Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
Н. С. Черников
ГРУППЫ, РАЗЛОЖИМЫЕ
В ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПЕРЕСТАНОВОЧНЫХ ПОДГРУПП
КИЕВ НАУКОВА ДУМКА 1987
УДК 519.41/47
Группы, разложимые в произведение перестановочных подгрупп / Черников Н. С.— Киев : Наук, думка, 1987.— 208 с.
Систематически излагаются результаты исследования групп, представимых в виде произведения некоторого множества попарно перестановочных подгрупп, и в основном — в виде произведения с конечным числом подгрупп-множителей. Все подгруппы-множители наделяются каким-нибудь свойством: удовлетворяют условию минимальности, конечны над своими центрами, абелевы, циклические и др. С помощью методов, в основе которых лежит использование подгрупп, факторизуемых относительно рассматриваемого разложения группы, устанавливаются свойства группы, определяемые свойствами подгрупп-множителей.
Для математиков — научных работников, аспирантов и студентов старших курсов университетов, интересующихся теорией групп.
Библиогр.: с. 195—201.
Ответственный редактор
В. П. ШУНКОВ
Рецензенты
Л. А. ШЕМЕТКОВ, Н. Ф. СЕСЕКИН
Редакция физико-математической литературы
1702050000-0731702050000-073Ч 183-87М221(04)-87Ч 183-87М221(04)-87© Издательство «На у ко в а думка», 1987© Издательство «На у ко в а думка», 1987
1702050000-073
1702050000-073
Ч 183-87
М221(04)-87
Ч 183-87
М221(04)-87
© Издательство «На у ко в а думка», 1987
© Издательство «На у ко в а думка», 1987
ОТ РЕДАКТОРА
Вот уже на протяжении свыше 50-ти лет исследования в абстрактной теории бесконечных групп продолжают интенсивно развиваться, причем темп и глубина исследований возрастают по мере удаления от момента получения основополагающих результатов. Самое удивительное в развитии этой теории то, что ни одно из основных ее направлений, возникших в 30—40-х годах, не утратило значения до настоящего времени. Более того, на их основе возникают новые перспективные ответвления в теории групп, со временем превращающиеся в самостоятельные направления.
Предлагаемая читателю книга Н. С. Черникова «Группы, разложимые в произведение перестановочных подгрупп» относится к одному из таких направлений, сложившемуся за последние годы в теории бесконечных групп (в большой степени благодаря творческому вкладу ее автора), цель которо* го — изучение свойств бесконечных групп, разложимых в произведение попарно перестановочных подгрупп, по свойствам подгрупп-множителей (факторизационное направление).
Аналогичное направление в теории конечных групп сложилось давно и обогатило ее многими важными результатами, тогда как в теории бесконечных групп возникали и решались лишь отдельные факторизационные вопросы, не объединенные до последних лет ни единой проблематикой, ни единой методикой. Дело, по-видимому, в том, что изучение факторизацион- ных вопросов для бесконечных групп требует совсем иных подходов по сравнению с конечными группами: в теории бесконечных групп теряют силу многие фундаментальные факты из теории конечных групп. В связи с этим изучение факторизационных вопросов для бесконечных групп продолжительное время представлялось малоперспективным. Здесь уместно заметить, что при оценке того или иного направления в науке необходима некоторая осмотрительность в прогнозировании его перспектив. Этот, в общем-то известный факт подтверждался не раз, в частности, в области бесконечных групп. Например, в 40-х годах в теории бесконечных групп возникло направление, связанное с изучением локально нормальных и слойно конечных групп, перспективность которого в свое время подвергалась сомнению. Однако результаты, полученные при изучении таких групп, нашли применение в решении такого важного для различных классов периодических групп вопроса, как вопрос о том, при каких условиях периодическая группа локально конечна. Понятно, что теперь перспективность рассматриваемого направления стала несомненной.
В последние годы в факторизационном направлении для бесконечных групп накопился обширный материал, получен ряд интересных, глубоких результатов и разработаны методы исследования. Естественно, что это направление далеко не исчерпало себя и, на наш взгляд, имеет широкие перспективы. Думаем, что книга Н. С. Черникова, посвященная систематическому изложению полученных результатов, будет с интересом принята специалистами, привлечет новых исследователей и ускорит использование факторизационных результатов в других областях теории групп. По характеру изложения она доступна аспирантам и студентам старших курсов, специализирующимся в области алгебры.
В. П. Шунков
ПРЕДИСЛОВИЕ
Светлой памяти моего отца Сергея Николаевича Черникова посвящается.
Трудно представить себе в настоящее время теорию групп без вопросов, относящихся к группам, разложимым в прямое произведение своих подгрупп. Если число подгрупп-множителей конечно, то свойства таких групп существенно зависят от свойств подгрупп-множителей. Правда, и в этом случае можно указать такие свойства подгрупп-множителей, которые переносятся на группу, являющуюся их прямым произведением, лишь при тех или иных предположениях относительно нее.
В общем случае, когда группа представима в виде непрямого произведения конечного числа своих подгрупп, связь свойств группы со свойствами подгрупп-множителей ослабевает и исследование ее становится весьма непростой задачей даже при дополнительном условии попарной перестановочности множителей. Для конечных групп эта связь изучалась во многих работах. Получено немало важных результатов. Они отражены в ряде обзоров (см., например, Чунихин [3, 4], Азлецкий [1, 2], Кострикин [1], Чунихин, Шеметков [1], Мазуров [1], Казарин [3]). В области бесконечных групп в этом направлении долгое время были лишь отдельные результаты. В последние годы, однако, здесь произошел существенный сдвиг: установлены многочисленные теоремы разного характера. Автор предлагаемой монографии предпринял попытку систематического, по возможности компактного, изложения накопившегося материала.
Книга состоит из трех глав, раздела «Дополнения», списков литературы и обозначений, предметного указателя.
В разделе «Дополнения» приводятся без доказательств отдельные факто- ризационные результаты, систематическое изложение которых привело бы к значительному превышению запланированного объема книги. В списке литературы указаны источники, цитируемые в книге.
На содержание монографии, естественно, повлияли вкусы автора. Доказательства, излагаемые в ней, построены в соответствии с принятой им структурой книги. Отчасти поэтому они в большинстве случаев отличаются от доказательств, приводимых в первоисточниках. Впрочем, иногда такое расхождение объясняется просто стилем изложения.
Авторы всех опубликованных ранее теорем и предложений указываются. Если в формулировке теоремы или предложения отсутствует ссылка на первоисточник, то это означает, что соответствующий результат получен автором книги и ранее не публиковался. Это относится к большинству лемм и следствий, кроме нескольких случаев, когда они известны, но авторство установить не удалось.
Отметим еще, что многие из лемм настоящей книги представляют самостоятельный интерес
В главах 1—3 принята двойная нумерация теорем, предложений и следствий. Первая цифра обозначает номер главы, а вторая —номер соответственно теоремы, предложения, леммы или следствия. В «Дополнениях» принята сквозная нумерация теорем. Соотношения в каждом параграфе имеют самостоятельную нумерацию только в пределах данного параграфа.
Если группа разложима в произведение двух подгрупп, то последние обязательно перестановочны. В настоящей книге рассматриваются группы, разложимые в произведение некоторого множества (необязательно двух) попарно перестановочных подгруп. При этом излагаются результаты, устанавливающие связь между свойствами группы и свойствами подгрупп-множителей рассматриваемого ее разложения в произведение. Группы, разложимые в произведение некоторого множества попарно перестановочных подгрупп, называют иначе группами, факторизуемыми этими подгруппами.
Изучение факторизуемых групп началось с изучения групп, разложимых в прямое произведение некоторого множества своих истинных подгрупп, т. е. при условиях, когда факторизующие подгруппы инвариантны в факторизуемой группе и пересечение любой из них с произведением остальных равно единице. Еще в XIX в. было установлено, что любая конечная абелева группа разложима в прямое произведение некоторого множества циклических подгрупп (Фробениус, Штикельбергер [1]). В связи с этой теоремой в теорию групп пришел вопрос о конечных неабелевых группах, факторизуемых некоторым множеством своих попарно перестановочных циклических подгрупп. При этом не предполагается ни инвариантность факторизующих множителей, ни единичность пересечения каждого из них с произведением остальных. Установлен ряд свойств конечных групп, имеющих факторизацию такого рода, в частности их сверхразрешимость (теорема Хупперта [1]).
Как известно, конечная нильпотентная группа — это прямое произведение р-подгрупп по разным простым р. В связи с этим возник вопрос характеризации конечных групп, разложимых в произведение попарно перестановочных р-подгрупп по разным простым р. Ответ на этот вопрос дает известная теорема Ф. Холла, утверждающая, что конечная группа тогда и только тогда разложима в произведение попарно перестановочных р-подгрупп по разным простым р, когда она разрешима.
Для бесконечных групп приведенная здесь теорема Ф. Холла, вообще говоря, не верна. Однако для некоторых классов бесконечных групп она оказывается верной, например для периодических групп матриц над полем, что вытекает из результатов Платонова [1, § 1]. Автором получено следующее обобщение теоремы Ф. Холла для бесконечных групп (см. Н. С. Черников [15], теорема 4). Счетная периодическая локально ступенчатая группа с условием минимальности для примарных подгрупп тогда и только тогда разложима в произведение попарно перестановочных р-под- групп по разным простым р, когда она локально разрешима.
Локально ступенчатой называется группа, в которой каждая отличная от единицы конечнопорожденная подгруппа имеет подгруппу отличного от единицы конечного индекса (С. Н. Черников [6]). Класс локально ступенчатых групп очень широк и содержит, в частности, локально конечные, линейные, локально разрешимые группы, /?//-группы и др.
- В ряде теоретико-групповых исследований, относящихся как к конечным, так и к бесконечным группам, изучаемая группа оказывалась разложимой в произведение двух абелевых подгрупп, из которых хотя бы одна инвариантна в ней. Такая группа, очевидно, разрешима. Естественно, возник вопрос, будет ли разрешимой группа, разложимая в произведение каких-нибудь двух абелевых подгрупп (без предположения об инвариантности в группе хотя бы одной из них). Положительный ответ на этот вопрос дает следующая известная теорема Н. Ито.
Группа, факторизуемая двумя абелевыми подгруппами, не более чем двуступенно разрешима (иначе, имеет абелев коммутант).
В добавление к приведенным примерам появления факторизационных вопросов отметим, что они естественно возникают при изучении строения групп.
В области бесконечных групп факторизационные вопросы давно привлекают внимание специалистов. Однако, несмотря на несомненный интерес к факторизуемым бесконечным группам (см., например, «Коуровскую тетрадь» [1]), до середины 60-х годов были получены лишь отдельные изолированные результаты в этом направлении. Заметное продвижение здесь связано прежде всего с результатами Сесекина [1, 2], Кегеля [2], Амберга [1—4], Зайцева [1], послужившими стимулом для дальнейших активных исследований. Существенный сдвиг в обсуждаемом направлении произошел лишь в последние 5—6 лет. На основе новых подходов к исследованию с широким привлечением системы подгрупп, факторизуемых относительно рассматриваемого разложения группы, получены многочисленные новые результаты. Содержание настоящей книги естественно определилось результатами, полученными в этой области, и сводится к следующим темам.
Бесконечные группы, факторизуемые подгруппами с различными условиями минимальности.
Факторизация разрешимых групп и факторизационные критерии разрешимости.
Группы, факторизуемые абелевыми подгруппами.
Бесконечные группы, факторизуемые подгруппами, конечными над своими центрами.
Теме 1 посвящена глава 1 настоящей книги, теме II — глава 2, а III, IV — глава 3.
Дадим краткий обзор результатов, рассматриваемых в монографии, в соответствии с перечисленными темами.
Тема I. Изучая группы, факторизуемые двумя абелевыми подгруппами, Сесекин [1] получил, в частности, следующий результат (теорема 3,7),
Группа, факторизуемая двумя абелевыми подгруппами с условием минимальности, сама является группой с условием минимальности.
Следующий результат, относящийся к теме I, содержится в работе Амберга [2].
Группа G, обладающая возрастающим инвариантным рядом с почти абелевыми факторами и факторизуемая двумя почти абелевыми подгруппами А в В с условием минимальности, является почти абелевой с условием минимальности, а ее полная часть — произведением полных частей подгрупп А и В.
В работе Амберга [2] отмечается, что в случае разрешимой группы G последняя теорема получена О. Кегелем, и ставятся следующие вопросы: каждая ли группа, факторизуемая двумя почти абелевыми подгруппами с условием минимальности (иначе, черниковскими подгруппами), является почти абелевой с условием минимальности (иначе, черниковской)?
каждая ли группа, факторизуемая двумя подгруппами с условием минимальности (иначе, артиновыми подгруппами), удовлетворяет этому условию (артинова)?
Так как проблема С. Н. Черникова (Курош [1], с. 428): не будет ли всякая группа с условием минимальности обладать абелевым нормальным делителем конечного индекса?— решена отрицательно (Ольшанский [1, 2]), то два вопроса, поставленные в работе Амберга [2], существенно различны. Они пока не решены. Отметим, что в силу известной теоремы Шункова [3] локально конечная группа с условием минимальности для абелевых подгрупп, а значит, и с более сильным условием минимальности для всех подгрупп, является черниковской. Следовательно, в классе локально конечных групп эти вопросы равносильны. В связи с теоремой Шункова отметим еще, что в общем случае условие минимальности для всех подгрупп действительно сильнее условия минимальности для абелевых подгрупп. В самом деле, как показал Адян [1, 2], в свободной бернсайдовой группе В (т, п) при т > > 1 и нечетном п >> 665 условие минимальности выполняется лишь для абелевых (а не для всех) подгрупп.
В § 1 главы 1 рассматриваемые вопросы Амберга положительно решаются в весьма широком классе локально ступенчатых групп. Автор показал, что каждая локально ступенчатая группа, факторизуемая двумя почти абелевыми подгруппами с условием минимальности и сама обладает этими свойствами (см. теорему 1.2). Отсюда вытекают приведенные выше теоремы Амберга и Кегеля. Используя теорему Шункова, автор показал, что теорема 1.2 равносильна следующему утверждению: локально ступенчатая группа, факторизуемая двумя подгруппами с условием минимальности, удовлетворяет этому условию (теорема 1.1).
С использованием теоремы 1.2 получается следующее более общее предложение (см. § 1 главы 1).
Группа, факторизуемая конечным числом попарно перестановочных черниковских подгрупп, является черниковской, если полные части любых двух подгрупп-множителей порождают в ней локально ступенчатую подгруппу,
Далее, в § 2 главы 1 условие минимальности для всех подгрупп ослабляется до условия минимальности для примарных подгрупп и рассматривается факторизация групп подгруппами с условием минимальности для примарных подгрупп. Один из главных результатов этого параграфа можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Локально ступенчатая группа, факторизуемая двумя почти локально нормальными подгруппами с условием минимальности для примарных подгрупп, локально конечна и удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп.
В § 2 излагается более общий результат автора (теорема 1.3), в котором сформулированный результат содержится.
Условию минимальности для примарных подгрупп удовлетворяют, в частности, локально конечные группы конечного специального ранга (по Мальцеву). Это вытекает из следующей теоремы Мягковой [1].
Локально конечная р-группа конечного специального ранга — это в точности черниковская р-группа.
Из результатов, полученных Мягковой [1], Каргаполовым [1], Шунковым [4], вытекает, в частности, что произвольная локально конечная группа конечного специального ранга является расширением полной абелевой группы с условием минимальности для примарных подгрупп с помощью группы, все примарные подгруппы которой конечны. Конечный специальный ранг имеют, в частности, конечные расширения полных абелевых групп с условием минимальности (черниковские группы), привлекаемые в качестве факторизующих множителей в § 1 главы 1. Представляется естественным привлечь теперь в качестве факторизующих множителей локально конечные группы конечного специального ранга и тем самым расширить область факторизующих множителей для групп из § 1. Этим определяется содержание § 3 главы 1. Основной его результат — следующая теорема автора (теорема 1.5).
Локально ступенчатая группа, факторизуемая двумя локально конечными подгруппами конечного специального ранга, локально конечна и имеет конечный специальный ранг.
Из этой теоремы вытекает, в частности, что локально конечная группа, факторизуемая двумя подгруппами конечного специального ранга, имеет конечный специальный ранг.
В § 4 главы 1 условие минимальности для подгрупп ослабляется до условия минимальности для л-подгрупп с фиксированным (непустым) множеством л простых чисел; л-группа — периодическая группа, множество всех простых делителей порядков элементов которой содержится в множестве л. Один из основных результатов этого параграфа — следующая теорема автора (теорема 1.9).
Пусть G — локально почти разрешимая (в частности, локально разрешимая) группа, факторизуемая двумя почти локально нормальными подгруппами А и В. Тогда группа G локально конечна. Далее, в группе G в том и только в том случае все л-подгруппы (л — фиксированное множество простых чисел) обладают одним из следующих свойств: единичны,
конечны, удовлетворяют условию минимальности, когда все л-подгруппы групп А и В соответственно единичны, конечны или удовлетворяют условию минимальности.
Тема II. В работе Амберга [2] поставлен вопрос: будет ли полициклической каждая разрешимая группа, факторизуемая двумя полициклическими подгруппами? Амберг [2] установил, что если факторизующие группу полициклические подгруппы нильпотентны, а сама группа обладает возрастающим инвариантным рядом с почти абелевыми факторами (в частности, разрешима), то она будет полициклической. Если предполагать, что группа, факторизуемая двумя полициклическими подгруппами, просто разрешима, то условие их нильпотентности становится излишним (теорема 2.1). Это было установлено Ленноксом и Роузблейдом [1], а также Зайцевым [2].
В § 2 главы 2 излагаются факторизационные свойства конечных разрешимых групп, в частности дается доказательство приведенной выше теоремы Ф. Холла (теорема 2.6). Последняя включает в себя следующий признак разрешимости конечной группы: конечная группа разрешима, если она разложима в произведение попарно перестановочных р-подгрупп по разным простым р (см. теорему 2.5).
Этот признак разрешимости обобщается в теореме Кегеля — Виландта (теорема 2.7): конечная группа, представимая в виде произведения попарно перестановочных нильпотентных подгрупп, разрешима.
Результаты, аналогичные и близкие к приведенным в § 2 главы 2, имеют место для групп матриц над полем. Они излагаются в § 3 главы 2. Отметим здесь теорему 2.13 (Платонов [1], Н. С. Черников [12]), содержащуюся в § 3 главы 2: группа матриц над полем локально конечна и разрешима тогда и только тогда, когда она разложима в произведение некоторых своих попарно перестановочных силовских р-подгрупп по разным простым р. Отметим также содержащуюся в § 3 теорему 2.14 (Н. С. Черников [12]), утверждающую, что группа матриц над полем, факторизуемая попарно перестановочными периодическими локально нильпотентными подгруппами, локально конечна и разрешима. Теоремы 2.13 и 2.14 — это аналоги для линейных групп соответственно теорем 2.6 и 2.7.
Темы 111 и IV. На основе теоремы Н. Ито получен ряд результатов, относящихся к группам, факторизуемым двумя абелевыми подгруппами. Теорема Н. Ито в общем случае не распространяется на группы, факторизуемые тремя и большим числом попарно перестановочных абелевых подгрупп. В. Г. Васильев доказал существование неразрешимой группы, представимой в виде произведения трех попарно перестановочных абелевых подгрупп. Этот результат вытекает из следующей его теоремы (Васильев [2]).
Для любых натурального числа п и нечетного простого числа р существует конечная р-группа ступени разрешимости п, представимая в виде произведения трех попарно перестановочных циклических подгрупп одинаковых порядков.
Теорема Н. Ито и некоторые непосредственно связанные с ней резуль-
таты, относящиеся к группам, факторизуемым двумя абелевыми подгруппами, излагаются в § 1 главы 3.
Теорема Н. Ито справедлива как для конечных, так и для бесконечных групп. От факторизации бесконечных групп двумя абелевыми подгруппами представляется естественным переход к факторизации их двумя подгруппами, конечными над своими центрами. Отметим здесь некоторые результаты, связанные со свойствами групп, конечных над своими центрами (т. е. групп, в которых центр имеет конечный индекс).
Произвольная группа, конечная над своим центром, является, очевидно, FC-группой, т. е. группой, все классы сопряженных элементов которой конечны. Очевидно также, что не всякая FC-группа конечна над своим центром. Группу, конечную над ним, можно охарактеризовать как такую, в которой конечны все классы сопряженных подгрупп (Нейман [3]) или, что то же, как FC-группу с конечными классами сопряженных подгрупп. Ее можно охарактеризовать также как группу, в которой конечны все классы сопряженных абелевых подгрупп (Еремин [1, 2]). Конечна над центром каждая FC-группа с условием минимальности (Бэр [2]).
В § 2 главы 3 излагаются следующие результаты автора (теоремы 3.5 и 3.6).
Группа, факторизуемая двумя подгруппами, конечными над своими центрами, почти разрешима (т. е. имеет инвариантную разрешимую подгруппу конечного индекса).
Группа, факторизуемая двумя нильпотентными подгруппами, конечными над своими центрами, разрешима.
Распространению теоремы Кегеля — Виландта на бесконечные группы посвящен § 3 главы 3. В нем излагается, в частности, следующий результат автора (теорема 3.9).
Группа, факторизуемая конечным числом попарно перестановочных нильпотентных подгрупп с условием минимальности, разрешима и удовлетворяет этому условию. Факторизующие подгруппы здесь конечны над своими центрами. В § 6 главы 3 продолжается рассмотрение групп, факторизуемых подгруппами, конечными над своими центрами.
Возвратимся к группам, факторизуемым абелевыми подгруппами, и отметим прежде всего следующую интересную теорему Сесекина [2].
Пусть G — группа, факторизуемая двумя конечнопорожденными абелевыми подгруппами (иначе, полициклическими абелевыми подгруппами). Тогда группа G — полициклическая и в случае, когда G^l, хотя бы одна из факторизующих подгрупп содержит отличную от единицы, инвариантную в G подгруппу.
Первая часть этой теоремы распространена на случай конечного числа попарно перестановочных конечнопорожденных факторизующих абелевых подгрупп (Хейнекен, Леннокс [1], Васильев [3]).
Теореме Н. Ф. Сесекина и отмеченному только что обобщению посвящен § 4 главы 3.
В случае, когда факторизующие группу попарно перестановочные ко- нечнопорожденные абелевы подгруппы являются просто циклическими
группами, группа оказывается сверхразрешимой (Хейнекен, Леннокс [1]; для конечных групп — это известная теорема Хупперта [1]).
Последний результат изложен в § 5 главы 3 и обоснован с помощью следующей теоремы автора, доказанной там же.
Пусть G — отличная от единицы группа, факторизуемая конечным числом попарно перестановочных циклических подгрупп. Тогда справедливы следующие утверждения.
Если группа G конечна, то хотя бы одна из факторизующих ее циклических подгрупп содержит инвариантную в G подгруппу, порядок которой совпадает с наибольшим простым делителем порядка группы G.
Если группа G бесконечна, то хотя бы одна из факторизующих ее циклических подгрупп содержит инвариантную в G бесконечную (циклическую подгруппу.
В связи с теоремой Хупперта о сверхразрешимости конечной группы, факторизуемой попарно перестановочными циклическими подгруппами, естественно возникает задача описания конечных сверхразрешимых групп, факторизуемых попарно перестановочными циклическими подгруппами. Оказалось, что такими группами являются, в частности, конечные сверхразрешимые группы, все примарные подгруппы которых абелевы. Это вытекает из излагаемой в § 5 главы 3 следующей теоремы (С. Н. Черников [7]).
Группа G принадлежит классу конечных сверхразрешимых групп, все примарные подгруппы которых абелевы, тогда и только тогда, когда она представима в виде полупрямого произведения G=A>sB некоторых конечных абелевых подгрупп А и В, первая из которых разложима в прямое произведение инвариантных в G примарных циклических подгрупп, таких, что каждая из них поэлементно перестановочна с любой подгруппой из В, примарной по тому же, что и она, простому числу.
При изучении групп, разложимых в произведение попарно перестановочных циклических подгрупп, оказывается полезным следующее, введенное С. Н. Черниковым понятие равномерного произведения подгрупп (см. Шунков [1]).
Группа, разложимая в произведение некоторых своих подгрупп, называется равномерным их произведением, если каждая циклическая подгруппа произвольного из множителей перестановочна с каждой циклической подгруппой любого другого множителя.
Нетрудно убедиться, что группа, разложимая в произведение попарно перестановочных примарных циклических подгрупп, является их равномерным произведением. В § 5 главы 3 излагается следующая теорема Шункова [1] о группах, представимых в виде равномерного произведения некоторых своих примарных подгрупп (теорема 3.18).
Группа G тогда и только тогда может быть представлена в виде равномерного произведения некоторых своих примарных подгрупп, когда она является полупрямым^произведением G = А X В подгрупп Л и В, разложимых в прямое произведение силовских р-подгрупп по разным р, причем^ А — абелева и порождается своими циклическими подгруппами, инвариантными в G.
Краткий обзор результатов, относящихся к группам, факторизуемым попарно перестановочными циклическими подгруппами, завершается в § 5 главы 3 формулированием теоремы, которая объединяет известные результаты Андрухова [1, 2], связанные с равномерным произведением бесконечных циклических групп.
В § 6 главы 3 излагаются некоторые свойства групп, факторизуемых двумя подгруппами, конечными над своими центрами, в частности, доказывается следующее предложение (см. теорему 3.21).
Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В, конечными над своими центрами. Если подгруппы А и В имеют конечные специальные ранги, то конечный специальный ранг имеет и группа G.
В заключение отметим, что условие попарной перестановочности подгрупп-множителей, при котором рассматриваются факторизационные вопросы в настоящей книге, выполняется автоматически, когда все подгруппы-множители инвариантны в группе. Исследованию свойств групп, порожденных некоторыми инвариантными подгруппами, в зависимости от свойств порождающих подгрупп (или, что то же, от свойств факторизую щих группу инвариантных подгрупп) посвящено немало работ. Некоторые из соответствующих результатов отражены в монографии Плоткина [2]. Один из типичных для этих исследований результатов — известная теорема Плоткина [1] (см. также Гирш [1]), которую приведем здесь в следующей (равносильной) формулировке.
Группа, разложимая в произведение инвариантных локально нильпотентных подгрупп, локально нильпотентна.
Глава 1
БЕСКОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ, ФАКТОРИЗУЕМЫЕ ПОДГРУППАМИ С РАЗЛИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ МИНИМАЛЬНОСТИ
В настоящей главе исследуются при весьма общих предположениях о группах свойства бесконечных групп, представимых в виде произведения двух подгрупп. Подгруппы-множители наделяются при этом каким-нибудь одним из следующих свойств: удовлетворяют условию минимальности для всех подгрупп, условию минимальности для примарных подгрупп, имеют конечные специальные ранги, удовлетворяют условию минимальности для л-подгрупп при фиксированном непустом множестве л простых чисел. Факторизуемая группа рассматривается в первых трех случаях в предположении ее локальной ступенчатости, частными случаями которого являются предположения локальной конечности и локальной разрешимости, а также объединяющее их предположение локальной почти разрешимости; в четвертом случае — в предположении ее локальной почти разрешимости.
В качестве примеров результатов этой главы, относящихся к конкретным классам групп, охватываемых классом локально ступенчатых групп, приведем такие утверждения.
Локально конечная группа, факторизуемая двумя подгруппами с условием минимальности, сама удовлетворяет этому условию (§ 1). Локально конечная группа, факторизуемая двумя почти локально нормальными подгруппами с условием минимальности для примарных подгрупп, сама удовлетворяет этому условию (§ 2). Локально конечная группа, факторизуемая двумя подгруппами конечного специального ранга, сама имеет конечный специальный ранг (§ 3). Локально конечная группа, факторизуемая двумя почти локально нормальными подгруппами с условием минимальности для л-подгрупп, удовлетворяет этому условию (§ 4).
Факторизация групп подгруппами с условием минимальности
Основным результатом настоящего параграфа является теорема о факторизации локально ступенчатой группы двумя подгруппами с условием минимальности.
Дадим сначала определение локально ступенчатой группы.
Определение 1.1. (С. Н. Черников [6, 8]). Локально ступенчатой называется группа, в которой каждая отличная от единицы конечнопорожденная подгруппа имеет подгруппу отличного от единицы конечного индекса. Единичная группа считается локально ступенчатой.
Очевидно, класс локально ступенчатых групп замкнут относительно подгрупп, расширений и декартовых произведений, и произвольная группа, обладающая нормальной системой с локально ступенчатыми факторами, является локально ступенчатой. (Определение декартова произведения групп см. Каргаполов, Мерзляков [1], определение нормальной и инвариантной систем подгрупп группы см. Курош [1].)
Класс локально ступенчатых групп очень широк. В нем содержатся, например, все локально конечные, разрешимые и локально разрешимые, локально почти разрешимые группы (т. е. группы, в которых каждая конечнопорожденная подгруппа имеет инвариантную разрешимую подгруппу конечного индекса), финитно аппроксимируемые группы (определение см., например, Каргаполов, Мерзляков [1]), /^-группы и вместе с ними все группы классов Куроша — Черникова (определение см. Каргаполов, Мерзляков [11). Далее, поскольку по теореме Мальцева [1] произвольная конечнопорожденная группа матриц над любым полем финитно аппроксимируема, то в классе локально ступенчатых групп содержатся все линейные группы, т. е. группы матриц над различными полями, все локально линейные группы, и (более широко) все группы, обладающие нормальной системой подгрупп с локально линейными факторами.
(Для произвольного класса Ж групп локально Ж-группа — это группа, обладающая локальной системой подгрупп, входящих в Ж. Определение локальной системы подгрупп группы см. Курош [1].)
Лемма 1.1. Локально ступенчатая группа G, удовлетворяющая условию минимальности для подгрупп, локально конечна.
Доказательство. Пусть G =^ 1 и Н — произвольная отличная от единицы конечнопорожденная подгруппа группы G. Тогда в Н существует некоторая подгруппа Нг отличного от единицы конечного индекса. По теореме Шрейера (см., например, М. Холл [1], следствие 7.2.1) в группе с конечным множеством образующих элементов любая подгруппа конечного индекса также имеет конечное множество образующих. Следовательно, подгруппа Нл конечнопорождена. Поэтому если она отлична от единицы, то в ней существует некоторая подгруппа Н^ отличного от единицы конечного индекса. Продолжая эти рассуждения и учитывая условие минимальности, получаем конечнопорожденную подгруппу Нп
группы Н, которая не имеет отличных от себя подгрупп конечного индекса. Тогда Нп = 1 и, значит, подгруппа Н конечна. Поэтому ввиду произвольности подгруппы Н группа G локально конечна.
Лемма доказана.
Теорема 1.1 (Н. С. Черников [16]). Локально ступенчатая группа, факторизуемая двумя подгруппами с условием минимальности, удовлетворяет этому условию.
Так как локально конечные группы с условием минимальности — в точности черниковские (Шунков [21; см. еще Кегель, Верфриц [1]), то с учетом леммы 1.1 теорема 1.1 равносильна следующей теореме.
Теорема 1.2 (Н. С. Черников [1, 21). Локально ступенчатая группа, факторизуемая двумя черниковскими подгруппами,— черниковская.
Напомним, что черниковской (С. Н. Черников) группой называется конечное расширение прямого произведения конечного числа (в частности, равного нулю) квазициклических групп (см., например, Каргаполов, Мерзляков [1]). Прямое произведение равного нулю числа квазициклических групп считается при этом единичной группой. _
Равносильное определение: черниковская группа — это конечное расширение абелевой группы с условием минимальности (см., например, Кегель, Верфриц [1], Робинсон [2]).
Известно, что класс черниковских групп замкнут относительно подгрупп, фактор-групп и расширений, и в любой группе подгруппа, порожденная конечным множеством инвариантных черниковских подгрупп, является черниковской.
Аналогично, класс групп с условием минимальности замкнут относительно подгрупп, фактор-групп и расширений, и в любой группе подгруппа, порожденная конечным множеством инвариантных подгрупп с условием минимальности, удовлетворяет условию минимальности.
Примечание к теореме 1.2. Как отмечается в работе Амберга [2], Кегель установил теорему, утверждающую, что разрешимая группа, факторизуемая двумя черниковскими подгруппами, является черниковской. В работе Амберга [2] был получен несколько более сильный результат: группа, обладающая возрастающим инвариантным рядом с почти абелевыми факторами и факторизуемая двумя черниковскими подгруппами, является черниковской. (Определение возрастающего инвариантного ряда см. Курош [1]. Для произвольного класса Ж групп почти Ж-группа — это конечное расширение группы, принадлежащей к классу Ж; в частности, почти абелева группа — это конечное расширение абелевой группы.) Указанные результаты непосредственно следуют из теоремы 1.2, так как
произвольная группа, обладающая возрастающим инвариантным рядом с почти абелевыми факторами, локально ступенчата.
Отметим еще одно непосредственное следствие теоремы 1.2.
Следствие 1.1. Локально почти разрешимая группа (в частности, локально конечная группа, локально разрешимая группа), факторизуемая двумя черниковскими подгруппами,— чер- никовская.
Чтобы изложить доказательство теоремы 1.2, выделим некоторые используемые в нем утверждения — леммы 1.2— 1.18, а также фундаментальную теорему Шункова [3] (см. еще Кегель, Верфриц [2], теорема 5.8): локально конечная группа с условием минимальности для абелевых подгрупп является черниковской.
Лемма 1.2 (см., например, К у р о ш [1], § 8). Пусть G — некоторая группа, Л и В — ее подгруппы. Подгруппы А и В перестановочны тогда и только тогда, когда произведение АВ является подгруппой группы G.
(Говорят, что непустые множества X и Y элементов группы перестановочны, если XY = YX.)
Доказательство. Необходимость. Пусть подгруппы Л и В перестановочны. Тогда, очевидно, (ЛВ) (ЛВ)=Л (ВЛ) В-А {АВ) В = (ЛЛ) {ВВ)— АВ. {АВ)^- = В^Л-1 = В А — АВ. (Если X — непустое множество элементов некоторой группы, то, как обычно, X-1 = {^-1|xgX}.) С учетом последних соотношений множество АВ является подгруппой группы G.
Достаточность. Пусть подмножество АВ является подгруппой. Тогда, очевидно, АВ — {АВ)-Х = В-1Л-1 = ВЛ, т. е. подгруппы Л и В перестановочны.
Лемма доказана.
Определение 1.2 (В и л а н д т). Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В. Если Н — {Н П Л) {Н П В), то будем говорить, что подгруппа Н факторизуема относительно разложения G = АВ.
Лемма 1.3 (В и л а н д т [2]). Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В; Н — некоторая подерут па группы Gu N — нормализатор подгруппы Н в G. Подгруппа N факторизуема относительно разложения G — АВ, если выполняется следующее условие;
(*) всякий раз, когда для элементов а £ А и b £ В
На = Hb,(1)
элементы а и b содержатся в N.
Доказательство. Пусть выполняется условие (♦), а и b — произвольные элементы соответственно из Л и В, для
17172 - 6-622
17
17
которых atT^N. Тогда выполняется соотношение (1) и, следовательно, a^N и b^N. Поэтому ввиду произвольности элементов а и b N ^(N [\A){N [\В) и, значит, Л^(МПЛ) (N П S).
Лемма доказана.
Лемма 1 А. Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В\Н — подгруппа, порожденная некоторыми инвариантными подгруппами соответственно групп G, А и В, и N — нормализатор подгруппы Н в G. Подгруппа N факторизуема относительно разложения G = АВ тогда и только тогда, когда выполняется условие (*) из формулировки леммы 1.3.
Доказательство. Если условие (*) выполняется, то по лемме 1.3 подгруппа N факторизуема относительно разложения G = АВ. Пусть подгруппа N факторизуема относительно разложения G = АВ, а и b — какие-нибудь элементы соответственно из подгрупп А и В, такие, что выполняется соотношение (1). Поскольку ab~x^N, то для некоторых элементов а* £ (N П А) и Ь* £ (N Q В) ab-x = а*ф*ух. Отсюда получаем
Va*Y"x а-=<Ь*У"ХЬ^<А П В),
а£а*(ЛПВ), Ь^Ь*<А^\Ву (2)
Очевидно, А П В с П, Поэтому с учетом соотношений (2) a^N и b^N.
Лемма доказана.
Лемма 1.5. Пусть G— группа, Н — ее подгруппа и а — элемент группы G, некоторая натуральная степень которого содержится в Н. Тогда подгруппа И не является истинной подгруппой группы На.
(Подгруппа, отличная от самой группы, называется ее истинной подгруппой.)
Доказательство. Действительно, если бы Нбыла истинной подгруппой группы На, то она, как легко убедиться, была бы и истинной подгруппой группы НаП при любом натуральном п, в том числе при п, для которого ап £ Н, что невозможно.
Лемма доказана.
Лемма 1.6. Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В. Пусть, далее К, L и М — некоторые инвариантные подгруппы соответственно групп G, А и В; Н — подгруппа, порожденная подгруппами К, L и М, и N — нормализатор подгруппы Н в G. Подгруппа N факторизуема относительно разложения G = АВ, если выполняется хотя бы одно из следующих условий;
ни для какого элемента а^ А подгруппа Н не является истинной подгруппой группы На;
ни для какого элемента b £ В подгруппа Н не является истинной подгруппой группы Нь;
подгруппа Н не изоморфна ни одной из своих истинных подгрупп (в частности, конечна);
по крайней мере одна из фактор-групп AIL (/С Q Л) и BIM (К П В) периодическая.
Примечание. В случае, когда К = 1, лемма 1.6 получена Кегелем [2] (см. в [2] лемму 1.2 и примечание к ней).
Доказательство. Если выполняется условие «3», тб, очевидно, выполняются также условия «1» и «2». Если выполняется условие «4», то, очевидно, ввиду леммы 1.5 выполняется хотя бы одно из условий «1» и «2».
Пусть выполняется одно из условий «1» и «2», например, «1», и пусть а и b — любые элементы соответственно из подгрупп Л и В, для которых выполняется соотношение (1). Тогда М = Мь Нь = На. Поэтому
Н = (К U L U М) = <Ка U La U М) <= На.
Следовательно, Н — На и, значит, а Е N и b Е N. Поэтому ввиду леммы 1.3 подгруппа N факторизуема относительно разложения G = АВ.
Лемма доказана.
Лемма 1.7 (Дедекинд). Пусть С — подгруппа груп- пыСи А — подгруппа из С. Тогда для любой подгруппы В группы G выполняется соотношение
С ПЛВ = Л(С П В).*(3)
Доказательство. Пусть а и с — произвольные элементы соответственно подгрупп А и С П В. Тогда ас^АВ и ас С АС = С и, значит, ас Е С П АВ. Следовательно, Л (С П В)^ г С П АВ. С другой стороны, если ab^C для некоторых элементов а^ А и Ь^В, то b^a~vC Q В = С Q В, и, значит, ab ЕЛ (С П В). Следовательно, С П АВ s А (С П В). Итак, соотношение (3) выполняется.
Лемма доказана.
Лемма 1.8 (С. Н. Черников [31). Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В, и С — подгруппа группы G, содержащая А. Тогда С = А (С П В).
Лемму 1.8 легко доказать, используя лемму 1.7.
Лемма 1.9 (С е с е к и н [1]). Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В; И — некоторая инвариантная подгруппа группы G, G* = АН Q ВН, Л* = Л П
П ВН и В* = В П АН. Тогда выполняются соотношения
G* = А*в* = А*н = в*н(4)
Доказательство. Учитывая, что НгО* и G*sHA, G*sHB, и используя лемму 1.8, получаем
G* = Н (G* П Л) = Н^АН f\ ВН П Л) = Н^А П ВН) =
= НА* = А*Н,
G* = H<G* П В) — Н (АН П ВН П В) = Н(В П ЛН) =
= НВ* = В*Н.(5)
Покажем, что G* = А*В*. Так как Л*еС* и B*cG*, то А*В* s G*. Пусть h — произвольный элемент из Н и h — ab, где а € Л и Ь^В. Тогда а = hb-v € (Л f] НВ) = A*, b^a^hQ Е (В П ЛН) — В*, значит, h£A*B*. Поэтому ввиду произвольности h Н £ А*В*. Следовательно, с учетом соотношений (5) G* = НВ* s (Л*В*) В* = А*В* и, значит, G* = А*В*. Таким образом, все соотношения (4) выполняются.
Лемма доказана.
Лемма 1.10. Пусть G— группа, разложимая в произведения
G = АВ = АН = ВН(6)
некоторых подгрупп А и В и конечной подгруппы Н. Тогда индексы подгруппы А П В в группах G, А и В конечны и выполняются соотношения
|В| = |Л:(Л ПВ)||В ПЯ| = |В:(Л ПВ)||Л ПН|,
|С:(Л П В)| = |Л:(Л П В)||В:(Л П В)| =
= \АПНЦВПН\ -,Я:(ЛПЯ)||В:(ВПЯ)|.
Доказательство. С учетом соотношений (6), очевидно, |С:Л| = |Н:(Л П Щ\ = \В:(А П В)|, |G:B| = \Н-лВ П Я)| = |Л:(Л П В)|.
Поэтому
\Н\ = \Н-АА П Щ\\А П Я| = |В:(Л П В)||Л П Щ,
\Н\ = \Н-ЛВ П /ПН S П Я|=|Л:(Л П В)||ВП Н\,
|С:(Л П В)| = |Л:(Л П В) 11 G : А |=| А: (ЛП В) | |В:(Л ПВ) |== | В : (В П Н) 11 Н: (Л П Щ\= |Bq J| /др Я| •
Лемма доказана.
Следствие 1.2. Если при условии леммы 1.10 пересечение подгрупп А и В локально конечно, то группа G локально конечна.
Доказательство. Ввиду леммы 1.10 подгруппа A fl В имеет конечный индекс в G. Поэтому, очевидно, множество всех сопряженных с А П В в G подгрупп конечно. Пусть Н — пересечение всех сопряженных с А П В в G подгрупп. По теореме Пуанкаре (о конечности индекса в группе пересечения конечного числа подгрупп конечного индекса) индекс подгруппы Н в G конечен. Поэтому если подгруппа А П В локально конечна, то группа G является расширением локально конечной группы с помощью конечной группы и, значит, ввиду теоремы О. Ю. Шмидта (см., например, Ку- рош [1], с. 337) локально конечна. (Напомним, что теорема О. Ю. Шмидта утверждает следующее: расширение локально конечной группы с помощью локально конечной же группы локально конечно.)
Следствие доказано.
Отметим, что из теоремы О. Ю. Шмидта вытекает следующее известное предложение, которое используется в дальнейшем.
В произвольной группе подгруппа, порожденная любым множеством инвариантных и, более широко, субинвариантных (определение см. Курош [1]) локально конечных подгрупп, локально конечна.
Ниже для произвольной группы X и произвольного натурального п через л (X) и л (м) обозначаются соответственно множество всех простых делителей порядков элементов группы X и множество всех простых делителей числа п. (Если группа X не имеет отличных от единицы элементов конечного порядка , то множество л (X) пустое. Если п = 1, то множество л (м) пустое.)
Лемма 1.11. Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В, пересечение которых периодическое, и L — локально конечная подгруппа группы G, порожденная некоторым множеством конечных инвариантных подгрупп грипп G. А и В. Тогда
л(В)ел(Д) U л (В). (7)
Доказательство. Пусть g — произвольный элемент группы L. Покажем, что
л (I g I) G л (Д) и Л (В). (8) Элемент g содержится в конечной подгруппе Н группы L, порожденной некоторыми инвариантными подгруппами групп G, А и В. Установим справедливость включения
л (Я) с л (Л) U л (В). (9)
Ввиду леммы 1.6 нормализатор подгруппы Н в G факторизуем относительно разложения G = АВ. С учетом этого справедливость соотношения (9), очевидно, достаточно установить в случае, когда подгруппа Н инвариантна в G.
Итак, пусть Н инвариантна в G; G*, А* и В* — те же подгруппы, что и в лемме 1.9. Не ограничивая общности, можно считать, что G* = G, А* = А и В* = В. Используя лемму 1.10 и учитывая периодичность пересечения А П В, получаем
л(Я) = л(|Я|) = л(|Л:(Л П В)\\В П Н |)=л (| А ^А П B)|)U
U л (| В П Я()^л(Л) U л(В).
Таким образом, соотношение (9) справедливо. Поэтому справедливо соотношение (8) и, значит, ввиду произвольности g соотношение (7).
Лемма доказана.
Лемма 1.12. Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В; Н — конечная подгруппа группы G, порожденная некоторыми инвариантными подгруппами групп G, А и В; т = \Н\ и N — нормализатор подгруппы Н в G. Тогда найдутся перестановочные подгруппы Л1^^П А и Вх^ с N П В, каждая из которых может быть порождена не более чем т элементами, такие, что
Н^АА, (Ю)
А^^А^^В^. (11)
Примечание. В случаях, когда подгруппа Н инвариантна в G и когда она порождена некоторой инвариантной подгруппой группы А и некоторой инвариантной подгруппой группы В, существование перестановочных подгрупп Ах ^ П Q А и B^NftB, каждая из которых порождена не более чем т элементами, таких, что Н ^ Л^, установил Кегель [2] (см. в [2] лемму 1.3 и ее доказательство).
Доказательство. Ввиду леммы 1.6 подгруппа N факторизуема относительно разложения G = АВ. С учетом этого справедливость леммы 1.12, очевидно, достаточно установить в случае, когда подгруппа Н инвариантна в G.
Итак, пусть Н инвариантна в G; G*, А* и В* — те же подгруппы, что и в лемме 1.9; hx, ...,hm— все элементы подгруппы Н; at и bt, i = 1, ...,т, — какие-нибудь элементы соответственно из подгрупп Л* и В*, для которых ht = афг, i=l,...,m. Обозначим через Л! подгруппу, порожденную всеми элементами at, и через Вх подгруппу, порожденную всеми элементами bv Тогда подгруппы Лх и Вх порождаются
не более чем т различными элементами и выполняется соотношение (10).
Покажем, что выполняются соотношения (И). Очевидно, Ах с HBX и Вт с АХН. Отсюда
АХН - НАХ г ННВХ = НВХ = ВХН и ВХН ^ АХНН = АХН.
И, значит,
АХН = ВХН.(12)
Далее, используя соотношения (10) и (12), получаем
'АХВХ г АХНВХ с= Ах <АХВХ) Вх = АХВХ,
Ai (НВ^ = Ах (ВХН) = Ах (АХН) = АХН.
Следовательно, АХВХ = АХН.
Таким образом, соотношения (11) выполняются. Поэтому произведение АХВХ является подгруппой и, значит, по лемме 1.2 подгруппы Ах и Вх перестановочны.
Лемма доказана.
Лемма 1.13. Если при условиях леммы 1.12 пересечение подгрупп А и В локально конечно, то подгруппа АХВХ конечна.
Доказательство. Действительно, если при условиях леммы 1.12 пересечение подгрупп Л и В локально конечно, то с учетом соотношений (11) подгруппа АХВХ ввиду следствия 1.2 локально конечна. Поэтому она конечна, так как конечнопорождена.
Лемма доказана.
Далее через р всегда обозначается некоторое простое число, а через л — некоторое непустое множество простых чисел. Максимальная р- (л-) подгруппа произвольной группы называется ее силовской р- (л-) подгруппой (см. Курош [1]).
Ниже часто будет использоваться следующее вытекающее из теоремы Силова (см., например, Каргаполов, Мерзляков [1], теорема 11.1.1) предложение.
Если в локально конечной группе G хотя бы одна силов- ская /2-подгруппа конечна, то, во-первых, в группе G и любой ее фактор-группе все силовские /2-подгруппы конечны и сопряжены, во-вторых, образ каждой силовской /2-подгруппы группы G в произвольной ее фактор-группе является силовской /2-подгруппой и, в-третьих, каждая силовская /2-подгруппа произвольной фактор-группы группы G является образом в ней подходящей силовской /2-подгруппы группы G.
Лемма 1.14. Пусть G — группа, факторизуемая двумя локально конечными подгруппами А и В; L — локально конечная подгруппа группы G, порожденная некоторым множеством конечных инвариантных подгрупп групп G, А и В. Если для
некоторого р все р-подгруппы групп А и В конечны, то все р-подгруппы группы L конечны и их порядки не превосходят произведения порядка силовской р-подгруппы группы А на порядок силовской р-подгруппы группы В.
Доказательство. Пусть Р — произвольная конечная /2-подгруппа группы L. Очевидно, Р содержится в конечной подгруппе Н группы L, порожденной некоторыми инвариантными подгруппами групп G, А и В. Ввиду леммы 1.13 Н содержится в некоторой конечной подгруппе F, факторизуемой относительно разложения G = АВ. Пусть рт и рп — порядки силовских /2-подгрупп соответственно групп А и В. Порядки силовских /2-подгрупп групп ^П^и^П^не превосходят соответственно рт и рп. Поэтому ввиду теоремы Силова наибольшая степень числа р, делящая соответственно [^ГМ! и IFQBI, не превосходит соответственно рт и рп. Следовательно, наибольшая степень числа р, делящая |F| (=Т(Ж5)7и/^^ пРевосходИт Рт+П и- значит. 1р1 не превосходит числа ртДгП. Поэтому ввиду произвольности Р все /2-подгруппы группы L, очевидно, конечны и их порядки не превосходят числа рт^п— произведения порядков силовских /2-подгрупп групп А и В.
Лемма доказана.
Лемма 1.15. Пусть G — бесконечная конечнопорожденная локально ступенчатая группа. Тогда G обладает некоторым бесконечным (строго) убывающим рядом
Go^ G ... "zd Gi^d , 1=1,2,..., конечнопорожденных характеристических подгрупп конечного индекса.
Доказательство. Группа G обладает подгруппой некоторого конечного индекса т Ф 1. По теореме М. Холла (см., например, Курош [1], с. 250) в конечнопорожденной группе множество подгрупп данного конечного индекса конечно. Поэтому по теореме Пуанкаре пересечение Gx всех подгрупп индекса т группы G имеет в ней конечный индекс. Подгруппа Gx бесконечна, очевидно, характеристична в G и по теореме Шрейера конечнопорождена. Поэтому группа Gx, как и G, имеет некоторую характеристическую подгруппу G2 конечного, отличного от единицы индекса. Подгруппа С2, будучи характеристичной в Gx, характеристична и в G. Точно так же G2 имеет некоторую характеристическую подгруппу G3 отличного от единицы индекса и т. д.
Лемма 1.16. (С. Н. Черников [9]). Пусть G— локально конечная группа и Н — ее конечная р-подгруппа. Если
централизатор в G подгруппы Н удовлетворяет условию минимальности для р-подгрупп, то и группа G удовлетворяет этому условию.
Доказательство. Заметим сначала, что централизатор подгруппы Н в G имеет конечный индекс в ее нормализаторе в G. Поэтому в доказательстве леммы 1.16 условие минимальности для /2-подгрупп централизатора Cq (Н) можно заменить условием минимальности для /2-подгрупп нормализатора Ng (Ну
Пусть доказываемая лемма неверна. Не нарушая общности, можно считать порядок подгруппы Н наименьшим, при котором Ng (//) — группа с условием минимальности для /2-подгрупп. Пусть К — подгруппа индекса р из Н. Тогда ввиду предположения о порядке подгруппы Н группа F = = No (К) не является группой с условием минимальности для /2-подгрупп.
Очевидно, Nf (//) = Ng (Н) П Л поэтому NF (Н) — группа с условием минимальности для /2-подгрупп. Нетрудно убедиться, что условию минимальности для /2-подгрупп удовлетворяет и группа Np/к (Н/КУ Пусть А/К — какая-нибудь максимальная элементарная абелева /2-подгруппа группы F/K^ содержащая подгруппу Н/К. Так как NF/k (Н/К) — группа с условием минимальности для /2-подгрупп, то подгруппа A/К конечна. Известно, что если в локально конечной группе некоторая максимальная элементарная абелева /2-подгруппа конечна, то группа удовлетворяет условию минимальности для /2-подгрупп (Кегель, Верфриц [2], лемма 3.1). Поэтому группа F/К удовлетворяет условию минимальности для /2-подгрупп. Но тогда ввиду конечности /2-подгруппы К условию минимальности для /2-подгрупп удовлетворяет и группа F. Получилось противоречие.
Лемма доказана.
Лемма 1.17 (Амберг [2]). Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В; А* и В* — некоторые подгруппы конечных индексов соответственно групп А и В, Н — подгруппа, порожденная А* и В*. Тогда индекс подгруппы Н в G конечен.
Доказательство. Пусть av ... ,ат — взятые по одному представители левых смежных классов группы А по подгруппе Д*; bv ... ,Ьп— взятые по одному представители правых смежных классов группы В по подгруппе В*, и gu=ajbh i = 1, ... ,т, j= 1,... ,п. Тогда
G = АВ = [J atA*B*bj = [J а^Ь, = Ц ^На^ 8и. (13) Ц hj hj
Согласно лемме Б. Неймана [2] (см. еще Робинсон [2J, лемма 4.17), если группа G покрывается конечным множеством смежных классов по некоторым ее (необязательно различным) подгруппам, то хотя бы один из них отвечает подгруппе конечного индекса, и группа G покрывается теми из них, которые отвечают подгруппам конечного индекса. Поэтому с учетом соотношения (13) подгруппа Н имеет конечный индекс в G.
Лемма доказана.
Определение 1.3. Будем говорить, что группа G факторизуема некоторыми своими подгруппами Au t £ / (иначе, разложима в произведение подгрупп Ли t С /), где I— упорядоченное множество мощности ^ 2, если любой ее элемент содержится в произведгнии конечного числа этих подгрупп, взятых в порядке, определяемом упорядоченностью в множестве 1.
Нетрудно убедиться, что группа G разложима в произведение попарно перестановочных подгрупп Лр tfl (т. е. таких, что ЛаДр = ЛрЛа при любых а,р^1), тогда и только тогда, когда она порождается ими.
Из леммы 1.17 непосредственно вытекает следующее утверждение.
Следствие 1.3. Пусть G — группа, факторизуемая п попарно перестановочными подгруппами Ab i = 1,2,...,^; А£—подгруппы конечного индекса групп At, Н— подгруппа, порожденная всеми А£ . Тогда индекс подгруппы Н в G конечен.
Далее для произвольной группы X через J (X) обозначается пересечение всех ее подгрупп конечного индекса. Легко убедиться, что фактор-группа XU (X) финитно аппроксимируема.
Лемма 1.18 (А м б е р г [5]). Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В с конечными фактор-группами AU (Л) и BU (В). Тогда фактор-группа G/J (G) конечна и
J (G) — {J (A)\jJ (В)). (14)
Доказательство. Так как фактор-группы A/J (Л) и В/J (В) конечны, то ввиду леммы 1.17 подгруппа U (Л) (J J (В)) имеет конечный индекс в G. Поэтому J (G) г е (J (Л) (J J (В)). Пусть 3 — произвольная подгруппа конечного индекса группы G. Тогда |Л : (Л П *S)| ^ |G : 3| и | В : (В П 3) | ^J | G : 3 |. Следовательно, J^^ARS и J (В) г с 6 П 3 и, значит,
(J (Л) и J (5)) г ((Л л 3) и (В п 3)) £ 3.
Поэтому ввиду произвольности подгруппы S У (Л) U J (В)} с ^J(G\ Итак, соотношение (14) выполняется.
Лемма доказана.
Из леммы 1.18 непосредственно вытекает следующее утверждение.
Следствие 1.4. Пусть G — группа, факторизуемая п попарно перестановочными подгруппами Ль i = 1, 2, ..., п, с конечными фактор-группами AJJ (Л J. Тогда фактор-группа GIJ (G) конечна и J(G) = { [J J (Л^)).
i=lп
Доказательство теоремы 1.2. Пусть группа G — не черниковская. Подгруппы Л и В — черниковские и потому удовлетворяют условию минимальности. Учитывая это, нетрудно убедиться, что группа G удовлетворяет условию минимальности для нечерниковских подгрупп, факторизуемых относительно разложения G = АВ. Поэтому группа G имеет некоторую нечерниковскую подгруппу F, факторизуемую относительно разложения G = ЛВ, все собственные подгруппы которой, факторизуемые относительно разложения G = АВ (или, что то же, относительно разложения F = (F Q Л) (В П В)) черниковские. Не нарушая общности, далее можно считать, что G = F, ив связи с этим предполагать следующее: каждая собственная подгруппа группы G, факторизуемая относительно разложения G = Л В,— черниковская.
Подгруппы J (Л) и J (В) имеют конечные индексы соответственно в Л и В, причем каждая из них является прямым произведением конечного числа квазициклических подгрупп. Обозначим через At и Вь 1=1, 2, ..., подгруппы соответственно групп J (Л) и J (В), порожденные всеми их элементами, порядки которых не превосходят I. Очевидно, подгруппы Лг и Bt конечны и инвариантны соответственно в Л и В, и At ^ Л,+1, Bt с Вж, i=l,2, ... Обозначим через Н подгруппу у (Л) (J J (В)). Используя лемму 1.18, нетрудно убедиться, что из предположения о нечерниковости группы G вытекает нечерниковость подгруппы Н. Очевидно, н = и (Лив,).
/=1,2,...
Дальнейшую часть доказательства разобьем на три этапа.
1°. Покажем, что подгруппа Н локально конечна. Пусть это не так. Тогда для некоторого к подгруппа К = (Ак U U Вк) бесконечна. Так как подгруппа К порождена инвариантной подгруппой группы А и инвариантной подгруппой группы В, и подгруппы Л и В периодические, то ввиду леммы 1.6 нормализатор Ng (К) факторизуем относительно разложения G = АВ. Поскольку подгруппа К бесконечна по пред-
положению и конечнопорождена, то подгруппа Ng (К) не локально конечная и, значит, нечерниковская. Поэтому Ng (К)= = G, т. е. подгруппа К инвариантна в G. Тогда ввиду леммы 1.15 подгруппа К обладает некоторым убывающим рядом Ко = = К Ki =э ... zd К^ ..., i = О, 1, 2, ..., инвариантных в G подгрупп.
Рассмотрим произвольную подгруппу К [В. Она не удовлетворяет условию минимальности и, значит, нечерниковская. Ввиду леммы 1.8 подгруппа К5В факторизуема относительно разложения G = АВ. Следовательно,
KtB = G, i = 0, 1,2,...KtB = G, i = 0, 1,2,...(15)(15)
KtB = G, i = 0, 1,2,...
KtB = G, i = 0, 1,2,...
(15)
(15)
(Напомним, что любая истинная подгруппа группы G, факторизуемая относительно разложения G = АВ, по предположению является черниковской.) Группа В, будучи черников- ской, удовлетворяет условию минимальности для подгрупп. Поэтому при некотором т
Кт^\В-Кт^В.Кт^\В-Кт^В.(16)(16)
Кт^\В-Кт^В.
Кт^\В-Кт^В.
(16)
(16)
Теперь, используя лемму 1.7 и учитывая соотношения (15) и (16), получаем
кт=кт л G=кт л кт+1в=кт+1 (Кт Л S) =
= ^(Km+inB) = Km+1,
что невозможно. Полученное противоречие доказывает, что подгруппа Н локально конечна.
2°. Покажем, что при любом р группа Н удовлетворяет условию минимальности для /7-подгрупп.
Обозначим через Р и Q силовские /7-подгруппы соответственно групп J (Л) и J (В). Очевидно, подгруппы Р и Q инвариантны соответственно в Л и В.
Рассмотрим сначала случай, когда подгруппы Р и Q инвариантны в G. В этом случае подгруппа PQ является черниковской и, значит, удовлетворяет условию минимальности. Рассмотрим фактор-группу GIPQ. Она факторизуема подгруппами APQIPQ и BPQIPQ. Учитывая, что индексы подгрупп J (Л) и J (В) соответственно в Л и В конечны, легко убедиться, что в группах APQIPQ и BPQ/PQ все /7-подгруппы конечны. Далее, так как подгруппа Н локально конечна и порождена некоторыми конечными инвариантными подгруппами групп Л и В, то и подгруппа^В/PQ фактор-группы GIPQ локально конечна и порождена" некоторыми конечными инвариантными подгруппами групп APQIPQ и BPQIPQ. Следовательно, ввиду
леммы 1.14 все р-подгруппы группы HIPQ конечны. Так как подгруппа PQ удовлетворяет условию минимальности и в фактор-группе HiPQ все р-подгруппы конечны, то подгруппа Н удовлетворяет условию минимальности для р-подгрупп.
