Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
СТЕФАН БАНАХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
STEFAN BANACH
RACHUNEKRtiZNICZKOWYiCALKOWY
19 5 2
PANSTWOWEWYDAWNICTWO NAUKOWE
СТЕФАН БАНАХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕИ ИНТЕГРАЛЬНОЕИСЧИСЛЕНИЕ
ПЕРЕВОД С ПОЛЬСКОГО И РЕДАКЦИЯс. и. зуховицкого
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫМОСКВА 1 96 &
517.2
Б 23
УДК 517.0
АННОТАЦИЯ
Стефан Банах — один из крупнейших математиков XX столетия. Настоящая книга была им задумана как пособие для первоначального ознакомления с предметом. Между тем автору удалось в книге небольшого объема мастерски осветить почти весь основной материал дифференциального и интегрального исчисления, не отпугивая при этом читателя скрупулезной строгостью изложения.
Книга отличается простотой и лаконичностью изложения. Она содержит много удачно подобранных примеров, а также задач для самостоятельного решения. Рассчитана на студентов втузов (особенно заочных), пединститутов, а также на инженерно-технических работников, которые пожелают освежить в памяти основные факты дифференциального и интегрального исчисления.
При подготовке второго издания учтен опыт преподавания по этой книге в некоторых высших технических учебных заведениях; в связи с этим в книгу внесено небольшое число добавлений, а также неправ-- лены некоторые места текста. Это приблизило книгу к уровню современных учебников по математическому анализу и сделало возможным использование ее во втузах.
Стефан БанахДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕМ., 1966 г., 436 стр. с илл.
Редактор И. С. АртонТехн, редактор С. Я. ШклярКорректор М. Ф. Алексеева
Сдано в набор 29/VI 1966 г. Подписано к печати 17/1Х 1966 г. Бумага 60х9071в. Физ печ. л. 27,25. Условн. печ. л. 27,25. Уч.-изд. л. 23,27. Тираж 50000 экз. Цена книги 91 коп. Заказ № 558.
Издательство «Науках.Главная редакция физико-математической литературыМосква, В-71, Ленинский проспект, 15.
Первая Образцовая типография имени А. А. ЖдановаГлавполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР.Москва, Ж-54, Валовая, 28.
2-2-346-66
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода ,,..14
Предисловие автора ....14
Введение ....15
ТОМ ПЕРВЫЙ
ГЛАВА I
ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
ПОНЯТИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Определение последовательности 17
Монотонные последовательности 19
Ограниченные последовательности 19
Действия над последовательностями 20
Задачи20
ИНТУИТИВНОЕ ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Предел монотонной последовательности21
Общее определение предела последовательности21
Частный признак сходимости22
Действия над сходящимися последовательностями23
Последовательности, расходящиеся к ± оо 23
Теоремы о последовательностях, расходящихся к ± оо24
Задачи е. 24
СТРОГОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Отрезки последовательности 25
Последовательности, отличающиеся лишь порядком членов . . . . 25
Понятие приближения26
Определение предела . . . *.27
Задачи'* зо
ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Сходимость последовательностей с равными членами 30
Независимость предела от порядка членов зо
Сходимость подпоследовательностей31
Предел последовательности с неотрицательными членами 32
Предел суммы и разности последовательностей 32
Предел произведения последовательностей ‘34
Предел произведения последовательности на число35
Предел частного двух последовательностей^35
22а. Предельный переход в неравенстве ‘37
Задачи *37
ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
Сходимость монотонных ограниченных последовательностей ... 37
Условие Коши 38
Ограниченность сходящихся последовательностей 39
Теорема о пределе промежуточной переменной39
Задачи•40
ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРЕДЕЛОВ. ЧИСЛОМ
Вычисление некоторых пределов42
Число 6 = 2,71828 43
ГЛ АВ А II
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Примеры функций. Понятие функции48
Обозначения 49
Точное определение понятия функции 49
Различные способы задания функций 49
Способы представления функций. Таблицы 50
Графики 51
Задачи52
Ограниченные функции. Монотонные функции52
ГЛАВА IIIПРЕДЕЛ ФУНКЦИИОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ
Определение предела функции 53
Условие существования предела 54
2а. Теоремы о пределах функций58
Действия над пределами .7 .. 59
ОДНОСТОРОННИЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ПРЕДЕЛЫ.ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРЕДЕЛОВ
Односторонний предел60
Несобственные пределы62
Вычисление некоторых пределов64
Задачи .. . 68
ГЛАВА IVНЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
Определение69
Необходимое и достаточное условие непрерывности функции . . . 70
Геометрическая интерпретация70
Теорема о сохранении знака для непрерывной функции71
Действия над непрерывными функциями71
РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Определение ,71
Геометрическая интерпретация 71
Непрерывность равномерно непрерывной функции72
9. Основные теоремы о функциях, непрерывных в замкнутом интервале 749. Основные теоремы о функциях, непрерывных в замкнутом интервале 74Задачи 74
9. Основные теоремы о функциях, непрерывных в замкнутом интервале 74
9. Основные теоремы о функциях, непрерывных в замкнутом интервале 74
СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ
Определение; ;75
Непрерывность сложной функции76
ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ
Определение.77
Геометрическая интерпретация77
Непрерывность обратной функции 77
НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Степенная функция у = хп 78
Показательная функция у = ах80
Логарифмическая функция y=log,ax80
Тригонометрические функции81
Обратные тригонометрические функции82
ГЛАВА V
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Определение производной86
Односторонние производные88
Существование производнойинепрерывность 88
Производная как функция88
Интерпретация производнойвгеометрииифизике89
Непрерывные функции, не имеющие производной в данной точке (примеры) 90
ТЕОРЕМЫ О ПРОИЗВОДНОЙ
Производнаяпостоянной функции91
Производнаястепенной функции . е91
Производнаяпроизведения постояннойнафункцию92
Производнаясуммы, произведения,частного 93
Задачи95
Производнаясложной функции96
Производнаяобратной функции96
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Дифференцируемые функции. Определение дифференциала . . . . 98
13а. Производная сложной функции 99
Инвариантность формы первого дифференциала 100
Дифференциал суммы, произведения и частного101
Геометрическая интерпретация дифференциала102
ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Производная степенной функцииЮЗ
18. Производная логарифмической функции105Задачи ......'10718. Производная логарифмической функции105Задачи ......'107Задачи105
18. Производная логарифмической функции105
Задачи ......'107
18. Производная логарифмической функции105
Задачи ......'107
107 108108 НО ПО113 113114107 108108 НО ПО113 113114Производная показательной функции
107 108
108 НО ПО
113 113
114
107 108
108 НО ПО
113 113
114
Задачи
Производные тригонометрических функций
Задачи
Производные обратных тригонометрических функций
Задачи
Логарифмическая производная
Задачи
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Производные высших порядков114
Задачи И6
Формула Лейбница 116
* Задачи 118
Параметрическое представлениефункции 118
Задачи 120
Дифференциалы высших порядков 121
Задачи 124
ГЛАВА VI
ТЕОРЕМА РОЛЛЯ. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ.ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Теорема о среднем значении 127
Теорема Ролля 128
Доказательство теоремы Ролля 129
Доказательство теоремы о среднемзначении129
Следствия из теоремы о среднем значении130
Формула Тейлора131
Доказательство формулы Тейлора132
Задачи135
Выпуклость136
ГЛАВА VII
МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ; ТОЧКИ ПЕРЕГИБА.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
ЭКСТРЕМУМ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
Определениеэкстремума.138
Необходимоеусловие существованияэкстремума.139
Достаточныеусловия существованияэкстремума141
Более общеедостаточное условие143
Точки перегиба-145
Экстремумы функций, заданных параметрически147
Задачи 149
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ (РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ)
Неопределенности вида -д-, —149
Неопределенности вида 0»оо, оо— оо, 1°°, оо°, 0° . . . 153
Задачи154
ГЛАВА VIII
РЯДЫ
РЯДЫ с постоянными ЧЛЕНАМИ
Определение ряда. Сходящиеся ряды155
Предел сходящейся последовательностикаксумма ряда156
Необходимое условие сходимости157
Ограниченные ряды158
Абсолютно сходящиеся ряды160
Независимость суммы ряда от порядка членов$61
Условно сходящиеся ряды162
Необходимое и достаточное условие сходимости ряда. Теорема Лейбница 163
ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
Сравнение рядов,164
9а.Признак сравнения впредельной форме166
Признак Коши167
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ФУНКЦИЙОпределение сходимости функциональной последовательности . . . 171Равномерная сходимость*172Действия над равномерно сходящимися функциональными последовательностями. Необходимое и достаточное условие равномернойПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ФУНКЦИЙОпределение сходимости функциональной последовательности . . . 171Равномерная сходимость*172Действия над равномерно сходящимися функциональными последовательностями. Необходимое и достаточное условие равномернойПризнак Даламбера169
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ФУНКЦИЙ
Определение сходимости функциональной последовательности . . . 171
Равномерная сходимость*172
Действия над равномерно сходящимися функциональными последовательностями. Необходимое и достаточное условие равномерной
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ФУНКЦИЙ
Определение сходимости функциональной последовательности . . . 171
Равномерная сходимость*172
Действия над равномерно сходящимися функциональными последовательностями. Необходимое и достаточное условие равномерной
сходимости173
Достаточное условие непрерывности предельнойфункции175
Равномерная сходимость рядов176
Абсолютная и равномерная сходимость функциональных рядов . . . 177
Дифференцирование последовательностейирядов178
Степенные ряды180
Радиус сходимости степенного ряда181
Непрерывность суммы степенного ряда181
Вычисление радиуса сходимости182
Дифференцирование степенных рядов182
Ряд Тейлора184
Задачи188
ГЛАВА IX
ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Плоские множества. Области190
Граничные точки. Замкнутые области$90
Области, задаваемые неравенствами191
Задачи . . . 191
Функции двух переменных192
Геометрическая интерпретация функции двух переменных192
Линии уровня 193
Задачи194
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Определение предела194
Теоремы о пределах195
Непрерывность. Равномерная непрерывность ,196
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Определение частных производных197
Частные производные второго порядка198
Теорема об изменении порядка дифференцирования199
Задачи200
Частные производные высших порядков200
Сложная функция201
Частные производные сложных функций201
Задачи203
НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
Определение неявной функции203
Теорема существования неявной функции204
Производная неявной функции205
Максимумы и минимумы неявных функций207
Задачи208
ГЛАВА х
ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ.ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Формула Тейлора210
Ряды Тейлора и Маклорена .. , 212
МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Определение экстремума213
Необходимые условия существования экстремума. . 214
Достаточное условие существованияэкстремума214
Задачи218
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Дифференцируемые функции двух переменных. Определение дифференциала 218
Дифференциал сложной функции220
Применение к функциям одной переменной220
Случай, когда одна из переменныхявляется функцией другой ... 221
Частные дифференциалы221
Касательная плоскость к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала222
Задачи223
Дифференциалы высших порядков224
Задачи225
ГЛАВА XI
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Области226
Функциимногих переменных227
Предел.Непрерывность227
Частныепроизводные227
Формулаи ряд Тейлора228
ТОМ ВТОРОЙГЛАВА XIIНЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Первообразная функция230
Основные формулы231
Некоторые свойства неопределенного интеграла232
Интегрирование подстановкой233
Интегрирование по частям 236
Интегралы от элементарных функций237
Формулы приведения240
Задачи242
ГЛАВА XIII
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Разложениемногочлена намножители245
Разложение рациональной функции на элементарные (простейшие) дроби 246
Интегралыотрациональныхфункций251
Задачи252
ГЛАВА XIV
ИНТЕГРИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Интегрирование простейших иррациональностей254
Биномиальные интегралы255
Интегрирование рациональных функций R(x, у)256
Некоторые частные случаи интегралов от рациональной функции
R (*» У) (У = V ^ + Ьх + с)259
Замечания о преобразовании интеграла ^ R (х, у) dx266
Задачи270
ГЛАВА XV
ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕАЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Общие замечания272
Интегралы от показательных и логарифмических функций273
Интегрирование тригонометрических функций276
Интегралы от обратных тригонометрических функций281
Примеры функций, не интегрируемых элементарно283
Задачи284
ГЛАВА XVIОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Определение определенного интеграла286
Некоторые свойства определенных интегралов291
Интегрируемость непрерывной функции293
Достаточные условия интегрируемости 296
Разбиение интервала интегрирования297
Пределы интегрирования298
Некоторые неравенства для определенных интегралов299
Функция верхнего (нижнего) предела интеграла303
Определенный интеграл и первообразная функция305
Интегральная теорема о среднем для непрерывныхфункций . . . . 309
Задачи 311
ГЛАВА XVII
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ
Замена переменных в определенных интегралах314
Задачи317
Интегрированиепо частям317
Интегрированиепоследовательностей ирядов319
Интегрированиестепенных рядов322
Интегрированиеи дифференцирование попараметру325
Задачи 330
ГЛАВА XVIII
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Интеграл неограниченной функции332
Интегралы в бесконечном интервале333
Признаки существования несобственного интеграла335
Применение к рядам . . . .339
Равномерно сходящиеся несобственные интегралы342
Задачи . . 350
ГЛАВА XIX
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Вычисление площади352
Задачи353
Вычисление длины дуги354
Задачи ..... 358
Объем тела вращения359
Задачи360
Площадь поверхностивращения361
Задачи364
ГЛАВА XX
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
Определение двойного интеграла по прямоугольнику365
Достаточные условия интегрируемости 368
Двойной интеграл как повторный369
За. Некоторые свойства двойных интегралов по прямоугольнику . . . 372
Двойной интеграл по области . . \Ч374
Свойства двойного интеграла по области 377
5а. Неравенства для двойных интегралов. Теорема о среднем377
Двойной интеграл по области как повторный379
Задачи . 385
ГЛАВА XXI
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
Простая дуга 387
Криволинейный интеграл по простой дуге388
3*Криволинейный интеграл по произвольной кривой392
Работа как криволинейный интеграл394
Замкнутая кривая396
Криволинейный интеграл по замкнутой кривой398
Криволинейные интегралы по замкнутым плоским кривым . . . . 399
Теорема (формула) Грина400
Применения теоремы Грина402
ГЛАВА XXII
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХВ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ
Отображения409
Непрерывные отображения. Взаимнооднозначные отображения . . 410
Функциональный определитель(якобиан)411
Задачи416
Замена переменных в двойныхинтегралах416
Задачи422
глава ххш
МНОГОКРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ
Тройной интеграл.424
Многократныйинтеграл425
Условия интегрируемости426
Многократныйинтеграл как повторный426
Многократныйинтеграл пообласти427
Многократныйинтеграл пообластикак повторный428
Задачи430
Предметный указатель431
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Первое издание перевода книги Стефана Банаха вышло в 1958 году. В этом переводе были исправлены лишь явные опечатки, вкравшиеся в польский оригинал. За истекшие 6 лет книга использовалась в ряде высших технических учебных заведений в качестве учебного пособия по математическому анализу. При этом выявилась необходимость внесения в книгу некоторых исправлений и дополнений, что и было сделано при подготовке настоящего второго издания.
В книгу включено несколько новых пунктов, содержание некоторых пунктов подверглось существенной переработке. И те и другие отмечены звездочкой. Более мелкие вставки заключены в квадратные скобки. В формулировках ряда теорем сняты излишние ограничения.
Всю переработку осуществил И. С. Аршон.
С. Зуховицкий
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Предлагаемая книга предназначена для первоначального изучения дифференциального и интегрального исчисления. Ознакомление с нею даст возможность читателю приступить к изучению более обширных руководств.
Мы старались сообщить важнейшие теоремы и, по возможности, их доказательства. Однако доказательства некоторых теорем в книге опущены, так как, на наш взгляд, они слишком трудны для усвоения при первоначальном изучении.
Читателю необходимо перерешать возможно большее число задач. В нашей книге из-за недостатка места мы смогли поместить лишь немного задач для самостоятельного решения.
Считаем приятным долгом выразить благодарность X. Авербаху за помощь, которую он оказал нам при работе над этой книгой.
Львов, 30 января 1929 г.Стефан Банух
ВВЕДЕНИЕ
Приведем некоторые определения и теоремы, которыми будем пользоваться в дальнейшем.
Интервалом, называется множество чисел х, удовлетворяющих одной из пар неравенств а < х < Ь, а^.х<Ьэ а<х^.Ьэ a^xt^b.
Интервал каждого из указанных видов обозначается (соответственно) следующим символом: (а, 6); [а, Ь); (а, Ь\\ [а, 6].
Замкнутым интервалом называется интервал [а, Ь\, определенный неравенствами а^х-^b. Ввиду известной интерпретации действительных чисел на числовой оси будем замкнутый интервал называть также отрезком, а числа — точками.
Напомним читателю формулу,известную под названием бинома Ньютона:
(а+ »)" = «"+ ( " ) а”-16+ ( ; ) а"-н» + ... + Q " J аУ*-^У. где f ? ) = п(п—1)(л—2)... (л—fe+1) Символ f ? ^ определен последней формулой и для нецелых, а также для отрицательных значений п. Например, /8\8^
<4/1-23-4,и’
(- ЮХ _ (-10)-(-11).(-12).(-13)-(-14)„
\ ЗУ-1-2-3-4-5~2UU2‘
(- Vz) = (-1/2).(-1/2-1).(-1/2-2)., .(-1/2-6+1) =
, А 1-3-5.. .(2А—1)
—t 42.4.6...2Й’
/ — ЧА ЬЗ-5 5
так что ^ 3/а)и т. п.
Из формулы Ньютона следует неравенство (1 + аг)" ^ 1 + лх для х^О. Положив 1-^х = А, получим для А^\:
Д">14-л(Л—1).
Оба неравенства справедливы при любом натуральном л.
Для q^\ при любом натуральном п будет справедливо ра- венство а 4- ад + ^^2 + . .. + aqn”x = а -—у . Это—известная формула для суммы геометрической прогрессии.
Из элементарной геометрии читателю известны определение угла
и градусная мера для его измерения.
В высшей математике преимущественно используется так называемая радианная мера угла. Пусть К—круг с центром в начале координат OXY и с радиусом, равным единице.
В плоскости OXY выберем определенное направление вращения (указанное на рис. 1 стрелкой), которое будем называть положи-
тельным; противоположное направление вращения назовем отрицательным.
Пусть х—произвольное число. Отложим на окружности круга К (начиная от Л) дугу длины | х | в положительном или отрицательном направлении, в зависимости от того, будет ли х > 0 или х < 0. (Для х = 0 дуга сводится к одной точке Д.) Концом дуги будет вполне определенная точка В окружности круга К. Число х назовем радианной мерой угла АО В.
чающихся между собой начающихся между собой наЯсно, что каждый угол имеет бесчисленное множество) радианных мер, отли- числа, кратные длине окружности, т. е.
чающихся между собой на
чающихся между собой на
на 2лл (л целое). Для перехода от градусной меры к радианной служит формула х = ло/180 + 2лл, где х означает радианную
меру, а — число градусов, а п— произвольное целое число.
Например, радианной мерой прямого угла XOY будет четверть окружности, т. е. л/2, а также любое число вида л/2 4- 2лл (л целое); радианной мерой половины полного угла АОА' будет половина окружности, т. е. л, а также любое из чисел л4-2лл (л целое),
следовательно, каждое нечетное число л, и т. д.
Напомним известные неравенства: |#4-^|^M4-|^|> И — ^ I ^ ^|л|— |й|, справедливые для любых чисел л, Ь.
Говорят, что числа л, b отличаются меньше чем на е, если имеет место неравенство |л— Ь\<^г, или—е < а — £<4-?*
ТОМ ПЕРВЫЙ
ГЛАВА I
ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
ПОНЯТИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
L Определение последовательности. Если имеется закон, по которому каждому натуральному числу соответствует определенное число, то говорят, что задана последовательность чисел.
Пример. Пусть закон, по которому каждому натуральному числу соответствует число, будет таким: числу 1 соответствует 1, числу 2 соответствует числу 3 соответствует у и т. д., воооще, числу п соответствует ~-. Выписав эти числа, убедимся, что последовательность имеет вид
1 A JL
1, 2 ’ з ’ 4 ’ 5’
Число, соответствующее единице, будем называть первым членом последовательности, число, соответствующее двойке, — вторым членом последовательности и т. д., число, соответствующее числу л, будем называть л-м членом, последовательности.
Члены последовательности будем обозначать следующим образом: возьмем произвольную букву, например а, и первый член обозначим символом av второй член — символом а^ и т. д., общий (л-й) член — символом ап. Читается так: а первое или а с индексом один, а второе или а с индексом два и т. д., а «л-е» или а с индексом п. Заметим, что если ап есть л-й член последовательности, то оп + 1 будет последующим членом, ли+2 — вторым после ап и т. д., член ап+к будет &-м после ап. Точно так же an_v— член, предшествующий ап, ап_2— член, предшествующий an_v и т. д. Последовательность с общим членом ап обычно обозначается кратко через {аЛ}, например, последовательность 1111
# о > о > а э ••• через \ zв
2 ’ 3 ’ 4 ’г ( л J
Зададимся теперь вопросом, каким образом можно получить некоторую последовательность? Иными словами, каким способом последовательность может быть задана? В различных случаях можно поступать по-разному. Приведем некоторые способы задания последовательностей.
Зададим последовательность формулой, положив, например, а„ = 5д.
Отсюда сразу видим, что
#1=5, л2 = 5-2#=10, ^0 = 5-3=15, ..., л20 = 5-20= 100, ...
Аналогично зададим последовательность формулой, положив
ап = 5л2—л + 1.
Тогда л1 = 5, а2= 19, я3 = 43, ..., л100 = 49901, ...
Зададим последовательность, говоря, например, что ап есть л-я цифра числа V 2. Тогда найдем, что
01=1, ^а^4» ^з^Ь •••
Вычисляя У"2 с помощью известного алгорифма, найдем первую, вторую, третью и т. д. цифры. Таким образом, наша последовательность определена.
Аналогично определим последовательность, говоря, что ап является л-м десятичным знаком числа л.
Иным способом задания последовательности является так называемый рекуррентный с п о с о б. Он заключается в том, что дается первый член и способ вычисления л-го члена при помощи предыдущих. Поясним это на примерах.
Пусть первый член равен нулю, а каждый следующий равен утроенному предшествующему плюс два, т. е.
«1 = 0, «я = За„_1 + 2.
Тогда л2 = 2, а3 = 8, л4-=26, ...
Пусть первый член равен единице, а каждый следующий равен сумме всех предшествующих ему, т. е.
^l^l, ап = а1+й2 + аз + • • • +ап-Г
В этом случае л2=1, а3 = 2, л4 = 4, я5 —8, ...
Пусть первый член имеет значение а, а каждый из следующих равен предшествующему плюс одно и то же число d, т. е.
а^а, ап = ап-1 + ^ (арифметическая прогрессия). Здесь
a2==a + d, а3 = a4~2d, ...
2. Монотонные последовательности. Последовательность называется возрастающей) если каждый ее член больше предшествующего, т. е. ^п> c^n-v убывающей) если #„<#„_!; неубывающей) если an^an-v невозрастающей) если ctn^.an_v Каждая такая последовательность называется монотонной. Убывающие и возрастающие последовательности называются строго монотонными.
Примеры.
Последовательность {л} натуральных чисел — возрастающая.
Последовательность jy| чисел, обратных натуральным, убывающая.'
Последовательность {#„}, где ап означает количество натуральных чисел, делящихся на три и не превышающих л, неубывающая:
.аг —= 0, а ^ — 0, а^ == 1, а 4 == 1, а^ ^ 1, а ^ ^ 2, *..
Последовательность ^—^р^^> *) невозрастающая:
#1=1, а2 = 1) #3=1, а4 = -^-) а^ = ^, ...
3. Ограниченные последовательности. Последовательность называется ограниченной) если все ее члены лежат в определенном конечном интервале (— М, + М) (М > 0), другими словами, когда | ап I < М (л = 1, 2, 3, . ..).
Примеры.
Последовательность {#„}, где ап есть л-й десятичный знак числа ]/2, ограничена, ибо |#„| < 10.
Последовательность ^ д^!’} ограничена, ибо |ал|<1.
Заметим, что ограниченная последовательность не обязательно монотонна, и наоборот. Например, последовательность
1 + (-1)П.
2 р
т. е. ах — ^ #2=1, #з = 0, #4 = 1, ..., ограниченная, ноне монотонная, а последовательность {л} натуральных чисел монотонная, но не ограниченная.
Действия над последовательностями. Умножение последовательности на число, сложение, вычитание, умножение и деление последовательностей определим следующим образом.
Последовательность умножаем на число, помножив каждый ее член на эю число Например, произведение последовательности (ар а2, а^ .ап, ...) на число т есть последовательность (mtip тсс у та^ .тап. ...).
Две последовательности складываем, вычитаем или умножаем, складывая, вычитая или умножая их соответствующие члены. Например, имея две последовательности:
(sip ti2, .. ., dn> .. .), kbv by .. ., bn1 .. .), получим:
их сумму (tij+^p a^A-by ..., an + bn, ...), разность (tij—bv a^— by ..., an — bn, . ..), произведение (ax£p афу . . ., anbn. ...).
Частное можно определить лишь при том условии, что все члены последовательности, на которую мы делим, отличны от нуля, так как делить на нуль нельзя.
Одну последовательность делим на другую, у которой все члены отличны от нуля, разделив* члены первой на соответствующие члены второй. Это означает, что для двух последовательностей
(«v а2, ..., а„, ...) и ^bv by .... Ь„, ...),
где все Ьп отличны от нуля, частным является последовательность
Д1 °2^rt
^1 ’^2 *’ ^П *
сывают так:сывают так:Указанные действия над последовательностями символически запи
сывают так:
сывают так:
т{а„} = {та„},(°»} + {^»} = {ал + ^„},{«„hIM-K-M.
Задачи
возрастающая.ап есть п-я цифра произ- может быть монотонной.возрастающая.ап есть п-я цифра произ- может быть монотонной.Доказать, что последовательность
возрастающая.
ап есть п-я цифра произ- может быть монотонной.
возрастающая.
ап есть п-я цифра произ- может быть монотонной.
Доказать, что последовательность {art}, где вольно выбранного иррационального числа, не
Доказать, что при произвольно выбранном х последовательность / Е (пх)1
<—-—1 > ограничена.
Для каких х последовательность {1 + х+я2 + . . . +*"} будет ограниченной?
ИНТУИТИВНОЕ ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Предел монотонной последовательности. К понятию предела последовательности можно прийти интуитивно следующим образом. Пусть {ап} — монотонная последовательность, например возрастающая. Возможны два случая:
либо члены последовательности возрастают неограниченно; это означает, что какое бы большое число мы ни взяли, все члены последовательности {«„}, начиная с некоторого, будут больше этого числа;
либо члены последовательности {ап} не возрастают неограниченно; тогда существует одно-единственное число g, к которому члены последовательности (ап) неограниченно приближаются; это означает, что, взяв произвольно малое число е > 0, мы сможем найти такой член последовательности, что все следующие за ним будут отличаться от g меньше чем на е.
Это число g называют пределом последовательности и записывают так:
lim an=g.п^ со
О последовательности {ап} говорят, что она сходится к g.
Аналогичные замечания можно высказать для убывающих последовательностей.
Мы сформулировали, стало быть, следующее утверждение:
Теорема. Каждая ограниченная монотонная последовательность имеет предел (является сходящейся).
Примеры.
Последовательность {л} возрастающая, но неограниченная. Такова же последовательность {az2}.
Последовательность <1->возрастающаяиограниченнаяс
пределом 1.М )
Последовательность <— ^ограниченная и убывающая с пределом 0.(Зп 4-П81
Последовательность г или ^у + ^д—.jw ограниченная
-з1
и убывающая с пределом -^ .
6. Общее определение предела последовательности. Рассмотрим теперь любую последовательность {ап}, не обязательно монотонную. Может случиться, что существует число g, к которому члены
последовательности неограниченно приближаются. Это означает, что, взяв произвольно малое число е > 0, найдем такой член последовательности, что все последующие отличаются от g меньше чем на е.
Можно доказать, что если такое число существует, то оно единственно.
Число g называют пределом последовательности и обозначают, как раньше, hm an=g. п-*<»
Последовательность {#„}, не имеющую предела, называют расходящейся.
Примеры.
|
Последовательность < -™—? сходится, и ее предел равен нулю.
Последовательность {(—1)"} расходится.
Частный признак сходимости. Часто бывает трудно определить, имеет ли некоторая последовательность предел или нет. Во многих случаях оказывается полезной следующая теорема:
Если последовательность {cw} заключена между последовательностями {^„} и {6П}, сходящимися к одному и тому же пределу, то последовательность {сп} сходится к общему пределу последовательностей {ап} и {6И}.
Замечание. Мы говорим, что последовательность {сп} заключена между последовательностями {ап} и {^л}, если для каждого п выполняются следующие неравенства:
Примеры.
Последовательность |“^^| имеет пределом х. Действительно, имеем:
пх — 1 < Е ^пх^ ^ пх, следовательно,
х 1 п п ’
а так как каждая из последовательностей <х—- > , {х} сходится к । п ) v 1
(Е(пх)\„
пределу х, то и для последовательности < — ^ -> , заключенной между ними, имеет место то же самое.
Последовательность ^~|, где ап есть л-я цифра числа л, имеет предел 0, так как она заключена между последовательностями {0}, ( 9 1
< —?, имеющими предел 0.
8. Действия над сходящимися последовательностями. Если {ал} и {^„} — сходящиеся последовательности, то может быть доказана следующая
Теорема. Последовательности {ип±&пЬ {сап}> tarM схо" дятся и.
Hm (л„ ± £„) = lim ап ± Пт йл; П-*ооП->00п->00
если с — произвольное число, то
Пт сап = с lim ап\п-*<»П->«)
. Пт (апЬп) = lim ап - Пт Ьп. п->«>п-хо п^хл
Кроме того, если bn=^=0) Нт йпу=0, то последовательность <~> сходящаяся и
lim ап
n-^bn „Ши Ьп *
Последовательности, расходящиеся к ± оо. Введем следующий удобный способ выражения. Будем говорить, что последовательность ^а^ расходится к +°°*)> если для каждого произвольно большого числа А существует такой член последовательности, начиная с которого каждый последующий больше А. Записываем это так:
lim ап = + оо.
П ->00
Примерами такой последовательности являются {/z}, {2”}, {/г2 — л} и т. д.
Аналогично будем говорить, что последовательность ^ап^ расходится к —-оо, если для каждого произвольно малого (алгебраически) числа А существует такой член последовательности, начиная с которого каждый последующий меньше А. Записываем это так:
Пт ап —— оо.
П-*00
Примеры такой последовательности получим, помножив приведенные выше последовательности на —1. Другими примерами будут {л—л3}, {— Ю”} и т. п.
Следует всегда помнить, что последовательности, расходящиеся к 4-оо или —оо, не имеют предела, и что символы -|-оо и — оо отнюдь не являются числами, а вводятся лишь для упрощения записи.
Замечание. Если пишут lim ап — ^ без дальнейших указаний, Л -> 00
то молча полагают, что последовательность {ап} сходящаяся, что, следовательно, g—действительное число, а не один из символов + оо, ОО.
Теоремы о последовательностях, расходящихся к + оо. Можно доказать следующие теоремы:
Если последовательность {ап} ограничена, а Нт Ьп — +оо, то
Нт (а„+/»„) = +оо,
П-* оо
Нт (а„—»„) = — оо,П ** 00
lim £»=0 при условии, что Ьп^=0 для всех п.
П-* 00 Ьп
Если lim ап=4-оо, lim Ьп=^оо, то П-*0ОП-^оо
lim (an-f-»n)= 4-оо,lim (а„»„)=+оо.
п -> оо
Если Нт ап=+оо, Нт Ьп ——оо, то п~^аоп->«>
Пт (<?„—6„)= 4-ос,
Нт (а„6„)=—оо.
п -> 00
Если lim an — g, g^O, Пт 6л=+оо, то п -> 00п -> ОО
Нт («Л) п -> 00Нт («Л) п -> 00+оо при g> — оо при g<+оо при g> — оо при g<О, 0.О, 0.
Нт («Л) п -> 00
Нт («Л) п -> 00
+оо при g> — оо при g<
+оо при g> — оо при g<
О, 0.
О, 0.
Если lim an = g, g=#0, Нт b„ = 0, Ьп > 0, то П-*ооП-* ОО
Ит ^ = ( +оо при g> О,Ьп I —оо при g < 0.
Задачи
1 ГТfSUinxl
Доказать, что последовательность /—-—> при произвольно выбранном х имеет предел 0.
Будет ли последовательность {(— 1)пл} расходиться к +оо или —оо?
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, ОТЛИЧАЮЩИЕСЯ ЛИШЬ ПОРЯДКОМ ЧЛЕНОВ 25 3. Доказать, что последовательность {п3—5л2 + 3}, т. е.
(\ п 1 п3 / J
расходится к + оо.
Доказать то же самое для последовательности {Зл— п}, использовав неравенство 3”^:1+2л (см. Введение, п. 3).
СТРОГОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Отрезки последовательности. Если имеем какую-йибудь данную последовательность av а21 ... , ап) . .. , то п-м ее отрезком будем называть множество членов, оставшихся после отбрасывания первых л —1 членов. Например, шестым отрезком будет множество а6, #т> а^ • • • > сотым отрезком а100, а101, a1Q2, ... В частности, в состав первого отрезка последовательности входят все ее члены.
Отрезки последовательности будем обозначать символами Лх, Л2> Д3, . ..; число при А указывает номер отрезка. Таким образом, например, Ав означает шестой отрезок.
Выскажем некоторые очевидные замечания об отрезках, которые понадобятся нам в дальнейшем.
Если имеется два произвольных отрезка, например Д60 и Дхоо, то всегда последующий отрезок содержится в предшествующем; в нашем случае Д100 содержится в Д50.
Если возьмем произвольный отрезок, например Д100, то лишь конечное число членов последовательности не принадлежит этому отрезку. В нашем случае отрезку Д100 не принадлежат только 99 первых членов, т. е. члены av .. . , а99.
Обратно, если возьмем произвольное конечное число членов, то существует отрезок, который их не содержит (например, каждый отрезок с индексом, большим всех индексов этих членов).
Аналогично, если взять два произвольных отрезка, например Д50 и Д109, то лишь конечное число членов предшествующего отрезка не содержится в последующем. В нашем примере 50 первых членов отрезка Дб0, а именно аб0, аВ1, аВ2, ... , а99, не содержатся в отрезке Д100. Все остальные члены отрезка ДВо в отрезке Д100 содержатся.
Последовательности, отличающиеся лишь порядком членов. О двух последовательностях говорят, что они отличаются лишь порядком членов, если каждый член встречается одинаковое (конечное или бесконечное) число раз в обеих последовательностях.
Примеры. Приведенные ниже последовательности отличаются лишь порядком членов:
(0, 1, 0, 1, 0, 1, ...) и (0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, ...);
(1, 2, 3, 4, б, 6, . ..) и (2, I, 4, 3, 6, б, ...).
Для таких последовательностей имеет место следующая
Теорема. Если две последовательности отличаются лишь порядком членов, то каждый отрезок одной содержит некоторый отрезок другой.
Доказательство. Пусть первой последовательностью будет av а2> аз> • • • , второй bv b^, b3, ... и обе последовательности отличаются лишь порядком членов. Рассмотрим какой-нибудь отрезок первой последовательности, например Ап. Отрезок Ап не содержит лишь членов ах, а^, а3, ... , an_v Эти члены встречаются в последовательности Ьг, Ь^, Ь3, ... , Ьп, ... (быть может, в другом порядке); поскольку их конечное число, то у последовательности bv b^, . . . существует такой отрезок, назовем его Вг, который их не содержит. Тогда ясно, что отрезок Вг содержится в Ап. Действительно, каждый член отрезка ВГ является последующим для членов аг, а^, а3, ... , ап-1, а отрезок Ап содержит все члены последовательности, кроме этих.
Пример. Пусть {ап}— последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4, ... , т. е. ап = п, а {^„} — последовательность 2, 1, 4, 3, 6, 5, . .. , т. е. 62«-i = 2^, 62п = 2л—1. Отрезок Ав содержит, например, £10.
Понятие приближения. Говорят, что некоторое число а приближает число b с погрешностью, меньшей е, если
| а—Ь\ < е.
Говорят также, что а является приближенным значением числа b с погрешностью, меньшей е.
Пусть а приближает b с погрешностью, меньшей е. Тогда ясно, что а приближает b также с погрешностью, меньшей т], каково бы ни было т) > е. Если же Ц < е, то может случиться, что а не приближает b с погрешностью, меньшей т).
Понятие приближенного значения весьма важно, так как на практике мы оперируем почти исключительно приближенными числами. Это происходит либо потому, что точные значения нам неизвестны (измерение всегда производится неточно, с большей или меньшей погрешностью, в зависимости от точности измеряющего инструмента), либо потому, что действия, которые следует выполнить над данными числами, были бы слишком сложны и кропотливы, если бы мы взяли их
точные значения; в .расчетах пользуются, следовательно, тем или иным
приближением, в зависимости от того, какая точность нас устраивает.
Примеры.
шейшейЧисло 3,1416 приближает число л с погрешностью, мень
шей
шей
. Это означает, что ZUUUU
1Л—3,14161 <26500'
Число 1,41 приближает к 2 с погрешностью, меньшей ^ .
Если а приближает b с погрешностью, меньшей е, то, как сказано, |а — 6|<е. Тогда можно также писать
а—е < b < а + е
(см. Введение, п. 7).
Будем говорить, что отрезок последовательности приближает некоторое число g с погрешностью, меньшей е, если каждый член этого отрезка приближает g с погрешностью, меньшей е.
Например, о последовательности L у, у, •••> 7, ••• можно сказать, что отрезок А1001 приближает нуль с погрешностью, Меньшей .
Если некоторый отрезок последовательности приближает g с погрешностью, меньшей е, то каждый отрезок, содержащийся в нем, т. е. каждый последующий, также приближает g с погрешностью, меньшей е.
Например, в приведенной выше последовательности отрезок ^2ооо также приближает нуль с погрешностью, меньшей j^q.
Определение предела. Говорят, что число g является пределом последовательности av а^ а^ ... , ап, ... , если у этой последовательности существуют отрезки, приближающие g со сколь угодно малой погрешностью, другими словами, если для каждого числа е > 0 существует отрезок, приближающий g с погрешностью, меньшей е).
Записывают это так:
lim an = g.fl -> GO
Вместо того чтобы сказать, что последовательность имеет предел g, часто говорят, что последовательность сходится к g или что последовательность стремится к g. Аналогично вместо «последовательность имеет предел»' часто говорят: «последовательность сходится».
Примеры.
lim — = 0.
П-*ОО П
Последовательность (0,6, 0,66, 0,666, ...) имеет предел, равный числу 0,666...= у.
Последовательность с общим членом ип = -^~^ имеет пределом число 1. Чтобы это доказать, возьмем произвольный отрезок А^.
2$ГЛ. L ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Если ап принадлежит отрезку AN, т. е. если n^N. то
л +1 J I ^ +11 п +1 W 1
т. е. отрезок AN приближает число 1 с погрешностью, меньшей ~- . Если мы хотим, следовательно, чтобы погрешность была меньше некоторого определенного числа е>0 ^например, е = -^^, то достаточно выбрать N так, чтобы-~ < е, т. е. чтобы ^>J'. Таким образом, каждый отрезок с номером, большим •—, приближает 1 с погрешностью, меньшей е. Так как е произвольно, то существуют, следовательно, отрезки, приближающие 1 с произвольно малой погрешностью, поэтому
Это типичный способ доказательства того, что некоторая последовательность {ал} имеет предел g. Проанализируем это доказательство.
Прежде всего рассматриваются произвольный отрезок AN и произвольный член ап этого отрезка, т. е. член, номер которого больше или равен N. Мы исследуем разность |g—ап | и-етараемся, зная ^ определить некоторое число так, чтобы все [^—ап\ были меньше этого числа, как только n^N, т. е. как только ап принадлежит AN. В предыдущем примере таким числом было ~ . Это число будет определяться некоторым выражением, зависящим только от М, а не от п. Затем нам остается доказать, что существуют отрезки, для которых соответствующее число произвольно мало.
Таким образом, если последовательность имеет предел g, то для произвольного е > 0 у последовательности существует отрезок А^, все члены которого приближают g с погрешностью, меньшей 8. Следовательно, единственные члены, не приближающие g с погрешностью, меньшей е, это те, которые не принадлежат отрезку AN, а их лишь конечное число. Итак, мы можем высказать следующее утверждение:
Если lim an — g и дано некоторое е > 0, то лишь конечное П-> оо
число членов последовательности отличается от g на е или больше чем на е.
Обратно: если для данной последовательности {ал} доказано существование такого числа g, что для произвольно выбранного е > 0 лишь конечное число членов этой последовательности
отличается от g не меньше чем на е, то Jim an = g.
В самом деле, выбрав произвольное число е > 0, мы можем утверждать, что у последовательности существует отрезок Лл, не содержащий ни одного из конечного числа указанных членов; следовательно, все члены этого отрезка приближают g с погрешностью, меньшей 8.
Приведенное выше рассуждение часто используется для доказательства того, что некоторое число есть предел последовательности.
Пример 4. Доказать, что hm =—гб = т • П ОО®
Возьмем произвольное число е > 0 и исследуем, сколько членов з
отличается от у не меньше чем на е. С этой целью изучим разность | у—ап |. Имеем:
I 3II 3 _Зл+1 II 1 I 1
(51 5 5л + 2| |25n+10j. 25n+10‘
Таким образом, только те члены отличаются от у не меньше чем на 8, для которых ^ 6 (здесь п—номер рассматриваемого члена). Отсюда следует, что 25л+10^у, 25/:^-^—10,следова
тельно,
п ^
Однако существует только конечное число натуральных чисел, не превосходящих данного. Поэтому натуральных чисел, не превосхо-
-—10
дящих, в частности, числа -^yg—, либо не существует вовсе ^например, для е = 5, 8 = ^^ , либо существует лишь конечное число.
3 I
Таким образом, неравенство у— ап ^е будет выполняться только для конечного числа членов. Отсюда следует, что
П->оо "5
Замечание. При доказательстве того, что данная последовательность {аи} имеет предел g, т. е. что для каждого е>0 существует отрезок Ап, приближающий g с погрешностью, меньшей е,
всегда можно принять, что е меньше некоторого произвольного положительного числа а ^например, -^^ , так как отрезок Ап, приближая g с погрешностью, меньшей е < а, тем более приближает g с погрешностью, меньшей произвольного е^а. Этим замечанием мы скоро воспользуемся.
Задачи
Доказать, что последовательность с общим членом __1 + 2+3+...+п
°П 1 имеет пределом .
-2. Доказать, что последовательность с общим членом
а„ = 2(1+х+х2+...+хП)
'*X
(Зп2 —2n + 6131 7пЧ-12~ J ИМееТ пРедел 7имеет преДел Т2б •(Зп2 —2n + 6131 7пЧ-12~ J ИМееТ пРедел 7имеет преДел Т2б •сходится при х > I к пределу •
(Зп2 —2n + 613
1 7пЧ-12~ J ИМееТ пРедел 7
имеет преДел Т2б •
(Зп2 —2n + 613
1 7пЧ-12~ J ИМееТ пРедел 7
имеет преДел Т2б •
Доказать, что последовательность
Доказать, что последовательность
ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
* Сходимость последовательностей с равными членами. Если все члены последовательности {ап} равны одному и тому же числу g, то последовательность сходится к этому числу.
Например, последовательность < ап = -^ > , т. е. у, — , -^-, ., 11
имеет предел .
Доказательство вытекает из следующего замечания. Какое бы произвольное число 8 > 0 мы ни взяли, все члены последовательности будут приближать g с погрешностью, меньшей е, так как они приближают gf с погрешностью, равной нулю:
k-«„l = k—^| = о.
Независимость предела от порядка членов. Предел сходящейся последовательности не зависит от порядка членов; это означает, что предел сходящейся последовательности не изменится, если в ней изменить порядок членов.
Например, последовательность ^| имеет предел 0. Если изменить порядок членов так, чтобы член четного порядка перешел на
одно место назад, а член нечетного порядка—на одно место вперед, то получим следующую последовательность:
1 1 1 1 1 1
2 ’ 1’ 4 ’ 3 ’ 6 ’ 5 ’ ‘е *
Эта новая последовательность также имеет предел 0.
Доказательство. Пусть последовательность {аи} имеет предел g. Пусть, далее, {6П} — последовательность, полученная из последовательности {аи} изменением порядка членов. Поскольку lim an = g,
П-*<»
то для произвольно выбранного числа е > 0 существует отрезок А№ который приближает g с погрешностью, меньшей е. Но в силу теоремы, приведенной на стр. 26, отрезок AN содержит в себе некоторый отрезок последовательности \jbnV скажем, отрезок Вк. Ясно, что отрезок Вк, как содержащийся в отрезке AN, также приближает g с погрешностью, меньшей е. Следовательно, взяв произвольное число е > 0, мы можем найти у последовательности {6П} отрезок Вю который приближает g с погрешностью, меньшей е, так что lim6n = ^.
«—►ОО
Замечание. Из предыдущей теоремы следует, что если последовательность {ап} расходится, то каждая последовательность, отличающаяся от нее только порядком членов, также будет расходящейся.
Сходимость подпоследовательностей. Каждая подпоследовательность сходящейся последовательности имеет тот же предел, что и первоначальная последовательность.
Замечание. Подпоследовательность получается из данной последовательности путем извлечения бесконечного числа ее членов в том порядке, в каком они находились первоначально.
ап= — >. Выберем
из нее все члены с нечетными индексами. Получим новую последовательность {^„}:
11111 ’ з , 5 , 7 ,
так что. Поскольку Пшои = 0, то Пш^и = 0.
Доказательство. Пусть {#„} — первоначальная последовательность, сходящаяся к пределу g, а {6П} — ее подпоследовательность. Для произвольного е > 0 выберем такой отрезок AN, который приближает g с погрешностью, меньшей е. Ясно, что отрезок AN содержит в себе некоторый отрезок Вк последовательности {6П}, так как {#„}— подпоследовательность последовательности {яп}. В связи с этим, Вк также приближает g с погрешностью, меньшей е. Итак, взяв произвольное число е > 0, найдем отрезок Вр
приближающий g с погрешностью, меньшей е; это означает, что lim bn = g.
П-* ОО
Пример 2. Последовательность ^^^| (СТР« 29) сходи кя к пределу ~. Поэтому последовательности
/3(л2 + л) + Ц J3(2n+1) + H J3*2,z2-i-И
I5(n2 + n) + 2j ’ )5(2п+1) + 2р |5.2«2 + 2/ ’
являющиеся ее подпоследовательностями, имеют тот же самый предел.
Замечание. Заметим, однако, что если последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность, то отсюда еще не следует, что первоначальная последовательность будет сходиться.
Например, последовательность 1, 4"» h Y’ ^ 4’ Расходит- 1 1'1 ся, подпоследовательность же-тг,... сходится к нулю.
Z 4 О
Предел последовательности с неотрицательными членами. Если все члены сходящейся последовательности неотрицательны, то ее предел также неотрицателен.
Доказательство следует из замечания, что если р— число отрицательное, а а—число неотрицательное, то |а — р|^|р|. Таким образом, неотрицательное число отличается от отрицательного числа не меньше чем на абсолютную величину отрицательного числа. Следовательно, если {ял}— произвольная последовательность с неотрицательными членами и р— некоторое отрицательное число, то никакой отрезок этой последовательности не будет приближать р с погрешностью, меньшей |р|. Значит, погрешность не может быть произвольно малой, и поэтому р не является пределом нашей последовательности. Последовательность, таким образом, имеет пределом неотрицательное число.
Предел суммы и разности последовательностей. Сумма двух сходящихся последовательностей есть последовательность. сходящаяся к сумме пределов этих последовательностей.
мер 1. Пусть {а„} есть последовательность ^1—^у »
\Ьп\— последовательность{^/—последовательность
— ^111 1 j 8n2 — 5л — 1)
|5л+1^"п)| 5л2 + п J*
Поскольку
3
lim ап = 1, lim =
ТО
Jim с„ = 1+-5=т.
Доказательство. Пусть последовательность {ап} имеет предел а, последовательность {^„} имеет предел Ь. Члены последовательности {с„}, являющейся их суммой, имеют вид сп — ап-\-Ьп. Требуется доказать, что
lim сп~а-^Ь.
Так как
lim ап = a, lim bn = Ь,П-* ООп -> оо
то, взяв произвольное число в > 0, найдем отрезки AN и ВК) приближающие, соответственно, а и b с погрешностью, меньшей в.
Пусть R—целое число, большее чем N и К. Очевидно, что отрезки AR и BR) содержащиеся, соответственно, в отрезках AN и В^, тоже приближают а, соответственно Ь, с погрешностью, меньшей е. Так как каждый член сп, принадлежащий CR, имеет вид aR-\-bnt где ап и Ьп принадлежат AR, соответственно BR) ю
I»—ап\<г, \Ь-Ьп\<г, следовательно,
h + »—с„| = |а + 6—а„ —»„| =
= I ka—a^ + kb—bn) | ^ | о —«„ | +1 Ь—Ь„ | < 2е.
Таким образом, отрезок CR приближает а -\-Ь с погрешностью,: меньшей 28. Если бы мы пожелали, чтобы отрезок CR приближал а + Ь с погрешностью, меньшей некоторого произвольного числа Т] > 0, то достаточно было бы вначале взять такое е > О, чтобы было 2е < 1), значит, достаточно было бы взять е < ~. Следовательно, взяв произвольное число т) > 0, найдем такой отрезок CR) который приближает а-\-Ь с погрешностью^ меньшей т), а это означает, что
lim сп = а + Ь,
Пример 2. Последовательность / 2л |f 11 (( 1 (f 1 (
(Л — 1J(л+1 'л—1/| Л + 1 /| л— 1 J
сходится к нулю.
Замечание. Указанную выше теорему можно записать так: Если последовательности {ап} и {£п} сходятся, то
lim (ап + »„)=- 1ипа„+ lim/>„.
Подобное утверждение относится и к разности двух последовательностей. Стало быть,
lim(a„ — bn) = lima„—l\mb„.
П-* CDП CDП->- CD
\«-b-cn\ = \a-b-an-V-bn\ =\«-b-cn\ = \a-b-an-V-bn\ =Доказательство аналогично, так как
\«-b-cn\ = \a-b-an-V-bn\ =
\«-b-cn\ = \a-b-an-V-bn\ =
= | (а-а^ -Vb-b^ К|а-а„| + |*-М<2е.
Предел произведения последовательностей. Произведение двух сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, и ее предел равен произведению пределов этих последовательностей.
Пример 1. Пусть {ага} есть последовательность |1—~| , f г 1 гf 3/1 — 11
— последовательность ^^згн, {cn} — последовательность {«„АЬ тогда
С_ = °пЬп = f 1 ™) п п пnJС_ = °пЬп = f 1 ™) п п пnJЗп—1 __п — 1 « Зп —1 _3л2 —4л+1 б/i — l п *5/i—15п2 — п *
С_ = °пЬп = f 1 ™) п п пnJ
С_ = °пЬп = f 1 ™) п п пnJ
333
Так как lima =1, lim Ь_ = -г, то lim с„ = 1 •-=- = -=-. n*>oonao ° п^л° u
Доказательство. Пусть последовательность {an} имеет предел а, последовательность {£„}— предел Ь. Члены последовательности {ся}, являющейся их произведением, имеют вид сп = апЬп. Требуется доказать, что Hmcrt = 6z6.
П-*-СО
Так как 11шяп=я и \Ymbn = b) то, взяв произвольное положи
тельное число е < 1 (см. замечание, стр. 29—30), найдем отрезки Л^и Вк> приближающие, соответственно, а и b с погрешностью, меньшей е. Пусть R — целое число, большее одновременно как N, так и К. Отрезки AR и Br, содержащиеся, соответственно, в AN и Вк, также приближают, соответственно, а и b с погрешностью, меньшей е. Исследуем, с какой погрешностью приближает ab отрезок CR. Каждый член сп отрезка CR равен апЬп, где ап и Ьп принадлежат, соответственно, Ar и Br. Так как
|о-а„|<е, \Ь-Ь„\<е,
то, положив ап — а = ап, bn — b = ^ni получим:
\апЬп — аЬ\ = \ (« + «„) (» + Pn) — aft| = |a„& + PBa+a„PnK
<1апй1 + |₽п«| + |апРл| = |йп — а|-|^| + |йп-&|-|а| + + 1лп-аН^-^1 <е(|а| + |бЦ-е) < e(|a|4-|ft| + l).
Таким образом, ^1<8(|а| + р|+1).
Если необходимо, чтобы отрезок CR приближал ab с погрешностью, меньшей некоторого произвольного числа т) > О, то было бы достаточно с самого начала выбрать в > 0 такое, чтобы
8(| «1 + Р1+ U <П> ИЛИ
hl+PI+1’
Следовательно, взяв произвольное число г] > 0, можно найти такой отрезок С^, что все его члены приближают ab с погрешностью, меньшей т), а это означает, что
lim сп = ab.
п-*а>
Замечание. Указанную выше теорему можно записать так: Если {яи} и {6rt} — сходящиеся последовательности, то
lim ^апЬп^ — lim °п* *™ ^п.п-* ооп-*а»• п -* оо
Пример 2. Последовательность
Ц . /з— М
I п2 ) \ п ) \ п )1 л J I п)
сходится и имеет предел 6.
Предел произведения последовательности на число. Если последовательность {art} сходится к пределу a, a m— произвольное число, то последовательность {тап} сходится к пределу та, т. е.
lim (man) = m* lim an.
п->а>n**«
Доказательство получим из предыдущей теоремы, положив bn — m (/z = l, 2, 3, ,..).
Пример. Если последовательность {ол} сходится к пределу^, то последовательность {— а^ имеет предел—g.
Предел частного двух последовательностей. Частное двух сходящихся последовательностей имеет предел, равный частному их пределов, при условии, что все члены и предел последовательности* делителя отличны от нуля.
Пусть, например, 1 . 1 а 3”+!
°"- 1 + п ’6" — 5п+Г
2е
Тогда
_ ап5л2 + 6л +1Сп — ь; Зпа4-П •Так какзa=liman=l, b = hm bn = v-,П -► 00/100
ТО
<35lim сп 1..
00° d
Доказательство. Поступая так же, как при доказательстве теоремы о пределе произведения, получим отрезки AR и BR, приближающие соответственно а и b с погрешностью, меньшей е. По условию теоремы Ь^О, поэтому можно взять 8<y|Z>| (см. замечание, стр. 29—30). Исследуем теперь, с какой погрешностью приближает у отрезок CR. Полагая, как и при доказательстве теоремы о пределе произведения, ап — а — ап> bn — b = ^n, имеем
I _ I ^ал —лрп1 11НМ±£1Н₽д1
|^ бГтМПIH-I^ + PJ
Так как е< у |#|, то
MW>l»H^I>l»|-e>|»|-4lH так что.
1» + М>у1И
В силу предыдущих неравенств можно написать:
Их « | / I » 1 + 1 «I с |&п
Если бы мы захотели, чтобы отрезок CR приближал у с погрешностью, меньшей некоторого произвольного числа т] > О, то было бы достаточно с самого начала взять 8 > 0 такое, чтобы
е<уИ;
I^LeCrb
Т16'2
Иными словами, достаточно взять положительное е, меньшее обоих 14-162 ^
ЧИСеЛ 2 1*1 И Й + |6Г-
Таким образом, взяв произвольное число т] > 0, можем найти такой отрезок CR) что все его члены приближают ~ с погрешностью, меньшей т), так что
п^С" = Т-
образом:образом:Замечание. Предыдущую теорему можно записать следующим
образом:
образом:
limгг-* <х> ° пlimгг-* <х> ° пИт ап
lim
гг-* <х> ° п
lim
гг-* <х> ° п
П-* 00
lim bn
п-* сю
(при указанных в ней предположениях).
22а*. Предельный переход в неравенстве. Если lim ап — а, П-^ 00
lim bn = b и an^bn при всех п, то а^ Ь.
Доказательство. Согласно теореме о пределе разности последовательность {ап — Ь^ сходится к числу а — Ь, причем все члены этой последовательности, очевидно, неотрицательны. Отсюда следует, что и ее предел а — Ь также неотрицателен (стр. 32), т. е., что а^Ь.
<Задачи
Доказать, чтоДоказать, чтопоследовательностьпоследовательностьимеет пределимеет пределнуль.нуль.Доказать, чтоДоказать, чтоДоказать, что 5 имеет предел у.Доказать, что 5 имеет предел у.последовательностьпоследовательностьпоследовательностьпоследовательностьЗл2+18 y-'+lЗл2+18 y-'+lимеет предел у.имеет предел у.115п24-2 /< । 4 . Чп—1 \) 7л2 —9 * \ 1 И + 14л2 + 3 ) f5п24-2 /< । 4 . Чп—1 \) 7л2 —9 * \ 1 И + 14л2 + 3 ) fДоказать, что если последовательности (ал) и (дл) имеют одинаковые пределы, то последовательность ^ап— ЬД имеет предел нуль.Доказать, что если последовательности (ал) и (дл) имеют одинаковые пределы, то последовательность ^ап— ЬД имеет предел нуль.
Доказать, что
Доказать, что
последовательность
последовательность
имеет предел
имеет предел
нуль.
нуль.
Доказать, что
Доказать, что
Доказать, что 5 имеет предел у.
Доказать, что 5 имеет предел у.
последовательность
последовательность
последовательность
последовательность
Зл2+18 y-'+l
Зл2+18 y-'+l
имеет предел у.
имеет предел у.
1
1
5п24-2 /< । 4 . Чп—1 \) 7л2 —9 * \ 1 И + 14л2 + 3 ) f
5п24-2 /< । 4 . Чп—1 \) 7л2 —9 * \ 1 И + 14л2 + 3 ) f
Доказать, что если последовательности (ал) и (дл) имеют одинаковые пределы, то последовательность ^ап— ЬД имеет предел нуль.
Доказать, что если последовательности (ал) и (дл) имеют одинаковые пределы, то последовательность ^ап— ЬД имеет предел нуль.
ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
Сходимость монотонных ограниченных последовательностей. Поставим вопрос, каким образом определить, сходится ли данная последовательность. Предварительно выскажем следующее утверждение
Теорема. Каждая ограниченная монотонная последовательность сходится.
Доказательство этой теоремы мы опускаем ввиду его сложности. Заметим, однако, что интуитивно она совершенно очевидна. Например, последовательность площадей вписанных в круг правильных 2”-уголь- ников возрастает и ограничена (так как все они лежат, например, в квадрате, описанном около круга); как это было интуитивно ясно уже Архимеду, эта последовательность имеет пределом площадь круга.
Однако не каждая сходящаяся последовательность является моно- ((и»)
тонной. Например, последовательность <1+ —как легко видеть, имеет предел 1, хотя она и не монотонна.
Условие Коши. Будем говорить, что последовательность {#„} удовлетворяет условию Коши, если существует закон, ставящий в соответствие каждому положительному е отрезок этой последовательности, любые два члена которого отличаются между собой меньше
чем на е.
Теорема. Каждая сходящаяся последовательность удовлетворяет условию Коши (иначе, условие Коши необходимо для сходимости).
которая, как известнокоторая, как известноПример. Последовательность
которая, как известно
которая, как известно
(стр. 27), сходится к пределу 1, удовлетворяет условию Коши. Действительно, имеем:
1 п1 п1 т *1 т *।.1 п m I \п—m\
1 п
1 п
1 т *
1 т *
la» —aml~ l^+T-"m+ll-^ + ^tm+l)^8 пт
Таким образом, если т^ N> п> N, то
2
так что для N>~, m>N, n>N получим:
1ап-ат1<е.
Доказательство. Пусть Ншои==о. Если т] — произвольное
П -* 00
положительное число, то существует отрезок Л^, который приближает а с погрешностью, меньшей т). Пусть ат и ар — члены отрезка AN. Тогда
|о„ — а\<п, |а₽ — а | < -q.
Так как
\«m-ap\ = \am-o + «-°p\C\am-a\ + \a-ap |, ТО
}«го-аР1<2п-
Если теперь 8— произвольное положительное число, то, взяв е.
к\ = -^1 замечаем, что любые два члена ат и ар отрезка А^ отли-
чаются между собой меньше чем на 2т) = е. Следовательно, наша последовательность удовлетворяет условию Коши.
Можно также доказать обратную теорему.
Теорема. Каждая последовательность, удовлетворяющая условию Коиш, сходится (т. е. условие Kouiu достаточно для сходимости).
Объединив эти две теоремы, мы получаем следующее утверждение: Теорема. Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Kouiu.
Ограниченность сходящихся последовательностей. Если последовательность {ал} сходится к пределу g, то все ее члены, начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству | ап—^l^l или, что то же самое, неравенствам — 1 <_ ап — g<< 1 или g— К ап <£*+ 1. Из этих неравенств и из того, что оставшихся членов лишь конечное число, вытекает ограниченность последовательности {#п}.
Таким образом, нами доказана
Теорема. Каждая сходящаяся последовательность ограничена.
Как видно из примера последовательности {(— 1)”}, ограниченной и расходящейся, теорема, обратная данной, неверна.
Теорема о пределе промежуточной переменной. Если заданы три последовательности {ал}, {6Л}, {гл}, удовлетворяющие условиям:
lim ап = lim bn = g; П~+ ООП-Х»
ап<.сп<.Ьп (для л = 1, 2, 3, ...), то последовательность {сп} сходится и
Umcn = g.
Доказательство. Выберем произвольное положительное число е. Существуют такие отрезки Л^иВ^, которые приближают g с погрешностью, меньшей 8. Покажем, что и отрезок Сю приближает g с погрешностью, меньшей е. Если возьмем сп> принадлежащий отрезку CN) то по условию имеем:
откуда
g-b^g-c^g— ап\
но члены ап и Ьп принадлежат, соответственно, отрезкам А^ и В^ значит:
— 8<g—bn,
g-att<6.
Отсюда получаем неравенства
-е<£-сп<г, т. е.
\g-cn\<6.
Следовательно, каждый член отрезка CN приближает g с погрешностью, меньшей г. Поскольку е было выбрано произвольно, то
hm сп = g.
П-Х»
Пример. Пусть
С =+-J—”K«4-lК«24-2V^A-n
Тогда имеем:
Vn^A-n n ^2 + l но так как
Vn^ + л < л -J- 1, V nA 4-1 > n, то тем более
—ГТЛ • — = 1.
«4-1 n n
Положив a„ = ™ г , ^ = 1, имеем, как известно, п «4-1 ’ п’’
ОтсюдаОтсюдаhm ап = 1, hm bn = 1.И -> ООп-*Ф
Отсюда
Отсюда
lim сп = 1.
Задачи
Доказать, что если последовательность {ая} имеет предел g, то последовательность {а2} имеет предел g2.
Доказать, что если последовательность {«„} имеет предел g, то последовательность {5а^4- 18а„— 1} имеет предел 5g84-18g—1. Обобщить этот результат.
Доказать, что последовательность {«„}, определенная следующим образом:
Oi=0, аа = 1, а„ = ^±^=»(„>2),
т. е. последовательность
135 11 21
Ь 2 ’ 4 ’ 8 ’ 16’ 32 обладает свойством
„2_2 (-0"/п-2 ч
»п 3—32”-1(п —2, 3, ...)
Доказать, что последовательность
^ЧМ*"^ . . . + »»-!« + »» I|fto + &l L+ . +<,А-1 1 +^ ’
сходится к пределу т— при условиях:
^о^б, bop,^”\-b^n^ 14" • • • + Ь^ ^ 0 для всех п.
Доказать, что если последовательность ^у^ Фп > ®) монотонна, то монотонной будет также последовательность
£W+j£42^^п2£W+j£42^^п2имеетимеет61 + 02 + • • • + Дд)^1 + ^2 + • • • + Ьп )
£W+j£42^^п2
£W+j£42^^п2
имеет
имеет
Доказать, что последовательность
х
пределу .
7. Пусть так что7. Пусть так чтоап*х=^хА-ап (х>0).ап*х=^хА-ап (х>0).a1 = Vrx,a1 = Vrx,И т. д.И т. д.
7. Пусть так что
7. Пусть так что
ап*х=^хА-ап (х>0).
ап*х=^хА-ап (х>0).
a1 = Vrx,
a1 = Vrx,
И т. д.
И т. д.
Доказать, что последовательность |а„} возрастающая и что а„<х+1 (по индукции), так что последовательность {ая} сходится.
Опираясь на результат задачи 7 и на формулу
“п + 1=* + »Л.
g^x-Vg,g^x-Vg,доказать, что предел g последовательности {оя} удовлетворяет уравнению
g^x-Vg,
g^x-Vg,
откуда
Доказать, что каждая последовательность, содержащая бесконечно много нулей и единиц, расходится.
Доказать, что последовательность, все члены которой являются целыми числами, сходится тогда и только тогда, когда все члены, начиная с некоторого, имеют одинаковое значение.
И. Доказать, что предел g последовательности {ая}, члены которой удовлетворяют неравенствам А ^ап^В, удовлетворяет этим же неравенствам.
ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРЕДЕЛОВ. ЧИСЛО е
Вычисление некоторых пределов. Докажем теперь две теоремы, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем.
Теорема. Если через {а„} обозначить произвольную последовательность натуральных чисел, стремящуюся к +°о, то:
1)2)1)2)+ ооНт Л°п =1rt-*ooQ+ ооНт Л°п =1rt-*ooQдля Л > 1,
1)
2)
1)
2)
+ оо
Нт Л°п =1
rt-*ooQ
+ оо
Нт Л°п =1
rt-*ooQ
для Л= 1, для 0 ^ Л < 1;
для Л > 0.
Доказательство. 1) Действительно, если Л> 1, то на основании известного неравенства (см. Введение, п. 3) будем иметь:
Л«» > 1 + аи (Л—1).
Обозначим через М произвольное положительное число. Так как последовательность {аи} стремится к +оо, то у нее найдется член а#, начиная с которого все члены ап будут удовлетворять неравенству а„ >, откуда 1 +а„ (Л — 1) > М. Для n>N
имеем, следовательно, Ла» > М, а так как М произвольно, то
Нт Ла» — + °0-
«-* со
Если Л= 1, то при каждом п имеем Лап = 1, следовательно, и ПшЛ0^!; также, если Л = 0, то Ла* —0 (л=1, 2, ...), стало П -> 00 быть, и Нт Ла» = 0. П-ХЮ
Наконец, если 0 < Л < 1, то -^ > 1, следовательно, Пт ^^=8 4-оо. Так как Ла« = , А а~, то на основании теоремы
о последовательности, расходящейся к оо (стр. 24), получим:
Нт Ла» = 0.
«-* 00
Д 1п. 3), и потому 0^ев^. Так какЛ-1то lim = 0 (см. стр. 24). Таким образом, по-«-*00 а«Д 1п. 3), и потому 0^ев^. Так какЛ-1то lim = 0 (см. стр. 24). Таким образом, по-«-*00 а«Допустим сначала, что Л^1. Тогда С^/*Л ^ 1. Положив поэтому ^А- 1 4-ел (е„^ 0), будем иметь Л = (1 4-еи)ап ^ 1 + а/А*
Д 1
п. 3), и потому 0^ев^. Так как
Л-1
то lim = 0 (см. стр. 24). Таким образом, по-
«-*00 а«
Д 1
п. 3), и потому 0^ев^. Так как
Л-1
то lim = 0 (см. стр. 24). Таким образом, по-
«-*00 а«
(см. Введение,
Нт ап = 4- °°>
«-* ОР
следовательность {е„} заключена между последовательностями {0},
JI, сходящимися к нулю. Отсюда на основании известной тео- 1 ап )
ремы (стр. 39) следует, что Пт е„ = 0; поэтому lim "!г/Л=1.
П-*«П^СО г
1^ /*Т
Если 0 < Л < 1, то -^- > 1, следовательно, lim у —= 1. Так как
А =—U= , то и в этом случае имеем lim А =
V у.V
Наша теорема полностью доказана.
Теорема. При любом х справедливо равенство
lim —,=0.
Доказательство. Пусть х— произвольное число. Выберем натуральное число /5, удовлетворяющее неравенству | х I < к. Обозна- I х I
чив через 9 число , получим:
и поэтому при п > к1*^11*^1 1*11*1|уг!| к\ ‘fc+l’Wи поэтому при п > к1*^11*^1 1*11*1|уг!| к\ ‘fc+l’W1*1 / 1*^1 ДП-кI *^ 1 АП А! 6~ №к\ 6 '1*1 / 1*^1 ДП-кI *^ 1 АП А! 6~ №к\ 6 '
и поэтому при п > к
1*^11*^1 1*11*1
|уг!| к\ ‘fc+l’W
и поэтому при п > к
1*^11*^1 1*11*1
|уг!| к\ ‘fc+l’W
1*1 / 1*^1 ДП-кI *^ 1 АП А! 6~ №к\ 6 '
1*1 / 1*^1 ДП-кI *^ 1 АП А! 6~ №к\ 6 '
Так как 0 <0 < 1, то 0” стремится к нулю, когда п неограниченно хп возрастает (см. предыдущую теорему), следовательно, и ^ стремится к нулю, т. е.
lim -7 = 0.fl X 00 ^
28*. Число е=± 2,71828... В высшей математике имеет большое значение одно особое число, которое обозначается символом е. Это число можно определить как предел последовательности {aw}, тг-й член которой выражается формулой
а па п/1= (,/1= (,
а п
а п
/1
= (,
/1
= (,
так что
е= limП-* 00е= limП-* 00ПП
е= lim
П-* 00
е= lim
П-* 00
П
П
Чтобы это определение было оправдано, надо доказать, что приведенная выше последовательность сходится. Для этого достаточно доказать, что эта последовательность монотонна и ограничена.
Доказательство. Пользуясь биномом Ньютона, получим:
(1 I 1\”_1 I "1 , «(» — !)1 , п(п —1)(п —2)1 ,
“ т1‘п+ Ь2 " п2"1"1-2.3
п (п — 1) (л — 2).. .2-11
* • •Ь2-3...л л» *
Рассматривая, например, четвертый член этого разложения, мы можем его представить в виде
V A nJЬ2-3*
Поступая так со всеми членами, начиная с третьего, получим формулу>Поступая так со всеми членами, начиная с третьего, получим формулу>Аналогично получаем также следующую формулу:Аналогично получаем также следующую формулу:
Поступая так со всеми членами, начиная с третьего, получим формулу>
Поступая так со всеми членами, начиная с третьего, получим формулу>
Аналогично получаем также следующую формулу:
Аналогично получаем также следующую формулу:
Заметим теперь, что числитель каждой дроби, встречающейся в этих разложениях, меньше единицы, как произведение чисел, меньших единицы. О знаменателях заметим следующее:
1 2 = 21,
Ь2.3> 1-2-2 = 22,Ь2-3-4> 1-2-2-2 —23,
ПоэтомуПоэтому1-2.3-4. . .л > 1-2.2-2. . . 2 —2”*1.
Поэтому
Поэтому
1+^) < , + 1 + $г+^ + ^ + ---+2^ •
Воспользовавшись формулой для суммы геометрической прогрессии
(см. Введение, п. 4), получим:
так что
Таким образом, мы доказали, что последовательность ограничена.
Докажем теперь ее монотонность. Прежде всего заметим, что разложение I 1 + ~) состоит из #4-1 членов, а разложение /1 \«+г
14г-7—из #42 членов, т. е. имеет на один член больше,
\ 1 #4-1 /
Легко видеть, что
-< 1гт» # п 4* 1-< 1гт» # п 4* 11—-< 1п1—-< 1п2# +1 ’2# +1 ’3#4-1 ’ “е3#4-1 ’ “е
-< 1гт» # п 4* 1
-< 1гт» # п 4* 1
1—-< 1п
1—-< 1п
2
# +1 ’
2
# +1 ’
3
#4-1 ’ “е
3
#4-1 ’ “е
и вообще,
1#1#4-1 *
ПоэтомуПоэтому
Поэтому
Поэтому
и т. д. Мы видим, таким образом, что члены разложения (I), начиная с третьего, оказались меньшими соответствующих членов разложения (2) и что, кроме того, во втором разложении есть один добавочный положительный член. Следовательно,
Таким образом, последовательность ( 14—1 монотонна и ограничена и, следовательно, имеет предел.
Теперь докажем следующую теорему.
Теорема. Если в последовательности {гл} все члены отличны от 0 и —1 *), причем lim ( г„ | = оо, то
Нт (14- ) п = ^.
1 \ гп— ) не определено.1 \ гп— ) не определено.П-><ю \ ГП/
1 \ гп
— ) не определено.
1 \ гп
— ) не определено.
Доказательство. Сначала установим требуемое соотношение для случая, когда Пт гп= оо. В последовательности {г„} лишь П-* ОО конечное число членов меньше единицы и при отыскании предела их можно отбросить. Поэтому считаем ги^1.
Пусть, далее, &„ —£(ги)— наибольшее натуральное число, не превосходящее гп, так что a„^rn<an+l. Заметив, что увеличение положительных основания и показателя ведет к увеличению степени, получим очевидные неравенства
(3)(3)
(3)
(3)
С целью применить теорему о пределе промежуточной переменной (стр. 39), вычислим пределы крайних выражений, опираясь на только что доказанный результат
/1
Пт (1-4—) — е.
п-><® \п /
Поскольку ап — натуральные числа, причем Пт ад = оо, то по теореме о сходимости подпоследовательностей (стр. 31) имеем
hm1Н—= е.
Но тогда
Таким образом, последовательность < ( 1 Ч—/ заключена между
тп) J
двумя другими, пределы которых существуют и равны оба числу е.
Значит,
( Ит гп = ооу п->«( Ит гп = ооу п->«(4)(4)
( Ит гп = ооу п->«
( Ит гп = ооу п->«
(4)
(4)
Рассмотрим теперь случай Ит гп ——оо. Как и выше, можно считать гп^—2. Обозначив г„=—qn) легко найдем, что
Но lim qn=oo, поэтому в силу (4)
г«г«1 \<?»<7л- U1 \<?»<7л- U
г«
г«
1 \<?»
<7л- U
1 \<?»
<7л- U
= hm 14р • hm ( 1 4г ) = е. п-*<>Л Яп—Ч п^аЛ Яп—Ч
Мы показали, следовательно, что и при гп—►—оо
Пт (« = е.
п -► оо \ ^я /
Пусть, наконец, {гЛ}— произвольная последовательность с условием lim | гп | = оо (гп ^ О, — 1). Разобьем последовательность П-> а»
/Л , i
< I 1 Н— У на две подпоследовательности в зависимости от знака гп. Согласно доказанному, в каждой из этих подпоследовательностей лишь конечное число членов отличается от числа в больше, чем на е. Значит, и во всей последовательностиг таких
членов конечное число. В силу необходимого и достаточного условия существования предела последовательности (стр. 28) это и означает, что при | гп | —► оо
lim ( 1 Н— ) = е.
П^СО V ГП/
Тогда полученное соотношениеТогда полученное соотношениеlim (1 +P„)Qn = e.lim (1 +P„)Qn = e.Замечание. Обозначим -г = рЛ. можно представить в таком виде:
Тогда полученное соотношение
Тогда полученное соотношение
lim (1 +P„)Qn = e.
lim (1 +P„)Qn = e.
Если lim р„ = 0, рп ^ О, —1, то
ГЛАВА II
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Примеры функций. Понятие функции. К понятию функции можно прийти, изучая соотношения, возникающие между разными величинами. Может случиться, что две величины при определенных условиях связаны между собой так, что каждому значению первой величины соответствует точно определенное значение второй. Если такой факт имеет место, то говорят, что вторая величина является функцией первой.
Примеры.
Цена сахара в определенном месте и в определенный период времени определяется указанием его количества, т. е. его веса. Поэтому цена сахара есть функция его веса.
Цена железнодорожного билета Ш класса является функцией длины пути, на который он выдан, так как такие билеты, выданные на равные расстояния, имеют равные цены.
Изучая движение какого-нибудь тела, заметим, что путь, пройденный с момента начала наблюдения движения, есть функция времени, прошедшего с этого момента: путь, пройденный поездом с момента начала движения, есть функция времени, истекшего с этого момента.
Опыт показывает, что одна и та же масса газа при постоянной температуре имеет при равных объемах одинаковую упругость; следовательно, упругость данной массы газа при постоянной температуре есть функция его объема.
Так как в каждый момент дня температура воздуха в данной местности является определенной, то можно сказать, что эта температура есть функция времени.
Опыт показывает, что данный металлический стержень имеет при каждой данной температуре определенную длину; следовательно, длина рассматриваемого стержня есть функция его температуры.
Два круга с равными радиусами имеют равные площади, следовательно, площадь круга есть функция его радиуса.
Обозначения. Если величина У является функцией величины X, то величину X называют независимой переменной, а величину У зависимой переменной. Функциональную зависимость обозначают символом
У—F^XY
Пишут также B — F^AY если В означает то частное значение величины У, которое в указанной выше функциональной зависимости соответствует некоторому частному значению А величины X. (Вместо буквы F часто употребляют буквы /, <р, ф и т. д.)
Точное определение понятия функции. Понятие функции можно определить иначе, абстрагируясь от понятия величины, а именно: если дан закон, в силу которого каждому числу определенного множества чисел Z поставлено в соответствие одно и только одно действительное число, то говорят, что на множестве Z определена функция). Аналогично предыдущему, это соответствие обозначают символом
j=/W,
где х обозначает любое число множества Z, у же обозначает число, соответствующее числу х. Если х0 — определенное число множества Z, то символ / (х0) будет обозначать число у0.
Обычно множеством Z является некоторый интервал (a, bY
Различные способы задания функций. Остановимся теперь на тех способах, которыми функция может быть задана. По предыдущему определению надо, чтобы каждому значению х из данного множества Z соответствовало точно определенное число у. Так будет, в частности, тогда, когда это соответствие устанавливается формулой, например,
у — х2 + 2х + 3 для 0 ^ х ^ 1.
Существуют, однако, функции, также удовлетворяющие предыдущему определению, которые мы задаем без формулы. Если, например, каждому рациональному числу интервала [0, 1] мы поставим в соответствие число 0, а каждому иррациональному — число 1, то этим вполне определим в указанном интервале некоторую функцию /?(х), хотя формула и не приводится.
Множество Z называют областью изменения переменной х или областью определения функции.
В дальнейшем мы часто будем задавать функцию формулой, не указывая при этом ее области определения. В таких случаях за область определения принимается множество всех чисел х, для
которых формула имеет смысл. Например, для /(х)=— множеству Z принадлежит каждое х=/=0.
Способы представления функций. Таблицы. На практике требуется такое представление функции, которое позволяло бы легко находить значение у, соответствующее данному х. Для этой цели служат: 1) таблицы; 2) графики.
Таблицу значений функции получим, написав рядом со значениями переменной х соответствующие значения переменной у. Очевидно, таблица всегда содержит конечное число значений х и соответствующих значений у, причем обычно значения переменной х образуют арифметическую прогрессию.
Например, таблицей функции
у = х2 + 2х + 3
будет:
X
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
У
3
3,21
3,44
3,69
3,96
4,25
4,56
4,89
5,24
5,61
6
Другим примером может служить таблица, указывающая барометрическое давление в определенный день через одинаковые, например часовые, промежутки.
Таблица описывает нам функцию обычно только в некотором подмножестве множества Z, содержащем конечное число значений.
Например, функция у = х2 + 2х + 3 определена во всем интервале (0, 1), а в таблице приведены лишь 11 ее значений. Барометрическое давление имеет в каждый момент определенное значение, а таблица дает лишь ежечасные значения и т. д.
Встречающиеся на практике функции обладают тем свойством, что малым изменениям переменной х соответствуют приближенно пропорциональные им изменения переменной у. Поэтому, если промежутки между значениями х в таблице достаточно малы, то из таблицы виден общий ход изменения функции также для промежуточных значений, и можно даже с большой точностью вычислить значения функции для промежуточных значений х (интерполяция).
Таблицы функций получаются либо путем вычисления значений переменной по формуле (математические таблицы), либо путем получения значений переменной у при помощи измерений физических, химических и т. п. (эмпирические таблицы).
К первой категории относятся логарифмические, тригонометрические и тому подобные таблицы, ко второй — таблицы упругости насыщенного водяного пара при разных температурах, таблицы, дающие температуру кипения воды в зависимости от давления, и т. п.
Чтобы построить график таблицу, например, с проЧтобы построить график таблицу, например, с про
Чтобы построить график таблицу, например, с про
Чтобы построить график таблицу, например, с про
Наконец, следует отметить, что таблицы, как математические, так и эмпирические, дают значения функций только с определенным приближением в зависимости от того, какой цели служит таблица, а при эмпирических таблицах еще и от того, какая точность могла быть достигнута в измерениях.
Графики. Вторым способом представления функции является график. Пусть OXY— произвольная система координат. Графиком функции у =f(x) называют множество всех точек с координатами (х, /(х)). Таким образом, например, графиком линейной функции ^ = 2х + 3 будет прямая, графиком функции^ =х2 — парабола и т. п.
График вычерчивают либо при помощи специальных приборов (линейка, циркуль, эллипсограф и т. п.), либо, чаще всего, следующим способом.
Имея таблицу значений функции, строят соответствующие точки в системе OXY. Таким путем получают лишь конечное число точек
графика. Если поведение функции не очень сложно (см. предыдущие примеры) и полученные точки расположены достаточно густо, то уже из этого неполного графика мы увидим ход изменения функции и, соединив от руки построенные точки, получим кривую, которая будет графиком функции.
График также не является абсолютно точным образом функции. Причины этого в основном те же, что были указаны выше при описании таблиц. К ним следует добавить еще неточность чертежных инструментов, вследствие чего каждая нарисованная кривая имеет некоторую толщину.
Замечание. Часто при вычерчивании графика, исходя из практических соображений, выбирают разные единицы масштаба на осях ОХ и OY.
Пример. Пусть /(х) = х3 —х+1. для —1,6<х< 1,6 (рис. 2), вычислим
межутком 0,2. Получим следующую таблицу с точностью до одной десятой (ббльшая точность этих значений для нашего графика бес-
полезна):
X
-1,6
— 1,4
—1,2
— 1,0
-0,8
-0,6
-0,4
—0,2
0
0,2|0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
У
— 1,5
—0,3
0,5
1,0
1,3
1,4
1,3
1,2
1
0,80,7
0,6
0,7
1Д
1,5
2,3
3,5
Задачи
Построить таблицы и графики следующих функций: 1. у = 2х+3.
у — V 1—х2, 0<х< I.
У—~ для х 0, z/ = l для х = 0.
у = х^ — 1, 1<х<2; у = х3—1, 0<х<1.
у = х\ —1<х< 1.
у= V^, 0<х^ 10
Ограниченные функции. Монотонные функции. Функцию У = f kxV определенную на множестве Z, называют ограниченной, если существует такое число М > 0, что
l/WK^f
для всех х из множества Z.
Функцию у = fkxY возрастающей, если убывающей. » неубывающей, » невозрастающей, » для любой пары чиселФункцию у = fkxY возрастающей, если убывающей. » неубывающей, » невозрастающей, » для любой пары чиселопределенную в интервале ^а, Ь), называют: неравенство хх < х2влечет/(х1)</(х2),
Функцию у = fkxY возрастающей, если убывающей. » неубывающей, » невозрастающей, » для любой пары чисел
Функцию у = fkxY возрастающей, если убывающей. » неубывающей, » невозрастающей, » для любой пары чисел
»х^<х^»Дх^>Ах^>
»Х^ < Х^»f (Л^) ^/(-^2)1
»х^ < х^»Xt^i) ^^ / кх^)>
xv х^ из интервала (а, 6).
Каждую такую функцию называют монотонной. Функции возра
стающие и убывающие называют строго монотонными.
Функции, встречающиеся на практике, либо монотонны во всем интервале, в котором они определены, либо этот интервал можно разделить на конечное число частей, в каждой из которых функция
монотонна.
Однако существуют функции, не являющиеся монотонными ни
в каком интервале.
Примеры.
Функция у — х— возрастающая в любом интервале.
0, -у) .
Функция у — Е^— не убывающая в любом интервале.
Функция у — Е (—)—не возрастающая в интервале (0, 1).
\ х J
Функция у=х^— убывающая в интервале (— 1, 0), возрастающая в интервале (0, 1).
Функция RAXY определенная на стр. 49, не является монотонной ни в каком интервале.
ГЛАВА III
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ
Определение предела функции Пусть функция у =/(х) определена в окрестности*) некоторой точки х0, за исключением, быть может, самой точки х0; мы не делаем, таким образом, никаких предположений о том, определена ли функция в точке х0 или нет.
