82.
85.
89.
92.
96.
100.
103.
106.
111.
115.
119.
123.
127.
COSQ sin а -
sin а
- cos а
77.
cos а — sin а
78.
£ 1
-1 £
sina
cos а
0 £
1 -
-£
81.
1 + г V2
3
80.
s-1 0
— Е
1
11 -
- г\/2
г 1
12
— г
84.
1 - й/2
1
1 г
83.•.
г 1 +
2г
31 + г\/2
1 —г
86.
5 г
87.
11 + г
1 г
1 г
—г 1
1 — г
3
г 1
1
—г
9°.^
+ г 1 + Зг
911 —
6-4г <
2 + г
2 + г 1
- 2г
-2г 1 + 2г
Н7г
г 1
1 г
93.
г — 1 г + 1
г + 1 г — 1
94.1
—г
95.
0 2
0 2г
1 0
97.
г 1
0
1
оо2
1 + г
г 1
-1 2г
98. х
2г
99.,.
— 1 — г
1 — г
1 2г
Ю1. 4
2 5г
1 г
—г
г —1
\г —5
102..
—г
1 — г
0 г
104.
5 -3
_5
-12
—г 0
-3 2
105.12
-5
3 1
0 1
0 0
107.
-2 0
1 -2
108.
1 ;
-2 :
2110.
L
2 1
1 0
1 1
0 0
о :
1
3 5
1 1
112.1 -1
из. о :
1114.
5 9
2 2
1 0
1 ।
3
4 7
4 4
1 0
1
2
3 4
3 3
116.01
117. 2
3118.
5 7
1 1
-1 -1
3
4
2 3
5 -
4
-1 -
1
L 1
1 1
-8
6120.1
о 121.:
L 0122.
1 0
3 -
2
0
1
(
3 1
0 1
1 -2
1 0
1
0
3 2
1 0
124.01
125
.0
1126.
3 1
0 1
-4 -3
-1
2
-2 0
0
0
1 0
1
0
0 0
-1
0128. 0 1
129.0
1130.
0 1
-2 -
1
а b
-1
1
1 0
131.
0 0
1 0
0 1
132.
1 2
3 0
0 2
133.
0 0
0 1
0 7
134.
0
1
0
0
-2
5
0 0
1 1
2 1
3 3
135.
0 0
136.
3 5
137.
4 0
138.
9 0
0 1
0 0
2 3
0 0
0 0
-4 -1
-3 -
2
2 3
139.
0 1
140.
21
141.
1
0142.
1 0
1 1
-1 -1
0
1
1 1
-1 5
1 2
4
0
0 1
1 4
3 4
-5
-1
143.
-11 144-
1 0
145.
2 3
146.
1
0
0 0
0 1
4 5
0
1
1
0
1 1
—
2 0
1
2
1 -
-1
1 2
1 0
-2
-3
147.
0
148.
1 1
149.
0 -4
150.
1
0
-4 -
-1
1 3
0 3
0
1
11
5
1 0
12
1
-2 -
-1
0 1
0
151.
1
0
152.
-4 5
153.
0
-15
0
1
0 1
0
18
1
2
1 0
24
-1
1
0
2 0
0
154.
-2 -
-3
155.
• 0 3
156.
0
-22
0
1
0 4
0
16
1 -
-1
-3 1
-3
0
-1
2
-4 2
1
-1
157.
1
0
158.
1 0
159.
1
1
0
1
0 1
0
1
12
20
1220
-1
-2
-6
-10
2036
1
2
160.
20
36
161.
-6 -10
162.
-3
-4
-10
-18
-10 -18
3
4
0 0
5 1
7
11
-1 -
-2
1 0
2 -1
7
10
-3 -
-4164.
0 0
165.
2 -1
166.
1
0
1OD.
1
2
0 1
1 0
0
-1
3
4
1 1
0 1
17
28
167.
-1
1
1
1
0
-1
168.
1
1
. 0
0
1
1
169.
1
-1
-1
6
-7
12
1
0
-1
0
1
0
0
1
0 -
-1
0
5
-2
5
8
5
3
2
-2
-1
-2
-3
1
-4
170.
2
-2
171.
24
17
172.
7
10
3
0
16
11
5
6
0
3
-10 -
-13
3
-16
0
10
-5
0
17 -8
4
3
-4
-1
173.
1
-7
174.-
-8 17 -
-4
175.-4
18
4
7
6
4 -4
11
-1
4
3
1 0
1
1 1
0
6
4 1
176.
0 1
0
177
;1 2
1
178.
4
5 2
1 0
2
0 1
2
1
2 1
3
-2
1
1 -4
-1
0
-1
2
179.
-2
2
-1180.
-4 16
4
197. 2
0
-4
1
-1
1
-1 4
1
0
1
2
-2
8
6
0
1 0
0
0 1
198.
-4
10
6199. 0
0 0
1200.
0
1 0
4
-8
-4
0
0 0
1
0 0
2 1
-1
1 2
2
2
2
-1
201.
3 1
-2
202.
21 -
2
203.2
-1
2
1 0
1
2 -2
1
-1
2
2
-2
3 1
1 2 3
-1
1
1
204.
3
6 2
205.
2 3 4
206.-5
21
17
1
2 1
3 4 5
6 -
26
-21
1
2
0
0 0
0
1
-3
-1
207.
2
5 -
2208.
1 -1 -
-3
209.-2
7
2
0 -
2
5
1 3
5
3
2
-4
0 1
3
3 0
0
4
-1
-1
210.
2 3
5
211.
2 6
4
212. 2
1
-2
3 5
7
-2 -3 -
-1
4
-4
-1
1 1
1
13 16
16
0
6
1
213.
2 2
2
214.-
-5 -7 -
-6
215. 6
3
-3
3 3
3
-6 -8 -
-7
1
-3
-3
1 2
-1
2 5
7
4
2 0
216.
2 3
1
217.
6 3
4
218.
1
3 5
4 7
-2
5 -2
-3
1 -
2 3
219.
2 3
4 3
3 2
4
8
1
220.
1
3
-2 -
5
9
-7 -
3
4
-3
221.
4
2
4
1 -1
5 -2
4 -1
1
1
1
2
3
1
2
4 -3
222.
2
2
2223. 3
7 -
-6
224.
4
4 7
-3
-3
-3
5
8
1
1
4 2
2
-1
1
3 2
2
1 1 1
225.
1
-4
3226.
2 4
4
227.
1 2 2
-1
-3
2
5 7
7
2 3 4
1 2
4
2 -1
0
-1
4 3
228.
1 2
4
229.
0 2
-1
230.-2
5 3
2 4
8
-1 -1
1
2
-4 -2
8 -
12
0
1
2 3
1
-1 2
231.
6
-9
0232. 2
3 4
233.
3
-3 6
2
-3
0
1
1 1
2
-2 4
0
2
2
1
2
1
-2
5 3
234.
0 -
1 -
-2235.
1
2
4
236.-2
5 3
0
0 -
-2
-1 -
-2 -
3
2
-5 -3
-1
1
-2
-3
10
-1С
0
1 2
237.
