АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССРинститут кибернетики

Л. А. РВАЧЕВ

математикасемантика

НОМИНАЛИЗМ

КАК ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МАТЕМАТИКИ

Издательство «Наукова думка»Киев—1966

51

р29

Книга посвящена пограничным вопросам математики и семантики.

Новый подход делает основные разделы единственными в литературе, поэтому изложение начато с простейших понятий. Несмотря на строгость изложения книга является доступной широкому кругу читателей.

Ответственный редактор доктор физ.-мат. наук Л. А. Калужнин

КИЕВСКАЯ КНИЖНАЯ ТИПОГРАФИЯ № 3.

2 — 2 — 1

20 - 66

ПРЕДИСЛОВИЕ

Если в каждой теории делать отличие между средствами языка данной теории и объектами, о которых идет речь, то нетрудно заметить, что чаще всего речь идет об абстрактных объектах. Даже экспериментатор обычно отождествляет свою аппаратуру и сотрудников в разные моменты времени. Гораздо реже речь идет о действительно единичных объектах. Например, явление природы, границы которого фиксированы в некоторой системе отсчета времени, можно считать единичным объектом.

В настоящее время не существует теории, которая была бы в состоянии оперировать только единичными объектами. Однако естественно-научные теории предполагают у многих своих объектов (вещей) внеязыковую природу, в которой они единичны — расположены в пространстве, имеют длительность существования и могут быть реальными или возможными. Возникает вопрос, можно ли в соответствии с этой единичной природой вещей избежать в языке употребления абстрактных объектов. Точнее, речь идет о номиналистическом тезисе, согласно которому всякая теория должна иметь интерпретацию в системе единичных объектов. Никакого содержания, отличного от этого тезиса, термин «номинализм» у нас не имеет.

В данной работе уточняется представление об области вещей как области единичных объектов и строится формализованный язык над этой областью. Далее рассматривается

вопрос, как далеко можно продвинуться при номиналистической интерпретации математики. Мы ограничиваемся математикой ради простоты, хотя более интересно, по-видимо- му, было бы интерпретировать в области вещей некоторые разделы физики.

Эта работа была выполнена в 1961—1963 гг. и докладывалась на 2-й Всесоюзной конференции по обработке информации (Москва, май 1963 г.), на Симпозиуме по самообучающимся системам (Канев, май 1963 г.), на Семинаре по моделированию мыслительных процессов (Киев, июнь 1964 г., Институт кибернетики АН УССР), на 4-м Всесоюзном симпозиуме по логике науки (Киев, июнь 1965 г.). Некоторые фрагменты этих докладов опубликованы в работах [61—[7].

Автор выражает благодарность Д. А. Бочвару, А. С. Есенину-Вольпину и П. С. Новикову, прочитавшим рукопись и сделавшим ряд ценных замечаний, которые существенным образом повлияли на изложение.

Глава I

ОПИСАНИЕ ИНТУИТИВНОЙ МОДЕЛИ

Прежде всего договоримся об употреблении некоторых терминов. Под объектами языка (объектами теории) мы понимаем ту область объектов, на которой изменяются переменные данной теории. Как указано в предисловии, мы будем строить теорию на области единичных объектов; средства языка, разумеется, остаются абстракциями.

Уточним понятие единичного объекта. Класс объектов может обозначаться одной абстракцией, которая рассматривается как переменная. Однако, абстрагируясь от объектов этого класса, можно создать один постоянный объект. Объекты такого рода, т. е. которые без изменения смысла слов могут рассматриватся также как переменные, отнесем не к единичным, а к абстрактным объектам. Таким образом, к единичным объектам с определенностью можно отнести только объекты, в принципе доступные непосредственному восприятию, т. е. вещи в пространстве—времени и эмоции (но система эмоций здесь не рассматривается).

В этой главе дано интуитивное описание некоторой физической модели, которое следует рассматривать как предварительную мотивировку последующей формализованной теории. Модель является физической только в том смысле, что все ее компоненты (названные вещами) рассматриваются так, как будто им присуща физическая реальность.

Это не значит, что рассматриваются некоторые конкретные вещи или конкретные физические законы. Точно также, как исчисление предикатов дает законы, общие для любых систем объектов, сужение области объектов до уровня вещей дает новые законы, которые можно назвать логическими законами для вещей, нс зависящими от конкретных вещей и конкретных физических законов.

Хотя все понятия, которые образуют упомянутую физическую модель, порознь и употребляются как нечто само собой разумеющееся, сама эта модель никогда описана не была. Поэтому мы должны предостеречь читателя от смешения этой физической модели с пространственно-временным континуумом. Легко проверить, например, что аксиомы гл. II не выполняются для одного бесконечного пространственно— временного континуума.

Перейдем теперь к описанию веи^й. Прежде всего договоримся, что вещи и только вещи суть содержание участков (конечных или бесконечных, связных или нет) пространства—времени в физическом мире, так что вещи имеют протяженность, длительность существования и внутреннюю природу. При этом не следует смешивать употребление абстрактных объектов, от которых мы отказались, с идеализацией вещей. Идеализированные вещи иногда называют абстракциями, но у нас термин «абстракция» употребляется в другом, описанном выше смысле. Идеализация же заключается, например, в том, что вещи обладают определенными границами — границами упомянутых только что участков; но это не мешает единичности вещей. Далее договоримся рассматривать вещи как реальные, так и воображаемые.

Например, стол в вашей комнате в течение мая 1965 г.— это вещь и притом реальная. Этот стол состоит, например, из таких двух своих половин: стол с 1 по 15 мая и стол с 16 по 31 мая; эти половины суть также реальные вещи. Но мгно-

венный стол или просто стол — это вообще не вещи, так как первый из них не имеет времени существования, а второй — абстракция; и конечно, стол в течение разных отрезков времени — это разные вещи. Второй пример реальной вещи: часть Вселенной, которая расположена к востоку от плоскости гринвичского меридиана и начинается с полуночи 31 декабря 1963 г.

Что же касается воображаемых вещей, то имеется в виду, что человек одинаково способен как говорить о реальности за пределами непосредственного восприятия, так и создать иллюзию реальности и говорить о ней (и само непосредственное восприятие иногда оказывается иллюзией). Например: 1) чувственное представление, связанное с автомобилем, имеет место как при его ремонте, так и при конструировании, и оба представления в равной мере поддаются логическому исследованию, причем второй способ позволяет обдумывать несуществующие модели; 2) мы уверены, что Земля в прошлом веке испарилась бы, падая на Солнце, хотя этого нс было. Множество подобных примеров возникает, когда речь идет о кино, книгах, законах природы, ярких снах; строго говоря, сюда же следует отнести любой разговор о будущем. Во всех этих случаях мы имеем в виду воображаемые вещи, протяженные в пространстве и времени (эту протяженность, особенно длительность, в разговорном языке для краткости будем чаще подразумевать, чем формулировать явно). Воображаемые вещи рассматриваются точно также, как если бы они были реальными.

Для более яркой характеристики вещей заметим, что так как вещи обладают длительностью, то им нельзя приписывать, по крайней мере непосредственно, такие свойства, как скорость, масса и т. д. Например, если вещь а есть внутренность некоторого шара продолжительностью в один час, причем масса (в обычном понимании) этого шара полчаса равна 1 кг, а другие полчаса равна 2 кг, то ясно, что масса

вещи а не есть 1,5 кг и что если говорить о массе а, то это потребует какой-то специальной договоренности.

В примерах настоящего пункта для того, чтобы построить индивидуальные имена вещей, употребляются довольно сложные неопределенные понятия, такие как плоскость, 1965 г. и т. д.; подобные понятия необходимы даже в том случае, если кто-либо потребует уточнить границы стола. Употребление неопределенных понятий неизбежно, если имена вещей описываются соответственно чувственным представлением о вещах, а именно это мы делаем с целью описать вещи на интуитивном уровне. Разумеется, при формализованном изложении вещи будут представлять собой не более того, что записано в аксиомах, а неопределенные понятия, о которых сейчас идет речь, станут ненужными.

Так как воображаемые вещи рассматриваются так же, как и реальные, то мы не можем представить себе вещь вне мира (вселенной). Некоторые вещи представляем совместными в том смысле, что они взаимодействуют или просто сосуществуют как части одной большей вещи или как части мира. Кроме того, в предыдущем пункте описаны воображаемые вещи, т. е. представление, что мир мог бы (хотя бы в одной детали) быть другим. Но для воображаемых вещей в мире нет места, так как по своему определению мир обладает пространственно-временной полнотой (охватывает собой все — малое и большое, прошлое и будущее). Поэтому представление о воображаемых вещах есть представление об исключающих друг друга мирах и о вещах, несовмещенных в пространстве—времени (в качестве примера можно взять любые несовместные естественно-научные гипотезы; каждая из них описывает вещи одного мира, а в силу несовместности гипотез речь идет об исключающих друг друга мирах). Назовем эти миры ситуациями.

Другими словами, рассмотрим произвольную, вообще говоря, воображаемую вещь и, если возможно, расширим ее, 8

объединяя с ней некоторую совместную с ней вещь, расположенную вне ее в пространстве—времени. Некоторые вещи не поддаются подобному расширению. Эти предельно широкие вещи интуитивно воспринимаются как вселенные или миры; мы назвали их ситуациями.

Весь физический мир есть одна из ситуаций; остальные ситуации являются воображаемыми и возникают в тех случаях, когда для вещей употребляются обороты речи типа «если бы ..., то ...».

Договоримся рассматривать любую ситуацию. Под этим понимается следующее. Каждая естественно-научная теория указывает на те наблюдения и эксперименты, которые служат ее предпосылками; имеются также другие предпосылки этой теории, которые не упоминаются ввиду их очевидности. Часть очевидных предпосылок относится к тривиальному опыту, остальные можно назвать априорными в том смысле, что они воспринимаются как аксиомы мышления (здесь безразлично, что в процессе истории эти предпосылки могли возникать из опыта). Что касается экспериментальных предпосылок, то они потому и названы экспериментальными, что исход эксперимента нельзя было предвидеть заранее; таким образом, хотя в современной науке глубоко укоренилось определенное представление о ситуации, в которой мы живем, все же было возможным ждать других исходов экспериментов и, следовательно, рассматривать другие ситуации. Все такие ситуации и образуют класс ситуаций, который мы назвали «любые ситуации» и который намерены рассматривать.

Иначе говоря, речь идет о следующем понятии возможности для вещей. Только чисто умозрительное представление о вещах является общим для всех ситуаций. Это представление пополняется любыми (вообще говоря, противоречащими друг другу) опытными данными, которые кажутся возможными с чисто умозрительной точки зрения (т. е. до начала наблюдений и экспериментов). Тем самым порож-

даются варианты мира — ситуации — которые и образуют искомый класс ситуаций; а воображаемые опытные данные характеризуют индивидуальность каждой ситуации.

Разумеется, мы не в состоянии четко разграничить опытные и априорные данные или описать класс ситуаций; но на интуитивном уровне это и не нужно — достаточно убедиться, что о ситуациях можно говорить. Язык, объектами которого являются вещи в ситуациях, назовем псевдофизическим языком («псевдо» — потому, что кроме ситуаций, рассматриваемых в настоящее время как физические гипотезы, этот язык описывает и любые другие ситуации).

Удобно считать, что все ситуации представляют собой равноправные возможности, а псевдофизический язык есть мозаика, состоящая из всевозможных гипотез о реальности. Эта мозаика скреплена модальными терминами и кванторами, ее элементы описывают ситуации и взаимно исключают друг друга.

При любом выборе системы объектов молчаливо предполагается, что можно много раз говорить об одном и том же объекте. Представление о подобном полном тождестве в случае системы вещей позволяет говорить, в частности, и о различных возможностях для одной и той же вещи (т. е. что одна и та же вещь могла бы иметь разных «соседей» в пространстве—времени). Например, мы называем «Земля в прошлом веке» нечто в ситуации, где его продолжение (во времени) превратилось в Землю XX века; а в другой ситуации продолжение этого же самого «нечто» испаряется, падая на Солнце. Единственность этого «нечто» будем рассматривать как понятие тождества вещей в различных ситуациях — ситуации исключают друг друга в целом, но они могут пересекаться; точнее, пересекаются элементы псевдофизической мозаики в том смысле, что две гипотезы до определенного момента совпадают, дальше начинаются разногласия.

В настоящее время представление о вещах принадлежит преимущественно области интуиции, а соответствующие понятия в языке только начинают вырабатываться. Естественно поэтому, что при интуитивном описании возникает тенденция, помимо непосредственного объяснения, параллельно интерпретировать вещи (насколько это возможно) в общепринятых понятиях, т. е. в принятых системах абстрактных объектов.

В этом плане мы можем сказать, что каждая ситуация интерпретируется как метрическое пространство упорядоченных четверок любых действительных чисел (одна ось — время); а вещи из этой ситуации интерпретируются как открытые множества в данном пространстве. Как уже говорилось, мы намерены изучать лишь те свойства вещей, которые не зависят от выбора системы вещей (логические законы для вещей); к таким свойствам, бесспорно, относится ряд топологических свойств, например, можно говорить о связности вещей. Однако свойства такого рода мы совсем не будем рассматривать, так как для этого уже есть соответствующая теория.

Далее кажется вероятным, что если к указанным четырем измерениям добавить пятое — возможность, то можно интерпретировать более чем одну ситуацию; однако, так ли это — об этом в настоящей работе мы ничего сказать не можем. Трудности здесь следующие: 1) если речь идет об интерпретации всех ситуаций, то ничего нельзя сказать о мощности множества всех ситуаций; 2) но даже если речь идет о нескольких ситуациях, то неясно, как естественно интерпретировать, например, представление о тождестве вещей (см. аксиомы гл. II).

Мы надеемся, что для интуиции наша физическая модель в предыдущих пунктах определена однозначно. Это система вещей, для которой имеют смысл понятия пространства— времени, внутренней природы, возможности и тождества.

Глава II

ПСЕВДОФИЗИЧЕСКИЙ ЯЗЫК

L Будем строить псевдофизический язык как прикладное исчисление предикатов, переменные которого изменяются на области всех вещей. Для обозначения индивидуумных переменных употребляются малые латинские буквы; других переменных, кроме индивидуумных, нет. В качестве индивидуальных имен вещей употребляются малые греческие буквы; эти имена предельно единичны в том смысле, что переход к другой вещи или к другой ситуации всегда вызывает изменение имени.

В псевдофизический язык могут вводиться любые индивидуальные предикаты, определенные на области всех вещей. Некоторые из этих предикатов — простейшие — должны иметь специальные обозначения. Прочие предикаты образуются из простейших по обычным правилам образования формул. Правила образования используют обычные логические символы: конъюнкции Л, дизъюнкции V, отрицания , импликации ZD, эквивалентности ~, кванторы вида (х) и (Ех), а также скобки. Поскольку предикатных переменных нет, то в случае надобности большие

латинские буквы будут употребляться для метаобозначения предикатов вне псевдофизического языка.