Говорят, что g является пределом функции при х, стремящемся к х0, если для каждой последовательности ^хп^ чисел из этой окрестности, сходящейся к х0, с членами, отличными- от х01 соответствующая последовательность {/(хп)} значений функции сходится к g; это означает, что если только limxzJ = x0 k^n^x^V то
/1 —> ОО
Нт/(х„)=£. П ->оо
Для обозначения того, что g является пределом функции при х, стремящемся к хй) пишут:
lim/(x)-g.х-*х6
Примеры.
Пусть j/= х cos — в интервале (—1, +1), за исключением точки 0, в которой функция не определена. Имеем здесь lim /(х) — 0.
Х->0
Действительно, если {хп} (хп=^0)—последовательность, сходящаяся к нулю, то
0<|/(xj| = |xn||cos^|^|xn|.l.
Поскольку limxn = 0, то lim/(xn) = 0 согласно теореме о пределе Л->00Хп-> о
промежуточной переменной (стр. 39).
Пусть у = cos— на том же множестве, что ив предыдущем примере. В этом случае предела в точке нуль не существует. В самом деле, полагая хл = —, получим последовательность, сходящуюся к нулю, соответствующая же последовательность {/(хп)} совпадает с расходящейся последовательностью —1, +1, —1, + 1,
Условие существования предела. Для приложений важно следующее утверждение:
Теорема. Для того чтобы число g было пределом функции У=/№ пРи х, стремящемся к х0) необходимо и достаточно, чтобы каждому числу е > О соответствовала такая окрестность точки х0, что значения функции для всех чисел окрестности (за исключением, быть может, самой точки х0) приближают g с погрешностью, меньшей е.
Иначе говоря, для того чтобы
m/W=g,
бы значениям х ^ х^ достаточно мало отличающимся от х^ соответствовали значения функции fVxV сколь угодно мало отличающиеся от g.
Эту теорему можно проиллюстрировать следующим образом. Выберем произвольное число е > 0 и на оси OY (рис. 3) отметим отрезок с концами g-e, g+6- Проведем из концов этого отрезка прямые, параллельные оси ОХ. Получим, таким образом, горизонтальную полоску шириной в 2е. Исследуем теперь, существует ли отрезок длины 26, расположенный на оси ОХ и содержащий внутри себя точку х0, чтобы часть кривой, которая лежит над этим
отрезком [за исключением, быть может, точки (х0, /(х0))], находилась бы целиком в ранее определенной полоске.
Таким образом, наша теорема утверждает:
если g является пределом, то для каждого е > 0 такой отрезок можно найти;
если для каждого е > 0 можно найти такой отрезок, то g является пределом.
В случае, представленном на рис. 4, число g не является пределом, потому что, взяв указанную на рисунке полоску, мы не найдем
соответствующего отрезка 26. Тем не менее, имеются полоски, для которых соответствующий отрезок 26 существует.
Прежде чем перейти к доказательству этой теоремы, пока* жем ее применение на нескольких примерах.ук
lim (5х2 —7x46) — 4.
Доказательство. Числу е > 0д1
поставим в соответствие интервалд-е[—
(1—Л, 1+л)> гДе Л равно наимень-у/^
тему из двух чисел 1, ~е. Если х—|
произвольная точка этого интервала, <;
то—1*
х = ц- л,т
где | /t | ^ ц. Следовательно,Рис. 4.
|(5х2—7х + 6)-4| = |[5(14-Л)2—7(1+Л) + 6]—4| = = |ЗЛ + 5А2| = |А|.|3 + 5Л|; поскольку
| А | ^ r| ^ 1, ТО
| (5х2 — 7x46) — 41 ^| Л |.8.
Так как, кроме того, |Л|<т|<1е,
ТО
|(5х2 —7x46)—4|<8.
Мы видим, что значения функции внутри интервала (1—л, 1 + л) отличаются от4 4 меньше чем на е, следовательно, 4 является пределом функции 5х2 — 7x4-6 при х, стремящемся к 1.
lim 444г =4 •
Х->2 ^2+х—6 5
Доказательство. Числу е > 0 поставим в соответствие интервал (2 — л> 2 4-л), где л—наименьшее из двух чисел 1, 5е. Если теперь х^=2 содержится в интервале (2 —л* 2 + л)у то * = 24-ht где 0<|А|^т). В связи с этим
Л2 4Л) — J—(2+^-3(24^)+21
/i4^2bh 4 А2/i4^2bh 4 А2l_14/i1 4h5 "54-Л5~25 + 5Л1l_14/i1 4h5 "54-Л5~25 + 5Л17 5(24/1)2424^—65
/i4^2bh 4 А2
/i4^2bh 4 А2
l_14/i1 4h
5 "54-Л5~25 + 5Л1
l_14/i1 4h
5 "54-Л5~25 + 5Л1
так как
И<1> то
25 + 5/г > 25 — 5 | h | > 25 — 5 • 1 - 20, следовательно,
поскольку же | Л | ^ 5е, то
|/(2 + А)-1|<^ = 1!.
Таким образом, у является пределом данной функции при х. стремящемся к 2.
Иш х2 = 4.
X 2
Доказательство. Возьмем интервал (2 — т), 24~т]), где т]— произвольное положительное число. Если х— точка из интервала (2—т], 24-Л), то |х— 2|^т]. В точке х наша функция имеет значение х2. Но
х2 —4^(х—2)(х + 2), откуда
[ х2 — 41 = | х — 21 • | х + 21, следовательно,
|*2-4|<n(|A;| + | 21)^4(2 + 11 + ^^^ значит,
|х2—4 Ky](4 + 4).
Последнее неравенство справедливо для всех 4 > 0. Для положительных же значений 4, не превышающих 1, получим неравенство | х2 — 41 ^64.
Это неравенство показывает, что каждому положительному числу в можно поставить в соответствие такой интервал (2 — 4, 2 + 4), что если х—произвольная точка этого интервала, то имеет место неравенство
| X2 — 4 | ^8.
Для этой цели достаточно выбрать за 4 наименьшее из чисел у в, 1.
Перейдем теперь к доказательству теоремы. Покажем сначала, что данное условие необходимо. Приведем доказательство от противного. Допустим, следовательно, что g является пределом, но функция не удовлетворяет данному условию, так что не для каждого в > 0 найдется соответствующая окрестность. Выберем то
е > 0, для которого не существует такой окрестности. Тогда, каков бы ни был отрезок 26, содержащий внутри точку xQ, в нем всегда найдется такая точка ^=^х0, значение функции в которой будет отличаться от g не меньше чем на е, т. е.
|/(1)~^|>8.
Выберем теперь произвольную последовательность отрезков 26Х, 2б2, .. ., содержащих внутри себя точку х01 таких, однако, чтобы их длины стремились к нулю. Обозначим через £л произвольную точку отрезка 26л, отличную от х0 и удовлетворяющую неравенству
l/(U-^l>e.(1)
В силу сказанного выше, такая точка существует в каждом отрезке 26л. Так как | ^п — х01 не превышает длины отрезка 26й, то ^1^" хе1 = ° и, следовательно, lim = хе.
п-> о»
В силу же неравенства
l/(U—^О6.
последовательность {/(£„)} не стремится к пределу^; это яретиво- речит предположению, что функция имеет предел g в точке х^.
Этим доказана необходимость условия.
Докажем теперь его достаточность. Пусть функция /(х) удовлетворяет условию, указанному в теореме. Пусть, далее, {хй}— произвольная последовательность, сходящаяся к х0, причем xn=^xQ. Докажем, что lim/(xn) = g. Для этого выберем произвольное число
П~* ао
е > 0. По предположению, существует такая окрестность точки х0, что для каждой точки £ =^= х0 этой окрестности выполняется неравенство №-£|<е.(2)
Так как lim хп = х0) то, начиная с некоторого члена последователь- П-> CD
ности (обозначим его через xN), все последующие лежат в выбранной окрестности. Таким образом, для каждого члена хп. следующего за xNl выполняется неравенство (2), т. е.
Поскольку е выбрано произвольно, то
Пш/(х„) = £,
Л-> »
следовательно, lim f^=g.
X-fXe
2а« Теоремы о пределах функций. Используя либо определение предела функции, либо необходимое и достаточное условие его существования, легко доказать теоремы о пределах функций, аналогичные теоремам о пределах последовательностей. При этом выбор способа рассуждения определяется лишь соображениями удобства.
Укажем некоторые из этих теорем.
Теорема 1 (ограниченность функции, имеющей конечный предел). Если функция f(x) имеет конечный предел g при х, стремящемся к xOt то она ограничена в некоторой окрестности точки xQ.
Доказательство. Воспользуемся необходимым и достаточным условием существования предела функции. Числу 8=1 соответствует такая окрестность точки х^ что для всех х=#х0 из этой окрестности
|/м-^| < 1 или
что и требовалось доказать.
Теорема 2 (о сохранении знака)*). Если lim/(x) = х ~> х^
= Sr>0, то существует такое число а>0, чтоб некоторой окрестности точки х0 будет /(х)>а>0 (х^х^.
Доказательство. Для всех х=^х0 и достаточно близких к х0 имеем согласно необходимому и достаточному условию существования предела
Поэтому
—f </w-g,
следовательно,
/W>f = «>0.
Замечание. Если ^<0, то рассуждая аналогично, получим для некоторой окрестности точки х0 неравенство
/ к^ < & < 0 к^ Ч^ *^о)е
Следующие два утверждения проще доказать на основании определения предела функции.
Теорема 3 (предельный переход в неравенстве). Если lim Д (х) = gv lim/2 (х) = g^ и для всех х из некоторой ок- Х-*Х®Х—^Х®
рестности точки х0, за возможным исключением самой этой точки, имеет место неравенство
AW^At*),
то и g^g^.
Теорема 4 (предел промежуточной переменной). Если lim А (х) = lim Д (х) = g, и в некоторой окрестности точки хс Х^Х®х-±хп
для всех х =£ xQ имеет место неравенство
то функция ф(х) также имеет при х, стремящемся к х0, предел» равный g.
Докажем, например, теорему 4. Возьмем произвольную последовательность ^х„\ кхп^х^ чисел из указанной в формулировке теоремы окрестности, сходящуюся к х0. Так как
НшД(х)=£,lim/2(x)=^,
х->х0х-*хв
то в силу определения предела функции получим 1*т А (■*„) = I»™ Д (*„) = g. п^®п-*®
Но при всех п им^ем Д (хп) ^ ф (х^ ^/2 (х^. Поэтому на основании соответствующей теоремы для последовательностей (стр. 39) находим, что
lim<p(x„) = g". п-*®
Так как последовательность ^хп^ произвольная, удовлетворяющая лишь указанным выше условиям, то
Пшф(х)=£.х->х®
3. Действия над пределами. Сформулированные ниже теоремы, как и теорема 4 предыдущего пункта, легко доказываются на основании определения предела функции.
Пусть
ПшД (х) = gT и lim/2 (х) = gy Х^Х0Х-*Х0
тогда
lim [Д (х) + Д (х)1 = ^ + g».
Htn[/iW-/2U)] = ^2;
если т— действительное число, то
lira \mj\ (х)] = mgt;
х-хй
при дополнительном предположении, что g^ ^ 0, получим;
lim ^ = 81.
Х-*Хй f 2 W^2
[Заметим, что при доказательстве последнего утверждения следует воспользоваться теоремой о сохранении знака. Именно, из предположения g2#=0 следует, что /2(х)=+0 в некоторой окрестности точки х01 так что функция р~ определена в указанной окрестности (за возможным исключением самой точки х0).]
Пример. Пусть /г (х) = х cos ^ , /2(х) = 1+х в интервале
(— 1, +1), из которого исключена точка х = 0. Как мы уже знаем, lim/1(x) = 0. Если {хп} (хл #= 0) —последовательность, сходящаяся Х~>0
к нулю, то последовательность
{/2 (•*„)} = {’ +^п\
сходится к пределу 1 + 0=1. Следовательно, lim ( х cos — + 1 + х ) = 1, #-►0 \х/
lim ^х cos ^ 1 + x^J = 0,
1
X cos —
limх->оlimх->о-, * = о
lim
х->о
lim
х->о
что также легко проверить непосредственно.
ОДНОСТОРОННИЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ПРЕДЕЛЫ. ВЫЧИСЛЕНИЕНЕКОТОРЫХ ПРЕДЕЛОВ
Односторонний предел. Пусть функция /(х) определена в левой полуокрестности точки х0*), за исключением, быть может, самой этой точки. Говорят, что g является левосторонним пределом функции при х—►Хи, если для каждой сходящейся к х0 последо-
вательности {хп} с членами, меньшими чем х0, соответствующая последовательность {/(•*;„)} значений функции стремится к g, т е. что если
1101^=^01101^=^0кХп ^о)»кХп ^о)»
1101^=^0
1101^=^0
кХп ^о)»
кХп ^о)»
ТО
Пш/(а:„)=£.
Это записывают так*
lim f(x) =g.
Х^Х0 - о
Аналогично определяют правосторонний предел и пишут hm /(x)=g.
Х->Хо+О
Пример 1. Пусть /W = [7[ Для х^0. В точке х = 0 функция не определена. Очевидно, что /(х)=4-1 для х>0 и /^~ = — 1 для х<_0 (рис. 5). Если {хи}— последовательность с положительными членами, стремящаяся к нулю, то/(хп)~ +1 при каж-
дом п и, следовательно, lim/(x„) =
Отсюда hm /(х) = х-*+о
Аналогично lim /(х) = Х-*-0
+ L
4-1.
— 1.
Yv
*/
0
ч
Функция имеет, таким правосторонний предел +1, ронний—1, в то время как
образом, левосто- предела
hm /(х) х-*о
Рис не
. 5.
существует.
Из определения предела легко следует, что если функция имеет предел, то у нее существуют как левосторонний, так и правосторонний пределы и оба они равны пределу функции. Однако из существования, например, правостороннего предела нельзя сделать никаких выводов о пределе функции или о левостороннем пределе.
Пример 2. Пусть /(x) = xcosy для х<0 и /(x) = cos-^ для х>0. Из ранее приведенных примеров следует существование левостороннего предела hm /(х) = 0 и вместе с тем несуществова- х-*- о
ние правостороннего.
Даже из одновременного существования левостороннего и правостороннего пределов нельзя делать никаких заключений о существовании предела (см. пример 1). Однако легко показать, что если левосторонний и правосторонний пределы существуют и равны между собой, то предел функции также существует и равен их общему значению.
Внося соответствующие изменения в теоремы о пределах, получим теоремы о левосторонних и правосторонних пределах.
Например,
\Для того, чтобы число g было левосторонним пределом функции у=^^х) при х, стремящемся к х0, необходимо и достаточно, чтобы каждому числу е > 0 соответствовала такая левая полуокрестность точки х0, что значение функции в каждой точке этой полуокрестности, отличной от х0, приближает g с погрешностью, меньшей 6.
Если существует конечный предел
lim fW = g,
Х-+Хо - о
то функция f(x) ограничена в некоторой левой полуокрестности точки х0 и т. пД.
Если
lim M^ — gy hm A^ = ga, x^xo-Ox-*xo-o
TQ
Um [/T W +/2 (*)1 = gi + g2, x-*x0 - о
И T. П.
Подобные утверждения имеют место и для правосторонних пределов.
Несобственные пределы. Говорят, что функция стремится к + оо при х—^х^ если для каждой последовательности {хл}, сходящейся к х0, члены которой отличны от х0, соответствующая последовательность {/(-^и)} значений функции стремится к + °°« Иначе говоря, если
lim хп = xQ (хп ^ х^ п-><»
ТО lim /(*„) = +оо. п-х»
В таком случае мы будем пользоваться символом lim /(а;) = + 00 •
Подобным образом определяется предел —оо, который записывают в виде
lim f(x) = — оо.
Следующие теоремы можно доказать, опираясь на соответствующие теоремы о последовательностях, расходящихся к оо (стр. 24).
Если lim Д (х) = a, lim Д W = + оо, то
XХдХ"*Хд
• lim (Д (*)4V2 (*)] =+оо.
Х~+Хд
Если lim Д (х)=а, lim Д(х) = +оо, то
Х-^ХдХ-*Хд
А” №5=+“ lim /(х) = 4- оо, тоА” №5=+“ lim /(х) = 4- оо, тоЕсли lim Д (х) = а > 0, lim Д (х) = О, Д (х) > 0 в окрест- Х"*Хд кости точки х0, то
А” №5=+“ lim /(х) = 4- оо, то
А” №5=+“ lim /(х) = 4- оо, то
Если m > О,
Х-*Хд
lim [m/(x)J = + оо. Х->Хд
Для того чтобы функция j=/(x) стремилась к +°° пР^ х, стремящемся к х0, необходимо и достаточно, чтобы каждому числу М > 0 можно было поставить в соответствие такую окрестность точки х0, в каждой точке которой (отличной от х0) значение функции больше М.
Совершенно аналогично определяется понятие левостороннего и правостороннего бесконечных пределов.
Пусть функция j/=/(x) определена для всех значений х, больших некоторого числа а. Говорят, что функция стремится к пределу g при х, стремящемся к +оо, если для каждой последовательности {хп}, стремящейся к +°°> соответствующая последовательность {/(х„)} значений функции сходится к g, т. е. если из lim хп = + оо п-*<ю следует
ит/(х„)=^.
Записывают это так:
Um/(.*:)=£•.
Легко привести определения следующих символов: lim /(x) = g,lim/(х)=+оо,
Х-У—О)Х->-оо
lim /(х) =4-оо,lim /(х)=—оо,
*-> + <»х->-т
lim /(х) = — оо,lim /^~g,
Х- + а>|х|->со
И т. д.
Аналогично предыдущему можно высказать такую теорему:
Для того чтобы число g было пределом функции у — /^х^ при,, х, стремящемся к 4-°°, необходимо и достаточно, чтобы каждому числу е > 0 можно было бы поставить в соответствие такое число М > 0, что для всех чисел, больших М, соответствующие значения функции приближают g с погрешностью, меньшей е.
Замечание. Если
lim f^= lim /W = g,x-> + ooЯ->-00
то пишут кратко:
Нт/(х) = ^.
X-> 00
Вычисление некоторых пределов.
limaA=l (а > 0);
й > о
lira fl -|~—Y=e;
И-**\ г'. ,
hm sin h = 0, hm cos А = 1, hm -г- = 1.
h-*oh^Qh-^^ n
Доказательство.
Примем сначала, что a^\. Пусть последовательность {Att} удовлетворяет условиям
lim hn == 0, hn^^.(1)
Положим
следовательно, а„ — целое неотрицательное число, удовлетворяющее
(2)(2)неравенствам
(2)
(2)
a"^|A„|<a"+L
Из условия (1) и неравенств (2) следует, что Пта„=4-оо.(3)
Поэтому, начиная с некоторого п. числа а„ положительны. В дальнейшем изложении примем, что все аА > 0; это можно сделать, так как при этом мы пренебрегаем лишь конечным числом членов.
Если hn > 0, то согласно (2) и предположению а ^ 1 будет
1ah« ^ aa»tа так как очевидно, что
—^ 1 ^ а^^ а®*
то имеет место неравенство
1Л
—(4)
Это неравенство справедливо также для hn < 0, так как тогда (— /zj > 0, следовательно, в силу (4)
1-1-
—— ^ яг^ ^ да»,
значит,
—<г*
аа*
что после перехода к обратным величинам дает опять неравенство (4). Как уже известно (см. стр. 42),
1lim аап = 1#П-*а>
Поэтому
п-*со — аа* lim аа«
П-* GO
следовательно, из неравенства (4) на основании теоремы о пределе промежуточной переменной (стр. 39) получим:
lim ан» = 1, «-*00
и ьанах
откудаоткудаНоНоследовательно,следовательно,
откуда
откуда
Но
Но
следовательно,
следовательно,
lim а*= 1.h->o
Таким образом, мы доказали, что если а^1, то lim аА= 1.
Л->0
Если теперь 0< а < 1, то — > 1, поэтому
/ 1 \лlim ( — ) =1.
то последовательностьто последовательность
то последовательность
то последовательность
Тем самым утверждение а) доказано.
Раньше мы доказали (стр. 45), что если последовательность {г„} удовлетворяет условиям
г^О, —1, lim|r„|=+oo,
«-►со
^1 + 7^*} сходится к определенному пределу, который мы обозначили через е. [Следовательно, по определению предела функции (стр. 53),
lim=
Если положить р = у, то предыдущее равенство перепишется в виде:
1
lim (1 + р) ° = е.]
Q->0
Начертим окружность радиуса ОВ=1 (рис. 6) и выберем произвольный диаметр ЕВ. Пусть прямая BD касается окружности в точке В и BC=h— произвольная дуга окружности. Обозначив через А проекцию точки С на ОВ, а через D — точку пересечения
прямой ОС с упомянутой выше касательной, получим в силу определений тригонометрических функций:
ЛС=|5ШЙ[, (М = | cos h\, BD = \tgh\.
Если — у < h < у, то, как легко получить из рис. 6, |8шй|^|й|,)(5)
cos /г ^ 1 — | sin А |. /(6)
Первое неравенство получим из замечания, что дуга ВС больше хорды ВС, которая в свою очередь больше АС. Второе неравенство получим из треугольника ОСА, опираясь на теорему о том, что сторона треугольника больше разности двух других его сторон.
Переписав неравенство (5) в виде
— | А | =^ sin А ^ | А |,по теореме о пределе промежуточной переменной (стр. 59) находимlim sin й = О,Л о
после чего из неравенства (6)
^ cosh > 1 — | sin й |, | й | < у, на основании той же теоремы имеем
lim cos й = 1. Л-*о
Из рис. 6 находим следующее неравенство:
площадь Д ОЛС^ площади сектора ОВС^площади Л OBD, т. е.
у cos А | sin h | < ^ | h | < у | tg h |,
откуда, принимая во внимание, чтоsin h _ | sin h |h ~ \h\ '
если —у <^<y > получим:
cos h -^-7-,
sin hcos h *
следовательно,
1 sin /г cos/г h
ht
а так как
lim cos А—1 и lim — h-eh-*otosh
то
iim^.= i
h-o h
Задачи
Доказать, что:
limM£=i. x->0 x
lima‘la*=l, a > 0. x—>o
lim ( 14-iy = lim Г( 1+2У*1~=1. ^»\. xa) л-»» Lk X») J
lim=k.
X-* 0 X
lim 1=£2!A = lim J-S°s^ = 0.
X-*0 x X-*O x(14-cosx)
lim^=+l,limALL= —1.
x-*+ 0 | x|X-*- 0 I x I
lim sin x не существует. X-> a>
lim ( 1—Ly — A .
x-*® \ x) e
y515
lim —-—-=— (разделить x-* i x4 — 14
числитель и знаменатель на х—1).
10.
lim ^±51^1=0.
-^оол:3—ЮООх
И.
lim 2 х
1
lim 2^“ ^О.
Х-* 1-0
ГЛАВА [V
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
Определение. Пусть функция y=f^ определена в окрестности точки х6. Говорят, что функция j=/(x) непрерывна в точке х = х0, если lim/(x)=/(x0).
х -* х0
Другими словами: функция f(x)t определенная в окрестности точки х0, непрерывна в этой точке, если
lim /(х0 + й)=/(х0).
h-* о
Подобно тому как определялись левосторонний и правосторонний пределы, можно определить левостороннюю и правостороннюю непрерывности, а именно: функция /(х), определенная в левой полуокрестности точки х0, непрерывна слева в точке х0, если
lim /(а:)=/(х0), или lim /(x0 + &) =/(х0).
х -> х0 - оh -* - о
Аналогично определяется непрерывность справа.
Замечание. При рассмотрении понятия предела было безразлично, определена ли функция в точке х = х0 или нет. Для непрерывности же функции в точке х0 необходимо, чтобы она была определена в этой точке.
Как легко заметить, если функция /(х) непрерывна в точке х0, то она непрерывна в этой точке и слева и справа. Верно также и обратное.
Примеры.
Функция у = х^ непрерывна для всех значений переменной х, так как lim х2 = Хо.
X -► Хо
Функция ^ = 3х2— 2х + 3 также непрерывна всюду.
Функция у — Е^ непрерывна всюду, за исключением целочисленных значений переменной х. В них функция непрерывна лишь справа.
{
sin для х Ф 0, хне является непрерывной в
О для х = 0
точке х = 0, потому что, если взять последовательность {хЛ}, где л = ^Г^рТУл ’ то послеД°вательность соответствующих значений функции —1, 1, —1, 1, расходится.
Говорят, что функция /(х), определенная в замкнутом интервале
[а, Ь^ непрерывна в этом интервале, если она непрерывна в каждой внутренней точке этого интервала и если она непрерывна справа в точке а и слева в точке Ь.
Каждый раз, когда мы будем говорить о непрерывной функции, не приводя более подробного определения, будет подразумеваться функция, непрерывная в некотором замкнутом интервале.
Необходимое и достаточное условие непрерывности функции.
На основании соответствующих теорем теории пределов может быть
высказано следующее утверждение:
Теорема. Для того чтобы функция У(х), определенная в окрестности точки х0, была непрерывной в этой точке, необходимо и достаточно, чтобы значениям х, достаточно мало отличающимся от х0, соответствовали значения функции, сколь угодно мало отличающиеся от У^х^, т. е., другими словами, чтобы для каждого числа е>0 можно было найти такую окрестность точки х0, что значения функции в любой точке этой окрестности будут отличаться от значения
функции при х — х0 меньше чем на 8.
Подобная теорема имеет место для непрерывности слева и справа.
Геометрическая интерпретация.
Понятие непрерывности можно иллюстрировать подобно понятию предела.
Для того чтобы исследовать, непрерывна ли функция в точке х0, выбираем произвольное число е > 0 и проводим две прямые параллельно оси ОХ»
одну на высоте У^х^ + е, а другую на высоте У^х^ — е. Получим полоску шириной в 2е (рис. 7).
Исследуем теперь, найдется ли такой отрезок оси ОХ, содержа-' щий внутри себя точку х0 и имеющий длину 26, чтобы соот
ветствующая этому отрезку часть кривой лежала целиком в вышеупомянутой полоске.
Таким образом, если функция непрерывна, то такой отрезок всегда можно отыскать. Наоборот, если такой отрезок можно отыскать при любом выборе числа в > 0, то функция непрерывна в точке х0.
Теорема о сохранении знака для непрерывной функции. Из определения непрерывности и теоремы о сохранении знака для функции, имеющей в данной точке отличный от нуля предел, вытекает следующая
Теорема. Если функция /(х) непрерывна в точке х0 и если Дх0) > 0, то существует такое число а > О, что в некоторой окрестности точки х^ будет f(x) > а > 0.
Аналогичное утверждение справедливо для /^х) < 0, а также для односторонне непрерывных функций.
Действия над непрерывными функциями. Из определения непрерывности и соответствующих теорем теории пределов легко получаем следующее утверждение.
Теорема. Сумма, разность и произведение двух функций, непрерывных в некоторой точке, также будут функциями, непрерывными в этой точке; частное непрерывно тогда, когда функция, на которую делят, отлична от нуля в этой точке.
Примеры.
Так как функция у = х непрерывна всюду, то функции Xй = х-х. х3 = х-х*х, ..., хп (л —натуральное число) являются непрерывными функциями. ,
Функция ахп (,п— натуральное число, а — действительное число) всюду непрерывна, так как может быть рассмотрена как произведение функции хп и постоянной функции, принимающей значение а и, очевидно, непрерывной.
Многочлен а0 + ахх + а2х2 + ... 4- апхп является функцией, непрерывной всюду.
Рациональная функция, т. е. функция, равная частному двух многочленов, непрерывна во всех точках, в которых она определена.
РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Определение. Говорят, что функция /(а:), определенная в интервале [а, 6], равномерно непрерывна в этом интервале, если для произвольного числа е > 0 можно так разбить интервал [а, д] на конечное число отрезков, что значения функции в двух произвольных точках одного и того же отрезка различаются между собой меньше чем на е.
Геометрическая интерпретация. Определение равномерной непрерывности можно истолковать геометрически следующим образом.
Для того чтобы убедиться, является ли функция равномерно непрерывной, выберем произвольное число е > 0 и исследуем, удастся ли нам разделить интервал [а, б] на конечное число отрезков 6П 62, 63, .,. так, чтобы каждая часть кривой, соответствующая ка-
кому-либо из отрезков, могла быть включена в прямоугольник вы* сотой е и с основанием, равным длине соответствующего отрезка (рис. 8). Если эту операцию удастся проделать для каждого е > О, то функция равномерно непрерывна.
ше, чем на е; во втором случае значения отличаются меньше чем на е от значенияше, чем на е; во втором случае значения отличаются меньше чем на е от значенияНепрерывность равномерно непрерывной функции. Обозначим через т) длину наименьшего из от* резков 6Р 62, 63, ... Ясно, что если расстояние -между какими-ни- будь двумя точками хх и х2 мень- ше чем т), то или обе они принадлежат одному из отрезков 6Ь 62, ... или же принадлежат двум соседним отрезкам. В первом случае значения функции в этих точках отличаются одно от другого мень- функции в этих точках функции в общем конце
ше, чем на е; во втором случае значения отличаются меньше чем на е от значения
ше, чем на е; во втором случае значения отличаются меньше чем на е от значения
соседних отрезков, содержащих точки хг и х2) и* следовательно, I/U2) — /(^i)l < 2е.
Таким образом, в обоих случаях можем утверждать, что в каждых двух точках, отстоящих друг от друга меньше чем на т), значения функции различаются между собой меньше чем на 2е.
[Наоборот, пусть в любых двух точках интервала [а, 6], расстояние между которыми меньше т|, значения функции разнятся меньше чем на 2е. Разобьем [а, 6] на отрезки длины меньше т). Тогда значения функции в двух произвольных точках одного и того же отрезка различаются между собой меньше чем на 2е.
Поскольку 2е произвольное положительное число (так как 8 произвольное положительное число), то в результате этого рассуждения мы приходим к другой форме определения равномерной непрерывности:
Функция /(я) равномерно непрерывна на интервале [а, 6], если для любого е > 0 можно указать такое 7] > 0, что для любой пары точек из этого интервала, расстояние между которыми меньше 1), значения функции в этих точках разнятся между собой меньше чем
на е
Отсюда очевидным образом вытекает, что функция, равномерно непрерывная на интервале [а, Ь], непрерывна на этом интервале.
Это заключение справедливо для интервалов всех видов. Однако стоит заметить, что обратное утверждение (непрерывная на интервале функция также и равномерно непрерывна) верно лишь в случае замкнутого интервала [a, b\ (см. пример 3).]
Примеры.
Функция у = Xй равномерно непрерывна в интервале [О, 1Ь Чтобы это доказать, выберем произвольное е > 0 и рассмотрим две произвольные точки хих + h интервала [0, 1]. В этих точках функция имеет значения, соответственно, х2 и (х + А)2. Имеем:
|(х + Л)2 — х2|==|2хЛ4-/г2|==|Л|*|2х + й| = |йр|х + ^
Так как O^x^l и 0^х + Л^1, то
^х + П^—х^^^Ц;
взяв 1М<’|~’ получим:
| (х + Л)2 —х21 < е.
Таким образом, если разбить интервал [0, 1] на конечное число отрезков длины, меньшей -~, то значения функции в любых двух точках каждого из отрезков будут различаться между собой меньше чем на 8.
Поскольку е — произвольное положительное число, то функция равномерно непрерывна в интервале [0, 1].
2x4-1
Функция у = ^-^ J равномерно непрерывна в интервале [0, 2].
Поступая как в предыдущем примере, получим: | 2 (х +А) +12х+1||/i|
|3(х + /0 + 1Зх+11 |[3(х + /0 + 1](Зх+1)Г
Так как О^х + ^^2, 0^х^2, то
|3(х + Л)+Ц>1, |Зх+1 |>1, откуда
1/СГ+/0—/WI^IH
Следовательно, если | h | < е, то
|/(х + Л)—/(х)|<е.
Итак, если разобьем интервал [0, 2] на отрезки длины, меньшей е, то значения функции в любых двух точках каждого отрезка будут различаться между собой меньше чем на е. (Если, например, 8 = 0,1, то достаточно разделить отрезок [0, 2] на 21 равную часть.)
Функция j/ = cos— не является равномерно непрерывной в интервале (0, 1).
Действительно, в противном случае можно было бы так разбить интервал (0, 1) на конечное число интервалов, чтобы значения функции в любых точках каждого интервала различались между собой меньше чем на е = L Можно было бы, далее, выбрать такое число л,
чтобы точки ^ li "(^ПУл лежали ВНУТРИ первого из этих интервалов. Однако легко видеть, что соответствующие значения функции в этих точках отличаются на 2, т. е. больше чем на е = 1. Таким образом, предположив, что функция равномерно непрерывна, мы пришли к противоречию.
Задачи
Доказать, что следующие функции равномерно непрерывны: 1. у—хв интервале (1, 2).
у = 2х^ — Зхв интервале (1, 3).
Основные теоремы о функциях, непрерывных в замкнутом интервале. Приведем теперь (без доказательства) несколько основных теорем о функциях, непрерывных в замкнутом интервале.
Теорема. Функция, непрерывная в замкнутом интервале [а, 6], равномерно непрерывна в этом интервале.
Теорема. Функция, непрерывная в замкнутом интервале [а, 61, ограничена в^этом интервале.
Теорема. Если непрерывная на замкнутом интервале (а, Ь\ функция положительна на одном конце этого интервала и отрицательна на другом» то внутри интервала (а, Ь^ существует по крайней мере одна точка» в которой функция обращается в нуль.
Примеры.
Каждый многочлен нечетной степени
/ (х) = аох*"+1 + О1Х8П 4-... 4- а2пх 4- а8в+1(а0 =А 0)
имеет по крайней мере один действительный корень. Для доказательства перепишем наш многочлен в виде
АЛAAJ
и допустим, например, что ай > 0. Выражение в скобках имеет при х, стремящемся к +оо или — оо, предел, равный а0. Следовательно, по теореме о сохранении знака (стр. 71) существует число М > 0 такое, что для | х | > ЛГ выражение в скобках положительно. Отсюда следует, что
/(Ж+1)>0, а Д-М—1)<0.
Так как функция /(х) непрерывна, то существует в интервале (— М—1, Л4+1) по крайней мере одна точка, в которой /(х) = 0.
Уравнение x = cosx имеет по крайней мере один корень в интервале ^0, -у). Действительно, непрерывная функция /(х) =
= х — cos х ) имеет в точке х = 0 значение — 1 < 0, а в точке лл . А
х = у значение у > 0.
Теорема. Если функция f(x) непрерывна в замкнутом интервале [a, by то в этом интервале существует по крайней мере одна точка, в которой функция принимает наибольшее значение, и по крайней мере одна точка, в которой функция принимает наименьшее значение.
Иначе говоря, в интервале [о, Ь] существуют две точки хх, х2> такие, что
/(^X/t^X/t^)
для каждого х из [а, Ь].'
Теорема. Функция, непрерывная в замкнутом интервале [a, by принимает в этом интервале все значения, заключенные между наименьшим и наибольшим ее значениями.
Примеры.
Функция j = sin х*) принимает в интервале р), -yj каждое значение, заключенное между 0 и 1, что геометрически очевидно (см. ниже, рис. 13).
Функция /(х), непрерывная в интервале ^а, Ь} и принимающая в разных точках интервала разные значения, строго монотонна в этом интервале.
Действительно, в противном случае в интервале ^а, Ь) существовали бы числа а, Р, у (^ < Р < Y)> такие, что число /(р) не лежало бы между /(а) и /(у). Пусть, например, / (у) >/(«)> /(Р). Согласно нашей теореме в интервале (Р, у) существует точка 9, в которой функция /(х) принимает значение /(а). При этом 9=Д а, так как а не принадлежит интервалу (Р, у). Имеем, следовательно, /(0)=/(а) при 9#=а, что противоречит предположению. Следовательно, функция /(х) монотонна.
СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ
Определение. Часто случается, что данные три переменные х, у, и связаны между собой так, что у является функцией от и, а и — функцией от х, т. е.
J=/(«)(а<«<0),
й = ср(х) (.a^x^by
Если значения, принимаемые функцией ф(х), содержатся в интервале [a, PJ, то переменную у можно считать зависящей от переменной х, так как каждому значению х из интервала [о, Ь\ соответствует определенное значение переменной и, содержащееся в интервале [а, Р); этому же последнему соответствует определенное значение переменной у; таким образом, каждому значению переменной х из интервала [я, 6] соответствует определенное значение переменной у. В этом случае говорят, что переменная у является сложной функцией переменной х при посредстве переменной и. Обозначают эту функцию символом /(ф(х)), а функциональную зависимость записывают в виде
J = /(<P (X)).
Пример.
у — и\и = х^ — Зх,у = (х2 — Зх)3.
Непрерывность сложной функции. О сложных функциях может быть высказана следующая
Теорема. Если функция у—f (и) непрерывна при а^п^р, а функция и — (^х^ непрерывна при а^х^Ь и удовлетворяет неравенству а^ф(х)^р, то сложная функция у = /(ф(х)) непрерывна для всех значений х из интервала а^.х^.Ь.
Доказательство. Для доказательства теоремы заметим, что если последовательность {хл} стремится к определенному значению х, то соответствующая последовательность {^„} = {/(ф (хл))} стремится к /(ф(х)). В самом деле, в силу непрерывности функции ф(х) последовательность {ф (хл)} = {пл} стремится к а = ф(х); в силу же непрерывности функции /(и) последовательность {уп} = {/(«„)} стремится к y^/^^f^^.
[Часто удобнее пользоваться несколько более общей формой этого предложения:
Теорема 2 (предельный переход под з на к ом непрерывной функции). Если Пт ф (х) = и0 и функция у = /(ц)
Х-* х0
непрерывна при и = п0, то сложная функция у = /(ф (х)) имеет при х, стремящемся к х0, предел, равный f(uQ).
Иначе говоря, если /(«) непрерывна в соответствующей точке, то
lim /(q>(x))=/( lim <р(х)).X -> X»Xхв
Доказательство аналогично предыдущему. Следует лишь установить, что в условиях теоремы сложная функция /(ф (х)) определена в некоторой окрестности точки х0, за исключением, может быть,
самой этой точки. С этой целью заметим, что при всех х^х0 и достаточно близких к х0 значения ф (х) отличаются от своего предела и0 столь мало, что не выходят за пределы той окрестности точки ц0, где определена функция /(и).]
ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ
Определение. Пусть дана функция у=Дху непрерывная и строго монотонная в интервале [a, 6]. Положим /(а) = а, /(^) = р. В силу непрерывности функции переменная j принимает все значения, заключенные между а и р. Поскольку, сверх того, функция
строго монотонна, то каждое значение переменной у из интервала [а, Р) соответствует одному и только одному значению переменной х
из интервала [a, by Поэтому переменную х можно считать функцией от переменной у, определенной в интервале [а, Р). Обозначив эту функцию символом ф(у), можно написать:
■к — ф (у).
Функция х = ф (у) называется функцией, обратной к функции у=ДхУ
Геометрическая интерпретация. График функции ^ = ф(х) получим следующим образом. Повернем плоскость ОХУ вокруг биссектрисы
угла 2^( + х’ 4*«У) на 180° (рис. 9); тогда новое положение графика функции у = /(х) будет графиком функции у = ф (х).
Непрерывность обратной функции.
Теорема. Функция, обратная к строго монотонной и непрерывной функции, также строго монотонна и непрерывна.
Доказательство. Допустим, для определенности, что функция /(х) возрастающая. Теперь, если бы обратная функция х = ф (у) не была строго возрастающей, существовали бы две пары соответствующих значений (хх, ух) и (х2, у^, удовлетворяющих неравенствам
что противоречит предположению, что функция /(х) строго возрастает. Аналогично поступаем в том случае, когда функция /(х) строго убывает.
Для доказательства непрерывности функции х = ф(у) в произвольной точке у =j0 (а < у0 < 0) поступим следующим образом.
Пусть е — произвольное положительное число. Положим х0 = ф(у0) и выберем два произвольных числа хг и х2 так, чтобы:
а <х1<х0<хй<Ь;
0<х2 — ^<8.
Положив теперь ^^/(х^, J2=/(x2), мы замечаем, что для каждого у, заключенного между уг и у2, соответствующее значение х заключено между хг и х2 и, следовательно, отличается от х0 меньше чем на е. Функция л; = (р(у) непрерывна, таким образом, при^=^0. Подобным образом доказывается непрерывность для у —ос и j = p.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Степенная функция у = хп.
п— натуральное число. В этом случае приведенная выше формула определяет функцию для всех значений х. Эта функция непрерывна для всех значений переменной х, потому что, как следует
из теоремы о пределе произведения,
lim хп = Хо х-*х»
при любом Хо.
На рис. 10 изображены графики функций у = х2 и у=х2.
л = 0 с условием, чтоу=1 при х = 0. Формула у = хп определяет тогда функцию, которая при всех значениях х принимает значение 1. Следовательно, эта функция непрерывна.
п— целое отрицательное число. Положив и —— г (г > 0), заметим, что наша функция имеет вид^ = р?, и,
как частное двух всюду определенных и непрерывных функций ф1(х)=1, ф2(х)=хг, она определена и непрерывна всюду, за исключением х = 0.
п— число, обратное целому. Положив л = — (г—целое число),
имеем у = д/х (принимаем во внимание лишь неотрицательный корень из неотрицательного числа). Функция определена для всех х > 0; если г — нечетное число, то предыдущая формула определяет функцию и для всех х < 0. Для х = 0 функция определена лишь в том случае, когда г—положительное число; функция принимает
тогда значение нуль.
Непрерывность доказывается следующим образом: когда г—четное положительное число, то обратная функция х—уг строго возрастает и непрерывна для всех j^ О, откуда в силу теоремы об обратной функции следует непрерывность функции у = ^/ х для х ^ 0. Подобным образом поступаем и тогда, когда г — нечетное положительное число. В этом случае функция х=ут строго возрастает и непрерывна для всех значений у, следовательно, функция у=^/х также непрерывна для всех значений х. В случае целого отрицательного г легко докажем непрерывность для всех х^ для которых
существует, если заметим, что Vx =—"7= •
5. л— рациональное число. Положив п — ~ видим, что функция определена для всех х >5. л— рациональное число. Положив п — ~ видим, что функция определена для всех х >(РО, а(РО, аи qприи qпритакже и при всех х < 0. Когда п > 0, то функция также для х = 0, а именно, принимает значение нуль.также и при всех х < 0. Когда п > 0, то функция также для х = 0, а именно, принимает значение нуль.целые), мы q нечетном определенацелые), мы q нечетном определенаФункцию у = х№ можно считать функцией, составленной изФункцию у = х№ можно считать функцией, составленной изфункцийфункций
5. л— рациональное число. Положив п — ~ видим, что функция определена для всех х >
5. л— рациональное число. Положив п — ~ видим, что функция определена для всех х >
(Р
О, а
(Р
О, а
и qпри
и qпри
также и при всех х < 0. Когда п > 0, то функция также для х = 0, а именно, принимает значение нуль.
также и при всех х < 0. Когда п > 0, то функция также для х = 0, а именно, принимает значение нуль.
целые), мы q нечетном определена
целые), мы q нечетном определена
Функцию у = х№ можно считать функцией, составленной из
Функцию у = х№ можно считать функцией, составленной из
функций
функций
у = ир,у = ир,£ и — х^.£ и — х^.
у = ир,
у = ир,
£ и — х^.
£ и — х^.
Так как обе функции непрерывны для тех значений, для которых они определены, то в силу теоремы о сложных функциях функция у = x^q также непрерывна для тех значений, для которых она определена.
п — иррациональное число. В этом случае функция определена для всех х > 0. Для х — 0 формула у — хп имеет смысл лишь при л>0; тогда имеем у = 0.
Функция непрерывна для всех х^ для которых она определена формулой у = хп.
Действительно, взяв положительное, отличное от единицы произвольное число а, получим для X > 0: у = апх°8ах) так что у = atts где u — n\ogax.
Но, как будет показано ниже (см. лп. 16 и 17), функция а11 непрерывна для каждого и, а функция \ogax также непрерывна для каждого х > 0, следовательно, на основании теоремы о непрерывности сложной функции (стр. 76) функция у — хп непрерывна для каждого х > 0.
Если п > 0, то можно доказать, что функция у = хп непрерывна справа в точке х = 0, т. е. что Пт хп = 6. Для этого выберем произ- х-* + о
вольное рациональное число г, удовлетворяющее неравенству 0 < г < ти При 0 х ^ 1 имеем 0 ^ хп ^ хг. Как известно, функция хт непрерывна справа для х = 0, значит, lim хг = 0. В силу последнего нех-* + о
равенства то же имеет место и для функции у=хп.
Объединив все сказанное выше, мы можем утверждать, что функция у = хп непрерывна при всех значениях х, для которых она определена.
(Замечание. Степень многочлена (a0 + ^i^+• • •+а^А)Л можно считать сложной функцией, составленной из непрерывной всюду функции и = a^-V a^x-V * *.-V а^ (стр. 71) и степенной функции у = ип, которая, как доказано, непрерывна во всех точках области определения. Поэтому и каждая степень многочлена непрерывна во всех точках, где она определена.
Пример. y = Vx3 + &x—9. Функция непрерывна при х^\ (в точке х = 1 она непрерывна справа).]
Показательная функция у = ах. Непрерывность функции у = ах, а > 0, легко показать следующим образом. Пусть х0 — произвольное значение переменной х. По известной теореме имеем:
lim ах»*н = Пт ^ах» • ак^ = ах« Пт ак.
Но, как было доказано (стр. 64): lim?=l, так что h-*o
tim axe+h- = ах»еh-* о
Итак, предел функции существует для каждого значения х и равен значению функции в точке х. Следовательно, показательная функция непрерывна для каждого значения х.
На рис. И изображен график функции у = 2\
Логарифмическая функция j = logax. Функция y = logtix, а > 0, я=#1, определена только для х > 0. Так как обратная функция х=ау строго монотонна и непрерывна, то (см. стр. 77) функция у = \о^ах непрерывна для всех положительных значенийх.
График функции y = log2x изображен на рис. 12.
Тригонометрические функции.
y = sinx, у = cos х.
Пусть х0— любое, но фиксированное значение переменной х» Тогда, ввиду того, что
lim sin h = 0, lim cos А = 1 ft-* оh->o
(стр. 64), получим:
lim sin (x0 + A) = lim (sin x0 cos A 4- cos x0 sin A) = sin x0, ft-* 0ft -* о
lim cos (x0 + A) = lim (cos x0 cos A — sin x0 sin h) = cos x0. ft-* оft-* о
(рис. 13), y = cosx (рис. 14) не-(рис. 13), y = cosx (рис. 14) не-Следовательно, функции y = sinx прерывны для всех значений х.
(рис. 13), y = cosx (рис. 14) не-
(рис. 13), y = cosx (рис. 14) не-
J = tgx (рис. 15).
Так как tgx = ^^-, то эта функция определена и непрерывна для всех значений х, для которых cosx^=0. Исключительными являются
значения
. л ,3л, 5л
^=±7’ ±у, ±Т’***’
вообще, х = ±-—2^’ где п — натУРальное число.
y = ctgx (рис. 16).
Так как ctgx = ^Y# т0 эта функция определена и непрерывна для всех значений х, для которых sin х ^0. Исключительными являются значения
х = 0, ± л, ± 2л, ... ,
вообще, х = ±лл, где л = 0, 1, 2,... y = secx (рис. 17).
для всех значений х, для которых cosx^O.
^ = cosec х (рис. 18).
Так как cosec х = ~г^, то эта функция определена и непрерывна для всех значений х, для которых sinx^O.
Обратные тригонометрические функции.
у = arcsinx (рис. 19).
Эта функция определена в интервале [—1, +1] следующим образом: arcsinx есть угол у, содержащийся в интервале — у ^У и удовлетворяющий уравнению х = siny. Легко видеть, что существует только один угол, удовлетворяющий двум указанным выше условиям. Определенная таким образом функция у = arcsinx обратна функции
х = sin у для—y^J^^* Так как в этом интервале функция
x = sinj/ строго возрастает и непрерывна, то ^ = arcsinx является строго возрастающей и непрерывной функцией.
jf = arccos х (рис. 20).
Эта функция подобно предыдущей определена для — l^x^l следующим образом: arccos х есть угол у, удовлетворяющий неравенству О^у ^л и уравнению x = cosy. Существует только один угол, удовлетворяющий этим двум условиям. Таким образом, функция
у = arccos х обратна функции х = cos у в предположении, что О^^^л. Так как в этом интервале функция x = cosj непрерывна и строго убывает, то функция у — arccos х является непрерывной и строго убывающей.
jsarctgx (рис. 21).
Определим эту функцию для всех значений х следующим образом: arctgx есть угол у, удовлетворяющий неравенству — у<у <-^ и
уравнению tgy = x. Таким образом, функция y = arctgx обратна функции x = tgy в предположении, что — у < у < у. В этом интервале x = tgy строго возрастает и непрерывна, поэтому функция y = arctgx также строго возрастает и непрерывна.
y = arcctgx (рис. 22).
Определим эту функцию для всех значений х следующим образом: arcctgx есть угол у, удовлетворяющий неравенству 0<у<л и уравнению ctgy = x. Следовательно, функция у = arcctgx обратна
функции x = ctgy для 0 <у < л. Так как в этом интервале х = ctgy— строго убывающая и непрерывная функция, то у —arcctgx также строго убывает и непрерывна.
у = arcsec х (рис. 23).
Определим эту функцию для значений х, удовлетворяющих условию |х|^ 1, следующим образом: arcsec х есть угол у, удовлетворяющий неравенству О^у^л и уравнению х = secy. Следовательно, для х^1 функция у = arcsec х обратна функции x = secy в предположении, что О^у < у . Так как в этом интервале функция x = secy строго возрастает и непрерывна ^за исключением у =у^, то функция у = arcsec х строго возрастает и непрерывна для х^1.
за исключением у — ^за исключением у — ^Для х^—1 функция у = arcsec х обратна функции x = secy в предположении, что у <у ^ л. Так как в этом интервале функция x = secy строго возрастает и непрерывна
за исключением у — ^
за исключением у — ^
то функция у = arcsec х строго возрастает и непрерывна для х ^J—1. у = arccosec х (рис. 24).
Определим эту функцию для всех значений х, удовлетворяющих условию |х|^ 1, следующим образом: arccosecx есть угол у, удовле-
творяющий неравенству — у <^< ^ и уравнению cosec у = х. Поэтому функция у = arccosec х для х ^ 1 обратна функции х = cosec jz, если положить 0<j^y. Так как в этом интервале функция х = cosecy строго возрастает и непрерывна (за исключением ^ = 0), то функция у = arccosec х строго возрастает и непрерывна для х ^ 1.
Для х^—1 функция у = arccosec х обратна функции х = cosec у ^—i^j/COy Так как в этом интервале функция х = cosec у строго убывает и непрерывна (за исключением ^ = 0), то функция у = arccosec х строго убывает и непрерывна для х^ — 1.
ГЛАВА V
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
L Определение производной. Пусть функция j=/(x) определена в окрестности точки х0. Возьмем точку хг этой окрестности, отличную отх0. Разность xt — х0) которую обозначают символом Ах, будем называть приращением независимой переменной. Подобным образом, соответствующая разность j^—Jo==/(xi)—/(хо) обозначается символом Aj, и называется приращением зависимой переменной, или приращением функции. Получаются следующие соотношения:
xt = х0 + Дх,Л=Уо+А^.
Уо + ^У =/(-^о +Д-^)- Так как
Уо=/(*о). то
Ау=/(х0 + Дх)—/(x0).
Частное
М f (x0+Ax) — f(x0)
АхАх
будем называть разностным отношением.
Выражение Пх° + ^""^^^ (принимая, что х0 имеет определенное постоянное значение) можно считать функцией приращения Дх. Мы можем также исследовать, существует ли предел этого выражения при Дх, стремящемся к нулю.
Если предел этого выражения при Дх, стремящемся к нулю, существует, то его мы будем называть производной функции ^=/(х) по х в точке х0. Производную будем обозначать символом f (х0) или ^ или кратко ^. Часто для обозначения производной употребляется также символ —. Этот символ напоминает, что производная Aw является пределом частного .
Итак,
Ит №1±^£W= Пт ^/Цх.^у'^у'^ Дх^О
Определенную указанным выше способом производную называют более точно первой производной функции j=/(x), для отличия от производных высших порядков (речь о которых будет идти позже).
Примеры.
у = х.. Обозначив через ^х произвольное приращение переменной х, а через &у соответствующее приращение переменной у, получим:
j4-Ду = х +Дх.
Отсюда
Д^ = Дх,
Ах ’ следовательно,
^ = АПт ^^
Ax->0
Таким образом, производная функции у = х равна единице при каждом х.
у = х2. Вычислим производную для х = 2. Имеем: /(х + Д х) = (х + Дх)2,
поэтому
Ду = (х 4- Дх)2—х2 = 2х Дх 4- (Дх)2;
отсюда
^ = 2х+Дх.
Переходя к пределу, получим:
lim = 2х + lim Дх = 2х. Дх->0Ах-* о
Следовательно, для х = 2 найдем 1^ = 4.
2x4-1
^^з^у* Вычислим производную для х=1. Имеем:
Д' + ^Д'Д' + ^Д'_2 (х+Дх)+1.3 (х+Дх)4-1 ’
Д' + ^Д'
Д' + ^Д'
поэтому
.2 (х + Дх) +1 2х + 1Дх.
Д^ —3(х + Дх)+1 Зх+1[3(х+Дх)-НЦЗх-Н)’
отсюда
Ду1
Дх*~ [3(х+Дх)+1](Зх+1) •
так что
М_ 1.
д^0Д* (Зх + 1р*
таким образом, для х = 1 получаем:
16 •
у = 2 + 3х— х2. Вычислим производную для х = 0. Имеем:
/(0) = 2,
/(0 4-Ах)=/(Ах) = 2 + ЗАх —(Ах)2, поэтому
Ду =/(0 +Ах)—/(0) = ЗАх—(Ах)2; отсюда
таким образом,
Односторонние производные. Аналогично понятию одностороннего предела можно определить также понятие односторонней производной. Левосторонняя и правосторонняя производные определяются, соответственно, как односторонние пределы
lim m+^£w и hm t^tJ^m.
В частности, на концах интервала [а, 6], в котором функция определена, можно говорить только об односторонних производных, т. е. о производной справа в точке а и слева в точке Ь. Об односторонних производных можно высказать такие же замечания, какие были высказаны относительно односторонних пределов. В частности, из существования производной следует существование обеих односторонних производных, а из существования и равенства односторонних производных следует существование производной.
Существование производной и непрерывность. Для того чтобы отношение ^ имело предел, необходимо, чтобы lim Ду = 0, г. е. чтобы функция была непрерывной в точке х0. Однако, как будет показано дальше, непрерывность недостаточна для существования производной.
Производная как функция. Если функция имеет производную в каждой точке интервала [a, Z>] (в концах интервала производные предполагаются односторонними), то эту производную можно рас-
сматривать как новую функцию переменной х. Эту функцию будем называть производной функцией первообразной функции ^=/(х). Каждый раз, говоря, что функция /(х) имеет производные и не указывая при этом интервала, мы будем считать, что производная существует в каждой точке интервала, в котором функция /(х) определена (на концах интервала только односторонняя производная).
Интерпретация производной в геометрии и физике. Рассмотрим график функции у—/(х) (рис. 25). Легко заметить, что отношение ^ равно тангенсу угла а, образованного положительным направлением секущей, проходящей через точки А и В
(соответствующие точкам х и х + Дх), с положительным направлением оси ОХу Если теперь приращение Дх будет стремиться к нулю, т. е. точка В будет стремиться к А, то угол а будет стремиться к углу а, образованному положительным направлением касательной с положительным направлением оси OX, a tga будет стремиться к tgo.
Поэтому
lim ^ = tga).
Дх»о
Таким образом, можно утверждать следующее: производная в данной ToiKe х равна тангенсу угла, образованного положительным, направлением, касательной в соответствующей точке (х, /(х)) нашей кривой с положительным направлением оси ОХ.
Замечание. Зная производную, можно легко построить касательную к кривой, представляющей график данной функции. Например, легко видеть, что если у' = 0, то о = 0 и, следовательно, касательная параллельна оси ОХ. Следует отметить, что одной из задач, приведших к понятию производной, была задача отыскания касательных к кривым.
Наряду с геометрической интерпретацией мы можем найти много примеров для иллюстрации понятия производной в физике.
Примеры.
Пусть материальная точка Л движется по прямой. Выбрав определенное направление на этой прямой и произвольную точку О, мы сможем точно указать положение точки Л при помощи одного числа з, абсолютная величина ко- —торого равна длине отрезка ОЛ.
5 4sЧисло у берется со знаком +, если
Рис. 26.направление вектора О А совпадает
с направлением, выбранным на прямой, и со знаком — в противном случае (рис. 26).
Ясно, что каждому моменту времени t соответствует определенное положение точки Л, а вследствие этого определенное число у. Поэтому можно сказать, что у есть функция времени /, т. е.
S=/W.
Зафиксируем какой-нибудь момент времени / и обозначим через Д/ произвольное приращение /, а через Ду соответствующее приращение переменной у. Если движение является равномерным, т. е. если точка А в равные промежутки времени проходит равные пути, As
то скорость тела определим как отношение ^ > которое в этом слу
чае постоянно. Если движение неравномерное, то скорость определим
как lim ^, таким образом, скорость есть первая производная пути по времени.
Подобным образом определим ускорение как первую производную скорости по времени.
Непрерывные функции, не имеющие производной в данной точке (примеры). Как уже было отмечено ранее, непрерывная функция
может и не иметь конечной производной. Примером может служить функция j/ = |x| (рис. 27). Для # = 0 производная не существует. Правосторонняя и левосторонняя производные равны, соответственно, +1 и —1.
Примером непрерывной функции, не имеющей ни правосторонней, ни левосторонней производной, является функция
х sin — для х =И=0,
0 для х = 0.
Для х = 0 найдем:
Ду1
— $ш — еДхДх
Но выражение sin^ не имеет ни -правостороннего, ни левостороннего предела. Действительно, положив Дхл=-^, получим:
lim sin = Um sin лл = О,
П —> 00«п —> 00
а положив Дхл , получим:
(4л+1)у
lim sin-г—= lim sin (4л + l)-n- = L« -> 00 ^Хп и -> 002
Положив же Дл;и =-, соответственно, \хя i, будем
(4л + 1)у
иметь:
соответственно,соответственно,lim sin-Д- —О,
соответственно,
соответственно,
1 ,lim sin-— = — 1.«->00 ^п
ТЕОРЕМЫ О ПРОИЗВОДНОЙ
Производная постоянной функции. Производная постоянной функции равна нулю. Эта теорема очевидна, потому что при каждом \х имеем Ду = 0 и, следовательно, ^ = 0, значит,
’ Дх
lim ^ = 0.
дхм-о А*
Производная степенной функции. Производная функции у = хп
(л—целое положительное) выражается формулой
Ух = пхП1'
Эта формула верна при л > 1 для всех х, а при л = 1 для лг^О. Для л=1, х — 0 эта формула теряет смысл (так как выражение 0° не имеет смысла); в этом случае, как мы видели (стр. 87), производная равна единице.
Доказательство. Если через Дх обозначим приращение переменной х, а через Ду соответствующее приращение перемен* ной у, то
у 4- ^у = (х + Дх)”, следовательно,
Ду = (х + Дх)” — х".
Применяя бином Ньютона, получим:
Ьу = ( 1 ) х""1 ^x + ( 2 )^""2 (Д*)2 + ... + (Дх)п,
следовательно, в предположении, что п > 1 (см. выше), будем иметь:^=«^"-1+ (2) х”~2 Дх+ • • • + (Д-г)""1.
Так как
Нш Дх = 0, lim (Дх)2 = 0, ..., Иш (Дх)"~1 = 0, Ах-* ОАх-* оАх-* О
ТО
Ах -> о
Производная произведения постоянной на функцию.
Теорема. Если
у = а/^э
причем а—постоянное число, а /(х) имеет производную в точке х, то функция у также имеет в точке х производную
у = af' (х).
Пример.
у = 5х2.
Можем положить а = 5, /(х) = х2. Так как /'(х) = 2х, то
Доказательство. Имеем:
у + Ду = а/(х + Дх); отсюда
Hx-VM— f W
следовательно,
Ух = »/ЦхУ
Производная суммы, произведения, частного.
Теорема. Если функции f(x), ф(х) имеют производные в некоторой точке х, то их сумма и их произведение тоже имеют производные в этой точке, а именно;
Производная суммы у =/W + Ф W равна у' = /' (х) + ф' (х).
Производная произведения у =f (х)ф(х) равна
У =/W ф' W +/' U) ф (*)•
При дополнительном предположении, что ф (х) ^= 0, сумеет- вует также производная частного у = -^у , равная
» Ф to Г W— f to ф' to
ф2 W
Ах 1 Ах *Kx+M—fW , .фОН-Ах)—ф(х)Ах 1 Ах *Kx+M—fW , .фОН-Ах)—ф(х)Доказательство. 1) Если через Дх и Ду обозначим, соответственно, приращения переменных х и у, то из соотношения ^=/М + ф(х) получим: у + Ду=/(х +Дх) + ф(х+Дх); вычитая из этого равенства предыдущее, получим: Aj =/ (х + Ах) —/ (х) + ф (х 4- Дх) — ф (х). Отсюда +, ф(х-Н^
Ах 1 Ах *
Kx+M—fW , .фОН-Ах)—ф(х)
Ах 1 Ах *
Kx+M—fW , .фОН-Ах)—ф(х)
Ах
Следовательно, lim =Л ।
Ах^о^* Ах-* оАх-*о^Х
т. е.
л=/' М+ф'W-
Пример 1. Пусть
у = х^ + х3.
Здесь можем считать
/(а;) = х2, ф(х)=х3.
Так как
у* (х) = 2х, ф' (х) = Зх2, то
у^ = 2х + 3х2.
Доказательство. 2) Имеем:
у + Ду=/(х + Дх) ф(х + Дх);
отсюда
Aj =/(х + Дх) ф (х + Дх) —/(х) <р (х).
Вычитая и прибавляя к правой части предыдущего равенства произведение /(х)ф(х + Дх), получим:
Ду = [/ (х + Дх) —/ (х)] ф (х + Дх)+/ (х) [ф (х + Дх) — ф (х)],
следовательно, в силу теорем о пределах суммы и произведения найдем:
lim Ду= lim Ux+^)-fW. нт ф(х + Дх) +
Дх—Дх-*о ^ХДх->о
+/(х)Пт ФМ4^=ФМ.
[Так как функция ф(х) имеет производную в точке х^ то она непрерывна в этой точке (стр. 88), т. е. lim ф (х + Дх) = ф (х).
Дх-> О
Значит,]
у* =f (*) Ф (•*)+/(•*) ф' (х).
Пример 2. Пусть
у = (х2 + х3) 5х2.
Если положим
/ (х) = х2 + х3, Ф (х) = 5х2, то
f (х) = 2х + 3х2, ф'(х)= Юх, следовательно,
у = (2х + Зх2) 5х2 + (х2 + х3) 1 Ох = 20х3 + 25х4.
Доказательство. 3) [Поскольку функция ф(х) непрерывна в точке х, то из условия ф(х)У=0 по теореме о сохранении знака (стр. 71) находим, что
ф(х + Дх)=?^0
для всех достаточно малых Дх.] Поэтому можем писать:
— Н£±Л£) _ Ito
ф(х + Ах) ф(х)’
значит, л v _ И^+ А^) Ф to~Ф (х+ Ax) f (х)
ф(х+Ах)ф(х)
Вычитая и прибавляя в числителе дроби произведение ф(х)/(х), получим:
А У — Ф (х) [/ (^+Ах) — / (х)] — [ Ф (х + Ах) — ф (х) ] / (х)
Ф (х+Ах) ф (х)’
отсюда
Ф (х) Пт 1^5±^Г±^_1 (х) цт Ф^±М_т<5)
..Дх->о ДХДх-*0Дх
11т -7— ——■ ■ , ч— ; ;—;— — _
д*-*оДхФ(х) 11т Ф(*+Дх)
Дх-* о
следовательно, ./фИ f' W—f^<p- (х)
Примеры.
-У = ф(х) '
В этом случае /(х) = 1, /'(х) = 0, следовательно,
у = х 5 для ху=0, или у — — , отсюда
,5х4 е
У =—^16-=—5х 8
5- У =5- У =х2+5 нэ •х2+5 нэ •Положив /(х) = х2 + 5, ф (х) = 1 + х3, мы в каждой точке х ^ — 1 получим:
5- У =
5- У =
х2+5 нэ •
х2+5 нэ •
,(1+^8)2х—Зх2(х2 + 5)2х—ISx2—^4
у —(1+х»р(1+х*)а•
Задачи
Вычислить производные следующих функций!
L У = 7.
у=х\
у = 2х8,
у = х44-1,
у = 3х2 + 2х—-6,
«z=i!+^=X(x»+5x*),
^=(54-6х) (4—Зх),
у = 2х’(8х+11),
10.И.10.И._х«—2x4-3
10.
И.
10.
И.
У-х«4-2x4-5 ’
у'=0.у'=6х5.у'=6х8.у' = 4х8./=6x4-2./ = 1(5х«4-15х8)./=9(1-4х).у' = 64х3+66х2.,9^ ”4х4 *,— 16 + 4х + 4х2у ~ (х84-2х4-5)2 •'12У -(3—2х)а •у'=0.у'=6х5.у'=6х8.у' = 4х8./=6x4-2./ = 1(5х«4-15х8)./=9(1-4х).у' = 64х3+66х2.,9^ ”4х4 *,— 16 + 4х + 4х2у ~ (х84-2х4-5)2 •'12У -(3—2х)а •у 3—2х ’
у'=0.
у'=6х5.
у'=6х8.
у' = 4х8.
/=6x4-2.
/ = 1(5х«4-15х8).
/=9(1-4х).
у' = 64х3+66х2.
,9
^ ”4х4 *
,— 16 + 4х + 4х2
у ~ (х84-2х4-5)2 •
'12
У -(3—2х)а •
у'=0.
у'=6х5.
у'=6х8.
у' = 4х8.
/=6x4-2.
/ = 1(5х«4-15х8).
/=9(1-4х).
у' = 64х3+66х2.
,9
^ ”4х4 *
,— 16 + 4х + 4х2
у ~ (х84-2х4-5)2 •
'12
У -(3—2х)а •
у — — .У хз ’у = 9х^~~4х , 1 X4 X11у — — .У хз ’у = 9х^~~4х , 1 X4 X11,15У = ~^,15У = ~^,12 . 22у =54х5-4—-х5 1 х12,12 . 22у =54х5-4—-х5 1 х12
у — — .
У хз ’
у = 9х^~~4х , 1 X4 X11
у — — .
У хз ’
у = 9х^~~4х , 1 X4 X11
,15
У = ~^
,15
У = ~^
,12 . 22
у =54х5-4—-
х5 1 х12
,12 . 22
у =54х5-4—-
х5 1 х12
Производная сложной функции. Если функция у=/(ф(х)) составлена из функций у=/(м), м = ф(х), непрерывных и имеющих непрерывные производные, то производная сложной функции существует и равна
vx=r
или
УХ=Г (ф М)ф'(Х).
Пример. Пусть
у = (5 + 2х—Зх2)\ Положив
а = 5 + 2х—Зх2, получим:
у^и6;
поэтому
у' = 5m4uz и окончательно
у = 5 (5 + 2х—Зх2)4 (2—6х).
Докажем сначала сформулированную выше теорему при условии, что при Ах 5^=0
Да = ф (х + Дх) — ф (х) ^=0.
Положив Ду =/(а + Дм)—/(и), получим:
Ду _ Ду . Ди
Дх Ди Дх ’
Так как Нт Ди = 0, то
Ах -> 0
hm ^ = hm ^ Пт ^.
Ах -* о ^^ Аи о ^м Ах о ^^
Поэтому
Доказательство для общего случая дается на стр. 99.
Производная обратной функции. Если строго монотон* пая функция y=f(x) имеет для некоторого значения х произ* водную отличную от нуля, то обратная функция х = ф(у) имеет в
соответствующей точке у производную
Доказательство. Обозначив через \у приращение переменной у, а через Дх соответствующее приращение переменной х, имеем:
Дх 1*/ л
Ду¥=о,Az/z >
Дх
так как по теореме об обратной функции (стр. 77) из Ду-£ О вытекает, что Дх^О.
Следовательно,
/ , х v Дх 1
Ф k^ = hm д7 =АЙ *
Ау->о цт 5f
Ау->о Ах
Поскольку у=/(х) непрерывна (так как имеет производную), то обратная функция х = ф(у) также непрерывна, т. е. hm Дх = 0.
Ау-*О
Значит,
Нт = Пт —f (х)д^оАх д^0Дх J '
и, следовательно,
Примеры.
/=/(*) = /^
Возведя в квадрат, получим: у^ = х.
Следовательно, обратной является функция
Так кактоИмеем здесь:Так кактоИмеем здесь:•«=vW=j2.
Так как
то
Имеем здесь:
Так как
то
Имеем здесь:
ф' 00 = 2у,
' __ — 1 _ 1
^ ф' (у) 21/ 2 Vx *
,2 Х +х+2
4 С. Банах
отсюда
X = <p(j)
Л-2уа у2—1 •
Применяя к ф (у) теорему о производной частного, получим: (t/2-l)(-4i/)-(l-2^)2{/ 2у
и, значит, ,1 ^(г/2-!)2^! 11/^+2
2у 2 А + 2)2 У х^Г
Мы могли бы также вычислить эту производную, опираясь на предыдущий пример и на теорему о производной сложной функции. Положив
U х + 2 ’
получим:
и'“2 Уии'“2 Уи1 7А+2 (2±2НН£±1Н
и'
“2 Уи
и'
“2 Уи
2 И х+Г (*+2)2
следовательно, опять
v'=A._J з/^±2у 2 (х+2)а V х + 1 •
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
13*. Дифференцируемые функции. Определение дифференциала. Функция у=/(х) называется дифференцируемой в точке х> если ее приращение Ау в этой точке можно представить в виде
&у=f (х) Д* + а(Дх) Дх,
где Нт а(Дх)^0.
Дх->0
Если положить а(0) = 0, то предыдущее равенство остается справедливым и при Дх = 0. Поэтому можно сказать, что переменная а(Дх) непрерывна при Дх = 0 и обращается при этом значении Дх в нуль.
Как видно из определения, необходимым условием дифференцируемости является существование производной. Оказывается (для функций одной переменной), что это условие также и достаточно.
В самом деле, пусть существует у =f (х). Положим
А (—/'(х), Дх=^=0,
а(Дх) = < Ах у х ъ
При таком определении а имеем для всех Ах А^=/' W Ах + а(Ах) Ах.
Остается, следовательно, установить непрерывность а (Ах) при Дх = 0, т. е. равенство lim а(Дх) = а(0) = 0. Но, очевидно,
Дх->о
Пт а(Дх) = lim J^—f (х) I =f (х) — f (х) = О,
Дх-*оДх->о [)
что и требовалось.
Таким образом, для функций одной переменной дифференцируемость и существование производной — понятия равносильные.
Аналогично можно определить одностороннюю дифференцируемость и показать, что это свойство равносильно существованию соответствующей односторонней производной.
Далее, если функция у =/(х) дифференцируема, т. е. если
Ау =/'(х) Дх + а-Ax,lim а = 0,
Дх->о
то главную линейную часть
/' (х) Ах
ее приращения будем обозначать символами dxy, dxf(x) и называть дифференциалом переменной у по переменной х в точке х. Написав для симметрии dxx вместо Ах, получим следующую формулу:
(1) откуда
(2)
Заметим еще, что дифференциалы dxy и dxx являются функциями переменной х, причем функция dxx принимает постоянное значение Ах.
13а*. Производная сложной функции. Используя равносильность существования производной и дифференцируемости, мы докажем теорему о производной сложной функции, приведенную на стр. 96 без доказательства.
Итак, пусть функция н = ф(х) дифференцируема в точке х = х0> a y—fW дифференцируема в соответствующей точке и = и0 = = Ф(х0). Дадим аргументу х0 приращение Ах; тогда функция н = ф(х) получит некоторое приращение Ан, вследствие чего у функции у =/(н) возникнет приращение Ду. Имеем
у' = lim .
Дх->0 ^х
4»
Поскольку у=/(а) дифференцируема в точке и — и^ то ее приращение можно представить в виде
Ду = /' (а0) Да + а (Да) Да;lim а (Да) = 0; а (0) = 0.
Ап-* о
Отсюда
I'm Й = lim {/'(“о) + а(Аи)}- lim ^ =
Ах—*оAx->0Дх^0 ах
= //'(“о) + lim а(Аи)1 ф'(х0). (3) (Дх->0/
Поскольку Да зависит от ^x) то величину а (Да) можно рассматривать как сложную функцию переменной Дх. Заметим, что из дифференцируемости функции а = <р(х) следует ее непрерывность, т. е. соотношение lim Да = 0. Тогда по теореме о предельном
A v->o
переходе под знаком непрерывной при Да = 0 функции а (Да) находим
lim а(Да) = а( lim Да)=а(0) = 0.(4)
Ах->о\ Ах-*о/
Из (3) и (4) следует, что
К =V'<“о) ф'(я0).
Инвариантность формы первого дифференциала. В случае, когда переменная у = /(х) была функцией независимой переменной х, мы имели, по определению,
dy —f (х) Дх,
или, в других обозначениях,
(1)
Рассмотрим теперь случай, когда х является в свою очередь функцией другой переменной,
х — х kt\
Теорема. Если функции х = <р(^) и y—f^x} дифференцируемы в соответствующих точках t = txu х = х1 = ф(/1), то дифференциал сложной функции у = /(ф (/)) = ф (/) может быть представлен в виде dty=f (xj dtx.
Доказательство. Согласно определению дифференциала имеем
dtX = ф' (^ dtt,(5)
d^ = Ф' (^i) dtt.(6)
Но на основании теоремы о производной сложной функции мы видим, что
^'(^1)=/' (^фЧ^)-
Подставив это выражение в формулу (6), получим:
<ЦУ=Г {t^d^,
откуда в силу формулы (5)
<Цу=Г Vx^dtx.(7)
Сравнив формулу (1) с формулой (7), мы заметим, что их можно записать символически в виде
dy =/' (х) dx.(8)
Формулу (1) или (7) мы получаем из формулы (8), написав вместо d, соответственно, dx или dt.
Символы dy и dx не являются совершенными. Однако во многих случаях, когда возможность ошибиться будет исключена, мы будем ими пользоваться вместо символов d-y, dxx или, соответственно, dty, dtx.
Значение формулы (8) становится ясным, если обратить внимание на то, что при отыскании производной приходится пользоваться двумя формулами для определения производной у по х. А именно, когда переменная у зависит непосредственно от х, то
Л=/' (*);
когда же зависимость переменной у от х дается при помощи некоторой (промежуточной) функции и, то
При отыскании же дифференциалов получаем в обоих случаях одинаковые формулы:
dxy =f («) dxu или
dy=f* (x) dx,dy = /' (и) du.
Дифференциал суммы, произведения и частного. Из теорем о производных суммы, произведения и частного можно получить аналогичные формулы для дифференциалов суммы, произведения и частного. Пусть и и и—функции от х:
м=/(х), ® = ф(х),
имеющие непрерывные производные. Если положить то
V = и х г Xs
откуда
y'xdx = u'xdx + i)xdx, следовательно,
dy = du + di), т. е.
d (и + у) = du + dD.
Аналогично
dcu = c du,
где с—постоянное число;
d (uv) — udv + vdu,.( и\ vdu— и dydV^) =—•
Замечание. На практике часто бывает выгоднее оперировать дифференциалами, а потом делением на дифференциал независимой переменной переходить к производным.
Геометрическая интерпретация дифференциала. Дифференциал можно геометрически представить следующим образом.
Из рис. 28 видно, что
dy = /' (х) dx = tg а • dx — CD.
Таким образом, если ky — приращение ординаты кривой, то dy-* приращение ординаты касательной.
Дифференциал dy, вообще говоря, отличается от А.у, но их разность BD очень мала по сравнению с dx для очень малых dx> так как
Пт = нт а(Дх) = 0.Дх-^о Ах Дх->о
На практике, когда речь идет только о приближенных значениях, можно для малых приращений dx считать
\y = dy=ft (х) dx.
ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Производная степенной функции. Производная функцииу = хп
при произвольном п выражается формулой
К=пхп"х (*^о).
Выше (стр. 91) мы доказали эту формулу для случая, когда п — целое неотрицательное число. Перейдем теперь к остальным случаям, а именно, когда:
п—целое отрицательное число,
п—рациональное число,
п— произвольное действительное число.
п—целое отрицательное число.
Положив л=—г (г>0), представим функцию в виде
У=^(X^Q).
По теореме о производной частного имеем:
таким образом, у’х = пхп~Ч
п—число, обратное целому. Полагаем п = ^ и имеем: 1
у = ХГе
Обратной является функция
х = у'
следовательно,
Отсюда по теореме о производной обратной функции имеем:
У,У,1 _ 1^ ryr-i1 _ 1^ ryr-i(для у т^О, а значит, и для х^^у(для у т^О, а значит, и для х^^уТак как тоТак как то
У,
У,
1 _ 1
^ ryr-i
1 _ 1
^ ryr-i
(для у т^О, а значит, и для х^^у
(для у т^О, а значит, и для х^^у
Так как то
Так как то
или
так что опять
^ = ^-1 (для х^^у
п = ~. Тогда можно qп = ~. Тогда можно qДля х —0 производная не существует.
п = ~. Тогда можно q
п = ~. Тогда можно q
п— рациональное число. Положим рассматривать функцию
у — х^
как сложную, составленную из функций 1 у = ир и и-хУ
По теореме о производной сложной функции для х^О имеем:
Ух=Ри^х"\
Ух=ркх1\"17х'"д~Х'
t. e. снова
y'x = HXn—\
« — иррациональное чи с л о. В этом случае нашу функцию можно считать сложной, составленной из функций
у = е”, и = п loge х (= п In х).
Тогда на основании п. 19 (см. ниже, стр. 107) имеем для х^О
Отсюда, так как
еи =y — xnt имеем:
у'=х" • ~ = лх"'1
х
Если п > 1, то можно показать, что производная уг = 0 при х = 0.
Если л < 1, то при х = 0 производная не существует.
Примеры.
_3
у = 1/х3 = х5, следовательно,
315 5/#2315 5/#2,3з
31
5 5/#2
31
5 5/#2
у 5—— V б
— 5— 5
y = xv$, у' = У2хУ1~1.
^ = Ух4-а = (х + а)2, так что
y'=^^ + af»y'=^^ + af»12 V х 4- а12 V х 4- а
y'=^^ + af»
y'=^^ + af»
1
2 V х 4- а
1
2 V х 4- а
Мы пользовались при этом теоремой о производной сложной функции (д = х + а).
Задачи
у=узх—2х\у=узх—2х\у = lx УЧ + 2х,у = lx УЧ + 2х,3.3.2+К*2— Ух2+К*2— Ух,3—4х3 ^/(3x^2%^У /1+2х,2S ~Ухф-Ух? *,3—4х3 ^/(3x^2%^У /1+2х,2S ~Ухф-Ух? *
у=узх—2х\
у=узх—2х\
у = lx УЧ + 2х,
у = lx УЧ + 2х,
3.
3.
2+К*
2— Ух
2+К*
2— Ух
,3—4х
3 ^/(3x^2%^
У /1+2х,2
S ~Ухф-Ух? *
,3—4х
3 ^/(3x^2%^
У /1+2х,2
S ~Ухф-Ух? *
логарифмической функции. Производнаялогарифмической функции. Производная18. Производная функции18. Производная функции
логарифмической функции. Производная
логарифмической функции. Производная
18. Производная функции
18. Производная функции
y = ^ogax (а>0, аф\^ выражается формулой
Ух "^ 1°8а е х In а
(где In а = Ioge а).
Доказательство. Имеем:
.у+Ay = loge(x + Ax); отсюда
Д^ = l°go (* + Дх) — loge х, следовательно,
^-1«е.^=1о<.(1 + т).
поэтому
(1)(1)Ах Ах °&а ( х у х * Ах °^ ( + х ) ’ ИЛИ
(1)
(1)
Ах х |Д х у J *
Положив ’т^ = г, получим: hm |г|=+оо, следовательно, Ах-*о
lim 1+—=Дх->о \ х ) |гВ силу (1) имеем:Л = Нт xf= Hm ■ Ах-о ^х Дх->оlim 1+—=Дх->о \ х ) |гВ силу (1) имеем:Л = Нт xf= Hm ■ Ах-о ^х Дх->оlimlim= е.= е.АхХдхАхХдх
lim 1+—=
Дх->о \ х ) |г
В силу (1) имеем:
Л = Нт xf= Hm ■ Ах-о ^х Дх->о
lim 1+—=
Дх->о \ х ) |г
В силу (1) имеем:
Л = Нт xf= Hm ■ Ах-о ^х Дх->о
lim
lim
= е.
= е.
АхХдх
АхХдх
Так как логарифм является непрерывной функцией, то
[
х 1
lim +—Vх I = — log.
Ах-*о \ х ) 1 хх In а
В частности, если y = \ogex = lnx, то Ух = ~ •
Таким образом, если за основание логарифмов взято число а, то производная принимает наиболее простой вид у. Логарифмы с основанием е называются натуральными логарифмами. Каждый раз, когда пишут 1пх без указания основания, имеют в виду натуральный логарифм числа х.
Примеры.
y=log10x, / = ylog10e=y- 0,4342945...
^ = ln/(x) (/(х)>0).
Положив
и=/М) имеем:
^ = 1ПИ, ух = --и =-т^.
^ = 1пКЮх—х2 = у 1п (Юх—х2). Имеем здесь/(х)= Юх—х2, следовательно, по предыдущему примеру,
, 110—2х 5—х
у ‘ Юх—х — Юх—х8 •
Задачи
у = 1п8х,=Т’
У = 1п з^7^=1п (5+4х> — 1п (3 + 7х)./= (5-|-4х)(3+7х) *
у = 1п (1пх),«* = ПГх-
Производная показательной функции. Производная функции у = ах
выражается формулой
/ = ах1па.
В частности, если
у = ех, то
у’ = ех.
Доказательство. Функцией, обратной к у = ах, является функция х = \ogay. Таким образом,
х = —у у ьа t
а в силу теоремы о производной обратной функции и замечания, что х^=^=0, получим:
#1 у х 1
= ^ In CL.
ху loga е
Положив « = ]А + 2х + Зх2 = (1 +2x4- Зх2)2, имеем опять:у = е\ у' = е”и#;
и1 мы вычислим, применив повторно теорему о производной сложной функции. Положив у = 1 + 2х 4* Зх2, получим:
_ 1
U = V* , «' = "2*-У 2 у',следовательно,,12 + 6х
V Ц-2х + Зх2 отсюда
V =4~_ЗХ g/l + 2X+3X*
К1 + 2х + Зх2*
Задачи
у = (72* + 3)5,у = 1п(11е* + 2),у=х^е\у = (72* + 3)5,у = 1п(11е* + 2),у=х^е\/ = 10(72* + 3)472* 1п7.
у = (72* + 3)5,
у = 1п(11е* + 2),
у=х^е\
у = (72* + 3)5,
у = 1п(11е* + 2),
у=х^е\
Не*
у ~ 11е*+2 •
у' =ех (№ + Зх2).
Производные тригонометрических функций# j = sinxt j' = cosx.
Имеем
у + Aj = sin (х 4- Ах),
п . Дх / . Дх^
*• , । а \•2 sincos х 4*)
Дуsin (х+Ах) —smx _2\2 /
АхАхАх
следовательно,
22
2
2
Дх
Положив -g- = А, получим в силу непрерывности функций sin х и cosx:
lim Л = 0,Дх -> о, Дх
lim —т—= hm =1 (см. стр. 64), Дх->оh^o А
2 /*,\
hm cos ( х + -н-) = hm cos (х + h) = cos x, Дх -* о \^ /ft -♦ о
следовательно, у = hm -^=cosx.
У Дх - о Д*
j>=cosx, у'=— sinx.
Заметим, что cosх = sin ( у — xj; следовательно, функцию у = cosx можем считать сложной функцией, составленной из функций .л
у = sin г и ^ = -2х*
В связи с этим по теореме о производной сложной функции получим: Л=Л’^ но //л \.
У2~ cos2= COS (у — xj=sinx, а следовательно,
Ух = — sin х.
y = tgXl У = ^. m. sin х„
Так как y = tgx = ^-^, то по теореме о производной частного получим:
, cos х» cos х—sinx-( — sin x) cos^x-J-sin^xУхcos2xCOS2X ’
следовательно,
Ух cos2 X *
^ = С18Х, у = _^. *cosx
Аналогично предыдущему, у— ^-^ , так что
, sin х-( —sinx)— cosxcosx — (sin2x + cos2x) 1
Ухsin2xsin2xsina % *
у = sec x, у' = sec x tg x. Имеем: у —, поэтому
cosx ’J
,cos t/-0—l-( —sinx) sinxУхCOS2 Xcos2x ’
откуда ,1 sin х.