Пусть теперь хотя бы одна из подгрупп Р и Q, например Р, не инвариантна в группе G. Тогда, очевидно, для некоторого п подгруппа ЛПП^ не инвариантна в группе G, т. е. Ng (Лп f) Р) Ф G. Подгруппа Лп Q Р конечна и инвариантна в Л. Поэтому Л г Nq (Лп П Р) и, значит, ввиду леммы 1.8 подгруппа Ng (Лп П Р) факторизуема относительно разложения G = AB. Тогда подгруппа NG(An(\P) черниковская и, значит, удовлетворяет условию минимальности. Следовательно, подгруппа N^AnftP) удовлетворяет условию минимальности для (всех) подгрупп, и потому ввиду леммы 1.16 подгруппа Н удовлетворяет условию минимальности для р-подгрупп.
3°. Так как подгруппа Н локально конечна и порождается некоторыми конечными инвариантными подгруппами подгрупп Л и 5, то ввиду леммы 1.11 л (//) г л (Л) U л (В). Множества л (Л) и л (В), очевидно, конечны. Следовательно, множество л (Н) конечно. Поэтому произвольная абелева подгруппа группы Н разлагается в прямое произведение конечного числа примарных подгрупп. (Напомним, что примар- ная группа — это р-группа для некоторого простого р. Любая периодическая абелева группа, как известно, разлагается в прямое произведение примарных по разным простым числам подгрупп.) Так как группа Н удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп, то отсюда, очевидно, вытекает, что произвольная абелева подгруппа группы Н удовлетворяет условию минимальности для (всех) подгрупп. Поэтому по теореме Шункова, приведенной в начале параграфа, подгруппа Н — черниковская. Полученное противоречие доказывает справедливость теоремы.
Определение 1.4 (С. Н. Черников [1, 81). Полной называется группа, каждый элемент которой можно при произвольном натуральном п представить в виде произведения п-х степеней некоторых ее элементов.
Определение 1.5. Подгруппу произвольной группы X, порожденную всеми ее полными подгруппами, будем называть полной частью группы X и обозначать через 5) (X).
Очевидно, подгруппа ф (X) полная и фактор-группа Х/ф (X) не имеет отличных от единицы полных подгрупп.
В связи с теоремой 1.2 возникает вопрос: будет ли черни- ковской произвольная группа (без дополнительных предположений о ней) факторизуемая двумя черниковскими подгруппами? Такой вопрос был поставлен также Амбергом [2] в свя-
зи с теоремой, относящейся к частному случаю теоремы 1.2 (см. примечание к теореме 1.2). Вопрос пока не решен.
В теореме 1.2 дополнительное требование локальной ступенчатости налагается на всю группу, однако, используя теорему 1.2, можно показать, что ее утверждение остается в силе, если налагать его не на всю группу, а только на полную ее часть. Это вытекает из приведенного ниже следствия 1.5.
Следствие 1.5. Группа, факторизуемая конечным числом попарно перестановочных черниковских подгрупп, является черниковской, если полные части любых двух подгрупп-множителей порождают в ней локально ступенчатую подгруппу.
Прежде чем переходить к доказательству следствия 1.5, отметим следующее.
В черниковской группе X полная часть совпадает с подгруппой J (X), имеет конечный индекс в X и разлагается в прямое произведение конечного числа квазициклических подгрупп.
Доказательство. Пусть G — группа, факторизуемая п попарно перестановочными черниковскими подгруппами Аь i = 1, 2, ..., п, полные части любых двух из которых порождают в ней локально ступенчатую подгруппу. Возьмем какие-нибудь две подгруппы At и Aj. Так как они перестановочны, то по лемме 1.2 их произведение—подгруппа группы G. В силу леммы 1.18 подгруппа (© ИО U 5) (40) имеет конечный индекс в подгруппе А^А, и инвариантна в ней. Следовательно, подгруппа АгА3 является конечным расширением локально ступенчатой группы и, значит, локально ступенчата. Тогда по теореме 1.2 подгруппа ДД —черни- ковская. Поэтому ее подгруппа ©(Л^О абелева. Так как Ф(Л) = Ф(ЛЛ) и Ф(Л)е®(Л;Лу), ТО подгруппы 5)(Л<) и 5) ИЛ поэлементно перестановочны. Следовательно, подгруппа ( [_J 5)(Лг)>—абелева. Так как она абелева и по-
1=1п
рождается конечным множеством черниковских подгрупп, то, очевидно, является черниковской. В силу следствия 1.4 подгруппа ( (J ®(Л)) совпадает с J (G) и имеет конечный 1=1п
индекс в G. Поэтому группа G — черниковская.
Следствие доказано.
В связи с теоремами 1.1 и 1.2 может представлять интерес следующее утверждение.
Следствие 1.6. Группа, факторизуемая конечным числом попарно перестановочных подгрупп с условием минимальности, является локально конечной с условием минимальности тогда и только тогда, когда пересечения всех подгрупп
конечного индекса любых двух подгрупп-множителей порождают в ней локально ступенчатую подгруппу.
Прежде чем перейти к доказательству следствия 1.6, отметим следующий, легко устанавливаемый факт.
Группа X удовлетворяет условию минимальности для подгрупп конечного индекса тогда и только тогда, когда подгруппа J (X) имеет в ней конечный индекс.
Доказательство. Пусть G — группа, факторизуемая п попарно перестановочными подгруппами At, f = 1, 2, ... ,п, с условием минимальности. Пусть каждая подгруппа У Д)\р Д)) локально ступенчата. Так как подгруппы J (4J и J (Лу) имеют конечные индексы соответственно в Аг и Ah то в силу леммы 1.18 подгруппа J (АД) совпадает с подгруппой U (Ai)\jJ (Aj)) и имеет конечный индекс в группе АД. Следовательно, подгруппа АД является конечным расширением локально ступенчатой группы и, значит, локально ступенчата. Поэтому ввиду теорем 1.1 и 1.2 каждая подгруппа АД черниковская, значит, группа G ввиду следствия 1.5 также черниковская.
Следствие доказано.
Следствие 1.7. Группа, факторизуемая попарно перестановочными черниковскими подгруппами, локально конечна, если полные части любых двух подгрупп-множителей порождают в ней локально ступенчатую подгруппу.
Следствие 1.8. Группа, факторизуемая попарно перестановочными подгруппами с условием минимальности, локально конечна тогда и только тогда, когда пересечения всех подгрупп конечного индекса любых двух подгрупп-множителей порождают в ней локально ступенчатую группу.
Следствия 1.7 и 1.8 легко вытекают соответственно из следствий 1.5 и 1.6.
Факторизация групп подгруппами с условием минимальности для примарных подгрупп
Теорема 1.2 из § 1 равносильна следующему утверждению: локально ступенчатая группа, факторизуемая двумя почти локально нормальными подгруппами с условием минимальности, является локально конечной группой с условием минимальности. Естественно возникает вопрос, будет ли справедливым аналогичное утверждение при условии минимальности для примарных подгрупп, более слабом, чем условие минимальности для всех подгрупп. Оказалось, что будет (см. теорему 1.3). Это по существу главный результат настоящего пара-
графа. Для его доказательства используется ряд вспомогательных утверждений — лемм; некоторые из них представляют самостоятельный интерес.
Лемма 1.19. Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В; L и М — некоторые непустые инвариантные множества элементов соответственно групп А и В. Тогда для любых элементов х и у группы G найдется такой ее элемент г, что Lx—Lz и Му = М2.
Доказательство. Пусть ух~х = Ьа, где Ь^В и а£А. Положим z = ах. Тогда Lx=^Lax =LZ и My=Mbax=Mbz=Mz.
Лемма доказана.
* Лемма 1.20 (В и л а н д т [1]). Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В. Тогда для любых элементов хи у группы G, во-первых, найдется такой ее элемент г, что Ах = А2 и Ву = В2, и, во-вторых, выполняется соотношение
G = AxBy.
Лемма 1.20 непосредственно вытекает из леммы 1.19.
В доказательстве следующей леммы используются теоремы Шура (см., например, Чунихин [4], теорема 1.5.1) и Шура— Цассенхауза (см. Чунихин [4], теорема 1.5.2). Приведем их формулировки.
В конечной группе дополняема произвольная инвариантная подгруппа, порядок которой взаимно прост с ее индексом (теорема Шура).
Пусть G — конечная группа, и N — ее инвариантная подгруппа, порядок которой взаимно прост с ее индексом в G. Тогда если подгруппа N или фактор-группа GIN разрешима, то все (существующие согласно теореме Шура) дополнения к N в G сопряжены в G и любая подгруппа группы G, пересекающаяся с N по единице, содержится в некотором дополнении к N в G (теорема Шура—Цассенхауза).
(Говорят, что в группе X подгруппа Y дополняема, если найдется такая подгруппа Z группы X, для которой X = YZ и У П Z = 1. При этом подгруппу Z называют дополнением к подгруппе Y в группе X.)
Лемма 1.21 (Н. С. Черников [12]). Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В; L и М — конечные инвариантные подгруппы соответственно групп А и В, такие, что порожденная ими подгруппа Н почти разрешима. Тогда если нормализатор подгруппы Н в G факторизуем относительно разложения G ~ АВ, то подгруппа Н конечна и
л (Н) = л (L) U л (УИ) U л (HIS (Н)).
(Для произвольной группы X через S (X) мы обозначаем подгруппу группы А", порожденную всеми ее инвариантными локально разрешимыми подгруппами.)
Нетрудно убедиться, что подгруппа S (X) разрешима, если группа X почти разрешима.
Примечание. В случае, когда подгруппа Н разрешима (т. е. когда // = ©(//)), лемма 1.21 превращается в предложение 5.3 из работы Амберга [2].
Доказательство. Обозначим подгруппу ® (//) через X, и множество л (L) U л (Л4) U л (Н/К) через а. Пусть нормализатор в G подгруппы Н факторизуем относительно разложения G = АВ, но Н не является конечной а-группой. (Напомним, что для произвольного непустого множества л простых чисел л-группой называется периодическая группа, все простые делители порядков элементов которой содержатся в л (см., например, Курош [1]).) Не нарушая общности, можно считать, что подгруппа Н инвариантна в G, т. е. что NgW = G.
Пусть К^ (л^О)— наименьший член ряда коммутантов подгруппы К» для которого фактор-группа Н!К^ будет конечной a-группой. Тогда фактор-группа ^/^п^ не является конечной a-группой. Так как подгруппа Н конечнопорождена и фактор-группа Н/К^ конечна, то по теореме Шрейера подгруппа Kw конечнопорождена. Следовательно, f^n)l^n^ — конечнопорожденная абелева группа. Пусть р— какое-нибудь число из разности л (Х(л)/Х(п+1))\а, если группа x^W'14'0 конечна, или какое-нибудь простое число, не входящее в а, если она бесконечна. Обозначим через RIK^^ подгруппу, порожденную /?-ми степенями всех элементов группы KwIK^+n- Как вытекает из основной теоремы об абелевых группах с конечным числом образующих (см., например, Курош [1]), конечнопорожденная абелева группа содержит подгруппу индекса р, если она бесконечна, или конечна, а р делит ее порядок. Отсюда следует, что Х/Х(л+1) =#Х(л)/Х(л+1). Очевидно, фактор-группа Kw/R является неединичной конечной р-группой. Легко убедиться, что подгруппа R инвариантна в G.
Рассмотрим фактор-группу G/R. Для произвольной подгруппы X группы G подгруппу XR/R фактор-группы G/R обозначим через X. Тогда G = АВ; L и М — конечные инвариантные а-подгруппы соответственно групп А и В, Н = = (L U М); подгруппа Н конечна, К^ — отличная от единицы инвариантная абелева р-подгруппа группы Н; фактор-группа HIKW является а-группой.
83833 - 6-622
83
83
Так как р ^.о, то ввиду теоремы Шура подгруппа Kw дополняема в Н. Далее, поскольку подгруппа К^т абелева, то ввиду теоремы Шура — Цассенхауза подгруппы L и М со дер. жатся в некоторых дополнениях соответственно С и D к подгруппе К^ в Н, сопряженных в Н. Пусть D = Cg, gEH.
Ввиду леммы Ы9 подгруппа (L J ^Ю ^ Н сопряжена в G с подгруппой (Lg\J М), содержащейся в D, и, значит, является о-группой, что невозможно ввиду правила выбора числа р. Полученное противоречие доказывает справедливость леммы.
Лемма 1.22, Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В, хотя бы одна из которых периодическая; L — локально почти разрешимая подгруппа группы G, порожденная некоторым множеством конечных инвариантных подгрупп групп А и В. Тогда подгруппа L локально конечна и
л (L) е л (Д) (J л (В). (1)
Доказательство. Пусть Н — произвольная подгруппа группы L, порожденная конечной инвариантной подгруппой группы А и конечной инвариантной подгруппой группы В. Очевидно, все такие подгруппы Н образуют локальную систему группы L. Ввиду леммы 1.6 нормализатор подгруппы Н в G факторизуем относительно разложения G = АВ. Далее, так как подгруппа Н конечнопорожденная, то она почти разрешима. Поэтому ввиду леммы 1.21 подгруппа Н конечна. Следовательно, подгруппа L локально конечна. Тогда по лемме 1.11 выполняется соотношение (1).
Лемма доказана.
' В формулировке следующей леммы и в дальнейшем учитывается известная теорема С. Н. Черникова [2] (см. также С. Н. Черников [8], теорема 4.1).
Локально конечные р-группы с условием минимальности для абелевых подгрупп — это в точности черниковские р-группы.
Лемма 1.23 (С. Н. Черников [5], лемма 8.5). Если для некоторого р все р-подгруппы локально конечной группы G черниковские (или, что равносильно, группа G удовлетворяет условию минимальности для р-подгрупп), то и все р-подгруппы произвольной фактор-группы группы G являются черников- скими (или, что равносильно, произвольная фактор-группа группы G удовлетворяет условию минимальности для р-под- групп).
Используя лемму 1.23, нетрудно доказать следующее известное предложение.
В произвольной группе любое конечное множество инва-
риантных локально конечных подгрупп, удовлетворяющих условию минимальности для /7-подгрупп, порождает локально конечную подгруппу, удовлетворяющую этому условию.
Лемма 1.24. Пусть G— локально конечная группа с условием минимальности для р-подгрупп; Н — произвольная инвариантная подгруппа группы G, содержащая ее полную часть (в частности, произвольная инвариантная подгруппа группы G , содержащая J (G)). Тогда в фактор-группе G/Н все р-подгруп- пы конечны.
Доказательство. Действительно, ввиду леммы 1.23 в фактор-группе G/^ (G) все /2-подгруппы черниковские. Так как последняя не имеет отличных от единицы полных подгрупп, то отсюда следует, что все ее /2-подгруппы конечны. Поэтому ввиду предложения, приведенного перед леммой 1.14, в группе G/H ~ (G/<3) (G))/(///5) (G)) все/2-подгруппы конечны.
Лемма доказана.
Лемма 1.25 (Н. С. Черников [14]). Пусть G — группа, факторизуемая двумя локально конечными подгруппами А и В, удовлетворяющими условию минимальности для при- марных подгрупп (или, что равносильно, локально конечными подгруппами А и В, все примарные подгруппы которых черниковские); С и D — конечные инвариантные подгруппы соответственно групп А и В и И — подгруппа, порожденная подгруппами С и D. Тогда если подгруппа Н локально ступенчата, то она конечна.
Доказательство. Будем считать, что И^ 1, так как иначе лемма не нуждается в доказательстве. Пусть подгруппа Н локально ступенчата. Поскольку подгруппы А и В периодические, то ввиду леммы 1.6 нормализатор в G подгруппы Н факторизуем относительно разложения G = АВ. Не нарушая общности, можно считать, что подгруппа И инвариантна в G (т. е. что Ng (Н) = И). Дальнейшую часть доказательства разобьем на несколько этапов.
1°. Возьмем произвольное простое р и произвольную инвариантную подгруппу Т конечного индекса группы G. Ввиду леммы 1.24 в каждой из фактор-групп A/J (Д) в В/J (В) все си- ловские /2-подгруппы конечны и, значит, сопряжены (см. предложение, предшествующее лемме 1.14). Пусть рк и pl (h> ^ 0, / ^ 0) — порядки силовских /2-подгрупп соответственно фактор-групп АН (Д) и ВН (В). Покажем, что наибольшая степень числа р, делящая порядок фактор-группы G/Т, не превосходит числа рк^*1.
Действительно, ввиду предложения, приведенного перед леммой 1.14, в группах АТ/Т (A/J (А))/((А П Т)Н (Д)) и BTIT ^ (ВП (В))!((В П T)/J (6)) порядки силовских /2-подгрупп
tie превосходят соответственно p и p. Поэтому ввиду теоремы Силова наибольшая степень числа р, делящая |ЛТ/Т| и \ВТ/Т\, не превосходит соответственно рк и р1. Так как G1T = (ЛТ/Т) №TV то I G1T |
Отсюда и следует требуемое утверждение.
2°. Выделим и зафиксируем содержащее множества л (С) и л (£)) конечное множество о простых чисел и натуральное число пг, такие, что для произвольной конечной фактор-группы GIT группы G выполняются следующие условия:
фактор-группа (G/T)/@ (G/Т) является о-группой;
индекс | (G/T) : 0О' (G/Т) | делит пг.
(Напомним, что для произвольного множества л простых чисел через л' обозначается дополнение к нему в множестве всех простых чисел. Напомним также, что для произвольной группы X и произвольного непустого множества л простых чисел через Оя (X) обозначается подгруппа группы X, порожденная всеми ее инвариантными л-подгруппами. Подгруппа Ол (X), очевидно, является л-группой.)
Возьмем какую-нибудь инвариантную подгруппу L конечного индекса группы G, такую, что | G/L | делится на наибольшую допустимую степень числа 2 (см. п. Г доказательства). Нетрудно убедиться в том, что индекс в подгруппе L произвольной, содержащейся в ней подгруппы М конечного индекса, инвариантной в G, не делится на 2. По теореме Фейта — Томпсона [1] конечная группа нечетного порядка разрешима. Поэтому фактор-группа L/М разрешима. Зафиксируем множество а = л (С) U л (D) (J л (G/L).
Для каждого р £ а возьмем какую-нибудь (одну) инвариантную подгруппу конечного индекса группы G, такую, что порядок фактор-группы G по ней делится на наибольшую допустимую степень р (см. п. Г доказательства). Обозначим через F пересечение взятых подгрупп. Так как множество а конечно, то ввиду теоремы Пуанкаре подгруппа F имеет конечный индекс в G.
Нетрудно убедиться, что индекс в подгруппе F произвольной, содержащейся в ней инвариантной в G подгруппы М конечного индекса не делится ни на одно р из о. Поэтому факторгруппа F/М является а'-группой.
Зафиксируем число m = |G/F|. Покажем, что множество а и число пг удовлетворяют требуемым условиям.
Рассмотрим подгруппу LTIT группы G/Т. Она изоморфна фактор-группе L/(L П Т) группы L и потому разрешима. Следовательно, LT/T с S (G/Т). Далее, фактор-группа (G/T) / (LT/T) группы GIT изоморфна фактор-группе (G/L)/(LT/L) группы G/L и, значит, как и G/L, является о-группой. Поэто- 36
му и фактор-группа (G/T)/@ (G/T) — о-группа. Таким образом, условие «1» выполняется.
Рассмотрим подгруппу FT/T группы G/Т. Она изоморфна фактор-группе F/(F П Т) группы F и потому является о'-груп- пой. Следовательно, FT/T с OQ' (GIT). Далее, фактор-группа (G/T)/(FT/T) группы G/Т изоморфна фактор-группе (G/F)l /(FT IF) группы G/F и, значит, ее порядок делит т. Поэтому и индекс | (G/T):Oa'(G/T) | делит т. Таким образом, выполняется и условие «2».
В пп. 3°—5° доказательства в отличие от пп. 1°, 2° Т — произвольная подгруппа конечного индекса группы Н, инвариантная в G.
3°. Покажем, что фактор-группа (H/T)/Z (Н/Т) группы Н/Т по ее центру Z (Н/Т) изоморфна подгруппе некоторой конечной фактор-группы группы G. Рассмотрим централизатор Cq(H!T) секции HIT в группе G (т. е. пересечение нормализаторов в G всех смежных классов группы Н по подгруппе Т). Так как подгруппы Н и Т инвариантны в G и секция HIT конечна, то, очевидно, подгруппа CG (HIT) инвариантна в G и фактор-группа G/CQ (HIT) конечна. Покажем, что факторгруппа (H/T)/Z(H/T) изоморфна подгруппе HCG(H/T)/CG(H/T) фактор-группы G/CQ(H/T).
Действительно, очевидно, Z (Н/Т) = (CG (HIT) П Н)1Т и, значит,
(H/T)/Z (HIT) = (H/T)I((CG (HIT) П H)/T)~ HI(CG (HIT) П H) ~
~ЯС6(Я/Т)/С0(Я/Т).
4°. Покажем, что фактор-группа HIT группы Н по коммутанту Т подгруппы Т является конечной о-группой. Рассмотрим фактор-группу G/T. Подгруппа HIT группы G/Т инвариантна в ней, почти абелева (и вместе с этим почти разрешима) и порождается конечными инвариантными подгруппами СТ IT и DTIT соответственно групп AT IT и ВТ!Т.
Очевидно,
л (СТ/Т) с л (С) с а и n(DT/T')c л(О) со. (2)
Далее, так как фактор-группа (H/T)/Z (HIT) изоморфна подгруппе некоторой конечной фактор-группы группы G (см. п. 3° доказательства), то она является расширением разрешимой группы с помощью о-группы. Используя это, нетрудно убедиться в том, что
п((Н1П1®ф1ТЗ)га.(3)
Теперь, используя лемму 1.21 и учитывая соотношения (2) и (3), убеждаемся, что группа HIT конечна и выполняется соотношение л (HIT) с а. Таким образом, HIT — конечная а-группа.
5°. Покажем, что индекс | (HIT) : Z (HIT) | делит т. Действительно, фактор-группа (HIT) / Z (HIT) согласно п. 3° доказательства изоморфна подгруппе некоторой конечной факторгруппы группы Сив силу утверждения п. 4° доказательства является о-группой. Но произвольная конечная фактор-группа группы G — расширение о'-группы с помощью группы, порядок которой делит т (см. п. 2° доказательства). Поэтому порядок фактор-группы (H/T)/Z (HIT) и вместе с ним индекс | (Н/Т) : Z (HIT) | делят т.
6°. Покажем, что подгруппа Н конечна. Пусть К — какая- нибудь инвариантная в G подгруппа конечного индекса группы Н, такая, что индекс |(///Л) : Z (Н1К)\ является наибольшим возможным (как показано в п. 5°, он делит число т). Поскольку фактор-группа Н/К' конечна (см. п. 4° доказательства), то достаточно показать, что К' = 1. Далее, подгруппа К' конечнопорождена ввиду теоремы Шрейера. Поэтому с учетом локальной ступенчатости группы G достаточно показать, что подгруппа К' не содержит истинных подгрупп конечного индекса.
Пусть R — произвольная подгруппа конечного индекса группы К. Покажем, что R = К'. Ввиду теоремы М. Холла пересечение всех подгрупп группы К\ индексы которых в К' равны | К' : R |, имеет конечный индекс в К'. Обозначим через S это пересечение. Очевидно, подгруппа S инвариантна в группе Н.
Так как индекс I (Н/К) : Z (Н/К) | максимален, то\(Н/8) : : Z (Н/S) | < | (Н/К) : Z (Н/К) | = | ((H/S)/(K/S)) : Z ((H/S)/ / (/C/S;)|, т. е. индекс центра в группе Н/S не превосходит индекса центра в фактор-группе (Н/8)/(К/8). Тогда, очевидно, К/8 е Z (Н/S). Поэтому группа К/8 абелева. Следовательно, К' ^ S г R и, значит, К' = R.
Лемма доказана.
Следствие 1.9. Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и 6, хотя бы одна из которых периодическая; Н — подгруппа, порожденная конечной инвариантной подгруппой группы А и конечной инвариантной подгруппой группы 6, N — нормализатор подгруппы Н в G. Тогда если пересечения N f) А и N П В локально конечны и удовлетворяют условию минимальности для примарных подгрупп, то факторгруппа HU (Н) конечна.
Доказательство. Пусть пересечения N П А и N Q В локально конечны и удовлетворяют условию мини- 38
мальности для примарных подгрупп. Так как хотя бы одна из подгрупп Л и В периодическая, то ввиду леммы 1.6 нормализатор N факторизуем относительно разложения G = АВ. Не нарушая общности, можно считать, что подгруппа Н инвариантна в G (т е. что N = G). Тогда, во-первых, подгруппа J (Я), будучи характеристической подгруппой группы Н, инвариантна в G, во-вторых, Л и В — локально конечные группы с условием минимальности для примарных подгрупп. Рассмотрим фактор-группу HU (Н). Для произвольной подгруппы X группы G подгруппу XJ (H)/J (Н) фактор-группы GU (Н) будем обозначать через X. Очевидно, G = ЛВ; подгруппы Л и В локально конечны; L и М — конечные инвариантные подгруппы соответственно групп Л и В; Н = = {L (J М). Далее, подгруппы Л и В ввиду леммы 1.23 удовлетворяют условию минимальности для примарных подгрупп, а подгруппа Н, как легко видеть, локально ступенчата. Поэтому ввиду леммы 1.25 группа Н = Н/J (Н) конечна.
Следствие доказано.
Вместе со следствием 1.9 мы доказали следующее утверждение.
Следствие 1.10. Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами Л и В, хотя бы одна из которых периодическая; Н — подгруппа, порожденная конечной инвариантной подгруппой группы А и конечной инвариантной подгруппой трупы В, и N — нормализатор подгруппы Н в G. Тогда если подгруппа Н локально ступенчата, и пересечения N А А и N f| В локально конечны и удовлетворяют условию минимальности для примарных подгрупп, то подгруппа Н конечна.
Лемма 1.26 (В и л а н д т [2]). Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В; Н — некоторая подгруппа группы G. Следующие условия равносильны;
подгруппа Н факторизуема относительно разложения G = АВ и содержит пересечение Л П В;
каковы бы ни были элементы а^ А и b £ В, произведение ab содержится в Н в том и только в том случае, когда элементы а и b содержатся в Н.
Доказательство. Пусть выполняется условие «Ь. Покажем, что выполняется условие «2». Пусть а С А и b £ В — элементы, для которых ab С Н. Так как подгруппа Н факторизуема относительно разложения G = АВ, то ab = = а*Ь* для некоторых элементов а* С (Н ^ А) и Ь* £ Е (Я П В). Отсюда получаем
и (о*Г*а = 6*6-* 6 (Л П В) 6 Я а^а*Н = Н, Ь^НЬ* = Н.
Итак, при условии «1» выполняется условие «2». Обратное очевидно. Лемма доказана.
Из леммы 1.26 непосредственно вытекает следующее утверждение.
Следствие 1.11. Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В; Н — подгруппа группы G, содержащая пересечение А П В и факторизуемая относительно разложения G = АВ; Аг и Вг — некоторые подгруппы соответственно групп А и В, содержащие пересечение А П В. При этих условиях подгруппа Н факторизуема подгруппами Аг и Вг тогда и только тогда, когда Аг — Н Q А и Вг = Н П В.
Лемма 1.27 (Амберг [2]). Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В. Тогда пересечение произвольной совокупности подгрупп группы G, факторизуемых относительно разложения G = АВ и содержащих пересечение А П В, является подгруппой, факторизуемой относительно этого разложения.
Доказательство. Пусть Hi, i Е I, — факторизуемые относительно разложения G = АВ подгруппы группы G, каждая из которых содержит пересечение А П В; Н = П Ни
Если для некоторых элементов а 6 А и b £ В произведение ab содержится в Н, то оно содержится и в каждой подгруппе HL. Поэтому ввиду леммы 1.26 элементы а и b содержатся в каждой подгруппе Hi и, значит, в Н. Следовательно, снова ввиду леммы 1.26 подгруппа Н факторизуема относительно разложения G = АВ.
Лемма доказана.
Лемма 1.28. Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В; Н — некоторая подгруппа группы G. Если подгруппа Н обладает локальной системой подгрупп, факторизуемых относительно разложения G = АВ, то она сама факторизуема относительно этого разложения.
Справедливость этой леммы очевидна.
Лемма 1.29.Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В; Н — некоторая подгруппа группы G; ^Н^, I Е I,— произвольная локальная система подгрупп группы Н. Пусть, далее, F — пересечение всех подгрупп группы G, факторизуемых относительно разложения G = АВ и содержащих подгруппы Н и А Г) В; Ft,— пересечение всех подгрупп группы G, факторизуемых относительно разложения G = АВ и содержащих подгруппу Ни и подгруппу А П В. Тогда, во-первых, подгруппы F и FL, lEL факторизуемы относительно разложения G = АВ и, во-вторых, подгруппы Fi, lEL составляют локальную систему группы F, причем всякому нестрогому включению Нк е Н^ соответствует нестрогое включение F-k^F^.
Доказательство. Подгруппы F и Fu i£l, ввиду леммы 1.27 факторизуемы относительно разложения G = AB. То, что включению Нх Н^ соответствует включение Fx г с F^ очевидно.
Покажем, что подгруппы Fv, iCL составляют локальную систему подгруппы F. Обозначим через F* множество (J Ft.
Учитывая, что подгруппы Н^, i£I, составляют локальную систему подгруппы Н и каждому включению Нх ^ Ну соответствует включение Fx^Fy, легко убедиться в следующем: F* является подгруппой группы G, а подгруппы FL, HI, составляют ее локальную систему.
Покажем, что F = F*. Поскольку каждая подгруппа F факторизуема относительно разложения G = АВ, а все они составляют локальную систему подгруппы F*, то ввиду леммы 1.28 подгруппа F* факторизуема относительно разложения G = АВ. Так как подгруппа F* факторизуема относительно разложения G=AB и, очевидно, содержит подгруппы Н и А П В, то F г р*. С другой стороны, очевидно, F^^F, iСI, и, значит, F* ^F. Следовательно, F = F*. Поэтому подгруппы Fu i g I, составляют локальную систему группы F.
Лемма доказана.
Лемма 1.30 (А м б е р г [2]). Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В; F — ее подгруппа, факторизуемая относительно разложения G = АВ и содержащая пересечение A П В. Тогда
F = AF{\ BF.(4)
Доказательство. Пусть g — произвольный элемент множества AF fl BF. Тогда g = af = bft для некоторых элементов а С А, b £ В и f £ F, ^ С F. Отсюда Ь~га = fj-1 С F. Так как произведение Ь-Ха принадлежит F, и F содержит пересечение А П В, то ввиду леммы 1.26 а £ F. Поэтому элемент g = af принадлежит F. Таким образом, AF П BF е F, следовательно, соотношение (4) выполняется.
Лемма доказана.
Примечание к лемме 1.30. Из соотношения (4) вытекает соотношение F = FA fl FB. Действительно, так как пересечение AF fl BF является подгруппой группы G, то AF fl BF = =(AF n BFF^OT-1 A (B/7)-1 = z7-^-1 n F-1B-1 =MA A FB.
Лемма 1.31 (Амберг [2]). Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В; Н — некоторая подгруппа группы G, перестановочная с подгруппами А и В; F — пересечение всех подгрупп группы G, факторизуемых относительно
разложения G= АВ и содержащих подгруппы Н и А П В; А* = А А ВН и В* = В А АН. Тогда выполняются соотношения
F = АН [\ ВН = А*В* = А*Н = В*Н.
Доказательство. Покажем, что F = АН А ВН. Так как подгруппы АН и ВН факторизуемы относительно разложения G = АВ (см. лемму 1.8) и содержат пересечение А А В, то ввиду леммы 1.27 подгруппа АН А ВН факторизуема относительно разложения G = АВ. Поскольку при этом она содержит подгруппы Н и А А В, то F г АН А ВН. Но, с другой стороны, ввиду леммы 1.30 F = AF A BF. Следовательно, АН А ВН с AF A BF = F. Таким образом, F = = АН А ВН.
Чтобы доказать справедливость соотношений
АН А ВН = А*В* = А*Н - В*Н,
достаточно повторить доказательство леммы 1.9.
Лемма доказана.
Лемма 1.32. Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В; Н — некоторая подгруппа группы G, F — пересечение всех подгрупп группы G, факторизуемых относительно разложения G = АВ и содержащих подгруппы Н и А А В. Пусть для некоторой подгруппы С, факторизуемой относительно разложения G = АВ и содержащей подгруппы Н и А П В, подгруппа Н перестановочна с подгруппами С А А и С А В. Тогда выполняются соотношения
F = AH А ВН = НА А НВ - (F A A^F А В) =
= (FA А) Н =ЦР (\ В) Н.(5)
Доказательство. Применяя лемму 1.31 к подгруппе Н и факторизации С = (С А Л) (С А В) группы С, получаем
(С А А)Н А (С А В)Н = № А Л) А (С А В)НН(С А В) А
А (С А А)Щ = ((С А Л) А (С А В)Н)Н =
= ((С А В) А (С А А)ЩН.(6)
Легко видеть, что подгруппа F совпадает с пересечением всех подгрупп группы С, факторизуемых относительно разложения С = (С А Л) (С А В) и содержащих подгруппы Н и А А В. Поэтому ввиду леммы 1.31
F = (CA А)Н П(СПВ)Я.(7)
Следовательно, с учетом соотношения (7)
F A A = F А (С А А) - (С А Л) А (С А В)/7,
EAB = FA(CA В) = (С А В) А (С А А)Н. (8)
Используя соотношения (6) — (8), получаем F = (F А Л) (F А A 5) = ^ А Л)В = (^ А В)Я.
Покажем, что F = AH А ВН. Так как подгруппа F факторизуема относительно разложения G = AB и содержит пересечение Л А В, то ввиду леммы 1.30 F = AF A BF. Следовательно, с учетом включения H^F и соотношения (7) получаем АН А ВНгАР A BF ^Р=(СПА)Н А (САВ)Н^ ^АН А ВН. Ввиду последних соотношений F = АН А ВН. Поэтому F ^ НА А НВ (см. примечание к лемме 1.30).
Лемма доказана.
Следствие 1.12. Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В; Н — некоторая подгруппа группы G; F — пересечение всех подгрупп группы G, факторизуемых относительно разложения G = АВ и содержащих подгруппы Н и ЛАВ. Если нормализатор подгруппы Н в G факторизуем относительно разложения G = АВ и содержит ЛАВ, то подгруппа Н инвариантна в F и выполняются соотношения (5).
Следствие 1.12 непосредственно вытекает из леммы 1.32.
Следствие 1.13. Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В; Н — подгруппа, порожденная некоторыми инвариантными подгруппами К, L и М соответственно групп G, А и В; F — пересечение всех подгрупп группы G, факторизуемых относительно разложения G = АВ и содержащих подгруппы Н и А А В. Если для подгруппы Н выполняется хотя бы одно из условий «1»—«4» леммы 1.6, то она инвариантна в F и справедливы соотношения (5).
Доказательство. Действительно, если для подгруппы Н выполняется одно из условий «1»—«4» леммы 1.6, то по этой лемме нормализатор подгруппы Н в G (очевидно, содержащий ЛАВ) факторизуем относительно разложения G = АВ. Поэтому следствие 1.13 справедливо ввиду следствия 1.12.
Лемма 1.33. Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В; Н — конечная подгруппа группы G, порожденная некоторыми инвариантными подгруппами групп G, А и В; F — пересечение всех подгрупп группы G, факторизуемых относительно разложения G = АВ и содержащих подгруппы Н и А А В. Тогда справедливы следующие утверждения.
Подгруппа Н инвариантна в F, выполняются соотношения (5) (см. лемму 1.32) и индекс подгруппы А П В в F конечен.
Если подгруппа Л А 5 локально конечна, то и подгруппа F локально конечна.
Подгруппа F обладает локальной системой {FL}, t£I, факторизуемых относительно разложения G=AB подгрупп, таких, что пересечения FL A A, t£I, и FL А В, t € I, ко- нечнопорождены, и выполняются соотношения
F А Л = (Л А Л)(Л А В),
(9) FfiB = ^ АЭДЛАй), i€l,
Р, = (Д А Л)(Л А B^Ft А А)Н = (Д А В)Н, t£L (10)
Доказательство утверждений 1 и 2. Для подгруппы Н выполняется условие «3» из леммы 1.6. Поэтому ввиду следствия 1.13 подгруппа Н инвариантна в F и выполняются соотношения (5). Так как для подгруппы Н выполняются соотношения (5), то ввиду леммы 1.10 индекс в F подгруппы (F A A) (F А В) = A А В конечен. Если подгруппа А А В локально конечна, то подгруппа F локально конечна ввиду следствия 1.2.
Утверждения 1 и 2 доказаны.
Доказательство утверждения 3. Пусть Н1, ..., hm — все элементы подгруппы Н; at и bb i = 1,..., т, —- какие- нибудь элементы соответственно из подгрупп F А А и F А В, такие, что Н^аф^ i=l,...,/^; {(Л Г) B)i}, l€L — любая локальная система конечнопорожденных подгрупп группы А П В. Для произвольного i обозначим через At подгруппу, порожденную всеми элементами at и подгруппой (Л A B)L, через BL — подгруппу, порожденную всеми элементами bt и подгруппой (А А В\.
Покажем, что выполняются соотношения
A,BV = АЛ = BLH, i6I.(Н)
С этой целью повторим доказательство леммы 1.12 с заменой в нем подгрупп Аг и Вг соответственно подгруппами AL и BL.
В соответствии с соотношениями (11) произведение AJ3l — подгруппа группы G. Обозначим ее через Ft. Очевидно, из соотношений (11) вытекают соотношения (10).
Покажем, что выполняются соотношения (9). Ввиду утверждения 1 настоящей леммы для подгруппы F выполняются соотношения (5). Используя соотношения (5) и (11), получаем
F=(F A А) Н = (F A A)AVH = ^F А А)АА =
= {F (AA)B.=B^F АЛ),
P = (FH B)H = (F(] B)B,H^(F П
= (F П B)A - A (F П B).
Так как
F = Al(F П B) = (F fl A(F П B), то ввиду леммы 1.8
F f) Л = А(^ПЛ) П (F П B^MF ПИ A B))-A ^AfABy
Поскольку F = Bl^F f] Л) = (F П B)(F П Л), то ввиду леммы 1.8
F f] B=B^F fl В) fl (F П Ay=BL(F П (В П A^B^AfAB).
Итак, соотношения (9) выполняются.
Далее, с учетом конечности подгруппы Н и соотношений (10) индексы подгрупп FL П А и Ft (] В в группе FL конечны. Группа Fl конечнопорождена, будучи произведением ко- нечнопорожденных подгрупп Ль и BL. Поэтому подгруппы Ft П А и Fl П В конечнопорождены ввиду теоремы Шрейера.
Лемма доказана.
Используя леммы 1.33 и 1.29, нетрудно доказать следующее предложение.
Лемма 1.34. Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В; Н — локально конечная подгруппа группы G, порожденная некоторым множеством конечных инвариантных подгрупп групп G, А и В; F — пересечение всех подгрупп группы G, факторизуемых относительно разложения G = АВ и содержащих подгруппы Н и А П В. Тогда справедливы следующие утверждения.
Подгруппа Н инвариантна в группе F и выполняются соотношения (5) ^см. лемму 1.32).
Если пересечение А П В локально конечно, то подгруппа F локально конечна и все конечные подгруппы группы F, факторизуемые относительно разложения G = АВ, составляют ее локальную систему.
Если пересечение А П В локально конечно и все конечные подгруппы группы F, факторизуемые относительно разложения G = АВ, принадлежат некоторому классу Эс конечных групп, замкнутому относительно инвариантных подгрупп, то все Эс-подгруппы группы F составляют ее локальную систему.
Следующие два предложения непосредственно ^вытекают из леммы 1.34.
Следствие 1.14. Пусть G — локально конечная группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В. Тогда если груп-
па G порождается некоторым множеством своих конечных инвариантных подгрупп и конечных инвариантных подгрупп групп А и В (в частности, если подгруппы А и В локально нормальны), то все конечные подгруппы группы G, факторизуемые относительно разложения G = АВ, составляют ее локальную систему.
Следствие 1.15. Пусть G — локально конечная группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В. Тогда если группа G порождается некоторым множеством своих конечных инвариантных подгрупп и конечных инвариантных подгрупп групп Л и В (в частности, если подгруппы Л и В локально нормальны) и при этом все ее конечные подгруппы, факторизуемые относительно разложения G = АВ, принадлежат некоторому классу Ж конечных групп, замкнутому относительно инвариантных подгрупп, то все Ж-подгруппы группы G составляют ее локальную систему.
(Напомним, что локально нормальной называется группа, у которой всякое конечное множество элементов содержится в инвариантной конечной подгруппе.)
Лемма 1.35. Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В; Н — подгруппа, порожденная некоторым множеством конечных инвариантных р-подгрупп групп А и В. Тогда если подгруппа Н локально конечна, то она является р-груп- пой.
Доказательство. Пусть подгруппа Н локально конечна. Возьмем произвольный элемент g группы Н. Покажем, что его порядок является степенью числа р. Очевидно, g £ {L (J М) для некоторых содержащихся в Н конечных инвариантных /7-подгрупп L и М соответственно групп Л и В. Покажем, что подгруппа (L U М) — /7-группа. Пусть Р— си- ловская /7-подгруппа группы (В [) М). Так как последняя конечна, то ввиду теоремы Силова LX^P и Му г Р для некоторых элементов х и у группы G. Тогда (Lx J Му) г Р, значит, <LX U Му)— /7-группа. По лемме 1.19 (Lx J My)=((L (J U №jf для некоторого элемента г группы G. Следовательно, подгруппа «В J М)/, а значит, и подгруппа (В (J М) являются /7-группами. Поэтому порядок элемента g— степень числа р. Ввиду произвольности g отсюда вытекает, что Н — р-группа.
Лемма доказана.
Следующее утверждение иногда называют леммой Чуни- хина.
Лемма 1.36 (Ч у н и х и н [2]). Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В; Н — инвариантная подгруппа группы Л, содержащаяся в пересечении Л П В. Тогда
нормальное замыкание подгруппы Н в G совпадает с ее нормальным замыканием в В.
НАВ = ^НА)В = НВ.НАВ = ^НА)В = НВ.Доказательство. Действительно,
НАВ = ^НА)В = НВ.
НАВ = ^НА)В = НВ.
Лемма доказана.
(Напомним, что нормальным замыканием в группе X непустого множества ее элементов Y называется подгруппа, порожденная всеми сопряженными с К в X подмножествами. Напомним, что Vх = {ух | у С Y, х£ X}.)
Лемма 1.37 (В и л а н д т [1], Хупперт [2], гл. VI, предложение 4.6). Пусть G — конечная группа, факторизуемая двумя подгруппами Д и В, л — непустое множество простых чисел. Тогда если в группах G, А и В силовские п-подгруппы сопряжены (в частности, если л состоит из одного простого числа), то найдутся силовские и одновременно холловы ^-подгруппы S, Р и Q соответственно групп G, А и В, такие, что S = = PQ-
Напомним, что холловой л-подгруппой произвольной группы называется ее л-подгруппа, каждая силовская /2-подгруппа которой при любом р Е л является силовской /2-подгруппой всей группы (см., например, Курош [1]). л-Подгруппа конечной группы является холловой л-подгруппой тогда и только тогда, когда ее порядок взаимно прост с ее индексом в группе.
Прежде чем переходить к доказательству леммы 1.37, отметим следующее утверждение, вытекающее из теоремы Си лова.
Если в конечной группе все силовские л-подгруппы сопряжены, то каждая ее силовская л-подгруппа является и ее холловой л-подгруппой (и наоборот).
Доказательство. Пусть в группах G, А и В силовские л-подгруппы сопряжены, и S*, Р* и Q* — какие- нибудь силовские л-подгруппы соответственно групп G, А и В. Тогда для некоторых элементов / и g группы G (Р*У е S*, (Q*)6 G S*. Далее, в силу леммы 1.20 для некоторого элемента К группы G Afh = A, B8h = B. Подгруппы (S*)A, (P*)fh и ^Q*)8h обозначим соответственно через S, Р и Q. Очевидно, PcS и QsS и, значит, {Р U Q) г S. Подгруппы S, Р и Q являются силовскими и одновременно холловыми л-подгруп- пами соответственно групп G, А и В. Покажем, что S = PQ. Пусть | G | = тп, | Д | = т^, | В | = т^, | А Л В | = т3п3, где т, mv, тг и т3— числа, все простые делители которых принадлежат л, а п, nv п2 и п3 — числа, ни один простой делитель которых не принадлежит л. Тогда | S | = т, | Р | = »mv |Q|=m2. Так как (Р J Q) ^ S, то |(PUQ)I^^- Поскольку Р П Q с Д П 5, то, очевидно, | Р Л Q К тв.
Далее,
m _ Ml __ MI|B| . ._ / №1^1 \ М1Пг
п п | А А В | п (т3п3) т3 ] пп3
Ввиду последних соотношений очевидно, что т = —^—^- Тогда
|5|=„ = ^<.мж = 1,.(3|<1(Ри<3)1<т.
Таким образом, | S | = т = | PQ|, значит, S = PQ.
Лемма доказана.
Лемма 1.38 (Н. С. Черников [4], Зайцев 121). Пусть G — конечная группа, ’ факторизуемая двумя подгруппами А и В; А* и В* — некоторые подгруппы соответственно групп А и В; Н — подгруппа, порожденная подгруппами А* и В*. Тогда выполняется следующее неравенство для индексов*. |О:ЯК|Д:Д*||В:В*|.
Доказательство. Действительно,
|G| =|G| =М1|В|МП В| ’М1|В|МП В| ’м* 11 в* I М* л в* Iм* 11 в* I М* л в* I= М*в*|^|Л|.= М*в*|^|Л|.
|G| =
|G| =
М1|В|
МП В| ’
М1|В|
МП В| ’
м* 11 в* I М* л в* I
м* 11 в* I М* л в* I
= М*в*|^|Л|.
= М*в*|^|Л|.
Следовательно,
— Ю| / MIMI М* Л в»| / М1|В| МПВ| _ |и.л|.|Я|^|ЛПВ| |л*||В*| ^ М Л В| |л*1|В*|
"ПЧТЭТ"-l-WIIS^I.
Лемма доказана.
Следствие 1.16. При условии леммы 1.17 индекс в группе G подгруппы Н не превосходит произведения |Д : Д* | | В ■ : В*|.
Доказательство. Действительно, индекс в G подгруппы Н конечен. Поэтому в силу теоремы Пуанкаре Н содержит некоторую инвариантную в G подгруппу К конечного индекса. Ввиду леммы 1.38
| (GIK): (.H/К") | < | ФК1К): №1К^ | | (ВК/К): ф*ЮК) |. (12)
Далее,
| WK): (А*К!К) к IД: Д* I, | №К): (В*К!К) | < | В: В* |.
Следовательно, с учетом неравенства (12)
|С:Я| = |(О//<):(Я//()К|Д:Д*||В:В*|.
Следствие доказано.
В дальнейшем нам потребуется следующая теорема Беляева — Павлюка — Шункова (Павлюк, Шунков [1], Беляев [11; см. также Н. С. Черников [11]).
Локально конечная группа с условием минимальности для примарных подгрупп почти локально разрешима.
Нам потребуется также следующая теорема Каргаполова, вытекающая из результатов его работы [2].
Пусть G— локально конечная, почти локально разрешимая группа с условием минимальности для примарных подгрупп (или, что равносильно, с черниковскими примарны- ми подгруппами). Тогда справедливы следующие утверждения.
Полная часть © (0 группы G абелева, совпадает с подгруппой J (G) и разлагается в прямое произведение квазицик- лических подгрупп, число которых для каждого простого р конечно.1
< 2. Фактор-группа G/© (G) финитно аппроксимируема, и все ее примарные подгруппы конечны.
В группе G для любого р силовские /7-подгруппы сопряжены.~
Для любого р фактор-группа G/OP' (G) является черни- ковской почти /7-группой.
Группа G аппроксимируется (определение см., например, Курош [1]) черниковскими почти примарными группами..
Лемма 1.39. Пусть G — локально конечная группа с условием минимальности для примарных подгрупп, факторизуемая п попарно перестановочными подгруппами Ab i = 1, 2, ..., п. Тогда подгруппы J (At) поэлементно перестановочны и подгруппа J (G) является их произведением (или, что равносильно* подгруппы © (^4/) поэлементно перестановочны и подгруппа © (0 является их произведением).
Примечание. В случае, когда группа G черниковская и п= 2, лемма 1.39 установлена Кегелем [2] (см. в [2] предложение 1.6).
Доказательство. Использование индукции по п позволяет свести доказательство к случаю, когда п = 2.
Пусть я = 2, Д = Д1 и В = Д2. Тогда G^AB. Обозначим через Н подгруппу, порожденную ©(Д) и ©(В), а через N— ее нормализатор в G. Очевидно, H^<5)(G). Ввиду приведенной выше теоремы Беляева — Павлюка — Шункова и утверждения 1 теоремы Каргаполова, также приведенной выше, подгруппа ©(G) абелева и ©(G) = J(G), ^)(A) = J(A) и©(В) = = J(B). Поэтому для доказательства леммы достаточно показать, что 5) (0 = Н.
Рассмотрим подгруппу N. Ввиду абелевости подгруппы ©(G) имеем 5)(G)^N. Очевидно, ^(N) = ©(G), ф^ПЛ)=
= 5) (Л) и ^фГФ) = <5)фУ Так как подгруппы Л и В периодические, то ввиду леммы 1.6 подгруппа N факторизуема относительно разложения G^AB. С учетом отмеченных свойств подгрупп N, ЯП Д и Л7П5 далее, не нарушая общности, можно считать, что N = G, т. е. что подгруппа Н инвариантна в G.
Рассмотрим фактор-группу G/Н. Она локально конечна и в силу леммы 1.23 удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп. Покажем, что ^)(G/H) = H/H. Ввиду теоремы Беляева — Павлюка — Шункова и утверждения 5 теоремы Каргаполова группа G/Н аппроксимируется черниковски- ми группами. Пусть К/Н—любая инвариантная подгруппа группы G/Н, для которой фактор-группа (G/H)/(K/H) ^ G/K черниковская. Рассмотрим фактор-группу G/М Она факторизуема подгруппами АМ К и ВММ Так как ^(А^^К» ^)ф^ S К» тов силу леммы 1.24 в группах АМ К ^ВМК все при- марные подгруппы конечны. Отсюда, очевидно, следует, что подгруппы АМ К и ВМК группы G/К конечны. Поэтому группа G/K ~ (G/H)/(K/H) конечна. Следовательно, ввиду произвольности подгруппы К/Н группа G/Н финитно аппроксимируема. Поэтому ее полная часть 5) (G/Я) единична, т. е. ф (G/Я) = Я/Я. Тогда с учетом полноты подгруппы Я :Я = = ®(О-
Лемма доказана.
Далее для произвольной группы X через ^ (X) обозначаем подгруппу группы X, порожденную всеми ее конечными инвариантными множествами элементов (или, что то же, подгруппу группы X, порожденную всеми ее инвариантными ко- нечнопорожденными подгруппами).
Предложение 1.1. (Н. С. Черников [8, 141). Пусть G — локально ступенчатая группа, факторизуемая двумя локально конечными подгруппами А и В с условием минимальности для примарных подгрупп*, Я — подгруппа, порожденная в G всеми конечными инвариантными подгруппами групп А и В. Тогда справедливы следующие утверждения.
Подгруппа Я локально конечна и удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп.
Подгруппы J (Д) и J ф) поэлементно перестановочны, содержатся в подгруппе J (Я) и
J(H) = J(A)Jф)(13)
(или, что равносильно, подгруппы ф(Д) и ^ф^ поэлементно перестановочны и 5)(Н) = ^(А^ф)).
Доказательство. Прежде всего отметим, что ввиду леммы 1.25 подгруппа Я локально конечна.
Возьмем какое-нибудь р. Ввиду теоремы Беляева — Павлюка — Шункова, приведенной перед леммой 1.39, и утверждения 1 теоремы Каргаполова, приведенной перед леммой 1.39, подгруппы J (Л) и / (В) абелевы и силовская /2-подгруппа каждой из них разлагается в прямое произведение конечного числа квазициклических подгрупп. Пусть Р и Q — силовские /2-подгруппы соответственно групп J (Л) и J (В), С — подгруппа, порожденная Р и Q. Обозначим через Pt и Qb i = = 1,2, ..., подгруппы соответственно групп Р и Q, порожденные всеми их элементами, порядки которых не превосходят р1, и через Ct подгруппу, порожденную Pt и Qb Очевидно, подгруппы Рг, Qi конечны, инвариантны соответственно в Л, В и выполняются соотношения
Pt^Pw, Р= и рб Qt^Q^ Q = U & (14) i=l,2,...t=l,2,...
С учетом соотношений (14) выполняются соотношения
C,eCw, С = и С,.(15)
1=1,2,...
Дальнейшую часть доказательства разобьем на несколько этапов.
1°. Покажем, что
ЦА^ЦНУ J(B)^J(H).(16)
Так как подгруппы Pt и Q^ i = 1,2,..., конечны и инвариантны соответственно в Л и В, то с учетом соотношений (14) Р^^^А^Н, Q^^(B^H. Поэтому ввиду произвольности р
■ЦА^Н, J(B)^H.
Из последних соотношений вытекают соотношения (16).
2°. Покажем, что С — полная абелева черниковская р- группа. Так как, очевидно, подгруппа С содержится в Н, то она локально конечна и поэтому, будучи порожденной некоторыми конечными инвариантными /2-подгруппами групп Л и 6, является /2-группой (лемма 1.35). Обозначим через Fb i = = 1, 2, ..., и F пересечения всех подгрупп, факторизуемых относительно разложения G = АВ и содержащих соответственно подгруппы (ЛЛВ)С^ 1 = 1,2,..., и (Л Л В)С. Ввиду леммы 1.29 подгруппы Fb i= 1,2,..., и F факторизуемы относительно разложения G = ЛВ и с учетом соотношений (15) для них выполняется соотношение
F- ил-(17)
f-1,2,...
В силу утверждения 1 леммы 1.33 выполняются соотношения
В< = (В!ПЛ)Сг = (В<ПВ)С<, /=1,2,...(18)
Далее, на основании утверждения 2 леммы 1.34 подгруппа F локально конечна.
Покажем, что
Ор, (ВГМ)еЛПВ, Ор,(ВПВ)ЕЛПВ. (19)
Так как подгруппы С, являются конечными р-группами, F— = (Ft Л Л) (Ft Л В) и выполняются соотношения (18), то в силу леммы 1.10 индексы подгруппы Л Л В в подгруппах В;ЛЛ, i= 1.2,..., и ВгГ)В, 1 = 1,2,..., являются степенями числа р. Отсюда, очевидно, вытекает, что
Ор-(В, Л Л) s Л Л В, Ор-(Вг Л В) £ Л Л В, I = 1, 2,... (20)
Используя соотношения (20), (17) и очевидные соотношения
О, (В Л Л) Л ^ Л Л) £ Ор. (Л л Л), Ор, (РПВ)(\ (Ft л В) £ гОр-и^В), получаем
Op- (F(]A) = Op. (F Л Л) Л(В Л Л) = Op- (F(]A) П
П( U (^ПЛ))= U (ОР,(ВЛЛ)Л(В,ПЛ))£ <=1,2,...t=l,2,.„
g (J Ор- (вглл)£ллв,
i=l,2,...
и аналогично ОР' (F (}В) ^А(]В.
Итак, соотношения (19) выполняются.
Обозначим через D подгруппу, порожденную нормальными замыканиями в F подгрупп ОР' (F П X) и ОР' (F П В). Используя лемму 1.36 с учетом соотношений (19), убеждаемся в том, что нормальные замыкания в F подгрупп Ор* (ГАЛ) и OP\F П П 6) содержатся соответственно в F Q В и F Q А. Следовательно, они локально конечны и удовлетворяют условию минимальности для р-подгрупп. Поэтому подгруппа D локально конечна и удовлетворяет условию минимальности для /2-подгрупп (см. предложение, предшествующее лемме 1.24).
Рассмотрим фактор-группы D(F^\A)/D и D(F^B)/D;
D (В Л AMD ~ (В л АМФ л (В л Л)) ~ ((В Л АМОР- (В Л Л))/
/«алвпл)/0р,(влл)),
D (F П B^D ~ (F П В)/ф П (F П 5)) ~ ((F П BW (F П B^ll((D(]FftB)/OP' (F(]B)).
Таким образом, фактор-группы D(F А Л)/О и D(Ff\B)D изоморфны некоторым фактор-группам групп (FA Л)/ОР'(FA Л) и (F П В^1ОР' (Ff) В). Последние ввиду утверждения 4 теоремы Каргаполова являются черниковскими. Следовательно, факторгруппы D^FftA^D и D^FftB^/D черниковские. Так как фактор-группа F/D локально конечна и факторизуема черниковскими подгруппами D^Ff\A)ID и D^F^B^D, то она сама черниковская ввиду теоремы 1.2. Поэтому фактор-группа FID удовлетворяет условию минимальности для /2-подгрупп.
Итак, группа F является расширением группы, удовлетворяющей условию минимальности для /2-подгрупп, с помощью группы, удовлетворяющей этому же условию. Поэтому она сама удовлетворяет условию минимальности для /2-подгрупп. Тогда содержащаяся в F локально конечная /2-подгруппа С является черниковской. Так как С = (Р U Q) и подгруппы Р и Q полные, то подгруппа С полная и, значит, ввиду черни- ковости абелева.
Итак, С — полная абелева черниковская /2-группа.
Ввиду леммы 1.24 и предложения, приведенного перед леммой 1.14, в каждой из фактор-групп A/J(A) и B/J(B) силов- ские /2-подгруппы конечны и сопряжены. Пусть рк (й^О) и р1 (/ ^ 0) — порядки силовских /2-подгрупп соответственно фактор-групп AU ^ и B/J(B).
3°. ‘Возьмем произвольную конечную /2-подгруппу К группы Н. Покажем, что подгруппа К содержит подгруппу индекса, не превосходящего pW, которая сопряжена в G с подгруппой группы С.
Очевидно, Кг (М Ц N) для некоторых конечных инвариантных подгрупп М и N соответственно групп А и В. Так как подгруппа (М J N) ^Н) конечна, и подгруппы А и В локально конечны, то в силу леммы 1.13 она содержится в конечной подгруппе Т, факторизуемой относительно разложения G = АВ. Далее, согласно лемме 1.37 некоторая силов- ская /2-подгруппа S группы Т факторизуема подгруппами 5 П (F П А) - S П А и S П (F П В) = S П В. По теореме Силова К8- с S для некоторого элемента g С Т. Нетрудно убедиться, что | (S Л Л): (S: Р)| ^^ |(Sn5):(SDQ)|^pz. Поэтому ввиду леммы 1.38 | S: (S Л Р)(5 Л Q) I ^P*+z- Отсюда следует, что | S: (S Л С) | ^ рк+1. Поэтому | К8: (№ Л С)|= | К*.
Таким образом, подгруппа (К8 Л С)6 группы К имеет в последней индекс, не превосходящий pk+l, и сопряжена в G с подгруппой К8 ПС группы С.
4°. Покажем, что подгруппа Н удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп. Ввиду произвольности выбора числа р для этого достаточно показать, что подгруппа Н удовлетворяет условию минимальности для /2-подгрупп.