Истинные формулы получаются на основе классического исчисления предикатов первой ступени, заданного в виде схем аксиом (см. [51, стр. 77), к которому добавляются аксиомы, определяющие простейшие предикаты; эти аксиомы вводятся по мере появления простейших предикатов. В замкнутых формулах внешние кванторы всеобщности часто будут опускаться.

Поскольку в каждый момент времени мы имеем дело с фиксированным числом имен простейших предикатов и аксиом для них, то получаемую при этом часть псевдофизического языка можно рассматривать как формальную систему. Будем обозначать се через РР.

Для построения систем РР классическое исчисление предикатов выбрано не только из-за своей общепринятости. Например, у нас нет оснований отказываться, как от немыслимой, от следующей ситуации, описанной в популярных работах по естествознанию: вселенная с бесконечностью уже существующих звезд или с бесконечностью сменяющих друг друга событий. Другой пример — для каждой вещи возможно рассматривать ее собственные части и полагать, что это также суть вещи. Общим для этих примеров является введение вещей, которых бесконечно много в одной ситуации.

Таким образом, мы имеем повод среди элементов мозаики псевдофизического языка рассматривать и подвергать формализации также такие, которые содержат понятие реально существующей (актуальной) бесконечности.

В этой главе строится РР из пяти простейших предикатов, которые характерны именно для вещей в ситуациях. Вот эти предикаты (все они двухместные):

предикат «вещь х есть часть вещи у» (обозначение х < у). Интуитивный смысл этого предиката выражен в его словесной формулировке;

предикат «вещь х совместна с вещью у» (обозначение xyY Этот предикат определяется через предыдущий так:

ху — ^Ez^ (х < г Л у < zY(1)

Интуитивный смысл совместности заключается в том, что х и у находятся в одной ситуации;

предикат «вещь х тождественна вещи у» (обозначение х = у). Под тождествомх и у понимается одно из двух:

х и у суть имена одной и той же вещи в одной и той же ситуации;

х = у фиксирует упомянутый в главе I способ разговора, когда ситуации пересекаются, т. е. речь идет два раза об одной и той же вещи, но вне ее рассматриваются, вообще говоря, разные возможности. Тогда х есть имя вещи в одной ситуации, ay — в другой.

Таким образом, не могут быть тождественными различные вещи в одной и той же ситуации; в случае необходимости будет употребляться то или иное понятие равенства;

предикат «вещь х раньше вещи у» (обозначениех/у). Интуитивный смысл этого предиката заключается в том, что последние моменты существования х раньше первых моментов существования у;

предикат «вещь х предопределяет вещь у» (обозначение х у). Этот предикат фиксирует тот способ разговора, когда речь идет о причинно-следственной связи вещей х и у.

Введем аксиомы для предикатов х < у, ху, х = у. Эти аксиомы сопровождаются пояснениями их смысла или мотивировкой в терминах вещей.

ху — (иЦих~иуу

Это значит, что если х и у в одной ситуации (т. е. хуу то всякая третья вещь и находится либо в этой же ситуации

(тогда их и иу\ либо не в этой (тогда их и иу). С другой стороны, так как для всех вещей хх, то в формуле I импликация справа налево логически истинна.

х < у — (и) (и < xzdu < у).

Эта эквивалентность как импликация слева направо означает просто очевидный факт транзитивности предиката х < у. С другой стороны, так как для всех вещей х < х, то в формуле II импликация справа налево логически истинна.

х = у ~ (ц) [(Еи) (и < х Д и = и) ~ (Ev) (и < у /\ и = и)].

Эквивалентность III, как импликация слева направо, означает, что если х = у, т. е. речь идет два раза об одной и той же вещи, то речь может идти два раза также об одной и той же части этой вещи, так что части х и у взаимно соответствуют друг другу в смысле тождества. Но этот факт (так как тождество транзитивно) может быть записан так, что каждая вещь и либо одновременно тождественна частям х и у, либо нетождественна им. Рассмотрим теперь смысл III как импликации справа налево. Так как для всех вещей х < х и х = х, то из правой части III логически следует (Еи) (и < у Д х = и) и (Еа) (у < х Л у = v). Это вынуждает нас считать, что х = у, так как если предположить х = у, то получим, что х тождествен части у, не совпадающей с у, и далее, что х тождествен собственной части, не совпадающей с х, что противоречиво.

. IV. х = у Дхуо!А(х)~А(у)].

Это схема аксиом при произвольных предикатах А. Аксиомы IV отмечают предельную единичность вещей в том смысле, что не существует предикатов, которые различали бы одну и ту же вещь в одной и той же ситуации.

Заметим, что в аксиомах IV, как и в других схемах аксиом, на протяжении всей работы предпо-

лагается, что предикаты А (х) могут иметь, кроме х, и другие свободные переменные, отличные от переменных данной аксиомы. Предполагается, что эти свободные переменные связаны самыми внешними кванторами всеобщности данной аксиомы. Эти свободные переменные содержательно могут интерпретироваться как параметры в схеме аксиом.

х = у л ху~ (и) (и <х — и< у).

Аксиома V означает, что если у двух вещей совпадают все их части, то это равносильно тому, что речь идет об одной и той же вещи в одной ситуации.

(Ех) (х < у л у < х\

Это значит, что каждая вещь у имеет протяженность.

(£х) А (х) Л (х) (у) [Л (х) Л А ^ oxy] id

zd (Ez) [(и) и (и) zd и < г] л (и) \и < г о

ZD (Ev) (Ew^ Vv<uAv<wAA (до)]]].

Это схема аксиом при произвольных предикатах А. Она означает, что если предикат А выполняется лишь на вещах одной ситуации, то существует вещь — объединение всех тех вещей, на которых выполняется А.

Определим трехместный предикат «г есть объединение х и у » (обозначение 2 (х, у, z)):

2(х, у, г^х<гАу<гАЦ\и<го

ZD (Ее) t)<u/\(KxVK у)]]-(2)

Определим двухместный предикат «х и у не имеют тождественных частей» (обозначение Л (х, у)):

Л(х, у)~1и)Ши <хД и<у^и = иу (3)

Определим одноместный предикат «х есть ситуация» (обозначение S (х)):

S (х) ~ (//) (ху о у < х).(4)

Предикаты 2 (%, у, 2), Л (х, у) и S (х) понадобились как сокращения; в частности, мы их используем при записи последующих аксиом.

ху Д у <x^(Ez) [z < у Л Л (х, z)].

Истинность этой аксиомы очевидна.

<Ер^ (/? < X л р < у) ZD (и) (и) [ы = X л v = г/ Л ыи Z)

о (£2) (fw) [S (х, у, г) Л X (ы, у, гу) Д tw = г]].

Эта аксиома утверждает, что если каждую из вещей х и у, имеющих общую часть, тождественно перенести в одну и ту же ситуацию, то для объединения х и у это означает также тождественный перенос. Здесь может быть неясным, какую роль имеет наличие у х и у общей части. Но если этой общей части нет, то в другой ситуации (где и = х и У = у) взаимное положение и и и может быть иным, чем у х и у. Например, если х раньше у, то и может быть позже, чем и. В этом случае объединение х и у, разумеется, нетождественно объединению и и ц. Если же общая часть у х и у есть, то она тождественно перенесется и будет общей частью у и и и, что не позволит и к v относиться иначе, чем х к у.

S (х) гэ (у) (х = у^>ху).

Это означает, что ситуацию нельзя перенести в другую ситуацию.

(Ей) (х <и Ди <x)zd (Ей) (Ev) (Ew) [S (и, и, w)A /\S(w) ^u = х Л Л (у, у)].

Это означает, что каковы бы ни были х и у, если вне х возможно что-либо рассматривать (х не есть ситуация), то

можно рассмотреть и такое окружение х, которое не имеет ничего общего с у.

(Еи)(х<и /\ и <х)о

ZD (Ей) (Ed) [и < и Д S (и) Д и = х Л Л (у, ц)ч

Это значит, что каковы бы ни были х и у, если вне х возможно что-либо рассматривать, то можно рассмотреть х в такой ситуации, которая пересекается с у.

Предикаты Д, для которых имеет место

х = уоИ(х) — А (у)1,(5)

будем называть собственными, а остальные предикаты — несобственными, так как они характеризуют не только соответствующую вещь, но и окружающую ситуацию.

Примеры собственных предикатов: «х —- красный», (Еу) (у = а Д у < х), где а — имя вещи.

Примеры несобственных предикатов: ах, (Еу) (у = а Д Л х < у).

Приведем некоторые следствия из высказанных аксиом. При этом формальные доказательства можно интрепре- тировать и как содержательные, так как мы будем свободно пользоваться метатеоремами исчисления предикатов.

хх,(6)

ху — ух.(7)

Здесь (6) следует из аксиомы I при подстановке туда х вместо у, а (7) из симметрии правой части аксиомы I.

ху Духтз хх.(8)

Пусть ху, ух, тогда в силу аксиомы I, подставляя туда х вместо и и учитывая (7), получим хх.

х <х,(9)

х<уДу<хох<х.(10)

При этом (9) следует из аксиомы II при подстановке туда х вместо у, а (10) — из аксиомы II, если взять там в качестве х, у, и соответственно у, z, х.

(Ez)(z<xAz<y)ZDxy.(Ez)(z<xAz<y)ZDxy.(Н)(Н)

(Ez)(z<xAz<y)ZDxy.

(Ez)(z<xAz<y)ZDxy.

(Н)

(Н)

Пусть существует 2, указанный в посылке формулы (11). Из (1) и (9) следует z < х Z) zx и z< у Z) zy, что в сочетании с (7) и (8) дает ху.

(12)(13)(12)(13)х = х,х = у^у=х.

(12)

(13)

(12)

(13)

Утверждение (12) можно получить из аксиомы III, если подставить туда х вместо у, а (13) — из симметрии правой части аксиомы III.

x — yAy^zox^z.x — yAy^zox^z.(И)(И)

x — yAy^zox^z.

x — yAy^zox^z.

(И)

(И)

Пусть х = у, у ^ z к и таково, что (Еу) (у < х Д и = = у); тогда в силу аксиомы III (Еу) (у < у Д и = у) и далее по этой же аксиоме (Еу) (у < z Д и = у). Таким образом,

(и) [(Еу) (у < х Л и = у) zd (Еу) (у < z Л и = у)].

Аналогично, учитывая (13), получим

(w) [(Еу) (у < z Л и = у) zd (Еу) (у < х Л и = у)], так что окончательно

(w) [(Еу) (у < х Д и = у) — (Еу) (у < 2 Д и ~ у)], откуда согласно аксиоме III получаем х = 2.

(15)(15)X = у Л ху~ (и) (х < и — у < и).

(15)

(15)

Пусть х = у Д ху. Рассмотрим произвольное и такое, что х < и. В силу аксиомы V (у) (у < у zd и < х), что вместе с (9) дает у < х. Отсюда и на основании (10) получим у < и, т. е. х < и zd у < и. Аналогично найдем

у < и zd х < и и далее (и) (х < и ~ у < и). Пусть теперь (и) (х < и ~ у < и). Отсюда и из (9) следует х < у Л у < х, а из (10) — (v) (и < х ~ и < уУ Это в сочетании с аксиомой V даст х = у Л ху.

Х<У ^У <XZDX^y.Х<У ^У <XZDX^y.(16)(16)

Х<У ^У <XZDX^y.

Х<У ^У <XZDX^y.

(16)

(16)

Пусть х < у Л у < х, тогда в силу транзитивности < имеем (и) (и < х ~ и < уУ что вместе с аксиомой V дает х = у.

[2 (х, у, г) ~ 2 (.у, х, г)] Л [Л (х, у)~Х (у, х)]. (17)

Это следует из симметрии правых частей определений (2) и (3).

(£х) [у < х Д S (х)].(£х) [у < х Д S (х)].(18)(18)

(£х) [у < х Д S (х)].

(£х) [у < х Д S (х)].

(18)

(18)

Из (6)—(8) следует, что предикат А (z) ~ zy удовлетворяет посылке аксиомы VII. Применяя к А эту аксиому, получим существование z, указанного в заключении VII; обозначим его через х. Так как по заключению VII (z) VA (z) zd ZD z < xl, to (z) (yz ZD z < x) и далее (так как xz zd yz) имеем (z) (xz ZD z < хУ т. e. S (x); а так как А (уУ то у < х, так что полученный х удовлетворяет (18). Утверждение (18) означает, что всякая вещь у находится внутри некоторой предельно широкой вещи х — ситуации.

Докажем теперь теорему о существовании разности вещей, находящихся в одной ситуации:

у < х zd (и^ [5 (х, у, и) zd(Ez)V^(x, z, ^) Л Л(х, z)]]. (19)

Пусть у < х и пусть и таково, что 2 (х, у, иу Отсюда и из (2) следуетх < и и у < ин далее из (11), (9) и (8) имеем ху. Рассмотрим предикат А (и) ^ и < у /\ А (и, х). Из ху и аксиомы VIII следует (Eti) А (и). Из определения А и (11), (9), (8) следует Л (v) Л А (ш) о vw. Таким образом, предикат А удовлетворяет посылке аксиомы VII,

откуда следует существование 2, указанного в заключении VII. Из этого заключения и из (И) следует yz. Допустим z < у, тогда в силу аксиомы VIII существует у такое, что v < z Д Л (и, у). Так как у < 2, то из заключения VII получим (Ер) (Е^) Ip < v Д р < q Д А (р)1, откуда с учетом определения А следует (Ер) (Eq) (р < v Л р < q Д Л Я ^ У)* Из последнего утверждения и (10) получаем (5р) (р < у Д р < у), что вместе с (3) и (12) дает Л (у, у). Однако ранее мы имели Л (у, у), что опровергает сделанное допущение, т. е. имеем z < у. Так как 2 (х, у, и), то х < и Д у < и, что вместе с (10) дает z < и. Пусть у таково, что у < и. В силу (2) существует w такое, что w < < у Д (w < х V w < у). Допустим w < х, тогда w < у, откуда и из (11) wy и так как ху, то wx. Отсюда и из аксиомы VIII следует существование р такого, что Л (р, х) Д р < w, а так как w < у, то р < у. Используя это и определение А имеем Л (р), откуда и по заключению аксиомы VII р< z. Таким образом, если у < и, то существует q такое, что либо q < v и q < х (если w < х и взять w в качестве р), либо q < у и q < z (если w < х и взять рв качестве q). Отсюда и так как х < и и z < и, согласно (2) заключаем, что 2 (x,z, и).

Допустим теперь, что Л (х, z); тогда согласно (3) существуют у, w такие, что и<хДи)<гД v = w. Так как ху и yz, тох2и, следовательно, uw. Так как w < 2, то согласно (15) у < 2. В силу заключения VII существуют р и q такие, что р < у Д р < q Л A (q). По определению А имеем Л (q, х) и, следовательно, (г) (г < х о р = г). Но так как у < х, то р < х, откуда р = р. Полученное противоречие доказывает, что Л (х, 2), что и завершает доказательство (19).