м =.= sec х tg х.
cos х cos хь
у = cosec х, у* = — cosec х ctg х.
Имеем:
^ sinx ’ следовательно,
*sin х-0—1»cos х cos х е
^х sin2xsin2r *
отсюда ,1 cos х.
sinx sin X
Примеры.
<y=sin4x. Положив u = 4x, получим у = sinи, так что у' — cosu-u' = 4 cos4x.
y = tgx2. Положим u = x2; получим тогда -У —tg
v' =—• и', следовательно, y' =—• 2x.
у = cos10x. Положив u= cosx, найдем y = u10, так что у' = 10# V = — 10 cos®at sin x.
Задачи
f/=2cosx+5sinx,z/ = cos2x+Lz/=sin2x,i/ = ctg(x+ex),f/=2cosx+5sinx,z/ = cos2x+Lz/=sin2x,i/ = ctg(x+ex),yr =. — 2 sin x+5 cos x.y' = — 2 sin 2x./ = 2 sin x cos x=sin 2x,yr =. — 2 sin x+5 cos x.y' = — 2 sin 2x./ = 2 sin x cos x=sin 2x,sin2(x+ex) *sin2(x+ex) *
f/=2cosx+5sinx,
z/ = cos2x+L
z/=sin2x,
i/ = ctg(x+ex),
f/=2cosx+5sinx,
z/ = cos2x+L
z/=sin2x,
i/ = ctg(x+ex),
yr =. — 2 sin x+5 cos x.
y' = — 2 sin 2x.
/ = 2 sin x cos x=sin 2x,
yr =. — 2 sin x+5 cos x.
y' = — 2 sin 2x.
/ = 2 sin x cos x=sin 2x,
sin2(x+ex) *
sin2(x+ex) *
Производные обратных тригонометрических функций< j = arcsinx, Ух = у==(|*| <1).
Обратной функцией будет x = siny, следовательно, xti = cos у.
Отсюда по теореме о производной обратной функции получим:
^ хи —cosy ’
где у^^-—, что соответствует значениям х^±1»
Так как
005^ = ]/1 — sin2^
^знак у корня положительный, потому что —~ <j < —^, то
cosj/ — V1 —а;2; отсюда
^ Кь^Р'
Замечание. Можно показать, что для х —+1 производная не существует.
y = arccosx, Ух = — уА (|х|<1).
Доказательство аналогично предыдущему.
J' = arctgx, j,; = T-l_3.
Обратной функцией будет x = tgj, следовательно,
У COS2У
(так как —у<-У<у> т0 ^у всегда существует и отлично от нуля). Отсюда
Ух= — = cos2 J,ХУ
но
_J—=1+ tg2V=l+X2, cos2 у г S X
следовательно, , _ 1 — 14-х2 *
y = arcctgx, у»х = —р^^.
Доказательство аналогично предыдущему.
у = arcsec х, —(|л:|>1).
Обратной функцией будет x = secy, следовательно, x^ = secy tgy
(за исключением у = 0, у = п, что соответствует значениям х = +1, х = —1); отсюда
Ух ~ sec у tg у *
Для х > 1 будет 0 < у < у , поэтому
secy = х = | х|,tg^ = ]/secy — 1 = ]Ar2 — 1 ё
Берем положительный знак у корня, потому что в этом случае tgjf положителен. Следовательно, для х > 1 будет
Для х < — 1 имеем -^ < у < л, значит, tgy < 0, поэтому
tg^ = — J^sec2^ — 1 = —У хй— 1,
следовательно,
— хУ X2—1 ’
так как х < — 1, то |х| —— х и опять
1
1х\Ух*—1
у = arccosec х, у' =, 1. (I х I > 1).
Доказательство проводится аналогично предыдущему. Примеры.
у = arcsin Ух.
Положив
3
и— х 2 , имеем:
у = arcsin и,у* = -
следовательно,
тогда
у = arctg и,, и' ,у 1 + и2 ’
но
_ (1+х).(-1)-(1-х).1 2_
“ ~(1+х)2(1+х)2*
следовательно, , _2(1 + х)21
У —(1+х)2 ' (1+х)2+(1 — х)21+х2 -
у = arcctg Ух".
Пусть
U — Vx.
Получим:
у = arcctg и.
^ —1 + и2 * U ~1 +% * 2 У7 *
,1” 2(х+1)/72у* = arcsin х.,1” 2(х+1)/72у* = arcsin х.Задачи
,1
” 2(х+1)/7
2
у* = arcsin х.
,1
” 2(х+1)/7
2
у* = arcsin х.
у=arcctg -= , V X
# = arcsin (2x1^ 1 —х2),
r/=xarcsin х+ К1—А
Логарифмическая производная. Рассмотрим функцию
ИМ
где функции /(х) и ф(х) имеют производные в точке х^ причемfW > 0. Взяв натуральные логарифмы от обеих частей, получим:1п^^=ф(а;)1п/(л:).
Будем считать In у сложной функцией переменной х и найдем ее производную:
7 = ф' М1п/(а;) + ф(д;)^.(1)
Выражение ~ называется логарифмической производной функции у. Равенство (1) с учетом того, что у = {/(х) }^ (ж), дает нам
^' = {/(^)}ф w) [ф'М1п/(а:) + ф(а;)^-^ .
Таким образом, при помощи логарифмической производной мы определили производную функции у = {/(х) }ф ^х\
Примеры.
Найти производную функции у = Xх ^х > 0). Имеем: Inj = xlnx, следовательно,
— = 1-1пх4~х*— = 1пх+1, ух
отсюда у' = Xх (Inх+ 1).
Определить производную функции у = (sin x)cos х (0 < х < л).
Логарифмируя, получаем:
In у = cosх In sin х,
У*cos х
— — — sin X In Sin X + COS X -,
у1 sin X 1
следовательно,
v' = (sin x)cos x [ — sin x In sin x 4- ^У .x ' LSin X J
Задачи
1, y=xlnx, y'= 2xinx~1 In x.2. y^lnxY6, t/' = (lnx)^“1[l + lnx-lnlnx].1, y=xlnx, y'= 2xinx~1 In x.2. y^lnxY6, t/' = (lnx)^“1[l + lnx-lnlnx].
1, y=xlnx, y'= 2xinx~1 In x.
2. y^lnxY6, t/' = (lnx)^“1[l + lnx-lnlnx].
1, y=xlnx, y'= 2xinx~1 In x.
2. y^lnxY6, t/' = (lnx)^“1[l + lnx-lnlnx].
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Производные высших порядков. Если функция j=/(x) имеет первую производную^ то производная этой производной, если она существует, называется второй производной функции fVxY
Аналогично, производную второй производной называют третьей производной и т. д. Символически производные высших порядков будем записывать следующим образом:
Ухх Ухг> Ух9 у Ух* > Ух* » Ухл х ИЛИ
у\ /> У,м> У^^ Уб)> yw»
ИЛИ
или такжеили такжеrw, rw, f'"w, P4«Y f^{x), .... f^w,
или также
или также
dy d^y d^y d*y d^y dny dx 1 dx21 dx3 ’ dx* ’ dx3 ’ * * *1 dxn *
Примеры.
Найти производные функции у = аж. Имеем: у' = а* In а, j" = а* (In а)2,
У" = а* (1п а)3,
уп) = а* (In »)”.
Если j = 8*, то У”> = е*.
Найти производные функции _у = х\ Имеем:
у =кхк~\
у = ккк— 1)^-2,
У" = k(k— 1)(А—2)х*-3,
ym^k^k — 1)(А—2)...[А—(п— 1)]х*-п.
Если к—натуральное число, то
у<*> = к (к— 1) (А—2)... [А—(к — 2)]. 1 = к'., уб+1) = 0.
Найти производные функции у = 1пх. Имеем:
Х=-г-<-» Ь2 ,
,(4)1-2-3 _ ,_3 1-2-3X4 ~X4 ’
yW = (-I)"-! l^1.
Найти производные функции ^ = sinx. Имеем: у' = cos х = sin ^х + ^ ) ,
у" = —sin х = sin (х 4- л) = sin ^х 4- 2 ■ -^J
У" = —cos х = sin ix4-3-yj,
у(”> = sin (х 4*п ^-J •
Аналогично, если у = cos х, то
У"* = cos ^х + п ^
Задачи
у=е*+«*t/ = sin5x,у=е*+«*t/ = sin5x,з. уз. у1 — COS Xsin х1 — COS Xsin хy=\nf (х),у-^х.y=\nf (х),у-^х.^=:42^3+4Х, у'" = 43e3+4X,^(«) —5"sin ^5x + n~) ,if=—.2cos2-|., JWV^-r»^9 P (x)19 - 8 V^ 1^=:42^3+4Х, у'" = 43e3+4X,^(«) —5"sin ^5x + n~) ,if=—.2cos2-|., JWV^-r»^9 P (x)19 - 8 V^ 1. , ^(«) = 4^3 + 4*. , ^(«) = 4^3 + 4*
у=е*+«*
t/ = sin5x,
у=е*+«*
t/ = sin5x,
з. у
з. у
1 — COS Xsin х
1 — COS Xsin х
y=\nf (х),
у-^х.
y=\nf (х),
у-^х.
^=:42^3+4Х, у'" = 43e3+4X,
^(«) —5"sin ^5x + n~) ,
if=—.
2cos2-|
., JWV^-r»^
9 P (x)1
9 - 8 V^ 1
^=:42^3+4Х, у'" = 43e3+4X,
^(«) —5"sin ^5x + n~) ,
if=—.
2cos2-|
., JWV^-r»^
9 P (x)1
9 - 8 V^ 1
. , ^(«) = 4^3 + 4*
. , ^(«) = 4^3 + 4*
24. Формула Лейбница. Пусть j = wv, где и и «и—функции переменной х. Тогда
У = и’^уй,
у' = и^ + u'V + ц V + цу" _ и”-и + 2ц V + от",
У" = и'"«и + tC-o* + 2ц V + 2ц V + ц'у" + цу"' =
= ц'"у + Зц"у' + 3ц'у"4-цу'",
У^ = и^т) + WM<vf + бц'У + 4ц'-ц"' + и*и^\
Мы видим, таким образом, что коэффициенты в написанных выше формулах получаются такими же, как и при разложении бинома (<z + ^)” п0 формуле Ньютона. При помощи полной индукции можно доказать справедливость формулы, аналогичной формуле Ньютона, а именно:
уп>* — uw<u +уп>* — uw<u +ц(”-ВУ +ц(”-ВУ +^-2)^"^ . . +и^п\^-2)^"^ . . +и^п\
уп>* — uw<u +
уп>* — uw<u +
ц(”-ВУ +
ц(”-ВУ +
^-2)^"^ . . +и^п\
^-2)^"^ . . +и^п\
Эта формула называется формулой Лейбница.
Примеры.
Определить л-ю производную функции у = хех6 Положив
и^е*. «и = х,
получим по формуле Лейбница:
Уп^ хех -V пех.
Формула Лейбница часто позволяет легко определить значение л-й производной для некоторого частного значения х. Поясним это на примерах.
Определить значение л-й производной функции /(х) = arctgx для х = 0.
Имеем:
отсюда
Взяв теперь л-ю производную по формуле Лейбница, получим: Г*" (х) (1 + х^ + (”) f№ W • 2х 4- (У /'”-“ (х) • 2 = 0.
Положив х = 0, полечим:
/("+1) (0) + л (л - 1) fn~^ (0) = 0,
следовательно,
/<^1)(0) = — л (л—l)/^-i> (0)(л > 0).
Мы получили удобную формулу приведения для значений л-й производной при х = 0.
Так как /'(0) = l, f"^”(17^2)2 > значит, /"(0) = 0, то, по
ложив л = 2, 3, 4, 5, ..., получим из формулы приведения
/'" (0) = —2-1 =—2,
/(4) (0) = о,
/(5>(0) = — 4.3.(-2) = 24,
для х = 0Имеем:для х = 0Имеем:Определить значение л-й производной функции /w=At+l
для х = 0
Имеем:
для х = 0
Имеем:
/(х) (х2 —Зх-|-1) = 2х-|-1.
Взяв л-ю производную (л > 2), получим:
/«»> (х) (Х2—Зх ч- 1) + ^ /^ (х) (2х - 3) + ^Г~» (х) • 2 = 0.
Положив х = 0, найдем:
/^ (0) — Зл/("-1) (0) + л (л - 1)/^-2) (0) = 0,
отсюда
/w (0) = Зл/*""” (0)—л (л - 1)/^-2) (0) (л > 2).
Определив первую и вторую производные непосредственно, получим:
/'(0) = 5, Г(0) = 28;
затем положив л = 3, 4, 5, ..., определим из формулы приведения производные высших порядков.
Задачи
у — ех (3x2—4),у(Ю==е*[Зх2 + 6пх + Зл(л —1) —4].
у = х In х,у<”> =(—•
у = х2 sin х,
^«) = x2sin ^x + n-^ 4~2nxsin Гх + (л — 1) ~1 + л (л — 1) sin Гх + (л — 2)-^].
\2/ LL2J
f (x) — (arcsin x)2, (1 —x2) ^ (x)—x/'(^) = 2, Pn+n (0) = 0, f52n^ (0) = 2-2MM2.. .(2л—2)a.
/(x) = esinx, f (x) = f (x)cosx,
jF(«+n (0)=f«’ (0)- (^) F~2)(0)+ (4) Г~с№- отсюда
f(0)=i, Г(0)=1, ло)=1, Г'(О)=о, ^=-з,...
Параметрическое представление функции. Пусть даны две функции
x=Ah» ^ = ф(0
одной переменной /, определенные и непрерывные в одном и том же интервале. Если функция х=/^ строго монотонна, то существует обратная к ней функция t = ф(х), также непрерывная и строго монотонная. Поэтому у можно рассматривать как переменную, зависящую от переменной х через посредство переменной /. Положив
у = (р(ф ^ = F^
мы видим, что функция y = F^ непрерывна. Мы будем говорить об этой функции, что она задана параметрически при помощи переменной t.
Пример 1. Пусть
x = r^ost1y = rs\nt (0^/^л).
Так как функция х = г cos/ строго убывает для 0^/^л, то, определив / из первого уравнения и подставив во второе, получим искомую функцию переменной х.
Еще проще придем к цели, если заметим, что
х2 +,у2 = г2 (cos2 / 4- sin2 /) = г2,
отсюда
Выбираем положительный знак у корня, так как функция y = rs\nt неотрицательна для 0^/^л.
Взяв л^/^2л, получим:
^ = — V тг—х2.
Мы видим, таким образом, что когда t меняется от 0 до 2л, то формулы
х = г cos f, у = г sin i
определяют две функции переменной х, графики которых образуют целую окружность.
Параметрическое представление имеет особо важное значение при изучении движения точки. Если точка движется на плоскости, то ее координаты х, у являются функциями времени t. Задав эти функции
мы полностью определим движение точки. В каждом промежутке времени, в котором функция /(/) строго монотонна, можно, поступая как раньше, определить функцию y = F^, графиком которой будет кривая, описанная за этот промежуток времени движущейся точкой. В предыдущем примере функции описывали равномерное движение точки по окружности.
Допустим теперь, что функции
*=/(0,^ = <р(0
обладают производными, непрерывными в окрестности некоторого значения /, и что, кроме того, для этого значения / имеем /'(^^О. [По теореме о сохранении знака (стр. 71) последнее неравенство будет справедливо и в некоторой окрестности точки /. Из этого вытекает, как мы увидим далее, строгая монотонность функции х =/(/) (стр. 130), и, следовательно, существование обратной функции t = ф (х) в указанной окрестности.]
Так как функция ф(х) имеет производную, выражающуюся по формуле
то по теореме о производной сложной функции функция y = FV^^ = ф(ф(х)) имеет производную
^ = ф' (^
следовательно,
Мы доказали, следовательно, что производная функции, представленной параметрически, выражается формулой
Ух 1ЧП ’
если только /'(0=#0.
Пример 2. Рассматривая функцию, определенную в примере 1, получим:
Л = тг^ПГТ=~ctg kt=^O,nY
Легко определить производные высших порядков, допустив существование соответствующих производных у функций /(1) и <р(0-
Вторую производную получим следующим образом. Заметим, что функция ух задана параметрически функциями:
X=f(t).
Отсюда
следовательно,следовательно,Аналогично,Аналогично,. _ epi (ОЛ- f;w •
следовательно,
следовательно,
Аналогично,
Аналогично,
, _ ЛОфЧП-ППф' (Оу*~ [Г (ОР
положив у" = Ф2 (О* получим:ф'2(П
следовательно,
Л = {[/' W] ф'" VW' Wf" W <р' (0-
—з/' W г W ф" W + 3 [Г (Л]8 ф' (ПЬ^р •
Продолжая поступать таким же образом, можем определить производную любого порядка.
Задачи
Ux = ^g ^-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ121
3. y=sint-/cosf, ' 1е, x=cos/ + /sin/tУх * '
9х '2 '
Дифференциалы высших порядков. Как указывалось уже раньше, дифференциал
' dxy=/'Wdxx
является функцией переменной х. Поэтому можно говорить о диффе
ренциале дифференциала. Положим
dx^ = d^, dx^=d»y,
dx^-^ = d"xy.
Выражение d^y будем называть м-м дифференциалом или дифференциалом п-го порядка.
В силу теоремы о дифференциале произведения получим:
dx? = dx I/' (■*) ^1 = dxf W dxx +f (x) d^x.
Так как
dxf'(x)=f (x) dxx,ad^x = 0
(потому что dxx — постоянная), то
d^=f4xHdxx^.
Аналогично получим:
dxy=/"' UUd^3,
Отсюда
Г=/<Л> W 1
Написав d вместо dx и dxn вместо (d^)", получим:
dx ^/ dx^ d3y dx3dx ^/ dx^ d3y dx3=/' А=/' А=Г"А=Г"А
dx ^/ dx^ d3y dx3
dx ^/ dx^ d3y dx3
=/' А
=/' А
=Г"А
=Г"А
d5-f"w.
Следует, однако, помнить, что в этих формулах дифференциалы рассматриваются по переменной х.
Допустим теперь, что у и х являются функциями переменной t. Тогда получим:
dty=fW dtx,
»Ь=ГАИА+Г wv=-
нельзянельзяdity=f'" (x) ^dA + 2/"(x) d^cd^x-WW dtXdtxA-f'Adt*
нельзя
нельзя
(так как теперь dtx не является постоянной функцией, то d*x отбрасывать), следовательно,
db=f" (*) ИА + 3/"М dtx db A-f to db.
Пользуясь неполными символами получим:
dy=f ^dx,
d8y=f (х) dx8 + /' (х) d2x,
d^y=f" {x} dx8 + 3/" (x) dxd?x + /' (x) d»x.
Заметим, что написанные выше формулы действительны и тогда, когда вместо d писали бы dx, так как тогда d*x = ^, dxX = 0 и т. д. Как и раньше, мы будем продолжать пользоваться неполными символами во всех случаях, когда возможность ошибки исключена.
Если функция y = F^x\ задана параметрически функциями х=М ^ = ф(0, то, взяв дифференциалы по переменной t, получим: dy = F’ (х) dx =ух dx, откуда , A^’(t)dt ф' (О
'х dxt'Wdt — /'(0 *
123123следовательно,откудаПоложивследовательно,откудаПоложив
123
123
следовательно,
откуда
Положив
следовательно,
откуда
Положив
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Взяв снова дифференциал по переменной /, найдем: . , .dy
м . _dx d2y—dy d2x
Ухax-d^ ’
„ _dxd2y—dy d2x
Ух"~dx3
dx-f'^dt,d^x=f"^dt\dy = ф' (/) dt,d^y^-^dt^
получим формулу, выведенную на стр. 120. Аналогично
, „,dxd2y—dyd2x
dyx= d - -^
,„ _ dx2 d3y—dx d3x dy—Mx d2x d2y+3 (d2x)2 dy
Ух -dx»
Отсюда легко получим формулу, указанную на стр. 120.
Пусть функция у=/^ имеет обратную функцию х = ф(^). Определим производные функции ф()/) при помощи производных функции /(х).
Заметим, что, взяв дифференциалы по переменной у, найдем:
d^y = d^y = ... = 0, dx = x"g dy = ф' ^dy, d^x = xgdy2 = ф" (j) dyS
dnx = x^ dyn = ф(И) (.y) dyn.
Отсюда
dy—f (x) dx^f kx^x^dy, d^y = 0=/" (x) ^yy dy^ +/' W x"g dy\ d3y = 0 =/"' (x) ^xr y dy> + 3/" (x) x’x"gdy^ +/' (^) <dy\
Следовательно,
. rw^x^y _ _ Г(х)
» r to - 1Г(*)13’
_3trw-rtor"to
«If' MJ5
Мы можем получить то же самое другим путем. В самом деле как известно,’
’>'«=<-га-
Взяв производную по у и считая /' (х) сложной функцией перемен» ной у через переменную х, получим:
t"WxM
" If'ИР- [J5W
U' Ml3 Г (x) x^-F (x)-3 [f (x)]2 f (X) x'x« -[fWP
следовательно, у(Г WP
Задачи
^=n,
r/ = 4x + 7,
t/ = 9x4,
y — a-V^bxA-схЧ
5. g=^=2x-\
3
7. у=ЦаА*Ьх) (a—bx),x4W
»•«- X3_l •
a - x^+ax^+ax+l
'x+1
i/=(2 + 3x)(8+7x),
y = (a+x2)»,
y — (6x* — -=• x6 ] ,
У = Т» + (,—03•
у=УТУЁУ
y = ^/^^p",
y' = 0.
y’ = 4.
yf =^x3.
y‘ = 26 + 2cx.
" 20 y^ ■
y' = —2h2x.
,х4+4х$+Зх»+2х + 2
“(xS—ip
y, = 2x + a—1
^=38 + 42x.
y' =6x (a + x2)2.
/ = 4x(12—x*) (6x2— 4- a8
4 I 9
«Х8"^^—Х^‘
2 Vl + 5x" 3x(4—3x)
4 ^ 2x2—x» ‘ a2 (a2 — x2) y^o2 — x2
2x2 КЗх + х2 *
._ „(8х« + 4х2 + 3)Гх3-1
,1
|8-»"15хь ’’
^x6)^2—1
19. t/=ln (2 + 5х),
, _ 5 2+5x 1
20. у — In хп%
/ n
9 =T'
21. у=1п ( —\
,1
\а + х
9a-V-x"
22. у = 1прЛ__1
y x(l— X2)
23. уIn х.
,1 —Inx
У = x2 ■
24. y_xKa2 + x2+ln(x+/-a2 + A.2)t
, _2x2 + a2+l
25. у=1п
V a-^bx + cx^
^}^O2 + ^2
, _(d2 — 4oc) x
У -'2(2a+bx) (a + bx+ ex2)*
26. y=exxn.
g^e^x"*1 (x+n).
27. у-а2*3"3*2,
g' = 6x (x—1) д2хз~8х2 jna
X
X
28. y=aea ,
y1 =ea.
л ex-1
,2e*
291 ^-e«+f
9(e*+l)3'
30. y=\n(emx + e-mxY
/_т_(£^-:£2^) Увтх _^_e-mx e
31. i/=sin 12x,
gf = 12 cos 12x.
32. p = sin(px + ^).
/ = pcos (px+q\
33. u — xcosx,
g =cosx—xsinx.
34. p = x3sin x + 3x2 cosx—6xsinx—6 cosx,д' = x3cosx.
35. y=tgx—ctgx—2x,
g* = tg2 x + ctg2x.
36. y=x—sin x cos x,
ge =2 sin2 x.
37. y = 3tgx + tg3x,
,3
УCOS4X *
38. y = — a-Vbcosx
, a cos x + ^
9(a+6 cos x)3'
39. y = In sin x.
y'=ctgx.
40. p= In cosx,
y'=—2tg x.
41. p=lntgx.
У sin2x*
42. p = arcsinox,
,a
Ki—л3
43. p = arccos (a—-x),
3у1-(а-,р
44. t/ = arctgox,
,a
9l+a2x3’
45. // — ^arcsin —,
у =x2 / 3arcsint= 1
X
кX Kx2-1/ •
46. У-arctg^^.
,2
91 + x3-
y^p-yBt—X,^=arctg (2^ + 1), x-e*"12,z/ = asin t-^b cos t.x=4tg2^,t/ = arcsin (P —1), x = arccos 2^,y^p-yBt—X,^=arctg (2^ + 1), x-e*"12,z/ = asin t-^b cos t.x=4tg2^,t/ = arcsin (P —1), x = arccos 2^,
y^p-yBt—X,
^=arctg (2^ + 1), x-e*"12,
z/ = asin t-^b cos t.
x=4tg2^,
t/ = arcsin (P —1), x = arccos 2^,
y^p-yBt—X,
^=arctg (2^ + 1), x-e*"12,
z/ = asin t-^b cos t.
x=4tg2^,
t/ = arcsin (P —1), x = arccos 2^,
, 2
u = arcsin2xy 1— х2,у$ .
АО 4 /1+Х2-11
r/ = arctg--,У “2(1+х2)’
t/ = arccos /1—х,у' =— •
2 V х—х2
У — -^- /1—*2 — fl—^ *А arctg V1—х2, у' =х arctg /1—х2
_ 2Z + 8y*~5<«+2" ,
У*-2< (2(a + 2< + l) '
(a cos t—b sin 0 cos3 -^-
g'x =
4 5iny
дх У 2—t2 *
ГЛАВА VI
ТЕОРЕМА РОЛЛЯ. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ.ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Теорема о среднем значении. Допустим, что функция^ =/(х) определена и непрерывна в замкнутом интервале [а, 6] и имеет про
изводную в каждой внутренней точке этого интервала.
Проведем хорду ЛВ, соединяющую точки кривой, соответствующие концам интервала [а, 6]. Пусть а — угол, образованный хордой
с осью ОХ (рис. 29). Интуитивно ясно, что на кривой существует по крайней мере одна точка С, отличная от Л и В, касательная
в которой параллельна хорде АВ.
Обозначим через £ абсциссу точки С, через о угол, который касательная в точке С образует с осью ОХ, а через h—длину интервала [а, Ь\. В силу замеченного выше, имеем:
tga=tgo,(1)
а из треугольника ADB получим:
tg«-5D--te±S=tii>. (2)
Так как а <Д < a + h = b) то ^=а + 6й, где 6 — некоторое число, удовлетворяющее неравенству 0<6<1. Заметив, что
tga=r^)=/'(» + 0&),
получим в силу (1) и (2)
О<0О<0< 1.< 1.H“+^-tW=/' (а + 0А)1
О<0
О<0
< 1.
< 1.
Это утверждение известно под названием теоремы, о среднем значении и может быть сформулировано следующим образом.
Теорема. Если функция ^=/(x) непрерывна в замкнутом интервале [а, 6] и имеет производную в каждой внутренней точке этого интервала, то существует число 0, удовлетворяющее неравенству 0 < 0 < 1, такое, что
№J-W=/'[a + 0(Z>-a)].
Теорема Ролля. Если, в частности, предположить, что функция имеет одинаковые значения на концах интервала, то хорда АВ параллельна оси ОХ, и, следовательно, касательная в точке С также параллельна оси ОХ (рис. 30); тогда производная в точке £ равна нулю. Поэтому может быть высказана следующая
Теорема. Если функция, непрерывная в замкнутом интервале [и, Ь\ и имеющая производную в каждой в н утренней точке этого интервала, принимает на его концах одинаковые значения, то па
крайней мере в одной внутренней точке интервала [а, 6] производная обращается в нуль.
Замечание. В теореме Ролля не предполагается ни существования производных у функции на концах интервала [a, 6], ни непрерывности производной всюду внутри [а, 6]. Предположение же о существовании производной внутри [а, 6] существенно. Если хотя бы водной точке внутри интервала [а, 61 нет производной,
то производная может нигде не
обратиться в нуль. Примером может служить функция, изображенная графиком на рис. 31 и не имеющая производной лишь в одной точке.
Теорема Ролля утверждает, что безусловно хотя бы в одной внутренней точке производная равна нулю; поэтому если бы производная была равна нулю на концах интервала, то, несмотря на это, можно быть уверенным, что еще в какой-то внутренней точке она также равна нулю.
Теорема Ролля является одной из важнейших теорем в дифференциальном исчислении.
Доказательство теоремы Ролля» Если наша функция принимает во всем интервале [а, Ь] постоянное значение, то в каждой внутренней точке интервала ее производная равна нулю. Следовательно, в этом случае теорема верна.
Допустим теперь, что наша функция не является постоянной. В силу того, что функция, непрерывная в замкнутом интервале, принимает в нем наибольшее и наименьшее значения (см. стр. 75), можно утверждать, что хотя бы одно из этих значений принимается во внутренней точке интервала [а, 6]. Пусть, например, функция принимает наибольшее значение в точке £ (а < g < b). Тогда для каждого значения h справедливо неравенство
Как мы покажем сейчас, точка | является нужной нам точкой, т. е. /'(£) = о.
Заметим, что если:
„>0, ,„ IM^ztiS^O;
л < о, то ИкЦ^£®>0
Поэтому если h стремится к нулю, принимая положительные значения, то по теореме о предельном переходе в неравенстве получим
/-(£) = и„
Й->+0п
Если же h стремится к нулю, принимая отрицательные значения, то
Следовательно,Следовательно,откудаоткудаГ®- 1|ш tAW-№Г®- 1|ш tAW-№о</' (&)<о,о</' (&)<о,/'(^=0,/'(^=0,>0.>0.чем доказательство теоремы Ролля завершено. Аналогично проводится доказательство в том случае, когда в точке £(#<£<£) принимается наименьшее значение.чем доказательство теоремы Ролля завершено. Аналогично проводится доказательство в том случае, когда в точке £(#<£<£) принимается наименьшее значение.. Доказательство теоремы о среднем значении. Положим. Доказательство теоремы о среднем значении. ПоложимHa±AW(a) =Ha±AW(a) =(1)(1)илиили/(а + А) —/ (°) — Ato = 0./(а + А) —/ (°) — Ato = 0.С. БанахС. Банах
Следовательно,
Следовательно,
откуда
откуда
Г®- 1|ш tAW-№
Г®- 1|ш tAW-№
о</' (&)<о,
о</' (&)<о,
/'(^=0,
/'(^=0,
>0.
>0.
чем доказательство теоремы Ролля завершено. Аналогично проводится доказательство в том случае, когда в точке £(#<£<£) принимается наименьшее значение.
чем доказательство теоремы Ролля завершено. Аналогично проводится доказательство в том случае, когда в точке £(#<£<£) принимается наименьшее значение.
. Доказательство теоремы о среднем значении. Положим
. Доказательство теоремы о среднем значении. Положим
Ha±AW(a) =
Ha±AW(a) =
(1)
(1)
или
или
/(а + А) —/ (°) — Ato = 0.
/(а + А) —/ (°) — Ato = 0.
С. Банах
С. Банах
Определим функцию ф (£) на отрезке 0 ^ ^ ^ ^, положив ф(<)=/(а + 0 —A^-tor, мы видим, что:
Ф (0) = <р (Л) = 0;
ф'(0=/'(« + 0 — ®.(2)
В силу этого по теореме Ролля существует такая точка £ (0 < § < А), что ф'(^) = 0. Следовательно, по формуле (2) получим:
Ф'(!)=/'(« + £)-<о = о, откуда
ю=/'(а + ^.
Положив £ = 0Л (0 < 0 < 1), получим в силу (1)
=/' (а + 0Л).
Мы доказали, таким образом, теорему о среднем значении.
Следствия из теоремы о среднем значении. Если функция, непрерывная в замкнутом, интервале [а, 6], имеет всюду внутри него производную, равную нулю, то такая функция постоянна в этом интервале.
Доказательство. Пусть х0 и x0 + h — две произвольные точки интервала [а, А]. По теореме о среднем значении имеем:
/J^^f^o) =^, ^ + 0А)
Но, по условию, /' (а;0 + 9А) = 0, следовательно,
f(x0+h)-f(x0)
или
/Uo + A)=/(*o)-
Таким образом, функция имеет в [а, 6] постоянное значение.
Теорема. Если функция, непрерывная в замкнутом интервале [а, 6], имеет всюду внутри него положительную (соответственно, отрицательную) производную, то такая функция строго возрастает (соответственно, убывает) в этом интервале.
Доказательство. Если х0 и х0 + h (h > 0) — две произвольные точки интервала [а, Ь^ то по теореме о среднем значении имеем:
(M^zVCto) = у, (д.о + 6А))
/ (х0 + й) -/(х0) = hf {хй + ей);
так как h > 0, /'(хо + ^й) > О, то
/(*о + А)-/(*о)>о, следовательно,
/(х0 + &) >/(х0).
Таким образом, функция строго возрастает.
Аналогично поступаем в случае, когда всюду внутри интервала [а, Ь] производная отрицательна.
Формула Тейлора. Предположим, что функция y=f(x\ имеет в замкнутом интервале [а, Ь] производные до порядка п—1 включительно, непрерывные в этом замкнутом интервале; о производной п-vo порядка допустим, что она существует в каждой внутренней точке интервала [a, bY Если точки х и x-^-h принадлежат интервалу [а, Ь], то имеет место формула
/(х+/0=/(*) + ^/'М+5ГГМ +
АЗкп~1
(•*)+... +Ду Г"-0 (*)+R» ▻■ А),
которая называется формулой Тейлора. Rn (а:, й) носит название остаточного члена формулы Тейлора.
Мы будем пользоваться двумя различными выражениями для остаточного члена. Одно из них,
Rn^, ^-^"Цх-^,
причем 0 удовлетворяет условию 0 < 0 < 1, было дано Лагранжем. Второе выражение,
Rn^, h) = (-Ду-, (1 -ет-1/1”*^+е'А),
где опять 0 < О' < 1, предложено Коши.
Если, в частности, интервал [а, Ь] содержит число 0, то написав в формуле Тейлора 0 вместо х и х вместо й, получим так называемую формулу Маклорена:
/(X) =/(0) + £/' (0)+^г (0) +... + Дут/1'”1’ (0)+R„ (*);
Rn W имеет вид:
остаточный член в форме Лагранжа
RnW»^^^(0<9<1);
остаточный член в форме Коши
^«И = Дрп (i-eT-1/^6'*)(0<9'< 1).
5*
Замечание. Оба остаточных члена (в форме Лагранжа и Коши) очевидно, равны между собой и отличаются только видом. При исследовании формулы Тейлора данной функции пользуются той или другой формой остаточного члена, в зависимости от того, какая из них удобнее в рассматриваемом случае.
Доказательство формулы Тейлора. Пусть а и Р(а#=Р) —две произвольные точки интервала [tii, ft], а р —произвольное натуральное число ^1. Положим
(Р—а)"-1(n-i)i(Р—а)"-1(n-i)i^"~п(а)=ш. (1)^"~п(а)=ш. (1)
(Р—а)"-1(n-i)i
(Р—а)"-1(n-i)i
^"~п(а)
=ш. (1)
^"~п(а)
=ш. (1)
Определим функцию ф (/) следующим образом:
Ф (О =/(Р) -/W-^f (О - ^-2 rw-...
Заметим, что, положив / = р, получим ф(Р) = О, а положив /=а, получим в силу (1) ф(а) = 0.
Найдем ф' (/):
ф' (0 = -Г W-пт Г W -Vf W -^r-f" W +
+Д^гг /<п"п w + ЮР (Р - О'"1.
или, после упрощений,
ф' (0 = юр (р - П^-1 - ^^' /(П> (О-(2)
Как было указано выше,
Ф (а) = ф (Р) = 0,
поэтому в силу теоремы Ролля существует точка £, заключенная между а и р, в которой производная функции ф (/) обращается в нуль. Таким образом, на основании (2)
ОтсюдаОтсюдаф' (В) = ©р (Р-sv1 -®-^~^ (1) = 0.
Отсюда
Отсюда
Р(П —1)1
/(П) (I)
(а
<1<
Р).
Подставив в (1) значение ш, получим после преобразования:
/(0)=/(а)+^/Ч«)+^^/ЧоО+^^
•+7^туг/('”п (“) + ^„-(3)
р(п—1)!7
^ —число, содержащееся между аир, так что g = a + 0(P— а)(0 < 0 < 1).
Полагая теперь р = х + Л, a = xt найдем:
р — а —И, ^ = x + 0A, р —| = й(1—0).
Подставляя эти выражения в формулу (3), получим: /(^+A)=/W +£/- w +... +_^L/(-»-i> (^^.^ где
R. =7!=mv'~8Y‘''’,"4x+№l'
Так как р— произвольное натуральное число ^1, то, положив сначала р — п, а потом р — 1, получим остаточный член, соответственно, в форме Лагранжа и в форме Коши. Так как в написанной выше формуле число 0 зависит от р^ то для р — п и р — 1 получим, вообще говоря, разные значения 0; поэтому второе из них, участвующее в остаточном члене в форме Коши, обозначим через 0'.
Примеры. 1. f^x^ = ex. Имеем:
7’^=Г ^ = ...=/*"> w = ex; отсюда
/(0)=Г (0) = Г (0) = ... =/w (0) -1.
Применив формулу Маклорена, получим:
е1! + 2!е1! + 2!хП~1 । хП J
е1! + 2!
е1! + 2!
(я —1)| + "^Ге
Для а > 0 мы из этой формулы заменой х на х In а получим:
х In а . х2 In2 ах In а . х2 In2 а1!1!2!2!хп-1 In""1 а хп In" а $х(п —1)!+ я! а 'хп-1 In""1 а хп In" а $х(п —1)!+ я! а '
х In а . х2 In2 а
х In а . х2 In2 а
1!
1!
2!
2!
хп-1 In""1 а хп In" а $х
(п —1)!+ я! а '
хп-1 In""1 а хп In" а $х
(п —1)!+ я! а '
/(x) = sinx. Имеем: /(0) = 0,
/(И) (x) = sin^x +Лу) (см. стр. 115), /(П) (0) = sin п^. .
Таким образом, если n = 2k, то
/<"> (0) =ри (0) = sin &л = 0;
если же л = 2&—1, то
JW (0) = у<2Д-»(О) = sin (26 -1) у = (- 1 )ft+1.
Следовательно, для л = 2& получаем:
tin, = 2L_^. + ^._...+(_l)-*.-i^2_ + ^,sin(ex + ta), а для л = 2&— 1
у уЗ у 5.у2^"3
sin,_^__+^_.+
х^-*. /п , 26—1 X
+тя=Т5Гм(вх+“1,Г
/(x) = cosx. Имеем: /(0) = 1,
/(">(x)=COS ^Х+Лу^ (СМ. СТР- 116), /(П> (0) = COS Л у .
Далее, для n = 2k получаем:
fw (0)=/<w (0) = ( —I)6;
если же л = 2А — 1, то
/<»>(0) =/«*"" (0) = 0.
у2^-2(2/г—2)1 у2Й+ (2fe)iу2^-2(2/г—2)1 у2Й+ (2fe)icos (9х4-йл),cos (9х4-йл),Следовательно, для л = 2& будем иметь: COSX—1—у +^-+...4-(1)
у2^-2
(2/г—2)1 у2Й
+ (2fe)i
у2^-2
(2/г—2)1 у2Й
+ (2fe)i
cos (9х4-йл),
cos (9х4-йл),
а для л = 2k — 1
у4t2
со„-1-^ + ^- ...+(_,)»-.фгдг +
+ "(£)ГСО= [^ + (2‘-1)т]-
/(х) = In (1 4-х). Здесь имеем:
/(О) = о,
<см- стр- 115Ь следовательно,
fw (0) = ( —1)п+1(л —1)1,
/(”> (0)(—l)"+i
«Iп
Таким образом, получим:
1п(1+х) = 4-^ + ^_... + (_!)«_^ + /^
л(1+0х)"(1+0'х)" * *
/(х) = (1 4-х)р (р произвольное). Принимая во внимание, что /<п> М = Р (Р -1)... кР -П + 1) (1 + ху-" = (Р) л! (1 + х)?-", получим:
/(0)=1, /<”>(0) = (;)«!, ML=(PV \ *J• V XX* */
откуда
(1+^= 1+ ( Р )х+(; )х«+( ?)^8+-+ R„w,
R„(x) = ( рп ) (1 + Qxy-nxn = ( Р )л (1 - буЧ! + Уху-пхп.
В написанных выше формулах числа 0, 0' удовлетворяют неравенствам:
о<е< 1, о<0' < 1.
Задачи
Доказать, что для многочлена f(x) степени п имеем:
f ^x + h) = / (X) + Г (X) + I" (Х)+ ... 4- f^ (X).
Как мы знаем (стр. 74, пример 2), уравнение x = cosx имеет в интервале ^0, —^ по крайней мере один корень. Исходя из того, что функция f(x) = x—cos х имеет положительную производную в интервале (0, -у ) # доказать, что в этом интервале не существует больше одного корня.
Доказать, что
Л+7=1+ух—+ /?„«,
Rn w=(-!)”-* l^^L^l^_= (о < о < 1).
(1+0х)"" 2
( U2-2-4-G.. .2 (л —1)n_L
(1 + 6'х)2
Опираясь на предыдущую задачу, доказать, что для 0^х^0,01 справедливо приближенное равенство
Л+г=i+|«
с погрешностью меньшей, чем -^ • -^- , следовательно, с точностью до четвертого десятичного знака. Например, ^ 1,0046 = 1,0023.
Если требуется решить уравнение /(х) = 0, то, обозначив через хв приближенное значение корня (полученное, например, при помощи проб), а через х0+А искомый корень, получим:
Q=Uxa-^ = Ux^hHx^^h44xa-^0 <0 < 1.
Если h достаточно малое, то, опустив член, содержащий А2, найдем
откудаоткудаО=/(Хо4-А)^/(^) + АГ(^о),
откуда
откуда
f (Хр)
ГМ •
Таким образом, новое приближенное значение искомого корня имеет вид
° Г(х,) 1
С полученным приближенным значением можно поступить, как с предыдущим, и вычислить новое приближенное значение и т. д. Изложенный метод был указан Ньютоном.
Решить этим способом уравнения:
х8+2х2 + 3х 4-4 = 0; 2sinx=x;1пх = х.
Выпуклость. Говорят, что кривая, являющаяся графиком функции у=Дх>, обращена при х = х0 выпуклостью вверх, если существует такая окрестность точки х0) что для каждой точки х04-Л этой окрестности имеет место неравенство
/ ко + А) < /ко) + hf (х0).
Геометрически это неравенство означает, что часть кривой, соответ-
ствующая этой окрестности, лежит под касательной, проведенной в точке х = х0 (рис. 32).
Аналогично определяем направление выпуклости вниз.
При помощи формулы Тейлора можно легко доказать следующее утверждение:
Теорема. Если непрерывная функция
y=/W
имеет внутри интервала [а, Ь} всюду отрицательную ^соответственно, положительную^ вторую производную, то в каждой точке этого интервала
график этой функции обращен выпуклостью вверх ^соответственно, внизу
Доказательство. Если х0 и хо + Л(Л=/=О) лежат внутри интервала \а, £], то в силу формулы Тейлора имеем:
/ Uo+А) =/(*«)+hf (>;0) + g- Г (х0+ел)(0 < е < 1),
а так как № > 0, то
/Uo + A)—/(х0) —Л/'(х0)> 0 при /"(•*)> О,/ (х0 + А) —/ (х0) — hf (х0) < 0 при f (х) < 0.
Примеры.
у — х^ — ах^ + Ьх-^-с (а > 0), у" = 6х — 2а.
Таким образом, для х > •— кривая обращена выпуклостью вниз, потому что здесь вторая производная положительна.
у —sinx, у" — — sinx.
Если у > 0, то у" < 0, следовательно, над осью ОХ синусоида обращена выпуклостью вверх.
у^х^ — 6х3 + 12х2,
у" = 12х2 — 36х + 24 = 12 (х — 1) (х — 2).
Кривая, следовательно, обращена выпуклостью вниз для х<1, вверх для 1 < х < 2, вниз для х > 2.
ГЛАВА VII
МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ; ТОЧКИ ПЕРЕГИБА.НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
ЭКСТРЕМУМ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
Определение экстремума. Говорят, что в некоторой точке функция имеет максимум (рис. 33), если значения функции в некоторой окрестности данной точки не превышают значения функции в этой точке.
Аналогично определяется минимум, (рис. 34).
Если в некоторой точке функция имеет максимум или минимум, то юворят, что в этой точке имеет место экстремум.
Из приведенных определений вытекает, что если в точке х~Х0 функция у=/(х) имеет экстремум, то для каждого ht меньшего по абсолютной величине некоторого е > 0, будет:
/(х0 + А)—/(а:о)^О, если имеет место максимум;(1)
/(а;0 + ^)—/(л:0) ^0, »»» минимум.(2)
Таким образом, в обоих случаях разность /(х0 + ^)~"/(х0) пе меняет знака для достаточно малых значений h.
Замечание. Если в некоторой точке х0 для каждого h=^0t удовлетворяющего условию |й| < е, имеем:
/(Xg+ft)—/(Хд) < О,
то мы будем говорить, что в этой точке имеет место собственный
максимум.
Аналогично определяется собственный минимум.
Следует помнить, что максимум не является обязательно наибольшим значением, принимаемым функцией. Вне рассматриваемой окрестности функция может принимать ббльшие значения (рис. 35).
Ясно также, что функция может иметь несколько максимумов или минимумов.
Например/ функция y=sin-^ принимает бесконечно много раз максимальное значение, равное единице, для— L 22 .л ’ 5л ’ * * * * (4п + 1) л *2. Необходимое условие существования экстремума. Если функция y=f(x) имеет экстремум, при х — х^, то производная в этой точке, если она существует, равна нулю. Другими словами, касательная в ществует) параллельна оси ОХ.Пусть при х = х0 функция имее' ствование /'(х0), получим:Например/ функция y=sin-^ принимает бесконечно много раз максимальное значение, равное единице, для— L 22 .л ’ 5л ’ * * * * (4п + 1) л *2. Необходимое условие существования экстремума. Если функция y=f(x) имеет экстремум, при х — х^, то производная в этой точке, если она существует, равна нулю. Другими словами, касательная в ществует) параллельна оси ОХ.Пусть при х = х0 функция имее' ствование /'(х0), получим:точке экстремума (если она су- максимум. Предполагая суще-точке экстремума (если она су- максимум. Предполагая суще-
Например/ функция y=sin-^ принимает бесконечно много раз максимальное значение, равное единице, для
— L 22 .
л ’ 5л ’ * * * * (4п + 1) л *
2. Необходимое условие существования экстремума. Если функция y=f(x) имеет экстремум, при х — х^, то производная в этой точке, если она существует, равна нулю. Другими словами, касательная в ществует) параллельна оси ОХ.
Пусть при х = х0 функция имее' ствование /'(х0), получим:
Например/ функция y=sin-^ принимает бесконечно много раз максимальное значение, равное единице, для
— L 22 .
л ’ 5л ’ * * * * (4п + 1) л *
2. Необходимое условие существования экстремума. Если функция y=f(x) имеет экстремум, при х — х^, то производная в этой точке, если она существует, равна нулю. Другими словами, касательная в ществует) параллельна оси ОХ.
Пусть при х = х0 функция имее' ствование /'(х0), получим:
точке экстремума (если она су- максимум. Предполагая суще-
точке экстремума (если она су- максимум. Предполагая суще-
/'(Хо) = Ит ZXHtiM = lim Z^Oz^oL .Л->+0"h->-oП
Но в силу (1) для достаточно малых положительных h имеем:
h
следовательно,
и™ й-* + о"
или
(3)(3)/'ХХО.
(3)
(3)
Аналогично для до статочно малых отрицательных А получаем:
Пт Ха+ 6) — Ха) й->-0 hПт Ха+ 6) — Ха) й->-0 h^0,^0,
Пт Ха+ 6) — Ха) й->-0 h
Пт Ха+ 6) — Ха) й->-0 h
^0,
^0,
следовательно,
Г кх^ > 0.(4)
Из неравенств (3) и (4) следует
Г(^о) = О.
Замечание. Не следует думать, что если в некоторой точке производная обращается в нуль, то в этой точке всегда имеет место экстремум. Например, функция ^ = х3, производная которой^' = 3ха обращается в нуль при х = 0, не имеет экстремума в точке х = 0, так как
у < 0 при х < 0,у = 0 » х = 0,у > 0 » х > 0.
Из доказанной теоремы следует, что если функция y=f^ имеет точки экстремума, то они находятся только среди таких точек, где производная либо равнанулю, либо не существует. Поэтому для разыскания точек экстремума достаточно определить все значения х, при которых /'(х) = 0 или не существует, и исследовать, в которых из них есть экстремум. Исследование остальных значений х отпадает.
Пример 1. Для каких значений х функция
; = |х4-|х3-|х2+2
может иметь экстремум?
Находим первую производную:
у' = х3—2х2— Зх.
Как легко видеть, у' существует всюду, а уравнение
/ = 0, т. е.
х3—2х2 —Зх = 0,
имеет только три корня:
хг = 0, х2 = 3, х3 =—1.
Следовательно, данная функция может иметь экстремум только при х = 0, 3, —1.
Пример 2. Тот же вопрос относительно функции
-у = ^х®+^х2 = х~ (х + З)™1
Находим первую производную
——1 -—
(х + 3)3(х + 3) 3>
или
2_
у' = х~ 3 (х + 3) 3 (х + 2).
Очевидно, у' существует всюду, кроме х = 0,— 3 и обращается в нуль только при х=—2. Значит, данная функция может иметь экстремум только в точках
хх = 0; х2 =—2; х3 =—3.J
Достаточные условия существования экстремума. Следующие теоремы позволят нам во многих случаях решать, имеет ли место в некоторой точке максимум или минимум.
[Теорема 1. Пусть функция j=/(x):l) непрерывна при х = хй\ 2) имеет производную /Цх") в некоторой окрестности точки хй за исключением, может быть, самой этой точки; 3) производная сохраняет знак отдельно в левой и правой полуокрестностях точки х3.
Тогда, если при переходе через эту точку (слева направо)
/' (х) меняет знак с плюса на минус, то при х = х0 имеем максимум;
/'W меняет знак с минуса на плюс, то при х = х0 имеем минимум;
если знак производной не меняется, то в точке х0 нет экстремума.
Доказательство. Установим, например, справедливость утверждения а). Если h достаточно мало, то согласно достаточному признаку монотонности (стр. 130) функция /(х) возрастает (в строгом смысле) на интервале [х0—Л, х0] и убывает на интервале [х0, х0 + ^]. Отсюда непосредственно видно, что при х = х0 имеем собственный максимум.]
Теорема 2. Если функция y=f^ имеет в окрестности точки X — х0 вторую производную, непрерывную в самой этой точке, и если /'(х0) —0, то при х = х0 имеет место собственный максимум, если /" (х0) < 0, и собственный минимум, если /" (х0) > 0.
Если же ff\x^ = 0s то невозможно сделать никаких заключений без дальнейшего исследования.
Доказательство. По формуле Тейлора имеем:
/(Хо + ^^/^ + Д/'^о) +2г/"и0 + ел) (0<6< 1).
Так как, но условию,
/' W = 0,
то
/ (*0+^-/м=^ Г (х0+6Л).
Если допустим теперь, что /Цх^< 0, то вследствие непрерывности второй производной обязательно существует некоторая окрестность точки х = х0, в которой /" (х) < 0.
Очевидно, что если х04-Л принадлежит этой окрестности, то /"(ато + 0Л)<0.
Таким образом, поскольку h2 > 0, мы получим:
/(^о + А) -/ (*о) = ^Г (*о + 9А) < 0;
следовательно, для х^=х0 имеет место собственный максимум.
Допустив, что/"(х0) > 0, докажем аналогично, что при х = х0 имеет место собственный минимум.
Пример. Определить максимумы и минимумы функции уЦхЦхЦхЧ^.
Первая производная обращается в нуль при х = 0, 3, —1. Находим вторую производную:
/ = 3х2—4х — 3.
Таким образом,
/" (0) = —3 < 0, следовательно, для х = 0 имеем максимуму = 2;
/" (3) = 12 > 0, следовательно, для х = 3 имеем минимум V—^;
/"( —1) = 4>0, следовательно, для х ——1 имеем минимум
[Пример 2. Тот же вопрос для функции у = р/х3+3х2. Имеем
2_у'= х 3 (х + 2)(х + 3) 3.
Исследованию подлежат лишь точки х — 0, —2, —3 (см. стр. 141). Воспользуемся теоремой 1. В окрестности точки х = 0 два последних сомножителя в формуле для у' сохраняют постоянный положительный знак, а первый меняет его с минуса на плюс при переходе через эту точку. Значит, при х = 0 имеем минимум ^ = 0.
В окрестности х=—2 первый сомножитель отрицателен, третий положителен, а второй меняет знак с минуса на плюс. Следо- 1_2_
вательно, все произведение у' = х 3 (х + 2) (х + З) 3 при пере-
4. БОЛЕЕ ОБЩЕЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ
143
ходе через точку х =—2 меняет знак с плюса на минус, так что для х ——2 имеем максимум у — ^/4^1,6.
В окрестности х=—3 производная сохраняет постоянный знак.
Экстремума нет.
График функции у = ^/х3-\-Зх2 изображен на рис. 35а.]
условие, можно
. В сомнительном случае, пользоваться следующим
4. Более общее достаточное когда /'(хо) = О и /"(л;о) = О, более общим утверждением:
Теорема. Если функция iy = /(x) имеет в окрестности точки х = х0 непрерывные производные до п-го порядка (/г>1) включительно и если
ГМ=
в то время как
Рис. 35 а.
то при п нечетном функция не имеет экстремума в точке Х — ХС) при п четном функция имеет собственный максимум, когда fw (xQ) <0, и собственный минимум, когда fw (л:0) > 0.
Доказательство. При выполнении условий теоремы формула Тейлора примет вид
/(х0+л)-/(^0) =^/(П)(х0+ел)(о<е<1).
Для четного п доказательство проводится так же, как в предыдущей теореме.
Допустим теперь, что п—нечетное число, и пусть
ГЧ^Х).
По теореме о сохранении знака существует такая окрестность точки х = х0, в которой
/^ (*)>0.
Для достаточно малых положительных значений h получим поэтому/(n)Uo + 0A)>O,Г>0,
следовательно,
откуда
/Uo + А)—/(х0)>0,
Для отрицательных значений h, достаточно малых по абсолютной величине, будем иметь:
ГЦх^е^Х), hn<A так что
/(^о + А) —/(х0) <0, и поэтому
/(х0-ИХ/(х0).
Итак, в произвольной окрестности точки х0 существуют значения ббльшие и меньшие, чем /(х0). Это означает, что в точке х = х0 экстремума нет.
Аналогично поступаем, когда fw (х) < 0.
Примеры.
у = х3—6х2+ 12х—3, У = 3х2—12x4- 12, У = 6х—12, /" = 6.
Чтобы определить экстремумы, решим уравнение У = 0, т. е. Зх2 —12x4-12 = 0.
Получим один корень х = 2. Так как при х = 2 вторая производная обращается в нуль, а третья производная положительна, то, для х = 2 экстремума нет.
У (х4-2)2 ’..,_Х(х4-ЗР(х4-2)з ’v" _ 6 (*4-3)(х4-2)« ’= - 6(3x4-10)7(х4-2)® 1
Корнями уравнения У = 0 будут хх = 0, х2 = — 3. Для первого из этих значений вторая производная положительна, для второго равна нулю. Для хх = 0 имеем, следовательно, минимум. Подставляях2 в третью производную, получим У" = 6=£О. В точке х2 =—3 экстремума нет.
у = х4 (х—1)84-1,у' = х3 (х—I)2 (7х—4).
Производная обращается в нуль в точках
4
•^1 = О, Х^ = 1 ) Хд = *7“ ,
У = Xй (х — 1) (42х2 — 48х +12),
Г(^) = о, Г(х2) = о, /'(*8)>о,
следовательно, при х=~ имеем минимум. Далее,
у'" = х [(Зх—2) ф (х) +х (х — 1) ф' (х)],
где ф(х) = 42х2—48х + 12, следовательно,
/"'(х1) = 0, /'"(х2) = ф(1)=6.
Значит, для х = х2=1 нет экстремума.
Положив
(Зх —2) ф (х) + х (х— 1) ф' (х) = ф (х),
получим:
y4, = i|)(x)4-xip' (х),
следовательно,
f^ (Xi) = ^ (0) = — 2ф (0) = — 24 < 0,
значит, для х = х1 —0 имеет место максимум.
_х2—2х—21, 6х2+28^ + 98
~ 6*+14 ’ У — (6х+14)2*
В этом примере первая производная не обращается в нуль ни при каком значении х, оставаясь все время положительной. Следовательно, функция не имеет экстремума ни в одной точке и все время возрастает.
Точки перегиба. Говорят, что точка х = х0 является для функции у=/(х) точкой перегиба, если для достаточно малых h выражение
/(х04-Л)-/(х0)-А/'(х0)(1)
меняет свой знак одновременно с изменением знака h или, другими словами, если существует такое число в > 0, что выражение (1) либо для е > h > 0 постоянно положительно, а для —в < h < 0 постоянно отрицательно, либо для в > h > 0 постоянно отрицательно, а для —в < h < 0 постоянно положительно.
Геометрически это означает, что часть кривой, соответствующая положительному Л, лежит с противоположной стороны касательной (построенной в точке, соответствующей значению х = х0), нежели часть кривой, соответствующая отрицательному h (рис. 36 и 37)е
Применяя теорему о среднем значении, получим:
/^о + Л) -/(х0) - hf (аг0) = hf (х0 + ей)—hf' (х0) =
- н [/' и0+ед) -г М (о < е < 1).
Предположим, что первая производная имеет в точке х0 собственный экстремум: выражение f' (л:о + О^)—/' (х0)для достаточно
малых значений К (отличных от нуля) будет иметь постоянный знак. Поэтому выражение ,
/(•^о + A) —fV^—hf М = А [/' (х0 + 0А)— Г (х0)]
будет менять знак одновременно с изменением знака К. В силу определения точка х0 является точкой перегиба. Нами доказано, таким образом, следующее утверждение:-
Теорема. Если первая производная функции y^f^ имеет при x — Xq собственный экстремум, то точка x — xQ является для функции y = f(x) точкой перегиба.
Таким образом, определив точки, в которых первая производная имеет экстремум, получим (на практике, вообще говоря, все)*) точки перегиба функции j=/(x).
Обратная теорема, однако, не верна. Может, например, случиться, что точка xQ является точкой перегиба, а для точек х=/=х0 производная не существует, так что об экстремуме производной в точке х^ не может быть и речи.
Опираясь на соответствующие теоремы об экстремумах функции, мы можем установить достаточные условия для точек перегиба:
Если функция у=/^ имеет в окрестности точки xQ непрерывные производные до п-го порядка (/z ^ 2) включительно и если
Ш=Г = ... =/<п-“ (Хо) = о, П (X.) Ф о,
♦) Автор не рассматривает точки перегиба с вертикальной касательной, как, например, точка х =—3 на рис. 35а. (Прим, ред.)
то при четном п точка х = хй не является точкой перегиба, при нечетном же п точка х = хй является точкой перегиба.
В частности, x — xQ является точкой перегиба, если fWO. a /"'(хо)#О.
Примеры.
у = х3—6х24-2х— 1,
У = 3х2—12x4-2, у" = 6х —12,
У" = 6.
Вторая производная обращается в нуль при х = 2. Так как третья производная отлична от нуля, то при х = 2 имеем точку перегиба.
у = х3(^х2 — 5х +^,
у' = 5х2 (х2 — 4х + 4),у" = 20х (х2 —3x4-2),У', = 20(Зх2 —6x4-2).
Вторая производная имеет корни х1==0, х2 = 1, х3 = 2. Поскольку для этих значений третья производная отлична от нуля, то эти точки являются точками перегиба.
Экстремумы функций, заданных параметрически. Пусть даны две функции
непрерывные в некотором интервале а ^ / ^ р и имеющие в нем непрерывные первые и вторые производные. Допустим, кроме того, что функция х=/(/) строго монотонна в этом интервале. Тогда написанные выше уравнения определяют у как функцию переменной х (см. стр. 118). Производные этой функции задаются формулами:
[«' (OF
(при условии, что в рассматриваемой точке /'(/)у=0).
Для определения экстремумов этой функции поступаем так же, как и раньше. Именно, сначала находим точки, в которых У = 0, т. е. в которых
Ф'(О = о, ГЮ^о.
Если /0— такая точка, то, принимая во внимание что ф' (/о)=О, для второй производной ух получим формулу
Таким образом, минимум имеет место, когда ф"(/0) > 0, максимум, когда ф" (/0) < 0. Если ф" (/0) = 0, то нужно исследовать производные высших порядков. Точки, в которых /'(/) = 0, требуют специального исследования.
Примеры.
х = г cos/, v = г sin 2/, 0^/^л, г > 0.
dx. . dy 1
37 = —г sin /,= — г cos 2/,
di’ dt 2
5 = -г cos/, g=_rsin2/.
Для /у=0, л имеем:
dy1_ cos 2/ d^y 2 sin t sin 2/ + cos t cos 2/
dx 2 sin t ’ dx22r(sin/)3
Числитель первой производной имеет корень / = -~,при котором знаменатель не обращается в нуль. Вторая производная при / = -^- принимает значение
Таким образом, при /=-^- имеет место собственный максимум.
х = /4+1, у = /3 —2/ — 1.
^ — л/з^ — 3/2 2
dt"^1 ' dt" 1
^=\№, ^=6t.
Следовательно, для /у=0 получаем:
dy_ 3^2 — 2d^g _ 4/3.6/ — (3^ — 2) 12/2
dx 4/з ’dx2 ~64/9
Числитель первой производной имеет корни tx= J/^A, = —j/ у» ПРИ которых знаменатель не обращается в нуль.
_0 оо
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВИДА , —
О оо
Подставляя их в выражение для второй производной, получим при / = ^ положительное значение, а при / = /2 — отрицательное значение. Таким образом, при t = j/*-|- имеет место минимум, а при I — = — "^ ~—максимум.
Задачи
Найти точки экстремума следующих функций:
у — х (а—х)2 (а > 0); шах при х=-^- , min ПРИ х = а.
р = х4—8х34-22х2— 24x4-12; max при х = 2, min при х=1,3.
у = — ; min при х = 1—- .
4 Xr In 2
у = хх; min при х = —.
y = exs\nx; в точках х= f п 4-~ ) л (max для четных п, min для нечетных n).\4 /
Вписать в шар с данным радиусом г конус наибольшего объема.
^Расстояние основания от центра шара равно ~ .^
Доказать, что среди всех треугольников с данными основанием и периметром наибольшую площадь имеет равнобедренный.
Найти точку, сумма квадратов расстояний которой от вершин тре
угольника имеет наименьшее значение.
(Центр тяжести треугольника.)
Доказать, что кратчайшая хорда параболы уй = 2рх, пересекающая ее под прямым углом, имеет длину Зр
Вписать в шар а) цилиндр, б) конус с наибольшей поверхностью.
(
Высота цилиндра равна гд/ 2 А> высота конуса равна у \ У 5 /
^(23-ГЙ).^
Найти точки экстремума функций, заданных параметрически:
у = t^-\-%t—\tmin при t=—4,
у — /5_L9t
p = ardg(2Hl),
х = е~^.Экстремумов нет.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ(РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ)
О оо
7*, Неопределенности вида у, — • Займемся теперь исследованием предела отношения ^™ в том случае, когда числитель и знаменатель стремятся к нулю или к бесконечности. Эти случаи будем _0 оо
обозначать, соответственно, символами или —.
’’0 оо
Теорема. Пусть функции f(x), gW имеют первые производные в окрестности точки х — а (за возможным исключением самой точки а) и удовлетворяют соотношению
lim/(х) = Пт^(х) = 0.
х^-ах-а
Тогда если существует предел Пт 44-4, то существует также пре* х^а S \х)
дел Пт и имеет место равенство
Птх -* аПтх -* аgwgwlimх -* аlimх -* аm &' w *m &' w *
Птх -* а
Птх -* а
gw
gw
limх -* а
limх -* а
m &' w *
m &' w *
Замечание. Мы молчаливо допускаем здесь, что функции g(x) и gr (х) не обращаются в нуль нигде в окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а*у
Доказательство. [Пусть х > а и достаточно близко к а. Положив
определим на интервале [а, х] следующую функцию переменной f:
0,t = o.
Покажем, что эта функция удовлетворяет на интервале (а, х] всем условиям теоремы Ролля. Очевидно, она дифференцируема и, следовательно, непрерывна при a<t^.x. Легко проверяется и непрерывность в точке а;
lim ф (Z) = lim/(/) — ан lim^(f) = 0 = ф (а).
t -*аt -+аt ^а
Наконец, в силу выбора числа со
Ф(а) = 0 = ф(х).]
(2)(2)Заметим, что если образом, предполагаяЗаметим, что если образом, предполагаяПоэтому в силу теоремы Ролля существует такая точка Е, заключенная между а и х (отличная от а), что ф' (£) = 0. Так как Ч1' W =/' W — tog' V). то ф' (1)=/' (В) — tog’ (|), следовательно,
(2)
(2)
Заметим, что если образом, предполагая
Заметим, что если образом, предполагая
х стремится к а, то и | стремится к а. Таким существование предела lim 444, мы из соот- х-*а s Xх)
О 00
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВИДА — , — U оо
ношения (2) устанавливаем существование предела lim —-~ и спра- ведливость равенства
существование соот- равенство пределусуществование соот- равенство пределуИт = Umx-*a*ogto x^ag W
существование соот- равенство пределу
существование соот- равенство пределу
Аналогичным рассуждением устанавливается ветствующего левостороннего предела и его отношения производных. Теорема доказана.
Примеры.
1'х^ «2-Зх+2 —2^=31 •
lim ^5 = lim ^^ = 6.
X -* о ХX -> о1
limX-* оlimX-* оXXlimX -> оlimX -> оаеахаеахх5_ 1lim ^—г х -> 1 х *х5_ 1lim ^—г х -> 1 х *limХ-* 1limХ-* 15х455х454а. lim х-*+о4а. lim х-*+о1111+^3= Um —' -I.У х д*->+о1Н~У х1111+^3= Um —' -I.У х д*->+о1Н~У х
lim
X-* о
lim
X-* о
X
X
lim
X -> о
lim
X -> о
аеах
аеах
х5_ 1
lim ^—г х -> 1 х *
х5_ 1
lim ^—г х -> 1 х *
lim
Х-* 1
lim
Х-* 1
5х45
5х45
4а. lim х-*+о
4а. lim х-*+о
1111+^3= Um —' -I.
У х д*->+о1Н~У х
1111+^3= Um —' -I.
У х д*->+о1Н~У х
6. limX ~> О6. limX ~> Оместо равенствоместо равенство
6. lim
X ~> О
6. lim
X ~> О
место равенство
место равенство
Замечание. Если окажется, что lim Ч~~ = + оо, то, как легко x^ag W —
F видеть из доказательства, и lim -ЧЧ = ±оо.
х -► a S Vх)
Примеры. e*_ 1ех
нт —5-= lim — = 4-00 .
х —> о х X ч- 0
х 1
tg х — sinx1
5COSX COS2X
Теорема. Пусть функции f(x)t g(x) имеют первые производные всюду в окрестности точки х = а (за исключением, быть может, самой точки а) и удовлетворяют соотношению
lim /(х) = lim g(х) = ± оо; х-*ах-*а
Ит -Ц^= Нтх aS кх) х аИт -Ц^= Нтх aS кх) х аt (я) s' (^)*t (я) s' (^)*тогда, если существует предел Нт^— (или если он равен ± °°), то существует также предел lim (или он равен ± оо) и имеет х-*а§\х)
Ит -Ц^= Нт
х aS кх) х а
Ит -Ц^= Нт
х aS кх) х а
t (я) s' (^)*
t (я) s' (^)*
Доказательство этой теоремы, как более трудное, мы опускаем.
Примеры.
2
lim = Пт —Пт (— х) = 0.
Х->+0 _ X-► +0 X-► + О
XX2
8. Пт28. Пт23tg 3xcos23x^-=~= lim —=tg 5x5* "* 2 cos2 5x\ x -*x 23tg 3xcos23x^-=~= lim —=tg 5x5* "* 2 cos2 5x\ x -*x 2..3 cos2 5х
8. Пт
2
8. Пт
2
3
tg 3xcos23x
^-=~= lim —=
tg 5x5
* "* 2 cos2 5x
\ x -*
x 2
3
tg 3xcos23x
^-=~= lim —=
tg 5x5
* "* 2 cos2 5x
\ x -*
x 2
Пт ^
л 5cos23x
с -> —2
cos5x\2 3 / 5sin5x\2 5
cos 3x )5 1 л 3 sin 3x j 3
Замечание. Если окажется, что lim/' (х) = limg' (x) = 0 (соотЗамечание. Если окажется, что lim/' (х) = limg' (x) = 0 (соотх -> ах -> аааветственно вании тех отношенияветственно вании тех отношения।\Г (х)± оо), то исследование предела отношения -тт-\ на осно-।\Г (х)± оо), то исследование предела отношения -тт-\ на осно-же самых теорем можно свести к исследованию пределаГ W—п ^ . Как легко видеть, это может быть обобщено дальше.же самых теорем можно свести к исследованию пределаГ W—п ^ . Как легко видеть, это может быть обобщено дальше./ x 2/
Замечание. Если окажется, что lim/' (х) = limg' (x) = 0 (соот
Замечание. Если окажется, что lim/' (х) = limg' (x) = 0 (соот
х -> а
х -> а
а
а
ветственно вании тех отношения
ветственно вании тех отношения
।\Г (х)
± оо), то исследование предела отношения -тт-\ на осно-
।\Г (х)
± оо), то исследование предела отношения -тт-\ на осно-
же самых теорем можно свести к исследованию предела
Г W
—п ^ . Как легко видеть, это может быть обобщено дальше.
же самых теорем можно свести к исследованию предела
Г W
—п ^ . Как легко видеть, это может быть обобщено дальше.
Примеры.
lim X —► 1Пт X -* оИ. Пт х —> оlim X —► 1Пт X -* оИ. Пт х —> оах2—2ах + а2ах—2а v<w 2а а
lim X —► 1
Пт X -* о
И. Пт х —> о
lim X —► 1
Пт X -* о
И. Пт х —> о
^x2-2bx-Vb ~2bx-2b ~ ;^ 2Ь -Т
1—cosx sinx .. cos х 1 -^“Лт.^=Лт.—=Т-
1—COSX,.1—COSX,.sinxcosx
1—COSX,.
1—COSX,.
-: = Пт —.—
cosx x->osinx
Наши теоремы справедливы и тогда, когда х стремится к оо, а lim/(х) = lim g(x) = 0 (или ± оо). В этом случае предполагается, Х-><ЮХ-*00
что для всех х, бблыпих некоторого числа Я, функции /(-V)Hg(x) имеют производные.
Примеры.
lim 1^= Пт 4- = 0.
х-*+со Х х->+00 1
lim ^j= lim ^-= lim ^=+00.
14.14.ПтX -> ооПтX -> ооЛ-у — arctg XЛ-у — arctg X22InInх —1х -j~ 1х —1х -j~ 1limX -* ODlimX -* OD11ПтX -> 00ПтX -> 001—X214-х2 ~1—X214-х2 ~
14.
14.
Пт
X -> оо
Пт
X -> оо
Л
-у — arctg X
Л
-у — arctg X
2
2
In
In
х —1
х -j~ 1
х —1
х -j~ 1
lim
X -* OD
lim
X -* OD
1
1
Пт
X -> 00
Пт
X -> 00
1—X2
14-х2 ~
1—X2
14-х2 ~
Неопределенности вида 0-оо, оо — оо, 1*, оо°, 0°.
Если lim/(x) = 0, a lim g^ = + °°, т0 исследование предела х -* ах-^а
произведения lim /Wg^ сводится к исследованию пределов х -* а
Нга -Ц— или lim —^, являющихся, соответственно, неопределеннос-
g Wt (я)
0оо
тями видау- или —,
Ооо
Примеры.
1
lim х In х = lim ^-^= lim -^Ц-= lim (—^) —0. Х->0х->о 1Х-^0L Х~>0
XX2
lim хе~х — lim ~ = Пт — = 0.
х->+сох-> + оо^Х-> + <»6
Если Пт/(х) = Птg(х) = +оо, то исследование предела раз- х -> ах-> а
1 11 1ности Пт [/(х)— g(x)] сводится к исследованию предела limности Пт [/(х)— g(x)] сводится к исследованию предела limааааО являющегося неопределенностью вида -^-.О являющегося неопределенностью вида -^-.gW <(*)I (*) g (X)gW <(*)I (*) g (X)Примеры, о/ 1Примеры, о/ 1хх4. ПтX -> 14. ПтX -> 1In X X— 1 / "' 21X2—1X—1sin X X JIn X X— 1 / "' 21X2—1X—1sin X X Jx-i-jnx 1 lim - —-—=—- ^ х (*—1) In х 2 _ г2х —х2—1х—sin х _ m := 0.п х sin хx-i-jnx 1 lim - —-—=—- ^ х (*—1) In х 2 _ г2х —х2—1х—sin х _ m := 0.п х sin х2 ’2 ’
1 1
1 1
ности Пт [/(х)— g(x)] сводится к исследованию предела lim
ности Пт [/(х)— g(x)] сводится к исследованию предела lim
а
а
а
а
О являющегося неопределенностью вида -^-.
О являющегося неопределенностью вида -^-.
gW <(*)
I (*) g (X)
gW <(*)
I (*) g (X)
Примеры, о/ 1
Примеры, о/ 1
х
х
4. Пт
X -> 1
4. Пт
X -> 1
In X X— 1 / "
' 21
X2—1X—1
sin X X J
In X X— 1 / "
' 21
X2—1X—1
sin X X J
x-i-jnx 1 lim - —-—=—- ^ х (*—1) In х 2 _ г2х —х2—1
х—sin х _ m := 0.
п х sin х
x-i-jnx 1 lim - —-—=—- ^ х (*—1) In х 2 _ г2х —х2—1
х—sin х _ m := 0.
п х sin х
2 ’
2 ’
Неопределенности вида I00, oo°, 0° сводятся к неопределенности вида О-оо с помощью тождества
[/ (-^)]ф w = ^ф (х) 1п ^(х).
При этом предполагается, что /(х) > 0.
Примеры.
lim хх = lim e**nx. ym xlnx= lim ^ = 0, X —> + 0X->+0X->+0x->+0 *
X следовательно,
lim Xх = e°= 1.
X-* +o
ГЛАВА VIII
РЯДЫ
РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
Определение ряда. Сходящиеся ряды. Пусть дана последовательность чисел {ап}. Положим:
s2 = ах + ^2>
53 = а1 + ^2 + ^з>
8п = аг + ай+ ...А-ап.
Если последовательность {$„} имеет предел 5, то символически записывают это так:
S „ 51 + а2 + « • • + ап + • • •
5=2^.п=1
Выражение, стоящее в правой части этих двух равенств, называют рядом, a {$„}— последовательностью его частичных сумм.
Число 5 называется суммой ряда
°1 + ^2 + аз+ • • •
Говорят также, что ряд
а1 + #2 + йз + • • •
сходится к S. Числа
^v &^ ^з>
называются членами ряда.
Ряд, который не является сходящимся, называется расходящимся.
lim хх = lim ех ;
Х-* + сох-> +ао
_1,_ 1пх А
hm ~ lnx = lim — = 0,
X-> +00 ХХ-> + 00 Х
таким образом, lim х х = е° = 1.
Х^ +оо
—_Lln(i+mx)
lim (1 -\-тх^ х = lim ех;
Х-* 0Х-* о
lim — In (1 + ^) — lim ——' — т, х-*о хх-* о х
поэтому
lim (1 -Vmx^ х = ет.
X-* о
Задачи
1.2.3.1.2.3.,,„ ^-^/I.х-* а У^а4-2х—р^За'8,,„ ^-^/I.х-* а У^а4-2х—р^За'8limс -> оlimс -> ох—sin х 1X» "“б 'х—sin х 1X» "“б '4.5.4.5.Г Г 11~ 1;То \2х2 2xtgx^ 6 е lim г—-:— =тг‘Г Г 11~ 1;То \2х2 2xtgx^ 6 е lim г—-:— =тг‘hm (l-x)tg-K-x=—Х-* 1Z лlim хп In х = 0 (n > 0). х-*+оlim х1"*»^1.X-*l,0. в„ С!1)18'-!.х -*+о Xх)hm (l-x)tg-K-x=—Х-* 1Z лlim хп In х = 0 (n > 0). х-*+оlim х1"*»^1.X-*l,0. в„ С!1)18'-!.х -*+о Xх)
1.
2.
3.
1.
2.
3.
,,„ ^-^/I.
х-* а У^а4-2х—р^За'8
,,„ ^-^/I.
х-* а У^а4-2х—р^За'8
limс -> о
limс -> о
х—sin х 1
X» "“б '
х—sin х 1
X» "“б '
4.
5.
4.
5.
Г Г 11~ 1
;То \2х2 2xtgx^ 6 е lim г—-:— =тг‘
Г Г 11~ 1
;То \2х2 2xtgx^ 6 е lim г—-:— =тг‘
hm (l-x)tg-K-x=—
Х-* 1Z л
lim хп In х = 0 (n > 0). х-*+о
lim х1"*»^1.
X-*l
,0. в„ С!1)18'-!.
х -*+о Xх)
hm (l-x)tg-K-x=—
Х-* 1Z л
lim хп In х = 0 (n > 0). х-*+о
lim х1"*»^1.
X-*l
,0. в„ С!1)18'-!.
х -*+о Xх)
И. lim £^±/Ц£12Ь^) = Г(а).
/I -* ОJ. Д2
,2. 1,„ IW>*U«-l^-W=l.№/I о"
Примеры.
ап = aqn-\ ]?| < 1 (геометрический ряд). Как известно (см. Введение, п. 4),
1 — qn a aqns„ — а п—— = -.
п 1— q X — q V — q
Так как |^|<1, то (стр. 42) lim qn =0, поэтому
/I -> ОО
значит,
т^-=а + «9 + ^+ . •. +а9п+ • •. ,
П = 1П = 1ИЛИ
П = 1
П = 1
Например,
или
значит,
S'"= ^п+Т’ откуда
S = lim s„ = 1;
п -*оо таким образом,
П=1П=1
П=1
П=1
Предел сходящейся последовательности как сумма ряда» Пусть lim bn = g. Тогда, положив
^1 ^ ^1»
ап = Ь„-Ьп_г, п = 2,3
157157НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ
157
157
получим:
5л = Л1 + а2 + • • • +ап = ^1+(^2““^1) + (^3""^2) + • • • +(^”*^-1),
следовательно,
Sn ^п> так что
lim sR-g
П-* «3 ИЛИ
g= 2 an = bt-V 2 (»„+1-»„). п=1П = 1
Например, если
то
Пт Ьп = ^;П-* 00°
следовательно, 900о 00к
T^^ + ^d ^n*i_^ = У^2| 9rt9+3n—2" п=1п=1
Необходимое условие сходимости. Если ряд 2 °п сходится,
П = 1 ТО lim ап — 0.
Это становится очевидным, если заметить, что
an"Sn ^~1*
Действительно,
lim aR — lim (^ — s^^J = lim sR — lim 5„.1 = S —S = 0.
П~>ООn^OOn-*0On-*W
Применение этого условия часто позволяет убедиться в расходимости некоторого ряда. Например, известный уже нам геометрический ряд 2 ^”~1 расходится при «У=0 и |^|^1, потому что
Не следует, однако, думать, что можно сделать обратное заклю* чение: когда lim^ — O, то ряд 2 ап сходится. Опровергающим п-><аол = 1
примером может служить ряд 00 /
п = 1
В самом деле, lim In (1 + —) = In 1 = 0.
Однако, с другой стороны,
In (1 + ^) — In ^-iJ-= In (7Z 4“ 1) — In Л, следовательно,
sn = (In 2 — In 1) 4* (In 3 — In 2)+ ... +[ln (л+ 1) — In n\ или
$„ = 1п(л + 1).
Таким образом, последовательность sn стремится к + oo, значит, ряд ^ Inf 1 + ~ J расходится. п-1
Другим примером расходящегося ряда с членами, стремящимися 00 !
/1 = 1/1 = 1к нулю, /является так называемый гармонический ряд ^ —. Дей»
/1 = 1
/1 = 1
ствительно, если бы этот ряд был сходящимся, то, обозначая его
сумму через S, мы бы имели
lim (s2„—$„) = lim s2„ — lim sn = S — S = O. Ho s2n-5„=-Jn4
Л-х»n-xxп-^аз1
+ n+2"*" '1 заменить на+ n+2"*" '1 заменить на. +^. Правая часть уменьшится, если каждый ее член i . Поэтому s^n — sn > п ~ = -~. Но отсюда следует,
+ n+2"*" '1 заменить на
+ n+2"*" '1 заменить на
что равенство lim ($2л— $„) = 0 невозможно. п->со
Ограниченные ряды. Говорят, что ряд 2 °п ограничен, если Л = 1 ограничена последовательность {$л} его частичных сумм.
Если ряд 2 ап сходится, т. е. последовательность {$л} сходится, П = 1.
то эта последовательность ограничена (см. теорему на стр. 39). Это
и означает ограниченность ряда 2 ап’ так чт0
П=1
всякий сходящийся ряд ограничен.
доы не можем, однако, утверждать обратное. Опровергающим примером является ряд
2 (-1)"= -1 + 1-1 + 1-...
п = 1
Здесь имеем:
22предела, т. е. рядпредела, т. е. ряд$1 —1 >^2 ” ^’^3 ™^ ’ S4 = 0, . . . ,
2
2
предела, т. е. ряд
предела, т. е. ряд
Мы видим, следовательно, что
Тем не менее, последовательность {$„} не имеет
2 ( — 1)" расходится. п = 1
Об ограниченном ряде, члены которого неотрицательны, можно высказать следующую теорему:
Ограниченный ряд с неотрицательными членами сходится.
Доказательство получается немедленно. Достаточно заметить, что при указанных выше условиях последовательность {sn} является неубывающей и ограниченной, в силу чего она обязательно сходится (см. стр. 37).
Пример. Ряд ^ "^ Vs > 1) сходится. Действительно, по теореме П=1
о среднем значении имеем:
^х + й) ~ ^1 — х - 1 = (—s + 1) h (х + Ой) “ ^;
положив х = п, й= —1, получим для п > 1 1!— п 1 .
(П—1)^-1 Так как
О<0< 1,то11
(п—0/ > п8'
Учитывая еще, что 5 — 1 > О, получаем
п8 S — 1—1)^'1п8*1) •
Таким образом,
51 । 1 , 1 , i 1 / 1 I 1 М
—1 <2^”!—1 \(n —l)5"1n8-1) ’
откудаоткуда
откуда
откуда
Отсюда видно, что ряд с положительными членами ^ ^($>1)
П = 1 является ограниченным, а поэтому и сходящимся.
Абсолютно сходящиеся ряды. Говорят, что ряд абсолютно (безусловно) сходится, если сходится другой ряд, образованный из абсолютных величин членов первоначального.
Пример. Ряд у^ ^—у) абсолютно сходящийся, потому что п = 1 ряд
I \2/1)
0=10=1
сходится.
Теорема. Абсолютно сходящийся ряд сходится также в обычном смысле. Его сумма получается сложением суммы положительных и суммы отрицательных его членов.
Замечание. Суммой положительных членов ряда 2 ап мы на* 0=1
зываем сумму (если она существует) ряда, полученного из ряда 2 ^п путем замены отрицательных членов нулями. Аналогично опре- 0 = 1 деляется сумма отрицательных членов.
Наша теорема утверждает, что если ряд 2 ап абсолютно схо- «=1
дится, то, обозначив через Т сумму его положительных членов, а через W сумму отрицательных членов, получим:
5=Т+Г.
Доказательство. Обозначим через tn (соответственно, wn| п-ю частичную сумму ряда положительных (соответственно, отрица* тельных) членов. Ясно, что последовательности {/„} и {wn} монотонны и ограниченны, так как
Kl<2kl.'
П=1
21°и|-П = 1
Поэтому последовательности {/„} и {^} сходятся. Положим
Т= lim tn, W — lim wn;
П-> CDП-* 00
Т является, следовательно, суммой положительных членов, a W — суммой отрицательных. Заметим теперь, что
п гlim sn = lim tn-V lim wn*n-> CO n-* 00n -* 00
Таким образом,
5 = 7+Г,следовательно, ряд 2 ап сходится и его сумма равна сумме поло-П=1
жительных членов с прибавлением к ней суммы отрицательных членов.