Будем считать, что р £ л (Н). Обозначим через Е подгруппу группы С, порожденную всеми ее элементами, порядки которых не превосходят р. Так как подгруппа С — полная абелева черниковская (п. 2° доказательства), то подгруппа Е, очевидно, конечна. Пусть рт (т ^ 0) — ее порядок. На основании п. 3° доказательства произвольная конечная элементарная абелева /2-подгруппа группы Н содержит подгруппу индекса не выше р^1, сопряженную в G с подгруппой группы С и, значит, с подгруппой группы Е. (Напомним, что элементарная абелева группа — это такая неединичная абелева группа, все отличные от единицы элементы которой имеют один и тот же простой порядок.) Поэтому порядок произвольной конечной элементарной абелевой /2-подгруппы группы Н не превосходит pkW-me Следовательно, все элементарные абелевы /2-подгруппы группы Н конечны. Тогда подгруппа Н удовлетворяет условию минимальности для абелевых /2-подгрупп (как известно, абелева группа удовлетворяет условию минимальности тогда и только тогда, когда она периодична и при этом все ее элементы простых порядков порождают в ней конечную подгруппу).
Так как подгруппа Н локально конечна, то ввиду теоремы С. Н. Черникова, приведённой непосредственно перед леммой 1.23, она удовлетворяет условию минимальности для (всех) /2-подгрупп.
Справедливость утверждения 1 настоящего предложения доказана.
5°. Докажем справедливость утверждения 2. Обозначим через А* и В* соответственно подгруппы NA(H) Q HN^H) и NB(H) П HN^Hy а через G* подгруппу А*Н. Так как подгруппы А и В периодические, то в силу леммы 1.6 подгруппа Nq ( Н) факторизуема подгруппами NA(H) и NB(H). Поэтому согласно лемме 1.9 G* = А* В*. Так как подгруппы А* и Н локально конечны и удовлетворяют условию минимальности для примарных подгрупп, то группа G* локально конечна по теореме О. Ю. Шмидта и удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп. Поэтому ввиду теоремы Беляева — Павлюка — Шункова и утверждения 1 теоремы Каргаполова подгруппа J (G*) абелева. Далее, по лемме 1.39
ЦО*) = ЦА*) ЦВ*).ЦО*) = ЦА*) ЦВ*).(21)(21)
ЦО*) = ЦА*) ЦВ*).
ЦО*) = ЦА*) ЦВ*).
(21)
(21)
Очевидно,
J^cJ (G*), J(4*) c J(4), J(B*) сЦВ). (22)
Из соотношений (22), (21) и (16) вытекает
J (В) г J (G*) = J (4*) J (6*) с J (4) J (В) с J (В).
Следовательно, соотношение (13) выполняется.
Так как подгруппа J (И) = J (G*) абелева, и подгруппы J (4) и J (В) содержатся в ней, то они поэлементно перестановочны.
Утверждение 2 доказано.
Предложение 1.1 доказано.
Переходя к следующей лемме, напомним, что S-группой называется такая группа, которая по каждому р обладает единственной силовской р-подгруппой. Иными словами, S-группа — это группа, в которой множество всех элементов конечного порядка является подгруппой, разложимой в прямое произведение /2-подгрупп по разным р (Курош [1]).
Лемма 1.40. Пусть G — локально ступенчатая группа, N — инвариантная периодическая подгруппа группы G, удов- летворяюицая условию минимальности для примарных секций и обладающая конечным нормальным рядом с почти S-факторами. Тогда фактор-группа G/N локально ступенчатая.
Примечание. В случае, когда подгруппа N удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп и обладает конечным нормальным рядом с почти локально нильпотентными факторами, лемма 1.40 была установлена автором в работе [14] (см. там лемму 3). (Произвольная локально нильпотентная группа является S-группой (см., например, Курош [1], с. 400).)
Доказательство. В произвольной группе подгруппа, порожденная всеми субинвариантными периодическими S-подгруппами, является S-группой (Гольберг [1]). Используя это, нетрудно убедиться, что подгруппа N обладает конечным рядом инвариантных в G подгрупп с S-факторами и конечными факторами. Индукция по длине этого ряда позволяет свести доказательство настоящей леммы к случаю, когда подгруппа N является S-группой или конечна. Пусть в этом случае фактор-группа G/N не локально ступенчатая. Тогда найдется не принадлежащая N конечнопорожденная подгруппа Н, такая, что фактор-группа HN/N не имеет истинных подгрупп конечного индекса. Очевидно, подгруппа Н бесконечна. Пусть Ну., i 6 I,— все ее инвариантные подгруппы конечного индекса. Ввиду леммы 1.15 индексы | Н : НД , I £ I, в совокупности не ограничены,
1°. Покажем, что каждая фактор-группа H/Ht нильпотент- на и для любого р порядки силовских /7-подгрупп факторгрупп Н/Н^ i £ I, ограничены в совокупности.
Так как Н/(Н П Я) ~ HN/N, то фак гор-группа Н/(Н Г) Я) не имеет истинных подгрупп конечного индекса. Поэтому, очевидно, Я = (Я П N)Hl. Следовательно,
ШН, = (Я f) М)НЖ ~ (Я П Я)/^ П Я) ~
((Я П N)/J (Я П ЯМЯь П N)/J (Я П Я)),
т. е. каждая группа Н/Н^ изоморфна некоторой фактор-группе группы (Я П Я)// (Я п Я). Так как индексы в группе Я всех ее подгрупп конечного индекса в совокупности не ограничены, то отсюда следует, что группа (Я П N)/J (Я П Я) бесконечна. Поэтому подгруппа Я бесконечна и, значит, является S-группой. Тогда S-группой является и группа (Я fl fl Я)// (Я П Я). В таком случае группа ЯЯЛ, будучи изоморфной фактор-группе S-группы, является S-группой и, значит, ввиду своей конечности нильпотентна.
Далее, очевидно, силовская /7-подгруппа группы (Я П fl Я)// (Я П Я) удовлетворяет условию минимальности и пересечение всех ее подгрупп конечного индекса равно единице. Отсюда вытекает, что силовская /7-подгруппа группы (Я П Я)// (Я f] Я) конечна. Нетрудно убедиться в том, что порядок силовской /7-подгруппы группы Н/Н^ не превосходит порядка силовской /7-подгруппы группы (Я П Я)/ / J (Я П Я). Поэтому порядки силовских /7-подгрупп факторгруппы Я/Яь, I С I, ограничены в совокупности.
2°. Покажем, что индекс в группе Я ее коммутанта Я' конечен.
Действительно, пусть это не так. Тогда (абелева) факторгруппа HIH' ввиду своей бесконечности и конечнопорожден- ности имеет для любого простого р и натурального п факторгруппу порядка рп. Последнее невозможно (см. п. 1° доказательства).
Полученное противоречие доказывает, что индекс |Я : Я'| конечен.
Перейдем к заключительному этапу доказательства.
3°. Так как все фактор-группы HIHt нильпотентны и их порядки в совокупности не ограничены, но порядки их силовских /7-подгрупп ограничены в совокупности для любого /7, то, очевидно, множество тех /7, для которых группа Я обладает инвариантной подгруппой индекса /7, бесконечно. Но любая инвариантная подгруппа простого индекса группы Я, очевидно, содержит ее коммутант. Следовательно, индекс |Я : Я'|
бесконечен. Последнее невозможно (см. п. 2° доказательства). Полученное противоречие доказывает справедливость леммы.
Теорема 1.3 (Н. С. Черников [8, 141). Пусть G — локально ступенчатая группа, факторизуемая двумя локально конечными подгруппами А и В, удовлетворяющими условию минимальности для примарных подгрупп, такими, что фактор-группы А/J (Д) и BU (В) почти локально нормальны (в частности, почти локально нормальными могут быть сами подгруппы А и В). Тогда группа G локально конечна, удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп и J (G) = J (Д) J (В).
Доказательство. Ввиду леммы 1.39 для доказательства теоремы достаточно показать, что группа G локально конечна и удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп. Покажем это.
1°. Покажем, что группа G локально конечна и удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп в случае, когда подгруппы Д и В почти локально нормальны. В этом случае, как легко убедиться, индексы подгрупп 8 (Д) и 8 (В) соответственно в Д и В конечны. Ввиду утверждения 1 предложения 1.1 подгруппа <8 (Д) U 8(5)) удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп и локально конечна. Далее, ввиду леммы 1.17 она имеет конечный индекс в G и, значит, содержит некоторую инвариантную в G подгруппу конечного индекса. Отсюда вытекает, что группа G удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп и по теореме О. Ю. Шмидта локально конечна.
2°. Покажем, что группа G локально конечна и удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп в случае, когда хотя бы одна из подгрупп J (Д) и J (В) равна единице.
Пусть, например, J (В) = 1. Тогда ввиду утверждения 2 предложения 1.1 J «8 (Д) U 5 (5))) = J (Д). Следовательно, подгруппа J (Д) инвариантна в группе (8И)11 8(5)). Отсюда вытекает, что она инвариантна в подгруппе (Д U и 3(B)).
Рассмотрим подгруппу С = (Л U 3 (S))< Так как J (В)= = 1, то группа В почти локально нормальна и, значит, | В : : 5 (В) | < оо. Поэтому, очевидно, подгруппа С имеет конечный индекс в G и, следовательно, содержит некоторую подгруппу L конечного индекса, инвариантную в G.
Рассмотрим фактор-группу CU (Л). Ввиду леммы 1.8 С = = Л (С f) В). Поэтому фактор-группа С/J (Л) является произведением подгрупп AU (Л) и (ДЛ) (С f] B))/V (Л). Очевидно, последние почти локально нормальны. В силу лем-
мы 1.23 они удовлетворяют условию минимальности для примарных подгрупп. Далее, в силу теоремы Беляева — Павлюка — Шункова, приведенной перед леммой 1.39, и утверждения 1 теоремы Каргаполова, приведенной перед леммой 1.39, подгруппа J (Л) абелева. Поэтому ввиду леммы 1.40 фактор-группа CU (Л) локально ступенчата.
Итак, фактор-группа CU (Л) локально ступенчата и факторизуема двумя почти локально нормальными подгруппами, удовлетворяющими условию минимальности для примарных подгрупп. Поэтому она локально конечна и удовлетворяет этому условию (п. 1° доказательства).
Так как подгруппа J (Л) и фактор-группа CU (Л) локально конечны и удовлетворяют условию минимальности для примарных подгрупп, то группа С удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп и по теореме О. Ю. Шмидта локально конечна. Вместе с этим подгруппа L локально конечна и удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп. Так как подгруппа L инвариантна в группе G и имеет конечный индекс в ней, то и группа G локально конечна и удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп.
3°. Докажем справедливость теоремы в общем случае. Для этого достаточно показать, что нормальные замыкания в G подгрупп J (Д) и J (В) — периодические абелевы группы с условием минимальности для примарных подгрупп. Действительно, тогда произведение К этих нормальных замыканий, как нетрудно убедиться, является периодической полной абелевой группой с условием минимальности для примарных подгрупп. Поэтому фактор-группа G/К ввиду леммы 1.40 локально ступенчата. Так как фактор-группа G/К локально ступенчата и факторизуема двумя почти локально нормальными подгруппами АК/К и BKJK, удовлетворяющими условию минимальности для примарных подгрупп (лемма 1.23), то на основании п. 1° доказательства она локально конечна и удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп. Тогда и группа G локально конечна и удовлетворяет этому условию.
Покажем, что нормальное замыкание в G подгруппы J (Д) является периодической абелевой группой с условием минимальности для примарных подгрупп (рассуждения для J (В) аналогичны).
Рассмотрим нормализатор N = NG (J (6)). Ввиду леммы 1.8 N = В (N П Д) и ввиду утверждения 2 предложения 1.1 J (Д) г N П А. Так как G = AN и J (Д) г TV f] Д, то в силу леммы 1.36 нормальное замыкание подгруппы J (Д) в G совпадает с ее нормальным замыканием в N. Поэтому нужно показать, что нормальное замыкание подгруппы J (Д) в N 58
является периодической абелевой группой с условием минимальности для примарных подгрупп.
Рассмотрим фактор-группу N/J (В). Она факторизуема двумя локально конечными подгруппами В/J (В) и (J (В) (N П A))/J (В) с условием минимальности для примарных подгрупп и ввиду леммы 1.40 локально ступенчата. Подгруппа J (b!J (В)) единична. Следовательно, согласно п. 2° доказательства группа N/J (В) локально конечна и удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп. Тогда и группа N локально конечна и удовлетворяет этому условию. Поэтому ввиду теоремы Беляева — Павлюка — Шункова и утверждения 1 теоремы Каргаполова подгруппа J (N) абелева. Очевидно, J (А) ^ J (N). Следовательно, нормальное замыкание подгруппы J (Д) в N, а значит, и в G содержится в J ^N). Поэтому оно является периодической абелевой группой с условием минимальности для примарных подгрупп, что и требовалось доказать.
Теорема доказана.
Лемма 1.41. Пусть G — группа; Аи iCL —некоторые порождающие ее подгруппы и CL, igl, —некоторые подгруппы соответственно групп А^ i£L Если для любых а, PCI подгруппа (Са U Ср) инвариантна в группе (Да J Др), то подгруппа Н, порожденная всеми CL, инвариантна в G.
Доказательство. Пусть для любых аир подгруппа (Са U Ср) инвариантна в группе (Да U ^Р>- Тогда
Ялр = <и С«р) £ (U (Са и Ср)) = Н, Р € I,а^1а£1
и потому ввиду произвольности PCI HG ^Н, т. е. подгруппа Н инвариантна в G.
Лемма доказана.
Лемма 1.42 (В и л а н д т [1]). Пусть G — конечная группа, факторизуемая п попарно перестановочными нильпотентными подгруппами Ab i = 1,2, ..., п. Если произведение каждых двух подгрупп At является разрешимой группой, то группа G разрешима.
Доказательство см. Хупперт [2], гл. VI, предложение 4.9.
Теорема 1.4 (Н. С. Черников [8, 141). Пусть G — группа, факторизуемая п попарно перестановочными локально конечными подгруппами At, i = 1, 2, ..., п, удовлетворяющими условию минимальности для примарных подгрупп и такими, что фактор-группы AJJ (Д2) почти локально нильпо- тентны (в частности, почти локально нильпотентными могут быть сами подгруппы Др i = 1, 2, ..., п). Пусть каждое про-
изведение AtAj является локально ступенчатой группой. Тогда группа G локально конечна и удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп.
Доказательство. Обозначим через D подгруппу, порожденную всеми подгруппами «ЦА^. В каждой подгруппе At зафиксируем какую-нибудь инвариантную подгруппу Nt конечного индекса, такую, что фактор-группа NJJ^A^ локально нильпотентна.
1°. Покажем, во-первых, что каждая подгруппа АгА3 локально конечна и удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп, и, во-вторых, что подгруппа D является периодической полной абелевой группой с условием минимальности для примарных подгрупп и инвариантна в G.
Фактор-группы К^ДА^ и М5/ДА3\ будучи периодическими локально нильпотентными группами, разлагаются в прямое произведение своих силовских /2-подгрупп по разным р. Ввиду леммы 1.24 все примарные подгруппы этих фактор-групп конечны. Поэтому очевидно, что последние локально нормальны. Следовательно, фактор-группы Аг!ДАд и AjU^Aj) почти локально нормальны, а значит, в силу теоремы 1.3 подгруппа AtAj локально конечна и удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп.
Ввиду утверждения 1 теоремы Каргаполова, приведенной перед леммой 1.39, подгруппы J ^А^ и J (Ду) — периодические полные абелевы с условием минимальности для примарных подгрупп. Далее, в силу леммы 1.39 они поэлементно перестановочны, а их произведение инвариантно в подгруппе АгАр Отсюда вытекает, во-первых, что подгруппа D является периодической полной абелевой группой с условием минимальности для примарных подгрупп и, во-вторых, в силу леммы 1.41, что она инвариантна в G.
Справедливость всех утверждений из п. Г доказана.
Ввиду теоремы Беляева — Павлюка — Шункова каждая подгруппа AtAj почти локально разрешима. В каждой подгруппе AtAj зафиксируем какую-нибудь инвариантную локально разрешимую подгруппу Rtj конечного индекса.
2°. Докажем справедливость теоремы в случае, когда в группах At все примарные подгруппы конечны (или, что то же, в случае, когда J (Л^) = 1, i = 1,2, ... , п).
Обозначим через л дополнение к множеству ( [J л (Л;/ 1=1п
/N^ (J ( {J л (АД/R^X в множестве всех простых чисел. ь/=1п'
Пусть л = {/?v р2,...}. Обозначим через лк (й = 1,2,...) множество {pj,... ,р^, и через Hih силовскую лА-подгруппу
группы N,. Очевидно, подгруппа Hik конечна, нильпотентна, инвариантна в группе Л^ и является силовской л^-подгруппой последней. Покажем, что любые две подгруппы Hik и Hjk перестановочны и их произведение—разрешимая подгруппа. Так как подгруппа AtAj локально конечна (см. п. Г доказательства), то подгруппа (Hik J Hjk) конечна. Поэтому ввиду леммы 1.13 подгруппа (Н1к J Hjk) содержится в некоторой конечной подгруппе F группы AtAh разложимой в произведение F = (Я Л A^F Л Лу). Очевидно, индекс подгруппы F Л Л Rij в группе F не делится ни на одно число из л. Так как подгруппа F Л Rij инвариантна в F, то отсюда следует, что все л^-подгруппы группы F содержатся в подгруппе F Л Ru- Подгруппа F Л Rij разрешима. Поэтому подгруппа (Hik (J Hjk}^F Л Rij разрешима. Далее, по известной теореме Ф. Холла (см. утверждение 2 теоремы 2.4) силовские л^- подгруппы группы F Л Ru сопряжены в ней. Следовательно, силовские Лд-подгруппы группы F сопряжены в F. Тогда ввиду леммы 1.37 произведение подгрупп Н1к и Hjh является (силовской лк-) подгруппой группы F. Поэтому подгруппы Hik и Hjk перестановочны.
Обозначим через Sk подгруппу ( (J Hik) и через S объ- i=\,...tn
единение (J 8к. Очевидно, к=\,2,..
Sk^Sk^ £=1,2,...(23)
Так как подгруппы Hik попарно перестановочны, то, во-первых, подгруппа Sk является конечной л^-группой и для любого р£тск порядки /7-подгрупп группы Sk не превосходят произведения наибольших степеней числа р, делящих порядки подгрупп Hlk, t = 1,2, ..., п (или, что то же, произведение порядков СИЛОВСКИХ /7-ПОДГруПП групп Ар 1 = 1,2,..., я), и, во-вторых, ввиду леммы 1.42 подгруппа Sk разрешима. Отсюда с учетом соотношения (23) следует, что подгруппа S является локально конечной локально разрешимой группой с конечными примарными подгруппами.
Обозначим через Ht силовскую л-подгруппу группы Ль i = 1,2,... , п. Очевидно, Ht= {J Н1к и поэтому S =
к=\,2,...
= ( [J Я-). Нетрудно видеть, что индекс подгруппы Ht в 1=1п
группе At конечен.
Поэтому ввиду следствия 1.3 индекс подгруппы S в G конечен, и, значит, подгруппа S содержит некоторую инвариантную в G подгруппу L конечного индекса. Так как подгруп-
na L локально конечна, локально разрешима и все ее примар- ные подгруппы конечны, то группа G локально конечна по теореме О. Ю. Шмидта, почти локально разрешима и все при- марные подгруппы группы G конечны (вместе с этим группа G удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп).
3°. Докажем справедливость теоремы в общем случае. Рассмотрим фактор-группу G/D. Она факторизуема попарно перестановочными подгруппами AJDID, i = 1, 2, ..., п, которые, очевидно, локально конечны и почти локально нильпотентны. В силу леммы 1.24 в каждой подгруппе AJDID все примарные подгруппы конечны. Так как подгруппа D периодическая, абелева и удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп (см. п. Г доказательства), то ввиду леммы 1.40 каждая группа (AtD/D^AjDJD) с^ АД^АД П D) локально ступенчата. Следовательно, на основании п. 2° доказательства группа G/D локально конечна и удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп. Тогда и группа G локально конечна и удовлетворяет этому условию.
Теорема доказана.
Следствие 1.17. Пусть G— группа, факторизуемая п попарно перестановочными подгруппами Аь / = 1, 2, ..,, п, каждая из которых является конечным расширением периодической полной абелевой группы с условием минимальности для примарных подгрупп. Пусть подгруппа, порожденная полными частями любых двух подгрупп Аь локально ступенчата. Тогда группа G локально конечна и является конечным расширением полной абелевой группы с условием минимальности для примарных подгрупп.
Доказательство. Действительно, подгруппа Аь I = 1, 2, ..., п, удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп и локально конечна ввиду теоремы О. Ю. Шмидта. Далее, в подгруппе Аь i = 1,2, ..., п, полная часть, очевидно, имеет конечный индекс и совпадает с подгруппой J (Л^). Поэтому ввиду леммы 1.18 в каждой подгруппе А ^А j подгруппа У (Л^) U J (Лг-)) инвариантна и имеет конечный индекс. Следовательно, каждая подгруппа АгА) — конечное расширение локально ступенчатой группы и, значит, локально ступенчата. Поэтому ввиду теоремы 1.4 группа G локально конечна и удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп. В силу следствия 1.4 подгруппа J (G) имеет конечный индекс в G. Далее, ввиду леммы 1.39 подгруппы J (Л;) поэлементно перестановочны и подгруппа J (G) совпадает с их произведением. Отсюда следует, что подгруппа J (G) — полная абелева.
Итак, группа G локально конечна, удовлетворяет условию
минимальности для примарных подгрупп и является копейным расширением полной абелевой группы.
Следствие доказано .
Следствие 1.18. Группа, факторизуемая попарно перестановочными подгруппами, каждая из которых является конечным расширением периодической полной абелевой группы с условием минимальности для примарных подгрупп, локально конечна, если полные части любых двух подгрупп- множителей порождают в ней локально ступенчатую подгруппу.
Следствие 1.18 вытекает из следствия 1.17.
Факторизация групп
локально конечными подгруппами конечного специального ранга
Определение 1.6 (Мальцев [2]). Группа имеет конечный специальный ранг г, если каждая ее конечнопорожденная подгруппа может быть порождена не более чем г своими элементами и при этом хотя бы одна ее конечнопорожденная подгруппа не может быть порождена менее чем г своими элементами.
Специальный ранг произвольной группы X конечного специального ранга обозначаем через г (X).
Локально конечными группами конечного специального ранга являются все черниковские группы. Среди локально конечных р-групп иных групп конечного специального ранга не существует, что вытекает из следующей теоремы Мягковой [1].
Локально конечные р-группы конечного специального ранга — это в точности черниковские р-группы.
Однако произвольные локально конечные группы конечного специального ранга далеко не исчерпываются черников- скими. Черниковские группы привлекались в качестве факторизующих множителей в § 1 настоящей главы. Представляется естественным привлечь в качестве факторизующих множителей локально конечные группы конечного специального ранга и тем самым расширить область факторизующих множителей для групп из § 1.
В дальнейшем нам потребуется следующая теорема Шункова [4].
Локально конечная группа, все абелевы подгруппы которой имеют конечные специальные ранги, почти локально разрешима и имеет конечный специальный ранг.
В связи с последней теоремой отметим, что ранее Горчаков [11 установил конечность специального ранга периоди-
ческой локально разрешимой группы, все абелевы подгруппы которой имеют конечные специальные ранги.
Лемма 1.43. Пусть G — локально конечная группа конечного специального ранга, факторизуемая п попарно перестановочными подгруппами Ab i = 1, 2, ..., п. Тогда подгруппы J (Д^) поэлементно перестановочны и подгруппа J (G) является их произведением (или, что равносильно, подгруппы 5) (ДО поэлементно перестановочны и подгруппа 5) (G) является их произведением).
Доказательство. Действительно, группа G удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп и почти локально разрешима ввиду теорем Мягковой и Шункова, приведенных выше. Теперь, используя теорему Каргаполова, приведенную в § 2, и рассуждая так же, как и при доказательстве леммы 1.39, убеждаемся в справедливости настоящей леммы.
Лемма 1.44. Пусть G—локально конечная группа конечного специального ранга, факторизуемая двумя подгруппами Д и В, специальные ранги которых не превосходят числа г. Тогда специальные ранги локально разрешимых подгрупп группы G ограничены некоторым числом / (г), зависящим только от г.
Доказательство. Подгруппа J (G) ввиду леммы 1.43 является расширением группы J (Д) с помощью группы J (B)J (A)U (Д). Специальные ранги групп J (Д) и J (В) J (A)U (Д) не превосходят г. Поэтому специальный ранг подгруппы J (G) не превосходит 2г (см., например, Каргаполов, Мерзляков [1], теорема 4.1.7).
Рассмотрим фактор-группу GU (G). Она локально конечна, имеет конечный специальный ранг и факторизуема подгруппами A J (G)U (G) и BJ (G)/J (G), специальные ранги которых не превосходят г. Далее, так как специальный ранг подгруппы J (G) не превосходит 2г, то для доказательства леммы, очевидно, достаточно показать, что специальные ранги локально разрешимых подгрупп фактор-группы GU (G) не превосходят некоторого числа, зависящего только от г. (В самом деле, произвольная локально разрешимая подгруппа группы G является расширением подгруппы группы J (G) с помощью локально разрешимой подгруппы группы GU (G).) С учетом сказанного доказательство леммы сводится к случаю, когда J (G) = 1.
Итак, пусть J (G) = 1. Тогда, очевидно, группа G финитно аппроксимируема. Используя это, нетрудно убедиться в следующем: достаточно показать, что специальные ранги разрешимых подгрупп конечных фактор-групп группы G не превосходят некоторого числа, зависящего только от г. Отсюда вытекает, что доказательство леммы сводится к случаю конечной группы G.
Пусть группа G конечна. Возьмем какую-нибудь разрешимую подгруппу Н группы G и для произвольно,выбранного р какую-нибудь силовскую /2-подгруппу S группы Н. Ввиду леммы 1.37 произведение некоторых силовской /2-подгруппы Р группы А и силовской /2-подгруппы Q группы В является силовской /2-подгруппой группы G. Так как специальные ранги подгрупп Р и Q не превосходят числа г, то специальный ранг подгруппы PQ не превосходит числа, зависящего только от г (Казарин [1] или Зайцев [2]). Ввиду теоремы Силова подгруппа S сопряжена в G с некоторой подгруппой группы PQ. Следовательно, специальный ранг подгруппы S не превосходит числа, зависящего только от г. Поэтому ввиду произвольнос- сти числа р и подгруппы S специальные ранги примарных подгрупп группы Н не превосходят числа, зависящего только от г. Теперь остается воспользоваться теоремой Ковача [1], утверждение которой равносильно следующему.
Специальный ранг конечной разрешимой группы может отличаться от наибольшего из рангов ее примарных подгрупп не более чем на единицу.
Лемма доказана.
Лемма 1.45. Пусть G — локально конечная группа конечного специального ранга, факторизуемая двумя подгруппами А и В. Если для некоторого р все р-подгруппы групп А и В конечны, то и все р-подгруппы группы G конечны.
Доказательство. Пусть все /2-подгруппы групп А и В конечны. Используя лемму 1.43, убеждаемся в том, что все /2-подгруппы группы J (G) конечны. Далее, ввиду теоремы Мягковой группа G удовлетворяет условию минимальности для /2-подгрупп. Поэтому согласно лемме 1.24 в факторгруппе GU (G) все /2-подгруппы конечны. Отсюда следует, что в группе G все /2-подгруппы конечны.
Лемма доказана.
Далее нам потребуется следующая теорема Каргаполова [1] (см. еще Робинсон [3], следствие 1, с. 178).
Локально разрешимая группа конечного специального ранга содержит инвариантную подгруппу конечного индекса, коммутант которой обладает возрастающим центральным рядом (или, что то же, гиперцентрален).
Лемма 1.46. Пусть G — группа и N — ее инвариантная локально конечная подгруппа конечного специального ранга. Если группа G локально ступенчатая, то и фактор-группа GIN локально ступенчатая.
Доказательство. Пусть группа G — локально ступенчатая. Будем считать, что N^=\ (иначе доказывать нечего). Так как подгруппа N локально конечна и имеет конечный специальный ранг, то ввиду теоремы Шункова, приведен-
ной в настоящем параграфе, она почти локально разрешима. Поэтому в силу теоремы Каргаполова, приведенной в настоящем параграфе, подгруппа N обладает конечным нормальным рядом (длины, не превосходящей 3), каждый фактор которого гиперцентрален, абелев или конечен. Так как гиперцентральная локально конечная группа является S-группой, то этот ряд удовлетворяет условию, указанному в лемме 1.40. Далее, ввиду теоремы Мягковой, приведенной в настоящем параграфе, группа N удовлетворяет условию минимальности для примарных секций. Следовательно, по лемме 1.40 факторгруппа G/N локально ступенчата.
Лемма доказана.
Лемма 1.47. Пусть G — локально ступенчатая группа, факторизуемая двумя локально конечными подгруппами А и В конечного специального ранга и Н = $ (Д) U § (В)). Тогда справедливы следующие утверждения.
Подгруппа Н локально конечна и имеет конечный специальный ранг.
Подгруппы J (Д) и J (В) поэлементно перестановочны и содержатся в подгруппе Н, причем J (Н) = J (A) J (В).
Доказательство. По теореме Мягковой подгруппы Д и В удовлетворяют условию минимальности для примарных подгрупп. Поэтому ввиду предложения 1.1 подгруппа И локально конечна и справедливо утверждение 2 настоящей леммы.
Покажем, что подгруппа Н имеет конечный специальный ранг. Возьмем любую конечную подгруппу К группы Н, порожденную некоторыми инвариантными подгруппами групп Д и В. Очевидно, все такие подгруппы образуют локальную систему группы Н. Ввиду леммы 1.13 подгруппа К инвариантна в некоторой конечной подгруппе F, факторизуемой относительно разложения G = АВ. Пусть г — наибольший из специальных рангов подгрупп Д и В. В силу леммы 1.44 специальный ранг произвольной абелевой подгруппы группы F (а значит, и произвольной абелевой подгруппы группы К) не превосходит некоторого числа, зависящего только от г. Поэтому ввиду произвольности К каждая абелева подгруппа группы Н имеет конечный специальный ранг (не превосходящий некоторого числа, зависящего только от г). Следовательно, ввиду теоремы Шункова, приведенной в настоящем параграфе, подгруппа Н имеет конечный специальный ранг.
Лемма доказана.
Лемма 1.48. Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В конечного специального ранга. Тогда если подгруппа А локально конечна, то в G найдется локально конечная подгруппа, содержащая А и не содержащаяся ни в какой 66
большей локально конечной подгруппе конечного специального ранга группы G.
Доказательство. Будем считать, что G =^ 1. Ввиду теоремы Хаусдорфа (см., например, Колмогоров, Фомин [1]) в группе G найдется подгруппа Л*, для которой выполняются следующие условия:
Л* является объединением членов некоторого возрастающего ряда локально конечных подгрупп конечного специального ранга, содержащих подгруппу Л;
Л* не содержится в качестве истинной подгруппы ни в какой локально конечной подгруппе конечного специального ранга группы G.
Ввиду условия «1» подгруппа Л*, очевидно, локально конечна. Покажем, что она имеет конечный специальный ранг.
Пусть Н — произвольная конечная абелева подгруппа Группы Л*. Используя условие «1», нетрудно убедиться, что И Содержится в некоторой локально конечной подгруппе F конечного специального ранга группы Л*, такой, что Л ^ F. Ьусть г — наибольшее из чисел г (Л) и г (В). По лемме 1.8 подгруппа F факторизуема подгруппами Л и F Q В. Поэтому ввиду леммы 1.44 специальный ранг подгруппы Н не превосходит некоторого числа / (г). Отсюда следует, что специальные ранги всех абелевых подгрупп группы Л* конечны (и не превосходят / (г)). Поэтому по теореме Шункова, приведенной в настоящем параграфе, подгруппа Л* имеет конечный специальный ранг. Ввиду условия «2». подгруппа Л* не содержится ни в какой большей локально конечной подгруппе конечного специального ранга группы G.
Лемма доказана.
Лемма 1.49. Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами — локально конечной подгруппой Л конечного специального ранга и подгруппой В конечного специального ранга; Л * — максимальная локально конечная подгруппа конечного специального ранга группы G, содержащая Л (тякш/ подгруппа существует ввиду леммы 1.48); N — подгруппа группы G,[ порожденная некоторым множеством ее инвариантных локально конечных подгрупп конечного специального ранга. Тогда справедливы следующие утверждения.
» Подгруппа N содержится в подгруппе Л* (и вместе с этим локально конечна и имеет конечный специальный ранг).
Фактор-группа GIN локально ступенчата в случае, когда группа G локально ступенчата, и не содержит отличных от единицы инвариантных локально конечных подгрупп конечного специального ранга в случае, когда подгруппа N порождена всеми инвариантными локально конечными подгруппами конечного специального ранга группы G. Далее, подгруппа A*IN яв-
ляется максимальной локально конечной подгруппой конечного специального ранга фактор-группы GIN.
Если для некоторого р все р-подгруппы групп А и A* Q В конечны, то и все р-подгруппы группы A*IN конечны.
Доказательство утверждения 1. ПустьН — произвольная инвариантная локально конечная подгруппа конечного специального ранга группы G. Рассмотрим подгруппу А*Н. Она, будучи расширением локально конечной группы Н конечного специального ранга с помощью такой же группы А*Н!Н см А*!^А* П Н), локально конечна ввиду теоремы О. Ю. Шмидта и имеет конечный специальный ранг (см., например, Каргаполов, Мерзляков [1], теорема 4.1.7). Следовательно, ввиду максимальности подгруппы А * А *Н = А *, т. е. Н г А*. Отсюда ввиду произвольности Н N А*.
Утверждение 1 доказано.
Доказательство утверждения 2. Ввиду утверждения 1 настоящей леммы подгруппа N локально конечна и имеет конечный специальный ранг. Поэтому по лемме 1.46 фактор-группа GIN локально ступенчата в случае, когда группа G локально ступенчата.
Пусть N порождена всеми инвариантными локально конечными подгруппами конечного специального ранга группы G. Покажем, что в этом случае фактор-группа GIN не содержит отличных от единицы инвариантных локально конечных подгрупп конечного специального ранга. Возьмем какую- нибудь инвариантную локально конечную подгруппу LIN конечного специального ранга группы GIN. Подгруппа L локально конечна и имеет конечный специальный ранг. Следовательно, L = N и потому L/N — единичная подгруппа группы GIN.
Покажем, что A*IN — максимальная локально конечная подгруппа конечного специального ранга фактор-группы GIN. Пусть CIN — произвольная содержащая A*IN локально конечная подгруппа конечного специального ранга группы GIN. Тогда подгруппа С группы G локально конечна и имеет конечный специальный ранг. Следовательно, С = А* и потому (ввиду произвольности CIN) A*IN — максимальная локально конечная подгруппа конечного специального ранга факторгруппы GIN. Утверждение 2 доказано.
Доказательство утверждения 3. Пусть все /2-подгруппы групп А и В конечны. По лемме 1.8 А * = А (Д * П 5). Поэтому ввиду леммы 1.45 все р-подгруппы группы Д* конечны, значит, ввиду предложения, приведенного перед леммой 1.14, все р-подгруппы фактор-группы A*IN конечны. Утверждение 3 доказано.
Лемма доказана.
Лемма 1.50.В локально конечной группе с условием минимальности для примарных подгрупп любая подгруппа конечного индекса содержит подгруппу конечного индекса, характеристическую во всей группе.
Доказательство. Пусть G — локально конечная группа с условием минимальности для примарных подгрупп и Н — произвольная ее подгруппа конечного индекса. Покажем, что Н содержит подгруппу конечного индекса, характеристическую в группе G. Будем считать, что Н Ф G (иначе доказывать нечего). Пусть L — пересечение всех подгрупп, сопряженных с Н в G. Подгруппа L инвариантна в G и | G :L | < < оо. Обозначим через л множество л (| G: L |) и через К пересечение всех инвариантных подгрупп группы G, индексы которых в G конечны и делятся только на простые числа из л. Очевидно, К — характеристическая подгруппа группы G, содержащаяся в Н. Рассмотрим фактор-группу G/К. Нетрудно видеть, что она является л-группой. В силу леммы 1.24 все ее примарные подгруппы конечны. Поэтому ввиду приведенного перед леммой 1.14 предложения все силовские /7-подгруппы фактор-группы G/К имеют одинаковые порядки при любом р. Из теоремы Силова очевидно вытекает, что наибольшая степень р, делящая порядок произвольной конечной подгруппы фактор-группы G/К, не превосходит порядка силовской /7-подгруппы последней. Следовательно, порядок произвольной конечной подгруппы группы G/К не превосходит произведения по всем р С л порядков силовских /7-подгрупп последней. Таким образом, порядки конечных подгрупп фактор-группы G/К ограничены в совокупности. Поэтому фактор-группа G/К конечна, значит, подгруппа К имеет конечный индекс в G.
Лемма доказана.
Лемма 1.51. Произвольная субнормальная локально нормальная подгруппа локально конечной группы G, удовлетворяющей условию минимальности для примарных подгрупп, содержится в § (G).
Доказательство. Произвольная субнормальная локально нормальная подгруппа группы G порождается своими конечными инвариантными подгруппами и вместе с тем — своими конечными подгруппами, субнормальными в G. Поэтому для доказательства настоящей леммы, очевидно, достаточно показать, что произвольная субнормальная конечная подгруппа группы G содержится в § (G).
Пусть Н — какая-нибудь субнормальная конечная подгруппа группы G. Покажем, что нормальное замыкание N подгруппы Н в G конечно (и вместе с этим содержится в $ (G)). Индукция по длине конечного нормального ряда, соединяющего Н с G, позволяет свести доказательство к случаю, когда Н
инвариантна в некоторой инвариантной подгруппе С группы G. В этом случае каждая сопряженная с Н в G подгруппа содержится в подгруппе С и инвариантна в ней. Поэтому подгруппа N локально нормальна. Обозначим через т порядок подгруппы Н. Так как N локально нормальна и удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп, то в ней множество элементов каждого порядка конечно или пусто (С. Н. Черников [4]; см. еще С. Н. Черников [8], теорема 3.7), а потому, очевидно, и множество подгрупп каждого конечного порядка конечно или пусто. Следовательно, в N множество подгрупп порядка т конечно. Поэтому множество всех подгрупп, сопряженных с Н в G, конечно и, значит, подгруппа N конечна.
Лемма доказана.
Лемма 1.52. Пусть G — локально конечная группа конечного специального ранга. Тогда справедливы следующие утверждения.
Подгруппа 5) (G) совпадает с подгруппой J (G) и разлагается в прямое произведение квазициклических подгрупп, число которых для каждого простого р конечно и не превосходит специального ранга группы G.
Фактор-группа группы G по любой ее инвариантной подгруппе, содержащей подгруппу J (G), финитно аппроксимируема и не имеет бесконечных примарных подгрупп.
Фактор-группа ^G/J (G))/ § (G/J (G)) почти абелева.
Группа G конечна тогда и только тогда, когда подгруппа % (G) конечна.
Лемму 1.52 нетрудно доказать, пользуясь теоремами Шункова, Мягковой и Каргаполова, приведенными в настоящем параграфе, теоремой Каргаполова, приведенной в § 2 настоя- ящей главы, и леммой 1.24.
Теорема 1.5 (Н. С. Черников [3, 6, 91). Локально ступенчатая группа, факторизуемая двумя локально конечными подгруппами конечного специального ранга, локально конечна и имеет конечный специальный ранг.
Доказательство. Пусть G — локально ступенчатая группа, факторизуемая локально конечными подгруппами Д и В конечного специального ранга.
1°. Докажем справедливость теоремы в случае, когда одна из подгрупп Д, В конечна. Пусть, например, подгруппа В конечна. Тогда, очевидно, индекс подгруппы Д в G конечен. Поэтому подгруппа Д содержит некоторую инвариантную в G подгруппу конечного индекса. Следовательно, группа G является конечным расширением локально конечной группы конечного специального ранга. Поэтому она локально конечна по теореме О. Ю. Шмидта и, очевидно, имеет конечный специальный ранг.
Примем Н = (9 (Л) U 9(5)). Ввиду утверждения 1 леммы 1.47 подгруппа Н локально конечна и имеет конечный специальный ранг.
2°. Докажем справедливость теоремы в случае, когда подгруппы А и В почти локально нормальны. Легко видеть, что в этом случае индексы подгрупп 9 И) и 9 (5) соответственно в группах А и В конечны. Поэтому в силу леммы 1.17 подгруппа Н имеет конечный индекс в G и, значит, содержит некоторую инвариантную в G подгруппу конечного индекса. Следовательно, группа G является конечным расширением локально конечной группы конечного специального ранга. Поэтому она локально конечна и имеет конечный специальный ранг.
3°. Докажем справедливость теоремы в случае, когда все примарные подгруппы групп А и В конечны и одна из подгрупп А и В, например В, почти локально нормальна и является максимальной локально конечной подгруппой конечного специального ранга в G.
Допустим, что G не является локально конечной группой конечного специального ранга. Используя лемму 1.49, нетрудно убедиться в следующем: достаточно прийти к противоречию с предположением о группе G в ситуации, когда обе подгруппы Л и В — максимальные локально конечные подгруппы конечного специального ранга группы G и при этом группа G не имеет отличных от единицы инвариантных локально конечных подгрупп конечного специального ранга. Рассмотрением этой ситуации мы и займемся. Поскольку группа G бесконечна, то подгруппы Л и В также бесконечны (см. п. 1° доказательства). Поэтому ввиду леммы 1.52 подгруппы § (Л) и § (В) и подгруппа g (В) бесконечны. Покажем, что
9(5)сЛи^(В)еВ.(1)
Пусть К — произвольная, отличная от единицы конечная инвариантная подгруппа группы Н. Очевидно, индексы |9И): : С^ (/<) | и | В : Се^ (К) | конечны. Поэтому ввиду теоремы Мягковой, приведенной в настоящем параграфе, и леммы 1.50 некоторые подгруппы Аг и ВА конечных индексов соответственно групп С^ (К) и Сдщ) (К) инвариантны соответственно в Л и В.
Рассмотрим фактор-группу Nq^A^IAv Ввиду леммы 1.46 она локально ступенчата и в силу леммы 1.8 факторизуема подгруппами А!АХ и A-^Nq^A^ f| B)JAV Последние локально
конечны и имеют конечные специальные ранги, В силу предложения, приведенного непосредственно перед леммой 1.14, все их примарные подгруппы конечны. Так как все примарные подгруппы группы А конечны, то ввиду леммы 1.52 фактор-группа Л/g (Л) почти абелева. Следовательно, группа А! Ау является расширением конечной группы g И)/Ах с помощью почти абелевой группы Л/g (Л) и потому, очевидно, почти локально нормальна. Заметим, что ввиду последней части утверждения 2 леммы 1.49 А/Ау— максимальная локально конечная подгруппа конечного специального ранга группы NG(Ay)/Av Подгруппа Л^^ИО П В)/Ау почти локально нормальна, так как почти локально нормальна подгруппа ^(Л^ П В. На основании п. 2° доказательства фактор-группа NG(Ay)IAy локально конечна и имеет конечный специальный ранг. Следовательно, А^б(Л1)/Л1 = Л/Лх, и значит, NG(Ay) = А. Поэтому К ^ CG(Ay) ^ NG (Ay) ^ А, и, значит, ввиду произвольности К выполняется первое из соотношений (1).
Рассмотрим теперь фактор-группу NG (В^/В^ Ввиду леммы 1.8 она факторизуема подгруппами В/Вг и By (NG (BJ П A)/Bv Первая из этих подгрупп конечна, а вторая локально конечна и имеет конечный специальный ранг. Следовательно, на основании п. 1° доказательства фактор-группа NG(By)/Bv локально конечна и имеет конечный специальный ранг. Ввиду последней части утверждения 2 леммы 1.49 В!By — максимальная локально конечная подгруппа конечного специального ранга группы NG(By)/Bv Следовательно, NG (By)/By = B/BL и, значит, Ng (By) = В. Поэтому K^B. Тогда ввиду произвольности К выполняется второе из соотношений (1).
Используя соотношения (1), нетрудно убедиться, что подгруппы ^(Н)^(А) и ^(Н)^(В) локально нормальны. Покажем, что индекс пересечения ^(Н) П gH) Q 9(6) в П°Д* группе g (Н) конечен. Так как все примарные подгруппы групп А и В конечны, то ввиду леммы 1.52 фактор-группы Л/g (Л) и B/g(B) почти абелевы. Пусть Л2^ (Л) и B2/g(B) — какие-нибудь инвариантные абелевы подгруппы конечных индексов соответственно фактор-групп Л/g (Л) и B/g(B). Рассмотрим пересечения Л2 f) g(//)g^) и В2 П g(B)g(B). Они инвариантны соответственно в подгруппах Л2 и В2 и, значит, субнормальны соответственно в группах А и В. Поэтому ввиду леммы 1.51
л2П WiW^sM, в2п 9(H) 9(B) g 9(В).
Следовательно,
ла п 9 (Н) = 9 (Л) Л 9 (Н), в2 П 9 (Н) 5 9 (В) п 9 (Н)
и
ШНУШ^ п 9И))|^|8(Я):(Л2О(^)1<:|4:4!.
Шнушщ П ^^\^уну.ф2 Л W»\^\B:By.
Таким образом, индексы подгрупп 8 (В) f] 8 И) и 8 (Щ П А 8(5) в подгруппе 8W конечны. Поэтому индекс подгруппы 8 (^) А 8 И) И 8 (5) в подгруппе 8 (#) конечен.
Так как подгруппа 8 W бесконечна, то ввиду доказанного подгруппа 8 И) А 8(5) отлична от единицы. Возьмем какой-нибудь элемент g=^ 1 из 8 И) А 8(5). Он содержится в некоторой конечной инвариантной подгруппе группы Лив некоторой конечной инвариантной подгруппе группы В. Поэтому, очевидно, индексы | Л : Cq (g) | и | В : CG (g) | конечны. Тогда ввиду леммы 1.17 индекс в G подгруппы (Сд(^) J U Св^) конечен. Следовательно, индекс в G централизатора CG(g) конечен, поэтому gG—конечное инвариантное множество элементов группы G.
По лемме Дицмана (см., например, Курош [1]) в произвольной группе любое конечное инвариантное множество элементов конечных порядков порождает конечную подгруппу. Следовательно, (gG ) — конечная инвариантная подгруппа группы G. Но группа G не имеет отличных от единицы конечных инвариантных подгрупп. Полученное противоречие доказывает справедливость теоремы в рассматриваемом случае.
4°. Справедливость теоремы в случае, когда все примарные подгруппы групп Л и В конечны (без предположения о почти локальной нормальности хотя бы одной из подгрупп Л и В), получается с помощью рассуждений в п. 3° со следующими изменениями:
провести доказательство только первого из соотношений (1), отметив, что второе доказывается аналогично;
в доказательстве первого из соотношений (1) опустить утверждение о почти локальной нормальности группы Лх (Ng (Л^ П ВУАу и заменить ссылку на п. 2° ссылкой на п. 3°.
. Докажем справедливость теоремы в случае, когда хотя бы в одной из подгрупп Л и В все примарные подгруппы конечны. Будем считать, что это относится к группе В.
Пусть G не является локально конечной группой конечного специального ранга. Используя лемму 1.49, нетрудно убедиться, что достаточно прийти к противоречию с предположением о группе G в ситуации, когда Л — максимальная локально конечная подгруппа конечного специального ранга группы G и при этом группа G не имеет отличных от единицы инвариантных локально конечных подгрупп конечного специального ранга. Рассмотрением этой ситуации мы и займемся.
Так как все примарные подгруппы группы В конечны, то ввиду леммы 1.52 J (В) = 1. Поэтому ввиду утверждения 2 леммы 1.47 / (//) = / (Л). Следовательно, подгруппа J (Л) инвариантна в подгруппе Н и, значит ,
(2)
Рассмотрим фактор-группу Ng (J kA^U (Л). В силу леммы 1.46 она локально ступенчата и ввиду леммы 1.8 факторизуема подгруппами AIJ (Л) и J (Л) к^о Ц (Л)) Q B^J (Л). Последние локально конечны, имеют конечные специальные ранги и не содержат бесконечных примарных подгрупп в силу леммы 1.52. Следовательно, на основании п. 4° доказательства фактор-группа NG (J (A))/J (Л) локально конечна и имеет конечный специальный ранг. Поэтому ввиду последней части утверждения 2 леммы 1.49 NG У (A))/J (Л) = AU (Л), значит, Ng У (Л)) = А. Тогда с учетом соотношения (2) и ввиду леммы 1.36 (@(5))б)сЛ. Поэтому ((§(B))G)— инвариантная локально конечная подгруппа конечного специального ранга группы G. Следовательно, ^(В)= 1. Но в таком случае подгруппа В конечна (см. утверждение 4 леммы 1.52) и, значит, В = §(В)=1, что невозможно. Полученное противоречие доказывает справедливость теоремы в рассматриваемом случае.
6°. Докажем справедливость теоремы в общем случае. Пусть G не является локально конечной группой конечного специального ранга. Используя лемму 1.49, нетрудно убедиться, что достаточно прийти к противоречию с предположением о группе G в ситуации, когда подгруппа А является максимальной локально конечной подгруппой конечного специального ранга группы G, и группа G не имеет отличных от единицы инвариантных локально конечных подгрупп конечного специального ранга. Пусть это так.
Ввиду утверждения 2 леммы 1.47 подгруппы J (Л) и J (6) поэлементно перестановочны, и, значит,
У(В)Е^(/(Л)). (3)
Рассмотрим фактор-группу NG(J (Л))/7 (Л). Ввиду леммы 1.46 она локально ступенчата и в силу леммы 1.8 факторизуема подгруппами А/J (Л) и J (Л) (NG У (Л)) П B^U (Л). Последние локально конечны и имеют конечные специальные ранги. Первая из них ввиду леммы 1.52 не имеет бесконечных примарных подгрупп. Следовательно, согласно п. 5° доказательства фактор-группа NG (/ (Л))// (Л) локально конечна и имеет конечный специальный ранг. Поэтому согласно последней части утверждения 2 леммы 1.49 NGkJ kA^/J кА) =AU кА\
и, значит, NGy(Л)) = А. Тогда с учетом соотношения (3) и ввиду леммы 1.36 ((J (B))G) с А. Поэтому ((J (B))G) — инвариантная локально конечная подгруппа конечного специального ранга группы G. Следовательно, J(6) = 1. Но в таком случае ввиду леммы 1.52 в подгруппе В все примарные подгруппы конечны. Поэтому группа G локально конечна и имеет конечный специальный ранг (см. п. 5° доказательства). Противоречие.
Теорема доказана.
Следствие 1.19. Пусть G — группа, факторизуемая п попарно перестановочными подгруппами А^ i = 1, 2, ...., п, каждая из которых является конечным расширением периодической полной абелевой группы конечного специального ранга. Пусть подгруппа, порожденная полными частями любых двух подгрупп А^ локально ступенчата. Тогда группа G локально конечна, имеет конечный специальный ранг и является конечным расширением полной абелевой группы.
Доказательство. Действительно, ввиду теоремы Мягковой подгруппы At удовлетворяют условию минимальности для примарных подгрупп. Поэтому согласно следствию 1.17 группа G локально конечна и является конечным расширением полной абелевой группы. Так как группа G локально конечна, то, как вытекает из теоремы 1.5, она имеет конечный специальный ранг.
Следствие доказано.
Следствие 1.20. Локально ступенчатая группа, факторизуемая попарно перестановочными локально конечными подгруппами конечного специального ранга, локально конечна.
Следствие 1.20 непосредственно вытекает из теоремы 1.5.
Теорема 1.6 (Н. С. Черников [8, 141). Пусть G — локально ступенчатая группа, факторизуемая двумя локально конечными подгруппами А и В с условием минимальности для примарных подгрупп, такими, что фактор-группы AU (Л) и BU (В) имеют конечные специальные ранги. Тогда группа G локально конечна, удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп, а фактор-группа GIJ (G) имеет конечный специальный ранг.
Доказательство теоремы 1.6 существенно опирается на теорему 1.5. Его изложение приведено в работе автора [14].
Следствие 1.21. Локально ступенчатая группа, факторизуемая попарно перестановочными локально конечными подгруппами с условием минимальности для примарных подгрупп, фактор-группа каждой из которых по пересечению всех ее подгрупп конечного индекса имеет конечный специальный ранг, локально конечна.
Следствие 1.21 непосредственно вытекает из теоремы 1.6.
§ 4 Факторизация групп подгруппами с условием минимальности для л-подгрупп
Основное в настоящем параграфе — некоторые достаточные условия, при которых группа, факторизуемая двумя подгруппами с условием минимальности для л-подгрупп (л — непустое множество простых чисел), сама удовлетворяет этому условию (теоремы 1.7 и 1.9). Из теоремы 1.9 вытекает, в частности, что локально конечная группа, факторизуемая двумя почти локально нормальными подгруппами с условием минимальности для л-подгрупп, сама удовлетворяет этому условию.
Лемма 1.53. Пусть группа G факторизуема двумя подгруппами — инвариантной подгруппой А и некоторой подгруппой В; Н — непустое множество элементов подгруппы В, такое, что А П ННВ = 1. Тогда выполняются соотношения
N^H^N^N^H),(1)
Со (Д) = Сл (Я) Св (Я).(2)
Доказательство. Пусть g — произвольный элемент из N^H) (соответственно из СДЩ). Так как G = АВ, то g = ab-1 для некоторых элементов а^А и Ь^В. Тогда Н° = Нь и потому НН° = ННЬ. Так как подгруппа А инвариантна в G, то {[Zt, а] | h Е Я} е А. Следовательно, {[А, а] | А ^ еН}^АГ[ННа = A(\HHb = 1. Поэтому а£Сл(Я) s= NA(Н) и b = g~xa £ (Мс (Я) П В) = NB (Н) (соответственно b£CB (Н)) и, значит, ввиду произвольности элемента g NG (H)^NA (Я) NB(H) (соответственно CG (Я) г СА (Я) Св (Н)). Следовательно, соотношения (1) и (2) выполняются.
Лемма доказана.
Следствие 1.22. Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами — инвариантной подгруппой А и некоторой подгруппой В; Н — непустое множество элементов подгруппы В. Тогда если А П В = 1, то выполняются соотношения (1) и (2).
Следствие 1.22 непосредственно вытекает из леммы 1.53.
Лемма 1.54. Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В, хотя бы одна из которых периодическая*, L и М — некоторые инвариантные подгруппы соответственно групп А и В. Тогда нормализатор N пересечения L П М в G факторизуем относительно разложения G = АВ.
Доказательство. Будем считать, что подгруппа А периодическая. Для доказательства настоящей леммы воспользуемся леммой 1.3. Пусть (Lf) Mf = (L П М)\ где а^А и
bEB. Тогда (ЛАЛ4)а ^L, (LA M)b г /И и, значит, (LA^W)^— = (LAM)flAU-A М)6 s L АЛТ Поэтому в силу леммы 1.5 (L П Mf=L А М, следовательно, а Е N и b $ N. Ввиду леммы 1.3 подгруппа N факторизуема относительно разложения G=AB.
Лемма доказана.
Лемма 1.55 Пусть G — группа, разложимая в произведения G = АВ = АС = ВС некоторых подгрупп А и В и некоторой инвариантной локально конечной подгруппы С; К—конечная подгруппа группы В, такая, что л (К) А л (Q = 0. Тогда для подходящих элементов а Е А и b Е В выполняются соотношения ‘
(3)
Доказательство. Так как G = АС, то ввиду леммы 1.8 КС = (Л П КС) С. Из каждого смежного класса группы КС по подгруппе С возьмем по одному представителю, принадлежащему группе A А КС. Обозначим через Н подгруппу, порожденную взятыми представителями. Очевидно, КС = НС. Так как подгруппа С локально конечна и инвариантна в КС, а подгруппа К конечна, то ввиду теоремы О. Ю. Шмидта подгруппа КС локально конечна. Следовательно, подгруппа Н конечна. Очевидно, порядок подгруппы Н А А С взаимно прост с ее индексом в Н. Поэтому ввиду теоремы Шура, приведенной непосредственно перед леммой 1.21, подгруппа Н П С дополняема в Н. Пусть К* — какое-нибудь дополнение к Н А С в Н. Очевидно, К*С = КС. Обозначим через F подгруппу, порожденную К и К*. Нетрудно видеть, что К (L А С) = К* (L A Q- Так как л (Д) Ал (F А А С) = 0, то ввиду теоремы Фейта — Томпсона [1] (о разрешимости конечной группы нечетного порядка) по крайней мере одна из подгрупп К и F А С разрешима. Поэтому в силу теоремы Шура — Цассенхауза, приведенной непосредственно перед леммой 1.21, К6 = К* при некотором gE (F А С).
Пусть g = Ьа~\ где ЬЕВ и аЕА. Тогда
(4)(4)К6 = (К*)".
(4)
(4)
Далее, К* ^ Н г А А КС. Следовательно, с учетом соотношеНИЯ (4) ^еВПИпВД.
Лемма доказана.
Следствие 1.23. Пусть G — группа, разложимая в произведения G = АВ = АС = ВС некоторых подгрупп А и В и некоторой инвариантной локально конечной подгруппы С; К — конечная подгруппа группы В, такая, что л (/С) А П л (С) = 0; L — инвариантная подгруппа группы А, такая.
что К Е LC. Тогда для подходящего элемента b £ В выполняется соотношение
КьеВП^ИПС).
Доказательство. Действительно, ввиду леммы 1.55 для некоторых элементов а € А и b £ В выполняются соотношения (3). Так как К ^ LC, то A П КС с Л П LC. Используя лемму 1.7, убеждаемся в том, что А О LC = = L (Л П С). Теперь, учитывая соотношения (3) и инвариантность подгруппы L (А П С) в А, получаем
^sBfKLHnC^^BnLHnC).
Следствие доказано.
Лемма 1.56 (Н. С. Черников [13]). Пусть G — группа и С —некоторая ее периодическая инвариантная подгруппа; Н и К — подгруппы группы G, хотя бы одна из которых периодическая, такие, что, во-первых, К ^ НС, во-вторых, л (Я) Q П л (С) = л (Я) П л (С) = 0, в-третьих, выполняется по крайней мере одно из соотношений
H^NG(K) или K^NG(H).(5)
Тогда К^Н.
Доказательство. Так как хотя бы одна из подгрупп Н и К периодическая и выполняется по крайней мере одно из соотношений (5), то, очевидно, л (НК) л (Я) U л (К) и, значит, л (НК) П л (С) = (л (Н) П л (С)) U (л (К) П л (С)) - 0. Поэтому ввиду периодичности подгруппы С НК А С = 1. Далее, так как К £ НС, то НКС = НС. Следовательно, НК = Н (НК ПС) -Н, и, значит, К^Н.
Лемма доказана.
Лемма 1.57. Пусть G—группа, разложимая в произведения G =^АВ — АС = ВС некоторых подгрупп А и В и некоторой инвариантной локально конечной подгруппы С; К — конечная подгруппа группы В, такая, что л(Я)П л (С) = 0, и L — инвариантная подгруппа группы Л, такая, что л(А)П Пл(ЛПС) = 0. Тогда если K^LC, то Kb ^B^\L для подходясцего элемента Ь^В.
Доказательство. Пусть K^LC. Тогда ввиду следствия 1.23 Kb^L(A(\C) для некоторого элемента Ь^В. Так как, во-первых, подгруппа Л ПС периодична и инвариантна в группе А(ЛПС), во-вторых, выполняются соотношения
я(В)Пл(ЛПС) = л(^)Пл(ЛПС)-0
и, в-третьих, К‘еМцлпоЩ, то ввиду леммы 1.56 Kb^L и, значит, Кь В A L.
Лемма доказана.
Следствие 1.24 (ср. Н. С. Черников [13], утверждение 1 леммы 11). Пусть G — группа, разложимая в произведения G = АВ = АС = ВС некоторых подгрупп А и В и некоторой инвариантной локально конечной подгруппы С; М — конечная инвариантная подгруппа группы В, такая, что л (М)Ал (С) = 0, и L —инвариантная подгруппа группы А, такая, что л(В)П л (Л AQ = 0. Тогда справедливы следующие утверждения.
