The physics of vibration

The simple classical vibrator

A. B. PIFFARD, FRS

Cavendish Professor of Physics, University of Cambridg ;

CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS

Cambridge

London New York Melbourne

А.ПИППАРД

Физика колебаний

Перевод с английского

Д. А. Соболева и В. Ф. Трифонова

Под редакцией

проф. А. Н. МАТВЕЕВА

Москва

«Высшая школа» 1985

ББК 22.31

П32

УДК 534

Пиппард А.

П32 Физика колебаний: Пер. с англ. Д. А. Соболева и В. Ф. Трифонова/Под ред. А. Н. Матвеева. Пре- дисл. А. Н. Матвеева.— М.: Высш, шк., 1985.— 456 с., ил.

Пер. изд.: Pippard A. The Physics of Vibration. Cambridge University Press, 1978.

В пер/ 2 p. 60 к.

Книга представляет собой первую часть курса, в котором сделана попытка интегрального изложения теории колебаний. В этой части изложены вопросы классической теории колебаний. Особое внимание уделено физическому смыслу рассматриваемых вопросов, автор — профессор Кембриджского университета — широко использует графические методы анализа, которые дополняют строгие решения задач, сделанные с помощью ЭВМ

Для студентов вузов.

1703030000—268ББК 22.31

П 73—85

001(01)—85530.1

А. Пиппард

ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ

Зав редакцией литературы по физике и математике Е. С. Гридасова Редактор С. А. Крылов. Младшие редакторы М. А. Бабаркина, С. А Доровских. Переплет художника В Н. Хомякова Художественный редактор В И. Пономаренко. Технический редактор Л. А. Муравьева. Корректор Г. И Кострикова.

ИБ № 3764

Изд № ФМ—704 Сдано в набор 13 02 85 Подп в печать 12 04 85.

Формат 60X90V16 Бум кн.-журн № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая Объем 28,5 усл печ. л 28,5 усл кр.-отт. 31,51 уч -изд. л. Тираж 10 000 экз. Зак. № 1259. Цена 2 р. 60 к -

Московская типография № 8 Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, 101898, Москва, Центр, Хохловский пер , 7.

© CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, 1978

© ПЕРЕВОД И ПРЕДИСЛОВИЕ. ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА», 1985

При изучении самых разных областей физики — от механики до субатомной физики и астрофизики — так или иначе приходится сталкиваться с колебательными процессами. Хотя их природа и формы проявления специфичны для каждой области физики, многие закономерности, используемые понятия, методы описания таких процессов оказываются общими. В этом, в частности, очень отчетливо проявляется единство физической картины мира. Такое сочетание единства и многообразия делает физику колебаний универсальным инструментом в изучении обширного круга физических явлений.

Большой вклад в развитие физики колебаний внесли советские ученые. Всемирное признание получили работы А. А. Андронова, Н. Н. Боголюбова и ряда других ученых. В нашей стране издана обширная литература по физике колебаний, в том числе и учебная. Поэтому необходимо указать, какие особенности книги А. Пиппарда обусловили целесообразность ее перевода на русский язык.

В наших вузах физику колебаний изучают в курсе общей физики и в специальных физических курсах. Естественно, что большинство имеющихся на русском языке учебных пособий удовлетворяют требованиям либо курса общей физики, либо конкретного специального курса. В курсе общей физики материал обычно излагается кратко, он ограничен лишь необходимыми фундаментальными положениями, а математический аппарат выбирается возможно простым. Изложение материала в специальном курсе, предназначенном для конкретной области физики, напротив, слишком детализировано, а математический аппарат достаточно сложен. Физике колебаний посвящены и многие монографии, однако их изучение требует специальных знаний.

Книга А. Пиппарда не относится к какой-либо из указанных трех категорий книг. Круг рассмотренных здесь вопросов много шире того, который обычно охватывается в курсе общей физики; он включает в себя многие трудные вопросы, анализируемые обычно лишь в специальных курсах и монографиях. Однако даже трудные темы разобраны на более элементарном уровне с привлечением лишь такого математического аппарата, который доступен студентам младших курсов вузов. При этом изложение проведено на современном научном уровне и с очень большой полнотой и широтой охвата физики колебаний. Изучив эту книгу, читатель получит достаточно полное и ясное представление не только по вопросам, рассматриваемым в курсе общей физики, но и по многим другим, обсуждаемым в спецкурсах и специализированных монографиях. Во

всех случаях упор сделан на физическую сторону вопроса, причем автор часто описывает опыты с использованием простого экспериментального оборудования и излагает соответствующий материал в виде анализа опыта, который он проводит как бы вместе с читателем. Положительный эффект такого приема изучения материала сильно возрастет, если читатель, как рекомендует автор, сам выполнит эти эксперименты, а затем проведет их анализ, пользуясь книгой. Если читатель последует этому совету автора, то после изучения книги он приобретет достаточно высокую подготовку по физике колебаний.

В книге рассмотрены в основном вопросы классической теории колебаний. Из квантово-механических проблем выбраны лишь те, которые достаточно полно и строго могут быть проанализированы в рамках классического приближения. Анализ такого рода квантово-механических проблем — еще одно достоинство книги по классической физике колебаний. Специально рассмотреть квантово-механические проблемы физики колебаний автор намерен в следующей книге.

При переводе по возможности сохранен авторский стиль изложения материала. Замеченные опечатки исправлены и некоторые места книги снабжены примечаниями. К списку литературы добавлены книги на русском языке.

Проф. А. Н. Матвеев

ПРЕДИСЛОВИЕ

Цели и план настоящей книги определены в первой главе, и нет необходимости повторять их здесь. Тем не менее в предисловии я должен воспользоваться предоставленной мне возможностью, чтобы выразить признательность за помощь, полученную в процессе подготовки книги, а также в то время, когда эта книга была лишь еще только задумана.

Я не могу и предположить, сколь сильно мои знания и суждения обязаны счастливому случаю, позволившему мне провести большую часть рабочей жизни в Кавендишской лаборатории в окружении физики и физиков высочайшей квалификации, а также студентов, которым в лучших своих проявлениях удается быть похожими на преподавателей. Я благодарю их всех за приобретенный мной педагогический опыт, источники которого сейчас уже и не удастся обнаружить.

Особенно мне хотелось бы поблагодарить за помощь в подготовке материала книги Дугласа Стьюарта — за создание оборудования; Кристофера Некса — за создание программ, позволивших с помощью компьютера выполнить многочисленные рисунки, Гильберта Ятеса — за помощь в теоретической и экспериментальной электронике и Шарля Филдхауза — за печатание и перепечатывание рукописи. Приношу свою благодарность всем им за большую доброжелательную и квалифицированную помощь.

Благодарю также за дискуссии, критику, помощь в проведении экспериментов, любезное предоставление экспериментальных данных для рисунков д-ра Дж. Е. Болдвина, м-ра В. Е. Бирхама, проф. Дж. Кларка, д-ра М. X. Гильберта, проф. О. С. Хэвенса, д-ра Р. Е. Хилса, д-ра И. П. Джонеса, м-ра Р. Джонеса, м-ра М. Мартела, проф. Д. X. Мартина, м-ра П. Д. Маскеела, д-ра П. Дж. Мола, м-ра Е. Паплетта, д-ра Г. П. Уоллиша и м-ра Д. К. Уотерсона.

Я не являюсь первым автором-ученым, которому пришлось бороться с ограничениями на шрифты истребованиями к выбору обозначений. Я также не первый, кто признается в том, что в конце концов изменил первоначальную последовательность изложения. Однако у книги было бы гораздо больше недостатков, если бы не вмешательство издательства Кембриджского университета, которому я очень благодарен за скрупулезность и внимание к деталям.

Кембридж, 1978 А. Б. П и пиар д

ВВЕДЕНИЕ.

ОБРАЩЕНИЕ АВТОРА К ЧИТАТЕЛЮ

Эту книгу я писал несколько лет. Теперь, когда она закончена, можно спросить: что же она собой представляет? При таком большом объеме книга оказалась всего лишь первым из двух томов. По мере исполнения задуманного постепенно исчезла всякая надежда рассмотреть все вопросы, относящиеся к данной теме, в одном томе. С одной стороны, нетрудно заметить, что это не учебник, дополняющий в известном смысле стандартный курс лекций (в конце глав даже нет никаких вопросов). С другой стороны, это и не узкоспециализированная монография, потому что многие из особенно трудных тем рассмотрены здесь на уровне гораздо более элементарном, чем в соответствующих специальных научных трудах. Более того, я могу признаться в том, что не являюсь специалистом по многим из этих вопросов, и прошу рассматривать это откровение как чистосердечное признание и рекламу одновременно. Путь, по которому я следую при описании явлений, позволяет мне выяснить для самого себя основные физические идеи, лежащие в основе многих весьма сложных расчетов, причем я надеюсь, что такой подход даст возможность просветить и других — тех, кто если и знал что-тэ, то забыл.

Тематика книги очень обширна — она простирается от прикладной математики (нелинейные колебания и теория устойчивости) до технической электроники (генераторы колебаний), включая также мазеры, ядерный магнитный резонанс, рассеяние нейтронов и многие другие вопросы. Никто не может быть специалистом по всем этим разделам одновременно, а для полноценного анализа с учетом всех связей между отдельными темами потребовалось бы несколько специализированных трудов. Тем не менее приятным и полезным обстоятельством является уже то, что столь многие отличающиеся между собой явления имеют общие черты, а эта книга написана для читателя, который разделяет со мной удовольствие от познания таких явлений. Наряду с этим я питаю надежду, что никто не посчитает себя оскорбленным, если встретит страницу- другую, которые посвящены довольно тривиальным примерам; в физике всегда есть место как для любителей частностей, так и для более систематических коллекционеров, и я не считаю зазорным для себя делом познавать физические явления как сами по себе, так и в их связях с другими явлениями. Кроме того, вы всегда можете пропустить надоедающие вам мелочи. Кстати, ссылки на соответствующие параграфы, которые встречаются по тексту, суя

щественно облегчают эту процедуру пропускания: вы всегда можете вернуться назад к той части книги, которую опустили при первом чтении, если позже окажется, что она имеет прямое отношение к тому, что вы читаете в данный момент.

Итак, цель этой книги заключается в том, чтобы заполнить имеющийся пробел между обычным учебным курсом и детализированным анализом специальных тем на исследовательском уровне, поэтому я стремился к уровню изложения, доступному для студента, который освоил элементарный курс и жаждет большего. Упор везде сделан на физические процессы, а требования к математической подготовке предъявляются весьма умеренные. Теория комплексного переменного на уровне интегрирования по контуру используется только в тех редких случаях, когда она существенно упрощает доказательство. В большинстве же случаев достаточными оказываются элементарная алгебра и математический анализ, однако здесь следует указать на необходимость так называемого графического мышления. Дифференциальное уравнение представляет собой некое правило (которое понятно даже ЭВМ), разъясняющее, как следует чертить кривую, и я считаю само собой разумеющимся, что читатель разделяет такой подход. Формально строгие решения хороши, если они существуют, однако точная математика, за исключением случая (а может быть, даже включая его), когда она находится в руках эксперта, представляет собой инструмент с очень ограниченными возможностями. Тот ученый, который презирает качественность, обрекает себя на количественность, и его воображение становится заземленным. Анализ различных идей с помощью графиков является частью методики образного физического мышления, без которого точный математический анализ легко вырождается в бесплодное манипулирование. Имея в виду именно эти моменты, я и предлагаю настоящую книгу вниманию прикладных математиков, а также физиков и инженеров; поскольку мы живем в реальном мире, мы должны уметь связывать в наших умах этот мир с абстрактными процессами анализа.

В соответствии с этим подходом и делается упор на эксперимент, причем не только посредством ссылок на статьи в научных журналах — довольно часто эти статьи напоминают товары в универсаме, где конечный результат имеет соответствующую гигиеническую упаковку, не вызывающую неприятных ассоциаций, которые связаны с исходным сырьем. В этом томе мы встретимся со многими задачами, которые можно исследовать с помощью простого экспериментального оборудования. Я для того и описал их, дав не

обработанные результаты своих собственных измерений, чтобы вам захотелось проделать их самостоятельно. Каждый из таких экспериментов оказался полезным для описания явления, которое он иллюстрирует. Бывало даже, что иногда эксперимент настолько противоречил моим начальным посылкам, что первый вариант описания приходилось просто уничтожать. Это не говорит о том, что более подготовленный физик или математик смог бы получить правильный результат сразу, не прибегая к эксперименту, хотя большинству из нас кажется, что проще получить ответ, если уже заранее известно, каким он должен быть. Время, затраченное на эксперимент, окупается сторицей, даже если он дает нам всего лишь правильное направление для дальнейших действий.

Было бы полезно сказать несколько слов о том «фоновом» знании физики, которое я имею в виду. Хотя это и не всегда удавалось в настоящей книге, но по ходу написания каждой главы я все-таки пытался помнить о том типе читателя, который захочет до конца понять то, что я хотел сказать. Например, гл. 2 является обзорным курсом для тех, кто достаточно хорошо знаком с простым гармоническим движением. Цель этой главы — дать более глубокое понимание и одновременно выявить некоторые проблемы, которые не описываются линейными дифференциальными уравнениями. Однако эта глава не требует обширных познаний в других областях физики. Приступая к изложению гл. 6, я исхожу из того, что читатель знаком с основами волнового движения и общим характером таких его специфических форм, как акустические и электромагнитные волны. А гл. 8 написана в надежде на то, что только тот, кто знаком с элементарной физикой твердого тела и квантовой механикой, захочет осваивать довольно трудные физические понятия, связанные с расчетом времени релаксации в процессе протонного резонанса. Такой подход является оправданным, потому что хотя я и писал в стиле непрерывного повествования, но приведенные доводы не являются результатом какого-то логически замкнутого продвижения вперед. Конечно, здесь имеется объединяющее начало, которое иллюстрируется разнообразными примерами, однако чувство единства не следует разрушать, выбирая несколько примеров и пренебрегая оставшимся. Мой вышеприведенный совет относительно пропуска материала, кажущегося тривиальным или скучным, применим и к гораздо более трудным темам.

