Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Ю.И.СИРОТИН
М.П.ШАСКОЛЬСКАЯ
ОСНОВЫ
КРИСТАЛЛОФИЗИКИ
Ю. И. СИРОТИН, М. П. ШАСКОЛЬСКАЯ
основы
КРИСТАЛЛОФИЗИКИ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов физических специальностей высших учебных заведений.
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОИ ЛИТЕРАТУРЫ 19 7 9
ггзл
С 40
УДК 539.2
Сиротин Ю. И., ШаскольскаяМ. П. Основы кристаллофизики. Учебное пособие. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979.
Книга представляет собой современное, наиболее полное руководство по кристаллофизике. В ней изложены основные сведения по кристаллографии, электростатика и теория упругости кристаллов, пьезоэлектричество, основы кристаллооптики и кристал- лоакустики, кристаллофизические аспекты термодинамики, теория фазовых переходов в кристаллах, применение антисимметрии и магнитной симметрии в кристаллофизике, обобщение принципа Онсагера на магнитные кристаллы, кристаллофизические вопросы нелинейной оптики и акустики и др. В книге дан математический аппарат, необходимый для понимания и активного усвоения предмета, приведены многочисленные справочные таблицы.
20403-088С 053 (02)-7920403-088С 053 (02)-79104-79. 1704060000104-79. 1704060000© Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1975
20403-088
С 053 (02)-79
20403-088
С 053 (02)-79
104-79. 1704060000
104-79. 1704060000
© Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1979, с изменениями.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 6
Из предисловия к первому изданию 7
Список обозначений 10
Глава I. Основные сведения иа кристаллографии . . . . 13
Структура кристалла и пространственная решетка 13
Кристаллографические проекции 19
Простые конечные элементы симметрии кристаллов 25
Кристаллографические категории, системы и сингонии . 38
Точечные группы (классы) симметрии кристаллов 44
Вывод и описание 3'2 классов симметрии кристаллов (32 точечных групп симметрии) 51
Предельные группы симметрии (группы Кюри) 65
Симметрия структуры кристаллов 68
Сочетания элементов симметрии структур. Решетки Бравэ. Генерирование новых элементов симметрии 71
230 пространственных группсимметрии 80
Взаимный векторный базиси обратная решетка 84
Индицирование направленийи плоскостей в кристаллах 89
Преобразование индексов при перемене системы координат98
Симметрически эквивалентные комплексы плоскостей и направлений. Простые формы кристаллов 110
Некоторые задачи геометрической кристаллографии 121
Глава II. Координатные системы, векторы и тензоры 131
Декартовы системы координат 131
Ортогональные преобразования 134
Тензоры второго ранга 140
Собственные векторы и собственные значения симметричного тензора второго ранга 144
Малые изменения симметричного тензора второго ранга 149
Нормальные и тангенциальные составляющие симметричного тензора второго ранга 152
Внешняя симметрия и изображение векторов и симметричных тен
зоров второго ранга 156
§ 23. Аксиальные векторы 161
Глава III. Введение в кристаллофизику. Электрические и тепловые свойства кристаллов 170
Анизотропные сплошные среды 170
Принцип симметрии в кристаллофизике 178
Основные уравнения электростатики кристаллов 183
Симметрия диэлектрических свойств кристаллов 187
Кристалл в однородном электрическом поле 191
Поле в сферической полости в анизотропной среде 197
Поля точечного заряда и диполя в анизотропной среде 199
Пироэлектрики 203
Постоянный электрический ток в кристаллах 205
Теплопроводность кристаллов 207
Глава IV. Оптические свойства кристаллов 211
Электромагнитные волны в прозрачных кристаллах 211
Оптическая индикатриса 215
Волны и лучи. Принцип двойственности. Эллипсоид Френеля . . .221
Решение задачи о распространении света в кристалле в произвольной системе координат 226
Уравнение Френеля. Волновая и лучевая поверхности 230
Взаимная связь между оптическими поверхностями в кристаллах. Коническая рефракция 234
Наблюдения оптической анизотропии кристаллов в поляризованном свете 240
Гл ав а V. Симметрия тензоров высших рангов 247
Тензоры и псевдотензоры высших рангов 247
Внутренняя симметрия тензоров и соотношения дуальности . . . .251
Бескоординатная запись тензоров. Инвариантные дифференциальные операции над тензорами 257
Внешняя симметрия и изображение тензоров и псевдотензоров. . . .260
Метод прямой проверки 269
Циклические координаты. Теорема Германа 275
Применение теории представлений групп к вопросам симметрии тензоров 281
Изотропные и гиротропные тензоры 296
Глава VI. Упругость кристаллов 301
Малые деформации сплошной среды 301
Тензор напряжений 307
Обобщенный закон Гука 312
Симметрия упругих свойств кристаллов .317
Простыенапряженные состояния 323
Изгиб икручение кристаллов 332
Температурные напряжения в кристаллах 344
Упругиеволны в кристаллах 351
Гл ав а VII.Термодинамика кристаллов 373
Внутренняя энергия и термодинамический потенциал кристалла 373
Пьезоэлектрический эффект и его симметрия 379
Совместное решение уравнений электро- и эластостагики кристаллов 394
Инвариантные и неинвариантные термодинамические потенциалы и их матрицы 399
Зависимость термодинамических коэффициентов от условий измерения 404
Упругие волны в пьезоэлектрических кристаллах 410
Термодинамические неравенства 412
Изменение симметрии кристаллов при фазовых переходах второго рода 417
Изменение физических свойств кристаллов при фазовых переходах второго рода 424
Математические методы теории фазовых переходов 439
Глава VIII. Магнитная симметрия в кристаллофизике 449
Обращение отсчета времени и антисимметрия 449
Точечные группы магнитной симметрии 453
Пространственные группы магнитной симметрии — шубниковские группы 459
Магнитная симметрия кристаллов 464
Геометрическая реализация расширенной ортогональнойгруппы..469
Тензоры, определенные на расширенной ортогональнойгруппе473
Пьезомагнитный и магнитоэлектрический эффекты 478
Глава IX. Эффекты высших порядков 481
Термодинамическое рассмотрение нелинейных эффектов 481
Пьезорезистивный эффект 484
Принцип Онсагера и термогальваномагнитные эффекты 486
Электрооптический и пьезооптический эффекты 495
Искусственная оптическая анизотропия кристаллов 500
Нелинейная поляризация при распространении электромагнитных волн большой интенсивности 508
Генерация световых гармоник. Направления синхронизма511
Оптическая активность кристаллов 518
Искусственная оптическая активность 532
Акустическая активность кристаллов 538
Глава X. Некоторые общие проблемы кристаллофизики 544
Экстремальные задачи кристаллофизики 5 ±4
Проблема сравнения тензорных свойств кристаллов 549
Проблема выбора стандартных кристаллографических и кристаллофизических систем координат 554
Функциональные соотношения кристаллофизики 559
Приложения 573
Кристаллографические и кристаллофизические системы координат 573
Б. Решетки Бравэ и кристаллографическиематрицы 579
Свойства направлений в кристаллах 584
Г. Аналитическое доказательство теорем об умножении операций симметрии 588
Д. Тензоры, инвариантные относительно кристаллографических и предельных групп 588
Сокращенная форма записи тензоров 617
Литература 626
Предметный указатель 635
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Основной автор этой книги, Юрий Исакович Сиротин (1923— 1974), безвременно скончался до выхода в свет первого издания. Многие его творческие замыслы остались незавершенными. Окончательную подготовку рукописи к первому изданию и переработку ее перед вторым изданием пришлось вести уже без него. Ответственность за возможные недостатки или промахи ложится на меня.
Во втором издании внесены многочисленные мелкие поправки* изменения и некоторые сокращения, но в целом построение глав и параграфов, нумерация формул и таблиц осталось без изменений. Из-за необходимости сокращения объема книги из нее пришлось убрать таблицы числовых экспериментальных данных, определяющих различные физические свойства кристаллов.
В книгу добавлен предметный указатель. Хотя в список литературы внесены некоторые дополнения, он по-прежнему отнюдь не претендует на полноту; в него включены лишь основные монографии и те статьи, о которых непосредственно упоминается в тексте.
Рукопись рецензировалась кафедрой физики кристаллов МГУ (зав. кафедрой проф. И. А. Яковлев) и кафедрой кристаллографии ЛГУ (зав. кафедрой проф. В. А. Франк-Каменецкий) и рекомендована МВиССО СССР в качестве учебного пособия для физических специальностей вузов.
Благодарю рецензентов, а также всех приславших замечания по первому изданию, в особенности Т. Н. Тархову.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
За последние 15—20 лет экспериментальная кристаллофизика из академических рамок немногих исследовательских лабораторий вышла в широкий мир практики. Новые, бурно развивающиеся отрасли науки и техники, такие, как квантовая электроника, квантовая и нелинейная оптика, полупроводниковое приборостроение, пьезотехника, акустика и др., связаны с использованием монокристаллов и их особых, своеобразных свойств, а также с применением новых кристаллофизических явлений, открытия которых следуют сейчас одно за другим. Это породило потребность в книгах по кристаллофизике. Не случаен успех в нашей стране учебника Ная (1967), русский перевод которого за короткий срок выдержал два издания. Однако наряду с ним нужна, по-видимому, и более полная и подробная книга, пусть даже менее пригодная для первоначального ознакомления с предметом.
Такую роль, по замыслу авторов, и должна сыграть эта монография. Работая над ней, авторы стремились к сочетанию общефизического и симметрийного подхода, отличающему советскую школу кристаллофизики, основанную А. В. Шубниковым. Идеи А. В. Шубникова авторы по мере сил старались применять и развивать на всем протяжении книги.
Книга эта сложилась на основе лекций и семинарских занятий по кристаллографии и кристаллофизике, проводимых авторами в Московском институте стали и сплавов и на физическом факультете МГУ.
В книгу намеренно не включены структурная кристаллография и кристаллохимия, структурно-чувствительные свойства, дефекты и рост кристаллов. Кроме того, объем книги и стиль изложения не позволили включить в нее описание методов измерения и примеры практического применения описываемых физических свойств кристаллов. Недавнее появление задачника по кристаллофизике, вышедшего под редакцией одного из авторов (Переломова и Тагиева, 1972), частично восполняет отсутствие задач, которые также не удалось включить из-за большого объема книги.
Из основ геометрической кристаллографии изложены лишь разделы, необходимые для кристаллофизики; при этом приняты
во внимание известные выступления академика Н. В. Белова (1957, 1958) о курсе кристаллографии для физиков.
Из обширного материала тензорного исчисления также выделены только те вопросы, которые важны для кристаллофизики; некоторые из них почти не освещены в существующей учебной литературе. Наряду с координатной (индексной) записью тензорных соотношений в книге применяется и бескоординатная, что позволяет читателю самому оценить, какая из них удобнее в том или ином конкретном случае. Обозначения, употребляемые разными авторами при бескоординатной записи, тяготеют к двум типам: первый из них представлен, например, в монографиях Ф. И. Федорова (1958, 1965), второй, восходящий к Гиббсу, — в курсе Борисенко и Тарапова (1966) и в монографиях Лурье (1955, 1970). Здесь применяются обозначения второго типа, так как они пригодны для тензоров не только второго, но и более высоких рангов. Теория представлений групп в книге не излагается, потому что она применяется только в нескольких местах, где обойтись без нее было бы затруднительно.
При изложении кристаллофизики подчеркивается влияние симметрии и диссимметрии кристаллов на их основные физические свойства и в особенности на анизотропию этих свойств. В этом отношении оказываются подобными свойства, в других отношениях существенно различные, например, диффузия и диэлектрическая проницаемость, магнитострикция и пьезооптический эффект. Описание анизотропии одного из таких свойств в значительной степени применимо и ко второму, по крайней мере качественно. Количественные же характеристики анизотропии сильно меняются как от свойства к свойству, так и от вещества к веществу. Соответствующие данные можно найти в справочниках, например, Landolt- Boernstein (1966, 1969, 1971), Krishnan (1958), Воронкова, Гречуш- ников, Дистлер, Петров (1965), и обзорах, по которым составлены приведенные в книге иллюстративные таблицы материальных констант кристаллов, позволяющие читателю получить представление о величине эффекта и его анизотропии.
Для наглядного представления анизотропии физических свойств кристаллов в книге собраны характеризующие ее иллюстрации: указательные поверхности, их сечения и стереографические проекции. Некоторые из них заимствованы из литературы, другие рассчитаны и выполнены под руководством одного из авторов Ш. М. Бутабаевым и Л. Г. Янусовой при содействии П. Л. Рубина ). Авторы от души благодарят их за большой и нелегкий труд, столь способствовавший улучшению этой книги.
В качестве главного объекта для демонстрации анизотропии физических свойств кристаллов избраны упругие свойства в силу их сравнительной простоты и изученности. В статике теории упругости за основную характеристику деформации принят не вектор смещений, а тензор деформаций; это позволяет сократить изложение и выявить аналогию между основными уравнениями электро- и эластостатики. Методически ново единое описание всевозможных фазовых переходов с изменением симметрии вдвое (§ 65), показывающее, что в пределах применимости теории все изменения свойств кристалла при переходе определяются группами симметрии фаз, связанных данным переходом.
В приложениях собран главным образом справочный материал, имеющий отношение одновременно к нескольким разделам книги.
Авторы совместно разрабатывали план и обсуждали содержание всех разделов книги, и во многих местах трудно разделить вклад каждого из них. Гл. I, III и IV написаны преимущественно М. П. Шаскольской, а остальное — главным образом Ю. И. Сиротиным.
Авторы приносят благодарность С. А. Ахманову, Л. К. За- рембо, В. А. Копцику, В. К. Семенченко, М. М. Уманскому, с которыми они обсуждали отдельные разделы книги, а также В. А. Франк-Каменецкому, В. А. Бокову и В. Н. Рожанскому, взявшим на себя труд по рецензированию книги. Авторы благодарят своих бывших студентов Е. Бартенева, Н. Воропаеву, С. Орлова, Г. Титову и В. Щербакова.
Ю. И. Сиротин, М. П. Шоскольская
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
Обозначения элементов симметрии см. §§ 3 и 8, табл. 3.1 и 8.1; обозначения классов симметрии (точечных групп) см. §§ 5, 6, 8, табл. 6.1, 6.2, 6.3, 8.1; обозначения элементов антисимметрии см. § 67; обозначения пространственных групп см. § 10; обозначения точечных групп магнитной симметрии см. § 69; обозначения шубниковских групп см. § 69.
Символы Миллера и Бравэ см. §§ 12 и 13, табл. 13.1. Символы Миллера и Бравэ плоскости или грани заключаются в круглые скобки (...), символы направлений или ребер — в прямые [...], простой формы или набора симметрически эквивалентных плоскостей — в фигурные {...}, пучка симметрически эквивалентных направлений — в угловые (...) скобки. Знак «минус» в символе пишется над цифрой.
Векторы обозначаются полужирными курсивными буквами латинского алфавита, например р, п, К
Тензоры обозначаются полужирными прямыми буквами латинского алфавита и полужирными буквами греческого алфавита, например s, Т, х.
Скалярное произведение обозначается точкой (•), векторное — косым крестом (X).
Двумя точками (:) обозначается бискалярное произведение тензоров, тремя точками (:) — покомпонентное произведение тензоров.
Два одноименных обозначения вектора подряд (например, кк^ тт) обозначают тензорное произведение вектора самого на себя (см. § 18). [V], [V2] и т. п. — символы Яна (см. § 42). В фигурных скобках { } перечисляются операторы, входящие в группу.
с —символ включения подгруппы в группу
е —символ принадлежности к группе, символ включения в множество
П —символ перечисления групп с:—символ нестрогого включения в группу / —единичный тензор 6р, 6^—тензор Кронекера 6a0Y, 6apY> ^tjk — псевдотензор Леви-Чивита aT, »2> а3 —основные векторы решетки а1, а2, а3— основные векторы обратной решетки ^ь ^2» ^з —0Рты декартовой (обычно кристаллофизической) системы координат
X, К, Z — оси кристаллографической системы координат
Хь Хо, Х3—оси декартовой (обычно кристаллофизической) системы коор- ди ат
^а" Ор*» ^м Оц — матрицы преобразования общих прямолинейных координат
с у} — матрица преобразования декартовых координат (матрица косинусов)
Гу*— матрица поворота декартовых координат
Е—вектор напряженности электрического поля
//—вектор напряженности магнитного поля
D-.вектор индукции электрического поля
Р — вектор поляризации
х, х,у— тензор диэлектрической проницаемости
Л» Л//-тензор диэлектрической непроницаемости
X, Хц — тензор коэффициентов теплопроводности
k, к^ — тензор коэффициентов температуропроводности
р, р// — тензор удельного сопротивления т — единичный вектор волновой нормали S —единичный вектор луча
No» ^—главные показатели преломления одноосных кристаллов
Mi, V2, ^з или Ng1 Nm, Np — главные показатели преломления двуосных кристаллов
nVt л2 и п0, ^ — показатели преломления для произвольного направления распространения света
у —характер представления (в §§ 47 и 66)
и — вектор смещений
ец, 8^ —тензор малых деформаций
(о, о)// —тензор малых вращений
О е„„
ф, ср; —аксиальный вектор малых вращении а> °ih а^—тензор напряжений (в §§ 32 и 76—тензор электропроводности) а, а,/ —тензор теплового расширения (в §§ 26, 27 и 80 —тензор диэлектрической восприимчивости, в § 76—тензор термоэлектрических коэффициентов)
Si/kif S;^ — тензор коэффициентов упругой податливости
с^м, с^ц —тензор коэффициентов упругости
[7 —внутренняя энергия на единицу объема
Ф —термодинамический потенциал на единицу объема
S —энтропия на единицу объема
Г—температура
С —теплоемкость на единицу объема
dijky diVl — тензор пьезоэлектрических коэффициентов
хД1 ^ — обобщенные термодинамические координаты
Хд, XQ — обобщенные термодинамические силы
П, П,/а/, П^ — тензор пьезорезистивных коэффициентов
^ijkb т*Цх— тензор эласторезистивных коэффициентов
Ja — обобщенные потоки в термодинамике необратимых процессов
Ки— силы, сопряженные потокам в термодинамике необратимых процессов
ЖаЪ — кинетические коэффициенты
л, n>ijkb дХц—тензор пьезооптических коэффициентов
Р' Рциь РЛр,-тензоР упругооптических коэффициентов
г, rtjhb rxh — тензор электрооптических коэффициентов
к, Кцм. Кхц—тензор коэффициентов Керра
Х> Нии-тензор квадратичной диэлектрической восприимчивости
О, 6,^/—тензор кубической диэлектрической восприимчивости
G, Оц— псевдотензор гирации
Индексы:
а» Р, Т = L 2, 3 соответствуют осям кристаллографической системы координат; могут находиться в верхнем или нижнем положении,
G /Д / = 1, 2, 3 соответствуют декартовой (обычно кристаллофизической) системе координат,
X, р,, v, х = 1, ..., 6 позволяют заменить два тензорных индекса одним; в основном тексте (начиная с гл. VI) находятся в нижнем положении, в приложении — в верхнем и нижнем,
Д, В, С, D = 0, г.., 9 — в обозначениях обобщенных термодинамических сил и координат, включая температуру и энтропию, и соответствующих термодинамических матриц (гл. VII),
а, Ь, с, d = 19 — в обозначениях обобщенных термодинамических сил
и координат, исключая температуру и энтропию и соответствующих термодинамических матриц (гл. VII и § 74);
a, Ь, с, d = 1, ..., 9 — в обозначениях обобщенных потоков, сопряженных им сил и матриц кинетических коэффициентов (§ 76).
Случаи, когда индексы употребляются в другом смысле или принимают другие значения, оговорены в тексте.
Г Л А В A I
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ
Структура кристалла и пространственная решетка
«Кристаллофизика исследует закономерности физических явлений в кристаллах, связанные с внутренней симметрией кристаллов и их дискретной атомной структурой» (Шубников, 1956).
«Основной особенностью кристаллов является их симметрия» (Шубников, 1960).
Пространственные соотношения атомов и междуатомных сил характеризуют правильность, закономерность и симметрию внутреннего строения кристалла. Частицы, из которых сложены кристаллы, т. е. ионы, атомы, молекулы, комплексы, расположены в пространстве закономерно и симметрично, правильно построенными рядами, сетками, решетками. Вследствие закономерности и симметрии внутреннего строения симметричны и физические свойства кристаллов, симметричны и их многогранные внешние формы.
Закономерность и симметрия структуры кристалла — следствие динамического равновесия многих сил и процессов. Внешние воздействия, как, например, электрическое или магнитное поля, механическое усилие или добавление чужеродных атомов в кристалл, могут несколько нарушать это динамическое равновесие и соответственно менять свойства кристалла. Это открывает широкие возможности управления свойствами кристаллов, используемые в технике.
Следствием закономерности и симметрии структуры являются однородность, дискретность и анизотропия кристаллов.
Точки в кристалле, вообще говоря, различны: в одной точке расположена частица одного сорта (скажем, ядро Na в структуре NaCl), в другой — частица другого сорта (ядро С1), в третьей ядер вообще нет, но она характеризуется определенной величиной электрического потенциала, четвертая — другой его величиной и так далее (рис. 1.1).
Однако в целом кристалл однороден — любая его часть ничем не хуже и не лучше других его частей ). Однородность кристалла проявляется в существовании так называемого радиуса однородности R*. как бы в данном кристалле ни размещать шар радиуса R, в нем наряду с любой точкой содержится одинаково расположенная (или, как принято говорить, гомологичная ей точка), т. е. в шаре однородности содержится по меньшей мере два ядра Na, два ядра С1 и т. д. Радиус однородности, как показывают результаты рентгеноструктурных исследований, обычно составляет несколько ангстрем. В то же время кристалл дискретен — любую
точку в кристалле можно окру-
Рис. 1.1. Структура каменной соли (хло^ ристого натрия).Рис. 1.1. Структура каменной соли (хло^ ристого натрия).жить шаром дискретности столь малого радиуса, что внутри его не окажется ни одной точки, ей гомологичной. Для разных точек кристалла радиусы дискретности различны, но все они во всяком случае меньше, чем радиус однородности (рис. 1.2).
Рис. 1.1. Структура каменной соли (хло^ ристого натрия).
Рис. 1.1. Структура каменной соли (хло^ ристого натрия).
Здесь с самого начала обратим внимание на двойственность подхода к описанию кристаллического вещества: кристаллы межно рассматривать как дискретные (т. е. прерывные) и как сплошные (т. е. непрерывные) среды. Дискретность внутреннего строения означает, естественно, что свойства кристалла не
могут быть одинаковыми там, где частица есть, и там, где частицы
нет, или в местах, в которых расположены частицы разных сортов. Однако для описания многих свойств кристалла достаточно ограничиться рассмотрением объемов, значительно больших, чем собственный объем частицы, и значительно меньших, чем объем кристалла в целом. Именно в таком понимании мы рассматриваем кристалл как среду сплошную и однородную.
Анизотропией называется неодинаковость свойств по разным направлениям. Из-за того, что в структуре кристалла в разных направлениях различны расстояния и силы связи между частицами, почти все свойства кристалла различны в разных направлениях (но одинаковы в симметричных направлениях). Анизотропной является и скорость роста кристалла: именно из-за, этого кри-
сталл вырастает в форме симметричного правильного многогранника.
Когда кристалл растет, частицы вещества из окружающей среды отлагаются на его гранях и грани нарастают параллельно самим себе. Меняются площади граней, их форма, отдельные грани могут вытесняться соседними и зарастать, но взаимный наклон граней остается неизменным. Поэтому любое кристаллическое вещество можно однозначно характеризовать взаимным наклоном его граней.
Рис. 1.2. Радиус однородности R кристаллического пространства и радиусы дискретности rn r2, г3 отдельных его точек.
Во всех кристаллах данного вещества при одинаковых условиях углы между соответствующими гранями кристаллов постоянны ). В этом заключается закон постоянства углов кристаллов, установленный Николаем Стеноном в 1669 г. на основе наблюдений над природными многогранными кристаллами.
Закон постоянства углов объясняется тем, что грани кристаллического многогранника соответствуют атомным плоским сеткам в структуре кристалла. Углы между плоскими сетками являются характерной отличительной особенностью структуры данного кристаллического вещества, зависящей от сил связи между частицами, составляющими кристалл. Эти углы теперь измеряются и
определяются с помощью рентгенограмм, независимо от того, есть у кристалла правильная внешняя форма или нет.
Грани кристаллических многогранников соответствуют плоскостям, составленным из материальных частиц, ребра кристалла — рядам материальных частиц. Центры масс частиц образуют ряды, плоские сетки, кристаллические решетки.
В структуре идеального кристалла все гомологичные (одинаково расположенные) точки располагаются бесконечными правильными симметричными рядами (рис. 1.3). Точки кристаллического пространства анизотропны, поэтому их лучше изображать асимметричными фигурками, хотя в большинстве случаев, для простоты, мы будем изображать их точками или шариками. Кратчайшее из расстояний между гомологичными точками в бесконечном ряду называется кратчайшей или основной трансляцией а. или периодом трансляции, периодом идентичности ряда, параметром ряда. В структуре кристалла это междуатомное расстояние. Ряды, сетки и кристаллические решетки мыслятся бесконечными.
>->-аа
Рис. 1.3. Симметричный бесконечный ряд.
Симметрическое преобразование, с помощью которого точка, не поворачиваясь, повторяется в пространстве, т. е. параллельный перенос, называется преобразованием с помощью трансляции или просто трансляцией ). Повторяя с помощью трансляции какую-либо точку, получаем бесконечный периодический ряд гомологичных точек на расстояниях —а. .... а.2а. За. ....па. ... Характеристикой этого ряда служит трансляция а. Гомологичные точки, связанные между собой симметрическим преобразованием с помощью трансляции аг. называются узлами ряда. Узел ряда, так же, как в дальнейшем узел плоской сетки или пространственной решетки, не обязательно должен совпадать с материальной частицей.
Повторяя точки симметричного ряда с помощью другой трансляции а2, не параллельной первой, получим систему гомологичных точек в виде плоской сетки (рис. 1.4). Двумерная плоская сетка полностью определена двумя трансляциями, ах и а^. или же тремя произвольными узлами, не лежащими на одной прямой. Параллелограммы, вершины которых являются узлами, называются ячейками плоской сетки. Любая пара трансляций, не лежащих на одной прямой, повторит гомологичные точки в виде плоской сетки,
но принято выбирать в качестве основных параметров плоской сетки так называемые элементарные трансляции — кратчайшие и отражающие симметрию сетки. Пара элементарных трансляций, ах и а2» полностью определяет схему повторения гомологичных точек на плоскости.
Ячейка, сторонами которой являются элементарные трансляции, называется элементарной ячейкой плоской сетки. Элементарная ячейка примитивная, если внутри нее нет узлов. Площадь примитивной ячейки равна площади, приходящейся на один узел сетки, т. е. для данной сетки это величина постоянная.
Бесконечное повторение узла тремя некомпланарными трансляциями даст пространственную решетку, т. е. трехмерную симметричную систему гомологических точек. Основную тройку трансляций ах, а21 а3 пространственной решетки можно выбрать многими способами, но, как и для плоской сетки, принято выбирать трансляции кратчайшие и наилучшим образом отражающие симметрию решетки.
Параллелепипед, сторонами кото- ( рого являются три элементарные трансляции, называется элементарной ячейкой или элементарным параллелепипедом. Элементарный параллелепипед считается примитивным, если внутри его нет узлов.
Принято обозначать длины элементарных трансляций, т. е. ребра элементарной ячейки, буквами а, Ь, с ___ _.
ними — греческими буквами а, 0, у (рис. 1.5).
Трансляционная группа элементарной ячейки включает в себя три элементарные трансляции аи а2, а3, соответствующие трем ребрам ячейки и полностью характеризующие решетку *).
Если известны три основные трансляции аг, а2, а3, то положение любого узла в решетке определяется вектором
/? = /па1 + па2 + р«з,(1-1)
б)
Рис. 1.4. Симметричная бесконечная плоская сетка: а) Разный выбор элементарных трансляций ах. «2» • ., »ь> б) примитивная ячейка, построенная на наименьших трансляциях и соответствующая симметрии сетки.
или ал. а.
где т, п, р — целые числа, а векторы ах, а2, а3 составляют векторный базис решетки.
Три числа, т, п, р, заключенные в двойные квадратные скобки ПтпрИ, называют символом узла.
*) Ниже (§ 9) будет показано, что иногда удобнее характеризовать решетку ие примитивной, а сложной ячейкой, имеющей узлы не только в вершинах, но также в центре ячейки или в центрах граней. Соответственно усложняется и трансляционная группа.
Кристаллографическое направление — это направление прямой, проходящей по крайней мере через два узла решетки. На этой же прямой, очевидно, должно лежать бесконечное множество узлов
Рис. 1.5. Элементарный параллелепипед (стандартные обозначения).Рис. 1.5. Элементарный параллелепипед (стандартные обозначения).решетки. Один из этих узлов можно принять за начало координат [[ООО]]. Кристаллографическое направление(ряд решетки) полностью определится лежащим на нем узлом, ближайшим к началу координат.
Рис. 1.5. Элементарный параллелепипед (стандартные обозначения).
Рис. 1.5. Элементарный параллелепипед (стандартные обозначения).
В отличие от символа узла [[тпрП, символ направления (ряда решетки) пишется в обычных квадратных скобках 1тпр] (рис. 1.6). Числа т, п. р здесь называются индексами Миллера данного кристаллографического направления и всех параллельных ему направлений. Три индекса, записанные в квадратных
скобках, называются символом Миллера для ряда. Индексы Миллера записываются подряд и читаются порознь, например, [102] —один,
нуль, два.
Направления кристаллографических осей координат имеют индексы Миллера: ось X — [100], ось Y — [010], ось Z — [001],
независимо от углов между осями координат. Всю решетку можно получить, бесконечно повторяя в пространстве один элементарный параллелепипед с помощью тройки основных трансляций.
Величины а, Ь, с, а, 0, у или параметры кристалла (метрика кристалла) являются материальными константами каж
дого кристаллического вещест
ва. В Общем Случае В крИСТаЛ- Рис- L6, Символы узлов и рядов.
лах а =^ b +с. а^рт^ у ^=90°,
т. е. основные трансляции не равны и не ортогональны. Все си
стемы координат, применяемые в кристаллографии, перечислены ниже, в табл. 4.1.
Пространственные решетки — естественная основа кристаллографических координатных систем. За начало координат выбирается какой-либо из узлов решетки, а три элементарные тран
сляции, пересекающиеся в этом узле, рассматриваются как векторы av а^ а3, исходящие из начала координат. Эти векторы — так называемые ковариантные базисные векторы — заведомо некомпланарны, в противном случае объем элементарной ячейки
был бы равен нулю. Они-то и определяют кристаллографическую систему координат: их направления совпадают с ее осями X (а^, Y (а2) и Z (я3), а их длины представляют естественные единицы измерений вдоль соответствующих осей. Векторы ап а2, ^з образуют правую тройку. Соответственно кристаллографическая система координат XYZ — всегда прямолинейная, правая, но в общем случае косоугольная с различными единицами расстояния по различным осям.
Пространственная решетка — это геометрическое построение, с помощью которого в кристаллическом пространстве выявляются гомологичные точки. Иначе говоря, пространственная решетка — это схема трехмерной периодичности распределения частиц в структуре кристалла. Решетка отображает симметрию структуры, независимо от того, совпадает ли узел с атомом того или другого типа или с промежутком между атомами. В последнем случае в пространстве симметрично повторятся промежутки и окружающие их атомы.
Структура кристалла — это конкретное расположение материальных частиц в пространстве, симметрия, законы или мотивы этого расположения. Пространственная решетка — это периодичность повторения в пространстве отдельных материальных частиц или групп из этих частиц или «пустых мест» между этими частицами.
«Решетка дает нам размер и форму повторяющейся единицы структуры, ее элементарную ячейку, но не определяет, каково же расположение вещества внутри самой элементарной ячейки. На первом этапе это и не важно. Стальной остов здания должен существовать прежде, чем начнется обсуждение внутреннего убранства или меблировки» (Лонсдэйл, 1952).
Кристаллографические проекции
Метод кристаллографических проекций применяется для представления симметрии внешних форм и структуры кристаллов^ анизотропии и симметрии их свойств, для расшифровки рентгенограмм. Согласно закону постоянства углов форму кристаллического многогранника, симметрию и анизотропию его свойств можно- характеризовать набором углов между его гранями или, как принято в кристаллографии, между нормалями к его граням.
Представим себе некоторую сферу, окружающую кристалл. Из ее центра О проведем нормали к граням кристалла, продолжив их до пересечения со сферой. Каждая нормаль спроектируется на сферу как «полюсная точка» (точка ах на рис. 2.1, а). Любая плоскость, проходящая через центр О, пересекает поверхность сферы по дугам окружностей. Если проектируемые плоскость или направление не проходят через точку О, их можно перенести параллельно самим себе, не нарушая угловые соотношения.
Положение любой точки на поверхности сферы проекций определяется двумя сферическими координатами: р — полярное расстояние, отсчитываемое по любому направлению от нуля (северный полюс N) до 180° (южный полюс X), у — долгота, отсчитываемая по экватору от меридиана, принятого за нулевой меридиан (рис. 2.1, б). Получившаяся сферическая проекция, в свою очередь, проектируется на плоскость в виде стереографической, гномостереографической или гномонической проекции.
Плоскостью стереографической и гномостереографической проекций служит экваториальная плоскость сферы проекций, а плоскость гномонической проекции касательна к северному полюсу сферы проекций.
Рис. 2.1. Построение сферической проекции (а), отсчет координат на ней (б) и построение стереографической проекции (в)
На стереографической проекции кристаллографические направления изображаются точками, плоскости — дугами больших кругов. На гномостереографической проекции соотношение обратное: плоскости изображаются точками, а направления — дугами больших кругов.
Стереографическая проекция применяется главным образом для изображения элементов симметрии кристалла, а также симметрии и анизотропии его физических свойств. Ее плоскостью служит экваториальная плоскость Q сферы проекций, на которую сфера проектируется в виде круга (рис. 2.1, в).
Чтобы спроектировать прямую, например ОЛ, проводят линию ЛХ от полюсной точки Л на сфере проекций до южного полюса X сферы. Точка а пересечения линии ЛХ с кругом проекций есть стереографическая проекция направления ОЛ. Стереографическая проекция прямой линии изображается точкой внутри круга проекций (рис. 2.2, aY
Наклонные направления, имеющие 0° < р <90°, проектируются внутри круга проекций тем ближе к внешней окружности, чем больше р. Если р >90° (но р <270°), т. е. направление
выходит на нижней половине сферы проекций, то направление при проектировании заменяется противоположным и отмечается на проекции не кружком, а крестиком.
Плоскость, проходящая через точку О (пересекающая сферу по окружности, рис. 2.1), проектируется на стереографическую проекцию в виде дуги большого круга. Чтобы не загружать чертеж, обычно проектируется только пересечение плоскости или линии с верхней полусферой.
проекции плоскостей (или гномостереографичепроекции плоскостей (или гномостереографические проекции направлений), нижний ряд — стереографические проекции направлений (или гномостереографические проекции плоскостей), проходящих по отношению к плоскости проекции перпендикулярно (а), параллельно (б) и наклонно (в).ские проекции направлений), нижний ряд — стереографические проекции направлений (или гномостереографические проекции плоскостей), проходящих по отношению к плоскости проекции перпендикулярно (а), параллельно (б) и наклонно (в).Стереографические проекции горизонтальных плоскостей совпадают с окружностями круга проекций (рис. 2.2, б), вертикальных плоскостей — с диаметрами круга проекций (рис. 2.2, а), а наклонных плоскостей — изображаются дугами, опирающимися на концы диаметра (рис. 2.2, в). Вертикальная линия проектируется как точка в центре круга проекции, горизонтальная — как два выхода на окружности экватора.
проекции плоскостей (или гномостереографиче
проекции плоскостей (или гномостереографиче
ские проекции направлений), нижний ряд — стереографические проекции направлений (или гномостереографические проекции плоскостей), проходящих по отношению к плоскости проекции перпендикулярно (а), параллельно (б) и наклонно (в).
ские проекции направлений), нижний ряд — стереографические проекции направлений (или гномостереографические проекции плоскостей), проходящих по отношению к плоскости проекции перпендикулярно (а), параллельно (б) и наклонно (в).
равен углу между стереографическимиравен углу между стереографическимиОкружность, проведенная на сфере, изображается на стереографической проекции также окружностью или прямой линией. На стереографической проекции не искажаются угловые соотношения, т. е. угол между полюсами граней на сфере (измеренный по дугам больших кругов) проекциями тех же дуг.
равен углу между стереографическими
равен углу между стереографическими
Гномостереографическая проекция применяется главным образом для изображения форм кристалла, его граней и ребер, т. е. совокупности симметрично эквивалентных плоскостей и направлений. Она тоже изображается как круг в экваториальной плоскости сферы проекций.
Чтобы получить гномостереографическую проекцию кристаллографической плоскости (грани), проводят нормаль к этой плоскости (грани) до пересечения со сферой проекций, а затем линию, соединяющую эту точку пересечения и южный полюс сферы (а для нормалей, пересекающих шар в нижней полусфере — северный полюс сферы). Гномостереографическая проекция плоскости (грани кристалла) является точкой. Проекции нормалей к граням, распо-
ложенным выше плоскости проекции, обозначаются кружками, к нижним — крестиками.
Горизонтальные грани проектируются в центре круга проекций (верхняя — кружком, нижняя — крестиком), вертикальные грани проектируются на самом круге проекций, а косые грани — внутри круга проекций (рис. 2.2). Чем круче наклон косой грани, тем дальше от центра располагается проектирующая ее точка. Проекции граней, принадлежащих к одной зоне, располагаются на одном большом круге проекций.
Ф=30°
Рис 2 3 Схема сетки Вульфа и отсчет координат на ней.
Гномостереографические проекции направлений (ребер кристалла) изображаются дугами больших кругов. Большой круг, т. е. круг, центром которого является центр круга проекций, является геометрическим местом полюсов всех граней, нормали к которым лежат в одной плоскости (а именно в плоскости большого круга).
Стереографическую и гномостереографическую проекции часто совмещают на одном чертеже.
Для решения задач с помощью стереографической и гномостереографической проекций пользуются градусными сетками. Из них наиболее употребительна сетка Вульфа — стереографическая проекция всей системы меридианов и параллелей с поверхности сферы на плоекость одного из меридианов.
параллелей и меридиановпараллелей и меридиановРис. 2.4. Схема сетки Болдырева, от нулевого ме-Рис. 2.4. Схема сетки Болдырева, от нулевого ме-
параллелей и меридианов
параллелей и меридианов
Рис. 2.4. Схема сетки Болдырева, от нулевого ме-
Рис. 2.4. Схема сетки Болдырева, от нулевого ме-
Сетка Вульфа стандартно чертится на круге диаметром 20 см, а линии параллелей и меридианов, проектируемые как дуги окружностей, проводят через 2°. Расстояния между ними можно разделить на глаз еще на 4 части, т. е. работать с точностью до 0,5° (рис. 2.3).
Положение любой точки на сетке Вульфа определяется ее координатами ср и р; полярные расстояния р отсчитываются от центра чертежа, долготы ср — от нулевого меридиана по окружности проекций по часовой стрелке.
Полярная сетка А. К. Болдырева (рис. 2.4) представляет собой стереографическую проекцию систе с поверхности сферы на экваториальную плоскость. Точка зрения находится в южном полюсе. Линии проведены через 2° или через 5°. Меридианы изображаются прямыми, радиально расходящимися из центра проекции; эти прямые, по существу, представляют дуги бесконечно большого радиуса. Начальный, нулевой меридиан отмечается цифрой 0, далее меридианы обозначаются цифрами через каждые 10°. Параллели изображаются концентрическими окружностями. Проекция экватора совпадает с окружностью проекции, проекция полюса («нулевая [параллель») — с точкой в центре проекции. Долготы ср
ридиана по часовой стрелке, полярные расстояния отсчитываются по меридиану от центра проекции.
Сетка Е. С. Федорова представляет собой сочетание двух сеток Вульфа, повернутых друг относительно друга на 90°, и полярной сетки Болдырева. Деления проведены через 5° (рис. 2.5).
В § 24 будет рассмотрено применение стереографических проекций и сеток Вульфа, Федорова и Болдырева для изображения симметрии и анизотропии физических свойств кристаллов.
Соотношение между сферической, стереографической, гномостереографической и гномонической проекциями показано на рис. 2.6. Проекция направления ОА (см. рис. 2.1) дает на сферической проекции радиуса г точку а, определенную координатами %, р, на гномонической проекции (плоскость ММ) — точку я2, на стереографической проекции (плоскость РР) — точку av На гномостереографической проекции (плоскость РР) точка ах — это проекция плоскости, перпендикулярной к направлению Оа. Угловые соотношения на проекциях видны на рис. 2.6.
Рис. 2.5. Схема сетки Федорова.
Рис. 2.6 К объяснению соотношения между сферической, стереографической, гномостереографической и [номонической проекциями.
Соотношение между тремя типами проекций удобно свести в таблицу:
Тип проекции
Изображение
плоскости
прямой
Стереографическая
Дуга большого круга
Точка
Г номостереографическая
Точка
Дуга большого круга
Гномоническая
Точка
Прямая
Простые конечные элементы симметрии кристаллов
Геометрической симметрией кристаллического пространства (или фигуры) называется свойство пространства (фигуры) совмещаться с самим собой путем некоторых симметрических преобразований. Операции, или преобразования симметрии. — это отражения, вращения, переносы, приводящие пространство (фигуру) в совмещение с самим собой.
Симметрия и анизотропия физических свойств кристаллов замечательно проявляется во внешних многогранных формах кристаллов. Заметим, что форма реального кристаллического многогранника всегда является результатом не только анизотропии скоростей роста, но и тех внешних условий, в которых рос кристалл, как-то: градиента температур, соприкосновения с соседними кристаллами или стенками кристаллизатора, действия силы тяжести, влияния неоднородностей среды и т. п. Отвлекаясь от реальных условий роста, мы пока будем рассматривать симметрию идеальных кристаллических многогранников.
Симметричной фигурой или симметричным многогранником называется фигура (многогранник), которая может совмещаться сама с собой в результате симметрических преобразований.
Элементы симметрии — это вспомогательные образы (точки, прямые линии, плоскости), с помощью которых обнаруживается симметрия фигуры (или пространства). При всех симметрических преобразованиях все расстояния между точками фигуры остаются неизменными, т. е. не происходит растяжения, сжатия, изгиба и т. п.
Симметрические преобразования можно разделить на два типа: 1) конечные, или точечные, при которых хотя бы одна точка фигуры остается на месте, и 2) бесконечные, или пространственные, при которых не остается на месте ни одна точка фигуры. Конечные симметрические преобразования соответствуют симметрии идеаль-
ных кристаллических многогранников, бесконечные — симметрии структур.
Для описания элементов симметрии мы будем пользоваться международной символикой, разработанной Германом и Могеном и принятой Международным союзом кристаллографов (International Tables). В физической и кристаллографической литературе часто используются другие системы обозначений, разъясняемые ниже.
Для изображения элементов симметрии и симметрических преобразований будем использовать стереографическую проекцию. Международные условные значки для изображения элементов симметрии на плоскости проекции приведены в табл. 3.1.
а)б)6)а)б)6)Рис. 3.1. Симметрия треугольника: ось 3 нейтральная и три плоскости симметрии (а), ось 3 правая, плоскостей симметрии нет (6), ось 3 левая, плоскостей симметрии нет (в).Рис. 3.1. Симметрия треугольника: ось 3 нейтральная и три плоскости симметрии (а), ось 3 правая, плоскостей симметрии нет (6), ось 3 левая, плоскостей симметрии нет (в).
а)б)6)
а)б)6)
Рис. 3.1. Симметрия треугольника: ось 3 нейтральная и три плоскости симметрии (а), ось 3 правая, плоскостей симметрии нет (6), ось 3 левая, плоскостей симметрии нет (в).
Рис. 3.1. Симметрия треугольника: ось 3 нейтральная и три плоскости симметрии (а), ось 3 правая, плоскостей симметрии нет (6), ось 3 левая, плоскостей симметрии нет (в).
Простые конечные операции симметрии. Простые операции симметрии — это отражения или вращения. Они описываются следующими элементами симметрии:
Плоскость симметрииОси симметрии Центр симметрииПлоскость симметрииОси симметрии Центр симметрииМеждународный символт/г (п = 2, 3/ 4, 6)Международный символт/г (п = 2, 3/ 4, 6)
Плоскость симметрии
Оси симметрии Центр симметрии
Плоскость симметрии
Оси симметрии Центр симметрии
Международный символт/г (п = 2, 3/ 4, 6)
Международный символт/г (п = 2, 3/ 4, 6)
(Здесь п означает порядок оси, т. е. 1, 2, 3, 4, 6, см. ниже.)
Плоскостью симметрии (т) называется плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части, расположенные друг относительно друга, как предмет и его зеркальное изображение, как правая и левая рука.
Например, в равностороннем треугольнике имеется три плоскости симметрии, перпендикулярных к плоскости треугольника: проекции их на плоскость треугольника показаны на рис. 3.1/ Если речь идет о симметрии обычного треугольника, т. е. геометрической фигуры, составленной из трех математических прямых линий, то больше плоскостей симметрии у него нет. Но если рассматриваемый треугольник — фигура материальная, то симметрия может оказаться сложнее. Если треугольник вырезан, например, из белой бумаги, так что лицевая и изнаночная стороны у него одинаковы, то тогда есть еще плоскость симметрии, совпадающая с плоскостью самого треугольника. Если же у треугольника «лицо»
Таблица 3.1
Элементы симметрии конечны фигур и их стандартные обозначения
Название
Обозначение международное
Изображение по отношению к плоскости чертежа
перпендикулярное
параллельное
Плоскость симметрии
т
II /=
Центр симметрии
I
с • о
С *о
1
о
3 ж
6
о СП о С
двойная
2
♦ ♦
тройная
3
А
А — А
четверная
4
■
И—81
шестерная
6
® е
0> 3 к ж о
5 & 01 ж Ж
тройная
3
А
четверная
4
ф
фф
шестерная
6
ф
®—ф
1
и «изнанка» разные, например, с одной стороны он белый, а с другой — черный, то такой плоскости симметрии у него нет. -
В кубе (рис. 3.2) можно насчитать 9 плоскостей симметрии,, из них три проходят перпендикулярно к граням куба и шесть — по диагональным плоскостям. На рисунке справа показана стереографическая проекция плоскостей симметрии куба.
Осью симметрии (п) называется прямая линия, при повороте вокруг которой фигура совмещается сама с собой. Элементарный угол поворота, т. е. наименьший угол поворота, приводящий фигуру в самосовмещение, содержится целое число раз в угле 2л — иначе фигура не совместится сама с собой при полном обороте. Число п, так называемый порядок оси, определяет, сколько раз фигура сов
Рис. 3.2. Три координатных и шесть диагональных плоскостей симметрии куба.Рис. 3.2. Три координатных и шесть диагональных плоскостей симметрии куба.мещается сама с собой при полном обороте вокруг оси.
Рис. 3.2. Три координатных и шесть диагональных плоскостей симметрии куба.
Рис. 3.2. Три координатных и шесть диагональных плоскостей симметрии куба.
На рис. 3.1 изображены три равносторонних треугольника.
У каждого есть ось симметрии третьего порядка (ось 3). У первого треугольника (а)
есть, кроме того, еще три плоскости симметрии (перпендикулярных к плоскости чер-
тежа), а у второго и третьего треугольников (б и в) плоскостей
симметрии нет, у них есть только оси симметрии, правая или левая. Говоря о самих треугольниках как о материальных фигурах, мы можем определить их как симметричные правый и левый треугольники.
Оси симметрии первого порядка (ось 1) есть у любой фигуры, геометрической или материальной: всякое тело, повернутое на 360° вокруг любого направления, полностью совмещается само с собой.
Самой симметричной геометрической фигурой является шар: каждый из бесконечного множества его диаметров — это ось симметрии бесконечного порядка (оо); в свою очередь, через каждый диаметр проходит бесконечное множество плоскостей симметрии.
У кругового конуса есть одна ось симметрии бесконечного порядка, совпадающая с его осью. Конус совмещается сам с собой, если повернуть его на любой угол вокруг этой оси. Кроме того, любая плоскость, проходящая через эту ось, служит для конуса плоскостью симметрии; таким образом, у конуса бесконечное множество плоскостей симметрии, проходящих вдоль его оси.
Перейдем снова от геометрической фигуры к фигуре материальной. Пусть, например, конус заштрихован или оклеен плюшем, причесанным так, что все ворсинки заглажены в одну сторону, или — самое простое — пусть конус равномерно вращается вокруг своей оси. Конус по-прежнему будет совмещаться сам с собой при
повороте вокруг своей оси на любой угол, т. е. у него по-прежнему есть ось симметрии, но все плоскости симметрии пропадают: равномерное вращение изменило симметрию материальной фигуры.
В природных объектах — цветах, плодах, раковинах и т. п.> в геометрических фигурах, в произведениях искусства можно обна
В'ВВ'ВРис. 3.3 К доказательству невозможности оси симметрии пятого порядка в кристаллической средеРис. 3.3 К доказательству невозможности оси симметрии пятого порядка в кристаллической средеружить оси симметрии любого порядка — от 1 до оо. В геометрических формах кристаллов возможны только оси симметрии 1, 2, 3, 4 и 6. В кристаллах невозможны оси пятого порядка и порядка больше шести.
В'В
В'В
Рис. 3.3 К доказательству невозможности оси симметрии пятого порядка в кристаллической среде
Рис. 3.3 К доказательству невозможности оси симметрии пятого порядка в кристаллической среде
Представим себе, что ось симметрии n-го порядка с углом поворота а = = 2л/п выходит перпендикулярно к плоскости чер
тежа в точке Л, являющейся узлом в ряду Л, Л', Л", ..., показанном на рис. 3.3. Тогда, очевидно, в каждой гомологичной точке этого ряда тоже выходит такая же ось. Если поворот на угол а вокруг оси в точке Л переведет точку Л' в положение В', то такой же поворот вокруг оси, выходящей в точке Л', переведет точку Л в положение В. Точки 6, В' и т. п. должны образовать ряд гомологичных точек, параллельных ряду Л Л', т. е. расстояние
ВВ' = Nt,
где / — трансляция ЛЛ', N — целое число. Так как BB' — t— — 2/ cos а, то
t — 2/cos a = Nt,
откуда
\-N
cos a = —2— •
Из условия
— 1 ^ cos a ^4-1
находим все возможные значения:
N
—1
0
1
2
3
cos a
1
1/2
0
-1/2
—1
a
0е
60®
90®
120°
180®
Порядок оси симметрии
1
6
4
3
2
Таким образом, условию периодичности и непрерывности ряда гомологичных точек удовлетворяют только оси симметрии поряд-
встречается в исследованныхвстречается в исследованныхРис. 3.4. Точка (слева) и материальный треугольник с лицевой (белой) и ночной (черной) сторонами (справа) симметрично преобразуются плоскостью симметрии, перпендикулярной к плоскости чертежа (а^, осью 2, лежащей в плоскости чертежа (б), плоскостью симметрии, совпадающей с плоскостью чертежа (в)Рис. 3.4. Точка (слева) и материальный треугольник с лицевой (белой) и ночной (черной) сторонами (справа) симметрично преобразуются плоскостью симметрии, перпендикулярной к плоскости чертежа (а^, осью 2, лежащей в плоскости чертежа (б), плоскостью симметрии, совпадающей с плоскостью чертежа (в)ков 2, 3, 4 и 6. Аналогично доказывается, что в плоской сетке и в пространственной решетке тоже могут существовать только оси симметрии тех же порядков. Оси симметрии пятого, седьмого и следующих порядков в кристаллах невозможны.
встречается в исследованных
встречается в исследованных
Рис. 3.4. Точка (слева) и материальный треугольник с лицевой (белой) и ночной (черной) сторонами (справа) симметрично преобразуются плоскостью симметрии, перпендикулярной к плоскости чертежа (а^, осью 2, лежащей в плоскости чертежа (б), плоскостью симметрии, совпадающей с плоскостью чертежа (в)
Рис. 3.4. Точка (слева) и материальный треугольник с лицевой (белой) и ночной (черной) сторонами (справа) симметрично преобразуются плоскостью симметрии, перпендикулярной к плоскости чертежа (а^, осью 2, лежащей в плоскости чертежа (б), плоскостью симметрии, совпадающей с плоскостью чертежа (в)
Интересно отметить, что ось 5, невозможная в кристаллах, за последние годы биологических структурах («кристаллах живой природы»). «Можно думать, — пишет академик Н. В. Белов, — что пятерная ось является у мелких организмов своеобразным инструментом борьбы за существование, страховкой против окаменения, против кристаллизации, первым шагом которой была бы «поимка» решеткой» (Белов, 1962).
Рассматривая симметрию фигуры, нужно четко различать, говорим ли мы о симметрии только самой фигуры, без учета ее окружения, или же о симметрии фигуры и ее окружения. Формы реальных кристаллических многогранников всегда несут на себе отпечаток условий роста и симметрии кристаллообразующей среды. Но в этой книге мы будем рассматривать симметрию идеального кристаллического многогранника, не учитывая его окружение.
В геометрической фигуре может быть несколько осей симметрии разных порядков наряду с плоскостями и другими элементами симметрии. Например, у куба есть [ентры граней, как оси прямоуголь
три оси 4 (они проходят черезтри оси 4 (они проходят черезной системы координат), четыре оси 3 (через пары противоположных вершин) и шесть осей 2 (через середины противоположных ребер).
три оси 4 (они проходят через
три оси 4 (они проходят через
Рассмотрим две точки на проекции (рис. 3.4). Точку Б можно получить симметрическим преобразованием из точки А, отразив точку А в плоскости симметрии т (рис. 3.4, о) или повернув точку А вокруг оси симметрии 2, лежащей в плоскости проекции (рис. 3.4, б). Как узнать, какое же преобразование произошло на самом деле? Различие очевидно, если симметрично поворачивать или отражать не точку, а материальную фигурку: треугольник, у которого лице-
вая сторона — белая, изнанка — черная. Ось 2 (рис. 3.4, б) поворачивает треугольник «с лица на изнанку», а плоскость симметрии (рис. 3.4, а) отражает его, не поворачивая. Если треугольник отразится в плоскости симметрии т, совпадающей с плоскостью чертежа, то черная сторона совместится с белой; изображать это мы будем черной точкой на белом фоне (рис. 3.4, в) ).
Центром симметрии (1) (центром инверсии, центром обратного равенства) называется особая точка внутри фигуры, характеризующаяся тем, что любая проведенная через нее прямая встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры по обе стороны от нее и на равных расстояниях. Таким образом, симметрическое
преобразование в центре симметрии — это отражение в точке, поворачивающее фигуру «с лица на изнанку» (рис. 3.5, а\
а) 5) б)Рис. 3.5. Симметрическое преобразование с помощью центра симметрии (а); стереографическая проекция граней, симметричных относительно центра симметрии (б); стрелки полярная (без центра симметрии) и неполярная (центросимметричная) (в).а) 5) б)Рис. 3.5. Симметрическое преобразование с помощью центра симметрии (а); стереографическая проекция граней, симметричных относительно центра симметрии (б); стрелки полярная (без центра симметрии) и неполярная (центросимметричная) (в).На рис. 3.5, б показаны стереографические проекции двух граней кристалла, симметричных относительно центра симметрии, одна грань находится на верхней половине сферы проекций (кружок), вторая — на нижней (крестик). Такое же преобразование показано с помощью черно-белого треугольника: отражение в центре симметрии поворачивает треугольник «с лица на изнанку».
а) 5) б)
Рис. 3.5. Симметрическое преобразование с помощью центра симметрии (а); стереографическая проекция граней, симметричных относительно центра симметрии (б); стрелки полярная (без центра симметрии) и неполярная (центросимметричная) (в).
а) 5) б)
Рис. 3.5. Симметрическое преобразование с помощью центра симметрии (а); стереографическая проекция граней, симметричных относительно центра симметрии (б); стрелки полярная (без центра симметрии) и неполярная (центросимметричная) (в).
В кристаллах, у которых есть центр симметрии, не может быть
полярных прямых. Полярной называется прямая, у которой свойства различны по разным направлениям (рис. 3.5, в\ Рассмотрим, например, ось симметрии 4 в четырехгранной призме или в четырехгранной пирамиде. Два основания призмы одинаковы; при отражении в центре симметрии или в поперечной плоскости симметрии один конец оси 4 совместится с другим, и наоборот; различий в направлениях оси 4 нет — ось не полярна. В пирамиде тоже имеется ось 4, но никакими операциями симметрии, присущими самой пи
рамиде, нельзя совместить вершину пирамиды с ее основанием, т. е. один конец оси с другим ее концом — в пирамиде ось симметрии 4 полярна. Такие же оси 4 в кубе уже не полярны, потому что в кубе есть центр симметрии. Полярна, например, ось симмет-
рии кругового конуса, но не полярна ось симметрии кругового цилиндра. Подробнее см. приложение В.
Совокупностью т, 2, 3, 4, 6, I исчерпываются все возможные в кристаллах простые элементы симметрии.
Каждый элемент симметрии фигуры порождает некоторую совокупность операций симметрии: ось 3 — повороты фигуры на 120° и 240°; ось 4 — на 90°, 180°, 270°; ось 6 — на 60°, 120°, 180°, 240°, 300°. Все повороты, порождаемые осью симметрии, можно рассматривать как результат повторения одного элементарного поворота; для оси 2 это поворот на 180°, для оси 3 — на 120°, для оси 4 — на 90°, для оси 6 — на 60°. В отличие от осей симметрии, обозначенных прямыми цифрами, элементарные повороты будем обозначать курсивным символом оси с индексом, указывающим, с какой координатной осью совпадает данная ось симметрии: 2Х, 32 и т. п. Используя кристаллографическое индицирование, запишем это так: ^ГюоЪ ^ГооН и т- Д- Результат повторения нескольких элементарных поворотов рассматривается -как соответствующая степень элементарного поворота; если, например, поворот на 60° обозначен 62, то повороты вокруг той же оси на 120°, 180°, 240°, 300° обозначаются соответственно 6Х, 6^, 62, 6^. Очевидно, справедливы равенства 61 = 3/, 61 = 2/ 41 = 2,.
Операция отражения в плоскости симметрии т обозначается символом плоскости с индексом, указывающим ось координат, нормальную к плоскости: тх, или /и(100). Операция инверсии, т. е. отражение в центре симметрии 1, обозначается символом 1.
Кроме того, к числу операций симметрии относится также отождествление, или единичная операция, — это «операция преобразования фигуры в себя путем оставления ее на месте» ). Обозначается она символом /.
Если фигура имеет несколько элементов симметрии, совокупность совместно порождаемых ими операций симметрии соответственно усложняется.
Рассмотрим пример. Пусть фигура имеет ось 3 и перпендикулярную к ней ось 2 (это симметрия кристаллов кварца — рис. 3.6). Ось 3 порождает повороты 3 и З2, а ось 2 — поворот 2Х. Так как каждая операция симметрии преобразует фигуру (идеальный многогранник кварца) в себя, результат нескольких последовательно проведенных операций симметрии — его называют произведением этих операций — также преобразует фигуру в себя и, следовательно, также является одной из операций симметрии. Рассмотрим результат последовательного проведения двух операций симметрии: сначала 32, потом 2Х. На проекции (рис. 3.7, а) этот же результат полу-
чится в результате одной операции, а именно 2и. На рис. 3.7, а треугольник А поворотом на 120° вокруг оси 32 переводится в положение Б, а затем поворотом на 180° вокруг оси 2Х — в положение В. Но перевести А в В можно также и сразу поворотом вокруг оси 2Й. Это записывают так: 2Х32 = 2и. Справа пишут ту операцию, которая производится раньше. Порядок записи существен: рис. 3.7, б показывает, что изменение порядка операций приводит к другому результату: Зг2х = 2и. Действительно, на рис. 3.7, б треугольник Л
Рис 3.6. Кристалл кварца левый и правый и стереографическая проекция его элементов симметрии
поворотом на 180° вокруг оси 2Х переводится в положение Г» а затем поворотом на 120° вокруг оси 32 — в положение Е; можно и непосредственно перевести А в Е поворотом на 180° вокруг оси 2д.
Результаты всевозможных пар последовательно проведенных операций симметрии кристалла собраны в таблице умножения (как будет объяснено в § 5, это таблица умножения группы 32).
Сомножители
Правый
/
31
2х
гу
2и
Левый
1
1
^2
31
' 2Х
2у
2и
зг
Зг
31
1
2у
2„
2х
31
31
1
Зг
2ц
2Х
2У
2*
2*
2ц
2у
1
31
зг
2»
2»
2х
2ц
з.
1
31
2„
2„
2у
2х
31
зг
1
Как видно из таблицы, из наличия у кристалла кварца осей 32 и 2Х вытекает наличие у него еще двух элементов симметрии — осей 2д и 2и. Таким образом, если перпендикулярно к оси симметрии 3 проходит ось 2, то всего имеется три оси 2, перпендикулярных
2 Ю. И. Сиротин, М. П. Шаскольская
к оси 3. На этом частном примере выведена теорема 1 об умножении операций симметрии.
Теорема 1. Если перпендикулярно к оси симметрии порядка п проходит ось симметрии 2, то всего имеется п осей 2, перпендикулярных к оси п. Сочетание оси симметрии порядка п и перпендикулярной к ней оси симметрии 2 обозначается п2; в данном случае имеем сочетание 32 (см. рис. 3.6).
Сформулируем еще ряд теорем об умножении операций симметрии, которые будут использованы в этой книге дальше. Здесь даются лишь поясняющие иллюстративные примеры, а строгие аналитические доказательства приведены в приложении Г.
Рис. 3.7. Результат последовательного проведения двух операций симметрии: а) 2„3 = 2 , б) 32=2. ’ гх6 уРис. 3.7. Результат последовательного проведения двух операций симметрии: а) 2„3 = 2 , б) 32=2. ’ гх6 уРис. 3.8. Отражение в двух пересекающихся плоскостях симметрии эквивалентно повороту вокруг оси симметрии.Рис. 3.8. Отражение в двух пересекающихся плоскостях симметрии эквивалентно повороту вокруг оси симметрии.
Рис. 3.7. Результат последовательного проведения двух операций симметрии: а) 2„3 = 2 , б) 32=2. ’ гх6 у
Рис. 3.7. Результат последовательного проведения двух операций симметрии: а) 2„3 = 2 , б) 32=2. ’ гх6 у
Рис. 3.8. Отражение в двух пересекающихся плоскостях симметрии эквивалентно повороту вокруг оси симметрии.
Рис. 3.8. Отражение в двух пересекающихся плоскостях симметрии эквивалентно повороту вокруг оси симметрии.
Теорема 2. Линия пересечения двух плоскостей симметрии всегда является осью симметрии с углом поворота вдвое большим, чем угол между плоскостями. Пояснение см. на рис. 3.8. Отражение в плоскости / переводит треугольник А в положение 5, а в плоскости // — из Б в В. Но переход А — В можно осуществить также и путем поворота вокруг оси п на угол 2а, т. е. /пц-/П] = п2а.
Теорема 2а (обратная теореме 2). Поворот вокруг оси симметрии можно заменить двумя отражениями в плоскостях симметрии. При этом одна плоскость проводится вдоль оси произвольно, а вторая должна образовывать с первой плоскостью угол, равный половине угла поворота вокруг оси и притом в направлении этого поворота. Доказательство очевидно из того же рис. 3.8.
Теорема 3. Точка пересечения четной оси симметрии с перпендикулярной к ней плоскостью симметрии есть центр симметрии. На рис. 3.9 ось 2Z, перпендикулярная к плоскости т2) переводит треугольник А в положение Б (рис. 3.9, а), плоскость т2 дает отражение А — Л', Б — Б' (рис. 3.9, б), но Л и Б\ а также А' и Б связаны еще и порожденным центром симметрии (рис. 3.9, в\
Сочетание оси симметрии порядка п и перпендикулярной к ней плоскости симметрии обозначается п/т; в данном случае — сочетание 21т (рис. 3.9, а).
Аналогично доказываются следующие теоремы.
Теорема За. Если на четной оси симметрии есть центр симметрии, то перпендикулярно к этой оси проходит плоскость симметрии.
Теорема 36. Если через центр симметрии проходит плоскость симметрии, то перпет“
центр проходит четная ось симметрии.
Теорема 4. Если вдоль оси симметрии n-го порядка проходит плоскость симметрии, то таких плоскостей имеется п; такое сочетание обозначается пт (доказывается так же, как теорема 1,см. рис. 3.8).
При перемножении операций симметрии получаем уже перечисленные операции и еще одну, новую: произведение элементарного поворота п и инверсии 1 в любом порядке является операцией симметрии, называемой элементарным инверсионным поворотом п, т. е. Ьп = nd = п.
Ось, вокруг которой производятся инверсионные повороты, называется инверсионной осью симметрии. Как и поворотные оси, инверсионные оси в кристаллах могут быть только 1, 2, 3, 4 и 6 порядков.
Среди элементарных инверсионных поворотов есть две из перечисленных выше операций: действие инверсионной оси 1 эквивалентно действию центра симметрии, а инверсионный поворот вокруг оси 2 эквивалентен действию плоскости симметрии: 2 = т. Остальные инверсионные повороты являются новыми.
Повторение элементарных инверсионных поворотов приводит к следующим результатам-:
5^ = 3/, 31=7; 3*=3г;
4^ = 2^ 4^ 41=d.
Например, инверсионный поворот вокруг оси 3, нормальной к плоскости (рис. 3.10, а), т. е. поворот на 120° с одновременным
2*
отражением в центре симметрии, переводит треугольник (или точку) А в положение Б, затем — в положение S и т. д. Аналогично, на рис. 3.10, б треугольник (или точка) А путем поворота на 90° с одновременным отражением в центре (ось 4) переводится в 5, далее — В и т. д.
Рис. 3.10. Симметричные преобразования инверсионными осями симметрии 3 (а), 4 (б), 6 (в) материального треугольника (верхний ряд) или точки в стандартном изображении на стереографической проекции (нижний ряд).
Для описания симметрии кристаллических многогранников иногда используют еще одну операцию симметрии — зеркальный поворот, который представляет собой поворот вокруг оси симметрии вместе с отражением в плоскости, перпендикулярной к этой оси. Зеркально-поворотные оси Ли Л2, Л8, Лi, Лв эквивалентны инверсионным осям симметрии: Лг = 2 = 42 = т, Л2 = I, Л8 = = 6, Л^ = I, Л6 = 3. Необходимо обратить внимание на то. что Л6 тождественна не 6, а 3, а Л8, в свою очередь, тождественна не 3, а 6. То же относится к осям Л^ = 2 и Л2 = I.
Инверсионный поворот представляет собой поворот вокруг оси симметрии и отражение в центре симметрии, осуществляемые совместно; эти две операции нельзя разделить, поэтому наличие в кристалле инверсионной оси симметрии не означает, что в кристалле есть центр симметрии, и не противоречит наличию полярных направлений (но сама инверсионная ось заведомо не полярна!).
Итак, симметрия кристаллических многогранников исчерпывающе описывается набором элементов симметрии т, /, 2, 3, 4, 6, 3, 4, 6. Вернемся к теоремам об их умножении.
Теорема 5 (теорема Эйлера). Равнодействующей двух пересекающихся осей симметрии является третья ось, проходящая через точку их пересечения.
Рис. 3.11. К теореме Эйлера: а) 2 *4, =6) 4 -2у = 2X Z ХуZ XРис. 3.11. К теореме Эйлера: а) 2 *4, =6) 4 -2у = 2X Z ХуZ X
Рис. 3.11. К теореме Эйлера: а) 2 *4, =6) 4 -2у = 2X Z ХуZ X
Рис. 3.11. К теореме Эйлера: а) 2 *4, =6) 4 -2у = 2X Z ХуZ X
Иллюстрацией этой теоремы служит рис. 3.11. Ось 4г осуществляет перевод А -> 5, ось 2^ — Б В, но можно сразу перевести А -> В поворотом вокруг оси 2^, т. е.
Можно провести эти преобразования в другом порядке: операция 2Х переводит Л ->Б,
»42»Б-* В,
»2-у»Л В,
т. е.
4 -2 =2-2 X Ху
Проиллюстрируем теорему Эйлера с помощью проекции. На рис. 3.12 Л и В — следы осей симметрии с углами поворота а = = 2л/п и Р = 2л//и соответственно. Из точки пересечения этих осей, как из центра, опишем сферу и спроектируем ее на плоскость чертежа, повернув ее так, чтобы ось А выходила в центре круга проекций. Согласно теореме 2а поворот вокруг оси А можно представить как два отражения в плоскостях симметрии, причем первую из плоскостей мы имеем право провести произвольно, а вторая образует с ней угол а/2; проведем первую плоскость через ось В. Аналогично заменим поворот вокруг оси В двумя отражениями в плоскостях, пересекающихся под углом 0/2, причем первую плоскость проведем через А. Произведение
/И1 • Ши = /,
т. е. результат двух последовательных отражений в одной и той
же плоскости оставляет фигуру на месте. Остаются две плоскости
гпп и т п, пересекающиеся под углом у/2 и, согласно теореме 2, эквивалентные оси симметрии С с углом поворота у = 2л/р. Теорема доказана.
Выше было показано, что оси симметрии в кристалле могут быть только осями порядка 2, 3, 4, 6. Какие сочетания этих осей возможны в кристалле?
Произведя вокруг осей Л, В, С на рис.
3.12 все возможные повороты Л, Л2, Л3,...
В, В2, В3 ... ит. п., мы, очевидно, полу-
Рис. 3.12 К иллюстрации ЧИМ НЗ сфере П ВЫХОДОВ ОСИ Л, ПТ ВЫХО- с^еТра^чТкой^прое” Д0В ОСИ В И р ВЫХОДОВ ОСИ С, а ПрОВОДЯ ииимежду ними плоскостисимметрии,которые
на сфере изображаются, как дуги больших кругов, получим на поверхности шара сеть сферических треугольников. Из сферической тригонометрии известно, что сумма углов сферического треугольника S
180° ^5^3-180°.
С другой стороны, из условия, что оси Л, В, С могут быть только осями 2, 3, 4, 6, следует, что углы между сторонами треугольников могут равняться только 90°, 60°, 45°, 30°. Поэтому устойчивыми могут быть только сочетания осей симметрии, перечисленные ниже:
Углы
Сумма углов
Сочетания осей
Кристаллографическая система
90°,90°,90°
60°,90°,90°
45°,90°,90°
30°,180°,180°
60°,60°,90°
45°,60°,90®
270°
240®
225°
390°
210®
195°
2,1 2
2, 2
2, 2
2, 2
3, 2
3, 2
Ромбическая Тригональная Тетрагональная Гексагональная
Кубическая
В последнем столбце указаны названия кристаллографических систем, разъясняемые в следующем параграфе.
§ 4. Кристаллографические категории, системы и сингонии
В зависимости от геометрической симметрии, форм роста и от симметрии физических свойств кристаллы разделяются на категории, системы и сингонии.
Прежде чем знакомиться с категориями, введем понятие об особенных направлениях в кристалле. Единственное, не повторяющееся в кристалле направление называется особенным или единичным ). Например, ось 6 в снежинке, ось 4 в четырехгранной пирамиде и в четырехгранной призме или ось 6 в шестигранном карандаше представляют собой особенные направления: никакими другими элементами симметрии, имеющимися в этих многогранниках, нельзя повторить их так, чтобы получить еще одну ось 4 или вторую ось 6.
В кубе ось 4 не единственная, таких осей три и каждая из них может совместиться с другой такой же осью, например, путем отражения в любой из шести диагональных плоскостей симметрии куба. Не только оси симметрии, но и любое направление в кубе обязательно повторяется симметрично, т. е. в кубе нет особенных направлений. Повторяющиеся в кристалле направления, связанные между собой элементами симметрии, называются симметрически эквивалентными.
В зависимости от числа особенных (единичных) направлений и от имеющихся осей симметрии кристаллы разделяются на три категории:
высшая категория — нет особенных направлений, есть несколько осей симметрии порядка выше чем 2 (пример — куб);
средняя категория — одно особенное направление, совпадающее с единственной осью симметрии порядка 3, 4 или 6, т. е. выше чем 2 (пример — трех-, четырех- и шестигранная призма);
низшая категория — несколько особенных направлений, нет осей порядка выше чем 2 (пример — так называемая ромбическая призма (кирпичик), имеющая три оси 2).
К высшей категории относятся кристаллы, у которых есть несколько осей симметрии порядка выше чем 2; в частности, обязательно есть четыре оси 3 и, кроме того, могут быть по три оси 4 или 4. Это высокосимметричные кристаллы. В них нет особенных направлений. Любому направлению в кристалле высшей категории соответствуют другие симметрически эквивалентные направления. Свойства кристалла в симметрически эквивалентных направлениях должны быть одинаковыми, поэтому анизотропия свойств у кристаллов высшей категории выражена наименее резко. Физические свойства кристаллов, описываемые тензором второго ранга (см. гл. III), т. е. электропроводность, теплопроводность, диэлектрическая проницаемость и др., в этих кристаллах изотропны, изометричны.
К средней категории относятся кристаллы, у которых есть одно особенное направление, а именно, одна ось симметрии 3, 4 или 6
(простая или инверсионная). Анизотропия физических свойств у этих кристаллов выражена значительно резче, чем у кристаллов высшей категории.
К низшей категории относятся кристаллы, у которых нет осей симметрии порядка выше чем 2 и есть несколько особенных направлений. Это наименее симметричные кристаллы с наибольшей анизотропией свойств.
В свою очередь, три категории разделяются на семь систем по признаку их характерной симметрии и по сочетаниям осей симметрии (см. § 3).
Низшая категория делится на три системы ):
триклинная («трижды наклонная») система — нет ни осей, ни плоскостей симметрии;
моноклинная («однонаклонная») — есть лишь одна ось симметрии второго порядка, или одна плоскость симметрии, или и ось, и плоскость;
ромбическая — у кристалла есть более одной оси второго порядка или более одной плоскости симметрии.
Средняя категория подразделяется также на три системы:
тригональная — одна основная ось симметрии 3 или 3;
тетрагональная —»»»»4 или 4;
гексагональная —»»»»6 или 6.
Высшая категория состоит из единственной системы — кубической. которая характеризуется наличием четырех осей симметрии третьего порядка.
Вместо подразделения на семь систем можно подразделять категории на шесть сингоний.
Понятие сингонии совпадает с понятием системы для всех систем, кроме тригональной и гексагональной. Разделение на сингонии определяет выбор кристаллографической системы координат и характеризующей ее тройки базисных векторов а^ а^ а3. или, иначе говоря, метрики а. Ь, с. а, 0, у (см. рис. 1.5).
Кристаллографические оси координат всегда выбираются по осям симметрии или по нормалям к плоскостям симметрии. Если нет соответствующих элементов симметрии, как в моноклинной и триклинной сингониях, оси координат выбираются по ребрам кристаллографического многогранника или по рядам кристаллической решетки.
Примитивные элементарные ячейки, соответствующие каждой сингонии, показаны в первом столбце табл. 9.1 и в табл. 4.1.
S А
I
о _ к ” 3 £ У = 1 3h
Сингония
Система
Характерная симметрия
Форма элементарной ячейки
Оси координат
Принятое расположение осей
Параметры, характеризующие вещество
1 Я X
о S ч о я о X
Триклинная
Триклинная
Нет
Косоугольный параллелепипед
а^Ь^с, а^р^7^90°
По ребрам кристалла, с<Ь<а
а : Ь : с, a, р, V
Моноклинная
Моноклинная
Ось 2 или плоскость симметрии
Прямая призма с параллелограммом в основании
а ^ b ^с, a=v=90°^P
Ось Y вдоль оси 2 или нормальна к плоскости т
Ось Z вдоль оси 2 или нормальна к т, с <Ь <а
алЬ-.с, р,
а : b : с, 7
Ромбическая
Ромбическая
Три оси 2 или три плоскости симметрии
Прямоугольный параллелепипед
а -ф b ^2 с, а = р = у = 90°
Оси параллельны 2 или нормальны к т, с < b <_а
а : b : с
к к к
5
О
о я <5
Гексагональная
Гексагональная Тригональная*)
Ось 6 или 6
Ось 3 или 3
Призма с основанием в форме ромба с углом 120°
а — Ь 2^2 с, а = р = 90°, 7=120°
Главная ось параллельна Z, остальные в плоскости XY
с: а
Тетрагональная
Тетрагональная
Ось 4 или 4
Призма с квадратным основанием
а = Ь ф с, а = р = 7 = 90°
к СП 3
3 СП
X
*) Пр
Кубическая
и ромбоэдричес
Кубическая кой установке: а=
Четыре оси 3
Ъ=с, а=р=у:£90е.
Куб
Элементарная ячейка
а = Ь = с, а = р = 7 = 90°
ромбоэдр. Характе
Оси параллельны трем осям 4 (или 4, или 2)
рные параметры веще
а
ства: а, а.
Таблица 4.1
Разделение кристаллов на категории, сингонии и системы
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ КАТЕГОРИИ, СИСТЕМЫ
На рис. 4.1 показано, как выбираются оси координат в кристаллах семи систем.
К высшей категории относится одна сингония — кубическая. Это единственная сингония, симметрии которой соответствует обычная декартова система координат а = b = с, а = 0 = у = 90°. Элементарная ячейка — куб. За оси координат принимают три
Рис. 4.1. Стандартные правила кристаллографической установки (стереографическая проекция): кубическая (а), тетрагональная (б), тригональная и гексагональная (в), ромбическая (г), моноклинная (д) и триклинная (е) системы.
взаимно перпендикулярные оси 4 или 4 или 2. Кроме того, у кристаллов кубической сингонии обязательно имеются четыре оси 3 (пространственные диагонали куба) — это самый характерный признак кубических кристаллов. Понятия кубической системы и кубической сингонии совпадают.
К средней категории относятся две сингонии:
тетрагональная главная ось 4 или 4;
гексагональная главная ось 6 или 6, или 3, или 3.
Главная ось в этих сингониях всегда принимается за ось Z (Х3), оси X (XJ и Y (Х2) расположены в плоскости, перпендикулярной
к главной оси. Отрезки по осям X и Y здесь одинаковы (а = 6), поэтому метрика кристаллов средней категории характеризуется отношением с/а; это отношение для разных веществ различно и является характерной константой вещества.
Для тетрагональных кристаллов понятия системы и сингонии совпадают. Что же касается кристаллов гексагональной и тригональной системы ), то их можно описывать в одной, так называемой гексагональной системе координат: единственная ось 3 или 3 (тригональная), 6 или 6 (гексагональная), принимается за ось Z. Оси X и Y, расположенные в плоскости, перпендикулярной к оси Z, составляют между собой угол 120°; для симметрии к ним добавляют еще одну, четвертую ось U в той же плоскости и тоже под углом 120°, т. е. пользуются четырехосной системой координат. Элементарная ячейка этой сингонии составлена из трех примитивных ячеек (см. табл. 4.1 и 9.1).
Для описания этих кристаллов можно также использовать трехосную (ромбоэдрическую) систему координат, оси которой идут по ребрам элементарного ромбоэдра, т. е. а = b с. а = = р = у ^ 90°. Характерной константой вещества служит угол а. Наиболее оправдано применение этой системы координат к тригональным кристаллам с ромбоэдрической решеткой Бравэ (см. § 9).
В ромбической (орторомбической) сингонии {а ^ b ^ с. а = = Р = у = 90°) пользуются прямоугольной системой координат с неодинаковыми отрезками, причем обязательно условие с < а < Ь. Оси координат проходят вдоль осей 2 или перпендикулярны к плоскости симметрии.
В моноклинной сингонии а =^= b + с. а = у = 90° ^ р, ось Y параллельна оси 2 или перпендикулярна к т, оси X и Z лежат в плоскости, нормальной к Y, но их расположение и угол между ними не заданы элементами симметрии; они выбираются по рядам атомов в структуре или по ребрам внешней формы кристаллов. Возможно и другое расположение осей — так называемая вторая установка моноклинной сингонии, когда ось 2 или нормаль к т располагаются вдоль оси Z.
В триклинной системе (а^й^с, а^р^у^ 90°) все оси не заданы элементами симметрии, а выбираются по ребрам кристалла при обязательном условии с < а < Ь.
Для низшей категории понятия сингоний и систем совпадают.
Разделение кристаллов на категории, системы и сингонии приведено в табл. 4.1. Заметим, что в кристаллографии чрезвы-
чайно важны правила установки, т. е. расположение элементов симметрии вдоль определенных осей координат, так как от этого зависит однозначность индицирования (см. § 12).
§ 5. Точечные группы (классы) симметрии кристаллов
Множество операций симметрии идеального кристаллического многогранника,, т. е. преобразований, в результате которых этот многогранник совмещается сам с собой, образует класс (вид) симметрии, или точечную группу симметрии кристалла. Число различных операций симметрии, входящих в группу, называется порядком группы.
Рассмотрим простейшие свойства таких групп.
Если некоторая операция преобразует кристаллический многогранник в себя, он, очевидно, будет преобразовываться в себя и при повторениях этой операции. Так как результат последовательных повторений операции симметрии обозначается как степень этой операции, в группу вместе с любой операцией входят и все ее возможные степени. Это не значит, что таких степеней бесконечно много: повторение любой точечной кристаллографической операции симметрии в конце концов приводит кристалл в исходное положение, т. е. некоторая степень любой такой операции равна отождествлению:
> = 1, т? = 1, 2^ = 1, 3^=\,
4^ = 1, 6^ = 1, У = 1, 4^ = 1,
6^ = 1.
Группы, порождаемые одним элементом симметрии, т. е. состоящие из степеней одной-единственной операции, называются циклическими. Кристаллографические циклические группы обозначаются символами порождающих их элементов симметрии. Они бывают первого порядка (1), второго порядка (1, т, 2), третьего порядка (3), четвертого порядка (4, 4), шестого порядка (6, 3, 6).
Если некоторая операция совмещает многогранник сам с собой и, следовательно, является операцией симметрии, то и операция, возвращающая его в первоначальное положение, также является операцией симметрии; она называется обратной по отношению к исходной (исходная же в свою очередь оказывается обратной по отношению к ней). Обратная операция обозначается как минус первая степень исходной.
Произведение взаимно обратных операций есть отождествление /; очевидно, любые лве операции, произведение которых есть отождествление, взаимно обратны. Примеры взаимно обратных
операций:
ТТ=Цm*m = l,2*2 = 1,3^3 = 1,
4*4 = 1,№6 = 1,3*№ = 1,4*4* = 1,
6*№ = 1.
Как видно, некоторые операции (1, т, 2) обратны самим себе.
Если каждая из некоторых двух операций преобразует кристаллический многогранник в самого себя, то и в результате последовательного выполнения обеих операций многогранник преобразуется в себя: наряду с любыми двумя операциями в группу входит и их произведение (или оба произведения, если они не совпадают).
Пусть, например, в число операций симметрии некоторого кристаллического многогранника входят 2У и ту. Согласно теореме 1 § 3 операцией симметрии оказывается также 7. Вместе с отождествлением эти операции образуют группу, так как все возможные перемножения не приводят ни к каким иным операциям; символ этой группы 2!т разъясняется в следующем параграфе.
Таблицы умножения точечных групп 21т, 222, mm2 и абстрактной нециклической группы четвертого порядка выглядят так:
21т/2дту11/2дту72«2У1"1тутиту"112д77ту2д121т/2дту11/2дту72«2У1"1тутиту"112д77ту2д122212х2У2г112х2У2=2х2х12g2д2д2д2г12х2g2g2д2х122212х2У2г112х2У2=2х2х12g2д2д2д2г12х2g2g2д2х1
21т
/
2д
ту
1
1
/
2д
ту
7
2«
2У
1
"1
ту
ти
ту
"1
1
2д
7
7
ту
2д
1
21т
/
2д
ту
1
1
/
2д
ту
7
2«
2У
1
"1
ту
ти
ту
"1
1
2д
7
7
ту
2д
1
222
1
2х
2У
2г
1
1
2х
2У
2=
2х
2х
1
2g
2д
2д
2д
2г
1
2х
2g
2g
2д
2х
1
222
1
2х
2У
2г
1
1
2х
2У
2=
2х
2х
1
2g
2д
2д
2д
2г
1
2х
2g
2g
2д
2х
1
mm21тхту2g11тхтд2гтхтх12gтдтуту2,1тх2g2zтутх1mm21тхту2g11тхтд2гтхтх12gтдтуту2,1тх2g2zтутх1абстр.1аbс11аbсаа1сbbbс1ассbа1абстр.1аbс11аbсаа1сbbbс1ассbа1
mm2
1
тх
ту
2g
1
1
тх
тд
2г
тх
тх
1
2g
тд
ту
ту
2,
1
тх
2g
2z
ту
тх
1
mm2
1
тх
ту
2g
1
1
тх
тд
2г
тх
тх
1
2g
тд
ту
ту
2,
1
тх
2g
2z
ту
тх
1
абстр.
1
а
b
с
1
1
а
b
с
а
а
1
с
b
b
b
с
1
а
с
с
b
а
1
абстр.
1
а
b
с
1
1
а
b
с
а
а
1
с
b
b
b
с
1
а
с
с
b
а
1
Все умножения в группе 2/т коммутативны, т. е. не зависят от порядка сомножителей; это проявляется в том, что таблица умножения группы симметрична относительно главной диагонали. Таким образом, 2//п — коммутативная группа. Очевидно, все циклические группы коммутативны (но не все коммутативные группы являются циклическими).
Группы, в которых не все умножения коммутативны, называется некоммутативными. Такова, например, группа симметрии кристаллов кварца 32, порожденная осью 3 и перпендикулярной к ней осью 2. В § 3 показано, что 3Z2X + 2X3Z. Таблица умножения этой группы не симметрична относительно главной диагонали (см. § 3).
Группа 32 — пример групп, порожденных двумя операциями симметрии. К таким группам относятся также группы симметрии правильной трехгранной и четырехгранной пирамиды Зт и 4т. Некоторые кристаллографические группы порождаются тремя операциями; такова, например, группа симметрии правильной четырехгранной призмы 4/ттт. Порождающие группу операции называются иногда генераторами группы. Генераторы всех кристаллографических групп приведены в табл. 45.2.
Бывает, что часть операций, входящих в группу, сама по себе составляет группу (разумеется, меньшего порядка, чем исходная); эта группа по отношению к исходной называется подгруппой, исходная же по отношению к ней — надгруппой.
Так, у группы 2/т три подгруппы ): 2 {/, 2У), т {/, ту^ и 1 {7, 7}, а у группы 32 — четыре: 3 {/, 3Z, 3^ 2 {/, 2^}, 2 {/, 2^}, 2 {/, 2Z\ То, что группа I — подгруппа группы 2/т, обозначается так: 1 cz 2/т. Группа 1, состоящая из единственной операции /, — подгруппа любой группы, поэтому ее часто называют тривиальной подгруппой и опускают при перечислении подгрупп.
Отношение порядка группы к порядку подгруппы называется индексом подгруппы*, так по отношению к группе 32 группа 3 оказывается подгруппой индекса 2, а группа 2 — подгруппой индекса 3; по отношению к группе 2/т группы 2, т и I — подгруппы индекса 2.
Совокупность операций, входящих одновременно в две группы, называется пересечением этих групп. Нетрудно доказать, что пересечение двух групп само является группой; отсюда следует, что пересечение двух групп — наибольшая общая подгруппа этих групп. Находя пересечение двух точечных групп, необходимо обращать внимание на взаимное расположение элементов симметрии в них. Так, если рассмотренные ранее группы 32 и 21т отнесены к одной и той же системе координат, то пересечение этих групп — группа 2 {/, 2У\ Это обозначается 32 П 21т = 2, или,
если желательно подчеркнуть ориентировку элементов симметрии, 3z2v П ^у/^у = 2^.
Точечные группы симметрии кристаллов — одна из возможных реализаций математических групп. Группой в математике называют множество G элементов ) а, Ь, с, ..., удовлетворяющее следующим аксиомам:
для каждых двух (не обязательно различных) элементов группы а е G и fc е 6, взятых в определенном порядке, существует единственный элемент с е G, называемый их произведением', с = ab;
для всех элементов группы выполняется ассоциативный (сочетательный) закон: a (be) = (ab) с;
в группе существует единичный элемент 1 ^G такой, что при умножении его справа или слева на любой элемент tt е G последний не изменяется: al = la = а\
для каждого элемента fl е G существует обратный элемент, а"1 е G, удовлетворяющий соотношению а^а = аа-1 = 1.
Сравнение этих аксиом с рассмотренными ранее свойствами точечных групп показывает, что точечные группы удовлетворяют перечисленным аксиомам и являются, таким образом, частным случаем математических групп.
Если группа имеет только свойства, перечисленные в аксиомах, она называется абстрактной. Абстрактная группа полностью определяется заданием своей таблицы умножения.
Точечные группы, кроме свойств, перечисленных в аксиомах, имеют многие другие свойства: они могут быть центросимметричными и ацентричными, голоэдрическими и мероэдрическими, каждая из них принадлежит к той или иной категории, системе, сингонии и т. д. (эти их свойства рассмотрены в § 14).
Кристаллографически различные точечные группы могут быть абстрактно одинаковыми, т. е. иметь одинаковые таблицы умножения (Белова, Белов, Шубников, 1948). Такие точечные группы называются изоморфными. Всем кристаллографически различным, но изоморфным между собой точечным группам соответствует одна и та же абстрактная группа; таковы, например, коммутативные группы 2/т, 222 и mm2. Вообще же изоморфные группы показаны на рис. 14.5.
Для обозначения кристаллографических классов (точечных групп) симметрии применяются символы, основанные на теоремах об умножении операций симметрии.
В международной символике приняты следующие обозначения: п — ось симметрии n-го порядка (и = 2, 3, 4, 6) ), п — инвер
сионная ось симметрии n-го порядка, т — плоскость симметрии, пт — ось симметрии n-го порядка и п плоскостей симметрии, проходящих вдоль нее (см. теорему 4 § 3); -~, п!т — ось симметрии порядка п и плоскость симметрии, к ней перпендикулярная; если п четное, то по теореме 3 имеется еще и центр симметрии; п2 — ось симметрии n-го порядка и п осей второго порядка, к ней перпендикулярных (см. теорему 1); -™пг или п/ттт— ось симметрии n-го порядка и плоскости т, параллельные и перпендикулярные к ней.
В международном символе класса симметрии пишутся только порождающие элементы симметрии — плоскости или оси; при этом буква в символе означает нормаль к плоскости симметрии. Зная теоремы о сочетании элементов симметрии, можно представить всю совокупность элементов симметрии данного класса. Чрезвычайное значение имеет порядок записи: однозначный смысл цифры или буквы, обозначающей элемент симметрии, зависит от того, на какой позиции в символе она поставлена. Правила записи международных символов точечных групп сведены в табл. 5.1. При записи необходимо строго соблюдать правила кристаллографической установки (см. рис. 4.1).
В международной символике различают «координатные» и «диагональные» элементы симметрии; координатные - плоскости или оси проходят вдоль координатных плоскостей, диагональные — по биссектрисам углов между ними. Целесообразность такого различия и неравноправность координатных и диагональных элементов симметрии станут понятными при рассмотрении микроскопической симметрии кристаллов (§ 9).
В символах всех классов средней категории на первом месте стоит главная ось симметрии, расположенная вдоль оси Z, на втором — координатные элементы симметрии в плоскости ХУ, на третьем — диагональные элементы симметрии в той же плоскости. По традиции направления, проходящие по биссектрисам углов а = 60°, т. е. для осей 6 и 6 в гексагональной сингонии называют иногда апофемальными, оставляя термин «диагональные» лишь для направлений, соответствующих биссектрисам прямых углов, т. е. для тетрагональной сингонии. Для оеей 3 и 3 угол а = 120°, а/2 = = 60°, все направления, образующие между собой углы в 60°, симметрично эквивалентны, поэтому третья позиция в символе пустует. Например, символ 4тт означает: имеется ось 4Z, две координатные плоскости симметрии и две плоскости симметрии, проходящие вдоль оси 4Z через биссектрисы углов между осями X и У. Можно записать этот символ и сокращенно: 4тт = 4т, потому что из теоремы 4 ясно, что если есть плоскость т вдоль оси 4, то таких плоскостей всего четыре. Аналогично записывается класс бтт
§ 5] ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ (КЛАССЫ) СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ 49 в гексагональной сингонии, а в тригональной, как следует из сказанного выше, достаточно записать Зт.
В международном символе точечной группы для кристаллов высшей категории (кубической сингонии) цифра 3 на второй позиции условно символизирует четыре оси 3, в отличие от цифры 3 на первом месте, символизирующей одну — особенную — ось 3 для кристаллов тригональной системы. Наличие четырех осей 3, проходящих по биссектрисам координатных углов, характерно для всех классов кубической системы. Оси симметрии 4 или 4 — если они есть — всегда совпадают в кубической системе с осями координат.
Таблица 5.1
Порядок позиций в символах точечных групп
Сингонии
Позиции в символе
I
II
III
Триклинная
Один символ, соответствующий любому направлению в кристалле
Моноклинная
Ось 2 или нормаль к т вдоль оси Х2 (первая установка) или вдоль оси Х3 (вторая установка)
Ромбическая
Ось 2 или оси Xj
нормаль к т вдоль оси Х2|оси Х3
Гексагональная *)
Тетрагональная
Главная ось симметрии
Оси 2 или норк координатных направлений
тали к т вдоль диагональных направлений
Кубическая
*) В ромбоэдриче К ПЛОСКОСТЯМ' вдоль скобками здесь обозн см. § 12.
Координатные элементы симметрии
ской установке — основная трех направлений (ПО) и ачена совокупность симме
3
ОСЬ ВДОЛЬ <11 1), О трех направлений трично эквивалент
Диагональные элементы симметрии
си 2 или нормали (112). Угловыми ных направлений,
Оси симметрии 2 и плоскости могут быть координатными или диагональными. Если число осей симметрии 2 или плоскостей т равно трем, то эти элементы координатные, если их шесть, то они диагональные. Наконец, если их девять, то из них три — координатные, а шесть — диагональные. В качестве координатных и диа-
тональных элементов симметрии пишутся преимущественно плоскости, а оси симметрии включаются в символ, только если нет плоскостей.
Например, символ m3 расшифровывается так: четыре оси 3 по биссектрисам координатных углов и три координатные плоскости симметрии; по теореме 2 на пересечениях плоскостей появляются три оси 2, а по теореме 3 на их пересечении добавляется центр симметрии. Сравним с символом m3 символ Зт: цифра 3, стоящая на первой позиции, означает единственную главную ось симметрии третьего порядка, т. е. принадлежность к тригональной системе, буква т, стоящая вслед за этой цифрой, означает три плоскости симметрии, проходящие вдоль оси. На этом примере видно, что перестановка букв или цифры в символе с одной позиции на другую полностью меняет смысл символа.
В «учебной» символике (символике Бравэ) приняты обозначения: плоскость симметрии Р, центр симметрии С, оси симметрии Ьъ L^ L3, L4) L6, инверсионные оси симметрии Lp L-, L-, L^ L- или L^ L^ Li3l LUl Ll(i. В формуле класса симметрии выписываются подряд все элементы симметрии — сначала оси, начиная с высших порядков, затем плоскости, затем центр. Так, например, символ L6 7PC означает: одна ось L6l 7 плоскостей симметрии, центр симметрии. По теореме 4 вдоль оси L3 может проходить лишь шесть плоскостей, значит, седьмая плоскость симметрии должна отличаться по расположению от остальных шести; наличие центра симметрии С(1) показывает согласно теореме За, что эта плоскость перпендикулярна к оси L6 (6). Аналогично читаются остальные формулы симметрии.
В символике Шенфлиса применяются следующие обозначения: Сп — одна ось симметрии порядка n, Dn — одна ось симметрии порядка п и п осей 2, перпендикулярных к ней. Единственная ось всегда считается вертикальной, т. е. осью Z. Если осей несколько, то вертикальной считается ось высшего порядка. Индексы у, h и d обозначают плоскости симметрии, добавленные к вертикальной оси, соответственно: у — вертикальные, й — горизонтальные, d— диагональные. Если есть оба типа плоскостей, в символ вставляются только координатные. Буква Т означает совокупность осей симметрии кубического тетраэдра, О — совокупность осей симметрии кубического октаэдра (см. рис. 6.3).
Таким образом, Сп — одна вертикальная полярная ось порядка и, Сп-о — одна вертикальная полярная ось порядка п и п плоскостей симметрии, проходящих вдоль нее, Cnh — одна ось /г и плоскость симметрии, перпендикулярная к ней, Dn — одна вертикальная ось порядка п и п осей 2, перпендикулярных к ней, Dnh — одна вертикальная ось порядка п, плоскость симметрии к ней перпендикулярная и п осей симметрии 2, а также те плоскости симметрии, которые порождаются при пересечении этих элементов, например,
D^ = Мттт\ Sn — одна вертикальная зеркально-поворотная ось порядка п (иногда применяют знак СпЬ где I — знак инверсионной оси: S (S(i)) — 2, 52 = С/= 1, 53 = С3д = 6, 54 = 4, S^ = С3, = 3), Sn — одна вертикальная инверсионная ось порядка п; I/ = £)2 — сочетание трех взаимно перпендикулярных осей второго порядка, Vh = D2h — три взаимно перпендикулярные оси 2 и плоскости, перпендикулярные к каждой из этих осей; Vd = D^d — три взаимно перпендикулярные оси 2 и диагональные плоскости; Т — оси симметрии тетраэдра, Td — оси симметрии тетраэдра и диагональные плоскости, Th — оси симметрии тетраэдра и координатные плоскости; О — оси симметрии октаэдра, Oh — оси симметрии октаэдра и координатные плоскости.
Наличие не указанных в символе элементов симметрии следует из теорем о сложении.
Предложенная академиком А. В. Шубниковым система кристаллографических обозначений, применяемая в некоторых советских книгах и журналах, имеет такую же внутреннюю логику, как международная система, но немного отличается от нее обозначениями. По Шубникову оси и плоскости обозначаются так же, как в международной системе. Перпендикулярность обозначается не чертой, а двоеточием, параллельность — точкой. Косая черта, разделяющая два наименования осей, означает, что эти оси образуют между собой косой угол. Кроме того, черта над символом оси означает, что эта ось является зеркальной осью — в отличие от международного символа, где такая же черта означает ось инверсионную.
Поэтому символ 3 по Шубникову имеет то же значение, что и международный символ б, и, наоборот, шубниковскому символу б соответствует международный символ 3. Иногда, чтобы избежать недоразумений, зеркальные оси в символике Шубникова отмечают волнистой чертой. Остальные отличия символики Шубникова можно уяснить из табл. 6.1.
Вывод и описание 32 классов симметрии кристаллов (32 точечных групп симметрии)
Для того чтобы вывести 32 класса симметрии, нужно пересмотреть все возможные сочетания кристаллографических элементов симметрии, пересекающихся в одной точке. Для этого выберем какой-либо исходный порождающий элемент симметрии и будем добавлять к нему поочередно все остальные элементы симметрии в качестве порождающих. На основании теорем § 10 из сочетания двух порождающих элементов симметрии выводятся порожденные элементы симметрии.‘
Начнем с кристаллов, в которых есть особенные направления, т. е. низшей и средней категорий. Выберем в качестве порождающего элемента симметрии ось симметрии, проходящую вдоль осо-
бенного направления, и будем добавлять к ней другие элементы симметрии, как показано на рис. 6.1. Плоскости симметрии могут проходить лишь вдоль выбранной оси или перпендикулярно к ней, ибо при всяком другом расположении ось симметрии, отразившись в плоскости симметрии, повторится, т. е. не будет единственной. По этой же причине оси 2 могут быть только перпендикулярны к выбранной оси. Центр симметрии может располагаться только на выбранной оси. Поэтому никаких сочетаний, кроме тех, что показаны на рис. 6.1, в кристаллах низшей и средней категории быть не может. *
Простейшими, или примитивными, классами симметрии являются классы, в которых есть лишь один элемент симметрии,
а именно, поворотная ось n-го порядка вдоль особенного направления (рис. 6.1, а\
Добавляя к каждой из осей центр симметрии и используя теорему 3, получаем центральные классы (рис. 6.1, б):
Порождающая ось12346
Порожденный элемент—tn—-tnт
Класс симметрии12//и34,т6/т
Добавление центра симметрии к оси 3 превратило ее в инверсионную ось 3. Класс 3 относят иногда не к центральным, а к инверсионно-примитивным классам, см. табл. 6.1 и 6.2.
Добавляя к порождающей оси симметрии проходящую через нее плоскость симметрии, получаем на основании теоремы 4 по схеме т-п = пт планальные классы (рис. 6.1, в).
Порождающая ось 1 2 3 4 6 Класс симметрии т mm2 Зт 4тт бтт
Смысл записи символов ^тт и бтт пояснен выше: на втором месте стоят координатные, на третьем — диагональные элементы симметрии. Класс mm2 относится к ромбической сингонии, в которой по правилам кристаллографической установки ось 2 (если она
единственная) должна быть осью 2Z, а значит, ее надо писать в символе на третьем месте.
Если добавить ось 2, перпендикулярную к порождающей оси, получаем по теореме 1 аксиальные классы (рис. 6.1, г):
Порождающая ось 12346
Класс симметрии | 2 |22232422622
Класс 2 здесь обведен рамкой, чтобы показать, что это сочетание уже было выведено выше. В символах 422, 622 на второй позиции стоят оси 2, идущие вдоль координатных направлений, на третьей — вдоль диагональных направлений.
Добавляя к порождающей оси перпендикулярную плоскость симметрии (рис. 6.1, д), получим по теореме 2а классы, уже перечисленные выше:
Порождающая ось 12346
Класс симметрии | т |121т || 6 |14/т |16/т |
Если к порождающей оси симметрии добавить центр, ось 2 и продольную плоскость пц то получим по теоремам 3 и 4 планак- сиальные классы (рис. 6.1, еу
Порождающая ось 12346
Класс симметрии 12/т ттт Вт4,тттв} ттт
Перечисленными классами исчерпываются сочетания элементов симметрии с порождающей поворотной осью симметрии.
Обратимся теперь к инверсионным осям симметрии. Оси 1, 2 = т, 3 и 5 нами уже перечислены. Остается только ось 4, которая так же, как оси 3 и б, дает инверсионно-примитивные классы:
3, 4, б.
Если к порождающей инверсионной оси добавить плоскости симметрии, проходящие вдоль оси, получатся инверсионно-планальные классы;
42т и 6^2.
Прежде всего заметим, что всякая инверсионная ось симметрии порядка 2п является одновременно простой осью симметрии порядка п. Поэтому, согласно теореме 4, если вдоль инверсионной оси 2п проходит плоскость симметрии, то таких плоскостей должно быть п. Возникающее сочетание элементов симметрии подчинено новой теореме ).
№ п/п
Международный символ
Формула симметрии
Символ Шенфлиса
Символ Шубникова
Название
сокращенный
ПОЛНЫЙ
по Федоровскому институту
по Шенфлису
по Гроту
Триклинная система
1
1
и
С1
1
примитивный
гемиэдрия
моноэдрический
2
I
с
C/ = S2
2
центральный
голоэдрия
пинакоидальный
Моноклинная система
3
2
и
^2
2
аксиальный
гемиэдрия
диэдрический осевой
4
т
р
С5 = С1д
т
планальный
гемиморфия
доматический
5
21т
UPC
^2А
2:т
планаксиаль- ный
голоэдрия
призматический
Ромбическая система
6
222
зи
D^V
2:2
примитивный
энантиоморфная гемиэдрия
ром бо-тет р а эд р и - ческий
7
пгт
2тт, mm2
Ц2Р
^2v
2 • т
центральный
гемиморфия
ромбо-пирамидальный
32 класса симметрии, обозначения и названия
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ
8
ттт
2 2 2 ттт
3U3PC
Dth = Vh
m-2: m
аксиальный
голоэдрия
ромбо-дипирами- дальный
Тригональная система
9
3
^3
C3
3
примитивный
ромбоэдрическая тетартоэдрия
тригонально-пирамидальный
10
3
L3C = Ьз1
Сз/ = Sg
6
центральный
гексагональная тетартоэдрия
ромбоэдрический
11
32
L33L2
D3
3:2
аксиальный
энантиоморфная гем и эдрия
тригонально-тра- пецоэдрический
12
Зт
ЦЗР
C3y
3 • m
планальный
гемиморфная гемиэдрия
дитригональнопирамидальный
13
Зт
т
L^L^PC
Dad
6 • m
планаксиаль- ный
ромбоэдрическая голоэдрия
дитригональна- скаленоэдриче- ский
14
6
Le
Гексагс
Св
анальная c
6
истема
примитивный
гексагональная тетартоэдрия
гексагональнопирамидальный
15
6
ЦР
Cah
3 : m
инверсионнопримитивный
тригональная па- раморфная гемиэдрия
тригонально-дипи- рамидальный
16
3{т
UPC
Ceh
6 : m
центральный
параморфная гемиэдрия
гексагонально-ди- пирамидальный
32 КЛАССА СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ
№ п/п
Международный символ
Формула симметрии
Символ Шенфлиса
Символ Шубникова
Название
сокращенный
полный
по Федоровскому институту
по Шенфлису
по Гроту
17
622
Lg6Z<2
Dt
6:2
аксиальный
энантиоморфная гемиэдрия
гексагонально- трапецоэдриче- ский
18
бтт
L,6P
6 • m
планальный
гемиморфная гемиэдрия
дигекса гонально- дипирамидальный
19
dm2
L^L24P
Dah
m • 3 : m
инверсионно- планальный
тригональная голоэдрия
дитригонально- дипирамидальный
20
д/ттт
6 2 2 т т т
L66L27PC
Deh
m-6: m
планаксиаль- ный
голоэдрия
дигексагонально- дипирамидальный
Тетрагональная система
21
4
Lt
Ct
4
примитивный
тетартоэдрия
тетрагонально-ди- пирамидальный
22
4
Lv L«
S4
4
инверсионнопримитивный
тетартоэдрия второго рода
тетрагонально-тетраэдрический
23
4^т
ЦРС
^4A
4 : m
центральный
параморфная гемиэдрия
тетрагонально-ди- пирамидальный
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ
24
422
L44L2
d4
4:2
аксиальный
энантиоморфная геми эдрия
тетрагонально- трапецоэдриче- ский
25
4тт
L44P
C41)
4 • m
планальный
гемиморфная гемиэдрия
дитетр агона льнопирамидальный
26
42т
Ц2Ц2Р
DM=Vd
4 • m
инверсионно- планальный
гемиэдрия второго рода
тетрагонально- скаленоэдриче- ский
27
4/ттт
4 2 2 т т т
Lt4L25PC
D4h
m • 4 : m
планаксиаль- ный
голоэдрия
дитетр агона льно- дипирамидальный
Кубическая система
28
23
3L24L3
T
3/2
примитивный
тетартоэдрия па- раморфная
тритетраэдриче- ский
29
m3
— 3 т
3L24L33PC
Th
6/2
центральны °i
гемиэдрия
дидодекаэдр иче- ский
30
432
3L44L36L2
0
3/4
аксиальный
энантиоморфная гемиэдрия
триоктаэдриче- ский
31
43т
3L44L36P
Td
3/4
планальный
гемиморфная гемиэдрия
гексатетр а эдри- ческий
32
тЗт
АзА т т
3L44L36L29PC
Oh
6/4
планаксиаль- ный
голоэдрия
гексоктаэдр и че- ский
32 КЛАССА СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ
Комплексы элементов симметрии 32 классов
Системы
Классы
Примитивные
Инверсионнопримитивные
Центральные
Аксиальные
Планальные
Инверсионноплан ал ьные
Планаксиаль- ные
S 1" го «
к го 3
S X
Триклинная
1
I
Моноклинная
1
2
т
г[т
Ромбическая
♦—^7
L 222
m2
6:
£
ттт
1
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ[ГЛ.
Высшая категория
Средняя категория
§ Н
я -о
Я оз
S3
я *1
я н
Я я
о
iХт/
-—1
*—<
*1
®-Q-®
>
^4
4а
ж
wR>
1^
й
Теорема 6. Если вдоль четной инверсионной оси проходят плоскости симметрии, то между ними располагаются оси симметрии
второго порядка. _
Проиллюстрируем эту теорему на рис. 6.2 для оси 4. Если задана плоскость симметрии /, значит, неизбежно появляется и плоскость симметрии //. С помощью оси 4 переводим треугольник А через положение А' в положение Б и с помощью плоскости // — из Б в В. Но В можно было бы получить из А также и поворотом вокруг оси 2, проходящей по биссектрисе угла между плоскостями / и //.
Таким образом, ось 4 и продольная плоскость симметрии т
порождают вторую продольную плоскость т и две поперечные оси 2,
Рис. 6.2. К выводу класса симметрии 42mРис. 6.2. К выводу класса симметрии 42mпроходящие по биссектрисам углов между плоскостями. Полное сочетание элементов симметрии имеет вид 42/п.
Рис. 6.2. К выводу класса симметрии 42m
Рис. 6.2. К выводу класса симметрии 42m
Аналогично, инверсионная ось б и проходящая вдоль нее плоскость т порождают еще две продольные плоскости т и три поперечные оси 2, т. е. в результате получается 6/п2.
Поочередное добавление к инверсионным осям симметрии перпендикулярных плоскостей, осей 2 и центра инверсии не дает никаких новых сочетаний. Таким образом, для низшей и средней категории получилось 27 классов симметрии (см. табл. 6.1).
Перейдем теперь к высшей категории. В кристаллах высшей категории нет особенных направлений и может быть несколько
осей симметрии порядка более 2, пересекающихся в одной точке. В § 3 было показано, что здесь возможны только два устойчивых сочетания осей симметрии: 4, 3, 2 и 3, 3, 2, которые соответствуют осям симметрии октаэдра (или куба) и осям симметрии тетраэдра (рис. 6.3). Соответственно получаем два класса симметрии кубической сингонии: класс 23 примитивный (оси симметрии тетраэдра), класс 432 аксиальный (оси симметрии октаэдра или куба).
Остальные классы кубической сингонии можно вывести так же, как это сделано для низшей и средней категорий, т. е. прибавляя поочередно центр симметрии или плоскости симметрии. Оси 2 здесь добавлять нельзя, так как все возможные сочетания осей уже
исчерпаны.
Плоскости можно добавить лишь двумя способами: три координатные плоскости или шесть диагональных. Иначе расположить плоскости нельзя, потому что на пересечениях плоскостей появились бы новые оси. Плоскости, нормальные к четным осям, дадут центр симметрии (теорема 2).
Разберем все сочетания:
Порождающие
Порожденные
Результат
23
23
1
т вдоль оси 2
Три координатные плоскости I
m3 m3
23
пг вдоль оси 3
Шесть диагональных плоскостей Оси 2 превращаются в оси 4
43/72
432
432
432
I
т вдоль оси 4
т вдоль оси 3
Три координатные плоскости Шесть диагональных плоскостей Центр симметрии
Шесть диагональных плоскостей Три координатные плоскости Центр симметрии
тЗт
тЗт
тЗт
Таким образом, окончательно получаем для кубической системы пять классов симметрии:
m3, 432 43 m, m3m.
Полная сводка 32 классов симметрии и их распределение по системам дана в табл. 6.1, а в табл. 6.2 и 6.3 приведены схематические изображения и стереографические проекции комплексов элементов симметрии каждого класса.
В табл. 6.1 кроме символов приведены также названия классов симметрии: уже поясненная при выводе система Федоровского института при Ленинградском горном институте и поясняемые ниже системы названий по Гроту и по Шенфлису.
Кроме деления на системы и сингонии 32 класса симметрии можно группировать по более крупным подразделениям в зависимости от следующей характерной симметрии.
Наличие или отсутствие центра симметрии. В классах центральных и планаксиальных не может быть полярных направлений, а значит, не может быть и свойств, характеризуемых полярной симметрией; остальные 21 класс — ацентрические.
Энантиоморфизм. Кристаллы, принадлежащие к классам, в которых есть только поворотные оси симметрии, но нет инверсионных осей, поперечных плоскостей и центра симметрии, могут иметь правые и левые разновидности. В них возможны правые и левые формы (см. рис. 3.6) и такие свойства, как вращение плоскости поляризации ). Энантиоморфными являются примитивные и аксиальные классы.
Стереографические проекции комплексов элементов симметрии 32 классов
Системы
Классы
Примитивные
Инверсионно- примитивные
Центральные
Аксиальные
Планальные
Инверсионно- планальные
Планаксиаль- ные
S
о и 0>
со к
к СО 3 со S
X
Триклинная
Го)
W 1
Моноклинная
2/т
Ромбическая
"^22
1
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ
ggaOIflfVlDHdM MHdlHWWHD VDOVIfti 88[9 §
Лауэвские классы симметрии, или подсистемы. Согласно закону Фриделя, или закону центросимметричности дифракционного эффекта, из-за симметрии отражения рентгеновских лучей дифракционная симметрия кристалла выше, чем его точечная симметрия. Она отвечает точечной группе плюс центр инверсии и плюс
а)
Рис. 6.3. Возможные сочетания осей симметрии в кристаллах высшей категории:23 (а) и 432 (б). Вверху — схема, внизу — стереографическая проекция.
элементы симметрии, порождаемые из-за добавления центра инверсии. Подсистемы показаны в табл. 7.1; в низшей категории они совпадают с системами, в средней и высшей категориях каждая система подразделяется на две подсистемы: высшую и низшую. В каждую подсистему входит один центросимметричный класс и один энантиоморфный; наличие в ней других классов возможно, но не обязательно. Подсистемы называют также классами Лауэ и обозначают символами входящих в них центросимметричных классов.
Предельные группы симметрии (группы Кюри)
Выше (§ 1) отмечалась двойственность подхода к изучению кристаллов и их физических свойств. При изучении геометрии структуры и свойств, зависящих от дефектов структуры, необходимо рассматривать кристаллы как дискретные среды, а при изучении ряда физических свойств (тепловых, электрических, оптических, упругих и др.) можно считать кристалл однородной непрерывной средой ). В группы симметрии кристалла как сплошной непрерывной среды входят только оси порядков 2, 3, 4, 6, но в группы симметрии свойств такой среды могут входить также и оси симметрии бесконечного порядка, которые мы будем обозначать знаком оо. Кроме того, оси оо могут входить в группы симметрии физических полей.: электрического, магнитного, поля механических напряжений.
Точечные группы симметрии, в которые входят бесконечные оси симметрии, называются предельными группами симметрии или группами Кюри. Таких групп семь и каждая из 32 точечных групп симметрии кристаллов является подгруппой по меньшей мере одной из предельных точечных групп, подчинена одной из них, которая по отношению к этой подгруппе оказывается ближайшей предельной надгруппой (табл. 7.1). Так, например, предельная группа симметрии, характеризуемая одной осью симметрии бесконечного порядка оо, имеет кристаллографические подгруппы 6, 4, 3, 2, 1, и они подчинены именно ей, хотя и все остальные предельные группы — также их надгруппы. Геометрической фигурой, соответствующей точечной группе оо, является вращающийся конус: он совмещается сам с собой при повороте на любой угол вокруг оси симметрии, но никаких других элементов симметрии у него нет (рис.7.1).
Такой же конус, но не вращающийся, характеризуется точечной группой оо т. т. е. осью симметрии бесконечного порядка и бесконечным числом проходящих вдоль нее плоскостей симметрии. Ось симметрии в конусе полярна. Такой симметрией обладает, например, однородное электрическое поле: ось симметрии в нем совпадает с направлением электрических силовых линий.
Симметрия однородного магнитного поля описывается предельной группой оо/т. т. е. бесконечной осью симметрии и перпендикулярной к ней плоскостью симметрии. Характерной фигурой для группы оо/т является вращающийся цилиндр. Группе оо/т подчинены группы 6/т. Мт. 2/т. т. б, 4, 3, I; ее кристаллографическими подгруппами, кроме перечисленных, являются также группы, подчиненные предельной группе оо.
На рис. 7.1 показаны конечные геометрические фигуры, которыми можно характеризовать группы предельной симметрии. По
Подсистема
низшая
высшая
Категория
Класс
Система
примитивный
инверсионнопримитивный
центр альный
аксиальный
планальный
инверсионно- планальный
планаксиаль- НЫЙ
низшая
триклинная
1
С1
I Ci
моноклинная
2 c2
m Gin
2jm
^2A
ромбическая
222
D^V
mm2 Ca-u
mmm
D»h = Vh
средняя
тригональная
3 Сз
3
С3/ = S6
32
D3
3m
Сзу
3m Dad
тетрагональная
4
С4
г
$4
4{m
^4h
422 d4
4mm C4v
42m
D2d = Vd
4/mmm D^h
гексагональная
6 ^6
6 СзА
6/m
СбА
622
D6
6mm
6m2
Dsa
6fmmm D^h
высшая
кубическая
23
Т
m3
Th
432 0
43m Td
m3m Oh
Группы Кюри
текстуры
со
Соо
cojm
CcDh
oo2
Doo
com
CooV
co/mm
Dcoh
изотропные тела
coco
co co fm Ri
Кристаллографические и предельные классы
(обозначения интернациональные и по Шенфлису)
Таблица 7.1§
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КРИСТАЛЛОГРАФИИ[ГЛ.
коящийся цилиндр, а также цилиндр растянутый или сжатый, характеризуется симметрией oolmm, т. е. неполярной осью оо,
Рис. 7.1. Геометрические фигуры, символизирующие предельные точечные группы симметрии; оо, правая и левая (а); оо/n (б); со/m (в); оо2, правая и левая (г); oo/mzn (д); оооо, правая и левая (р); оооо т (ж).
бесконечным числом продольных плоскостей пц одной поперечной плоскостью т, бесконечным числом поперечных осей 2 и центром симметрии. Цилиндр, закрученный вдоль геометрической оси, имеет
Рио. 7.2. Условные обозначения элементов симметрии пяти предельных групп Кюри на стереографических проекциях; оо (а), со/т (б), оо2 (в), сот (г), со/mm (д). Верхний ряд — ось оо перпендикулярна к плоскости чертежа, нижний — ось оо лежит в плоскости чертежа.
симметрию оо 2, т. е. неполярную ось оо и бесконечное число поперечных осей 2. Обыкновенный шар характеризуется группой оо оо /и, т. е. бесконечным числом осей оо и бесконечным числом плоскостей. Эта группа называется ортогональной группой.
3*
Своеобразную фигуру, отвечающую предельной точечной группе оо/оо, можно представить себе как шар, у которого все радиусы вращаются: имеется бесконечное число осей оо, но нет плоскостей симметрии. Группа оо оо называется группой вращений.
Предельные группы оо, оо 2, оо оо энантиоморфны, т. е. фигуры такой симметрии могут быть правыми или левыми. Подчиненные им точечные группы тоже энантиоморфны.
Условные обозначения элементов симметрии предельных групп на стереографических проекциях показаны на рис. 7.2.
Симметрия структуры кристаллов
В структуре кристаллов к конечным преобразованиям симметрии, входящим в точечную группу симметрии, добавляются еще бесконечные симметрические преобразования.
Основное бесконечное симметрическое преобразование — тран
сляция, т. е. бесконечно повторяющийся перенос вдоль одной пря-
Ъ т I т ЪЪ т I т ЪРис. 8.1. Плоскости скользящего отражения а, b и зеркальные плоскости симметрии т в плоской сетке структуры NaCl (структура мыслится бесконечной).Рис. 8.1. Плоскости скользящего отражения а, b и зеркальные плоскости симметрии т в плоской сетке структуры NaCl (структура мыслится бесконечной).мой на одно и то же определенное расстояние, называемое периодом трансляции ). Произведение трансляции на операцию отражения в плоскости симметрии порождает сложную бесконечную операцию симметрии — преобразование с помощью плоскости скользящего отражения. Плоскость скользящего отражения — это совокупность совместно действующих плоскости симметрии и параллельного ей переноса на величину, равную половине периода трансляции вдоль плоскости. Действие плоскости скользящего отражения можно показать на примере структуры каменной соли (рис. 8.1, ср. с рис. 1.1). На ри
Ъ т I т Ъ
Ъ т I т Ъ
Рис. 8.1. Плоскости скользящего отражения а, b и зеркальные плоскости симметрии т в плоской сетке структуры NaCl (структура мыслится бесконечной).
Рис. 8.1. Плоскости скользящего отражения а, b и зеркальные плоскости симметрии т в плоской сетке структуры NaCl (структура мыслится бесконечной).
сунке показана одна плоская сетка такой структуры: ионы Na и С1 чередуются в шахматном порядке. Чтобы ион мог совместиться с ближайшим к нему одноименным ионом, нужно, чтобы отражение в плоскости симметрии а или b совместилось с перемещением соответственно на а/2 или Ь/2 вдоль плоскости. При таком отражении, сопровождаемом переносом, совместится сам с собой весь бесконечнопротяженный плоский узор: tai^*ma = а\ 1ы^тъ = Ь.
Через центры ионов здесь проходят обычные плоскости сим
метрии т, чередующиеся с плоскостями скользящего отражения.
Число тех и других плоскостей бесконечно. Плоскости скользящего отражения обозначают символами а, Ь, с, если скольжение направлено вдоль осей а^ b, с (XYZ) соответственно, и величина его составляет а!2, Ы2, с!2.
та,Ьспдта,ЬспдРис. 8.2. Плоскости зеркального отражения т и плоскости скользящего отражения а, Ь, с, п, d.Рис. 8.2. Плоскости зеркального отражения т и плоскости скользящего отражения а, Ь, с, п, d.
та,Ьспд
та,Ьспд
Рис. 8.2. Плоскости зеркального отражения т и плоскости скользящего отражения а, Ь, с, п, d.
Рис. 8.2. Плоскости зеркального отражения т и плоскости скользящего отражения а, Ь, с, п, d.
Рио. 8.3. Винтовые оси симметрии 61 и 68.Рио. 8.3. Винтовые оси симметрии 61 и 68.
Рио. 8.3. Винтовые оси симметрии 61 и 68.
Рио. 8.3. Винтовые оси симметрии 61 и 68.
Скольжение может быть направлено и вдоль диагонали параллелограмма, построенного на элементарных трансляциях а. Ь, с, лежащих в плоскости скольжения. Если при этом перенос произ
водится на половину длины диагонали параллелограмма (а + Ь)/2, плоскость обозначают символом и, а если на четверть длины диагонали (а + Ь)/4 — символом d; плоскости d называют «алмазными», так как они характерны для структуры алмаза. Плоскости скользящего отражения изображают пунктирами разных типов (рис. 8.2). При отражении в плоскости скользящего отражения с фигурка перемещается на половину периода трансляции оси с, перпендикулярной к плоскости чертежа. Чтобы показать, что фигурка теперь расположена на высоте с!2 над плоскостью чертежа, около нее ставится цифра «1/2». Аналогично, числа 1/4 или 3/4 указывают, что фигурка расположена на высоте с/4 или 3^/4 над плоскостью чертежа. Симметриче-
ское преобразование плоскостью скользящего отражения можно описать, указав, как при этом изменяются координаты произвольной точки х, у, z.
Произведение трансляции на поворот вокруг оси симметрии порождает винтовой поворот. Винтовой осью симметрии называется
совокупность оси симметрии и переноса вдоль этой оси, действующих совместно. После полного оборота исходная точка должна совместиться с другой, совершенно идентичной ей, т. е. отстоящей от нее на один или несколько периодов трансляции. Винтовые оси симметрии характеризуют, например, расположение листьев клена на ветке, зерен в колосе, чешуек еловой шишки. У винта с круглой гайкой есть винтовая ось симметрии бесконечного порядка, а если гайка шестигранная — винтовая ось шестого порядка. Винтовые оси симметрии в кристаллическом пространстве могут быть только порядков 2, 3, 4, 6 (рис. 8.3). Винтовая ось обозначается цифрой с цифровым же индексом: цифра, как обычно, указывает порядок оси, а частное от деления индекса на порядок оси дает величину переноса (трансляции) вдоль оси в долях элементарной трансляции вдоль оси.
Различают правые и левые винтовые оси. В табл. 8.1 сведены вместе условные обозначения всех винтовых осей и плоскостей скользящего отражения в интернациональной системе.
Таблица 8.1
Условные обозначения элементов симметрии структур кристаллов
Осивертикальныегоризонтальныенаклонные1 1 ф» 1 г- #«1-К3г Ж3»Л*1 О 7 4% Of >#, Of*- 2 ,2, f гг 4гV^2ТК 32Осивертикальныегоризонтальныенаклонные1 1 ф» 1 г- #«1-К3г Ж3»Л*1 О 7 4% Of >#, Of*- 2 ,2, f гг 4гV^2ТК 32Плоскостивертикальныегоризонтальныенаклонныета,Ьсп—О^--"^—^И т-*1 ьМ тмиМ J 1X1 пДПлоскостивертикальныегоризонтальныенаклонныета,Ьсп—О^--"^—^И т-*1 ьМ тмиМ J 1X1 пД
Оси
вертикальные
горизонтальные
наклонные
1 1 ф» 1 г- #«1
-К3г Ж3»
Л*1 О 7 4% Of >#, Of
*- 2 ,2, f г
г 4г
V
^2Т
К 32
Оси
вертикальные
горизонтальные
наклонные
1 1 ф» 1 г- #«1
-К3г Ж3»
Л*1 О 7 4% Of >#, Of
*- 2 ,2, f г
г 4г
V
^2Т
К 32
Плоскости
вертикальные
горизонтальные
наклонные
т
а,Ь
с
п
—О^--"^—^
И т-
*1 ь
М т
ми
М J 1X1 пД
Плоскости
вертикальные
горизонтальные
наклонные
т
а,Ь
с
п
—О^--"^—^
И т-
*1 ь
М т
ми
М J 1X1 пД
В символике Шубникова винтовые оси обозначаются точкой над наименованием оси; правая винтовая ось обозначается плюсом, левая — минусом.
Приводим обозначения по Шубникову (вторая строка) в сопоставлении с международными символами (первая строка) правых винтовых осей:
213132 4i 43 6i 6g 6364 6g 42
+24.3_34-4 —4 4-6 —6 2.3+3.2 —3.2+4.2
Сочетания элементов симметрии структур.
Решетки Бравэ. Генерирование новых элементов симметрии
Основное симметрическое преобразование кристаллических структур — это бесконечное повторение; ни одна точка не остается на месте, все они бесконечно повторяются с помощью трансляций. Кристаллическая структура состоит из частиц или групп частиц, связанных друг с другом различными преобразованиями симметрии. Сочетание трансляций с каждым из элементов симметрии генерирует новые элементы симметрии, бесконечно повторяющиеся в пространстве.
Для каждой структуры характерен ее набор элементарных трансляций или трансляционная группа, которая определяет пространственную решетку.
В зависимости от отношения величин и взаимной ориентации трех основных трансляций а, Ь, с получаются решетки, отличающиеся друг от друга по своей симметрии. Симметрия ограничивает число возможных решеток. Все кристаллические структуры описываются 14 трансляционными группами, соответствующими 14 решеткам Бравэ. Решеткой Бравэ называется бесконечная система точек, которая образуется трансляционным повторением одной точки.
14 решеток Бравэ отличаются друг от друга по форме элементарных ячеек и по симметрии и подразделяются на 6 сингоний. Подразделение на сингонии было введено еще в начале XIX века только на основании изучения внешней формы минералов. Решая задачу о симметричном расположении сферических частиц (материальных точек) в пространстве, Бравэ в 1848 г. пришел к такому же разделению на сингонии.
Симметрия кристаллического пространства ограничивает число возможных решеток. Решетка должна быть инвариантной по отношению ко всем преобразованиям симметрии, возможным для данного кристаллического пространства.
Принцип вывода решеток Бравэ рассмотрим на примере двумерных решеток. Плоская сетка определяется парой базисных векторов ах, а^, параметры ячейки — а, Ь, у. С плоской сеткой должны быть совместимы повороты вокруг осей 1, 2, 3, 4, 6, перпендикулярных к плоскости сетки, и отражения в плоскостях симметрии, тоже перпендикулярных к плоскости сетки; несовместимо с ней никакое симметрическое преобразование, выводящее сетку из ее плоскости.
Из 32 точечных групп симметрии для плоских систем годятся лишь 10 точечных групп (рис. 9.1): 1, 2, 3, 4, 6, т, mm2, Зт, ^тт, 6 тт. Только эти сочетания элементов симметрии оставляют точку в заданной плоскости. Во всех двумерных точечных группах основная ось симметрии перпендикулярна к рассматриваемой плоскости,
а плоскости симметрии проходят вдоль этой оси. В группе т можно формально считать, что плоскость т проходит вдоль оси 1,.перпендикулярной к данной плоскости.
Какие значения трансляций а, b и угла между ними у возможны в плоских сетках? В общем случае а ^ 6, у ^= 90° получаем косо-
Рис. 9.1. Сочетания элементов симметрии, отвечающие точечным группам симметрии бесконечных плоских систем.Рис. 9.1. Сочетания элементов симметрии, отвечающие точечным группам симметрии бесконечных плоских систем.что она позволяетчто она позволяетугольную сетку с неодинаковыми сторонами ячейки. С ней совместимы повороты вокруг осей 1 и 2. Наличие оси 4 требует, чтобы решетка была квадратной, т. е. а = Ь, у — 90°. Наличие осей 3 и 6 требует, чтобы решетка была гексагональной, т. е. а = 6, у = 120°.
Рис. 9.1. Сочетания элементов симметрии, отвечающие точечным группам симметрии бесконечных плоских систем.
Рис. 9.1. Сочетания элементов симметрии, отвечающие точечным группам симметрии бесконечных плоских систем.
что она позволяет
что она позволяет
Чтобы узнать, что дает наличие плоскости т, нормальной к плоскости сетки, выразим основные векторы а, b через орты /, j координатной системы
a = axi-Vavj,b = bxi-Vbyj.
Положим, что плоскость симметрии т проходит вдоль оси X. Тогда при зеркальном отражении в этой плоскости получим
== ^х^ — ^yj'b' = bxi-byj.
Для того чтобы трансляции а' и Ь' были тоже трансляциями решетки, имеется лишь две возможности: первая а = al, b = bj\ что дает прямоугольную решетку*. а= Ь,у = 90°, и вторая bf = а — б, т. е. Ь'х = ах — Ьх, by = ау — by. Это решение получится из (9.1) и (9.2) при ау = 0, ах = 26, т. е. а = al, b = = 1/^axi + bvj.
В этом последнем случае на трансляциях а, b строится центрированная прямоугольная ячейка, т. е. ячейка, в центре которой имеется еще один узел, а =/= Ь, у = 90°. Эту решетку можно описать и с помощью сетки, составленной из ромбов, тогда ячейка получается примитивной, нецентрированной. Однако центрированная ячейка здесь удобнее, потому пользоваться прямоугольной системой коор
динат.
Таким образом, получаем 5 плоских сеток Бравэ: параллелограммы, прямоугольники, ромбы, треугольники и квадраты.
Так же выводятся 14 пространственных решеток Бравэ (табл. 9.1 и 9.2). Элементарные ячейки в решетках Бравэ выбираются так,
Таблица 9.1
14 решеток Бравэ
Сингония
Решетка
примитивная
базоцентрированная
объемно- центрированная
гранецентрированная
ромбоэдр и че- ская
Триклинная
р
Моноклинная
' р
с
Ромбическая
Л
с
I
i
Тетрагональная
У
Ир
I
Гексагональная
^^ R
Кубическая
чтобы 1) их симметрия соответствовала симметрии всей решетки ), 2) число прямых углов и равных сторон было максимальным и 3) объем ячейки — минимальным.
Решетки Бравэ играют огромную роль в кристаллографии. Любая кристаллическая структура может быть представлена с помощью одной из 14 решеток Бравэ, подразделяющихся на сле-
дующие типы: Р — примитивные, / — объемноцентрированные, F — гранецентрированные, Л, В, С— базоцентрированные (боко- центрированные), R — ромбоэдрическая.
Примитивные ячейки Бравэ — это те основные ячейки, по которым различают кристаллографические сингонии. В тригональной системе примитивной элементарной ячейкой наряду с призмой может быть и ромбоэдр (7?) — фигура, у которой а = b = с, а = = Р = V ¥= 90°. В гексагональной сингонии за примитивную элементарную ячейку принимают призму с ребром, параллельным оси 6, и основанием в форме ромба, а = b ^ с, а = 0 = 90°, у = 120°.
Таблица 9.2
Обозначение типа ячейки и трансляционной группы для 14 решеток Бравэ
Сингония
Решетка
примитивная
базоцеп- трирован- ная
объемно- центрированная
гранецентрированная
ромбоэдрическая
Триклинная Моноклинная
Ромбическая
Тетрагональная Гексагональная Кубическая
Р. Ttr р. Гт
Р, г0
Р, Гд р. rh Р, гс
с. гьт
с. Гьт
Л Го Л Г"
/, Г”
F.
Г, г'
R. rrh
Элементарной ячейкой гексагональной структуры является шестигранная призма, составленная из трех примитивных ячеек; она отражает симметрию и тригональных, и гексагональных кристаллов. Для гексагональной сингонии иногда удобнее пользоваться так называемой ортогексагональной ячейкой, тоже непримитивной, для которой а =/= с, b = а]/3.
В примитивных ячейках узлы решетки располагаются только в вершинах ячейки, в сложных есть еще узлы: в объемноцентриро- ванной /-ячейке — еще один узел в центре ячейки, в гранецентрированной F-ячейке — по одному узлу в центре каждой грани, в базоцентрирсванной С-ячейке (Л- или S-ячейках) — по узлу в центре пары параллельных граней. Узел в вершине ячейки принадлежит одновременно восьми соседним ячейкам, узел в центре грани — одновременно двум соседним ячейкам. Поэтому всего на объем ячейки приходится: S-ячейка — 1 узел, /-ячейка — 2 узла, f-ячейка — 4 узла, С-ячейка — 2 узла.
Гексагональную примитивную ячейку можно также описать и с помощью ромбоэдрической ячейки R, но при этом ромбоэдр дол-
жен быть непримитивным: в нем содержатся два дополнительных узла с координатами [P/g^/gl] и [P/gVgVglL
Ромбоэдрическую решетку можно считать также центрированной гексагональной: в примитивной гексагональной ячейке имеется два дополнительных узла с координатами [ГОО1^]] и [[002/31].
Все четыре типа ячеек — Р, I. F, С — имеются только в ромбической сингонии, остальные сингонии содержат не все типы ячеек (см. табл. 9.1). Например, в кубической сингонии нет базоцентрированной ячейки Бравэ, потому что она противоречила бы симметрии кубической решетки: если центрирована одна пара граней куба, то благодаря симметрии куба обязательно должны быть центрированы и две другие пары, т. е. С-ячейка станет ^-ячейкой. В тетрагональной сингонии нет ячейки С: она была бы совместима с симметрией решетки, но не отвечала бы условиям выбора ячейки Бравэ; вместо нее вполне можно взять ячейку примитивную, объем которой вдвое меньше.
Такими же соображениями можно доказать достаточность выбора приведенных в табл. 9.1 ячеек для всех сингоний. Четырнадцатью решетками Бравэ исчерпываются все возможные трансляционные решетки, описывающие любые кристаллические структуры.
В структуре кристалла решетки Бравэ могут быть вставлены одна в другую, а в узлах различных решеток могут стоять как одинаковые, так и различные атомы, кан сферически-симметричные, так и имеющие реальную кристаллографическую симметрию. Все типы структур описываются 230 пространственными группами симметрии, которые образуются из сочетаний элементов симметрии бесконечных структур.
Умножение элементов симметрии структур подчиняется тем же теоремам 1—6, которыми описывается симметрия многогранников. Кроме того, из-за добавления бесконечных повторений появляются новые сочетания. Приведем некоторые из них ). Как и для умножения элементов симметрии многогранников, мы будем давать не строгие доказательства, а иллюстративные примеры ).
Теорема 7. Последовательное отражение в двух параллельных плоскостях симметрии эквивалентно трансляции на параметр / = 2а, где а — расстояние между плоскостями.
На рис. 9.2 / и //—две параллельные плоскости симметрии. Отражение в плоскости / дает преобразование Л-> Б, отражение в плоскости // дает Б В, и из чертежа сразу видно, что расстояние между соответствующими точками треугольников Л и В равно 2а.
Два последовательных отражения Л -> В и Б -> В можно заменить трансляцией Л В = ^t;
mn-m^t. (9.3)
Теорема 7а. Любую трансляцию / можно заменить отражением в двух параллельных плоскостях, отстоящих друг от друга на расстояние //2.
Теорема обратна теореме 7, доказывается аналогично и следует из рис. 9.2.
Теорема 8. Плоскость симметрии и перпендикулярная к ней трансляция с параметром t порождают новые «вставленные» плоскости симметрии, параллельные порождающей, аналогичные ей по типу и отстоящие от нее на расстояние £/2.
На рис. 9.3, а трансляция / перпендикулярна к плоскости симметрии /. Отражение в плоскости / дает преобразование Д->-Б, трансляция t—преобразование Д-^В, Б-^Г. Видно, что Биб, так же как Д и Г, связаны между собой еще и отражением в порожденной (вставленной) плоскости симметрии //:
тх -tL =т^.(9.4)
Теорема 8 справедлива независимо от того, каков тип порождающей плоскости: плос- отражения и перпендикулярная к ней тран
-*^а—►/ IРио. 9.2. Две параллель-ные плоскости зеркаль-ного отражения эквива-лентны трансляции.-*^а—►/ IРио. 9.2. Две параллель-ные плоскости зеркаль-ного отражения эквива-лентны трансляции.сляция / порождают плоскость скользящего отражения с такой жесляция / порождают плоскость скользящего отражения с такой жекость скользящегокость скользящегоРис. 9.3. Плоскость симметрии и перпендикулярная к ней трансляция порождают одноименную вставленную плоскость: зеркальную плоскость (а), плоскость скользящего отражения с переносом в плоскости чертежа (б), плоскость скользящего отражения с переносом, перпендикулярным к плоскости чертежа (в).Рис. 9.3. Плоскость симметрии и перпендикулярная к ней трансляция порождают одноименную вставленную плоскость: зеркальную плоскость (а), плоскость скользящего отражения с переносом в плоскости чертежа (б), плоскость скользящего отражения с переносом, перпендикулярным к плоскости чертежа (в).величиной и направлением скольжения, отстоящую от порождающей на //2 в сторону трансляции.
-*^а—►
/ I
Рио. 9.2. Две параллель-ные плоскости зеркаль-ного отражения эквива-лентны трансляции.
-*^а—►
/ I
Рио. 9.2. Две параллель-ные плоскости зеркаль-ного отражения эквива-лентны трансляции.
сляция / порождают плоскость скользящего отражения с такой же
сляция / порождают плоскость скользящего отражения с такой же
кость скользящего
кость скользящего
Рис. 9.3. Плоскость симметрии и перпендикулярная к ней трансляция порождают одноименную вставленную плоскость: зеркальную плоскость (а), плоскость скользящего отражения с переносом в плоскости чертежа (б), плоскость скользящего отражения с переносом, перпендикулярным к плоскости чертежа (в).
Рис. 9.3. Плоскость симметрии и перпендикулярная к ней трансляция порождают одноименную вставленную плоскость: зеркальную плоскость (а), плоскость скользящего отражения с переносом в плоскости чертежа (б), плоскость скользящего отражения с переносом, перпендикулярным к плоскости чертежа (в).
На рис. 9.3, б это иллюстрируется для плоскости типа а (перенос вдоль оси X), а на рис. 9.3, в — для плоскости типа с (перенос
вдоль оси Z, нормальной к плоскости чертежа). В обоих случаях трансляция / перпендикулярна к порождающей плоскости /.
Преобразование в плоскости скользящего отражения дает Л -> 5 (рис. 9.3, в); в случае плоскости с фигурки Б и Б' подняты над плоскостью чертежа на с/2, что обозначено значком «1/2». Трансляция / дает преобразования Л -> Аг и Б -> Б'. Очевидно, между Б и Л на расстоянии //2 проходит порожденная плоскость скользящего отражения // такого же типа, как порождающая плоскость /.
Теорема 9. Плоскость симметрии и трансляция /, соста-
вляющая с плоскостью угол а, порождают плоскость скользящего отражения, параллельную порождающей и отстоящую от нее в сторону трансляции на величину (//2) sin а;
величина скольжения вдоль порожденной плоскости равна t cos а.
^1 * ^11 — fo*^1 * ^11 — fo*(9.5)(9.5)Для доказательства этой теоремы разложим трансляцию t на компоненты tL = , = t sin а и ^ = t cos а:
^1 * ^11 — fo*
^1 * ^11 — fo*
(9.5)
(9.5)
Сочетание порождающей плоскости с tL = t sin а дает, согласно предыдущей теореме, такую же плоскость, параллельную порождающей и отстоящую от нее на расстояние (//2) sin а; трансляция /ц пре-
Вращает эту ПЛОСКОСТЬ В ПЛОСКОСТЬ СКОЛЬ- Рис. 9.4. Плоскость tn и зящего отражения С переносом ^| = t COS а с^ей^угол а^пор^^ (рИС. 9.4).плоскость скользящего от-
Теорема, очевидно, справедлива для лю-ражения.
бого типа порождающих плоскостей. Из
теоремы 9 следует, что если в точечной группе симметрии кристал
ла имеются плоскости симметрии, то в структуре этого кристалла между порождающими плоскостями симметрии обязательно появятся порожденные плоскости симметрии — простые или плоскости скользящего отражения. Типы порожденных плоскостей зависят как от типов порождающих плоскостей, так и от набора трансляций элементарной ячейки Бравэ, т. е. от типа решетки Бравэ.
Теорема 10. Ось симметрии с углом поворота а и перпендикулярная к ней трансляция t порождают такую же ось симметрии, параллельную данной, отстоящую от нее на расстояние (//2) sin (а/2) и расположенную на линии, перпендикулярной к трансляции / в ее середине.
Пусть (рис. 9.5) Аа — точка выхода простой оси симметрии с углом поворота a, t — трансляция, перпендикулярная к ней. Согласно теореме 2а (§ 3) заменим ось Аа двумя пересекающимися плоскостями симметрии, причем одну из этих плоскостей mL (/) проведем перпендикулярно к трансляции /, а вторую т\\ (//) под
углом а/2 к первой. Трансляцию /, согласно теореме 7а, заменим двумя параллельными плоскостями симметрии пг\ и т,ш (ШУ пгш делит пополам трансляцию L Два последовательных отражения в плоскости /Hi в сумме дают единичное преобразование
Да* ^± =/П1 -тп*^ -тщ = 1 •Шц-тш. (9-6)
Согласно теореме 2 (см. § 3) две плоскости симметрии, пересекающиеся под углом а/2, тождественны оси симметрии с углом
Рис. 9.5. Ось симметрии и перпендикулярная к ней трансля-Рис. 9.5. Ось симметрии и перпендикулярная к ней трансля-поворота а, проходящей вдоль линии их пересечения:
Рис. 9.5. Ось симметрии и перпендикулярная к ней трансля-
Рис. 9.5. Ось симметрии и перпендикулярная к ней трансля-
^П • Шш = Да/2,(9.7)
т. е. порождают ось симметрии Аа.
Из чертежа видно, что
1° sin (а/2)2 sin (а/2) *
Теорема доказана.
ция пор^ждаю^параллельную ЛОм и тем же переНОСОМ, ПараЛЛСЛЬНуЮ данной, отстоящую от нее на (42) sin(a/2) и расположенную на линии, перпендикулярной к трансляции t вция пор^ждаю^параллельную ЛОм и тем же переНОСОМ, ПараЛЛСЛЬНуЮ данной, отстоящую от нее на (42) sin(a/2) и расположенную на линии, перпендикулярной к трансляции t вТеорема 11. Винтовая ось симметрии с углом поворота а и переносом t и перпендикулярная к ней трансляция t порождают винтовую ось с тем же уг-
ция пор^ждаю^параллельную ЛОм и тем же переНОСОМ, ПараЛЛСЛЬНуЮ данной, отстоящую от нее на (42) sin(a/2) и расположенную на линии, перпендикулярной к трансляции t в
ция пор^ждаю^параллельную ЛОм и тем же переНОСОМ, ПараЛЛСЛЬНуЮ данной, отстоящую от нее на (42) sin(a/2) и расположенную на линии, перпендикулярной к трансляции t в
ее середине.
Доказательство сводится к предыдущему, с той разницей, что винтовую ось симметрии Aatt представляем как произведение двух элементов, а именно, простой оси симметрии Аа и трансляции 4 вдоль оси:
Да • 4 • ti = mL • т^ *tvmx* тш = Х*к-тп-тХп =
-В'^-В^ (9.8)
. получаем винтовую ось с тем же углом поворота а и тем же переносом 4» расположенную в точке Б (рис. 9.5).
Теорема 12. Ось симметрии с углом поворота а и трансляция 4 составляющая с ней угол 0, порождают винтовую ось симметрии.
Для доказательства разложим трансляцию t на компоненты tL = t cos 0 и 4 = t sin 0:
Aa*t = Aa*ti -t^.(9.9)
Согласно (9.6) —- (9.8) получаем винтовую ось симметрии с углом поворота а, с величиной переноса t sin 0, отстоящую от А на рас- СТОЯНие 2^(а^
Теорема 13. Винтовая ось симметрии с углом поворота а и переносом 1г и трансляция /, составляющая с осью угол 0 порождают винтовую ось симметрии с тем же углом поворота.
Доказательство сводится к предыдущему, с той разницей, что винтовой поворот Ла16 сразу представляем как произведение простого поворота и трансляции t<.
Ла,^ = Ла * 4 ’ ^1 ’ ^11 = Ла * ^1 * ^|| = Ла, Т» (9.10)
где трансляция Т = 4^ц-
Из теорем 12 и 13 следует, что если через угол элементарной ячейки проходит ось симметрии, то сочетание этой оси с трансляциями группы Бравэ порождает оси симметрии, простые и винтовые, на ребрах ячейки, в центре и в положениях, определяемых теоремами 12 и 13.
Поскольку ось симметрии а включает в себя повороты, кратные а, результирующие оси симметрии могут быть разных порядков. Рассмотрим это на примере оси 4, которая включает в себя повороты /, л/2, л, Зл/2. Добавим к ней трансляции 1г и /2 примитивной элементарной ячейки. Результирующие повороты будут:
Вращение
Трансляция
^2
/1 + /г
1
1
1
1
л/2
л/2
Зл/2
л/2
л
л
Л
л
Зл/2
Зл/2
Зл/2
Зл/2
Из таблицы видно, что ось 4, проходящая через вершину примитивной ячейки, порождает ось 4 в центре ячейки и оси 2 в серединах ее ребер.
Теорема 14. Инверсионно-поворотная ось с углом поворота а и перпендикулярная к ней трансляция t порождают ту же инверсионно-поворотную ось, параллельную порождающей.
Разложив инверсионно-поворотную ось Л- на простую поворотную Аа и инверсию в центре симметрии I, сводим доказательство к предыдущему. Применяя теорему 14 к инверсионной оси I, получаем следствие: Центр симметрии и трансляция t порождают новый центр симметрии, смещенный относительно данного в направлении трансляции t на половину ее величины.
Теорема 15. Инверсионно-поворотная ось с углом поворота а и трансляция /, составляющая с этой осью угол 0, порождают инверсионную ось с тем же поворотом а, параллельную данной.
Доказательство сводим к предыдущим: разлагаем трансляцию / нз /„ и /±: Д^/ = Ла.Ь/||.#1=Ва .^ Л=В-^ = В'-, используя формулы (9.8) и (9.9) и получаем
L ЫН Р “ 2 cos (а/2) •
Все теоремы §§ 3 и 6 представляют собой частные случаи умножения операций симметрии без трансляций. Добавление трансляций расширяет перечень порождаемых элементов симметрии. Так, в теореме 2 (см. § 3) доказывалось, что пересекающиеся плоскости симметрии т порождают поворотную ось симметрии. Из хода доказательств предыдущих теорем видно, что если порождающие пересекающиеся плоскости будут плоскостями скользящего отражения, то порождаемыми элементами могут оказаться оси винтовые, проходящие через линию пересечения плоскостей или смещенные относительно нее. Теорема о пересечении осей симметрии также даст множество разнообразных решений, если учесть и винтовые оси симметрии.
Разобранными теоремами и примерами не исчерпываются возможные сочетания бесконечных симметрических преобразований, но они наглядно иллюстрируют многообразие этих сочетаний и принцип их вывода.
230 пространственных групп симметрии
Пространственной группой симметрии называется сочетание всех возможных преобразований симметрии кристаллической структуры. Пространственная группа симметрии характеризует симметрию структуры кристалла, так же как точечная группа симметрии характеризует симметрию внешней формы кристалла и симметрию его макроскопических свойств.
Каждой точечной группе соответствуют несколько пространственных групп. Чтобы из пространственной группы симметрии кристалла получить его точечную группу, надо мысленно уничтожить все трансляции, т. е. превратить плоскости скользящего отражения в простые зеркальные плоскости, винтовые оси — в обычные поворотные оси симметрии и свести все оставшиеся элементы симметрии в одну точку.
Вывести из точечной группы все относящиеся к ней пространственные группы — задача более сложная. Здесь нужно перебрать все возможные сочетания элементов симметрии и решеток Бравэ. Так, например, если в точечную группу входят оси 3 и 2, то для
вывода пространственной группы нужно перепробовать все возможные сочетания осей 3, Зп 32, 2 и 2Х и трансляций.
Так получаются 230 пространственных непрерывных групп симметрии кристаллического пространства или федоровских групп симметрии. Каждая из этих групп удовлетворяет постулатам теории групп, т. е. образует математическую группу.
230 пространственных групп были выведены в 1890—1894 гг. одновременно и независимо Е. С. Федоровым и А. Шенфлисом.
Для обозначения пространственных групп применяются интернациональные символы, а также символы Шенфлиса и символы Е. С. Федорова.
Интернациональный символ пространственной группы составлен так, что по виду символа можно полностью представить взаимное расположение элементов симметрии, если знать основные теоремы о сложении бесконечных элементов симметрии и правила записи символа, приведенные в табл. 10.1.
Таблица 10.1
Правила записи символа пространственной группы
Сингония
Позиции
I
II|III|IV
Триклинная
2 СО CU
X X
S
1
в
Имеющийся элемент симметрии
Моноклинная
Имеющийся элемент симметрии
2 или 2i (и плоскость, нормальная к оси 2, если она есть)
Ромбическая
Плоскость норма оси X
льная или ось, п оси Y |
араллельная оси Z
Тетрагональная Гексагональная
Ось высшего порядка (и плоскость, нормальная к ней)
Координатная плоскость или ось
Диагональная плоскость или ось
Кубическая
Координатные плоскости или оси
3
Диагональные плоскости или оси
В символике Шенфлиса пространственные группы обозначаются просто порядковым номером группы внутри данного класса. По виду символа Шенфлиса нельзя определить симметрию простран-
ственной группы, и нужно обращаться к таблицам, в которых сопоставлены символы Шенфлиса и международные символы.
По Федорову пространственные группы обозначаются номерами со значками s, к, a, s — симморфные группы: параллельно простым поворотным осям точечной группы в пространственной группе располагаются простые или винтовые оси того же порядка, параллельно плоскостям т точечной группы — в пространственной группе имеются плоскости т или плоскости скользящего отражения. Сходственные элементы симметрии пересекаются в одной точке, h — гемисимморфные группы: параллельно всем поворотным осям точечной группы симметрии располагаются такие же поворотные или винтовые оси симметрии, но параллельно плоскостям т точечной группы в пространственной группе располагаются только плоскости скользящего отражения. Сходственные оси пересекаются в одной точке, а — асимморфные группы: хотя бы одна система осей пространственной группы, параллельных соответствующим осям симметрии точечной группы, состоит только из винтовых осей (Е. С. Федоров, 1949).
Как и в символе точечной группы, в международном символе пространственной группы пишутся только порождающие элементы симметрии. Определяющее значение имеет порядок записи. В символе пространственной группы на первом месте всегда стоит символ решетки Бравэ. Далее — порождающие элементы симметрии, каждый на строго определенном месте (табл. 10.1).
Из правил записи символов в ромбической сингонии и в сингониях средней категории становится ясно, зачем в символах точечной группы, таких, как, например, 4тт или бтт, различались координатные и диагональные элементы симметрии. Из теорем 8 и 9 (см. § 9) видно, что добавление трансляции к координатным и диагональным элементам симметрии неравноценно. Поэтому в символе точечной группы различают эти две возможности.
В символе групп кубической сингонии всегда есть цифра 3 на третьей позиции. Она означает наличие обязательных в этой сингонии четырех осей 3.
Отсутствие элемента симметрии на соответствующей позиции обозначается цифрой 1.
Разберем несколько примеров.
Точечная группа 2. Согласно табл. 9.1 в моноклинной сингонии возможны Ри /-ячейки Бравэ. Умножение единственной операции симметрии 2 на трансляцию / дает винтовую ось 2Х: 2 •/ = 2^ Согласно теореме 10 трансляции Р-ячейки в сочетании с осями 2 или 2Х порождают вставленные оси того же наимен вания, а по теореме 12 трансляции /-ячейки порождают чередующиеся оси 2 и 2V Так получаются три пространственные группы: Р2, Р2Ъ /2. Поскольку винтовые оси 2j нейтральны, все эти пространственные группы тоже нейтральны. Ось 2 или 2г полярна. Пространственной группой Р2г характеризуется структура сегнетовой соли в сегнетоэлектрической фазе.
При температурах —18 °C или +24 °C сегнетова соль переходит из моноклинной сегнетоэлектрической фазы в параэлектрическую, ромбическую, харак-
теризуемую пространственной группой Р2Д2. На рис. 10.1 показаны эти группы в стандартной установке: винтовые оси 2Т находятся в плоскости ХУ. поэтому они показаны стрелками.
К точечной группе симметрии кварца 32 принадлежат соответственно пространственные группы
Р321P3^1Р3221
Р312Р3112Р3а12
Р32
В пространственных группах, перечисленных в первой строке, кратчайшие трансляции в базисной плоскости параллельны осям 2, а в группах, перечисленных во второй строчке, составляют с ними углы 60°.
4040+0+0-О-ОРис. 10.1. Пространственные группы Р2, (а) и P2i2t2 (б), характеризующие изменение симметрии сегнетовой соли при фазовом переходе.Рис. 10.1. Пространственные группы Р2, (а) и P2i2t2 (б), характеризующие изменение симметрии сегнетовой соли при фазовом переходе.
40
40
+0
+0
-О
-О
Рис. 10.1. Пространственные группы Р2, (а) и P2i2t2 (б), характеризующие изменение симметрии сегнетовой соли при фазовом переходе.
Рис. 10.1. Пространственные группы Р2, (а) и P2i2t2 (б), характеризующие изменение симметрии сегнетовой соли при фазовом переходе.
Пространственная группа структуры кварца РЗ^! или Р3221 может быть правой или левой, что проявляется в существовании энантиоморфных правых или левых кристаллов кварца (см. рис. 3.6) и в наличии у них явления вращения плоскости поляризации. Такой структурой обладает низкотемпературный а-кварц; выше +573 °C он переходит в высокотемпературную [3-модификацию, класс 622. При этом правыйа-кварц переходит в правый же р-кварц (Р6222), а левый (Р3221)— в левый (Р6422) (рис. 10.2). При этом оси 2 теряют полярность.
В международном справочнике «Интернациональные таблицы (International Tables, 1965), откуда взят рис. 10.2, приведены чертежи и символы всех 230 пространственных групп. Международные символы, приводившиеся в первом издании «Интернациональных таблиц» («старые»), немного отличаются от принятых сейчас, так называемых «новых» символов. Рисунки даны в условных обозначениях, приведенных в табл. 3.1.
Наряду со схемами взаимного расположения элементов симметрии в «Интернациональных таблицах» для каждой пространствен-
ной группы приведены координаты и схемы правильных систем точек. Правильной системой точек называется совокупность точек,
Рие. 10.2. Пространственные группы P3t21 (а) и Р6,22 (б), характеризующие изменение симметрии кварца при фазовом переходе.
связанных между собой элементами симметрии пространственной группы. Правильную систему точек можно получить из одной точки, повторив ее всеми элементами симметрии пространственной группы.
Взаимный векторный базис и обратная решетка
Наряду с основным ковариантным базисом ап а^ а^ применяется взаимный векторный базис, состоящий также из трех векторов, которые мы будем обозначать той же буквой а, но с индексами сверху: а1, а2, а? и называть контравариантными базио
ными векторами или базисными векторами обратной решетки. Эти векторы определяют как решение следующей системы 9 линейных уравнений, связывающих их с обычными, или ковариантными базисными векторами:
а1а1 = 1, а2-а1 = 0, «д-а^О,ага2 = 0, а2 • а2 = 1, а3 • а2 = О,а1-а3 = 0, а2-а3 = 0, а3а3=1.
Если ввести символ Кронекера
6, М при S-а,( 0 при р=/=а,то эту систему уравнений можно записать короче:аа.а6 = ^ (а, р = 1, 2, 3).(11.2)
Система (11.2) показывает, что любой контравариантный базисный вектор (скажем, а1) перпендикулярен к обоим ковариантным базисным векторам с другими номерами (в данном примере — векторам а2 и а3) и составляет острый угол с одноименным ковариантным базисным вектором (с вектором а^. Действительно, если скалярное произведение двух векторов равно нулю, они взаимно перпендикулярны, если же оно положительно — угол между ними меньше прямого. Так как вектор а1 перпендикулярен к вектору а3 и вектору а3, он коллинеарен их векторному произведению: а1 = таг X X а3, где т — некоторое неизвестное нам пока число. Чтобы найти его, подставим в произведение ^а1 величину а1 из выражения таг • (а2 -а^ = 1. Заметим теперь, что объем элементарной ячейки, построенной на векторах аь а4, а3, равен
о=аг(а,ха8)=Ма3ха1) = Ма1ха^ (П.З)
Отсюда т = 1/и. Подсчитав тем же способом а2 и а8, получим
1 а$ X а8 ^ а3Х ах 3 Qi X Сг /,, V ’ V * X) * \ • /
Формулы (11.4) показывают, что базисные векторы обратной решетки а1, а2, а8 направлены по нормалям к координатным плоскостям кристаллической решетки. Длины же их, как показано ниже, равны обратным величинам межплоскостных расстояний координатных плоских сеток решетки.
Вычислим смешанное произведение контравариантных базисных векторов а1-(а2 X а3). Воспользовавшись известной формулой двойного векторного произведения (Д х В) X С = (А-СуВ— — (В-Су А, подсчитаем а2 X а8 = (1/у2) («3 X а,) X (at X а^ = = (1/у2) {[а8• («! X а2)] Ох — [«! («! х а2)]а3) = (1 /у) аи так как вю-
рое слагаемое равно нулю. Далее, заметив, что а>-ах = 1, найдем окончательно
а1.(а2ха3) = 1/и.(11.5)
Отсюда вытекает, что контравариантные базисные векторы а1, а2, а3 некомпланарны (так как их смешанное произведение не равно нулю) и образуют правую тройку (так как оно положительно).
Заметив, что в основные уравнения (11.2) ко- и контравариантные базисные векторы входят совершенно симметрично, можно по аналогии с (11.4) сразу написать формулы, позволяющие выразить ковариантные базисные векторы через контравариантные:
ак = иа?ха?) a^ = ua?xa1) а3 = иа1ха2 (Н.6)
(первую из них мы, в сущности, уже получали, вычисляя смешанное произведение контравариантных базисных векторов).
Параллелепипед, построенный на контравариантных базисных векторах а1, а2, а3, называется кристаллографической ячейкой обратной решетки. Если кристаллографическая ячейка прямой решетки совпадает с элементарной, то и кристаллографическую ячейку обратной решетки называют элементарной. Неограниченно повторяя эту ячейку в пространстве в трех направлениях, из таких параллелепипедов можно построить решетку, называемую обратной кристаллической решеткой; она находит широкое применение в теории структурного анализа кристаллов и в теоретической физике твердого тела. Контравариантные базисные векторы часто называют поэтому базисными векторами обратной решетки.
Основные векторы обратной решетки, т. е. контравариантные базисные векторы а1, а2, а3, как и вообще всякие векторы, можно разложить по основному (ковариантному) базису аъ а^ а3:
ах = gnax+g12«2+g13a3,а3=g2I«i+gMa2+g23a3,a3 = g31^+g32a2+^3a3.
Индексы при коэффициентах разложения g обозначают: первый — номер разлагаемого вектора, второй — разлагающего (не путать с показателями степени!). Эти три разложения можно, применяя буквенные индексы и обозначение суммирования, записать и короче:
з
аа = 2 ^а^ (а = 1, 2, 3),p = i
но еще лаконичнее их запись, использующая правило суммирования Эйнштейна:
(И.7)(И.7)aa = gaPgp.
(И.7)
(И.7)
В этой записи на необходимость суммирования указывает то обстоятельство, что индекс 0 — индекс суммирования — повторяется дважды: в верхнем положении и в нижнем. Когда в «одночлене» встречаются два одинаковых греческих индекса, один сверху, а другой снизу — это не одночлен, а сумма одночленов, в которых индекс суммирования принимает последовательно значения 1, 2, 3; случаи, когда индексы принимают другие значения, будут оговариваться особо.
Коэффициенты разложения g0^ называются контравариантными компонентами метрического тензора. Чтобы выяснить их смысл, скалярно умножим правую и левую части равенств (11.7) на некоторый контравариантный базисный вектор а7.Учитывая,что а^-а^ = = б7, получим
аа-а^=^.(11.8)
Таким образом, контравариантные компоненты метрического тензора равны скалярным произведениям соответствующих контра- вариантных базисных векторов. Так как скалярное умножение векторов коммутативно, т. е. результат его не зависит от порядка сомножителей, эти компоненты не изменяются при перестановке индексов:
^ = ^а.(И.9)
Рассмотрим теперь разложение основных векторов решетки яь <4% аг по основным векторам обратной решетки а1, а2, а3:
«1 = gu»1 + g^ + Я13«3>
«2 = g^1 + ga^ + Я23«3.
«з = gai»1 + gs^ + gas»3 или, что то же самое:.
«a = ga^.(11.10)
Коэффициенты этого разложения ga^ называются ковариантными компонентами метрического тензора. Они равны скалярным произведениям соответствующих основных векторов кристаллической решетки:
gay = #а • ^у(11.11)
Ясно, что и они не меняются при перестановке индексов:
gay—gya-(11.12)
Наборы чисел gap и g0^ представляют собой матрицы; сравнение равенств (11.7) и (11.10) показывает, что эти матрицы взаимно обратны Если обозначить ||gap|| = G, то ||gaP|| = G"1, и справедливы соотношения
М^ = 61-(11ЛЗ)
Из формул (11.11) вытекает, что ковариантные компоненты метрического тензора gap вполне определяются параметрами ячейки — длинами ребер и углами между ребрами. Если длины ребер обозначить а» Ь, с, а углы между ними а, 0, у (см. рис. 1.5), то
G =G =a2 ab cos у са cos 0 ab cos у b2 be cos а са cos 0 be cos а с2a2 ab cos у са cos 0 ab cos у b2 be cos а са cos 0 be cos а с2(11.14)(11.14)
G =
G =
a2 ab cos у са cos 0 ab cos у b2 be cos а са cos 0 be cos а с2
a2 ab cos у са cos 0 ab cos у b2 be cos а са cos 0 be cos а с2
(11.14)
(11.14)
С другой стороны, зная ковариантные компоненты метрического тензора, нетрудно вычислить параметры ячейки
й — V^lVb =V^ §22)C"V^33>
a = arccos .,0 = arccos ,(11.15)
V ^22^33V gssgll
у = arccosу = arccos£12V 511^22£12V 511^22
у = arccos
у = arccos
£12V 511^22
£12V 511^22
Как доказано в § 16, объем элементарной ячейки равен и = У det G; сравнив это с (11.14), получим
и = аЬсю,
со = У1 — cos2 а — cos2 0 — cos2 у + 2 cos a cos 0 cos у. (11.16)
Контравариантные компоненты метрического тензора образуютКонтравариантные компоненты метрического тензора образуютматрицуматрицуG^ =G^ =а*2a*b* cosy*с*а* cos 0*а*2a*b* cosy*с*а* cos 0*a*b* cosy*Ь*йb*c* cos а*a*b* cosy*Ь*йb*c* cos а*с*а* cos 0*b*c* cos а*с*2с*а* cos 0*b*c* cos а*с*2(11.17)(11.17)
Контравариантные компоненты метрического тензора образуют
Контравариантные компоненты метрического тензора образуют
матрицу
матрицу
G^ =
G^ =
а*2a*b* cosy*с*а* cos 0*
а*2a*b* cosy*с*а* cos 0*
a*b* cosy*Ь*йb*c* cos а*
a*b* cosy*Ь*йb*c* cos а*
с*а* cos 0*b*c* cos а*с*2
с*а* cos 0*b*c* cos а*с*2
(11.17)
(11.17)
в которой а*, Ь*, с* —длины ребер ячейки обратной решетки, а а*, 0*, у* — углы между ними. По контравариантным компонентам метрического тензора они вычисляются посредством формул, совершенно аналогичных (11.15), а с параметрами ячейки кристаллической решетки связаны соотношениями
sing b* sin 0 с* sin у
а(д *Ь(д *Cto ’
cos а* = ^P^Izz^L, cos В* = £W^^1 ш 18) sin 0 sin у ’ м sin у sin а ’ ' * '
* cos а cos 0—cos v
COS у* =:L .
rsin a sin 0
Матрицы G и G"1 для всех 14 решеток Бравэ (при общепринятом выборе элементарной ячейки в каждой из них) приведены в приложении Б.
Параллелепипед, построенный на контравариантных базисных векторах а1, а2, а3, называется ячейкой обратной решетки*, из таких параллелепипедов строится обратная решетка.
Каждой плоскости прямой решетки отвечает в обратном пространстве узел обратной решетки. Бесконечному семейству параллельных плоскостей в прямом пространстве соответствует в обратном пространстве бесконечное семейство точек вдоль направления, нормального к этим плоскостям. Прямая и обратная решетки сопряжены взаимно и имеют одинаковую точечную симметрию (но пространственные их группы, вообще говоря, различны).
С помощью обратной решетки описывается периодическое распределение отражающей способности кристалла по отношению к рентгеновским лучам. Основное уравнение дифракции рентгеновских лучей в кристаллах (формула Вульфа — Брегга) определяет зависимость между длиной волны X, межплоскостным расстоянием d для серии плоскостей решетки, параллельных отражающей плоскости, порядком п дифракционного спектра от этой серии плоскостей и углом падения волны на кристалл:
2d sin 6 = лХ.(11.19)
Здесь о — угол, дополнительный к углу падения.
Межплоскостные расстояния между координатными плоскостями (100), (010) и (001) обратны длинам ребер ячейки обратной решетки а*, Ь* и с* и определяются формулами (11.18); в общем же случае межплоскостное расстояние определяется формулой (15.30).
Направление вектора обратной решетки г* совпадает с направлением рентгеновского отражения от серии параллельных плоскостей прямой решетки, а п-й узел в ряду обратной решетки отвечает отражению n-го порядка от этой серии плоскостей. Каждый узел обратной решетки соответствует направлению пучка рентгеновских лучей, получившемуся вследствие дифракции на серии параллельных плоскостей решетки.
Индицирование направлений и плоскостей
в кристаллах
В § 1 показано, что для каждого кристалла можно ввести кристаллографическую систему координат XYZ, построенную на базисных векторах аъ а21а3, совпадающих с.ребрами элементарной ячейки. Так как векторы аъ а2, а3 некомпланарны, любой вектор I можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов и притом единственным образом:
1 = Па^^а2^^а3.(12.1)
Числа Z1, Z2, Z3 называются компонентами вектора I относительно базиса av а^ а^.
В обозначениях Эйнштейна
(12.2)(12.2)I = Zaaa.
(12.2)
(12.2)
Пусть вектор I = 1ааа с целочисленными компонентами Z1, Z2, Z8 определяет кристаллографическое направление. Если целые числа Z1, Z2, Z3 имеют общий множитель и, можно ввести в рассмотрение вектор того же направления, но в п раз короче:
V = Цп = (ZVn) ах + (Z2M) a2 + ^!^ а^
и его компоненты также будут целочисленны. Условимся поэтому, что деление на все общие множители уже произведено. Компо-
Рис. 12.1. К объяснению символа пло-Рис. 12.1. К объяснению символа пло-ненты Z1, Z2 и Z3, записанные как [ZW3], в этом случае будут индексами Миллера данного кристаллографического направления, т. е. любой направленной прямой, параллельной данному вектору. Как указывалось в § 1, индексы ряда пишутся в квадратных скобках, например,символы осей координат обозначаются [100], [010], [001].
Рис. 12.1. К объяснению символа пло-
Рис. 12.1. К объяснению символа пло-
Совокупность направлений, которые могут симметрично сов-
скости.меститься друг с другом с помо
щью преобразований симметрии, свойственных данному классу симметрии, пишется в угловых скобках; например, совокупность ребер куба (100), пространственных диагоналей куба (111), диагоналей грани куба (ПО). Если некоторые из чисел Za отрицательны, знак минус пишут над ним, например, направление (НО) (читается: один, минус один, нуль). Когда среди индексов Миллера встречаются числа, большие 9, индексы во избежание недоразумений отделяются друг от друга точками, но практически с такими кристаллографическими направлениями приходится иметь дело крайне редко.
Если элементарная ячейка не примитивна, то не каждый вектор, проведенный из начала координат в узел решетки, имеет целочисленные компоненты, но для любого кристаллографического направления можно найти определяющий его вектор с целочисленными компонентами: символ узла в центре элементарной ячейки [Р/2 V2^П, но проведенный через него ряд (пространственная диагональ куба) можно характеризовать символом [111], так как он проходит и через узел [[111]].
Любой набор параллельных плоскостей естественно характеризовать нормальным к ним вектором; если они кристаллографические, т. е. содержат по крайней мере три не лежащие на одной пря-
мой узла кристаллической решетки, их желательно характеризовать вектором с целочисленными компонентами. Из множества параллельных кристаллографических плоскостей выберем какую- нибудь плоскость, пересекающую кристаллографические оси в узлах кристаллической решетки, но не проходящую через начало координат. Положение плоскости однозначно определяется целочисленными отрезками, отсекаемыми ею на осях кристаллографических координат (рис. 12.1). Возможны три случая: '
имеются три таких отрезка — плоскость не параллельна ни одной из осей координат;
плоскость параллельна одной из осей координат; она отсекает целочисленные отрезки на двух других осях;
плоскость параллельна двум осям координат — отрезок отсекается только на третьей.
Рассмотрим первый случай. Векторы
Р№=Р3аг, pw = p3a3,(12.3)
соединяющие начало координат с точками пересечения плоскости с осями, целочисленны. Векторы
qw=Pm-Pw и qw=pw-pw(12.4)
также целочисленны, они лежат в интересующей нас кристаллографической плоскости, а их векторное произведение к ней перпендикулярно. Удобно разделить его на объем элементарной ячейки у, отчего направление, конечно, не изменится, а порядок сомножителей выбрать таким, чтобы оно было внешней нормалью к грани (считая, что начало координат лежит внутри кристалла).
Таким образом, грань характеризуется нормальным к ней вектором
n=^-kqwxq№\(12.5)
Подсчитаем его. Подставив в (12.5) выражения для qw и q№ из (12.4), а затем, заменив векторы /?(1), р№ и pw выражениями (12.3), получим
« = V (РЧ - Р3°^ х ^^ - Р3а^‘
Векторное умножение проведем почленно:
« = "7" (Р1^ X °2 + Р Ws X «1+ргр3аг х аз).
Заметим теперь, что если почленно разделить векторные произведения базисных векторов на и, получатся базисные векторы обратной решетки:
п = р2р^ах -V-p3pxa2 + pYp2a\(12.6)
Обозначив пх = р2р3, п2 = Р3^1» пз = /^/А получим окончательно п = п^1 + п2а? + п3а3=пааа.(12.7)
Числа лп п2, и3 — компоненты вектора п относительно взаимного базиса аУсМ. Как произведения целых чисел они сами целые.