3
-3
6238.
-7
4
—4
[239.-
1
0 -2
2
-2
4
-2
-3
3
2
2 0
-5
4
-2
6
-1
1
0
1 1
240.
2
1
6241. 5
-5
5
242.1
-1 -1
1
-2
-2
4
-9
9
1
-1 -2
1 0
0
4 -4
1
21
10 -4
243.
0 0
1
244.
1 5
-3
245.-10
5 2
0 1
0
3 -2
2
-4
2 1
2
-6
-5
2
-5
—4
И
032
246.
2
-6
-5247.
-3
16
12
!248.-4
0 -8
-2
6
5
4 -
-20
-15
.-Е
0 -16
-3
1 -2
0
1 -2
249.
6
24
250.-1
0 3
-15
5 -10
2
-30
0
0 -
-1
0
-1
2
0
1 1
251.
0
0
4252.
1
0
-2
253.-
1
0 -1
1 -
4
0
-2
2
0
1
1 0
0
3
5
0
1 0
0 0 1
254.
-3
0
2255.-
1 ।
0 3
256.
0 2 6
-5
-2
0
0
3 0
1 6 4
257.
0
4
0
5 4
-4 2
2 9
258.
0 5
4 -6
-1 -4
3
0 0 1
1 0 0
1
259.
0 1
0
0
1 0
1 0 3
-1 -2
2
260.
0
0 1
261.
2 1 2
262.-
-2 -1
2
1
0 0
3 0 1
-3 -2
3
3 -3 1
0 1
1
1 1
0
263.
3-2 2
264.
1 1
0
265.
1 0
1
12 0
-1 0
1
1 -3
3
1
2 0
-1 3 -
-1
1 2
3
266.
1
0 2
267.
-3 5 -
-1
268.
1 1
0
1
-6 6
-3 3
1
-1 0
2
0
2 3
(
) -1 1
0
-2
1
269.
0
1 0
270. :
>1 -2
271. 0
2 -
-3
0
0 2
L -1(
)
0
-2 -
-1
650
-1
4
4
1 -1
3
272.
0 -6 -2
273.
-10 -18 -
-20
274.
21
4
322
913
15
3 -1
5
1 -6 1
0 1
1
0 1
0
275.
5 -3 19
276
. 1 1
0
277.
2 0
4
1 -4 3
1 1
1
-3 0-
-6
42 —
8
2
4
4
0 2
1
278.
62 -1
2279
.2
3
4
280.
2 8
2
8 -31
6
-3 -
-5
-6
1 2
0
-9 37
1 1
1
2
5
1
281.
1 1 -1
282.
1 -1
0
283.-1
-3
0
11 39
1 2
1
-2
-3 -
-2
2 -1 -1
2 -1
0
5
4
4
284.
110
285.
-1 2
-1
286.2
6
4
102
0 -1
1
-3
-5 -
-3
7 -12 6
1
L
2
-2 1
2
287.
10 -19 10
288.
-1 :
L -
2
289.
-1 0
2
1!
2 -24 13
2 -2
4
-2 0
3
2
1 -3
2 -1
1
1
-2 -
-1
290.
3
-2 -3
291.
12 -
1
292.-1
1
1
1
1 -2
1 -1
2
1
0 -
-1
1
10 3
2-2 0
4
2 -
-6
293.
2
1 2
294.-
-29 2
295.2
1 -
-3
3
10 1
02 2
-6
-3
9
296.
3 -2
-2 6
6 3
6
3
-2
297
00
. 0 -1
0
1
1
298.
0 1 1
1 0 1
2 2 1
0
0 -
299.
-2 -2
2 3
-3
6
300.
2 4
0 5
-4
-3
0
301.-2
-6 -2
-4 -2
302.
305.
308.
311.
313.
315.
317.
-1 -2
3 1 0
0 3 0
0 0 2
2 -1
10
3 -1
5 -1
-1 1
20
2 5
4 10 -
0 0
2/3 1
1/3
-2/3 1
-1/V6 i/Vo
-2/V6
0
3/5 —4
-4
-1
-1
-2
2
0
4
2
-4
0
-/V2
0
-/V2
-1/
-1/
1М
1/V5C
0
303.-1
2
306.
309.1
-1/(3V2) 4/(Зх/2) 1/(Зх/2)
V2 1/V3
V2 -1/V3
з -1/V3
!1/V2
) 4/V50
-1 3
3
8
-14
1 -2
1 4
1 2
L 1 0
L 1 0
L 1 0
3
3
1
3 6
-10
5 2 t -2 > -3
14.
И6.
18.
2 114
2 1 -1
304.-1 01
1 10
42 4
307. 2 -3 0
40 4
-21010542
310.100-50-20
40-20-8
42105-42
312.-20-5020
-8-20-8
2/V5 1/V30 1/V6 05/V30—1/V6
—1/V5 2/V30 2/V6
1/V2 -i/Ve 1/V5
0 2/Ve 1/V3 1/V2 i/Ve -1/V5
I/Vlo 1/V2 2/V10
I/Vlo -1/V2 2/V10
319.
4/5 2
1/V2 0
1/V50 -3/V50
1/V6 -1/V3
-2/V6 -1/V3
320.
]
]
2/V50
L/V2 1/V3
L/V2 -1/V3
1/V5
-1/V6
1/V6
321.
323.
-1/V2
-1/V6
1/V6
-2/V6
1/V2
0 -
1/V6 -1/V3
5/V300
1/V30 -2/VE
-2/V30 -1/Vl
1/V18 2/3
-4/V181/3
j322.
324.
о —1/V3
1/V2 1/V3
о 1/V5
-1/V2 1/V3
1/V20 V3/2
Уз720 1/2
-2/V6
1/V6
-2/V6
1/V6
-1/V5
V375
1/V2 -
-1/V18 -2/3
2/V50
1/V5
9/(7V10)
i/Vio
6/7
1/V18
1/V2 2/3
325.
3/(7Vio)
-3/Vio
2/7
'326.
4/V18
0-1/3
2V10/7
0-
-3/7
1/V18 -
-1/V2 -1/3
2/V14
-7/V75 -<
V(5V42)
327.
1/V14
-1/V75 31/(5V42)
-3/V14
-1/V3
1/V42
2/V14
-1/V5 6/V70
1/V2 1
M 1/V3
328.
1/V14
2/V5 3/V70
329.
1/V2 -1
M -i/V3
-3/V14
05/V70
02
M -i/V3
1/V3
-i/V3
i/V3
0 0 2
330.
1/(3-V3) 1/(3+ V3) -
-i/V3
331.10 0
1/(з+ V3) 1/(з-V3)
i/V3
0 1 0
1 1 0
-24 1
1 3 3
332.
-1 1 1
333.
20 1
334. 0 2 5
2 0 1
2 -4 1
0 0 4
1 12
2-13
3-2 3
335.
0 1 -2
336.
01 1
337. 12 1
1 10
10 1
01 1
-3 25
0 -1 1
13 -3
338.
9 0-9
339.-
-10 2
340.