Что касается собственно предмета изложения, то понятие «колебание» включает в себя почти все, что флуктуирует во времени более или менее периодически. Распространение волн не включено в эту книгу в качестве отдельной темы. С другой стороны, колебания струн и твердых тел, а также колебания электрических полей в резонаторах можно рассматривать как стоячие волны, и несколько примеров содержат описание рассеяния волн на резонансных препятствиях. Однако не сделано никаких попыток рассматривать эти явления как волновые пакеты или дифракцию, т. е. в качестве чего-то большего, чем просто дополнение к основной теме. Единственный довод в мою пользу заключается в том, что где-то необхо-

димо провести линию разграничения, так как для исследования распространения волн в том же объеме, в котором я рассмотрел колебания, потребуется по крайней мере еще один том. '

Объем настоящей книги, к сожалению, и так уже слишком велик, и это связано с раздельным использованием классического и квантово-механического подходов, что характерно для современного преподавания физики. При этом почти неизбежно возникает впечатление, что квантовая механика существенно превосходит классическую и что последняя есть нечто такое, от чего настоящие физики должны в конце концов отказаться. Это спорное утверждение. Конечно, если оба подхода в применении к данной задаче дают разные ответы, то следует ожидать, что квантово-механическое рассмотрение окажется более точным. Однако в теории колебаний имеется много проблем, для которых оба подхода дают одинаковые ответы или же квантово-механический подход приводит к зависимости, характерной для некоторой эквивалентной классической системы. В последнем случае обычно легче обсуждать классический эквивалент, в особенности когда он достаточно сложен. Это связано с тем, что классическая физика представляет собой такой вид описания, который согласуется с прямым наблюдением, а способности к образному мышлению развиваются посредством созерцания окружающего нас мира. Гораздо легче угадать ответ к трудной классической задаче, чем к трудной квантовой; действительно, чем более сложной является интеллектуальная база, тем труднее становится расширять понимание за пределы задач, решаемых точно. При формулировке фундаментальных законов квантовая механика, конечно, превосходит классическую; однако при решении специальных задач квантовая механика может оказаться вообще неприемлемой. Поэтому физик или инженер, интересующийся специальными проблемами, должен максимально развивать свое мастерство владения классическим аппаратом, как аналитическое, так и образное, а также должен уметь оценивать, насколько далеко допустимы классические экскурсы в глубь квантово-механической территории.

Часть I настоящей книги, которая занимает первый том, является по преимуществу классической. Лишь изредка мы выходим на задачи, которые обычно рассматриваются как квантово-механические, но вполне поддаются классическому анализу. Квантово-механические вопросы с примерами чисто квантовых явлений и четким указанием пределов применимости классического подхода к этим же проблемам предполагается включить во второй том в часть II. Это создаст условия для того, чтобы затем в части III перейти к рассмотрению колебаний в сложных системах, включая анализ нормальных мод колебаний, с помощью методов, которые представляются наиболее подходящими. Во втором томе предполагается также рассмотреть разнообразные вынужденные колебания, в частности такие колебания со сложной пространственной структурой, как аэродинамические и наблюдаемые в генераторе Ганна.

Однако все это в будущем, а пока я просто использовал свой собственный несколько нестандартный подход, чтобы раскрыть мои замыслы и надежды. Настало время исчезнуть со сцены. Как того требуют правила игры, я облачаюсь в плащ-невидимку и одновременно перестаю признавать существование Вас, мой уважаемый читатель. И все же впоследствии, когда будет упоминаться слово «мы», это будет звучать как предположение о сотрудничестве между автором и читателем, без чего эта книга могла бы остаться ненаписанной.

Часть I

ПРОСТЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

СВОБОДНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР

ВВЕДЕНИЕ.

ОСОБАЯ РОЛЬ ГАРМОНИЧЕСКИХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ

Эта глава посвящена в основном простым осцилляторам, которые совершают периодическое или почти периодическое движение, не подверженное внешнему воздействию. В этом контексте термин простые относится к системам, которые можно характеризовать одной переменной — угловым смещением маятника, высотой подъема подскакивающего мяча или зарядом на конденсаторе, соединенном последовательно с катушкой индуктивности. Поведение таких систем можно изобразить в виде графика зависимости этой переменной величины (которую мы назовем смешением) от времени, как это сделано на рис. 2.1, на котором изображены графики для трех вышеупомянутых систем. Первый и третий графики очень похожи, так как соответствующие колебания являются простыми гармоническими, т. е. синусоидальными по форме, медленно затухающими в случае массивного маятника, который колеблется в* воздухе, и довольно быстро затухающими в типичном ЛС-контуре при комнатной температуре из-за сопротивления катушки. Затухание колебаний в контуре происходит по экспоненциальному закону, при этом заряд на одной из обкладок конденсатора можно выразить так:

q = q$ cos (co7-{-?)e~z/Ta,(2.1)

где 7о, со7, ср и та — постоянные величины. Если постоянная времени для затухания по амплитуде та столь велика, что затуханием можно пренебречь, то множитель е~//Та равен единице и колебания величины q становятся строго периодическими с периодом, равным То = 2л/(о'. Действительно, если в (2.1) прибавить То к t, то аргумент косинуса увеличится на 2л и q не изменится. Величина о/ представляет собой угловую частоту — величину, обратную времени, которое требуется для изменения аргумента косинуса на единицу. Этот аргумент (coV + ф) называют фазой колебания. Начало отсчета времени можно выбрать произвольно, и фазовая постоянная ср вводится для того, чтобы указать, какая точка цикла колебания достигается в момент времени ^ = 0. Амплитуду колебания обозначают q^\ в течение полного цикла смещение изменяется в

пределах ±^0- Если затуханием пренебречь нельзя и колебания затухают по экспоненте, т. е. по формуле (2.1) (дальнейшие примеры (см. § 2.5) покажут, что это не соответствует универсальному типу кривой затухания), то они не являются строго периодическими, так как теперь не выполняется условие q^t-V То) = q[t). Такие колебания подчиняются видоизмененному условию периодичности Як^Т^ =aq(t), где а представляет собой постоянную, равную е-70^3, и является коэффициентом, на значение которого амплитуда изменяется за один период. Между каким-то одним макси-

"Муа)"Муа)Рис. 2.1. Три осциллятора: а—математический маятник; б — подскакивающий мяч; в — последовательный резонансный контур. Для каждой системы приведен график зависимости смещения от времениРис. 2.1. Три осциллятора: а—математический маятник; б — подскакивающий мяч; в — последовательный резонансный контур. Для каждой системы приведен график зависимости смещения от времени

"Му

а)

"Му

а)

Рис. 2.1. Три осциллятора: а—математический маятник; б — подскакивающий мяч; в — последовательный резонансный контур. Для каждой системы приведен график зависимости смещения от времени

Рис. 2.1. Три осциллятора: а—математический маятник; б — подскакивающий мяч; в — последовательный резонансный контур. Для каждой системы приведен график зависимости смещения от времени

мальным отклонением и следующим за ним отклонением в противоположную сторону относительно среднего положения проходит время Т0/2, при этом отношение максимумов равно а_,/2 или ел, где A=V2^o/Ta; А называют логарифмическим декрементом.

В момент максимального смещения, когда ^=±^0, ток равен нулю и вся энергия, полностью сосредоточенная в конденсаторе, равна Е = ^20| (2С). Если в течение одного цикла омические потери пренебрежимо малы, то полная энергия не изменится. Однако по мере того как конденсатор разряжается и ток протекает через катушку, энергия электрического поля конденсатора преобразуется в энергию магнитного поля катушки. Затем во время второй половины цикла происходит обратный процесс. При наличии омических потерь энергия постоянно теряется в виде теплоты. Так как амплитуда, согласно (2.1), затухает по закону q^t]Ta, то энергия уменьшается как t/oe-^X Если записать это в форме

Е=Еое-‘^,

вводя таким образом величину те, т. е. постоянную времени для затухания по энергии, то очевидно, что те = та/2. Время, необходимое

для уменьшения энергии в е раз, равно те, за это время система совершает 70/те циклов колебаний. Другими словами, в то время как энергия уменьшается в е раз, фаза колебания пробегает со'те радиан; это число обозначают Q и называют добротностью или избирательностью. Если Q велико, система совершает большое число циклов колебаний до момента их полного прекращения.

Теперь можно ввести еще одно дополнительное обозначение, хотя его полезность пока и не очевидна: пусть со" равно 1/та. Тогда, так как те= 1 /(2со,х),

Q = 4^>\(2.2)

ЛС/?-контур является прототипом вибратора, который служит моделью для громадного числа систем, чье поведение можно более или менее адекватно описать с помощью одной переменной, осциллирующей согласно (2.1). Экспоненциально затухающие простые гармонические колебания играют настолько фундаментальную роль во многих областях физики, что всегда существует вероятность упустить из рассмотрения или пренебречь системами, которые демонстрируют другие формы колебаний, например системы типа подскакивающего мяча. Разумеется, вряд ли кто-нибудь будет оспаривать, что подскакивающий мяч интересен сам по себе, однако не нужно ходить слишком далеко, чтобы отыскать и другие примеры несинусоидальных колебаний, которые заслуживают серьезного рассмотрения, будь то колебания язычка деревянного духового музыкального инструмента или биение сердца. Такое пренебрежение системами, встречающимися, как будет видно далее, в большом количестве, обусловлено тем, что в отличие от гармонических осцилляторов их нельзя рассматривать в рамках одного общего формального подхода; почти каждая ангармоническая система требует своего специфического анализа. Поэтому в данном случае при том же объеме математических выкладок мы получим гораздо менее ощутимые результаты. Более того, анализ ангармонических колебаний представляет собой почти всегда более трудоемкий процесс (см. § 5.5; 9,2; 9,10; 11.5; 11.6; 11.7).

Для оценки причины того особого положения, которое занимают гармонические колебательные системы, сравним уравнение, описывающее £С/?-контур, с уравнением для подскакивающего мяча, т. е. для колебательной системы, являющейся одной из самых простых во всей совокупности систем, не поддающихся обычному расчету. Подскакивающий мяч представляет собой редкий случай, который можно проанализировать относительно легко. Когда мяч находится в полете, высота его подъема z удовлетворяет дифференциальному уравнению

z=-g.(2.3)

Смещение во время полета мяча между двумя любыми соседними подскоками описывается общим решением уравнения (2.3):

z = ^0 (/ — /0) — V2 g ^ — /0)2,(2.4)

1 и

где /0—момент времени, в который мяч отскакивает от пола (г = 0) с начальной скоростью у0- Каждая петля кривой на рис. 2.1,6 представляет собой параболу с максимальной высотой Zm^^^/g" и временем полета между двумя отскоками, равным 2u0/g. Если выполняется третий закон Ньютона, то при каждом подскоке и0 уменьшается в е раз; в результате последовательные величины гт образуют геометрическую прогрессию 1 : е2 : е4 и т. д., а последовательные «периоды» относятся как 1 : е: е2 и т. д. Легко заметить, что для очень упругого мяча, имеющего е~1, огибающая петель представляет собой параболу. Последовательные значения гт лежат на экспоненциально спадающей кривой, если период остается постоянным, однако укорачивание периода с одновременным уменьшением амплитуды приводит к четко выраженной конечной точке на дне параболы; такое поведение существенно отличается от экспоненциального затухания, которое в принципе может продолжаться до бесконечности.

Формулировка задачи с помощью уравнения (2.3) и ее решение, предложенное в виде (2.4), на первый взгляд элементарны. Однако эта простота носит обманчивый характер, так как правило, связывающее начальную скорость полета и0 с соответствующей величиной после следующего отскока, несет в себе глубокий физический смысл, который в концентрированном виде выражен в третьем законе Ньютона. Понять это можно, если попытаться заменить уравнение (2.3) на дифференциальное уравнение, которое будет описывать всю историю процесса как непрерывное повествование, а не последовательность отдельных эпизодов. Мы не советуем читателю тратить время на это бесплодное упражнение; достаточно лишь знать, что оно потребует использования весьма сложных математических функций, в то время как £С7?-контур описывается простым дифференциальным уравнением, обладающим, в отличие от случая подскакивающего мяча, свойством линейности. Эту особенность мы сейчас объясним, однако предварительно нам потребуется вывести уравнение для контура начиная с наиболее простого варианта, когда сопротивление R пренебрежимо мало.

Если заряды па обкладках конденсатора равны +g, то разность потенциалов между ними составляет qjC\ это соотношение выполняется только тогда, когда ток через катушку индуктивности изменяется по закону индукции, т. е. когда наведенная э. д. с. равна L&il&t. Так как i = q, то уравнение для q имеет следующий вид:

Lq-VqlC = 0. (2.5)

Подставляя q = q0cos (coV + cp) (т. е. (2.1) без затухания) в качестве пробного решения, легко видеть, что уравнение (2.5) удовлетворяется, если

w'^LC)-^. (2.6)

Полученный результат не зависит от q^ именно в этом и проявляется свойство линейности вместе со своими важными следствиями. В линейном уравнении, примером которого является (2.5), каждое

слагаемое имеет такую форму, что когда уравнение оценивается для пробных функций q^ и aq^ty где а — постоянная величина, результаты отличаются только множителем а. Следовательно, если уравнение удовлетворяется для q(ty оно удовлетворяется и для aq^ty Решения, показанные на рис. 2.1, отражают различие между линейной и нелинейной системами. При затухании синусоидальных колебаний в ЛС/?-контуре (который остается линейной системой после добавления сопротивления R) амплитуда колебаний уменьшается, однако их частота остается неизменной и решение на более поздней стадии остается тем же самым, что и на более ранней, за исключением уменьшенной амплитуды. С другой стороны, частота подскоков мяча увеличивается, а амплитуда подскока уменьшается, т. е. временной параметр изменяется синхронно с амплитудой. Отсюда видно, что полное уравнение, описывающее движение мяча, должно быть нелинейным. Следует заметить, что обратное утверждение нельзя считать верным — в каждом случае необходим дополнительный анализ; позднее в этой главе (см. § 2.2) и в других главах мы встретим системы с периодом колебаний, не зависящим от амплитуды, однако эти системы тем не менее будут нелинейными.

Уравнение (2.5) есть частный случай линейного уравнения с двумя различными операторами, соответствующими операции умножения на постоянную величину, которая преобразует q в q!C, и операции вычисления второй производной, которая преобразует q в q. Имеется много других линейных операторов, примеры которых будут приведены ниже (см. § 3.1). Операторы, входящие в уравнение (2.5), относятся к специальному классу, который нас особенно интересует, так как эти операторы обладают двумя основными свойствами — суперпозицией и трансляционной инвариантностью. Уравнения движения с такими свойствами имеют решения, меняющиеся по гармоническому закону, и поэтому многие отличные друг от друга физические системы, которые описываются широким набором уравнений, обладают тем не менее общими характерными чертами. Именно это обстоятельство обеспечивает широкое применение теории гармонических колебаний в противоположность системам, описываемым нелинейными уравнениями, решения которых не имеют «фамильного» сходства.

Суперпозиция. Если L(q) является линейным оператором, а Ц\^Ц и ^2(0 — достаточно регулярные функции, так что £(71) и L(q2) имеют смысл, то

L (aq1^-bq2) = al (q^-^bL (q2\ (2.7) где а и b— постоянные. Например, оператор (Z,d2/W2+1/C) в уравнении (2.5) обладает свойством суперпозиции, выраженным формулой (2.7). Если L используется для обозначения этого оператора, то (2.5) можно записать в виде L (7) =0. Очевидно, что если qx (0 и ^2(0 являются решениями, то aqx y)-\-bq2 (Z) также будут решениями этого уравнения. В результате все возможные решения можно записать

с помощью определенного числа частных решений (а именно двух для уравнений второго порядка типа (2.5)). Для этого требуется лишь, чтобы 71 и 72 не были множителями одной и той же функции, в таком случае любое решение можно было бы получить, задавая соответствующие значения для а и Ь. Ничего подобного не наблюдается в случае нелинейного уравнения. Общее решение нелинейного уравнения второго порядка имеет вид функции с двумя произвольными постоянными. Подбирая различные значения этих двух постоянных, обычно получают семейство кривых более сложное, чем то, которое можно свести к суперпозиции двух основных форм.