Рассмотрим второй случай. Пусть, например, кристаллографическая плоскость параллельна оси X, а узлы решетки, в которых она пересекает оси Y и Z, соединяются с началом координат целочисленными векторами
pw = pwa8, Pw = Pwa8.(12.8)
Тогда плоскость параллельна векторам а^ и q = р^ — р^, а вектор нормали к ней можно определить формулой
^ = -”^1X9.(12.9)
Производя такие же вычисления, как и в первом случае, найдем n = p^W-Vpwa^\(12.10)
и в этом случае можно записать п = пааа. где
^ = 0,п^ = р^\п3 = р^.(12.11)
Наконец, рассмотрим кристаллографическую плоскость, параллельную осям X и У и пересекающую ось Z в положительной ее части. Так как она параллельна векторам аг и а2, можно сразу записать
п = ^-агхай = а3.(12.12)
В выражении п = паиа пх = п^ = 0, n8 = 1 (если бы плоскость пересекала ось Z в ее отрицательной половине, нужно было бы поставить сомножители в обратном порядке, тогда п = —а3 и соответственно п3 = —1).
Таким образом, вектор нормали к возможной или действительной грани кристалла во всех случаях можно выбрать так, чтобы он имел целочисленные компоненты относительно базиса обратной решетки. Эти компоненты и есть индексы Миллера грани (плоскости) (см. § 1); они записываются так же, как и индексы направления (ребра), но не в квадратных, а в круглых скобках (п^п^. Если они имеют общий множитель, их следует на него разделить ). Три индекса в круглых скобках называются символом грани (плоскости).
Индексы Миллера грани обратно пропорциональны компонентам векторов, проведенных из начала координат в точки пересечения грани с осями координат. Действительно, когда данная грань
пересекается со всеми тремя осями, из (12.6) следует, что
^i: ^2 • ^з ~ ~jjj7ir •'■j^t^(12.13)
а когда она пересекается с двумя осями, скажем, Y и Z, из (12.11) следует
^2 : ^з = "^ТгГ: "^(зГ•(12.14)
Координатные плоскости характеризуются символами: (ЮО) — YOZ. (010) — ZOX и (001) — XOY.
Итак, введены два векторных базиса: базис решетки аъ а2, а3 и базис обратной решетки а1, а2, а3. Показано, что вектор Z, характеризующий кристаллографическое направление, можно выбрать так, чтобы его компоненты Z1, Z2, Z3 относительно базиса решетки были целочисленны, а вектор нормали к кристаллографической плоскости п — так, чтобы были целочисленны его компоненты пъ я2, ^з относительно базиса обратной решетки. Конечно, можно разложить вектор I по базисным векторам обратной решетки, а вектор п — по базисным векторам прямой решетки, но при этом будет утеряна целочисленность компонент, а вместе с ней — и кристаллографическое значение данного направления или данной плоскости. Таким образом, нужно уметь выбрать базис, удобный для описания кристаллографического объекта.
Доказывая целочисленность индексов Миллера для кристаллографических плоскостей, мы исходили из представления о кристаллической решетке. До появления рентгеноструктурного анализа и экспериментального доказательства дискретности строения кристаллов индицирование граней кристаллов основывалось на законе рациональности параметров (закон целочисленных отношений), сформулированном Гаюи в 1781 г. Наряду с законом постоянства углов закон Гаюи является основным эмпирическим законом кристаллографии; он устанавливает закономерность расположения граней на кристаллических многогранниках и объясняет, почему на кристаллах появляются именно те или другие грани.
Закон рациональности параметров гласит: двойные отношения отрезков, отсекаемых на трех ребрах кристалла, выбранных в качестве осей координат, а) любой гранью кристалла и б) некоей его гранью, принятой за единичную, равны отношению малых целых чисел.
Выберем в кристаллическом многограннике три непараллельные грани и примем их за координатные плоскости, а ребра, по которым пересекаются эти грани, — за оси координат. Выберем также еще одну, так называемую единичную грань. Единичная грань, не параллельная ни одной из координатных граней, отсекает на осях координат отрезки ОЛ, OS, ОС — так называемые параметры грани. По закону рациональности параметров для любой другой
грани кристалла, отсекающей на осях координат отрезки ОА', ОВ', ОС*, двойное отношение равно
(12.15)(12.15)ОЛ ОВ ОС
(12.15)
(12.15)
ОА' ! ОВ* * ОС — т-п*Р>
где т, п, р — целые числа, в подавляющем большинстве случаев не превышающие 5. Грани, для которых двойное отношение параметров является иррациональным, невозможны для кристалла. Если отношения параметров взаимно простые, целые, но большие числа (больше 5), то грань возможна, но чрезвычайно маловероятна.
Для кристаллографии закон Гаюи имеет такое же значение, как для химии закон кратных отношений Дальтона. По закону кратных отношений Дальтона возможны не любые соединения химических элементов, а лишь те, в которых элементы находятся в соотношениях целых чисел. По закону целых чисел Гаюи на кристаллическом многограннике возможны не любые грани, а лишь те, для которых двойные отношения отрезков, отсекаемых данной гранью и некоторой «единичной» гранью, равны отношению целых простых чисел.
Хотя закон рациональности параметров был установлен только на основании изучения внешних форм кристаллов и в те времена, когда существовали лишь самые смутные догадки о структуре кристаллов, за четверть века до закона Дальтона, но, по существу, он был первым числовым законом, определяющим атомно-молекулярное строение вещества.
В самом деле, смысл закона рациональности параметров легко и просто объяснить теперь, когда известно, что частицы в кристалле расположены правильными закономерными рядами и что любое ребро кристалла соответствует ряду частиц в решетке. Если какие-то три ребра кристалла выбраны за оси координат, это равносильно тому, что за оси координат приняты три некомпланарных трансляции в решетке. Так как любая грань кристалла соответствует плоской узловой сетке решетки, она должна проходить и через узлы, расположенные на осях X, У, Z.
В сущности говоря, смысл закона Гаюи сводится к тому, что грани кристалла всегда соответствуют плоским сеткам кристаллической решетки, а ребра кристалла всегда соответствуют узловым рядам решетки. Кроме того, реальные грани кристалла, как правило, соответствуют плоским сеткам с наибольшей ретикулярной плотностью — этим объясняется то, что индексы грани не только целые, но и малые числа.
Такое толкование этого закона легко дать теперь, когда решетчатое строение кристаллов установлено экспериментально и хорошо изучено. Однако исторически был пройден гораздо более трудный путь, а именно, от наблюдения внешних форм кристаллических многогранников, от измерения относительных наклонов граней кри-
сталлов к первым догадкам о периодическом строении кристаллов, к умозрительным теориям строения кристаллов, лишь позднее доказанным экспериментально. Первые представления о закономерном строении кристаллов были высказаны именно в связи с законом целочисленных отношений. Изучение симметричной многогранной формы кристаллов привело к пониманию внутренней соразмерности их строения.
Закон рациональности параметров остается в силе, даже если оси координат, выбранные по ребрам кристаллического многогранника, не соответствуют ребрам элементарной ячейки. Все равно эти ребра должны быть параллельны каким-либо рядам точек в решетке, а расстояние между ними неизбежно делится на равные отрезки системами параллельных плоскостей, которым параллельна всякая грань кристалла.
Из закона рациональности параметров следует, в частности, что любую грань кристалла и любую узловую плоскость в кристаллической решетке можно определить тремя целыми небольшими числами, если за оси координат выбрать направления трех ребер кристалла, а за единицы измерения по этим осям принять отрезки, которые отсекает на этих осях одна из граней кристалла.
Посредством индексов Миллера в принципе можно описывать кристаллографические плоскости и направления в любых кристаллах. Однако индексами Миллера, отнесенными к гексагональной системе координат, кристаллографы не пользуются, предпочитая им индексы Бравэ ). Это объясняется стремлением характеризовать симметрически эквивалентные плоскости и направления в каком-то смысле «похожими» наборами индексов, а индексы Миллера, отнесенные к гексагональной системе координат, этим свойством не обладают. Так, векторы аь а2 и —^i—#2 определяют симметрически эквивалентные направления, а индексы Миллера двух из них [100] и [010] существенно отличаются от индексов Миллера третьего направления [ПО].
Чтобы полностью выявить симметрию кристаллов гексагональной сингонии, используют четырехосную систему координат: в базисной плоскости, в дополнение к осям X и У, направленным по ах и а2 соответственно, вводится еще ось U, направленная по вектору —аг —а2- По главной оси симметрии по-прежнему направлен вектор а3 и соответственно ось Z (рис. 12.2). Кристаллографические плоскости и направления характеризуются теперь ориентировкой относительно всех четырех осей и соответственно четырьмя индексами, которые называются индексами Бравэ. Сумма первых трех индексов Бравэ всегда равна нулю.
Индексы Бравэ для кристаллографического направления I — это коэффициенты разложения вектора / по четырем векторам аъ а2, —°i —л2» °з ПРИ условии, что сумма первых трех коэффициентов равна нулю. Из этого определения вытекает способ перехода от обычной векторной записи к индексам Бравэ. Вектор кристаллографического направления
I = Pat + Ра2 + Ра3I = Pat + Ра2 + Ра3(12.16)(12.16)
I = Pat + Ра2 + Ра3
I = Pat + Ра2 + Ра3
(12.16)
(12.16)
Х[ОООЦХ[ОООЦРис. 12.2. Символы основных направлений в гексагональной ячейке.Рис. 12.2. Символы основных направлений в гексагональной ячейке.По определению:ведя подобные члены, получимПо определению:ведя подобные члены, получимI = Рах + Ра4 + г3 (— Ох—а^ + Ра3.I = Рах + Ра4 + г3 (— Ох—а^ + Ра3.
Х[ОООЦ
Х[ОООЦ
Рис. 12.2. Символы основных направлений в гексагональной ячейке.
Рис. 12.2. Символы основных направлений в гексагональной ячейке.
По определению:
ведя подобные члены, получим
По определению:
ведя подобные члены, получим
I = Рах + Ра4 + г3 (— Ох—а^ + Ра3.
I = Рах + Ра4 + г3 (— Ох—а^ + Ра3.
(Р, Р, Р — целые числа) можно записать в виде
I = Раг + Ра4+0 (— аг — а^+Ра3.
Числа Р, Р, О, Р отличаются от индексов Бравэ только тем, что сумма первых трех чисел не равна нулю. Прибавим к вектору I вектор tn = таг + та4 + т (—ат —а2) = 0- Очевидно,
Z+m = (Р+т) ах + (Р+«) а4 + т (— Ох — а2)+Ра8=1.
Положим т = — (Z1 + Z2)/3, тогда сумма трех первых индексов, как и следует, окажется равной нулю. Чтобы индексы были целыми, умножим все коэффициенты на 3. Итак, для кристаллографического направления
Z = Z1a1+Z2a2 + Zsa8 индексы Бравэ равны
[2Z1 -Р. 2Р-Р. — Р-Р. 3Z8].
(12.17)
Если окажется, что полученные индексы Бравэ обладают общим множителем, их, конечно, следует на него сократить. По индексам Бравэ IrWr4] кристаллографического направления легко найти характеризующий его вектор I.
При-
l^r1- г3) ах + (г2 - г3) а4 + Ра8,(12.18)
что и является решением поставленной задачи.
Индексы Бравэ для симметрически эквивалентных направлений действительно похожи. Например, оси X, Y и U характеризуются символами [2110], [1210] и [1120] соответственно (см. рис. 12.2).
Индексы Бравэ для кристаллографических плоскостей — это коэффициенты разложения вектора нормали к кристаллографиче-
ской плоскости п по четырем векторам:
l^-ya2, у а8-у а»,-у^-уо2, а3,(12.19)
причем сумма первых трех коэффициентов равна нулю. Для плоскости, характеризуемой вектором
п = п1а1-\-+ л3а3,(12.20)
индексы Бравэ равны
(«1.п2.— П] —п2.п3).(12.21)
Напротив, кристаллографическая плоскость с индексами Бравэ
(Р1А№) характеризуется вектором п = рхах + р2а2 + р4а3.(12.22)
Рис 12.3. К доказательству теоремы о том, что индексы Бравэ плоскости пропорциональны отрезкам, отсекаемым этой плоскостью на осях X Y Z и U.Рис 12.3. К доказательству теоремы о том, что индексы Бравэ плоскости пропорциональны отрезкам, отсекаемым этой плоскостью на осях X Y Z и U.Согласно общепринятому в кристаллографии определению, индексы Бравэ кристаллографических плоскостей — это не имеющие общих множителей целые числа, обратно пропорциональные выраженным в осевых единицах отрезкам, отсекаемым данной плоскостью на осях X, У, Ut Z соответственно. Поэтому необходимо доказать, что данное выше формальное определение индексов Бравэ и приведенное здесь общепринятое их определение эквивалентны.
Рис 12.3. К доказательству теоремы о том, что индексы Бравэ плоскости пропорциональны отрезкам, отсекаемым этой плоскостью на осях X Y Z и U.
Рис 12.3. К доказательству теоремы о том, что индексы Бравэ плоскости пропорциональны отрезкам, отсекаемым этой плоскостью на осях X Y Z и U.
Z. Но эти компонентыZ. Но эти компонентыКак следует из общей теоремы, выведенной в начале этого параграфа, компоненты Мъ п2^ ^з вектора п обратно пропорциональны выраженным в осевых единицах отрезкам, отсекаемым данной плоскостью на осях X, Y и
Z. Но эти компоненты
Z. Но эти компоненты
вому, второму и четвертому индексам Бравэ соответственно. С другой стороны, если некоторая плоскость отсекает на осях X и Y отрезки d/nx и d/n2 соответственно, то отрезок, отсекаемый ею на оси U. равен d/(—пх—п2). Действительно, рассмотрим рис. 12.3. Прямая MN — линия пересечения базисной плоскости с плоскостью, определяемой вектором п. В точках Л, 6, С, лежащих на этой прямой, плоскость п пересекает оси X, Y, U соответственно. Очевидно, ОА = dlnx иОВ = d/n^. На оси U отсекается отрезок ОС. Проведем отрезки СЛ' || ОВ и СВ'ПОЛ. Так как ДАОС = ДВОС = = 60°, ясно, что треугольники ОСЛ' и ОСВ' равносторонние. Теперь, пользуясь подобием треугольников А'СА и B’CBt составим
Ю. И. Сиротин, М П. Шаскольская
dln2 — OCОСdln2 — OCОС
dln2 — OCОС
dln2 — OCОС
пропорцию А'С : А'А = S'B : В'С, или ^п _ из которой найдем
(12.23)(12.23)ОС ^М ^d,n^ = dd!ri\-\-d/n2—*Л1—П2 *
(12.23)
(12.23)
что и требовалось доказать.
В табл. 13.1 (см. § 13) для наиболее употребительных направлений и плоскостей приведены индексы Бравэ и индексы Миллера, отнесенные к гексагональной системе координат (т. е. коэффициенты /а разложения вектора кристаллографического направления I = 1аиа по базисным векторам ап а2, а3 гексагональной решетки и коэффициенты п^ разложения вектора нормали к кристаллографической плоскости п = п^ по базисным векторам а1, а2, а? обратной решетки).
Преобразование индексов
при перемене системы координат
В кристаллографии довольно редко приходится иметь дело с преобразованием координатных систем, потому что обычно используются стандартные, фиксированные системы. Однако бывают случаи, когда один и тот же кристалл можно описать в двух различных стандартных системах координат. В частности, кристаллы тригональной системы иногда описываются не в гексагональной, а в ромбоэдрической системе координат. Кроме того, если в кристаллографии обычно пользуются элементарными, хотя бы и непримитивными ячейками, то в физике твердого тела, как правило, предпочитают примитивные. Во всех этих случаях переход от одного способа описания к другому определяется соответствующим преобразованием векторного базиса решетки.
Пусть аъ а^ а3 — некоторый векторный базис кристаллической решетки. Условно назовем его «старым» и наряду с ним рассмотрим другой базис решетки аг, а^. а3^ который будем (столь же условно) называть «новым». Соответственно «старой» и «новой» будем называть координатные системы, построенные на этих базисах. Зная компоненты какого-либо вектора относительно старой системы координат, можно вычислить его компоненты относительно новой системы; эту операцию, примененную ко всем векторам, фигурирующим в решаемой задаче, принято называть преобразованием координатной системы или переходом от старой системы координат к новой.
Векторы нового базиса, как и всякие векторы, можно разложить по старому базису:
Uy = Р^иа.(13.1)
Если старые базисные векторы определяют элементарную ячейку, то все коэффициенты Р“ целочисленны. Если же параллелепипед, построенный на векторах старого базиса, не элементарен, коэффициенты Р^ не обязательно целочисленны (но во всяком случае рациональны).
Так как и новые базисные векторы некомпланарны, можно разложить старые базисные векторы по новому базису:
aa = QXav.(13.2)
Чтобы найти соотношения, связывающие коэффициенты Q^ с коэффициентами Р^, подставим выражение (13.2) для аа в фор-
мулу (13.1)
а^ — Р p'Qa
Так как базисные векторы линейно независимы, из этого равенства следует
p^,QX=b^.(13.3)
Но можно поступить и по-другому: подставить выражение (13.1) для а^ в формулу (13.2). В результате получим равенство
Оу = Qy Р (з*оа.
В силу линейной независимости базисных векторов из него следует
Q?>^ = 6“(13.4)
Наборы коэффициентов Ру и Qa образуют квадратные матрицы
РЬ РХ- РМ
Qf Qf QV
р =
р^ ?!- р*„ . Q=
QI' QI' QI'
Р1», pi. _р%. II
QI' QI' QF
Соотношения (13.3) и (13.4) можно записать в виде матричных равенств
PQ = L QP = L
(13.5)
Здесь
1 0 0
/=010
0 0 1
(13.6)
— единичная матрица.
Если две матрицы удовлетворяют одному из соотношений (13.5), они обязательно удовлетворяют и второму. Такие матрицы называются взаимно обратными. Зная одну из взаимно обратных матриц, скажем, Р, нетрудно найти элементы другой. Для этого следует подсчитать определитель det Р матрицы Р и алгебраичев- 4*
кие дополнения П« ее элементов. Алгебраическое дополнение П« элемента Р^ матрицы Р равно умноженному на (—1)а + &' определителю, который получится из определителя матрицы Р, если в последнем вычеркнуть тот столбец и ту строку, которые содержат элемент Р^. После этого элементы Qa матрицы Q вычисляются по формуле
(13.7)
Введем символы Леви-Чивита
1 при ару= 123, 231, 312,
6«ру —6«ру —(13.8)(13.8)-1 при ару = 132, 213, 321,0 в остальных случаях *)
6«ру —
6«ру —
(13.8)
(13.8)
и 6apv, отличающийся от предыдущего только верхним положением индексов. Посредством введенных символов в сжатой и изящной форме записываются соотношения (11.4) и (11.6) между базисными векторами прямой и обратной решетки:
(13.9)(13.9)a° =-^-6aPv«p х aY,«а = у v6aPvaP х av,
(13.9)
(13.9)
а также формулы для векторных произведений базисных векторов
ao х ap = ydapyav, а" х ар = у 6“₽vaY.(13.10)
Символы Леви-Чивита позволяют также очень коротко записать последовательность действий, необходимых для вычисления определителя любой (3 X 3)-матрицы S с элементами S^
detS = 6oPYS?SfS? = 6^S;S2₽S^.(13.11)
Воспользовавшись этими формулами, подсчитаем объем у' параллелепипеда, построенного на новых базисных векторах. Очевидно, и' = ах» • («з* X a^Y Заменив новые базисные векторы их разложениями (13.1), получим
y' = PT,P^aa.(apxaY). (13.12)
Использовав для подсчета а^ х а7 формулу (13.10), а затем прибегнув к формуле (11.2), получим
и' = иЬа^РШР1:(13.13)
Сравнив это выражение с формулой (13.11), придем к соотношению
у'= у det Р.(13.14)
Таким образом, определитель матрицы Р равен отношению объема параллелепипеда, построенного на новых базисных векторах, к объему параллелепипеда, построенного на старых базисных векторах. Очевидно, det Q = у/у' (определители взаимно обратных матриц взаимно обратны).
Посмотрим теперь, как при заданном преобразовании базиса кристаллической решетки преобразуется базис обратной решетки. Очевидно, новым ковариантным базисным векторам аг, а^, а^ соответствуют и новые контравариантные базисные векторы аУ, а2', а3', определяемые соотношениями
aa-av = С-(13.15)
Они разлагаются по старым посредством матрицы Q:
a,' = QXa\(13.16)
Действительно, при этом законе преобразования а»- • Ф' = = Ра$<ца\а отсюда с помощью (11.2) и (13.3) сразу получается соотношение (13.15). Ясно, что старые контравариантные базисные векторы разлагаются по новым посредством матрицы Р:
а^а*'.(13.17)
Теперь легко выяснить, как при заданном преобразовании базиса преобразуются компоненты векторов решетки, отнесенных к этому базису, т. е. индексы Миллера кристаллографических направлений (ребер) и кристаллографических плоскостей (граней). Рассмотрим сначала индексы кристаллографических направлений. Для любого вектора / справедливо равенство
1 = [ааа = №а^е(13.18)
Для его выполнения необходимо, чтобы
l»' = Q»'l'».(13.19)
Действительно, тогда ^'а^ = Q^PP^-aa, а отсюда после применения тождества (13.4) следует, что равенство (13.18) при этом законе преобразования удовлетворяется. Напротив, старые компоненты /а выражаются через новые посредством матрицы Р:
Г = Р^'.(13.20)
Совершенно аналогично выводятся формулы преобразования для индексов граней:
Пр, = р^а>(13.21)
na = Q^nw.(13.22)
Объединим все полученные в этом параграфе результаты в форме таблички. При этом переход от старых величин к новым будем называть «прямым» преобразованием — оно характеризуется формулами, выражающими новые величины как линейные комбинации старых. Переход же от новых величин к старым назовем «обратным» преобразованием. Тогда получим
Величины
Прямое преобразование
Обратное преобразование
Базисные векторы решетки аа
°У = Р^-аа
ov=Q^P'
Базисные векторы обратной решетки аа
a6' =Q^aa
а»=Р^,а»'
Индексы плоскостей (граней) па
пУ = Р»-па
п?=9?пу
Индексы направлений (ребер) /а
l^' = Q^la
Эта табличка показывает, что прямое преобразование величин с нижним индексом — базисных векторов решетки аа и индексов граней па — осуществляется посредством матрицы Р, а обратное— посредством матрицы Q. Напротив, у величин с верхним индексом— базисных векторов обратной решетки аа и индексов ребер /а—прямое преобразование связано с матрицей Q, а обратное — с матрицей Р. Именно с этим обстоятельством связаны названия величин: величины с нижним индексом называются ковариантными (ковариантные базисные векторы аа, ковариантные компоненты Пц^ потому что они преобразуются так же, как основной векторный базис, а величины с верхним индексом — контравариантными (контравариантные базисные векторы аа. контравариантные компоненты /а), потому что они преобразуются обратным, если можно так выразиться, способом.
Наименования компонент метрического тензора — «ковариантные» и «контравариантные» — говорят о законах преобразования этих компонент при переходе от одного базиса к другому. Законы преобразования следуют непосредственно из формул (11.8) и (11.11). Если наряду со старым базисом аХ1 а^ а3 вводится новый
базис а^ а^» а^, то, согласно формулам (11.11), закон преобразования ковариантных компонент метрического тензора выражается формулами
(13.23)(13.23)gw —- P^P^ga^ga^ = Qa Q? gv V
(13.23)
(13.23)
Сравним эти формулы с законом преобразования ковариантных компонент вектора (13.21), (13.22). Очевидно, ковариантные компоненты метрического тензора преобразуются как произведения ковариантных компонент двух векторов. Это свойство используется для определения тензора. Именно девять величин /ар называются ковариантными компонентами тензора второго ранга» если они преобразуются как произведения ковариантных компонент двух векторов. Более того, Зг величин fav--ar называются ковариантными компонентами тензора ранга г» если они преобразуются как произведения ковариантных компонент г векторов.
(13.24)(13.24)Во всех высказываниях можно заменить приставку «ко» приставкой «контра»; в результате получим соответствующие определения для контравариантных компонент тензоров. В частности, из формул (13.8), (13.16) и (13.17) выводится закон преобразования контравариантных компонент метрического тензора:
(13.24)
(13.24)
g^=p»p^_
Возможны также смешанные компоненты тензоров; например, 9 величин /2 называются смешанными (точнее — один раз ковариантными и один раз контравариантными) компонентами тензора второго ранга, если они преобразуются как произведения ковариантной компоненты одного вектора на контравариантную компоненту другого вектора.
Уже отмечалось (см. § 12), что в принципе любой вектор можно разложить как по ковариантному, так и по контравариантному базису; соответственно этот вектор окажется заданным своими контравариантными или ковариантными компонентами. Специфическое свойство метрического тензора состоит в том, что он определяет связь между компонентами обоих типов и позволяет легко переходить от одного из них к другому.
Пусть, например, вектор I = 1ааа задан первоначально своими контравариантными компонентами 1а. Чтобы найти его ковариантные компоненты /а, достаточно разложить ковариантные базисные векторы аа по контравариантным: аа = gapap. Теперь имеем / = /а5ар«Р. Однако коэффициенты разложения вектора / по контравариантному базису — это и есть ковариантные его компоненты 1^ Таким образом, контравариантные компоненты одного и того же
вектора связаны формулой
l^ = lag^.(13.25)
Аналогично выводится формула
п^п^(13.26)
позволяющая выразить контравариантные компоненты вектора через ковариантные. Формулы (13.25) и (13.26) показывают, что с помощью метрического тензора можно поднимать и опускать индексы. Если мы, в частности, используем метрический тензор, чтобы опустить один из индексов у контравариантных компонент этого же тензора или поднять один из индексов у ковариантных его компонент, то получим смешанные (один раз ковариантные и один раз контравариантные) компоненты метрического тензора:
Сравнив этот результат с формулой (11.13), видим, что
g? = 6“ (13.27) т. е. смешанные компоненты метрического тензора совпадают с символами Кронекера.
Как пример преобразования координатных систем рассмотрим переход от ромбоэдрической системы координат к гексагональной. На рис. 13.1 изображена
0
□
©
Рис.
Базисные векторы
13.1.
0
О
ромбоэдрической и
гексагональной систем координат в ромбоэдрической решетке. Узлы, отмеченные кружками, лежат в плоскости чертежа, треугольниками — над, квадратами — под плоскостью чертежа.
проекция ромбоэдрической решетки на базисную плоскость. Узлы, отмеченные кружками, будем считать лежащими в плоскости чертежа. Непосредственно над этой плоскостью расположены узлы, помеченные треугольниками, а непосредственно под нею — узлы, помеченные квадратами. Вся картина периодически повторяется: так, непосредственно над плоскостью узлов, помеченных треугольниками, расположена плоскость узлов, помеченных квадратами, а над этой последней — плоскость узлов, помеченных кружками.
Базисные векторы ромбоэдрической системы координат аъ а^ а^ направлены от узла, лежащего в плоскости чертежа, к ближайшим к нему узлам, принадлежащим плоскости, расположенной непосредственно над плоскостью чертежа.
Базисные векторы гексагональной системы координат ах- и а^- лежат в плоскости чертежа. Третий из них а3* на рисунке не показан, так как он перпендикулярен к плоскости чертежа; этот вектор направлен от начального узла к ближайшему узлу, расположенному точно над ним.
Из рис. 13.1 ясны соотношения, связывающие базисные век» торы обеих систем. Именно
(13.28)(13.28)а\* — а^ ~ Л2 >а2' = ^2 — ^3»Лз' = О1 4~ 02 4~ Од.
(13.28)
(13.28)
Таким образом, матрица ||Рр'||, характеризующая переход от ромбоэдрического к гексагональному базису, имеет вид 1 23
"(13.29)1"(13.29)1Г1 -1
"(13.29)
1
"(13.29)
1
2'01
3'11
Определитель этой матрицы det Р = 3; это показывает, что у гексагональной ячейки объем втрое больше, чем у ромбоэдрической.
Матрица обратного преобразования IIQy ll, согласно формуле (13.7), равна
Г 2' 3х
(13.30)(13.30)12/31/31/3
(13.30)
(13.30)
2-1/31/31/3
3-1/3-2/31/3
Значит, ромбоэдрические базисные векторы следующим образом разлагаются по гексагональным:
(13.31)(13.31)^1 = -g (2#р -f-^p "Ь^зО»
(13.31)
(13.31)
а2 = ~ (— аг+ау+«у)>
а3 = ^ (—аг-2ау+ау).
Как уже отмечалось, кристаллы тригональной и гексагональной систем описываются посредством индексов Бравэ, которые связаны с гексагональной системой координат. Однако иногда для описания кристаллов тригональной системы используют индексы Миллера, связанные с ромбоэдрической системой координат, — именно такой способ применил известный кристаллограф П. Грот в своем классическом справочнике (Грот, 1897), да и теперь иногда ими пользуются. Подчеркнем, что Грот использовал индексы Миллера для описания не только тех кристаллов, которые обладают ромбо»
эдрической решеткой Бравэ, но и тех кристаллов тригональной системы, решетка Бравэ которых гексагональна. В последнем случае ромбоэдрическую ячейку следует рассматривать как элементарную, но tie примитивную, примитивной же является ячейка гексагональная.
Чтобы уяснить себе и в этом случае связь между ромбоэдрическим и гексагональным базисами, обратимся опять к рис. 13.1. Представим себе, что узлы, отмеченные треугольниками и квадратами, отсутствуют. Оставшиеся узлы, помеченные кружками, образуют гексагональную решетку Бравэ; элементарная ячейка ее определяется векторами ахч а^ и а^. Заметим теперь, что векторы 3^, Зл2 и За3 есть векторы получившейся гексагональной решетки Бравэ. Они-то и определяют, очевидно, элементарную ромбоэдрическую ячейку; объем ее втрое больше объема примитивной гексагональной ячейки.
Выведем соотношения между индексами Бравэ, связанными с гексагональной, и индексами Миллера, связанными с ромбоэдрической системами координат. Начнем с символов направлений (ребер). Пусть кристаллографическое направление характеризуется индексами Бравэ [rV^r4]. Согласно формуле (12.18) соответствующий вектор
Z = (г1 — г3) av + (г2 — г3) ау + г^ау.
Воспользовавшись формулой (13.28), разложим базисные векторы гексагональной системы координат aV) сц^ ау по базису ромбоэдрической системы координат:
/ = (г1 - г8) (ах - а2) + (г2 - г3) (а2 - а3)+г4 (ах+а2+а3).
После приведения подобных членов получим
I = (г1 — г3 + г4) ах + (г2 — г1 + г4) а2 + (г3 — г2 + г4) а8.
Таким образом, индексы Миллера направления [г1^^4] равны [ri__r3_]_r4e r2_fi + f4f3_f2 + f4j(13.32)
Разумеется, если возможно, их следует сократить.
Напротив, пусть некоторое направление характеризуется в ромбоэдрической системе координат индексами Миллера I/1/2/3], т. е. соответствующий ему вектор
Z = Z1a1 + /2a2 + /3a3.
Воспользовавшись формулами (13.4), разложим векторы япя2, а8 по базису гексагональной системы aV) ay, ау. После приведения подобных членов системы получим
2/1 —/2 —/3/1 + /2_2/з, /14-/24-/3
I = q aV + ay + — q^.
А теперь по формуле (12.18) найдем индексы Браве
[Z1 —Z2. Z2 —Z3. Z3-/1. Z1 + Z2 + Z3].(13.33)
Перейдем к символам кристаллографических плоскостей (граней). Пусть индексы Бравэ некоторой кристаллографической плоскости будут (Р1РйРзРд\ Согласно формулам (12.22) это означает, что вектор нормали к ней
п = рхаУ + р^а?' + р4ау.
Ковариантные компоненты этого вектора в гексагональной системе координат равны
пр-Рь п^ — р^ п^ = р4.
Ковариантные компоненты пХ1 п^ п3 того же вектора в ромбоэдрической системе координат найдем по формуле (13.22), причем элементы матрицы Q выписаны в (13.30). Получим
пх = у (2др + Пу + пзО = (рх - р3 + р4)>
п2 = у (— пр + п2. + изО = у (р2 ~ Pi + р4У
Пз = 4 I— Пр ” ^ + Пу>> = Т (Рз Р2 + Р4)-
Таким образом, индексы Миллера плоскости (рхр2РзР^ равны
(Р1-Рз + Р4- Р2-Р1 + Р4. Рз-Р2 + Р4)-(13.34)
Наоборот, если кристаллографическая плоскость характеризуется индексами Миллера (д^Мд) относительно ромбоэдрической системы координат, то вектор нормали к ней
п = пхах + п^а? + п3а\
Ковариантные компоненты вектора п относительно гексагональной системы координат подсчитаем по формуле (13.21); элементы матрицы Р выписаны в (13.29). Компоненты п^. равны
Др=Дх —Д2 ,П2' = И2 — п3,иУ = п1 + д2 + д3.
Теперь по формуле (12.22) найдем индексы Бравэ этой плоскости: (пх —д2. п2 — п3. n3 — nv П1 + и2 + п3).(13.35)
Формулы (13.32) и (13.33), связывающие индексы Бравэ кристаллографических направлений с их индексами Миллера в ромбоэдрической системе координат, совпадают с формулами (13.34) и (13.35), связывающими индексы Бравэ и Миллера кристаллографических плоскостей. Это использовано в табл. 13.1; содержащиеся в ней индексы Бравэ в гексагональной системе координат (БГ) и индексы Миллера в ромбоэдрической системе
Т а б л и ц а 13.1
Индексы Бравэ в гексагональной установке (БГ), индексы Миллерав гексагональной установке для плоскостей (МГП) и направлений (МГН)и индексы Миллера в ромбоэдрической установке (МР)
БГ
МГП
МГН
MP
БГ
МГП
МГН
MP
БГ
МГП
МГН
MP
0001
001
001
111
2112
212
302
512
3301
331
331
272
2110
210
100
ПО
1212
122
032
251
0331
031
361
227
1210
120
010
Oil
1122
112
332
125
3031
301
631
544
1120
ПО
по
101
2112
212
302
152
3301
331
331
454
2110
210
100
ПО
1212
122
032
215
0331
031
361
445
1210
120
010
Oil
1122
112
332
521
3032
302
632
811
1120
ПО
по
101
3120
310
510
541
3302
332
332
181
1010
100
210
211
2310
230
140
154
0332
032
362
118
1100
по
по
121
1230
120
450
415
3032
302
632
455
ОНО
010
120
112
3120
310
510
541
3302
332
332
545
1010
100
210
211
2310
230
140
154
0332
032
362
554
1100
по
ПО
121
1230
120
450
415
2023
203
423
711
ОНО
010
120
112
3210
320
410
451
2203
223
223
171
1011
101
211
100
1320
130
150
145
0223
023
243
117
1101
Ill
Ill
010
2130
210
540
514
2023
203
423
155
0111
он
121
001
3210
320
410
451
2203
223
223
515
юн
101
211
122
1320
130
I5o
145
0223
023
243
551
1101
Hl
111
212
2130
210
540
514
4041
401
841
311
0111
он
121
221
3121
311
511
210
4401
441
441
131
2021
201
421
Ill
2311
231
141
,021
0441
041
481
113
2201
221
221
1Г.
1231
121
451
102
4041
401
841
755
0221
021
241
HI
3121
311
511
452
4401
441
441
575
2021
201
421
511
2311
231
141
245
0441
041
481
557
2201
221
221
1ST
1231
121
451
524
2114
2T4
304
714
0221
021
241
П5
3211
321
411
542
1214
124
034
471
2111
211
301
421
1321
131
151
254
1124
114
334
147
1211
121
031
142
2131
211
541
425
2114
214
304
174
1121
III
331
214
3211
321
411
120
1214
124
034
417
2111
211
301
241
1321
131
151
012
1124
114
334
741
1211
121
031
124
2131
211
541
201
4221
421
601
751
1121
111
331
412
2113
213
101
201
2421
241
061
175
1012
102
212
Oil
1213
123
Oil
120
2241
221
661
517
1102
112
112
101
1123
113
III
012
4221
421
601
571
0112
012
122
110
2113
213
101
021
2421
241
061
157
1012
102
212
411
1213
123
Oil
102
2241
221
661
715
1102
112
112
141
1123
113
111
210
4223
423
201
311
0112
012
122
114
3031
301
631
722
2423
243
021
131
Таблица 13.1 (продолжение)
БГ
мгп
МГН
МР
БГ
МГП
МГН
МР
БГ
мгп
МГН
МР
2243
223
221
113
1340
130
570
527
3142
312
752
547
4223
423
201
131
4310
430
520
572
4312
432
522
130
2423
243
021
113
1430
140
270
257
1432
142
272
013
2243
223
221
311
3140
310
750
725
3142
312
752
301
1013
103
213
522
4310
430
520
572
2025
205
425
311
поз
113
ИЗ
252
1430
140
270
257
2205
225
225
131
0113
013
123
225
3140
310
750
725
0225
025
245
113
1013
ЮЗ
213
144
5230
520
810
871
2025
205
425
177
поз
113
ИЗ
414
3520
350
170
187
2205
225
225
717
0113
013
123
441
2350
230
780
718
0225
025
245
771
1014
104
214
211
5230
520
810
871
3034
304
634
10.1.1
1104
114
114
121*
3520
350
170
187
3304
334
334
1.10.1
0114
014
124
112
2350
230
780
718
0334
034
364
1.1.10
1014
104
214
255
5320
530
710
781
3034
304
634
277
1104
114
114
525
2530
250
180
178
3304
334
334
727
0114
014
124
552
3250
320
870
817
0334
034
364
772
1015
105
215
744
5320
530
710
781
4043
403
843
11.1.1
1105
115
115
474
2530
250
180
178
4403
443
443
I.11.I
0115
015
125
447
3250
320
870
817
0443
043
483
1.1.11
1015
105
215
122
4131
411
721
841
4043
403
843
577
1105
115
115
212
3411
341
251
184
4403
443
443
757
0115
015
125
221
1341
131
571
418
0443
043
483
775
3122
312
512
721
4131
411
721
221
4225
425
605
11.1.5
2312
232
142
172
3411
341
251
122
2425
245
065
5.11.1
1232
122
452
217
1341
131
571
212
2245
225
665
1.5.11
3122
312
512
121
4311
431
521
221
4225
425
605
Т.11.5
2312
232
142
112
1431
141
271
122
2425
245
065
5.1.11
1232
122
452
211
3141
311
751
212
2245
225
665
11.5.1
3212
322
412
211
4311
431
521
481
5052
502
10.5.2
411
1322
132
152
121
1431
141
271
148
5502
552
552
141
2132
212
542
112
3141
311
751
814
0552
052
5.10.2
114
3212
322
412
271
4132
412
722
310
5052
502
Ю.5.2
877
1322
132
152
127
3412
342
252
031
5502
552
552
787
2132
212
542
712
1342
132
572
ЮЗ
0552
052
5.10.2
778
4130
410
720
752
4132
412
722
574
6151
611
11.4.1
421
3410
340
250
275
3412
342
252
457
5611
561
471
142
1340
130
570
527
1342
132
572
745
1561
151
7.11.1
214
4130
410
720
752
4312
432
522
754
6151
611
11.4.1
10.8.5
3410
340
250
275
1432
142
272
475
5611
561
471
5.Ю.8
Таблица 13.1 (продолжение)
БГ
МГП
МГН
МР
БГ
МГП
МГН
МР
БГ
МГП
МГН
МР
1561
151
7.11.1
8.5.10
4510
450
120
132
3252
322
872
213
6511
651
741
8.10.5
1450
140
230
213
5322
532
712
5.10.1
1651
161
4.11.1
5.8.10
5410
540
210
231
2532
252
182
1.5.10
5161
511
11.7.1
10.5.8
1540
150
130
123
3252
322
872
10.1.5
6511
651
741
241
4150
410
320
312
4134
414
724
11.1.2
1651
161
4.11.1
124
5410
540
210
231
3414
344
254
2.11.1
5161
511
11.7.1
412
1540
150
130
123
1344
134
574
1.2.11
2116
216
306
312
4150
410
320
312
4134
414
724
132
I2T6
126
036
231
5232
522
812
10.5.1
3414
344
254
213
1126
TI6
336
123
3522
352
172
1.10.5
1344
134
574
321
2116
216
306
132
2352
235
782
5.1.10
4314
434
524
312
1216
126
036
213
5232
522
812
231
1434
144
274
231
1126
116
336
321
3522
352
172
123
3144
314
754
123
5140
510
310
321
2352
232
782
312
4314
434
524
1.11.2
4510
450
120
132
5322
532
712
321
1434
144
274
2.1.11
1450
140
230
213
2532
252
182
132
3144
314
754
11.2.1
5140
510
310
321
Примечание. В таблице приведены символы плоскостей и направлений, проектирующихся на верхнюю половину сферы проекций; поэтому в первых трех столбцах неотрицателен последний индекс, а в последнем столбце неотрицательна сумма индексов. Если плоскость или направление проектируется на нижнюю половину сферы проекций, следует рассмотреть символ противоположной плоскости или
обратного направления — все индексы его
противоположны. Так, символа БГ 3144
в таблице нет, но, найдя в ней символ БГ
3144, видим, что символу Б Г 3144 соответ-
ствуют
МГП 314, МГН 754
и МР 123
координат (МР) в равной мере относятся к плоскостям (граням) и направлениям (ребрам). В таблице приведены также индексы Миллера для плоскостей и направлений, отнесенные к гексагональной системе координат. Первые из них (МГП) — это коэффициенты па разложения вектора нормали к кристаллографической плоскости п = пааа по основным векторам обратной решетки аа; вторые (МГН) — это коэффициенты /а разложения вектора кристаллографического направления I =1ааа по основным векторам кристаллической решетки аа. Иными словами, МГП — это ковариантные компоненты вектора п, а МГН — контравариантные компоненты вектора /.
Симметрически эквивалентные комплексы плоскостей
равлений. Простые формы кристаллов
Симметрические преобразования, свойственные точечной группе симметрии кристалла, симметрично повторяют в пространстве любую плоскость и любое направление кристалла. Зададим, на-
пример, плоскость (100) для кристалла класса тЗт. Повторяя ее всеми симметрическими преобразованиями, получим плоскости (100), (010), (010), (001), (001). Всю совокупность шести симметрически эквивалентных плоскостей обозначают символом {100}: фигурные скобки указывают, что в индексах можно производить все перестановки, соответствующие симметрическим преобразованиям данного класса симметрии. Если символ (100) обозначает плоскую сетку структуры, то символ {100} означает тогда совокупность
6)6)6)6)
6)
6)
6)
6)
Рис. 14.1. Три простые формы класса тЗт: куб (а), октаэдр (б) и ромбический додекаэдр (в) и совокупность их элементов симметрии (для простоты чертежа индексы граней даны без скобок).
трех координатных плоскостей в решетке и всю совокупность параллельных им плоскостей. Если же символ (100) означает грань кристалла, то {100} означает простую форму кристалла, т. е. совокупность симметрически эквивалентных граней многогранника. В классе тЗт это куб (рис. 14.1).
Простой формой называется многогранник, все грани которого можно совместить друг с другом с помощью преобразований симметрии, свойственных данному кристаллу.
Применяя те же симметрические преобразования класса тЗт к направлению [1001 в решетке, получим [100], [010], [0Ю], [001] и [001], т. е. положительные и отрицательные направления осей координат. Совокупность симметрически эквивалентных направлений обозначим символом (100). Если [100] — ребро многогранника, то (100) — совокупность симметрически эквивалентных ребер, или реберная простая форма. В классе тЗт это ребра куба. Если
[100] — ряд в решетке, то (100 > — символ осей координат и всех параллельных им направлений (рис. 14.2).
В нашем примере исходная плоскость (100) расположена в частном положении, а именно, на выходе оси 4, т. е. элемента наивысшей симметрии класса тЗт. Зададим исходную грань в других частных положениях: на выходе оси 3 получим восемь
Рис. 14.2. Три способа представления симметрически эквивалентных плоскостей и направлений: комплекс плоскостей и направлений, пересекающихся в одной точке (а), грани и ребра простой формы (б), стереографическая (в) и гномостереографическая (г) проекции.Рис. 14.2. Три способа представления симметрически эквивалентных плоскостей и направлений: комплекс плоскостей и направлений, пересекающихся в одной точке (а), грани и ребра простой формы (б), стереографическая (в) и гномостереографическая (г) проекции.
Рис. 14.2. Три способа представления симметрически эквивалентных плоскостей и направлений: комплекс плоскостей и направлений, пересекающихся в одной точке (а), грани и ребра простой формы (б), стереографическая (в) и гномостереографическая (г) проекции.
Рис. 14.2. Три способа представления симметрически эквивалентных плоскостей и направлений: комплекс плоскостей и направлений, пересекающихся в одной точке (а), грани и ребра простой формы (б), стереографическая (в) и гномостереографическая (г) проекции.
симметрически эквивалентных граней октаэдра {111}, а на выходе оси 2 — двенадцать граней ромбического додекаэдра {НО}. Задавая исходную грань в самом общем положении, так чтобы она не попадала ни на один из элементов симметрии и была наклонена под разными углами ко всем трем осям координат, получаем самую богатую простую форму класса тЗт — сорокавосьмигранник (рис. 14.3).
Каждому классу симметрии отвечает одна общая и несколько частных простых форм. Класс тЗт — это класс самой высокой симметрии. Он богат и простыми формами. Число граней его простых форм соответственно: 48 {М/}; 24 {М/}, {МО}; 12 {110}; 8 {111}; 6 {100}. В наименее симметричном классе кубической сингонии,
классе 23, число граней простых форм соответственно: 12 {М/}, \hhlY \h^Y {ПО}; 6 {ПО}; 4 {111}.
У классов более низкой симметрии меньше и разнообразие простых форм. Классу т моноклинной системы соответствует общая форма диэдр УгкЦ. т. е. две параллельные грани и одна частная
Рис. 14.3. Простые формы высшей категории: / — тетраэдр, 2 — куб, 3 — октаэдр, 4 — ромбический додекаэдр, 5 — пентагондодекаэдр, б — тригонтритетраэдр, 7 — тет- рагонтритетраэдр, 8 — пентагонтритетраэдр, 9 — пирамидальный куб, 10 — тетрагон- триоктаэдр, 11 -— тригонтриоктаэдр, 12 — гексатетраэдр, 13 —дидодекаэдр, 14 — пен- тагонтриоктаэдр, 15 — сорокавосьмигранник (для простоты чертежа индексы граней • даны без скобок). .Рис. 14.3. Простые формы высшей категории: / — тетраэдр, 2 — куб, 3 — октаэдр, 4 — ромбический додекаэдр, 5 — пентагондодекаэдр, б — тригонтритетраэдр, 7 — тет- рагонтритетраэдр, 8 — пентагонтритетраэдр, 9 — пирамидальный куб, 10 — тетрагон- триоктаэдр, 11 -— тригонтриоктаэдр, 12 — гексатетраэдр, 13 —дидодекаэдр, 14 — пен- тагонтриоктаэдр, 15 — сорокавосьмигранник (для простоты чертежа индексы граней • даны без скобок). .
Рис. 14.3. Простые формы высшей категории: / — тетраэдр, 2 — куб, 3 — октаэдр, 4 — ромбический додекаэдр, 5 — пентагондодекаэдр, б — тригонтритетраэдр, 7 — тет- рагонтритетраэдр, 8 — пентагонтритетраэдр, 9 — пирамидальный куб, 10 — тетрагон- триоктаэдр, 11 -— тригонтриоктаэдр, 12 — гексатетраэдр, 13 —дидодекаэдр, 14 — пен- тагонтриоктаэдр, 15 — сорокавосьмигранник (для простоты чертежа индексы граней • даны без скобок). .
Рис. 14.3. Простые формы высшей категории: / — тетраэдр, 2 — куб, 3 — октаэдр, 4 — ромбический додекаэдр, 5 — пентагондодекаэдр, б — тригонтритетраэдр, 7 — тет- рагонтритетраэдр, 8 — пентагонтритетраэдр, 9 — пирамидальный куб, 10 — тетрагон- триоктаэдр, 11 -— тригонтриоктаэдр, 12 — гексатетраэдр, 13 —дидодекаэдр, 14 — пен- тагонтриоктаэдр, 15 — сорокавосьмигранник (для простоты чертежа индексы граней • даны без скобок). .
форма, состоящая из одной грани — моноэдр {100} или {010}, а в классе 1 есть только одна простая форма — моноэдр (рис. 14.4).
Простые формы бывают закрытые, т. е. замыкающие пространство, как куб, октаэдр, и открытые, как призмы, пирамиды, пинакоиды. Реальные формы роста кристаллов обычно представляют собой комбинации нескольких простых форм. Открытые формы могут встречаться только в комбинациях. Комбинации могут быть самыми разнообразными, и число их сколь угодно велико, простых же форм существует всего 47 (Болдырев, 1936). Все они приведены в таб. 14.1 и 14.2 и на рис. 14.3 и 14.4.
Смысл символа простой формы зависит от того, к какому классу симметрии он относится, и от выбора кристаллографической системы координат. Например, в классе тЗ/п в символе {100} перестановки дают шесть плоскостей куба, а в классе 2!т в таком же
Рис, 14.4. Простые формы низшей и средней категорий. Верхний ряд — сечения простых форщ ромб, тригон, дитригон, тетрагон, дитетрагон, гексагон, дигексагон; 1 — 7 — пира- миды8 8—14 — дипирамиды, 15—21 — призмы, /, 8, 15 — ромбические, 2, 9, 16 — тригональные, 3, 10, 17 — дитригональные, 4, 11, 18 — тетрагональные, 5, 12, 19 — дите- грМгональные, 6, 13» 20 — гексагональные, 7, 14, 21 — дигексагональные, 22п и 22л — фравЫД и левый ромбические тетраэдры, 23 — моноэдр, 24 — диэдр, 25 — пинакоид, 26п и 26л — правый и левый тригональные трапецоэдры, 27 — тетрагональный тетраэдр, 28п — правый тетрагональный трапецоэдр, Н — форма грани трапецоэдров, 29 — те- ♦рагональный скаленоэдр, 30 — ромбоэдр, 31п — правый гексагональный трапецоэдр, 32 — дитригональный скаленоэдр, / — форма грани скаленоэдров.
символе {100} возможна лишь одна перестановка: (100) и (ТОО), т. е. всего две плоскости.
Значностью простой формы называется число ее граней, т. е. число симметрично эквивалентных плоскостей. Значность общей простой формы данной точечной группы равна порядку, или кратности, точечной группы, т. е. общему количеству эквивалентных
Таблица 14.1
Возможные простые формы и их символы в кристаллах кубической системы
(курсивные цифры в таблице означают номера простых форм на рис. 14.3)
Символ
Класс
23
m3
432
43т
тЗт
нм
8 '
13
14
12
15
Ш (А > /)
7
11
7
11
НМ (А < /)
6
9
6
9
НПО
5
12
111
1
3
1
3
ПО
4
100
2
точек, которые можно получить из одной точки всеми преобразованиями симметрии, входящими в данную точечную группу. Из 32 точечных групп наивысший порядок имеет группа тЗт: ее кратность 48. Число эквивалентных точек на гномостереографической проекции, или, иначе говоря, число граней общей простой формы определяет порядок группы. Частные простые формы отвечают подгруппам данной точечной группы. В каждой из семи кристаллографических систем или шести сингоний имеется одна группа высшего порядка, так называемая голоэдрия (голоэдрический класс симметрии). Голоэдрическому классу соответствует общая простая форма с наибольшим числом граней. Остальные точечные группы данной кристаллографической системы или сингонии: так называемые мероэдрические — подгруппы голоэдрической группы; гемиэд рические — подгруппы индекса 2; тетартоэдри- ческие — индекса 4; огдоэдрические — индекса 8. Их можно расположить в ряд, в котором каждая последующая группа является подгруппой предыдущей группы и выводится из голоэдрической путем сокращения значности, а значит, и сокращения числа граней общей простой формы. Гемиэдрия соответствует сокращению числа граней вдвое, тетартоэдрия — в 4 раза, огдоэдрия — в 8 раз. Например, в кубической сингонци группа тЗт — голоэдрическая, m3, 432, АЗт — гемиэдрическая, 23 тетартоэдрическая. Число граней соответственно l/2, V4 или 1/8 числа граней голоэдрической общей формы.
Т а б л и ц а 14.2
Возможные простые формы и их символы в кристаллахсредней и низшей категорий
(курсивные цифры в таблице означают номера простых форм на рис. 14.4)
Триклинная система*, класс 1—23, класс I—25
Моноклинная системаРомбическая система
СимволКласс2т2/тНЫ2415hW2523250102325СимволКласс2т2/тНЫ2415hW2523250102325СимволКласс222mm2тттИЫ2218ААО15ОА/152415100,010250012523СимволКласс222mm2тттИЫ2218ААО15ОА/152415100,010250012523
Символ
Класс
2
т
2/т
НЫ
24
15
hW
25
23
25
010
23
25
Символ
Класс
2
т
2/т
НЫ
24
15
hW
25
23
25
010
23
25
Символ
Класс
222
mm2
ттт
ИЫ
22
1
8
ААО
15
ОА/
15
24
15
100,010
25
001
25
23
Символ
Класс
222
mm2
ттт
ИЫ
22
1
8
ААО
15
ОА/
15
24
15
100,010
25
001
25
23
Тригональная система
Символ
Класс
3
3
32
Зт
Зт
hkll
2
30
26
10
32
hOhl
30
2
30
hh2hl
9
6
13
hkiO
16
20
17
21
ЮТО
20
16
20
1120
16
20
0001
23
25
23
25
Т а б л и ц а 14.2 (продолжение) Гексагональная система
Символ
Класс
6
6
6jm
622
6mm
6m2
6/mmm
hkil
6
9
13
31
7
10
13
hOhl
13
9
hHZhl
13
hkiO
20
16
20
21
17
21
1010
20
1120
20
16
20
0001
23
25
23
25
Тетрагональная система
Символ
Класс
4
4
4 ,m
422
4mm
42m
4lmmm
hkl
4
27
12
28
5
29
12
hhl
11
4
27
11
hOl
11
hkO
11
19
110
18
100
001
23
25
23
25
В средней и низшей категориях сокращение числа граней общей простой формы может происходить так, что как бы разделяются верхняя и нижняя половины многогранника; например, дипирамида, теряя поперечную плоскость симметрии, сокращается в пирамиду, которая в данном случае будет гемиморфной формой; главная ось при этом становится полярной.
Если рассматривать гексагональную и тригональную системы как одну гексагональную сингонию, то класс 3 является огдоэд- рией гексагональной сингонии; число граней общей простой формы класса 3, тригональной пирамиды, сокращено в 8 раз по отношению к общей простой форме голоэдрического класса 3!ттт дигексагональной дипирамиды. Если же гексагональную и тригональную системы рассматривать отдельно, то класс 3 есть тетартоэдрия класса 3m, а класс 6 — тетартоэдрия класса 31ттт.
Взаимные соотношения между точечными группами и подгруппами схематически изображены на рис. 14.5. Толстыми штриховыми линиями соединены группы одной системы. Так, высшая группа ромбической системы ттт включает в себя две подгруппы 222 и mm2. Так как в группе ттт три оси второго порядка и каждая из них может стать единственной осью второго порядка в группе mm2, то группа ттт включает в себя три подгруппы: тт2х, тт2у, mm2/, на рис. 14.5 это показано тройной штриховой линией.
Подгруппой группы ттт является также группа 2/т, которая уже не относится к ромбической системе, а является высшей группой моноклинной системы; связь между ними изображена тонкой линией. Тонких линий три, соответственно трем возможным направлениям оси 2: 2Х, 2У, 2Z.
Группа 2/т, в свою очередь, включает в себя две группы моноклинной системы, 2 и т, которые можно расположить в ряды так: 2!т zd 2 zd 1, 2/т zd /и zd 1. Кроме того, ряд 21т zd I zd 1 показывает, что подгруппами группы 2!т являются еще и группы триклинной системы.
Особое внимание следует обратить на связи между группами кубической и тригональной систем: тЗт zd Зт, 432 zd 32, ДЗт zd Зт, m3 zd 3 и 23 zd 3. Они недостаточно наглядны при стандартной установке кристаллов и делаются вполне очевидными, если на ось Z вывести направление [111] кубического кристалла, а на ось X— направление [ПО]. Горизонтальные пунктирные линии связывают изоморфные группы.
Слева и справа на рис. 14.5 отмечена кратность каждой подгруппы. По этому рисунку можно сразу указать число граней общей и частных простых форм для каждого класса симметрии.
Каждому классу симметрии соответствует одна общая форма, но несколько частных. В свою очередь, частная форма может встречаться в нескольких классах симметрии. К примеру, во всех классах кубической системы может образоваться куб. Если рас-
Рис. 14.5. Взаимосвязь точечных групп и подгрупп симметрии.Рис. 14.5. Взаимосвязь точечных групп и подгрупп симметрии.
Рис. 14.5. Взаимосвязь точечных групп и подгрупп симметрии.
Рис. 14.5. Взаимосвязь точечных групп и подгрупп симметрии.
сматривать многогранники не только как геометрические фигуры, а как материальные фигуры с определенными физическими свойствами, в частности с разной симметрией граней, то можно видеть, что геометрически одинаковые фигуры могут быть кристаллографически различными, если они отличаются элементами симметрии или расположением этих элементов относительно грани.
В каждом из пяти классов кубической системы куб получается как частная форма, если расположить исходную грань в центре проекции. Но при этом различным получается расположение имеющихся элементов симметрии по отношению к грани куба, а значит, различна и симметрия самой грани. Пять кристаллографических различных кубов можно изобразить, заштриховывая по-разному их грани (рис. 14-6) (Шубников, Флинт, Бокий, 1940). По этим
Рис. 14.7. ПравыйРис. 14.7. Правыйи левый кубы в классе 23и левый кубы в классе 23штриховкам видно, что пять совершенно одинаковых геометрических фигур могут иметь совсем разную симметрию граней и разную симметрию физических свойств. К тому же, в классах 23 и 432 кубы могут быть энантиоморфными (рис. 14.7).
Рис. 14.7. Правый
Рис. 14.7. Правый
и левый кубы в классе 23
и левый кубы в классе 23
Кристаллографическиеразличия геометрически оди-наковых форм вполне реаль-
ны. Их можно выявить по бугоркам и холмикам роста, по штриховке естественных граней кристалла или по фигурам травления, т. е. мелким ямкам, преимущественно с кристаллографической огранкой, образующимся на гранях кристалла при действии какого-либо активного растворителя. Фигуры травления образуются в местах, где на поверхность кристалла выходит какой- нибудь дефект кристаллического строения, главным образом дислокации. По форме фигур травления можно установить истинную симметрию грани. Геометрически сходные, но физически различные плоскости и направления характеризуются и различием физических свойств.
Г. Б. Бокий (1940) показал, что число всех кристаллографически различных простых форм кристаллов равно 146, а если еще
учесть отдельно правые и левые формы, то 193. И. И. Шафранов- ский (1968) вывел 1403 структурные разновидности тех же простых форм, различающихся уже по бесконечной симметрии, т. е. по элементам симметрии пространственных групп.
Кроме простой гранной (многогранной) формы кристалл можно еще характеризовать вершинной и реберной формами. Простая вершинная форма — это совокупность вершин кристалла, получающихся друг из друга с помощью всех его операций симметрии, реберная форма — такая же совокупность ребер.
Простой трехмерный реберный пучок — это совокупность ребер, связанных элементами симметрии данного класса и перенесенных параллельно самим себе в одну исходную точку. Так, в классе тЗт символ (100) означает совокупность ребер куба, а также комплекс осей 4; пучок направлений осей 3 имеет символ (111). Стереографическая проекция простой реберной формы совпадает с гномостереографической проекцией простой гранной формы.
В изотропной оптически неактивной среде любое направление не полярно, не аксиально, не является особенным, обладает наивысшей симметрией и описывается группой симметрии oojmm, т. е. симметрией бесконечного неподвижного цилиндра. В кристалле симметрию любого направления можно найти, рассматривая по принципу Кюри суперпозицию элементов симметрии кристалла и цилиндра, ориентированного по тому направлению, симметрия которого отыскивается (Желудев, 1971). Искомая симметрия направления определяется как общая высшая подгруппа обеих групп, отвечающая заданной ориентации кристалла и цилиндра.
Полярные направления подчинены группе oom, т. е. симметрии неподвижного кругового конуса. Группе оот подчинены 10 полярных классов: 1, 2, 3, 4, 6, т, mm2, Зт, 4тт, бтт. В этих классах имеется особенные полярные направления. Неособенные полярные направления могут быть во всех ацентрических классах, в том числе в полярно-нейтральных классах, 222, 23, 6, 6/и2, 622, 4, 42m, 422, 43/и, 432.
Аксиальные направления описываются группами, подчиненными группе симметрии оо!т; 1, 2, 3, 4, 6, т, 21т, 6, 4/т, 6т, I, 4, 3. Такие направления возможны во всех кристаллах.
Неполярные направления имеются в 30 классах, их нет только в классах 1 и 3. В классе 1 все направления особенные, полярные. В классе 3 — ось 3 особенная полярная, все остальные направления — простые полярные.
§ 15. Некоторые задачи геометрической кристаллографии
Связь между индексами Миллера граней и ребер и векторами, нормальными к граням или направленными вдоль ребер, позволяет свести многие кристаллографические задачи к чисто геометрическим. Рассмотрим некоторые такие задачи.
Задача 1. Может ли направление [ZW8] быть ребром грани (л^г^з)? Чтобы данное направление I могло быть ребром грани, оно должно быть параллельно этой грани, а следовательно, перпендикулярно к нормали п к грани. Условие перпендикулярности двух векторов — равенство нулю их скалярного произведения:
Ьп-й.(15.1)
Так как
п = п1а1 + п2а2 + п3а3,'
это условие переписывается в виде
(1ха1 + 12а4 + /За3) • (n^1+я2а2+п3а3) = 0.(15.3)
Проделаем скалярное умножение почленно, учитывая, что aa.a6 = 6t(15.4)
Не обратятся тождественно в нуль лишь три из девяти слагаемых, так что окончательно получаем l1^ + 1йпй + 13п3 = 0 или, припомнив эйнштейновский способ суммирования,
/4 = 0.(15.5)
Направление I/1/2/3] может быть ребром грани (п^Пз) в том и только в том случае, если оно удовлетворяет условию (15.5). Эту формулу можно вывести гораздо быстрее, последовательно применяя сокращенную запись. Вместо разложений (15.2) пишем
Z = /aaa, п = п^.(15.6)
а вместо условия (15.3) —
1ааа-п^ = 0.(15.7)
Воспользуемся теперь формулой (15.4). Тогда вместо (15.7) можно написать
ГпД=0.(15.8)
Подсчитаем выражение пр6«. По определению
Пр6« = П^а + М36а "Ь И36д.(15.9)
В этой сумме отличен от нуля только один член, какой именно — зависит от значения индекса а. Если, например, а=1, то 6^ = 61 = 1, а 6« = 6i=0 и 6» = 61 = 0. Таким образом, в этом случае отличен от нуля (и равен мт) только первый член суммы (15.9): пр61=П1. Если a = 2, то единственным отличным от нуля
членом в этой сумме будет второй, так как 62 = 62 = 0, а 62= 1, следовательно, np6f = n2. Аналогично убеждаемся, что Прб| = л8. Ясно, что эти три равенства можно заменить одним равенством
Прб5 = гаа, (15.10)
где индекс а может принимать любое из трех возможных значений. Точно так же можно было бы показать, что
/“б5 = ^- (15.11)
Полученные нами формулы (15.10) и (15.11) позволяют высказать следующее общее правило: когда какая-либо величина суммируется с символом Кронекера, результат не изменится, если символ Кронекера не писать вовсе, а у суммируемой с ним величины заменить индекс суммирования свободным индексом символа Кронекера.
Использовав любую из формул (15.10) или (15.11) для упрощения равенства (15.8), получим решение задачи. Подставив в (15.8) выражение (15.10), получим
/ама = 0. (15.12)
Это сокращенная запись полученного раньше решения (15.5). Можно в (15.8) подставить выражение (15.11). Тогда получим №п^ = 0. Это — та же самая сумма; замена индексов суммирования, как уже отмечалось, не имеет никакого значения.
Графически эта задача легко решается с помощью стереографической проекции: направление [Z1/2/3] может быть ребром грани (п^Пз), если точка, изображающая направление, попадает на большой круг, изображающий плоскость. Решение можно получить также и с помощью гномостереографической проекции: большой круг, изображающий направление I/1/2/3], должен пройти через точку, изображающую плоскость (п^Пз).
Задача 2. Найти символ Миллера ребра, по которому пересекаются грани (zz1/z2/z3) и (т!т2т3)» Искомое ребро лежит на обеих гранях. Поэтому характеризующий его вектор I перпендикулярен к нормалям п и т к обеим граням. Вспомним, что таким именно свойством обладает векторное произведение двух векторов: это вектор, перпендикулярный к каждому из сомножителей. Будем пользоваться векторным произведением, умноженным на объем кристаллографической ячейки и (ясно, что от умножения вектора на положительное число направление этого вектора не изменится):
Z = vnxm. (15.13)
Порядок сомножителей в данном случае не существен, потому что направление ребра все равно определяется лишь с точностью до знака. Подсчитаем это векторное произведение, приняв во вни-
мание, что
п = пхах + п2а2 + п3а\ т = тхах + т2а? + т3а3.
Подставим это выражение в (15.13):
Z = у (пхах + п2а2 + п3а3) х (тхах + т^а? + т3а3\
Произведем векторное умножение почленно, учитывая, что векторное произведение каждого вектора на себя равно нулю и что при перестановке сомножителей в векторном произведении оно меняет знак. Тогда получим
Z = у [(/г2т3 — ^3^2) я2 X а3 + (п3тх — пхт^ а3 х а1 +
+ (n^ — n^Ja1 х а2].
Но векторные произведения базисных векторов обратной решетки, умноженные на объем кристаллографической ячейки, равны, как подсчитано в § 11, базисным векторам прямой решетки (вот зачем вводится множитель у!). Пользуясь формулами (11.6), находим
I = (п2т3 — п3/и2) ах + ^п3тх — пхт3^ а2 + (пхт2 — п2т^ а3. (15.14) Так как числа па и та — целые, коэффициенты при базисных векторах — также целые числа; очевидно, они и есть искомые индексы Миллера ребра [Z1/2/3]:
Iх = п2т3 — п3т2) I2 = п3тх — пхт3) № = nxm2 — n2mv (15.15)
С использованием символов Леви-Чивита (см. § 13) формулу (15.13) записываем в виде
I = vnaaa X т^(15.16)
и с помощью тождества (13.10) получаем Z = ^^пат^а^ откуда /у = №n^(15.17)
Этой формулой очень легко пользоваться, если заметить, что, зафиксировав один индекс, мы оставляем для значений остальных двух индексов всего две возможности. Так, если у = 1, то отличны от нуля ТОЛЬКО 6123 = 1 и 6132 = —1. Поэтому
/1 = ^^ПаГП^ — 6х23п2т3 + 6132п3/и2 = п2т3 — п3т2)
что совпадает с первой из формул (15.15).
Для решения задачи 2 часто применяется простое мнемоническое правило: записываем индексы Миллера граней^^Пз) и ^тхт2т^ в виде двух строчек и производим перекрестное умножение
п3т3п3т3пх п2п3 пхп2
п3
т3
п3
т3
XXX
тх т2 т3 тА т2
которое приводит к формулам (15.15).
На гномостереографической проекции задачу 2 легко решить с помощью сетки Вульфа: поворачивая сетку вокруг центра проекции, находят дугу большого круга, которую можно провести через две точки, соответствующие проекциям заданных граней.
Задача 3. Найдем грань, которой принадлежат ребра [Z1/2/3] и [А1#2#3]. Рассуждая, как в задаче 2, выясняем, что нормаль к искомой грани п перпендикулярна к обоим ребрам. Будем искать ее направление также в виде векторного произведения, но на этот раз не умноженного, а деленного на объем элементарной ячейки:
« = ^1x6.(15.18)
Подставим сюда развернутые выражения векторов I и к:
l = Ua1-Vl1a2-V-l3aa = laaa,zir iq\
и точно так же, как в предыдущей задаче, проделаем векторное умножение почленно. Векторные произведения базисных векторов, деленные на объем кристаллографической ячейки, равны базисным векторам обратной решетки (см. § 11). Таким образом, получим
П = (/2^3 _ /3^2) а1 + (/3^1 _ /1^3) а2 + ^1^2 _ /2^1) а^ (15е20) так что индексы (пл^з) определяются сходными с (15.15) формулами
пх = W - Z3£2, п2 = № - Z1^3, п3 = № - Z2^, (15.21)
очень напоминающими формулы (15.15). Используя символ Леви- Чивита, аналогично формуле (15.17) получим
na = W^Y-(15.22)
И эту задачу можно решить, производя перекрестное умножение, как в задаче 2.
На гномостереографической проекции задача 3 решается тоже с помощью сетки Вульфа: пересечение двух дуг большого круга, являющихся проекциями ребер, даст точку проекции той грани, в которой лежат оба ребра.
На стереографической проекции последние две задачи также решаются с помощью сетки Вульфа, с той лишь разницей, что проекции плоскостей — дуги, направлений — точки (см. § 2).
Изложенные способы решения применимы к индексам Миллера. Если грани и ребра заданы с помощью индексов Бравэ, нужно по формулам, выведенным в предыдущих параграфах, перейти к индексам Миллера, а получив решение, возвратиться к индексам Бравэ.
Задача 4. Гексагональные кристаллы (расчетные формулы в индексах Бравэ). Если заданы не индексы Миллера, а индексы Бравэ, то, вообще говоря, следует перейти от последних к векторным
обозначениям кристаллографических плоскостей и направлений (методы перехода разъяснены в § 12), затем решать требуемую задачу и лишь после этого возвратиться к индексам Бравэ. Однако для наиболее часто встречающихся задач нетрудно вывести расчетные формулы непосредственно в индексах Бравэ. Выпишем три такие формулы.
Условие того, что направление (ребро) с индексами Бравэ [rV2^] лежит в плоскости (грани) с индексами Бравэ (pxp2p3^4), имеет вид
г1^ + г2р2 + г»р3 + ^=0.(15.23)
Если индексы Бравэ двух граней кристалла — UhP^PsPt) и (?1?2?з?4), то индексы Бравэ ребра [rV^r4], являющегося их пересечением, характеризуются отношением
г1: г2: г3: г4 =
= [(^2 - Рэ) Qi - (ft - ft) Р<]: [(Рз - Pi) Qi ~ (рз ~ Яг) Pi] •-
:[(Р1-Рг)?4 H?i-?2)P4]:3(Pi?2-Mi)- (15.24)
Если индексы Бравэ двух ребер (направлений) кристалла — IrWr4] и [s^s’s4], то индексы грани (плоскости), определяемой этими ребрами, относятся как
Pi: р2: Рз: р4 = К'2 - г3) s4 - (s2 - s3) г4]: [(г3 - г1) s4 - (s3 - s1) г4]:
: [(г1 - г2) s4 - (s1 - з2) г4]: [(г2 - г3) (s3 - s1) - (s2 -s3) (г3 - г1)].
(15.25)
Задача 5. Вычисление длины вектора прямой и обратной решеток. Используя метрический тензор решетки, можно решать и более сложные задачи геометрической кристаллографии, в частности, связанные с подсчетом скалярных произведений.
Применение метрического тензора для этих задач основано на том, что, зная только контравариантные компоненты двух векторов, нельзя еще подсчитать их скалярное произведение: необходимо знать также ковариантные компоненты метрического тензора. Так, скалярное произведение двух векторов Л1 = кааа и I = /&ар, заданных своими контравариантными компонентами ка и /Р, равно к • 1 = ка№аа • а^. Но, согласно формуле (11.11), аа • а^ = ga^ поэтому
b-l = ga^.(15.26)
Отсюда следует способ вычисления длины вектора, заданного своими контравариантными компонентами:
l = VT7l = Vg^.(15.27)
Если векторы заданы ковариантными компонентами, то в аналогичных формулах фигурируют уже не ковариантные, а контравари-
антные компоненты метрического тензора: скалярное произведение векторов т = тааа и п = п^ равно т • п = тап^аа •_ а^» или
ш • п=^тап^ (15.28) а длина вектора п, заданного своими ковариантными компонентами ^а>
п = У^п^. (15.29)
Однако если известны и ко- и контравариантные компоненты векторов, то скалярные произведения и длины вычисляются и без метрического тензора. Например, I • п = 1апа.
Задача 6. Межплоскостные расстояния. Длина п вектора обратной решетки п = пааа обратна межплоскостному расстоянию системы параллельных плоскостей (п^Пз^ связанных между собой трансляцией на вектор п. Таким образом, межплоскостное расстояние d (я) определяется вытекающей из (15.29) формулой
dW = ^Kn^. (15.30)
При определении межплоскостных расстояний в непримитивных (центрированных) решетках можно пользоваться не только метрическим тензором центрированной решетки, но и метрическим тензором соответствующей примитивной решетки. В последнем случае следует иметь в виду, что плоскости, проходящие через центрирующие узлы, характеризуются индексами Миллера, допускающими сокращение. Так, в гранецентрированной кубической решетке через центрирующие узлы проходят плоскости (200) и (220); соответствующие межплоскостные расстояния d(200) = а!2, ^(22о) = аУ2К, как и следует ожидать, вдвое меньше аналогичных межплоскостных расстояний в простой кубической решетке с тем же параметром а, причем d(100) = a, d(110) = аУ2Г2.
Задача 7. Вычисление углов между кристаллографическими направлениями и плоскостями. Если известны проекции этих направлений или плоскостей, то задача легко решается с помощью сетки Вульфа. Угловые расстояния между двумя точками на сфере измеряются по дугам больших кругов. Если обе точки (проекции направлений на стереографической проекции или плоскостей на гномостереографической) лежат на одной половине сферы, то, вращая сетку (или кальку, на которую нанесена проекция), приводим обе точки на один меридиан и отсчитываем по нему угол. Если точки лежат в разных полушариях, то приводим их на меридианы, симметричные относительно центра сетки, и отсчитываем угол по одному меридиану от точки до полюса и по второму — от полюса до точки.
Решим эту же задачу аналитически. Кристаллографическим направлениям [А1^3] и I/1/2/3] соответствуют векторы к = к^аа
и Z = /Р^р; косинус угла между ними со$ф = к • H(kl) вычисляется по формуле
(15.31)(15.31)£а0^а^COS ф = ” ■ ■ ■.
(15.31)
(15.31)
V (g^^ tgy;^
Угол ф между нормалями к кристаллографическим плоскостям (/nvn2m^ и (пхп2п^ вычисляется по очень похожей формуле
(15.32)(15.32)g°PmanpCOS ф =.
(15.32)
(15.32)
V ^m^m^tg^n^
Для вычисления угла % между кристаллографическим направлением I/1/2/3] и нормалью к кристаллографической плоскости (n1zi2n3) также необходимо знать компоненты метрического тензора:
cos %cos %V tg^t^ ^^ ‘V tg^t^ ^^ ‘(15.33)(15.33)
cos %
cos %
V tg^t^ ^^ ‘
V tg^t^ ^^ ‘
(15.33)
(15.33)
Для вычисления всех этих углов вовсе не обязательно знать размеры ячейки; достаточно иметь точные сведения о ее форме. Иными словами, не обязательно знать все компоненты метрического тензора, достаточно знать все их отношения. В частности, форма элементарных ячеек ромбоэдрической и гексагональной решеток определяется всего одним параметром. Обсудим этот вопрос подробнее.
Задача 8. Осевые отношения. Метрический тензор ромбоэдрической системы координат gaP при общепринятом выборе элементарной ячейки имеет матрицу
G =G =№ cos a № cos a№ cos a № cos a62 cos a№ cos a62 cos a№ cos a№ cos a b- cos a№ cos a b- cos a(15.34)(15.34)
G =
G =
№ cos a № cos a
№ cos a № cos a
62 cos a
№ cos a
62 cos a
№ cos a
№ cos a b- cos a
№ cos a b- cos a
(15.34)
(15.34)
где b — длина ребра элементарного ромбоэдра, a — угол при вершине ромбоэдра между его соседними ребрами (см. приложение Б). Очевидно, форма ромбоэдра (в отличие от его размера)
характеризуется именно углом а.
Метрический тензор гексагональной системы координат, который мы обозначим ga»y имеет матрицу
а20—я2/2а?000с2а20—я2/2а?000с26' =6' =(15.35)(15.35)
а2
0
—я2/2
а?
0
0
0
с2
а2
0
—я2/2
а?
0
0
0
с2
6' =
6' =
(15.35)
(15.35)
где а — длина ребер ячейки, лежащих в базисной плоскости, с — длина ребра, параллельного главной оси симметрии. Форма ячейки характеризуется осевым отношением с/а.
Как показано в § 13, один и тот же кристалл тригональной системы можно описать как в гексагональной, так и в ромбоэдричес-
кой системе координат. В первом случае его решетка будет характеризоваться осевым отношением с/а. во втором — углом при вершине ромбоэдра а. Найдем соотношение, связывающее параметры с/а и а в том случае, когда они характеризуют один и тот же кристалл.
Метрические тензоры (16.34) и (15.35) связаны соотношением (13.23), в котором ||PvJ| — матрица перехода от ромбоэдрической системы координат к гексагональной (13.29). Вычислим gw = я2 и gw = с2. Выпишем подробно ход вычислений для gw* Согласно формуле (13.23) gw = PvPuga^ или, в развернутом виде,
= W gu + W g„ + W g»3 +
+ 2PW& + 2PvPVg31 + 2PPPf^12
(здесь использована симметричность метрического тензора). Заметив, что Рг = — Pr = 1, а Pv = 0, получим отсюда
g\'\' — gn + gsa- 2g12, а подставив значения компонент метрического тензора из формул (15.34) и (15.35), будем иметь
ti2 = 262(l — cos а).
После аналогичных вычислений из формулы gw = PMgafr получим с2 = 362(1 + 2 cos а).
Таким образом, искЪмое соотношение будет иметь вид
с'ас'адГ3(1+2 cos а) Г 2(1—cos а) ’дГ3(1+2 cos а) Г 2(1—cos а) ’_2(с/а)2-3cos а = 2 (С/а)2+б-_2(с/а)2-3cos а = 2 (С/а)2+б-(15.36)(15.36)
с'а
с'а
дГ3(1+2 cos а) Г 2(1—cos а) ’
дГ3(1+2 cos а) Г 2(1—cos а) ’
_2(с/а)2-3
cos а = 2 (С/а)2+б-
_2(с/а)2-3
cos а = 2 (С/а)2+б-
(15.36)
(15.36)
Ромбоэдры естественно подразделяют на вытянутые (острые) — с острым углом при вершине — и сплюснутые (тупые) — с тупым углом при вершине; промежуточный между ними ромбоэдр с прямым углом при вершине — просто куб. Ему соответствует угол а = 90° и осевое соотношение с/а = У 3/2 1,225.
Кроме куба можно указать еще два ромбоэдра, которые могут служить примитивными ячейками решетки кристалла кубической системы: во-первых, вытянутый ромбоэдр с углом при вершине а = arccos (1/2) = 60°, которому соответствует осевое отношение с/а = Уб « 2,449, — примитивная ячейка гранецентрированной кубической решетки, во-вторых, сплюснутый ромбоэдр с углом а = arccos (—1/3)109° 28' и осевым отношением с/а = ]/3/8
~ 0,6124 — примитивная ячейка объемно-центрированной кубической решетки. Эти результаты сразу следуют из вида соответствующих метрических тензоров (см. приложение Б).
Зная, какое осевое отношение следует приписать гранецентрированной кубической решетке, рассматриваемой в гексаго-
5 Ю. И. Сиротин, М. П. Шаскольская
нальном аспекте, легко вычислить осевое отношение и для решетки, соответствующей гексагональной плотнейшей упаковке. Действительно, в обоих случаях мы имеем дело с одинаковыми плотно упакованными слоями, лежащими в базисной плоскости, но период идентичности в перпендикулярном к ней направлении у гранецентрированной кубической решетки составляют три таких слоя, а у гексагональной плотнейшей упаковки — всего два. Отсюда следует, что осевое отношение решетки гексагональной плотнейшей упаковки равно двум третям осевого отношения гранецентрированной кубической решетки, т. е. с/а = 2]/б/3 ^ 1,633.
С кристаллографией и различными сторонами учения о симметрии кристаллов более подробно можно ознакомиться по книгам: Багавантам и Венкатарайуду (1959); Н.В. Белов (1947, 1951, 1976); Бокий (1971); Болдырев (1934); Бургер (1948); Варикаш и Хачатрян (1969); Васильев (1972); Вейль (1968); Голдсмид (1976); Делоне, Падуров, Александров (1934); Жданов (1961); Загальская и Литвинская (1973, 1976); Копцик (1966); Костов (1965); Липсон и Кокрен (1956); Лонсдэйл (1952); Попов и Шафрановский (1972); Е. С. Федоров (1949); Флинт (1956); Ша- скольская и др. (1969—1972); Шаскольская (1957, 1976, 1978, 1978а); Шафрановский (1968, 1968а); Шубников (1940, 1940а, 1951); Шубников, Флинт и Бокий (1940); Шубников и Копцик (1972); Buerger (1965, 1970); Burkhardt (1947); International Tables (1965, 1972); Kleber (1977); Phillips (1971),
Г Л А В A II
КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ, ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ
Декартовы системы координат
Замечательное свойство кристаллографических систем координат — описывать кристаллографические плоскости и направления векторами с целочисленными компонентами — во многих разделах кристаллофизики не существенно, а то обстоятельство, что компоненты вектора или тензора, характеризующего какое- либо физическое поле (электрическое, магнитное, поле механических напряжений), зависят не только от интенсивности поля, но и от параметров элементарной ячейки кристалла, воспринимается как серьезный недостаток. Поэтому в кристаллофизике предпочитают пользоваться декартовыми системами координат, отличительное свойство которых состоит в том, что все их базисные векторы — единичной длины и попарно ортогональны. Такие базисы называются ортонормированными. Будем обозначать их еь е^ е3 и называть ортами, а для индексов условимся использовать не греческие буквы, а латинские i, j, k, I, т, n, ... = 1, 2, 3. Скалярное произведение любого орта на себя равно единице, а на другой орт — нулю, т. е.
егек = 61к,(16.1)
но это значит, что для декартовой системы координат не только смешанные, но и ковариантные компоненты метрического тензора определяются символом Кронекера
gtu = ^ih-(16.2)
Таким образом, для ортонормированного базиса матрица G (и обратная ей матрица G"1), составленная из ковариантных компонент glk (и контравариантных компонент glk>) метрического тензора, совпадает с единичной матрицей. Отсюда вытекает еще одно важное отличительное свойство ортонормированного базиса: взаимный к нему базис совпадает с основным:
ех = ег, е‘г = е2э е3 = е9.(16.3)
Поскольку контравариантные базисные векторы не отличаются от ковариантных ясно, что и контравариантные компоненты векторов не отличаются от их ковариантных компонент. А если так, то можно писать все индексы на одном уровне —принято писать их на нижнем уровне — и соответственно любые дважды повторяющиеся индексы считать индексами суммирования. Компоненты lt любого вектора относительно кристаллофизической системы координат, равные скалярным произведениям этого вектора на соответствующие орты
li = beb(16.4)
уже не зависят от параметров элементарной ячейки кристалла: так как et — единичный вектор, каждая компонента lt полностью определяется длиной I вектора I и углом ф;, который он составляет с соответствующей координатной осью Хь
/^/созф/.(16.5)
В декартовой системе координат очень упрощается вычисление скалярного и векторного произведений векторов и всех связанных с ними величин. Действительно, в компонентах относительно декартовой системы имеем для скалярного произведения векторов р и q\
p-q=ptqb(16.6)
для длины вектора р:
р-Ур^ь(16.7)
для угла ф между векторами р и q:
PiQi/1 п о\
Ф = arccos Т7====(16.6)
У PjPjqh9k
Компоненты векторного произведения s=pxq подсчитываются по формуле
Si = 6ljkpjqk,(16.9)
которую можно записать и так:
8 = 6Цкрдкеь(16.10)
Отсюда легко вывести, что смешанное произведение трех векторов г • (р х q) = ^ijkrtpjqi..(16.11)
Декартова система координат, условленным образом ориентированная относительно кристаллографической системы, называется кристаллофизической системой координат; установка осей кристаллофизических систем координат для всех классов симметрии кристаллов указана в приложении А.
Будем считать, что каждая из интересующих нас координатных систем задана своим базисом: кристаллографическая — основными векторами решетки аь а^ а^ кристаллофизическая — ортами еп ^2, ^з- Соотношение между кристаллофизической и кристаллографической системами координат вполне характеризуется коэффициентами разложения векторов одного базиса по векторам другого базиса: разложения основных векторов решетки по ортам кристаллофизической системы
aa = Aaiet(16.12)
или, наоборот, разложения этих ортов по основным векторам решетки
et = ETaa.(16.13)
Составленные из коэффициентов разложения матрицы ||Ла/|| и || £“|| взаимно обратны:
Ло<£Р = б5, £?Ла/ = б/л(16.14}
По определению (см. § 11) ковариантные компоненты метрического тензора равны gap = аа • «р. Подставив сюда выражения (16.12), получим
gap = Л0(Лр/.(16.15)
Аналогично найдем
g^ = E?Et(16.16)
Согласно формуле (13.14) определитель матрицы перехода от одного базиса к другому равен отношению объемов ячеек, построенных на базисных векторах. Поэтому
det||A0<|| = y, det||£H=l/y,(16.17)
где у — объем элементарной ячейки. А так как по формуле (16.15) det G = (det || Aa/||)2, то
detG = y2.(16.18)
Переход от кристаллографической системы координат к кристаллофизической системе, как и обратный переход, — частные случаи подробно исследованных в § 13 переходов от одного векторного базиса к другому. Нужно только принять во внимание, что в кристаллографической системе координат направления и плоскости задаются векторами / = 1ааа и п = пааа, длина которых определяется требованием, чтобы компоненты Za и па были целочисленны и не имели общих множителей. Напротив, в кристаллофизических системах координат все направления принято задавать векторами единичной длины, так что lt и гц — компоненты единичных векторов, характеризующих соответствующие направления. Так получаем таблицу:
Сравниваемые величины
Переход от кристаллографической системы к кристаллофизической
Переход от кристаллофизической системы к кристаллографической
Базисные векторы решетки аа и орты е^
ei = E»aa
аа = ^ai^i
Базисные векторы обратной решетки аа и орты е^
ei — Aoia»
a^Efe,
Индексы плоскостей (граней) па и компоненты единичного вектора гц
V g^n^
яа = ХЛа/П/
Индексы направлений (ребер) /а и компоненты единичного вектора Ц
la=XE^lt
Коэффициент X подбирается так, чтобы индексы оказались целыми и не имели общих множителей.
Матрицы ||Да£|| и НЕ^Н для всех кристаллографических систем приведены в приложении Б.
Ортогональные преобразования
При решении кристаллофизических задач часто оказывается удобной не кристаллофизическая, а какая-то другая система декартовых координат, направления осей которой определяются геометрией данной задачи. Так как система декартовых координат полностью задается своим ортонормированным базисом, преобразование декартовых координат означает переход от одного орто- нормированного базиса к другому.
Преобразование, при котором ортонормированный базис переходит тоже в ортонормированный, называется ортогональным преобразованием. Множество всех таких преобразований образует ортогональную группу оо оо т. Преобразования, входящие в ортогональную группу — ортогональные преобразования, — не меняют длин векторов и углов между ними, что и позволяет орто- нормированному до преобразования базису оставаться таковым и после преобразования.
Для сравнения заметим, что от преобразований базисов кристаллической решетки мы вовсе не требовали, чтобы они были ортогональны, в частности, при переходе от ромбоэдрического базиса к гексагональному изменялись и длины базисных векторов, и углы между ними.
Пусть «старая» система координат ХгХ2Х3 построена на базисе еъ е^ е3, а «новая» Х^Х^Хз' — на базисе ех^ ^ч ^- Разложение нового базиса по векторам старого
ev = сркек(17.1)
определяется коэффициентами срк. которые образуют матрицу ортогонального преобразования
I С1'1С1'2С1'3
П^'ЛН = С2'1 С2'2 С2'8 *^3'1^8'2^8'8
Она называется также матрицей косинусов, так как каждый ее элемент срк равен косинусу угла между соответствующими координатными осями (рис. 17.1):
ct.k = ер • ек = cos (Хг, Хк) = cos арк.(17.2)
Обратное преобразование
ек = скрвр.(17.3)
X,X,Рис. 17.1. Углы а^ между «старыми» и «новыми» координатными осями, стереографическая проекция.Рис. 17.1. Углы а^ между «старыми» и «новыми» координатными осями, стереографическая проекция.очевидно, Характеризуется матрицей ||cAt*IU которая одновременно и обратна исходной матрице Ih'JI и транспонирована ей. Такие матрицы удовлетворяют соотношениям
X,
X,
Рис. 17.1. Углы а^ между «старыми» и «новыми» координатными осями, стереографическая проекция.
Рис. 17.1. Углы а^ между «старыми» и «новыми» координатными осями, стереографическая проекция.
CpfeCpk = Ьрр. CpkCpi = 6^/ (17.4) и называются ортогональными. Квадрат определителя такой матрицы равен единице, или
А = detail =±1.(17.5)
Ортогональные преобразования подразделяются на собственные (вращения) и несобственные (инверсионные вращения). Первым соответствуют матрицы с определителем +1, вторым — с определителем —1.
Любое вращение R можно охарактеризовать осью вращения и уг
лом поворота вокруг нее. Поэтому для задания любого вращения достаточно одного вектора ф, направление которого совпадает с осью вращения, а длина ф равна углу поворота. Условимся при этом, что вращение R (ф) вокруг вектора ф происходит в направлении правого винта. Все мыслимые вращения будут учтены, если рассматривать все возможные векторы ф, длина которых удовлетворяет неравенству 0 ^ ф ^ л. При этом каждому вращению на угол, меньший л, будет соответствовать единственный такой вектор, а на угол л — два равных по длине противоположно направленных
вектора. Вращение R (у) чаще обозначается R (к, у), где А = у/у— единичный вектор направления вектора у.
разложение е? = ге^ М, ф)|| =ICOS ф 4-^1 (1 — COS ф)— к» sin ф + k2ki (1 — cos ф) А251пф + /г3/г1 (1 — cos ф)разложение е? = ге^ М, ф)|| =ICOS ф 4-^1 (1 — COS ф)— к» sin ф + k2ki (1 — cos ф) А251пф + /г3/г1 (1 — cos ф)Если построенная на ортонормированном базисе ег, е^, £3' новая декартова система координат получается из построенной на базисе еъ #2, ^з старой посредством вращения R (Л, у), то матрица lkzz/(A, y)IL соответствующая этому вращению, т. е. задающая такова ):
разложение е? = ге^ М, ф)|| =
ICOS ф 4-^1 (1 — COS ф)
— к» sin ф + k2ki (1 — cos ф) А251пф + /г3/г1 (1 — cos ф)
разложение е? = ге^ М, ф)|| =
ICOS ф 4-^1 (1 — COS ф)
— к» sin ф + k2ki (1 — cos ф) А251пф + /г3/г1 (1 — cos ф)
к3 siny + ^tfet (1 — созф) — к2 siny + A^s (1 — созф)
СО5ф + ^2 О ~ созф)&! sin ф + 6263 О ~ cos ф) •
— кх sin ф + к3ка (1 — cos ф)cos ф + кз (1 — cos ф)
С помощью символов Кронекера и Леви-Чивита ее элементы записываются следующим образом:
гц^к, y) = dtv/cosy + 6i^zsiny + ^lv&/(l — cosy). (17.6) В формуле (17.6) kt» и kj — компоненты вектора к в новой и старой системах соответственно, но так как одна система получается из другой в результате вращения вокруг именно этого вектора, компоненты просто совпадают: kv = къ к^ = &2, ^з' = к3. При малых (у ^ 1) углах поворота
Г14 (у) Ь^ + bvjk^k. (17.7)
Инверсионный поворот на угол у вокруг единичного вектора к представляет собой произведение соответствующего собственного поворота на инверсию: Q(k, у) = 1 • R (к, у). Следовательно, его матрица Н^Хй, у)|| — произведение матрицы Wr^^k у)|| на матрицу инверсии || — б^Н, т. е. \\qej(k, у)|| = II—Г/'/(^Ф)11- Таким образом, общий вид матрицы ортогонального преобразования
с^ (^, ф) = А [б^/cos Ф + ^141^ sin у -Vkykj (1 — cos у)], (17.8) где Д = ±1, причем Д = +1 соответствует собственному, а Д = = —1 — инверсионному вращению.
В табл. 17.1 приведены матрицы кристаллографических преобразований симметрии как в общем виде, так и при специальном — наиболее часто применяемом в кристаллографии и кристаллофизике — выборе осей вращения.
След, т. е. сумма диагональных элементов матрицы ||ср/(&, у)||, обозначается ) Sp ||ср/|| и равен с у = Д(1 + 2 cos у). Отсюда
cos у = у (Дсу/— 1). (17.9)
Таблица 17.1
Матрицы кристаллографических и предельных преобразованийсимметрии при произвольном и специальном выбореединичного вектора оси вращения к
II1 р 11°
1
0 °||
1 0
о ill
—1
0 -
0
1
0 °И
-10
о -И
2
т
2*=—1 2^а
2к3ку II1— 2к\—2кукз —2к3ку
1
2кук3 2^1—1
2к3к3—2кук3 1—
■2kl —2как3
2к3ку 2к3к3
2*|—1 ||—2*3*,- —2*2*3 1—2^
—10
0
1
00
к=е$
0 —1
0
0
10
00
1
0
0 -1
10
1
II -1
0 0
к=ву
0 -1
0
с
1 0
00
-1
0 1
-1 0
0
1
0 0
к = еа
0 1
0
0
-1 0
0 0
-1 II
0
0 1
^1+ ^2
0 1
1 0
0 0 -
0 0
-1 II
0
-1 0
1:1
0 —1
0
II 0
1 0
gi—е2
h °
0
-1
1
II 0
0 0
0 1
СО8 2ф
sin 2ф 0 II II —
cos 2ф
—sin 2ф 0
к = ву СО8ф + ^2 sin *ф
sin 2ф —
соз2ф 0—
-sin 2ф
cos 2ф 0
0
0 -1 II II
0
01
4
4
II к^кук^-^-кз кзку-—кз II
II— £2-£3-
кук^
^2—^s^i II
Il ^1^2^3^2
к^кз + ку II
1кз—кук3—
hl -
-ку—кзкз
у к3ку + k^ к^—ку
^i II
|| —k^—^з^1ку —
к^кз
-^ 1
0 1
0
0 —1
0
к=е8—1 0
0
100
0 0
1
0 с
-1
Таблица 17.1 ^продолжение^
Так как угол ср заключен в пределах (0, л), формула (17.9) позволяет определить его вполне однозначно. Теперь нетрудно найти и единичный вектор оси вращения Л:
(17.10)
Эта формула применима лишь при ф =^ л. При ф = л, как следует из табл. 17.1, компоненты к, можно определить по формулам к^+у^±1, ^=±-^^±1, k^+y^+i,
(17.11) причем знаки следует выбирать так, чтобы
ы/ = |дс1</.(17.12)
Таким образом, зная ось и величину вращения, можно вычислить все элементы матрицы ||^/||, и обратно, зная элементы этой матрицы, можно по формулам (17.9) — (17.12) определить ось вращения и угол поворота.
Результат последовательного проведения двух ортогональных преобразований — перехода от старого базиса ех, е2, е3 к новому ^г, в2*, ^з', а затем от нового к «новейшему» eVs е^^ еу, — можно записать в виде ву» = ct^keki причем матрица С = Нс^^Н, осуществляющая непосредственный переход от старого базиса к новейшему, выражается через матрицы отдельных переходов С(1) = = \\сГк\\ и С^ = \\Ci„r\V.
сц*к = Ci"rcrk.(17.13)
Эту формулу можно представить в виде матричного равенства С = С(2)С(1), при этом нужно обращать внимание на порядок сомножителей: матрица, соответствующая преобразованию, проводимому раньше, пишется правее.
Некоммутативность матричного умножения отражает неком- мутативность ортогональных преобразований: проделав два ортогональных преобразования сначала в одном, а затем в другом порядке, можно получить разные результаты (если только оси поворотов не совпадают).
Последовательное проведение преобразований применяется, в частности, при описании перехода от одной координатной системы к другой посредством углов Эйлера. Вращение, переводящее систему координат 0ХгХйХ3 в систему ОХ^Х^Х^ можно осуществить следующей последовательностью операций.
Направим вспомогательную ось Ух по линии пересечения плоскостей 0ХгХ2 и ОХ^Х^. Положительное направление на оси Yt выберем так, чтобы угол ср = 7^10^, отсчитываемый в направлении от Хг к Х2, заключался в пределах 0 ^ <р < л. Поворот
координатной системы 0ХхХ3Х3 вокруг оси Х3 на угол ф отобразит ее на систему О¥х¥йХ3. Матрица этого поворота
I
cos q> sin ф 0
—- sin ф cos ф 0 .
001
Поворот вокруг оси ^ на угол А = Z-X3OX3 (он отсчиты-Поворот вокруг оси ^ на угол А = Z-X3OX3 (он отсчиты-Рис. 17.2. Углы Эйлера, стереографическая проекция: ф = 30°, й = 40°, ф = 50°.Рис. 17.2. Углы Эйлера, стереографическая проекция: ф = 30°, й = 40°, ф = 50°.вается от Х3 к ¥^ отобразит систему О¥Т¥^Х3 на систему OY^X^. Матрица этого поворотавается от Х3 к ¥^ отобразит систему О¥Т¥^Х3 на систему OY^X^. Матрица этого поворота/?W =/?W =1010оcos *0*оcos *0*— sin *0*— sin *0*0 sin *0- cos *0-0 sin *0- cos *0-Наконец, поворот вокруг оси Х3 на угол гр, отсчитываемый от ^ к Y^ отобразит систему OYxY\X3 на систему OX^X^XV Его матрицаНаконец, поворот вокруг оси Х3 на угол гр, отсчитываемый от ^ к Y^ отобразит систему OYxY\X3 на систему OX^X^XV Его матрицаДЖ-ДЖ-cos гр sin гр 0— sin гр cos гр 0 .001cos гр sin гр 0— sin гр cos гр 0 .001Очевидно, эти три поворота можноОчевидно, эти три поворота можнозаменить одним поворотом (рис. 17.2), отображающим систему ОХхХ^Х3 на систему 0Х{Х£Х3. Матрица этого поворота R = /?W/?№/?(<p). Перемножив матрицы в указанзаменить одним поворотом (рис. 17.2), отображающим систему ОХхХ^Х3 на систему 0Х{Х£Х3. Матрица этого поворота R = /?W/?№/?(<p). Перемножив матрицы в указанном порядке, получимном порядке, получим
Поворот вокруг оси ^ на угол А = Z-X3OX3 (он отсчиты-
Поворот вокруг оси ^ на угол А = Z-X3OX3 (он отсчиты-
Рис. 17.2. Углы Эйлера, стереографическая проекция: ф = 30°, й = 40°, ф = 50°.
Рис. 17.2. Углы Эйлера, стереографическая проекция: ф = 30°, й = 40°, ф = 50°.
вается от Х3 к ¥^ отобразит систему О¥Т¥^Х3 на систему OY^X^. Матрица этого поворота
вается от Х3 к ¥^ отобразит систему О¥Т¥^Х3 на систему OY^X^. Матрица этого поворота
/?W =
/?W =
1
0
1
0
оcos *0*
оcos *0*
— sin *0*
— sin *0*
0 sin *0- cos *0-
0 sin *0- cos *0-
Наконец, поворот вокруг оси Х3 на угол гр, отсчитываемый от ^ к Y^ отобразит систему OYxY\X3 на систему OX^X^XV Его матрица
Наконец, поворот вокруг оси Х3 на угол гр, отсчитываемый от ^ к Y^ отобразит систему OYxY\X3 на систему OX^X^XV Его матрица
ДЖ-
ДЖ-
cos гр sin гр 0
— sin гр cos гр 0 .
001
cos гр sin гр 0
— sin гр cos гр 0 .
001
Очевидно, эти три поворота можно
Очевидно, эти три поворота можно
заменить одним поворотом (рис. 17.2), отображающим систему ОХхХ^Х3 на систему 0Х{Х£Х3. Матрица этого поворота R = /?W/?№/?(<p). Перемножив матрицы в указан
заменить одним поворотом (рис. 17.2), отображающим систему ОХхХ^Х3 на систему 0Х{Х£Х3. Матрица этого поворота R = /?W/?№/?(<p). Перемножив матрицы в указан
ном порядке, получим
ном порядке, получим
cos ф cos гр —— sin q) cos *0* sin гр— cos ф sin гр —— sin ф cos 0* cos гр— sin ф sin *0*cos ф cos гр —— sin q) cos *0* sin гр— cos ф sin гр —— sin ф cos 0* cos гр— sin ф sin *0*sin ф cos гр ++cos ф cos *0- sin гр — sin ф sin гр ++ cos ф cos $ cos гр cos ф sin *0*sin ф cos гр ++cos ф cos *0- sin гр — sin ф sin гр ++ cos ф cos $ cos гр cos ф sin *0*— sin *0* sin гр— sin *0* cos грcos ft— sin *0* sin гр— sin *0* cos грcos ft(17.14)(17.14)
cos ф cos гр —
— sin q) cos *0* sin гр
— cos ф sin гр —
— sin ф cos 0* cos гр
— sin ф sin *0*
cos ф cos гр —
— sin q) cos *0* sin гр
— cos ф sin гр —
— sin ф cos 0* cos гр
— sin ф sin *0*
sin ф cos гр +
+cos ф cos *0- sin гр — sin ф sin гр +
+ cos ф cos $ cos гр cos ф sin *0*
sin ф cos гр +
+cos ф cos *0- sin гр — sin ф sin гр +
+ cos ф cos $ cos гр cos ф sin *0*
— sin *0* sin гр
— sin *0* cos гр
cos ft
— sin *0* sin гр
— sin *0* cos гр
cos ft
(17.14)
(17.14)
Выше рассмотрены три наиболее употребительных способа вычисления матрицы ортогонального преобразования координат. Если известны углы между новыми и старыми осями, пользуются формулой (17.2); если известно преобразование, переводящее старую систему в новую — формулой (17.8); наконец, если заданы углы Эйлера —формулой (17.14).
§ 18. Тензоры второго ранга
Как известно, компоненты ик вектора у при переходе от одного ортонормированного базиса ек к базису е^ = c^kek преобразуются по закону
^' = С^, Vk = CpkVp.^' = С^, Vk = CpkVp.(18.1)(18.1)
^' = С^, Vk = CpkVp.
^' = С^, Vk = CpkVp.
(18.1)
(18.1)
Девять величин Ткь преобразующихся как произведения компонент двух векторов, т. е. по закону
Т рр = CpkCpiTkb Тк1 = СркС(чТ рр,(18.2)
называются компонентами тензора второго ранга Т. Аналогично, З3 = 27 величин Qimm преобразующихся как произведения компонент трех векторов, т. е. по закону
Ql'pk' = CpiCpmPk'nQlmm Qlmn ” СщСpmPk'nQvpk'(18.3)
— компонентами тензора третьего ранга Q и так далее.
Подобно тому как вектор ф записывается в виде ф = vt • еь причем его компоненты х^ = я> е^ тензор Т можно представить в виде *)
Т = в^/(18.4)
(или Tkteke^. При этом его компоненты Тк1 относительно базиса ек вычисляются по формуле
Тн = ек-Т-вь(18.5)
Компоненты Тур того же тензора относительно базиса ер = сркек равны Т^р = вр • Т • ер. Подставив сюда выражение (18.4) и заметив, что вр • ек = срк, придем к формуле (18.2). Это показывает, что закон преобразования (18.2) тензорных компонент Тк1 сформулирован так, чтобы определяемый этими компонентами тензор ekTklet был, подобно вектору, геометрическим объектом, т. е. не зависел от того, в какой координатной системе он описывается.
В кристаллофизике тензоры второго ранга выступают в различных ролях. Одна их них — роль линейного оператора, отображающего одно множество и на Другое их множество ф = ф(«)так, что ф (Хи(1) + ри(2>) = Хф (и(1)) + рф (я(2)),(18.6)
где uw и uw — любые векторы из множества я, а X и р — произвольные вещественные числа. Из соотношения (18.6) вытекает, что в любом ортонормированном базисе ек компоненты ок векторов ф — линейные функции компонент ut соответствующих векторов и;
^k = TkiUl.(18.7)
В базисе ер = сркек эта зависимость принимает вид Dp = Тррир, и из того, что векторные компоненты ut и ик преобразуются по закону (18.1), следует, что коэффициенты Тк1 преобразуются по формулам (18.2), т. е. действительно являются компонентами тензора второго ранга Т. Поэтому соотношение (18.7) можно записать
в бескоординатном виде
я = Тя.(18.8)
Рассмотрим некоторые специальные случаи линейных преобразований векторных множеств. Если векторы © просто равны векторам и, соответствующий тензор называется единичным, тензором и обозначается I. Компоненты единичного тензора в любой системе координат Ikt = ^кь
Если векторы © коллинеарны векторам и и длиннее их в X раз, линейная зависимость у от и реализуется тензором XI (тензоры такого вида называются шаровыми). Записи ф = XI • и эквивалентна более простая запись © = Хи.
Составляющая любого вектора и, параллельная некоторому заданному единичному вектору к, может быть записана в виде кк • и. Таким образом, тензор кк осуществляет проектирование векторов на прямую, параллельную единичному вектору к. Аналогично, проектирование векторов на плоскость, перпендикулярную к единичному вектору к, осуществляется тензором I — кк.
Поворот векторов вокруг оси к на угол ф осуществляется тензором
R (к, ф) ^= I cos ф — I х ft 8Шф + йй(1 — со8ф), И8 7?z/= 6f/cos ф + б17Л sin ф 4-^(1 —со5ф). '
Это следует из формулы (17.6) *).
Если определитель тензора Т отличен от нуля, линейную зависимость я = Т • и можно обратить:
а = Р®, Uj = Pikyu.
Тензор Р с компонентами
Сб-К»
где тА; — алгебраическое дополнение элемента Т^ в определителе det 117’^11, называется обратным тензору Т; это обозначается: Р = Т*1. Взаимно обратные тензоры удовлетворяют тождествам
TljPjk = ^lki PlkTkl^^ib(18.11)
Тензоры, проектирующие векторы на прямую и на плоскость, не имеют обратных тензоров, а у тензора R (ft, ф), поворачивающего векторы, обратный тензор есть.
Как и матрицу, тензор второго ранга можно транспонировать. Если тензор не изменяется при транспонировании (Т* = Т), то он называется симметричным, если же он при этом меняет знак (Т* = —Т) — антисимметричным. Любой тензор Т разлагается
на симметричную часть S = % (Т + Т*) и антисимметричную часть А = 1/2(Т — Т*); сумма их равна исходному тензору Т.
Симметричный тензор 5^, в свою очередь, разлагается на шаровую, или сферическую, часть 1/35АА61-/- и девиатор Dy = Sy — — VAA/- След сферической части равен следу тензора, а след девиатора — нулю; вообще любой симметричный тензор второго ранга, след которого равен нулю, называется девиатором.
Тензоры второго ранга можно рассматривать не только как линейные операторы, но и как результат дифференцирования вектора по вектору или двукратного дифференцирования скалярной функции по вектору. Рассмотрим сначала более простую операцию — дифференцирование скалярной функции по вектору. Если / — скалярная функция от компонент вектора и (и, быть может, от других параметров), величины
".-тй- (18-12)
преобразуются как компоненты вектора. Это позволяет записать (18.12) в виде
5/
®=^Г’
подчеркивающем независимость этой операции от выбора координатной системы.
Если, в частности, в качестве векторного аргумента и выступает радиус-вектор г, то эта производная называется градиентом функции / и имеет специальное обозначение © = grad f.
Аналогично определяется производная вектора по вектору. Если компоненты вектора © — функции от компонент вектора и» девять величин
О8-13)
преобразуются как компоненты тензора второго ранга.
Поэтому (18.13) можно записать в виде
ди ди ’
Если аргументом служит радиус-вектор г, то
Т __ др Т _( д*о\ дик— dr ' kl~\dr )kl dxt;
Градиентом вектора © принято, однако, называть не дъ/дг, а транспонированный ему тензор
Grady=(-S-)*' (Qrad ”)«=-§-•
Сумма диагональных элементов этих тензоров — дивергенция
вектора ф:
Sp Grad ” = Sp(-^) = -^ = div ”•
Тензором второго ранга оказывается и вторая производная скалярной функции f по ее векторным аргументам и и ф:
т ^t т _ ^дидф1 kl dufedui*
Если же это вторая производная по одному и тому же аргументу, т. е. Т = дЧ!ди ди, то тензор Т симметричен.
§19. Собственные векторы и собственные значения симметричного тензора второго ранга
Тензор второго ранга S, будучи умножен скалярно на вектор и, преобразует его в вектор © = S • и. Те векторы, которые при этом не изменяют направления, а только удлиняются или укорачиваются, называются собственными векторами тензора S (рис. 19.1).
^|^|Рис. 19.1. Действие симметричного тензора S = 5/2 е^ + 6Л е2е» на векторы «1,«12*. V; = s -Др иъ и4, и, И«1е —собственные векторы тензора S.Рис. 19.1. Действие симметричного тензора S = 5/2 е^ + 6Л е2е» на векторы «1,«12*. V; = s -Др иъ и4, и, И«1е —собственные векторы тензора S.Они, следовательно, удовлетворяют уравнению
^|
^|
Рис. 19.1. Действие симметричного тензора S = 5/2 е^ + 6Л е2е» на векторы «1,«12*. V; = s -Др иъ и4, и, И«1е —
собственные векторы тензора S.
Рис. 19.1. Действие симметричного тензора S = 5/2 е^ + 6Л е2е» на векторы «1,«12*. V; = s -Др иъ и4, и, И«1е —
собственные векторы тензора S.
S*u = Su, S^u^^Su^ (19.1) где S — число, показывающее, во сколько раз удлиняется вектор и под действием тензора S—называется собственным значением тензора S, соответствующим данному собственному вектору.
Если некоторый вектор и удовлетворяет этому уравнению, то ему удовлетворяет и любой вектор, коллинеарный первому. Поэтому можно говорить о собственных направлениях тензора; все векторы, параллельные собственному направлению, являются собственными векторами, направление же естественно задавать единичным вектором. Поэтому наложим на вектор и дополнительное условие
u-u = UiUi= 1. (19.2)
Записав уравнения (19.1) в виде
(19.3)(19.3)(S — S1) - и = 0,(Slk — S8ik) ик = 0,
(19.3)
(19.3)
видим, что это три однородных линейных уравнения относительно компонент вектора и. Им удовлетворяет, конечна, тривиальное решение и = 0, однако оно не определяет никакого направления. Другие, не тривиальные решения система однородных линейных уравнений может иметь, как известно, лишь в том случае, если ее определитель равен нулю:
det (S — SI) =det (S — SI) =Su — SSu — SS12S 22 — «5S32S12S 22 — «5S32•$13•$23•$33— •$•$13•$23•$33— •$= 0.= 0.(19.4)(19.4)
det (S — SI) =
det (S — SI) =
Su — S
Su — S
S12
S 22 — «5
S32
S12
S 22 — «5
S32
•$13
•$23
•$33— •$
•$13
•$23
•$33— •$
= 0.
= 0.
(19.4)
(19.4)
Так как тензор S задан, условие (19.4) представляет собой уравнение, которому должно удовлетворять собственное значение 5. Уравнение (19.4) называется характеристическим уравнением тензора. Поскольку компоненты тензора вещественны, это уравнение третьей степени имеет либо один вещественный и два комплексносопряженных мнимых корня, либо три вещественных корня, а если тензор симметричен, реализуется только вторая возможность. Действительно, один вещественный корень 5(3) оно во всяком случае имеет. Допустим, мы его нашли. Тогда из системы линейных уравнений
(S^~S(3)M48, = 0
мы сможем найти и соответствующий собственному значению 5(з) единичный вектор и^. Введем декартову систему координат ХуХ^Х^, ортом ^3/ которой служит и^. Легко проверить, что в этой системе тензор S имеет вид
II Sin,SLf2f0 II
11ЗД=s^,о(19.5)
00S(3)||
(при этом существенно используется его симметричность). Поэтому уравнение (19.4) можно записать так:
S1Z1/ — S *$1^2^ о
•$!/£/*$2'2' •$0= 0.
00S(3)— •$
Раскрыв этот определитель, найдем два других собственных значения
5(1,2) - у [(Spp + S2'2') ± /(Spp-W + (25p202L (19.6)
Поскольку подкоренное выражение как сумма квадратов положительно, оба они также вещественны, что и требовалось доказать.
Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, взаимно ортогональны. Действительно, скалярно умножив уравнения для собственных векторов
S.^i) = S(1)^D, S.^2)=S(2^(2)
на и^ и и^ соответственно и вычтя одно из другого, получим „(2). s. „(1) - „(1). s. и^ = (8(1) - S(2)) и^ • и^.
Левая часть этого равенства вследствие симметричности тензора S равна нулю, так что из различия собственных значений (8(1) — — 5(2) + 0) непосредственно следует ортогональность векторов я(1) и и^.
Если все собственные значения тензора S различны, его собственные векторы uw взаимно ортогональны и их можно использовать в качестве ортонормированного базиса. В этом базисе тензор принимает особенно простой вид
S^S^^ + S^^^(197)
а его матрица — диагональную форму
р(1)0ОII
Ц8/у|| = о s(2) о .(19.8)
о 0 8(3)
Когда два собственных значения совпадают (скажем, 8(1) = = S(2) 7^ 8(з)), им соответствует целая плоскость собственных векторов, перпендикулярная к собственному вектору я(3). Действительно, из (19.6) вытекает, что в любой декартовой системе координат, ортом е8 которой служит и^\ тензор S приобретает
вид
II ^0II 0II ^0II 0о оS(D 0,0 «So,о оS(D 0,0 «So,(19.9)(19.9)
II ^
0
II 0
II ^
0
II 0
о о
S(D 0,
0 «So,
о о
S(D 0,
0 «So,
(19.9)
(19.9)
а это и показывает, что любой вектор, перпендикулярный к и^\ является собственным вектором тензора 8, соответствующим собственному значению 8(1). Такие тензоры удобно записать в форме
S = SJ + (S||-SJ^, S/y = S16zy + (S||-S1)^y, (19.10) где к — изолированный (единичный) собственный вектор, 8ц — соответствующее ему собственное значение, а 8±—собственное значение, соответствующее плоскости собственных векторов.
Наконец, при совпадении всех трех собственных значений (5(i) = S(2) = 8(3) = 8) тензор равен
8 = 81, SM = SbM\ (19.11) для этого тензора любой вектор является собственным.
Рассмотрим на простых примерах, как практически отыскиваются собственные значения и собственные векторы симметричного тензора второго ранга,
Пример 1. В базисе еь тензор Sy имеет вид
11
^3
0
II S;/11 =
/з
9
0 .
0
0
7
Вычислим его собственные значения, для чего решим уравнение
11-3 Уз 0
У5 9—S 0 007—S
= 0,
или (S2 — 203 + 96) (7 — S) = 0. Отсюда S(1) = 12, S,2) = 8, S(8) = 7.
Собственный вектор я(1), соответствующий собственному значению S(1) = 12, найдем из системы линейных уравнений
— и^+^Зи!1’=0.
УЗи1"— Зи"1=0,
— 5и">=0.
Здесь только два независимых уравнения, так как второе уравнение равно первому, умноженному на —V^. Поэтому из этой системы находим н^вО, и\п=у 3 и^. В сущности, первый собственный вектор найден: um = ^V^ei-V -Ve^u^. Потребовав, чтобы «fl> «n^ssl, подсчитаем и^ = ±_ 1/2 и окончательно получим
//З1\
Собственный вектор я(2) найдем из системы уравнений
3u™4-/5««>—0,
КЗи^Ч-и^=0,
-«?’=0.
Он равен
/1 Кз \
Наконец, для собственного вектора а(3) получим систему уравнений
^"^КЗи"»=0,
/з^Ч-ги^’=о,
Си'38,=0.
Первые два уравнения образуют систему двух однородных линейных уравнений с двумя неизвестными. Определитель ее равен 5. Поэтому она имеет только тривиальное решение и\^ = и^ = 0. Компонента и^ может иметь любое значение, но из требования и(3) «и^ = 1 следует, что и^8’= ±1, Итак,
Д<8» = + £а.
Теперь тензор S можно записать в виде (t/q 1\ / Va 1\
V^+t **/ гг^+те») +. „ /1 /з W1 /з \ , _+8 y"2"eig- 5а/ у^12~ ei)^eae8*
Пример 2. Приведем в главным осям тензор
8=4 (^1^1 + ^2^г) 4" ^3^3 — (^1^2 + ^2^1)*
Для определения собственных значений имеем уравнение
ОО3-8ОО3-8= 0.= 0.4-8—1
О
О3-8
О
О3-8
= 0.
= 0.
—14 — 8
О О
Решая его, находим 8(1) = 5, 8(2) = 3, 8(3) = 3.
В данном случае достаточно отыскать только один собственный вектор к, который соответствует 8ц = 5. Найдем его из системы уравнений
к\ — к^= 0,
ki—ka= 0,
-2^ = 0. Отсюда
а тензор S записывается в форме (19.10)
S=3I +2^7-^ «
/2/2
В общем случае для вычисления собственных значений тензора Sy следует разложить его на шаровую часть V3 З^бу и девиатор Dy = Sy—V3 S^O/y. Далее подсчитываются два инварианта девиатора: масштабный параметр
*-У- VjhnPlpM = У"^Dt,D„ (19.12)
и угол ф, заключенный в пределах (—л/6, л/6) и определяемый условием
sin Зфsin Зф= det D.2№ •= det D.2№ •(19.13)(19.13)
sin Зф
sin Зф
= det D.2№ •
= det D.2№ •
(19.13)
(19.13)
Собственные значения D^ девиатора D (они занумерованы в порядке возрастания) выражаются через эти инварианты следующим образом:
D(d = — 2-0- sin (л/3+ф),
D(2) = 2'0- sin ф,(19.14)
D(3) = 2'0- sin (л/3 — ф).
Это легко проверить, подставив любое из них в характеристическое уравнение девиатора. Собственные значения тензора S равны
S«,=Dli, + ^ Skk.(19.16)
§ 20. Малые изменения симметричного тензора второго ранга
Решение многих проблем кристаллофизики связано со следующей задачей тензорной алгебры: известны собственные значения Sd, и собственные векторы ) Ut симметричного тензора второго ранга S. Как они изменятся при заданном малом изменении тензора S?
Рассмотрим сначала случай, когда все три собственных значения исходного тензора S различны. К тензору S прибавим малый симметричный тензор £; если он действительно мал по сравнению с S, тензор S + £ должен мало отличаться от тензора S. Отличия проявятся, во-первых, в небольших изменениях собственных значений, во-вторых, в малом повороте тройки собственных векторов #lt #2, «з- Чтобы изменения 1^ собственных значений были малы, все компоненты тензора £ должны быть по абсолютной величине значительно меньше собственных значений тензора S:
l^zl<|S,Zl |.
А для того чтобы был мал и поворот тройки собственных векторов, компоненты тензора £ должны быть по абсолютной величине значительно меньше разностей между собственными значениями тензора:
l^/KI^-s,/, |.
Измененные собственные значения S^ + ^и и измененные собственные векторы Ui + ^Ui удовлетворяют уравнению
(s + е) - («,+^ = (S(i) + U) (Ui + биД.(20.1)
Не ограничивая общности, можно считать векторы Ui единичными* Потребуем, чтобы измененные векторы Ui + ^Ui также были единичны; кроме того, они, как мы знаем, должны быть взаимно ортогональны:
(zz<+6«,)(«/4-6»/)=6i/.
Раскрыв скобки, получим
Ui • 6а/ + а/ • 6«/+6й/ • 6#/=0.
(20.2)
Разложим векторы б#; по базису Ui, и2, и3: ^Ui = toikUk-
(20.3)
Коэффициенты этого разложения
toy = bui • U/.
(20.4)
Из равенства (20.2), если пренебречь в нем членами второго порядка малости, вытекает антисимметричность тензора со:
со// + со// = О.(20.5)
А отсюда, в свою очередь, следует, что приращение Sui каждого собственного вектора ut перпендикулярно к этому вектору. Действительно, согласно формуле (20.4), скалярное произведение собственного вектора на его приращение равно одной из диагональных компонент тензора о, а все такие компоненты в силу тождества (20.5) равны нулю.
Раскроем теперь скобки в формуле (20.1), положив для определенности Ui = их и соответственно S^ = S(1):
S • «i + S • 6#i + £ • «i = S(i)ai + S(i) 6ai+5(i)»i.(20.6)
Здесь мы сразу отбросили члены второго порядка малости. Приняв во внимание, что S-a1=S(1)a1, и воспользовавшись разложением (20.4), перепишем (20.6) в виде
<Oi2S • «2+0)138 • «з + £ • ^i^toiaStDtta+toieStDtta+Ed)»!.
Однако S-«2= S(2)«2 и S-«3= S(8)«8. Поэтому
£ • «i = 6(Dwi + (°i2 (5а> — 5(2)) #2 + ^13 (5(d — 5(3)) «8.(20.7)
Скалярно умножая обе части равенства (20.7) последовательно на и^ иа и «8, получим искомые результаты:
(d = «1 • 6 • «1, ®12 = о 2 о 1 > ю1з =.(20.8)
°(1) ^(2)°(1)—^(3)
Остальные собственные значения и компоненты тензора о вычисляются аналогично.
Если тензор £ задан своими компонентами ^у в системе главных осей тензора S, то решение поставленной задачи записывается в виде
6(1) = £11» ®23 = — ®32 = "о ,
°(2)°(3)
6(2) = ^22» ®Э1 = — <013 = "Я——>(20.9)
•3(3) — 0(1)
6 (3) = ?33,(012 = — (О21 = ^о•
° (1) — d(2)
Антисимметричный тензор /о характеризует малый поворот тройки собственных векторов. Чтобы этот поворот был действительно мал, нужно, чтобы все компоненты тензора со были значительно меньше единицы, а для этого, как показывают формулы (20.9), в свою очередь, необходимо, чтобы компоненты тензора со были малы не только по сравнению с собственными значениями тензора S, но и по сравнению с их разностями.
Перейдем теперь к рассмотрению другого случая: тензор S имеет два совпадающих между собой собственных значения (S±) и одно от них отличное (Зц). В этом случае задача значительно усложняется. Тензор S обладает теперь одним собственным вектором «, соответствующим собственному значению Зц, и целой собственной плоскостью, соответствующей двукратному собственному значению 3±. Измененный же тензор S + £ имеет, вообще говоря, три собственных вектора; один из них я = и + 6«, близок к «, остальные два расположены где-то в плоскости, к нему перпендикулярной.
Пусть ^1, ^2 и ^ — единичные собственные векторы тензора 8+ 6, а д и р2 — проекции векторов qx и дй на собственную плоскость тензора S; можно записать
^1=р1 + (013«,^2 = р2 + ®23«,^ = 0)31pl+(»32p2+«-(20.10)
Из ортонормированности тройки собственных векторов следует, что (в пределах принятой степени точности) векторы рх и р2 единичны и взаимно перпендикулярны, а тензор о антисимметричен.
В уравнения для собственных значений и собственных векторов
(S + 6)'(71=(S1+^))<71,
(S+g)^ = (S±+g(2))<72,(20.11)
(S + g)-® = (S11+g(3))®
подставим выражения собственных векторов (20.10) и произведем почленное скалярное умножение, пренебрегая членами второго порядка малости, После
приведения подобных членов получим
S-P2=W2 + (SI|—SJV(20.12)
S“ = (Sii-Sj^iPi+^^ + ^s)"'
Скалярно умножив векторные равенства (20.12) последовательно на ри р^ и и, придем к шести соотношениям:
аЛ-»=Ы(20.13)
P1-S-P1 = 6<1), р2-?-р2 = ?<2» р1-?-р2 = 0;(20.14)
“•?'Р1=(5ц — 51)юзг «• ? • Ра = (5П ~ 51)ю32>(20.15)
которые для удобства объединены в три группы.
Соотношение (20.13) позволяет сразу вычислить Е<3).
Векторы рх и р2 нам пока неизвестны, однако соотношения (20.14) показывают, что они являются собственными векторами двумерного тензора g±, т. е. проекции тензора g на собственную плоскость тензора S. Соответственно g(1) и |(2) — собственные значения этого двумерного тензора.
Пусть тензор g задан матрицей своих компонент || 5;/ || в системе координат, построенной на ортах еи е2, й» где ^i и е2 — произвольные взаимно перпендикулярные векторы, лежащие в собственной плоскости тензора S. Тогда двумерный тензор g± в системе координат, построенный на ортах ех и е2, задается матрицей компонент
tol-l£ £1-
Его собственные значения Em и £(2) — корни квадратного уравнения
1^11—6 ?и I о.(20.16)
I 512522— 6 I
Они равны
U5. = 4 [(Си + W ± /(Su-?22)2+(2gi2)2].(20.17)
Теперь нетрудно найти и собственные векторы тензора g±:
_ 512^1+ (5(1) ”511) g2- .. (5(2) ” 522) ^1 + 512^2/2Q |g\
P1‘'
Соотношения (20.14), таким образом, использованы полностью.
Зная векторы рх и р2, из соотношения (20.15) можно теперь найти коэффициенты ©з! и ш32. Очевидно,
ш __С12^з1 + 5гз (5 < 1 > — 5и)
81 (51|-51)/(1^^ГКГ/(20.19)
ш _512523+5з1 (5(^—Е22'
После этого по формулам (20.10) можно, наконец, найти собственные векторы qx, q2 и D тензора S + g. Задача решена полностью.
Случай, когда все собственные значения тензора S совпадают, рассматривать, очевидно, бесполезно. Собственные векторы тензора S + g совпадают в этом случае с собственными векторами тензора g, а соответствующие добавки к собственным значениям равны собственным значениям тензора g.
§ 21. Нормальные и тангенциальные составляющие симметричного тензора второго ранга
Нормальной составляющей симметричного тензора второго ранга S в направлении единичного вектора п называется число, равное п-8-п = 51)п1Пр(21.1)
Если принять единичный вектор п за один из ортов новой координатной системы, ХуХ^Ху (скажем, п = By), то нормальная составляющая окажется просто соответствующей диагональной компонентой тензора в системе ХуХуХ^; в данном примере
nSn = SpH.(21.2)
В системе координат, построенной на главных осях тензора, формулы для вычисления его нормальной составляющей принимают особенно простой вид. Считая, что щ — компоненты единичного вектора п относительно собственной системы координат тензора S, получим
H‘S • п = S^n\ H-S(2)/i! Н-5(3)Дз.(21.3)
Если, в частности, два собственных значения тензора S совпадают, то *его нормальная составляющая зависит только от п3 = п • к; и • S • п = Sд_ (1 — /г!) + 5цп? = S± -|- (5ц — Sj_) п|.
Наконец, при совпадении всех трех собственных значений тензора нормальная составляющая п • S •* п == 5.
Зная шесть нормальных составляющих симметричного тензора второго ранга S, можно, вообще говоря, вычислить все компоненты тензора. Они вычисляются как решение системы из шести линейных уравнений с шестью неизвестными
nT4fSM = aw (И=16),(21.4)
где компоненты единичных векторов п1-^ и соответствующие нормальные составляющие а(ц) предполагаются известными. Для разрешимости этой системы необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля:
(«I1’)2к11)2(«У')82^пп^'гл^л»’гл^лу
#=0.(21.5)#=0.(21.5)(л}2’)2(л^21)2№')22л«>п«’2л^>л'81гл^л1,2'
#=0.(21.5)
#=0.(21.5)
(га'6;)2(л^>)2W)2гл^'л^1гл^л!»'2л1”л"’
Ясно, что не всякийнабор шестиединичных векторов п^ удо
влетворяет условию (21.5), но нетрудно указать такие наборы векторов, которые этому условию удовлетворяют, например, nw = evnw = е2,n(s) = es,
л(4) _ ig+сзл(б)=^з±д л(б)_^+^_(21.6)
/2 ’/2 */2
Нормальные составляющие часто встречаются при решении задач кристаллофизики, и потому важное практическое значение приобретает вопрос: при каком направлении вектора п нормальная составляющая данного тензора S принимает экстремальные значения? Чему равны эти значения? Предполагается, что тензор S задан своими компонентами Su относительно некоторой системы координат Х^Хд.
Математическая формулировка этой задачи такова: найти значения пь при которых достигает экстремума квадратичная форма
F (п) = п • S • п = SMnint(21.7)
при дополнительном условии
f (п) = п • п — 1 = п^ —1=0.(21.8)
Это типичная задача на отыскание условного экстремума. Такие задачи решаются методом неопределенных множителей Лагранжа: составляется функция
(21.9)
с неопределенным пока множителем X и обычным способом ищут ее безусловный экстремум, т. е. приравнивают нулю ее частные производные
4^ = 0,(21.
ОГЦх
а затем из уравнений (21.10) и (21.8) находят компоненты п< и множитель X. Уравнения (21.10) принимают в нашем случае вид
“ Х ^ =St#ni + SHni * 2Xni= °’
или (с учетом симметричности тензора S)
8ип1 = Хпь Sn — Xn,(21.11)
но это ведь не что иное, как условие того, что п — один из собственных векторов тензора S, а X — соответствующее этому вектору собственное значение!
Таким образом, нормальная составляющая тензора достигает экстремальных значений в направлениях собственных векторов этого тензора. Мало того, эти экстремальные значения равны соответствующим собственным значениям тензора, так как из (21.11) и (21.8) вытекает, что
n-S-n = SifHiiif = Хп^ = X.(21.12)
Из доказанного следует также, что если все собственные значения тензора положительны (отрицательны), то и все нормальные его составляющие обладают тем же свойством. Если же среди
собственных значений тензора имеются и положительные, и отрицательные, нормальная составляющая тензора также принимает и положительные, и отрицательные значения. Будучи непрерывной функцией направления, она при этом на некотором конусе направлений должна обращаться в нуль.
Перейдем к рассмотрению тангенциальных составляющих симметричного тензора второго ранга. Пусть S — симметричный тензор второго ранга, а р и q — взаимно перпендикулярные единичные векторы
рр = 1, q ^ = 1, p q = 0.(21.13)
Тангенциальной составляющей тензора S в направлениях р и q называется число
pS q = Sljplq!.(21.14)
Так как тензор S симметричен, направления р и q в этом определении равноправны и взаимозаменяемы. Пользуясь тем, что единичные векторы р и q взаимно перпендикулярны, можно построить на них как на ортах новую координатную систему Хх»Х^Ху;
ev=p. e^=q, ey=pxq.
В новой системе тангенциальная составляющая
p.Sq=S\^.(21.15)
В то время как нормальные составляющие соответствуют диагональным компонентам тензора, тангенциальные соответствуют недиагональным его компонентам.
В собственной системе координат тангенциальные составляющие выражаются следующими формулами: в общем случае
p-S q = S^pxqx +S(2)M2 + S(3)p3g3,(21.16)
при совпадении двух собственных значений
p-S.q = (S\\-SI)p3q3,(21.17)
и, наконец, при совпадении всех трех собственных значений
р 8-^ = 0.(21.18)
Так как тангенциальные составляющие шарового тензора равны нулю, ясно, что тангенциальные составляющие любого тензора совпадают с тангенциальными составляющими его девиатора. Соответственно по набору тангенциальных составляющих можно восстановить не весь тензор, а в лучшем случае его девиатор. Для этого достаточно пяти тангенциальных составляющих.
Для тангенциальных составляющих экстремальная задача значительно сложнее, чем для нормальных, но решается тем же методом. Требуется найти значения pi и qit при которых достигает экстремума билинейная форма
F (Р> ЧЪ = $цРЩ)(21.19)
и которые удовлетворяют дополнительным условиям
Ф(Р) = Р/Р/-1=О, ф^-ад, —1=0, гр (р, q)=piqi^Q. (21.20) Составим функцию
ф(р, q)=FU>. q}—+'ф W—-^^"v^—hW q)-(2L21>
где X', X'
' и ц — неопределенные множители Лагранжа, и из уравнений дф „ ЭФ „
^-°<21-22»
и (21.20) Лагранж
найдем интересующие нас векторы р и q, а также значения множителей а. Уравнения (21.22) с учетом симметричности тензора S дают
sMqj-X'Pl-Ml=o, SijPi—X"qi—Цй—О.
В вектор
ной форме эти шесть уравнений сводятся к двум:
S • р—X #—рр = 0.
Скалярнс
) умножив первое из них на qt а второе — на р, найдем
p = # • S • #=р • S • р;(21.25)
напротив получим
, скалярно умножив первое уравнение (21.24) на р, а второе — на q.
V=X"=p.S.q;(21.26)
обозначи! гом и вь иметь де. В резуль
и эту величину просто X. Воспользовавшись этим, сложим друг с дру- [чтем друг из друга векторные уравнения (21.24); чтобы по-прежнему по с единичными векторами, разделим еще сумму и разность на J^2. .тате придем к векторным уравнениям
$Л^ а‘+М ^~ °'
(21.27) S-^P—^-X) 9 p =0,
показыва а p + X
Пуст
ющим, что (q + pVKS и (q — p^lV^ — собственные векторы тензора S, и p — X — соответствующие им собственные значения.
ь, например,
^+£-=яа>, Я~р = И(2> /2/2
тогда р Н
И X = S(1„ ц — X = S(2). Отсюда находим В,1,+«'2*яа>_й(а.
4/2’ Р/2'
*5(d — S(2)5(1,+ 5(2) .
2, Р •-2 -
поменяв ролями векторы и^ и и^» получим
а 5(2) —5(1)
л- 2
Очевидно, максимум функции F (р, q) = p*S*q = S^jp^qj равен полуразности наибольшего и наименьшего собственных значений тензора S, а минимум — той же полуразности с обратным знаком. Направления р и q, на которых функция F достигает экстремальных значений, — биссектрисы углов между собственными векторами, соответствующими наибольшему и наименьшему собственным значениям.
Внешняя симметрия и изображение векторов и симметричных тензоров второго ранга
Если при некотором преобразовании координат все компоненты тензора остаются неизменными, говорят, что он инвариантен относительно этого преобразования. Совокупность ортогональных преобразований, относительно которых инвариантен некоторый тензор, образует группу его внешней симметрии. Рассмотрим внешнюю симметрию векторов и симметричных тензоров второго ранга (Шубников, 1949).
Изображение вектора в виде стрелки подсказывает, что его группа симметрии — предельная группа Кюри оот, причем ось симметрии совпадает с направлением вектора. Чтобы доказать это, выберем старую координатную систему так, чтобы ось Х3 была направлена по нашему вектору ф. Это значит, что t^ = и2 = О, и3 = и или иА = ибА3. Поэтому компоненты вектора © в любой новой координатной системе равны Vi * = с^3у. Чтобы и в новой системе имело место равенство up = ибр3, нужно, чтобы с^ = 6t>3. Нетрудно показать, что все ортогональные матрицы, удовлетворяющие этому условию, можно представить в одной из двух форм:
I
cos ф sin ф Oil II — соз2ф — sin 2ф 01]0^ф< 2 Л
— зшф созф 0 ,—sin 2ф соз2ф 0 ,’(22.1)
О О 1| II О О 1| О^Сл. V
Табл. 17.1 показывает, что это матрицы группы оот, и ось оо совпадает с Х3, т. е. с вектором ф.
При рассмотрении симметрии тензора второго ранга необходимо различать три случая, соответственно тому, сколько у данного тензора совпадающих собственных значений. Если все три собственных значения тензора совпадают между собой, т. е. S = SI, то он инвариантен относительно любых ортогональных преобразований. Его группа симметрии оооот и называют его изотропным или шаровым тензором.
При совпадении двух собственных значений тензор S = £±1 + + (5 ц — S±) kk (объяснение этих обозначений см. в § 18. стр. 140). Выберем старую систему координат так, чтобы ось Х3 совпала с направлением к. Так как первое слагаемое заведомо инвариантно относительно любых ортогональных преобразований, рассмотрим только второе. В старой системе единственная его компонента, отличная от нуля, — это 533 = 5ц — S±. Поэтому в любой новой
системе координат компоненты его будут равны Spy* = с^гз^зз • Для того чтобы в новой системе компоненты были такими же, как и в старой, нужно чтобы с^3 = ± 6^3. Все ортогональные матрицы, удовлетворяющие этому условию, можно представить при ct^ = б^8 в одной из форм (22.1), а при с^ = —б^д — в одной из форм
II—costp~8ШфOilI|cos2ipsin 2чрOil0<ф<2л,
sin ф — cos ф 0 , sin 2-ф — cos2ip 0 ,(22.2)
0011||| ОО1Ц0<ф<л.
Матрицы четырех перечисленных типов (22.1), (22.2), как видно из табл. 17.1, в совокупности образуют группу оо!тт. Ось оо этой группы направлена по собственному вектору к. Тензоры такой симметрии называют поперечно-изотропными или транс
версально-изотропными.
Когда все три собственных значения тензора различны, изберем
в качестве старой системы его собственную систему координат.
В ней отличны от нуля лишь три компоненты: Sn = *S(i), S22 = *^(2) и S33 = = S(3). Очевидно, в новой системе координат все компоненты тензора останутся неизменными, если матрица ортогонального преобразования имеет вид
II-1°' °||
0 ±1 о .(22.3)
II 00 ±11|
Этому требованию удовлетворяют восемь матриц группы ттт. Оси 2 этой группы направлены по собственным векторам тензора S.
Внешняя симметрия тензоров и век-
Рис. 22.1. К соотношению между сферическими (г, О Ф) и декартовыми (Xi, хя, ха) координатами.Рис. 22.1. К соотношению между сферическими (г, О Ф) и декартовыми (Xi, хя, ха) координатами.торов наглядно проявляется при их гра
Рис. 22.1. К соотношению между сферическими (г, О Ф) и декартовыми (Xi, хя, ха) координатами.
Рис. 22.1. К соотношению между сферическими (г, О Ф) и декартовыми (Xi, хя, ха) координатами.
фическом изображении. Для изображения симметричных тензоров
r^ = n-Sn = З^П),r^ = n-Sn = З^П),(22.4)(22.4)второго ранга применяются характеристические и указательные поверхности. Указательная поверхность тензора S описывается уравнением
r^ = n-Sn = З^П),
r^ = n-Sn = З^П),
(22.4)
(22.4)
которое означает, что от начала координат откладываются в каждом направлении п отрезки, численно равные нормальной составляющей тензора S в данном направлении; концы всех этих отрезков и образуют указательную поверхность. Так как шесть должным образом выбранных нормальных составляющих симметричного тензора второго ранга вполне его определяют, ясно, что по указательной поверхности тем более можно восстановить весь тензор.
Выразив компоненты единичного вектора п в сферических координатах (рис. 22.1)
/гх = sinti cos <р, лг2 = sin ^ sin ф, n3 = costS1, (22.5)
получим уравнение указательной поверхности в этих координатах. Наиболее простой вид оно будет иметь, если орты, от которых отсчитываются углы Ф и ф, совместить с собственными векторами тензора. Если все собственные значения тензора различны, то
г = (5(1) cos2 ф+ S(2) 81п2ф) sin2-0' + S(3) cos2 А. (22.6)
Если два его собственных значения совпадают, то
г = 5± + (5ц - S±) cos2 ft;(22.7)
независимость г от угла ф показывает, что это поверхность вращения, ось которой совпадает с собственным вектором. Наконец,независимость г от угла ф показывает, что это поверхность вращения, ось которой совпадает с собственным вектором. Наконец,Рис. 22.2. Указательные поверхности симметричных тензоров второго ранга S. Тензоры симметрии ттт; а) при S(3) > S(2) > S(1) > 0, 6) при S(D > S > 0 > S(3) .Тензоры симметрии со/тт: в) при 5ц > S± > о, а) при $ц > 0 >«Slf д) Тензор симметрии сексот при S > 0. Оси координат направлены по собственным векторам.Рис. 22.2. Указательные поверхности симметричных тензоров второго ранга S. Тензоры симметрии ттт; а) при S(3) > S(2) > S(1) > 0, 6) при S(D > S > 0 > S(3) .Тензоры симметрии со/тт: в) при 5ц > S± > о, а) при $ц > 0 >«Slf д) Тензор симметрии сексот при S > 0. Оси координат направлены по собственным векторам.для тензора S = 51 указательной поверхностью будет сфера, т. е. г = 5.
независимость г от угла ф показывает, что это поверхность вращения, ось которой совпадает с собственным вектором. Наконец,
независимость г от угла ф показывает, что это поверхность вращения, ось которой совпадает с собственным вектором. Наконец,
Рис. 22.2. Указательные поверхности симметричных тензоров второго ранга S. Тензоры симметрии ттт; а) при S(3) > S(2) > S(1) > 0, 6) при S(D > S > 0 > S(3) .Тензоры симметрии со/тт: в) при 5ц > S± > о, а) при $ц > 0 >«Slf д) Тензор симметрии сексот при S > 0. Оси координат направлены по собственным векторам.
Рис. 22.2. Указательные поверхности симметричных тензоров второго ранга S. Тензоры симметрии ттт; а) при S(3) > S(2) > S(1) > 0, 6) при S(D > S > 0 > S(3) .Тензоры симметрии со/тт: в) при 5ц > S± > о, а) при $ц > 0 >«Slf д) Тензор симметрии сексот при S > 0. Оси координат направлены по собственным векторам.
Если все собственные значения тензора S положительны, то расстояние г любой точки указательной поверхности от начала координат также положительно. Если же среди собственных значений встречаются отрицательные, то для некоторых направлений г также будет отрицательно. Так как расстояние между двумя точками — неотрицательное число, то, оставаясь в рамках обычной геометрии, соот-
ветствующую поверхность построить невозможно. А. В. Шубников предложил в этом случае части указательной поверхности, соответствующие отр и ца - тельным значениям г.
строить так же, как обычные положительные части поверхности, но окрашивать-их, в отличие от положительных, белых частей поверхности, в черный цвет.
На рис. 22.2 изображены различные типы указательных поверхностей. Симметрия этих поверхностей зависит лишь от того,
единичногоединичногоРис. 22.3. Указательная поверхность вектора; группа симметрии поверхности oom, группа антисимметрии (см. § 68) cojm'm.Рис. 22.3. Указательная поверхность вектора; группа симметрии поверхности oom, группа антисимметрии (см. § 68) cojm'm.сколько различных собственных значений имеет тензор, но не зависит от знаков собственных значений или от того, какое из них больше. Рисунок подтверждает, что при трех различных собственных значениях симметрия указательной поверхности ттт\ оси второго порядка совпадают с собственными векторами тензора. Если тензор имеет два совпадающих собственных значения, симметрия указательной поверхности оо/тт\ ось бесконечного порядка совпадает с собственным вектором, перпендикулярная к ней плоскость симметрии — с плоскостью собственных векторов. Наконец, если тензор имеет лишь одно собственное значение, симметрия указательной поверхности оо/оот.
единичного
единичного
Рис. 22.3. Указательная поверхность вектора; группа симметрии поверхности oom, группа антисимметрии (см. § 68) cojm'm.
Рис. 22.3. Указательная поверхность вектора; группа симметрии поверхности oom, группа антисимметрии (см. § 68) cojm'm.
Указательную поверхность можно построить и для вектора. Нормальной составляющей вектора © в направле вектора п естественно назвать число © • п. Указательная же поверхность вектора © характеризуется уравнением
г (д) = ©. я = о^.(22.8)
При произвольном выборе осей, от которых отсчитываются углы А и ф, это уравнение имеет довольно сложный вид
г = (^ cos ф + у2 sin ф) sin А + у3 cos О*, но если совместить положительное направление оси Х3, от которой отсчитывается угол А, с вектором ф, то (22.8) принимает вид
г = у cos 0*.(22.9)
То обстоятельство, что в него не входит угол ф, показывает, что это уравнение поверхности вра
щения. Эта поверхность представляет собой две соприкасающиеся сферы — белую и чердую (рис. 22.3); диаметр каждой из них равен у. Группа симметрии этой фигуры оот, как и следует, совпадает с группой внешней симметрии вектора.
r-S-r=l, SyXiXj=\.r-S-r=l, SyXiXj=\.(22.10)(22.10)Для изображения симметричного тензора второго ранга S пользуются также характеристической поверхностью. Это поверхность второго порядка с уравнением
r-S-r=l, SyXiXj=\.
r-S-r=l, SyXiXj=\.
(22.10)
(22.10)
Sd)^ + 5(2)ХЦ-S(S)>^ = 1Sd)^ + 5(2)ХЦ-S(S)>^ = 1(22.11)(22.11)В системе координат, построенной на главных осях тензора, оно принимает вид
Sd)^ + 5(2)ХЦ-S(S)>^ = 1
Sd)^ + 5(2)ХЦ-S(S)>^ = 1
(22.11)
(22.11)
и, в зависимости от знаков собственных значений, описывает эллипсоид (+++), однополостный гиперболоид (+ + —), двуполо- стный гиперболоид (Н) или мнимый эллипсоид ().
Представив радиус-вектор г в виде г = гр. где г — его длина, а р— единичный вектор, найдем из уравнений (22.10), что
г = , 1 = -7=2=. (22.12) Vp-sp VsthPiPh
Таким образом, характеристическая поверхность лежит в тех конусах, в которых располагаются белые части указательной поверхности, причем радиус-вектор характеристической поверхности обратно пропорционален квадратному корню из радиуса-вектора указательной поверхности в том же направлении.
Иначе говоря, расстояние любой точки характеристической поверхности от ее центра обратно корню квадратному из нормальной составляющей в направлении, соответствующем данной точке. Этот вывод, как и сама формула (22.12), имеет смысл лишь при условии, что все собственные значения тензора положительны. На практике характеристические поверхности обычно используются для изображения тензоров, все собственные значения которых положительны. Особенно широко применяются они в кристаллооптике: оптическая индикатриса, эллипсоид Френеля (см. §§ 35, 36). Среди всевозможных центральных сечений эллипсоида, т. е. сечений эллипсоида плоскостью, проходящей через его центр, выделяются круговые сечения — центральные сечения, имеющие форму окружности. Направления, перпендикулярные к круговым сечениям характеристических поверхностей, называются в кристаллооптике оптическими осями. Очевидно, у сферы любое центральное сечение — круговое и любой диаметр — оптическая ось. У эллипсоида вращения круговым является сечение плоскостью собственных векторов, а оптической осью — ось симметрии бесконечного порядка. Поэтому симметричный тензор второго ранга с двумя совпадающими собственными значениями называют не только поперечноизотропным, но также и одноосным.
Эллипсоид общего вида имеет два круговых сечения и соответственно две оптические оси. Поэтому симметричный тензор второго ранга с тремя различными собственными значениями иногда называют двуосным.
Каждый симметричный тензор второго ранга имеет изотропные плоскости; центральные сечения характеристической и указательной поверхностей тензора этими плоскостями представляют собой окружности. Нормали к изотропным плоскостям назовем осями изотропии. Очевидно, у изотропного тензора любое центральное сечение — изотропная плоскость и любое направление — ось изотропии. У трансверсально-изотропного тензора изотропной плоскостью служит плоскость собственных векторов. Так как у трансверсально-изотропного тензора только одна ось изотропии, его называют также одноосным (Ф. И. Федоров, 1958, 1965).
Тензор с тремя различными собственными значениями имеет две оси изотропии; это следует из наличия у поверхности второго порядка S(1)x; + S(2)xl + S(3)x| = 1, где S(1) ^ S(2) ^ S(3), двух круговых сечений. Поэтому такие тензоры называют двуосными. Действительно, с любой парой единичных векторов сг и г"можно связать тензоры
S = al + 6 ^с" + eV), Sif = аЬи + b (c-Cj + с^с^. (22.13) Если полагать, что сг и сн— единичные векторы оптических осей, то форма записи (22.13) называется оптическим представлением тензора. Все нормальные составляющие тензора S в направлениях, перпендикулярных к любому из векторов с' и г", равны между собой: как при п • с' = 0, так и при п • см = О
п-S п = ап \ п-Щп-с'с" n-Vn-с”с* -п^=а.
Значит, плоскости, перпендикулярные к векторам с* и г", — изотропные плоскости, а сами векторы с* и с*’ направлены по осям изотропии. Легко проверить, что собственные векторы (не нормированные!) и отвечающие им собственные значения тензора S равны соответственно
и^^с* — с\ 5(1) = а —&(1 — г'-г");
и^ = с,хс\ S^ = a;(22.14)
и^ = сг -\-с\ 5(3)=а + &(1 -Vc' *с"\
Таким образом, собственный вектор, соответствующий среднему по величине собственному значению, перпендикулярен к плоскости осей изотропии (т. е. направлен по линии пересечения изотропных плоскостей); остальные два собственных вектора направлены по биссектрисам углов между осями изотропии. Единичные векторы осей изотропии можно выразить через единичные собственные векторы и^ и собственные значения S(1) < S(2) < S(3) тензора S:
с' = кги^+к3и^\ с" = — кхи^ +к3и№,
а, 1ГSo, ^(2) к i/*S(2> — 5(D(22.15)
СС >У QQ •
г °(3) °(1)f ^(3) °(1)
Оси изотропии характеристических поверхностей, применяемых в кристаллооптике, — оптической индикатрисы и эллипсоида Френеля — называются оптическими осями первого и второго рода или бинормалями и бирадиалями (см. §§ 35, 36). Вообще представление тензоров в форме (22.13) применяется главным образом в кристаллооптике (Ф. И. Федоров, 1958).
Аксиальные векторы
Наряду с векторами, описывающими перемещение, скорость, ускорение, силу и вполне законно изображаемыми стрелкой, в физике применяются и векторы совершенно другого типа, описы-
6 Ю. И. Сиротин, М. П. Шаскольская
вающие поворот, угловую скорость, угловое ускорение, момент силы, напряженность и индукцию магнитного поля. Они характеризуют вращение вокруг некоторой оси, и их естественно изобра- /жать отрезком прямой, направленной па
/ раллельно оси с указанием направления / вращения вокруг оси (рис. 23.1). Длина отрезка должна быть пропорциональна длине /вектора. Такие векторыназываются ак-
/спальными, обычные жевекторы, чтобы
/подчеркнуть их отличиеот аксиальных,
^^ называют иногда полярными.
Аксиальные векторы отличаются от по- аксиальный (б) векторы^. лярных группой симметрии. Группа СИМ
'метрик аксиального вектора оо/m. В от
личие от группы симметрии полярного вектора оот, она центросимметрична: аксиальный вектор инвариантен относительно инверсии (а также относительно отражения в перпендикулярной к нему плоскости).
Два пересекающихся аксиальных вектора образуют между собой два угла, дополняющие друг друга до л. Если поворачивать один вектор до совмещения со вторым, то при повороте на один из этих углов направления обхода при совмещении векторов совпадут, а при повороте на другой угол окажутся противоположными. Именно
Рио. 23.2. Углы между аксиальными векторами.
первый из этих углов мы будем считать углом между аксиальными векторами (рис. 23.2).
Рассмотрим алгебру аксиальных векторов. При умножении аксиального вектора на положительное число X длина его увеличивается в X раз, если же X отрицательно, то при этом направление обхода меняется на обратное.
Сумма двух аксиальных векторов а и b определяется подобно сумме полярных векторов. И здесь можно воспользоваться любым из двух эквивалентных способов: способом параллелограмма или
О о способом треугольника. По первому из них на векторах а и бстро-
о о о
ится параллелограмм; вектор с = а + Ь совпадает с той из его
диагоналей, которая рассекает угол между векторами а и Ь, направ
О ление же обхода выбирается так, чтобы при повороте вектора с
ООо
в пределах угла между векторами а и b и совмещении с с одним из этих векторов направления обхода совпали бы (рис. 23.3).
Рис. 23.3. Сложение аксиальных векторов; способ параллелограмма.Рис. 23.3. Сложение аксиальных векторов; способ параллелограмма.
Рис. 23.3. Сложение аксиальных векторов; способ параллелограмма.
Рис. 23.3. Сложение аксиальных векторов; способ параллелограмма.
При сложении двух аксиальных векторов по способу треугольника векторы а и 8 совмещаются концами так, чтобы направление обхода вдоль получившейся ломаной не менялось бы. Соединив свободные концы отрезком и задав на нем противоположное направ-
Рис. 23.4* Сложение аксиальных векторов: способ треугольника (многоугольника).
ление обхода, мы и получим вектор с = а + Ь. Как и в случае сложения полярных векторов, этот способ легко обобщается в способ многоугольника, позволяющий складывать сразу несколько векторов (рис. 23.4).
Скалярное произведение двух аксиальных векторов равно произведению длин векторов на косинус угла между ними: а • b = = ab cos у. Задание скалярного умножения позволяет ввести орто- о о о
нормированный базис ег, е2, е8, состоящий из аксиальных векторов 6*
оо°
^et • в; = бу). Любой аксиальный вектор а можно разложить по этому базису:
а = а{е{,(23.1)
причем
О ОО
at = aeb(23.2)
о о о о оро о
Легко показать, что если с= а+ Ь.то ct= at + оьи что а • о =
о о
= atbi.о
Закон преобразования коэффициентов разложения at таков же, как и закон преобразования компонент полярного вектора: если
ер=секвк1(23.3)
то
av = сркак.(23.4)
о
Элементы матрицы ||с^ || являются косинусами углов между базис- о о
ными аксиальными векторами ер и ек. Так как аксиальный базис
46,а)6)46,а)6)
46,
а)6)
46,
а)6)
Рио. 23.5. Преобразование аксиального векторного базиса о определителем — 1 (стереографическая проекция). Базис б нельзя получить из базиса а никаким ортогональным преобразованием.
инвариантен относительно инверсии, то подвергается ли он соб- О
ственному повороту R (к, ф) на угол ф вокруг единичного вектора О-> Оо
к или инверсионному повороту 1R (к, ф), — матрица || срк || все равно совпадает с матрицей соответствующего собственного поворота. Поэтому при любых ортогональных преобразованиях det || срк || = 1.
Правда, можно представить себе и такие преобразования акси- О ального векторного базиса, которым соответствуют матрицы ||с^|| с определителем —1. Таково, например, преобразование конфигурации а в конфигурацию б на рис. 23.5; оно описывается матрицей cVk = ~ 6^а- Однако такие преобразования не являются орто-
гональными; они будут рассмотрены в §71. В рамках же группы ортогональных преобразований ортонормированные аксиальные векторные базисы распадаются на два класса. Два базиса, входящих в один класс, совмещаются друг с другом посредством двух
О _о
ортогональных преобразований: R (k, ф) и I R (й, ф), которым соответствует одна и та же матрица || ср6|| с определителем + 1. Базисы же, входящие в различные классы, никаким ортогональным преобразованием друг с другом не совмещаются, орты их образуют между собой такие углы, что det || ccfe || = — 1 ).
Рис. 23.6. Определение направлений обхода вокруг базисных векторов (а) и сохранение их при инверсии (б).
В большинстве физических задач аксиальные векторы применяются вместе с полярными, и желательно относить векторы обоих типов к одному и тому же базису. Пригоден для этой цели только полярный базис, потому что он существенно изменяется при каждом ортогональном преобразовании в отличие от аксиального, который инвариантен относительно инверсии.
Зададим произвольный ортонормированный полярный векторный О ОО базис еь #2> ^з- Построим на нем аксиальный базис е ь #2, ^8 так,
' оОО
чтобы ех совпадал с е2 — с е2, е3 — с £3, а направления обхода вокруг аксиальных базисных векторов определим по нумерации полярных векторов: направление обхода вокруг ех выбирается от конца вектора g2 к концу вектора е3, направление обхода вокруг ОО
^2 — от конца е3 к концу ех. вокруг е3 — от конца ех к концу е2 (рис. 23.6). Это определение направлений обхода инвариантно:
оно сохраняется при любых ортогональных преобразованиях; для проверки достаточно подвергнуть получившуюся фигуру инверсии. Заметим, что в этом определении направление обхода вокруг
о
вектора ех связано не с направлением вектора ех. но с направлениями векторов е2 и ^3.
о
Связь направления обхода вокруг вектора ех с направлением вектора еъ напротив, не инвариантна относительно инверсионных поворотов. Именно полярный вектор вместе с совмещенным с ним аксиальным вектором образуют либо правый, либо левый винт (рис. 23.7). При этом определение направления вращения по нумерации полярных базисных векторов гарантирует, что и обе остальные пары базисных векторов образуют винт того же направления. Это позволяет присвоить то же наименование и базису. При соб-
—е—- е—МММ МММа)б)Рис. 23.7. Совмещенные полярный и аксиаль-ный векторы: образующие правый (а) и ле-вый (б) винты.—е—- е—МММ МММа)б)Рис. 23.7. Совмещенные полярный и аксиаль-ный векторы: образующие правый (а) и ле-вый (б) винты.ственных поворотах правые винты остаются правыми, а левые — левыми, при инверсионных же наименования винтов изменяются на обратные. Соответственно изменяется и наименование базиса.
—е—- е—
МММ МММа)б)
Рис. 23.7. Совмещенные полярный и аксиаль-ный векторы: образующие правый (а) и ле-вый (б) винты.
—е—- е—
МММ МММа)б)
Рис. 23.7. Совмещенные полярный и аксиаль-ный векторы: образующие правый (а) и ле-вый (б) винты.
С другой стороны, тройка векторов полярного базиса также может быть правой или левой (правой она называет
ся, если можно совместить вектор ех с большим, #2 с указательным, е3 со средним пальцами правой руки). При собственных поворотах правая тройка остается правой, а левая — левой, при инверсионных же правая превращается в левую, а левая — в правую.
Когда направления обхода вокруг аксиальных векторов опре
делены по нумерации совмещенных с ними полярных векторов, оба базиса оказываются согласованными: наименование винтов, образованных парами совмещенных векторов, совпадает с наименованием тройки полярных векторов; если, например, еъ ег. е^ образуют правую тройку, то винты, образованные векторами
О ОО
ех и ех, #2 и ^2, е3 и е3, также правые. Согласованность полярного и аксиального базисов инвариантна относительно любых ортогональных преобразований.
Таким образом, заданному полярному базису соответствует один и только один аксиальный, и связь между ними сохраняется при всех ортогональных преобразованиях; напротив, каждому аксиальному базису соответствуют два полярных. Это и позволяет относить к полярному базису компоненты не только полярных, но и аксиальных векторов. Когда полярный базис подвергается ортогональному преобразованию е^ = c^keki связанный с ним
О ОО
аксиальный базис преобразуется по закону е^ = Ci,kekl причем о.о
сСк = Cfk при собственных поворотах и ct.k = — срк при инверсионных. С обозначением Д = det || а-к II это можно записать в виде
c°^ = Acpfe.(23.5)
Коэффициенты az разложения
а = atet(23.6)
О
аксиального вектора а по полярному базису по определению равны о
коэффициентам а( его разложения по аксиальному базису, связанному с данным полярным базисом; их можно назвать просто компо- о
нентами аксиального вектора а. Закон их преобразования выводится из сравнения формул (23.4) и (23.5):
av = kci,kak.(23.7)
Из формулы (23.6) следует, что компоненты аксиального вектора
а^а et(23.8)
— это скалярные произведения аксиального вектора на полярные. В общем случае скалярное произведение аксиального вектора а = акек на полярный р = ptet равно
ар = (акек) • (pzez) = акрк.(23.9)
Закон его преобразования следует из законов преобразования компонент аксиального (23.7) и полярного (18.1) векторов:
avpv = ^CvkafcCutPt = A6„za,,pz = ^акрк(23.10)
(здесь использована формула (17.4)). Таким образом, это скалярное произведение инвариантно относительно собственных поворотов координатной системы и умножается на — 1 при инверсионных поворотах. Такие величины называются псевдоскалярами; закон их преобразования имеет вид
ф' = Дф,(23.11)
где ф — компонента псевдоскаляра в старой системе координат, ф' — в новой системе, а Д — определитель матрицы ортогонального преобразования, переводящего старую систему в новую.
Примером псевдоскаляров служит величина удельного вращения плоскости поляризации изотропных или оптически изотропных веществ, вращающих плоскость поляризации (водный раствор сахара, кубические кристаллы NaC103 и NaBrO3 и др.). Эта величина считается положительной, если направление вращения плоскости поляризации характеризуется винтом, разноименным с винтом
координатной системы, и отрицательной в противном случае (см. §81). Так как при инверсионном повороте координатной системы наименование ее винта меняется, величина удельного вращения относительно новой координатной системы и та же величина относительно старой системы будут иметь противоположные знаки. Обычно удельное вращение указывается относительно правой системы координат.
Скалярное произведение аксиального вектора на полярный можно определить и чисто геометрически (рис. 23.8): оно равно произведению длин векторов на косинус угла между ними, причем из двух возможных (дополняющих друг друга до л) углов выби-
о-о-
о-
о-
О-б)О-б)о-
О-б)
О-б)
а)
Рис. 23.8. К определению угла между полярными и аксиальными векторами: а) угол между полярным и аксиальным векторами в правой системе координат, б) угол между теми же векторами в левой системе координат.
рается такой, чтобы при повороте одного из векторов на этот угол до совмещения со вторым получался винт того же наименования, что и базис (или построенная на нем координатная система). Таким образом, скалярное произведение полярного и аксиального векторов имеет смысл только при задании определенной координатной системы, точнее, при указании, является она правой или левой.
Перейдем к рассмотрению векторных произведений. Векторное произведение двух полярных векторов р X q есть по определению аксиальный вектор длины pq sin а, перпендикулярный к обоим сомножителям, направление вращения которого совпадает с направлением вращения, совмещающего первый сомножитель со вторым (рис. 23.9, а\♦
Векторное произведение двух аксиальных векторов определяется точно так же (рис. 23.9, б).
Векторное произведение аксиального вектора на полярный о
а X р есть полярный вектор длины ар sin а, перпендикулярный к обоим сомножителям и направленный так же, как была бы направо
лена нормальная к а составляющая pL вектора р после поворота о
на л/2 вокруг вектора а в направлении его вращения (рис. 23.9, в). При этом некоторая неопределенность угла между полярным и
аксиальным векторами не имеет значения, поскольку sin (л — а) = = sin а. При перестановке сомножителей направление этого векторного произведения, как и рассмотренных ранее, меняется на обратное.
Для записи компонент всех этих векторных произведений возможна единая форма: пусть с = b X d, где каждый из векторов
Рис 23.9. Векторные произведения: а) двух полярных векторов, б) двух аксиальных, в) аксиального и полярного.Рис 23.9. Векторные произведения: а) двух полярных векторов, б) двух аксиальных, в) аксиального и полярного.
Рис 23.9. Векторные произведения: а) двух полярных векторов, б) двух аксиальных, в) аксиального и полярного.
Рис 23.9. Векторные произведения: а) двух полярных векторов, б) двух аксиальных, в) аксиального и полярного.
b и d можно считать как полярным, так и аксиальным вектором, а тип вектора с определяется типами векторов-сомножителей. Тогда
(23.12)(23.12)Ci = ^ijkbjdk»
(23.12)
(23.12)
Эта форма применима также и для записи дифференциальной операции rot. Как известно, векторную функцию координат и = = rot © можно представить в виде й = у X у, где символический вектор V = ^ ^-. Поэтому компоненты вектора и = rot ф равны
(23.13)(23.13)л д^ки‘ = ЬУкд^'
(23.13)
(23.13)
Основы тензорного исчисления излагаются во многих руководствах, например, Акивис и Гольдберг (1969); Борисенко и Тарапов (1966); Вакуленко (1972); Рашевский (1964); Схоутен (1965). Кроме того, в некоторых монографиях и учебных пособиях по механике сплошных сред и кристаллофизике содержатся разделы, посвященные тензорному исчислению: Вустер (1977); Лурье (1970); Най (1967); Седов (1962, 1970); Ф. И. Федоров (1965; 1975); Wooster (1938), См, также: Сиротин (I960, 1960а, 1961, 1964),
Г Л A В A III
ВВЕДЕНИЕ В КРИСТАЛЛОФИЗИКУ.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ
Анизотропные сплошные среды
Основное исходное понятие любой теории сплошной среды — элементарный объем, т. е. мысленно выделяемая часть исследуемого материала, размеры которой удовлетворяют двум требованиям: 1) она должна заключать в себе столь много структурных единиц (в случае кристалла — элементарных ячеек, в случае стеклопластика — отдельных стеклянных нитей и т. д.), чтобы ее с достаточной точностью можно было считать однородной; 2) она должна быть настолько мала, чтобы можно было пренебречь изменением физических полей на ее протяжении: в пределах одного элементарного объема физические поля (электрическое, магнитное, поле механических напряжений и т. д.) рассматриваются как однородные. Обозначив постоянную решетки а, характерный размер элементарного объема у^и, а градиент поля дЕ/дх (рассматривается для определенности электрическое поле), можно записать оба эти требования как неравенство
a<V"<T№-Р4-1)
Если поле периодично в пространстве и характеризуется длиной волны К, то (24.1) принимает вид
a<Vo<k(24.2)
Из того, что сплошная среда представляется однородной в пределах одного элементарного объема, еще не следует, что она однородна в целом, т. е. что свойства всех элементарных объемов одинаковы. Отсюда следует лишь, что свойства соседних элементарных объемов близки. Рассматривая как пример диэлектрическую проницаемость к, можно записать для любой сплошной среды
неравенство
a<V«<№
или-|^ <^ > в то время как в однородной среде
Рассматривая воздействие на кристалл физических полей, длина волны которых значительно превышает размеры элементарной ячейки, можно отвлечься от микроскопического строения кристалла и представлять его себе как некоторую сплошную среду. Напротив, в эффектах взаимодействия кристаллического вещества с полями, длина волны которых сравнима с размерами элементарной ячейки, проявляется дискретное строение кристалла, что и позволяет использовать эти эффекты для исследования его структуры.
В этой книге кристаллы рассматриваются как однородные анизотропные сплошные среды ). Однородной анизотропной средой называется среда, свойства которой не зависят от декартовых координат, хотя и зависят от направления. При этом одинаковыми направлениями считаются параллельные направления, а одинаковыми плоскостями — параллельные плоскости.
Иногда такие среды называют прямолинейно-анизотропными, в отличие от криволинейно-анизотропных — например, цилиндрически- или сферически-ани- зотропных сред. Однако мы будем считать однородными только прямолинейноанизотропные среды. Желательно, чтобы определение однородности было инвариантно, т. е. материал признавался бы однородным или неоднородным вне зависимости от того, в какой системе координат он описывается. А для этого необходимо требовать равенства нулю не частных, а ковариантных производных по координатам тензоров, характеризующих свойства материала. Поскольку для равенства нулю ковариантных производных по любым криволинейным координатам необходимо и достаточно равенство нулю частных производных по декартовым координатам, действительно однородны только прямолинейно-анизотропные материалы.
Анизотропия физических свойств кристалла определяется путем измерения этих свойств на различно ориентированных кристаллических образцах. Так, анизотропию теплового расширения кристаллов можно выяснить, измерив относительные изменения толщины ka/a различно ориентированных кристаллических пластинок при их нагревании. Коэффициент теплового расширения для пластинки, ориентация которой задана индексами Миллера Qikt^
a<hh^ =
ООгде 0 — разность температур до и после нагрева. Аналогично, анизотропия модуля Юнга выясняется при измерении относительных удлинений МП различно ориентированных кристаллических стержней под действием растягивающего напряжения а: для стержня
О
О
Упругие свойстваУпругие свойства(W)^] *(W)^] *luvw] модуль Юнга равен E^wx
Упругие свойства
Упругие свойства
(W)^] *
(W)^] *
материалов характеризуются не только модулем Юнга, но также и модулем кручения цилиндра G. Измеряя относительные углы закручивания ф// различно ориентированных круглых кристаллических стержней под действием крутящего момента К, получим для стержня \wowA модуль кручения GxUvwa = т-т^—, где J — полярный момент инерции поперечного сечения стержня. Часто пользуются обратными величинами: Е”1 и G"1; их называют коэффициентом растяжения и коэффициентом кручения ).
Ориентацию кристаллических стержней и пластинок можно задавать также единичным вектором п. направленным вдоль оси стержня или по нормали к пластинке (о связи его компонент с индексами Миллера см. § 16). Компоненты п^ вектора п, в свою очередь, можно выразить посредством формул (22.5) через сферические координаты— углы А и ф (см. также рис. 22.1). В результате коэффициент теплового расширения, модуль Юнга и модуль кручения цилиндра представляются в виде функций единичного вектора а (я), Е (я), G (я) или сферических координат а ($,ф), Е (А, ф), G (А, ф).
Если из некоторой точки О — начала сферической системы координат — провести всевозможные лучи, характеризуемые углами О и ф, и отложить на них в некотором масштабе значения а (О, ф) или Е (А, ф), получатся указательные поверхности коэффициента теплового расширения и модуля Юнга; модели таких поверхностей для некоторых кристаллов приведены на рис. 24.1 — 24.10. Модели указательных поверхностей, хотя и очень наглядны, сложны в изготовлении и мало пригодны для количественных оценок. Несколько удобнее в этом отношении сечения указательных поверхностей (см. рис. 24.5, 24.8, б, 24.10). Однако и они позволяют оценивать величину изображаемого свойства только в некоторых направлениях. Иногда указательная поверхность оказывается поверхностью вращения, и тогда по ее сечению можно судить о величине свойства во всех направлениях (см. рис. 24.3 и 24.6). В остальных случаях для этого нужны стереографические проекции указательных поверхностей (Бутабаев и Сиротин, 1972, 1973; Сиротин и Янусова, 1977). На этих проекциях физические свойства представляются графи-
Рис. 24.1. Модель верхней половины (нижняя — ее зеркальное отражение) указательной поверхности коэффициента теплового расширения кристалла арагонита, класс mmm (а), и ее стереографическая проекция; в 10~* К-1 (б) (Вутабаев и Сиротин, 197В).
6)
Рис. 24.2. Модель верхней половины (нижняя — ее зеркальное отражение) указательной поверхности коэффициента теплового расширения кристалла сегнетовой соли, класс 222 (а), и ее стереографическая проекция; в 10~® К”1 (б). Различие в виде стереографических проекций рис. 24 1 и 24.2 объясняется тем, что у арагонита центру проекции (ось X») соответствует экстремальное значение функции а (О, Ф), а у сегнетовой соли — седловидная точка этой функции (Бутабаев и Сиротин, 1973).
Рис. 24.3. Сечения указательных поверхностей коэффициента теплового расширения, представляющих собой поверхности вращения: а) для кристалла сапфира, класс 3m; б) для турмалина, класс 3m; а) для дигидрофосфата калия (KDP), класс 42m; а) для дигидрофосфата аммония (ADP), класс 42m; д) для кальцита — класс 3m (Бутабаев и Си' ротин, 1972).
й)
а)
6)
61
г)
Рис. 24.4. Модели указательных поверхностей модуля Юнга: а) для монокристалла золота, класс m3m; б) для алюминия, класс тЗт; а) для магния^ класс 6/ттт; г) для цинка класс 6/ттт. Симметрия первых двух поверхностей тЗт, остальных — оо/тт (Kleber.
1977).
Рис. 24.6. Указательная поверхность коэффициента растяжения кристалла барита, класс ттт, и ее сечения; буквы а, Ь, ... указывают расположение сечений относительно поверхности (Грот, 1897).
Рис. 24.6. Сечения указательных поверхностей упругих свойств, представляющих собойповерхности вращения: а) для кристаллов цинка, класс Slmmm\ б) для кадмия, класс6/ттт; в) для сульфида кадмия (CdS), класс бтт; г) для а-карбида кремния, класс 6mm;/ — сечение поверхности коэффициента растяжения, 2 — поверхности коэффициента кру-чения (Бутабаев и Сиротин, 1972).
Рис. 24.7. Верхняя половина (нижняя — ее зеркальное отражение) модели указательной поверхности коэффициента растяжения кристалла кремния, классГ/иЗ/п (Бутабаев и Смыслов, 1971).
Рис. 24.8. Верхняя половина (нижняя ее половина получается из верхней инверсией в центре) модели указательной поверхности коэффициента растяжения кристалла сапфира, класс Зт (а) и сечения указательной поверхности вертикальными плоскостями (б); / — плоскостью, проходящей через Хъ 2 — плоскостью, отстоящей от первой на +15°, 3 — на +30°, 4 — на —15°, 5 — на —30°, знаки углов соответствуют повороту к положительному (+) или отрицательному (—) концу оси Ха (Бутабаев и Смыслов, 1971).