Независимость суммы ряда от порядка членов.
Теорема. Сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от порядка его членов.
Замечание. Аналогично сказанному ранее (стр. 25) для последовательностей, говорят, что два ряда отличаются лишь порядком членов, если каждый член встречается одинаковое (конечное или бесконечное) число раз в обоих рядах.
Доказательство. Обозначим через s^ сумму первых п членов ряда 2 ^«> полученного из ряда 2 ап изменением порядка его П=1Л = 1
членов.
Допустим сначала, что ряд 2 ап состоит только из неотрица- /2 = 1
тельных членов. Выберем произвольное целое число т. Поскольку все члены суммы Sm принадлежат ряду 2 ат можно найти такое п = 1
число N, что сумма sN содержит все члены sm (а может быть, еще и другие). Итак,
Sm ^ 8^.
Но
значит,
sm ^5.(1)
Таким образом, последовательность {sm} неубывающая и ограниченная; следовательно, она сходится. Положив
S' = lim sR>п->а>
6 С. Банах
получим в силу (1)
5'(2)
Поступая аналогично, мы можем доказать, что
8'>8.(3)
Действительно, мы можем считать 2 ап РЯД°М> полученным из И = 1
ряда 2 Ьп изменением порядка его членов. №1
Из неравенств (2) и (3) получаем:
8' = 8.
Аналогично следует поступать, если члены ряда 2 ап будут П = 1
неположительны.
Перейдем теперь к общему случаю (т. е. откажемся от предполо
жения, что члены ряда 2 ап имеют одинаковые знаки). Заметим, что П=1
ряды, которые получаются из рядов 2 а« и 2 ^ заменой в них я=1п=1
отрицательных (соответственно, положительных) членов нулями, будут отличаться лишь порядком членов и, следовательно, в силу только что доказанного будут иметь одинаковую сумму. Таким образом, в обоих рядах суммы положительных членов и суммы отрицательных членов соответственно равны, поэтому (в силу предыдущей теоремы) оба ряда имеют одинаковые суммы.
Условно сходящиеся ряды. Сходящийся ряд, не являющийся абсолютно сходящимся, называется сходящимся условно.
Пример. Ряд
1 1 4- —-4-4---4
122‘33 t• т лпер
еходится, потому что
^=1, $2 = 0, 53 = у, S4 = 0, . .., San = 0, 52л+1 ^ZjTj » следовательно,
lim sn = 0.n-> со
Однако этот ряд не является абсолютно сходящимся, так как ряд
1+1+4+у+|+|+...+4+^+...
расходится. Действительно, имеем: »!.=2{1+4+у+...+4}.
Так как выражение в скобках является л-й суммой гармонического ряда (см. стр. 158), то
Jim s2n = oo.
Замечание. Можно доказать, что каждый из условно сходящихся рядов путем изменения порядка членов в нем можно превратить в ряд, сходящийся к произвольному, наперед выбранному числу. Следовательно, если сумма некоторого сходящегося ряда не зависит от порядка его членов, то этот ряд абсолютно сходится.
Необходимое и достаточное условие сходимости ряда. Теорема Лейбница. Аналогично теории последовательностей (стр. 39) можно указать необходимое и достаточное условие того, чтобы ряд 2 ап был сходящимся.
Л=1
Заметим, что если р > 0, то
^п + р ^п ^п+1 4“ #п + 2 4* • • • 4" ^п + р*
Поэтому справедливо следующее утверждение:
Теорема Коши. Для сходимости ряда 2 ап необходимо и п = 1
достаточно, чтобы для каждого е > 0 можно было найти такое N» что при любых целых р > 0 и п> N будет выполняться неравенство \Sn*p — Sn\<R. т- е- l°n + l+«n + 2+---+On + ,l<6-
Применим критерий Коши для доказательства теоремы о сходимости знакочередующегося ряда.
Теорема Лейбница. Пусть невозрастающая последовательность положительных чисел {ал} имеет пределом нуль. Тогда ряд
аг — а2 + аз—a^*V ... + (— I)”*-1 ап-\- ... сходится.
Доказательство. Имеем
^п + р ^п — (^л + 1#л + 2 4“ • • • i ^n-vp^ (Р > 0).
Допустим, что п четное; тогда получим
^n-V р sn ^ ®n + V так как
Sn + p~ $» = °Л + 1 + ( — аП + 2 + °Я + з) + ( — а» + 4 + «„ + 5)+ . . а выражения в скобках, очевидно, неположительны.
6*
Заметим еще, что
^ ^ Sn+p Sn*
В самом деле,
Sn + p Sn = (°и + 1 апл-^ 4" (^П + З »П^^ + . . .,
а выражения в скобках неотрицательны.
Аналогично можно показать, что если п нечетно, то
^« + 1 ^ ^п + р ^П ^ ^*
Таким образом, для каждого ли р>0 имеем:
I Sn+p sn I ^ an+i*
Так как Мтли = 0, то для каждого числа е>0 можно подоб- п-*о>
рать такое Af, что для каждого л > N выполняется неравенство ап^х < е;
следовательно, для каждого л > N и р > О имеет место неравенство
Итак, наш ряд удовлетворяет условию Коши и, следовательно, сходится.
Примерами таких рядов могут служить следующие:
2'34 •
[Замечание. При доказательстве теоремы было получено неравенство
I Sn*p Sn I ^ an + le
Фиксируя л и переходя к пределу при р—>оо, ввиду установленной в теореме сходимости ряда найдем
I ^ Sn I ^ an + V
Таким образом, при замене суммы, S знакочередующегося ряда с невозрастающими по абсолютной величине членами его частичной суммой sn1 возникающая при этом погрешность не превосходит абсолютной величины, первого из отброшенных членов.]
ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
Сравнение рядов. Не всегда легко исследовать, сходится или расходится данный ряд. Во многих случаях пользуются следующим утверждением:
Теорема. Если, начиная с некоторого члена, все следующие члены ряда 2 ап не превышают по модулю соответствующих чле- п=1
нов ряда 2 Ьп (Ьп^Щ, то из сходимости ряда 2 Ьп следует схо- п=1п = 1
димость ряда 2 ап (даже абсолютная), а из расходимости ряда п=1
2 ап следует расходимость ряда 2 дп. П=1П=1
Доказательство. Пусть aN—тот член, начиная скоторого каждый следующий член ап (п > N^ удовлетворяет неравенству
I °п К ь„.
Легко видеть, что, положив
sn = I ai I +1 а21 + • • • +1 °п 1> $п = Ьг + Ь^ + ... + Ьп, получим:
(1)
Если допустим теперь, что ряд 2 ^™ сходится, то, положив
П=1S'=ibn,будем иметь:
отсюда в силу (1)
00
Следовательно, ряд 2|°и| ограничен и, значит, сходится. Та- П= 1
ким образом, ряд 2 ап абсолютно сходящийся. П=1
Из допущения, что ряд 2 ап расходится, вытекает расходи- П=1
мость ряда 2 Ьп. Действительно, в противном случае, в силу только П=1
что доказанного, сходимость ряда 2 Ьп повлекла бы за собой №1 00
сходимость ряда 2 ап*
Примеры.
Ряд 1 + §73 + 475 + • • .^сходится, потому что его члены меньше 00 1
членов сходящегося ряда S~2(CTP- 159).
2 з n=1 П
Ряд -у- + у + ^ + • • • абсолютно сходится для любого х, для которого —1 < х < 1, потому что абсолютные величины членов этого ряда не превышают членов геометрического ряда 2 IхГ*
Л—1
Ряд ^ -^ (s ^ 1) расходится, потому что его члены не меньше л= i
членов гармонического ряда ^ —.
п=1
9а*. Признак сравнения в предельной форме. Полученный выше результат иногда удобнее использовать в следующем виде:
Теорема. Если, начиная с некоторого номера, все члены рядов 5«5 Ьп положительны и существует конечный предел
Л=1Л=1
lim ^ = К
Л ОО "л
то из сходимости второго ряда вытекает сходимость первого.
Если К=/=0 (но, возможно, К = оо), то из расходимости второго ряда следует расходимость первого.
Докажем, например, первое утверждение. Очевидно, начиная с некоторого номера,
ь„>0, af<K+i,
со
откуда an<(K-V^bn. Ряд ^Ьп, по условию, сходится, значит, п= 1
сходится ряд с общим членом (К-^-\^Ьп. Но тогда из последнего неравенства вытекает согласно признаку сравнения, что ряд 2°» Л=1
также является сходящимся.
Пример. Ряд с общим членом
п /"^+7
"п^— 17л
расходится. Действительно, limy=l, и наше утверждение, по П 00 п
доказанному, следует из расходимости гармонического ряда X—. п=1 п
Признак Коши. Если члены ряда 2аЛ неотрицатель- /1=1 ны, то справедлива следующая теорема:
Признак Коши. 1) Если существует такое неотрицательное число q< 1, что, начиная с некоторого члена aN, все следующие удовлетворяют неравенству
kn>NV
то ряд 2 ап сходится. /1=1
Если существует такое ^^1, что, начиная с некоторого члена а№ все следующие удовлетворяют неравенству
VTn>q кп>Щ,
то ряд 2 °п расходится.
П=1
Доказательство. В первом случае имеем: ап^Яп kn>NY
Так как ряд 2 9” является геометрическим и сходящимся (0^?< 1)? то, по теореме о сравнении рядов, ряд 2 ап сходится.
Во втором случае имеем:
Ояп ^n>Ny
Так как ряд 2^” Расходится (^^1), то и ряд 2 ап Расхо* /i=i дится.
Для приложений часто полезно следующее утверждение, которое легко следует из предыдущих:
Теорема. Если члены ряда ^ап неотрицательны и Кш ^ап существует» то
ряд сходится, если Пт у^#л < 1;
П-* 00
ряд расходится, если lim ^^^> 1;
если Пт ^ ап=\, то о сходимости ряда ничего сказать нельзя.
1. Ряд1. Рядсходится, так каксходится, так какСОСО
1. Ряд
1. Ряд
сходится, так как
сходится, так как
СО
СО
Доказательство.Доказательство.Положим
Доказательство.
Доказательство.
Пт ^Ла^=ь1\
П-* 00
выбрав произвольное число 8 > О, мы сможем найти такой номер ЛГ, что для п> N будет
I V а„—/| < е, т. е.
/—е < V^ап < Z + e.
Если допустить, что /< 1, то, положив е =Л-^Ч q = l-\-et получим:
^<1, у an<qi для n>N.
Таким образом, по предыдущей теореме ряд 2 ап сходится. П=1
Если /> 1, то, положив
е = ^, 7 = /-е, получим:
q > 1, у ап > q для п> N.
Следовательно, ряд 2 ап расходится.
П=1
Примеры.
Ряд 2 21пл хп сходится при —1 <х < 1 (даже абсолютно), «=1 так как
п In п
Пт )/2|п”|х|” = |х| lim 2 " = |х|-2° = 1. П-> 00П -> 00
О»
Признак Коши не решает вопроса о сходимости ряда У1 ^, *П = 1
так как имеем:
Однако мы знаем, что при 5^1 ряд расходится (стр. 156), а при $>1 — сходится (стр. 159).
Признак Даламбера. Допустим, что все члены ряда 2 ап «=1 положительны (в частности, отличны от нуля). Можно высказать следующую теорему:
Признак Даламбера. 1) Если существует такое неотрицательное число ^<1, что, начиная с некоторого члена aNl все последующие удовлетворяют неравенству
"^Ч(n>N),
00
то ряд 2 ап сходится. я=1
Если существует такое число q^V что^ начиная с некоторого члена aN) все следующие члены, удовлетворяют неравенству
kn>NY 00
то ряд 2 ап расходится.
П=1
Доказательство. Заметим, что в первом случае ап+1<:М(n>N),
следовательно, положив ^ = ^1, ^+2, N-V-3) ...)N-\-p(Р>0),
получим:
aN+2 ^ аК*^
aN* 3 ^ aN+ 2 9 ^ aN+1 ^2»
а^Р^а^1ЧР-1-
Так как ряд 5 ам*1Чр-1 сходится (^ < 1), то сходится также
ряд 2 ап-
П = 1
Аналогично поступаем во втором случае.
Из этого признака вытекает следующее утверждение:
Теорема. Пусть члены ряда 2 ап положительны и существует
П = 1
предел lira • Тогда
если Иш ^^<1, то ряд сходится; п-ж ап
если lim 2^ > 1 » » расходится, п ОО ап
В случае оюе, когда Нт 5^^=1, о сходимости ряда утаерж- П-* 00 °п
дать ничего нельзя.
Доказательство аналогично доказательству, приведенному на стр. 167.
Примеры, хг^ хп
1. Ряд — сходится для любого X. п=1
Действительно, имеем:
limП-* 00limП-* 00|х|»+1 , |Х|«1.(п + 1)! 1 nl J
lim
П-* 00
lim
П-* 00
— 1 <х< 1.— 1 <х< 1.Ехп
— 1 <х< 1.
— 1 <х< 1.
— сходится для п
П=1
Действительно, имеем:
limП -* 00limП -* 00И”+1 . п+1И”+1 . п+1= lim ^il^Hkl-П-* 00 ^ » 1= lim ^il^Hkl-П-* 00 ^ » 1
lim
П -* 00
lim
П -* 00
И”+1 . п+1
И”+1 . п+1
= lim ^il^Hkl-
П-* 00 ^ » 1
= lim ^il^Hkl-
П-* 00 ^ » 1
Следовательно, при — 1 < х < 1 ряд сходится (даже абсолютно)/ При х = —1 сходимость вытекает из теоремы Лейбница.
q п3"п!
Ряд 2. -^тг сходится, в то время как ряд 2. расходится. n=1n=i
Действительно, в первом случае имеем:
lim = lim -.—- = —<1
п -* 00 °п п 00 ( | I \6
\ nJ
во втором же случае
ЗадачиЗадачи
Задачи
Задачи
000000VпV1\?1з» >1+2" ' б ’П = 1л=1П=1-Гп 2000000VпV1\?1з» >1+2" ' б ’П = 1л=1П=1-Гп 21 2п + 5 ’1 2п + 5 ’
000000
VпV1\?1
з» >1+2" ' б ’
П = 1л=1П=1-Г
п 2
000000
VпV1\?1
з» >1+2" ' б ’
П = 1л=1П=1-Г
п 2
1 2п + 5 ’
1 2п + 5 ’
Доказать сходимость рядов:
Е1п\
(Inn)"1п"
п=1х ’П^1
и расходимость рядов:
0000100
S Й7’ X V"n (п + 1), ^ JqqS-д = 2П=1П=1
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ФУНКЦИЙ
Определение сходимости функциональной последовательности. Пусть дана последовательность функций {/п(х)}, определенных в интервале [а, ft]. Говорят, что функция /(х), определенная в интервале [a, ft], является в этом интервале пределом функциональной последовательности {Д (х)}, если для каждой точки х0 интервала [а, Ь\
lim /„(х0)=/(х0).
П -> ОО
Если/(х) является пределом последовательности {Д(х)} в интервале [a, ft], то пишут:
lim fnW=/W-П -► 0000
Аналогично определяется понятие суммы 5 (х) ряда S/„u).
П = 1
Примеры.
АИ=5-^: ^/-И”0' так как
iawi<4-
Действительно, имеем:
lim ( 1 4—]) = limi ' 2 /.
Z->oo \^ /Z-^aa
Ho
lim z In ( 1 + — ) ) = lim —= z-* co \2 /Z->00
г
Следовательно,
Л W = ” sin -^ ; lim /„ (X) = a:.
Действительно, имеем:
. тsin —
lim z sin —) = lim—=
z —> co2z —> co1
г
следовательно,
lim л sin —= х.
i
/„№^(^-1).
Воспользовавшись тем, что
hm а — 1 — ]ц а,
Z —> О 2
получим:
1
х П1
lim fn (х) = lim —:— = In х.
П-*Ч)/1-*СО
П
Равномерная сходимость. Говорят, что две функции, f^ и ф (х), отличаются друг от друга в замкнутом интервале [а, £] меньше чем на е (е > 0), если для каждого х из интервала [а, £] имеет место неравенство
|/(х)-<р(х)| < е.
Говорят, что функциональная последовательность {/„(х)} сходится в интервале [л, ^] равномерно к функции /(х), если для каждого е > 0 найдется в нашей последовательности такая функция /м(х), что всякая последующая отличается от /(х) меньше, чем на е, т. е.
|Д (х)—/(х) | < 8 для a^x^b, n>bL
Пример. Последовательность j5--^| сходится равномерно к нулю. Действительно, имеем:
I п \ п следовательно, для ^ > — будет
IА sin пх I ,1°——|<8'
Замечание. Очевйдно, что функциональная последовательность, равномерно сходящаяся к некоторой функции /(х), сходится к ней также в ранее принятом смысле. Нельзя, однако, утверждать обратное.
В самом деле, рассмотрим функциональную последовательность: f„W = x" (0<х<1).
Она сходится в замкнутом интервале [0, 1] к функции /(х), определенной следующим образом:
/(-*) = {/(-*) = {О при О^х < 1,
/(-*) = {
/(-*) = {
1 при х—1.
Заметим, однако, что для произвольного положительного числа е<1 и произвольной функции fn^ = xn нашей последовательности справедливо равенство
Таким образом, при х=!/г имеем:
|А (х) -/(х) | = е.
Но тогда ни одна из функций нашей последовательности не может отличаться от /(х) меньше чем на е, т. е. последовательность не сходится к /(х) равномерно.
Действия над равномерно сходящимися функциональными последовательностями. Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости. Сравнив определение сходимости числовых последовательностей с определением равномерной сходимости последовательностей функций, мы видим, что последнее является естественным обобщением первого.
Многие теоремы из теории числовых последовательностей легко переносятся на равномерно сходящиеся последовательности функций.
Если функциональные последовательности {/„(х)} и {ф„ (х)} сходятся равномерно в [а, 6], соответственно, к /(х) и ф(х), то:
^последовательность {/rt(x) + <pn(x)} равномерно сходится к /(лг) + ф(х);
последовательность {/л (х)-ф„ (х)} сходится равномерно к /(х).ф(х).
Если существует такое число а > 0, что для каждого х из интервала [а, #]
I Ф„ (*) I > а.
то последовательностьто последовательностьIfnW 1№ WfIfnW 1№ Wfсходится равномерно ксходится равномерно к
то последовательность
то последовательность
IfnW 1№ Wf
IfnW 1№ Wf
сходится равномерно к
сходится равномерно к
Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости. Для того чтобы функциональная последовательность {/„(а:)} равномерно сходилась в замкнутом интервале [д, £>] к некоторой функции» необходимо и достаточно» чтобы для любого е > 0 в последовательности можно было указать такую функцию /n (х), что любые две из последующих функций отличаются между собой в интервале [а, 6] меньше чем на е, т. е.
I/, W— 4(^)1 <8 для а^х^б, p,q>N.
Доказательство. Это условие необходимо. В самом деле, предположим, что последовательность {/„ (х)} равномерно сходится к /(х) в [а, 6]. Выбрав произвольное число е'> 0, можно (в силу определения равномерной сходимости) указать в последовательности такую функцию /дг(х), что
|/(х)— fn (х) | < ех для а^х^б, п> N. (1)
Взяв теперь две произвольные функции fp(x) и Д(х), расположенные в последовательности за функцией /^ (х), получим:
14 W -fg (х) 1 = 14 (X) -/(X) +/(Х) -4 (X) I < <I4W-/(x)|+|/(x)-4(x)|.
Отсюда в силу (1) получим:
|/р(х)— fq (х) | < 26х, для a^x^b, p»q>N. (2)
Положив теперь г* = ^-^ убедимся в необходимости нашего условия.
Оно также достаточно. Допустим, что наша последовательность удовлетворяет этому условию. Тогда, как легко видеть, она сходится для каждого а^х^Ь*, это вытекает непосредственно из теоремы Коши о последовательностях. Положим
lim/„(x)=/(x).
П-* 00
Пусть е — произвольное положительное число. В силу предположения, у последовательности существует такая функция /м^х\ что l/FM—ЛМ|<3 для а<х<&, p>N, n>N; (3) НО
lim |/ (х) —fn (x) | = |/(x) —/„ (x) | (a <x ^ b^ p-*a>
следовательно, на основании (3),
|/(x)~ Д(х)|<8 для a^x^b, n>N.
Мы видим, таким образом, что последовательность {/п (х)} равномерно сходится.
Достаточное условие непрерывности предельной функции.
Теорема. Предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций есть функция непрерывная.
Доказательство. Допустим, что последовательность {/„ (х)} непрерывных в замкнутом интервале [а, #] функций сходится равномерно в этом интервале к функции /(х). Выберем произвольное число е' > 0. Как следует из условия, в нашей последовательности существует функция /и(х), отличающаяся от /(х) меньше чем на е', т. е.
|/(х) — fn (*)1< 6'(«<Х^6).(1)
Пусть х0— любая точка внутри интервала [о, 6]. Так как, по условию, Д (х) непрерывна, то существует такая окрестность точки х0, что для каждой точки х' этой окрестности выполняется неравенство
|/„(х')-/„(х0)|<8'.(2)
Но
№') -/ (Хц) Н/ (х') -А (х') +/„ (х') -/„ (Хо) +А (х0) —/(х0)|,
откуда
Л*') -/(х0) I < |/(х') —А(х')1 + |А(х') -А (х0)| 4т IA (*») —Лх0)|.
На основании (1) и (2) имеем:
1/(х')—/(х0)| <e, + e'4-8' = 3e,.
Положив е'=-|-, мы видим, что для любой точки х0 найдется такая окрестность, для каждой точки х' которой имеет место неравенство
|Лх')—/(х0)| <£.
Таким образом, функция /(х) непрерывна при х = х0. Аналогично доказывается ее непрерывность при х = а и х — Ь. Итак, функция /(х) непрерывна в замкнутом интервале [а, 6].
Замечание. Легко показать, что если последовательность непрерывных функций сходится неравномерно, то ее предельная функция не обязательно непрерывна. Действительно, положив Д(х)= = х”, мы увидим, что
lim хп =П-*00lim хп =П-*00о1о1при припри при0<х< 1,0<х< 1,X = 1X = 1
lim хп =
П-*00
lim хп =
П-*00
о
1
о
1
при при
при при
0<х< 1,
0<х< 1,
X = 1
X = 1
(см. пример на стр. 173).
Таким образом, предельная функция не является непрерывной при х — 1.
Равномерная сходимость рядов. Понятие равномерной сходимости последовательностей функций можно легко перенести на функциональные ряды. Говорят, что функциональный ряд 2ЛМ П = 1 сходится равномерно в замкнутом интервале [а, 6], если соответствующая функциональная последовательность {^ (х)} его частичных сумм сходится равномерно в этом интервале.
Для исследования того, сходится ли равномерно данный функциональный ряд, что часто является очень важным, во многих случаях достаточно следующее утверждение.
Условие равномерной сходимости ряда. Пусть даны функциональный ряд 2 Л (*) и сходящийся числовой ряд ^ап с п=1л=1
неотрицательными членами. Если, начиная с некоторой функции fNk^V всегда выполняются неравенства
|/л(^)|^оп для п^ N, a^x^b,
то ряд 2 /п W сходится равномерно в интервале [а, 6]. П = 1
Доказательство. Заметим, что если р > q > N, то, положив m
П = 1mCm = 2Х>n = i
получим:
I sp W-Sq (x) I = |/9+1 (x) +/?+2 (x) + ... +fp (x) I, следовательно,
I W - S, U) К I/?+1 (^) 1 +1/9 +2 (^) I + • • • + i/р (^) I • Поэтому в силу условия
|spW-s9 WKa7+i + ^+2+ • значит,
(Sptx) — S9(x)|^op—oq для a < x < b, p>q>N. (1)
Так как, по условию, ряд S°n> а значит, и последователь- п-1
ность {ол}, сходятся, то на основании теоремы Коши можно ука*
зать такой номер N', что при p>N' и q^N’ справедливо неравенство
1»,— ^,<6.(2)
Выбрав теперь произвольное число ^, большее каждого из чисел N и N't получим в силу (1) и (2)
I^U) — sq (х) |<е для a^x^b, p>q>N".
Таким образом, последовательность {$л(х)}, а значит, и ряд £/„ (х), сходятся равномерно. п = 1
Пример. Ряд / а у сходится равномерно в замкнутом интер- вале [ — Л, Л] при условии, что |Л|<1. Действительно, имеем:
геометрический же ряд 2|^|” ПРИ 1*|<1 сходится. п=1
Абсолютная и равномерная сходимость функциональных
рядов. Говорят, что функциональный ряд 2л (х) сходится абсо- п = 1
лютно и равномерно в замкнутом интервале [а, 6], если ряд ^\fnW\ равномерно сходится в этом интервале. Легко видеть, п = 1
что если ряд сходится абсолютно и равномерно, то он сходится также равномерно. Однако обратное утверждение неверно. [Например, ряд
п = 1
сходится по теореме Лейбница на всей оси и притом равномерно, так как по замечанию к той же теореме (стр. 164)
| со |с
для всех х. Однако ни при каком х этот ряд не сходится абсолютно, что легко вытекает из предельного признака сравнения и расходимости гармонического ряда.]
Дифференцирование последовательностей и рядов. Пусть функции fn(x) имеют непрерывные производные на интервале [а, 6]. Если последовательность {fn (х)} сходится» а последовательность {/л (-*0} сходится равномерно на этом интервале, то, положив
ПшД (х)=/(х), П->0С
можем утверждать, что функция f(x) имеет производную и что
Нт/^х) =/'(а;). п-*<»
Доказательство. Положим
Нт/п(х) = ф(х).
П-*00
Пусть х0— произвольная точка, лежащая внутри интервала [а, ^]. По теореме о среднем значении имеем:
|k№z^ф м | = | д' (Хо + 0й) - ф м | =
= V'n (*0 + 9А) — ф (Хо + Ой) + ф (х0 + Ой) — Ф (х0) I <
< |/л (^0 + Ой) — Ф (х0 + Ой) I +1 ф (х0 + Ой) — Ф (х0) |.(1)
Пусть е — произвольное положительное число. Так как последовательность {X (•*)} сходится к ф (х) равномерно, то существует такой номер N, что для каждого п > N и каждого х справедливо неравенство
|/« W-ф WI <V
Отсюда следует, что для п > N и каждого Л имеем:
|Х(хв + ей)-ф(хо + 0й)|<|.(2)
Так как функция ф (х) непрерывна как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций, то существует такое число т) > 0, что для каждого х', удовлетворяющего неравенству |х' — х01 < т], имеет место
|ф(х') — ф(х0)| <^.
Следовательно, если | Л | < Т)» то, принимая во внимание, что 0< < 0 < 1, получим:
I ф (х0+ей)—ф (х0) I < у •(3)
Из соотношений (1) — (3) следует неравенство
I- ф (х0) | < е(4)
для каждого п > N и | h\ < тр
Если принять, что п стремится к бесконечности, то из неравенства (4) получим неравенство
(5)
Таким образом, мы доказали, что для любого числа е > О можно найти такое г) > 0, что для каждого 0 < [ А | < т) будет выполняться неравенство (5). Следовательно,
lim £М^^£М = ( ^ т. е.
/'М-фС^о)-
Аналогично проводится доказательство для х0 = а или х0 = й.
Замечание 1. Если последовательность производных не сходится равномерно, то утверждение теоремы может оказаться неверным. [Действительно, последовательность функций /п (х) = -— хп на [0, 1] сходится (даже равномерно) к /(х) = 0; последовательность производных fn (х) = хл~1 также сходится на этом интервале, но в точке х = 1
Нт(х) = 1(х) = 0.
Следует еще отметить, что из сходимости (даже равномерной) последовательности дифференцируемых функций не следует, вообще говоря, сходимость последовательности производных.] Например, Г sin пх\ последовательность <—-—> стремится равномерно к нулю; последовательность же производных {cos лх} не стремится к нулю, так как, например, при х = 0 ее предел равен 1.
Замечание 2. Аналогичную теорему можно высказать для рядов. Пусть функции ип (х) имеют непрерывные производные в [а, й]. Если ряд 2 ип W сходится, а ряд 2 ип W сходится равномерно П-1П=1
в этом интервале, то, положив
s м (-*).
П = 1
будем иметь:
S'M=2 и„ (х).л=1
[Переписав результат в виде
। 2 ^и(-^)| = 2 ^п (•£)>
\П = 1)П=1
можем сказать, что в условиях теоремы возможно почленное дифференцирование ряда].
Степенные ряды. Степенным рядом называется ряд вида
2 апхП* Он является функциональным рядом с членами 0 = 0
fnW = anxH*
Примеры.
1+* + *2+ •..+*”+••• у у2 уЗyU
1+к+^ + зГ+---+^+‘--
Теорема. Если степенной ряд 2 апхП сходится при х = л = о
= х0 =0= 0, то в каждом замкнутом интервале, лежащем внутри интервала (—|х0|, |х0|), он сходится абсолютно и равномерно.
Доказательство. Рассмотрим замкнутый интервал [— Л, Л] (Л>0), расположенный внутри интервала (—|х0|, |х0|). Пусть х—произвольная точка интервала [—h, й], следовательно, |х|^й.
Заметим, что, по условию, ряд 2 апхо сходится, следовательно,п=о
lim anxJ = O,
П-*«>
поэтому последовательность {я„Хо}, как сходящаяся, ограничена.Итак, существует такое число М>» 0, что для каждого п справедливоI апх^ I < ^*
Так как апх" = апхв ( — ) , то
\Х0 /
iaxi=lvUl£r^MU|".(1)
I II Л0 I
I h Iя
Но 0<Л<|х0|, поэтому геометрический ряд /, Л1 — схо- «=о х°
ОР
дится, и, следовательно, ряд 2 l^n^l сходится равномерно при /2 = 0
|х|^Л, ибо его члены в силу (1) по модулю меньше соответствую
щих членов сходящегося рядащих членов сходящегося рядачто по теореме на стр. 176что по теореме на стр. 176
щих членов сходящегося ряда
щих членов сходящегося ряда
что по теореме на стр. 176
что по теореме на стр. 176
достаточно для равномерной сходимости.
Радиус сходимости степенного ряда. Из доказанной выше
теоремы следует, что если при некотором х = L ряд 2 °пхп расхо- /2 = 0
дится, то для каждого х, для которого | х | > | L |, ряд 2 апхП также /2 = 0
расходится. Отсюда, используя теорию иррациональных чисел, заключаем, что если ряд не является сходящимся для всех х, то множество тех значений х, для которых ряд сходится, образует интервал с центром в точке х = 0.
Обозначив через R правый конец этого интервала, мы увидим,
что если |х|<Я, то ряд 2 апхП сходится, а если |х|>/?, то ряд /2 = 0
2 апхп расходится. /1 = 0
Итак, можно высказать следующее утверждение:
Теорема. Если ряд 2 апхП сходится не при всех значениях х, п = о
то существует такое число R^O, что ряд 2 апхП сходится при п=о
|х|<С/? и расходится при |х|>/?.
При X — ± /? ряд может либо сходиться, либо расходиться.
Число R называется радиусом сходимости ряда 2 апхП* Если /2 = 0
ряд 2 апхП сходится при любом х, то говорят, что его радиус /2 = 0
сходимости равен + оо.
Непрерывность суммы степенного ряда. Так как степенной ряд сходится равномерно в каждом замкнутом интервале, целиком расположенном внутри интервала (—R, R^ то:
Сумма степенного ряда является непрерывной функцией для каждого значения х^ по модулю меньшего радиуса сходимости.
Замечание. Если степенной ряд сходится всюду, то его сумма является функцией, непрерывной всюду.
Вычисление радиуса сходимости. Для отыскания радиуса сходимости обычно бывает достаточно воспользоваться одной из следующих теорем.
Теорема 1. Если существует
lim !y\an\=g
П-* ОО
00
и g^0t то радиусом сходимости ряда 2 апхП будет число л=о
R-T
Если g=0, то /? —+ оо.
Теорема 2. Если существует
Нш |2»±1| = »
/1->оо1 ап I
ug^O, то радиусом сходимости ряда 2 аихП будет число
Если ^ = 0, то /?= + оо.
Доказательство теоремы 1 следует сразу из признака Коши (стр. 167). Действительно, имеем:
1>т ^[0X1= Um ^[oj 'Ix I = £4 * [;
П-+ 00n -* 00
e. дляe. для. Мы видим,. Мы видим,следовательно, ряд 2 |лп*п| сходится пр п=о
e. для
e. для
. Мы видим,
. Мы видим,
| х | < — ) и расходится при g* | х | > 1 ( т. е.
таким образом, что ~ является радиусом сходимости. Если g=0, то g.|x|=0<l и, следовательно, ряд всегда сходится.
Аналогично, опираясь на признак Даламбера (стр. 169) можно доказать теорему 2.
Дифференцирование степенных рядов. Дифференцируя почленно степенной ряд
2 апХп.(1)
П = 1
получим новый степенной ряд:
2 папхп-х. (2)
П = 1
Можно доказать справедливость следующего утверждения.
Теорема. Ряды (1) и (2) имеют один и тот же радиус сходимости. Сумма ряда (2) равна производной суммы ряда (1) при всех значениях х, меньших по модулю радиуса сходимости этих рядов.
Доказательство. Допустим, что R—радиус сходимости ряда (1). Пусть
О < | х | < R.
Выберем произвольное число а, удовлетворяющее неравенству
| х | < а < R.
Так как
Нт ^п = 1,
то существует число N такое, что для каждого п^ N
v 1*1 следовательно,
I"
Поскольку члены ряда 2|а„ Н^^|" не превышают членов
П=1
сходящегося ряда 2 I ап |а" *), то ряд 2 ла„х” сходится абсолютно. /2=1п = 1
Разделив этот ряд на х, мы увидим, что ряд 2 ла^х”-1 также схо- П=1 дится абсолютно для каждого |х|</?.
ОО
Допустим теперь, что |х | > R. Так как ряд 2 I а» I I-^ I” расхо- п = 1
00
дится, а его члены меньше членов ряда 2 л|ап||х|", то послед- х/2=1
ний ряд также расходится. Отсюда следует, что ряд 2 л|ап| l^"”1!
/2 = 1
расходится для |х| > R. Таким образом, радиусом сходимости ряда (2) также является R.
Если 0 < г < R, то ряд (2) сходится равномерно в интервале [—г, г], следовательно, по теореме о дифференцировании рядов (стр. 179) его сумма представляет собой производную суммы ряда (1). Так как г может быть произвольным положительным числом, лишь бы г < R, то сумма ряда (1) имеет всюду внутри интервала (—R» R) производную, которая является суммой ряда (2).
Замечание. Доказанная теорема справедлива также по отношению к рядам, полученным из ряда (2) дальнейшим дифференцированием.
Пример. Как известно,
1+х+х24-... 4-х"+.. • =jz^, |х|<1; следовательно,
1 + 2х + Зх2 + . • • + пхп~г + ... = ^^2-, | х | < 1,
2 + 3.2х-Н-Зх2+...+/г(л-1)^^И<1.
Ряд Тейлора. Пусть /(х)— непрерывная функция, определенная в замкнутом интервале [а, А] и имеющая производные всех порядков, также непрерывные в этом интервале. Обозначив через х0, хо + ^ Две произвольные точки интервала (а, А), а через п— произвольное натуральное число, получим по формуле Тейлора (стр. 131).
(*о) + ... +(х0, А),
причем
R„ кх 0, Л)=^/(Я) (х0+ей) = ^ (1 -ey-v<”, к0+е'й),о<е<1, о<е'<1.
Может случиться, что при неограниченном возрастании п выражение R„^x0, h^ стремится к нулю, т. е. что
lim R^Xg, h) — Q.п-*а>
В этом случае бесконечный ряд
/ ко) + £/' ко) + 5 Г ко) + . . . + ^ /<”> ко) + . . .
сходится к пределу /(х0 + А). Имеем, таким образом,
/ко+А) =/ко) +|/' ко) + ^Г ко) + • • • + 5П к,) +...
Ряд в правой части называется рядом Тейлора. Мы доказали, стало быть, следующее утверждение:
Теорема. Если функция /^ и ее производные всех порядков непрерывны в замкнутом интервале [а, й] и хй, х0 + h — две произвольные точки этого интервала» то
/(*, +А) =/(■*(,)+ £/' (х0)+^Г W+ ... +^/<п’ М+ ... =
00
/1=1
при условии, что остаточный член формулы Тейлора Rn (xQi й) стремится к нулю» когда п неограниченно возрастает.
Замечание. Если интервал [a, й] содержит точку х = 0, то, подставив в ряд Тейлора 0 вместо х0 и х вместо й, получим:
/ (х) =/ (0)+£/' (0) + gr (0) +... +^/(П) (0) +... =
/1 = 1
при условии, что Пш/?л(0, х') = 0.
Это—так называемый ряд Маклорена.
Сформулированная выше теорема имеет фундаментальное значение. Она дает разложение функции /(х) в степенной ряд, если остаточный член Rn(vxOl й) стремится к нулю.
Замечание. В частности, остаточный член стремится к нулю, когда производные функции /(х) ограничены в своей совокупности в интервале [а, й], т. е. когда при каждом натуральном п и каждом х из этого интервала |/(И) (х) | < М. Действительно, тогда имеем:
| Rn (х0, й) ] = | ^/*"> (х0 + 0Л) | < а так как
(см. стр. 43), то
lim Rn (х, й) = 0.
П-* 00
Примеры.
,*=ц-_+§г+...+- + ... для любого X.
у
sl„,-rr-^+^-...+(-1) для любого X.
для любого X..
In (1 +х) =^-^ + ^-^+ ... +(_ 1)-1 ^+ ... для — 1 < х^ + 1.,
(1 + х)₽ = 1 + ^)х +^2+ ... +(£)*" + • • • для |х|< 1 и произвольного р.
Доказательство. 1. Функциям* непрерывна в замкнутом интервале [—Л, Л] (Л— произвольное положительное число), как и ее производные всех порядков, которые с нею совпадают. Таким образом, производные всех порядков ограничены в своей совокупности, а именно:
|/w(a;)|^^, при каждом натуральном п и каждом х из интервала [—Л, Л]. Следовательно, в силу предыдущего замечания ряд Тейлора сходится при — Л^х^Л, т. е. при каждом х, так как Л— произвольное число.
3. То же относится к функциям sinx, cosx, так как их производные всех порядков непрерывны и не превышают по модулю единицу.
Функция In (1 +х) и ее производные всех порядков непрерывны в каждом замкнутом интервале, не содержащем точки х =—1. Остаточный член формулы Маклорена для этой функции имеет вид (стр. 135):
и n (1-|-Охр '4(1 + 0'х)"’
причем
0< 0< 1, О <Э' < 1.
Положив O^x^l, получим:
|Я" ^1“п(1 + 0х)” ^ А ’
следовательно,следовательно,lim Rn (x) = 0. n->oolim Rn (x) = 0. n->oo
следовательно,
следовательно,
lim Rn (x) = 0. n->oo
lim Rn (x) = 0. n->oo
Если же — е ^х ^0 (0 < е < 1), то, положив —х = и, получим
скак 0^0^<0'<1, то 0 < 1 — 0' < 1 — 0'н, следовательно,
0<-^<1
1 —0'и*
Из этих неравенств получаем:
I^WII^WIип / иП с 8"
I^WI
I^WI
1 — 6'u1 — и ^1—8
Так как 0 < е < 1, то lim е" = 0, а следовательно, и lim /?л(х) = 0.
Л-> 00
Так как е —произвольное положительное число, меньшее единицы, то мы доказали тем самым справедливость формулы Маклорена для функции In (14-х) в интервале —1 <х^1.
Для х = —1 мы получаем ряд
который, как известно (см. стр. 158), расходится.
Функция (14~*И непрерывна вместе со своими производными всех порядков в каждом замкнутом интервале, не содержащем точки х — — 1.
Остаточный член формулы Маклорена для этой функции (стр. 135) имеет вид
R„ W = $ (1 + 9x^-Rx" = (^п(Д -еу-Ч1 + Уху»-"х",0<0< 1, 0<9'<1.
Если 0^х<е<1, то, пользуясь первой формой остаточного члена, получим:
о— Р(Р—1)-»-(р—^ + 1) i хя
Ь2...п(i+ex)«-^’
следовательно, при п > р
Так как
lim Ы_* = _
А > оо "
ТО
Существует, следовательно, такое К, что для к^ К будет i(p fc)xi
Положив п >р и п> к. получим:
I W || Ру |-||.. -|—~/М | гп-к"\
а так как
lim ел-А'-1 = 0,
Л -* 00
ТО
lim /?„(х) = 0.
П-> 00
Если —в < х ^ О (0 <е < 1), то, положив х =— и и воспользовавшись второй формой остаточного члена, получим:
R» (х) = ^^5^47^(1 -6')"'1 (1 + б'х^-х",
так что
п Р (Р 0---(Р—п4*1) ( 1 О' \”-1/iА'/ар-т./,
и отсюда
I^WI =
ntz ||(р-1)“Н(/?-2М|(P-”+1) “hi ( ^^ V’1
между 1 и (1— е)Р~\ а единицы (см. стр. 186), томежду 1 и (1— е)Р~\ а единицы (см. стр. 186), тоТак как (1—О'#)77 1 заключено
между 1 и (1— е)Р~\ а единицы (см. стр. 186), то
между 1 и (1— е)Р~\ а единицы (см. стр. 186), то
/ 1—0' \Л-1.
1—нт-, как мы знаем, не больше
\1—0«у’
достаточно убедиться, что
jta |Р«|.|<г^|.|!£^|jta |Р«|.|<г^|.|!£^|(р —n+l)uп—1(р —n+l)uп—1= 0.= 0.
jta |Р«|.|<г^|.|!£^|
jta |Р«|.|<г^|.|!£^|
(р —n+l)uп—1
(р —n+l)uп—1
= 0.
= 0.
Доказывается это так же, как в предыдущем случае.
Так как е — произвольное положительное число, меньшее единицы, то мы, следовательно, доказали справедливость формулы Маклорена для нашей функции в интервале —1 <х< 1.
Замечание. Применяя последнее разложение, получим ряды:
-L- = 1 —х + х2 — х3+ .
г1_=1+х + х24-х’ +
1 х2 . ЬЗх3
У 1 4-х~ 1 + 22 4 ^2-4 6”
1 х lx2 ЬЗх3
сходящиеся при — 1 < х < 1.
Задачи
Доказать справедливость следующих разложений! 4in8jc_(2*)2 (2*)*, п„+1 (2х)2”.
е*—е“* х , х®х2«+1
2■“ТТ+’зГ+’“+(2п+1)! + ”':
(1+^)2 = 4 + (2+2)4+...+(2+2")^+...;
(1+х)-» = 1—х« + х«—...+(—1)”№'’ + ...,|хI < 1;
уЗ у5у2” + 1
arctgx=x—^-+^-+...+(-D" 5^+ ...•). 1*1 <1;
1/Т~1—г 1 । ^ 1 х4 , 1-3 Xе। , ,
К1+* — 1 + 2 24+2-461*1 < *;
arcsinx = x+±x* + ^3^- + l±|4-+---*)’W<L
Функция tgx имеет сходящееся для |х|< — разложение!
Вг^ ф-1) В^ (У — !)в,^" (2»"—1)
1* +41* + • • • +(2S)i Х
Определить постоянные В1Э В8, Вь, называемые числами Бернулли. 3. Доказать справедливость следующих разложений:
. , , , х , cos х . sin х , „ , sin (x+A) = sin xH—jp A2P A2+ • •
/ . # xsin x , cos x , „ .
cos (x + A) = cosxp- h2P ^2+ • •
ln(x+ft) = lnx+-—^Tj +т (t) +••■’|Л|<|*|.
ГЛАВА IX
ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Плоские множества. Области, Множество точек называется плоским множеством, если точки этого множества лежат в одной плоскости.
Плоское множество называется ограниченным, если существует круг, внутри которого оно содержится. Отрезок, треугольник и т. п. являются ограниченными множествами. Прямая не является ограниченным множеством.
Окрестностью точки Р называется внутренность любого круга с центром в Р. Если некоторая точка данного множества обладает тем свойством, что существует некоторая ее окрестность, целиком принадлежащая множеству, то такая точка называется внутренней точкой данного множества. Множество, состоящее лишь из внутренних точек, называется открытой областью или, короче, областью. Наипростейшими областями являются: внутренность треугольника, многоугольника, круга, эллипса и т. п.
Область называется связной, если любые две ее точки можно соединить ломаной ), целиком лежащей в данной области. Связными являются все упомянутые выше области; область же, образованная внутренностями двух кругов, не имеющих общих точек, есть несвязная. Несвязной областью является также множество, которое получим, исключив из круга окружность и один диаметр.
Граничные точки. Замкнутые области. Точка, не принадлежащая области, называется граничной, если каждая ее окрестность содержит точки, принадлежащие области. Множество всех граничных точек области называется границей этой области. Границами внутренностей многоугольника, круга и т. д. являются, соответственно, многоугольник, окружность и т. д.
Множество, образованное областью и ее границей, называется замкнутой областью.
Области, задаваемые неравенствами. Часто встречаются области, определенные следующим образом.
Пусть имеются две функции, определенные и непрерывные в замкнутом интервале [а, 6]:
^=/W> j = tW-
Допустим, кроме того, что
Ф(«^)</(х) Для а<х<Ь.
Это означает (рис. 38), что график функции /(х) находится над
графиком функции ф(х) (за исключением, быть может, концов интервала, в которых возможно /(х) = ф(х)).
Множество точек (х, у), удовлетворяющих неравенствам:
а < х < Ь.
•<pW<^</W>
образует связную область, границей которой служат графики функций /(х), Ф (х) и прямолинейные отрезки, сое
диняющие соответствующие концы этих
кривых. Очевидно, что в некоторых случаях эти отрезки сводятся к
точкам.
Задачи
Указать области, заданные неравенствами:
— 1 < X <1,— V1 — X2 <у <У^1 —х^.
О < х < 1,x3<t/<x2 + l.
1 < х < 3,3— У"4х—х2—3<у < 3+ К4х—х2—3.
—1<х<1,0 < у < 1 — |х|.
0<х<1,0 < у < 1.|х—у|>у.
Замечание. Часто мы будем встречаться с замкнутой областью, определенной неравенствами:.
а^х^Ь, а* ^у^Ы.
Это, очевидно, прямоугольник с вершинами (а, а'), (а, b'^ (£, а'^ № ь:у
Функции двух переменных. Пусть Е—произвольное множество точек, лежащих в координатной плоскости OXY. Говорят, что на множестве Е определена функция, если каждой точке (х, у) множества Е поставлено в соответствие действительное число z> Функциональную зависимость обозначаем, как раньше:
2 = /(Х, у),2 = ф(Х, у) И Т. П.
Числа х, у называются независимыми переменными, число z — зависимой переменной; о функции /(х, у) будем говорить, что она является функцией двух независимых переменных х, у, определенной на множестве Е. Множеством Е обычно является открытая или замкнутая область.
Примеры функций двух переменных:
z = х^-\-у^для всех х, у.
z = V\ —х2 — у2 для х2+у2^1.
2= (,_!)*(, -2) ДЛЯ 0<х<1, 1<,<2.
Если функция /(х, у') определена только формулой, то мы будем считать, что множество Е состоит из тех и только тех точек (х, у)э для которых формула определяет значение функции.
Геометрическая интерпретация функции двух переменных. Выберем в пространстве систему координат OXYZ. Графиком функции z—fM^yY определенной на множестве Е, назовем множество всех
точек (х, у, z) (поверхность), где х и у являются координатами точек множества Е, a z—f(x, уУ
Примеры.
2=1 — х — у(рис. 39).
Геометрическим образом является плоскость, проходящая через точки (0, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0).
2 = ]/1 — х2—у2 для х2+у2^1 (полусфера; рис. 40).
^ = х2+у2(параболоид вращения; рис. 41).
Если функция /(х, у) определена в прямоугольнике a<Lx*<b^ а* <у<Ь\ то, положив х = х0 (а < х0 < Ь), можно выражение z=f(x^ у) считать функцией одной переменной у, определенной в интервале (а', 6').
Выберем в качестве осей координат O'Y'Z* на плоскости х = х0 прямые пересечения ее с плоскостями OXY и OXZ. На осях O'Y' и O’Z' выберем такие же направления, как на осях OY и OZ (рис. 42). Построим в плоскости O’Y* Z* график функции х* = /(х0,у'); очевидно, этот график является линией пересечения поверхности z^f (х^ у)
Если функция /(х, у) изменяется регулярно, то, образуя эти сечения достаточно густо, мы сможем достаточно ясно представить себе геометрический образ функции z=/(x, у).
Мы сможем также изучить сечения поверхности плоскостями, параллельными плоскости OXZ. Принятое нами предположение, что функция определена в прямоугольнике, очевидно, не является обязательным; таким же образом можно изучать функции, определенные на произвольных плоских множествах.
Примеры. Исследовать сечения следующих поверхностей плоскостями, параллельными координатным плоскостям OXZ и OYZ:
х — ху (сечениями являются прямые).
х — х^—у2 (сечениями являются параболы).
2 = ху2 (сечения плоскостями, параллельными плоскости OXZt суть прямые, сечения же плоскостями, параллельными плоскости OXZ, суть параболы).
Линии уровня. Линией уровня поверхности 2=/(х, у) называется проекция на плоскость OXY сечения этой поверхности плоскостью, параллельной плоскости OXY. Иными словами, линией уровня называется множество всех точек (х, у), в которых функция
7 С. Банах
принимает одинаковые значения. Начертив ряд линий уровня и отметив, какие значения принимает на них функция, получим более или менее точное представление об изменении функции (рис. 43).
Задачи
Определить линии уровня поверхностей;
1. z=Vr=^z^2.
Рис. 43.Рис. 44.
Линиями уровня будут окружности, за исключением значения z=I, для которого линия уровня вырождается в точку (рис. 44).
2. z = 3x2+2t/2 (эллипсы).
3. z—xy (гиперболы).
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Определение предела. Говорят, что последовательность точек с координатами {(хп, уп)} стремится к точке (х0, ^0), если
Шп х„ = х0 и limj,„=^0.Л -> 00П-* оо
При этом расстояние dtt между точками (х„, j^) последовательности и предельной точкой (х0, j0), когда п неограниченно возрастает, стремится к нулю
Пт d„ = 0,
П-* 00 так как
dn = V {Хп — Х0)а + Vk —Уо)2
Обратно, если limdn = 0, то последовательность точек {хп, у„} стремится к точке (х0, j0).
Пусть функция z=f(x, у) определена в некоторой окрестности К точки (х0, у0), за исключением, быть может, самой точки (x0,j/0). Говорят, что g является пределом функции АХ»У) при х» У» стре-
мящихся, соответственно, к хй1 у0) если для каждой последователь- ности точек ^хп, уп^, отличных от (х0, _у0), принадлежащих окре- стности К и стремящихся к (х0, ^0), имеем:
П-* 00
Предел обозначают:
х->х0
У-^Уп
Замечание. Читатель легко поймет значения символов: Пш/(а:, 30 = + оо, lim/(x, у)=^, Пт/(х, ^) = + оо и т. п.
х-*хох^м
У~*Уоу-* оо
Примеры.
1. Пт ^-у^ — -^ Х-* 1
У"* 2
3. Пт - ,= + оо.
х-„0Х2 + 1/а
У** 0
х-> 00
У-* 00
Пт 1^=1.
х-.оха+^
У~* 1
Нт, = 0.
00 Х + ^ у-* 00
Теоремы о пределах. Для функции двух переменных можно доказать много теорем, аналогичных теоремам, полученным для функции одной переменной. Доказываются они теми же методами.
Теорема. Для того чтобы число g было пределом функции z^f^x, у^ когда (х,^) стремится к [х0,у^ необходимо и достаточно, чтобы значения функции в точках, достаточно близких к точке (^о, Jo), сколь угодно мало отличались от g; другими словами, чтобы каждому числу е > 0 можно было поставить в соответствие такую окрестность точки Vx^y^ что значение функции в любой точке этой окрестности (отличной, однако, от (х0 у0^ отличалось от g меньше чем на в.
Для функции двух переменных справедливы теоремы о пределе суммы, произведения и частного, аналогичные соответствующим теоремам для функции одной переменной. Верна также теорема о сохранении знака.
Теорема. Если
Нт/(х, y^g х-*х0 У-^Уо
и если g> 0, то существуют число а > 0 и окрестность точки (х0, у^, в каждой точке которой (кроме, быть может, самой точки (х0, ^0)) имеет место неравенство
7^, ^) >а.
Непрерывность. Равномерная непрерывность. Говорят, что функция ^==/(х, ^) непрерывна в точке (х0, у0^ если она определена в этой точке и в некоторой ее окрестности и
Иш/(х, j)=/(*0, j0).
х—► х0
У-*Уо
Примеры. Функции z = x+y1 z = x2—у2 всюду непрерывны.
Замечание. Если функция г = /(х, ^) определена на множестве Е, то говорят, что она непрерывна в точке ^х^ ^0) множества Е по отношению к этому множеству, если для каждой последовательности точек {(xn, Jrt)}, принадлежащих Е, которая сходится к (x0,j0), имеем
lim/(x„, J„)=/(x0, j0). п-* св.
Если функция непрерывна в каждой точке множества Е по отношению к этому множеству, то говорят кратко, что она непрерывна в Е.
Таким образом, если, например, функция непрерывна в замкнутой области Й, то во внутренних точках она непрерывна в обычном смысле, в точках же граничных она непрерывна по отношению к множеству й.
Можно высказать определения и теоремы, аналогичные тем, которые были высказаны для непрерывных функций одной переменной, например теоремы, относящиеся к непрерывности суммы, произведения и частного двух непрерывных функций.
Пусть функция /(х, у^ определена в области Й и точка (х0, у0) принадлежит Й. Тогда необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке (х0, ^0) по отношению к Й заключается в том, чтобы значения функции в точках, достаточно близких к точке (х0, ^0) (принадлежащих й), сколь угодно мало отличались от значения функции в точке (х0, ^0); другими словами, чтобы для каждого числа е > 0 можно было подобрать такую окрестность точки (Xq, у^> чтобы значение функции в каждой точке этой' окрестности (принадлежащей й) отличалось от f(x^y9) меньше чем на е.
Функция, определенная на произвольном множестве Z, является равномерно непрерывной на нем, если значения функции в достаточно близких точках этого множества сколь угодно мало отличаются друг от друга, т. е. если для каждого числа е > 0 найдется такое число т) > О, что значения функции в двух произвольных точках множества Z, расстояние между которыми меньше чем т), различаются между собой меньше чем на е.
Если функцця определена и непрерывна в ограниченной и замкнутой области Й, то:
она ограничена и равномерно непрерывна в этой области;
она принимает, по крайней мере в одной точке области Q, наибольшее значение и, по крайней мере в одной точке, наименьшее значение.
Если допустить, что множество внутренних точек области Q является связным множеством.» то функция принимает каждое значение, заключенное между ее наибольшим и наименьшим значениями.
Если функция, непрерывная в замкнутой области Q, положительна в некоторой точке этой области, то существует такая окрестность этой точки и такая постоянная а > 0, что в каждой точке этой окрестности (принадлежащей Q) имеет место неравенство
f^x, у) > а.
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
10. Определение частных производных. Пусть функция z=/(x, .у) непрерывна в окрестности некоторой точки ^х, у). Обозначим через Ал? приращение переменной х.
Положим
A,z=f(.x+Ax, y)—f(x, yY
Предел (если он существует) отношения -^ при Ах, стремящем*» ся к нулю, называется первой частной производной по х. Эта частная производная обозначается символами:
^ или fxkx.yY
Таким образом,
X(x,y)=J= lim
Аналогично определяется частная производная по у:
^(х,у) = * = lim Н^+^Цх^
Примеры.
z = 5x2-Y8xy2-Yy8-,
^=\0х + 8у», g=16xj + 3/.
9 ху дг у2 дг х2
• Z~x+y' дх~ (х+у)3’ ду~ (х+у)8"
дг1 дг 1
дх- г/хО^Т-^у)2’^"гКуО^-Кр)2'
4.4.Z=ln^, х— д’Z=ln^, х— д’дгдг2д2ддгдг2х2хдх хй—у^'дх хй—у^'ду ха—уй*ду ха—уй*
4.
4.
Z=ln^, х— д’
Z=ln^, х— д’
дг
дг
2д
2д
дг
дг
2х
2х
дх хй—у^'
дх хй—у^'
ду ха—уй*
ду ха—уй*
z=, sin х 4- cos (х —,),
1?=, cos х —sin (х—у),^ = sinx4-sin(x— у).
х дг _ g дг x
г —arctg y , dx — xa_|_ya> ду— x2 + g2‘
z = xyex*^,
g = e^y(14-x), g = e^x(14-2^).
Частные производные второго порядка. Если допустить, что функции fx и /у существуют в окрестности точки (х, ^), то может случиться, что каждая из них также имеет частные производные по х и по у. Эти частные производные обозначаются символами:
f" —/ — d2z
дхдх^ ’ дх ^ух ду дх ’
^_ д^г ^ ” д^г ду ^Jxv^dxdy* ду —™ — ду*'
Пример ы.
2Г = х4 + 4х2^3 +7х^+1.
Имеем:
^ = 4x3 4-8х^з 4-7j, g = 12x3^4-7х, следовательно,
Д=12х24-8/, ^ = Д- = 24х^4-7, f| = 24x2j.
дх21 z дхду дудх‘ ’ дуг z
2r = sinx cos^y, дгдг ..
^ = cosx cosj,^ = — sin х sin у,
д^г .д^г д^г. дйг
^=-s.nxcosj, 5-^- = ^ = -cosxsin,, ^=-sinxcos,.
В обоих примерах мы получили
дЧ дЧ
дхду дудх *
Как будет сейчас доказано, этим свойством обладает каждая функция /(х, у), удовлетворяющая некоторым общим условиям.
Теорема об изменении порядка дифференцирования. Если в окрестности точки (х, у) производные f*> fyx существуют и непрерывны, то они равны между собой в этой точке.
Доказательство. Рассмотрим выражение
а=/(х + Дх, у + Ду)—/(х, у + Ду)—/(х + Дх, у) +/(х, у), где Дх, Ду имеют некоторые постоянные значения. Выражение
Л*, у + Ду) — f{x, у) •
можно считать функцией переменных х и у. Пусть
ф(^. ^) =/(-*, у+Ду)— f {х, у).
Тогда
<р(х+Дх, у)=/(х + Дх, у + Ду)— /(х + Дх, у).
Таким образом, и = ф(х+Дх, у) — ф(х, у).
Считая у постоянным, получим по теореме о среднем значении
и = Дх-<р^(х + 0 Дх, j), причем
<(*. ^)=/,(^» ^+Ау)-/;(х, у).
Подставив вместо х выражение х + ОДх, получим:
и = Дх [/; (х + 0 Дх, у + Ду) —f* (х + 0 дх> у)].
Применив теперь к выражению в скобках опять теорему о сред* нем значении, получим:
и = ДхДу^(х + 0 Дх, у + О'Ду).(1)
Если бы мы с самого начала положили
1|)(Х, у)=/(х+Дх, у)—/(х, у), то, поступая совершенно аналогично, получили бы м = ф(х, у+Ду) —ф(х, у), а затем
и = Дх Ду fyx (х + о^х, у + 0^ Ду).(2)
Сравнивая между собой равенства (1) и (2), получаем после деления на общий множитель Дх Ny равенство
/;у(х+едх, y+0'Ay)=/;x(x+eiAXi у+е^у),
где О, О', 9d 6^ — положительные числа, меньшие единицы. Если устремить теперь Дх и ky к нулю, то в силу непрерывности производных /" , /* получим:
yw;,^. у).
Задачи
для функций:для функций:Проверить вычислением справедливость равенства^2 — ^zдх ду ду дх
для функций:
для функций:
L2.L2.г = ах2 4- 2Ьху+су2.
L
2.
L
2.
х + у г=еху + ух2. Для функций, приведенных в задачах п. 10.
Частные производные высших порядков. Так же как производные второго порядка, определяются и производные высших порядков. Частная производная л-го порядка является, следовательно, результатом л-кратного последовательного дифференцирования по переменным х и у. Частную производную л-го порядка, которую получим, взяв р раз частную производную по х, а от полученной таким образом функции q раз производную по у, будем обозначать символом
■^^==fxp\g<ikX» ^(p + q = n).
Пример. Пусть
z = х4 — 4ху +у4.
д^г
Вычислим ъ . Имеем:
дхду2
~ = 4х3 — 8ху2, ,дхz ’
= — 16ху, дхду д^г
- к-А =— 10 х.
дхду2
Окончательный результат не будет зависеть от порядка, в котором берутся частные производные, если все частные производные до л-го порядка включительно непрерывны. Действительно, по последней доказанной теореме мы можем менять порядок двух последовательных дифференцирований. Так как, меняя несколько раз порядок двух последовательных дифференцирований, мы можем от каждого порядка вычисления производных перейти к любому другому, то окончательный
результат будет точно определен, если только задано число дифференци- dnz
рований по х и по у. Поэтому символ ^р^ Kp-Vq — i^ вполне достаточен для обозначения всех частных производных л-го порядка при условии, что они непрерывны в окрестности точки (х, у).
Пример. Пусть z = arctg -г — .
Имеем:
д^г 1д4г 15ху
дх дуз ’ дх^ду^Т ’
(l^^a(1+x2 + ^2) 2
dez е 1 — 5 (х2 + #2) 4- 51х2у2 —6 (х4 + у4)дх^ду3™ 10£1е
(1+х2+^)2
Сложная функция. Пусть дана функция переменных л, у ^=/(л, ^),
определенная в некоторой окрестности U точки (л0, v0) и непрерывная в самой этой точке. Пусть, далее, переменные л и ^ являются в свою очередь функциями переменных х и у:
л = ф(х, у); ^ = ф(х, у),
причем л0==ф(х0, у0), ^0 = ф(х0, у0). Если функции ф(х, у) и ф(х, у) непрерывны в точке (х0, у0), то их значения в достаточно малой окрестности X этой точки не выходят за пределы окрестности U точки (л0, ч)^. Значит, при этих условиях переменную z можно рассматривать как сложную функцию переменных х, у, составленную при посредстве переменных л, v и определенную на множестве X
г=/(ф(х, у), ip(x, y^^F^x, у).
Предположим еще, что функции ф, ф и / имеют непрерывные частные производные первого порядка *) в точке (х0, у0), соответственно (л0, ф0), и найдем частные производные сложной функции.
Частные производные сложных функций. Чтобы определить частную производную по х, обозначим через Ах приращение переменной х, а через Ал, Av, Az соответствующие приращения переменных л, ч), z. Итак, пусть
Ал —ф(х+Ах, у) — ф(х, у), Ау = ф(х + Ах, у)—ф(х, у), Д2г = /(л + Дл, у + А-р)—/(л, v).
Выражение для Дг преобразуем следующим образом:
Дг=[/(и + Дя, v + Ay)—/(и, у + Ду)]+ [/(“> у+Ау)—/(«, у)]
Применяя теперь к каждой скобке теорему о среднем значении и считая при этом постоянным в первой скобке о+До, а во второй и, получим:
kz=fu (^+ 6 Ам, у+Ду) Д^+/р(м, у+ 6'Ду) Ду, откуда
^=/;(и+0ДЫ, у+Ду)^+/'(«, »4-0'Д0^.
Если Дх стремится к нулю, то в пределе получим:
$= /л+Ж>илидгд^ди । dz дидх ди дх * ди дх е
Аналогично, дгдг ди^дгди ду”~ ди ду^диду *
Например, пусть
Z=(3X2+j,2)4X + 2y = ^ тогда
Й = ^-1^ + ^1пЙ = ^-1^ + ^1пдиидх —диидх —
Й = ^-1^ + ^1п
Й = ^-1^ + ^1п
диидх —
диидх —
= (4ХЧ- 2)0 (Зх=+<у2)4Х+2>'-16х-КЗх2+<у2)4Х+у'41п (Зх2+/).
Если предположить, что и и у являются функциями лишь переменной х, так чтоz
и — ^ (х), о=ф(х), то
г=/(й, у)=/[ф(х), -ф(х)]=/;,(х).
Таким образом, % является сложной функцией переменной х, составленной с помощью переменных и и У. В силу (1) и принимая дг дг
во внимание, что в этом случае ^ = 5^> получим:
(3)(3)dz_ dz dudzdv
(3)
(3)
dx du dx du dx *
Например, пусть
г = [Ф (х)]*(Х> = м”;
тогда
^ = vu”- V + «”ln ti • y' = = ip (x) [ф (х)]ф (*)-1 ф' (x) 4- [ф (x) ^ ‘*> In ф (x) -Ф' (x).
Если z^f^x, у), причем <у = ф(л:), то получим: z=/[x, i|>(x)]=,F(x).
Применив формулу (1) при условии, что и = х, v—y, будем иметь:
в- Л+/ХW
Например, пусть
2 = х2 + Зху2 + 4у, у — 2х2 +1, тогда
^ = 2х + 3/ + (бху 4- 4) 4Х.
Задачи
1. z=in^hX?-^^in^ х—ух^ — ^и—и
дг2 дг 2х
дх — ух»—у1 * ду — —g y^^i *
2-z = ^4^>у=2х—3,
дг _ 4х(х—3)
т/ах-у by V ах—byт/ах-у by V ах—byдх~ ^ + 2х—З)2 е
т/ах-у by V ах—by
т/ах-у by V ах—by
г= In
дгaby
дха2х2 — Ьуй ’
дг abx
дуа^х^—Ь^у^ *
дг дх
= Ух
=2х.
Воспользоваться тем, что у такой функции частные производные вто- д^г д^г
рого порядка g^^, ^^J были бы непрерывны и, следовательно, равна между собой.
НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
(1)(1)Определение неявной функции. Пусть-функция z = F^x, у) определена и непрерывна в некоторой области. Может случиться, что существует непрерывная функция j = /(x), такая, что соответ* ствующие пары (х, у) удовлетворяют уравнению
(1)
(1)
204гл. ix. функции двух переменных
В этом случае говорят, что функция /(х) неявно задана уравнением (1).
Примеры. Неявным заданием функции:
—х
y = Yq7jявляется ху4-х+у—1—0.
у = Vr2—х2является х2+у2— г2 = 0.
^ = х + /1 — 2х2 является Зх2— 2ху+у2—1=0.
Не следует думать, что если дано уравнение (1), то тем самым уже определена неявная функция. В действительности может не существовать ни одной непрерывной функции, удовлетворяющей уравнению (1), или может существовать несколько таких функций.
Примеры.
Не существует функции, удовлетворяющей уравнению х2+у2 + 1 =0.
Функции у = ]/1—х2, у =— V1—х2 удовлетворяют одному и тому же уравнению, а именно: х2+у2—1 = 0.
Теорема существования неявной функции. Если функция ^ — F^x, у), непрерывная вместе со своими первыми частными производными в окрестности точки (а, Ь), удовлетворяет условиям:
^(а, ^) = 0,
/у (а, 6)^=0,
то существует одна и только одна функция у =/(#), определенная и непрерывная в окрестности точки х = а, такая, что
М-Ь-
F[x, /(х)] = 0.
Доказательство этой теоремы ввиду его сложности мы опускаем.
Пример. Пусть
F^x, у)=ху4-х+у—L
Имеем:
Fy = х + 1.
Выбрав а = 2, Ь=—~ , получим:
F(2, — у)=0, Fy(2, —1)=3^0.
По нашей теореме существует, следовательно, одна и только одна функция у = /(х), непрерывная в окрестности точки х = 2. принимающая в этой точке значение —у и удовлетворяющая уравнению
^(х, у) = 0.
То же самое можно сказать о каждой другой точке (л, &), удовлетворяющей условиям ab-\-a-Vb — 1 = 0, а + 1^=0. В нашем примере мы можем найти искомую функцию, решив уравнение F^x,y) — 0 относительно у.
Производная неявной функции. Допустим, что функция y=f^x^ непрерывная в окрестности точки х = аэ задана в неявном виде F(x, у) = 0. Допустим, кроме того, что функция z — F^x, у) непрерывна вместе со своими частными производными первого порядка в окрестности точки [х = а, у=/(а)=Ь]и что Fy(a, Ь^О» Обозначим через Дх произвольное приращение переменной х. Положим
Д^=/(а +Дх)—/(а); имеем, следовательно,
^(а + Дх, #+Ду) — F(a, b) = 0.
Поступая так же, как на стр. 202, получим: F(a + Ax, b + ^ — F^a, b^ =
= Fx^a-^Q Дх, &+ Ду) Дх + ^(о, ^ + 0! Ду) \у = 0.(1)
Так как ^(х, у) — непрерывная функция и так как /^(а, А)^=0, то для достаточно малого приращения Ду имеем также
Fy^a^ b-\- бхДу) ^ 0.
Поэтому для достаточно малых Дх и Ду из (1) можно вывести
Ау ^(a + ОД^ Ь+Ьу^Ау ^(a + ОД^ Ь+Ьу^kxkxр'^а, b+Q^y)р'^а, b+Q^y)(2)(2)
Ау ^(a + ОД^ Ь+Ьу^
Ау ^(a + ОД^ Ь+Ьу^
kx
kx
р'^а, b+Q^y)
р'^а, b+Q^y)
(2)
(2)
Когда Дх стремится к нулю, то в силу непрерывности функции у = /(х) приращение Ду также стремится к нулю.
Таким образом, правая часть равенства (2) имеет своим пределом
Fx (a, b)F^a, b/
Поэтому
л»F'^a, b)
fW lim =\
7 X ' bx-^xFy(atb)
Итак, нами доказано следующее утверждение:
Теорема. Если непрерывная функция у = /(х) задана в неявном виде уравнением F^x, у) = 0 и если Fx и Fv непрерывны, то функция у=/(х) имеет производную для каждого значения х, для
которого гй[х, /(х)]^=0, и эта производная выражается формулой
(3)(3), _ Fх ^х. У) _ дхF'^x.y)- dF*ду
(3)
(3)
Займемся теперь определением второй производной неявной функции.
Производную у мы можем рассматривать как сложную функцию, р' (*> #)
составленную из непрерывной функции-, и непрерывной
Fti ^ у)
функции J=/(x).
Если к предыдущим условиям добавим еще условие, что функция F^x, У имеет непрерывные вторые частные производные, то из теоремы о производной сложной функции и из (3) будет следовать существование у\
Применяя формулу (4) (стр. 203), получим:
dx дх ।LL гуА
Таким образом,
У У\— У У У У —У р\ Г г'1и 14 х1 ху 1 у1 ху 1I1 X
W W Ч 4
Отсюда
.=_ <2У1^^Л^±(£УйsW ’
ИЛИ
(ЭРуд^Р дРдР дйР (дРуд^Р * \ду / дх2 дх ду дх ду'" \дх / ду^
У —Тэту
Аналогично получаются формулы для производных высших порядков, но они довольно сложны.
Замечание. Следует помнить, что в полученных формулах для производной символом у обозначена функция переменной х, определенная уравнением ^(х, j)=0; правые части этих формул являются, следовательно, функциями одной переменной, т. е. переменной х, а не двух переменных х, у, как это кажется на первый взгляд.
Примеры.
L f(x, j)=x2 + /—1=0.
Имеем:
^-2х- — — 2У — = 2- W-2- d2f -О
дх”2Х' ду-^’дх^'2' di? ' d^y-Q-
Поэтому
Дифференцируя вторую производную и рассматривая ее как сложную функцию, получим:
,„ _З^У_ Зх- у6
F(x, jz) =jz—ха^ + х = 0.
Имеем:
следовательно, е^-1
^1— хеУ '
sin(x+jz) —J = 0.
гcos (х+у)„ _sin (х + у)
COS(x + y) —1’[COS (х+Z/) —I]3 •
Максимумы и минимумы неявных функций. Пусть функция z — F^x, у^ непрерывна вместе со своими частными производными до второго порядка включительно в ,области й. Рассмотрим задачу отыскания экстремумов функции, заданной в неявном виде уравнением ^(х, j) = 0.(1)
Приведем простейшие необходимые условия. Для этого найдем точки (х, j), удовлетворяющие условиям:
F^x, jz) = 0,
Fx U, jz) = 0,Fy (х, jz) =# 0.
Если существует точка (х0, jz0), которая удовлетворяет этим условиям, то в силу предыдущих теорем (стр. 204 и дальше) существует функция j=/(x), непрерывная вместе со своими производными первого и второго порядка, удовлетворяющая уравнению (1) в окрестности х = х0 и принимающая при х = х0 значение у—у0.
Заметим, далее, что
Fy (*о, ^о)
Так как Fx (х0, j/0) = 0, то, применив формулу для второй производной неявной функции (стр. 206), получим:
Г(^о) =Г(^о) =^Х8 (*0> Уо)
Г(^о) =
Г(^о) =
Fy (*0, Уо) *
Следовательно, если Fxt (х0, ^0) ^ 0, то функция у =/(х) имеет в точке x = xQ экстремум. Это будет собственный максимум или минимум в зависимости от того, имеют ли F^ (х0, у0) и Fy (х0, j0) •одинаковые или противоположные знаки. Если Fxi ^х^ Jo) = O, т0 надо исследовать производные высших порядков.
Пример. Пусть
F^x, у) =у^_ Зх^ + х3 = 0.
Имеем:z
Fx = — Зу + Зх2, Fy = 3/—Зх.
Решив систему уравнений Г(х, >0 = 0 и F^x, >0 = 0, получим два решения:
^ = 0,^ = 0 и х2 = р/2, J2 = У4.
Имеем:
^(*^i> J^i) 0, Fy (х2, y^ — ^v^^*
Отсюда видно, что первое решение отпадает. Далее,
^(*2, у2) = 6х2 = 6^2.
Так как Fxi (х2, у^ и ^(х2, у^ имеют одинаковые знаки, то имеет место собственный максимум.
Задачи
В задачах 1—4 проверить результат, определив и из уравнения F (х, у) = 0.
F (х, y) = Axa-V2Bxy-\-Cy^-y2Dx-Y-2Ey-\-F=0;
dy_ Ах+ВуЦ-Р dxВх + Су-у-Е *dy_ Ах+ВуЦ-Р dxВх + Су-у-Е *dx»~dx»~ABD ВСЕ DEF (Вх + Су+ЕУ *
dy_ Ах+ВуЦ-Р dxВх + Су-у-Е *
dy_ Ах+ВуЦ-Р dxВх + Су-у-Е *
dx»~
dx»~
F^x, t/) = x3—3cxy+i/3 = 0;
^ су—xad2y 2c^xy
dxcx—y»*dx^ (cx—y2^ *
, У v л—1)
F^x, у) —у —х -0;
Г (х, и) = еу+ах2е-у—2/>х = 0;.
ах х
Доказать, что неявная функция, заданная уравнением
F (х, у') = у4—4аЧу-\-х4 = 0, имеет экстремум при
х=^а уз, t/=±a у27.
Исследовать, будет ли это минимумом или максимумом.
Исследовать на экстремум неявные функции задач 1, 2.
Доказать, что из^всех треугольников с данной высотой w и данной площадью Р наименьший периметр имеет равнобедренный треугольник с основанием И ВЫСОТОЙ W.
ГЛАВА X
ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ.ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Формула Тейлора, Пусть функция /(х, J/) непрерывна вместе со всеми своими частными производными до л-го порядка включительно в окрестности некоторой точки (х, j). Пусть точка (х + й, J/ + A) принадлежит этой окрестности. Считая*х, j, й, к постоянными, мы можем выражение /(х + й/, j + й/) рассматривать как функцию переменной t. Положим, следовательно,
ф(0=/(х + М, jz + ^).(1)
Найдем производные функции ф (/), пользуясь теоремой о производной сложной функции (стр. 202). Для этого положим:
и = х + М,
i^y + kt,
так что
<р(0=/(“. ®)-
Дифференцируя по t, получаем:
ч'^=№ »)$+/;(«, »)$, откуда
<p'(O=/U“> ^+/»(“. «)А-
Возвращаясь к предыдущим обозначениям, получим:
^ ^ = hf'x^x-Vht, y + kt)+kf'u(x + ht, у+М).
Аналогично найдем:
ф"(П = а7;.(^ + аЛ у+А/) +
+ ЧИкГ^ {X + М, у + кЦ + к»Гд, (х+М, у + кЦ.
Эту производную можно записать символически в виде
ф*(О = [а/;(х+ао y-vkt^kf^x-vht, у + кпр.
Вычисляя следующую производную, получим:
Ф'" W = к^ (х + ht, у + А/) + ^kf^ {х ^kt, у + А/) + + ЗАА2/^, (* + ht, у + АО + А3/", (х + kt, у + АО,
символически:
ф"' (0 = [А/; (х + М, у + AZ) + kfH {х + М,у+kt^\
По индукции найдем:
ф<"> (0 = [А/; (х + м, у + АО + kfM (х + kt, у + А0](Я).
Заметим теперь, что, применяя к функции ф (/) формулу Маклорена? и положив /=1, получим:
Ф (1)=Ф (0)+1 ф' (0)+1 <р" (0) +... + (^гф*"-1* (О)+R»-
Остаточный член можно писать, например, в форме Лагранжа: Я„=1ф*">(0) (0 < 0 < 1).
Но
ф (1)=/(х + А, у + А),
Ф (0)=/(х, у),
ф' (0) = А/' (х, у') + А/' (х, у),
ф"(0) = А2/;,(х, У) + 2АА/^(х, у) + А3/;,(х, у) =
= [А/; (х, yHkf'v (х, j)](2),
и вообще,
ф<"> (0) = [А/' (х, J) + А/; (х, .у)](П\
Следовательно,
/(х + А, j + A)=/(x, j) + lp/;(x, у)4-А/;(х, jf)] +
+^ Vhf'x Vх» ^) + A/у (х, ^)]<2) + • • •
• • •+(^1м № <^> ^+^;(х- ^г-1>+^
для остаточного члена Rn имеем формулу
^=i № ^х+Qh> у+м)+^» (х+Qh> у+9к>Г(0<9<1).
Мы получили, таким образом, формулу Тейлора для функции двух переменных.
Если принять, в частности, что х = 0, ^ = 0, то, подставив в формуле Тейлора х = 0, ^ = 0 и написав в дальнейшем х, у вместо Л, Л, получим формулу Маклорена для функции двух переменных в виде /(*, j)=/(0, 0)+1[х/;(0, 0)+^(0, 0)]+
+i[x/U°> о)+^/;(о, o)j«+...
°)+^°> 0)Г‘и + ^. где
R«=^№^x* 9у)+^(ех, 9y)f>.
Замечание. Из формулы Тейлора, при л = 1, получим теорему о среднем значении для функции двух переменных:
/(^ + А, j + A) — f(x, у^ =
= hf'x(x + Qh, j + 9А) + А/'у (х 4-9А, ^ + 9А) (0 < 0 < 1), в предположении, что первые частные производные /' (х, j) и /' (х, у^ функции ^=/(х, у) непрерывны в окрестности точки (х, у).
Ряды Тейлора и Маклорена. Допустим, что функция Дх, у) непрерывна вместе со своими частными производными всех порядков в окрестности некоторой точки (х, уУ Обозначив через (х + Л, ^-(- &) произвольную точку этой окрестности, а через п произвольное натуральное число, имеем по предыдущему (см. п. 1):
/(х + А, ^4-А)=/(х, J)+-^[V'(^. .У) + ^(*, ^)] +
+ i W'x <Х- ^) + к/'у ^Г* + . . .
• • • + (^ W (*• ^) + кП ^ ^Т"-» + Rn.
Если
Нт ^ = 0,
то получим разложение нашей функции в сходящийся ряд fkx-Vh, y + k}=f(x, у4-^[Л/'(х, y^-Vhfykx, у)] + ...
называемый рядом Тейлора.
Если, в частности, положить х = 0, у —О и вместо h и к писать х, у, то получим ряд Маклорена:
Дх, у=/(о, о)+1[х/;(о, 0)+у/;(0,0)]+...
°)+^?°- о)Г+--- Примеры.
1 ,х+У — 1 I * + У I (х + у)2 I i^+t/)" ,
•-1!21 г • Т я| +
sinxsinj/ =
-=^- 2ху—^ (4x3j + 4хУ) 4- ^ (6х5у 4- 20х3у 4- бху5) 4- • • •
arctg4т = arctg —4-«тГ «^ а^ГТ~Ч *1 +
У+к У 1! Lx2+^a'
Г —^xy . 2 । 2 (x2—#2) ^ . 2xg£21 г '2! V(xa + y^^+y^ nR^(xa-V-y*r J
МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
3*. Определение экстремума. Это понятие для функции двух переменных вводится точно так же, как и для функции одной переменной (стр. 138).
Говорят, что в некоторой точке (V, j') функция ^=/(х, j) имеет максимум, если значения функции в некоторой окрестности данной точки не превышают значения функции в самой этой точке. Заменив здесь слова «не превышают» словом «меньше», получим определение собственного максимума.
Соответствующим образом определяется минимум. Точки минимума и максимума носят общее название точек экстремума.
Из приведенных определений, как и в случае функций одной переменной, вытекает, что для точек экстремума (Х> у') и только для них приращение функции’
Д2=/(х'4-й, у 4-*)— /(х', У)
при всех достаточно малых h и к сохраняет постоянный знак. Если имеет место собственный экстремум, то Az=/=0 для всех достаточно малых h и к, за исключением случая Л = А==О.
4*. Необходимые условия существования экстремума. Если в точке экстремума ^хг, у') функция z=f(x, у) имеет первые частные производные, то они в этой точке равны нулю.
Доказательство. Из определения экстремума следует, что при фиксированном у=у' функция f^x, у'), рассматриваемая как функция одной переменной х, имеет экстремум при х = хг. На основании необходимого условия экстремума для функций одной переменной (стр. 139) получаем
fx lA У) = °-
Совершенно аналогично найдем, что
/у ^'. У) = 0.
5. Достаточное условие существования экстремума. Если функция f(x, у), непрерывная вместе со своими частными производными первого и второго порядков в окрестности точки (х\ у'), удовлетворяет условиям
fx U', У) = 0, /' (*', у') = 0, то, положив
ь=Гх. К у')/^, y^-VV»'* У)]2.
мы можем утверждать, что:
при А > 0 в точке (л/, у^ функция имеет экстремум, причем собственный максимум, если f"x% (V, у') < 0, собственный минимум, если /^^х^ у') > 0;
при Д < 0 в точке (V, у') нет экстремума;
при Д = 0 экстремум может быть, может и не быть.
Замечание. В случае а) производные /*1(х', у') и f"^ (x't у') отличны от нуля и имеют одинаковые знаки, так как в противном случае было бы А ^ 0.
Доказательство.
Допустим, что А > 0. Применив формулу Тейлора с учетом условий
у'^Гу^'» У)=0, получим:
Дх' + h, y' + k)-f{x’, У) = 1[^г+2АА$ + ^],(1)
где
г^Дх' + Qh, у'+Ш,» = /:у(^' + ей. У' + ^,
Допустим теперь, что /"8(х', У) > 0. Из непрерывности вторых частных производных следует
limr=/^x', /) > 0, л о £-> о
а также
lim (г/ — s2) = Д > 0. h -*о к -*о
Поэтому для достаточно малых кик г > 0, rt — s^>^.
Поскольку г>0, то формулу (1) можно переписать в виде
/(^4-А, У-VkWVx', y)=14l(Ar+^)2 + (r/~5W(2)
откуда в силу соотношения rt — № > 0 для всех достаточно малых к, к имеем
fkx'-Vh, y' + k)—f(x', У^О.
Равенство имеет место лишь тогда, когда Л = £=0. Следова- тельно, в точке (х', У) имеет место собственный минимум.
При доказательстве мы предположили, что /"8(х', У)>0; допустив /"8(х'? У) <0 и поступая аналогично, можно доказать, что в точке (х', У) будет иметь место собственный максимум.
Допустим, что Д<0, и положим
гв=ГхДх\ у'), 8о=/хУХ'> У')’ *»=гвдх\ у у Заметим, что многочлен
ro + 2So^ + ^a
не сохраняет постоянного знака, так как дискриминант
Л/о 5о <0*
Существуют поэтому два значения рх и р2, такие, что
Го + 2^ + ^^0,ro + 2sop2 + ^<O.
Очевидно, что в силу непрерывности частных производных второго порядка
Нт (г + 25рх +tР2) = г0 + 2^ + /ор2 > 0. к —>о к -*о
Следовательно, существует такая окрестность (6) точки (х', у'), что если (х' + А, У + &) принадлежит (6), то
r+2sp1 + ^>0e(3)
Выбрав теперь произвольно малую окрестность (6х) точки (х', У), можем всегда выбрать столь малое число р, что точка (х' + р, У + pPi) будет принадлежать как д', так и д. Положив
А = р, А = рр1,
будем иметь в силу (1) и (3):
/ (V + Л, У + 6) -/(X', У) = 1Р2 [Г + 2»р1 + ф*] > 0.