Трансляционная инвариантность. Любое решение 7(/) можно переместить вдоль оси времени, записав его в виде 7(^ + /0)« Это выражение остается решением при любом значении t0. Данное свойство применимо при рассмотрении подскакивающего мяча и ЛС/?-контура, а также в случае любого дифференциального уравнения, коэффициенты которого не содержат независимую переменную (в этом случае —/). Оно является неотъемлемой физической характеристикой контура, элементы которого не меняются со временем, или механической системы, в которой силы между составляющими ее .элементами зависят от того, где и на что они действуют, а не отмочного момента времени образования данной конфигурации. С другой стороны, контур с переменными параметрами (например, параметрический усилитель) или простой маятник, нить которого постепенно укорачивается, могут быть системами линейными, но не обладающими трансляционной инвариантностью во времени. Такне решения аддитивны, но их характер меняется со временем; период колебаний простого маятника, например, не остается постоянным. Каждая такая система требует специального изучения, однако мы отложим их рассмотрение до гл. 10, что объясняется повышенным интересом к инвариантным системам.

Даже при наличии инвариантности следует пояснить, почему линейные системы выделены особо (см. § 9.10). Причину этого понять нетрудно. В положении равновесия потенциальная энергия V тела минимальна при малых смещениях и обычная зависимость V от смещения является квадратичной функцией. Бывает, конечно, и по-другому: энергия V мяча, покоящегося на горизонтальном столе, не зависит от его положения; для подскакивающего мяча V является линейной функцией высоты г, когда z>0, а при г<0 наблюдается несколько более строгая линейная зависимость. Однако нормальной для V зависимостью является гладкая функция, которую можно разложить в виде степенного ряда вблизи ее минимума; линейные члены должны исчезнуть, однако квадратичные члены отсутствуют только в очень редких случаях. Пока изучаемое движение ограничено областью смещений, в которой применимо квадратичное разложение, полная энергия тела Е может быть представлена в виде квадратичной функции координат и скорости. Так, для одномерного движения полная энергия равна

(2.8)(2.8)E = T-VV.

(2.8)

(2.8)

где T=xl2mx2— кинетическая энергия, a V=V2P^2— потенциальная энергия. Для изолированного тела Е является инвариантом, поэтому, дифференцируя (2.8) по х и используя соотношение dx/dx = = х]х, находим, что

тх^-^х = 0,(2.9)

т. е. мы получаем линейное уравнение такого же вида, как и (2.5). Отсюда следует, что если V—квадратичная функция смещения, то сила —dVIdx является линейной функцией. Однако этот факт удобнее выразить в виде (2.8), т. е. в виде квадратичной зависимости кинетической и потенциальной энергий от двух обобщенных координат: скорости (или, в более общем виде, импульса) и смещения.

Теперь можно приступить к разработке более общей теории линейных колебательных систем, которая учитывает большое число таких координат. Можно посмотреть, например, как укладываются в общую схему электромагнитные колебания. В ЛС-контуре электрическое поле Е' пропорционально q, а магнитное поле В' пропорционально q, так что полная энергия, содержащая вклады от Е и В/2, принимает вид (2.8), где электрическая энергия играет роль V, а магнитная — Т. Этот вывод в значительной степени не зависит от возможности связывать различные энергетические члены с определенными элементами цепи. Любая конфигурация поля в свободном пространстве имеет энергию, квадратичную по Е' и В\ и поэтому можно легко понять, что электромагнитные колебания должны в общем случае сводиться к гармонической модели; Пока поля не столь интенсивны, чтобы возмущать материальные структуры, определяющие конфигурацию этих полей, или вызывать нелинейную реакцию диэлектриков и других подобных веществ, квадратичная зависимость выполняется очень точно; поэтому не удивительно, что электромагнитные колебания занимают почетное место среди наиболее совершенных примеров гармонического движения. Электромагнетизм настолько важен в структуре современного мира, что уже одно это служит веским оправданием того исключительного внимания, которое уделяется анализу гармонических колебаний; кроме того, гармонические колебания играют нс менее важную роль при рассмотрении механических и акустических колебаний малой амплитуды и лежат в основе описания переходов в квантованных системах.

ПРОСТЫЕ АНГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

У нас будет достаточно времени для полного рассмотрения линейных систем, которое мы начнем в следующей главе, поэтому сейчас мы несколько отвлечемся и заглянем в более богатый мир нелинейных колебательных систем. Рассмотрим частицу, которая движется без потери энергии вдоль прямой линии под действием силы, зависящей от координаты, так что уравнение движения этой частицы имеет следующий вид:

mx = F^xY(2.10)

Очевидно, что (2.5) является специальным случаем этого уравнения. Уравнение (2.10) можно проинтегрировать без особых трудностей. Если разделить шкалу времени на равные короткие интервалы длиной 6 и значение х для /г-го интервала обозначить хп, то (х^х—2xn + xn-i)/62 станет первым приближением значения х на гг-м интервале. Поэтому мы можем записать в качестве приближения

т. е.т. е./» Un+i—2*« -Н^-^/е^/7 (хп),

т. е.

т. е.

•^п-Н 2хп -^п—1 “Ь ^2^ <ХпМП1.

Рис. 2 2 Возможные формы периодических колебаний.Рис. 2 2 Возможные формы периодических колебаний.Это уравнение позволяет вычислить Xn+i из двух предшествующих значений: хп и хп_\. Если этот процесс начат (скажем, при условии, что заданы две соседние величины: х0 и Х\^ то его можно продолжить до бесконечности. Выбрав достаточно малый интервал 9, можно достичь любой желаемой точности путем увеличения времени вычислений.

Рис. 2 2 Возможные формы периодических колебаний.

Рис. 2 2 Возможные формы периодических колебаний.

Пусть вид F (х) таков, что движение частицы ограничено некоторыми пределами, тогда частица в конце концов вернет-

щения временищения времениСлучай q отличается сим- сн в Xq и цикл повторится. Делая такое метрией относительно обра- утверждение, мы предполагаем, что час

щения времени

щения времени

тица возвратится в х0 с той же скоростью х, которую она имела первоначально; это

требуется, естественно, для сохранения энергии. Так как V зависит только от х, то Т и |х| должны быть также однозначными функциями х, потому что полная энергия имеет определенное значение. По этой причине цикл повторится совершенно точно. Кроме того, каждый полуцикл, от одной конечной точки к другой, является зеркальным отображением предыдущего полуцикла, причем скорость в каждой точке меняет знак. Такое поведение является элементарным следствием симметрии уравнения (2.10) относительно обращения времени, т. е. если t заменить на —I, то уравнение не изменится, потому что оно содержит только Z2. Запись решения х^ можно читать как в прямом, так и в противоположном направлениях, и мы, действительно, получим одинаковые кривые из-за симметрии полуциклов. На рис. 2.2, а показана возможная форма колебаний, подчиняющаяся уравнению типа (2.10); на рис. 2.2, б колебания не подчиняются этому уравнению и, когда такое поведение наблюдается в периодической системе, следует ожидать нарушения симметрии относительно обращения времени обычно вследствие неустойчивостей пли других необратимых явлений (см. также гл. 8).

Энергетическое уравнение (2.8) часто является лучшей отправной точкой для интегрирования уравнения движения, будучи фактически первым интегралом уравнения (2.10). Вместо интегрирова- 20

ния по интервалам формальное решение записывается в виде неопределенного интеграла, который затем, если необходимо, можно оценить посредством численного интегрирования. Так как Т = = V2^2, то (2.8) можно записать в следующей форме:

х = ^2<Е -VWV\ откуда следует, что

/ = f—— .(2.11)

Из выражения (2.11) со всей очевидностью вытекают два свойства решения: если полная энергия Е имеет фиксированное значение, то форма решения также определена, а так как всегда можно добавить произвольную постоянную интегрирования, решение инвариантно по отношению к сдвигам во времени.

Частица, колеблющаяся в потенциальной яме, удерживается в области, где Е—V везде положительно или равно нулю; пределы перемещения частицы представляют собой точки, в которых выполняется условие Е= V. Если интегрирование начато от одной из этих граничных точек, то начальное время / = 0 и значение интеграла после достижения второго предела составляет половину периода колебания. Так как подынтегральное выражение бесконечно в обоих пределах, необходимо проявлять определенную осторожность. В остальном формула (2.11) дает нам простой способ определения периода — это можно показать, осуществив интегрирование для одного из нескольких случаев, которые решаются аналитически, например для линейной колебательной системы, описываемой уравнением (2.9). В данном случае сила F^ =—цх; знак минус указывает на то, что сила притяжения направлена в сторону точки, выбранной нами за начало отсчета на оси х. Потенциальная энергия равна 72цх2, и

/71 V/21 / , X I 1

— cos-^x/^ + ^o»

/

где х0 = 2Е/ц и tQ — постоянная. При о/= (р/т)1/2 общее решение принимает следующий вид:

X = XQ COS [о/(/— /0)].

Если ^о выбрано равным нулю или л/о/ и если х равно одному из предельных значений ±х0, когда / = 0, то оно достигает другого предела, когда ш7 = л; при этом продолжительность цикла равна 2л/(о', как нам уже известно из (2.5) и (2.6).

Если потенциал симметричен и изменяется как м-я степень смещения, т. е. Е~|х|Ч то зависимость частоты от энергии можно вывести из (2.11). Записав V = a|x|n и Е^ах^, получим

t = C/^laY^ С йх\х^ — | xl")1/2.

В частности, если интеграл оценивается в интервале между 0 и х0, то t равно хк периода, так что

.Го1

Т^ = ^т!аУ1» ^ dxKx^ — xny^ = (&miaY^^^^[ d ^/(1 — УУ1^

оо

где £=х/х0. Интеграл является функцией только и, но не х0, поэтому для любой данной величины п имеем

Рис 2 3 Графический способ нахождения периодаРис 2 3 Графический способ нахождения периодаРис 2 4 Кривая В получена в результате сдвига кривой А Оба потенциала обеспечивают одинаковую зависимость частоты от энергииРис 2 4 Кривая В получена в результате сдвига кривой А Оба потенциала обеспечивают одинаковую зависимость частоты от энергии

Рис 2 3 Графический способ нахождения периода

Рис 2 3 Графический способ нахождения периода

Рис 2 4 Кривая В получена в результате сдвига кривой А Оба потенциала обеспечивают одинаковую зависимость частоты от энергии

Рис 2 4 Кривая В получена в результате сдвига кривой А Оба потенциала обеспечивают одинаковую зависимость частоты от энергии

Единственная степенная зависимость, при которой То не зависит от Е, представляет собой параболический потенциал с л = 2. Для подскакивающего мяча /г= 1 и Т^~Ек. В другом предельном случае, когда п-^оо, значение То стремится стать величиной, пропорциональной Е”1'2; это соответствует случаю мяча, движущегося по плоской поверхности и отскакивающего вперед и назад между вертикальными стенками (здесь частота пропорциональна скорости).

Определить период можно графическим способом, как это сделано на рис. 2.3. Проведем горизонтальную прямую линию, соответствующую энергии Е. Эта линия пересечет кривую V(х) в предельных точках колебания. Расстояние по вертикали между точками прямой Е и кривой V составляет Е—V. Теперь отсюда легко построить кривую (£—Е)-,/2.

Площадь под кривой, показанная штриховкой, представляет собой период (без учета постоянных). В случае параболического потенциала с ростом Е ширина заштрихованной области увеличивается, а ее высота уменьшается, так что площадь остается постоянной; такая колебательная система является изохронной, и ее частота не зависит от энергии. Поскольку любая потенциальная кривая У(х) может быть «сдвинута» без изменения частоты, существует непрерывная область изменения формы потенциалов V(х), при которых колебания остаются изохронными. На рис. 2.4 кривая В является

сдвинутым вариантом кривой А, причем обе кривые имеют одинаковые горизонтальные размеры при одинаковых значениях V. Горизонтальный сдвиг различен при разных значениях V и может изменяться произвольным образом, важно только, чтобы в результате этой операции V(х) оставалась однозначной величиной. Потенциальные кривые А и В обеспечивают одинаковую зависимость периода Го от Е, потому что в результате графического построения на рис. 2.3 для каждой из них кривая (Е—Г)-,/2 лишь сдвигается, при этом площадь области, которая под ней находится, остается

Рис. 2 5. Изохронный потенциал ах2А-Ь)х2Рис. 2 5. Изохронный потенциал ах2А-Ь)х2Рис 2.6. Изохронный потенциал, генерирующий колебания, которые не обладают свойством суперпозицииРис 2.6. Изохронный потенциал, генерирующий колебания, которые не обладают свойством суперпозиции

Рис. 2 5. Изохронный потенциал ах2А-Ь)х2

Рис. 2 5. Изохронный потенциал ах2А-Ь)х2

Рис 2.6. Изохронный потенциал, генерирующий колебания, которые не обладают свойством суперпозиции

Рис 2.6. Изохронный потенциал, генерирующий колебания, которые не обладают свойством суперпозиции

неизменной. Отсюда видно, что одной зависимости частоты от энергии недостаточно, чтобы зафиксировать форму потенциала. В частности, если о/ не зависит от Е, потенциал не обязательно является параболическим; любая кривая, полученная из параболы за счет сдвига, даст потенциал, в котором колебания изохронны. Важным свойством, помимо однозначности, является изменение ширины параболы по закону У'/2, когда V измеряется от самой нижней точки.

В качестве примера рассмотрим потенциал (см. также § 2.4)

V=axHb)x^(2.12)

показанный на рис. 2.5. Определим расстояние между двумя положительными значениями х, при которых V принимает данное значение. Для этого преобразуем (2.12) в квадратичное уравнение по х2:

^4-l^2 + 6^0.

Решениями этого уравнения являются ±Х] и ±х2. Из уравнения непосредственно следует, что

.х2 -j- х2 = V/a и х2х2 = Ь/а.

Отсюда

(^ — хА2 = Vja — 2 (b[aVb = (V — V

где I/0 = 2(6a)'/2 — значение У в точке минимума. Ширина параболы |%i—х2| пропорциональна (V—Vo),/2> и потенциал (2.12) в таком случае приводит к изохронным колебаниям.