8)
Рис. 24.9. Указательная поверхность коэффициента растяжения кристалла кварца, класс 32. а — выход направления [0001], bb и сс — концы трех наибольших и трех наименьших диаметров. Сплошная линия — круговое сечение указательной поверхности плоскостью (0001). Пунктирные линии — сечения указательной поверхности плоскостями (2110). Симметрия поверхности 3m (Грот, 1897).Рис. 24.9. Указательная поверхность коэффициента растяжения кристалла кварца, класс 32. а — выход направления [0001], bb и сс — концы трех наибольших и трех наименьших диаметров. Сплошная линия — круговое сечение указательной поверхности плоскостью (0001). Пунктирные линии — сечения указательной поверхности плоскостями (2110). Симметрия поверхности 3m (Грот, 1897).Рис. 24.10. Сечения указательных поверхностей коэффициента растяжения (внутри) и коэффициента кручения (снаружи) кристалла кварца, класс 32, координатными плоскостями (Wooster, 1949). Ср. с рис. 24.9 и 24.11 (кристаллографическая система координат на рис. 24.11 отличается от используемой здесь поворотом на 180° вокруг оси Х3).Рис. 24.10. Сечения указательных поверхностей коэффициента растяжения (внутри) и коэффициента кручения (снаружи) кристалла кварца, класс 32, координатными плоскостями (Wooster, 1949). Ср. с рис. 24.9 и 24.11 (кристаллографическая система координат на рис. 24.11 отличается от используемой здесь поворотом на 180° вокруг оси Х3).
Рис. 24.9. Указательная поверхность коэффициента растяжения кристалла кварца, класс 32. а — выход направления [0001], bb и сс — концы трех наибольших и трех наименьших диаметров. Сплошная линия — круговое сечение указательной поверхности плоскостью (0001). Пунктирные линии — сечения указательной поверхности плоскостями (2110). Симметрия поверхности 3m (Грот, 1897).
Рис. 24.9. Указательная поверхность коэффициента растяжения кристалла кварца, класс 32. а — выход направления [0001], bb и сс — концы трех наибольших и трех наименьших диаметров. Сплошная линия — круговое сечение указательной поверхности плоскостью (0001). Пунктирные линии — сечения указательной поверхности плоскостями (2110). Симметрия поверхности 3m (Грот, 1897).
Рис. 24.10. Сечения указательных поверхностей коэффициента растяжения (внутри) и коэффициента кручения (снаружи) кристалла кварца, класс 32, координатными плоскостями (Wooster, 1949). Ср. с рис. 24.9 и 24.11 (кристаллографическая система координат на рис. 24.11 отличается от используемой здесь поворотом на 180° вокруг оси Х3).
Рис. 24.10. Сечения указательных поверхностей коэффициента растяжения (внутри) и коэффициента кручения (снаружи) кристалла кварца, класс 32, координатными плоскостями (Wooster, 1949). Ср. с рис. 24.9 и 24.11 (кристаллографическая система координат на рис. 24.11 отличается от используемой здесь поворотом на 180° вокруг оси Х3).
чески в виде линий уровня. Как показано в § 2, каждому направле
нию в пространстве соответствует определенная точка на стереографической проекции. В свою оче
редь, в кристалле каждому направлению соответствует определенное значение анизотропного физического свойства. Соединив те точки на стереографической проекции, которые характеризуются одной и той же величиной физического свойства, получаем линию уровня данного свойства, а совокупность этих линий образует стереографическую проекцию указательной поверхности этого физического свойства (см. рис. 24.1, б, 24.2, б, 24.11).
Рассмотрим, например, рис. 24.1, б— стереографическую проекцию указательной поверхности коэффициента теплового расширения арагонита, изображенной на рис. 24.1, а. Как известно (см. § 2), каждому направлению верхней полусферы соответствует определенная точка круга стереографической проекции. Линии на стереографической проекции указательной поверхности соеди-
няют точки, соответствующие тем направлениям, в которых коэффициент теплового расширения арагонита одинаков, а именно, те,
в которых а (Ф, <р) = 10,0; 11,5; 13,0; ...; 32,5; 34,0; 35,0 • Ю^К"1. Итак, это линии уровня функции а (О', у).
Стереографические проекции указательных поверхностей можно использовать как номограммы для определения величины, характеризующей данное свойство в любом заданном направлении, или
для определения направлений, в которых эта величина имеет заданное (в частности, экстремальное) значение. Для этого нужна полярная сетка того же диаметра, что и данная проекция; ее можно просто начертить на прозрачной бумаге. Если на сетку нанести кристаллографические плоскости и направления, можно определить также количественные характеристики свойств для них, например, сцк^, Eyuvw} или G[U1)W] (Бутабаев и Сиротин, 1975).
Риа. 24.11. Стереографические проекции указательных поверхностей коэффициентов растяжения (а) и кручения (б) кристалла кварца, класс 32; в IO"18 см/дин. Нижние круги стереографических проекций получаются из приведенных поворотом на 180° вокруг оси Xi. Видно, что плоскости {2П0} (в частности, плоскость Х,ХЭ) являются плоскостями симметрии этих поверхностей, точечная группа которых равна, таким образом, 3m. Ср. с рис. 24.9 и 24.10.
Многие величины, характеризующие свойства кристаллов во всех направлениях, положительны; таковы, например, модуль Юнга и модуль кручения цилиндра, но есть и такие, которые могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, например, коэффициент теплового расширения кальцита (рис. 24.3,5). Части указательной поверхности, соответствующие отрицательным значениям величины, характеризующей данное свойство, окрашиваются в черный цвет, в противоположность положительным — белым ее частям (ср. указательные поверхности векторов и тензоров второго ранга, рис. 22.3, 22.2), или просто отмечают знаками «минус» и «плюс».
Принцип симметрии в кристаллофизике
С точки зрения кристаллофизики 39 кристаллографических и предельных классов — это 39 возможных типов взаимодействия анизотропии и симметрии сплошной среды, 39 типов противоборства
этих двух факторов. Один из них — класс 1 — характеризуется безоговорочной победой анизотропии в этом противоборстве: в кристаллах этого класса анизотропия может проявляться в полной мере, ничем не стесняемая. Два предельных класса — оооо/тг и оооо — отмечены столь же решительным ее поражением: в средах, обладающих такой симметрией, все направления эквивалентны, а это означает, что анизотропия в них вообще невозможна. Каждый из остальных 36 классов характеризуется строго определенными ограничениями, налагаемыми на анизотропию тех или иных физических свойств. Эти ограничения — логическое следствие симметрии кристалла.
Вопрос о влиянии симметрии кристалла на его свойства — лишь часть более общего вопроса о роли симметрии в физике и, более того, в теоретическом естествознании в целом ). Общий принцип, определяющий влияние симметрии на все без исключения физические явления, сформулировал Пьер Кюри в 1893—1895 гг.: «Когда определенные причины вызывают определенные следствия, то элементы симметрии причин должны проявляться в вызванных ими следствиях.
Когда в каких-либо явлениях обнаруживается определенная диссимметрия, то эта же диссимметрия должна проявляться в причинах, их породивших ).
Положения, обратные этим, неправильны, по крайней мере практически; иначе говоря, следствия могут обладать более высокой симметрией, чем вызвавшие их причины» ).
Все свойства кристаллов определяются их строением. Поэтому в применении к свойствам кристаллов принцип Кюри утверждает, что все элементы симметрии кристалла являются в то же время элементами симметрии любого его свойства; напротив, любая диссимметрия какого-либо свойства кристалла свидетельствует о соответствующей диссимметрии в строении, кристалла.
Это утверждение можно несколько уточнить. Рассматривая симметрию любого макроскопического свойства кристалла, надлежит считать физически бесконечно малыми параметры ячейки, а значит, и входящие в пространственную группу кристалла элементарные трансляции. Отсюда вытекают два важных вывода. Во-первых, из трансляционной симметрии кристалла следует однородность кристалла относительно любого макроскопического свойства; иными словами, если кристалл рассматривается как сплошная среда, его нужно считать однородной сплошной средой. Во-вторых, если эле-
ментарные трансляции бесконечно малы, доли их и подавно малы, а отсюда следует, что для макроскопических свойств различия между простыми и винтовыми осями, между зеркальными плоскостями и плоскостями скользящего отражения совершенно несущественны. Таким образом, симметрия макроскопических свойств кристаллов определяется не пространственной, а точечной группой симметрии кристалла; этот вывод совпадает с известным принципом Неймана (Neumann, 1885), современная формулировка которого гласит: «Элементы симметрии любого физического свойства кристалла должны включать элементы симметрии точечной группы кристалла» ). Итак, принцип Неймана можно рассматривать как следствие принципа Кюри, хотя был он установлен раньше и сыграл важную роль в развитии кристаллофизики ).
(25.1)(25.1)^свойства — ^кристалла*^свойства — ^кристалла*На языке теории групп принцип Неймана означает, что группа симметрии любого свойства кристалла включает в себя группу симметрии самого кристалла, т. е. группа симметрии кристалла либо совпадает с группой симметрии свойства, либо является подгруппой последней:
(25.1)
(25.1)
^свойства — ^кристалла*
^свойства — ^кристалла*
Соотношению (25.1) должна удовлетворять группа симметрии любого свойства кристалла. Если рассмотреть достаточно обширный набор различных свойств некоторого кристалла, то единственными общими элементами симметрии всех без исключения свойств, входящих в этот набор, окажутся элементы симметрии точечной группы кристалла. Таким образом, точечная группа кристалла оказывается пересечением (общей частью) групп симметрии всевозможных свойств этого кристалла (Minnigerode, 1887). Копцик (1960) рассмотрел минимальные наборы свойств, по симметрии которых однозначно определяется точечная группа симметрии кристалла.
Симметрия указательных поверхностей. Из принципа Неймана следует, что все элементы симметрии точечной группы кристалла служат вместе с тем элементами симметрии указательной поверхности любого свойства этого кристалла. Однако указательная поверхность свойства может иметь и такие элементы симметрии, которых у кристалла нет; в частности, симметрия указательных поверхностей свойств нередко характеризуется предельными группами Кюри. Например, указательные поверхности диэлектрической
проницаемости всех кристаллов кубической системы — сферы х = = const; симметрия их оооот. Симметрия указательной поверхности модуля Юнга Е = Е (д, ф) для всех кристаллов кубической системы тЗт, хотя бы симметрия кристалла была ниже: 432, 43/и, m3 или даже 23. Указательные поверхности коэффициента теплового расширения кристаллов тригональной и тетрагональной систем (см. рис. 24.3) — группы симметрии кристаллов Зт, Зт, 42т — оказываются подгруппами группы симметрии поверхностей оо!тт. Такова же симметрия и указательных поверхностей коэффициентов растяжения и кручения, изображенных на рис. 24.6, а симметрия кристаллов — 3/ттт и Зтт. Симметрия указательной поверхности коэффициента растяжения сапфира (см. рис. 24.8) Зт совпадает с симметрией кристалла; такова же и симметрия указательных поверхностей коэффициентов растяжения и кручения кварца (см. рис. 24.9—24.11), хотя группа симметрии кристалла ниже, а именно 32. Симметрия ттт указательных поверхностей коэффициента теплового расширения арагонита, класс ттт (см. рис. 24.1), и сегнетовой соли, класс 222 (см. рис. 24.2), совпадает с симметрией первого кристалла и превышает симметрию второго. Подчеркнем, что совпадение симметрии фигур вовсе не означает сходства их формы: указательные поверхности модуля Юнга золота и алюминия (рис,. 24.4, а, б), магния и цинка (рис. 24.4, в, г), коэффициента теплового расширения турмалина и дигидрофосфата аммония (рис. 24.3, б, г) при одинаковой симметрии очень различаются по форме; напротив, указательная поверхность коэффициента растяжения сапфира (рис. 24.8) довольно близка по форме к указательной поверхности коэффициента кручения цинка (рис. 24.6, а), хотя группы симметрии их различны: Зт и оо/тт.
Симметрия рентгенограмм. Хотя причина образования рентгенограммы кристалла — дифракция рентгеновских лучей на его периодической в пространстве электронной плотности, симметрия рентгенограммы, в соответствии с принципом Неймана, определяется не пространственной, а точечной группой кристалла. Кроме того, симметрия дифракционной картины не зависит от того, есть ли у кристалла центр симметрии или он отсутствует. Поэтому симметрия рентгенограммы определяется даже не точечной, а дифракционной группой или классом Лауэ — это старший центросимметричный класс той подсистемы, в которую входит данный кристалл (см. § 6). С помощью принципа Кюри приходим к заключению, что группа симметрии рентгенограммы брг не может быть ниже, чем пересечение дифракционной группы кристалла GL и точечной группы фотопластинки (или фотопленки) бпл = оо т (ось перпендикулярна к плоскости фотопластинки) ):
6ргэС£Псот;(25.2)
находя пересечение этих групп, необходимо учитывать взаимное расположение их элементов симметрии. Здесь класс Лауэ
_( G, если кристалл центросимметричен,
Ur«e<(25.3)
I G + 1G, если он нецентросимметричен.
Таким образом, по симметрии рентгенограммы определяется только класс Лауэ кристалла, а его пространственная группа выводится не из симметрии рентгенограммы, но из отсутствия отражений от тех или иных кристаллографических плоскостей — из характерных «погасаний».
Роль категорий в кристаллофизике. Самая простая и грубая классификация кристаллов — разделение их на три категории: высшую, среднюю и низшую (см. § 4). Точечные группы всех классов низшей категории — подгруппы группы ттт, средней — группы оо/тт, высшей — группы оооот. Но группы ттт, oolmm и оооот — это возможные группы симметрии симметричного тензора второго ранга (см. § 22). Если по симметрии некоторого свойства кристаллы подразделяются на категории, то можно ожидать, что .это свойство описывается симметричным тензором второго ранга. Таких свойств очень много; например, характер двойного лучепреломления, особенности теплового расширения, диэлектрической и магнитной проницаемости, электропроводности и теплопроводности кристаллов определяются именно категорией, к которой относится данный кристалл. Все эти свойства действительно описываются симметричными тензорами второго ранга (см., например, §27).
Подразделением кристаллов на категории определяется характер анизотропии тех свойств, которые описываются симметричным тензором второго ранга: кристаллы высшей категории изотропны в отношении этих свойств (группа оооот), кристаллы средней категории по анизотропии этих свойств подобны текстурам (группа oolmm), и только в кристаллах низшей категории анизотропия этих свойств характеризуется действительно кристаллографической группой ттт.
Если же симметрия свойства не сводится к трем перечисленным выше группам, можно утверждать, что данное свойство, если и описывается тензором, то более сложным. Тот факт, что некоторые указательные поверхности упругих свойств кристаллов имеют симметрию тЗт (рис. 24.4, а, б и 24.7), а другие — Зт (рис. 24.8, 24.9, 24.11), свидетельствует о том, что упругие свойства кристаллов не могут описываться симметричным тензором второго ранга; и действительно, они описываются тензором четвертого ранга (см. §§51, 52).
Диссимметрия, необходимая для двупреломления. Второе предложение принципа Кюри утверждает, что любая диссимметрия, обнаруживаемая в явлениях, должна содержаться и в причинах, их породивших. Диссимметричные явления могут происходить только в достаточно диссимметричной среде; соответствующая диссимметрия или присуща данной среде самой по себе, или обусловлена диссимметрией внешних воздействий на нее.
Рассмотрим, например, двупреломление света в кристаллах. Чтобы оно было возможно, плоскость волнового фронта в кристалле
должна быть достаточно диссимметрична: она должна иметь по крайней мере два взаимно перпендикулярных особенных направления, которые могли бы служить направлениями колебаний для световых волн, распространяющихся в данном направлении. Для этого группа симметрии плоскости волнового фронта в кристалле должна быть не выше ттт. С другой стороны, эта группа симметрии представляет собой пересечение группы симметрии кристалла G с группой симметрии плоскости oolmm (ось оо перпендикулярна к плоскости). Итак, условие возможности двупреломления имеет вид
G Q oo/mm с ттт, (25.4)
где ось оо совпадает с направлением распространения света.
Услсвче (4) характеризует необходимую для двупреломления диссимметрию плоскости волнового фронта в кристалле: среди элементов симметрии этой плоскости не должно быть ни одного элемента, не входящего в группу ттт. Элементы же симметрии, входящие в группу ттт, безразличны относительно двупреломления: двупреломление может происходить независимо от того, есть эти элементы симметрии или их нет. Таким образом, группа ттт определяет здесь именно диссимметрию. Из условия (25.4) следует, в частности, что при распространении света вдоль оси симметрии третьего или более высокого порядка двупреломления не наблюдается; действительно, эта ось войдет в пересечение G П oolmm, которое поэтому не будет входить в группу ттт. Условие (25.4) необходимо, но отнюдь не достаточно: так, в кристаллах кубической системы двупреломления не наблюдается даже в тех случаях, когда направление распространения света этому условию удовлетворяет.
Если среда, в которой распространяется свет, сама по себе не обладает диссимметрией, необходимой для двупреломления, ее можно сделать диссимметричной, приложив к ней достаточно диссимметричное воздействие. Так, например, прозрачные изотропные тела и кристаллы кубической системы становятся двупреломляю- щими под действием одноосного механического растяжения (пьезооптический эффект) или электрического поля (электрооптический эффект) — см. §§ 77, 78. Главный вывод из рассмотренных примеров содержится в следующих словах Пьера Кюри: «Некоторые элементы симметрии могут сосуществовать с определенными явлениями, но они не необходимы. Необходимо отсутствие некоторых элементов симметрии. Это и есть та диссимметрия, которая творит явление» ).
Основные уравнения электростатики кристаллов
Электрическое поле в кристалле, как и во всяком диэлектрике, характеризуется вектором напряженности электрического поля Е и вектором поляризации Р. Применяется также линейная .комбина-
ция этих векторов — вектор электрической индукции D = Е + + 4лР. Основные уравнения электростатики
rot£ = 0,(26.1)
divD = 4np,(26.2)
где р — плотность свободных зарядов, в равной мере применимы к изотропным и к анизотропным диэлектрикам. Из (26.1) следует существование потенциала ср электростатического поля
Е =— gradtp.(26.3)
Внутри кристалла, где свободные заряды отсутствуют,
divD = 0.(26.4)
На поверхности кристалла, как и на поверхности раздела изотропных диэлектриков, тангенциальная составляющая (/ — пп) • Е поля Е (г) непрерывна, а нормальная составляющая п • D поля D (г) терпит разрыв, равный 4лр пов, где р пов — поверхностная плотность свободных зарядов, а п — единичный вектор нормали к поверхности кристалла. Непрерывности тангенциальных составляющих Е (г) при переходе через поверхность раздела соответствует непрерывность потенциала ср (г) при переходе через эту поверхность. В диэлектрическом кристалле вблизи границы с проводником
(I — пп^-Е^О, п • D = — 4лрпов,(26.5)
так как поле в проводнике равно нулю. На границе же двух диэлектриков нормальная составляющая индукции непрерывна.
Все приведенные здесь соотношения в равной мере применимы к однородным и неоднородным, изотропным и анизотропным диэлектрикам. Специфические свойства данного диэлектрика: его однородность или неоднородность, изотропность или анизотропность, его количественные диэлектрические характеристики — все это проявляется исключительно в зависимости индукции D или поляризации Р от напряженности электрического поля Е.
Рассмотрим для определенности зависимость Р от Е. В изотропных диэлектриках эти векторы пропорциональны друг другу:
Р = аЕ,(26.6)
где а — диэлектрическая восприимчивость среды. Чтобы обобщить соотношение (26.6) на анизотропные среды, важно уяснить, что в этой простой формуле содержатся два утверждения, совершенно различные по своей логической природе.
Изотропность тела означает, что пока оно не помещено в электрическое поле, все направления в нем совершенно равноправны. Когда же оно оказывается в электрическом поле, в каждом
элементарном объеме появляется единственное выделенное направление — направление вектора напряженности поля Е. Отсюда следует, что если изотропное тело в электрическом поле вообще поляризуется, в каждом элементарном объеме вектор поляризации Р параллелен вектору Е в том же объеме:
Р\\Е.(26.7)
Из изотропности следует далее, что длина вектора Р зависит только от длины вектора Е, но не от его направления. Таким образом,
Р = ЦЕ).(26.8)
Формулы (26.7) и (26.8) — логические следствия изотропности среды.
Чтобы из (26.7) и (26.8) получить формулу (26.6), необходимо дополнительное утверждение — что функциональная зависимость, никак не конкретизированная в (26.8), сводится к прямой пропорциональности
Р = аЕ.(26.9)
Это равенство не следует ни из какого физического закона и означает лишь, что в разложении функции Р = f (Е) по степеням Е р-р>+^)„-.в+ц^Е’+- <26-10) достаточную точность дает уже член первой степени относительно Е (в отсутствие поля все направления в изотропном теле равноправны, а так как наличие поляризации означало бы существование выделенного направления, то Ро = 0) ). Сравнивая (26.9) и (26.10), найдем
а=®.(26.11)
\ЭЕ)е-оv 7
Ясно, что при обобщении соотношения между векторами Р и Е на изотропные среды можно использовать предположение о линейности этой связи; учет же изотропности среды должен быть заменен учетом влияния симметрии кристалла на его диэлектрические свойства.
Разложение (26.10) для анизотропных сред, очевидно, следует заменить общим разложением
p-pm4S)M'E + "- P^P'"+^e.1E> + '- (26.12)
причем те соображения, с помощью которых было установлено, что в разложении (26.10) член, не зависящий от Е, равен нулю, к анизотропным средам, вообще говоря, неприменимы. Поэтому общая форма линейной зависимости поляризации Р от напряженности электрического поля Е имеет для анизотропных сред вид
Р = р(0) + а Е, Pi = РГ+аиЕк1(26.13)
где тензор второго ранга
а=(26.14)
\дЕ)Е=о\дЕк/Е=оv 7
называется тензором диэлектрической восприимчивости, а вектор Р^ — вектором спонтанной (т. е. самопроизвольной) поляризации. Отсюда легко получить и зависимость электрической индукции D = Е + 4лР от напряженности электрического поля Е:
D = D(m + х • Е, Dt = D^ + xlkEk,(26.15)
где тензор второго ранга
х = I + 4 ла, -Ktk = 61к + 4 ла^(26.16)
называется тензором диэлектрической проницаемости, а вектор Dw = 4лР(0) — вектором спонтанной электрической индукции. Вектор индукции можно выразить и через потенциал (р:
D = P‘”-xgradq>, D^Dr-u^.(26.17)
В § 57 доказано, что тензор х симметричен:
x^ = xw;(26.18)
отсюда следует, что тензор а = (1/4л) (х — I) также симметричен.
Отметим одно важное различие между рассмотренными здесь тензорами ): векторы напряженности электрического поля Е, индукции D, поляризации Р характеризуют электрическое поле в кристалле; все они изменяются при изменении этого поля. Напротив, векторы спонтанной поляризации Pw и спонтанной индукции D(0), а также тензоры диэлектрической восприимчивости а и диэлектрической проницаемости х не изменяются при изменении электрического поля в кристалле: они характеризуют диэлектрические свойства самого кристалла, независимо от величины и самого наличия приложенного внешнего электрического поля. Тензоры первого типа называются полевыми тензорами, поскольку они характеризуют поле; второго — материальными, так как они характеризуют материал. Полевые тензоры в физике изотропных и анизотропных сред определяются одинаково; все различие между физикой изотропных и физикой анизотропных сред сконцентрировано, если можно так выразиться, именно в материальных тензорах.
Симметрия диэлектрических Свойств кристаллов
Как отмечалось в § 26, кристаллы некоторых классов могут обладать электрической поляризацией и в отсутствие внешнего электрического поля; такая поляризация называется спонтанной. т. е. возникающей вследствие внутренних причин, без воздействия извне, а кристаллы, обладающие ею — пироэлектриками (смысл этого термина разъясняется в §31). Выясним, к каким кристаллографическим классам могут принадлежать пироэлектрические кристаллы. Спонтанная поляризация описывается вектором, значит, симметрия ее совпадает с симметрией вектора и характеризуется предельной группой оот. Точечные группы симметрии пироэлектрических кристаллов, согласно принципу Неймана, должны быть подгруппами этой группы, так что из всех элементов симметрии им разрешено обладать только одной осью симметрии любого порядка и проходящими вдоль нее плоскостями симметрии. Из 32 кристаллографических и 7 предельных точечных групп этому требованию удовлетворяют 10 кристаллографических групп и 2 предельные:
2, 3, 4, 5, 6, т. mm2. Зт. 4тт. бтт; оо, оот. Кристаллы и текстуры остальных классов, а также гиротропные и изотропные среды не могут обладать отличным от нуля вектором спонтанной поляризации, т. е. не могут быть пироэлектриками.
Если у пироэлектрического кристалла есть ось или плоскость симметрии, вектор спонтанной поляризации, очевидно, должен быть направлен по этой оси или лежать в этой плоскости. Поэтому в кристаллах класса т. в соответствии с правилами выбора кристаллофизических систем координат, вектор спонтанной поляризации имеет вид Р (0) = Pi01^ + Р^е3. в кристаллах класса 2 — вид pw = Р^е2. в кристаллах классов 3, 4, 6, mm2. Зт. 4тт. бтт и в текстурах — вид Pw = Р(0)е3 (здесь ех. е^. е3 — орты соответствующих кристаллофизических осей). Лишь для кристаллов класса 1 вектор Pw имеет в кристаллофизической системе координат общий вид.
При изменении внешних условий, например температуры, вектор спонтанной поляризации, вообще говоря, изменяется. Однако эти изменения существенно ограничиваются симметрией кристалла. В кристаллах, обладающих осью симметрии, он, очевидно, может изменяться только по величине, направление же его всегда совпадает с направлением оси симметрии и поэтому остается неизменным. В кристаллах класса т вектор Р10) может изменять не только величину, но и направление, однако так, чтобы не покидать плоскости симметрии.
Рассмотрим влияние симметрии кристаллов на их диэлектрическую восприимчивость. Тензор диэлектрической восприимчи-
вости а, как и всякий симметричный тензор второго ранга, обладает тремя собственными значениями; если все они различны, симметрия тензора ттт, если два из них совпадают — oolmm, если все три совпадают — оооот.
Выясним, какие кристаллы могут обладать тензором а, все собственные значения которого различны:
а = ац)»^1^^1) + a^uwuw + awu^uw. (27.1)
Точечные группы симметрии таких кристаллов, согласно принципу Неймана, либо представляют собой подгруппу группы ттт, либо совпадают с нею. Этому требованию удовлетворяют все кристаллы низшей категории, и только они.
Несколько сложнее аналогичный вопрос для тензора а, два собственных значения которого совпадают:
а = а± I + (ац — а±) кк.(27.2)
Точечные группы симметрии кристаллов, тензор диэлектрической восприимчивости которых имеет такую структуру, должны быть подгруппами группы oolmm. Такими группами обладают кристаллы средней категории и текстуры. У них два собственных значения тензора а обязательно совпадают. Однако и точечные группы кристаллов низшей категории являются подгруппами группы оо1тт; хотя тензор диэлектрической восприимчивости таких кристаллов может иметь три различных собственных значения, симметрия кристаллов не запрещает и совпадения двух из них. Однако материальные тензоры зависят от внешних условий, например от температуры. Если у кристалла низшей категории при некоторой температуре два собственных значения тензора а и совпадают, нет никаких причин, чтобы обе они одинаково изменялись с температурой: материальный тензор такой незакономерно высокой симметрии присущ не данному кристаллу вообще, но лишь данному кристаллу при строго определенных внешних условиях. При малейшем изменении внешних условий эта симметрия будет тензором утрачена. Таким образом, в общем случае тензор диэлектрической восприимчивости любого кристалла низшей категории имеет симметрию ттт; лишь для некоторых кристаллов и при строго определенных внешних условиях она повышается до oolmm.
Тензор диэлектрической проницаемости х с тремя совпадающими собственными значениями имеет вид
х = х!(27.3)
и симметрию оооот. Тензором диэлектрической проницаемости такого вида обладают кристаллы, точечные группы симметрии которых являются подгруппами группы оооот, но не являются при этом подгруппами группы oolmm. Таковы точечные группы кристаллов высшей категории. Такой же тензор диэлектрической
проницаемости имеют изотропные и гиротропные тела. Такова же симметрия тензора диэлектрической восприимчивости.
Подставив тензор а =- а! в формулу (26.13) и заметив, что вектор спонтанной поляризации у всех кристаллов высшей категории, гиротропных и изотропных тел тождественно равен нулю, найдем
Р = а1 Е = а£.(27.4)
Таким образом, зависимость поляризации от напряженности электрического поля у кристаллов высшей категории такова же, как и у изотропных тел — диэлектрическая восприимчивость их изотропна.
Рассмотрим ориентировку собственных векторов тензора диэлектрической восприимчивости относительно кристаллофизической системы координат. Так как у кристаллов триклинной системы осей и плоскостей симметрии нет, собственные векторы тензора а не должны совпадать с ортами кристаллофизической системы координат; если при определенных внешних условиях один из собственных векторов и совпадает с одним из ортов, при изменении внешних условий это совпадение, вообще говоря, будет нарушено. Поэтому в кристаллофизической системе координат тензор диэлектрической восприимчивости кристалла триклинной системы имеет вид
II «11 «12 «31 II
U^/l^ «12 «22 «23 •(27.5)
.II «31 «23 «33II
У кристаллов моноклинной системы орт #2 направлен по оси второго порядка или по нормали к плоскости симметрии (см. табл. 4.1). Так как элементы симметрии кристалла являются одновременно элементами симметрии тензора а, орт g2 должен совпадать с одним из собственных векторов тензора а, скажем, с и^. Таким образом, в кристаллофизической системе координат
II «и0а31 II
1ау|| = 0а,а,0 .(27.6)
||а310*зз II
Все орты кристаллофизической системы координат для кристаллов ромбической системы направлены по осям симметрии второго порядка или по нормалям к плоскостям симметрии. Согласно принципу Неймана тензор диэлектрической восприимчивости обладает теми же осями и плоскостями симметрии, и потому эти орты совпадают (с точностью до знака) с собственными векторами тензора. Следовательно,-
IIоО II
1ЫНо«(2)0 .(27.7)
00а(8)
Из принципа Неймана следует также, что для кристаллов средней категории и текстур главная ось симметрии совпадает с осью
WIWIо оо ооС1 ооС1 оо оо о(27.8)(27.8)
WI
WI
о о
о о
о
С1 о
о
С1 о
о о
о о
(27.8)
(27.8)
как она направлена по е3,как она направлена по е3,оо диэлектрического тензора; так
как она направлена по е3,
как она направлена по е3,
восприимчивости для кубивосприимчивости для кубиНаконец, тензор диэлектрической
восприимчивости для куби
восприимчивости для куби
ческих кристаллов и изотропных тел во всех декартовых системах координат, в том числе, конечно, и в кристаллофизической, имеет одинаковый вид:
им=им=аО|оаО|оо оа 0 О ао оа 0 О а(27.9)(27.9)
им=
им=
аО|о
аО|о
о о
а 0 О а
о о
а 0 О а
(27.9)
(27.9)
Тензор диэлектрической восприимчивости, как и всякий материальный тензор, зависит от внешних условий. При их изменении изменяются и его собственные значения, однако если симметрия кристалла требует совпадения двух из них или всех трех, они продолжают совпадать и при изменившихся условиях. Ориентировка собственных векторов относительно кристалла при изменении внешних условий также меняется, если только их направление не определяется симметрией кристалла. В триклинных кристаллах изменение ориентировки собственных векторов никак не ограничивается симметрией кристалла. В моноклинных кристаллах тот из собственных векторов, который направлен по оси симметрии или по нормали к плоскости симметрии, неподвижен, а два других при изменении внешних условий поворачиваются, оставаясь перпендикулярными к первому вектору и друг к другу. Во всех остальных кристаллах и во всех текстурах ориентировка тензора диэлектрической восприимчивости полностью определяется симметрией и, следовательно, не изменяется при изменении внешних условий.
Мы рассмотрели «влияние симметрии кристалла на тензор диэлектрической восприимчивости а. На все другие симметричные тензоры второго ранга, описывающие свойства кристаллов, симметрия кристаллов влияет точно так же. Однако нужно различать тензоры, описывающие другие свойства (например, тензор теплопроводности X, см. § 33), и другие тензоры, описывающие то же свойство, — тензор диэлектрической проницаемости х = I + 4ла и тензор диэлектрической непроницаемости т) = х"1. Все симметричные тензоры второго ранга, описывающие свойства триклинных и моноклинных кристаллов, приводятся к главным осям, но у тензоров а, х, т] эти оси совпадают, а у тензора X они другие; если у какого-либо кристалла при определенных внешних условиях незакономерно высока симметрия тензора а, то при этом такова же и симметрия тензоров х и т|, а симметрия тензора X нормальна. Это различие объясняется тем, что у тензоров а, х, т) собственные
векторы совпадают, а собственные значения связаны соотношениями
(27.10)(27.10)x(Z) = 1 + 4ла(1), Т](() = 1/х(Л,
(27.10)
(27.10)
в то время как у тензора X собственные векторы совпадают с собственными векторами тензора а лишь постольку, поскольку это диктуется симметрией кристалла, а собственные значения с собственными значениями тензора а вообще никак не связаны.
Кристалл в однородном электрическом поле
Конденсатор с анизотропным диэлектриком. Поместим между обкладками плоского конденсатора кристаллическую пластинку площади S и толщины d (d^]/S). Введем в рассмотрение единичный вектор п нормали к пластинке; его компоненты в кристаллофизической системе координат пъ па, па. Предполагая, что компо-
Рис. 28.1. Векторы напряженности и индукции электрического поля и электрической поляризации в плоском конденсаторе о анизотропным диэлектриком.Рис. 28.1. Векторы напряженности и индукции электрического поля и электрической поляризации в плоском конденсаторе о анизотропным диэлектриком.
Рис. 28.1. Векторы напряженности и индукции электрического поля и электрической поляризации в плоском конденсаторе о анизотропным диэлектриком.
Рис. 28.1. Векторы напряженности и индукции электрического поля и электрической поляризации в плоском конденсаторе о анизотропным диэлектриком.
ненты тензора диэлектрической проницаемости xv = ^ • х • в] в кристаллофизической системе координат известны, найдем емкость конденсатора С^.
Поскольку площадь пластинки много больше квадрата ее толщины, можно пренебречь искажением поля вблизи ее краев и считать, что потенциал ф изменяется только по толщине пластинки. Изберем начало отсчета на одной из поверхностей пластинки (скажем, на нижней, см. рис. 28.1) и будем считать, что вектор п направлен от нижней поверхности к верхней. Тогда расстояние точки г от нижней поверхности равно г = г • п и ф = ф (г). Напряженность электрического поля
Е= — ^абф = —^^- = — ^ п.(28.1)
°az dr агх '
Тогда индукция
D=-^*-n, Dt^—^Hi^(28.2)
и уравнение divD = 0 примет вид
(28.3)(28.3)dSi=Sni^nh = °. -§п.х.п = 0.
(28.3)
(28.3)
или просто d^/dz^ = 0. Общее решение этого уравнения ф (z) = = AzA-B. Разность потенциалов на обкладках равна ^ = ф(0)—
— Ф (d), так что
ф(г)=--^г + ф(0),(28.4)
Е = ^п, Ек = ^пк,(28.5)
D = ^-xn Dt=^-Klknk.(28.6)
Поверхностная плотность заряда на нижней обкладке рпов = = (1/4л) п • D, а весь заряд на обкладке Q = Spn0B = (SU/nd) X X п-н-п. Следовательно, емкость конденсатора
c=Qlu=wn-H-n = w^n^-
Если сравнить полученный результат с формулой емкости конденсатора с изотропным диэлектриком
С = А«. (28.8)
то окажется, что роль диэлектрической проницаемости х играет теперь П'*а*п = ^гцпь— нормальная составляющая тензора диэлектрической проницаемости в направлении, перпендикулярном к плоскости пластинки, поэтому п-и-п иногда называют диэлектрической проницаемостью кристалла в направлении п. Однако это вовсе не значит, что и в любой другой задаче электростатики анизотропных сред можно получить правильный ответ, подставив в решение соответствующей изотропной задачи п-^-п вместо х: в других задачах роль диэлектрической проницаемости в заданном направлении играют совсем другие величины.
Как показано в §21, зная шесть должным образом выбранных нормальных составляющих тензора, можно вычислить все его компоненты. Поэтому, измерив емкости конденсаторов с шестью различным образом ориентированными пластинками, вырезанными из некоторого кристалла, можно вычислить тензор диэлектрической проницаемости данного кристалла, причем шесть пластинок действительно необходимы в этом случае только для триклинных кристаллов. Для вычисления тензора диэлектрической проницаемости моноклинных кристаллов достаточно произвести такие измерения на четырех пластинках, для ромбических — на трех, для кристаллов средних сингоний и всевозможных текстур — на двух и, нако-
нец, для кубических кристаллов вследствие их диэлектрической изотропности — на одной произвольно ориентированной пластинке.
Симметрия кристалла позволяет в некоторых случаях существенно упростить расчетную формулу (28.7) — см. табл. 28.1.
Кристалл с плоскопараллельной прослойкой в электрическом поле. Решим следующую общую задачу: в безграничной анизотропной среде, характеризуемой тензором диэлектрической проницаемости х^е\ имеется плоскопараллельная прослойка из другого анизотропного материала с тензором диэлектрической проницаемости х^. Единичный вектор нормали к плоскости прослойки обозначим, как обычно, п. Пусть в среде электрическое поле Е^ однородно. Найдем поле в прослойке Е^п. Естественно предположить, что оно также однородно. Тогда дифференциальные уравнения электростатики удовлетворятся тождественно и останется позаботиться лишь о выполнении граничных условий. Чтобы вектор Е .удовлетворял граничным условиям, необходимо, чтобы векторы Е^ и Е^ отличались друг от друга на вектор, параллельный нормали п:
Е^ = Е^ + Ап.(28.9)
Неизвестную пока постоянную А найдем из граничных условий для вектора индукции. Индукция в среде
D^^x^-E^.(28.10)
а в прослойке
D^ = xw. е^ = х^. Е^ + Ах^. п.(28.11)
Граничные условия для D требуют, чтобы
п • х^ • Е^ + Ап • х^ п = п- х^ • Е^е\ (28.12)
откуда находим
(28.13)
Я ■ жи) -я и, наконец,
£(» = £М + Ы2^^„,(28.14)
ях'^л'
Е? = l6/z + 0/хиМ») nink (4е? - 4?)] fz6’.
Если, в частности, поле в среде перпендикулярно к плоскости прослойки, то и поле в прослойке обладает этим свойством и, как нетрудно подсчитать, равно
ЕЮ = "2S2L12Е^п = пп■DW .(28.15)
Рассмотрим важные частные случаи, сводящиеся к рассмотренной задаче.
7 Ю. И, Сиротин, М. П. Шаскольская
Таблица 28.1
Нормальная составляющая п • х • п тензора диэлектрическойпроницаемости х, выраженная через компоненты единичноговектора п и через индексы Миллера (hkl) плоскости,перпендикулярной к п
Триклинная система, общие формулы
П *Х* n = Uyntnj =П *Х* n = Uyntnj =кцЕ^кд^g^h^кцЕ^кд^g^h^
П *Х* n = Uyntnj =
П *Х* n = Uyntnj =
кцЕ^кд^g^h^
кцЕ^кд^g^h^
Моноклинная система (2 || Х2, т ± ^2)
п* X • п = ХцП? + X22nf + х38п| + 2х31П3П1 =
= [Л?62с2Хц + /?2с2а2х22 sin20 + №№ (xu cos20 + Хз8 sin2p—ха1 sin 20) —
—^Ihab^c (хц cos 0 — х81 sin 0)]/(/i2№2 +/?2с2а2 sin2 0 + /2a2Z>2—2/Aa№cos 0)
Ромбическая система
n«x-n = xnn|+x22ni+x33n|n«x-n = xnn|+x22ni+x33n|h?b2c2uu—fe2c2a2x22+l2a2b2x33h?b2c2uu—fe2c2a2x22+l2a2b2x33
n«x-n = xnn|+x22ni+x33n|
n«x-n = xnn|+x22ni+x33n|
h?b2c2uu—fe2c2a2x22+l2a2b2x33
h?b2c2uu—fe2c2a2x22+l2a2b2x33
Кристаллы средней категории и текстурып . X . П = Хц (л2 + п^ + Х38Л2 = Хц + (Х88 — Хц) П^
Тетрагональная система
ДА2+£2)^хп + /2а^(№+^)с^+№
Гексагональная и тригональная системы (в гексагональной установке)
4 (Д2+^2+hk) с^п + 3/2а2х33’4(А2 + ^2+^)с2 + 3/2а2
Кубическая система и изотропные тела
п*х*п=,х.
Обозначения. Ла— индексы Миллера для плоскости, Е® — матрица, связывающая орты е^ кристаллофизической системы координат с основными векторами аа кристаллической решетки: е^ = Е^а^, g^® — контравариантные компоненты метрического тензора решетки, а, Ь, с, 0 — параметры ячейки.
Анизотропная пластинка в однородном электрическом поле.
Поле в ней сразу находим по формуле (28.14), подставляя в нее вместо х(е) тензор I:
EW = EW — -:(х,<* ~ |}' — п.(28.16)
пи^'п
В частности, при Е^ = Е^п получим
Е^ =LЕ^п.(28.17)
Плоскопараллельная полость в бесконечной анизотропной среде.
В этом случае х(,) = 1. Поле в полости
Е^ = Е^ + Vn • (х<е> -1) • Е<е>] • п.(28.18)
В изотропном теле при Е^ || п вектор напряженности поля в полости равен вектору электрической индукции в теле: Е^ = D^. Если тело анизотропно, это равенство соблюдается, только если п — собственный вектор тензора z^^a в общем случае вектор Ew = пп • D^ равен составляющей вектора индукции в теле, направленной по п, и не совпадает с вектором D^ ни по величине, ни по направлению.
Когда вектор Е^ параллелен полости (п-Е^ = 0), напряженность поля в изотропном теле равна напряженности поля в полости, в анизотропном же
' E^ = E^ + nn-D^.(28.19)
Второе слагаемое обращается в нуль только при условии, что вектор п перпендикулярен не только к вектору Е^, но и к вектору D^e\ в частности, когда п — один из собственных векторов тензора н^.
Анизотропный шар в электрическом поле. Пусть анизотропный шар радиуса R, тензор диэлектрической проницаемости которого х, находится в электрическом поле, напряженность которого вдали от шара равна Ew. Требуется определить поле внутри и вне шара.
В электрическом поле шар поляризуется и поэтому создает в окружающем пространстве дополнительное поле. Предположим, что оно совпадает с полем диполя, а дипольный момент шара линейно зависит от Е^:
M=RW\(28.20)
где тензор у зависит от х, но не от направления вектора Е^°\ а множитель R3 введен из соображений размерности. Тогда потенциал поля вне шара равен
Ф<е) = — г ^°) 4- (R/r)3 г у Е^.(28.21)
Предположим еЩе, что внутри шара поле однородно и также линейно зависит от Ew; его потенциал равен
ф(0 = — r0£W,(28.22)
где тензор 0, как и у, зависит только от х, но не от направления вектора £(0). Потенциалы ф(е) и <p(Z) удовлетворяют уравнениям электростатики, а граничные условия позволяют найти тензоры Р и у. Так, из условия непрерывности потенциала на поверхности раздела следует
-/?.p.£W = — /?-£(°>+/?.у •£<»),
где R — радиус-вектор точки на поверхности шара. Заменив скалярное произведение R-Ew равным ему выражением R / Ew и перенеся все слагаемые в одну сторону, получим
/?.(у + Р-1).£(°)=О.
Поскольку это равенство остается справедливым при всевозможных направлениях векторов R и £(0), стоящий в скобках тензор равен нулю, т. е.
0+у=1.(28.23)
Из непрерывности нормальных составляющих вектора электрической индукции на границе раздела следует
-£ х0 £<») = — 2R у.EW-R-EW.
Отсюда тем же способом получим
х0-2у = 1.(28.24)
Решение системы двух линейных относительно тензоров 0 и у уравнений (28.23) и (28.24) имеет вид
0 = 3(x + 2I)-1, у = (х-1).(х + 21)-1.(28.25)
Теперь не представляет труда выписать поля как вне шара, так и внутри его, но нас будет интересовать главным образом последнее. Его напряженность
£(•') = 3 (х + 2I)-1 • EW,(28.26)
а индукция удовлетворяет любопытному соотношению
D^ =ж 3EW - 2£<'),(28.27)
которое выводится посредством следующей цепочки равенств: D^ = х • Е^ = Зх • (х 4- 2I)-1 • EW =
= 3 [(х + 21) - 21] • (х + 2I)-1 • Е^ =
= [31 - 6 (х + 21/-А] • EW = 3EW - 2EW.
§ 29. Поле в сферической полости в анизотропной среде
В предыдущем параграфе мы получили сравнительно простое решение для случая, когда в пустоте имеется анизотропный шар и задано однородное поле вдали 01 него. Похожая, казалось бы, задача, когда в безграничной анизотроп ной среде имеется сферическая полость и задано однородное поле Е(0) вдали от нее, в действительности значительно сложнее. Мы без вывода приведем ее решение, имея в виду важное значение одной задачи для микроскопической теории кристаллической решетки ). Оказывается, поле в полости Еи> в этом случае также однородно, но зависимость его от Е(0), хотя и остается линейной, значительно более сложна.
Прежде чем выписать решение этой задачи, рассмотрим, исходя из принципа Кюри, тензор S — функцию симметричного тензора второго ранга Т. Как отмечалось в § 22, симметричный тензор второго ранга Т во всяком случае инвариантен относительно группы ттт. Из принципа Кюри следует, что тензор S инвариантен по меньшей мере относительно той же группы. Но так как собственные векторы тензора направлены по осям симметрии этого гензора, из принципа Кюри следует, что собственные векторы тензор-функции совпадают с собственными векторами тензор-аргумента ). Отсюда ясно, что все тензоры, являющиеся функциями одного симметричного тензора второго ранга, приводятся к диагональному виду в той же системе координат, что и тензор-аргумент. Говорят, что S = / (Т), если в этой системе '
l|S|| =l|S|| =5(1)оо5(1)ооо5(2)оо5(2)оо II ПИТа,)° Г 0So, || Оо II ПИТа,)° Г 0So, || ОоЦТ^>ооЦТ^>оо оf (Т(3))о оf (Т(3))
l|S|| =
l|S|| =
5(1)оо
5(1)оо
о5(2)о
о5(2)о
о II ПИТа,)
° Г 0
So, || О
о II ПИТа,)
° Г 0
So, || О
оЦТ^>о
оЦТ^>о
о о
f (Т(3))
о о
f (Т(3))
В частности, S = Kt, если S(1-) = КТ^. Так можно рассматривать даже функционалы от тензора; нужно только, чтобы во всей области изменения тензор- функции его собственная система координат оставалась неизменной.
N = l/deti|N = l/deti|Вернемся теперь к задаче, поставленной в начале параграфа. Пусть х — тензор коэффициентов диэлектрической проницаемости анизотропной среды, ч= х-1— тензор коэффициентов ее диэлектрической непроницаемости, Введем в рассмотрение тензоры ц = Vz и v = ^Ч» а также тензор коэффициентов деполяризации
N = l/deti|
N = l/deti|
(29.1)(29.1)(Ч + Я)~г dzZdet (ч + d)*
(29.1)
(29.1)
Тогда поле в полости Е(/) однородно и зависит от поля вдали от полости Е^ следующим образом:
Е^ = [1 - v • N • (1 — ч) • НГ1 • (0)-(29.2)
В собственной системе координат формулы (29.1) и (29.2) существенно упрощаются. Из формулы (29.2) выпадают собственные значения тензоров р и v (они просто сокращаются), и эта формула принимает вид
Ек0>Ек0>1 —^(А) (1 —Ч(Д?))1 —^(А) (1 —Ч(Д?))(29.3)(29.3)
Ек0>
Ек0>
1 —^(А) (1 —Ч(Д?))
1 —^(А) (1 —Ч(Д?))
(29.3)
(29.3)
Для собственных значений тензора коэффициентов деполяризации из (29.1) получим
оо^<fe) = y /def т) Jоо^<fe) = y /def т) JdzCn.A.+z) /det (t] + zl)dzCn.A.+z) /det (t] + zl)(29.4)(29.4)Интеграл в этой формуле — эллиптический; он выражается через известные эллиптические интегралы первого и второго рода F (ф, k) и Е (фэ /г) *). Именно, полагая, что г)(1) > л<2> > Лсзи и обозначаяИнтеграл в этой формуле — эллиптический; он выражается через известные эллиптические интегралы первого и второго рода F (ф, k) и Е (фэ /г) *). Именно, полагая, что г)(1) > л<2> > Лсзи и обозначаяФ = arcsinФ = arcsinj — ЛО) Ла,j — ЛО) Ла,Л<р — Л са>П<1> — Ло»Л<р — Л са>П<1> — Ло»имеемимеемNa> =Na> =/п<Г^^__ [/? (ф, 6) _ Е (ф 6)] (П<1| — Т](2>)/т|<1) — По)/п<Г^^__ [/? (ф, 6) _ Е (ф 6)] (П<1| — Т](2>)/т|<1) — По)(29.5а)(29.5а)NWI = /т).!^.^ Г /цт^. Е (ф> ^_Л(1)—Л(2) L Л(2)—Л(3)1NWI = /т).!^.^ Г /цт^. Е (ф> ^_Л(1)—Л(2) L Л(2)—Л(3)1/•)<!>—П<з>/•)<!>—П<з>F^, 6)13-11JЛ(2)—Л(3)F^, 6)13-11JЛ(2)—Л(3)(29.56)(29.56)N(S, =П£22/т|<1>Л<2>Г).з> Е (ф> fe)Л<2>—Ло»(Л<2>— Л<3)) / Ло,—Лез»Сложив собственные значения, тензора коэффициентов деполяризации.N(S, =П£22/т|<1>Л<2>Г).з> Е (ф> fe)Л<2>—Ло»(Л<2>— Л<3)) / Ло,—Лез»Сложив собственные значения, тензора коэффициентов деполяризации.(29.5в)(29.5в)получимполучимNU-LNU-L(29.6)(29.6)Для кристаллов средней категории, когда два собственных значения тензора коэффициентов диэлектрической непроницаемости совпадают, интегралы (29.5) выражаются через элементарные функции. Здесь нужно различать два случая. Если л» > Л £> т°, обозначиве=$1Пф=1/^7,/ ПиДля кристаллов средней категории, когда два собственных значения тензора коэффициентов диэлектрической непроницаемости совпадают, интегралы (29.5) выражаются через элементарные функции. Здесь нужно различать два случая. Если л» > Л £> т°, обозначиве=$1Пф=1/^7,/ Пи♦) По определению эллиптический интеграл первого рода♦) По определению эллиптический интеграл первого рода^(ф, £)= \ гJ /1—А?281п2фа эллиптически 1 интеграл второго родаЕ(Ф> ^?) = ( К1 — ^?2 81п2ф ^ф.^(ф, £)= \ гJ /1—А?281п2фа эллиптически 1 интеграл второго родаЕ(Ф> ^?) = ( К1 — ^?2 81п2ф ^ф.Значения этих интегралов как функций ф и k приведены во многих сборниках математических таблиц, см„ например, Янке, Эмде и Леш (1968),Значения этих интегралов как функций ф и k приведены во многих сборниках математических таблиц, см„ например, Янке, Эмде и Леш (1968),
оо
^<fe) = y /def т) J
оо
^<fe) = y /def т) J
dz
Cn.A.+z) /det (t] + zl)
dz
Cn.A.+z) /det (t] + zl)
(29.4)
(29.4)
Интеграл в этой формуле — эллиптический; он выражается через известные эллиптические интегралы первого и второго рода F (ф, k) и Е (фэ /г) *). Именно, полагая, что г)(1) > л<2> > Лсзи и обозначая
Интеграл в этой формуле — эллиптический; он выражается через известные эллиптические интегралы первого и второго рода F (ф, k) и Е (фэ /г) *). Именно, полагая, что г)(1) > л<2> > Лсзи и обозначая
Ф = arcsin
Ф = arcsin
j — ЛО) Ла,
j — ЛО) Ла,
Л<р — Л са>
П<1> — Ло»
Л<р — Л са>
П<1> — Ло»
имеем
имеем
Na> =
Na> =
/п<Г^^__ [/? (ф, 6) _ Е (ф 6)] (П<1| — Т](2>)/т|<1) — По)
/п<Г^^__ [/? (ф, 6) _ Е (ф 6)] (П<1| — Т](2>)/т|<1) — По)
(29.5а)
(29.5а)
NWI = /т).!^.^ Г /цт^. Е (ф> ^_Л(1)—Л(2) L Л(2)—Л(3)
1
NWI = /т).!^.^ Г /цт^. Е (ф> ^_Л(1)—Л(2) L Л(2)—Л(3)
1
/•)<!>—П<з>
/•)<!>—П<з>
F^, 6)13-11
JЛ(2)—Л(3)
F^, 6)13-11
JЛ(2)—Л(3)
(29.56)
(29.56)
N(S, =П£22/т|<1>Л<2>Г).з> Е (ф> fe)
Л<2>—Ло»(Л<2>— Л<3)) / Ло,—Лез»
Сложив собственные значения, тензора коэффициентов деполяризации.
N(S, =П£22/т|<1>Л<2>Г).з> Е (ф> fe)
Л<2>—Ло»(Л<2>— Л<3)) / Ло,—Лез»
Сложив собственные значения, тензора коэффициентов деполяризации.
(29.5в)
(29.5в)
получим
получим
NU-L
NU-L
(29.6)
(29.6)
Для кристаллов средней категории, когда два собственных значения тензора коэффициентов диэлектрической непроницаемости совпадают, интегралы (29.5) выражаются через элементарные функции. Здесь нужно различать два случая. Если л» > Л £> т°, обозначив
е=$1Пф=1/^7,
/ Пи
Для кристаллов средней категории, когда два собственных значения тензора коэффициентов диэлектрической непроницаемости совпадают, интегралы (29.5) выражаются через элементарные функции. Здесь нужно различать два случая. Если л» > Л £> т°, обозначив
е=$1Пф=1/^7,
/ Пи
♦) По определению эллиптический интеграл первого рода
♦) По определению эллиптический интеграл первого рода
^(ф, £)= \ гJ /1—А?281п2ф
а эллиптически 1 интеграл второго рода
Е(Ф> ^?) = ( К1 — ^?2 81п2ф ^ф.
^(ф, £)= \ гJ /1—А?281п2ф
а эллиптически 1 интеграл второго рода
Е(Ф> ^?) = ( К1 — ^?2 81п2ф ^ф.
Значения этих интегралов как функций ф и k приведены во многих сборниках математических таблиц, см„ например, Янке, Эмде и Леш (1968),
Значения этих интегралов как функций ф и k приведены во многих сборниках математических таблиц, см„ например, Янке, Эмде и Леш (1968),
получим
LJ(29.7)
Если же т)± > т)ц, обозначаем и тогда
W|| = l—L(arctgf-n. Wx=^-(arctgf-n.(29.8)
Формулы (29.7) и (29.8) можно еще упростить, если анизотропия диэлектрических свойств кристалла мала. Именно, если е «< 1, формулы (29.7) можно приближенно записать в виде
"«-3-ТГА”1-з+Т5АW
формулы же (29.8) при / << 1 записываются в виде *1211
Для кристаллов кубической системы и «изотропных тел из (29.6) получаем
N=^NU = ^.(29.11)
Воспользовавшись теперь формулой (29.2), найдем
£",= 25т£'0,:(29J2)
к этому общеизвестному результату, конечно, можно было прийти совершенно элементарным путем.
§ 30. Поля точечного заряда и диполя в анизотропной среде
Рассмотрим поле точечного заряда . е в анизотропной среде, характеризуемой тензором диэлектрической проницаемости х. Функция плотности электрических зарядов р (г) для точечного заряда сводится, как известно, к 6-функции Дирака, умноженной на величину заряда: р (г) = еб (г — г(0)), где вектор г(0) определяет положение заряда. Связав с зарядом начало координат, получим
div Р = 4ле6(г).(30.1)
Так как О =—x-grad ф и тензор х не зависит от координат, из (30.1) следует, что потенциал ф удовлетворяет уравнению
Запишем его в системе координат ХгХйХд> построенной на собственных векторах тензора и:
x(i) g + Х(2) g + х(8) g = —4леб М 6 (х2) 6 (х3). (30.3)
Чтобы решить уравнение (30.3), произведем замену переменных: вместо переменных Xt введем переменные yt = х^Уицу Использовав для преобразования 6-функций формулу 6 (х*/2у) = х-1/2 6(у), получим из (30.3)
= — V ^6 0/1) 6 (Уг) 6 (у3).(30.4)
ду^ дуУ ду» /х(1)х(2)х(3)v 1
Это уравнение определяет потенциал поля точечного заряда er = elV^vi^^k^ в вакууме; его решением служит ф = = ^/ГУх + УХ + Уз • В прежних переменных
е /^ . ^1 .\—1/2
Ф = ^7==(11)•
V WdjX^jX^j \Х(1)Х(2)^(3)/
Введем в рассмотрение тензор диэлектрической непроницаемости т^х"1. Заметив, что х^х^х^) = det х= 1/det т), а
^ + ^ + ^ = i](i)*i+wi+i1(3)^ = ^^ Х(1)Х(2)х(3)
запишем потенциал поля точечного электрического заряда е в анизотропной среде в бескоординатной форме:
<Р = е/^7-<30-5)
Уравнение q>(r) = const определяет эквипотенциальные поверхности. Из решения (30.5) следует, что это эллипсоиды
г • 1] • г = const(30.6)
— характеристические поверхности тензора диэлектрической непроницаемости 1) (см. § 22).
Представив радиус-вектор г в виде г = гр, где г — расстояние от начала координат, а р — единичный вектор луча, можно вместо (30.5) записать
(30-7)
Сравнение этой формулы с аналогичной формулой для изотропной среды <р = ei^r^ показывает, что роль «диэлектрической проницаемости в направлении единичного вектора р» играет в этой задаче величина
геУУ <з°-8)
Зная потенциал, нетрудно найти напряженность
Е = — grad фЕ = — grad фе V^det 1]е V^det 1](г • л • г)3/2(г • л • г)3/2г) гг) г(30.9)(30.9)
Е = — grad ф
Е = — grad ф
е V^det 1]
е V^det 1]
(г • л • г)3/2
(г • л • г)3/2
г) г
г) г
(30.9)
(30.9)
= гк]Г( 1 —= гк]Г( 1 —2г,л| • 1) • ггх\г2г,л| • 1) • ггх\г
= гк]Г( 1 —
= гк]Г( 1 —
2г,л| • 1) • ггх\г
2г,л| • 1) • ггх\г
и индукцию электрического поля
В = х Е= 1 Л(30.10)
(Г.Т].Г)3/2
подсчитывая индукцию, мы воспользовались тем, что тензоры т] и х взаимно обратны.
Векторы электрической индукции D в анизотропной среде, как и в изотропной, направлены по лучам, исходящим из заряда. Векторы же напряженности электрического поля Е в анизотропной среде, вообще говоря, отклоняются от этих лучей. В то же время вдоль каждого такого луча абсолютная величина напряженности уменьшается по тому же закону Е (г) 1 /г2, как и в изотропной
среде:
(30.11)(30.11)^ e/p ^ n pdet т] 1
(30.11)
(30.11)
(Р П Р)3/2Г2'
Сравнение этой формулы с аналогичной формулой для изотропной среды Е = ^/(хг2) позволяет ввести еще одну «диэлектрическую проницаемость в направлении единичного вектора р»:
х<£> (р) = V—(Р1Т1-Р)3 (30.12) г р • Л * Л • Р det 4 v '
Таким образом, можно ввести множество различных определений «диэлектрической проницаемости в данном направлении», поэтому необходимо четко указывать, какая именно величина имеется в виду в каждом отдельном случае.
Естественное обобщение задачи о поле точечного заряда — задача о поле диполя. Рассмотрим систему точечных зарядов еП) находящихся в точках г^. Потенциал поля такой системы равен сумме потенциалов отдельных точечных зарядов, т. е.
Ф И = 2^ V(г-г'-Ьп^г-г-)' • <30'13)
Исследуем поле вдали от зарядов. При этом удобно предположить, что начало отсчета выбрано где-то вблизи зарядов, так что удаленность точки наблюдения от зарядов означает, что г ^ г(л). Разложим (30.13) в ряд, ограничиваясь первыми двумя членами. Так как
(Г — Г(л)) • К) ■ (Г — Г(л)) Г 1) • Г — Г^ • к] • г — г • ц • г<"> =
(здесь использована симметричность тензора т]), а для е < 1 справедливы приближенные равенства 1/)/" 1 — 2е 1/(1 — е) 1 + е, то из (30.13) получим
п
Первый член этого разложения— потенциал поля суммарного заряда £=2^. Нас интересует поле нейтральной в целом системы зарядов, когда е = 0 и отличен от нуля следующий член разложения. Тогда поле определяется в основном дипольным моментом
М=^епг^(30.15)
и
системы зарядов и потенциал его
(30.16)
Напряженность поля
E(r) = -gradT = /d^Jf^lJV>^^^(30.17)
(г • ч • гр
а индукция
D (г) = х • Е = /detrj.(30.18)
Для выделения в этих формулах зависимостей от направления и от расстояния между точкой наблюдения и диполем опять используем единичный вектор луча р:
<30J9>
Е=1ЛЩ^^^^(30.20)
1(РЧ-Р)5/2
D = /deFq ММ.чр)р-(рчр)М 1(зо 21)
*(РП-Р)5/2 г»
В изотропной среде единственной плоскостью среди эквипотенциальных поверхностей оказывается плоскость, проходящая через диполь и перпендикулярная к вектору дипольного момента М. В анизотропной среде аналогичную роль играет плоскость, также проходящая через диполь, но перпендикулярная не к вектору /И, а к вектору ц-М. В изотропной среде во всех точках, лежащих на оси диполя ф || Ж), векторы Е и D направлены по той же оси (Е || D II /И) В анизотропной среде в таких точках только вектор D направлен по оси диполя, а вектор Е параллелен вектору ipM
Убывание же потенциала и абсолютных величин векторов поля с удалением от диполя по любому лучу в анизотропной среде такое же, как и в изотропной: потенциал спадает, как 1/г2, напряженность и индукция — как 1/г3.
§31. Пироэлектрики
Пироэлектриками называются кристаллы, характеризуемые отличным от нуля вектором спонтанной поляризации Pw или спонтанной индукции Dw = 4лР1°>. Материальное уравнение электростатики для пироэлектрических кристаллов
d=&h**e(31.1)
в сочетании с уравнениями электростатики и граничными условиями позволяет выяснить поведение этих кристаллов в отсутствие внешних полей. Рассмотрим, например, шар радиуса R из пироэлектрического кристалла; воспользуемся при этом, как и в задаче о кристаллическом шаре в § 28, неопределенными тензорами Р и у, зависящими только от х. Естественно ожидать, что дипольный момент шара равен
M = R3tDW,(31.2)
поле вне шара определяется этим дипольным моментом, так что его потенциал
tpW^R/ryr-TDW,(31.3)
а поле внутри шара однородно:
Ф«) = _г.р.д(0).(31.4)
Из граничных условий получим
R-(^+\)-Dw = 0,(31.5)
/?.(хр-2у + 1)-2>(°>=0,(31.6)
где R — радиус-вектор произвольной точки на поверхности шара. Решение электростатической задачи не изменилось бы, если бы мы могли по своему произволу перед экспериментом сообщать кристаллу любую наперед заданную спонтанную индукцию D№, не меняя при этом его диэлектрической проницаемости х, а следовательно, и тензоров Р и у. Поэтому можно считать направления векторов R и Dw произвольными и перейти от равенств (31.5) и (31.6) к тензорным уравнениям
Р + у = 0, х • р — 2у +1 = 0.
у = —Р = (х + 21)-1.у = —Р = (х + 21)-1.(31.7)(31.7)Решая их, получим
у = —Р = (х + 21)-1.
у = —Р = (х + 21)-1.
(31.7)
(31.7)
Таким образом, вокруг пироэлектрика образуется поле с напряженностью
Е^ = — grad (р<е> = (R3/г6) (3/т - r2l) (х + 2I)-1 • D^, (31.8)
которая уменьшается по мере удаления от кристалла, как 1/г3, а внутри него возникает однородное поле с напряженностью
fi<*> = — (х + 21)-1 - jD<°>(31.9)
и с индукцией
D^ = D^ + х • £W = - (х + 21) • Е^ + х • Е^ = — ^\ (31.10) которая, как видно, не равна спонтанной индукции. Поля вектора индукции и вектора напряженности изображены на рис. 31.1.
Пироэлектрические кристаллы другой формы в отсутствие внешнего поля, очевидно, ведут себя аналогично. Поле внутри них уже не будет одно- * родным, но важно, что оно, как правило, отлично от нуля. Вокруг себя они также создают поле, которое, правда, совпадает с полем диполя лишь на расстояниях, значительно превышающих линейные размеры кристалла, а вблизи него в большей или меньшей степени — в зависимости от формы кристалла — искажено. Но наличие полей как вне, так и внутри кристалла является общей чертой всех пироэлектрических кристаллов независимо от их формы.
Однако ясно, что реальные условия жизни кристаллов исключают возможность неограниченно долгого существования таких полей. Все диэлектрики обладают хотя бы и очень малой, но все же отличной от нуля проводимостью, и вследствие этого в
3^
х-Е
а)
Рио. 31.1. Взаимное
в
40)
"Е
Ч х-Е 6)
расположение
векторов спонтанной индукции и напряженности электрического поля в шаре из пироэлектрического кристалла класса 1 или т (а) и любого из остальных пироэлектрических классов(б)
кристалле будет происходить медленный перенос заряда; поле же перенесенных к границе зарядов будет противодействовать как полю вне кристалла, так и полю внутри него. Кроме этого, в воздухе всегда находится некоторое количество ионов, которые под действием поля, существующего вне кристалла, будут — в зависимости от знака заряда — притягиваться к той или иной части поверхности кристалла, их поля также будут противодействовать полю кристалла и, в конечном счете, уравновешивать его.
Поэтому пироэлектрические свойства кристалла наблюдают и измеряют, достаточно быстро изменяя его температуру, поскольку спонтанная поляризация зависит от температуры. Отсюда и название самого явления — пироэлектричество («пирос» — по гречески огонь). Таким образом, измеряется не сама спонтанная поляризация, а лишь ее изменение с температурой. В первом приближении оно линейно:
PW (Т) - Р^ (То) =р (Т - То). (31.11)
Вектор р называется вектором пироэлектрических коэффициентов. Однако основной характеристикой пироэлектрика, определяющей возможность его практического применения, служит пироэлектрическая добротность p/к, равная отношению абсолютной величины пироэлектрического коэффициента р к нормальной составляющей тензора диэлектрической проницаемости в направлении пироэлектрической оси х = р-п-р/р2.
Практическое использование пироэлектрического эффекта стало возможным лишь несколько лет тому назад, когда было освоено промышленное производство кристаллов с большими значениями пироэлектрического коэффициента (в основном сегнетоэлектриков *)). В первую очередь здесь надо назвать сульфат лития и селенат лития, у которых величина пироэлектрического коэффициента оказалась на порядок больше, чем у всех известных до тех пор пироэлектриков. Недостатком новых пироэлектриков является, однако, сильная зависимость пироэлектрического коэффициента от температуры и обусловленная ею нестабильность пироэффекта. Значительным пироэффектом обладают также некоторые текстуры, в особенности керамика из титаната бария.
Пироэлектрические кристаллы используются для электрических термометров, дающих возможность измерения температуры с точностью до 10"6 К, а также для изготовления чувствительных приемников быстро меняющихся тепловых потоков, в частности, инфракрасного излучения. В этом отношении применение пироэлектрических кристаллов чрезвычайно перспективно.
Постоянный электрический ток в кристаллах
В проводящих кристаллах при наличии электрического поля Е возникает электрический ток плотности /. Основные уравнения постоянного тока в анизотропных средах такие же, как в изотропных:
rotE = 0, (32.1)
♦) Сегнетоэлектрики — важная и своеобразная группа пироэлектриков. См. о них § 65,
откуда следует существование потенциала ср:
Е=— grad ф,
(32.2)
и уравнение неразрывности тока
div/=0.
(32.3)
При протекании электрического тока в единице объема проводящего материала за единицу времени выделяется теплота
Q = E-j.(32.4)
Закон Ома в кристаллах заменяется общей линейной зависимостью
j=oE(32.5)
ИЛИE^pj,(32.6)
где тензор второго ранга а называется тензором удельной электропроводности, а р = хг1 — тензором удельного сопротивления. С помощью этих тензоров джоулево тепло Q можно представить в двух эквивалентных формах:
Q = Е- оЕ= olkElEb(32.7)
Q = j-P-J=pifejih.(32.8)
Термодинамика необратимых процессов позволяет существенно уточнить формулы (32.5) и (32.6). Во-первых, хотя симметрия кристаллов пироэлектрических классов не исключает появления в формулах (32.5) и (32.6) постоянных слагаемых j^ и Ew соответственно, термодинамика необратимых процессов утверждает, что эти слагаемые должны отсутствовать. Во-вторых, тензоры аир должны быть симметричны. В-третьих, все их собственные значения должны быть положительны (см. § 76).
Влияние симметрии кристаллов на их электропроводность рассматривается точно так же, как и влияние симметрии на диэлектрические свойства. Заметим, что собственные векторы тензоров диэлектрических свойств и тензоров, характеризующих электропроводность, совпадают лишь в тех случаях, когда их направления определяются элементами симметрии кристалла. Собственные же векторы тензоров о и р совпадают всегда, поскольку эти тензоры взаимно обратны.
Рассчитаем электропроводность кристаллической пластинки площади 5 и толщины d (d <^ р^); единичный вектор нормали к пластинке п. Поскольку поверхности пластинки должны быть металлизированы, поле в ней совпадает с полем в плоском конденсаторе:
E = (U/d)n,(32.9)
где U — разность потенциалов на поверхностях пластинки. Следовательно, плотность тока
j^Uld^o-n,(32.10)
а общий ток, проходящий через пластинку,
/ = Sn j= (SU/d) поп.(32.11)
Таким образом, нормальная составляющая тензора удельной электропроводности в этом случае играет роль удельной электропроводности в данном направлении. Сопротивление же кристаллической пластинки равно
так что смысл удельного сопротивления кристаллической пластинки в направлении п играет величина \Kji-o-nY она, вообще говоря, не равна нормальной составляющей п-р-п тензора удельного сопротивления.
Рассмотрим противоположную в некотором смысле задачу — рассчитаем сопротивление кристаллического стержня длины d и площади поперечного сечения S^^j/S); единичный вектор п определяет направление оси стержня. Ясно, что в этом случае
J=(HS)n, (32.13) откуда
E = (I/S)p-n, (32.14) а разность потенциалов на концах стержня
U = dn-E = (Id/S)n-p-n. (32.15)
В этой ситуации роль удельного сопротивления в направлении п играет нормальная составляющая тензора удельного сопротивления п-р-п, а роль удельной электропроводности—обратная ей величина \Цп-р-п\
Из этих двух задач можно сделать вывод, что такие выражения, как «величина удельного сопротивления в данном направлении», «величина удельной электропроводности в данном направлении» и вообще «величина, характеризующая свойство в данном направлении», приобретают определенный смысл лишь после того, как указана ситуация, в которой измеряется данное свойство (ср. формулы (30.8) и (30.12)).
Теплопроводность кристаллов
q = ^X&rad Тq = ^X&rad ТТеплопроводность изотропных твердых тел определяется исходя из пропорциональности теплового потока q градиенту температуры grad 71:
q = ^X&rad Т
q = ^X&rad Т
(33.1)
(знак минус выбран, чтобы коэффициент теплопроводности X всегда можно было считать положительным: тепловой поток направлен в сторону понижения температуры). Естественное обобщение этой закономерности на анизотропные тела
q = — X-gradT.(33.2)
Эта формула полностью аналогична формуле теории электропроводности кристаллов (32.4), которую можно записать в виде
У= — о • grad <р.(33.3)
Тензор теплопроводности X, так же как тензор электропроводности о, симметричен, и все его собственные значения положительны.
Очевидно, div q равна количеству теплоты, выходящему из единицы объема тела за единицу времени. Изменение температуры в этом объеме за единицу времени равно —div q. деленной на теплоемкость единицы объема, т. е. на ср, где с — удельная теплоемкость (теплоемкость единицы массы), р — плотность. Отсюда следует уравнение теплопроводности кристаллов
^ =-^-div ^ = ^div(X. grad Т).(33.4)
Поскольку тензор теплопроводности X, как р и с, не зависит от координат, можно вынести его за знак дифференцирования и ввести тензор температуропроводности к = (1/рс)Х и записать уравнение теплопроводности в виде
at -^дх^*(33-5)
Если в каждой точке тела дТ/dt = 0, то мы имеем дело с установившимся, неизменным во времени тепловым потоком. В этом случае, отбрасывая не имеющий теперь значения множитель 1/ср, получаем из (33.5) уравнение
(33.6)
полностью аналогичное уравнению для потенциала в теории постоянного тока. В этих условиях теплопроводность кристаллических стержней и пластинок, очевидно, вычисляется по формулам, совершенно аналогичным тем, которые получены в предыдущем параграфе. Разности потенциалов соответствует теперь разность температур, силе тока — количество тепла, проходящего за 1 К/с через стержень или пластинку, напряженности электрического поля — взятый с обратным знаком градиент температуры, вектору плотности тока — вектор потока тепла.
Рассмотрим температурные поля, возникающие в кристаллах при равномерном нагревании, т. е. при повышении температуры окружающей среды с постоянной скоростью h [К/с]. Разумеется, равномерное охлаждение рассматривается точно так же, только h считается отрицательным. После некоторого периода установления ) можно с достаточной степенью точности считать, что в каждой точке кристалла температура возрастает со скоростью К. Тогда решение уравнения теплопроводности (33.5) можно искать в форме
Т(г, 0 = Ф(Н+^(33.7)
функция Ф удовлетворяет уравнению
(33.8)
Пусть кристаллическая пластинка толщины 2а равномерно нагревается с поверхностей п-г = ±а. Здесь п — единичный вектор нормали к плоскости пластинки, г — радиус-вектор, отсчитываемый от какой-либо точки, лежащей в средней плоскости пластинки. Введем координату г = n-r = n^xb Очевидно, температура — функция г и времени /, причем д дг д д dxt dxt dz — П1дг'
Уравнение (33.8) запишется теперь в виде
hijntn^^,(33.9)
и так как температура среды с обеих сторон пластинки одинакова, Ф (—а) = Ф (а). Поэтому решение уравнения (33.9) имеет вид
где В — неизвестная пока постоянная, определяемая из граничных условий. В частности, если принять, что температура Т (фа, 0 на границе кристалла равна температуре окружающей среды То (/), то
Обычно кристаллы нагреваются в воздухе или ином газе. При этом температура поверхностных слоев кристалла в большей или меньшей степени отстает от температуры окружающей среды. Соответствующее этой ситуации граничное условие, если не учиты-
вать теплообмен за счет излучения, имеет вид
^^ = ± Н [Т, (0 а, 01.(33.11)
где коэффициент Н характеризует условия теплообмена на границе кристалла с окружающей средой: Н = 0 соответствует полному отсутствию теплового потока через поверхность кристалла, при Н -^ оо температура поверхностных слоев кристалла Т (±я, /) стремится к температуре окружающей среды То (/). При граничном условии (33.11)
В = Т (0)-^
очевидно, последнее слагаемое и характеризует отставание температуры поверхностных слоев кристалла от температуры окружающей среды.
Определение коэффициента Н затруднительно; в частности, его зависимость от направления нормали к грани кристалла, соприкасающейся со средой, до сих пор экспериментально не исследована. Однако некоторые важные сведения о распределении температуры в кристалле можно получить и не зная этого коэффициента. Как будет показано в § 55, для вычисления напряжений, возникающих в кристалле при его нагревании (или охлаждении), достаточно знать разность между температурой кристалла в данной точке Т (z, I) и средней его температурой (Т (0). В данном случае
а
<T^=i^ т^' ^dz-— а
При вычислении разности Т — (Т) слагаемое S, как и слагаемое М, выпадает, и для случая равномерного нагревания кристалла со скоростью h получаем
* I(33.12)
О симметрии физических свойств кристаллов см. П. Кюри (1966); Вигнер (1971), а также учебники кристаллофизики: Voigt (1928); Wooster (1949); Шубников, Флинт и Бокий (1940); Шубников (1975); Най (1967); Вустер (1958 и 1977); Копцик (1958); Bhagavgntam (1966); Mason (1966); Kleber, Meyer, Schoenborn (1968); Васильев (1972); Переломова и Тагиева (1972); Сонин (1976); Шаскольская (1976, 1978а); Donnay (1973); Hartmann (1973).
Об электрических свойствах и теплопроводности кристаллов см. книги: Иоффе (1932); Борн и Хуан Кунь (1958); Ландау и Лифшиц (1957 и 1965); Жданов (1961); Киттель (1962, 1978); Желудев (1968, 1969, 1976); Слэтер (1969),
Г Л A В A TV
ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ
Электромагнитные волны в прозрачных кристаллах
Распространение электромагнитных волн в прозрачном немагнитном кристалле определяется уравнениями Максвелла
rot£ = —4^,(34.1)
с atс at''
div D = 0, div/7=0(34.2)
и материальным уравнением
Е = n D,Et = t\lkDk.(34.3)
Здесь Е и Н — векторы напряженности электрического и магнитного полей, D — вектор электрической индукции, с — скорость света. Слагаемые, соответствующие электрическому току и свободным зарядам, отсутствуют ввиду предположения, что кристалл прозрачен, т. е. является идеальным диэлектриком. Если кристалл не магнитен, векторы напряженности магнитного поля Н и магнитной индукции В равны друг другу.
Тензор диэлектрической непроницаемости т] зависит от частоты; при оптических частотах (со ~ (2,5 — 5)-1016 с^1), т. е. в видимой, ультрафиолетовой и инфракрасной областях спектра, его собственные значения значительно ближе к единице, чем при статических или медленно меняющихся полях. Для большинства кристаллов собственные значения т] (в видимой области спектра) заключены в пределах от 0,17 для алмаза до 0,62 для льда. Как и в электростатике тензор т] симметричен: доказательство этого основано на термодинамике необратимых процессов ).
Если переменное электромагнитное поле распространяется в кристалле в виде плоских электромагнитных волн, зависимость
полевых векторов £, D, Н от пространственных координат г и времени t определяется формулами
E(r, t) = Eoexp(ik-r — itot)»
D^r» f) = Doexp(ik-r—itof)>(34.4)
Я(г, t) = Hoexp(ik r — itoty
Здесь со — циклическая частота, к — волновой вектор. Он перпендикулярен к плоскости волнового фронта и связан с другими характеристиками волны равенствами
, 2л о о
к=уШ=-т=- пт»(34.5)
в которых т — единичный вектор волновой нормали, X — длина волны, и — ее фазовая скорость. Отношение скорости электромагнитной волны в вакууме к ее фазовой скорости в данной среде
n = c/v(34.6)
называется показателем преломления этой электромагнитной волны в данной среде. Это же определение показателя преломления принимается и для волны в анизотропной среде.
Как уже отмечалось, обобщая на анизотропные среды те характеристики вещества, которые применяются в физике изотропных сред, необходимо точно указывать способ их обобщения. В приведенном определении это и сделано: в оптике изотропных сред показатель преломления п для данной среды, с одной стороны, равен
Уsin i
п = -.—,sin г ’
где i — угол падения, г — угол преломления, а с другой — отношению фазовых скоростей света в вакууме и в среде (34.6). Именно второе свойство показателя преломления используется при обобщении этого понятия на анизотропные среды.
В электромагнитной волне, распространяющейся в анизотропной среде, пространственные соотношения между полевыми векторами D» Н и Е значительно сложнее, чем в изотропной. Они определяются уравнениями Максвелла (34.1) и (34.2); в эти уравнения следует подставить выражения (34.4) для полевых векторов волны. Действие на экспоненциальные векторные функции вида (34.4) операций rot, div и d/dt сводится к векторному и скалярному умножению на ik и к умножению на —ico соответственно. Поэтому уравнения (34.1) принимают для плоских волн вид
kxH=-^-D, кхЕ=^-Н,(34.7)
а уравнения (34.2) — вид
k-D = 0,кН=0.(34.8)
.Уравнения (34.8) означают лишь перпендикулярность векторов В и Н волновому вектору к; так как она следует уже из уравнений (34.7), уравнения (34.8) можно просто опустить Векторы Ви Н лежат в плоскости волнового фронта — к этому сводится попереч- ность электромагнитных волн в анизотропных средах. Кроме того, из уравнений (34.7) следует взаимная перпендикулярность векто
ров Н и В, а также векторов Н и Е (рис. 34.1).
Итак, в анизотропной среде сохраняется ортогональность и синфаз- ность векторов Ей Н,а также векторов Ви Н, ио не сохраняется коллинеарность векторов В и Е.
Сократив уравнение (34.7) на м/с, представим уравнения Максвелла для плоских электромагнитных волн в анизотропной среде в виде
птхН =— В, птхЕ = Н. (34.9)
Исключив из них напряженность магнитного поля Н, полу-
Рис. 34.1. Пространственные соотношения между полевыми векторами электромагнитной волны в немагнитной анизотропной среде.Рис. 34.1. Пространственные соотношения между полевыми векторами электромагнитной волны в немагнитной анизотропной среде.чим соотношение между вектором напряженности электрического поля и вектором электрической индукции в плоской электромагнитной волне
Рис. 34.1. Пространственные соотношения между полевыми векторами электромагнитной волны в немагнитной анизотропной среде.
Рис. 34.1. Пространственные соотношения между полевыми векторами электромагнитной волны в немагнитной анизотропной среде.
п^т х(тхЕ) = — В,
Е — ттЕ= ^В.Е — ттЕ= ^В.(34.10)(34.10)которое после элементарных преобразований приобретает форму
Е — ттЕ= ^В.
Е — ттЕ= ^В.
(34.10)
(34.10)
Левая часть соотношения (34.10)-—составляющая вектора Е. лежащая в плоскости волнового фронта (рис. 34.1). Она коллинеарна вектору электрической индукции, а отношение ее длины к длине вектора индукции равно квадрату отношения скорости волны в среде к скорости ее в вакууме. Электромагнитная волна по-прежнему поперечна, но в плоскости волнового фронта теперь лежат только векторы индукции, а векторы напряженности могут выходить из этой плоскости.
С помощью материального уравнения (34.3) исключим еще напряженность электрического поля из соотношения (34.10)
^-mm^vD^D, bxik-m^i^D^-^ Dt. (34.11)
Полученное векторное уравнение определяет скорость и поляризацию распространяющейся через кристалл в направлении т электромагнитной волны. Для его исследования введем специаль-
нормали к волне (g3 = ш), анормали к волне (g3 = ш), аную декартову систему координат Х^Х^Х^. ось Х3 направим по
нормали к волне (g3 = ш), а
нормали к волне (g3 = ш), а
хЕ(г>-ттЕи)хЕ(г>-ттЕи). ?^ Плоскость болнобого - хН( фронта обеих боля.. ?^ Плоскость болнобого - хН( фронта обеих боля.Е(0-ттЕ(пН,2)D°>Е(0-ттЕ(пН,2)D°>ьн\* /6яй0ИШ?/ШЯ&%2&Л1^ /Лидия?£гямг/ьн\* /6яй0ИШ?/ШЯ&%2&Л1^ /Лидия?£гямг/взаимно перпендикулярные оси Хт и Х2 окажутся в плоскости волнового фронта. Учитывая, что в специальной координатной системе ввиду поперечности вектора электрической индукции D^ = О, запишем векторное уравнение (34.11) в этой системе:
хЕ(г>-ттЕи)
хЕ(г>-ттЕи)
. ?^ Плоскость болнобого - хН( фронта обеих боля.
. ?^ Плоскость болнобого - хН( фронта обеих боля.
Е(0-ттЕ(пН,2)D°>
Е(0-ттЕ(пН,2)D°>
ьн\* /6яй0ИШ?/ШЯ&%2&Л1^ /Лидия?£гямг/
ьн\* /6яй0ИШ?/ШЯ&%2&Л1^ /Лидия?£гямг/
4nDi + rii2D2 = п-Юи}
Л12^1 ~Н Л 22^ 2 = ^ 2^2^
оно свелось всего к двум скаляр
ным уравнениям, так как третье Рис. 34.2. Плоскости поляризации и ПреДСТЗВЛЯеТ Собой ТрИВИаЛЬНОв плоскости колебаний двух волн прил л
двойном лучепреломлении.ТОЖДеСТВО 0 — 0.
Система уравнений (34.12) показывает, что и"2 — собственное значение двумерного симметрич
ного тензора с компонентами
Ч, Л22IIЧ, Л22IIИ11hi2
Ч, Л22II
Ч, Л22II
квадратногоП“ J = 0 422 —« IквадратногоП“ J = 0 422 —« I(34.13)(34.13)a D — его собственный вектор. Тензор этот естественно назвать проекцией тензора диэлектрической непроницаемости на плоскость волнового фронта. Так как он двумерный, собственных значений у него всего два — это корни Т|ц—^~2 412 они равны, очевидно,
квадратного
П“ J = 0 422 —« I
квадратного
П“ J = 0 422 —« I
(34.13)
(34.13)
М(1,22) = у [(411 + Ч22) ± V (nii-W + ^W1]-(34.14)
Таким образом, скорость электромагнитных волн, распространяющихся через кристалл в направлении т, равна либо у(1) = c/nw, либо 0(2) = c/nw.
Каждому собственному значению п^ соответствует свой собственный вектор D^). Направление вектора электрической индукции в волне, распространяющейся со скоростью у(1), определяется любым из двух равносильных уравнений
(Чп —+= 0,
направление вектора Dw можно найти аналогично, но проще воспользоваться взаимной перпендикулярностью векторов Dw и Z>(2) (собственные векторы, соответствующие не совпадающим собственным значениям, взаимно ортогональны, см. § 19).
Пусть, в частности, оси координат Хг и Х2 в плоскости волнового фронта выбраны так, что 412 = 0 и 4П > т)22. Тогда показатели преломления n(1) = 1/]/т]и, n(2) = I/V422, а векторы индукции D^) II Хь D^ || Х2.
Итак, в кристаллах имеет место двупреломление света: в общем случае проходящий через кристалл в заданном направлении т монохроматический свет распадается на две линейно-поляризованные волны, распространяющиеся с различными скоростями и(1) и и(2). Плоскости поляризации этих двух волн взаимно перпендикулярны (рис. 34.2).
Оптическая индикатриса
Вычисления, проведенные в § 34, иллюстрируются простым геометрическим построением. Характеристическая поверхность тензора диэлектрической непроницаемости т]
Г-1)Г=1, W№ = 1(35.1)
— это эллипсоид с центром в начале координат, называемый оптической индикатрисой кристалла (можно доказать, что все собственные значения тензора т] положительны, см. § 22).
Рассмотрим центральное сечение оптической индикатрисы плоскостью волнового фронта — эллипс, все точки которого удовлетворяют одновременно и уравнению индикатрисы (35.1) и уравнению плоскости волнового фронта, проходящей через начало координат, х3 = 0. Уравнение этого эллипса (в той же специальной координатной системе)
411*1 + 2412*1*2 + 422*1 = 1.(35.2)
Если направить оси Хг и Х2 специальной системы координат по собственным векторам двумерного тензора
Ин 412 Лhl2 422 Г
то, поскольку собственные значения этого тензора равны п^ и п^, уравнение эллипса примет вид
(^2 + (Л2_у=1.(35.3)
\па>) Vad' '
Отсюда ясно, что п(1) и п№ — длины главных полуосей эллипса. По этим же полуосям будут направлены векторы электрической индукции Dw и D(2).
Таким образом, чтобы выяснить скорости и поляризации электромагнитных волн, распространяющихся в кристалле в любом заданном направлении, достаточно рассмотреть центральное сечение оптической индикатрисы плоскостью волнового фронта, т. е.
Рио. 35.1. Центральное сечение оптической индикатрисы одноосного кристалла плоскостью волнового фронта.Рио. 35.1. Центральное сечение оптической индикатрисы одноосного кристалла плоскостью волнового фронта.плоскостью, нормальной к направлению луча. Направления главных полуосей этого сечения совпадают с направлениями векторов электрической индукции заданной волны, а длины этих главных полуосей равны их показателям преломления.
Рио. 35.1. Центральное сечение оптической индикатрисы одноосного кристалла плоскостью волнового фронта.
Рио. 35.1. Центральное сечение оптической индикатрисы одноосного кристалла плоскостью волнового фронта.
Схема оптической индикатрисы приведена на рис. 35.1. S — центральное сечение, нормальное к направлению распространения волны, т— вектор волновой нормали. Полуоси эллипса по величине равны п(1) и п^. Для волн с показателем преломления п(1) плоскость колебаний вектора D(1) проходит через D(1) и ш, для волны с п(2) — через Dw и т.
Итак, чтобы определить скорость, показатели преломления и плоскости колебаний для волн, распространяющихся в кристалле в лю
бом направлении, нужно знать величины полуосей оптической индикатрисы, ее форму и ее ориентацию в кристалле.
Абсолютные величины полуосей оптической индикатрисы ДОП ^2> ^з ) — характерные параметры вещества. Напомним, что они зависят от частоты колебаний электромагнитного поля ). Что же касается формы и ориентации индикатрисы, то она полностью определяется симметрией кристалла (см. § 22).
Категория кристалла
Значения N
Форма оптической индикатрисы
Оптические свойства кристалла
Высшая Средняя Низшая
N (!) = N (^ = N (3) N ц> — N(2) =# N(3) NЦ) =# N(2) =# N(3)
Сфера Эллипсоид вращения Трехосный эллипсоид
Изотропные Одноосные Двухосные
В кристаллах высшей категории оптическая индикатриса — сфера радиуса N = 1/]А). Все центральные сечения круговые, все показатели преломления равны друг другу, нет двупреломления. В отношении оптических свойств кристаллы высшей категории изотропны.
В кристаллах средней и низшей категорий проходящий по любому заданному направлению монохроматический свет в об-
щем случае распадается на две плоскополяризованные волны. Однако во всех этих кристаллах есть особенные направления — оптические оси, или бинормали, характеризующиеся тем, что нормальное к ним сечение оптической индикатрисы плоскостью волнового фронта оказывается окружностью. При любом выборе осей Xj и Х2 в плоскости волнового фронта, ндрмальной к оптической оси, проекция тензора диэлектрической непроницаемости на эту плоскость имеет компоненты pQn ^J, так что оба корня уравнения (34.13) совпадут: п^ = п^ = т)и. Любой вектор, лежащий в плоскости волнового фронта, служит для этого двумерного тензора собственным вектором. Поэтому вдоль оптической оси может распространяться свет любой поляризации.
У изотропных тел и кристаллов кубической системы, где оптическая индикатриса — сфера и все центральные сечения — круговые, любое направление можно считать оптической осью.
У кристаллов средней категории оптическая индикатриса — эллипсоид вращения с уравнением (в кристаллофизической системе координат)
^ + 4=1. (35.4) No Ne
Ось вращения эллипсоида совпадает с главной осью симметрии кристалла и является его единственной оптической осью, а его единственное круговое сечение, перпендикулярное к главной оси симметрии кристалла, имеет радиус 2V0. Кристаллы средней категории оптически одноосны. Бинормаль оптической индикатрисы совпадает с главной осью симметрии кристалла.
У кристаллов низшей категории оптическая индикатриса — эллипсоид общего вида; в системе координат, построенной на собственных векторах диэлектрических тензоров для данной частоты ), ее уравнение
Ш’+Ш’+Ш-1- <35-5>
Здесь Nb N2, N3 — главные показатели преломления: их обратные квадраты равны собственным значениям тензора диэлектрической непроницаемости. Эти индикатрисы имеют два круговых сечения и соответственно две бинормали, т. е. две оптические оси РТ и Р2 (рис. 35.2), — кристаллы низшей категории оптически дву- осны Уравнение (35.1) и его геометрическая интерпретация в виде оптической индикатрисы позволяют наглядно характеризовать оптические свойства кристаллов.
В кристаллах средней категории ориентировка оптической оси полностью задана симметрией кристалла: оптическая ось (бинормаль) всегда является направлением [001] или [0001], т. е. главной осью симметрии кристалла, плоскость базиса (001) или (0001) —
оптически изотропным сечением.
Из (35.4) следует, что в оптически одноосных кристаллах один
из показателей преломления п(1) не зависит от направления, вто
рой П(2) — в разных направлениях различен. Первый из них при
Рис. 35.2. Центральное сечение оптической индикатрисы двуосного кристалла.Рис. 35.2. Центральное сечение оптической индикатрисы двуосного кристалла.нято называть «обыкновенным» и обозначать п0 (или No\ Второй называют «необыкновенным» и обозначают пе ). Его значения, в зависимости от направления распространения волны, меняются от No до экстремального значения Ne. Таким образом, п0 = No> пе меняется от No до Ne.
Рис. 35.2. Центральное сечение оптической индикатрисы двуосного кристалла.
Рис. 35.2. Центральное сечение оптической индикатрисы двуосного кристалла.
Названия «обыкновен-
ный» и «необыкновенный» обязаны своим происхож
дением тому, что у волны с показателем преломления п0 луч, как и у обычных волн в изотропной среде, совпадает с волновой нормалью, а у волны с показателем преломления пе луч отклоняется от волновой нормали (см. § 36).
Величиной ^N = Ne — No измеряется двупреломление кристалла. Если (Ne — No) > 0, одноосные кристаллы считаются оптически положительными; оптическая индикатриса имеет форму эллипсоида вращения, вытянутого вдоль оптической оси. Если (Ne — No) < 0, форма оптической индикатрисы — сплюснутый эллипсоид вращения, кристаллы оптически отрицательны (рис. 35.3). Примером одноосных положительных кристаллов является кварц, одноосных отрицательных — кальцит (исландский шпат), дигидро- 4юсфат калия или аммония (KDP или ADP). Сплюснутость или вытянутость эллипсоидов на рис. 35.3 сильно преувеличена. Лишь
для таких сильно двупреломляющих кристаллов, как кальцит, селитра, рутил, различие Ne и No доходит до ~10%. Колоссальным двупреломлением в инфракрасной области спектра обладают селен, теллур. Для большинства же кристаллов различие Ne и No не превышает долей процента.
В кристаллах низшей категории оба показателя преломления «необыкновенны», т. е. величина их зависит от направления, а луч падающий и луч преломленный не лежат в одной плоскости. Кристаллы оптически двуосны. У оптической индикатрисы есть два круговых сечения. Линия пересечения круговых'сечений — средняя главная ось оптической индикатрисы; она перпендикулярна к плоскости оптических осей. Большая и малая главные оси оптической индикатрисы — биссектрисы углов между оптическими осями. Симметрия оптической индикатрисы тлить
В кристаллах ромбической системы главные оси оптической индикатрисы совпадают с кристаллографическими осями, т. е.
Оптическая ось
Рис. 35.3 Оптические индикатрисы положительного и отрицательного оптически одноосных кристаллов.
с осями 2 или с нормалями к плоскости т, а плоскость оптических осей — с плоскостями (100), (001) или (010).
В моноклинных кристаллах одна из осей индикатрисы всегда проходит вдоль оси 2 или по нормали к т, т. е. совпадает с осью Х2, а направления двух других осей, располагающихся в плоскости. (010), не зависят от симметрии кристалла. Плоскость оптических осей либо параллельна единственной плоскости симметрии, либо расположена в плоскости зоны, к которой принадлежит ось Х2.
Наконец, в триклинных кристаллах в общем случае ориентация индикатрисы никак не связана с симметрией кристалла и ее приходится определять для каждого вещества.
Стереографические проекции оптических осей и главных осей индикатрисы кристаллов низшей категории представлены на рис. 35.4.
Для обозначения главных показателей преломления, соответствующих полуосям оптической индикатрисы кристалла, иногда
используют условные стандартные обозначения Ng —- наибольший показатель преломления, Nm — средний показатель преломления, Nр — наименьший показатель преломления. В таких обозначениях для одноосного кристалла величина двупреломления UN = — Ng — Np) а для двуосного Ng — Nm> Ng — Np, Nm — Np) но обычно двуосные кристаллы характеризуют только максимальной разностью Д^ = Ng — Np. Отметим, что величина двупреломления и показатели преломления измеряются разными методами и с разной точностью.
Рио. 35.4. Стереографические проекции осей индикатрисы и плоскостей оптических осей в двуосных кристаллах: ромбических (а, б, в), моноклинных (г, д) и триклинных (е)
Угол V между большой главной осью оптической индикатрисы двуосного кристалла и оптической осью определяется формулой
tgV =tgV =/"nV-Nm*N^-Ng3'/"nV-Nm*N^-Ng3'(35.6)(35.6)
tgV =
tgV =
/"nV-Nm*
N^-Ng3'
/"nV-Nm*
N^-Ng3'
(35.6)
(35.6)
а угол между оптическими осями равен 2V. Принято считать двуосный кристалл оптически положительным, если 2У < 90° и большая главная ось индикатрисы является биссектрисой острого угла, а малая — тупого; двуосный кристалл оптически отрицателен, если 2V > 90°, большая главная ось индикатрисы является биссектрисой тупого угла, а малая —острого. Если средний показатель преломления Nm близок к наибольшему N. или наименьшему Np, то угол V оказывается близок к 0 или 90е, а кристалл по своим оптическим свойствам приближается соответственно к положительным или отрицательным одноосным кристаллам. Напротив, если средний показатель преломления Nm удовлетворяет равенству
2^2 = ^2 + ^\
оптические оси взаимно перпендикулярны (V = 45°), кристалл не является ни положительным, ни отрицательным и по своим оптическим свойствам максимально далек от одноосных кристаллов.
Заметим, что все эти определения имеют смысл при заданной длине волны света и при определенной температуре. Из-за дисперсии света возможны случаи, когда одно и то же вещество оптически положительно для одной длины волны и отрицательно для другой (см. ниже, § 39).
Итак, для полной характеристики оптических свойств кристаллов надо измерять следующие величины:
Для кристаллов высшей категории — N,
Для кристаллов средней категории — Ng, Npt оптический знак,
Для кристаллов низшей категории — Ngl Nm, Np.
Кроме того, для кристаллов низшей категории нужно определить ориентировку главных осей оптической индикатрисы и направления бинормалей.
В заключение еще раз подчеркнем глубокое различие между характером распространения электромагнитных волн в изотропных и в анизотропных средах. В изотропной прозрачной среде в каждом направлении могут распространяться световые волны любой поляризации, а значит, и смесь световых волн всевозможных поляризаций — естественный свет. Напротив, в анизотропной прозрачной среде в заданном направлении (если это не оптическая ось) могут распространяться лишь световые волны двух строго определенных поляризаций и притом с различными скоростями, естественный же свет (т. е., в сущности, свет произвольной поляризации) может распространяться только вдоль оптических осей.
Как будет показано далее, различия в симметрии кристаллов приводят к различиям в характере поляризации распространяющегося в них света: для центросимметричных кристаллов характерна линейная поляризация, для нецентросимметричных — эллиптическая и циркулярная поляризация.
Такой характер распространения света в кристаллах не связан ни со специфическими свойствами электромагнитных волн, ни с внутренним строением кристаллов, а только с их анизотропностью. Упругие волны, распространяющиеся в анизотропной среде, также поляризованы етрого определенным образом (см. § 56).
Волны и лучи. Принцип двойственности.
Эллипсоид Френеля
Вектор потока энергии (вектор Пойнтинга) в электромагнитной волне равен, как известно,
S=?-ExH;(36.1)
единичный вектор этого направления s называется лучевым вектором. Если на пути световой волны в прозрачном кристалле поместить непрозрачный экран с достаточно узкой диафрагмой *), то направление прошедшего через диафрагму луча определяется именно вектором s (рис. 36.1).
В изотропной среде для волны, идущей от точечного источника света, волновая поверхность (т. е. геометрическое место точек, до которых за время t волна доходит в одинаковой фазе) имеет форму сферы; направлениелуча совпадает с нормалью к фронту волны,
т. е. к плоскости, касатель- "7"ной к волновой поверхности
~в момент L
В изотропной среде фазо- —вая и групповая скорости
■■"волны могут различаться по
щ^ш^шш^^величине, но совпадают по
; — направлению. Фазовая, или
- -"нормальная, скорость волны
-j ^i^ ■— © — это скорость перемеще-
— -ния волнового фронта, на-
/правленная по нормали к
фронту волны. Групповая, Рис. 36.1. волна и луч в анизотропной среде ИЛИ ^ЧевОЯ, СКОрОСТЬ ВОЛНЫ и — это скорость луча, т. е. скорость передачи энергии, коллинеарная вектору Пойнтинга 5. В изотропной среде векторы у и и коллинеарны. В анизотропной же среде они могут оказаться и неколлинеарными. Именно, если направления векторов Е и D в электромагнитной волне различны, то различны (и составляют тот же угол) и направления векторов s и т. Действительно, из определения вектора Пойнтинга (36.1) ясно, что векторы Е, Н и s, так же как D, Н и т, составляют правую тройку векторов, но если Е и D не коллинеарны, то луч s и нормаль к волновому фронту т тоже не коллинеарны, а значит, эти две правые тройки не совпадают (см. рис. 34.1 и 36.1). В этом случае скорости — фазовая © и групповая а — тоже направлены по-разному, составляя между собой угол ф. Групповая скорость световой волны или, что то же самое, скорость светового луча
— и °cosap т • s *
Она, таким образом, или совпадает с фазовой скоростью и по величине и по направлению или отклоняется от фазовой скорости по направлению и превосходит ее по величине. Величина, обратная
показателю преломления для луча
q = u/c,(36.2)
связана с показателем преломления п соотношением
nq=Ц-.(36.3)
1 /П • S COS 1|)х '
Из формулы (36.1) ясно, что лучевой вектор перпендикулярен к векторам напряженности электрического и магнитного полей:
s-E = 0,s И =0.(36.4)
Пользуясь этим, подсчитаем
sxD = — ns х (шх Н) = п (s • mH- s • Яш) = (и cos гр) Я,
s X Я=ns х (ш х Е) = п ($ • Em — $ • шЕ) = — (и cos гр) Е.
Эти соотношения очень напоминают выведенные в § 34 уравнения Максвелла для плоской световой волны в форме (34.9). Для наглядности несколько преобразуем их и выпишем вместе с уравнениями (34.9), дополнив соответствующими материальными уравнениями (х — тензор диэлектрической проницаемости для той же частоты со):
Уравнения Максвелла
для световой волны птхН= — D, птхЕ=Н>Е=1)- D,для световой волны птхН= — D, птхЕ=Н>Е=1)- D,для светового луча
для световой волны птхН= — D, птхЕ=Н>
Е=1)- D,
для световой волны птхН= — D, птхЕ=Н>
Е=1)- D,
<3«>^2ЙЕ'<36.5)
(34.2)D=xE.(36.6)
Таким образом, в прозрачном немагнитном кристалле система уравнений для волны переходит в систему уравнений для луча при замене
E-^-D, D-^E, Н-^-Н, m-^s, n-^-q, ц-^-х. (36.7)
Это позволяет из любого соотношения для волн получить совершенно формальным путем — просто посредством подстановки (36.7) — соответствующее соотношение для лучей (и обратно).
Принцип двойственности утверждает: любое соотношение, справедливое для величин Е, Я, Я, ш, п, т] или Я, Е, Я, s, q, х, остается справедливым при замене величин согласно правилу (36.7).
Ту роль, которую для световых волн играет оптическая индикатриса, выполняет для световых лучей эллипсоид Френеля
гхг=1, *Klkxlxfe=\(36.8)
— характеристическая поверхность тензора диэлектрической проницаемости.
У изотропных тел и кристаллов кубической системы эллипсоид Френеля — сфера радиуса q = Мп = 1/]/х,
У одноосных кристаллов эллипсоид Френеля — эллипсоид вращения. В кристаллофизической системе координат его уравнение №М + ^) + ^|х| = 1(36.9)
(квадраты главных показателей преломления обратны собственным значениям тензора т] и, следовательно, равны собственным значениям обратного ему тензора х). Эллипсоид вращения имеет одно круговое сечение, перпендикулярное к главной оптической оси кристалла.
Для одноосных оптически положительных кристаллов эллипсоид Френеля — сплюснутый, для отрицательных — вытянутый (рис. 36.2).
Рис. 36.2. Поверхности показателей преломления одноосных кристаллов: а) оптически отрицательного, б) оптически положительного.
У двуосных кристаллов это эллипсоид общего вида, имеющий два круговых сечения (рис. 36.3). В системе координат, построенной на собственных векторах электрических тензоров, его уравнение
NXx\ + N^xX + № = 1 • (36.10)
Главные оси оптической индикатрисы и эллипсоида Френеля для монохроматического света одной и той же частоты всегда совпадают, потому что у взаимно обратных тензоров собственные векторы одни и те же.
Чтобы выяснить скорости и поляризации лучей, распространяющихся в кристалле в направлении $, нужно рассмотреть центральное сечение эллипсоида Френеля плоскостью, перпендикулярной к направлению лучей. В общем случае это сечение — эллипс. Тогда в данном направлении распространяются с различными скоростями и различными волновыми нормалями два луча, поляризованных взаимно перпендикулярно. Длины главных полуосей
(36.11)(36.11)эллипса ^(i) и 9(2) пропорциональны их скоростям: ^(1) = ?(i)c>м(2) = ч^с»
(36.11)
(36.11)
а направления главных полуосей совпадают с направлениями вектора напряженности электрического поля £(1) и Е(2). Если же направление s оказывается перпендикулярным к круговому сечению эллипсоида Френеля, в этом направлении может рас-
Рис. 36.3 Поверхность показателей преломления двуосных кристаллов в трех проекциях.Рис. 36.3 Поверхность показателей преломления двуосных кристаллов в трех проекциях.
Рис. 36.3 Поверхность показателей преломления двуосных кристаллов в трех проекциях.
Рис. 36.3 Поверхность показателей преломления двуосных кристаллов в трех проекциях.
пространяться луч естественного света со скоростью и» определяемой радиусом 9 этого кругового сечения: и = qc. У изотропных тел и кубических кристаллов 9 = 1/п, у одноосных кристаллов 9 = UN0> у двуосных 9 = UNm. Направления, перпендикулярные к круговым сечениям эллипсоида Френеля, называются лучевыми оптическими осями или бирадиалями. У одноосных кристаллов бирадиали совпадают с бинормалями, у двуосных же не совпадают, но лежат вместе с ними в плоскости оптических осей.
Практически для подсчета скоростей и поляризаций лучей удобно пользоваться специальной системой координат с осью Х3,
8 Ю. И. Сиротин, М. П. Шаскольская
направленной вдоль луча, и осями Хг и Х2, перпендикулярными к лучу. Вычислив нужные компоненты тензора диэлектрической проницаемости х в этой системе координат, легко найти из уравнения
|*ц —<Г2I *12|*ц —<Г2I *12Х12 J = 0^—q 21Х12 J = 0^—q 21(36.12)(36.12)
|*ц —<Г2
I *12
|*ц —<Г2
I *12
Х12 J = 0
^—q 21
Х12 J = 0
^—q 21
(36.12)
(36.12)
величины q^ и q^, а затем — по формуле (36.11) — и лучевые скорости. Направление вектора Е^ определяется с помощью любого из уравнений
(36.13)(36.13)(хц-^^’ + х^^О,Х12-^11) + (Х22 ?(lf) Е^' = О,
(36.13)
(36.13)
а вектор Е^ ему перпендикулярен.
Подчеркнем, что выражающаяся подстановками (36.7) взаимность между волнами и лучами имеет место лишь внутри кристалла, но не на его поверхности. Так как граничные условия для векторов D и Е совершенно различны, отражение и преломление световых лучей на поверхности кристалла существенно отличается от отражения и преломления световых волн внутри кристалла.
§ 37. Решение задачи о распространении света в кристалле в произвольной системе координат
Задача о распространейии плоских электромагнитных волн в анизотропной среде настолько важна, что целесообразно рассмотреть ее решение в совершенно произвольной декартовой системе координат, никак не связанной ни с направлением распространения света, ни с главными осями оптической индикатрисы.
Пусть т — единичный вектор нормали к фронту плоской электромагнитной волны некоторой частоты со, а т] = т] (со) — тензор диэлектрической непроницаемости для данной частоты. В произвольной декартовой системе координат уравнение оптической индикатрисы имеет вид
•П^х» = 1, гц г=1,(37.1)
а уравнение проходящей через ее центр плоскости, параллельной волновому фронту, —
131^ = 0, тг = 0.(37.2)
Сечение оптической индикатрисы этой плоскостью — эллипс; все его точки удовлетворяют обоим уравнениям. Направления и длины главных полуосей этого эллипса совпадают соответственно с направлениями колебаний и показателями преломления электромагнитных волн с нормалью ш, распространяющихся в данном кристалле.
Длины главных полуосей эллипса — это наибольшее или наименьшее расстояния трчек эллипса от его центра. Поэтому можно найти показатели преломления и направления колебаний, решая задачу о том, каково расстояние от центра эллипса наиболее и наименее удаленных его точек и в каких направлениях от центра эллипса они расположены.
Радиус-вектор любой точки г = х^ можно записать в виде
г = пр xt = npb(37.3)
где п — длина этого вектора, ар — единичный вектор того же направления:
р р = \, pipi=\.(37.4)
Тогда уравнение оптической индикатрисы (37.1) примет вид
n2WzP*=l.п?р-1\р= 1.
Для точек эллипса единичный вектор р удовлетворяет уравнению mzpz = 0,т-р = 0.(37.5)
Таким образом, расстояние любой точки оптической индикатрисы от ее центра равно
лг V>
V WiPk ¥р-чр
где р — единичный вектор, указывающий, в каком направлении от центра расположена эта точка. Если же эта точка принадлежит эллипсу, то компоненты pt единичного вектора р должны еще удовлетворять соотношению (37.5).
Функция и"2 (р) достигает экстремальных значений при тех же значениях рь что и функция п (р), но значительно более удобна для исследования, чем последняя. Таким образом, задача свелась к следующей: при каких значениях pt достигаются и чему равны экстремальные значения функции
(37.7)
при дополнительных условиях
Ф1(Л. Ра. p3) = p1pi-l=0,
®2(Pi. Pi. p3) = m,p1 = 0.
Для решения этой задачи используем метод неопределенных множителей Лагранжа. Составим функцию
F(Pi. Ра. Рз) = ^ -^^ + ^8 =
= у AikPiPh- j^(PiPt- l) + pmtph (37.8)
где X и р, — множители Лагранжа. «Подозрительные на экстремум» векторы р^ и соответствующие им значения Х(7) и р,^) найдутся из системы, состоящей из уравнений:
дЕ
5Z- = Ш - ^Pt + № = О,
др(37.9)
— = т)р-Хр + рт = 0,
а также уравнений (37.4) и (37.5). Уравнения (37.9) вместе с уравнением (37.5) составляют систему однородных линейных уравнений относительно неизвестных ръ р^ р^ р:
(т]п-Х)Р1+ П12Р2+ ПхзРз+^ = 0,
Wi +(П22-^)Р2+ П23Р3+ /п2р = 0,
Wi + П32Р2+(т]зз-^)Рз + /7г3[1 = 0,
т^+ tn^+ т3р3=0.
Как известно, система однородных линейных уравнений имеет нетривиальные, т. е. не равные тождественно нулю, решения в том и только в том случае, если определитель этой системы равен нулю:
rill—X
1)12,
1)13
/711
Т]21
1)22 — X
<П23
т2
= 0.
(37.11)
Т)31
1)32
1)зз — X
т3
тх
т^
т3
0
Условие (37.11) представляет собой квадратное уравнение относительно множителя Лагранжа X. Нетрудно доказать, что корни его Х(1) и Х(2) вещественны (см. формулу (37.18)). Подставив один из корней, скажем, Х(1), в систему (37.10), найдем соответствующие значения компонент вектора pw и множителя Лагранжа р(1) с точностью до нормировки, т. е. значения api1’» ар2 \ ^Рз1 и ар. Неизвестный коэффициент а найдется из условия (37.4), после чего вектор pw и множитель Лагранжа р(1) окажутся определенными с точностью до знака, если только Х(1) =^Х(2). Эта точность вполне достаточна, так как центр эллипса служит для него центром симметрии и потому п (—р) = п (р).
Рассмотрим некоторые общие свойства решений этой задачи. Скалярно умножив обе части уравнения (37.9) на вектор р^\ где q = 1, 2, получим
Х^р^-ч-р^. (37.12)
Таким образом, множитель Лагранжа Х^) равен нормальной составляющей тензора диэлектрической непроницаемости в направлении колебаний. Из формулы (37.7) следует, что это просто обратная величина квадрата показателя преломления световой
волны с данным направлением колебаний:
*^^ = ^Хду(37.13)
Скалярно умножив обе части уравнения (37.9) на вектор ш, получим
Rg) = — тхур^.(37.14)
Таким образом, множитель Лагранжа р,^) равен взятой с обратным знаком тангенциальной компоненте тензора диэлектрической непроницаемости в направлениях колебаний р и волновой нормали т. Так как тангенциальные компоненты изотропного тензора равны нулю, множитель Лагранжа р9 отличен от нуля только в оптически анизотропных кристаллах. Поскольку единичный вектор направления колебаний р^ коллинеарен вектору индукции D^ электромагнитной волны с нормалью т и скоростью с/п^, вектор трр^ коллинеарен вектору напряженности электрического поля Е^) этой волны. Множитель р^; равен (взятой с обратным знаком) проекции вектора т)-р<^ на направление волновой нормали. Таким образом, он показывает, насколько вектор напряженности электрического поля данной световой волны отклоняется от плоскости волнового фронта. Это отклонение возможно только при распространении света в оптически анизотропной среде.
Уравнения (37.10) и (37.11) несколько упрощаются в системе координат, построенной на собственных векторах тензора диэлектрической непроницаемости т]. В этой системе координат уравнение (37.11) приводится к виду
^2 — [(Л(2) + Л(3)) ^1 + (Л(3) + Лт)+ (Л(1) + Л(2)) тз] ^ +
+ [П(2)П(з)/”1 + П (3 )П (1 )"ii + П(1)П(2)"гз] = 0.(37.15)
Вычислив корни %(1) и Х(2) этого квадратного уравнения, находим векторы направлений колебаний р11} и р^ и, если нужно, множители Лагранжа р(1) и р(2) из уравнений (37.10), которые в собственной системе тензора т] принимают вид
(Ли) - W Pf + MiV-w = °*
(^(2) — ^(9))+= °>
(По) - W Р1^ + m3p,w = 0,(37.16)
mipW + т^ + m3pw = 0(9=1,2).
Однако значительно более существенного упрощения уравнений (37.10) и (37.11) можно достичь, записав их в системе координат, одна из осей которой, скажем, ось Х3, направлена по вектору волновой нормали т. В этой системе координат тх = тг = 0, т3 = 1 и отличны от пуля лишь компоненты рх и рй вектора направления
колебаний. Из четырех уравнений (37.10) остается, в сущности, только два:
(t1ii-^)Pi + W2 = 0,
Wl+fo22-b)p2 = 0.'
Определитель этой системы однородных линейных уравнений равен нулю лишь при
Ч 2) =4 [(Tin + П22) ± /(Пп-т122)8 + (2т)12)г].(37.18)
Подставив в уравнения (37.17) Х(1), найдем компоненты вектора pw. После этого с помощью третьего из уравнений (37.10) можем найти
И(1) = — ЛзхР^’^ЛзгРв’*(37.19)
Вектор р^ и множитель Лагранжа р(2) находятся аналогично.
§ 38. Уравнение Френеля. Волновая и лучевая поверхности
В § 37 показано, что в произвольной, в частности, кристаллофизической системе координат уравнение (37.11) для определения показателей преломления волн, распространяющихся в направлении т, имеет вид
Т)п —М-2Т]12Т|13/И!
421422 —И"2Т]23^2 =Q(38 П
4зх4зг4зз~ и"2^з* ^ * '
/И1т^т30
Здесь п — показатель преломления, а тъ т^ т3 — компоненты единичного вектора волновой нормали т. В системе координат, построенной на собственных векторах диэлектрических тензоров, это уравнение (после умножения на n4NXNXN3 обеих его частей) записывается в форме
п4 №Х + NXmX + 2V|/n|) - n2 [^? (NX + M32) mX +
+ NX (NX + NX) m,X + NX (NX + NX) ml] + NXNXNX = 0(38.2)
и называется уравнением Френеля. Оно определяет показатель преломления п как функцию единичного вектора волновой нормали т.
Если от начала координат отложить во всех направлениях т отрезки длины п (т), получится двуполостная (так как почти каждому вектору т соответствуют два значения п) поверхность показателей преломления. Ее уравнение в полярных координатах получается из уравнения Френеля (38.2) посредством подстановки mv = cos ф sin ft, т2 = зшф8Ш'б’, mg^cos^, (38.3) а в декартовых — посредством подстановки
пт1=х1) пт3 = х^ пт3 = х3, л2 = *1 + *1 + хз* (38.4)
Поверхность эту называют также поверхностью волновых векторов*, если из одной точки отложить волновые векторы всех распространяющихся в кристалле световых волн данной частоты, то концы их образуют поверхность, подобную поверхности показателей преломления, так как длины волновых векторов пропорциональны показателям преломления соответствующих волн. Для оптически изотропных сред эта поверхность — сфера.
Для одноосных кристаллов уравнение Френеля (38.2) приводится к виду
(п2 - №0) {zz2 ^No (т; + т^ + №ет^ + N20N^ = 0.(38.5)
С помощью подстановки (38.4) выводим из него уравнение поверхности показателей преломления для одноосных кристаллов
to + х|+х| - No) V^o to + х|) + N^ - Ы^Д = 0.(38.6)
Это двойная поверхность, которая распадается на сферу
Xi 4~ xi+х| = No и эллипсоид вращения
•^1 4”^2 I ^8 1
Очевидно, световая волна в кристалле средней категории распадается на две: обыкновенную волну, для которой скорость и показатель преломления n0 = N0 не зависят от направления, и необыкновенную волну, для которой показатели преломления пв в разных направлениях различны (рис. 38.1).
Сфера и эллипсоид касаются друг друга в двух точках, которые определяют направление оптической оси, совпадающей с главной осью симметрии кристалла. Напомним, что в оптически одноосных кристаллах главная ось симметрии является оптической осью кристалла и одновременно бинормалью (т. е. нормалью к круговому сечению оптической индикатрисы) и бирадпалью (т. е. нормалью к круговому сечению эллипсоида Френеля). Волна, идущая вдоль оптической оси, не испытывает двойного лучепреломления. Кристаллы средней категории оптически однооспы. Как указано выше, принято считать одноосные кристаллы оптически положительными, если Ne>N0. т. е. сфера вписана в эллипсоид, и оптически отрицательными, если Ne<N0, т. е. эллипсоид вписан в сферу.
Исследование общего уравнения Френеля (38.2) дает возможность выяснить вид поверхности показателей преломления двуосных кристаллов. Ее уравнение в декартовых координатах запи-, шем в форме
№ _|_у2 + Z2) (^^2 _|_ ад _(_ W=Z2) _ N^p (A^m + N^ Xй -
- N*m М WpW-NX (№ 4- Nin) 2» + №pN1„Na6 = 0,(38.7)
выявляющей сравнительную величину главных показателей преломления. Анализ этой поверхности четвертого порядка в общем
Рис. 38.1. Сечения поверхностей показателей преломления и поверхностей скоростейволн для оптически одноосных кристаллов.
виде сложен, поэтому сначала рассмотрим сечения поверхности координатными плоскостями. Сечение ее плоскостью z = О характеризуется уравнением
(х2+у2 - N№Px> + NV - N2PN^ = 0, (38.8)
которое показывает, что это сечение состоит из окружности х2 + + у2 = Ng и эллипса -^- +-^- = 1, причем эллипс расположен
Nrn Мр внутри окружности.
Сечение поверхности показателей преломления плоскостью х = О также состоит из окружности у2 + z2 = Nap и эллипса
—з =1, но в этом случае окружность располагается внутри Ng Nm эллипса.
Наконец, в сечении у = О окружность х2 + z2 = N2m и эллипс X2 . Z2 .
— Н—о- = 1 пересекаются.
Ng Np
Рис. 38.2. Сечения поверхности показателей преломления двуосного кристалла координатными плоскостями.Рис. 38.2. Сечения поверхности показателей преломления двуосного кристалла координатными плоскостями.Их общие точки — точки пересечения поверхности показателей преломления оптическими осями, т. е. бинормалями оптической индикатрисы. (Напомним, что у двуосных кристаллов бинормали и бирадиали не совпадают по направлению, см. § 36.) Вид сечений показан на рис.
Рис. 38.2. Сечения поверхности показателей преломления двуосного кристалла координатными плоскостями.
Рис. 38.2. Сечения поверхности показателей преломления двуосного кристалла координатными плоскостями.
38.2.
Взаимность между волнами и лучами, установленная в § 36, позволяет получить аналогичные результаты и для лучей. Пользуясь заменой (36.7), выпишем в произвольной системе координат уравнение для определения квадратов лучевых показателей преломления свето
вых лучей, распространяющихся в направлении единичного вектора s с компонентами sn s2, s3:
Хц — q 2Х12х13 sx
(38.9)(38.9)х21х22 q 2Х23 s2
(38.9)
(38.9)
Х31Х32Х33 — q-2 S3
Si s2 s3 0
В системе координат, построенной на собственных векторах диэлектрических тензоров т) (со) и х ((d), оно (после умножения на у4) принимает вид
q4NWi + N№ + NW^-
q2 [W + Nl) si + (^ + NT) Sg + (Nl + Nl) s|] 4-1 = 0.(38.10)
Из этого уравнения посредством подстановок (38.3) или (38.4) получается уравнение лучевой поверхности (иногда ее называют
волновой поверхностью); в декартовых координатах оно таково:
(х! + х| + х|) (^|^^I + N№^ + W г Wix^) -
№ + ^32) xt - № + Nt) xl - № + AZ|) xX + 1 = 0.(38.11)
Так как лучевая скорость и пропорциональна величине q, лучевую поверхность можно наглядно представлять себе как фронт волны, испущенной из точечного источника света, расположенного в центре этой поверхности. Поскольку в каждом направлении, не совпадающем с бирадиалью, распространяются с различными скоростями два взаимно перпендикулярно поляризованных луча, это двуполостная поверхность. По виду она напоминает поверхность показателей преломления, но различие между этими поверхностями состоит в том, что поверхность показателей преломления отсекает на координатных осях отрезки длины N01 Ne или Ng1 Nmi Npi а лучевая поверхность отсекает на тех же осях отрезки длины 1/NO) 1/Ne или l/AZg, l/^m, UNp. Поэтому поверхности обратны. Так, например, для одноосного отрицательного кристалла поверхность показателей преломления — это эллипсоид вращения внутри сферы, а лучевая поверхность — сфера внутри эллипсоида (см. рис. 38.1). Таковы же обратные соотношения для положительных одноосных кристаллов и для двуосных (см. табл. 39.1).
Взаимная связь между оптическими поверхностями в кристаллах. Коническая рефракция
Оптические свойства кристаллов можно характеризовать различными величинами: лучевыми или волновыми скоростями или показателями преломления, потоком энергии или перемещением фронта волны. Соотношения между этими величинами определяются принципом двойственности. Для каждой из этих величин можно построить характеристические или указательные поверхности. Все эти поверхности были построены Френелем на рсновании экспериментальных данных по наблюдению оптических явлений в кристаллах в поляризованном свете и по соображениям о симметрии кристаллов за несколько десятков лет до создания теории Максвелла.
Общая сводка этих поверхностей приведена в табл. 39.1.
Форма и ориентация всех оптических поверхностей, как лучевых, так и нормальных, по принципу Неймана связаны с симметрией кристалла и, в конечном счете, всегда зависят от тензора диэлектрической проницаемости (или тензора диэлектрической восприимчивости).
Для истолкования оптических явлений, наблюдаемых в кристаллах, чаще всего пользуются оптической индикатрисой, лучевой поверхностью и эллипсоидом Френеля, но в некоторых случаях
Оптический характер кристаллов
Поверхности
Волновая поверхность (лучевая)
Оптическая индикатриса
Эллипсоид Френеля
Поверхность нормалей
Поверхность показателей преломления (поверхность волновых векторов)
Поверхность обратных скоростей лучей
Одноосные положительные +
Вытянутый эллипсоид вращения внутри шара
Вытянутый эллипсоид вращения Ne>N0
Сплюснутый эллипсоид вращения и0>Уе
Вытянутый овалоид вращения внутри шара
Шар внутри сплюснутого эллипсоида вращения
Шар внутри сплюснутого овалоида вращения
Одноосные отрицательные
Шар внутри сплюснутого эллипсоида вращения
Сплюснутый эллипсоид вращения No>Ne
Вытянутый эллипсоид вращения 0£>0О
Шар внутри сплюснутого овалоида вращения
Вытянутый эллипсоид вращения внутри шара
Вытянутый овалоид вращения внутри шара
Двуосные положительные +
Главные сечения образованы кругами и
Ng-Nm>
>Nm-N0
01 — 02 <
<У2 — 03
Наибольшая ось — острая биссектриса
Наибольшая ось —острая биссектриса
Главные сечения образованы кругами и овалами.
Через точки их пересечения проходят бирадиали
Двуосные отрицательные
эллипсами.
Через точки их пересечения проходят бирадиали
Эллипсоид с тремя неравными главными осями
Эллипсоид с тремя неравными главными осями
Главные сечения образованы кругами и ова- ► лами. Через точки их пересечения проходят оптические оси
Главные сечения образованы кругами и эллип- ► сами. Через точки их пересечения проходят оптические оси
Ng-Nm<^
<Nm-N„
01 — 02 >
>02 — 03
Наибольшая ось—тупая биссектриса
Наибольшая ось —тупая биссектриса
Таблица 39.1
Оптические поверхности кристаллов средней и низшей категории
ОО
§ 39] ВЗАИМНАЯ СВЯЗЬ МЕЖДУ ОПТИЧЕСКИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
удобно обращаться и к остальным поверхностям, взаимно связанным друг с другом (Pockels, 1906; Шубников, 1958).
Схема взаимной связи между поверхностями, описывающими двупреломление кристаллов, такова:
Рис. 39.1. Соотношение между лучом, нормалью и сечениями эллипсоида поверхности волны и овалоида нормальных скоростей.Рис. 39.1. Соотношение между лучом, нормалью и сечениями эллипсоида поверхности волны и овалоида нормальных скоростей.то соответствующая ейто соответствующая ей
Рис. 39.1. Соотношение между лучом, нормалью и сечениями эллипсоида поверхности волны и овалоида нормальных скоростей.
Рис. 39.1. Соотношение между лучом, нормалью и сечениями эллипсоида поверхности волны и овалоида нормальных скоростей.
то соответствующая ей
то соответствующая ей
Соотношения между этими поверхностями отвечают соотношению между лучом и нормалью к фронту волны. В изотропной среде, где фронт волны, идущей от точечного источника, имеет форму сферы, луч и нормаль к фронту волны совпадают. В анизотропной
среде направления луча и нормали совпадают лишь вдоль собственных направлений диэлектрических тензоров, чем и вызвано различие «лучевых» и «нормальных» поверхностей. Чтобы построить волновую нормаль, сопряженную данному лучу, надо провести плоскость, касательную к поверхности волны в точке выхода луча, и опустить на эту плоскость перпендикуляр из центра поверхности (рис. 39.1). Отношение длин этих отрезков равно отношению лучевой и нормальной (т. е. групповой и фазовой) скоростей.
Проводя нормали ш, сопряженные каждому лучу s, можно построить поверхность нормальных скоростей. Если поверхность лучевых скоростей является эллипсоидом, поверхность нормальных скоростей ока
зывается овалоидом. Сфере лучевых скоростей соответствует тоже сфера нормальных скоростей.
Все эти поверхности выводятся простым геометрическим построением из эллипсоида Френеля или из оптической индикатрисы (см. Pockels, 1906). На рис. 39.2 приведены сечения восьми поверхностей, построенных с соблюдением относительного масштаба для вымышленного отрицательного кристалла, у которого No = 1,86, Ne = 1,07 (Карандеев, 1913).
Анализ таких поверхностей все особенности преломления и
позволяет выявить и объяснить поляризации света в кристаллах.
Рис. 39.2. Сечения оптических поверхностей одноосного отрицательного кристалла плоскостью XsXf. а) эллипсоид Френеля, б) лучевая поверхность, в) овалоид скоростей волн, г) поверхность нормалей, д) оптическая индикатриса, е) поверхность показателей преломления, ж) овалоид обратных величин скоростей лучей, з) поверхность обратных величин скоростей лучей.
Рис. 39.3. К выводу явления конической рефракции и объяснению соотношения между бирадиалями и бинормалями.Рис. 39.3. К выводу явления конической рефракции и объяснению соотношения между бирадиалями и бинормалями.
Рис. 39.3. К выводу явления конической рефракции и объяснению соотношения между бирадиалями и бинормалями.
Рис. 39.3. К выводу явления конической рефракции и объяснению соотношения между бирадиалями и бинормалями.
Так, сравнивая между собой оптическую индикатрису и лучевую поверхность, можно наглядно уяснить различие между бирадиа- лями и бинормалями оптически двуосного кристалла (см. § 22). Бира- диали соответствуют направлениям, вдоль которых одинаковы групповые скорости, а бинормали — направлениям одинаковых фазовых скоростей волны.
Бирадиали нормальны к круговым сечениям эллипсоида Френеля, бинормали — к круговым сечениям оптической индикатрисы. Соотношение между ними поясняет рис. 39.3, на котором показано сечение поверхности лучей и поверхности нормалей двуосного кристалла плоскостью X3OXV Четыре точки пересечения эллипса с кругом определяют направления бирадиалей RR. Проведя общую
касательную к эллипсу и кругу и опустив на нее нормаль т, находим точки пересечения овала с кругом, которые определяют направления бинормалей.
Практически лучевые и нормальные (фазовые и групповые) скорости столь близки, что различие направлений бинормалей и бирадиалей не играет роли нигде, кроме своеобразного явления конической рефракции.
В плоском сечении каждой бинормали соответствуют два сопряженных луча. Переходя от сечения к объему, можем убедиться, что касательная плоскость РР касается двойной поверхности по окружности, а значит, одному направлению бинормали отвечает множество сопряженных лучей, образующих внутри пластинки
Рис. 39.4. Схема наблюдения внутренней конической рефракции: ОО — направление оптической оси кристалла. Черточками и точками показаны направления колебаний (Шубников, 1958).Рис. 39.4. Схема наблюдения внутренней конической рефракции: ОО — направление оптической оси кристалла. Черточками и точками показаны направления колебаний (Шубников, 1958).Рис. 39.5. Схема наблюдения внешней конической рефракции: SS — направление бирадиали кристалла. Черточками и точками показаны направления колебаний (Шубников, 1958).Рис. 39.5. Схема наблюдения внешней конической рефракции: SS — направление бирадиали кристалла. Черточками и точками показаны направления колебаний (Шубников, 1958).полый конус, а по выходе из пластинки — полый цилиндр. Поэтому, если вырезать пластинку двуосного кристалла строго перпендикулярно к одной из его оптических осей (бинормалей) и пропустить по нормали к этой пластинке узкий пучок естественного света, то луч разделится не на два луча, поляризованных взаимно перпендикулярно, а на бесконечное множество лучей, поляризованных линейно в разных азимутах (рис. 39.4). Луч света от точечного источника даст на экране не одну точку, как было бы если бы он шел вдоль оптической оси одноосного кристалла, и не две точки., как было бы в случаях всех других направлений в одноосном или двуосном кристалле, а светлое кольцо, диаметр которого не меняется при удалении экрана от пластинки. Яркость кольца не оди-
Рис. 39.4. Схема наблюдения внутренней конической рефракции: ОО — направление оптической оси кристалла. Черточками и точками показаны направления колебаний (Шубников, 1958).
Рис. 39.4. Схема наблюдения внутренней конической рефракции: ОО — направление оптической оси кристалла. Черточками и точками показаны направления колебаний (Шубников, 1958).
Рис. 39.5. Схема наблюдения внешней конической рефракции: SS — направление бирадиали кристалла. Черточками и точками показаны направления колебаний (Шубников, 1958).
Рис. 39.5. Схема наблюдения внешней конической рефракции: SS — направление бирадиали кристалла. Черточками и точками показаны направления колебаний (Шубников, 1958).
накова: имеется положение максимальной яркости и темная полоска, соответствующая минимальной яркости. Если вращать анализатор вокруг направления луча, то темная полоска пробегает полный оборот по кольцу, показывая тем самым, что лучи, образующие кольцо, поляризованы линейно в разных азимутах. В этом и заключается явление внутренней конической рефракции (рис. 39.4).
Аналогичное явление внешней конической рефракции заключается в том, что одному направлению бирадиали соответствует бесчисленное множество волн, нормали к которым образуют полый конус. Для наблюдения внешней конической рефракции нужно пропустить луч света через пластинку, вырезанную строго перпендикулярно к бирадиали (рис. 39.5).
Интересно отметить, что открытие конической рефракции представляют пример замечательного научного предвидения. Оно было предугадано Виллиамом Гамильтоном в 1832 г. (Pockels, 1906) только на основании умозрительного анализа формы волновой поверхности кристаллов, построенной Френелем. Гамильтон предложил Ллойду провести опытную проверку его заключения, и действительно, годом позже (1833 г.) Ллойд описал экспериментальное наблюдение внутренней и внешней конической рефракции на кристалле арагонита.
Арагонит принадлежит к числу немногих веществ, в которых удается видеть явление конической рефракции; для большинства веществ угол конической рефракции настолько мал, что обнаружить это явление на опыте практически не удается. Как следует из (38.7) и (38.11), угол конуса внешней конической рефракции а дается соотношением
tga = NpNg У№- Nm^ (NV - Ni2). (39.1)
В табл. 39.2 даны значения угла а для некоторых веществ.
Таблица 39.2
Угол конуса внешней конической рефракции a для некоторых веществ
Вещество
a
Вещество
a
Арагонит
1°52'
Сахар
0°52'
Сера
7°ц,
Гипс
0°18'
Винная кислота
3°54'
Слюда
0°59'
Барит
0°15'
Топаз
0°16'
В заключение обратим внимание на то, что из-за дисперсии значений т] формы оптических поверхностей зависят от частоты падающей на кристалл электромагнитной волны (см. § 40).
Наблюдения оптической анизотропии кристаллов в поляризованном свете
Знание оптических поверхностей, приведенных в табл. 39.1, необходимо для объяснения оптических явлений, наблюдаемых в кристаллах в поляризованном свете.
Наблюдение кристаллов в поляризованном свете осуществляется с помощью поляризационного микроскопа или поляризационных установок, построенных по схеме рис. 40.1. В качестве поляризатора и анализатора используют поляроиды, николи или другие поляризующие призмы. При использовании метода сходящегося света (см. ниже) в схему вводятся еще два конденсора.
Пучок естественного света, проходя через поляризатор, становится плоско- поляризованным, а далее, попадая в наблюдаемую кристаллическую пластинку,
Рис.40.1. Схема наблюдения кристаллов в параллельном поляризованном свете: S — источник света, Р — поляризатор, Д — анализатор, К — кристаллическая пластинка, F — экран.
он испытывает двупреломление, причем плоскости поляризации возникших двух лучей определяются плоскостями симметрии оптической индикатрисы наблюдаемого кристалла и их ориентировкой по отношению к падающему лучу. Назначение поляризатора заключается не столько в поляризации света, сколько в создании когерентности колебаний, попадающих в кристаллическую пластинку. Два луча, возникающие при раздвоении плоскополяризованного луча, когерентны, а значит, могут интерферировать. Проходя через кристаллическую пластинку, эти два луча приобретают разность хода
A = d(n1 —п2), (40.1)
где d — толщина пластинки, п^, п2 — показатели преломления двух лучей, которые в кристалле в общем случае идут не параллельно и проходят разные пути. По выходе из пластинки лучи идут снова параллельно, и если луч света достаточно широк, а пластинка достаточно тонка, то они могут идти по одному направлению, перекрывая друг друга.
Лучи, прошедшие поляризатор и кристаллическую пластинку, параллельны, когерентны и имеют разность хода, но для того чтобы они могли интерферировать, нужно еще, чтобы совпадали их плоскости поляризации. В этом и заключается назначение анализатора: он сводит колебания двух лучей в одну плоскость. Точнее, анализатор отбирает те компоненты колебаний, которые лежат в плоскости его поляризации.
В отсутствие кристаллической пластинки интенсивность света, вышедшего из оптической системы, определяется законом Малюса
/ = /0cos2a; (40.2)
здесь a — угол между плоскостями поляризации поляризатора и анализатора, /0 — интенсивность света, прошедшего через поляризатор. Если a = 0, николи параллельны, наблюдается максимальная интенсивность прошедшего света,
Если а = 90°, николи «скрещены» ) (плоскости поляризации поляризатора и анализатора взаимно перпендикулярны), свет через оптическую) систему не про
ходит, поле зрения темное.
Если же между скрещенными николями помещена двупреломляющая кристаллическая пластинка, то поле зрения просветляется. Степень просветления
зависит от величины двупреломления, а последняя, в свою очередь, — от оптических констант кристалла, от его ориентировки по отношению к оптической осн
системы и от толщины кристаллической пластинки.
Явление двупреломления света в кристаллах — само по себе явление обычно
слабое. Лишь в нескольких очень сильно двупреломляющих кристаллах, таких,
как кальцит (исландский шпат), селитра, удается наблюдать двупреломление света визуально. Интерференция поляризованного света создает условия, благодаря которым двупреломление проявляется чрезвычайно резко как хроматическая (цветная) поляризация света в кристаллах: в результате интерференции лучей, проходящих через кристаллическую пластинку, тонкие пластинки в поляризованном свете в общем случае кажутся окрашенными в яркие интерференционные цвета. Цвет окраски зависит от разности хода в пластинке, интенсивность окраски — от ориентировки пластинки по отношению к плоскостям поляризации поляризатора и анализатора.
Пластинка, вырезанная из кристалла перпендикулярно к его оптической оси, при скрещенных николях будет темной, так же как и пластинка из оптически изотропного вещества. Если плоскопарал-
Рис. 40.2. Схема, поясняющая возникновение разности фаз при прохождении света через кристаллическую пластинку.Рис. 40.2. Схема, поясняющая возникновение разности фаз при прохождении света через кристаллическую пластинку.лельная пластинка вырезана не перпендикулярно к оптической оси двупреломляющего кристалла, то в монохроматическом свете она будет казаться светлой, а в белом свете — окрашенной.
Рис. 40.2. Схема, поясняющая возникновение разности фаз при прохождении света через кристаллическую пластинку.
Рис. 40.2. Схема, поясняющая возникновение разности фаз при прохождении света через кристаллическую пластинку.
Пусть на рис. 40.2 П и А — направления колебаний в поляризаторе и анализаторе, составляющие между собой угол у, а I и II — направления главных осей эллипса, по которому рассекается плоскостью пластинки оптическая индикатриса кристалла. Они составляют с П углы а и 90° — а, а с А — углы р и 90° — Р соответственно, причем а + Р + у = 180°. Если ОР — амплитуда колебаний света, прошедшего через поляризатор, то OMY и ОМ2 — амплитуды колебаний световых волн, распространяющихся в кристалле. Показатели преломления этих волн обозначим пх и п^. Пройдя через кристаллическую пластинку, волны приобретут разность фаз
2л , ..
V = -^-d(n! —п2),
(40.3)(40.3)где X — длина световой волны в вакууме, ad — толщина пластинки. В анализаторе амплитуды этих волн уменьшаются до ОАг и ОА2 соответственно, а разность фаз между ними не изменится. Поэтому интенсивность света, прошедшего через анализатор, равна
(40.3)
(40.3)
(40.4)(40.4)/ = (ОДХ)2 + (0^)2 - 2 (ОДО (ОД2) cos <р.
(40.4)
(40.4)
Если интенсивность света, вышедшего из поляризатора, обозначить /0, то ОР =
= /1/2,OMi =/1/2 cos а,ОМ2 = /1/2 sin а,0Ах= /1/2 cos а cos 0, 0Д2 =
о 1о4 о* о
= /^sina sin 0. Подставив эти значения в (40.4), после элементарных преобразований найдем
/ =5 Zo cos2 у + /0 sin 2a sin 2f sin2 (<p/2).(40.5)
При скрещенных николях (у = 90°, 0 = 90° — a)
I = /о sin2 2a sin2 (<p/2),(40.6)
а при параллельных николях (у = 0, 0 = 180° — a)
I = I0 —I о sin2 2a sin2 (ф/2).(40.7)
В скрещенных николях, согласно обычному условию *. лерференции, усиливаться будут те лучи, для которых разность хода А = d (пх — и2) равна нечетному числу, полуволн. Если кристаллическая пластинка находится в диагональ-
Рис 40.3. Схема наблюдения кристалла в сходящемся поляризованном свете: L, L — конденсорные линзы, остальные обозначения см. на рис. 40.1.
ном положении, так что sin2 2a = 1, явления интерференции проявляются наиболее резко, интенсивность окраски максимальна. При вращении пластинки на полный оборот по отношению к проходящему через нее пучку света, или, иначе говоря, по отношению к оптической оси поляризационной схемы, четыре раза будет наблюдаться полное погасание и четыре раза максимально интенсивная окраска.
Так как выражения (40.6) и (40.7) в сумме дают /0, то в параллельных николях окраска будет дополнительной: в диагональном положении пластинка будет ярко окрашенной в дополнительные цвета, а при вращении ее на полный оборот будут наблюдаться четыре положения, в которых она кажется белой. Окраска зависит от толщины и ориентации пластинки.
Наблюдение кристаллов в параллельном поляризованном свете применяется для измерения двупреломления, толщины кристалла, в минералогической и петрографической практике для диагностики кристаллов, особенно в горных породах.
Исследование кристаллов в сходящемся поляризованном свете позволяет определить ориентацию и характер оптической индикатрисы, измерить угол между оптическими осями двуосного кристалла, определить оптический знак кристалла, обнаружить дисперсию оптических осей и вращение плоскости поляризации, качественно и количественно установить изменение оптической индикатрисы под влиянием внешних воздействий (см. пьезооптический и электрооптический эффект, § 77).
Схема наблюдения кристалла в сходящемся поляризованном свете показана на рис. 40.3. Кроме поляризатора /7, анализатора А и кристалла К здесь существенную роль играют два конденсора L. Кроме того, источником света служит
не точечный источник, как в схеме рис. 40.1, а светящаяся плоскость, которая дает широкий пучок параллельных лучей ). Вдоль оптической оси установки идет только один центральный пучок, а остальные наклонены к этой оси и проходят через исследуемую кристаллическую пластинку под разными углами, тем боль
шими, чем дальше от центра поля зрения выходит пучок.
На исследуемую кристаллическую пластинку падает сходящийся пучок поляризованных лучей, каждый из которых в кристалле разделяется на два луча с взаимно перпендикулярными плоскостями колебаний. Вторая конденсорная линза собирает эти лучи и фокусирует их на фокальной плоскости объектива. Каждый пучок параллельных лучей, прошедших через пластинку в каком-то
определенном направлении, сойдется в одну точку в фокальной плоскости объектива. При наблюдении этой точки через анализатор виден результат интерференции данного пучка параллельных лучей. В целом же в поле зрения видна сразу вся картина, которую в параллельном пучке можно было бы увидеть последовательно, вращая пластинку вокруг горизонтальной и вертикальной осей. В результате интерференции пучков света, проходящих через кристаллическую пластинку под всевозможными углами, возникают характерные интерференционные картины, называемые коноскопическими фигурами. Вид коноскопической картины зависит от симметрии кристалла (от кристаллографической категории), от ориентации оптической индикатрисы, от толщины кристалла и от величины его двупреломления, а также от апертуры микроскопа и спектрального состава света.
Коноскопические картины, наблюдаемые в скрещенных николях, состоят из
Рис. 40.4. Коноскопическая картина оптически одноосного кристалла, наблюдаемого перпендикулярно к оптической оси.Рис. 40.4. Коноскопическая картина оптически одноосного кристалла, наблюдаемого перпендикулярно к оптической оси.изогир и изохром. Изогирами называются темные полосы, все точки которых соответствуют тем направлениям в кристалле, по которым распространяются лучи с колебаниями, параллельными плоскостям поляризации скрещенных николей. Изохромами называются цветные полосы различных интерференционных цветов (при наблюдении в белом свете), каждая из которых соответствует направлениям одинаковой разности хода.
Рис. 40.4. Коноскопическая картина оптически одноосного кристалла, наблюдаемого перпендикулярно к оптической оси.
Рис. 40.4. Коноскопическая картина оптически одноосного кристалла, наблюдаемого перпендикулярно к оптической оси.
Если вращать кристаллическую пластинку вокруг направления луча, то изогиры вообще меняют форму и ориентацию, а изохромы не меняют.
Характерная коноскопическая картина одноосного кристалла, вырезанного перпендикулярно к оптической оси, имеет вид черного креста из двух изогир, и серии концентрических цветных колец изохром (на рис. 40.4 изохромы показаны черными и белыми полосами). При вращении пластинки на полный оборот картина не меняется.
Если нормаль к пластинке отклонена от оптической оси кристалла, то центр креста изогир не совпадает с центром поля зрения, а при вращении пластинки крест описывает круг вокруг центра поля зрения. Если угол между оптической осью пластинки и лучом достаточно велик, то в поле зрения видна лишь одна изогира, а в некоторых положениях изогиры вообще не попадают в поле зрения микроскопа (рис. 40.5).
Коноскопическая картина двуосного кристалла в сечении, перпендикулярном к острой биссектрисе при диагональном положении пластинки, состоит из двух изогир и серии изохром (рис. 40.6). Изохромы имеют в сечении форму овалов Кассини, частным случаем которых является лемниската. Изогиры имеют
Рис. 40.5. Коноскопическая картина оптически одноосного кристалла, наблюдаемого под разными углами к оптической оси.Рис. 40.5. Коноскопическая картина оптически одноосного кристалла, наблюдаемого под разными углами к оптической оси.
Рис. 40.5. Коноскопическая картина оптически одноосного кристалла, наблюдаемого под разными углами к оптической оси.
Рис. 40.5. Коноскопическая картина оптически одноосного кристалла, наблюдаемого под разными углами к оптической оси.
Рис. 40.6. Коноскопическая картина двуосного кристалла, наблюдаемого перпендикулярно к биссектрисе острого угла.Рис. 40.6. Коноскопическая картина двуосного кристалла, наблюдаемого перпендикулярно к биссектрисе острого угла.
Рис. 40.6. Коноскопическая картина двуосного кристалла, наблюдаемого перпендикулярно к биссектрисе острого угла.
Рис. 40.6. Коноскопическая картина двуосного кристалла, наблюдаемого перпендикулярно к биссектрисе острого угла.
форму расходящихся гипербол (рис. 40.6). Две точки, окруженные кольцами лемнискат, соответствуют выходам оптических осей. Вблизи к выходам осей лемнискаты расположены концентрическими кольцами вокруг каждой из осей, а далее они сливаются в общие для обеих
осей кривые типа восьмерок. Угол оптических осей двуосного кристалла 2 У можно измерить по коноскопической картине непосредственно по расстоянию между выходами оптических осей; для вычисления этого угла необходимо учесть различие углов в кристалле и в воздухе.
Поверхность одинаковой разности фаз двуосного кристалла строится так же, как для одноосного кристалла.
Оптические свойства кристаллов, в частности тензоры х и т), показатель преломления и, зависят от частоты света, температуры и других факторов. Это явление называется дисперсией (частотная дисперсия, температурная дисперсия и т. п.; в § 81 будет рассмотрена пространственная дисперсия). Наиболее существенна частотная дисперсия. Характер дисперсии оптических тензоров у кристаллов разной симметрии существенно различен. Так, у оптически изотропных кри
сталлов она сводится к дисперсии показателя преломления: п = п (со). У оптически одноосных кристаллов зависят от частоты оба главных показателя преломления: No = No (ю), Ne = Ne (co). Хотя при тех частотах, для которых кристалл прозрачен, показатели преломления всегда возрастают с частотой (dNjdto > 0 и dNefdto > 0), скорость этого возрастания может быть настолько различной, что
при некоторой частоте изменится знак двупреломления. Кристалл для света этой частоты оказывается оптически изотропным. Так, тетрагональные кристаллы апофиллита и торбернита в красном свете оптически положительны, в синем — оптически отрицательны, в зеленом — изотропны. В тетрагональном кристалле везувиана смена знака обратная: он оптически положителен в синем свете и отрицателен — в красном. Кристалл тиогаллата серебра AgGaS2 оптически положителен для света с длиной волны (в вакууме), меньшей 497,4 нм, и оптически отрицателен для света с большей длиной волны. Для света с Хо = 497,4 нм кристалл тиогаллата серебра ведет себя, несмотря на свою тетрагональную симметрию, как оптически изотропная среда (рис. 40.7). Применение этого своеобразного явления описано в § 81.
В оптически одноосных кристаллах наблюдается дисперсия показателей преломления и дисперсия двупреломления. Направление же оптической оси в этих кристаллах однозначно определяется симметрией кристалла (она всегда совпадает с главной осью симметрии) и потому дис
Рис. 40.7. Дисперсия показателей преломления тиогаллата серебра (Hob- den, 1968).Рис. 40.7. Дисперсия показателей преломления тиогаллата серебра (Hob- den, 1968).персии не испытывает.
Рис. 40.7. Дисперсия показателей преломления тиогаллата серебра (Hob- den, 1968).
Рис. 40.7. Дисперсия показателей преломления тиогаллата серебра (Hob- den, 1968).
Самые разнообразные проявления дис- переии наблюдаются в оптически двуосных кристаллах, притом в кристаллах разных систем низшей категории они несколько различны.
В кристаллах ромбической системы возможна дисперсия главных показателей преломления Nt = ^ (со), N2 = N2 (со), N3 = n3 (со), направления же главных осей оптических тензоров х (со) и т) (со) жестко связаны с элементами симметрии кристаллов (осями второго порядка или нормалями к плоскостям симметрии) и потому дисперсии не подвержены. Однако направления оптических осей в кристаллах ромбической системы, вообще говоря, испытывают дисперсию: оптические
оси с изменением частоты поворачиваются друг к другу или друг от друга, оставаясь все время в плоскости симметрии оптических тензоров, и притом так, что биссектрисы углов между оптическими осями сохраняют свое направление. Эти изменения могут быть очень большими. Например, у кристаллов Rb2SO4 угол 2V для красного света равен 36°25', а для синего — 61°50'. С изменением частоты угол между оптическими осями может пройти через значение 90°; при этой частоте оптический знак двуосного кристалла меняется на обратный. Особенно интересен случай, когда в ходе изменения частоты один из главных показателей преломления становится равным другому. Кристалл для света этой частоты оптически одноосный: положительный, если при этой частоте Nm = Np, отрицательный, если Nm = Ng. Однако своеобразие ситуации этим не ограничивается. Дело в том, что графики ^^ = Nt (со) при этой частоте, как правило, пересекаются (касание их значительно менее вероятно), и потому с разных сторон от точки пересечения средними показателями преломления Nm служат различные (т. е. соответствующие различным главным осям) главные показатели преломления. А это, в свою очередь, означает, что для света одних частот плоскостью оптических осей служит одна плоскость симметрии кристалла, а для света других
частот — другая.
У кристалла брукита (ромбической модификации TiO2) при красном и желтом свете плоскость оптических осей — (001), а при синем — (010). Для света с X = 670 нм угол оптических осей брукита 2V = 58°, для X = 535 нм 2V = = 21°40/, а при Х= 550 нм угол 2V = 0, кристалл оптически одноосный.
Дисперсия показателей преломления непосредственно видна на коноскопической картине: темные края гипербол около выхода оптической оси приобретают
как бы цветную кайму, оттенки которой с выпуклой и вогнутой сторон гиперболы дополнительны.
У кристаллов моноклинной системы кроме дисперсии главных показателей преломления есть еще дисперсия главных осей оптических тензоров х и ц; так как две главные оси из трех — биссектрисы углов между оптическими осями, ее называют также дисперсией биссектрис. У моноклинных кристаллов одна главная ось из трех сохраняет свое направление (при обычном выборе кристаллографической системы координат это направление [010]), а две другие поворачиваются вокруг нее, оставаясь в перпендикулярной к ней плоскости (010). Плоскость оптических осей моноклинного кристалла или совпадает с кристаллографической плоскостью (010) или к ней перпендикулярна; во втором случае она с изменением частоты света, вообще говоря, поворачивается относительно кристалла. Соответственно в моноклинных кристаллах возможны два основных типа дисперсии оптических осей, схематически изображенных на рис. 40.8.
На коноскопической картине дисперсия оптических осей сказывается не только в виде цветного окаймления изогир, но также в виде изменения окраски лемнискат; в пределах одного и того же кольца по ту и другую стороны от оптической оси наблюдается разная окраска.
Рис. 40.8. Основные типы дисперсии оптических осей и биссектрис в моноклинных кристаллах: а) перекрещенная дисперсия, б) параллельная дисперсия, в) наклонная дисперсия. Черными кружочками обозначены выходы осей для фиолетового света (ф), белыми — для красного (к).
У моноклинного кристалла гипса (CaSO4*7H2O) очень сильно выражена температурная дисперсия. При комнатной температуре плоскость оптических осей перпендикулярна к плоскости (010), а угол между оптическими осями 2V = = 62°. При нагревании он уменьшается так быстро, что уже при 116 °C оказывается равным нулю, так что кристалл становится оптически одноосным. При дальнейшем нагревании оптические оси опять расходятся, но уже в плоскости (010).
Обычно характер дисперсии оптических осей исследуют, наблюдая коноскопическую картину в разрезе, приблизительно перпендикулярном к острой биссектрисе. При этом дисперсионные изменения коноскопической картины при плоскости оптических осей, перпендикулярной к (010), несколько различны в случаях, когда острая биссектриса совпадает с [010] и когда она перпендикулярна к этому направлению: первый случай называют перекрещенной, второй — горизонтальной или параллельной дисперсией. При угле между оптическими осями, близком к 90°, эти различия исчезают.
Об оптических свойствах кристаллов см. Борн (1937); Борн и Вольф (1970); Борн и Хуан Кунь (1958); Дитчберн (1965); Карандеев (1913); Ландау и Лифшиц (1957); Ландсберг (1957); Меланхолии (1970); Ф. И. Федоров (1958); Шубников (1958); Pockels (1906); Ramachandran, Ramaseshnan (1961).
ГЛ AB AV
СИММЕТРИЯ ТЕНЗОРОВ ВЫСШИХ РАНГОВ
§41. Тензоры и псевдотензоры высших рангов
Наряду с тензорами второго ранга в кристаллофизике применяются также тензоры третьего, четвертого и еще более высоких рангов. Они вводятся теми же способами, что и тензоры второго ранга. Пусть, например, компоненты вектора Р линейно зависят от компонент тензора второго ранга а:
Р l = dimn^mni(41-1)
dlmn — коэффициенты линейной зависимости. Вектор Р и тензор <г можно, однако, отнести и к другой, «новой» системе координат. Если || сп || — матрица перехода от «старой» системы координат к новой, то компоненты вектора Р в новой системе координат равны
Pi* — СщР i = Ci^dlmnPmn*(41.2)
Выразим значения компонент отп тензора о в старой системе координат через их значения oz^ в новой системе:
^тп = С j'mCk'n^ рк' •(41.3)
Подставив отп в формулу (41.2), получим
Р i' = Ct'idimnCj'mCk'n^рк* •(41.4)
Если в старой системе координат линейная зависимость компонент вектора Р от компонент тензора а определялась набором коэффициентов dlmn, в новой системе та же зависимость определяется коэффициентами
dpk' = Ci4Cj'mCk'ndimri.(41.5)
Так же выводится и формула для изменения коэффициентов dlmn при переходе от новой системы к старой:
dimn = Ci^Cj'mCk'ndl'j'k'»(41.6)
Законы преобразования (41.5) и (41.6) такие же, как и для
произведений компонент трех векторов. Таким образом, мы имеем дело с некоторой геометрической, т. е. существующей независимо от систем координат, величиной d, которая в каждой системе координат характеризуется набором чисел dlmn; при переходе от одной системы координат к другой эти числа преобразуются как произведения компонент трех векторов. Такая величина называется тензором третьего ранга, а числа dImn и d/^ — компонентами этого тензора в старой и новой системах координат соответственно.
К тензору третьего ранга можно прийти и другим способом — рассматривая линейную зависимость компонент тензора второго ранга £ от компонент вектора Е:
^ = rijkEk;(41.7)
коэффициенты rljk тоже оказываются компонентами тензора третьего ранга г.
Те же способы позволяют ввести и тензоры четвертого, пятого и еще более высоких рангов. Например, коэффициенты sljkh определяющие линейную зависимость компонент eZ; тензора е от компонент akl тензора ст:
^ij = Sijklokb(41.8)
— компоненты тензора s четвертого ранга; коэффициенты Qijklm, определяющие линейную зависимость компонент sljkl тензора четвертого ранга s от компонент Ет вектора Е:
$ijkl = QijklmEmi(41.9)
— компоненты тензора пятого ранга Q. Можно сформулировать общее правило: коэффициенты линейной зависимости компонент тензора ранга гот произведений компонент тензоров рангов гь ..., rk сами являются компонентами тензора, ранг которого равен г + + П + ... + rk.
Другой процесс, в результате которого образуются тензоры — дифференцирование тензоров по тензорам. Пусть, например, компоненты вектора Р — функции компонент тензора а. Введем обозначение частных производных
£ = <'—(41.10)
а соответствующие частные производные в новой системе координат обозначим
дР,,
Как легко показать ), что
dp /'k' = СщСрпгС^п^Ьтги(41.12)
это означает, что dlmn — компоненты тензора третьего ранга. Аналогично рассматривается и дифференцирование тензора по нескольким тензорам. В результате приходим к следующему общему правилу: частные производные компонент тензора ранга г по компонентам тензоров рангов гь ..., гк сами являются компонентами тензора, ранг которого равен г + ^ + ... + гк.
Тензоры высших рангов также можно записать в бескоординат- ном виде с помощью базисных векторов, например,
d = dimneiemen.(41.13)
Переход к новому базису, т. е. замена векторов eL их линейными комбинациями ер = cpiet (где векторы ер, как и векторы еь орто- нормированы), как легко подсчитать, приводит к тому, что тот же тензор принимает вид
d = dp ^k^epe^ek', dppkf ^ СрLcrmCk»ndlmn(41.14)
в полном согласии с формулами (41.5) и (41.12).
Перечислим правила действий над тензорами.
Умножение на число. Произведением тензора А с компонентами (относительно некоторого заранее заданного ортонормирован- ного базиса ех, е^, е^Ау ...к на число X называется тензор того же ранга ХА с компонентами (относительно того же базиса) ХАу ... к.
Сложение тензоров. Суммой двух тензоров одного и того же ранга А и В с компонентами А у ... к и By ... к называется тензор того же ранга D с компонентами Dy...k = Ay ...k-VBy ,„к» Тензоры разных рангов складывать нельзя.
Умножение тензоров. Произведением тензора А ранга р с компонентами А1х... 1р на тензор В ранга q с компонентами Bkv ... kq называется тензор D = АВ ранга р + q с компонентами
D4...lp4-kq = All ...iBkx...kq.
Порядок сомножителей существен: тензор F = ВА, вообще говоря, не равен тензору D. В применении к векторам эта операция называется диадным умножением.
Образование изомеров. Переставив каким-либо образом индексы у тензора D, мы получим тензор F, того же ранга, что и D — один из изомеров тензора D. В частности, в рассмотренном выше примере умножения тензоров тензор F ВА — изомер тензора D = АВ:
F4-44 ...ip = Dii„,ipk1...kq.
Симметрирование и альтернирование. Тензор В — симметрированный тензор X, если он равен среднему арифметическому всевозможных изомеров тензора А; тензор D — альтернированный тензор X, если в упомянутом среднем арифметическом изомеры, полученные при четной перестановке индексов, брать со знаком плюс, а при нечетной — со знаком минус. Симметрирование и альтернирование обозначаются заключением индексов соответственно в круглые или квадратные скобки. Например,
Вцк = A w^ = -g- (Ацк + Ajbl + Акц + Alkl + Ацк + Akjt),
Dyk = Л^] = у (Ацк + Afkl + Акц — Alk$ — Ajlk — Ак1^.
Симметрировать и альтернировать можно и не по всем индексам, а только по их части, которая в этом случае заключается в скобки. Например,
Ащ^ = -^^мк 4" А1к^ Л[1/] к = *2 ^Aljk — Ацк).
Свертывание тензоров. Из тензора А, ранг которого г ^ 2, можно получить тензор В ранга г — 2, если произвести суммирование компонент тензора А по какой-либо паре индексов. Например, тензор В с компонентами Bljk = АМки — результат свертывания тензора пятого ранга по последним двум индексам. При другом выборе индексов свертывания получим другой тензор третьего ранга, например, Dljk = АШ1к, Cljk = AUjlkl вообще говоря, D =^ В =^ С. Свертывание часто сочетается с умножением. Например, в формуле Pt = dijkGik содержится умножение тензора d на тензор о и последующее двукратное свертывание полученного тензора пятого ранга.
В каждом из перечисленных определений в доказательстве нуждается слово «тензор»: нужно доказать, что получившийся в результате операций набор величин преобразуется при переходе от одной системы координат к другой по тензорному закону. Иными словами, необходимо проверить, приводят ли следующие два пути к одному и тому же результату: 1) производим соответствующую операцию (сложение, умножение, свертывание и т. д.) над компонентами тензоров в старой системе коордйнат, затем, считая, что получившиеся величины — компоненты тензора, относим их к новой системе координат; 2) относим компоненты всех заданных тензоров к новой системе координат и лишь после этого производим над ними соответствующую операцию.
Рассмотрим, например, умножение тензора первого ранга А на тензор второго ранга В:
1-й путь: AtBmn=Dlmn, D^,k,=ci4crmck,nDlmn;
2-й путь: Az, =cz,zAz, Врк, = сртск,пВтп. D^pk. = АРВрк,- требуется доказать, что Di'j'k' — D^j'k'-
Наряду с тензорами в кристаллофизике находят применение псевдотензоры. Тензор А ранга г — это набор Зг величин Ак1 ... кг, преобразующихся при переходе от старых координат к новым по закону
А<! ... 1'г = с1'^1 ••• ci'rkAkl...kr>(41.15)
где || с,^ || — матрица преобразования. Псевдотензор же В отличается от тензора того же ранга А тем, что при переходе к новым координатам его компоненты Вк1 ... к- дополнительно умножаются на определитель матрицы преобразования Д = det || d-ь ||:
В., /=^с,ч ...С.-.В..(41.16)
Псевдотензоры низших рангов — псевдоскаляр и псевдовектор — рассмотрены в § 23. Псевдотензор нулевого ранга, или псевдоскаляр, — это однокомпонентная величина ф, преобразующаяся по закону ф' = Аф; псевдотензор первого ранга, или псевдовектор, —это аксиальный вектор а, компоненты которого ад преобразуются по формуле av = ^сРкак.
Внутренняя симметрия тензоров
и соотношения дуальности
В кристаллофизике часто применяются тензоры высших рангов, симметричные по некоторым индексам. Тензор называется симметричным по двум или нескольким индексам, если все его изомеры, отличающиеся друг от друга перестановкой этих индексов, равны между собой. Так, компоненты тензора третьего ранга, симметричного по двум последним индексам, удовлетворяют условиям
diki = dukl(42.1)
компоненты тензора третьего ранга, симметричного по всем трем индексам, — условиям
flkl = fllk = fkli = fkll = tllk = tlkb(42.2)
а компоненты тензора четвертого ранга, симметричного по первым двум и последним двум индексам, — условиям
Pijkl = Pjikl = Pljlk = Pjilk- (42.3)
В кристаллофизике встречаются также тензоры, симметричные по целым группам индексов. Таков, например, тензор четвертого ранга, в котором можно не только переставлять индексы в первой и во второй паре, но и переставлять сами эти пары:
Sykl = Sjikl = Sy ill = SjUk = Skly = Skyt = Slky = Slkjb (42.4) а также тензор, в котором переставляются только пары индексов, но не индексы внутри пар:
^ijki = ^kiy- (42.5)
Свойство тензора быть симметричным (или антисимметричным) по некоторым индексам или группам индексов называется внутренней симметрией тензора. То, что внутренняя симметрия — действительно свойство тензора, нужно еще доказать. Эти доказательства очень просты; сущность их сводится к тому, что если мы обнаружили какой-то тип внутренней симметрии, отнеся тензор к некоторой системе координат, мы обнаружим тот же тип внутренней симметрии и в любой другой системе координат.
Чтобы избежать громоздкого словесного описания внутренней симметрии тензоров, физик-теоретик Ян (Jahn, 1949) предложил простую и удобную систему обозначений. Внутренняя симметрия вектора обозначается буквой V. Внутренняя симметрия тензора ранга г — символом Vr, напоминающим о том, что компоненты тензора ранга г преобразуются как произведения компонент г векторов.
Симметричный тензор второго ранга обозначается [V2]—этот символ указывает, что компоненты данного тензора преобразуются как произведения двух компонент одного и того же вектора. Вообще внутренняя симметрия тензора ранга г, симметричного по всем индексам, обозначается [Vr] —его компоненты преобразуются как произведения г компонент одного и того же вектора. Так, внутренняя симметрия тензора f, характеризуемая формулой (42.2), обозначается [У3]. Если тензор ранга г симметричен по q индексам, его внутренняя симметрия обозначается [V4 Vr-q; например, внутренняя симметрия, характеризуемая формулой (42.1), обозначается V [У2] ).
Встречаются и более сложные обозначения:
[V2] [I/]2 или просто IV2]2 — внутренняя симметрия тензора четвертого ранга, симметричного по первой паре индексов и по второй паре индексов (формула (42.3));
[I/2]3— внутренняя симметрия тензора шестого ранга, симметричного по первой, второй и третьей паре индексов;
[(V2)2] — внутренняя симметрия тензора четвертого ранга, симметричного относительно перестановки пар индексов (формула (42.5));
[[V2!2] —внутренняя симметрия тензора четвертого ранга, симметричного по первой и второй парам индексов, а также относительно их перестановки (формула (42.4)).
Во всех случаях суммарная степень V равна рангу тензора.
Символика Яна позволяет описывать и внутреннюю симметрию псевдотензоров. Приставка «псевдо» обозначается е: внутренняя симметрия псевдовектора (т. е. аксиального вектора, см. § 23) выражается символом eV, симметричного псевдотензора второго ранга — символом е[Р] и т. д. Внутреннюю симметрию скаляра мы обозначим символом 1, тогда внутреннюю симметрию псевдоскаляра естественно обозначить е.
В кристаллофизике симметричные тензоры высших рангов часто определяют линейные зависимости, в которых участвуют симметричные тензоры второго ранга. Например, тензор внутренней симметрии V [V2] (см. формулу (42.1)) определяет линейную зависимость симметричного тензора второго ранга [V2] от вектора V:
^ki = ^ikiEi (^ki = ^ik)i (42.6)
а тензор [V2]2 (см. (42.3)) — линейную зависимость одного симметричного тензора второго ранга [V2] от другого
tij = Pijkl^kl ^ij = ^jb ^к1 = ^1к\ (42.7)
Симметричные тензоры высших рангов получаются также в результате дифференцирования по тензорным аргументам. Так, дифференцирование скалярной функции по вектору V и симметричному тензору второго ранга [V2] приводит к тензору V [У2] (см. (42.1)):
dM = ~ dE^t ^W = alkY' (42-8) двукратное дифференцирование скалярной функции по симметричному тензору второго ранга [Р] — к тензору внутренней симметрии [[V3]2] (см. (42.4)):
а двукратное дифференцирование по несимметричному тензору второго ранга V2 — к тензору [ (V2)2] (см. (42.5)):
=(42.10)
Число независимых компонент у симметричных тензоров меньше, чем у несимметричных. В то время как у тензора V3 27 (З3) независимых компонент, у тензора V [V2] их всего 18 (6 х 3) (это особенно ясно из формул (42.6) и (42.8)), а у тензора [V3] — только 10 (3 компоненты вида fni + 6 компонент вида fm + 1 компонента /123). Аналогично у тензора V4 всего 81 (З4) независимая компонента, а у тензора типа [V2]2 их 36 (62), у тензора типа [[V2]2] 21 [6 X (6 + + 1)/2], у тензора типа [(V2)2] 45 [9 X (9 + 1)/2] независимых компонент.
Наряду с симметричными тензорами применяются и антисимметричные ). Тензор называется антисимметричным по двум или трем ) индексам, если его изомеры, отличающиеся друг от друга четной перестановкой этих индексов, равны друг другу, а нечетной — антиравны (равны по величине, но противоположны по знаку). Антисимметричность тензоров по Яну обозначается аналогично симметричности, но не квадратными, а фигурными скобками. Например, внутренняя симметрия тензора третьего ранга, антисимметричного по первым двум индексам, обозначается V {V2} или {V2} V и характеризуется равенствами
Р^ = -Р//.,(42.11)
а внутренняя симметрия антисимметричного по всем индексам тензора третьего ранга обозначается {V3} и характеризуется равенствами )
еИк = в/ki = екц = — eikj = — е^ь = — ek)l. (42.12) Этот тензор замечателен тем, что у него всего одна независимая компонента. Действительно, если среди индексов есть хотя бы два одинаковых, соответствующая компонента равна нулю, а все шесть отличных от нуля компонент имеют в качестве индексов какую- либо перестановку чисел 1, 2, 3 и, следовательно, связаны между собой пятью равенствами (42.12). Если, например, е123 = 1, то
1 при 1тп = 123, 231, 312;
^1тп^1тп(42.13)(42.13)— 1 при //ип=132, 213, 321;0 в остальных случаях.
^1тп
^1тп
(42.13)
(42.13)
Интересно поведение компонент тензора е при преобразованиях координат. Если в старой системе координат эти компоненты определяются формулой (42.13), то в новой системе, переход к которой задается матрицей || С(ч ||, они равны ev^ = cpic^mCk'neinin- Подсчитав эту сумму для нескольких значений индексов i'l'k' и сравнив ее с величиной А = det || c?i ||, убедимся, что
(42.14)(42.14)А при i'j'k' = 123, 231, 312;
(42.14)
(42.14)
ei'j'k' —ei'j'k' —— А при i'j'k' = 132, 213, 321;О в остальных случаях.
ei'j'k' —
ei'j'k' —
С другой стороны, сравнение формул (42.13) и (42.14) показывает, что все компоненты тензора е (или, если угодно, единственная независимая его компонента) при переходе к новой системе координат умножаются на определитель матрицы преобразования, т. е. являются псевдоскалярами (ср. формулу (42.11) ). Таким образом, этот тензор инвариантен относительно всевозможных собственных поворотов, т. е. относительно группы вращений его симметрия оо со.
Символ Леви-Чивита был определен в § 13 условием
1 при />шг = 123, 231, 312;
^1тп —^1тп —(42.15)(42.15)— 1 при /тип = 132, 213, 321;О в остальных случаях
^1тп —
^1тп —
(42.15)
(42.15)
в любой системе координат. Сравнение с тензором е показывает, что для этого 6 должен быть псевдотензором третьего ранга, так чтобы его компоненты при переходе к новой системе координат преобразовывались по закону
$i'j'k' = Аср iCртСк' n^lmni (42.16)
где А = det || сеч ||. Так как эти компоненты вообще не изменяются ни при каких ортогональных преобразованиях, группа симметрии тензора 6 — ортогональная группа оо оо т.
С помощью псевдотензора Леви-Чивита связь между псевдоскаляром и антисимметричным тензором третьего ранга можно представить аналитически:
е1)к = А^Цк»е1)к = А^Цк», 1 *Ф = у ^УквМЬ, 1 *Ф = у ^УквМЬ(42.17)(42.17)
е1)к = А^Цк»
е1)к = А^Цк»
, 1 *
Ф = у ^УквМЬ
, 1 *
Ф = у ^УквМЬ
(42.17)
(42.17)
здесь ф— единичный псевдоскаляр, равный +1 в правой системе координат и —1 в левой.