(20)(20)(£х) (£</) [2 (х, у, 2) Л Л (х, у)].

(20)

(20)

На основании аксиомы VI для всякого г существует х такое, что х < г и z < х. Так как по определению 2 имеем х < < z ZD 2 (х, z, z), то , следовательно, 2 (х, z, z), что вместе с z< х позволяет применить теорему (19) (подставляя туда наше z вместо у и uY Но заключение в (19) и дает нам формулу (20).

S (х) о (ft/) [S (у) л Л (х, </)]. (21)

Эта теорема означает, что какова бы ни была ситуация х, всегда можно рассмотреть ситуацию, не имеющую с х ничего общего.

Для доказательства достаточно установить, что в (21) доказуемо заключение. Каков бы ни был х, по аксиоме VI существует z такое, что z < х Л х <z. Это z удовлетворяет (если его подставить вместо х) посылке аксиомы XI, откуда получим существование z', v, w таких, что 2 (z', у, w)^ Л S (ш) Л z’ = z Д Л (х, и). Допустим, что w < и, но так как 2 (zz, у, до), то v < w, что вместе с (16) дает v = w. В силу (9) и (11) имеем uw, откуда, учитывая аксиому V иг' <w, получим, что z’ < у. Однако это, учитывая z’ =z и z < х, противоречит тому, что Л (у, х) (см. (3)). Таким образом, допущение неверно, т. е w < и. Это вместе с и <w позволяет применить аксиому XI, откуда следует существование и', q, у таких, что 2 (t/, q, у) Д S (у) Д v' = = ц Д Л (х, qY Допустим теперь, что Л (х, у), тогда по определению Л существуют и и и' такие, что и < х, и' < у и и = и'. Так как 2 (v', q, yY то по определению 2 существует р' такое, что р' < и' Д (р' < v' V р' < qY Из v' = = v следует, что Л(х, v'Y Так как и= иД то существует р такое, что р = рг Д р < и. Но так как и < х, то р < х. Таким образом, (Ер) фр^ [р = рг д р < х Д {р' < V \/ Vp^ <q) L что противоречит тому, что Л (х, q) Д Л (х, v'Y Таким образом, Л (х, yY что вместе cS (//) доказывает (21).

Рассмотрим предикат времени «х раньше у» (см п. 3). Вот аксиомы этого предиката:

х/у ~(u)(v)\u <х Л v< уо (Ew) (w < у Л u/w)Y

Хотя истинность этой аксиомы очевидна, может показаться странным, почему ее правая часть не записана в виде («) (и) (и < х Л у< у о и / у). Это сделано потому, что формула с такой частью выводима из XIII, но не наоборот— из нее нельзя вывести импликацию справа налево в XIII.

х/утэху ^y/x.

Эта аксиома означает, во-первых, что если вещи сопоставляются во времени, то они рассматриваются как части одной возможности, и, во-вторых, что время несимметрично.

ху Л x/z Л (и) (и < у ох/и) 2Dу/2.

х=и ^У-X) ^ (Ez) (Ew) [2 (х, у, z) Д

Д 2(«, У, W) Д Z = [у] ZD (х / у ~ и / У).

(Ех) (Еу) [2 (х, у. z') Д х/yY

Аксиома XV означает, что если х / zk ут простирается позже х, то и у / z; XVI — что тождество вещей включает в себя совпадение их структур времени; XVII — что вещи состоят из продолжающихся одна после другой своих частей.

Установим теперь несколько теорем для времени:

х/У — (и) (у) (и < х Д у < у zd и / у).(22)

Эта эквивалентность справа налево следует из утверждения (9). Пусть теперь х / у и рассмотрим произвольные и, v такие, что и < х и v < у. Возьмем произвольные s , / такие, что s < и и / <у. На основании утверждения (10) s < х и / < у, а по аксиоме XIII существует w такое, что w < / Д s/ w. Следовательно, (s) (/) [s < и Д t < v zd

ZD (.Ew) (w < / Л s / ш)], что в сочетании с аксиомой XIII дает и/ и, откуда в силу произвольности и, и следует правая часть (22).

(£z/) л (z/) л (у) И (t/) zd х/у] zd (£у) 1(2) [Л (z) ZD 2 < у] лА (г) [г < у zd (£и) (£и) [и < г Д « < и А Л (у)]] А х/у]. (23)

Теорема (23) утверждает, что если предикат А выполняется на вещах, которые позже х, то объединение всех этих вещей также позже х.

Пусть выполнена посылка импликации (23), тогда согласно аксиоме XIV (у) [Л (у) zd ху], откуда в силу (7), (8) и (Еу) А (у) получим, что для предиката А выполняется посылка аксиомы VII. Следовательно, существует у, требуемый в заключении импликации (23), за исключением того, что еще нужно доказать х/у. Возьмем произвольные и, и такие, что и < х и и < у. Из доказанной части заключения в (23) следует существование s и / таких, что s < v и s < /, и Л (/). Из посылки в (23) следует х / I, откуда и из теоремы (22) получаем и, / s. Следовательно,

(и) (у) \и < X л у < у ZD (£s) (s < у А «/$)], что согласно аксиоме XIII дает х/у.

у / х K<Ez^z<x ^y / z^zd<Eu^Ev^\^^, у, х) А

Ку/^К ^(z<uoy/z^.(24)

Эта теорема означает, что х можно «рассечь» на две части моментом окончания у.

Пусть выполнена посылка в (24). Рассмотрим предикат Л (z) ~ г < х Д у / z, где х и у взяты из (24). Учитывая посылку в (24), получим, что А удовлетворяет посылке теоремы (23), если заменить ее х на наш у. Следовательно, существует у, указанный в заключении теоремы (23). Обозначим его через и. Согласно теореме (23), у / и; докажем, что

v < х. На основании посылки в (24), аксиомы XIV и (11), (8) имеем ху и, так как у / у, то ху. Аксиому VII можно применить к предикату В (z) ~ (z = х V 2 = у) Д zx. откуда, учитывая В (х) и В (у) (6 (х) следует из ху), получим существование w такого, что

x<w Ди <w Д UW <WZD (Eq) (Er) [q < р А

Aq<r Л В (г)]].

Отсюда по определению Вив силу аксиомы V получим

x<wAv<wA(p)Vp<wO (Eq) lq < р Д

Л (q < х V q< v)!L

что согласно (2) дает 2 (х, у, w). Допустим у < х, тогда согласно теореме (19) существует р такое, что 5 (х, р, w) Д Д Л (х, р) и по определению 2 р < w. Из определения Л и утверждения (12) следует (Ez) (z < х Д z < р); допустим Л (р, у), тогда аналогично имеем (Ez) (z < р Д 2 < у). Но так как 2 (х, и, w) и р < w, то по определению 2 получим, что (Ez) [z < р Д (z < х V 2 < у)1, а это противоречит допущению в предыдущей фразе. Следовательно, Л (р, у), т. е. существуют q и г такие, что q < р Д г < v и q = г. Согласно 2 (х, р, w) и определения 2 получим хр и, так как ху, то ур, откуда и из (11) следует qr и далее согласно утверждению (15) получим q < у. Из заключения в теореме (23) следует существование s и / таких, что s < < q Д s < t Д A (t). По определению А имеем / < х и, следовательно, s < х, а так как s< q и q < р, то s < р. Таким образом, (Ez) (z < р Д z < х), откуда согласно (12) Л (х, р), что противоречит доказанному ранее.

Итак, у < х и по определению 2 имеем 2 (у, х, х).

Допустим х < у. Так как у / у и у < у, то согласно теореме (22) имеем у / х, что противоречит посылке в (24).

Следовательно, х < и. Отсюда, учитывая 2 (у, х, х), по теореме (19) получим существование и такого, что 2(и, и, х)Д Л Л(и, и) и согласно (17) 2 (и, и, х) Д Л (и, у). Возьмем произвольное 2 такое, что г<и, тогда, так как2(н, и, х), то 2 < х. Допустим у/ 2, тогда Л (2) и по заключению в (23) 2 < у. Следовательно (Ez) (2 <и Д 2 < v), что противоречит Л (и, у), поэтому (2) (2 < и zd у / 2). Таким образом, полученные и, и удовлетворяют заключению теоремы (24).

Перейдем теперь к предикату х -» у (см. п. 3), т. е. к формализации тех участков речи, которые используют понятие необходимости в природе. Как уже говорилось в гл. I, класс ситуаций включает в себя все априорные возможности для вещей. Опыт показывает, что не все априорные возможности осуществлены в природе и поэтому естественно-научные теории сужают класс ситуаций до уровня тех, которые все еще могут претендовать на реальность. Это сужение происходит чаще всего путем установления законов природы.

Разумеется, описание ситуаций в соответствии с конкретными или тем более известными законами природы представляет собой чрезвычайно сложную задачу. Мы ограничимся введением аксиом, общих для всех таких законов, каковы бы они ни были, т. е. логических аксиом для предиката —^. Этот предикат, будучи определенным на всех вещах, осуществляет конъюнкцию законов природы в один общий закон. У предиката> имеется следующая особенность по сравнению с введенными ранее предикатами. Так как конкретные причинно-следственные связи вещей определяются опытом, а мы договорились рассматривать любые варианты опыта, то указанное выше сужение класса ситуаций неоднозначно, так же, как и выполнение на вещах предиката >. Таким образом, можно говорить о многих раз

личных предикатах необходимости (каждый из которых есть 26

указанная выше конъюнкция), а символ> рассматривать как метаобозначение для всех таких предикатов. Нас будут интересовать только обязательные аксиомы для>, т. е. общие свойства всех предикатов>, не зависящие от выбора варианта опыта. По своему определению обязательные аксиомы не сужают класс всех ситуаций. Кроме того, для каждого из предикатов> должны быть записаны (в конкретных теориях) дополнительные аксиомы, характеризующие индивидуальность данного предиката. Дополнительные аксиомы для различных предикатов>, вообще говоря, противоречат друг другу, а в каждой конкретной теории у потребляется один фиксированный предикат>.

Перечислим аксиомы, общие для предикатов ->:

х -> у ~ (2) [z = х Л (и) (и) \uz Л Л кц, и) Л

Л и -> UTD2 и] О ^Р> kpz ^P = г/)].

В чистом виде идея этой аксиомы следующая: х у означает, что во всех случаях, когда в ситуации оказался х (под именем 2), то в этой же ситуации имеется и у (под именем р). Однако в столь чистом виде несколько искажается смысл того понятия, которое формализуется. Именно, язык естествознания вполне допускает, что х существует и предопределяет у, но у в данной ситуации не возникает, так как в этой ситуации существуют вещи, которые (вопреки влиянию х) препятствуют появлению у, т. е. помехой является не связанная с х необходимость. Поэтому в аксиоме XVIII имеется оговорка, что речь идет только о тех ситуациях, где х является единственным первоисточником необходимости, т. е. если кроме пары х, у предикат -> выполняется и на других парах вещей и, и, то все эти и предопределяются х. Эта оговорка относится ко всем и, за исключением тех, где (и) \и -> v ZD Л (u, и), так как это

те вещи, которые ничего вне себя не предопределяют (и, стало быть, не могут дать помех).

(fz) [2 = X Л (и) (у) [«2 Л Л(«, у) Л и -> VD2 -> и]].

Эта аксиома является дополнением к предыдущей и означает, что для всякой вещи х возможно рассматривать ситуацию, в которой х является единственным первоисточником необходимости в смысле, описанном в аксиоме XVIII.

х-> уоу / х.

х у /Х^и, и, х) Ду / didu^ у.

Аксиома XX означает, что немыслимо предполагать причину позже следствия, а XXI — что всякая часть х. которая позже у, несущественна для предопределенности у.

Приведем несколько простых следствий из высказанных аксиом.

х~иДу = у^2)(х-+у — и- v).(25)

Это следует из аксиомы XVIII и транзитивности тождества.

х -^ у zd (z) (z < у zd х -> z).(26)

Пусть х -> у и z < у, тогда в силу аксиомы XVIII для всякого w такого, что w = х и (и) (и) law Д Л (w, у) Д д и v zd w иА существуетр такое, что р w Д р = у. Так как z < у, то по аксиоме V получим существование q, удовлетворяющего условие q *< р Д q = z, откуда следует qw Д q = 2. Таким образом,

(^) [ш = х Д (и) (у) \uw Д Л (и, у) /\ U->VZDW-^aAZDО (Eq) (qw ^q = z)],

что вместе с аксиомой XVIII дает х -> 2.

(£z) [z = х Д (и) [х -> и zd (Еи) (и = v Д zu)]].(27)

Теорема (27) означает, что для всякого х можно рассмотреть ситуацию, в которой х находится вместе со всеми своими следствиями. Действительно, на основании аксиомы XIX существует z такое, что

г = х /\Ш<№ ДЛ(р, q>Kp-*qOZ->p\. (28)

Пусть х -* и. Отсюда и из аксиомы XVIII, учитывая (28), получим (Еу) (yz Д у = и), что доказывает (27).

х<уоу-*х.(29)

Согласно аксиоме III и х = х имеем х -<у f\ у = го о(.Еи) (у < z Д и = х). Поэтому если х < у, то выполнена правая часть аксиомы XVIII, откуда следует у х.

х-* у Д (Ez) (z < х Ку/ г) з (Eu) (Еу) [2 (и, у, х) Д

Л у/У Д (г) (z < u z)y/z) Д и у].(30)

Это утверждение означает, что если х -> у, то у предопределяется той частью х, которая раньше последнего момента у. Утверждение (30) следует непосредственно из аксиомы XX, теоремы (24) и аксиомы XXI.

Заметим, что -> в отличие от предыдущих предикатов, вообще говоря, не обладает транзитивностью.

Тот факт, что целое предопределяет свою часть — утверждение (29) — будем называть тривиальной необходимостью. Ясно, что пока нет ограничений на ситуации, никакой другой необходимости, кроме тривиальной, мы не имеем. Эти ограничения вводятся аксиомами вида

Л(х, tj)Dx->y,(31)

где А — некоторый двухместный предикат, зависящий от условий конкретной задачи и, разумеется, удовлетворяющей аксиомам XVIII—XXI.

Введенные в этой главе пять предикатов представляют собой необходимые средства систем РР в том смысле,

что без них язык не имеет сколько-нибудь заметной ценности. Действительно, без понятий целого —части и времени (< и /) мыслить себе вещи невозможно. Отказ от рассмотрения возможностей (ху и х = у) чрезвычайно обеднил бы язык, лишив его самых простых участков, например, гипотез. В частности, все естественно-научные теории не могут обойтись без возможности, так как рассматривают любой закон природы шире, чем перечень единичных фактов. Необходимость (>) менее существенна для псевдофи

зического языка; все же отказ от соответствующих участков речи отражал бы бесполезное для естественных наук зрелище полностью бессвязного и произвольного мира.