Из всего семейства изохронных потенциалов, полученных из параболы с помощью сдвига, только сам параболический потенциал обеспечивает выполнение свойства суперпозиции. Рассмотрим случай, когда это свойство нарушается. Для этого возьмем полупара-

Рис. 2 7. В случае потенциала, изображенного на рис 2 6, свойство суперпозиции нарушается (а); для параболического потенциала свойство суперпозиции выполняется (б)Рис. 2 7. В случае потенциала, изображенного на рис 2 6, свойство суперпозиции нарушается (а); для параболического потенциала свойство суперпозиции выполняется (б)болический потенциал (рис. 2.6) с твердой стенкой слева, от которой отскакивает колеблющаяся частица. Траектория движения этой частицы представляет собой последовательность положительных синусоидальных петель. Два решения показаны на рис. 2.7, а (сплошные кривые) — их частоты одинаковы, а фазы и амплитуды различны. Сумма этих решений с резко изменяющимся наклоном (пунктирная кривая), очевидно, не является решением в собственном смысле этого слова. В противоположность этому полностью параболический потенциал обеспечивает решения, которые и строго синусоидальны, и изохронны (рис. 2.7, б). Так как любые две синусоиды с одинаковыми перио

Рис. 2 7. В случае потенциала, изображенного на рис 2 6, свойство суперпозиции нарушается (а); для параболического потенциала свойство суперпозиции выполняется (б)

Рис. 2 7. В случае потенциала, изображенного на рис 2 6, свойство суперпозиции нарушается (а); для параболического потенциала свойство суперпозиции выполняется (б)

дами дают в сумме синусоиду

с тем же периодом, то их сумма также является истинным решением уравнения движения и свойство суперпозиции выполняется.

Для демонстрации колебаний при разных потенциалах удобно использовать стальной шар, катящийся по кривому пути требуемой формы (рис. 2.8); с помощью направляющего желоба или рельса шар можно удержать на кривой без значительного трения. До тех пор пока кривая является пологой и вклад вертикальной компоненты скорости в кинетическую энергию пренебрежимо мал, энергети

ческое уравнение можно записать только через горизонтальную ко

ординату х:

г12т*х2 A-mgh (х) = Е,

где h (%)—высота кривой. Написав т* вместо т, мы учитываем вклад вращательного движения в кинетическую энергию, который также пропорционален х2. В рамках этого приближения модель ведет себя в соответствии с решением уравнения (2.8), где V = mgh; например, при Н^х2 кривая является параболой и колебания изохронны.

Реально это, конечно, не совсем так, потому что на самом деле кинетическая энергия равна xkm*s2, где s— расстояние вдоль кри-

вой. Для кривой, обеспечивающей строго изохронные колебания, 1г ~s2, если s и h измеряются от самой нижней точки. По этой кривой шар катится так, что его смещение s изменяется со временем синусоидально. Указанным свойством обладает циклоида, а не парабола. По определению, циклоида — это кривая, которую описывает точка, лежащая на ободе вращающегося колеса. На рис. 2.9 изображен круг, катящийся под горизонтальной линией, причем h

Рис. 2.8. Шар, катящийся по криволинейному путиРис. 2.8. Шар, катящийся по криволинейному путиh I

Рис. 2.8. Шар, катящийся по криволинейному пути

Рис. 2.8. Шар, катящийся по криволинейному пути

Рис. 2.9. Геометрическое по-строение циклоиды

измеряется от самой нижней точки, в которой оказывается точка Р, когда ф = 0. Если а — радиус круга, то

h = a (1 — cos ^) = 2а sin2 (ср/2).(2.13)

Чтобы найти зависимость s от ф, посмотрим, что произойдет с точкой Р, когда круг повернется на угол бф. Если его центр останется неподвижным, то перемещение точки Р выразится вектором длиной абф с углом наклона ф к горизонтали. Поскольку круг не проскальзывает, его центр должен сдвинуться на расстояние абф; поэтому первый вектор необходимо сложить с вектором той же длины, как показано на вставке к рис. 2.9. В результате легко получаем выражение для 6s:

ds = 2а cos (ср/2) d ^.

После интегрирования имеем, используя (2.13),

s = 4a sin ^^^йаКУ11.

При таком соотношении между s и h колебания являются изохронными. Это свойство циклоиды было открыто Гюйгенсом [1], который также показал, как нужно использовать циклоидальные ограничители в случае математического маятника, чтобы грузик описывал циклоидальную траекторию (рис. 2.10). Этот результат является скорее занимательным и элегантным, чем полезным, потому что и не ограниченный в движении маятник с малой амплитудой колебаний оказывается весьма близким к изохронному случаю. Легче сохранить постоянной амплитуду, чем придумать хитроумный практический прием, который бы ликвидировал влияние изменения амплитуды на частоту.

Чтобы пояснить последнюю мысль, вычислим зависимость частоты от амплитуды для математического маятника, грузик которого движется по окружности. Смещение грузика описывается углом 9 между нитью и вертикалью, и энергетическое уравнение

72 тп№ -]- mgl (1 — cos 6) = Е

можно преобразовать к следующему виду:

z/2=wo(sin2yo — sin2y),

Рис 2.10 Циклоидальный маятник Гюйгенса. Когда нить маятника заключена между направляющими А и В, грузик описывает циклоидальную траекторию, изображенную пунктирной линией

где у = 0/2, to02 = gll и Е записывается как 2(g‘//)sin^y0; Уо является мерой максимального отклонения маятника от положения равновесия. Маятник находится в покое при у = 0, когда y=:hyQ. Отсюда следует, что если исходить из тех же соображений, что и при выводе формулы (2.11), и учесть симметрию V, которая использовалась для разделения цикла на четыре равные части, то период колебаний

Уо

То= — С.(2.14)

шо J (sin2(/0 — sinS^)1/2

Подынтегральное выражение бесконечно в верхнем пределе, однако это неудобство можно исключить заменой переменных. Пусть sin ср = sin у (sin у0) тогда

sin у0 cos <р = (sin2 #0 — sin2#)1/2;

кроме того, sin у о cos 7 d? = cos# d# ,откуда d#/(sin2#0— sin2#)V2 = d<p/cosy.

Если у пробегает значения от 0 до #0, то ср меняется от 0 до л/2 и формула (2.14) принимает следующий вид:

Т^ — f ЕЕ*

ш0 J (1 — Sin2^0 Sin2 у)1/2

Разложив подынтегральное выражение, которое является конечным, в ряд, получим

л/2

Го= Д J (14- Д sin2y0 sin2?+-..)d ® =

0 о

= ^Р+Д5т2уо+...)= Дьр+Ду2+. )(2.15)

“0\4/<"0 \4/

Второе слагаемое представляет собой первую поправку к периоду колебаний с малой амплитудой 2л/соо, т. е. 2n(//g),/2.

Вклад этой поправки оценим на примере старинных высоких часов в деревянном футляре (которые имеются у автора) с маятником длиной НО см и полным размахом колебаний 9 см В этом случае yQ = (’А) • (9/110) «0,02 и (*А)#о2~ Ю-4. По сравнению с таким же маятником, но колеблющимся с очень малой амплитудой, эти часы должны отставать примерно на 9 с за сутки. Такую ошибку, разумеется, можно легко скомпенсировать, укоротив маятник на *А мм, и вопрос состоит лишь в том, насколько постоянной должна быть амплитуда, чтобы флуктуации в течение периода не выходили за некоторый определенный предел. Ответ можно получить, если провести логарифмирование и дифференцирование второго варианта формулы (2.15). С необходимой степенью приближения

^^о/^о = V2 У^Уо — 1/2#о ^Уо/Уо\

Для часов, о которых мы говорили выше, 6То1То = 2*1О-4(&уо1уоУ если при проверке точности хода отклонение будет составлять менее 1 с за сутки, то это означает, что амплитуда не должна меняться более чем на 8%. Это не очень жесткое требование, и если большинство домашних маятниковых часов не обладает такой регулярностью хода, то это вызвано, вероятно, другими причинами. В настоящее время изготовлены астрономические маятниковые часы, которые имеют такую точность хода, что отклонение составляет менее 1 с в год [2]. Для обеспечения подобной точности часы помимо усовершенствований в конструкции (а эти инструменты являются чудом мастерства) должны иметь не только малый, но и очень хорошо стабилизированный размах колебаний.

Теперь перейдем от этой почти гармонической системы к ее противоположности и рассмотрим потенциальную кривую с двумя минимумами (рис. 2.11). До тех пор пока Е<ЕХ, тело колеблется вблизи первого или второго минимумов и колебания являются почти гармоническими, когда амплитуда достаточно мала; влияние максимума Ех проявляется по мере приближения Е к этому значению. При более высо-

а)а)Рис. 2 11. Потенциальная кривая с двумя минимумами (о); схематическое изображение зависимости частоты от энергии для данного потенциала (б)Рис. 2 11. Потенциальная кривая с двумя минимумами (о); схематическое изображение зависимости частоты от энергии для данного потенциала (б)ких энергиях колебания становятся симметричными, при этом быст

а)

а)

Рис. 2 11. Потенциальная кривая с двумя минимумами (о); схематическое изображение зависимости частоты от энергии для данного потенциала (б)

Рис. 2 11. Потенциальная кривая с двумя минимумами (о); схематическое изображение зависимости частоты от энергии для данного потенциала (б)

рые части цикла соответствуют прохождению тела через минимумы, а медленные — концевым точкам и середине. Непосредственно в критической точке, которая определяется условием Е = ЕХ, частота падает до нуля. Это происходит потому, что здесь скорость тела мгновенно обращается в нуль и для пересечения пика требуется бесконечное время. Чтобы увидеть, как изменяется частота в этом энергетическом диапазоне, будем считать, что Е немного превышает

Ех, так что интеграл (2.11) принимает следующий вид:

ооdx(хЗ + е)1/2 'dx(хЗ + е)1/2 '

о

о

dx

(хЗ + е)1/2 '

dx

(хЗ + е)1/2 '

где слагаемое х2 выражает форму пика при малых х, а е — избыточную энергию Е—Е\. Время, затраченное на некоторое небольшое смещение Xj от центра, следовательно, пропорционально величине sh-1 (xi/e1/2), которая стремится к V2ln (4xi2/e), если е стремится к нулю. Таким образом, оказывается, что время, проведенное вблизи пика,и определяет в конечном счете значение периода, а частота стремится к нулю как (—1пе)-1. Это исключительно быстрый спад; то же происходит, когда Е стремится к Ех снизу.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ ДЛЯ РАСЧЕТА ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ

Вернемся теперь к рассмотрению гармонических осцилляторов. При максимальном смещении в состоянии покоя они обладают только потенциальной энергией V. Когда смещение равно нулю, скорость

осцилляторов максимальна, при этом их энергия представляет собой полностью кинетическую энергию Т. Если Т и V заданы уравнением (2.8), а смещение равно a cos w't, то скорость составляет —а^ sin со7Л При максимальном смещении а и максимальной скорости a<\V имеем У= V2M^2, иТ= xhm (асо7)2 при нулевом смещении. Так как эти величины должны быть равны, то о/2 = ц/m, как уже было най-

Рис 2 12 Разрез резонатора ГельмгольцаРис 2 12 Разрез резонатора Гельмгольцадено путем прямого решения уравнения движения. Заметим, что амплитуда а, как и предполагалось, выпадает из этого выражения вследствие независимости частоты от амплитуды.

Рис 2 12 Разрез резонатора Гельмгольца

Рис 2 12 Разрез резонатора Гельмгольца

Такой способ определения со7 не добавляет ничего нового к нашему пониманию описываемых явлений, и, хотя его удобно применять к простым осцилляторам, все же нельзя сказать, что он обладает какими-то преимуществами по сравнению с прямыми методами. Однако в случае более сложных

систем преимущество этого способа становится заметным, особенно если нужно получить приближенные оценки. К применению это

го метода мы вернемся во втором томе при обсуждении принципа Рэлея. А пока проиллюстрируем его расчетом резонансной частоты резонатора Гельмгольца, широко используемого для анализа звуков [3]. Сфероидальная металлическая оболочка радиуса R (рис. 2.12) имеет одно сравнительно большое отверстие А и малое отвер

стие В, которое по форме точно соответствует уху, регистрирующему слабые колебания давления внутри оболочки.

Когда резонатор воспринимает звук соответствующей частоты, воздух внутри резонатора колеблется, перемещаясь внутрь и наружу через отверстие Л, как показано стрелками. Резонансная частота определяется в основном объемом оболочки и площадью отверстия . При максимальном смещении воздуха внутрь вся внутренняя поверхность испытывает равномерное давление и энергия является полностью потенциальной; аналогично, при максимальном смещении воздуха наружу, когда воздух внутри оболочки расширяется и давление становится ниже атмосферного, также происходит увеличение потенциальной энергии. Между этими двумя фазами давление равно атмосферному, однако часть воздуха, находящаяся вблизи Л, вытекает с максимальной скоростью и уносит с собой энергию колебаний в кинетической форме. Чтобы определить, чему равна кинетическая энергия воздуха, когда средняя скорость в отверстии равна z, требуется знать конфигурацию потока. К этому вопросу мы вернемся через некоторое время. Пока же вполне достаточно считать, что скорость потока быстро падает по мере удаления от отверстия, а его кинетическая энергия равна энергии массы газа, содержащегося в очень коротком цилиндре пока не известной длины /, радиус г которого совпадает с радиусом отверстия Л. Если представить себе, что этот цилиндр совершает гармонические колебания малой амплитуды а<^1, то его максимальная скорость равна асо' и кинетическая энергия

Т=1/2лг2/ра20/2э(2.16)

где р — плотность газа.

Вычислим потенциальную энергию в момент максимального смещения воздуха внутрь. Для этого учтем, что объем газа в оболочке, равный первоначально 4/зл7?3, уменьшается на ти^а, а относительное изменение составляет ^l^ajR^. Если модуль адиабатного сжатия газа равен К (истинное значение -\Р можно пока не использовать), то избыточное давление внутри оболочки в этот момент будет равно ^Kj^alR?, а работа, необходимая для создания такого сжатия посредством медленного впуска газа, составит половину произведения давления на объем перемещенного газа. Отсюда при полностью потенциальной энергии имеем

У = -Г ( A Kr^ajR^ пг^а.(2.17)

Приравнивая (2.16) и (2.17), получаем выражение для частоты:

ш'2 = з/4/<г2/(р/^3) = з/4 с^Д/^З),

4 л (/^З)1/24 л (/^З)1/2где cs — скорость звука, равная (/C/p)v< Длина волны X в открытом пространстве для звука с частотой о/ равна 2лс.$/со/, поэтому условие резонанса для резонатора Гельмгольца можно выразить через чисто геометрические члены с помощью следующей формулы:

4 л (/^З)1/2

4 л (/^З)1/2

(2.18)

Один из резонаторов, хранящихся вот уже более 100 лет в музее Кавендишской лаборатории, испытывался с помощью генератора

Рис. 2.13 Плавное протекание воздуха через круглое отверстие в плоской пластине (о) и линии электрического поля вокруг заряженной пластины, размер которой равен диаметру этого отверстия (б); в — идеализированный плоский конденсатор (без учета краевого поля), емкость которого совпадает с емкостью пластины, изображенной на рис. 2 13, б, по отношению к земле

звуковых сигналов и громкоговорителя и резонировал при определенной высоте тона (на ноте соль, лежащей ниже так называемого среднего до и имеющей длину волны 1,77 м). Резонатор имел /? = 9 см и г= 1,9 см. При таких параметрах соотношение (2.18) выполняется, если / = 3 см. Это значение, как мы видим, близко к диаметру отверстия, равному 3,8 см. Вполне удовлетворительную теоретическую оценку легко получить, если радиус R достаточно велик — тогда поток газа через отверстие похож по конфигурации на поток через отверстие в плоской стенке, а этот случай аналогичен электрическому полю, излучаемому заряженным металлическим диском радиуса г, т. е. все сводится к стандартной электростатической задаче. Следуя аналогии между силовыми линиями поля и линиями тока газа, можно увидеть, что величина 1/2 равна зазору между обкладками идеализированного конденсатора (рис. 2.13, в), который имеет ту же емкость 8е0г, что и изолированный диск. В результате получаем 1=х12яг, что в нашем примере дает значение /~3, находящееся в удовлетворительном согласии между теорией и экспериментом.