Таким образом, в каждой окрестности точки (х', У) существует такая точка (х' + Л, У + &), что
/(х' + й, У + й)—Дх', У) > 0.
Поступая аналогично со значением р2, докажем, что в каждой окрестности точки (х', у'^ существует также и другая точка (х'+ ^> У + &), Для которой
/(-*'+А, у + й)—/(V, У)<0.
Итак, в точке (х', /^ нет экстремума.
Д = 0. В этом случае заметим, что для функций
2 = Х4+У, z = х3 + J3
в точке (0, 0) имеем /^ =/J = 0 и Д = 0. Первая из этих функций имеет в точке (0, 0) минимум, вторая же экстремума в этой точке не имеет.
Примеры.
г = х24~ху+у— тх— ну.
Имеем здесь: дг п ,дг , п
_ = 2x+j-/», ^ = х + 2^-/г,
,dx2~2’ <ty2~ дхду~Х’
Д = 2.2—12 = 3.
Чтобы найти точки, в которых возможен экстремум, решим систему уравнений
?=0, £=о,
дх ду ’
т. е.
2х+у — т = 0, x-V2y—n = 0.
Единственным решением этой системы будет х' = у (2m — л), У = у (2л — ту Поскольку
Д = 3 > 0, то в точке (х', у') есть экстремум. Так как дх2 2 > то в точке
х' = у (2m — пу У = у (2л — т) наша функция имеет минимум.
х ^ Ах^у + Вху2 — Сху(Л, В, С^=0)»
^ = 2Аху + Ву»-Су, ^ = Аха + 2Вху-Сх,Й = 2^- З^Г^+^-С, Й^’
Д = 4 АВху — (2 Ах+2Ву — С)2.
Решим уравнения
£=о, ?=о, дх ду
т. е.
^2 Ах + By —С^ у =0,(Ах + 2Ву — С)х=0.
Отсюда получаем четыре решения:
х = 0, у = 0; х = у, j = 0;
Х = 0,J=-g! x = 34">
Соответствующими значениями Д будут: —С2, —С2, —С2, у С2.
Первые три решения не дают экстремума, так как Д < 0. Для
СС
Х~ЗА 1"ЗВ
имеем экстремум. Подставляя эти значения в ^ , получим ~у # Имеем, следовательно, максимум или минимум в зависимости от того, будет ли
ЛС . А АС А< О или -к- > 0.
оD
Задачи
L z = yxy+(47—х—у) ^ + ^
(тах:х = 21, 0 = 20).
г = х3уа (6—х—у} (max: х = 3, у=2).
г = аЧ^-^2Ьху-^сйуй—ех—gy в предположении, что аЧ3 > № / . сЧ—bga^g—be \
^min:—. , у_ ———.
z = x3-\-y8-V3xy (max: х = — 1, у— — 1).
г = е-х1-Уг^А-^
min: х —0, у=0, max: х = 0, i/=±l).
2 = х3+ху3+3аху(а > 0)
/а г—- Заа г— За\
( min: х = у]/з, y=-^;maxix= — у]/ 3,= е
Найти треугольник с данным периметром 2s и с наибольшей площадью Р.
(Воспользоваться формулой Р = Vs (s—x) (s—y) (х+у—s); x и у означают две стороны треугольника.)
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
6*. Дифференцируемые функции двух переменных. Определение дифференциала. Функция z=f(x, у) называется дифференцируемой в точке [х, у\ если ее приращение Nz в этой точке можно представить в виде
bz=fx (х, .у) Дх+/'(х, ^) Aj +
+ а(Дх, Д^)Дх + р(Дх, Д^)Д.у, (1) где
lim а = Пт р=0.(2)
Дх-^о Дх-*о Ду->о Ду-*о
д^-*од^-*оОчевидно, дифференцируемая функция необходимо непрерывна, так как из соотношений (1) и (2) вытекает, что КтАг=0. Дх-*о
д^-*о
д^-*о
Другим необходимым условием дифференцируемости, как видно из определения, является существование частных производных. Однако, в отличие от случая функций одной переменной, это последнее условие не является достаточным.
В самом деле, функция
/U, у) = </U, у) = <О, при х=0 или у = 0,
/U, у) = <
/U, у) = <
х^О, у=#0
имеет частные производные в начале координат, но не является даже непрерывной в этой точке.
Следующая теорема дает простые достаточные условия дифференцируемости.
Теорема. Если функция z=f{x, у\ имеет в окрестности точки (х, у) первые частные производные, непрерывные в самой этой точке, то она дифференцируема в указанной точке.
Доказательство. Выражение для полного приращения
Дг=/(х4-Дх, у + \y^—f^x, у) можно представить в виде
Дг = [/(х + Дх, ^ + Д^)— /(х, ^ + Д^)] + [/(х, ^4-Ду)—/(х, j)]. Применим к каждой скобке теорему о среднем для функции одной переменной, считая в первой из них постоянным у + Ду, а во второй х. Получим
Дг=/' (^+6 Дх, у + Ду) Дх+/^(х, у + О^у) Ду, О<0,91 <1.
Полагая
/^(х+е Дх.^ + Д^/^х.^О + а; /»(•«> у + ^У^/укх, ^) + Р, мы придем к представлению (1), а из непрерывности частных производных в точке ^х, у) выведем соотношение (2). Теорема доказана.
В качестве следствия полученного результата отметим, что из непрерывности частных производных первого порядка следует непрерывность самой функции.
Далее, пусть функция z—f^x, у) дифференцируема. Тогда главную линейную часть ее приращения, т. е. величину
/;(х, yWA-f’ykx, у) Ду
будем называть полным дифференциалом функции z—f^x, у) относительно переменных х, у. Полный дифференциал будем обозначать символом dxyz. Написав вместо Дх, Ду символы dxyx, dxyy, получим:
(1)(1)dx/ = fxkx, y)dxyx+/'gkx, y^d^y.
(1)
(1)
Дифференциал сложной функции. Допустим теперь, что переменные х, у являются непрерывными функциями других переменных и, «и:
х = ф(и, у),^3=^ (^, у).
Предположим еще, что функции ф и ф имеют непрерывные частные производные первого порядка. Мы можем, таким образом, переменную % считать сложной функцией переменных и, у, а именно, ^=/[ф(^ ^Y Ф(^ 'у)] = ^’(^ ^).
Поэтому
=(2)
По теореме о производных сложных функций имеем:
«)=/;«*, л g + /' и, у) д.
Подставив эти выражения в формулу (2), получим:
^=V№* у^+г»(х> ^ Я duyU+
следовательно,
<W=№ у) \judOTu + ^du^] +fvlx,y^udttvu + ^dn^
Так как выражения в скобках являются дифференциалами dttyx, daTy. т0
d0Tz =fx Vx, у) du„x -V-fg (x, у) dOTy.(3)
Применение к функциям одной переменной. Допустим, что переменные х, у являются непрерывными функциями одной переменной /, имеющими непрерывные первые производные. Итак, пусть
х = Ч>^, y = ^W
Переменную z можно, следовательно, считать сложной функцией переменной /:
2=/[<р(0, Ф(/)3 = /:’(0.
Отсюда
d^ = F' (t)dtt.
По теореме о производной сложной функции имеем: F'W=fxkx, y)x’t-^f'u(x, y}y't,
поэтому
«Цг—ГДх, y)x'(dtt+fy{x, y)y'tdtt.
Так как
x^t = dt х, y'tdti = d^»
TO
dtz = Л ^x, ^) dtx +/' (x, j) dty.(4)
Случай, когда одна из переменных является функцией другой. Допустим, наконец, что переменная у является функцией переменной х, обладающей непрерывной первой производной. Итак, пусть
у=<р W-
Переменную г можно считать сложной функцией переменной х: z=f\x, <p(x)] = /?(x)( следовательно,
По теореме о производных сложной функции имеем: f^W,^ yWfgkx, у)у;, поэтому
d^=fxV.x, iM^-Vf^x, y)y'xdxx.
Так как
»хУ=УхйхХ,
dxz = Гх Iх» J) dxX +fg (X, у) dxy.(5)
Сравнивая формулы (1), (3), (4), (5), мы видим, что их можно все представить символически в едином виде:
dz =/, (х, у) dx-Vfy кх, у) dy
ИЛИ
+(6)
Символы dx, dy, dz являются несовершенными, но из (6) мы получаем формулы (1), (3), (4), (5), подставив всюду вместо d сим- волы dxy, dav, dt, dx.
Частные дифференциалы. Если переменной у придадим некоторое постоянное значение, то выражение
У^Дх, y)dx
будет дифференциалом функции /(х, у), рассматриваемой как функция переменной х. Выражение /' (х, у^ dx называют частным
дифференциалом, по переменной х. Аналогично, выражение /^(x,j)dy называют частным дифференциалом по переменной у. Следовательно, можно утверждать: полный дифференциал является суммой частных дифференциалов.
11*. Касательная плоскость к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Подобно тому как дифференциал функции одной переменной является приращением ординаты касательной, полный дифференциал функции двух переменных есть приращение аппликаты касательной плоскости.
Для обоснования этой аналогии проведем следующие рассуждения. Пусть функция /(х, у) имеет в точке ^х, у) первые частные производные. На поверхности ^=/(х, у") рассмотрим три близкие точки
М0(х, У» XY ^(х + Дх, у. z-Vb^Y А12(х, ^ + Д^, 2 + ^) и проведем через них плоскость. Ее уравнение, как известно из аналитической геометрии, имеет вид
илиилиХ—хОДхХ—хОДхY—y Z—z&У ^zо Д^Y—y Z—z&У ^zо Д^= 0= 0(Д'—х) Ду Д^-КУ—у) Дх t^z — KZ—z^ Дх Ду = 0.(Д'—х) Ду Д^-КУ—у) Дх t^z — KZ—z^ Дх Ду = 0.
или
или
Х—хОДх
Х—хОДх
Y—y Z—z&У ^z
о Д^
Y—y Z—z&У ^z
о Д^
= 0
= 0
(Д'—х) Ду Д^-КУ—у) Дх t^z — KZ—z^ Дх Ду = 0.
(Д'—х) Ду Д^-КУ—у) Дх t^z — KZ—z^ Дх Ду = 0.
Считая Дх^О, Ду^О, имеем
Переходя к пределу при Мг—>-Мй, Л/2—* УИ0, т. е. при Дх—»0. Ду—>-0, найдем
Z—г=/;(х, у) ^Х—хН/'у (*, у) (Y—y).
Если функция z—f^x. у^ дифференцируема, то, в соответствии с нашим интуитивным представлением, плоскость, заданную последним уравнением, называют касательной плоскостью к поверхности z—f^x, у) в точке Л10(х, у, z(xy у)). В указанном предположении легко доказать, что если на данной поверхности провести через точку Л!о всевозможные (гладкие) кривые и в этой точке построить к ним касательные, то все эти касательные расположатся в найденной плоскости.
Обозначив теперь X—х=Дх, Y—y = ^yt видим, что приращение AZ аппликаты касательной плоскости дается формулой
Д2=/^(х, у^Дх+f^x, У) Ду.
223223КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ К ПОВЕРХНОСТИ
223
223
т. е. действительно совпадает с полным дифференциалом dz функции z=f(x, у).
Заметим еще, что хотя полный дифференциал и приращение, вообще говоря, не равны между собой, разность между ними весьма мала при достаточно малых Дх и ^у. Действительно,
Д^ —^ = а Дх + 0 Д^, lim а = lim 0 = 0,
Ах, Az/-*o Ах, А^->0
и ввиду1,-yJ==== ^ ] имеем
КАх2+Д</2^ ’/Ах2+А^
= 0.= 0...Az—dz
= 0.
= 0.
Az/-* оAz/-* о11Щ -7—=—=д^о^Д^ + Дг/2
Az/-* о
Az/-* о
Поэтому при вычислении приближенных значений функции для достаточно малых Дх, Д^, можно принять ^z^dz. При наличии непрерывных частных производных второго порядка оценка погрешности получается из формулы Тейлора.
Задачи
Предположив, что переменные и и v являются непрерывными функциями переменных х, у, имеющими непрерывные первые производные, доказать, что:
d (u + v) = du+du;
d(uv) = udv+udu;
Докажем, например, формулу 2):
поэтому
d^-tt {Scdx + ^dy) + ° (з^+Э^)’ следовательно,
d^^ud -\-vdu.
Вычислить дифференциалы следующих функций:
z=27x3—54x2£/ + 36x«/2—8у3, dz-3 (3 х—2ур (3 dx—2dyY
_ 12 (х2+Уг)4’12 = -^т=__Vx-Vy ’z = ln tgA ,_ 12 (х2+Уг)4’12 = -^т=__Vx-Vy ’z = ln tgA ,д 4(xdx+ydy) .
_ 1
2 (х2+Уг)4’
1
2 = -^т=__
Vx-Vy ’
z = ln tgA ,
_ 1
2 (х2+Уг)4’
1
2 = -^т=__
Vx-Vy ’
z = ln tgA ,
(*2+у2)8а^-Т-УУйх^ Vxdg.^VxykVx—V'y)1'я,—? (tf<ix—xdy) .
y2sin —
, У
z=arccos _57_.=r •
J^l+х2 + у2 + ^2У2
Дифференциалы высших порядков. Если допустим, что dx и dy являются постоянными величинами, то dz будет функцией переменных х, у. Можно, следовательно, говорить о дифференциале дифференциала.
Вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка будем называть дифференциал от дифференциала; аналогично определяем дифференциалы высших порядков. Символически они обозначаются следующим образом:
d dz = d^z.
dd^z = d^z,
ddn~xz = dwz.
Примеры. Определить дифференциалы (по х, у^ высших порядков функции z=f{x, у), непрерывной вместе со своими частными производными до л-го порядка включительно.
В этом случае считаем dx, dy постоянными числами, следовательно,
d^x = d^x = ... = dnx = О,
d^y = d^y =... = dny = 0
и, таким образом,
dZ—f^dX-Vf^dy,
d^ = [/;, dx+rxg d^] dx + V"xg dx-vr„, d^ dy, так что
d^=/^ dx» + 2fxg dx dy^fy. dy». Аналогично,
^ “ f^'dxS + ^'y dx»dy + 3/'^ dxdy» +/;;' dy»,
dnz =f^ dxn+ ( " ) /t"Llgdxn-»dy + ... 4V^dy".
Символически пишем:
dnz = (/'xdx+/;dyyn\
Замечание. Если бы мы предположили, что х, у являются функциями переменных к, г\ то не могли бы принять, что d*vx = 0 или ^«у-У^^* ® этом случае мы получили бы формулы значительно более сложные. Например,
d4 = V"x>dx-Vf*xgdy\dx^fx d»xA-V"X9dx-vrg.dyyy-Vfgd»y, следовательно,
d^z = /"X, dx» 4- 2/;s dx dy 4-/’ dy»4-/; d»x ^fu d»y.
Задачи
Z = Sm X cos yt
dz = cos x cos у dx—sin x sin у dy,
d^z = —sin x cos у dx2—2cos x sin у dx dy—sin x cos у dy2, d3z = —cos x cos t/dx3 + 3sin x sin у dx2 dy—
^3cosx cos ydx dy^~Vsin xsin у dy8» 2. z — у In x,
dz = ^- dx + ln x dy,
сРг = — ^ dx2+у dx dy,d?z = ^dx2—^dx2dy.
Вычислить дифференциалы второго и третьего порядков функций, при* веденных в задаче 2, стр. 223.
ГЛАВА XI
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Области. Точкой трехмерного пространства будем называть тройку чисел (х, у, zY Точкой четырехмерного пространства будем называть четверку чисел (х, j, z, tY Аналогично определяем точку многомерного пространства.
Замечание 1. Тройку чисел (х, j, z) можем считать координатами некоторой точки пространства, в котором выбраны три взаимно перпендикулярные оси OX, OY, OZ. Эта геометрическая интерпретация для четверок чисел (х, j, z, t) уже невозможна.
Окрестностью точки Р(х0, ^0, z^ трехмерного пространства будем называть внутренность шара с центром в точке Р. Таким образом, окрестностью точки Р является множество точек (х, j, z), удовлетворяющих неравенству
(х — x0)2 + (j— Уо)2 + (^—*о)2 <г2.
где г — произвольное заранее выбранное число. Аналогично окрестностью точки Р(х0, ^0, ^0, f0) называют множество точек (х, у, z, t), удовлетворяющих неравенству
(x-xo)24^-^)24^-*o)2 + (*~U2<^^^(1 )
Замечание 2. Множество точек (х, у, z, tY удовлетворяющих неравенству
(X - Х0)2 + (у -у0У + (г -г0)2 + U ~ *о)2 < rS
будем называть шаром в четырехмерном пространстве с центром (х0, Jo, ^о> ^oV Множество точек, удовлетворяющих неравенству (1), будем называть внутренностью этого шара.
Области и граничные точки в многомерных пространствах определяются так же, как и в двумерном. Следует только понятие окрестности двумерного пространства заменить понятием окрестности многомерного пространства.
Примеры.
Трехмерными областями являются внутренности куба, прямого параллелепипеда, шара и т. п. Границами этих областей будут со-
ответственно поверхность куба, прямого параллелепипеда, шара (сфера).
Множество точек (х, у, z, t^ удовлетворяющих неравенствам: a^x^az, b^y<Lb\ c^z^c', d^t^d', является четырехмерной замкнутой областью и называется интервалом (четырехмерным).
Множество точек (х, у, z^ удовлетворяющих неравенствам: — 1 < х < 1, — У1 — х2 < у < V1 — х2,
1 —-к2 —у2 < г < 1^1 —х2—у2, является областью (внутренность шара х2+у2+ ^2 = 1).
Функции многих переменных. Пусть Е— произвольное множество трехмерного пространства. Говорят, что на множестве Е определена функция, если каждой точке (х, у, z) множества Е поставлено в соответствие действительное число /. Функциональную зависимость будем обозначать, как и раньше,
*=/(*, у, *)•
Числа х, у, z называются независимыми переменными, число / — зависимой переменной. Аналогично определяется функция многих переменных.
Примеры функций многих переменных.
t — x^-Vy^-Vz^ для всех х, у, z\
д = х2+у2 + ^2 + ^2 для всех х, у, z, t;
w =—— для t^l и всех х, у, z.
Предел. Непрерывность. Говорят, что последовательность точек {(х„, уп, zn)} стремится к точке (х0, у0, z0), если
Нтх„ = х0, Итуи=у0, lim zn = z0. n-*aaП-*соп-*а>
Аналогично определяются пределы в пространствах четырех- и многомерном. Имея понятие предела последовательности, мы определим понятия предела и непрерывности функции многих переменных, подобно тому как это делалось для функции двух переменных. Теоремы, высказанные в пп. 8, 9 главы IX (с соответствующими изменениями), имеют место также для функций многих переменных.
Частные производные. Если функция /=/(х, у, z^ определена в окрестности точки (х, у, z), то предел
Ит Zl£±2LJL21z±^
8*
228228если он существует, называется обозначается символами:dt-Ч— или дхесли он существует, называется обозначается символами:dt-Ч— или дхпервой частной производной по х ипервой частной производной по х и/Л*, у, ZY/Л*, у, ZY
228
228
если он существует, называется обозначается символами:
dt
-Ч— или дх
если он существует, называется обозначается символами:
dt
-Ч— или дх
первой частной производной по х и
первой частной производной по х и
/Л*, у, ZY
/Л*, у, ZY
ГЛ XI. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Аналогично определяются частные производные по другим переменным, а также производные функции большего числа переменных.
Примеры.
/ = 3л;2 —2х^ + ^2,
dt ~ n dt п dt п =—2у,-ч—=—2х,-з- = 2г.
dxоу9 дг
du . du . ..-^9 sf-^ldu . du . ..-^9 sf-^lи = 2х — Зу + ^4-2/а,
du . du . ..
-^9 sf-^l
du . du . ..
-^9 sf-^l
— = 2— =3
дх ~ 9 ду ~9
ВыражениеВыражениеdntdx^dy^dzrdntdx^dy^dzr(р+» + г = л)(р+» + г = л)(1)(1)
Выражение
Выражение
dntdx^dy^dzr
dntdx^dy^dzr
(р+» + г = л)
(р+» + г = л)
(1)
(1)
означает функцию, которую получим, продифференцировав функцию t сначала р раз по х, потом q раз по у, наконец, г раз по z.
Так как (см. стр. 200) два последовательных дифференцирования можно переставить, то частная производная будет определена, если дано число дифференцирований по каждой переменной (при условии, что все частные производные непрерывны).
Примеры.
1, и — у^х3 -Vt^xz\
з^=^» д^и dy* dx
д32 _ 1—^dxdydt (l + f2)2*
лорена). В том случае, когда остаточный член стремится к нулю, получим разложение нашей функции в ряд Тейлора (соответственно, ряд Маклорена).
Примеры.
, x+y+z _ 1 1 х±У±£ I (^±У±£)1 , I (х + у + г)"
1. е — 1 т и -Г 2!1- • • • 1- п!
1 + х+ух + у—z
1+z1
(х + у)2 —Z2 , (х + у)3 —Z32^3
|П (х+у)" * —г” 1п
А-R»
,(~1)”+1 Г (х+У)"2" 1
” п 1(1+0х+6у)"(1+0Z)"]’
О <
е <
1.
ТОМ ВТОРОЙ
ГЛАВА XII
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
(1)(1)Первообразная функция. Говорят, что функция F^ является первообразной функцией функции /(х) в некотором интервале (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала
(1)
(1)
Примеры.
Функция j = sinx является первообразной функции у = cos х в интервале (— оо, +оо), так как
dsin х= COS X.dx
Функция у = 1^1—х2является первообразной функции
у — --у^—2 в интеРвале (-1 <■*< + !)> так как
d^V 1-х*) _dxd^V 1-х*) _dx-/, — 1<х<1.V1 —х*-/, — 1<х<1.V1 —х*
d^V 1-х*) _dx
d^V 1-х*) _dx
-/, — 1<х<1.
V1 —х*
-/, — 1<х<1.
V1 —х*
Первообразную функцию называют также неопределенным интегралом и обозначают символом:
В силу (1), если С означает произвольную постоянную, то4imE£l=/w.
Таким образом, /7(х) + Стакже является неопределенным интегралом функции /(х). Поэтому можно писать:
J/(x)dx = f(x)4-C.
Обратно, если примем, что функции fj(x) и F2 (х) являются неопределенными интегралами функции /(х) в интервале (а,#), то
=/(x)= 0.
Отсюда на основании следствия из теоремы о среднем значении (стр. 130) заключаем, что
Fx (х) — F^ (х) = const.
Таким образом, зная одну первообразную функцию, мы получим все другие, прибавив к ней произвольную постоянную. Возникает вопрос, какие функции обладают неопределенными интегралами. Как будет показано дальше, неопределенным интегралом обладает каждая непрерывная функция.
Замечание. Если сказано, что F(х) — неопределенный интеграл функции /(х), и не указано, в каком интервале, то под этим интервалом в дальнейшем будет подразумеваться любой интервал, в котором функция /(х) определена.
Основные формулы. Вместо того чтобы писать J Ых, будем писать dx. Таким образом,
L ^dx = x + C(C означает произвольную постоянную), так как d(x+q
dx
^"dx = -4-гХп+1 + С, — 1, так как производная функции ^tj-*-"*1 при «4-1^0 равна х”.
^ = \пх + С, х> 0.
j^ = ln(_x) + C, х<0.
Обе эти формулы проверяются дифференцированием. Их можно заменить одной формулой:
Сх-Ч*=С- = 1п|х|4-С.
Точно так же дифференцированием проверяются следующие формулы:
^axdx = ^—VC) s > 0, а^1.
JIn а 1/ ,/
^е*dx = ex-VC.
Г sin х dx = — cos х + С.
7.8.7.8.cos х dx = sin х 4* С.cos х dx = sin х 4* С.dxVv^dxVv^= arcsin x + C = — arccosx-j-C'.= arcsin x + C = — arccosx-j-C'.dxГн?dxГн?= arctg x + C— — arcctg x + C'.= arctg x + C— — arcctg x + C'.
7.
8.
7.
8.
cos х dx = sin х 4* С.
cos х dx = sin х 4* С.
dxVv^
dxVv^
= arcsin x + C = — arccosx-j-C'.
= arcsin x + C = — arccosx-j-C'.
dx
Гн?
dx
Гн?
= arctg x + C— — arcctg x + C'.
= arctg x + C— — arcctg x + C'.
3. Некоторые свойства неопределенного интеграла. Пусть в интервале (а, ^)
^fVx^dx = F\x\ $ <р(х)^х = Ф(х). Так как
то
5 [/ (х) ± ф (х) ] dx = F (х) ± ф (х), т. е.
J [/(X) ± ф (х)] dx—^/(х) dx ± j ф (х) dx.
Таким образом, интеграл от суммы равен сумме интегралов от всех слагаемых (если интегралы слагаемых существуют).
Если с означает произвольное число, то
dx С dx W» следовательно,
с/ (х) dx = cF (х), т. е.
$ cf{x)dx~c J/(x)dx.
Таким образом, постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.
Примеры.
^ (Зх2 — 2x4-7)dx= ^ 3x2dx— J 2xdx4- $ 7dx =
= S ^ х4 dx — 2 ^ x dx 4- 7 ^ dx =
= S.lxs-2.1x4 + 7-x-VC=x»-x44-7x-bC.
V^±Ydx = eM_L i\dx =
J X5J Vх3 x2 * X6 /
«= J x"3 dx—J x~2 dx-V J x“5 dx =
15 5
8 v
4. C x ^xdx = f x-xmdx= C xm+1dx = sA-r x1 v JJJ2m +1 v
7
^-fx"^з 1
x4V x J4 Ky K
2x2 £/x—5x + 3x2e* — 4
х2
dx =
= j(2x» — бх^ + Зе* — ^x~^dx =
= 2х£/х-51п|хЦ-Зех+4 + С.
4. Интегрирование подстановкой. Существует несколько методов отыскания первообразной функции. Одним из этих методов является так называемый метод интегрирования подстановкой или заменой переменного.
Предположим, что в интервале [я, 6]
J/(x)dx = F(x).
(1)
Допустим, что функция х = ф(^) непрерывна вместе со своей первой производной в интервале [а, р], и пусть а^ф(/)^6 для всех точек / интервала [а, Р]. Как мы знаем, при этих предположениях сложная функция /7[ф(0] определена в указанном интервале, и
Так как Fr (jc) = /(х), то
откуда
$/[ф(0] q>z и)^=^[ф(0]-
(2)
Иногда, хотя мы не можем вычислить интеграл (1) непосредственно, представляется, однако, возможность вычислить интеграл (2), т. е. определить функцию Г[ф(0]. Зная эту последнюю, легко получить первообразную функцию Ft.x') для тех значений х, которые функция х=ф(/) принимает в интервале а^/^р.
Заметим еще, что в силу (1) и (2)
$ / (х) dx = $ / [q> (0] ф' № at для х = ф(/).(3)
Эту формулу мы получим формально, подставив х = ф(/), dx = ^'^dt.
Примеры.
^аЦ-bxY* dx, п^ — 1, Ь=#0.
Положим a4-bx = t; следовательно, х=^2-. Отсюда dx = ^-, Оо 1
значит,
1г^7=т|"1‘,+^1+с-
Подстановка та же, что в предыдущем примере.
о Г dx . А
| -т=г, а > 0.
J Vа-х» *__
Положим x=V ot, dx = Vadt; следовательно,
С dx Г V~adt С dt. , , _
I -7= = | -£== = \ -7=^...= arcsin t + C,
J Va—x2J Ya—at^ J Y1 — /a
так что
С = arcsin —+ C.
J Va—x^Ya
Замечание. Поменяв местами буквы х и t в формуле (3), получим:
$/[ф (■*)] ф'(x)dx^ ^f{i)di для f = (p(x).
Формально мы получим эту формулу, положив:
Ф(а;) = /, а ф' (х) dx = dt.
С интегралом полученного вида мы встречаемся очень часто, однако это не всегда легко заметить.
Примеры.
/= Сг"ХГ^-
Положим
x8 + x+l=f, (2*+l)dx = dt
Итак,
следовательно,
/ = 1ф2 + х-Н| + С‘
/= J ^a-Vbx^nxdx, (б^О, п^ — 1).
Положим
а + Ьхг = f,26х dx = dt.
Тогда
xdx^^dt.
ПоэтомуПоэтому/= С /” 1 dt = — ^”+1 |С/= С /” 1 dt = — ^”+1 |Соткудаоткуда1 (а+бх2)"*12b л+11 (а+бх2)"*12b л+1■ьс■ьс
Поэтому
Поэтому
/= С /” 1 dt = — ^”+1 |С
/= С /” 1 dt = — ^”+1 |С
откуда
откуда
1 (а+бх2)"*1
2b л+1
1 (а+бх2)"*1
2b л+1
■ьс
■ьс
Положим У^х24-а + х = 1, откудаПоложим У^х24-а + х = 1, откуда
Положим У^х24-а + х = 1, откуда
Положим У^х24-а + х = 1, откуда
таким образом,таким образом,dx = dt\dx = dt\
таким образом,
таким образом,
dx = dt\
dx = dt\
dx = dt.dx = dt.ПоложимПоложимзначит,значит,
dx = dt.
dx = dt.
Положим
Положим
значит,
значит,
так что
1 = J ^L = In 111 + C= In I’/x’Ta + ^| + c.
/= \ sin" x cos x dx.
t = sin x. di = cos x dx^
следовательно, г t» + 1 . п sinn + 1x / = /мп + С:=”МЧ-+с п₽и
I In | /1 + С = In | sin х | + С при п = — 1 •
/= J (АМ)5’
Положим
х2+1 = /, с2.хйх = й1.
Следовательно,
, 1 е^_11 , r_ 11, г
2J/"-2(п —1)—2(n—IM^H-l)"-1"1"
Аналогично получим:
Интегрирование по частям. Допустим, что и, и — функции переменной х, непрерывные и имеющие производные в интервале (а, Л). Имеем тогда
(uvY = nV + ии', так что
ии = ^udY — uur.
Беря неопределенные интегралы от обеих частей и учитывая, что ^ ^udY dx = uv, получим:
^ nV dx = uv — J vu' dx,(1)
если оба интеграла существуют.
Пользуясь дифференциалами, предыдущую формулу можно написать в следующем виде:
^ udv = uv — J v du,(2)
Формула (2) дает возможность вычисление интеграла ^ и du свести" к вычислению интеграла ^udu, который, быть может, берется легчен
Этот метод называется интегрированием по частям.
Примеры.
/ = У хех dx.
Положим и = х, du^ dx, du = ех dx, v = ^ ех dx = ех.
Следовательно,
/ = хех — ^exdx = хех — ех + С.
^Inxdx.
Положим . ., dx
и = Хпх,du — — ,
'X’
dv — dx, D=^dx = x.
Следовательно,
I = x\nx-^dx = xXnx — x-VC.
[= ^xnXnxdx, n=^—\.
Положим 1л dx
H = lnx,du — — ,
X 1
yk+1dv = xn dx,v = —r-7.
Следовательно, X^ + Mnx1 Си. x" + llnxx” + 1 .
I —I Дх ——
n-H n+lj«+1 (п-Мг
Интегралы от элементарных функций.
jxndx = ^+C, »?fe-l.
J^ = ln|*| + C.
^axdx = £—kC» C ex dx=e*-V" C.
pn x dx = x (In x — 1)4-C (cm. n. 5, пример 2).
pin x dx = — cos x + C.
cos x dx = sin x + C.
pgxdx=—ln|cosx|4-C.
Положим
cosx = /, — sin xdx = dt.
Тогда
ftgxdx= fs—dx = ^=^-= — ln|<| + C= -ln|cosxl+C.
JJ COSX J tI I i
^ctgxdx = ln|sinx| + ^-
Пользуемся подстановкой sinx = ^.
Имеем:
Поэтому
Sin X = 2 Sin у COS "2 .
Положим
. Гdx
cosec x dx = i-~
J 2 sin -^ cos -^
1 dx
2 9X
cos2 2"
tgT
Тогда
x .1 dx л i
cos2 "2"
cosec xdx = J у = In | /| + C= Injtg-jj + C.
Положим
x=-^—t, dx=—dt;
в таком случае,
хх
х
х
dt = — ^ cosec t dt^
так что
— In
у arcsin х dx = х arcsin х + К1—x^-VC<
Интегрируем по частям, положив
i j dxa = arcsin x, du = -7=-,V1—X*
ТогдаТогдаd^ — dx^d^ — dx^«и — х.«и — х.arcsin х dx = х arcsin хarcsin х dx = х arcsin хxdxT^x5xdxT^x5
Тогда
Тогда
d^ — dx^
d^ — dx^
«и — х.
«и — х.
arcsin х dx = х arcsin х
arcsin х dx = х arcsin х
xdx
T^x5
xdx
T^x5
Для определения последнего интеграла положим
1—х2 = /, — 2xdx = dt, xdx= —^dt,
поэтому
xdx
^ arccos х tZx = х arccos х—У1—x2-|-C.
Поступаем, как в предыдущем примере, или используем формулу arcsin х + arccos х = -~.
Jarctgxtfx =xarctgx—|-In(1 + х2)4-С. Положим ., dx
tt = arctgx, ^ = jq^, di) = dx^ч) — х;
отсюда
У arctg х dx = х arctg х — у £^.
Для определения последнего интеграла положим
l+xa = Z, 2xdx = dZ,xdx = ^dt,
поэтому
xdx I 2 e1 . । ..1 * .. ,
—J t2 П 1 — 2 П ^ + x)-
У arcctg x dx = x arcctg x + у In (1 + x2) + C.
Поступаем, как в предыдущем примере, или пользуемся формулой arctg х + arcctg х = -^-.
^ arcsec х dx = х arcsec х — In (Ух2 — 1 +1 х D + C. Положим
.dx
и = arcsec xv du =7=,
Iх| уX? — 1 d-u = dx, d = x.
Тогда
СC x dx
I arcsec xdx — x arcsec x — \.
JJ|x|/^4
Так как
Jp^-lnlK^ + xl
240 ГЛ. XII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ (см. п. 4, пример 6), то
( — In | J/A^^-t^ln (Vx2 —1 — х) Iпри Х< — 1,
х 1 11п (Кх2 — 1 4 х) ПРИ > 1;
в обоих случаях, следовательно, можно писать:
С ^х =1п(/^й+|х|). J 1*1 У X2—1
14. ^ arccosec х dx = х arccosec x-pln ( Кх2 —"1 + 1х|) 4-С.
Поступаем, как в предыдущем примере, или пользуемся формулой arcsec х + arccosec .
Формулы приведения.
Найти интеграл /„ = ^ sin" х dx (п — целое).
Примем пока, что л^—1 и л^О. Так как sin" х= sin"-2 х sin2 х = sin"-2 х— sin" — 2 х cos2 х, тог
ln — In_^ — \ sin”-2x cos2x dx.(1)
Положим и = cos х,du = — sin x dx,
d'O = sin" 2 x cos x dx, ^ = \ sin 2 x cos x dx = ’ Jn—1'
Тогда
P .9, cosxsin"“*x . Psin"x,
\ sin" 2 x cos2 x dx =5k \ r- dx =
Jn—1’Jn—1
cos x sin"-1 x. 1, n—1' n—\ n*
Подставив этот результат в соотношение (1), получим cos х sin"-1 х 1-
—
откуда . cosxsin"-1x , п—1 , /п=+—/„-2.(1*)
Заметим, что последняя формула справедлива для всех л #= 0, и таким образом,
\sm"xdx =1—— \ sin" ^xdx (л^=0). (2)
Этой формулой полезно пользоваться, когда л > 0. Пример 1. Имеем:
Г вcos х sin5 х , 5 Р . д
\ swxdx =gH-g- I sm4xJx,
. cos x sin3 x , 3 p . o ,
\ sin4xdx = — ^H~ 1 sm^xdx»
C 9. cos x sin x , 1
\ sm2xdx =g^'2’л;»
поэтому fl5
I sin6 x dx = — — cos a; sin bx — -^-A cos x sin3 x —
J66*4
5*3..5*3। л
— F~ГТ! COS X Sin X +
6*4-2O*4*2
Чтобы получить формулу приведения для л < 0, перепишем формулу (1*) следующим образом:
ПоложивПоложивполучим:получим:, п г । cos х sin,x*~1 х
Положив
Положив
получим:
получим:
л —2 =— к,
T cosxsin“A+1x Л —2fizn r-^zrxi.k^
следовательно, P dx J sin^ xследовательно, P dx J sin^ xcosx(Л —l)sin^~ixcosx(Л —l)sin^~ixdxsinA-2 xdxsinA-2 x(3)(3)
следовательно, P dx J sin^ x
следовательно, P dx J sin^ x
cosx
(Л —l)sin^~ix
cosx
(Л —l)sin^~ix
dxsinA-2 x
dxsinA-2 x
(3)
(3)
Для Z? = l имеем:
Js^x = ln|tgT| + C (n- 6’ ПРИМеР П
Пример 2.P dx J sin3xПример 2.P dx J sin3xcosx2sin2xcosx2sin2xdxsin xdxsin xcosx . 12 sin2 x ’ 2cosx . 12 sin2 x ’ 2II. Поступая аналогично, получим:p n , sin x cos"-1 X , n — 11 cos"x dx=—JnnP dx sin xJ cos^x (&— l)cos*-1xII. Поступая аналогично, получим:p n , sin x cos"-1 X , n — 11 cos"x dx=—JnnP dx sin xJ cos^x (&— l)cos*-1xcos"-2 xdx.cos"-2 xdx.dxCOS6-2 xdxCOS6-2 x^\Y^\Y(4)(4)(5)(5)
Пример 2.
P dx
J sin3x
Пример 2.
P dx
J sin3x
cosx2sin2x
cosx2sin2x
dxsin x
dxsin x
cosx . 1
2 sin2 x ’ 2
cosx . 1
2 sin2 x ’ 2
II. Поступая аналогично, получим:
p n , sin x cos"-1 X , n — 1
1 cos"x dx=—
Jnn
P dx sin x
J cos^x (&— l)cos*-1x
II. Поступая аналогично, получим:
p n , sin x cos"-1 X , n — 1
1 cos"x dx=—
Jnn
P dx sin x
J cos^x (&— l)cos*-1x
cos"-2 xdx.
cos"-2 xdx.
dx
COS6-2 x
dx
COS6-2 x
^\Y
^\Y
(4)
(4)
(5)
(5)
111. Найти интеграл
(л— целое положительное). Имеем:
1г = arctg х + С.
Примем теперь, что л > 1. Заменив в числителе множитель 1 разностью (х24-1)—х2, получим: г — С dx С хЧх '”~J (Xs +1)"”1 J (х2+1)л
Во втором интеграле положим и = х. du = dx, * xdx _ Р х dx _1#
Й,у—(а?4-1)п’® J(x2+1)" —(2п — 2)(х*+1)"-» Ь
поэтому
р х2 dxх, Р dx
J (х2+1Г“(2n-2)(x2+l)»-i + J (2л-2)(х2+1)л-1’
следовательно X1
4 = 4-1 + (2п-2)(х2+1)""1—2п^2 т. е. , х.2л—3 ,
'«““(2л—2) (х2+1)л~1 + 2л—2'*-1’
Мы получили, таким образом, формулу приведения:
(Л>1). (6)(Л>1). (6)Р dxх.2л—3 Р dx
(Л>1). (6)
(Л>1). (6)
J (х2 +1)л ~ (2 л — 2) (х2 + Г)”-1 + 2n^2 J (%2 + 1)«-1
Пример 3.
Р dx _ х. 3 Р dx
J (х2+1)з-4(х2+1)2+ 4 J (х2+1)2#
Р dx х. 1 Р dx
J (х2+1)2”"2(х2+1)+ 2 J х2 + 1 ’ Р dx.
j^+T =arct£x’ поэтому
J(*4^ = 47x4aI5+^^2Ti"^24arctgA:"*"C'
Задачи
Найти следующие интегралы:
Ратх
х-утХйх =™^с-
^ee**bdx=^^-+C.
Ч^ -А1„|1 + е,| + С.
4. J <« + »»>"-'«>-'"б^'^ + С<“*-Ч-
р х>»-1 ^у_1п | а+6х” | с
5' J a-Vbx"nb ^
С dx 1.„
6. I= —-ЯГСЯШ — х + С.
J yV—ЬЧй Ь а
Г dx 1* b . -
^^VW=abaTctg^X+G-
S.];£^dX=lnlX*-X+^
J хз^^Ц, dx = In | х»-3х2+х-11 + С.
1°. j^-)dx=ln|f(x)|4-C.
j* sin (ax 4-6) dX = ——-^ax^"^-VC.
j* x sin (x2 +1) dx=— SEliLiD q,
x(lnx)" = —(n—i)(lnx)"-i+C <rt O-
u. j[<^+3t^^^ psin® x 51
\ [sin6x—5sin3*+sin x] cos xdx = ——sin4x-|— sin2x+C.
.1 Teos x , cos (a—_
1 sin ax cos bx dx = — — > P . <——+ C.
J2 L aA-b a—h J
Psin(a + ^)x sin (a—b)x1 . _
\ sin ax sin bx dx= — tt--—г-2— + C.
J2 [ a-Vba—bJ
l 1 fsin (a + Z?)x , sin (a—xl , -
\ cos ax cos bx dx = -к- ".-V-———+ C.
J2 L a-Vb a—b J 1
201 jskii3»7=tg*-c‘gx+c-
Jx/F+Jdx=-|-(l+x)~-y(l+x)“+C.
jS"=is.,+e-,i„., “3“rcte (4t2') +c-
23' ЬТЯ^Ж’®1-!^*'8”114-0-
л е Х (sin х + а cosx) , ~
\ еах cos х dx =-—— + С.
J1 + а2
Сл еах(азтх—cosx) , -
\ еах s\nxdx =Ь— —+ С.
J1 + а2
С a + b sin х4-с cos х ,
Jи— dx=
=-§- In | tg х 14-In | tg f-l + ^l+einltg-ll + C.
м Г (arctg x)21 ,._
j i _|JX2 dx=-a (arctg *) + c-
28.28.Q .JL&
28.
28.
dx=-(x+l)3 _ £(x+l)» +
4-(z4a)-^(*+ip + ^(x+i)3 _^(X4a)2 +c.
Указания.
mx = t; 2) ax + b = t; 3), 4) a+bx = t; 5) a-Vbxn = t; 6), 7)^=(;
x»-x-V5==t;9) x3—3xi>+x—1 = <; 10) /(x) = <;11) ax-Vb = t;
x2+l = f; 13) lnx=/; 14) tgx = ^; 15) sinx = C 16) помножить числитель и знаменатель на Vx-\-a—V^x; 17), 18), 19) произведение заменить суммой, например,
sin ах cos bx=^- [sin (а + ^) x+sin (а—Ь) х];
tgx = /; 21) }^l+x = f; 22), 23) tgx = f; 24), 25) применить к обоим интегралам интегрирование по частям, а затем решить полученную систему уравнений; 26) заменить sin 2х через 2 sin х cos х; 27) arctg x = t;
х+1 = ^.
ГЛАВА XIII
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Разложение многочлена на множители. В алгебре) доказывается, что каждый многочлен Q (х) может быть представлен в виде произведения
Q(x) = А(х—а) (х —р).. .(х—у),(1)
где А— коэффициент, стоящий при высшей степени, а а, р, ..., у — корни уравнения Q(x) = 0. Множители х— а, х—Р, ..., х— у называются элементарными множителями. Если некоторые элементарные множители многочлена Q (х) равны между собой, то, собрав их вместе, получим представление:
QW^Afx-ar^-pr...^-?)',(2)
где г, s, t— натуральные числа, причем г-Р^+’-'+^ — я (л означает степень многочлена Q^y
Пример ы.
Многочлен 3х2 + 3х—6 имеет корни а=1, р=—2, поэтому 3х2 + 3х —6 = 3(х— 1)(х + 2).
Многочлен х4—1 имеет корни а—1, Р = —1, у = /, 6 — — z
(z = У — 1), поэтому
х4 — 1 = (х — 1) (х + 1) (х — /) (x + z).
Многочлен х3 —2х2 + х = х(х—I)2.
Если элементарный множитель х— а входит в разложении (2) в степени г, то а называется r-кратным корнем.
Корни а, р, . .., у могут быть комплексными. Для нас будет важной следующая теорема из алгебры: если многочлен Q (х) с действительными коэффициентами имеет r-кратный комплексный корень а-^-Ы, то он имеет также сопряженный с ним r-кратный корень а — Ы.
Таким образом, если Q(x)— многочлен с действительными коэффициентами, то каждый раз, когда в разложение (2) входит множитель [х— (a + ^Z)]r, оно содержит также и множитель [х— (а— £Z)]r. Перемножив эти два множителя, получим:
[х — (а 4- btyy [х — (а — ЬЦУ = [(-^ — а) — Ы\т [(х — а) + Ы\г =
= [(х — а)2 + ЬйХ = (х2+рх + qY, где р = — 2а, q = a^-\-№.
Многочлен x^-\-px-Vq имеет корни а + ^Z и а — Ы и его нельзя представить в виде произведения многочленов первой степени с действительными коэффициентами. Поступая аналогично с остальными комплексными корнями, придем, наконец, к представлению многочлена Q(x) в виде
Q (х) = (х—а)г (х—Р)$... (ах2 + »х+с^ ^хй + ех + /)".(3)
В этом разложении все числа а, р, ..., а, bt с, d, е, /, ... действительны, причем многочлены ax2 + bx-V с, dx^ + ex-V/^ ...не могут быть представлены в виде произведения многочленов первой степени с действительными коэффициентами.
Примеры.
х3 + 1 = (х2 — х+1)(х+1).
х3—1 =(х2 + х+1)(х—1).
х4+1=(х24-х/2 + 1)(х2—х/24-1).
х4—1 =(х24-1)(х—1)(х+1).
Разложить на множители следующие многочлены:
а) х2 — 5x4-6; б) х34-Зх2— 6х;в) х6—1;г) х8 —1;
д) х3(х2 —Зх 4-2)2 (х3 4-1 )2.
. Разложение рациональной функции на элементарные (про- стейшие) дроби. Рациональной функцией называется функция, определенная в виде частного двух многочленов, в тех точках, в которых знаменатель не обращается в нуль. Итак, рациональную функцию мо- жно представить в виде дроби гДе PW и Q (х) —многочлены.
Если степень числителя равна или больше степени знаменателя, то, выполнив деление, получим:
где U?(x)— некоторый многочлен, а /?(х) — многочлен степени низшей, чем Q(x).
Примеры.
+ +
,5+2сЗ_^±£±з _3x4-2
х*4-2х—1"^",-х»4-2х—1 *
р (х)
Пусть дана рациональная функция , где Р^ и Q(x) — многочлены с действительными коэффициентами. Допустим, далее, что многочлен Q(x) представлен в виде (3) (см. стр. 246).
Р (я)
Теорема. Если степень числителя рациональной функции
ч W меньше степени ее знаменателя, то эту функцию можно представить в виде
Р W __ А IВ|_। С .
Q (х) (х — аУ (х — аУ-х * * ' ' х—а '
(х-р^(х-р)^1*1 * х—р * ‘ е
Gx+HIx^K .. Lx-VM .
' (ах24*Ьх4-сУ ‘ (ах2-у-Ьх-у-<?У ~1• е ‘ ах2 + Ьх-у-с ’
INx-y РQx + 7?। Sx-У-Т/<\
(dx2^ex + t)n(dx2-y.ex-y-fy-xdx2^ex + f •
В этом разложении Л, В, С. ..—постоянные числа. Разложение (1) называется разложением рациональной функции на элементарные дроби.
Равенство (1) имеет место для всех действительных х, за исключением значений х = а, Р, у,..., т. е. действительных корней уравнения Q(x) = 0.
Каждый'множитель многочлена Q(x) входит знаменателем в разложение (1) во всех целых степенях, начиная со степени, которую он имеет в разложении (3) п. 1, и кончая первой степенью.
Числителями дробей, входящих в разложение (1), служат либо постоянные числа, либо многочлены первой степени, в зависимости от того, является ли знаменатель некоторой степенью многочлена первой или второй степени.
Чтобы определить числа Л, В, С, ..., помножим обе части соотношения (1) на Q(xY Освободившись таким образом от знаменателей, расположим многочлен, полученный в правой части, по степеням х. Поскольку равенство между многочленом Р(х^ и многочленом, который будет в правой части, имеет место для всех значений х *), то коэффициенты, стоящие при равных степенях переменной х, равны между собой. Получим таким образом ряд уравнений первой степени, из которых определим неизвестные Л, В, С, ...
Замечание. Прежде чем разлагать данную рациональную функцию на элементарные дроби, необходимо проверить:
1° ниже ли степень числителя степени знаменателя;
2° являются ли числитель и знаменатель взаимно простыми.
Примеры. Разложить следующие рациональные функции на элементарные дроби:
2х—1
* х2 — 5х 4- 6 *
Так как х2— 5х + 6 = (х — 3)(х —2), то полагаем 2х—1 А . В х2—5х + 6х—3 ‘ х—2 ’
откуда умножением обеих частей на х2— 5х + 6 получим: 2х—1 = Д(х~ 2) + В(х — 3), поэтому
2х - 1 = х (А + В) — 2 А - ЗВ, следовательно, Д + В=2, 2Д + ЗВ=1, откуда А = 5, В =— 3.
Таким образом, * 2х—1_ 53
х2—5x4-6 ”х-3х—2 *
Зх2 + Зх4-12
(Х_1)(х + 2)х *
Применим здесь другой метод, который быстрее приводит к цели, когда знаменатель имеет только действительные простые (однократные) корни.
Положим
Зх2 + Зх4-12 „АВС (х—1)(х4-2)х х—1х4-2 х *
откуда
Зх24-Зх4-12 = Д (х4-2)х4-В(х—1)х4-С(х—1)(х4-2).
Положив поочередно х = 0, 1, —2, получим: 12= — 2С, 18 = ЗД, 18 = 6В; таким образом, Д=6, В = 3, С= — 6, следовательно, Зх2 4-Зх+12 = 6,36_
(х—1)(х4-2)х х—1 *"х4“2х *
5 е (х—а)(х—Р)(х—у) ’ где Р^ — многочлен степени, меньшей чем 3; а, р, у — различны между собой.
Положим
АВ С
(х—а) (х—Р) (х —у) х—а ’ х — р ‘ х—у ’ откуда
Р(х) = Л (х —Р) (х — у) 4- В (х — а) (х —у) + С(х—а) (х—Р).
Полагая поочередно х = а, р, у, получим:
Л =• «= р(Р) . г Р (?)
(а—р)(а—у)’(р_а)(р_у) ’(Y_a)(Y_p) *
3х2 + х + 2 _ Л , В , С
01 (х+1)(х— I)2х+1 +(х—1)2 + х-1 ’
следовательно,
ЗхЧ-^ + 2 = Л(х-1)2 + В(х+1) + С(х+1)(х-1),(2)
откуда
Зх + х4-2 = хг(Л4-С) + х( — 2Л+В) + Л+В—С, таким образом,
Л + С=3, —2Л4-В=1, Л + В—С=2;
окончательно получим:
Л=1, В=3, С=2.
Коэффициенты Л, В, С можно отыскать и другим способом. Положив в (2) поочередно х=—1, 4-1, получим:
4 = 4А, 6=2В, следовательно,
А = 1, В = 3.
Для определения коэффициента С продифференцируем обе части (2): 6x4-1 =2Л (х—1)4-В4-С-2х.
Положив теперь х= 1, получим:
7 -В4-2С;
следовательно,
С=2.
Этим методом удобно пользоваться в том случае, когда знаменатель рациональной функции имеет действительные кратные корни.
Положив поочередно х = 0, 1, —1, получим: 1 = — Л, 2 = 4С, 2 = —2Z), откуда
А= — 1, C=l, D= —1.
Мы, таким образом, имеем:
х4+1 = _(Х_1)(х+1)2 + 5х(х__1)(д._|_1)2 +
A-^x^xA-Vf—x^x-l^Bx^x—VtU-HV
Дифференцируя обе части, получим:
4х3 = — (х+ I)2—2 (х— 1) (х+ 1) + В[(х — 1) (х+ 1)2 + + х(х+1)2 + 2х(х-1)(х+1)] + х(х+1)24-х2(х+1)-
— 2х (х—1) —х2+Д[2х (х—1)(х+1)4-х2 (х+1) + х2(х-1)]е
Положив теперь поочередно х = 0, —1, найдем: 0 = 1—В, —4=—5 —2В, следовательно, 5=1, В=—1.
Ях2 + 2х—1 А ^Вх + С
Ое (х— 1) (х2+1) ” х— 1 + х2 +1 ’ откуда
х2 + 2х—1 = Л(х2+1) + (Вх + С) (х — 1).
Положив х=1, получим 2 = 2Л, значит, Л = 1. Перемножив и сравнив коэффициенты, найдем:
1=Л+В, 2=—В+С, — 1=Л —С, следовательно, В = 0; С=2.
q Зх*+1__ Л , Вх+С Dx-VE
(ГПЛ^НТ^”^+1ф(^+1)2+ ха+1 •
Освободившись от знаменателей и сравнив коэффициенты, получим:
л+а=о, B4-D=o, 2Л+в+в+а=з, В+С+В4-£>=0, Л+С+В= 1, следовательно,
Л=1, В=1, С=~1, D=—1, 5=1.
Разложить на элементарные дроби рациональные функции, стоящие под знаком интеграла, в задачах, приведенных в конце этой главы.
Интегралы от рациональных функций. Разложив рациональную функцию на элементарные дроби, мы сведем интеграл от рациональной функции к интегралам типа:
а) С А-^? — a In I х — al 4-С;
«) j^ —(г* 1);
> РЛх-]- В-
J (ахг-V-bx-Vc/ dx
(причем многочлен ах2-\-Ьх + с не имеет действительных корней, так что Ь2— 4ас < 0).
Для определения интеграла типа в) заметим, что
ах2-^Ьх-\-с = а (х2 + — х + ^Л = а [Yx+AV— ‘‘1 а а) |Д 2а/ 4tz2 l
следовательно,
(1)(2)(3)(1)(2)(3)axa + Ax + c = a (х+^у + ^^^.
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
Введем новую переменную z по формуле (. &\2 4ас— Ь2 »
\1 2а/ 4а ’
откуда находим:
b . У"4ас—Ьа
х=-25+—25—
Принимая во внимание (1) и (2), имеем: ах8 + Ьх+с = 12^^+п.
Таким образом, пользуясь подстановкой (3), получим:
Ах+В(ax2 + bx+c)rАх+В(ax2 + bx+c)rdx =dx =Mz + NU2+ 1)гMz + NU2+ 1)г
Ах+В(ax2 + bx+c)r
Ах+В(ax2 + bx+c)r
dx =
dx =
Mz + N
U2+ 1)г
Mz + N
U2+ 1)г
M, N означают некоторые постоянные числа.
Далее, ' CAfz + W Л1С zdz Р йг ^^-V\YaJ^ + ir^ J (z2+iy
Ко второму интегралу применяем формулу приведения (стр. 242, формула (6)); положив же в первом интеграле z2-VX=t (стр. 236, пример 8), получим:
j (гЧ-1Г ——2 (г-1) (г‘+1)'-‘+ С (г*1*1 j^-^n^ + H+C.
Пример.Пример.dx,dx,5х -}- 3
Пример.
Пример.
dx,
dx,
(2x2 — 4X_|_10)2
2х2~4х+10 = 2(х2 —2х + 5)-=2[(х—1)2 + 4] = 2(х—1)2 + 8<
Положим 2(х—1)2 = 8г2, откуда х—1 + 2г, так что 2х2 — 4х + 10 = 8 (^2 + 1), dx = 2 dz,
следовательно,
Г 5*+3_ С _1^£±1_ 9- А С zdz । 1 С dz
J (2х2-4х+ 10)2 ах ““J 82 (z3 +1)216 J (z2+ I)2 ‘ 4 J (72+1)2-
Но С zdz 11
J(Z2 + 1)2"~ ТЗ+Т’
У (?TTp =+ 2" arctg2
(см. стр. 242, формулу (6)). Таким образом,
J (2x2-4^4-10)3 dX ’
““ЙгЧП+в'?+1^"8 агс^ + С= 32(z2"+!j +"8 arct^ + C-
X ~ 1
Заменив теперь z——$—, найдем:
С 5х+3 а2х—7. 1.1. г
J (2х2-4х+10)2ЙЛ:~ 4(2х2-4х4-10)+8 g 2 +
Задачи
Взять следующие интегралы:
1.
2.
3.
4.
5x34-1(х4-1) (2x4-1)'x4dx
(х—1)а (х4-1)2 х4* 1 ,
(х— 1)3 dx
xdx
dx=A^2_^x+4 in I х + 11 +4 in | 2х+114-С.
1 X
2 х2—1
(х- I)2
3
+ |1п
(х + 2)(х+3)2- х4-Зт \x4-2;
' dx 2, 2х +1 . р
-»-; —arctg —т=г + ь.
х2 + х+1 У 36 |Гз
с 51+ТП?+<)-Т агс,«тагс,в х+с-
8.
9.
Г . - Х"^1 А J X4-3X8+3X2_X «* Р dX = -Ll 1а + д U4-*4 4as п I"
1
1
х-1(х—1)2~| х I
+iarctgT+c (а>0)-
Ю.
11.
^dx х3— 1
yln|x4-l|-± in (Х2_х + 1Н
-g-ln|x-l|-lln(x2+x+i)_
1.
— arctg
1 ,7= arctg
2х— 1 ТТ .2x4-1
¥С.
+ С.
12.
1 , 14-хУ"24-х» ,1 t_xK2 , ^
Кг п 1-х i<2 4-xa "^г^г3^ gl-x2 '
13. J хб — 1
р X6
6 1п
1 х V з г— arctg |^г + С.
(Ха+1)8
dx=
is. J pr«dx-Tln|: р х2 dx 1
16. \ х«- 10х»4-9=24
4х« + 3
4(х»+ !)»
р 6х6 д
17- J (5-7х8)"3 х р 12х16 л
181 J (^Тп5 р dx
Xе
5(5 — 7x3)2
+ С.
3х<(х4-3х4 4-4)4-30 , ,„,^ , 1Х. , „ 2(ж4+1)4-1п(х44-1) 4-С.
191 j [(*-«) (*~ Р)]п *
а 56 Р; положив ~^=2, получимз
х= р-|-^—5, dx=^—^ dz,r 1—z(1—г)*
(х—а) (х—Р) == (а—Р)2 ^ 2zji •
следовательно,
dx
1
J [(х-а)(х-р)]"-(а-р)2»-1
Определить этим же методом интегралы:
(t-z)4'-4 г” 1
dx , (х4—Зх+2)3’
dx
(х2— Ip;
dx
(х2—а2)3 *
Указания.
1), 2) Выделяем целую часть, а оставшуюся рациональную функцию разлагаем на элементарные дроби; 3), 4), 5), . . ., 13) разложить на элементарные дроби; 14) x^t; 15), 16), 17) x3 = t, 18) ^ = t.
ГЛАВА XIV
ИНТЕГРИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Интегрирование простейших иррациональностей. Если переменная х входит под знаком интеграла в разных дробных степенях, то, обозначив через р наименьший общий знаменатель всех показателей степени х, мы подстановкой x = zp освободимся от дробных степеней..
Пример 1. / = Jо~7=\—7= = I -/гт—г >' положив
х = 2?^ dx — Sz^dz^ получим: г С 6zBdz Q С z^dz _-.,
^Ьн^5”6 Зг+Р=6г-6агс^г+с’ следовательно,
/ = 6 £/ х — 6 arctg |/ х + С.
Пример 2. /=1—г -■ dx; положив x = z4, dx — ^z^dz^ J 1+ х получим:
/ = f^L4z»^=4f^-
= 4 (T-T+T-4+*)“41nl*+1l + C* следовательно,
/ = А/^—х+А^—2)/^ + 4 /^-4 1п(/^ + 1)+С.
следова*следова*Замечание 1. Аналогично поступаем, когда под знаком инте* грала стоит двучлен ax-Vb в разных дробных степенях. Подста* новка ax-\-b — zp ^р—как в предыдущем случае) позволяет освободиться от дробных степеней.
следова*
следова*
Пример 3. / = I -x-V-\=z21 dx = 2zdz,
ьно,J^K^+1
, f 2zdz Q f dz - |z —1 I . n
1 = j ^=ТГг = 2 j ?^I =1 ° I Z"+T| + ^
так что
/ = 1п
К*+1 + 1
Замечание 2. Если под знаком интеграла стоит выражение ^т^фу в разных дробных степенях, то можно освободиться от дробных степеней при помощи подстановки ^у-^/ = (р —как в предыдущих случаях).
Пример 4. 1 = С— 1/1±£dx; J X Г X
JLt5~2 у 1 ^Z ^Z
X ~аХ~ (22_ 1)2>
следовательно,
I = ^-\yzI = ^-\yz--sjA'te—&-Ь.|У|+С,--sjA'te—&-Ь.|У|+С,значит,значит,— 2г d2(2а —1)*— 2г d2(2а —1)*
I = ^-\yz
I = ^-\yz
--sjA'te—&-Ь.|У|+С,
--sjA'te—&-Ь.|У|+С,
значит,
значит,
— 2г d2
(2а —1)*
— 2г d2
(2а —1)*
Биномиальные интегралы. Интегралы типа
J хт Vй^ + Ь^р dx,
где т, п, р— рациональные числа, называются биномиальными ин-» тег ралами.
Если р— целое число, то интеграл сразу берется методом, указанным в п. 1.
Пусть теперь р не является целым числом. Возьмем подстановку
х = хп, dx = ~xn 1 ^е
Если х > 0, то
т*1
V хт tax" + bY dx = — \ z ” хКах-у b^ dz =
\ X п !— dx.
nJ\ z У
Мы видим, таким образом, что если —целое число, то биномиальный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции подстановкой
ах-\-Ь = С (а — знаменатель числа р).
Если же ^ ™1 + р—Целое число, то придем к рациональной функции подстановкой
°2^-- = Г(а—как выше).
Таким образом, биномиальный интеграл можно свести к интегралу от рациональной функции, если одно из чисел
/Iп
целое. Пример.
/ = ^ х3 (1—х^ 2 dx.
Имеем здесь m = 3, n = 2t р=——. Поскольку ^У== 2, то заданный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции. Положим
х2 = z, xdx = ~ dz, следовательно,
/ = 2 j ^U—^) 2 ^-
Теперь положим 1—2 =/2(/>0),
dz = — 2tdt, тогда
/=-j^^=|+/+c=^=+KT^+c, следовательно,
/=*_+уг=^+ с= ^L+с.У1-хаУ^1 —х3
Интегрирование рациональных функций Rix^y^. Интегрирование рациональной функции R (л:, у) (у = К ах2 + Ьх + с) сводится к интегрированию рациональной функции от / одной из трех следующих подстановок:
о а>0.Положимоткудао а>0.Положимоткуда(1)(1)V ах2 + Ьх + с — xV a — t,
о а>0.
Положим
откуда
о а>0.
Положим
откуда
(1)
(1)
следовательно,Подставивследовательно,ПодставивЬх + с = 2х t У а + /2.Ьх + с = 2х t У а + /2.Р-сb — ^t f~a ’Р-сb — ^t f~a ’ах2 + Ьх + с = ах2 4* 2х t У а + /2,
следовательно,
Подставив
следовательно,
Подставив
Ьх + с = 2х t У а + /2.
Ьх + с = 2х t У а + /2.
Р-сb — ^t f~a ’
Р-сb — ^t f~a ’
получим:получим:dx = 2dx = 2У ах4-V bx-V с =х1-^-Ус,У ах4-V bx-V с =х1-^-Ус,(2)(2)
получим:
получим:
dx = 2
dx = 2
У ах4-V bx-V с =х1-^-Ус,
У ах4-V bx-V с =х1-^-Ус,
(2)
(2)
— t^f a+bt—сУ'а dt
(b—2 f^ ’
Уax*4-bx + c = xVa + t = *—»———^L £3^.
b—2t у a
Таким образом, подстановкой (1) мы выразим
х, Уа^й + Ьх + с, dx
рационально через переменную/; следовательно,интеграл j R^x^y^dx перейдет в интеграл от рациональной функции переменной t.
Пример 1.
Г dx
""jT^T^Ts е
Поскольку
я=1 > О,
то положим
Ух2 + 6х + 5 — х = /,
откуда
V —/2““5^+6^ — 5,,—/2+6/—5
6—2/’^ — 2 (6—202 ^’ И-^ +6х + 5^^5
следовательно,
'-1б^7--1п13-'1 + С' значит,
i= —in | з+х—Ух^л-бх+г |+с.
с>0.
Положим
’ С. Банах
'258 гл. XIV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ откуда
ах^ 4* Ьх + с = хЧ2 + 2х/ Ус + с, ах+ 6 = х/2 4- 2/ УТ.
Следовательно, подставив
х Wc-ba—t2 *
получим:
rf 2 t4V~c-bt-VaW dt
V ax^ + bx + c =xt-VV c = —-——-— .
Таким образом, и в этом случае после подстановки (2) интеграл ^/?(х, y)dx преобразуется в интеграл от рациональной функции переменной /.
Пример 2.
, С dxл
I = \--7=====—-; имеем: с = 4>0.
J У—х2—3x4- 4
Положим
у — х2—3x4-4=xt 4- 2, откуда
х— 1+<= ’ dx —2 (t=+l)i d'*
следовательно,
1"-J^p = -2arctg/4-C, так что
/=— 2 arctg+ с.
62 — 4дс>0.
Обозначив через а, 0 корни уравнения ах2 + 6х + с = 0, получим ах^-\*Ьх-\-с = а (х —а) (х—-0).
Положим
У ax^-V Ьх-Ус = У а (х —а) (х —0) = t (х — а),(3)
откуда
а (х - а) (х — 0) = /2 (х - а)2,а (х - 0) = /2 (х - а);
подставив
аР —qf2х— а—t» '
получим:получим:
получим:
получим:
2а(Р—a) t .,—о . ,—;— а(Р—а) t
dx = - (a_fy- dt, Vax»-VbxA-c= -^_p "
Следовательно, подстановкой (3) интеграл j R (л;, y^ dx преобразуется в интеграл от рациональной функции переменной I. Пример 3. УГ dx
Имеем: № — 4ас = ^ — 4-1-3 = 4 >0; так как — х2 + 4х —3 = —(х—1)(х —3), то полагаем
/-(X-Щ^зГ = (*-1) t.
Отсюда <*+3. 4t dt хгглх 2/
dx— ^р^.^»» V х +4х3 —(,+1,
следовательно,
j^=-2arctg# + C=-2arctg j/^ + C.
Замечание. Если а<0 и с < 0, то две первые подстановки не годятся. В этом случае можно всегда пользоваться третьей подстановкой. Действительно, если было бы а < 0, с<0 и № — 4ас < 0, то многочлен ах2-\-Ьх-\-с был бы всегда отрицательным, так что Vax^-Vbx-Vc ни при каком х не был бы действительным числом.
4. Некоторые частные случаи интегралов от рациональной функции R(х,j)(у = Уахй-\-Ьх-^-су
Интеграл вида
I = i -7=====., а < 0, Ьг — 4ас > 0, J V ах4 + Ъх-\-с’’
можно вычислить также следующим образом. Имеем:
62—4Д,.4|а|62—4Д,.4|а|ах2-{-Ьх+с = — (хV\ а I^=
62—4Д,.
4|а|
62—4Д,.
4|а|
\' ‘2^|а|,
Положим
9*
_ 6^—4ас 2
- 4|а|
е.
Уь»—4ас
2|а| ■*“2|а| z*
тогда
dx^^^^dz, Ox2 + 6x4-c = ^”(l-z2). Следовательно,
I =f -7^= = -^L=r arcsin z + С,
K|a| J Kl-z2 Khl
так что
[^^* arcsin 2^±L + C.
J V ax^ + bx+oKl о lУьа— 4ec r
Пример 1.
Z= f — dx J K5x-6x8-l 5x-6x2-l=—^/6"_^_y + l. Положим
/х/б—®=y= * ^ \2/6/24
откуда
dx=-^dz,5X-6X2-1=1(1-^),следовательно,„,г*dz.
Г dx Г 121., _
I -77T-.J _=- = I —: -7= arcsin Z + C,
J /5x-6x2-l J 1 _ Kb^ ^62 /6так что
С -y-:^* :=r = -4= arcsin (12x—5) + C= J У5Х—6ха — 1y&’
= — 4= arcsin (— 12x+5) + C.
Z = f^== .
J (x—a) V ax^-y-bx-Vc
Положим
1 x — a = ~.
Тогда jtr = a+y.
Если х > а, то z > 0. Следовательно, для х > а получим:
Vax»-Vbx-Vc= )/^^±Wy=l/ Lz^Mz + N
Так какТак как{L = aa2{L = aa2Л1=2аа + b, N=a').Л1=2аа + b, N=a').
Так как
Так как
{L = aa2
{L = aa2
Л1=2аа + b, N=a').
Л1=2аа + b, N=a').
dx = — ^
тотог» *
то
то
dz
J VLz4-VMz-VN
Поступая аналогично, получим
Пример 2.
?+Mz+N
(х < а).
dx
Положим
(*-l) /x2+l "
откуда
х —1= —
2 ’
1
2 ’
так как для х > 1 откуда
dx = — §,/^4-1= у 22 +z»-+"
z>0, то УхЙЛ=1.у22гЧ-2г-У11
V"2?+2zVi*
Применив к последнему интегралу подстановку (стр. 257): /2^ + 22 4-1 = гУ24-t, получим:
/ = ^1п (4z4-2 — 2/2 /2z24-2z4-1)4-C.
Положив, наконец, г = ^-^э получим для х>1: f dx=,JLln|2x + 2-2yT V^+T| , л J (х-1) /РТТ Кг I—\1+ с-
Можно легко проверить, что полученная формула годится также
для х < L
3)
Ах dx
(ax2 + у) У^ах2+с *
Этот интеграл мы вычислим подстановкой У ах2 + с = f.
Имеем:
ах24-с = /2, х2 = ^^, xdx=—tdt.1’аа
Следовательно, . С Adi
J а/2 + (ау—ас) *
Последний интеграл легко берется (см. гл. XIII). Пример 3.
Г% dx
~ J ^хЧиГУ^Т?*
Положим
Ух2 + 4 = /,
следовательно,
4)
Подставим
откуда
следовательно,
IСA dx
J (ах2+у) У ах2 4-с *
и, таким образом,
Пример 4.
Уах24~с = х$,
хах—
dx dx х dx dt
V"ax2-Vc"~^^^ t2—a
т_ CAdj
"~ J y^2+(ас—ул) *
y. Гdx
“"J (2x2 + l) /x^'
Положив
Ух2 4-4 = xt, получим, как раньше:
^4 dx dt
следовательно,
Г dt 1. t , ~
-J ^=- ^arctg 7F+c
Так как
t^V^ZL.t^V^ZL.
t^V^ZL.
t^V^ZL.
Замечание. Интеграл типа
Ах+В
(сы*+т) У5х»+с йХ
вычисляем, разбив его на сумму двух интегралов типов 3) и 4).
5) 1= Г <^±5)^——.(й2_4ау<0*), а^ 0).
J (ах2+рх+у) уах84-Ьх4-с г
Этот интеграл мы постараемся свести к интегралу типа
(D(D(Ax+B)dx
(D
(D
(ах2+у) Уах*+с
а) Если а:а = ^;Ь, то подстановкой
преобразуем наш интеграл к типу (1).
Если а, Р не пропорциональны числам а, Ь^ т. е. если ab-* — ар^=О, то подставим
х =х =Р£±3.z+l ’Р£±3.z+l ’(2)(2)
х =
х =
Р£±3.
z+l ’
Р£±3.
z+l ’
(2)
(2)
и подберем числа р и q так, чтобы наш интеграл преобразовать к типу (1).
Пользуясь подстановкой (2), получим:
/ = ± [(Lz+M)jfc
J («P2+Piz+Yi) V агг9-\-Ъхг-^сх
• — 1 или z < — 1)» гдеNV = VAq-\-B^\p-q\ах = ар?-\-Ьр-\-сч bx = 2apq 4-5 (р 4-?) 4- 2с, сх = aq4 4“^ + с-• — 1 или z < — 1)» гдеNV = VAq-\-B^\p-q\ах = ар?-\-Ьр-\-сч bx = 2apq 4-5 (р 4-?) 4- 2с, сх = aq4 4“^ + с-(знак зависит от того, будет ли z;
• — 1 или z < — 1)» где
NV = VAq-\-B^\p-q\
ах = ар?-\-Ьр-\-сч bx = 2apq 4-5 (р 4-?) 4- 2с, сх = aq4 4“^ + с-
• — 1 или z < — 1)» где
NV = VAq-\-B^\p-q\
ах = ар?-\-Ьр-\-сч bx = 2apq 4-5 (р 4-?) 4- 2с, сх = aq4 4“^ + с-
£ = (Лр-|-В)(р—?), а^ар^Рр + у, Pi = 2ар^ 4- р (р+9) + 2у, Т1=0ф2 + р? + у,
Мы хотим определить числа р, q так, чтобы рг = 0 и 6t = 0. Для этого придется решить систему уравнений
(3)(3)2ар^ + Р (р+?) + 2у = 0, 2ар^4-5 (р 4-^)4" 2с =0.
(3)
(3)
Можно доказать, что система (3) имеет действительное решение если’
at>— а^^=0 и Р2 — 4ау<0. Прим еры.
5 а /= С(^~Ь 0 ^
* J (х2+2х+6 )рг2х2 + 4х-1 *
Так как коэффициенты многочленов х2 + 2х, 2х^^4х пропорциональны, то подставляем
4 =1.
При такой подстановке получим:
I— С (2z-l)dz
J (г2 4-5)/ 2г»-3 '
5656(2х—5) dx (Зх2—10x4-9)/5ха-Л2х+& *
56
56
Применим подстановку
Х==Р£±4
Числа р и q определим из системы (3)г 6pq—10 (р+^) 4-18 = 0, \Opq- 12(р4-9)4-16 = 0, откуда pq = 2, p + q = 3, следовательно, р=1> q = ^- Подставляя, следовательно,
z4-2 ^ = Г-ГТz4-2 ^ = Г-ГТ11
z4-2 ^ = Г-ГТ
z4-2 ^ = Г-ГТ
1
1
dzdz
dz
dz
получим для z > — 1
I- Г (324-1)6(2
Последние интегралы вычислены нами в примерах к типам 3) и 4) (стр. 262—263).
Итак,
так как
то
3У5х2— 12x4-8 - (х-1) у^у
' 14Кбх* —12х4-84-(х —1) у
,1, Ох»—12x4-8 . ~..х
+ -г= arctg Д- 4- С. (4)
О 6 (х—2) К 7
Формула (4) верна для х> 1.
Приняв теперь, что в подстановке
г+2г+1
г< —1, и, следовательно, х<1, получим:
Так как
то
У"5х2 —12x4-8—(х—1) у ^
I = —^г= 1 п *т^2* 4“
2 'ИУ^бх2 —12х4-84-(х—1) у 2-
К5х2— 12x4-8 ■ с(х-2)/7 ^
Мы видим, таким образом, что формула (4) верна для всех значений переменной х. (Для х=\ она верна ввиду непрерывности производной и подынтегральной функции.)
Замечания о преобразовании интеграла j R(x, y)dx. Хотя подстановки, приведенные в п. 3, всегда сводят интеграл ^R(x, y^dx к интегралу от рациональной функции, однако часто во избежание кропотливых выкладок удобно предварительно преобразовать функцию R(x, у).
Заметим, что если л —натуральное число, ay = V ах2-\-Ьх + с> то
у2п = (ах2 + Ьх + с^^ у2пЛ,х = у2п.у = (ах2 + Ьх + с)пу.
Отсюда мы видим, что каждый многочлен Н(х, у) переменных х, у может быть представлен в виде
*Н(х, y)^W1(x)+yW2(x)i
где №х(х) и 1^2 (х)— многочлены переменной х. Поэтому рациональную функцию R(x, j), как частное двух многочленов, можно пред
ставить в виде
Rix, j) =Rix, j) =V.M+yViWV.M+yViW
Rix, j) =
Rix, j) =
V.M+yViW
V.M+yViW
где Wp №2, №3, №4 —-некоторые многочлены.
Помножив числитель и знаменатель на №3(х)—yW^x^ и заметив, что-
[ ^3 W -У ^4 (*)] [ ^3 ^ +yW4 (х)] = wl (х) -у» ^ (х) = Рг (X)
где ^(х)— многочлен), получим:
-\ -р2М+^з(х)_.Р2 (*) , Р3(х) M_P^W , W Рх^ ^Рг(х)^Рх(х) Рх(х^Рх(х)у *
Положив еще
Ра (*) Т (v\^ ^ У* Q (
PiW^W* Р^х)
получим:
R(x, ^) = Т(х) + ^.(1)
Отсюда мы видим, что рациональную функцию R(x^y^ (у = ]/ах2 + Ьх + с) всегда можно свести к виду (1), где Т(х) и S (х^—рациональные функции.
Примеры.
1 x+Z^I =(Х+уг^П)2
*/х2—1 (х — /*52371) (х+ /х^Т)
= 2х2 — 1 4- 2х Ух2 — 1,
следовательно, x—^a — i1/х» — 1
о PWQWy _Р^+5!^^
2 Р №*Q(x)gP^—Q^P*—Q*g*^(P*-~Q*y*)y*
Вернемся к интегралу ^R^x, y^dx. В силу (1) имеем
^R(x, у) dx — ^ Т(х) dx + ^ ^p-dx.
Первый интеграл правой части является интегралом от рациональной функции; такие интегралы мы исследовали в главе XIII.
Для вычисления интеграла J ^^ dx представим рациональную функцию S (х) в виде
где №(а:), Р(х), Q(x) — многочлены, причем степень многочлена Р(х) меньше степени многочлена Q^. Разложив, наконец, функцию Р (х)С S (х)
на элементарные дроби, сведем вычисление \ —dx к ч Vх)J У
вычислению интегралов вида
(* ^Г <^ С (Ax+B)<fx,™
3 У ’ }(x-aYy' 3 (ахЧР*+т)гУ • М
Приведем теперь простые методы для вычисления интегралов (2). а) Интегралы типа
Г W (х) dx J V^ax^pbx^c (W (х) — многочлен).
Если W(x)— многочлен степени л^1, то можно показать, что интеграл такого типа всегда может быть представлен в виде
Г W (х) dx _
J }^ах2+Ьх+с
= (Дх”-1 + Вх"-2 + ... + С) Кал:2 + 6х+с + D f -т=^= ,
J У ах^-^-Ьх-^с
где Л, В, ..., С, D — некоторые постоянные*).
Для определения этих постоянных дифференцируем обе части равенства, а затем умножаем на V^x^-^bx-Vc. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х в обеих частях полученного равенства, мы придем к системе уравнений, из которой определяются постоянные Л, В, .С, D.
гг Кf WU^dx
Таким образом, вычисление интеграла I -7— - - ——. сведется к J К аха4-Ьх+с
вычислению интеграла I —г-^=7—г. Этот последний мы найдем
J V ах2+Ъх+с
при помощи одной из подстановок, приведенных в п. 3 (стр. 256 — 259). Пример 3.Су^х2 — 6х—ldx =
JJ К 5х2—6х — 1
Положим
5ха_6х—1/бх2—6х— 15ха_6х—1/бх2—6х— 1dx = (Лх + В) Убх2 — 6х— 1dx = (Лх + В) Убх2 — 6х— 1dx й^-бх-Лdx й^-бх-Лпродифференцировав обе части равенства, найдем:продифференцировав обе части равенства, найдем:5х2—6x^—1/бх»-6х-1=== AV5xa-6x-l-V5х2—6x^—1/бх»-6х-1=== AV5xa-6x-l-V1 (Лх4-В)(10х— 6)2 V 5х*—6х—11 (Лх4-В)(10х— 6)2 V 5х*—6х—1/бх’—6х—1 */бх’—6х—1 *помножив обе части на радикал и упорядочив, получим:5х2 — 6х — 1 = 10 Лх2 + (5В — 9Л) х+(С—Л — ЗВ);помножив обе части на радикал и упорядочив, получим:5х2 — 6х — 1 = 10 Лх2 + (5В — 9Л) х+(С—Л — ЗВ);следовательно,следовательно,ЮЛ = 5, 5В-9Л=—6, С— Л-ЗВ= — 1,ЮЛ = 5, 5В-9Л=—6, С— Л-ЗВ= — 1,откудаоткудалЧ>лЧ>з Г- 7 в=~Тб’ с~~ьз Г- 7 в=~Тб’ с~~ьТаким образом,Таким образом,J V 5 а;2 — 6х — 1 dx =J V 5 а;2 — 6х — 1 dx =*(2^ю) Р^бх2 —6х —1 «у*(2^ю) Р^бх2 —6х —1 «уdx У^-Ьх-Аdx У^-Ьх-А
5ха_6х—1
/бх2—6х— 1
5ха_6х—1
/бх2—6х— 1
dx = (Лх + В) Убх2 — 6х— 1
dx = (Лх + В) Убх2 — 6х— 1
dx й^-бх-Л
dx й^-бх-Л
продифференцировав обе части равенства, найдем:
продифференцировав обе части равенства, найдем:
5х2—6x^—1
/бх»-6х-1==
= AV5xa-6x-l-V
5х2—6x^—1
/бх»-6х-1==
= AV5xa-6x-l-V
1 (Лх4-В)(10х— 6)
2 V 5х*—6х—1
1 (Лх4-В)(10х— 6)
2 V 5х*—6х—1
/бх’—6х—1 *
/бх’—6х—1 *
помножив обе части на радикал и упорядочив, получим:
5х2 — 6х — 1 = 10 Лх2 + (5В — 9Л) х+(С—Л — ЗВ);
помножив обе части на радикал и упорядочив, получим:
5х2 — 6х — 1 = 10 Лх2 + (5В — 9Л) х+(С—Л — ЗВ);
следовательно,
следовательно,
ЮЛ = 5, 5В-9Л=—6, С— Л-ЗВ= — 1,
ЮЛ = 5, 5В-9Л=—6, С— Л-ЗВ= — 1,
откуда
откуда
лЧ>
лЧ>
з Г- 7 в=~Тб’ с~~ь
з Г- 7 в=~Тб’ с~~ь
Таким образом,
Таким образом,
J V 5 а;2 — 6х — 1 dx =
J V 5 а;2 — 6х — 1 dx =
*(2^ю) Р^бх2 —6х —1 «у
*(2^ю) Р^бх2 —6х —1 «у
dx У^-Ьх-А
dx У^-Ьх-А
Что же касается последнего интеграла, то, положивЧто же касается последнего интеграла, то, положивполучим: Г dxполучим: Г dxУ5х2-6х—1 = хУ54-/,4=1п1 Юх-6 -2/5/5х2-6х-1| 4-С. V 5У5х2-6х—1 = хУ54-/,4=1п1 Юх-6 -2/5/5х2-6х-1| 4-С. V 5б) Интеграл типаб) Интеграл типаW (х) dx(х—а)г У ax^-\-bx-VcW (х) dx(х—а)г У ax^-\-bx-Vc(IF(x) — многочлен степени меньшей, чем г).Если г=1, то многочлен IF(x) сведется к постоянной, и мы, следовательно, получим интеграл, рассмотренный на стр. 260.(IF(x) — многочлен степени меньшей, чем г).Если г=1, то многочлен IF(x) сведется к постоянной, и мы, следовательно, получим интеграл, рассмотренный на стр. 260.
Что же касается последнего интеграла, то, положив
Что же касается последнего интеграла, то, положив
получим: Г dx
получим: Г dx
У5х2-6х—1 = хУ54-/,
4=1п1 Юх-6 -2/5/5х2-6х-1| 4-С. V 5
У5х2-6х—1 = хУ54-/,
4=1п1 Юх-6 -2/5/5х2-6х-1| 4-С. V 5
б) Интеграл типа
б) Интеграл типа
W (х) dx
(х—а)г У ax^-\-bx-Vc
W (х) dx
(х—а)г У ax^-\-bx-Vc
(IF(x) — многочлен степени меньшей, чем г).
Если г=1, то многочлен IF(x) сведется к постоянной, и мы, следовательно, получим интеграл, рассмотренный на стр. 260.
(IF(x) — многочлен степени меньшей, чем г).
Если г=1, то многочлен IF(x) сведется к постоянной, и мы, следовательно, получим интеграл, рассмотренный на стр. 260.