На указанных пяти предикатах мы прекращаем предварительное знакомство с псевдофизическим языком. Что же касается того, как полно установленная аксиоматика описывает эти предикаты, то здесь трудно сказать что-либо определенное. Однако характер теорем, доказанных в настоящей главе, позволяет надеяться, что высказанные аксиомы обладают значительной силой.

Глава IIIПРООБРАЗЫ МНОЖЕСТВ, ПРЕДИКАТОВ И ФУНКЦИЙ

Перейдем теперь к математике. Мы хотим знать в какой мере объекты математических теорий можно понимать как переменные над областью единичных объектов. Естественность этого вопроса подтверждается характером возникновения математических понятий в процессе истории математики; и если и бывали случаи употребления бессодержательных объектов, то параллельно имела место сильная тенденция найти для этих объектов интерпретацию в рамках принятых ранее понятий, корни которых уходят на уровень номинализма (напомним, что требование иметь единичные прообразы относится только к объектам языка, но не к его средствам).

У нас в какой-то мере уже есть формализованный язык о вещах. Однако выявление в области вещей прообразов математических понятий связано с определенными трудностями.

Во-первых, абстрагирование производилось, как правило, не от единичных объектов, а от созданных ранее абстракций, что привело к созданию многоступенчатой иерархии. Связь между наиболее абстрактными элементами этой иерархии и породившими их единичными объектами на

столь длинном пути оказалась в значительной мере замаскированной привходящими обстоятельствами, а иногда и вовсе утратилась. Так, если бы мы захотели опираться на наглядное представление о множествах и при этом рассматривать, кроме элементов множества, также и множество как некоторый один объект, то это потребовало бы, чтобы элементы множества существовали порознь один от другого. Но тогда мы не смогли бы рассматривать множества с мощностью больше, чем континуум (хотя для мощности континуум еще можно найти наглядную модель, правда в номинализме точек). Однако термин «множество» был механически перенесен с наглядных множеств на предикаты (например, говорили о множестве тех х, для которых «х есть функция вещественной переменной»), хотя при этом предикаты и множества не отождествлялись. В целом это только дезориентировало интуицию.

Во-вторых, некоторые абстракции, например, «предикат», «функция» имели среди своих единичных прообразов такие объекты, как состояния человеческого мозга. Эти объекты легко ускользали от наблюдения, что создало иллюзию, что некоторые объекты имеют абстрактную природу.

В данной главе описаны единичные прообразы для понятий «множество», «предикат», «функция». Нам кажется, что найденные прообразы соответствуют исторически установленному смыслу упомянутых понятий.

Ради последовательности в наших рассуждениях мы начнем с того, что для области вещей рассмотрим, так сказать, естественное понятие множества (которое и порождает наглядные свойства абстрактных множеств), хотя этот путь бесплоден в том смысле, что не позволяет строить анализ. Тем не менее, так как априори такой вариант кажется наиболее естественным, он будет вкратце рассмотрен, чтобы оправдать выбор другого пути.

Итак, опишем понятие множества вещей такое, чтобы: а) множество вещей также было вещью; б) множество вещей обладало бы теми свойствами, которые интуитивно приписываются понятию «множество».

Для мотивировки вводимых понятий рассмотрим несколько примеров. Во-первых, пусть ху Д Л (х, у), тогда существует вещь — объединение х и у — и се естественно называть множеством с элементами х и у.

Во-вторых, пусть х < у, тогда приходится считать, что не существует множества с элементами х и у. Действительно, можно было бы назвать таким множеством разве что объединение х и у, но тогда, если удалить из этого множества один элемент, то либо останется нечто — ни х. ни у, либо ничего не останется, а это противоречит обычным свойствам множеств. Например, если существует яблоко, то существует и его треть; но какую вещь можно назвать множеством с элементами «яблоко» и «треть яблока», если иметь в виду именно это яблоко и его треть, а не какие-нибудь равные им вещи? Таким образом, нам приходится требовать определенную независимость для элементов множества, тогда как независимость целого и его части имеет место лишь в мышлении. Отсюда следует, что не для всякого свойства можно определить вещь, которая являлась бы множеством всех вещей, обладающих этим свойством.

В-третьих, пусть х, у, z, и, и таковы, что 2 (%, у, z), Л (х, у), 2 (z, и, у), Л (z, и). Если мы хотим, чтобы множество было вещью, то все его свойства должны быть присущи этой вещи. Поэтому вещь и не должна быть одновременно множеством с элементами г, и и множеством с элементами х, у, и, так как в противном случае (учитывая, что при этом у окажется также множеством с элементами х, у, г, ^), наблюдая и, нельзя определить, о каком из трех различных множеств идет речь; кроме того, элементы х, у и г пересекаются. Поэтому предикат, разлагающий вещи-множества

на вещи-элементы, нужно считать фиксированным в процессе рассуждений. Например, о том что такое автомобиль (множество деталей или множество атомов) в каждом конкретном случае следует договориться заранее.

Введем двухместный предикат «х есть элемент множества у» (обозначение х ^ у). В силу упомянутой неоднозначности разбиения вещей-множеств на элементы можно рассматривать £ как метаобозначение для некоторого класса предикатов, причем аксиомы, характеризующие индивидуальность различных предикатов этого класса, вообще говоря, противоречат друг другу; а в каждой конкретной теории употребляется один предикат ^ . С аналогичной ситуацией мы сталкивались при введении предикатов ->.

Сформулируем теперь аксиомы, общие для всех предикатов £.

Г. х£ г/ о (z) [z=x л zg г/ о Л (х, z)] Л (Ez) (z=x Д z^y)

Эта аксиома означает, что различные элементы множества не имеют общих частей. Кроме того, каждое множество содержит более одного элемента. В связи с этим заметим, что употребление одноэлементных множеств, вообще говоря, есть вопрос удобства; но в области вещей многоэлементное множество не может быть элементом одноэлементного (см. п. 2 этой главы). Поэтому возможность применения одноэлементных множеств настолько ограничена, что от нее лучше отказаться совсем.

. х£ у zdx < у Д (и) [и < у zd (Ev) (Ew) (и < и Ли<а)Д л су е </)]•

ИГ. у < г Д (х) (x^zzd у <х) ZD (х) (и) [х£ г Д и <х ДЛ м < «/Л (у) (у < х Д о < г/Z? о < и) ^> и £ z/].

Аксиома II' означает, что множество является объединением всех своих элементов; а III'—что разложение мно- 34

жества г на элементы одновременно разлагает на элементы и у —- часть z — и тем самым превращает у в множество.

IV'. (£х) [Л (х) Л S (х)] Л (х) (у) [х s у д А (х) ДЛ(у) о О ху Д Л (х, у)] ZD (£2) (х) [Л (х) о (Ей) (и = х Д и^ 2)].

Это схема аксиом при произвольных предикатах Л. Она означает, что если предикат Л выполняется на непере- секающихся вещах одной ситуации, то все вещи, на которых выполняется Л, можно рассматривать как элементы некото- торого множества 2.

V'. x = u^y=v^xy^ш)D(x^y-u^v).

Аксиома V' означает, что тождество вещей включает в себя совпадение их множественных структур.

4* Необходимо заметить, что из аксиом VI, VIII главы II и аксиомы IV' следует, что множества существуют, т. е. (^(^(х^г/).

Приведем несколько простых следствий из высказанных аксиом.

(£z) (zg х) л (z) (zg x ~ z£ y) zd (u) (х£ и ~ z/G и). (Г)

Пусть выполнена посылка в (Г); тогда согласно аксиоме 1Г:

(y)[v < X ZD (Ер) (Eq) (p<vAP<qAq<y))A(v)Vv<yo

ZD(Ep)(Eq)(p<v Ap<q Aq< *)],

откуда в силу транзитивности <:

(и) [у < хэ (Ер) (р < V Д р < у)) а (v) [V < У ZD ZD(Ер) (р<и АР<х)\.

Отсюда, если допустить х < у или у < х, то по аксиоме VIII гл. II мы придем к противоречию, что дает х < у Д Д у < х. Легко видеть, что отсюда следует х = у Д ху;

применением аксиомы IV гл. II к предикату Л (и) ~ vQu получим заключение в (Iх).

При произвольном предикате Л выполняются теоремы

(£u) (£у) [u = v Л иЕ z Л у£ г Л Л (и) Л А (у)] о

=□ (Еу) (х) УхЕу — х^гДА (х)].(2')

Рассмотрим предикат В (u) ~ u G z Д А (и). Согласно аксиоме 1Г В удовлетворяет посылке аксиомы VII, так что существует объединение у всех тех и, для которых В(й), и легко видеть, что у < z. Пусть выполнена посылка в (2х). На основании определения В и аксиомы ИГ В (х) Dx^y. Пусть теперь х£ у и допустим В (х). Имеем х < у и в силу определения у существует у такое, что (Ей) (и < х Д и < < у) и В (у). Так как ух и В (х), то по аксиоме IV гл. II х = у. По доказанному из В (у) следует у £ у, так что имеем х G у Д v £ g А х = и Д А(х, и), а это противоречит аксиоме I'. Следовательно, В (х), что завершает доказательство (2Z).

(Ей) (Ev) (иЕ v Л у Е 2) ZD (Еу) (х) \(Ей) (х = и ДиЕу)~ — (Ей) (Ev) (х = и ДиЕи ДуЕ 2)1-(3')

Рассмотрим предикат А (й) ~ (Ev) (и £ у Д и £z). Пусть выполнена посылка в (3х); тогда в силу аксиомы I' предикат А удовлетворяет аксиоме IVх, откуда и из теоремы (2х) следует заключение в (3х).

Теоремы (Г), (2х) и (3х) при РР интерпретации соответствуют некоторым аксиомам системы Цермело — Френкеля (см. [3]). Другие аксиомы этой системы так просто получить нельзя, так как обычное соответствие между свойствами и множествами у нас заметно нарушено. Например, если существует множество а с элементами 0 и у, то не

существует множества с элементами а и р. Более того, не существует и множества с элементами, тождественными а и р, так как в противном случае в одной ситуации оказались бы непересекающиеся тождественные вещи (повторилось бы Р), что противоречит аксиомам тождества гл. II.

Это затруднение можно обойти при помощи следующих понятий. Пусть в области вещей введен некоторый двухместный предикат равенства х = у. Будем говорить, что предикат Л (х) реализуется при данном равенстве, если

(£2) (х) [Л (х) 33 (£z/) (х = у Д уЕ г)1- (4')

Так, в предыдущем примере, несмотря на то, что Р < <а, может существовать множество с элементами, равными а и р.

На этом пути, используя некоторые вспомогательные понятия, можно получить теоремы, которые в РР интерпретации совпадают почти со всеми аксиомами Цермело—Френкеля. Однако проверять этот факт и оценивать его дедуктивное значение мы нс будем, так как одна, содержательно центральная, аксиома о том, что для каждого множества существует множество всех его подмножеств — получена быть не может. Действительно, д 1Я множеств нет смысла вводить такой предикат равенства, при котором равные множества могли бы иметь разную мощность. Между тем, так как, во-первых, каждая вещь имеет протяженность в пространстве—времени и, во-вторых, все элементы множества суть непересекающиеся вещи в одной ситуации (см. аксиомы), то, привлекая упомянутые в гл. I топологические понятия, можно доказать, что каждое множество имеет мощность не.более, чем счетную; следовательно, мы не сможем располагать объектами, пригодными для построения анализа.

Полагаем, что высказанные нами интуитивные соображения достаточны для того, чтобы отказаться от дальнейшего

рассмотрения псевдофизических множеств. Вместе с тем геометрические соображения позволяют предполагать, что в теории псевдофизических множеств может интерпретироваться арифметика.

Отыщем теперь в области вещей те вещи, от которых абстрагировались предикаты.

Прежде чем переходить к точным формулировкам, рассмотрим их интуитивные предпосылки. Для простоты начнем с одноместных предикатов.

По-видимому, под каждым свойством следует понимать возможность для вещей, обладающих этим свойством, предопределять одинаковое взаимодействие с чем-то, находящимся вне их. Иногда это выражается явно, например, свойство «температура не более 10° С» представляет собой возможность для всех вещей, обладающих этим свойством, одинаково воздействовать на термометр а (а если имелся в виду любой среди многих термометров, то значит заранее предполагалось их равенство для выявления температуры). Мы говорим о возможном воздействии, так как наше представление о температуре распространяется и на такие вещи, которые за все время своего существования ни разу не подействовали на термометр; воздействие предопределено и осуществляется в другой ситуации, где тождественная вещь существует вместе с термометром и притом в надлежащем взаимном расположении. Из-за того, что имеется в виду нс только фактическое, но и возможное воздействие на термометр, мы не можем с помощью термометра различать тождественные вещи, зато выигрываем право говорить о температуре вещей, не воздействующих на термометр. Еще пример — способность расплющить вещь р. Вещи обладают этим свойством в зависимости от своей массы и твердости и независимо от того, приходилось ли им что-нибудь расплющивать; а расплющивают Р тождественные им вещи в иных ситуациях.

В других случаях свойства (например, «красный», «круглый», «пять») хочется рассматривать как присущие вещам вне всякой их связи с чем-то внешним. Однако это просто означает, что роль «внешнего» играем мы сами. Например, утверждение, что вещь красная, означает, что в некоторой ситуации, рассматривая вещь, мы должны в силу собственной внутренней структуры произнести слово «красный».1

Правда, мы хотим иметь дело с вещами, а пока что неясно, в какой степени удастся считать себя вещью, т. с. неясно, можно ли допустить существование вещей, моделирующих всю деятельность нашего сознания. Поэтому будем делить свойства на реализуемые и такие, где псевдофизическая интерпретация бессильна; в будущем это деление оправдается. Реализуемые — это те свойства, для которых описанный внешний объект взаимодействия представляет собой вещь. Назовем его прибором.

Разумеется, разговор о некотором приборе предполагает предварительную договоренность о том, что такое, во- первых, вход прибора и, во-вторых, его положительная реакция, т. е. о том, какое взаимодействие ожидается от прибора и исследуемых вещей (имеется в виду, что если вещь удовлетворяет прибору — обладает соответствующим свойством — то в некоторой ситуации она находится на входе прибора — в соответствующем пространственно-временном положении—и в этой ситуации положительная реакция прибора является необходимой). Например, термометр а оказывается различным прибором в зависимости от того, предназначен ли он для выделения тех вещей, температура которых

Чот факт, что краснота вещей зависит также от освещения, является апостериорным и поэтому не играет роли для оценки красноты во всех ситуациях.

Но если краснота определяется как показания прибора, то, разумеется, это иное свойство, чем субъективная краснота, и может идти речь лишь о равнообъемности этих свойств. В обоих случаях краснота выявляется вне красной вещи.