Псевдотензор Леви-Чивита позволяет также установить обрати- о
мое соответствие между аксиальным вектором а и антисимметричным тензором второго ранга А = —А*:
А пт=^imn^b й4=2 ^ЧтпАтп •(42.18)
Это соответствие сохраняется при любых ортогональных преобразованиях. Действительно,
^U pk'^V =^СщС j'rnCk’n^lmn^-Ci'pClp =
= CprnCk’n^lmn^lp&p =С pniCk'n$lmnQ'l = С рпгСк#пАтп = Арь
(здесь использованы формула (42.16), тождества А2 = 1 и Cl’lCvp = б/р).
В сущности, аксиальный вектор а и антисимметричный тензор А, связанные друг с другом соотношениями (42.18),—это две формы записи одного и того же геометрического объекта. Это же, разумеется, можно сказать и про тензор е внутренней симметрии {V3} и псевдоскаляр ф, связанные друг с другом соотношениями (42.17).
Соотношения (42.17), (42.18) и им подобные называются соотношениями дуальности; антисимметричный тензор второго ранга дуален аксиальному вектору, антисимметричный тензор третьего ранга — псевдоскаляру, а антисимметричный псевдотензор третьего ранга — скаляру.
Соотношения дуальности очень лаконично и выразительно записываются в символике Яна: соотношение (42.17) — в форме
{У3} -е,(42.19)
а соотношение (42.18) — в форме
{1/2} ^еУ.(42.20)
Главное преимущество такой формы записи — возможность чисто формального вывода новых соотношений дуальности из уже известных. Так, умножив обе части соотношения (42.19) на е и заметив, что е2 = 1 (произведение двух псевдоскаляров есть скаляр), получим
е{У3}^ 1(42.21)
— соотношение дуальности между антисимметричным псевдотензором третьего ранга и скаляром. Умножив на V обе части соотношения (42.20), получим
{V2} V —eV2(42.22)
— антисимметричный по двум индексам тензор третьего ранга дуален псевдотензору второго ранга, вообще говоря, несимметричному. Умножив же обе части соотношения (42.20) на е, найдем
e{V2}- V(42.23)
— антисимметричный псевдотензор второго ранга дуален обычному полярному вектору. Соотношения (42.22) и (42.23) используются в теории оптической активности кристаллов (см. § 81).
Бескоординатная запись тензоров.
Инвариантные дифференциальные операции над тензорами
Как уже отмечалось в § 41, тензоры высших рангов можно записывать в бескоординатной форме. Например, тензор третьего ранга при бескоординатной записи принимает вид d = д^е^вь. Бескоординатная запись умножения тензора на число и сложения тензоров пояснений не требует. Умножение тензоров обозначаем, записывая перемножаемые тензоры рядом в должном порядке без каких-либо знаков между ними. Умножение с последующим свертыванием естественно обозначать знаком скалярного произведения. Действительно, если условиться, что знак скалярного произведения означает скалярное умножение соседних с ним векторов, то, например, скалярное произведение вектора Р = P^i на тензор d равно
Р • d = Ptet • dijkeieiek = Р^ ^ • ед efek =
= Pidijk^H^f^k = Pidiikefek. (43.1)
Получился тензор второго ранга с компонентами Pidijk.
Если бы суммирование производилось по последнему индексу тензора d, соответствующий тензор можно было бы получить, переставив сомножители:
d • Р = difkeiejek • Piet = dijkPkeiej.(43.2)
Но если бы суммирование нужно было производить по среднему индексу тензора d, мы вообще не сумели бы записать это действие в бескоординатном виде. К счастью, при записи тензорных соотношений кристаллофизики подобных ситуаций обычно удается избежать. Спасает от них внутренняя симметрия применяемых в кристаллофизике тензоров. Действительно, если бы тензор d был симметричен по всем индексам, было бы вообще безразлично, какой из них избрать в качестве индекса суммирования. Если даже тензор d симметричен только по двум индексам (скажем, второму и третьему), этого уже достаточно, чтобы можно было записать в бескоординатной форме все возможные виды свертывания этого тензора с вектором, потому что суммирование по второму индексу в этом случае дает тот же результат, что и суммирование по третьему индексу.
Естественным обобщением рассмотренного выше скалярного произведения двух тензоров (т. е. перемножения их с последующим свертыванием по одному индексу от каждого тензора) является бискалярное произведение тензоров, отличающееся от скалярного тем, что свертывание производится по двум индексам от каждого тензора. Знак бискалярного умножения (:) указывает, что два вектора, находящихся непосредственно левее его, скалярно перемножаются с двумя векторами, расположенными непосредственно правее его. Если, например, s = Вц^е^ке!, и а = отпетеп, то бискалярное произведение этих тензоров — тензор второго ранга
= S I (У = SyklP[РfPkPI • ^тпРщ^п =
= ^liki^mnPiPi (вк * Pm) k^l * P rd = $ljkl9 klPlPj* (43.3)
Ю. И, Сиротин, M. П. Шаскольская — 463
Компоненты 8/у бискалярного произведения s : а равны, таким образом, 8/у = sijklokl. Бискалярное произведение т] = а : s имеет, очевидно, компоненты т|^ = GijSljkl.
С помощью знака бискалярного произведения можно записывать компоненты тензоров третьего и четвертого ранга. Например, компоненты тензора третьего ранга d и тензора четвертого ранга s равны соответственно
d.lM = erA-.eheb
8цк1 =: s: eket.
Бискалярное умножение можно применять и к тензорам второго ранга. Например, компоненты тензора второго ранга а с равным правом могут быть записаны в любой из трех форм:
az/ = £Г а • £/ = а: etei = etet: а.(43.6)
При бескоординатной записи применяется также знак X, он означает векторное умножение соседних с ним векторов Например, векторное произведение тензора о = вцв^ на вектор р = = ркек по определению равно
о хр = оув.е, х рцвк = GyPket (е, х е^,
а с помощью тождества 8j X вк = 8/ki&i оно принимает окончательный вид
» хр = ^ikiGyPketet.(43.6)
В физике сплошных сред широко используются инвариантные дифференциальные операции: взятие градиента скалярного поля Ф (г), обозначаемое grad ф, а также расходимости div и и вихря rot и векторного поля и (г). Аналогичные операции применяются и к величинам более высокой тензорной размерности. Мы будем пользоваться в этих случаях теми же обозначениями, но начинающимися с прописных букв.
Градиент векторного поля и (г) — тензор второго ранга Grad а с компонентами
(Grad и)у = ^.(43.7)
Транспонированный ему тензор ди/дг называется производной векторного поля и по радиусу-вектору г;
Симметричная часть каждого из этих тензоров называется деформацией векторного поля и (г) и обозначается Def и*.
1 /ди \1 ди< \
Defe = -^Grad« + ^,(Det»),^^(^ + ^. (43.9)
Расходимость тензорного поля о (г) — вектор Div о о компонентами
(Div<r)y=^-.(43Л°)
Когда нужно дифференцировать по второму индексу, пользуются расходимостью транспонированного тензора а*:
(Div<r*)/ = -^.(43.11)
Если тензорное поле о (г) определено во всех точках поверхности S, то поверхностный интеграл
п-adS
s
называется потоком тензорного поля а (реже — потоком тензора а) через эту поверхность. Если же это поле определено (и непрерывно дифференцируемо) также и во всем объеме V, ограниченном замкнутой поверхностью S, то справедлива теорема Гаусса — Остроградского
§nodS= ^DivadV(43.12)
sv
— поток тензорного поля через замкнутую поверхность равен суммарной расходимости того же тензорного поля в объеме, ограниченном этой поверхностью. Доказательство теоремы Гаусса — Остроградского для тензорных полей непосредственно следует из общеизвестного доказательства этой теоремы для векторных полей и потому не приводится.
Наконец, вихрь тензорного поля е (г) — псевдотензор того же ранга Rot е с компонентами
(Rot8)„ = 6/yft^.(43.13)
Rot е можно рассматривать как векторное произведение: Rot 8 = = V х 8. При необходимости дифференцировать по второму индексу используется Rot е*.
В механике сплошных сред широкое применение находит дифференциальная операция второго порядка — вихрь от транспонированного вихря тензорного поля 8 (г). Это тензорное поле
Ink е = Rot (Rot е)*(43.14)
имеет тот же ранг, что и исходное, и называется несовместностью тензорного поля в (г). Компоненты его равны
(Ink8)// = 6«m6/z„^.(43.15)
Внешняя симметрия и изображение тензоров и псевдотензоров
Материальные тензоры описывают свойства кристалла. Пусть с кристаллом связана декартова система координат. Набор компонент материального тензора относительно этой системы координат численно характеризует соответствующее свойство. Подвергнем координатную систему какому-либо ортогональному преобразованию. Компоненты материального тензора относительно новой системы координат, вообще говоря, не равны одноименным его компонентам относительно старой системы. Однако если данное преобразование входит в группу симметрии кристалла, то компоненты материального тензора относительно новой системы совпадают с его компонентами относительно старой. Действительно, если две системы координат связаны между собой преобразованием симметрии кристалла, их расположение относительно кристалла, в сущности, одинаково. Следовательно, материальный тензор кристалла инвариантен относительно всех преобразований симметрии этого кристалла.
Отсюда следует, что материальный тензор кристалла, обладающего определенной симметрией, не может быть вполне произвольным, а должен удовлетворять некоторым требованиям, вытекающим из симметрии кристалла ). Сформулируем эти требования аналитически. Пусть А — материальный тензор ранга г, а || cvk || = = II c^k (g) || — матрица какого-либо преобразования g симметрии кристалла, свойства которого этот тензор описывает. Подвергнем кристалл преобразованию g. В новой системе координат компоненты тензора примут вид
...c,rbAb b. (44.1)
Но так как g — преобразование симметрии кристалла, компоненты тензора в новой сгстеме координат должны совпадать с его компонентами в старой системе. Это можно записать следующим образом:
A.r = (44.2)
Сравнивая (44.1) и (44.2), получим
(с,,. —6,'и ...S£'b\A. . =о (44.3) и эти Зг равенств должны выполняться для любой матрицы II Cvb (g) ||, если только g — одно из преобразований симметрии кристалла. Таким образом, равенства (44.3) представляют со-
§ 44] ВНЕШНЯЯ СИММЕТРИЯ И ИЗОБРАЖЕНИЕ ТЕНЗОРОВ 261 бой систему линейных уравнений, которым должны удовлетворять компоненты тензора А, если этот тензор описывает свойства кристалла.
Число уравнений в системе (44.3) равно порядку точечной группы кристалла, умноженному на Зг, но независимых уравнений среди них значительно меньше: если тензор А удовлетворяет уравнениям (44.3) для матриц, соответствующих генераторам (порождающим элементам) точечной группы кристалла, то он удовлетворяет и всем остальным уравнениям ). Действительно, если тензор инвариантен относительно преобразований gx и g^ он, очевидно, инвариантен также и относительно всевозможных степеней и произведений этих преобразований.
Для материального псевдотензора В формулу (44.3) следует несколько изменить. В новой системе координат компоненты псевдотензора В равны
В1Х i'r= ^С1'хкх ••• CirkrBkx ...кр (44.4)
где А — определитель матрицы косинусов || с^к ||. Формула же (44.2) остается верной и для псевдотензоров Сравнивая (44.2) и (44.4), получим вместо (44.3) формулу
Ci'rkr — ^l\kv 6i'rk^Bkt ...кг=0‘ (44-5)
Рассмотрим прежде всего, как влияет на материальные тензоры наличие у кристалла центра симметрии. В этом случае материальные тензоры должны быть инвариантны относительно инверсии. Соответствующая инверсии матрица косинусов с^и = — 6^к, ее определитель А = —1. Подставив срк в формулу (44.3), получим
Результат зависит от того, четный ранг тензора г или нечетный. При четном г имеем тождество
которое удовлетворяется при любом тензоре А. Таким образом, все тензоры четного ранга инвариантны относительно инверсии, или, другими словами, центросимметричны. При нечетном же г
— 2Ае =
1 ••• 1Г
Это значит, что при наличии у кристалла центра симметрии все материальные тензоры нечетного ранга обращаются в нуль; иными словами, центросимметричные кристаллы не обладают никакими свойствами, характеризуемыми тензорами нечетного ранга.
Если рассматривается не тензор, а псевдотензор, то вследствие наличия в формуле (44.5) множителя А, равного в случае инверсии —1, в формуле (44.6) придется г заменить на г + 1. Поэтому все материальные псевдотензоры нечетного ранга центросимметричны; напротив, все материальные псевдотензоры четного ранга у центросимметричных кристаллов обращаются в нуль.
В связи с результатами решения этой задачи целесообразно ввести новую классификацию тензоров. Истинные тензоры четного ранга и псевдотензоры нечетного ранга называются тензорами четного типа; все они, как показано, инвариантны относительно инверсии. Истинные же тензоры нечетного ранга и псевдотензоры четного ранга называются тензорами нечетного типа; они при инверсии меняют знаки всех компонент на обратные. Исследуя соотношения дуальности (§ 42), мы видели, что одну и ту же величину можно рассматривать и как истинный тензор, и как псевдотензор. Поэтому, говоря, что какая-то величина является, скажем, псевдотензором, мы характеризуем, в сущности, не саму эту величину, а лишь способ ее записи. Напротив, четность или нечетность действительно является существенным свойством величины. Например, малые вращения сплошной среды (см. § 49) можно описывать о
как аксиальным вектором ф, так и дуальным ему антисимметричным тензором второго ранга о, но при обоих способах записи этой величины мы используем тензоры одного и того же — а именно четного — типа.
Поскольку все материальные тензоры четного типа центросимметричны по самой своей природе, они «не чувствуют», есть у кристалла центр симметрии или его нет. Если мы мысленно добавим к операциям симметрии кристалла инверсию (а также и произведения инверсии на все операции симметрии), это не наложит никаких новых ограничений на вид материального тензора четного типа. Отсюда следует, что по симметрии свойств, описываемых тензорами четного типа, кристаллы подразделяются не на кристаллографические классы, а лишь на классы Лауэ, или подсистемы (напомним, что точечные группы всех нецентросимметричных классов, входящих в данную подсистему, после добавления к их порождающим элементам инверсии переходят в точечную группу единственного центросимметричного класса той же подсистемы, см. § 6). Таким образом, число разновидностей симметрии свойств четного типа у всевозможных кристаллов не превышает 11, а с учетом сред предельной симметрии — 14.
Свойствами нечетного типа могут обладать, как уже отмечалось, лишь нецентросимметричные кристаллы; число разновидностей симметрии этих свойств не превышает поэтому числа нецентросимметричных кристаллографических точечных групп, т. е. 21; при учете и предельных групп это число возрастает до 25.
Материальный тензор кристалла инвариантен относительно всех преобразований симметрии кристалла, но, вообще говоря, не только относительно них. Например, материальный тензор четного типа инвариантен относительно инверсии даже тогда, когда кристалл, свойство которого он описывает, нецентросимметричен. С другой стороны, при анализе различных кристаллофизических ситуаций с помощью принципа Кюри нужно знать, относительно каких операций симметрии инвариантен тот или иной полевой тензор. А. В. Шубников ввел понятие симметрии тензора, применимое как к материальным, так и к полевым тензорам ) (впоследствии ее назвали внешней симметрией, в отличие от внутренней): группа внешней симметрии тензора — это совокупность всех ортогональных преобразований, относительно которых инвариантен данный тензор.
Прямой метод определения внешней симметрии тензора предложили Л. И. Седов и В. В. Лохин ). Они рассматривают набор основных формул теории внешней симметрии тензоров (44.3) как систему уравнений относительно матричных элементов сук. тензор же А считают заданным. Каждое решение этой системы — матрица преобразования, относительно которого инвариантен тензор А. Среди матриц, удовлетворяющих уравнению (44.3), могут оказаться и неортогональные; согласно определению внешней симметрии тензора их следует исключить из рассмотрения. Оставшиеся ортогональные матрицы составляют группу внешней симметрии тензора А.
В принципе этот метод позволяет выяснить группу внешней симметрии любого тензора, заданного своими компонентами в произвольной системе координат, однако применять его нелегко: уравнения (44.3) линейны лишь относительно компонент тензора Акг ... Акг. а относительно матричных элементов^ — это уравнения степени г (г — ранг тензора).
Л. И. Седов и В. В. Лохин доказали, что любую кристаллографическую и предельную группу можно определить как группу внешней симметрии некоторого тензора или как пересечение (общую часть) групп внешней симметрии нескольких тензоров.
Материальные тензоры кристаллов зависят от температуры, частоты и других скалярных параметров. Поэтому наряду с внешней симметрией материальных тензоров в теоретической кристаллофизике рассматривают также внешнюю симметрию материальных
тензор-функций — тензор-функций скалярных параметров *). Различным наборам скалярных параметров <оь со2, ... соответствуют различные материальные тензоры А (coj, А (со2), ... Их группы симметрии G (A (®i)), G (А (со2)), ... содержат, как правило, одни и те же элементы симметрии, но ориентация их у различных тензоров может оказаться различной. Группой внешней симметрии G(to) (А) материальной тензор-функции А (со) называется пересечение (общая часть) этих групп:
б^(А) = 6(А(Ю1))ПС(А(<»2))П ... = ПС(А(<о,)). (44.7)
В группу Gw (А) внешней симметрии тензор-функции А (со) входят те и только те преобразования, которые переводят в себя тензор А при любых значениях параметров. С другой стороны, согласно принципу Неймана, все элементы точечной группы симметрии кристалла G должны входить в группы внешней симметрии всех материальных тензоров этого кристалла, а следовательно, и в группы симметрии материальных тензор-функций. Отсюда вытекает выведенное Копциком (1966) соотношение между группами симметрии кристалла G, материального тензора G (А) и материальной тензор-функции Gw (А):
G(A)^GW(A)sG. (44.8)
Рассмотрим некоторые примеры. Все материальные векторы кристаллов, имеющих ось симметрии, направлены по этой оси, и потому симметрия не только каждого отдельного материального вектора, но и множества всех мыслимых материальных векторов равна оот. Но материальные векторы кристалла класса т могут иметь любое направление, лежащее в плоскости симметрии, и потому, хотя симметрия каждого отдельного вектора по-прежнему оот, симметрия всей их совокупности — всего лишь т.
Аналогично, каждый отдельный материальный тензор [V2] кристалла любого класса моноклинной системы имеет симметрию ттт, но у всего множества таких тензоров лишь одна общая ось симметрии второго порядка и одна общая плоскость симметрии, так что группа симметрии этого множества 21т.
Перейдем к обсуждению методов изображения тензоров и псевдотензоров произвольного ранга. В § 22 описаны два типа поверхностей, изображающих симметричные тензоры второго ранга: характеристические и указательные. Для изображения тензоров высших рангов используются обычно только указательные поверхности. В полярных координатах уравнение указательной поверх-
ности симметричного тензора Т ранга р имеет вид
г^, ^ = 7^... 1рпч ... Щр(44.9)
(/2! = sin ^ cos ср, /г2 = sin ft sin ср, n8 = cosO).
Если подставить в это уравнение компоненты тензора или псевдотензора А, внутренняя симметрия которого не равна [V^] или t*f Vp]» на форму указательной поверхности окажет влияние только его симметричная часть Т1г ... 1р = Д(^ ... lpV так как
A4...ipnil...nlp = Tll...ipnll...nlp.
и черных (отрицательных)и черных (отрицательных)°°2 П Л°°2 П ЛКак уже отмечалось (§§ 22, 24), указательная поверхность может состоять из белых (положительных)
и черных (отрицательных)
и черных (отрицательных)
°°2 П Л
°°2 П Л
+-- Ла)б) 8)+-- Ла)б) 8)Л
+-- Л
а)б) 8)
+-- Л
а)б) 8)
Рис. 44.1. Диаметры указательных поверхностей: а) истинного тензора четного типа, б) истинного тензора нечетного типа, в) псевдотензора четного типа, г) псевдотензора нечетного типа Диаметры б), в) и г) представляют собой полярное, аксиальное и винтовое направления соответственно Точкой обозначен центр указательной поверхности Знаки плюс и минус соответствуют белому и черному цвету поверхности на конце данного диаметра, а буквы П и Л — правому и левому вращению. Ср. Шубников (1958. рио. 117) и Шубников и Копцик (1972, рис. 74).
частей: первые соответствуют положительным значениям г, вторые — отрицательным. Некоторые из поверхностей, приведенных в § 24, — указательные поверхности тензоров высших рангов. Например, поверхности коэффициента растяжения (см. рис. 24.5—24.11) являются, в сущности, указательными поверхностями материального тензора четвертого ранга д^ = 8^^ где s — тензор коэффициентов упругой податливости (см. §§ 51—53), а поверхности коэффициента кручения (см. рис. 24.6, 24.10, 24.11)— указательными поверхностями материального тензора Qljkl = 2 (.Z^m — —Swbv^ где Zlk = slmkmi (ср. с формулами (54.20) и (54.21)). Много таких поверхностей их сечений и их стереографических проекций (см. §24) приведено в последующих главах! рис. 54.3—54.10, 56.4, 58.1—58.3, 75.1 и др.
Сравним указательные поверхности тензоров четного и нечетного типа. Так как тензоры четного типа центросимметричны, то центросимметричны и их указательные поверхности: г (я) = г (— п\ Поэтому любой диаметр указательной поверхности тензора четного типа состоит из двух равных по величине и соответствующих одному и тому же знаку радиусов (рис. 44.1, а); симметрия его oolmm.
Рис. 44.2. Указательная поверхность продольного пьезоэлектрического эффекта в кристалле турмалина (класс 3m) — пример указательной поверхности тензора нечетного типа: а) стереографическая проекция, в центр проекции выведена ось X» — [0001]; б) то же, но в центре ось Xi — [2110]; в 10*8 ед СГСЭ; а) сечение указательной поверхности плоскостью XiX8 — (2110). Группа симметрии поверхности 3m, группа антисимметрии З'т (см. § 68) (Бутабаев и Сиротин, 1973).
Тензоры нечетного типа антицентросимметричны: при инверсии они меняют знак на обратный *); таковы же их указательные поверхности: г ^ = — г (— п). Любой диаметр такой указательной поверхности состоит из двух также равных по величине, но соответствующих противоположным знакам радиусов (рис. 44.1, б); симметрия его сот. Направления в кристалле, симметрия которых
"*) С этим обстоятельством связана антисимметрия этих поверхностей, см. §§ 67, 68.
не превышает сот, называются полярными (см. § 3 и приложение В). Из принципа Кюри вытекает, что диаметры указательных поверхностей материальных тензоров нечетного типа могут быть отличны
от нуля лишь в тех направлениях, которые в данном кристалле являются полярными. Две стереографические проекции и сечение
Рис. 44.3. Указательная поверхность аксиального вектора — пример указательной поверхности псевдотензора четного типа. Симметрия поверхности со/m. Круговые стрелки указывают направления вращения. Буквами П и Л отмечены части поверхности, состоящие соответственно из правых и левых точек. Справа — аксиальный вектор соответствующей длины и направления. Ср. с указательной поверхностью полярного вектора, рис. 22.3.Рис. 44.3. Указательная поверхность аксиального вектора — пример указательной поверхности псевдотензора четного типа. Симметрия поверхности со/m. Круговые стрелки указывают направления вращения. Буквами П и Л отмечены части поверхности, состоящие соответственно из правых и левых точек. Справа — аксиальный вектор соответствующей длины и направления. Ср. с указательной поверхностью полярного вектора, рис. 22.3.поверхности продольного пьезоэлектрического эффекта в кристалле турмалина (класс З/т?) показаны на рис. 44.2 — это указательная поверхность материального тензора третьего ранга fi/k = d^, где d — тензор пьезоэлектрических коэффициентов (см. § 58).
Рис. 44.3. Указательная поверхность аксиального вектора — пример указательной поверхности псевдотензора четного типа. Симметрия поверхности со/m. Круговые стрелки указывают направления вращения. Буквами П и Л отмечены части поверхности, состоящие соответственно из правых и левых точек. Справа — аксиальный вектор соответствующей длины и направления. Ср. с указательной поверхностью полярного вектора, рис. 22.3.
Рис. 44.3. Указательная поверхность аксиального вектора — пример указательной поверхности псевдотензора четного типа. Симметрия поверхности со/m. Круговые стрелки указывают направления вращения. Буквами П и Л отмечены части поверхности, состоящие соответственно из правых и левых точек. Справа — аксиальный вектор соответствующей длины и направления. Ср. с указательной поверхностью полярного вектора, рис. 22.3.
Указательные поверхности симметричных псевдотензорсв также описываются уравнением (44.9), но радиусы- векторы этих поверхностей преобразуются, очевидно, не по векторному, а по псевдсвекторному закону, т. е. являются аксиальными векторами. Поэтому каждой точке указательной поверхности псевдотензора приписывается не знак (как точкам указательных поверхностей истинных тензоров), а вращение в том направлении, в каком вращается аксиальный радиус-вектор данной точки. Условимся называть данную точку указательной поверхности псевдотензора правой, если при взгляде на нее с внешней стороны поверхности вращение представляется происходящим против часовой стрелки (соответственно при взгляде
изнутри, т. е. вдоль радиуса-вектора — по часовой стрелке), и левой — в противоположном случае.
Сравним теперь указательные поверхности псевдотензоров четного и нечетного типа. Указательные поверхности псевдотензоров четного типа (т. е. нечетного ранга) центросимметричны. Значит, каждый диаметр такой поверхности состоит из двух радиусов равной длины и одинакового направления вращения (рис. 44.1, в); симметрия его оо/т. Направления в кристаллах, симметрия которых не превышает со/m, называются аксиальными, так что диаметры указательных поверхностей материальных псевдотензоров четного типа отличны от нуля только в аксиальных направлениях. Пример такой поверхности см. на рис. 44.3.
Диаметры указательных поверхностей псевдотензоров нечетного типа состоят из радиусов равной длины и противоположного направления вращения (см. рис. 44.1, а); симметрия их оо2. Направления
такой и более низкой симметрии в кристаллах называются винтовыми — диаметры указательных поверхностей материальных псев
дотензоров нечетного типа отличны от нуля только в винтовых направлениях. Пример указательной поверхности псевдотензора нечетного типа см. на рис. 44.4. Это указательная поверхность псевдотензора второго ранга симметрии 42/и, матрица которого в системе ХхХ^Хг имеет вид
— G О О— G О О№/11 =№/11 =(44.10)(44.10)О О G О О О
— G О О
— G О О
№/11 =
№/11 =
(44.10)
(44.10)
если правому вращению приписывать знак минус, а левому — плюс. Этот псевдотензор описывает оптическую активность кристаллов
Рио. 44.4. Указательные поверхности: а) симметричного псевдотензора второго ранга симметрии 42т, б) симметричного тензора второго ранга с такими же компонентами — его симметрия ттт, антисимметрия 4'/ттт', см. § 68 (по Шубникову (1951)).Рио. 44.4. Указательные поверхности: а) симметричного псевдотензора второго ранга симметрии 42т, б) симметричного тензора второго ранга с такими же компонентами — его симметрия ттт, антисимметрия 4'/ттт', см. § 68 (по Шубникову (1951)).
Рио. 44.4. Указательные поверхности: а) симметричного псевдотензора второго ранга симметрии 42т, б) симметричного тензора второго ранга с такими же компонентами — его симметрия ттт, антисимметрия 4'/ттт', см. § 68 (по Шубникову (1951)).
Рио. 44.4. Указательные поверхности: а) симметричного псевдотензора второго ранга симметрии 42т, б) симметричного тензора второго ранга с такими же компонентами — его симметрия ттт, антисимметрия 4'/ттт', см. § 68 (по Шубникову (1951)).
классов 42/и, 4, mm2, и т, в частности вращение плоскости поляризации света в кристаллах классов 42m и 4 при совпадении главных показателей преломления No и Ne (см. § 81) ).
Если все одноименные компоненты истинного тензора и псевдотензора того же ранга совпадают, то их указательные поверхности имеют одинаковые очертания. Однако так как радиусы-векторы, образующие эти две поверхности, имеют различный смысл и различную симметрию, смысл и симметрия самих поверхностей также различны. Это видно, например, при сравнении указательных поверхностей полярного вектора (см. рис. 22.3) и аксиального вектора (рис. 44.3). Другой пример: такйе же очертания, как у приведенной на рис. 44.4, а указательной поверхности псевдотензора
второго ранга симметрии 42 т, имеет указательная поверхность истинного тензора второго ранга, компоненты которого определяются той же матрицей (44.10) (рис. 44.4, б). Однако симметрия этого тензора и его указательной поверхности совершенно иная: это группа ттт, как и у всякого симметричного тензора второго ранга с тремя различными собственными значениями (— G, G и 0) ).
Таким образом, симметрия указательных поверхностей правильно определяется лишь при учете того обстоятельства, что составляющих их точкам приписан цвет (знак) или направление вращения, т. е. того, что эти поверхности представляют собой, по выражению А. В. Шубникова (1951), материальные фигуры.
Метод прямой проверки
В этом параграфе будет показан более удобный способ вывода необходимых условий, которым должен удовлетворять тензор, инвариантный относительно отражения в плоскости симметрии, относительно поворотов вокруг осей второго и четвертого порядка, а также вокруг осей третьего порядка, имеющихся в кристаллах кубической системы. Он предложен Фуми и называется методом прямой проверки (Fumi, 1952).
В этом методе существенно используются два обстоятельства: 1) что компоненты тензоров преобразуются как произведения компонент векторов; 2) что нас интересует вид материального тензора в кристаллофизической системе координат, а она строится на элементах симметрии кристалла, так что оси симметрии и нормали к плоскости симметрии совпадают с осями координат, с биссектрисами углов между ними и т. п.
Рассмотрим, например, как преобразуются компоненты вектора под действием поворота системы координат на 90° вокруг оси Х3. Если орты «старой» координатной системы обозначим еь е2, е3, а «новой» ег, е^, е3^ то можно записать
хег + уе2 + ze3 = x’ev + у' е^ + z'e^.
Здесь х. у. г — первая, вторая и третья компоненты вектора соответственно.
Матрица косинусов для данного поворота
0 1 0II0 1 0II1Ы= -1 о о . о о 1 II1Ы= -1 о о . о о 1 II
0 1 0II
0 1 0II
1Ы= -1 о о . о о 1 II
1Ы= -1 о о . о о 1 II
Новые орты, определяемые формулой et- = Ci-bek, равны соответственно вх- = ег, е^- = — еъ еу = е3. Таким образом,
xet + уе3 + ze3 = х'е3 — у'ег + z'e3.
Так как орты линейно независимы, это равенство выполняется только тогда, когда коэффициенты при соответствующих ортах равны
х' = у, у' = — х, г’ = г.
(Тот же результат получился бы сразу, если действовать матрицей || cvu II непосредственно на компоненты, а не на орты; мы избрали более длинный путь, чтобы в следующем параграфе провести аналогичные операции над циклическими координатами, которые, в отличие от декартовых, преобразуются не так, как соответствующие им циклические базисные векторы.) Мы видим, что в данном случае компонента вектора или остается неизменной, или переходит в другую компоненту, быть может, еще изменяя при этом знак. Это связано с видом матрицы косинусов: все ее элементы целочисленны и равны +1, —1 или 0. Метод прямой проверки Фуми применим только к таким операциям симметрии, которые характеризуются целочисленными матрицами косинусов.
Матрица косинусов целочисленна только для некоторых избранных поворотов, оси которых расположены строго определенным образом относительно координатной системы. В частности, для поворота на 120° (ось третьего порядка) матрица косинусов целочисленна, если ось поворота составляет равные углы с осями Хь Х2 и Х3, но не целочисленна, если эта ось совпадает с какой-либо из координатных осей. В табл. 45.1 приведены все практически важные случаи таких поворотов.
Таблица 45.1
Преобразования индексов, применяемые в методе прямой проверки
Рассмотрим теперь, как преобразуются при этом же повороте компоненты тензора второго ранга. Чтобы воспользоваться тем, что они преобразуются, как произведения компонент вектора, будем обозначать компоненту с индексами 11 символом [хх], с индексами 12 — символом [ху] и т. д. Так как мы не предполагаем, что тензор симметричен по индексам (например, [ху] [ух]), за
порядком «сомножителей» в символах компонент нужно внимательно следить, ни в коем случае их произвольно не переставляя. В остальном же с этими символами можно обращаться как с обычными произведениями. Если компоненты вектора при операции 4г подвергаются преобразованию
х' — у, у'=—х, z = z.
то компоненты тензора, как их произведения, преобразуются следующим образом:
[хх]'= \уу\ [ух]' = — [xy] [zx]'= [zy], [хуУ = — [ух] [ууУ= [хх], [гуУ = — [zx], [xz]'= [yz], [yzy = — [xz], [zz]'= [zz].
Проделав то же для операций 2г, 2Х и 3^, составим таблицу:
а
2,
2х
4,
3xyz
&
2,
2x
4=
3xyz
[хх]'
[хх]
[XX]
[yy]
[yy]
[zx]'
—[zx]
—[zx]
[zy]
[xy]
[уу]'
[уу]
[уу]
[XX]
[zz]
[xz]'
—[xz]
—[xz]
[yz]
[yx]
[zz]'
[zz]
[zz]
[zz]
[xx]
[xy]'
[xy]
—[xy]
—[yx]
[yz]
[yz]' [zy]'
—[yz]
—[zy]
[yz] [zy]
—[xz]
—[zx]
[zx] [xz]
[yx]'
[yx]
—[yx]
—[xy]
[zy]
Если кристалл относится к классу 2 и ось 2 параллельна Х8, то компоненты материального тензора под действием операции 2г не должны меняться. Поэтому мы вправе поставить знаки равенства между индексами, стоящими в одних и тех же строках в первом и втором столбцах нашей таблицы. Но равенства вида [yz\ = —[z/z] удовлетворяются только при [yz] = 0. Тривиальные же равенства вида [хх] = [хх] удовлетворяются при любых значениях соответствующих компонент. Таким образом, материальный тензор второго ранга для кристаллов класса 2 (при нестандартной установке оси 2 параллельно Х8)
|Тй Т« 0 I
|Ту| = | Га2 ° -
II о о тю |
Рассматриваемый тензор — четного типа и потому, как показано в предыдущем параграфе, он должен иметь точно такой же вид и для кристаллов других классов, входящих в ту же подсистему: m и 2/т.
Рассмотрим теперь класс 4. Так как среди операций группы 4 есть 2г, можно сразу положить равными нулю компоненты [yz], [zy], [zx] и [xz] *). Для остальных компонент имеем [хх] = [уу],
[ху] = —\yxY Итак, для класса 4 (а также и для классов 4 и 4/т) материальный тензор второго ранга
II Л1 Лг 0
Мы рассмотрели группы с. одним генератором. Для групп с несколькими генераторами условие равенства преобразованных игне- преобразованных компонент должно выполняться для каждого генератора в отдельности. В табл. 45.2 указаны наборы генераторов, наиболее удобные для применения метода прямой проверки.
Таблица 45.2
Генераторы (порождающие элементы) кристаллографическихи предельных групп
Группа
Генераторы
Группа
Генераторы
I
1
4mm
4ZJ mx
2(2||Х2)
2У
42m (21| Xi)
4z> 2X
2(2||Х3)
2z
4m2 (m 1 Xx)
4Z1 mx
т (т £ Х2)
Шу
4[ттт
4z» 2X1 1
т (т 1 Х8)
т2
6
62
2/т(2||Х2)
2^ Т
6
6z
2/т(2||Х8)
2Z1 1
6/m
621 1
222
2Z' 2Х
622
3z' 2X
mm2
2z> ™х_
6mm
6Z1 mx
ттт
2z> 2Х1 ~1
6m2 (m 1 Xi)
6zt mx
3
з2
62m (21| X!)
3z' 2X _
3
3zt Г
6/mmm
32' 2X1 1
32(211X0
3z. 2Х
23
2jt> 3xyz_
32(2||Х2)
3z* 2д
m3
2z* 3XyZi 1
3m (m £ Х0
3z» тх
432
4z> 3xyz
3m (m £ Х2)
3z* ту _
43m
4z* 3xyz_
ЗтрИХО
Зг» 2Х1 1
m3m
4z> 3xy2, 1
Зт (21| Х2)
32, 2^ I
co
°°^_
4
h
co/m
oo^, 1
4
4g
oo2
OQ^, 2X
4/т
4Z. I
com
°°z> mx
422
4z> 2X
colmm
O^Z’ ^x* 1
Воспользуемся этим правилом, чтобы определить вид материального тензора второго ранга для классов 222, 422, 23 и 432 (и тем самым для всех классов соответствующих подсистем).
Для класса 222 после проверки на инвариантность относительно 22 остаются компоненты [хх], \ду\ [zz], \хуА и VyxV Проверка на инвариантность относительно 2Х отсеивает последние две компоненты. В результате получаем
о оТ22 ОО 733о оТ22 ОО 733
о о
Т22 О
О 733
о о
Т22 О
О 733
Для класса 422 после проверки на инвариантность относительно 4г остаются [хх] = \уу\, [zz], \ху\ = —[ух]. Проверка на инвариантность относительно 2Х отсеивает последнюю пару компонент,
II Л/11 =II Л/11 =ГцООГцООтак что
II Л/11 =
II Л/11 =
ГцОО
ГцОО
о оГц о
О 733
Для класса 23, рассматривая действие операции Зху2 на компоненты, оставшиеся после проверки на 22, получаем равенства [хх] = [zz] = [уу], [ху] = [zx] = 0, [ух] = [xz] = 0. Отсюда
11^/11 =11^/11 =7ц 0 07ц 0 0007ц 00 7П007ц 00 7П
11^/11 =
11^/11 =
7ц 0 0
7ц 0 0
00
7ц 0
0 7П
00
7ц 0
0 7П
Для класса 432 получим тот же результат, рассмотрев действие операции Зху2 на компоненты, оставшиеся после проверки на 42.
Рассмотренный пример показывает, во-первых, что группа внешней симметрии тензора может оказаться значительно шире, чем группа симметрии кристалла, относительно которой должен быть инвариантен данный тензор (дело не сводится только к добавлению центра симметрии: наложив на тензор требования инвариантности относительно группы 23, мы получили тензор внешней симметрии не m3, а гораздо более высокой — оооот\
Рассмотренный пример указывает, во-вторых, на связь внешней и внутренней симметрии тензора. Мы рассматривали тензор внутренней симметрии V2, т. е. не предполагали, что он симметричен (или антисимметричен) по индексам. Для классов Лауэ 2!т и Мт мы и получили тензор внутренней симметрии V2, но для классов Лауэ ттт, Мттт, m3 и тЗт условия инвариантности привели к повышению внутренней симметрии тензора до [V2]—он стал симметричным по индексам. Таким образом, внешняя симметрия тензора иногда предопределяет его внутреннюю симметрию.
К тензорам более высокого ранга метод прямой проверки применяется столь же просто. Единственное затруднение связано с тем, что у них больше компонент, так что задача становится хотя и не труднее, но значительно длиннее. Это затруднение можно в какой-то мере обойти, если не выписывать всех перестановок индексов: ясно, например, что если [хгГ = [yz], то [zx]' = [zyL
Рассмотрим тензор третьего ранга и выясним, какой вид он принимает для кристаллов классов Л2т и 422. Для этого достаточно проверить действие на него генератора 4г и 2Х для класса 42/и и 4г и 2Х для класса 422 (см. табл. 45.2). Поэтому выписываем таблицу:
в
2х
*z
8
ax
4g
4z
[ххх]'
[ххх]
— [ууу!
(УУУ1
[yyz]'
— [yyz]
— [xxz]
[xxz]
1ууу1'
— (ууу!
[ххх]
— [ххх]
[уух]’
Vyyx]
—[xxy]
[xxy]
[zzz]'
— [ZZZ]
— [zzz]
[zzz]
[zzx]'
[zzx]
— [zzy]
[zzy]
[xxy]'
— [хху]
[УУ*]
— [УУ«1
[zzyY
— [zzy]
[zzx]
— [zzx]
[ххг]'
— [XXZ]
— [УУг]
1УУг]
[xyz]'
[xyz]
[yxz]
— [yxz]
Требование инвариантности относительно 2Х приводит к обращению в нуль компонент Iyyyl, [zzz], [xxy], [xxz], [yyz], [zzy], а также всех компонент, отличающихся от них только перестановкой индексов. Оставшиеся компоненты проверяем на инвариантность относительно 4, и получаем [ххх] = lyyyl = 0, [уух] = [хху] = 0, [zzx] = = [zzy] = 0, [xyz] = [yxz], причем последнее равенство остается справедливым после любой перестановки индексов, произведенной одновременно в левой и правой его части. Таким образом, у тензора g внутренней симметрии V®, инвариантного относительно группы 42/л, не обращаются в нуль только следующие компоненты:
5128 = gll»»5281 = 5132»5з12 = 5321>
— всего шесть компонент, из них три независимые. Для тензора d внутренней симметрии ЙУ21, компоненты которого удовлетворяют условию dtkI = dm,, число независимых компонент сокращается до двух:
dl23 = ^18 = ^281 = 4182»^812 = ^821 •
Наконец, тензор f внутренней симметрии [Vs] имеет всего одну независимую компоненту:
/123 = /з18 = /231 = /132 = /з12 = /з21*
Чтобы найти тензоры третьего ранга, инвариантные относительно группы 422, проверим не отсеянные операцией 2Х компоненты на инвариантность относительно 42. Получим равенства
[ххх] = — [ууу] = 0,[уух] = — [хху] = 0,
[zzx] = — [zzy] = 0, [xyz] = —[yxz].
Рассуждая, как в предыдущем случае, получаем, что инвариантные относительно группы 422 тензоры g внутренней симметрии У3 имеют шесть отличных от нуля компонент
5123 =5213»5231 =5132»5з12 =5з21»
из них три независимые. Тензоры d внутренней симметрии У [У2] имеют всего четыре компоненты, отличные от нуля:
^123 = ^132 =^213 =^231»
из них независима одна. Наконец, тензоры внутренней симметрии [У3] в этом случае тождественно обращаются в нуль.
Так, почти без всяких вычислений определяется вид материальных тензоров любого ранга для кристаллов моноклинной, ромбической, тетрагональной и кубической систем. 25 типов материальных тензоров и псевдотензоров от нулевого до шестого ранга включительно приведены в приложении Д.
Циклические координаты. Теорема Германа
Метод прямой проверки, описанный в предыдущем параграфе, не дает возможности находить тензоры, инвариантные относительно групп тригональной и гексагональной систем, а также относительно предельных групп симметрии. Для решения этих задач требуются более сложные методы, один из которых — метод прямой проверки в циклических координатах — мы и рассмотрим.
Введем в рассмотрение циклические базисные векторы
j=^M-ieay 1=^61-16.^, е = еа. (46.1)
Два из них мнимы и комплексно сопряжены, о чем и напоминает черта над вектором /). Они, однако, линейно независимы, так как
Uxlye — yi^O;
поэтому их и можно использовать в качестве базиса. Обращение формул (46.1) имеет вид
*1=7+7» ег = — iU-JY еа = е. (46.2)
Запишем один и тот же вещественный вектор в декартовом и в циклическом базисе:
хех+уег + ze3 = V+£7+ ге.
Заменив ех и е2 их выражениями (46.2) и сравнив коэффициенты при одинаковых векторах, найдем
l = x — iy,l = x + iy, 2 = 2.(46.3)
Таким образом, и здесь черточка —это знак комплексного сопряжения.
Повернем теперь координатную систему вокруг оси Х3 на угол ф. Новые декартовы базисные векторы равны
ev = ех cos ср + ^2 sin ф»
е* = — ^ sin ф + ^2 cos ф,(46.4)
#3' = ^з-
Им соответствует и новый циклический базис
Г =^AevVieyV J' = ^(ev-iey), е' = еу. (46.5)
Чтобы получить закон преобразования циклических базисных векторов при таком повороте системы координат, выразим новые декартовы орты через старые декартовы орты, а последние с помощью формул (46.2) — через старые циклические базисные векторы. Тогда получим
j* =егк^ у=е^ е' = е.(46.6)
Отсюда найдем закон преобразования компонент. Так как
W+lf Arze — ^j' + ^f -V^e\ ясно, что
^=е^, V = e-^ z'= z.(46.7)
Если компоненте £ приписать индекс 1, компоненте | — индекс— 1, а компоненте 2— индекс 0, то закон преобразования циклических компонент (но не базисных векторов!) при повороте вокруг оси Х3 можно записать с помощью матрицы || Скч II:
Скч = е(к'^6кч = е^бкч(46.8)
в виде
Ак» = СкчА1 = е^кчА1.(46.9)
Соответственно закон преобразования циклических компонент тензора А ранга г при повороте на угол ф вокруг оси Х3 принимает вид
л»;A;=exP[t-(zi+ • * +Мф]6й;#1 ... 6VrlA4 lr. (46.10)
Если поворот вокруг оси Х3 представляет собой единичный поворот вокруг оси симметрии порядка N, то ф = ^IN и
cw-exp^l^i.(46.11)
Представим себе теперь, что тензор А ранга г задан своими компонентами А1х... tr относительно циклической системы координат. Сформулируем условия, которым должны удовлетворять эти компоненты, чтобы тензор А был инвариантен относительно группы N (т. е. относительно поворотов вокруг оси симметрии N-ro порядка). Матрица || ск^ || записана у нас в виде, очень удобном для подстановки ее в основное уравнение инвариантности (44.3). Сделав это, получим
{ехр [^- (/1+ ... + Q] -1} ^... zr = 0.(46.12)
Отличными от нуля могут быть только те компоненты, для которых обращается в нуль фигурная скобка. Но е2^ = 1 тогда и только тогда, когда s — целое число или нуль. Таким образом, отличны от нуля только те циклические компоненты инвариантного относительно группы N тензора, сумма индексов которых равна нулю или делится на N. Мы получили очень простое правило, по которому мы сразу можем выписать все отличные от нуля компоненты тензора, инвариантного относительно любой группы поворотов, правда, только в циклической системе координат. Перечислим, например, отличные от нуля циклические компоненты тензора А четвертого ранга, инвариантного относительно группы 3 (минус для удобства пишем над индексом):
дд__ д_ а д
1110’1111’1001’ оооо’ 0111’
а также компоненты, получающиеся из выписанных при любой перестановке индексов (общее число отличных от нуля компонент равно 4 + 6+12+1+4 - 27).
Посмотрим, как изменятся эти результаты для инверсионных поворотов. При инверсии циклические координаты ведут себя так же, как и декартовы: все они меняют знак на обратный. Поэтому матрица преобразования циклических координат при инверсионном повороте отличается от полученной ранее матрицы для простого поворота только знаком:
скЧ = -е^кч.(46.13)
Условие инвариантности тензора относительно инверсионной оси порядка N имеет поэтому вид
{(- 1Г exp + • • • + /г)] - 1} Ач ... 1г = 0,(46.14)
где г — ранг тензора А. Для тензоров четного ранга оно, таким образом, вообще не отличается от условия инвариантности относительно простой оси того же порядка. У тензоров же нечетного ранга, инвариантных относительно группы N, отличны от нуля лишь ком*
поненты, для которых частное от деления суммы индексов на порядок оси есть полуцелое число
^(G+-..+M = ±4. ±|, ±|,... (46.15)
Действительно, квадратная скобка в уравнении инвариантности (46.14) при нечетном г обращается в нуль при этом, и только при этом условии.
Обобщение выведенных условий инвариантности на псевдотензоры не представляет никакого труда.
Если у тензора отличны от нуля только такие циклические компоненты, сумма индексов которых равна нулю, то тензор, очевидно, инвариантен относительно любой группы поворотов, потому что условие инвариантности выполняется для него при любом N. Но это значит, что данный тензор инвариантен относительно предельной группы оо, и ясно, что только такие тензоры и обладают этим свойством. Этот результат не только дает возможность найти общий вид материальных тензоров для текстур, но также позволяет доказать одну из важнейших теорем теоретической кристаллофизики.
Теорема Германа. Если тензор ранга г имеет ось симметрии порядка N и г < W, то этот тензор имеет и ось симметрии бесконечного порядка (Hermann, 1934; Герман, 1945).
Доказательство этой теоремы очень просто. Так как циклические индексы принимают лишь значения —1, 0, 1, сумма индексов для любой компоненты по абсолютной величине не превышает ранга тензора г. Если г < N, то для выполнения условия инвариантности необходимо, чтобы эта сумма для отличных от нуля компонент равнялась нулю. А это и значит, что тензор имеет ось симметрии бесконечного порядка.
Теорема Германа находит многочисленные применения. Материальные тензоры второго ранга для кристаллов средней категории имеют, согласно этой теореме, ось бесконечного порядка; изучая диэлектрические свойства кристаллов, мы сталкивались уже с этим обстоятельством. Все тензоры второго ранга для кубических кристаллов изотропны, потому что кубические кристаллы имеют четыре оси третьего порядка; это мы тоже уже видели. Далее, тензоры третьего ранга для кристаллов классов 4, 6 и для текстур класса оо совпадают по форме; также совпадают эти тензоры для кристаллов классов 422, 622 и текстур класса оо2, для кристаллов классов 4mm, 6mm и текстур класса оот. Тензоры четвертого ранга совпадают по форме для подсистем 6/т и оо/т, а также для подсистем 6/ттт и со/тт. Какое значение имеют эти обстоятельства для кристаллофизики, мы увидим позднее, когда познакомимся со свойствами, которые описываются тензорами третьего и четвертого рангов.
Итак, мы умеем выписывать неисчезающие циклические компоненты тензоров, инвариантных относительно групп N и N, а также инвариантных относительно предельной группы оо. Но ведь нужны нам не циклические, а декартовы компоненты тензоров. Возникает потребность в удобном способе преобразования циклических компонент в декартовы. Оказывается, и здесь полезно то обстоятельство, что компоненты тензоров преобразуются как произведения соответствующих координат; именно на этом основан способ, который мы продемонстрируем на примерах.
Условимся об обозначениях. Вместо циклических индексов 1, О и —1 будем опять писать £, 2 и | соответственно. Тензорные компоненты будем обозначать фигурными скобками с коэффициентом, например а{^}; при этом содержимое фигурных скобок указывает, какие индексы имеет данная компонента, а коэффициент — чему данная компонента равна.
С содержимым фигурных скобок можно проделывать тождественные преобразования в соответствии с формулой (46.3), а именно,
Ш = {*+»/} = М+ФЬ
Если в фигурные скобки входит два или более индексов, придется производить умножение; это делается обычным образом с одним усложнением: ни в коем случае нельзя менять местами сомножители, так как это означало бы перестановку индексов. Коэффициент i можно переставлять на любое место и даже выносить за скобки. Например,
{«} = {(^ - ИА (х - iy^ = {хх} - \уу\ - i {ху} -I {ух}.
Скобки {||} непосредственно получаются из предыдущих посредством комплексного сопряжения, т. е. изменения знаков мнимых слагаемых; это уменьшает вдвое число необходимых расчетов. Заметим еще, что подсчитав, скажем, скобки
Ш} = {ххх} + {хуу} + {уху} - {уух} 4
+ i ({хху} - {хух} - {ухх} - {ууу}),
можно сразу выписать также скобки {£|£} и {Щ} — для этого нужно просто сделать соответствующие перестановки и в правой части равенства: для получения {gt£} нужно поменять местами второй и третий индексы во всех скобках правой части, а для получения {|^} — первый и третий.
Рассмотрим пример: подсчитаем тензор третьего ранга, инвариантный относительно поворотов вокруг оси третьего порядка. Запишем его в виде g=a {566)4-3{^}+6i {«z}4-6i {«z}4-62 {^}4-
4-5» {U) 4-6» {гШ 4-6» {2^} 4-8 {222}.
Здесь выписаны все неисчезающие его компоненты; а, о, bx> bv .., — произвольные комплексные коэффициенты. Раскрыв скобки, получим
g=(а+а) ({ххх} - {хуу} - {уху} — {уух}) +
+1 (а — а) ({ууу} — {хху} — {хух} — {ухх}) +
+ (6i+5i) ({xxz} + {yyz}) + < фх — b^ ({хуг} - {ухг} ) +
+ (62 + 52) ({хгх} + {угу})+< (6 -6a) {xzy} —{угх}) +
+ (6з+53) {zxx} + {zyy}) + i (63—63) ({zxy} — {zyx}) + d {zzz}.
Очевидно, коэффициенты перед фигурными скобками, составленными из индексов х, у, г, — соответствующие компоненты в декартовых координатах. Если тензор g веществен, то а и б, Ьх и Ьх и т. д. — комплексно-сопряженные числа, так как они служат коэффициентами при комплексно-сопряженных фигурных скобках. Многие из компонент оказались связанными между собой. Действительно,
полученное равенство означает, что отличны от нуля компоненты
[ххх] = — [хуу] = — [уху] = — [уух]
или
5111 = 5122 =
— 5212 = — 5221,
\9W\ = — [хху] = — [хух] = — [ухх]
или
5222= — 5112 =
— 5121 = — 5211»
[xxz] = [yyz]
или
5113 = 5223,
[xyz] = — [yxz]
г ли
5123= —5213,
[xzx] = [yzy]
или
5131 = — 5232»
[xzy] = — [yzx]
или
5132 = — 5231,
[zxx]= [zyy]
или
5зп = 5322,
[zxy] = — [zyx]
или
5312= —5321,
[zzz]
или
5ззз-
Таким образом, из 21 отличной от нуля компоненты всего 9 независимых.
Рассмотрим гензор d, также инвариантный относительно группы 3, но, кроме того, симметричный по второму и третьему индексам. У него отличны от нуля компоненты:
^111 = — ^122 = — ^212 — — ^221,^222 = — ^112 = — ^121 = — ^211»
^113 = ^131 = ^223 = ^232»^123 = ^132 =— ^213=— ^231»
^811 = ^322»^333*
Их всего 19, и 6 из них независимы.
Наконец, симметричный по всем индексам тензор f, инвариантный относительно той же группы, имеет отличные от нуля компоненты:
/111 =—/122 = —/212= — /221» /222= — /112= — /121 = — /211»
/113 = /131 = /зп = /223 = /322 = /232» /ззз*
Их всего 15, независимых же из них лишь 4.
Не представляет труда построить соответствующие тензоры, инвариантные относительно группы 32 или 3m. Для этого нужно лишь отсеять те компоненты, которые обращаются в нуль вследствие требования инвариантности относительно 2Х или тх соответственно. Так, для группы 32, воспользовавшись табличкой, выписанной специально для тензора третьего ранга в предыдущем параграфе, найдем отличные от нуля компоненты тензора g:
5111 = — 5122 = — 52125221»
тензора d:тензора d:5123 = —5218» 5182= — 5281» 5312 =— 5821»
тензора d:
тензора d:
^Ш = — ^122= — ^212= — ^221»^123= ^132 —^213 = — ^281
и» наконец, тензора f:
f111 = — /122 = — /212 = — /221*
Другой способ построения тензоров, инвариантных относительно групп тригональной и гексагональной систем см. Fumi (1952а, Ь); Fieschi and Fumi (1953).
Применение теории представлений групп
к вопросам симметрии тензоров
Многие проблемы, связанные с симметрией тензоров, решаются с помощью специальных математических методов, основанных на более глубоких результатах теории групп (точнее — одного из ее разделов, называемого теорией представлений групп). Эти методы в последнее время широко применяются во всех отраслях теоретической физики, в которых необходимо учитывать симметрию исследуемых объектов: в теории молекулярных и кристаллических спектров, в теории элементарных частиц, в теории ядерных реакций и т. д.
Здесь мы приведем без доказательства только два результата, касающихся симметрии тензоров. Первый из них — способ построения тензора, инвариантного относительно заданной кристаллографической группы G, посредством усреднения тензора по группе: на общий тензор А заданной внутренней симметрии нужно подействовать всеми операциями симметрии g, входящими в группу G, и подсчитать среднее арифметическое всех полученных результатов:
<a>o=wt2^a-(47Л>
geG
Если группа G имеет два генератора, удобнее усреднить тензор сначала по ее подгруппе Нъ определяемой одним генератором, а потом результат первого усреднения усреднить по подгруппе Н^ определяемой другим генератором. Порядок последовательных усреднений значения не имеет. Например, тензор, инвариантный относительно группы 422 (ее генераторы 4Z и 2Х\ можно подсчитать как в порядке
<А>4 = 4(А + ^А + 2Л + ^А).
<а>4М=4«а>4+^<А)4).
так и в порядке
<А>2 = 1(А + 2,А).
(А)422 = -^ ((А)г + 4z к^К + 2г <А>2 + 4’ (А)2).
Второй важный результат, получаемый с помощью методов теории представлений групп, состоит в том, что удается подсчитать
число независимых компонент тензора заданной внешней и внутренней симметрии, не вычисляя при этом самого тензора (Bhagavantam and Suryanarayana, 1949; Jahn, 1949) ). Оно равно усредненному по кристаллографической ) группе G значению характера Хт соответствующего тензорного представления Т:
<Хг>о=л^- = 2 <47-2> geG
Этим методом были обнаружены ошибки, допущенные в свое время при вычислении тензоров пьезооптических коэффициентов (см. § 77 и табл. Д. 19) и в течение тридцати пяти лет не замеченные позднейшими исследователями.
В табл. 47.1 приведены числа независимых компонент тензоров и псевдотензоров различной внешней и внутренней симметрии до восьмого ранга включительно. В табл. 47.1а содержатся тензоры и псевдотензоры четного типа, а в табл. 47.16 — нечетного. В первой все 39 кристаллографических и предельных групп объединены в подсистемы, поскольку общий вид тензора четного типа, инвариантного относительно кристаллографической или предельной группы, одинаков для всех групп, входящих в одну подсистему. Таких подсистем 14 (И кристаллографических и 3 предельные). Во второй же таблице указаны только нецентросимметричные группы, так как тензорные величины нечетного типа, инвариантные относительно центросимметричных групп, тождественно равны нулю. Нецентросимметричных групп 25 (21 кристаллографическая и 4 предельные).
В таблицах указано не только число независимых компонент тензора, но и число его независимых инвариантов, когда оно отличается от числа независимых компонент. В этих случаях подсистеме в табл. 47.1а или группе в табл. 47.16 соответствуют две строки чисел: в верхней приведены числа независимых компонент, в нижней — числа независимых инвариантов.
Разность между числом независимых компонент и числом независимых инвариантсв равна числу параметров, необходимых для задания ориентации данного тензора относительно координатной системы. Так, у вектора всего один независимый инвариант — его длина. В кристаллах, имеющих ось симметрии, материальный вектор должен совпадать с ней по направлению. Этим требованием полностью определяется ориентация вектора относительно координатной системы. Поэтому число независимых компонент вектора для этих классов равно числу его независимых инвариантов, т. е. единице. В кристаллах класса пг материальный вектор лежит в
Таблица 47.1а
Число независимых компонент и независимых инвариантов тензоров четного типа
Точечные группы
11I
W«*1—11—1
Q ^ Q ш«« <о <о Q ^ ^ S
оо oom, оо оо
m3m, 432, 43т
m3, 23
со!пгт, сот, оо2
со/m, оо
6/ттт, 622, бтт, 6т2
6/т, 6, 6
4/ттт, 422, 4тт, 42т
4/т, 4, 4
Зт, 32, Зт
3, 3
ттт, 222, mm2
2/т, 2, т
L 1
1001100010112
1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 2 2 3
1001111121233
1012200131345
1112312471365
1012200131345
1112312471365
1012200132456
3 5 8 7
111 2 3 1 2 4 7
2 4 7 6
1012211242466
346935 10 7
1112 3
23582496
1 023311363699
34534813591613
1 1
23423712481512
35697 10 18 27915 30 21
1
12364 7 15 24612 27 18
Таблица 47.1а (продолжение)
Точечные группы
Г—1
9
i
£
со сот» со со
2
3
2
3
0
0
0
0
0
1
1
3
т^т» 432, 43m
3
4
3
4
0
0
1
1
1
3
3
6
/пЗ, 23
4
5
5
7
0
1
3
4
4
7
8
13
со/mm» сот» оо2
6
8
7
10
0
0
2
3
3
7
8
15
со/m» оо
8
11
12
19
1
3
7
10
11
16
20
32
6/ттт, 622, бтт, 6т2
6
8
7
10
0
0
2
3
3
7
8
15
6/т» 6, 6
8
11
12
19
1
3
7
10
11
16
20
32
А1ттт» 422, Атт» 42m
7
9
8
11
1
1
4
5
5
10
11
19
Ajm, 4, 4
10
13
14
21
3
5
11
14
15
22
26
40
9
12
13
20
2
4
10
13
14
21
25
39
3m, 32, 3m
8
10
10
14
1
2
6
8
8
14
16
26
3, 3
12
15
18
27
3
7
15
20
21
30
36
54
11
14
17
26
2
6
14
19
20
29
35
53
ттт» 222, mm2
12
15
15
21
2
3
9
12
12
21
24
39
2/m, 2, m
20
25
28
41
5
9
21
28
29
44
52
80
19
24
27
40
4
8
20
27
28
43
51
79
I, 1
36
45
54
81
11
21
45
60
63
90
108
162
33
42
51
78
8
18
42
57
60
87
105
159
Таблица 47.1а (продолжение)
Точечные группы
ГГIУ
«о""1и^еГ1еГ*еГ*«*^1—1С1^L»Г
QU-JU-J1—11—11—1СОСОСОQL—1u-1
оо oom, оо со
m3m, 432, 43m
m3, 23
со/тт, сот» оо2
со/т» со
д/ттт» 622, бтт» 6т2
6jm» 6, 6
4/ттт» 422, 4тт» 42т
4/т, 4, 4
Зт» 32, Зт
3, 3
ттт» 222, mm2
2/т» 2, т
1, 1
0 113 2 4 5 0 0 0 0 112
1 346 691200214610
2 468 91320126151016
1 469 10162300315814
1 4910 1422381410151220
2 5710 111724115271219
3 61112 1624403614392030
2 51011 1523392513281929
2 61012 152232128391626
3 81716 24345638205132844
2 71615 23335527194122743
3 71214 18264024123102032
5 102120 304272512285153656
4 92019 294171411274143555
4 101820 27396036185153048
7 163332 4868112716409255688
6 153231 4767111615398245587
13 286356 901262161536841745108168
10 256053 871232131233811442105165
Точечные группы
X
СО ОО 432 43m 23 оо 2
оо т со 622 6mm 6m2
6
6
1001 1000101 12200000113000
1001 10001 1223300111336002
0000011110010101233457124
10011111212334013447813126
10122001313456002337815003
01001 1234002021358791217147
1 1 123 1 2 4 7 1 3 6 5 8 1 3711101620321410
10122001313456002337815115
01001 1234002021358791217259
000001111 1. 1212124557811137
3 614
1 1 1231247136581371110162032
2 513
2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4 810101416222614
0 0 0 0 0
11111131313799 13 15 21 1 5 13
Таблица 47.16
Число независимых компонент и независимых инвариантов тензоров нечетного типа
СИММЕТРИЯ ТЕНЗОРОВ ВЫСШИХ РАНГОВ(ГЛ. V
Точечные группы
II IIII г- гр
Q।"м—
W II?|—|7х,^
«Qyy*yQ^^^^yш*усоу Q ^Q ^^
422 4тт 42m
4
4
32 3m
3
222 mm2
2
tn
1
1012200132456711455101119128
010011234113132471091215212612
0 0 111112312435125771113202410
358710351115142226403820
111231247
24769241014132125392719
22222 46 24 86 10 24 10 14 142226404820
0 0
11111351375913913132125393719
10122112424668126881416262412
0100123451141425913121620283816
346935107123715212030365451228
1112 3
23582496112614201929355341127
10233113636991223912122124393618
011122357237483612171623284141022
34534813591613205921292844528071640
1 1
23423712481512194820282743517961539
2224461014461481661224343246568282044
0
11133591335137155И23333145558171943
3569710Г827915302136112145636090108162153684
1
123647152461227183381842605787105159123381
Таблица 47.16 (продолжение)
§ 47]ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ГРУПП
to
3
плоскости симметрии, и требуется один параметр, указывающий его направление; поэтому число независимых компонент возрастает до двух. Наконец, в классе 1 направление вектора ничем не ограничено, и для его задания нужны два параметра; соответственно число независимых компонент возрастает до трех.
Другой пример — симметричный тензор второго ранга [V2]. Независимыми его инвариантами можно считать, например, собственные значения — они вполне определяют форму и размеры указательной поверхности тензора. В кристаллах высшей категории указательная поверхность — сфера; она характеризуется единственным инвариантом; задавать ее ориентацию, естественно, не нужно. В кристаллах средней категории указательная поверхность представляет собой поверхность вращения и задается двумя инвариантами. Для ее ориентации достаточно было бы указать направление оси вращения, но оно совпадает с главной осью симметрии кристалла, поэтому и в этом случае число независимых компонент равно числу независимых инвариантов — двум. В кристаллах низшей категории указательная поверхность характеризуется тремя независимыми инвариантами. Чтобы задать ее ориентацию, достаточно указать расположение ее осей симметрии. В кристаллах ромбической системы они совпадают с осями симметрии кристалла, так что для ориентации указательной поверхности дополнительных параметров не требуется. В кристаллах моноклинной системы для этого необходим один дополнительный параметр, характеризующий поворот указательной поверхности вокруг оси второго порядка или нормали к плоскости симметрии кристалла, так что число независимых компонент возрастает до четырех. В кристаллах триклинной системы для ориентации указательной поверхности относительно системы координат нужны три дополнительных параметра и число независимых компонент равно шести.
Из табл. 47.1 можно сделать некоторые выводы о виде тензоров, инвариантных относительно заданных групп, а также о симметрии тензоров и тензор-функций.
Если число независимых компонент у двух тензоров различной внутренней симметрии, инвариантных относительно одной и той же кристаллографической или предельной группы, одинаково и одна из групп внутренней симметрии является подгруппой другой, то общий вид этих тензоров одинаков. Таковы, например, тензоры V2 и [У2], инвариантные относительно группы ттт. Если тензор второго ранга инвариантен относительно этой группы, он обязательно симметричен по индексам. Табл. Д.6 это подтверждает.
Если число независимых компонент у тензоров данной внутренней симметрии, инвариантных относительно двух групп, одинаково и одна из этих групп является подгруппой другой, то общий вид этих тензоров одинаков. При этом, естественно, одинакова симметрия тензоров и симметрия тензор-функций.
Если число независимых инвариантов у материальных тензоров двух групп одинаково и одна из групп является подгруппой другой, то группы внешней симметрии этих тензоров совпадают. Если при этом числа независимых компонент различны, то группы внешней симметрии тензор-функций также различны. Число независимых инвариантов связано, таким образом, с симметрией тензора, а число независимых компонент — с симметрией тензор-функции. Так, совпадение числа независимых инвариантов тензора [V2] для ромбической, моноклинной и триклинной систем показывает, что внешняя симметрия тензора [V2] для всех этих систем одинакова и равна ттт. Внешняя же симметрия тензор-функции [V2] для этих трех систем, напротив, различна и равна соответственно ттт, 2/т и 1. Совпадение числа независимых инвариантов тензора [[V2]2] для высшей и низшей подсистем тетрагональной системы показывает, что внешняя симметрия этого тензора для обеих подсистем равна Мттт. Симметрия же тензор-функции [[V2]2] для низшей и высшей подсистем различна, так как числа независимых компонент для них не совпадают.
Можно привести и другие примеры, когда подсчет числа независимых компонент и числа независимых инвариантов показывает, что группы внешней симметрии тензора и соответствующей тензор-функции не совпадают. Некоторые случаи несовпадения групп симметрии тензора и тензор-функции приведены в табл. 47.2.
Символами Dr в табл. 47.1 обозначены неприводимые тензоры ранга г — это симметричные по всем индексам тензоры, все следы которых равны нулю. Так, D^ — символ симметричного тензора второго ранга Т, след которого Ти = 0; О3 — символ симметричного по всем индексам тензора третьего ранга, удовлетворяющего условиям Т/уу = TjM = 7^ = 0 Неприводимыми они называются потому, что преобразуются по неприводимым представлениям группы вращений ). Неприводимые тензоры первых четырех рангов имеют специальные названия: вектор, девиатор, септор, нонор (Схоутен, 1965).
В табл. 47.3 даны перечисленные неприводимые тензоры нечетного типа, различные по внешней симметрии (Сиротин, 1974). Тензоры четного типа для каждой подсистемы имеют такой же вид, как тензоры нечетного типа для энантиоморфного класса той же подсистемы, что и использовано в таблице. Тензорам нечетного типа для неэнантиоморфных классов соответствуют тензоры четного типа, отличающиеся от других тензоров той же подсистемы группой антисимметрии — она также отмечена в табл. 47.3 (об антисимметрии тензоров см. §§ 67, 68).
Таблица 47.2
Случаи, когда симметрия тензор-функции ниже симметрии тензора
S
G
т
G^
п
S
G
т
Gto
п
V
сот
1
1
3
Уз
6т2
1
6
2
т
2
[1/4]
Зт
4
3
5
еУ
со/т
1
I
3
4]ттт
4
4/т
5
[V2]
ттт
3
I
6
8[V4]
32
4
3
5
2]т
4
422
4
4
5
8[V»1
222
3
1
6
6/п2
1
6
2
2
4
П^2]2]
Зт
6
3
7
42т
1
т
2
41 ттт
6
4/т
7
4
2
е [[V2]3]
32
6
3
7
[^1
mm2
3
2
4
422
6
4
7
Зт
3
3
4
6т2
1
6
2
43т
1
4
2
[У5]
Атт
4
4
5
6т2
1
6
2
[1/0]
^1ттт
5
^(т
6
V [У2]
Обо ции, S — I и компоне
6т2
з н а ч е н и 'руппа их в ;нт соответс
1
я. G и шутрени твенно.
6
6°-гр left сим1
2
|уппы I иетрии
[1/7]
знешней сик , т и п — i
бтт
!метрии тен 1исла незав!
5
зора и 4СИМЫХ
6
тен зор-4 инвариг
6
зунк- 1НТОВ
Т а б л и ц а 47.3
Неприводимые тензоры различной симметрии
D
Девиаторы и псевдодевиаторы
D
123
3m
3 || X3, m 1 X]
0 0 0
—с c 0
—e —e 2e
si
3
3m'
1 лп
1 222
2
32||X1,X2,X3
42m
4 II X3, 2 || X,
ттт
|— b 0
—a 0 0
| a 0
6m2
6 || X3, m ± Xi
0 0 0
—с c 0
0 0 0
0
3m
&/ттт
ШПИН |
4] ттт
co m
co||X3
0 0 0 0
0 0 0
--e —e 2e
co/m
co] mm’
со)тт -
—a 0 0
|. —a 0
| 2a
co 2
co |l X3
43m
4 || Xv X», X3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
g
m3
m3mr
S
Септоры и псевдосепторы
S
112233 23
Ноноры
N 112233
и псевдононоры
231312
N
I
I 2
3
a-V-b —а —Ь
—с c-\-d —d _е —f e+l
g
1
b-\-c —c —b d-\-e —g —h
1 |c+a —ci —d f+g —k I a-^-b —e —f h-V-k
11
22 I
33
т.
т|| Х2
a-\-b —a —b
000
-e -f e+f
0
1
2' Im’
2/m|
—c —b 0 —g 0
c+a —a 0 /+^f 0
1 a-\-b 0 —f 0
2
2 II X.
mm2
2 || Х3, т 1 Xi
0 00 1
0 00
-e -fe+f
01 2/m
2/тт,т’
1I 0 0 0 d+e 0 — h
I'lm' 10 0 —d. 0 —h
-jO —e 0 h+k
m
m JL Xt
t
Таблица 47.3 (продолжение)
Ь + с- ттт с-
-с—Ь ООО
-а —а ООО а-^-b ООО
222
2||Xi,X2,X3
4] ттт | 0 0 0 0 0 — h ~[0 0 0 0 h
Wjmm'm | 0 0 0 0
4тт
4 || Х3, т j_ Xi
ттт | —а 0 а 0 0 0 | а —а 0 0 0
4'/ттт'| 0 0 0 0
42m
4 || Х8,2 || X,
11т|оОООО —к
~|о 00 0 —к
2
2 || Х3, т _L Xj
2[тт т
|000Л + ^
Зт| 0 0 0 0 —g 0
“]0 0 0 g 0 д'/т'т'т 10 00 0
dm2
6 || Х3, т ± Xi
|—Зс —с 4с d0 0
32
3 || Х3, 2 || Xi
ЗтJ —Зс
; 4с — d 0 0
|—8с 0 00
| —Зс —с4с 0 0 0
со[тт | —Зс 4с 0 0 0 | —8с 0 0 0
со 2
со I, Х3
422
4 II Х3.2ЦХ!
a-t-c
4 [ттт.
—с —а и и и а4-с—аОО 0 2а000
| 2а — а —аО 0 0
тЗт | 2а —а 0 0 0
| 2а 0 0 0
432
4 || Хь Х2, Х3
Многие из перечисленных в табл. 47.3 тензоров имеют всего один независимый инвариант; таковы, например, девиаторы симметрии oolmm, псевдодебиаторы оо2 и 42/и, септоры 43zn, oom, 6т2. Указательная поверхность каждого такого тензора имеет совершенно определенную форму, и только размер ее может быть различен в зависимости от величины иь варианта. Если такая поверхность не выходит за пределы сферы единичного радиуса и касается ее своей положительной (или соответственно правой) частью, назовем ее и изображаемый ею тензор единичными. На рис. 47.1 приведены сечения указательных поверхностей единичных тензоров и псевдотензоров, имеющих ось оо, а на рис. 47.2—47.6 — проекции указательных поверхностей других единичных тензоров и псевдотензоров (Бутабаев и Сиротин, 1975). Отличные от нуля компоненты этих тензоров и уравнения их указательных поверхностей выписаны в табл. 47.4. Заметим, что уравнения указательных поверхностей единичных неприводимых тензоров Db имеющих ось
Рис. 47.1. Сечения указательных поверхностей единичных тензоров: а) вектора V0 [oom] и псевдовектора V0 [оо/т], б) девиатора D° [oo/mm] и псевдодевиатора D® [оо2], в) сеп- тора S° [oom] и псевдосептора S® [oo/m], г) нонора № [oo/mm] и псевдононора "n° [оо2]. У псевдотензоров положительные и отрицательные части заменяются правыми и левыми (Бутабаев и Сиротин, 1972).
Рис. 47.2. Стереографическая проекция указательной поверхности единичного псевдодевиатора D° [42m]; положительные цифры соответствуют правым частям, отрицательные — левым Такой же вид имеет стереографическая проекция указательной поверхности единичного девиатора симметрии ттт и антисимметрии 4*/т'тт6 (см. § 68).
Рис. 47.3. Стереографическая проекция указательной поверхности единичного сеп- тора 5° 1бт2] и псевдосептора S° L3m],
Тензоры и их ориентация
Ненулевые компоненты
Уравнение указательной поверхности
V0 [оо т], V0 [оо/m], оо || Х3
D° [oo/mm], D® [со 2], оо || Х3
D® [42m], 4 || Х3, 2 || Хг
S® [оо m], S® [оо/т], оо || Х3 S«[43m], §®{тЗ], 2 || Хъ Х2, Х3
So [43т], §о [m3], 3 || Х3, 2 || X,
S°[6m2], So [Зт], 3 || Х3, т J. X, № [оо/тт], N® [со 2], оо || Х3
N°[m3m], N®[432], 4 || Х„ Х2, Х3
N” [тЗт], N° [432], 3 || Х3, 2 || Хх
N® [42т], 4 || Х3, 2 || X,
Обозначения см. в табл. 47.3.
и§=1
D»u=D^=-l/2, D»3 = l
D«n = l,D^=-l
*5зЗЗ=1>$118 е $228 =1/2
5?23 = /зД
^333 =^’$113= $223 =1/2,
S?12=l//2;S»22 = -l//2
$112= Ь S«22 = -l
^1111 — ^2222 = 3/8, /^3333 ”1#
M?122=l/8, N»1S3 = N^==-i/2
/^1111 = ^2222 = ^3333 = b ^2233 = ^3311 = ^1122 =1/2
/^1111 = ^2222 =1/4, ^3333” 2/3,
Nom = -№, /V?133 = ^o233 = l/3, /V?123 = 5/2/6, /Vo223 = -5 /2/6 /^1111 = ^2233 = ^/9, /^2222 = /^1133 =7/9
r = cos -0*
r = (l/4) (1+3COS2^)
r = (l/2) (1 —cos 2'0*) cos 2q>
r = (1/8) (3 cos '0*+5 cos 3-0*)
r = (з /3/8 ) (cos ti—cos З-д*) sin 2ф r = (1/8) [3 cos 'd,+5cos 3-0*+
+ /2 (3 sin '0*—sin 3-0*) sin Зф] r = (1/4) (3 sin '6*— sin З-д-) sin Зф г = (1 /64) (9 + 20 cos 20*+35 cos 40*)
r = (1/64) [9 4-20cos20*4-35cos40*4-
4-5 (3—4 cos 20* 4-cos 40) cos 4ф] r=— (1/96) [9 4-20 cos 20 4-35 cos 40* —
— 20/2 (2 sin 20*— sin 40*) sin Зф]
r = — (7/72) (3 4- 4 cos 20*—
— 7 cos 40*) cos 2ф
Единичные неприводимые тензоры и их указательные поверхности
СИММЕТРИЯ ТЕНЗОРОВ ВЫСШИХ РАНГОВ[ГЛ.
оо, выражаются полиномами Лежандра Pz порядка I (см. Янке, Эмде, Леш, 1968): г — Pt (cos О). На указательных поверхностях
Рис. 47.4. Стереографические проекции указательной поверхности единичного септора S0 [43/п] и псевдосептора~S° Lm3]: а) в стандартной («кубической») установке 4 ]J Xi Ха, Хз;
6) в «ромбоэдрической» установке 3 || Хз, т 1 Xi.
Рис. 47.5. Стереографические проекции указательной поверхности единичного нонора № [тЗт] и псевдононора № [432]: а) в стандартной («кубической») установке 4 ||Х1,Хя, Хз? б) в «ромбоэдрической» установке 3|| Хз, 2|| Xi.
хорошо видны симметрия и антисимметрия единичных неприводимых тензоров, экстремумы их нормальных составляющих, а также изотропные плоскости. На стереографических проекциях они
проявляются в виде линий уровня, совпадающих с -большими кругами (в частности, с кругом проекции, когда ось изотропии выведенапроявляются в виде линий уровня, совпадающих с -большими кругами (в частности, с кругом проекции, когда ось изотропии выведенаРис. 47.6. Стереографическая проекция указательнойповерхности единичногоРис. 47.6. Стереографическая проекция указательнойповерхности единичного
проявляются в виде линий уровня, совпадающих с -большими кругами (в частности, с кругом проекции, когда ось изотропии выведена
проявляются в виде линий уровня, совпадающих с -большими кругами (в частности, с кругом проекции, когда ось изотропии выведена
Рис. 47.6. Стереографическая проекция указательнойповерхности единичного
Рис. 47.6. Стереографическая проекция указательнойповерхности единичного
псевдононора№ [42ml; положительные
цифры соответствуют правым частям, от-рицательные — левым.
в центр проекции, или с диаметром, когда ось изотропии выходит на круг проекции). Так, рис. 47.5 показывает, что для № [тЗт] изотропны плоскости {111} (на рис. 47.5,6 одна из них выведена на круг проекции); на этих плоскостях г = = —0,25.
О других применениях теории представлений групп в кристаллофизике, особенно в теории фазовых переходов и в теории колебаний кристалла (и обусловленных ими спектров поглощения и комбинационного рассеяния), см. Багавантам и Венката- райуду (1959); Вигнер (1961); Хейне (1963); Ландау и Лифшиц (1974, 1976); Хамермеш (1966); Каплан (1969); Сущинский (1969); Нокс и Голд (1970); Штрайтвольф (1971); Bhaga- vantam (1966).
Изотропные и гиротропные тензоры
Изотропными называются тензоры, инвариантные относительно группы оосот, а гиротропными — инвариантные относительно группы оооо. Ясно, что только такие тензоры и могут описывать свойства изотропных и гиротропных сред. Однако метод прямой проверки Фуми к таким тензорам вообще неприменим, а применение к ним метода усреднения по группе довольно затруднительно, так как связано с интегрированием по группе. Между тем изотропные и гиротропные тензоры и псевдотензоры легко выводятся с помощью теории алгебраических инвариантов.
Очевидно, любой тензор вида
6/1/26/з/4 ... blr_xlr(48.1)
изотропен, как и все его изомеры. Изотропна, следовательно, и любая линейная комбинация таких изомеров. Справедлива и обратная теорема: любой изотропный тензор ранга г можно представить как линейную комбинацию всевозможных изомеров тензора (48.1) (Гуревич, 1948) ). Эта теорема полностью решает вопрос о построении общего вида изотропных тензоров.
Вее изотропные тензоры второго ранга имеют вид
(48.2)(48.2)Т^ = аЬц.
(48.2)
(48.2)
Так как тензор Кронекера 6Zy симметричен по индексам, внешняя симметрия оооопг тензора второго ранга уже предопределяет внутреннюю симметрию [У2] этого тензора ).
Изотропный тензор четвертого ранга — линейная комбинация трех изомеров тензора 6/у6Л/:
Т ijki = ^6/убд/ + b&ik&fi+сб^бу^.(48.3)
Все отличные от нуля компоненты этого тензора
Т1111 — Т2222 — 7зззз — я + b + £>
(48.4)(48.4)72233 — 73311 — 7 1122 — Т3322 “ 71133 — Т22Ц — ^,
(48.4)
(48.4)
Т2323 — Т 3131 — Т Ш2 — Т3232 — Т1313 — Т 2121 — Ь, Т2332 = Т 3113 = Т1221 = Т3223 = Т1331 = Т 2112 = С
связаны между собой соотношением
7цц— 72233 + 72323 + 72332.(48.5)
Внутренняя симметрия этого тензора характеризуется равенствами
ТцнТцн= 7 му= 7 му= TjUk= TjUk— Т ikц.— Т ikц.(48.6)(48.6)
Тцн
Тцн
= 7 му
= 7 му
= TjUk
= TjUk
— Т ikц.
— Т ikц.
(48.6)
(48.6)
В теоретической кристаллофизике применяются тензоры четвертого ранга внутренней симметрии [[V2]2], [V2]2, [V4] и ИР]. Выведем общий вид соответствующих изотропных тензоров.
Изотропный тензор четвертого ранга, инвариантный относительно перестановки двух первых индексов, двух последних индексов, а также первой пары индексов со второй их парой, кроме равенств (48.6), должен удовлетворять еще равенству Tijkl = Tjiku а для этого необходимо, чтобы b = с. Поэтому общий вид изотропного тензора внутренней симметрии [[V2]2] таков:
7ijki = а6ц6к1 + b (8ik8/i + 6ubjk\ (48.7)
Внутренняя симметрия [V2]2 ниже, чем [[V2]2], т. е. каждый тензор, инвариантный относительно группы внутренней симметрии
ПИ2]2], инвариантен и относительно группы [V2]2. Однако табл. 47.1 показывают, что число независимых компонент у изотропных тензоров внутренней симметрии ПИ2]2] и [V2]2 одинаково (и равно 2). Из сопоставления этих двух фактов следует, что и общий вид этих тензоров одинаков. Поэтому общий вид изотропных тензоров внутренней симметрии [И2]2 также характеризуется формулой (48.7).
По тем же причинам формула (48.7) применима и к изотропным тензорам внутренней симметрии V2[V2].
Совершенно аналогично находим общий вид изотропных тензоров внутренней симметрии [V4] и ИУ3]:
Т tjhi = я (б/уб^ + ^ik^ji + ^u^jkY(48.8)
Общий изотропный тензор шестого ранга представляется линейной комбинацией 15 изомеров. Приведем, например, вид изотропного тензора внутренней симметрии [[V2]3]:
Lijklmn = ^Ij^kl^mn + Ь (Sifikm^ln + бц^кгАт +
+ ^im^kl^n + ^in^kl^m + 6ik6ji6mn + 6и6рг6тп) + C (^ik^Jm^ln ++ 6ik&fn6im + 6ц^т6кп + 6il6jn6km + ^im^Jk^ln + 6/m6y/6*n +
+ Sin^jk^im + б/пбу/б^); (48.9)
коэффициенты а, b, с выражаются через его компоненты:
(48.10)(48.10)Я — Ml2283»Ь — "2 (М12222 М1223з) ,
(48.10)
(48.10)
= "8" (М11111 4" 2М12233 ЗМ12222)*
Изотропные тензоры следующих рангов — восьмого, десятого и т. д. — можно построить тем же методом, однако, в отличие от рассмотренных случаев, число Lr линейно независимых изомеров тензора (48.1) при г^8 меньше общего их числа Nr = r\!2an\ (ранг тензора г = 2п). Поэтому коэффициенты при изомерах однозначно не определяются и возникает дополнительная задача: разложить изотропный тензор на линейно независимые комбинации изомеров тензора (48.1). Аналогичная задача возникает для изотропных псевдотензоров, и метод ее решения рассмотрен ниже на примере простейшего из них.
Изотропные псевдотензоры имеют, в отличие от изотропных тензоров, нечетный ранг. Любой изотропный псевдотензор ранга г может быть представлен в виде линейной комбинации изомеров псевдотензора
где S^.r, — псевдотензор Леви-Чивита. Число этих изомеров Nr = = г!/3!2лп!, где ранг г = 2п + 3. В следующей таблице для каждого ранга г выписано число Nr изотропных тензоров вида (48.1)
или изотропных псевдотензоров вида (48.11) и число Lr линейно независимых среди них *):
г=1 2 3 4 5678910,
^ = 0 1 1 3 10151051051260945,
Lr = 0 1 1 3 6153691232603.
Эта таблица показывает, что уже изотропный псевдотензор пятого ранга общего вида нерационально представлять в форме Р ijklm = A^ljk^lm + В^щ^кт + Cbijmbkl + D^ikfijm +
+ Ebikm^jl + F^Um^jk + G^jkl^lm А*Н^кт$11 + K^jlm^ik + Lbklm^ij»
(48.12) потому что выписанные десять изомеров связаны между собой четырьмя линейными зависимостями и коэффициенты Л, ..., L однозначно не определяются. Разложим этот псевдотензор на симметричные и антисимметричные слагаемые:
Р ijklm = P(lj) k (lm) + РиАЬ (М + P(ij)k U™\ + Р^Дк [Zm]. (48.13) Первое слагаемое найдем непосредственно из (48.12):'
P(ij) к (lm) = # $iki6jm + bikm^jl + ^jkl^lm + ^jkm^ilY(48.14)
Для разложения второго слагаемого воспользуемся соотношением дуальности e{V2} VIЙ2] ~ V2[V2]. Поскольку изотропный тензор внутренней симметрии V4V2] определяется формулой (48.7), дуальный ему псевдотензор P[ij]k(im) равен
Р^П к (lm) = ^ijn \b^nk^lm + С (Snl^km + 6nm6kl)l =
= Ь6ук&1т + С ^ijl^km + 6ijm6ki). (48.15)
Точно так же найдем разложение третьего слагаемого
P(ij) к [Zm] = dbkinfiil + ^ ^Um^jk + ^jlm^ikY (48.16)
Наконец, для записи четвертого слагаемого используем соотношение е {V2} V {Й2} ~ eV3. Оно означает, что псевдотензор Р№ к [zm] можно выразить посредством псевдотензора третьего ранга. Так как Р\щкЦт\ изотропен, псевдотензор третьего ранга также изотропен и, следовательно, имеет вид f8pkq. Поэтому
Р{j/lk[lml ~ f^ijр^pkq^qlm = f^ijp $pl^km $pm$kl) = f ($ijfikm ^Ijm^klY
(48.17)
Сложив равенства (48.14) — (48.17), получим для псевдотензора Pijkim разложение
Рijklm = О $ikl^jm 4? ^ikm^jl 4" ^jkl^im 4“ ^jkm^il} 4” bbyk^lm +
+ (c + /) 6щ6кт + (c — f) бутбы + dbhimby + 6 ^ilm^Jk + Ьцщ^ц,) , (48.18)
*) Для вычисления Lr используются методы теории представлений групп.
определяемое, в отличие от (48.12), шестью независимыми коэффициентами а, ..., f. Смысл проведенных преобразований в том, что разложение псевдотензора Pij^m на симметричные и антисимметричные слагаемые позволило применить к последним соотношения дуальности, которые и дали возможность записать его без лишних коэффициентов.
Так как группа вращений оооо — подгруппа ортогональной группы оооот, все тензоры и псевдотензоры, инвариантные относительно ортогональной группы, т. е. изотропные, инвариантны также и относительно группы вращений. Но есть и такие тензоры, которые инвариантны относительно группы вращений, но не инвариантны относительно ортогональной группы. Такие тензоры будем называть гиротропными. Все они имеют нечетный ранг. Любой гиротропный тензор ранга г может быть представлен в виде линейной комбинации изомеров тензора
eW36V» ••• (48.19)
антисимметричный по всем трем индексам гиротропный тензор е подробно описан в § 42.
Наконец, гиротропные псевдотензоры имеют четный ранг; любой такой псевдотензор ранга г может быть представлен в виде линейной комбинации изомеров псевдотензора
(48.20)
где ф — единичный псевдоскаляр, равный 1 в правой системе координат и — 1 — в левой.
Формулы (48.11) и (48.19) линейны относительно псевдотензора 6/;ft и тензора eijh соответственно. Это объясняется тем, что квадратичные комбинации, составленные из этих величин, согласно теореме об изотропных тензорах, выражаются через тензоры Кронекера. Именно для псевдотензора Леви-Чивита справедливы формулы
6/z Slm fyn
SijkSimn —
Sji Sjm 6jn
,(48.21)
Ski Skm 6kn
SijmSklm = ^Ik^jl " Sifij^(48.22)
Sikfijki = 26/;,(48.23)
6* = 6.(48.24)
Те же формулы справедливы и для аналогичных квадратичных комбинаций, составленных из компонент тензора ^. Формулы (48.21) — (48.24) могут быть использованы и для смешанных квадратичных комбинаций: 6Z;^Zmzi, bijmekim и т. п., но правые их части должны быть при этом умножены на единичный псевдоскаляр ф.
По вопросам, затронутым в этой главе, см. Багавантам и Венкатарайуду (1959); Схоутен (1965); Хамермеш (1966); Вустер (1977),
Г Л А В A VI
УПРУГОСТЬ кристаллов
Малые деформации сплошной среды
При деформации сплошной среды — безразлично, изотропной или анизотропной — ее частицы, вообще говоря, смещаются из своих первоначальных положений: частица, находившаяся до деформации в точке г с координатами хь оказывается в результате деформации в точке г' с координатами хь Вектор
u-r' — r, ul = xi — xl (49.1)
называется вектором смещения. Очевидно, задание во всем объеме, занимаемом телом, векторного поля и (г) полностью определяет деформированное состояние тел. Однако для более наглядного описания деформации удобнее воспользоваться другими векторными и тензорными полями, выводимыми из поля смещений. Для того чтобы представить себе деформацию сплошной среды, нужно рассматривать частицу вместе с некоторой бесконечно малой ее окрестностью. Деформацию тела вблизи данной частицы удобно мысленно разложить на три движения: 1) поступательное перемещение частицы вместе с окрестностью из точки г в точку г'; 2) поворот окрестности как твердого тела вокруг некоторой оси, проходящей через частицу, т. е. через точку г'; 3) собственно деформацию, т. е. такое перемещение одних частиц окрестности относительно других, при котором изменяется расстояние между частицами.
Поступательное перемещение частицы вместе с окрестностью определяется вектором и (г). Остальные два перемещения определяются производными вектора смещений по координатам. Эти девять производных образуют несимметричный, вообще говоря, тензор дисторсии у = ди/dr с компонентами ^lk = dujdxk. С помощью транспонированного тензора у * = Grad и можно разложить тензор дисторсии на симметричную часть
==И»+Grad=)-D=r“. '»-Н-£+^)’(49 2)
называемую тензором малых деформаций, и на антисимметричную часть
=<49з)
называемую тенором малых вращений. При деформациях кристаллов, не нарушающих их целостности, все компоненты тензора дисторсий обычно малы: I у« I ^ 1, а следовательно, малы и все компоненты тензоров е и ®. Только такие деформации мы и будем рассматривать.
В окрестности материальной частицы, находившейся до деформации в точке г, смещения равны
и (г 4-6г) = и М"^-^- 6г = а (г) + <» • 6г4-е • 6г,
a i t(49Л)
ut {г 4- 6г) = щ (г) 4- “л ■ бхк = ut (г) 4- (oi66xft 4- е/66х/г.
Здесь й = а (г) и 8 = в (г). Смещения би частиц окрестности относительно избранной нами частицы, находившейся до деформации в точке г, равны
6м(г4-6г) = и (г4-6г)- м (г) = ю ■ 6г4-е-6г,
бщ (г 4- 6г) = ^ (г 4- 6г) — ut (г) = №1кбхк 4- гибхк.'
Как показано в § 42, антисимметричному тензору <в можно поста-о
вить в соответствие дуальный ему аксиальный вектор ф, называемый вектором малых вращений, с компонентами
ф/ = —2" ^^/^/а»(49.6)
о
причем со • бг = ф х 6г. Поэтому
6а (г + 6г) = ф х 6г + е • бг.(49.7)
Чтобы выяснить геометрический смысл тензора малых вращений, предположим, что е (г) = 0. Если 6р — составляющая вектора о
6г, перпендикулярная к вектору ф, то
ба (г + 6г) = ф х 6р; бы = фбр.
Но это значит, что смещение каждой точки г + 6г окрестности пропорционально расстоянию 6р от точки г + 6г до оси, параллельной о
вектору ф и проходящей через точку г. Кроме того, направление этого смещения перпендикулярно как к оси, так и к вектору бр, соединяющему эту ось с данной точкой окрестности. Ясно, что это означает поворот всей окрестности как целого вокруг оси вращения. Нетрудно убедиться также, что угол (в радианах) и направление
этого поворота совпадают соответственно с длиной и направлением о
аксиального вектора ф.
Подставив в (49.6) компоненты тензора малых вращений (49.3), получим
1/ duj дик \1 дик 1 duj
—==^^4k~dx7 ~~^°4k~d^-
Во втором слагаемом переименуем немые индексы, а затем воспользуемся ТОЖДеСТВОМ 6«; = — 6ук.
- ди,- 1 duk 1 дик- Т ^ 1^ == 7бУ6 157*
Итак,
ф/ = убу* ^-, ср = у rot ы.(49.8)
Для выяснения геометрического смысла тензора е положим ш (г) = 0. Тогда би (г + 6г) = е • 6г. Как и всякий симметричный тензор второго ранга, е можно представить в виде е = ^^PiPi + + е(2)РгР2 + е(з)РзРз» где pt • р} = бу. Рассмотрим сначала случай, когда еЦ) = е^0, 8(2) = е(3) = 0. Обозначим рх • 6г = 6хР Очевидно, в этом случае
би (r + 6r) = e6x1pP
Это значит, что смещения всех точек окрестности параллельны вектору Рх и пропорциональны расстояниям соответствующих точек от перпендикулярной к этому вектору плоскости 6хт = 0. Таким образом, в этом случае происходит удлинение в направлении, параллельном рХ) в отношении (1 + е) : 1.
В общем случае, когда все собственные значения тензора е отличны от нуля, происходит наложение таких удлинений в трех взаимно перпендикулярных направлениях, как показано на рис. 49.1.
Рассмотрим, как изменяются расстояния в направлении произвольного единичного вектора п. Для этого нужно рассчитать, как изменяется в результате деформации расстояние от точки г до точки г + бг при 6г = n6s. До деформации это расстояние равно 6s. В результате деформации точка г + п 6s сместится относительно точки г на вектор би = 8 • п 6s. Составляющая этого вектора в направлении п равна п • би = п • е • п 6s. Относительное изменение расстояний в направлении п в результате малой деформации е составляет, таким образом,
2^ = пе-п = гшП1Пк>(49.9)
где п — единичный вектор.
Интересно подсчитать также относительное изменение объема при деформации. Если в окрестности точки г выделить малый прямоугольный параллелепипед с ребрами, параллельными собственным векторам ) тензора е и равными /ь /2» Ц. то в результате
деформации он превратится в прямоугольный же параллелепипед со сторонами /; = (!+ е(1)) 1и /^ = (1 + е(2)) /2, /3 = (1 + е(3)) /3, так что относительное изменение объема
4^ = = О + W(1 +^>) П +еап) -
Если пренебречь квадратичными и кубичными по е(/) членами, то
(49.10)(49.10)-р- _ е(1) + е(2) + е(3) — вкк.
(49.10)
(49.10)
Это выражение, как и следовало ожидать, не зависит от выбора координатной системы, являясь инвариантом тензора деформаций. Легко выразить его и через вектор смещений:
Поучительно подсчитать также изменение в результате деформации угла между двумя единичными векторами р и q, которые до деформации были взаимно ортогональны (р-# = 0). После деформации косинус угла между ними приблизительно равен
cos Ф ^ (р + 8 • р) • (q + е • q) ^ 2р • е • q
(мы воспользовались здесь не только малостью, но и симметричностью тензора е). Таким образом,
»^-^p.».q.(49.12)
Шаровая часть 1/3е/гЛI тензора деформаций е описывает такое же изменение объема, как и сам тензор деформаций, но форма под действием шарового тензора не изменяется: все прямые, которые были ортогональны до деформации, останутся таковыми и после нее: если p-q = 0, то и р • xl^kk\-q = xl<£kkp-q = 0.
Девиатор тензора деформаций
е = е ^ £/?/Д>£11 = ^11^ ^kh^ij»(49.13)
напротив, описывает деформацию, происходящую без изменения объема (так как екк = 0); изменения же формы, т. е. перекосы прямых углов между первоначально ортогональными векторами при деформациях 8 и е, одинаковы: если p-q = 0, то р-г-q = p-^-q»
Если задано любое поле смещений и^г), можно найти поле деформаций е = Def и. Возникает вопрос: по любому ли тензорному полю 8 (г) можно восстановить векторное поле и (г), иными словами, всякое ли тензорное поле является деформацией некоторого векторного поля ). С аналогичным положением мы встречаемся в электростатике: любой скалярной функции ф (г) соответствует векторное поле Е = —grad ф, но вовсе не всякое векторное поле является градиентом некоторого скалярного поля; как известно, для этого векторное поле должно быть безвихревым: rot Е = 0. Можно ожидать, что и тензорное поле, чтобы служить деформацией
какого-то векторного поля, должно удовлетворять определенным условиям. Выведем их.
Рассмотрим Rot е. По определению
(Rote)zy = 6zfcz^.(49.14)
Выразим компоненты этого псевдотензора через производные вектора смещений:
дец 1 дЧц 1 d^Uj§ikl = У ^т dxk дх, + 2" дхк dxt е
Второе слагаемое тождественно равно нулю, поскольку функции Uj (г) удовлетворяют требованиям теоремы о перемене порядка дифференцирования. Действительно, в этом случае тензор d2Uj!dxkdxi симметричен по индексам к и I. Тензор же 61к1 антисимметричен по этим индексам. Отсюда ясно, что §ikid2Ujldxkdxi = 0. Но §ikid2Ujldxkdxi = (Rot Grad а^р так что мы получили формулу тензорного анализа
Rot Grad =0.(49.15)
Заметив, что 61к1 дщ/дхк = (rot а)/, запишем (49.14) в виде
(Rote)zy = l dy . Rote=l^g^-.(49.16)
О
С другой стороны, 1/2 rot а = ср. Так получаем важную формулу (Rote)z/=-^-, Rote = ^.(49.17)
Эта формула имеет самостоятельное значение, и мы будем еще ею пользоваться. Искомые соотношения теперь легко выводятся. Транспонируем обе части равенства (49.17). Получим (Rote) = о
= Grad <р. Теперь подвергнем обе части полученного равенства операции Rot. Так как Rot (Rot е) * = Ink е *) и, как уже отмечалось, Rot Grad = 0, получим окончательно
Inke = 0,6,6m6/z„^r = 0.(49.18)
Итак, доказано, что если тензорное поле является деформацией некоторого векторного поля, то его несовместность обращается в нуль. Уравнения (49.18) называются уравнениями совместности Сен-Венана.
Мы доказали только необходимость этих уравнений. Их достаточность следует из того, что если Ink е = 0, то по тензорному полю е (г) можно определить и поле смещений. Для однозначного определения смещений нужно еще зафиксировать положение тела, т. е. исключить возможность движения его как целого. Закрепим с этой целью произвольную точку тела г(0', т. е. зададим в этой точке смещения и (г<0)) и вращения ф (г(0)). Преобразованием координат можно добиться того, чтобы г^ = 0, а (г(0') = 0 и ф (г(0)) = 0. Тогда смещения в любой точке г вычисляются по формуле Кирхгоффа — Вольтерра — Чезаро, которая для этого случая принимает вид (приводим ее без вывода)
г
и (г) = 5 (е — r'X Rot a) dr\о
о
Криволинейный интеграл в формуле (19) берется по любой линии, проходящей внутри деформируемого тела и связывающей точку г(0' = 0 с точкой г. Аргументом подынтегральной функции служит переменный вектор г' с координатами xi, пробегающий всевозможные значения вдоль этой линии. Уравнения совместности Сен-Венана представляют собой условия интегрируемости уравнений е = Def и, т. е. обеспечивают независимость криволинейного интеграла в формуле Кирхгоффа — Вольтерра — Чезаро от пути интегрирования.
Рассмотрим уравнения совместности деформаций для случая, когда тензор деформаций зависит только от одной координаты, скажем, от х3. Тогда
.^ = -^ = .^ = 0,(49.19)
dx^ dxl dx^ ’x 1
а остальные три уравнения совместности удовлетворяются тождественно. Из уравнений (49.19) следует, что еп, е22 и е12 линейно зависят от х3:
еа₽= ^ар ~Н 5арХ3 (а, Р=1, 2е, ^ар = ^₽а» 5ар = Вра). (49.20)
К соотношениям (49.20) и сводятся все уравнения совместности при зависимости тензора деформаций только от одной координаты.
§г 50. Тензор напряжений
При деформировании кристалла возникают силы, стремящиеся восстановить первоначальную конфигурацию. Силы эти, как показывает теория кристаллической решетки, относятся к близкодействующим: эффективный радиус их действия не превышает нескольких постоянных решетки (здесь не рассматриваются пьезоэлектрические кристаллы: их свойства будут обсуждаться отдельно). Но элементарные объемы, используемые в теории сплошных сред, велики по сравнению с элементарными ячейками кристалла; поэтому следует считать, что сила, действующая вследствие деформации на
любой мысленно выделенный в кристалле объем, передается только через поверхность, ограничивающую этот объем. Тогда напряженное состояние в каждой точке ) кристалла характеризуется совокупностью сил Р dS, действующих на всевозможные проходящие через эту точку площадки с единичным вектором внешней нормали п и площадью dS (вектор Р имеет размерность напряжения: сила на площадь).
Таким образом, напряженное состояние в точке определяется функцией Р (п), или, если ввести обозначения F Р dS, N = = п dS, функцией F ^N\ Докажем, что эта функция линейна. Равенство F (kN) = kF (N), где X — произвольное (только не слишком большое) вещественное число, следует непосредственно из определения векторов F и N. Теперь представим себе, что плоская площадка, характеризуемая вектором N, заменена близкой к ней ребристой поверхностью, отдельные площадки которой характеризуются векторами Ns. Геометрическое рассмотрение показывает, что при этом £NS = N. А из физических соображений очевидно, что суммарная сила, действующая на площадку, не должна существенно зависеть от того, плоская или ребристая у нее поверхность, т. е. ^F (Ns) = F (N). Объединив эти два равенства, получим F (S^) = ^F (Ns), что и завершает доказательство.
Так как вектор F — линейная функция вектора N, существует такой тензор второго ранга а, не зависящий от N, что F = a-N (см. § 18), или, возвращаясь к первоначальным обозначениям,
Р=о п, Pi = Gijnj. (50.1)
Тензор G называется тензором напряжений; вполне определяя функцию Р (п), он исчерпывающе характеризует напряженное состояние в точке. Чтобы его найти, достаточно измерить силы pw, действующие на три площадки с некомпланарными нормалями nw; тогда компоненты иц оказываются решением системы девяти линейных уравнений
(50.2)
Пусть, в частности, нормали к площадкам параллельны ортам: л№ = ек. Тогда nW = bjk, так что система (50.2) принимает. вид
Qik = P^. (50.3)
Таким образом, о1к — это i-я компонента силы, приложенной к единичной площадке, внешняя нормаль к которой направлена по оси Хк.
Так как сила, действующая на 1 см? площадки с внешней нормалью п, равна Р = g • п, нормальная компонента этой силы
пР = п-о-п =• oikninfel а полная скалывающая (т. е. лежащая в плоскости площадки) составляющая Р — пп -Р ^ (I — ппУо-п. Скалывающее (сдвиговое) напряжение в заданном направлении / равно bo n = oiklitik\ единичный вектор / лежит в плоскости площадки и, следовательно, перпендикулярен к вектору п.
Мысленно выделим в теле некоторый объем V, ограниченный поверхностью S. Если на каждый элемент поверхности dS действует сила Р dS = a-ndS, то на весь объем действует сила
F= ^ PdS = § о - ndS, Fi = ^ PidS = ^ alfenkdS. (50.4) s s s s
vvVV(50.6)(50.6)
v
v
V
V
(50.6)
(50.6)
Интеграл по замкнутой поверхности, согласно теореме Гаусса — Остроградского (см. § 43), можно преобразовать в интеграл по ограничиваемому этой поверхностью объему:
F= §ondS = f Divff*dV, sV
Fi=^ olknh dS=^^- dV. (50.5) sV
С другой стороны, по второму закону Ньютона
Сравнивая это с (50.5), получим
Diva* dV = ^P^-dV,VDiva* dV = ^P^-dV,VVV
Diva* dV = ^P^-dV,V
Diva* dV = ^P^-dV,V
V
V
Так как это равенство справедливо при любом выборе объема V, должны быть равны подынтегральные выражения
Diva*=P^r, ^ = Р-^‘Diva*=P^r, ^ = Р-^‘(50.7)(50.7)
Diva*=P^r, ^ = Р-^‘
Diva*=P^r, ^ = Р-^‘
(50.7)
(50.7)
Это уравнения движения упругого тела —так называемые уравнения эластодинамики, или уравнения Коши. Уравнения равновесия упругого тела —уравнения эластостатики
Divo*=0, -^ = 0,Divo*=0, -^ = 0,(50.8)(50.8)
Divo*=0, -^ = 0,
Divo*=0, -^ = 0,
(50.8)
(50.8)
являются их важным частным случаем. Если на тело действует еще объемная сила / (размерность этого вектора — сила/объем), она должна быть прибавлена к левым частям уравнений (50.7) и (50.8). Например, уравнения Коши при наличии объемных сил принимают вид
Div a*+f = р-^“ , ^(.„p^L, (50.9)
Подсчитаем теперь момент сил, действующих на мысленно выделенный объем V с поверхностью S. С учетом объемных сил он равен
M = ^rxPdS + \rxfdV,
srV(50.10)
/И; = ф ^tjkXjPk dS + SijhXjfk dV.
SV
Дальнейшие выкладки удобнее проводить в координатной форме. Выразим поверхностные усилия Рк через тензор напряжений и преобразуем поверхностный интеграл в объемный:
х,Рк dS = § XjQk,nt dS=\ dV.
SV
Заметив, что 5 (xyOAZ)/dxz = Xjdo^dxt + ок1дх5]дхь причем dxj/dxi = бу z, так что okldxjldxi = (5k^ перепишем формулу (50.10) в виде
= J Mi (^ + f^ dV + J Мм dV.(50.11)
VV
В подынтегральном выражении первого интеграла сумма, заключенная в скобки, равна силе, действующей на единицу объема тела (ср. уравнение (50.9)), а все подынтегральное выражение — ее моменту. Таким образом, все действие моментов поверхностных усилий и объемных сил на выделенный объем сводится к первому интегралу, а второй должен равняться нулю. Ввиду произвольности объема V отсюда следует, что обращается в нуль подынтегральное выражение
6//^а/г/ = 0.(50.12)
Эти три равенства означают, что тензор напряжений 6 симметричен. Действительно, развернув первое из них, получим б^а^у = а32 — — #23 = 0, а второе и третье дадут о13 — о31 = 0, о21 — о12 = 0.
В последнее время изучаются модели сплошных сред с внутренними степенями свободы, в которых тензор напряжений может оказаться несимметричным. Представим себе, например, сплошную среду, в которую равномерно вкраплены частицы, способные поворачиваться относительно среды, причем при таком повороте в среде возникают силы, стремящиеся вернуть частицы в первоначальное положение. Таковы, скажем, вкрапленные в сплошную среду намагниченные или электрически-поляризованные частички. Если подобную среду поместить в электрическое или магнитное поле, на каждую частицу будет действовать вращающий момент; сумма всех моментов, действующих на частицы, содержащиеся в единице объема, называется объемным моментом т. Кроме того, момент может передаваться через поверхность: на единичную площадку с внешней нормалью п действует поверхностный момент Q, связанный с псевдотензором моментных напряжений р, так же, как поверхностные усилия Р — с тензором напряжений (Т:
Q^n.
Для такой среды равенство (50.10) заменится следующим:
Mt=§ ^tjkXjPh dS+ ^ 6гмхД + & Qt dS + \’ mt dV.
SVs v
Тогда вместо (50.11) получим
J 6lifex^^+^ dV + j ^^mi-SykO^ dV.
Очевидно, подынтегральное выражение во втором интеграле имеет смысл суммарного момента, действующего на частицы, заключенные в единице объема. Ввиду малости моментов инерции частиц его можно считать равным нулю, так что антисимметричная часть тензора напряжений равна
Таким образом, антисимметричная часть тензора напряжений уравновешивает объемные моменты и моменты, вызванные моментными напряжениями. В отсутствие же объемных моментов и моментных напряжений тензор напряжений о симметричен *). См. об этом Аэро и Кувшинский (1960); Кувшинский и Аэро (1963); Пальмов (1964).
Выведем средние значения тензора напряжений
<o) = l-UdV, (Gik) = -^^OikdV (50.13)
VV
и его момента
(г х <r> = 4 У г х <т dV,(^iikXjGkh = 4" У StikXfOki dV (50.14)
VV
для упругого тела, находящегося в равновесии под действием приложенных к его поверхности нагрузок Р.
Рассмотрим дивергенцию -^ (х^ц) = ^- аи + хк ^-. Так как dxA/dxz = 6AZ, первое слагаемое равно о1к. Второе же слагаемое вследствие уравнений равновесия равно нулю. Поэтому среднее значение тензора напряжений выражается через поверхностный интеграл
<Oik) = 4 J dV = 4 У "^Г^и)dV =
VV 1
1 С1 С
= у $ XkGu^ dS = у j Ptxk dS.
ss
Итак,
(a^-^PiXhdS, (O) = 4-§PrdS. (50.15) ss
Рассмотрим теперь дивергенцию
ддх,-dxzдактп
-^ (х/х1акт') = -^— х£акт + X) -^ акт+X)Xt -^.
Рассуждая как в предыдущем выводе, найдем, что 5^- kX)Xiakm^ = Xi6k) + XjQkl.
Заметим теперь, что
5///г дхт ^Р^km) = ^ijk^j^kb
потому что 6^0^ = 0 вследствие симметричности тензора напряжений. Это позволяет выразить через поверхностный интеграл и среднее значение момента тензора напряжений:
($ijkXj® kl) = "у" ^ ^ijkXjP k%l dS, ! t(50.16)
(г х а) = -у ф г х Pr dS.
s
Таким образом, средние значения тензора напряжений и его момента можно найти по поверхностным нагрузкам, не решая уравнений теории упругости. Полученный результат особенно важен в тех случаях, когда поверхность тела свободна от нагрузок. При этом поле тензора напряжений оказывается самоуравновешен- ным: сам тензор может быть отличен от нуля, но средние значения его и его момента должны равняться нулю. Отсюда следует, в частности, что если какая-либо компонента тензора (или его момента) не равна тождественно нулю, она обязательно меняет знак, т. е. принимает как положительные, так и отрицательные значения.
§51. Обобщенный закон Гука
Подсчитаем работу внешних усилий Р, приложенных к поверхности S упругого тела, объем которого V. Если под действием этих усилий точки поверхности испытывают малые смещения ба, то работа
бе^ = ф би • Р dS = ф SutPi dS.
ss
Так как Р = с-п, где я —единичный вектор внешней нормали к поверхности S, то
б®^ = ф би • а • п dS = ф ^Uiatjiij dS.ss
Преобразуем, как и в § 50, поверхностный интеграл в объемный:
6®^ = f div (би • <т) dV = ( -^ ^и^^ dV.
VV 1
По правилу дифференцирования произведения
J
dduiсда ц
‘^dV+ltu^dV.(51.1)
VV
Пространственные производные малых смещений d $и^1дХ) равны малым дисторсиям 6eZ; + бсо/;, но так как свертка антисимметричного тензора 6(0/; с симметричным тензором Оц — тождественный нуль, первое подынтегральное выражение из (51.1) сводится к оц бгм.
Обратимся ко второму интегралу. По уравнениям эластоди- намики dQijldxj = рйь а 6^/ можно рассматривать как щ 61, где 6/ — время, в течение которого происходят смещения би. Далее, р iliUi 6/ = (1/2) pd/dt ^й^ St, но это — изменение кинетической энергии единицы объема за время 6/ (в приближении теории малых деформаций плотность р в процессе деформирования остается постоянной). Тогда второй интеграл из (51.1) оказывается изменением суммарной кинетической энергии S^ упругого тела. Таким образом, работа внешних усилий
W =5 Gu^adV + бе^,
V
так что часть работы, затрачиваемая на то, чтобы сообщить единице объема тела малую деформацию бе^у (или, для большей общности, чтобы изменить деформацию единицы объема на малую величину 6eZ;), оказывается равной
6R = otj6elh(51.2)
Упругие (точнее — линейно-упругие) тела характеризуются тем, что напряжения в них пропорциональны деформациям. В применении к кристаллам это означает, что тензор напряжений линейно зависит от тензора деформаций, и эта линейная зависимость
Оц = смк1гк1, а = с:е(51.3)
определяется материальным тензором с; он называется тензором коэффициентов упругости или коэффициентов жесткости и выражается в кгс/см2, дин/см2 или Н/м2,
Чтобы найти работу, необходимую для конечного изменения деформации единицы объема анизотропного упругого тела от значения е(0) до значения е(1), нужно проинтегрировать выражение (51.2) с учетом (51.3):
е(1>
^ " S ^jhl^kl ^у.
е(0)
Этот интеграл, вообще говоря, зависит от пути интегрирования; условием же независимости его от пути интегрирования является существование такой функции W (е), чтобы
dWд^лх
с:е = ^Г-с* = "д^-(5L4)
Тогда работа по упругому деформированию единицы объема будет равна
8,П
R= $ Cy^^^WR-WR,
е(0)
так что функция W (е) окажется плотностью энергии упругой деформации. При естественном предположении W (0) = 0 она равна
^ = "2" Ctjkftybki = ^ 8 ? с ; е.(51.5)
(51.6)(51.6)Из (51.4) следует также, что
(51.6)
(51.6)
СЧМ — дгу дек1 ’ С деде ’
а это означает, что Сук1 = ск1у. Учитывая еще внутреннюю симметрию [V2] тензора 8 (eZy = 8y/) (см. § 42), получаем отсюда, что если выполняется соотношение (51.4), то внутренняя симметрия тензора с равна [[У2]2]:
Сум = cjiki = с у ik = с к1у. (51.7)
Соотношение же (51.4), как следует из гл. VII, выполняется, в частности, в таких важных случаях, как адиабатическое и изотермическое деформирование кристалла.
В формулах (51.3), (51.5) и (51.6) удобно заменить пары индексов ij и kl греческими индексами X и р, принимающими значения 1,... ..., 6. Метод перехода к такой форме записи описан в приложении Е. После этого формулы примут вид соответственно
^ = "2 ^ед,^ = "2 ^ед,(51.3')
^ = "2 ^ед,
^ = "2 ^ед,
(51.5')
(51.6')(51.6')ОТ^ ~ дех 5вц *
(51.6')
(51.6')
Соотношение (51.3) можно обратить, выразив деформации как функции напряжений:
^lj= sijkl^kb 8 = S 2 (У, 8х = S^yO^;(51.8)
s — тензор коэффициентов упругой податливости (или модулей упругости); внутренняя его симметрия, разумеется, такова же, как и у тензора с, выражается он в см2/дин, см2/кгс или м2/Н.
Соотношения (51.3) и (51.8) называются обобщенным законом Гука для анизотропных сред. Если нужно учесть и температурное расширение кристалла, их дополняют температурными членами.
При однородном изменении температуры на 0 градусов кристалл, свободный от внешних нагрузок, испытывает температурную деформацию
е// = а,/0, ех = ах0;
а называется тензором коэффициентов теплового расширения, очевидно, он, как и тензор е, симметричен; размерность его — К"1.
В общем случае, когда на кристалл воздействуют и механические напряжения, и изменения температуры, тензор малых деформаций слагается из частей, обусловленных каждым из этих воздействий в отдельности:
^м = sHki°ki + °ty®> ех = %^ + ал®.(51.9)
Тогда температурные члены появляются и в выражениях для напряжений:
о у = сМк1гк1 - Р//0,ох = ^А — рх®;(51.10)
Р называется тензором коэффициентов термоупругости*, он, как и а, симметричен.
Выведем соотношения между материальными тензорами, входящими в обобщенный закон Гука с температурными членами (51.9), (51.10). Подставив в формулу (51.10) деформации, выраженные посредством формулы (51.9), получим
ох = ^^vav - (рх - сХуОу) 0.
Так как это тождество должно удовлетворяться при произвольных значениях напряжений ох и температуры 0, из него следуют искомые соотношения
^Xns|iv = $Xv>^ifkl^klmn = "2" ^Im^jn “F ^In^jmV(51.11)
Px= c^yOty,P //= Cykfoki •(51.12)
В формулировках закона Гука (51.3) и (51.10) (но не (51.8) и (51.9)1) можно тензор деформаций заменить тензором дисторсий ди/дг или транспонированным ему тензором Grad и (см. § 49). Дело в том, что е = ди!дг —хо = Grad и + <о, а тензор малых
вращений со антисимметричен, и при свертывании с симметричным по последней паре индексов тензором с дает нуль: Cijk№ki — О, с : о = 0. Поэтому закон Гука (51.3) можно записать в виде
Оц = смн^-, о = с:-|“ = с : Grad и. (51.13)
Подставив эти выражения в (50.7), получим уравнения движения упругого тела (уравнения эластодинамики)
^"та7 = Р"$"- c = GradGrada = p5-,(51.14)
а подставив их в (50.8), — уравнения упругого равновесия (уравнения эластостатики^
сцм = 0, с: Grad Grad и = 0.(51.15)
UXj их l'
Это система трех линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с тремя неизвестными. Ею удобно пользоваться для решения задач теории упругости в тех случаях, когда граничные условия заданы для смещений. Однако граничные условия чаще задаются для напряжений, т. е. указываются усилия, приложенные к поверхности кристалла. Заметим, что граничные условия на свободных от нагрузок частях поверхности кристалла задаются именно для напряжений: усилия, приложенные к этим частям поверхности, равны нулю, смещения же здесь, вообще говоря, отличны от нуля.
При задании граничных условий для напряжений удобнее записать дифференциальные уравнения теории упругости в такой форме, чтобы неизвестными функциями были компоненты тензора напряжений а. Они должны, как мы знаем, удовлетворять уравнениям упругого равновесия Коши (50.8), а полученные из них с помощью закона Гука компоненты тензора деформаций е — уравнениям совместности Сен-Венана (49.18). Таким образом, приходим к системе девяти дифференциальных уравнений относительно шести неизвестных функций az/ (г) *):
дон
Div a = 0,^ = 0>(51л6)
Ink (s 2 (У) = 0,^Ikn^ilm^mnpq ^ q^ = 0(51.17)
с тремя граничными условиями
оп = Р,ОиП^Рь(51.18)
§ 52] СИММЕТРИЯ УПРУГИХ СВОЙСТВ КРИСТАЛЛОВ 317 где Р — векторная функция координат, заданная на всей поверхности упругого тела. Можно доказать ), что эта система всегда имеет решение и притом единственное.
Закон Гука записан здесь без температурных членов, поэтому выведенные уравнения описывают упругое равновесие кристалла при постоянной температуре. Учет теплового расширения кристалла и связанных с ним температурных напряжений мы оставим до § 55.
Для решения уравнений теории упругости в напряжениях в достаточно сложных случаях пользуются обычно тензором функций напряжений Ф. Это симметричный тензор второго ранга, который связан с тензором напряжений о соотношением ст = Ink Ф. Легко проверить, что Div Ink = 0, так что уравнения упругого равновесия Коши удовлетворяются тождественно, и для нахождения Ф достаточно решить систему уравнений Ink (s : Ink Ф) = 0 с граничными условиями л«1пкФ= Р. Тензор функций напряжений определяется при этом не однозначно, а лишь с точностью до слагаемого вида Def у, где у — произвольный вектор. Эта неоднозначность, однако, совершенно несущественна, так как из уравнений совместности Сен-Венана следует, что Ink Def = 0. Таким образом, тензор напряжений ст определяется в конце концов совершенно однозначно. Подробнее об этом см. Лурье (1955, гл. I, § 5) и Крутков (1949). Вообще о решении задач анизотропной теории упругости см. Лехницкий (1947, 1950, 1971) и Амбарцумян (1967). Особо отметим задачу о построении тензора Грина для системы уравнений эластостатики кристаллов (51.15)—см. Лифшиц и Розенцвейг (1947).
Симметрия упругих свойств кристаллов
В § 51 введены материальные тензоры s, с, а и Р, характеризующие упругие свойства, тепловое расширение и термоупругость кристаллов. Тензоры а и Р — симметричные тензоры второго ранга; влияние симметрии кристаллов на свойства, описываемые такими тензорами, подробно рассмотрено в гл. III. На рис. 24.1, 24.2, 24.3 показаны указательные поверхности теплового расширения некоторых кристаллов. В отличие от тензоров диэлектрической проницаемости, тепло- и электропроводности, тензор теплового расширения может иметь и отрицательные собственные значения. Поэтому указательные поверхности теплового расширения некоторых кристаллов, например кальцита и этилендиаминтартрата (ср. рис. 24.3 и 52.1), — черно-белые ), какими никогда не бывают указательные поверхности рассмотренных ранее материальных тензоров. Черные участки указательной поверхности соответствуют тем направлениям в кристалле, в которых линейные размеры при повышении температуры не увеличиваются, как обычно, а уменьшаются. Конус направлений, в которых тепловое расширение равно нулю, определяется уравнением aijqiqj = 0 относительно компонент единичного вектора q. Например, у кальцита этот вектор составляет угол 64°43' с главной осью симметрии Х3. Геометрию
40° 30° 20° 10° 0° -10° -20° -30° -^0°40° 30° 20° 10° 0° -10° -20° -30° -^0°140° 150° 160° 170°460o-170o-1ti0° -150° ^0°140° 150° 160° 170°460o-170o-1ti0° -150° ^0°Рис. 52.1. Тепловое расширение кристалла этилендиаминтартрата, класс 2, в плоскости Х,Х8 (это не сечение указательной поверхности). (Мэзон, 1952.)Рис. 52.1. Тепловое расширение кристалла этилендиаминтартрата, класс 2, в плоскости Х,Х8 (это не сечение указательной поверхности). (Мэзон, 1952.)
40° 30° 20° 10° 0° -10° -20° -30° -^0°
40° 30° 20° 10° 0° -10° -20° -30° -^0°
140° 150° 160° 170°460o-170o-1ti0° -150° ^0°
140° 150° 160° 170°460o-170o-1ti0° -150° ^0°
Рис. 52.1. Тепловое расширение кристалла этилендиаминтартрата, класс 2, в плоскости Х,Х8 (это не сечение указательной поверхности). (Мэзон, 1952.)
Рис. 52.1. Тепловое расширение кристалла этилендиаминтартрата, класс 2, в плоскости Х,Х8 (это не сечение указательной поверхности). (Мэзон, 1952.)
теплового расширения кристаллов подробно рассмотрел А. В. Шубников (1956).
Общий вид тензоров коэффициентов упругости и упругой податливости, инвариантных относительно всевозможных кристаллографических и предельных групп, приведен в табл. Д. 18. Однако из того, что общий вид этих тензоров в некоторых классах различен, еще не следует, что различна и симметрия упругих свойств соответствующих кристаллов. Так, из табл. Д. 18 и 47.1 видно, что число независимых инвариантов у тензора упругих свойств в обеих подсистемах тетрагональной системы одинаково. Разное же число независимых компонент и различный вид тензоров в высшей и низшей подсистемах может объясняться просто тем, что направления базисных векторов ех и е2 в низших подсистемах средней категории не определяются элементами
симметрии кристалла. Поэтому для низшей подсистемы введем наряду с кристаллофизическим базисом еъ е2, е8 базис
е' = ех cos ф + е2 sin ср, е2 = — ет sin ср + е2 cos ф,(52.1)
^3 = *3»
выбрав угол ф так, чтобы компонента sj6 тензора s^ в этом базисе обратилась в нуль:
Sie = Ргх^б'и^хц = 0.(52.2)
Подставив в уравнение (52.2) элементы матрицы Рх-х, описывающей поворот вокруг оси Х3 (см. формулу (Е.26)), и компоненты тензора для низшей подсистемы тетрагональной системы (см. табл. Д. 18), найдем
tg4<p= з- 4$1«.(52.3)
2—$12/—$66
Угол ф можно найти и из условия обращения в нуль компоненты ^6 тензора сЛи. Так, получим
<524)
Гц — Г12 — ^66
Итак, в базисе (52.1), где угол ф определяется условием (52.3) или (52.4), тензоры s и с для низшей подсистемы тетрагональной системы принимают такой же вид, какой имеют в кристаллофизическом базисе эти тензоры для высшей подсистемы той же системы. Отсюда следует, что все кристаллы тетрагональной системы составляют один класс упругой симметрии ^Immm. Рис. 54.3—54.5 показывают, что указательные поверхности упругих свойств кристаллов обеих подсистем тетрагональной системы действительно имеют одну и ту же симметрию Мттт.
Обе подсистемы тригональной системы также составляют один класс упругой симметрии Зт. Базис (52.1) для низшей подсистемы тригональной системы определяется условием
<52-5»
Хотя общий вид тензоров упругих свойств был установлен еще в XIX веке, то обстоятельство, что классы упругой симметрии Зт и Мттт совпадают с тригональной и тетрагональной системами, было замечено сравнительно недавно.
Тензоры с и s, как и любые другие (см., например, § 83), можно разложить на неприводимые части. Эти неприводимые части выражаются через введенные в § 47 неприводимые тензоры с помощью изотропных тензоров Кронекера и Леви-Чивита. Разложение тензоров с и s проведем в два этапа. На первом этапе выделим из них симметричные по всем индексам части с<4> и s(4); оставшиеся части с<22> и s<22>, обладая внутренней симметрией [[К2]2] (см. §42), обращаются в нуль при симметрировании по всем индексам. Итак, первый этап разложения:
s = sU) + sW, s$ = s(W), $$=$иы-\ад (52.6) (формулы для с совершенно аналогичны). Пользуясь методами теории представлений групп, можно показать, что s<4> разлагается на скалярную, девиаторную и нонорную части, a s<22> — на скалярную и девиаторную части. Внутренняя симметрия тензоров s<4> и s<22> однозначно (с точностью до численных коэффициентов) определяет вид разложений на втором этапе ):
< = Z11^,^) +D^M + N$h (52.7) s.® = /{м) (Мы - ММ + 1т W’^^”^/)-^^. (52.8)
Свертывая правые и левые части этих равенств, легко найдем, как выражаются неприводимые тензоры /<4}, D<4\ ..., D<22} через тензоры s^J и s^22k
/<4> = |з^,О/;> = 4 (3s® - 57ш 6(/),
N® = s® - I^^u^n - D$6kn;
IW =^s^, D® = 3s® - Mw6ti.
Для кристаллов тех классов, у которых неприводимые девиаторы и ноноры кратны единичным, т. е. Dtp =SzPD$\ D® = = S®D^ и т. д. (см. табл. 47.4), эти разложения существенно упрощаются и принимают вид
sljkl = S^S^ijbk^ "V"Sd^ D^jSfcD + S^N^.^ + Sj22> (б/;6^ — 6(/уб/,/)) +
+ Svd^№= 1 (Sp} + 2Sr})6zy6,z +
+ y(S/4> — S^^ $ik6ji + 6uSj^ ^(Sd >+ 2SD2>)(^?/Sfc/+^^ + |(Sb4} -SbM})№^(52.9)
Здесь коэффициенты S\^ = I^ и sj22} = /<22} введены для единообразия записи. Разложения (52.7) и (52.8) объединены, но с помощью индексов {4} и {22} при коэффициентах S легко разделяются.
Согласно теореме Германа (см. § 46) кристаллы гексагональной системы трансверсально изотропны по упругим свойствам, составляя вместе с текстурами класс упругой симметрии oolmm. Все направления, составляющие с главной осью симметрии один и тот же угол, по упругим свойствам одинаковы, хотя у гексагональных кристаллов эти направления, конечно, кристаллографически различны. Это один из многих случаев, когда симметрия свойства кристалла выше симметрии самого кристалла.
У кристаллов гексагональной системы и текстур девиаторы и ноноры кратны единичным, причем единичные девиатор fl нонор определяются формулами'
О^^З^-бу),(52.10)
№щт = -g- (33kikjkikm—30^(,fey6Zm)4-36(//6Zm)),(52.11)
где к — единичный вектор главной оси симметрии; в кристаллофизической системе координат kt = 6Z3, а формулы (52.10) и (52.11) переходят в формулы для D0 \оо/тт\ и N° \oolmm\ из табл. 47.4.
Для этих кристаллов коэффициенты разложения (52.9) равны S}4} =-у^ (8sn + 3s33 + 4s13 + 2s44), S j22^ = -g- (— sn + 3s12 + 4s13 — s44), Sd ^ = "2p (— 8sn + 6s83 + 2s13 + s44),(52.12)
Sd 2^ = -^ (2sn — 6s12 + 4s13 — s44),SV^ = -gy (sn + s33 — 2s13 — s44).
Тензор с разлагается тем же способом. В формуле (52.9) в применении к тензору с коэффициенты естественно обозначить С)4}, ... ..., Q/2\ Эти коэффициенты подсчитываются по формулам (52.12), где вместо sn, ..., s13 подставляются сп, ..., с13, но вместо s44 следует подставлять 4с44.
Если бы коэффициенты Cd\ Cd^ и С^} или S^d\ S^ hSn} обратились в нуль, тензоры коэффициентов упругости и коэффициентов упругой податливости оказались бы изотропными тензорами. Отсюда ясно, что эти наборы коэффициентов характеризуют анизотропию трансверсально-изотропных по упругим свойствам тел. Нетрудно убедиться, что обращение в нуль всех коэффициентов одного набора влечет за собой обращение в нуль и всех коэффициентов второго набора. С другой стороны, коэффициенты С/22> и Cd^ и соответственно S/22} и Sd2} характеризуют несимметричность тензоров с и s по индексам: если бы они обратились в нуль, внутренняя симметрия тензоров сиз была бы [V4].
Кристаллы кубической системы отличаются по симметрии упругих свойств от изотропных тел, составляя класс упругой симметрии тЗт. Ноноры для них кратны единичному, а девиаторы обращаются в нуль (см. табл. 47.1). Поэтому разложение (52.9) для кубических кристаллов еще упрощается и принимает вид
Sijki = £/4>6(/;6м) 4~Sw ^Р^ (6/;бд/ — 6(/;б/г/)) =
= у (S?> + 2$jM>) 61;6к1 +1 (S)4’ - SР”) (6^/ + W + 8КХЫ.
(52.13)
Единичный нонор кубической симметрии (его следовало бы обозначать № [/иЗ/п], чтобы отличить от введенного выше № \оо/ттА\ в согласии с § 47, имеет в кристаллофизической системе координат
компоненты
Nqki =Nqki =(52.14)(52.14)1 при четырех равных индексах,
Nqki =
Nqki =
(52.14)
(52.14)
—1/2 при двух парах равных индексов, О в остальных случаях.
j! Ю. И. Сиротин. М. П. Шаскодьская
Коэффициенты разложения (52.13) подсчитываются по формулам S/4} = 5 (3sn + 2s12-|-s44),
SPa) = s12 — 4"S44,(52.15)
Sn^ = ^ (2sn — 2s12 s44).
Тензор коэффициентов упругости также определяется формулой (52.13), где место коэффициентов S занимают коэффициенты С; последние подсчитываются по формулам (52.15), в которые вместо sn, s12 и s44 подставляются соответственно сп, с12 и 4с44.
Несимметричность тензоров с и s по индексам характеризуется соответственно коэффициентами С/22} и Sp’2}. Упругая анизотропия кубических кристаллов определяется коэффициентами С^1 и Sm}, причем из равенства нулю одного из них следует равенство нулю другого. Поскольку упругие постоянные существенно зависят от температуры, коэффициенты упругой анизотропии тоже зависят от температуры. Так, у каменной соли по мере повышения температуры упругая анизотропия уменьшается вплоть до температуры 690 К, при которой кристалл становится упруго-изотропным, а при дальнейшем повышении температуры знак упругой анизотропии (т. е. коэффициентов См } и Sw}) меняется. Степень упругой анизотропии измеряется безразмерным отношением
А = -^- = ^=^,(52.16)
Сц—с12s44''
которое характеризует зависимость сопротивления кубического кристалла сдвиговой деформации от направления (ср. табл. 53.3).
У изотропных и гиротропных тел тензоры коэффициентов упругости и упругой податливости изотропны:
St/izi = 5/4)б(/у6&/) + S)22} (6/у6^ — 6(/у6д/)) =
= |(S?42SP2X^h4(SJ4,-S^>)^^(52.17)
S[4,=su, SP2, = 4(Sh-3s12);(52.18)
аналогичные формулы справедливы для тензора с. Для изотропных тел из формул (51.11) следуют соотношения )
(cii — с12) (su — si2) = (Сц + 2с12) (sn + 2s12) = c44s44 = 1, (52.19) а из формулы (52.16)— соотношения
£ц — £12 — 2с43,2 (su s12) = s44.(52.20)
Для характеристики упругих свойств изотропных тел наряду с коэффициентами упругости и упругой податливости пользуются также модулем Юнга Е = l/sn, коэффициентом Пуассона v = = —s12/sn, модулем объемного сжатия К = (£ц + 2с12)/3, модулем сдвига G = (сп — с12)/2 = l/s44 и коэффициентами Ламе X = с12 и р = G. Два независимых коэффициента полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала. Вообще об упругих свойствах кристаллов см. Александров и Рыжова (1961); Musgrave (1970); Auld (1973); Dieulesaint, Royer (1974); Krishnan (1958); Krishnan, Radha, Gopal (1971).
Простые напряженные состояния
Простыми напряженными состояниями мы будем считать такие напряженные состояния, при которых тензор напряжений о линейно зависит от декартовых координат
(У = А + В-г, 0^ = А^ + Вцкхк1 (53.1) где А и В — не зависящие от координат тензоры: А — симметричный тензор второго ранга, В — тензор третьего ранга, симметричный по первым двум индексам. Справедлива следующая теорема.
Теорема о простых напряженных состояниях. Если в изотропном теле под действием некоторых усилий, приложенных к его поверхности, возникает какое-либо простое напряженное состояние, то в однородном анизотропном теле той же формы под действием тех же усилий возникает то же напряженное состояние.
Доказательство основано на теореме о единственности решения уравнений теории упругости. Действительно, в уравнения Бельт- рами-Митчелла (см. §51) входят только вторые производные тензора напряжений, которые при простом напряженном состоянии все равны нулю, так что эти уравнения удовлетворяются тождественно. В уравнения же упругого равновесия Коши (см. § 50) вообще не входят никакие характеристики материала, так что от замены одного тела другим (той же формы и при тех же граничных условиях) эти уравнения не изменятся. Таким образом, одно и то же простое напряженное состояние оказывается решением уравнений теории упругости в напряжениях для всевозможных однородных (это существенно!) упругих тел. В силу теоремы о единственности ни для какого из этих тел никакого другого решения существовать не может.
В этом и следующем параграфах будут рассмотрены некоторые практически важные примеры применения доказанной теоремы.
Начнем со случаев, когда поле напряжений однородно, т. е. тензор напряжений не зависит от координат. Уравнения Коши
11*
удовлетворяются при этом тождественно, поэтому достаточно проверить только выполнение граничных условий.
Всестороннее сжатие. Если на упругое тело действует гидростатическое давление р, граничные условия таковы:
ал =— рп, <У//М; = — рпь (53.2)
п — единичный вектор внешней нормали к поверхности. (В случае всестороннего растяжения силой рп на единицу поверхности знак меняется на обратный.) Очевидное решение
О= —pl, Ом = — р^ц
удовлетворяет всем уравнениям и граничным условиям. Таким образом, напряженное состояние совершенно не зависит от упругих характеристик тела. Деформация же
е = — ps : I, гм = — psMkk (53.4) от них существенно зависит. Симметричный тензор второго ранга 8М =• sijkk называется тензором коэффициентов сжимаемости. С его помощью деформация под действием гидростатического давления записывается в виде
ги = — 8мр, ех = — 8хр. (53.5) Формулы, выражающие компоненты Sif тензора S через коэффициенты упругой податливости s^ для всех кристаллографических классов, приведены в табл. 53.1. Из нее видно, между прочим, что влияние симметрии кристаллов на их деформацию при гидростатическом сжатии таково же, как и на все другие их свойства, описываемые симметричными тензорами второго ранга (диэлектрическая проницаемость, тепловое расширение и т. п.).
Относительное изменение объема под действием гидростатического давления WIV = гц = —8ир характеризуется скаляром К*1 = 8ц = Siikk — коэффициентом всестороннего растяжения. Обратная ему величина К называется модулем всестороннего растяжения. Изменение формы анизотропных упругих тел под действием гидростатического давления характеризуется девиатором деформаций etj = —RyP, пропорциональным девиатору тензора коэффициентов сжимаемости:
Ri^Sij-^K"1^. (53.6)
Одноосное растяжение. Рассмотрим цилиндрический стержень произвольного поперечного сечения плошади S, к торцам которого приложены растягивающие силы Sa, равномерно распределенные по поверхности торцов; боковая поверхность стержня свободна от нагрузок. Обозначим через q единичный вектор, направленный вдоль оси стержня. Тензор напряжений
o = oqq, oti = oqiqj, (53.7)
Таблица 53.1
Тензор Sif — Sijkk для всех кристаллографических и предельных классов
Системы
Тензор S„ = s,/66
Триклинная система
Sll+S31 + S12 V2 (81б + 82б + 8зв) V2 (S1b + s25+S3b) V2 (81б + 826 + 5зв) S22 + S12 + S23 V2 (814 +s24 + S34) V2 (S15 + S26 + 53б) V2 (S14 + S24 + 834) S33 + S23 + S31
Моноклинная система
2 II Хг
2 II Х3
8ц + S31 + S1201/2 (S15 + S25 + S35)
0S22 + Si2 + S230
L/2 (S15 + s25 + s35)0S33 + S23 + 831
811+s3i+s12V2 (S16 + S26 + 833)0
X/2 (S16 + S26 + 53б)S22 + $12 + s230
00S33 + s23 + s31
Ромбическая система
811 + 831 + s1200
0s22+$i2+s230
00833 + s23 + S31
Тригональная, тетрагональная, " гексагональная системы и текстуры
811 + S12 + 81300
0Sil +812 + S130
00S33 + 2si3
Кубическая система и изотропные тела
8ц *4*251200
0Su 4~ 2sj20
00Sii*4*2si2
очевидно, удовлетворяет граничным условиям. Отсюда по закону Гука определяем деформации
е = os : qq,ъц = <ssMMqkqb(53.8)
Относительное удлинение стержня А/// = ^q^j = ^Sijklqtqjqkqi. Его отношение к напряжению о — обратная величина модуля Юнга Е для направления q:
Е-1 (q) = snaq^jq^t = qq:s: qq.(53.9)
Вычисление модуля Юнга можно упростить: если ввести обозначение q^ = ^qq\, где Ц •** к = 1, ..., 6, то компоненты напряжения
примут вид ои = о (^^ц, деформации ех = os^ (qq)^ и, наконец, обратная величина модуля Юнга
Е"1 W-MwM^n-Е"1 W-MwM^n-(53.10)(53.10)
Е"1 W-MwM^n-
Е"1 W-MwM^n-
(53.10)
(53.10)
Эта формула удобнее формулы (53.9), в ней значительно меньше слагаемых, а значения $?и берутся непосредственно из экспериментальных данных.
Расчетные формулы для вычисления модуля Юнга собраны в табл. 53.2.
Относительное изменение толщины стержня, точнее, его линейных размеров в направлении т, перпендикулярном к направлению растяжения, равно А/ (т)И (т) = г^т^. Выразим деформации через напряжение; тогда Д/ (т)Н (jn) = csiikimimjqkqb Отношение изменения толщины стержня к изменению его длины, взятое с обратным знаком, называется в теории упругости изотропных тел коэффициентом Пуассона и обозначается v. Если обобщить это понятие на анизотропные тела, коэффициент Пуассона окажется функцией двух взаимно перпендикулярных направлений q и ш:
А/ (ш)// (ш) _ Sijktmimjqkqt mm isiqq V (^, т)= д/ ^ (0) — — snprfqnqpqrqf ~ ~ qq:s:qq*
Более удобна для вычислений такая форма записи:
$хи ^тт^ (qq^$хи ^тт^ (qq^(53.12)(53.12)
$хи ^тт^ (qq^
$хи ^тт^ (qq^
(53.12)
(53.12)
Можно определить коэффициент Пуассона анизотропной упругой среды и так, чтобы он зависел не от двух единичных векторов, а только от одного, если трактовать его как характеристику изменения площадей в плоскостях, перпендикулярных к направлению растяжения:
(53.13)(53.13)_ AS (q^S (q)2A/(^)//(^) e
(53.13)
(53.13)
Так как AS (q)/S (q) = e: (I — qq) = ez/ (6Z/ — q^^ а деформации подсчитываются по формуле (53.8),
qq-.s^-qq^V ^2qq :s:qqqq-.s^-qq^V ^2qq :s:qqsijhiqtqj ^>ki-qkqd14x
qq-.s^-qq^
V ^2qq :s:qq
qq-.s^-qq^
V ^2qq :s:qq
^npnqnOpqrqt '1'
Заметив, что ^qq : s : qqY1 — это модуль Юнга E (q), a qq : s : I = = q -S-q — нормальная составляющая тензора коэффициентов сжимаемости S в направлении q, получаем еще одно определение для коэффициента Пуассона анизотропной упругой среды:
v(9) = 5 [1-9 S qElq)Y(53.15)
Таблица 53.2
Обратная величина модуля Юнга Е-1 (q) = E^hhl^выраженная через компоненты q^ единичного вектора qи через индексы Миллера ^==А, Л, Iкристаллографического направления Vikl] || q
Обилие формулы
Е-^зх^, wQx=W/ = -^-^^ 6).
Триклинная система
Е 1 = SiiQ? + s22Qi + s33Q| + (s44+2s23) Q2Q3+
+ (S55 + 2$31) Q3Q1 + (Sfie + 2S12) Q1Q2 + 2 (S14 + S66 ) Q1Q4 +
+2 (s25 + s64) Q2Q5 + 2 (s3e + s46) Q3Qe+2sj6Q1Q6 +
+ 2sleQ1Qe + 2s26Q2Qe + 2s24Q2Q4+2s34Q3Q4 4- 2s36Q3Q6, где
Qi = q* = (ha sin p — kb sin a cos y*)2/g,
Q^q^ = Wb*Ylg.
Q» = q» = (ha cos p + kb cos a + Ic)2/^
Q4 = Q2Q3 = Wb*) (ha cos P + kb cos a + Zc)/^,
Об = q^qi = (ha cos P + kb cos a + Zc) (ha sin P—kb sin a cos 4*Mg,
Qo = Q1Q2 = (h/b*) (ha sin P — kb sin a cos y* )/g>
g = h2a2+k2b2 + Z2c2 + 2klbc cos a + 2lhca cos p + 2hkab cos y.
Моноклинная система (21| X2, m ± X2)
E-1=SuQi + S22Q2 + s3sQi + (s44 + 2s23) Q2Q3 + («Бб + 2^31) Q3Q1 +
+ (see + 2s12) Q1Q2 + 2 (s26 + 534) Q^Qb+2s15QiQ6+2s36Q3Q6> где
Qi = qX = (ha sin P)2/^, Q3 = ^| = (ha cos P + Icflg,
Q2 = ql = (hbyig, Q6 = qaqi=ha sin p (ha cos P + IcMg, g = h2a2 + k2b2+Z2c2 + 2lhca cos P.
Ромбическая систельа
E-1 = Si iQ 1 + 522^2 + s33^3 + (S44 + 2s23) ql(/14-
+ (S6s + 2s3i) q^ + (s66 H-2si2) q2vqr2 =
= U^sn + Ws^ + ZVs33 + k2Wc2 (s44 + 2s23) + PhW (s65 + 2s3i) + + №k2a2b2 (s66 + 2s12)]/(/i2a2 + k2b2 + Z2c2)2.
Тетрагональная система
E-1 = Su (q^ + q^)+s33qt + (s44 4- 2s13) (q2t 4- Qi) q3 +
+ (soe + 2si2) Q?Q24-2s16(7l</2 (q2i—q^) =
= ^ [(/i44-/<4) sn 4- h2k2 (s66 4- 2s12) 4- ^hk (h2 - k2) s16] 4-
4-^s334- (h2-m Wc2 (s44 4-2s]3)}/[(/i24-^2) a2-VPc2A2\ для классов 4, 4, 4/ni все коэффициенты s^ отличны от нуля; для классов 422, 4/////Z, 42/71, ^/ттт — коэффициент Si6 = 0.
Таблица 53.2 (продолжение)
Тригональная и гексагональная системы(в гексагональной установке) и текстуры
£-1 = $ii (1 —^j)2 + s33<7^ + (s44 + 2s13) q^ (1 — (75) +
+ 2$i4 (3q2k— ql) (?27з + 2525 (3^— q^) qxqa =
= {(h2 + /?2 - адг a4S1, + [^ S33 _(_ ^2 + ^2 _ hk) l2a2c2 (s44 4- 2s13) +
+ а3с [з/3 hkl (h — k) si4 + / (2h — k) (2k2—h2 + hk) s2b I} :
: l(h24-k2 — hk) а2^^ классы 3,3 —все коэффициенты s^ отличны от нуля; классы 32, *Лт, Зт— коэффициент 525 = 0; гексагональная система и текстуры — коэффициенты 5x4 = 526 = 0.
Кубическая система
Е~Х = 5ц — (2sn — 2Si2 — S44) (^2^3 + 9з^? + ^i^i)=
= Su — (2sH - 2S12 - S44) (№ + № + h2k2)/(h2 + k2 +12)2
Изотропные тела
E"x = sxx.
Обозначения, s^—коэффициенты упругой податливости, а, b, с, а, р — параметры кристаллической решетки, Ь*, у* — параметры обрат ной решетки, Аар ^ТЛ — СМ пРиложение Б
При одноосном растяжении объем стержня изменяется (обычно увеличивается). Относительное изменение объема АУ/У = £и при этом равно
ДУ IV = oSnqiqj = oqSqt (53.16)
где S — тензор коэффициентов сжимаемости. Сравнивая этот результат с формулой (53.15) для коэффициента Пуассона v (^), видим, что известная формула ДУ7У = (1 — 2v) о/Е, определяющая относительное изменение объема при одноосном растяжении изотропных тел, справедлива также и для анизотропных тел в форме
(53.17)(53.17)Д|/1 — 2v (q)
(53.17)
(53.17)
~ “ E(q)
На примере коэффициентов Пуассона v (q, т) и v ^q) мы еще раз убеждаемся, что одна и та же величина, характеризующая свойство изотропного тела, может обобщаться на анизотропные тела различными способами, и выбор того или иного обобщения зависит от того, какое именно свойство анизотропного тела мы хотим описать.
Сдвиг. Пусть к боковым граням прямоугольного бруска приложены касательные равномерно распределенные силы; брусок под действием этой системы сил находится в равновесии. На единицу площади приходится сила а. Торцы свободны от нагрузок.
Напряжения в бруске называются в этом случае сдвиговыми или скалывающими; они равны
o = a^pq + qp), °i) = o IPiqiA-qiPA (53.18)
(р и q — единичные векторы нормалей к боковым граням). Деформации можно представить в виде
(53.19)(53.19)е = 2as: pq. гм = 2oswpkql
(53.19)
(53.19)
(использована симметричность тензора s по двум последним индексам). Особый интерес представляет сдвиговая компонента тензора деформации рг-q = 2apq : s : pq =-- 2asijklplqjpkql. Отношение силы, приходящейся на единицу площади поверхности, к удвоенной сдвиговой компоненте тензора деформации называется модулем сдвига G (р, q) для пары взаимно перпендикулярных направлений р и q. Модуль сдвига определяется формулой
G^Cp, q) = ^pq-s:pq = 4si/klpiqJpkql. (53.20)
Более удобна для вычислений формула
G"1^ q^ = s^kpqA-qpXkpq^-qp^ (53.21) где
(pq+qpk=ptqi+qipi (17^=16).
Вывод этой формулы см. в приложении Е.
Формулы (53.20) и (53.21) показывают, что модуль сдвига G(p,q) симметричен относительно направлений р и q;
G(p, qWtib р).(53.22)
Экспериментально реализовать равномерно распределенные касательные усилия на поверхности сколько-нибудь точно довольно трудно, но модуль сдвига, определяемый формулой (53.22), играет важную роль в теории дислокаций. Именно, если п — единичный вектор нормали к плоскости скольжения, а / — единичный вектор направления скольжения, то для дислокаций, действующих в данной системе скольжения, наиболее существенной характеристикой упругих свойств кристалла оказывается как раз модуль сдвига G /)•
Если элементы скольжения — плоскость и направление — заданы индексами Миллера (пщ^п^ и U443l, обратную величину модуля сдвига можно подсчитать по формуле 'g^n^q^^
где Е? и Л7, — элементы матриц, связывающих орты кристаллофизической системы координат с базисными векторами кристаллической решетки (см. § 16 и приложение Б). Результаты таких подсчетов для ряда кристаллов содержатся в табл. 53.3.
Система скольжения
Обратная величина модуля сдвига G1 (п, 1) ♦
Кристаллы
Триклинная система
(100) [001]
s44 cos2 у* + $55 sin2 у* + 2s46 sin у* cos у*
|кианит
Моноклинная, система
(010) [001]
$44
| гипс
Ромбическая система
(010) [100]
$бв
арагонит (СаСО3)
(010) [001]
$44
антимонит
Тригональная система, классы 32, Зт, Зт
(111) [011] = (0001) [1210]
$44
Bi, кальцит
(100) [011] = (1011) [1210]
8с2 (5ц — Si2) + 3fl2S44 — Зое V3 $14
кальцит (СаСО3)
За2+4с2
Тетрагональная система, классы 422, Атт, 42т, А/ттт
(100) [001]
$44
p-Sn
(110) [ОН]
$44
p-Sn
(ПО) [1J1]
4а2 (sn—s12) +с2$44 2д2 + с2
p-Sn, NH4H2PO4 (ADP)
(101) [101]
4а2с2 (sn -J- S33 — 2$хз) + (д2—с2)2 $<»
p-Sn
(д2-|-С2)2
Таблица 53.3
Модуль сдвига G (д, I) для систем скольжения некоторых кристаллов
УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ[ГЛ VT
(112) [111]
J^z^jpSn+jIsKrj-Seejj-Sis^^
МН4Н2РО4 (ADP)
(2а2+с2)2
(121) [101]
4а2с2 ($ц 4- S33 4~ s66 — 2s13) 4- (а2 4* 5с2 -г- 2а2с2) s44
p-Sn
(а2 + с2) (а2+5с2)
Гексагональная система
(0001)[1120]
$44
Zn, Cd, Mg, Ti, Be, Co
(0110) [2110]
2 (8ц — s12)
Zn, Cd, Mg, Ti, Be
(0111)[2110]
8с2 (su—s12) 4- 3a2s44 За2+4с2
Ti
(1212) [1010]
2C2 (Sn — S12) 4- Л2$44 a24-c2
Mg
(1122) [1123]
4a2c2 (Su 4“ $зз — 2s13) 4" (g2—c2)2 $44 (a2_l_f2)2
Zn, Cd, Co
Кубическая система
(001) [100]
$44
TIBr-TlJ
(001) [НО]
$44
Al
(НО) [001]
$44
NH4C1, NH4Br, PbS, PbTe,
AuZn, TICl-TIBr, TlBr-TU
(ИО) [ПО]
2 ($п — $12)
NaCl, KC1, KBr, KJ, LiF
(ПО) [111]
4 ,x . 1
~g" (Sn —Sl2) + “g- $44
a-Fe, Mo, Nb, p-CuZn
(111) [ПО]
4 .x . 1
*g" ($11 — $12) 4-"g" S44
Ge, Ag, Au, Ni, Cu, CuAu, AICu, AlZn, a-CuZn
(Н2) [111]
41
■g" ($11 — $12) +g $44
a-Fe
(123) [111]
41
■g ($11 — $12) 4" -g $44
a-Fe, AgMg
Обозначения, а, с ■
— параметры решетки, у* — угол между основными векторами обратной решетки.
§ 53]ПРОСТЫЕ НАПРЯЖЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ
В отличие от изотропных тел, анизотропные тела под действием скалывающих напряжений претерпевают объемное расширение (или сжатие). Оно равно AVIV = ги = 2asiiklpkqi = 2а5д//7^, где S — тензор коэффициентов сжимаемости. Так как векторы р и q взаимно перпендикулярны, bklpkql = 0; отсюда следует, что объемное расширение под действием скалывающих напряжений определяется девиатором тензора всестороннего растяжения:
^-=20RMpkqt.(53.24)
Изгиб и кручение кристаллов
В предыдущем параграфе рассмотрены простые напряженные состояния, при которых тензор напряжений не зависит от декартовых координат; в этом рассматриваются некоторые простые напряженные состояния, характеризуемые линейной его зависимостью от координат ).
Рио. 54.1. Изгиб кристаллического бруска: специальная координатная система, изгибающие усилия и моменты.
Изгиб прямоугольного кристаллического бруска. Рассмотрим прямоугольный кристаллический брусок длины 2с» ширины 2а» толщины 2Ь» к торцам которого приложены изгибающие моменты М и — М соответственно. Свяжем с бруском специальную, вообще говоря, некристаллофизическую, систему декартовых координат ОХ'^Х^» как показано на рис. 54.1. Орты этой системы е\» еХ и ^з обозначим т» п и q соответственно. Изгибающие моменты /И и —М могут создаваться, в частности ), системой нагрузок, схематически изображенной на рис. 54.1: к торцу х^ = с приложены усилия Р = kx%q (на единицу площади), а к торцу Хз = —с приложены усилия — Р.
Изгибающий момент усилий, приложенных к торцу хз = с» а b
М= \ х'гпхР dS = i I x^nxltx'^q dx^dx^^a^km; (54.1) S—a—b
отсюда находим к = ЗЛ4/4аЬ3 и выражаем через величину изгибающего момента М граничные условия на торцах бруска 4 = ±с. Они равны а (± #) = ± (ЗЛ4/4аЬ3) x^q. Этим граничным условиям (а также уравнениям упругого равновесия) удовлетворяет тензор напряжений
° =(54.2)
в специальной системе координат не равна нулю лишь одна его компонента <jg = (ЗЛ1/4а^8) Хд. По закону Гука компоненты тензора деформации
ех= 4^55-5x3^.(54.3)
Штрихи здесь, как и в предыдущих формулах, показывают, что данная тензорная величина отнесена не к кристаллографической, а к специальной системе координат *). Так, коэффициенты s{3 вовсе не совпадают с табличными значениями коэффициентов упругой податливости, если только ребра бруска не направлены по соответствующим осям кристаллофизической системы координат; они связаны с табличными значениями коэффициентов упругой податливости данного кристалла suv соотношениями s{3 = Р\^Р^^ в которых элементы матрицы преобразования Рх\ определяются косинусами углов между осями специальной и кристаллофизической координатных систем ср, = cos (XI, Х^ как показано в приложении Е.
Изгиб бруска характеризуется постепенным изменением компоненты ф^ вектора малых вращений при продвижении вдоль бруска, т. е. в направлении оси Х^: изгиб ф = d^xldxV Согласно формуле (49.17) дф^дх^ = Rot ei3. Подсчитав по формуле (43.13) правую часть этого равенства, найдем
— -^£L dg4д\
дх' дх'а ~ дх' 2 дх#а *
Подставив сюда выражения (54.3) для компонент тензора деформаций, получим
=(54.5)
Отношение D = М!^ принято называть жесткостью бруска на изгиб. Заметив, что 1 /s33 — это модуль Юнга Е (q) в направлении длины бруска, получим
D(9)=4«5s£W.(54.6)
Оказывается, жесткость на изгиб не зависит (при заданном направлении вектора ^) от ориентации векторов тип.
В отличие от изотропных тел, анизотропные тела при изгибе закручиваются. Закручивание стержня естественно характеризовать изменением компоненты фз аксиального вектора малых вращений вдоль оси стержня Хз, т. е. производной ^ = дф^/дх£. Опять, используя формулы (49.17) и (43.13), получим
^ = ^к_^и.= *^L\(54.7)
дх\ дх^ 2 \дх{ дх^)х '
а подставив сюда выражение (54.3) для компонент тензора деформаций, найдем
Шм- <54'8*
Заметив, что s3B = 2s3331 = 2qq : s: qm, отнесем закручивание к произвольной системе координат:
^ = —^-$^<7^,^.(54.9)
Эта формула справедлива, в частности, и в кристаллофизической системе координат. Чтобы при расчете можно было непосредственно
пользоваться табличными значениями
Рис. 54.2. Специальная и местная системы координат для решения задачи о кручении круглого стержня.Рис. 54.2. Специальная и местная системы координат для решения задачи о кручении круглого стержня.коэффициентов упругой податливости 5хц, формулу (54.9) целесообразно преобразовать к виду
Рис. 54.2. Специальная и местная системы координат для решения задачи о кручении круглого стержня.
Рис. 54.2. Специальная и местная системы координат для решения задачи о кручении круглого стержня.
=—ws^ to^ ^qm+mq^'
(54.10)
. (W)x=W/(i/^X=l6),
(qm + mq^ = qkmt + mkq,
(feZ <^ p= 1, ..., 6).
Объем бруска при изгибе не изменяется: расширение одной его половины компенсируется сжатием другой.
Кручение круглого кристаллического стержня. Рассмотрим анизотропный круглый стержень радиуса R и длины 2/, к торцам которого приложены крутящие моменты К И-к, а боковая по
верхность свободна от нагрузок. Введем специальную, отличную,
вообще говоря, от кристаллофизической, декартову систему координат с началом в центре стержня, ось Хз которой (с ортом е^ = q) совпадает с осью стержня, оси же X} и Х^ (с ортами ej = т и е^ = я)
перпендикулярны к ней и друг к другу, а в остальном произвольны. Кроме того, введем в каждой точке местную систему координат,
построенную на ортах еГп е^ и q, направленных вдоль координатных линий цилиндрической системы координат (рис. 54.2). Цилинд-
рическая система координат связана со специальной соотношениями xl г cos ф, х^ = г sin ф.
Крутящий момент К может быть создан, в частности, приложенными к торцу %з = / усилиями Р = кге^ на единицу площади. Тогда
2л R
ооК = rxPdS = ^ У гегхkre^rdrd^ = ~nR^kq, (54.11)
о
о
s
откуда находим k = 2R/nR4. Граничным условиям б-q = = \2K/nR4) гв^ 6-er = 0 удовлетворяет тензор напряжений
о-^'^ + ^ф)-о-^'^ + ^ф)-(54.12)(54.12)
о-^'^ + ^ф)-
о-^'^ + ^ф)-
(54.12)
(54.12)
Чтобы выразить его в специальной системе координат, заметим, что ге^х'хП — х^т. Таким образом,
<y = ^[x;(/ztf + <7»)-^(m<7 + i7m)].(54.13)
Для вычисления деформаций запишем компоненты тензора напряжений в виде
(54.14)
эта форма записи непосредственно следует из (54.13). Деформации е{ равны
8Х = ^ (S^i - $Х^).(54.15)
Закручивание по оси на единицу длины стержня равно # = = дф^дхд. Воспользовавшись опять формулами (49.17) и (43.13), найдем
(54.16)(54.16)де2з _ де'3 _ 1 / де* де^ \дх' дл^ 2 \ дх{дх£ / *
(54.16)
(54.16)
Учитывая (54.15), получим
^ = ^(s;4 + s'B).(54.17)
Отношение С = К/^ называется жесткостью стержня на кручение; очевидно,
С=,(54.18)
(«44+5'5)v 7
Чтобы выразить жесткость С через табличные значения коэффициентов упругой податливости, рассмотрим выражение
^ ($44 + 5вв) = 5^323 + S1313 = S2323 + S1313 + S3333S3333 = S/E8^8S3333.
Здесь коэффициенты упругой податливости по-прежнему отнесены к специальной системе координат, но их уже можно выразить посредством единственного орта q, направленного по координатной оси XV Так как в произвольной декартовой системе координат это выражение можно представить в виде
sMhi4i4i — sMkiqiAi4kqi = Si/w (6м — qiq^ q,qb
где qj — компоненты единичного вектора q относительно этой системы, то жесткость стержня на кручение будет равна
|54',9)
У изотропного тела s44 = s66 = 1/G (G— модуль сдвига), так что его жесткость на кручение С = л/?4С/2. Поэтому величину
==(54'20>
называют модулем сдвига анизотропного материала для кручения. С помощью симметричного материального тензора второго ранга Z/z = Skjki и формулы (53.9) можно представить обратную величину модуля сдвига G"1 (q) в удобном для вычисления виде
G-4q) = 2(q-Z.q-E-4q^(54.21)
где Е-1 (q) — обратная величина модуля Юнга. Вид тензора Z для всех классов упругой симметрии представлен в табл. 54.1.
Поскольку анизотропные стержни при изгибе закручиваются, можно ожидать, что при кручении они будут изгибаться. И действительно, подсчитав
-I ' ^Ф1 ^®83^®23
VI — дх' “ дх'дх' л/?» 5ав»
_ ^Фз — ^k _ ^к _2/< ,
V2- ах' ~ дх' дх[ “л/?4 s34,
найдем, что ось изгиба параллельна вектору s'^tn + s^n, а абсолютная его величина
И это выражение зависит только от кристаллографической ориентировки оси стержня, т. е. от компонент qt ее орта q. В произвольной, в частности в кристаллофизической, системе координат
^=^" Vwn^^qqY^qqq-
Указательные поверхности модуля Юнга Е (q\ коэффициентов растяжения Е"1 (q), кручения G"1 (q) и Пуассона v (q) для ряда кристаллов представлены на некоторых рисунках к § 24 и на
Таблица 54.1
Тензор Zij = Sikjk для всех кристаллографическихи предельных классов (см. формулу (54-21))
Системы
2И ~ Sikjh
Триклинная система
$н *Ь1/4$бб + 1/4$66 1/4$4Б + 1 /2S16 + V 2$26 1/4$64 + V2$36 + 1/2S15
1/4$4Б + 1/2S16 + 1/2S26
$22 + XkS^ + V4$44 V4$66 + V2$24 + X!^M
V 4$64 + V2$ЗБ + 1/2$1B 1/4S66 + */2$24 + V2$34 $33 + XkS44 + 1/4$65
Моноклинная система
2|Хг
$11 + 1/4$Бб+1/4$66 0
1/4$64 + V2$36 + 1/2S15
0
$22+ V4$66+ V4$44 0
L/4$64 + 1/2$Зб + 1/2$1Б 0
$33 + X/4$44 + 1/4$65
2 Из
S11 + 1/4S65 + 1/4S66 1/4S46 + 1/2S16 + 1/2S26 0
1/4$4B + V2$16 + 1/2$26 $22+ 1/4$6б + 1/4$44 0
0 0
$33 + 1/4$44 + 1/4$55
Ромбическая система
$11 + 1/4$Бб + 1/4$66 0 0
0
$22 + Y!4$66 + V4$44 0
0 0
$33 + XkS44 + 1/4$ББ
Тетрагональная система
$u + l/4$44 + 1/4$66 0
0
0
$11 + 1/4$44 + 1/4$66 0
0 0 $Зз+1/г$44
Тригональная и гексагональная системы и текстуры
3/2$ll — 1/2$12+V4$44
0 0
0
3/2$11 — V2$12 + X/4$44
0
0 0 $8з + 1/г$44
Кубическая система
^и + ^г^ 0 0
0
$ll + 1/2$44 0
0 0 $п + 1/г$44
Изотропные тела
2$n— s12 0 0
0 2sn—s12 0
0 0 2$ц—s12
рис. 54.3—54.10. Для кристаллов кубической системы они показаны на рис. 24.4, а и б и 24.7. Если тензор коэффициентов упругой податливости s для кристаллов кубической системы записать в
Рис. 64.3. Указательные поверхности упругих свойств кристалла дигидрофосфата аммония (ADP), класс 42т: а) Е-1 (gr), стереографическая проекция; 6) G"1 (7), стереографическая проекция; в 10~13 см2/дин; в) G-1 (gr), сечения Симметрия поверхностей 4/ттт
форме (52.13), то уравнения указательных поверхностей Е 1 (#) и G"1 (д) принимают вид
г = Е-1 (д) = S}4) + SN№liklqiqjqkqh(54.22)
r = G~4q^ = ^№-SV^-^N^q^^(54.23)
где коэффициенты S определяются формулами (52.15), а нонор № — формулой (52.14). Таким образом, радиусы-векторы этих поверх-
ностей состоят из постоянного слагаемого (в (54.22) это SV1) и нормальной составляющей нонора № [тЗт], умноженной на некоторый коэффициент (в (54.22) это Sn1). Можно сказать, что указательные
Рис 54.4. Стереографическая проекция указательной поверхности коэффициента кру-чения G-1 (#) кристалла дигидрофосфата калия (KDP), класс 42m. Симметрия поверхно-сти 4/ттт; в 10~13 см2/дин.
Рис. 54.5. Стереографические проекции указательных поверхностей: а) коэффициент растяжения Е 1 (#); б) коэффициента кручения G-1 (^) кристалла пентаэритрита, класс 4, класс Лауэ 4/т. Симметрия поверхностей 4/ттт; в 10~13 см2/дин.
поверхности (54.22) и (54.23) — линейные комбинации указательных поверхностей единичного скаляра (сферы г = 1) и единичного нонора № 1тЗт1 (см. рис. 47.5). Таким образом, поверхность, изображенная на рис. 47.5, оказывается универсальной указательной
Рис. 54.6. Стереографические проекции (верхний ряд) и сечения плоскостью ХгХж (нижний ряд) указательных поверхностей упругих свойств кристалла турмалина, класс Зт: а) коэффициента растяжения Егг (qY, в 10~13 см2/дин; б) коэффициента кручения G*1 (qY. в 10"” см2/дин; в) коэффициента Пуассона v (дУ Симметрия поверхностей З/п. Плоскость Хг Хе изотропна.Рис. 54.6. Стереографические проекции (верхний ряд) и сечения плоскостью ХгХж (нижний ряд) указательных поверхностей упругих свойств кристалла турмалина, класс Зт: а) коэффициента растяжения Егг (qY, в 10~13 см2/дин; б) коэффициента кручения G*1 (qY. в 10"” см2/дин; в) коэффициента Пуассона v (дУ Симметрия поверхностей З/п. Плоскость Хг Хе изотропна.
Рис. 54.6. Стереографические проекции (верхний ряд) и сечения плоскостью ХгХж (нижний ряд) указательных поверхностей упругих свойств кристалла турмалина, класс Зт: а) коэффициента растяжения Егг (qY, в 10~13 см2/дин; б) коэффициента кручения G*1 (qY. в 10"” см2/дин; в) коэффициента Пуассона v (дУ Симметрия поверхностей З/п. Плоскость Хг Хе изотропна.
Рис. 54.6. Стереографические проекции (верхний ряд) и сечения плоскостью ХгХж (нижний ряд) указательных поверхностей упругих свойств кристалла турмалина, класс Зт: а) коэффициента растяжения Егг (qY, в 10~13 см2/дин; б) коэффициента кручения G*1 (qY. в 10"” см2/дин; в) коэффициента Пуассона v (дУ Симметрия поверхностей З/п. Плоскость Хг Хе изотропна.
поверхностью анизотропии упругих свойств всех кубических кристаллов. Она показывает, в частности, что плоскости {111} являются для них изотропными, а направления (100) и (111) — экстремальными.
Рис. 54.8. Стереографические проекции указательных поверхностей: а) коэффициента растяжения Е-1 ^У, б) коэффициента кручения G-1 (q) кристалла КВ5О8 *4Н2О, класс mm2. Симметрия поверхностей ттт; в 10~13 см2/дин.
Рис. 54.9. Сечения координатными плоскостями указательных поверхностей коэффициента растяжения Е-1 (</) (внутренняя поверхность) и коэффициента кручения G-1 (q) (внешняя) кристалла сегнетовой соли, класс 222 Симметрия поверхностей ттт (Wooster, 1949)
Указательные поверхности Е"1 (#) и G"1 (^) для трансверсальноизотропных по упругим свойствам кристаллов приведены на рис. 24.6. Если тензор s записать в форме (52.9), их уравнения примут вид
г = Е"* ф) = 8^ + S^Xwz + SV'A^^^(54.24)
г = 6Цд)Ц ($)4>-SF2')+ ^МШ<№-
-28^^^,(54.25)
1де D0 и № определяются формулами (52.10) и (52.11). Таким образом, эти поверхности оказываются линейными комбинациями сферы и указательных поверхностей тензоров D° \oolmm\ и № \оо!тт\ (см. рис. 47.1,6 и г). Коэффициенты разложения характеризуют роль отдельных неприводимых тензоров в формировании указательной поверхности.
На рис. 54.3—54.5 приведены стереографические проекции и сечения указательных поверхностей упругих свойств кристаллов тетрагональной системы. Эти указательные поверхности можно представить в виде линейных комбинаций сферы и указательных поверхностей D° [oo/m/n], № \oolmm\ и № 1тЗт]. Как показывает рис. 54.5, у кристаллов класса Лауэ 41т симметрия упругих свойств также 4/ттт, только плоскости симметрии упругих свойств не связаны у них с кристаллофизическими координатными осями.
ЛЛРис. 54.10. Стереографическая проекцияуказательной поверхности коэффициентарастяжения Е"1 (7) кристалла этилендиа-минтартрата (EDT), класс 2. Симметрияповерхности 2/т; в 10~13 см2/дин.Рис. 54.10. Стереографическая проекцияуказательной поверхности коэффициентарастяжения Е"1 (7) кристалла этилендиа-минтартрата (EDT), класс 2. Симметрияповерхности 2/т; в 10~13 см2/дин.У казател ьные поверхности Е*1 (q) и G"1 (^) кристаллов тригональной системы (см. рис. 24.8—24.11,54.6 и 54.7) — также линейные комбинации сферы и поверхностей D0 \oolmm\, № \со!тт\ и № 1тЗтК но последняя берется в «ромбоэдрической» установке (см. рис. 47.5,6). Так как для всех составляющих
Л
Л
Рис. 54.10. Стереографическая проекцияуказательной поверхности коэффициентарастяжения Е"1 (7) кристалла этилендиа-минтартрата (EDT), класс 2. Симметрияповерхности 2/т; в 10~13 см2/дин.
Рис. 54.10. Стереографическая проекцияуказательной поверхности коэффициентарастяжения Е"1 (7) кристалла этилендиа-минтартрата (EDT), класс 2. Симметрияповерхности 2/т; в 10~13 см2/дин.
плоскость ХхХ2, т. е. (0001), изотропна, она оказывается изотропной и для упругих свойств, что и подтверждается всеми этими рисунками. На рис. 54.7, в видно, что у кристаллов коэффициент Пуассона v (9) может принимать не только отрицательные значения, но и значения, большие 0,5, что у изотропных тел невозможно (см. формулу (63.23)).
Поверхности упругих свойств кристаллов ромбической системы, приведенные на рис. 24.5, 54.8 и 54.9, можно получить линейным комбинированием из набора для тетрагональных кристаллов, дополненного рис. 47.6. Наконец, на рис. 54.10 представлена поверхность Ё"1 (^) для " кристалла моноклинной системы.