Следует отметить, что определение частоты колебаний, основанное на вычислении энергии, в принципе не ограничивается гармоническими колебаниями, так как в любом силовом поле колеблющийся объект переносит свою энергию попеременно то в потенциальной, то в кинетической формах. Однако на практике соотношение между максимальным отклонением, максимальной скоростью и частотой (уМакс = (о/а для гармонических колебаний) установить не удается, если неизвестно полное решение уравнения движения, поэтому такой подход является бесполезным, за исключением одно-

го случая. Для иллюстрации опасности, которая возникает при бездумном использовании этого метода, рассмотрим простой маятник, который колеблется с размахом вплоть до горизонтального положения, так что в момент покоя его потенциальная энергия равна mgl. Если бы грузик маятника двигался по строго гармоническому закону вдоль дуги, то можно было бы записать амплитуду как хкк1 и кинетическую энергию при прохождении самой нижней точки— как Vs^co^n2/2. Приравнивая эти две энергии и помня, что при малых амплитудах частота ^о=^§11У'\ можно оценить коэффициент увеличения периода, как xh^J V2, что составляет 11 %, хотя в действительности эта величина равна 18%.

СИСТЕМА С НЕСКОЛЬКИМИ МОДАМИ КОЛЕБАНИЙ

Рис. 2.14. Два связанныхмаятника, подвешенныхна свободно провиса-ющей нитиРис. 2.14. Два связанныхмаятника, подвешенныхна свободно провиса-ющей нитиРассматривавшиеся до сих пор системы были просты в том отношении, что имели только одну значимую переменную. Простыми их можно было назвать и в обычном смысле этого слова. Существует, однако, множество других систем — на первый взгляд они кажутся столь сложными, что их описание представляется также достаточно сложным, однако после надлежащего изучения их можно свести к более простым. Возьмем, например, случай двух идентичных маятников, подвешенных на провисающей нити (рис. 2.14). Пусть один из маятников начнет колебаться в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка. После нескольких колебаний к нему вследствие воздействия связывающей нити присоединится другой маятник, при этом амплитуда колебаний первого маятника начнет уменьшаться. Затем наступит момент, когда пер

Рис. 2.14. Два связанныхмаятника, подвешенныхна свободно провиса-ющей нити

Рис. 2.14. Два связанныхмаятника, подвешенныхна свободно провиса-ющей нити

вый маятник остановится, а колебаться будет только второй, потом процесс будет развиваться в обратном направлении до тех пор, пока энергия не вернется в исходное состояние, — так будет продолжаться вплоть до полного затухания колебаний. Очевидно, что этот процесс не может быть описан с помощью одной переменной, которая совершает синусоидальные колебания с постоянной амплитудой. Если же оба маятника сместить на одинаковые расстояния в одном направлении, то они начнут колебаться вместе без всякого обмена энергией. То же самое произойдет, если сместить их на одинаковые расстояния в противоположных направлениях, хотя в этом случае маятники будут колебаться в противофазе и частота их колебаний станет немного выше, чем при совпадении фаз. Видно, что такая система в двух разных модах (режимах) может совершать простые гармонические колебания и характерный обмен энергией, описанный выше, — следствие возбуждения обеих мод одновременно.

Более подробно это явление мы рассмотрим позже (см. § 11.9), сейчас же, чтобы внести предварительно некоторую ясность, доста-

точно отметить следующее. Если Хх и х2— смещения двух маятников, то величины лд + хг и Хх—х2 ведут себя как координаты простой колебательной системы, совершающей только гармонические колебания:

(хх-\-х2) = Ах c°s (i'V + Ti),(2.19)

(хх — x2) = A2cos (о)2/ + ф2).(2.20)

Эти колебания могут сосуществовать, оставаясь независимыми друг от друга, и любое движение системы можно представить как суперпозицию двух мод с произвольным выбором постоянных Ли2 и ф1,2 (при этом амплитуды обязательно должны быть достаточно малы, чтобы выполнялись условия линейного приближения). Таким образом, эти две нормальные моды гармонического типа являются либо симметричной модой, для которой х2 = %1 и Л2 = 0 при Л^О, либо антисимметричной модой, для которой х2 = —Хх и Лi = 0 при Л2=^0. Если обе моды возбуждаются одновременно,‘ т. е. Л1=Л2=1, и если epi =ф2 = 0, то, суммируя и вычитая (2.19) и (2.20), можно показать, что

x1 = 1/2(cos oj^-J- cos со2/):= cos <V>^ cos 8/,x2=1/2(cosu>i/— cos w2/) = sin <V>^sin 8/,гдеИ ^ = 72(0)2—OJj).

Если частоты этих двух мод приблизительно одинаковы, т. е. д<^ <со>, то амплитуды хх и х2 медленно изменяются со средней частотой <(о>, причем хх— по закону cos б/, а х2— по закону sin Ы, т. е. они принимают максимальные значения попеременно.

Такие два маятника представляют собой физическую систему, конфигурация которой определяется двумя координатами хх и х2 и которая имеет две нормальные колебательные моды. Зависимость формы натянутой струны от времени описывается непрерывной функцией от бесконечного числа дискретных переменных, такая струна может совершать гармонические колебания на многих частотах. В этом частном случае все частоты нормальных мод кратны самой низкой, основной, частоте, что можно легко продемонстрировать с помощью фортепьяно.

Нажмите клавишу С (среднее до), которая расположена на две окгавы ниже с' \ настолько мягко, чтобы демпфер приподнялся, а сама нота не прозвучала Затем ударьте по клашиве с на октаву выше С и отпустите ее — более низко звучащая струна будет слышна на октаву выше своего естественного тона. Аналогичное явление произойдет, если то же проделать и с нотой g (соль), расположенной выше С Тогда низкая С-струна возбудится на своей третьей гармонике и зазвучит как g (соль); так можно сделать с с’ (до) и е' (ми), gr (соль) и с" (до), расположенных выше сг. Промежуточные ноты не заставляют звучать низкую С-струну. В своей основной моде эта струна колеблется как простая петля с одной пучностью в центре (рис 2 15), другие же моды, описанные выше, имеют 2, 3, 4, 5, 6 и 8 пучностей (седьмая гармоника звучит примерно посредине между а' (ля) и bf (си) и не представлена на

* Клавиша с' соответствует ноте до 3-й октавы — Прим. ред.

диатонической шкале, она не может быть возбуждена на фортепьяно, однако если у вас поставленный тенор или более высокий голос, то вы сможете возбудить эту гармонику посредством громкого пения над С-струной). Струна имеет фактически неограниченный набор мод, каждая из которых обеспечивает строго гармонические колебания на каждом элементе струны. Когда одновременно возбуждается несколько мод, например ударом фортепьянного молоточка, то суперпозиция всех мод с их разными частотами и стоячими волнами заставляет каждый элемент струны совершать различные несинусоидальные движения.

Рис. 2 15 Колебания натянутой струны на основной и третьей гармониках. Сплошные и штриховые линии показывают максимальные смещения, отстоящие друг от друга по времени на половину циклаРис. 2 15 Колебания натянутой струны на основной и третьей гармониках. Сплошные и штриховые линии показывают максимальные смещения, отстоящие друг от друга по времени на половину циклаРис. 2.16. Простой маятник, подвешенный на петле и колеблющийся с разными частотами в двух взаимно перпендикулярных плоскостяхРис. 2.16. Простой маятник, подвешенный на петле и колеблющийся с разными частотами в двух взаимно перпендикулярных плоскостях

Рис. 2 15 Колебания натянутой струны на основной и третьей гармониках. Сплошные и штриховые линии показывают максимальные смещения, отстоящие друг от друга по времени на половину цикла

Рис. 2 15 Колебания натянутой струны на основной и третьей гармониках. Сплошные и штриховые линии показывают максимальные смещения, отстоящие друг от друга по времени на половину цикла

Рис. 2.16. Простой маятник, подвешенный на петле и колеблющийся с разными частотами в двух взаимно перпендикулярных плоскостях

Рис. 2.16. Простой маятник, подвешенный на петле и колеблющийся с разными частотами в двух взаимно перпендикулярных плоскостях

Еще более сложные колебания совершают барабаны и колокольчики, однако и здесь возможно разделение на нормальные моды, причем каждая нормальная мода носит характер простого колебания и может быть представлена в гармоническом виде с помощью одной переменной. Все эти системы подчиняются линейным уравнениям движения, от которых зависит разделение на нормальные моды. Существенные отличия имеют нелинейные системы со многими переменными, которые не могут быть сведены к какому-то простому обобщенному виду движения и должны рассматриваться индивидуально. В дальнейшем в соответствующих местах мы приведем несколько примеров подобных систем, анализ которых представляет определенную трудность (см. § 8.3, 12.5).

Заслуживает рассмотрения система с двумя независимыми нормальными модами, представляющая собой простой маятник, колеблющийся не в плоскости, а в произвольном направлении (например, рис. 2.16). Частота в этом случае зависит от направления колебания. Нормальные моды можно наблюдать следующим образом: если плоскость колебаний маятника перпендикулярна плоскости рисунка, то его эффективная длина равна 1ь если же эти плоскости совпадают, то эффективная длина маятника равна /2. Обозначим эти два направления с помощью осей х и у. Тогда движение в каждой из этих двух нормальных мод следует одному из уравнений:

х = Ах cos (ю^Ц-?i); У = А2 cos (<d2^+ ф2), (2.21) где coi5 = g//i и ^ = £1к. Комбинация этих двух движений приводит к хорошо известным фигурам Лиссажу, примеры которых показа-

ны на рис. 2.17. Если отношение 01/(02 является рациональной дробью вида NJM (где N и М не имеют общего множителя), то фигура замыкается после N циклов в направлении х и после М циклов в направлении у; вся фигура располагается в пределах прямоугольника со сторонами 2А1 и 2А2. Если отношение о)1/<о2 иррационально, то фигура никогда не замыкается и график в конце концов пробегает по всем точкам внутри некоторого прямоугольника. Эти фигу-

а)б)в)г)д)

е)ж)з)и)к)

Рис. 2.17. Фигуры Лиссажу:

а — д: g)i=2co2 и ф=0, х[^, ЧзЛ, 3Ал, л соответственно; е — з: (Oi=3<o2 и ф=0, ’Ал, ’Ал; и, к: (Oi = 1,5(O2 и ф=0, ’Ал

ры легко наблюдать с помощью электронно-лучевой трубки, если к ее X- и У-пластинам приложить переменные напряжения с изменяющимися частотами.

Аналогично ведет себя под действием пружин тело, движение которого ограничено по двум направлениям. Его потенциальная энергия является положительно-определенной квадратичной функцией смещения от точки равновесия, причем это происходит при любом расположении пружин, по крайней мере для малых смещений. Если оси выбраны произвольно, то потенциальная энергия принимает вид ax^-Vby^-Vcxy, однако соответствующим выбором ориентации осей (см. § 12.2) слагаемое сху можно исключить и тогда для V получаем

=Ь'у2,

Сила, действующая на сместившееся тело, представляет собой двумерный вектор F (х, у) с компонентами

F=(—dVldx, — dV [ду^^ — ^а'х. — ^Ь'уУ

В такой системе координат переменные разделяются, что приводит к уравнениям движения

mx=Fx = — Ча’х и my=Fy = — ^b'y.

Частоты нормальных мод определяют здесь выражениями coi2 = ^^a'lm, ^^^b'jm. Фигуры Лиссажу являются результатом одновременного возбуждения обеих мод.

В специальном случае изотропного двумерного осциллятора (например, конического маятника) а = Ь и coi = со2- Тогда F направлена в сторону смещения и система может осциллировать вдоль прямой линии в любом направлении: .

Г = А СО5(0)/ + ф)3

где А—любой постоянный вектор в данной плоскости. Однако любая комбинация х- и //-колебаний с произвольной амплитудой и разностью фаз равновероятна. Это приводит к движению по эллиптической траектории. Пусть разность фаз равна 2ф и начало отсчета времени выбрано так, что движение можно записать в следующей форме:

х = Ах cos (о>/ — ф) = Лт (cos со/ cos ф+ sin со/ sin ф),у = А2 cos (со/-^-ф) = Л2(со5 со/ cos ф — sin со/ sin ф).

Тогда х/Л!+///Л2 = 2соз со/cos ср и х)Ах—///Л2 = 2 sin со/sin ф, откуда ^х]Ах + у!А2)2 sin2 ф+ ^х(Ах—yjA2y cos2 ф = sin2 2ф. Исключив переменную /, мы получили уравнение (причем квадратное уравнение) для траектории, которая, как легко видеть, представляет собой эллипс. Читатель может вывести для себя соотношение между Ах, Л2 и ф, с одной стороны, и формой и ориентацией эллипса — с другой. При этом получаются довольно сложные и мало пригодные для практического применения формулы .

Конический маятник обладает тем свойством, что в случае малых смещений все траектории его движения являются замкнутыми и имеют одинаковый период. Таким образом, радиальное колебательное движение является изохронным, хотя и не гармоническим. Для того чтобы отделить это радиальное движение от вращения, будем наблюдать грузик в системе координат, которая вращается

вместе с ним. Если г — радиальное смещение и Q — мгновенная угловая скорость, то момент импульса Ь = тг2й, а так как L— константа движения, то Q = L/ (тг2) ~ 1/г2. Для наблюдателя, находящегося в системе координат, которая также вращается с изменяющейся угловой скоростью Q, грузик испытывает действие центробежной силы тгй2 и возвращающей силы нити — цг и поэтому движется по прямой линии под действием силового поля

F (г) = тг 22 — 1лг = L2/(mr3) — ^г, которое выводится из потенциала

V (г) = V2 Н2 + Ь2ц2тг2).

Это выражение имеет такой же вид, как и уравнение (2.12), которое уже упоминалось в качестве примера изохронного потенциала. Теперь мы можем записать форму колебания для этого потенциала— оно и будет представлять радиальное движение конического маятника, перемещающегося по эллипсу. Если направления осей х и у выбрать так, чтобы они совпадали с осями эллипса, два колебания (2.21) окажутся сдвинутыми по фазе на 90°, при этом смещение по х максимально, когда грузик пересекает ось x(z/ = O), а смещение ко у максимально, когда он пересекает ось у^х = 0у.

х = С\ cos<о/, y = C2sm tot.

Отсюда

г^ = С2 cosW-J-C^ sin2

что можно записать в форме

г = Сг(\-уВ sm2totybs

где Ci может принимать любое положительное значение, а В (равное C22/Ci2—1) — любое значение между —1 и +оо. Тот же результат можно, разумеется, получить непосредственно, интегрируя уравнение (2.11).