Если М г LC, то М г L.
Если МС = LC, то М = L и подгруппа М инвариантна в G.
Доказательство. Справедливость утверждения 1 непосредственно вытекает из леммы 1.57. Докажем справедливость утверждения 2. Пусть МС = LC. Тогда ввиду утверждения 1 М г L. Поэтому, очевидно, L = М (L А С). Далее, £АС = £А(ЛАС) и, значит,
л (L A Q л (L) А л (Л А С) = 0.
Так как подгруппа L Q С периодическая, то с учетом последнего соотношения она равна единице. Следовательно, L = М.
Следствие доказано.
Лемма 1.58. Пусть G — группа, разложимая в произведения G = АВ = АС = ВС подгрупп А и В и инвариантной локально конечной подгруппы С; М — некоторая инвариантная подгруппа группы В, a L — инвариантная подгруппа группы А, такая, что M^LC и л (L) А л (Л A Q 0- Тогда справедливы следующие утверждения.
Каждая конечная подгруппа К группы М, такая, что л (/<) П л (С) = 0, сопряжена в В с подходящей подгруппой группы LAM.
Каждая периодическая подгруппа К группы ЛАМ, такая, что л (^ А л (Л A Q = 0, содержится в L[\M.
Если подгруппа М имеет хотя бы один элемент простого порядка, не принадлежащего множеству л (С), то
Доказательство. Справедливость утверждения 1 вытекает непосредственно из леммы 1.57. Справедливость утверждения 3, в свою очередь, вытекает непосредственно из утверждения 1.
Докажем справедливость утверждения 2. Пусть К — периодическая подгруппа группы ЛАМ, такая, что л(/<)А Ал(ЛАО = 0. Так как, во-первых, подгруппы К и ЛАС
периодические, во-вторых, подгруппа ЛАС инвариантна в группе L (Л А С), в-третьих, выполняются соотношения
л (L) А Л (Л A С) - л № А Л (Л А С) - 0,К^АПЬС^ А(ЛАО
и, в-четвертых, очевидно, К ^ П^^^Ц, то ввиду леммы 1.56 K^L и, значит, K^Lf\M.
Лемма доказана.
Лемма 1.59 (ср. Н. С. Черников [131, утверждение 2 леммы 11). Пусть G — периодическая группа, разложимая в произведения G = АВ = АС = ВС некоторых подгрупп А и В и некоторой инвариантной локально конечной подгруппы С; L и М — инвариантные подгруппы соответственно групп А и В, такие, что л (L) А л (Л А С) = л (М) А л (С) = 0. Тогда если М д= LC, то пересечение совпадает со своим нормализатором в М.
Доказательство. Пусть M^LC. Положим G* = - Ng(JL П М), Л* - Na(L А М\ В* = NB<Lft М) и С* = — Nc (L А М). Так как подгруппы Л и 5 периодические, то ввиду леммы 1.54 G* — А*В*.
Покажем, что G* = Л*С*. Ввиду периодичности подгрупп L и Л Г) С и соотношения л (Л A С) А л (L) = 0 очевидно (ЛАС)АВ= 1. Далее, (ЛПОП/. - СА(ЛАВ) - CftL. Следовательно, С A L — 1. Поэтому с учетом очевидного соотношения (L П М) (L Л М)л с L
C(](L(]M)(L(]M)A=1.
Тогда по лемме 1.53 NQ (L А Л4) = NC(L А М) NA (L А /И), поскольку G = СЛ, LAM с Л и подгруппа С инвариантна в G. Значит, G* = С* А* = А*С*. Используя соотношение л (С) А Ал(УИ)=0 и рассуждая аналогично, убеждаемся, что G* = В*С*.
Таким образом,
G* = А* В* = Л*С* = В*С*.
Рассмотрим фактор-группу G*/(L А М). Для произвольной содержащей L А М подгруппы X группы G* подгруппу X/(L А Л4) фактор-группы G*l(Lf\M) будем обозначать через X. Очевидно, группа G* периодическая и разлагается в произведения G*= =А*В*=А*С* =В*С* подгрупп А* и 5* и инвариантной локально конечной подгруппы С*. Положим L* = (Л*АУ и М* = = (В* А М). Нетрудно видеть, что L* А М* = 1. Действи-
тельно, L f) M г X* и L f) М с 5*. Поэтому
L П М = (L П М) П (X* П 5*) = (X* П L) П (В* П М).(6)
Из соотношений (6) и вытекает, что L* П М* = 1.
Покажем, что M*^L*C*. Пользуясь леммой 1.8 и учитывая соотношение Х*С*=В*С*, убеждаемся, что (В*П М)С* = = (Х*П(В*ПМ)С*)С*. Так как M^LC, то (В*ПА1)С*г ^ (LC) С* = LC. Следовательно, В* П М ^ (В* П М) С* е с(X*ПLC) С*. Далее, подгруппы L и ХПС поэлементно перестановочны, поскольку они инвариантны в X и пересекаются по единице. Поэтому А П С г А* и А П С с С*. Отсюда вытекает, что А П С=Х* QC*. Теперь, пользуясь леммой 1.7 и учитывая последнее соотношение, получаем
Х*П LC = Х*П (X П LC) = Х*П L (X П С) = Х*П L (X* П С*) =
= (Х*ПВ) (Х*ПС*).
Тогда
В* п М ^ (X* п LC) С* - (X* п Ц (X* п с*) С* = (X* п В) с*,
т. е. В^П М s (X* П Ц С*. Ввиду последнего соотношения М* s L*C*.
Таким образом, выполняются соотношения М* s L*C*, L* П Ai* = 1 и, очевидно, соотношения л (L*) П л (X* П С*) — = л (М*) П л (С*) = 0. Учитывая это и пользуясь утверждением 3 леммы 1.58, легко убедиться, что л(М*) = 0. Следовательно, М* = 1. Тогда В* П М = ВП М и, значит, ^(ВПМ)==Ув(ВП^)ПМ = £ПМ.
Лемма доказана.
Лемма 1.60. Пусть G — почти N-группа. Тогда G обладает характеристической подгруппой конечного индекса, п-й коммутант которой при подходящем натуральном п является N-группой.
(Напомним, что TV-группа — это группа с нормализатор- ным условием (см. Курош [1].)
- Доказательство. Пусть Н — инвариантная TV- подгруппа конечного индекса группы G. Обозначим через К подгруппу, порожденную всеми автоморфно-сопряженными с Н в G подгруппами. К — характеристическая подгруппа конечного индекса группы G. Рассмотрим фактор-группу KJH. Она порождена некоторыми инвариантными TV-подгруппами группы G/Н. Как известно, конечная TV-группа нильпотентна. Следовательно, МН порождена некоторыми инвариантными нильпотентными подгруппами группы GlН и потому разреши-
^1^10 - 6-622
^1
^1
ма. В силу этого для подходящего натурального п подгруппа (Д/Н^ группы К/Н единичная и, значит, Kw ^ Н.
Лемма доказана.
Лемма 1.61 (Н. С. Черников [131). Пусть G — группа, факторизуемая двумя локально конечными подгруппами А и В, хотя бы одна из которых имеет возрастающий инвариантный ряд с почти N-факторами; С и D — инвариантные подгруппы группы G, такие, что D ^Си фактор-группа С/D является локально конечной р-группой. Тогда если все р-подгруппы групп А и В удовлетворяют условию минимальности, то фактор-группа С/D также удовлетворяет этому условию.
Доказательство. Пусть все р-подгруппы групп А и В удовлетворяют условию минимальности. Покажем, что фактор-группа С/D удовлетворяет этому условию. Будем считать, для определенности, что подгруппа А обладает возрастающим инвариантным рядом с почти ^-фaктopaми.
Применение леммы 1.9 позволяет перейти к случаю, когда
G = АВ = АС = ВС. (7)
Пусть Н — полный прообраз в G подгруппы 0р, (G/D) фактор-группы GID. Рассмотрим фактор-группу GIH. Для произвольной подгруппы X группы G подгруппу ХШН группы GIH будем обозначать через X. Группа G разлагается в произведения G = АВ = АС = ВС локально конечной подгруппы А, которая, очевидно, обладает возрастающим инвариантным рядом с почти jV-факторами, локально конечной подгруппы В и инвариантной локально конечной подгруппы С, которая изоморфна фактор-группе С/D. Подгруппы Л и В ввиду леммы 1.23 удовлетворяют условию минимальности для р-подгрупп. С учетом этого справедливость настоящей леммы достаточно установить, очевидно, в случае, когда D-Op,^ = 1.
Итак, пусть D = ОР' (G) = 1. Тогда С — локально конечная р-группа. Покажем, что все простые секции групп Л и В конечны. Произвольная М-группа по теореме Плоткина об N-группах (см. Курош [1]) локально нильпотентна. У произвольной локально нильпотентной группы все простые секции имеют простые порядки в силу локальной теоремы Мальцева о Z-группах (см. Курош [1], с. 392). Используя это и учитывая, что подгруппа А обладает возрастающим инвариантным рядом с почти jV-факторами, нетрудно убедиться в следующем: все простые секции группы А конечны. Далее, группа В является расширением локально конечной р-группы (и, значит,
локально нильпотентной группы) В (\ С с помощью группы В/ (В П С).
Используя соотношения (7), получаем
В^В П С) ~ BCIC = АСЮ ~ А!<А П С).
Таким образом, группа В/ф f| Q изоморфна фактор-группе группы А и потому, очевидно, обладает возрастающим инвариантным рядом с почти TV-факторами. Следовательно, у группы В, как и у группы Л, все простые секции конечны.
Известно, что если локально конечная группа X с конечными простыми секциями удовлетворяет условию минимальности для /2-подгрупп, то фактор-группа ХЮР' (X) является почти р-группой (Кегель — Верфриц [2], теорема 3.17). Следовательно, фактор-группы АЮ , (Л) и ВЮр, (В) являются почти /2-группами. Поэтому в силу леммы 1.23 они удовлетворяют условию минимальности для (всех) подгрупп.
Рассмотрим подгруппы Ор, (Л) С и Ор, (В) С. Очевидно, с учетом соотношений (7) и инвариантности в G подгруппы С они инвариантны в G. Поэтому подгруппы А Г) Ор, (В) С и Ор, (Л) П Ор, (В) С инвариантны в Л, а подгруппы ВГ)Ор,(Л)С и Ор, (В) П Ор, (Л) С — в В. Рассмотрим теперь фактор-группы А/(О„ (Л) Л (Л Л Ор, (В) С)) и ВКОр, (В) п (В п ОР, (Л) О). Ввиду теоремы Ремака (см., например, Каргаполов, Мерзляков [1], теорема 4.3.9) первая из них изоморфна подгруппе прямого произведения групп А/Ор, (Л) и Л/(Л П Ор, (В) С), а вторая — подгруппе прямого произведения групп В/Ор, (В) и В/(В Л f)Op, (Л) С). Группы АЮ^ (Л) и В/Ор,(В) удовлетворяют условию минимальности для подгрупп. Далее, используя соотношения (7), получаем
л/(л Л ОР, (В) С) ~ АОр, (В) С/Ор, (В) С=ВСЮр, (В) с
~ В/(0р, (В) (В Л Q) ^ (В/0р, (В))/(Ор, (В) (В л суор, (В)) и аналогично
В/(В Л О, (Л) С) ~ (Л/Ор, (Л))/(Ор, (Л) (Л Л С)/Ор, (Л)).
Таким образом, группы Л/(Л Л Ор, (В) С) и В/(В Л 0р, (Л) С) изоморфны некоторым фактор-группам соответственно групп ВЮр, (В) и АЮр, (Л) и потому удовлетворяют условию минимальности. Следовательно, фактор-группы А/(Ор, (Л) Q0p, (В) С) и В/(Ор. (В) Л Ор, (Л) С) удовлетворяют условию минимальности.
Покажем теперь, что
Ор, (Д) Л Ор/(В) С = 1, Ор,(В)ЛОр,(Д)С = 1.(8)
Используя соотношения (7), нетрудно убедиться, что выполняется соотношение
(Ор, (Л) П ор, (В) С) С = (Ор, (В) Л Ор, (Л) С) С. (9)
Допустим теперь, что, например, второе из соотношений (8) не выполняется. Тогда подгруппа Ор, (В) Л Ор, (Л) С обладает некоторой отличной от единицы инвариантной в В подгруппой М, которая конечна или удовлетворяет норма л иза торному условию. (Справедливость этого утверждения становится очевидной, если учесть лемму 1.60.) Положим L = (Op, (Л)П Л Ор, (В) С) П МС. Используя соотношения (7) и (9), легко убедиться, что подгруппа L инвариантна в Л и
LC = МС.(10)
Подгруппа М бесконечна, так как иначе ввиду утверждения 2 следствия 1.24 она была бы инвариантна в G и, значит, содержалась бы в подгруппе OP(G) = 1. Поэтому она удовлетворяет нормализаторному условию. Далее, ввиду леммы 1.59 подгруппа L Л М совпадает со своим нормалйзатором в М. Следовательно, L Л М = М, т. е. М ^ L. Тогда, как нетрудно убедиться, используя соотношение (10), подгруппа М совпадает с подгруппой L. Поэтому подгруппа М инвариантна в группе G = АВ и, значит, содержится в ОР' (G). Противоречие. Следовательно, второе из соотношений (8) верно. Совершенно аналогично доказывается и первое из соотношений (8).
Итак, соотношения (8) выполняются. Следовательно, подгруппы А и В удовлетворяют условию минимальности. Тогда в силу теоремы 1.1 группа G и, значит, подгруппа С удовлетворяют ему.
Лемма доказана.
Лемма 1.62. Пусть G — группа, факторизуемая двумя локально конечными подгруппами А и В, хотя бы одна из которых имеет возрастающий инвариантный ряд с почти N-факторами; С uD — инвариантные подгруппы группы G, такие, что D ^С и фактор-группа CID является локально конечной р-группой. Тогда если все р-подгруппы групп А и В конечны, то фактор-группа С/D конечна.
Доказательство. Пусть все /7-подгруппы групп А и В конечны. Покажем, что фактор-группа С/D конечна. Рассуждая, как при доказательстве леммы 1.61, с заменой ссылки
на лемму 1.23 ссылкой на предложение, приведенное перед леммой 1.14, приходим к рассмотрению ситуации, когда выполняются соотношения (7), и соотношения D = ОДО) = 1. Затем, как и в доказательстве леммы 1.61, убеждаемся, что фактор-группы АЮР' (Л) и ВЮР' (В) являются почти /7-группами. Поскольку в группах Л и В все /7-подгруппы конечны, то ввиду предложения, предшествующего лемме 1.14, все /7-подгруппы групп А Юр' (Л) и В, Ор' (В) конечны. Отсюда следует, что группы АЮР' (Л) и ВЮР' (В) конечны. Далее, с помощью тех же рассуждений, что и в лемме 1.61, убеждаемся: фактор-группы Л/(ОР'(Л) П ОР'(В)С) и В, Юр' (В) Ц П ОР' (Л) С) изоморфны некоторым подгруппам соответственно прямого произведения группы АЮР' (Л) и некоторой факторгруппы группы ВЮР' (В), прямого произведения группы В] ЮР' {В) и некоторой фактор-группы группы АЮР' (Л). Отсюда вытекает, что фактор-группы A/Юр' (Л) П 0Р' (В) С) и BI(Opf (В) П ОР' (Л) С) конечны. Наконец, так же, как и в доказательстве леммы 1.61, убеждаемся, что выполняются соотношения (8). Ввиду этих соотношений подгруппы Л и 6 конечны. Поэтому группа G, а значит, и подгруппа С конечны.
Лемма доказана.
Следствие 1.25. Пусть G — группа, факторизуемая двумя локально конечными подгруппами Л и В, хотя бы одна из которых имеет возрастающий инвариантный ряд с почти ^факторами; С и D — инвариантные подгруппы группы G, такие, что D с С и фактор -группа СЮ является локально конечной /7-группой. Тогда р Е л (Л) U л (В).
Доказательство. Рассмотрим фактор-группу GID. Для произвольной подгруппы X группы G подгруппу XDID фактор-группы G/D обозначим через X. Очевидно, р Е л (Л) U U л (В), если р Е л (Л) U л (В).
Ввиду леммы 1.62 подгруппа С конечна. Поэтому в силу леммы 1.11 л (С) s л (Л) U л (6) и, значит, /7 Е л (Л) U л (В).
Следствие доказано.
Лемма 1.63 (С. Н. Черников [5], лемма 8.9). Если локально конечная группа G обладает инвариантной системой, всякий фактор которой, содержащий элемент порядка р для данного р, централен, то она является расширением группы, не содержащей элементов порядка р, с помощью некоторой р-группы.
Лемма 1.64 (К е г е л ь, В е р ф р и ц [2], следствие 1 .В.4). Локально разрешимый главный фактор локально конечной группы является элементарной абелевой группой.
Напомним определение главного фактора группы.
Пусть G — некоторая группа; Ни К — се инвариантные подгруппы, такие, что Кс Н, а Н/К является минимальной инвариантной подгруппой фактор-группы G/К (т. е. Н/К не содержит отличных от единицы и самой себя инвариантных в G/К подгрупп). Тогда говорят, что группа Н/К — главный фактор группы G.
- Следствие 1.26. Инвариантная система с почти локально разрешимыми факторами локально конечной группы может быть уплотнена до ее инвариантной системы, всякий не элементарный абелев фактор которой конечен.
Следствие 1.26 нетрудно доказать с помощью леммы 1.64 и следующего легко устанавливаемого факта.
Инвариантную систему с почти локально разрешимыми факторами можно уплотнить до инвариантной системы с конечными факторами и локально разрешимыми факторами.
Лемма 1.65. Пусть л — конечное множество простых чисел, G — локально конечная группа, обладающая инвариантной системой 2, всякий фактор которой, содержащий элемент порядка р хотя бы для одного р конечен. Тогда подгруппа J (G) является расширением группы, не содержащей элементов порядка р ни для одного р С л, с помощью некоторой ^-группы, разложимой в прямое произведение своих силовских р-под- групп по р С л.
Доказательство. Если подгруппа J (G) не содержит элементов порядка р ни для одного р £ л, то утверждение леммы, очевидно, справедливо. Пусть подгруппа J (G) обладает такими элементами. Обозначим через 2* совокупность всех различных пересечений с J (G) членов системы 2. Тогда 2* — инвариантная система группы J (G), всякий фактор которой, содержащий элемент порядка р хотя бы для одного р С л, конечен. Централизатор в G любого конечного фактора системы 2*, очевидно, инвариантен в G и имеет в ней конечный индекс (в частности, содержит подгруппу J (G)). Поэтому всякий фактор системы 2*, содержащий хотя бы для одного р С л элемент порядка р, очевидно, централен в группе J (G). Следовательно, ввиду леммы 1.63 для каждого р £ л фактор-группа J (G)/OP' (J (G)) является р-группой. С учетом этого ввиду теоремы Ремака фактор-группа группы J(G) по подгруппе ОЯ' (J (G)) = Q ОР' (J (G)) — прямое произведение своих силовских /2-подгрупп по разным р.
Лемма доказана.
Теорема 1.7 (Н. С. Черников [19]). Пусть G — локально конечная локально разрешимая группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В, хотя бы одна из которых обладает возрастающим инвариантным рядом с абелевыми факторами;
л — произвольное непустое множество простых чисел. В такой группе G тогда и только тогда все ^подгруппы обладают одним из свойств*.
(*) единичны, конечны, удовлетворяют условию минимальности, когда все ^-подгруппы групп А и В обладают тем же свойством.
В доказательстве теоремы 1.7 будет использоваться следующее предложение (Каргаполов [2], теорема 1).
Пусть G — локально конечная группа, обладающая нормальной системой с конечными факторами; л — бесконечное множество простых чисел. Тогда если множество л П л (G) бесконечно и при этом для каждого р С л [] л (G) группа G удовлетворяет условию минимальности для /7-подгрупп, то в G найдется некоторая абелева л-подгруппа А с бесконечным множеством л (Л).
Примечания. '
Теорема 1.7 сохраняет силу (и будет доказываться) при следующих несколько более слабых предположениях о группе G и подгруппах Л и В: группа G локально конечна и обладает инвариантной системой с почти локально разрешимыми факторами; хотя бы одна из подгрупп Л и В обладает возрастающим инвариантным рядом с почти W-факторами.
Очевидно, что для группы X, факторизуемой некоторыми двумя подгруппами Y и Z, следующие утверждения равносильны.
Выполняется соотношение л (X) = л (У) U л (Z).
Каково бы ни было непустое множество л простых чисел, в группе X все л-подгруппы единичны тогда и только тогда, когда все л-подгруппы групп Y и Z единичны.
Таким образом, при условиях теоремы 1.7 выполняется соотношение
л(С)= л (Л) U л (В). (11)
Доказательство теоремы 1.7. Необходимость очевидна.
Достаточность. Пусть подгруппы Л и В обладают одним из свойств (*). Покажем, что и группа G обладает тем же свойством.
Г. Рассмотрим случай, когда л состоит из одного простого числа р. Покажем, что фактор-группа G/J (G) обладает соответствующим из свойств (*). Так как группы Л и В удовлетворяют условию минимальности для /7-подгрупп, то по лемме 1.24 все /7-подгруппы групп AU (Л) и BIJ (В) конечны. Ввиду предложения, приведенного непосредственно перед леммой 1.14, в каждой из групп AU (Л) и BIJ (В) все силовские р-подгруппы имеют одинаковые порядки. Пусть /т* и р1 —
порядки силовских /2-подгрупп соответственно групп A/J (Л) и BU (В). Очевидно, & = / = О, если группы Л и В не имеют отличных от единицы /2-подгрупп. Рассуждая так же, как в п. Г доказательства леммы 1.25, убеждаемся, что наибольшая степень числа /2, делящая порядок произвольной конечной фактор-группы группы G, не превосходит число /2^+z. Так как подгруппа J (G) совпадает с пересечением всех инвариантных подгрупп конечного индекса группы G, то отсюда вытекает, что все /2-подгруппы фактор-группы GU (G) конечны и, в случае, когда группы Л и В не имеют отличных от единицы /2-подгрупп, единичны.
Покажем теперь, что подгруппа J (G) обладает соответствующим из свойств (*). Ввиду следствия 1.26 группа G имеет инвариантную систему, всякий не элементарный абелев фактор которой конечен. Так как группы Л и В удовлетворяют условию минимальности для /2-подгрупп, то в силу леммы 1.61 эта система, очевидно, не имеет бесконечных факторов с элементами порядка /2. Поэтому ввиду леммы 1.65 фактор-группа группы J(G)/Op' (J (G)) является /2-группой и, значит, обладает соответствующим свойством (см. следствие 1.25 и леммы 1.62 и 1.61).
Так как все /2-подгруппы групп G/J (G) и J (G)/OP' (J (G)) обладают соответствующим из свойств (*), то и все /2-подгруппы группы G обладают им.
Ввиду доказанного в п. Г для произвольного р группа G содержит элемент порядка р тогда и только тогда, когда хотя бы одна из подгрупп А и В содержит элемент порядка р. Поэтому выполняется соотношение (11).
2°. Рассмотрим общий случай. Как отмечалось в п. Г доказательства, группа G имеет инвариантную систему, всякий не элементарный абелев фактор которой конечен. Эта система, очевидно, может быть уплотнена до нормальной системы с конечными факторами группы G. С учетом этого подгруппы А и В обладают нормальными системами с конечными факторами. Тогда, так как подгруппы А и В удовлетворяют условию минимальности для л-подх^рупп, то ввиду предложения, приведенного после формулировки настоящей теоремы, каждое пересечение лПл(Л)илГ)л (6) конечно либо пусто. Поэтому ввиду соотношения (11) пересечение л П л (G) конечно либо пусто.
Если все л-подгруппы групп Л и В конечны, то согласно п. 1° доказательства для каждого р С л все /2-подгруппы группы G конечны. Так как пересечение л П л (G) конечно либо пусто, то отсюда вытекает, что все л-подгруппы группы G конечны.
Если все л-подгруппы групп Л и В удовлетворяют условию минимальности, то согласно п. Г доказательства для каждого 88
р ^к все /2-подгруппы группы G удовлетворяют ему. Так как пересечение л Q л (G) конечно либо пусто, то отсюда вытекает, что все абелевы л-подгруппы группы G удовлетворяют условию минимальности. Поэтому ввиду теоремы Шункова, приведенной в § 1 настоящей главы, или теоремы 3 из работы Каргаполова [2] все л-подгруппы группы G удовлетворяют условию минимальности.
Теорема доказана.
Следствие 1.27. Пусть G — локально конечная и локально разрешимая группа (более широко — локально конечная группа, обладающая инвариантной системой с почти локально разрешимыми факторами), факторизуемая п попарно перестановочными подгруппами Ab i ~ 1,2, ..., п, п — 1 из которых обладают возрастающими инвариантными рядами с абелевыми факторами (более широко — с почти Л^-факторами); л — произвольное непустое множество простых чисел. В такой группе G тогда и только тогда все л-подгруппы обладают одним из свойств: (*) единичны, конечны, удовлетворяют условию минимальности, когда все л-подгруппы групп Аг обладают тем же свойством.
Следствие 1.27 легко доказать, пользуясь теоремой 1.7 и учитывая примечание 1 к ней.
Следствие 1.28. При условиях следствия 1.27 выполняется соотношение
л (G) = (J л (ЛО.
1=1п
Следствие 1.28 легко доказать, используя следствие 1.27 и учитывая примечание 2 к теореме 1.7.
Следствие 1.29. Пусть G— локально конечная группа, факторизуемая попарно перестановочными подгруппами Л^ i С I. Пусть все подгруппы Л^ за исключением, быть может одной, обладают возрастающими инвариантными рядами с почти Af-факторами (в частности, с почти абелевыми факторами), а произведение любой конечной совокупности подгрупп At — инвариантной системой с почти локально разрешимыми факторами (в частности, является почти локально разрешимой группой). Тогда выполняется соотношение
(12)(12)л(С) = U л (А).
(12)
(12)
i€l
Следствие 1.29 легко доказать, пользуясь следствием 1.28. Его можно несколько усилить, потребовав периодичность подгрупп Лн i Е I, и при этом сняв требование локальной конечности группы G.
Следствие 1.30. Пусть G — локально конечная и локально разрешимая группа, факторизуемая попарно перестановочными подгруппами AL, i С I. Пусть все подгруппы At, за исключением, быть может, одной, обладают возрастающими инвариантными рядами с абелевыми факторами (в частности, разрешимы). Тогда выполняется соотношение (12). '
Следствие 1.30 непосредственно вытекает из следствия 1.29.
Следствие 1.31. Пусть G — локально конечная и локально разрешимая группа (более широко — локально конечная группа, обладающая инвариантной системой с почти локально разрешимыми факторами), факторизуемая п попарно перестановочными подгруппами At, i = 1, 2, ..., п, с условием минимальности для примарных подгрупп, п — 1 из которых обладают возрастающими инвариантными рядами с локально нильпотентными факторами (более широко — с почти локально нильпотентными факторами). Тогда группа G удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп.
Доказательство. Используя лемму 1.23, убеждаемся, что если локально конечная группа с условием минимальности для примарных подгрупп обладает возрастающим инвариантным рядом с почти локально нильпотентными факторами, то последний можно уплотнить до возрастающего инвариантного ряда с конечными факторами. Таким образом, п — 1 подгрупп Д^ обладают возрастающими инвариантными рядами с конечными факторами. Поэтому, как вытекает из следствия 1.27, группа G при каждом р удовлетворяет условию минимальности для /7-подгрупп.
Следствие доказано.
Предложение 1.2. Пусть G — локально конечная группа, факторизуемая попарно перестановочными подгруппами Ди i 6 I. Пусть все подгруппы Д1 обладают одним из следующих свойств*, удовлетворяют условию минимальности для подгрупп; имеют конечные специальные ранги; удовлетворяют условию минимальности для примарных подгрупп и имеют почти локально нильпотентные фактор-группы по полным частям; являются расширениями полных групп, удовлетворяющих условию минимальности для примарных подгрупп, с помощью групп конечных специальных рангов.
Тогда выполняется соотношение (12).
Доказательство. Используя теоремы 1.2, 1А— 1.6 и приведенные в § 1—3 настоящей главы теоремы Шункова, Каргаполова, Мягковой и теорему Беляева — Павлюка — Шункова, можно убедиться, что каждая подгруппа Дь обладает возрастающим инвариантным рядом с конечными факторами и произведение любой конечной совокупности подгрупп
Ль является почти локально разрешимой группой. Поэтому соотношение (12) выполняется ввиду следствия 1.29.
Предложение доказано.
Лемма 1.66. Пусть G— группа, содержащая инвариантную непериодическую локально нильпотентную подгруппу L, фактор-группа G/L по которой локально конечна; g — произвольный элемент бесконечного порядка из подгруппы L, п — любое отличное от единицы натуральное число, л — множество всех простых делителей числа п. Справедливы следующие утверждения.
Образ элемента g в фактор-группе группы G по нормальному замыканию в ней элемента gn имеет порядок п.
Фактор-группа нормального замыкания в G элемента g по нормальному замыканию в ней элемента gn является п-груп- пой; порядки ее элементов делят п в случае, когда подгруппа L абелева.
Доказательство. Справедливость утверждения 2 настоящей леммы нетрудно доказать, пользуясь тем, что всякая локально нильпотентная группа является S-группой (см., например, Курош [1], с. 400).
Докажем от противного утверждение 1.
Пусть образ элемента g в фактор-группе G! ^gn^G^ имеет порядок т п- Очевидно, т делит п, и для некоторого конечного множества М элементов группы G элемент gm содержится в подгруппе <(gn)M).
Рассмотрим подгруппу L П ((g") U А1). Так как подгруппа Ugn) (J М) конечнопорожденная, а фактор-группа G/L локально конечна, то фактор-группа ((g^U ?О /(L fl Ugn) (J Al)), изоморфная фактор-группе <^пХ) (J U Al) UL, конечна. В силу этого подгруппа L П (^) U U А4) конечнопорождена и, значит, нильпотентна.
Возьмем теперь нормальное замыкание И элемента gn в группе <Xgn>) (J А1). Подгруппа Н бесконечна и, будучи подгруппой конечнопорожденной нильпотентной группы L Л Л ((g”) U А1), конечнопорождена и нильпотентна. Далее, подгруппа Н содержит элемент gm. Следовательно, она порож- п
дается — -ми степенями элементов, сопряженных с элементом gm в группе ((gn) [J М). Но бесконечная конечнопорожденная нильпотентная группа ни при каком отличном от единицы натуральном / не порождается Z-ми степенями своих элементов. Противоречие. Лемма доказана.
Следующее предложение установлено автором [17] в процессе доказательства предложения 1 в этой работе.
Лемма 1.67 (Н. С. Черников [17]). Пусть G — группа, факторизуемая двумя периодическими подгруппами А и В,
хотя бы одна из которых имеет возрастающий инвариантный ряд с почти абелевыми факторами (более широко,— с почти N-факторами)*, С и D — инвариантные подгруппы группы G, такие, что D ^ С и фактор-группа С/D локально нильпотент- на. Тогда фактор-группа С/D локально конечна.
Доказательство. Пусть группа С/D не локально конечна. Так как она локально нильпотентна, то множество всех ее элементов конечных порядков является подгруппой в ней. Обозначим эту подгруппу через F/D. Подгруппа F/D локально конечна, как и всякая периодическая локально разрешимая группа. Следовательно, фактор-группа (C/D)/ / (F/D) ~ C/F — (неединичная) группа без кручения. Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что F = 1. Тогда С — локально нильпотентная группа без кручения. Применение леммы 1.9 позволяет перейти к случаю, когда
G = АС-ВС. (13) Тогда подгруппы А и В, очевидно, изоморфны и, значит, каждая из них обладает возрастающим инвариантным рядом с почти N -факторами.
Далее будем считать также, что группа G не имеет отличных от единицы инвариантных локально конечных подгрупп (очевидно, это не нарушает общности рассуждений).
Так как группа В обладает возрастающим инвариантным рядом с почти Af-факторами, а произвольная периодическая М-группа разлагается в прямое произведение своих силовских /7-подгрупп по разным р (см., например, Курош [1], § 62, с. 389), то ввиду леммы 1.60 подгруппа В, очевидно, обладает отличной от единицы инвариантной подгруппой Н, которая бесконечна, примарна и является jV-группой либо конечна. Подгруппа Н не принадлежит пересечению А П В. Действительно, иначе, с учетом соотношений ЛГ)С = ВПС=1 и (13) она была бы инвариантна в подгруппе А и потому в группе G = АВ. Однако подгруппа Н, как и всякая периодическая группа с нормализаторным условием, локально конечна, а группа G не имеет отличных от единицы инвариантных локально конечных подгрупп.
Возьмем какой-нибудь элемент b С Н, не принадлежащий А, и элемент а £ А, для которого ba £ С. Очевидно, ba ^ 1. Следовательно, Ьа — элемент бесконечного порядка.
Возьмем теперь любое простое число q, не принадлежащее множеству л (//). Пусть К — нормальное замыкание в G элемента g, a L — элемента gq. Рассмотрим фактор-группу G/L. Образ в ней произвольного непустого множества X элементов группы G будем обозначать через X. Ввиду леммы 1.66 элемент Ба. имеет порядок q и подгруппа К является q- 92
группой. Подгруппа К инвариантна в G и, будучи периодической локально разрешимой группой, локально конечна. Положим А* - А П ВК, В* - В П АК, G* = А*В\ М=В* П П Н и L = Д* П МК. Ввиду леммы 1.9 G*—подгруппа группы G и G* — A* К = В*К. Нетрудно видеть, что, во-первых, подгруппа М инвариантна в S* и удовлетворяет нормализатор- ному условию или конечна; во-вторых, выполняются соотношения LK =МК и л (L) П л (К) = л (Л4) П л (/() = 0 и, в- трезьих, подгруппа L инвариантна в Д*. Учитывая это и пользуясь утверждением 1 следствия 1.24, утверждением 3 леммы 1.58 и леммой 1.59, убеждаемся, что Met. Поэтому Me А. Но элемент Б, как легко видеть, содержится в М, но не принадлежит подгруппе А. Получилось противоречие.
Лемма доказана.
Следствие 1.32. Пусть G — группа, факторизуемая попарно перестановочными периодическими подгруппами Д1} t С I. Пусть все подгруппы А, за исключением, быть может, одной, обладают возрастающими инвариантными рядами с почти W-факторами (в частности, почти абелевыми факторами) и произведение любой конечной совокупности подгрупп At обладает возрастающим инвариантным рядом с почти локально нильпотентными факторами. Тогда группа G локально конечна и выполняется соотношение (12).
Следствие 1.32 нетрудно доказать, используя лемму 1.67 и следствие 1.29.
Следствие 1.33 (Н. С. Черников [17], предложение 1). Пусть G = АВ — группа, обладающая возрастающим инвариантным рядом с почти локально нильпотентными факторами (в частности, радикальная группа, гиперабелева группа, разрешимая группа), А и В — локально конечные подгруппы группы G, обладающие возрастающими инвариантными рядами с почти абелевыми факторами. Тогда G — локально конечная группа.
Следствие 1.33 — частный случай следствия 1.32.
Следующее следствие — также частный случай следствия 1.32.
Следствие 1.34 (Н. С. Черников [10, 13, 171). Разрешимая группа G (более широко — /?/*-группа G), факторизуемая двумя л-подгруппами, является л-группой.
Примечание. При условии периодичности группы G следствие 1.34 является частным случаем теоремы 8 из работы [8], доказанной в работе [13] (см. там теорему 5). Однако предположение о периодичности группы G оказалось излишним (Н. С. Черников [17], предложение 1).
Следствие 1.35. Разрешимая группа G (более широко — 7?/*-группа G), факторизуемая попарно перестановочными л-подгруппами, является л-группой.
Следствие 1.35 вытекает из следствия 1.34.
Теорема 1.8 (Н. С. Черников [8, 131). Группа G, обладающая возрастающим инвариантным рядом с локально нильпотентными факторами (более широко — с почти локально нильпотентными факторами), факторизуемая двумя локально конечными подгруппами с условием минимальности для примарных подгрупп (и, вообще говоря, любым конечным множеством попарно перестановочных локально конечных подгрупп с условием минимальности для примарных подгрупп), локально конечна и удовлетворяет этому условию.
Доказательство. Действительно, факторизующие группу G подгруппы-множители обладают возрастающими инвариантными рядами с почти локально нильпотентными факторами и, значит, возрастающими инвариантными рядами с конечными факторами (см. доказательство следствия 1.31). Поэтому ввиду следствия 1.32 группа G локально конечна и, значит, ввиду следствия 1.31 удовлетворяет условию минимальности для примарных подгрупп.
Теорема доказана.
Лемма 1.68 (Н. С. Черников [7]). Пусть G — локально конечная группа с условием минимальности для р-под- групп (или, что равносильно,— локально конечная группа с чер- никовскими р-подгруппами), обладающая инвариантной системой с конечными факторами. Тогда G является расширением р-группы, разложимой в прямое произведение конечного числа квазициклических подгрупп, с помощью группы, все р-подгруп- пы которой конечны.
Доказательство. В фактор-группе G/J (G) все р-подгруппы конечны ввиду леммы 1.24. Поэтому настоящая лемма, очевидно, справедлива в случае, когда J (G) = 1.
Пусть J (G) #= 1. Пусть 2 — инвариантная система с конечными факторами группы G, 5*—совокупность всех различных пересечений с J (G) членов системы 2. Тогда 2* —инвариантная система с конечными факторами группы J (G). Централизатор любого фактора системы 2 * в группе G, очевидно, имеет в G конечный индекс и, значит, содержит подгруппу J (G). Поэтому всякий фактор системы 2* централен в группе J (G). Таким образом, группа J (G) обладает центральной системой. Следовательно, ввиду своей локальной конечности она локально нильпотентна и, значит, является прямым произведением силовских подгрупп по разным простым числам. Обозначим через Р полную часть силовской р-подгруппы группы J (G). Очевидно, подгруппа Р инвариантна в G. Поскольку
в J (G) /7-подгруппы черниковские, подгруппа Р разлагается в прямое произведение конечного числа квазициклических подгрупп и в фактор-группе J (G)/P силовская /7-подгруппа конечна (и, значит, все /7-подгруппы конечны). Так как в факторгруппах GU (G) и J (G)/P все /7-подгруппы конечны, то они конечны и в фактор-группе GIP.
Лемма доказана.
Теорема 1.9 (Н. С. Черников [19]). Пусть G — локально почти разрешимая (в частности, локально разрешимая) группа, факторизуемая двумя почти локально нормальными подгруппами А и В; л — произвольное непустое множество простых чисел. Тогда группа G локально конечна. Все ^-подгруппы группы G тогда и только тогда обладают одним из следующих свойств*.
(*) единичны, конечны, удовлетворяют условию минимальности, когда все ^-подгруппы групп А и В обладают тем же свойством.
Примечания.
Утверждение теоремы 1.9, связанное с единичностью л-подгрупп, равносильно следующему.
“ При условиях теоремы выполняется соотношение
л(С) = л(Д) U л (В). (14)
В случае почти локально разрешимой группы G (почти локально разрешимая группа локально почти разрешима, но не наоборот) локальную конечность группы G и справедливость соотношения (14) установил Амберг ([2], теорема 5.4).
В случае, когда л состоит из одного числа и группа G локально конечна, утверждения теоремы, связанные с конечностью л-подгрупп группы G и условием минимальности для л-подгрупп группы G, были установлены Н. С. Черниковым [4] (см. также Н. С. Черников [1]).
Доказательство. Рассмотрим подгруппу Н = = (8 И) U 8 (5)). Ввиду леммы 1.22 она локально конечна и л (^) г л (Д) U л (В). Так как подгруппы Диб почти локально нормальны, то, очевидно, индексы подгрупп 5 И) и ^ (5) соответственно в Д и В конечны. Поэтому ввиду леммы 1.17 индекс подгруппы// в G конечен и, значит, подгруппа Н содержит некоторую инвариантную подгруппу N конечного индекса группы G. Таким образом, группа G является конечным расширением локально конечной группы и, значит, локально конечна. Дальнейшую часть доказательства теоремы разобьем на несколько этапов.
1°. Покажем, что выполняется соотношение (14). Рассмотрим фактор-группу G/N. Она факторизуема подгруппами ANIN и BNIN.
Очевидно,
л(Л^)ел(Л), л(ВШ)сл(В) и
л (G/jV) = л (AN/N) U л(ВШ). Следовательно,
л (Л) U л (В) с л (G) с л (^) U л(С/^^л(Я) U
U л(Л^) U л(В^)сл(Л) U л (6).
Таким образом, соотношение (14) выполняется. Отсюда следует, очевидно, что для произвольного непустого множества л простых чисел все л-подгруппы группы G единичны в том и только в том случае, когда все л-подгруппы групп Л и В единичны.
2е. Покажем, что если подгруппы Л и В удовлетворяют условию минимальности для л-подгрупп, то пересечение множеств л и л (G) конечно либо пусто. Действительно, нетрудно видеть, что каждая из подгрупп А и В обладает инвариантной системой с конечными факторами. Поэтому ввиду предложения, приведенного непосредственно после формулировки теоремы 1.7, каждое из пересечений л f| л (Л) и л Г) л (В) конечно либо пусто. Следовательно, с учетом соотношения (14) пересечение л f| л (G) конечно либо пусто.
3°. Пусть все л-подгруппы групп Л и В конечны. Покажем, что тогда все л-подгруппы группы G конечны. Действительно, в силу леммы 1.14 для каждого р С л все /7-подгруппы группы N конечны. Так как индекс подгруппы NbG конечен, то и все /7-подгруппы группы G конечны. Поэтому ввиду того, что пересечение л П л (G) конечно либо пусто, все л-подгруппы группы конечны.
4°. Пусть все л-подгруппы групп Л и В удовлетворяют условию минимальности. Покажем, что все л-подгруппы группы G удовлетворяют этому условию. Учитывая лемму 1.68 и рассуждая аналогично тому, как в доказательстве предложения 1.1, устанавливаем, что подгруппа Н удовлетворяет условию минимальности для /7-подгрупп при любом р £ л. Так как индекс подгруппы N (г Н) в G конечен, то и группа G удовлетворяет условию минимальности для /7-подгрупп. Далее, учитывая, что множество л Q л (G) конечно либо пусто, заключаем, что все абелевы л-подгруппы группы G удовлетворяют условию минимальности. Поэтому ввиду теоремы Шункова, приведенной в § 1 настоящей главы, вообще все л-подгруппы группы G удовлетворяют условию минимальности.
Теорема доказана.
Глава 2
ФАКТОРИЗАЦИЯ РАЗРЕШИМЫХ ГРУПП
И ФАКТОРИЗАЦИОННЫЕ КРИТЕРИИ РАЗРЕШИМОСТИ
Из результатов § 1 главы 1 следует, что разрешимая группа, факторизуемая двумя подгруппами с условием минимальности, является группой с таким условием. Естественно возникает вопрос о том, будет ли группой с условием максимальности разрешимая группа, факторизуемая двумя подгруппами с таким условием. Так как разрешимые группы с условием максимальности — это в точности полициклические группы, т. е. группы, обладающие конечным нормальным рядом с циклическими факторами, то поставленный вопрос может быть сформулирован в следующем виде: будет ли полициклической каждая разрешимая группа, факторизуемая двумя полициклическими подгруппами? Как отмечалось выше, в таком виде вопрос был поставлен Амбергом [2] и положительно решен Ленноксом и Роузблейдом [1], а также Зайцевым [2].
В работе Амберга [6] получена следующая довольно общая теорема о факторизации разрешимых групп, содержащая как этот результат, так и указанный здесь результат из § 1 главы 1.
Пусть Ж— класс групп, замкнутый относительно подгрупп, фактор-групп и расширений. Если разрешимая группа G является произведением двух подгрупп из класса Ж, хотя бы одна из которых удовлетворяет условию максимальности или минимальности, то классу Ж принадлежит и сама группа G.
Приведенным результатам посвящен § 1 главы 2. Вторая часть главы 2 (§ 2, 3) связана с факторизационными критериями разрешимости конечных групп и групп матриц над полем. В § 2 излагаются в компактной форме известные факторизационные результаты Ф. Холла [1—3] и Чунихина (1] для конечных групп. В § 3 рассматриваются факторизационные результаты для групп матриц над полем и факторизационные критерии разрешимости таких групп. Здесь же рассматриваются результаты Гардинера, Хартли, Томкинсона [1] и Хартли [1] относительно факторизационных свойств групп, принадлежащих одному достаточно широкому классу, который включает в себя все периодические разрешимые группы мат-
риц над полем. В частности, излагается теорема о существовании и сопряженности полных силовских баз в группах из этого класса (теорема 2.10).
§ 1. Группы, факторизуемые полициклическими подгруппами
Лемма 2.1 (Амберг [2]). Группа G, факторизуемая двумя подгруппами А и В с условием максимальности (соответственно минимальности), удовлетворяет условию максимальности (соответственно минимальности) для подгрупп, перестановочных хотя бы с одной из подгрупп А и В. В частности, группа G удовлетворяет условию максимальности (соответственно минимальности) для инвариантных подгрупп.
Доказательство. Очевидно, для доказательства леммы достаточно показать, что группа G удовлетворяет условию максимальности (минимальности) для подгрупп, перестановочных с А, и условию максимальности (минимальности) для подгрупп, перестановочных с В.
Пусть Ct, /=1, 2,..., — любые перестановочные с одной из подгрупп А и В, например с подгруппой А, подгруппы группы G, составляющие возрастающий (соответственно убывающий) ряд. Покажем, что среди подгрупп Ct лишь конечное число различных (откуда, очевидно, и будет вытекать справедливость леммы). Так как обе подгруппы А и В удовлетворяют условию максимальности (минимальности) и произведения CiA, /=1, 2,..., являются подгруппами группы G, то для некоторого п
Ci п а = Cw ПА, В П СгА = в П СЖА,
i = п, п 4- 1,... •(1)
Используя лемму 1.8 и учитывая соотношения (1), получаем
С<А = (В П С^А=(В П С^А) А = CWA, I = п, п+1, ....
(2)
Применяя лемму 1.7 к подгруппам С^-ц и Ct (соответственно к подгруппам С^ и Cf-ц) и учитывая соотношения (2) и первые из соотношений (1), приходим к результату:
Сж = Сж П С^И = Cw П CtA = Ct (С^ П A) =
= Ct (Ci n A) = Cb i = n, n + 1,...
(соответственно
С^ Q П CtA - С, П CWA - Cw (С, П 4) =
= Cw (Ci+i П Д) = C^i, i = n, n + 1,...)
Лемма доказана.
Лемма 2.2 (H. С. Черников [17]). Пусть G — конечная группа, разложимая в произведения G = АВ = АС = ВС некоторых подгрупп А, В и С; D —подгруппа группы G, содержащая С, такая, что для некоторого р силовские р-подгруп- пы групп А П D и В П D инвариантны соответственно в А и В. Тогда если силовская р-подгруппа группы С инвариантна в ней, то нормальные замыкания в G силовских р-подгрупп групп А Л 49 и В П D являются р-группами.
Примечание. В случае, когда D = G, лемма 2.2 установлена Кегелем [3].
Доказательство. Пусть силовская р-подгруппа группы С инвариантна в ней. Обозначим через S, Р и Q силов- кие р-подгруппы соответственно групп С, А П D и В П D. Покажем, что нормальные замыкания в G подгрупп Р и Q — р-группы. Сделаем это для подгруппы Р (для подгруппы Q рассуждения совершенно аналогичны).
Пусть g — произвольный элемент группы G. Ввиду леммы 1.20 G = А6 В и, значит, в силу леммы 1.35 подгруппа kP6 U Q) является р-группой. Далее, D = С (А П D) = = С (В П D). Поэтому в силу лемм 1.37 и 1.2 подгруппа S перестановочна с подгруппами Р и Q и произведения SP и SQ являются силовскими р-подгруппами группы D.
Покажем, что подгруппы S и Р6 перестановочны и их произведение является силовской р-подгруппой группы D. Пусть g = ас, где а С А и с £ С. Тогда
SP8 = SP”0 = SPC - SCPC = (SPY.
Таким образом, подмножество SP8 сопряжено в D с силовской р-подгруппой SP группы D. Поэтому оно является силовской р-подгруппой группы D, и подгруппы S и Р8 перестановочны.
Так как подгруппа S перестановочна с подгруппами Р8 и Q и подгруппа (Р8 U Q) является р-группой, то, очевидно, произведение S <Р8 U Q? — р-группа. Поскольку произведение S^P8 U Q) является р-группой, содержится в D и содержит силовскую р-подгруппу SQ группы D, то оно совпадает с SQ. Поэтому Р8 с SQ и, значит, ввиду произвольности эле-
мента g {Р°) = (|J Р6) s SQ. Следовательно, нормальное за* g^G
мыкание (PG) подгруппы Р в G — р-группа.
Лемма доказана.
Следующая лемма непосредственно вытекает из леммы 2.2.
Лемма 2.3 (Н. С. Черников [17]). Пусть G — конечная группа, разложимая в произведения G = АВ = АС = = ВС некоторых подгрупп А и В и нильпотентной подгруппы С; D — подгруппа группы G, содержащая С, такая, что пересечения А П D и В fl D нильпотентны. Тогда если подгруппы А П D и В П D инвариантны соответственно в А и В, то их нормальные замыкания в G нильпотентны.
Лемма 2.4. Произвольная группа, которая может быть порождена каким-нибудь конечным множеством своих субнормальных нильпотентных подгрупп конечного индекса, нильпо- тентна.
Доказательство. По теореме Фиттинга (см., например, Каргаполов, Мерзляков [1], теорема 16.2.12) во всякой группе любое конечное множество инвариантных нильпотентных подгрупп порождает нильпотентную подгруппу. Поэтому для доказательства настоящей леммы, очевидно, достаточно установить следующее: если в некоторой группе G субнормальная нильпотентная подгруппа Н имеет конечный индекс, то нормальное замыкание подгруппы Н в G является нильпотентной группой. Будем считать, что подгруппа Н не инвариантна в G (в противном случае доказывать нечего).
Пусть Go = 1 cz Gt = Н cz G2 cz ... cz Gn=G — какой-нибудь содержащий H конечный нормальный ряд группы G. Пусть нормальное замыкание подгруппы Н в группе Gk при некотором к«<п нильпотентно. Обозначим его через Нк. Покажем, что нормальное замыкание подгруппы Н в группе G^+1 нильпотентно. Очевидно, каждая сопряженная с Нк в G^ подгруппа инвариантна в Gk Множество подгрупп, сопряженных с Нк в G^+1, конечно, так как индекс подгруппы Нк в Gfc+1 конечен. Следовательно, в силу теоремы Фиттинга (приведенной выше) все сопряженные с Нк в G^+1 подгруппы порождают нильпотентную подгруппу. Тогда и нормальное замечание подгруппы Н в группе G^ нильпотентно.
Лемма доказана.
Лемма 2.5. Пусть G — группа, разложимая в произведения G = АВ = АС = ВС некоторых подгрупп А и В и конечной нильпотентной подгруппы С; D — подгруппа группы G, содержащая С, такая, что пересечения A f) D и В П D нильпотентны и инвариантны соответственно в А и В. Тогда справедливы следующие утверждения.
Нормальные замыкания в G подгрупп A A D и В A D порождают в ней нильпотентную подгруппу.
Если подгруппа С инвариантна в D, то подгруппа D нильпотентна.
Доказательство утверждения 1. С учетом теоремы Фиттинга (см. доказательство леммы 2.4) достаточно показать, что нормальные замыкания в G подгрупп А A D и В A D нильпотентны. Сделаем это для подгруппы A A D (для подгруппы В A D рассуждения совершенно аналогичны). Нормальное замыкание подгруппы А A D в G обозначим через Н. _
Так как подгруппа С конечна и G = АС, то индекс подгруппы А в группе G конечен. Поэтому А содержит некоторую инвариантную в G подгруппу N конечного индекса. Используя лемму 2.3, убеждаемся, что фактор-группа HN/N нильпотентна. Тогда нильпотентна и изоморфная HN/N фактор-группа H/(N А //). Далее, ввиду леммы 1.36 Н г D и потому N А Н с А А Ь. Так как фактор-группа H/(N А Щ нильпотентна, то ее подгруппа (A A D)/(N А Щ субнормальна в ней. Следовательно, подгруппа A A D субнормальна в Н. Вместе с этим в Н субнормальна каждая сопряженная с A A D в G подгруппа. Поскольку индекс подгруппы N А Н в'Н конечен и Н А Н с A A D, то множество всех сопряженных с Л A D в G подгрупп конечно.
Итак, подгруппа Н порождена конечным множеством суб нормальных в ней нильпотентных подгрупп конечного индекса. Поэтому ввиду леммы 2.4 подгруппа Н нильпотентна. Утверждение 1 доказано.
Доказательство утверждения 2. Пусть подгруппа С инвариантна в G. Ввиду леммы 1.8 D = С (Л АО). Далее, нормальное замыкание в D подгруппы ЛАО нильпо- тентно согласно утверждению 1 настоящей леммы. Поэтому в силу теоремы Фиттинга подгруппа D нильпотентна. Утверждение 2 доказано.
Лемма доказана.
Лемма 2.6 (А м б е р г 151). Пусть Ж — класс групп, замкнутый относительно подгрупп, фактор-групп и расширений*, G — разрешимая группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В, принадлежащими классу Ж. Тогда если группа G классу Ж не принадлежит, то некоторая ее секция G*, не принадлежащая классу Ш, разложима в произведения "
G* А*В* = Л*С* - В*С* (3)
подгрупп А*, В* и С*, для которых выполняются следующие условия*.
подгруппы А* и В* изоморфны некоторой секции группы А (и вместе с тем принадлежат классу Т);
подгруппа С* изоморфна фактор-группе некоторого члена ряда коммутантов группы G (в частности, абелева), инвариантна в G*, пересекается с подгруппами А* и В* по единице и не принадлежит классу Ж.
Доказательство. Пусть группа G не принадлежит классу Ж. Обозначим через К наименьший, не принадлежащий Ж член ряда ее коммутантов. Пусть Н — следующий за К член ряда коммутантов группы G. Применяя лемму 1.9 к подгруппе К и факторизации G = (АН) (ВН), получаем соотношения
АК П ВК = (АН П ВК)(ВН П АК) =
= (АН П ВК) К = (ВН fl АК) К.(4)
Учитывая соотношения (4) и абелевость группы К/Н, легко убедиться, что подгруппы АН Л К (=(АН Л В К) Л К) и ВН Л К (= (ВН Л АК) Л К) инвариантны в группе АК Л Л ВК.
Обозначим через L подгруппу (АН Л К) (ВН Л К). Покажем, что подгруппа L принадлежит классу Ж. Действительно, подгруппы АН и ВН являются расширениями группы Н соответственно с помощью групп А! (А Л Н) и В/(В Л Н). Поэтому ввиду замкнутости класса Ж относительно подгрупп, фактор-групп и расширений они принадлежат Ж. Тогда в силу замкнутости класса Ж относительно подгрупп ему принадлежат подгруппы АН Л К и ВНП К. Далее, группа L является расширением группы ВН Л К с помощью группы (АН Л Л К)!((АН Л К) Л (ВН Л К)). Поэтому, снова по определению класса Ж , подгруппа L принадлежит ему.
Положим
G* = (АК Л BK)IL, А* = (АН Л ВК) UL,В* - (ВН Л AK)L!L и С* - K/L.
Используя соотношения (4), нетрудно убедиться, что выполняются соотношения (3) и соотношения
Д*ЛС* = В*ЛС*= 1.(5)
Так как группа L принадлежит классу Ж, а группа К нет, то ввиду замкнутости класса Ж относительно расширений группа С* не принадлежит классу Ж. Подгруппа С* изоморфна фактор-группе группы К — члена ряда коммутантов группы G, инвариантна в группе G* и (поскольку L содержит коммутант Н группы К) абелева. Далее, группы Д* и 6*, оче-
видно, изоморфны между собой. Покажем теперь, что группа Д* изоморфна секции группы Л. Используя лемму 1.7 и учитывая, что Н с ВК, получаем
АН П В К = ^ВК) (А НА = Я Ж П Л) - (Л П ВКА Н.
Следовательно, с учетом того, что НгЬ, получаем
Л* = (ЛЯ П ВК) L/L = (Д П В К) HLIL = (Л П В К) UL ~
~(ЛПВК)/(ЛПЯ/<ги).
Итак, группа А* изоморфна фактор-группе группы А П f] ВК и, значит, изоморфна секции группы А.
Ввиду замкнутости класса $ относительно подгрупп и фактор-групп ему принадлежит группа Д*. Так как группа G* — расширение группы С* с помощью группы А* (см. соотношения (3) и (5)) и группа Д* принадлежит Ж, а группа С* нет, то группа G* не принадлежит классу Ж.
Лемма доказана.
Теорема 2.1 (Леннокс, Роузблейд [1], Зайцев [2]). Разрешимая группа, факторизуемая двумя полициклическими подгруппами, полициклическая.
В доказательстве теоремы 2.1 будет использоваться следующее предложение, легко вытекающее из результатов Роуз- блейда [11.
Пусть G — конечнопорожденное расширение абелевой группы с помощью почти полициклической; С — какая-нибудь инвариантная абелева подгруппа группы G, для которой фактор-группа G/С почти полициклическая, и D/C — произвольная инвариантная нильпотентная подгруппа фактор-группы G/С. Подгруппа D группы G нильпотентна тогда и только тогда, когда для любой инвариантной в G подгруппы Н ^ С, имеющий конечный индекс в группе С, фактор-группа D/H нильпотентна.
Доказательство теоремы 2.1. Пусть теорема неверна. Тогда, используя леммы 2.6 и 2.1, нетрудно убедиться, что существует разрешимая неполициклическая группа G, удовлетворяющая следующим условиям:
группа G разложима в произведения
G = АВ = АС = ВС
некоторых полициклических подгрупп Л и В и некоторой инвариантной абелевой (неполициклической) подгруппы С;
фактор-группа группы G по любой ее отличной от единицы инвариантной подгруппе полициклична.
Дальнейшую часть доказательства разобьем на несколько этапов.
Г. Покажем, что ни подгруппа Д, ни подгруппа В не содержит отличных от^единицы инвариантных в G подгрупп. Действительно, пусть N — содержащаяся в Д или В инвариантная подгруппа группы G. Тогда подгруппа N — полициклическая. Поэтому фактор-группа G/N не является полициклической. Следовательно, согласно условию «2» N = 1.
2°. Покажем, что
ДПС^ДПС- 1. (6)
Действительно, с учетом условия «1» очевидно, что подгруппы Д П С и В П С инвариантны в G. Поэтому на основании п. 1° доказательства соотношения (6) выполняются.
Очевидно, G V= С. Возьмем какую-нибудь содержащую подгруппу С и отличную от нее инвариантную подгруппу D группы G, для которой фактор-группа DIG нильпотентна (например, полный проообраз в G последнего отличного от единицы члена ряда коммутантов фактор-группы GIC). Подгруппу D зафиксируем.
3°. Покажем, что подгруппа D нильпотентна. Пусть Н — произвольная инвариантная в G подгруппа конечного индекса группы С. Рассмотрим фактор-группу G/H. Для произвольной подгруппы X группы G подгруппу ХН/Н фактор-группы G/H будем обозначать через X.
В силу условия «1» группа G разложима в произведения G = АВ = АС = ВС подгрупп Д и В и конечной инвариантной абелевой подгруппы С. Подгруппа D инвариантна в G и фактор-группа D/С нильпотентна. Далее, с учетом соотношений (6)ДГ|С^ВГ|С=1. Поэтому, очевидно, пересечения ДР|1) и Bf)D нильпотентны. Тогда ввиду леммы 2.5 подгруппа D(=DIH) нильпотентна. Следовательно, согласно предложению, приведенному перед доказательством настоящей теоремы, подгруппа D нильпотентна.