Уравнения указательных поверхностей упругих свойств, в частности уравнения (54.22) — (54.25), можно получить путем линейного комбинирования уравнений поверхностей единичных неприводимых тензоров, приведенных в табл. 47.4.
Температурные напряжения в кристаллах
Уравнения упругого равновесия Div и = 0 и совместности деформаций Ink е = 0 справедливы независимо от того, находится ли весь кристалл при одной и той же температуре или температура от точки к точке меняется. Во втором случае, однако, необходимо принять во внимание температурные члены в законе Гука
ел = 5%л + ал0, 8 = s:G + a0. (55.1)
В результате уравнение Бельтрами — Митчелла становится неоднородным: вместо (51.17) получаем
Ink (s : а) = — Ink (а0). (55.2)
В однородных температурных полях все однородные тела, изотропны они или нет, расширяются совершенно свободно, если этому не препятствуют окружающие тела. В неоднородных же температурных полях одни части тела мешают свободно расширяться другим его частям, и это приводит к возникновению температурных напряжений в однородном теле, поверхность которого свободна от каких бы то ни было нагрузок. Теорема о единственности решения уравнений теории упругости показывает, что для возникновения температурных напряжений необходимо, чтобы уравнение Бельтрами — Митчелла (55.2) было неоднородно. Это выполняется лишь при Ink (а©) ^ 0; отсюда следует, что температурные напряжения не возникают не только в однородных температурных полях, но и в температурных полях, линейно зависящих от декартовых координат.
С другой стороны, условие Ink (а0) ^ 0 не только необходимо, но и достаточно для возникновения температурных напряжений. Действительно, если они отсутствуют, то тензор деформаций 8 = = а0 и он должен удовлетворять уравнению совместности Ink е = 0.
Так как поверхность кристалла свободна от нагрузок, средний тензор температурных напряжений и средний момент этого тензора равны нулю, что непосредственно следует из формул (50.15) и (50.16). Это обстоятельство часто используется при решении задач о распределении термоупругих напряжений.
Рассмотрим простейшую из таких задач — задачу о термоупругих напряжениях в кристаллической пластинке толщины 2а, температура которой меняется только по толщине (Инденбом, Силь- вестрова, Сиротин, 1956; Белобородова, Ровенская, Сиротин, 1972).
Введем декартову систему координат ОХхХгХ^ с началом в средней плоскости пластинки. Пусть оси Х'х и Ху, перпендикулярные одна к другой, лежат в средней плоскости пластинки, а ось Хз направлена по нормали к ней. Очевидно, не только температура, но и напряжения и деформации не зависят ни от х'ь ни от х^.
Уравнения упругого равновесия имеют поэтому вид ^ = 0(55.3)
dx^х '
(штрихомотмечено,чтокомпонентытензораоотнесенык системе Х^Х^Хз).Решенияихо£3 —константы.Всеониравнынулю,
так как, согласно (50.15),
а
^ь) = ^ j °'la dx'4 = 01
— а
Таким образом, oi = O4 = Og = 0,(55.4)
и отличны от нуля только три компоненты, о!, 0.2 И Og.
Из уравнений совместности, как показано в § 49 (формулы (49.20)), следует, что
= Ах + х^Вх(к = 1, 2, 6),(55.5)
где Ах и Вх — числа, не зависящие от х3.
Учитывая (55.4), закон Гука (55.1) можно записать в виде
Лх + ^Вх = 5хцОц + ах6 (X, jx = 1, 2, 6)(55.6)
(остальные три равенства, входящие в обобщенный закон Гука, нас не интересуют).
Усредним равенство (55.6) по пластинке, т. е. проинтегрируем обе его части по Хз от —а до а и результаты разделим на 2а. Учитывая, что усредненный тензор напряжений равен нулю, получим
Л^ = а{<©>(Х=1, 2, 6).(55.7)
(Угловые скобки означают усреднение по пластинке.) Умножим теперь обе части равенства (55.6) на х^ и снова произведем усреднение по пластинке. Воспользовавшись тем, что и усредненный момент тензора напряжений равен нулю, получим
Bi = ^ ах <^©> (X = 1, 2, 6).(55.8)
Таким образом, мы нашли три компоненты тензора деформаций:
ех = «х (<©> + j- 4 <хзв>)(X = 1, 2, 6).(55.9)
Три равенства (55.6), переписанных в виде
5хц^ = аЦ<0>4-^-х;<Хз©> —©) (X, ц=1, 2, 6), (55.10)
можно рассматривать как систему трех линейный уравнений относительно трех неизвестных компонент тензора напряжений, а'х,
Термоупругие коэффициенты у^ Для кристаллических пластинок
Системы и классы
Ориентация пластинки и выбор осей Х| и Х2
Коэффициенты ух
(отнесенные к специальной системе координат XiY^Zi)
Триклинная система
х,Нз 1 (0°1) ^'11 X, Х'||Х2
Y? = Лх [(s22s66 — S2%) ах + (s16s26—s66s12) а2 4- (Si2S2e — s22s16) а6], У' = Л1 [(Sxe^e — S12S66) «х + (SxxS66 — s^e) а2 + (SxaSxe — SxxS26) а6], Yg = ^1 [(S12S26 — S22Sie) а1 + (S12S16 — $хх$2б) а2 + ($11$22 — $12) аб] i
1 / Л1 = SX1S22S66 + 2s12Sx6S26 — SxxS50 — S22S J б — S66Sf 2-
^Иг х;нз х^Нз
Y' = ^2 [(S22S44 — S|4) а3 4" (S24S34 — 54452з) а2 4" (S23S24 —S22S34) ^4], Ya = Л2 [(S24S34 — S44S23) а3 + (s33$44 — $31) а2 + (S23S34 — s33s24) a4], Yb = ^2 [(s23s24 — 522^34) «3 4* (s23$34 — s33s24) a2 4“ (S22S33 — SiJ а4Й 1 / Л» = s22sa3s44 4- 2s23s34s24 — s22s|4 — s33s^4 — s44s|3.
х;цх2 х;н! Х'ЛХз
?' — ^з[(^зз555 — sj5) ax 4“ (S15S35 — s55s1b) OC3 4" (s13s35 — 833515) a5], У2 = ^з [(si5s35 — S55S13) ai4-(SiiS55 — sy5) a34-(S|3Si5 — sus35) a5], т'. = ^з[(81з8з5 — s33s15) al 4" (S13S15 — S11S35) 0C3 4" (slls33 —Sis) a5]’> 1 / Аз = 511S33S55 4- 2s13s15s35 — SnS5- — S33Sy5 — S^S;^.
Моноклинная система
х;ц х2 х (ОЮ) х; и х, || [Ooi]
?' = -^3 [(S11S55 —sf5) a3 4" (S35S15 — S55S31) a! 4- (S3|St5 — sus35) ^5]» Y2= ^з [(S35S15 — s55s31) a34" (s33s55 — s^,) ai 4- (s3|S35 — s33Si5) as], Yo = ^3 [(S3IS15 — SllSsd) «3 4" (S3LS35S33S15) al 4“ (S33S11 — S3 J a»]-
х;||Хз1|[001] х:ц х2||[ою]
у; = Л4 (s22ai — s12a2), Y2 = A( — S12«14-Si 1 ^-2)« Yo = °; 1 / -A4 = Si]S22 — s^2.
Таблица 55.1
УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ[ГЛ. VI
х' ± (001) Х'||Х2||[010]
Ф=Р—90°
?! = Л5 [(«22^1 — Si2a2) cos2 ф + (s22a3 — s23a2) sin2 ф — (s22a5 — s25a2) sin ф cos ф],
Ya = ^5 {(Sn«2 — suai) cos4 ф + (s33a2 — s23a3) sin4 ф +
4~ I(2s3i -[- S55) a2 — s23a! — Si2a3 — S25OC5 j sin2 ф cos2 ф 4- (s25ai — si5a2 ~H
+ Si 2a5) cos3 ф sin ф 4- (— s35a2 4- s25a3 4- s23a5) cos ф sin3 ф},7' = 0;
lM5=(SnS22 — S[2) cos4 ф 4™ (s22s33 — s2J ЧШ4Ф4-
4- (2s22s31 — 2s12s23 + s22s55 — s|5) cos2 ф sin2 ф —
— [(s22Si5 — s12s25) cos2 ф 4~ (S22S35 — s23s25) sin2 ф] sin 2 ф.
Ромбическая система
х;бХз± (001) х; (I ^ц [юо]
Yi ^4 ($22^1— s12a2), Ya= ^4 (— sI2a!4-5ца2),Ye — O;
1/^4 = sns22 — s22.
X' 1 (MZ) ^||Х2|| [010]
^\ = A%\№ ^claY-V^A [/2 (522^1 —Si2a2)4-/i2 (c/a)2 (s22a3 —s23a2)],
y2 = Л6 {/4 (sna2 — s12a!) 4-/14 Vcla-Y (s33a2 — s23a3) —
— /12/2 (c/a)2 [s23aj 4-s12a3 — (2s314-555) a2]}, Yo = O» 1M6 = /4 (sus22 — s?2)4-^4 (c/a)4 (s22s33 — s|3) 4-/z2/2 (c/a)2 (2s22s3i — 2s12s234-s22s55).
Тригональная система
все классы
Х'|| Х3± (0001)
?f = Y» = ai/(sii + si2). Vt=°-
Х'ДХх 1 (2110)
Х[Ц Х3П [0001] х;цх2ноно]
Y? t= A1 [ — s44s13a14- (sns44 — s?4) a3], y2 = Л7 (s33s44ai — s44s13a3), Yo — Л7$14 (s33a! —s13a3);
1/Л7 = 544 (5ц53зS^3)S33S^4.
классы 3 и 3
Х'||Х2 ± (ОНО) х; ЦХ111 [21Ю] Х'||Хз|| [0001]
Y^ = Л8S44 (s33a!—s13a3),
Ya = A8 [—s^s^a! 4- (SuS44 — s|5) a3], Y'= ^sS25 (s33^i — s13a3);
1 /Лд = 544 ($11S33 Sj3) S33$25.
§ 55]ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В КРИСТАЛЛАХ
Системы и классы
Ориентация пластинки и выбор осей х' и Ха
Коэффициенты ух (отнесенные к специальной системе координат x'y'zO
классы
32, З/тг, З/тг
Х'ДХ8 1 (ОНО) X', ХЛрПО] х: и хэ II [0001]
Y^ = Л9($з3a1 — $13а3),Т2 = ^И —81з«1 + $11Оз).Ye=°;
1 / Л» = $Ц$33 S^g .
Гексагональная система и текстуры
х;цх3± (0001)
vf=т£ = «!/($!!+$[2),7^=0.
х^ ± Хз
х; 1 х3, хдх»
Т1 = л9 (Sas®!—$13а3),?2 = Л» ( — $„«, +5ца3),Ye = °;
1 /Л9 = $Ц$33 Sgg.
Тетрагональная система
Х'|| Х3± (001)
Yf=Y2=ai/(su+siJ> т£=°-
Х'ЦХ. ± (100) х;цх2||[010] Х21| Xs || [001]
?[ = Л6 (Ssaa!—$13а3),?2 = Л ( — Sisai+SnOg), Ye = °;
1/Л9 = $ц$зз $|3.
все классы
X' Л (ПО) х; in по] X' II Хз и [001]
у' =4Л1о (5зза1 — s13a3),72 = Лю [ — 4s13ax4-(2sn + 2s12 + s66) а3|,у'=0;
1Мю = 5зэ (2sn + 2si2 + s6o) — 4sJ3.
классы 422, 4/72/72, 42/72, ^(ттт
X' ± (AOZ)
X' II Х2 II [010]
Vl = Лц [№ (c/a)2 + Z2] [/2($1! —S|2> «1+/12 (c/a)2 ($иаз — sl3ai)],
V2 = Ли [Z4 ($n — sI2)ax+№ (c/a)4 $33», — Si3a3) +
+h2l-(c/a)- [ ($13 + ^44) ai — $12аз]} > Ye= 0; l/Лц = Z4 ($n —$i2) + /i4 (c/a)4 ($n$33 — $;3) +/i2Z2 (c/a)2 (2$uSi3—2$i2$i3-i-$u$44).
Таблица 55.1 Продолжение^
УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ[ГЛ. VI
X; 1 qm х; 11 [1I0J
у[ = Л12 [2/i2 (c/a)2 + Z2] (Z2So6ai + А2 (с№ [(2sn +2s1? + s66) a4-4sl3a1]},
Ya = Аг {^«66»] + 8/г4 ^с/а^ (S33ai — si3a3) +
-1- h2l2 (с/а)2 [4 (Sis + s44) а4 — (2su + 2si2 — s66) a3]}, у' = 0;
1 /^12 = ^s66 (sn 4- $12) 4- 2/г4 (с/a)4 (2snS33 + 2s12s33 + s66s33 — 4s2 J +
+ h2l2 (c/a)2 (4s66s13 + 2sus44 4- 2s12s44 -|- s66s44).
Кубическая система
х; ± toon
Yl = Ya = a/(sn + si2) >Yi = °-
%U (ПО) х;ц[1Ю].х'||[001]
Т' = 4Л1з($п — s12)a, Y2=-^13 (2sn — 2s12-j-s44) a, Ye = ^> 1M13 = sn (2su + 2s12 + S44)4sJ2.
Х£ ± (111)
tf = Ys = 6a/(4sll + 8s12 + S44).T« = °-
X' ± (MZ) х; у 10Ю]
-у; = Ли (/i2 + Z2)2(sn —s12)a, Тз = Ли [(W+Z4) (su— s12)+/i2Z2s44]a,^ = 0;
1/Л44 = (Zz4 + Z4) (sf j — s;») 4~A2Z2 (2sns12 — 2$7Й + $ц$44).
х; ± (MZ) ХЯЦ1Ю]
Yi = ^15 (2/i2+ Z2) |72s44 + h2 (?sn — 2s12 + s44)] a,
У2 = /^15 [/4S44 + 8/i4 (Su—s12)+^2 (5s44—2sn + 2s12)] a, Yo = ^’> 1/^15= ^4 (sll ~H SL2) S44 4™ 2/24 f(2sn + 2s12 -|-S44) 5ц — 4Sj2] Ц^-КЧ2 (2su 4“ 6s124~ s44) s44-
Изотропные тела
Обоз Пуассона.
качения а, с, В -
?1 = ?2 a/(sll + S12) = a£/(l — V)>V» = 0-
-параметры кристаллической решетки, h, I — индексы Миллера, E — модуль Юнга, v — коэффициент
§ 55]ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В КРИСТАЛЛАХ
о.,, Og. Эту систему легко решить, найдя матрицу d^ обратную матрице s^:
^${ц = 6хц (х, к Ц=1, 2, 6).(55.11)
Поле термоупругих напряжений определяется формулами
<У% =<У% =dk^x (<©> + ^ х^ <^©> - б)Оdk^x (<©> + ^ х^ <^©> - б)О(х, Х= 1, 2, 6), (х = 3, 4, 5).(х, Х= 1, 2, 6), (х = 3, 4, 5).(55.12)(55.12)
<У% =
<У% =
dk^x (<©> + ^ х^ <^©> - б)
О
dk^x (<©> + ^ х^ <^©> - б)
О
(х, Х= 1, 2, 6), (х = 3, 4, 5).
(х, Х= 1, 2, 6), (х = 3, 4, 5).
(55.12)
(55.12)
Отсюда с помощью закона Гука (55.1) можно получить и три еще не найденные нами компоненты тензора деформаций.
Если температурное поле симметрично относительно средней плоскости пластинки: 0(—Хз) = 0(хз), то средний его момент (хз©) обращается в нуль, и вместо (55.12) имеем
(х, Х=1, 2, 6), (х = 3, 4, 5).(х, Х=1, 2, 6), (х = 3, 4, 5).(55.13)(55.13), _ | d^ax «©> - ®)
(х, Х=1, 2, 6), (х = 3, 4, 5).
(х, Х=1, 2, 6), (х = 3, 4, 5).
(55.13)
(55.13)
°”- о
Симметричное относительно средней плоскости пластинки температурное поле получается, в частности, при равномерном нагреве пластинки (см. § 33). В обозначениях этого параграфа выведенная там формула (33.12) принимает вид
e-<®>=#l3(4F4 ,55J4)
где h — скорость повышения температуры, ^ = ^3 — компоненты тензора температуропроводности в системе Х;Х^, а —полутолщина пластинки. Таким образом, при равномерном нагревании кристаллической пластинки в ней возникают термоупругие напряжения
О(х = 3, 4, 5).О(х = 3, 4, 5).(55.15)(55.15)
О(х = 3, 4, 5).
О(х = 3, 4, 5).
(55.15)
(55.15)
При нагревании пластинка обычно оказывается сжатой с краев — там напряжения равны о^ (± а) = — d^xaxha? I^h^ — и растянутой посредине; в средней плоскости пластинки напряжения ах (0) = = d^a^ha2/^^). При охлаждении пластинки й<0, поэтому все напряжения противоположны возникающим при нагревании ).
Коэффициенты yH = d'Hxoix для кристаллических пластинок различных ориентаций приведены в табл. 55.1. По размерности и даже по порядку величины они совпадают с коэффициентами термоупругости рх (см. §51), численно же от них отличаются, так
как коэффициенты d^x не равны коэффициентам с^х. При пользовании этой таблицей следует иметь в виду, что коэффициенты у^ отнесены к специальной системе координат XJXaXg, связанной с пластинкой — поэтому они и отмечены штрихом. Коэффициенты же s^ и аА отнесены к кристаллофизической системе координат, что позволяет сразу подставлять в выписанные формулы их табличные значения.
Вообще о термоупругости анизотропных тел см. работу Узда- лева (1967).
Упругие волны в кристаллах
Распространение упругих (звуковых и ультразвуковых) волн в кристаллах имеет ряд характерных отличий от распространения их в изотропных телах. Отличия эти до известной степени напоминают отличия между распространением света в кристаллах и в изотропных телах.
Плоская упругая волна (безразлично в кристалле или в изотропной среде) описывается полем вектора смещения
u^r, t) = Apex$№'r — itot).(56.1)
Здесь А — амплитуда волны, р — вектор поляризации, т. е. единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором смещения, к = (2л/Х) т — волновой вектор, о) = (2л/Х) и — циклическая частота, X — длина волны, и — фазовая скорость, т — единичный вектор волновой нормали. Действительные смещения равны вещественной части этого комплексного выражения. Удобно переписать формулу (56.1) в виде
и (г, I) = Ар ехр [(2л//%) (т • г — ^)].(56.2)
Поле смещений должно удовлетворять уравнениям эластодина- мики
d2wz __ d^Ui c^kl dxjdxb “Р d/2 ’ где с^к1 — адиабатические коэффициенты упругости кристалла, р — его плотность. Подставив выражение (56.2) в уравнение движения и заметив, что в применении к экспоненциальным функциям вида (56.2) дифференцирование по / сводится к умножению на —(2л//Х) и, а по Xj — на (2л//Х) тр получим основное уравнение теории упругих волн в кристалле — уравнение Кристоффеля
CijkimjmkPt^p^pt.(56.3)
Учитывая внутреннюю симметрию тензора с, введем симметричный тензор Кристоффеля
Mu = cljklmjmk1 № = т с т,(56.4)
Поскольку тензор М зависит не только от материального тензора с, но и от направления распространения волны, он не является материальным тензором, и поэтому его внешняя симметрия может быть и ниже, чем симметрия кристалла ). Подставив его в (56.3), получим уравнения Кристоффеля в форме
MuPi = 9^Ph Мр = ри2р. (56.5)
Часто пользуются приведенным тензором коэффициентов упругости Х^м = Сцк1/р и приведенным тензором Кристоффеля Ки = = ^ijkimjmk. Уравнения Кристоффеля принимают при этом вид
Xupt = ^pv (56.5')
Уравнения Кристоффеля показывают, что векторы поляризации р упругих волн, распространяющихся в кристалле в направлении т, являются собственными векторами тензора Кристоффеля М (т) или Л (ш). Если тензор Кристоффеля М (ш) имеет три различных собственных значения, то в данном направлении т могут распространяться три изонормальные взаимно перпендикулярные упругие волны, фазовая скорость и^ каждой из которых определяется собственным значением ) pv^t соответствующим данному собственному вектору pw (у приведенного тензора Кристоффеля Ли собственные значения равны квадратам фазовых скоростей о^. То, что через кристалл могут распространяться лишь волны строго определенной поляризации, роднит кристаллоакустику с кристаллооптикой. В отличие от электромагнитных волн, в заданном направлении т распространяются три упругие волны, а не две. Та из них, вектор поляризации которой составляет наименьший угол с вектором волновой нормали, называется квазипродольной, остальные две — квазипоперечными. Может оказаться, что вектор поляризации одной из волн совпадает с вектором волновой нормали, тогда она продольна, две другие волны в этом случае обязательно поперечны. Такое направление т называется продольной нормалью. Может случиться, что только одна волна поперечна; при этом угол между вектором поляризации квазипродольной волны и волновой нормалью равен углу между вектором поляризации квазипоперечной волны и плоскостью волнового фронта. В этом случае т — поперечная нормаль.
Если два собственных значения тензора М (т) совпадают, то в направлении т может распространяться квазипродольная волна с вектором поляризации р^, фазовая скорость которой и(о) опре-
деляется однократным собственным значением рУ(0), а также множество квазипоперечных волн с одинаковыми скоростями и(1), векторы поляризации которых имеют всевозможные направления, перпендикулярные к р(0). Одна из этих волн — чисто поперечная; ее вектор поляризации pw || (р^ X т\ Направление т называется в этом случае акустической осью. Если при этом т оказывается еще и продольной нормалью, т. е. р(0) = т, то все волны, поляризованные перпендикулярно к р^, поперечны, и направление называется продольной акустической осью (см. Хаткевич, 1962).
Чтобы вычислить фазовую скорость упругой волны, следует найти соответствующее собственное значение тензора Кристоффеля. Этот трудоемкий метод необходим, однако, лишь тогда, когда неизвестно направление вектора поляризации р. Если же оно известно, скорость волны легко подсчитывается по формуле
V = У ^рт :с:тр = У^ сумр^^р;,(56.6)
которую можно записать в удобном для вычислений виде
и = У^ CxixULy.,(56.7)
где
с^=сцм (i, j^-X-X, ..., 6; k, Z*»p=l, .... b),
/ Pim, (ij^X=\, 2, 3),K — \plmj-Vmipf Щ**Х = 4, 5, 6).
В частности, фазовая скорость продольной волны
f =(5618)
где
( т,т/ (Z/**X=1, 2, 3),
( 2mim/ (Z/**X = 4, 5, 6).
Вывод формул (56.7) и (56.8) дан в приложении Е. Напомним, что для пользования формулой (56.7) необходимо знать, что данные векторы тир могут служить волновой нормалью и вектором поляризации одной и той же упругой волны. Аналогично, пользоваться формулой (56.8) можно лишь при уверенности, что т — продольная нормаль данного кристалла.
Когда упругая волна распространяется в анизотропной среде, поток энергии, вообще говоря, отклоняется от волновой нормали.
12 Ю. И. Сиротин, М. П. Шаскольская
Скорость и направление потока энергии характеризуются вектором лучевой, или групповой, скорости ) дсодсо
= w^lkr<56-9)
Чтобы связать лучевую скорость с другими характеристиками упругой волны, скалярно умножим обе части уравнения Кристоффеля (56.3) на вектор поляризации р. Получим равенство
Cijhipimjm-hpi = pv2, pm :с:тр = ри2.(56.10)
Умножив обе его части еще на 4л2Д2, можно представить его в виде
Cijlmplkjk^m = р©2, рк: с : кр = р©2.(56.11)
Продифференцировав (56.11) по к, получим
р.с:кр+рк:с-р = 2р<й^-.
Отсюда, воспользовавшись формулой (56.9) и внутренней симметрией тензора с, найдем лучевую скорость
ф/ = -^/;тр,р„&,<•) = — (/? с р) А?;
удобнее представить ее как функцию от и и т\
wf = -^CiJkiplpimk,® = -^фср)т. (56.12)
Симметричный тензор второго ранга
Plh = cMhlplpb Р=р с р(56.13)
назовем вторым тензором Кристоффеля. Подставив его в (56.12), получим
wi = -^pikmk' ю = "^Рт-(56Л4)
диСО; = ч, НО ЭТИ dmi нормали т, дляскорость опредедиСО; = ч, НО ЭТИ dmi нормали т, дляскорость опредеЕсли направление лучевой скорости упругой волны совпадает с волновой нормалью, будем называть эту волну (по аналогии с кристаллооптикой) обыкновенной, в противном случае — необыкно-
ди
СО; = ч, НО ЭТИ dmi нормали т, для
скорость опреде
ди
СО; = ч, НО ЭТИ dmi нормали т, для
скорость опреде
венной. Из уравнения (56.14) ясно, что упругая волна является обыкновенной в том и только в том случае, когда вектор волновой нормали т — собственный вектор второго тензора Кристоффеля Р. Обыкновенными оказываются, в частности, все продольные волны. Действительно, у продольной волны т — вектор поляризации и потому является собственным вектором первого тензора Кристоффеля М; но по той же причине у продольной волны оба тензора Кристоффеля совпадают, так что т — собственный вектор и второго тензора Кристоффеля Р.
Геометрически очевидно, что проекция вектора лучевой скорости на направление волновой нормали равна фазовой скорости. Это нетрудно вывести и аналитически. Скалярно умножив обе части соотношения (56.12) на единичный вектор волновой нормали т и приняв во внимание (56.10), получим
w-m = v.(56.15)
Итак, лучевая скорость равна фазовой только у обыкновенной волны, а у необыкновенной превышает фазовую и тем в большей степени, чем сильнее направление потока энергии отклоняется от волновой нормали. Угол ф между направлением потока энергии и волновой нормалью определяется соотношением
cos ф = ш • 5,(56.16)
где s = (о/о) — единичный вектор луча. Из уравнения (56.14) найдем о/м и, скалярно умножив на т, получим
т-Р-три2
СУт Р Р т ~ VPtjPikmjmb *
Следует иметь в виду, что отклонение луча от волновой нормали достигает иногда десятков градусов (см., например, рис. 56.6, 56.8, 56.11, 56.14, 56.16), так что пренебрегать им недопустимо. Вообще в кристаллоакустике анизотропия кристаллов проявляется значительно сильнее, чем в кристаллооптике, особенно в области видимого света (в инфракрасной области анизотропия оптических свойств кристаллов выражена несколько ярче, чем в видимой).
В направлении т, не являющемся акустической осью, могут распространяться три взаимно перпендикулярно поляризованные волны с векторами поляризации р(о), р^, р^ и фазовыми скоростями и(0), и(1) и о^у Каждой из них соответствует свой вектор лучевой скорости w(Z) = (ри^))-1?^) т. В направлении же акустической оси может распространяться, кроме квазипродольной волны {т, р^У множество квазипоперечных волн {ш, Р(ф)}, где ср — угол, отсчитываемый от некоторого направления в собственной плоскости тензора М. Им соответствует множество лучей
(56.18)
Эти лучи, очевидно, образуют некоторый конус, а вся картина в целом представляет собой акустический аналог известного в кристаллооптике явления внутренней конической рефракции (см. § 39) ).
Рассмотрим, например, упругую волну, распространяющуюся в кристалле тригональной системы вдоль его главной оси симметрии: т = е3. Тогда тензор Кристоффеля Ми = ci33h что для кристаллов тригональной системы дает (см. табл. Д. 18)
II ^44 00|
ЦЛМ= О С41 о .
00^зз
У этого тензора есть однократное собственное значение с33, соответствующее собственному вектору р^ = е3 = т, т. е. продольной волне, распространяющейся со скоростью и(о) = "Кс33/р, и двукратное собственное значение с44, соответствующее множеству собственных векторов
Р(^ = е1cos ф + е2sin Ф,
т. е. всевозможным поперечным волнам (p^_Lmy распространяющимся со скоростью 0(d = "K^Vp- Каждой из таких волн соответствует свой второй тензор Кристоффеля
Р^ = С1Ш cos2 ф + cmi sin2 ф + (cil2l + ст/) sin ф cos ф.
Учитывая вид тензора с для кристалла тригональной системы), получим
| 5ц cos2 ф + Сев sin2 ф (Сц — с66) cos ф sin ф 2с14 sin ф cos ф II || Р^ || = (сп — сбв) cos ф sin ф Сц sin2 ф+cee cos2 ф с14 (cos2 ф — sin2 ф) .
2с14 cos ф sin фc14(cos2 ф — sin2 ф)с44||
Поэтому у каждой поперечной волны с вектором поляризации pw своя лучевая скорость
«’(Ф) = /<WP [^3 + (с14/с.м) («1 sin 2<р + е2 cos 2<р)].
Таким образом, каждый луч составляет с направлением волновой нормали т = е3 угол ф = arctg (ci4/c44), а все они вместе образуют круговой конус. Сопоставляя поляризацию и направление каждого луча, получим распределение поляризации по конусу, показанное на рис. 56.1.
Направления (111) в кристаллах кубической системы являются осями симметрии третьего порядка и вокруг них также
происходит коническая рефракция поперечно-поляризованных волн. Отклонение лучей от волновой нормали в этом случае равно
сталлооптики, — не малый эффект;
приведем угол ф для несколь-
ких кристаллов:
Тригональные:сапфир
кварцкальцит
ф = 9°05'
17°10'30°45'
Кубические:NaCl
кремний флюорит
'ф = 8е45/
12°40'13°40'•
При распространении упругих
волн вдоль направлений, свя-
ф = arctg
С И —С12 — 2с44
V 2 (Сц — ^2 + ^44)
Коническая рефракция в кристаллоакустике, в отличие от кри-
занных с элементами упругой симметрии кристалла, волны могут
оказаться продольными, поперечными, обыкновенными и т. д. Исследование возникающих при этом возможностей основано на том, что оси симметрии тензоров Кристоффеля М и Р совпадают с их собственными векторами; собственные же векторы тензора М (ш) служат векторами поляризации упругих волн с нормалью ш, а совпадение одного из собственных векторов тензора Р (р) с волновой нормалью т указывает на то, что волна {т, р} обыкновенна.
Тензор М = теш определяется тензором с и диадой шт; согласно принципу Кюри среди элементов симметрии этого тензора обязательно содержатся те, которые являются общими для с и шш:
G(N)^G(c)nG(mm). (56.19)
Рис. 56.1. Распределение направлений поляризации при конической рефракции вокруг оси симметрии третьего порядка. Показаны плоскости симметрии. Оси второго по рядка следует представлять себе лежащими ниже плоскости чертежа (это не стереографическая проекция).Рис. 56.1. Распределение направлений поляризации при конической рефракции вокруг оси симметрии третьего порядка. Показаны плоскости симметрии. Оси второго по рядка следует представлять себе лежащими ниже плоскости чертежа (это не стереографическая проекция).Группы G (с), т. е. группы упругой симметрии кристалла, перечислены в § 52; группа симметрии диады mm G (mm) = oolmm, причем главная ось симметрии совпадает с направлением т. Для тензора Р(р) аналогично получим
Рис. 56.1. Распределение направлений поляризации при конической рефракции вокруг оси симметрии третьего порядка. Показаны плоскости симметрии. Оси второго по рядка следует представлять себе лежащими ниже плоскости чертежа (это не стереографическая проекция).
Рис. 56.1. Распределение направлений поляризации при конической рефракции вокруг оси симметрии третьего порядка. Показаны плоскости симметрии. Оси второго по рядка следует представлять себе лежащими ниже плоскости чертежа (это не стереографическая проекция).
G (Р) 2 G (с) ПС фруG (Р) 2 G (с) ПС фру(56.20)(56.20)Исходя из этих соотношений, приступим к анализу отдельных случаев.
G (Р) 2 G (с) ПС фру
G (Р) 2 G (с) ПС фру
(56.20)
(56.20)
Пусть вектор т совпадает с одной из осей симметрии порядка N > 2. Тогда эта ось окажется осью симметрии того же порядка и для тензора М. Но так как, согласно теореме Германа,
все оси выше второго порядка служат для тензора второго ранга осями бесконечного порядка, тензор М будет иметь симметрию со 1тт\ два его собственных значения совпадут; один из его собственных векторов направится по оси оо (т. е. по направлению т\ остальные заполнят перпендикулярную плоскость. Отсюда следует, что все оси симметрии порядка N > 2 служат продольными акустическими осями кристалла. Упругие волны, распространяющиеся вдоль них, или продольны, или поперечны, причем поперечные волны могут иметь любую поляризацию и скорости всех поперечных волн одинаковы.
Продольные волны по общему правилу обыкновенны; поперечные же требуют отдельного исследования. В п. 2 доказывается, что поперечные волны обыкновенны уже в том случае, когда волновая нормаль направлена по оси симметрии второго порядка. Ясно, что для оси шестого (бесконечного) и четвертого порядка это также справедливо. Так как в изотропном теле любое направление может служить осью оо, такими же свойствами обладают все упругие волны в изотропных телах. Поперечные же волны, распространяющиеся вдоль оси симметрии третьего порядка, как показано выше, необыкновенны.
Пусть вектор т направлен по одной из осей симметрии второго порядка тензора с. Эта ось оказывается осью симметрии второго порядка и для тензора М; значит, по ней направлен один из его собственных векторов, а два других ей перпендикулярны. Таким образом, оси симметрии второго порядка тензора с служат продольными нормалями кристалла, но не являются его акустическими осями. Наряду с продольной волной вдоль оси второго порядка распространяются две поперечные волны, имеющие различные фазовые скорости и строго определенные поляризации P(i) I т и pw I т. Если тензор с кроме оси 2 || т имеет перпендикулярно к ней ось симметрии четного порядка, то один из поперечных векторов поляризации направлен по этой оси; в этом случае и направление второго поперечного вектора поляризации окажется осью второго порядка для тензора с. Если же тензор с не имеет перпендикулярных к 2 || т осей симметрии четного порядка, направление поперечных векторов поляризации определяется коэффициентами упругости кристалла; это имеет место, например, в кристаллах тригональной и моноклинной систем.
Подчеркнем, что ось второго порядка для тензора с может вовсе не являться таковой для кристалла; например, кристалл класса т вообще не имеет никаких осей симметрии, однако его тензор с наряду с плоскостью симметрии т имеет перпендикулярную к ней ось второго порядка ); другой пример — кристаллы низших под-
систем тетрагональной и тригональной систем не имеют осей второго порядка, перпендикулярных к главной оси симметрии, а их тензоры с такие оси имеют. Нас же сейчас интересуют именно элементы симметрии тензора с, а не элементы симметрии кристалла.
Не только продольная волна, но и обе поперечные оказываются обыкновенными даже в общем случае, когда в G (с) не входят оси четного порядка, перпендикулярные к оси 2 || т. Это объясняется тем, что ось 2 || т входит в пересечения групп
Рис. 56.2. Графическое доказательство того, что вдоль осей симметрии второго порядка распространяются продольная и две поперечные упругие волны, и того, что не только продольная волна, но и поперечные обыкновенны, а) и б) Стереографические проекции элементов упругой симметрии G (с) и элементов симметрии диады волновой нормали G (пгт) с учетом их взаимного расположения; в) пересечение этих групп; оно входит в группу G (М) тензора М; г) элементы симметрии G (М); по осям 2 направлены векторы поляризации р^, один из них (р0) совпадает с т, ему соответствует продольная волна; д) элементы симметрии G (pipi); е) пересечение групп G (рг, р^ и G (с); оно входит в группу G (Pi); ж) элементы симметрии тензора Pf, одна из осей 2 совпадает с т, что и показывает, что волна tm, pi) обыкновенна.
G (с) П G (P(i)P(i)) и G (с) Л G (р(2)Р(2)) (рис. 56.2) и потому служит осью второго порядка и для тензоров Р (р(1)) и Р (р(2)).
Пусть вектор т перпендикулярен к оси симметрии второго порядка тензора с или, что то же самое, лежит в одной из его плоскостей симметрии. Тогда эта ось второго порядка окажется одновременно и осью второго порядка для диады тт, а следовательно, и для тензора М (т). Значит, с ней совпадает один из его собственных векторов. Но так как эта ось перпендикулярна к вектору т, направленный по ней собственный вектор тензора М является вектором поляризации чисто поперечной волны. Остальные два вектора поляризации не являются вообще ни продольными, ни поперечными. Таким образом, все направления, перпендикулярные к осям второго порядка тензора с или лежащие в его плоскостях симметрии, оказываются поперечными нормалями. В данном
случае нет оснований ожидать, что какая-либо из волн (хотя бы поперечная) окажется обыкновенной
Заметим, что поскольку все оси симметрии четного порядка заодно являются и осями второго-порядка, все сказанное относится и к направлениям, которые перпендикулярны к этим осям. Что касается направлений, перпендикулярных к осям третьего порядка, то на них это, разумеется, не распространяется.
Поскольку оси симметрии шестого (бесконечного) и четвертого порядков служат одновременно и осями второго порядка, направления, перпендикулярные к этим осям, также являются поперечными нормалями. Но, в отличие от направлений, перпендикулярных к осям симметрии второго порядка, направления, перпендикулярные к осям шестого (бесконечного) и четвертого порядка, обладают и другими замечательными свойствами. Очевидно, достаточно рассмотреть направления, лежащие в плоскости (001) кристалла тетрагональной системы. Для этих направлений вектор волновой нормали можно представить в форме т = ех cos ср + е2 sin ф, и тензор Кристоффеля принимает вид
Ми = clxu cos2 ф + cmi sin2 ф + ^с1Ш + с/21/) sin ф cos ф.
Для кристаллов тетрагональной системы это дает
HM/Z || =HM/Z || =Си СО82ф + св6 8Ш2 ф(ci2 + cee) sin ф cos фоСи СО82ф + св6 8Ш2 ф(ci2 + cee) sin ф cos фо(С12 + С6б) Sin ф COS ф 0
HM/Z || =
HM/Z || =
Си СО82ф + св6 8Ш2 ф(ci2 + cee) sin ф cos фо
Си СО82ф + св6 8Ш2 ф(ci2 + cee) sin ф cos фо
Си sin2 ф + cee cos2 ф 0
0с44
Отсюда ясно, что направление вектора поляризации поперечной волны р^ = £3 и скорость этой волны у(1) = ]/с44/р не зависят от направления волновой нормали к плоскости (001), т. е. от угла ф. Таким образом, плоскость (001) в кристаллах тетрагональной системы изотропна относительно упругих волн, поляризованных перпендикулярно к этой плоскости: все они распространяются с одинаковой скоростью. В кристаллах гексагональной системы тем же свойством обладает плоскость (0001), в кристаллах кубической — все плоскости типа {100}.
Второй тензор Кристоффеля таких волн Ри = q33Z для кристалла тетрагональной системы принимает вид
||р-Н°||р-Н°ос44 0ос44 000с3300с33
||р-Н°
||р-Н°
о
с44 0
о
с44 0
00
с33
00
с33
Совпадение двух его собственных значений показывает, что вся плоскость ХхХ21 т. е. (001), для него является собственной. Таким образом, при любом направлении вектора т в изотропной плоскости он является собственным вектором тензора Р, и следовательно, волны, распространяющиеся в изотропной плоскости и поляризованные перпендикулярно к ней, оказываются обыкновенными.
Выше рассмотрены все случаи, когда некоторое направление в кристалле является продольной нормалью, поперечной нормалью или акустической осью вследствие своего особенного положения относительно элементов симметрии тензора коэффициентов упругости с. Однако это особенное положение относительно элементов симметрии тензора с — достаточное, но отнюдь не необходимое условие того, что данное направление представляет собой продольную или поперечную нормаль или акустическую ось. В действительности продольные нормали, как показал Ф. И. Федоров (1965), есть в любом кристалле, какова бы ни была его симметрия. Доказательство основано на том, что вектор т, если он представляет собой продольную нормаль, является собственным вектором тензора М, т. е. удовлетворяет уравнению
me: mm = pv2m,c'ijMmjmkmi = ри2т/. (56.21)
Рассмотрим теперь функцию
F (т) = тт : с : mm = с^трьт^(56.22)
где т —единичный вектор:
f(m) = 2(mm — l) = 2(mzmz — 1) = 0.(56.23)
Функция F (т) определена на поверхности сферы т • т = 1 и, как
всякая непрерывная функция, определенная на замкнутом множестве, достигает на этом множестве наибольшего и наименьшего значений. При соответствующих значениях т удовлетворяются уравнения условного экстремума в форме Лагранжа:
(56.24)
dmt х и
Подставив в (56.24) функции F и f, определяемые формулами (56.22) и (56.23), получим в точности уравнения продольной нормали (56.21); неопределенный множитель Лагранжа к оказывается равным ри2. Таким образом, в любом кристалле существуют по крайней мере две продольные нормали: одна из них соответствует наибольшему, а другая — наименьшему значению функции F. На рис. 56.3 представлена эта функция для триклинного кристалла медного купороса, ее стационарным точкам соответствуют продольные нормали.
Чтобы выяснить, в любом ли кристалле найдется хоть одна акустическая ось, необходимо предварительно познакомиться с поверхностью фазовых скоростей. Ее образуют концы всевозможных векторов фазовых скоростей у = от, отложенных из какой-либо точки как из центра поверхности. Уравнение этой поверхности
det || cijk£u,uk — py46/z || = 0 (56.25)
получается из условия существования ненулевых решений уравнений Кристоффеля (56.3). Так как (56.25) — уравнение 12-й степени, оно описывает поверхность 12-го порядка ). Поскольку каждому направлению т соответствуют, вообще говоря, три значения и, поверхность имеет три полости. Однако могут найтись такие направления т, в которых два из трех значений и совпадают, и соответственно две полости поверхности фазовых скоростей имеют
Рис 56.3. Стереографическая проекция линий уровня функции F (т) = = c^j^^^i1^jm 1гпгI Для триклинного кристалла медного купороса; в 10~3 Н/м2. В направлениях, соответствующих стационарным точкам этой функции, распространяются продольные волны.Рис 56.3. Стереографическая проекция линий уровня функции F (т) = = c^j^^^i1^jm 1гпгI Для триклинного кристалла медного купороса; в 10~3 Н/м2. В направлениях, соответствующих стационарным точкам этой функции, распространяются продольные волны.общую точку; эти направления и есть акустические оси (рис. 56.4—56.15). Наиболее распространенная, а до недавнего времени — единственно известная конфигурация поверхности фазовых скоростей, когда внешняя полость представляет квазипро- дольную волну и охватывает две полости квазипоперечных волн, не соприкасаясь с ними, представлена на рис. 56.4, а, 56.6, а, 56.8, а и г, 56.9, а, 56.11, 56.12. На всех этих рисунках полости квазипоперечных волн имеют общие точки, соответствующие акустическим осям. В большинстве случаев это изолированные направления: у гексагональных и тригональных кристаллов — (0001), у кубических — (100) и (111). Но у кристалла бе
Рис 56.3. Стереографическая проекция линий уровня функции F (т) = = c^j^^^i1^jm 1гпгI Для триклинного кристалла медного купороса; в 10~3 Н/м2. В направлениях, соответствующих стационарным точкам этой функции, распространяются продольные волны.
Рис 56.3. Стереографическая проекция линий уровня функции F (т) = = c^j^^^i1^jm 1гпгI Для триклинного кристалла медного купороса; в 10~3 Н/м2. В направлениях, соответствующих стационарным точкам этой функции, распространяются продольные волны.
рилла имеется целый конус акустических осей (пересечения его с плоскостью сечения обозначены на рис. 56.6 буквами О).
То, что при такой конфигурации поверхности фазовых скоростей у кристалла, независимо от его симметрии, есть по крайней мере одна акустическая ось, следует из общей топологической теоремы: если V (ш) — непрерывное векторное поле, касательное к сфере т-т = 1, то найдется хотя бы одно значение m = т0 такое, что V (т^ = 0 (Стинрод и Чинн, 1967). С каждой точкой поверхности фазовых скоростей, не лежащей на акустической оси, связан единичный вектор поляризации соответствующей волны: с точками внешней полости — квазипродольной, а с точками внутренних полостей — квазипоперечной. Разобьем каждое из этих векторных полей на два: поле р^ (ш) векторов, продолжающих соответствующий вектор о(А) = и^т, и поле р^ (т) векторов,
перпендикулярных к соответствующим векторам я(л). Поскольку внешняя полость не соприкасается с внутренними, она гомеоморфна (топологически эквивалентна) сфере, и приведенная топологическаяперпендикулярных к соответствующим векторам я(л). Поскольку внешняя полость не соприкасается с внутренними, она гомеоморфна (топологически эквивалентна) сфере, и приведенная топологическаяа)6)6)
перпендикулярных к соответствующим векторам я(л). Поскольку внешняя полость не соприкасается с внутренними, она гомеоморфна (топологически эквивалентна) сфере, и приведенная топологическая
перпендикулярных к соответствующим векторам я(л). Поскольку внешняя полость не соприкасается с внутренними, она гомеоморфна (топологически эквивалентна) сфере, и приведенная топологическая
Рис. 56.4. Поверхности фазовых скоростей (а), обратных скоростей, умноженных наc^J Р, (б) и лучевых скоростей (в) кристалла цинка, класс Slmmm. Сечения плоскостью,проходящей через главную ось симметрии; L — квазипродольные волны, Тх — попереч-ные, Те — квазипоперечные; в км/с (Musgrave, 1954).
теорема еще раз показывает, что по крайней мере при одном значении m = пг0 касательная составляющая квазипродольной волны р^ (т) обращается в нуль, так что ш0 — продольная нормаль кристалла. Но векторные поля p^\mV лежащие на внутренних полостях поверхности фазовых скоростей, везде отличны от нуля. Отсюда следует, что эти полости не могут быть отдельными одна от другой, так как тогда они были бы гомеоморфны сфере и, следовательно, имели бы
Рис 56 5 Отклонение лучей (а) и вектора поляризации квазипродольноЯ волны (6) от волновой нормали в кристалле цинка. Угол О отсчитывается от [00011 к (000а); углы Д и 6 считаются положительными при отклонении в сторону (0001); L, Ть Тг — см рис. 56.4 (Musgrave, 1954).
хоть одну общую точку. Радиус-вектор этой точки — акустическая ось. Таким образом, показано, что при данной конфигурации поверхности фазовых скоростей у каждого кристалла есть по крайней мере одна акустическая ось ).
Однако пример парателлурита (ТеО2) показывает, что возможны и другие конфигурации поверхности фазовых скоростей. На рис. 56.14, б видна точка соприкосновения внешних полостей этой
Рис. 56.6. Поверхности фазовых скоростей (а), обратных скоростей, умноженных на с44/ р, (б) и лучевых скоростей (в) кристалла берилла, класс б/mmm. Сечения плоскостью, проходящей через главную ось симметрии; L — квазипродольные волны, Tt — поперечные, Т^ — квазипоперечные; в км/с (Musgrave, 1954).Рис. 56.6. Поверхности фазовых скоростей (а), обратных скоростей, умноженных на с44/ р, (б) и лучевых скоростей (в) кристалла берилла, класс б/mmm. Сечения плоскостью, проходящей через главную ось симметрии; L — квазипродольные волны, Tt — поперечные, Т^ — квазипоперечные; в км/с (Musgrave, 1954).
Рис. 56.6. Поверхности фазовых скоростей (а), обратных скоростей, умноженных на с44/ р, (б) и лучевых скоростей (в) кристалла берилла, класс б/mmm. Сечения плоскостью, проходящей через главную ось симметрии; L — квазипродольные волны, Tt — поперечные, Т^ — квазипоперечные; в км/с (Musgrave, 1954).
Рис. 56.6. Поверхности фазовых скоростей (а), обратных скоростей, умноженных на с44/ р, (б) и лучевых скоростей (в) кристалла берилла, класс б/mmm. Сечения плоскостью, проходящей через главную ось симметрии; L — квазипродольные волны, Tt — поперечные, Т^ — квазипоперечные; в км/с (Musgrave, 1954).
поверхности; она соответствует направлению, лежащему в пло- скости (010) и составляющему с [100] угол 19,7°. Рис. 56.15, а показывает, что в этом направлении происходит резкое изменение
а)б)
Рис. 56.7. Отклонение лучей (а) и вектора поляризации квазипродольной волны (б) от волновой нормали в кристалле берилла. Обозначения, как на рио. 56.4 (Musgrave, 1954).
отклонения лучей от волновой нормали. Мало того, внутри некоторого конуса, окружающего направление [ 100], — в плоскости (010) он отстоит от [100] на 19,7°, а в плоскости (001) — на 8,2° — внешняя полость поверхности фазовых скоростей соответствует квази: поперечным волнам и лишь следующая за ней — квазипродольным.
Рис. 56.8. Поверхности фазовых скоростей (а и г), обратных скоростей, умноженных на с44/р, (б и д) и лучевых скоростей (в и ^ кристалла никеля, класс тЗ/n; а, б, в — сечения плоскостью (100), г, д, е — сечения плоскостью (ПО); L — продольные волны, Т д — поперечные, Т^ — квази поперечные; в км/с (Miller, Musgrave, 1956).Рис. 56.8. Поверхности фазовых скоростей (а и г), обратных скоростей, умноженных на с44/р, (б и д) и лучевых скоростей (в и ^ кристалла никеля, класс тЗ/n; а, б, в — сечения плоскостью (100), г, д, е — сечения плоскостью (ПО); L — продольные волны, Т д — поперечные, Т^ — квази поперечные; в км/с (Miller, Musgrave, 1956).
Рис. 56.8. Поверхности фазовых скоростей (а и г), обратных скоростей, умноженных на с44/р, (б и д) и лучевых скоростей (в и ^ кристалла никеля, класс тЗ/n; а, б, в — сечения плоскостью (100), г, д, е — сечения плоскостью (ПО); L — продольные волны, Т д — поперечные, Т^ — квази поперечные; в км/с (Miller, Musgrave, 1956).
Рис. 56.8. Поверхности фазовых скоростей (а и г), обратных скоростей, умноженных на с44/р, (б и д) и лучевых скоростей (в и ^ кристалла никеля, класс тЗ/n; а, б, в — сечения плоскостью (100), г, д, е — сечения плоскостью (ПО); L — продольные волны, Т д — поперечные, Т^ — квази поперечные; в км/с (Miller, Musgrave, 1956).
Это показывают графики отклонения векторов поляризации от волновой нормали на рис. 56.15,6. Видно, что в плоскости (001) при переходе квазипродольной волны в квазипоперечную (он отмечен пунктиром) никаких особенностей не наблюдается.
[010][010][010][010]
[010]
[010]
[010]
[010]
б)б)а)
б)
б)
Рис. 56.9. Сечения поверхностей фазовых скоростей (а) и лучевых скоростей (б) кри-сталла КВг, класс т^т, плоскостью (001). L — направление луча, которому соответ-ствуют пять волн с различными нормалями (см. рис. 56.10); в км/с (К. С. Александров,1958).
Рис. 56.10. Сечения поверхностей фазовых и лучевых скоростей для квазипоперечных волн, распространяющихся и поляризованных в плоскости (001) кристалла КВг L — направление луча; twi, tw2, wa — лучевые скорости трех таких волн, распространяющихся вдоль луча L; уп у2, Уз — их фазовые (нормальные) скорости; Nt, N2, N3 — направления волновых нормалей; в км/с (К. С. Александров, 1958).Рис. 56.10. Сечения поверхностей фазовых и лучевых скоростей для квазипоперечных волн, распространяющихся и поляризованных в плоскости (001) кристалла КВг L — направление луча; twi, tw2, wa — лучевые скорости трех таких волн, распространяющихся вдоль луча L; уп у2, Уз — их фазовые (нормальные) скорости; Nt, N2, N3 — направления волновых нормалей; в км/с (К. С. Александров, 1958).
Рис. 56.10. Сечения поверхностей фазовых и лучевых скоростей для квазипоперечных волн, распространяющихся и поляризованных в плоскости (001) кристалла КВг L — направление луча; twi, tw2, wa — лучевые скорости трех таких волн, распространяющихся вдоль луча L; уп у2, Уз — их фазовые (нормальные) скорости; Nt, N2, N3 — направления волновых нормалей; в км/с (К. С. Александров, 1958).
Рис. 56.10. Сечения поверхностей фазовых и лучевых скоростей для квазипоперечных волн, распространяющихся и поляризованных в плоскости (001) кристалла КВг L — направление луча; twi, tw2, wa — лучевые скорости трех таких волн, распространяющихся вдоль луча L; уп у2, Уз — их фазовые (нормальные) скорости; Nt, N2, N3 — направления волновых нормалей; в км/с (К. С. Александров, 1958).
Вернемся к проблеме существования акустических осей у кристалла произвольной симметрии. По теореме об обращении в нуль непрерывного векторного поля, касательного к сфере, любая полость поверхности фазовых скоростей может не иметь общих точек с другими полостями лишь в том случае, если некоторая ее точка
соответствует чисто продольной волне (а значит, некоторая окрестность этой точки — квазипродольным волнам). Для отсутствия у кристалла акустических осей необходимо и достаточно, чтобы его поверхность фазовых скоростей состояла из трех полостей, ни
Рис. 56.11. Сечения поверхности фазовых скоростей упругих волн в кристалле кварца, класс 32, координатными плоскостями; в км/с (Farnell, 1961).
Рис. 56.12. Сечения поверхности фазовых скоростей упругих волн в кристалле висмута, класс 3m, координатными плоскостями кристаллофизической системы. Штриховые линии соответствуют квазипродольным волнам, пунктирные и штрих-пунктирные — квазипоперечным; А — направление продольной нормали; в км/с (Расе, Saunders, 1971).
одна из которых не имеет общих точек с другими. А для этого, в свою очередь, необходимо (но, конечно, не достаточно), чтобы на каждой из этих полостей нашлась хотя бы одна точка, соответствующая чисто продольной волне. Итак, топологический анализ не исключает возможности существования кристалла, не имеющего ни одной
акустической оси, но показывает, что такой кристалл должен обладать по крайней мере тремя продольными нормалями, причем продольная волна, соответствующая одной из них, должна иметь большую фазовую скорость, чем изонормальные ей поперечные, соответствующая другой — меньшую, а соответствующая третьей — промежуточную между фазовыми скоростями изонормальных ей поперечных волн. Однако необходимо подчеркнуть, что непосредственный анализ уравнения поверхности фазовых скоростей (56.25) может дать более точные результаты (подобно тому как теорема Ф. И. Федорова доказывает существование в любом кристалле
Рис. 56.13. Отклонение (в градусах) вектора поляризации квази продольной волны (/) и лучевых векторов квазипродольной (2) и квазипоперечных (3 и 4) волн от вектора волновой нормали для волн, распространяющихся в плоскости симметрии Х3'Х2 (ср. рис. 56.12) кристалла висмута (Расе, Saunders, 1971).
по меньшей мере двух продольных нормалей, в то время как из топологических соображений вытекает лишь существование по меньшей мере одной продольной нормали).
Для дальнейшего исследования поверхности скоростей и других акустических поверхностей кристалла вернемся к определению лучевой скорости (56.9) и выделим зависимость (о от длины волнового вектора к = km и его направления т (лучевая скорость): дсо дсо дк дсо дт<
=+ л(56.26)
1 Oki ok dkt 1 dmj dktv 7
Рассмотрим отдельные производные, входящие в разложение (56.26). Из соотношения со = vk находим d^/dk = и и d&ldnij = k dvldrrij. Остальные производные равны соответственно
дк д V ktki kt
dmjд (kj/k)1 / dkj дк \1
77 = W = ^"v~ 77 ^/= Т (6v “ пг‘т^ ■
Подставив эти выражения в (56.26), получим )
wi = umt-\-^ii-mlmi')-l^1 w = от+ (Y - тту-^. (56.27)
Таким образом, вектор лучевой скорости ад представляется в виде суммы вектора фазовой скорости о = ит и той части производной
dv/dm, которая перпендикулярна к волновой нормали т (см. § 18). Это вполне согласуется с формулой (56.15).
Из формулы (56.27) следует, что в тех направлениях, которым соответствуют стационарные точки поверхности скоростей (в них dv/dm = 0, т. е. радиус-вектор нормален к поверхности), распространяются обыкновенные волны. Она также показывает, что луч отклоняется от волновой нормали тем сильнее, чем быстрее изменяется с направлением фазовая скорость и, причем отклоняется от нее в направлении увеличения скорости. Таким образом, векторы лучевых скоростей «концентрируются» в тех направлениях, в которых соответствующие полости поверхности скоростей наиболее удалены от центра.
Стационарные точки на поверхности фазовых скоростей цинка (рис. 56.4, а) есть не только на полюсе и на экваторе, но и (на полости квазипоперечных волн Т2) между ними. Рис. 56.5, а показывает, что отклонение соответствующего луча от волновой нормали при '9* ~ 37° дей-
4 3 Z 1 0 1 2 3 S^ а)4 3 Z 1 0 1 2 3 S^ а)Рис. 56.14. Сечения поверхности фазовых скоростей упругих волн в кристалле парателлурита ТеО2, класс 422: а) плоскостью (001); 6) плоскостью (010); в) плоскостью (1Т0); в км/с (Ohmachi, Uchida, Niizeki, 1972).Рис. 56.14. Сечения поверхности фазовых скоростей упругих волн в кристалле парателлурита ТеО2, класс 422: а) плоскостью (001); 6) плоскостью (010); в) плоскостью (1Т0); в км/с (Ohmachi, Uchida, Niizeki, 1972).ствительно обращается в нуль, так что волна Т2 в этом направлении обыкновенна. На поверхности фазовых скоростей берилла (рис. 56.6, а) стационарные точки вне полюса и экватора есть
4 3 Z 1 0 1 2 3 S^ а)
4 3 Z 1 0 1 2 3 S^ а)
Рис. 56.14. Сечения поверхности фазовых скоростей упругих волн в кристалле парателлурита ТеО2, класс 422: а) плоскостью (001); 6) плоскостью (010); в) плоскостью (1Т0); в км/с (Ohmachi, Uchida, Niizeki, 1972).
Рис. 56.14. Сечения поверхности фазовых скоростей упругих волн в кристалле парателлурита ТеО2, класс 422: а) плоскостью (001); 6) плоскостью (010); в) плоскостью (1Т0); в км/с (Ohmachi, Uchida, Niizeki, 1972).
не только на полости квазипоперечных (Т2), но и на полости квазипродольных (L) волн, и рис. 56.7, а показывает, что отклонения лучей L и Т2 при соответствующих углах, как и следует, обращаются в нуль. С другой стороны, квазипродольная волна, становясь чисто продольной, становится вместе с тем и обыкновенной, т. е. вместе с отклонением вектора поляризации квазипродоль- ной волны от волновой нормали в нуль обращается и отклонение луча от волновой нормали (графики рис. 56.7 построены, по-види- мому, недостаточно точно, но на рис. 56.13 это представлено очень наглядно).
6)
Рис. 66.15. Отклонение в градусах вектора поляризации р и луча $ от волновой нормали в пара теллурите: а) в плоскости (001), б) в плоскости (ИО). Индексы соответствуют рис. 56.14. По Ohmachi, Uchida, Niizeki (1972).
На сечениях поверхностей фазовых скоростей кубических кристаллов плоскостями {001} — рис. 56.8, а и 56.9, а — окружности характеризуют плоскость {001} как изотропную для поперечных волн, поляризованных перпендикулярно к этой плоскости. Стационарные точки на сечениях поверхностей фазовых скоростей плоскостями {001} (рис. 56.8, а и 56.9, а) и {110} (рис. 56.8, г) соответствуют обыкновенным волнам. Рисунки показывают, что в направлениях (001) и (НО) обыкновенны, как и должно быть, все волны, а в направлениях (111) — только продольные. На сечении {110} видны направления, не определяемые симметрией кристалла, в которых также распространяются обыкновенные волны (поперечные, р || (НО)). Сравнение рис. 56.8, а и 56.9, а показывает влияние знака анизотропии (см. § 52) на характер поверхности скоростей: у кристалла никеля коэффициент См1 = (2/5) (сп — с12 — 2с44) < 0 и соответственно А = 2с44/(сп — с12) > 1, у кристалла КВг Сдг41 > 0 и А <. 1. При Сд,41 > 0 скорость продольных волн максимальна
$ 56] УПРУГИЕ ВОЛНЫ В КРИСТАЛЛАХ 871 в направлениях (100) и минимальна в направлениях (111), а при Cn < 0 — наоборот; нетрудно подметить и другие подобные закономерности. На рис. 56.11 и 56.12 представлены сечения координатными плоскостями поверхностей фазовых скоростей двух тригональных кристаллов, а на рис. 56.14 — тетрагонального. На рис. 56.13 показаны отклонения поляризации квазипродольных волн и лучевой скорости от волновой нормали; последние показаны также на рис. 56.15 и достигают 73° (см. рис. 56.15, б).
Наряду с поверхностью фазовых скоростей употребляется поверхность рефракции (Ф. И. Федоров, 1965); ее называют еще поверхностью обратных скоростей и поверхностью медленностей (slowness surface). Это геометрическое место концов всевозможных векторов рефракции п = m/у, отложенных из одной точки. Ее уравнение
det || clJklnjnfe - р6ц || = 0, (56.28)
как и (56.25), получается из условия существования ненулевых решений уравнений Кристоффеля, но, в отличие от (56.25), это уравнение шестой степени. В каждом направлении радиусы-векторы поверхности рефракции и поверхности фазовых скоростей взаимно обратны: п (т) = 1/у (ш); поэтому, зная вид одной из них, нетрудно представить себе и вторую. Три такие поверхности показаны на рис. 56.4, б, 56.6, б, 56.8, б и т. д. Они аналогичны применяемым в кристаллооптике поверхностям показателей преломления.
Если из какой-либо точки О откладывать всевозможные векторы лучевой скорости ад, то концы их образуют поверхность лучевых скоростей. Ее называют также волновой поверхностью, потому что она представляет собой, как следует из ее определения, геометрическое место точек, до которых одновременно дойдет звуковая волна, испущенная из точечного источника, находящегося в О. Поэтому нормаль к волновой поверхности является волновой нормалью, а касательная к ней плоскость — плоскостью волнового фронта. Перпендикуляр, опущенный из точки О на касательную плоскость,— вектор фазовой скорости о. Если к каждой точке волновой поверхности строить касательные плоскости, то концы опущенных на них из центра волновой поверхности перпендикуляров составят поверхность скоростей; это означает, что последняя является подерой волновой поверхности. В тех направлениях, в которых распространяются обыкновенные волны, соответствующие полости волновой поверхности и поверхности скоростей соприкасаются и радиус- вектор служит им общей нормалью. Соотношение между поверхностями фазовых и лучевых скоростей представлено на рис. 56.10.
В кристаллоакустике нет соотношений двойственности, столь характерных для кристаллооптики (см. § 36) ). Это проявляется,
в частности, в том, что уравнение поверхности лучевых скоростей значительно сложнее, чем уравнения поверхностей фазовых скоростей (56.25) и рефракции (56.28): степень его, а следовательно, и порядок поверхности могут достигать 150 (Ф. И. Федоров, 1965). Соответственно сложнее и сама поверхность. На ней, в отличие от поверхности скоростей, наряду с точками и линиями самопересечения (выходы акустических осей) могут быть изломы (линии возврата). Пока исследованы только сечения этих поверхностей плоскостями симметрии (Ф. И. Федоров, 1965). Для гексагональных кристаллов они представлены на рис. 56.4, в и 56.6, в.
Сечения поверхностей лучевых скоростей кубических кристаллов плоскостями {100} и {110} показаны на рис. 56.8, в и е и 56.9, б. Сравним их с сечениями поверхностей фазовых скоростей. Сечение плоскостью {001} полости, соответствующей чисто поперечным в этой плоскости волнам, является окружностью и совпадает с сечением поверхности фазовых скоростей, а сечение ее плоскостью {110} имеет форму эллипса, полуоси которого равны полуосям овала фазовых скоростей. Очень сложны формы сечений полости квази- сдвиговых в {100} и {110} волн, на которых есть изломы. Таким образом, в кубических кристаллах (как и в гексагональных, см. рис. 56.4, в и 56.6, в) могут существовать направления, вдоль которых распространяется не три, а пять различных по скорости упругих волн: квазипродольная, поперечная и три квазипоперечных, т. е. одному лучу отвечают пять нормалей, хотя одной нормали всегда соответствует ровно три луча, т. е. три направления распространения энергии. Это явление подробно исследовано (см. рис. 56.10) и экспериментально проверено К. С. Александровым (1958) на кристалле КВг.
Вообще по теории упругости кристаллов и смежным вопросам см. Александров (1962, 1975); Гольденблат (1969); Ильюшин (1971); Копцик, Сиротин (1961); Ландау и Лифшиц (1965); Лейбфрид (1963); Лехницкий (1950); Лурье (1955, 1970); Ляв (1935); Седов (1962 и 1970); Ф, И. Федоров (1965); Auld (1973); Dieu- lesaint, Royer (1974); Musgrave (1970).
Г Л А В А VII
ТЕРМОДИНАМИКА КРИСТАЛЛОВ
§ 57. Внутренняя энергия
и термодинамический потенциал кристалла
Работа, совершаемая над единицей объема кристалла электрическим полем и механическими напряжениями, равна соответственно
bR6n = 4-EidD,= 1-ED.
(57.1)(57.1)4л *1 4л
(57.1)
(57.1)
б^мех ^= ^И^1/ *” ^Х ^®Х^ • ^®»
Если для единообразия формул ввести вектор D = DI4n, то общее изменение внутренней энергии единицы объема кристалла при бесконечно малых тепловых, механических и электрических воздействиях можно будет записать в виде
(57.2)(57.2)dU = Т dS -р Е{ dDj -j- о^ de^
(57.2)
(57.2)
(Т — абсолютная температура, S — энтропия единицы объема).
Со строго формальной точки зрения выражение (57.2) неправильно. Дело в гом, что гвердое тело, напряжения в котором не сводятся к всестороннему растяжению, не находится в состоянии термодинамического равновесия. Действительно, с течением времени оно может перекристаллизоваться таким образом, что форма его остается неизменной, а все напряжения, кроме всестороннего растяжения, исчезнут; тогда и будет достигнуто полное термодинамическое равновесие. Так как время его установления чрезвычайно велико, часто приходится иметь дело с твердыми телами, в которых оно еще не успело установиться. Описание гаких тел и дается формулой (57.2).
Энтропию, электрическую индукцию, компоненты деформации принято называть обобщенными термодинамическими координатами, а температуру, напряженность электрического поля, механические напряжения — обобщенными термодинамическими силами.
Введем для них обозначения:
S
Ь1
b8
81
82
83
84
85
e6
*0
Xi
*3
*4
x6
x6
x7
*8
*9
Т
Ei
E2
Eg
^2
03
°4
Об
^6
Хо
Xi
xt
xa
x4
X,
x»'
X,
Xe
X,
В этих обозначениях полный дифференциал внутренней энергии (57.2) примет вид
dU = XAdxA(57.3)
(здесь и далее индексы А, В, С, ... пробегают значения 0, 1, ..., 9).
Величины ХА и хА можно рассматривать как компоненты векторов в 10-мерном пространстве; тогда комбинация XAdxA приобретает смысл скалярного произведения.
Формула (57.3) позволяет назвать внутреннюю энергию термодинамическим потенциалом относительно обобщенных координат, потому что любая обобщенная сила равна производной внутренней энергии по соответствующей обобщенной координате
(57.4)
когда остальные обобщенные координаты считаются постоянными, т. е. внутренняя энергия рассматривается как функция обобщенных координат, а не каких-либо иных переменных. Однако в качестве независимых переменных удобнее использовать не обобщенные координаты, а обобщенные силы: при обычной постановке эксперимента мы можем регулировать и измерять температуру, напряженность электрического поля, механические напряжения; напротив, изменения энтропии, электрическую индукцию, деформации непосредственно регулировать затруднительно.
Термодинамическим потенциалом относительно обобщенных сил является функция
Ф = и - TS - ЕД - ахех = U - ХАхА, (57.5) полный дифференциал которой равен
dO = — 8 dT — f>i dEt — ех dax = — хА dXA;(57.6)
она называется термодинамическим потенциалом (в узком смысле слова) или свободной энергией Гиббса. Если она рассматривается
как функция обобщенных сил, любая обобщенная координата равна
Хл = — "5х^е(57.7)
Разложим это выражение в ряд Тейлора в окрестности произвольной точки Хв = Хв, т. е. произвольного начального состояния кристалла, характеризуемого фиксированными значениями Хв обобщенных термодинамических сил, ограничиваясь членами первого порядка:
дФ / дФ \/ д2Ф \ /у v<o)\
ХА = -"дх;--\дХ"Х~(Хв-Хв)-... (57.8)
Здесь — (дФ/дХд)0 = х^' — значение соответствующей обобщенной термодинамической координаты кристалла в начальном состоянии, когда все обобщенные термодинамические силы равны Хв\ а — ^д2Ф/дХАдХв)0 — значение ее производной при тех же условиях.
В качестве начального состояния кристалла удобно выбрать ненапряженное (все ох = 0) состояние кристалла в отсутствие электрического поля (все Et = 0). Таким образом, из начальных значений обобщенных термодинамических сил отлична от нуля только Хоо) = То — начальная температура кристалла. Условимся считать, что в начальном состоянии кристалл не деформирован и не поляризован — это просто означает, что температура То принята за начало отсчета температурных деформаций и пироэлектрической поляризации ). Обозначим отклонения температуры и энтропии от начальных значений Т — То = @, S — So = 5 и введем наряду с хА и ХА
( S ПРИ Л = 0,у | 9 при Л = 0,
^А (хА при Л = 1, ..., 9; А ( Хд при Л = 1, .9.
Разложения (57.8) запишутся теперь в форме '
^ = -(d/?r ) Yb = MabYb,(57.9)
причем МАВ = —(^Ф/дУддУв^о = —(д2Ф/дХддХв)0 — значения соответствующих производных, когда все Ув = 0.
Набор чисел МАВ можно рассматривать как матрицу десятого порядка, преобразующую множество десятимерных векторов обобщенных сил УА в множество десятимерных же векторов обобщенных координат уА. Эта матрица называется матрицей термодина-
(57.10)(57.10)мического потенциала Ф; будучи составлена из его вторых производных, она, очевидно, симметрична:
(57.10)
(57.10)
Мдв = МВД.
Более подробная запись разложений (57.9):
/ 52Ф \ А/ 52Ф \ р/ 52ф \
— \дТ» )»\дТ дЕк )»ь \дТ да^ )0
П/ 52Ф \ П/ ^Ф \ D/ д2ф \
D‘~\дЕ[дТ )о^\dEtdEk)0Ek[dEida^Jo^’(57111)
-_/ 62ф \ п / 52Ф \ р ( №Ф \
еь~\дсхдТ )<>^axd£j0 6l^^/o^-
Чтобы выяснить физический смысл производной (д2Ф/дТ4^, подсчитаем изменение энтропии единицы объема кристалла при повышении температуры на 9 в отсутствие электрического поля и механических напряжений 2 = —(УФ/дТ4)^. При этом единица объема кристалла получит теплоту
Q = Cp0,
где Ср — отнесенная к единице объема теплоемкость кристалла при постоянном электрическом поле и постоянных механических напряжениях. С другой стороны, поскольку 0/Т <^ 1 (в противном случае в разложениях нельзя было бы ограничиваться первым членом по температуре), эта теплота приблизительно равна
Q = T0S.
Сравнив эти выражения, найдем
(57.12)(57.12)д2Ф \ ср
(57.12)
(57.12)
Остальные элементы матрицы термодинамического потенциала имеют следующие названия и обозначения: коэффициенты диэлектрической проницаемости (деленные на 4л)
~1( №Ф \1/ д2Ф \,,„ 1О.
Kik~\dEidEkjo’ 4л Х— \дЕдЕ)0; (57113)
коэффициенты упругой податливости
( д^Ф \/ дгф \._„ , лч
\дахдОр)о’S—\дада)0*
пироэлектрические коэффициенты
Pi—XdEidTjo’Р—\дЕдт)о‘*(57.15)
коэффициенты теплового расширения
и, наконец, пьезоэлектрические коэффициенты
\dEidoJo d~ \дЕдо)о' (57.17)
Все эти коэффициенты, кроме пьезоэлектрических, которые будут рассмотрены в § 58, уже встречались в предыдущих главах.
Матрица термодинамического потенциала М выражается через эти коэффициенты так:
Ср!Тц
Pi
Рз
Рз
«1
«2
a3
a4
«6
«6
Р1
Хц
X12
X31
du
^12
^13
di4
^16
die
Рз
К12
X22
х2з
^21
d22
d23
d24
^25
d2e
Рз
Х31
x23
x33
^31
d32
^33
^34
^36
^36
м =
«1
б/ц
^21
^31
sn
S12
$31
S14
S15
$ie
а2
di2
^22
^32
$12
S22
S23
$24
S25
S26
а3
^13
^23
^33
S31
S23
S33
S34
S36
s36
а4
di4
d24
^34
S14
S24
$34
$44
S45
S64
аб
^15
^25
^36
S15
S25
$36
s45
S65
S56
ав
die
d2e
^36
S16
$26
s36
s64
S56
$66
Теперь формулы (57.11) окончательно записываются следую
щим образом:
S = (Cp/To)0 + pft£6 + w,(57.18а)
Di = pi@+,x1iiEfe-V-dlv.au,(57.186)
e^ttx^ + ^x-Efc + s^cr^,(57.18в)
или в бескоординатной форме
S = (Cp/T0)©+p.£+a:<r,(57.18а')
D=/>e + x£ + d:a,(57.186')
e = a© + £-d +$ : в.(57.18в')
Формула (57.186) при a = 0 превращается в материальное уравнение электростатики*), а формула (57.18в) при Е = 0 — в закон Гука с температурными членами. Из симметричности матрицы термодинамического потенциала следует, таким образом, симметричность тензора диэлектрической проницаемости
(57.19)
и коэффициентов упругой податливости
s^ —sm^> Sijki = SkUh (57.20)
В полном виде — при • £ ^ 0, и ^ 0 — формулы (57.186) и (57.18в) указывают на возможную зависимость электрической индукции от механических напряжений и тензора деформаций от напряженности электрического поля, причем обе зависимости определяются одним и тем же набором коэффициентов dip,. С ними связаны соответственно пьезоэлектрический и обратный пьезоэлектрический эффекты, описанные в § 58.
Формула (57.18а) показывает, что энтропия кристалла может зависеть не только от температуры, но и от электрического поля и от механических напряжений, причем из симметричности матрицы М следует, что эта зависимость определяется пироэлектрическими коэффициентами и коэффициентами теплового расширения соответственно. Так, под действием электрического поля Е энтропия единицы объема пироэлектрического кристалла изменяется на
^ = pkEh =р-Е. (57.21)
Следовательно, единица объема кристалла поглощает из окружающей среды теплоту
Q = T^ = Top-E. (57.22)
Слово «поглощает» употреблено здесь условно. Если угол между векторами р и Е меньше 90°, теплота действительно поглощается, в противном же случае она выделяется из кристалла в окружающую среду. Описанное явление называется электрокалорическим эффектом.
Электрокалорический эффект может проявляться и в других условиях. Пусть механические напряжения по-прежнему отсутствуют, но теплообмен с окружающей средой исключен. Естественно ожидать, что в этих условиях температура кристалла, внесенного в электрическое поле, изменится. И действительно, формула (57.18а) принимает в этом случае вид 0 = (Ср/Т0) 0 + + р-Е, так как условие теплоизоляции для обратимого процесса сводится к 2 = 0. Отсюда изменение температуры
© = -(Т0/Ср)р-Е. (57.23)
Если электрическое поле направлено по вектору пироэлектрических коэффициентов, кристалл, помещенный в электрическом поле, охлаждается; в противном случае — нагревается. Это, конечно, находится в полном соответствии с поведением кристалла в изотермических условиях.
Продолжим рассмотрение равенства (57.18а). Позаботившись об отсутствии электрического поля (или просто избрав для опыта непироэлектрический кристалл), подвергнем кристалл действию
механических напряжений а. Если процесс происходит изотермически, кристалл при этом поглощает теплоту
Q = ^О^ц = ^о« •• <*• (57.24)
При этом теплота действительно поглощается, если напряжения направлены в ту же сторону, что и тепловые деформации, и выделяется в противоположном случае. В условиях теплоизоляции изменение температуры кристалла, подвергаемого действию механических напряжений, равно
0 = — (То/Ср) ОуОц, = — (То/Ср) а: о. (57.25)
Если напряжения направлены в ту же сторону, что и тепловые деформации, кристалл охлаждается, в противном случае он нагревается. Описанные явления называются пьезокалорическим эффектом.
Большинство кристаллов увеличивают все свои линейные размеры при повышении температуры: п а п > 0 (п— единичный вектор). Тогда любое растягивающее напряжение а = опп приводит к охлаждению теплоизолированного кристалла, а сжимающее — к его нагреванию. Но кристалл кальцита, линейные размеры которого в базисной плоскости при нагревании уменьшаются (см. рис. 24.3), под действием растягивающих напряжений в базисной плоскости нагревается, а под действием сжимающих — охлаждается. Растягивающие же и сжимающие напряжения, направленные вдоль его главной оси симметрии, приводят к противоположным результатам.
§ 58. Пьезоэлектрический эффект и его симметрия
При рассмотрении внутренней энергии и термодинамического потенциала кристалла (§ 57) выяснилась возможность электрической поляризации кристалла под действием механических напряжений и деформации кристалла под действием электрического поля. Если в формулах (57.186), (57.18в) оставить только слагаемые, описывающие эти явления, получим
(58.1)(58.1)О/ — 4jcd/|JLOjLl, ex — d^E^,
(58.1)
(58.1)
Первая из этих формул описывает пьезоэлектрический, вторая — обратный пьезоэлектрический эффект. Оба они характеризуются одним и тем же набором коэффициентов d^, связанных с тензором пьезоэлектрических коэффициентов "
(58.2)(58.2)я _ / д2ф \д2ф \
(58.2)
(58.2)
а"\дЕдо)о» dikl”\dEidafel ;0
соотношением (см. приложение Е)
diw
^d^
(£/ «-»p,= 1, 2, 3),
(^^и = 4, 5, 6).
(58.3)
Формулы (58.1) можно записать и в виде
Di = ^diklokb D = 4nd : cr; ^g ^ ^tj = dkijEk> e = E d.
При использовании формул (58.1) и (58.4) нужно обращать внимание на роль отдельных индексов. В формулах (58.1) латинский индекс у ^ соответствует электрическим величинам и всегда стоит на первом месте; греческий же индекс соответствует механическим величинам. В формулах (58.4) первый индекс соответствует электрическим величинам, второй и третий — механическим. В согласии с этим указан и порядок умножения в формулах (58.4).
Тензор пьезоэлектрических коэффициентов d — тензор третьего ранга; внутренняя его симметрия V [V2]. Как и все материальные тензоры нечетного типа, он тождественно равен нулю для всех центросимметричных кристаллов. Таким образом, в центросимметричных кристаллах (и вообще в центросимметричных однородных средах независимо от их строения) пьезоэлектрический эффект невозможен. Вид, который принимает тензор d в нецентросимметричных группах, можно определить при помощи методов, описанных в гл. V. Результаты такого исследования сведены в табл. Д.11. Обзор этой таблицы показывает, что тензор d обращается в нуль в двух нецентросимметричных точечных группах: в кристаллографической группе 432 и в предельной группе оо оо *). В остальных 20 кристаллографических и 3 предельных классах пьезоэлектрический эффект возможен. При определении числа классов пьезоэлектрической симметрии нужно учитывать, конечно, теорему Германа, вследствие которой симметрия пьезоэлектрических свойств, скажем, кристаллов классов 4тт и бтт и текстур класса оо т, одинакова. Кроме того, можно показать, что кристаллы классов 6 и 6/и2 составляют один класс пьезоэлектрической симметрии, хотя вид тензора d для этих классов различен.
Аналогичная ситуация встречалась при рассмотрении классов упругой симметрии (§ 52), что позволяет избежать подробных объяснений. Вид тензора d для кристаллов класса 6 не может «ухудшиться» ни при каком повороте системы координат вокруг оси Х3> поскольку направление осей ХТ и Х2 не определяется в классе 6 элементами симметрии кристалла. Однако, повернув систему координат вокруг оси Х3 на некоторый угол, мы можем обратить одну из двух независимых компонент тензора d в нуль и таким образом привести его к тому же виду, какой имеет тензор d для кристаллов класса 6/п2. Этим доказывается, что истина ная симметрия этого тензора 6т2.
Необходимо иметь в виду, что принадлежность данного конкретного кристалла к одному из пьезоэлектрических классов вовсе не означает, что этот кристалл действительно проявляет пьезоэлектри-
ческие свойства. Известны диэлектрические кристаллы, принадлежащие к пьезоэлектрическим классам и не обнаруживающие — при достигнутой точности эксперимента — никаких пьезоэлектрических свойств. Этим пьезоэлектричество отличается от таких свойств, как упругость или тепловое расширение, которыми обладают все твердые тела. Напротив, принадлежность кристалла к одному из непьезоэлектрических классов — надежная гарантия отсутствия у этого кристалла пьезоэлектрических свойств.
Отдельные разновидности пьезоэлектрического эффекта разрешены для одних пьезоэлектрических классов и запрещены для других. Таков, например, пьезоэлектрический эффект, возникающий при всестороннем гидростатическом давлении. Из уравнения (58.4) при ок1 = —р6к1 получим
Dt = — Wlfelip. (58.5)
Таким образом, пьезоэлектрическая поляризация возникает в данном случае лишь при условии, что компоненты dt = dikk вектора d = d : I отличны от нуля. Очевидно, d — материальный вектор, а материальные векторы отличны от нуля лишь в том случае, когда они описывают свойства кристаллов пироэлектрических классов. Поэтому пьезоэлектрический эффект, возникающий при всестороннем гидростатическом давлении, возможен лишь в 10 кристаллографических и 2 предельных классах из числа 20 кристаллографических и 3 предельных классов, допускающих вообще пьезоэлектрический эффект (табл. 58.1).
Таблица 58.1
Вектор пьезоэлектрического эффекта под действием гидростатического давления d = d : I (d,t = d,ikk^
Кл ассы
Вектор d
1
т (т 1 е2)
т (т 1 е3)
2(2 || е2)
2 (2 || е3), mm2
3, 4, 6, со, 3m, 4mm, 6mm, со т
№1 + ^12 + ^1з) ^1 + №1 + ^22 + ^2з) ^2 + + №1 + ^32 + ^Зз) ^3-
(du + di2 + ^з) ^i + №i + d32 + d33) е3 №1 + ^12 + ^1з) ^1 + №1 + ^22 + d23) l2
(d2i + d22 + ^23) ^2
№1 + ^32 + ^Зз) ^3
(2d3i + d33) е3
Другой пример связан с опытами братьев Кюри, в которых был обнаружен пьезоэлектрический эффект: на грань кристалла ставился груз, и на этой грани измерялась плотность заряда рпов. Так
как напряженное состояние сводилось к одноосному сжатию оА/ = = —pnknt (п — единичный вектор нормали к грани), то
Рпов = — ^- ” • -О = pdikitiitikni. (58.6)
Очевидно, что при таких измерениях проявляется только снимет- ричная часть тензора dikl — тензор продольного пьезоэлектрического эффекта
, fiM = d^ihn = -3 (Диа + d,kU + duk\ (58.7) Действительно, n-d : nn = nd : nn. У тензора f внутренняя симметрия — [V3]. В отличие от тензора d, он в общем случае имеет не 18, а всего лишь 10 независимых компонент. Связь его с тензором d показана на табл. 58.2. Совпадение тензоров f и d у некоторых классов указывает на то, что у кристаллов этих классов можно получить все компоненты тензора d из измерений продольного пьезоэлектрического эффекта. В тех же случаях, когда тензоры f и d у кристаллов данного класса различны, получить все компоненты тензора d посредством только таких измерений заведомо невозможно. В пьезоэлектрических классах 422, 622, оо 2 продольный пьезоэлектрический эффект запрещен. Классы продольной пьезоэлектрической симметрии перечислены в табл. 58.3. Видно, что некоторые кристаллографические классы, относящиеся к различным классам пьезоэлектрической симметрии, входят в один и тот же класс продольной пьезоэлектрической симметрии. Наиболее интересен из них класс продольной пьезоэлектрической симметрии 43m: в него входят кристаллы классов 43m, 23, 42m, 4 и 222, принадлежащих трем различным системам. К перечисленным классам относятся многие пьезоэлектрические кристаллы, важные для техники. В классе 222 кристаллизуется важнейший сегнетоэлектрик- пьезоэлектрик сегнетова соль, в классе 42m — чрезвычайно широко используемые кристаллы дигидрофосфата калия (KDP), дигидрофосфата аммония (ADP) и все изоморфное им семейство. Класс 43m особенно интересен тем, что к нему относятся пьезоэлектрические полупроводники такие, как сфалерит, арсенид галлия, антимонид индия и др. В классе 23 кристаллизуется германат висмута, имеющий много технических применений.
Тензор продольного пьезоэлектрического эффекта для кристаллов этих классов имеет всего одну независимую компоненту и кратен единичному септору S°[43m] (см. табл. 47.4), указательная поверхность которого, показанная на рис. 47.3, служит, таким образом, универсальной указательной поверхностью продольного пьезоэлектрического эффекта во всех таких кристаллах. Продольный пьезоэлектрический эффект в направлении п определяется по стереографической проекции (рис. 47.3) с помощью формулы
/ (л) = hj^n,^ = 2/la3S° (л)//3. (58.8)
Таблица 58.2
Связь тензора продольного пьезоэлектрического аффекта fс тензо ом пьезоэлектрических коэффициентов для всех классовсимметрии кристаллов и текстур, допускающих пьезоэлектрический эффект(расположение компонент fikl таково же, как в табл. Д.10)
Классы
hkl
1
^11Vs №2 + ^2б)V3 №з + ^Зб)V6 (^14 + ^26 + ^Зб)
V3 №1 + ^1б)^22V3 №з + ^34)
Х/з №1 + ^Хб)V3 ^32 + ^24)^33
2 (2 || Х2)
ОООVe №4 + ^25+^зв)
Vstoi + ^ie)^22х/з №3 + ^34)
ООО
2 (2||Х3)
ОООVe №4+^25+^)
ООО
*/з (^31 + ^1б)*/з (^32 + ^21)^33
т
(m 1 Х2)
duх/з №2+^26) Vs (dia + d^0
ООО
Vstox + d^)Vs №2 + ^24)^зз
т
(m 1 Х3)
du^зУхг + ^зв) ^(^хз + ^зб)0
VsC^x + ^xe)^22г/з №3 + ^34)
ООО
222
ОООVe №4 + ^25 + ^Зв)
ООО ООО
mm2
ООО0
ООО 1/з№х + ^Хб) 11з №2 + ^24)^33
3
dn—dn00
—d^^d^0
V3 №1 + ^15) ^з^зх + ^хб)^33
32, 62m (2ЦХ0
dn—du00
ООО ООО
32, 6m2 (2II Х2, m 1 X,)
0000
—d^^d^^0
ООО
Таблица 58.2 ^продолжение^
Классы
hkl
3m
(m 1 X,)
0000
—C?22^22
Vs №1 + ^1б)Чй №1 + ^1б)^33
6
du—^ii00
—^22^220
000
4
ОООV.^u+^s.)
ООО
1/з №1 + ^15)—Vatoi + ^ie)0
42m
ОООV.^+dse)
ООО ООО
4, 6, co
4тт» 6mm» com
0000
000
Vs №1 + di5)Vs №i + ^1б)^зз
23, 43m
При oo co, 432, В таб продольно!
0001/2^14
000
000
м е ч а н и я. Во всех центросимметричных классах, а также в классах 622, 422, со 2 тензор 1 = 0.
лице выписаны коэффициенты f^, связанные с коэффициентами f^ тензора го пьезоэлектрического эффекта правилом пересчета
_/ км(«—>Х = 1, 2, 3),
ЧХ~ I 2ftkl(М<--*К = 4, 5, 6).
Таблица 58.3
Симметрия продольного пьезоэлектрического эффекта
Классы продольной пьезоэлектрической симметрии
Кристаллы, продольный пьезоэлектрический эффект в которых обладает такой симметрией
1 т mm2 Зт 6т2 со т 43m
1
т
mm2
3m
32, 6, 6m2
6, со, 4mm, 6mm, оо tn 222, 4, 42m, 23, 43m
Также одну независимую компоненту имеет тензор f для класса продольной пьезоэлектрической симметрии 6/и2, в который входят кристаллы классов 6/и2 и 32; он кратен единичному септору S°[6/n2] (см. табл. 47.3), указательная поверхность которого (см. рис. 47.4) тоже оказывается универсальной указательной поверхностью продольного пьезоэлектрического эффекта в кристаллах соответствующих классов. Продольный пьезоэлектрический эффект
Рис. 58.1. Сечения указательных поверхностей продольного пьезоэлектрического эффекта, представляющих собой поверхности вращения: а) для кристалла сульфида кадмия CdS, класс 6mm; б) для кристалла титаната бария BaTiO3, класс 4mm. Симметрия поверхностей oom, антисимметрия со/т'тп (см. § 68) (Бутабаев и Сиротин, 1972).
подсчитывается в этом случае по стереографической проекции рис. 47.4 и формуле
fWt^W-(58.9)
Для класса продольной пьезоэлектрической симметрии oom
fyi = FvV^w + FsS?ib(58.10)
где единичные неприводимые тензоры симметрии oom —вектор V и септор S —определены равенствами*)
V°t = kb(58.11)
S6Mt = 4 Wfa - Зк ^т)(58.12)
(А — единичный вектор оси Х8), а коэффициенты при единичных тензорах равны
Fv = у (/ззз 4" 2/из), Fs = у (/ззз “ 3/ из)» (58.13)
♦) Ср. табл. 47.4 и формулы (52.10) и (52.11),
13 К). И. Сиротин, М. П. Шаскольская
Указательные поверхности продольного пьезоэлектрического эффекта для кристаллов, входящих в этот класс продольной пьезоэлектрической симметрии — поверхности вращения
fW = FvV4nHFsS4n), (58.14)
где V0 (я) и S0 (я) — указательные поверхности единичных вектора и септора, сечения которых показаны на рис. 47.1. В зависимости от отношения коэффициентов Fv и Fs они могут носить септорный или векторный характер; к первому типу относится, например,
Рис. 68.2. Стереографическая проекция указательной поверхности продольного пьезоэлектрического эффекта в кристалле сульфата лития Li2SO4-H2O, класс 2. Симметрия поверхности mm2, антисимметрия ттт'\ в 10-8 ед. СГСЭ.
поверхность продольного пьезоэлектрического эффекта в сульфиде кадмия CdS (класс 6яг/п); ко второму — в титанате бария BaTiO3 (класс 4тт\ рис. 58.1. Оба эти кристалла широко применяются в технике.
Если указательная поверхность продольного пьезоэлектрического эффекта не является поверхностью вращения, ее удобнее изображать посредством стереографических проекций (см. § 24). Так, две стереографические проекции и сечение указательной поверхности продольного пьезоэлектрического эффекта в кристалле турмалина (класс 3m) приведены на рис. 44.2. Стереографические проекции указательных поверхностей продольного пьезоэлектрического эффекта в двух кристаллах моноклинной системы приведены на
рис. 58.2 и 58.3. Обращает на себя внимание совершенно различный характер анизотропии этих кристаллов, принадлежащих одному и тому же классу 2. Симметрия продольного пьезоэлектрического эффекта в этих кристаллах mm2; плоскости симметрии, проходящие через ось 2, можно усмотреть и на рис. 58.2 и 58.3, но значительно нагляднее они стали бы, если бы ось 2 была выведена в центр проекции.
Рис. 58.3. Стереографическая проекция указательной поверхности продольного пьезо* электрического эффекта в кристалле этилендиаминтартрата, класс 2. Симметрия по» верхности tnm2, антисимметрия ттт*; в 10-8 ед. СГСЭ.
Рассматривая влияние симметрии кристаллов на их пьезоэлектрические свойства, мы пользовались вычисленными для различных кристаллографических классов общими формами тензора пьезоэлектрических коэффициентов d. Между тем некоторые результаты этого рассмотрения можно получить без всяких вычислений, исходя только из принципа Кюри и теоремы Германа. Этим мы и займемся.
Для того чтобы в кристалле (и вообще в какой-либо однородной среде) под влиянием некоторого внешнего воздействия могла возникнуть электрическая поляризация, необходимо, чтобы в кристалле, подвергнутом воздействию, существовало по крайней мере одно особенное полярное направление, а для этого, в свою очередь, необходимо (см. §§ 3,25 и приложение В), чтобы группой симметрии среды, подвергнутой внешнему воздействию, была оо т или любая ее подгруппа
СО/71 S Gcp, возд* (^’ ^)
Но группа симметрии среды, подвергнутой воздействию, согласно принципу Кюри, не ниже, чем пересечение (общая часть) двух групп: группы симметрии свободной среды Gcp и группы симметрии воздействия Овозд:
^ср> возд — $ср П ^возд* (58.16)
Сравнив соотношения (58.15) и (58.16), получаем окончательно
00/71 з Оср П ^возд’ (58.17)
т. е. для того, чтобы в однородной среде под влиянием некоторого внешнего воздействия могла возникнуть электрическая поляризация, необходимо, чтобы пересечение группы симметрии среды и группы симметрии воздействия было бы группой оо т или одной из ее подгрупп.
Это общее правило справедливо для всех видов электрической поляризации. При пьезоэлектрической поляризации симметрия воздействия в зависимости (58.17) описывается одной из трех групп: оо оо т при всестороннем сжатии, со!пгт при одноосном растяжении, шт во всех остальных случаях.
В общем случае, когда GBO3A = ттт, необходимое условие возникновения пьезоэлектрической поляризации принимает вид
oom 5 Gcp f] ттт. (58.18)
Так как группа ттт центросимметрична, а группа оо т нецентросимметрична, условие (58.18) удовлетворяется только нецентросимметричными группами Gcp: пьезоэлектрические однородные среды нецентросимметричны.
Но все ли нецентросимметричные группы Gcp удовлетворяют условию (58.18)? Одна из них, а именно оо оо, ему, во всяком случае, не удовлетворяет. Действительно, оооо П ттт = 222, но эта группа вовсе не является подгруппой группы оо т. Таким образом, в средах симметрии оо оо пьезоэлектрическая поляризация невозможна.
По-иному решается вопрос о возможности пьезоэлектрической поляризации и пьезоэлектрического эффекта в кристаллах класса 432. Легко найти такое напряжение, чтобы 432 п ттт = 1; достаточно приложить его так, чтобы ни одна из осей симметрии тензора напряжений не совпадала бы с какой-либо из осей симметрии кристалла. Но несмотря на то, что условие (58.18) при этом удовлетворяется, линейный пьезоэлектрический эффект в кристаллах класса 432 невозможен. Действительно, этот эффект описывается тензором третьего ранга. По теореме Германа оси симметрии четвертого порядка служат для него осями бесконечного порядка. Отсюда ясно, что по симметрии линейного пьезоэлектрического эффекта кристаллы класса 432 не отличаются от сред класса оо оо, а в последних, как мы только что видели, пьезоэлектрическая поляризация запрещена. Однако наряду с линейным пьезоэлектрическим эффектом возможен гораздо более слабый квадратичный пьезоэлектрический эффект, при котором поляризация квадратично зависит от компонент тензора напряжений (см. § 74):
D; = ^Qnutm0jka 1т (5®* 1^)
Так как квадратичный эффект определяется тензором пятого ранга, а порядок осей симметрии у кристаллов класса 432 не превышает четырех, теорема Германа к нему неприменима; следовательно, пьезоэлектрическая поляризация такого типа принципами симметрии не запрещена. Расчет показывает, что материальный тензор пятого ранга Q внутренней симметрии V [[V2]2] для кристаллов класса 432 действительно может иметь отличные от нуля компоненты *).
Аналогично можно показать, что продольная пьезоэлектрическая поляризация в средах симметрии оо 2 запрещена принципом Кюри. Используя еще теорему Германа, можно убедиться, что линейный продольный пьезоэлектрический эффект запрещен также в кристаллах классов 422 и 622.
Таким образом, запреты, налагаемые принципом Кюри и условием обращения в нуль всех компонент материального тензора, не совпадают по содержанию. Запрещая пьезоэлектрическую поляризацию в средах симметрии оо оо,
принцип Кюри полностью исключает возможность возникновения в них электрической поляризации в результате воздействия механических напряжений, безотносительно к характеру функциональной зависимости поляризации от напряжений — линейна ли она, квадратична или еще более сложна. Напротив, из равенства нулю тензора пьезоэлектрических коэффициентов для среды определенной симметрии следует лишь, что в этой среде невозможна пьезоэлектрическая поляризация, линейно зависящая от напряжений; возможность же возникновения
Рис. 58.4. Схема взаимодействия тепловых, электрических и механических явлений в кристаллах.
пьезоэлектрической поляризации, связанной с напряжениями более сложной функциональной зависимостью (например, квадратичной), не исключается. Это убедительно иллюстрирует квадратичный пьезоэлектрический эффект в кристаллах класса 432.
Приняв во внимание пьезоэлектрический, обратный пьезоэлектрический, электрокалорический и пьезокалорический эффекты, мы получаем стройную схему взаимодействия тепловых, электрических и механических явлений, происходящих в кристаллах: любая обобщенная термодинамическая сила, приложенная к кристаллу, вызывает, вообще говоря, изменение всех его обобщенных термодинамических координат. Эта схема изображена на рис, 58,4, заимствованном с некоторыми изменениями из учебника Ная (1967),
Итак, обращение в нуль материального тензора приводит к более конкретным, но менее общим запретам, а принцип Кюри — к более общим, но зато менее конкретным. Однако из принципа Кюри можно получить и более конкретные запреты (например, запрещение именно линейного пьезоэлектрического эффекта в кристаллах класса 432), если наряду с ним использовать и теорему Германа. Но во всех случаях необходимо твердо помнить, что принцип Кюри — в сочетании ли с теоремой Германа или без нее — лишь запрещает те или иные эффекты, но вовсе не утверждает, что эффекты, не противоречащие ему, действительно существуют.
Полностью схемы взаимодействия тепловых, электрических и механических свойств кристаллов реализуются лишь при отсутствии точечной симметрии, т. е. на кристаллах класса 1. К сожалению, до настоящего времени нет ни одного кристалла класса 1, для которого удалось бы измерить все коэффициенты. Симметрия кристаллов приводит к исчезновению тех или иных взаимодействий. Это наглядно иллюстрируют матрицы табл. 58.4 (Най, 1967).
Таблица 58.4
Термодинамические матрицы М для всех кристаллографическихи предельных классов
Триклинная система
класс 1
•
• •••ее
V V V
• • • • • •
класс I
Таблица 58.4 (продолжение)
Ромбическая системакласс 222класс mm2класс ттт
е
•
I
i
XI
класс 4тт
•
I
XI е—• •
•
класс 4 [ттт
Таблица 58.4 ^продолжение^
Тригональная система
класс 3
класс 3
класс 6класс 6Гексагональная система и текстуры
класс 6
класс 6
классы 6 и ооклассы 6 и ооклассы 6/т,Ъ/ттт, со/т исо/тт
классы 6 и оо
классы 6 и оо
классы 622 и оо2
классы втт и т оо
Таблица 58.4 (продолжение)
Кубическая система
классы 23 и 43mклассы 23 и 43mклассы m3, 432 ит^тклассы m3, 432 ит^т
классы 23 и 43m
классы 23 и 43m
классы m3, 432 ит^т
классы m3, 432 ит^т
Изотропные и гиротропные телаклассы оо оо т иОО 00
Обозначения
компонента, отличная от нуля,
е - • равные (и отличные от нуля) компоненты,
• " О компоненты, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку,
компонента, равная удвоенной компоненте, обозначенной точкой ф, с которой этот знак соединен линией,
@ компонента, равная взятой с обратным знаком удвоенной компоненте, обозначенной точкой, с которой этот знак соединен линией,
X 2 (SM — Sis) — 2 ^М 44 — М 46).
Все матрицы симметричны относительно главной диагонали.
§ 59. Совместное решение уравнений электро- и эластостатики кристаллов
К пьезоэлектрическим кристаллам теория упругости и электростатика, строго говоря, неприменимы как отдельные теории. Всякое изменение электрического состояния пьезоэлектрического кристалла изменяет его механическое состояние, и наоборот, а эти изменения должны подчиняться соответственно уравнениям электростатики и теории упругости. Поэтому для определения напряженности и индукции электрического поля, напряжений и деформаций в кристалле необходимо решить систему уравнений
divD = 0, rot£=0, (59.1)
Div о = 0, Ink е = 0 (59.2) с соответствующими электрическими и механическими граничными условиями, учитывая наличие связи между полевыми тензорами:
Z) = x-£ + 4nd : <г,е = £ d + s: а.
Именно эта связь не позволяет решать одну из систем (59.1) и (59.2) отдельно от другой.
Решение полной системы уравнений электрического и упругого равновесия в элементарных функциях возможно лишь в отдельных, особо простых случаях. Некоторые из этих случаев, имеющие практическое значение и позволяющие познакомиться с характерными особенностями задачи, будут здесь рассмотрены.
Пьезоэлектрическая пластинка под действием однородных механических напряжений. Рассмотрим кристаллическую пластинку, толщина которой а много меньше длины и ширины: а2 <^ S; это позволяет пренебречь эффектами у краев. Ориентация пластинки задается единичным вектором нормали п\ условимся, что он направлен от нижней стороны пластинки к верхней. Поверхности ее, перпендикулярные к я, металлизированы. На пластинку действует однородное напряжение а. Найдем деформацию и плотность зарядов на обкладках.
Так как поверхности металлизированы, они являются эквипотенциальными поверхностями. Выбрав начало координат где- либо на нижней обкладке, введем координату z = п- г. Очевидно, все плоскости, параллельные обкладкам, также будут эквипотенциальными поверхностями, потенциал ф зависит только от z, т. е. Ф = Ф (z). Тогда напряженность электрического поля Е = —ф'я, где ф' = dy/dz.
На обкладки пластинки действуют усилия а • п и —а • п на единицу площади, а на боковые поверхности — усилие aq, где q — нормаль к данному участку боковой поверхности. При этом удовлетворены
уравнения упругого равновесия и граничные условия для напряжений. Уравнения (59.3) можно записать теперь в форме
D = — х • Яф' + 4лд : а,(59.4)
е = — п • dф' + s : а,(59.5)
где ф' зависит только от z, а а вообще не зависит от координат. Поэтому уравнение div D = 0 приводит к ф" = 0. Отсюда ясно, что ф — линейная функция z, а это значит, что деформации однородны и, следовательно, уравнения совместности деформаций Ink 8 =■ 0 удовлетворяются тождественно.
При замкнутых накоротко обкладках Ф (0) = ф (а). Отсюда Ф = const, т. е. напряженность поля в пластинке равна нулю. Плотность поверхностных зарядов на нижней обкладке равна
Рпов = ^«--О =»d:o.(59.6)
На верхней обкладке она такова же по величине, но противоположна по знаку (это связано с противоположным направлением внешней нормали к поверхности). Деформации в пластинке при этом, согласно (59.5), равны 8 = s : а, т. е. таковы же, как и в отсутствие пьезоэлектрического эффекта.
(59.7)(59.7)При разомкнутых обкладках разность потенциалов U = ф (0) — — Ф (а) = —аф' не равна нулю, а следовательно, отлично от нуля и поле в пластинке. С другой стороны, при разомкнутых обкладках n«D = 0. Учитывая это, получим из (59.4)
(59.7)
(59.7)
т п • X • п
откуда найдем напряженность поля Е = —ф'я и разность потенциалов на обкладках U = —а^. Деформация теперь зависит не только от упругих, но и от пьезоэлектрических свойств кристалла: согласно (59.5)
4л (п • d : (У) п • d .
Это можно записать в виде
Е_г _<„(«.»)|II* е в II* J
Выражение в скобках играет роль нового, зависящего от пьезоэлектрических коэффициентов, тензора упругой податливости. Очевидно, жесткость пластинки в этом случае несколько увеличивается; это и не удивительно: работа усилий, приложенных к поверхностям пластинки, затрачивается теперь не только на создание
энергии упругой деформации 1 -1 - Г 4л (га • d) (п • d)]
^упр— 2 a<r Iе= 2 асг: |s ^TFn j: а =
на 1 см2 пластинки, но и на создание электрической энергии )
П7 1 рт га _ 1 ^ ^ * п ( ^пап • d: а \2 _ 1 4л (л • d : а)2»л = 24ла \ п-и-п /^^ п-и - п
на 1 см2. Таким образом, деформация уменьшается ровно настолько, чтобы связанное с этим уменьшение упругой энергии компенсировало появление энергии электрической.
Отношение ^л^^упр + ^эл) показывает, какая часть механической энергии /?мех = №упр + №эл, затраченной на деформирование пьезоэлектрической пластинки, перешла в электрическую; квадратный корень из этого отношения
^ = K^V^(59.9)
называется коэффициентом электромеханической связи. Его можно представить в виде
<5910>
Это отношение, очевидно, не зависит от величины электрического поля или механических напряжений: если увеличить в несколько раз все компоненты вектора Е или тензора а, оно не изменится. Однако вследствие анизотропии кристалла оно существенно зависит от направления электрического поля и ориентации тензора напряжений.
На практике однородное напряженное состояние пьезоэлектрической пластинки реализуется обычно в виде одноосного растяжения или сжатия, направление которого либо перпендикулярно к пластинке (продольный пьезоэлектрический эффект). либо лежит в ее плоскости (поперечный эффект).
В случае продольного эффекта тензор напряжений о = опп. Поверхностная плотность заряда на замкнутых накоротко обкладках
Рпов = оп • d: пп.(59.11)
разность потенциалов между разомкнутыми обкладками
<59-12)
Сравнив напряжение а с относительным изменением толщины пластинки пе-п. получим модуль Юнга Е (п). При замкнутых
обкладках величина его такова же, как и в отсутствие пьезоэлектрического эффекта, а при разомкнутых (ср. (59.8)) —
= пп : s : пп [ 1 - <М^^1/^159 3
Е (п).L (и • х • (пп: s: пп)\ х 1
Дробь в скобках, очевидно, представляет собой квадрат коэффициента электромеханической связи для случая продольного пьезоэлектрического эффекта (ср. (59.12)). Так как во все формулы, описывающие продольный эффект, тензор d входит лишь в виде комбинаций я-d : пп, его можно заменить тензором продольного пьезоэлектрического эффекта fyk = fw^V Действительно при любом п имеем пй : пп = пЛ : пп. Симметрия тензора f подробно рассмотрена в § 58.
При поперечном эффекте тензор напряжений а = uqq, где q — единичный вектор, лежащий в плоскости пластинки. При этом поверхностная плотность заряда на замкнутых обкладках
PnoB = ^d:^,(59.14)
а разность потенциалов между разомкнутыми обкладками
(59.15)
Коэффициент электромеханической связи при поперечном эффекте
(59.16)(59.16)^2 = _4Mn;d2_^_(n-x-re)(^:s:^)
(59.16)
(59.16)
для каждого данного среза (т. е. при некотором фиксированном л) зависит от направления растяжения q.
Пьезоэлектрическая пластинка под действием разности потенциалов. Подадим на обкладки той же пьезоэлектрической пластинки разность потенциалов U. Очевидно, в пластинке возникнет поле Е = (U/a) п. Если пластинка свободна, т. е. на ее обкладках и боковой поверхности усилия равны нулю, то напряжения будут равны нулю во всей пластинке. Тогда
D = qU/a^.n,(59.17)
e = (U/a)n-d.(59.18)
Отсюда находим плотность заряда на нижней обкладке
'pn0B = ^n.D = -^n.x.n.(59.19)
Механическим аналогом пластинки с разомкнутыми обкладками служит пластинка, к которой прикладывается одноосное сжимающее или растягивающее напряжение о = алл, не позволяющее ей изменять толщину, так что все время в : лл = 0. Из уравнения е: лл = ((//а) л • d: лл + алл:s:лл = 0
найдем величину напряжения
(59.20)(59.20)(59.21)(59.21)_ U n*d:пп ст = — a nn:s:пп
(59.20)
(59.20)
(59.21)
(59.21)
Отсюда получим формулу для индукции
г» U Г _ 4л (я • d : яя) d : пп и — I X • п — ■-
а Vпп : s : пп .
которую можно представить в виде
p_L 4л (d : пп) (d : пп)L пп : s : Пп
аналогичном (59.8): выражение в скобках играет роль измененного тензора диэлектрической проницаемости. Плотность зарядов на обкладках
рпов = ^ =Г1 -(59.22)
мпов 4л 4ла [ (п • х • п) (пп: s: пп) J v 7
меньше, чем в случае свободной пластинки (59.19). Как и в (59.13), ее уменьшение определяется квадратом коэффициента электромеханической связи А2. Тот же коэффициент fe2 показывает, какая часть затраченной на создание разности потенциалов электрической энергии
^эл — 2 Clj2 — 8ла пхп
переходит в энергию механических напряжений
WMex = ^aa:s:o
(обе эти величины отнесены к 1 см2 пластинки). Действительно,
^2 = ^ех = 4тЦп-й:ппУ(59. 23)
Дэл(п • х • п) (пп: s : пп)х ’
Пьезоэлектрический кристалл под действием гидростатического давления. Точное решение этой задачи возможно только для кристалла сферической формы. Пусть пьезоэлектрический шар радиуса R с тензорами диэлектрической проницаемости х и пьезоэлектрических коэффициентов d погружен в непроводящую жидкость с диэлектрической проницаемостью х0, давление в которой равно р. Жидкость заполняет все пространство, окружающее кристалл. Уравнения упругого равновесия div о = 0 и граничные условия для напряжений (а • п = а0 • п, где о и о0 — напряжения в кристалле и в жидкости, его окружающей, п — единичный вектор нормали к поверхности кристалла) удовлетворяются, если как в жидкости, так и в кристалле тензор напряжений
о = - pl.(59.24)
Пьезоэлектрические свойства материала в данной задаче определяются вектором d = d : I с компонентами dlkk (см. § 58). Именно ему коллинеарен вектор пьезоэлектрического дипольного момента
/И = d : а = — pd : I = — рй.(59.25)
которым, как можно ожидать по аналогии с задачей о пироэлектрическом шаре (§31), определяются потенциалы электрического поля
Ф(/) = — г • 0 • Л4, ср(5) = (/?/г)3г^^
в кристалле и жидкости соответственно. Неизвестные пока постоянные тензоры Р и у определяются как и в §§ 28 и 31, из граничных условий непрерывности потенциала ф и нормальной составляющей вектора D на поверхности раздела пьезоэлектрика и жидкости. Оказывается,
Р = — y — — 4 л (х + 2х01)-1.
Отсюда находим напряженность и индукцию ) электрического поля в кристалле
Е^ = — grad ф(/) = 4лр (х + 2х01)-1 • d, (59.26)
D^ = х • Е^ + 4лМ = — 2х0Е(/).(59.27)
Зная Е и а, легко вычислить деформации. Подсчитаем, в частности, относительное изменение объема кристалла
^ = е : I = — £ [ 1 - 4лДб?• (х + 2х01)-! • d],(59.28)
где К = (I : s : I)"1 — модуль всестороннего сжатия (см. § 53). И в этом случае жесткость кристалла вследствие пьезоэлектрического эффекта увеличивается. Роль квадрата коэффициента электромеханической связи, характеризующего это увеличение, играет здесь вычитаемое в квадратной скобке формулы (59.28).
§ 60. Инвариантные и неинвариантные
термодинамические потенциалы и их матрицы
Внутренняя энергия кристалла U и его термодинамический потенциал Ф — функции трех величин: скаляра, характеризующего тепловое состояние кристалла, вектора, характеризующего его электрическое состояние, и симметричного тензора второго ранга, характеризующего его механическое состояние. С другой стороны, в термодинамике фигурируют по две величины каждого из этих типов: скаляры S и Т, векторы Ь и Е, тензоры е и а. Внутренняя энергия U служит термодинамическим потенциалом кристалла отно-
сительно набора S, Ь. е, а термодинамический потенциал Ф — относительно набора Т, Е, а. Всего имеется 23 = 8 таких наборов и соответственно 8 инвариантных термодинамических потенциалов. Все они строятся из внутренней энергии посредством вычитания из нее одного, двух или трех из произведений:
(60.1)(60.1)TS, E D> су:е.
(60.1)
(60.1)
Инвариантность же их относительно точечной группы G симметрии кристалла следует из того, что внутренняя энергия U = U (S; Ь, е) инвариантна относительно группы G, а каждое из произведений (60.1) — относительно группы оооот о G.
Таблица 60.1
Восемь инвариантных термодинамических потенциалов
Обозначение и определение
Название
Полный дифференциал
и
внутренняя энергия
dU = TdS+£.db + a:de
F = U — TS
свободная энергия
dF = — SdT+E-dD + a :de
Нэл = и~Еб
электрическая энтальпия
dHa„ = TdS-D-dE+a: de
Нмех = U — о : 8
механическая энтальпия
dHMex = T dS + E ■ db—s: da
H = U—E D—<г :е
энтальпия
dH = TdS — D • dE—8: da
Фмех = U TS (Г .* 8
механический термодинамический потенциал
dO>Kex =—SdT +E • db—e:da
ф9л = и — TS — ED
электрический термодинамический потенциал
dф3л= -SdT—D-dE+a: de
Ф=и — Т8-Е- D—о.г
термодинамический потенциал
d®=— S dT—D dE—г : da
Рассмотрим, например, потенциал Н%п = U — Е-D, называемый электрической энтальпией. Его полный дифференциал
dH9n = dU— E*db — b-dE = T dS-D-dE-V^ds, (60.2)
откуда ясно, что это — термодинамический потенциал относительно набора S, Е, е. И действительно, из (60.2) следует, что
(60.3)(60.3)т ^элА ^эл ^эл
(60.3)
(60.3)
1 ~ “53“1 идЕ * а “ дв •
Остальные потенциалы получаются аналогично. Все они выписаны в табл. 60.1. Следует иметь в виду, что ни приведенные в таблице названия, ни тем более обозначения не являются общепринятыми ).
Те же восемь потенциалов изображены на рис. 60.1, который иллюстрирует способ получения этих потенциалов и соотношения между ними. Потенциалы размещены на вершинах ромбоэдра. Верхнюю его вершину занимает внутренняя энергия — потенциал относительно обобщенных термодинамических координат. Ниже располагаются три вершины, занятые потен-
циалами относительно двух координат и одной силы. Еще ниже — три вершины с потенциалами относительно двух сил и одной координаты. Наконец, нижняя вершина занята термодинамическим потенциалом Ф — функцией обобщенных термодинамических сил. Ребрам также можно приписать определенный физический смысл: спуск по ребру вперед означает вычитание произведения TS, спуск вправо и назад — вычитание скалярного произведения E*D, спуск влево и назад — вычитание бискалярного произведения о : в. Движение в противоположных направлениях означает, разумеется, прибавление соответствующих произведений. Противоположные вершины ромбоэдра занимают потенциалы относительно взаимно дополняющих наборов термодинамических переменных, например U (StDt 8) и Ф (Т, £, а), или F (Т, D, 8) и Н (S, £, а).
Есть и неинвариантные термодинамические потенциалы. Таковы, например, функция U — Е^г — термодинамический потенциал
Рис. 60.1. Ромбоэдр термодинамических потенциалов.Рис. 60.1. Ромбоэдр термодинамических потенциалов.относительно набора переменных S, Еъ D2, D3, еь е2, е3, е4, е6, ев и функция U — TS — ЕгВу — а2е2 — термодинамический потенциал относительно набора Т, Еъ D2l D3, еь е2, е3, е4, еб, е6.
Рис. 60.1. Ромбоэдр термодинамических потенциалов.
Рис. 60.1. Ромбоэдр термодинамических потенциалов.
Эти потенциалы в той или иной мере зависят от направления. Например, потенциал U — eJD^ зависит от выбора орта ех: если его выбрать по-другому, этот потенциал, вообще говоря, изменится. Однако от того, как выбраны в плоскости, перпендикулярной к этому орту, орты е2 и е3, потенциал U — EXDX не зависит. Потенциал U — TS — ЕуЬг — а2е2, напротив, зависит от выбора двух ортов: ег и е2, т. е. координатной системы в целом.
Неинвариантные потенциалы можно рассматривать как функции не только обычных термодинамических аргументов, но также и одного или нескольких единичных векторов p,q, ... Так, потенциал U — EXDX представляет собой частное значение (при р = ех) потенциала L) — (Е-р) (D-р), а потенциал U — TS — EJ^ — о2е2 —
частное значение (при р = еъ q =; е2) U — TS — (JE-p) (Ь- р) — — (о: qq) (е: qq\
Пусть Y — любой (не обязательно инвариантный) термодинамический потенциал, а ^, ..., £10— его аргументы (ул или YA\ отсчитываемые от начального состояния, в котором все термодинамические силы Ya равны нулю и кристалл не деформирован и не поляризован. Тогда начало его разложения в ряд Тейлора имеет вид
,60'4)
В зависимости от того, является ли аргумент £л термодинамической координатой или силой, справедливо одно из равенств
(60-5)
Ia-Ya, уд = _(Л-\^.(60.6)
Матрицей потенциала Т назовем матрицу || ^^/д^л^Д ||, если Y инвариантен и размещен в верхней половине ромбоэдра рис. 60.1 или если Т неинвариантен и получен вычитанием из U не более чем пяти произведений Y АУд- В остальных случаях матрицей потенциала Т будем считать || — (д2Т7д£лд£в)0 II-
Отметим некоторые свойства таких термодинамических матриц. Все они симметричны. Любую из них можно использовать для приближенного определения соответствующего потенциала по формуле (60.4), термодинамической силы (60.5) или координаты (60.6). Наконец, матрицы потенциалов Y и Q относительно взаимно дополняющих наборов аргументов ^, ..., £10 и ^, ..., £10 удовлетворяют соотношениям вида
К^д^Щ 4 Ml (^bMI1^11’ W где |Едв||—диагональная матрица, на диагонали которой стоят плюс и минус единицы:
^ _( +6дв, если ^а=Уа. ^a = Ya,АВ I -бдв, если ^A=YA, и=Уд.
Так, введенная в § 57 матрица термодинамического потенциала |Д4лв|| = || — ^CbldYа дК^Ц определяет в первом приближении термодинамический потенциал
ф = ф0_1МдвГлГв(60.8)
Уа = MAbY в.Уа = MAbY в.(60.9)(60.9)и зависимость термодинамических координат от термодинамических сил
Уа = MAbY в.
Уа = MAbY в.
(60.9)
(60.9)
Матрица внутренней логичную роль:
энергии Нлв|| = ||(526//5</л^в)о|| играет ана-
U = U6^NAByAyB,(60.10)
Y А = N авУВ1(60.11)
очевидно, что она обратна матрице термодинамического потенциала: N = Л/"1; в этом (и только в этом) случае Е — просто единичная матрица.
В более подробной записи формула (60.11) принимает вид)
(60.12а)(60.126)(60.12b)(60.12а)(60.126)(60.12b)0 — (71 о/Сщ) 2tTqI^v} ЯьРь(Тq/Cv) Рубу,»
(60.12а)
(60.126)
(60.12b)
(60.12а)
(60.126)
(60.12b)
Ei = — (ТО/Ст) qt 2 + 4nr]ZJA - h^
^х = — (То/С-и) Рх S — ^kiPk + £хцец.«
Здесь С^ — отнесенная к единице объема теплоемкость при постоянных деформациях и постоянной индукции, r]/ft — адиабатическая диэлектрическая непроницаемость при постоянных деформациях, сху — адиабатические коэффициенты упругости при постоянной индукции, Рх — коэффициенты термоупругости при постоянной индукции, qi и hlvx, — вектор и тензор, описывающие пироэлектрические и пьезоэлектрические свойства кристалла и не имеющие сколько-нибудь общепринятых названий (наименование «константа Мэзона» для hip, не получило, по-видимому, широкого распространения).
В качестве второго примера рассмотрим потенциал Нвл (S, Е, е). Из формул (60.3) получим
dS2 + \ dSdE +* (oU.lda)
£ = -(|&) 2-(Й) -eA5^\ :e. (60.136)
\ oE О а /о\oE oE jo\ OE OB jo'
Q — / д2#эл \ у I (^ддХ „ I /..^^M \ . gzgQ 13Bx
° \ dsdS jo^VdedEjo п + \ деде )0>e*(ov.iobj
или в матричной форме
0—b а0—b а№,/dS4e^НЭд/дЕдЗ)в ^Hg„/d8dS)e№,/dS4e^НЭд/дЕдЗ)в ^Hg„/d8dS)e(^H3„/dSdE)e ^Н9Д/дЕдЕ)0 ^Н9д1де дЕ^(^H3„/dSdE)e ^Н9Д/дЕдЕ)0 ^Н9д1де дЕ^^Н9я/дЗ де)0 ^Н9д/дЕдв)0 ^Н9л/дв де)о^Н9я/дЗ де)0 ^Н9д/дЕдв)0 ^Н9л/дв де)оЕ Е :еЕ Е :е(60.13)(60.13)
0
—b а
0
—b а
№,/dS4e
^НЭд/дЕдЗ)в ^Hg„/d8dS)e
№,/dS4e
^НЭд/дЕдЗ)в ^Hg„/d8dS)e
(^H3„/dSdE)e ^Н9Д/дЕдЕ)0 ^Н9д1де дЕ^
(^H3„/dSdE)e ^Н9Д/дЕдЕ)0 ^Н9д1де дЕ^
^Н9я/дЗ де)0 ^Н9д/дЕдв)0 ^Н9л/дв де)о
^Н9я/дЗ де)0 ^Н9д/дЕдв)0 ^Н9л/дв де)о
Е Е :е
Е Е :е
(60.13)
(60.13)
Потенциалом от дополнительного набора аргументов является Фмсх(71, D, о); для его матрицы уравнение, аналогичное (60.13),
имеет видимеет видЕ—Е8Е—Е8- (д2фмех/дТ2)0 _ (52фмех/дТ дЬ^ -^^Ьд^ ~(д2фмех/дРд5)0— (д2Фмех/д<Г ^Л о — (^2Фмех/^ ^Р)о- (д2фмех/дТ2)0 _ (52фмех/дТ дЬ^ -^^Ьд^ ~(д2фмех/дРд5)0— (д2Фмех/д<Г ^Л о — (^2Фмех/^ ^Р)о-(^Фмех^ ^)о|-(^Фмех/^^о— (^2Фмех/^ д(Г)о-(^Фмех^ ^)о|-(^Фмех/^^о— (^2Фмех/^ д(Г)ов D : ав D : а
имеет вид
имеет вид
Е
—Е
8
Е
—Е
8
- (д2фмех/дТ2)0 _ (52фмех/дТ дЬ^ -^^Ьд^ ~(д2фмех/дРд5)0
— (д2Фмех/д<Г ^Л о — (^2Фмех/^ ^Р)о
- (д2фмех/дТ2)0 _ (52фмех/дТ дЬ^ -^^Ьд^ ~(д2фмех/дРд5)0
— (д2Фмех/д<Г ^Л о — (^2Фмех/^ ^Р)о
-(^Фмех^ ^)о|
-(^Фмех/^^о
— (^2Фмех/^ д(Г)о
-(^Фмех^ ^)о|
-(^Фмех/^^о
— (^2Фмех/^ д(Г)о
в D : а
в D : а
(60.14)
Сравнив (60.13) и (60.14), видим, что матрицы потенциалов Я9Л и Фмех, в полном соответствии с уравнением (60.7), связаны соотношением
(Э2фмех/дП)0 ^«^дЬ дТ^ (д2Фмех/д<т дТ)0(Э2фмех/дП)0 ^«^дЬ дТ^ (д2Фмех/д<т дТ)0-(^Фме^Т^о -(^фМеХ/5Рар)0- (^Фмех/^ 6О)0-(^Фме^Т^о -(^фМеХ/5Рар)0- (^Фмех/^ 6О)0-(д2Фмех/дТд<г)0 -1 — (^ФмеХ/^^ да)0 — (д2Фмех/д<г да)о-(д2Фмех/дТд<г)0 -1 — (^ФмеХ/^^ да)0 — (д2Фмех/д<г да)о
(Э2фмех/дП)0 ^«^дЬ дТ^ (д2Фмех/д<т дТ)0
(Э2фмех/дП)0 ^«^дЬ дТ^ (д2Фмех/д<т дТ)0
-(^Фме^Т^о -(^фМеХ/5Рар)0
- (^Фмех/^ 6О)0
-(^Фме^Т^о -(^фМеХ/5Рар)0
- (^Фмех/^ 6О)0
-(д2Фмех/дТд<г)0 -1 — (^ФмеХ/^^ да)0 — (д2Фмех/д<г да)о
-(д2Фмех/дТд<г)0 -1 — (^ФмеХ/^^ да)0 — (д2Фмех/д<г да)о
1 0 0 0—10 0 О 11 0 0 0—10 0 О 1№л/д$2)о(д=Я9л/д£ dS)0 ^Нвя/двд8)0№л/д$2)о(д=Я9л/д£ dS)0 ^Нвя/двд8)0^Нал/д8дЕ)0 ^H9J1fdS de), II 1^H^dESE), (д2Я9л/дЕде)о 0^Ная/двдЕ^ ^Ная/дгдв)0 || О^Нал/д8дЕ)0 ^H9J1fdS de), II 1^H^dESE), (д2Я9л/дЕде)о 0^Ная/двдЕ^ ^Ная/дгдв)0 || ОО О—1 оО 1О О—1 оО 1
1 0 0 0—10 0 О 1
1 0 0 0—10 0 О 1
№л/д$2)о
(д=Я9л/д£ dS)0 ^Нвя/двд8)0
№л/д$2)о
(д=Я9л/д£ dS)0 ^Нвя/двд8)0
^Нал/д8дЕ)0 ^H9J1fdS de), II 1
^H^dESE), (д2Я9л/дЕде)о 0
^Ная/двдЕ^ ^Ная/дгдв)0 || О
^Нал/д8дЕ)0 ^H9J1fdS de), II 1
^H^dESE), (д2Я9л/дЕде)о 0
^Ная/двдЕ^ ^Ная/дгдв)0 || О
О О
—1 о
О 1
О О
—1 о
О 1
(60.15)
Элементами матриц в формулах (60.13) — (60.15) служат не только числа, но также векторы и тензоры; в частности, тензорами являются две единицы из трех в матрицах Е формулы (60.15).
§ 61. Зависимость термодинамических коэффициентов от условий измерения
Коэффициенты, характеризующие свойства веществ, зависят — и иногда очень значительно — от условий, в которых они измеряются: теплоемкость, измеренная при постоянном объеме, не равна теплоемкости, измеренной при постоянном давлении; адиабатическая сжимаемость не равна изотермической. Кристаллы не составляют исключения из этого общего правила; так, механические свойства кристалла зависят от электрических условий, в которых он находится (замкнуты или разомкнуты обкладки пьезоэлектрической пластинки), а электрические свойства — от механических условий (может пластинка свободно деформироваться или же она механически зажата).
Каждый термодинамический потенциал порождает свою термодинамическую матрицу и соответственно свою систему термодинамических коэффициентов, которые служат элементами этой матрицы.
Будем исходить из системы термодинамических коэффициентов, порождаемой термодинамическим потенциалом Ф, т. е. определи-
емой уравнениями )
S= ^0 + Рл£л + аи^ц.(61.1а)
о
Di = p^-V^*ikEk-VdiA*(61.16)
ex = a-x^-'r4kKEk-Vsv5v..(61.1 в)
Коэффициенты х/л, s^y, dlv, измеряются при постоянной температуре. Подсчитаем значения этих коэффициентов, если измерять их не в изотермических, а в адиабатических условиях.
При адиабатическом процессе постоянна энтропия, а температура изменяется. Ее изменения легко определить из уравнения (61.1а)
0=^2-^ РкЕк - Sw(61 -2а)
LpСрСр
(для общности мы не полагаем здесь £ = 0, имея в виду, что энтропия может поддерживаться постоянной, но не равной So). Подставим полученное значение 6 в уравнения (61.16) и (61.1в):
Dt = ^ ptL + (^ и1к - ^ рЦ Ек + ^ - ^ р,а^ ар, (61.26)Dt = ^ ptL + (^ и1к - ^ рЦ Ек + ^ - ^ р,а^ ар, (61.26)ех =ех =^ «х2 + ^кХ — ^ Рк^Х^ «х2 + ^кХ — ^ Рк^ХЕк + (sxp-^axopЕк + (sxp-^axop<Тц.<Тц.(61.2в)(61.2в)
Dt = ^ ptL + (^ и1к - ^ рЦ Ек + ^ - ^ р,а^ ар, (61.26)
Dt = ^ ptL + (^ и1к - ^ рЦ Ек + ^ - ^ р,а^ ар, (61.26)
ех =
ех =
^ «х2 + ^кХ — ^ Рк^Х
^ «х2 + ^кХ — ^ Рк^Х
Ек + (sxp-^axop
Ек + (sxp-^axop
<Тц.
<Тц.
(61.2в)
(61.2в)
Отсюда имеем адиабатические значения коэффициентов
4лТ0- Tnл То
Hih — Х/д ^ PiPki $Хц — S^y р— aXOy, dty — d/у р- Р/ОСу.
ЬрUpUp
(61.3)
Таким образом, адиабатические диэлектрические проницаемости и пьезоэлектрические коэффициенты отличаются от изотермических только у пироэлектрических кристаллов. Хотя некоторые адиабатические коэффициенты упругой податливости отличаются от соответствующих изотермических коэффициентов практически у всех тел, у кристаллов достаточно высокой симметрии часть адиабатических коэффициентов совпадает с изотермическими (например, у кубических кристаллов s<f> = s44). Формулы (61.3) показывают также, что диагональные адиабатические коэффициенты диэлектрической проницаемости (хп, х22, х33) и упругой податливости (sn, s22, •••, see) не больше одноименных изотермических коэффициентов; это утверждение, как и другие термодинамические неравенства, справедливо в произвольной системе координат.
Формулы (61.2), в сущности, определяют термодинамическую матрицу для энтальпии Н = Ф + TS, являющейся термодинамическим потенциалом относительно переменных S, £, и. Мало того,
элементы этой матрицы выражены через хорошо измеряемые на опыте величины, а именно элементы матрицы М.
Очевидно, при замене одной независимой переменной всегда можно действовать подобным же образом. Рассмотрим теперь случай, когда производится замена не одной, а сразу трех независимых переменных: вычислим коэффициенты Ср, Sx^ и ах не при постоянном электрическом поле, как в уравнениях (61.1), а при постоянной индукции. С этой целью решим систему уравнений (61.16) относительно компонент вектора Е. Вычислим сначала тензор т) = х"1, т. е. тензор диэлектрической непроницаемости, измеряемый в изотермическом процессе и при постоянных напряжениях. С помощью этого тензора найдем
Ek = — 4nr)^z0 + 4лт]^/ — 4nr]gzdz^, (61.46) а затем, подставив это выражение в (61.1а) и (61.1 в), получим 2 = (СР/Т - ^hpkp^ 0 + ^v/hpkDL + (Оц - 4лт]^^) ои, (61.4а) Ч = («х - 4л^1р^к) 6 + 4пх\ЫккО i + (sx^ — 4 лт^4х^) ^. (61.4в) Уравнения (61.4) определяют матрицу, соответствующую термодинамическому потенциалу Фмех = Ф + ED. Видно, что термодинамические коэффициенты при постоянной индукции отличаются от аналогичных коэффициентов при постоянном электрическом поле только у пироэлектрических (Ср и ах) и пьезоэлектрических (sxg) кристаллов.
Вычисление поправок, возникающих при переходе от изотермических коэффициентов к адиабатическим и от коэффициентов, измеренных при постоянном поле, к коэффициентам, измеренным при постоянной индукции, показывает, что у подавляющего большинства кристаллов *) они крайне невелики, самое большее порядка 1%. Исключение составляют пироэлектрические коэффициенты, измеренные при постоянной деформации и при постоянном напряжении: разность между ними имеет тот же порядок, что и сами эти коэффициенты. Чтобы ее найти, из уравнения Sx^v = 6xv подсчитаем коэффициенты с^ — коэффициенты упругости для изотермического процесса при постоянном электрическом поле. Решив с помощью этих коэффициентов уравнение (61.1 в) относительно о^, найдем.
Оц, = Сц^а-^0 c'^d^E и 4“ ^jiv^v»(^ .5в)
а подставив ои в (61.1а) и (61.16), получим /с \
2 = у"^ Cp^'T.p.oi^j 0 4~ (Р/г c^/Xpdk^ Ek 4~ c^a^eY,(61.5а)
О^ ^ (Р/ dipCp^ av) 0 -f- (х/д dipC^dkV) Ek-V ^уР^ч*(61.56)
Таким образом, пироэлектрические коэффициенты при постоянной деформации равны
Pi ^ — Pi ^^С^СЦ- (61.6)
У всех пироэлектрических кристаллов пироэлектрические коэффициенты, измеренные при постоянном напряжении, в той или иной степени отличаются от измеренных при постоянной деформации, поскольку все пироэлектрические кристаллы являются и пьезоэлектрическими.
В обычных условиях физического эксперимента и технического применения кристаллов, как правило, нет возможности воздействовать на кристалл всеми мыслимыми термодинамическими силами. Если, например, кристалл Используется в виде диэлектрической пластинки в плоском конденсаторе, напряженность электрического поля в нем перпендикулярна к плоскости пластинки. Нагружающие устройства, в свою очередь, обычно позволяют получать лишь некоторые частные виды напряжений; применительно к пластинке это могут быть, например, сжимающие и растягивающие напряжения, направленные по нормали п к плоскости пластинки или по какому- либо определенному направлению q, перпендикулярному к этой нормали (я и q — единичные векторы). В этих условиях термодинамический потенциал кристалла зависит, в сущности, лишь от трех переменных (Т, Е, а), а не от десяти, как в общем случае. Ясно, что и все остальные термодинамические потенциалы должны в этом случае определяться тремя соответствующими независимыми переменными, хотя отличны от нуля, вообще говоря, все компоненты вектора индукции и тензора деформаций. Дело в том, что существенны лишь одна компонента вектора индукции ф-п^ и одна компонента тензора деформаций (я е л или q^-q^ остальные же ими (и температурой или энтропией) однозначно определяются.
Рассмотрим, например, пироэлектрический эффект в кристаллической пластинке, вырезанной так, что вектор пироэлектрических коэффициентов нормален к ее плоскости, т. е. р = рп. Если обкладки замкнуты и никаких напряжений к пластинке не приложено, то обобщенные термодинамические координаты равны
S = (Cp/To)0, (61.7а) п.Ь = р@, (61.76) ля:в = (лл:а)0. (61.7в)
Плотность зарядов на обкладке равна рпов = «-^ = Р@, (61.8)
откуда и определяется пироэлектрический коэффициент р при постоянных (и равных нулю) напряжениях.
Теперь приложим к пластинке такое сжимающее напряжение о = апп, чтобы, толщина ее не изменялась при повышении температуры. Электрическое поле в пластинке по-прежнему равно нулю, так что
S = (Cp/7,o)0 + (a: пп)о,(61.9а)
п • Ь = р© + (л • d : пп) а,(61.96)
пп: е = (лл: а) 0 + (лл: s: лл) а.(61.9в)
Так как толщина пластинки остается неизменной, то лл:е = 0, и из (61.9в) находим
"”■” @,(61.10b) пп: s. прх '
а подставив ст в (61.9а) и (61.96), получим еще два уравнения
[
Св(пп :а)2 1
77<6L10a) л.£=[р-("":^^^(61.106)
Очевидно, роль пироэлектрического коэффициента в этих условиях играет коэффициент при 0 в уравнении (61.106); его естественно обозначить p^nn-.ev Подчеркнем, что это не пироэлектрический коэффициент при постоянных деформациях: постоянны компонента тензора деформации лл : е и все компоненты тензора напряжений, отличные от лл : а.
Рассмотрение других подобных экспериментов проводится аналогично. Как и в приведенном примере, при этом нужно внимательно следить за тем, какие именно компоненты векторов Е и D и тензоров а и е остаются в условиях эксперимента постоянными.
Вычислим теперь элементы матрицы электрической энтальпии Нвд — они потребуются в § 62 для подсчета пьезоэлектрических поправок к скоростям распространения упругих волн в кристаллах. Поскольку элементы матрицы энтальпии Н уже найдены (см. формулы (61.2)), будем исходить из определения Н9Л = Н + о^. Поэтому начать следует с вычисления матрицы, обратной s^ (см. (61.3)), т. е. с решения системы уравнений
[sAjx (То/Ср) СХ^Дц] ^цх = ^х(61.11)
относительно с^ — адиабатических коэффициентов упругости при постоянной напряженности электрического поля. Это дает возможность разрешить относительно ох уравнения (61.2в):
^х = — (Т о/Ср) Схр? cx^S CxpdkpEk 4* ^1ц fcp*(61.12в)
Коэффициенты при S, Ек> бу, образуют шесть нижних строк матрицы электрической энтальпии. Остальные ее элементы найдем, подстав-
ляя (61.12в) в (61.2а) и (61.26) и собрав коэффициенты при 2, Еь и ех:
0 = (Т0/Ср) [ 1 + (Тв/Ср) «хС^аД S -
— (^о/Ср) (р* — а?р1ц dip) Eh (Тo/CD) ttxcifi 8ц,(61.12а)
D, = (To/Ср) (р, - dM> о.*) S +
+ ФГ-«d^-V dMX-(61.126)
Эти коэффициенты и образуют четыре верхние строки искомой матрицы; нужно только строки, соответствующие вектору D, умножить на —1 (см. формулы (60.13)).
Для адиабатического процесса 2 = 0 и формулы (61.126, в) можно представить в виде
D, = xk8>Efe+е^8ц,(61.13)
ах = — ^кхЕк+Схц 8ц,;
вновь введенные термодинамические коэффициенты связаны со вторыми производными термодинамического потенциала соотношениями (61.11) и
и&‘е) = Х/д—dixC^d^ — (То/Ср) Pipk +
+ (Тq!^p) ^Pi^XcKvxdh^ + d^Xy! ^Р к) (ТtjCp)^ Pi^Xc^^Pkt(61.14)
^/ц = \dix (^о! Ср) р^Д 4^«(61.15)
Рассмотренные примеры показывают, что, определив из экспериментов элементы какой-либо одной термодинамической матрицы, можно затем вычислить элементы всех остальных термодинамических матриц. Так, вычислив тензор т, = [х^»8)]*1, где x(S»8) — совокупность коэффициентов при Е в формуле (61.16), можно выразить Е как функцию S, Ь и е, а подставив найденное значение Ев (61.1а) и (61.1в) — выразить как функции 2, Оие также 0 и а. Сравнив полученные соотношения с формулами (60.12), можно выразить термодинамические коэффициенты TJC^ тцл, Сх^ Pi, qi и hZ|l, являющиеся вторыми производными внутренней энергии, через вторые производные термодинамического потенциала Ср/Т^ и1к, s^, Ph ах, d/ц. На практике, однако, дело обстоит далеко не так просто. Экспериментальные данные обладают лишь ограниченной точностью. Уже при расчете по экспериментальным данным элементов первой термодинамической матрицы точность существенно уменьшается, а при дальнейших пересчетах снижается еще больше. Поэтому при подобных вычислениях необходимо тщательно оценивать точность полученных результатов. С целью уменьшения ошибок полезно исходить не из минимально необходимой, а из избы-
точной системы экспериментальных данных. Вычисления при этом, конечно, усложняются, но результаты их оказываются более достоверными. Методику таких вычислений, притом специально на примере кристаллофизических расчетов, описал Най (1967).
§ 62. Упругие волны в пьезоэлектрических кристаллах
Для исследования особенностей распространения упругих волн в пьезоэлектрических кристаллах нужно рассмотреть решения связанной системы уравнений эластодинамики и уравнений электростатики. Пользуясь уравнениями электростатики вместо уравнений электродинамики, мы, конечно, допускаем ошибку; она по порядку величины равна квадрату отношения скорости звука в кристалле к скорости света, т. е. совершенно ничтожна.
Система, которую предстоит решить, такова:
Div <У = ри,(62.1)
divD = 0.(62.2)
Уравнениям же rot Е = 0 и Ink е = 0 можно удовлетворить тождественно, если тензор напряжений а и вектор электрической индукции D выразить через потенциал ср и вектор смещения и. Для этого нужно воспользоваться матрицей такого термодинамического потенциала, который является функцией вектора напряженности электрического поля Е = — grad ф, тензора деформаций е = Def и и, наконец, энтропии S, потому что распространение упругих волн — процесс адиабатический. Таков термодинамический потенциал /7ВЛ = = U — Е-Ь, подробно рассмотренный в предыдущем параграфе. Выведенные там формулы (61.13) удобно представить в виде *) о,—5; +4ле“'^Ь<62-3>
(62.4)
Здесь тензор е = Def и заменен тензором ди/дг, потому что при умножении на симметричные по двум последним индексам тензоры сие оба дают одинаковые результаты. Компоненты еш тензора е связаны с коэффициентами е^ соотношениями (см. приложение Е) eiu = etki.... 6).
Подставив выражения (62.4) и (62.3) в уравнения (62.1) и (62.2) соответственно, получим систему дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка относительно функций
*) В последующих формулах вместо л^'е^ ис^ будем писать х(й и Сцк(.
щ (г, О и ср (г, ty
(62.5)(62.6)(62.5)(62.6)д^икд2ф d^Uj
(62.5)
(62.6)
(62.5)
(62.6)
cijkl dXi gXi + вкц q^ ^ P 5/2 >
— л5P 4л5;ь; чч— О»dxi дхк 1 dxi dxt
Использовав обозначения § 56 и обозначив АЕ амплитуду потенциала, запишем плоские волны смещений и потенциала, жестко связанные между собой:
и = Ар ехр [(2ш/X) (ш • г — и/)],
Ф = А^ ехр [(2ш* Д) (ш • г — у/)].
Подставив их в уравнения (62.5) и (62.6), получим
Mlfepb + lgj = pv4Pp Mp + %g=pv2p; (62.7)
-&Я+4л^ = 0, -^ + 4ngr.p = 0,(62.8)
где введены обозначения
Mjb = eijklmitnh № = т>с-т\gh = elktfnimb g=mem;К = и^т,, К = т-х-т.
Таким образом, наряду с тензором Кристоффеля М (см. § 56) здесь вводятся аналогичные ему вектор g и скаляр К. Из (62.8) найдем
* 4л 4л _ _
6 ^ SkPk -^ g*Р
и, подставив это в (62.7), получим
^MjkV-^ gjg^P^P^Pj. ^ + ^ggyp = pv2p. (62.9)
Эту систему уравнений естественно назвать уравнениями Кристоффеля для пьезоэлектрического кристалла. Таким образом, все изменение по сравнению со случаем упругих волн в непьезоэлектрическом кристалле свелось к замене обычного тензора Кристоффеля М тензором М + (4л//С) gg.
Рассмотрим, например, распространение упругих волн в кристалле класса 2 вдоль оси второго порядка Х2. Расчет компонент тензора М очень облегчается тем, что в данном случае Mjk = с^к^ Отсюда (см. табл. Д.18)
А4ц = Сбв’ 4422 = С22, Мзз = С44,
442з = 0,Мз1 = С4в, 4412 = 0.
Компоненты же вектора g в данном случае равны gj = е2у2. Согласно табл, Д,11 51=0, ga = ^2. 58 = 0.
Наконец, К = х22. Уравнения Кристоффеля (62.9) принимают вид с6бР1 +с4вРз = Ру2Ри (с22 + 4ле|2/х22) р2 = рУ2Рг>
С4бР1 + С44РЗ ^ Р^Рз-
Из них ясно, что в данном случае изменяется лишь скорость продольных волн, которая оказывается равной
где и0 — скорость, вычисленная без учета пьезоэлектрического эффекта. Отношение 4ле^2/(х22с22) играет здесь роль квадрата коэффициента электромеханической связи.
В качестве второго, несколько более сложного примера рассмотрим распространение упругих волн в кристалле класса т в направлении нормали к плоскости симметрии; это опять ось Х2. Тензор М и скаляр К вычислены уже в предыдущем примере. Компоненты вектора g по-прежнему равны gj = е^ но теперь ю табл. Д.11 находим
£1 = ^26> ^2 = 0, #3 = ^24*
Поэтому уравнения Кристоффеля принимают вид
/, 4ле|Л , /, 4л(?2ве24\„
(свв 4—-—) Pi + (с4в 4 Рз = РУ2Р1,
\х22 /\х22 /
С22Р2 = Ру2Р2»
Ясно, что в этом случае пьезоэлектрическая поправка к скорости продольных волн равна нулю, но изменяются скорости и направления поляризации поперечных волн.
Недавно показано, что в нецентросимметричных кристаллах влияние электрического поля может приводить как к линейным, так и к нелинейным изменениям фазовых скоростей упругих волн (Блистанов, Петраков, Шаскольская и др., 1977).
Термодинамические неравенства
При необратимом процессе энтропия тела изменяется не только в результате переноса ее от окружающих тел к данному или наоборот, но и вследствие того, что энтропия возникает в самом теле. Это выражается неравенством
(63.1)(63.1)^s__ L^dt Т dt
(63.1)
(63.1)
— одной из возможных формулировок второго закона термодинамики. С другой стороны, согласно первому закону термодинамики, скорость поступления тепла
(63.2)(63.2)dQ _ dU р dD е deIt ~ dt ~ C,'~di~a‘^
(63.2)
(63.2)
Воспользовавшись положительностью абсолютной температуры Т, получим из (63.1) и (63.2) неравенство
dUdtdUdtdSdDdtdtdSdDdtdtde dU di = dtde dU di = dtdx. "didx. "di(63.3)(63.3)
dUdt
dUdt
dSdD
dtdt
dSdD
dtdt
de dU di = dt
de dU di = dt
dx. "di
dx. "di
(63.3)
(63.3)
Если система не находится в состоянии термодинамического равновесия, термодинамический потенциал Ф = U — ХАхА зависит не только от обобщенных термодинамических сил XAl но и от других аргументов, так что скорость его изменения при постоянных термодинамических силах равна
/ dФ\ ddU _. dxA
Ых-Т^-^х-т-Х,^.(63.4)
Сравнив это с (63.3), получим
(63.5)
— при постоянных термодинамических силах термодинамический потенциал Ф неравновесной системы уменьшается, а равновесной — остается неизменным. Иными словами, состояние термодинамического равновесия отличается от всех остальных состояний вещества, характеризуемых такими же обобщенными термодинамическими силами, тем, что в равновесном состоянии термодинамический потенциал достигает минимального значения и любые возможные отклонения от него должны быть положительны:
(63.6)(63.6)(6Ф)х>0.
(63.6)
(63.6)
При сравнении термодинамического потенциала равновесного состояния с термодинамическими потенциалами близких к нему неравновесных состояний необходимо учитывать, что последние не определяются заданием только 10 обобщенных сил, а зависят еще и от других параметров. Если такими параметрами являются обобщенные координаты, то
(6Ф)Х = 6(1/ - XAxA-)x = ^ б^д+у а^ ЬхА бхв - Хд 6хл.
Хл=0.Хл=0.Функция U разлагается в ряд до членов второго порядка, поскольку dU члены первого порядка взаимно уничтожаются: ч— 0ХА
Хл=0.
Хл=0.
Таким образом, из (63.6) следует неравенство
дхАдхвдхАдхв6хА бхв > 0.6хА бхв > 0.(63.7)(63.7)
дхАдхв
дхАдхв
6хА бхв > 0.
6хА бхв > 0.
(63.7)
(63.7)
Строго говоря, для выполнения условия (63.6) достаточно, чтобы квадратичная форма ^ ^ охД охв была неотрицательной, а при тех значениях ха, при
которых она обращается в нуль, была бы равна нулю форма третьего порядка и положительна форма четвертого порядка. Квадратичная форма обращается в нуль в критической точке. Исключим этот случай из рассмотрения, так что все дальнейшие выводы справедливы в предположении, что состояние кристалла не является критическим.
Если частные производные d2U/dxAdxB вычислять при уА = О (Л = О, ..., 9), то они обращаются в элементы термодинамической матрицы N. Поэтому как частный случай неравенства (63.7) должно быть справедливо неравенство
(63.8)(63.8)N дв 6хА бхв > 0.
(63.8)
(63.8)
Так как приращения 6хА произвольны, для выполнения неравенства (63.8) необходимо, чтобы матрица N была положительно определенной.
Как известно, положительно определенная матрица всегда имеет обратную, и последняя также положительно определенна. Таким образом, и матрица М является положительно определенной.
По теореме Сильвестра все главные миноры положительно определенных матриц положительны. Главными минорами матрицы называются определитель самой матрицы и все определители, получаемые из него путем вычеркивания одноименных строк и столбцов (например, первой строки и первого столбца или трех последних строк и трех последних столбцов и т. д.). В частности, главным минором является любой элемент, стоящий на главной диагонали матрицы. Поэтому в термодинамических матрицах М и N все коэффициенты, стоящие на главной диагонали, существенно положительны ):
Ср>0,Ср>0,Ст>0,Ст>0,
Ср>0,
Ср>0,
Ст>0,
Ст>0,
хп>» 0,хп>» 0,Х22Х22>0,>0,^зз > 0>^зз > 0>8ц > 0,8ц > 0,822 > 9,822 > 9,SS3 >SS3 >844 > 0,844 > 0,8бб >8бб >0,0,s6o > о,s6o > о,Пн > 0, Сц>0, ^44> 0,Пн > 0, Сц>0, ^44> 0,П22 >П22 >Пзз>Пзз>о,о,^22 > 0,^22 > 0,^55 > 0,^55 > 0,с33>0, (63.9)0.с33>0, (63.9)0.
хп>» 0,
хп>» 0,
Х22
Х22
>0,
>0,
^зз > 0>
^зз > 0>
8ц > 0,
8ц > 0,
822 > 9,
822 > 9,
SS3 >
SS3 >
844 > 0,
844 > 0,
8бб >
8бб >
0,
0,
s6o > о,
s6o > о,
Пн > 0, Сц>0, ^44> 0,
Пн > 0, Сц>0, ^44> 0,
П22 >
П22 >
Пзз>
Пзз>
о,
о,
^22 > 0,
^22 > 0,
^55 > 0,
^55 > 0,
с33>0, (63.9)0.
с33>0, (63.9)0.
Значения компонент тензоров меняются при переходе от одной системы координат к другой. Поскольку при выводе никак не фиксировалась система координат, эти неравенства справедливы в любой системе.
Отсюда следует, в частности, что нормальные составляющие q -х -q и q*x\-q при любом q положительны. Действительно, приняв единичный вектор q за орт ех некоторой координатной системы, получим в этой системе q-u-q = хп и q-x\-q = т]п.
Аналогично доказывается положительность модуля Юнга Е (q) и модуля сдвига на кручение G (q) при любом единичном векторе q.
Рассмотрим теперь главные миноры второго порядка. Их положительность означает, что недиагональные элементы матриц М и N должны быть ограничены по абсолютной величине. Например, из
$11$12$12 S22$11$12$12 S22следуетАналогично получимследуетАналогично получимS12 < SUS22.S12 < SUS22.Xi2 < xux22.Xi2 < xux22.(63.10)(63.11)(63.10)(63.11)
$11$12
$12 S22
$11$12
$12 S22
следует
Аналогично получим
следует
Аналогично получим
S12 < SUS22.
S12 < SUS22.
Xi2 < xux22.
Xi2 < xux22.
(63.10)
(63.11)
(63.10)
(63.11)
Это условие ограничивает также абсолютную величину коэффициентов теплового расширения, пироэлектрических и пьезоэлектрических коэффициентов. Так, из
I Ср/Т. ai I Q
I «1 $ПК
вытекает неравенство для коэффициента теплового расширения
Аналогично выводятся неравенства для пироэлектрических и пьезоэлектрических коэффициентов, например
Р1<
'^т,-(63.13)
<Ри<
(63.14)
Тем же способом получаются неравенства для коэффициентов — элементов матрицы N> например
адиабатических
4а <
С СцС22,
(63.15)
1119 <
-П111122»
(63.16)
Ph
/ Тс^х
" Сч, '
(63.17)
q"i<
4лТт]п
(63.18)
h^<
4лт|цС22.
(63.19)
Физический смысл этих коэффициентов ясен из формул (60.12), там же приведены их названия.
Применение главных миноров третьего порядка к выводу термодинамических неравенств рассмотрим на примере упругих свойств кристаллов кубической системы и изотропных тел.
Положительность главных миноров первого порядка дает известный уже результат
su>0,(63.20)
Положительность главных миноров второго порядка, которые для кристаллов кубической системы имеют вид
lS11 Sla|>o,
I S12 S11 I
приводит к неравенству s^>s^; учитывая (63.20), можно записать его в форме
— $11 < S12 <^5ц.(63.21)
Условие положительности главного минора третьего порядка для кристаллов кубической системы
$12 $12 $11$12 $12 $11>о,>о,S11 $12 $12 5ц $12 S12
$12 $12 $11
$12 $12 $11
>о,
>о,
или, что то же самое,
Su + 2sj2 — 35ц5®2 ^ 0,
после разложения на множители стоящего в левой части многочлена принимает вид
(su — s12)2 (su + 2s12) > 0.
Отсюда следует, что sn + 2s12 > 0 или s12 > —sn/2, а это позволяет существенно уточнить неравенство (63.21) для кристаллов кубической системы:
—2~ 5ц <С s12 <Г sn.(63.22)
Для описания упругих свойств изотропных тел пользуются обычно модулем Юнга Е = l/su и коэффициентом Пуассона v = = —s12/sn. Из (63.22) следует известное неравенство для коэффициента Пуассона изотропных тел:
— 1<V<1. (63.23)
Неравенства, следующие из положительности миноров второго и более высоких порядков, также могут быть записаны в инвариантной форме. Например, из неравенства 4ndn < xnsu следует, что при произвольном единичном векторе q
4л (q• d : qq^<(q-nq) (qq : s : qq); (63.24)
это неравенство показывает, что коэффициент электромеханической связи для продольного пьезоэлектрического эффекта в произвольном направлении меньше единицы. Легко доказать, что всевозможные коэффициенты электромеханической связи при произвольных ориентациях электрического поля и механических напряжений также меньше единицы.
Изменение симметрии кристаллов
при фазовых переходах второго рода
Известно довольно много химических веществ, которые могут существовать в нескольких кристаллических модификациях; каждая модификация устойчива в определенном температурном интервале ). При изменении температуры такие вещества претерпевают фазовые переходы. В большинстве случаев это переходы первого рода, при которых происходит скачкообразное изменение кристаллической структуры, а ему, в свою очередь, соответствует скачкообразное изменение состояния вещества.
Однако фазовые переходы между двумя различными (т. е. обладающими различной симметрией) кристаллическими модификациями одного и того же вещества могут происходить и по- другому. Дело в том, что для одного частного случая изменения симметрии, а именно, для ее понижения, достаточно сколь угодно малых смещений частиц из точек частного положения, в которых они первоначально находились.
Так, сколь угодно малое смещение частиц, находящихся в центрах симметрии кристаллической структуры, приводит к тому, что структура утрачивает эти центры симметрии. Если частицы, находящиеся на осях или на плоскостях симметрии, смещаются с этих осей или плоскостей, структура теряет эти элементы симметрии; она сохраняет их лишь при смещениях частиц, происходящих в плоскости симметрии или вдоль оси симметрии.
Такие фазовые переходы, при которых изменение симметрии кристалла происходит вследствие бесконечно малого изменения его структуры, а потому состояние тела изменяется непрерывно, а не скачком, называются фазовыми переходами второго рода.
В действительности мы, конечно, никогда не можем быть уверены в том, что смещение атомов, вызвавшее понижение симметрии, в самом деле бесконечно мало; можно лишь утверждать, что оно настолько мало, что точность наших приборов недостаточна для обнаружения скачка. Впрочем, иногда мы в состоянии даже обнаружить скачок, но видим, что он мал; в этих случаях говорят, что фазовый переход хотя и первого рода, но близок к переходу второго рода. Именно таков, в частности, фазовый переход в титанате бария. Рассмотрим его подробнее.
На рис. 64.1 изображена структура кубической модификации титаната бария ВаТЮ3. Пространственная ее группа РтЗт, точечная — тЗт. Эта модификация существует при температуре выше 120 °C. Когда же температура становится ниже 120 °C, атомы титана
и кислорода начинают смещаться относительно атомов бария в направлении одного из ребер куба.
Совершенно очевидно, что, как только начинается это малое смещение, симметрия кристалла сразу понижается: пространственная группа — до Р^тт, точечная — до ^тт. Таким образом, при указанной температуре происходит переход титаната бария в тетрагональную модификацию. При температурах, близких к температуре фазового перехода, отклонение структуры от кубической очень мало. При дальнейшем понижении температуры оно постепенно увеличивается, но даже и при комнатной температуре, т. е. на 100 °C ниже точки перехода, макси-
• Ва ОО •и• Ва ОО •иРис. 64.1. Структура кубической модификации титаната барияРис. 64.1. Структура кубической модификации титаната бариямальные смещения атомов от их «кубических» положений не превышают 0,03 параметра ячейки, осевое же отношение da отличается от единицы еще меньше.
• Ва ОО •и
• Ва ОО •и
Рис. 64.1. Структура кубической модификации титаната бария
Рис. 64.1. Структура кубической модификации титаната бария
зовых переходах второгозовых переходах второгоПри переходе в титанате бария к понижению симметрии приводит смещение атомов, поэтому такие переходы называются переходами типа смещения. Совсем иной механизм понижения симметрии действует в фа- рода типа «порядок — беспорядок».
зовых переходах второго
зовых переходах второго
Ознакомимся с ним на примере перехода второго рода в сплаве CuZn.
При достаточно высоких температурах этот сплав образует объемноцентрированную кубическую структуру (структурный тип a-Fe): атомы меди и цинка с совершенно равной вероятностью занимают узлы объемно-центрированной кубической решетки Бравэ; пространственная группа этой структуры 1тЗт. Однако при некотором понижении температуры термодинамически более устойчивым оказывается такое расположение атомов, когда в первой координационной сфере данного атома больше вероятность встретить атом противоположного сорта, чем того же. Именно в этот момент симметрия кристалла изменяется, хотя изменение расположения атомов крайне незначительно. Тенденция каждого атома окружать себя ближайшими соседями преимущественно противоположного сорта приводит к тому, что если мысленно разбить не слишком большую (но все же макроскопическую) часть кристаллической структуры на две вставленные друг в друга простые кубические решетки, то в узлах одной подрешетки обнаружатся преимущественно атомы одного сорта, а в узлах другой — другого. Но это значит, что подрешетки симметрически не эквивалентны друг другу: структура утратила трансляции, соединявшие вершины кубов с их центрами. Таким образом, при ничтожном изменении расположения атомов трансляционная симметрия понизилась вдвое; решетка Бравэ
новой, частично упорядоченной структуры — примитивная кубическая, пространственная группа — РтЗт.
Подчеркнем, что уже ничтожного различия вероятностей нахождения в узлах данной подрешетки атомов разных сортов достаточно для описанного понижения симметрии. С дальнейшим снижением температуры эти вероятности различаются все более, упорядоченность кристалла все более возрастает, приближаясь к полной упорядоченности, когда одна подрешетка заселена исключительно атомами одного сорта, а другая только атомами другого сорта. Но симметрия кристалла уже более не изменяется: и у вполне упорядоченного, и у едва упорядоченного кристалла пространственная группа одна и та же — РтЗт, и лишь у совершенно разупорядочен- ного кристалла она выше, а именно, 1тйт.
Рассмотренные примеры показывают, как при сколь угодно малом изменении структуры скачком меняется симметрия. Кроме того, эти примеры помогают понять, что модификации, связанные между собой фазовым переходом второго рода, не равноправны: одна из них более симметрична, чем другая. Условимся называть первую модификацию симметричной, вторую — диссимметричной.
Таким образом, пространственная группа диссимметричной модификации — подгруппа пространственной группы симметричной модификации. Кроме этого требования, пространственные группы кристаллических модификаций, связанных фазовым переходом второго рода, должны удовлетворять еще нескольким (см. §66).
Неравноправие симметричной и диссимметричной модификаций особенно наглядно проявляется в том, что структура диссимметричной модификации по мере приближения температуры к точке фазового перехода Тс все более приближается к структуре симметричной модификации, а с удалением от Тс все более от нее отклоняется; напротив, в структуре симметричной модификации вплоть до самой точки перехода не происходит никаких изменений, которые приближали бы ее к структуре диссимметричной модификации ). Образно говоря, симметричная модификация «стыдится» своего родства с диссимметричной, диссимметричная же модификация нимало этого родства не стесняется.
В табл. 64.1 приведено несколько примеров фазовых переходов второго рода или близких к ним. В рассмотренных выше простых случаях понижение симметрии вызывалось только смещениями атомов или только упорядочением; при некоторых переходах, как видно из таблицы, действуют одновременно оба механизма ).
Вещество
Симметричная модификация
Диссимметричная модификация
Понижение симметрии
1
X
название
формула
Q.X ”
25 е-
x
2.2 g
0 s >»
2 х
о X
о о о
X X к о«
со X
& ХО О
Титанат бария
BaTiO3
120
РтЗт
m3m
Р4тт
4mm
6
1
6
см, сэ, 1р
Сегнетова соль
NaKC4H4O, • 4Н2О (СН2МН2СООН)з. H2SO4
24—18
Р2Х2Х2
222
Ph
2
2
1
2
уп+см, СЭ
Триглицинсульфат
49
P2xfm
2/m
Р2Х
2
2
1
2
уп+см, сэ
Дигидрофосфат ка-
КН2РО4
—151
I42d
42m
Fdd2
mm2
2
1
2
уп+см, сэ
лия (KDP)
Гексаферроцианид
K4Fe (CN)« • ЗН2О
—25
С2/с
2/m
Сс
т
2
1
2
уп+см, сэ
калия тригидрат Сульфат аммония
(NH4)2SO4
—49
Рпат
mmm
Рпа2х
mm2
2
1
2
сэ, 1р
Дикальций стронций
Ca2Sr (CH3CH2COO)e
8,5
I Р4Д2
422
1 Р43
4
2
1
2
пропионат
1 F4!2i2
1 P4i
Дигидрофосфат аммо
NH4H2POi
—125
/42d
42m
222
2
2
4
уп+см
ния (ADP)
Трехокись вольфра
WO3
900
PmSm
m3m
РЬ/птт
4/ттт
3
2
6
см
ма
Кварц
SiOb
573
(Р^22 t P6422
622
J Р3т21 1 РЗД
32
2
1
2
см
Натриевая селитра
NaNO3
275,5
R3m
3m
РЗс
3m
1
2
2
ун
Латунь
CuZn
450
Im3m
m3m
РтЗт
тЗт
1
2
2
уп
Гейсслеров сплав
Cu2MnAl
Im3m
тЗт
Fm3m
тЗт
1
4
4
уп
Сокращения: см — переход, сопровождающийся смещением атомов
;, уп —переход, связанный с упорядочением, сз
• — се г него-
электрический переход, I]
э — переход первого рода.
Некоторые фазовые переходы второго рода и близкие к ним
Таблица 64.1
ТЕРМОДИНАМИКА КРИСТАЛЛОВ[ГЛ VII
В столбце, характеризующем понижение поворотной симметрии, стоит число, показывающее, во сколько раз уменьшилась при переходе эта симметрия, точнее, подгруппой каждого индекса является точечная группа менее симметричной фазы по отношению к точечной группе более симметричной фазы. В следующем столбце указано, во сколько раз уменьшается при переходе трансляционная симметрия, т. е. во сколько раз увеличивается объем элементарной ячейки (точнее, число атомов в ней). Наконец, число в третьем столбце, равное произведению чисел, стоящих в первом и втором столбцах, показывает, подгруппой какого индекса служит пространственная группа диссимметричной модификации по отношению к пространственной группе симметричной модификации. В таблице приведены примеры переходов, при которых изменяется только поворотная симметрия (кварц, титанат бария, сегнетова соль, триглицинсульфат, дигидрофосфат калия), только трансляционная (упорядочивающиеся сплавы, натриевая селитра) и, наконец, и та и другая (дигидрофосфат аммония, трехокись вольфрама).
Очень распространенный и практически важный тип фазовых переходов второго рода — переходы, происходящие без изменения трансляционной симметрии (Инденбом, 1960). На рис. 64.2 показаны все возможные варианты изменения симметрии при переходах этого типа. Всего таких вариантов 90; 58 из них характеризуются понижением порядка точечной группы вдвое, 9 — вчетверо, 19 — в шесть раз и 4 варианта — в восемь раз.
Низким температурам соответствуют в большинстве случаев менее симметричные, упорядоченные модификации, высоким — более симметричные, разупорядоченные, но это эмпирическое правило выполняется не всегда. Например, диссимметричная модификация сегнетовой соли переходит в симметричную не только при повышении температуры до 24 °C, но также и при понижении ее до — 18 °C.
Если пространственная группа диссимметричной модификации по отношению к группе симметричной модификации является подгруппой индекса п, то более симметричная модификация может перейти в менее симметричную п способами. При таком переходе кристалл обычно разбивается на участки, называемые доменами, в каждом из которых переход осуществляется одним из способов; всего образуется п типов доменов. Операции симметрии, входящие в пространственную группу диссимметричной модификации, преобразуют каждый домен в себя. Операции же симметрии, входящие в пространственную группу симметричной, но не входящие в пространственную группу диссимметричной модификации, — иными словами, те операции симметрии, которые кристалл утрачивает при переходе, преобразуют домен одного типа в домен другого типа.
Если при переходе трансляционная симметрия кристалла сохраняется, то домены одного типа преобразуются в домены другого
типа при некоторых простых или инверсионных поворотах, а именно, при тех, которые утрачены при переходе. Если же при переходе изменяется не поворотная, а только трансляционная симметрия, то домены различных типов преобразуются один в другой не при поворотах, а при трансляциях, тоже при тех, которые утрачены при
Рис. 64.2. Изменения симметрии кристаллов при фазовых переходах второго рода, происходящих без изменения числа атомов в элементарной ячейке. Линии соединяют кристаллографические классы, между которыми возможен переход. Прямые линии показывают, что симметрия при переходе изменяется вдвое, кривые — более чем вдвое, двойные и тройные — что переход может осуществляться двумя или тремя способами (Инденбом, 1960).
переходе. МЪжно сказать, что в первом случае домены одного типа повернуты относительно доменов другого типа, а во втором — сдвинуты относительно них. Эти случаи показаны на рис. 64.3.
Фазовые переходы второго рода, при которых понижается симметрия кристалла, на первый взгляд противоречат принципу Кюри. «Когда в каких-либо явлениях обнаруживается определенная диссимметрия, то эта же диссимметрия должна проявляться и в причинах, их породивших» ), — гласит этот принцип; между тем в данном случае понижение симметрии кристалла происходит в результате изменения температуры — причины, явно не обладающей требуемой диссимметрией. Решение этого парадокса состоит в том, что в среднем симметрия кристалла вовсе не понижается при таких переходах, В объеме, содержащем
достаточно много доменов, представлены, и притом приблизительно поровну, все возможные способы перехода, т. е. все возможные типы доменов, поэтому его симметрия после перехода такая же, как и до перехода ). Правда, бывает и так, что в результате перехода получаются монодоменные кристаллы. Рассмотрев достаточно большое количество кристаллов, испытывающих переход, мы убедимся, что симметрия всего их множества в целом в результате изменения температуры, как й следует, не понизилась.
°0О0О0О0О0О0°° ° J? °РРР
о о о о о о о
0 0 0^00@ 0 0 @ 0 @
^0^0^0^0^0^0^ ор рррр р
0 0 0 о 0 00 0 0 0 0 0
О^О0О0°0°0^О О о о о о о о
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
О@О@О@О0О0О@°° ^ й ® §* § %
°ео®о«о«Рй°®0 °^^§^^^ о о о О О. О Q О О О О О О О
Л0 0 0 0 0 0
о^о^о^о^о^о^оо о о о о о о
О^О^О^О^О^О^О-о о о о о о о
О®О®О®О®О®О®Оо® о® § о® § о® о
О®О®О®О®О®О®О-о о § о § о о
О®О®О®О®О®О®Оо® о® о® о® о® о® о
о®о®о®о®о®о®оо® о® о® о® о® о® о
а)
Рис. 64.3. Схема разбиения кристалла на домены при фазовых переходах второго рода: а) двумерный аналог перехода в титанате бария — четыре типа доменов, преобразующихся друг в друга при повороте на 90° (в действительности при этом образуется шесть типов доменов); 6) двумерный аналог перехода в сплаве CuZn — два типа доменов, преобразующихся друг в друга при трансляциях, утрачиваемых при переходе (при действительном переходе образуются два типа доменов).
Пример фазовых переходов более симметричных кристаллических модификаций в менее симметричные показывает, что бывают случаи, когда принцип Кюри непосредственно не применим к единичному объекту, но тогда этот объект можно рассматривать как элемент некоторого статистического ансамбля, для которого принцип Кюри уже вполне справедлив.
Принцип Кюри запрещает некоторые явления, но вовсе не требует, чтобы разрешаемые им явления в действительности имели место; так, он запрещает центросимметричным кристаллам проявлять пьезоэлектрические свойства, но из него никоим образом не следует, что нецентросимметричные кристаллы обязательно такие свойства проявляют. Здесь легко усмотреть аналогию с началами термодинамики, которые тоже запрещают некоторые явления и тоже не требуют, чтобы разрешенные ими явления происходили в действительности. Сходство принципа Кюри с началами термодинамики этим не ограничивается; на примере фазовых
переходов второго рода мы видим, что принцип Кюри, как и второе начало термодинамики, имеет статистический характер. Но главная черта, объединяющая принцип Кюри с началами термодинамики, — широчайшая общность: как и начала термодинамики, принцип Кюри представляет собой даже не физический закон, но один из наиболее общих законов естествознания. Именно поэтому Мария Кюри, в заключение обзора работ Пьера Кюри по теории симметрии и физике кристаллов, говорит «о большом философском значении понятий симметрии, которые проникают в суть всех явлений природы...» (М. Кюри, 1968, стр. 25).
Изменение физических свойств кристаллов
при фазовых переходах второго рода
Для описания кристалла, претерпевающего фазовый переход второго рода, Л. Д. Ландау (1937) *) ввел величину т], которая определяет степень отклонения расположения атомов в диссимметричной фазе от их расположения в симметричной фазе; симметричной фазе соответствует т) = 0, а в диссимметричной т] имеет отличные от нуля положительные или отрицательные значения. Мы будем называть эту величину параметром диссимметричности. Поскольку структура кристалла при переходе второго рода изменяется непрерывно, параметр диссимметричности вблизи точки перехода принимает сколь угодно малые значения.
При переходах, связанных со смещением атомов, под ц можно понимать величину смещения. Так, при переходе в титанате бария естественно положить параметр диссимметричности равным отношению смещения mti атома титана из центра правильной тетрагональной призмы, образованной ближайшими к нему атомами бария, к ребру а элементарной ячейки кубической модификации: т) = uvila.
При переходах, связанных с упорядочением, параметр диссимметричности можно положить равным степени упорядоченности, т. е. величине, которая показывает, насколько вероятность нахождения в данной подрешетке атома одного сорта больше, чем атома другого сорта. Если, например, при рассмотренном выше переходе второго рода в латуни обозначить соответствующие вероятности WCU И WZn, то Т) = (йУСи — ^Zn)/(^CU + ^Zn).
В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением фазовых переходов второго рода, происходящих с понижением симметрии в два раза. При этом образуются всего два типа доменов: одному из них соответствуют положительные значения параметра диссимметричности, другому — отрицательные. Очевидно, параметр диссимметричности инвариантен относительно всех тех операций симметрии, которые преобразуют каждый тип доменов в себя, т. е. относительно пространственной группы диссимметричной фазы. Те операции пространственной группы симметричной фазы, которые не входят в пространственную группу диссимметричной фазы, как уже отме-
чалось, преобразуют домены одного типа в домены другого типа; так как в доменах различных типов параметр диссимметричности имеет противоположные знаки, под действием таких операций он умножается на —1.
Очевидно, инвариантами пространственной группы симметричной фазы оказываются всевозможные четные функции параметра диссимметричности, в частности его четные степени. Произведения четных функций параметра диссимметричности на инвариантные относительно пространственной группы симметричной фазы выражения, составленные из компонент термодинамических сил, также инвариантны относительно этой группы. Напомним, что вследствие инвариантности термодинамических сил и координат относительно трансляций, составленные из их компонент выражения инвариантны относительно пространственной группы кристалла тогда и только тогда, когда они инвариантны относительно его точечной группы (см. §§ 25 и 44).