ДИССИПАЦИЯ

Простые колебательные системы, обсуждавшиеся до сих пор, были идеализированы в том смысле, что мы не учитывали неизбежные потери, вызывающие на практике затухание амплитуды колебаний пассивной системы. Термин «пассивная» указывает на отличие данного класса колебательных систем от другого, к которому, в частности, принадлежат «активные» осцилляторы, имеющие внешний источник энергии. В пассивной системе энергия превращается в теплоту, но не наоборот, поэтому затухание представляет собой единственный путь для изменения состояния системы *; в проти-

х В данном случае мы пренебрегаем обменом между случайными тепловыми движениями и колебаниями системы Такой обмен имеет большое значение в малых системах и в точных приборах, но в других случаях обычно не учитывается. Этот вопрос будет обсуждаться в гл. 4 и далее (см. §4 4, 6.5, 11.8).

воположность пассивной активная система может увеличивать амплитуду колебаний до тех пор, пока диссипация остается сравнимой с подводимой мощностью, или до тех пор, пока свойства системы резко не изменятся под действием какого-либо ката- зтрофического события. Зависимость скорости диссипации от амплитуды движения в пассивной системе может принимать различные формы.

В качестве иллюстрации можно привести такие простейшие, с математической точки зрения, примеры, как диссипация на омическом сопротивлении в колебательной электрической цепи или вязкое затухание в механической колебательной системе. В обоих случаях сила, ответственная за затухание, пропорциональна первой производной от смещения. Для цепи, показанной на рис. 2.1, в, смещение определяется зарядом q, при этом q представляет собой ток через R, a Rq—разность потенциалов на резисторе R. Если q и q положительны, то электрическое поле между обкладками конденсатора и поле в резисторе имеют одинаковые знаки и в соотношении (2.5) можно прибавить еще один положительный член:

Lq-VRqA-qlC = O. (2.22)

Это уравнение можно записать в форме, которую далее будем называть стандартной:

Н^’+«^ = 0. (2.23)

В этом частном случае k = R)L, вместо q стоит обобщенное смещение £ и соо2=(ЛС)“1. Подобно этому, на грузик маятника (см. рис. 2.1, а), смещенный на положительный угол 9 и движущийся наружу с положительной скоростью /0, действуют возвращающая сила, пропорциональная 0, и пропорциональная 0 сила трения со стороны вязкой жидкости, окружающей грузик (ее направление совпадает с направлением возвращающей силы). Поэтому уравнение движения такого маятника имеет вид, аналогичный (2.23).

Уравнение (2.23) широко применяют для описания затухающего колебательного движения. Это частично обусловлено тем, что электрические цепи, для которых оно действительно очень характерно, весьма распространены, и частично — линейностью этого уравнения, что делает его математически удобным. Физики часто стремятся свести все к линейности — этот подход оправдан, если линейное приближение не является слишком сложным и если другой путь (путь решения реальной задачи) предполагает совсем другой уровень трудности. В этой книге мы часто будем обсуждать линейные или линеаризованные системы, поэтому в самом ее начале покажем на нескольких примерах, что реальность не всегда совпадает с нашими пожеланиями, в случае же диссипативных сил это проявляется гораздо заметнее, чем когда мы имеем дело с возвращающей силой в системах, колеблющихся с малой амплитудой.

Рис 2.18. Смещение передемпфи- рованного осциллятора, который испытал удар, находясь в покое при / = 0; две постоянные времени отличаются здесь в два разаРис 2.18. Смещение передемпфи- рованного осциллятора, который испытал удар, находясь в покое при / = 0; две постоянные времени отличаются здесь в два разаТак, например, механический осциллятор, погруженный в вязкую жидкость и движущийся настолько медленно, что поток вокруг него можно считать ламинарным, действительно испытывает действие замедляющей силы, пропорциональной его скорости. Однако если он движется столь быстро, что возникает турбулентный след, сила пропорциональна примерно у2; если же это колеблющееся тело испытывает трение, двигаясь по некоторой неподвижной поверхности, то сила трения направлена против движения и может не зависеть от скорости. Это простейшие примеры нелинейных диссипативных эффектов, но ничего необычного нет и в более сложных случаях, например сила трения может быть весьма большой, когда нет скольжения, и резко уменьшаться, как только начинается скольжение (см. § 2,6; 11.3).

Рис 2.18. Смещение передемпфи- рованного осциллятора, который испытал удар, находясь в покое при / = 0; две постоянные времени отличаются здесь в два раза

Рис 2.18. Смещение передемпфи- рованного осциллятора, который испытал удар, находясь в покое при / = 0; две постоянные времени отличаются здесь в два раза

Каждый такой пример требует специального рассмотрения, если мы ищем полное аналитическое решение, однако в том случае, когда скорость затухания не слишком высока, вполне удовлетворительное приближение можно получить из энергетических соображений. Прежде чем закончить обсуждение этой темы, отыщем полные решения для двух моделей, которые можно использовать для сравнения с результатом приближенного анализа. Первая модель, важная сама по себе и, следовательно, заслуживающая более подробного обсуждения, связана с линейным уравнением (2.23), решение которого представляет собой экспоненциально затухающее гармоническое колебание, описываемое формулой (2.1). Подставляя £ = £0 cos(co7-(-?) е~*/Ха в (2.23), находим, что члены, содержащие соз(<о7 + ф) и sin (со^ + ф), исчезают и решениями уравнения являются либо

со'2-^1- £2, та = 2/^(если к-^^^.(2.24)

либоо/ = О, та = 2/[^ ± (^2_.4со2)1/2](если Д>2со0). (2.25)

(2.26)(2.26)Апериодическое решение (2.25) возникает в случае слишком сильного затухания колебаний (например, когда R2>4LJC), такую систему называют передемпфированной. Тогда полное решение с двумя подгоночными коэффициентами принимает следующий вид:

(2.26)

(2.26)

где п и т2 — два значения выражения (2.25). Типичная кривая зависимости 1 от времени для передемпфированной системы показана на рис. 2.18, где ^(0) =0, так как мы выбрали £2 =—£ь

В пределе при затухании значительно выше критического ri приближается к \[к и Т2— к k/^. Для ЛС7?-контура величина Ti = = L!R представляет собой постоянную времени для Л/?-цепочки, в то время какт2 = Т?С — постоянную времени для /?С-цепочки, причем T2^>Ti. Если к покоящейся системе приложить импульс э.д. с., в формуле (2.26) 52 = —£ь амплитуды двух слагаемых первоначально будут совпадать и крутой передний фронт импульса определится коэффициентом gi. После одного или двух периодов ti в (2.26) начинает превалировать слагаемое с ^ и спад импульса к нулю, определяемый Т2, происходит очень медленно. Здесь нетрудно проследить проявление определенных физических процессов. Начальная импульсная э.д. с., создающая ток, исчезает еще до того, как на конденсаторе появляется заметный заряд. Следовательно, сразу же после этого конденсатор не играет никакой роли и спад тока определяется L и R с постоянной времени L/R. На мгновение позже, когда ток мал, конденсатор, который приобрел теперь некоторый заряд, начинает оказывать все большее влияние, и к моменту, когда ток уменьшается до нуля, воздействие конденсатора оказывается доминирующим. Заряд на конденсаторе достигает максимального значения, после этого происходит разряд. Если R велико, то скорость разряда, определяемая постоянной времени RC, мала настолько, что индуктивными эффектами можно пренебречь.

Недодемпфированная система, подчиняющаяся уравнению (2.24), представляет собой колебательную систему с добротностью Q, которая определяется из (2.2). Так как o),z= 1/та = Уг^, то

Q = (o7£ = (a)2/£2_1^ (2.27)

Таким образом, добротность ЛС/?-контура, для которого соо2 = = ^LR)-1 и k=R)L, равна [Л/(7?2С)—У^2. При Q^l ее приближенное значение составляет wqLIR или (to0RC)-1.

Особой является точка критического затухания 6 = 2со0, где Q = 0, и решение (2.24) заменяется на (2.25). Если недодемпфированная система находится первоначально в покое, а затем в момент / = 0 резко выводится из этого состояния и начинает колебаться, то последующее движение описывается уравнением

£ = В0 sin <йЧе-(/Та, (2.28) так как такой выбор фазы (ср = —л/2) обеспечивает обращение § в нуль в начальный момент. Когда к вырастает и достигает 2(о0, постоянная времени та уменьшается до 1/соо, а со^О, поэтому до того, как экспоненциальный член полностью подавит колебания, проходит лишь меньшая часть цикла sin tot. В пределе, когда выполняется критическое условие, можно заменить sin to't на соУ, что дает

где постоянная £0 представляет собой значение £ в начальный момент. График этой функции очень похож на кривую, изображенную на рис. 2.18.

Прибор типа гальванометра с подвижной катушкой, в котором затухание колебаний стрелки происходит под действием токов, наведенных во внешнем резисторе, можно настроить на режим затухания— этот режим обычно выбирают ближе к критическому затуханию, потому что тогда гальванометр реагирует наиболее быстро. Если затухание в приборе меньше критического, то стрелка, прежде чем остановиться на определенном делении, совершает несколько колебаний. Если же затухание больше, то замедление колебаний стрелки обусловливает большая из двух постоянных времени в решении (2.25). Гальванометр представляет собой очень полезный прибор для экспериментальной проверки теории линейных колебательных систем, так как его декремент затухания легко измерить, а затухание можно варьировать, присоединяя различные резисторы параллельно катушке. Поворот катушки на угол 9 индуцирует э. д. с., пропорциональную 0 (коэффициент пропорциональности, зависящий от напряженности магнитного поля и размеров катушки, нас не интересует), поэтому ток в цепи с полным сопротивлением 7? пропорционален ^JR, точно так же как и возникающий при этом вращающий момент катушки. В результате уравнение вращательного движения принимает следующий вид:

/6 + (Х0 + AfR) 6 + ^ = 0,(2.29)

где / — момент инерции катушки и ц — постоянная кручения подвески; слагаемое л0 учитывает постоянное затухание в воздухе, которое приводит к диссипации даже в открытой цепи (7? = оо). Последнее уравнение имеет тот же вид, что и (2.23); сопоставив их, мы получим следующие соотношения:

^ = (^о + ^/^)//, шо = Р-//.

Логарифмический декремент (см. § 2.1) с учетом (2.24) составит А = л/(й/та) = V2^/(o)o2—V4&2) V2; следовательно,

(Хо + A/RW№ = 2А/( А2 + л2)1^

Эта формула удобна для сравнения с экспериментальными данными, так как график зависимости А/(А2 + л2)|/2 от XJR должен быть линейным во всем диапазоне затухания вплоть до критического режима. Результаты эксперимента (рис. 2.19) свидетельствуют о его весьма удовлетворительном согласии с теорией. Следует отметить, что измерения были выполнены вплоть до очень больших значений затухания, когда отношение амплитуд последовательных колебаний стрелки в противоположных направлениях достигало 600. Хотя такие отношения и нельзя измерить с большой точностью, все же ошибки измерений при определении логарифмического декремента А, выражаемого через логарифм большого числа, существенно уменьшаются. Еще меньшую роль ошибки измерений играют при определении отношения А/(А2+л2)1/2, поскольку эта величина стремится к постоянной, равной единице, при беспредель-

ном увеличении логарифмического декремента, когда к приближается к своему критическому значению 2соо.

Рис. 2.20. Фрикционное затухание. Сегменты А представляют собой синусоиды, которые осциллируют относительно горизонтальной линии А; аналогичная ситуация имеет место для ВРис. 2.20. Фрикционное затухание. Сегменты А представляют собой синусоиды, которые осциллируют относительно горизонтальной линии А; аналогичная ситуация имеет место для ВТеперь мы бегло рассмотрим вторую диссипативную модель, которая является нелинейной. Если сила трения не зависит от скорости, то колеблющееся тело подвергается действию постоянной замедляющей силы до тех пор, пока оно продолжает двигаться в одном и том же направлении; при изменении направления движения на обратное то же самое происходит и с силой. Для постоянной си-

Рис. 2.20. Фрикционное затухание. Сегменты А представляют собой синусоиды, которые осциллируют относительно горизонтальной линии А; аналогичная ситуация имеет место для В

Рис. 2.20. Фрикционное затухание. Сегменты А представляют собой синусоиды, которые осциллируют относительно горизонтальной линии А; аналогичная ситуация имеет место для В

Рис. 2 19. Результаты экспериментальной проверки зависимости изменения затухания от сопротивления цепи в гальванометре с подвижной катушкой

Прибор имеет сопротивление 10 Ом, из графика следует, что критическое затухание (Л = ею) имеет место, когда общее сопротивление цепи равно 54 Ом (тек выводам подсоединено сопротивление 41 Ом) Для получения этих экспериментальных точек потребовалось обеспечить отклонение светового «зайчика» в пределах 10 см (на расстоянии 1 м), при больших отклонениях резко возрастает затухание в воздухе

лы трения F и возвращающей силы —цх, пропорциональной смещению, уравнение движения для тела массой т принимает вид

(2.30)(2.30)тх^^х ± F = 0,

(2.30)

(2.30)

где знак перед F совпадает со знаком скорости ^. Если начало координаты х переместить в ±^/ц (т. е. записать х'= х±Г/р), то (2.30) преобразуется к стандартному виду для незатухающих синусоидальных колебаний, аналогичному (2.5):

тх’ + рх' = 0.

Тогда полное решение находится сразу — каждый полуцикл между положительными и отрицательными экстремумами имеет синусоидальную форму и одинаковую частоту, однако центры последовательных полуциклов лежат в точках, отличающихся значением х (рис. 2.20). Колебание резко обрывается в точке поворота, где возвращающая сила уже не превышает значения F. До достижения этого момента точки поворота располагаются последова-

тельно на 2F^ ближе к началу координат, и в течение одного полного цикла амплитуда уменьшается на ^Р]^. В отличие от первой модели (демпфирующая сила пропорциональна скорости), которая характеризуется экспоненциальным затуханием, амплитуда здесь уменьшается линейно.

Различие между двумя моделями легко продемонстрировать с помощью жесткого маятника длиной около 1 м. Если маятник, подвешенный на жесткой проволоке, погрузить в банку с жидкостью, то характер затухания будет экспоненциальным (рис. 2.21). Это

кака

ка

ка

показывает, что сила в этом случае пропорциональна скорости. Если же маятник будет тормозиться не в жидкости, а за счет трения о натянутую над ним горизонтальную проволоку, то возникающее при этом затухание приведет к почти линейному спаду амплитуды (рис. 2.22). Картина, изображенная на рис. 2.23, была получена, когда к маятнику была прикреплена довольно жесткая проволока, которая терлась о натянутую горизонтальную проволоку. В этом случае при большой амплитуде колебаний возникает скольжение и наблюдается быстрое затухание из-за трения, а при меньших амплитудах проволоки соединяются вместе и проволока, прикрепленная к маятнику, обладая достаточной гибкостью, продолжает совершать колебания с небольшим затуханием на частоте, которая на 8% выше первоначальной за счет дополнительной возвращающей силы проволоки. Точно такой же эффект наблюдался со сверхпроводящими дисками, колеблющимися в магнитном поле. Если магнитный поток сдвигается относительно металла, действует сила трения, а при малых амплитудах колебания диска поток закреплен и создает упругую возвращающую силу. Анализ кривых демпфирования этого типа (рис. 2.24) позволил определить удерживающую и тормозящую силы для случая, когда магнитные поля проникают в сверхпроводник и движутся внутри него.