4°. Покажем, что подгруппа D неабелева. Действительно, если она абелева, то ввиду ее инвариантности в G и соотношений G = АС = AD подгруппа А П D инвариантна в G и, значит, равна единице. Но тогда D = С (Д П D) = С, что невозможно.
Итак, подгруппа D нильпотентна и неабелева. Рассмотрим фактор-группу G/D'. Так как D' ^ 1, то согласно условию «2» эта фактор-группа полициклична. Вместе с этим группа DID' полициклична и, значит, конечно порождена. Известно, что нильпотентная группа конечнопорождена тогда и только тогда, когда конечнопорождена ее фактор-группа по коммутанту (см., например, Каргаполов, Мерзляков [1], теорема 16.2.5). Следовательно, подгруппа D конечнопорождена. Всякая ко-
нечнопорожденная нильпотентная группа полициклична (см., например, Каргаполов, Мерзляков [1], теорема 17.2.2). Следовательно, подгруппа D и, значит, подгруппа С полициклическая. Противоречие.
Теорема доказана.
Следующее предложение непосредственно вытекает из теоремы 2.1.
Следствие 2.1. Локально разрешимая группа, факторизуемая попарно перестановочными полициклическими подгруппами, локально полициклична.
Амберг [31 установил следующую теорему.
Разрешимая группа, факторизуемая двумя подгруппами Ап В, одна из которых является расширением артиновой группы с помощью нетеровой, а другая артинова или нетерова, будет расширением артиновой группы с помощью нетеровой в случае, когда подгруппа А или В локально нильпотентна. (Напомним, что группы с условием минимальности иногда называют артиновыми, а с условием 'максимальности — не- теровыми.)
Следующая теорема, которую приведем без доказательства, усиливает отмеченную теорему Амберга.
Теорема 2.2 (3 а й ц е в [4]). Пусть G — разрешимая группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В, каждая из которых является расширением черниковской группы с помощью полициклической ^или, что для разрешимых групп равносильно,— расширением артиновой группы с помощью нетеровой). Тогда группа G является расширением черниковской группы с помощью полициклической.
Более того, группы G, А и В имеют инвариантные полные абелевы черниковские подгруппы соответственно F, Н и К, такие, что фактор-группы G/F, А/Н и В! К полициклические и F = НК.
Следующая теорема охватывает теорему 2.1.
Теорема 2.3. (Амберг [61). Пусть Ж — класс групп, замкнутый относительно подгрупп, фактор-групп и расширений. Если разрешимая группа G является произведением двух подгрупп А и В, принадлежащих классу Ж, хотя бы одна из которых удовлетворяет условию максимальности или минимальности, то группа G принадлежит классу Ж.
Доказательство теоремы 2.3 разобьем на несколько этапов.
1°. Пусть конечная разрешимая группа G является произведением двух подгрупп А и В из Ж. Покажем, что она принадлежит классу Ж. Можно считать, что G =£ 1. Группа G обладает некоторым конечным нормальным рядом с факторами простых порядков. Пусть р — порядок произвольного фак-
тора ряда. Так как группа G конечна, то л (G) = л (Л) () U л (6). Следовательно, порядок хотя бы одной из подгрупп Л и В, например Л, делится на р. Поэтому в нормальном ряде группы Л с факторами простых порядков, очевидно, есть фактор порядка р. Так как группа Л принадлежит классу Ж, а класс Ж замкнут относительно подгрупп и фактор-групп,то отсюда следует, что группа порядка р принадлежит классу Ж. Таким образом, все факторы некоторого нормального ряда группы G принадлежат Ж. Поэтому ввиду замкнутости класса Ж относительно расширений группа G принадлежит ему.
2°. Пусть полициклическая группа G является произведением двух подгрупп Л и 6 из класса Ж. Покажем, что она принадлежит классу Ж. Если группа G конечна, то это так согласно п. 1° доказательства. Пусть группа G бесконечна. Тогда хотя бы одна из подгрупп Л и 6, например Л, бесконечна. Поэтому в нормальном ряде с циклическими факторами группы Л хотя бы один фактор бесконечный циклический. Так как группа Л принадлежит классу Ж, а последний замкнут относительно подгрупп и фактор-групп, то отсюда следует, что бесконечная циклическая группа принадлежит классу Ж. Вместе с этим ему принадлежит циклическая группа любого конечного порядка. Поскольку группа G, будучи полициклической, обладает конечным нормальным рядом с циклическими факторами, то отсюда ввиду замкнутости класса Ж относительно расширений следует, что группа G принадлежит классу Ж.
3°. Пусть черниковская разрешимая группа G является произведением двух подгрупп Л и В из класса Ж. Покажем, что она принадлежит классу Ж. Так как подгруппы Л и В черниковские, то фактор-группы AU (Л) и BU (В) конечны. Поэтому ввиду леммы 1.18 подгруппа J (G) порождается подгруппами J (Л) и J (6). Так как группа G черниковская, то ее подгруппа J (G) абелева. Следовательно, подгруппа J (G) разложима в произведение подгрупп J (Л) и J (В) и, значит является расширением группы J (Л) с помощью группы J (В) 7(Л)/ /J (Л) с±J (B)/(J (В) п ^ (Л)). В силу замкнутости класса Ж относительно подгрупп и фактор-групп группы J (Л) и J (6)/ /(J (В) П J (Л)) принадлежат классу Ж. Поэтому группа J (G) принадлежит классу Ж ввиду замкнутости последнего относительно расширений.
Рассмотрим теперь фактор-группу G/J (G). Она конечна, разрешима и является произведением подгрупп AJ (G)/J (G) (~Л/(Л П J (G))) и BJ (G)/J (G) (~В/(ВП / (G))), принадлежащих классу Ж. Поэтому согласно п. 1° доказательства факторгруппа G/J (G) принадлежит классу Ж. Так как группы J (G) 106
и GU (G) принадлежат классу X, то и группа G принадлежит ему.
4°. Покажем, что при условиях теоремы группа G принадлежит классу X. Пусть это не так. Тогда ввиду леммы 2.6 существует не принадлежащая классу X разрешимая группа G*, разложимая в произведения G* = А* В* = А* С* = = В*С* Х-подгрупп А* и В*, изоморфных некоторой секции группы А, и инвариантной абелевой подгруппы С*. Так как подгруппы Л* и В* изоморфны, то они удовлетворяют условию максимальности либо условию минимальности. Поэтому группа G* является полициклической или черниковской соответственно в силу теоремы 2.1 или теорем 1.1 и 1.2. Последнее невозможно (см. п. 2° и 3° доказательства). Полученное противоречие доказывает справедливость теоремы.
Следствие 2.2. Пусть X — класс групп, замкнутый относительно подгрупп, фактор-групп и расширений. Если разрешимая группа G является произведением п попарно перестановочных подгрупп Ah i = 1, 2, ..., п, принадлежащих классу X, каждая из которых, за исключением, быть может, одной, удовлетворяет условию максимальности или условию минимальности, то группа G принадлежит классу X.
Следствие 2.2 почти непосредственно вытекает из теоремы 2.3.
Факторизационные свойства конечных разрешимых групп
Определение 2.1. Пусть G — группа. Систему {Gp} ее силовских р-подгрупп по одной для каждого простого р будем называть полной силовской базой группы G, если выполняются следующие условия*.
группа G порождается подгруппами Gp;
подгруппы Gp попарно перестановочны;
при произвольном непустом множестве л простых чисел подгруппы из системы, взятые по всем р С л, порождают в G п-подгруппу.
Примечание. Из условий «1» и «3» определения 2.1 вытекает, что группа G обязательно периодическая. Действительно, пусть л — множество всех простых чисел. Тогда G = ((JСр>— л-группа. р^
Определение 2,2. Пусть группа G обладает полными садовскими базами {Gp} и {G*}. Будем говорить, что первая из них сопряжена со второй с помощью элемента g группы G (автоморфизма ср группы G), если Gp = Gp при каждом р (соответственно Gp = Gp при каждом р).
Определение 2.3. Пусть группа G и ее подгруппа Н обладают полными силовскими базами {Gp} и {Нр} соответственно. Будем говорить, что первая из них является продолжением второй, если Нр^ Gp при каждом р.
Примечание. Близкие к приведенному здесь определения полной силовской базы см., например, в книгах Куроша [1] и Каргаполова, Мерзлякова [1].
Лемма 2.7. Пусть конечная группа G обладает системой силовских р-подгрупп {Gp} по одной для каждого р, удовлетворяющей условию «1» и одному из условий «2» и «3» из определения 2.1. Тогда система {Gp} является полной силовской базой группы G.
Доказательство. Если для системы {Gp} кроме условия «1» из определения 2.1 выполняется также условие «2», то ввиду конечности группы G для нее, очевидно, выполняется и условие «3».
Пусть для системы {Gp} кроме условия «1» выполняется условие «3». Возьмем любые две подгруппы Gp и Gq, p^q. Обозначим через л множество ^р, qY Рассмотрим подгруппу (GpU^g)- Ввиду условия «3» она является л-группой. Так как Gp и Gq — ее силовские соответственно/?- и ^-подгруппы, то в силу теоремы Силова
l<GPUGq)| = |GP||G9MGJ|Gp| и, значит,
(Gp U Gq) = GpGq = GqGp.
Следовательно, для системы {Gp} выполняется условие «2» из определения 2.1. Поэтому она является полной силовской базой группы G.
Лемма доказана.
Замечание. Вообще говоря, условие «2» из определения 2.1 не является следствием условий «1» и «3» из этого определения. Действительно, Хартли [3] построил для произвольных различных простых чисел р и q пример локально разрешимой \р, ^-группы G, которая порождается некоторыми своими не перестановочными силовскими /7-подгруппой Р и ^-подгруппой Q. Очевидно, для системы {Р, Q, 1, 1, ...} условия «1» и «3» из определения 2.1 выполняются, но «2» не выполняется. Поэтому система {Р, Q, 1, 1,...} не является полной силовской базой группы G.
Лемма 2.8. Пусть G—конечная группа, обладающая полными силовскими базами, {Gp} — любая полная силовская база группы G и N — произвольная инвариантная подгруппа группы G. Тогда системы {GPD^V} и {GPN!N} являются полными силовскими базами соответственно подгруппы N и фактор-группы G/N.
Доказательство. Действительно, ввиду конечности группы G для каждого р Gp П N и GPN/N — силовские /7-подгруппы соответственно групп ^ и G/N. Далее, очевидно, для систем {Gp f) А^} и {GPN/N^ выполняются условия «1» и «3» из определения 2.1. Поэтому в силу леммы 2.7 системы {GPD^} и {GPN/N^ — полные силовские базы соответственно групп N и GfN.
Лемма доказана.
Теорема 2.4 (Ф. Холл [1, 31). Для произвольной конечной разрешимой группы G справедливы следующие утверждения.
Группа G обладает полными силовскими базами, все они сопряжены в ней и любая полная силовская база произвольной ее подгруппы продолжается до полной силовской базы всей группы G.
Пр и любом непустом множестве л простых чисел силовские птодгруппы группы G сопряжены в ней и являются ее холловыми к-подгруппами.
Доказательство. Докажем теорему 2.4 индукцией по | G |.
Если G = 1, то теорема не нуждается в доказательстве.
Пусть G =/= 1. Так как группа G конечна и разрешима, то для некоторого простого q она имеет инвариантную подгруппу Н индекса q.
Зафиксируем число q и подгруппу Н. Дальнейшее доказательство разобьем на несколько этапов.
1°. Покажем сначала, что группа G обладает хотя бы одной полной силовской базой. Согласно индуктивному предположению подгруппа Н обладает некоторой полной силовской базой {НРУ Очевидно, при p^q Нр — силовская /7-подгруппа группы G. В группе G вне подгруппы Н возьмем какой-нибудь элемент g. Очевидно, система {Нр^ является полной силовской базой подгруппы Н. Согласно индуктивному предположению все полные силовские базы подгруппы Н сопряжены в ней. Поэтому для некоторого h^H Нр = Нр при любом р. Тогда элемент gh~{ нормализует каждую подгруппу Нр. Так как индекс | G: Н\ равен q и gh~[^H, то, очевидно, G = НК для силовской ^-подгруппы К группы (ghT^ Подгруппа К нормализует каждую подгруппу Нр. Поэтому, как легко видеть, произведение HqK есть силовская 7-подгруппа группы G, и подгруппа HqK перестановочна с каждой подгруппой Нр. Используя это, нетрудно убедиться, что система {HqK, Hp\p=/=q^ является полной силовской базой группы G.
2°. Пусть {Gp} — произвольная полная силовская база группы G. Покажем, что в подгруппе Gq найдется не содержащийся в Н элемент, нормализующий каждую подгруппу Gp. Обозначим через Gq' подгруппу, порожденную всеми Gp с p^q. Нетрудно убедиться, что G^ — силовская ^'-подгруппа группы Си Н = Gqr (77 П Gq). В группе Gq возьмем какой- нибудь элемент g, не содержащийся в Н. На основании индуктивного предположения все силовские g'-подгруппы группы Н сопряжены в ней. Поэтому для некоторого h^H G^ = = Gq,. Так как Н = Gq* (Н Q Gq), то h = h*g* для некоторых h* ^Gq' И g* £(Н П Gq). Тогда, очевидно, Gq' = Gq* = Gq^ \ Таким образом, не содержащийся в Н элемент g(,g*)-x подгруппы Gq нормализует подгруппу Gq'. Поэтому при каждом p^q элемент ^(g*)-1, очевидно, нормализует подгруппу Gq' П GqGp = Gp. Существование требуемого элемента установлено.
3°. Покажем, что в группе G полные силовские базы сопряжены. Пусть {Ср} и {С*} — ее произвольные полные силовские базы. Так как подгруппа Н инвариантна в группе G и имеет в ней индекс q, то в силу леммы 2.8 системы {//П П Gq, Gp\p^=q^ и {// П С*, G*p\pV=q^ являются полными си- ловскими базами подгруппы Н, а значит, согласно индуктивному предположению сопряжены в ней. Поэтому вопрос о сопряженности в G рассматриваемых полных силовских баз сводится, очевидно, к случаю, когда Н Q Gq = Н П С* и Ср= = С* при р ф q.
Итак, пусть последние соотношения выполняются. На основании п. 2° доказательства некоторые не принадлежащие Н элементы g Е Gq и g* EG* нормализуют при каждом р подгруппу Gp. Очевидно, элементы g и g* нормализуют также подгруппу Н П Gq. Обозначим через Q подгруппу, порожденную элементами g и g*. Очевидно, что подгруппа Q нормализует подгруппу Н П Gq и при каждом p^q подгруппу Gp, и что подгруппа (77 Q Gq)Q содержит подгруппы Gq и С*. Согласно теореме Силова подгруппа G* сопряжена в группе (77 П Gq)Q с подгруппой Gq. Поэтому, как нетрудно видеть, для некоторого элемента uEQ G*qu^Gq. Так как элемент и нормализует при каждом p^q подгруппу Gp, то он, очевидно, сопрягает базу (G*} с базой {Gp}.
4°. Пусть А — произвольная подгруппа группы G. Покажем, что любая полная силовская база подгруппы А может быть продолжена до подходящей полной силовской базы группы G. Понятно, можно ограничиться случаем, когда подгруппа А максимальна в группе G.
Итак, пусть Л — максимальная подгруппа группы G. Так как группа G разрешима, то, во-первых, индекс | G : Л | является степенью некоторого простого числа г и, во-вторых, группа G обладает некоторой отличной от единицы инвариантной примарной подгруппой М. Пусть {Лр} — какая-нибудь полная силовская база подгруппы Л.
Рассмотрим сначала случай, когда М ^ А. В этом случае, очевидно, М является r-группой и G = АМ. Нетрудно убедиться, что, во-первых, подгруппа АТМ — силовская г-под- группа группы G и при каждом р^г подгруппа Ар является силовской /2-подгруппой группы G, во-вторых, группа G порождается подгруппой АТМ и всеми подгруппами Ар с р^г и, в- третьих, подгруппа АТМ перестановочна с каждой подгруппой Ар. Поэтому ввиду леммы 2.7 система (АГМ, АР1р=^=г) является полной силовской базой группы G. Очевидно, эта база является продолжением полной силовской базы {Лр} подгруппы А.
Пусть теперь М с А. Возьмем какую-нибудь полную си- ловскую базу {Gp} группы G. Обозначим через Атг подгруппу, порожденную всеми Ар с р=^т, и через Gr» подгруппу, порожденную всеми Gp с рй^г. Рассмотрим фактор-группу G/M. Нетрудно видеть, что АГ'М/М и GrrMlM — ее холловы г’- подгруппы. Согласно индуктивному предположению они сопряжены в GIM. Поэтому для некоторого элемента g^G (Gr,M^ = АГ'М. Тогда G^ ^ Л. Нетрудно видеть, что подгруппа Gr дополняет в G подгруппу G^. Следовательно, ввиду леммы 1.8 A =Gb(A fl Gr). Так как G^—г'-группа, а A fl Gf — r-группа, то с учетом последнего соотношения ясно, что А П Gr—силовская r-подгруппа группы А. Далее, очевидно, для системы {Л fl G^ Gp\p^ ^} выполняются условия «1» и «3» из определения 2.1. Поэтому ввиду леммы 2.7 эта система — полная силовская база подгруппы А. На основании индуктивного предположения она сопряжена в А с полной силовской базой {Лр}. Поэтому для некоторого а^А
(Л A Gf)° = Ат и при p^r G&p = Ар.
Тогда полная силовская база \Gpa^ группы G является продолжением полной силовской базы {Лр} подгруппы А.
5°. Докажем справедливость утверждения 2 настоящей теоремы. Пусть S и S* — произвольные силовские л-подгруп- пы группы ~G; (Sp)— полная силовская база группы G, продолжающая какую-нибудь полную силовскую базу подгруппы S, {S*} — полная силовская база группы G, продолжающая какую-нибудь полную силовскую базу подгруппы S*,
5Л — подгруппа, порожденная силовскими /2-подгруппами из базы {Sp} для всех р£я, и S*—подгруппа, порожденная силовскими р-подгруппами из базы {S*} для всех р^ л. Легко видеть, что 5Л и 5Л— холловы л-подгруппы группы G. Очевидно, Sc £л и S*c 5Л. Поэтому S= 5Л и S*= S^ и, значит, подгруппы S и S* являются холловыми л-подгруппами группы G. Так как в группе G полные силовские базы сопряжены (см. п. 4° доказательства), то подгруппы 5Л и S*, а значит, и подгруппы S и S* сопряжены в ней.
Теорема доказана.
Следующее известное предложение почти автоматически вытекает из утверждения 1 теоремы 2.4.
Следствие 2.3. Счетная локально конечная и локально разрешимая группа обладает полной силовской базой.
Теорема 2.5 (Ф. Холл [2, 3], Ч у н и х и н [1]).
Конечная группа G, обладающая для любого р холловой р'-подгруппой, разрешима.
Конечная группа G, представимая в виде произведения некоторых своих попарно перестановочных р-подгрупп по разным простым р (или, что равносильно, обладающая полной силовской базой, представимая в виде произведения некоторых своих попарно перестановочных примарных подгрупп), разрешима.
Теорема 2.6 (Ф. Холл [2, 31). Конечная группа разрешима тогда и только тогда, когда она разложима в произведение попарно перестановочных р-подгрупп по разным простым р.
Теорема 2.6 непосредственно вытекает из утверждения 1 теоремы 2.4 и утверждения 2 теоремы 2.5.
Доказательству теоремы 2.5 предпошлем следующее известное предложение.
Лемма 2.9. Пусть G — конечная группа; Hb I = 1,2,... ...,п, — ее холловы р'.-под группы для некоторых попарно различных простых чисел ph Н— пересечение всех подгрупп Нь л — множество всех простых чисел, отличных от чисел pt. Тогда Н — холлова п-гюдгруппа группы G.
Доказательство. Пусть р^ (mt ^ 0) — наибольшая степень числа рь делящая |О|. Очевидно, |G: Ht\=p^. Поэтому, учитывая неравенство | G: Н | ^ | G: Н± 11G: Н2|-... «| G: :ЯП|, получаем | О : Н | ^р^р™*-... -р^. С другой стороны, очевидно, подгруппа Н является л-подгруппой и, значит, |G : Н \^р^р^-...-р^п. Таким образом, | G: Н | = р^р^-... ...•р^п, откуда вытекает, что Н является холловой л-подгруппой группы G.
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 2.5. Утверждение 2 теоремы почти непосредственно вытекает из ее утверждения 1.
Доказательство утверждения 1 проведем индукцией по |G|. Если группа G примарна, то оно не нуждается в доказательстве. Пусть группа G непримарна и р, q — какие- нибудь два различных простых делителя ее порядка. Используя лемму 2.9, нетрудно убедиться, что группа G обладает некоторой холловой {р, ^-подгруппой К. Ввиду известной теоремы Бернсайда (см., например, Хупперт [2], гл. V, предложение 7.3) подгруппа К разрешима. Поэтому она обладает некоторой отличной от единицы инвариантной примарной подгруппой N. Будем считать, что N — ^-группа. Возьмем какую- нибудь холлову р'-подгруппу Н группы G. Используя лемму 2.9, нетрудно убедиться, что для любого простого г подгруппа Н обладает холловой r'-подгруппой. Следовательно, она по индуктивному предположению разрешима. Легко видеть, что G = КН и что пересечение К П Н содержит подгруппу N. Поэтому ввиду леммы 1.36 WG) с Н и, значит, подгруппа (NG) разрешима. Далее, как нетрудно убедиться, факторгруппа G/ {№) для любого простого р обладает холловой р'- подгруппой. Поэтому она разрешима согласно индуктивному предположению. Следовательно, группа G разрешима. Утверждение 1 доказано.
Теорема доказана.
Следующая теорема, известная как теорема Кегеля — Ви- ландта, существенно обобщает утверждение 2 теоремы 2.5.
Теорема 2.7 (К с г е л ь [1] — В и л а н д т [2]). Конечная группа, представимая в виде произведения некоторых своих попарно перестановочных нильпотентных подгрупп, разрешима.
Доказательство см. Хупперт [2], гл. VI, предложение 4.3.
§ 3. Некоторые факторизационные теоремы для групп матриц над полем
В § 2 настоящей главы изложены факторизационные критерии разрешимости конечных групп (теоремы 2.5, 2.6). Имея в виду получить здесь аналоги этих критериев для групп матриц над полем (и, прежде всего, теорему 2.9), отметим сначала некоторые касающиеся таких групп предложения, представляющие и самостоятельный интерес.
Предложение 2.1 (Н. С. Черников [8, 12]). Пусть G — группа матриц над полем, факторизуемая двумя периодическими почти локально нильпотентными подгруппами Л и
(1)(1)Тогда группа G локально конечна и л (G) «= л (Л) U л (6).
(1)
(1)
Предложение 2.1 без труда сводится к следующей теореме и следствию 1.32.
Теорема 2.8 (Кегель [2]). Группа матриц над полем, факторизуемая двумя (почти) локально нильпотентными подгруппами, (почти) разрешима.
Доказательство предложения 2.1. Действительно, по теореме 2.8 группа G почти разрешима. Поэтому в силу следствия 1.32 она локально конечна и выполняется соотношение (1). Предложение доказано.
Предложение 2.2. (Н. С. Черников). Пусть G — группа матриц над полем, факторизуемая попарно перестановочными локально конечными подгруппами Av, t С I, ни одна из которых не содержит элементов порядка, равного характеристике соответствующего поля. Тогда группа G локально конечна и
л(С) = и^(А). (2)
(В частности, группа G не содержит элементов порядка, равного характеристике соответствующего поля.)
В доказательстве предложения 2.2 и далее в настоящем параграфе будет использоваться следующая известная теорема Шура [1] (см., например, Верфриц [2], п. i предложения 9.1 и следствие 9.4).
Периодическая группа матриц над полем локально конечна и в случае, когда она не содержит элементов порядка, равного характеристике соответствующего поля, почти абелева.
Ввиду отмеченной теоремы Шура из предложения 2.2 вытекает, что группа G в нем почти абелева.
Доказательство предложения 2.2. Нетрудно убедиться, что для доказательства предложения достаточно доказать справедливость следующего утверждения (Н. С. Черников [12], следствия 6 и 7).
Пусть G — группа матриц над полем, факторизуемая двумя локально конечными подгруппами А и В, не содержащими элементов порядка, равного характеристике соответствующего поля. Тогда группа G локально конечна и выполняется соотношение (1).
Докажем это утверждение. Так как подгруппы Л и В не содержат элементов порядка, равного характеристике соответствующего поля, то по теореме Шура они почти абелевы. По-
этому ввиду предложения 2.1 группа G локально конечна и выполняется соотношение (1).
Предложение 2.2 доказано.
Следствие 2.4 (Н. С. Черников [8, 121). Группа матриц над полем нулевой характеристики, факторизуемая двумя локально конечными подгруппами (и, вообще говоря, любым множеством попарно перестановочных локально конечных подгрупп), локально конечна.
Следствие 2.4 непосредственно вытекает из предложения 2.2.
Теорема 2.9 (Н. С. Черников [12]).
Пусть в группе G матриц над полем, содержащей отличные от единицы элементы конечного порядка, для каждого р £ л (G) хотя бы одна р-подгруппа обладает локально конечным р'-дополнением. Тогда группа G локально конечна и разрешима.
Группа G матриц над полем, разложимая в произведение некоторых своих попарно перестановочных примарных подгрупп ( в частности, обладающая полной силовской базой), локально конечна, разрешима и является ^-группой, где л — множество всех простых чисел, по которым примарны подгруппы- множители.
Доказательству теоремы 2.9 предпошлем следующие две леммы.
Лемма 2.10 (Н. С. Черников 1121). Пусть G — группа матриц над полем, факторизуемая двумя подгруппами — примарной подгруппой Л и периодической подгруппой В, такими, что л (Л) П л (В) = 0. Тогда если соответствующее поле имеет характеристику, равную нулю либо числу, по которому примарна подгруппа Л, то группа G локально конечна, почти разрешима, и для нее выполняется соотношение (/).
Доказательство. Действительно, ввиду теоремы Шура, приведенной в настоящем параграфе, подгруппа А локально конечна и вместе с этим локально нильпотентна, подгруппа В почти абелева. Поэтому лемма 2.10 справедлива ввиду теоремы 2.8 и предложения 2.1.
Лемма 2.11. Группа матриц над полем, факторизуемая какими-нибудь попарно перестановочными р-подгруппами по одному и тому же простому р, является р-группой.
Доказательство. Нетрудно убедиться, что для доказательства леммы 2.11 достаточно доказать справедливость следующего утверждения (Н. С. Черников [12], следствие 5). ■
Группа G матриц над полем, факторизуемая двумя р-под- группами Л и 6, является р-группой.
Докажем это утверждение. По теореме Шура, приведенной в настоящем параграфе, подгруппы А к В локально конечны 8* 115
й вместе с тем локально нильпотентны. Поэтому ввиду предложения 2.1 G периодическая и если G=# 1, то л (G) = = л (Л) ил (6) = ^pY Следовательно, G — /2-группа.
Доказательство теоремы 2.9. Докажем утверждение 1.
Покажем сначала, что группа G локально конечна и почти разрешима. Рассмотрим случай, когда группа G содержит хотя бы один элемент порядка р, равного характеристике соответствующего поля. Тогда по условию группа G разложима в произведение некоторой /2-подгруппы и некоторой //-подгруппы и, значит, локально конечна и почти разрешима ввиду леммы 2.10. Рассмотрим случай, когда группа G не содержит элементов порядка, равного характеристике соответствующего поля. По условию группа G для подходящего р разложима в произведение некоторой /7-подгруппы А и некоторой //-подгруппы В. Ввиду теоремы Шура, приведенной в настоящем параграфе, подгруппы А и В локально конечны. Поэтому в силу предложения 2.2 группа G локально конечна и, значит, снова ввиду теоремы Шура почти абелева.
Итак, группа G локально конечна и почти разрешима. Пусть N — какая-нибудь инвариантная разрешимая подгруппа конечного индекса группы G. Рассмотрим фактор-группу G/N. Группа G для каждого р С л (G) обладает факторизацией с /2-множителем и //-множителем. Поэтому и фактор-группа G/N для каждого р £ л (G) обладает такой факторизацией. Отсюда с учетом очевидного соотношения л (G/N) с л (G) следует, что фактор-группа G/N для каждого р обладает холловой //-подгруппой. Поэтому в силу утверждения 1 теоремы 2.5 она разрешима. Следовательно, и группа G разрешима.
Докажем утверждение 2. Определим подгруппы А и В группы G следующим образом. Если поле, над которым задана группа G, имеет ненулевую характеристику р и при этом среди множителей соответствующего разложения группы G есть /2-группа, то А — подгруппа, порожденная всеми /2-множителями. В противном случае Л = 1. Далее, если среди множителей соответствующего разложения группы G есть множители, не принадлежащие подгруппе Л, то В — подгруппа, порожденная всеми такими множителями. В противном случае В = 1. Очевидно, G = АВ. В силу леммы 2.11 А — примарная л-группа, а в силу предложения 2.2 В — локально конечная л-группа, не содержащая элементов порядка, равного характеристике соответствующего поля. Легко видеть, что л (Л) П л (В) = 0. Следовательно, ввиду леммы 2.10 G — локально конечная почти разрешимая л-группа.
Пусть N — какая-нибудь инвариантная разрешимая подгруппа конечного индекса группы G. Рассмотрим фактор-груп- 116
ny G/N. Она, как и группа G, разложима в произведение попарно перестановочных примарных подгрупп. Поэтому ввиду утверждения 2 теоремы 2.5 фактор-группа G/N разрешима. Следовательно, и группа G разрешима.
Теорема доказана.
Примечание к теореме 2.9. Из утверждения 2 теоремы 2.9 вытекает следующее утверждение.
Пусть G — группа матриц над полем и {Gp} — система ее /2-подгрупп по одной для каждого р. Пусть подгруппы Gp попарно перестановочны и порождают G. Тогда система {Gp} является полной силовской базой группы G. .
Действительно, для системы {Gp} выполняются условия «Ь и «2» из определения 2.1 и в силу утверждения 2 теоремы 2.9 — условие «3» из этого определения. Покажем, что подгруппа Gp при любом р является силовской /2-подгруппой группы G. Обозначим через Gp, подгруппу ((jGg). Тогда Gp,— р'-под- группа группы G и G — GPGP'. Пусть Р— какая-нибудь содержащая Gp силовская р-подгруппа группы G. По лемме 1.8 P=Gp (Pf|GP'\ Подгруппа P?\GP'—единичная, будучи одновременно р- и р'-группой. Поэтому Р = Gp, и, значит, Gp— силовская р-подгруппа группы G.
Определение 2.4 (Гардинер, Хартли, Т о м - к и н с о н [1]). Назовем М-группой локально конечную группу, обладающую конечным инвариантным рядом с локально нильпотентными факторами, в каждой подгруппе которой сопряжены все силовские. п-подгруппы для любого непустого множества л простых чисел.
Ниже U — класс П-групп.
Класс U достаточно широк. Ввиду утверждения 2 теоремы 2.4 конечные разрешимые группы входят в класс U. По теореме Платонова [1] в периодической группе G матриц над полем силовские р-подгруппы сопряжены для любого простого р, а если к тому же группа G разрешима, то в ней сопряжены силовские л-подгруппы для любого непустого множества л простых чисел. Поэтому периодические разрешимые группы матриц над полем принадлежат классу U. Отмеченная теорема Платонова переносится на фактор-группы периодических групп матриц над полем (Верфриц [1], см. еще Верфриц [2], следствия 9.14 и 9.22). Следовательно, классу U принадлежат и все разрешимые фактор-группы периодических групп матриц над полем.
U-группы изучались в ряде работ Хартли и Хартли с соавторами, где установлены многие важные их свойства (см. Гардинер, Хартли, Томкинсон [1], Хартли [1,2, 4—6], Грэд- ден, Хартли [11). Как показал Хартли l41 (см. в [4] теорему Е
и замечание после ее формулировки), локально конечная группа принадлежит классу U тогда и только тогда, когда в произвольной ее подгруппе силовские л-подгруппы сопряжены для любого непустого множества л простых чисел. Строение фактор-группы U-группы по ее максимальной инвариантной локально нильпотентной подгруппе описано Хартли [6].
В настоящем параграфе приведем с доказательством следующую важную теорему.
Теорема 2.10 (Гардинер, Хартли, Томкинс о н [1], X а р т л и [1]). ll-группа G обладает полными си- ловскими базами, все они сопряжены в ней и любая полная силовская база произвольной ее подгруппы продолжается до полной силовской базы всей группы G.
Примечание. Существование и сопряженность полных си- ловских баз в U-группе установлено Гардинером, Хартли, Томкинсоном в их работе [1] (см. там теорему 2.10). Свойство продолжаемости полной силовской базы с подгруппы на всю группу установлено Хартли в его работе [1] (см. там лемму 2.1).
Доказательству теоремы 2.10 предпошлем леммы 2.12— 2.23.
Лемма 2.12 (Н. С. Черников [18]). Пусть л — непустое множество простых чисел; G — группа, факторизуемая подгруппами А и В, где А — я-группа, а В такова, что л П л (В) = 0. Тогда А является силовской ^-подгруппой группы G.
Доказательство. Пусть Р — силовская л-под- группа группы G, содержащая подгруппу А. По лемме 1.8 Р = А (Р П В). Так как л Л л (В) = 0, то подгруппа Р f] П В группы В, будучи л-группой, равна единице. Следовательно, Р = А, т. е. А — силовская л-подгруппа группы G.
Лемма доказана.
Следующее утверждение хорошо известно.
Лемма 2.13. Пусть G — группа, факторизуемая двумя периодическими подгруппами А и В, которые не содержат отличных от единицы элементов одинаковых порядков, и N — инвариантная подгруппа группы G. Тогда N = (A(\N) (Bf\N).
Доказательство. Ввиду леммы 1.9
AN П BN = (Д П BN) (В fl AN). (3)
Рассмотрим фактор-группу (AN f) BN)/N. Очевидно, (ДАТА П BN)/N = (ANIN) ft ( BNIN) и ввиду периодичности подгрупп А и В л (ANIN) е л (Д) и л (BN/N) е л (В). Следовательно, л ((AN П BN)IN) =л ((ANIN) A (BNIN)) с л (ANIN) A n(BNIN)S
С л (Л) Пл (В) =0 и, значит, (Л N/N) П (BN/N) = N/N. Поэтому с учетом соотношения (3) N = (Л П BN) (В Q AN) = = ((Л n BN) Л N) ((В л AN) n N) = (Л f) N) (B(]N).
Лемма доказана.
Лемма 2.14. Пусть G—группа, {Gp}— некоторые ее р- подгруппы по одной для каждого простого р; л—произвольное непустое множество простых чисел, Gn=([jGp), и N— про-
Р^
извольная инвариантная подгруппа группы G. Тогда если для системы {Gp} выполняются условия «1» — «3» из определения 2.1, то справедливы следующие утверждения.
Группы G^ G^N/N и Gn ft N являются силовскими я- подгруппами соответственно групп G, G/N и N.
Системы {Gp}, {GPAW} и {Gpn^} являются полными силовскими базами соответственно групп G, G/N и N.
Доказательство. Пусть для системы {Gp} выполняются все условия из определения 2.1.
Докажем утверждение 1. Если л совпадает с множеством всех простых чисел, утверждение 1 не нуждается в доказательстве. Пусть не все простые числа принадлежат л. Обозначим через G^ подгруппу ( [J Gp\ Нетрудно убедиться, что
Р^п'
G^G^^. Поэтому ввиду леммы 2.12 Сл— силовская л-под- группа группы G. Далее, очевидно, G/N = (G^N/N) (G^N/N) и GnN/N, G^N/N— соответственно л-и л'-подгруппы факторгруппы GIN. Поэтому ввиду леммы 2.12 GnN/N — силовская л-подгруппа фактор-группы GIN. Наконец, в силу леммы 2.13 Af = (0л ПN) (G^ П Ny Поэтому снова ввиду леммы 2.12 Сл П Г)^— силовская л-подгруппа. Утверждение 1 доказано.
Докажем утверждение 2. Ввиду утверждения 1 настоящей леммы при каждом р группа Gp является силовской р-под- группой группы G. Поэтому система {Gp} — полная силовская база группы G. Точно так же ввиду утверждения 1 при каждом р группа GPNIN является силовской р-подгруппой фактор-группы GIN. Так как, очевидно, для системы {Gp^/^} выполняются условия «1» — «3» из определения 2.1, то система ^GpNIN^ — полная силовская база фактор-группы GIN.
Покажем, что система {Gp П ^} является полной силовской базой подгруппы N. Ввиду утверждения 1 настоящей леммы при каждом р Gp П N — силовская р-подгруппа группы N. Далее, в силу леммы 2.13 для любых р и q GpGqftN = = (GP П Af) (Gq П А/). Поэтому подгруппы Gp ft N и GqftN перестановочны. Следовательно, для системы {Gp ПА^} выполняется условие «2» из определения 2.1. Очевидно, для этой системы выполняется также условие «3» из этого же определения. Остается показать, что для нее выполняется и условие «1»
из определения 2.1, т. е. что ?V = <[J(GpnN^.
р
Пусть {Pf | Z = 1,2,...} —полная силовская база {Gp}, члены которой занумерованы натуральными числами Пусть для некоторого k ( [J Р1)П#=( (J (Р^А^). Покажем, что i=lкt=iк
( (J Р^ n Н = ( (J (Р, Q jV)). Обозначим через Н и К i=\Н1f=lЖ
соответственно подгруппы ( (J Л) И ( U Л)- Тогда Н=
<=16+1<=1к
= КРк^ъ подгруппы К и Р*+! периодические и л(/()П Пл(Рл+1) = 0. Поэтому ввиду леммы 2.13 Н П N = (К П W) (Р*+1 (1 N). Следовательно, ( (J Л>(1^=« [J Рг> П
i=ifc+i;=iк
Л А0Ф#н-1 0 АО = (< и (^ П АО» №+1 П АО и, значит, 1'=1к
< ир<>п^ = ( и (лпж
<=i6+1<=i6+1
Итак, при произвольном п ( U^n^=( U (^П^))- 1=1п1=1п
Поэтому имеем
N = GRN= U « U Pt)nN)= U ( U (ЛПЛ/)) = л=1,2,... i=lпп=\,2,... 1=1... .,п
= < и (^fW-clMfW
1=1,2, ..р
Утверждение 2 доказано.
Лемма доказана.
Лемма 2.15 (Гардинер, Хартли, Томкинсон [1]). Пусть G— Х1-группа, N — инвариантная подгруппа группы G, л — непустое множество простых чисел, Зл — произвольная силовская п-подгруппа группы G. Тогда справедливы следующие утверждения.
Пересечение 8Л f) N является силовской п-подгруппой группы N.
Подгруппа S^N/N фактор-группы G/N является силовской п-подгруппой последней. Каждая силовская п-под- группа фактор-группы G/N является образом в ней подходящей силовской п-подгруппы группы G.
Если л не совпадает с множеством всех простых чисел, то для любой силовской п'-подгруппы 8Л, группы G SnS^ = G.
Доказательство. Докажем сначала утверждение 1. Действительно, если в некоторой группе все силовские
л-подгруппы сопряжены, то пересечение любой ее силовской л-подгруппы с произвольной ее инвариантной подгруппой является силовской л-подгруппой в последней (см., например, Курош [1], с. 345). Поэтому утверждение 1 справедливо ввиду того, что G — U-rpynna.
Перейдем к утверждениям 2 и 3. Если G = 1, то они не нуждаются в доказательстве. Будем считать далее, что G ^ 1. Пусть
Go = Ic^c.-cG^G (4)
— конечный инвариантный ряд группы G с локально нильпотентными факторами.
Докажем утверждение 2. Рассмотрим сначала случай, когда фактор-группа GIN является л-группой. Индукцией по длине ряда (4) покажем, что G = S^N. Если л = 1, то это, очевидно, так. Пусть л> 1. Группа Gn-i/(Gn_i А У), изоморфная группе Gn-iN/N, является л-группой. Далее, ввиду утверждения 1 настоящей леммы пересечение Зл A Gn-i — силовская л-подгруппа группы Gn-i. Следовательно, согласно индуктивному предположению Gn-i = (Зл A G«_i) фп-i Л АО и, значит, SлN з Gn_ i.
Допустим, что S^N^G. Тогда, очевидно, найдется элемент g порядка рк с р^л, не принадлежащий S^N. Пусть L — любая максимальная среди подгрупп группы G, содержащих подгруппу S^N, но не содержащих элемент g; М — подгруппа, порожденная L и элементом g. Очевидно, L — максимальная подгруппа группы М. По теореме Д. Маклейна [1] (см., например, Каргаполов, Мерзляков [1], теорема 18.1.3): максимальная подгруппа локально нильпотентной группы инвариантна в ней. Поэтому ввиду локальной нильпотентности группы M!Gn-\ подгруппа L инвариантна в М. Так как силовские л-подгруппы группы М сопряжены в ней, то элемент g сопряжен в М с некоторым элементом подгруппы Sn^Ly Поэтому ввиду того, что подгруппа L инвариантна в Л4, элемент g содержится в L. Последнее невозможно. Полученное противоречие показывает, что G = S^N.
Таким образом, в рассматриваемом случае утверждение 2, очевидно, справедливо.
Перейдем теперь к общему случаю. Пусть HIN — какая- нибудь силовская л-подгруппа группы GIN. Тогда согласно доказанному выше Н = H^N для некоторой силовской л-подгруппы Ня группы Н. Нетрудно видеть, что Ня — силовская л-подгруппа группы G. Таким образом, произвольная силовская л-подгруппа фактор-группы G/N является образом в ней подходящей силовской л-подгруппы группы G. Используя это и учитывая сопряженность в G ее силовских л-подгрупп, не-
трудно убедиться, что S^N/N—силовская л-подгруппа фактор-группы G/N.
Доказательство утверждения 3 проведем индукцией по длине ряда (4). Пусть л не совпадает с множеством всех простых чисел. Если n = 1, то утверждение 3 с очевидностью справедливо. Пусть п > 1. Ввиду утверждения 1 настоящей леммы подгруппы S^AGn-i и 5л'ПСл_! являются силовскими соответственно л- и л'-подгруппами группы Gn_x. Следовательно, согласно индуктивному предположению
Gn-1 — (Sn A Gn—i) (5Л' A Gn-1)
и, значит, Gn-\ ^ 8^8^. Далее, ввиду утверждения 2 настоящей леммы в фактор-группе G,Gn-\ подгруппы S^Gn-i/Gn_x и S^Gn-xIGn-x являются силовскими соответственно л- и л'- подгруппами. Поэтому с учетом локальной нильпотентности фактор-группы G!Gn_x очевидно, что GIGn-\ = ^0п-\10п-^ (8^Gn_xlGn-x)^ Поэтому, G = S^Gn-xS^. Следовательно,
G = 5д0/1—15Л' = 5Л (Sn A Gn—i) (8^ A Gn—i) 8^ = 8^8^.
Утверждение 3 доказано.
Лемма доказана.
Следствие 2.5 (Гардинер, Хартли, Томкинс о н [1]). Класс U замкнут относительно фактор-групп.
Лемма 2.16 (Гардинер, Хартли, Томкинс о н [1]). Пусть G — М-группа, п и о — непустые множества простых чисел, пересечение которых пусто, Р и S — соответственно л- и c-подгруппы группы G. Тогда следующие условия равносильны*.
подгруппа (Р U S) является л у о-группой и Р и S — ее силовские соответственно л- и о-подгруппы;
подгруппы Р и S перестановочны.
Доказательство. Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что G = (P|JS). Пусть выполняется условие «1». Тогда, очевидно, S — силовская л'-подгруппа группы G и, значит, ввиду утверждения 3 леммы 2.15 G = = PS = SP.
Пусть выполняется условие «2». Используя лемму 2.12, нетрудно убедиться в том, что S — силовская а- и л'-подгруппа группы G. Так как G — U-группа, то произвольный ее л'-элемент (т. е. элемент, все простые делители порядка которого принадлежат л') сопряжен в ней с подходящим элементом подгруппы S и, значит, является о-элементом. Поскольку каждый элемент группы G является произведением л-элемента и перестановочного с ним л'-элемента, то отсюда следует, что каждый элемент группы G является л (J а-эле- ментом. Следовательно, G — ли a-группа. Р — силовская л-подгруппа группы G ввиду леммы 2.12»
Таким образом, условие «1» выполняется.
Лемма доказана.
В процессе доказательства леммы 2.16 установлено следующее предложение.
Лемма 2.17. Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В, где А — л-, а В — л'-подгруппа группы G. Если в G все силовские к-подгруппы или все силовские л'-подгруппы сопряжены, то л (G) = л (Л) J л (В).
Лемма 2.18 (Гардинер, Хартли, Томкинсон [1]). Пусть G— Vl-группа и {Gp}— некоторая система ее силовских p-под групп по одной для каждого р. Тогда если для системы {Gp} выполняются условие «1» из определения 2.1 и хотя бы одно из условий «2» и «3» из этого определения, то система {Gp} является полной силовской базой группы G.
Доказательство.
1 . Пусть для системы {Gp} выполняются условия «1» и «3» из определения 2.1. Рассмотрим произвольную подгруппу (GpU^g)- Ввиду условия «3» из определения 2.1 (GpjGg)— — VP» 9}-группа. Поэтому по лемме 2.16 подгруппы Р и Q перестановочны. Следовательно, для системы (6Р) выполняется условие «2» из определения 2.1 и, значит, она является полной силовской базой группы G.
2°. Пусть для системы {Gp} выполняются условия «Ь и «2» из определения 2.1. Покажем, что для нес выполняется условие «3» из этого определения. Очевидно, достаточно показать, что для произвольного конечного множества л простых чисел подгруппа Н = (|J Gp) является л-группой. Про
рыл
ведем индукцию по |л|. Если |л|= 1, то ясно, что Н— л-группа. Пусть |л|> 1 и Gp — подгруппа с р из л. Обозначим через а множество л\{р}. Согласно индуктивному предположению подгруппа S=({J Gp) является a-группой. Далее,
р со
как легко видеть, H = GPS=^SGP. Поэтому ввиду леммы 2.16 подгруппа Н— a J {/?}(== л)-группа. Итак, условие «3» выполняется и, значит, система {Gp} является полной силовской базой группы G.
Лемма доказана.
Лемма 2.19 (Гардинер, Хартли, Томкинсон [1]). Пусть G — группа, N — ее инвариантная подгруппа, Р — п-подгруппа группы G для некоторого непустого множества л простых чисел. Если P(\N является силовской ^-подгруппой группы N и PN/N — силовской п-подгруппой группы GIN, то Р является силовской п-подгруппой группы G.
Доказательство. Пусть Сл— содержащая Р силовс- кая л-подгруппа группы G. Тогда PQ N = ОЛП N и PN = 123
= Gя^. Поэтому Сл = Р ^N П Сл) = Р W Я ^) = Р. т. е. Р — силовская л-подгруппа группы G.
Лемма доказана.
Лемма 2.20 (Гардинер, Хартли, Томкинсон [1]). Пусть G — М-группа*, Н и К — подгруппы группы G, причем К ^ Ng (Н); S — л-подгруппа группы G для некоторого непустого множества л простых чисел, такая, что пересечения S^\H и S(\K являются силовскими л-подгруппами соответственно групп Н и К. Тогда подгруппа S[\HK является силовской л-подгруппой группы НК и выполняется соотношение
SV\HK = kS^HHSV\KY
Доказательство. Очевидно, подгруппа 5П^ нормализует подгруппу S П Н. Поэтому произведение (S П Н) (S П К) является л-подгруппой группы НК. Положим Т = (S П Н) (S(]K). Так как подгруппы Sf\H и S П/С являются силовскими л-подгруппами соответственно групп Н и К, а пересечения Т п Н и Т п К — л-подгруппами соответственно групп Н ^КлТПНэЗПН, T^KsS^K, то TftH - SftH и Т П К= S П К. Поэтому Т П Н я Т(\ К — силовские л-подгруп- пы соответственно групп Н и К.
Покажем, что THIH— силовская л-подгруппа группы КН! Н. Так как подгруппа Т П К является силовской л-подгруппой группы К, то ввиду утверждения 2 леммы 2.15 (Г f\K)(Kh Н)/(К (АН) — силовская л-подгруппа группы/С/(/< П П#). Поэтому при естественном изоморфизме группы К ЦК П П //) на группу КН1Н подгруппа (Т Г) К) (К П ЩЦК П Н) группы КЦК П Н) переходит в силовскую л-подгруппу (Г П К)Н/Н группы КН/Н. Поскольку THIH л-группа и THIH ^ (Tf) К) HI Ш, то THIH является силовской л-подгруппой группы KHIH. Следовательно, ввиду леммы 2.19 подгруппа Т — силовская л-подгруппа группы НК. Так как S П НК — л-группа и, очевидно, S П НК Т, то отсюда вытекает, что S f] НК = Т = = (8()Н)^ПК\
Лемма доказана.
Лемма 2.21 (Гардинер, Хартли, Томкинсон [1]). Пусть G — U-группа, обладающая полными силовскими базами*, Н и К-подгруппы группы G, причем К г Ng(H). Пусть для некоторой полной силовской базы {Gp} группы G системы {Gp П Щ и ^GP П К^ являются полными силовскими базами групп Н иК. Тогда система ^ОР(\НК^ является полной силовской базой подгруппы НК-
Доказательство. Действительно, при каждом р подгруппа Gp П НК является силовской /?-подгруппой группы НК ввиду леммы 2.20. Далее, легко видеть, что для системы {Gp П^^С} выполняются условия «1» и «3» из определения 2.1, 124
Поэтому по лемме 2.18 система ^3Р(\НК^ является полной силовской базой подгруппы НК.
Лемма доказана.
Следующая лемма — основная при установлении существования и сопряженности полных силовских баз в U-группах.
Лемма 2,22 (Гардинер, Хартли, Томкинсон [1]). Пусть M-группа G обладает полными силовскими базами {Sp} и {Гр}, такими, что для некоторой инвариантной локально нильпотентной подгруппы N группы G при каждом р NSP = NTP. Тогда существует конечное множество л простых чисел, такое, что для каждого р подгруппа (SpU^p) является л J ^ру группой;
Доказательство. Для произвольного р обозначим через а (р) множество л (<SP U Гр)) U {р} •
Покажем сначала, что множество а^р) конечно. Так как NSP = NTP и в группе NSP силовские /?-подгруппы сопряжены, то, очевидно, Sp = Тр для некоторого элемента g^N. При подходящем конечном множестве т простых чисел элемент g содержится в силовской т-подгруппе NT группы N. Очевидно, Tp^NTSp и, значит, (Sp U^V ^ NTSP. Поэтому
о (р) = л «Sp и Тр)) U {/?}<= л (NTSp) и ^ =
= л (Л^г) U л (Зр) U {р} = т U {р}
и, следовательно, множество о^ конечно.
Далее рассуждаем от противного. Пусть не существует требуемого множества л. При этом предположении построим два непересекающихся бесконечных множества ^рг\ i = 1, 2,...} и Wi | i = 1,2,...} попарно различных простых чисел, таких, что для каждого I подгруппа (SPi\}Tp?) содержит элемент порядка qt. Очевидно, существует простое число pv такое, что подгруппа (5Р1иГР1) не является ^-группой. Возьмем какое-нибудь отличное от рх число ^ Е л ((SP1U Тр^\ Пусть для некоторого к уже построены непересекающиеся множества ^ | i = 1,..., 6} и ^qt | i = 1, ..., £} попарно различных простых чисел, такие, что для каждого i к подгруппа (Sp. (jrp.) содержит элемент порядка qv Найдем подходящие простые числа рА+1 и qk_^v Рассмотрим множество а = [J (о^р^уо (qt)\ Оно конечно. Поэтому из предполо-
ик
жения о несуществовании соответствующего конечного множества л следует, что для некоторого простого числа рк^х группа (SPw (J ТРк^) обладает элементом простого порядка qk^v не принадлежащего множеству (ТЩ/?^}. Нетрудно
убедиться, что множества {р^/?2, ••• »^+J и {?i»?2> ••• >%+J не пересекаются и состоят из попарно различных простых чисел.
Обозначим через v множество VPi I ^ = h 2,...}, и через Sv и Tv соответственно подгруппы ([J Sp) и (Ц^р)* Ввиду p^vре»
утверждения 1 леммы 2.14 Sv и Tv-—силовские v-подгруппы группы G. Для каждого i подгруппа (Sv|JTv) содержит элемент порядка qv Поэтому множество л((Sv U^v»^ бесконечно. Так как, очевидно, NS^ = NT^ и подгруппы Sv и Tv являются силовскими v-подгруппами (U-) группы NSVl то Sv "Tv для некоторого элемента h^N. При подходящем конечном множестве 9 простых чисел элемент h содержится в силовской 9-подгруппе N^ группы N. Тогда (SVUTV)^ с N^Sv Следовательно, л ((Sv U ^v))\v ^ л (^Sv)\v s (9 J U v)\v с О, ЧТо невозможно ввиду конечности множества 9. Полученное противоречие доказывает справедливость леммы.
Лемма 2.23 (Гардинер, Хартли, Томкин- сон [1]). В 11-группе, обладающей полными силовскими базами, любые две полные силовские базы сопряжены.
Доказательство. Пусть G 1 —U-группа, обладающая полными силовскими базами; (Sp) и {Тр}— какие-нибудь две из них. Покажем, что они сопряжены в G. Напомним, что фактор-группа U-группы также является И-группой (см. следствие 2.5) и что при переходе к фактор-группе полная силовская база группы переходит в полную силовскую базу фактор-группы (см. утверждение 2 леммы 2.14). С учетом этого индукция по длине конечного инвариантного ряда с локально нильпотентными факторами группы G позволяет свести доказательство к случаю, когда для некоторой инвариантной локально нильпотентной подгруппы N группы G полные силовские базы {SpN/N) и ^TpN/N) фактор-группы G/N сопряжены в ней. Этим случаем мы и займемся.
Очевидно, сопряженность в G полных силовских баз {Sp} и {Гр} достаточно установить в предположении, что NSP = = NTP для каждого р. Пусть л — множество простых чисел, удовлетворяющее заключению леммы 2.22. Для произвольного р обозначим через Np силовскую /7-подгруппу группы N. Пусть Nn — силовская л-подгруппа группы N. Нетрудно убедиться, что
N^Sp = NnTp при каждом р.(5)
Действительно, используя лемму 1.8 и учитывая, что выполняются соотношения Np ^ Sp, Np ^ Тр, NSP = NTр =
= N (SpU^p) и л «SpU'Tp» = л U {P}, получаем
NnSp S Nn (Sp U Tp) = (Nn (Sp U Tp) П M) Sp s
= (NnNp) Sp = NnSp,
NitTp s Nn (SpU Tp} = (Nn(Sp UTp) f\ N)TP s=
s(NnNp)Tp = NnTp.
Таким образом,
NaSp = Nn (Sp U Tp) = NnTp.
Для произвольного p обозначим через Sp- подгруппу, порожденную всеми подгруппами Sq с q^p, и через Тр- подгруппу, порожденную всеми подгруппами Tq с q^ Р- Ввиду утверждения 1 леммы 2.14 Sp- и Тр—силовские р'-подгруппы группы G. Так как N=NP(( N^ и при каждом q^p
ч^р
NqeSqcSp-, NqcTqsTp- и NSq = NTq, то, очевидно, при каждом р NpSp- = NSP- = NTP- — NPTP-.
Пусть л = {рг 11 = 1,..., ку Можно считать, что fe> 1. Так как N S - = N Т - и S -, Т - — силовские р'-подгруп- < Р. Р[ Р.Р{ Р.V
пы группы Np.Sp-, то для некоторого элемента gt^Np
Sg(^T-, i = l,2к.№\
Положим g = gt...gh. Заметим, что g^Nn. Поскольку при / ^= i элемент g} принадлежит каждой силовской р'-под- группе группы G и выполняются соотношения (6), то, очевидно,
s^rTgi , = 1’2’-’^(?)
Обозначим через 5Я и 7Я соответственно подгруппы ([J Sp) и
Рбл
(U^p)- Используя соотношения (5), убеждаемся, что
Р€л 5л = Т„.(8)
Легко видеть, что
s,-s.n(ns,j. ТР( = Т„П(ЛЛ'У ! = 1.2‘- (9)
Учитывая, что g £ 5Л, и используя соотношения (7) — (9), получаем
Ч, - « п (п $9 - ^ П (П Т.) - т„ П (п ь) - Tv№1*11*1 1
1= 1,2,...,6.
Далее, если р$л, то, как легко видеть, s,=A-„s,n( п М' Т—МТ„Ц П ТЛ. (10) £=1,...,й11=1к '
При р$л, учитывая, что g^Nn,, и используя соотношения (10), (7) и (5), получаем
SJ = №„з,)‘ П ( п sy = П ( п г»:) -t=lкt=lк 1
- "Л л ( п т4 - т-i=lк
Итак, полная силовская база {Sp} сопряжена с помощью элемента g с полной силовской базой {Тр}.
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 2.10. В случае, когда G = 1, теорема не нуждается в доказательстве.
Пусть G^ 1. Ввиду леммы 2.23 для доказательства теоремы нужно показать, что группа G обладает хотя бы одной полной силовской базой и что всякая полная силовская база любой ее подгруппы продолжается до полной силовской базы всей группы G.
Г. Покажем, что группа G обладает хотя бы одной полной силовской базой. Индукция по длине конечного инвариантного ряда с локально нильпотентными факторами группы G позволяет свести доказательство к случаю, когда некоторая инвариантная подгруппа Н группы G, фактор-группа по которой локально нильпотентна, обладает полной силовской базой.
Пусть pv р^ ... — все простые числа, расположенные в порядке возрастания. Положим Но = Н и определим Hi+JHt как силовскую pw-подгруппу группы G!Hb / = 0, 1, 2,.... Тогда при каждом i = 0,1,2,... подгруппа Щ инвариантна в G, Ht г Hw и G = (J Hie Пусть {//о,Р} — какая-нибудь
f=0, 1,..
полная силовская база группы Но. Пусть для некоторого i уже определены полные силовские базы ^Но.рУ ••• ДН^ соответственно групп Н0) ..., Нь такие, что
Hi.p (]Hj = Hj,p при каждом р для любого / ^ I. Построим полную силовскую базу ^Н^х.р^ группы Н^ такую, что
Hw,p (]Hi=- Н(,р при каждом р.
Для произвольного элемента ^Е/Л+ь очевидно, МДкр^— полная силовская база подгруппы Ht. Согласно лемме 2.23 полная силовская база ^Нир^ сопряжена в группе Ht с пол-
ной силовской базой {Hi.pY Следовательно, для некоторого элемента h € Ht Н^Р = Ht,p при каждом р и, значит, gh € Е р| Nhw Щ{,р). Поэтому ввиду произвольности g для под- р
групп Hw и ^+i = Q Nhw (Hi,p) выполняется соотношение р
H^x-N^.(11)
Пусть Sp,+i — произвольная силовская pw -подгруппа группы М'+i- Так как фактор-группа Нц_х1Нг является pw- группой, то, очевидно (если учесть соотношение (11)), и фак
тор-группа AV-h/GVV+i П HJ является pw-группой. Поэтому в силу утверждения 2 леммы 2.15 M-^i = Spw (Mh-i П Hi) и, значит, с учетом соотношения (11)
Hw = Sp^.(12)
Положим Hw,p^Ht,p при Р^Р^ и Hw,pw = SpwHi,Pw. Так как Hw!Ht — pw-группа, то, очевидно, при p^Pw подгруппа Н^х,р—силовская /7-подгруппа группы Н^х. Так как подгруппа Sp.+1 нормализует подгруппу HitPw, то произведение HW1pw является р.+1 -подгруппой. С учетом соотношения (12) она в силу леммы 2.19 является силовской /?.+1-подгруппой группы Hw- Далее, ввиду того, что подгруппа S^+1 нормализует каждую подгруппу HtiP, подгруппы Hw,p попарно перестановочны. Наконец, учитывая соотношение (12), можно утверждать, что подгруппы Н^р порождают подгруппу Н^х.