не выше 10е С, или тех вещей, температура которых не выше 20° С, или тех вещей, которые могут его расплющить, или тех вещей, которые он сам может расплющить и т. д. Чтобы избежать такой многозначности, договоренность о входах и положительности реакций приборов будем считать фиксированной в конкретных теориях (подобным образом нам пришлось фиксировать предикат 0.

Рассмотрим теперь некоторый класс вещей, обладающих общим свойством. Спрашивается, может ли быть у этих вещей что-то общее такое, чтобы оно само было вещью? Ответ, вообще говоря, один — соответствующий прибор. Поэтому будем заменять реализуемые свойства на их приборы, интерпретируя тем самым часть абстрактных объектов на уровне вещей.

Введение приборов позволяет более полно формализовать упомянутое в гл. I представление о внутренней природе вещей.

Все сказанное нетрудно распространить и на случай многоместных предикатов.

Введем трехместный предикат «вещь х находится на входе вещи (прибора) у, а вещь z относится к числу положительных реакций у» (обозначение Q (х, у, г)\ Как отмечалось в предыдущем пункте, приборы определяются не однозначно. Поэтому Q можно рассматривать как метаобозначение для некоторого класса трехместных предикатов.

Запишем аксиомы, общие для всех предикатов этого класса, а дополнительные аксиомы, характеризующие индивидуальность отдельных предикатов Q, вводятся в зависимости от конкретной задачи и для разных задач, вообще говоря, противоречат друг другу. Вот общие аксиомы.

Й (х, у, z)TDxy /\ А (х, у) л Л (z/, г) Д у -> z.

Это означает, что: прибор совместен с вещами на своем входе; прибор не пересекается со своими реакциями

и вещами на входе; сам прибор не предопределяет свою реакцию.

Q(x, у, z) Ду = и Дz=wzD(u)V(Es)^l(u1 и, s)zd о£Ци, v, ш)].

Это значит, что если есть прибор у и его положительная реакция z, то для тождественных у приборов каждая среди тождественных z вещей является положительной реакцией. Было бы естественно сверх того считать, что каждая тождественная прибору вещь есть прибор, но у нас нехватает средств языка, чтобы говорить о приборе, если ему не подано что-либо на вход. Этот разговор возможен, если вместо Q ввести следующие два двухместных предиката: «х находится на входе прибора у» и «z есть положительная реакция прибора у». Однако мы ограничимся лишь й, так как для наших целей этого достаточно.

Q (х, у, z) Д Л (х, z) zd х -> г

Аксиома III: вещь на входе сама не предопределяет реакцию прибора. Исключение возможно для вещей х, пересекающихся с реакцией z, так как в принципе даже саму реакцию можно подать на вход; однако при этом она не предопределяет непересекающиеся с ней реакции.

Для удобства следующие аксиомы будут введены после того, как мы определим двухместный предикат «вещь х удовлетворяет прибору у» (обозначение у (х)):

У (я) — (Ей) (Ev) (Ew) (Ez) \и = х Д и =

= у Л Q (и, v, w) Л Л (и, w) Auw ДИ (и, и, z) Д z -> z^J, (1) т. е. если вещь удовлетворяет прибору, то это означает, что вещь можно подать на вход прибору, и ее объединение с прибором предопределяет положительную реакцию, которая не пересекается с поданной на вход вещью. Заметим, что если

у (х), то необязательно (Ez) Q (х, у, г), так как у (х) означает лишь возможность положительного реагирования у на х, а х на входе у может и не быть.

Будем называть х прибором, если

(Ен)(£а)(£^)[и = хЛ Щи, v, ^)L

Очевидно, под это определение подпадают все те вещи, которые являются приборами согласно словесной формулировке предикатов Q (х, у, z) и у (х). В частности, если у не прибор, то (х) у (х).

(Ех)(Еу)у(х).

В противном случае бесцельно вводить Q.

у(х)Дй(х, у, г)о

о (Ей) (Ev) [2 (х, у, и) Д Q (х, у, и) Д Л (х, v) Ди-* и].

Это значит, что если у (х), то положительная реакция у предопределена при любом расположении х на входе у. Таким образом, реакция прибора на вещи, находящиеся на его входе, зависит только от внутренности этих вещей. Заметим, что если Q (х, у, 2) и у (х), то положительная реакция, которая предопределена, может и не быть в той ситуации, где х, у (из-за помех); кроме того, этой предопределенной реакцией необязательно является z.

Определим предикат равенства приборов х = у

x = y~(z)(x(z)~y(z)\(2)

Установим простейшие предложения о приборах:

х = иД у = итз(у(х)~и(и)).(3)

Это следует непосредственно из (1) и транзитивности тождества.

(я)Д4(4)

Допустим существование х такого, что х (х), тогда согласно (1) существуют и, v, w такие, что и = х Д и = х Л Л Й (и, и, w\ откуда в силу аксиомы I и = х Д и = х Л Д Л (и, и\ что противоречит определению Л.

х = уо"х1^ Ау^.(5)

Пусть х = у. Согласно (4) у (у), откуда и из (2) следует х (у). Аналогично получается у (х).

у(х)^)А(х, у).(6)

Это следует непосредственно из (1) и аксиомы I.

Определим предикат равенства вещей относительно приборов некоторого непустого класса А (обозначение х = у).

А

По определению

х = У~^\А^т>^^~г^\.(7)

А

Частным случаем является предикат равенства вещей относительно всех приборов. Этот предикат для удобства обозначим особо — х = у. Таким образом:

v

х = у—^ [(£«) (Ev) ^Ew^ [у = 2 Д й (и, и, ^)] о

VZD(Z(X) — Z(y))].

Как уже упоминалось, если г не прибор, то (х) г (х). Это вместе с определением = дает

v

x = y~^(?^~z^Y(8)

V

Таким образом, эквивалентность (8) удобно рассматривать как определение предиката х — у. В силу этих же v

соображений определение (7) можно употреблять относительно любого непустого класса вещей А.

Продолжим вывод простейших предложений. При произвольном предикате А

х = у дА^тзх^у\(9)

Если х = у и А (х), то согласно (7) х (х) ~ х (у\ что а

вместе с (4) дает х (у).

х = у^>Ду) д"у^.(10)

V

Пусть х = у, тогда на основании (8) х (х) ~ х (у) и на у

основании (4) х (у). Аналогично имеем у (х).

Среди следствий из определений предикатов = , =, = v v отметим также, что эти предикаты обладают симметричностью и транзитивностью.

В разговорном языке понятие «прибор» употребляется в неоднозначном смысле. Приборы, которые мы до сих пор описывали, функционально соответствуют понятию «предикат». Можно формализовать другое представление о приборах, соответствующее понятию «функция», или же сочетать оба эти понятия приборов. Рассмотрим трехместный предикат «если х подан на вход прибора у, то на выходе у предопределено г» (метаобозначение Ф (х, у, г)). Как обычно, мы не касаемся аксиом, характеризующих индивидуальность отдельных предикатов Ф, и запишем аксиомы, общие для всех предикатов Ф:

Ф(х, у, fpMb у) Д Му, z) Д Mx, г) Д

Дх-^z Ду ->z.(а)

Это значит, что вещи на входе и выходе прибора не могут служить частями этого прибора и что прибор перерабатывает вещь в непересекающуюся с ней вещь; кроме того, прибор

и вещь на его входе порознь нс предопределяют вещь на его выходе.

Х^и Л у = V A z = wu [Ф (х, у, 2^~Ф^1Ц V, ш)]. (б)

Аксиома (б): смысл Ф (х, у, 2) означает способность прибора переработать одну вещь в другую (а не саму переработку), и поэтому выполнение Ф на вещах не зависит от ситуаций, окружающих эти вещи. Таким образом, если Ф (х, у, z), то х, у, z могут, вообще говоря, быть в трех различных ситуациях, тогда как если Q (х, у, 2), то обязательно ху, и лишь 2 может отсутствовать в той ситуации, где х, у.

Х = и Л I/= и Л Ф (х, у, 2)ДФ(и, У, W^ZD2 = W, (в) т. е. один и тот же прибор имеет возможность перерабатывать одну и ту же вещь лишь в одну и ту же вещь.

Ф (х, у, г) о (.Ей) (Ev) (Ew) (Es) [x = u/\y^v/\z^w/\ /\sw A S (u, v, s) Д s -> tty],(r)

т. e. если прибор перерабатывает одну вещь в другую, то в некоторой ситуации прибор находится вместе с этими вещами, и объединение прибора с вещью на его входе предопределяет вещь на его выходе.

В настоящей работе предикаты Ф не получают дальнейшего развития, и мы будем пользоваться лишь предикатами Q

Будем говорить, что предикат А (х) реализуется на вещи у, если

А ^~у^х\(11)

Если для предиката существует реализующая его вещь, то будем называть предикат реализуемым. Легко видеть, что не все предикаты реализуемы; например, нереализуем предикат А (х) ~ ах, так как предикат А невыполним во всех ситуациях кроме одной, в которой он выполним на любой вещи.

Установим простейшие предложения о реализуемости предикатов:

(£р) (и) \р {и) ~ Л (u)] ZD (х) (у) [х = у ZD [Л (х) ~ Л (у)]], (12) т. е. если предикат А реализуем, то он собственный (см. гл. II).

Пусть х = у и р реализует А (и) и пусть А (%), тогда в силу посылки (12) р (%) и в силу (3) р (у) и, следовательно, А (у). Аналогично имеем А (у) и А (х).

Таким образом, всякий несобственный предикат нереализуем, что уже проиллюстрировано предикатом А (х) ~ ~ ах. Причина этого в том, что на основании (3) приборы неспособны различать тождественные вещи. Возникающий теперь вопрос — существуют ли собственные нереализуемые предикаты — будет рассмотрен в ближайшее время.

(х) [у (х) ~ Л (х)] zd ЛТр).(13)

Пусть выполнена посылка в (13); тогда р (р) ~ Л (у) и согласно (4) Л (у).

(х)[у(х)~Л (х)] гэ [Л (у) о Л (у, у)].(14)

Пусть Л (у) и выполнена посылка в (14), тогда у (у) и в силу (6) Л (у, у).

(£у) (х) [у (х) ~ (£а) (£у) (Ew) [и = х Л ^ (и, v, to)]], (15) т. е. предикат «х есть прибор» нереализуем. Допустим противное, т. е. что существует у, указанное в (15). Тогда согласно (13) имеем

(Ей1) (Ev) (Ew) [о = у Д Q (я, и, гу)]

и в силу (1) (х) у (х). Отсюда и по определению у получаем (х) (£и) (£о) (£ьу) [и = х Д Q (и, у, to)],

что противоречит аксиоме IV.

(Ер) (х) [р (х) ~ (Еу) х(у)\, (16) т. е. предикат «х есть прибор, которому удовлетворяют вещи», нереализуем. Утверждение (16) доказывается точно таким же образом, как и (15).

(Ер) (х) [р (х) — (Еу) ху], (17)

т. е. предикат «х есть вещь» нереализуем. Допустим, что р, указанное в (17), существует, тогда согласно (13) (Еу) ру, что противоречит тому факту, что рр (см. гл. II).

Предикат «х есть прибор» является собственным в силу транзитивности тождества. Предикат «х есть «непустой» прибор» является собственным на основании утверждения (3). Предикат «х есть вещь» является собственным согласно тому, что он выполняется на всех вещах. Таким образом, эти три предиката представляют собой примеры собственных нереализуемых предикатов. Природа этой нереализуемости иная, чем упомянутая выше природа нереализуемости несобственных предикатов. Например, если бы предикат «быть вещью» был реализован на приборе, то этот прибор, будучи вещью, должен был бы обладать положительной реакцией на себя, тогда как его невозможно подать самому себе на вход.

11* Перейдем теперь к прообразам многоместных предикатов, причем пояснениями будут сопровождаться лишь те утверждения, которые представляют собой особенность по сравнению со случаем одноместных предикатов. Для

п

удобства введем символ метаязыка П, который будет i= 1

заменять n-кратную конъюнкцию выражения, стоящего после этого символа, причем индекс i в компонентах конъюнкции поочередно имеет значения от 1 до п.

Рассмотрим п + 2-местный предикат «хь х^ ..., хп

находятся на входах у, а г относится к числу положительных реакций z/» (метаобозначение Q„ (хь х2, ...,хП) у, 2)). Запишем аксиомы, общие для всех предикатов ЙЛ:

Qn (хр ..., х„, у, г)тэА(у, Z) Д п [X/ у л

Л А (х<, у)] Ду -► z;

й„(х,хп, у, ^Лу=:«ДХ=«)О ZD(u1)...(un)l(Es)Qn(u1 iu,у, s)-)^^, .... ит у, да)];

Q„(xb ..., хп, у, z) Л 5 (хр Хп, U) /\ Л (и, Z) ZD U~>2, где введено сокращение

Х(Хр ...» х„, у)~ ПХ<<У Mz^ z<yo

(18)(18)ZD (Ей) U<Z Л П “< х'

(18)

(18)

Z=1 j

В силу аксиомы VII из гл. II и аксиомы VI, еслиfinta, ..., Хп, у, 2), то (Ей) 2 (xD ..., Хп, у, и).

Для удобства следующие аксиомы сформулируем после определения п + 1-местного предиката «вещи хъ ..., хп удовлетворяют прибору у» (обозначение у (%х, ..., хп)):

y(xv ..., х„) ~ (Еи^ ... (Еип) (Ev) (Ew) (Ez) v = y Д

Д П (% ^ xi) Д zty Л Л (г, да) Д

Д fin (Up ..., ип, у, да) А 2 (и^ ип,и, z) Д г -► да .(19)

Если (Ext)...(Exn)(Eu)(Ez)Vz = y A&nta, ..., хп, z, u)], то будем называть у п-входовым прибором.

y(xv ..., Хп)Айп(х1, .... Х„, у, 2)0

О (Ей) (Ev) [X (xv ..., Хп. у, и)ДЙп(хх, ..., Хп, у, и) Л

Д Л (и, и) Д и и].

Легко видеть, что аксиомы VI—IX при п=Л превращаются соответственно в аксиомы I—III, V, а определения (18) и (19) —соответственно в определения (2) из гл. II и (1).

Для различных предикатов Qm и Q„ (т. е. при т^п^ имеет место следующая схема аксиом:

y = vo\(Ex^...(Exn)(Ez)^n(xv ..., хп, у, г)о

OQm(uv ..., Um, V, да)].

Это значит, что если есть n-входовой прибор, то он не есть /n-входовой прибор.

Естественно выбирать предикаты Q„ таким образом, чтобы существовала связь между приборами с разным числом входов, а именно, при произвольных фиксированных I и п

йп(хг, ..., хп, у, ^лПл^, xi)o

о (Ev) [Q„_i (xl ..., Xi-ь xz+b ..., x„, v, z) Д

A^(xi, y, v)V(20)

Впрочем, эта схема аксиом не может быть общей для всех предикатов Q„.

Будем говорить, что предикат A (xlt ...,хп) реализуется на вещи у, если

А(хх, ..., хп)~у(х1, .... хп).(21)

4 967'49

Если для предиката существует реализующая его вещь, то предикат будем называть реализуемым.