Случаи, изображенные на рис. 2.21 и 2.22, можно сравнить с результатами, предсказанными с помощью приближенного анализа

скорости диссипации энергии. Если демпфирующая сила слаба (хотя и зависит от скорости), она слабо влияет на синусоидальную форму колебаний; для описания таких колебаний мы можем использовать формулу х = хо sin о//, памятуя о том, что теперь хо уменьшается медленно. Если Хо остается постоянной в течение одного цикла, это означает, что скорость, а следовательно, и демпфи-

Рис. 2.23. Маятник, у которого затухание фрикционно только при большой амплитуде колебанийРис. 2.23. Маятник, у которого затухание фрикционно только при большой амплитуде колебанийРис. 2.24. Колебания сверхпроводящего диска в неоднородном поле [4]. Кривая аналогична рис. 2.23Рис. 2.24. Колебания сверхпроводящего диска в неоднородном поле [4]. Кривая аналогична рис. 2.23

Рис. 2.23. Маятник, у которого затухание фрикционно только при большой амплитуде колебаний

Рис. 2.23. Маятник, у которого затухание фрикционно только при большой амплитуде колебаний

Рис. 2.24. Колебания сверхпроводящего диска в неоднородном поле [4]. Кривая аналогична рис. 2.23

Рис. 2.24. Колебания сверхпроводящего диска в неоднородном поле [4]. Кривая аналогична рис. 2.23

рующая сила F (х) определены везде. Работа, проделанная в цикле, пропорциональна ^Р^х^йх, где х берется по всему циклу между + х0 и —х0; с другой стороны, мы может рассчитать закон изменения F во времени и записать работу как (рF^x^dt. Именно это обстоятельство определяет уменьшение энергии, запасенной в колебательной системе в течение всего цикла. Очевидно, что если хо изменяется в течение цикла значительно, то это рассуждение справедливо лишь приблизительно.

Давайте используем эти соображения в применении к двум вышеупомянутым моделям. Во-первых, для вязкого затухания механический вариант уравнения (2.23) имеет следующий вид:

тх 4- \х Д- р»х = 0.(2.31)

Если колебание, как предполагалось, описывается выражением x0cos(0o^ где (о02 = цМ, то скорость х = —(ооХо sin oV и демпфирующая сила Р = Хтех0 sin wQt. Скорость диссипации энергии —Fx = = Xto02x02 sin2 о)о^, и поэтому энергия, рассеянная в течение одного цикла, составляет

2к/о)о

^Е = — ^ ^оxo sin2 <о0/ d / = — лХо)0х2.

о

Эту величину можно сравнить с запасенной энергией Е = Угцхо2, что позволяет определить долю энергии, потерянной за один цикл:

LE/E = — 2пк^1^.

Так как £~х02, можно использовать логарифмический декремент (приходящийся на полуцикл) —V2AX0/X0, он составляет — Ч^Е1Е = = У2лЛо)о/ц. С другой стороны, скорость спада амплитуды во времени находят делением этой величины на половину периода, т. е. на л/<оо. Это приводит к соотношению

1^Xq^шо

ХО dz2р.2m*

ОтсюдаxQ~e-t/Xгдет^^трк.(2.32)

Теперь введенный в уравнение (2.23) параметр к в (2.31) может быть представлен как Л/m; таким образом, величина та в формуле (2.32) равна 2/^, т. е. мы получаем тот же результат, что и путем прямого решения уравнения по формуле (2.24). Такое точное совпадение является просто счастливой случайностью, потому что в энергетическом расчете изменение частоты по мере затухания в отличие от формулы (2.24) не учитывалось; и, конечно же, в энергетическом расчете не содержится даже намека на переход в передемпфированное состояние, когда Л достигает критического значения 2 (тц),/2.

Во второй модели с фрикционным затуханием потерю энергии проще всего вычислить путем интегрирования по х, а не по £ потому что в течение одного цикла частица смещается на расстояние 4х0 в направлении, противоположном направлению постоянной замедляющей силы F, и поэтому теряет энергию ^E=—4£х0. Однако £=У2|ыХо2 и А£=цх0Ах0. Отсюда следует, что Ах0 = —4£/ц, и снова получается совпадение с точным результатом. Эти два примера позволяют нам с уверенностью использовать энергетические соображения даже в случае, когда амплитуда уменьшается не очень медленно. И действительно, этот подход, хотя он и не очень точен, представляет собой первую наиболее удачную попытку решения проблемы, которая иначе превратилась бы в громоздкую аналитическую задачу [5]. Такой подход особенно выгоден в применении к системам с гистерезисом, где сила не определяется в каждый момент времени скоростью и местоположением, а зависит от всей предыстории в целом. Каким бы ни был лежащий в основе физический процесс, энергия, рассеиваемая за один цикл, определяется площадью фигуры, заключенной внутри кривой зависимости силы от смещения, когда последнее проходит полный цикл.

Следует отметить, что когда F не зависит от у, то потери энергии за один цикл А£~хо, а при F~v величина А£~х02. Записав интеграл для потери энергии, легко увидеть, что если £~сЯ и п положительно, то ХЕ~ Xo^+L Характер затухания, когда п>\, определяется сразу, если взять

Lx^[x^ ~ LElE ~

откуда dxJdt=^x0/TQ~ хоп и

-*о^(^ —гДе ^о = соп§Е(2.33)

Так, например, на лопасть, движущуюся в легкой невязкой жидкости, действует сила, пропорциональная и2, если движение происходит настолько быстро, что образуется турбулентный след. При этом колебания в системе с таким демпфированием затухают по закону 1(Z—Zo). Если система начинает двигаться при 1=0 и в течение первого периода длительностью То амплитуда колебаний уменьшается в а раз по сравнению с первоначальной, то /0= =—аТ0/(1—а). Не следует думать, что соотношение (2.33) будет выполняться и при малых амплитудах, так как в этом случае турбулентный поток сменится ламинарным и сила станет пропорциональной и. Затухание, которое за этим последует, будет уже экспоненциальным.

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Мы уже отметили различие между пассивными и активными колебательными системами, из которых к последним энергия подводилась от внешнего источника. Ее, однако, может оказаться недостаточно для полной компенсации потерь энергии в результате внутреннего рассеяния. Такая система не отличается от пассивной колебательной системы, хотя время ее затухания может существенно превышать время затухания в отсутствие внешнего воздействия. При постепенном увеличении подводимой энергии та растет до тех пор, пока при некоторой критической скорости поступления энергии внутренняя диссипация не окажется полностью скомпенсированной. В этом случае будут поддерживаться колебания с постоянной амплитудой. После прохождения этой критической точки амплитуда будет увеличиваться, причем, поскольку та в уравнении (2.1) —величина отрицательная, рост амплитуды в линейной системе будет экспоненциальным. Это нарастание амплитуды не может, конечно, продолжаться до бесконечности: что-то должно или разрушиться, или измениться, или же скажется нехватка энергии источника питания. Следовательно, нелинейность является в конечном счете неизбежным свойством спонтанно колеблющейся системы. Тем не менее до момента наступления нелинейного режима нарушение математической непрерывности не является обязательным условием для разделения систем на активные и пассивные. Другими словами, стандартная форма (2.23) имеет одинаковые решения независимо от того, является & положительным или отрицательным; одновременное изменение знаков к и t не меняет этого уравнения, а математическое обращение времени не составляет проблемы. На практике это приводит, однако, к весьма важным последствиям, и мы должны относить такие системы к совершенно разным типам, хотя уравнения их движения можно рассматривать с единой точки зрения. В последующих главах и в следующем томе мы более или менее детально рассмотрим значительное число различ-

ных колебательных систем. Отметим здесь лишь некоторые из типов, которые будут интересовать нас в дальнейшем, систематизировав их под разными заголовками для того, чтобы установить хотя бы какой-то порядок во всем этом запутанном перечне. Первые два озаглавленных ниже раздела включают системы, которые можно привести в формальное соответствие с простыми пассивными колебательными системами.

vvРис. 2.25. Вольт-амперная характеристика туннельного диода. Участок N имеет отрицательный наклонРис. 2.25. Вольт-амперная характеристика туннельного диода. Участок N имеет отрицательный наклонРис. 2.26. Использование усилителя А и обратной связи для поддержания режима генерации в резонансной цепиРис. 2.26. Использование усилителя А и обратной связи для поддержания режима генерации в резонансной цепи

v

v

Рис. 2.25. Вольт-амперная характеристика туннельного диода. Участок N имеет отрицательный наклон

Рис. 2.25. Вольт-амперная характеристика туннельного диода. Участок N имеет отрицательный наклон

Рис. 2.26. Использование усилителя А и обратной связи для поддержания режима генерации в резонансной цепи

Рис. 2.26. Использование усилителя А и обратной связи для поддержания режима генерации в резонансной цепи

Приборы с отрицательным сопротивлением. Пусть ток через элемент цепи, например через полупроводниковый туннельный диод (см. § 11.5), не увеличивается непрерывно с ростом разности потенциалов, а содержит область отрицательного наклона (рис. 2.25). Тогда на прибор, содержащий такой элемент, в область N можно подать смещающее напряжение и использовать его в резонансной цепи, где он будет противодействовать диссипативному действию сопротивления цепи. К этому типу приборов относят и такие, в которых обращается знак других механизмов потерь, например в мазерах и лазерах (см. § 11.5) искусственные диэлектрики создаются за счет перестройки заселенностей различных энергетических уровней молекул, так что нормальные диэлектрические потери превращаются в диэлектрическое усиление.

Генераторы с обратной связью (см. § 11.3). Сигнал, полученный из колебательной системы, усиливается и возвращается в систему с такой фазой, которая способствует увеличению амплитуды колебаний (положительная обратная связь). На рис. 2.26 показано такое устройство. Рассматривая только наиболее важные характеристики, можно считать, что ток I в резонансной цепи наводит э. д. с МД^й! во входном каскаде усилителя. Если последний генерирует выходной ток pAldt/dZ, то э. д. с., возвращенная в резонансную цепь, равна \иМ2д?ИДР и ее нужно добавить к э. д. с., возникающей в катушке индуктивности, т. е. к LAilAt. По аналогии с (2.22) мы имеем

(2.34)(2.34)р*7И2 q -|- Lq -р Rq А"Ч!^ — О*

(2.34)

(2.34)

Не решая кубического уравнения, можно убедиться в том, что оно неизбежно приводит к режиму спонтанных колебаний по аналогии со случаем введения отрицательного сопротивления. Если предположить, что q колеблется синусоидально по закону gosin <о7, то

Rq — R^'q^ cos ^'t и pM2q= — р.Л42а/3<?0 coso/Л

Поскольку в обоих случаях фаза определяется косинусом, она одинакова. Если соединения с усилителем выполнены так, что ц положительно, то член обратной связи противодействует омическому члену.

К подобным системам

(хотя, по существу, и нелинейным) относятся спусковой механизм в маятниковых часах и часы со спусковым колесом (см. § 11.4). В этих устройствах, как и в генераторе с обратной связью, при

вод автоматически синхро- рис 2.27. Цепь «линейной развертки», в низирован С колебательной которой используется электрический про- системой, однако движущаябой в газотроне

сила не пропорциональна

амплитуде колебаний. Спусковой механизм запускается здесь начиная с некоторой минимальной амплитуды, и выше этого мини

мума подаваемая энергия от амплитуды почти не зависит.

В следующем пункте мы объединим такие типы систем, совершающих вынужденные колебания, которые нельзя анализировать аналогично пассивным колебательным системам с обращенным временем.

(б) Релаксационные генераторы (см. § 11.8). Это, пожалуй, один из неудачных терминов, используемых по отношению к системам, существенно отличающимся друг от друга. Вероятно, более точно охарактеризовать этот тип приборов, мы могли бы, отметив, что существуют внутренне неустойчивые системы, которые не могут достичь устойчивого режима из-за резкого изменения в поведении одного из элементов системы. Это изменение приводит к возврату системы в ее начальное неустойчивое состояние, каждую последующую попытку достичь равновесия постигает та же участь, в результате чего система генерирует колебания. Можно утверждать, что подскакивающий мяч является в этом смысле релаксационным генератором, но более убедительным примером служит цепь «линейной развертки» (рис. 2.27). Конденсатор заряжается через омическое сопротивление до напряжения пробоя газотрона, после чего разряжается через ионизованный газ; по окончании разряда ионизованные молекулы рекомбинируют и цикл повторяется. Единственным устойчивым состоянием цепи, состоящей из конденсатора и батареи, является такое, в котором конденсатор полностью заряжен до рабочего напряжения батареи Ко, но это состояние не достигается из-за разряда газотрона.

Двухпозиционный переключатель термостата, применяемого, например, в комнатной электропечи или в резервуаре для хранения тропической рыбы, можно также рассматривать как релаксационный генератор. Имеется два разных условия равновесия, соответствующих сильному холоду (когда переключатель выключен) и сильной жаре (когда он включен), и оба эти условия не выполняются из-за действия переключателя. Мы привели здесь примеры систем, которые будем называть астабильными в отличие от нестабильных систем, скажем, вышеупомянутого класса (б) . Цепь усилителя с обратной связью можно в принципе поставить в условия неустойчивого равновесия (например, отсутствует ток в резонансной цепи на рис. 2.26 или во входной цепи усилителя и есть стационарный ток в выходной цепи усилителя, который соответствует нулевому входному току), однако любая случайная флуктуация приводит к возбуждению колебаний с возрастающей амплитудой С другой стороны, в случае астабильной системы, такого условия даже для переходного состояния покоя не существует.

Явление скачкообразного скольжения с периодическими остановками также можно отнести к классу релаксационных генераторов (см. § 11.5), хотя оно не обязательно представляет собой строго астабильный процесс. Здесь нет необходимости вдаваться в тонкости— для нас важен лишь прерывистый характер явления. Оно возникает, когда сила трения, действующая на скользящее тело и слабо зависящая от скорости после начала скольжения, оказывается меньше силы, которая требуется, чтобы сдвинуть тело с места после остановки. Если такое тело заставить двигаться по поверхности с помощью пружины, то оно будет оставаться в зацеплении с поверхностью до тех пор, пока пружина не растянется и не сорвет его с места. При этом тело прыгнет вперед, а натяжение пружины в начальный момент будет резко превышать силу трения скольжения; однако, как только натяжение пружины уменьшится за счет ускоренного продвижения тела, последнее замедлит свой ход и в конце концов вновь войдет в зацепление с поверхностью. Затем процесс повторится. Именно этот эффект приводит к скрипу дверных петель и мела по доске, дребезжанию ложки из нержавеющей стали при движении вдоль дна алюминиевой кастрюли и в более интересном случае — к звучанию скрипичной струны под действием смычка.