Итак, для системы {//1+1>р} выполняются условия «1» и «2» из определения 2.1. Поэтому она является полной силовской базой подгруппы Н^х (см. лемму 2.18). Очевидно, Н1_^х»РГ\Н1 = Н11Р при каждом р. Положим GP = [J HilP.
И,2,...
Легко видеть, что система {Gp} является полной силовской базой группы G.
2°. Покажем, что любая полная силовская база произвольной подгруппы группы G продолжается до полной силовской базы всей группы G. Нетрудно убедиться, что для этого достаточно доказать следующее утверждение.
Для произвольной истинной подгруппы Н группы G найдется содержащая ее и отличная от нее подгруппа F группы G, такая, что любая полная силовская база подгруппы Н продолжается до полной силовской базы группы F.
Докажем это утверждение. Пусть
Go= 1 аОгс1... aGn = G — инвариантный ряд с локально нильпотентными факторами группы G, и к — наименьший номер, для которого подгруппа Gk не содержится в Н. Пусть К^Ю^—х — силовская (/-подгруппа по некоторому простому q фактор-группы Gk!Gh-\, такая, что К не содержится в Н. Очевидно, подгруппа К инвариантна в G. Обозначим через F подгруппу НК-
Так как в Н все полные силовские базы сопряжены (см. лемму 2.23), то, очевидно, для доказательства настоящего утверждения достаточно показать, что хотя бы одна полная силовская база подгруппы Н продолжается до полной силовской базы группы F. Покажем это.
Пусть Fq — какая-нибудь силовская (/-подгруппа группы F, пересечение которой с подгруппой К является силовской (/-подгруппой в последней. В силу утверждения 2 леммы 2.15 К = G^_! (К Г) Fqy Поэтому
F = НК = HG^ (К QFq) = H ^ П Fq) и, значит,
F - HFq.(13)
Обозначим подгруппу Hf\Fq через Hq. Покажем, что Hq является силовской (/-подгруппой группы Н. Так как в F силовские (/-подгруппы сопряжены, то для содержащей Hq силовской (/-подгруппы Q группы Н найдется элемент f^F такой, что Qf ^Fq. С учетом соотношения (13) f = hg для некоторых элементов h^H и g^Fq. Тогда
Q^Ff'-Fq и, значит,
Q?* = Fq V\H = HqcQ.
Ввиду конечности порядка элемента h отсюда следует, что Qh = Q = Hq (см. лемму 1.5). Поэтому Hq — силовская (/-подгруппа группы Н.
Так как в группах F и Н силовские (/-подгруппы сопряжены и группы F и Н обладают полными силовскими базами (см. п. Г доказательства), то подгруппы Fq и Hq, очевидно, содержатся в некоторых полных силовских базах ^Fp) и ^Нр^ соответственно групп F и Н. Обозначим через Fq- и Hq' соответственно подгруппы ((J Fp) и ({J Нр\ Ввиду ут-
P^qp^q
верждения 1 леммы 2.14 Fq- и Hq- являются силовскими (/'-подгруппами соответственно групп F и Н.
Покажем, что Hq- является силовской /-подгруппой группы F Очевидно, Н = Hq'Hq. Поэтому ввиду соотношения (13) F = — Hq'Fq. С учетом этого равенства из леммы 2.12 вытекает, что Hq' — силовская /-подгруппа группы F.
Так как Fq'и Hq' —силовские /-подгруппы группы F, то для некоторого элемента u^F F^ = Н^. Очевидно, {Т7"}— полная силовская база группы F.
Положим Hq = Н fl Fq И При P^q Нр= Fp.
Покажем, что система ^Нр^ — полная силовская база группы Н. Очевидно, при каждом p=^q подгруппа Н*р— силовская /7-подгруппа группы Н, и для системы {//р} выполняется условие «3» из определения 2.1. Покажем, что, во-первых, подгруппа H*q является силовской (/-подгруппой группы Н и, во-вторых, Н = ([J H*PY Так как, очевидно,
р
F = FUqFUq^ = FUqHq4
то ввиду леммы 1.8
. Н = (Н П F^Hq^H*qHq.
С учетом этого соотношения из леммы 2.12 вытекает, что Hq — силовская (/-подгруппа группы Н. Далее,
н, = ^ = (U ^ = (U //?).
P^qP^q
Следовательно,
н = н; (U Нр) = (U н>
P^qР
Таким образом, для системы (Н*р) силовских /7-подгрупп группы Н, взятых по одной для каждого /7, выполняются условия «1» и «3» из определения 2.1. Поэтому по лемме 2.18 эта система является полной силовской базой подгруппы Н. Полная силовская база ^Fp^ группы F является продолжением полной силовской базы {//р} подгруппы Н.
Теорема доказана.
Следствие 2.6. Любая полная силовская база произвольной подгруппы периодической разрешимой группы G матриц над полем продолжается до полной силовской базы всей группы G.
Следствие 2.6 непосредственно вытекает из теоремы 2.10, так как ввиду теоремы Платонова (приведенной сразу же пос
ле определения 2.4) периодическая разрешимая группа матриц над полем принадлежит классу 91.
Следствие 2.7 (Гардинер, Хартли, Томкин- со н [1]). Полная силовская база произвольной фактор-группы 91-группы G является образом в ней подходящей полной силовской базы группы G.
Следствие 2.7 нетрудно доказать, используя следствие 2.5, утверждение 2 леммы 2.14 и теорему 2.10.
В следующей теореме л — непустое множество простых чисел, отличное от множества всех простых чисел.
Теорема 2.11 (Платонов [1]). Пусть G — периодическая группа матриц над полем. Тогда справедливы следующие утверждения.
Если G разрешима, то любая силовская л'-подгруппа группы G дополняет в ней произвольную ее силовскую я-под- группу.
Если G #= 1 и для всякого р £ л (G) в группе G есть силовская р-подгруппа, обладающая холловым р'-дополнением, то группа G разрешима.
Доказательство. Действительно, если группа G разрешима, то она ввиду теоремы Платонова, принадлежит классу 91. Поэтому утверждение 1 доказываемой теоремы справедливо ввиду утверждения 3 леммы 2.15.
Справедливость утверждения 2 настоящей теоремы непосредственно вытекает из утверждения 1 теоремы 2.9.
Теорема 2.12 (Платонов (11).
Периодическая разрешимая группа G матриц над полем обладает полными силовскими базами*, любые две из них сопряжены в ней.
Если группа G матриц над полем обладает системой р-подгрупп по одной для каждого р, удовлетворяющей условиям «1» и «3» из определения 2.1, то она периодична и разрешима.
Доказательство. Утверждение 1 вытекает из теоремы 2.10, так как произвольная периодическая разрешимая группа матриц над полем является 91-группой.
Докажем утверждение 2. Пусть {Gp}—система подгрупп группы G, о которой идет речь в этом утверждении. Ввиду условия «3» из определения 2.1 группа G периодическая. Покажем, что она разрешима. Рассмотрим произвольную подгруппу (Gp (J Gq\ p^q- Ввиду условия «3» из определения 2.1 она является ^р, ^-группой, и по теореме Шура, приведенной перед доказательством предложения 2.2, локально конечна. По теореме Бернсайда (см., например, Хупперт [2], гл. V, предложение 7.3) конечная ^р, ^-группа разрешима. Из этой теоремы ввиду локальной конечности группы (Gp J
U Gq) вытекает локальная разрешимость последней. По теореме Цассенхауза (см., например, Супруненко [1], § 19, теорема 9) локально разрешимая группа матриц над полем разрешима. Следовательно, подгруппа (Gp J Cq) разрешима. Поэтому в силу утверждения 1 теоремы 2.11 (Gp U Gq') = GpGq = = GqGp. Итак, подгруппы Gp попарно перестановочны. Поэтому группа G разрешима ввиду утверждения 2 теоремы 2.9. Утверждение 2 доказано.
Теорема доказана.
Примечание. В процессе доказательства теоремы 2.12 установлено, что если для некоторой системы (Gp) силовских р-подгрупп по одной для каждого р группы G матриц над полем выполняются условия «1» и «3» из определения 2.1, то эта система является полной силовской базой группы G. С учетом этого факта и утверждения, приведенного в примечании к теореме 2.9, получаем следующее предложение.
Пусть G —группа матриц над полем, {Gp}— некоторая система ее силовских р-подгрупп по одной для каждого р. Если для системы {Gp} выполняется условие «1» из определения 2.1 и хотя бы одно из его условий — «2» и «3», то последняя является полной силовской базой группы G.
Теорема 2.13 (Платонов [1], Н. С. Черников [12]). Группа матриц над полем является локально конечной разрешимой группой тогда и только тогда, когда она разложима в произведение некоторых своих попарно перестановочных силовских р-подгрупп по разным р.
Теорема 2.13 непосредственно вытекает из утверждения 1 теоремы 2.12 и утверждения 2 теоремы 2.9.
Лемма 2.24 (Н. С. Черников [12]). Пусть G—группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В; я и о — непустые множества простых чисел, пересечение которых пусто; Ая, Ао и Вт Во — некоторые л- и о- подгруппы соответственно групп А и В. Пусть выполняются следующие условия:
А = АлАи и В — В^о >
подгруппы (Ал U Вл) и (Аа U Ва) являются соответственно л- и о- группами.
Тогда, во-первых, подгруппа Ал перестановочна с подгруппой Вп, подгруппа Ао — с подгруппой Во, во-вторых, произведения АпВп и AqBo являются силовскими соответственно л- и о-подгруппами группы G.
Доказательство. Очевидно, достаточно показать, что произведения АЛВЛ и АОВО — силовские соответственно л- и а-подгруппы группы G.
Допустим, что, например, произведение АЛВЛ не является силовской л-подгруппой группы G. Тогда ввиду условия «2» найдется не принадлежащий произведению АЛВЛ элемент g,
для которого (ЛяВяи(§)) — л-группа. В силу условия «1» элемент g представим в виде g = anaobabn, где ал € Лл, аа € Ла, ь^вп и ьо^во- Очевидно, «аЬ0= а-^Ь-Ч<АяВя\3(§)\ Поэтому аоЬо —- л-элемент. С другой стороны, aQbQ £ (Ла (J В^. и, значит, аоЬо — а-элемент (см. условие «2»), Так как л А А а = 0, то aQbo = 1. Поэтому g = а^ СЛлВл. Полученное противоречие доказывает справедливость леммы.
Лемма 2.25. Пусть G— группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В; К» L и М — непустые множества элементов соответственно групп G. А и В. Тогда если L^ Кх и М ^ Ки для некоторых элементов х и у группы G. то найдутся элементы z^G. а^А и Ь^В. такие, что La^Kz и Mb Kz.
Доказательство. Пусть у-1х = Ьа-1. где b 6 В и a£ А. Положим z = ха. Тогда La г Кха Кх и Мь г КуЬ = Кг.
Лемма доказана.
Следствие 2.8. Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В; л — непустое множество простых чисел. Если в G силовские л-подгруппы сопряжены, то для любых двух л-подгрупп Лл с Л и Вп ^ В найдутся элементы a £ А и Ь^В. такие, что подгруппа (ЛлАВл) будет л-группой.
Доказательство. Пусть Сл — силовская л-подгруппа группы G. Если в G все силовские л-подгруппы сопряжены, то Дл ^ Сл и Вл г Сл для некоторых элементов х и у группы G. Поэтому ввиду леммы 2.25 для некоторых элементов z^G. а^А и Ь^В группы G (ЛлUВл) ^сл. Тогда подгруппа (Лл U Вл) является л-группой.
Следствие доказано.
Следствие 2.9. Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами Л и В; л — непустое множество простых чисел. Если в G силовские л-подгруппы сопряжены, то любые инвариантные л-подгруппы групп А и В порождают в G л-под- Группу.
Следствие 2.9 непосредственно вытекает из следствия 2.8.
Следствие 2.10. Пусть G — группа, факторизуемая двумя л-подгруппами А и В. Если в G все силовские л-подгруппы сопряжены, то G являйся л-группой (или, что равносильно, л (G) = л (Л) U л (В)).
Очевидно, следствие 2.10 непосредственно вытекает из следствия 2.8.
Лемма 2.26. Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В; л и о — непустые множества простых чисел, пересечение которых пусто\ Лл, Ао и В^. BQ — неко-
торые л- и о-подгруппы соответственно групп А и В. Пусть А = АЛАО и В = ВЛВО. Тогда если в G силовские птодгруппы сопряжены и силовские о-подгруппы сопряжены, то для некоторых элементов а, а*^А и Ь, Ь*^В подгруппа Ал перестановочна с подгруппой Вл, подгруппа А^ перестановочна с подгруппой Во* и произведения АЛВЬЛ и А^В^ являются си* ловскими соответственно л- и о-подгруппами группы G.
Доказательство. Если в G силовские л- и а-подгруп- пы сопряжены, то ввиду следствия 2.8 для некоторых элементов а, а*^А и Ь, Ь*^В подгруппы (Л^и^л) и (Л^и^Г) являются соответственно л- и о-группами. В силу леммы 1.20
А = Л^Ло* и В = ВЬЛВЬ*.
Поэтому ввиду леммы 2.24 для подгрупп Ал,ВЬ„ И Да, В^ справедливо заключение настоящей леммы.
Следствие 2.11. Пусть л и а — непустые множества простых чисел, пересечение которых пусто; G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В, каждая из которых разлагается в прямое произведение л-подгруппы и о-подгруппы. Тогда если в G силовские л- и о-подгруппы сопряжены, то силовские л-(соответственно о-) подгруппы групп Л и В перестановочны и их произведение является силовской л-(соответ- ственно о-) подгруппой группы G.
Следствие 2.11 непосредственно вытекает из леммы 2.26.
Предложение 2.3 (Н. С. Черников [12]). Пусть G—Ус-группа (в частности, периодическая разрешимая группа матриц над полем), факторизуемая двумя подгруппами А и В; л — непустое множество простых чисел, Ал и Вл —некоторые силовские ^-подгруппы соответственно групп А и В. Тогда следующие условия равносильны*.
произведение АЛВЛ является силовской л-под группой группы G;
подгруппа (Лл U В^ является ^-группой*,
подгруппы Лл и Вл перестановочны.
Доказательство. Если выполняется условие «1» настоящего предложения, то автоматически выполняются и условия «2» и «3». Далее, если выполняется условие «3», то, поскольку в группе АЛВЛ силовские л-подгруппы сопряжены, она ввиду следствия 2.10 является л-группой. Следовательно, из условия «3» настоящего предложения вытекает условие «2».
Для доказательства предложения остается показать, что из условия «2» вытекает условие «1».
Пусть подгруппа (Лл J Вл) является л-группой. Если л совпадает с множеством всех простых чисел, то ввиду перио-
дичности группы G 4 = л и Вл = В и, значит, G = АА. Поэтому условие «1» выполняется.
Пусть л не совпадает с множеством всех простых чисел. Гак как в группе G силовские л'-подгруппы сопряжены, то ввиду следствия 2.8 для некоторых силовских л'-подгрупп ДЛ' и В^ соответственно групп Д и В подгруппа (Д^ U В^ является л'-группой. Ввиду утверждения 3 леммы 2.15 Д = = ДЛДЛ' и В = В^В^г. Поэтому согласно лемме 2.24 произведение А^В^ является силовской л-подгруппой группы G.
Итак, из условия «2» вытекает условие «1».
Предложение доказано.
Предложение 2.4 (Н. С. Черников [12]). Пусть G — — ^-группа (в частности, периодическая разрешимая группа матриц над полем), факторизуемая двумя подгруппами А и В; л — непустое множество простых чисел, S и Р — какие-нибудь силовские л-подгруппы соответственно групп А и В. Тогда найдутся элементы а £ А и b £ В, такие, что подгруппы Sa и Рь перестановочны и их произведение является силовской л-подгруппой группы G.
Доказательство. Действительно, ввиду следствия 2.8 найдутся элементы а^А и Ь^В, для которых подгруппа (S° U Рь) является л-группой. В силу предложения 2.3 подгруппы Sa и Рь перестановочны и их произведение—силовская л-подгруппа группы G.
Предложение доказано.
Следствие 2.12. Если при условии предложения 2.4 подгруппы S и Р инвариантны соответственно в Д и В, то произведение SP является силовской л-подгруппой группы G и подгруппы S и Р перестановочны.
Следствие 2.12 непосредственно вытекает из предложения 2.4.
Предложение 2.5. Пусть G — ^-группа (в частности, периодическая разрешимая группа матриц над полем), факторизуемая некоторыми попарно перестановочными подгруппами Аи t € I; л — непустое множество простых чисел; Д1>л, l€L—некоторые силовские л-подгруппы групп Ди i£I, и Gn — подгруппа, порожденная всеми подгруппами Д1|Л. Тогда следующие условия равносильны:
Gn является силовской л-подгруппой группы G;
Сл является л-группой;
подгруппы Д1>л, i€4 попарно перестановочны.
Доказательство. Если выполняется условие «1» настоящего предложения, то выполняется и его условие «2». Пусть выполняется условие «2». Покажем, что выполняется условие «3». Возьмем какие-нибудь две подгруппы Да.л и
Лр,я. Рассмотрим подгруппу Gap = ЛаЛр. В силу условия «2» подгруппа (Ла,л U Лр,л) последней является л-группой. Поэтому ввиду предложения 2.3 подгруппы Ла,л и Лр,л перестановочны.
Итак, из условия «2» вытекает условие «3». Для доказательства предложения остается показать, что из условия «3» вытекает условие «1».
Пусть подгруппы Л1ед, iEL попарно перестановочны. Покажем, что для любого конечного подмножества А г I подгруппа /7Л, порожденная всеми подгруппами Л1|Л при i£A, является силовской л-подгруппой группы Н = {(J Л^. Провеял
дем индукцию по |А|. Если |А| = 1, то это так. Пусть |А|> 1 и a — любой индекс из А. Обозначим через В и Вл соответственно подгруппы ( U Ль) и ( [J Л1|Я). Легко i€(A\Ja})1£(А\{а»
видеть, что Н = АаВ и что подгруппы Ла,л и В^ перестановочны. Согласно индуктивному предположению подгруппа Вл является силовской л-подгруппой группы В. Поэтому ввиду предложения 2.3 подгруппа (Ла,л U ^л) =/7Л— силовская л-подгруппа группы Н.
Пользуясь доказанным и учитывая произвольность конечного подмножества A е I, убеждаемся, что подгруппа Сл является силовской л-подгруппой группы G, т. е. выполняется условие «1».
Предложение доказано.
Лемма 2.27 (Н. С. Черников [12]). Пусть G — M-группа (в частности, периодическая разрешимая группа матриц над полем), факторизуемая некоторыми попарно перестановочными подгруппами Ль, i£L Тогда выполняется соотношение л (G) = (J л (Ль).
Доказательство. Нетрудно убедиться, что доказательство леммы 2.28 сводится к доказательству следующего утверждения.
Пусть G — U-группа, факторизуемая двумя подгруппами Л и В. Тогда выполняется соотношение л (G) = л (Л) U л (В).
Последнее утверждение справедливо в силу следствия 2.10. Лемма доказана.
Предложение 2.6 (Н. С. Черников [12]). Пусть ^-непустое множество простых чисел, G — М-группа (в частности, периодическая разрешимая группа матриц над полем), факторизуемая некоторыми попарно перестановочными подгруппами Ль, t € I» с инвариантными в них силовскими ^-подгруппами Л^. Тогда подгруппы Л1>л, ^CL попарно перестано-
вечны и их произведение является силовской п-подгруппой группы G.
Справедливость предложения 2.6 вытекает из следствия 2.12 и предложения 2.5.
Примечание. Предложения 2.5, 2.6 и лемма 2.27 сохраняют силу, если в их условиях условие принадлежности группы G к классу U заменить следующим, более слабым: произведение любого конечного множества подгрупп At является U-группой.
Теорема 2.14 (Н. С. Черников [8, 121). Пусть G — группа матриц над полем, факторизуемая попарно перестановочными периодическими локально нильпотентными подгруппами Да, а € 3- Тогда группа G разрешима и локально конечна.
Прежде чем переходить к доказательству теоремы 2.14, сделаем некоторые предварительные замечания.
Напомним, что, по теореме Плоткина [1], в произвольной группе X подгруппа, порожденная всеми ее инвариантными локально нильпотентными подгруппами, локально ниль- потентна. Эту подгруппу будем обозначать через 9? (X). Подгруппу 9? (X) называют локально нильпотентным радикалом группы X.
В доказательстве теоремы 2.14 будет использована следующая теорема (Гаращук, Супруненко [1]; см. еще Плоткин [2], с. 540).
В группе матриц над полем локально нильпотентный радикал совпадает с множеством всех нильэлементов группы.
Напомним понятие нильэлемента группы (см., например, Плоткин [2], с. 378). Пусть х и у — элементы некоторой группы X. Положим индуктивно X = [х, у, 01, {х, у, 1] = [х, у] и [х, у, п] = Цх, у, п — 1], у] при п > 1. Говорят, что у — нильэлемент группы X, если для каждого элемента х группы X найдется п (зависящее, вообще говоря, от х), такое, что [х, у, nA = = 1.
Доказательство теоремы 2.14.
1°. Рассмотрим случай, когда Да, а € S,— р-группы по какому-то одному р. В этом случае группа G является разрешимой локально конечной р-группой ввиду утверждения 2 теоремы 2.9.
2°. Рассмотрим случай, когда группа G содержит некоторую периодическую разрешимую подгруппу конечного индекса. В этом случае группа G содержит некоторую инвариантную периодическую разрешимую подгруппу N конечного индекса и, значит, ввиду теоремы О. Ю. Шмидта локально конечна. Фактор-группа G/N конечна, факторизуема попарно перестановочными нильпотентными подгруппами AaN/N и по-
тому по теореме 2.7 разрешима. Вместе с этим разрешима и группа G.
3°. Рассмотрим случай, когда ни одна из подгрупп Аа не имеет элементов порядка, равного характеристике поля, над которым определена группа G. В этом случае группа G ввиду предложения 2.2 локально конечна и не содержит элементов порядка, равного характеристике соответствующего поля. Тогда по теореме Шура, приведенной перед доказательством предложения 2.2, группа G почти абелева и, значит, в соответствии с п. 2° доказательства настоящей теоремы разрешима.
С учетом доказанного в п. 3° можно считать, что группа G определена над полем ненулевой характеристики.
4°. Рассмотрим общий случай. По теореме Цассенхауза произвольная локально разрешимая группа матриц над полем разрешима. С учетом этого факта для доказательства теоремы, очевидно, достаточно доказать следующее: произведение любого конечного числа подгрупп Аа является разрешимой локально конечной группой. Поэтому можно ограничиться случаем, когда множество I конечно. Будем считать, что I = (1, 2, ..., п}. Индекс а заменим на I. Индукцией по п покажем, что группа G разрешима и локально конечна.
Если п = 2, то группа G разрешима ввиду теоремы 2.8 и локально конечна ввиду предложения 2.1. Пусть п > 2 и каждое произведение п — 1 подгрупп Аг является разрешимой локально конечной группой. Обозначим через р характеристику поля, над которым определена группа G, и через А1ф и А(,р' силовские соответственно p-и //-подгруппы группы Ah i = 1, 2,..., п. Так как каждое произведение АД является периодической разрешимой группой, то ввиду следствия 2.12 подгруппы Ai>p попарно перестановочны и подгруппы А1ф» попарно перестановочны. Поэтому произведение всех подгрупп Д^.р— разрешимая (локально конечная) р-группа (см. п. 1° доказательства) и произведение всех подгрупп А(,Р'— разрешимая почти абелева локально конечная //-группа (см. п. 3° доказательства). Первое из этих произведений обозначим через Р, а второе — через S.
Пусть к — произвольный индекс из I; А и Y — любые содержащие к собственные подмножества множества I, дающие в объединении I. Обозначим через А произведение подгрупп At по всем i £ А и через В произведение подгрупп At по всем i СТ.
Тогда подгруппы А и В локально конечны и разрешимы, Ак,р с А П В и G = АВ.
Покажем, что подгруппа (Op (A) U Ор (В)) локально ниль- потентна. Так как подгруппы Диб разрешимы, периодичны и подгруппа Р является р-группой, то ввиду предложения
2.6 пересечения РПЛ и РПВ— силовские /2-подгруппы соответственно групп А и В. Следовательно, Ор(Л)^РАД, Ор (В) с Р А В, и, значит, (Ор (Л) U Ор (В)) с Р. Подгруппа Р, будучи локально конечной /7-группой, локально нильпотентна. Следовательно, подгруппа (Ор (Л) U Ор (В)) — локально нильпотентная /2-группа.
Покажем, что подгруппа Ор (Л) А Ор (6) содержится в Op(9i(G)). Пусть х и g— произвольные элементы соответственно групп G и Ор (Л) А Ор (6), К — подгруппа, порожденная элементами g и [%,£■]. Тогда
g е Ор (Л) е (Ор (Л) и (Ор (В))"), [х, gl = (g-xyg € ((Op (В))х Ор(А))^(Ор(А)0(Ор(В))х)
и, значит, Kcz(OPH)U(Op(B))x).
Подгруппа (Ор (Л) U (Ор (6))х) ввиду леммы 1.19 сопряжена в G с подгруппой (Ор (Л) 0 Ор (В)) и, следовательно, локально нильпотентна. Поэтому подгруппа К нильпотентна и, значит, [х, g, п\ = 1 для подходящего п. Ввиду произвольности элемента х отсюда следует, что g — нильэлемент. Тогда по теореме Гаращука — Супруненко [1] приведенной перед доказательством настоящей теоремы, g^9l^GY Поэтому ввиду произвольности g
Op(A)0Op(B)^yi(G) и, значит,
Ор (Л) А Ор (В) с Ор (91(G)).
Подгруппа Op(9i(G)), будучи /2-группой матриц над полем, разрешима. Покажем, что фактор-группа G/Op(9i(G)) содержит периодическую абелеву подгруппу конечного индекса. Отсюда будет следовать, что группа G разрешима и локально конечна (см. п. 2° доказательства).
Из известной теоремы Колчина — Мальцева (см., например, Каргаполов, Мерзляков [1], теорема 21.1.5) вытекает, что в фактор-группах Л/ОР(Л) и В/ОР(В) вбе /2-подгруппы конечны. Следовательно, поскольку А^.р ^ A А В, индексы I Ак,р : (Ак,р Л Ор (Д))| и | Ак,р: (Ак1Р П Ор (В)) | конечны. Тогда по теореме Пуанкаре индекс | Ак,р : (Ак,р П Ор (Д) Q Ор (В)) | конечен и, значит, подгруппа Ак,рОр (9t (G))/Op (91 (G)) факторгруппы G/Op (91(G)) конечна. Поэтому подгруппа Ак,р-Ор (91 (G))/Op (91(G)) имеет конечный индекс в группе Дк0р (91 (G^/Op (91(G)). Отсюда ввиду следствия 1.3 вытекает, что подгруппа 80р (91 (G))/Op (91 (G)) имеет конечный индекс в фактор-группе G/Op (91 (G)). В силу этого последняя обладает периодической абелевой подгруппой конечного индекса, что и требовалось показать.
Теорема доказана.
Глава 3
ФАКТОРИЗАЦИЯ АБЕЛЕВЫМИ ПОДГРУППАМИ И ПОДГРУППАМИ, КОНЕЧНЫМИ
НАД СВОИМИ ЦЕНТРАМИ
Изучение групп, факторизуемых абелевыми подгруппами, в частности, циклическими, ’обогатило теорию групп многими интересными результатами. Один из отправных результатов здесь — теорема Н. Ито о разрешимости (не более чем двусту- пенной) группы, факторизуемой двумя абелевыми подгруппами. Она излагается в § 1 настоящей главы. Здесь рассматриваются и некоторые другие теоремы, относящиеся к группам такого рода.
В случае бесконечных групп представляется естественным переход от факторизации двумя абелевыми подгруппами к факторизации двумя подгруппами, конечными над своими центрами. Соответствующим результатам посвящен § 2. В § 3 излагаются теоремы о факторизации группы конечным числом попарно перестановочных подгрупп с условием минимальности, конечных над своими центрами. Одна из двух рассматриваемых в нем теорем утверждает, что группа, факторизуемая конечным числом попарно перестановочных нильпотентных подгрупп, удовлетворяющих условию минимальности, разрешима. Этой теоремой переносится на бесконечные группы известная теорема Кегеля — Виландта (см. теорему 2.7).
Изложение вопросов, относящихся к факторизации групп подгруппами, конечными над своими центрами, завершается в § 6. Результаты этого параграфа оказываются связанными с некоторыми результатами Д. И. Зайцева о группах, факторизуемых двумя абелевыми подгруппами.
В § 4 главы 3 излагается одна из основных теорем, относящихся к факторизации групп абелевыми подгруппами,— теорема Н. Ф. Сесекина о группе, факторизуемой двумя конеч- нопорожденными абелевыми подгруппами (иначе, абелевыми полициклическими подгруппами). Оказалось, что утверждение этой теоремы о полицикличности такой группы (первое ее утверждение) справедливо в случае любого конечного числа попарно перестановочных факторизующих подгрупп. В § 4 изложено доказательство этого факта. В силу теоремы Н. Ито группа, факторизуемая двумя абелевыми подгруппами, в частности двумя абелевыми полициклическими подгруппами, разрешима, поэтому в связи с первым утверждением теоремы
Ф. Сесекина появилась изложенная в § 1 главы 2 теорема 2.1 о полицикличности разрешимой группы, факторизуемой двумя полициклическими подгруппами.
В § 5 излагается ряд результатов, связанных с факторизацией групп попарно перестановочными циклическими подгруппами, и среди них результаты В. Г. Васильева, из которых вытекает, что существуют неразрешимые группы, представимые в виде произведения трех попарно перестановочных абелевых подгрупп. Затем излагается результат автора, из которого вытекают, в частности, известная теорема Хупперта о сверхразрешимости конечной группы, разложимой в произведение попарно перестановочных циклических подгрупп, а также более общая теорема Хейнекена и Леннокса [1] о сверхразрешимости произвольной группы, представимой в виде произведения конечного числа попарно перестановочных циклических подгрупп. Далее приводится теорема С. Н. Черникова, из которой вытекает, что конечная сверхразрешимая группа с абелевыми примарными подгруппами представима в виде произведения попарно перестановочных циклических подгрупп.
Заметим, что произведение попарно перестановочных при- марных циклических подгрупп является их равномерным произведением. В § 5 излагается известная теорема В. П. Шункова, устанавливающая, в каком случае группа может быть представлена в виде равномерного произведения некоторых своих примарных подгрупп.
В заключение § 5 приводится теорема, объединяющая результаты Андрухова [1, 2], относящиеся к группам, представимым в виде равномерного произведения бесконечных циклических групп, в котором каждый множитель пересекается по единице с произведением остальных.
§ 1. Теорема Н. Ито
Группам, представимым в виде произведения двух абелевых подгрупп и, более широко,— некоторого множества попарно перестановочных абелевых подгрупп, посвящено немало исследований (см. Редей [1], Хупперт [1], Ито [1], Кон [1], Се- секин [1, 2], Амберг [1,7], Андрухов [1, 2], Васильев [1—3], Зайцев [1], Хейнекен, Леннокс 11], Н. С. Черников [15, 16, 19] и др.). Важную роль в исследовании групп, разложимых в произведение двух абелевых подгрупп, играет следующая теорема Н. Ито.
Теорема 3.1 (Н. Ито [1]). Группа G, факторизуемая двумя абелевыми подгруппами, не более чем двуступенно разрешима.
Доказательство. Пусть А^ В — абелевы подгруппы группы G, такие, что G = АВ. Так как группа G по- ?юждается подгруппами А и В, то их взаимный коммутант А, В] инвариантен в ней (см.,* например, Каргаполов, Мерзляков [1], лемма 3.2.2). Легко видеть, что фактор-группа С/[Л, В] абелева. Поэтому для доказательства того, что G не более чем двуступенно разрешимая группа, достаточно показать, что подгруппа [А, В] абелева.
Возьмем произвольные элементы а, аг£ А и Ь, Ьг£ В и покажем, что коммутаторы [а, 6] и [аь Z^l перестановочны. Так как G = АВ, то для некоторых элементов а2, я3 £ Л и Ь2, 63 С € В выполняются соотношения
= а2Ь2 и oh = b3a3. (1)
Используя стандартные коммутаторные тождества (см., например, Каргаполов, Мерзляков [1], с. 39), учитывая соотношения (1) и абелевость подгрупп Л и В, последовательно получаем
[a, &]tai’611 = ([ааЛ ^Г1])»?1-!»! = [а> а2г,2]ьГ1а1ь1 =
= [а, ^6^.»1 = ([«< ^'l)0161 = [Мз. Ь2А“А = [а3,М^1 =
= ([аз1, b?]/1^^,^-1^61 = [а3, ^]61 = [аз1, ^1 =
= [brV Ь] = \а, bV
Теорема доказана.
В случае группы, разложимой в произведение двух периодических абелевых подгрупп, справедливо следующее утверждение.
Теорема 3.2. (О. Кегель — см. Б р и с л и , Макдональд [1]). Пусть G — группа, факторизуемая двумя периодическими абелевыми подгруппами А и В. Тогда группа G периодическая и л (G) = л (Л) U л (В).
Теорема 3.2 вытекает из теоремы 3.1 и теоремы 1.9 (или из теоремы 3.1 и теоремы 5.4 работы Амберга 111).
Следствие 3.1. (Б р и с л и, Макдональд [1]). Группа, факторизуемая двумя абелевыми подгруппами конечной экспоненты, имеет конечную экспоненту.
Доказательство. Пусть G — произвольная группа, факторизуемая двумя абелевыми подгруппами конечной экспоненты. Очевидно, декартово произведение любого бесконечного множества групп, изоморфных G, представимо в виде произведения двух абелевых подгрупп конечной экспоненты и, значит, по теореме 3.2 является периодической груп-
пой. Отсюда, очевидно, следует, что в группе G порядки всех элементов ограничены в совокупности, т. е. что группа G имеет конечную экспоненту.
Следствие доказано.
В связи с последним результатом приведем без доказательства следующую теорему.
Теорема 3.3. (Хоулетт [1]). Пусть G — группа, факторизуемая двумя абелевыми подгруппами А и В, которые имеют конечные экспоненты, равные тип соответственно. Тогда экспонента группы G делит число тп.
Отметим, что в работе Зайцева 13], предшествовавшей работе Хоулетта [1], приводится с доказательством принадлежащая В. Г. Васильеву теорема, которая утверждает, что группа G, факторизуемая двумя абелевыми подгруппами А и В, экспоненты которых конечны и равны соответственно рх • ...*рк и ру • ... *р^ (Pi—попарно различные простые числа; т^О и nt ^ 0), имеет экспоненту, делящую число рх1- ... *рН^, где hi = mt + nt + max \mt, пг\ Вопрос об оценке экспоненты группы, факторизуемой двумя абелевыми подгруппами, в зависимости от экспонент подгрупп — множителей рассматривался также в работах Брисли, Макдональда [1] и Хольта, Хоулетта [1].
В заключение параграфа докажем следующую теорему, относящуюся к конечным группам, факторизуемым двумя абелевыми подгруппами.
Теорема 3.4. (Н. Ито [1]). Пусть G — конечная группа, факторизуемая двумя абелевыми подгруппами А и В. Тогда справедливы следующие утверждения.
Если А ^ В, то хотя бы одна из подгрупп А и В содержится в истинной инвариантной подгруппе группы G.
Если G У= 1, то хотя бы одна из подгрупп А и В содержит отличную от единицы инвариантную в G подгруппу.
(Напомним, что истинной подгруппой группы называется всякая отличная от нее подгруппа.)
Доказательство утверждения 1 проведем индукцией по порядку группы G. Пусть А=^В. Утверждение 1 с очевидностью справедливо, если |G| =2. Пусть оно справедливо при IG <.п, где п^^. Покажем, что оно справедливо, когда |G = п.
. Рассмотрим сначала случай, когда для некоторой отличной от единицы инвариантной подгруппы М группы G АМ^ВМ.
В этом случае согласно индуктивному предположению, примененному к фактор-группе G!M = ^AMIM^ (BMIM), существует истинная инвариантная подгруппа N/M последней,
содержащая подгруппу AMIM либо ВМ/М. Тогда истинная инвариантная подгруппа N группы G содержит подгруппу А либо В.
. Рассмотрим теперь случай, когда для произвольной, отличной от единицы инвариантной подгруппы М группы G АМ = ВМ.
В этом случае
ВМ = АМ = (АМ) (ВМ) - ABM = G. (2)
Так как подгруппы А и В абелевы и G = АВ, то пересечение А А В, очевидно, инвариантно в G. Рассмотрим фактор-группу Gf(A А В). Поскольку А ^= В, то в фактор-группе G/(AAB) А!(А А В)#=В/(А А В). Поэтому если А А 5=^1, то согласно индуктивному предположению, примененному к фактор-группе G/(A А В) = (А!(А А В)) (В1(А А В)), существует истинная инвариантная подгруппа N/(A А В) последней, содержащая подгруппу А/(А А В) либо В/(А А В). Тогда истинная инвариантная подгруппа N группы G содержит подгруппу А либо В.
Пусть А А В = 1. Так как А ^ В, то хотя бы одна из подгрупп А и В отлична от G. Будем считать, что А 5^ G. Пусть теперь М — минимальная инвариантная подгруппа группы G и N — произвольная максимальная подгруппа группы G, содержащая А. Так как группа G по теореме 3.1 разрешима, то очевидно, М — /2-группа по некоторому р. Используя соотношения (2) и учитывая, что А А В = 1, получаем равенства
|G| = |A||B| = |G:B||G:A|=|BM:B||AM:A| =
= |М:(ВАМ)||/И:(ДАЛ4)|.
Так как М — /7-группа и | G| = |Л1 : (В А Л4)| • | М : (А А М)|, то группа G является /7-группой. Поэтому подгруппа N инвариантна в G.
Утверждение 1 доказано.
Доказательство утверждения 2 так же, как и утверждения 1, проведем индукцией по |G|.
Пусть G #= 1. Очевидно, можно считать, что А #= В, А =/= Ф 1 и В #=- 1 • Ввиду утверждения 1 хотя бы одна из подгрупп А и В, например А, содержится в истинной инвариантной подгруппе группы G. Тогда нормальное замыкание Н подгруппы А в G отлично от G.
Покажем, что
Н = AG'.(3)
Так как группа G порождается подгруппами А и 6, то [А, В] и А [А, В] — инвариантные подгруппы группы G (см., напри-
мер, Каргаполов, Мерзляков [1], лемма 3.2.2). Подгруппа И, В] порождается коммутаторами [a, ft] = а~}а\ где а^А и Ь^В. Очевидно, а~хаь£Н. Следовательно, 1А,В\гН. Поэтому А [4, В] с Н и, значит, ввиду инвариантности в G подгруппы А [4, В] имеем Н = А [4, В]. Далее, фактор-группа G/[4, В], как легко видеть, абелева. 1
Следовательно, G' ^ [4, В]. Но [4, В] ^ G', и, значит, [4,61 = G'. Таким образом, Н = А [4, В] = AG'.
Ввиду леммы 1.8 Н = 4 (// П 6). Поэтому согласно индуктивному предположению хотя бы одна из подгрупп А и Н П В имеет отличную от единицы инвариантную в Н подгруппу.
Если некоторая отличная от единицы инвариантная подгруппа N группы Н содержится в Н(\В, то подгруппы 4 и В нормализуют N и потому подгруппа N инвариантна в группе G.
Рассмотрим случай, когда некоторая отличная от единицы инвариантная подгруппа N группы Н содержится в 4. Покажем сначала, что Z (//) ^ 1.
Так как подгруппа А абелева и подгруппа G' по теореме 3.1 абелева, то подгруппа 4 Г) О' поэлементно перестановочна с подгруппами 4 и G'. Поэтому с учетом соотношения (3) 4 П ПО' е Z (И). Следовательно, Z (И) =# 1, если 4 ПG' =# 1. С другой стороны, если А П G' = 1, то Mf) G' = 1 и, значит, подгруппы М и G' поэлементно перестановочны. Поэтому с учетом соотношения (3) и абелевости подгруппы А М е Z (//).
Итак, Z(M)#= 1.
Возьмем подгруппу 4Z (Я). Она абелева, так как абелева подгруппа 4. Далее, G = (4Z (Я)) В и потому ввиду абелевос- сти подгрупп 4Z (Я) и В подгруппа AZ (Н) П В содержится в центре группы G. Следовательно, если AZ (//) П В Ф 1, то подгруппа В содержит инвариантную в G отличную от единицы подгруппу.
Пусть AZ (Н) П 6 = 1. Ввиду леммы 1.8 4Z (6) = = A (AZ (Н)(]В). Следовательно, 4Z (6) = 4 и, значит, Z (//) г 4. Так как подгруппа Н инвариантна в G и подгруппа Z (Н) характеристична в Н, то подгруппа Z (М) инвариантна в G. Таким образом, в рассмотренном случае подгруппа 4 содержит отличную от единицы инвариантную в G подгруппу.
Утверждение 2 доказано.
Теорема доказана.
В случае произвольной (необязательно конечной) группы G теорема 3.4, вообще говоря, теряет силу. Впервые это показал Васильев [2]. Однако при некоторых дополнительных ограничениях, налагаемых на факторизующие группу G абелевы множители, она сохраняет силу. Например, теорема 3.4 сохраняет силу, если один из множителей 4 и 6 конечнопо- 146
рожден. Для утверждения 2 теоремы это показал Сесекин [2] (см. § 4 настоящей главы), а для ее утверждения 1 — Амберг [4] (см. § 4 настоящей главы). Утверждение 2 теоремы 3.4 сохраняет силу также в случае, когда один из множителей А, В имеет конечные секционные ранги, в частности, когда один из множителей А, В имеет конечный специальный ранг (Зайцев [1]).
Теорема о почти разрешимости группы, факторизуемой двумя подгруппами, конечными над их центрами
В связи с теоремой Н. Ито (теорема 3.1), относящейся к группам, факторизуемым двумя абелевыми подгруппами, т. е. подгруппами, совпадающими со своими центрами, возникает мысль об изучении групп, факторизуемых двумя подгруппами с «большими» центрами. В случае бесконечных групп группой с «большим» центром естественно считать прежде всего такую, в которой центр имеет конечный индекс (иначе говоря, группу, конечную над своим центром). В этом аспекте аналогом теоремы Н. Ито можно считать следующий результат.
Теорема 3.5 (Н. С. Черников [3, 51). Группа G, факторизуемая двумя подгруппами А и В, конечными над своими центрами, почти разрешима (т. е. является конечным расширением разрешимой группы).
Доказательству теоремы 3.5 предпошлем следующие три леммы.
Лемма 3.1 (Н. С. Черн и ко в [1]). Пусть G —группа? факторизуемая двумя подгруппами А и В; а и ах—элементы из центра подгруппы А, b и Ьх — элементы из центра подгруппы В, такие, что Ьа = axbv Тогда для любого элемента Ь*^В элементы [a, b]k' и \а, 6] перестановочны.
Доказательство. Так как G = АВ, то для некоторых элементов а2, а3 £ А и Ь2,Ь3£В аь* = Ь2а2 и аХ ~ Ь3а3. Теперь, учитывая, что а, ах £ Z (А) и b,bx£Z (В), последовательно получаем
([а, 6]ь,)[о-6) = ([а6*, 66*])[а-Ь] = [62а2, Z>][o-6J = [а2, 6][а’ь1 =
= ([аГ‘, 60~']Г'а6 = Г», ^Ь^06 = К. *°6 =
= ([аГ*. бГ’])аЬ = [Мз. Ь^ = ([at ^])6 = [аз, a^bl6 =
= [а3, Ь]6 = [at 6й] = tb^, b] = [а2, 6] = [62а2,6] =
= [а°*. Ь6*] = [a, bf.
Таким образом,
([МГ)ад = [а, М6’.
Лемма доказана.
Лемма 3.2 (Н. С. Черников [1]). Пусть G — группа, факторизуемая двумя бесконечными подгруппами А и В, конечными над своими центрами, А* и В* —некоторые центральные подгруппы конечного индекса соответственно групп А и В. Тогда найдутся отличные от единицы элементы а^. ^А* и Ь^В* и некоторые элементы а*^А* и Ь*£В\ такие, что выполняется соотношение
ba~' = a'b\(1)
Доказательство. Очевидно, лемма справедлива, если Д* f] S* у= 1. Пусть
Д*ПВ*=1.(2)
Возьмем произвольные последовательности ab I — 1,2,..., и bj, /=1,2, ..., попарно различных отличных от единицы элементов соответственно из подгрупп Д* и В*. Пусть {а!,... ..., ат)— какая-нибудь система представителей всех смежных классов группы А по подгруппе А* и (bv...,bn^—какая-нибудь система представителей всех смежных классов группы В по подгруппе В*. Каждый элемент Ь/ представим каким-нибудь одним способом в виде
b^ = ака.Ь\Ьь а^А* и Ь'. £ В*.(3)
Пары \аГ, Ь^, г = 1, ..., т, s=l, ...,п, занумеруем натуральными числами от 1 до тп и каждому элементу Ь^ сопоставим число tijt равное номеру пары ^ah, b^ в соответствии с соотношением (3). Нетрудно видеть, что найдутся индексы /^^ и jf^j^ ПРИ которых tij. = tuk = tuk = 1кк. He нарушая общности, можно считать, что *i=/i= 1 и i2=/2=2. Тогда для некоторых элементов ar, bs и av ..., а4 из Д*, bv ...,b4 из В*
ЬТ = агахЬгЬ8 и bt1 = а^Ьф8,(4)
b^ = аТафф& и Ьа^ = ага4Ьф3.(5)
Используя соотношения (4) и (5), получаем
ЬХЬ^1 = (яа-Мз ^з хаг 1)°1 = ^аф^ }а* хаг У2 . (6)
Затем, используя соотношения (6), находим
(яГ^яГ1^)^^ = (аГ^Г1^^) МГ1 (яГ^Г1^^)-1* (7)
Положим а а^аТха2а4) а* ^ aTxa4a7xav b = Ь«фГх» Ь*= = W1.
Элементы а, а* и Ь, Ь* содержатся соответственно в подгруппах Л* и В*. Для этих элементов, как показывает соотношение (7), выполняется соотношение (1).
Элемент b отличен от единицы. Действительно, иначе, элемент Ь4Ь~Х в силу соотношений (6) содержался бы в подгруппе Л *, вместе с этим в пересечении Л* П 6* и, значит, в соответствии с соотношением (2) был бы равен единице, что невозможно.
Покажем, что а #= 1. Используя вторые из соотношений (4) и (5), получаем
^2^1 ~~ а^Д^Ьs, ^2^2 — аДта 4Ь 4Ь s И
сцха2 = Ь7ХЬГХ (а7ха7ха2а4) b^s = Ь7хЬГхаЬ4Ь8. (8)
Соотношения (8) показывают, что если бы элемент а был равен единице, то элемент ар1^ содержался бы в В*, а тем самым — в Л* П В* и в соответствии с соотношением (2) также был бы равен единице, что невозможно.
Лемма доказана.
Лемма 3.3 (Н. С. Черников [ 1, 51). Пусть G — группа, факторизуемая двумя бесконечными подгруппами А и В, конечными над своими центрами. Тогда найдутся отличные от единицы элементы я £ Z (Л) ub^Z (В), для которых подгруппы (\а,Ць*\Ь* £ В) и <[а, Ь]а*|а* 6 Л> абелевы.
Лемму 3.3 нетрудно доказать, используя леммы 3.1 и 3.2.
,Д оказательство теоремы 3.5. Пусть группа G не является почти разрешимой. Тогда подгруппы Л и В, как легко видеть, бесконечны. Далее, ввиду теоремы 3.1 хотя бы одна из них неабелева. Пусть, для определенности, подгруппа В неабелева.
Будем считать, во-первых, что сумма | Л : Z(A) | + | B:Z(B) | минимальна в следующем смысле: произвольная группа С*, факторизуемая двумя подгруппами Л* и В*, конечными над своими центрами, почти разрешима, если
| Л*: Z (Л*) | + | В*: Z (В*) | < | Л : Z (Л) | + 16: Z (В) |,и, во-вторых, что для каждой перестановочной с Л подгруппыВсВ, у которой \В' |<|В'|, подгруппа АВ почти разре-
шима. Будем считать также, что пересечение Л П 5 не содержит отличных от единицы инвариантных в G подгрупп. Нетрудно убедиться, что сделанные допущения не ограничивают общности рассуждений.
Очевидно, 2(Л)П2(В)= 1.(9)
Дальнейшую часть доказательства разобьем на несколько этапов.
1°. Покажем, что для произвольной почти разрешимой инвариантной подгруппы К группы G выполняются соотношения'
A(\K = Z(A)(\K, В(\К = 2ф)(АК.(10)
Так как подгруппа К почти разрешима, то группа G/K не является почти разрешимой. Поэтому ввиду минимальности суммы | Л : Z (Л) | + | В : Z (В) |
| (АК/К): Z (АЮ К) | + | (ВК/К): Z (ВЮЮI =
= M:Z(A)| + |B:Z(B)|.(11)
Далее, очевидно,
| фК/К): Z фК!Ю) | < | ФК/К): (Z (А) К!К^ | = | АК: Z ф)К | = = | А : Z(A)(A Л ^I ^ | А:Z(A)|,(12)
аналогично
| фК/К): Z фК/К) | < IВ: Z (В) ф Л К) | СI В: Z (В) |. (13) Используя равенство (И) и неравенства (12) и (13), получаем | А : Z (А) (А Л ТС) | = | А: Z(A)| и |В:Z(B)(Bf)К)| = |В:Z(B)|. Отсюда следует, что A Л К Е Z (А) и В Л К = Z (В). Поэтому выполняются соотношения (10).
2°. Покажем, что для всякой содержащей А конечной над своим центром подгруппы D группы G D(\B = 1, если Z(D)nZ(B) = l.
Действительно, пусть Хфф\ Z ф) = 1. Тогда ввиду конечности индексов | D: Z ф) | и | В: Z (В) | подгруппа D Л В, очевидно, конечна. Так как подгруппы D и В конечны над своими центрами, то индексы централизаторов Со ф Л В) и Св (В Л В) соответственно в D и В конечны. Поэтому ввиду леммы 1.17 индекс в G подгруппы <CD Ф Л В) (J Св (ВЛ В)) конечен. Вместе с этим конечен и индекс в G централизатора Cq Ф Л В). Поэтому множество ф Л В)е (множество всех подгрупп, сопряженных в G с подгруппой ВЛ В) конечно. По лемме Дицмана (см. Курош [1]) в произвольной группе
конечное инвариантное множество элементов конечных порядков порождает (инвариантную) конечную подгруппу. Следовательно, подгруппа <(ОРВ)6> конечна. Поэтому в соответствии сп. 1° доказательства получаем
D п В = (ф А В)6) А Ф А В)=^Ф n Bf) a D) А «Ф A Bf^ А В)=
= «ф A Bf) A Z ф)) A ^D A Bf> A 2(B)) =
= ((О Q B)G) A (Z(D) A Z(B)) — 1, что и требовалось показать. Из доказанного с учетом соотношения (9) вытекает справедливость соотношения
ДРВ=1.(14)
Обозначим через Н подгруппу (Л U В'\ Ввиду лемм 1.8 и 1.2 подгруппа Н факторизуема подгруппами А и Н {]В и А<НПВ)-^Н(\В)А.
3°. Покажем, что подгруппа Н не является почти разрешимой и что (Я р By = В'.
Так как G = НВ и, очевидно, подгруппа Н Р В инвариантна в В, то ввиду леммы 1.36 подгруппа ((ЯРВ/7) содержится в Н. Рассмотрим фактор-группу G/^H PB)G). Она факторизуема подгруппами А {(Н Р 6)°)/((Я Р В)0) и В ((Я р В)0)/ /((BpB)G). Поскольку вторая из них, очевидно, абелева, то сумма индексов центров этих подгрупп меньше суммы IА: Z (Л) | + | В : Z (В)|. Следовательно, группа G/{(H р B)G} почти разрешима и, значит, подгруппа ((Н Г) B)G) не является почти разрешимой. Тогда и подгруппа Н, содержащая ((ЯРВ)6), не является почти разрешимой. Так как подгруппа Н не почти разрешима и факторизуема подгруппой А и перестановочной с ней подгруппой Н Р В группы В, то (Я рву = В'.
4°. Покажем, что CZ (Я Р В) у= Я Р В для произвольной перестановочной с А истинной подгруппы С группы Я Р В.
Действительно, с учетом соотношения (14) легко видеть, что АС — истинная подгруппа группы Я. Поэтому, очевидно, В’фАС и, значит, В'^С. Тогда (С2(Яр В)У=С'^(Яр В)'= = В'. Следовательно, CZ (Н Р В) у= Я Р В.
(15)(15)С учетом п. 3° доказательства далее без ограничения общности можно считать, что G = Н. Тогда согласно п. 4° для произвольной перестановочной с А истинной подгруппы С группы В
(15)
(15)
CZ^B^B.
Пусть {В J Z = 1, ..., и}— совокупность всех различных образов в фактор-группе B!Z(B) истинных подгрупп группы В. перестановочных с Л. С учетом соотношения (15) все эти образы отличны от BIZ^By Каждой группе Bt сопоставим подгруппу Bt группы В, порожденную всеми перестановочными с Д подгруппами, образы которых в фактор-группе B!Z(B) совпадают с Bv Легко видеть, что подгруппы Bt перестановочны с Д и выполняются соотношения
BfZ(B)/Z(B) = Bf, Z= 1,..., п.
Обозначим через N подгруппу, порожденную нормальными замыканиями в G всех подгрупп Вг П Z (В).
5°. Покажем, что подгруппа N почти разрешима. Для этого достаточно показать, что почти разрешима каждая подгруппа ((вгп/(В))0>.
Так как подгруппа ВгП2(В) инвариантна в В, G=^AB^B и произведение АВг является подгруппой группы G, то ввиду леммы 1.36
^Z^cABt.(16)
Поскольку 6zZ(B) #= Z(6), то, очевидно, | Вг: Z(6f) | < 16:Z(6) |. Поэтому |Д:г(Д)| + \Bt: Z^H< |Д :ZH)| + |B:Z(B)|. Следовательно, подгруппа ABt почти разрешима и, значит, с учетом соотношения (16) почти разрешима подгруппа <(ВгП П Z (B))G>, что и требовалось показать.
Пусть L/N — максимальная содержащаяся в AN/N инвариантная подгруппа фактор-группы G/N. Подгруппа L почти разрешима и, значит, фактор-группа G/L не является почти разрешимой.
6°. Покажем, что для произвольной содержащей AUL истинной подгруппы DIL группы G/L выполняется соотношение
(D/L)nZ(BL/L) = L/L.(17)
Так как фактор-группа G/L не является почти разрешимой, то ввиду минимальности суммы | А : Z (Д) | + | В : Z (6) |
|(BL/L):Z(BL/L)| = |B:Z(B)|.
Поэтому
Z(BLIL) = Z(B)LIL.(18)
Пусть соотношение (17) не выполняется. Тогда, учитывая соотношение (18), легко убедиться, что пересечение D f)Z (В) не содержится в L. Но ввиду леммы 1.8 подгруппа В П D дополняет подгруппу А в D и, потому, перестановочна с А. Сле- 152
довательно, пересечение D Л Z (В) = (В Л D) Л Z (В) содержится в N и тем самым в L. Полученное противоречие доказывает справедливость соотношения (17).
Нетрудно убедиться, что для фактор-группы GIL = = (AL1L) (BLIL) сохраняют силу допущения, принятые для группы G = АВ в начале доказательства. Поэтому в случае, когда подгруппа D/L конечна над своим центром, пересечение (D/L) Л (BL/L) единичное (см. п. 2° доказательства), в силу чего D!L = ALIL. В частности, ^ALIL^V\^BLIL^ = UL.
Будем теперь считать, что L=1 (это, очевидно, не нарушает общности рассуждений). Тогда подгруппа А не содержит отличных от единицы инвариантных в G подгрупп, пересечение с Z(В) любой содержащей А истинной подгруппы группы G равно единице, индекс подгруппы А в каждой содержащей ее истинной подгруппе группы G конечен и А не содержится ни в какой большей конечной над своим центром подгруппе группы G.
Переходим к заключительному этапу доказательства теоремы.
7°. Ввиду леммы 3.3 существуют отличные от единицы элементы а £ Z (Д) и b Е Z (В), такие, что подгруппа F = = ([а, 6-1]°*| а*ЕД) абелева. Так как подгруппа F содержит А в своем нормализаторе, то произведение AF является почти разрешимой группой. Следовательно, AF ^G и, значит, индекс подгруппы А в AF конечен. Поэтому если подгруппа F бесконечна, то пересечение Z (Д) Л F бесконечно, вследствие чего централизатор Czut (Л бесконечен. Если же подгруппа F конечна, то индекс ее централизатора в А конечен и потому централизатор CziaAF') также бесконечен.
Далее, поскольку а Ф 1 и подгруппа А не содержит отличных от единицы инвариантных в G подгрупп, то Со^фО. Поэтому индекс подгруппы А в С0(а) конечен.
Пусть с — произвольный элемент из Сг(Л) (F\ Тогда
Д°>Ь—'] а-*6аЬ—* J~a5—1 С =■ С = С = с
и, следовательно, сь = сЬа. Поэтому ввиду произвольности с подгруппа (Сг<л) (Е))6 содержится в Со (а). Так как индекс подгруппы А в Со (я) конечен и индекс 2(Д) в Д конечен, а централизатор CzuAH бесконечен, то, очевидно, пересечение 2(Д) П (Cz^>(E))6 бесконечно. Вместе с этим бесконечно пересечение
2(Д) Л 2(Д6).
Так как подгруппа А не содержит отличных от единицы инвариантных в G подгрупп, то пересечение Z (Д) Л Z (Дь) не
инвариантно в G. Поэтому индекс подгруппы Л в централизаторе CG (2 (Л) П Z (Л^)), а значит и в подгруппе (Л U Л6), конечен. Вместе с этим и индекс подгруппы Z (А) в группе (Л (J Л6) конечен. Далее, соотношения
| <Л и Л6>: Л61 = I <Л»-1 и Л>! ЛI = |<Л»-* и /1> п В| == |<Л и Л6> П в| = I <Л и л6>: Л I
показывают, что индекс подгруппы Л6 в группе (Л (J Л6) конечен. Следовательно, конечен и индекс подгруппы Z(Ab) в (Л U А\ Тогда индекс в (Л (J Л6) пересечения 2 (Л) Q Z ( Аь) конечен. Поэтому подгруппа (Л J Л6) конечна над своим центром и, значит, совпадает с Л, ввиду чего Аь= А. Следовательно, элемент b нормализует подгруппу Ли Аф) — почти разрешимая подгруппа группы G. Поэтому А ф) ^ G. Последнее, однако, невозможно, так как 1 ^ b С (Л ф) f| 2(B)). Полученное противоречие доказывает справедливость теоремы.
Теорема 3.6 (Н. С. Черников [3, 51). Группа, факторизуемая двумя нильпотентными подгруппами, конечными над своими центрами, разрешима.
Теорема 3.6 вытекает из теорем 3.5 и 2.7.
Распространение теоремы Кегеля — Виландта на бесконечные группы
Теорема 3.7 (С е с е к и н [ 11). Группа G, факторизуемая двумя абелевыми подгруппами с условием минимальности (или, что равносильно, двумя абелевыми черниковскими подгруппами), является разрешимой группой с условием минимальности (или, что равносильно, разрешимой черниковской группой).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, ввиду теоремы 3.1 группа G разрешима. Поэтому она локально ступенчатая и, значит, по теореме 1.2 черниковская.
Теорема доказана.
Следствие 3.2 (Н. Ф. С е с е к и н). Группа, факторизуемая попарно перестановочными полными абелевыми подгруппами с условием минимальности, является периодической полной абелевой.