-3 -5 -3
0 33
1 -1 1
112
1 2 -1
31 -1
1 1 1
341.
0 11
342.
20-2
343.1 1 0
0 20
3 -1 -1
1 0 0
5 52
0 V2 V2
002
344.
1 0 -2
345.
>0 V3
346.
020
1 51
V6 V6 о
-3 -2 -1
2 12
2/3
1 0
0
01/2
347.
1 2 -2
348.
-1
о 0349. 1/V2
-i -3/Vs
-2 21
2/3
0 1
0
2V22
1 -4
1
1 3 Vo
350.
-4 16 -
-4
351.
3 1 -Vo
1 -4
1
A
/в VO -2
V2 1
1
2 -
v/372 3/V2
352.
-V2 1
1
353. 0
22/V3
0 V2
-V2
0
02
354.
356.
358.
360.
362.
364.
366.
369.
371.
373.
375.
377.
0 27/V14 -65/V42
355.
1 1/V2 З/д/2
00
00
14/V3 0
0
0
21
0-1
2 4/V3 8/V6
2
4/V3 8/V6
0 -2-
V2
357.
0
2
00
2
0
2-2
-2 4/V3 7/V6
200
02
3/V2
359.
0 -1 -V3
00
2
0 V3 -1
3 0
0
200
0 1 -‘
2V2
361.
0 -1 -V3
0 2V2
1
о V3 -1
-4 0
0
1 1 1
0 3-
V7
363.1 ш ш2
0 V7
3
1 ш2 ш
ху
ж + у
1 1 1
у х 4 у х
365.1 а а
х + у X
1 а2 а2
1 1 1
3691+^
/2 г - V2 1
а b с
367.
4 8 12368.1 + гд
/3 г - V3 1
а? Ь2 с2
2 7 А1 + Л
Д г - V4 1
1 — г -
-3 + 2г 2 —
г2 + г
—32 + г
-4 + 6г -
4 — Зг—Зг
370.-1 + 2г
2-Зг 1-2г
—9 + г
5 — г 4
2 + г
—
3 + г 0
11
— г 2 + i
1 2г 1-г
1 — Зг -2
— 4г 5 — 5г372.
-г 2 —1 — г
2г 2 + 2г —2 + 4г
3 6г З-Зг
0 2
2
0
2г—2г
1 2
2
374.1
2г—2г
1 3 + г 3
— г
1
Зг
- 1 -Зг - 1
1 1 + г
1 — г
1 + г -
-1-г 2 + 2г
1 1
1
376.0
г2
1 —г
г
0
-13 + г
1 1 -
г 0
1 г 0
8 1 г
1 + г 3
г378. 010379.
1 г 0
0 —г
1
0 0 +
г 0 1 — 2г
380.
г — г 0
381.
г!^ 0 д/2
382.
—г
z
0
z 2
1 0
/2 0 0
0
1
0 1
0 1
1
0
1 —г
г 1
3 -5
-12
1 1-
zV3
l + zV3
383.
3 9
18
384.
1 1 +
zV3
L -zV3
2 -6
-12
-12
2
1 -2
3
2 0-
1
2 1 0
385.
2 5
-8386.
0 2
1387.
1 2 1
3 -8
14
-1 1
2
0 1 2
2
1 0
388.
1
0
2 1
1 1
389.
2 7 6
-6 1 4
390.
2 1 1
3 0 1
6
8 9
-12 1
10 0
391.
0
1 6
392.
1 -1 0
393.
0 1 0
1
4 3
1 1 3
0 1 3
0
3 2
2 2 6
2 3 5
осы
3 2 0
395. q
1 0
396.
озо 397е
3 5 7
1 0 1
0
2 1
0 4 0
3 4 0
1 -1 -
-1
12 2
2
2 -1
1 0
0_ _
21 2
I
1 -5
398.
0 1
0399е'
51 1
400.
2
-1 2
0 0
1
2 -2 1
L
22
з о
L
1 0 0
2
3 -1
1 0 (
1.
1 0 0
I
7 5
401.
0 1(
)402е (
1 1 0
403.
L
-2 -3
о о :
L
1 0 1
2
5 13
10 (
)
4 5 9
-2
6 -4
01 (
1_
3 2 7
1
-3 2
404.
о о :
'405._
1 3 2
406.
7
-21 14
2 -з :
3
7 7 6
-3
9 -6
242
19
2 33
4 -2 -
-6
1 -2 -1
2
114
21
3408.:
153
409.
-5
0 0
4U / .
147
21
В 1 -2
(
)
-5 0
6 -3 -
-9
274
(
)
0 -5
1
0 (
)
1 00
(
) 01
0
о :
L
2 131
L 1 -5
410.
0
-1 :
1411.
0 5-1
412.
L 00
0
1 (
0 10
(
) 10
0
о
L
0 01
(
) 0 3
413.
1 0
0 1
0 0
0
0
1
-1
0
414.
0 0 0 -1
415.
0 0
1 0
0 1
0 0
-2 1
-2 0
0 1
1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0
0
0
5
3
1
0
1
0
0
101
-26
-2 0
-4
0
1
0
11 -1
9
0 0
2
416.
0
0
0
417.
7 0
0
418.
0 1
0
0
0
0
0 1
0
1 -2
9
0
0
0
0 0
7
21
0
1
1 0
1
0 -1
-2 -2
2
ЗС
)9
4
1
0 0
-2 -2
2
-24 -15
2
419.
1
0 0
420.-
-3 -2
2
421. 4г
$8
9
0
1 0
4 -1
1
—5С
)5
-20
0
0 1
6 5
-5
>2
-3
4
1
9
2
-11
-15
1/21/2
1/2
1/2
422.
9
8
423.
-1/21/2
-1/2
1/2
20
12
5
-1/2 -1/2
1/2
1/2
-3
4
2
1/2 -1/2
-1/2
1/2
2
0
0 -1
1 2
0 0
0
2 -
-10
0 1
2 0
424.
0
-1
2 0
425.
0 0
1 2
1
0
0 2
0 0
0 1
1
2 4
-8
1
3 3
1
0
1 -2
4
1
3 1
-1
426.
0
0 1
-2
427. г
1 -1
3
0
0 0
1
-1
-1 3
3
0
-1
1 1
0 1
0 0
3
0 -
-21
-1 0
0 0
428.
3
1 -
-1 -4
429.
0 0
0 0
0
-1
1 1
0 0
0 0
0
0
0
1
0 0
-1 С
1С
1 -1 0
0
0
0
-1
0._
0 0
0 1
1
.0 0
0
430.
0
1
0
0431-
1 0
0 с
,432. с
10 0
-1
1
0
0
0
0 -1
0 с
)с
10 1
0
1
21
0
1
2 2
2
0 0
9 1
0
1 -2
1.
_ .2
1 2
2
0 0
9 2
433.
0
0 1
-2434е 2
2 1
2435е
0 0
9 3
0
0 0
1
2
2 2
1
1 2
3 4
436.
1
1
0
0
1
0
0
0
1 1
1 1
1 0
1 1
437.