Если г>1, то моясно показать (доказательство опускаем), что интеграл этого типа может быть представлен в виде
dx(х—а) У"ах24-ЬхЦ-сdx(х—а) У"ах24-ЬхЦ-сW (х) dx (х—а)г У ах2 + ^+с
dx
(х—а) У"ах24-ЬхЦ-с
dx
(х—а) У"ах24-ЬхЦ-с
Ахг 2 Вхг 2 -|- ... Ц- С -| / л ; 7 ——р
=(х-а/-1—~ У«2+^+с +D
где А, В, ..., С, D—некоторые постоянные, определяемые как в случае а) на стр. 267.
Последний интеграл вычисляем, как на стр. 260. *
У^-ух(*—1рУ^-ух(*—1рdxdxПример 4.
У^-ух(*—1р
У^-ух(*—1р
dx
dx
С2l+1L—л —
J (х—1)3 V^vx
Г^л5 + С f^7=
(*— D2J(*-D^2 + l
Продифференцировав обе части равенства, получим:
х2+1_
(х—I)3 КхЧ7!^
Ах 4* А 4-2В 2 । Т । Лх4-В х .Се
(х-1)2 v(х— 1)2 у^+I^х— 1) К^+Т ’
помножив обе части полученного равенства на (х—l)8^^2^! и приведя подобные, найдем:
х2+1 = -х2 (2А + В-~С)-х(А + В4-2С)-(Л + 2В-С).
Следовательно,
2А+ В— С=—1,
А+ В + 2С=0,
A-V2B— С=— 1,
откуда в_-4, С-1.
Таким образом,
J(^-l)*dX~4 (х— I)2'+ + 4 J (х—1) ^Ч-!
Последний интеграл уже вычислен на стр. 261.
в) Интеграл типа
ГW (х) dx
J (ах2 + ₽х+Y)r Каха+Ьх + с
(W (х)—многочлен степени меньшей, чем 2г, многочлен же ах2 + рх + у имеет комплексные корни, т. е. р2— 4ау < 0).
Если г=1, то IF(x) сводится к многочлену первой степени; данный интеграл совпадает тогда с интегралом, рассмотренным на стр. 263.
В случае, когда r> 1, можно показать, что интеграл рассматриваемого типа может быть представлен в виде
W (х) dx(ах2+рх+у)г К^+Тх+с_Ах^ЧВх^Ч... +С~(ах^рх+у)^1W (х) dx(ах2+рх+у)г К^+Тх+с_Ах^ЧВх^Ч... +С~(ах^рх+у)^1V ax^-ybx-\-c-yV ax^-ybx-\-c-yРх-УЕ(аха+рх+у) Кя^+ьГ+сРх-УЕ(аха+рх+у) Кя^+ьГ+сdx,dx,
W (х) dx
(ах2+рх+у)г К^+Тх+с
_Ах^ЧВх^Ч... +С
~(ах^рх+у)^1
W (х) dx
(ах2+рх+у)г К^+Тх+с
_Ах^ЧВх^Ч... +С
~(ах^рх+у)^1
V ax^-ybx-\-c-y
V ax^-ybx-\-c-y
Рх-УЕ
(аха+рх+у) Кя^+ьГ+с
Рх-УЕ
(аха+рх+у) Кя^+ьГ+с
dx,
dx,
где А, В, ... , С, D, Е— соответствующие постоянные, определяемые как в случае а) на стр. 267.
Интеграл
(dx
J (аха + рх+у) у ax2+bx+c
вычисляется, как на стр. 263.
ЗадачиЗадачи31 S VZx^s'i^+ii^+S)-23^]^хТ?+С'31 S VZx^s'i^+ii^+S)-23^]^хТ?+С'41 JyfedX="”^^ (3-х)*(у+*)+С. уЗу 2 О ,6. -, = <1х=Л—=.у^-ух1+С.41 JyfedX="”^^ (3-х)*(у+*)+С. уЗу 2 О ,6. -, = <1х=Л—=.у^-ух1+С.
Задачи
Задачи
31 S VZx^s'i^+ii^+S)-23^]^хТ?+С'
31 S VZx^s'i^+ii^+S)-23^]^хТ?+С'
41 JyfedX="”^^ (3-х)*(у+*)+С. уЗу 2 О ,
6. -, = <1х=Л—=.у^-ух1+С.
41 JyfedX="”^^ (3-х)*(у+*)+С. уЗу 2 О ,
6. -, = <1х=Л—=.у^-ух1+С.
У х® у (l-xa)»dx= — 1 У 1 —X8 р —|Х« + 2-х8 +у| +с.
.’ С-< =т=5=Fin (х+ у'э+Э'^с. J/d+xf+S У^Э+ха+З Г dx1. 5х—2 п
. I -7====—— arcsin—5г С.
J ]<1 + 4х—5ха Кб 3
dx1
7ч=к=® -у? "“'"1&+5>+ с-
„ , V 2х— х2
—2arctg ■^ х + С.
=Л + х+ха-11п|Ц-2х+2Г1+х+*Ч + С.
I —г■-— = —т V 1—2х— Зх2 +—т=. arcsm —^—Щ.
J/1—2х—Зх2а’з7з 2
J y^^dx»-! fT^-b-l-arcsh^+C.
И- J 7^+§^^=Т(11х$-77x8 +105*- 175> /^2+6х+5+С.
С__в
J (х—2)» /Зх2—8х+5
- 6*-13. У^ГяТТЧ 9 1„ |2х-3+КЗх2-8х+5 I , с 2(х-2)2 V 6Х -«*+5—5-In |
J (х-Ц)^!-*2* 14-х^ь*
. С—7^= = 1п 1*1+С<
JxKi+x2 1+ KbRs
f ^
' J (х+1)» /х2+2х+2в
- -1^±^±2, 11 ! i±£H±^^ I+c*
"2(x+l)2+2m| x4-l *
- J 7^^/2ax-x2+l«2arcsin^+C.
‘ I v^^x^V^”^^^0 (для lp| < °'
ГЛАВА XV
ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕАЛГЕБРАИЧЕСКИХФУНКЦИЙ
Общие замечания. Весьма частым случаем интегралов от не- i алгебраических функций является интеграл типа
$/[ф ф' Wdx,
разобранный в главе XII (стр. 234).
Примеры.
I = sin (ах) ах dx (а > 1).
Положив
ax = f, ах In a dx = dt,
получим: г 1 Г •COS Z .
/=-— \ sintdt= —чIn а JIn а ‘ ’
следовательно,
1па 1
/-j(lnx)«£.
Положив
\nx — tt — — dt,
получим:
I=^t3dt = ^-i4 + C,
следовательно,
/=1(1пх)» + С.
/= ^ e’in * cos х dx.
Положив sin х = t, cos xdx — di, получим:
/= J?d/ = e‘ + C,
следовательно,
1= ^п ^ 4- С.
/= sin2 х cos3 х dx,
/ = ^ sin2 х cos2 x cos x dx = J sin2 x (1 — sin2 x) cos x dx.
Положим
Тогда
gin x = t.
Ft6
35
откудаоткуда
откуда
откуда
sin3 x sin5 x
3
Приняв
sin2x .
cos4x
I— C sin2jc dx
-— J cos2x cos2x
5
9 dx
Г X
* COS2X
,, dx
®’ COS2X *
имеем:
таким образом,
tg3x3
6. /= J (arcsine)3 Положив здесь
dx
V" 1 —X2
, dx .. arcsmx = t, -у—— = dt.
получим:
поэтому
j (arcsinx)4 + G
2. Интегралы от показательных и логарифмических функций. I. Интегралы типа
^f^dx
сводятся подстановкой ax = t к интегралам
Ina J /
Пример 1.
/ = ^ 1 — axdx.
Положим ax = t; тогда
In a Jt
Полагая теперь
l-/ = z2, получим:
г 2 Р 22 dz 1 Гл , 1 I 1 — 2 П । р
— InaJ 1—22 Ina [ + n|i+2|J + *
Отсюда, возвращаясь к переменной х: z=VY^t=VT^, найдем:
Интегралы типа
^'IF(x) a* dx,
где IF (а:)— многочлен, берутся методом интегрирования по частям. Положив
и = W (х), du = Wf (a:) dx,d<u = axdx» =’Ina’
получим:
Так как степень многочлена W (х) ниже степени W (а;), то, продолжая таким же образом, дойдем, наконец, до интеграла
Пример 2.
/ = ^ (а:2 —2х+3) ахdx.
Интегрируя по частям, получим:
К последнему интегралу применяем опять метод интегрирования по частям:
j (2х-2)<.’4х-й£=^-ji j2«>^.
Таким образом, окончательно получаем:
,Гх2-2х+3 2x^2 ,2
L In а (In а)2 * (In а)8]*
Интеграл типа
J W (In х) dx,
где W—многочлен, сводится к интегралу типа II подстановкой lnx==t
В самом деле, имеем:
х = е\ dx = etdt)
следовательно,
J W^\nx)dx = ^ W^ eldt.
Пример 3.
/ = ^ (ln2x — 21nx + 3)dx,
Подставив ,
In х = t, получим:
/ = J(/a —2/ + 3)e‘dt
Интегрируя по частям, как в примере 2, найдем: /=(f2_4f_|_7) е‘ + С, так что
/=(1п2х — 4 In х + 7) х + С.
Интеграл типа
хп (In х)” dx
(т — целое.положительное, п — целое) берется подстановкой In х —/,
если л= —1, или методом интегрирования по частям, если п^—1. А именно, положим
n = (lnx)m, du = m (Inx)*”1^,di) = xndx,у = ——"
тогда
J х” (In xTdx^"^"^-^У (In dx.
Продолжая аналогично, дойдем, наконец, до интеграла \xndx<
Интегралы типа
J 1Г(х) (In x)m dx
(т > 0 — целое, W(x)— многочлен) сводятся к интегралам типа IV.
Пример 4.
/ = J (2х —3) (lnx)2dx.
Интегрируем по частям. Полагая
и = (In х)2,du = 2 In х ~ ,
dv = (2х— 3) dx,v = x2— Зх,
получим:
/= (х2 — Зх^ (1п х)2 — 2 J (х — 3) In х dx.
Интегрируя еще раз по частям, найдем:
J (х —3) lnxdx = ^ х2 —Зх) 1пх—У (tx”"^) &х' Итак,
/=(№ —Зх) (1пх)2 —(х2 —6х) Inх+^-х3—6х + С.
3. Интегрирование тригонометрических функций.
I. Если R^u, ^—рациональная функция переменных а, D, то интеграл ^7?(sinx, cosx)dx сводится к интегралу от рациональной функции подстановкой
. х ,tgy=t
2sin|cos-^ 2<2sin|cos-^ 2<sinx =sinx =Так какТак кактотох = 2 arctg t,х = 2 arctg t,dx = Mdx = MВ самом деле, имеем:
2sin|cos-^ 2<
2sin|cos-^ 2<
sinx =
sinx =
Так как
Так как
то
то
х = 2 arctg t,
х = 2 arctg t,
dx = M
dx = M
Поскольку sinx, cos х и dx выражаются рационально через переменную t, то интеграл J R (sin х, cos х) dx при помощи указанной подстановки переходит в интеграл от рациональной функции.
Пример LПодставивПример LПодставивdx3sin х—4cosx *dx3sin х—4cosx *получим:получим:2dt 1 + <26t4(1 —/2)1-H21 + t22dt 1 + <26t4(1 —/2)1-H21 + t2di/2+4z~1di/2+4z~1t. e.t. e.
Пример L
Подставив
Пример L
Подставив
dx
3sin х—4cosx *
dx
3sin х—4cosx *
получим:
получим:
2dt 1 + <2
6t4(1 —/2)
1-H21 + t2
2dt 1 + <2
6t4(1 —/2)
1-H21 + t2
di
/2+4z~1
di
/2+4z~1
t. e.
t. e.
IL В некоторых случаях интеграл j/?(sinx, cosx)dx можно вычислить быстрее, если воспользоваться указанными ниже другими под* становками.
Если /?(и, ^) — нечетная функция переменной щ т. е. если
1Ци, t0 = — Rk—", *0,
то применима подстановка
cos х — t;
тогдаsin х = ]/1 — /2, dx =тогдаsin х = ]/1 — /2, dx =(О(О< x< xл).л).
тогда
sin х = ]/1 — /2, dx =
тогда
sin х = ]/1 — /2, dx =
(О
(О
< x
< x
л).
л).
Если R^u^ v)— нечетная функция переменной v, то можно воспользоваться подстановкой
sin х — t,
COS X = У 1 —-/2, dX = —7=
r ’V1 —<2 \2г )
Если R {a, <f) — четная функция переменных и и v, т. е. если R^u, v) = R{—u, —v),
то применяется подстановка
tg а; —22 / *
sinх =, cosx = -FX=, dx = ~~ .
/1 + ^V^Y + t^ 1 + *а
Примеры.
, С sin3* ,
/= \ —=—r-^dx.
J cos2 *4-1
Подынтегральная функция нечетна относительно sinx, потому что
sin8* (—sin х)3 е
cos2*+lcos2 *4-1 ’
применим поэтому подстановку cos х = t, — sin х dx = dt.
Таким образом,
Окончательно получим:
1= cos x — 2 arctg (cos x) 4- C.
/=C £2p dx. J 4sin2*— 1
Подынтегральная функция нечетна относительно cosx, так что можно воспользоваться подстановкой
sin х = z', cos х dx = dt.
Таким образом, г Cl —С Г 1,3 13 1 1
“ JJ [ 4 + 8 2/-1 8 2^ + 1]^
откуда
4 ^+16 nj2/+l|■^C, наконец, г1 • t 3 i_|2sinx— 1 I , п
4 sin х 4-16 In 12 sin х 4- 1| + C’
/= C—.
J sin2*—4 sin * cos x 4™ 5 cos2 *
Так как подынтегральная функция четна относительно sinx и cos х, то положим
tgx = «.
Имеем, таким образом, '-JuS^T5-JHki=”c,!:,“-2)+c'
следовательно,
1= arctg (tg х — 2) + С.
Рассмотрим теперь интегралы типа
Jsin5x cosk xdx.
Если ^ и 6 — целые числа, то, как следует из II на стр. 277, при 5 нечетном применяем подстановку cosx = /, при к нечетном»»sinx = /,
при s и к четных»»tgx = /.
Если же и к—дробные числа, то, подставив sinx = f, получим: Csin5x cosх dx = С ^(1— t^ 2 dt.
Последний интеграл — биномиальный; он берется лишь в случае, когда одно из чисел —j-, —тр, —целое (стр. zoo).
1= у )/^tg х dx = J sin 2 x cos 2 x dx.
Так как M^=0, то, применяя подстановку sin х — t, получим интеграл
р -L L/=\ 12 (i-/2) * at,
который берется в конечном виде. В самом деле, положив
получаем:
Подставив, наконец, 1—2.
— г ’
получим: о С ^
JS^+T*
Разложим подынтегральную функцию на элементарные дроби*) и проинтегрируем:
C-^L = —L— In 1+^/2+^1ю К2с
Так как
то
/ =1_ ln l±r2ctgx+ctgx1 arctg/2^4. С.
2^2 l-K2ctgx+ctgx Vl*1— ctgx
IV. Интегралы типа
j W (x) sin mx dx,
где W(x) — многочлен, берутся методом интегрирования по частям.
Действительно, положив u — W (х), du = W (х) dx, dv = sin mxdx, d —— 4-cosmx, получим:
J ^(x) sin mxdx — — -^ W^ cos mx 4-A-J W* (x) cos mxdx.
Продолжая аналогичным образом, мы будем понижать степень многочлена и придем, наконец, к интегралу ^cos mxdx или sinmxdx.
Пример 6.
I = J (x2 — 2x -f- 3) sin 2x dx.
Интегрируем по частям:
/=— A (x2 — 2x + 3) cos 2x + y J (2x —2) cos 2x dx,
^ (2x — 2) cos 2xdx = A(2x —2) sin 2x—A^ 2 sin 2xdx.
Итак,
/= — A (x2 — 2x 4- 3) cos 2x+A (x — 1) sin 2x 4- A cos 2x 4- C.
Замечание. Функцию sin*x(& > 0) можно всегда представить в виде суммы синусов и косинусов аргументов, кратных х. Как известно, sin2 х = А— A cos 2х,
откуда
sin3 х = A sin х—A cos 2х sin х.
Но
cos 2х sin х=A Sin (2х+х)—А $ш (2х—х),
следовательно, 31
sin3 х = -г sin х —г sin Зх.44
Вообще, имея уже такое представление для sin*x, мы получим из него аналогичную формулу для sin*+1x, умножая обе части равенства на sinx и используя затем соотношения:
sinx cos фх = у 8ш(ф+ 1) х —у sin (ф — 1)х,
Sinx 8ШФХ=у cos (ф— 1)х — у cos (ф+ 1)х.
Отсюда следует, что интегралы типа
j 1Г(х) sin kxdx
(k > 0 — целое) сводятся к интегралам типа IV.
Пример 7.
/ = ^ (х3 — 1) sin2xdx.
Поскольку
sin8 х — у—у cos 2х, то
/~уУ (х3—l)dx —у У (х3 —l)cos 2х dx.
Применив ко второму интегралу метод интегрирования по частям, получим:
J (х3 — 1) cos 2х dx = у (х3 — 1) sin 2х — у J х2 sin 2х dx, ( х2 sin 2х dx = — у х2 cos 2х 4- J х cos 2х dx> \ xcos2xdx = y х sin 2x4-у cos 2x4-С, следовательно,
1=4^- 1х-4-(2х3 — Зх — 2) sin 2х—^ (2х2 — 1) cos 2x4-С. ОZО
Интегралы от обратных тригонометрических функций.
Интеграл
^/(arcsin х) dx подстановкой
arcsin х = t
переходит в интегралпереходит в интеграл^/(/) cos t dt.^/(/) cos t dt.
переходит в интеграл
переходит в интеграл
^/(/) cos t dt.
^/(/) cos t dt.
Если теперь f(t)— многочлен, то последний интеграл берется методом интегрирования по частям (стр. 280).
Пример 1.
/ = ^ (arcsin х)2 dx.
Применим подстановку
arcsin х = t.
Тогда
/= J^cos/dt
Интегрируя по частям, получим:
1= i* sin t — 2 ^ t sin t dt,t sin t dt = — t cos t + J cos t dt = -r t cos t 4- sin t 4- Г.
Таким образом,
/=(/2 — 2) sin <4- 2t cos #4- C.
Так как
sinf = x, cos t = V^—x1,
TO
I = [(arcsin x)2 — 2] x 4- 2 V4 — xa arcsin x 4- C.
Интеграл
W (x) arcsin x dx
(где VF(x)— многочлен) берется методом интегрирования по частям.
Действительно, положив ., dx
и = arcsinх, du = «■.... .,
•V1—х2
d4>=W^dx, v = j W(x) dx = ^(x), получим:
J W (x) arcsin x dx = Wx (x) arcsin x — J ^^^ dx*
Пример 2.
/ = ^ 2x arcsin x dx.
Интегрируем по частям:
79. Г x2 dx
/ = x2 arcsin x I ■ r:: * J VT^x2
Вычисляя последний интеграл методом, приведенным на стр. 267, получим:
Г x2dxX5 . I .,
JTt=Fу У l-^2 4-2 arcsin Х4-с,
следовательно,
1= Xй arcsin х+у хУ 1—х2—у arcsin х + С.
Интеграл
J IF (х) arctg xdx
(где W (х)'— многочлен) берется методом интегрирования по частям. Действительно, положив
., d.x
« = arctgx, ^«=7+^» •
de = W (x) dx,e—^W(x)dx=W1 (x),
получим:•
У IF (x) arctg xdx = W1 (x) arctgx—J ^^^ ••
Пример 3.
I =^x arctg x dx.
Интегрируем по частям. Получим:
/ = ух2arctgx—g j i^id-x.
j r+Ta^=J ^ ”T+^y dx = x-arctgx + C;
следовательно,
C111
\ x arctg x dx = -^ x2 arctg x — -^ x + -^ arctg x + C.
5. Примеры функций, не интегрируемых элементарно. Ранее мы познакомились с рядом методов, позволяющих в некоторых случаях выразить неопределенный интеграф данной функции через элементарные функции. Не следует, однако, думать, что так удается выразить неопределенный интеграл любой непрерывной функции. Можно, например, доказать, что интегралы
fe* f'sinх , Рcosх , Х—dx» Xdx. Xdx J X ’J XJ X
нельзя выразить через элементарные функции.
Доказано также*), что биномиальные интегралы не могут быть выражены элементарно, за исключением тех трех случаев, которые мы рассмотрели выше (стр. 256). Интеграл
Г dx
♦) П. Л. Чебышевым. (Прим, ред.)
где ^(х) — многочлен третьей или высшей степени, также выра« жается элементарно лишь в некоторых исключительных случаях.
Примеры.
Интеграл \ ^у нельзя выразить через элементарные функции* Действительно, введя новую переменную подстановкой х = е^, получим:
Так как интеграл в правой части не выражается через элементар. ные функции, то это же имеет место и для данного интеграла.
Интеграл J “^г ^ интегрированием по частям преобразуется следующим образом:
Csinx , sinx , fcosx .
j dx =T +
В правой части имеем интеграл, который нельзя выразить через элементарные функции. Следовательно, и данный интеграл не может быть так выражен.
Задачи
$^"К =41п Iе*~11+ 41п(»*+2)+С.
С dx -1 i„ -^Кн^ , г
J /Г+^ ~ 2+1+
f —-^ _ =-L arctg ^-+С .(о, b * 0).
J xVdx=e*(x«—4х»+12х*-24х+24)+С.
Je*(xa+x+l)dx=e*(x8—х+2)+С.
j [(Inx)8—21nx]dx=x[(lnx)a—41nx+4J+C.
j (In x)8 dx=x [(In x)5—5(lnx)4+20(lnx)3—60(lnx)a+ + 120 In x—120]+C.
j x8 (In x)8 dx = -y [(1" *)’ —4ln x+4] + C1
»■ 1зй^-7?"=1‘(уТ"’1)+с-
J sin3 X Vcosx dx = 2 ^у cos2 x —L^ cos x j/coex 4-C.
j7cos2x?2 sin-37 =>tW 3rCtg( V7 tgX)+C'
у cos x cos 2xcos 3x dx = -^- ^-^L^ 4. fULi5 _p2l!L?£ 4. x) -pc.
P5+3 sin x + 7 cos x^ _
J sin 2x~
=| ln|tgx|+| Jig (£+4)1 + 4 In|tg4l+C-
\sin6xdx = —cos 5x4- — cos 3x — — cos x4-C.
JoU4oо
p1 Г 111
\ cos2 xsin3xdx=-=-cos5x — —-cos 3 x —2 cos x +C,
JL53J
f dx 1cosx2 .. _
\ -r-T—= — ~5— Ctg x + C.
Jsin4x 3sin3 x3 6
J x3cos x dx = (3x2—6) cos x + (x3—6x)sinx4-C.
,9‘ У^х^^^18*-*-,n*cosx| + C
C arctg x .1., , I x I ,
\— dx =arctg x+In —J—pC.
J X»X B T pr1 + xaT
J ^^ arctgx dx=^x —у arctgx^ arctgx—In Уl+x4 Ц-С.
I —^^=. arcsin x dx = x — У1—xa arcsin x 4- C.
J.y 1—Xs
У к а з а н и я.
Заменить сначала произведение косинусов суммой; 19) интегрировать по частям; 21) представить числитель дроби в виде х24-1 — 1 и разбить на два интеграла, потом интегрировать по частям; 22) интегрировать по частям.
еслиесли
если
если
ГЛАВА XVIОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Определение определенного интеграла. Пусть функция у =У^ определена в интервале [а, Ь\ (а < 6). Разобьем интервал [а, 6] на произвольное число отрезков (не обязательно равных), длины которых обозначим, соответственно, через Дхр Дх2, ... Дхп*).
Обозначим через ^, g2, ... , точки, выбранные произвольно, по одной в каждом отрезке.
Образуем сумму:
А=/(^) Д^+У^) Дх2 + ... +/(У Дх„.
Легко выяснить геометрический смысл суммы Л, особенно когда функция /(х) неотрицательна в интервале [а, Ь\. Действительно, в этом случае произведение У(^^хг равно площади прямоугольника с основанием Дхт и высотой /(^). Сумма Л, следовательно, представляет собой сумму площадей прямоугольников с основаниями Дхп Дх2,... .&хп и высотами /(^J, /(U .... /(U (рис. 45). Множество отрезков kxv Дх2, ..., Дхй будем называть разбиением 6. Длину наибольшего отрезка, входящего в состав разбиения 6, обозначим символом |6|. будем называть нормальной,
lim|6„| = 0,
♦) В дальнейшем часто через Дхь Ах2, ..., ^xn автор обозначает не только длины, но и сами отрезки. (Прим, ред.)
иными словами, если длина наибольшего отрезка, входящего в состав разбиения 6п1 стремится к нулю, когда п стремится к бесконечности. Например, разделив интервал [а, 6] на два, на три, четыре, пять и т. д. равных отрезков, получим нормальную последовательность разбиений.
Выбрав произвольную нормальную последовательность разбиений {6П} и образовав для каждого разбиения Sn соответствующую сумму Ап1 получим последовательность сумм {Ля}. Для данной последовательности разбиений {6„} можно получить разные последовательности сумм {Лп} в зависимости от того, какие точки g выбраны.
Определение. Если функция /(х) обладает тем свойством, что для каждой нормальной последовательности разбиений {6Д} соответствующая последовательность сумм {Лд} сходится (независимо от выбора точек g), то говорят, что функция Дх) интегрируема в интервале [а, 6].
[Установим два важных свойства интегрируемых функций.
Если функция интегрируема на [а, Ь^ то она ограничена на этом интервале.
Допустим, что функция /(х) не ограничена на [а, 6]. Покажем сначала, что в этом случае для любого разбиения 6 соответствующую сумму А можно за счет выбора промежуточных точек gx, g2, ..., £я сделать сколь угодно большой.
Действительно, раз /(х) не ограничена на [a, £], то она обладает этим свойством хотя бы на одном отрезке разбиения, скажем, на ДхР Выберем тогда на остальных отрезках Дх2, Дх3, ..., Дхд промежуточные точки g2, £3, ...» |п произвольно и обозначим
A' =/^ Дх2+/(|3) Дх8 + ... +/(|„) Дх„.
После этого найдем такое |х на Дхх, чтобы
где Ж —любое наперед заданное число (это можно сделать ввиду неограниченности /(х) на отрезке Дхх). Имеем
1/(и1Д^1>М'1 + Л4 и
|ЛН/(&х)Дхх+Л'|>|/(£х)|Ахх^Л'|>^^
Теперь берем произвольную нормальную последовательность разбиений {6Д} и последовательность чисел {Л1п} с условием Пш2Ид = оо.
П-*ОО
Строим описанным приемом последовательность сумм {Лд} таких, что Ап^Мп. Эта последовательность сумм, очевидно, расходится, что противоречит интегрируемости /(х). Наше утверждение, следовательно, доказано.
Замечание. Обратная теорема неверна. Действительно, функция
_если х иррациональное,
0<х<1, если х рациональное,
является ограниченной. Однако для любого разбиения 6 сумму А за счет выбора промежуточных точек можно сделать нулем или единицей. Поэтому предел последовательности {Лл} не существует.]
Если функция f(x) интегрируема» то для любой нормальной последовательности разбиений {б„} соответствующие суммы {Лп} стремятся всегда к одному и тому же пределу.
Действительно, допустим, что функция /(х) интегрируема в (а, 6), Выберем две нормальные последовательности разбиений {6Л} и {6^) и обозначим через {Лп}, {Л^} соответствующие последовательности сумм. Тогда последовательность разбиений б^б', 62, б'2, .. .,6Д, 6^, ... является также нормальной последовательностью. Таким образом, по условию, последовательность сумм Av Av Л2, Л2, ... сходится. Так как подпоследовательности сходящейся последовательности сходятся к тому же самому пределу, то
Пт А = Пт А.
П -* 06П -* 00
Мы видим, таким образом, что последовательности сумм {Лй} и {Л^} сходятся к одному и тому же пределу.
Общий предел последовательностей {Лп}, соответствующих нормальным последовательностям разбиений, называют определенным ин* тегралом функции f(x) в интервале [а, 6].
Определенный интеграл обозначают символом
ь
§/(x)dx.а
Замечание 1. Пусть функция у =f (х) непрерывна в замкнутом интервале [а, 6]. Позднее будет доказано, что такая функция интегрируема. Допустим, что /(х)>0 при а < х < Ь. Обозначим через D область, заключенную между кривой, осью ОХ и ординатами х — а, х = Ь (рис. 46).
Образуем произвольное разбиение б отрезка [a, by Пусть Afv mlt Л42, m^ . .. означают, соответственно, наибольшие и наименьшие значения, которые функция /(х) принимает в соответствующих отрезках разбиения б. Обозначим, соответственно, через £v £2, .. .,£'р £', ... точки, в которых функция принимает указанные выше максимумы и минимумы. Таким образом,
fk^ = Mv f^ = Mv ...J^ = mv /^ = тг, ...
Пусть
Л=/(^) Дх^ЛУ Дх2+... «М^^М^А-....
A^fk^ Дх^/^) Дх2 + ... = т1Дх1 + /»2Дх2 + ...
Прямоугольники с основаниями ДХр Дх2, ... и высотами, соответственно, Mv Ж2, ... охватывают область D, тогда как прямоугольники с теми же основаниями, но с высотами mv т^ ... содержатся в этой области.
Так как для каждой нормальной последовательности разбиений
{6Л} имеем:
lim Д = Нт А = пп
b
(х) dx, а
то естественно определить площадь области D как значение интеграла
ъ
§/(x)dx, а
что будет соответствовать нашим интуитивным представлениям. ь
Замечание 2. В определенном интеграле ^f^dx (в проти- а
воположность неопределенному интегралу!) вместо х можно писать любую другую букву. Итак,
ььь
Д.Д.f (х) dx = J f (/) dt = J / (г) dz и t. aaa
Д.
Д.
la. Примеры. 1. Функция y = c интегрируема в каждом интервале и
ь
\ cdx — c^b—а).
Действительно, образовав какое-нибудь разбиение 6 и выбрав произвольно точки |р g2, ..., ^п по одной в каждом отрезке, входящем в состав разбиения 6, получим:
№ = с, № = с. ....
10 с. Банах
следовательно, А —с Д^Ч- с Дх2+ ... = ЦЬ — ау
Таким образом, по определению: ь ^cdx = c(b — aY а
Графиком функции j = с является прямая, параллельная оси ОХ. Если с>0, то наш интеграл представляет собой площадь прямоугольника, ограниченного данной прямой, осью ОХ и прямыми х = а, х = Ь.
Функция у = х интегрируема в каждом интервале и
Образуем произвольное разбиение 6 интервала (а, 6). Выбрав произвольно точки gp ^2, ..., по одной в каждом из отрезков Д^, Дх2, ... разбиения 6 и положив /(х) = х, получим:
Z(^)=5i, f^ = ^ следовательно,
^=61^14*62^2 + • • • + 6П^-Г«*
Пусть точки xv xv ..., хп означают середины отрезков Дхр Дх2, ..., Ахп. Тогда
А = ххkxx + х2Да:2 + ... + хп^xn + (^ — xj Д ^ +
+ (6а — ^2) ^^2 + • • • + (6/1 ~" ^п^ ^^п*
Обозначим точки деления (т. е. концы отрезков, входящих в состав разбиения 6) буквами
а<ах<а^< а3<.. .< ап = Ь.
Мы получаем:
kxx = ax — а. хх = ^~2-,
Дх2 = а2 —av х2 = ^^1
Следовательно,
хх Дхх + х2 Ах2 + ... + х„Ax„ =
_ а?-а2, a»-°i.Ь»-а1п_1_ь»-а»
—2+222 '
Таким образом,
A=^--VR,
где
IR | = I (^ - xj А^ + (g2 - х2) Дх2 + ... I <
<111-^11161 + 1^-^1161+...
Так как
| El 1 ^ ^ Д-^1»1^2 *^2 I ^ *2 ^*^2»
ТО
Р1<4Ах1|6| + 4Дх2|61 + ...=|(^-а)|6|.
Поэтому если выберем произвольную нормальную последовательность разбиений {6Л}, то
причем
ш<4(*-*)|б„|.
Так как Нт 16И | = О, то lim Rn = 0, следовательно,
так что ь рbt_at
j2“•
а
Графиком функции у = х является прямая. Если 0 < а < 6, то определенный интеграл представляет площадь области, ограниченной данной прямой, осью ОХ и прямыми х=а, х = £; очевидно, что это площадь трапеции.
Некоторые свойства определенных интегралов. Из определения определенного интеграла легко вытекает следующая
Теорема 1. Сумма двух функций, f(x) и ф(х), интегрируемых в интервале [а, Ь\, также интегрируема в этом интервале и ььь
§ [/ (*) + ф U)] dx = У/(х) dx + У ф (х) dx. ааа
Доказательство. Для произвольного разбиения 6 имеем: л=/^1)Дх1+/^2)Дх2+..., Л' = Ф(£1) ДХх + ф^а) Дх2+ ..
Л+А' = [/ (li) + Ф (61)] А^1 + [/ (6,) + Ф (£,)) Ах8 + ...
10»
Таким образом, если {6„} — произвольная нормальная последовательность разбиений, то
hm (Л„ + Л'п)= lim Л„+ lim Л^, n=Q0Л=0ОП = О
следовательно, функция /(х) + ф(х) интегрируема в (а, ^) и *ъь
$ [/(*) + ф (^)] d* = J/(a:) dx + j* ф (д;) Дх. ааа
Аналогично доказывается
Теорема 2. Произведение постоянной с на функцию /^.интегрируемую в [a, b\, интегрируемо в этом интервале и ьь
У cf^ dx = c ^/(х) dx.аа
Пример. Опираясь на примеры п. 1, определить значение следующего интеграла:
/ = У (£х-|-с) dx. о
Имеем:
Illi
/ = y^xdx4-Jc6Zx = ^yxdx + cJdx = ~^-f-c. 0000
Теорема 3. Если функция /(х) тождественно равна нулю всюду в интервале [а, £>], за исключением конечного числа точек, то ь
У/(х) dx = 0.а
Доказательство. Пусть к — число точек, в которых функция отлична от нуля, а М — максимум функции |/(х)| в интервале [а, Ь\. Для любого разбиения 6, очевидно, имеем:
]A[^2Mf|6[.
Таким образом, если {6„}— произвольная нормальная последовательность разбиений, а {Лл}— последовательность соответствующих сумм, то
MJ^2^|6J,л=1, 2, ...
Так как Игл |бл| = 0, то Пт Лл = 0, следовательно, »п-*а»
b^fW dx = 0.а
Теорема 4. Если функции /(х) и ф (х) отличаются друг от друга только в конечном числе точек интервала (а, Ь), то, предположив, что одна из этих функций интегрируема, можно утверждать, что другая также интегрируема, и сверх того,
ьь
J/W dx = ^ ф(х) dx. аа
Действительно, допустим, что <р (х) интегрируема в [я, />]. В силу теоремы 3 имеем:
ь
[/ U) — ф (■*)] dx = 0.(1)
а
Так как
/ (^) = [/ U) — ф (*)]+ф (л),то функция /(х) как сумма двух интегрируемых функций интегри-руема, и вследствие (1) получаем требуемое соотношение.
[Замечание. Пусть функция /(х) определена на интервале [а, ^] всюду, за исключением конечного множества точек хр х2, •••» хк* Доказанная теорема позволяет следующим образом ввести понятие интеграла от такой функции.
Доопределим /(х) в точках xv х2, .*., xk произвольно и обозначим через ф(х) новую функцию, определенную уже 'во всем интервале. Если ф(х) интегрируема в [а, £], то и /(х) назовем интегрируемой в этом интервале. Положим также, по определению,
6ь
^f^dx — ^ф (х) dx. аа
Мы видим, что интегрируемость /(х) и величина интеграла не зависят от способа доопределения этой функции.]
Интегрируемость непрерывной функции. Пусть функция у^у^ непрерывна в интервале а^х^Ь. Образуем произвольное разбиение 6 отрезка [а, ^]. Обозначим через Л1П Ж2, ... наибольшие, а через mv m^ .. . наименьшие значения, принимаемые функцией /(х), соответственно, в отрезках Дхр Дх2, ...
разбиения в. Положим:
5 = Af^Ax^ -{- Л42Дх2 4” ...,
s = m1Ax1-Vm2Ax2-\-..., i(1)
Л=/(|1)Дх1+/(|2)Дх2+... J
Число 5 будем называть верхней суммой, а число $ нижней суммой, соответствующими разбиению 6.
Имеем, очевидно,
$<4<5.
Лемма 1. Если функция f^ непрерывна в интервале (а, Ь), нм означает произвольную нормальную последовательность разбиений интервала (а, Ь), то
lim (S„—s„)=0ft-* оо
(5„ и sn означают верхнюю и нижнюю суммы, соответствующие разбиению 6„).
Доказательство. Пусть 6 —произвольное разбиение. Сохранив предыдущие обозначения, имеем в силу (1):
5 — s = (^ — т^ Ахх + (М2 — т^ Дх2 + ...(2)
Так как функция /(х) равномерно непрерывна на интервале [а, 6], то для любого е > 0 найдется такое т) > О, что если 1В'~Г1 <Л» то |У(£')—/(£")[ <8. Допустим, что ]6|<Т); тогда
М1 — т1<г, М2 — т2<е, ...
Следовательно,
S — s<e Ахг + е Дх2 + ... = е (Axt + Дх2 +...), т. е.
О <5 — 5 < е (6 —а), если 161 < т).(3)
Поскольку lim 16„ | = 0, то существует такое N, что для каж- fl —* со
дого п> N будет | 6„ f < Л- Отсюда в силу (3) для п> N имеем:
0^S„ — s„<e(6 —а).
Так как е может быть произвольным положительным числом, то
lim (S„ —s„) = 0. fl-* СО
Лемма 2. Пусть 6 и б' — два разбиения [я, 5]. Если функция f(x) непрерывна на [а, 6], 5 означает верхнюю сумму, соответст* вующую разбиению 6, a s'— нижнюю сумму, соответствующую разбиению б', то
S^s'
(т. е. каждая верхняя сумма равна или больше любой нижней суммы).
Доказательство. Пусть
S = AfjLАА7Т + М2Дх2 + ...,s' = т1Дх,1 + т2Дх' + . •.
Допустим сначала, что /(х)^0 для а^х^^ (см. рис. 46). Пусть в этом случае D означает область, ограниченную кривой у = /(х), осью ОХ и прямыми х=а и х = Ь. Легко заметить, что прямоугольники с основаниями Дхр Дх2, ... и высотами Mv М2) ... полностью покрывают область D и что внутри области D содержатся целиком прямоугольники с основаниями Дх', Дх'2, ... и высотами т^, т , ... Отсюда следует, что прямоугольники с основаниями Дхр Дх2, ... покрывают прямоугольники с основаниями ДХр Дх2, ... Так как S — сумма площадей первых прямоугольников, a s' — сумма площадей вторых, то
S^s'.
Если теперь функция /(х) не является неотрицательной на [а, £], то, положив
7w=/w—«
^т — наименьшее значение функции /(х)), получим:
/(х)>0 для а^х^Ь..
Итак, 5^ s' (где S — верхняя сумма функции /(х), соответствующая разбиению 6, a s' — нижняя сумма, соответствующая разбиению 6'). Но
5 = А41Дх1 + Л42Дх2 + ... = (Af1 — т) Дх1+(ЛГ2 — т) Дх2 + ...
^Mv М2, ...—наибольшие значения функции/(х) в интервалах Дхр Дх2, . •.).
Таким образом,
8 = 8 — тф—аУ
Аналогично получим:
s' = s' — m(b — а).
Так как S ^ s', то
S—m^b — c^^s' — m^b—a^ т. е.
S^s1.
Теорема. Функция у =f(x)t непрерывная в интервале [а, ^], интегрируема в этом интервале.
Доказательство. Пусть {6„} означает произвольную нормальную последовательность разбиений, {5„}, {s^}— верхние, соответственно, нижние суммы, соответствующие разбиениям 6„, а {Л„}— суммы, определенные в п. 1.
Если р и ^ — произвольные натуральные числа, то по лемме 2
Spsq1Sq ^ sp.
Поэтому
Sp Sq^sq Sq,Sq Sp^Sp Sp.
Отсюда следует -^q-s^^Sp-S^Sp-sp.(4)
Так как по лемме 1
то, выбрав произвольное число в > О, найдем такое N, что для п> N
0<S„—s„<e.
Если, следовательно, р> N и q>N, то в силу (4)
8 <с Sp Sq <6, т. е.
l^-^Ke.
Отсюда мы видим, что последовательность {Srt} удовлетворяет условию Коши и, следовательно, сходится.
Так как
sn = Sn ^Sn s„),
то в силу леммы 1
lim sn = lim Sn.(5)
п-* в> п-* а»
Учитывая, что
$« ^ ^п ^ Snl
мы на основании (5) заключаем, что существует предел
Пт Ап.
П-* а>
Таким образом, функция /(х) интегрируема в интервале [а, 6],
Достаточные условия интегрируемости. Приведем здесь (без доказательства) некоторые условия интегрируемости разрывных функций.
Теорема 1. Ограниченная функция, имеющая конечное число точек разрыва в интервале [а, 6], интегрируема в этом интервале.
Отсюда сразу следует, что ограниченная функция, имеющая конечное число точек разрыва в [а, 6], интегрируема в каждом частичном интервале [а, Р] (а^а<р^6).
Справедливо также следующее утверждение.
Теорема 2. Если функция интегрируема в интервале [а, 6], то она интегрируема также в каждом частичном интервале [а, Р] (а ^а < Р ^ Ь),
Примеры.
Функция
/W = f^ (0<х<1)
/(1) — 1,/(1) — 1,непрерывна внутри интервала [0, 1]. Если доопределить ее в концах интервала условиями
/(1) — 1,
/(1) — 1,
/(0)=0,
lim /(*)=/(!).Х-* 1-0 непрерывна также на концах ин-lim /(*)=/(!).Х-* 1-0 непрерывна также на концах ин-то, как легко проверить, lim /(х)=/(0),
lim /(*)=/(!).
Х-* 1-0 непрерывна также на концах ин-
lim /(*)=/(!).
Х-* 1-0 непрерывна также на концах ин-
Таким образом, эта функция
тервала, следовательно, она интегрируема в интервале [0, 1].
Функция
/W = sinl, 0<л;<1, /(0) = 5,
интегрируема в интервале [0, 1], потому что она огранйчена и имеетинтегрируема в интервале [0, 1], потому что она огранйчена и имеетв этом интервале лишь одну точку 3. Функцияв этом интервале лишь одну точку 3. Функцияразрыва х = 0.разрыва х = 0./1 приI 3 »/1 приI 3 »0<х< 1,1<х<2,0<х< 1,1<х<2,2<х<32<х<3
интегрируема в интервале [0, 1], потому что она огранйчена и имеет
интегрируема в интервале [0, 1], потому что она огранйчена и имеет
в этом интервале лишь одну точку 3. Функция
в этом интервале лишь одну точку 3. Функция
разрыва х = 0.
разрыва х = 0.
/1 при
I 3 »
/1 при
I 3 »
0<х< 1,1<х<2,
0<х< 1,1<х<2,
2<х<3
2<х<3
интегрируема в интервале [0, 3]. Действительно, она ограничена и имеет только две точки разрыва а:=1 и х = 2.
Разбиение интервала интегрирования.
Теорема. Если а^Ь^с и если функция f(x) интегрируема в интервале (а, с), то
Ьсс
dx+ J/(x)dx= $/(х)dx. aba
Доказательство. Образуем нормальную последовательность разбиений {§„} отрезка [а, с] так, чтобы точка b была точкой деления при любом разбиении 6„. Обозначим через {Лд} последовательность сумм, соответствующих разбиениям {6Д}. Сумму Ап можно
представить следующим образом:
An = \J^ ^-Vfk^ Д^ + • • .] + [/(& А^+/(^) Дх3 + ...], где Дхп Дх2, ..., соответственно Дх1? Дх2, ... , означают отрезки разбиения 6И, содержащиеся в [а, 6], соответственно в [6, г].
Обозначив через Ап сумму, содержащуюся в первых скобках, а через Л„ сумму, содержащуюся во вторых скобках, получим:
А=А +Л\(1)
п п х п4 /
Допустим, что функция /(х) интегрируема в [а, с]; тогда по теореме 2 п. 4 она будет также интегрируема в [а, 6] и [/>, с], кроме того,
сЪс
Нт Л„= ^f^dx, lim Ап = j/(x) dx, lim X = (/(*) dx.
Отсюда в силу (1) следует утверждение нашей теоремы.
Пример. Пусть дана функция /(х), определенная в интервале [О, 1] следующим образом:
х при О^х <4-,/(*)={, 1/
1 » у X ^ 1.
Эта функция ограничена и непрерывна во всем интервале [0, 1], за исключением точки х=-^, следовательно, она интегрируема» Имеем:
11
1л121
j/W ^ = j/W dx+^/^dx = ^xdx-V^\dx=^-V^=^ °0-L0 А
22
(см. примеры к п. 1).
Пределы интегрирования. Введем следующее определение. Пусть функция /(х) интегрируема в (а, 6), а < 6. Тогда полагаем
аb
^fkx^dx = — $/ ^dx,
Ьа
а
Теорема. Если at b, с — произвольные числа, то Ьсс
\f[x)dx + ^f{x)dx=^f(x)dx(1)
aba при условии, что все эти интегралы существуют.
Доказательство. Если а < b < с, то соотношение (1) следует из теоремы п. 5.
Допустим, что а < с < Ь. Тогда сbb
^f{x)dx+lf(x) dx=[f{x} dx, аса следовательно, bbс
\f{x}dx—^ f^ dx=^f^ dx, аса откуда bсс
5 /(х) dx-\- ^/^ dx= $/(х)dx. aba
Если допустим, что а —с, то теорема очевидна. Действительно, в этом случае имеем: bаа
$/(х) dx+ §/(x)dx = 0 = $/(x)dx. abа
Аналогично рассуждаем, если Ь — с или а = Ь.
Замечание 1. Формулу (1) можно записать также в следующем виде: Ьса
§Дх) dx+ J/(х) dx-V^fW dx = 0. abс
Замечание 2. Числа а, Ь, фигурирующие в интеграле ь V^dx, а называются пределами интегрирования, независимо от того, будет ли а^.Ъ или а > Ь. Число а называется нижним пределом, b—верхним пределом. 7*. Некоторые неравенства для определенных интегралов. Теорема 1. Если f(x) интегрируема на интервале [а, 6] (а < ^) и неотрицательна на нем, то ее интеграл по этому интервалу также неотрицателен.
Доказательство следует из замечания, что для каждого разбие- ния 6 имеем Л ^ 0.
Теорема 2 (интегрирование неравенств). Если на интервале [а, 6] функции f\x^ и ф(х) интегрируемы и
/(х)^ф(х), а^х^Ь, то также ьъ
J/(x) dx^. J (p^dx. aa
Действительно, при a ^ x ^ b функция ф (x) — / (x) интегрируема и неотрицательна, так что ь
$[ф W—/W]^>0- а Следовательно, ьъ
^ Ф(х) dx — ^/(х)dx^O. аа
что равносильно утверждению теоремы.
Теорема 3. Если Дх^ интегрируема на [а, Ц, то |/(х) | также интегрируема на этом интервале ♦), и ьъ
| $ /W dx | С $ I/W I ^ (а < bY аа
Для доказательства достаточно проинтегрировать неравенства
~Ч/МК/(х)С|/(х)|.
Получим bbь
— Sl/(x)ld*< $/W^< $!/(•*) |dx, ааа
что и требовалось доказать.
Теорема 4. Если функция /(х) интегрируема на интервале [а, 6] и удовлетворяет на этом интервале неравенствам m^f(x)^M, то ь
m^b —о)^ $/(х)dx^M^jb — а), а < Ь» а
®) Это утверждение мы оставляем без доказательства.
Действительно, имеем ььь
^тдх<Д f(x) dx^^M dx. aaa
Но согласно примеру 1 из пункта 1 bb
^ mdx — m^b—a); J Mdx — M (b — a). aa
Доказанному соотношению можно придать более удобный вид, освободившись от ограничения а < Ь.
Теорема 5 (о среднем). Пусть f(x) интегрируема на [а, А) и удовлетворяет на этом интервале неравенствам m-^f^x^ ^М. Тогда ь
m^b^V^dx^M а b
Число до = ^—- у/(a;) dx называют средним значением функции а
fW на интервале [а, 6], Отсюда и название теоремы.
Заметим, что среднее до не меняется при перестановке пределов интегрирования, так как при этом происходит одновременное изменение знака у интеграла и множителя 1/(^ —а). Поэтому достаточно рассмотреть случай а < Ь* Но при этом условии доказываемое утверждение получается из неравенств предыдущей теоремы делением всех членов на положительное число b— а.
Замечание. Пусть функция /(х) непрерывна на замкнутом интервале [а, 6]. Тогда под М и tn в теореме о среднем можно понимать наибольшее и наименьшее значения этой функции в указанном замкнутом интервале. Так как m^yi^M, то найдется хотя бы одна точка с внутри интервала такая, что /(с) = до*). Утверждение теоремы в этом случае можно записать следующим образом:
ь
^/Wdx=f^ (6 —a), а
где с —некоторая внутренняя точка замкнутого интервала [а, Ь]. И это соотношение не зависит от расположения точек а и Ь.
Ниже будет доказана справедливость последней формулы при несколько более общих предположениях относительно функции /(х) (стр. 309).
Примеры.
L Рассмотрим функцию /(х) = х(1 — X).
Вычисляя ее наименьшее и наибольшее значения в интервале [0, 1], легко убедимся в том, что
(0<х<1).
Отсюда имеем: 1
О^У х(1— x)dx^.^. о
Непосредственное вычисление этого интеграла известным нам способом дает значение -g-, удовлетворяющее последним неравенствам.
Функция
f^ = xx (аг > 0) непрерывна в интервале [0, 1], если условимся, что /(0) = 1 (см. стр. 153, пример 6).
Как легко проверить (см. стр, 149, задачу 4), эта функция до* стигает в данном интервале минимума при x = -^-t принимая значе- £
ние е в, которое является одновременно ее наименьшим значением.
С другой стороны, очевидно, /(х)^1 (O^x^l). Поэтому можем 1
принять т = е в, М=\.
Таким образом, получаем неравенство 1_ 1 е ' <jx*dx<l (е"'=0,692...). о
В этом случае точное значение интеграла нельзя определить элементарно.
Если/(х) и ф(х)— непрерывные функции в [а, 6], то при любом X
ь
W = j [/ W + Хф (X)]1 dx > 0, а
откуда bbь
I (X) = X» J ф» (х) dx + 2Х J / (х) ф (х) dx + J fl (х) dx > 0. (2) ваа
. ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО (нижнего) предела интеграла 303
Так как трехчлен аХ2 + 2рХ + у неотрицателен для всех X тогда и только тогда, когда
Р2 — ау^О, т. е. р2^ау, то в силу (2) ььь
[$ /(■) Ф W ^]2< $/2 (х) dx $ ф2 (х) dx(3)
ааа
ИЛИ
|$/(х)ф(х)Дх [<]/ $/4x)dx.y ^<p8(x)dx.(4)
саа
Для ф (х) = 1 получим: ьГ”ь
I J/(x) Jx| <У b — ay j/2(x)dx. аа
Неравенство (3), соответственно (4) (которое, как можно показать, справедливо для каждой пары интегрируемых функций), носит название неравенства Шварца *)♦
8. Функция верхнего (нижнего) предела интеграла. Если функция /(х) интегрируема в [а, 6], а а—произвольная точка интервала [а, ^], то можно определить новую функцию Г(х) формулой
F(x) = J/(/)d/(а^х<6).
а
Функция F^ определена для всех х интервала [а, 6]. Функция F^ является, таким образом, функцией верхнего предела интеграла функции /(х).
Аналогично можно рассматривать функцию нижнего предела интеграла функции /(х), т. е. функцию
аФ(х)-$/(П^.XЯсно, чтоФ(х) = —F(x).
Следует иметь в виду, что функция верхнего, соответственно нижнего, предела зависит еще от выбора точки а.
Теорема. Функция
X.
F(x) = $/(f)dtа
непрерывна в замкнутом интервале [а, £].
Доказательство. Пусть х0 и х0 + А — произвольные точки интервала [а, 6]. Имеем:*
Хо+АХаах^+А
F^HM- ^/(i)dt-\f(t)di=^f(t)dt + J f^di; aax0a
поэтому, по теореме n. 7, xe+A
•f^^)-^^ ^/^dt.(1)
Так как f(x) интегрируема на [a, £>], то она ограничена на этом интервале, т. е.*
|/W1^^,a<_x<.b.
По теореме 3 п. 7 (стр. 300) об оценке интеграла получаем из (1)
I ^ (-^о 4* М ^ С^о) I ^ ^ I *^о + ^ — х0 | = L • | X |.
Отсюда видно, что
lim ]Г(хо + М-П*о)|==О.
А-> о
х
Но это означает, что функция J / (/) di является непрерывной функцией, a
Замечание. Очевидно, функция
a
<$>W=V^dtX
является также непрерывной функцией, ибо
Ф(х) = -Р(х).
Примеры.
Интеграл
является непрерывной функцией для х > 0. Как будет показано (см. ниже теорему 3 п. 9),
F (х) = In х.
Аналогично, о
является непрерывной функцией для всех х. Здесь будет
F(x) = arctgA;
(см. ниже теорему 3 п. 9).
Интеграл
F (х) = L-dt (О < А < 1)(1—Р)(1—А2Р)
О
является также непрерывной функцией для 0^х<1. Однако эту функцию нельзя выразить через элементарные. Это — так называемый эллиптический интеграл.
То же самое относится к функции
Xsin / ,,F^=\ — dt,
и
непрерывной для всех х. (При £ = 0 за значение подынтегральной функции можно взять любое число —величина интеграла от этого не меняется.)
Определенный интеграл и первообразная функция.
Теорема 1. Если функция/(х) интегрируема в [a, ft], а ^а^^ X
и а^х^Ь, то производная функции ^f(t)dt существует и равна а
подынтегральной функции в каждой точке, в которой эта функция непрерывна.
Доказательство. Пусть /^ непрерывна в точке х0 интервала [а, д]. Тогда, выбрав произвольное число е > 0, мы можем найти такое т) > 0, что для каждой точки х интервала [а, 6], удовлетворяющей неравенству
|*—х0|<ть(1)
будет выполняться также неравенство
|/И-/(^)|<8, т. е.
/(х0) —в </(х) </(х0) + е.
Положив
FW=VWdt>анайдем:
F^-F W =Гу ^ df.(2)
X — ХоX— х0 J J 11
Хй
[Очевидно, для всех t на интервале интегрирования [х0, х] имеем
|^ — ^0К|х — х01 <Т) и, следовательно,
/(x0)^e</(f)</(x0) + e.
Отсюда с помощью теоремы о среднем (теорема 5 на стр. 301) получаем, независимо от знака х — х0,
Z(x0)—е<^-j/(O</^/(xo) + e,к—АГоКл.
«О
т. е. в силу равенства (2)]
/ко)~еС^Z, ^</ко) + «,|х-х.|<п.
Так как е было выбрано произвольно, то
Um LW^ol=A^
х-*х0 л ЛО
т. е. F (х0) существует и
Г(х0)=/(х0).
Из этой теоремы сразу следует
Теорема 2. Непрерывная в интервале [а, Ь\ функция f(x) обладает в этом интервале первообразной. Первообразной является функция
F^ = ^f^dtA-C.а
Замечание. Теорему 1 можно также доказать для функции
Q>VX^f^dt.X
Действительно, имеем: ах
$/Ю dt = ~ VWdt. ха
Следует, однако, заметить, что ф' (*)—/(*).
Теорема 3. Если ^(х) является первообразной функцией функции f(x), непрерывной в интервале [а, 6], то
J/(/)d/ = F(x) —F(a), а<а<6, а<х<£.(3)
a
x
Доказательство. Так как F^ и ^f^dt являются пер- a
вообразными функциями функции /(х), то они отличаются между собой только на постоянную. Следовательно,
X
V^ dt = F(x) + C. a
Положив х = а, получим 0 = F (a) + С. Отсюда вытекает, что С =— F^a^ так что
X
\f(t)di = F(x)-F(a). а
Замечание. Положив в формуле (3) х = Ь* a = a, получим: ъ
$/(0d< = F(»)-F(a).(4)
а
Формула (4) позволяет нам вычислить определенный интеграл, когда известна первообразная функция, т. е. известен неопределенный интеграл.
Для краткости формулу (4) часто пишут в другом виде: ь
J/(O^ = ^w|".а1
Например, j/d/-2|i~22~Т*
1
Примеры. л 2 1. Вычислить интеграл Jsinxdx. о Так как sin х dx = — cos х, то я 2
J sin х dx = — cos -у + cos 0 = 1. о
Вычислить интеграл ^ хп dx, п^— 1. о
Поскольку ргп+1
то
а ^'^_"з ^° > 0.
о Так как
f^7*^=|1n (a3 + *sh ТО а
У^з^ = |‘"2аЗ-41паЗ = 11п2. о л 4
Вычислить интеграл I —j— dx. J cos6x о
Имеем:
sin4 х cos6 X
Следовательно, положив tgx = f
О sin4 х .С
\ —^— dx = \
_tg«X
COS2 X *
, —o— = dt, получим:
COS2X’J
и отсюда л
Р sin4 х__ ^ *4" tg6 01
J cos6 х555*
о
Вычислить интеграл
л
2
4 = J sin" х dx(п —"натуральное),
о
Для неопределенного интеграла ^ sin” xdx мы получили (стр. 240) формулу приведения:
С . п л cos х sin”*1 х , n—1 р ..
\ sin” х dx \ sin” 2 х dx.
Jn * n J
Отсюда
ЛЛ
22
. C • лcos xsin””1 x 1 a . n—1 p .,
L=\ sin x dx H\ sin” 2 x dx.
” Jn Io * n J
о0
Если п^2, то первое слагаемое правой части равно нулю, следовательно,* г
г —п /п
При помощи этой формулы и принимая во внимание, что
—^ >'1— Ь
легко получим по индукции:
л
2
, р ..1 32/1—1 л
кп — J sm х ^Х — 2 е 4 • • • 2/i "2* * о л
2
У Р •+ 1 J 1242/1
/2n+l = JSm Xdx = у • у • у . .♦
о
Интегральная теорема о среднем для непрерывных функций. Если функция /^ ограничена в замкнутом интервале [a, Z>] и непрерывна внутри него, то существует такая внутренняя точка £ этого интервала, чтоь
/^ = ^a^/Wdx.
[В пункте 7 этот результат был установлен лишь для функций, непрерывных в замкнутом интервале [а, 6], так что его нельзя было применить, скажем, к функции /(.£) = sin у на [0, 1]].
Доказательство. Положим для а ^х^ b
F^ = ^f^dt.(1)
а
Функция F^ является непрерывной функцией в [а, 6] и, согласно п. 9, имеет всюду внутри этого интервала производную
F' (а;) = / (а;),а < х < Ь.(2)
Далее, по теореме о среднем значении, известной из дифференциального исчисления, существует точка £, удовлетворяющая соотношению
F (6) - F (а) = (5 - a) F' (g),а <^<b.(3)
Так как по (1)
Ьа
Рф)ЦПМ<, F^ = y^dt = O,аа
то в силу (2) и (3)
6
J/(O^ = (*-a)/(£). а
Отсюда уже получается утверждение нашей теоремы.
Примеры.
Среднее значение функции
/(х) = х(1—х)
в интервале [0, 1] равняется
1$/W dx = l.О
Так как эта функция непрерывна, то для некоторого х = £(0<£<1) имеем:
что легко проверяется непосредственно.
Среднее значение функции
/(х) = х sin х в интервале [0, л] равняется
— Cxstnxdx = L
о
В силу непрерывности этой функции имеем, следовательно, для некоторого g из интервала (0, л) равенство ^sing = l. (Легко доказать непосредственно, что существует по крайней мере два таких значения £.)
Задачи
Вычислить следующие определенные интегралы:
tz2+W
4ab *
х2 dx
9
V 6 *
)<4+2х
5
dx
1 ,
х2+5х+4
T^n
dx _
2л
о
о 2
64
15;
5_е
4 ;
J *•-*+! з^з’ о 2Л
ь
С dx л
У cos тх cos пх dx = / о'У cos тх cos пх dx = / о'm ?6 л, .х
У cos тх cos пх dx = / о'
У cos тх cos пх dx = / о'
т^п (#Ь л целые, положительные);
(.. л
\ arcsm xdx —1;
о.
ололdx=—2^2dx=—2^2
ол
ол
dx=—
2^2
dx=—
2^2
о
л
2
(а > 0, 6 > 0);(а > 0, 6 > 0);и) С— ”
(а > 0, 6 > 0);
(а > 0, 6 > 0);
J a2 cos2 х+6а sin2 х 2ab
и проверить непосредственно, что полученная функция X
FW = ^fAf)dtа
непрерывна в интервале [0, 3] и что ее производная в каждой внутренней точке этого интервала существует и равняется f(x)
При помощи формулы (4), приведенной на стр. 241, доказать, что я
Гл 2-4...2п
I COS2"*1 xdx = K-=Tn• J3*5...(2n+l)
о л 2 f ,Ь3...(2п—1) л
о для всех натуральных п.
1
К) f }^4^dx = -L + 4-ln ^V^'
J/22
О
Доказать, что среднее значение радиуса-вектора эллипса
1 —е cos ф равняется половине его малой оси (Как известно,
Fa’—6*
8 = 2a
где a, b означают половины большой и малой осей.) Следует вычислить среднее значение функции
Р1—8 COS фв интервале [0, 2л].
Вычислить среднее значение функции
Цх^Цх^COS3 Xsin2 х+4 cos2 хCOS3 Xsin2 х+4 cos2 х
Цх^
Цх^
COS3 Xsin2 х+4 cos2 х
COS3 Xsin2 х+4 cos2 х
в интервале |^0, —j. Проверить непосредственно, что это среднее значение (^к) является значением функции /(х) для некоторого х = £ из этого интервала.
Приняв в неравенстве
ь
m(b—a)^ ^tWdx^M (b—a)а
за т и М наименьшее и наибольшее значения функции
-f(x)=*x(l — хУ
в интервале (0, 1], доказать, что
1
0< Jx(l — x^dx^^;
о
затем проверить это непосредственно, вычислив интеграл.
Вычислить в пределах от 0 до 3 интеграл функции f(x), определенной следующим образом:
0<х<1, 1 < х^2, 2 <х<3.0<х<1, 1 < х^2, 2 <х<3.{1— хпри
0<х<1, 1 < х^2, 2 <х<3.
0<х<1, 1 < х^2, 2 <х<3.
О >(2—х)3>
ГЛАВА XVII
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ
Замена переменных в определенных интегралах. Пусть требуется в определенном интеграле
ь
Vwdx а
применить подстановку х = ^^. Тогда имеет место следующая формула замены переменных в определенном интеграле:
ь0
J f (х) ах = $ / [ф (/)] ф' (0 dt, аа
где
Ф (а) = а, ф (Р) = Ь.
Эту формулу мы докажем при условиях:
1. Функции ф(/) и ф'(/) непрерывны в [а, Р].
Функция /(х) определена и непрерывна для всех значений, которые функция х — ф(/) принимает в интервале [а, Р].
ф(а) = а,ф(Р) = д.
Доказательство. Обозначим, соответственно, через М и т наибольшее и наименьшее значения функции х = ф(/) в интервале [а, Р]. Пусть
F(x) = ^f^dx, т^.х^,М.
По теореме о подстановке в неопределенных интегралах (стр. 233) для всех t из интервала [а, Р] справедливо равенство
^[ф(0]=$/[<рЮ] ф' Wdt.
Отсюда
S/[ф (0] ф' (0 dt = F (ф (р)1 —F [ф (а)] = F (6)—F (а).(1)
а
Так как
ь
\f[x)dx = F(b) — F{a),
V)
то из сравнения последних двух равенств получим доказываемую формулу.
В ряде случаев, несмотря на невозможность отыскания неопределенного интеграла от данной функции, удается вычислить определенный интеграл в некоторых пределах с помощью подходящей замены переменных.
Примеры.
1. Вычислить интеграл:
Подставим т. е.
Имеем:
Так как то
7 = ^ хУ 14-х2dx. о
УТ+^2 = <,
x = V"pZ7\.
/ = 1при х = О,
t = У 2» х = 1.
dx
tdt
У 7^’
Vs
1
2/2-1
3
2. Вычислить интеграл
1п(1+х)14-х2
dx.
Положим
Новыми пределами интегрирования, как легко видеть, будут 0 и -^-.
dx —dx —С х sin хJ 1 + cos2 хС х sin хJ 1 + cos2 хdx —dx —л2Тл2Т
dx —
dx —
С х sin х
J 1 + cos2 х
С х sin х
J 1 + cos2 х
dx —
dx —
л2
Т
л2
Т
получим:
л
ЛО2
Г xsinx . _С (л—0 sin (л—о — f (л —О sin t
J l+cosxaX “J l+cos2(n —О ° J 1+COS4
лл0
22
Написав снова x вместо t, найдем:
л
Jx sin x
Задачи
Вычислить следующие определенные интегралы;
jo о
Подстановка x = sinq>. а
С х’ тА^ dx = (т-т) а* (а > 0)*
J V а+х3/
о Подстановка х = a cos ф.
з С dx .2+^5
а. \ --77™=— dx = In -—~т=
J Fx2 + a2 , 1 + УТ
Подстановка x = atgy.
2a p ула2
i у 2ax — x2 dx= -^ .
0
Подстановка x = 2asin2 ф.
ТакимТакимобразом, лобразом, лллIn (1 +*)1+x2In (1 +*)1+x2rin(l + tgQ dtJ1 + tg2/ cos2/0Лrin(l + tgQ dtJ1 + tg2/ cos2/0Лsin / + cos /cos /sin / + cos /cos /= jln(l+tg/)<// = ол,.* ^cosf-y—М= jln(l+tg/)<// = ол,.* ^cosf-y—Мcos /cos /dt =dt =лл0Л0Лллcos / dt.cos / dt.ООоо
Таким
Таким
образом, л
образом, л
л
л
In (1 +*)1+x2
In (1 +*)1+x2
rin(l + tgQ dt
J1 + tg2/ cos2/
0
Л
rin(l + tgQ dt
J1 + tg2/ cos2/
0
Л
sin / + cos /cos /
sin / + cos /cos /
= jln(l+tg/)<// = о
л,.
* ^cosf-y—М
= jln(l+tg/)<// = о
л,.
* ^cosf-y—М
cos /
cos /
dt =
dt =
л
л
0
Л
0
Л
л
л
cos / dt.
cos / dt.
О
О
о
о
Положив во втором интеграле
Л — t = и dt =— du, 4
получим:
ЛЛ
404
J In cos^—/ ^ df = y (— Ineos «)</« = JIn cos и du.
0310
4
Таким образом,последниеДваинтегралапропадают.Поэтому мы
получаем:
л Оо
Вычислить интеграл
л f xsinx , J l+cosxdx- о
Имеем:
xsin xl+cos*xxsin xl+cos*xdx~dx~xsinx .1 + cos2 X ^~xsinx .1 + cos2 X ^~xsin x1 + cos2 xxsin x1 + cos2 xdx.dx.
xsin xl+cos*x
xsin xl+cos*x
dx~
dx~
xsinx .
1 + cos2 X ^~
xsinx .
1 + cos2 X ^~
xsin x
1 + cos2 x
xsin x
1 + cos2 x
dx.
dx.
Тогда
F (х) =/(х) ф' (х)4-/' (х)ф (х).Так какьсI ь
\F^ dx^F^xH
JI О
a
16о„ — j /' (^ ф W йх- 0)16о„ — j /' (^ ф W йх- 0)TO b 5 №) ф' (*)+/' (X) Ф (*)1 ^=/(x) ф (x) a откуда bb
16о
„ — j /' (^ ф W йх- 0)
16о
„ — j /' (^ ф W йх- 0)
aa
Примеры. L Вычислить интеграл л J x cos x dx. 0
Положив в формуле (1)
/ (я) = x,<p (a;) = sin x,
получим: л.я
\ х cos xdx = x sinx — \ sinxdx =— 2. JI 0J
оо
Вычислить интеграл
Jx2(l — x^dx* о Положив
/W=X2,Ф(Х)= —
получим:
j xa (1 -x)8 dx = — x2 $1^-* | * + j 2x ^=^ dx. 00
Первый член правой части равен нулю. Интегрируя еще раз по частям, получим:
1 С1 (1—*)Б I I 1 С О — X)6 Л
-^j x^l—x) dx— *^х&|о+ 2J 5 dx.
Первый член опять отпадает, а для второго имеем:
10 J U ах- ю 6|060 *
о
Следовательно,
1j^(l-x)sdx=l.о
Интегрирование последовательностей и рядов. Докажем следующую теорему:
Теорема 1. Если последовательность функций {ип(х)), непрерывных в интервале [а, #], сходится равномерно в этом интервале
х
к функции и (х), то последовательность функций | J ип (t) dt | рав-
х
номерно сходится в интервале [а, Ь\ к функции ^u^dt. а
Доказательство. Из равномерной сходимости последовательности {нп(х)} следует, что функция и^ непрерывна (стр. 172 и 175) и, кроме того, что для каждого числа е>0 можно подобрать такое число N, что при любом л > N будет иметь место неравенство
|«л(х) — ы(а;)| <едля а^х^.Ь.
Следовательно, для п > N в силу теоремы 4 об оценке интеграла из п. 7 (стр. 300)
IJ Vun W—u (/)] dt I ^е(х—а)^е(6 — а), а
значит, хх
U un(t)dt—у a(f)dt^ ^е (6 — а) для а^х^й. аа
Так как 8 — произвольное положительное число, то последнее не- х равенство показывает, что последовательность функций^ ^ ал (/)d/^
х равномерно сходится к функции J и (/) dt.
Замечание. Из теоремы 1 для х = Ь следует соотношение ььь
lim С ип ^ dt = ^u^dt = С Пт ип (/) dt, aaa
t. e., в случае равномерно сходящейся последовательности знак пре» дела и знак интеграла можно поменять местами.
Аналогичную теорему можно доказать для равномерно сходящихся рядов.
Теорема 2. Если функции последовательности {/л(х)} непрерывны для a^Lx^b, ряд У1Л (х^ равномерно сходится в [л, Ь]и Л=1 имеет своей суммой функцию f(x), то ряд ос х L VnWdt п^1 а
также равномерно сходится для а^х^Ь и СО XX
52$А(О^=$/М^ ка^х^ьу п—1 оа
В частности, оо bЬ
2 J /„(0^ = jztO^A л=1 аа
иначе говоря, равномерно сходящийся на конечном интервале ряд можно интегрировать почленно.
Доказательство легко получается из определения равномерной сходимости ряда и теоремы 1.
Примеры.
Последовательность ^ип (х)}, где «„ W = Хп, сходится равномерно к функции и(х) = 0 в интервале ^0, yj, так как
“«(х) I ^ ^ при 0 < X С у .
По теореме 1 имеем: хх
lim ( ип (/) di = ( и (/) dt = 0оо
для O^x^-g-. В самом деле, интеграл
I unWdt =J ' п + 1п+1
2. Положим2. Положимравномерно стремится к нулю при и —► оо.
2. Положим
2. Положим
Как легко видеть, функции ип (х) непрерывны в интервале [0, If, Имеем: нл(0) = 0, поэтому
Нт ип (0) — 0. П—> 00
Для х>0 и ^^~* имеем: цд(х) = ~-, поэтому
Нт «„ W = +«->00л
Таким образом, последовательность \ип (х)} сходится к функции
«U) = Y (*>0),
для которой и (0) = 0. Эта сходимость не является равномерной, 1
ибо функция и^ разрывна для х = 0. Вычисляя интеграл ^ un^dx> получим:о
1
"1пр я 1
j utt (х) dx=^un (х)dx-v У Un (х) dx — J n*xdx + j ^ = ^- + ln/ze О0101
пIt
Мы видим, таким образом, что в этом случае последовательность интегралов расходится, несмотря на то, что последовательность функций сходится. Следовательно, требование равномерной сходимости в теореме 1 является существенным.
г, глCOS пх„
S. Ряд z ^—— сходится равномерно в каждом интервале, ибо п=1
а ряд 2^^, как известно, сходится (стр. 159). Обозначив его
Ис. Банах
сумму через /(х), получим в силу теоремы 2
sin пх
ОП = 1 о/1=1
В частности, для х = у и для х = л получим: л 2
j* ^ ^ ^ Тз зз + 53 ~>
о
\f^dt = O. о
. Интегрирование степенных рядов. Пусть степенной ряд
«0 + ^iX + ^2x2 + ... +а„х"+ ...(1)
имеет радиус сходимости R. Тогда этот ряд сходится для — R < х < R и равномерно сходится в каждом интервале [а, 6], где — R < а < b < R.
Пусть /(х)— сумма ряда (1). По теореме 2 имеем:
хXхXX
^/(х) dx=^ attdx-\- ^ ахх dx-V- ^ o8x2dx4- • • • + J anxF dx-V ...
0000О
V-R<x<RY
Итак, X ^(x) dx = ^4-1х2 + ... + ^ х»^ + • •.(2)
k—R<x<RY
Ряд (2) сходится равномерно в каждом инте^бале [а, 6], где — R < а < b < R.
Замечание 1. Если
Р^=У^4х, тоxJ
yWdx = F^-FW. О
Отсюда, положив F^ — C, получим в силу (2):
FW = ^fWdx = C+a6x+^x2-Y...-Y^Tx"*i+...
Последний ряд представляет собой, таким образом, неопределенный интеграл функции /(х) для —R<x<R.
Пример. Интегрируя в пределах от 0 до х известные нам степенные ряды (стр. 189):
1 4_ 1 /2 4.115 14 4-4_ Iе^е * * ^п 1) /2л I
+ 2 г *2*4* ++ 2-4...2/1 1
сходящиеся при |/|<1, получим ряды:
у уЗ убТ^Л +1
arctg X = 2L_=LVT-...+(- D" w+ ..., . х . 1 х® , ЬЗх8 .. ЬЗ ...(2n—1) x8”*1 ,
arcsmx— 1 4- 2 3 +2 4 5 + ... + 2.4 2я 2n+l + *-“
сходящиеся также при ]х|<1.
Положив в последнем ряду х = ~) найдем:
л _ 1 , 11,1-3 !
6 “ 2 + 2 * 3-23 + 2-4 5-2б’
Этим рядом удобно пользоваться для вычисления л.
Замечание 2. Если данная функция /(х) допускает разложение в степенной ряд, то можно получить интеграл этой функции, интегрируя почленно этот ряд. Указанный способ получения интеграла особенно удобен тогда, когда его нельзя вычислить другими методами.
Примеры.
ь .
Интеграл ^~~^х не может быть вычислен методами, раса
смотренными выше, так как первообразная функция ^~-^не принадлежит к известным нам элементарным функциям. Однако его легко вычислить, если воспользоваться разложением в ряд. Действительно, имеем:
.X X3 , Xs, ,Х2? + 1 .
sin х — ip— 3fH~5j-— • • • +(0 (2n+l)l + "'’
следовательно, при х^О sin х х2 । х4। /^\п ^п }
Ряд справа сходится (к единице) также при х=0.
,sin хгх
Функция -^— не определена при х = 0, но имеет предел
.. sin х - lim= 1 Х-* о х
(см. стр. 64). Поэтому если припишем ей в точке х = 0 значение I, то получим функцию, представленную последним степенным рядом и непрерывную для всех значений х.
Интегрируя почленно, получим ряд
ь
sin х^_
—dx
^""^ ТЗ! ^ 5-51К™1)^""^ ТЗ! ^ 5-51К™1)&*»+»_ а»»+i(2п+1)(2п+1)! + ’ •' ’&*»+»_ а»»+i(2п+1)(2п+1)! + ’ •' ’
^""^ ТЗ! ^ 5-51К™1)
^""^ ТЗ! ^ 5-51К™1)
&*»+»_ а»»+i
(2п+1)(2п+1)! + ’ •' ’
&*»+»_ а»»+i
(2п+1)(2п+1)! + ’ •' ’
сходящийся очень быстро, при помощи которого легко вычислить интеграл с любой заданной точностью.
В теории математического маятника доказывается, что продолжительность одного колебания дается формулой
Г=2/Н оГ=2/Н оdtpV\—k^ sin2(p *dtpV\—k^ sin2(p *
Г=2/Н о
Г=2/Н о
dtp
V\—k^ sin2(p *
dtp
V\—k^ sin2(p *
в которой I— длина маятника, g—ускорение силы тяжести, а ^ = sin-g-, где а — угол, образованный вертикальным и крайним положениями маятника (0<а<л).
Интеграл в правой части нельзя выразить через элементарные функции, однако его можно вычислить путем разложения в ряд. Заменив в разложении функции у^1 ^, приведенном в примере на стр. 322, переменную t через к siny, получим:
^=А = 1 +1 (й sin Ф)» ч- ^ (й sin ф)* +1±| кк sin ф)« 4-... "
Ряд в правой части равномерно сходится в интервале £о, ^j , Действительно, его общий член ип (<р) при всех <р удовлетворяет неравенству
I »Дф) I=I •Ч+б.У' (* sin ф)2” | ^№п'
00
а числовой ряд 2 ^п абсолютно сходится ввиду условия 0 < к < 1 п = о
(см. стр. 156). Поэтому мы можем (см. стр. 320) интегрировать обе части в пределах 0, ^-:
ллл
22
Г -7?=^=== = у4-1й2 С 8ш2ф</ф4-Уй4 С sin4 ф </ф 4" • • •
J У 1—&281П2ф22 JJ
отоО
Как известно (см. стр. 309),
л
f ,1 «3*5.. .(2п— 1) л
j Sin <р</ф —.2 4 6 2п 2 •
Подставив это выражение в полученный ряд, приходим к. формуле
Т-1I Г. . / 1 Vio . /I'S^ra It 1
V g P+kz)6k .
Найдя сумму соответствующего числа первых членов этого ряда, мы сможем вычислить время Т с любой точностью.
5. Интегрирование и дифференцирование по параметру. Пусть функция К (х, /) определена и непрерывна в прямоугольнике
a^x^b, a^t^b'.
Поскольку интеграл
ь
^К(х, t^dx а
существует для каждого значения переменной / в интервале [a', У], мы можем определить в интервале [а', У] функцию / (/), положив
ь
/(0 = JkM<U.(1)
а
Докажем ряд теорем, устанавливающих свойства функции /(/) в зависимости от свойств К (х, /).
Теорема 1. Функция /(/), определенная формулой (1), не^ прерывна.
Действительно, если f— произвольная точка интервала [а', 6'], а {/„} — произвольная последовательность точек этого интервала, сходящаяся к /', то в силу равномерной непрерывности последовательность функций (переменной х) {/С(х, /J} сходится равномерно в [a, &J к функции ^ (х, fy Тогда по теореме об интегрировании последовательностей имеем:
ьъ
lim J К (х, tn^ dx=^ К (х, f) dx,аа
откуда в силу (1)
т. е. функция /(/) является непрерывной.
Теорема 2. Если функция К^х, t) непрерывна и имеет частную производную по t, непрерывную в прямоугольнике а-^х^Ь
326 ГЛ. XVII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ a'^t^b'i то производная функции ь
ду^^К^х, t^dxа
существует, непрерывна и выражается формулой ь
/ЦГ^КАх, t^dx (a'^i^b'). а
Доказательство. Пусть /' и f + А — две произвольные точки интервала [а', У]. Имеем: ъ
^у^Ц-!^ = у K^^VK^^ йХе а
Но по теореме о среднем значении
= K't (X) f + ^Х)(0 < О < 1),
следовательно, ь
Ш^ЦП-^кЛх. г+»Х)^.а
Если теперь А будет стремиться к нулю, то в силу равномерной непрерывности Kt (х, f + ФА) будет равномерно стремиться к Kt (х, f\ Следовательно, ь
Х-^0*и
а
и наша теорема доказана (непрерывность /' (/) следует из теоремы 1). Теорема 3. Если функция К{х, /) непрерывна в прямоугольнике a^x^b, a’^t^b',
то интеграл функции ь fks^=\ К^х, s^dx а
выражается формулой tь t
J / (s) ds = J / ^ К ^х, $) dx (а' ^ а ^ Ь^, аа
т. е.
1(Ьч 6 f
$ И ^^ s) ds~ J Н К^х, s) ^1 dx.
Доказательство. Положим ь t
F W { ^(^ ») ^} dx.О)
Тогда, учитывая, что t
^Кк(х, s) dsl = K(x, о, а
по теореме 1 найдем: ъ
Р'^=\ккх, t)dx-m а
Следовательно,
F^ = \f^dt-VC. а
Чтобы определить постоянную С, положим / = а; получим F (а) = С. Но из равенства (1) следует b а
F (а) = J | ^ ^(x, s) ds| dx = О,а 'а'
так ЧТО С=0 И t
FW = V^dt,а
т. е. ta t
J/(s) ds = J Н ^(x, s) dsl dx. ао *а
Замечание. Положив, в частности, а=а', t = b\ получим: Ь' ьь ь*
J { J К^х, s) dx } ds = J ^ K^x, s) d$| dx. a* aa a'
Следовательно, при выполнении предыдущих условий порядок интегрирования не влияет на результат.
До сих пор мы принимали, что пределы интегрирования являются постоянными числами. Займемся сейчас интегралами, у которых пределами являются функции переменной /.
Пусть функции ф (/), ф (/) непрерывны и имеют непрерывные производные в интервале [а' У] и пусть, кроме того, а<ф ^^bt а^ф (О ^Ь для ar ^.t^.b\
Предположим, что функция К^х, /) Определена и непрерывна в прямоугольнике а^л;^^, a'^t^y и имеет в этом прямоугольнике непрерывную частную производную по L
Тогда имеет место следующее утверждение.
Теорема 4. Производная функции
^ (О
7(0= $ Kkx, t^dx
Ф(О существует и выражается формулой
rw= $ к;(*,о^+к[ф(М<(о^^^ Ф(О
Доказательство. Положим
^(х, t^dx = FV, U, v). и
Имеем, очевидно, /№ = fp,v(O.ip(O].
По теореме о дифференцировании сложной функции получим: /' (0 = F't U. “. ®) + F'u kt, и. ®) “' + F'o (t, и, v) у'.
Так как
F't (#, и, о) = $ lCt kx, t) dx,
F'tt kt, u,^ = — К ku, 0, F’o (t, u, ®) = Kk-o. t), TO
/' W^^t (^ 0dt + K^, /) V-к^щ t) u\ и
Подставив сюда ы = ф(/), v = ^(Z), получим нашу теорему. Примеры. 1. Имеем:
2 О ИОП+11
7+г-
Дифференцируя по л, получим:
2 jx"ln 1
xdx =
(n+1) 2”+1 In 2—2л + 1+1
.Как легко проверить, имеет место формула
л
l + asin8x~~2 yr+a Дифференцируя по а, получим:
л
Г - sin** dx - —
J (l + asin»x)» “Л—*•
°4(l+a)
Имеем: л p ^^ 1
J 1 +а cos ху 1—аам аI
о
Дифференцируя по а, найдем: л Сcos х ла . J (1 + a cos хУ_з_ ’
0(1—а2)2
интегрируя же по а от 0 до /, получим в левой части tлл tл
р ,Р dxС,С daрln(l + /cosx) ,
JJ 1+acosxJJ1 + acosxJ cosx 1
00ooо
а в правой
I da = л arcsin t. 0
Окончательно для |/| < 1 имеем: л С In +f cos х) .. ,
I —х—!> dx = n arcstn t.
J cos x 0
Положив X /(x) = \ у при x > О, it ай дем: хухху
Дифференцируя последний интеграл по х, получим:
dxj t ху ^ х
Следовательно, этот интеграл не зависит от х. Положив х ~1, убедимся, что значением интеграла будет f^yY Отсюда
/(^=/(x)+/U0-
Мы получили, таким образом, основное свойство функции/(х) = 1л *•
Задачи
Вычислить интеграл
1
2 f dx J /т=^ о
с точностью до пятого десятичного знака путем разложения в ряд.
Проверить, что, интегрируя почленно ряд
(1 + х)"=1+(")х+(”)х»+... + (”)^+...
и помножив затем обе части на л + 1, получим аналогичный ряд для (1+х)"*1.
Интегрируя в пределах от 0 до х ряд Маклорена для функции
-7=, вывести формулу / 1+х8
/ । 1/-т-г-5\1 X3 , ЬЗ*5 1-3-5 х7
1п(х+У1+х)—х 2 3+2.45 2-4-6 7 верную для | х | < 1.