12,; Установим простейшие предложения о п-входовых приборах:

У = ид П (xz = Uz) ZD (у (хп .... х^~v^, ..., u„)), (22)

что следует непосредственно из (19) и транзитивности тождества.

Если предикат Л (и^ ..., и^ реализуем, то

П (xt = yi) ZD [-4 (xv ..., x^~A^yv ..., z/„)].(23)

Это следует из (22) и понятия реализуемости предиката. Предикаты, удовлетворяющие формуле (23), будем называть собственными, обобщая тем самым это понятие на случай многоместных предикатов.

(24)(24)(25)(25)y<xv .... хп)^>Пл (у, Xi).

(24)

(24)

(25)

(25)

Z=1

Это следует из аксиомы VI, (19) и определения А.

(xj)... (хп) \у (xv ..., хп) — A (хь х„)\ ZD

TD Aiu^, ...,и„)ГЭ FIa(z/,Uz) Z=1

Утверждение (25) следует непосредственно из (24) и определения реализуемости. Отсюда выводятся также следующие утверждения:

(26)(26)Пу^XZ-1, у, хж, .... хп), 1—1

(26)

(26)

(и^ ..(ип) [у (и^ un)~A(uv Un)lZD

Xi-i, у, xi+l, хп). (27) 1=1

Легко видеть, что утверждения (22)—(27) представляют собой обобщения соответствующих утверждений для одновходовых приборов, доказанных в этой главе ранее.

Согласно аксиоме X появление многовходовых приборов никак нс сказывается на реализуемости одноместных предикатов, так что предикаты типа «х — вещь», «х — одновходовой прибор» остаются нереализуемыми. Среди многоместных предикатов также легко найти нереализуемые собственные предикаты, простейшим примером которых является двухместный предикат х ~ у. Однако предикат «х есть n-входовой прибор» при п > 1 в принципе может быть реализован, так как для его реализации требуется одновходовой прибор.

Глава IV

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МАТЕМАТИКИ

Прежде чем интерпретировать в языке РР математику, нужно придать ей вид, удобный для такой интерпретации. Поэтому первая половина настоящей главы представляет собой язык не над вещами, как это было до сих пор, а над абстрактными объектами. Именно, пойдет речь, во-первых, о теоретико-множественных моделях некоторых формальных систем и, во-вторых, будет сравниваться сила двух таких систем.

Рассмотрим непустое множество (в теоретико-множественном смысле) а, относительно которого известно следующее:

а может содержать подмножество а0, элементы которого не есть множества;

кроме элементов а0, а может иметь в качестве элементов только множества, элементы которых суть упорядоченные наборы из п элементов а (п = 1, 2, 3,...). При этом каждое множество я (я £ а) содержит в качестве своих элементов только наборы одной и той же длины па;

никакое множество (элемент а) не содержится в наборе какого-либо своего элемента.

Опишем теперь некоторый класс формальных систем, которые могут интерпретироваться как язык над областью а.

Индивидуумные переменные этих систем изменяются на всей области а и обозначаются малыми латинскими буквами конца алфавита. Могут употребляться также индивидуальные имена элементов а, которые обозначаются малыми латинскими буквами начала алфавита.

Введем обозначения для следующих индивидуальных предикатов, определенных на области а:

(Л^ — двухместный предикат «х и у суть элементы а и х есть множество и у есть элемент х» обозначен как у^ х;

(Л2) — трехместный предикат «х, уь у^ суть элементы а и х есть множество упорядоченных пар и пара уъ у^ есть элемент х» обозначен как (уи у^ £ х;

(Лп) — п + 1-местный предикат «х, уг, ..., уп суть элементы а и х есть множество упорядоченных n-ок и набор уг. ..., уп есть элемент х» обозначен как ^уъ .... у^ £ х;

Предикаты последовательности (Л,) и предикаты, которые получаются из них по обычным правилам образования формул (включая подстановку вместо переменной индивидуальных имен элементов а) назовем предикатами РР. Из предикатов РР образуются формулы РР по обычным правилам образования.

Мы будем описывать а средствами классического исчисления предикатов первой ступени, примененного к формулам РР. плюс аксиомы для индивидуальных предикатов (Л,); назовем эти средства языком РР.

Внешние кванторы всеобщности в формулах РР обычно будут опускаться.

Будем говорить, что предикат РР Л(хх ...х^ свертывается на элементе области а, если

kEyWih-AxnWn ..., х^£у~А (хп ..., Xn)].(1)

Введем аксиомы, которые назовем первой группой аксиом:

Аксиомы и правила вывода исчисления предикатов первой ступени для формул РР взяты для определенности из [5].

При произвольных п и т, п ^ т;

№у1)...(Еуп)1(уъ .... Уп^Ао<гъ .... гт^х.

Эти аксиомы истинны при интерпретации в силу пункта б) описания области а.

При произвольных п

П^,У1-1, X, yi+l, у^-

t=l

Эти аксиомы истинны при интерпретации в силу пункта в) описания области а.

Но мы допускаем, например, возможность того, что ^Ex^(,Ey^x^y^y^xY

Материалом для создания других аксиом служат любые замкнутые формулы РР, не доказуемые и не опровержимые каждая в отдельности из аксиом первой группы. Если любой набор таких формул добавить как аксиомы к первой группе, то полученную систему аксиом, если она непротиворечива, назовем системой РР. Добавленные аксиомы назовем второй группой аксиом.

Системами РР назовем также те системы, которые построены как указано, но на их непротиворечивость можно лишь надеяться, а формально она не установлена.

Таким образом, мы имеем класс систем РР, которые обладают общими аксиомами, обязательными для всех систем (первая группа—аксиомы I, II, III), и дополнительными аксиомами, характеризующими индивидуальность

данной системы (вторая группа), т. е. индивидуальность области а.

Каждая из систем РР описывает свою область а, и требования разных систем, вообще говоря, противоречат друг другу. Опишем некоторую конкретную систему РР, позволяющую строить математику.

3. В качестве а0 возьмем множество объектов нулевой ступени простой теории типов Рассела, т. е. объекты, которые считаются в теории типов первоначальными индивидуумами немножественной природы (теория типов берется в соответствии с [3]; назовем эту теорию ТТ). В качестве прочих элементов а возьмем все те и только те множества, которые образуют описанную в работе [3] интуитивную модель теории типов. Это значит, что а есть сумма (по f) множеств объектов типа / (/ = 0, 1,2, ...), которые образованы следующим образом: объекты типа 0 суть элементы а0, объекты типа 1 суть множества объектов типа 0, объекты типа 2 суть множества объектов типа 1 и т. д.

Таким образом, для любого х, если х есть множество и хЕ а, длина наборов, которые являются элементами х, всегда равна 1. Это значит, что данная область а удовлетворяет требованию б) и поэтому для нее истинны аксиомы II (а предикаты (Лг) при i > 1 всюду ложны). Далее, если х£а, уЕ& и хЕу^ то х и у принадлежат к разным типам, так что данная область а удовлетворяет требованию в) и поэтому для нее истинны аксиомы III. Следовательно, модель системы ТТ действительно может быть взята в качестве области а, так как удовлетворяет требованиям п. 1,2 настоящей главы.

Нам теперь предстоит построить для данной области а систему РР, т. е. нужно сформулировать вторую группу аксиом.

Пусть в соответствии с [3] индивидуальные предикаты

системы ТТ обозначены как xt £ z/z+i, где индекс обозначает тип переменной; тогда из этих индивидуальных предикатов строятся все формулы ТТ по обычным правилам образования. Эти формулы интерпретируются для области а в соответствии с принятой в ТТ интерпретацией предикатов X/^yz+i, т. е. переменная с индексом I изменяется лишь на объектах типа I.

Определим, кроме языка РР и языка ТТ, еще смешанный язык РР и ТТ над областью а. Индивидуальные предикаты этого языка суть следующие: предикаты (Л/) (а практически лишь (ЛО) с описанной их интерпретацией; предикаты Xi £ Z/z+i с упомянутой их интерпретацией; предикаты х^ Еу и x£yi с интерпретацией «объект Xi типа i есть элемент множества у» и «объект х есть элемент множества у, типа г» соответственно, причем по-прежнему переменная с индексом изменяется лишь на объектах одного типа. Правила образования формул смешанного языка обы шые с обычной оговоркой, что квантор с индексом относится лишь к объектам одного типа. Интерпретация формул смешанного языка происходит в соответствии с описанной интерпретацией индивидуальных предикатов этого языка.

Аксиомами ТТ мы в соответствии с [3] будем считать аксиомы исчисления предикатов первой ступени, записанные для переменной каждого типа отдельно, а также аксиомы экстенсивности, бесконечности и свертывания.

На основании аксиом свертывания в ТТ при каждом I истинны следующие утверждения:

kEzi^ (yi+i) \yi^2lA.2~^ (xi£ z/i+i)].

В интерпретации для области а это означает, что среди объектов типа i + 2 существует множество всех пустых множеств типа i + 1. Очевидно достаточно, чтобы в модели существовало не более одного пустого множества типа i + 1.

То, что одно такое множество должно существовать, следует опять-таки из аксиом свертывания

(Е^+1) (X/) to£ ^4-1 ~ (Е2цл) (%i£ 2/-|-1 Л Xt^ 2/4.1)].

Множеству пустых множеств каждого типа i присвоим в языке РР индивидуальное имя Ь^\\ хотя мы получим таким образом много индивидуальных имен, в системе РР они дедуктивно неразличимы, так как для них может быть записана лишь одна и та же аксиома

(£х) (хЕ &+i) Д (х) [х£ bw zd ^Еу^^х^.(2)

Далее, в силу аксиом свертывания в ТТ истинно следующее утверждение:

<Еу^ (х0) [Хо€ Уч — (Ezi) (хо€ z^ V (^(хоб г,)].

В интерпретации для области а это означает, что среди объектов типа 1 существует множество всех объектов типа 0, т. е., что существует множество а0. Этому множеству в языке РР присвоим индивидуальное имя av

Определим в языке РР рекурсивно предикаты а/ (х), которые в интерпретации означают «х имеет тип I»:

По (х) — хЕ од(3)

ai+i (х) ~ хЕ Ь^г v №у) (у£ X) Д (у) [уЕ х zd а,- (у)]].

По определению области а при любом i могут быть введены следующие аксиомы:

(Ех) а/ (х).(4)

Опишем теперь некоторый перевод формул ТТ в формулы РР, который будет происходить по этапам через формулы смешанного языка РР и ТТ. .

Введем символ Ф ( ) как метаобозначение формул (вообще говоря, смешанного языка) со свободной переменной,

обозначенной в скобках; например, Ф (х) может иметь вид (Еу^ ^^ х). Правила упомянутого перевода формул суть следующие.

Любое из последующих правил 6) — d) применяется к формуле ТТ или смешанного языка; одноразовое применение этих правил избавляет одну переменную с индексом типа от индекса (во всех ее вхождениях). Если к формуле применимо более чем одно правило, то предпочтение отдается правилу d), которое применяется (для определенности) к самой левой свободной переменной с индексом типа. Если правила 6) — d) неприменимы к формуле, то правила 6) или с) применяются (для определенности) к самой левой ее части, к которой это возможно, а остальная часть формулы не меняется. Формула, полученная в результате применения правил я)—d), есть объект для последующего применения этих правил и т. д. до тех пор, пока это возможно. Результат последнего применения этих правил есть искомая формула РР.

Формула (Ext) Ф (х£) заменяется на формулу

(Ex) [az (х) А Ф (х)].

Формула (xi) Ф (х,-) заменяется на формулу

(х) [az (х) zd Ф (х)].

Формула Ф (xi) заменяется на формулу

си (х) zd Ф (х).

Заметим, что в правилах E)—d^ исходная формула и формула-результат интерпретируются в смешанном языке либо обе как истинные высказывания, либо обе как ложные (в последнем правиле формулы имеют интерпретацию всеобщности). Эта оценка истинности верна при каждом значении не указанных явно свободных переменных формул в 6) — d), если такие переменные есть.

По правилам a)*~d) переведем все выводимые формулы ТТ в формулы РР. При этом аксиомы исчисления предикатов первой ступени для переменных ТТ перейдут в формулы РР, выводимые из аксиом I, а правила вывода ТТ после перехода к формулам РР останутся правилами вывода как метатеоремы исчисления предикатов с аксиомами (4). Докажем это.

Пусть в ТТ имеется аксиома исчисления высказываний Ф ^сх, у у, .., 2Z). Здесь и далее везде Ф не содержит иных свободных переменных, кроме указанных в скобках, т. е. в данном случае хх, уу, ..., z2 (случай, когда Ф не имеет свободных переменных, окажется частным случаем). Малые латинские буквы как индексы переменных означают соответствующие этим переменным номера типов. Применяя к Ф нужное число раз правило d), получим следующую формулу, вообще говоря, смешанного языка:

аДг^Ь-.о^^оМ^гэФСг, у, ..., г)]]...]. (5)

К этой формуле могут применяться лишь правила 6) и с) и, так как Ф есть аксиома исчисления высказываний, то се кванторы нс распространяются на всю ее длину, так что by с) будут применяться лишь к частям Ф (которые представляют собой высказывания, элементарные относительно структуры Ф как аксиомы). При этом структура Ф как аксиомы нс изменится и она в конце концов перейдет в формулу Ф' языка РР, являющуюся аксиомой из I. Поэтому формула (5) переходит в следующую формулу РР:

аг^^\...о\ад(у')о\ах<х)оФЧх, у, .... г)]]...],

которая, очевидно, доказуема средствами I из первой группы аксиом (так как Ф' — аксиома).

Пусть теперь в ТТ имеется такое применение правила modus ponens:

Ф1(Хх, Уу, zz),

Ф1 к^х» У У» •••> ^z) —^ ^2 М^и» ^V> •••> ^w)@2 ^Ци» ^V’^w)

где среди переменных хх, ..., 22 и аи, ..., ww могут быть одинаковые. Нужно доказать, что в РР должно иметь место следующее правило вывода:

аг(г)о[...о[а^)о[ах(х)1эФ1'(х, у, ..., г)]]...], a® (w) 2D [... 2D [au (и) 2D [a2 (г) 2D... 2D [ax (x) 2D

2D [Ф, (x, у, .... г) 2D Ф2' (u, v, .... ty)J]...]]...] - гы

«w W ^ [ - => (% ^ => [«U (“) => Ф2 (“• y- " > ^H -1

где Ф' (x, у, ...,z) получено по правилам b), с) изФг (х, у,... .... г); Ф' (и, и, ..., w) — из Фг (и, V, ..., tv) и среди переменных х, ..., z и и w могут быть одинаковые (это значит, что в (6) во второй строке могут быть не все ада — а„).