1
-2 -
1
0 -
0 -1 -2
438.
1 1
-1 2
1 4
0 0
1 0
1 0
1 0
0 3
-1
2
-1
0
0
0
1
0
0
0
1
1 1
0
-1 1
-1
1
0
1 1
_1
0 -1
1
439.
1
-1
0 1
440. х
1 0
-1
1
-1 -
-1 0
1
-1 1
0
2
3
4 5
3 3
-4
-3
25
31 17
43
3
3
4 5
0 6
1
1
75
94 53
132
441.
4
4
4 5
442.
5 4
2
1
443- 75
94 54
134
5
5
5 5
2 3
3
2
25
32 20
48
5
4
1 3
i/Vio
1/21/2 2/V10
2
1
1 4
445.
2/V10
1/2 -1/2 —1/V10
444.
3
2
1 1
1/V10
-1/2 -1/22/V10
1
3
-2 2
2/V10
-1/21/2 —1/V10
2
3
4 1
-1
2 0
1
4
3
8 6
1
-1 2
0
446.
3
2
1 5
447.0
1 -1
2
2
2
-3 1
2
0 1
-1
1
-1
3 4
-1
2 -4
-2
1
4
0 -1
_ -2
-2 -9
-7
448.
3
0
0 -3
449.4
-9 0
-5
4
-1 -
3 1
-2
7 5
8
1
2
3 4
2
—2
1 1
0
0 0
0 1
0
1
2 3
-2
С
) 2
0
0 0
0 2
450.
0
0
1 2
451..
6
2
1 -3
0
452.
0 0
0 3
0
0
0 1
0
С
) 0
2
1 2
3 4
0
0
1 4
2
4
t 6
1
1 2
3 4
0
0
2 5
1
5 3
1
2 3
4 5
453.
1
2
3 6
454.3
-е
> -9
1
455.
3 4
5 6
4
5
6 7
1
5 3
1
4 5
6 7
5
2
22
L 00
-1
2
-5
22
L 00
-1
456.
2
2 -
5 2
457. (
) 1 -1
0
2
2
2 -5
(
) 1 -1
0
1
0
0 -
-1
0
0 0
। -1
0
-1 -2
-3
0
1
-1
0
.0
0 0
। 4
1
2 3
4
458.
0
1
-1
0459е 0
0 0
। 3
«0. „
0 0
-1
1
0
0 -
-1
2
4 6
8
0
0 1
2
461.
00-1-1
21-1-2
1 2
1 1
0
0
0
0
3
5
6 10
1
5
9 1
0 18
1
463.
9
15 1
2 20
«4. 0
15
27 20 36
0
1
1 -
1 1
2 -
1
3 -2
466.
0
1 -
1 2
3 -
1
1 -1
1
1
1 -
1
1
1
-1
1
468.
1
-1
1
1
-1
1
1
1
1
1 -
1 0
-3
0 -
1 1
470.
0
1
1 0
0
0
1 0
1
1
1 1
472.
1
1 -
г —
1
1 —г
1 -1
1 -
-г —
1 1
-5
-2
-3 -
1
4
2
2
1
474.
6
3
3
1
2
-3
4
0
1
1
1
0
0
1
1
1
476.
-1
0
-1
1
1
-1
0 -
1
1 0
0
-1
0
0 1
-1
0
1
478.
0 1
1
0
479. 0
1 0
0
1
0
1
-1
1 -
1
-1
1
-1
1
481.
1
-1
1 -
1
-1
1
-1
1
462.
3
9
5
15
6
12
10
20
5 10
15 20
9 18
27 36
1
1
1
1
1 -
-1
1
2
1
2
465.
1
1
1
-1
0
1
1
3
1
1
-1
0
1
2
3
1 -
-1
1
1 5
9
3
3 2
7 -
-2
467.
L 3
2
-2
7 7
6 -
-1
2
1
3
-7
469.
3
0
3
-7
3
1 -
-2
7
3
1 -
-3
8
2
—
1
0
0
471.
1
2 -
-1 -
-1
0
—
1
2
0
0
—
1
0
2
2
1 -
-1
0
1
0
1 -
-1
473.
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
Э
1
0
-1
1
1
1
475.
-1
г
1
г
—г Зг
3
г -
3-
Зг
0
0 0
1
0
0 1
0
477.
0
1 0
0
1
0 0
0
1
0
0
5
-2
4 -
-4
0
0
0
2
8
2 -
-2
0
0
1
48U.
0
0
4
5
0
1
0
0
0
5
4
1
0
0 -
-1
482.
0
1 -
-1
0
—
1
0
0
1
0
—
1
1
0
2
-2
-2
1
1
-1 -
-2 -
1
1
2
-1
1
4
-2
-2
-1
484.
1
1
1
1
1
1
-1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
-1
1
3
-1 -
-1
-1
г 1 0 0
0
0
1 0
1
1
1
-3
1 г 0 0
0
0
0 1
1
1 -
3
1
48Ье 0 0 г 1487е
3
4
0 0
-1
3 -
-1
-1
0 0 1г
-1
-1
0 0
г 0
—г
0
—г 0 0 1
0
1
0 0
0 г
0 -
-г
0 -г 1 0
1
0
1 0
0 1
0
1
489.. n n .490.
г 0 0 1
0 -
1
0 1
1 0
1
0
0 г 1 0
0
0 -
1 0
3
1
0
2г
73
1 + 2г
-1 + 2г
1
3 -
2г
0
40937
1 -
- 2г
-1
- 2г
0
2г
1
1
49211 - 2г 1 + 2г
7
-3
—2г
0
1
1
-1 - 2г -1 + 2г
-3
7
0 0
0 1
-10 0 0
1
1
1 1
1 0
0 0
.0 100
1
0
0 1
0 1
0 0
494е0 0 0 -1495е
0 -
1
0 1
0 0
1 0
0 0 10
0
0 -
1 1
1 1
1
0
10 0 0
0
-1
0
2
1 0
1
1
0 10 0
1
2
-1
-1
1 1
-1 -
-1
497е 0 0 1 1498е
0
1
4
0
1 1
1
0
0 0 0 1
0
-1
-2
2
483.
485.
488.
491.
493.
496.
499.501.503.0 -1 -1 -211 -3 - 2 -101-38-5 -2 1-1 21 2-1 30 5-5 07 -15504.61011506.32-4 73 512507.2-1-34509.325-7011-212-7-3511.546329524-7-1499.501.503.0 -1 -1 -211 -3 - 2 -101-38-5 -2 1-1 21 2-1 30 5-5 07 -15504.61011506.32-4 73 512507.2-1-34509.325-7011-212-7-3511.546329524-7-1500.5-124 -7 -1-2 73117 --3502.1-1 -11-2 3 + г 41 35 192Зг 1 + г 0505‘8 33 19013 4 11 А -122 2 3 1508,2 -1 А54 0 111 10 -611 --5 -611510.51 -43187 —152-120512.117--3—1 11--1500.5-124 -7 -1-2 73117 --3502.1-1 -11-2 3 + г 41 35 192Зг 1 + г 0505‘8 33 19013 4 11 А -122 2 3 1508,2 -1 А54 0 111 10 -611 --5 -611510.51 -43187 —152-120512.117--3—1 11--1
499.