Есть, однако, и другой тип инвариантов: произведения параметра диссимметричности (или его нечетных функций, в частности, нечетных степеней) на такие выражения, составленные из компонент термодинамических сил или координат, которые преобразуются так же, как параметр диссимметричности. Пусть Ка^а и LabXnXb — именно такие функции обобщенных сил ): они инвариантны относительно операций, сохраняющихся при переходе в диссимметричную фазу, а под действием операций, утрачиваемых при этом переходе, умножаются на —1. Коэффициенты Ка и Lab естественно сопоставить с элементами матрицы термодинамического потенциала М (см. §§ 57, 58, 60): коэффициенты Lab соответствуют элементам МаЬ с теми же индексами, а Ка — элементам MQa и Л4ао. Будем считать, что преобразованиям подвергаются не термодинамические силы Ха1 а коэффициенты Ка и Lab; тогда задача сводится к отысканию элементов матрицы М, инвариантных относительно точечной группы диссимметричной фазы GDl а под действием остальных операций точечной группы симметричной фазы G — меняющих знак на обратный. Пользуясь тем, что симметрия в данном случае изменяется вдвое, нетрудно показать, что из компонент тензоров, инвариантных относительно группы GD (в частности, и из коэффициентов Ка и Lab\ можно составить такие линейные комбинации, которые либо инвариантны относительно всех операций группы G, либо инвариантны только относительно GD, а под действием операций из G — Gd меняют знак на обратный ). При этом общее число
независимых линейных комбинаций обоих типов равно числу независимых компонент соответствующего тензора, инвариантного относительно группы Gd. Таким образом, если сравнить общий вид тензоров, инвариантных относительно группы G, и ее подгруппы Gd, то оказывается, что те компоненты (или их линейные комбинации), которые инвариантны относительно GD и умножаются на —1 под действием операций из G — GD, дополняют общий вид тензора, инвариантного относительно G, до общего вида тензора, инвариантного относительно GD. Очевидно, и коэффициенты Ка и Lab дополняют общий вид матрицы М, инвариантной относительно G, до общего вида матрицы, инвариантной относительно Gd (см. табл. 58.5). Символические равенства
Ka(G/GD) = M0^GD)-M0a(G)t
Lab ^GlG^ = Lab (Gd) Lab (G) описывают основанный на этом графический метод определения коэффициентов Ко и Lab для фазового перехода второго рода между группами G и GD; из схемы матрицы М диссимметричной фазы «вычитается» схема матрицы симметричной фазы: «разность» представляет собой схему коэффициентов К и L (рис. 65.1).
Нужно только иметь в виду, что схема матрицы диссимметричной фазы может отличаться от стандартной. Дело в том, что система координат, в которой описывается диссимметричная фаза, предопределяется выбором системы координат для симметричной фазы. Если симметричную фазу описывать в кристаллофизической системе координат, как это обычно и делается, система координат для диссимметричной фазы может оказаться не кристаллофизической. Так и получается при переходах в сегнетовой соли и в дигидрофосфате калия. В первом случае отступление от кристаллофизической системы координат сводится к переименованию осей (GD = 2 || XJ и соответственно к перестановке некоторых строк и столбцов в матрице М ^Gd\ которую, имея это в виду, легко получить из стандартной. Во втором же случае система оказывается повернутой на 45° относительно кристаллофизической (GD = mm2, 2 || Х3, т I (^ ± ± e^lV^L вследствие чего схема матрицы М (GD) существенно отличается от стандартной; она приведена на рис. 65.1, а соотношения, связывающие ее со стандартной (табл. 58.5), имеются в § 85.
Термодинамический потенциал кристалла при определенном параметре диссимметричности т] будем рассматривать как функцию термодинамических сил 0 = 7 — Тс, Еь Ох и этого параметра: ф = ф (0, Е, а; т]). Независимых переменных здесь, однако, не 11, а всего лишь 10: при заданных термодинамических силах соответствующий этим силам параметр диссимметричности определяется из условия термодинамического равновесия, т. е. минимальности термодинамического потенциала.
Может показаться, что термодинамический потенциал при г] = О инвариантен относительно точечной группы симметричной модификации, а при т] ^ 0 — относительно точечной группы диссимметричной модификации. Это не так. В действительности термодинамический потенциал и при т] ^ 0 должен оставаться инвариантным относительно более высокой точечной группы, поскольку он описывает не один способ понижения симметрии, а все такие способы и соответственно все типы доменов.
В частном случае понижения симметрии вдвое, который здесь
Рис. 66.1. Графическое определение коэффициентов Ка и L^ для фазового перехода второго рода в кристалле ди гидрофосфата калия, G = 42m, Gq = mm2.
из них соответствуют положительные значения т), а другому отрицательные, и оба они должны в равной мере описываться термодинамическим потенциалом. Ясно поэтому, что в отсутствие электрического поля и механических напряжений разложение термодинамического потенциала по степеням параметра диссимметричности, если оно вообще допустимо, содержит только четные степени этого параметра:
ф = Ф0 + Лт]2 + Вт]4 + ...; (65.1)
коэффициенты этого разложения Фо, Л и S — функции температуры ).
Точка перехода второго рода, по-видимому, является особой точкой термодинамического потенциала; поэтому допустимость разложения (65.1) не доказана. В ряде случаев, однако, выводы из этого разложения удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными.
Условия равновесия требуют минимальности термодинамического
потенциала:
(65.2)(65.3)(65.2)(65.3)-^-2^ + W = 0,^- = 2Д+12Вг]2>0.
(65.2)
(65.3)
(65.2)
(65.3)
Условию (65.2) удовлетворяют три значения параметра диссиммет
ричности:
^ = 0, П = ±У—Д/(2В).^ = 0, П = ±У—Д/(2В).(65.4)(65.4)
^ = 0, П = ±У—Д/(2В).
^ = 0, П = ±У—Д/(2В).
(65.4)
(65.4)
Решение т) = 0 соответствует симметричной модификации. Из условия (65.3) вытекает, что в этой модификации Л >• 0.
Решение (65.4), напротив, соответствует диссимметричной модификации, обоим типам ее доменов. Из его вида ясно, что в этой модификации коэффициенты А и В имеют разные знаки, а из условия (65.8) вытекает, что в этой модификации А < 0; следовательно, В>0.
Таким образом, в точке перехода коэффициент А меняет знак. В первом приближении
А = а^Т — Т^, (65.5) где Тс — температура фазового перехода второго рода, называемая также температурой или точкой Кюри. Если более высокой температуре соответствует симметричная модификация, коэффициент а положителен, в противном случае — отрицателен.
В точке Кюри д^/Л]2 = 0. Чтобы и в этой точке термодинамический потенциал имел минимум, должны выполняться условия д8Ф/дт)3 = 0, д^/дт)4 = 0. Отсюда следует, что и в точке Кюри В > 0. Вследствие непрерывности этот коэффициент положителен в некотором температурном интервале вблизи точки перехода и в симметричной модификации. В первом приближении будем считать его просто положительной константой.
Таким образом, в диссимметричной модификации
(65.6)(65.6)
(65.6)
(65.6)
где а и В в первом приближении не зависят от температуры. Эта формула определяет характерную для переходов второго рода температурную зависимость параметра диссимметричности: т] ~ ~\Т-ТС I*/..
Итак, разложение (65.1) приняло вид
(65.7)(65.7)Ф-Фо^ + ае^ + Вт)4-!-...,
(65.7)
(65.7)
где в = Т — Тс. Если кристалл помещен в электрическое поле или подвергается действию механических напряжений, это разло-
жение следует дополнить членами, зависящими от компонент вектора напряженности электрического поля Et = Xi и тензора напряжений ах = Хз+х и инвариантными относительно точечной группы симметричной модификации. Такие члены можно подразделить на три типа.
Инварианты, составленные из компонент 0 и Хь обобщенных термодинамических сил *). В совокупности они образуют суммы вида Rb'®Xb и M^dXbXd. Здесь Rb и Mbd имеют такой же вид и удовлетворяют тем же соотношениям, что и элементы термодинамической матрицы Mbd (В, D = 0, 1, ..., 9) данного кристаллографического класса (см. табл. 58.5), причем Rb соответствуют элементам МоЬ и Mb0, a M^d — элементам Mbd.
Произведения инвариантов обобщенных термодинамических сил на инварианты параметра диссимметричности. Из них мы примем во внимание лишь те, которые входят в сумму QbXbv?. Очевидно, коэффициенты Qb имлот такой же вид и удовлетворяют тем же соотношениям, что и Rb'.
Инварианты, составленные из произведений параметра диссимметричности на обобщенные термодинамические силы и их квадратичные комбинации. В совокупности они образуют суммы вида Кь^ьЧ и LbdXbXd-xv подробно рассмотренные выше. К этому же типу инвариантов относятся и суммы вида Нь©Хьт\э но их мы рассматривать не будем, потому что при температурах, близких к точке Кюри, они оказываются лишь малыми добавками к суммам
Таким образом, приходим к следующему разложению термодинамического потенциала напряженного и помещенного в электрическое поле кристалла в окрестности точки Кюри:
ф - Фо (D - РЦ"@ХЬ - У M^XbXd + авт," +
+ Вч4 - КьХъЧ -1 LbdXbXd4 -dbXb^. (66.8)
Параметр диссимметричности г] определяется из условия термодинамического равновесия
^ - 2авт] + 4Вт]8 - KbXb -1 LbdXbXd - 2QbXb4 - 0.(65.9)
Значение этого параметра в отсутствие электрического поля и механических напряжений
0в симметричной фазе,
Ло =
(85J0)
± 1/ — 2g в диссимметричнои фазе.
*) Как и в предыдущих параграфах, здесь индексы at b, с, d принимают значения 1,9,
Продифференцировав равенство (65.9) по 7 и по Хь, получим дт) 2ат)
дт) Kb+LMXd+2Qb^’
"5Xb = 2а© + 12Bn2-2QX *
Подставив в эти формулы т] = т]0 и положив Хь = 0, найдем значения соответствующих производных при очень малых электрических полях и механических напряжениях:
0 в симметричной фазе,
^g в диссимметричной фазе)
Кь(66.12)
оо^g в симметричной фазе,
о
о
^^g^^0 в диссимметричной фазе.
Подсчитаем обобщенные термодинамические координаты кристалла. Энтропия единицы объема о _ _ /^ф\^Ф дф
“ w/'полн"5т - "5^ 57 •
Второе слагаемое в силу условия равновесия (65.3) равно нулю, так что
5=-^ + ^’Хь-ах\\(65.13)
Аналогично найдем остальные термодинамические координаты!
xb - R^® + A№d + /<я + LbdXd4 + Q^T)e -(65.14)
Теперь можно исследовать изменение свойств кристалла, т. е. его термодинамических коэффициентов. Теплоемкость
С^7Ыполи=7дТ+7"^дТ-(6бЛВ)
Подставив выражение (65.13) в формулу (65.15), положив Хь = 0 и воспользовавшись соотношениями (65.12) и (65.10), получим теплоемкость Ср при постоянных и равных нулю механических напряжениях и электрическом поле:
7в симметричной фазе, ,2ф(65.16)
7 ~ат» + 2В" в Диссимметричной фазе.
Таким образом, при переходе из симметричной в диссимметричную модификацию теплоемкость скачкообразно увеличивается,
причем скачок
^р — 2В^р — 2В(65.17)
^р — 2В
^р — 2В
Этот вывод опирается на предположение об отсутствии у термодинамического потенциала особенностей в точке Кюри. При многих переходах второго рода он в той или иной мере не согласуется с экспериментальными данными; степень этой несогласованности и показывает, сколь существенна особенность, испытываемая термодинамическим потенциалом в точке Кюри.
Пироэлектрические коэффициенты pi = Rt и коэффициенты теплового расширения ах = /?3+х подсчитываются по любой из формул
(65.18)(65.18)Р dS . dS дт]^-дхь^д^дх;1
(65.18)
(65.18)
р _ дхь . дхь дт)— 57 -г "^ дт •
R^R^Значения этих коэффициентов при очень слабых электрических полях и механических напряжениях вычисляются тем же способом, который был использован при выводе формулы (65.16); они равны
R^
R^
(65.19)(65.19)в симметричной фазе, в диссимметричной фазе.
(65.19)
(65.19)
Из свойств коэффициентов Къ и Qb следует, что те пироэлектрические коэффициенты и коэффициенты теплового расширения, которые отличны от нуля в симметричной фазе, испытывают при переходе в диссимметричную фазу скачок, равный
ДЯ» = -^. (65.20)
В обоих типах доменов эти коэффициенты одинаковы.
Напротив, те пироэлектрические коэффициенты и коэффициенты теплового расширения (или их комбинации), которые отличны от нуля лишь в диссимметричной фазе, в различных типах доменов имеют противоположные знаки; по мере приближения к точке Кюри (со стороны диссимметричной фазы) эти коэффициенты возрастают по закону | Т — Тс Г1^:
(65.21)(65.21)
(65.21)
(65.21)
Рассмотрим, наконец, коэффициенты диэлектрической проницаемости x/ft = 4лЛ4,й (i, k = 1, 2, 3), коэффициенты упругой податливости зХц = Л48+х,з+н Р-. р=1, .... 6) и пьезоэлектрические коэффициенты dkK = Mkt 3+х. Все они могут быть подсчитаны по
любой из формуллюбой из формулПри очень слабых жениях они равныПри очень слабых жениях они равны_ дхь , дхь дт]bd ~ dXd + dr) dXd •
любой из формул
любой из формул
При очень слабых жениях они равны
При очень слабых жениях они равны
f — dXd । дх« дт1м-дХь^ dr) дХь*
(65.22)(65.22)электрических полях и механических напря-
(65.22)
(65.22)
MSI + ^Qd-в симметричной фазе,
Мьа =Мьа =(65.23)(65.23)1/г<о> । QbQd KbKdKbQd+KdQb-i/" 1Mbd + 2S 4a62 V ^аве ^
Мьа =
Мьа =
(65.23)
(65.23)
— Lbd ^ — 23 в диссимметричной фазе.
Для анализа этого выражения заметим прежде всего, что слагаемые с радикалами входят лишь в те коэффициенты Л46д (или их комбинации), которые отличны от нуля только в диссимметричной фазе, а слагаемые без радикалов — лишь в отличные от нуля уже в симметричной фазе. При этом слагаемые с произведениями KbKd и QbQd входят в различные коэффициенты.
Таким образом, отличные от нуля как в симметричной, так и в диссимметричной фазе коэффициенты Mbd одинаковы в обоих типах доменов. У таких коэффициентов возможны три типа поведения.
Коэффициент вообще не изменяется при переходе
Mbd = Mbd в обеих фазах.(65.24)
Коэффициент испытывает при переходе скачок
ДМьД = ^;(65.25)
при этом скачок диагональных коэффициентов (таких, как хп, sn и s44) положителен, т. е. в диссимметричной фазе соответствующий коэффициент диэлектрической проницаемости или упругой податливости больше, чем в симметричной.
Коэффициент при приближении к точке Кюри как со стороны диссимметричной, так и со стороны симметричной фазы возрастает по закону | 0 |-1. При этом вблизи точки Кюри слагаемым Af^ можно пренебречь, так что
MbdMbdКьКя2авKbKd4авКьКя2авKbKd4авв симметричной фазе,в симметричной фазе,(65.26) в диссимметричной фазе.
Mbd
Mbd
КьКя2ав
KbKd4ав
КьКя2ав
KbKd4ав
в симметричной фазе,
в симметричной фазе,
При переходе через точку Кюри знак коэффициента Mbd не меняется; в частности, диагональные коэффициенты, как и следует, остаются
положительными. Кроме того, выполняется «закон двойки»: на равных расстояниях от точки Кюри коэффициент Mbd в симметричной фазе вдвое больше, чем в диссимметричной.
Те коэффициенты Mbd или их комбинации, которые отличны от нуля только в диссимметричной фазе, в доменах различных типов равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. У таких коэффициентов возможны два тип поведения.
1. Коэффициент Mbd по мере удаления от точки Кюри возрастает по абсолютной величине, как | 0 I1/2, этот тип поведения проявляется, когда KbQa + KdQb = 0, но Lbd + 0. При этом
M-bd —
в симметричной фазе, (65.27)
в диссимметричной фазе.
2. По мере приближения к точке Кюри со стороны диссимметричной фазы коэффициент Mbd растет, как | 0 |~1/2:
0
Mbd =
KbQd + KdQb
-+-2
1
2аВ0
в симметричной фазе, в диссимметричной фазе.
(65.28)
Для этого необходимо, чтобы KbQd + KdQb + 0. При этом не имеет значения, отличен ли от нуля коэффициент Lbd.
Рассмотрим теперь изменение термодинамической координаты хь при фазовом переходе второго рода. В отсутствие электрического поля и механических напряжений из формулы (65.14) получим
R^©в симметричной фазе,
^0>“^в^) ® — Кь Д^” ^ в Диссимметричной фазе.
1(65.29)
Формула (65.29) предполагает, что тепловое расширение и пироэлектрическая поляризация отсчитываются от температуры Кюри. Члены, пропорциональные 0, относятся к тем компонентам тепловой деформации и пироэлектрической поляризации, которые отличны от нуля в обеих фазах, и определяют скачки соответствующих термодинамических коэффициентов Rb.
Совсем иной характер имеют отличные от нуля лишь в диссимметричной фазе спонтанные термодинамические координаты: компоненты спонтанной поляризации и спонтанной деформации
(65.30)
Они равны нулю в симметричной фазе, а в диссимметричной быстро (как | 0 | V) возрастают с удалением от точки Кюри. Спонтанная термодинамическая координата пропорциональна параметру диссимметричности (ср. формулы (65.6) и (65.30)), и потому при исследовании переходов, при которых появляется спонтанная координата, ее можно использовать в качестве параметра диссимметричности. Так, при исследовании сегнетоэлектрических переходов за параметр диссимметричности часто принимают спонтанную поляризацию. Однако многие фазовые переходы второго рода не сопровождаются появлением спонтанных координат — таковы, например, переходы в кварце, натриевой селитре, латуни, трехокиси вольфрама, гейс- слеровом сплаве.
Важный класс фазовых переходов второго рода составляют сегнетоэлектрические переходы — переходы, при которых появляется спонтанная поляризация *). Для этого нужно, чтобы в кристаллографическом классе сегнетоэлектрической фазы число независимых компонент материального вектора было больше, чем в классе параэлектрической фазы (при сегнетоэлектрических переходах симметричную фазу принято называть параэлектрической, диссимметричную — сегнетоэлектрической). Поэтому сегнетоэлектрическая фаза всегда относится к одному из пироэлектрических классов; параэлектрическая обычно принадлежит к одному из непироэлектрических классов, хотя в принципе сегнетоэлектрическим переходом могут быть связаны, например, модификации классов mm2 и т, 2 и 1, т и 1.
В том частном случае изменения симметрии вдвое, который мы здесь только и рассматриваем, сегнетоэлектрический переход характеризуется тем, что отличен от нуля по крайней мере один из коэффициентов Kt (i = 1, 2, 3). Но при этом, как показано выше (см. формулу (65.26)), по мере приближения к точке Кюри по крайней мере одна из компонент тензора диэлектрической проницаемости растет, как | 0 Г1, причем в параэлектрической фазе она растет вдвое быстрее, чем в сегнетоэлектрической:
в параэлектрической фазе,
Ху = ' uKtR.
^g— в сегнетоэлектрической фазе (Z, /=1, 2, 3).
(65.31)
Для сегнетоэлектрических переходов характерно также появление в сегнетоэлектрической фазе пьезоэлектрических коэффициентов, возрастающих с приближением к точке Кюри, как | 0 |-*/*. Таковы пьезоэлектрические коэффициенты
Ов параэлектрической фазе,
^<А =^<А =KiQs+x2KiQs+x2^gg в сегнетоэлектрической фазе^gg в сегнетоэлектрической фазе(65.32)(65.32)
^<А =
^<А =
KiQs+x2
KiQs+x2
^gg в сегнетоэлектрической фазе
^gg в сегнетоэлектрической фазе
(65.32)
(65.32)
(i = l, 2, 3; Х= 16).
Среди них три во всяком случае отличны от нуля, так как коэффициенты Q4, Qb и Qe не обращаются в нуль ни в одном из кристаллографических классов.
Рис. ^6.2. Спонтанная поляризация и спонтанная деформация доменов сегнетоэлектрической Модификации (пгт2) ди гидрофосфа та калия. Слева показана ориентация элементов симметрии. Спонтанная деформация е<о) преувеличена.Рис. ^6.2. Спонтанная поляризация и спонтанная деформация доменов сегнетоэлектрической Модификации (пгт2) ди гидрофосфа та калия. Слева показана ориентация элементов симметрии. Спонтанная деформация е<о) преувеличена.
Рис. ^6.2. Спонтанная поляризация и спонтанная деформация доменов сегнетоэлектрической Модификации (пгт2) ди гидрофосфа та калия. Слева показана ориентация элементов симметрии. Спонтанная деформация е<о) преувеличена.
Рис. ^6.2. Спонтанная поляризация и спонтанная деформация доменов сегнетоэлектрической Модификации (пгт2) ди гидрофосфа та калия. Слева показана ориентация элементов симметрии. Спонтанная деформация е<о) преувеличена.
Таковы общие свойства всех сегнетоэлектриков. Табл. 65.1 показывает, как они проявляются в сегнетоэлектрических кристаллах.
При некоторых сегнетоэлектрических переходах наряду со спонтанной поляризацией возникает и спонтанная деформация — таковы переходы в дигидрофосфате калия и в сегнетовой соли. При этом, наряду с одним из коэффициентов Kt V = 1» 2, 3), отличен от нуля и один из коэффициентов К»+х (X = 1, ..., 6). В доменах разных типов как спонтанная поляризация, так и спонтанная деформация имеют противоположные знаки; следовательно, знак спонтанной деформации определяется знаком спонтанной поляризации, как показано на рис. 65.2. При этих переходах с приближением к точке Кюри возрастает, как | 0 |-1, не только коэффициент диэлектрической проницаемости, но также и один из коэффициентов
упругой податливости
S^J, ='
^8+лЛз+|Л
—в параэлектрической фазе, к °К(65.33)
4а6— в сегнетоэлектрической фазе,
и один из пьезоэлектрических коэффициентов
( KiK^x 2ав
в параэлектрической фазе,
d/x =
4а0
в сегнетоэлектрической фазе.
(65.34)
Кроме того, некоторые коэффициенты упругой податливости, отличные от нуля только в сегнетоэлектрической фазе, возрастают с приближением к точке Кюри, как |0|-1/8,
О^з+хСв+н+Кв+цОз+х2О^з+хСв+н+Кв+цОз+х2в параэлектрической фазе,
О^з+хСв+н+Кв+цОз+х2
О^з+хСв+н+Кв+цОз+х2
2^0 в сегнетоэлектрической фазе.
(65.35)
Эти особенности сегнетоэлектрических переходов в сегнетовой соли и дигидрофосфате калия также показаны в табл. 65.1.
Если рассмотреть и сегнетоэлектрические переходы, сопровождаемые изменениями симметрии более чем в два раза (как, например, сегнетоэлектрический переход в титанате бария), диапазон различий еще расширится. Но на фоне различий особенно наглядно выступают общие свойства всех сегнетоэлектрических переходов: появление спонтанной поляризации; возрастание, как I Т — Тс Г1, одного из коэффициентов диэлектрической проницаемости при приближении к точке Кюри как с сегнетоэлектрической, так и с параэлектрической стороны, причем выполняется закон двойки; наличие пьезоэлектрических свойств у сегнетоэлектрической модификации, причем некоторые пьезоэлектрические коэффициенты вблизи точки Кюри достигают очень больших значений.
Аномально большие значения коэффициентов диэлектрической Проницаемости и пьезоэлектрических коэффициентов обусловливают разнообразные технические применения сегнетоэлектриков.
При многих фазовых переходах второго рода физические свойства кристаллов проявляют менее значительные аномалии, чем при сегнетоэлектрических. Так, при а — p-переходе в кварце, исследованном И. А. Яковлевым (1957), никакие термодинамические коэффициенты не достигают аномально больших значений; в диссимметричной фазе (класс 32) появляются один новый коэффициент упругой податливости и один пьезоэлектрический коэффициент, возрастающие с понижением температуры, как | 0 |Vi (табл. 65.1).
Таблица 65.1
Изменения физических свойств кристаллов при некоторыхфазовых переходах второго рода
Таблица 65.1 (продолжение)
ВеличинаВеличинаВ симметрич-ной фазеВ симметрич-ной фазеравна нулю равна нулю2~ |6|равна нулю равна нулю2~ |6|В диссиммет-ричной фазеВ диссиммет-ричной фазе~/|«|1" /ГП1" ie I~/|«|1" /ГП1" ie Iпри переходе терпит скачокпри переходе терпит скачокне равна нулю, скачкане испытываетне равна нулю, скачкане испытывает
Величина
Величина
В симметрич-ной фазе
В симметрич-ной фазе
равна нулю равна нулю
2
~ |6|
равна нулю равна нулю
2
~ |6|
В диссиммет-ричной фазе
В диссиммет-ричной фазе
~/|«|1
" /ГП1
" ie I
~/|«|1
" /ГП1
" ie I
при переходе терпит скачок
при переходе терпит скачок
не равна нулю, скачкане испытывает
не равна нулю, скачкане испытывает
/ — спонтанная поляризация, 2 — спонтанная деформация, 3 — пироэлектрические коэффициенты, 4 — коэффициенты теплового расширения, 5 — коэффициенты диэлектрической проницаемости, 6 — пьезоэлектрические коэффициенты, 7 — коэффициенты упругой податливости. Остальные обозначения как на табл 58.5. Все схемы симметричны относительно главной диагонали.
При фазовом переходе в натриевой селитре (см. табл. 64.1), теорию которого предложили Дзялошинский и Лифшиц (1957), длина элементарной трансляции в направлении главной оси симметрии увеличивается вдвое, точечная же группа не изменяется. При таких переходах возможен лишь один тип изменений термодинамических коэффициентов — скачки некоторых из них. Это подтверждает табл. 65.1. Несложный подсчет показывает, что скачки коэффициентов теплового расширения и упругой податливости
связаны в данном случае соотношением
Aai __ Ash _ Asi2 = Asia __ Qi,gg gg.
Даз Asis As13 As33 Q3
Тепловое расширение у натриевой селитры резко анизотропно: ах ^ 0,1а3. Дзялошинский и Лифшиц предпо южили, что и скачки этих величин связаны приблизительно таким же соотношением. Тогда становятся вполне понятными экспериментальные результаты Корнфельда и Чудинова (1957), которые обнаружили скачок коэффициента s33, но не обнаружили скачков sn и s12.
§ 66. Математические методы теории фазовых переходов
Как отмечалось в § 64, когда две кристаллические модификации связаны фазовым переходом второго рода, пространственная группа GD одной из них оказывается подгруппой пространственной группы G другой: GD с G. Однако это только необходимое, но отнюдь не достаточное условие; выяснение других условий, которым должны удовлетворять группы симметрии кристаллических модификаций, связанных переходом второго рода, занимает важное место в основополагающих работах по теории фазовых переходов (Ландау, 1937; Лифшиц, 1941; Ландау и Лифшиц, 1976) и требует применения довольно сложного математического аппарата — прежде всего теории представлений групп *). Группу G симметричной модификации удобно считать заданной, а группы GD диссимметричных модификаций, которые могут быть связаны с симметричной модификацией фазовым переходом второго рода, отыскивать.
Для этого в рассмотрение вводится микроскопическая функция плотности кристалла р (xlt х2, х3) в точке фазового перехода; она инвариантна относительно пространственной группы G. В диссимметричной модификации функция плотности равна р + 6р, причем 6р инвариантна лишь относительно группы GD, но не относительно G. По функции 6р можно построить такие вещественные, линейно независимые и каким-то образом нормированные функции q^ (а = 1, ..., п^, чтобы, с одной стороны, каждая из них преобразовывалась по некоторому физически неприводимому ) представлению Гт размерности пт группы G, а с другой стороны, чтобы 6р представлялась в виде линейной комбинации
6Р = 51]сат)ф^).(661)
т a
В самой точке перехода все коэффициенты с^ равны нулю, а в диссимметричной модификации хотя бы один коэффициент, соответствующий неединичному представлению, отличен от нуля, так как в противном случае при переходе не изменялась бы симметрия. Таким образом, среди неприводимых представлений, базисные функции которых содержатся в разложении (66.1), есть по меньшей мере* одно неединичное.
Коэффициенты с^\ соответствующие неединичным представлениям, характеризуют значение не инвариантных относительно группы G слагаемых в выражении функции плотности диссимметричной фазы (66.1) и таким образом играют роль многокомпонентного параметра диссимметричности. Они зависят от внешних условий; для определенности будем считать, что последние заданы обобщенными термодинамическими силами Т и X = (Хь ..., Х9). В теории фазовых переходов второго рода удобно временно рассматривать термодинамический потенциал Ф диссимметричной модификации как функцию не только термодинамических сил, но и компонент параметра диссимметричности г, а затем находить последние как функции температуры ^ = с^ (Т) из условий
(66.2)(66.2)/5Ф(Т, X; 0\
(66.2)
(66.2)
\ оса /Х=0
Уравнения (66.2) вытекают из минимальности термодинамического потенциала Ф при фиксированных термодинамических силах. Оттуда же следует положительная определенность матрицы
II / 52ф (Т, X; г) \
К дс^дс^ )х=о '
Термодинамический потенциал диссимметричной фазы, как разъяснено в §65, должен быть инвариантен относительно пространственной группы G симметричной фазы и потому зависимость его от коэффициентов с^ сводится к зависимости от составленных из них инвариантов. В непосредственной окрестности точки перехода с^ малы, и главную роль играют инварианты низших степеней. Вообще число линейно независимых инвариантов степени s, которые можно составить из компонент величины, преобразующейся по любому представлению В группы G, равно числу единичных представлений, содержащихся в представлении [В5] — симметрической степени s представления В. Это число
такВ, ^=1^^(66'3)
geG
где N (G) — порядок группы G, [хд] — симметрическая s-я степень характера представления В. Однако из величин, преобразующихся по физически неприводимому представлению, линейных инвариантов составить вообще нельзя, а квадратичный инвариант у каждого такого представления только один, и его при соответствующем выборе базиса ф^, ..., ф^ можно представить в виде суммы квадратов компонент. Таким образом, предполагая возможность разложения термодинамического потенциала в ряд по компонентам параметра диссимметричности, получим начало этого разложения в виде
т
та = 1
где Avm^ = № (Т, X) —функции термодинамических сил.
В симметричной модификации термодинамический потенциал должен быть минимален, когда все с^ равны нулю, а в диссимметричной — когда хоть некоторые из них отличны от нуля. Так как суммы квадратов существенно положительны, первое условие выполняется, когда все Atm> положительны, а второе — когда хоть некоторые из них отрицательны. Очевидно, в точке перехода последние обращаются в нуль. Но так как физически невероятно, чтобы без специальной
на то причины несколько независимых функций Avm^ (Т, Л) точно при одних и тех же условиях Т = Тс, X = 0 обращались бы в нуль, естественно ожидать, что обратится в нуль только одна из них, и переход будет связан с единственным физически неприводимым представлением Г именно тем, для которого обращается в нуль коэффициент А. Поэтому представлению и преобразуются компоненты са параметра диссимметричности, характеризующие данный переход. В соответствии с этим изменение функции плотности (66.1) можно писать в виде
п
6р= S с«»а*<6614)
а= 1
в условиях (66.2) также можно отбросить индексы т.
В самой точке перехода первым неисчезающим членом в разложении термодинамического потенциала, казалось бы, является комбинация кубичных инвариантов параметра диссимметричности. Однако инварианты третьей степени существенно знакопеременны, так что для минимальности термодинамического потенциала в точке перехода необходимо, чтобы они отсутствовали. Так как, с другой стороны, нет никаких оснований ожидать, что коэффициенты при них обратятся в нуль точно при той же температуре, что и коэффициент А, остается потребовать, чтобы представление Г вообще не допускало бы существования инвариантов третьей степени, т. е., согласно (66.3), удовлетворяло бы условию
S [%л^=°-с66-5)
geG
Оно введено Л. Д. Ландау (1937).
Таким образом, разложение термодинамического потенциала принимает вид п
Ф = Ф0 + Л ^ (CaP + ^BJ?1 W+-.(66.6)
a=li
где fj4’ (с) — линейно независимые инварианты четвертой степени, составленные из компонент параметра диссимметричности, а В/ — некоторые функции обобщенных термодинамических сил, в первом приближении полагаемые константами (ср. разложения (65.1) и (65.7)).
Условием Ландау (66.5) не ограничиваются требования, налагаемые на представление Г, по которому мог бы преобразовываться параметр диссимметричности. Дело в том, что в действительности неприводимые представления пространственных групп нумеруются непрерывным параметром — вектором к из первой зоны Бриллюэна обратной решетки, и лишь в том случае, когда одному вектору к отвечают несколько неприводимых представлений,— еще и числом т. Поэтому коэффициенты А = А (к; Т, X). Полагая, что А — достаточно гладкие функции вектора к, имеем
Л (Й„+6»)=Л (&,)+ ЭУ'-^+ y^^"i6A6ft+- (66-7)
Пусть переход связан с представлением Г (к0). Тогда в симметричной модификации все А (Ао + 6 А) из некоторой окрестности вектора к0 положительны; по мере приближения температуры к точке Кюри они уменьшаются и, наконец, в самой точке перехода А (к^ обращается в нуль, а Л (Ао + 6к) все еще положительны. Но для этого необходимо, чтобы при к = к0 функция A (k) имела бы минимум, т. е. в разложении (66.7) отсутствовали бы линейные члены, а квадратичные были бы положительны. Обращение в нуль при к = к0 производной дА/дк может быть вызвано симметрией вектора к^ Действительно, эта производная — вектор, инвариантный относительно точечной группы симметрии Н (к^ вектора к^. Если последняя не оставляет инвариантным ни одного направления, т. е. принадлежит к числу 22 непироэлектрических кристаллографических точечных
групп, производная dAldk при А = А?о неизбежно обращается в нуль. Другой мыслимый случай — когда одновременное обращение в нуль А (Ао) и дА (kQ)/dk вызвано не симметрией вектора #0, а специальными свойствами функции А (А) — следует исключить из рассмотрения, потому что при этом Ао будет непрерывно изменяться с изменением внешних условий (например, давления), т. е. диссимметричная фаза не будет кристаллом. Таким образом, физически неприводимое представление Г (Л), связанное с фазовым переходом второго рода, должно характеризоваться вектором к с непироэлектрической группой симметрии Н (А). При этом из вещественности представления Г (Л) следует, что в звезду вектора к должен входить и вектор — к, даже если это и не требуется симметрией кристалла, а это означает, что при определении группы Н (к) нужно заменить кристаллографический класс кристалла его классом Лауэ (т. е. если кристалл не центросимметричен, добавить к его элементам симметрии центр симметрии).
Описанное условие введено Е. М. Лифшицем (1941) как следствие более общего условия, и потому мы назовем его смягченным условием Лифшица ).
Дзялошинский (1964) заметил, что правильнее требовать тождественного равенства нулю линейного по ^к члена в разложении термодинамического потенциала по степеням 6А, а в него, наряду с рассмотренными уже слагаемыми
а
может — если представление Г (Ао) неодномерно — входить еще слагаемое вида6Л-Я (Ср ..., С^,
где D — величина, квадратичная по компонентам с/ и преобразующаяся как вектор при всех преобразованиях из группы GAq. Поэтому представление Г (А) должно удовлетворять условию
5 Хк6)[хЯ&)=0>(66.8)
6^Gfc
определяющему отсутствие в разложении термодинамического потенциала членов, линейных относительно Ьк и квадратичных относительно са. Здесь использована формула (66.3); %у — характер векторного представления, [%^] —симметрический квадрат характера представления Г. Условие (66.8) естественно назвать условием Дзялошинского; оно несколько сильнее, чем смягченное условие «Лифшица.
Общее условие Лифшица состоит в требовании, чтобы компоненты параметра диссимметричности са не зависели от пространственных координат. Для этого нужно, чтобы термодинамический потенциал Ф, рассматриваемый как функция dcjdxt, был минимален при dcjdxi = 0. Соответствующее разложение имеет вид
ф=ф»+2а“^+ 2 Mc“^r+c₽id+
а, iа, р, i
\
+ 2 ^(с«-^-сР^7)+-*^
а, Р, i
где аа/, 6ар/, dap/ — постоянные коэффициенты, причем набор Ьа^ симметричен, a dap/ антисимметричен относительно перестановки индексов а и р. Рассмотрев
термодинамический потенциал всего кристалла, т. е. интеграл j Ф dV, придем к заключению, что существен только последний член разложения (66.9), поскольку остальные после применения теоремы Гаусса — Остроградского сведутся к поверхностным интегралам от са и саср. Таким образом, из свойств представления Г должно вытекать обращение в нуль этого члена. Коэффициенты da$i преобразуются по представлению V {Г2} — произведению векторного представления V группы G и антисимметричного квадрата {Г2} представления Г. С другой стороны, поскольку da^i входят в разложение термодинамического потенциала, они должны быть инвариантны относительно группы G. Число таких инвариантов равно числу единичных представлений в приводимом, вообще говоря, представлении V {Г2}, и для возможности перехода это число должно быть нулем:
S Xyte) {хН <s)=o- (66-1°) geG
Здесь применена формула (66.3); %v — характер векторного представления группы G, {Хг} — антисимметрический квадрат характера представления Г. Равенство (66.10) и есть общее условие Лифшица; смягченное условие Лифшица является его следствием, см. Лифшиц (1941); Ландау и Лифшиц (1964).
Условия (66.8) и (66.10) можно считать усилениями смягченного условия Лифшица; последнее служит одним из краеугольных камней теории, в значительной мере определяя характер ее математического аппарата. Векторы А, удовлетворяющие этому условию, равны нулю или составляют половину, треть или четверть одного из векторов обратной решетки. В первом случае — его подробно рассмотрел Инденбом (1960) — группа трансляций Т симметричной фазы входит в ядро гомоморфизма представления Г, так что последнее оказывается представлением точечной группы симметричной модификации; при этом трансляционная симметрия кристалла вообще не меняется. В остальных случаях в ядро гомоморфизма представления Г входит хотя и не сама группа трансляций, но ее подгруппа Т^ сравнительно небольшого индекса; она состоит из всех трансляций teT, для которых t «к равно нулю или целому числу при всех к из звезды {А}. Представление Г опять оказывается представлением группы конечного порядка, не большего, чем произведение порядка точечной группы симметричной фазы на индекс Т^ относительно Т. Это обстоятельство и позволяет формулировать свойства представления Г бесконечной группы G на языке теории конечных групп.
Если в звезду {А} входит несколько векторов, то трансляционные группы, характеризующие возможные решетки Бравэ низкосимметричных фаз, могут порождаться не всеми векторами Alf ..., kqt входящими в звезду, но одним из них (например, Т61), парой векторов (Tftl&2, Ткхк& и т. д.), ..., набором из q — 1 векторов. В отличие от групп Т^, описывающих решетки Бравэ той же сингонии, что и исходная, этим группам соответствуют решетки Бравэ более низких сингоний.
Все возможные изменения решетки Бравэ кристалла перечислил Лифшиц (1941); они приведены в табл. 66.1. При пользовании ею необходимо иметь в виду, что наряду с трансляционной симметрией кристалла может понижаться и поворотная, а решетка в соответствии с этим будет слегка деформироваться; это обстоятельство в таблице не отражено, и решетки Бравэ отнесены в ней к наиболее симметричной системе, к которой они вообще могут относиться. Однако какова бы ни была истинная симметрия получающейся решетки, в нее входят те и только те узлы, которые указаны в таблице.
В первом и втором столбцах табл. 66.1 указаны решетки Бравэ симметричной и диссимметричной модификаций соответственно. В третьем столбце последняя описывается посредством базисных векторов <ц примитивной решетки симметричной фазы; базоцентрированная ячейка исходной фазы описывается векторами аь a2, a3 и V2 (a, + а2); гранецентрированная векторами аъ ай1 a3; V2 (a2 + a3), Чй («а + #i)> V2 (#i + «2)1 объемноцентрированная векторами аХ1 а^ а3,
Таблица 66.1
Изменения решетки Брава при фазовых переходах второго рода
PI
PI
2аь а2, а8
2
Р2]т
Р2/т
2#п #2, #з
#1, 2о2» о-з
2#ь 2a2, #8; ai+ag
2
Р2/т
2
С2/т
2
С2/т
С2/т
Ov O^, 2Оз*, Oi~^O-2
2
Р2/т
Oi» О2» #3
#14“ #2» V2 (#1— #2), Оз
2
Р1
2
С2)т
2oi, 2(z2, #3? O1-I-O2
4
Рттт
Рттт
2#i, O2; 03
2ai» 202» Оз» 01 + 02
2
Сттт
2
Рттт
2oi» 2ай» 2a8; #24“#з> #з4“#ь #i4“#2
2
Сттт
Сттт
#i> Оз» 2a3; V2 (#i 4” #2)
2
Рттт
Oi, 02» О3
2
Immm
Oi» 02» 2оз, 1/2 к&х 4“#г4“2#з)
2
Р2/т
#1> #14“#2> V2 (#1—#2)
2#ь 2Оз, Чз (#14“#2)> #14~#3
2
С2/т
2
Сттт
2di, 2аг» O3*» di4-tt2
2Oi, 2О2» 2Оз‘, #24“#3> #з4“#1> #14“#2
4
Рттт
4
Рттт
Сттт
Oi, О2» О3*» #14“ #2
Чз (#14*#2)» х/г (#14“#з)> #2“Ь#з
2
Р\
2
С2[т
201, 2оз» 1/2 (#14“#з)> #i 4“ #2
4
Рттт
2Oh 2&2» 2оз*, #24~#з> #3~Ь#1> #14“ #2
8
Immm
Рттт
#1, #2> #3
2^1» 2аз» 1/з (#i 4~ #2 4~ #з)» #14~ #г
2
С2/т
2
Сттт
2ох» 2оз» Оз» #1 + #2
4
Рттт
2О1» 2о2» 2аз; #24“#з> #s4“#i> #i4“#2
4
РЩттт
РЩттт
#1, 02» 2оз
2
РЩттт
#14~#2> #1 — #2> #3
2
1^1 ттт
#14“#2> #1 — #2» 2Оэ1 #14“#3
2
Рттт
2oi» 02» О3
2#i, 2йз» О2» #14“#з
2
Сттт
2
Р^/ттт
2#i, 2аг» Оз
4
1^1 ттт
2oi» 2оз» 2#з; #14-#2 4~#з
4
Н[ттт
РЩттт
#1, #2> #3
2
Сттт
#14~#2> #3> #1 — #2> V2 (#14“#2“Ь#з)
2
С2/т
#1, #г4“#3» #2 — #3> V2 (#14“#2 4"#з)
2
Р4/ттт
#14“ #2» #1 — #2» #3
4
Сттт
2ai, 2йз» О2*, #14“#з
4
Р2[т
2oi, 2о2> V2 (#14“#г4“#з)
4
1^/ттт
#14“ #2» #1 — #2> ^^3» #1+#8 201 2&2» ^Оз*, #14”#2 4”#3
4
К/ттт
8
Рт^т
РЬ/ттт
#1, #2> 2#з
2
P^jmmm
#14™#2' #1—#2, #3
2
Рт^т
2ai, 2а2» 2аз; а2 + аз, #з4~#ь #14~#г
2
Р^ттт
2ov 2»2» Оз
4
1тЪт
2о\» 2оз^ ^Оз*» #14"#г4“#з
4
РтЪт
2ах, 2а2» ^йз
8
Таблица 66.1 (продолжение)
Im3m
Fm3m
R^m
P^jmmm
Pm3m Cmmm P^lmmm P2/m Fm3m Intern
PMmmm R^m
РтЪт P2/m l^jmmm Fm3m P^jmmm Pm3m
R3m C2(m P2/m C2/m R3tn R3m
P^/mmm Pmmm Cmmm P^/mmm P^/mmm Fmmm
C2jm P^lmmm Ptynimm
ttX, a2> «3
#i, Л2”Ь#з, a2—аз\ Va (^i 4"^2 + ^з) aX4~a2> #1— ^2» «3
2ax, 2a2, Va (^i-|-fl^24“®з)
2ab 2a2, 2og; О2 4~®з, ^s4~^i> #i4~#2
2ax, 2a2, 2#g; Oi 4~^а4~^з
Va (^i + a2), V2 (#i— ^2)» #з
#1 + V2 (#2 4" «в), #2 4” V2 (#8 4" ^1)»
^3 4"Va (^14^2)
#1, Cl^ аз
^1+<12> #1— °2> 1/2(®14”°з)
#1» a2l 2аз\ Лз4’1/г (^i + ^a)
2#i, 2o2> 2og; о24-#з> #з4~®1> ^14*^2
2ai, 2a2, аз
2aif 2a2> 2a3
^гН-^з, «з 4*®i> ai4-a2
ai + a2, ах—а^ 2a3; ax
ttl4-#2» CL1—^2> ^3
2(a1+a2)> 2(ai —a2), a3; 2ax
tt24~^3—^1» ®э4“®1—®2> Л14-л2 — аз
2ax, 2a2i 2a3
ax, a2> 2^3
a\-\-a2> ax—a2t аз
Л14-а2> ^i — ^2, 2^з; #14~#з
tti4~2tt2’ <ix — а2> аз
2аХ1 2а2, а3
2(ai+a2), 2(0!—а2^ 2а3; 2ах>
^х + ^г + ^з» ^х—#24~#з
2ах, 2аз, 2a2i ах4~®з
ах4~2а2, ах—а2> 2аз
2аг, 2а2, 2а3
2
2
4
4
4
8
2
2
4
4
4
8
16
82
2
2
2
4
4
8
2
2
2
3
4
4
4
6
8
1/-2 (^i + #2 + а^ в ромбоэдрической решетке векторы а/ выбраны по ребрам элементарного ромбоэдра. В четвертом столбце указано во сколько раз увеличивается при переходе число атомов в элементарной ячейке, или, что то же самое, во-сколько раз понижается трансляционная симметрия; обозначим это число Nt.
Табл. 66.1 показывает, что периоды решетки в большинстве случаев удваиваются, в объемноцентрированных и гранецентрированных решетках некоторые периоды могут учетверяться, а в гексагональной — утраиваться. Объем же ячейки может изменяться в Nt= 2, 3, 4, 6, 8, 16 и 32 раза. Напомним, что возможны (и весьма распространены) переходы, при которых трансляционная симметрия вообще не изменяется (см. § 64).
Возвратимся к анализу представления Г. Как уже отмечалось, группа Т^ входит в ядро гомоморфизма Gr этого представления, а ее индекс [Т : Т1^] относительно группы трансляций Т симметричной модификации, как следует из табл. 66.1, не превышает 32 *). Введем в рассмотрение F = GlGr —факторгруппу ♦♦) пространственной группы кристалла G по ее инвариантной подгруппе
6Г. Порядок группы F не превышает произведения индекса [Т : T^j] на порядок точечной группы кристалла К» т. е. во всяком случае не более 3248 = 1536. Представление Г группы G служит представлением также и группу F, и притом точным: различным [eF соответствуют различные матрицы в Г. Так как представление Г вещественно, можно в его несущем пространстве L выбрать векторный базис эх, ..., эп (п — размерность представления Г) так, чтобы соответствующие матрицы были ортогональны. Таким образом, абстрактную группу F можно реализовать как некоторую группу ортогональных преобразований в п-мерном пространстве — подгруппу n-мерной ортогональной группы 0 (п). Если пространственная группа G симморфна, то порядки элементов F обязательно кристаллографические: 1, 2, 3, 4, 6. Однако представления несиммфорных групп G могут породить группы F с некоторыми элементами некристаллографического порядка, например 8 или 12. Размерность п представления Г (а вместе с ним и пространства L), по-видимому, не превышает 24 *).
Компоненты q, ..., сп параметра диссимметричности будем рассматривать как компоненты вектора в пространстве L, отнесенные к упоминавшемуся уже базису Эх, ..., эп, в котором матрицы представления Г ортогональны. Параметр перехода оказывается, таким образом, вектором в пространстве L. Преобразования, входящие в группу F, действуя на вектор диссимметричности, порождают звезду векторов диссимметричности {с}. Если ни одно из преобразований группы F не оставляет вектор с неподвижным, то число векторов в звезде {с} равно порядку группы F. Если же некоторая подгруппа Fc группы F оставляет вектор с неподвижным, то число векторов в звезде {^} оказывается равным индексу [F : FJ группы Fe относительно F. Векторы, составляющие звезду {с}, соответствуют отдельным типам доменов, образующихся при переходе. Группой Fc однозначно определяется пространственная группа диссимметричной модификации GD: она представляет собой объединение тех смежных классов пространственной группы G по ее инвариантной группе G?> которые соответствуют подгруппе Fc факторгруппы F = GlGp.
°о=^8А^ (66.11)
где gt eG — любой представитель того смежного класса группы G по подгруппе Gr, который соответствует элементу h группы Fc; суммирование проводится по группе Fc. Если, в частности, группа F?c сводится к единице, т. е. ни одно неединичное преобразование группы F не оставляет данный вектор с неподвижным, то группа Gd просто совпадает с ядром гомоморфизма Сг. Очевидно, индекс [G : Gd] группы Gd относительно группы G, т. е. общее понижение симметрии при переходе,
n=^g : GDy=^F: Fcy <6612) Понижение поворотной симметрии Nr = N/N<.
Таким образом, задача перечисления всех пространственных групп GD диссимметричных модификаций, которые могут быть связаны с заданной симметричной модификацией фазовым переходом второго рода, свелась, во-первых, к выявлению всех неприводимых представлений Г пространственной группы G симметричной модификации, удовлетворяющих смягченному условию Лифшица и, во-вторых, к отысканию для каждой фактор-группы F = G/Gr всех подгрупп, которые могли бы служить группами Fc. Первая задача легко решается при помощи таблиц неприводимых представлений пространственных групп (Ковалев, 1961; Фаддеев, 1961). Вторая задача состоит в отыскании у группы F таких подгрупп, которые бы оставляли неподвижным хотя бы один вектор; эти под-
группы — /г-мерные аналоги пироэлектрических классов ). Все матрицы, входящие в такие подгруппы, имеют хоть одно собственное значение, равное единице. С другой стороны, все матрицы, составляющие в совокупности такую подгруппу, имеют по крайней мере один общий собственный вектор, соответствующий собственному значению, равному единице.
Следующий этап исследования должен был бы состоять в исключении всех «лишних» переходов. Наряду с теми переходами, которым соответствуют представления, не удовлетворяющие условиям (66.5), (66.8) или (66.10), в их числе содержатся и такие, которые могут быть получены лишь при учете дальнейших членов разложения (66.6). Для исключения таких переходов (к ним относятся, в частности, те, которые соответствуют группам РСэ являющимся подгруппами других таких групп) можно проверить, получается ли данная группа GD при обычной процедуре решения: подстановке разложения (66.6) в уравнении (66.2), решении этих уравнений и определении пространственных групп GD, относительно которых будет инвариантно выражение (66.4) при подстановке в него полученных решений.
С другой стороны, наряду с переходами второго рода интерес представляют и близкие к ним переходы первого рода. Теоретическое их исследование проводится посредством методов, используемых в теории переходов второго рода, только несколько модифицированных (см., например, рассмотрение сегнетоэлектрических переходов первого рода Гинзбургом (1949)). Конечно, точно отграничить такие переходы нельзя; скорее, самая возможность описать симметрию и свойства кристалла вблизи температуры перехода посредством какой-то модификации теории переходов второго рода и указывает на близость данного перехода к переходам второго рода. С этой точки зрения список групп G^, полученных по формуле (66.11), можно рассматривать как список, включающий и переходы первого рода. Заметим, что те соображения, посредством которых доказывается, что параметр диссимметричности с для перехода второго рода преобразуется по физически неприводимому представлению, при переходе первого рода становятся значительно менее категоричными. Поскольку обращение в нуль двух коэффициентов А<т) в узком температурном интервале маловероятно, но его нельзя считать полностью исключенным, можно ожидать, что не все, но многие переходы первого рода определяются физически неприводимым представлением ). Для пространственной группы РтЪт (О у можно сравнить список переходов второго рода (Александров, Зиненко, Михельсон, Сиротин, 1969) и список, включающий и переходы первого рода, определяемые физически неприводимыми представлениями (Винберг, Гуфан, Сахненко, Сиротин, 1974).
Таков геометрический метод перечисления пространственных групп GD диссимметричных модификаций, связанных с симметричной (G) модификацией фазовым переходом второго рода или близким к нему переходом первого рода (Сиротин, 1967; Сиротин и Михельсон, 1969; Гуфан, 1971; Винберг, Гуфан, Сахненко, Сиротин, 1974). Рассмотрение групп F и FCt действующих в абстрактном пространстве представления Г и лишенных, казалось бы физического смысла, оправдано тем, что каждая такая группа объединяет множество переходов, а принадлежность переходов к одной группе определяет их многочисленные общие свойства, ускользающие при поверхностном рассмотрении. Именно таковы описанные в § 65 переходы в подгруппу индекса 2: хотя по своим проявлениям они чрезвычайно разнообразны, значительную часть теоретического исследования удается провести в общем виде, выявляя таким образом общие черты всех таких
переходов. В принципе аналогичное рассмотрение, по-видимому, можно провести и для переходов, характеризуемых другими группами F и Fc. Пока этот метод применен для исследования отдельных переходов (Сиротин, 1967; Сиротин и Михельсон, 1969; Гуфан и Сахненко, 1972), изменения физических свойств, анализа возникающей при переходе доменной структуры и т. д. ). Кроме того, выявлен ряд общих свойств переходов, связанных с двумерными и трехмерными представлениями, и перечислены все возможные группы F и Fc для таких представлений (Гуфан и Сахненко, 1972а).
Изменения физических свойств кристалла при переходе качественно определяются точечными группами симметричной и диссимметричной фаз. Так, переход оказывается сегнетоэлектрическим, т. е. связан с возникновением спонтанной поляризации в том и только в том случае, если числа независимых компонент вектора для точечных групп симметричной и диссимметричной фаз различны (см. также Желудев и Шувалов, 1956). Аналогично, для возникновения спонтанной деформации при переходе необходимо и достаточно, чтобы для этих точечных групп были различны числа независимых компонент симметричного тензора второго ранга. Эти результаты можно существенно уточнить, если принять во внимание место, занимаемое представлением Г в системе представлений точечной группы К. Спонтанная поляризация возникает при переходе как в том случае, когда в векторное представление V группы К входит само представление Г, так и в том, когда в V входит лишь некоторая симметрическая степень [Г^] этого представления. Однако в первом случае температурная зависимость спонтанной поляризации и диэлектрической проницаемости определяется формулами (65.30)и (65.31). Во втором случае спонтанная поляризация с удалением от точки перехода растет, как | 0 \р,\ а диэлектрическая проницаемость при 0 -> 0 не стремится к бесконечности; такие переходы называют несобственными, на их возможность впервые указал Инденбом (1960а) — подробнее о них см. Леванюк и Санников (1974). Аналогично переходы с возникновением спонтанной деформации делятся на собственные, когда в представление [ V2] группы К входит само представление Г, и несобственные, когда в [V2] входят только его симметрические степени. Если при переходе изменяется трансляционная симметрия кристалла, то он оказывается несобственным в отношении всех физических свойств, потому что в какие бы то ни было представления точечной группы К могут входить лишь симметрические степени представления Г, но не само оно.
Теоретико-групповой анализ позволяет также выяснить, сопровождается ли данный переход смещениями равновесных положений атомов или нет: в первом случае представление Г входит в колебательное представление пространственной группы G, во втором — не входит. Это свойство перехода существенно зависит от структурного типа кристалла, так как именно он определяет состав колебательного представления данной пространственной группы. В частности, в структурах, содержащих атомы общего положения, любой переход должен сопровождаться смещениями атомов. Напротив, в одноатомных структурах переход сопровождается смещениями атомов лишь при условии, что представление точечной группы Н (А), порождаемое малым представлением Гд, входит в векторное представление группы Н (k). Все сегнетоэлектрические переходы связаны со смещениями атомов. К числу переходов, которые не могут сопровождаться смещениями атомов, относятся, например, фазовые переходы в натриевой селитре и сплаве CuZn, см. рис. 64.2 и табл. 64.1. Подробнее об этом см. Сиротин и Михельсон (1968); Михельсон и Сиротин (1969).
По вопросам, затронутым в этой главе, см. Барфут (1970); Браут (1967); Вакс (1973); Желудев (1968, 1969, 1973, 1976); Иона и Ширане (1965); Кенциг (1960); Кэди (1949); Ландау и Лифшиц (1957 и 1976); Мэзон (1952); Смагин и Ярославский (1970); Смоленский, Боков, Исупов, и др. (1971); Смоленский и Крайник (1968); Сонин и Струков (1970); Хачатурян (1974).
ГЛАВА VIII
МАГНИТНАЯ СИММЕТРИЯ В КРИСТАЛЛОФИЗИКЕ
Обращение отсчета времени и антисимметрия
Начало учения о магнитной симметрии кристаллов можно отнести к 1951 г., когда вышли в свет очередной том курса теоретической физики Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица «Статистическая физика» и монография А. В. Шубникова «Симметрия и антисимметрия конечных фигур». В «Статистической физике» было отмечено, что, исследуя симметрию магнитных кристаллов, необходимо принимать во внимание операцию обращения отсчета времени и сочетания ее с трансляциями, обычными, зеркальными и винтовыми поворотами. Ландау и Лифшиц указывали, что при этом получатся новые группы, число которых должно быть очень велико и которые никем еще не выведены, — пространственные группы магнитной симметрии кристаллов. Рассмотрим в этой связи операцию обращения отсчета времени.
В основании кристаллофизики лежат законы классической механики и электродинамики. Они инвариантны относительно группы вращений: поворот координатной системы, в которой они записаны, не меняет вида этих законов. Они инвариантны'и относительно ортогональной группы, т. е. совокупности всевозможных собственных и несобственных поворотов; нужно только иметь в виду, что при несобственных поворотах векторы электрического и магнитного поля преобразуются по-разному: первые — как обычные (полярные) векторы, вторые — как аксиальные векторы (псевдовекторы).
Мало того, законы механики и электродинамики инвариантны и относительно преобразования f = —t, т. е. обращения отсчета времени, если только одновременно изменить и знаки компонент магнитного вектора: Н\ = —Hi. Этот закон преобразования естественно вытекает из физической картины явления: при обращении отсчета времени направление всех токов, меняется на обратное, а следовательно, меняются на обратные и направления всех магнитных полей; ведь магнитные поля порождаются только токами.
16 Ю. И. Сиротин, М. П. Шаскольская
Преобразование f = —t называют еще инверсией времени. Мы будем обозначать его Г; группу же, состоящую из единичного элемента и инверсии времени, обозначим Г. Конечно, инверсия времени физически неосуществима, но такова же и обычная инверсия. Мы не только не можем заставить время потечь вспять; мы не можем и преобразовать кристалл кварца в его энантиоморф: для этого нам пришлось бы разобрать кристалл на отдельные атомы, а потом сложить эти атомы в другом порядке ). Определение преобразования симметрии просто не должно включать в себя предположение о физической осуществимости этого преобразования.
Если присоединить к ортогональной группе ) оо оо I операцию инверсии времени Г и всевозможные сочетания ее с собственными и инверсионными поворотами, получится расширенная ортогональная группа оо оо I Г. Относительно нее инвариантны основные физические законы. Они инвариантны также и относительно переносов. Всевозможные сочетания переносов с операциями расширенной ортогональной группы составляют в совокупности расширенную евклидову группу.
Все преобразования симметрии кристалла составляют в сово- купностц группу симметрии кристалла. Если она состоит только из преобразований, оставляющих инвариантными физические законы, ее естественно назвать группой физической симметрии кристалла. Таковы все точечные и пространственные кристаллографические группы, а также все кристаллографические подгруппы расширенной ортогональной и расширенной евклидовой групп.
Обратимся теперь к идеям антисимметрии. Первая из них — обобщение понятия равенства: наряду с равными фигурами рассматриваются антиравные. Простейший пример антиравных фигур — две геометрически равные, но противоположно окрашенные фигуры: черная фигура антиравна такой же белой, а белая — черной. Так, на рисунке Эшера «День и ночь» (рис. 67.1) черный (ночной) город антиравен белому (дневному) городу, черная река — светлой реке, черные птицы — белым птицам.
Вообще антиравными, как указывает Шубников, можно считать фигуры одинаковых размеров, взаимно противоположные по какому-то свойству: по окраске, по знаку электрического заряда, по направлению магнитного момента и так далее. Таким образом, черная или белая окраска фигуры — всего лишь условное обозначение того обстоятельства, что помимо геометрических свойств эта фигура обладает еще каким-то свойством и данное свойство
можно охарактеризовать величиной, принимающей всего два значения, скажем, +1 и —1. В рамках антисимметрии можно рассматривать также свойства, характеризуемые величиной, принимающей три значения: +1, —1 и 0. Это соответствует рассмотрению наряду с черными и белыми также и «серых» фигур или наряду с положительно и отрицательно заряженными также и не заряженных — нейтральных фигур.
Наряду с операциями симметрии вводятся операции антисимметрии. В то время как операция симметрии преобразует фигуру
Рио. 67.1. Эшер. «День и ночь».
в такую же, т. е. равную фигуру, операция антисимметрии преобразует ее в антиравную. Таким образом, в рассмотрение вводится операция антиотождествления и всевозможные ее сочетания с ортогональными преобразованиями.
Операция антиотождествления Г (Шубников использует для нее символ /, но применяемая им система обозначений вообще отлична от международной, см. §5) в применении к черно-белым фигурам состоит в перекрашивании: все, что до этой операции было белым, после нее становится черным, а все, что было черным, становится белым. Если фигуры мыслятся не окрашенными, а электрически заряженными, действие на них операции антиотождествления состоит в замене заряда на противоположный.
Очевидно, никакая белая и никакая черная фигура не может быть инвариантной относительно операции антиотождествления. Поэтому наряду с черными и белыми вводятся в рассмотрение серые фигуры, по определению переходящие в себя в результате антиотождествления. Если принять «электрическую» интерпретацию антисимметрии, т. е. считать, что антиотождествление пре-
15*
образует тело в такое же, но противоположно заряженное, ясно, что инвариантны относительно антиотождествления все не заряженные, электрически нейтральные, тела.
Сочетания антиотождествления с простыми и зеркальными поворотами называются антиповоротами и обозначаются символами соответствующих поворотов, снабженными штрихом (по Шубникову — минусом под символом поворота). Антиповорот — это преобразование, состоящее из поворота и перекрашивания; последовательность их выполнения роли не играет.
Точечными группами антисимметрии (в широком смысле слова) называются: группа, состоящая из всевозможных простых и зеркальных поворотов и антиповоротов, и все ее подгруппы. Среди последних есть и обычные группы симметрии G; в их состав входят только обычные — простые и зеркальные — повороты. Эти группы изображаются одноцветными, или, как их называет Шубников, полярными фигурами (обычно их рисуют белыми, но с равным успехом они могли бы быть и черными).- Группы, в которых содержится операция антиотождествления сама по себе, обозначаются ОГ, а изображаются такими же, как G, но серыми фигурами; такие фигуры Шубников называет нейтральными. Наконец, существенно новые группы, т. е. группы G', содержащие в своем составе некоторые антиповороты, но не содержащие антиотождествления, изобразятся фигурами, содержащими как белые, так и черные части, — фигурами смешанной полярности. Эти названия переносятся и на группы: G— полярные, или белые группы; СГ — нейтральные, или серые группы; G' — группы смешанной полярности, или чернобелые группы. Заметим, что под группами антисимметрии часто понимают лишь группы смешанной полярности. Фигуры, характеризующие некоторые такие группы, приведены на рис. 67.2.
Когда Тавгер и Зайцев (1956), следуя идеям, высказанным в «Статистической физике», вывели точечные группы магнитной симметрии кристаллов, оказалось, что они изоморфны точечным группам антисимметрии, описанным в книге Шубникова. Таким образом, группы магнитной симметрии кристаллов только интерпретацией отличаются от групп антисимметрии. Точнее, среди многих мыслимых интерпретаций точечных групп антисимметрии возможна и интерпретация их как групп магнитной симметрии, но именно эта интерпретация приводит к группам физической симметрии кристаллов. Имея ее в виду, мы и обозначили операцию антиотождествления тем же символом /', как и обращение отсчета времени.
После того, как Шубников высказал мысль о возможности и — более того — необходимости обобщения классического учения о симметрии и сам сделал первые шаги по этому пути, построив точечные группы антисимметрии, эти исследования привлекли внимание многих ученых. Вскоре были выведены пространственные
группы антисимметрии (Заморзаев, 1957; Белов, Неронова, Смирнова, 1955, 1957) и предложено дальнейшее обобщение классической симметрии — цветная симметрия (Белов и Тархова, 1956;
Рис. 67.2. Простейшие симметричные (а, б, в) и антисимметричные (а, д, е> фигура пе А. В. Шубникову. Симметрия фигур: а) плоскость симметрии т, б) ось симметрии 2, •) центр симметрии I, е) плоскость антисимметрии т', д) ось антисимметрии 2', е) центр антисимметрии Г.
Инденбом, Белов, Неронова, 1960; Заморзаев, 1967, 1970). Разнообразные обобщения классической теории симметрии можно подвергнуть классификации и вывести с единых позиций, пользуясь методами теории расширений групп (Шубников и Копцик, 1972).
Точечные группы магнитной симметрии
Точечными группами магнитной симметрии называются расширенная ортогональная группа и все ее подгруппы. Расширенная ортогональная группа состоит из всевозможных ортогональных преобразований g, а также из тех же преобразований, умноженных на инверсию времени; обозначим их g*. Из того, что инверсия времени коммутирует со всеми ортогональными преобразованиями, а квадрат ее есть тождественное преобразование, вытекают следующие правила умножения:
если
SiSj=gk, gjgt=gb
ТО
gtgi = gb gjgi=gb
gigj=gb gigi = gb (68.1) gig'i=gky gig'i = gb
Рассмотрим кристаллографические (т. e. содержащие повороты и антиповороты лишь на углы л/2, л.З и кратные им) и предельные группы магнитной симметрии. Их иногда называют также классами магнитной симметрии.
Прежде всего в их числе содержатся, конечно, 32 обычные кристаллографические группы и 7 обычных предельных. Такие группы можно рассматривать как группы магнитной симметрии, не содержащие никаких антиповоротов, в том числе и инверсии времени. Это белые, или полярные, группы G.
Далее, в число точечных групп магнитной симметрии входят 39 серых (нейтральных) групп G1': это 32 кристаллографические и 7 предельных. В каждой из них содержится инверсия времени, и любой поворот g входит в группу вместе с соответствующим антиповоротом g'.
Наконец, третий тип групп магнитной симметрии образуют черно-белые группы, или группы смешанной полярности G’. В состав каждой из них инверсия времени не входит, но наряду с собственными или инверсионными поворотами Лъ ..., h^ обязательно входят и антиповороты g\, ..., gi. Так как в группу не входит Г, ни одна из операций gj не совпадает ни с одной из операций Az. Повороты ^ образуют группу Н — кристаллографическую (г. е. не магнитную) подгруппу группы G', а антиповороты составляй т множество G' — Н.
Зафиксировав некоторый антиповорот g/, рассмотрим всевозможные произведения g'jhu где hi пробегает всю группу Н. Все они различны и в силу (68.1) принадлежат множеству G' — Н. Поэтому число элементов в нем не меньше, чем в группе Н. С другой стороны, рассмотрев всевозможные произведения g^gi при фиксированном g'} и пробегающем все множество G* — Н элементе gu найдем, что все они также различны и в силу (68.1) принадлежат группе Н, так что число элементов в ней не меньше, чем в G' — Н. Ясно, что эти числа просто равны и Н — подгруппа группы G' индекса 2.
Отбросив штрихи у элементов g\ можно получить из любой черно-белой группы G' кристаллографическую группу G = = {Ai, ..., hk, gu .... g^. И наоборот, из любой кристаллографической группы G, содержащей подгруппу Н индекса 2, можно получить черно-белую группу G', умножив элементы gj, не входящие в подгруппу /7, на инверсию времени. Совокупность поворотов ht и антиповоротов g'j составляет искомую черно-белую группу G', и этим методом можно получить все такие группы.
Выясним, например, какие черно-белые группы можно получить из группы 42m. Это группа восьмого порядка. Она имеет три подгруппы индекса 2, а именно 4, 222_и mm2. Рассмотрим их последовательно. Из элементов группы 42m
входят в подгруппу 4:
/,
2,,
4„
не входят в нее:
2
2у,
mut
mv.
входят в подгруппу 222:
1’
2»
9
не входят в нее:
4Z,
ти.
т^
входят в подгруппу mm2;
1,
2»
ти1
т^х
не входят в нее:
2„
2д,
4г,
&
Заменив ортогональные преобразования, не входящие в подгруппы Н, соответствующими антиповоротами, придем к трем следующим черно-белым группам:
{Д 22, 4г, 4'z, 2Х, 2у, ти, m0} = 42m ;
{/, 2„ 2Х, 2У, 4гл 4^, т'и, my} = 4'2m';
{/, 2„ та, тт 2Х, 2у, 4'г, 4Х\ = А'2'т-, они изображены на рис. 68.1.
Рис. 68.1. Фигуры из белых и черных тетраэдров, принадлежащие точечным группам антисимметрии, связанные с кристаллографической группой G ■= 42т: a) G* = ^т** б) G' = А^т', в) G' = 4'2'т.
Остальные кристаллографические черно-белые группы легко получаются тем же методом (см., например, рис. 68.2).
В табл. 68.1 перечислены все кристаллографические и предельные ) группы G, их подгруппы Н индекса 2 и соответствующие черно-белые группы G'. Подсчет показывает, что имеется
58 кристаллографических черно-белых групп и 7 предельных. А всего точечных групп магнитной симметрии разных типов 143:
6)
122 кристаллографические и 21 предельная.
Международные обозначения кристаллографических групп магнитной симметрии определяются следующими правилами:
1) полярная (белая) группа G обозначается
Рис. 68.2. Фигуры из белых и черных тетраэдров, принадлежащие точечным группам антисимметрии, связанные с кристаллографической группой G = 2/т: a) G* = 21т*, б) g' = 2,т, в) G* = 27^'.
точно так же, как кристаллографическая группа, состоящая из тех же преоб
разований;
2) нейтральная (серая) группа ОГ обозначается символом соответствующей кристаллографической группы G с добавлением Г,
Таблица 68.1
Черно-белые кристаллографические и предельные группымагнитной симметрии
G
H
G'
G
H
G’
a
H
Gr
1
—
4/m
4
^/m*
— m2
3m
^'т2г
I
1
1'
422
222
4'22'
6m2
6
6m'2'
2
1
2'
422
4
.42'2'
6/mmm
3m
6'/m'mm'
т
1
m*
4mm
mm2
4'mm'
6/mmm
6/m
6/mm'm'
2/т
1
2*/m*
4mm
4
4m’m*
в/mmm
622
6/m'm'm'
2/т
2
2/m’
42m
222
4'2m'
6/mmm
6mm
6/m'mm
2/т
m
2*/m
42m
mm2
4'2'm
6/mmm
6m2
6'/mmm'
222
2
22'2'
42m
4
42'm'
28
—
—
mm2
2
m'm'2
4/mmm
mmm
4*/mmm’ 41тт’т’
m3
23
m'3
mm2
m
mm'T
4/mmm
4/m
432
23
4'32'
ттт
2/m
mm'm*
4/mmm
422
4/m'm’m'
43m
23
4'3m'
ттт
222
m'm'm’
4/mmm
4mm
4/m'mm
m3m
m3
m3m'
ттт
mm2
mmm'
4/mmm
42m
4'/m'm'm
m3m
432
m'3m'
3
—
—
6
3
6'
m3m
43m
m'3m
3
3
3'
6
3
6'«
co
—
—
32
3
32'
6/m
3
6'/m'
oo/m
co
oo/m'
3m
3
3m'
6/m
6
6/m'
co2
co
oo2'
3m
3
3m'
6/m
6
6'/m
oom
co
com'
3m
32
3'm'
622
32
6'22'
co/mm
oo/m
co/mm* oo/m'm'
3m
3m
3'm
622
6
62'2'
co/mm
oo2
4
2
4'
6mm
3m
6'mm'
co/mm
oom
co/m'm
4
2
4'
6mm
6
6m'm'
oooo
—
—
4/m 4/m
2/m 4
4'/m 4/m'
6m2
32
6'm'2
oooom
oooo
co oom'
например 32Г, m3mV; на нейтральность группы указывает также наличие в символе знака 3'; так, вместо 32Г и m3mV можно писать 3'2 и тЗ'т соответственно;
бозначение группы смешанной полярности G' (черно-белой группы) отличается от международного обозначения соответствующей кристаллографической группы G только тем, что упомянутые в нем антиоперации отмечаются штрихом, например, т’Зт означает, что инверсией времени сопровождается отражение в плоскостях {100}, тЗт’ — в плоскостях {НО}, а т'Зт — ив тех, и в других *).
Кристаллографические группы магнитной симметрии применяются для описания симметрии кристаллов с учетом магнитной упорядоченности их структуры, предельные же можно использовать, в частности, чтобы охарактеризовать симметрию величин, фигурирующих в системе уравнений Максвелла.
Электрический заряд е. Это Скаляр, не меняющий знак при инверсии времени. Он, таким образом, инвариантен относительно всех преобразований расширенной ортогональной группы оо оо 1Г, которую поэтому и следует считать его группой симдегрии. Такова же, конечно, и симметрия массы частицы т.
Напряженность электрического поля Е. Это полярный вектор, не меняющий своего направления при инверсии времени. Его группа магнитной симметрии включает в себя группу симметрии полярного вектора оо т и группу 1' — это предельная группа оо mV. Такой же симметрией, как вектор Е, обладает и радиус- вектор г.
Напряженность магнитного поля Н. Это аксиальный вектор, который при инверсии времени меняет направление на обратное. Отражение в плоскости, параллельной главной оси, также меняет направление аксиального вектора на обратное. Ясно, что сочетание такого отражения с инверсией времени не изменит направления вектора Н и, следовательно, является для него элементом симметрии. Поэтому группа симметрии вектора напряженности магнитного поля содержит в качестве подгрупп группу симметрии аксиального вектора оо!ти группу т' (причем эта плоскость параллельна оси оо). Такова предельная группа оо/тт'.
В качестве упражнения определим, какова была бы симметрия магнитного заряда, если бы такие заряды вообще могли существовать. Это был бы псевдоскаляр, меняющий знак при инверсии времени. Ясно, что относительно пространственно-временной инвер-
сии (антиинверсии) такая величина должна быть инвариантна. Симметрия ее поэтому оо оо Г.
Точечные группы магнитной симметрии кристаллов, трактуемые как группы антисимметрии, можно применить для описания симметрии (точнее, антисимметрии) материальных тензоров нечетного типа (см. § 44). Их применение основано на следующих рассуждениях. Действие инверсии на тензоры нечетного типа состоит в умножении всех их компонент на —1, и эту операцию естественно рассматривать как антиотождествление: / ->- Г. Сама по себе эта операция в группах антисимметрии тензоров нечетного типа, конечно, отсутствует, но произведения ее на операции, входящие в группу симметрии тензора, определяют его антисимметрию.
Пусть, например, в число элементов симметрии тензора нечетного типа входит плоскость симметрии т. Так как т = 2Л, а 1 -> /', то т-^2-Г = 2', т. е. из наличия у тензора нечетного типа плоскости симметрии следует, что у него есть также перпендикулярная к ней ось антисимметрии второго порядка. Это означает, что при повороте тензора (или системы координат) на 180° вокруг направления, перпендикулярного к плоскости симметрии, все его компоненты изменяют знак на обратный. И действительно, одна из изображенных на рис. 44.2 стереографических проекций указательной поверхности продольного пьезоэлектрического эффекта в кристалле турмалина (класс Зт) построена так, что плоскость проекции X2X3 совпадает с одной из плоскостей симметрии кристалла. Перпендикулярная к ней ось Хг должна поэтому служить антиосью второго порядка: 2' || ХТ — и она действительно является таковой, что ясно видно на проекции.
Другой пример: пусть у тензора нечетного типа ось симметрии второго порядка 2. Так как 2 = тЛ, то 2-> т\ т. е. из наличия у тензора нечетного типа оси симметрии второго порядка следует наличие у него еще и перпендикулярной к ней плоскости антисимметрии. Это видно на рис. 58.2 и 58.3 — стереографических проекциях указательных поверхностей продольного пьезоэлектрического эффекта в кристаллах этилендиаминтартрата и сульфата лития (класс 2). Ось 2 || Х2 на них не заметна (она дает возможность ограничиться одним передним кругом проекций), а перпендикулярная к ней плоскость антисимметрии т* I Х2 видна совершенно отчетливо.
Поскольку в группу антисимметрии вместе с плоскостью симметрии входит перпендикулярная к ней антиось второго порядка, а вместе с осью второго порядка — перпендикулярная к ней антиплоскость, в группу антисимметрии должно входить и произведение этих элементов — антицентр симметрии (или центр антисимметрии) /'. Он входит в группу антисимметрии любого тензора нечетного типа: действительно, если тензор умножается на —1 и при
инверсии /, и при антиотождествлении /', он инвариантен относительно произведения этих операций Г. Таким образом, в то время как тензоры четного типа центросимметричны, тензоры нечетного типа антицентросимметричны.
Это облегчает выяснение групп антисимметрии G' (Т) тензоров нечетного типа Т: чтобы построить группу G' (Т), достаточно добавить к группе симметрии G (Т) центр антисимметрии Г и его произведения на все g е G (Т). Очевидно, все получаемые таким образом группы G* (Т) оказываются черно-белыми.
Предельные группы антисимметрии строятся аналогично. Так, группа симметрии вектора G (V) = оо т; его группа антисимметрии G' (V) = oolm’m отчетливо видна на рис. 22.3, изображающем его указательную поверхность. Группа симметрии антисимметричного по всем индексам тензора третьего ранга е (см. § 42) G (е)= оо оо, группа его антисимметрии G* (е) = оо оо иг'.
Таблица 68.2
Группы антисимметрии тензоров нечетного типа (G — группа симметрии, О' — группа антисимметрии)
G
G'
G
G'
G
G'
1
Г
4
^[m'
23
m'^
2
Щт'
422
41т'т'т'
432
m'^m*
т
Tim т'т'т'
4mm
4/m'mm
43m
m’^m
222
42m
4'Im'mm'
co
со]т'
mm2
ттт'
6
61m'
co2
colm'm'
3
3'
6
^'[m
com
osim'm
32
Тт’
622
eim'm'm’
co co
co oom'
3m
Тт
6mm
Blm'mm
4
41т'
6m2
6' Immm’
В табл. 68.2 указано, какова группа антисимметрии G' любого тензора нечетного типа, имеющего группу симметрии G.
Пространственные группы магнитной симметрии — шубниковские группы
Пространственные группы магнитной симметрии, названные в честь академика А. В. Шубникова, основоположника учения об антисимметрии, тубниковскими группами, — это дискретные подгруппы расширенной евклидовой группы. Таким образом, шубниковские группы — естественное обобщение федоровских групп, которые представляют собой дискретные подгруппы обычной евклидовой группы.
В шубниковские группы входят, во-первых, те же преобразования, что и в обычные пространственные группы: трансляции, обычные инверсионные и винтовые повороты на углы л/2, л/3 и кратные им, зеркальные и скользящие отражения и инверсии, а во-вторых, те же преобразования, сопровождаемые инверсией времени: антитрансляции, обычные, инверсионные и винтовые антиповороты, зеркальные и скользящие антиотражения и антиинверсии.
Наподобие того, как каждой пространственной группе соответствует одна и только одна точечная группа, определяющая класс кристаллов, обладающих данной пространственной группой, — наподобие этого и каждой шубниковской группе соответствует одна и только одна кристаллографическая точечная группа магнитной симметрии, которая определяет класс магнитной симметрии всех кристаллов, обладающих данной шубниковской группой. Заменив в преобразованиях, входящих в состав шубниковской группы, все трансляции отождествлением, а антитрансляции — антиотождествлением, получим точечную группу магнитной симметрии, соответствующую данной шубниковской группе.
Каждому классу магнитной симметрии соответствует, вообще говоря, несколько шубниковских групп: классов магнитной симметрии немногим больше сотни, а число шубниковских групп превышает полторы тысячи.
В число шубниковских групп входят прежде всего 230 обычных пространственных (федоровских) групп. Если рассматривать их как шубниковские группы, они оказываются группами, не содержащими никаких антиопераций, т. е. белыми, или полярными, группами; мы будем обозначать их символом Ф. Поскольку в составе этих групп не содержится никаких антиопераций, их не может оказаться и в составе точечных групп магнитной симметрии, соответствующих этим шубниковским группам. Таким образом, 230 белым, или полярным, шубниковским группам Ф соответствуют 32 белые же точечные группы G.
В число шубниковских групп входят далее 230 групп, в со- состав которых наряду с каждой операцией входит и соответствующая ей антиоперация: наряду с трансляциями — точно те же антитрансляции, наряду с поворотами — антиповороты того же рода и на те же углы, и так далее; мы будем называть их серыми, или нейтральными, и обозначать ФГ. Каждой из нейтральных шубниковских групп соответствует, очевидно, некоторая нейтральная же точечная группа магнитной симметрии, а всем 230 нейтральным шубниковским группам ФГ — 32 нейтральные точечные группы магнитной симметрии ОГ.
Наконец, кроме перечисленных 460 шубниковских групп, получающихся, в сущности, без вывода, существуют еще шубниковские группы Ф' смешанной полярности, или черно-белые. В состав
§ 69] ШУБНИКОВСКИЕ ГРУППЫ 461 каждой из них инверсия времени сама по себе не входит, но обязательно входят некоторые антиоперации. Эти группы вывели Замор- заев (1957, 1967) и, независимо от него, Белов, Неронова и Смирнова (1955, 1957). Таких групп оказалось 1191.
Операции в группах этого типа никогда не соответствуют антиоперациям: если в группу Ф' входит поворот на некоторый угол или трансляция на некоторый вектор, то ни антиповорот на такой же угол, ни антитрансляция на такой же вектор в группу Ф входить не могут. Обычные операции образуют федоровскую подгруппу F индекса 2 данной шубниковской группы Ф'. Если все антиоперации группы Ф' заменить соответствующими обычными операциями, получим федоровскую группу Ф; по отношению к ней F оказывается подгруппой индекса 2. Поэтому метод вывода чернобелых пространственных групп магнитной симметрии в принципе не отличается от вывода черно-белых точечных групп: нужно последовательно перебирать все подгруппы индекса 2 федоровских групп Ф. Оставив операции, входящие в подгруппу F, без изменения, заменяем остальные операции группы Ф соответствующими антиоперациями. Получившаяся в результате совокупность операций и антиопераций представляет собой шубниковскую группу Ф'. Так выводятся все шубниковские группы смешанной полярности.
Шубниковские группы смешанной полярности распадаются на два типа, в соответствии с тем, что у федоровских групп Ф подгруппы F индекса 2 могут быть, вообще говоря, также двух типов. Пусть G — точечная группа, соответствующая пространственной группе Ф. Пространственной группе F может соответствовать либо а) точечная группа Н, которая по отношению к точечной группе G является подгруппой индекса 2, либо б) та же точечная группа G, которая соответствует и пространственной группе Ф *).
Если подгруппа F относится к типу а), то у нее вдвое меньше поворотных элементов, зато все трансляции, входящие в группу Ф, входят и в ее подгруппу F. Если же подгруппа F относится к типу б), то в ее состав входят те же поворотные элементы, что и в группу Ф, зато трансляций в группе F, грубо говоря, вдвое меньше, чем в группе Ф; это значит, что объем элементарной ячейки в группе F вдвое больше, чем в группе Ф.
Перейдем теперь от федоровских групп Ф к соответствующим им черно-белым шубниковским группам Ф’. Если федоровская подгруппа F данной шубниковской группы Ф' относится к тйпу а), то черно-белой пространственной группе Ф' соответствует чернобелая же точечная группа G’. Действительно, если точечная груп-
па G соответствует федоровской группе Ф, а ее подгруппа Н — федоровской подгруппе F, ясно, что шубниковской группе Ф' соответствует черно-белая точечная группа G\ для которой Н служит кристаллографической подгруппой ).
Если федоровская подгруппа F группы Ф' относится к типу б), то черно-белой шубниковской группе Ф' соответствует серая точечная группа СГ. В самом деле, в этом случае федоровская подгруппа F группы Ф' содержит не все трансляции, входящие в группу Ф', а это означает, что шубниковская группа Ф' содержит антитрансляции. При переходе от пространственной группы к соответствующей точечной группе все трансляции заменяются отождествлением, а антитрансляции — антиотождествлением; последнее же содержится только в серых группах. Поэтому если федоровской группе Ф и ее подгруппе F индекса 2 соответствует одна и та же точечная группа G, то шубниковской группе Ф' соответствует точечная группа GW В табл. 69.1 указано число шубниковских групп различных типов.
Таблица 69.1
Число шубниковских групп различных типов
Шубниковские группы
Соответствующие точечным группам:
Всего
■ 32 белым (6)
32 серым (СИ)
58 чернобелым (G')
Белые (Ф) Серые (Ф1') Черно-белые (Ф')
230
230
517
674
230
230
1191
Всего
230
747
674
1651
Для обозначения шубниковских групп практически применяется модифицированная система международных обозначений пространственных групп, предложенная Н. В. Беловым, Н. Н. Нероновой и Т. С. Смирновой ); система А. М. Заморзаева, по-видимому, распространения не получила. Международные обозначения шубниковских групп определяются правилами, ничем не отличающимися от аналогичных правил для точечных групп магнитной симметрии. Единственное дополнение необходимо для обозначения тех черно-белых шубниковских групп, которым соответствуют серые точечные группы. В обозначениях этих групп символ решетки Бравэ снабжается индексом, указывающим направление антитрансляции.
Строчная буква в индексе показывает, что антитрансляция направлена по соответствующему ребру элементарной ячейки; прописная Л, В или С — что она направлена в центр соответствующей грани; прописная I — что она направлена в центр элементарной ячейки.
По международному обозначению шубниковской группы легко определить ее тип и соответствующую ей точечную группу магнитной симметрии. Если обозначение шубниковской группы совпадает с обозначением какой-либо федоровской группы (т. е. не содержит ни штрихов, ни индексов при символе решетки), то это — одна из белых (полярных) шубниковских групп. Если в символе группы есть Г или 3', то это — серая (нейтральная) шубниковская группа. Если в символ группы входят другие штрихованные элементы симметрии, значит, мы имеем дело с одной из черно-белых шу.бников- ских групп, входящей в черно-белый же класс магнитной симметрии. Наконец, индекс при букве, указывающей тип решетки Бравэ, позволяет отнести данную группу к числу черно-белых шубниковских групп, входящих в серые (нейтральные) классы магнитной симметрии.
Приведем пример вывода шубниковских групп: перечислим все шубниковские группы, выводимые из федоровской группы Р2. Ниже выписан набор элементов ) группы Ф = Р2, в котором содержатся все порождающие элементы ее подгрупп F индекса 2. Далее приводятся списки порождающих элементов подгрупп F. Под каждой такой подгруппой выписана соответствующая ей шубниковская группа Ф* (посредством двучленного символа Коп- цика она обозначается Ф/F). Векторами со штрихом обозначены
антитрансляции.
Р2=Ц1, 2у1 аъ а^ а31 2ах, 2а2, аг-\-а^ ...} Р1«{Л ах. а21 а3, 2ах, 2а2, ах + а2, ...} Р2' = {/, 2^ аХ1 а2, а3, 2аъ 2а2. ахЛ-а21 ...} Р2 = у, 2у. а2. а3, 2ах, 2а2) ... } Ра2 = (/> 2yS ах, a2l ci3t 2ах, 2a2l O|-f~о>2, ...} Р2 = {/, 2у, аХ1 а3, 2ах, 2а2, ... } Pb2 = V> 2у, ах, а2> а31 2ах, 2а2, ах-\-^> •••} С2 = {/, 2у1 а31 2ах. 2а2. ах-\-а2, ...} РС2 = У, 2У, а'и а2. а3. 2ах. 2а2, ^ + «2, ...}
Отсутствие в этом списке группы Р£ объясняется тем, что она отличается от Ра2 только обозначением.
Точечные группы и решетки Бравэ полученных шубниковских групп таковы:
Шубниковская группа
Р^’
Р^
рь^
^С2
Точечная группа
2'
21'
21'
21'
Решетка Бравэ
Р^т
Ро2/т
Р62/т
Р^т
Первая из них относится к типу (а), остальные три — к типу (б).
Магнитная симметрия кристаллов
Электрическую и магнитную ) структуру кристалла можно описать, следуя Ландау и Лифшицу (1957), с помощью двух функций координат: скалярной функции р (г), описывающей истинную (микроскопическую) плотность электрического заряда, усредненную по времени (но не по элементарному объему!), и векторной функции /(г), описывающей микроскопическую плотность тока, подвергнутую такому же усреднению. Первая из них определяет электрическую структуру кристалла, вторая — магнитную: если плотность заряда р или тока j не равны нулю тождественно, говорят, что кристалл обладает соответственно электрической или магнитной структурой. В действительности электрической структурой обладают все кристаллы, магнитной же — сравнительно немногие.
Функции р (г) и /(г) должны удовлетворять определенным условиям. Очевидно, например, что выполняется условие нейтральности каждой элементарной ячейки, а следовательно, и всего кристалла в целом )
JpdV = O.(70.1)
V
В кристалле, находящемся в равновесном состоянии, не должно быть также макроскопического тока, т. е.
\jdV = O.(70.2)
v
Магнитный момент, приходящийся на единицу объема
m = v^rxJdV,(70.3)
v V
может, однако, отличаться от нуля, и тогда кристалл называется ферромагнетиком. Если же плотность микроскопического тока j
не равна нулю тождественно, но т = 0, то кристалл — антиферромагнетик. В последнем случае элементарную ячейку можно разделить на части, магнитные моменты которых отличны от нуля и только в сумме равны нулю.
Группой G микроскопической симметрии кристалла является пересечение (наибольшая общая подгруппа) групп симметрии его электрической и магнитной структуры:
G = G(p)n G(J). (70.4)
Группа симметрии плотности электрического заряда G(p)— это просто федоровская, или пространственная, группа Ф кристалла, дополненная инверсией времени, так как плотность электрического заряда инвариантна относительно инверсии времени: G (р) = ФГ. Группа же симметрии плотности тока G (/) содержит инверсию времени Г в том и только в том случае, когда/ (г) = 0, так как инверсия времени обращает направление тока. Если же кристалл обладает магнитной структурой (j (г) ^ 0), G (/) — одна из белых или черно-белых шубниковских групп. К тому же типу относится в этом случае и группа микроскопической симметрии кристалла G.
Для кристаллов, не обладающих магнитной структурой, инверсия времени служит одной из операций симметрии. И обратно, кристаллы, в группах магнитной симметрии которых содержится инверсия времени, не могут обладать магнитной структурой. Таковы кристаллы относящихся к какой-либо из 230 серых пространственных групп магнитной симметрии ФГ. Им соответствуют тоже серые точечные группы СГ. Таким образом, точечные группы магнитной симметрии всех кристаллов, не обладающих магнитной структурой, — серые. Обратное, однако, неверно: у кристалла с серой точечной группой может оказаться черно-белая пространственная группа; в этом случае у него будет магнитная структура.
Необходимо подчеркнуть, что в магнитной кристаллофизике группа симметрии обычного немагнитного кристалла обозначается не так, как в классической. Так, не обладающие магнитной структурой кристаллы каменной соли имеют классическую симметрию тЗт, кварца — 32, дигидрофосфата калия — 42/и. Но в магнитной кристаллофизике точечные группы симметрии этих кристаллов m3mV = тЗ'т, 32 Г = 3'2 и 42m Г соответственно. Обозначить же их симметрию и в магнитной кристаллофизике тЗт, 32 и 42m было бы грубейшей ошибкой: из этих обозначений вытекало бы, что данные кристаллы обладают магнитной структурой.
Ферромагнитные кристаллы обладают, как уже отмечалось, отличным от нуля магнитным моментом т. Вектор магнитного момента т аксиален и меняет направление при инверсии времени. Отсюда следует, что его группа магнитной симметрии оо/тт'. Точечные группы симметрии ферромагнитных кристаллов — под-
группы этой группы:
, 2, 3, 4, 6, I, т. 3, 4, б,
2/т, 4/т, 6/т, 2', 22'2', 32', 42'2',
62'2', т', т'т'2, тт'2\ Зиг', 4тгтгэ6т'т', Зт\ 42'т\ Зт'^, 2'/т’,тт'т', 4/тт'т\ 31ттгт'.
В этом списке 31 группа магнитной симметрии. Среди них есть белые (13) и черно-белые (18), но не серые группы *).
Остальные 59 белых и черно-белых точечных групп магнитной симметрии естественно назвать антиферромагнитными точечными группами. Кристаллы с антиферромагнитными точечными группами называются антиферромагнетиками I типа. Кроме них существуют еще антиферромагнетики II типа — это кристаллы с серыми точечными, но не черно-белыми пространственными группами; они существенно отличаются по физическим свойствам от антиферромагнетиков I типа (см. § 73).
В табл. 70.1 показано распределение кристаллов, не обладающих магнитной структурой, ферромагнетиков и антиферромагнетиков I и II типа по группам магнитной симметрии. Из нее следует, между прочим, что физически существенны различия между серыми группами, с одной стороны, и белыми и черно-белыми — с другой. Отличия же белых групп от черно-белых, хотя и очень важны при выводе этих групп, физического смысла, как видно, не имеют (см., однако, § 76).
Таблица 70.1
Распределение кристаллов с различными магнитными свойствами по группам магнитной симметрии
Пространственные группы
Точечные группы
90 белых и черно-белых точечных групп
32 серые точечные группы
31 ферромагнитная группа
59 антиферромагнитных групп
1421 белая и черно-белая группы
Ферромагнетики (275 шубниковских групп)
Антиферромагнетики I типа (629 шубниковских групп)
Антиферромагнетики II типа (517 шубниковских групп)
230 серых групп
—
—
Кристаллы без магнитной структуры (230 щубни- ковских групп)
*) См, также Тавгер (1958) и Шувалов (1959).
Магнитную симметрию кристалла устанавливают с помощью нейтронографии — исследования дифракции медленных нейтронов на кристаллической структуре ): дифракция нейтронов на ядрах определяется группой G (р), а дифракция их на магнитных моментах электронов — группой G (j\ Этот метод позволяет также выяснить пространственное распределение упорядоченных магнитных моментов в кристалле. Федоровскую же группу кристалла определяют обычно посредством рентгенографического исследования, совершенно нечувствительного к распределению магнитных моментов. Важно уяснить, как соотносятся между собой пространственные группы, установленные различными методами.
Поскольку рентгеноструктурный анализ не дает возможности отличить антитрансляцию от обычной трансляции и антиповорот от обычного поворота, кажется очевидным, что рентгенографически устанавливаемую федоровскую группу кристалла, обладающего магнитной структурой, мы получим из его шубниковской группы, если заменим в последней все антитрансляции обычными трансляциями и антиповороты — обычными поворотами. Таким образом мы, по-видимому, придем к той самой федоровской группе, из которой выводится данная шубниковская группа (см. § 69).
На практике, однако, решение этой проблемы часто значительно усложняется; повинна в этом относительная слабость магнитных взаимодействий. Рассмотрим конкретный пример. Ферромагнитный переход в кристаллах железа (a-Fe) происходит при 1043 К — выше этой температуры кристаллы парамагнитны, ниже — ферромагнитны. Шубниковская группа парамагнитной фазы Irn^m, ферромагнитной IMmmfm,. Рентгеноструктурный анализ монодо- менного кристалла должен был бы, согласно сказанному выше, привести к федоровской группе IMmmm. Однако кристаллографическая ячейка ферромагнитной фазы, хотя и является, строго говоря, правильной тетрагональной призмой, практически неотличима от куба: осевое отношение с/а = 1 + 3-10“5. Поэтому рентгеноструктурные данные приводят к группе G (р) = Im^m. Распределение магнитных моментов в кристаллографической ячейке ферромагнитного кристалла железа изображено на рис. 70.1, группа G (У) = IMmm т'; такова же и G = G (р) п G (У). Точечная группа этого кристалла ^lmm,m,.
На рис. 70.2 показано распределение магнитных моментов в антиферромагнитном кристалле фторида марганца MnF2. Такая конфигурация магнитных моментов характеризуется шубниковской группой G (У) = РАтпс; с другой стороны, по данным рентгеноструктурного анализа G (р) = P^lmnmV. Пересечение этих групп — шубниковская группа антиферромагнитного фторида марганца Р^/тпт'; соответственно точечная группа магнитной симметрии
этого кристалла 4' Imtnm'. Его физические свойства подтверждают этот вывод (см. § 73).
Наряду с одноосными антиферромагнетиками встречаются и многоосные; так, шубниковская группа диспрозий-алюминиевого граната DysAl6O12 — Ia3d', точечная группа магнитной симметрии — тЗт'.
Симметрия антиферромагнетиков I типа, как уже отмечалось, характеризуется не только черно-белыми, но также и белыми точечными и пространственными группами магнитной симметрии. Например, антиферромагнитный кристалл халькопирита CuFeS2 характеризуется шубниковской_ группой /42d (и соответственно классом магнитной симметрии 42m).
Рис. 70.1. Распределение магнитных моментов в ферромагнитном кристалле железа.Рис. 70.1. Распределение магнитных моментов в ферромагнитном кристалле железа.Рис. 70.2. Распределение магнитных моментов в антиферромагнитном кристалле фторида марганца.Рис. 70.2. Распределение магнитных моментов в антиферромагнитном кристалле фторида марганца.
Рис. 70.1. Распределение магнитных моментов в ферромагнитном кристалле железа.
Рис. 70.1. Распределение магнитных моментов в ферромагнитном кристалле железа.
Рис. 70.2. Распределение магнитных моментов в антиферромагнитном кристалле фторида марганца.
Рис. 70.2. Распределение магнитных моментов в антиферромагнитном кристалле фторида марганца.
В качестве примера антиферромагнетиков II типа можно привести ильменит FeTiO2; его шубниковская группа черно-белая Ri3, а класс магнитной симметрии серый — 31'.
С помощью дифракции нейтронов обнаружены и такие магнитные структуры, расположение магнитных моментов в которых хотя и упорядочено, но не соответствует ни одной из 1421 белых и чернобелых шубниковских групп, — так называемые геликоидальные структуры. Выявлено четыре типа таких структур: простая спираль SS, ферромагнитная, или коническая спираль FS, сложная спираль CS и, наконец, статическая продольная спиновая волна LSW; они показаны на рис. 70.3. Простая спираль (SS) обнаружена, в частности, у гольмия и диспрозия; ферромагнитная (FS) — у гольмия и эрбия; сложная (CS) и продольная спиновая волна (LS IF) — также у эрбия: в различных температурных интервалах реализуются различные типы магнитного упорядочения. Симметрия электрической структуры G (р) у таких кристаллов — просто одна из федоровских групп (у многих из них — это группа Р331ттс), дополненная инверсией времени, а группа симметрии магнитной их структуры G (/) в высшей степени своеобразна. В плоскостях, перпен-
дикулярных к оси геликоида, группа G (/) содержит те же трансляции, что и G (р). Но та трансляция группы G (р), которая направлена по оси геликоида, в группе G (/) сочетается с поворотом (SS, FS и CS) или изменением величины (LSW) магнитного момента. Угол поворота, связанного с элементарной трансляцией, не является
Рио. 70.3. Геликоидальные структуры: а) простая спираль, б) ферромагнитная спираль, в) сложная спираль, г) статическая продольная спиновая волна.
простой долей полного оборота и, кроме того, зависит от температуры. Таким образом, магнитные моменты атомов в геликоидальных структурах не образуют решетки, хотя соответствующие атомы образуют ее. Это также одно из следствий относительной слабости магнитных взаимодействий. Группы симметрии, описывающие такие структуры, вывел Найш (1963), механизм их возникновения с позиций теории фазовых переходов второго рода Ландау исследовал Дзялошинский (1964, 1964а).
§ 71. Геометрическая реализация расширенной ортогональной группы
Аксиальные векторы инвариантны относительно инверсии, а значит, и построенный из них аксиальный векторный базис обладает этим свойством (см. § 23). Ввиду этого всем ортогональным преобразованиям аксиального векторного базиса соответствуют ортогональ- оо
ные матрицы || cvk II с положительным определителем det || срк || = 1. Ортогональные же матрицы с отрицательным определителем не соответствуют каким бы то ни было ортогональным преобразованиям.
Определим действие инверсии времени Г на аксиальные векторы следующим образом: инверсия времени Г меняет на обратное направление обхода всех аксиальных векторов. Этому преобразо- о
ванию будет соответствовать матрица ci»k (О = —й'/,. Ввиду инвариантности аксиальных векторов относительно инверсии то же действие на все аксиальные векторы оказывает пространственновременная инверсия (антиинверсия) Г и ей соответствует точно такая о —
же матрица Ct-k (/') = — 6ек. Вообще всем операциям, содержащим инверсию времени, — антиоперациям — соответствуют ортогональ- О•о
ные матрицы |||| с определителем det || с^к II = —1.
Введенное определение имеет прозрачный физический смысл: определенные таким образом аксиальные векторы совпадают по трансформационным свойствам с вектором напряженности магнитного поля Н — это тоже аксиальные векторы, меняющие знак при инверсии времени. Тогда полярным векторам естественно приписать трансформационные свойства вектора напряженности электрического поля Е, который не меняет своего направления при инверсии времени. Построенный из полярных векторов полярный векторный базис также инвариантен относительно инверсии времени. Поэтому при любых — простых и инверсионных — антиповоротах полярный векторный базис преобразуется посредством той же ортогональной матрицы || срк || , что и при соответствующих поворотах.
Таким образом, определен закон преобразования полярных (в/) и аксиальных ^е^ базисных векторов под действием любой операции g, входящей в расширенную ортогональную группу оо оо И':
ei.=Ci,k(g)efe.ee ^cvk^gVek,
При этом каждой операции g г оо оо 1Г соответствуют две рав- о
ные или отличающиеся лишь знаком матрицы || срк (g) || и || Ci*k (g) ||. В расширенную ортогональную группу входят операции четырех родов: собственные повороты R, инверсионные повороты 1R, антиповороты FR и инверсионные антиповороты FR. Если собственному повороту R соответствует матрица || г^к ||, то матрицы || сек (g) || и II срк (g) || для любых операций расширенной ортогональной группы определяются таблицей:
gRTr PRFR
CVk ri'k ”rVk rVk -rvk
CVkri'krVk -гРк —Ti'k.
Совместив полярный и аксиальный базисы так, чтобы совпали ООО
направления одноименных векторов ех и еъ #2 и ^2» ^з и ^з, получим
комбинированный базис. Матрица || с^к || действует на его полярную о
часть, а || срк || — на аксиальную. Операции R поворачивают его как целое, поэтому достаточно рассмотреть действие на него инверсий.
Пространственная инверсия переворачивает полярные базисные векторы, не изменяя аксиальных. В результате правая тройка полярных векторов превращается в левую, а левая — в правую. Кроме того, наименование винта, образованного совмещенными полярными аксиальным векторами, при этом также изменяется на обратное. Поэтому комбинированный базис, который был согласованным (несогласованным) до инверсии, останется таковым и после нее (ср. § 23).
Инверсия времени Г, напротив, изменяет направление обхода аксиальных базисных векторов на обратное, не изменяя направлений полярных векторов. При этом тройка полярных векторов сохраняет наименование, но винты, образованные совмещенными полярным и аксиальным векторами, изменяют наименование на обратное; таким образом, согласованный базис превращается в несогласованный, а несогласованный — в согласованный.
Наконец, пространственно-временная инверсия Г меняет на обратные как направления полярных векторов, так и направления обхода векторов аксиальных. Поэтому правая тройка полярных векторов превращается в левую, а левая — в правую, но наименование винта, образованного совмещенными полярным и аксиальным векторами, не изменяется. В результате согласованный базис превращается в несогласованный, а несогласованный — в согласованный.
В табл. 71.1 показано действие инверсий на комбинированные векторные базисы. Базисы называются в ней правыми или левыми, в зависимости от того, правую или левую тройку образуют полярные базисные векторы. В правых согласованных базисах совмещенные полярный и аксиальный векторы образуют правый винт, а в левых — левый. Напротив, в несогласованных базисах наименование этого винта противоположно наименованию базиса. Формальный признак согласованности базиса: обход вокруг первого базисного вектора производится от положительного конца второго вектора к положительному концу третьего; направления обхода вокруг остальных базисных векторов выводятся отсюда посредством циклической подстановки. У несогласованных базисов направление обхода обратное.
Табл. 71.1 показывает, что различные операции, действуя на данный базис, преобразуют его в различные же базисы. Таким образом, зная «старый» и «новый» комбинированные базисы, можно совершенно однозначно указать, посредством какого именно преобразования второй получен из первого.
Таблица 71.1
Действие инверсий на комбинированный векторный базис
Исходный комбинированный векторный базис
Тот же базис, подвергнутый
пространственной инверсии 7
временнбй инверсии 7'
пространственно- временнбй инверсии 7'
3
1
3
/
1
3
1
3
правый
левый
правый
левый
согласованный
согласованный
несогласован ный
несогласованный
1
3
3
3
3
1
левый
правый
левый
правый
согласованный
согласованный
несогласованный
несогласованный.
3
3
/
/
3
/
1
3
правый
левый
правый
левый
несогласованный
несогласованный
согласованный
согласованный
3
1
3
3
/
3
1
левый
правый
левый
правый
несогласованный
несогласованный
согласованный
согласованный
§ 72. Тензоры, определенные на расширенной ортогональной группе
Все тензоры, определенные на группе вращений, преобразуются однотипно, а именно,,
Н***^п4^1 1п^п kf*knН***^п4^1 1п^п kf*kn(72.1)(72.1)
Н***^п4^1 1п^п kf*kn
Н***^п4^1 1п^п kf*kn
(72.1)
(72.1)
(72.2)(72.2)11гг117Гт7"11"ГГгг"г17г"гг7111гг117Гт7"11"ГГгг"г17г"гг71Таблица 72.1Таблица 72.1Таблица умножения группы пространственно-временных инверсий ГГТаблица умножения группы пространственно-временных инверсий ГГ
(72.2)
(72.2)
1
1
г
г
1
1
7
Г
т
7
"1
1
"Г
Г
г
г
"г
1
7
г
"г
г
7
1
1
1
г
г
1
1
7
Г
т
7
"1
1
"Г
Г
г
г
"г
1
7
г
"г
г
7
1
Таблица 72.1
Таблица 72.1
Таблица умножения группы пространственно-временных инверсий ГГ
Таблица умножения группы пространственно-временных инверсий ГГ
Оо
Здесь || п-ь || — матрица поворота R (к, ф) вокруг вектора к на угол ф. Но тензоры, определенные на ортогональной группе, распадаются на два типа. Тензоры четного типа при инверсионном по- _ о
вороте 1R (к, ф) координатной системы преобразуются по формуле (72.1), а тензоры нечетного типа — по формуле
Л/ /' = " г,'ь • • • г,'ь Аь ь .
Подчеркнем, что || rvb II — матрица соответствующего собственного поворота R (А, ф), а не всего ортогонального преобразования
в целом.
В расширенную ортогональную группу входят преобразования четырех родов: собственные повороты R (к, ф) и три рода несобственных, а именно, инверсионные повороты 1R (к, ф), антиповороты о— о
PR (к, ф) и инверсионные антиповороты PR (k, ф). Результат по
следовательного проведения двух не
собственных поворотов легко определяется с помощью приводимой здесь таблицы умножения группы пространственно-временных инверсий (табл. 72.1).
Нетрудно показать, что на расширенной ортогональной группе можно определить тензоры четырех типов: четного и трех нечетных. Тензоры четного типа инвариантны относительно группы инверсий 1Г и потому при любом преобразовании JR (к, ф), где / е ТГ, преобразуются по формуле (72.1). При
собственных поворотах по той же формуле преобразуются тен
зоры всех типов.
Каждый тензор любого из нечетных типов под действием несобственных поворотов двух родов преобразуется по формуле (72.2), а под действием поворота третьего рода —- по формуле (72.1). В самом деле, пусть данный тензор под действием инверсионных поворотов преобразуется по формуле (72.2). Под действием антипово-
ротов он преобразуется либо по формуле (72.1), либо по формуле (72.2). Так как инверсионный антиповорот можно рассматривать как произведение инверсионного поворота на антиповорот, ясно, что в первом случае данный тензор под действием инверсионных антиповоротов преобразуется по формуле (72.2), во втором — по формуле (72.1).
Подсчитав все возможности, придем к выводу, что на расширенной ортогональной группе определено ровно три типа нечетных тензоров. Названия типов (электрический, магнитный, магнитоэлектрический) связаны с тем, что к этим типам относятся соответственно векторы напряженности электрического и магнитного полей и тензор магнитоэлектрической поляризации (см. § 73).
Все тензоры, определенные на расширенной ортогональной группе, преобразуются по формуле
Л./ / = ••• и . (72.3)
где коэффициент у = ±1 зависит от типа тензора и рода преобразования и определяется по табл. 72.2, а || rvu II — матрица соответствующего собственного поворота.
Таблица 72.2
Коэффициенты у в формуле преобразования тензора, определенного на расширенной ортогональной группе
Тип тензора
Род преобразования
R
1R
PR |
VR
Четный
1
1
1
1
Электрический
1
-1
1
—1
Магнитный
1
1
—1
—1
Магнитоэлектрический
1
—1
—1
1
Внешняя симметрия тензоров, определенных на расширенной Ортогональной группе, определяется максимальной точечной группой магнитной симметрии, относительно которой инвариантен данный тензор. В табл. 72.3 указаны группы магнитной симметрии скаляров и векторов всех четырех типов. Сравнив с этой таблицей результаты исследования симметрии электрических и магнитных величин, проведенного в конце § 68, видим, что напряженности электрического и магнитного полей действительно представляются векторами электрического и магнитного типа соответственно. Однако электрический заряд описывается скаляром четного (не электрического!) типа. Магнитный же заряд, если бы таковой существовал, описывался бы скаляром магнитоэлектрического типа.
Рассмотрим внешнюю симметрию тензоров каждого типа в отдельности.
Тензоры четного типа при любых несобственных поворотах преобразуются точно так же, как при соответствующих им собственных. Поэтому материальные тензоры четного типа для всех классов магнитной симметрии, входящих в одну подсистему, одинаковы. Вообще говоря, материальные тензоры четного типа для кристаллов всех классов магнитной симметрии отличны от нуля. Напротив, материальные тензоры любого из трех нечетных типов для многих классов магнитной симметрии тождественно равны нулю.
Таблица 72.3
Магнитная симметрия скаляров и векторов, определенных на расширенной ортогональной группе
Тип тензора
Скаляр
Вектор
Четный
co oom Г
оо/mm Г
Электрический
оо оо Г
оотГ
Магнитный
оо oom
со 1mm'
Магнитоэлектрический
оо oom'
cojm' т
Тензоры электрического типа при любых антипсворотах преобразуются так же, как при соответствующих им собственных поворотах, а при любых инверсионных антиповоротах — как при соответствующих им инверсионных поворотах. Поэтому очень легко выяснить вид тензора электрического типа, инвариантного относительно заданной точечной группы магнитной симметрии: достаточно уничтожить все штрихи в обозначении группы и обычным способом (методом прямой проверки или просто с помощью таблиц) найти вид соответствующего тензора нечетного типа, инвариантного относительно получившейся обычной точечной группы. Таким образом, задача о магнитной симметрии тензоров электрического типа сразу сводится к задаче об обычной симметрии тензоров нечетного типа.
Ясно, что вид тензора четного типа, инвариантного относительно заданной группы магнитной симметрии, определяется точно так же: в обозначении группы вычеркиваем все штрихи и ищем тензор четного типа, инвариантный относительно получившейся обычной группы.
Тензор магнитного типа, как показывает табл. 72.2, под дейо
ствием антиповорота TR (k, ср) преобразуется так же, как тензор электрического типа, под действием соответствующего инверсион- — о_о
ного поворота 1R (k, ср). Инверсионные же антиповороты TR (k, ср) на тензоры обоих типов действуют одинаково. Отсюда вытекает следующее правило: тензор магнитного типа, инвариантный относительно магнитной группы G, имеет точно такой же вид, как тензор
Т а б л и ц а 72.4
Соответствие между группами магнитной симметриитензоров различных типов
G
Gi
G
Gt
G»
оо оо ml'
coco ml'
coco ml'
co! mV
oo/ml' co 1'
co/mV
co co m
оо оо 1'
coco т
coIm
coIm
со oom'
оооот'
оо оо Г
coIm’
co/m'
co Г
co 1'
coIm
oo/m'
СОСО 1'
оо оо т
оо оо т'
co
co
co
СОСО
СОСО
СОСО
6/mmml'
6lmmmV
6/mmml'
—
тЗ'т • тЗт тЗт' т'Зт'
тЗ'т 43'2 43'т т'Зт'
тЗ'т тЗт тЗт' 43'2
6/mmm б/т'тт 6lmm'm' 6/m'm'm'
6221'
6 (nV mm 6mm\' Blm'm’m'
6Immm 6mmV б/тт'т' 6221'
т'Зт
т'Зт
43'т
6' Immm'
6' Immm’
6т2Г
6' Im’mm'
бтЫ'
6' Im’mm’
43'т 43т
тЗт' 4'32'
т'Зт 43т 4'32'
6m21'
6' Im'mm'
6' Immm’
43т'
4'3т'
6m2
6'22'
6m2
6'm2'
6'm2
6'mm'
43'2
тЗт
т'Зт'
6m'2'
6'mm'
бт'Т
432 4'32
432 43т
432 4'3т'
6'm'2
6'm'2
6'22'
6mm 1'
б/тт'т' 62'2' 6m'm'
6/m'mm 6mm 62'2'
m3' m3
m3' 23'
m3' m3
6mm
6m'm'
т'З
т'З
23'
6'mm'
6m2'
6'm2'
23'
m3
т'З
6221'
^Immm
6lm'm'm'
622
622
622
23
23
23
62'2'
622'
6mm 6m2
6m'm'
6'm'2
со/ттГ
oo/mml'
oo/mml'
со( пгт
оо21'
со[тт
6/ml'
6/m Г
6/ml'
cofm'm
оо/т'т
co ml'
6/m
61'
6/m 61'
со/тт' colm'm'
co ml'
colmm’
6/m'
6/m'
оо/т'т'
co 21'
6'/m
6'/m'
6'/m 61'
61'
6'/m'
сот\’
colmm'
co/m'm
61'
со т
со 2'
com
6'/m'
6'/m
сот'
оо т'
co 2'
6 6'
6'
6'
6
6’
со 21' оо2
со/тт со 2
co/m'm' co 2
61' 6
6/m 6
6lm' 6
оо2'
сот
co m’
6'
6'
6
Таблица 72.4 (продолжение)
G
Gi
Ga
G
Gt
Ga
4/mmml' 4/ттт 4!т'тт
4] mm’m’ 41т'т'т’ 4' (ттт'
4'Im'mm'
4,ттт\* 4221' 4/m’mm 4mmV 4Jm'm'm' 42ml' 4'/m'mm'
4/ттт\' 4/ттт 4mm\'
4] mm’m' 4221'
4' [ттт' 42ml'
5ml'
5m
5m 5'm 3'm'
3ml' 3'2 3'm 5'm 5'm'
5ml' 5m 5m' 3'm
3'2
3'm 3m 3m'
5m' 32' 3m'
5'm 3m 32'
42ml' 42m 42'm' 4'2'm 4'2m'
4'/mmm' 4'22'
4'mm'
4'2'm 4'2m'
4'lm’mm' 42m 42'm' 4'mm' 4'22'
3'2 32 32'
3m 32
3m
5'm'
32 3m'
4mm Г 4mm 4m'm’ 4mm'
4/mm'm' 42'2' 4m'm' 42'm'
4/m'mm 4mm 42'2' 4'2'm
31' 3 3'
51'
3' 3'
51'
3 3'
4221' 422 42'2' 4'22'
4 Immm 422 4mm 42m
4/m'm'm' 422 4m'm' 4'2m'
3' 3
3 3
3' 3
•4/m Г 4/m 4/m' 4'/m 4'/m'
4/ml' 41' 4lm’ 41' 4'/m'
4/m Г 4/m 41' 4'/m 41'
mmml' mmm mmm' mm'm m'm'm'
mmml' 2221' mmm' mm2!' m'm’m*
mmml' mmm mm2\* mm’m* 2221'
41' 4 4'
4'/m 4' 1
4'/m' 4 4'
mm2V mm2 m'm'2 mm'2'
mm’m* 22'2' m'm'2 mm*2*
mmm* mm2 22'2' mm'2'
41' 4 4'
4/m 4
4
4/m' 4 4'
2221' 222 22'2'
mmm 222 mm2
m’m’m* 222 m'm'2
Таблица 72.4 (продолжение)
G
Gi
g9
G
G,
G<
2/mlz 2/m 21m’ 2' Im 2' jm'
2/mV 2V 2lm' 2'Im mV
2/mV 2/m 2V mV
2* Im*
2V 2 2'
2/m 2
m
2lm*
2 m’
11 I I'
II' 1' I'
1Г
1 r
mV m m*
2'/m'
2' m'
2* lm m
2'
1' 1
1
1
r 1
электрического типа, инвариантный относительно магнитной группы 6Р Чтобы получить группу GT из группы G, нужно в последней заменить все инверсионные повороты соответствующими антиповоротами, а антиповороты — инверсионными поворотами.
Аналогично выводится второе правило: тензор магнитоэлектрического типа, инвариантный относительно магнитной группы G, имеет точно такой же вид, как тензор электрического типа, инвариантный относительно магнитной группы G2. Чтобы получить группу С2 из группы G, нужно в последней все антиповороты заменить соответствующими инверсионными антиповоротами, а инверсионные антиповороты — простыми антиповоротами.
Группы Gx и С2 для любой заданной группы магнитной симметрии легко найти с помощью табл. 72.4, а вопрос о виде тензора электрического типа, инвариантного относительно заданной группы магнитной симметрии, рассмотрен выше. Таким образом, формальные задачи магнитной кристаллофизики удается свести к уже решенным задачам классической кристаллофизики (Сиротин, 1962; Birss, 1962).
§ 73. Пьезомагнитный и магнитоэлектрический эффекты
Если в число обобщенных термодинамических сил Хв (см. § 57) включить три компоненты вектора напряженности магнитного поля Яд, а в число обобщенных термодинамических координат хА — три компоненты вектора магнитной индукции, деленного на 4л, В, = (1/4л) В/, то порядок термодинамической матрицы увеличится до 13. Зависимость обобщенных термодинамических координат от обобщенных термодинамических сил в линейном приближении примет тогда
вид (ср, формулы (57.18))
2=(ср/Л e+PA^ft + ^ft+opaju (73.1а) Di=Pt^ + (1/4л) xlbEfe+(1/4л) vi6// fc+d^Cp, (73.1 б) Bt = q^ + (1 /4 л) vb tEb+(1 /4 л) p.ZA Hb+Ь^, (73.1 в) ex=«X® + ^X^A + bb\H b + s^. (73.1 r)
В формулах (73.1) наряду с известными материальными тензорами содержатся и новые, которые описывают не рассмотренные еще нами эффекты. Сущность этих эффектов легко понять по аналогии с соответствующими электрическими эффектами. Так, коэффициенты qi характеризуют, очевидно, пиромагнитный эффект и обратный ему линейный магнитокалорический эффект и представляют в совокупности вектор пиромагнитных коэффициентов q. Коэффициенты Ь^ описывают прямой и обратный пьезомагнитный эффекты; в совокупности они составляют симметричный по двум индексам тензор третьего ранга — тензор пьезомагнитных коэффициентов Ь. Наконец, коэффициенты р,/£ образуют симметричный тензор второго ранга — тензор магнитной проницаемости jn.
Не имеют аналога коэффициенты V/д. Они описывают прямой и обратный магнитоэлектрические эффекты; кристаллы, у которых эти коэффициенты отличны от нуля, будучи помещены в магнитное поле, поляризуются (прямой эффект), а будучи помещены в электрическое поле, намагничиваются (обратный эффект). Эти коэффициенты в совокупности образуют несимметричный тензор второго ранга v — тензор магнитоэлектрических коэффициентов.
Выпишем из формул (73.1) слагаемые, содержащие новые материальные тензоры, и отметим тип связываемых ими тензорных величин. Получим
= q • H-V... (четный) = q • (магнитный),
Ь = v • Я+-.. (электрический) = v • (магнитный),
В = Е • v +... (магнитный) = (электрический) • v,
В = ц • Н+• • • (^магнитный)=ц • (магнитный),
В = Ь :о+ -« (магнитный) = Ь: (четный),
= Я • b + • • • (четный) = (магнитный) • Ь.
Отсюда выясняется тип каждого из интересующих нас материальных тензоров: q — магнитный тип, b — магнитный тип, jll — четный тип, v — магнитоэлектрический тип.
Вид каждого из этих тензоров для любого класса магнитной симметрии нетрудно выяснить посредством методов, изложенных в § 72. Здесь мы отметим лишь, в каких классах возможны описываемые этими тензорами эффекты. '
Пиромагнитный эффект описывается материальным вектором q магнитного типа. Очевидно, этот вектор не обращается тождественно в нуль лишь в тех кристаллах, группы магнитной симметрии которых являются подгруппами группы симметрии вектора магнитного типа colmm*. Это известные уже нам точечные группы ферромагнетиков; все они перечислены в § 70.
v Пьезомагнитный эффект описывается тензором Ь. Это тензор третьего ранга магнитного типа, симметричный по двум последним индексам. Как и все тензоры магнитного типа, он обращается в нуль в кристаллах, группы симметрии которых содержат инверсию времени или антиинверсию, но не только в них. Дело в том, что тензор пьезомагнитных коэффициентов аналогичен тензору пьезоэлектрических коэффициентов. Последний же, как мы знаем из классической (немагнитной) кристаллофизики, обращается в нуль не только в центросимметричных кристаллах, но также и в кристаллах класса 432. Отсюда следует (см. табл. 72.4), что он обращается в нуль в кристаллах магнитных классов 43'2, 4'32' и 432. Заменив в этих классах с помощью той же таблицы, антиповороты инверсионными поворотами, получим магнитные классы /иЗ/и, 43/п и 432, в которых, очевидно, обращается в нуль тензор пьезомагнитных коэффициентов.
Магнитоэлектрический эффект описывается тензором v второго ранга магнитоэлектрического типа, вообще говоря, несимметричным. Как и все тензоры магнитоэлектрического типа, он обращается в нуль в кристаллах, группы магнитной симметрии которых содержат инверсию времени или обычную (пространственную) инверсию. Тензор магнитоэлектрических коэффициентов аналогичен полному (несимметричному) тензору оптической активности. Последний, как известно (см, табл, 47.1 и Д.9), обращается в нуль не только в центросимметрич-
ных кристаллах, но и в кристаллах классов 43m, 6m2 и ?, а значит, в кристаллах магнитных классов 43'm, 43m, 4'3m', 6т2Г, 6т2, 6'т2', 6т'2', 6'т'2, 6Г,6 и 6'. Заменив в этих классах все антиповороты соответствующими инверсионными антиповоротами, а инверсионные антиповороты — простыми антиповоротами, получим магнитные классы m3m', 43т, 4'32', ^Чттт\ 6т2, 6'тт', 6т'2', 6'22', ^Чт, 6 и 6'; в кристаллах перечисленных классов магнитоэлектрический эффект невозможен.
Пользуясь той же аналогией, легко показать, что в кристаллах магнитных классов т'Зт', 432, 4'3т', т'З и 23 тензор магнитоэлектрических коэффициентов изотропен. Отсюда следует, что при любом направлении магнитного поля помещенный в него кристалл одного из этих классов поляризуется в том же направлении. И обратно, такой кристалл, помещенный в электрическое поле любого направления, намагничивается в том же направлении.
. Из этой аналогии можно также вывести, что у текстур магнитных классов oo/m'm, oom, оо2' и соответственно у кристаллов магнитных классов Slm'mm, Ътт, 62'2', ^hn'mm, 4mm, 42'2', 3m, 32', а также 6'm2', 4'2'm и 3'm тензор магнитоэлектрических коэффициентов антисимметричен. Такие кристаллы, помещенные в магнитное (или электрическое) поле, поляризуются (или намагничиваются) в направлении, перпендикулярном к полю. Поле удобнее всего направить перпендикулярно к главной оси симметрии кристалла; поляризация (намагниченность) также перпендикулярна к этой оси.
Тензоры пьезомагнитного и магнитоэлектрического эффекта меняют знак под действием инверсии времени и, следовательно, тождественно равны нулю во всех кристаллах, не обладающих магнитной структурой. До введения в физику понятий магнитной симметрии считалось, что пьезомагнитный эффект по своей симметрии отличается от пьезоэлектрического только потому, что векторы, характеризующие магнитное поле, аксиальны, а векторы, характеризующие электрическое поле, полярны. Предполагалось поэтому, что внутренняя симметрия тензора пьезомагнитных коэффициентов 8l/[V2]; отсюда был рассчитан общий вид этого тензора для всех кристаллографических классов (см. табл. Д.14). Поскольку для всех классов, кроме трех (m3m, 432 и 43т), этот тензор отличен от нуля, неоднократно предпринимались попытки обнаружить пьезомагнитный эффект на кристаллах, не обладавших магнитной структурой; все они, естественно, оказались безуспешными. Лишь после того как Дзялошинский (1957, 1959) показал, что пьезомагнитный и магнитоэлектрический эффекты возможны только в кристаллах, обладающих магнитной структурой, и назвал некоторые кристаллы, магнитная симметрия которых допускает эти эффекты, Боровик- Романов (1959, 1960) обнаружил пьезомагнитный эффект в кристаллах CoF2 и MnF2, а Астров (1960)—магнитоэлектрический эффект в кристаллах Сг2О3.
Наличие у кристалла магнитной структуры — необходимое, но не достаточное условие проявления в этом кристалле эффектов, описываемых тензорами магнитного или магнитоэлектрического типа. Если у кристалла есть магнитная структура, то можно утверждать, что его пространственная группа не содержит инверсии времени (не «серая»). Для того же, чтобы не обращались тождественно в нуль материальные тензоры магнитного и магнитоэлектрического типа, нужно, чтобы не содержала инверсии времени (не была серой) точечная группа магнитной симметрии кристалла. Это значительно более жесткое требование; ему не удовлетворяют кристаллы, названные в § 70 антиферромагнетиками II типа (это кристаллы, в шубниковские группы которых входят антитрансляции). Таким образом, эффекты, определяемые тензорами магнитного и магнитоэлектрического типа, невозможны не только в кристаллах, не обладающих магнитной структурой, но также и в антиферромагнетиках II типа.
По вопросам, затронутым в этой главе, см. К. П, Белов (1959); К. П. Белов, Белянчикова и др. (1965); Вонсовский (1971); Изюмов и Озеров (1966); Копцик (1966, 1967); Ландау и Лифшиц (1957); Туров (1963); Шубников (1951); Шубников и Копцик (1972); Birss (1964); Bhagavantam (1966),
Г Л А В A IX
ЭФФЕКТЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
§ 74. Термодинамическое рассмотрение нелинейных эффектов
Чтобы в рамках термодинамики кристаллов (см. §§ 57, 60, 61, 63) описать нелинейные эффекты, необходимо принять во внимание члены третьей степени в разложениях термодинамических потенциалов. Так, для термодинамического потенциала Ф и изотермических процессов (0 = 0) следует вместо (60.8) пользоваться разложением
ф = Фо + у \ аХ^Х^)^"^6 + 6"(dX„dX6dXc)o Х“ХьХс
(а, Ь, с = 1,...,9),
где Ха — компоненты вектора напряженности электрического поля Е и тензора напряжений о. Приняв во внимание формулы (57.13), (57.14) и (57.17) и применив для третьих производных термодинамического потенциала обозначения
/ а=>Ф \.1 / дзф \
Кук~ ^XdEidEjdEj»’ r^K-2 \dEtdEjdaK Д’
n ! / ^Ф \,_1 / ^Ф \V14-1)
\dEidaxdoJ»’ L^v~ 2 Xdaxdo^)»’ запишем это разложение в виде
Ф = Фо - у KijEiEj - dtxEiOx - у ^п^^и - у ^UkEiEjEk -
— Рijx^i^J^K Q/Xii^Z^X^n 3" Lx^Ox^vi^»* (74.2)
Отсюда по (57.7) получим для вектора электрической индукции D и тензора малых деформаций е обобщение соотношений (57.18)
Di — XiiEj + dixOx + RijhEjEk"V'2PijxEj^x + Ф/лцС^ц, (74.3а) ех = ^ixEi + 5x1x0^ + PijxEiEj + 2QixVLEi<5vl + ^xpiv^o'v’, (74.36) здесь тильда, как и в гл. VII, означает деление на 4л.
16 Ю. И, Сиротин, М. П. Шаскольская
Вместо коэффициентов Р^ Qix^ L^ можно использовать в соотношениях для Ь и е компоненты соответствующих материальных тензоров:
О/ = u^Ej + difk^jk + RiikEjEh + 2Р ifkiE^ki + Qijkim^jk^iTm (74.4а) ^ij = dkijEk + S/y^O^/ + PkiijEkEi + ^QkHlmEkClm + Lifklmn^kl^mn-
(HA6)
Внутренняя симметрия и названия этих тензоров:
Тензор СимметрияНазвание
R[У3]тензорквадратичныхкоэффициентов диэлектри
ческой проницаемости,
Р[V2]2тензоркоэффициентов электрострикции,
QУ [[У2]2]тензорквадратичныхпьезоэлектрическихкоэф
фициентов,
L [[V2]3] тензор квадратичных коэффициентов упругой податливости ).
Правила пересчета, связывающие компоненты этих тензоров с коэффициентами Рцх» Qi^ и Lx^, выведены в приложении Е. Внешняя симметрия этих тензоров, как и всяких материальных тензоров, не ниже симметрии кристалла; общий их вид для различных классов приведен в приложении Д (см. также § 48).
Тензоры Р и L — четного типа; они отличны от нуля для всех классов симметрии кристаллов. Квадратичные коэффициенты упругой податливости описывают малые поправки к закону Гука. Коэффициенты же электрострикции описывают малые поправки к обратному пьезоэлектрическому эффекту в пьезоэлектрических кристаллах, а для кристаллов непьезоэлектрических классов и изотропных тел вся деформация, обусловленная действием на кристалл электрического поля сводится к электрострикции.
Тензоры R и Q — нечетного типа. Тензоры Q отличны от нуля для кристаллов всех нецентросимметричных классов. В частности, на кристаллах класса 432, в которых обычный, линейный пьезоэлектрический эффект невозможен, мог бы наблюдаться квадратичный пьезоэлектрический эффект: электрическая поляризация под действием механических напряжений, пропорциональная, однако, не компонентам тензора напряжений, а некоторым попарным их произведениям. Тензоры квадратичных коэффициентов диэлектрической проницаемости R отличны от нуля только у кристаллов, симметрия которых допускает проявление продольного пьезоэлект-
рического эффекта; общий вид таких тензоров приведен в табл. Д. 10, а классы симметрии этого эффекта — в табл. 58.3.
То обстоятельство, что влияние механических напряжений на диэлектрическую проницаемость в формулах (74.3а) и (74.4а) описывается теми же коэффициентами, которыми в формулах (74.36) и (74.46) описывается электрострикция, — следствие того, что эти коэффициенты — третьи производные термодинамического потенциала (см. (74.1)). По той же причине коэффициенты квадратичного пьезоэлектрического эффекта характеризуют также влияние электрического поля на коэффициенты упругой податливости.
Возможность хотя бы приближенного применения термодинамических соображений для уменьшения числа независимых коэффициентов следует иметь в виду при анализе эффектов высших порядков. Например, распространение упругих волн в кристалле, подвергнутом статическому напряжению ост, значительно большему, чем напряжения, связанные с упругой волной, определяется коэффициентами упругости
^хц, = ^м! + ёх\хи°и > (74.5)
где cj^ — коэффициенты упругости ненапряженного кристалла). Коэффициенты gx^ ~ компоненты тензора внутренней симметрии И^ИП™], имеющего в общем случае 126 независимых компонент. Рассмотрим, однако, упругую энергию кристалла с точностью до кубичных по деформациям членов:
w = у с^ехвц+1 С^^. (74.6)
Очевидно, CxpA^d^/de^de^dey — компоненты тензора внутренней симметрии [[V2]3], у которого, согласно табл. 47.1а и 47.16 в общем случае 56 независимых компонент. Дважды продифференцировав по деформациям упругую энергию (74.6), найдем
= §^5ё^ = с^ + (74.7) где ev, очевидно, можно рассматривать как е". С принятой здесь степенью точности e^T = svxax, где svx — коэффициент упругой податливости и, следовательно, ^ = 4ц + Схр1¥^хОгхТ« Сравнив это с (74.5), получим
gХм,х = Cxiivsvx- (74.8)
Соотношение (74.8) не противоречит тому, что внутренняя симметрия тензора g равна [[V2]2] [V2], но резко уменьшает число независимых компонент этого тензора: со 126 до 56 + 21 = 77, из них
нелинейно-упругие свойства характеризуют лишь 56. При выводе соотношения (74.8) не учитывается различие между изотермическими и адиабатическими коэффициентами; принимая его во внимание при определении главного члена, т. е. с%% им, по-видимому, можно пренебречь при оценке малых добавок к нему.
Вид тензоров C^v и gx^ для нескольких классов приведен в табл. Д.24 и Д.25. Ведутся работы по экспериментальному определению и других подобных тензоров, например, тензора квадратичного пьезоэлектрического эффекта и тензора пятого ранга, определяющего составляющую деформации, зависящую от куба напряженности электрического поля: et/ = 'kijkimEkEiEm.
5 75. Пьезорезистивный эффект
Пьезорезистивный (тензорезистивный) эффект заключается в изменении •лектрического сопротивления материала под действием механических напряжений (или деформаций). Пьезорезистивный эффект обнаруживается у многих веществ, в том числе и у металлов, но сильнее всего он проявляется в полупроводниках, что позволяет использовать полупроводниковые материалы Ge, Si, GaSb, InSb, PbTe, Bi2Te3 для изготовления из них чувствительных тензодатчиков, т. е.. приборов, преобразующих механические деформации (напряжения) в электрические величины,
Пьезорезистивный эффект можно представить как изменение под действием напряжений атп тензора удельного сопротивления кристалла pzz:
Ei=(Pu + PUmnamn)ib(75.1)
здесь Е — напряженность электрического поля, / — плотность тока, pjz — тензор удельного сопротивления кристалла в отсутствие механических напряжений. Чаще, однако, пьезорезистивные свойства кристалла характеризуют тензором пьезорезистивных коэффициентов Ukimm который связан с тензором Рцтп соотношением
Р tlrn=p°ibTLb1mn\(76.2)
limnklmni''
при этом уравнение пьезорезистивного эффекта принимает вид
Ej = Р?А ^kl + ^klmn°mn) h*(75.3)
У кристаллов кубической системы, к которой относится большинство полупроводниковых кристаллов, применяемых в качестве тензорезисторов, р^ = р°6/л и
Ei = p° (6ki + IIkimnamn) iz-(75.4)
Другой аспект пьезорезистивного эффекта — зависимость удельного сопротивления кристалла от деформации spq — характеризуется уравнением
Ei = Pte {hl + "Ч^рд) if,<75'5 )
тензор эласторезистивных коэффициентов m связан с тензором П вытекающими из закона Гука соотношениями
тк1рд = ^к1тпстпрд> ^klmn™mklpq8pqmn»(75.6)
в которых cmnpq — коэффициенты упругости, Spqmn — коэффициенты упругой податливости.
Внутренняя симметрия тензоров пьезорезистивных и эласторезистивных коэффициентов | V2]2; в соответствии с симметричностью по индексам тензоров Рьь °тп и 6pq они симметричны по первым двум и по вторым двум индексам: ^klmn ~ ^lkmn~ ^klnm~ ^Iknm*(75.7)
Эти тензоры можно записать и с двумя индексами: Щц принято связывать с W^mn соотношением
( ^klmn (М^К^Х, ... , 6; тп^ р=1, 2, 3),t STYbimn (&*-Х=1, ..., 6; mn**p, = 4, 5, 6)
(и таково же соотношение, связывающее P^v с Puimrd* а mXv с mkipq — соотношением
m-XM=mklpq Цг1^Х= X, ..., 6; pq — v= 1, ..., 6);
при этом формулы (75.6) принимают вид
^Xv — Щц^цу, Щц — ^x^vy(75.8)
Общий вид тензоров такой внутренней симметрии для всех кристаллографических и предельных классов приведен в табл. Д.19.
Рио. 76.1. Модели указательных поверхностей продольного пьезорезистивного эффекта в кристаллах кремния (класс m3m): а) кристалл n-типа, р= 11,7 Ом *см; б) кристалл p-типа, р = 7,8 Ом «см. Это верхние половины поверхностей, нижние — их зеркальные отражения (Бутабаев и Смыслов, 1971).Рио. 76.1. Модели указательных поверхностей продольного пьезорезистивного эффекта в кристаллах кремния (класс m3m): а) кристалл n-типа, р= 11,7 Ом *см; б) кристалл p-типа, р = 7,8 Ом «см. Это верхние половины поверхностей, нижние — их зеркальные отражения (Бутабаев и Смыслов, 1971).
Рио. 76.1. Модели указательных поверхностей продольного пьезорезистивного эффекта в кристаллах кремния (класс m3m): а) кристалл n-типа, р= 11,7 Ом *см; б) кристалл p-типа, р = 7,8 Ом «см. Это верхние половины поверхностей, нижние — их зеркальные отражения (Бутабаев и Смыслов, 1971).
Рио. 76.1. Модели указательных поверхностей продольного пьезорезистивного эффекта в кристаллах кремния (класс m3m): а) кристалл n-типа, р= 11,7 Ом *см; б) кристалл p-типа, р = 7,8 Ом «см. Это верхние половины поверхностей, нижние — их зеркальные отражения (Бутабаев и Смыслов, 1971).
При практических применениях пьезорезистивного эффекта измеряются разность потенциалов U в направлении единичного вектора и и сила тока /. Тогда плотность тока / = (7/S)^, где q — единичный вектор направления тока, a S —площадь поперечного сечения тензорезистора. Так как U = аЕ*и, где а — база измерения разности потенциалов, из уравнения (75.3) получим
U = (aIIS) р^и, (6Ь1+ПЫтпотп) qb (75.9)
В частности, если измерять разность потенциалов в направлении тока, векторы и и q совпадают; для кристаллов с изотропным электросопротивлением это дает
(75.10)(75.10)и = (pW/S) (1 + ^kimnqkqiOmny
(75.10)
(75.10)
Может оказаться предпочтительным, чтобы разность потенциалов была пропорциональна механическим напряжениям и обращалась в нуль в их отсутствие.
При изотропном электросопротивлении для этого нужно, чтобы векторы и и q были взаимно перпендикулярны; тогда
^ = (pOa//S) МмтпЦкЧ^тп (и^{ = ^(75.11)
(в общем случае направления и и q подбираются так, чтобы piku^k = 0).
Дальнейшая конкретизация этих формул определяется ориентировкой механических напряжений относительно направления тока и направления измерения разности потенциалов. Так, при совпадении направлений тока, измерения разности потенциалов и одноосного растяжения ff = oqq имеет место продольный пьезорезистивный эффект
U = (pM/S) (1 A-^kimnqkqiqmqnY(75.12)
а при взаимной перпендикулярности векторов и и q и совпадении направления одноосного растяжения с одним из них (скажем, с q)
U = (.pOaI?S')onl,imnuliq1qmqn (utqt=0).(75.13)
Анизотропия пьезорезистивных свойств полупроводниковых кристаллов выражена очень сильно, о чем свидетельствуют указательные поверхности продольного пьезорезистивного эффекта (рис. 75.1).
Для более подробного ознакомления с физикой пьезорезистивного эффекта и его применениями см. Мэзон (1967); Терстон (1967); Mason (1966); Бир и Пикус (1972).
§ 76. Принцип Онсагера
и термогальваномагнитные эффекты
В термодинамике необратимых процессов важную роль играет принцип симметрии кинетических коэффициентов Онсагера ). Пусть отклонение системы от равновесного состояния характеризуется параметрами £о, которые в равновесном состоянии обращаются в нуль. Скорость возвращения системы в равновесное состояние в этих терминах характеризуется производными — ^а- Она, очевидно, тем больше, чем больше отклонения системы от состояния равновесия, и в первом приближении зависит от них линейно:
-4а = Аа£ь.(76.1)
Величины Ja = — |о в термодинамике необратимых процессов называют потоками, а величины
(76.2)
где S — энтропия, — силами, сопряженными соответствующим по токам ).
Как и потоки, сопряженные им силы тоже отличны от нуля лишь постольку, поскольку система находится в неравновесном состоянии, так как с приближением системы к равновесному состоянию ее энтропия увеличивается и в равновесном состоянии достигает максимума: когда все ^а = 0, все dS/d^b = 0. Очевидно, в первом приближении и силы линейно зависят от параметров не- равновесности ^ь:
Ка = Ва£ь.
Обращение этой зависимости имеет вид
= CbcKci
где С — квадратная матрица, обратная матрице В:
СъсВса = ^Ьа*
Потоки и сопряженные им силы непосредственно связаны со скоростью возрастания энтропии в процессе приближения системы к равновесному состоянию. Действительно,
/ dS \dS d^aq\
Необходимо отличать определяемую формулой (76.3) скорость необратимого изменения энтропии, которая в соответствии со вторым законом термодинамики всегда положительна, от полной скорости ее изменения, которая при достаточно интенсивном отводе тепла от кристалла может быть и отрицательной.
Кинетическими коэффициентами Хас называются коэффициенты линейной зависимости потоков от сил
Ja = XacKc\(76.4)
они связаны с коэффициентами А и С соотношениями
^ас ~ АаЬСЬс.
Поставив в формулу (76.3) значения потоков Jo, выраженные е помощью зависимости (76.4), получим
=<76-5)
Так как скорость необратимого изменения энтропии в силу второго закона термодинамики всегда положительна, матрица JS положительно определенна.
Принцип симметрии кинетических коэффициентов Онсагера состоит в утверждении, что матрица 56, кроме того, еще и симметрична:
56ас = 56са.(76.6)
Однако данная формулировка принципа симметрии кинетических коэффициентов справедлива лишь постольку, поскольку эти коэф-
фициенты не зависят от магнитного поля (или оно вообще отсутствует). При зависимости же кинетических коэффициентов от магнитного поля Н имеют место более общие соотношения
XacW-Xca (-//),(76.7)
соотношения же (76.6) — их конкретизация на случай Н = 0. Разумеется, положительная определенность и соотношения (76.6) и (76.7) в равной мере справедливы и для матрицы <5?-1, задающей линейную зависимость сил от потоков. Кроме того, здесь предполагается, что величины Ja = —|а, названные «потоками», меняют знак при обращении отсчета времени (как и ведут себя в этом случае настоящие потоки, например, поток вещества, поток тепла, электрический ток). Формулировки (76.6) и (76.7) остаются справедливыми, если потоки Ja и Jс — оба инвариантны относительно обращения отсчета времени. Однако если при обращении отсчета времени только один из них меняет знак, то формулировки принципа Онсагера (76.6) и (76.7) заменяются обратными:
Жас = — Жса,(76.6')
XacW = -Xca(-H\(76.7')
Чтобы показать, как применяется в конкретных ситуациях принцип Онсагера, рассмотрим процесс одновременного протекания теплового потока и электрического тока через кристалл. Он определяется существенной неравновесностью кристалла — наличием в нем градиента температуры grad Т и градиента потенциала grad ф = —Е. Обозначим плотность электрического тока У, а теплового потока q. Плотность полного потока энергии окажется тогда равной q + фУ, где ф — потенциал, а ф/ — поток энергии, связанный с электрическим током. Подсчитаем скорость изменения энтропии
_ С 1 ^ ли —_ С div ^-У^П
dt “ j Т dtJ T
Заметив, что div (^ + фУ) = div^ —JE (здесь учтено, что divУ=0), запишем эту производную в виде
^ = _ С div ^ ay + С 1—- dVdt J T av J ?
Преобразуем первый интеграл:
- J ^dVJ div^)dV4-p-grad(^)dV =
= - ^^d^-= - ^^d^-[* q • grad T[* q • grad TdV.dV.
= - ^^d^-
= - ^^d^-
[* q • grad T
[* q • grad T
dV.
dV.
Поверхностный интеграл, очевидно, характеризует ту часть скорости изменения энтропии, которая определяется подводом тепла извне; поэтому его нужно исключить из (d^/d/)Heo6p. Итак, в отличие от dS^ldt,
^•grad Т
72
(76.8)(76.8)или, переходя к величинам, рассчитанным на единицу объема кристалла,
(76.8)
(76.8)
1=(1
необр
Тепловой поток q и плотность тока j естественно считать потоками, тогда сравнение формулы (76.8) с формулой (76.3) показывает, что сопряженными им силами оказываются соответственно векторы — (l/72)gradT и (1/7)/? =— (1/T)grad ф.
Соотношение (76.4) конкретизируется теперь в. виде
Ai—^u^ т» дх/)"*"6J» —^(з+й)/^ Тг 9х1Ai—^u^ т» дх/)"*"6J» —^(з+й)/^ Тг 9х1I (8+m)I (8+m)(З+Л) (з+т)(З+Л) (з+т)(76.9)(76.9)
Ai—^u^ т» дх/)"*"6
J» —^(з+й)/^ Тг 9х1
Ai—^u^ т» дх/)"*"6
J» —^(з+й)/^ Тг 9х1
I (8+m)
I (8+m)
(З+Л) (з+т)
(З+Л) (з+т)
(76.9)
(76.9)
и принцип симметрии кинетических коэффициентов утверждает, что матрица 36 симметрична, т. е. 36ab = 3eba.
Обозначим
"72 Жц =^1Ь у <^(з+А) (8+т) “ °кгт "72 ^(з+k) I = Pz?z?
1 * 1*Ml = Ми1 * 1*Ml = Митогда из принципа Онсагера следует, что
1 * 1*
Ml = Ми
1 * 1*
Ml = Ми
^кт — ^mkt 7 ^1 (з+т) — ^Pmi
и уравнения (76.9) записываются в виде
(76.10)(76.10)+Т^т,Ет,
(76.10)
(76.10)
Ik = PfcZ "§^~ “Ь ^ктЕщ*
Таким образом, X* — тензор коэффициентов теплопроводности в отсутствие электрического поля, а а — тензор коэффициентов удельной электропроводности в отсутствие температурного градиента; оба они положительно определенны и симметричны. Коэффициенты же p^z характеризуют возникновение электрического тока вследствие наличия в проводнике температурного градиента, т. е. термоэлектрический эффект. Они же характеризуют тепловой поток, возникающий и в отсутствие температурного градиента под
действием электрического поля. Внутренняя симметрия тензора 0 есть V2.
Кроме того, матрица Ж положительно определенна. Отсюда следует, в частности, что диагональные ее элементы положительны, а квадраты недиагональных меньше, чем произведения соответствующих диагональных (ср. § 63); например,
^11 2> о, (Т33 > 0, Хр2 < ^И^2>^23 < ^22^33»
7'011 < М^и» 7*012 < ^22^11*
Термоэлектрические явления в кристаллах чаще характеризуют материальными уравнениями, равносильными (76.10), в которых, однако, за независимые переменные приняты grad Т и j:
, дТ4l = ^^kljk ^Im "aL •
Несложный расчет показывает, что коэффициенты удельного электросопротивления р/А, коэффициенты теплопроводности в отсутствие электрического тока XZm и термоэлектрические коэффициенты ак1 связаны с введенными ранее коэффициентами окт) Хи и 0Л/ соотношениями
Qik^km ^ ^imt ^lm = Plk^kmi Х^щ^Х^ 7*91^11^кт*
Связь между коэффициентом при дТ!дхп в первом из уравнений (76.11) и коэффициентом при jk во втором уравнении можно вывести и непосредственно из принципа Онсагера, формально приняв за «потоки» Е и q, тогда «силами» окажутся (—1 /Т2) grad Т и j/T. Однако, поскольку при обращении отсчета времени q меняет знак, а Е не меняет, формулировка принципа Онсагера для этих коэффициентов имеет вид не (76.6), а (76.6'); именно поэтому у них одинаковые знаки, а не противоположные, как у аналогичных коэффициентов в материальных уравнениях (76.10).
Симметрию кинетических коэффициентов, зависящих от магнитного поля, рассмотрим на примере термогальваномагнитных эффектов, т. е. кинетических явлений, возникающих в кристалле, через который идет тепловой поток и электрический ток, если поместить его в магнитное поле *). Будем исходить из материального уравнения типа (76.11), ограничиваясь линейными по магнитному полю членами (очевидно, квадратичные члены аналогичны не зави-
сящим от магнитного поля, кубичные — линейным и так далее):
Ei = та + Х^пН^ ~ /*) + (ед+т) + ^‘(з+m) пН„) (- 4$ ^. (76? 12)
qt = (<^(3+7)6 +‘^(3l+ot«/7n) 4т ^^ "+"
+ (^(3+Z) <3 +т> + ^(з+Z) (3 + т) пНп) ( — -^ "^") *
Применим соотношения симметрии (76.7') и свяжем коэффициенты ЖаЬп = (дЖоЬ/дНп)н-оС термогальваномагнитными коэффициентами:
><у>т yd) тк п
^ikn — ^kin ' ^IkpKpm
«^(H-ZHB + m)” =^(З+m) (з + /)« а T^impLpnt
х\ (3 + т) л = ^(3 + rn) In = T»Nlnw,
тогда материальные уравнения (76.12) примут вид
Е( = plkjk 4~ O-lnTa^^pRpnHnjk NImnHn "a™ ,
. dKmdT. ^gr (76.13)
Qi = Tctpijh X[m -4-|- TNhinHnh i^impLpnHn -s- .
Внутренняя симметрия и названия тензоров термогальваномагнитных эффектов:
Тензор Симметрия Название
RVйтензор коэффициентовХолла,
LVйтензор коэффициентовЛедюка —Риги,
NeV8псевдотензор коэффициентов Нернста — Эттингс-
хаузена.
Они определяют: влияние магнитного поля на электропроводность (эффект Холла), влияние магнитного поля на термо-э. д. с. (эффект Нернста), связанное с ним влияние магнитного поля на тепловой поток, обусловленный проходящим через проводник электрическим током (эффект Эттингсхаузена) и, наконец, влияние магнитного поля на теплопроводность (эффект Ледюка — Риги). В частности, для изотропных тел
Rpn = R^pm Lpn = LSpni $imn ^ Nbimrn
так что материальные уравнения (76.13) принимают форму
E = pj+agradT + RHx j + NHx grad T, q = Taj- X grad T + TN H x /+ LH x grad T. (
Таким образом, в изотропном теле для линейных по Н термогальваномагнитных эффектов существенна лишь та составляющая
магнитного поля, которая перпендикулярна соответственно к току или к градиенту температуры, а изменения векторов напряженности электрического поля и теплового потока, в свою очередь, перпендикулярны к вызвавшему их магнитному полю.
Более подробно о термоэлектрических и термогальваномагнитных эффектах см. Ландау и Лифшиц (1957); в специальном применении к (немагнитным) кристаллам принцип Онсагера и термоэлектрические явления подробно рассмотрел Най (1967). В оставшейся же части этого параграфа обсуждается обобщение введенных понятий на магнитные кристаллы.
Недавно было замечено (Kleiner, 1966), что соотношения (76.6) и (76.7) можно интерпретировать как утверждение, что при обращении отсчета времени Г матрица кинетических коэффициентов транспонируется ), и потому принцип симметрии кинетических коэффициентов в своей первоначальной трактовке применим только к немагнитным веществам, в группу симметрии которых входит операция /', а для магнитных кристаллов нуждается в соответствующей модификации. То обстоятельство, что обычная формулировка (76.6) принципа симметрии кинетических коэффициентов неприменима к магнитным кристаллам, ясно хотя бы из того, что влияние на электропроводность и теплопроводность магнитных кристаллов их собственного магнитного момента можно трактовать как спонтанные эффекты Холла и Ледюка — Риги, обусловливающие появление антисимметричных составляющих в тензорах электросопротивления и теплопроводности.
Таким образом, процессы электро- и теплопроводности в кристаллах магнитного класса 1 (а также I — см. ниже) описываются уравнениями
(76.15)(76.15)п дТ^i = Pikjk + ^lm .
(76.15)
(76.15)
Al = T^ikjh ^im dXm >
где p, а, у, X — несимметричные по индексам тензоры второго ранга, не связанные между собой никакими соотношениями кроме неравенств, вытекающих из положительной определенности матрицы кинетических коэффициентов. Принцип же Онсагера влияет на форму этих тензоров лишь при наличии той или иной магнитной симметрии; влияние это определяется тем, что под действием поворота R они преобразуются в Rp, Ra, Ry и R1, под действием инверсии времени Г транспонируется матрица <5?, а под действием операции R' = 1'R происходит сочетание обоих этих преобразований. При этом для всех операций g, входящих в точечную группу магнитной симметрии кристалла, gX = <5?. В частности, для опе-
раций вида R' = ГН» характеризуемых матрицей поворота || г?к ||у это условие означает, что компоненты тензоров р и X удовлетворяют равенствам
кПчП^ - bi^ri^ рк1 = 0,(76.16)
а компоненты тензоров а и у —равенствам
гщггкак1 = Ь^пм.(76.17)
Кроме того, нужно иметь в виду, что тензоры р, X, а, у (как и псевдотензоры, описывающие термогальваномагнитные эффекты) центросимметричны и потому одинаковы для всех магнитных групп, входящих в один класс Лауэ, т. е. объединенных в одной клетке столбца Gt табл. 72.4. Классы Лауэ для магнитных групп, как видно из этой таблицы, подразделяются на три типа: белые, черно-белые и серые. В белые классы Лауэ входят только белые же группы и притом все. В серые классы Лауэ наряду с серыми группами ОГ входят и черно-белые группы ОГ, среди элементов которых есть центр антисимметрии I'. Наконец, в черно-белые классы Лауэ входят только черно-белые группы, именно те из них, которые не содержат элемента V.
Из этих соображений для серых классов Лауэ, т. е. групп СГ и 61', получаем классическую формулировку принципа Онсагера: р1к = ркЬ Х1к = Хкь у1к = акЬ и все эти тензоры инвариантны относительно G. Для белых групп G тензоры р, X, а, у инвариантны относительно б, но, вообще говоря, не симметричны по индексам и никак не связаны между собой. Для черно-белых же классов Лауэ с помощью соотношений (76.16) и (76.17) выводятся специальные правила; они сведены в табл. 76.1.
Термогальваномагнитные коэффициенты, т. е. псевдотензоры третьего ранга, определяющие линейные по Н добавки к основным коэффициентам, выводятся аналогично (см. Kleiner, 1969). При полном отсутствии симметрии
^1 = pikjk + ^im "33Р IknH njk N imnfJ п "37 »
тдтдтдт (76.18)
qi”Tyikjk Х/От — ТМtknHnjk QlmnH.
Таким образом, в этом случае матрица (дЗИдН)^ определяется четырьмя не связанными между собой и не обладающими никакой внутренней симметрией псевдотензорами третьего ранга Р, Q, N и М. Так как инверсия времени Г не только транспонирует матрицу {дХ/дН\» но и меняет ее знак на обратный, из наличия в группе магнитной симметрии кристалла операции R' = VR следуют аналогичные (76.16) соотношения для тензоров Р и Q:
кГi'mTpitк'ц 4* bi'lfaj'mfak'n) Рimn = 0(76.19)
и аналогичные (76.17) соотношения для М и N:
^i'm^ i’lfk'nNimn = ^i^prn^k'nM imn.(76.20)
Пользуясь ими, можно найти вид матриц фЖ!дН\ и псевдотензоров, входящих в уравнения (76.18), для всех черно-белых классов Лауэ.
Т а б л и ц а 76.1
Кинетические коэффициенты процесса электро- и теплопроводностив магнитных кристаллах черно-белых классов Лауэ
27ту
Р11Р12Р18«11а120618
Р12Р22Р23«21«22«23
—Р13 —Р23РЗЗ«31«32«33
«11«21«31MlМгМз
«12«22—«32^12 Мз ^23
—«13—«23 «33 —Мз —Мз Мз
4' [ттт'
Рп 0 0 «ц 0 0 0 ри 0 0 «22 0 0 0 рзз 0 0 «8з
«22 0 0 Хц 0 0 0 «ц 0 0 Хц 0 0 0 «зз 0 0 Хзз
тт'т'
РпРи0апа120
—Р12Рй29«21«229
00рзз00а3з
«н —«^ 0 Хц Xi2 0
—«12 «22 9 —^12 М2 9
000С3300Х38
6'1т'
Ри0 0 «ц «12 0
0рц 0 —«12 «и 0
00рзз00«зз
осц —«12 0Хц 0 0
«12«п 90Ml9
00«3300Х33
со!пгт* б1тт'т 41mm'т’ Sm’
РпР120аиа120
—Р12Рп0—а12«ц0
00рзз00а33
«11«120MiМ20
—«12«ц0—Xi2Хц0
00а8з00Хзз
6' 1т’тт
рц 00 «ц 00
9Рп99«и9
99рз890«зз
«п99Хц90
9осц90Хц9
90«зз00Х33
4Чт
Ри00ап0^129
0Р119«21«229
00рзз00а33
«22—«129 Ml 90
—0^21«п00Хц0
00«зз00Х33
тЗт'
Рп 99 «ц 0 0
9 Рп 90 «ц 0
99 рц 00 «ц
«п 99 Хц 9 0
9 «ц 90 Хц 9
9 0 «ц 9 9 Хц
Из термогальваномагнитных коэффициентов наибольший интерес представляют, по-видицому, коэффициенты Холла. В то время как в немагнитных кристаллах эффект Холла описывается (несимметричным, вообще говоря) тензором второго ранга R, в магнитных же для этого необходим несимметричный псевдотензор третьего ранга Р. Его, однако, удобно разложить на антисимметричную и
симметричную, по первым двум индексам части, причем антисимметричную можно представить с помощью тензора второго ранга
РIkn = ^IkpRpn ~Н ^iknt
Sikn = у (Pikn + PkinY Rpn = у SpikPikn»
Каждую из этих частей для любого класса G магнитной симметрии нетрудно определить по таблицам. Антисимметричная часть, очевидно, инвариантна не только относительно старшей группы 61 класса Лауэ, к которому принадлежит 6, но и относительно группы 61 Г. Для нее найдем по табл. Д.6 вид тензора R, по которому легко восстановить и 6ikPRPn- Чтобы выяснить вид симметричной части, нужно определить пьезомагнитный тензор для данного класса Лауэ 61 (простой способ разъяснен в § 73), после чего остается лишь переставить индексы так, чтобы те, по которым тензор симметричен, оказались впереди.
Квадратичные по Н члены, в зависимости удельного электросопротивления от магнитного поля, вводятся тензором четвертого ранга Т, так что
El = (pik + Р 1ктНт + Р 1ктпНтНп) ^.
Тензор Т называют тензором магнетосопротивления. Он, очевидно, всегда симметричен по двум последним индексам:
Pikmn^P Iknm*(76.21)
Во всех серых классах Лауэ, он, кроме того, симметричен и по двум первым индексам (Д\ьтп = Тмтп)» так что его вид можно найти по табл. Д. 19. В белых классах Лауэ тензор Т, вообще говори, не симметричен по первым двум индексам, поэтому его вид следует определять по табл. Д.21. Наконец, вид тензора магнетосопротивления в черно-белых классах Лауэ определяется тем, что при наличии в группе магнитной симметрии кристалла операции R' = PR
(fi’nf рт^к’рГPq ^Pm^pn^p^Pq) Рmnpq = 0(76.22)
— это аналог соотношений (76.16) и (76.19). Вид тензора магнетосопротивления для всех 10 кристаллографических черно-белых классов Лауэ, вытекающий из соотношений (76.21) и (76.22), приводят Pantulu и Sudarshan (1970).
Электрооптический и пьезооптический эффекты
Изменения оптических свойств кристаллов под влиянием электрического поля и механических напряжений замечены еще в XIX веке и широко применяются на практике. Под действием электрического поля Е и механических напряжений а тензор
диэлектрической непроницаемости кристалла т) = т) (со) слегка изменяется и принимает значение -q + g, где симметричный тензор второго ранга £ = £(£, а) — малая добавка к тензору диэлектрической непроницаемости (ср. § 20). Так как характеристической поверхностью тензора диэлектрической непроницаемости т) является оптическая индикатриса т\^х^ = 1, изучаемые эффекты можно наглядно представить себе как результат деформации оптической индикатрисы кристалла под действием электрического поля или механических напряжений.
Изменение диэлектрической непроницаемости вещества при оптических частотах под действием механических напряжений называется пьезооптическим эффектом, или фотоупругостью ). Для кристаллов достаточную точность дает уже первое, линейное приближение
£ = л:(У, ^//= Л/уд/Од/.(77.1)
Тензор четвертого ранга л называется тензором пьезооптических коэффициентов. Вследствие симметричности тензора £ он симметричен по первой паре индексов, а вследствие симметричности а — по второй их паре. Таким образом,
Л/у^ = л^; = л,ц1Ь = п№,(77.2)
т. е. его внутренняя симметрия [V2]2. Пьезооптический эффект возможен в средах любой симметрии, в том числе и в изотропных телах.
Общий вид тензора пьезооптических коэффициентов в кристаллофизической системе координат для кристаллов всех классов приведен в табл. Д. 19. При этом компоненты л^ соответствуют записи пьезооптического эффекта в форме
Ех = л^ор,,(77.3)
где принято считать
=(77.4)
(Ту = akl р = 1, ..., 6).’
Отсюда получаем (см. приложение Е) правила пересчета
( Лум Щ*»Х=Х6; й/^н=1, 2, 3),
ПХи 12л,/и (ij^X=\,6; ^^|i = 4,5,6). 1
Можно выразить изменение тензора диэлектрической непроницаемости и через деформации:
£ = р : е, £// = pijki^kb(77.6)
Тензор р называется тензором упругооптических коэффициентов. Его внутренняя симметрия совпадает с внутренней симметрией тензора л. В сокращенной записи формула (77.6) принимает вид
и=р(77.7)
Исходя из правил пересчета для ^ (77.4) и для е^ (Е. 4), получаем
Рт* = Рцм (t/ —Х=16;^/*»ц=1, .... 6). (77.8)
Общий вид тензора упругооптических коэффициентов в кристаллофизической системе координат для кристаллов всех классов приведен в табл. Д. 19; некоторые отличия между соотношениями, связывающими коэффициенты л^ и р.^ объясняются разницей правил пересчета (77.5) и (77.8).
Поскольку упругие деформации и напряжения связаны законом Гука е = s : и, а = с : е, легко установить связь между пьезооптическими и упругооптическими коэффициентами:
Р^ = ЛлдА^п ^Хц = РЛлАц*(77.9)
Когда кристалл подвергается не только упругим, но и пластическим деформациям, ситуация усложняется. Марковский, Полухин и Шаскольская (1966) на пластически деформированных монокристаллах хлористого серебра показали, что для этого материала и в пластической области — вплоть до деформаций ~20% имеет место линейная зависимость изменения тензора диэлектрической непроницаемости т) от тензора напряжений ст, выражаемая формулами (77.1) и (77.3) и притом с теми же коэффициентами, а формулы (77.6) и (77.7) неприменимы: изменение оптической индикатрисы определяется не полной деформацией е, а лишь упругой ее частью еупр = s : о.
Тензор упругооптических коэффициентов р играет важную роль в эффекте Мандельштама — Бриллюэна, т. е. рассеянии света на тепловых упругих колебаниях кристалла * ). Упругая (гиперзвуковая) волна со смещением и = = Дрехр [(2ш7Х) (т • г — и/)] (см. § 56), деформируя кристалл, вызывает изменения оптической индикатрисы ^ (е) = Pijkfokb гДе тензор малых деформаций е^ = = -i- (duk/dxi-\-duildxk). При этом, вследствие симметричности тензора упругооптических коэффициентов ру^ по двум последним индексам, ^у (е) можно представить и в виде
^М^=Рцы^.(77.10)
Рассеяние Мандельштама — Бриллюэна представляет собой, в сущности, дифракцию света на периодической структуре ^у = Z^-exp [(2ш7Х) (т *г— и/)], сопровождающуюся эффектом Доплера, обусловленным движением этой струк-
туры со скоростью гиперзвука и. Недавно было замечено (Nelson, Lax, 1970), что вызванные упругой волной повороты элементов объема кристалла как целого
(0^/ = (Лл1/Х) (Pkmi — mkPi) ехР [(2ш’Д) (/п • /- — и/)]
при не слишком малом естественном двупреломлении кристалла дают ощутимый вклад в рассеяние Мандельштама — Бриллюэна. Действительно, при таких поворотах оптическая индикатриса элемента объема поворачивается вместе с ним. Коэффициенты повернутой таким образом оптической индикатрисы относительно неподвижной, т. е. связанной со всем кристаллом, системы координат равны 4{i=ck'icl'j4fc'ft где т)^^— коэффициенты оптической индикатрисы, отнесенные к повернутой системе, а скЧ — элементы матрицы преобразования. Так как, согласно формуле (17.7), при малом угле поворота ck,t = ^k,t-\-^k,t^b а тензор малых вращений связан с углом поворота соотношением tokt = — б^/уфу, непосредственно следующим из формулы (49.6), искомые коэффициенты повернутой оптической индикатрисы равны
n?/=(6w-®fti)(8z/-«»z/)i|»z.(77.11)
Штрихованные индексы суммирования заменены здесь нештрихованными; это, конечно, не меняет суммы, но удобнее для интерпретации: под i\ki понимаются отнесенные к неподвижной системе координат коэффициенты оптической индикатрисы кристалла в отсутствие внешних воздействий. Обусловленные поворотом изменения компонент тензора диэлектрической непроницаемости равны ^ц(ю) = = т]*/—Л/у. Подставляя сюда значение q^. из формулы (77.11) и пренебрегая квадратичными относительно 6) членами, получим ^Дсо) = — 4ntoi/ — 4kj^kb Этот результат можно, приняв во внимание антисимметричность тензора со, представить в форме
&/ (®) = (4iAk—Чк^и) ^kl-
Антисимметризуем тензор Чп^/к — 4k Al по индексам кик Обозначив результат антисимметризации Я^д» получим
^/[кП™"^ (Ч^/fe—ЧкАг+ч^Аь“4lAj\(77.12)
При умножении на со^ тензор Цц^ыд Дает тот же результат, что и T\u6jk — т)д/б//, но qt^kl-jbkl = 0, поэтому ^у(со) можно подсчитать и по дисторсии ди!дг;
(77.13)
Сопоставляя (77.10) и (77.13), видим, что можно образовать несимметричный по двум последним индексам обобщенный тензор упругооптических коэффициентов
Чцк^Рцм+Чщкц(77.14)
(обычный тензор упругооптических коэффициентов р оказывается при этом его симметричной частью: р/уд/ = Qlpkb) и с его помощью представить полные изменения коэффициентов оптической индикатрисы £ = & (в) + £ (со) в виде
t«-«l^.177,51
Заметим, что тензор Я^к1\ 0ПРеДеляется даже не всем тензором т), а только его девиатором, поэтому у тензора q в общем случае не 6-9=54 независимые компоненты, как должно быть у тензора внутренней симметрии [V2] V2, а всего 41; на 5 больше, чем у тензора р внутренней симметрии [И)2.
Рассмотрим теперь влияние электрического поля на оптическую индикатрису кристалла. Начнем с линейного электрооптического эффекта, называемого также эффектом Покельса (Pockels, 1894). Он описывается формулой
е = гЕ, ^M = rMkEk.(77.16)
Тензор третьего ранга г называется тензором электрооптических коэффициентов. Вследствие симметричности тензора g внутренняя симметрия тензора г такова же, как и тензора пьезоэлектрических коэффициентов d. Отсюда ясно, что линейный электрооптический эффект возможен только в тех кристаллах, симметрия которых допускаег наличие пьезоэлектрических свойств (см. § 58). Сокращенная запись формулы (77.16) имеет вид
^ = rXkEk;(ПЛ^
в соответствии с (77.4) правило пересчета
rxk = rMk..., 6).(77.18)
Общий вид тензора г для всех кристаллографических классов указан в табл. Д.11.
Электрооптические коэффициенты зависят, вообще говоря, от условий их измерения. Практическое значение имеют два случая: 1) механические напряжения равны нулю (кристалл механически свободен и может деформироваться вследствие обратного пьезоэлектрического эффекта) — соответствующие электрооптические коэффициенты мы будем обозначать г(а); 2) кристалл лишен возможности деформироваться (механически зажат) — этому случаю соответствуют коэффициенты г(е). Чтобы вычислить разность г(а) — г(е), рассмотрим совместное действие электрооптического и пьезооптического эффектов, а также деформации, возникающие в кристалле под влиянием электрического поля и поля механических напряжений:
£х == ^xk^k Ч- л^аи,19)
8Х = dkKEk Ч- 5^0^.
Здесь d и s — тензоры пьезоэлектрических коэффициентов и коэффициентов упругой податливости. Когда кристалл механически зажат, е = О, так что ои = —с^кнЕк. Поэтому в механически зажатом кристалле электрооптическая добавка к тензору диэлектрической непроницаемости равна
= (Д' - ^Л) Ек.(77.20)
Очевидно, выражения в скобках и служат электрооптическими коэффициентами механически зажатого кристалла. Воспользовавшись формулой (77.9), соотношение между электрооптическими коэффициентами свободного и механически зажатого кристалла можно представить в виде
(77.21)
Как уже отмечалось, линейный электрооптический эффект возможен лишь в кристаллах, относящихся к пьезоэлектрическим классам симметрии. Между тем искусственное двупреломление под действием электрического поля наблюдается и в таких веществах, симметрия которых заведомо исключает возможность пьезоэлектрического эффекта, в частности в изотропных веществах — в жидкостях и даже в газах. Во всех этих случаях, однако, эффект пропорционален не величине напряженности электрического поля, а ее квадрату, и не меняется при замене направления электрического поля на обратное. Это квадратичный электрооптический эффект, или эффект Керра.
Добавка к тензору диэлектрической непроницаемости, обусловленная квадратичным электрооптическим эффектом, имеет вид
^/ = КммЕкЕь ^ = К^ №»,(77.22)
где правила пересчета для ^ определяются формулой (77.4), а для (ЕЕ)^ — формулой
(EE^-EbEt (^^[1=1, ..., 6).(77.23)
Тензор четвертого ранга К называется тензором коэффициентов Керра\ его внутренняя симметрия такая же, как и внутренняя симметрия тензора пьезооптических коэффициентов л; мало того, у этих тензоров совпадают также и правила пересчета:
( Кцы2, 3),
g 12/<W (Z/^X=1, ..., 6, &Z^^ = 4, 5, 6)1'
(ср. (77.5)). Поэтому общий вид тензора коэффициентов Керра в кристаллофизической системе координат для кристаллов всех классов задается той же табл. Д. 19, что и общий вид тензора пьезооптических коэффициентов.
Квадратичный электрооптический эффект может наблюдаться и на кристаллах, проявляющих линейный электрооптический эффект. В большинстве случаев он обусловливает лишь малые добавки к основному, линейному эффекту, но если в эксперименте применяется электрическое поле такого направления, которое не приводит к возникновению линейного электрооптического эффекта, квадратичный электрооптический эффект становится определяющим.
§ 78. Искусственная оптическая анизотропия кристаллов
Искусственная одноосность и двуосность кристаллов. Оптически изотропные среды — кристаллы кубической системы и изотропные тела — под влиянием внешних воздействий могут остаться оптически изотропными, а могут уподобиться одноосным или двуосным кристаллам, что сразу видно по коноскопической картине (см. § 40).