[4. Доказать, что последовательность
Lto-x^-x^
сходится к |(х) = 0 в интервале [0, 1] неравномерно, а последовательность интегралов
1tn to ^о
сходится к интегралу J £ (х) dx. о
Указание. Для доказательства того, что сходимость последовательности функций не является равномерной, рассмотреть максимальные значения этих функций на интервале [0, 1].
4а. Доказать, что последовательность функций
into=nxn(V~x^
сходится к f(x) = 0 на интервале [0, 1], а последовательность интегралов
1
J U to dx о
1
не сходится к интегралу J f (х) dx. Вывести отсюда, что сходимость после* о
довательности функций не является равномерной.]
Доказать, что для | х | < 1
Г dt _х Y х» \*3х^ 1-3-5 х«
J Уь=Т5 1 + 2 6 + 2-4 11 ‘2*4*6 16 + "* о
Доказать, что для | х | < 1
С In (1 + 0 ., х х2 х8 х4
J t ^"р^^+з2"42+-- о
Методом дифференцирования и интегрирования по параметру вывести новые интегралы из следующих:
^dxV-^l; О
2Д
J V^ax—x2dx =^- (см. стр. 317, задачу 4); о л 2
\ —5—гтг^~»~ = п-т(см- СТР* 311, задачу 1 и));
' J a2cos2x+^2sin2x 2abK г"
о л
У C~ttX cos bx dx = — ^2^752 ke~aK cos ^л— О* о
Дифференцированием интегралов по параметру доказать следующие формулы:
arctg х+arctg у=arctg pj^;
arcsin x+arcsin z/ = arcsin (x V"T—y2 + ^У" 1 — x2).
Для каких значений n можно дифференцировать интеграл о
ГЛАВА ХУШ
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В этой главе мы определим понятие интеграла в тех случаях, когда подынтегральная функция не ограничена, или когда интервал интегрирования бесконечен.
L Интеграл неограниченной функции. Допустим, что функция /(х) определена в интервале [а, 6], за исключением, быть может, точки а, в окрестности которой функция не ограничена.
Если функция /(х) интегрируема в каждом интервале [а4*е, 6], где е > 0, а + е<6, и если существует предел
lim ^ f(x)dxt8-* + 0 о + 8
то этот предел мы называем несобственным интегралом
ь
а
Пример 1. Функция
1
непрерывна в каждой точке интервала [0„ 1], за исключением точки х —0. Имеем:
Г4^ = 2 — 2 "КТ(е>0),
J V х е
следовательно,
1
Таким образом, несобственный интеграл функции v ==-7= в им- У х
тервале [0, 1] равен 2:
Если в интервале (а, Л] имеется конечное число точек, в окрестностях которых функция /(х) становится неограниченной, то интервал [о, 6] разбивается на конечное число интервалов так, чтобы лишь в окрестности одного из концов каждого из них функция становилась неограниченной. Если в каждом из этих интервалов функция имеет несобственный интеграл, определенный нами выше, то сумму всех этих интервалов мы назовем несобственным интегралом в интервале \^ Ь}.
Пример 2. Функция -7===== (0<х< 1) в окрестностях то* V хЦ—х)
чек х = 0 и х=1 становится неограниченной. Чтобы исследовать, существует ли несобственный интеграл в [0, 1], исследуем пределы:
1
21-е
e-^+oJ Кх(1—х) е->+о J У х(1—х)
8JL
2 Так как
- ^— ■ = arcsin (2х — 1),
^(1^х)
то пределы (1) равны, соответственно,
lim [arcsin 0 — arcsin (2е — 1)] = 4-,8—>+о2
lim [arcsin(l — 2е) — arcsin 0] = 4г-•8—> + 02
Следовательно,
Г dx
J клп^)~л‘
Интегралы в бесконечном интервале. Пусть функция /(X) определена для всех х > а. Допустим, что в каждом конечном интервале а^.х^.Ь функция /(х) интегрируема.
Если существует
ь
Пт \fWdx.(1)
*-*+ <
то этот предел будем называть несобственным интегралом функции /(х) в пределах от а до Н-оо и обозначать символом
(2)(2)+ »
(2)
(2)
а
В этом случае мы будем также говорить, что интеграл (2) сходится. Если же предел (1) не существует, то говорят, что интеграл (2) расходится.
Пример 1. Функция
I
непрерывна для х> 1. Поскольку
то
Ь-* +00 и Х
следовательно,следовательно,
следовательно,
следовательно,
Аналогично определяются несобственные интегралы
аа
$ f^dx—^ lim ^/(x)dx,
+ СОО+ 00
$ 7(x)dx = J fVMx-v^fWdx. — 00— 00Д
Пример 2. Пусть / ^= f+x5"
Имеем:
00
о0
— ooa
Следовательно,
+ оо0+ оо
Признаки существования несобственного интеграла.
Теорема. Пусть неотрицательная функция (p(x) неограна- чена в окрестности точки а и обладает в интервале [а, Ь] (а < Ь^, несобственным, интегралом. Если неограниченная в окрестности точки а функция /(х) интегрируема в каждом интервале [а', Ь\ (о < а' < Ь^ и» кроме того,.
|/(х)Кф(х)(а<х<й),
то несобственный интеграл ь \f(x)dx а
существует.
Доказательство. Пусть {еп}—произвольная последовательность убывающих положительных чисел, сходящаяся к нулю. Пусть кроме того, а-\-еп<& ^a<bV
Образуем ряд:
bа+ъ^д+е2
ф(Х^х + J ф(Х^Х + J ф(x)dx+... a+8iл+е2а+е4
a+en-t
...+ $ ф(x)dx+...(1)
a*ett
Для суммы $п первых п членов этого ряда справедливо равенство ь
S„= $ 4>^dx.о+е»
Таким образом, ряд (1) сходится, и его сумма равна несобственному интегралу функции ф (х) в [а, 6].
Так как, по условию,
|/(*) К фМ ка<х<ДЛ, то
РРр
| ^ Дх) dx | < J |/(х) | dx < j ф (х) dx (a < a < Р <*). aaa
Отсюда следует, что ряд
Ьач-^а+^я
/Wdx-V ^ f^dx-V $ fV^dx-V...
at^a*8aд+е»
0+6^—!
•$ f^dx-V(2)
a+e«
абсолютно сходится, так как его члены по абсолютной величине не превышают соответствующих членов ряда (1).
Обозначив через sR сумму л первых членов ряда (2), получим: ь
s„= $ /^dx,
а*8п следовательно, существует
Нт /Wdx* n-> « 0+8д
Так как этот предел существует для каждой последовательности {е„}, удовлетворяющей ранее приведенным условиям, то существует ь
lim J /^dx, е-* + о fl+e
так что функция /(х) обладает несобственным интегралом в [я, ^].
[Замечание. Пусть функция /(х) неограничена в окрестности точки х = 0. Если несобственный интеграл
$|/WI^ о
сходится, го об интеграле а J / (х) dx О
говорят, что он сходится абсолютно.
Из доказанной теоремы ввиду очевидного неравенства /(х)^ ^|/(х)| следует, в частности, что абсолютно сходящийся несобственный интеграл сходится и в обычном смысле. Обратное утверждение, как и в теории рядов, неверно.]
1
Пример 1. Интеграл iсуществует, ибо
J У хУ X I У X
о
1
Г dx
а существование интеграла I -7= было нами доказано выше (стр. 332).
J V х о
Если у< 1» то несобственный интеграл
существует.
Действительно, имеем:
аг~$1 —S *аг~$1 —S *а
аг~$
1 —S *
аг~$
1 —S *
lim С§ = Пт ’ (а1--г1- 8-* + 0 v Л8 —>+0 1 5
Если функция /(х) непрерывна в [0, а], за исключением точки Х — 0, и если произведение f^xs ограничено в [0, о], причем s< 1, то несобственный интеграл
а
(3)(3)\f(x)dx
(3)
(3)
О
сходится.
Действительно, если |/(х)х'г|^Л, то
|/М|<4(0<х<а).
ДТак как для функции — (s < 1)ДТак как для функции — (s < 1)несобственный интеграл в [О, а]несобственный интеграл в [О, а]
Д
Так как для функции — (s < 1)
Д
Так как для функции — (s < 1)
несобственный интеграл в [О, а]
несобственный интеграл в [О, а]
существует, то по предыдущей теореме существует и несобственный интеграл (3).
В частности, интеграл (3) сходится, если существует предел
lim /^х^(^ < 1).
Например,Например,X -> + 0
Например,
Например,
lim ■ х 2 = lim 1/^-Д— = 1,л-> + 0 V sin Лл->+0 У SHIA
следовательно, dx
Vsin хо
существует.
Для интегралов в бесконечных интервалах можно высказать аналогичную теорему:
Теорема. Пусть функция ф (х) неотрицательна и существует, несобственный интеграл
^ <р (х) dx. о
Тогда если функция f(x) интегрируема в каждом интервале [а, £] (а < Ь) и для а^.х выполняется неравенство
|/(х) К ф(х), то существует несобственный интеграл
f^dx.
а
Доказательство проводится как и в предыдущем случае. Аналогичный признак имеет место для интервала (— оо, +оо).
Т-ТЛС COS X ,- . COS X I
Пример 2. Интеграл \ т— - dx существует, ибо . . -5
ОI
р^5» а функция ^^ обладает несобственным интегралом
С ах л
J Х^х^~"2е о
О и s > 1,О и s > 1,Если
О и s > 1,
О и s > 1,
№)1
TO \f(x)dx существует. При этом предполагается, что функция а
f(x) интегрируема в каждом интервале [а, 6] (а < 6). Действительно, тогда
i/wi<4
и, кроме того,
11(s—l)a»-ie(s—l)a»-ieсравнения дляв предельнойсравнения дляв предельнойооb
1
1
(s—l)a»-ie
(s—l)a»-ie
сравнения дляв предельной
сравнения дляв предельной
f-= lim [- = lim [»-r*i-a-#+1]—-
а
[Замечание. Как и в теории рядов, признаки несобственных интегралов можно сформулировать форме. Например,
Пусть функции f(x) а ф(х) определены и неотрицательны при х^а, и при любом Ь>а интегрируемы на интервале [я, 6]. Если существует конечный предел
^f{x)dx. а^f{x)dx. аНт ^ =К,
^f{x)dx. а
^f{x)dx. а
то из сходимости интеграла ^ ф (х) dx следует сходимость а
Если К7^0 (но, возможно, К—оо^ то из расходимости первого интеграла следует расходимость второго.
Предельная форма признака сравнения удобна тем, что зачастую позволяет очевидным образом перейти к рассмотрению значительно более простой подынтегральной функции.
Пример. Доказать сходимость интеграла
(1 + 1п х) dx /л2 —Зх(1пЗх—3)* 10
Отбрасывая младшие члены числителя и знаменателя, видим, что данный интеграл сходится или расходится одновременно с интегралом
00 с ^ J xln2X * 10*
Последний интеграл, очевидно, сходится. Действительно, ,
С ^ — г С dxг J
J *1п2х~Д™ J1 lnx|10J ~1пЮ’
1010
Следовательно, сходится и данный интеграл.]
4. Применение к рядам.
Теорема. Если непрерывная» неотрицательная и убывающая
00
функция /^ определена для всех х^ 1, то ряд 2/(«) сходится п = 1
или расходится в зависимости от сходимости или расходимости несобственного интеграла ^f^dx.
1
Доказательство. Заметим, что в интервале [л, л 4-1] наибольшим значением функции /(х) будет /(л), а наименьшим /(л4-1). Следовательно, по теореме, приведенной на стр. 300,
/1 +1
/(л+1)< ^ fWdx^f^nV п = \, 2, ... п
Поэтому
п+1 /(2)+/(3)+...+/(»+!)С $/(x)dx<
(1)(1)'С/(1)+/(2)+...+/(»).
(1)
(1)
Если существует интеграл ^f^x^dx, то последовательность ча- 1 о»
стичных сумм ряда 2/(л) ограничена и этот ряд с неотрицательна
ними членами сходится.
Допустим теперь, что ряд 2 fW сходится. Тогда в силу вто- п = 1
рого из неравенств (1) последовательность И /(х) dx} ограничена, и )
Эта последовательность не убывает, так как п+1пп+1п
^ f^dx-^f^dx-V J /(х) dx^ ^/(x)dx, • 11п1
потому что /(х);>0
Таким образом, последовательность { \/(х)dx\ сходится к не- (1/
которому числу g. Поэтому для каждого 8 > О существует такое /V, что для любого целого п> N справедливо неравенство
п
S'—6< $/Wdx<S’+e.1
Пусть теперь х— произвольное число, большее, чемЛГ+1. Тогда существует целое n>N, такое, что п <х^л + К Мы можем написать:
XПXп+1п+1
^/^мЦ/^<ИА-У^<а= V^dt- V^dt'
1п1X
откуда следует
пXп + 1
$/(0^<$/(0^< \fWdt. 111
Так как п> N, то, тем более,
Xg—6< V^ dt <S"+8-1
Последние неравенства справедливы для любого x>N+\. Этим
доказано, что из сходимости ряда 2 /W вытекает существованиеп=1
оовнтегралД ^f^dx» т. е. доказана вторая часть нашей теоремы. 1Примеры.1. Пусть /(х) = х_“. Имеем:,Г-( Х"“+1, .оовнтегралД ^f^dx» т. е. доказана вторая часть нашей теоремы. 1Примеры.1. Пусть /(х) = х_“. Имеем:,Г-( Х"“+1, .ПоэтомуПоэтому/(x)dxi={ —а+1 I 1пх/(x)dxi={ —а+1 I 1пхприпри»»а= 1.а= 1.1111fkMt =fkMt =1- а L^"1 In X1- а L^"1 In X1 j при а==4 1,» а = 1.1 j при а==4 1,» а = 1.
оо
внтегралД ^f^dx» т. е. доказана вторая часть нашей теоремы. 1
Примеры.
1. Пусть /(х) = х_“. Имеем:,
Г-( Х"“+1, .
оо
внтегралД ^f^dx» т. е. доказана вторая часть нашей теоремы. 1
Примеры.
1. Пусть /(х) = х_“. Имеем:,
Г-( Х"“+1, .
Поэтому
Поэтому
/(x)dxi={ —а+1 I 1пх
/(x)dxi={ —а+1 I 1пх
при
при
»
»
а= 1.
а= 1.
1
1
1
1
fkMt =
fkMt =
1- а L^"1 In X
1- а L^"1 In X
1 j при а==4 1,» а = 1.
1 j при а==4 1,» а = 1.
Отсюда сразу видно, что интеграл ^/^dx существует лишь
для а> 1. Следовательно, по последней теореме, ряд 2 ~ сходит- /2=1 П
ся при а> 1 и расходится при а^1 (см. стр. 159 и 166).
Пусть
Как легко видеть, имеем:
следовательно,следовательно,^/(х) dx = lnlnx,
следовательно,
следовательно,
j /(f) di = In In х—In In 2. 2
Таким образом, интеграл ^/^dt не существует, а отсюда, по 2 00 !
нашей теореме, следует, что ряд У^ ^щ^ расходится. П=2
Замечание. Теорема остается справедливой, если функция /(х) определена и обладает перечисленными выше свойствами длях^А* В вей следует лишь заменить ^/W и ^/^x)dxt соответственно, /2=11
ккп=кп=кна 2^^) H<j fW dx. Мы уже пользовались этим в примере 2.
к
к
п=к
п=к
5*. Равномерно сходящиеся несобственные интегралы. Пусть К (х,/) —непрерывная функция, определенная длях^а, a^f^p и обладающая тем свойством, что несобственный интеграл J К^х, t) dx а
существует для каждого t из интервала [а, 0].
Определение. Несобственный интеграл ^ К (х, t)dx назы- а
вается равномерно сходящимся по t в интервале [а, 0], если для каждого е > 0 существует А^ а, такое, что
| J К (х, /) dx | < ес
для каждого с > Л и каждого t из интервала [а, 0].
Это определение напоминает определение равномерной сходимости
функционального ряда ^un^tY причем интегрирование по х играет П = 1
роль суммирования по п. Поэтому равномерно сходящиеся несобственные интегралы обладают свойствами, аналогичными свойствам равномерно сходящихся функциональных рядов.
Например, можно следующим образом сформулировать необходимое и достаточное условие равномерной сходимости несобственного интеграла: для любого е > 0 найдется такое N, что при р*> N uq > N
ч
88^К(х, t^dx p
8
8
для каждого фиксированного t из интервала [а, 0]. Напомним, что в теории рядов соответствующее неравенство имеет вид
ISq ^-Sp(01 = 1 «,+1 (0 + Up^ (0 + ... Ч-Uq WI < е.
Мы видели, что условие равномерной сходимости функционального ряда позволяет перенести на его сумму утверждения о том, что конечная сумма непрерывных функций непрерывна, интеграл от нее равен сумме интегралов, а производная — сумме производных. Точно так же равномерная сходимость несобственного интеграла позволяет перенести на него свойства зависящих от параметра обыкновенных интегралов, установленные в предыдущей главе (теоремы 1—3 на стр. 325—327).
Доказательство этого утверждения проведем, основываясь на уже известных результатах теории рядов, подобно тому как теоремы о пределах функций выводятся из соответствующих теорем о пределах последовательностей.
Теорема 1.
Если функция K(x,t} непрерывна при х^а, а<^Р и несобственный интеграл
J К (х, /) dx а
сходится равномерно по t в интервале [а, Р], то этот интеграл является непрерывной функцией t в указанном интервале.
При тех же условиях несобственный интеграл
00/
J dx J К {х, s) ds
а х а
также сходится равномерно по t в интервале [а, р] и а» tt а>
^dx^K(x, s^ds=^ ds J К (аг, s) dxw a aa a
Если при x^a, a ^ f С P функция К(х, t) непрерывна вместе
00
со своей частной производной Kt (аг, /), причем интеграл J К (аг, /) dx а
а
сходится, а интеграл J К/ (аг, /) dx сходится равномерно в интервале а
[а, Р], то
^ ^К(х, t)dx = ^ Kt (х, t) dx. аа
Доказательство. Пусть {гп}—произвольная числовая по* следовательность, расходящаяся к оо, причем гп > а. Очевидно,
\ккх, t)dx=^K{x, t^dx-V^K^x, t^dx-V...(1)
aarx
Заметим, что равномерная сходимость интеграла в левой части рав
носильна равномерной сходимости ряда в правой части. Пусть, например, равномерно сходится интеграл. Согласно указанному выше условию равномерной сходимости несобственного интеграла это означает, что для любого е > 0 можно указать такое W, что при р > N, q > N
q
< 8,< 8,а^ / < р.а^ / < р.J К (х, t^dx р
< 8,
< 8,
а^ / < р.
а^ / < р.
Но Пт tn = оог поэтому для всех достаточно больших п будем иметь гп > Й. Следовательно,
для всех достаточно больших п при любом р > 0 и каждом t из [а, Р]. Это и означает равномерную сходимость ряда в правой части равенства (1). Обратное утверждение доказывается аналогично.
Как доказано в теории обыкновенных интегралов, зависящих от параметра, члены этого ряда
гп
“nW- J К(х, i^dx (г„ = а)
rn —I
являются непрерывными функциями параметра t на интервале [а, Р], (теорема 1 на стр. 325). Вследствие равномерной сходимости его сумма
^Ккх. t)di а
также непрерывна по t на [а, Р] и утверждение а) доказано.
Далее, равномерно сходящийся на конечном интервале ряд непрерывных функций можно интегрировать почленно. Значит,
/00t rti Гг
ds К(x, s) dx — ^ ds К (x, s) dx + ^ ds К(x, s) dx + ..., a aa aa rx
причем полученный ряд также является равномерно сходящимся на этом интервале (теорема 2 на стр. 320). В каждом его члене по свойству обыкновенного интеграла, зависящего от параметра, порядок интегрирования можно поменять. Следовательно,
/ооrt/;дt
J ds ^ (х, s) dx=^dx^ К(х, s) ds -f J dx J K(x, s) ds + ... aaaarxa
или, согласно определению суммы ряда как предела последовательности частичных сумм,
/*r^ t
^ds^K (х, s) dx = lim ^dx J K^x, s) ds, a an~*00 a a
Так как этот предел существует для любой последовательности {г„}, удовлетворяющей указанным выше условиям, то по определению предела функции существует и предел гt«t
lim ^dx ^K^x, s)ds—^dx§K(x, s)ds, г"**аaaa
так что предыдущее равенство принимает вид /WОt
^ds^K{x,s) dx=^dx^ К^х, s^ds. аааа
При этом, как было отмечено в первой части рассуждения, равномерная сходимость ряда в равенстве (2) означает равномерную сходимость полученного несобственного интеграла. Утверждение б) доказано.
Пусть, наконец, интеграл J К(х, /) dx сходится, а интеграл а 00
J Kt (х, ^) dx сходится равномерно на [а, Р]. Последнее условие а равносильно равномерной сходимости ряда
ftrt<»
J Kt (х, f) dx+ J Kt (x, /) dx-v ... = $ Kt (x, t) dx, (3) arva
членыкоторогопосвойствуобыкновенногоинтеграла,зависящего
от параметра,являются производнымисоответствующихчленовсхо
дящегося ряда (1):
rtг8<х>
J К(х,0 dx+ J К^х, t) dx+ ...= $ K(x,t)dx,
arta
непрерывнымина[а,Р].Такимобразом,выполнены всеусловия тео
ремы о почленном дифференцировании ряда (1), вследствие чего производная от его суммы равна сумме ряда (3). Иначе говоря, имеем
j К^х, t^dx=\ Kt^x, t)dx. аа
что и требовалось доказать.
Для установления равномерной сходимости несобственного интеграла часто достаточно воспользоваться следующей теоремой:
Теорема 2. Если функция <р (х, s) непрерывна а неотрицательна в области х^а^ a^s^p, и если для нее существует и
равномерно сходится несобственный интеграл
J ф (х, s) dx, а
то для каждой функции К(х, s), удовлетворяющей .неравенству | К (х, s) | ^ ф (х, л)
и непрерывной в той же области, несобственный интеграл
-J К (х, s) dx
а существует и сходится равномерно.*
Доказательство. Существование интеграла j К(х, s)dx а
для каждого $ из интервала [а, 0] следует из теоремы на стр, 337, потому что для каждого $ имеем:
|К(х, 5)|^ф(х, $)(х>а)
и, кроме того, для каждого $ существует интеграл J ф (х, s) dx. 'а
В силу равномерной сходимости интеграла со
Ф (х, s) dx а
для каждого е>0 найдется такое Л^а, что со
ф (^ $) dX < 8 с
при каждом с> А и каждом $ из [а, 0]. Так как при каждом d > с будет ddd
| J К(x, s) dx | ^ ^ | К(x, s) | dx ^ J Ф (^ s) dx> ccc
то также
[ J К (x, s) ds | ^ J ф (x, s) dx < 8. cc
ce
Следовательно, интеграл XK^x, s)dx сходится равномерно в [а, 0].
Замечание. Если, в частности, функция ф(х, $) не зависит от s и интеграл
J ф (х) dx а
существует, то, очевидно, этот интеграл можно рассматривать как равномерно сходящийся. В приложениях чаще всего встречается именно этот случай.
Примеры.
Интеграл
e~*sin sxdx о
сходтргся равномерно по параметру s в каждом интервале. Действительно, имеем:
| e~xsin sx| ^ е~х, а интеграл
J е-х dx. о
как легко видеть, существует. В самом деле,
J e~xdx =— е~х. следовательно,
j е”х dx = 1 — о
Переходя к пределу, получим:
J е~х dx— 1. о
Так как интеграл ^ е-х dx вовсе не зависит от параметра $, то о
он равномерно сходится по этому параметру в любом интервале. По теореме 2 это же относится к данному несобственному интегралу. Следовательно, он представляет собой непрерывную функцию параметра s.
Чтобы определить эту функцию, заметим, что
( е-”sin sxdx£2<^Ц£+^£),
следовательно,
sin sx dx — vT-ч l + sz
е”а (sin sa+s cos sa)1+s2
Когда а неограниченно возрастает, то, как легко видеть, второй член правой части стремится к нулю.
Таким образом, получаем:
00
I Г* sin sx dx =•
J1+s2
о
Интегрируя обе части по s в пределах от 0 до у и принимая во внимание равномерную сходимость нашего интеграла, получим:
У00соу
$ ds J е~* sin sx dx = J dx J e-x sin sx ds = 0006
= J e-xX-^y-dx =lln (1 +/). 0
Дифференцируя же наш интеграл по $, получим:
J хе“* cos sx dx. о со
Так как | хе~х cos sx | ^ хе~х, а интеграл ^xe~xdx, как легко о
видеть, существует, то полученный дифференцированием интеграл сходится равномерно и, следовательно,
А f е-х sin sxdx = С ~ (e"*sinsx) dx — ds Jj ds x'
оо
_1-S2(l+s2)2‘_1-S2(l+s2)2‘P у- d f s
_1-S2
(l+s2)2‘
_1-S2
(l+s2)2‘
= \ xe x cos sxdx^-^ . .-o
Jds \l + s2
о
Интеграл e dx J X2 + s2 0
сходится равномерно no s в каждом интервале [а, р] при 1 ^а< р. Действительно, в таком интервале имеем неравенство
1
x2 + s2^x2+ 1 1
а интеграл
$ ^Л ” “®"с^ *=Т
существует и не зависит от параметра $. Отсюда аналогично предыдущему примеру следуют равномерная сходимость интеграла и его непрерывность в [а, р].
Этот интеграл легко определить, если примем во внимание, что
так чтотак что0000ООdxx^+s1dxx^+s1S2S21. х— arctg —,1. х— arctg —,lim — arctg — == — . s s 2slim — arctg — == — . s s 2sИнтегрируя в пределах от 1 до у, получим:Интегрируя в пределах от 1 до у, получим:I dxJ х2 + S2 оI dxJ х2 + S2 оds х2+$2ds х2+$2” и 1Г arctg ^--arctg —JхdX’О” и 1Г arctg ^--arctg —JхdX’Оследовательно, ” и1С arctg:——arctg ~-\— dx =~ In у.Jх2 лоследовательно, ” и1С arctg:——arctg ~-\— dx =~ In у.Jх2 лоДифференцируя данный интеграл, получаем:Дифференцируя данный интеграл, получаем:— 2s(F+s2)2— 2s(F+s2)2dx.dx.
так что
так что
00
00
О
О
dxx^+s1
dxx^+s1
S2
S2
1. х
— arctg —,
1. х
— arctg —,
lim — arctg — == — . s s 2s
lim — arctg — == — . s s 2s
Интегрируя в пределах от 1 до у, получим:
Интегрируя в пределах от 1 до у, получим:
I dx
J х2 + S2 о
I dx
J х2 + S2 о
ds х2+$2
ds х2+$2
” и 1
Г arctg ^--arctg —
JхdX’
О
” и 1
Г arctg ^--arctg —
JхdX’
О
следовательно, ” и1
С arctg:——arctg ~-
\— dx =~ In у.
Jх2 л
о
следовательно, ” и1
С arctg:——arctg ~-
\— dx =~ In у.
Jх2 л
о
Дифференцируя данный интеграл, получаем:
Дифференцируя данный интеграл, получаем:
— 2s(F+s2)2
— 2s(F+s2)2
dx.
dx.
Этот интеграл также сходится равномерно в [а, Р], потому что
I -2s I/ 20|(x2 + s2)2|^e=(x24-l)2,а интеграл00С dx
J(X8+1)8* о
соС -2s йх2LJ (xa+s2)»2s2 ’ОсоС -2s йх2LJ (xa+s2)»2s2 ’Окак легко показать, существует. Следовательно,
со
С -2s йх2L
J (xa+s2)»2s2 ’
О
со
С -2s йх2L
J (xa+s2)»2s2 ’
О
т. е.
л4s» ел4s» ее"ах cos bxdxе"ах cos bxdxг)г)о а Г dx J у^=э о л2 С dx J 1 — cos х1 оо а Г dx J у^=э о л2 С dx J 1 — cos х1 олтлтненеа2+6»(« > °)?а2+6»(« > °)?(а > 0);(а > 0);существуют; доказать это;существуют; доказать это;
л
4s» е
л
4s» е
е"ах cos bxdx
е"ах cos bxdx
г)
г)
о а Г dx J у^=э о л
2 С dx J 1 — cos х1 о
о а Г dx J у^=э о л
2 С dx J 1 — cos х1 о
лт
лт
не
не
а2+6»(« > °)?
а2+6»(« > °)?
(а > 0);
(а > 0);
существуют; доказать это;
существуют; доказать это;
Г dx
J (X2 + s2)2 о
Аналогично следует поступать при решении предлагаемых ниже задач на дифференцирование и интегрирование несобственных интегралов.
Задачи
Вычислить следующие несобственные интегралы:
(а > 0);
о
Д)
X . л2г ^=-8X . л2г ^=-8” jою/о” jою/оо
X . л2
г ^=-8
X . л2
г ^=-8
” jою/о
” jою/о
х» dx 8 - л\ f===te а5 (а > 0) а^—х» 15
(применить подстановку х=а8Шф).
Доказать существование следующих интегралов:
о
(принимаем, что для х = 0 подынтегральная функция равна 1);
BjJ^sdx (е>0).
1
Доказать, что следующие интегралы не существуют!
X С *, ЛХ
J a^cos^+xi (a>°);
О
у | -“— | dx (для х = 0 подынтегральная функция, по определению, о
равна единице);
со
I stn — dx.
1
о»
Доказать, что ряд ^ ^ jni+« " сходится при любом a > 0.
П = 2
00
Доказать сходимость ряда У, Г—
Дифференцируя и интегрируя интегралы.Дифференцируя интегралДифференцируя и интегрируя интегралы.Дифференцируя интегралинтегралы 1а) и б), вывести новыеинтегралы 1а) и б), вывести новые
Дифференцируя и интегрируя интегралы.
Дифференцируя интеграл
Дифференцируя и интегрируя интегралы.
Дифференцируя интеграл
интегралы 1а) и б), вывести новые
интегралы 1а) и б), вывести новые
J е x4dx о
Г W_1 (а)Г W_1 (а)2.2.по а и введя в полученный интеграл новую переменную </=-—, доказать» что /'(а) = —2/, т. е.
Г W_1 (а)
Г W_1 (а)
2.
2.
Интегрируя обе части, имеем:
In I (a) - —2a + С, / (a)=Cre^a.
Подставив a=0, получим:
C' = I (0)=p-*’ dx и / (a) = e“«e p-*!dx.о0
Доказать равномерную сходимость интегралов:
00
^e~ax,dx для a^l;
0a*—1
J e-^xcosxdx-^pjp для а>1.
ГЛАВА XIX
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
L Вычисление площади. Выше мы определили площадь области, ограниченной непрерывной кривой ^=/4^), прямыми х — а, x = b и осью ОХ, как интеграл функции /(х) в интервале (а, Ь^ при условии, что /(х)^0.
Дадим теперь определение площади области, ограниченной прямыми х = а, х — Ь и двумя непрерывными кривыми^ =/(х), y = g\x^ при условии fW^g^x)- А именно, определим ее как интеграл
ь
$ [S’w— /to] dx. а
Это определение можно обосновать интуитивно следующим обра
зом.
Если обе функции /(х), g^x) неотрицательны, то (рис. 47) ука
занная площадь является разностью площади области, ограниченной
кривой y — gW, прямыми х=а, х = Ь и осью ОХ, и площади
области, ограниченной кривой j=/(x), прямыми х = а, х — Ь и осью ОХ. Следовательно, наша площадь равна
ьь
^g(x)dx—^f(x) dx. аа
Если же функции /(х), ^(х) имеют произвольный знак, то в силу их огранп-
——^ ченности существует такая постоянная с, что функции Рис. 47.
/1U) =/U) + ^ AW = gU) + с
уже неотрицательны. Площадь области, заключенной между кривыми y=fx^, y = gxW прямыми х=а, х — b, очевидно, совпадает
с предыдущей площадью и равна ьь
$ [йW —а (х)] dx = J [^(х) -/(X)] dx. ао
Примеры.
Вычислить площадь Р четверти эллипса. Четверть эллипса
fl2 Т 62 ~ 1
ограничена прямыми х==0, х—а, осью ОХ и кривой
.У^/а2 —х2 (0<х^а).
Следовательно,
Р=^ J V»4 — x2dx,О
откуда Р=^-. Таким образом, площадь эллипса равна nab.
Вычислить площадь Р области, ограниченной прямыми х = а» х = b (0 ^ а < ^) и параболой у4 = 2рх.
Имеем здесь:
/ (х) = — |/"2рх, ^(х) = + V^px. следовательно,
Р= J 2 V2рх dx = yV2p (d2 — а”), а
Положив а = О, b = х. V2px = у, получим известную формулу для площади сегмента параболы:
P = ^xS.
Задачи
Вычислить следующие площади) j^2 у2
Площадь области, ограниченной гиперболой -^- —^-=1 и прямой
х = с (О а):°°
P^L^^^-аЧп с+^с2.Т“2. .
a Lи
Площадь области, ограниченной осью ОХ. прямой х = 1 и кривой
а) у = х ^1—*2, ^=у;
б)г/=^СТ, P=i.
12 с. Банах
Площадь области, ограниченной кривыми #=sin8x, y==cos3x О < х-^ и осью OY.
\ ио /
Доказать, что если непрерывные на интервале [а, 6] функции #«*£(*)* у = ф(х) обладают тем свойством, что соответствующие кривые имеют лишь конечное число общих точек, то площадь области, ограниченной этими кривыми и прямыми х = а, х = Ь, выражается интегралом
ь
P=$I£W—фМИ*-
а
Опираясь на известную формулу для площади кругового сектора, доказать (аналогично тому, как на стр. 287), что площадь сектора, ограниченного прямыми ф = фх, <р = ф2 и кривой r = f (ф), причем f (ф) означает непрерывную и неотрицательную функцию в интервале ф1<ф<фз и ftoi^fi, tA<Pa) — i4 (в полярных координатах), выражается интегралом
1 ф’Р=у£ Р(ф)4ф.Ф1
Пользуясь формулой задачи 5, вычислить площадь: а) лемнискаты
г2=а2со$2ф Г —» Р = а4;
декартова листа
cos ф sin фcos3 ф+зш8фcos ф sin фcos3 ф+зш8ф^0< ф < ”2"^ ’^0< ф < ”2"^ ’
cos ф sin фcos3 ф+зш8ф
cos ф sin фcos3 ф+зш8ф
^0< ф < ”2"^ ’
^0< ф < ”2"^ ’
Вычислить площадь области, ограниченной осями координат и кривой
19 (х2+а2)(х2+&2)19 (х2+а2)(х2+&2)(а > 0, &>0).(а > 0, &>0).
1
9 (х2+а2)(х2+&2)
1
9 (х2+а2)(х2+&2)
(а > 0, &>0).
(а > 0, &>0).
Образуем произвольное разбиение 8 отрезка [а, 0].
Пусть точки а < /х < /2 < ... < 0 будут точками этого разбиения 6. Обозначим через Л, Av Л2, . ..,В (рис. 48) точки кривой, соответствующие значениям параметра а,
<1ЛР., ^^^
Положим
А*! =/(<!)-/(«),//
А*2=/(г2)-/(^),/
Рис. 48.
Аналогично определим Aj/p Ду2, ...,
Дгп Дг2, ... Так как длина хорды ААХ выражается формулойААХ = V kx»-V МХА-^,
то длина ломаной ААД ... равняется
L = V ^x\ + Aj* + Az* + V Ал:* + MX + Аг| + • • •(2)
По теореме о среднем значении
Дх1 = / (^х) Д/х(а <С 51 < ^i)*
Таким образом, если положить
Ц^=Г*^ Д/’ + р^.
Поступая аналогично для Д^х, Д^, получим:
/Ax[+Ajf+^f=
=/[r^uJ+^W+WinrA^^
Положив
/ТЙ+фЙЧЙЙ = F w
и используя неравенства
КМ-^Т^^КТ^Й^/Й'+И^Т* получим:
F (У Mi - VI Рх + <$х + ЧI • Д'1 С V А^ + Aj= + A^<
<f(/г)д/г+ктёаЙ+чГ1*Mv (3)
12е
Поступая аналогично для Дх2, Д^2> Дг2, ... и положив
^ = f (fJA^ + ^W + •
₽ = V I Рх + ^х + Ч I A^l + V | Р-2 +°2 +Т2 I А^2 + * • * >(4)
получим в силу (2) и (3) неравенства:
P-R^L^P+R*(5)
Обозначим через р наибольшее из чисел рх, р2, ... Аналогично определим а и т. Из формулы (4) легко получается
V* РV* Р+ а + т (р—а).+ а + т (р—а).(6)(6)
V* Р
V* Р
+ а + т (р—а).
+ а + т (р—а).
(6)
(6)
Выберем произвольную нормальную последовательность разбиений {Sn}. Для разбиений 6П, как и выше, определим числа Рп, Rn> Lnt pn, aR, %n. Аналогично формулам (5) и (6), имеем:
Pn-R„<Ln<Pn + Rn, |/?J^|/rpn+o|t4-T„(p-a).(7)
Из равномерной непрерывности функций /'2 (^), q/2 (/), ф'2 (О (с учетом (3)) следует
Нт рп = 0, Пт оп~ О, Пт rrt = 0. П -> соп -> ооп -* ОО
Тогда по (7)
lim Rn — 0.
Но, как легко видеть,
НтР„ = Jf(/) di;
л 00fit
поэтому в силу (7) последовательность {£„} сходится и
3Р
lim L„ = ^ (/) dt = ( Vf'a (О + ф'8 (О + ^'8 (О di. ~Л
Длиной данной кривой называют предел последовательности {L„}; обозначив длину кривой через $, получим окончательно:
0
s=$K/'8ww2('m'2w^.
Замечание 1. Если функции /(0> ф(0> Ф(0 имеют в интервале [a, Р] непрерывные производные всюду, кроме конечного числа точек
этого интервала, и интеграл
di
а
(в обычном или несобственном смысле) существует, то его значение также называют длиной данной кривой. Можно показать, что для каждой нормальной последовательности разбиений {6П} последовательность чисел {Ал}, определенных как выше, сходится к этому интегралу.
Замечание 2. Часто кривая бывает задана формулами
<у==а(х), ^ = 0(х),
причем функции а(х), 0 (х) имеют непрерывные производные в интервале [хр х2]. Это представление кривой может быть рассмотрено как своего рода параметрическое, что станет видно сразу, если написать:
х = /, ^ = а(О, z=^W (-^К^).
В этом случае
Хе
s = ^ V1 + а'2 (х) + Р'2 (х) dx.
В частности, для плоских кривых (0 (х) = 0) получим часто употребляемую формулу:
Хе
s= ]/1 +/2 dx*
Xt
Примеры.
Вычислить длину дуги параболы j2 = 2px от вершины до точки (х, ^у).
Параметрическое представление можно получить, положив
Х=ТР'
Отсюда
о
Вычислить длину дуги циклоиды х = a ^t—sYnt^y — а (1 — cos<) в пределах от t1 до 1.^
Имеем:
s— J Vat (1 —-cos f)2 + а^ sin2/^ = a J У*2 (1 — cos /) dt — tx
= 2ajsin ^dt = 4a (cos y—cos ^(0 < tY ^ <2 ^ 2л).
tx
В частности, положив ^ = 0, ^2 = 2л, получим длину целой арки:8а.
Вычислить длину дуги винтовой линии
x = rcos^ j = rsin^, z — at
в пределах от tt до /2.
Имеем:
s= J l^^si^i+^cos2^^^ = ^ Уг^РоМ/,
следовательно,
Задачи
Вычислить длины дуг следующих кривых:
Циссоиды
x = 2rsin4, y = 2rsktttgt
в пределах от 0 до t
(s — 2г ГУ+Зс082.?- УТ In (У 3cos t + У1+3cos2 0—
\ L COS tх7
-2+ Уз" In (2+ УТф .
Кривой
х = <2, y=t— у/8
в пределах от 0 до КЗ w
’(s = 2/3).
Цепной линии хX
в пределах от хг до х2
[S===
себе тело Т. Объем этого тела,себе тело Т. Объем этого тела,
себе тело Т. Объем этого тела,
себе тело Т. Объем этого тела,
Кривой X2X8
в пределах от 0 до х (s = x + z).
Кривой, образованной пересечением параболического цилиндра (y+z)2 = 4ax
с эллиптическим конусом yX» + ^-z“ = 0,
в пределах от начала координат до точки (х, у, г) (s = zVY).
Указание. Выбрать х в качестве параметра.
Объем тела вращения. Пусть функция у=/(х) непрерывна и неотрицательна в интервале [а, 6] (а < by Обозначим через D область, ограниченную кривой у—f^xy осью ОХ и прямыми х — а, х — Ь. Допустим теперь, что кривая j=/(х) сделала полный оборот около оси ОХ и что область D описала при этом некоторое тело 7.
Займемся определением объема этого тела.
Для этого образуем произвольное разбиение 6 отрезка [а, 6] и обозначим, соответственно, через Mvmx, М2, т2, .. . наибольшие и наименьшие значения фу'нк- ции /(х) на отдельных от- ° резках разбиения 6. Заметим, что прямоугольники с основаниями Дхр Дх2,... и с высотами, соответственно, Mv М2, ..., полностью покрывают область D. Следовательно, тело, образованное при полном обороте этих прямоугольников, содержит в
содержащего 7, выразится формулой
W= л (Дх^ + Дх2М| +...).
Аналогично прямоугольники с основаниями Д^, Дх2, ... и вы- сотами mv m^ ... полностью содержатся в D, следовательно, описанное ими тело содержится в теле Т (рис. 49). Обозначив объем тела, содержащегося в 7, через чу, получим:
чу = л (Дх^® + Дх2м| +...).
Если {6И} означает произвольную нормальную последовательность разбиений интервала [а, 6], то, как легко заметить:
ь lim №л = 11т wn=5T^ Р ^ dx. n-*QD п-*соа
Поэтому в соответствии с интуитивными представлениями мы определим объем тела вращения Т формулой ь
V= л$/2 (x)dx.
Примеры.°
Вычислить объем шара радиуса г.
Шар получается при вращении полукруга у-УР-хй (_г ^х ^г) вокруг оси ОХ. Следовательно,
У = л J (г2 —х2) dx = -~nr3,
-г
что совпадает с известной формулой.
Вычислить объем тела, образованного вращением циклоиды х = аЦ — sin/), у=а(1—cos/), (0^/^2л)
около оси ОХ.
Когда / меняется от 0 до 2л, то х возрастает от 0 до 2ла, ибо
= а (1 — cos /) > 0 для 0 < / < 2л. at х'
Поэтому у является функцией переменной х в интервале [0, 2ла]> так что ana
У = л J j/2 dx»о
Введя переменную /, получим:
2Л
V= л^ [а (1 — cos t) ]2 а (1 — cos /) dt = 5n2a3. О
Задачи
Вычислить объемы следующих тел вращения:
Шарового слоя, образованного вращением дуги окружности у= УГ^—х1
вокруг оси ОХ в пределах от xt до ха (—г<х, <ха<г).
^=n|^r2 (ха —— -^у-1])
Усеченного конуса (формула известна из элементарной геометрии).
Тела, полученного вращением дуги астроиды
x = rcos3G y = rs\nat ^Ос^^-у^ вокруг оси ОХ
Тела, полученного вращением кривой
у2 (х -— 4а) — ах (х—За) (0 < х < За) вокруг оси ОХ
(
тгдЗ\
V = ^-(15—16 In 2) j .
Тела, полученного вращением кривой
вокруг оси OY (—Ь^ у^Ь^
(v - 256
V ~ 315 а6 ) *
Указание. Объем выражается здесь формулой л J х2 dy.
4. Площадь поверхности вращения. Пусть функция у_/^ неотрицательна и непрерывна вместе со своей первой производной в
интервале [а, ^] (а < Ь). Допустим, что кривая С, являющаяся графиком функции/(х),описала при полном обороте вокруг оси ОХ поверхность W. Займемся определением площади поверхности W. Возьмем произвольное разбиение 6 отрезка [а,^] и
Y
обозначим через а < х.
х3
точки
этого
разбиения. Пусть Лг, Л2,. .. — точки кривой С, соответствующие точкам xv х2, . ..
При вращении вокруг оси ОХ ломаная AAtA^...B опи
Рис.
50.
X
шет поверхность, которая образована боковыми поверхностями усе. ченных конусов (рис. 50). Площадь этой поверхности выразится
362ГЛ. XIX. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
формулой
Р = 2 л К Д^+д7« £№! + 2 л/Дх^ + Д^ ^1)+^ + ..., где
ДУ1=/(-4)—/(«), Ау2=/(х2)—/(xj, .
По теореме о среднем значении имеем:
/Дх^ + Д^ = ]/1 + (|ьу Дх^/т+тчи Ахр
где g^ число, заключенное между а и хР
Полагая
найдем:
leil^-S-IlZCSx)—/(«)|4-|/(^1)—/<^>1].
Таким образом,
Р=3 + Я, где
= 2л J/T+Z^)/(^ Дх^гл УТ+ГЧ^ЛУ Дх2+...,
Р = 2л/Т+7Ч1Г)в^х, + 2л/Т+7Ч^)е2 Дх2 + ...
Обозначив через т) наибольшее из чисел |вх|, |е2|, ..., а через М наибольшее значение |/' (х) | в (а, 6), получим:
| R | < 2л /1 + ЛР (* - а) т).
Если мы выберем теперь произвольную нормальную последовательность разбиений {6„} и определим числа Рп, Rn> 8п, т)„ так же» как были выше определены числа Р, Р, 5, т), то получим:
P„ = S„ + R„.
Легко заметить, что ь lim Sn = 2 л ( / (х) V1 -Vf^ (х) dxw п^*а
Из равномерной непрерывности функции /(х) в интервале [л, 6] следует, что
lim т)„ = 0, п-*«
поэтому
lim Р„ = 0.
П-*00
Таким образом, ь lim Р„ = 2л J / (х) /Г+ГЧ*) dx. а
Итак, в соответствии с интуицией, мы определим площадь поверхности вращения формулой
ь
A = ^f^Vv^f4^<ix.(1)
а
Замечание. Допустим, что непрерывная и неотрицательная в интервале [а, 6] функция /(х) имеет в этом интервале, за исключением конечного числа его точек, непрерывную производную и что существует интеграл (в обычном или несобственном смысле)
ьа
Можно доказать, что при этих условиях lim Рп также существует «->00
и равняется указанному выше интегралу, помноженному на 2л. И в этом случае площадь поверхности вращения определяется формулой (1). Примеры.
Вычислить площадь поверхности шара радиуса г. Здесь имеем: так что
+г +г
А = 2л J /г^Р' ]/1 + ^5^^ = 2л J г^ = 4лга. —Г—Г
Вычислить площадь поверхности, полученной вращением циклоиды x—a^t— sin/), у = а (1 — cos/) (0^/^2л),
вокруг оси ОХ (см. стр. 360).
Вводя переменную /, получим: ал
Л = 2л J a(l-cos/) ]/1 + [^у^^Т)]2 М1— cos ^dt = ^na».
Задачи
Вычислить площади следующих поверхностей вращения:
1. Параболоида вращения, полученного при вращении параболы уй^2рх вокруг оси ОХ в пределах от 0 до х;
— Г 33 1
. 2л у р I , , _ -~
А =—g-^L^+s-v)2—p2J .
2К Эллипсоида вращения, полученного при вращении эллипса
вокруг оси ОХ
Л = 2л 16а Н—?—— arc sin ;
[Уа2—^а
вокруг оси OY
Л О Г а ,062 , °+ /а237*2]
Л = 2л а2 Н—т= In—т .
[У а—№b J
В случае б) площадь поверхности дается формулой
ГЛАВА XX
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
Определение двойного интеграла по прямоугольнику. Пусть функция
*=/(*, у')
определена и ограничена в прямоугольнике Dt определенном неравенопределена и ограничена в прямоугольнике Dt определенном неравен
определена и ограничена в прямоугольнике Dt определенном неравен
определена и ограничена в прямоугольнике Dt определенном неравен
ствами a^x^b, а'^у^Ь' (рис. 51). Разобьем прямоугольник D на произвольное число прямоугольников (не обязательно равных) с площадями Аор Аа2, . .., Аа„*). Обозначим через (gp гц), (g2, л2)» • • • ..., ^n> т)п) координаты точек, произвольно выбранных по одной в каждом таком прямоугольнике. Образуем сумму:
A=f^v Hi) A<Ti+/(62, П2) А»2 +
+ -.-+Ж. П„) А<Г„.
Легко заметить, Что если в прямоугольнике D функция /(х,^) > О, то сумма А представляет собой сумму объемов прямых параллелепипедов с основаниями Абр До2, ... и высотами/^, Лх)» /(^2» Чг)» •••
Множество прямоугольников Дор До2, ... будем называть раз» биением 6. Через | 6 | обозначим длину наибольшей диагонали прямоугольников АОр Ао2, ... разбиения 6.
Последовательность разбиений {6П} будем называть нормально^ если,
lim | 6„ | = 0. П->00
Определение. Если при любой нормальной последователь* поста разбиений {6Л} соответствующая последовательность сумм {Д„}
*) В дальнейшем сами прямоугольники как области автор также обозначает через Aot, Ао2, .. ., Ао„. (Прим, ред.)
сходится (независимо от выбора точек (|, т])), то говорят, что функция f^y^ интегрируема в прямоугольнике D.
[Как и для функций одной переменной (стр. 287), легко установить, что необходимым условием интегрируемости функции f{x,y) в прямоугольнике D является ее ограниченность в этом прямоугольнике.\ Аналогично, если функция f(x, у) интегрируема, то при любой нормальной последовательности разбиений соответствующая последовательность сумм {Лп} стремится к одному и тому же пределу. Этот общий предел называется двойным интегралом функции /(x,j) по прямоугольной области D.
Двойной интеграл обозначают символом:
И/^’ ^d° или П-^х> ^ dxdy.DD
Замечание 1. Если функция z=/ (х, у) непрерывна и неотрицательна в прямоугольнике D, то объем области, ограниченной поверхностью z—f^x, у), координатной плоскостью OXY и плоскостями, проходящими через стороны прямоугольника D параллельно оси OZ, мы определим как значение интеграла
D
(В дальнейшем будет доказано, что каждая функция, непрерывная в прямоугольнике, интегрируема в нем.)
Это интуитивное определение объема области может быть обосновано. Обозначим через Mv М2, . ..; mv m2i ..., соответственно, наибольшие и наименьшие значения функции /(х, у") в прямоугольниках разбиения 6, а через (glf тц), ^2> т]2), ..., соответственно, (£i, Tlib (1г> “Пг), ••• точки, в которых функция принимает эти значения.
Положим
5=/(Si, ih) AOi+/(U Пг) Да2 + ... = Л11До1 + А!2Аог+...,s=f^i, П1) AOi+/(I2> Па) Да2+.. . = /»1Да1 + /»2Д(Г2 + - • ■
Прямые параллелепипеды, соответствующие сумме S, покрывают в совокупности рассматриваемую область, а прямые параллелепипеды, соответствующие сумме s, полностью содержатся в этой области (рис. 52). Так как для произвольной нормальной последовательности разбиений {6Л} имеем:
lim Sn = lim sn = J J /(x, ^) do,П-ХХ)П.—ХЮ^
^Дх, у) dx dy вместо ог^Дх, у) dx dy вместо огто определение объема данной области как значения указанного выше интеграла вполне соответствует нашим интуитивным представлениям.
^Дх, у) dx dy вместо о
г
^Дх, у) dx dy вместо о
г
/ V4V/ V4VРис. 52.Рис. 52.Замечание 2. В двойном интеграле х, j можно писать любые другие буквы, так что, например, ^/U, у) dxdy = ^fku> ^dudT) = DD
/ V4V
/ V4V
Рис. 52.
Рис. 52.
44= ^/(ф, 0 dwdt.DПримеры.
4
4
Функция z = c интегрируема в любом прямоугольнике и7
^ с do = с | D | D
(|D| означает площадь прямоугольника D).
Действительно, взяв произвольное разбиение 6 и выбрав точки (Ви 41)» (Вг» Яг)» • • • произвольно по одной в каждом прямоугольнике, входящем в состав разбиения 6, мы видим, что
/(Bp Я1) = с> /(Ва> Яг) “ с» • • •» следовательно,
Д = с Д^ + с До2 +... = с | D|.
Но тогда, по определению,
$$cda = c|D|.(1)
о
Геометрически функция z™c представляет собой плоскость, параллельную координатной плоскости OXY. Если с > 0, то интеграл в (1) представляет собой объем прямого параллелепипеда с основанием D и высотой с.
Вычислить двойной интеграл ^ydxdy по квадрату D с вершинами (0, 0), (1,0), (1, 1), (0, 1).
Функция / (х, у)=у непрерывна и на основании уже упомянутого утверждения интегрируема. Чтобы вычислить этот интеграл, разобьем наш квадрат прямыми, параллельными осям координат, на л2 равных квадратов. В каждом из них за точку (£х, т^) выберем правую верхнюю вершину. Так как площадь каждого квадрата равна ^,
то для суммы ^f^h T]z) До/ мы получим значение ^ 2^* Поскольку 12 п
числа T)z имеют значенияпричем каждое из этих
значений встречается в п квадратах, образующих горизонтальную полоску, то рассматриваемая сумма имеет значение
1Г1ц.2. I “к-"^0-1 I 1
п) 2п22 ‘ 2п *
Переходя к пределу при п—>оо, получим:
$Ь^^=у-
D
Этот результат легко получить и элементарным путем. Достаточно заметить, что рассматриваемый интеграл представляет объем прямой призмы, основанием которой служит прямоугольный равнобедренный треугольник со сторонами, равными 1, а высота равна 1.
Достаточные условия интегрируемости.
Теорема 1. Функция 2 = /^%, у), непрерывная в прямоугольнике D, интегрируема в этом прямоугольнике.
Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству соответствующей теоремы для функции одной переменной (глава XVI, стр. 295). Для этого определим понятия верхней суммы 5 и нижней суммы s, соответствующих разбиению 6, подобно тому, как это было сделано для обыкновенного определенного интеграла. Итак,
5 = Ж1Да1 + Л42Да2 + ..., ^ = /п1Да1 + /п2Да2 + ...,
где Mv М^ ... — наибольшие, a mv ш^ .. . — наименьшие значения функции / (х, ^), соответственно, в прямоугольниках Да1? Да2, ...
Можно доказать, что для каждой нормальной последовательности разбиений {6} справедливо соотношение
lim (S^sJ-O(1)
п-><ю
и, кроме того, что для любых двух разбиений 6 и 6' всегда имеем:
S^s\(2)
Доказательства этих свойств читатель легко получит, делая соответствующие очевидные изменения в доказательствах лемм 1 и 2 (глава XVI, стр. 294). Опираясь на свойства (1) и (2), мы докажем нашу теорему аналогично доказательству теоремы на стр. 296, причем приведенное там доказательство переносится сюда почти без изменений.
Более общей является следующая теорема:
Теорема 2. Функция, определенная и ограниченная в прямоугольнике D, будет в этом прямоугольнике интегрируема, если все
ее точки разрыва лежат на конечном числе кривых, являющихся графиками непрерывных функций (вида ^ = ф(х) или х = ф(^)).
Доказательство этой теоремы мы опускаем.
Пример. Пусть функция f^x,^ определена в прямоугольникеD с вершинами (0, 0), (3, 0), (3, 1), (0, 1) следующим образом:
f^t у) =f^t у) =2 » 1 < х ^ 3 и2 » 1 < х ^ 3 и— 1 при O^x^l и произвольном у,
f^t у) =
f^t у) =
2 » 1 < х ^ 3 и
2 » 1 < х ^ 3 и
Как легко видеть, эта функция ограничена и непрерывна в каждой точке, за исключением точек отрезка прямой х = 1, лежащего в данном прямоугольнике. Вейлу теоремы 2 функция /(х, у) интегрируема в этом прямоугольнике.
Двойной интеграл как повторный. Познакомимся теперь с теоремой, которая позволит нам вычислять двойной интеграл при помощи обыкновенных интегралов.
Теорема. Если функция f(x,y) непрерывна в прямоугольнике D^a^x^b^ а* ^у^Ь'^ то
$$/(*, .У)<^= ${$/(*. y^dy>dx = Ш/(а:, у) dx>dy.
Доказательство. Произведем произвольные разбиения 6' и б" интервала [о, Z?] при помощи отрезков Дхр Дх2, ..., и, соответственно, интервала [а', Ь'^ отрезка
ми Дух, Ду2
Пусть а = хх < х2 < .. ., соот
ветственно, а* —ух < у2 < • • •> — ^ ——п——Г* концы отрезков разбиений 6' и б"."^М^"”
В точках деления б' и б" проведем У* ~~;
прямые, параллельные оси ОУ, соот-7— :
ветственно, оси ОХ (рис. 53). Мы У» получим, таким образом, разбиение о-У --^ 6 прямоугольника D на ряд прямо
угольников. Пусть Да^ означает тот ~ си, х2 х, b X прямоугольник из разбиения 6, проекции которого на координатные осиРис. 53.
будут, соответственно, kxb Nyk.
Обозначим, наконец, через mik, Mik, соответственно, наименьшее и наибольшее значения функции /(х, у) в прямоугольнике Д<т^.
Положим
(1)(1)^М = ^/(-г, y)dy.
(1)
(1)
Выберем произвольные точки ^, g2, ... , соответственно, на отрезках kxv Дх2, ... и пусть
^f^h^+f^Mx^...<2>
В силу (1)
V9г9.
F^=V^»^dy= V^i-M+ S/Gv У^у+... (3)
а*УхУг
Так как
тц<№, Ж*й
ДЛЯ У!<^<Л, то
У*
«цА.У1 < $ / (5v ^) dy < тИцДуг
Ух
Аналогично, у* тх%Мг < $ /(5i, j) dy < М^Ду, Ух
и т. д.
Поэтому на основании (3) найдем:
mnAyi + «12Ду2 + ... < f (51) < МцДУ1 + >И12Ду2 + . . .
Поступая аналогично, получим, далее,
«81 Д.У1 4- «22Д^2 + • • • < F (У< /И21Ду1 + М22 Ду2 + . . . и т. д.
Так как koik = &хДук, то на основании (2) найдем:
^цД^Н + ^12^12 + • • • + ^21Д^21 + ^22 Д^22 + • • • С
^ А ^ АГцА^н + Л412До12 + •.. + Л121До21 + МййДо32 + • • •
Обозначив через s и S соответственно левую и правую части последней цепочки неравенств, получим:
^<А^5.(4)
Если возьмем теперь две нормальные последовательности разбиений {бп} и {8л} отрезков [а, Ь\ и [а*, ^'], то соответствующая последовательность разбиений {6„} прямоугольника D будет также нормальной последовательностью.
В соответствии с неравенствами (4) имеем:
(5) Так как
lim s„ = lira 5„ = J J /(x, у) da.
Л-*00Л-^00и
то в силу (5) для каждой нормальной последовательности разбиений {6„} существует Ит Ап\ тогда согласно (2) функция F ^ интегрируема в интервале [а, 6] и
ь
^ F^ dx = lim Ап = И/(а;, у) do.
aу
Отсюда в силу (1)
b b'
Vv^- j')do=S{S^^’ ^dAdx- Da a'
Аналогично можно получить
b' b
Wf(x> ^da='\ {$/(*> У^х^ dy- Da’ a
Замечание. Можно доказать более общую теорему. Допустим, что функция f^x, у) интегрируема в прямоугольнике D и что для каждого х функция /(х, у), рассматриваемая как функция переменной у, интегрируема. При этих предположениях можно утверждать, что:
ь*
функция F^=^/^х, y)dy интегрируема в [а, 6]; а* b Ь'
И^(х'УПу^йх.
Dа а*
Примеры.
Вычислить ^x2ydxdy по прямоугольнику D, ограниченному
прямыми х = 2, х = 5, J=l, J = 3.
Имеем здесь:
86
$ Х*У dxdy=^dy^ х2у dx =
D12
83
11
Можно также интегрировать в обратном порядке:
53
5 ^ dxdy~^dx^ х2у dy =
D21
= f dx №Р=3=4- f (9х2—A^djc-^l^ise. и L 2 J ^=12 Jо
22
Доказать, что
VV ^^> Vy> dx dy = Q/(x)dx] • [$ ф (j)^] , Dас
г^а^^’ ^^ — непрерывные функции, соответственно, в интервалах [я, у] и [с, d], а двойной интеграл берется по прямоугольнику D, ограниченному прямыми х = а, х = 6, у = с, y — d. Здесь имеем: ь d
^ Дх> ф^ dx dy = ^ dx ( fM^y^dy. Dас
Так как х считается при интегрировании по у постоянным, то dd
$/(л)ф(^)^ = /(х) ^dy,
Сс
так что bd
^ / (а;) ф М dxdy=^f (х) dx У ф (у) dy. Dас
d
Поскольку J ф (у) dy является постоянным числом, то его можно с b
вынести за знак интеграла ^, после чего получим требуемый ре- а
зультат.
Эту формулу можно использовать в примере 1.
За. Некоторые свойства двойных интегралов по прямоугольнику.
Теорема 1. Сумма двух функций f (х, у) и ф(х, у), интегрируемых в прямоугольнике D, также интегрируема в этом прямоугольнике и
И i/^’ .у)+ф(-к, ^)i^=П^^ .у^+И ф^» у^®- DDO
Теорема 2. Произведение постоянной с на функцию f(x, y)t интегрируемую в прямоугольнике D, также интегрируемо и
$ $ сДх» у) do = с ^ f (х, >) do. DD
Эти теоремы непосредственно следуют из определения двойного интеграла: они доказываются так же, как соответствующие теоремы для обыкновенного интеграла (стр. 291—292).
Теорема 3. Если функция f^x, у) определена и ограничена в прямоугольнике D ^а^х^.Ь, о/ ^у ^Ь'^ и обращается в нуль во всех точках этого прямоугольника, за исключением точек, расположенных на конечном числе непрерывных кривых вида у = ф ^х) или х = ф (у), то
w<x’ ^) dx dy — 0.
о
Доказательство. Так как единственно возможными точками разрыва функции f^x, у) могут быть, как легко видеть, лишь точки указанных выше кривых, то эта функция интегрируема в прямоугольнике D (теорема 2, стр. 368). Обозначим через Д(х, у^ функцию, равную функции f^x, у) во всем прямоугольнике D, за исключением точек, лежащих на кривых вида х = ф(^), в которых припишем ей значение нуль, и положим
А(х> ^=fU, у)—А(х, j,).
Функции Д ^х, у) и /2 (х, у^ интегрируемы по той же причине, что и функция /(х, j). Так как
Дх, y)=fi(x, y)+f2(x, j), TO
И Ax, у) dx dy = 5$/1 U. JO dxay + 5 $ /2 kx, y) dxdy.
ODD
Очевидно, достаточно убедиться, что оба интеграла в правой части равны нулю.
Для первого интеграла в силу доказанной теоремы имеем:
ь tv
\\fikx, y^dy^dx^f^x, ^dy.
Dа а*
Если в функцию /х(х, у) подставить х = х0, то она превратится в функцию переменной у, равную нулю для всех значений у, за исключением конечного их числа, соответствующих точкам пересечения прямой х = х0 с предыдущими исключительными кривыми. Следовательно (см. стр. 292),
$/iUo> y^dy^O а*
при каждом х0, откуда сразу следует, что первый интеграл в правой части равен нулю.
Для функции /2 (х, у^ доказательство аналогично.
Теорема 4. Если функции f(x, у} ug^x,y) ограничены в пря-> моугольнике D и отличаются друг от друга лишь в точках, лежащих на конечном числе непрерывных кривых вида ^у = ф(х) и х = ф(у),
то из интегрируемости одной из этих функций следует интегрируемость другой и, сверх того, равенство интегралов:
$$/(*» ^dxdy = $Jg(x, y^dxdy. DD
Доказательство дословно такое же, как в случае обыкновенных интегралов (теорема 4 на стр. 293).
4*. Двойной интеграл по области. Пусть со — ограниченная замкнутая область (см. стр. 190). Пусть функция г = /(х, у) определена и ограничена в области со и пусть D (а ^ х ^ Ь, а*Ь^—
произвольный прямоугольник, содержащий внутри себя область со (рис. 54). Определим в прямоугольнике D новую функцию F^x, у) следующим образом:
(/(я, у) для точек (х, у), принадлежащих со;
F (х, у) = <~
(0 для остальных точек прямоугольника D.
Мы будем говорить, что функция /(х, у) интегрируема в области со, если функция F (х, у) интегрируема в прямоугольнике D. Двойным
интегралом функции /(х, у) по области со будем называть значение интеграла $$F^ уи°-
D
Двойной интеграл по области со будем обозначать, как и выше, символом $$/(^, y^dat либо $$/(•*, ^dxdy. &(О
Таким образом, по определению,
$ $/(*. ^) do = $ $ F(x, у) da. toD
Замечание. Если прямоугольник D заменим другим прямоугольником D\ также содержащим область со, то получим то же самое значение интеграла. Это легко доказать в том случае, когда прямоугольник D содержится целиком в D\ Если это не так, то достаточно выбрать третий прямоугольник О", содержащий D и О'. Интегралы по О и О' будут равны интегралу по О", вследствие чего они будут также равны и между собой.
Определение. Ограниченная область со называется регулярной, если ее граница состоит из конечного числа непрерывных кривых вида у = ф(х) и х = ф(у).
Теорема 1. Функция f(x, у), ограниченная в замкнутой регулярной области о и непрерывная внутри нее, интегрируема в этой области.
Доказательство. Выберем любой прямоугольник D, содержащий область со, и определим, как выше, функцию F^x, уу Легко заметить, что все точки разрыва этой функции лежат на границе области со. Следовательно, по теореме 2 (стр. 368) функция F^x, у) интегрируема в прямоугольнике О, т. е. функция /(х, у) интегрируема в области со. [Заметим, что по теореме 4 предыдущего пункта величина интеграла не зависит от значений, принимаемых /(х, у^ на границе области to, если только сохраняется условие ограниченности.]
Примеры.
Замкнутый многоугольник является регулярной областью. Действительно, его граница состоит из конечного числа отрезков, представляющих собой графики непрерывных функций типа у — ах 4-6 или х — с.
Замкнутая область, ограниченная эллипсом, также регулярна. Если, например, эллипс задан уравнением b^x^-ya^y^ — a^b2, то граница нашей области состоит из двух кривых:
у = + ~ V °2 — а;2 и у = — ^- V с^ — а;2,
где —а^х^а.
Если замкнутая область to составлена из конечного числа регу
которых ни одна пара не имееткоторых ни одна пара не имеетлярных областей tox, to2, ... , шк, из общей внутренней точки, то, как легко заметить, сама область to также регулярна. Действительно, граница области со состоит из конечного числа непрерывных кривых вида ^ = ф(х) и x = ^yy каждая из которых принадлежит границе одной из областей шх, ... , toft. Область (о называют суммой областей (Ор . . . ^fe.
которых ни одна пара не имеет
которых ни одна пара не имеет
Теорема 2. Пусть область to является суммой регулярных областей tox a to2 (без оби^их внутренних точек; рис. 55). Если функция
/(х, у) ограничена в замкнутых областях шг и ю2 и непрерывна внутри них, то она интегрируема в каждой из областей со^ <о1, <о2 и
$$/(x. ^dxdy = Wvx' S^^xd^-v S$/(x> y^xdy. (0(01(01
Доказательство. Возьмем какой-нибудь прямоугольник!), охватывающийобласть to. Обозначим через F (х, у), F1 (х, у), F2 (х,у) соответствующие функции, определенные на прямоугольнике D и
376 ГЛ. XX. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ построенные, как на стр. 374 для функции /(х, у^ по областям <о, top g)2. Каждая из этих функций интегрируема в D (согласно теореме 2, стр. 368). Имеем, следовательно,
$$/(*, y)da=^F(x, y)do; ^Л*, y)do=^ F^x, y)da; toDtoxD
^Л*, y)do = ^Ft{x, y)do.W
to2D
Заметим, что функции ^(x, y^ + F^x, у) и F^x, у) различаются, быть может, лишь в точках, лежащих на общей части границ областей (ог и (о2. Поэтому согласно теоремам 4 и 1 предыдущего пункта
^F(x, у1) dxdy = JJ [F,(x, j)4-F2(x, y)]dxdy = DD
= И ^i^’ У)^^ + И F» (^ ^dxdy.
DD
Учитывая равенства (1), видим, что теорема доказана.
Замечание 1. Теорема 1 дает возможность вычислять площадь любой регулярной области со. Обозначив эту площадь символом | со |, положим, по определению,
|®| = $РСТ-ti)
Интеграл в правой части существует, ибо функция /(х, ^у^!, очевидно, непрерывна и ограничена в любой области со. Если область ю является прямоугольником, то для его площади получим то же самое значение, что и при обычном определении (см. стр. 367, пример 1).
Замечание 2. Если функция /(х, у^ непрерывна и неотрицательна в регулярной области со, то точки (х, у, z), для которых (х, j) принадлежит области со, az удовлетворяет неравенствам O^z^/ (х,^), образуют тело, объем которого мы определим формулой
У= $$/(*, y^do.to
Как и выше (стр. 367), легко убедиться, что предыдущее определение согласуется с интуитивным понятием объема.
Примеры.
Применим теорему 2 к вычислению интеграла функции /(х, у), определенной в примере на стр. 369. Прямая х = 1 делит прямоугольник D на два прямоугольника, не имеющих общих внутренних точек. Обозначив левый прямоугольник через Dv а правый через D2,
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ 377 получим:
П/^’ ^^^И/^- j)^+$$/(^> у)</а =
DDtО2
= И (—l)da+$$2dff= — Ы + 2.2 = 3.
DiD2
Обозначим через о произвольный замкнутый многоугольник и разобьем его любым способом на конечное число многоугольников:
(Ор (02, ... , (0„.
Положим f^x, у) = ск внутри Год (& — 1, 2, ... , л), где cv с2, ... ... , сп— какие-нибудь постоянные. На границах многоугольников мы определим функцию произвольно, лишь бы она была ограниченной. По теореме 2 имеем
$$/(*• j')^=ncida+S5c2d<T+---+SSc«d°=totolto2ton
= с11“1|4-сг|®2Ц-...+с„ |ш„|.
Свойства двойного интеграла по области. Для функций, интегрируемых в произвольной регулярной области со, справедливы теоремы, аналогичные теоремам п. За (стр. 372), например:
Теорема 1. Сумма двух функций f(x, у) и <р(х, yV интегрируемых в регулярной области со, также интегрируема в этой области и
П v/^ j)+<p(^ ,у)Иа=$$/(х,»Ja+H ^^ ^do- to, toto
Теорема 2. Произведение постоянной с на функцию f(x, у), интегрируемую в регулярной области (о, также интегрируемо в этой области и
\\с/^х, у^ d,o = c^ f^x. y^do, toю*
и т. д.
Доказательства этих теорем легко получить, используя определение двойного интеграла по регулярной области и упомянутые теоремы из п. За.
5*а. Неравенства для двойных интегралов. Теорема о среднем. Излагаемые здесь теоремы, а также способ их доказательства вполне аналогичны соответствующим результатам для обыкновенных интегралов (гл. XVI, п. 7 на стр. 299—303).
Теорема 1. Если функция f(x,y} интегрируема в регулярной области со и неотрицательна в ней, то ее интеграл по этой области также неотрицателенц
Вытекает из определения двойного интеграла
Теорема 2 (интегрирование неравенств). Если функции f(x,y) иср^у) интегрируемы в регулярной области ы и в этой области удовлетворяют неравенству
fkx, jX<p(x, ^), то также
5 $ у (> j') dx ^ ^ И ф ^х> ^ dx d^* toW
Теорема 3. Если функция f(x,y) интегрируема в регулярной области со, то функция |/(х, ^у) | также интегрируема в этой области*^ и
^fVc^dxdy С JJ|/(x, j)|dxdj. toto
Теоремы 2 и 3 доказываются так же, как соответствующие теоремы для обыкновенных интегралов.
Теорема 4. Если функция f(x,y) интегрируема в регулярной области ту и удовлетворяет в ней неравенствам m^f Vx^ у^ ^М^ то
m\ w| ^ 55/(^, j) dxdy ^ тИ| со |.
Следует только заметить, что формула
to
является теперь определением площади регулярной области (стр. 374).
И здесь последнему неравенству можно придать форму теоремы о среднем:
W^x> ^ dxdy = ^\ ® |, m ^ ц ^ /И, to
где
^г^тИ^’ ^dxdyto
— среднее значение функции f(x,y) в регулярной области е>.
Наконец, если /(х, j) непрерывна в замкнутой регулярной области <о, то
П^^’ >) dxdy=/(x, уу |ю|,to
где (х, j)— некоторая внутренняя точка этой области.
Двойной интеграл по области как повторный. Допустим, что регулярная область (о определена неравенствами
а ^ х ^ 6, фх (х) ^у ^ ф2 (х),
где фх(х) и ф2(х) — непрерывные в [а, Ь] функции и j
Ф1 (х) < ф2 (х) для а < х < b
(рис. 56). Такую область мы будем называть нормальной (относительно оси ОЛ).
Пусть D—любой прямоугольник, определенный неравенствами а^х^б, а' ^у <^ и охватывающий область (о. Если функция /(х,^) непрерывна в области со, то, как известно, $$/(х, у^а=^Ркх, y)do, (1) соD
где {/(х, у') в точках области со; О в остальных точках прямоугольника D.
При постоянном х функция ^(х,^), рассматриваемая как функция лишь переменной у, имеет не более двух точек разрыва; ими могут быть лишь точки Р, Q, в которых прямая, проведенная из точки х оси ОХ параллельно оси OY, пересекает границу области ю. Таким образом, для каждого х существует интеграл
ъ* $Л*, y^dy. а*
Отсюда, по замечанию на стр. 371, следует, что
$$ F^x, 30^=4 $ F^x, y^dy\dx.Dа V а*)
Выбрав произвольное х и положив ух = <рт (х), у^ = ф2 (х), получим:
У0<У>у
J F кх, у) dy = J F (х, у) dy + ^F (х, у) dy + J F (х, ^) dy. a*a*FtFt
380 ГЛ. XX. двойной интеграл, условия интегрируемости Поскольку F^x,^ = 0 при af ^у < уг и при у^<у^Ь\ то
$ F (х, у) dy = ^ F (х, у) dy.
а'Ух
Заметим еще, что при ^1С^<Л имеем: F (х, у) —f(x, yY Следовательно, уя*<р2 (*>
V^x,y^ dy=Vkx,y> dy = J /кх,у^у.
°'Ух<Pi W
Отсюда в силу (1) и (2) получим окончательно:
ь / Ф2 (X)х
И / (х> У)do = Н $ f ^х, у1) dy \ dx.(3)
(Оа к ф^х)’
Замечание. Аналогичное рассуждение можно провести ^ля области, нормальной относительно оси OY и определенной неравенствами:
Ф1 (_УХ X < -ф2 (j)>c^^^d.
В этом случае имеем:
d 'Фг (6/)d / ф8 (у)х
^/(^y)da = ^ dy j /(x,^)dx=j< J f^x,y^dx\dy. (4) toс фж (у)с " -фх (^)’
Если область со можно разбить на конечное число нормальных областей Ор ®2, ..., то
И f[x, у) da = ^f(x, у) da + ^f(x, у) da + ... toto,tog
Для вычисления интегралов по областям gdj^, ш2, ... пользуются только что приведенными формулами (3) и (4).
Примеры.
Вычислить двойной интеграл функции /(х, ^) = x2 + xj + 2/, взятый по треугольнику D, ограниченному осями координат и прямой у= —х+ 1.
Как легко видеть, этот треугольник является нормальной обла- стью, определенной неравенствами:
0<х<1, 0<у^1—х.
Следовательно,
<р1(х) = 0, <р2(х)=1 —х.
Получаем: 11-х
^ (х2 4- х_у 4- 2у2) do = ^ dx J (х2 + xj 4- 2j2) dy =
Dио
= j[,.(l-,)+,<l^ + 2<l^]^ = l. О
Наш треугольник можно также определить неравенствами:
O<J<1, О^х^ 1—у. Читатель легко проверит, что интеграл
11-У
^dy J (х2 -Vxy-V^y^dx о о
имеет то же самое значение.
Вычислить интеграл
JJ (2x + 3j+l)dxdy СО
по области, ограниченной треугольником с вершинами (—1, —1), (2, —4), (1, 3), и найти среднее значение подынтегральной функции в этом треугольнике.
Составим сначала известным способом уравнения прямых, на которых расположены стороны треугольника (уравнения указаны на рис. 57).
Затем при помощи прямой х=1 разобьем треугольник на две нормальные области со1 и о)2. (Можно было бы также воспользоваться прямой у=—1.)
Как мы уже знаем,
$$(2х + Зу+1)</х^='
(О
= 5 $ (2х + 3у+1) dxdy 4- ^ (2x4-3^4- V\dxdy.totto2
Так как области о>1 и со2 нормальны, то каждый интеграл в правой части может быть заменен повторным, и мы получим:
+ 12X4*1
И (2х + 3)/+1)^х^= ^dx $ (2x + 3j+l)^ =
®1-1— X —2
=j Vxy^%^A^Vx=3^^dx==4-
Аналогично
2-7Х+10
У У (2х -р 3j 4” 1У $х § (2х 4* 3jz 4~ 1) dy = to21 -х-й
= J [2х>+у?2+4 ^=-хХг1в== J(60x2 — 198x+ 156)dx = — 1.
Окончательно
JJ(2x + 3y4-l)dxdy = 3. to
Чтобы найти среднее значение функции 2х + Зу+1 в указанном треугольнике, следует полученное значение интеграла разделить на площадь треугольника, равную, как легко проверить, 9. Для среднего 1 значения получим число у.
Вычислить площадь области со, ограниченной параболой у2 = 2х и хордой, соединяющей точки (2, —2) и (8, 4) (рис. 58).
Прямая х = 2 разбивает область со на две нормальные области: область (ор определенную неравенствами:
0<х<2, — З/^х^у^ + ^Зх,
и область ш2, определенную неравенствами:
2^х<8, х-4^у</2х.
Таким образом,
У ^dxdy = У У dxdy-V $5 dxdy = to©tto2
Wx 8 v^ 2_8
dx ^ dy+^dx dy= ^2V2xdx4-^(l/2x — x+4)dx=18. ~Vax 2X-402
Площадь области <o можно вычислить и другим способом. А именно, эту область можно рассматривать как нормальную, определенную неравенствами:
— 2Cj<4, ^<х<у + 4.
Следовательно,
УУ dxdy = J dy У dx= ^ (у + 4”т) ^У~ 18е to-2 у8-3
2
Вычислить площадь нормальной области со, определенной не* равенствами: a^x^b, f^^y^f^x),
где f^x^ и /2(х)— непрерывные функции в интервале [а, 6], для которых выполняется неравенство Д (х) < /2 (х) при а < х < b (см. стр, 352).
Имеем здесь: ь ft (х) | а> | = ^rfcr= dx J dy» с» a ft (х) Н°f8 (х)
$ dy=№^-№Yfl (X)Следовательно,ьl<»l = $[/2^)-/lW]^a
Вычислить объем шара
^2+<y2 + ^8 = ^2»
Плоскость OXY пересекает этот шар по кругу х2 + у2 — г2, внутренность которого вместе с границей обозначим через со. Как легко видеть, полушарие, находящееся над плоскостью ОХУ, является множеством всех точек (х, у, z^ таких, что точка (х, у') принадлежит области со, a z удовлетворяет неравенствам:
О < г < /г2—х2—у2.
В силу нашего определения объема (стр. 376) мы для искомого объема всего шара получим:
+ г + Vr^-x*
V=2 JJ У> — х2— y^do = 2 J dx ^]/r2—-x2 — yMy.
to-r _ уz^x*
При интегрировании по у следует х считать постоянным. Можно ввести новую переменную ф подстановкой
у = V^ — ** sin ф,dy = V^—-^2 cos ф d^e
Тогда
л
++ 2
J\Аг2 — хй — уй dy — j ^гй — хй) cos2 фб?ф = у (г2 — х2),
-ГТГ^-21
2
Следовательно,
+ г
^=2 j ^ ^-х^хЦ^3.
Вычислить объем общей части двух круговых цилиндров одного и того же радиуса г, оси которых пересекаются под прямым углом.
Выберем за оси этих цилиндров ось OZ и ось ОУ* Тогда их уравнения запишутся так:
хйА-у^ = г2 и х2+^2 = г2.
Общая часть этих цилиндров определяется, очевидно, неравенствами:хй^уй ^r2, х2 + г2^г2.
Так как изобразить или нарисовать эту область не легко, то можно рассуждать следующим образом.
Эта область симметрична по отношению к плоскости ОХУ. Поэтому достаточно вычислить объем ее верхней половины, определенной неравенствами
Обозначим через (х0, ^0) какую-нибудь систему чисел, удовлетворяющих первому из этих неравенств. Для того чтобы точка (х0, j0, z) принадлежала к изучаемой верхней половине нашей области, необходимо и достаточно, чтобы О^^^Уг2 —х^. Следовательно, эта верхняя половина совпадает со множеством всех точек (х, j, z^ таких, что (х, j) принадлежит кругу x2+j2 = r2, a z удовлетворяет предыдущим неравенствам. Обозначив через со внутренность круга х2+у2 = г2 вместе с его границей, получим для объема всей общей части наших цилиндров интеграл
I/=2 ^ Vr2—хй dx dy = u>
+ г+ УА-Х*+ г
= 2 J dx ^ V ra-x4dy = 2 J 2(r2 — xa)dx =
-Г-Y7*^x«-r
Задачи
лТлТВычислить следующие двойные интегралы:
л
Т
л
Т
JJ cos2 е/do по квадрату 0^х^~-, ~л2
Ответ. —
S ^ V*4-^x-Vy do по нормальной области, определенной неравенствами 0^(/^5, О^х^б—у.
Ответ. —.
Jj Ко2— х2 — у2 do по нормальной области, определенной неравенствами :
2
Ответ -д-а8
уу Kcos2y + x2 sin2 $/do по прямоугольнику O^x^l, О^у^-^-. ~2
Ответ -у .
УУ j/"г2—(L^-do по треугольнику, ограниченному осью ОХ, прямой х = а и прямой у — ^—х\ г > О, a > 0.
~лаг2
Ответ—^—
Вывести при помощи двойных интегралов известные формулы для площадей: а) треугольника; б) трапеции; в) кругового сектора; г) эллипса.
При помощи перехода от двойного интеграла к повторному доказать, что*
а) J d^p Vx, у) dy= ^dy ^ (х, у) dx 00О V
для каждой функции f(x, уУ непрерывной в треугольнике, ограниченном прямыми у—б, х~а, у — х (а>ОУ,
а Уаг-х2аУ а2 - у2
6)^dx J Цх, y)dy=^dy ^ Hx,y)dx 0000
для каждой функции f(x, уУ непрерывной в первой четверти круга х2 -|- у2 = а.
Доказать, что объем шарового сегмента выражается формулой
V = ЛЕУ2V = ЛЕУ2ЕУ \Т ; *ЕУ \Т ; *
V = ЛЕУ2
V = ЛЕУ2
ЕУ \Т ; *
ЕУ \Т ; *
где г — радиус шара, а w — высота сегмента.
Вычислить объем тела, ограниченного эллиптическим параболоидом S—p + ^S- И ПЛОСКОСТЬЮ 2 = ^(^> 0)
Ответ. ~ яаЫгЧ
Координаты центра тяжести плоской области со, заполненной равномерно массой, являются средними значениями функций х и у, т. е.
toto
Определить координаты центра тяжести: а) полукруга х2 + у2^г2, у^О;
треугольника примера 2 (стр 381)
°, б)
ОЛ /\ О О /
ГЛАВА XXI
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
Простая дуга. Допустим, что функции X^fW у = Ф(/), 2Г=ф№ U^t^(I)
непрерывны в интервале [а, 6]. Множество всех точек пространства, координаты которых ^х^ у, ^ соответствуют одному и тому же значению переменной/, называют простой дугой (или, короче, дугой^ если разным значениям параметра / соответствуют разные точки, другими словами, если равенства
/(Л=/О Ф(П==Ф(П W^O влекут за собой f = t".
Точки Л, В, соответствующие крайним значениям а, b параметра /, называются концами дуги. О такой дуге говорят, что она соединяет точки Л и В (рис. 59). Простую дугу обозначим также символом АВ.
Параметрическое представление простой дуги при помощи функций, удовлетворяющих приведенным выше условиям,называется нормальным.