501.
503.
0 -1 -1 -2
1
1 -
3 - 2 -
1
0
1
-3
8
-5 -
2 1
-1 2
1 2
-1 3
0 5
-5 0
7 -15
504.
6
1
0
11
506.
3
2
-4 7
3 5
1
2
507.
2
-1
-3
4
509.
3
2
5
-7
0
1
1
-2
1
2
-7
-3
511.
5
4
63
29
5
24
-7
-1
499.
501.
503.
0 -1 -1 -2
1
1 -
3 - 2 -
1
0
1
-3
8
-5 -
2 1
-1 2
1 2
-1 3
0 5
-5 0
7 -15
504.
6
1
0
11
506.
3
2
-4 7
3 5
1
2
507.
2
-1
-3
4
509.
3
2
5
-7
0
1
1
-2
1
2
-7
-3
511.
5
4
63
29
5
24
-7
-1
500.
5
-1
24 -7 -1
-2 7
3
1
17 -
-3
502.
1
-1 -1
1
-2 3 + г 4
1 35 19
2
Зг 1 + г 0505‘
8 33 19
0
13 4 1
1 А -1
2
2 2 3 1
508,
2 -1 А
5
4 0 11
1 10 -6
1
1 -
-5 -6
11
510.
5
1 -4
3
1
87 —
15
2-12
0
512.
117-
-3
—
1 11-
-1
500.
5
-1
24 -7 -1
-2 7
3
1
17 -
-3
502.
1
-1 -1
1
-2 3 + г 4
1 35 19
2
Зг 1 + г 0505‘
8 33 19
0
13 4 1
1 А -1
2
2 2 3 1
508,
2 -1 А
5
4 0 11
1 10 -6
1
1 -
-5 -6
11
510.
5
1 -4
3
1
87 —
15
2-12
0
512.
117-
-3
—
1 11-
-1
513.
-1
2
5
-5
-1
3
-4 -3
2 -1
514.
2 -3
4 -6
2 -3 -1
5
2
1
7
3
-15
8
1
3 -
2 5
4
-2 1
3
-2
515.
6 -
4 4
3
516.
8 4
12
-8
9 -
6 3
2
4 -2 -
-6
4
3
1 -
2
4
0 -2
2
-8
517.
2 -
3
6 -
-5
518.
168 24
-16
8 -
1
2
3
04 —
4
16
1 2
3
1
10 02
1 0
0
2
3 2
1
1
0 10-3
0 1
0
-3
519.
2 3
1 -
-1
520. 0014521. 0 0
1
4
2 2
2
1
2 3 4 11
2 3
4
11
5 5
2
0
5 4 7 12
5 4
7
26
1
0
-2
0
3 5
4
1
2
1
-1
5
4 9
3
6
522.
-1
1
0
0
523. 2 7 -
-1
8
0
2
1
5
1 4 -
-1
5
4
-1
1
7
6 7
11
-4
2
5
1
4
1 -2
1 + 2г -
-1 + г
-5
-8
-7
-1
-1 3
-1 - Зг
2
— г
524.
3
5
4
1
525.г 1 + г
1
2г
2
4
2
2
2г 0
2г -
-2 -|- 2г
1
3
0
3
0 2 —г
-1 - 2г
2
— г
1 2
5 5
5
1 2 0 0 0
1 1 1
0
1 0
3 4
6 6
6
3 4 0 0 0
1 2 3
0
1 0
530.
0 0
1 1
1
531. 00111532. 011
1
. 1
0 0
1 2
2
0 0 12 2
0 2 3
4
: 5
0 0
1 2
3
0 0 12 3
0 4 9
16
I 25
1
10
100 10
I3 104
0 0
0
0 1
од
2
30
1 400 5000
0 0
0
1 0
533.
0
од
3
6(
3 800534. 0 0
1
0 0
0
0
ОД 4
:90
0 1
0
0 0
0
0
0
о,
1 5
1 0
0
0 0
1 1
1
1
0
0 7 0 1 0
3 5
5
5 5
1 2
3
0
0
1 4 3 9 1
5 3
5
5 5
535.
0 1
1
1
1
536. 0 1 0 5 0537. 5 5
3
5 5
0 а
ь
с
d
2 8 4 7 5
5 5
5
3 5
0 а/
2 ь2
с2
d2
0 3 0 1 0
5 5
5
5 3
538.
6
7
14
4
9
1
-7
5 1
-11
-7
4 1
7 2
.0 3
2 1
8 2
8
2
18
-8
5
539.
1 -1
0
-1
1 -
0
1
0
0
-1
1
1
0
0
0
-1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
4
1 -1
4
9
4
3
-4
2
2
17
2 -2
17
82
2 -
1
-3 -
-4
2
540.
3
0 -2
-1
4
541.
3
1
1
2
-1
4
1 0
12
27
1
2
3
4
-1
2
2 -1
10
0
-1
1
-1 -
-2
3
1 2
2 2
2
2 10 0 0
1 2
3
0 0
2 1
2 2
2
12 10 0
2 3
4
0 0
542.
2 2
1 2
2
543. 0 1 2 1 0
544.
1 1
1
0 0
2 2
2 1
2
0 0 12 1
0 0
0
1 2
2 2
2 2
1
0 0 0 1 2
0 0
0
3 4
7
10 15
25
20
1 2
1
0 0
15
22 18
30
36
2 3
1
0 0
545.
0
0 3
5
6
546.
3 4
1
0 0
0
0 5
9
11
0 0
0
1 3
0
0 6
11
14
0 0
0
2 4
3 -
-1 1
0
2
1
0
0
1
-1
2 -
-5 0
1
1
0
1
-2
3
-3
547.
1
0 0
-1
2
548.
0
0
-1
2
-2
0
21
1
-1
1 -
1
1
0
1
1
1 -3
1
0
1 -
1
1 -
-1
2
0
2 -
2
0 -4
0 0-
1
1 0
-2
0
4 -
5 3
L 0 -
1
1 0
549.
2
-4
0
11550.
L 0 -
1
0 1
0
5 -
-1
0 2
0 1 -
1
0 1
4
-3 -
-1 -
2 0
0 1 -
1
0 0
1
-1
0 0
1
1
-1
0 0
-1
551.
0
0
0 1
0
0
0 -
-1 0
0
1 0
0
0 0
-2
2
0 0
0
О 4 U.
0 1
0
0 0
1 0
1 1
1
L
0 1
1 1
571.
0 1
1 1
1
572.(
)
1 -1
1 1
0 0
1 1
1
2
-1 3
2 4
573.
0 1
0 0
1
574.
1
-2 5
1 7
1 -
-1 1
1
-2
1
2 -1
1
1
575.
2
1 -1
-1
1
576. х
21
3
-1
577.
579.
581.
583.
585.
587.
589.
591.
593.
595.