Теорема 3.8 (Н. С. Черников [1, 31). Группа, факторизуемая конечным числом попарно перестановочных локально нормальных подгрупп с условием минимальности (или, что равносильно,— локально нормальных черниковских подгрупп), является почти абелевой группой с условием минимальности (или, что то же,— черниковской группой).
Доказательство. Ввиду следствия 1.5 для доказательства теоремы достаточно показать, что произвольная группа G, факторизуемая двумя локально нормальными черниковскими подгруппами, является локально ступенчатой. Любая черни- ковская локально нормальная группа конечна над своим центром. Таким образом, группа G является произведением двух подгрупп, конечных над своими центрами, и, значит, почти разрешима по теореме 3.5. Вместе с этим группа G локально ступенчатая.
Теорема доказана.
Следствие 3.3 (Н. С. Черников [3]). Группа, факторизуемая попарно перестановочными локально нормальными подгруппами с условием минимальности, локально конечна.
Следствие 3. 3 непосредственно вытекает из теоремы 3.8.
Теорема 3.9 (Н. С. Черников [1, 31). Группа, факторизуемая конечным числом попарно перестановочных нильпотентных подгрупп с условием минимальности (или, что равносильно,— нильпотентных черниковских подгрупп), разрешима и удовлетворяет условию минимальности (или, что равносильно, является разрешимой черниковской группой).
Доказательство. Пусть G — группа, факторизуемая п попарно перестановочными нильпотентными черниковскими подгруппами А^, i = 1,2, ..., п. Как известно, полная часть нильпотентной черниковской группы содержится в ее центре (см. С. Н. Черников [8], с. 43). Ввиду этого произвольная нильпотентная черниковская группа локально нормальна. Таким образом, группа G является произведением конечного числа попарно перестановочных черниковских локально нормальных подгрупп и, значит, по теореме 3.8 черниковская.
Покажем, что группа G разрешима. Так как группа G черниковская, то ее полная часть ^(G) абелева и имеет в ней конечный индекс. Рассмотрим фактор-группу G/^)(G). Она конечна и факторизуема попарно перестановочными нильпотентными подгруппами A ^(G) ^(G), i = 1, 2, ..., п. Поэтому ввиду теоремы 2.7 она разрешима. Вместе с этим и группа G разрешима.
Следствие 3.4 (Н. С. Черников [31). Группа, факторизуемая попарно перестановочными нильпотентными подгруппами с условием минимальности, локально разрешима.
Следствие 3.4 непосредственно вытекает из теоремы 3.9.
Теорема Н. Ф. Сесекина о группах, разложимых в произведение двух конечнопорожденных абелевых подгрупп
Теорема 3.10(Сесекин [2]). Пусть G — группа, факторизуемая двумя конечнопорожденными абелевыми подгруппами А и В (или, что равносильно,— полициклическими абелевыми подгруппами А и В). Тогда справедливы следующие утверждения.
Группа G полициклична.
Если G =/= 1, то хотя бы одна из подгрупп А и В содержит отличную от единицы инвариантную в G подгруппу.
Доказательству теоремы 3.10 предпошлем следующие три вспомогательных предложения.
Лемма 3.4 (С е с е к и н [1]). Пусть G — группа, факторизуемая двумя абелевыми подгруппами А и В. Тогда справедливы следующие утверждения.
Если B(\Z (G) = 1, то централизатор Ca(G') инвариантен в группе G.
Если С a (G') ф 1 или Св (О') #= \, то хотя бы одна из подгрупп А и В содержит отличную от единицы подгруппу, инвариантную в G.
Примечание. Лемма 3.4 установлена в работе Сесекина [11, но явно там не сформулирована.
Доказательство. Очевидно, справедливость утверждения 2 леммы вытекает из справедливости ее утверждения 1. Докажем утверждение 1.
Пусть В QZ (G) = 1. Рассмотрим подгруппу AZ (ЛС'). Очевидно, она абелева. Так как подгруппы В и AZ (ЛС') абелевы и
G = АВ = (AZ (AG')) В,
то В П AZ (Л6') г Z (G). Поэтому В П AZ (Л6') — 1. Далее, ввиду леммы 1.8 AZ(AG') = A(B П Z(AG')). Следовательно, AZ (AG') = Л и, значит, Z(AG') с А. Поэтому Z(AG') с СДС'). С другой стороны, так как подгруппа А абелева, то, очевидно, С a (G') г Z(AG'). Следовательно,
(1)(1)Z(AG') = Ca(G').
(1)
(1)
Поскольку подгруппа AG', очевидно, инвариантна в G, то и ее центр инвариантен в G. Поэтому с учетом соотношения (1) централизатор С а (О') инвариантен в G.
Лемма доказана.
Лемма 3.5 (С е с е к и н 121). Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами — абелевой А и конечнопорожден- ной абелевой В. Тогда подгруппа AG'(\BGr нильпотентна.
В доказательстве леммы 3.5 используется следующая теорема Робинсона [1] (см. также Робинсон [3], теорема 10.51).
Конечнопорожденная группа, обладающая возрастающим рядом инвариантных подгрупп, каждый фактор которого абелев или конечен (в частности, конечнопорожденная разрешимая группа, конечнопорожденная 7?/*-группа), нильпотентна тогда и только тогда, когда все ее конечные фактор-группы нильпотентны.
Доказательство леммы 3.5. Покажем, что для произвольной абелевой инвариантной подгруппы N группы G подгруппа ANf\BN нильпотентна. Ввиду теоремы 3.1 отсюда будет вытекать справедливость доказываемой леммы. С учетом леммы 1.9, не нарушая общности рассуждений, можно считать, что G = AN = BN. Тогда A f] N с Z (G) ввиду абелевости подгрупп А и N. Поэтому нильпотентность группы, AN(\ BN = G достаточно установить в случае, когда А П N = - 1.
Итак, пусть
G = AN- BN и А П N — 1.
Тогда
А ~ А/ф f] A^ AN/N = BN1N ~ В/ф fl N^
и, значит, ввиду конечной порожденности подгруппы В, подгруппа А конечно порождена. Следовательно, группа G (=ДВ) конечнопорождена.
Пусть Н — произвольная инвариантная подгруппа конечного индекса группы G. Рассмотрим фактор-группу G/Н. Очевидно,
G!H - (АН/Н) фН/Н) = (АН/Щ (NH/H) = фН/Н) (NH/H).
Так как подгруппы АНШ, ВН/Н и NHIH абелевы (и вместе с тем нильпотентны), то с учетом последних соотношений фактор-группа G/Н нильпотентна (Кегель [31). Поэтому ввиду теоремы Робинсона, приведенной выше, группа G нильпотентна.
Лемма доказана.
Лемма 3.6 (С е с е к и н [2]). Пусть G — неединичная группа, факторизуемая двумя абелевыми подгруппами — А и ко- нечнопорожденной В. Тогда А или В содержит отличную от единицы подгруппу, инвариантную в группе G.
Доказательство. Если группа G абелева, то лемма, очевидно, справедлива. Пусть группа G неабелева. Положим
Д* = A f] BG, В* — В П AG и G* = AG fl BG.
Согласно лемме 3.5 подгруппа G* нильпотентна. Следовательно, ее центр Z отличен от единицы. В силу леммы 1.9 С* = А*В*- Поэтому, как легко видеть, Z^ (Л* Я B*Z)(B* Я П A*Z) и, значит, хотя бы одна из подгрупп A* f| B*Z и В* Я A*Z отлична от единицы.
Пусть, например, A* Я B*Z =£ 1. Так как подгруппы А* и В* абелевы, то, очевидно, произвольный элемент из А* Я Я B*Z перестановочен с произвольными элементами подгрупп й* и В*. Следовательно, в силу того, что G* — А*В*, очевидно, A* Q B*Z с Z. Тогда
А* Я B*Z А* Я Сл* (6') с Сл (О'), и, значит, Сл(0')¥=1- Поэтому ввиду утверждения 2 леммы 3.4 доказываемая лемма справедлива.
Доказательство теоремы 3.10. Утверждение 2 теоремы справедливо ввиду леммы 3.6. Докажем утверждение 1.
Рассмотрим подгруппу AG' RBG'. Ввиду леммы 3.5 она нильпотентна и в силу леммы 1.9 является произведением подгрупп ЛП^С' и В Л ЛО'. Так как последние конечнопорож- дены, то и группа ЛО'ПВО' конечнопорождена. Следовательно, коммутант О' конечнопорожден и, значит, будучи абелевым (теорема 3.1), полицикличен. Фактор-группа G/G\ будучи произведением конечнопорожденных подгрупп AG4G' и BG'IG', также конечнопорождена и, значит, полициклична. Поэтому группа G полициклична.
Теорема доказана.
Теорема 3.11 (Хейнекен, Леннокс [11, Васильев [3]). Группа, разложимая в произведение конечного числа попарно перестановочных конечнопорожденных абелевых (или, что равносильно, полициклических абелевых) подгрупп, полициклическая.
Ниже через ф (X) обозначается подгруппа, порожденная всеми элементами конечных порядков группы X. Если группа X абелева и конечнопорождена, то через т (X) обозначается число ее образующих. Множество пар натуральных чисел упорядочивается лексикографически, т. е. по правилу 1т, п] < < \тх, mJ, если т <_ тх либо т = тх, но м < nv
Доказательство. Пусть G — неполициклическая группа, разложимая в произведение попарно перестановочных конечнопорожденных абелевых подгрупп Ab i = 1, 2, ..., ...., п, с минимальной относительно лексикографической упорядоченности парой
пп
[заилил», siwai]. (2)
Z*=l1=1
Ввиду теоремы 3.10 п > 2. Очевидно, все подгруппы Аг неединичны и произведение любых п — 1 из них является полициклической подгруппой.
Рассмотрим подгруппу А =АгА2. Ввиду теоремы 3.10 хотя бы одна из подгрупп Ль А2 обладает отличной от единицы инвариантной в А подгруппой. Пусть, например, А2 обладает некоторой инвариантной в А подгруппой ^ #= 1. Подгруппу, порожденную всеми Л^Л^ обозначим через В. Тогда G = — АВ и N ^Л П В. Поэтому ввиду леммы 1.36 {№) г В и, значит, подгруппа (№) полициклическая.
Рассмотрим фактор-группу G/{№). Для произвольной подгруппы X группы G через X будем обозначать подгруппу X {№}/{№) фактор-группы G/{№). Очевидно, подгруппы At абелевы, конечнопорождены и попарно перестановочны, причем группа G является их произведением. Учитывая, что пп _
<№)=^1, нетрудно убедиться: пара [ 2 т (Л^^З (Л,)). 2 I Wi)l] 1=11=1
меньше в смысле лексикографической упорядоченности пары (2). Следовательно, группа G — полициклическая. Но тогда и группа G, будучи расширением полициклической группы (№) с помощью полициклической же группы GI{Ng). полициклическая, что невозможно. Полученное противоречие доказывает справедливость теоремы.
В связи с теоремами 3.4 и 3.10 приведем следующую теорему.
Теорема 3.12 (Амберг [41). Пусть G — разрешимая группа, факторизуемая двумя нильпотентными подгруппами AuB.no крайней мере одна из которых удовлетворяет условию минимальности или максимальности. Тогда если А =# В, то хотя бы одна из подгрупп А и В содержится в истинной инвариантной подгруппе группы G.
§ 5. Группы, факторизуемые попарно перестановочными циклическими подгруппами
В связи с теоремой Н. Ито (теорема 3.1) может возникнуть вопрос: не будет ли разрешимой группа, представимая в виде произведения конечного числа попарно перестановочных абелевых подгрупп?
В случае конечной группы положительный ответ на этот вопрос дает теорема Кегеля — Виландта (теорема 2.7). В общем случае, однако, ответ на поставленный вопрос отрицате-
лен. Это вытекает как следствие (см. ниже следствие 3.5) из следующей теоремы.
Теорема 3.13 (Васильев [1]). Для любого натурального числа п и любого нечетного простого р существует конечная р-группа ступени разрешимости п, представимая в виде произведения трех попарно перестановочных циклических подгрупп одинаковых порядков.
Следствие 3.5 (Васильев). Для любого нечетного простого р существует неразрешимая локально нормальная гиперцентральная /2-группа, представимая в виде произведения трех попарно перестановочных абелевых подгрупп.
Доказательство. Пусть при произвольном п Gn — какая-нибудь конечная р-группа ступени разрешимости п, представимая в виде произведения некоторых попарно перестановочных циклических подгрупп Ап, Вк и Ск. Пусть G — прямое произведение групп Gn по всем п; А, В и С — подгруппы, порожденные в G соответственно всеми подгруппами Лп, всеми подгруппами Вп и всеми подгруппами Сп. Очевидно, что, во-первых, группа G неразрешима, гиперцентральна, локально нормальна и является р-группой, во-вторых, подгруппы А, В и С абелевы и попарно перестановочны и, в-третьих, группа G — произведение подгрупп А, В и С.
Следствие доказано.
Теорема 3.14 (Н. С. Черников [19]). Пусть G — группа, факторизуемая п попарно перестановочными циклическими подгруппами Ai, i = 1, 2, ..., п. Тогда справедливы следующие утверждения.
Если группа G конечна и неединична, то хотя бы одна из подгрупп At содержит инвариантную в G подгруппу порядка, равного наибольшему простому делителю числа |G|.
Если группа G бесконечна, то хотя бы одна из подгрупп At содержит инвариантную в G бесконечную циклическую подгруппу.
Доказательству теоремы 3.14 предпошлем следующую лемму.
Лемма 3.7. Пусть G — конечная неединичная группа, факторизуемая двумя циклическими подгруппами А и В; р — наибольший простой делитель порядка группы G. Тогда справедливы следующие утверждения.
Некоторая инвариантная в G подгруппа порядка р содержится в А или В.
Нормальное замыкание в G любой ее р-подгруппы, факторизуемой относительно разложения G = АВ, является р- группой, факторизуемой относительно этого разложения. ' 3. При произвольном простом q любая q-подгруппа из Л перестановочна с любой q-подгруппой из В.
Если р не делит порядок подгруппы В, то силовская р-подгруппа группы А инвариантна в G.
Доказательство. Справедливость утверждения 1 настоящей леммы докажем с помощью индукции по порядку группы |G|.
Так как G Ф 1, то ввиду утверждения 2 теоремы 3.4 некоторая отличная от единицы инвариантная в G подгруппа К содержится в одной из подгрупп А и В. Будем считать, что К ^ А и что К имеет простой порядок.
Если |Л| = р, то доказывать нечего.
Пусть |Л| < р. По индуктивному предположению, примененному к группе G/K = (А/Д) (ВК/К), некоторая инвариантная подгруппа Н/К последней имеет порядок р и содержится в A/К или ВК/К- Так как |Л| < р, то, очевидно, К cl Z (//). С учетом этого очевидно, что подгруппа Н циклическая. Пусть Р — подгруппа порядка р из Н. Она инвариантна в G. Если Н г А, то, очевидно, подгруппа А обладает подгруппой порядка р, инвариантной в G. Пусть Н ^ А. Тогда Н/К ^ с ВК/К и, значит, Н с КВ. Поэтому ввиду леммы 1.8
Н = К(Н П В).(1)
С учетом соотношения (1) очевидно, что Р l^ Н А В. Утверждение 1 доказано.
Доказательство утверждения 2 проведем индукцией по порядку группы G. Пусть Н — р-подгруппа, факторизуемая относительно разложения G = АВ, и N— ее нормальное замыкание в G. Ввиду утверждения 1 настоящей леммы некоторая инвариантная в G подгруппа Р порядка р содержится в одной из подгрупп А и В. Если Н = В, то доказывать нечего. Пусть Н ^ Р. Будем считать, что Р г А. Рассмотрим факторгруппу G/P = (AIP) (ВР/Р). Очевидно, NP/P — нормальное замыкание в G/Р подгруппы НР/Р. По индуктивному предположению, примененному к фактор-группе G/Р, ее подгруппа NP/P является р-группой и факторизуема относительно разложения G/P = (А/P) (ВР/Р). Поэтому, очевидно, подгруппа N группы G — р-группа, и выполняется соотношение
PN = (PN A A) (PN А РВ).
Используя лемму 1.7, получаем
PN ()PB = P(PN А В).
Поэтому
PN = (PN A A)P(PN А В).(2)
Если Р г N 0 А, то с учетом соотношения (2) очевидно, что
JV^AWP)*
Пусть Р ^ N П А. Покажем, что N=H..
Учитывая, что подгруппа А циклическая и N — р-группа, нетрудно убедиться в том, что
WfU=l.(3)
С учетом (3) очевидно, что в фактор-группе G/Р пересечение подгрупп А/P и NPIP единичное. Так как подгруппа NPIP факторизуема относительно разложения GIP = (А/P) (ВР/Р) и (NPIP) П (Л/Р) = Р/Р, то NPIP гВР!Р. Тогда с учетом того, что подгруппа ВР/Р циклическая и NPIP является нормальным замыканием в G/Р подгруппы HPIP, легко видеть, что NPIP = HPIP. Поэтому
N^HP.(4)
Теперь, используя лемму 1.8 и учитывая соотношения (3), (4) и Ре А, получаем
N = Н (N П Р) - Н.
Следовательно, подгруппа N факторизуема относительно разложения G = АВ. Утверждение 2 доказано.
Доказательство утверждения 3 также проведем с помощью индукции по |G|. Пусть Аг и Вг — произвольные q-подгруппы соответственно групп А и В. Покажем, что подгруппы Аг и Вг перестановочны. Будем считать, что Аг ^ 1 и Вг Ф 1 (иначе доказывать нечего). Так как G ^f= 1, то в силу утверждения 2 теоремы 3.4 некоторая инвариантная в G подгруппа Р простого порядка содержится в А или В. Будем считать, что Р е Е А.
Рассмотрим фактор-группу G/R. По индуктивному предположению, примененному к ней, подгруппы AiRlR и BiRIR перестановочны. Поэтому ввиду леммы 1.2 произведение (АХР/Р) (ВХР/Р) является подгруппой фактор-группы GIR. Следовательно, произведение АгРВг — подгруппа группы G.
Если AyRBy ^ G, то по индуктивному предположению, примененному к подгруппе GT = (ЛХР) Въ подгруппы Ai и Вг перестановочны.
Пусть
О = И17?)В1.(5)
Если ]Р| = q, то ввиду цикличности подгруппы А, очевидно, R г Лх. Тогда G = АгВг и подгруппы Ах и Вг перестановочны ввиду леммы 1.2.
Пусть |Р| = г #= q. Очевидно, R — силовская г-подгруп- па группы G. Если G' Е Р, то подгруппа AXR инвариантна в G. Тогда ввиду цикличности подгруппы AtR подгруппа Ах инвариантна в G и, значит, перестановочна с Вх.
Рассмотрим случай, когда 6^ R. Так как подгруппа G' абелева (теорема 3.1), то ее силовская {/-подгруппа Q инвариантна в G. Очевидно, Q =# 1. По индуктивному предположению, примененному к фактор-группе G/Q = (AQJQ) (BQJQ), подгруппы AYQ!Q и B^/Q перестановочны. Следовательно, произведение XiQBi является подгруппой группы G и, значит, (Лт (J В^ — {/-группа. Поэтому
Я А <4 U Вг) = 1(6)
и, значит, с учетом соотношения (5)
G-W^R^ и ВО.(7)
Из соотношений (6) и (7) вытекает, что MxQ Вх> = АуВр Следовательно, подгруппы Аг и Вг перестановочны.
Утверждение 3 доказано.
Утверждение 4 нетрудно доказать индукцией по |G| с использованием утверждения 1.
Следствие 3.6. Конечная группа, факторизуемая двумя циклическими подгруппами, сверхразрешима.
Следствие 3.6 непосредственно вытекает из утверждения 1 леммы 3.7.
Введем следующее определение.
Определение 3.1 (С. Н. Черников — см. Шу н к о в [1]). Пусть G — группа, I — непустое множество индексов, состоящее не менее чем из двух элементов, и Ар iEI,— некоторые (необязательно попарно различные) подгруппы группы G. Будем говорить, что группа G является равномерным произведением подгрупп Ар t £ I, если она порождается ими и при любых различных индексах t Е I и X Е I произвольная циклическая подгруппа группы Ль перестановочна с произвольной циклической подгруппой группы А\.
Используя утверждения 3 и 4 леммы 3.7, нетрудно доказать следующее утверждение.
Следствие 3.7. Группа G, факторизуемая некоторыми попарно перестановочными примарными циклическими подгруппами Аи I Е L является равномерным произведением этих подгрупп.
Следствие 3.8. Пусть G — конечная неединичная группа, факторизуемая двумя циклическими подгруппами Л и 6; р — наибольший простой делитель порядка группы G, Р— некоторая подгруппа порядка р группы G и N — нормальное замыкание подгруппы Р в G. Если Р г А, то выполняется соотношение N = Р (N П В).
Доказательство этого следствия проведем индукцией по |G|. Пусть Р е А. Если подгруппа Р инвариантна в G,
то доказывать нечего. Пусть подгруппа Р не инвариантна в группе G. Тогда ввиду утверждения 1 леммы 3.7 р делит |S| и подгруппа Р* порядка р из подгруппы В инвариантна в G. Так как подгруппа Р не инвариантна в G, то, очевидно, N ^ А. Ввиду утверждения 2 леммы 3.7 подгруппа N является /2-группой и выполняется соотношение N = (JV П Л) (/V П В). Следовательно, N f] В — неединичная /2-группа и, значит, P‘eN[\B.
Рассмотрим фактор-группу GIP'. Очевидно, NIP* — нормальное замыкание в последней подгруппы РРЧР*. По индуктивному предположению, примененному к фактор-группе GIP* = {АРЧР*) (В/P*), выполняется соотношение NIP* = = (PPVP*) kkNIP*) П (5/Р*)). Следовательно, N = PP*(N П 5)= = Р(^ПВ\
Следствие доказано.
Доказательство теоремы 3.14. Утверждение 1 докажем от противного. Пусть оно неверно. Будем считать, что G — контрпример с минимальной суммой числа циклических подгрупп-множителей и порядка группы. Очевидно, все подгруппы А, отличны от единицы и ввиду утверждения 1 леммы 3.7 п "> 2.
Обозначим через р наибольший простой делитель порядка группы G; через Pt подгруппу наибольшего простого порядка группы At, i = 1,2,..., п; через Nt нормальное замыкание в G подгруппы Рь г = 1, 2,..., п; через Gt подгруппу ((J Л/.
Дальнейшую часть доказательства разобьем на шесть этапов.
1°. Покажем, что если подгруппа Рг инвариантна в некоторой подгруппе Gj, то Nt совпадает с нормальным замыканием подгруппы Рг в подгруппе АгА3.
Действительно, очевидно, G = G3Ah и, значит, Nt = = <^уЛ/> = ^ = кР^Ь.
2°. Покажем, что каждая подгруппа Pt имеет порядок р. Действительно, если некоторая подгруппа Pt имеет порядок, отличный от р, то порядок подгруппы Gb очевидно, делится на р. Тогда для некоторого j^i подгруппа Pj имеет порядок р и инвариантна в подгруппе Gb Так как порядок подгруппы At не делится на р, то ввиду утверждения 1 леммы 3.7 подгруппа Pj инвариантна в группе AjAb Поэтому подгруппа Pj инвариантна в G (см. п. 1° доказательства), что невозможно.
3°. Покажем, что если подгруппа Pt инвариантна в некоторой подгруппе Gj, то подгруппа Nt имеет порядок р2 и является произведением подгрупп Pt и Pj.
Действительно, пусть подгруппа Рг инвариантна в Gj. Тогда на основании п. Г доказательства подгруппа Nt совпадает с нормальным замыканием подгруппы Рг в группе A^j. Поэтому ввиду утверждения 2 леммы 3.7 и следствия 3.8 подгруппа N, является /2-группой и выполняется соотношение
^-РД^А^. (8)
Тогда, как нетрудно видеть, подгруппа (N^ (порожденная р-ми степенями всех элементов группы Nt) содержится в NiftAj. Поскольку подгруппа (^) характеристична в Nb а последняя инвариантна в G, то и подгруппа (NPo инвариантна в G. Далее, так как подгруппа Pj имеет порядок р и не инвариантна в G, то подгруппа Aj, будучи циклической, очевидно, не содержит отличных от единицы, инвариантных в G р-подгрупп. Следовательно, (N^ = 1 и ^N^Ajf = 1. Поскольку подгруппа Pt не инвариантна в G, то Ni^Pi и, значит, с учетом соотношения (8) Мг f] Aj =# 1. В таком случае (циклическая /2-) подгруппа N^Aj, очевидно, имеет порядок р. Следовательно, Nt А А5 = Pj. Поэтому Nt = PtP3 и kl=p2.
4°. Покажем, что каждая подгруппа Pt инвариантна в точности в одной подгруппе G}.
Действительно, в любой подгруппе G3 инвариантна некоторая подгруппа Ph. Подгруппа Рк не может быть инвариантна ни в какой подгруппе Gt при l^j, так как она не инвариантна в G, a G = G3Gt. Отсюда и следует требуемое.
5°. Покажем, что подгруппы Nb i=l,2, ..., п, совпадают друг с другом.
Пусть Н— произведение всех подгрупп Аь у которых Pt^Ny. Если PtaNv то, поскольку подгруппы Ny и Nt— элементарные абелевы порядка р2 (см. пп. 3° и 4° доказательства), очевидно, что Ny = Nb Далее, при некотором / Nt = {P^iAi} и Nt = РгР3 (см. пп. 1°, 3° и 4° доказательства). Так как Nt = Nb то P3aNt и, значит, А3гН. Поэтому Nt = (Pt 1 ) = (J^Y Следовательно, подгруппа Pt не инвариантна в Н. Таким образом, подгруппа Н факторизуема не более чем п попарно перестановочными циклическими подгруппами, ни в одной из которых не содержится инвариантной в Н подгруппы порядка р (равного наибольшему простому делителю числа |Я|). Поэтому ввиду минимальности суммы | G | + п Н — G, P^Ny при каждом I и, значит, Nt = Ny при каждом i.
Положим N = Nv Перейдем к заключительной части доказательства. 6°. Очевидно, Cg^N)=^G. Рассмотрим фактор-
группу G/Cg(N). Ввиду минимальности суммы |G| +п для нее утверждение 1 настоящей теоремы справедливо. Поэтому в некоторой подгруппе At найдется подгруппа Q, такая, что подгруппа QCg (N)/Cg (ЛО фактор-группы G/Cg (N) инвариантна в ней и неединична. Так как Р^ N (см. п. 5° доказательства), то Pt с On (Q). Поэтому ввиду того, что | N | = р^ (см. п. 3° и 4° доказательства) и подгруппа Q не принадлежит CqW CN^Q^Pi. Далее, нетрудно видеть, что Cn(Q)= = N П Z (QCg (Ny. Так как подгруппы N и QCG (N) инвариантны в G, то с учетом последнего соотношения подгруппа Cn (Q) инвариантна в G. Противоречие. Утверждение 1 доказано.
Докажем утверждение 2. Пусть группа G бесконечна. Покажем, что хотя бы одна из подгрупп At содержит инвариантную в G бесконечную подгруппу.
Покажем сначала, что в любых двух подгруппах At и Aj найдутся поэлементно перестановочные подгруппы конечного индекса. Рассмотрим произведение AiAj. Как вытекает из утверждения 2 теоремы 3.10 или основного результата Кона [1], хотя бы одна из подгрупп Аг и Aj содержит подгруппу конечного индекса, инвариантную в AiAj. Пусть, например, некоторая подгруппа D конечного индекса группы At инвариантна в группе АД. Тогда индекс в Aj централизатора Сд, (D) конечен и подгруппы D и Сд, (D) поэлементно перестановочны.
Ввиду доказанного ясно, что для любых двух подгрупп At и Aj найдется натуральное число т^ такое, что подгруппы Aili и А^1 поэлементно перестановочны.
Покажем теперь, что группа G содержит инвариантную абелеву подгруппу без кручения конечного индекса. Для каждых двух подгрупп Аг и Aj зафиксируем какое-нибудь натуральное число т^, такое, что подгруппы Ai/ и А, поэлементно перестановочны. Обозначим через т произведение всех чисел т^.
Подгруппы А? попарно поэлементно перестановочны. Ввиду следствия 1.3 их произведение имеет конечный индекс в G. Поэтому оно содержит некоторую инвариантную в G подгруппу Н конечного индекса. Так как подгруппа Н абелева и конечнопорождена, то все ее элементы конечного порядка образуют в ней конечную подгруппу. Пусть / — порядок последней. Тогда, как нетрудно видеть, подгруппа Н1 является группой без кручения, инвариантна в группе G и имеет в ней конечный индекс. Чтобы не вводить новых обозначений, будем считать далее, что Н -*- группа без кручения.
Пусть теперь р — какое-нибудь простое число, большее,
чем |0:Я|. Рассмотрим фактор-группу G!HP. Очевидно, она конечна и неединична, р — наибольший простой делитель ее порядка, Н/Нр—ее инвариантная элементарная абелева си- ловская /2-подгруппа. Ввиду утверждения 1 настоящей теоремы некоторая подгруппа AtHpIHp фактор-группы G/Hp содержит инвариантную в G/Hp подгруппу порядка р. Очевидно, последняя совпадает с пересечением (AiHpIHp) Л (Н/Нр). Отсюда вытекает, что подгруппа AJ1P П Н группы G инвариантна в G и не совпадает с подгруппой Нр. Используя лемму 1.7, убеждаемся, что АгНр Г) Н = (4f fl Н) Нр. Следовательно, подгруппа (Д П Н) Нр инвариантна в G и отлична от подгруппы Нр. Отсюда, в частности, следует, что At П f) Н^ 1. Поэтому ввиду того, что Н— группа без кручения, At fl Н— бесконечная (циклическая) группа.
Итак, для любого простого р, превосходящего индекс подгруппы Н в G, найдется бесконечная подгруппа Аь такая, что подгруппа (Л, Л Н)НР инвариантна в G. Используя это, нетрудно убедиться в следующем: найдутся бесконечная подгруппа Ак и последовательность pj, / = 1, 2, ..., простых чисел, такие, что все подгруппы (Ак Л Щ Hpi инвариантны в G. Положим К = Q (.Ak(AH)HpL Нетрудно видеть, что
/-1,2...
ККА Л Н) = Q (,НКАк Л Н))РК Учитывая, что группа /—1,2,...
НЦАк Л Я) абелева и конечнопорождена, нетрудно убедиться в следующем: подгруппа Q (ЯДЛ^ Л H))pi конечна.
/==1,2...
Следовательно, индекс в К подгруппы Ак Л Н конечен. Используя это и учитывая, что подгруппа Ак Л Н — бесконечная циклическая, а подгруппа К без кручения, убеждаемся в следующем: К — бесконечная циклическая группа. Поскольку подгруппа К инвариантна в G и является циклической, то, очевидно, ее подгруппа Ак Л Н инвариантна в G.
Итак, бесконечная подгруппа Ак имеет подгруппу конечного индекса (и, значит, бесконечную) подгруппу Ак ЛЯ, инвариантную в группе G.
Утверждение 2 доказано.
Теорема доказана.
Теорема 3.15 (Хупперт [1]). Конечная группа, разложимая в произведение некоторых своих попарно перестановочных циклических подгрупп, сверхразрешима.
Теорема 3.16 (Хейнекен, Леннокс [1]). Произвольная epynnat представимая в виде произведения конечного
числа попарно перестановочных циклических подгрупп, сверхразрешима (в смысле определения из книги М. Холла [1]).
Теоремы 3.15 и 3.16 вытекают из теоремы 3.14.
Приведем без доказательства еще одно предложение, связанное с группами, разложимыми в произведение конечного числа попарно перестановочных циклических подгрупп.
Предложение 3.1 (X е й н е к е н, Л е н н о к с [1]). Пусть G — группа, факторизуемая п попарно перестановочными циклическими подгруппами Ab i = 1,2, ..., п. Тогда для подходяще выбранного натурального т элементы а^ попарно перестановочны и подгруппа Н, ими порожденная,— инвариантная абелева подгруппа конечного индекса группы G.
Следствие 3.9 (Хейнекен, Леннокс [1].) Произвольная группа, представимая в виде произведения конечного числа попарно перестановочных циклических подгрупп, почти абелева.
В связи с теоремой 3.15 отметим, что не каждая конечная сверхразрешимая группа может быть представлена в виде произведения каких-нибудь своих попарно перестановочных циклических подгрупп. Так, нетрудно видеть, что конечная /2-группа экспоненты р может быть представлена в виде такого произведения тогда и только тогда, когда она абелева. Тем не менее, как вытекает из следующей теоремы, конечная сверхразрешимая группа все примарные подгруппы которой абелевы, может быть представлена в виде такого произведения (более того, может быть представлена в виде произведения попарно перестановочных примарных циклических подгрупп).
Теорема 3.17 (С. Н. Черников [7]). Группа G является конечной сверхразрешимой группой, все примарные подгруппы которой абелевы, тогда и только тогда, когда она представима в виде полупрямого произведения G = А х В двух конечных абелевых подгрупп А и В, первая из которых разложима в прямое произведение инвариантных в G примарных циклических подгрупп, таких, что каждая из них поэлементно перестановочна с любой подгруппой из В, примарной по тому же простому числу.
(Определение полупрямого произведения см., например, М. Холл Ш.)
Доказательству теоремы 3.17 предпошлем леммы 3.8—3.10.
Лемма 3.8. Пусть А = В X С — абелева инвариантная подгруппа конечной группы G, такая, что (|Л|, |G : CG (Л)|) = = 1. Если подгруппа В инвариантна в G, то существует такая инвариантная в G подгруппа D, что А = В X D.
Лемму 3.8 нетрудно доказать, используя известную теорему Машке (см., например, Каргаполов, Мерзляков [1], теорема 20.2.2).
Лемма 3.9. Пусть G — периодическая неединичная группа и А — некоторая ее инвариантная истинная циклическая либо квазициклическая р-подгруппа. Тогда если А = Сс(Д) и фактор-группа GIA не содержит элементов порядка р, то р *> >2 и справедливы следующие утверждения.
Выполняются соотношения G' = А и Z (G) = 1.
Для любого элемента а^Аи любого элемента g £ 6\Д найдется элемент а*£А, такой, что а = к*, gl.
Найдется такой элемент b порядка, делящего р — 1, что G = Ах kb). Для любого элемента а^А оь = аг, где г —^меньшее, чем р отличное от единицы фиксированное натуральное число.
Лемму 3.9 нетрудно доказать, используя хорошо известные свойства групп автоморфизмов циклических и квазицик- лических групп.
Лемма ЗЛО. Пусть G—конечная неабелева сверхразрешимая группа, все примарные подгруппы которой абелевы*, р — произвольный простой делитель порядка коммутанта группы G; Н — какая-нибудь циклическая р-подгруппа коммутанта группы G, имеющая наибольший порядок среди его циклических р-подгрупп. Тогда подгруппа Н дополняема в G.
Доказательство. Воспользуемся индукцией по порядку группы G. Пусть сначала группа G имеет инвариантную отличную от единицы подгруппу N, пересечение которой с Н равно единице. Нетрудно убедиться в том, что группа GIN сверхразрешима и все ее примарные подгруппы абелевы, а подгруппа HNIN имеет наибольший порядок среди циклических р-подгрупп коммутанта группы GIN. Согласно индуктивному предположению подгруппа HN/N фактор-группы GIN дополняема в последней. Пусть DIN— одно из дополнений к HN/N в GIN. Нетрудно видеть, что подгруппа D дополняет подгруппу Н в группе G.
Рассмотрим теперь случай, когда пересечение с Н произвольной отличной от единицы инвариантной подгруппы группы G отлично от единицы. Пусть К — централизатор в группе G ее коммутанта G'. Покажем, что К — циклическая р-группа. Так как группа G сверхразрешима, то в силу теоремы Вендта— С. Н. Черникова (см. Курош [1]) подгруппа G' нильпо- тентна. Поэтому подгруппа G' разложима в прямое произведение некоторых своих примарных подгрупп и, значит, абелева. Отсюда вытекает, что подгруппа К' содержится в центре группы К. Следовательно, подгруппа К нильпотентна и, значит, абелева (по тем же соображениям, что и подгруппа G'). Поэтому подгруппа К представима в виде прямого произведения некоторых своих примарных циклических подгрупп. Обозначим через А подгруппу, порожденную всеми элементами
простых порядков группы К, и через Р подгруппу порядка р группы Н. Очевидно, К является циклической /7-группой в том и только в том случае, когда А = Р. Покажем, что А = — Р. Нетрудно убедиться, что подгруппа А имеет экспоненту р и что подгруппа Р выделяется в А прямым множителем. Так как подгруппа А является /7-группой, то К — /7-группа. Будучи инвариантной в G, подгруппа К содержится в любой си- ловской /7-подгруппе группы G. Поэтому ввиду абелевости /7-подгрупп группы G централизатор CG (Л) содержит все силовские /7-подгруппы группы G. Следовательно, (|/<|, |G : :Се(Л)|)=1. Так как CG (К) <= CG (Л), то и (|Л|, |G : : CG (Л)|) = 1. Далее, группа G, будучи сверхразрешимой, обладает инвариантной подгруппой простого порядка. Эта подгруппа, очевидно, содержится в Н и, значит, совпадает с Р. Следовательно, подгруппа Р инвариантна в G. Тогда ввиду леммы 3.8 для некоторой инвариантной в G подгруппы D а А А = Р X D. Так как Р П D = 1, то и Н П D =| 1.’ Поэтому D = 1 и Р = Л, что и требовалось показать. '
Так как подгруппа К является примарной циклической, (|/f|, |G : CG (/<)|)= 1 и, очевидно, К = CG (К), то ввиду леммы 3.9 К = G'. Тогда ввиду максимальности числа |//| К= = Н. Поэтому снова ввиду леммы 3.9 подгруппа Н дополняема в G.
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 3.17. Необходимость. Так как группа G сверхразрешима и все ее примарные подгруппы абелевы, то в силу теоремы Вендта — С. Н. Черникова (см. Курош [1]) ее коммутант абелев. Индукцией по |G| покажем, что он дополняем в G и разложим в прямое произведение инвариантных в G примарных циклических подгрупп. Вместе с этим необходимость будет доказана.
Если G' = 1, то доказывать нечего. Пусть G' ^ 1; р — произвольный простой делитель числа |G'| и Н — циклическая /7-подгруппа группы G', имеющая наибольший порядок среди ее циклических /7-подгрупп. Ввиду леммы 3.10 подгруппа Н дополняема в G с помощью некоторой подгруппы D. Легко видеть, что G' = Н X(G' П^) и что подгруппа G' QZ) инвариантна в G. Поэтому ввиду леммы 3.8 для некоторой инвариантной в G циклической /7-подгруппы К G' = K X ^G' QD).
Нетрудно убедиться, что D' = G' Г!^- По индуктивному предположению, примененному к подгруппе D, подгруппа D' дополняема в D с помощью некоторой подгруппы В и разложима в прямое произведение инвариантных в D примарных циклических подгрупп. Легко видеть, далее, что В дополняет подгруппу G* в G. Так как, очевидно, любая инвариантная в D подгруппа из G' Л ^ инвариантна в G, О' = К X (С'ПР)и
подгруппа G'ftD разложима в прямое произведение инвариантных в D примарных циклических подгрупп, то подгруппа G' разложима в прямое произведение инвариантных в G примарных циклических подгрупп.
Необходимость доказана.
Достаточность. Тот факт, что группа G = Л х В сверхразрешима, очевиден. Индукцией по |G| покажем, что все примарные подгруппы группы G абелевы.
Пусть сначала А не является примарной циклической группой. Пусть Н и К — какие-нибудь два различных, отличных от единицы примарных циклических множителя из соответствующего прямого разложения подгруппы А. Согласно индуктивному предположению в фактор-группах GlHviGlK все примарные подгруппы абелевы. Так как f/Q К = 1, то ввиду теоремы Ремака (см., например, Каргаполов, Мерзляков [1], теорема 4.3.9) группа G изоморфна некоторой подгруппе прямого произведения фактор-групп GIH и G/К. Следовательно, все ее примарные подгруппы абелевы.
Пусть теперь А — примарная по некоторому р циклическая группа. Тогда, как нетрудно видеть, по любому простому q Ф Р все (/-подгруппы группы G абелевы. Возьмем произвольную /7-подгруппу Р группы G и покажем, что она абелева. Рассмотрим р-подгруппу АР. Ввиду леммы 1.8 АР = = A (.AP^BY Подгруппа А поэлементно перестановочна с подгруппой АР ft В. Следовательно, подгруппа АР и, вместе с этим, подгруппа Р абелевы. Достаточность доказана.
Теорема доказана.
Ввиду следствия 3.7 группа, факторизуемая некоторыми попарно перестановочными примарными циклическими подгруппами, является равномерным произведением этих подгрупп. Следующая важная теорема дает конструктивное описание групп, представимых в виде равномерного произведения некоторых своих примарных подгрупп.
Теорема 3.18 (III у н к о в [1]). Группа G тогда и только тогда может быть представлена в виде равномерного произведения некоторых своих примарных подгрупп, когда она является полупрямым произведением G = А х В двух таких подгрупп А и В, разложимых в прямое произведение своих силов- ских р-подгрупп по разным р, что первая из них абелева и порождается своими циклическими подгруппами, инвариантными в G.
Доказательству теоремы 3.18 предпошлем следующую лемму.
Лемма 3.11. Пусть ръ р^ и ра — простые числа, р^ > р»; G — группа, факторизуемая попарно перестановочными циклическими р ^-подгруппами Н^, i = 1, 2, 3. Тогда если подгруппы
НХН2 и Н2Нз неабелевы, то, во-первых, G = Н2 х (НуН3), во- вторых, рг ^р2 и, в-третьих, в случае, когда рг = р2, НуНг = = НуХ Нз. '
Доказательство. Пусть подгруппы НуН2 и Н2Н3 неабелевы. Рассмотрим подгруппу Н2Н3. Так как р2 > р3, то ввиду утверждения 4 леммы 3.7 подгруппа Н2 инвариантна в ней. Учитывая, что подгруппы Н2 и Нз циклические и что подгруппа Н2Нз неабелева, убеждаемся в следующем: (Н2Нзу = =Н2 и (РНзу=Р для подгруппы Р порядка р2 из Н2. Точно так же, если рг >• р3, то подгруппа Ну инвариантна в подгруппе HyH3, и (Н^зУ = Ну, если к тому же подгруппа НуН3 неабелева. Точно так же, если р2 > рг, то подгруппа Н2 инвариантна в подгруппе H2HV Дальнейшую часть доказательства разобьем на несколько этапов.
1°. Покажем, что лемма справедлива в случае, когда p£>pv
Так как подгруппа Н2 инвариантна в подгруппах Н2Н3 и НгН2, то, очевидно, она инвариантна в G. Ввиду того что Ръ> Pi и р2 > рз, (|Я2|, \НуН3\) = 1. Поэтому G = Н2х х (Н^з).
Далее будем считать, что ру ^ р2.
2°. Покажем, что подгруппа Р инвариантна в G.
Ввиду следствия 3.7 подгруппа Р перестановочна с подгруппой Hv Поэтому произведение НгР — подгруппа группы G. Очевидно, индекс подгруппы Ну в группе НгР не превосходит р2. Так как р2— минимальный простой делитель порядка группы НХР, то отсюда следует, что подгруппа Нг инвариантна в последней. Далее, рг (^р^ > Рз- Поэтому подгруппа Нг инвариантна в группе НуН3. Следовательно, подгруппа Ну инвариантна в группе К = НуРНз.
Поскольку подгруппа Ну циклическая, то ее группа автоморфизмов абелева. С учетом этого, очевидно,
Ск<Н^гКг№ = Р.
Итак, подгруппа Р содержит подгруппы Нх и Н2 в своем централизаторе и подгруппу Н8 в своем нормализаторе. Следовательно, она инвариантна в группе G = НХН2Н8.
3°. Индукцией по |G| покажем, что подгруппа Н4 инвариантна в группе G.
■Рассмотрим фактор-группу G/Р. Если ее подгруппы (Н^/Р)(Н2/Р) и (Н2/Р)(Н8Р/Р) неабелевы, то подгруппа Н2!Р инвариантна в группе GlP согласно индуктивному предположению. Далее, если подгруппа (Н2/Р)(Н8Р/Р) абелева, то с учетом соотношения (Н2Н8у = Н2 очевидно, что подгруппа Нг!Р равна единице и, значит, инвариантна в группе GIP.
Пусть подгруппа (НхР1РуН21Р) абелева. Так как подгруппа Н2 инвариантна в группе Н2Н9, то подгруппа H2iP инвари- 172
антна в группе (Н2/Р)(Н3Р/Р). Таким образом, подгруппа Н2!Р содержит подгруппу НгР/Р в своем централизаторе и подгруппу Н3Р!Р в своем нормализаторе и, значит, инвариантна в группе GIP. Поэтому подгруппа Н2 инвариантна в группе G.
4°. Покажем, что рг = р2.
Подгруппа Н2 согласно п. 3° доказательства инвариантна в группе G. Так как Н2 — циклическая /^-группа, то максимальный простой делитель порядка ее группы автоморфизмов не превосходит р2. Поэтому ввиду неабелевости подгруппы Н1Н2 очевидно, что р2 > рг и, следовательно, рг = р2.
5°. Покажем, что G = Н2 X (НгН3) и НгН3 = НгХ Н3.
Поскольку подгруппа Н2 циклическая то ее группа автоморфизмов абелева. Согласно п. 3° доказательства подгруппа Н2 инвариантна в G. С учетом этого, очевидно, Со (Н2) 3 G' г ^Н^зУ.
Следовательно, так как Нг^.Со(Н2у то Н1=/=(Н1Нзу. Тогда ввиду того, что Р1А=Р2)*>Рз, подгруппа HiH3 абелева и Н^з^Ну х Н3 (см. начало доказательства настоящей леммы).
Далее, так как подгруппа НгН3 абелева, а подгруппа РН3 неабелева, то P^H^H3. Поэтому Р^НгН3 = 1. Следовательно, Н2^НгН3 = 1 и, значит, G = Н2л (НгНзу
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 3.18. Достаточность очевидна. Необходимость. Пусть группа G является равномерным произведением некоторых своих примарных подгрупп HL, I б I. Число, по которому примарна подгруппа Н^ обозначим через pL. Определим подмножество Л множества I по правилу: t £ Л в том и только в том случае, когда хотя бы для одного х £ I р^ < pL и подгруппы HL и Нк не перестановочны поэлементно. Подмножество Л может быть пустым. Например, оно пусто, когда все подгруппы Щ примарны по одному и тому же простому числу. Множество Л не совпадает с множеством I. Действительно, если р — наименьшее из чисел pL, t £ I, то индекс I произвольной подгруппы Н^ примарной по р, не принадлежит множеству Л.
Обозначим через В подгруппу ( (J НС). Доказательство i€Z\A
разобьем на несколько этапов.
Г. Покажем, что подгруппа В является прямым произведением своих силовских р-подгрупп по разным простым р и что теорема справедлива в случае, когда В = G.
Для произвольного р обозначим через Вр подгруппу, порожденную всеми подгруппами Ни t£l\A, примарными по р, если такие имеются. В противном случае положим Вр = 1. Нетрудно убедиться, что при каждом р подгруппа Вр явля-
ётся р-группой. Очевидно, Подгруппы Вр порождают подгруппу В. Заметим далее, что если некоторые подгруппы Н^ i £ 1\Л, и Ях, х € 1\Л, примарны по разным простым числам, то они поэлементно перестановочны. Отсюда вытекает, что подгруппы [Вр поэлементно перестановочны. Поэтому, очевидно, подгруппа В является прямым произведением подгрупп Вр и при каждом р подгруппа Вр — силовская р-под- группа группы В.
В случае, когда 6 = G, положим Л = 1. Очевидно, подгруппы Л и 6 удовлетворяют условиям теоремы.
Будем считать далее, что B^G. Тогда множество Л не пусто. Обозначим через Л подгруппу ([J Н^. Очевидно, G—
= АВ. Наша цель — показать, что подгруппы Л и 6 удовлетворяют условиям настоящей теоремы.
Возьмем произвольную подгруппу Н^ X € А, ив ней про. извольные элементы Нх и Нх; произвольную, не перестановочную поэлементно с Нх подгруппу Н^ для которой рц<рх, и в ней произвольный элемент Н^ не централизующий подгруппу Нх; произвольную подгруппу Hv, v I, и в ней произвольный элемент Av.
2°. Покажем, что подгруппа Н^ нормализует любую подгруппу группы Нх-
Рассмотрим подгруппу (Ах) (/i^). Так как р^ < pv то ввиду утверждения 4 леммы 3.7 подгруппа (Нх) инвариантна в последней. Таким образом, элемент Н^ нормализует произвольную циклическую подгруппу группы Нх. Ввиду этого элемент Лц нормализует любую подгруппу группы Нх. Поэтому в силу произвольности выбора йц подгруппа Н^ нормализует любую подгруппу группы Нх.
3°. Покажем, что подгруппа Нх абелева. С этой целью покажем, что элементы Нх и Нх перестановочны в случае, когда ни один из них не перестановочен с элементом Н^. Так как подгруппа Нх, очевидно, порождается своими элементами, не перестановочными с элементом Н^ то отсюда ввиду произвольности Нх и Нх будет следовать, что она абелева.
Пусть элементы Нк и йх не перестановочны с элементом Н^.
Положим в лемме 3.11: рг = pv р^ = pv р3 = р^ Нг = = Уч). На = 1)^), Н3 = (h^. Так как ра> р3 и pv = ру но подгруппы НаН3 и НгН3 неабелевы, то подгруппа НгНа абелева на основании заключения этой леммы. Значит, элементы hK и h^ перестановочны.
46. Покажем, что ни один отличный от единицы элемент подгруппы Нх не перестановочен с элементом кр.
Пусть кк Ф 1 и к^ Ф 1. Согласно п. 2° доказательства элемент кр нормализует подгруппы фф ф*^ и Фф*^- Поэтому для некоторых натуральных чисел г, s и t, меньших числа pv
№ = /4, ф^ = ф^У и ф-ф^ = фхкхУ. (9)
Покажем, что г = s. Если фх) s Фх) либо фх) с Фх), то это так. Пусть элементы кх и кх не содержатся в одной и той же циклической подгруппе группы Нх. Используя соотношения (9) и учитывая, что подгруппа Нх абелева (см. п. 3° доказательства), получаем кх фхУ = к^ фх^ = Фккх)Ну’ = = фФхУ = кхфхУ, откуда
Фх"*) = (Фк^. (Ю)
Так как г < рх, $<_рх и t < рх, то | г — 11 < рх и 11 — s | < <_рх- С учетом соотношения (10) отсюда вытекает, что хотя бы одно из чисел г — / и /— s равно нулю (иначе было бы фх) = Ф^^) = (ФхУ-8) = Фх)\ Но тогда, очевидно, оба числа г — t и t — s равны нулю и, значит, г = s = t. Следовательно, сопряжение посредством элемента кр возводит произвольный элемент подгруппы Нх в фиксированную натуральную степень г(г<Рх). Так как элемент ки перестановочен не со всеми элементами подгруппы Нх, то г ^ 1. Отсюда следует, что элемент кр не перестановочен ни с одним отличным от единицы элементом подгруппы Нх-
5°. Покажем, что подгруппы Нх и Н„ поэлементно перестановочны в случаях, когда px<Pv и когда v 5 Л. Покажем также, что в группе G инвариантна любая подгруппа группы Нх- Пусть кх ф 1. Тогда согласно п. 4° доказательства элементы кх и кр не перестановочны. Рассмотрим подгруппу Ф^)Фх)Фр).
Покажем, что подгруппа фх) инвариантна в ней. Если элементы kv и кх не перестановочны, то это так ввиду леммы 3.11. Пусть элементы kv и кх перестановочны. Тогда подгруппа ф^,) нормализует подгруппу Фх), и подгруппа ф^ также нормализует ее (см. п. 2° доказательства). Отсюда следует, что подгруппа фх) инвариантна в группе 1к„)фх) фр).
Далее, используя лемму 3.11 и учитывая, что подгруппа фх) Фр) неабелева, убеждаемся в следующем: подгруппа фч)фх) абелева (т. е. элементы к„ и кх перестановочны) в случае, если pv>pi, и в случае, когда ф^) П Фх)^* 1- В
первом случае ввиду произвольности элементов hv£Hv и Ах Е ^Нх сразу же заключаем, что подгруппы Нх и Н„ поэлементно перестановочны.
Так как элемент Км^Н^ нормализует подгруппу (Ах), то ввиду его произвольности подгруппа Hv нормализует подгруппу (Ах). Но тогда, поскольку G = <(J Н^, подгруппа (Ах) инва
риантна в группе G. Таким образом, всякая циклическая подгруппа группы Нх инвариантна в группе G. В силу этого в группе G инвариантна любая подгруппа группы Нх.
Покажем теперь, что элементы Av и hx перестановочны в случае, когда (Av) Q (hx) = 1 и vEA. Поскольку vEA, а для произвольного ХЕ Л любая циклическая подгруппа группы Нх инвариантна в G, подгруппа (Av) инвариантна в G. Так как подгруппы (Нх) и (Av) инвариантны в группе G и (hx) П (Av)= = 1, то, очевидно, элементы hx и Av перестановочны.
Ввиду доказанного при vEA произвольные элементы hx^ ^Нх и hv£Hv перестановочны. Следовательно, подгруппы Нх и Н^ поэлементно перестановочны.
6°. Покажем, что подгруппа А является периодической абелевой (или, иначе, абелевой и разлагающейся в прямое произведение своих силовских /7-подгрупп по разным р) и порождается своими инвариантными в G циклическими подгруппами.
Согласно п. 5° доказательства при произвольном ХЕЛ любая циклическая подгруппа группы Нх инвариантна в группе G. Отсюда следует, что подгруппа {(J Нх) = А порождается своими циклическими подгруппами, инвариантными в G. Далее, согласно п. 3° и 5° при произвольных ХЕЛ и vEA подгруппы Нх и //v абелевы и поэлементно перестановочны.
Таким образом, подгруппа А порождается поэлементно перестановочными периодическими абелевыми подгруппами. Отсюда следует, что она сама периодическая абелева.
Так как подгруппы А и В периодические и первая из них инвариантна в G, то группа G (=АВ) — периодическая.
7°. Покажем, что для любого элемента g группы G, порядок которого не делится на рх, hx = Ь^Л где г (g, X)— некоторое натуральное число, меньшее, чем рх, зависящее только от g и X (и не зависящее от hx). Для этого повторим рассуждения п. 4° доказательства с заменой в них элемента hw элементом g и ссылки на п. 2° доказательства ссылкой на его п. 5°.
Обозначим теперь через Ц, ХЕ А, множество всех таких i Е Л, что, во-первых, рх, = рх и, во-вторых, г (g, i) = г (g, X)
для любого элемента g^G, порядок которого не делится на Рх Положим Ах = (H^t £ Ц) Очевидно, для любого элемента а^ Ах а8 — dl8lX\
Пусть {Ла |а ^ Г} — множество всех различных подгрупп Ах, к которому для удобства добавлена единичная подгруппа группы G. Ясно, что | Г | ^ 2.
8°. Покажем, что подгруппа А является прямым произведением всех подгрупп Аа.
В самом деле, пусто это не так. Тогда для некоторого р найдутся отличные от единицы /2-элементы ах, а^, ...., ап, дающие в произведении единицу, каждый из которых принадлежит одной из подгрупп Аа и никакие два из которых не принадлежат одной и той же подгруппе Аа. Будем считать, что число п этих элементов является наименьшим возможным. Для некоторого элемента g^G, имеющего взаимно простой с р порядок, а8 = а\' и а8 = я'2 при различных натуральных числах гх < р и r2<zp. Пусть а8 = d.^ 1=1Д ... ,п- Тогда 1 = (аха2•... • anf х X (fl^. • •е апГ Г' = ^“^ * • • • * аГп~Г" И а22""Г1 ^ 1, что НевОЗМОЖНО ввиду минимальности п. Противоречие.
9°. Покажем, что G — A>B. Подгруппа А инвариантна в группе G (см. п. 6° доказательства) и G = АВ. Нужно показать, что А П В = 1. Пусть А П 5 =7^=1, 6— элемент из А П В некоторого простого порядка q. С учетом п. 8° до казательства b = а^ •... • ап для подходящих {/-элементов ах, а21 ..., ап, каждый из которых принадлежит одной из подгрупп Аа и никакие два из которых не принадлежат одной и той же разности Ла\{1}. Будем считать, что^^!. Тогда найдется такой элемент g^B порядка, не делящегося на q, что а^ = а^, где гх — отличное от единицы натуральное число, меньшее, чем q. Пусть as = aV, z = 1, 2, ..., п. Так как элементы g и b имеют взаимно простые порядки, а подгруппа В является прямым произведением своих силовских /7-подгрупп по разным р, то элементы b и g перестановочны. Следовательно,
1 — Ь6Ь-Х = а^-ха^""х -...-а^-1 и a?_1#=l. (И)
Так как подгруппа А является прямым произведением подгрупп Аа, os gГ, то соотношения (11) не могут выполняться. Противоречие.
Итак, А П В = 1.
Теорема доказана.
В процессе доказательства теоремы 3.18 доказано следующее предложение.
Предложение 3.2 (Шунков [1]). Пусть группа G является равномерным произведением примарных подгрупп Ни i 6 L Тогда группа G разложима в прямое произведение своих силовских р-подгрупп по разным р или представима в виде полу- прямого произведения G = А х В периодической абелевой подгруппы А, порожденной некоторыми из множителей Щ, у которых все подгруппы инвариантны в группе G, и подгруппы В, порожденной некоторыми множителями Щ и разложимой в прямое произведение своих силовских р-подгрупп по разным р.
Рассуждая так же, как в доказательстве теоремы 3.18, можно доказать следующую теорему.
Теорема 3.19 (Шунков [1]). Группа G тогда и только тогда может быть представлена в виде равномерного произведения некоторых своих силовских р-подгрупп, когда она является полупрямым произведением G = А х В подгрупп А и В, удовлетворяющих следующим условиям*.
А и В не содержат элементов одинаковых простых порядков и являются прямыми произведениями своих силовских р-под- групп по разным р;
подгруппа А абелева и все ее подгруппы инвариантны в группе G.
Группы, разложимые в равномерное произведение некоторых своих бесконечных циклических подгрупп, детально рассмотрены Андруховым [2] (см. еще Андрухов [1]). Приведем здесь теорему, объединяющую некоторые результаты Андрухо- ва [1, 2].
Теорема 3.20 (Андрухов [1, 21). Пусть группа G является равномерным произведением некоторых своих бесконечных циклических подгрупп AL = (aL), i С I, причем для любого а £ I
АхА( U Л) = 1(12)
1€//{а>
(/п. е. подгруппа Аа пересекается по единице с подгруппой, порожденной всеми подгруппами At с t ^ а). Тогда справедливы следующие утверждения.
При произвольных различных а и р из I
а™ а” = а^^а^0^, т = ± 1, ± 2, ..., п = ± 1, ± 2, ...;
ос р р а
еар = + 1 либо — 1, ера = + 1 либо — 1(13)
(еар и ера — зависящие только от а и ^ константы, которые независимо одна от другой могут принимать значения + 1 или — 1).
Обратно, группа, заданная образующими а^, i € I, и определяющими соотношениями (13), взятыми по всем различным
а и p из I, является равномерным произведением бесконечных циклических подгрупп (^ > = At, t € I, для которых выполняется соотношение (12).
Все подгруппы (а^ инвариантны в группе G и порождают в ней свободную абелеву подгруппу. Фактор-группа группы G по последней является элементарной абелевой 2-группой.
Коммутант и центр группы G являются свободными абелевыми группами.
Если группа G локально нильпотентна, то она абелева.
Отличные от единицы периодические подгруппы группы G являются элементарными абелевыми 2-группами. Любой отличный от единичного класс сопряженных элементов конечного порядка группы G бесконечен.
Группа G не имеет отличных от единицы элементов конечного порядка тогда и только тогда, когда при любых различных а и^ из! хотя бы одно из чисел eap ue8pa равно единице.