Примеры. Простой дугой является: а) отрезок; б) ломаная линия ЛЛ1Л2...Л„ при условии, что соседние отрезки имеют только одну общую точку, а отрезки, не являющиеся соседними, общих точек не имеют; в) дуга ок-В»
ружности (соответствующая центральному yr-f
лу а, где 0<а<2л); г) график функции у=/(х), z^x / непрерывной в интервале [а, Ь^. В случае г) ду- /х^/
га представляется параметрически следующим / образом:*А
x = tt у—/^, z=0 (a ^t ^.b).Рис- 59-
Имея какое-нибудь одно нормальное параметрическое представление простой дуги, мы можем из него получить бесконечное множество других. Для этого достаточно выбрать произвольную непрерывную функцию t—a^, строго монотонную в некотором интервале [а', У] и принимающую на концах этого интервала значения а, Ь. Новым 13*
нормальным параметрическим представлением будет
х=/ [a (s)] = A (s), у = Ф [а (s)] = ф, (s), 2 = гр [а (s)] = гр! (s) (а' ^ $ ^ 6').
Если дуге АВ придадим определенное направление, т. е. выберем, например, за начало точку Л, а за конец точку В, то возникают две возможности: точке А соответствует либо значение параметра t = а, либо значение t — b. В первом случае мы будем говорить, что параметрическое представление согласовано с выбранным направлением, во втором же случае, что оно не согласовано. Если представление не согласовано с выбранным направлением, то, положив 1 =— s, получим согласованное представление:
х =/(—»)=/,(»), у = ф(— $) = ф1(»), 2 = гр (— $) = грх (s) (— b ^ s ^ — а^
Примеры.
Нормальное представление отрезка, соединяющего точки Л (xv yv z^ и В (х2, у2, 22), мы получим, положив, например,
X = Xj + (х2 — Х^ t, у = Jj + Vy2 — yj t,Z-Z^^—Z^t
для 0^/^1. Это представление согласовано с направлением от А до В.
Нормальное представление верхней половины Эллипса
Рх2 + а2у2 = а2Ь2 мы получим, положив
x=acos/, y = bs\nt, 2 = 0
для О^^^л. Другое нормальное представление мы получим, положив, например, i = s2 и, следовательно,
x=acoss2, у = b sins2, 2 = 0, для O^s^j^n.
Криволинейный интеграл на простой дуге. Допустим, что простая дуга АВ задана нормальным представлением
x-fktY У = Ф№, z = ^W (a^i^b)(I)
и, кроме того, что функции (I) имеют непрерывные производные в интервале [а, 6]. Выберем на дуге АВ направление от А к В и предположим, что параметрическое представление (I) согласовано с выбранным направлением. Пусть функция Р^х, у, z) определена и непрерывна во всех точках дуги АВ. Произведем какое-нибудь разбиение 6 интервала [а, #] и обозначим через £0 = а < 1г < /2 < ...
концы отрезков Д^, Д/2, .., , входящих в состав этого разбиения. Выберем в каждом из этих отрезков по одной произвольной точке »р »2> “‘
Пусть
*»=W, хг=Л^, X^f^, ...;
I1=/(M ^=/(«2),
Чх=Ф(»а. я2=ф(Ф2), £1 = *^). £* = № Образуем сумму
o = pkh. Vh, ^(Xi—Хо)4-Р(^, т]2, У(х2—XJ+...(1)
Положив Р^ = Р^/^, <p(/), i|)(/)], запишем сумму (1) так:
G= F (»J [/ ^ -/(/0)] + F (»2) [/(/2) -/ (/al + • • •(2)
По теореме о среднем значении существуют точки 0^, 0*2, ..., для которых имеют место равенства:
м-м-ло^-о (/1<»2</а).(3)
Положим
F(^a = f(»;) +8V F(^2) = F(^)+82> ...
Тогда в силу (2) получим:
G=a-VR,(4)
где
а=f («аг («а д^+f ^г (»а д/2 +...,<5)
а
R = ЧГ (^i) A^i + е2/' (^2) Д/2 + ...
Если через я обозначить наибольшее из чисел |е1|, |s2|, ..., а через М—наибольшее значение функции |/' (/)] в интервале [а, 6], то
|/?K2WYiA^ + yMYiA^2+ -=^(^-а).(6)
Выберем произвольную нормальную последовательность разбиений {6П}, и пусть {Ол} будет последовательностью соответствующих сумм, образованных аналогично сумме О. Согласно (4) при аналогичном определении сумм О*п и Rn имеем:
О„=о;4-яо,(?)
причем согласно (6)
|Я„|<Мг1п(»-0).(8)
lim dn=\F^fkhdt. п-*®0
Вследствие же равномерной непрерывности функции F(0 имеем Нт т)„ = 0, следовательно, в силу (8) lim Rn = Q. Поэтому
П-*«)п-><»
bb
lim Gn=V(0 f ^ dt^P[f W q> W ф (0]Г W dt. (9) п-*00 аа
Предел последовательности {СЦ называется криволинейным интегралом функции Р(х, у, г), взятым по дуге АВ в направлении от А к В; обозначается он символом:
$ Р ^х, у, z) dx.(10)
Таким образом, мы получили формулу ь
$ РМм^хЦр^, ф№, WV4Mt. (II)
Замечание 1. Очевидно, что значение криволинейного интеграла (10) не зависит от параметрического представления (I), лишь бы это представление было согласовано с выбранным направлением на дуге. Другими словами, если дуга АВ будет задана другим нормальным представлением, также согласованным с выбранным направлением, то, поступая аналогично предыдущему, получим то же самое значение интеграла (10).
Замечание 2. Если на дуге выбрать направление от В к Л, то, как мы знаем, представление
х=/(—s), у = <р(~$), 2г = ^(—5)(—£<$< —л)
является нормальным представлением дуги ЛВ, согласованным с направлением от В к Л. Таким образом,
-а
$ Р^х, у, z)dx = $ Р[/(— s), ф(—S), ф(—s)] [—/'(—$)] ds.
S1-ь
Подставив s = — /, получим:
ъ
\ Р{х, у, z)dx = —\p[f{tY Ф(0, Ф(0]/'(0^.
£4°
Следовательно,
5 Р^х, у, z^dx = — J р^х, у, z^dx.(12)
АВ
Замечание 3. Если на дуге АВ выберем произвольную точку С, соответствующую значению параметра t = c ^а -<с <.Ь^ то
$ Р (х, у, z} dx=\P [/ (0, ф (0, Ф (01 f W dt,
ай°
b
J P^x, y, z)dx=^P[f(t), ф(/), ф (/)]/' ^dt. бвc
Следовательно, в силу (И)
J Р^х. у. z)dx = ^ Р^х, у, z^dx-V $ Р^х» У» ^ dx. totoСВ
Замечание 4. Аналогично определяются криволинейные интегралы, обозначаемые символами
$ Ркх, у, z)dy, J Р^х, у, z)dz. АЙЛв
Для этих интегралов имеют место соотношения: ь
Р^х, У, ^dy=\ Р[/(0, ф (0. Ф ю] ф' (0 dt, ь
PU, У, z)dz=\ P[f(t}, ф (0, Ф (/)] Ф' Ю dt. toа
Примеры.
Вычислить интеграл J kx^-^y^dy по дуге винтовой линии to
x = rcosf, y = rsin^ z=at (0 ^/^2л)
от Л (г, 0, 0) до В^г, 0 2ла).
Этот интеграл мы заменим обыкновенным определенным интегралом, учитывая, что du .
Tt=rcost-
Таким образом,
2Л
*$ кхй +у2) dy = J г3 cos t dt = 0.
13**АВо
Аналогично получим:
$ ^+y^dx = J—r3sinf</f = 0,АВо
2Л
(х2-ру2)^ = J r^ adt — ^кг^а»
АВо
Вычислить интеграл ^xdy по дуге
x=acostt y = as\nt (о^^^у)
в направлении, обратном направлениюпараметрического представления. Имеем здесь:
л
х xdy = —х a cos t-a cos tdt =^-.
о
Криволинейный интеграл по произвольной кривой. Допустим, что кривая С составлена из конечного числа простых дуг AAV 4j42,
Л2Л3, ... (рис. 60).Л2Л3, ... (рис. 60).Рис. 60.Рис. 60.Таким образом, по определению,Таким образом, по определению,Выберем на этих дугах такие направления, чтобы точка, являющаяся концом двух соседних дуг, была у одной дуги началом, а у другой концом. Допустим, например, что мы выбрали направления: ААи Л1Л2, ... Направления этих дуг определяют нам некоторое направление на кривой. Если функция Р(х, у, z) определена и непрерывна во всех точках кривой С, то под криволинейным интегралом функции Р(х, у, г) по кривой С (в выбранном направлении) мы будем понимать сумму интегралов по каждой дуге в отдельности ).
Л2Л3, ... (рис. 60).
Л2Л3, ... (рис. 60).
Рис. 60.
Рис. 60.
Таким образом, по определению,
Таким образом, по определению,
$Р(-к, у, z^ dx = ^ Р^х. yt z) dx-V ^ Р^с, У* ^ dx-V . •.а'а'хд7^2
Пусть кривая задана в параметрическом представлении х =/(0, у = ф (0> z = ф (0 (а ^ t ^ by
Допустим, что на интервалах (a, axV (ах, а^, . .. (а < at < а2 < < ... < Ь) эти функции непрерывны, имеют непрерывные производные (на концах односторонние) и, кроме того, что эти функции, рассматриваемые в интервалах (a, axY (дп а2), (а2, а3), ... , дают нормальные представления дуг ААЪ АгА2, А2А3, • • • * согласованные с выбранным направлением. Легко заметить, что при таких предположениях имеем:
ь
^Р(х, у, z)dx = ^P[f(t), <р W. ^U)]/'^^. Са
Если в точках av а^ ... производная f (t) не существует, то этот интеграл следует понимать в несобственном смысле.
Аналогичные замечания относятся к интегралам
$ Ркх, у, z^ dy, ^ Р(х, у, z) dz. сс
Примеры.
Вычислить интеграл
J (х+2у—z^dxАВ
по ломаной линии, соединяющей точки А (0, 0, 0), С(1,0, 0), В(1, 1, 1).
На основании предыдущего, нужно вычислить интеграл по отрезку от А до С, затем по отрезку от С до В и сложить полученные результаты.
Поскольку вдоль отрезка АС имеем у — z = 0, то первый интеграл является обыкновенным определенным интегралом:
1
С (х + 2у —z) dx = Г х dx = ~ .
лио
Второй интеграл равен нулю, так как х постоянна на отрезке СВ.
Вычислить интеграл
$ kx^-Vy^dxАВ
от точки А(0, 0) до точки В^ 1): а) вдоль отрезка, соединяющего эти точки; б) вдоль кривой, составленной из отрезка АС, соединяющего точку А с точкой С(1,0), и (меньшей) дуги единичной окружности, соединяющей точки С и В; в) вдоль ломаной линии АСВ.
В случае а) интеграл равен нулю, так как х является постоянной на отрезке АВ.
В случае б) имеем:
$ kx?-Vy^dx — ^хЗ+^^хН- J (x2+y)dx. ABACCB
Первый интеграл является обыкновенным определенным интегралом, так как ^ —0 на АС.
Второй интеграл мы вычислим, положив
(
31 \ о ^ t ^ у y
причем следует учесть, что dx . , ■тг* = — sin t. di
Таким образом,
i
С (х2 + j) dx = С х2 dx = ~,
АСо
л
j (Х2+.У)^Х =— J (cos2 <4~sln^) sin/d# = — (7"by)* CB0
Отсюда
j (x2+^) dx = —^. AB
В случае в), по предыдущему,
^ (хг +j>)dx=l-. АС
Чтобы вычислить интеграл по отрезку СВ, применим параметрическое представление:
x=\—t. y = t (0<^1).
Получим:
j«+j) dx = -j[(l-02 + f] dt=-^. СВо
Таким образом, в этом случае о1 К1
АВ
Работа как криволинейный интеграл. Как известно, если материальная точка передвигается прямолинейно из точки A (xr, yv г^ в точку В(х2, у2, х^ и подвергается действию постоянной силы А
параллельной оси ОХ, то работа, выполненная этой силой, выражается формулой
L = Р^х2 х^»
Допустим теперь, что функции (I) (стр. 388) описывают движение материальной точки по кривой (С). Предположим, далее, что при движении точка подвергается действию силы, остающейся постоянно параллельной оси ОХ, но меняющей, однако, свою величину. Пусть Р^х, у, z) означает величину этой силы в точке (х, у, z^ лежащей на кривой С. Образуем произвольное разбиение 6 отрезка [а, Ь\ точками а < ^ </2 < ,.., которым на кривой .соответствуют точки Ло, Аь Л2, ... с координатами соответственно (х0, у0, z^, ^Хр Уи *i)> • • • Выражения
R^xo» У Qi 2о) (xi *о)> R^xv Уи ^i) (-^2 xi^ •••
дают работы, выполненные, соответственно, на отрезках ЛОЛХ, Л1Л2, ..., постоянной силой Р(х0,^0, z^, соответственно P^xvyvz^ ... Таким образом, сумму
О=Р(х0, j0, го)^ —xJ+P^, jp ^(х,—хг) + ...
можно считать приближенным значением работы, выполненной действующей силой.
Так как для каждой нормальной последовательности разбиений {6П} соответствующая последовательность сумм { Gn} стремится к криволинейному интегралу
^Р(х, у, z^dx, с
то мы поступим согласно интуиции, если предыдущий интеграл будем считать величиной работы, выполненной переменной силой Р^х, у, z) вдоль кривой С.
Замечание. Если переменная сила меняет величину и направление, то, обозначив через Р^х, у, z), Q(x, у, z), R(x, у, z) ее проекции на координатные оси, мы определим работу, произведенную силой вдоль кривой С, формулой
L = J Р (х, у, z^dx-\-^Q (х, у, z)dy + ^ R (^, У> я) dz. ссс
Обычно это записывают короче, а именно:
L = J Р (х, у, z^dx^-Q (х, у, z^dy-VR кх> yi ^ ^ c
Пример. Вычислить работу, произведенную силой, постоянной как по величине, так и по направлению, например, силой тяжести, при передвижении точки вдоль данной кривой.
Принимая, что направление силы совпадает с положительным направлением оси OZ (что всегда может быть достигнуто соответствующим выбором системы координат), имеем:
Р Vx, у, z^Q (л;, у, я) = О, R (а:, у, z^ = с, где с —положительная постоянная.
Если кривая задана в параметрической форме:
X=/W, y = ww> Z = ^W (a<f<P),
а движение происходит в направлении, согласованном с этим параметрическим представлением, то получим:’
L = J с dz = J сф' (f) di ~ с [ф (Р) — ф (а)]. Са
Обозначив начало и конец кривой через (xv yv z^ и (x2, у2> z2\ найдем:
L =— zty
Мы видим, что в этом случае работа не зависит от пути, а зависит лишь от разности уровней, измеряемых по оси OZ.
Замкнутая кривая. Кривая, составленная из двух простых дуг, имеющих лишь общие концы, называется замкнутой простой кривой.
Такими кривыми являются окружность, эллипс, треугольник, многоугольник И т. д.
Простая замкнутая кривая может быть также задана параметрическим представлением:
х=/^> ^ = ф(0> ^ = ф(0, <а^<^(I)
в котором функции /(/)» ф(0> Ф(0 непрерывны и удовлетворяют следующим условиям:
/(«)=/W, ф(а) = ф(6), tp(а) = ф(6);
если для двух разных значений параметра /', Г имеет место /(O=Z(O, ф(И=ф(О> 1р(И = Ф(О, то либо Г = а. Г = Ъ, либо t' = b, t" = а.
Другими словами, в представлении (I) каждой точке кривой, за исключением одной из них, соответствует только одно значение параметра t; исключительной точке соответствуют два значения пара-
метра, а именно: t = a и t = b. Представление при помощи функций, обладающих указанными свойствами, будем называть нормальным.
Перечислим несколько важных свойств плоских простых замкнутых кривых.
Каждая такая кривая С делит плоскость на две области, из которых одна (ограниченная), со, называется внутренней областью кривой С, а вторая (неограниченная), со', называется внешней областью кривой С. Кривая С является границей каждой из областей со, со'.
Любые две точки области со (соответственно любые две точки области о') могут быть соединены ломаной линией, не имеющей общих точек с кривой С.
Каждая простая дуга, один конец которой лежит в области <о, а другой в области со', пересекает кривую С.
Читатель легко проверит интуитивно эти свойства для окружности, треугольника, многоугольника. Для общего случая их доказательства сложны, и поэтому мы их опускаем.
На кривой С можно выбрать два направления. Если кривая С плоская, то одно из этих направлений называется левым, а второе правым. Предположив, что, за исключением нескольких точек, кривая С имеет касательную, можно левое направление охарактеризовать следующим образом.
В произвольной точке М нашей кривой проведем отрезок MBt перпендикулярный к касательной в этой точке и лежащий (за исключением точки М') целиком внутри области, ограниченной кривой С
Рис. 61.Рис. 61.касательной направление, определениекасательной направление, определение(рис. 61). Если вектор МВ образует с направлением (согласованным с направлением кривой) угол +4^, то выбранное на кривой, является левым. Наглядно это
Рис. 61.
Рис. 61.
касательной направление, определение
касательной направление, определение
заключается в том, что при движении по кривой в левом направлении внутренняя область этой кривой остается слева от наблюдателя.
согласованное пред-согласованное пред-Если кривая С задана нормальным представлением, то это представление может быть согласовано или не согласовано с направлением, выбранным на кривой. Представление согласовано, если при возрастании параметра t от а до b соответствующая точка на кривой пробегает ее в выбранном направлении. Если представление не согласовано с выбранным направлением, то, положив / =—s, получим уже ставление (см. стр. 388).
согласованное пред-
согласованное пред-
Примеры.
Положив
х = a cos/, y=bsvnt (0 ^ /
получим нармальное параметрическое представление эллипса: согласованное с левым направлением.
Нормальное параметрическое представление квадрата с вершинами (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1) может быть задано, например, так:
х = t,у = 0
при
0^/5
^1;
х=1,y = t—1
»
1 </«
^2;
х = й — 1, у — 1
»
S3;
х = 0, у = 4 — t
«
3</€
$4;
Легко проверить, что определенные таким образом функцииx=/W, y=«pW
непрерывны в интервале [0, 4] и удовлетворяют условиям 1) и 2). Когда t возрастает от нуля до четырех, то точка (/(0, ср (/)) пробегает квадрат в левом направлении, проходя через каждую точку только один раз (за исключением точки (0, 0)).
Заменив в этих примерах t через—s, получим нормальные представления, согласованные с правым направлением.
Криволинейный интеграл по замкнутой кривой. Допустим, что простая замкнутая кривая С задана в нормальном параметрическом представлении:
л;=/(/), у = ф(^), z = ip(f), а<Л^Ь.
Предположим, что в интервалах
(а, аг), (ар а2),... [а < аг < а2 < ... < 6]
данные функции имеют непрерывные производные (односторонние на концах). Если функция Р(х,у, z^ определена и непрерывна в точках кривой С, то согласно п. 3
ь
^P(x,y,z)dx = ±^P[f(t), <р(/), ip (/)]/' ^dt, Са
причем знак зависит от того, взят ли интеграл в направлении, согласованном с параметрическим представлением кривой С, или в противоположном направлении.
Если на кривой возьмем любые две точки А и В (рис. 62), то, положив, что дуги АтВ и ВпА имеют направления, согласованные с
направлением, выбранным на кривой, можно записать:
J Р(х,у, г)dx = ^ Р(.х,у, z^dx-V J Р(х,у, г)dx.
САтВВпА
кривые Сь С2 имеют об-кривые Сь С2 имеют об-Криволинейные интегралы по замкнутым плоским кривым.
кривые Сь С2 имеют об-
кривые Сь С2 имеют об-
Пусть две простые плоские замкнутые щей частью лишь простую дугу АВ (рис. 63). Допустим, кроме того, что внутренние области сог и со2, ограниченные кривыми Сг и С2, не имеют общих точек.
Предположим, что кривая Ст составлена из дуг Lx и АВ. а кривая С2— из дуг Ц и АВ. Дуги Lx и Ц образуют простую замкнутую кривую С, ограничивающую область со, которая содержит в себе области C0j и со2. Если на кривых Ct и С2 выбрать левое направление, то направления дуг Lt и Д2 на кривой С будут согласованы с ее левым направлением. Так как дуга АВ имеет на кривых Ср С2 противоположные направления, то
J Р(х, j) dx = J Р^х. у) dx-\* ^ Р^х. у) dx.
ClLlАВ
J Р (х, у^ dx = $ Р (х, у) dx + J Р (х, у) dx.
СзLaВА
Следовательно,
J Р(х, у) dx-\- ^ Р(х, j) dx= ^ Р(х, у) dx-V J Р(х, у) dx.
. ctс8Lxьг
так что
J Р(х, j) dx= J Р(х, у) dx-V J Р(х, у) dx.
ССхСа
Допустим, что граница € области со состоит из нескольких простых замкнутых кривых Cv С2, С3, ... (рис. 64). Левым направлением кривой Сг относительно области со будем называть то направление, обегая в котором кривую Cv мы оставляем область со слева.
Таким образом, левое направление относительно области зависит от того, лежит ли область внутри или вне данной замкнутой кривой. Например, для области, заключенной между двумя концентрическими окружностями, левое относительно области направление на внутренней окружности противоположно левому направлению на внешней
окружности. Аналогично определяется левое относительно со направ
Рис. 64Рис. 64ление на кривых С2, Са, . . .
Рис. 64
Рис. 64
Рис. 65.Рис. 65.Выберем на каждой кривой Ср С2, ... левое относительно со направление. Тогда криволинейным
Рис. 65.
Рис. 65.
интегралом, взятым по границе С в левом направлении, называется сумма интегралов, взятых по кривым Сх, С2, .. . (в левом относительно (о направлении):
$ Р^» y)dx—^P (х, у) dx-V ^ Р^У^ dx+ t.
сCiс2
Отметим следующую теорему:
Если замкнутая область со является суммой двух замкнутых областей top со2, не имеющих между собой общих внутренних точек, то, предположив, что соответствующие границы С, Сп С2 состоят из конечного числа простых замкнутых кривых (рис. 65), можем писать:
J Р^х, y^dx=^ Р (х, у) dx 4- J Р (х, jt) dx. ссхс2
Интегралы берутся в одинаковом направлении относительно области.
Последнее соотношение становится интуитивно ясным, если заметим, что когда какая-нибудь дуга содержится в С, то либо она содержится только в Cv либо только в С2 с тем же самым направлением, что и в С; если же, напротив, какая-нибудь дуга, не входя в С, входит в С1} то она обязательно входит также в С2, но с направлением, противоположным направлению в СР
Теорема (формула) Грина. Пусть нормальная область со определена неравенствами:
a<x<b, fiW <у
где ДСк) и f^(x)— непрерывные в [я, £] функции. Пусть задана функция Р^УУ определенная и непрерывная как внутри, так и на границе области ок Предположим, кроме того, что производная
дР„,
^ ограничена в замкнутой области (о и непрерывна внутри нее. Тогда имеет место соотношение
^x^dx-.^do,Сей^x^dx-.^do,Сей(1)(1)
^x^dx-.^do,
Сей
^x^dx-.^do,
Сей
(1)
(1)
где С—граница области со, а интеграл берется в левом направлении. Доказательство. Легко видеть (см. замечание 2 на стр. 390), что ьь
^Р(х, y}dx = $Р\х, fl{x}\dx—\jP[x, AU)]^(2)
Саа
а О)а
Так как
f ^dy = pljc» AU)] — PU> AU)] Д'1Я а<х<ь, fl W„
TO b
SS^d0 = j <p t*. A U)] - p U. A U)J) dx. (3) toa
Сравнивая (2) и (3), получим:
Р(л;, yydx =Р(л;, yydx =
Р(л;, yydx =
Р(л;, yydx =
Если предположить, что область со можно разбить на конечное число нормальных относительно оси ОХ областей фр о)2> ..., то формула (1) справедлива и в этом случае.
Действительно, обозначив через Cv С2, ... границы областей со^ со2, ..., мы по известной нам теореме (стр. 400) получим:
J Р Vx. y^dx = ^Р (х. у) dx + \р(х, y)dx+ ... сс,с.
Применяя только что доказанную теорему, найдем: tottoz
Следовательно, р^- ^dx=-^da- Ссо
При соответствующих предположениях относительно области <о и функции Q (а;, у, z^ поступая аналогично предыдущему, найдем: y^dy = ^§da.
Сto
Объединяя обе формулы, получим:
§Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = ^ ^—^V°‘ Сto
Эта формула содержит обе предыдущие как частные случаи (при Q=0, соответственно Р=0) и называется формулой Грина.
Пример. Применяя формулу Грина к интегралу
J (2х — 3j) dx-\-^x—y^dy, с
vne С означает единичную окружность, пробегаемую в левом направлении, получим:
Р^х» У) = 2х — 3у, Q (х, у) = х—у,ду 1дх е
Следовательно,
J (2х —-Зу) dx-\-^x—y^dy— ^ 4 da = 4л. Сto
Легко проверить этот результат, вычислив данный интеграл непосредственно.
Применения теоремы Грина. Теорема Грина является одной из основных теорем теории двойных интегралов. Ее применения особенно важны в математической физике.
Основное значение теоремы Грина заключается в том, что она позволяет криволинейный интеграл выразить через двойной, и наоборот.
Приведем здесь несколько непосредственных следствий.
Обозначив через С границу области (о, а через Л ее площадь и положив
Р^.у^у.^=1,
найдем:найдем:Положив жеПоложив же'ydx = —$5^ = —л- с*о'ydx = —$5^ = —л- с*ополучим:получим:Следовательно,Следовательно,J х dy = J J do — A.CcoJ х dy = J J do — A.Cco^x dy —у dx).^x dy —у dx).
найдем:
найдем:
Положив же
Положив же
'ydx = —$5^ = —л- с*о
'ydx = —$5^ = —л- с*о
получим:
получим:
Следовательно,
Следовательно,
J х dy = J J do — A.
Cco
J х dy = J J do — A.
Cco
^x dy —у dx).
^x dy —у dx).
Интегралы взяты в левом направлении.
Обозначим через to внутреннюю область простой замкнутой кривой С. Пусть функции Р^х, у) и Q(x, у) ограничены и непрерывны
внутри со и имеют там ограниченные и непрерывные частные произ- dP dQ п
водные и . Докажем следующую теорему:
Теорема 1. Для того чтобы для каждой замкнутой кривой С', лежащей внутри to, имело место соотношение
$ Р (^, у) dx + Q (х, ^) dy = О, с*
необходимо а достаточно, чтобы в каждой точке (х, у) области to выполнялось равенство
dlP_dQ dy dx *
О кривой С будем предполагать, что к ней применима теорема Грина.
Доказательство. Предположив, что
дР dQ dy ~dx '
получим по формуле Грина
У Р (х, у^ dx + Q (х, у> dy = jj* (§ _^ do = 0) С*(О*
что показывает достаточность условия.
Допустим теперь, что для каждой простой замкнутой кривой С* имеет место соотношение
$ Р kxt J) ^ + Q (^, У^ dy = 0. cz
По формуле Грина отсюда вытекает
Пусть утверждаемое в теореме равенство не выполняется, так что в некоторой точке (х0, j/0) области со имеем, например,
dQ (х0, t/р) дР (х0, уо) = а 0дхду*
dQ дР х
В силу непрерывности функции ^—^ найдется достаточно малый круг К с центром в точке (х0, ^0), в каждой точке которого выполняется неравенство
dQ_ дР^1_
дх ду > 2
Тогда по теореме об интегрировании неравенств (стр. 378)
ШдО_дР\ дх ду)ШдО_дР\ дх ду)do ^ ~ а | Кdo ^ ~ а | К00
ШдО_дР\ дх ду)
ШдО_дР\ дх ду)
do ^ ~ а | К
do ^ ~ а | К
0
0
(через |К| обозначена площадь круга А). Но это противоречит соотношению (1), верному для каждой области со', значит, и для круга А.
Аналогично поступаем при а < 0.
Замечание. Допустим,, что для каждой простой замкнутой кривой С. лежащей внутри со, имеем:
t у) dx^Q (х, у^ dy = 0.
При таком условии можно утверждать, что если любые две точки А и В области со соединить дугой АВ, лежащей в области со, то интеграл
$ Р 1А y)dx + Q (х, у) dy АВ
не зависит от дуги АВ, а зависит только от начальной точки А и конечной В. Другими словами, этот интеграл имеет одно и то же значение на всех дугах,
Рис. 66соединяющих точку А с точкой В.
Действительно, соединим точки А и В
двумя дугами АшВ и АпВ (рис. 66), не имеющими общих точек, кроме А и В.
Рассматривая замкнутую кривую АтВпА. имеем:
J Р(х, y)dx + Q(x, ^)rfy = 0, AmBnA
следовательно,
J Р^х, y^dx-VQ^x, y)dy + ^ Р^х, У-) dx + Q^x, у) dy = 0,
АтВВпА
так ЧГО
^ Р^х, y^dx-V-Q^x, y^dy= J Р (х, у) dx 4- Q (х, у) dy. (2) АтВАпВ
Допустим теперь, что дуги АтВ и АпВ имеют, кроме точек А и В, еще конечное число общих изолированных точек и общих дуг. Докажем, что формула (2) остается справедливой и в этом случае.
АтВАтВАР PQАР PQАпВАпВДействительно, обозначив через Р, Q, ...,/?, 5 по порядку общие изолированные точки и концы общих дуг (рис. 67), мы легко заметим, что в силу уже доказанного криволинейные интегралы, взятые по кускам АР, PQ, .. . дуги АтВ, соответственно равны интегралам, взятым по соответствующим кускам дуги АпВ. Следовательно,
АтВ
АтВ
АР PQ
АР PQ
АпВ
АпВ
Формула (2) справедлива также, когда дуги АтВ и АпВ имеют бесконечно много общих точек. Однако в этом случае доказательство трудное, и мы его опускаем.
Читатель легко заметит, что, и наоборот, из предположения, что интеграл
В(х, y^dx-VQ^x, y^dyав
не зависит от дуги АВ, а зависит лишь от начальной и конечной точек, следует, что для каждой замкнутой кривой С' имеем:
^Р^х. y^dx-VQ^x, y}dy^Q.с*
Допустим, как раньше, что со является внутренней областью простой замкнутой кривой С. Пусть функции Р^х, у^ и Q(x, у) непрерывны в (о и имеют в каждой точке о' непрерывные частные
дР dQ производные ^- и — .дР dQ производные ^- и — .
дР dQ производные ^- и — .
дР dQ производные ^- и — .
При этих условиях докажем следующую
теорему:
Теорема 2. Для того чтобы существовала определенная в со функция V^x, у), для которой функции Р(х^у) и Q(x, у) были бы частными производными» соответственно, по х и по у, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке области со выполнялось равенство
дР dQ ду дх *
Доказательство. Необходимость была нами доказана на стр. 199. Действительно, если
и | = ^’^тодР_ dW _dQду дх ду дх *
Для доказательства достаточности допустим, что в области со выполняется условие
dP^dQ ду дх *
В силу замечания на стр. 404 значение интеграла $ Pkx, ^)^+Q(*, y)dy
не зависит от дуги АВ, а зависит только от начальной точки А и конечной В.
Функцию У{х,У) мы получим следующим образом. Выберем в ® некоторую точку Л (х0, уоу Значение функции V (х, у) в произвольной точке В(х, у) области со мы определим, положив
V U, У) = $ Р {х, y)dx + Q kx, у) dy;V (х0, у^ = 0,
где АВ—произвольная дуга, соединяющая точки А и В. Для отыскания частных производных функции V(x, у) заметим, что если точка С области со имеет координаты (х-|-й,у), то
И(х + Л,у)= J P^y^dx-VQ^y^dy,
АВС
где дуга АВС состоит из дуги АВ и прямолинейного отрезка ВС, параллельного оси ОХ. Следовательно,
|/(х4-А,у)= $ Pdx + Qdy+ J Pdx-VQdy*^ вс
*) Для краткости пишем Р и Q вместо Р (х, у) и Q (х, у).
и
У1±МЫЦы>-1(рйх+<з<1у.
ВС
Так как
x*h
^Pdx + Qdy«= ^Pdx. всх
то
f^±/Lti^ = ^ Р(Х’ J) dX'
X
Отсюда по теореме о среднем значении (стр. 309)
Принимая во внимание непрерывность функции Р^х, у^ получим:
Аналогично доказывается, что
Замечание 1. Можно показать, что в условиях предыдущей теоремы функция V (х, у) определена с точностью до произвольной постоянной. Достаточно, очевидно, доказать, что если функция V (х, у) удовлетворяет внутри области со, ограниченной кривой С, условиям:
то
V (х, у^ = const.
Действительно, соединив любые две точки А, В области (о простой дугой, целиком расположенной в со, получим:
atдх J х ду ' х '’
где х=/^, <у = ф(/) —нормальное представление дуги АВ.
Таким образом,
^[/(0, Ф (0] ^ const.
Отсюда следует, что значение функции V (х, jz) в точке А равно ее значению в точке В.
Замечание 2. Последние результаты аналогичны теореме о существовании первообразной функции для непрерывной функции
одной переменной. Действительно, мы показали, что при определенных условиях существует функция, имеющая заданные производные, и что две такие функции отличаются между собой лишь на постоянную. Примеры.
Функции
Р (а:, у) = х2 +у, Q (л-, у) = 0
не удовлетворяют условию нашей теоремы, так как
др дудр ду= 1,= 1,dQдхdQдх= 0.= 0.
др ду
др ду
= 1,
= 1,
dQ
дх
dQ
дх
= 0.
= 0.
Как мы уже убедились (см. стр. 394, пример 2), криволинейный интеграл J Р(х, у) dx + Q (л;, у) dy может принимать разные значения для разных кривых, соединяющих те же самые* две точки.
Для
р (АГ, у^ = х + ytQ (х, у^ = х —у^
имеем:
dP_dQ_ 1 ду дх
Следовательно, существует функция V^y^ для которой
— = х4-у,— = х —у2.
дх 1ду
Из первого уравнения следует
V^x» ^ =-1 хг 4-ху 4-ф (^),
где ф (у) — некоторая функция переменной у. Определим ее при помощи второго уравнения:
^- = х + ф ^=х—у\ откуда
<р'Ы = — Л q>W=—у^8+с,
где С—произвольная постоянная.
Окончательно,
vu> У) = ^*а4-ху—^-у3 4-е.
ГЛАВА XXII
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ
Отображения. Если каждой точке Л некоторого множества Е^ поставлена в соответствие какая-то точка В другого множества Ev причем каждая точка множества Ег соответствует по крайней мере одной точке множества Е, то говорят, что этим определено однозначное отображение множества Е на множество Ev
Множество Ех называют образом множества Е. Может случиться, что это множество частично или полностью содержится во множестве Е, или совпадает с ним.
Прим еры.
Пусть множеством Е будет круг радиуса г с центром в точке О. Каждой точке А множества Е поставим в соответствие середину В отрезка ОА. Образом множества Е будет концентрический
1 с первым круг радиуса -^ г.
Пусть Е — произвольный треугольник. Каждой точке множества Е поставим в соответствие ее проекцию на ось ОХ. Образом множества Е будет отрезок, расположенный на оси ОХ.
Если точке А с координатами х, у соответствует точка В с координатами х', у', то отображение определяется заданием двух функций x'=f{x, у), у' = ^х, у),(1)
определенных на множестве Е, которые дают возможность по координатам точки А найти координаты точки В.
Примеры.
Если в примере 1 центр О имеет координаты р. q, то отображение определится функциями
,__х + рr y + q
Отображение в примере 2 определяется функциями х' = х, у' = 0.
Каждой точке Л(х, J) множества Е поставим в соответствие точку B^x\yr)t координаты которой определяются функциями:
х* = х cos а —у sin а,у' = х sin а + у cos а.
Образом является множество, которое получим, повернув множество Е на угол а вокруг начала координат.
Непрерывные отображения. Взаимнооднозначные отображения. Если функции (1), определяющие отображение, являются непрерывными, то отображение также называется непрерывным.
Отображения, приведенные в примерах 1—5, являются непрерывными.
Если двум разным точкам множества Е соответствуют всегда две разные точки множества Ev то такое отображение называется взаимно однозначным ^од но-одпозначным).
В примерах 1 и 5 отображения являются взаимно однозначными. В примере 2 имеем отображение не взаимно однозначное.
Пусть множество Е взаимно однозначно отображается на множестве Ev Если А— произвольная точка множества Е, а В — соответствующая точка множества Ev то отображение, которое каждой точке В множества Ег ставит в соответствие ту точку А множества Е, образом которой является точка В, называется обратным отображением.
Чтобы найти функции, определяющие обратное отображение, надо решить уравнения (1) относительно х, у.
Если отображение множества Е на множество Ех является взаимно однозначным и непрерывным и если обратное отображение также непрерывно, то говорят, что отображение множества Е на множество Ег является взаимно непрерывным.
Для краткости говорят часто, что множество Ег является непрерывным (взаимно однозначным) образом множества Е.
Примеры.
Обратное отображение для примера 1 (см. также пример 3) определяется функциями:
х = 2х'—р, у = 2у'—q.
Обратное отображение для примера 5 определяется функциями:
х = х* cos а + у' sina,у =у' cos a — х' sin a.
Отображения, приведенные в примерах 1 и 5, являются взаимно непрерывными.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ определитель (якобиан)411
Приведем теперь несколько теорем о непрерывных и взаимно однозначных отображениях (доказательства опускаем).
Теорема 1. Непрерывное взаимно однозначное отображение простой дуги (замкнутой кривой) является также простой дугой (замкнутой кривой). Такое отображение взаимно непрерывно.
Теорема 2. Непрерывным и взаимно однозначным образом области также является область.
Теорема 3. Непрерывным и взаимно однозначным образом простой замкнутой кривой С и области со, лежащей внутри этой кривой, являются простая замкнутая кривая С и область о', лежащая внутри нее. При этом отображении образом кривой С будет кривая С, а образом области со— область о/. Такое отображение взаимно непрерывно.
Функциональный определитель (якобиан). Если функции
х' =Лх, у),/ = ф(х, у),
определенные в окрестности (х, у), имеют в этой точке частные производные первого порядка, то выражение
/;% k» ^) -f4 kx, ^) <₽; к*» ^>=I ^^ ^' ^
88|фхи>^) Vх’ у)
называется функциональным определителем или якобианом этих функций. Якобиан обозначается символом:
D(x,y) ИЛИ Dtx.yy
Пример 1. Если
х = г cos ф, у = г sin ф,
то
D (х, у) _дхду,дхду_
D (г, ф) дг дф 5ф дг Ге
Докажем теперь следующую теорему: Теорема. Если функции
x'—fkx,yV y' = ^kx,y\
непрерывные в области (о, имеют непрерывные частные производные, то для каждой точки (х, у), в которой якобиан ^^* ^ отличен от нуля, можно подобрать такую ее окрестность, что отображение, определяемое этими функциями, будет в выбранной окрестности взаимно однозначным*).
Доказательство. Пусть в точке Л(х0, у0) якобиан отличен от нуля, т. е.
Гх (^о- Jo) Ф^о. Jo) —fu ^ Jo) Фх <хо. Jo) ¥= О- (1) Допустим, "вопреки утверждению теоремы, что в каждой окрестности точки А найдутся две разные точки Af (х, у). В' (x + &, у + &), для которых выполняются соотношения
/(х + А, j + 6)=/(^, ^),ф(* + А, _у4-А) = ф(х, J). (2)
Возьмем последовательность кругов с центрами в точке Л(х0, у0) и с радиусами {г„}» Стремящимися к нулю. По предположению, в каждом из этих кругов найдутся две разные точки: Л^{х„, уп} и ®nkxn"Vhn1 Jn+^„}, для которых имеем:
/U» + A„, J„+ *„)=/(*„. J„).
Ф^л + А^ J„ + А„) = <р (х„, ynV
По теореме о среднем значении имеем:
/ кхп + А„, у„ + А„) -/ (х„, у^ = hnfx (£„, т)„) + А„/; (g„, Г)„) = о, ф(^4-а„, jn+A„)—ф(хп, у„)=а„фх(^, г);)+а„ф;^;, о-о
(см. стр. 212), где
^=^+^А»> nn=jn+v„. g;=xn+»;A„. ii;=jn+^?„, 0<0„ < 1, 0<йп < 1.
Поскольку hn и кп не являются одновременно нулями, то из последней однородной системы уравнений следует, что
f/U п^ф^Х- тО~Гу&„. пЛфЖ. п„) = о. (3)
Так как
Нт г„ = 0,
п-*- ОО ТО
lira х„ = х0,Пт у„=ув,
Пт А„ = 0,Пт А„ = 0.
/Х-*00П-Х»
Переходя к пределу и учитывая (3) и предположенную непрерывность частных производных, получим:
fx <х0' Jo) Ф» (хо. Jo) —4 (^о, Jo) Ф, 1х<р Jo) = °-
Но это противоречит соотношению (1). Следовательно, существует такая окрестность точки (х0, j0), в которой отображение взаимно однозначно.
Пример 2. Пусть дана система уравнений
yV у' = ф(х, у),
причем функции /(х, у), ф(х, у) непрерывны и имеют непрерывные частные производные в окрестности точки (х0, yQ\ в которой якобиан отличен от нуля, и пусть-
/(•^0- Л) = «, <р(х0, Jo) = ».
В силу последней теоремы существует круг К с центром в точке (х0, у0), в котором отображение, определенное предыдущими уравнениями, является взаимно однозначным и непрерывным. По тео- ремеЗ (стр. 411) образом круга/Сбудут некоторая замкнутая кривая С и область со, лежащая внутри этой кривой, к которой, в частности, принадлежит точка (а, 6). Отображение является, кроме того, взаимно непрерывным. Таким образом, если (ар Ь^ является произвольной точкой внутри кривой С, то внутри круга К существует только одна точка, удовлетворяющая уравнениям
У = яР <p(x, y = »v
Эта точка меняется непрерывно вместе с (av b^.
Замечание 1. Если якобиан отличен от нуля в каждой тбчке области с», то отображение в некоторой окрестности каждой точки этой области является взаимно однозначным. Может, однако, случиться, что отображение всей области не является взаимно однозначным.
Возьмем, например, отображение, определяемое функциями: x' = e*cosy, y'^e^siny ( — 00 < х, у < + оо).
Якобиан этих функций равен е2* и, следовательно, всегда отличен от нуля. Несмотря йа это, для х = 0, у = 0 и х = 0, у = 2л мы получим х'=1, у* = 0, так что отображение не является взаимно однозначным. С другой стороны, если в какой-нибудь точке якобиан обращается в нуль, то, несмотря на это, отображение в окрестности этой точки может оказаться взаимно однозначным. Например, отображение, определяемое функциями
х' = х3, у'=у3( — оо < х, у < + оо),(1)
является взаимно однозначным; обратное отображение определяется функциями
х = Vх*' y^VУ•
Якобиан же отображения (1) равен 9г2у2 и, следовательно, равен нулю при х = 0 или у —0.
Замечание 2. Допустим, что функции
*'=/(*, У, у = <р(х, ^
непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в связной области (см. стр. 190). Если предположить, что отображение, определенное этими функциями, является взаимно однозначным, то можно доказать, что якобиан всюду ^0 или всюду ^0.
Доказательство опускаем.
Примеры.
Якобиан линейного отображения
х’ = агх + Ьгу + съу* = а^х + Ь^у + с2
равен а^— «2^. Если он отличен от нуля, то, как известно из теории линейных уравнений, эту систему можно разрешить относительно х. у, причем получаются уравнения аналогичного вида. Мы имеем здесь, таким образом, непрерывное и взаимно однозначное отображение всей плоскости ОХУ на всю плоскость О'Х' К'. Если же якобиан (который в этом примере не содержит переменных х, у) равен нулю, то, как известно из аналитической геометрии, образом плоскости ОХУ будет прямая или точка. В этом случае отображение является непрерывным, но не взаимно однозначным.
Введение полярных координат
х = г cos ср, <у = г5Шф,
можно рассматривать как отображение плоскости переменных г, ф на плоскость ОХУ. Якобиан этого отображения равен, как мы уже знаем, г (стр. 411). При г = 0 и произвольном ф получим х = 0, у = 0, т. е. все точки прямой г = 0 переходят в начало координат плоскости ОХУ. В окрестности точки (г, ф), у которой г=/=0, отображение является взаимно однозначным, а обратное отображение дается формулами:
r = Vx2+y^, Ф = arcsin = arccos _ х - ,
причем выбор знака у корня, а также значения угла ф однозначно определены по непрерывности отображения.
Так как точкам (г, ф) и (г, ф + 2лл), где л— произвольное целое число, отвечает одна и та же точка плоскости ОХУ, то каждая точка этой плоскости является образом бесконечного множества точек плоскости (г, ф).
В приложениях обычно принимается г ^ 0, а угол ф часто подчиняют условию 0^ф<2л. Легко убедиться, что взаимно однозначным и непрерывным образом внутренней области прямоугольника, определенного неравенствами
О^г^а, 0^ф^2л,
является область, полученная из внутренности круга ^^^^а2 путем выбрасывания из нее отрезка оси OX: Q^x^a, у = 0.
Отображение
xr = x-Vy. у' = ху
является непрерывным, но не взаимно однозначным для всей плосявляется непрерывным, но не взаимно однозначным для всей плоскости OXY. Действительно, точкам ^х, у) и (.у, х), расположенным симметрично относительно прямой v = х и вообще разным, соответствует одна и та же точка ^х\ у ). Функциональный определителькости OXY. Действительно, точкам ^х, у) и (.у, х), расположенным симметрично относительно прямой v = х и вообще разным, соответствует одна и та же точка ^х\ у ). Функциональный определительравен здесьравен здесь1 1у X1 1у Xу — х. Чтобы приу — х. Чтобы призаметим, что длязаметим, что длянями квадратного уравнениянями квадратного уравнения— х—у и, следовательно, равен нулю на прямой этом отображении найти образ плоскости OXY, данной точки (х', у^ числа xt у являются кор— х—у и, следовательно, равен нулю на прямой этом отображении найти образ плоскости OXY, данной точки (х', у^ числа xt у являются кор
является непрерывным, но не взаимно однозначным для всей плос
является непрерывным, но не взаимно однозначным для всей плос
кости OXY. Действительно, точкам ^х, у) и (.у, х), расположенным симметрично относительно прямой v = х и вообще разным, соответствует одна и та же точка ^х\ у ). Функциональный определитель
кости OXY. Действительно, точкам ^х, у) и (.у, х), расположенным симметрично относительно прямой v = х и вообще разным, соответствует одна и та же точка ^х\ у ). Функциональный определитель
равен здесь
равен здесь
1 1
у X
1 1
у X
у — х. Чтобы при
у — х. Чтобы при
заметим, что для
заметим, что для
нями квадратного уравнения
нями квадратного уравнения
— х—у и, следовательно, равен нулю на прямой этом отображении найти образ плоскости OXY, данной точки (х', у^ числа xt у являются кор
— х—у и, следовательно, равен нулю на прямой этом отображении найти образ плоскости OXY, данной точки (х', у^ числа xt у являются кор
z^—x'z+y' = 0.
Как известно, это уравнение имеет тогда и только тогда действительные корни, когда х^—4у'^0. Следовательно, образом плоскости OXY является множество точек ^х\ у'), расположенных под /х'2
параболой у = — или на самой параболе.
По теореме стр. 411 наше отображение является взаимно однозначным в некоторой окрестности каждой точки (х0, у0^ не лежащей на прямой у = х. Действительно, решив относительно xt у уравнения, определяющие отображение, найдем:
х'х* — pS2 — 4^
илиили~2У —2
или
или
х’— Vх'2 — 4у'х* + V*x'2 — 4у*
2» У— 2
Для некоторой окрестности точки (х0, у^ имеет место либо первая, либо вторая из этих возможностей, в зависимости от того, будет ли х0>уй или же хй<у0.
Если, напротив, х^—у^ то отображение не будет взаимно однозначным ни в одной окрестности точки (х0, ^у0), так как в каждой окрестности можно найти пару точек, симметричных относительно прямой у — х, образами которых является одна и та же точка плоскости О'^'У".
Если же наше отображение является взаимно однозначным в некоторой связной области (о, то эта область не может содержать ни одной точки прямой у = х и, следовательно, расположена целиком либо выше, либо ниже этой прямой. Отсюда следует, что якобиан имеет в области постоянный знак (см. замечание 2, стр. 413—414).
Задачи
Доказать, что при отображении х'=х2—t/2,у' = 2ху
образом плоскости OXY является вся плоскость O'X'Y*. Это отображение не взаимно однозначно ни в какой окрестности точки (0, 0)
Доказать, что при отображении х'=хе y'—x^y^ образом плоскости 0XY будет множество точек плоскости ОГХ'У\ расположенных выше параболы / =V2 и на ней самой. Отображение не взаимно однозначно в окрестностях точек оси ОХ.
Замена переменных в двойных интегралах. Пусть со и со'— регулярные области, границами которых служат соответственно простые замкнутые кривые С и С. Допустим, что функции
х'=Дх,у\ / = ф(>;, у(а)
определены и непрерывны вместе со своими первыми частными производными в некоторой замкнутой области D, содержащей в своей внутренней части область со. Пусть Р(,х\ у') будет непрерывной функцией в со'. Если мы хотим в интеграле1
^Р^х', y'^dx'dy'
ф'
ввести новые переменные х, у, связанные с переменными х\ у' уравнениями (а), то для этого применяется формула
JJР^х', у') dx' dy = е jj Р[/(х, у^ ср ^х, у)] щ”| dxdy, (1)
ФУф
где в = ± 1.
Формула (I) справедлива при следующих условиях:
Функция Р^х\ у') определена и непрерывна в некоторой замкнутой области D\ содержащей не только область со', но и весь образ области со при отображении (а).
Функции / и ср отображают взаимно однозначно кривую С на кривую С.
Если точка пробегает кривую С в левом направлении, то соответствующая точка кривой С пробегает ее по условию 2 в левом или правом направлении. В первом случае будет е=1, во втором е= — 1. Таким образом, е не зависит от функции Р^х\ у'), а зависит лишь от отображения, определенного функциями / и <р.
Замечание Из условия 1 следует существование интеграла в правой части равенства (I). О взаимной однозначности отображе-
ния внутренней области, ограниченной кривой С, ничего не предполагается.
Доказательство мы приведем лишь при выполнении некоторых дополнительных условий, а именно, предположим, что:
Кривая С имеет нормальное представление, удовлетворяющее условиям, приведенным на стр. 396.
Область G) (соответственно, со') можно разбить на конечное число областей, нормальных относительно каждой из осей OX. OY (соответственно, О’X , (УК').
Функции f^x. у) и ф(х, у) имеют частные производные второго порядка, непрерывные в со.
Существует функция F^x^y*^ непрерывная в О' и удовлетворяющая соотношению
F*v /) = P(x', /)(1)
в области со'*).
По теореме Грина имеем*
F^x', y’^dx'=—^^dx'dy’=—^Р^х*. y'^dx'dy'. (2)
ОТ<0'
Криволинейный интеграл берется в левом направлении по кривой С\ Пусть функции
X = а (О, У = Р (О (#0 < * < М
будут нормальным представлением кривой С, согласованным с левым направлением. Тогда в силу условия 2 функции
х'=/^^, 0(0] =«(*)• / = ф[«(0. Р(Л] = ®(0(3)
(#0 ^ # ^ 0)
будут нормальным представлёнием кривой С'.
Так как функции /, ср имеют непрерывные частные производные, а, по предположению, кривая С удовлетворяет условию а), то можно считать, что интервал [f0, fj может быть разбит на конечное число интервалов, в которых функции а(^), р (/) имеют непрерывные производные (на концах интервалов производные односторонние), и следовательно, функции и^ и у(/) имеют также в этих интервалах непрерывные производные (на концах односторонние). В силу (3) имеем:
J F (х', у^ dx' = в J F^u (0, v (f)] и' (0 dt.(4)
где в = ± 1 в зависимости от того, будет ли при обходе кривой С
♦) Требование г) вытекает из других условий теоремы. (Прим редЛ
в левом направлении соответствующий обход кривой С' совершаться также в левом направлении или в противоположном (см. стр. 397).
Из соотношения (3) получим (за исключением конечного числа
иЧ^/ДаДЦ, ₽(0]а'(П+Л[аЮ, Р <0] Р'(О-
Отсюда и из (4) следует
$ F^x', y')dx’ = е ( f[e(0. ®(0]Л [«(/), ₽ (01 ®' WdiA- с't.
+ 8 $ F [«(О, » W] Л [а (О, ₽ (01 ₽' (О dt.
Легко заметить, что интегралы в правой части этого равенства равны соответственно интегралам
$ F [/ кх, у), ф кх, у)] 4 (х, у) dx,
^FV^x, у), ф (х, у)] /^ (х, у) dy, С
причем оба интеграла берутся в левом направлении. Опустив для краткости переменные xt yt можно, следовательно, записать:,
J F (х', у') dx' = t J F (f, Ф) /; dx + e J F (/, Ф) f/y. (5) O'cc
Правую часть равенства (5) преобразуем по формуле Грина.
Получим:
г . ,, ее 4 d(F(f,v)/a d[F(f, <р)41 I . J
f F (x’, /) to' = = jj { Jj-i + —5—L) ^ d>.
C*<0
Ho
^^й-=[^'(/, ф)Л+^(/, ^^/xa-fv, ф)/;у,
^УУ»1^^;, (/, q.VxA-FV (/. <p) ^V’yA-F^ Ф)А».
Поэтому
^f^, у» to- - -«yj f; v, Ф) -^r
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ419
Отсюда в силу (1) и (2) получаем:
У Р^х', yW dy' = ^ P[f^, У), Ф(х, у)] %^-dxdy.
(й*(ОX » У)
Замечание 1. Если граница области со' состоит из нескольких замкнутых кривых Сп С2, ..., Ст то предыдущая теорема остается справедливой лишь в случае, когда граница области со состоит из такого же числа замкнутых кривых С1? С2, ..., Сп1 которые с помощью функций /, ф отображаются, соответственно, взаимно однозначно на кривые Cv С2) ... Следует еще предположить, что если точка описывает кривые Ср С2, ... в левом направлении, то соответствующая точка описывает кривые Си С2, ..., Сп или все время в левом направлении, или все время в правом.
Доказательство проводится аналогично предыдущему, если воспользоваться общей теоремой Грина (стр. 402).
Замечание 2. Допустим, что якобиан ^^ ^у не меняет своего знака в области со. По формуле (I)
У Р^х', у') dx' dy' = jj Р(/, ф) [е -Щ^] dx dy. (6) со"О)
Здесь е = ± 1 и зависит только от / и ф, но не зависит от Р. Положив Р^х', j') = 1, получим:
to'(О
ПосколькуD Ф)ЦИЯ 8 У- \-ПосколькуD Ф)ЦИЯ 8 У- \-левая часть этого равенства положительна, то функ- должна быть неотрицательна, ибо, по предположению,
Поскольку
D Ф)
ЦИЯ 8 У- \-
Поскольку
D Ф)
ЦИЯ 8 У- \-
якобиан не меняет своего знака, а так как 8 = ±1, то
D(x,y) D (х, у) Г
Следовательно, в этом случае по формуле (6) найдем:
У РКх\ у’) dx' dy' = у Р(/, ф) | ^§ | dx dy. (II) с»'со
Замечание 3. Можно доказать, что формула (II) остается справедливой и тогда, когда выполняются следующие условия:
области cd и со' регулярны;
функции /(х, ^) и ф(х, ^у) отображают взаимно однозначно внутреннюю часть области со на всю внутреннюю часть области ъ/.
В этом случае не обязательно предполагать, что на границе отображение взаимно однозначно.
Примеры.
Вычислить интеграл ^ (х2-^y2}dxdy по круговому сектору to, ограниченному осью ОХ, прямой у = xtga(0 < а < 2л) и окружностью х2+^2=1.
Положим
х = г cos ф, у = г sin ф.•
Эти уравнения отображают взаимно однозначно внутренность прямоугольника 0(0^г^ 1, О^ф^а) плоскости (г, ф) на внутренность сектора со, причем якобиан
Р^у)
D (г, <р)
имеет постоянный знак._.
Следовательно,
JJ (x2+j2)dx dy = J J (r2cos2V4-r2sin2V)r^ coD
a i
= j dtp j r»dr = -^.-
о 0
Для вычисления интеграла по всему единичному кругу мы не смогли бы воспользоваться предыдущим отображением, так как оно не взаимно однозначно ни в какой окрестности точки г = 0. Однако поскольку полученный результат верен для любого a < 2л, то, переходя к пределу при a—>2л, получим для интеграла по всему л кругу значение
Так как это рассуждение годится для любой непрерывной функции, то при интегрировании по всему единичному кругу можно перейти к полярным координатам, хотя условия нашей теоремы здесь не выполняются.
Это, впрочем, следует также из замечания 3 и свойства нашего отображения (см. пример 4, стр. 414).. :
Вычислить объем эллипсоида
Так как эллипсоид симметричен относительно плоскости ОХУ, то
У=2ЛС dxdy,
причем областью интегрирования со служит эллипс
£ । £ _ 1 а2^2 -
Положим х—аи, y^bv. Легко проверить, что эти формулы определяют взаимно однозначное отображение единичного круга К плоскости OUV на эллипс ш. Поскольку
то получим:то получим:^4 = а»>0,D (и, v)’^4 = а»>0,D (и, v)’
то получим:
то получим:
^4 = а»>0,
D (и, v)’
^4 = а»>0,
D (и, v)’
Л V1-5~S dxdy^^VX-^-^abdudv. toк
Введя полярные координаты н = гсо5ф, у = гзтф (см. предыдущий пример), найдем: 2311
JJK1— dud.'u^ ^d^) Jr К1 — ^^г ^у л.
Ко о
ОкончательноОкончательно,,4,У—у Tiabc.,,4,У—у Tiabc.
Окончательно
Окончательно
,,4,
У—у Tiabc.
,,4,
У—у Tiabc.
Обозначим через /(я, У, ф(х, у две функции, непрерывные и обладающие непрерывными частными производными в окрестности точки (х0, jz0). Предположим, кроме того, что их якобиан
D (Ь Ф)D (х, у)отличен от нуля в этой точке.. Отображение, определяемое уравнениями
V = /(a;, у, / = ф(х,у, является взаимно однозначным в некоторой окрестности точки ^x0,y0Y Таким образом, если построить круг Кг достаточно малого радиуса г с центром в точке ^х0> у0^ то образом этого круга будет некоторая замкнутая кривая Кг вместе с областью, лежащей внутри этой кривой. Площадь, ограниченная этой кривой, равца интегралу
Обозначив через тп Мг наименьшее, соответственно, наибольшее значения якобиана в круге КИ получим по теореме 4 на стр. 378
т. е.т. е.
т. е.
т. е.
/”Г^|ХГ|И о£у) dxdN^^Кг
Если радиус г стремится к нулю, то числа тг, Мг в силу непрерывности якобиана стремятся к значению якобиана в точке (^0-Jo)- Поэтому
D U. Ф)D (х, у)D U. Ф)D (х, у)dxdy =dxdy =D U. Ф)D (х, у)D U. Ф)D (х, у)|х=х0|х=х0У=УоУ=Уо
D U. Ф)
D (х, у)
D U. Ф)
D (х, у)
dxdy =
dxdy =
D U. Ф)
D (х, у)
D U. Ф)
D (х, у)
|х=х0
|х=х0
У=Уо
У=Уо
Помножив обе части на е, получим:
Нт К/_с О(ЛФ) I
Д|*г1 О(х,у) |х=х,'
У=Уо
Мы видим, таким образом, что абсолютная величина якобиана равна пределу отношения |^| к |^| и якобиан будет положительным или отрицательным, в зависимости от того, сохраняет ли отображение направление обхода или меняет его. Мы имеем здесь некоторую аналогию с известными свойствами производной функции одной переменной.
Задачи
При помощи использованных в предыдущих примерах замен переменных вычислить:
Объем части эллипсоида
*2 । #2 i 22.
55-+^ + ? = 1.
расположенной в первом октанте между плоскостями х = 0, у = 0, 2 — 0 и
X , у .
ПЛОСКОСТЬЮ а * b v=l лаЬс (5уТ- 4).
Объем тела, вырезанного из шара х2 + у2 + г2 = г2 , круговым цилиндром х2 + уа = а2(а>г).
4-
Г=~л [г3-(г2-а2) 2 ).
Координаты центра тяжести (см. стр. 386, задачу 6) четверти эллипса
у2 »2
—= 1.
расположенной в первом квадранте: g _ 4а_^_
ё-3л’Т|-Зл1
Доказать с помощью замены переменных, что отображение x'=V"y, у' = — 2хУ"у, взаимно однозначное для у > 0, обладает тем свойством, что образом произвольной замкнутой области плоскости OXY (расположенной над осью ОХ) является замкнутая область с той же самой площадью.
ГЛАВА XXIII
МНОГОКРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ
Тройной интеграл. Пусть D — множество точек (х, jf, г) в пространстве OXYZ, удовлетворяющих неравенствам:
а^х^а^ Ь^у^Ь', с^г^с'.
Очевидно, D является прямоугольным параллелепипедом с объемом т = (а — аХ^^_ ™^) ^с' ~~ с) и диагональю
|/(й'_О)2 + (^_А)2 _|_(с'_с)2
Разобьем D на конечное число прямоугольных параллелепипедов с объемами Дтх, Ат2, ...). Множество этих прямоугольных параллелепипедов будем называть разбиением, 6. Через |6| будем обозначать длину наибольшей диагонали параллелепипедов Атх, Дт2, . ..
Последовательность разбиений будем называть нормальной, если
lim | S„ | = 0. tl-*CR
Допустим, что в прямоугольном параллелепипеде D определена ограниченная функция /(х, у, г). Образуем произвольное разбиение 6 и выберем произвольным образом в каждом параллелепипеде, входящем в состав разбиения 6, по одной точке. Обозначим координаты выбранных точек через (|х, т|х, £х), (g2, т]2, £2), ... и образуем сумму:
A=f^v Пр U Атх+Ж> П2, С2) Ат2+ ...
Если для каждой нормальной последовательности разбиений {6„} соответствующая последовательность сумм {Ли} имеет предел, то говорят, что функция /(х, у, г) интегрируема в D. Можно доказать (как для обыкновенного интеграла), что в этом случае функция /(х, j/, £) ограничена в D, а последовательности {Л^} стремят-
ся к общему пределу, который называется тройным интегралом функции f(x,y, z) в прямоугольном параллелепипеде D. Обозначается он символом
И^^^*z^dT или И^^’у’z)dxdydz-D
Многократный интеграл. Пусть D есть множество точек ^х, Уч 2, t) четырехмерного пространства, удовлетворяющих неравенствам:
а^х^а', Ь^у^У, с^г^У, d^t^dY
Множество D называют интервалом четырехмерного пространства (стр. 227).
В качестве меры этого интервала (которую называют также объемом) принимают число
т = (а' — а) Ц/ ~Ь} ^с —с) ^dx — dY
Диагональю интервала D называют число
/ = /(а' - а)2 + (^ — А)2 + (с' - с)2 4- (d' — d)2.
Разбив интервал D на конечное число интервалов с мерами Дтр Дт2, ..., получим разбиение 6. Наибольшую диагональ интервалов, входящих в разбиение 6, обозначим через |6|. Последовательность разбиений {6Л} называется нормальной, если
Нт |6J = 0.
Пусть функция /(х, у, z, i) определена в интервале D. Выберем в каждом интервале Дт15 Дт2, ... произвольным образом по одной точке с координатами (^, т^, л, t^ (g2, т]2, £2, /2), ... и образуем сумму
А-Д^, 4v Cv №-№ т)2, U /2)Дт2+...
Если для каждой нормальной последовательности разбиений {6^} соответствующая последовательность сумм {Ли} имеет предел, то говорят, что функция /(х, у, z, /) интегрируема в интервале D. Общий предел последовательностей {Лп} называется четырехкратным интегралом функции f(xi у, z, /) в интервале D. Он обозначается символом
Ш$^х’ У'г' ^dT или $^$/(^ У» 2> t)dxdydzdt. DО
Аналогично определяется многократный интеграл в пространстве любого числа измерений.
Условия интегрируемости. Теоремы 1, 2 (п. 2, стр. 368) остаются справедливыми также для тройных и многократных интегралов. В теореме 1 за область D следует принять прямоугольный параллелепипед, соответственно интервал. Доказательства этих теорем аналогичны. В теорему 2 надлежит внести следующие изменения. В-случае тройного интеграла предполагаем, что точки разрыва подынтегральной функции расположены на конечном числе поверхностей, являющихся геометрическими образами непрерывных функций вида•
2 = /(х, j) либо x = ^^yt zy либо у = ф(х, zy
В случае четырехкратного интеграла предполагаем, что точки разрыва лежат на конечном числе многообразий, являющихся геометрическими образами непрерывных функций вида / = f(x, у, z) либо х = ф(у, z, /) и т. д. Аналогичные изменения следует внести при большем числе измерений.
Многократный интеграл как повторный.
Теорема. Если функция f(x, у, 2) непрерывна в прямоугольном параллелепипеде D{a^x^a\ b $^.у ^.Ь', с ^.z^c'y то
а' Ь' с'
И^^’ У’ г^г=ПИ5 у* ^) ^) ^1 Dа b с
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы п. 3*(стр. 369).
Аналогичная теорема имеет место для многократных интегралов.
Замечание. Можно доказать более общую теорему. Допустим, что функция /^х, yt z) интегрируема в D и что для каждой пары значений х, у функция Дх, у, zy рассматриваемая как функция одной лишь переменной 2, интегрируема. При таких условиях можно утверждать, что: с*
F^. /) = $/(х, у, z) dz является интегрируемой функцией в с
прямоугольнике Dr (а ^а', b ^у^Ь'у
с*
УИ^<^’ у- {^/(^ У» 2) ^} daDD' с
Пример. Вычислить‘интеграл ^^ (х^З^Н-2^) ^т п0 прямо-
D
угольному параллелепипеду D, определенному неравенствами О^х^я, О^у^Ь, О^г^с.
многократный интеграл по области427
Получим:
а b с
Ш(х2+^+z^dx=И И 5 ^2+^2+г2> ^} ^] йх=
Dооо
а bа
= J [J (сх2 + £У2 + у) ^j] dx = у рсх2 + |- с + ^yj dx = 0 0о
_«*5+«**+*?_*
Многократный интеграл по области. Пусть со—ограниченная замкнутая область трехмерного пространства (см. стр. 226).
Допустим, что функция f^x, у, z^ определена и ограничена в области со. Пусть D — произвольный прямой параллелепипед
ta^x^a', Ь^у^Ь' c^z^c'), содержащий внутри себя область со. Определим в D новую функцию F^x, У^ 2), положив
pix 2\ — ^f^x' У' ^ в точках Vх. У1 2), принадлежащих со;
X’ ^’ /| q в остальных точках параллелепипеда D.
Будем говорить, что функция /(х, у, z) интегрируема в со, если FUi У, г) интегрируема в D. Тройным интегралом функции / (х, у, г) по области со назовем значение интеграла ^J ^ F (х, у, г) dx.
D
Тройной интеграл по области со будем обозначать как раньше, т. е. символом
Ш/(^ У’ ^dx или $И/^ у, z)dxdydz. (Оto
Таким образом, по определению,
И$/^- у»z)^-SSS^ У’ z^dx-(ОD
Как легко проверить, для тройного интеграла имеет место замечание, аналогичное замечанию на стр. 374.
Замкнутую область со назовем регулярной, если ее граница состоит из конечного числа непрерывных поверхностей, которые можно представить в одном из следующих видов z=f^x, у\ у = ^^х, z), <=Ш zy
Читатель легко проверит, что теоремы 1 и 2 (стр. 374—375) верны также для тройных интегралов (при соответствующих изменениях).
Объем замкнутой регулярной области со определяется формулой
Такие же определение и теоремы имеют место для любых многократных интегралов.
Читатель легко сформулирует все теоремы пп. 5 и 5а (стр. 377— 378) для многократных интегралов. Доказательства аналогичны.
За среднее значение функции /(х, у, z) в области со мы примем величину
(О
Многократный интеграл по области как повторный. Пусть со1 — регулярная область в плоскости ОЛУ, а со — регулярная область в трехмерном пространстве, определенная следующим образом: область со состоит из всех точек (х, у, z^ для которых точка (х, у) принадлежит сох, a z удовлетворяет неравенствам
Ф1С*. >) С г < Фа (*, У).
где ф^х, у^ и ф2 (х, у) — непрерывные функции, определенные в <оР Такую область будем называть нормальной относительно плоскости OXY. Область со ограничена поверхностями z = фг (х, у), z = ф2 ^х,у\ и боковой поверхностью цилиндра с основанием cov образующие которого параллельны оси OZ. Пусть D—произвольный прямой параллелепипед, определенный неравенствами а^х^а', b<Ly<Lb', c^z^c' и охватывающий со. Если функция /(х, у, г) непрерывна в о), то, как мы знаем,
у*У’ z^dx'
соD
где F^x, у. z) ~/{х,у, z) в со и F (х,у, z) = 0 в остальных точках параллелепипеда D.
Функция f(x, у, 2), рассматриваемая как функция одной лишь переменной 2, имеет не больше двух точек разрыва; это могут быть только точки, в которых прямая, выходящая из точки (х, у) параллельно оси OZ, пересекает границу области со. Следовательно, для каждой точки (х, у) существует интеграл
с*
^(х, у, z^dz = W(x, у}. С
Отсюда в силу замечания на стр. 426 следует, что
И$/^' У' ^^^^V^' У’ z^dx=^ И^- У’ z^dz^do, (1) ОDD* с
где D' означает прямоугольник, определенный неравенствами а^х^а'^ b^y^b'. Но, как легко заметить, при фиксированных
х, у имеем:
С*Ф2 (х, у)^ (г, У)
W^x, у)=^Р^х, у, z)dz = J F(x, у, z^z= J fkx,y,z)dz.
сф, (X, у)Ф1 <*’ ^^2)
когда (x, у) принадлежит ©p и .с
Wkx, у^=^ F кх, у, z)dz — 0с
в остальных точках прямоугольника D\
Следовательно,
$ $ ^ кх, у^ do = J J Wkx, у) do.
D'to,
Таким образом, в силу (1) и (2) ф2 (X, у)
Ш^ У’ ^^ Ш $ fkx. у, z)dz\do. оto, ф, (х. у)
Аналогичную формулу получим для области, нормальной относительно плоскости OYZ или OXZ.
Примеры.
Вычислить интеграл JJJ к^х +- Зу — z) dx dy dz по трехгранной to
призме, ограниченной плоскостями z = 0, z=a, х = 0, ^ = 0, x-Vy = bka > 0, b>^Y
Имеем здесь <рг(х, у) = 0, <р2 кх, у^=а. Областью (ог в плоскости OXY будет треугольник, ограниченный прямыми х—0, v = 0 x+y = t>.
Таким образом, й 5И (2х + 3у — z^dxdydz= $ $ {$ (2x4-3j—z) dz \ do.
toto, о1
Так как
j (2x + 3y—z) dz = <2x + Sy) a — ~ , 0
то окончательно для нашего интеграла получим: Ь Ь~х
jj [(2х+3у)а —jj do = jrfA; JГ(2х+3у)а —
to,002
= А аб3 — 1аг№.
О4
Вычислить объем области, нормальной относительно плоскости OXY.
Сохранив предыдущие обозначения, получим:
Фг (X, у^v=\Wxdydz=^{ S dz\da'toto, Ф, (x, y^
t. e.
V = S S [<P2 (X’ У) — Ф1 (X’ j)] dO to,
(см. стр. 383, пример 4).
Задачи
Вычислить тройной интеграл
— у2 dx dy dz
параллелепипеду D, ограниченному плоскостями х = ± 1,параллелепипеду D, ограниченному плоскостями х = ± 1,D
параллелепипеду D, ограниченному плоскостями х = ± 1,
параллелепипеду D, ограниченному плоскостями х = ± 1,
по прямоугольному 0 = ±± 1.
~ 4л
Ответ. у .
Координаты центра тяжести однородного тела со являются средними значениями функций х, у, г, т. е.
с»с»tototo
с»
с»
to
to
Определить центр тяжести:
одной восьмой части эллипсоида
X2 у2 . Z2 оа + уа + Т2
расположенной в первом октанте;
кругового конуса радиуса г и высоты w. .33 .3
Ответ, a) g=ya, -q = — о, £=у с; б) на высоте конуса на рас- 1 стоянии — w от основания.
Вычислить тройной интеграл ^^x2sin^dT по области со, нормаль- to
ной по отношению к плоскости OYZ, заключенной между этой плоскостью и поверхностью
x = l + cost/ (O^t/^л, 0^г^2л).
Ответ, у .
Бернулли числа 189
Бином Ньютона 15
Биномиальный интеграл 255, 256
Буняковского—Шварца неравенство 303
Внутренность шара 226
Выпуклость кривой 136
Гармонический ряд 158
Геометрический ряд 156
Граница области 190
График функции 51
двух переменных 192
логарифмической 80
обратной 77
показательной 80
— — степенной 78
Графики функций обратных тригонометрических 82—84
тригонометрических 81—82
Грина теорема 400, 402, 403
— формула 402
Даламбера признак сходимости ряда 169
Двойной интеграл, замена переменных 416
как повторный 367, 369, 379
, неравенства 377—378
по области 374, 377, 379
— — по прямоугольнику 365, 366, 369, 372, 373
Диагональ многомерного интервала 424, 425
Дифференциал второго порядка функции двух переменных 224
—у геометрическая интерпретация 102
— независимой переменной 99
— n-го порядка (л-й дифференциал)
функции двух переменных 224
Дифференциал полный см. Полный дифференциал
— произведения 102
— сложной функции двух переменных 220, 221
— суммы 102
— функции 99
— —, инвариантность формы 100
— частного 102
— частный см. Частный дифференциал
Дифференциалы функции, заданной параметрически 122, 123
Дифференцирование по параметру 325, 327
— последовательностей 178
— рядов 179
— степенного ряда 183
Дифференцируемость функции 99
— — двух переменных 218
Длина дуги 354, 356, 357
Дуга простая 387
— —, нормальное параметрическое представление 387
Интеграл биномиальный 255, 256 — в бесконечном интервале 333, 334, 337, 338
— двойной см. Двойной интеграл
— криволинейный см. Криволинейный интеграл
— многократный см. Многократный интеграл
— неограниченной функции 332, 333, 337
— неопределенный см. Неопределенный интеграл
— несобственный см. Несобственный интеграл
определенный см. Определенный интеграл
тройной см. Тройной интеграл
Интеграл четырехкратный см.
Четырехкратный интеграл
Интегрирование логарифмических функций 275, 276
— неравенств 300, 378
обратных тригонометрических функций 281, 282, 283
по параметру 326
по частям 236
в определенном интеграле 318
— подстановкой (заменой переменного) 233—236
— показательных функций 273, 274
— последовательностей 319
простейших иррациональностей 254
рациональных функций 251
— рядов 320
степенных рядов 322
тригонометрических функций 276,
277, 279, 280, 281
Интегрируемость в прямоугольнике, достаточные условия 368 , необходимое условие 366
Интервал 15
замкнутый 15
четырехмерного пространства 227, 425
Интерполяция 50
Касательная плоскость к поверхности 222
Корень многочлена г-кратный 245
Коши признак сходимости ряда 167
— теорема 163
— условие 38
Кривая, параметрическое представление 354, 357
— простая замкнутая 396, 397
плоская замкнутая 397
Криволинейный интеграл по границе в левом направлении 400
по замкнутой кривой398, 399
по произвольной кривой392
по простой дуге 390
, физическая интерпретация 395
Лейбница теорема 163
— формула 116
Линия уровня 193
Логарифм натуральный 106
Логарифмическая производная 113
Ломаная линия 190
Маклорена ряд 185
для функции двух переменных 213
— формула 131
— — для функции двух переменных 212
Максимум функции 138, 139
двух переменных 213
собственный 139
Минимум функции 138, 139
— — собственный 139
Многократный интеграл 425
как повторный 426
— — по области 427, 428
—, условия интегрируемости 426
Многочлен, разложение на множители 245
Множество плоское 190
— ограниченное 190
Монотонность функции, достаточный признак 130
Направление вращения положительное, отрицательное 16
кривой левое относительно области 399
Неопределенность 150, 151, 153
Неопределенный интеграл 230, 289 — —, основные формулы 231—232 — — от элементарных функций 237-240
—, свойства 232
Непрерывность функции в замкнутом интервале 70
— в точке 69
—, геометрическая интерпретация 70
— двух переменных 196
— — левосторонняя, правосторонняя 69
— многих переменных 227
—, необходимое и достаточное условие 70
— равномерная 71, 72
— — —, геометрическая интерпретация 71
— двух переменных 196
— элементарных функций 78—85
Неравенство Буняковского—Шварца 303
Несобственный интеграл 332, 333, 334 — —, признаки равномерной сходимости 343, 345
—, — сравнения в предельной форме 338
—, — существования 335, 337, 338
Несобственный интеграл расходящийся 334
— сходящийся 334
абсолютно 336
— равномерно 342
Ньютона бином 15
Область 227
, задаваемая неравенствами 191
замкнутая 191
— регулярная 427
— кривой внешняя, внутренняя 397
— несвязная 191
нормальная 379
— — относительно плоскости 428
определения функции 49
(открытая) 190
регулярная 374
— связная 190
Образ множества 409
Объем 424, 425
— замкнутой регулярной области 427
— области 366
тела вращения 359—360
Окрестность точки 53, 190, 226
Определенный интеграл 288
— —, геометрическая интерпретация 289
, свойства 291, 292, 293
—, связь с первообразной 305, 306, 307
—, формула замены переменной 314
Остаточный член в форме Коши 131
— Лагранжа 131
формулы Лагранжа 131
—Тейлора 131
Отображение взаимно непрерывное 410
однозначное 410
непрерывное 410
обратное 410
— однозначное множества на множество 409
Отрезок 15
— последовательности 25
Параметр 354
Параметрическое представление дуги согласованное, несогласованное 388 нормальное 397
Первообразная функция 230
Переменная зависимая, независимая 192, 227
Площадь области, вычисление 352 — поверхности вращения 361—363
Полный дифференциал функции двух переменных 219, 222, 223
Полуокрестность левая, правая 60
Последовательности, отличающиеся лишь порядком членов 25
Последовательность возрастающая 19
—, действия над последовательностями 20
— монотонная 19
невозрастающая 19
, необходимый и достаточный признак сходимости 38, 39
неубывающая 19
, обозначение 17
ограниченная 19
, признак сходимости 22
разбиений нормальная 286, 365, 424, 425
расходящаяся 22, 23, 24
, способы задания 18
— строго монотонная 19
— сходящаяся 21, 22, 27
, действия над сходящимися последовательностями 23
— убывающая 19
— частичных сумм ряда 155
— чисел 17
Предел бесконечный 62—64
— несобственный 62—64
— последовательности 21, 22, 27
— сходящейся последовательности 157
функции 53, 227
двух переменных 194, 195
—, действия над пределами 59—60
— левосторонний 60
— —, необходимое и достаточное условие существования 54
— правосторонний 61
— функциональной последовательности (предельная функция) 171
Пределы интегрирования верхний, нижний 299
Предельная функция, достаточное условие непрерывности 175
Приближение 26
Приближенное значение 26
Приведения формулы 240, 241, 242
Приращение функции 86
назависимой переменной 86
Производная 86
вторая, третья 114
высшего порядка 114
, интерпретация в геометрии 89
, в физике 90
левосторонняя, правосторонняя 88
Производная логарифмическая 113, 114
— логарифмической функции 105, 106
обратной функции 96, 97
показательной функции 107
постоянной функции 91
произведения постоянной на функцию 92, 93
сложной функции 96, 99
— степенной функции 91, 103
- суммы 93
функция 89
— частная см. Частная производная
— частного 93
Производные логарифмической функции 115
— неявной функции 205, 206
— обратной функции 123—124
обратных тригонометрических функций 110—113
показательной функции 115
степенной функции 115
тригонометрических функций 108—110
функции, заданной параметрически 120, 123
Радианная мера угла 16
Радиус сходимости степенного ряда 181, 182
Разбиение 6 286, 365, 424
Разностное отношение 86
Ролля теорема 128, 129
Ряд 155
гармонический 158
геометрический 156
Маклорена 185
для функции двух переменных 213
, необходимое и достаточное условие сходимости 163
, — условие сходимости 157
ограниченный 158
—, признаки сходимости 165—170
расходящийся 155
степенной 180
—, интегрирование 322
—, непрерывность суммы 182
сходящийся 155
, — абсолютно 160
, — условно 162
Тейлора 184
для функции двух переменных 213
— функциональный, равномерно сходящийся 176
Сумма верхняя, нижняя, соответствующая разбиению 6 294 — областей 375 — ряда 155 — —, независимость от порядка членов 161
Сходимость несобственного интег|гала1 334, 335, 337, 338
—, применение к рядам 339
— ряда 155
— абсолютная (безусловная) 160 — —, необходимое и достаточное условие 163 , — условие 157
., признак Даламбера 169
, —Коши 167
—, признаки сравнения рядов 165, 166
условная 162
функциональной последователь- *ности равномерная 172
функционального ряда абсолютная и равномерная 177
равномерная 173, 174, 176
Таблица функции 50
Тейлора ряд 184
для функции двух переменных 213
— формула 131, 132
— для функции двух переменных 211-212
Теорема Грина 400, 402, 403
— Коши 163
Лейбница 163
о действиях над сходящимися последовательностями 23
о дифференцировании последовательности 178
- ряда 179—180
степенного ряда 183
о достаточном условии существования точки перегиба 146
о независимости предела сходящейся последовательности от порядка членов 30
суммы абсолютно сходящегося ряда от порядка его членов 161
о необходимом условии существования экстремума функции 139
о непрерывности обратной функции 774
сложной функции 76
— функции верхнего, нижнего предела интеграла 304
Теорема о последовательности, отличающейся лишь порядком членов 26 — о пределе последовательности с неотрицательными членами 32
произведения последовательностей 34, 35
— — — функций 60
промежуточной переменной 39, 59
суммы и разности последовательностей 32, 33, 34
функций 59
— — частного последовательностей 35, 37
— — — функций 60
о предельном переходе в неравенстве 37, 59
—под знаком непрерывной функции 76
о радиусе сходимости степенного ряда 181
о разбиении интервала интегрирования 297, 299
о разложении функции в степенной ряд 185
о сохранении знака функции 58
— о среднем127—130
дЛЯдвойногоинтеграла378
дЛЯфункциидвухперемен
ных 212
интегральная301,309,310
—, следствия 130
- о сходимости абсолютно сходящегося ряда 160
— — монотонной ограниченной последовательности 37
ограниченного ряда с неотрицательными членами 159
— последовательностей 30, 31
- об абсолютной и равномерной сходимости степенного ряда 180
об изменении порядка дифференцирования 199
об инвариантности формы первого дифференциала 100
об интегрировании неравенств 300, 378
последовательностей 319, 320
рядов 320
об интегрируемости непрерывной функции 295
— — ограниченной функции 295
об ограниченной монотонной последовательности 21
об ограниченности сходящегося ряда 158
Теорема об ограниченности сходящейся последовательности 39
функции, имеющей конечный предел 58
об оценке интеграла 300
об условии существования предела функции 54
— Ролля 128, 129
существования неявной функции 204
— производной неявной функции 205-206
Теоремы о бесконечных пределах 63-64
о достаточных условиях существования экстремума функции 141, 143
о непрерывных функциях 74, 75
о последовательностях, расходящихся к i оо 24
— о пределах последовательностей 30—37
— о производной 91 — 114
— о радиусе сходимости степенного ряда 182
— об отображениях 411
Точка 15, 226
— внутренняя 190
— граничная 190
— перегиба 145
, достаточные условия существования 146—147
Тройной интеграл в прямоугольном параллелепипеде 425
как повторный 426, 428
по области 427
— —, условия интегрируемости 426
Условие Коши 38
Формула см. соответствующее название
Функции, не интегрируемые элементарно, примеры 283
— непрерывные, действия над ними 71
— обратные тригонометрические 82-85
— тригонометрические 81—82
Функциональные последовательности равномерно сходящиеся, действия над ними 173
Функциональный определитель 411 Функция 49, 50, 51
— верхнего, нижнего предела интеграла 303
— возрастающая 52
Цена 91 коп.
и, следовательно, сходится к пределу -^- (доказательство по индукции).
x=sin20
5. Формула и ряд Тейлора. Если функция t=/(yc, у. z) имеет
рядка, то, поступая так же, как для функции двух переменных
(стр. 210), получим формулу Тейлора (соответственно, формулу Мак-
7х<+1- Л । 6 ।С । D ,^
1 + cos2 x
0
лллл
2
Положив во втором интеграле
х = л —/, dx^a—dt.
3. Шаровой чаши, полученной при вращении круга
х2^^ — 2гх = 0
вокруг оси ОХ в пределах от 0 до А:
Д =2лгА.
itoi=SSS ^