2-13-24
4-2 517
2-1182
1112 2 0 1112 110 2 1
1 3 5 7 < 1-2 3-4
2 11 12 25 2‘
-2111 -
1-12-1 7-5 1-5
1-12 4
39 -14 2
36-91
122.
23 —52(
3-48 -<
-41 -3 -Г
3030-21
0 3 0 3 о
2 0 1 001
0 2 0 101
10-101
010-10
1-10 01
01-100
10 0-11
20-10
020 -1
-102-1 0-1-12
0 00 -1
0 00 0
0 1 00 0
0 0 1 ... 0 0
1
581
5582.
2
-1
1584.
5
2
1586.
1
53
588.
22
259(
0
0
.0
11592.
11
.0
00
00
00
-10
2 -1
-12
(
(
596..
(
(
3111-2
578.6 123-4
10 136-7
14221
0.1-22-2-1
1202-1
33-3-34
1-111-2
21-1-11
21-1-11
1-111-2
33-3-34
-33 126 -9
-33 126-9
2-2 -8-46
21-1-11
1-111-2
33-3-34
45-5-57
1 a b a2 ab Ь2
0 1 0 2d b 0
0 0 1 0 а 26
к ООО 100
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
1-1-110 0
-124015
2-3-510-4
013115
013104
1022 15
0 1 0 ... 0
0 0 2 ... 0
594
0 0 0 ... п
0 0 0 ... 0
) 2 0 ...00
) 0 4 ...00
0 0 0 ... 1 0
0 0 0 ... 0 1
) 0 0 ... 2-2п 0
) 0 0 ...0 2п
597.597.о о О1 о ... о01/2... ОО 0 ... 1/по о О1 о ... о01/2... ОО 0 ... 1/п
597.
597.
о о О
1 о ... о
01/2... О
О 0 ... 1/п
о о О
1 о ... о
01/2... О
О 0 ... 1/п
О 1 -1 ... -1
0 0 2... -1
598
0 0 0 ... п
О 0 0 ... О
599.
0 1 1 ... 11
0 0 2 ... 12
600.
0 0 0 ... п
о о о ... оО
601.
^2
п
1/А1
1/^2
о
602.
О
1/А„
о
1
1
604.
1
О
606.
о
А^
А^
о
607.
608.
1 1 0 ... 0 (
0 1 1 ... 0 (
) )
609.
1 -1 0 ... 0 0
0 1 -1 ... 0 0
610.
о о о ... 1 : о о о ... о :
1 0 0 ... 0 (
3 1 0 ... 0 (
L L
) )
0
0
0 (
0 (
)0 ... 1 -1
)0 ... 0 1
3 1 0 ... 0 0
0 3 1 ... 0 0
612.
000...3]
оооог
А10...0
0А1...0
L
5
0
1
0 0 0 ... 3 1
0 0 0 ... 0 3
0 1 0 ... 0 0
0 0 1 ... 0 0
0 0 0 ... 1
0 0 0 ... А
0 0 0 ... 0 1
0 0 0 ... 0 0
614.
616.
618.
620.
622.
624.
626.
628.
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
615.
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
0 0 0 ... 1
1 0 0 ... 0
1 0 ... 0 0
0 0 ... 0 1
0 0 ... 1 0
617.
1
С
000 ...1
123 ...п
.11... 11
)11... 11
1
) 0 01
0 1 ... 0 0
123...
0 12... п-
ч
- 1
619.
1 -1
0 1
0 0 0 ... 0 1
1 ...
-1 ... (-1)"-2
ООО... 1
1-1
-11
... Г—14”-2
1
0 0
R91.
0 ...1
1 0 0 ... 0 0 2
0 1 0 ... 0 2 0
623.
020...010
200...001
111...111
110...000
011...000
( —1)П—1 (-1)^"
0 1 1 ... 1 1
1 1 0 ... 0 0
1 0 1 ... 0 0
-21
100...10
100...01
111...11
101...11
110...11
695
0
0
С с
1
) 0 ... 1 1 0
) 0 ... 0 1 1
. 2 2 ... 2 2
> 1 2 ... 2 2
111...01
111...10
355...55
535...55
> 22...12
> 22...21
хуу ...у
уXуу
5 5 5 ... 3 5
5 5 5 ... 5 3
0 1 1 ... 1 1
1 0 2 ... 2 2
1 2 0 ... 2 2
627.
629.
1
L - А 2
12 - ,
у у у ... х
3 ...п
X 3 ...п
1 2 2 ... 2 0
123... п-Х
1
1
1 .
1 1
2
1
1
. 1
1
1
2
1 .
1 1
1
3
1
. 1
1
630.
1
1
3 .
1 1
631.
1
1
4
. 1
1
1
1
1 .
.. 1 п
1
1
1
. 1
п + 1
0
1
1 ...
1
1
1
1
2
3
... п
1
0
1 ...
1
1
1
-1
0
3
... п
632.
1
-1
0 ...
1
1
1
633.
-1
2
0
... п
1
-1
-1 ...
-1
-1
0
-1
2
-3
... 0
634.
0 1
1 0
0 1
0 0
1 0
0 1
... 0
... 0
... 0
0 0
0
1 0
635.
0
-1
0
100...
010...
-1 0 1 ...
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0
... 0
... 1
0
0
0
0
0
0
0 ...
0 ...
0
-1
1
0
2
1
0
0
... 0
0
1 -2
1
0
0
0
1
2
1
0
... 0
0
0 1
-2
1
0
0
636.
0
1
2
1
... 0
0
637.
0 0
1
-2
0
0
0
0
0
0
... 2
1
(
) 0
0
0
1 -
2
0
0
0
0
... 1
2
(
) 0
0
0
0
1
а
b
0
. 0 0
0
0
1
0
0
. 0
0
b
а
ь
. 0 0
0
п —
1
0
2
0
. 0
0
638.
0
b
а
. 0 0
0
639.
0
п —:
2 0
3
. 0
0
0
0
0
. b а
ь
0
0
0
0
. 0
п —
1
0
0
0
. 0 ь
а
0
0
0
0
. 1
0
п
- 1
1
0
0
0
0
0
—
п + 1
п — 3
2
0
0
0
0
640.
1
0
-п + 2
п
- 5
3
0
0
0
1
0
0
0
0
-2 -
-п + 3
п
1
1
0
0
0
0
0
-1
—п + 1
1
2
3
. п —
1
п
2
3
4
п
1
«1
as
. а
п —1
а-п
641.
3
4
5
. 1
2
642.
as
аз ■
а-п,
ai
п
1
2
. п —
2 п —
1
Qn
аг .
а
n — S
ап_
1
643.
645.
647.
650.
653.
656.
658.
660.
663.
666.
668.
671.
673.
676.
а^ а^ •• • ап ап а^ ... an_i
644.
1
£2(n-l)
111...1
AiA2A3...An
X2X2X2X2
A1A2аз•• *An
Ra^ аз ... а^
111
Iss2..
Is2s4..
A"-1 A"”1 A
646.
атрицы
5 764
6 804
2 5fie; 9
1 3652
121fiss
1 1 1655
657.12
-6
659.“
6 8fiR9
7 9662.