Пусть доказаны средствами I обе посылки над чертой в (6). Пусть далее доказано ttx (х), ау (z/), ..., а2 (г), а„ (и), ау (и), ..., a® (tv); тогда согласно первой посылке имеет место Ф' (х, у, ..., г), откуда согласно второй посылке следует Ф2 (и, и, ..., tv). Таким образом,

Ох (х) Л йу (у) Л ... Л az (z) Л a« (м) Л аУ (и) Л ... Л

Л аго (tv) 2D Ф2 (и, v, ..., tv).(7)

Вычеркнем в посылке этой формулы среди ах (х), аг (2) те, которые излишни, т. е. совпадают с некоторыми аи (и), ..., aw (^). Это даст нам формулу (7х) (она подобна (7) и поэтому не написана), в которой переменныех, у, ...,z (точнее, то, что от них осталось) и и, и, ..., w все различны.

Это позволяет применить к (7') нужное число раз соответствующее правило вывода из I; в результате получим

(.Ex') (Еу)... (Ег) [а* (х) Д ад (у) Д ... Д аг (z) Д аи (и) Д

Л а„ (и) Д ... Д аю (су)] 2эФ2' (и, и, ..., су), что вместе с аксиомами (4) дает

а« (и) Л а» (у) Л ... Д аш (w) zdФ2 (и, и, ..., су), откуда следует

Ос (су) о [...ZD[a0 (у) ZD[au (и) ZDФ2 (и, у, ..., су)]]...], так что в РР действительно справедливо правило вывода (6).

Пусть теперь имеем в ТТ аксиому

(хх)Ф(х„ «„, ..., о^оФ^х, ии, ..., у„).

Она переходит в следующую формулу РР:

ах (у) zd [ац (у) zd... zd [а„ («) о [(х) [а, (х) zd

ZDФ,(x, и, ..., у)^Ф'(г/, и, ..., у)]]...],(8)

где Ф' получено применением правил 6), с) к формуле Ф (после того, как свободные переменные Ф лишились индексов). Но формула (8) выводима средствами I из формулы РР аДу)зэ1...гз[аи(и)о[(х)[ах(х)оФ' (х, и, ..., o)]z> zd [ах(z/) zdФ'(У, «, -., у)]]]-],

которая доказуема средствами I, так как заключение импликации, где посылкой служит аи (и), есть формула, которая является аксиомой в I.

Пусть имеем в ТТ аксиому

Ф(Хх, Uu, .... и„)^)^Еух)Ф(ух, ии, .... У„).

Она переходит в следующую формулу РР: ay(y)zD[... zd [a« (u) zd [ах (х) zd [Ф' (х, и, ..., о) о zd (Еу) [а.с (у) Л Ф'(^ “, -. у)П]]-1-

А эта формула выводима из доказуемой средствами I формулы

aa(y)zD[...ZD[au(u)DD[flx(x)A®'(x, “. — у)^> тэ^ЕуШх^ Л^Чу. и-' у)1П-1-

Пусть теперь имеем в ТТ применение правила вывода

Ф1 (Иц, ..., Уу) 2D Фа (22, Хх* Уу)

Ф1 (Uu> —> уо) D) (z2) Фа (22, Хх,у у) ’

где некоторые из переменных ииуу и хх,...,уу могут быть одинаковыми^но z2 отлично от ии,..., и0. Нужно доказать, что в языке РР имеется такое правило вывода:

Оу (у) 2D [... 2D [ax (х) 2D [аг (г) zd [a* (у) 2D ... 2D [а„ (u) 2D 3[Ф1(« о)2ДФг(г, х у)]]...]]]...]

ау (у) 2D [... 2D [аДх) 2D [ау (у) 2D... 2D [аи (и) ZD( J

=) [Ф; (“V) =3 (г) [а2 (г) 2D Ф^ (г, ху)]]]...]]...].

Пусть выполнена посылка над чертой в (9); пусть далее ау(у) Л—Айх(х)Даа(у) Л ... Даи(и). Это дает нам Ф'(и,... .... и) zd [az(z) zd Ф^г, х,..., z/)], откуда (так как г отличается от и, .... и) следует

Ф1' («, ..., и) zd (?) [a2 (г) zd Ф2(г, х z/)].

Таким образом, йд (У) Л - Л йх (х) Д а„ (у) Д ... Д аи (zz) zd dd№'(zz, ..., у)зэ (^ [йДг)zdФ2(г, x, ..., z/)]J, откуда, очевидно, и следует заключение под чертой в (9).

Пусть имеем в ТТ применение правила вывода

Ф1 (2^, Хх, ..., Уу) ZD Ф2 (^ц, .... Уг^

^Ez^ Ф1 (22, Хх, ..., Уу) ZD Ф2 (и^сД '

где хг отлично от мы, ..., пр. Нужно доказать, что в РР имеется такое правило вывода:

а» (о) о [... о [а„ (и) ZD [ау (у) ZD... ZD [ах (х) ZD [а2 (z) ZD

a2,(v)=>l...z>[ae(u)3[ay(y)=D...ZD[a,(x)ZD[(Ez)[az(z)A' ^

А Ф^ (z, Xу)] ZD Ф2 (UV)]]...]]...].

Пусть выполнена посылка над чертой в (10) и пусть аД^ А - A au(«) А ау(у) Д ...Д аДх). Тогда a2(z)zD О [Ф' (z, х, ..., у) о Ф2 (и,..., и)], откуда а2 (г)ДФ; (z, xv..,y)zD ZD Ф2(и,..., у) и, так как г отлично от ии, то

(£z)[az(z) Д Ф1(г, х, ..., у)^Ф2(«, ..., о).

Таким образом

аДД А ... Д а„(м)Ла„(у)Л ... ЛМх^ЦЕг) Vaz(z)ДДФ;(г, х, у^оФ'2(и,о)],

откуда, очевидно, и следует заключение под чертой в (10). На этом с переводом исчисления предикатов покончим.

Формулы РР, полученные по правилам a)—d) из собственно аксиом ТТ (т. е. аксиом экстенсивности, бесконечности и свертывания), мы будем рассматривать как искомую вторую группу аксиом. Тем самым определяем некоторую систему РР, в которой выводимы формулы (4). Действительно, при любом i в ТТ имеются аксиомы свертывания вида (Eyi) Ф (у^, где Ф не содержит свободных переменных, отличных от уь Эти аксиомы перейдут в следующие аксиомы второй группы:

(£у) [а, (у) Д Ф' (у)],

откуда средствами I выводятся формулы (4). Это значит, что система РР, о которой идет речь, по доказанному в п. 4 настоящей главы дедуктивно не слабее теории типов. Остается только установить, что можно надеяться на непротиворечивость этой системы.

Предположение о непротиворечивости системы ТТ основано на том, что ТТ имеет интуитивную модель, которая нс вызывает особых сомнений. Чтобы с такой же достоверностью можно было говорить о непротиворечивости системы РР, достаточно доказать, что модель ТТ является моделью и для РР.

В п. 3 уже установлено, что аксиомы II и III истинны при интерпретации определений (Л/) для области а, которая и есть модель ТТ. Поэтому достаточно доказать истинность при упомянутой интерпретации для области а второй группы аксиом. Рассмотрим, как происходит один шаг перевода формул по правилам a)—d). Исходная формула Л принадлежит, вообще говоря, смешанному языку, в ней заменяется, вообще говоря, часть В (являющаяся формулой) на В', а остальная часть не меняется; формула А', полученная в результате, принадлежит, вообще говоря, смешанному языку. Замена В на В' происходит по правилам 6)—d^ Как уже указывалось, при этом истинность или ложность В и В' одинакова (при интерпретации смешанного языка для области а). Этот факт имеет место при каждом значении не указанных явно в 6)—d) свободных переменных формул В, В\ если такие переменные есть. Рассмотрим теперь два случая:

А совпадает с В (и, следовательно, А' с В'), т. е. заменяется вся формула. Поэтому если А истинно, то истинно и А'\

В есть часть А. В этом случае замена В на В' может происходить лишь по правилам 6) или с). Но в этих правилах 64

речь идет о таких В, В', наша оценка истинности которых служит оценке истинности Л, Д' (в отличие от правила d), где речь идет о таких формулах, которые, будучи частями формулы Л, для оценки истинности Л интерпретировались бы не так, как у нас, а как предикатные функции). Поэтому, так как В и Вг одновременно истинны или ложны, то если А истинно, то истинно и А'.

Следовательно, в любом случае истинная формула А переходит в истинную формулу Л7.

Таким образом, учитывая, во-первых, что языки РР и ТТ суть частные случаи смешанного языка и, во-вторых, что аксиомы ТТ истинны для области а получим, что аксиомы второй группы истинны для области а.

6* Системы РР отличаются от наивной теории множеств: аксиомами III первой группы; равноправием (по крайней мере, в принципе) систем аксиом второй группы. Например, если система РР содержит некоторую_аксиому свертывания Л, то имеется и такая система РР, где истинно А.

Первая особенность сужает, а вторая — расширяет возможности наивной теории множеств. Эти две особенности представляются довольно произвольными, во всяком случае, не менее произвольными, чем существующие аксиоматические теории множеств. Кроме того, системы РР представляют собой частный случай систем Бочвара, которые по существу, сформулированы в цикле работ, начиная с [1] (класс систем Бочвара шире, так как нет ограничений в виде аксиом III). По этим причинам формулировка систем РР сама по себе вряд ли представляет интерес.

Однако для целей семантики важно другое — системы РР имеют, как мы увидим, непосредственную интерпретацию в псевдофизическом языке (в системах РР с приборами). Это подтверждает тезис номинализма для математики.

Кроме того, произвольность систем РР окажется мнимой, так как в приборной интерпретации аксиомы III станут истинными, а согласно гл. III связь между предикатами (чем, в сущности, являются элементы а) и приборами нельзя считать случайной.

Вот эта интерпретация.

, Предикаты РР у £ х, (ylf у2) £ х и т. д. будем интерпретировать как предикаты х (у), х (у^ у^ и. д. псевдофизического языка. Тогда формулы РР переходят в соответствующие по написанию формулы псевдофизического языка. При этом аксиомы II переходят в следствия из схемы аксиом X гл. III, а аксиомы III переходят в утверждение (26) из гл. III. Аксиомы второй группы интерпретируются как гипотезы о существовании и свойствах приборов. Таким образом, область а интерпретируется как область вещей, причем элементы а0 — как вещи, не являющиеся приборами, а множества из а — как приборы.

Индивидуальные имена элементов а можно интерпретировать двумя способами: 1) заменить индивидуальные имена на соответствующие греческие буквы и рассматривать их как индивидуальные имена вещей; тогда, если имена описаны в системе РР формулой С, то их описанием в языке РР явится формула С'. полученная из С заменой предикатов (уь уп^х на предикаты х (уь ..., ул); 2) пусть имена аъ ..., ап описаны в системе РР формулой С (дъ ..., ...дп). Перейдем от каждой формулы с именами А (ди, ... -. ^ ^ atkвзяты среди ai,...,an) к следующей форму

ле РР:

С(аь .... а^оА^сц,, ..., сц^.(Ц)

Если А выводима из С, то формула (11) доказуема независимо от свойств ах, ..., ап, т. е. останется доказуемой, если

из системы аксиом убрать формулу С. Поэтому доказуема также формула РР:

(12)(12)С(х{, .... ХпрА^, ..., xifeY

(12)

(12)

Мы будем интерпретировать каждую формулу РР с именами, которая имеет вид (11), как следующую формулу РР:

С'^ь ..., х^зА7^, .... х^,(13)

где С7 и А7 получены из С и Л уже описанной заменой элементарных предикатов. Очевидно, формула (13) есть интерпретация в языке РР также для формулы (12). Поэтому, если формула (11) доказуема в системе РР, то формула (13) доказуема в РР — интерпретации этой системы РР.

Вопрос о совместности аксиом второй группы и аксиом гл. III для предикатов х (yi..... уп) перекрывается более общим вопросом: если даже эти аксиомы совместны, то значит ли это, что мы имеем псевдофизическую интерпретацию для систем РР*?

Речь идет о следующем. Обязательные аксиомы РР в РР-интерпретации не противоречат принятым в гл. III аксиомам РР, потому что, как указано^ыше, следуют из аксиом гл. III. Аксиомы второй группы РР в РР-интерпре- тации не противоречат обязательным аксиомам по определению систем РР. Однако мы знаем, что в гл. II, III не полностью формализовано представление о вещах вообще и о приборах в частности. Пусть теперь мы доказали относительно некоторой системы аксиом, что это есть система РР и что эта система интерпретируется как система РР. Но если в будущем более тщательный анализ представления о приборах создаст дополнительные обязательные аксиомы для приборов, то где гарантия, что эти дополнитель-

ные аксиомы не будут противоречить интерпретации аксиом второй группы данной системы РР. В случае такого противоречия данная система РР, имея интерпретацию как система РР, не будет иметь псевдофизической, т. е. номиналистической интерпретации.

Это затруднение преодолевается на интуитивном уровне следующим образом.

Очевидно, что для каждой формулы псевдофизического языка, не содержащей иных индивидуальных предикатов, кроме х (ух, ..., ул), возможна обратная интерпретация — как формулы языка РР. Таким образом, модель языка РР, о которой идет речь, это совокупность всех тех и только тех псевдофизических формул, которые построены только из предикатов х (ух, ..., ул).

Постулируем тот факт, что эта модель не содержит дополнительных обязательных аксиом по отношению к интерпретации аксиом II, III. Иначе говоря, пусть мы рассматриваем интуитивное представление о приборах — вещах и хотим записать те свойства приборов, которые могут быть выражены только с помощью предикатов РРх^, ..., ...,ул) и логических средств. Тогда нам кажется очевидным, что это интуитивное представление в самом общем виде может указать лишь на следующие обязательные свойства приборов:

(£yi) ...(£уд)х(у1, ..., yn) ^dx(zi, ..., zm), п^ т

Пх(У1, ..., yz-1, х, yw, ..., уп\

Z=1

а также, разумеется, на выводимые отсюда свойства. Этот постулат, собственно говоря, имеет такой характер, как и аксиомы гл. II, III, и его можно было бы ввести в гл. III; однако там у нас не было причин отделять предикаты х (ух, ...,

.....уп) от прочих предикатов псевдофизического языка. Уверенность в этом постулате основана на том, что речь идет об обязательных аксиомах, общих для всех предикатов Q и необходимости, т. е. о чисто умозрительном представлении о приборах, которое потому и чисто умозрительно, что не принимает в расчет опытных данных (см. гл. I). Любые же опытные данные, полученные когда-либо в прошлом или будущем, по определению могут оказать влияние лишь на выбор аксиом второй группы.

Из этого постулата следует, что каждая непротиворечивая система РР действительно имеет модель в области вещей.