§ 6. Некоторые свойства групп, факторизуемых двумя подгруппами, конечными над их центрами
Лемма 3.12 (Н. С. Черников [17]). Пусть G — группа, разложимая в произведения
Q = AB = AC= ВС(1)
некоторых подгрупп А и В и инвариантной абелевой подгруппы С; L и М — конечнопорожденные нильпотентные инвариантные подгруппы соответственно групп А и В. Тогда если фактор-группы AIL и В/М периодические, то подгруппа LCft МС нильпотентна.
Доказательство. Пусть фактор-группы AIL и В/М периодические. Покажем, что подгруппа LCftMC нильпотентна. С этой целью последовательно выделим этапы 1°—6° доказательства.
1°. Сведение к случаю, когда
LC = МС.(2)
Рассмотрим подгруппы L* = L А МС и М* = М f] LC. Нетрудно убедиться в том, что
LC П МС = L*C = М*С = L*C П М*С. (3)
Группы L* и М* конечно порождены и нильпотентны, будучи подгруппами конечнопорожденных нильпотентных групп. Далее, с учетом инвариантности подгрупп С, L и М соответственно в С, А и В и соотношений (1) заключаем, что подгруп-
пы LC и МС инвариантны в G. Следовательно, подгруппы L* и М* инвариантны соответственно в Д и В.
Покажем, что фактор-группы AIL* и В,М* периодические. Подгруппы А П МС и BRLC инвариантны соответственно в Д и В, так как подгруппы МС и LC инвариантны в группе G. Очевидно, В* = В П (Д П МС) и М* =- МП (ВП LC). Поэтому ввиду теоремы Ремака фактор-группы AIL* и BIM* вкладываются соответственно в прямые произведения групп AIL и Д/(ДГ)МС), BIM и BI(Bf\LC). Следовательно, для доказательства периодичности фактор-групп AIL* и BIM* достаточно показать, что фактор-группы Al(AQMC) и B,(Bf\LC) периодические.
Учитывая соотношения (1), получаем
Д/(Д П МС) ~ АМС/МС = BMCIMC ~ В/(В П МС) ~
~(В/М)/((ВрМС)/М) и
В^В П LC) ~ BLCILC = ALCILC ~ Д/(Д fl LC) ~^^AILMAOLC)IL),
т. е. группы Д/(Д П Л4С) и BI(Bf\LC) изоморфны некоторым фактор-группам соответственно групп BIM и AIL. Поэтому группы Д/(ДГ)МС) и BI(Bf\LC) периодичны.
Итак, во-первых, подгруппы L* (^Д) и М* ^В) конечно- порождены, нильпотентны и инвариантны соответственно в А и В, во-вторых, фактор-группы AIL* и BlM* периодические и, в-третьих, выполняются соотношения (3). Поэтому подгруппы L и М в доказательстве нильпотентности подгруппы LC П МС можно заменить соответственно подгруппами L* и М* и тем самым свести доказательство к случаю, когда выполняется соотношение (2).
Будем считать далее, что выполняется соотношение (2).
2°. Доказательство нильпотентности подгруппы ВСПМС в случае, когда (ВиМ)ПС = 1.
Ввиду последнего соотношения и соотношения (2) очевидно, что (L (J М) = L = М. Поэтому подгруппа L инвариантна в подгруппах Д и В и, значит, в группе G (=АВ). Так как подгруппы L и С инвариантны в G и их пересечение равно единице, то они поэлементно перестановочны. Отсюда ввиду нильпотентности подгрупп L и С следует, что подгруппа LC (—LC П МС) нильпотентна.
3°. Сведение доказательства нильпотентности подгруппы LC Г1 МС к доказательству нильпотентности подгруппы а и м>.
Пусть подгруппа (BJM) нильпотентна, п— ступень ее нильпотентности. Покажем, что подгруппа BCf]MC нильпо-
тентна. Так как LC П МС = (В U УИ) С, а подгруппа С абелева и инвариантна в G, ю, очевидно, подгруппа (Ди^)ПС содержится в п-м гиперцентре группы LC Л МС. Обозначим через Н пересечение с С п-го гиперцентра группы LCf\MC. Так как подгруппы LC Л МС и С инвариантны в G, то и подгруппа Н инвариантна в G. Рассмотрим фактор-группу GIH. Для произвольной подгруппы X группы G подгруппу ХН]Н фактор-группы G!H будем обозначать через X. Очевидно, LC = МС и (L U УИ) Л С = 1. Поэтому подгруппа LCf\ Л МС нильпотентна (см. п. 2° доказательства). Так как подгруппа Н содержится в n-м гиперцентре группы LC Л МС и фактор-группа (LC Л МС)1Н (= LC Л УИС) нильпотентна, то и подгруппа LCRMC нильпотентна.
4°. Доказательство нильпотентности подгруппы (L U УИ)в случае конечной группы G.
Обозначим через D подгруппу LC. Используя соотношения (1) и (2), нетрудно убедиться, что А Л D = L (Д Л С) и ВЛ Л D = М (В Л С). Так как подгруппы L и А Л С нильпотентны и инвариантны в Д, то подгруппа А ПО нильпотентна ввиду теоремы Фиттинга (см., например, Каргаполов, Мерзляков [1], теорема 16.2.12) и инвариантна в А. Аналогично подгруппа В ПО нильпотентна и инвариантна в В. Следовательно, ввиду утверждения 2 леммы 2.5 подгруппа LC нильпотентна. Вместе с этим подгруппа (L (J М) (^ВС) нильпотентна.
5°. Сведение доказательства нильпотентности подгруппы (L U М) к случаю, когда она инвариантна в G.
Используя лемму 1.8 и учитывая соотношение (2), получаем
(ВиМ) = В((ВиУИ)ЛС) = Л1((Ви^(4)
Таким образом,
(L U УИ) - {L U «В U М) П С)) = (М U «В U М) И С)>,
где В, М и (В (J УИ) П С — инвариантные подгруппы соответственно групп Д, 6 и С. Тогда с учетом периодичности фактор-групп Д/В и В! М выполняются соотношения
No «В U УИ» = Na ((В U УИ» NB «В U УИ» =
= Na «В U УИ» Nc «В U М» = NB «В U УИ» Nc ((В U М» (5)
(см. лемму 1.6). Далее, с учетом соотношений (4) и включения (В (J УИ) П С г Nc ((В (J Л4» получаем
LNC «В U УИ» = MNC ((В U УИ».(6)
Подгруппа WC((B|JM)) абелева и, очевидно, инвариантна в Nq^L U М)). Поэтому соотношения (5) и (6) позволяют в доказательстве нильпотентности подгруппы (L J Л4) заменить группу G и подгруппы Д, В и С соответственно группой Ng ((В U МУ) и подгруппами NA ((В J М», Nb ((В J М)) и ^с«вим».
Таким образом, в доказательстве нильпотентности подгруппы ВС П МС без ограничения общности можно считать, что подгруппа (В J М) инвариантна в G.
6°. Доказательство нильпотентности подгруппы (В U Л1).
Ввиду теоремы Робинсона, приведенной перед доказательством леммы 3.5, достаточно показать, что всякая конечная фактор-группа группы (BUM) нильпотентна. В силу теорем М. Холла и Пуанкаре в конечнопорожденной группе любая подгруппа конечного индекса содержит характеристическую подгруппу конечного индекса. С учетом этого факта, очевидно, достаточно показать, что фактор-группа группы <В □ Л1 > по произвольной ее инвариантной в G подгруппе конечного индекса нильпотентна.
Пусть К — какая-нибудь инвариантная в G подгруппа конечного индекса группы (BJM). Рассмотрим фактор-группу GIGg ((В (J МЖУ Она конечна, так как индекс подгруппы К в группе (В (J М) конечен. Для произвольной подгруппы X группы G подгруппу XCq ((L U МЖУС0 «В U МЖ) будем обозначать через X. Очевидно, подгруппа С абелева и инвариантна в G, подгруппы В и М нильпотентны и инвариантны соответственно в А и В и выполняются соотношения G = = "АВ= АС = ВС и LC = МС. Поэтому согласно п. 4° доказательства подгруппа (В (J М) группы G нильпотентна.
Далее, очевидно, Z((B U M^K^^Cg^L J МЖ) П (В U M^fK. Следовательно,
(L и М) = (ВЦМ) ~ (В J M)/(CG «В U МЖ") П <В U М))-
~ «В и МЖЖо «В и МЖ) П (В и МУЖ) ^
-«ВиМ)/^/7((ВиМ)Ж
Поэтому фактор-группа группы (BJM)^ по ее центру нильпотентна. Тогда сама группа (BjM)^ нильпотентна, что и требовалось доказать.
Итак, подгруппа (В U М) нильпотентна. Поэтому и подгруппа LC?\MC нильпотентна (см. п. 3° доказательства).
Лемма доказана.
Следствие 3.10. Пусть G — группа, разложимая в произведения
g = ab = ac = bc
некоторых подгрупп А и В и инвариантной абелевой подгруппы С; Н и К — подгруппы, порожденные всеми инвариантными нильпотентными конечнопорожденными подгруппами соответственно групп А и В. Тогда если группы А и В обладают инвариантными нильпотентными конечнопорожденными подгруппами с периодическими фактор-группами по ним, то подгруппа НС П КС локально нильпотентна.
Следствие 3.10 почти непосредственно вытекает из леммы 3.12.
Следствие 3.11 (Н. С. Черников [17]). Пусть G — группа, разложимая в произведения G = АВ = АС = ВС (почти) локально нильпотентных FC-подгрупп А и В, являющихся расширениями конечнопорожденных абелевых групп с помощью периодических групп, и инвариантной абелевой подгруппы С. Тогда группа G (почти) локально нильпотентна.
Следствие 3.11 легко вытекает из следствия 3.10.
Заметим в связи со следствием 3.11, что произвольная FC-группа содержит в своем центре подгруппу без элементов конечного порядка, фактор-группа по которой периодическая (С. Н. Черников [41; см. также С. Н. Черников [8, теорема 3.131).
Лемма 3.13. Пусть Ж — класс групп, замкнутый относительно подгрупп, фактор-групп и расширений', G — почти разрешимая группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В, принадлежащими классу X, и D — какая-нибудь инвариантная разрешимая подгруппа конечного индекса группы G. Тогда если группа G классу Ж не принадлежит, но фактор-группа GID принадлежит ему, то некоторая секция G* группы G, не принадлежащая классу U, разложима в произведения G* = = А*В* = А*С* = В*С* подгрупп А*, В* и С*, таких, что выполняются следующие условия;
подгруппы А* и В* изоморфны некоторой секции группы А (и вместе с этим принадлежат классу Ж);
подгруппа С* изоморфна фактор-группе некоторого члена ряда коммутантов подгруппы D (в частности, абелева), инвариантна в G*, пересекается с подгруппами А* и В* по единице и не принадлежит классу Ж.
Доказательство. Пусть группа G не принадлежит классу Ж, но фактор-группа G/D ему принадлежит. Тогда подгруппа D не принадлежит классу Ж. Обозначим через К наименьший не принадлежащий Ж член ее ряда коммутантов, а через Н коммутант подгруппы К ♦ Подгруппы К и Н инва-
риантны в группе G. Повторяя доказательство леммы 2.6, убеждаемся в справедливости настоящей леммы.
Лемма 3.14. Пусть Ж— класс групп, замкнутый относительно подгрупп, фактор-групп и расширений', G — (почти) разрешимая группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В, принадлежащими классу Ж, хотя бы одна из которых является расширением конечнопорожденной нильпотентной группы с помощью периодической группы; D — какая-нибудь инвариантная разрешимая подгруппа конечного индекса группы G. Тогда если группа G классу Ж не принадлежит, но факторгруппа G/D принадлежит ему, то существует не принадлежащая классу Ж периодическая (почти) разрешимая группа G*, изоморфная некоторой секции группы G и разложимая в произведения) G* = А*В* = А*С* = В*С* подгрупп А*, В* и С*, для которых выполняются условия «1» и «2» из формулировки леммы 3.13.
Доказательство. Лемма 3.13 позволяет свести доказательство настоящей леммы к доказательству следующего предложения.
Пусть Ж — класс групп, замкнутый относительно подгрупп, фактор-групп и расширений; G — группа, разложимая в произведения
G = АВ = АС = ВС
(почти) разрешимых подгрупп Л и В, принадлежащих классу Ж, каждая из которых является расширением конечнопорожденной нильпотентной группы с помощью периодической группы, и инвариантной абелевой подгруппы С, пересекающейся с подгруппами Л и В по единице. Тогда если группа G не принадлежит классу Ж, то существует не принадлежащая классу Ж периодическая (почти) разрешимая группа G*, изоморфная секции группы G и разложимая в произведения G* = — А*В* = А*С* = В*С* подгрупп Л*, В* и С*, таких, что выполняются следующие условия:
подгруппы Л* и В* изоморфны некоторой секции группы А (и вместе с этим принадлежат классу Ж);
подгруппа С* изоморфна секции группы С, инвариантна в G*, пересекается с подгруппами Л* и В* по единице и не принадлежит классу Ж.
Докажем это предложение. Пусть группа G не принадлежит классу Ж. Тогда, очевидно, и подгруппа С не принадлежит ему. Возьмем конечнопорожденную нильпотентную инвариантную подгруппу L группы Л, такую, что фактор-группа A/L—периодическая. Обозначим через М подгруппу LC П В. Нетрудно видеть, что подгруппа М конечнопорождена, нильпотентна и инвариантна в В, LC = МС, и что фактор-группа В/М пе-
риодическая. Тогда ввиду леммы 3.12 подгруппа LC нильпо- тентна. Используя это и учитывая, что подгруппа С не принадлежит классу $, нетрудно убедиться в следующем: в ряде подгруппы С, образуемом пересечениями с ней членов верхнего центрального ряда подгруппы LC, некоторые два соседних члена Ли Н определяют фактор К/Н, не принадлежащий классу $. Очевидно, подгруппы К и Н инвариантны в группе G. Положим
G = (АК П ВКЖ Л = (Л П ВК) Н/Н, В = (В П АК^ Н/Н,С = КЖ
L = (L П МК) Н/Н и М = (М П LK) Н/Н.
Тогда группа G изоморфна некоторой секции группы G и, в частности, (почти) разрешима; группы А и L изоморфны секциям группы А; В и М — секциям группы В; С изоморфна секции группы С. В силу леммы 1.9 G = АВ = АС = ВС.
Далее убеждаемся, что, во-первых, L и М — инвариантные подгруппы соответственно групп Л и В, во-вторых, фактор-группы А/L и В/М — периодические, в-третьих, подгруппа С — абелева и инвариантна в G и, в-четвертых, выполняются соотношения
А П С = В П С = 1, LC = ~MC и (L, С] - \М, С] = 1.
Так как подгруппа С инвариантна в G и не принадлежит классу Ж, а подгруппа А принадлежит ему, и при этом G=AC и А П С = 1, то, очевидно, группа G не принадлежит классу X. Далее, так как G = ЛС = ВС и подгруппы L и М инвариантны соответственно в Л и 6 и поэлементно перестановочны с С, то, очевидно, подгруппы L и М инвариантны в группе G. Используя это и учитывая, что подгруппы L и М принадлежат классу Ж, убеждаемся в следующем: подгруппа LM принадлежит классу Ж. Положим
G* = G/LM, А* = AM/LM, В* = "BL/LM
и С* = CLM/LM. Учитывая установленные выше свойства групп G, Л, В, С, L, М и LM и используя следствие 1.33 (из которого вытекает, в частности, периодичность почти разрешимой группы, факторизуемой двумя периодическими подгруппами), убеждаемся, что группа G* и ее подгруппы Л*, В* И С* обладают всеми требуемыми свойствами.
С помощью леммы 3.14 легко устанавливается справедливость следующего предложения.
Предложение 3.3. Пусть Ж — класс групп, замкнутый относительно подгрупп, фактор-групп и расширений. Если произвольная периодическая (почти) разрешимая группа, факторизуемая двумя ^-подгруппами, принадлежит классу Ж, то классу Ж принадлежит и всякая (почти) разрешимая группа, факторизуемая двумя ^-подгруппами, хотя бы одна из которых является расширением конечнопорожденной нильпотентной группы с помощью периодической.
Определение 3.2. (Цассенхауз — см., например, Амберг [3]). Группа G имеет конечный свободный ранг г, если она обладает конечным нормальным рядом, г факторов которого являются бесконечными циклическими группами, а остальные периодические.
Свободный ранг группы не зависит от выбора соответствующего ряда и является ее инвариантом.
Разрешимая группа конечного свободного ранга — это в точности разрешимая Л 3-группа в смысле Мальцева [2]. Ввиду теоремы Мальцева [3] (см. в [3] теорему 3) разрешимая группа является Л ^группой тогда и только тогда, когда она — расширение периодической группы с помощью группы конечного специального ранга.
Определение 3.3 (Робинсон [3]). Группа, обладающая конечным нормальным рядом, произвольный фактор которого удовлетворяет условию максимальности или минимальности, называется минимаксной.
В следующем предложении л — непустое множество простых чисел.
Предложение 3.4. (Н. С. Черников). Пусть G — почти разрешимая группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В, по крайней мере одна из которых — почти ГС-группа. Пусть подгруппы А и В одновременно обладают хотя бы одним из следующих свойств*.
являются ^-группами;
имеют конечные свободные ранги*,
имеют конечные специальные ранги*,
удовлетворяют условию минимальности для к-секций;
не имеют бесконечных л-секций;
минимаксны;
удовлетворяют условию максимальности.
Тогда группа G обладает тем же свойством.
Напомним, что л-секция группы —это секция, являющаяся л-группой. (Секция группы — это фактор-группа ее подгруппы.)
* Доказательство. Прежде всего заметим, что
для каждого из свойств «1»—«7» класс всех групп, обладающих этим свойством, замкнут относительно подгрупп, фактор-групп и расширений и не содержит свободных абелевых групп бесконечного ранга. Далее, произвольная FC-rpyn- па — это центральное расширение абелевой группы без элементов конечного порядка с помощью локально нормальной (и тем самым периодической) группы (С. Н. Черников [4], см. также С. Н. Черников [8], теорема 3.13), а произвольная абелева группа, как известно, является либо периодической, либо периодическим расширением свободной абелевой группы. Следовательно, FC-группа, обладающая одним из свойств «1»—«7»,— расширение конечнопорожденной абелевой группы с помощью периодической группы. Тогда, как нетрудно убедиться, и произвольная почти FC-группа, обладающая одним из свойств «1»—«7», является таким же расширением. Следовательно, по крайней мере одна из подгрупп Д, В — расширение конечнопорожденной абелевой группы с помощью периодической. Поэтому, как вытекает из леммы 3.14, справедливость доказываемого предложения достаточно установить в случае, когда группа G периодична, а подгруппы Д и В почти локально нормальны.
Итак, пусть G — периодическая группа. Тогда она имеет нулевой свободный ранг, т. е. обладает свойством «2». Далее, если подгруппы А и В обладают одним из свойств «1», «4» или «5», то и группа G обладает соответствующим из этих свойств в силу теоремы 1.9. Если подгруппы Д и В обладают свойством «3», то группа- G обладает этим же свойством ввиду теоремы 1.5. Если подгруппы Д и В обладают свойством «6», то они, очевидно, удовлетворяют условию минимальности. Тогда ввиду теоремы 1.1 группа G удовлетворяет этому условию и, значит, минимаксна. Наконец, если подгруппы Диб обладают свойством «7», то они, очевидно, конечны. Тогда группа G конечна и потому удовлетворяет условию максимальности для подгрупп.
Предложение доказано.
Теорема 3.21 (Н. С. Черников). Пусть G — группа, факторизуемая двумя подгруппами А и В, конечными над своими центрами. Пусть подгруппы А и В обладают одним из свойств «1»—«7» из предложения 3.4. Тогда группа G обладает соответствующим из свойств «1»—«7».
Доказательство. Так как подгруппы Д и 6 конечны над своими центрами, то они являются FC-группами. Далее, группа G почти разрешима по теореме 3.5. Поэтому доказываемая теорема справедлива ввиду предложения 3.4.
Примечание. В случае, когда подгруппы Д и В абелевы, утверждения теоремы 3.21, связанные со свойствами «2», «3» и
«6», установлены Зайцевым [1]. В общем случае утверждения теоремы 3.21, связанные со свойствами «2» и «3», установлены Н. С. Черниковым [17]. Утверждения, относящиеся к свойствам «4» и «5», анонсированы Н. С. Черниковым [191; для случая, когда л = {р}, они установлены Н. С. Черниковым [17].
Следствие 3.12 (Н. С. Черников [5]). Пусть G — группа, факторизуемая двумя периодическими подгруппами А и В, конечными над своими центрами. Тогда группа G периодическая и выполняется соотношение л (G) = л (Л) U U л (В). II
Следствие 3.12 непосредственно вытекает из утверждения теоремы 3.21, относящегося к свойству «1».
Следствие 3.13. Группа G, факторизуемая двумя конечно- порожденными FC-подгруппами, почти полициклична.
Доказательство. Действительно, конечнопорож- денная FC-группа имеет центральную конечнопорожденную подгруппу конечного индекса (Нейман [1]), и потому конечна над своим центром и удовлетворяет условию максимальности для подгрупп. Следовательно, ввиду теоремы 3.5 группа G почти разрешима и ввиду утверждения теоремы 3.21, связанного со свойством «7», удовлетворяет условию максимальности. Всякая же (почти) разрешимая группа с условием максимальности, как известно, (почти) полициклична.
Следствие 3.14. Группа G, факторизуемая двумя конечными над своими центрами подгруппами Л и В, каждая из которых является расширением периодической группы с помощью группы конечного специального ранга, сама является таким рас- ширёнием.
Доказательство. Действительно, подгруппы Л и В, как нетрудно убедиться, имеют конечные свободные ранги. Следовательно, ввиду утверждения теоремы 3.21, относящегося к свойству «2», группа G имеет конечный свободный ранг. Поэтому, будучи почти разрешимой, она вследствие теоремы А. И. Мальцева, приведенной после определения 3.2, является расширением периодической группы с помощью группы конечного специального ранга.
Определение 3.4 (см., например, Зайцев [1]). Говорят, что группа имеет конечные секционные ранги (или является группой конечных секционных рангов), если специальный ранг каждой ее p-секции конечен для любого простого р.
Как известно, класс абелевых р-групп с условием минимальности совпадает с классом абелевых р-групп конечного специального ранга. Поэтому ввиду замкнутости относительно расширений классов групп с условием минимальности и групп конечного специального ранга класс разрешимых р-групп с
условием минимальности совпадает с классом разрешимых р- групп конечного специального ранга Отсюда вытекает, что класс (почти) разрешимых групп с условием минимальности для /2-секций по каждому простому р (или, что то же, с условием минимальности для примарных секций) совпадает с классом (почти) разрешимых групп конечных секционных рангов.
Следствие 3.15 (Зайцев [1]). Группа G, факторизуемая двумя абелевыми подгруппами А и В конечных секционных рангов, имеет конечные секционные ранги.
Доказательство. Действительно, подгруппы А и В при каждом р удовлетворяют условию минимальности для р-секций. Поэтому ввиду утверждения теоремы 3.21, относящегося к свойству «4», группа G при каждом р удовлетворяет условию минимальности для /2-секций и, значит, имеет конечные секционные ранги, будучи разрешимой (теорема 3.1).
Следствие 3.16 (Зайцев [1]). Группа G, факторизуемая двумя периодическими полными абелевыми подгруппами конечных секционных рангов, абелева.
Доказательство. Действительно, ввиду теорем 3.1 и 3.21 группа G разрешима, периодична и удовлетворяет условию минимальности для /2-подгрупп по каждому р. Далее, она полная, так как порождается полными подгруппами А и В. Поэтому группа G абелева ввиду утверждения 1 теоремы Каргаполова, приведенной непосредственно перед леммой 1.39.
ДОПОЛНЕНИЯ
Г. В работах Редей [1] и Кона [1] получено полное описание (с помощью образующих элементов и определяющих соотношений) бесконечных групп, факторизуемых двумя циклическими подгруппами с равным единице пересечением.
Хуппертом [1] (см.также Хупперт [2], гл. III, предложение 11.5) доказано, что конечная /7-группа, факторизуемая двумя циклическими подгруппами, при р> 2 является метацикли- ческой (т. е. расширением циклической группы с помощью циклической). Конечная 2-группа, факторизуемая двумя циклическими подгруппами, необязательно является метацикли- ческой. Описание метациклических р-групп см. Хупперт [21 (гл. III, предложение 11.2).
В работе Амберга, Скотта [1] получена следующая теорема.
Теорема 1. Если отличная от единицы группа G факторизуема двумя абелевыми подгруппами А и В, то существует отличная от единицы инвариантная подгруппа группы G, содержащаяся в А или В, при выполнении одного из следующих условий*.
хотя бы одна из подгрупп А, В субнормальна в G;
группа G является FC-группой;
группа G является конечным расширением периодической группы с нормализаторным условием;
группа G является гомоморфным образом периодической группы матриц над полем.
В работе Н. С. Черникова [15] содержится следующий результат.
Теорема 2. Справедливы следующие утверждения.
Счетная группа является локально разрешимой А-груп- пой тогда и только тогда, когда она разложима в произведение попарно перестановочных абелевых р-подгрупп по разным р.
Счетная локально ступенчатая группа тогда и только тогда является локально конечной локально разрешимой группой с условием минимальности для примарных подгрупп, когда она разложима в произведение попарно перестановочных р-подгрупп по разным р, удовлетворяющих условию минимальности.
(Л-группой называется периодическая группа, все примар- ные подгруппы которой абелевы.) В работе Зайцева [5] получен следующий результат.
Теорема 3. Пусть группа G является произведением абелевой подгруппы Л и FC-подгруппы В. Если центр подгруппы В отличен от единицы, то группа G обладает некоторой отличной от единицы инвариантной FC-подгруппой. Последнюю можно выбрать так, чтобы она была абелевой или конечной, или содержалась в В.
2°. В работах Н. С. Черникова [12, 131 получены следующие два результата.
Теорема 4. Пусть G — периодическая разрешимая группа матриц над полем (более широко — ^-группа), факторизуемая двумя подгруппами А и В. Тогда найдутся полные силов- ские базы {Ср}, (Лр) и {Вр} соответственно групп G, А и В, такие, что Gp = АрВр при каждом простом р.
Теорема 5. Пусть G — локально конечная группа с условием минимальности для примарных подгрупп, факторизуемая двумя подгруппами А и В; 8 и Р — некоторые силовские р-под- группы соответственно подгрупп А и В. Тогда найдутся элементы а £ А и b £ В, такие, что подгруппы 8° и Рь перестановочны и их произведение является силовской р-подгруппой группы G.
. Отметим далее следующие результаты Л. С. Казарина.
Теорема 6 (Казарин [1, 21). Пусть G =АВ — бинарно конечная группа, А — абелева подгруппа, и л (Л) П л (В) = = 0. Тогда центр подгруппы В содержится в инвариантной подгруппе группы G, имеющей абелев коммутант.
(Бинарно конечная группа — это группа, каждая пара элементов которой порождает в ней конечную подгруппу. Примеры не локально конечных бинарно конечных групп построены Голодом [1].)
Теорема 7 (К азарин [1, 2]). Пусть G = АВ — бинарно конечная группа, А — абелева подгруппа, В — нильпотентная подгруппа ступени ^ п, и л (Л) Пл (В) = 0. Тогда G — разрешимая группа ступени ^ 2п.
Теорема 8 (К азарин [2, 4]). Пусть G = АВ — локально конечная группа, причем А и В — нильпотентные подгруппы с конечными коммутантами. Тогда группа G разрешима.
Теорема 9 (К азарин [51). Если локально конечная группа G факторизуема двумя нильпотентными подгруппами, коммутанты силовских р-подгрупп которых для любого простого р конечны и имеют порядки ^ рс при фиксированном с, то группа G разрешима и ступень ее разрешимости ^ 6с + 4.
. Будет ли р-группой группа, факторизуемая двумя
^-подгруппами? Этот вопрос поставлен Ш. С. Кемхадзе в «Коу- ровской тетради» ([1], вопрос 1.36). Отрицательный ответ на него в случае, когда р = 2 или р — простое число Мерсенна, вытекает из следующей теоремы.
Теорема 10 (С ы с а к [1]). Для любого простого числа q существует периодическая локально разрешимая группа
G-V X А = АаА,
где V — бесконечная минимальная инвариантная элементарная абелева q-подгруппа группы G, А — финитно аппроксимируемая q -подгруппа в G и а — локально внутренний автоморфизм порядка q группы G, стабилизирующий ряд 1 cz V cz cz G. Более того, при этом можно считать, что подгруппа А обладает одним из следующих свойств;
л (Л) = л ^qn — 1) для любого заданного натурального числа п>2;
q = 2 и все силовские подгруппы группы А абелевы и конечны.
5°. В 1980 г. Н. С. Черниковым был поставлен вопрос: существует ли группа бесконечного ранга, представимая в виде произведения двух своих подгрупп, ранги которых конечны? (см. «Коуровская тетрадь» [1], вопрос 7.54). Под рангом здесь понимается специальный ранг в смысле Мальцева.
Н. С. Черников [6, 9], (см. также теорему 1.5) показал, что локально ступенчатая группа (в частности, группа, обладающая возрастающим инвариантным рядом с почти абелевыми факторами, разрешимая группа), факторизуемая двумя локально конечными подгруппами конечного специального ранга, локально конечна и имеет конечный специальный ранг. В частности, специальный ранг локально конечной группы, факторизуемой двумя подгруппами конечного специального ранга, конечен.
> Таким образом, вопрос Н. С. Черникова решается отрицательно в классе локально конечных групп.
К вопросу, поставленному Н. С. Черниковым, имеет отношение следующая теорема.
Теорема 11 (Зайцев [61). Если группа G, обладающая возрастающим инвариантным рядом с почти абелевыми факторами (в частности, разрешимая группа), факторизуема двумя подгруппами конечного специального ранга, хотя бы у одной из которых фактор-группа по ее периодическому радикалу нильпотентна, то специальный ранг группы G конечен.
В работе Зайцева [6] получена также следующая теорема о свободном ранге факторизуемой группы.
Теорема 12. Если группа G, обладающая возрастающим инвариантным рядом с почти абелевыми факторами (в частности, разрешимая группа), факторизуема двумя подгруппами конечного свободного ранга, из которых хотя бы одна локально почти полициклическая с нильпотентной фактор-группой по периодическому радикалу, то свободный ранг r0 (G) группы G конечен и связан со свободными рангами г0 (Л), г0 (В) и г0 (Л П В) соответственно подгрупп А, В и Л П В соотношением r0 (G) = = г0(Л) + г0(В)-г0(ЛП5).
Пока не известно, верны ли утверждения теорем 11 и 12 без указанных в них ограничений для факторизующих подгрупп конечного ранга.
6°. В главе 2 изложены некоторые факторизационные критерии разрешимости групп. В этом аспекте представляют интерес следующие две теоремы.
Теорема 13 (Б э р [1]). Локально нормальная группа локально разрешима тогда и только тогда, когда она представима в виде произведения некоторых своих попарно перестановочных силовских р-подгрупп по разным простым р.
(Доказательство теоремы 13 приведено в книге Горчакова [2] (см. там теорему 3.8 из гл. III.))
_" Теорема 14 (Ткаченко [ 1 ]). Почти локально нормальная группа локально разрешима тогда и только тогда, когда она представима в виде произведения некоторых своих попарно перестановочных, силовских р-подгрупп по разным простым р.
7°. В главе 1 (§ 4) было установлено, что разрешимая группа (более широко — гиперабелева группа), факторизуемая некоторыми своими попарно перестановочными периодически- ми^подгруппами, является периодической. Возникает вопрос: не "будет ли периодической произвольная группа, факторизуемая некоторыми своими попарно перестановочными периодическими подгруппами? Отрицательный ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема 15 (Сучков [1, 2]). Пусть G подгруппа, порожденная в группе перестановок множества целых чисел всеми такими ее элементами g конечных порядков, для каждого из которых модули разностей п — g (п) ограничены сверху. Тогда справедливы следующие утверждения;
G = АВ, где А и В — некоторые локально конечные подгруппы.
В группе G содержится в качестве подгруппы произвольная счетная свободная группа.
В группе G содержится в качестве подгруппы2-груп- па Алешина [1].
О группах Алешина —см. Каргаполов, Мерзляков fl], §23.
8°. В недавно опубликованной работе С. Н. Черникова «Факторизационный критерий локальной разрешимости локально конечных групп с условием минимальности для примарных подгрупп» (Укр. матем. журн., 1985, 37, № 6, с. 762—766) установлено следующее предложение (в работе — теорема 2).
Теорема 16 (С. Н. Ч е р н и к о в). Локально конечная группа с условием минимальности для примарных подгрупп тогда и только тогда локально разрешима, когда в ней дополняемы все ее максимальные примарные (иначе, силовские примарные) подгруппы.
Нетрудно убедиться, что в этой теореме условие локальной разрешимости нельзя заменить на условие разрешимости.
В теореме 16 условие минимальности для примарных подгрупп существенно. Действительно, в локально конечной локально разрешимой группе не обязательно дополняемы все силовские примарные подгруппы (см., например, Горчаков [2], гл. III, пример 3.9).
Теорема 16 имеет отношение к результатам § 2 гл. 2 и естественно возникает при их перенесении на бесконечные группы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Адян С. И.
О подгруппах свободных периодических групп нечетного показателя.— Тр. Мат. ин-та АН СССР, 1971, 112, с. 64—72.
Проблема Бернсайда и тождества в группах.— М. : Наука, 1975.— 336 с.
Азлецкий С. П.
О факторизации конечных групп.— Мат. зап. Урал.ун-та, 1962, 3, № 3, с. 3—17.
О факторизации конечных групп. 11.— Там же, 1966, 5, № 3, с. 3—14. Алешин С. В.
Конечные автоматы и проблема Бернсайда о периодических группах.— Мат. заметки, 1972, 11, № 3, с. 319—328.
Амберг (Amberg В.)
Abelian factorizations of infinite groups.—Math. Z., 1971, 123, N 3, p. 201—214.
Artinian and Noetherian factorized groups.— Rend. Semin Mat. Univ. Padova, 1976, 55, p. 105—122.
Factorizations of infinite soluble groups.— Rocky Mount. J. Math., 1977, ’7, N 1, p. 1—17.' "
Uber auflosbare Produkte nilpotenter Gruppen.— Arch. Math.,. 1978, 30, N4, S. 361-363.
Soluble products of two locally finite groups with min-p for every prime p.— Rend. Semin. Mat. Univ. Padova, 1983, 69, p. 7—17.
Factorized groups with max, min and min-p.— Can. Math. Bull., 1984, 27, N 2, p. 171—178.
Products of two abelian subgroups.— Rocky Mount. J. Math., 1984, 14, N3, p. 541—547.
Амберг, Скотт (Amberg В., Scott W. R.)
L Products of abelian subgroups.— Proc. Amer. Math. Soc., 1970, 26, N 4, * p. 541—547.
Андрухов A. M.
Групи, яю розкладаються в квазтрям! добутки неск!нченних цикл!ч- них груп.— Доп. АН УРСР. Сер. А, 1971, № 6, с. 483—486:
Равномерные произведения бесконечных циклических групп.— В кн.: Группы с системами дополняемых подгрупп. Киев : Ин-т математики АН УССР, 1972, с. 59—148.
Беляев В. В.
Локально конечные группы с черниковскими силовскими р-подгруппа* ми.— Алгебра и логика, 1981, 20, № 6, с. 605—619.
Брисли, Макдональд (Brisley W., Mac Donald J. D.)
Two classes of metabelian p-groups. — Math. Z., 1969, 112, N 1, p. 5-12.
Бэр (Baer R.)
L Sylow theorems for infinite groups,— Duke Math. Jt, 1940, 6, N 3, p. 598— 614.
Finite extensions of abelian groups with minimum condition.— Trans. Amer. Math. Soc., 1955, 79, N 2, p. 521—540.
Васильев В. Г.
О ступени разрешимости равномерных произведений циклических групп.— Алгебра и логика, 1978, 17, № 3, с. 260—266.
Об автоморфизмах аддитивных групп колец.— Красноярск, 1980.— 10 с.— (Препринт/AH СССР. Сиб. отд-ние, ВЦ; № 15).
О произведении полных абелевых групп.— В кн.: XVI Всесоюз. алгеб- раич. кон(Ь. (Ленинград, 22—25 сент. 1981 г.); Тез. докл. Л.: ЛОМИ, 1981, ч. 1, с. 29.
Верфриц (Wehrfritz В. A. F.)
Sylow theorems for periodic linear groups.— Proc. London Math. Soc,, 1968, 18, N 1, p. 125—140.
Infinite linear groups.— Berlin etc. : Springer, 1973.— 229 p. Виландт (Wielandt H.)
liber das Produkt von paarweise vertauschbaren nilpotenten Gruppen.— Math. Z., 1951, 55, N 1, S. 1—7.
liber Produkte von nilpotenten Gruppen. — Ill. J. Math., 1958, 2, N 4B, S. 611—618.
Гаращук M. С., Супруненко Д.А.
Линейные нильгруппы.—Докл. АН БССР, 1960, 4, № 10, с. 407—408. Гардинер, Хартли, Томкинсон (Gardiner A. D., Hartley В., TomkinsonM. J) 1. Saturated formations and Sylow structure in locally finite groups.— J. Algebra, 1971, 17, N 2, p. 177—211.
Гиреш (Hirsch K.)
liber lokal-nilpotente Gruppen.— Math. Z., 1955, 63, N 3, S. 290—294. Голод E. C.
О ниль-алгебрах и финитно-аппроксимируемых группах.— Изв. АН СССР. Сер. мат., 1964, 28, № 2/с. 273—276.
Гольберг П. А.
1. S-радикал и силовские базы бесконечных групп.—Мат. сб., 1960, 50, № 1, с. 25—42.
Горчаков Ю. М.
О существовании абелевых подгрупп бесконечного ранга в локально разрешимых группах.—Докл. АН СССР, 1964, 156, № 1, с. 17—20.
Группы с конечными классами сопряженных элементов.— М.: Наука, 1978.— 120 с.
Грэдден, Хартли (GraddonC. J., Hartley В.)
Basis normalizers and Carter subgroups in a class of locally finite groups.— Proc. Cambridge Phil. Soc., 1972, 71, N 2, p. 189—198.
Еремин И. И.
Группы с конечными классами сопряженных абелевых подгрупп.— Докл. АН СССР, 1958, 118, № 2, с. 223—224.
Группы с конечными классами сопряженных абелевых подгрупп,— Мат. сб., 1959, 47, № 1, с. 45—54.
Зайцев Д. И.
Произведения абелевых групп.— Алгебра и логика, 1980, 19, № 2, с. 150—172.
Факторизации полициклических групп.— Мат. заметки, 1981, 29, №4, с. 481—490.
Нильпотентные аппроксимации метабелевых групп.— Алгебра и логика, 1981, 20, № 6, с. 638—653.
Произведения минимаксных групп.— В кн.: Группы и системы их подгрупп. Киев : Ин-т математики АН УССР, 1983, с. 15—31.
Теорема Ито и произведения групп.— Мат. заметки, 1983, 33, № 6, с. 807—818.
Разрешимые факторизуемые группы,— В кн.: Строение групп и их под-
групповая характеризация. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984, с. 15—33.
Ито(Ио N.)
Uber das Produkt von zwei abelschen Gruppen.— Math. Z., 1955, 62, N 4, S. 400—401.
Казарин Л. C.
О произведении абелевой группы"и группы с нетривиальным центром.— Новосибирск, 1981.— 38 с.—Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 3565-81. Деп.5
О группах с факторизацией.— Докл. АН СССР, 1981, 256, № 1, с. 26— 29.
Группы с факторизацией.— Ярославль, 1981.— 79 с.— Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 3900-81 Деп..
О произведении двух нильпотентных групп.— В кн.: Вопросы теории групп и гомологической алгебры : (Межвуз. темат. сб.). Ярославль : Изд. Яросл. ун-та, 1981, с. 62—66.
О произведении двух нильпотентных групп. II.— Там же, 1982, с. 47— 49.
Каргаполов М. И.
Некоторые вопросы теории нильпотентных и разрешимых групп.— Докл. АН СССР, 1959, 127, № 6, 1164—1166.-
Локально конечные группы, обладающие нормальными системами с конечными факторами.— Сиб. мат. журн., 1961, 2, № 6, с. 853—873.
Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И.
Основы теории групп.— 3-е изд.— М. : Наука, 1982.— 288 с.
Кегечь (Kegel О. Н.)
Produkte nilpotenter Gruppen. — Arch. Math., 1961, 12, N 2, S. 90—93.
On the solvability of some factorized lineargroups.— Ill. J. Math., 1965, 9, N 3, p. 535—547.
Zur struktur mehrfach factorisierbarer endlicher Gruppen.— Math. Z., 1965, 87, N 1, S. 42—48.
Кегель, Верфриц (Kegel О. H., Wehrfritz В. A. F.)
Strong finiteness conditions in locally finite groups. — Math. Z., 1970, 117, n 1—4, p. 309—324.
Locally finite groups.—Amsterdam; London : North-Hollandi Publ., Co., 1973.— 210 p.
Ковач (KovacS L. G.)
On finite soluble groups.— Math. Z., 1968, 103, N 3, p. 37—39.
Колмогоров A. H., Фомин С. B.
L Элементы теооии функций и функционального анализа.— 3-е изд.— М. : Наука, 1972.— 496 с.
Кон (Cohn Р.)
A remark on the general product of two infinite cyclic groups.— Arch. Math., 1956, 7, N 2, p. 94—99.
Кострикин А. И.
Конечные группы.— В кн.: Алгебра, 1964 (Итоги науки). М.: ВИНИТИ АН СССР, 1966, с. 7—46.
Коуровская тетрадь : (Нереш. вопр. теории групп).— 9-е изд., доп.— Новосибирск : Ин-т математики Сиб. отд-ния АН СССР, 1984.— 144 с,
Курош А. Г.
Теория групп.— 3-е изд., доп.— М. : Наука, 1967.— 648 с.
Леннокс, Роузблейд (Lennox J. С., Roseblade J. Е.)
Soluble products of polycyclic groups.— Math. Z., 1980, 170, N 2, p. 153—154.
Мазуров В. Д.'
Конечные группы.—В кн.: Алгебра. Топология. Геометрия, 1976, (Итоги науки и техники). М.: ВИНИТИ АН СССР, 1977, с. 5—56.
Маклейн Д. (Me Lain D. Н)
On locally nilpotent groups.—Proc. Cambridge Phil. Soc., 1956, 52, N 1, p. 5—11.
Мальцев А. И.
Об изоморфном представлении групп матрицами.— Мат. сб., 1940, 8, № 3, с. 405—422.
О группах конечного ранга.— Там же, 1948, 22, № 2, с. 351—352.
О некоторых классах бесконечных разрешимых групп.— Там же, 1951, 28, № 3, с. 567—588.
Мягкова Н. Н.
О группах конечного ранга.—Изв. АН СССР. Сер. мат., 1949, 13, № 6, с. 495—512.
Нейман Б. (Neumann В. Н.)
Groups with finite classes of conjugate elements.— Proc. London. Math. Soc., 1951, 1, N 3, p. 178—187.
Groups covered by permutable subsets.— J. London Math. Soc., 1954, 29, N 114, p. 236—248.
Groups with finite classes of conjugate subgroups.— Math. Z., 1955, 63, N 1, p. 76—96.
Ольшанский А. Ю.
Бесконечные группы с циклическими подгруппами.— Докл. АН СССР, 1979, 245, № 4, с. 785—787.
Бесконечная группа с подгруппами простых порядков.— Изв. АН СССР, Сер мат., 1980, 44, № 2, с. 309—321.
Павлюк И. И., Шунков В. П.
О локально конечных группах с условием min-p по всем р.— В кн.: VII Всесоюз. симпоз. по теории групп (Шушенское, 9—12 сент. 1980 г.): Тез. докл. Красноярск: Изд. Краснояр. ун-та, 1980, с. 84— 85.
Платонов В. П.
Теория алгебраических линейных групп и периодические группы.— Изв. АН СССР. Сер. мат., 1966, 30, № 3, с. 573—620.
Плоткин Б. И.
1. О некоторых признаках локально нильпотентныхгрупп.— Успехи
мат. наук, 1954, 9, №3, с. 181—188.
Группы автоморфизмов алгебраических систем.— М.: Наука, 1966.— 604 с.
Редей (Redei L.)
Zur Theorie der factorisierbaren Gruppen. I.—Acta Math. Acad Sci. Hung., 1950, 1, N 1, S. 74—98.
Робинсон (Robinson D. J. S.)
A theorem on finitely generated hyperabelian groups.— Invent. Math., 1970, 10, N 1, p. 38—43.
Finiteness conditions and generalized soluble groups. Pt 1.— Berlin etc.: Springer, 1972.—210 p.
Finiteness conditions and generalized soluble groups. Pt 2.— Berlin etc.: Springer, 1972.— 254 p.
Роузблейд (Roseblade J. E.)
Group rings of polycyclic groups.—J. Pure and Appl. Algebra, 1973, 3, N 4, p. 307—328.
Рус. пер.: Роузблейд Дж. Групповые кольца полициклических групп.— В кн.: Разрешимые и простые бесконечные группы. М.: Мир, 1981, с. 35—62.
Сесекин Н. Ф.
О произведении финитно связанных абелевых групп.— Сиб, мат, журн., 1968, 9, № 6, с. 1427—1430.
О произведении конечно порожденных абелевых групп.— Мат. заметки, 1973, 13, № 3, с. 443—446.
Супруненко Д. А.
Группы матриц.— М. : Наука, 1972.— 352 с.
Сучков Н. М.
Пример смешанной группы, факторизуемой двумя периодическими подгруппами.— Алгебра и логика, 1984, 23, № 5, с. 573—577.
О подгруппах произведения локально-конечных групп.— Там же, 1985, 24, №4, с. 408—413.
Сысак Я. П.
Произведения бесконечных групп.— Киев, 1982.— 36 с.— (Препринт/ АН УССР. Ин-т математики; № 82.53).
Ткаченко А. Н.
Силовские подгруппы почти локально нормальных групп.— Укр. мат. журн., 1984, 36, № 6, с. 798—801.
Фейт, Томпсон (Feit W., Thompson J. G.)
Solvability of groupsof odd order. — Pacif. J. Math., 1963, 13, N 3, p. 755—1029.
Фробениус, Штикельбергер (Frobenius G., Stickelberger L.)
(jber Gruppen von vertauschbaren Elementen.— J. Reine Angew. Math., 1879, 86, N 4, S. 217—262.
Хартли (Hartley B.)
ft-Abnormal subgroups of certain locally finite groups.— Proc. London Math. Soc., 1971,23, N l,p. 128—158.
Sylow subgroups of locally finite groups.— Ibid., p. 159—192.
Some examples of locally finite groups.— Arch. Math., 1972, 23, N 3, p. 225—231.
Sylow theory in locally finite groups — Compos. Math., 1972, 25, N 3, p. 263—280.'
A class of modules over a locally finite groups I.—J. Austral. Math. Soc. Ser. A, 1973, 16, N 4, p. 431—442.
A class of modules over a locally finite groups II.—Ibid., 1975, 19, N4, p. 437—469.
Хейнекен, Леннокс (Heineken H., Lennox J. C.)
A note on products of abelian groups.— Arch. Math., 1983, 41, N 6, p. 498—501.
Холл M. (Hall M.)
Теория групп.— M. : Изд-во иностр, лит., 1962.— 468 с.
Холл Ф. (Hall Ph.)
A note on soluble groups.—J. London. Math. Soc., 1928, 3, N 10, p. 98—105,
A characteristic property of soluble groups.— Ibid., 1937, 12, N 47, p. 198—200.
On the Sylow system of a soluble groups.— Proc. London. Math. Soc., 1937, 43, N 5, p. 316—323.
Хольт, Хоулетт (Holt D. F., Howhtt R. B.)
On groups which are product of two abelian groups.— J. London Math. Soc., 1984, 29, N 3, p. 453—461.
Хоулетт (Howlett R. B.)
On the exponent of certain factorizable groups.— J. London Math. Soc., ' 1985, 31, N 2, p. 265—271.
Хупперт (Huppert B.)
Liber das Produkt von paarweise vertauschbaren zyklischen Gruppen.— Math. Z, 1953, 58, N 3, S. 243—264.
Endliche Gruppen. I.— Berlin etc. : Springer, 1967.— 795 S.
Черников H. C.
Бесконечные группы, факторизуемые нильпотентными подгруппами.— Докл. АН СССР, 1980, 252, № 1, с, 57—60.
Группы, факторизуемые экстремальными подгруппами.— Укр. мат. жури., 1980, 32, № 5, с. 707—711.
Некоторые факторизационные теоремы для бесконечных групп.— Докл. АН СССР, 1980, 255, № 3, с. 537—539.
О факторизациях локально конечных групп.— Сиб. мат. журн., 1980, 21, № 6, с. 186—195.
О произведении почти абелевых групп.— Укр. мат. журн., 1981, 33, № 1, с. 136—138.
О произведении групп конечного ранга.— Алгебра и логика, 1981, 20, №3, с. 315—329.
Об одном случае факторизации локально конечных групп.— В кн.: Исследование групп с заданными свойствами системы подгрупп. Киев : Ин-т математики АН УССР. 1981, с. 25—34.
Факторизуемые локально ступенчатые группы.— Докл. АН СССР, 1981, 260, № 3, с. 543—546. .
Локально ступенчатые группы, факторизуемые подгруппами конечного ранга.— Алгебра и логика, 1982, 21, № 1, с. 108—120._
К проблеме Ш. С. Кемхадзе.— Сообщ. АН ГССР, 1982, 105, № 3, с. 481—484.
О бесконечных простых локально конечных группах.— Киев, 1982.— 20 с.— (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; № 82, 37).
Силовские подгруппы факторизуемых периодических линейных групп.— В кн.: Подгрупповая характеризация групп. Киев : Ин-т математики АН УССР, 1982, с. 35—52.
О факторизуемых локально конечных группах, удовлетворяющих условию минимальности для примарных подгрупп.— Там же, с. 52— 73.
Факторизационные теоремы для локально ступенчатых групп.— Укр. мат. журн., 1982, 34, № 6, с. 732—737.
Бесконечные группы, разложимые в произведение попарно перестановочных подгрупп. — Докл. АН УССР. Сер. А, 1983, № 11, с. 24— 27.
Бесконечные факторизуемые группы.— В кн.: International Congress of Mathematicians — 82. Short communications (Abstracts). II. Sect. 2. Algebra. Warszawa: PWN, 1983, c. 10.
Произведения групп конечного свободного ранга.— В кн.: Группы и системы их подгрупп. Киев : Ин-т математики АН УССР, 1983, с. 42— 56.
Факторизация бесконечных групп попарно перестановочными подгруппами.— В кн.: Строение групп и их подгрупповая характериаа- ция. Киев : Ин-т математики АН УССР, 1984, с. 47—66.
Факторизация бесконечных групп при условиях конечности.— Докл. АН УССР.Сер. А, 1985, № 5, с. 26—29.
Черников С. Н.
Полные группы, обладающие возрастающим центральным рядом.— Мат. сб., 1946, 18, № 3, с. 397—422.
О специальных р-группах.— Там же, 1950, 27, № 2, с. 185—200.
О дополняемости силовских П-подгрупп в некоторых классах бесконечных групп.— Там же, 1955, 37, № 3, с. 557—566.
О строении групп с конечными классами сопряженных элементов.— Докл. АН СССР, 1957, 115, № 1, с. 60—63.
Условия конечности в общей теории групп.— Успехи мат. наук, 1959, 14, № 5, с. 45—96.
Бесконечные неабелевы группы с условием инвариантности для бесконечных неабелевых подгрупп.— Докл. АН СССР, 1970, 194, № 6, с. 1280—1283.
Конечные сверхразрешимые группы с абелевыми силовскими подгруппами.— В кн.: Группы, определяемые свойствами системы подгрупп. Киев : Ин-т математики АН УССР, 1979, с. 3—15.
Группы с заданными свойствами системы подгрупп.— М. : Наука, 1980.— 384 с.
О группах с условием минимальности для подгрупп.— В кн.: Подгрупповая характеризация групп. Киев : Ин-т математики АН УССР, 1982, с. 3—12.
Чунихин С. А.
О разрешимых группах.— Изв. НИИ математики и механики Том. ун-та, 1938, 2, с. 220—223.
О существовании подгрупп у конечной группы.— В кн.: Труды семинара по теории групп. М.; Л. : ГОНТИ, 1938, с. 106—125.
О некоторых направлениях в развитии теории конечных групп за последние годы.— Успехи мат. наук, 1961, 16, № 4, с. 31—50.
Подгруппы конечных групп. — Минск : Наука и техника, 1964.— 158 с.
Чунихин С. А., Шеметков Л. А.
Конечные группы.— В кн.: Алгебра. Топология.Геометрия, 1969. (Итоги науки). М. : ВИНИТИ АН СССР, 1971, с. 7—70.
Шунков В. П.
О группах, разложимых в равномерное произведение своих р-под- групп.— Докл. АН СССР, 1964, 154, № 3, с. 542—544.
О проблеме минимальности для локально конечных групп.— Алгебра и логика, 1970, 9, № 2, с. 220—248.
О локально конечных группах с условием минимальности для абелевых подгрупп.— Там же, № 5, с. 575—611.
О локально конечных группах конечного ранга.— Там же, 1971, 10, № 2, с. 199—225.
Шур (Schur J.)
1. Uber Gruppen periodischer linearer Substitutionen.—Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., 1911, S. 619—627.
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
(т, л) — наибольший общий делитель натуральных чисел тип л (п) — см. гл. 1, § 1.
| X | — мощность множества X
G — знак принадлежности элемента множеству
Сие — знаки строгого и нестрогого включения множеств
\ — знак теоретико-множественной разности
X и X—знаки прямого и полупрямого произведения
Для произвольных элементов х и у группы G и произвольных непустых множеств X и У элементов группы G
I х | — порядок элемента х
Xм = у~хху
[х,у] = х-хч~хху
[х, у, п] при целом неотрицательном п — см. гл. 2, § 3
XY = VxyU^X,y^Y^
xY = {№ | у € У)
XY =V^\x^X,y^= Цху
х^Х
(X) — подгруппа, порожденная множеством X
[X, У] = ([х, у\ | х 6 X, у £ У) — взаимный коммутант подмножеств X и У
Хп = {х" | х С X}, п — целое число (х° = 1)
Сх ^ — централизатор подмножества У в подмножестве X
Nx (^) — нормализатор подмножества У в подмножестве X
Если X и У — подгруппы группы G, причем У инвариантна в X, т® CG (X/Y) — централизатор в G секции Х/У (см. гл. 1, § 2)
Ниже X — группа, У — подгруппа группы X; л — непустое множество простых чисел; п— целое неотрицательное число; р — простое число
| X: У | — индекс подгруппы У в группе X
т (X) — см. гл. 3, § 4
г (X) — см. гл. 1, § 3
л (X) — см. гл. 1, § 1
Х^ — л-й коммутант группы X (Х(0> = X)
X' = Х(1)
J (X) — см. гл. 1, § 1
ОЛ(Х)—см. гл. 1, § 2
opW-ow(X)
л' — см. гл. 1, § 2
ор,до = о(рГ(Х)
Z (X) — центр группы X
ф (Л) — полная часть группы X
8 ( ) — см. гл. 1, § 2
Й (X) — см. гл. 2, § 3
$ (X) — см. гл. 3, § 4
6 (X) — см. гл. 1, § 2
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Группа аппроксимируемая 49
— артинова 105
— бинарно конечная 191
— конечная над центром 11
— конечного свободного ранга 186
специального ранга 63
— локально нормальная 46
почти разрешимая 15
ступенчатая 15
— метациклическая 190
— минимаксная 186
— нетерова 105
— полициклическая 97
— полная 29
— почти абелева 16
разрешимая 11
— примарная 29
— разложимая в произведение некоторых подгрупп 26
в прямое произведение 6
в равномерное 163
— с конечными секционными рангами 188
— сверхразрешимая 168
— факторизуемая некоторым множеством подгрупп 26
— финитно аппроксимируемая 15
— черниковская 16
— элементарная абелева 54
Группы главный фактор 86
Декартово произведение групп 15 Дополнение к подгруппе в группе 32
Класс групп Ц117
Классы групп Куроша — Черникова 15
Коммутант взаимный 143
Локально Ж-группа 15
Нильэлемент 138
Нормальное замыкание в группе непустого множества элементов 47 Перестановочные непустые множества элементов группы 17
— подгруппы группы 17
Подгруппа дополняемая 32
— истинная 18
— минимальная инвариантная 86
— субинвариантная 21
— факторизуемая относительно разложения группы в произведение некоторых двух ее подгрупп 17
Полная силовская база группы 107
— часть группы 29
Полупрямое произведение 168
Почти Ж-группа 16
Проблема С. Н. Черникова 8
Продолжение полной силовской базы с подгруппы на всю группу 108
Радикал локально нильпотентный 138
Разрешимая Аггруппа 186
Ряд возрастающий инвариантный 16
Секция группы 186
Силовская л-подгруппа 23
— р-подгруппа 23
Система подгрупп инвариантная 15
локальная 15
нормальная 15
Сопряженность полных силовских баз в группе 107
Упорядоченность лексикографическая 158
Холлова л-подгруппа 47
А-группа 191
FC-rpynna 11
У-группа 81
л-группа 9
/?^группа 15
S-группа 55
Ц -группа 117
л-секция 186
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора ••,3
Предисловие5
Гл а в а 1
Бесконечные группы, факторизуемые подгруппами с различными условиями минимальности 14
Факторизация групп подгруппами с условием минимальности 14
Факторизация групп подгруппами с условием минимальности для примарных подгрупп31
Факторизация групп локально конечными подгруппами конечного специального ранга 63
Факторизация групп подгруппами с условием минимальности для л-подгрупп •76
Глава 2
Факторизация разрешимых групп и факторизационные критерии разрешимости 97
Группы, факторизуемые полициклическими подгруппами ..98
Факторизационные свойства конечных разрешимых групп.. 107
Некоторые факторизационные теоремы для групп матриц над полем113
Глава 3
Факторизация абелевыми подгруппами и подгруппами, конечными над своими центрами .,141
Теорема Н. Ито 142
Теорема о почти разрешимости группы, факторизуемой двумя подгруппами, конечными над их центрами .... 147
Распространение теоремы Кегеля — Виландта на бесконечные группы 154
Теорема Н. Ф. Сесекина о группах, разложимых в произведе- * ние двух конечнопорожденных абелевых подгрупп ... 156
Группы, факторизуемые попарно перестановочными циклическими подгруппами 159
Некоторые свойства групп, факторизуемых двумя подгруппами, конечными над их центрами179
Дополнения 190
Список литературы ••• 195
Список обозначений ••.•• 202
Предметный указательД ]204
Монография
НИКОЛАЙ СЕРГЕЕВИЧ ЧЕРНИКОВ
ГРУППЫ, РАЗЛОЖИМЫЕ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПЕРЕСТАНОВОЧНЫХ ПОДГРУПП
Утверждено к печати ученым советом Института математики АН УССР
Редактор Н. М. Труш
Художественный редактор И. П. Антонюк
Технический редактор В. А Краснова
Корректоры М. Т. Кравчук, Е. А. Михалец,
Е. А. Дубарь
ИБ № 8313
Сдано в набор 28.06.86. Поди, в печ. 05.12.86. БФ 36441.
Формат 84Х108/32. Бум. тип. № 1. Лит. гарн. Выс. печ. Усл. печ. л. 10,92. Усл. кр.-отт. 11,24. Уч.-изд. л. 12,4. Тираж 1000 экз. Заказ 6-622. Цена 2 р. 10 к.
Издательство «Наукова думка». 252601 Киев 4, ул. Репина, 3.
Киевская книжная типография научной книги. 252004
Киев 4, ул. Репина, 4.