9RR =
106651
667.
1-33 ! 2 -4 467
672.~
-1 °R7S
-3 0675
°R7S1
-1678. x
n-1\71-1
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
0 0 0 ... 1
£ 0 0 ... 0
91526
3748
-4234
*-5357
0-225
*13 3 2
2020 36
10 -10 -18
1 -3 -2 -4
1324
11 14 8 13
17 23 5 7
-6 4 13 22
-5 23 17 27
13 -8 15 20
25 30 16 20
n 12 5 6
3 4 7 8
8 -14 12 26
8 -18 12 22
0 0 0 -1
•0010
111/3
1/3 1/3 -1
1 Е™"1 s2^-1) . .
Бл
7 3 3 1
7 3 3 1(
111-1,
111-1(
7-434
-58 2 2*
12 20 -6 -10
20 36 -10 -18
-1-212
-3-434
4 5 3 4
6 8 2 2DDle
1 20 7
3 5 -1 5664,
-10 -6 -1 -8
-15 -1131
-1 -2 -3 -4
1234
15 -83 -4
52-8 -12
1-12-2
1-12-2(
1 1 1 o
110-1677
£(n-l)2
очные м;
M8.
!51.
554.“
3 -2
-10 11
-1 6 .
'0 10 1
669.^
574
0 3
1 1 1
• 10 1
679.
3
9/2
9/2
7
2 3
3 3
680.
3 3
5 4
3 5
4 3
681.
3 4
7/2 6
7/2 6
1 3
682
3 11/3 11/3 13/3
683.
-1 -1
-1 1
11/3 13/3 13/33
3 3
3 3
19 г
ю
8 13
155 68
66 29
684.
17 41 1
.1 17
685.
167 75
89 39
41 1
,7 1
.7 7
-7 -10
0 -1
686.
41 1
.7 1
.7 7
687.
19 27
1 5
22
44
22
44
дос
—23
10
20 9
689.
2 -2
4 -4
ООО.
39
17
11 5
2 -2
4 -4
2 2
2
2
-3 -
4 3 4
4 4
4
4
-5 -
7 5 7
690
2 2
-2
-2
-2 -
5 2 5
4 4
-4
-4
-1 -
3 1 3
-3
-5
-2 -
-1
0 0
0 0
3
5
2
1
1 2
3 4
692.
693. —
-4
-7
-5 -
3
-1 -2 -
-3 -4
4
7
5
3
0 0
0 0
1
2
3
4
3 5
6 10
-4
-3
-2 -
-1
5 9
10 18
694.
6 9 5
-4
-3
-2 -
-1
9 15
12 20
5
6
7
8
15 27
20 36
3
6
5 10
1111
1 -1
3 1
9 1
.2 1
.5 20
0 10 1
-1 -3
1 -1
696.
697.
698. —
5 1
.0
9 18
112 2
-41 -
-23
15
>0 2
>7 36
0 10 2
1 6
3 8
1
2 -1
/2 1/2
1
-1 -1/21
699.
4 -
-33/2 5/2
-3-
1 5/2
-1/2 1/2-
-2 -1
тио. _^2
1 -
23
3/2 5/2
78
-1
5/2
38
2
2 4
4
2 2
3 1
2 2
3 2
2
2 4
4
2 2
3 1
2 2
2 1
701.
702.
2
0 4
0
3 1
4 -4
3 2
40
0 -
2 0
-4
3 1
4 —4
2 1
0 -4
0
3
0
3
0
0 7/2
-1/2
704.
-3
0
-3
0
705.
0
0 1/2
-7/2
0
-4
0 -
-4
-7/2 -
-1/20
0
4
0
4
0
1/2
7/20
0
0
0
0 -1/2
0
0
0
0
706
0
0
1707
0
0
0
0
0 -
1/2
007и7е
0 -
-2
0
-4
1/2
0
00
2
0
4
0
0
) 1
100 0 -1
-3
3
-2 2
0
1 3
з0 0 1 0
-5
5
-1 1
708
-1 -:
1 0
00 -1 0 071и*
-4
4
-5 5
-1
1 0
010 0 0
-7
7
-3 3
2 7
4
7
4
5
2 2
1 9
1
з
-15
18
2 2
711
3 7
12
19
-5
—
5
0 0
15 24
27
42
9
9
0 0
1 1
1
1
3
3
3
3
1 3
3
5,
2
7
6
11
713
0 -1
-1
-2
1 -
-1
0
-2
1 1
0
2
0
3
0
6
1
L
111112
1
2
г
5 6
-2
3-7_„0 0 0 0
3
4
7 8
715.
35<
В 10 7ib* 1112717е
9 1
.0
1.
В 14
о :
L (
111112
11 1
.2
1!
5 16
39 101
39 10189
89 -
-33
-33
718.
100 259 100 259_ _0
89
1
0
-33
39 101
78 202'-34 -
-34
13
13
100 259 200 5180 -
-34
1
0
13
2 4 6
4 €
>2 6 2 42 4 6
4 6
2
6
8 4
720.
6 2 4
2 4
[6462721. 628
2 6
4
4
6 2
4 6 2
6 2
14 2 4 64 6 2
8 2
4
2
4 6
о
L :
L 02 -20 -11
722.
1 (
) -
L -20210 -1
-1 :
L (
12-20-110
0 0
0 0
0 -20 2 0
723.
0 0
2 0
00-200
0 -2
0 2
00000
1 2 3
11
12 13 21 22 23
724.
4 5 6
14
15 16 24 25 26
7 8 9
17
18 19 27 28 29
0 (
) (
1-12-11-2 1
725.
1 -2:
L 000 -12 1
-1 2
L 1 -210 0 0
726.
728.
730.
731.
732.
733.
734.
735.
736.
737.
1
4
9
2
5
5
2
3
8
5
2
5
3
2
7
5
5
2
214/316/3
0 О
О О
О 1
о
-3
3
1
4
1
6
4
4
4
5
5
5
4
4
4
14/3
10/3
4
6
9
4
4
4
4
7
8
3
6
3
3
8
7
2
3
6
3
9
6
1
3
3
6
14/3 14/3 10/3
410/34
8/3414/3
О 0 0 10
-10 0 0 1
0-1000
-1 о о о о о
3
о
-3
-3
3 о
10/3 19/3
214/316/3
10/33
19/3 14/3 10/3 6
О
-10
10
19/3 19/3 19/3
16/36
8/3
10
О -10 10/3 3 19/3 14/3 10/3 6
-10
10 О
3
5
7
1 3
2
7
9
8
727.
9 7
8
3
1
2
4 2
3
8
6
7
2 4
6
5
4
3
729.