. Для установления такой интерпретации, казалось бы, достаточно иметь в псевдофизическом языке только предикаты х (г/1, ..., у^ и аксиомы для них. Однако в настоящее время не существует сколько-нибудь принятого понимания области вещей и однозначного употребления соответствующих терминов. Поэтому, если просто сказать, что «предикат» интерпретируется как «прибор» (или ограничиться лишь аксиомами для предикатов х (t/i,..., уп^, то откуда мы узнаем о возможности номиналистического понимания приборов и вообще о возможности языка над областью вещей? Таким образом, нужно, чтобы понятие о приборах возникло самостоятельно в языке о вещах; а для описания приборов в этом языке (и вообще для создания языка) нам потребовались РР-предикаты ху, х < у, х = у и др. Это даст и некоторый эффект сверх ожидания — теоремы типа (%) х (%) (аксиома III в языке РР), которых нет в языке с абстрактными объектами.

.; В приборной интерпретации истинность математических утверждений имеет двоякий характер:

если формула относится к аксиомам первой группы или выводима из них, то она обладает истинностью, которую

можно назвать априорной, так как мы не в состоянии интерпретировать отрицание этой формулы;

если формула выводима в непротиворечивой системе РР и не априорно истинна, то она обладает истинностью, которую можно назвать возможной, так как в рамках умозрительных представлений ничто не мешало бы миру быть таким, как интерпретируется эта система РР. Совокупность таких систем дает картину всех действительно возможных вариантов физического мира. Поэтому, если мы только надеемся на непротиворечивость системы РР, то выводимые формулы этой системы представляют собой гипотезы о физическом мире; их истинность можно назвать вероятной, так как с уверенностью тут ничего нельзя сказать.

Как уже отмечалось, понятие «множество» имеет иную псевдофизическую интерпретацию, чем «предикат». Интерпретируя математические утверждения как высказывания о псевдофизических множествах, можно расширить класс априорно истинных утверждений. Однако класс гипотез при этом существенно сокращается.

Глава V

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПАРАДОКСОВ

L В гл. III показано, что независимо от области приборов не все предикаты псевдофизического языка реализуются на приборах. Возникает вопрос, в какой мере это касается предикатов, служащих средствами языка математики. Этот вопрос, в силу отношения между языками РР и РР (гл. IV), удобно поставить в языке РР : могут ли некоторые предикаты РР не свертываться на элементах а независимо от выбора а?

Утвердительный ответ следует из аксиом III систем РР, из которых легко вывести отрицания формул свертывания тех предикатов А, которые удовлетворяют условию

(Х1) ... (Хл) [(Х|, ..., х„)£у~А(хь ..., Xn)\ZD

ZD (fxi)... (£xn_i) [Л (t/, хь ..., X„_1)V

V Л (хь у, х2, ..., x„_i) V ... V Л (хь ..., х„_ь z/)]. (1)

Чтобы удовлетворить (1), предикату достаточно выполняться всюду на области а, так как тогда истинно заключение в (1). Другой класс предикатов, удовлетворяющих

(1)—предикаты из парадоксов, так как для них при любому ложна посылка в (1). Впрочем, для этих последних предикатов и так ясно, что, поскольку их свертывание приводит к противоречию, то они не свертываются.

Рассмотрим примеры.

. Предикат Ra (х) ~ х £ х есть предикат из парадокса Рассела и поэтому не свертывается. Это можно установить другим способом: согласно III из гл. IV Ra всюду истинен на а и поэтому удовлетворяет заключению (1).

. Если (Ех) (Еу) (у^ х), то предикат А (х)~(Еу) (у Е х) не свертывается. Действительно, пусть для некоторого р имеем (х) [х Е р ~ А (х)]. Тогда, так как (Ех) А (х), то (Ех) (х Е рЪ следовательно, А (р), т. е. Д удовлетворяет (1).

. Предикат А (х) ~ (Еу) (у Е *) V (Еу) (у £ х) не свертывается, так как он выполняется всюду на области а.

. Предикат А (х) — а Е х V (у) (х Е У а Е У) («быть а или множеством, содержащим а») при любом а не свертывается. Действительно, пусть для некоторого р имеем (х) [х Е р ~ А (х)1. Так как А (а), то а £ ри поэтому А (р), т. е. А удовлетворяет (!)_.

2. Как мы видели, системы РР достаточны для построения основных разделов математики. Однако для общности разрешим расширить язык РР следующим образом: можно употреблять в качестве исходных средств языка, кроме предикатов (У1...ул) Е х, некоторые другие, также определенные на области а и не входящие в эту область (в языке РР они интерпретируются как соответствующие простейшие предикаты над областью вещей). Для этих предикатов вводятся свои аксиомы, где, разумеется, предикаты не должны стоять на местах аргументов предикатов или попадать в сферу действия кванторов. Определение свертывания предикатов на элементах а сохраняется прежнее.

Это позволяет ввести, например, предикат «х есть трансфи нит» (обозначение Тр (х),) удовлетворяющий, в частности, аксиомам

(Ех) Тр (х),

Тр (х) ~ (у) [yG X ZD Тр (у) Л (z) (zG у ZD zG х) Д xGy].

Здесь отношение порядка на трансфинитных элементах а задано двухместным предикатом у £ х.

Продолжим примеры:

. Поскольку предикат Тр есть предикат из парадокса Бурали—Форти, то он не свертывается. Это можно установить также другим способом. Пусть а таково, что х£ а — ~Тр(х). Пусть для некоторого уу^Ъ тогда Тр (у) и, следовательно, (z) [z £ у ZD Тр (z) Л у £ z]. Отсюда имеем, во-первых, (z) (z С у ZD г £ а) и, во-вторых, а £ у ZD ZD у £ а, откуда, так как у £ а, то а£ у. Следовательно, мы имеем

(у) [yG a ZD Тр (у) л (z) (zG у ZD zG а) Л а^УА,

откуда Тр (а), т. е. Тр удовлетворяет (1) и поэтому не свертывается. В традиционном парадоксе рассуждение нужно вести дальше: из Тр(а) следует а £ а и далее

aG a zd Тр (a) Л (2) (zG a zd г^ а) Л а£ а,

т. е. а£ а и а £ a zd a G

. Если предикат удовлетворяет аксиоме

Тр (х) ~ (у) [уG х ZD Тр (у) Л (z) (zG У о zG х)],

то он удовлетворяет (1); доказательство аналогично предыдущему примеру.

. Если предикат удовлетворяет аксиоме

^(x)~(y)[yG^^^(z/)l>

то он удовлетворяет (1); доказательство аналогично предыдущему примеру.

3< Итак, не все средства языка РР могут быть объектами этого языка в том смысле, что в результате аксиом свертывания эквивалентные элементы а можно подставлять на места аргументов формул РР. К несвертываемым средствам языка РР относятся, в частности, парадоксальные предикаты.

Мы не будем заниматься аппаратной природой несверты- вания, которая сходна с неразрешимостью некоторых уравнений или с несовместностью некоторых систем уравнений. Рассмотрим другую сторону вопроса — раз парадоксы названы парадоксами, то как в псевдофизическом языке интерпретируется их странность.

Справедливы следующие утверждения:

термин «предикат» не дает никаких интуитивных указаний на то, что одни предикаты могут быть объектами разговора, а другие — нет;

в математике самым широким образом употребляется превращение средств языка в его объекты (что повторено в соответствующих системах РР).

В этом и усматривается парадоксальность парадоксов — почему же конкретный записанный по всем правилам на бумаге предикат не может быть объектом разговора? С нашей точки зрения, ответ прост — предикаты вообще не

могут быть объектами разговора, говорить можно только о вещах (и, может быть, об эмоциях). Точнее, говорить можно для удобства и о других системах объектов, если знать, что можно иметь в виду их модели в области вещей.

Указанная парадоксальность формального аппарата исчезает при его псевдофизической интерпретации, хотя сам аппарат сохраняется практически полностью. Действительно, средства псевдофизического языка не ограничиваются, среди них по-прежнему могут быть, например, предикаты Ru и Тр и модели парадоксов. Объектами же языка являются вещи и вопрос о том, для всякого ли предиката существует равнообъемный ему прибор, решается отрицательно независимо от парадоксов (гл. III)1. Таким образом, может итти речь лишь о том, парадоксальна или нет нереализу- емость данного конкретного предиката; но это в каждом случае решается отдельно и зависит от того, каков предикат. Например, было бы весьма странным, если бы априори был невозможен прибор, положительно реагирующий на каждый из двух данных шаров и только на них.

Рассмотрим с этой точки зрения пример а), т. е. предикат Ru (х) ~ х G х (стр. 73). Очевидно, невозможен прибор, реагирующий сам на себя, потому что одна и та же вещь не может находиться в различных местах пространства—времени. Поэтому Ru выполняется на всех приборах и, если представить себе прибор, реализующий Ru, то он должен реагировать сам на себя. Поэтому нереализуемость Ru не только не парадоксальна, но почти очевидна. Сходные рассуждения можно провести для псевдофизической интерпретации любого примера несвертывания из п. 1,2 настоящей главы.

ХВ приборной интерпретации может ожидаться также несовместность некоторых приборов. Примером может служить теорема о несчетности множества частей натурального ряда, которая в РР-интерпре- тации доказывает лишь несовместность приборов, реализующих предикат 1—1 соответствия и некоторый арифметический предикат.

Однако, чтобы не проверять эти рассуждения для каждого конкретного примера, поступим следующим образом.

Тот факт, что некоторый предикат А удовлетворяет (1), может быть установлен различными способами; выделим два из них:

доказывается, что А выполнимо всюду на области а и поэтому удовлетворяет заключению (1);

предполагается, что при некотором р имеем (х) [х £ £ р ~ А (х)]. Отсюда выводится, что Л (р).

Оба эти случая в интерпретации означают, что прибор, реализующий Л, должен реагировать сам на себя, невозможность чего представляется очевидной. Между тем несверты- вание предикатов в примерах а)—ж) устанавливается именно способами 1), 2). Для парадоксов Рассела и Бурали— Форти эти способы даны как дополнительные. Таким образом, по крайней мере эти два парадокса не содержат странного в своей псевдофизической интерпретации.

Возникает вопрос, дает ли что-нибудь для других интерпретаций парадоксов отсутствие парадоксальности в их псевдофизической интерпретации. Другие интерпретации (предикатная, теоретико-множественная) представляют собой языки над абстрактными объектами. Если принять тезис номинализма, то абстрактный объект языка порождается только вещами и не может обладать свойствами, которыми не обладает ни одна вещь—прообраз.

Поэтому нужно иметь в виду следующее. Пусть, например, вещи аг, а^ ... обладают свойством А и мы абстрагируемся к одному объекту а со свойством А. Тогда нет смысла говорить, обладает или нет а свойством В, если некоторые щ обладают свойством В, а другие — нет. Но если все возможные at обладают свойством В, то В должно быть приписано а. Это будет бесполезно, если в процессе рассуждений В будет игнорироваться; но зато если мы когда-либо

столкнемся с В, то не сможем предполагать бессмысленное в интерпретации В (а).

Если теперь считать, что математические объекты абстрагировались от вещей, то прежде всего замечаем, что свойства, записанные в аксиомах для предикатов ху, х < у, х = у, х / у, х у и Q (х, у, z), являются общими для всех вещей. Однако эти свойства могут быть отброшены потому, что в формулах математики нет имен данных пяти предикатов. Далее, все вещи, на которых определены предикаты х(у1...,уЛ), обладают общими свойствами, записанными в аксиомах для этих предикатов. Однако, мы теперь не можем отбросить, например, свойство (х)х(х), потому что предикаты x^yv..sy^ (как предикаты (уг... у^ £ х) употребляются в математических формулах. Это свойство практически не используется и поэтому может игнорироваться, но разумеется, не в теории множеств. Аналогично, так как свойство некоторых предикатов, заключающееся в том, что они не могут быть объектами языка, возникает еще на уровне вещей (где это свойство очевидно), то должно быть очевидным, что ив других интепретациях парадоксы (по крайней мере, рассмотренные) лишены парадоксальности — при условии, что принят тезис номинализма.

В заключение заметим, что номиналистическая интерпретация математики, чтобы наиболее приблизиться к принятому в настоящее время смыслу терминов, должна быть комбинированной — употреблять как приборы-предикаты, так и псевдофизические множества и приборы-функции. Действительно, современное изложение математики — теоретико-множественное, и поэтому нужно для множеств- абстракций ввести максимально много множеств-моделей среди вещей; по этой причине, а также в соответствии с принятым смыслом терминов следует даже перейти к номинализму точек. И обычно лишь тогда, когда множеств-моделей

нет, придется считать, что мы имеем дело с приборами — функциями и предикатами.

Таким образом, в настоящей работе дана не эта естественная, а более искусственная интерпретация математики в номинализме. Однако теперь несомненно, что естественная интерпретация может быть дана, и ясны ее черты. Ясне также, что отсутствие среди вещей моделей некоторых абстракций не имеет парадоксального характера.

Впрочем, по этому последнему поводу даже в рамках созданной идеализированной схемы естественно возникает вопрос, как это человек ухитряется пользоваться теми средствами языка, которые не имеют моделей-вещей? Ведь мышление, включая средства языка, по-видимому, моделировано на вещи — теле человека. Однако этот вопрос,бесспорно, выходит за рамки настоящей работы.

ЛИТЕРАТУРА

Б о ч в а р Д. А.— Математический сборник 15 (57), 1944.

Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. ИЛ, М., 1947.

X а о Ван, Мак-НотонР. Аксиоматические системы теории множеств. ИЛ, М., 1963.

Карнап Р. Значение и необходимость. Приложения А и Д. ИЛ, М., 1959.

К л и н и С. Введение в метаматематику. ИЛ., М.—Л., 1957.

Р в а ч е в Л. А.— В кн.: Информационные системы. ВИНИТИ, М., 1964.

Р в а ч е в Л. А.— В кн.: Кибернетика и техника вычислений, «Наукова думка», К., 1964.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 3

Глава I. Описание интуитивной модели ... 5

Глава II. Псевдофизический язык12

Г лава III. Прообразы множеств, предикатов и функций31

Глава IV. Интерпретация математики . ... 52

Глава V. Интерпретация парадоксов71

ЛЕОНИД АЛЕКСЕЕВИЧ РВАЧЕВ

Математика и семантика

Печатается по постановлению ученого совета Институтакибернетики Академии наук Украинской ССР

Редактор Н. С. КулаковскаяХудожник В. М. Фл аксХудожественный редактор И. П. АнтонюкТехнические редакторы Г. А. Машуренко,И. М. Галушко

Корректор В. А. Литовкина

БФ 06317. Зак. 1726. Изд. №246. Тираж 11 000.

Бумага № 2, 70х108/32. Печ. физ. листов 2,5. Условн. печ.листов 3,5. Учетно-изд. листов 3,25.

Подписано к печати 13 IV. 1966 г. Цена 25 коп.

Издательство «Наукова думка», Киев, ул. Репина, 3.Отпечатано с матриц Киевской ф-ки набора в Киевской книжной типографии № 3 Комитета по печатипри Совете Министров УССР, Золотоворотская, 11.