Первый случай реализуется под действием всестороннего давления р. При этом тензор g изотропен. Когда воздействие превращает оптически изотропную среду в подобие одноосного кристалла, симметрия тензора £ равна оо!тт\ для этого деформированная среда должна сохранить одну ось симметрии третьего или более высокого порядка. Значит, для придания изотропной среде оптической анизотропии одноосного кристалла достаточно подвергнуть эту среду воздействию произвольно направленного электрического поля или одноосного растяжения. В кристалле высшей подсистемы кубической системы электрическое поле или одноосное растяжение следует направить по одной из осей третьего или четвертого порядка, т. е. по направлению (111) или (100), а в кристалле низшей подсистемы кубической системы — по оси третьего порядка (111).
Механические напряжения, не сводящиеся к гидростатическому сжатию и одноосному напряжению, действуя на изотропное тело, уподобляют его в отношении оптических свойств двуосному кристаллу. На кристаллы кубической системы такое же действие оказывает и одноосное растяжение или электрическое поле, направленное не по оси третьего или четвертого порядка.
Рассмотрим, например, изменение оптических свойств кристалла низшей подсистемы кубической системы под действием одноосного растяжения интенсивности а, направленного по [001], — у таких кристаллов это ось второго порядка. Добавка к тензору диэлектрической непроницаемости равна
£ = Jt I 06363 = (Л21#101 + л 12^2^2 "Ь^П^З^з) О> (78.1)
где е1э е^ е3 — орты кристаллофизической системы координат. Главные оси измененного тензора диэлектрической непроницаемости совпадают с этими ортами. Для дальнейшего исследования удобно выяснить, какой именно из главных показателей преломления окажется наибольшим и какой — наименьшим. Так, у калиевых квасцов, нитрата бария и нитрата свинца ли < л21 < л12, поэтому
^ = АГТ= = л-»+л21а, (78.2) 2 ^22 = ^о2 + ^12^*
Таким образом, оптические оси напряженного кристалла лежат в плоскости (100) и каждая из них составляет с осью [001] угол V, определяемый из соотношения
8 V nS-n^
(см. § 35). Подставив в эту формулу обратные квадраты главных показателей преломления, найдем
tg v= V"-12—Яг*. (78.3)
Хотя главные показатели преломления и зависят от интенсивности воздействия, угол между оптическими осями от нее не зависит; он определяется лишь характером и направлением воздействия и пьезооптическими (или соответственно электрооптическими) свойствами кристалла.
Одноосные кристаллы останутся одноосными в электрическом поле, направленном по главной оси симметрии, а также под действием одноосного растяжения того же направления и гидростатического сжатия. Все другие воздействия уподобят эти кристаллы двуосным.
Чтобы оценить искусственную двуосность, подсчитаем половину угла между оптическими осями напряженного кристалла. Используем для этого результаты, полученные в § 20. Именно будем считать, что малый (по сравнению с т]) тензор g записан в кристаллофизической системе координат. Обозначим £(1) и £(2) (£(1) > g(2)) собственные значения двумерного тензора
£ £1-
Полагая для определенности, что ненапряженный кристалл оптически положителен, имеем
Ng4 = N е2“Ь5зз,
N^ = Nos + ^w,(78.4)
Тогда половина угла между оптическими осями
V~tgV = l/ ^>-U .(78.5)
Таким образом, кристалл остается положительным (7^45°) и под воздействием. Подставляя в формулу (78.5) значение разности §(1)-Ь)- получим
(78.6)
Если искусственная двуосность вызвана пьезооптическим эффектом, то
. т, /№1ц^2|1) а|1Р + (2Л6ЦО11)2
VNo%-n^
а если электрооптическим эффектом, то
У = iL[(^l£Z2Zji£L!?^^VE(78 81
где Е = Eq — напряженность электрического поля. Аналогично выводятся формулы и для отрицательных кристаллов.
Отметим характерные отличия искусственной двуосности в одноосных и оптически изотропных кристаллах. В одноосных кристаллах угол между оптическими осями мал и зависит от интенсивности воздействия; так, при пьезооптическом эффекте он пропорционален
Ко, при электрооптическом VE^ при эффекте Керра |Е|. В оптически изотропных кристаллах этот угол, вообще говоря, не мал и не зависит от интенсивности воздействия. При постепенном уменьшении воздействия на кубический кристалл выходы оптических осей на коноскопической картине не смещаются, но все изохромы постепенно расширяются и уходят из поля зрения. Напротив, при уменьшении воздействия на одноосные кристаллы выходы оптических осей на коноскопической картине сближаютсй сначала медленно, а потом все быстрее — до полного совпадения, а количество изохром, образующих коноскопическую картину, практически не изменяется, поскольку его определяет в данном случае естественное двупреломление кристалла. Таким образом, угол между оптическими осями при искусственной двуосности характеризует интенсивность воздействия лишь в случае одноосных кристаллов.
К искусственной двуосности приводят, в частности, внутренние напряжения, возникающие в кристаллах в процессе роста.
Искусственное двупреломление. Искусственным двупреломлением называется изменение двупреломления кристаллов под влиянием внешних воздействий, например механических напряжений или электрического поля, в частности, появление двупреломления в тех кристаллах или в тех направлениях, в которых его в отсутствие воздействия не было.
Пусть направление распространения света таково, что в отсутствие электрического поля или механических напряжений двупреломления также нет (в кристаллах низшей и средней категорий — это оптические оси, а в кристаллах высшей категории и в изотропных телах — любые направления). Под действием электрического поля или механических напряжений в этом направлении появляется искусственное двупреломление. Подсчитаем его величину, принимая во внимание, что вызванная внешними воздействиями добавка £ к тензору диэлектрической непроницаемости т) мала.
Введем специальную декартову систему координат Х'хХУС*, направив ось Х'г по волновой нормали; тогда оси Х\ и Х^ будут лежать в плоскости волнового фронта. Центральное сечение невозмущенной оптической индикатрисы плоскостью волнового фронта описывается в специальной системе координат уравнениями
Па^н1 (“. P=L 2). ^ = 0.(78.9)
Это окружность радиуса п0, где п0 — показатель преломления света, распространяющегося вдоль оптической оси в свободном кристалле. Действительно, ось Хз совпадает с оптической осью и потому
^1=^2 = ^, Т]12 = О,(78.10)
так что первое из уравнений (78.9) сводится к и»2 [(х!)2 + (^г)2] = 1. Возмущенная оптическая индикатриса описывается уравнением
г (1] + у.г = 1, (пг/ + ^)ОД=1,(78.11)
а ее центральное сечение плоскостью волнового фронта — уравнениями
(^ + £^3)^=1 (а, р = 1, 2), 4 = 0.(78.12)
Учитывая равенства (78.10), запишем первое из уравнений (78.12) в виде
№ + £i i) (4)2 + (л02 + £22) (4)2 + 2£i244 = 1 •
Показатели преломления пг и п^ линейно-поляризованных волн, проходящих через напряженный кристалл, определяются из квадратного уравнения относительно м2:
(78.13)(78.13)^2+£h-^2 Й2
(78.13)
(78.13)
£12^о 2 + £22 — ^”2
Решив его, получим
nih = п?+у [(СГ1+&) ± ^(Th^WHW]-
Учитывая, что |£?/KL по правилам приближенных вычислений найдем показатели преломления
«1. 2 = П0 {1 - | nl [(£, + ^22) ± кш^^+та5]}.
(78.14) Двупреломление А по определению равно абсолютному значению разности между этими показателями преломления, т. е.
А = у nJ V&U-^WW-(78.15)
Это и есть искомая величина искусственного двупреломления для случая, когда направление распространения света совпадает с оптической осью ненапряженного кристалла.
Вектор индукции Dw волны с показателем преломления пг лежит в плоскости волнового фронта, составляя угол ф с осью XV причем
tg<p =^==.(78.16)
Вектор D^ также лежит в плоскости волнового фронта и перпендикулярен к вектору D(1).
Если сразу выбрать специальную систему координат так, чтобы £12 = 0 (иногда это удается сделать, исходя из соображений симметрии), то двупреломление
А =ynj l«i-&|.(78.17)
а направления колебаний совпадают с осями XJ и Хд.
Если направление распространения света не совпадает с оптической осью свободного кристалла, двупреломление кристалла складывается из естественного, присущего и свободному кристаллу, и искусственного, обусловленного внешними воздействиями. Когда направление распространения света составляет с оптической осью свободного кристалла достаточно большой угол, искусственное двупреломление оказывается обычно лишь малой добавкой к естественному, и можно пользоваться правилами приближенных вычислений. Именно этот случай мы и рассмотрим.
Введем специальную декартову систему координат X? Х^ Хд так, чтобы ось XJ совпадала с направлением распространения света, а оси Х[ и Х^ — с направлениями колебаний (точнее — с направлениями векторов Р) плоскопол яр изо- ванных световых волн, распространяющихся в данном направлении в свободном кристалле. Показатели преломления этих волн обозначим пС1 и п02 соответственно. Уравнения центрального сечения оптической индикатрисы свободного кристалла плоскостью волнового фронта в специальной системе координат имеют вид
Подобно тому как оптическая индикатриса служит характеристической поверхностью трехмерного тензора диэлектрической непроницаемости, ее центральное сечение плоскостью волнового фронта служит характеристической кривой двумерного тензора — проекции тензора диэлектрической непроницаемости на эту плоскость. Для свободного кристалла компоненты этого тензора в специальной системе координат равны
При наложении на кристалл электрического поля или механических напряжений к этому тензору прибавляется малый двумерный тензор
£и £12£и £12£12£22£12£22
£и £12
£и £12
£12
£22
£12
£22
где ^р — компоненты рассмотренного в §,77 тензора £ в специальной системе координат.
В § 20 показано, как изменяются собственные значения и собственные векторы симметричного тензора второго ранга при малом изменении его компонент. Учитывая связь между собственными значениями двумерного тензора и показателями преломления, находим по формуле (20.9) обратные квадраты показателей пре
ломления
(78.19)(78.19)пх 2 = ц012 + £н>^28 = Ц02 +£22
(78.19)
(78.19)
и малый угол поворота векторов индукции D световых волн:
ф = (012ф = (012£12И™2 И™2 *'*01"О 2£12И™2 И™2 *'*01"О 2(78.20)(78.20)
ф = (012
ф = (012
£12
И™2 И™2 *
'*01"О 2
£12
И™2 И™2 *
'*01"О 2
(78.20)
(78.20)
Положительное значение этого угла соответствует повороту вокруг оси Х'а от положительного конца оси Х[ к положительному же концу оси Х£, а отрицательное значение — повороту вокруг той же оси, но в обратном направлении. Из (78.19), пользуясь правилами приближенных вычислений, найдем
И1 — /loi л ^bi£u>
(78.21)
^2 —/Z02 ~ g П«&У
Таким образом, двупреломление Д кристалла под влиянием внешних воздействий изменяется на величину
^искусств в "2" J по 1С11 л81См I • (78.22)
В этом случае приходится измерять малые изменения двупреломления на фоне собственного двупреломления кристалла, и эти измерения значительно труднее, чем при распространении света вдоль оптической оси.
Пользуясь формулами (78.14) — (78.17) и (78.20) — (78.22), необходимо помнить, что они справедливы только в специальной системе координат, не совпадающей, вообще говоря, с кристаллофизической системой. Чтобы избежать трудоемкого пересчета компонент тензоров третьего и четвертого ранга к специальной системе координат, удобно проводить вычисления по следующей схеме:
вычислить компоненты вектора напряженности электрического поля или тензора напряжений в кристаллофизической системе координат;
пользуясь табличными значениями тензоров электрооптических или пьезооптических коэффициентов, найти по формуле (77.3), (77.17) или (77.22) компоненты тензора £ в кристаллофизической системе координат;
вычислить компоненты тензора £ в специальной системе координат;
подставив их значения в формулы (78.14) — (78.17) или (78.20) — (78.22), вычислить величину искусственного двупреломления и определить направления колебаний.
Рассмотрим некоторые особенности искусственного двупреломления в кристаллах кубической системы и в изотропных телах. В этом случае формула (78.15) определяет величину искусственного двупреломления при любом направлении распространения света. Тензор g входит в эту формулу лишь в виде комбинации компонент £п — £22 и компоненты £12. Отсюда следует, что на величину искусственного двупреломления в оптически изотропных телах оказывает влияние не шаровая часть, а только девиатор тензора g; его компоненты Хц = ^у — х!&кк^и- Так как тензор g определяется тензорами коэффициентов Керра, электрооптических и пьезооптических коэффициентов, то необходимо выяснить, в какой мере компоненты этих тензоров влияют на величину искусственного двупреломления, и можно ли вычислить их компоненты по результатам измерений искусственного двупреломления.
Начнем с рассмотрения электрооптических коэффициентов. Среди оптически изотропных сред лишь у кристаллов классов 93/тг и 23 имеются отличные от нуля электрооптические коэффициенты г41 = г^ = гвз; остальные электрооптические коэффициенты
этих кристаллов равны нулю. При электрооптическом эффекте ^/ = гМкЕь где
h)keTilit—§r iik^th(78.23)
или, в сокращенной записи,
р j гХк" у (^ + ^ + гз/?) (^=L 2, 3),
'№ = <°(/0.24)
IгКк(Х = 4, 5, 6).
Подставив в (78.24) отличные от нуля электрооптические коэффициенты, убеждаемся, что для кристаллов кубической системы гХк = гХк1 так что, измерив искусственное двупреломление, можно определить единственный независимый электрооптический коэффициент этих кристаллов.
Иначе обстоит дело с определением пьезооптических коэффициентов и коэффициентов Керра по измерениям искусственного двупреломления. Рассмотрим для определенности пьезооптические коэффициенты; в этом случае Хц = ^ijki^kb где
~ 1
^ijkl = ^-ijkl — у ^тткД/. (78.25)
В сокращенной записи
(78.26)(78.26)(78.27)(78.27)~ J лХцо"(л1|л + Л2ц + Лзи) (^=Ь 2, 3), Ллц =<°
(78.26)
(78.26)
(78.27)
(78.27)
Iл^(^ = 4, 5, 6).
Для низшей подсистемы кубической системы
лн — у (лп ”“ л1г) + у (ли л21), *21
л12 =з^ (л 11 — л1г) + у (Л11Л21),
*1 /X 2 /X
Л21 — ^ (Л11Л12/3 (Л11Л21/>
Л — Л44.
Значит, в каких бы направлениях ни измерялось искусственное двупреломление, по этим измерениям можно определить только три независимые комбинации пьезооптических коэффициентов: лп — л12, ли — л21 и л44; с другой стороны, для подсчета искусственного двупреломления, вызванного пьезооптическим эффектом, этих комбинаций вполне достаточно. Значения коэффициентов лп, л12 и л21 в отдельности нужны для вычисления абсолютных изменений показателей преломления и могут быть вычислены по результатам соответствующих измерений. Эти измерения, однако,
значительно более трудны, чем измерения двупреломления, так как для них приходится применять уже не поляризационные, а интерферометрические методы.
У кристаллов высшей подсистемы кубической системы л21 = = л12. Подставив это в формулы (78.27), найдем
~2
лп = у (лп “ л1г)>
л12 = — у (ли — л12),(78.28)
Л44 = Л44*
Таким образом, в этом случае измерения искусственного двупреломления позволяют найти только разность лп — л12, а также коэффициент л44.
Наконец, у изотропных тел л44 = лп — л12, и эта разность полностью определяет искусственное двупреломление, вызванное пьезооптическим эффектом в изотропных телах.
Пьезооптический эффект в прозрачных изотропных телах широко используется для того, чтобы по интерференционной картине, возникающей вследствие искусственного двупреломления, вызванного неоднородным полем напряжений, воссстановить породившее ее поле напряжений. С этими его применениями можно ознакомиться, например, по книгам: Кокер и Файлон (1939); Дю- релли и Райли (1970); Фёппл и Менх (1966).
Об электрооптическом эффекте и его применениях см. Желудев (1968, 1969, 1973); Мустель и Парыгин (1970); Сонин и Василевская (1971). См. также Перфилова, Сиротин и Сонин (1969), Воропаева, Резников и Сиротин (1969).
Нелинейная поляризация при распространении электромагнитных волн большой интенсивности
Поляризация анизотропного диэлектрика в сильных гармонических полях складывается из основной, линейной части Р(1) и малых нелинейных добавок — квадратичной Р^2\ кубичной Р(3) и так далее:
Р = pd) + р(2) + р(з) +...(79.1)
Учитывая зависимость поляризуемости от частоты, будем отмечать частоты гармонических составляющих электрического поля и поляризации. Формально можно записать:
Л1'(Ю1) = а//((°1. ^ЕДсо^,
^8*(Ю1) = Х</й(Ю1. ®2, a>3)£z(®g)Eft(®3),(79.2)
Р? (®i) = 6ЦМ (toi> ю2> ®з» to4)EjMEh(to3)Edto4)-
Тензоры а, х» ® называются соответственно тензором линейной диэлектрической восприимчивости, квадратичной восприимчивости, кубической восприимчивости. Тензор a (а^, со2) указывает величину и направление линейной части поляризации частоты (оп возникающей под действием электрического поля частоты со2; тензор х (^ь ^2» ^з) определяет квадратичную добавку к поляризации, имеющую частоту (оь возникающую под влиянием взаимодействия в кристалле двух гармонических электрических полей — одного частоты (о2, другого частоты (о3.
Укажем без вывода важное свойство тензоров восприимчивости ). Эти тензоры, вообще говоря, не обладают какой-либо внутренней симметрией, однако компоненты тензоров не меняются, если одновременно с перестановкой индексов произвести перестановку соответствующих частот
(М^п co2) = ayz((o2, coj,
Х</И®1. to2, to3) = xifc/(to1, tog, о)2) = Х//И®2. tob to3) = ..., (79.3) буы^!, <o2> <°s. «4) = 0/ш(ю2, ton to3, a>4) =
= 9v«(®3- ®2> ®i, ®4) = ...
Те соотношения, которые получаются при перестановках, не затрагивающих первого индекса и соответственно первой частоты, тривиальны: ясно, что поля Ej (со2), Ек (со3), Et ((о4) можно вводить в формулы (79.2) в любом порядке. Имеют физический смысл и требуют доказательства только соотношения, получающиеся при перестановках, в которых участвует первый индекс и первая частота, например
Х/уИ^ «2» Ю3) = Ы®2, «р со3).
Если все частоты различны, эти соотношения связывают компоненты различных тензоров, и потому не свидетельствуют о наличии внутренней симметрии. Они определяют внутреннюю симметрию тензоров лишь при совпадении частот. Например, соотношение
Х//И<°1, 0)2, 0)2) = Х/Л/(«1» «2» ^2)
связывает уже компоненты одного и того же тензора и показывает, что он симметричен по последним двум индексам, т. е. обладает внутренней симметрией ИР].
Чтобы яснее сформулировать соотношения (79.3), мы формально записывали частоты (оь ..., ш4, не задумываясь пока, в какой мере они независимы. В действительности частота поляризации связана с частотами полей. Если поляризация линейно зависит от напряженности поля, то их частоты, очевидно, совпадают. Значит, тензор линейной восприимчивости a (04, со2) отличен от нуля только при
®i = ®2» так что его можно записывать в виде а (со); ясно, что он симметричен.
Выведем частотные соотношения для тензора квадратичной восприимчивости х (ю1» • ^2» ^з)- В любой фиксированной точке кристалла поля Е (со2) и Е (со3) зависят от времени по закону
Ej (со2) = Aj cos со2/,
Efe (со3) = ВА cos (oV + ф), где ф —сдвиг фаз между этими полями в данной точке. Так как Ef (w2) Ек (со3) = у AjBk {cos [(со2 - (о3) t - ф] + cos [(oh + co2) t + ф]}, поляризация, квадратично зависящая от поля, имеет либо разностную (о)2 — со8), либо суммарную (со2 + со8) частоту. Иными словами, тензор х (^ь ю2, со8) отличен от нуля лишь в двух случаях:
Х = %(®2-®з. юа, ®з)>(794)
Х = Х(«а + ®з. ю2, ®з)-'
Если через кристалл пропускается лишь монохроматический свет частоты со, достаточно интенсивный, чтобы наряду с линейной возникала и квадратичная поляризация, со2 = со3 = со, и выражения (79.4) превращаются в
z-z(0. ., »),
Х = х(2о), ю» «).
Таким образом, квадратичные эффекты приводят в данном случае к появлению постоянной составляющей и второй гармоники.
Тот же тензор х (0, w, со), который определяет постоянную составляющую при квадратичной поляризации, характеризует и электрооптический эффект. Действительно, с учетом квадратичной поляризации вектор индукции световой волны частоты со в кристалле, находящемся в электростатическом поле Е (0), равен Dt (со) = Et (ф) + ^Pt (со) = Ei (со) + 4л^п (со) + 4лР^ (со).
Обозначив Х/;(со) = 6/; + 4ла/у (со), можно записать
Dl^ = v.M^Ei(to>)-V^Xkijk0' ю, со)Е*(0)£,(©).
Тензоры диэлектрической проницаемости и (го) и диэлектрической непроницаемости т] (го) взаимно обратны как в отсутствие электростатического поля Е (0), так и при его наличии:
Х//(го)'П/т(го) = 6гт,[x<f(to)+4nx»v(0, го. to) Ek (0)] [i)/m (to) + rjmk (Ю) Ek (0)] = 6<m.
С точностью до членов второго порядка малости это дает *И И гjmk (Ю) Ек (0) 4- 4лх*у (0, to, to) Ек (0) r]/m (го) = 0,
откуда уже нетрудно получить формулы, связывающие тензоры электрооптического эффекта и квадратичной восприимчивости:
Птй(®) = —4лхы/(0, (0, to) i]<z (to) i]/m (to),
Xw(0, <». ®) = — ^xti(to)xN(to)rZmfc(<0).(79,6)
Частотные соотношения для кубической диэлектрической восприимчивости приводят к тому, что тензор 6 ((оп со2, ш3, со4) отличен от нуля лишь для частот
со^^ + соз-^,о^сог-соз + со^
(Oj = —(02 4" 0)3 + 0)4, й^ = (02 4" Ю3 4~ й)4.
В частности, тензор 0 (Зсо, со, со, со) описывает генерацию третьей гармоники, тензор 6 (0, 0, со, со) — эффект Керра, тензор 6 (2со, 0, со, со) — генерацию второй гармоники за счет кубичной поляризации с помощью достаточно сильного электростатического поля.
Квадратичная поляризация характеризуется тензорами третьего ранга. Следовательно, она возможна лишь в нецентросимметричных кристаллах. В частности, генерация второй гармоники и электрооптический эффект описываются тензорами внутренней симметрии И У2], общий вид которых, очевидно, совпадает с видом тензоров пьезоэлектрических коэффициентов.
Эффекты кубичной поляризации, напротив, характеризуются тензорами четвертого ранга и, следовательно, возможны в средах любой симметрии. В частности, генерация третьей гармоники описывается тензором внутренней симметрии ИР], эффект Керра — тензором внутренней симметрии [И]2, а генерация второй гармоники с помощью электростатического поля — тензором РН72]. Общий вид этих тензоров для всех подсистем приведен в табл. Д.16, Д.17, Д.19, Д.21 и Д.22.
Генерация световых гармоник.
Направления синхронизма
Когда через прозрачный кристалл с отличным от нуля тензором квадратичной диэлектрической восприимчивости распространяются монохроматические световые волны с напряженностями электрического поля Е ((о2) и Е (о)3), в нем возникает квадратичная электрическая поляризация суммарной частоты
pw (ш4 + Юз) = х (и2 + tog, ®2> tog) : Е(ш2) Е(tog).(80.1)
Эта поляризация может послужить источником световой волны суммарной частоты. Сформируется ли в действительности такая волна и в каком направлении она будет распространяться, зависит
от условий интерференции: возникающая в данной точке кристалла квадратичная поляризация должна усиливать проходящую через эту точку волну суммарной частоты. Условия конструктивной интерференции легче всего получить, рассматривая формирование волны суммарной частоты как реакцию между фотонами:
Ф (со2, к^ й2)4-Ф((0з, ^з» ^з) — Ф (®i> kv d^\(80.2)
здесь к — волновой вектор соответствующего фотона, d — единичный вектор направления колебаний. При реакции должны сохраняться энергия
и импульси импульс^^2 Ч” ^^3 — ^(0^^62 + ^3 = ^!.^^2 Ч” ^^3 — ^(0^^62 + ^3 = ^!.(80.3)(80.4)(80.3)(80.4)
и импульс
и импульс
^^2 Ч” ^^3 — ^(0^
^62 + ^3 = ^!.
^^2 Ч” ^^3 — ^(0^
^62 + ^3 = ^!.
(80.3)
(80.4)
(80.3)
(80.4)
Закон сохранения энергии подтверждает, что результирующая волна имеет суммарную частоту. Из закона же сохранения импульса следует, что она имеет также суммарный волновой вектор
где т — единичный вектор волновой нормали, п = п (со, (Г) — показатель преломления, с — скорость света в вакууме, равенство (80.5) можно переписать в виде
(сог + юзМ (о)2 + ы3, d^mx = to3n^3l d2)m2 + to3n(to3, d3)m3. (80.6)
Это и есть условие конструктивной интерференции, необходимой для формирования интенсивной волны суммарной частоты.
Условие генерации второй гармоники является частным случаем соотношений (80.6) при (о2 = (о3 = (о:
п(2(о, d^m^yfn^, d^m^-Vn^ d3^m^.(80.7)
Если у волн основной частоты совпадают и направления колебаний (d2 = d3 = dY это условие еще более упрощается:
(80.8)(80.8)п (2(о, d^ тх = п ((о, d)—2-^"—3 ;
(80.8)
(80.8)
волновой вектор второй гармоники лежит в этом случае точно посредине между волновыми векторами волн основной частоты.
Наконец, условие генерации второй гармоники одной волной основной частоты получается отсюда при т2 = т3 = т:
(80.9)(80.9)n(2o), dl)m1 = /i(o), d^m.
(80.9)
(80.9)
Очевидно, в этом случае тг = ш, т. е. направление распространения волны второй гармоники совпадает с направлением распространения волны основной частоты.
Условиям конструктивной интерференции (80.7), (80.8) и (80.9), необходимым для формирования достаточно интенсивной волны второй гармоники, удовлетворяют лишь немногие направления, называемые направлениями синхронизма. В оптически изотропных телах, например, их чаще всего вообще нет. Действительно, для таких тел условия (80.7) и (80.8) сводятся к
п (2©) тх = п (о>) ЛЬ»±!!!з_. (80.10)
Для выполнения условия (80.10) необходимо, чтобы п (2 со) ^ п (со), но при нормальной дисперсии показатель преломления возрастает с частотой, так что это условие может выполняться лишь в том случае, если между частотами (о и 2(о у данной оптически изотропной нелинейной среды есть интервал аномальной дисперсии, т. е. между этими частотами есть линия поглощения. Из условия же (80.9) следует для оптически изотропного тела равенство п (2 со) = = п (со), которое, даже и при наличии между частотами со и 2со полосы поглощения при фиксированной частоте со, может выполняться лишь случайно.
В оптически анизотропных кристаллах направления синхронизма могут существовать и при отсутствии линий поглощения между частотами со и 2о). Рассмотрим, например, как найти направления синхронизма для генерации второй гармоники одной волной основной частоты в одноосных кристаллах. В этом случае должно выполняться равенство
п (2(о, d1) = /z((o, dy (80.11)
Направления синхронизма будем искать с помощью поверхностей показателей преломления. Вследствие дисперсии различным частотам соответствуют различные поверхности показателей преломления; при нормальной дисперсии поверхность, соответствующая большей частоте, имеет большие размеры.
Если на общей оси и с общим центром нарисовать поверхности показателей преломления для частот со и 2со (сечения этих поверхностей показаны на рис. 80.1), то прямые, соединяющие центр с окружностью, по которой пересекаются эти поверхности, окажутся направлениями синхронизма. Направления синхронизма образуют круговой конус, ось которого параллельна оптической оси кристалла. При малой оптической анизотропии (или слишком сильной дисперсии) эти поверхности не пересекаются; значит, в кристалле нет направлений синхронизма для удвоения данной частоты.
Из рис. 80.1 ясно, что направления синхронизма для оптически положительных и отрицательных кристаллов соответственно опре-
17 Ю. И. Сиротин, М. П. Шаскольская
деляются из условий ):
Пе ((d) = п0 (2(d),(80.12+)
(80.12-)(80.12-)п0 ^ = пе (2(d);
(80.12-)
(80.12-)
в обоих случаях две волны, удовлетворяющие условию синхронизма, поляризованы во взаимно перпендикулярных направлениях. В оптически одноосных кристаллах показатель преломления обыкновенной волны п0 не зависит от направления распространения: п0 = Nm а показатель преломления необыкновенной волны пе
Рис. 80.1. Сечения поверхности показателей преломления одноосных кристаллов: а) кристалл оптически положителен, направлений синхронизма нет; б) кристалл оптически отрицателен, имеющиеся направления синхронизма составляют угол О с оптической осью.Рис. 80.1. Сечения поверхности показателей преломления одноосных кристаллов: а) кристалл оптически положителен, направлений синхронизма нет; б) кристалл оптически отрицателен, имеющиеся направления синхронизма составляют угол О с оптической осью.
Рис. 80.1. Сечения поверхности показателей преломления одноосных кристаллов: а) кристалл оптически положителен, направлений синхронизма нет; б) кристалл оптически отрицателен, имеющиеся направления синхронизма составляют угол О с оптической осью.
Рис. 80.1. Сечения поверхности показателей преломления одноосных кристаллов: а) кристалл оптически положителен, направлений синхронизма нет; б) кристалл оптически отрицателен, имеющиеся направления синхронизма составляют угол О с оптической осью.
зависит от угла У* между направлением ее распространения и оптической осью: пё2 = Ыё2 sin2 + Nё2 cos2 fl; здесь No и Ne — главные показатели преломления (см. § 35). Подставив эти значения в условия (80.12), найдем после несложных выкладок угбл ^ между направлением синхронизма и оптической осью кристалла:
sinsinN^ ((d)-No2 (2(d)No 2 ((О) — Ne 2 (to)N^ ((d)-No2 (2(d)No 2 ((О) — Ne 2 (to)No2 (со)-No2 (2(d) Nё^ (2(d) —No2 (2(D) ’No2 (со)-No2 (2(d) Nё^ (2(d) —No2 (2(D) ’(80.13+)(80.13")(80.13+)(80.13")
sin
sin
N^ ((d)-No2 (2(d)No 2 ((О) — Ne 2 (to)
N^ ((d)-No2 (2(d)No 2 ((О) — Ne 2 (to)
No2 (со)-No2 (2(d) Nё^ (2(d) —No2 (2(D) ’
No2 (со)-No2 (2(d) Nё^ (2(d) —No2 (2(D) ’
(80.13+)
(80.13")
(80.13+)
(80.13")
Если величина sin О', вычисленная по соответствующей из формул (80.13), по абсолютной величине, как и следует, не превышает единицы, то данный кристалл имеет целый круговой конус направлений синхронизма: условию синхронизма удовлетворяет
соответственно необыкновенная или обыкновенная волна частоты со, распространяющаяся в этом кристалле в направлении
т = (^ cos ф + е2 sin ф) sin ^ + ^зcos^(80.14)
где еь е2, £3 — орты кристаллофизической системы координат, угол ф произволен, а угол О определяется формулами (80.13). Однако эта волна должна еще порождать квадратичную поляризацию, и притом такого направления, чтобы волна удвоенной частоты была бы поляризована перпендикулярно к первичной волне.
Направление вектора напряженности электрического поля Е в обыкновенной волне совпадает с направлением вектора электрической индукции D. Единичный вектор этого направления для волны, нормаль к которой определяется формулой (80.14), равен
eQ = d0 = eY sin ф — ^2 cos ф.(80.15)
В необыкновенной же волне единичные векторы электрической индукции de и напряженности электрического поля ее различны и равны соответственно
de = (ех cos ф + е2 sin ф) cos *0* — е3 sin *0*,(80.16)
ее = A VNo~ (ех cos ф + е2 sin ф) cos ft — N;2e3 sin А], (80.17) A = 1//No4 cos2» + N;4 sin2.(80.18)
Волну удвоенной частоты порождает составляющая £ (2со)-Р (2со) вектора квадратичной поляризации Р (2со) в направлении вектора напряженности электрического поля в волне второй гармоники е (2со); эта составляющая равна квадрату напряженности электрического поля в волне основной частоты Е2 = Е2 (со), умноженному соответственно на одну из свёрток тензора квадратичной восприимчивости х = X (2®, ю, со) с единичными векторами е0 и ее:
^оХ: ееев = A2{NT cos2 [х12 sin3 ф - (х22 - Xie) sin2 ф cos ф +
+ (Хп - Хае) sin ф COS2 ф - х21 cos3 ф] —
— NTNT sin -0* cos ft [х14 sin2 ф + (x16 — X24)sin ф cos ф — x2B cos2 ф] + + N;4 sin2 $ [Хи sin ф - X23 cos ф]}, (80.19+)
• X = eoeo = A {NT cos Ф[x21 sin3 ф + (xn - Хге) sin2 ф cos ф 4+ (X22 - Xie) sin ф cos2 ф 4- X12 cos3 ф] -
— NT sin $ [xsi sin2 ф — Хзе sin ф cos ф+X32 cos2 ф]}. (80.19”)
Эти свёртки можно представить себе как компоненты Х122 и Х211 тензора х в специальной системе координат Xl^Xa, оси которой Xi||e0, Х'Две. Коэффициенты квадратичной восприимчивости Х/ц
17*
в формулах (80.19) определяются правилами пересчета)
(80.20)(80.20)= ( ^ш (&^Ц=1, 2, 3),^Х^ (&~р = 4, 5, 6),
(80.20)
(80.20)
которые соответствуют общепринятым правилам пересчета для диады <EEV
(ЕЕ^ = ЕкЕ( (£/~р=1, ..., 6).
Подставим в формулы (80.19) значения коэффициентов Хф, для каждого из пьезоэлектрических классов средней категории и сведем результаты в табл. 80.1.
Табл. 80.1 показывает, что отрицательные кристаллы классов 422, 622, оо2 и положительные кристаллы классов 4тт» 6mm и oom вообще непригодны для генерации второй гармоники. В действительности классов, практически непригодных для генерации второй гармоники, еще больше. Дело в том, что тензор / (2(0, со, со) не симметричен по индексам лишь вследствие дисперсии. Если во всем интервале частот (со — 2(о) кристалл прозрачен, то дисперсия в этом интервале частот мала и тензор х (2со, со, со) близок ксиммет- ризованному тензору Хш = Х(Ш)- Подсчитав приведенные в табл. 80.1 свёртки для симметризованного тензора х» обнаружим, что и положительные кристаллы классов 4, 6, оо, 422, 622, сю 2 для генерации второй гармоники практически неприменимы.
Наиболее выгодны для генерации второй гармоники такие направления синхронизма, которые приводят к максимальному значению соответствующего табличного выражения. Например, у оптически отрицательных одноосных кристаллов дигидрофосфата калия (KDP) и дигидрофосфата аммония (ADP) — класс 42т» — используемых для удвоения частоты лазерного излучения, максимум табличного выражения достигается при ср = 45°. Как показывает формула (80.14), это соответствует направлению волновой нормали
т = у=г~ (^i + ^2)siп ^ + ^з cos ft.
Нецентросимметричные двуосные кристаллы также пригодны для генерации второй гармоники; с кристаллофизической точки зрения они даже предпочтительнее одноосных, так как предоставляют более разнообразный выбор направлений. Однако анализ возникающих при этом возможностей гораздо более сложен и его, по-видимому, целесообразнее проводить не в общем виде, приводя-
щем к очень громоздким формулам, а для каждого кристалла в отдельности (ср. Орлов, 1969).
Таблица 80.1
Составляющая вектора квадратичной поляризации в направлениинапряженности электрического поля в волне второй гармоники
Классы
Функция F = F (х. N» #, Ф)
Положительные кристаллы: e (2(o)-P (2(0) = A»F, N = M»((o)
Отрицательные кристаллы: e (2(0) • P (2(0) = AF, N = N (2(0)
3
N*1 cos2 fl1 (Xu sin 3q>+ + Х22СО8 3ф) — - у N^N^Xu sin 2d
N-^ cos O' (X22 sin Зф —
—Xu созЗф) —
— №2Xai sin O'
32
^o 4Xu cos2 O' sin Зф —
-yiO^Xusin 2»
—М~2Хп cos O' cos Зф
3m
^o4X22 COS2 O' COS Зф
^o2X22 cos O'sin Зф —
— ^72Xsi sin O'
4, 6, со
-yAr№xi4sin 2d
— №xsi sin O'
422, 622, со 2
— у NoX'fo sin 2d
0
4тт> 6mm, сот
0
— №aX3i sin 0-
4
у No* Ne2 sin 2d x
X (X14 COS 2ф+х24 sin 2ф)
NT sin O' ^X3i cos 2ф +
+ уХзв sin 2ф)
42m
у No2Ne 2Xi4 sin 20* cos 2ф
у Ne\^ sin O' sin 2ф
6
N"4 cos2 0* (xn sin Зф +
+ X22 cos Зф)
N"2 cos O'(X22 sin Зф —
—Xu cos Зф)
6m2
N~4X22 COS2 O' COS Зф
N"2X22 cos O' sin Зф
Кристаллофизический аспект генерации третьей гармоники рассматривается аналогично. Так как определяющий ее тензор 6 — четного типа, для генерации третьей гармоники могут использоваться и кристаллы центросимметричных классов, и на симметрию этого эффекта влияет лишь подсистема, а не класс кристалла.
В последних двух параграфах рассмотрена лишь кристаллофизическая сторона некоторых простейших проблем нелинейной оптики. Вообще о нелинейной оптике см. Ахманов и Хохлов (1964); Ахманов (1969); Бломберген (1966), Климонтович (1966); Пекара (1973); Шуберт и Вильгельми (1973).
Оптическая активность кристаллов
Во всех конденсированных средах, в том числе и в кристаллах, имеет место пространственная дисперсия*, вектор электрической поляризации Р (г, t) определяется не только значением вектора напряженности электрического поля Е в той же точке г, но и значениями [его в окрестности этой точки. Если бы электрическое поле было однородно, значения его в окрестности точки г были бы такими же, как и в самой точке г, и пространственная дисперсия никак не проявлялась бы. Поэтому пространственную дисперсию можно, трактовать как зависимость вектора электрической поляризации Р не только от самого вектора Е, но и от его пространственных производных. Ограничиваясь первыми членами разложения, получим р^ацЕ,-^^. р = а.£+р:-^.(81.1)
В кристаллах, у которых тензор 0 отличен от нуля, проявляется пространственная дисперсия первого порядка; такие кристаллы называются оптически активными. В остальных возможна лишь пространственная дисперсия второго порядка: поляризация в них зависит не от первых, а только от вторых пространственных производных напряженности. Мы ограничимся рассмотрением оптической активности (о влиянии пространственной дисперсии второго порядка на оптические свойства кристаллов см. Агранович и Гинзбург, 1979).
В кристаллооптике удобнее рассматривать зависимость напряженности электрического поля Е от электрической индукции D; тогда вместо (81.1) запишем
dDfdD
Et^xxtjDjA-^uh-^, E = x\ D+^’.-^r.(81.2)
Так как для монохроматической волны с волновым вектором к производная dD/dr = iDk, формула (81.2) для нее принимает вид
E1 = k<\ji-Vi'iiimMDb Е—^Л-^-куВ.(81.3)
Выражение в скобках играет роль несколько измененного тензора диэлектрической непроницаемости. Таким образом, пространственная дисперсия приводит к зависимости тензора диэлектрической непроницаемости от волнового вектора, подобно тому как обычная, т. е. временная, или частотная, дисперсия приводит к зависимости
этого тензора от частоты. Формула (81.3) показывает, что добавка к тензору диэлектрической непроницаемости, линейно зависящая от волнового вектора, оказывается чисто мнимой. Поскольку волновой вектор к обратно пропорционален длине волны X (действительно, к = (2л/Х) ш, где т — единичный вектор волновой нормали), эта добавка тоже обратно пропорциональна X. Но так как единственная характеристика бесконечного кристалла, имеющая размерность длины, — это размер элементарной ячейки а, ясно, что порядок этой добавки аГк.
При тех частотах, при которых кристалл прозрачен, тензор диэлектрической непроницаемости т] эрмитов, т. е. его вещественная часть симметрична, а мнимая антисимметрична (см. Ландау и Лифшиц, 1957, § 76, формула (76.4), и Агранович и Гинзбург, 1979, § 1, формула (1.21)). Отсюда следует, что тензор у антисимметричен по первым двум индексам:
ЧЦт = — Ъ)т,(81.4)
т. е. его внутренняя симметрия {V2} V. Соотношение дуальности
{V2}V —eV2(81.5)
позволяет ввести псевдотензор гирации G, дуальный тензору у с точностью до скалярного множителя Х/(2л):
Gm = у Mvn, ^ fun = ^Ап-(81.6)
После этого соотношение (81.3) записывается в форме
Ej = (Пул + ibmGlnmn)Dkl Е = ц • D + ID X G m. (81.7)
Выясним, какие плоские волны могут распространяться в среде, характеризуемой материальным уравнением (81.7). Для этого введем правую систему координат, ось Х3 которой направлена по вектору волновой нормали т, а оси Хх и Х2 совпадают с главными осями центрального сечения оптической индикатрисы кристалла плоскостью волнового фронта: Хх— с большей главной осью, а Х2 — с меньшей. В этой системе координат первые два уравнения (81.7) принимают вид
Ех = ^017^1 + *G33D2,
E^ = — iG^Dx -|- /102^2*
В избранной системе координат D3 = 0 и т]12 = 0, а т]п = п^2 и т)22 = ^1 здесь п01 и /го2 — показатели преломления волн, которые распространялись бы в данном направлении, если бы не было пространственной дисперсии, причем /г01 ^ ^02-
Как известно, из уравнений Максвелла для плоской электромагнитной волны следует, что
Е — тт Е-пЧ)(81.9)
(см. § 34). В нашей системе координат это означает, что Ег = ггЧ>х и £2 = n*4\. Пользуясь этим, исключим Ег и £2 из уравнений (81.8):
(по1-п-2)Ох + 1Сзз^2 = 0,
Полученная система двух однородных линейных уравнений относительно компонент вектора индукции обладает нетривиальным решением лишь при условии равенства нулю ее определителя:
№ - п-^ № - п"2) - 61з = 0.(81.11)
Рассмотрим величину
Р = 2^7 D^ - not)2 +(20зз)2 - № - Ло?)].(81.12)
Из введенного ранее условия пм ^ ц02 следует неравенство | р 1^1, знак же р совпадает со знаком G33. Легко проверить, что решения квадратного уравнения (81.11) имеют вид
rtT2 = «oi-pGS3,„
/i22 = no2 + pG33.1 ‘ '
Так как |G33|^1, а noi и «ог-числа порядка единицы, показатели преломления ^ и п2 с достаточной точностью равны
«1 ^oi + y^oipGag,
1(81.14)
^2 = ^02 "2" ^О2 Р^ЗЗ-
Подставив в систему (81.10) решения «Г2 и п22 из (81.13), найдем отношения компонент векторов индукции Dw и О(2) для волн, распространяющихся со скоростями с/п^ и с/п^ соответственно
О^11 ВТ •/01 ici
ра> дт Ф*(81.15)
Общий вид векторов Dw и Dw, удовлетворяющих соотношениям (81.15):
D(1)=D(I>(0I-Hpe2)exp[t(W1>x3-(o/ + v<^
DW =D<2> (ipei+e2) exp [i (&(2)x3 — oV + <p(2))J,
где D^ exp (hp^) — комплексная амплитуда, kw = ат^с (a = 1, 2). Векторы электрической индукции — вещественные части этих комплексных векторов:
Re Dw =DW [>i cos (^(1)x3 — tot + ф(1)) — p02 sin tkwxa — tot + <P( 101»
Re£)W =DW [—p01sin(^(2)x3 — tot + <p(2))+e2cos(/?(2)x3 — tot + <p(2))].
(81.17)
В любой фиксированной точке пространства концы векторов индукции, определенных этими равенствами, за время Т = 2 л/о> описывают эллипсы, лежащие в плоскости волнового фронта х3 = = const. Действительно, равенства (81.17) можно записать соответственно в виде
( ReDV^D^cos^t-^),
I ReD^^pD^’sin^-^1));
( ReD^^pOWsin^-^2»),1 ‘ '
( Re D?’ =D& cos (tot - -q><2>),
где ip(a) = &(a)x3 + (pla). Формулы (81.18) —параметрические уравнения эллипсов с отношением малой оси к большой, равным |р| (это отношение принято называть эллиптичностью), В табл. 81.1
Таблица 81.1
Поляризация световых волн при различных значениях параметра р (вторая волна распространяется быстрее, чем первая (п2 < п^).
показаны эллипсы, описываемые концами векторов ReD(1) и Re Dw. Таким образом, обе электромагнитные волны, распространяющиеся в оптически активном кристалле в направлении, в котором нормальная составляющая псевдотензора гирации отлична от нуля, эллиптически поляризованы; их эллипсы поляризации имеют одинаковое отношение осей, но повернуты один относительно другого на 90° и обходятся в противоположных направлениях.
Эллиптическая поляризация называется правой, если с точки зрения наблюдателя, который смотрит навстречу свету, вектор D
поворачивается по часовой стрелке, и левой — в противном случае ); табл. 81.1 показывает, что при G33 > 0 волна, распространяющаяся быстрее ф*.4^, имеет правую поляризацию, а при G33 < О — левую.
Оптическая активность ярко проявляется при распространении света вдоль оптической оси кристалла. Тогда п01 = п02 = п0 и
1О«|. Г L если G33>0,,п< ,„х
p = _i^s3L = signG J ’ ,J ’(81.19)
г Оз» 6 33 ( — 1, если G33<0.'’
Равенства (81.18) превращаются при этом в параметрические уравнения окружностей. Поэтому вдоль оптических осей оптически активных кристаллов распространяются циркулярно-поляризованные волны. Их показатели преломления, согласно (81.14) и (81.19), равны
«1 = Ио+4-«о|С33|,
,(81.20)
^2 == «0~2" «0 |G33 | •
И в этом случае при G33 > 0 быстрее распространяется правополяризованная волна, а при GM < 0 — левополяризованная. Показатель преломления левой циркулярно-поляризованной волны обозначают nz или ng (по первым буквам английского слова left или французского gauche), а правой — пг или пд (английское right, французское droit). Очевидно,
rtZ = Пд 4~ "о" Я0^33>
,(81.21)
R-r «о 2 ^о^зз*
Если двупреломление кристалла не очень мало, эллиптичность волны | р | быстро уменьшается с отклонением волновой нормали от оптической оси кристалла. Когда слагаемые в подкоренном выражении формулы (81.12) становятся равными друг другу, | р I = ]/"2 — 1 « 0,414. Легко подсчитать, что у оптически одноосных кристаллов это значение эллиптичности достигается при отклонении волновой нормали на угол О1, определяемый равенством
(8L22)
Так как G33 по порядку величины 10"4 — 10"5, а | N^ — N^ I составляет обычно несколько сотых, угол О* не превышает нескольких градусов. Эту оценку можно распространить и на двуосные кристаллы.
При дальнейшем отклонении волновой нормали от оптической оси эллиптичность становится очень малой и для ее вычисления вместо (81.12) можно пользоваться приближенной формулой
Р = П-2-Л—• (8L23) “0 2 “01
Таким образом, эллиптически-поляризованные световые волны, распространяющиеся в двупреломляющих оптически активных кристаллах, в подавляющем большинстве направлений близки к линейно-поляризованным. Напротив, в оптически активных кристаллах кубической системы и изотропных телах все световые волны поляризованы циркулярно.
Рассмотрим линейно-поляризованный свет, нормально падающий на прозрачную плоскопараллельную пластинку толщины d, выпиленную из оптически активного кристалла перпендикулярно к его оптической оси. Введем правую систему декартовых координат ХхХ2Х3 так, чтобы ось Х3 была направлена по волновой нормали, а ось %х совпадала с направлением колебаний в падающем на пластинку свете. Пусть х3 = 0 — передняя (по отношению к направлению распространения света) поверхность пластинки, х3 = d — задняя.
Вектор электрической индукции световой волны непосредственно перед кристаллом колеблется по закону ех cos со/. Войдя в кристалл, волна распадается на две циркулярно-поляризованные волны равной интенсивности: у левой направление вектора индукции
ех cos (£(Z)x3 — со/) — е2 sin (^(/)х3 — со/), а у правой —
ех cos (к^х3 — tot) + е2 sin (к^х3 — со/);
скорости их to/№ и to/k^ соответственно. Пройдя пластинку, эти волны света снова сольются в одну волну, колебания которой непосредственно за пластинкой характеризует вектор
ех [cos ^k^d — tot) + cos (k^d — co/)] —
— e2 [sin (k^d — tot) — sin (.k^d — co/)],
Выполнив элементарные тригонометрические преобразования и приняв во внимание, что к^ + к^ = 2ton0/c1 а № — к^ = = 2пп№33/к01 где п0 = V2 trit + nr) — средний показатель преломления для света, распространяющегося вдоль оптической оси, а л0 — длина световой волны в вакууме, получим вектор направ-
ления колебаний вышедшей из пластинки волны в виде
L cos - е2 sin \ cos Uz _ М\1.\ Ао Aq / L \ / J
Это значит, что волна, вышедшая из кристалла, тоже линейно поляризована, однако вектор поляризации повернулся по сравнению с первоначальным своим направлением на угол
ф = nn»G33d (gl 2
по часовой стрелке. Поэтому говорят, что при распространении света вдоль оптической оси оптически активных кристаллов происходит вращение плоскости поляризации; если С33 > 0, это правое вращение, если С33 < 0 — левое. Однако необходимо иметь в виду, что в кристалле распространяется вовсе не линейно-поляризованная волна с постепенно поворачивающимся направлением поляризации, а две циркулярно-поляризованные волны, движущиеся с разными скоростями; лишь в результате интерференции этих волн по выходе из кристалла вновь возникает линейно-поляризованная волна, направление поляризации которой составляет с направлением поляризации падающей на кристалл волны угол ф.
Оптическую активность кристаллов часто характеризуют величиной удельного вращения, т. е. поворотом плоскости поляризации на пути в 1 мм.
Оптическая активность кристаллов и, в частности, величина удельного вращения существенно зависят от частоты света; это явление называется дисперсией оптической активности. Если на пластинку, вращающую плоскость поляризации, направить линейно- поляризованный белый свет, то любая монохроматическая составляющая выходящего из него света будет линейно поляризована, но положение плоскости поляризации будет изменяться с длиной волны. Без анализатора такой свет будет восприниматься как белый, пропущенный же через анализатор, он представится окрашенным, и при повороте анализатора окраска его будет меняться.
В интервалах прозрачности кристалла величина удельного вращения а с увеличением частоты света со возрастает, приблизительно как со2, тензор гирации G — приблизительно как со, а тензор оптической активности у сравнительно слабо зависит от частоты. Частотная зависимость этих величин для кристалла кварца (класс 32) приведена в табл. 81.2 (Хо — длина световой волны в вакууме). Видно, что оптическую активность кристалла как такового удобнее рсего характеризовать тензором у. Для этой цели можно использовать также безразмерный параметр G^la, где а — постоянная решетки в направлении распространения света.
Если нормаль к пластинке составляет достаточно большой угол с оптической осью кристалла, изменение характера поляриза-
ции света, проходящего через такую пластинку, будет существенно отличаться от рассмотренного выше. Оптическая активность проявляется теперь в форме эллиптического двупреломления. Используем систему координат, введенную в начале параграфа: ось Х3 совпадает с направлением распространения света, а оси Хг и Х2 — с главными осями центрального сечения оптической индикатрисы плоскостью волнового фронта, ось Хг с большей, а Х2 — с меньшей (^oi > ^02) •
Таблица 81.2
Дисперсия удельного вращения а, компонент псевдотензора гирации б33, тензора оптической активности Х123 и параметра G33X/a в кристалле кварца
^01 нм
а, гр а д/мм
баз» IO"5
V123, пм
G33 Х/а
нм
а, град/мм
баз» IO"5
V123, ПМ
G33 Х/а
686,7
15,55
1,62
1,15
0,0134
486,1
32,69
2,37
1,185
0,0138
656,3
17,22
1,71
1,16
0,0135
430,8
42,37
2,70
1,19
0,0139
^89,3 527,0
21,67
27,46
1,93
2,17
1,17
1,18
0,0136 0,0137
396,9
50,98
2,97
1,20
0,0141
Рассмотрим простой пример: на эллиптически двупреломляющую пластинку падает линейно-поляризованный свет с направлением колебаний ev При отсутствии оптической активности (G33 = 0) он сохранил бы свою поляризацию как в пластинке, так и по выходе из нее. Поэтому все изменения характера поляризации такого света после прохождения им эллиптически двупреломляющей кристаллической пластинки обусловлены исключительно оптической активностью кристалла.
Войдя в кристалл, линейно-поляризованная волна распадается на две эллиптически-поляризованные волны, как показано на рис. 81.1, а. Стрелки показывают направление обхода эллипсов (при G33 > 0), а точки на эллипсах отмечают положение концов векторов D обеих волн в некоторый момент. Эллиптичность р « ~ О33/^п^ — гцГ) на рисунке сильно преувеличена. Отрезок прямой (жирная линия) — сумма обоих колебаний; как и следует, это просто линейно-поляризованные колебания, направленные по оси Xv
Пройдя пластинку с различными скоростями, волны приобретут некоторую разность хода. Так как пх > /г2, волна, описываемая меньшим эллипсом, на выходе из пластинки будет несколько опережать по фазе волну, описываемую большим эллипсом. В частности, если толщина пластинки
+т\ ni — n2 \4 1 / /г01 — п02\4 1 /’
где т — любое целое число (такая пластинка называется «пластинкой в четверть волны»), менее интенсивная волна опередит
более интенсивную на четверть оборота. Эта ситуация изображена на рис. 81.1, б. Сложив оба колебания, убедимся, что в результате интерференции из кристалла выйдет эллиптически-поляризованный свет; эллиптичность его приблизительно равна р и большая ось эллипса колебаний, выделенного жирным на рис. 81.1, б, повернута относительно направления колебаний падающего света на угол Ф ~ р по часовой стрелке.
Для пластинки толщины
d = —(1 + т) Л1 — ^2 \ 21/
(«пластинка в полволны») раз? ность фаз составит л. Из пластинки выйдет эллиптически- поляризованный свет, колебания которого показаны на рис. 81.1, в, жирным эллипсом; эллиптичность его приблизительно равна 2р, а большая ось совпадает с направлением колебаний падающего света. .
6)Рис. 81.1. Интерференция эллиптически- поляризованных волн, распространяющихся в оптически активном кристалле: а) разложение при входе в пластинку линейно-поляризованной волны с направлением колебаний Xi на две эллиптически- пол я ри зова иные волны; б) результат интерференции этих волн после прохождения ими пластинки в четверть волны; в) результат их интерференции после прохождения пластинки в полволны. Эллиптичность для наглядности сильно преувеличена. Направления обхода эллипсов указаны для 633 > 0.6)Рис. 81.1. Интерференция эллиптически- поляризованных волн, распространяющихся в оптически активном кристалле: а) разложение при входе в пластинку линейно-поляризованной волны с направлением колебаний Xi на две эллиптически- пол я ри зова иные волны; б) результат интерференции этих волн после прохождения ими пластинки в четверть волны; в) результат их интерференции после прохождения пластинки в полволны. Эллиптичность для наглядности сильно преувеличена. Направления обхода эллипсов указаны для 633 > 0.Эти эффекты вследствие малости характеризующего их величину параметра р очень малы. Все же при достаточно хорошей аппаратуре их можно заметить, и оптическая активность кристаллов измеряется не только вдоль оптических осей, но и в тех направлениях, в которых существенно проявляется двупреломление (Константинова, Иванов, Гречушников, 1969; Иванов и Константинова, 1970). В результате оказывается возможным получить указательную
6)
Рис. 81.1. Интерференция эллиптически- поляризованных волн, распространяющихся в оптически активном кристалле: а) разложение при входе в пластинку линейно-поляризованной волны с направлением колебаний Xi на две эллиптически- пол я ри зова иные волны; б) результат интерференции этих волн после прохождения ими пластинки в четверть волны; в) результат их интерференции после прохождения пластинки в полволны. Эллиптичность для наглядности сильно преувеличена. Направления обхода эллипсов указаны для 633 > 0.
6)
Рис. 81.1. Интерференция эллиптически- поляризованных волн, распространяющихся в оптически активном кристалле: а) разложение при входе в пластинку линейно-поляризованной волны с направлением колебаний Xi на две эллиптически- пол я ри зова иные волны; б) результат интерференции этих волн после прохождения ими пластинки в четверть волны; в) результат их интерференции после прохождения пластинки в полволны. Эллиптичность для наглядности сильно преувеличена. Направления обхода эллипсов указаны для 633 > 0.
поверхность псевдотензора гирации (см., например, рис. 81.2). Оптическая активность кристаллов характеризуется псевдотензором второго ранга G. Так как он нечетного типа, оптическую активность могут проявлять лишь кристаллы нецентросимметричных классов. В общем случае он не симметричен и может быть разложен на симметричную (Gs) и антисимметричную (Ga) части (см. § 18). Их значение для оптической активности кристаллов далеко не равноценно. В уравнения (81.10), определяющие характер поляризации световых волн в оптически активных кристаллах, входит
компонента G33 псевдотензора гирации, отнесенного к специальной системе координат, в которой ось Х3 направлена по вектору волновой нормали п. В произвольной ( в частности, в кристаллофизической) системе координат эта величина равна пй п— нормальной составляющей псевдотензора G в направлении п. Она полностью определяется его симметричной частью G. Поэтому, рассматривая Поляризацию волн в кристалле, псевдотензор гирации можно
считать симметричным.
В табл. Д.7 указан вид псевдотензора G5 для всех кристаллографических классов. В кристаллографической системе координат он имеет 9 различных форм. Это, однако, вовсе не означает, что имеется 9 классов симметрии оптической активности: приведя выписанные в табл. Д.7 псевдотензоры к главным осям*), убедимся, что таких классов всего четыре. Они перечислены в табл. 81.3.
Тензор гирации зависит от частоты. Это явление называется дисперсией оптической активности. Изменения тензора гирации, обусловленные дисперсией, могут привести к повороту его собственных векторов и, следовательно, к изменению ориентировки тензора гирации относительно кристалла. Разность между числом независимых компонент псевдотензора гирации и числом параметров, характеризующих оптическую активность, как раз и показывает, сколькими величинами задается ориентировка псевдотензора гирации относительно кристалла
Рис. 81.2. Указательная поверхность псевдотензора гирации для правого а-кварца, класс 32. Плюс означает правое вращение, минус — левое; в 10~6.Рис. 81.2. Указательная поверхность псевдотензора гирации для правого а-кварца, класс 32. Плюс означает правое вращение, минус — левое; в 10~6.данного класса.
Рис. 81.2. Указательная поверхность псевдотензора гирации для правого а-кварца, класс 32. Плюс означает правое вращение, минус — левое; в 10~6.
Рис. 81.2. Указательная поверхность псевдотензора гирации для правого а-кварца, класс 32. Плюс означает правое вращение, минус — левое; в 10~6.
Одному и тому же классу симметрии оптической активности может соответствовать несколько классов симметрии ее дисперсии. Так, при симметрии оптической активности 222 симметрия ее дисперсии может быть или 222, или 2, или 1. С аналогичной ситуацией мы уже встречались, исследуя симметрию диэлектрических свойств кристаллов. При симметрии оптической активности 42/тг
также различаются три класса симметрии ее дисперсии: у кристаллов классов 42/тг и mm2 собственные векторы жестко связаны с элементами симметрии кристалла; у кристаллов класса 4 закреплен лишь один собственный вектор, соответствующий нулевому собственному
значению; наконец, у кристаллов класса т собственный вектор, соответствующий нулевому собственному значению, с изменением частоты может поворачиваться, оставаясь все время в плоскости симметрии кристалла, а два других собственных вектора поворачиваются вместе с ним так, чтобы каждый из них все время был наклонен к плоскости симметрии под углом 45°. Всего существует 8 классов симметрии дисперсии оптической активности; они также перечислены в табл. 81.3.
Таблица 81.3
Симметрия оптической активности и ее дисперсии
Собственные значения псевдотензора гирации
К (о<=))
т
X“(G<S>)
п
Кристаллографические и предельные классы, входящие в данный класс дисперсии оптической активности
Ф1) ^ 6(2) ^ 6( 3,
222
3
1
6
1
2
4
2
222
3
222
6(1, = — 6(2), 6(3) = 0
42m
1
т
2
т
4
2
4
42m
1
mm2, 42т
G.i^G^^G.a,
со 2
2
со 2
2
3, 32, 4, 422, 6, 622, со, оо 2
6( 1) = 6(2) = 6(з, Обозначения.
Kto (g(s0 — класс симмет ров, характеризующих о симметричного псевдотенз
ОО ОО
К (G<s>) - рии диспер птическую ора гираци
1
- класс
)СИИ оп активнс
и.
ОО со
симметри тической аь >сть, п — ч
1
и опт
СТИВ ноет исло не
23, 432, coco
ической активности, и, tn — число парамет - зависимых компонент
Оптическая активность проявляется в эллиптическом или циркулярном двупреломлении: проходящий через кристалл монохроматический свет распадается на две эллиптически- или циркулярно-поляризованные волны противоположной ориентации, распространяющиеся с разными скоростями. Для этого необходимо, чтобы была отлична от нуля составляющая псевдотензора гирации в направлении волновой нормали m-G-m, но в§ 44 показано, что такие составляющие могут отличаться от нуля только в винтовых направлениях (см. рис. 44.1, г). Направление является винтовым в том и только в том случае, если в группе симметрии кристалла нет
§ 81] ОПТИЧЕСКАЯ АКТИВНОСТЬ КРИСТАЛЛОВ 529 ни одной из операций, преобразующих данное направление в себя, но превращающих при этом правый винт в левый, а именно: инверсии, отражения в плоскости, перпендикулярной к данному направлению, какого-либо инверсионного (или зеркального) поворота вокруг оси, совпадающей с данным направлением, и, наконец, отражения в любой из плоскостей, содержащих данное направление. Невинтовые и особенные винтовые направления для кристаллов всех классов указаны в табл. В. 1. Если в число операций симметрии кристалла входит инверсия, т. е. кристалл центросимметричен, то ни одно направление в кристалле не может быть винтовым и кристалл, следовательно, не может быть оптически активным.
Если среди операций кристалла нет никаких операций второго рода, т. е. кристалл энантиоморфен, то винтовым является любое направление. Только в таких веществах эллиптическое или циркулярное двупреломление возможно в любом направлении ). Все энантиоморфные вещества в принципе могут существовать в двух модификациях — правой и левой. Псевдотензоры гирации правой и левой модификаций взаимно противоположны: Олев = = —Оправ (табличные значения принято указывать для правой модификации). Поэтому если в некотором направлении в одной из энантиоморфных модификаций быстрее распространяется правополяризованная волна, то в другой модификации в соответственном направлении настолько же быстрее распространяется левополяри- зованная.
Наиболее яркое проявление оптической активности кристаллов — вращение плоскости поляризации света, распространяющегося вдоль оптической оси. В гиротропных средах и в энантиоморфных кристаллах кубической системы оно возможно в любом направлении и удельное вращение во всех направлениях одинаково (для света данной частоты). В энантиоморфных кристаллах средней категории оно возможно в направлении их единственной оптической оси. У кристаллов низшей категории две оптические оси. В классе 222 они симметрически эквивалентны, так что вращение вокруг обеих осей происходит в одном направлении и на одинаковый угол. В классе 1 оптические оси никак между собой не связаны и их удельные вращения различны. В кристаллах же класса 2 может осуществляться как первая ситуация, так и вторая, в зависимости от того, лежит ли ось симметрии в плоскости оптических осей или перпен-
в кристаллах сахара и Обратимся теперь кв кристаллах сахара и Обратимся теперь кРис. 81.3. Вращение плос-Рис. 81.3. Вращение плос-кости поляризации света, распространяющегося вдоль оптических осей в кристалле класса mm2. Стереографическая проекция. Штрих- пунктиром обозначены оптические оси, круговыми стрелками вокруг них — направления вращения плоскости поляризации. По оси аа наблюдается левое вращение, по оси bb — правое той же интенсивности.кости поляризации света, распространяющегося вдоль оптических осей в кристалле класса mm2. Стереографическая проекция. Штрих- пунктиром обозначены оптические оси, круговыми стрелками вокруг них — направления вращения плоскости поляризации. По оси аа наблюдается левое вращение, по оси bb — правое той же интенсивности.
в кристаллах сахара и Обратимся теперь к
в кристаллах сахара и Обратимся теперь к
Рис. 81.3. Вращение плос-
Рис. 81.3. Вращение плос-
кости поляризации света, распространяющегося вдоль оптических осей в кристалле класса mm2. Стереографическая проекция. Штрих- пунктиром обозначены оптические оси, круговыми стрелками вокруг них — направления вращения плоскости поляризации. По оси аа наблюдается левое вращение, по оси bb — правое той же интенсивности.
кости поляризации света, распространяющегося вдоль оптических осей в кристалле класса mm2. Стереографическая проекция. Штрих- пунктиром обозначены оптические оси, круговыми стрелками вокруг них — направления вращения плоскости поляризации. По оси аа наблюдается левое вращение, по оси bb — правое той же интенсивности.
дикулярна к этой плоскости. В действительности, реализуются обе эти возможности: первая в кристаллах винной кислоты, вторая —
рамнозы.
нецентросимметричным кристаллам и сре
дам, группы симметрии которых содержат операции второго рода. Одна из таких групп, а именно оот» запрещает существование
винтовых направлений, а следовательно, и оптической активности. Действительно, любое направление лежит в этом случае в одной
из плоскостей симметрии и поэтому не может быть винтовым нап-
равлением. Так как оптическая активность описывается псевдотензором второго ранга, теорема Германа запрещает оптическую активность и в кристаллах классов Зт» 4тт» бтт» хотя винтовые направления в них существуют. Из теоремы Германа вытекает также невозможность оптической активности в кристаллах классов б, б/и2 и 43/и: заменив в этих классах оси третьего порядка осями бесконечного порядка, получим центросимметричные предельные классы оо !т» oolmm и со сот соответст-
венно.
Таким образом, лишь четыре класса, имеющих операции второго рода, допускают оптическую активность: т» mm2» 4 и 42т. Направления, совпадающие с осями 4 или лежащие в плоскостях симметрии, у них невинтовые. В действительности у всех кристаллов этих классов есть взаимно
перпендикулярные плоскости, состоящие из направлений, в которых оптическая активность не проявляется, потому что симметрия их тензора гирации 42/и. Любое правое винтовое направление в кристаллах такого типа преобразуется опера
циями симметрии второго рода в левое винтовое направление и наоборот. Поэтому правые и левые винтовые направления в этих кристаллах имеются, если можно так выразиться, в равных количествах. Вращение плоскости поляризации света, распространяющегося вдоль оптической оси, возможно лишь в двух классах этого типа: т и mm2 и лишь при условии, что оптические оси не лежат в плоскостях симметрии. В этом случае вдоль обеих оптических осей величина вращения одинакова, а направления его противоположны. Рис. 81.3 иллюстрирует этот вывод на примере вращения плоскости поляризации в кристаллах класса mm2. Оно наблюдалось в кристалле нитрита натрия, принадлежащем этому классу (Chern, Phillips, 1970), и в цинкогерманате натрия Na2ZnGeO4 — класс т (Козырев, Гильварг, Гречушников, Белов, 1973).
На этой длине волны ХобденНа этой длине волны Хобден[010][010]Рис. 81.4. Удельное вращение плоскости поляризации кристалла тиогаллата кадмия (класс 4) в плоскости (001); в К/мм (Hobden, 1969). Видно, что псевдотензор гирации имеет симметрию 42m, но его оси симметрии второго порядка не совпадают с кристаллофизическими осями Хп т. е. [100], и Х2, т. е. [0101.Рис. 81.4. Удельное вращение плоскости поляризации кристалла тиогаллата кадмия (класс 4) в плоскости (001); в К/мм (Hobden, 1969). Видно, что псевдотензор гирации имеет симметрию 42m, но его оси симметрии второго порядка не совпадают с кристаллофизическими осями Хп т. е. [100], и Х2, т. е. [0101.Если у одноосного кристалла оптически активного класса показатели преломления No и Ne при некоторой длине волны становятся равны друг другу, вращение плоскости поляризации света этой длины волны может происходить в любом направлении, допускаемом симметрией оптической активности. Так, у кристалла тиогаллата серебра AgGaS2 (класс 42/тг) двупреломление меняет знак при длине волны X = 4974 А (Hobden, 1968) наблюдал вращение плоскости поляризации; при распространении света вдоль кристаллофизических осей Хг и Х2 удельное вращение имеет, как и следует, противоположные знаки (см. рис. 44.4). Аналогичные наблюдения проведены на кристалле тиогаллата кадмия (класс 4); на рис. 81.4 представлены их результаты.
На этой длине волны Хобден
На этой длине волны Хобден
[010]
[010]
Рис. 81.4. Удельное вращение плоскости поляризации кристалла тиогаллата кадмия (класс 4) в плоскости (001); в К/мм (Hobden, 1969). Видно, что псевдотензор гирации имеет симметрию 42m, но его оси симметрии второго порядка не совпадают с кристаллофизическими осями Хп т. е. [100], и Х2, т. е. [0101.
Рис. 81.4. Удельное вращение плоскости поляризации кристалла тиогаллата кадмия (класс 4) в плоскости (001); в К/мм (Hobden, 1969). Видно, что псевдотензор гирации имеет симметрию 42m, но его оси симметрии второго порядка не совпадают с кристаллофизическими осями Хп т. е. [100], и Х2, т. е. [0101.
Перейдем к рассмотрению антисимметричной части псевдотензора гирации О(о). Антисимметричный псевдотензор второго ранга дуален обычному полярному вектору: е {V2} ~ V; поэтому антисимметричная часть псевдотензора гирации может быть отлична от нуля лишь у тех кристаллов, симметрия которых допускает существование материального вектора, относящихся к пироэлектрическим
. е. у кристаллов и текстур,. е. у кристаллов и текстур,1, 2, 3, 4, 6, оо, т, mm2, Зт, 4mm, бтт, сот.
. е. у кристаллов и текстур,
. е. у кристаллов и текстур,
Среди перечисленных классов наряду с классами, допускающими оптическую активность в обычном ее понимании, есть и такие, которые ее не допускают:
Зт, 4тт, бтт, сот.
Кристаллы и текстуры таких классов мы будем называть слабооптически активными; Агранович и Гинзбург (1979) применяют термин слабо гиротропные. Их псевдотензоры гирации антисимметричны. Характер поляризации света, распространяющегося в слабо оптически активных кристаллах, в высшей степени своеобразен. Векторы электрической индукции всех световых волн, распространяющихся в таких кристаллах, поляризованы линейно. Если бы оптическая активность полностью отсутствовала, то и вектор напряженности электрического поля световой волны был бы поляризован линейно
(хотя, вообще говоря, и выходил бы из плоскости волнового фронта), и всю волну можно было бы считать линейно-поляризованной. При наличии оптической активности вектор напряженности электрического поля связан с вектором электрической индукции материальными уравнениями (81.7), которые в случае слабой активности принимают вид
Е = т) • D + imh • D; (81.25) здесь А —вектор, дуальный антисимметричному псевдотензору G:
G/a = bjkihh hi = у bijkGjk\ (81.26) в кристаллах средней категории он параллелен оптической оси. Для волн, распространяющихся вдоль оптической оси и для всех вообще обыкновенных волн h-D = 0, так что вектор Е обыкновенной волны поляризован линейно. У необыкновенной же волны вектор Е поляризован эллиптически, причем эллипс расположен в плоскости, проходящей через оптическую ось кристалла и волновую нормаль, т. е. перпендикулярной к волновому фронту. Так и должно быть: это единственный вид эллиптической поляризации, возможный в невинтовом направлении. Вектор напряженности Е в течение каждого периода два раза становится чисто продольным, впрочем, в эти моменты он очень мал (^прод ~ hE ампл) в соответствии с малой (порядка А) эллиптичностью.
Слабую оптическую активность кристаллов, по-видимому, впервые отметил Ф. И. Федоров (1959). Она должна проявляться при отражении и преломлении света, поскольку граничные условия требуют непрерывности тангенциальной составляющей вектора напряженности на поверхности раздела.
По вопросам оптической активности кристаллов см., например, Ф. И. Федоров (1959а и 1975); Бокуть, Сердюков и Федоров (1970); В. Н. Александров (1970); Бокуть и Сердюков (1971); Агранович и Гинзбург (1972).
Искусственная оптическая активность
Под искусственной (индуцированной) оптической активностью понимается появление или изменение оптической активности под влиянием внешних воздействий: электрического или магнитного поля, механических напряжений и т. п. Недавно наблюдалось предсказанное ранее (Желудев, 1964) влияние электрического поля на оптическую активность кристаллов — электрогирационный эффект (Влох, 1971) ): в электрическом поле напряженности Е
псевдотензор гирации кристалла равен
(82.1)(82.1)Gt# (Е) = GVp + A ijkEk + BtjklEkEi.
(82.1)
(82.1)
Внутренняя симметрия псевдотензора А равна е [V2]V (слабой оптической активностью пренебрегаем). Это тензор четного типа (его вид показан в табл. Д.14)—для любой подсистемы он совпадает с видом тензора ИР] для энантиоморфного класса этой подсистемы (ср. табл. Д. 11). Хотя тензорам четного типа обращение в нуль обычно не свойственно, этот тензор обращается в нуль для двух подсистем: оо сот и тЗт. Таким образом, в изотропных телах линейный электрогирационный эффект невозможен. В числе классов, в которых этот эффект возможен, много таких, в которых оптическая активность запрещена; они, очевидно, особенно удобны для его наблюдения.
Псевдотензор В внутренней симметрии е[Р]2 — нечетного типа, поэтому в центросимметричных кристаллах квадратичная электро- гирация невозможна. Тензор такого же вида описывает (до сих пор, по-видимому, не наблюдавшееся) влияние механических напряжений на оптическую активность (Ranganath, Ramaseshnan, 1969).
Искусственная оптическая активность под действием магнитного поля, напротив, возможна и в изотропных телах и давно известна. Фарадей еще в 1846 г. обнаружил, что если на изотропное оптически неактивное прозрачное тело, помещенное в однородное магнитное поле, падает в направлении магнитных силовых линий линейно- поляризованный свет, то выходящий из него свет также линейно поляризован, но плоскость его поляризации повернута относительно плоскости поляризации падающего света на угол, пропорциональный длине пути света в веществе и напряженности магнитного поля.
Фарадеева оптическая активность объясняется тем, что в магнитном поле тензор диэлектрической непроницаемости кристаллов (и изотропных тел) несколько изменяется. Из термодинамики необратимых процессов следует, что обусловленная магнитным полем напряженности Н комплексная добавка Дт) = g + fg к тензору диэлектрической непроницаемости т) удовлетворяет соотношению Ai]/* W = Ал*/ к—Н\ или
^W = ^jk-H^ l]k(H) = lkl(-H). (82.2)
С другой стороны, у прозрачных кристаллов эта добавка (как и весь тензор т)) эрмитова, т. е. вещественная ее часть симметрична, а мнимая — антисимметрична:
^к^ = ^^, ^k(H)^-lkj(H). (82.3)
Сравнив условия (82.2) и (82.3), найдем, что £— четные, а | —нечетные функции напряженности магнитного поля. В первом при-
534
ЭФФЕКТЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
[ГЛ. IX
ближении
Zjk^C^mHtH^ е = С:////;
(82.4)
^k = tmHbН*Н.
(82.5)
Тензоры С
и f удовлетворяют соотношениям
Ciklm = Ckjim = Cjkml = Ckjmb
(82.6)
fjkl = — fkjb
(82.7)
Очевидно, наиболее существен эффект, связанный с линейной по Н добавкой it* И к тензору диэлектрической непроницаемости т).
Воспользуемся соотношениями дуальности и заменим антисимметричный по двум индексам псевдотензор f тензором второго ранга F:
FU = у ^ijkfjkb fjkl = bjkmFmb(82.8)
Тогда вместо (82.5) получим
^к = ^kiFlmHm. § = I х F • Н,(82.9)
так что компоненты измененного магнитным полем тензора диэлектрической непроницаемости, если учитывать лишь линейные по Н члены разложения, равны т) + fl х F-//, а соотношение, связывающее напряженность и индукцию электрического поля световой волны, проходящей через помещенный в магнитное поле кристалл, принимает вид
Е^^кЛ-iWimHm^Dk, E = 4\D + iDxF-H. (82.10) Оно очень напоминает материальное уравнение оптически активной среды (81.7) и полностью с ним совпадало бы при отождествлении аксиальных векторов F • Н и G • т. Величине же т • G • ш, количественно характеризующей оптическую активность в направлении т, соответствует псевдоскаляр т • F • Н.
Таким образом, прозрачная среда — изотропная или анизотропная — в магнитном поле становится оптически активной: световые волны, распространяющиеся в ней, эллиптически или циркулярно поляризованы. Это и есть эффект Фарадея. Вообще он очень слаб — обычно значительно слабее естественной оптической активности, поэтому наблюдать его можно лишь в оптически изотропной среде или при распространении света вдоль оптической оси кристалла. При этом вызванная магнитным полем искусственная оптическая активность проявляется во вращении плоскости поляризации: плоскость поляризации линейно-поляризованного света, прошедшего через слой толщины d, поворачивается по сравнению с первоначальным своим положением на угол
F Н(82.11)
ЛоЛо
по часовой стрелке. Здесь п0 — показатель преломления волн, распространяющихся вдоль оптической оси, Хо — длина волны света в вакууме, т — единичный вектор волновой нормали, F — тензор коэффициентов Фарадея. Н — напряженность магнитного поля.
Если среда оптически изотропна, Fu = F6U. и фарадеево вращение плоскости поляризации характеризуется постоянной Верде V = лпо/7/^; у немагнитных веществ (стекло, вода, сероуглерод) она порядка одной угловой секунды на эрстед X сантиметр. В магнитных материалах эффект значительно сильнее; он пропорционален в этом случае не напряженности магнитного поля, а намагниченности материала.
На свет, распространяющийся в направлении т. перпендикулярном к аксиальному вектору F-//, магнитное поле в первом приближении не оказывает никакого влияния; в этом случае нужно учесть квадратичные по Н добавки к компонентам тензора Диэлектрической непроницаемости, определяемые формулой (82.4). Тензор g = С : НН веществен и симметричен; он описывает искусственное двупреломление: в чистом виде, если направление распространения света совпадает с оптической осью кристалла, и на фоне гораздо более сильного естественного двупреломления в противном случае. Это эффект Коттона — Мутона, совершенно аналогичный рассмотренному в § 77 эффекту Керра, но значительно более слабый ). С — тензор Коттона — Мутона внутренней симметрии [V2]2.
Способность вещества приобретать в магнитном поле оптическую активность характеризуется материальным тензором F. Поскольку это свойство проявляют и центросимметричные (в частности, изотропные) вещества, не обладающие магнитной структурой, тензор Фарадея F — четного типа. Отсюда следует, что Р-Н— вектор магнитного типа, т. е. аксиальный вектор, меняющий направление на обратное при инверсии времени. Так как вектор волновой нормали т при инверсии времени также меняет направление на обратное, т-РН оказывается, как и т-й-т. псевдоскаляром электрического типа, т. е. симметрии оо оо Г (см. § 68) ).
Фарадеева оптическая активность по симметрии существенно отличается от естественной. В то время как естественная оптическая активность имеет место только в винтовых направлениях, фарадеева возможна и в невинтовых. Действительно, центросимметричное тело остается таковым и в магнитном поле, потому что последнее также центросимметрично; таким образом, винтовых направлений в нем нет, а вращение плоскости поляризации тем не менее проис-
ходит. В кристаллах и изотропных телах, помещенных в магнитное поле, все направления, для которых нормальная составляющая аксиального вектора F-/7 отлична от нуля, являются аксиальными (см. §§ 14, 44 и приложение В). В таких направлениях отличаются скорости не право- и левополяризованных волн, а волн, у которых направление обхода круга или эллипса поляризации совпадает с направлением аксиального вектора или противоположно ему. Таким образом, при естественной оптической активности, электро- гирации и гипотетической пьезогирации циркулярное (эллиптическое) двупреломление является винтовым, а при эффекте Фарадея в оптически неактивных средах — аксиальным. Различие этих двух типов ярко проявляется, если прошедший через активную среду свет отразить в зеркале и направить по пройденному уже им пути в обратном направлении. При отражении винтовая ориентация света изменяется на обратную (правополяризованный свет превращается в левополяризованный), аксиальная же ориентация остается неизменной. Поэтому при винтовом типе циркулярного или эллиптического двупреломления разность хода, приобретенная двумя волнами при движении в прямом направлении, утрачивается ими при движении в обратном направлении; напротив, при аксиальном типе двупреломления разность хода при движении света в обратном направлении продолжает увеличиваться, что позволяет использовать для усиления эффекта многократное отражение.
Однако название «аксиальный» нельзя понимать буквально. Если бы дело было только в аксиальности направления, циркулярное двупреломление аксиального типа наблюдалось бы при распространении света вдоль оптических осей кристаллов центральных классов средней категории (3, Мт, 6/т) в отсутствие магнитного поля, а оно в этих условиях не наблюдается. Из объяснения эффекта Фарадея ясно, что направлениями циркулярного или эллиптического двупреломления аксиального типа могут служить лишь магнитные аксиальные направления, т. е. направления, симметрия которых не выше oolmm'. Такая диссимметрия направления возможна не только в немагнитной среде под влиянием внешнего магнитного поля, но и в ферромагнитных кристаллах (см. § 70). Поэтому далее фарадеева (аксиальная) оптическая активность рассматривается независимо от того, является она искусственной или естественной. Хотя объяснение естественной фарадеевой оптической активности ферромагнитных кристаллов (см. Кринчик и Четкин, 1969) несколько отличается от приведенного выше объяснения эффекта Фарадея, симметрия в обоих случаях одинакова.
Все логически возможные случаи оптических свойств направлений собраны в табл. 82.1. Наряду с известными уже направлениями циркулярного двупреломления винтового (симметрия оо 2Г) и аксиального ^oolmm^ типов, в ней представлен еще один тип направления, в котором нет ни винтового, ни аксиаль-
Таблица 82.1
Оптические свойства направлений, их символическое изображениеи симметрия
Какой свет может распространяться в данном направлении
При обращении направления распространения скорость света
не меняется
изменяется
для света данной винтовой ориентации
для света данной аксиальной ориентации
естественный
СЕ) ~ СЕ) СО1т,т'^
(^) oolm'm
линейно-поляризованный
| = (
> mmV
| ттт'
циркулярно- поляризованный
(^)-=^®) oojmm'
^^ °°2'
эллиптически- поляризованный
^^^ 2221'
1 ® 1 I 1,
11 1 1 т'тт
Q. 2'2'2
ного циркулярного двупреломления, но вперед и назад свет распространяется с разными скоростями. Входящие в его группу симметрии oolm'm операции превращают правый винт в левый и одну аксиальную ориентацию в другую, но не меняют направления распространения. Диссимметрия, необходимая для линейного двупреломления, рассмотрена в § 25 (там оно называется просто двупреломлением). Сочетание диссимметрий, необходимых для линейного и для циркулярного двупреломления того или иного типа, приводит к эллиптическому двупреломлению соответствующего типа. Табл. 82.1 дает возможность определить оптические свойства любого направления в любом кристалле. Для этого нужно найти группу магнитной симметрии данного направления
0напр = (?Псо/тт1', (82.12)
где G — группа магнитной симметрии кристалла, а ось оо параллельна интересующему нас направлению. Если кристалл подвергается внешним воздействиям — одноосному напряжению, электрическому или магнитному полю, то в соотношение (82.12) вместо G нужно подставить
татаРис. 82.1. Схема взаимного подчинения групп симметрии оптических свойств направлений.Рис. 82.1. Схема взаимного подчинения групп симметрии оптических свойств направлений.
та
та
Рис. 82.1. Схема взаимного подчинения групп симметрии оптических свойств направлений.
Рис. 82.1. Схема взаимного подчинения групп симметрии оптических свойств направлений.
где Овозд — группа магнитной симметрии воздействия: colmmV, comV или оо Iпгт' соответственно. Далее следует определить, какие из десяти групп магнитной симметрии GonT, приведенных в табл. 82.1, являются надгруппами найденной
по формуле (82.12) группы симметрии направления
^опт5.^напр (82.14) и найти среди них низшую — она и определяет симметрию оптических свойств данного направления. Для этого можно воспользоваться схемой взаимного подчинения этих групп — рис. 82.1. Как и обычно, запрещение эффекта носит абсолютный характер, но из того, что он разрешен, еще не следует, что он действительно имеет место. Во всяком случае, у прозрачных магнитоупорядоченных кристаллов можно ожидать весьма своеобразных оптических свойств; некоторые из них предсказываются приведенной таблицей, но до сих пор, по-видимо- му, не наблюдались.
§ 83. Акустическая активность кристаллов
Влияние пространственной дис
персии на распространение упругих
волн в нецентросимметричных кристаллах и гиротропных телах обусловливает акустическую активность — акустический аналог оптической активности (Андронов, 1960). Обобщенный закон Гука (51.3) при учете пространственной дисперсии в первом приближении принимает вид
(83.1)(83.1), , дг^1
(83.1)
(83.1)
° if = cjkl4l + <>Mhln -^— •
Характеризующий пространственную дисперсию упругих свойств кристалла тензор акустической гирации Ь, как. и с, симметричен по первой (//) и по второй (^0 паРе индексов; это позволяет записать (83.1) в форме
пч=cw i^+ьчк1п д^;(83,2)
(ср. переход от формулы (51.3) к формуле (51.13)). Отсюда найдем изменение уравнений эластодинамики (51.14), вызванное учетом пространственной дисперсии:
д2икGsuk d^uj
Cljkl dxi dxt + bi^ln dxi dxi dxn “ p d& *($3,3)
Для плоских волн и = Ар exp [(2л//Х) (т • г — и/)] уравнения (83.3) имеют вид
(83.4)(83.4)\ctjkimimt + (2л1 Д) Ьц^т^т^ рк = р^рр[^ • с • т + (2л//Х) т • b : тт\ • р = ри^р.
(83.4)
(83.4)
Это уравнения Кристоффеля для акустически активных кристаллов. Они показывают, что в кристаллоакустике, как и в теории оптической активности, пространственная дисперсия в первом приближении приводит к появлению чисто мнимой добавки к тензору с, и отсутствие поглощения означает, что комплексный тензор ex,! + (2л//Х) Ь\^птп эрмитов, так что мнимая его часть антисимметрична: Ьх^п = —Ь^п- Таким образом, внутренняя симметрия тензора b есть {[V2]2}V. Поскольку в основное уравнение (83.4) тензор b входит в виде т • b : шт, наиболее существенна его симметричная по первому, четвертому и пятому индексам часть — симметризованный тензор акустической гирации. Для него антисимметричность относительно перестановки первой и второй пар индексов сводится к антисимметричности по второму и третьему индексам, так что его внутренняя симметрия оказывается равной {V2} [V3]. Это позволяет, воспользовавшись соотношением дуальности {V2} [V3] ~ eV [V3], ввести псевдотензор акустической гирации g:
gslln ~ ^sjkbljkln»
2л(83'5)
"^ ^ijkln~^jksSsUn
Посредством псевдотензора g определяется зависящий от направления волновой нормали т аксиальный вектор акустической гирации
Q=g-mmm, Qs=gsUn^imlmn.(83.6)
Он, вместе с введенным в § 56 тензором Кристоффеля М = т • с • т, позволяет привести уравнения Кристоффеля (83.4) к окончательной форме
(M/k + iSjkiQi) pk = ри2Р/,3 7
Mp + tpXQ = py2p.
Таким образом, псевдотензор акустической гирации g внутренней симметрии eV[V3] в основном и определяет акустическую активность кристаллов. У него в общем случае (т. е. для кристаллов класса 1) 30 независимых компонент, в то время как у тензора b с симметрией {[V2]2} V, исчерпывающе описывающего акустическую активность, их 45.
Материальные псевдотензоры eV [V3] в приложении Д не приведены *). Вид этих псевдотензоров для всех нецентросимметричных кристаллографических классов получим посредством разложения их на неприводимые части (см. § 52) — метода, основанного на теории представлений групп. Псевдотензор g представим в виде
g=g<4}+g<31);(83.8)
^w = £{ijkl} ’ &nkl = §ykl — §Ujkn >
таким образом, псевдотензор g^4^ симметричен по всем индексам, ag^31^ —только по трем последним индексам, а при симметрировании по всем индексам обращается в нуль.
Можно показать (для этого и требуется теория представлений), что псевдотензор g^4^ состоит из частей, преобразующихся как псевдоскаляр /, псевдодевиатор D и псевдононор N, a g^31^ —из частей, преобразующихся как вектор V, псевдодевиатор D и септор S. Из этих величин тензоры такой внутренней симмет-
рии, как ^^ и g ^31 \ составляются с точностью до численных коэффициентов однозначно, а именно,
+^К^^^} +ФРПи^П-Ь^(83.9)
Здесь верхними индексами показано, которому тензору g^ или g ^31 принадлежит данный член разложения. Подставляя в это разложение общие формы неприводимых тензоров, инвариантных относительно кристаллографических групп (см. табл. 47.3), получим общий вид псевдотензоров g для соответствующих групп.
Подставив разложение (83.9) в (83.6), найдем общую формулу для аксиального вектора акустической гирации
+ у №*1 -641") W + б^^Ц* 'm/yi, +
(83.10)
<?=/{4}m + mx^31}+^(6(4} + 6(31}).m +
+-^-[m* (б*4^ — D*31)) • m] m + mxSt3*) : mm + S(4) immm.
Пользуясь формулой (83.10), можно для любого нецентросимметричного кристаллографического класса и любого направления волновой нормали т найти вектор Q и записать систему уравнений Кристоффеля (83.7). Решая ее, будем считать, что соответствующая задача кристаллоакустики без учета акустической активности уже решена, т. е. известны скорости yoz и вещественные векторы поляризации р1011 упругих волн, удовлетворяющие уравнениям М • р = ри2р, и выясним, как они изменяются под влиянием акустической активности кристалла.
Рассмотрим сначала случай, когда волновая нормаль т не является акустической осью кристалла. В системе координат, построенной на векторах р^ь, система (83.7) принимает вид
Р (Уо 1 — у2) Pi + 1*0зР2 — ^гРз = 0,
— *СзР1 + Р (уоз — у2) Рг + iQiPa = 0,(83.11)
1Q2P1 — 1Q1P3 + Р № - У2) Рз = 0.
Отношение Q/( ри2) всегда мало — порядка а/Х, где а — параметр решетки, X— длина волны; мы будем считать, что малы и отношения типа Оз/Гр^о — — У5Л, а для этого нужно, чтобы волновая нормаль была достаточно удалена от акустических осей. При этом условии систему (83.11) можно решать приближенными методами. Они дают
yi=voiyi=voiQiQiQiQiР2 (^08^01) Р2 (^02 Уб|)Р2 (^08^01) Р2 (^02 Уб|)D(l) = D<01> _1_*0? п<02>fQ?п(03>р р +р№-^Гр№—»51)^D(l) = D<01> _1_*0? п<02>fQ?п(03>р р +р№-^Гр№—»51)^(83.12)(83.13)(83.12)(83.13)
yi=voi
yi=voi
Qi
Qi
Qi
Qi
Р2 (^08^01) Р2 (^02 Уб|)
Р2 (^08^01) Р2 (^02 Уб|)
D(l) = D<01> _1_*0? п<02>fQ?п(03>
р р +р№-^Гр№—»51)^
D(l) = D<01> _1_*0? п<02>fQ?п(03>
р р +р№-^Гр№—»51)^
(83.12)
(83.13)
(83.12)
(83.13)
Посредством циклической подстановки из (83.12) получим и2 и уз> а из (83.13) — р^ и р,3,е Сравнение этих формул с соответствующими формулами теории оптической активности кристаллов (81.13) и (81.16) показывает, что исследуемое явление очень напоминает распространение света в оптически активном кристалле в направлении, достаточно далеком от оптической оси (когда | п;^ — п;^ | > >> I Сза |). Акустическая активность также проявляется в том, что поляризация
волн вместо линейной становится эллиптической, причем эллиптичность мала — порядок отношения параметра, характеризующего активность, к параметру, характеризующему анизотропию, равен G33/(nof — n^i) в теории оптической активности и О3/[р(Уоз —<О в теории акустической активности. Изменение же скорости, обусловленное активностью, в обоих случаях пропорционально произведению этого отношения на параметр активности, т. е. имеет второй порядок малости.
Интересен частный случай формулы (83.13), когда один из векторов р<оь совпадает с волновой нормалью, т. е. без учета акустической активности волна продольна. Тогда большая ось эллипса колебаний направлена по волновой нормали, а малая лежит в плоскости волнового фронта (ср. с эллипсом колебаний вектора £ при слабой оптической активности, §81). Такая ситуация реализуется, по-видимому, почти на всех продольных нормалях в кристаллах класса 1: с одной стороны, по теореме Ф. И. Федорова (§ 56) каждый такой кристалл имеет по меньшей мере две продольные нормали та\ с другой стороны, нет никаких оснований ожидать, что Q(md>) параллелен та\
Акустическая активность, подобно оптической, наиболее ярко проявляется при распространении упругой волны вдоль одной из акустических осей кристалла. Для анализа уравнений Кристоффеля (83.7) в этом случае отнесем их к системе координат, два орта которой, ех и ^2, лежат в плоскости собственных векторов тензора М, а третьим ортом служит изолированный собственный вектор р^ тензора М, причем орты ех и е2 выберем так, чтобы обращалась в нуль компонента Q2 вектора Q:
р№ — »2)Р1 + «9зР2=0.
— iQsPi + Р № ~ V2) Р2+IQ1P3 = 0, (83.14) — IQiPi+Р (С—v2) рз=0.
Волне, скорость которой о00, а поляризация pt№>, при учете акустической активности соответствует эллиптически-поляризованная волна с малой эллиптичностью; ее скорость и0 и вектор поляризации р(0) определяются формулами
р.в1 = р1№>_ iQv(83.16)
Однако множеству волн, распространяющихся со скоростью и01 и поляризованных в направлениях р(Ф\ при учете акустической активности соответствуют две волны, поляризованные почти циркулярно; их скорости ^ и и2 и поляризации ра> и р(2) определяются формулами
(83.17)(83.17)у2 = у2Q1
(83.17)
(83.17)
1,201 р гр^-о»,)’
Р—^ [«, т - (1 Т -^^ «. - и^Г) Р~]. <«=■'»>
И в этом случае для правильного учета членов первого порядка малости в векторах поляризации необходимо принимать во внимание члены второго порядка малости в выражениях для скоростей.
Как следует из формулы (83.17), акустическая активность кристаллов, подобно оптической, приводит к размыканию поверхностей нормальных скоростей в точках выхода акустических осей. Это видно, в частности, на рис. 83.1.
Как отмечалось в § 56, все оси симметрии выше второго порядка — продольные акустические оси. Если для направления т такой оси псевдовектор акустической гирации Q(m) отличен от нуля, он, очевидно, ей параллелен: Q (т) = = Qm, В этом случае ситуация очень упрощается: продольная волна вообще не
изменяется (и0 = и00, р(0) = р(00)), поперечные же волны поляризованы строго
циркулярно
=(83.19)
р'‘-8, = р=(^ + ^).(83.20)
Таким образом, здесь наблюдается вращение плоскости поляризации поперечных упругих волн. При этом удельное вращение плоскости поляризации равно
а =а =Qco2рт17‘Qco2рт17‘(83.21)(83.21)
а =
а =
Qco2рт17‘
Qco2рт17‘
(83.21)
(83.21)
Поскольку лучшие направления для наблюдения акустической активности кристаллов — акустические оси, важное значение приобретает величина вектора
Рис. 83.1. Поверхности нормальных скоростей поперечных упругих волн частоты 28,9 Ггц и их поляризация вблизи оси Х3: а) в а-кварце, б) в условном 0-кварце. На оси абсцисс — углы от оси Х8 к оси Х2 (в градусах), на оси ординат — скорости в км/с. На эллипсах поляризации горизонтальное направление параллельно оси Х2, вертикальное — оси Xi. Штриховые линии — те же участки поверхностей для волн низкой частоты (Pine, 1971).Рис. 83.1. Поверхности нормальных скоростей поперечных упругих волн частоты 28,9 Ггц и их поляризация вблизи оси Х3: а) в а-кварце, б) в условном 0-кварце. На оси абсцисс — углы от оси Х8 к оси Х2 (в градусах), на оси ординат — скорости в км/с. На эллипсах поляризации горизонтальное направление параллельно оси Х2, вертикальное — оси Xi. Штриховые линии — те же участки поверхностей для волн низкой частоты (Pine, 1971).
Рис. 83.1. Поверхности нормальных скоростей поперечных упругих волн частоты 28,9 Ггц и их поляризация вблизи оси Х3: а) в а-кварце, б) в условном 0-кварце. На оси абсцисс — углы от оси Х8 к оси Х2 (в градусах), на оси ординат — скорости в км/с. На эллипсах поляризации горизонтальное направление параллельно оси Х2, вертикальное — оси Xi. Штриховые линии — те же участки поверхностей для волн низкой частоты (Pine, 1971).
Рис. 83.1. Поверхности нормальных скоростей поперечных упругих волн частоты 28,9 Ггц и их поляризация вблизи оси Х3: а) в а-кварце, б) в условном 0-кварце. На оси абсцисс — углы от оси Х8 к оси Х2 (в градусах), на оси ординат — скорости в км/с. На эллипсах поляризации горизонтальное направление параллельно оси Х2, вертикальное — оси Xi. Штриховые линии — те же участки поверхностей для волн низкой частоты (Pine, 1971).
акустической гирации в направлениях этих осей. Укажем в этой связи, что у кристаллов класса 43 т в направлениях акустических осей (100) и (111) вектср Q (т) обращается в нуль, так как эти направления лежат в плоскостях симметрии.
Поляризация поперечных упругих волн, распространяющихся в кристаллах а- и 0-кварца (классы 32 и 622 соответственно) вдоль главной оси симметрии и в направлениях, близких к ней, а также вид соответствующих участков поверхностей нормальных скоростей этих кристаллов показаны на рис. 83.1 ).
Акустическая активность кристаллов, как и оптическая, определяется безразмерным параметром а/Х — отношением постоянной решетки к длине волны. Поэтому заметные эффекты акустической активности можно получить на гиперзвуковых упругих волнах длины порядка микрометра и частоты порядка гигагерц (Леманов и Смоленский, 1972). Исследование мандельштам-бриллюэновского рассеяния света на циркулярно-поляризованных гиперзвуковых волнах частоты 28,9 Ггц, распространяющихся вдоль главной оси симметрии в кристалле кварца,
§ 831 АКУСТИЧЕСКАЯ АКТИВНОСТЬ КРИСТАЛЛОВ 543 позволило определить удельное вращение плоскости поляризации гиперзвука — на этой частоте оно оказалось равно 1,06 • 105 град/см (Pine, 1971). Отсюда нетрудно найти компоненты тензоров, характеризующих акустическую активность кварца: ^зззз= 5,58 X 109 дин/см2, 631233 = 1,44 -104 дин/см. Для сравнения с оптической активностью удобнее перейти к другим величинам: сопоставление формул (81.24) и (83.21) показывает, что отношение £3333/ри2 = 9,57 «10"3 аналогично произведению п^О33э отношение 631233/ри2 = 247 пм — произведению /IqY123, наконец, отношение g3333X/apv2 = 2,88 — параметру n^G33X!a. Таким образом, при сравнении этих величин со значениями G33l у12а и G3^la, приведенными в табл. 81.2, последние должны быть умножены на п| « 2,4. Однако и после этого оказывается, что акустическая активность в кварце проявляется почти в 100 раз сильнее, чем оптическая.
По вопросам, затронутым в этой главе, см. Агранович и Гинзбург (1965); Ахманов (1969); Ахманов и Хохлов (1964); Бир и Пикус (1972); Бломберген (1966); де Гроот и Мазур (1964); Желудев (1968, 1969, 1976); Климонтович (1966); Ландау и Лившиц (1957); Ландсберг (1957); Мэзон (1967); Пекара (1973); Сонин и Василевская (1971); Терстон (1967); Хаазе (1967); Шуберт и Вильгельми (1973); Ramachandran and Ramaseshan (1961).
ГЛАВАХ
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПРОБЛЕМЫ
кристаллофизики
§ 84. Экстремальные задачи кристаллофизики
Для практических применений кристаллов особенно важно определение направлений, в которых данное свойство кристалла принимает максимальные или минимальные значения. Такие задачи возникают во всех разделах кристаллофизики, но для того чтобы получить представление о методах их решения, достаточно ограничиться каким-нибудь одним свойством. Здесь с этой целью рассматриваются три задачи из теории пьезоэлектрического эффекта.
Задача 1. Как следует выпилить из данного пьезоэлектрического кристалла пластинку, чтобы плотность заряда, возникающего на ее накоротко замкнутых обкладках под действием одноосного напряжения, перпендикулярного к плоскости пластинки, была максимальна? Рассмотреть случаи: а) кристалл кварца (класс 32); б) кристалл класса продольной пьезоэлектрической симметрии 43m; в) кристалл или текстура класса продольной пьезоэлектрической симметрии оо т.
Решение. Общая часть. Как показано в § 59, плотность заряда при этих условиях пропорциональна форме третьей степени М от компонент единичного вектора нормали к плоскости пластинки пл
М (п) = \ \nnn = ftkininknb(84.1)
где f — тензор продольного пьезоэлектрического эффекта (см. §58). Требуется найти векторы п единичные, т. е. удовлетворяющие условию
ф ^ = п*п— 1 =0,(84.2)
и такие, чтобы функция М (л) была экстремальна.
Для решения задачи составим функцию
Р = М —у ХФ,
где X — неопределенный пока множитель Лагранжа, а коэффициент 3/2 добавлен для упрощения дальнейших выкладок. Искомые значения компонент гц и множителя X находим как решения системы, состоящей из четырех уравнений: уравнения (84.2) и трех уравнений, соответствующих векторному уравнению др 1дп = 0. Последнее можно записать в виде
f: пп—Хм = 0, fihinknl — Xni = 0.(84.3)
Скалярно умножив обе части уравнения (84.3) на п, найдем
X = И ппп = ftbanin^nt.(84.4)
Очевидно, здесь гц — компонента одного из векторов nts\ для которых функция М (и) достигает экстремального (или по крайней мере стационарного) значения Хш = М (п^).
Дальнейшие выкладки будем проводить для отдельных конкретных случаев.
Решение задачи 1а. Подставим в уравнения (84.3) неисчезающие компоненты тензора продольного пьезоэлектрического эффекта для кристаллов класса 32 (по табл. 58.2). Обозначив flu = —f122 = —/212 = —/221 = А получим
f ^ — п^—кп^О,(84.5а)
— 2fnin2—Хп2 = 0,(84.56)
— Хп8 = 0.(84.5в)
Формула же (84.4) примет вид
X=f/ii (п?—Зп2).
Решение системы (84.5) начнем с уравнения (84.5в). Очевидно, либо X = О, либо Лз = 0. В первом случае из (84.5а) следует п^ = л|, что совместимо с (84.56), только если пт= п2= 0. Теперь из (84.2) получаем л3 = ± 1. Таким образом, первые решения таковы:
(84.6)(84.6)л<1> = е3,। пт» л2||<0001>,
(84.6)
(84.6)
л(2) =— ^з, J X(d =Х(2) = 0
Обратимся ко второй возможности: п3 = 0. Из (84.56) следует, что либо Лг = 0, либо 2fnT + X = 0. В первом случае ^ = ± 1 и X = ± f. Во втором случае возможны все четыре комбинации: л1 = ±1/2, ^ = ±1^3/2. При этом X = = —2nJ. Таким образом, получаются следующие решения:
га,4, = —^i + ^e2,га,4, = —^i + ^e2,п'3’, п14', w,6‘IJ (21Ю>, ^(3) = ^i4) = ^(Б) = Ап'3’, п14', w,6‘IJ (21Ю>, ^(3) = ^i4) = ^(Б) = А
га,4, = —^i + ^e2,
га,4, = —^i + ^e2,
п'3’, п14', w,6‘IJ (21Ю>, ^(3) = ^i4) = ^(Б) = А
п'3’, п14', w,6‘IJ (21Ю>, ^(3) = ^i4) = ^(Б) = А
(84.7)(84.7)п"», п'1', п'8' || <2110), ^(6) —Xq^ = Х(8) = Ап"», п'1', п'8' || <2110), ^(6) —Xq^ = Х(8) = А
(84.7)
(84.7)
п"», п'1', п'8' || <2110), ^(6) —Xq^ = Х(8) = А
п"», п'1', п'8' || <2110), ^(6) —Xq^ = Х(8) = А
n^ = — ev пп,= у ^1— ^-62, n'8, = ^-^i+^e2,
Векторы п^\ п^4^ и п^ симметрически эквивалентны; неудивительно, что всем им соответствует одно и то же значение X = f. Три вектора, которым соответствует X = —f, также, конечно, симметрически эквивалентны друг другу. Ясно, что решения (84.7) соответствуют экстремумам функции М (л), каким именно, — зависит от знака коэффициента f = fni. Решение же (84.6) не соответствует экстремуму. Таким образом, экстремальными направлениями для продольного пьезоэлектрического эффекта в кристаллах кварца (и вообще в кристаллах с симметрией продольного пьезоэлектрического эффекта 6/л2) служат оси второго порядка. Все это видно на стереографической проекции указательной поверхности единичного септора S°[6m2] (см. рис. 47.4); нужно лишь обратить внимание на расположение координатных осей.
"18 К). И. Сиротин, М, П. Шаскольская
Решение з а д а ч и 1 б. Для кристаллов с симметрией продольного пьезоэлектрического эффекта 43m уравнения (84.3) принимают вид
(84.8)(84.8)2fzi2/l3 —Х/2^0,2/^3^! — Хп^ = О,2/^^2 —Хл3 = 0,
(84.8)
(84.8)
где обозначено f123 = f. Согласно формуле (84.4) X = ^п^п^. Подставив значение X в уравнения (84.8), получим систему
п2л3 (1—3^2) = о,
n3«i (1 — 3«1) = 0,(84.9)
^1^2 (1—Зп2) = о.
Нетрудно убедиться, что система (84.9) имеет три симметрически эквивалентных набора решений
, п^ ||<100>, = Х(в) =0;, п^ ||<100>, = Х(в) =0;(84.10)(84.10)м<1» 2) -п- -I- О
, п^ ||<100>, = Х(в) =0;
, п^ ||<100>, = Х(в) =0;
(84.10)
(84.10)
„С8, 4) = ±е I >_
П(6, в) ^ ± ^ ) d>
«<” = ^= (^ + ^+63). n,8,= ^ (е,-^-е8), п'»’ = ^(— е,+е2—ез), n,10,=j^= (—61-62+63). nlUI = р^ — ^*+^+^*)> П,12,=Т7=(^1-»2+^з). п(13) =^(^ + 62-^3), и*14* = ^= (— 61 - е2—63),«<” = ^= (^ + ^+63). n,8,= ^ (е,-^-е8), п'»’ = ^(— е,+е2—ез), n,10,=j^= (—61-62+63). nlUI = р^ — ^*+^+^*)> П,12,=Т7=(^1-»2+^з). п(13) =^(^ + 62-^3), и*14* = ^= (— 61 - е2—63),п^ п'^ЧКШУп^ п'^ЧКШУХ(7)—...A(1U1у-^Х(7)—...A(1U1у-^л(11\л(11\Хаи —Хаи —, лП4) ||(Ш), -х(М)—^., лП4) ||(Ш), -х(М)—^.(84.11)(84.11)(84.12)(84.12)Очевидно, и в этом случае набор решений (84.10) не соответствует какому бы то ни было экстремуму, а наборы (84.11) и (84.12) соответствуют экстремальным значениям функции М (п): если коэффициент f = f123 положителен, то при любом ntS) из набора (84.11) функция М (л) достигает максимального, а при n(Si из набора (84.12) — минимального значения. Анизотропия продольного пьезоэлектрического эффекта такой симметрии изображается указательной поверхностью септора S°[43m], стереографическая проекция которой представлена на рис. 47.3.Решение задачи 1в. Эту задачу удобнее решать, не обращаясь к методу неопределенных множителей Лагранжа. Запишем М как функцию угла -0* = arccos ^n*e^t для чего воспользуемся формулами (58.10)—(58.14) и табл. 47.4:Очевидно, и в этом случае набор решений (84.10) не соответствует какому бы то ни было экстремуму, а наборы (84.11) и (84.12) соответствуют экстремальным значениям функции М (п): если коэффициент f = f123 положителен, то при любом ntS) из набора (84.11) функция М (л) достигает максимального, а при n(Si из набора (84.12) — минимального значения. Анизотропия продольного пьезоэлектрического эффекта такой симметрии изображается указательной поверхностью септора S°[43m], стереографическая проекция которой представлена на рис. 47.3.Решение задачи 1в. Эту задачу удобнее решать, не обращаясь к методу неопределенных множителей Лагранжа. Запишем М как функцию угла -0* = arccos ^n*e^t для чего воспользуемся формулами (58.10)—(58.14) и табл. 47.4:УИ (О') = Г k cos 0 -j ^ ^5 (3 cos О -[- 5 cos 30).УИ (О') = Г k cos 0 -j ^ ^5 (3 cos О -[- 5 cos 30).
«<” = ^= (^ + ^+63). n,8,= ^ (е,-^-е8), п'»’ = ^(— е,+е2—ез), n,10,=j^= (—61-62+63). nlUI = р^ — ^*+^+^*)> П,12,=Т7=(^1-»2+^з). п(13) =^(^ + 62-^3), и*14* = ^= (— 61 - е2—63),
«<” = ^= (^ + ^+63). n,8,= ^ (е,-^-е8), п'»’ = ^(— е,+е2—ез), n,10,=j^= (—61-62+63). nlUI = р^ — ^*+^+^*)> П,12,=Т7=(^1-»2+^з). п(13) =^(^ + 62-^3), и*14* = ^= (— 61 - е2—63),
п^ п'^ЧКШУ
п^ п'^ЧКШУ
Х(7)—...A(1U1у-^
Х(7)—...A(1U1у-^
л(11\
л(11\
Хаи —
Хаи —
, лП4) ||(Ш), -х(М)—^.
, лП4) ||(Ш), -х(М)—^.
(84.11)
(84.11)
(84.12)
(84.12)
Очевидно, и в этом случае набор решений (84.10) не соответствует какому бы то ни было экстремуму, а наборы (84.11) и (84.12) соответствуют экстремальным значениям функции М (п): если коэффициент f = f123 положителен, то при любом ntS) из набора (84.11) функция М (л) достигает максимального, а при n(Si из набора (84.12) — минимального значения. Анизотропия продольного пьезоэлектрического эффекта такой симметрии изображается указательной поверхностью септора S°[43m], стереографическая проекция которой представлена на рис. 47.3.
Решение задачи 1в. Эту задачу удобнее решать, не обращаясь к методу неопределенных множителей Лагранжа. Запишем М как функцию угла -0* = arccos ^n*e^t для чего воспользуемся формулами (58.10)—(58.14) и табл. 47.4:
Очевидно, и в этом случае набор решений (84.10) не соответствует какому бы то ни было экстремуму, а наборы (84.11) и (84.12) соответствуют экстремальным значениям функции М (п): если коэффициент f = f123 положителен, то при любом ntS) из набора (84.11) функция М (л) достигает максимального, а при n(Si из набора (84.12) — минимального значения. Анизотропия продольного пьезоэлектрического эффекта такой симметрии изображается указательной поверхностью септора S°[43m], стереографическая проекция которой представлена на рис. 47.3.
Решение задачи 1в. Эту задачу удобнее решать, не обращаясь к методу неопределенных множителей Лагранжа. Запишем М как функцию угла -0* = arccos ^n*e^t для чего воспользуемся формулами (58.10)—(58.14) и табл. 47.4:
УИ (О') = Г k cos 0 -j ^ ^5 (3 cos О -[- 5 cos 30).
УИ (О') = Г k cos 0 -j ^ ^5 (3 cos О -[- 5 cos 30).
Здесь Fv и Fs — коэффициенты разложения тензора f по единичным неприводимым тензорам V [оо т\ и S [оо т\. Задача сводится к определению значений угла -О*, при которых функция М (О*) экстремальна. Для этого нужно решить уравнение dMld^ = 0, которое приводится к виду
sin б[— Fy + ^fs (4-5 sin2 6)] = 0.(84.14)
При любых соотношениях между Fv и Fs оно имеет решения
»а)=°> *(2)=«’ ^W^CM^s),(84-15)
а при достаточно малом по абсолютной величине отношении FvlFSt именно при выполнении неравенства
^FvIFs^-^,(84.16)
также и решения
6(3, = arcsin j^ У — у (Fv/Fs), 614, = л — 6(3„
М (6.3.4,) = ± (у ^-^s) ]/у + у (FviFs) •(84Л?)
Оба случая — двух экстремумов и четырех экстремумов — можно видеть на рис. 58.1. Для разграничения векторного и септорного типов анизотропии продольного пьезоэлектрического эффекта симметрии oom естественно использовать именно число экстремумов; таким образом, при выполнении неравенства (84.16) имеет место септорный, а при невыполнении — векторный тип анизотропии.
Этот пример показывает, что хотя направления, связанные с элементами симметрии, очень часто оказываются экстремальными, тем не менее экстремальные значения могут достигаться и на направлениях, не имеющих с элементами симметрии ничего общего.
Задача 2. Как следует выпилить из данного пьезоэлектрического кристалла пластинку, чтобы плотность заряда, возникающего на ее накоротко замкнутых обкладках под действием одноосного растяжения в заданном направлении, лежащем в плоскости пластинки, была экстремальна?
Решение. Как показано в § 59, плотность заряда при этих условиях пропорциональна выражению
М (n) = n-d: qq = A • п,(84.18)
где п — единичный вектор нормали к пластинке, d — тензор пьезоэлектрических коэффициентов, q — единичный вектор направления растяжения, вектор А = = d : qq. Нужно найти вектор п, единичный и перпендикулярный к q;
Ф1 (п) = п • п — 1 =0, Ф2 (л) = q • л = 0,(84.19)
и такой, чтобы функция М (п) была экстремальна. Составим для этого функцию
где X и р — неопределенные множители Лагранжа, Искомые векторы п удовлетворяют уравнениям (84.19) и
= А - Хп - и = 0.(84,20)
Скалярно умножим уравнение (84.20) на q и, приняв во внимание, что q -п = 0, найдем ц = A-q. Скалярно умножив (82.20) на п, получим Х= А • п. Наконец, скалярно умножив (84.20) на А, вычислим А-п= К/T2 — (Л *^)2. Подставив все найденные величины в (84.20), получим решение поставленной задачи:
n=Л4 = /А2-(Д .0)2.(84.21)
/Л2-(Л9-)2'4V
Задача 3. Из пьезоэлектрического кристалла выпилена пластинка, ориентировка которой задана единичным вектором нормали к ее плоскости п. Как должно быть направлено одноосное растяжение, лежащее в плоскости пластинки, чтобы была экстремальна: а) плотность заряда, возникающего на ее замкнутых накоротко обкладках; б) разность потенциалов на ее разомкнутых обкладках.
Решение. Как плотность зарядов, возникающих под действием одноосного растяжения на замкнутых накоротко обкладках, так и разность потенциалов, появляющаяся под действием этого растяжения на разомкнутых обкладках, пропорциональны функции
м (?) = Bblqkqi = B:qq,(84.22)
где q — единичный вектор направления растяжения. Для плотности зарядов тензор В= n«d, а для разности потенциалов В= n-d/(n - и • л); здесь d — тензор пьезоэлектрических коэффициентов, х — тензор диэлектрической проницаемости. Задача сводится к отысканию векторов q, удовлетворяющих условиям
Ф1 (^) = ^* ^—1=0, Ф2 ^q) = n- q = ^,(84.23)
при которых функция М (q) достигает экстремального значения. Для этого строится вспомогательная функция
В=уЛ4-1хФ1 + цФ«
с неопределенными множителями Лагранжа А и ц и решается система, состоящая из уравнений (84.23) и
dFдр
^ = B.q—lq+ixn, ■^ = Bklql — Xqk-Vy.nk.(84.24)
Такая задача подробно рассмотрена в § 37, см. формулу (37.7) и далее. Там показано, что фигурирующие в задаче тензоры и векторы удобно отнести к координатной системе, ось Х3 которой направлена по вектору п. Сделав это, найдем экстремальные значения функции М = В : qq, а именно
Ха.2. = у [(5н + 522) ± /(Bu-B^ + W2](84.25)
и систему уравнений для определения компонент q^ и q^ (s = 1, 2):
компонента же q^ = о.
Вообще экстремальные задачи кристаллофизики, как показывают даже и немногие приведенные здесь примеры, достаточно разнообразны и подчас довольно сложны. Все они объединяются, по-видимому, не только общим характером задачи, но и общим методом ее решения — методом неопределенных множителей Лангранжа. Задача 1 в, решенная другим способом, не опровергает, а ско-
рее подтверждает это заключение: в ней потому и удалось обойтись без метода неопределенных множителей, что симметрия пьезоэлектрических свойств среды характеризуется не кристаллографической, а предельной группой.
§ 85. Проблема сравнения тензорных свойств кристаллов
Имея дело со скалярными свойствами кристалла — такими, как плотность и теплоемкость, — не представляет никакого труда определить, когда у двух веществ эти свойства совпадают или близки по величине. В этом случае нет никакой проблемы. Если перейти к рассмотрению векторных свойств — скажем, пироэлектрических коэффициентов, — уже можно говорить о проблеме сравнения этих свойств, хотя и в данном случае она легко решается: очевидно, пироэлектрические свойства двух кристаллов одинаковы, если совпадают суммы квадратов пироэлектрических коэффициентов
Р?Р? = Р?рТ. (85.1)
Эти свойства близки, если выражения (85.1), хотя и не равны, но достаточно мало отличаются друг от друга. Так, к турмалину, кристаллу класса З/тг, вектор пироэлектрических коэффициентов которого р^ = 1,2е3 (в ед. СГСЭ), был бы очень близок по пироэлектрическим свойствам гипотетический кристалл класса 1 с вектором пироэлектрических коэффициентовр^ = 0,4^ + 0,8я2 + 0,8е3 (в тех же единицах).
Проблема сравнения свойств все еще довольно проста, если интересующее нас свойство описывается симметричным тензором второго ранга: для совпадения таких свойств необходимо и достаточно, чтобы совпали собственные значения сравниваемых материальных тензоров.
Рассмотрим вопрос о сравнении произвольного тензорного свойства у двух кристаллов, принадлежащих к одному классу. Точнее, мы будем предполагать, что вид соответствующего материального тензора у обоих кристаллов одинаков.
Здесь следует различать два случая. Если у данного тензора независимых инвариантов столько же, сколько независимых компонент, необходимым и достаточным условием совпадения свойств является равенство всех компонент материального тензора одного кристалла одноименным компонентам материального тензора другого кристалла: А V* ••• к = А?' ••• к-
Если же у данного материального тензора числа независимых компонент и независимых инвариантов не совпадают, вопрос значительно усложняется. Как разъяснено в § 47, тензор как геометрический объект характеризуется своими инвариантами. Если независимых компонент больше, чем независимых инвариантов, значит, симметрия кристалла допускает поворот материального тензора данного типа как твердого тела относительно кристаллической
структуры (и связанной с нею кристаллофизической системы координат). При этом может случиться, что несовпадение компонент двух материальных тензоров относительно кристаллофизических систем координат вызывается не различием этих тензоров как геометрических объектов, а просто тем, что они по-разному ориентированы относительно кристаллофизических систем. Отсюда следует, что прежде чем сравнивать такие тензоры, их нужно одинаково сориентировать; если материальные тензоры ориентированы одинаково, то при совпадении соответствующего свойства все компоненты одного тензора тоже равны одноименным компонентам другого.
Проблема сравнения тензорных свойств свелась к тому, чтобы добиться одинаковой ориентации двух материальных тензоров. Рассмотрим два примера.
Сравниваются пьезоэлектрические свойства двух кристаллов класса т. У тензора пьезоэлектрических коэффициентов d для этого класса 10 независимых компонент, инвариантов же только 9; «лишняя» компонента характеризует поворот тензора в плоскости симметрии т I Х2. Рассмотрим вектор d = d : I с компонентами di = dtkk, характеризующий пьезоэлектрический эффект под действием гидростатического сжатия. В этом классе он имеет вид (см. табл. 58.2)
^ = №i + ^12 “Н dx^ вх + (d31 + d32 + d33).#3 = dxex 4" d3#3. (85.2)
Назовем «собственной» системой координат XxX^X^ тензора d такую, у которой ось Х\ направлена по вектору d; угол ср ее поворота относительно кристаллофизической системы ХхХ2Х3 определяется из уравнения
dy = dx sin ср + d3 cos ср = 0 (85.3)
при дополнительном условии
dp = dx cos ф — d3 sin ф > 0. (85.4)
Отнеся каждый тензор к его собственной системе, можно уже сравнивать компоненты тензоров.
Подчеркнем, что собственную систему координат можно ввести и другими способами (например, считать собственной систему Х^Х^Хз, определяемую условиями d^ = 0, ^22 > 0); любая разумно определенная собственная система пригодна для сравнения материальных тензоров.
Следуя Новожилову (1958, гл. V, §§ 19, 20), рассмотрим еще проблему сравнения упругих свойств кристаллов триклинной системы. Тензор коэффициентов упругой податливости s имеет 21 независимую компоненту и лишь 18 независимых инвариантов. В качестве его собственной системы координат можно использовать, скажем, систему, построенную на собственных векторах симметричного тензора второго ранга S — s : 1 (его компоненты Sy = sljkk).
Для сравнения компонент тензоров упругой податливости разных кристаллов нужно сначала отнести каждый тензор к его собственной координатной системе. В этом случае собственную систему тоже можно выбрать по-другому, например, построив ее на собственных векторах симметричного тензора второго ранга Z с компонентами Zl} = slbjk (см. табл. 53.1 и 54.1).
Перейдем к вопросу о сравнении тензорных свойств кристаллов разных классов, когда вид сравниваемых тензоров различен; ограничимся важнейшим для кристаллофизики частным случаем, когда один из классов — подгруппа другого.
Обратимся сразу к примерам. Допустим, нужно сравнить упругие свойства кубической и тетрагональной модификаций кристалла титаната бария. Эти модификации отличаются одна от другой лишь небольшим смещением атомов (см. § 64), и, сравнивая их упругие свойства, естественно потребовать, чтобы координатные системы в обеих модификациях были одинаково ориентированы относительно структуры. В данном случае элементарная ячейка тетрагональной модификации отличается от ячейки кубической модификации лишь небольшой деформацией в направлении тетрагональной оси. Поэтому уже стандартные кристаллофизические системы координат одинаково ориентированы относительно структуры, так что можно непосредственно сравнивать табличные значения компонент тензоров упругой податливости обеих модификаций титаната бария.
Кристалл трехокиси вольфрама WO3 также имеет кубическую и тетрагональную модификации, и одна из них получается из другой также лишь небольшим смещением атомов, но элементарная ячейка тетрагональной модификации существенно отличается от ячейки кубической модификации: одно ее ребро совпадает с ребром кубической ячейки, а два других — с диагоналями граней кубической ячейки. Поэтому кристаллофизические системы обеих модификаций различно ориентированы относительно структуры; чтобы получить две системы одинаково ориентированные относительно структуры, нужно одну из кристаллофизических координатных систем, скажем, тетрагональную, повернуть на 45° вокруг тетрагональной оси. Хотя в повернутой системе координат тензор коэффициентов упругой податливости будет иметь тот же общий вид, как и в исходной кристаллофизической системе координат, но компоненты его изменяются; как нетрудно подсчитать, компоненты «повернутого» тензора выражаются через компоненты исходного следующим образом:
$п — °/2 s12 + ^/2 S]3
0
0
0 -
su — ^/2 sl3
0
0
0
S33
0
s44
0
0
о .(85.5)
S44
0
$66 ~h 2a_
где а = sn — s12 — s06/2. Именно линейные комбинации, приведенные в этой таблице, а вовсе не кристаллофизические коэффициенты упругой податливости тетрагональной модификации трех- окиси вольфрама, следует сравнивать с одноименными компонентами тензора упругой податливости кубической ее модификации.
Аналогичная ситуация возникает при сравнении пьезоэлектрических и упругих свойств двух кристаллических модификаций сульфида цинка ZnS — сфалерита (класс 43/и) и вюрцита (класса йттУ Для того чтобы можно было непосредственно сравнивать пьезоэлектрические коэффициенты и коэффициенты упругой податливости обеих модификаций, запишем материальные тензоры кубической модификации в системе координат, в которой ось Х3 направлена по оси третьего порядка, а Хг — по нормали к одной из проходящих через нее плоскостей симметрии *). Тензор коэффициентов упругой податливости примет при этом вид
$и — а[2 $i2~H^/6 $1з 4^/3а/2/300$и — а[2 $1з4*#/3— а/2/300$и — 2я/3000$44+4а/300’$44 4” 4а[32а/2/3$44 + 2а/3_$и — а[2 $i2~H^/6 $1з 4^/3а/2/300$и — а[2 $1з4*#/3— а/2/300$и — 2я/3000$44+4а/300’$44 4” 4а[32а/2/3$44 + 2а/3_(85.6)(85.6)
$и — а[2 $i2~H^/6 $1з 4^/3
а/2/3
0
0
$и — а[2 $1з4*#/3
— а/2/3
0
0
$и — 2я/3
0
0
0
$44+4а/3
0
0’
$44 4” 4а[3
2а/2/3
$44 + 2а/3_
$и — а[2 $i2~H^/6 $1з 4^/3
а/2/3
0
0
$и — а[2 $1з4*#/3
— а/2/3
0
0
$и — 2я/3
0
0
0
$44+4а/3
0
0’
$44 4” 4а[3
2а/2/3
$44 + 2а/3_
(85.6)
(85.6)
где a = sn —s12 —$44/2, а тензоргде a = sn —s12 —$44/2, а тензортов — видтов — видпьезоэлектрических коэффициенпьезоэлектрических коэффициен
где a = sn —s12 —$44/2, а тензор
где a = sn —s12 —$44/2, а тензор
тов — вид
тов — вид
пьезоэлектрических коэффициен
пьезоэлектрических коэффициен
ОО 'd//§— dfVe— d/2V3 —d/2V3ОО 'd//§— dfVe— d/2V3 —d/2V3О0— d/Уз 2d/V6
ОО '
d//§— dfVe
— d/2V3 —d/2V3
ОО '
d//§— dfVe
— d/2V3 —d/2V3
(85.7)(85.7)О — d/Уз О Оd/УзООО
(85.7)
(85.7)
где d = d14. Лишь записав тензор коэффициентов упругой податливости сфалерита в форме (85.6), а тензор его пьезоэлектрических коэффициентов — в форме (85.7), имеет смысл сравнивать эти тензоры с соответствующими материальными тензорами вюрцита.
Последний пример: сравним диэлектрические, пьезоэлектрические и упругие свойства двух кристаллически^ модификаций дигидрофосфата калия — тетрагональной (класс 42/и) и ромбической (класс mm2). Из правил выбора кристаллофизических систем координат (см. приложение А) ясно, что для того чтобы можно было сравнивать тензорные свойства этих двух модификаций, тензоры
одной из них необходимо отнести к системе координат, повернутой относительно кристаллофизической на 45° вокруг оси Х3. Фазовый переход, связывающий эти две модификации, рассматривается в § 65 (см. также табл. 64.1 и 65.1); для этого рассмотрения удобнее материальные тензоры тетрагональной модификации отнести к кристаллофизической системе координат, а материальные тензоры ромбической модификации — к повернутой. При этом последние принимают вид
[А'/'] —[А'/'] —Х11 + Х222Х11 + Х222-+- Хц Ч- Х220~Х11 + Х22 qИзз--+- Хц Ч- Х220~Х11 + Х22 qИзз-(85.8)(85.8)[^]=_О'00= О00^31 + ^32^31 + ^32jО О азз[^]=_О'00= О00^31 + ^32^31 + ^32jО О азз± с?24 + d1B2^24 + ^152± с?24 + d1B2^24 + ^152^24 + ^1В2^24 + ^1В2оо00,Zt ^32 + ^31(85.9)00,Zt ^32 + ^31(85.9)
[А'/'] —
[А'/'] —
Х11 + Х222
Х11 + Х222
-+- Хц Ч- Х220~
Х11 + Х22 q
Изз-
-+- Хц Ч- Х220~
Х11 + Х22 q
Изз-
(85.8)
(85.8)
[^]=_
О'00
= О00
^31 + ^32^31 + ^32j
О О азз
[^]=_
О'00
= О00
^31 + ^32^31 + ^32j
О О азз
± с?24 + d1B2^24 + ^152
± с?24 + d1B2^24 + ^152
^24 + ^1В2
^24 + ^1В2
о
о
0
0,
Zt ^32 + ^31
(85.9)
0
0,
Zt ^32 + ^31
(85.9)
+ $11 zt S222+ Sn ± S222+ S13 ± S232+ $11 zt S222+ Sn ± S222+ S13 ± S2320$вб + 2а _(85.10)0$вб + 2а _(85.10)
+ $11 zt S222
+ Sn ± S222
+ S13 ± S232
+ $11 zt S222
+ Sn ± S222
+ S13 ± S232
0
$вб + 2а _
(85.10)
0
$вб + 2а _
(85.10)
[Swl =
$11+$12—а 2s124-0$1з + $23 ЛЛ
222
$11+ $12 — Я$13+ $2300
22
=S3300
£41+%± S44 + S6B
22
$44 + $БВ
где а = V2 (sn + s22 — 2s12 — s66).
Выписанные комбинации табличных (криеталлофизических) компонент материальных тензоров ромбической модификации дигидрофосфата калия можно сравнивать с табличными значениями их для тетрагональной модификации этого вещества. Именно это и сделано в табл. 65.1. Неопределенность знаков у некоторых компонент появляется потому, что плоскости симметрии, эквивалентные в классе 42/и, становятся неэквивалентными в классе mm2, и мы пока не знаем, к какой из плоскостей симметрии перпендикулярна кристаллофизическая ось Хг ромбической модификации и к какой — ось Х2; чтобы это выяснить, нужно измерить или по крайней мере
сравнить между собой параметры элементарной ячейки ромбической модификации.
В этом параграфе проблема сравнения тензорных свойств кристаллов рассмотрена на примере диэлектрических, пьезоэлектрических и упругих свойств. Другие тензорные свойства кристаллов можно сравнивать, пользуясь теми же методами.
§ 86. Проблема выбора стандартных кристаллографических и кристаллофизических систем координат
Представим себе обычную в наши дни ситуацию: в двух различных лабораториях независимо синтезирован один и тот же кристалл и исследуются его свойства. Для того чтобы сотрудники обеих лабораторий описали их одинаково, они должны одинаково выбрать кристаллографическую и кристаллофизическую координатные системы, а для этого нужны общепринятые и притом совершенно однозначные правила выбора координатных систем.
Рис. 86.1. К выбору наименований и положительных направлений координатных осей в кристаллах тетрагональной сингонии.
Здесь излагаются существующие рекомендации по выбору координатных систем и обсуждаются возможности их уточнения. Дело в том, что для выбора в каждой сингонии кристаллографических осей координат X, Y, Z есть общепринятые правила (см. § 4). Получили широкое распространение также правила, позволяющие связать с кристаллографическими осями X, Y, Z кристаллофизические оси Xlf Х2, Х3. Эти правила таковы: когда кристаллографическая система координат прямоугольна, оси Хп Х2, Х3 совпадают с осями X, Y, Z соответственно; в кристаллах гексагональной сингонии оси Х3 и Xi совпадают соответственно с осями Z и X; в кристаллах моноклинной сингонии оси Х2 и Х3 совпадают соответственно с осями Y и Z; наконец, в кристаллах триклинной сингонии ось Х3 совпадает с осью Z, а ось Хх лежит в плоскости (010), т. е. XZ. Эти правила приведены в табл. А.2, в согласии с ними составлены также табл. АЛ и Б.1. Формулировка этих правил дана в IRE Standards on Piezoelectric Crystals (1949); см. также Мэзон (1952). Однако нужно еще выбрать положительные направления на осях и решить, какую из симметрически эквивалентных осей назвать, скажем,
X, а какую Y. Структурных данных для этого недостаточно; приходится пользоваться результатами некоторых кристаллофизических измерений. Соответствующие рекомендации содержатся в IRE Standards (1949). К сожалению, эти рекомендации относятся только к пьезоэлектрическим кристаллам. Кроме того, чтобы можно было применить эти рекомендации к какому-либо энантиоморфному кристаллу, нужно знать, является ли данный кристалл правым или левым, но какие именно кристаллы следует называть правыми, а какие — левыми, там не указано (за исключением кристаллов кварца, которым посвящен отдельный пункт).
Здесь формулируются правила выбора координатных систем, пригодные для всех кристаллографических классов; они по возможности согласуются с рекомендациями IRE. Кроме того, здесь предлагаются общие правила для выбора из двух энантиоморфных модификаций правой. Рассмотрим эти правила сначала на примере кристаллов тетрагональной сингонии.
Если в каком-либо кристалле тетрагональной сингонии по общим правилам (см. § 4) введена система координат А (рис. 86.1), то и системы В, С, ...» Я, связанные с системой А операциями симметрии класса 422, также удовлетворяют правилам выбора кристаллографических осей координат; эти правила не дают возможности отличить одну из этих систем от другой. В классах 4lmmrn и 422 все эти системы симметрически эквивалентны, так что отличать их и невозможно и не нужно. Но в остальных классах эти восемь систем группируются в наборы симметрически эквивалентных систем, как показано в следующей таблице:
Классы
Преобразования__ ,
первого родаНаборы эквивалентных систем
4mm, 4/m, 4 42m
4
A 2z' 4z’ 4г<л>в’ °- °}: Iе' f* °-н)
1, 2Z, 2Х, 2д{Л,В, Е, Г}; {С, D, G,И}
1, 2г{Л,В}; {С, О}; {Е, Е};{G,Я}
Обозначения преобразований и координатных систем здесь таковы же, как на рис. 86.1; координатные системы, входящие в один набор, заключены в фигурные скобки. Системы, входящие в различные наборы, симметрически не эквивалентны и могут (и должны) быть отличны друг от друга.
В классах 4тт и 42m для выбора одного из двух возможных в кристаллах этих классов наборов координатных систем воспользуемся рекомендациями IRE: в классе 4тт выберем тот набор, относительно которого положителен пьезоэлектрический коэффициент d33, в классе 42m — тот, относительно которого положителен коэффициент d36.
Класс 4/т центросимметричен, пьезоэлектрическими свойствами не обладает и потому в IRE Standards (1949) не рассмотрен. Однако в этом классе допустимые координатные системы группируются в два набора (см. таблицу); условимся выбирать тот из них, относительно которого коэффициент упругой податливости $!в положителен (легко проверить, что операции симметрии, преобразующие один набоц в другой, меняют знак этого коэффициента; так, 2xs16 = —sie).
Этим же правилом можно воспользоваться для того, чтобы выбрать один из двух наборов, возможных в классе 4, и одну пару наборов из двух таких пар, возможных в классе 4. Для того чтобы выбрать один набор из двух, входящих в эту пару, дополнительно потребуем положительности коэффициента d3e. Заметим, что группа 4 — единственная общая подгруппа групп 4/ти 42m, и для класса 4 естественно объединить правила, применяемые'в классах 4l т и 42m; это здесь и сделано. •
Осталось указать правила, позволяющие назвать одну из энантиоморфных модификаций классов 422 и 4 правой. Условимся называть правой ту из модифи-
наций класса 422, для которой положителен пьезоэлектрический коэффициент d14, и ту из модификаций класса 4, для которой положителен коэффициент d^. Коэффициенты рассматриваются относительно введенного набора правых симметрически эквивалентных координатных систем для данного класса; существенно при этом, что выбор набора в классе 4 произведен по центросимметричному свойству (упругости), совершенно одинаково проявляющемуся в обеих энантиоморфных модификациях. Вообще для определения правой модификации можно было бы применить любые пьезоэлектрические коэффициенты и более того — любые компоненты материального тензора нечетного типа (см. § 44), отличные от нуля в кристаллах соответствующих классов.
По образцу рассмотренного примера можно было бы исследовать методы однозначного выбора кристаллографических и кристаллофизических координатных систем для каждой сингонии в отдельности, но целесообразнее, опираясь на приемы, использованные в этом примере, сформулировать общие правила для всех кристаллографических классов.
Условимся выбирать кристаллографические и кристаллофизические системы координат правыми, а углы между положительными направлениями соответственных кристаллографических и кристаллофизических осей (X и Хь У и Х2, Z и Х3) — меньшими 90°. Поэтому выбор положительного направления на кристаллографической оси (скажем, X) определяет положительное направление на соответствующей кристаллофизической оси (XJ и наоборот. Для кристаллов моноклинной сингонии принято еще, что угол Р между положительными направлениями осей X и Z тупой, а для триклинной наряду с Р должен быть тупым и угол а между положительными направлениями осей Y и Z. Эти неравенства вместе с условием, что система координат является правой, определяют положительные направления на кристаллографических осях триклинной и моноклинной сингоний.
Правила выбора кристаллографических осей и положительных направлений на них определяют не одну координатную систему, а п!^ повернутых друг относительно друга систем (л — порядок группы симметрии голоэдрического класса данной сингонии), которые связаны между собой преобразованиями первого рода, входящими в группу симметрии голоэдрического класса, или, что то же самое, всеми преобразованиями симметрии энантиоморфного гемиэдрического класса (см. табл. 86.1). Все эти системы симметрически эквивалентны в кристаллах голоэдрического и энантиоморфного гемиэдрического классов, поэтому вопрос о выборе положительных направлений на осях или наименований осей для кристаллов этих классов не возникает. Относительно операций симметрии остальных классов эти nl2 координатных систем составят два или четыре набора симметрически эквивалентных систем (п/4 или п/8 систем в каждом). Число таких наборов для каждого класса указано в табл. 86.1. Системы одного набора связаны с системами других наборов преобразованиями симметрии энантиоморфного гемиэдрического класса той же сингонии, не входящими в группу данного класса.
Выбор положительных направлений на координатных осях или наименований осей сводится к выбору одного из двух или четырех возможных наборов. При этом приходится руководствоваться кристаллофизическими критериями (поскольку кристаллографические уже исчерпаны) и пользоваться наборами, состоящими из кристаллофизических систем, полученных из кристаллографических согласно принятым правилам. Кристаллофизические координатные системы, входящие в один набор, симметрически эквивалентны, в разные — не эквивалентны. Поэтому любой материальный тензор кристалла во всех системах, входящих в один набор, имеет одинаковые компоненты, а в системах, принадлежащих разным наборам, некоторые материальные тензоры могут (хотя и не обязаны) иметь различные компоненты. В принципе всегда можно найти материальный тензор, у которого по крайней мере одна компонента меняет знак при переходе от одного набора к другому; в классе, в котором эти наборы сливаются в один, данная компонента обращается в нуль. Выбор одного из двух наборов будет определен, если уело* виться для каждого кристалла данного класса использовать тот набор, относительно которого эта компонента положительна.
Кристаллы параморфных, т. е. не голоэдрических центросимметричных классов, обладают только центросимметричными свойствами, поэтому для выбора набора приходится использовать тензоры четного типа, имеющие в данном пара- морфном классе больше независимых компонент, чем в соответствующем голоэдрическом (если данный класс тетартоэдрический, больше чем в параморфном гемиэдрическом). В тригональной и тетрагональной системах этому условию удовлетворяют уже упругие тензоры, но для гексагональной и кубической систем приходится прибегать к пьезооптическим.
Правила выбора, принятые для параморфного класса, естественно распространить на всю подсистему (см. §44), в которую он входит. При этом оказывается, что выбор координатной системы не только в параморфных, но также и в энантиоморфных (тетартоэдрических и огдоэдрическом) классах определяется исключительно тензорами четного типа ).
В гемиморфных классах для выбора набора нужна компонента материального тензора нечетного типа; условимся применять для этой цели первый отличный от нуля пьезоэлектрической коэффициент из последовательности
^33, ^11, ^22 > ^36, ^14 (86.1)
(с коэффициентом d31 вместо d14 она использована в IRE Standards (1949)). При этом для выбора набора в тетартоэдрическом гемиморфном классе следует применять такой коэффициент, который в тетартоэдрическом энантиоморфном классе той же сингонии равен нулю.
По приведенным правилам в правых и левых кристаллах любого энантиоморфного класса координатная система выбирается одинаково, поскольку при выборе используются лишь центросимметричные тензоры. Нецентросимметричные же можно после этого применить для определения правой модификации, так как их компоненты относительно введенной системы координат у правой и левой модификаций одного и того же вещества равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Условимся называть правыми те кристаллы, у которых первый отличный от нуля пьезоэлектрический коэффициент из последовательности (86.1) положителен. В классе 432, у которого все пьезоэлектрические коэффициенты — нули, правой модификацией назовем ту, у которой положителен коэффициент гирации (см. §81).
В табл. 86.1 показано, какие классы называются голоэдрическими, геми- эдрическими и т. д., как они распределяются по подсистемам, сколько имеют наборов и компоненты каких тензоров — четного или нечетного типа — нужны для выбора координатной системы и определения правой модификации. Сами же правила выбора стандартных кристаллографических и кристаллофизических координатных систем для всех 32 классов и правила выбора правой модификации в 11 энантиоморфных классах собраны в табл. А.2.
В конце табл. А.2 имеется раздел «Возможные изменения», где указано, как изменятся правила выбора координатных осей и энантиоморфных модификаций, если принять другую установку для кристаллов всех классов моноклинной сингонии Z || 2 или Z 1 т и класса 6 m2, который в этой установке (Z || 6^ X || 2) естественно обозначить 62m. Именно так выбраны кристаллофизические системы координат в классических руководствах (Voigt, 1928; Шубников, Флинт и Бокий, 1940), и в некоторых отношениях этот выбор предпочтителен.
Здесь обсуждаются общие методы, а не конкретные способы выбора стандартных систем координат. Могут оказаться более удобными для практического применения не те пьезоэлектрические коэффициенты, которые здесь предложены, а другие; более того, вместо пьезооптических тензоров можно использовать, скажем, электрострикционные, а вместо пьезоэлектрических — электрооптические. Сущность метода от этого не изменится.
сл ел ООсл ел ООТаблица 86.1
сл ел ОО
сл ел ОО
Методы выбора координатных систем и правых модификаций в 32 кристаллографических классах
Сингонии и системы
Кристаллографические классы
голоэдрические
гемиэдрические
тетартоэдрические
огдоэдри- ческие
энантиоморфные
геми- морфные
пара- морфные
энантиоморфные
геми- морфные
пара- морфные
энантиоморфные
Триклинная
{ I
1}
Моноклинная
{2/т
2
m }
Ромбическая
{ ттт
222
mm2 }
Тетрагональная
{ А/ттт
422
4/тг/тг, 42/тг }
{ 4/т
4
4 }
Гексагональ
гексагональная
{ tymmm
622
бтт, Ът2 }
{ 6/т
6
6 }
ная
тригональная
{ З/тг
32
З/тг }
{ 3
3 }
Кубическая
{ тЗт
432
43/тг }
{ m3
23 }
Число наборов
1
1
2
2
2
4
4
4
Выбор системы координат
—
—
1 нечетн.
1 четн.
1 четн.
1 четн.
1 нечетн.
2 четн.
2 четн.
Выбор правой модификации
—
1 нечетн.
—
—
1 нечетн.
—
—
1 нечетн.
Примечания. Фигурными скобками объединены классы, входящие в одну подсистему; слева высшая подсистема данной системы, справа — низшая. «Число наборов» показывает, сколько различных наборов симметрически эквивалентных систем координат, удовлетворяющих всем кристаллографическим требованиям, имеется у кристаллов данных классов. В строках «Выбор системы координат» и «Выбор правой модификации» указано, знаки скольких компонент материальных тензоров и какого именно типа — четного или нечетного — нужно определить для выбора координатной системы и правой модификации.
X
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПРОБЛЕМЫ КРИСТАЛЛОФИЗИКИ [ГЛ.
§ 87. Функциональные соотношения кристаллофизики
До сих пор мы предполагали, что линейные члены представляют собой малые добавки к главным, линейным членам. С увеличением интенсивности применяемых воздействий и повышением точности измерений материальные уравнения кристаллофизики обрастают все большим числом квадратичных, кубичных и иных добавок. Но вместо того, чтобы рассматривать, скажем, разложение
Di = и^ Ej-\- K^kEjEk + xqkiEjEfcEi 4* ^jkimEjE^EiEm 4-... (87.1) и анализировать, какой именно вид должны иметь тензоры х(1), х(2), х(3), х^4\ ... для данного класса симметрии кристалла, — вместо этого можно сразу сформулировать гораздо более общую задачу: какие ограничения необходимо наложить на функциональную зависимость вектора D от вектора Е, чтобы эта зависимость была совместима с симметрией кристалла?
Совершенно аналогично вместо анализа обобщений закона Гука
ex = s’^ + SmIv^^v + sk’ilvpO'nOvOp+• • •(87.2)
можно поставить вопрос об общей совместимой с симметрией кристалла форме функциональной зависимости одного симметричного тензора второго ранга от другого.
Линейная зависимость одного вектора от другого определяется общим тензором второго ранга с внутренней симметрией V2, а линейная зависимость одного симметричного тензора второго ранга от другого — тензором внутренней симметрии [Г2]2. Самая общая форма функциональной зависимости одного вектора от другого или одного тензора от другого, совместимая с симметрией кристалла, представляет собой обобщение именно такой связи, определяемой в линейном случае материальными тензорами типа V2 и [V2]2 соответственно. Между тем наиболее существенные для кристаллофизики связи между двумя векторами и между двумя тензорами определяются симметричными материальными тензорами типа [V2] и [[Г2]2]. Действительно по крайней мере при изотермических и адиабатических процессах, линейная связь между векторами напряженности и индукции электрического поля определяется материальным тензором типа [V2], а между тензорами напряжений и деформаций — материальным тензором типа [[V2]]. Доказательства симметричности этих тензоров основаны на существовании некоторых потенциалов, т. е. скалярных функций векторного аргумента Ф (Е) и тензорного аргумента Ф (а), таких, что
(87 3)
е=^(87Л)
Обобщая соотношения D = D^E) и е = е (ст) на случай нелинейных зависимостей, мы и будем исходить из формул (87.3) и (87.4). Векторная функция векторного аргумента, удовлетворяющая формуле (87.3), и тензорная функция тензорного аргумента, удовлетворяющая формуле (87.4), называются потенциальными функциями. Таким образом, чтобы выяснить кристаллофизические закономерности существенно нелинейных эффектов, нужно знать общие и потенциальные векторные и тензорные функции, совместимые с симметрией кристаллов. При этом для задания потенциальной векторной или тензорной функции достаточно задать потенциал, т. е. скалярную функцию векторного или тензорного аргумента: Ф (Е) или Ф (а).
В табл. 87.1 приведен вид скалярных и векторных функций векторного аргумента, совместимых с симметрией 32 кристаллографических и 7 предельных классов, а в табл. 87.2 — вид скалярных функций, аргументом которых служит симметричный тензор второго ранга. Методы нахождения этих функций сложны, и мы их здесь обсуждать не будем ). Рассмотрим только, как построены таблицы и какую информацию можно из них извлечь.
В табл. 87.1 кристаллографические предельные классы объединены в серии. Каждой серии присвоено наименование старшего из входящих в нее классов. У всех классов, входящих в серию, одинаковы главные векторные инварианты — они перечислены в скобках после названия серии. Эти главные инварианты служат аргументами произвольных функций /, /0, Д, ... Например, у серии mm2 главные инварианты А2) Ах и Д|.
У старшего класса серии любая скалярная функция векторного аргумента, инвариантная относительно его группы симметрии, может быть представлена как функция главных инвариантов. Это записывается в виде Ф = f и означает, что для класса mm2 общий векторный потенциал
Ф=НД„ AL Д», (87.5)
где / — произвольная функция своих аргументов. Итак, любой векторный инвариант группы mm2 можно представить как функцию инвариантов AZ1 Ах и Ду.
У других классов серии есть векторные инварианты, не сводящиеся к главным. Например, у класса 2, входящего в серию mm2. таким дополнительным инвариантом является АХАУ. Его нельзя вывести из главных инвариантов ), но квадрат его является функцией главных инвариантов (а именно, произведением главных
Таблица 87,1
Векторные потенциалы Ф (Д) и общие векторные функции К (Д), совместимые с симметрией кристаллов и текстур
Серия 1, f=f(Ax, Ay, Az\.
класс 1: Ф = ^, V = 1Х1 + У+ f3k.
Серия т, t=HAx, Ад, Л1):
класс т (т 1 Z): Ф = Л V = fii + f<j + Azf3k.
Серия mm2, f = f(Az, Ах, А^*.
класс mm2: Ф — f, V = fxk + Axf2i + Ayf3J\
класс 2 (21| Z): Ф = f0 + AxAgh, V - V ^тт^ + Agf4i + AxfJ + AxAgfefc.
Серия ттт, f = f(Ax, Ад> А^:
класс ттт: Ф — f, V — Axfxi +Ayf2j + Azf3k\
класс 222: Ф = ?в+АхАдАг^ V = V (mmm) + AyAJ4i4-AzAxfJ+
+ AxAyfek;
класс 2/m (2|| Z): Ф = /0 + АХАyfb V — V (ттт) + Ayf4i 4-
+ ^/5/ + AxAyAzf3k\
класс I: Ф=к+АуА^х + AzAxf2 + AxAyf3, V = V(2/m) +
+ Axf^k + A yf8k + Azf9i + Azfioj + A XA y Azf nZ + AXA yAzf 12/.
Серия 4mm, f = f(Az, Ax + Ay, AxAy):
класс 4mm: Ф = f, V = fxk + f2 (Axi + Ayj) + AXAyf3 (Ayi + A^J);
класс 4: ф = ^+ AxAy (Дл — Ay) fu V = V (4mm) +
+ /4 (Ayi — Axj) 4- AxAyfb (Axi — Ayj) + AxAy (Ax —Ay) fek.
Серия 4,ттт, f=f(Az, Ax + Ay, AxAy):
класс 4/ттт: Ф = f, И = Azfxk + f3 (Axi 4- Ayj) 4- A xAgf3 (Ayi 4- A^);
класс 422: Ф=1о + АхАуА2(Ах — Ау)11, V = V(4jmmm) +
4- Azf4 (Ayi — AjJ)-^ AxAg (Ax — Ay) fbk + AxAyAzfe (Axi — Ayj);
класс 42m: 0 = fo + AxAyAzfb V = У (4/mmm)-V-AxAyf4k +
+ Azf, (Ayi + A^ + A^yAJ, (AJ+AyJY,
класс 4/m: Ф = ^ + ^л:^г/ (Ax — Ay) fT, V = V(4,mmm)-V
+ f4 (Ayi-Axj) + AxAyf5 (Axi-AyJ) + AxAyAz (A2x-A2y) f6k;
класс 4: Ф = Ф (4/m) 4- AxAgAzf2 + Аг (Дх — Ay) f3, V = V (4/m) 4-
+ (^*—Ag) fik + AxAgf3k-\- AzfQ (Axi — Ayj) + AzfX9 (Agi + Axj) +
+ AxAgAzfn (Axl4- Ayj)4- AxAgAzf 12 (Agi — Axj).
Таблица 87.1 (продолжение)
Серия 3m. f=fUz, А^+Ау, Ау-ЗАхАу):
класс Зт(т 1. X): Ф = f, V=fxk+f2 И^ + Agj) +
+fa (2AXA yi + Axj—Agj);
класс 3: ф=/0+(л£-ЗЛ^) fn И = Г (3m)+f4 (Ayi-A^ +
+A (A^ci—Ayi—2AxAy/)+(A*—ЗЛ^Л^) fek.
Серия 62m, f=f(AL A^ + Ay, A3x-3AxAy):
класс 62m (21| X): Ф = f, V = A^k+/2 (Axt + Л^) +
+ f3(A^-A^-2AxAyj);
класс 32 (2||X): Ф=/О + Лг (Ay—ЗА^Ау) A, V=V(62m) +
+ AJ4 (Ayi-A^ + A^h (2AxAyi + Л^/-Л£/) + (Л£-ЗЛ^) kk\ классб: Ф=А>+(4у-ЗЛЦ,) f„ V = V (62m) + f4 (Ayl-A^-V
+ A (2AxAyi +AX/ — Л|/) + Лг (Л^—ЗЛхЛу) fek.
Серия 6mm; f=f(Az, A*+Ay, Л2-15Л2Л£+15Л1Л£-Л£):
класс 6mm: Ф = f, К = fxк + f2 (Л xl + Ayj) +
+ (л£ — 3AxAy^ f3 (Axl — Ayi — ^AxAyjY
классб: Ф = /о+ (3AxAy- 10ЛхЛ^+ЗЛхЛ^) fn V = V (6mm) +
A-к (Ayl-A^ + iAl - 3AXA^) к (2AxAyi-V.A^-A2yj) + .Ч*(ЗЛ*Лу — 10AxAy4*ЗЛхЛу) f4k.
Серия 6/mmm, f=tUz, Ax+Ay, А?- 15А^Ау+ 15АхАу-Ay): класс 6/mmm: Ф = ^ V = AJ^ + fa (Axi+ AyJ) +
+ (Лл:—3AxAy) f3 (Axi — Ayi — 2AXAyj);
класс 6/m: Ф = ^-{-(ЗЛл:Л^—10AxAy-^-3AxAy) fXt И = И (6/mmm)-^~
+ f4 ^yi — Лх/) + (Лх—3AxAy) f3 (2AxAyi + Axj — Ayj) +
+ Az (ЗА'хАу-\0ASxAy + 3AxAry) fek;
класс 622: ф = /0 + Л2 (ЗА"хАу - \6AxAy +ЗЛХЛ^) fb V = V (6/ттт) + + А2/4(Ау1-А^) + А2 (A3x^3AxA2y)fb(2AxAyi + A2xj^A2yj) +
+ (ЗАхАу— 10ЛхЛ^4“ ^АхАу) /Зк\
Таблица 87.1 (продолжение) класс 3m (tn ± X): Ф = /О + Д2 (А^ — ЗЛ^Л,,) /1, V = К (д/ттт) +
+ ^^4 (^A.xAyl -VA^xj — Ayj) + (Ay — ЗАхД^) f5^ +
+ А2(Ау—ЗАхАу) U (Axi+A^;
класс 3: Ф = Ф (6/т)4-А2 (Ах— ^АхАу) /2”ЬА2 (Ау—ЗАхА^)/з, У = У(6/т) + (А^ЗАхА^) ^к + Uy-3A2xAy)f8k + + Azfe (^AxAyi^ Axj — Ayj) + Azf10 (Axi— Ayi— 2AxAg/) + + AZ (Ax—3AxAy) fu (Axi + Ayi) + Az (A^3A|Ay)fn (Axi + Ayj). Серия 43m, f = f(LAxt AxAyA2, YAyAz)* класс 43m: Ф=/, V = кЦАх1-\-кИАиА21-\-/ДА8х1\ класс 23: Ф=/0+(А1- A^) (Ay —A^ (Al—A^ tv И = И(43т) +
■НаХАх (Ay— Az) i+f6^AyA2 (Ay— Az) i-Yf^Ax (Ay—A2) LСерия тЗт, f=f(£Al, ^AyAz. AxAyAz)*-класс тЗт: Ф = Л У = fi£Axi+f2EAxi + AxAyA2f3EAyA2i;
класс m3: ф=/0+(Д1-А2У) (Ay~A22) (Al-Д.1) fv У = У(тЗт) + +f£Ax (Ay— Az) i-V АхАуА^ДАх U^y — Az) / +
+ M(A?-Al)]feW, класс 432: O=f04-AxAyA2(A2—Ay) Uy — Az) (Az — Ax) fi, У = У(!лЗт)+№АуА2 (Ay-A2z) 1 + АхАуА2^Ах Uy~A2z) i + + АхАуА21ДАх Uy — Az) i. Серия com, f=fUz^ Ax + Ay): класс oom: Ф = f, У = кк+к (Axi + AyjY класс oo: Ф = f, У = У (oo m) + f3 (Ayi — Axj).
Серия colmm, f=f(A2t Ax+Ay):
класс colmm*. Ф = f, У = A2 ftk + f2 (Axi + A^jY
класс oo 2: Ф = f, У = У (oo/mm) + A2^ (Ayi — AxjY класс coIm*. Ф=Ь У = У (oo/mm) +f3 (Ayi — AXJ). Серия co com , f=f (^Al)* классы оооот и oooo: Ф = /, У = ПАХ1.
Примечания. 1. Для сокращения записи слагаемые, уже выписанные в одной из предыдущих формул, обозначены символами V (mm2), V (ттт) и т. п.
Знак Е в формулах для серий 43т, тЗт и оо со т означает суммирование по циклической перестановке индексов х, у, г и ортов I, J, k\ например, Т.А Аг1 = = A/Z< + ^ZA,/ + AXAM»-
Таблица 87.2
Потенциалы Ф (В) симметричного тензора второго рднга В,совместимые с симметрией кристаллов и текстур
Серия I, f = f (BXXi Вууэ В22, Ву21 В2Х1 ВХуУ. классы 1 и I: Ф = /.
Серия 2/m, f=f (Вхх, Вуу1 В22, ВХуэ Bxzi Вуг)‘.
классы 2, т, ^Im, (21| Z, tn 1 Z): ^ = fo-VBxzByZfv
Серия nimm, f = f(Bxx, Byyt B2Z, By2t B2x> Bxy): классы 222, mm^, inmtn: Ф = /о+ By2B2XBXyfv
Серия 3m, f = f ^Bxx-\-Byyt BZ2i BxxByy Bxyt Byz*VBzx> Byz — 3BxzBy2, Bxx + 6BxxByy-\-9BxxByy—V2BxxBxy), Li = (Вxx By^} ВyZ + ^BXyBx2t
L^ = BxxBxz + ByyByz + ^ВХ2Ву2ВХу^
Вз — Ву2 [(B^ + B^)2— 4 (Byy—Bxy)\-V^BxxBXyBX2w B4=(BXX Byy) BX2 rlBXyBy2t
^5 ■ ^Bxx Byy) BXy 4Bxy»
U=bX2 {B2xz-^yzy
Bi = BX2 [(Bavv + ^yy) ^ (Byy Bx^)] %BxxBxyBU21 В% = ^ВХХ Byy) BX2ByZ-\-BXy (Byz Bxz\.
8
классы 3 и 3: Ф = /о+ У1 ^nfn + ^i/e + ^zWio+^iWul п = 1
з
классы 32, 3m, З/тг: Ф = /о+ 5 Wh + ^i^+^Ws- п= 1
Серия ^Imtnm, f = f (Вхх + ВУуЭ В22, ВххВуу> Вху» Bxz4~Byz> BxzByZ)t
Bi = ВХуВХ2Ву21
L^ = BxxB'yz +ByyBxZt
Вз = ВХу (Bxx Byy)t ^4 = Bxy (Bxz — Byz) , B^ — BX2ByZ (Bxx Вуу^, Le = BX2Byz (Bxz — Byz)*
Таблица 87.2 ^продолжение)
классы 4, 4, 4/т: Ф=/о + У L„fn + LtL^; п = 1
классы 422, 4mm, 42т, 4/ттт: Ф^о + ^А + Вг/гН-W3-
Серия 61ттт, f=f (Вхх + Вуу, В22, ВххВуу — Вху, Bxz + Byz» Вхх + 6ВххВуу + ^ВххВуу— \2ВххВху, Bxz—бВххВух + дВхгВуг)»
L\ — BxxByz +ВууВхг ^-ВХуВХ2Ву2,
L2 = BXX (Вхг+зЬу-V2BууВхг (Bxz + SByz)— ^BxyBxzBy2, L3= Bxz [(В^ + В^)2 —4 (Вуу—Bi^)] —
— ^Вхх [(Вхх + ЗВуу) (Bxz + Byz) — 4вхувх2ву2]» L4 = Вху (Bxz — Byz) + (Вуу Вхх) ВХ2Ву2, L^ = Мху (Вхх Вуу) 4Вху»
L3 — BX2By2 [З (bJz — B^z)2 —4BxzByz]»
L7 = BxzBy2 [(Bxx + Byy)2 — 4 (Вуу—Bxy)A + ^BxxBxy (Byz — Bxz)i
L8 = Bxy [(Bxz + Byz)2 + 4Byz (Bxz — Byz)] — 4BxzBlJ2 (Bxx—Byy): 8
классы 6, 6, 6/m: ф = /0+ У] Lnfn + L^f9 + L2W10 + ^1 Wn*, n=l
3 классы 622, 6mm, 6m2, 6/mmm: Ф = /о+ У Lnfn+Llf4 + L2L3f5.
n — \
Серия m^m, f—f (ЦВХХ1 YiByyBZ2, YiByz^ BxxByyBzz, By2B2XBxy, ^ByzBzx)tLi = LBXX (Bxy+ Bxz)t
L2 = YiB xxB^xyBxzi
L3 = YiByzByyB22, L4 = LBxx (Bxy — B^z)> L3—^ByyB22 (Byy B22), L3 — ^BxzByz (Bxz — Byz)» L7^ByyB22 (B'xy-B'xz)» L3= LBxyBk (Byy-BZ2Y
Таблица 87.2 ^продолжение)
8
классы 23 и m3: Ф = /о + У Lnfn + ^? сэ + ^2Wio+ ^1^4/11?
п = 1
3
классы 432, 43m и тЗт: Ф = /о+ У Lnfn + L^4 + L2L3f5.
п = 1
Серия со/mm, f=f (,BXX + Byyt В221 ВххВуу— Вху^
Вх? + ByZ, ^ВхуВхгВу2 — BxxB2yZ — ByyBxzY
классы со и со/т: Ф = /о+ [(^ — Вуу) ВХ2Ву2 —BxyUxz —ВугУ\1ъ
классы со 2, сот и со]пгт*. Ф = /.
Серия со oom, f=f (EBXXt Y>(ByyB22 — BXyBX2)t
ВххВууВ22"V^B у2В2ХВХу ^BxxByz\
классы со оо и со oom: Ф = /.
Примечание. Знак S в формулах для серий т^т и со оо т означает сумми-^
рование по циклической перестановке индексов х, у, г.
инвариантов А1 и А-у\ Отсюда следует, что любую функцию главных инвариантов и дополнительного инварианта можно записать в виде
Ф(Аг, Al, A}, AxAy) = f0(Az, Al, А1) + АхАУК(Аг, Al, Л=);
(87.6) именно эта запись и представлена в таблице в форме
Ф =f» + АХАУ^.
Существенное достоинство этой формы записи — ее однозначность. Действительно, функции f0 и fv определяются по функции Ф единственным образом. Функция f0 — это четная относительно ЛХЛУ составляющая функции Ф, а АхА^г — нечетная, поэтому
/о = |[Ф(Л„ А1, Л=; АхАу) + Ф(Аг, А1, А^, - Л^)],
/1 = 2ГТ1ф^ л- А«’ АхАу)-Ф(Аг, А1, А}-, -АХАУ)].
Согласно табл. 87.1 для класса mm2 общая векторная функция имеет вид
V = Axfxi^AyMA-tak,(87.7)
а потенциальная, как следует из формул (87.3) и (87.5),
V-W-' + ^+^r6'<87-8>
где fv f2, fa и / — произвольные функции главных инвариантов Аг, А^ и Ау. Для класса же 2 общая векторная функция имеет вид)
V= (A^ + Atif^ i + (Axf3 + Ayf,) j + (/6 + AxAyU) k, (87.9) а потенциальная
V ~"дА^1"^"дА;^"дА;Ь'(87.10)
где Ф = f0 + AxAyf^ здесь все fa — функции главных инвариантов ).
Как уже отмечалось, в табл. 87.1 и 87.2 приводится вид наиболее общих функциональных зависимостей, совместимых с симметрией кристаллов. Но среди всевозможных скалярных, векторных и тензорных функций векторного и тензорного аргумента особенно важное место занимают целые рациональные функции, т. е. такие, у которых компоненты функции являются многочленами от компонент аргумента ).
Обратимся опять к табл. 87.1. В качестве примера изберем класс 42/и из серии Мттт. Рассмотрим общие и потенциальные векторные функции, которые являлись бы целыми рациональными функциями четвертой степени.
Общая векторная функция V = V (Л), согласующаяся с симметрией кристалла, как следует из табл. 87.1, имеет вид
V= (Axfi + АХА yf2) k + (f3 + AxAyA2f4) (Axi + A yj) +
+ (Azf5+AxAghHAyi + Ax^ (87.11)
Для того чтобы в компонентах Vt присутствовали все необходимые члены до членов четвертой степени относительно компонент Ак включительно, нужно, чтобы в функциях fa присутствовали все члены вплоть до степеней:
Функция ft f2 f3 f4 fr fe
Степень 3 2 3 0 2 1
В данном случае главными инвариантами служат Ах + Ау, А^ и АМу- Так как все они имеют четную степень относительно Л, члены нечетных степеней в функциях fa тождественно равны нулю.
Общий вид функций fa:
fi= ai + ci (Ах + Ау) + с2А2.
fa = bi + с1г (Ах + Ay) + d2A2>
f3 = a2 + c3(A5c + Ay) +c4A2,«ox
f4 = d3,
/5 = ^2 + d4 (Ax + Ay) + d5A2, fe — ^^
где av .... d6 —некоторые постоянные. Компоненты вектор-функ- ции ^(Л), совместимой с симметрией класса 42/и, представляют собой коэффициенты при ортах i. j и к соответственно:
х = Axfa + AxAtiAzf4 + AuAzf3 + AxAyf6.
Vy = A yf3 + AxAyAzf4 + AxA2f5 + AUyh,(87.13)
z = ^гЛ + AxAyf2.
Подставляя в эти формулы выписанные в (87.12) разложения функций fa. получим
V х = ^2^ х + b2A уА z + с3А х (Ас + Ау) 4-с4АхА2 4
+ c5AxAy4-d3Al-AyA2 4- d4(Ах4- Ay) AyAz4~d5AyAl.
Vy = a2Ay + b2AxA2 + c3Ay(Ax + Ay)4-c4AyA24-
+ с5АхАу4- d3AxAyA2 4-d4Ax (Лх + Ay) A2 + d6AxA2.
Vz — ахА24-Ь1АхАу4-С1 (Ax + Ay) A2 + c2A2 +
+ dtAxAу (Ax + Ay) + d2AxAyA2.
Такова общая целая рациональная векторная функция четвертой степени, совместимая с симметрией кристаллов класса 42zn.
Построим теперь потенциальную векторную функцию той же степени. Для этого необходимо выписать потенциал до членов пятой степени включительно. Согласно табл. 87.1 для класса 42/и потенциал равен
Ф = /о 4“ AxAyAzfv(87.15)
Чтобы получить все интересующие нас члены, функция f0 должна быть выписана до членов четвертой, a fi —до членов второй степени включительно:
fo = hi + li (Ах + Ау) + 12А24-П1АхАу +
+ п2(АН^)Чп3(А2х + АРг+ п4А1.(87.16)
fi = mi 4- Pi (Ас 4- Ау) 4- р^А2.
Подставив эти выражения в (87.15), получим потенциал
Ф = hi 4- li (Ах 4" Ау) 4" ЦА2 4- тАхАуА2 4- /2] А.;Ау 4- ^2 (^ 4" Ау)2 44* п3(Ах + Ау) А2 + п4А2 + Р1АхАу(Ах + Ay) Az4-р2АхАуА2. (87.17)
Производные потенциала равны компонентам потенциальной векторной функции:
Vx = j^ = 2/хАх + пцАуАг + 2п1АхАу + 4п2Ах (Ах + А^ +
+ 2n3AxAz + Pi (3 Л£ + Ау) АуА2 + p2AyAz,
Vy = ^^ = 2lxAyA-tn1AxAzA-2nvAxAyAr4n2Ag(<AxJrAy)-V" ^ jg^ + 2n3AyAz+рхАх (А^ + ЗАу) Аг + р2АхАг,
Kz=^^ = 2l2Az4-m1AxAy + 2n3 (Л^ + Л^) А2 + 4п3АЦ-
+ р1АхАу(Ах + Ay) + 3p2AxAyAz.
В то время как общая векторная функция четвертой степени, совместимая с симметрией кристаллов класса 42/и, определяется четырнадцатью постоянными коэффициентами, аналогичная потенциальная функция — всего_ девятью. Следовательно, чтобы векторная функция симметрии 42/и четвертой степени была потенциальной, ее коэффициенты должны удовлетворять пяти условиям. Эти условия легко найдем, сравнив формулы (87.14) и (87.18):
bi = bo,
2d1 = d3 = 2d4> d2 = 3d5.(87Л9)
Целые рациональные векторные функции тесно связаны с тензорными разложениями вида (87.1). Рассмотрим такое разложение векторной функции V (Л):
Vi-T^A-T^AjYr^(87.20)
Здесь тензоры Т(1), ..., Т(б) играют роль материальных тензоров. Внутренняя симметрия всех тензоров V [Vn-1] — они симметричны по всем индексам, кроме первого. Их компоненты можно вычислить посредством дифференцирования функции У(Л) в точке Л = 0, а именно:
т.а, U ^ \ Ти. 1 / д^ \•’
*Чк — 2 ^дЛ/дЛ^л-о* llkl-5\ \dAfdAkdAi]A=e
miv ।\
I UMm — 4| ^л-ал* dAi dAm )a=o'
Очевидно, при любом n
<n\1/ d"-Wt \
^v-^Ur^L;,87-22>
Пользуясь этими формулами, можно найти компоненты тензоров Т(п), инвариантных относительно заданных точечных групп, из целых рациональных векторных функций, построенных с помощью табл. 87.1. В частности, с помощью разложения (87.14)
можно найти компоненты тензоров Т(п), инвариантных относительно группы 42/и. Сделаем это.
Очевидно,
ТР^О (t= 1,2,3).(87.23)
Это и не удивительно: 42т — не пироэлектрический класс.
Найдем компоненты тензора Т(2). Из них отличны от нуля только *)
Тп=Ж; = а2’ Тм = Ж7=аг’ Тзз=^ = а1- (87.24) Как и следовало ожидать, все недиагональные компоненты равны нулю и Ти = Тм.
Найдем далее компоненты тензора Т(3); внутренняя симметрия его V[V2]. Отличны от нуля компоненты
-Т - 1 dw* -Ль 123 — ' 132 — 2 дА„ дАг — 2 °2’
(87.25)(87.25)__ 1
(87.25)
(87.25)
231 — T’zis — 2 дАг дАх — У^2’
Т _ 1- 1 Ь
312- 1 321 -"йдАТдАу- У01‘
Таким образом, мы получили компоненты тензора пьезоэлектрических (или электрооптических) коэффициентов для класса 42/и.