5 4
3
2
4
6
5 4
3
5
4
3
4 16/3 4 8/3 14/3 4 14/3 10/3 10/3 8 10/3 6
О
9
-9
-9 о
9
19/3 19/3
719/3
4
19/3
9
-9 О
19/3
7
4
19/34
1
10/3414/3
616/3
14/36
10/3 8/3
614/310/3
8/310/36
6
-25
31
12
50
-62
-6
-25
31
3
12
-15
-6
24
30
3
12
-15
1
5
-6
-2
10
12
1
5
-6
-2
1
1
6
-3
-3
-7
4
7
5
3 -2
21
-12
-9
4
-2
-2
-21
15
6
14
8 -6
20
-10
-10
-4
10
4
70
-40
-30
-2
1
1
-7
4
3
7
-5
2
-70
50
20
-18
9
9
-63
36
27
63
-45
-18
4
6
1
5
5
2
6 5
4 5
9 5
4 3
4 3
4 6
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Бахвалов С.В., Моденов П.С., Пархоменко А. С. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1964.
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 2000.
Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. — М.: Наука, 1983.
Воеводин В.В.^ Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984.
Глазман И.М.. Любин Ю.И. Конечномерный линейный анализ. — М.: Наука, 1969.
Гусятников П.Б., Резниченко С. В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985.
Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. — М.: Наука, 1975.
Илъин В.А.^ Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. — М.: Наука, 1981.
Илъин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. — М.: Наука, 1984.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. II. Линейная алгебра. — М.: Физматлит. 2000.
Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. — М.: Высшая школа, 1983.
Моденов П.С., Пархоменко А. С. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1976.
Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, Физматлит, 1996.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. — М.: Наука, 1984.
Сборник задач по алгебре/Под ред. А.И. Кострикина. — М.: Факториал, 1995.
Фаддеев Д.К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. — М.: Наука, 1977.
Фаддеева В.Н.^ Колотилина Л.Ю. Вычислительные методы линейной алгебры. Набор матриц для тестирования. — Л.: Наука, 1982. - Ч. I; 1983. - Ч. II, III..
Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1970.
Учебное издание
БЕКЛЕМИШЕВА Людмила АнатольевнаПЕТРОВИЧ Александр ЮрьевичЧУБАРОВ Игорь Андреевич
СБОРНИК ЗАДАЧПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИИ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
Редактор Н. Б. Бартошевич-ЖагельОригинал-макет А. С. ДаутоваОформление переплета А. Ю. Алехиной
ЛР № 071930 от 06.07.99.
Подписано в печать 03Л 1.03. Формат 60x90/16.Бумага типографская. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 31. Уч.-изд. л. 29. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература;МАИК «Наука/Интерпериодика»
117864 Москва, Профсоюзная, 90
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс (8172) 72-60-72E-mail: form.pfp@votel.ru htdp://www. Vologda/^ pfpv
22-1
2-12
-12 2
4) JJ (ек — е^у где е = е1^^^ п = 2т + 1.
O^j<A+n —1
24.37. 1) Одна из матриц Л287, Л28д подобна матрице D = = diag(l, 1, — 1). Какая именно? Ответ обосновать, не находя собственных векторов и характеристических чисел.
2) Матрица D = diag(l, 1, 0) подобна одной из матриц А230, А264- Выяснить, какой именно, не находя собственных значений и собственных векторов.
3) / (ж) = (^ + ... + Г)2;4) / (ж) = Е (С)2.
1
Указать тип соответствующего тензора и выписать его компоненты в базисе е.
35.11. Пусть £* — пространство всех линейных функций, определенных на линейном пространстве £п, а Т'- ^п — линейная функция на £*. Показать, что ф определяет тензор типа (1, 0) на £и.
2 V2
1515
2) HE2_Z£11^11. 5.6. 1) (l,fe);2) (-B,A). 5.7. 1)2ж-Зу + 5 = 0; lal
2) ж = 4^, у = 1 + 3f, т.е. ^ = ^y^; 3) |. 5.8. 1) ж - 2y + 11 = 0;
2) —i2 =—; 3) $ = —3; 4) у = 4; 5) ж = —3 + t, у = 4 — 7i.
5.9. 1) ж - 4y + 7 = 0; 2) 2ж - у + 2 = 0; 3) ж = 2; 4) у = -3. 5.10. 1) Пересекаются в точке (5/7, —3/7); 2) совпадают; 3) параллельны; 4) пересекаются в точке (5, —1). 5.11. 1) а ^ ±2; 2) а = —2;
3)а = 2. 5.12. а = 1,а = -1,а= -2. 5.14. у = |, у = | + 1, у =-1, у = 5. 5.15. (-4, 3); 5ж + 2у - 13 = 0; ж - 5у + 19 = 0; 4ж + 7у - 5 = 0. 5.16. 43ж + 2у — 67 = 0. Указание: искомая прямая — вторая
3) (3/2, 0), х = -3/2; 4) (-3/4, 0), х = 3/4; 5) (0, 1/4), у = -1/4;
6) (0, — V3/4), у = V3/4. 7.52. 1) Внутри параболы; 2) вне параболы; 3) принадлежит параболе. 7.53. 1/5. 7.54. 1) у2 = 5т; 2) у2 = 24х; 3) у2 = ^х. 7.55. Луч прямой у = —9/4, лежащий внутри параболы. 7.57. х — у — 2 = 0. 7.58. 1) (15/2, 5д/з) и (15/2, — 5л/3); 2) (2/5, 2) и (2/5, -2); 3) (5/4, 5/V2) и (5/4, -5/V2);
4) (8, 4V5), (8, -4^5), (10/3, 10/V3) и (10/3, -10/V3). 7.59. На отрезке [0, 2/д/з]. 7.60. 1) (у — 6)2 = 2р(х — а); 2) (у — Ър = 2р(а — ж); 3) (ж — а)2 = 2р(у — 6); 4) (ж — а)2 = 2р(Ь — у). 7.61. 1) у2 = р2 + 2рх^ р 0; 2) у2 = — р2 + 2рх^ р 0. 7.62. 1) у2 = 12х — 48; 2) у2 = 15 — 2т; 3) х2 = 4у\ 4) 4 параболы
4z6y = x(x4z6\ 7.63. р. 7.65. (-1/4, 1/2). 8.1. 1) х + у = 4;
2) х - Зу - 12 = 0; 3) х = -3; 4) Зх - 2у - 16 = 0; 5) х + 2у - 8 = 0;
6) 2Z - 2„ + 3 = 0. 8.2. 1)+ Ь-ЯХ»-Я = 1;
26.41. Указание: воспользоваться приведенным решением задачи 26.40.26.42.1) || 1 3 —2 ||Т7 || 1 1 2 ||Т;
2) II2 10 -1||Т,|| 1 5 2 7 ||Т;3) || 1 3 1 ||Т, || 2 -1 if,
||4 1-7|f;4)||2 12f,|| Ю-1 ||f || -14-1 ||f
5) || 1 2 3 f, || 3 0 -1 f, || 1 -5 3 f; 6) || 1 2 1 2 f, || 3 -2 3-1f, || 27 0 -8 f; 7) || 1-1-11 f, || 1 1 1 1 f,
|| 1 2—2—1f, || 2—1 1 —2 f.26.43. Столбцы матрицы Q —
координатные столбцы искомых векторов, S —матрица перехода:
2 + V32- V3-11
2- х/32+ V31-1
1-12 + х/З2-V3
-112-х/З2 +V3
GTG, где G — матрица из