Лш=16 М» “Т 1122=Т1212 = Т1221Л133Т1313 = Т1331Т 2112=^2121 = ^2211Т2222=1 Wy6" дЛ» =С^Т2233=Т2323 = Т2332^3113=Т 3131 = Т 3311Т3223 :Т-- т■1 3232 -1 3322 'Т3333=6 дА» — С2,Лш=16 М» “Т 1122=Т1212 = Т1221Л133Т1313 = Т1331Т 2112=^2121 = ^2211Т2222=1 Wy6" дЛ» =С^Т2233=Т2323 = Т2332^3113=Т 3131 = Т 3311Т3223 :Т-- т■1 3232 -1 3322 'Т3333=6 дА» — С2,6 М дЛ^ 31 dWx 1 ^4»6 М дЛ^ 31 dWx 1 ^4»6дАхдА=31 asvti1■6 дА2хдАу31-116дАудА»31 д»Уг16dA^dA231 d»Vz _16 ЗА”- dAz3 6дАхдА=31 asvti1■6 дА2хдАу31-116дАудА»31 д»Уг16dA^dA231 d»Vz _16 ЗА”- dAz3 (С3 + Сб),(С3 + Сб),^4,^4,(87.26)(87.26)Наконец, у тензора Т(4) отличны от нуля следующие компоненты:
Лш
=
1
6 М» “
Т 1122
=
Т1212 = Т1221
Л133
Т1313 = Т1331
Т 2112
=
^2121 = ^2211
Т2222
=
1 Wy
6" дЛ» =С^
Т2233
=
Т2323 = Т2332
^3113
=
Т 3131 = Т 3311
Т3223 :
Т-
- т■
1 3232 -
1 3322 '
Т3333
=
6 дА» — С2,
Лш
=
1
6 М» “
Т 1122
=
Т1212 = Т1221
Л133
Т1313 = Т1331
Т 2112
=
^2121 = ^2211
Т2222
=
1 Wy
6" дЛ» =С^
Т2233
=
Т2323 = Т2332
^3113
=
Т 3131 = Т 3311
Т3223 :
Т-
- т■
1 3232 -
1 3322 '
Т3333
=
6 дА» — С2,
6 М дЛ^ 3
1 dWx 1 ^4»
6 М дЛ^ 3
1 dWx 1 ^4»
6дАхдА=
3
1 asvti
1
■6 дА2хдАу
3
1-
1
16дАудА»
3
1 д»Уг
1
6dA^dA2
3
1 d»Vz _
1
6 ЗА”- dAz
3
6дАхдА=
3
1 asvti
1
■6 дА2хдАу
3
1-
1
16дАудА»
3
1 д»Уг
1
6dA^dA2
3
1 d»Vz _
1
6 ЗА”- dAz
3
(С3 + Сб),
(С3 + Сб),
^4,
^4,
(87.26)
(87.26)
Внутренняя симметрия этого тензора ИР]. Он может описывать, например, кубичную поляризуемость и соответственно генерирование третьей световой гармоники в кристаллах классов 422, 4тт, 42т и 41ттт (так как это тензор четного типа, он имеет одинаковый вид для всех классов, входящих в одну подсистему).
Тензор Т(б) внутренней симметрии ИИ] читателю предоставляется вычислить самостоятельно.
Потенциальные целые рациональные векторные функции совершенно аналогично используются для построения тензоров, симметричных по всем индексам.
Таким образом, табл. 87.1 дает возможность без всякого труда выписывать инвариантные относительно любой заданной группы тензоры даже не просто высокого, но произвольно высокого ранга. Однако вместо материальных тензоров высоких рангов можно и непосредственно применять целые рациональные векторные функции. Запись свойств материала с их помощью несколько более компактна, чем с помощью материальных тензоров; действительно, формулы (87.14) или (87.18) занимают меньше места, чем потребовали бы для себя четыре тензора: второго, третьего, четвертого и пятого ранга, несущие ту же информацию. Таким образом, мы пришли к существенному обобщению понятия материальных тензоров — к идее о материальных векторных или тензорных функциях ).
Табл. 87.2 содержит потенциалы симметричного тензора второго ранга, совместимые с симметрией кристаллов и текстур. Общие тензорные функции такого типа пока не построены. Вид потенциала одинаков для всех классов, входящих в одну подсистему. Подсистемы объединяются в серии; в данном случае серии совпадают с системами.
С помощью этих потенциалов легко получить обобщение закона Гука или в форме
или в формеили в форме(87.27)(87.27)дФ (е)дФ (е)_ ЭФ (а)к дох ’
или в форме
или в форме
(87.27)
(87.27)
дФ (е)
дФ (е)
(87.28)
При этом, конечно, необходимо иметь в виду правила пересчета ох = <5ц(t/^X=l,6),(87.29)
( ^м (ij ^Х = 1, 2, 3),^l 2ev (i/~X = 4, 5, 6);
например, записывая потенциал Ф (е) = Ф (еп ..., е6), вместо Вхх следует писать еь но на место Вху нужно подставлять Ч^.
Выписанные тензорные потенциалы можно использовать также для того, чтобы выяснить вид тензоров, характеризующих поправки к закону Гука, т. е. тензоров s(2), s(3), ... в разложении (87.2) и тензоров с(2), с(3), ... в разложении
^Х = ^Ц6]! + ^%|JLVe|iev 4" ^X3|JlVX8|ieveX + • • •(87.31)
для кристаллов любого класса (точнее, любой подсистемы). Именно чтобы определить коэффициенты s^v и c^v, нужны потенциалы, представляющие собой полиномы третьей степени относительно тензорных компонент, а для вычисления коэффициентов s^vx и с^х — полиномы четвертой степени.
Например, с точностью до членов третьей степени включительно потенциал Ф (и) для кристаллов старшей подсистемы кубической системы равен
Ф (а) = а (О! + О2 + аз) + ^1 (а1 + а2 + аз)2 + ^2 (а2а3 + ^З^ + ^1а2) + + b3 (oj + Og + og) + dT (от + о2 + аз)3 +
+ ^2 (°1 + а2 + аз) (а2а3 + аЗа1 + а1а2) + ^3 (а1 + а2 + аз) (а4 + ^6 + <?б) + + d^U^ + d5O4O6O6 + dQ (OxOg + OiOg + ^^б + а2а4 + аЗа4 + аЗав)•
(87.32) Очевидно,
(87-33)
таким образом, коэффициенты упругой податливости второго порядка
5ц1 = S222 = S333 = ^dv
5122 = S133 = S233 = S2H = S311 = S322 = 3^ 4" ^2»
si23 = 3di + у d2 + у d4,(87.34)
5144 — S256 = S366 = d3l
5156 = S166 = S266 = 5244 = S344 = S355 ~ ^3 4” ^6>
5456 = у ^^
остальные коэффициенты (кроме отличающихся от выписанных лишь перестановкой индексов) равны нулю. Впрочем, и в этом случае удобнее посредством дифференцирования потенциала получить формулы, прямо выражающие деформации через напряжения: ех = а + 2^04 + (261+^2) (а2 + аз) +3^01+ (6di 4-2d2) о1(о2+(^з)+ + (3^+^) (сг.24-сГз)4-(6б/1+3^2+^4) сГг^з+^з^+^в (^дН-^б)» (®7.35) 84 = 2&3о4 + 2d3o1o4 + (2d3 + 2d6) (а2 + о3) о4 + d^o^
формулы для остальных компонент отличаются от выписанных только циклической перестановкой индексов.
ПРИЛОЖЕНИЯ
А. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ И КРИСТАЛЛОФИЗИЧЕСКИЕ
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Здесь собраны правила выбора кристаллографических и кристаллофизических систем координат в кристаллах всех классов (см. §§ 4, 16, 86). В табл. А.1 приведены стандартные стереографические проекции, показывающие взаимное расположение элементов симметрии кристалла, кристаллографических и кристаллофизических осей координат (Най, 1967, приложение 2).
В табл. А.2 приведены сформулированные по возможности близко к IRE Standards (1949) и подробно обсужденные в § 86 правила выбора стандартных кристаллографических ) и кристаллофизических координатных систем для всех 32 классов и правила выбора правой модификации в 11 энантиоморфных классах.
Обозначения.
X, К, Z — оси кристаллографической системы координат;
Хх, Х2, ^8 — оси кристаллофизической системы координат;
а, 0, у — углы между положительными направлениями осей У и Z, Z и X, X и У соответственно;
кр или кр! означает, что данная кристаллографическая ось направлена по кратчайшему вектору решетки; кр2 — по кратчайшему вектору решетки, не коллинеарному первому; кр3 — по кратчайшему вектору решетки, не компланарному двум первым; 1Ккрл значит, что данная ось направлена по кратчайшему из векторов решетки, перпендикулярных оси У; остальные обозначения понятны по аналогии;
s^i — коэффициенты упругой податливости, d^ — пьезоэлектрические, л^ — пьезооптические коэффициенты, G — коэффициент гирации.‘
Как кристаллографическая, так и кристаллофизическая системы — правые, углы между соответствующими их осями (Хи Хп У и Х2, Z и Х3) меньше 90°. Энантиоморфные модификации располагаются относительно введенных координатных систем так, что одна переходит в другую при инверсии.
В разделе «Возможные изменения» указано, как изменятся правила выбора координатных осей и энантиоморфных модификаций, если принять другую установку для кристаллов моноклинной сингонии и класса 6 m2, который в новой установке естественно обозначить 62m.
Таблица А.1
Выбор кристаллографических и кристаллофизических осейкоординат в кристаллах 32 классов
(стереографические проекции)
Триклинная сингония
Моноклинная сингония(вверху — принятая установка, внизу — измененная)
Ромбическая сингония
а<Ь “Л л а-^г-90°у Т Уmm2 ^-Д—Х.Х,а<Ь “Л л а-^г-90°у Т Уmm2 ^-Д—Х.Х,
а<Ь “Л л а-^г-90°
у Т У
mm2 ^-Д—
Х.Х,
а<Ь “Л л а-^г-90°
у Т У
mm2 ^-Д—
Х.Х,
Таблица АЛ (продолжение)
Гексагональная система
а=Ь ,а=Д=90°,7=120°
Таблица АЛ (продолжение)
Кубическая сингония
а=Ь=с ,сс=Д=у=90°
Таблица А.2
Правила выбора координатных систем и правых модификацийв 32 кристаллографических классах
Класс
Z [001]
X [100]
Y [010]
а. Р, V
Хэ
Х1
х2
1 со
° 5
О ° о * 3 2
6 к 8 § К со
5 я д= С tc
1
КР1
кр2
т, крз
риклинная
а > 90°, Р >90°
сингош
[001]
чя
b (010)
1 (010)
^33>0
I
КР1
кр2
крз
2
1 У КР!
1 ¥ кр2
м.
112
оноклинная
а = у = = 90°, Р>90°
1 синго!
[001]
гия
1 (ЮО)
[010]
^22^^
tn
1 у кр.
1 ¥ кр2
1 т
d^>0
2/т
1 Y «Р1
1 ¥ кр2
II2
19 Ю. И. Сиоотин М П Шяскпльсияя
Таблица А.2 (продолжение)
Класс
Z [001]
X [100] У [010]
а, Р, V
х.
Х1
Х2
55 ^ 2 3 СП 2
6 R = 3
С 5
Ромбическая сингония
222
II2 кр.
||2кр2 ||2кр3
а = Р = =7 = 90°
[001]
[100]
[010]
б^зв ^ ^
пгт 2
II2
±2кр1 ±ткр2
*^зз > 0
ттт
II2 К?!
||2кр2 ||2кр3
4
И
Тепг) 1 7кр
оагональна
а = Р = =у=90°
хя синг(
[001]
эния
[100]
[010]
$16 > 0
б^зз > 0
4
II4
1 2 кр
$1в > 0, ^36 >
4/т
II4
1 2 кр
$10 > о
422
II4
1 2 кр
du > 0
4тт
II4
1 2 кр
^зз 2> 0
12т
II4
II2
^зз 0
^/ттт
II4
1 Z кр
3
II з
Гем.
1 Z кр
'.агональная
а = р = = 90°, у = 120°
ч синго
[0001]
ния
[2110]
[ОНО]
$14 > о, $26
б^зз 2> 0
3
II з
1 2кр
$14 > 0, $25 > 0
32
II з
II2
S14>°
dn>0
Зт
II3
1 т
$14 > 0, ^зз>0
Зт
II3
II2
SM >0
6
II6
1 Zkp
б/зЗ>0
6
II6
1 7. кр
л16 > о, dn>0
6/т
II6
1 Z кр
Л1в /* 0
622
II6
1 Zkp
6^14 /* 0
бттт
II6
1 Zkp
б/зз 2> 0
6 m2
II з
1 т
б/ю>°
6/ттт
II6
1 Z кр
579579
579
579
Класс
Z [001]
X [100]
Y [010]
a, Р. V
х»
Х1
хг
и S S и а it 3 со CQ S я
6 к = 1
® Я
23
к
II2
убическая
а = р = = у = 90°
сингон^
[001]
ия
[100]
[010]
Л12/* ^21 | ^14^^
m3
II2
Л12 > ^21
482
114
G>0
43m
II4
^и>0
тЗт
II4
2
II2
1ZKP!
Вс
1 Z кр2
узможные ।
а = Р = = 90°, у >90®
изменен
[001]
'.ИЯ
[100]
1(010)
^зз>0
т
1 т
1 ZKpi
1 2кр2
du>0
21т
II2
1 Y КР!
1 2 кр2
62т
II6
II2
а = р = = 90°, 7=120°
[0001]
[2110]
[ОНО]
du > 0
Б. РЕШЕТКИ БРЛВЭ И КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ
Таблица А.2 (продолжение)
Б. РЕШЕТКИ БРАВЭ И КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ
Подразделение решеток Бравэ на примитивные и центрированные в известной мере условно. Здесь примитивными считаются те шесть решеток, на базисных векторах которых принято строить кристаллографические системы координат. Параметры этих решеток и их кристаллографические матрицы определяются правилами выбора кристаллографических систем координат (см. приложение А). Остальные восемь решеток Бравэ считаются центрированными; в частности, ромбоэдрическая решетка рассматривается как центрированная гексагональная.
Обозначения.
a, Ь, с — длины базисных векторов кристаллической решетки;
а, Р, у — Углы между ними;
и = аЬсш — объем элементарной ячейки;
а*э Ь*э с* —длины базисных векторов обратной решетки;
а*, р*, у* — углы между ними;
(О — см. ниже;
А = II Аа11| — матрица разложения векторного базиса аа кристаллической решетки по ортам ei кристаллофизической системы координат (греческие индексы нумеруют строки, латинские — столбцы);
1Э*
Е=||Е?||—матрица разложения ортов е^ кристаллофизической системы координат по базисным векторам аа кристаллической решетки (латинские индексы нумеруют строки, греческие — столбцы);
О = II ga^ || — матрица ковариантных компонент метрического тензора;
G“1 = ||pa₽ || —матрица контравариантных компонент метрического тензора;
Q =|| qP^||— матрица разложения векторного базиса центрированной кристаллической решетки по базисным векторам соответствующей примитивной решетки (нештрихованные индексы относятся к центрированной решетке и нумеруют строки, штрихованные — к примитивной решетке и нумеруют столбцы);
Р=||рР, ||— матрица разложения векторного базиса примитивной кристаллической решетки по базисным векторам центрированной решетки (штрихованные индексы относятся к примитивной решетке и нумеруют строки, нештрихованные — к центрированной и нумеруют столбцы).
Некоторые соотношения между параметрами примитивных решеток Бравэ, облегчающие пользование табл. Б.1.
Примитивная триклинная решетка Pl:
w=V 1—cos2 a —cos2 р —cos2 у 4-2 cos a cosp cosy, •
* sin а . * sin P * sin уatobtocm
* cos P cosy—cos acosy cos a —cos p
cos a* = —.,cos p*=Ц:,
sin p sin у’ r sin уsin a’
* cos a cos p — cos уcos у * =:4—5.
sin a sin p
Примитивная моноклинная решетка Р^тл
a = у = 90°, co = sin p,
a* = l/asinp, b* = \jb, c* = l/csinp, a*=y*=90°, p* = 180®—p.
Примитивная ромбическая решетка Pmmm:
a = P = y = 90°, co=l,
a* = l/a, ^* = 1/^, c* = l/c, a* = p* =y* = 90®.
Примитивная тетрагональная решетка Р^/ттт:
a = b, a = p = y = 90°, co=l, a* = b* = \]сц a* = p*=y*=90°.
Примитивная гексагональная решетка P^lmmm*.
a = b, a = p = 90°, 7=120°, a>=/3"/2,
a* = 6*=2(a/3)-1, c* = l/c, a* = p*=90°, y* = 60*.
Примитивная кубическая решетка:
a = b = c, a = p = y = 90°, co=l,a* = b* — c* = 1/a, a* =P* =y* = 90*.
Решетка
А
Е
G
G-i
триклинная PI
a sin р0 a cos Р
—b sin a cosy* -ч—х b cos а
1 sin р 0Ос
а*со 0с*со
sin а sin рtgpsiny
а* cosy*Ь*с* cos а*
00^-
sm у
a2 ab cos у са cos Р
ab cos у b2 be cos а
са cos Р be cos а с2
a*2 a*6*cosy* с*а* cosd* a*d*cosy* b*2 b*c*cosa* c*a*cosP* d*c*cosa* c*2
моноклинная
P^jm
a sin р0 a cos р
0b0
0Ос
а*0—с*cos р
0Ь*0
00с*sin Р
а20са cos р
0Ь20
са cos b0с2
a*20 c*a* cosP*
0b*20
c*a* cos p*0c*2
ромбическая Рттт
а00
0bи
0Ос
а*00
0Ь*0
00с*
а200
0Ь20
00с2
a*200
0b*20
00c*2
тетрагональная Р^ттт
а00
0а0
00с
а*00
0а*0
00с*
а200
0а20
00с2
a*200
0a*20
00c*2
гексагональная Р^/ттт
а00
0
22
00с
00
а*0
00с*
а2
°2— у 0
а2
-уа20
00с2
a*2
a*20
• a2*
тa*20
00c*2
кубическая РтЗт
а00
0а0
00а
а*00
0а*0
00а*
а200
0а20
00а2
a*200
0a*20
00a*2
Матрицы Л, Е, G и G-1 для примитивных решеток Бравэ
Таблица Б.1
к РЕШЕТКИ БРАВЭ И КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ
Таблица Б.2
ю
Решетка
G
<?-1
C^jm
a2a2 cos уас cos а
а2 cos уа2ас cos а
ас cos аас cos ас2
а*2 а*2 cos у* а* с* cos а* а*2 cos у* а*2 а*с* cos а* а*с* cos а* а*с* cos а* Гс*2
Сттт
а2а2 сое у0
а2 cos уа20
00с2
а*2а*2 cos у*0
а*2 cos у*а*20
00с*2
Fmmm
2а2-\-Ь2—с2а2 — b2-Vc2
°22
а2-\-Ь2—с2,2—а2 + Ь24~с2
22
а2 — Ь2+с2— а2 + Ъ2+с2о
22С
а*2а*2 cos у*a*2cos0*
a*2 cos у*a*2a*2 cos а*
a*2cosp*a*2 cos а*а*2
Immm
а2а2 cos уа2 cos 0
а2 cos уа2а2 cos а
а2 cos ра2 cos аа2
*2а*г-^ №*—<?*a^-b^-Vc*1
°22
а*2+»*2—с*22_а*2+6*2+с*2
2Ь2
а*2_ ^*2_рс*2__О*2_|_^*2_|_С*2
22е*
Матрицы G и G-1 для центрированных решеток Бравэ
ПРИЛОЖЕНИЯ
/4/ттт
а2—а2 (1+2 cosa)a2 cos а
—а2 (1 +2 cos a)a2a2 cos а
a2 cos aa2 cos аа2
#22а*2—с*гс*2
°22
2а*2—с*»с*2
2а2
с*2с*2
22
R3m
a2a2 cos aa2 cos а
a2 cos aa2a2 cos а
a2 cos aa2 cos аа2
а*з a*2 cos a* a*2 cos а* a*2 cos a* a*2 a*2 cosa* a*2 cos a* a*2 cos а * а*2
Fm3m
„а2а2
а^—
22
а2,а2
2°2
а2а2о
2Та
«2а*2а*2
а33
а*2ма*2
за33
_а*2а*2
33°
1тЗт —•
a2-JL
33
^„2а2
з°2
--EL_^_аг
33
„а*2а*2
°2ТТ
в”л*»а*г
т°2т
°*2а*2*2
22°
РЕШЕТКИ БРАВЭ И КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ
Таблица Б.З
Матрицы Q и Р, связывающие векторные базисыцентрированных решеток Брава с базисами соответствующихпримитивных решеток
Решетки
С2/т Сттт
Fmmm Fm3m
Imtnm I^/tnmm Im3m
R3m
<2
V2 -V2 0
Vs Vs 0
001
0V2Vs
V20V2
VsVs0
-Vs Vs Vs
Vs ~Vs V2
1 S V2 “Vs
Vs Vs Vs
-Vs Vs Vs
-Vs -Vs Vs
р
110
—110
001
—111
1 —1 1
1 I —I
011
101
110
1 -10
01—1
1 I 1
СВОЙСТВА НАПРАВЛЕНИЙ В КРИСТАЛЛАХ
По характеру своего расположения относительно элементов симметрии кристалла направления в кристалле делятся на особенные и неособенные, полярные и неполярные, аксиальные и неаксиальные, винтовые и невинтовые ). Мы применили здесь традиционный термин «направление», но правильнее в данном контексте говорить о прямых.
Прямая называется особенной, если все операции симметрии точечной группы кристалла преобразуют эту прямую только в себя.
Свяжем с данной прямой полярный вектор. Если хоть одна из операций симметрии точечной группы кристалла преобразует эту прямую в себя, а вектор — в противоположный, прямая называется неполярной.
Свяжем с прямой аксиальный вектор. Если хоть одна из операций симметрии точечной группы кристалла преобразует прямую в себя, а аксиальный вектор — в противоположный, прямая называется неаксиальной.
Свяжем, наконец, с прямой винт. Если хоть одна из операций точечной группы симметрии кристалла преобразует эту прямую в себя, а винт — в винт противоположного наименования, прямая называется невинтовой.
Можно ввести соответствующие определения и по-другому, с помощью предельных групп Кюри. Группа симметрии изолированной прямой Gn = oolmm, причем ось оо совпадает с прямой; группа же симметрии прямой в кристалле G„k — мы ее будем называть простой группой симметрии прямой — это пересечение точечной группы кристалла GK с группой Gn:
$пк = ^к А ^п*
Прямая называется особенной, если ее группа симметрии совпадает с группой симметрии кристалла:
^ПК = ^к»
очевидно, для этого необходимо и достаточно, чтобы группа симметрии кристалла была подгруппой группы изолированной прямой (разумеется, с учетом их взаимного расположения):
GK cz Gn=co[mnu
Таблица В.1
Направления в кристаллах
Класс
Неполярные
Неаксиальные
Невинтовые
Особенные
полярные
аксиальные
винтовые
остальные
1
—
—
—
hhl
hhl
hhl
—
I
hhl
—
hhl
—
hhl
—
—
2
hOl
hOl
—
010
010
010 HOl
—
т
010
hOl
010 hOl
HOl
010
—
—
21т
ш
hOl
hhl
—
010
—
HOl
222
0^/ hOl МО
Oki Ю1 HkO
—
—
—
100 010 001
—
mm2
мо
Ohl hOl hhO
Ohl hOl
001
—
—
100
010
ттт
hhl
Ohl hOl hhO
hhl
—
—
—
100 010 001
3
—
—
—
0001
0001
0001
—
3
hhil
—
hhil
—
0001
—
—
32
Okkl
Ой^/
—
—
—
0001
—
Зт
2110
Okkl
2110 Okkl
0001
—
—
—
Зт
hhil
Ohhl
hhil
—
—
—
0001
4
toO
HkO
—
001
001
001
—
4
НЮ 001
hkO
001
—
001
—
—
4(т
hhl
НЮ
hhl
—
001
—
—
422
hkO Ohl hhl
НЮ Oki hhl
—
—
—
001
—
Таблица В. 1 (продолжение)
Класс
Неполярные
Неаксиальные
Невинтовые
Особенные
полярные
аксиальные
винтовые
остальные
Атт
hkO
hkO Okl hhl
Okl hhl
001
—
—
42m
hkO Oki
hkO Okl hhl
hhl
—
—
—
001
4/ттт
hkl
hkO Okl hhl
hkl
—
—
—
001
6
hkiO
hkiO
—
0001
0001
0001
—
6
hkiO 0001
hkiO
hkiO 0001
—
0001
—
—
6/т
hkil
hkiO
hkil
—
0001
—
—
622
hkiO Okkl hkkl
hkiO Okkl hkkl
—
—
—
0001
—
Отт
hkiO
hkiO Okkl hkkl
Okkl hkkl
0001
—
—
6т2
hkiO hkkl
hkiO Okkl hkkl
hkiO Okkl
—
—
—
0001
. О/ттт
hkll
hkiO Okkl hkkl
hkil
—
—
—
0001
23
Okl
Okl
—
—
—
—
—
m3
hkl
Okl
hkl
432
Okl hhl
Okl hhl
—
—
—
—
—
43m
Okl
Okl hhl
hhl
Таблица В. 1 ^продолжение^
Класс
Неполярные
Неаксиальные
Невинтовые
Особенные
полярные
аксиальные
винтовые
остальные
т^т
hhl
Oki
Hhl
hhl
—
—
—
—
Таблица В.2
Направления в средах предельной симметрии
Группа Кюри
Неполярные
Неаксн- альные
Невинтовые
Особенные
полярные
аксиальные
винтовые
остальные
со
Lk
1k
нет
к
к
к
нет
со/т
все
Lk
все
нет
к
нет
нет
со2
все
все
нет
нет
нет
к
нет
сот
1k
вое
все
к
нет
нет
нет
со[тт
все
все
все
нет
нет
нет
к
со оо
все
все
нет
нет
нет
нет
нет
оо сот
все
все
все
нет
нет
нет
нет
Пр
► и м е ч а н i
и е. Вектор
А направле
н по главно
Й ОСИ СИММС
?трии.
Отсюда непосредственно следует, что особенные прямые имеются в тех и только в тех кристаллах, точечные группы которых являются подгруппами предельной группы со 1тт\ таковы кристаллы низшей и средней категорий.
Прямая называется полярной» если ее группа симметрии — подгруппа группы полярного вектора: GnK с оо т. Она называется аксиальной» если ее группа симметрии есть подгруппа группы аксиального вектора: GnKczco Im. Она, наконец, называется винтовой» если ее группа симметрии является подгруппой группы винта: GnK cz co 2.
Перечисленные характеристики направлений (возвращаемся к традиционной терминологии) важны для кристаллофизики. Так, изолированный) собственный вектор материального симметричного тензора второго ранга всегда совпадает с одним из особенных направлений кристалла. Пироэлектриками могут быть лишь кристаллы, имеющие хоть одно особенное полярное направление; только такое направление и может служить направлением векторов спонтанной поляризации, спонтанной электрической индукции и пироэлектрических коэффициентов. Направлением пьезоэлектрической поляризации может быть только полярное направление. Наконец, циркулярное или эллиптическое двупреломление винтового типа возможно только в винтовом направлении (возможность двупреломления аксиального типа определяется магнитной симметрией направления, см. § 82).
Полярное, аксиальное и винтовое направления изображены на рис. 44.1. Характеристики всевозможных пучков симметрически эквивалентных направлений для всех 32 классов симметрии кристаллов приведены в табл. ВЛ. Пучки
симметрически эквивалентных направлений в кристаллах гексагональной сингонии (тригональная и гексагональная системы) характеризуются индексами Бравэ, в кристаллах остальных классов — индексами Миллера. Установка стандартная (см. приложение А). В табл. В.2 показаны свойства направлений в средах предельной симметрии. Из таблицы видно, что свойства, связанные с аксиальным вектором, одинаковы у всех кристаллов, входящих в одну и ту же подсистему. Это объясняется тем, что аксиальный вектор инвариантен относительно инверсии.
Г. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ
ОБ УМНОЖЕНИИ ОПЕРАЦИЙ СИММЕТРИИ
Теоремы об умножении операций симметрии, приведенные в § 3, легко доказываются аналитически путем умножения соответствующих матриц; метод построения этих матриц .указан в § 17, а сами они выписаны в табл. 17.1.
Теорема 1. Не ограничивая общности, можно считать, что одна из плоскостей, пересекающихся под углом ф, нормальна к базисному вектору е1э а единичный вектор нормали — ко второй равен ех cos гр + е2 sin ip. Выпишем из таблицы и перемножим соответствующие матрицы:
— cos 2гр
— sin 2гр
0
—1
0
0
cos 2гр
— sin 2гр
0
— sin 2гр
cos 2гр
0
0
1
0
=
sin 2ф
cos 2гр
0 .
0
0
1
0
0
1
0
0
1
Результат — матрица поворота вокруг вектора е3 (т. е. линии пересечения плоскостей) на угол 2гр.
Теорема 2. Перемножая матрицы поворота вокруг оси 2 и отражения
в перпендикулярной к ней плоскости (2г и т^
—100100—100
0—10010=0—10
00100—100—1
получаем матрицу инверсии. Аналогично доказываются остальные теоремы.
Д. ТЕНЗОРЫ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ И ПРЕДЕЛЬНЫХ ГРУПП
В таблицах этого приложения выписаны тензоры и псевдотензоры различной внутренней симметрии, инвариантные относительно всевозможных кристаллографических и предельных групп; только в последних трех таблицах с целью экономии места приведены тензоры пятого и шестого ранга лишь для нескольких классов ). Внутренняя симметрия тензоров указана в заголовках таблиц символами Яна, подробно описанными в §42. Для всех тензоров указываются числа их независимых компонент и инвариантов (когда приводится только число компонент, это означает, что независимых инвариантов столько же). Тензоры (и псевдотензоры), инвариантные относительно заданных кристаллографических и предельных групп, применяются в кристаллофизике в качестве материальных тензоров кристаллов и текстур, относящихся к соответствующим кристаллографическим и предельным классам. Ниже перечисляются кристаллофизические применения тензоров, приведенных в этом приложении.
Список таблиц в приложении Д
Номер таблицы
Внутренняя симметрия
Применения
д.1
8
Энантиоморфизм р: у правых кристаллов р=1, у левых р = — 1, у неэнантиоморфных р = 0 (§ 5): удельное вращение плоскости поляризации а у оптически изотропных веществ (§ 81).
Д.2
V
Векторы пироэлектрических коэффициентов р (§ 31), спонтаннрй поляризации Р(0) и спонтанной индукции Р(0)_(§§ 26, 65), пьезоэлектрической поляризации под действием гидростатического давления d = d:I (§ 58).
д.з
eV
Актуальные векторы; дуальны тензорам {V2} (см. табл. Д.5). В качестве самостоятельных материальных тензоров, по-видимому, не применяются. Раньше предполагалось, что таков вектор пиромагнитных коэффициентов, но после открытия магнитной симметрии кристаллов выяснилось, что это ошибка.
Д.4
[И
Тензоры спонтанной деформации 8(0) (§ 65), диэлектрической восприимчивости а, проницаемости х и непроницаемости т) (§§ 26, 27), магнитной проницаемости ц (§ 73), теплового расширения а и термоупругости Р (§§ 51, 52) и многие другие, а также тензоры электропроводности <г, удельного электросопротивления р, теплопроводности X и температуропроводности к для немагнитных кристаллов (§§ 32, 33, 76).
Д.5
{V2}
Антисимметричные части тензоров типа 1/2(табл. Д.6), в качестве самостоятельных материальных тензоров практически, по-видимому, не применяются.
Д.6
V2
Тензоры коэффициентов Фарадея F (§ 82), термоэлектрических коэффициентов а и у (§76), тензоры коэффициентов Холла R и Ледюка —Риги L в немагнитных кристаллах (§ 76) и тензоры электропроводности а, электросопротивления р и теплопроводности X в магнитных кристаллах (§ 76).
Д.7
8[У2]
Симметричный псевдотензор коэффициентов гира- ции G (§§ 81, 82).
Д.8
8 {У2}
Антисимметричная часть полного псевдотензора ги- рации; описывает только «слабую» оптическую активность (§ 81).
Д.9
eV4
Полный (несимметричный) псевдотензор коэффициентов гирации; наряду с обычной («сильной») оптической активностью описывает и «слабую» (§ 81).
д.ю
[V»j
Тензор продольного пьезоэлектрического эффекта f (§ 58); тензор квадратичной диэлектрической восприимчивости у (2<о, со, (о) при пренебрежении дисперсией (§§ 79, 80).
Номер таблицы
Внутренняя симметрия
Применения
д.н
V [V2]
Тензоры пьезоэлектрических коэффициентов d и е (§§ 58, 60, 61), коэффициентов электрооптического эффекта г (§§ 77), коэффициентов квадратичной восприимчивости х (2<о, хо, со) и % (0, со, со) (§ 79).
Д.12
{V2} V
Материальный тензор у» характеризующий пространственную дисперсию первого порядка (§ 81).
Д.13
V»
Тензор квадратичной восприимчивости % (o)i ± со2, (Di, (о2) при с^т^сог и учете дисперсии (§ 79).
Д.14
eV [V2]
Псевдотензор электрогирации А, характеризующий изменение симметричного псевдотензора гирации под действием электрического поля (§ 82). Раньше ошибочно считалось, что таковы же пьезомагнитные коэффициенты (ср. кристаллофизические применения аксиального вектора — Д.З).
Д-15
8 V3
Псевдотензоры коэффициентов Нернста и Эттинг- схаузена N и М (§ 76); псевдотензоры коэффициентов Холла Р и Ледюка— Риги Q в магнитных кристаллах (§ 76).
Д.16
[V*]
Тензор кубичной восприимчивости 0 (3to, to, to, to) при пренебрежении дисперсией (§ 79).
Д.17
V [1/3]
Тензор кубичной восприимчивости 0 (Зсо, со, со, со) (§ 79).
Д.18
[[V2J2]
Тензоры коэффициентов упругости с и упругой податливости s (§§ 51, 52).
Д.19
[У2]2
Тензоры коэффициентов электрострикции Р (§ 74), магнетострикции, упругорезистивных m' и пьезорезистивных П коэффициентов (§ 75), упругооптических р, пьезооптических л коэффициентов (§ 77), коэффициентов Керра К (§§ 77, 79) и Коттона — Мутона С (§ 82).
Д.20
[(У2)2]
Тензоры упругих коэффициентов в несимметричных теориях упругости.
Д.21
[У2] у2
Тензор кубичной восприимчивости 0 (2со, 0, со, со) описывает генерацию второй гармоники электромагнитного излучения в центросимметричных кристаллах, помещенных в электрическое поле (§§ 79, 80).
Д.22
V4
Общий тензор кубичной восприимчивости 0 (to, соь со2, (о3) (§ 79).
Д.23
У[[У2р]
Тензор квадратичного пьезоэлектрического эффекта Q, тензор влияния электрического поля, на упругие константы и т. п. (§74).
Д.24
[[V2!3]
Квадратичные коэффициенты упругости С и упругой податливости L (§ 74).
Д.25
[У2][[У2Р]
Коэффициенты влияния статического напряжения или деформации на динамические упругие константы (§ 74), квадратичного пьезооптического эффекта и т. п.
Таблица Д.1
е — псевдоскаляр р
Классы
P
1, 2, 222, 3, 32, 4, 422, 6, 622, 23, 432, со, оо2, coco
P
I,m, 2/m, mm2, mmm, 3, 3m, 3m, 4, 4/m, 4mm, 42m, 4 [mmm, 6, - 6/m, 6mm, 6m2, 6/mmm, m3, 43m, m3m, co/m, com, со/mm, co com
0
Таблица Д.2
V—вектор р
Классы
Pl
Классы
Pl
1 — 3 комп., 1 инв. *) m (m 1 X2) — 2 комп., 1 инв. т (т ± Х3) — 2 комп., 1 инв.
Pi Pa Рз
Pi 0 Рз
Pi Pi о
2 (2 || X2) - 1 комп.
2 (21| X3), mm2, 3, Зт, 4, 4mm, 6, 6mm, co, com — 1 комп.
0 p2 0
0 0 p3
_ В классах 1, 2/т, 222,_ ттт, 3, 32, 3m, 4, 4/m, 422, 42m, 4/mmm, 6, 6m2, 6/mmm, 23, m3, 432, 43m, m3m, oo/m, co 2, oo/mm, oo oo, oo oo m p = 0.
6/m, 622,
*) «3 комп., 1 инв.» означает, что у материального тензора в данном классе имеется 3 независимых компоненты и 1 независимый инвариант. Эти сокращения употребляются во всех таблицах этого приложения. Когда указывается только число независимых компонент, это значит, что независимых инвариантов столько же.
Таблица Д.З
eV—аксиальный вектор а
Классы
°t
1, 1 — 3 комп., 1 инв.
2, m, 2/т (2|| Х2, т J. Х2) — 1 комп.
^1 ^2 ^3
2, т, 2/т(2|| Х3, т 1 Х3), 3, 3, 4, 4, 4/т, 6, 6, 6/т,
0 a2 0
0 0/7
со, со/т — 1 комп.
V V Wg
_ В класвах 222, mm2, ттт, 32, 3m, 3m, 422, 4mm, 42m, 4/mmm, 62 2,6mm,
6m2, 6/mmm, 23, m3, 432, 43m, m3m, oo 2, oo m, oo/mm, oo oo, oo oo m а = 0.
Таблица Д.4
[V2]—симметричный тензор второго ранга S; 5^ = $^
Классы
sv
Классы
sv
1,1
6 комп., 3 инв.
5ц 512 S3i
522 52з
5зз
222, mm2, ттт 3 комп.
Su 0 0
S22 о
5зз
3, 3, 32, Зт, Зт, 4, 4, 4/т, 422, 4тт, 42т, 4/ттт, 6, 6, 6/т, 622, ^тт, 6 m2, 6/ттт, со, со/т, со2, сот, со/тт — 2 комп.
Su 0 0
S11 0
5зз
2, т, 2/т (2 ||Х2, т 1 Х2) 4 комп., 3 инв.
5ц 0 S31 522 0 5зз
2, т, 2/т (2||Х3, /п±Х3) 4 комп., 3 инв.
5ц 512 0
522 0
5зз
23, m3, 432, 43т, тЗт, coco, со сот, 1 комп.
5ц 0 0
Su 0 5ц
Таблица Д.5
{V2}—антисимметричный тензор второго ранга А; Л^ = — Ау
Классы
Аи
Классы
Ai/
1 |
0 Л12 —Л31
3 ко. п., 1 инв.
—ЛХ20 Л2з
Л31 —^23 0
2, т, 2/т (21| Х3, т 1 Х3),
0 Л12 0
3, 3, 4, 4, 4/т, 6, 6, 6/т
—Л10 0 0
2, т, 2/т
0 0 —Л31
оо, со/т 1 комп.
ООО
(2 ||Х2, mlX^
ООО
1 комп.
Л31 00
В классах 222, mm2, ттт, 32, Зт, Зт, 422, Шт, 42т, 4/ттт, 622, бтт, Ш2,
6/ттт, 23, m3, 432, 43т, тЗт, оо 2, со т
, cojmm, 00 00, 00 00 т А = 0.
Таблица Д.6
V2—тензор второго ранга Т
Классы
ТИ
Классы
Тм
1,1
9 комп., 6 инв. "
Тц Т12 Т1а Тп Т^, Тед Т31 TS2 Тед
2, т, 2/т (2||Х2, тЗ_Х^ 5 комп., 4 инв.
Тц 0 Т1з о т22 о Т з1 0 7*83
Таблица Д.6 (продолжение)
Классы
Тн
Классы
TM
2, т, 2/т (2||Х3, т ±Х3) 5 комп., 4 инв.
7 ц 7 ц 0
7*21 722 0
0 0 733
32, Зт, Зт, 422, 4mm. 42т, 4(mmm. 622, 6 mm. 6m2. 6/mmm. co2, com. co/mm — 2 коми.
tu 0 0
0 Тц 0 0 0 T33
222, mm2, ттт 3 комп.
Ти 0 0 0 Тм 0 0 0 733
23, m3. 432, 43m m3m. 00 00, 00 co m 1 комп.
Тц 0 0
0 Tu 0
0 0 Th
3, 3, 4, 4, Мт. 6, 6, 6/т, со, оо/т 3 комп.
7 ц 712 0
—712 7П 0
0 0 т^
Таблица Д.7
е [V2]— симметричный псевдотензор второго ранга G; 6д=6у
Класс
G«
Класс
°и
Класс
°H
1
6 комп., 3 инв.
Qu G12 G3i $22$23
$33
т
(т 1 Х3)
2 комп., 1 инв.
0 9 G31
0 G23 9
42 m 1 комп.
Gn 0 9
-$11 9 9
2 (2|| X2) 4 комп., 3 инв.
$11 9 G31 $22 9 $83
3, 32, 4 422, 6, 622, co, 00 2
2 комп.
Gn 9 9
$11 0
$33
222 3 комп.
Gn 9 9
G22 9 $зз
2 (2||X5) 4 комп., 3 инв.
$11 $12 0
$22 9 $83
mm2, 4т2 (т J_ Xlt Х2) 1 комп.
9 Gi2 9
99
9
23, 432, co co 1 комп.
n, 6mm, 6/i
Gn 0 0
Gh 0
G11
n2, 6/mmm, m3,
m (m 1 X2) 2 комп., 1 инв.
В кл< 43т, тЗт,
9 G12 9
9$23
9
iccax 1, 2/т, mmm , coIm, 00 т, со/тп
4
2 комп., 1 инв.
1, 3, Зт, Зт, 4/
1, оо оо т G = 1
$11 $12 9
-$и 9 9
’m, 4mm, 6, 6/r ).
Таблица Д.8
е {V2} — антисимметричный псевдотензор второго ранга В; Bji=—By
Классы
ва
Классы
Bu
1
3 комп., 1 инв.
0 в12 —в31
—Bi2 0 В23 В31 —В2з 0
m(m ±X3) комп., 1 инв.
00 —B31
00B23
B31 —^23 0
2(2ЦХа)
1 комп.
0 0 —В31
0 00
В з1 00
2 (21| X3), mm2, 3, 3m 4, 4mm, 6, ^mm, oo, oo m
1 комп.
3m, 4, 4/m, 422, 42m, 4/m oo 2, оо//шп, oo oo, oo oo m
0 Bi2 0
—B12 0 0 ООО
mm, 6^ 6/m, 622, B= 0.
m (m 1 Х2)
2 комп., 1 инв.
В классах 1, 2/т, ! 6m2, bfmmm, 23, m3, 43!
0 В12 0
—Bi2 0 В23
0 —В 23 0
222, mmm, 3, 32, 2, 43m, m3m, oo/m,
Таблица Д.9
eV2 — псевдотензор второго ранга D
Классы
Du
Классы
Du
Классы
Du
1
9 комп.
6 инв.
Dn ^12 D31
D2i D22 D32 ^31 ^32 D33
222 3 комп.
Du 0 0
0 d23 0
0 0 D33
3, 4, 6, co 3 комп.
Du D12 0
—^12 ^11 0
00 D33
2 (2||X2) 5 комп., 4 инв.
Du 0 Di3 0 D2a 0
D31 0 D33
mm2 2 комп.
0 Di20
D21 о0
000
32, 422 622, co 2 2 комп.
Du 0 0
0 Dn 0
00 D33
2 (2ЦХ3) 5 комп., 4 инв.
Du Di2 0
D2i D22 0 00 D33
4
2 комп.
1 инв.
Du ^12 0
Di2 —Du 0
000
3m, 4mm
6mm, oom
1 комп.
0 Di2 0
—Di2 00
000
т (m 1 Х2) 4 комп., 3 инв.
0 Di2 0
D2i 0D23
0 D32 0
42т
1 комп.
71, 3, Зт, севдотензо!
Dn00
0 —Du 0
000
4/m, 4/mmm,"6, 6
>D = 0.
23, 432, oooo
1 комп.
1 _
/т, 6m2, 6j
Dn 00
0 Du 0
00Du
?mmm, m3, 43m,
т ^п 1 Хд) 4 комп., 3 инв.
В KJ m3m, oo/zz
0 0 D13
0 0 D23
D31 d32 0
laccax 1, 2/m, mmi t, со/mm, co 00 m n
Таблица Д.10
[V8] — симметричный по всем индексам тензор третьего ранга f
Классы
hfk
Классы
4jh
Классы
Ujh
1
10 комп.
7 инв.
fill /122 fm /123
/211 /222 /233
/dll /з22 /зЗЗ
mm2
3 комп.
0 0 0 0
0 0 0
/зп /322 /ззз
4, 6, со, 4тт, бтт, со т
2 комп.
0 0 0 0
0 0 0
/зи /зи /ззз
2 (2||Х2) 4 комп., 3 инв.
ООО /123 /211 /222 /233 ООО
mm2 (<=42т) 3 комп.
0 0 0 /123 0 0 0
/зп /зи /ззз
4
2 комп., 1 инв.
000/123
000
/зп —/зп 0
2 (2||Х3) 4 комп., 3 инв.
ООО /123 ООО /зп /з22 /ззз
3
4 комп., 3 инв.
/ш —/ш о 0
—/222/222 о
/зп/зп /ззз
4т2 W) 1 комп.
0000
000
/зп —/зп 0
т VnkX^ 6 комп., 5 инв.
/111 /122 /133 0 ООО /зП /322 /ззз
32, 62т (2||Х1) 1 комп.
/in —/ш о 0
00 0
00 0
6
2 комп., 1 инв.
/ш —/in 0 0
—/222/222 о
ООО
т (т±Х3) 6 комп., 5 инв.
/111/122/133 о /211 /222 /2ЗЗ ООО
‘Зт (mlXD 3 комп.
0 0 0 0
—/22 2 /222 0
/зп /зп /ззз
222, 42m
23 43m 1 комп.
В КЛ; т^т, со/т
ООО /123 ООО ООО
ассах 7, 2/т, ттт , со 2, со/тт, 00 00
6т2 (т LXi\
(21| Х2) 1 комп.
6/т, 622, 6
00 0 0
—/222 /222 о 00 0
\/ттт, m3, 432,
Зт (т 1 Х2) 3 комп.
1, 3, Зт, 4 , оосо т f
/ш —fin 0 0
000
/311/зи /ззз
/т, 422, 4/ттт, = 0.
Таблица Д.11
V [V2] — симметричный по двум индексам тензор третьего ранга е; etik=eiki
Выписаны коэффициенты е^ связанные с компонентами е^ правилами пересчета (см. приложение Е)
е^еш (^~ц=16).
В тех случаях, когда для коэффициентов d^, связанных с компонентами тензора d^i правилами пересчета
д Г ^tki(Ы **** Н = Ь 2, 3),
iM“l 2d,6z(Ы ~ и = 4, 5, 6),
таблицы коэффициентов имеют другой вид, выписаны и они.
Классы
Чу и diy
Классы
Чу и diy
1
18 комп.,
15 инв.
еп £i2 £13 £14 £is £ie ^21 £22 £23 £24 ^25 ^26 £31 £32 £33 ^34 ^35 £зв
mm2 (cz 42т) 5 комп.
000514е1б0
00051В5М0
£31£31£33005зв
2 (2||Х2) 8 комп., 7 инв.
000514 051в
£21£22 £23 0£250
ООО5340533
3
6 комп., 5 инв.
£ц —5П 0514£15 ”"£22
—£22£22 0515 —£14 —£11
£31 £si £33 000
2 (2||Х8) 8 комп., 7 инв.
ООО5^5]^0
ООО£245250
£31 £32 £зз00£33
^и —^и 0 du dis —2dM
—d22 d^ 0 diB —du —2^ц ^3i ^3i ^зз 0 00
т
Мп 1Х2) 10 комп., 9 инв.
£ц е]а 513 0 ем 0
ООО 5^ 0523
£31 £32 £33 053д 0
32 (2||Xt) 2 комп.
£ц—£ц051400
0000—514—£ц
000000
т
^ 1 Х3)
10 комп., 9 инв.
еи £12 £130051в
£21 £22 £2300£26
ООО5345360
du —d^ 0 d^ 00
0000 — du —2dn
000000
222 3 комп.
000е1400
0000е250
00000ем
32 (2||Ха) 2 комп.
000 5140—e22
—£22 £22 0 0 —Си 0 000000
mm2
5 комп.
0000515 0
000524 00
£31£32£33000
000 du 0 —8^22
“—*(/22 ^22 ^ ^—^14^
000000
Т а б л и ц а Д. 11 (продолжение)
Классы
еЩ и dln
Классы
в/Ц И diU
Зт
(m 1 XJ 4 комп.
0000515 —622
—622^22051500
631^3i^зз000
4m2 кт 1 Xi) 2 комп.
0000515 0
000 —515 00
531 —5310000
0 0 0 0 di5 —2d22
—d22 d22 0 di5 00
^31 ^81 ^33 000
6
2 комп., 1 инв.
5ц —5ц 0 0 0 —522
—^22^22 0 0 0 —5ц
00 0 0 00
3m кт 1 Х2) 4 комп.
eU —^11 005150
0005j5^—6ц
c3i^31^зз000
du —du 0 0 0 —2d22 —d22d22 0 0 0 —2dn
000000
du —du 0 ^ ^150
00 0 di5 0 —2dn
dgi dgi d33 0 00
бт^ кт 1 ха 1 комп.
000 0 0—522
—^22^220000
000000
4, 6, со 4 комп.
000514^1B^
000515 —^14
631631£33000
000 0 0 —2da2
—d22d220000
000000
422, 622, оо 2 1 комп.
000e1400
0000—514
000000
62m (2 и ха 1 комп.
^11 -^11 0000
000 0 0 —5ц
000 0 00
^тт, 6mm
оо т
3 комп.
0000e160
000e1600
631631е8з000
du —б/ц 0 0 00
00000 —2dn
00 0 0 00
4
4 комп., 3 инв.
0005145150
000—515^14°
531—53i00053e
42m (2 н ха 2 комп.
В кл calm, оо/т
00051400
00005140
0000053e
accax 1, 2/m, mmmt 3, 3m, 4/л m, 00 00, 0000m эти тензоры равн.
43m, 23 1 комп.
т, 4/mmm, ы нулю.
000e1400
0000e140
00000ей
67m, 6/mmm, m3, 432, m3m,
Таблица Д.12
{У2} у — антисимметричный по двум индексам тензор третьего ранга у;
7/м = — Vi/k
Классы
^ijk
Классы
vz/»
Классы
^Мк
1
9 комп., 6 инв.
7231 7232 7233
Тэи 7si2 7з1з
7121 7122 V123
222 3 комп.
7231 00
07з12 0
007x23
32, 422, 622, оо2 2 комп.
7231 00
07231 0
007x23
2 (2||Х2) 5 комп., 4 инв.
7231 0 у2зз
07з12 0
7121 07123
mm2
2 комп.
07232 0
7зп 00
ООО
3m, 4тт, втт, сот 1 комп.
072з2 0
—7232 00
ООО
2 (2ЦХ3) 5 комп., 4 инв.
7231 7232 0
7311 7312 0
007x23
4
2 комп., 1 инв.
72317232 0
^232 —^231 0
23, 432, оо оо
1 комп.
7123 00
07123 0
007x23
т
(т 1Х2)
4 комп.,
3 инв.
07232 0
7зп 07з13
07122 0
42т
1 комп.
723100
2—7231 0
000
т
(m 1 X,)
4 комп.,
3 инв.
В кл m3m, оо/т
00 72зз
о о у313 7121 7122 V
ассах 1, 2/т, ттл ,, со,тт, оо сот у
3, 4, 6, оо 3 комп.
п, 3, ~3т, - = 0.
7231 7232 0
—7232 7231 0 007x23
4/т, 4/ттт, 6,6//
и, 6m2, 6/ттт, m3, 43т,
Т абл ица Д.13
Vs — тензор третьего ранга 0
Классы
1
27 комп., 24 инв.
011101220133012301310112013201130121
021102220233022302810212^23202130221
031103220333032303310312033203130321
2
13 комп., 12 инв.
ООО0X2300П20x3200x21
0211 0222 02330Р2310062130
ООО032300312033200321
2 (2||Х3) 13 комп., 12 инв.
ООО0X230X3100X3201130
ООО022.302310028202130
0311 0322 0333000зх2000821
Таблица Д. 13 (продолжен uet
Классы
ру»
т
(т 1Х2)
14 комп., 13 и. в.
Pill Р122 Р1330р13100Р1130
ОООр2м0В212?2320р221
Рзп Рз22 РзЗЗ0рзз100рз130
т (т 1 Х3) 14 комп., 13 инв.
Pin Р122 Piss00р11200р121
Р211 Р222 Ргззо0В21200p22i
ОООр32дPaei0р332Paia0
222 6 комп.
ООО В123 о 0В132 00
0000P23i00Р213о
00000р312оор321
mm2 7 комп.
0000Р13100Рц30
000Р22800Р232о0
РзпР322Рззз000000
3
9 комп., 8 инв.
Pin —Рш 0р123 р131 —р222 —Р231Р223 —Р222
— Р222Р2220§223Р2З1—pillР131—Р123—Рш
РзпРзпРззз00р31200—р312
32 (2 ИХ,) 4 комп.
Рш —Рш 0 р123 00—Р23100
0000р231 —Рш0—р12з—рш
00000631200—р312
3m («1X0 5 комп.
оооор131—р2220в223—р222
— Р222 Р222 о р223оор13100
Рзп Рзп Рззз 000000
4, 6, со 7 комп.
ооор123р131о—р231р2230
ооо р223 р231 ор131 —В1230
Рзп Рзп Рззз00р31200—р312
422, 622, со2 3 комп.
000Pi2300—p23i00
0000p23i00—Ризо
00000р31200—Peis
Таблица Д. 13 (продолжение)
Классы
^Мк
^тт, ^тт со т 4 комп.
0000р1310ор2230
000р2230ор13|00
РзиРзиРззз000000
4
6 комп., 5 инв.
0оор123р131о р231—р2230
ооор223р23|о—р131р1230
Рзи. —Рзп 0 00р31200р312
42m 3 комп.
000р12300р23100
0000p23i00Р1230
00000р3120ор312
6
2 комп., 1 инв.
Pin—Pin000—р2220о—р222
—Р222Р222000—рш00—Pin
000000000
6/712 (m 1 XJ 1 комп.
00000-р22200-Р^
—Р222Р2220000000
000000000
62m (2 п ха 1 комп.
Pill—Pill00000 00
000 0 0-рш0 о-рП1
000000000
23 2 комп.
000р12300р32100
0000Р123^ор32]0
00000р123о0р321
43m 1 комп.
000Pi23оор12300
0000Р12800Р1230
00000Pi23оор123
432, со оо 1 комп.
В классах 1, 2/1 oo/mm, оооо/и 0 = 0.
000Р12300—Pi2300
0000Р12300—Pi230
00000р12300—р123
т,, ттт, 3, 3m, 4/m, 4/mmm, 6/m, 6/mmm, m3, m3m, oDjm,
Таблица Д.14
eV [V2] — симметричный по двум индексам псевдотензор третьего ранга А;^//л = ^ш
Выписаны коэффициенты Л^, связанные с компонентами Л^ правилами пересчета
^/ц — ^zaz (Ы ♦* ц,— 1, ..., 6)
Классы
А1\х.
Классы
1,1
18 комп.,
15 инв.
ЛиЛ12Л13Л14Л1БЛ1б
Л21Л22Л23Л24Л2БЛ2б
Л31Лз2Л33Л34Л35Лзв
32,3m, 3m (2||ХЬ miXJ
Лц —Лц 0 Л|4 00
00 00 —л14—Лц
00 0000
2, т, 2/т
2 комп.
(2||Х2, т 1 Х2) 8 комп., 7 инв.
ООО Л14 0 Л^д Л21 Л22 Л23 0 Л2Б о
ООО Л34 0 Л1з
4, 4, 4/m, 6, 6, 6/m, co, co/m 4 комп.
000Л14 Л16 0
0 0 0 Л16 —Л14 0 ^31 ^31 ^зз 000
2, т, 2/т
(21| Х3, т 1 Х3) 8 комп., 7 инв.
000 Л,4 Л16 0
ООО Л24 Л2Б 0 Лз1 Лз2 Л33 00 Лз6
422, 4mm 42m, ^lmmmt 622, 6mm,
0 0 0 Л1400
222, • mm2, ттт 3 комп.
000Л1400
0000л^0
00000л36
6m2, . ^mmm, co2, com, co/mm 1 комп.
0 0 0 0—Л14 0
0 0 0 000
3,3 6 комп., 5 инв.
В кл
Лц—Лп 0 Ли Л15—Л22 —Л22 Л22 0 Л1Б—Л14—Лц
Л31 Л31 Л33 000
ассах 432, 43/п, тЗт, оооо, сосот А
23, m3
1 комп.
. = 0.
000Л1400
0000Л140
00000л14
Таблица Д.15
8 {Г2} V— антисимметричный по двум индексам псевдотензор третьего ранга ф; ф/^ — — ^
Классы
Классы
'Ч'цк
1,1
9 комп., 6 инв.
Ф231 Ф232 Ф233 фзи Фз12 Фз13 Ф121 Ф122 Ф123
2, m, 21т (21| Х2, т 1 Х2) 5 комп., 4 инв.
Ф231 0ф2зз
0Фзи 0
Ф121 V 1|)123
Таблица Д. 15 ^продолжение)
Классы
Классы
2, т, 2/т (2||Х3, т±Х3) 5 комп., 4 инв.
$231 $232 0
$311 $312 0
00$123
32, Зт, Зт, 422, 4тт, 42т, 4/ттт, 622, бтт, 6т2, 6/ттт, оо2, сот, со [пгт 2 комп.
$231 00
0$231 0
00гр123
222, mm2, ттт 3 комп.
$231 00
0$812 0
00*ф123
3, 3, 4, 4, 4/т, 6, 6, 6/т оо, со/т 3 комп.
$231$282 0
—$232 $231 0
00$123
23, m3, 432, 43т, тЗт, оооо, сооот 1 комп.
$123 00
0$123 0
00*ф123
Таблица Д.16
[V4] — симметричный по всем индексам тензор четвертого ранга 1
Классы
4jmn
Классы
4jmn
1, I
15 комп., 12 инв.
^1111 ^1222 ^1333 ^2233 ^1123 ^2111 ^2222 ^2333 ^ЗЗЦ Z2213 ^3111 ^3222 ^3333 G122 ^3312
4, 4, 4/m 5 комп., 4 инв.
^1111 —^2111 0Z2233 0
^2111^1111 0Z2233 0
00Z3333 Zn22 0
2, т, 2/т (2 ||Х2, т±Х2) 9 комп., 8 инв.
^11110^1333^22830
0Z22220Z3311/221з
^зш0Z3333Z11220
422,, 4mm, 42m 4/mmm 4 комп.
Zhu00Z22330
0Zmi0Z22830
00Z3333Z11220
2, т, 2/т (2||Х„ mLX^ 9 комп., 8 инв.
^ИИ^12220Z22330 .
^2111^22220Z33110
00z3333z1122z3312
6, 6, 6/m, 622, 6mm, 6m2, ^Immm
00, co Im, oo2, oom, co] mm 3 ко*, n.
3Zn22 00Z2233 0
03Zi122 0Z2233 0
00Z3333 Zn22 0
222, mm2, ттт
6 комп.
Zim 0 0 Z2233 0 0 Z2222 0 Z33n 0 0 0 Z3333 Zu22 0
23, m3, 432, 43m, m3m 2 комп.
Z111100Z223j0
0Znii0Z22330
00ZlinZ22330
3, 3
5 комп., 4 инв.
3Zn22 0 0Z2233 Zn 23
03Z1122 0 Z2233 —z3in
Z31II ^1123 Z3333 ^1122 0
ОО ОО, оо oom 1 комп.
3Z2233 00Z2233 0
03Z2233 0Z2233 0
003Z2233 Z2233 0
32L3m, Зт
4 комп.
3Zn22 00Z2233 Z1123
03Zn22 0Z2233 0
0—zn23 z3333 z1122 0
Таблица Д.17
F [V3] — тензор четвертого ранга к, симметричныйпо трем последним индексам
Классы
^ijmn
1, I
30 комп., 27 инв.
^1111 ^1222 ^1333 ^1122 ^1233 ^1311 ^1133 ^1211 ^1322 ^1123 ^2111 ^2222 ^2333 ^2122 ^2233 ^2311 ^2133 ^2211 ^2322 ^2123 ^3111 ^3222 ^3333 ^3122 ^3233 ^3311 ^3133 ^3211 ^3322 ^3123
2, т, 2/т № m 1 Хг) 16 комп., 15 инв.
^11110^1333^11220/Zi3ii/?цзз0^13220
0^222200^223300^22110^2123
^зшо&зззз^31220/*3311/гз1зз0^33220
2, т, 21т (2||Х3, т 1 Х3) 16 комп., 15 инв.
^1111^12220/21122^12330^1133^121100
^2111^22220^2122^22330^2133^2211^0
00/?зззз00/гззп00^3322^3123
222, mm2, ттт
9 комп.
&пп 0 0 ^1122 0 0 ^цзз ООО 0 ^2222 0 0 /^2233 0 0 ^2211 0 0 0 0 ^3333 0 0 ^3311 0 0 ^3322 0
3, 3
10 комп., 9 инв.
3/21122 3&1211 0^1122 ^1233 ^1311^2233 ^1211 —^1311^2311
—3/21211 3/21122 0—/г12ц ^2233^2311—^1233^1122—^2311—^1311
^3111 —^3211 ^3333—^3111 0/гззп 0/г32Ц^3311^3123
32, З/тг, Зт 6 комп.
3/2ц2200/^1122 00^2233 00^2311
03/гц2200/?2233^23110/?1122—^23110
0—/гэги/?зззз00/гззп0/гз2ц /гззп0
4, 4, 4/т 8 комп., 7 инв.
/гцп—^21110^1122^12830/^233^121100
^2111^1111 0—/21211/22233 0—^1233 ^1122 00
00/гзззз00/гззп00/гз8ц^3123
422, 4тт, 42т, 4]ттт 5 комп.
/гцп00^112200^2233000
0/2111100^223300/21122 00
00/2333300/2331100^ззи 0
6, 6, ^т, со, со]т 6 комп.
3/211223/212110/21122^12330^2233^1211 00
—3/212113/211220—/21211^22330—^1233^1122 ^0
00/2333300/2331100/23311 /23123
Таблица Д. 17 (продолжение)
Классы
kijmn
622, ^тт.
6т2, ^(ттт^ со2, сот, со [пгт
4 комп.
3^112200^112200^2233 000
03^112200^2233 00/2ц22 00
00/23333 00/2331100/233ц о
23, m3 - 3 комп.
/2цц00/22233о0/23322000
0^111100/2223300/23322 00
00^11п00/2223300/23322 0
432, 43т, тЗт 2 комп.
^111100^223300/22233000
0^111100/2223300^2233 00
о0^111100/2223300^2233 0
СО ОО, оо сот 1 комп.
3/2223300/2223300/22233 000
03^223300/22233 00/22233 00
003/^223300/22233 00^2233 0
Таблица Д.18
[[ V2]2] — тензор четвертого ранга с, симметричный по двум параминдексов в их перестановке: С/^/=сцм—суik = Ckiij
Выписаны коэффициенты с^ связанные с компонентами с^ы правилами пересчета
связанных с компонентами s/^/ правиламисвязанных с компонентами s/^/ правиламисх№ = сцк1 Щ — \=\6;Ы~ц=16).
связанных с компонентами s/^/ правилами
связанных с компонентами s/^/ правилами
Когда для коэффициентов s^, пересчета
$Хц =$Хц =siiki (i/ —Х= 1, 2, 3; hl ** р = 1, 2, 3), 25^к1 (ij**X=l, 2, 3; fc/*->p = 4, 5, 6), 2sl#kl (ij — h = 4, 5, 6; hl**^—^ 2, 3), ^sijkl (4 **X = 4, 5, 6; /?Z**p = 4, 5, 6),
$Хц =
$Хц =
таблицы имеют другой вид, выписаны и они.
Классы
%! и sZn
Классы
% и ^ц
1, 1
21 комп.
18 инв.
сп£12£13£14£1бс1б
С22£23с24С25С26
сзз£34£35£зв
£44 С4Б С46 £55 c66 £вв
2, т, 2/т (21| Х2, т 1 Х2) 13 комп., 12 инв.
£ц £12с130с1в0
£22С230С250
£зз0с35О'
£440с46
£бб0
£вв
Таблица Д. 18 (продолжение)
Классы
%jl и 8Хц
Классы
% И %!
2, т, 2]т (2||Х.„ т. 1 Х3) 13 комп., 12 инв.
Сц c12Суз00Cie
C22£2300C26
C3300Сзб
C44c450
C550
cee
32, Зт Зт 6 комп. *)
£ц £12£13£1400
£ц £13 —£14 00
С33000
с4400
£44 £14
£вв
$11 $12$13$1400
$11 $13 —$14 00
$зз000
S4400
$44 2514
$66
222, mm2, ттт 9 комп.
Сц C]2£13000
£22£23000
C33000
£44o0
сбб 0 £ee
4, 4, 4/т 7 комп., 6 инв.
£ц £12 с1з00с1в
£ц £13 00—с1в
С33000
с4400
£44о
£вв
422, ^тт, 42m, 4/mmm 6 комп.
сп £12£13000
£цС13000
^зз000
с4400
£44 о
£вв
3, 3 7 комп., 6 инв. *)
£ц ci2 £1з£14 —£25 0
£ц£13—£14С250
С33000
£440С25
£44 С14
£вв
6, 6, 6/т, 622, 6mm, 6/722, &1ттт, со, со/т, со2, сот, со/тт
5 комп. *)
$11 $12 $13$14 —$250
$11 $13 —$14$250
S33000
$4402$2Б
$14 2s14
$66
23, m3, 432, 43m, тЗт 3 комп.
£ц £12£12000
СцС12000
Сц000
£4400
£44 о £44
СОСО, co oom 2 комп. **)
*) В классах 3, 3, 32, 3m, 3m, 6, 6, 6/m, 622, 6mm, 6m2, 6/mmm, oo, oo/m# oo2, oom, oo/mm fee = -у (cn — c12), See = 2 (sn — s12).
**) В классах ос co и oo oom c44 = (cn — c12), s44 = 2 (sn — s12).
Таблица Д.19
[F2]3 — тензор четвертого ранга р, симметричный по двум параминдексов: Pijki=Pjiki=Pifik
Выписаны коэффициенты p^t связанные с компонентами рцк1 правилами пересчета
Р)»=РМк1 (Ч "Х=1. ..., 6; W~p=l6).
Когда для коэффициентов л^, связанных с компонентами тензора и^к1 правилами пересчета
-. _1 ^им0/"Х=1, .... 6; Ы~р.= 1, 2, 3),
(2лг/н (»/~Х=16; Ы —ц = 4, 5, 6),
таблицы имеют другой вид, приведены и они.
Классы
^ и ^и
Классы
1, 1
36 комп., 33 инв.
Ри Р12 Р13 Р14 Р1Б Р16 Р21 Р22 Р2З Р24 Р26 Р26 Р31 Р32 РЗЗ Р34 РЗб РЗб Р41 Р42 Р43 ^44 Р4Б Р46 Рб1 Рб2 Рбз Рб4 Рбб Рбб Рб1 Рв 2 РбЗ Рв4 РбБ Рбб
3, 3
12 комп.,
11 инв.*)
РиР12Р13Р14~Р25Р16
Р12Р11Р13Р14Р2Б“Р1в
Р31Рз1РззООО
P41- р410р44р45р52
" Рб2Рб?0- р45р44р4]
“Pie Р16 0 Рад Ри Рад
2, т, 2/т (2||Х2, т 1 Х2)
20 комп., 19 инв.
Р11Р12Р130Р150
Р21Р22Р230р250
Р31Р32РЗЗ0Рз60
000р440р46
Рб1Рб2Рбз0рб50
PeiРе2РезРв49р6в
Лил12 Л13л14л252л62
Л12Лц л13- Лил252лд2
Л31Лз1 л33000
Л41л410л44л4б2лб2
*^Б2*^Б2 9л4бл442л4^
- лб2 . л62 0л25Л илбб
2, т, 2/т (21| Х3, т 1 Х3)
20 комп., 19 инв.
Р11Р12Р1300Р1б
Р21Р22Р2300рад
PsiРзгРзз00рзб
000р44р460
000рб4рБВ0
PeiРв2Рез00рвв
32, З/тг 5/тг 8 комп.*)
Ри Р12 Р13Р14 00
Р12PuР13~Р1400
PsiРз1Рзз000
Р41 —Р41 0р44 00
0000р44р41
0000р14Рад
222, mm2, ттт 12 комп.
Pit Ри Ри ООО Ри Рзз Рзз ООО Psi Рзз Рзз ООО 000р44 00
000 О рИ 0
0 0 0 0 0 рее
ЛцЛ16Л13л4400
л42ЛцЛ13— Ли00
Л31Л31Л33000
л41—л4х0л4400
0000л44 2л41
0000л14 лвв
Таблица Д. 19 (продолжение)
Классы
рАц и лАц
Классы
рХц и лХц
6, 6, 6/т со, со/т 8 комп. *)
Ри Р12 Р13 0 0Р16
Р12Р11 Р13 0 0 —Р16
Pei Р31 Рзз 0 00
ООО р44 Р45 0
ООО —р4Б Р44 0
—Pie Pie ООО рвв
422, 4mm, 42m, ^(ттт 7 комп.
РиРпPis000
Р12РиР13о00
Рз1PsiРзз000
000р4400
0000-р440
00000Рее
622, 6mm, 6m2, §1ттт, со2, oom, oo/mm 6 комп. *)
Ли Л12 Л13 0 02л02
Л1 > Лц л13 0 0 —2ле2 Л31 Л31 Л33 0 00
ООО л44 л45 0 ООО —л45 л440
-—'Лд2 Лд2 00 0 Лдд
23, m3 4 комп.
Ри Pi2 P21 ооо Р21 Ри Р12 ооо Pi2 Р21 Ри 000
000 Р44 о 0
0000р44 0
00000р44
4, 4, 4/т 10 комп., 9 инв.
РиРиР1з00Pie
Р12PllР1300—Р16
Рз1Рз1Рзз000
000р44Р450
000 —Р45 Р44 0
Pei —Pei 00 0Pee
432, 43m, m3m 3 комп.
PllР12Р12000
Р12РиРп000
Р12Р12Рп000
000Р4400
0000Р440
00000р44
СОСО, оо сот 2 комп. **)
*) В классах 3, 3, 32, Зт, Зт, 6, 6, 6/т, 622, бтт, 6/ттт, оо, оо/т, оо2, сот, со/mm Рве = “2“ (Ри — Р12), Лее = Ли — Л22.
**) В классах оо оо и оо ост р44 = ~ (ри — р12), Л44 = Ли — Л12.
Таблица Д.20
[(V2)]2 — тензор четвертого ранга и, симметричный относительноперестановки пар индексов: пмц^пцы
Классы
nijkl
1,1
45 комп.,
42 инв.
ИЦЦ Иц 22ИПЗЗНП23Иц31Я1112Л1132ИщзПП21
^2222И2233И2223И2231П 212^2232И2213И2221
ИЗЗЗЗ И3323^3331^3312И3332Из313П3321
^2323^2331^2312П2332И2313^2321
И3131^3112Из132П3113И3121
^1212И1232П1218П1221
И3232Ло213^3221
И1313 П1821 ^2121
Таблица Д.20 (#родол^##е)
Классы
"ijhl
2, т, 2[т (2||Х2, mLX^ 25 комп., 24 инв.
#1111#1122#11330#ц3100^11130
#2222#22330#223100#22130
#зззз0#333i00#33130
#23230#2312#23320#2321
#313100#31130
#1212#12320#1221
#32320#3221
#13130
#2121
2, т, 21т (2||Х3, m±X3) 25 комп., 24 инв.
#1111#1122#113300#111200#1121
#2222#223300Л221200/^2221
#333300#331200#3321
#2323#23310#2332 #23130
#31310#3132 #31130
#121200#1221
#3232 #32130
#13130
#2121
222, mm2, ттт 15 комп.
#1111#1122#1133000000
#2222#2233000000
#3333000000
#232300#233200
n3i3i 00#31130
#121200#1221
#323200
#13130
#2121
4, 4, 4/7# 13 комп., 12 инв.
#1111#1122^113300#1112°0—#2212
л1ш#113300#221200—#Ш2
#333300#331200—#3312
#2323^23310#233200
#313100#23320
#121200#1221
#3131 —#23310
#23230
#1212
422, 4/#/#, 42т, 4] ттт 9 комп.
#1111#1122#1133000000
^ии#1133000000
#зззз000000
#232300#233200
#313100 #зиз 0
#121200#1221
#313100
#21230
#1212
Классы
aljkl
3, 3
15 комп.,
14 инв. *)
/*1111 ^1122/*1133/*1123/*1131/*Ш2/*п32Пщз—Пщ2
/*1111 /*1133 —/*1123 —/*1131/*1112 —Л1132 —^1113 —/*1112
/*333300/*331200—/*3312
^2323/*2331—ПщзП2зз20—Пщз
/*3131^11320/*2332/*1132
п1Ш —/*1131^1123/*1221
/*3131 —/*2331 —^1131 ^2323/*1123
/*1212
32, 3m, Вт
10 комп. *)
/*1111/*1122^1133/*112300/*113200
/*1111/*1133—/*112300—/*113200
ЦззззООО000
/*232300/*233200
/*3131 /*11320П2332 /*1132
/*12120/*1123 ^1221
/*si3i 00
/*2323 /*1123
/*1212
6, 6 ^{т, со, со/т 11 комп. *)
/*1111^1122/*113300'/1Ц1200—/11112
/*1111/*113300/1111200—/*1112
/*зззз00/1331200—/*3312
/*2323 /*23310/*233200
/*313100/^23320
/1121200/11221
/*3181 —^23310
/223230
/*1212
622, 6mm, 6m2, ^]ттт, со2, oom, oo/mm
8 комп. *)
/*1111^*1122^*1133000000
/*1ш/*изз000000
/*зззз000000
/*282300/*233200
/*313100/*28320
/*121200/*1221
/*313100
/*23230
/*1212
23, m3 5 комп.
/*1111/*1122/*1122000000
/*1ш/*И22000000
/г1Ш000000
/*2323^^/*233290
/*232300/*23320
/*232390/*2332
/*323290
/*32329
/*3232
20 Ю. И. Сиротин, М П. Шаскольская
Классы
nijhl
432, 43m, m3m 4 комп.
сооо, оосот
3 комп. **)
^1111^1122^1122000000
^1111^1122000000
^1111000000
^232300^233200
^232300^23320
^232300^2332
^232300
^23230
^2323
*) В классах 3, 3, 32, Зт, Зт, 6, 6, 6/т, 622, ^тт, 6/п2, 6/ттт, оо, оэ/т, оо 2, оо т, со/mm я1ш = п^ш + «1212 + ^1221-
**) В классах оо оо и оо оо т п11П = п1122 + п4заз + n2382
Таблица Д.21
[V2] Г2 —тензор четвертого ранга h, симметричныйпо двум индексам: кцк1 = 1гук1
Классы
hijkl
1.1
54 комп., 51 инв.
^1111 ^1122 ^1133 ^1123 ^1131 ^1112 ^ц32 ^1113 AU2i ^2211 ^2222 ^2233 ^2223 ^2231 ^2212 ^2232 ^2213 ^2221 ^3311 ^3322 ^3333 ^3323 ^3331 ^3312 ^3332 ^3313 ^3321 ^2311 ^2322 ^2333 ^2323 ^2331 ^2312 ^2332 ^2313 ^2321 ^3111 ^3122 ^3133 ^3123 ^3131 ^3112 ^3132 ^'3113 ^3121 ^1211 ^1222 ^1233 ^1223 ^1231 ^1212 ^1232 ^1213 ^1221
2, т, 2/т
(2 ||Х2, т 1 Х2)
28 комп., 27 инв.
АццАц22^изз0кИз\00Ашз0
^2211^2222^2233^^223100^22130
^3311^3322^33330/^333100Л33130
000А2з2з0^2312^23320^2321
^3111^3122^31330Лзхз!00/Z311a0
000А12230^1212^12320/ll22l
2, т, 2/т (2|| Х3, т ±Х3) 28 комп., 27 инв.
^1111^1122^113300/1ц1200Яц21
^2211^2222^223300^22120/l2221
^ЗЗП^3321^3333^^^3312^0/l332]
000/^2323^23310/^2332^23130
000/^3123^31310^3132^31130
^1211^1222^123300/ll2i200/li221
Классы
hMki
222, mm2, ттт, 15 комп.
/1цц/11122/1цзз000000
/12211/12222/12233000000
^3311^3322/1.3333000000
000^232300/1233200
0000^3i3i00^зиз0
00000^1212^^/11221
4, 4, 4/т
14 комп., 13 инв.
^1111/l]122^ИЗЗ00/hll200—/l2212
/11122/hl 11/1113300/1221200—/11112
^3311/13311/^зззз00/I331200—/13312
000/^2323/123310/^3131 —^31230
00/^3123/^31310 —/12331/^23230
/11211/11211000/1121200/11212
422, 4тт, 42т, 41 ттт
8 комп.
/1цп/11122/1изз000000
/1ц22/hui/^нзз000000
/13311/13311^зззз000000
000/1232300/1313100
0000/1313100/123230
00000/1121200/11212
3, 3
18 комп., 17 инв.*)
/hill /11122 ^ПЗЗ /11123 ^ПЗ! /11112 ^1132 ^1113 —/12212 /11122 /11111 ^1133 —/11123 —^1131 ^2212 —^1132 —^ШЗ —^1112 /13311 /^3311 /13333 0 0 /13312 0 0 —/13312 /12311—/12311 0 /12323 ^2331 —/13111 /13131 —/13123 —^3111 ^зш —^зш 0 /13123 /13131 /12311 —/12331 ^гзгз ^гзц /11211—/11211 0 —/hll3 /11132 /11212—^ИЗ! ^1123 ^1212
32, 3777, 3/72
10 комп.**)
^ИН /11122/11133^112300/1ц3200
/11122/11111 /11133 —/1112300—/1113200
/13311/13311^зззз000000
/12311 —/123110/1232300/1313100
0000/13131/123110/12323/12311
0000/11132/112120/^1123/11212
6, 6, 6//71, ОО со/гтг 12 комп.*)
/11111/11122h-113300/1111200—/12212
^1122himЬизз00Л221200—/hi 12
Ьззп/13311^зззз00/1331200—/13312
000/^2323^23310/13131—/13123^
000/13123^SlSl0—/12331/123230
/11211 —/11211000/1121200/11212
622, 6/72/тг, 6/тг2, 6/772/72/72, СО 2, ОО /72 оо/тт
7 комп.**)
/hui/11122кцзз000000
Ьизз/hui/1цзз000000
/13311^ззи/1зззз000000
000/1232800/1313100
0000/1313100/^23230
00000^121200/11212
20*
Т а б л и ц а Д.21 (продолжение)
Классы
hUM
23, m3 5 комп.
6цц^1122^2211000000
^2211^1111^1122000000
6]Д22^2211^1111000000
000^232300^233200
00006232З00^23320
00000^232300^2332
432, 43/тг, тЗт 3 комп.
оо оо, оо оо т
2 комп.***)
6цц^1122^1122000000
^1122^1111^1122000000
^1122^1122^1111000000
00062З2З00^232300
0000^232300^23230
00000^232300^2323
*) В классах 3, 3, 6, 6,_6/m, оо, oo//n huu = АИ22 + 2А1212 и h2212 - Лш2 = 2h1211.
*♦) В классах 32, Зт, Зт, 622, 6mm, 6т2, 6/ттт, оо 2, оо т, ^[тт hnn = = Ац22 + 2A12t2.
***) В классах оо оо и оо оо т htm = АИ22 + 2Л2323.
Таблица Д.22
V4 — тензор четвертого ранга b
Классы
bijkl
1,1
81 комп., 78 инв.
6цц 6ц22 6цз3 6ц23 6ц31 6ц12 6цз2 бщз 6ц21 62211 62222 62233 62223 6223! 62212 62232 62213 62221 63ЗЦ 6зз22 63333 63323 63331 63312 63332 63313 ^3321 62ЗЦ 62322 62ззз 62323 62331 62312 62332 62313 62321 63Ш 63122 63133 63123 ^3131 6зц2 63132 63цз 63121 61211 61222 61233 61223 61231 61212 61232 61213 61221 632Н 63222 63233 63223 63231 63212 63232 63213 63221 61311 61322 61333 61323 61331 61312 6i332 61313 61321 62111 62122 621зз 62123 62i3i 62ц2 621з2 62цз 62i2i
2, т, ^т (2||Х2, tn к Х^ 41 комп., 40 инв.
61111611226цзз06113100бщз0
622116222262233062231006221з0
63311633226333306333100633130
00062323о6231262332062321
6311163122631330631310063113о
0006122306121261232061221
0006322306321263232063221
61811613226133306133100613130
000621230621162132062121
Классы
bMkl
2, т, 2/т
(21| X^tnlX^
41 комп., 40инв.
^ILU^1122^1133006Ш200^1121
^2211^2222^223300^2212^^^2221
^3311^3322^333300^331200^3321
ООО^2323^23310^2332^2313
ООО^3123^31310^3132^31130
^1211^1222^123300Ь121200^1221
ООО^3223^32310^3232^32130
ОООЬ1зй3&13310^1332^13130
^2111^2122^213300^211200^2121
222, mm2, пгтт 21 комп.
^1111^1122^1133000000
^2211^2222^2233000000
^ззц^3322Ьзззз000000
000^2323^0^2332^
0000^313100^зиз0
00000^1212^0^1221
000^322300^323200
0000^1зз100^13130
00000^211200^2121
4, 4, 4/т
21 комп/,20инв.
^1111^1122^113300^шг00—£2212
^Н22^1ш^изз00£>221200—&Ш2
^3311^3311^333300^331200—63312
000^2323^23310^2332^23130
000^3123^81310^3132^31130
^1211^1222^1233006121200bi22l
000^3113—^31320^3131—^31230
000—^2313^23320—^2331^23230
—^1222—^1211 ~' ^123300bi22100Ь1212
422,4тт, 42т, 4/ттт 11 комп.
ЬциЬ1122Ьцзз000000
^И22^нп^изз000000
^зз11^ззпЬзззз000000
000^232300^233200
0000^313100^зиз0
00000^1212^1221
000^зиз00^313100
0000^233200^23230
00000^1221^0^1212
3, 3
27 комп.,
26 и нв. *)
^1111^1122^1133^1123^1131^1112^1132^Н13 —^2212
^1122^1111^1133—^1123—^1131^2212—^1132—^1113—^1112
^ззи^3311Ьзззз00Z>331200—b33i2
^2311—^23110Ь2323^2331—^1311^2332^2313—^1311
^3111—^31110Ьз123^3131^3211^3132^3118^3211
^1211^1222^1233—^ШЗ^1132^1212—^1131^1123^1221
^3211—^32110&311з—&3132—^зш^3131—^3123”*^3111
^1311—^13110—д2313^2332^2311—^2331^2323^2311
—^1222—^1211—^1233—^1113^1132^1221—^1181^1123^1212
Классы
bHkl
32, Зт, Вт
14 комп. **)
^1111^1122^1133^1123006цз200
^1122^1111^1133—6ц2300—^113200
633ц^ззи63333000000
^2311—62ЗЦ0^2323006333200
0000^3131^321106.3113^3211
000061132^121206ц2з61221
^3211—^32110бзпз006з13!00
00006233262зп062323623ц
0000611326122106ц2з61212
6, 6, 6/mt оо, со/т 19 комп. *)
^1111611226цзз006111200—62212
^1122^1111^1133006221200—6щ2
^ззи^ззп^зззз006331200—63312
00062323^2331062332623130
0006312363131063132631130
61211^1222^12330061212006i221
00063113—63132063131—631230
000—62313623320—63331623230
—^1222~^1211—^12330061221006i2i2
622, втт, 6т2, ^/ттт, оо 2, оо т, colmm
10 комп. **)
^1111^1122^1133000000
61122^1111^пзз000000
633ц^ззн63333000000
00063323006233200
00006313100631130
00000612120061221
00063113006313100
0000623320063323о
00000612210061212
23, m3 7 комп.
6цц^1122^2211000000
622И^1111^1122000000
^1122^2211^1111000000
000623230062зз200
0000623230062зз20
00000623230062зз2
00063223006 з2з200
00006322300632320
00000632230063232
Классы
bHkl
432, 43/тг, /тгЗ/тг 4 комп.
СОСО, СО СО /72
3 комп. ***)
^1111^1122^1122000000
^1122^1111^1122000000
^1122^1122^1111000000
000^232300^2332^0
0000^232300^23320
00000^232300^2332
000^233200^232»00
0000^2332^0^23230
00000^233200^2323
*) В классах 3, 3, 6, 6, 6/т, со, со/m Ьпп = Ьпаа + 6i2i2+6122i и 6т2 — 62212 = = 6 122261211_
**) В классах 32, Зт, Зт, 622, втт, Qm2, 6/ттт, оо 2, сот и со/пгт 6т1 = = 6ц22 + 61212 + 61221-
***) В классах оо оо и оо оо т 6иц = 6ц22 + 62323 + 62332.
Таблица Д.23
V [ [V2]2] — тензор пятого ранга Q, симметричный по двум параминдексов и по перестановке этих пар: Qmi/6z=Qm/№ = QmZ/zft = Qm»zz/для нескольких кристаллографических классов
Для остальных классов см. Копцик (1966). Приведены коэффициенты Qn^, связанные с компонентами Qmijhi правилами пересчета
Q^-mljki^ij*-*\=\t2,3;hl*-* p = 1,2,3),
^Qmijkl(<7~X=L2,3;&~p = 4,5,6),
^Qm^ki(ij*-*X = 4,5,6;hl**^=V2,3),
^Qmijkl Щ*-Х = ^^6\=
Выписаны лишь индексы при коэффициентах, отличных от нуля; выражения вида 216=1114-3-122 означают Q2i6 = Qui+3Q122.
Класс 222 (12 комп.): 114, 124, 134, 156, 215, 225, 235, 246, 316, 326, 336, 345.
Класс 32 (8 комп.): 166 = 2 - 112=-2 (111 4-122), 216=111 + 4-3-122, 226=-3-111-122, 236 = 2 - 123=-2 - 113, 225= —114, 215=-124, 246=-156=114-124,235=- 134,245 = 2-144 =
9 . 1 ЧДА9. _9.Ч1^
Класс 42/тг (7 комп.): 114 = 225, 124 = 215, 134 = 235, 156 = 246, 316 = 326, 336, 345.
Класс 43/72 (3 комп.):114 = 225 = 336,124 = 235 = 316=134 =
= 215 = 326, 156 = 246 = 345.
Класс 432 (1 комп.): 124 = 235 = 316 = - 134=—215 = - 326.
[ [V2] Р1 — тензор шестого ранга С, симметричный по первой,второй, третьей парам индексов и их перестановкам для несколькихкристаллографических и предельных классов:
Cijklmn = Cjiklmn = Cijlkmn ~ Cifklnm = ^ijmnkl — Cklllmn
Для остальных классов см. Mason (1966) или Fumi (1951, 1952b).
Приведены коэффициенты C^v, связанные с тензорными компонентами ^ijkimn правилами пересчета
С\^=Сцк1тпШ^К kl^^ mn^v, X, н v=l,..., 6)
Выписаны лишь индексы при коэффициентах, отличных от нуля (см. объяснение к табл. Д.23).
Классы 222, mm2, ттт (20 комп.): 111, 112, 113, 122, 123, 133, 144, 155, 166, 222, 223, 233, 244, 255, 266, 333, 344, 355, 366, 456.
Классы 32, Зт, Зт (14 комп.): 111, 112, 113, 114, 122=111 •+ 4- 112 — 222, 123, 124, 133, 134, 144, 155, 156 = i/2 (114-Н 3 - 124), 166 = —V4 (2-111 + 112-3-222), 222,223=113, 224 = - 114-2- 124, 233=133, 234 = — 134, 244=155, 255=144, 256 = V2 (114 — 124), 266 = i/4 (2-111-112—222), ззз, 344 = 355, 356=134, 366 = i/2 (113—123), 444 = —455, 456 = —1/2 (144—155), 466=124.
Классы 422, 4тт, 42т, 4/ттт (12 комп.): те же коэффициенты, что и в классах 222, mm2, ттт, но связанные соотношениями: 122=112, 222=111, 223=113, 233=133, 244=155, 255=144, 266=166, 344 = 355.
Классы 432, 43/п, тЗт (6 комп.): 111=222 = 333, 112=113 = = 122=133 = 223 = 233, 123, 144 = 255 = 366, 155=166 = 244 = 266 = = 344=355, 456.
Классы coco, со сот (3 комп.): отличны от нуля те же компоненты, что и в классах 432, 43m, тЗт, но они связаны дополнительными соотношениями: 144 = 1/2 (122—123), 155 = х/4 (И 1 — 112), 456 = i/8 (111-3-112 + 2-123).
Таблица Д.25
[^21 [[V2]2] — тензор шестого ранга q, симметричныйпо первой, второй, третьей парам индексов и по перестановкевторой и третьей пар для некоторых кристаллографическихИ предельных классов: qijklmn — ЧНк1тп~А1Пктп — Aijklnm — qtjmnkl
Для остальных классов см. Vedam and Srinivasan (1967).
Приведены коэффициенты q^, связанные с компонентами qijklmn правилом пересчета q^^ qijklmn У1 "^' W — U- mn^v, к, ц, v=l6). Выписаны только индексы при отличных от нуля компонентах (см. объяснение к табл. Д23).
Классы 222, mm2, ттт (39 комп.): 111, 112, 113, 122, 123, 133, 144, 155, 166, 211, 212, 213, 222, 223, 233, 244, 255, 266, 311, 312, 313, 322, 323, 333, 344, 355, 366, 414, 424, 434, 456, 515, 525, 535, 546, 616, 626, 636, 645.
Классы 32, 3m, Зт (26 комп.): 111, 112, 113, 114, 122=111 + + 211—222, 123, 124, 133, 134, 144, 155, 156 = i/2 (114+124 + 2 - 214), 166 = —1/4 (2- 111+2- 112-211-3-222), 211, 212=111 + 112-222, 213=123, 214, 222, 223=113, 224 = — 114—124—214, 233=133, 234 = - 134, 244=155, 255=144, 256 = i/2 (114 —124), 266 = i/4(2- 111 - - 2.112 + 211-222), 311, 312, 313, 314, 322 = 311, 323 = 313, 324=-314, 333, 344 = 355, 356 = 314, 366 = i/2 (311—312), 411, 412, 413, 414, 422 = —411-2-412, 423 = -413, 424, 434, 444 = —455, 456 = i/2 (424-414), 466 = 412, 515 = 424, 516 = i/2 (411+3 - 412), 525 = = 414, 526 = i/2 (411—412), 535 = 434, 536 = 413, 545 = —444, 546 = = i/2 (424 — 414), 615 = i/2 (114 + 2- 124 + 214), 616 = — V4 (2 - 111+211 — — 3 - 222), 625 = i/2 (114 - 214), 626 = i/4 (2 - 111 - 211 — 222), 635 =134, 636 = i/2(l 13— 123), 645 = -1/2 (144-155), 646 = i/2 (124 + 214).
Классы 422, 4mm, 42m, 4/mmm (22 комп.): те же коэффициенты, что и в классах 222, mm2, mmm, но связанные соотношениями 211 = 122, 212=112, 213=123, 222=111. 223=113, 233=133, 244=155, 255=144, 266=166, 322 = 311, 323 = 313, 344 = 355, 515 = 424, 525 = 414, 535 = 434, 546 = 456,616 = 626.
Классы 432, 43m, m3m (9 комп.): 111 =222 = 333, 112=113 = = 212 = 223 = 313 = 323, 122= 133 = 211 =233 = 311 =322. 123 = 213 = = 312, 144 = 255 = 366, 155=166 = 244 = 266 = 344 = 355, 414 = 525=636, 424 = 434 = 515 = 535 = 616 = 626, 456 = 546 = 645.
Классы оо со, со сот (4 комп.): предыдущие равенства, дополненные соотношениями 144 = ^ (122—123), 155 = 1/4 (II1 — 2 • 112 + 12 2), 414 = i/2 (112- 123), 424 = i/4 (111 —122), 456 = V8 (111 — 2 • 112- 122 + + 2-123).
. СОКРАЩЕННАЯ ФОРМА ЗАПИСИ ТЕНЗОРОВ
В теоретической кристаллофизике часто приходится иметь дело с симметричными тензорами второго ранга (внутренняя симметрия [V2]). К ним относятся тензоры деформаций и напряжений, а также многие материальные тензоры. Связи между такими тензорами описываются различными материальными тензорами четвертого, шестого и еще более высоких рангов, которые при всем своем разнообразии имеют одно общее свойство: все они симметричны по парам индексов, т. е. обладают внутренней симметрией [V2]2, [V2]3 и так далее. Хотя все вычисления с такими тензорами можно производить, пользуясь обычными правилами тензорной алгебры, оказалось удобным использовать специальные приемы вычислений. Эти приемы основаны на том, что пара латинских индексов i, j = 1, 2, 3 заменяется одним греческим индексом X, который принимает значения от 1 до 6 (если индексы i и / можно переставлять, они образуют всего 6 различных комбинаций). При этом уменьшается вдвое число индексов (как бы понижается в два раза ранг тензора); правда, за это приходится расплачиваться тем, что увеличивается число значений, принимаемых каждым индексом. Наличие дополнительной внутренней симметрии тензоров, т. е. возможность менять местами отдельные пары индексов, не мешает использованию этого метода; таким образом, его можно применять также и к тензорам типов [[V2]2], [V2] [[V2]2], [[ V2]3] и тому подобным. Более того, при соответствующей модификации метод оказывается пригодным и для таких тензоров, как V [V2], V [[V2]2] и др. '
Далее этот метод излагается по частям; каждая часть отнесена к определенному месту основного курса, для понимания которого она необходима.
К § 51. Тензоры е и о. Заменим пару индексов ij одним индексом X по схеме:
t/ = ll22332 3. 112о |Х
Х= 123456
Далее будем считать, что греческие индексы X, ц, v, х принимают значения I, ..., 6 и связаны с парами латинских индексов ij, hl и т. д. соотношениями (Е.1).
Переход от пары индексов (скажем, ij) к одному индексу (Л) для 1ензоров 8 и а осуществляется различным образом. Величины 8^ принято определять равенствами:
81 = 8ц,82 = 822
8,3 — 833,84 — 2в2з,
8б = 2вз), 8в = 2812;
все они объединяются в формулу
(Е.2)(Е.2)( ^М ((/*-* Х = 1, 2, 3),I 2ez/ (Z/^X=4, 5, 6).
(Е.2)
(Е.2)
Соотношения, связывающие е^ и 8//, можно записать также в виде
е// =е// =ех2-6,/ех2-6,/(Е.З)(Е.З)
е// =
е// =
ех2-6,/
ех2-6,/
(Е.З)
(Е.З)
Соответствующие величины для тензора напряжений ок будем обозначать верхним индексом, так как они определяются другими соотношениями, а именно:
О^Оп, 02 = 022,О3 = O33, О4 = О23>о» = о81, а«=о12.
Эти равенства объединяются формулой
ок = оц (ij~X=\, ..., 6).(Е.4)
В дальнейшем у тех величин с одним греческим индексом, которые образуются из компонент тензора второго ранга по правилу (Е.2), будем писать индекс снизу, а у тех, которые образуются по правилу (Е.4), — сверху.
В теории упругости кристаллов важную роль играет сумма с угу. Введенные обозначения позволяют записать ее в виде
aZ/eZ/ = o^8x, (Е.5)
где подразумевается суммирование по повторяющимся греческим индексам, находящимся на разных уровнях. Для выполнения равенства (Е.5) различие правил (Е.2) и (Е.4) очень существенно: если бы величины, соответствующие обоим тензорам, были образованы по одному и тому же правилу, будь то (Е.2) или (Е.4), то равенство (Е.5) не могло бы выполняться. Правда, можно было бы производить переход к греческим индексам для всех симметричных тензоров
второго ранга S одинаково, а именно так:
( Stj при i/~X=l, 2, 3.
Sx=< „(Е.6)
V J/2S// при t/^x = 4, 5, 6.
При этом также выполнялось бы равенство (Е.5), и такое определение было бы во многих отношениях удобнее. Однако переход от правил (Е.2) и (Е.4) к правилу (Е.6) потребовал бы пересчета табличных значений упругих и других коэффициентов и затруднил бы пользование существующей литературой, поэтому мы будем в дальнейшем пользоваться общепринятым способом записи, несмотря на его очевидные недостатки.
При переходе к «новой» системе координат, построенной на базисе е v = = cifkek, компоненты S^ любого симметричного тензора второго ранга Sпреобразуются по закону:
^ifjf = cekc ri^ki-№*7)
Величины 8ц и он при этом также подвергаются некоторым линейным преобразованиям:
4?=PW(Е'8>
0V = C^.(Е.9)
Эти преобразования записаны здесь так, чтобы одноименные свободные индексы находились на одном уровне, а суммирование производилось по индексам, находящимся на разных уровнях. Они определяются требованием, чтобы в новой, системе координат величины е^, и ^ были связаны с компонентами соответствующих тензоров теми же правилами (Е.2) и (Е.4), что в старой. Выписав все слагаемые в формулах (Е.7) и заменив компоненты Spy, и Skl в одном случае величинами е^, и е^ по правилу (Е.2), а в другом — величинами о^ и о^ по правилу (Е.4), найдем элементы матриц Р и Q:
Матрица Р^,
123
456
Р
С2 1'2
с?-з
С1'2 ^1'8
<1'8 ° 14
С14 СГ2
2'
С2,
С^
с , с.
С С .
с
2'1
2'2
2'8
2'2 2'8
2'8 2'1
2'1 2'2
3'
С2
С^.
С$
С С ,
С , С
С , С ,
8'1
8'2
8'8
8'2 8'8
8'3 8'1
8'1 3'2
4'
2с* с , 2'1 8'1
2с с 2'Г 8'8
2с С , 2'8 8'8
^2'2 ^8'8 +
+ <2'8 *8'2
с , с 4
2'3 3'1 “
”^~ <2'1 <3'3
С . С . 42'1 3'2 '
с , С , 12'2 3'1
5'
2с с 8'1 1'1
2с с 3'2 1'2
2с* с 8'8 1'8
<8'2 <1'8 “^
+ <3'3 <1'2
<8'3 <1'1 +
+ <3'1 <гз
С8'1 С1'2 +
13'2 1'1
6*
2с с 1'1 2'1
2с , с .
1'2 ^2'2
2с , с 1'8 2'3
<1'2 Сй4 + "^ <i '3 %»
<гз<2'.+
+ СГ1 <2'3
С1'1 С2'2 "^
^" С1'2 С2'1
Матрица Q^
1
2
34
56
Г
£2, 1'2
с?-з
^г^хч
2С1'1С.'2
2'
с1-1
^2'2
*1'3
2^2'2 ^2'3
2<?2-3С2'1
2С2-! С2'2
3*
с^ 3'1
с1-«
2^3'2 ^3'6
2с , с , 8'8 8'1
2с с 3'1 3'2
4'
С2'1 С8Ч
^2'2 ^8'2
^2'8 ^8'8
®2'2 С3'3
^2'8 С8'1 +
С2'| С3'2
+ ^2'3^3'2
"^ ^2'1 ^8'8
+ ^2'2 ^3'1
5*
^8'1 С1Ч
^8'2 ^1'2
^8'8 ^1'3
С3-2С1'з +
^8'8 ^1'1 +
С3'|С1'2 +
4- с . С . ’8'8 1'2
+ С8'1 ^1'8
+ «З-З6!'!
6'
CUL ^2'1
S'2 ^2'2
S'8 С2'8
^1'2 ^2'8 "^
^1'8 ^2'1 "^
С1'1 С2'2
+ ^1'8 ^2'2
■^ ^1'1 ^2'3
+ С1-2С2'1
Эти матрицы отличаются одна от другой только тем, что в матрице Q элементы, находящиеся в правом верхнем квадрате, содержат коэффициент 2, в матрице же Р этот коэффициент содержат элементы, находящиеся в левом нижнем квадрате. Элементы этих матриц можно представить посредством формул
т = i=s;. <Е-101
где индекс X' соответствует паре i'j\ ар, — паре hl (ср. формулу (Е.З)).
(Е.М)(Е.12)(Е.М)(Е.12)При переходе от новой системы координат к старой 8^, и о^' подвергаются, как легко проверить, линейным преобразованиям следующего вида:
(Е.М)
(Е.12)
(Е.М)
(Е.12)
Сравнение этих формул с формулами (Е.8) и (Е.9) показывает, что величины типа 8И можно рассматривать как ковариантные компоненты некоторого вектора в шестимерном пространстве, а величины типа о^ — как контравариантные компоненты другого вектора в том же пространстве. Различие в законах преобразования для этих величин — (Е.8) и (Е.11) для 8Ц, (Е.9) и (Е.12) для а^ — означает, что базис, к которому они отнесены, не ортонормирован (к ортонормиро- ванному базису в шестимерном пространстве отнесены величины, образованные из компонент симметричного тензора второго ранга по правилу (Е.6)).
(Е.13)(Е.14)(Е.13)(Е.14)К § 51. Тензоры с и s. Согласно закону Гука тензоры ст и 8 связаны линейной зависимостью
(Е.13)
(Е.14)
(Е.13)
(Е.14)
ay = cijhl^kb4i=siikl9kb
где с и s — тензоры четвертого ранга. Заменив по схеме (Е.1) пару индексов ij индексом X, а пару ^/ — индексом р, можно записать
(Е.15)
в^З^.(Еа6)
Расстановку индексов у с и s мы произвели по сформулированным выше правилам. Выписав все слагаемые в формулах (Е.13) и (Е.15) и сравнив их, получим правило пересчета для (М:
с^=сМк1 (ij —Х=1, ..., 6; 6/~|х=1, ..., 6).(ЕЛ?)
Проделав то же с равенствами (Е.14) и-(ЕЛ6), получим правило для sx^*.
sMkl
m^x=\,
2, 3;
hl — p= 1, 2, 3),
8Хц —*
^Sifkl sUkl
yj^X=\. (i/«-X = 4,
2, 3;
5, 6;
hl -* u = 4, 5, 6),„ n
r7(E.18)
hl~^ = 1,2,3),1'
. ^Stjkl
(i/-X = 4,
5, 6;
hl ^ = 4, 5, 6).
Это правило можно по аналогии с (Е.З) записать в форме:
Slw = (2—6zz) (2-66z)*(E119)
Сравнивая формулы (Е.18) и (Е.2), видим, что каждый нижний индекс, равный 4, 5 или 6, ведет к удвоению величины типа 8^ или s^ по сравнению с соответствующей компонентой тензора^ о том же говорят формулы (Е.З) и (Е.19). Напротив, формулы (ЕЛ?) и (Е.4) показывают, что величины типа о^ или с^ при всех значениях индексов равны соответствующим компонентам тензора.
Естественно предположить, что величины s^y при переходе к другой системе координат преобразуются как произведения двух величин типа е^, a c^v — как произведения величин типа о^, т. е. что s^y и c^v представляют собой соответственно ко- и контравариантные компоненты некоторых тензоров второго ранга в шестимерном пространстве. И действительно, нетрудно проверить, что переход к новой системе координат описывается равенствами
(Е.20)
^'X^qx'qV^v,(Е.21)
а обратное преобразование ц — от новой системы координат к старой — осуществляется по формулам
^v=<^'»(Е.22)
^=риру!<(Е.23)
Таким образом, правильно расставив индексы у величин, входящих в некоторое тензорное равенство, мы автоматически получаем правила пересчета и формулы преобразования для всех величин, входящих в это равенство (если, конечно, в равенство входят и известные нам величины). Именно для этой цели мы используем здесь этот формальный прием.
В некоторых учебниках настоятельно рекомендуется при отнесении тензоров коэффициентов упругости и упругой податливости к новым координатам пользоваться формулами вида
si’ Гк'Г ^ ^i'mPpn^k'p^Vq^mnpq1(Е.24)
однако неоправданное обилие слагаемых в каждой из них (81 слагаемое) затрудняет вычисления и служит источником ошибок. Формулы (Е.20) — (Е.23), по- видимому, более удобны: в них меньше слагаемых (всего 36) и входят в них именно те коэффициенты упругости и упругой податливости, которые приводятся в габ- лицах.
Хотя в принципе и можно было бы представлять каждый тензор как ковариантными, так и контравариантными компонентами, мы условимся деформации е^, коэффициенты теплового расширения a^t коэффициенты упругой податливости s^ всегда представлять ковариантными компонентами, а напряжения о^, коэффициенты термоупругости 0\ коэффициенты упругости с^ — контравариантными. Это соглашение позволяет писать все индексы на одном уровне, хотя это и менее удобно. В основном тексте книги все индексы пишутся на одном — нижнем уровне, поскольку эта традиционная форма записи употребляется почти во всей существующей литературе по кристаллофизике. Напротив, в этом приложении ковариантные индексы размещаются снизу, а контравариантные сверху и строго соблюдается правило суммирования по греческим индексам, находящимся обязательно на разных уровнях. Верхнее или нижнее положение индексов определяет, как показано ранее, соотношение данной величины с соответствующими тензорными компонентами, а также закон ее преобразования при изменении системы координат.
К § 52. Матрицы Р и Q для поворота вокруг оси Х3. Повороту декартовой системы координат на угол ф вокруг оси Х3, как известно (см. §17), соответствует матрица косинусов
ы-ы-СОЗ ф— sin фОСОЗ ф— sin фО(Е.25)(Е.25)sin ф Осозф О
ы-
ы-
СОЗ ф
— sin фО
СОЗ ф
— sin фО
(Е.25)
(Е.25)
О 1
Подставляя ее элементы в формулу (ЕЛО) или непосредственно в развернутое выражение матриц Р и Q через с№ найдем, что матрица Р для поворота координатной системы на угол ф вокруг оси Х3 имеет вид
COS2 ф
sin2 ф
0
0
0
у sin 2ф
• sin2 ф
COS2 ф
0
0
0
—— sin 2ф
^11=
0
0
1
0
0
0
,(Е.26)
0
0
0
СОЗф
— sin ф
0
0
0
0
sin ф
СОЗ ф
0
— sin 2ф
sin 2ф
0
0
0
cos 2ф
а матрица Q отличается от нее только тем, что коэффициенты 1/2 находятся не в правом верхнем углу, а в левом нижнем.
К § 53. Модуль Юнга Е (q) и модуль сдвига G (р, q). Из произведений компонент вектора также можно составить величины типа 8^ или п\ Действительно, всевозможные произведения двух компонент одного и того же вектора (скажем, q) являются компонентами симметричного тензора второго ранга qq;
kqqYd=qiqi-
Перейдя от пары индексов Z, / = 1, 2, 3 к одному индексу Х= 1, ..., 6, можно записать компоненты диады qq как в форме ковариантных компонент шестимерного вектора
(Е.27)(Е.28)(Е.27)(Е.28). ах =/ qt4i ПРН 4"X=1, 2, 3, кЧ9)К \2qtqj при ij*»X = 4, 5,6, так и в форме контравариантных его компонент
(Е.27)
(Е.28)
(Е.27)
(Е.28)
kqqV"=qtqj w**x=\, ..., 6).
Какую из этих форм лучше выбрать, зависит от того, на величину какого типа нужно производить умножение. Если вычисляется модуль Юнга
Е № = ksijhiqiqjqkqirx>
то умножение производится на ковариантные компоненты 5хц; соответственно величина ^должна быть представлена контравариантными компонентами (^)\ так как индексы суммирования обязаны находиться на разных уровнях. Итак,
Е"1 (q) = $хц (qq)K (qqY-(Е.29)
Введенный здесь способ записи применим только к симметричным тензорам. Из произведений компонент двух различных векторов (скажем, р и q) можно составить компоненты симметричного тензора второго ранга
у Vpq+qpk=у tow+4tPiV
Далее, как и в предыдущем случае, можно записать их в любой из двух форм:
4-pq+qpk=Pw r^^il^’(Е-30)
I Ptqj-VqtPi кЧ**Х=4, 5, 6);
•^U>q+qp^=-X2^Piqj+qiP^ (ij~x=\6).(E.3i)
Для вычисления модуля сдвига G (р, q^ применим контравариантные компоненты V2 (pq + qp)\ поскольку табличные значения sxu ковариантны. Вследствие симметричности тензора sijkl по первой и по второй парам индексов
с-1 (р, q^=^tjkiPiqiPhqi=sMlil vptqj-VqiPh (Pnqi+quPi)-(Е-32)
Отсюда сразу получаем формулу
G"*(p. q) = Sky,(pq-\-qp)KU>q+qp>.(Е.ЗЗ)
К § 56. Скорость упругих волн в кристаллах. Скорость продольной упругой волны
и =и =1- Cijhtmtmjmkmt1- Cijhtmtmjmkmt(Е.34)(Е.34)
и =
и =
1
- Cijhtmtmjmkmt
1
- Cijhtmtmjmkmt
(Е.34)
(Е.34)
и =и =можно, очевидно, записать в виде
и =
и =
(Е.35)
Верхнее положение индексов у коэффициентов упругости заставляет избрать нижнее положение их у диады тпт, и отсюда следует правило пересчета
(Е.36)(Е.36)( mtmj (ij~X=l, 2, 3),кттК [2milh/ (f/„x = 4, 5, 6).
(Е.36)
(Е.36)
В общем случае скорость упругой волны
"=y^ ^cMkimtPimkpi."=y^ ^cMkimtPimkpi.(Е.37)(Е.37)
"=y^ ^cMkimtPimkpi.
"=y^ ^cMkimtPimkpi.
(Е.37)
(Е.37)
Введем симметричный тензор второго ранга L = 1/2 (тр+рт). Очевидно,
ии= j/^~ cijkibijLkl = J/^у c^LJ^= j/^~ cijkibijLkl = J/^у c^LJ^(Е.38)(Е.38)
и
и
= j/^~ cijkibijLkl = J/^у c^LJ^
= j/^~ cijkibijLkl = J/^у c^LJ^
(Е.38)
(Е.38)
со следующими правилами пересчета:
L.=J LH = miPj (г/—Х=1, 2, 3),
К \2Lir = mlpi+Pimf (ij — Х = 4, 5, 6).1
К § 58. Пьезоэлектрические коэффициенты d. Уравнения теории пьезоэлектрического эффекта
Di = x</£/+4ndZ|loM., ex = d,xEj + sxy<iV'(Е.40)
указывают правила пересчета для пьезоэлектрических коэффициентов. Заметим, что латинские индексы пишутся по-прежнему на одном уровне. Правила пересчета
. / ^ikiр=1, 2, 3),
<l1 I (Ы — р = 4, 5, 6)( ‘
зависят только от греческих индексов. Формулы преобразования для величин d^ таковы:
^i'n'~ci'j^^jvt ^j^)==ci, №~V\i.,e(Е.42)
К §§ 61, 62. Пьезоэлектрические коэффициенты е. Уравнения теории пьезоэлектрического эффекта в форме
Dz=x0.E.+ 4ne^8 , ох=-^Е.+с^е(Е.43)
приводят для коэффициентов е^ к правилам пересчета
е^ = ет(Ы~Ц=1,6)(Е.44)
и формулам преобразования
е^=си^.,(Е.45)
Тем же способом можно получить правила пересчета и формулы преобразования и для других коэффициентов, характеризующих пьезоэлектрические свойства кристаллов.
К § 74. Тензоры, характеризующие нелинейные эффекты. Запись разложений (74.3) с ко- и контравариантными индексами
Di = ulkEb+diyov. + RikiEkEi+2PzftllEtoH+Q^aW.(E .46a)
ex=ДкхЕи+$хц^ + PkixEkEi + 2QftXuEfca^+LxyV^(E.466)
определяет соотношения между PikVU Q^, L^v и компонентами соответствующих тензоров в формулах (74.4): для достижения равенства последние следует умножить на 2™, где т — число четверок, пятерок или шестерок среди индексов X, р, v. Аналогично определяются и тензоры, характеризующие нелинейную упругость, см. формулы (74.5) — (74.7). С ко- и контравариантными индексами они записываются в виде
(Е.47)
сХр.=(Лм.+сХи%,(Е.48)
откуда и следуют правила пересчета: С^ всегда совпадает с Сцмтп* а
-Хд( Si/klmn (m/i —v=l, 2, 3),
I ^gijkimn (mn —v=4, 5, 6).
К § 75. Пьезорезистивные и эласторезистивные коэффициенты. Формулы (75.3) и (75.5) можно записать в виде
ЕН^+^УК(Е-49)
(Е.50)
При этом подразумевается, что индекс X соответствует паре индексов kU а верхнее его положение вытекает из того, что /^ и // — компоненты вектора ). Положение же индекса р определяется общепринятыми правилами пересчета для о^ и ри.
Формула (Е.50) приводит к правилам пересчета и формулам преобразования для m^t в точности совпадающим с полученными ранее для коэффициентов упругости с^, см. формулы (Е.17), (Е.21) и (Е.23). Для пьезорезистивных коэффициентов П^ формула (Е.49) приводит к правилам пересчета (75.7), которым соответствуют своеобразные формулы преобразования
П^'Р^, П£ = Р^Х"(Е.51)
К § 77. Пьезооптические, упругооптические коэффициенты и коэффициенты Керра. Для записи уравнений пьезооптического эффекта с ко- и контравариант- ными индексами очень существен выбор правил пересчета для изменений оптической индикатрисы. Более распространены правила пересчета, соответствующие форме ^ — их применяет, в частности, Най (1967). Им соответствуют уравнения
(Е.52)
^=Р^Ч-(Е.53)
Правила пересчета для л^ таковы же, как и для пьезорезистивных коэффициентов П^. Поэтому к коэффициентам л^ применимы и формулы преобразования (Е.51). Положение индексов у коэффициентов р^ таково же, как у эласторезис- тивных коэффициентов пг^ и у коэффициентов упругости с^. Это приводит к правилам пересчета (Е.17) и формулам преобразования (Е.21) и (Е.23).
Эффект Керра рассматривается так же. Так как для диады ЕЕ принята форма
(ЕЕ^ = ЕкЕ1(^/^=1, ..., 6),(Е.54)
коэффициентам Керра Кп применимы те же правила пересчета и формулы преобразования, что и к пьезооптическим коэффициентам л]^.
К § 77. Электрооптические коэффициенты. Принятые правила пересчета ^ для изменений оптической индикатрисы приводят к записи уравнения электрооптического эффекта (77.16) в форме
У=г^Ек(Е.55)
и соответственно к правилам пересчета для электрооптических коэффициентов (77.18). Формулы преобразования для rk аналогичны формулам (Е.45) для пьезоэлектрических коэффициентов е^:
^'-^Ф(Е.56)
ЛИТЕРАТУРА
Агранович В М., Гинзбург В. Л. (1979). Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии и теория экситонов. —М.: Наука.
Агранович В. М., Гинзбург В. Л. (1972). — ЖЭТФ, 1972, т. 63, с. 838.
Акивис М. А.,ГольдбергВ.В. (1969). Тензорноеисчисление. — М.: Наука.
Александров В.Н.(1970).—Кристаллография,т.15, с. 996.
Александров К.С.(1956).—Кристаллография,т.1, с. 718.
Александров К.С.(1958).—Кристаллография,т.3, с. 620.
Александров К. С. (1975). — В сб.: Проблемы современной кристаллографии /Под ред. Б. К. Вайнштейна и А. А. Чернова. — М.: Наука, с. 327.
Александров К. С., Зиненко В. И., Михельсон Л. М., Сиротин 10. И. (1969). —
Кристаллография, т. 14, с. 327.
Александров К. С., Рыжова Т. В. (1961). — Кристаллография, т. 6, с. 289.
Александров К- С., Рыжова Т. В. (1964). — Кристаллография, т. 9, с. 373.
Амбарцумян С. А. (1967). Теория анизотропных пластин. — М.: Наука.
Андронов А. А. (1960). —Изв. вузов: Радиофизика, т. 3, с. 45.
Астров Д. Н. (1960). — ЖЭТФ, т. 38, с. 984.
Ахманов С. А. (1969). — В сб.: Квантовая электроника, маленькая энциклопедия. — М.: Сов. Энциклопедия, с. 119.
Ахманов С. А., Хохлов Р. В. (1964). Проблемы нелинейной оптики. —М.: Изд.
ВИНИТИ.
Аэро Э. Л., Кувшинский Е. В. (1960). — ФТТ, т. 2, с. 1399.
Багавантам С., Венкатарайуду Т. (1959). Теория групп и ее применение к физическим проблемам: Пер. с англ. /Под ред. Н. Н. Боголюбова. — М.: ИЛ.
Барковский Л. М. (1970). —Вести. Белорусск. ун-та: сер. 1, № 2, с. 42.
Барфут Дж. (1970). Введение в физику сегнетоэлектрических явлений: Пер. с англ. /Под ред. Л. В. Шувалова. — М.: Мир.
Белобородова В. А., Ровенская О. C.t Сиротин Ю. И. (1972), Кристаллография, т. 17, с. 1187.
Белов К. П. (1959). Магнитные превращения. — М.: Физматгиз.
Белов К. П., Белянчикова М. А., Левитин Р. 3. и др. (1965). Редкоземельные ферро- и антиферромагнетики. —М.: Наука.
Белов Н. В. (1947). Структура ионных кристаллов и металлических фаз. — М.: Изд. АН СССР.
Белов Н. В. (1951). Структурная кристаллография. — М.: Изд. АН. СССР.
Белов Н. В. (1951а). — В сб.: Труды Ин-та кристаллографии АН СССР, т. 6, с. 25.
Белов Н. В. (1957). — Кристаллография, т. 2, с. 678.
Белов Н. В. (1958). Кристаллография, т. 3, с. 246.
Белов Н. В. (1976). Очерки по структурной минералогии. — М.: Недра.
Белов Н. В., Неронова Н. Н., Смирнова Т. С. (1955). — В сб.: Труды Ин-та кристаллографии АН СССР, т. 11, с. 33.
Белов Н. В., Неронова Н. Н., Смирнова Т. С. (1957). —- Кристаллография, т. 2, с. 315.
Белов Н. В., Тархова Т. Н. (1956). — Кристаллография, т. 1, с. 4, 619.
Белова Е. Н., Белов Н. В.» Шубников А. В. (1948). — Докл. АН СССР, т. 63, с. 669.
Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. (1968) Релятивистская квантовая теория. —М.: Наука, ч. I.
Бир Г. Л., Пикус Г. Е. (1972). Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках. — М.: Наука.
Блистанов А. Л., Петраков В. С., Сорокин Н. Г., Чижиков С. И., Шоскольская М. П. (1977). — Письма в ЖЭТФ, т. 26, с. 141.-
Бломберген Н. (1966). Нелинейная оптика: Пер. с англ. /Под ред. С. А. Ахманова и Р. В. Хохлова. — М.: Мир.
Бокий Г. Б. (1940). — В сб.: Труды Лаб. кристаллографии АН СССР, т. 2, с. 13.
Бокий Г. Б. (1971). Кристаллохимия. —2-е изд., перераб. —М.: Наука.
Бокуть Б. В.» Сердюков Л. Н. (1971). —ЖЭТФ, т. 61, с. 1808.
Бокуть Б. В., Сердюков Л. Н., Федоров Ф. И. (1970). — Кристаллография, т. 15, с. 1002.
Болдырев Л. К. (1934). Кристаллография.—3-е изд., испр. и доп.—Л.: Гор- геонефтеиздат.
Болдырев А. К. (1936). — Amer. Mineral., т. 21, с. 731.
Борисенко А. И., Т арапов И. Е. (1966). Векторный анализ и начала тензорного исчисления. — М.: Высшая школа.
Борн М. (1937). Оптика: Пер. с. англ. /Под ред И. В. Обреимова. — Харьков; Киев: ГНТИУ.
Борн М.» Вольф Э. (1970). Основы оптики: Пер. с англ. /Под ред. Г. П. Мотуле- вич. — М.: Наука.
Борн М., Хуан Кунь (1958). Динамическая теория Кристаллических решеток: Пер. с англ /Под ред. И. М. Лившица. — М.: ИЛ.
Боровик-Романов А. С. (1959). — ЖЭТФ, т. 36, с. 1954.
Боровик-Романов А. С. (I960). — ЖЭТФ, т. 38, с. 1088.
Б раут Р. (1967). Фазовые переходы: Пер. с англ. /Под ред М. Я. Азбель. — М.: Мир.
Бургер М. Д. (1948). Рентгеновская кристаллография: Пер с англ. /Под ред. М. М. Уманского. —М.: ИЛ.
Бутабаев Ш. М., Сиротин Ю. И. (1972). — Кристаллография, т. 17, с. 1181. Бутабаев Ш. М., Сиротин Ю. И. (1973). — Кристаллография, т. 18, с. 195. БутабаевШ. М.,СиротинЮ. И (1975). — В сб.: Труды ТИИИМСХ, вып. 78, с. 207. Бутабаев Ш. М., Смыслов И. И. (1971). — Кристаллография, т. 16, с. 796.
Вакс В. Г. (1973). Введение в микроскопическую теорию сегнетоэлектриков. — М.: Наука.
Варикаид В. М., ХачатряЯ ГО. М. (1969). Избранные задачи по физике твердого тела. — Минск.: Изд. Вышэйшая школа.
Васильев Д. /И (1972). Физическая кристаллография. — М.: Металлургия.
Вейль Г. (1968). Симметрия: Пер. с англ. /Под ред. Б. М. Розенфельда. — М.: Наука.
Вигнер Е. (1961) Теория групп: Пер. с англ. /Под ред. Я. Д. Смородинекого. — М.: Мир.
Вигнер Е. (1971). Этюды о симметрии: Пер. с англ. / Под ред Я. А. Смородин- ского. — М.: Мир.
Винберг Э. Б., Гуфан Ю. М., Сахненко В. П., Сиротин Ю. И. (1974). — Кристаллография, т. 19, с. 21.
Вдох О. Г. (1971). — Письма в ЖЭТФ, т. 13, с. 118.-
Вонсовский С. В. (1971). Магнетизм. — М.: Наука.
Воронкова Е. М., Гречушников Б. Н., Дистлер Г. И. и др. (1965). Оптические материалы для инфракрасной техники. —М.: Наука.
Воропаева Н. Е., Резников Б. А., Сиротин Ю. И. (1969). Phys. Stat. Sol. т. 33, с. 633.
Вустер У. (1958). Практическое руководство по кристаллофизике: Пер. с англ.
/ Под ред. В. А. Шубникова, —М.: ИЛ.•
Вустер У. \\ФПУ Применение тензоров и теории групп для описания физических свойств кристаллов: Пер. с англ. / Под ред. Л. А. Шувалова. —М,: Мир.
Герман В. Л. (1945). — Докл. АН СССР, т. 48, с. 95.
Гинзбург В. Л. (1949). — УФН, т. 38, с. 430.
Голдсмид Г. Дж. (1976). Задачи по физике твердого тела: Пер с англ. /Под ред. А. А. Гусева и М. П. Шаскольской. —М.: ИЛ.
Гольденблат И. И. (1969). Нелинейные проблемы теории упругости. — М.: Наука.
Грот П. (1897). Физическая кристаллография и введение к изучению кристаллографических свойств важнейших соединений: Пер. с нем. / Под ред. и с дополнениями Ф. Ю. Левинсон-Лессинга. — Петербург: Изд. К. Л. Рик- кера.
де Гроот С., Мазур П. (1964). Неравновесная термодинамика: Пер. с англ. / Под ред. А. В. Лыкова. — М.: Мир.
Гуфан Ю. М. (1971). — ФТТ, т. 13, с. 225.
Гуфан Ю. М., Сахненко В. П. (1972). — ФТТ, т. 14, с. 1915.
Гуфан К). М. Сахненко В. П. (1972а).—ЖЭТФ, т. 63, с. 1909.
Гуфан Ю. М., Сахненко В. П., Сиротин Ю. И. (1974) — Кристаллография, т. 14, с. 21.
Делоне Б. Н., Галиулин Р. В., Штогрин М. И. (1974). Теория Бравэ и ее обобщение на /г-мерные решетки. — В кн.: О. Бравэ. Избранные научные труды.—М.: Наука, 1974.
Делоне Б. H.t Паду ров Н. Н., Александров А. А. (1934), Математические основы структурного анализа кристаллов. —Л.: Гостехиздат.
Дзялошинский И. Е. (1957). — ЖЭТФ, т. 33, с. 807.
Дзялошинский И. Е. (1959). —ЖЭТФ, т. 37, с. 881.
Дзялошинский И. Е. (1964). — ЖЭТФ, т. 46, с. 1420.
Дзялошинский И. Е. (1964а). — ЖЭТФ, т. 47, с. 336, 992.
Дзялошинский И. Е., Лифшиц Е. М. (1957), — ЖЭТФ, т. 33, с. 299.
Дитчберн Р. (1965). Физическая оптика: Пер. с англ. /Под ред. И. А. Яковлева. — М.: Наука.
Дюрелли А., Райли У. (1970). Введение в фотомеханику: Пер. с англ. / Под ред. Н. И. Пригоровского. — М.: Мир.
Жданов Г. С. (1961). Физика твердого тела. — М.: Изд. МГУ.
Желудев И. С. (1957). — Кристаллография, т. 2, с. 207.
Желудев И. С. (1964). — Кристаллография, т. 9, с. 501.
Желудев И. С. (1968), Физика кристаллических диэлектриков. — Мл Наука.
Желудев И. С. (1969). Электрические кристаллы. — Мл Наука.
Желудев И. С. (1971). — Кристаллография, т. 16, с. 273.
Желудев И. С. (1973). Введение в сегнетоэлектричество. — Мл Атомиздат.
Желудев И. С. (1976). Симметрия и ее приложения. — Мл Атомиздат.
Желудев И. С., Шувалов Л. А. (1956). — Кристаллография, т. 1, с. 681.
Загальская Ю. Г., Литвинская Г. П. (1973). Геометрическая кристаллография. — Мл Изд. МГУ.
Загальская ГО. Г., Литвинская Г. П. (1976). Геометрическая микрокристаллография. — Мл Изд. МГУ.
Заморзаев А. М. (1957). — Кристаллография, т. 2, с. 15.
Заморзаев А. М. (1967). — Кристаллография, т. 12, с. 81а.
Заморзаев А. М. (1970). — В сбл Идеи Е. С. Федорова в современной кристаллографии и минералогии / Под ред. П. М. Татаринова. —Л.: Наука, с. 42.
Зарембо Л. К.» Красильников В. А. (1970) — УФН, т. 102, с. 549.
Иванов Н. P.t Константинова А. Ф. (1970). — Кристаллография, т. 15, с. 490.
Изюмов Ю. А., Озеров Р. П. (1966). Магнитная нейтронография. — Мл Наука.
Ильюшин А. А. (1971). Механика сплошной среды. —Мл Изд. МГУ.
Инденбом В. Л. (1959). — Кристаллография, т. 4, с. 619.
Инденбом В. Л. (1960). — Кристаллография, т. 5, с. 115.
Инденбом В. Л. (1960а). —Изв. АН СССР. —Сер. физ., т. 24, с. 1180.
Инденбом В. Л., Белов Н. В., Неронова Н. Н. (1960). — Кристаллография, т. 5, с. 497.’
Инденбом В. Л., Сильвестрова И. М.э Сиротин Ю. И. (1956). — Кристаллография, т. 1, с. 599.
Иона Ф., Ширане Д. (1965). Сегнетоэлектрические кристаллы: Пер. с англ. / Под ред. Л. А. Шувалова. — М.: Мир.
Иоффе А. Ф. (1932). Физика кристаллов. — Л.: ГТТИ.
Карандеев В. В. (1913). Кристаллооптика. — М.: Изд. высших женских курсов.
Кенциг В. (1960). Сегнетоэлектрики и антисегнетоэлектрики: Пер. с англ. / Под ред. С. В. Богданова. —М.: ИЛ.
Киттель Ч. (1962). Введение в физику твердого тела: Пер. с англ. А. А. Гусева.— 2-е изд., доп. —М.: ИЛ.
Климонтович Ю. Л. (1966). Квантовые генераторы и нелинейная оптика. — М.: Просвещение.
Ковалев О. В. (1961). Неприводимые представления пространственных групп. — Киев: Изд. АН УССР.
Козырев С. П., Гильварг А. Б., Гречушников Б. Н. и др. (1973). — Кристаллография, т. 18, с. 1292.
Кокер 3., Файлон Л. (1939). Оптический метод исследования напряжений: Пер. с англ. / Под ред. Н. М. Беляева и А. П. Афанасьева. — М.: ОНТИ.
Константинова А. Ф., Иванов И. Р., Гречушников Б. Н. (1969). — Кристаллография, т. 14, с. 283.
Копцик В. А. (1958). — В кн.: Вустер У. Практическое руководство по криста-' лофизике. — М.: ИЛ, 1958.
Копцик В. А. (1960). — Кристаллография, т. 5, с. 932.
Копцик В. А. (1966). Шубниковские группы.—М.: Изд. МГУ.
Копцик В. А. (1967). — Кристаллография, т. 12, с. 826.
Копцик В. А., Рябчиков С. А., Сиротин Ю. И. (1977). — Кристаллография, т. 22, с. 229.
Копцик В. А., Сиротин Ю. И. (1961). —- Кристаллография, т. 6, с. 766.
Корнфелъд М И., Чудинов А. А. (1957). — ЖЭТФ, т. 33, с. 33.
Костов И. (1965). Кристаллография: Пер. с болгарск. / под ред. Н. В. Белова. —
М.: Мир.
Кринчик Г. С.» Четкий М. В. (1969). — УФН, т. 98, с. 3.
Кувшинский Е. В., Аэро Э. Л. (1963). — ФТТ, т. 5, с. 2529.
Кэди У. (1949). Пьезоэлектричество и его практические применения: Пер. с англ.
/ Под ред. А. В. Шубникова. — М.: ИЛ.
Кюри М. (1968). Пьер Кюри: Пер. с франц. / Под ред. И. М. Франка. — М.: Наука.
Кюри П. (1966). Избранные труды: Пер. с франц. / Под ред. Н. Н. Андреева и С. Л. Сазонова. —М.: Наука.
Ландау Л. Д. (1937). — ЖЭТФ, т. 7, с. 19.
Ландау Л. Д. (1969). Собрание трудов. — М.: Наука, т. 1, с. 23.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. (1954). Механика сплошных сред. —М.: Гостех- издат.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. (1957). Электродинамика сплошных сред. —М.: Гостехиздат.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. (1965). Теория упругости. —М.: Наука.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. (1973). Теория поля. — М.: Наука.
Ландау Л. Д., Лифшиц. Е. М. (1974). Квантовая механика. —М.: Физматгиз.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. (1976). Статистическая физика. —М.: Наука.
Ландсберг Г. С. (1957). Оптика.—М.: Гостехиздат.
Леванюк А.П.,Санников Д.Г.(1970). — ФТТ, т. 12, с. 2997.
Леванюк А.П.,Санников Д.Г.(1971). — ЖЭТФ, т. 60, с. 1109.
Леванюк А.П.,Санников Д.Г.(1974). —УФН, т. 112, с. 561.
Лейбензон Л. С. (1947). Курс теории упругости.—М.: Гостехиздат.
Лейбфрид Г. (1963). Микроскопическая теория механических и тепловых свойств кристаллов. —М.: Физматгиз.
Леманов В. В., Смоленский Г. А. (1972). — УФН, т. 103, с. 465.
Лехницкий С. Г. (1947). Анизотропные пластинки. —М.: Гостехиздат.
Лехницкий С. Г. (1950). Теория упругости анизотропного тела. — М.: Гостехиздат.
Лехницкий С. Г. (1971). Кручение анизотропных и неоднородных стержней. — М.: Наука.
Липсон В.» Кокрен Г. (1956). Определение структуры кристаллов: Пер. с англ. /Под ред. Н. В. Белова. — М.: ИЛ.
Лифшиц Е. М. (1941). — ЖЭТФ, т. И, с. 255.
Лифшиц И. М., Розенцвейг Л. Н. (1947). —ЖЭТФ, т. 17, с. 783.
Лонсдэйл К. (1952). Кристаллы и рентгеновы лучи: Пер. с англ. / Под ред. Н. В. Белова. — М.: ИЛ.
Лохин В. В., Седов Л. И. (1963). — Прикладная математика и механика, т. 27, с. 393.
Лурье Л. И. (1955). Пространственные задачи теории упругости. —М.: Гостехиздат.
Лурье Л. И. (1970). Теория упругости. —М.: Наука.
Ляв Л. (1935). Математическая теория упругости: Пер. с англ. / Под ред. Б. В. Булгакова и В. Я- Натанзона. —М.: ОНТИ.
Малолеткин Г. Н., Фомин В. Л. (1972). Тензорные базисы в кристаллофизике. — Л.: Изд. ЛГУ.
Марковский В. Ю., Полухин П. И., Шаскольская М. П. (1966). — В сб.: Поляризационно-оптический метод исследования напряжений / Под ред. Н. И. Пироговского. — Л.: Изд. ЛГУ, с. 69.
Меланхолии Н. М. (1970). Методы исследования оптических свойств кристаллов.—» М.: Наука.
Михельсон Л. М., Сиротин Ю. И. (1969). — Кристаллография, т. 14, с. 573.
Мустель Е. Р., Парыгин В. Н. (1970). Методы модуляции и сканирования света.— М.: Наука.
Мэзон У. (1952). Пьезоэлектрические кристаллы и их применение в ультраакустике: Пер. с англ. / Под ред. А. В. Шубникова и С. Н. Ржевкина. —- М.: ИЛ.
Мэзон У. (1967). — В кн.: Физическая акустика / Под ред. У. Мэзона. — М.: Мир., т. 1, ч. Б, с. 139.
Най Дж. (1967). Физические свойства кристаллов и их описание при помощи тензоров и матриц: Пер. с англ. / Под ред. Л. А. Шувалова. — 2-е изд. — М.: Мир.
Найш В. Е. (1963). — Изв. АН СССР, — Сер. физ., т. 27, с. 1496.
Новожилов В. В. (1958). Теория упругости. — Л.: Судиромгиз.
Нокс Г., Голд А. (1970). Симметрия в твердом теле: Пер. с англ. / Под ред.
Л. Бонч-Бруевича.—М.: Наука.
Орлов Р. Ю. (1969). — Изв. вузов. Радиофизика, т. 12, с. 1351.
Пальмов В. А. (1964). — Прикладная математика и механика, т. 28, с. 401.
Пекара А. (1973). Новый облик оптики. — М.: Сов. радио.
Переломова Н. В., Тагиева М. М. (1972). Задачник по кристаллофизике / Под ред. М. П. Шаскольской. —М.: Наука.
Перфилова В. Э., Сонин А. С., Сиротин Ю. И. (1969). — Кристаллография, т. 14, с. 157.
Петрашень М. И., Трифонов Е. Д. (1967). Применение теории групп в квантовой механике. —М.: Наука.
Плешаков В. Ф., Сиротин Ю. И. (1966). Прикладная математика и механика, т. 30, с. 243.
Попов Г. М., Шафрановский И. И. (1972). Кристаллография. — М.: Высшая школа.
Ровенская О. С., Сиротин Ю. И.э Ворошилов И. Л. (1972). — Кристаллография, т. 7, с. 813.
Седев Л. И. (1962). Введение в механику сплошной среды. — М.: Физматгиз.
Седов Л. И. (1970). Механика сплошной среды. —М.: Наука, т. 1.
Сиротин Ю. И. (1956). — Кристаллография, т. 1, с. 708.
Сиротин К). И. (1960). — Кристаллография, т. 5, с. 171.
Сиротин 10. И (1960а). — ДАН, т. 133, с. 2.
Сиротин Ю. И (1961). — Кристаллография, т. 6, с. 333.
Сиротин 10. И (1962). — Кристаллография, т. 7, с. 83.
Сиротин Ю. И. (1963). — Кристаллография, т. 8, с. 259.
Сиротин Ю. И. (1964). — Прикладная математика и механика, т. 28, с. 653.
Сиротин К). И. (1965). — Кристаллография, т. 10, с. 15.
Сиротин Ю И. (1967). — Кристаллография, т. 12, с. 208.
Сиротин 10 И. (1974). — Кристаллография, т. 19, с. 909.
Сиротин 10» И., Михельсон Л. М. (1968). — ФТТ, т. 10, с. 1843.
Сиротин Ю И., Михельсон Л. М. (1969) Изв. АН СССР.—Сер. физ., т. 33, с. 178.
Сиротин Ю. И., Ровенская О. С. (1973). — Вестник МГУ, № 1, с. 69.
Сиротин Ю. И., Я ну сова Л. Г. (1977). — Рукопись деп. ВИНИТИ, № 4415/77.
Слэтер Дж. (1969). Диэлектрики, полупроводники, металлы. — М.: Мир.
Смагин А. Г., Ярославский М. И. (1970). Пьезоэлектричество кварца и кварцевые резонаторы. — М.: Энергия.
Смоленский Г. А., Боков В. А., Исупов В. А. и др. (1971). Сегнетоэлектрики и антисегнетоэлектрики.—М.: Наука.
Смоленский Г. А., Крайник Н. Н (1968). Сегнетоэлектрики и антисегнетоэлектрики — М.: Наука.
Смоленский Г. А., Писарев Р. В.э Синий И. Г. и др. (1972). — Изв. АН СССР. —
Сер. физ., т. 36, с. 1219.
Сонин А С. (1976). Беседы о кристаллофизике. — М.: Атомиздат.
Сонин А С., Василевская А. С. (1971). Электрооптические кристаллы.—М.: Атомиздат.
Сонин А С., Желудев И. С. (1959) — Кристаллография, т. 4, с. 487.
Сонин А С., Струков Б. А. (1970) Ведение в сегнетоэлектричество. — М.: Высшая школа.
Стинрод Н , Чинн У. (1967). Первые понятия топологии. — М: Мир.
Сущинский М. М. (1969). Спектры комбинационного рассеяния молекул и кристаллов — М.: Наука.
Схоутен А Я- (1965). Тензорный анализ для физиков. Пер. с англ. / Под ред.
И. А. Кунина. — М.: Наука.
Тавгер Б А (1958). — Кристаллография, т. 3, с. 339.
Тавгер Б. А., Зайцев В. И. (1956). —ЖЭТФ, т. 30, с. 564.
Терстон Р. (1966). — В кн.: Физическая акустика / Под ред. У. Мэзона. — М.:
Мир, т. 1,ч. А, с. 13.
Терстон Р (1967). В кн.: Физическая акустика / Под ред. У. Мэзона.—М.: Мир, т. 1, ч. Б, с. 187.
Туров Е. (1963). Физические свойства магнитоупорядоченных кристаллов. — М.: Изд АН СССР.
Уздадев А. И (1967). Некоторые задачи термоупругости анизотропного тела. — Саратов: изд. Саратовск. ун-та.
Фабелинский И. Л. (1965) Молекулярное рассеяние света. — М.: Наука.
Фаддеев Д. К (1961). Таблицы основных унитарных представлений федоровских групп. — М.: Изд. АН СССР.
Федоров Е. С. (1949). Симметрия и структура кристаллов. —М.: Изд. АН СССР.
Федоров Ф. И. (1958). Оптика анизотропных сред. — Минск: Изд. АН БССР.
Федоров Ф. И. (1959). — Оптика и спектроскопия, т. 6, с. 377.
Федоров Ф. И. (1959а). — Оптика и спектроскопия, т. 6, с. 85.
Федоров Ф. И. (1956). Теория упругих волн в кристаллах. — М.: Наука.
Федоров Ф. И. (1970). — Кристаллография, т. 15, с. 631, 638.
Федоров Ф. И. (1975). — Теория гиротропных сред. — Минск: Изд. АН БССР.
Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. (1967). Фейнмановские лекции по физике:
Пер. с англ. / Под ред. А. П. Леванюка. — М.: Мир, вып. 1—9.
Фёппл Л., Менх Э. (1966). Практика оптического моделирования. — М.: Наука.
Флинт Е. Е. (1956). Практическое руководство по геометрической кристаллографии. — М.: Госгеолтехиздат.
Хаазе Р. (1967). Термодинамика необратимых процессов: Пер. с англ. / Под ред.
А. Лыкова.—М.: Мир.
Хамермеш М. (1966). Теория групп и ее применение к физическим проблемам: Пер. с англ. / Под ред. Ю. А. Данилова. — М.: Мир.
Хаткевич А. Г. (1962). — Кристаллография, т. 7, с. 742.
Хаткевич А. Г. (1962а). — Кристаллография, т. 7, с. 916.
Хачатурян А. Г. (1965). — ДАН СССР, т. 165, с. 1284.
Хачатурян А. Г. (1974). Теория фазовых превращений и структура твердых растворов. —М.: Наука.
Хейне В. (1963) Теория групп в квантовой механике. Пер. с англ. / Под ред.
Я. Фейнберга. М.: ИЛ.
Шаскольская М. П. (1957). Кристаллы. — М.: ГТТИ.
Шаскольская М. П. (1976) Кристаллография. — М.: Высшая школа.
Шаскольская М. П. (1978). Кристаллы. —М.: Наука.
Шаскольская М. П. (1978а). Очерки о свойствах кристаллов. — М.: Наука.
Шаскольская М. П. и др. (1969—1972). Пособие по физической кристаллографии, темы 1—7, изд. Московск. ин-та стали и сплавов.
Шафрановский И. И. (1968). Лекции по кристалломорфологии. — М.: Высшая школа.
Шафрановский И. И. (1968а). Симметрия в природе. —Л.: Недра.
Штрайвольф Г. (1971). Теория групп в физике твердого тела: Пер. с нем. / Под ред. С. В. Вонсовского.—М.: Мир.
Шуберт М., Вильгельми Б. (1973). Введение в нелинейную оптику: Пер. с нем. /Под ред. М. А. Ковнера.—М.: Мир, ч. 1.
Шубников А. В. (1940). Симметрия: Законы симметрии и их применение в науке, технике и прикладном искусстве. — М.: Изд. АН СССР.
Шубников А. В. (1949). — Изв. АН СССР. — Сер. физ., т. 13, с. 347.
Шубников А. В. (1951). Симметрия и антисимметрия конечных фигур. — М.: Изд. АН СССР.
Шубников А. В. (1956). — Кристаллография, т. 1, с. 95.
Шубников А. В. (1956а). — УФН, т. 59, с. 594.
Шубников А. В. (1958). Основы оптической кристаллографии.—М.: Изд.
АН СССР.
Шубников А. В. (1960). Энциклопедический физический словарь, т. 2, с. 533.
Шубников А. В. (1975). Избранные труды по кристаллографии. — М.: Наука.
Шубников А. В., Копцик В. А. (1972). Симметрия в науке и искусстве. — М/.
Наука.
Шубников В. А., Флинт Е. Е., Бокий Г. Б. (1940). Основы кристаллографии. — М.: Изд. АН СССР.
Шувалов Л. А. (1959),. — Кристаллография, т. 4, с. 399.
Шувалов Л. А. (1963). — Кристаллография, т. 8, с. 617.
Шувалов Л. А. (1970). — J. Phys. Soc. Japan, v. 28, p. 38.
Шувалов Л. А., Иванов И. Р. (1964). — Кристаллография, т. 9, с. 363.
Шувалов Л. А., Иванов И. Р., Чихладзе О. А. и др. (1973). — Кристаллография, т. 18, с. 1207.
Щербаков В. А. (1972). Вести. МГУ. — Сер. физ. и астрон., № 2, с. 195.
Яковлев И. А. (1956). —ДАН, т. 107, с. 5.
Яковлев И. А. (1957). — ЖЭТФ, т. 32, с. 4, с. 9.
Яковлев И. А. (1957а). — УФН, т. 63, с. 2.
Янке Е., Эмде Ф., Леш, Ф. (1968). Специальные функции: Пер. с нем. / Под ред.
Л. И. Седова.—М.: Наука.
Auld, В. (1973). Acoustic Fields and Waves in Solids, v. 1, II. — New York: Wiley.
Bhagavantam S. (1966). Crystal Symmetry and Physical Properties. — London — New York: Acad. Press.
Bhagavantam S., Suryanarayana D. (1949). — Acta Crystallogr., v. 2, p. 21.
Birss R. (1962). — Proc. Phys., Soc. v. 79, p. 946.
Birss R. (1964). Symmetry and Magnetism. — Amsterdam: Ed. Holland Publ. Co. Boyle L. L, Lawrenson J. F. (1972). — Acta Crystallogr., v. A28, p. 485.
Brewster D. (1818). — Trans. Roy. Soc. Edinb. v. 8., p. 281.
Buerger M. J. (1965). Elementary Crystallography. — New York: Ed. Wiley and Sons.
Buerger M. J. (1970). Contemporary Crystallography. — New York: McGraw Hill Book Co.
Burkhardt J. (1947). Die Bewegungsgruppen der Kristallographie. — Basel: Verlag Birkhauser.'
Chern M.-J., Phillips R. A. (1970). — J. Opt. Soc. Amer., v. 60, p. 1230.
Cochran IF., Zia A. (1968). — Phys. Stat, solidi, v. 25, p. 273.
Dieulesaint E., Royer D. (1974). Ondes elastiques dans les solides. —Paris: Ed Masson.
Donnay J. D. H. (1973). Crystal Data (Determinative Tables). — 3 rd Ed. — New York: Ed. Amer. Crystallogr. Assoc.
Doring W. (1958). — Ann. Physik. — Ser. 7, Bd. 1, s. 104.
Dvorak W. (1971). - Phys. Stat. Solidi B, v. 45, p. 147.
Dvorak V., Petzelt J. (1971). — Czech. J. Phys. B., v. 21, p. 1147.
Ehyshima K., Ogawa T. (1971). — J. Phys. Soc. Japan, v. 31, p. 308.
Farneel G. W. (1961). — Canad. J. Phys., v 39, p. 65.
Fieshi R., Fumi F. G. (1953). — Nuovo Cimento, v. 10, p. 65.
Fumi F. G. (1951). — Phys. Rev., v. 83, p. 1274.
Fumi F. G. (1952). — Acta Crystallogr., v. 5, p. 44, 691.
Fumi F. G. (1952a). — Nuovo Cimento, v. 9., p. 739.
Fumi F. G. (1952b). — Phys. Rev. v. 86, p. 561.
Hartmann E. (1973).—Magyar Fizikai Folyirat, v. XXI, p. 357.
Henneke E. G., Green R. E. (1969). —J. Acoust Soc. Amer., v. 45, p. 1367.
Hermann C. (1934). — Zs. Kristallogr., Bd. 89, s. 32.
Hobden M. V. (1968). — Acta Crystallogr. A, v. 24, p. 676.
Hobden M. V. (1969). — Acta Crystallogr. A, v. 25, p. 633.
Hruska K., Khogali A. (1971). — Trans. IEEE SU, v. 18, p. 171.
International Tables for X-Ray Crystallography (1965, 1966, 1968), V. I, II, III. — Birmingham: Ed. Kynoch Press.
IRE Standards on Piezoelectric Crystals (1949). — Proc. IRE, v. 37, p. 1378; (1957). — Proc. IRE, v. 45, p. 354; (1958). — Proc. IRE, v. 46, p. 765; (1961).— Proc. IRE, v. 49, p. 1162.
Jahn H. A. (1949). — Acta Crystallogr., v. 2, p. 33.
Janik L., Hruska K. (1970). —Czech. J. Phys. B., v. 20, p. 202.
Kleber IF. (1977). Einfiihrung in die Kristallographie, 13 Auflage, VEB Verlag Technik, Berlin.
Kleber W., Meyer K., Schoenborn IF. (1968). Einfiihrung in die Kristallphysik, — Berlin: Akad. Verlag.
Kleiner W. H. (1966). — Phys. Rev., v. 142, p. 318.
Kleiner W. H. (1969). — Phys. Rev., v. 182, p. 705.
Krishnan R. S. (1958). — In: Progress in Crystal Physics. — Madras: ed. Vis- vanathan, v. 1.
Krishnan R. S., Radha V. , Gopal E. S. R. (1971). — J Phys. D: Appl. Phys, v. 4, p. 171.
Landolt — Boernstein( 1966, 1969, 1971). Numerical Data and Functional Relationships in Science and Technology, New Series, Groups III: Crystal and Solid State Physics, v. I, II, III.—Berlin — New York: Springer Verlag.
Mason IF. P. (1966). Crystal Physics of Interaction Processes. — New York: Acad. Press.
Miller G. F., Musgrave M. J. P. (1956). —Proc. Roy. Soc. A., v. 236, p. 352.
Minnigerode B. (1887). — Neues Jahrb. Mineral., Bd. 5, s. 145.
Musgrave M. J. P. (1954) — Proc. Roy. Soc. A., v. 226, p. 356.
Musgrave. M. J. P. (1970). Crystal Acoustics. — Holden Day, Inc. Publ., San Francisco..
Nelson D. F., Lax M. (1970). — Phys. Rev Lett., v. 24, p. 379.
Neumann F. (1885). Vorlesungen uber die Theorie der Elastizitat. — Leipzig: Akad.
Verlag.
Ohmachi ¥., Uchida N., Niizeki N. (1972). — J. Acoust. Soc. Amer., v. 51, p. 164.
Pace N. G., Saunders G. A. (1971). — J. Phys. Chern. Solids, v. 32, p. 1585.
Pantulu P. V., Sudarshan E. (1970), — J. Phys. C: Solid State Phys., v. 3, p. 60.
Phillips F. C. (1971). An Introduction to Crystallography. — New York: Ed. Oliver and Boyd.
Pine A. S. (1971). — J. Acoust. Soc. Amer., v. 49, p. 1026.
Pockels F. (1894). — Abh. Gottinger Ges. d. Wiss., Bd. 39, s. 99.
Pockels F. (1906). — Lehrbuch der Kristalloptik. — Leipzig: Verlag Teubner.
Ramachandran G. NM Ramaseshan S. (1961). Crystal Optics. — In: Handbuch der
• Physik, Bd. 25/1. — Berlin: Springer Verlag.
Ranganath G. S. (1972). — Proc. Indian Acad. Sci. A, v. 75, p. 237.
Ranganath G. S., Ramaseshan S. (1969). — Proc. Indian Acad. Sci. A., v. 70, p. 275.
Smith G. F. (1962). — Arch Rational. Meeh. Anal., v. 10, p. 108.
Smith G. F. (1970). — Ann. New York Acad. Sci., v. 172, p. 57.
Smith G. F., Kiral E. (1969). — Rend. Circ. Mat. Palermo, ser. 2, v. 18, p. 5.
Smith G. F., Rivlin R. S. (1964). — Arch. Rational. Meeh. Anal., v. 15, p. 169.
Smith G. F., Smith M. M., Rivlin R. S. (1963). — Arch. Rational Meeh. Anal., v. 12, p. 93.
Vedam K-, Srinivasan R. (1967). —Acta Crystallogr., v. 22, p. 630.
Viswanathan K. S. (1969). — Indian J. Pure and Appl. Phys., v. 7, p. 265.
Voigt U7. (1928). Lehrbuch der Kristallphysik. — Leipzig: Verlag Teubner.
Wooster W. A. (1949). A Text-Book on Crystal Physics. — Cambridge: Cambridge Univ. Press.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адиабатический процесс 405
Аксиальные векторы 161, 168, 251, 255, 262, 449, 457, 469, 531, 589, 591
— направления 121, 267, 536, 584
Аксиальный базис 164, 470
— вектор акустической гирации 539
Акустическая активность 538
— гирация 538, 539
— ось 353, 358, 362, 366, 540, 541
Аммоний, ди гидрофосфат (АДР) 174, 181, 218, 330, 331, 338, 382, 4 26, 438, 516
Анизотропия 14, 19, 25, 39, 171, 178
— упругая 322, 370
Антиинверсия 460, 470
Антиось 458
Антиотождествление 460
Антиплоскость 458
Антиповороты 452, 454, 455, 460, 461
Антиравные фигуры 450
Антисимметричный тензор 142, 150, 254,
Антисимметрия 266, 289, 295, 449, 451, 457, 458
—, точечные группы 452, 458
Антитрансляция 460, 480
Антиферромагнетики 465, 466, 535
Антицентр симметрии 470
Апофемальные направления 48
Арагонит 173, 181, 239, 330
Асимметрия 179
Базисные векторы 102, 124, 579
— —, ковариантные 18, 84, 101, 131, 580
— —. контравариантные 84, 101, 132, 580
Базоцентрированная ячейка 74
Белова обозначения 462
Бельтрами — Митчелла уравнения 316, 323, 344
Бинормали 161, 217, 231, 237, 238
Бирадиали 161, 225, 231, 237, 238
Болдырева полярная сетка 23, 178
Бравэ индексы 95, 105, 125
— плоские сетки 72
— решетки 71, 82, 88, 106, 444, 462, 579
— —, изменение при фазовых переходах 444
— символика 50
Бриллюэна зона 441
Брюстера эффект 496
Вектор малых вращений 302
— пироэлектрических коэффициентов 205, 589
— поляризации 352
— смещения 301
Векторная функция, общая 566
Векторное поле 258, 305
Векторные потенциалы 561
Векторный базис решетки 17, 84, 98, 100, 471, 472
Верде постоянная 535
Винтовые направления 529, 535, 536, 585
Вихрь векторного поля 258
— тензорного поля 259, 306
Волновая нормаль 226, 351, 523, 540, 541
— поверхность 222, 230, 235, 371
— — упругих волн 371
Волновой вектор 212, 351, 352
Вращение плоскости поляризации 61, 167, 268, 524, 529, 530, 589
— — — упругих волн 542
Всестороннее растяжение (сжатие) 324, 329, 340, 341
Вульфа — Брэгга формула 89
Вульфа сетка 22, 125
Гаусса — Остроградского теорема 259, 309
Гаюи закон 93, 94
Геликоидальные структуры 468, 469
Гельмгольца свободная энергия 401
Гемиэдрия 54, 115, 556
Генераторы групп симметрии 46, 261, 272, 281, 299
Генерация второй гармоники 511, 590
Германа теорема 275, 278, 320, 357, 380, 387, 388, 530, 552
Гиббса свободная энергия 375, 401
Гидростатическое давление 398
Гирации псевдотензор 519, 527, 530, 589, 593, 594
Главный минор 414
Гномоническая проекция 20, 24, 25
Гномостереографическая проекция 20 — 25, 123, 125
Голоэдрия 54, 73, 115, 556
Грота система названий 54 — 57, 61, 105
Групповая скорость упругих волн 354
Группы абстрактные 45, 47
— белые 452
— внешней симметрии тензора 156, 264, 273, 282
— вращений 68
— изоморфные 47, 118
— коммутативные 46
— магнитной симметрии 453, 454, 470 и т. д.
— ортогональные 67, 450, 453, 469, 473
— полярные 456
— предельные 65—68, 156, 180, 187, 282, 549
— пространственные 80
— серые 452
— точечные 44, 49, 54
— трансляционные 71
— физической симметрии 450
— черно-белые 452—460
Гука закон обобщенный 312, 315, 316, 325, 333, 344, 345, 482, 538, 570 — — —, малые поправки 371, 482, 571 — — —, температурные члены 344, 345
Двупреломление 182, 215, 218, 220, 240, 241, 503, 504, 537
— искусственное 503, 506 — 508
Девиатор 143, 148, 193, 289, 291, 305, 320
Деполяризации коэффициенты 197
Дефекты кристаллического строения 7, 14, 120, 171, 329
Деформация векторного поля 258
—, тензор 302, 304, 305, 618
Дзялошинского условие 442
Диагональные направления 48
Диада 141, 250
Диадное умножение 250
Диполь в анизотропной среде 199
Дислокации 120, 329, 330
Дисперсия оптической активности 527
— показателя преломления 244, 245
— пространственная 518, 519
— частотная 518
Диссимметричная модификация 419, 420
Диссимметрия 179, 182, 183, 422, 536, 537
Дисторсия, тензор 301, 313, 315
Диэлектрическая восприимчивость 184, 186, 589, 592
— — квадратичная 509, 515, 590, 595, 597
— — кубическая 509, 590, 603
непроницаемость 190, 197, 200, 211, 214, 215, 228, 403, 406, 496, 497, 501, 505, 510, 589, 592
проницаемость 39, 181, 182, 186, 190, 194, 197, 203, 211, 223
— — квадратичная 482, 589, 590
Домены 421, 424, 427
Евклидовы группы 450, 459
Единичная грань 93
операция 32, 44
Единичные направления 39, 51
Единичный скаляр 339
— тензор 142, 292, 294
элемент группы 47
Жесткость 313, 321, 333, 335, 399, 403, 483
Закон двойки 433
— постоянства углов кристаллов 15, 19
— рациональности параметров 93
Изотермический процесс 405
Инверсионные повороты 460
Инверсия 32, 136, 277, 471
— базиса 165, 166
— времени 449, 457, 464, 470, 471
Индицирование 89
Кальцит 174, 218, 241, 317, 330, 357, 379
Каменная соль, NaCI 13, 68, 357, 465
Кассини овалы 244
Категории кристаллов 39, 51 — 53, 59, 60, 64, 182
Квазипоперечные волны 352
Квазипродольные волны 352
Кварц 33, 83, 84, 177, 178, 181, 357, 3 67, 420, 436, 450, 465, 525, 529, 542 — 544, 555
Керра эффект 500, 503, 507, 590, 606, 625
Кинетические коэффициенты 487, 494
Кирхгоффа — Вольтерра — Чезаро формула 307
Классы магнитной симметрий 454, 456, 460, 475
Классы симметрии 44, 51—54, 58—63
— — аксиальные 53, 58—63
— — предельные 179
Коническая рефракция 234, 238, 239, 357
— — упругих волн 356, 357
Коноскопические картины 243, 244, 500, 503
Координатные направления 48
— системы кристаллографические 131 — 134, 573
— — кристаллофизические 132, 134, 573
Координаты декартовы 157, 158
— сферические 157
Коттона — Мутона эффект 535, 590, 606
Коэффициенты кручения 172, 175, 181 265, 336, 338, 340 — 342
— растяжения 172, 175, 181, 266, 340 — 342
— теплового расширения 171 — 174, 181, 315, 376, 431, 433, 592
— электромеханической связи 396, 412, 416
Кристоффеля тензор 351, 360, 411, 539— 541
— — второй 354
Кронекера символ 85, 104, 123, 131, 136, 297, 300, 319
Кручение 334—336, 339 — 341
Кюри группы 65, 156
— принцип 120, 179—183, 197, 262, 263, 267, 357, 387, 388, 390, 422-424
— точка 419, 428. 429, 435, 436, 441
Лагранжа множители 153, 155, 227—229> 361, 544, 546
Ламэ коэффициенты 323
Ландау условие 441
Лауэ классы симметрии 64, 181, 182, 262, 273, 339, 343, 476, 493-^495
Леви-Чивита символы 100, 125, 130, 136, 255, 298, 300, 319
Ледюка — Риги эффект 491, 589, 590
Лежандра поли немы 295
Линии уровня 177
Лифшица условие 442, 443, 446
Ллойда опыт 239
Лучевая поверхность 230, 233—235, 237
— скорость 222, 226, 234
— — упругой волны 354, 363, 369, 371
Лучевой вектор 222
Магнетосопротивление 495
Магнетострикция 590
Магнитное упорядочение 468
Магнитный заряд 457, 474
Магнитокалорический эффект 479
Магнитоупорядоченные кристаллы 538
Магнитоэлектрический эффект 478
Максвелла уравнения 211, 213, 223, 519
Малюса закон 240
Мандельштама — Бриллюэна рассеяние 497, 498, 542
Матрицы взаимно обратные 99
единичные 99
квадратные 99
— кристаллографические 137, 579
ортогонального преобразования 135, 137
— термодинамические 375, 391, 399
Медленность 371
Международная символика 47—51, 80—84
Межплоскостные расстояния 127
Мероэдрия 54, 115
Метод прямой проверки 269, 275
Метрика кристалла 18
Миллера индексы 18, 90 —95, 101, 104 —
ПО, 121, 123, 194, 327, 329
Миллера индексы, определение нормальных компонент тензора 194
— —, преобразование 108
Модуль всестороннего сжатия 324, 399
кручения 172
объемного сжатия 323
сдвига 323, 329, 330, 336, 622
Моментные напряжения 311, 312
Мэзона константа 403
Надгруппы 46
Направление обхода базисных векторов 165, 269
синхронизма 613
Напряженность магнитного поля 211, 457
— электрического поля 183, 211, 457
Неймана принцип 180, 181, 187 — 189, 264
Нейтральные группы 452
Неприводимое представление 439
Нернста — Эттингсхаузена эффект 491, 590, 601
Несовместность тензорного поля 259
Нонор 284, 289, 291, 293, 295, 319, 339
Нонорная часть тензора 319
Обратная решетка 85, 87, 126, 441
Обращение отсчета времени 449
Объем элементарной ячейки 85, 98
Объемное расширение (сжатие) 332
Объемный момент 311
Овалоид показателей преломления 236
скоростей волн 236
Огдоэдрия 54, 115, 557
Ома закон в кристаллах 206
Онсагера принцип симметрии 486
Операции антиотождествления 451, 452, 459
антисимметрии 451
инверсии 32
отражения в плоскости 32
— симметрии 26, 32
Операция симметрии обратная 44
— —, произведение 32 — 34, 38, 44
Оптическая активность 256, 268, 518, 526-528, 536, 540, 589
индикатриса 160, 215 — 220, 224—230, 235 — 237, 496—498, 503, 505
— возмущенная 503*
—, уравнение 226, 227, 235
Оптические оси 160, 161, 217, 225, 231, 363, 501 -503, 513, 540
—, сравнение с акустикой 363
поверхности 235, 237
Оптический знак кристаллов 220
Оптическое представление тензора 161
Ортогональное преобразование 134, 135, 165, 263, 453, 469
Ортонормированный базис 131, 134, 146
Осевые отношения 128
Особенное (единичное) направление 39, 51. 584
Ось зеркально-поворотная 36
изотропии тензора второго ранга 160
симметрии поворотная 28, 34, 38, 50, 51
— винтовая 69, 70, 78, 359, 453
— инверсионная 35, 36, 50, 52
Отождествление 32, 44
Парамагнетики 464
Параметр грани 93
диссимметричности 424, 427
ряда 16
Параморфизм 557
Параэлектрики 432, 434
Пересечение групп 40, 46, 180— 183
Период идентичности 16, 130
Пиромагнитный эффект 479, 589 Пироэлектрический эффект 187, 203, 205, 375—377, 389, 403, 406, 407, 415, 431, 433, 589, 591
Плоская сетка 16, 30, 71, 72, 85
Плоские волны 211, 226
Плоскость колебаний 213
— поляризации 213, 215
— симметрии 26, 27, 34, 50, 68, 75, 76, 417, 453, 552, 553
— алмазная 69
— скользящего отражения 68, 76, 77
Плотнейшая упаковка 130
Полярные фигуры 452
Правильная система точек 84
Представление группы 281, 299
Преобразование индексов 98, 102, 104, 108, 125, 271
Принцип двойственности 223, 234, 371
симметрии кинетических коэффициентов 431
Продольная нормаль 352, 361, 368
Проекции кристаллографические 19
Производная векторного поля по радиусу - вектору 258
Пространственная дисперсия 518 — решетка 17—20, 30, 71 Простые напряженные состояния 323 — формы 111—121
Псевдовектор 251
Псевдодевиатор 539
Псевдононор 291, 293 — 295, 539
Псевдосептор 291,293,294
Псевдоскаляр 167,251,253,308,539
Псевдотензор 247,251,253,308,539
Леви-Чивита 255
Пуассона коэффициент 323, 326, 336, 340—343, 416
Пьезогирация 536
Пьезокалорический эффект 478, 590
Пьезомагнитный эффект 478, 590
Пьезооптический эффект 183, 266, 288, 495, 501, 507, 590, 606, 625
Пьезорезистивный эффект 484, 486, 590, 625
Пьезоэлектрический эффект 266, 377, 379, 380 — 385, 388, 396, 398, 403, 405, 410, 415, 431, 436, 499, 544 — 550, 589, 590, 597, 624
Радиус дискретности 14, 15
однородности 14, 15
Разложение базисных векторов 99, 103
вектора по базису 86
— тензора на неприводимые части 319, 539
Растяжение одноосное 324, 339
Расходимость (дивергенция) векторного поля 258
— — тензорного поля 259
Расширенная ортогональная группа 450,
Ряд (материальных частиц) 16
Сапфир 174, 176, 357
Свободная энергия 400
Сдвиг 328
Сегнетова соль 82, 83, 173, 181, 382, 420, 426
Сегнетоэлектрики 185, 205, 375, 406, 434
—, фазовые переходы 434, 448
Сен-Венана принцип 332
— уравнения 306, 316
Септор 289, 291, 293, 29 5, 539, 545
Сжимаемость 324, 332
Силы, сопряженные потокам 486
Сильвестра теорема 414
Символ грани (плоскости) 18, 89, 92
пространственной группы 81
ряда 18, 89
— точечной группы 47
— узла 17
Символика Яна 253, 254
Симметрические преобразования (бесконечные) 68, 80
Симметричная модификация 413, 420
Симметрия рентгенограмм 181
указательных поверхностей 180
Системы координат 18, 19, 573
—, гексагональная 43
—, ромбоэдрическая 43, 49
кристаллографические 40
— скольжения 330
Скалывающие напряжения 329
Скаляр 319, 339
Скалярное произведение тензоров 257
Скорости упругих волн 623
След матрицы 136
Соотношение дуальности (двойственности)
262, 371
Сопротивление удельное, тензор 206, 484
Спонтанная деформация 435, 589
— поляризация 186, 203. 375, 435, 448, 591
Стенона закон 15
Стереографическая проекция 20. 61, 67,
172, 173, 266, 293, 458
Температурные напряжения 344
Температуропроводность, тензор 208, 209, 589, 592
Тензор альтернированный 250
— второго ранга, изотропные плоскости 160, 295
— —, ковариантные компоненты 103, 140
— —, нормальная составляющая 152, 228
— —, смешанные компоненты 103
— —, тангенциальные составляющие 154, 229
— —, указательная поверхность 157 —
59, 180. 183, 265, 292, 318, 319, 4 53
— — —, — — сечения 171, 176, 266
— гиротропный 189, 296, 300, 393
— Грина 317
— двумерный 161
— двуосный 160, 161
—, девиатор на я часть 319
—, дифференцирование 243, 253
—, изомеры 250
— изотропный 156, 296
—, компоненты инвариантные 87
— магнитного типа 474, 475
— магнитоэлектрического типа 474, 478
— малых вращений 302
— деформаций 302
— материальный 186, 188, 264, 278, 289,
54 9, 553, 570
— метрический 87, 102—104, 128—131, 194
— напряжения 307, 618
— нечетного типа 262
— обратный 142
— одноосный 160
— полевой 186
— ранга г 103, 262, 264, 283, 289
—, свертывание 250, 257
— симметричный 142, 251, 550, 551
—, собственное значение 144. 149, 151, 153
—, собственные векторы 144, 149, 153
—, сферическая часть 143, 148
— третьего ранга 248
Тензор, усреднение по группе 281
— четного типа 262, 283, 286, 474
— шаровой 142, 156
электрического типа 474
Тензорезистивный эффект 484
Тензорное поле 259, 305
Тензор-функция 264
Тензоры, бескоординатная запись 257
, бискалярное произведение 257
взаимно обратные 12, 142
, внешняя симметрия 260
—, внутренняя симметрия 252, 319, 380, 482
инвариантные 156, 277, 281, 283, 588
неприводимые 289, 291
, произведение 249
—, сложение 249
—, сокращенная форма записи 617
—, сумма 249
Теорема о единственности 323
— топологическая 362
Теоремы об умножении операций симметрии 588
Теория представлений групп 281, 4 39, 539
Теплоемкость 389, 403
Теплопроводность, тензор 39, 182, 190, 207, 208, 318, 489, 589
Теплота деформации 376
Термические напряжения 210
Термогальваномагнитные коэффициенты 49 3
Термодинамические координаты 373, 389
— матрицы 390, 478
— потенциалы 400
— силы 373, 391, 400, 486
Термоупругие коэффициенты 346
— напряжения 344
— эффекты 389, 589
Термоупругость 315, 346, 403, 592
Термоэлектрические коэффициенты 589
Тетартоэдрия 55, 115, 557
Титанат бария 205 385, 386, 417, 420, 421, 424, 551
Точечные группы антисимметрии 452
— — кристаллографические 44, 49, 65, 454
— магнитной симметрии 453
— предельные 65, 454
Точечный заряд в анизотропной среде 199
-Трансверсально-изотропные тела 321
тензоры 157
Трансляционная группа 17, 71
Трансляция 16, 68 — 72, 76, 180
Транспонированная матрица 135
Турмалин 174, 181, 266, 267, 340, 386, 458, 549
Угол оптических осей 502
Умножение тензоров 249
элементов симметрии 75
Упругая анизотропия 322
— деформация 314, 319
— податливость 264, 265, 315, 321, 324, 325, 333, 338, 352, 376, 394, 415, 431, 436, 449, 550, 552, 590, 604, 620
симметрия 321
— энергия кристалла 483, 497
Упругие волны 221, 351, 355, 410, 623
— —, пьезоэлектрические поправки 409
Упругооптические коэффициенты 497, 510, 606, 625
Упругорезистивные коэффициенты 591
Упругость, коэффициенты 313, 321, 322, 352, 403. 590
Уравнения индикатрисы 215
Уравнения неразрывности тока теплопроводности 208
совместности деформаций 344
упругого равновесия 344
Условия теплообмена, коэффициент 210
Установка кристаллографическая 42, 544
Фазовая скорость 212, 222
— — упругой волны 351, 353, 361, 363 — 365, 367, 369
Фазовые переходы 83, 84, 417, 418, 437, 439
— — без изменения трансляционной сим метрии 4*21
— — второго рода 417
— — первого рода 417
— — типа «порядок — беспорядок» 418
_ _ — смещение 418
Фарадея эффект 533, 534, 583. 592
Федорова Е. С. сетка 23, 24
— — — символы 81, 82
Федорова Ф. И. теорема
Федоровские группы 81, 460
Федоровского института номенклатура 61
Федорова Ф. И теорема
Ферромагнетики 464, 466, 535
Фигуры смешанной полярности 452
Фотоупругость 496, 606
Френеля уравнение 230
— эллипсоид 160, 221—225, 230, 231, 235—237
Фриделя закон 64
Фуми метод прямой проверки 269, 270, 296
Характеристическая поверхность тензора 157-160
Характеристическое уравнение тензора 145
Холла коэффициенты, тензор 491, 494, 592
— эффект 491, 589, 590
Хроматическая поляризация света 241
Цветная симметрия 453
Центр симметрии 31, 34, 50, 52, 389, 417, 453
Циклические группы симметрии 44
— координаты 275
Циркулярнополяризованные волны 522
Шенфлиса символика 50, 61, 66, 81
Шубникова система обозначений 51, 70
Шубниковские группы 459, 462, 466
Эйлера теорема 37
— углы 139, 140
Эйнштейна обозначения 90
— правило суммирования 86, 90, 122
Эквивалентные симметричные направле-
Эластодинамика 309, 538
Эласторезистивные коэффициенты 625
Эластостатика 309, 317, 394
Электрическая энтальпия 400
Электрогирационный эффект 532, 536, 590, 601
Электрокалорический эффект 379, 389
Электромеханические эффекты 389
Электрооптический эффект 183, 495, 499,
531, 591, 597, 625
Электропроводность 39, 182, 206, 318, 484,
489, 589, 592
Электросопротивление 589
Электрострикция 482, 590, 606
Электротермические эффекты 389
Элементарная ячейка 17, 19, 72 — 74, 463
Элементарный объем 170
Элементы симметрии 25, 33, 58, 70
— — диагональные 48, 49, 52, 53, 82
— — координатные 48, 49, 52, 53, 82
— скольжения 330
Эллиптическая поляризация 521, 541
Эллиптичность 521, 541
Энантиоморфизм 61, 64, 68, 120, 289, 450,
529, 555, 556, 573
— кристаллов кварца 83
Энтальпия 400
Юнга модуль 172, 174, 181, 323, 325, 327, 333, 336, 414, 416, 622
— —, указательная поверхность 181, 336
Яна символика 253, 254, 589
Ячейка обратной решетки 87—89
— плоской сетки 16, 17
— примитивная 17
— сложная 17
Сиротин Юрий Исакович
Шаскольская Марианна Петровна
ОСНОВЫ кристаллофизики
М., 1979 г., 640 стр. с илл.
Редактор Д. А. Миртова
Техн, редактор Л. В. Лихачева
Корректоры 3. В. Автонеева, Е. В. Сидоркина
ИБ № 11420
Сдано в набор 07.02.79. Подписано к печати 28.05.79. Т-11215. Бумага 60 x 90*/ie, тип № 1. Литературная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 40. Уч.-изд. л. 43,14. Тираж 15 000 экз. Заказ 463. Цена книги 1 р. 80 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское производственнотехническое объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького «Созполиграфпрома» при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 197136, Ленинград, П-136, Гатчинская, 26.
Отпечатано во 2-ой тип.изд-ва «Наука».
Шубинский пер., 10. Зак. 2162.
SW= ~ до^ам ^= а^’ <42-9)
**) Лохин и Седов (1963) или Седов ((1970), добавление I). См. также Мало* леткин и Фомин (1972).
В статье Лохина и Седова (1963) рассматривается вся группа преобразований, определяемая данным тензором, даже если в нее входят и неортогональные преобразования (растяжения, сдвиги и т. п.). Для наших целей, однако, достаточно рассмотреть ортогональную подгруппу этой группы. Ср, Вакуленко (1972),
*) Точно так же можно доказать, что у любого кристалла есть по крайней мере одна оптическая ось. Разница только в том, что уравнения оптических по-
**) О понятии фактор-группы см„ например, Вигнер (1961)»