На рис 2 28 приведено (сделанное с помощью сканирующего электронного микроскопа) увеличенное изображение ямок, которые оставляет стальной скрай- бер, движущийся мягко и без нажима вдоль алюминиевого листа Здесь прилипание связано с пластической деформацией алюминия, которая приводит к образованию гребня, удерживающего наконечник скрайбера до тех пор, пока приложенная к нему сила не заставит его прыгнуть и выдавить в алюминии следующую ямку.

(г) Аэродинамические колебания. Этим термином мы будем пользоваться не только для обозначения аэродинамических эффектов, хотя последние нам известны наиболее хорошо. Ветер, обду-

Рис. 2.28. Микрофотография трека, оставленного стальным скрайбером при движении слева направо по алюминиевой пластине, полученная с помощью сканирующего электронного микроскопа. Ямки находятся на расстоянии 0,025 см друг от друга, и яркие края представляют собой алюминиевые гребни, образованные выдавленным из ямок материалом

вающий высокую печную трубу, создает попеременно с каждой стороны трубы поток вихрей (на рис. 2.29 подобная картина воссоздана в лабораторных условиях, где вместо воздуха использовано жид-

Рис. 2 29 Картина вихрей, получаемая при обтекании жидкостью цилиндрического препятствия [6]

кое масло). До тех пор пока труба неподвижна, частота образования вихрей точно не определена, однако вихри воздействуют на трубу, и если труба может смещаться, то ее корпус начинает раскачиваться на своей собственной частоте. В свою очередь, движение трубы воздействует на образование вихрей, и при синхронизации с процессом раскачивания трубы может произойти постепенное возрастание амплитуды колебаний и даже ее разрушение. Подобный эффект, например, вызвал такую раскачку моста через каньон Такома, что он разрушился. Пение телеграфных проводов и звучание флейты, электрофона и органных труб — все это имеет в своей основе ту же самую природу.

о ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ °* В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

КОМПЛЕКСНЫЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

Колебательные системы, обладающие свойствами линейности и трансляционной инвариантности, могут описываться самыми разнообразными уравнениями. В гл. 2 мы уже познакомились с некоторыми примерами линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами; уравнения (2.22) и (2.34) имеют соответственно второй и третий порядок. Нетрудно придумать цепи с соответствующими уравнениями еще более высокого порядка. Эффекты, наблюдаемые в некоторых системах, нельзя описать простым способом с применением производных разных порядков; использование линий задержки позволяет вводить силы, зависящие от того, что происходило с системой на более ранней стадии, когда она оставалась еще линейной. Мы предполагаем, что линейная система, параметры которой не изменяются со временем, описывается уравнением движения следующего вида:

j $(/')/<(/'-/)d/=0. (3.1)

Это уравнение опишет все упоминавшиеся до сих пор случаи, если мы подберем соответствующий вид функции К, включая б-функ- цию Дирака и ее производные. Сама б-функция, т. е. б (Г—/), с ее острым пиком единичной площади в момент, когда разность V—t становится равной нулю, дает после интегрирования величину £(/). При подстановке K^f—0=б(^—0> т- е- первой производной б- функции, после интегрирования получают £(/) и т. д. для производных более высоких порядков. Аналогичным образом, если К задана в форме 6(f—Z + ^o), интегрирование дает значение g в момент /—/0, что позволяет ввести задержку. В общем случае вид К(Л—I) таков, что из £(/) можно построить сумму (или, если К является гладкой функцией, интеграл) по значениям g и ее производным как в момент времени t, так и в любой другой момент. Линейность проявляется совершенно отчетливо, равно как и независимость физических параметров от времени, потому что в (3.1) нет никакой связи с абсолютным временем, а есть только связь с тем, что происходит в момент hi в другие моменты, связанные с t.

Исходя из вида уравнения (3.1) следует ожидать экспоненциальных решений. Подставив epZ вместо ^Ц), получим

ept ^ ^Рх^ ^дх = о^ Где x = f — t,(3.2)

и любое значение р, при котором интеграл сводится к нулю, одновременно является решением уравнения (3.1). Характерная особенность экспоненциальной функции заключается в следующем: экспоненциальная кривая подобна самой себе везде в том смысле, что сдвиг этой кривой на /0 приводит к тому же результату, что и умножение ее в каждой точке на постоянную ept°. К специальным случаям этого свойства подобия относится такой, когда /г-я производная этой функции в каждой точке находится в постоянном отношении к значению самой функции йп^1 й1п=рп^. Если производные, запаздывающее значение функции и т. п. в некоторый момент времени t образуют комбинации, удовлетворяющие уравнению (3.1), то они должны удовлетворять ему всегда, потому что каждый член при переходе к другому значению t изменяется в одинаковой пропорции.

Мы признали, что самоподобные экспоненциальные являются наиболее подходящим видом решения уравнения (3.1), но необходимо рассмотреть и другие возможности. Может оказаться, что не существует такого значения р, при котором интеграл (3.2) равен нулю, или же имеются другие решения, не являющиеся самоподобными. Можно показать, однако, что все решения уравнения (3.1) могут быть выражены в экспоненциальной форме, если р— величина комплексная [1]. Например, синусоидальные решения вида g=cos (w/ + + ф), встречавшиеся нам в простых случаях, можно получить, суммируя экспоненциальные решения, в которых p=±i<o:

cos (W-|-?) = Ле/ш/4" Ве~м,(3.3)

если А = х!^ и B = V2e-Z(p.

Так как смещение g является действительной величиной, то любое ее выражение через комплексные значения р должно включать комплексно-сопряженные величины; например, в (3.3) слагаемое B^-itot является комплексно-сопряженным с A^itot. Значения р, будучи комплексными, всегда появляются парами (т. е. р вместе с р*). Это связано с тем, что если e^z является решением уравнения (3.1), то ер^ —решение комплексно-сопряженного уравнения, однако g и К — это действительные функции, описывающие измеримые физические величины, так что данное уравнение и комплексносопряженное с ним идентичны. Уравнение (2.23) может послужить иллюстрацией этого свойства. Если подставить в него пробное решение ^=АеР^ то оно сведется к алгебраическому уравнению

p24-^+too=°-

которое даст два возможных значения р:

(3.4)(3.4)Р = 1/2[-^±(Д2_4(02уА].

(3.4)

(3.4)

Пусть о)о остается величиной постоянной, а к меняется в пределах + оо и —оо. Если ^2<4о)О2, то эти два решения комплексно-сопряженные, однако при больших значениях к оба они становятся действительными. Эти решения, разумеется, соответствуют уравнениям (2.24) и (2.25), которые выводились с помощью только действительных функций, и сам вывод был более трудоемким. Одно из достоинств применения комплексных показательных функций при описании линейных колебаний заключается в том, что они сводят дифференциальные уравнения к алгебраическим аналогам и требуют минимальных усилий для нахождения решения.

КОМПЛЕКСНАЯ /7-ПЛОСКОСТЬ

При изменении к решение уравнения (2.23), представленное в форме (3.4), описывает траекторию на комплексной плоскости (рис. 3.1). Отличительные характеристики этой траектории можно

Рис 3 1. Комплексная /7-плоскостьРис 3 1. Комплексная /7-плоскостьРешения уравнения (2 23) обозначены одинаковыми буквами и расположены парами на окружности радиуса соо или на действительной оси Слева находятся затухающие, справа — нарастающие моды. Л, А' — нсдодемпфированные, В, В' — передемпфиро- ванные, С, С' — нарастающие колебательные моды, D, D' — экспоненциально нарастающие модыРешения уравнения (2 23) обозначены одинаковыми буквами и расположены парами на окружности радиуса соо или на действительной оси Слева находятся затухающие, справа — нарастающие моды. Л, А' — нсдодемпфированные, В, В' — передемпфиро- ванные, С, С' — нарастающие колебательные моды, D, D' — экспоненциально нарастающие модыполучить непосредственно из (2.23) еще до того, как найдено решение. Произведение двух значений р равно соо2, а поскольку они являются комплексно - сопряженными, то это произведение равно рр*, т. е. квадрату радиуса-вектора, проведенного из начала координат. Следовательно, комплексные решения лежат на окружности радиуса о)о (соо — собственная частота цепи в отсутствие потерь) . Передемпфирован-

Рис 3 1. Комплексная /7-плоскость

Рис 3 1. Комплексная /7-плоскость

Решения уравнения (2 23) обозначены одинаковыми буквами и расположены парами на окружности радиуса соо или на действительной оси Слева находятся затухающие, справа — нарастающие моды. Л, А' — нсдодемпфированные, В, В' — передемпфиро- ванные, С, С' — нарастающие колебательные моды, D, D' — экспоненциально нарастающие моды

Решения уравнения (2 23) обозначены одинаковыми буквами и расположены парами на окружности радиуса соо или на действительной оси Слева находятся затухающие, справа — нарастающие моды. Л, А' — нсдодемпфированные, В, В' — передемпфиро- ванные, С, С' — нарастающие колебательные моды, D, D' — экспоненциально нарастающие моды

ные решения лежат на действительной оси, одно внутри и другое вне окружности, чтобы обеспечить выполнение равенства pp* = wo2.

Для данного значения к любая линейная комбинация двух решений также является решением, и наиболее общее решение имеет следующий вид:

(3.5)(3.5)^ = А^р^^В^.

(3.5)

(3.5)

Так как £ должно быть действительной величиной, то А и В также должны быть действительными, хотя и, с другой стороны, в пере- демпфированном случае могут иметь произвольное значение. В не- додемпфированном случае, когда р2 = Р\* и В = А\ значение А, однако, может быть также и комплексным. В обоих случаях в решении содержатся две произвольные действительные постоянные: либо А и 6, либо действительная и мнимая части А. Эти постоянные должны определяться в реальной ситуации с помощью гра-

яичных условий. Если, например, в момент £=0 смещение равно §о и скорость ^=и0, то из формулы (3.5) имеем

Д 4-5 = ^о, рхА-\-р2В=-и0,

что вполне достаточно для определения А и В. Физически это означает, что простая колебательная система, движущаяся с данной скоростью из данного положения, и в дальнейшем движется вполне определенным образом. Более сложные системы, описываемые дифференциальными уравнениями более высоких порядков, сводятся, после подстановки пробного решения е^, к алгебраическим уравнениям того же порядка с характеристическими значениями р, число которых равно порядку высшей производной; число произвольных постоянных равно числу граничных условий, необходимых для полного описания поведения системы. Все комплексные значения р должны появляться попарно в виде р и р*, и, конечно же, если порядок является нечетным, то по крайней мере одно решение должно иметь действительное значение р.

Возвращаясь к квадратичному уравнению и его графическому изображению на рис. 3.1, можно заметить, что левая половина окружности, построенная для положительных к, описывает затухающие колебания. Таким образом, две типичные сопряженные величины р можно записать как р'^хр", где р7 и р"— действительные величины, и если комплексная амплитуда записана как Ле1(р с действительным коэффициентом А, то общее решение имеет следующий вид:

'-=A^^p,+Vpn')t -\- Ае-^^р,-Хр^ * = 2А ep,t cos<pf,t-\-^»(3.6)

Отрицательные значения р7 четко указывают на наличие затухающих колебаний, а положительные возникают в правой части диаграммы на рис. 3.1 при отрицательных значениях к, когда происходит экспоненциальная раскачка колебаний. Математических оснований отрицать непрерывность поведения к при переходе от положительных к отрицательным значениям не существует; в § 2.6 мы отметили системы, в которых с помощью внешних источников энергии реализуются отрицательные значения к, поэтому можно считать, что вся диаграмма является, в принципе, вполне доступной. Ее симметрия относительно мнимой оси и непрерывность приводят к тому, что она пересекает эту ось под прямым углом. На мнимой оси р является чисто мнимой величиной и описывает установившиеся колебания с частотой оо; после добавления слагаемого с потерями, т. е. к, затухание, выраженное через р7, проявляется как эффект первого порядка по к, однако изменение частоты является величиной второго порядка малости. Только тогда, когда затухание в течение одного цикла значительно, наблюдается существенное изменение частоты.

Этот довольно общий результат мы получим, рассматривая дифференциальное уравнение произвольно высокого порядка

Рис. 3.2. К простому маятнику АВС присоединен легкий стержень BD с демпфирующей лопаткой, прикрепленной к нему в точке D Другая демпфирующая лопатка прикреплена к грузику маятника (\АВ | =/i и\ВС\=12)Рис. 3.2. К простому маятнику АВС присоединен легкий стержень BD с демпфирующей лопаткой, прикрепленной к нему в точке D Другая демпфирующая лопатка прикреплена к грузику маятника (\АВ | =/i и\ВС\=12)в котором выделим четные и нечетные слагаемые. После подстановки £=е^ получим следующее алгебраическое уравнение:

Рис. 3.2. К простому маятнику АВС присоединен легкий стержень BD с демпфирующей лопаткой, прикрепленной к нему в точке D Другая демпфирующая лопатка прикреплена к грузику маятника (\АВ | =/i и

\ВС\=12)

Рис. 3.2. К простому маятнику АВС присоединен легкий стержень BD с демпфирующей лопаткой, прикрепленной к нему в точке D Другая демпфирующая лопатка прикреплена к грузику маятника (\АВ | =/i и

\ВС\=12)

а + 6/?2 + <?/24+...=а/?+^34-... .

Чисто мнимые значения р возможны только тогда, когда левая или правая часть уравнения равна нулю; при этом дифференциальное уравнение, описывающее недиссипативную систему, содержит только четные" или нечетные производные. Предположим, что уравнение для рассматриваемой системы имеет четные производные в состоянии без потерь, так что все производные справа исчезают и небольшие потери вводятся посредством малых величин а, Р и т. д. Тогда если тЬр0— типичная пара решений в случае без потерь и р0 — мнимая величина, то «+^0+^0+

Эффект потерь первого порядка можно получить, приравнивая изменение первого порядка в левой части этого уравнения к значению правой части при р=ро*

(2^0-НОРо +.. .Нр^ а^0+р/?3+ ..

Так как обе части содержат теперь только нечетные порядки, обе скобки становятся чисто мнимыми, поэтому Sp является действительной величиной. Траектория для р должна отходить от мнимой оси в перпендикулярном направлении.

При обсуждении траектории подразумевается, что потери контролируются одним физическим параметром, т. е. что а, р и т. д. изменяются впол- образом по мере изменения механизма потерь т], т. е. вязкости масла в амортизаторе). Тогда

не определенным (например, из-зане определенным (например, из-задействительная и мнимая части р являются функциями т] и траектория определяется параметрически величинами//(т|) и р"(п). Если, однако, коэффициенты а, Р и т. д. изменяются независимо, то р- траектория на комплексной плоскости начинает перекрывать целые области (домены), в которых любая точка может быть достигнута за счет соответствующей подстройки механизмов потерь. Из только что приведенного анализа следует, что эти домены сужаются до точек по мере приближения к мнимой оси, т. е. этой оси можно достичь только находясь в пределах домена и двигаясь по нормали к оси. Это можно проиллюстрировать с помощью простого маятника, показанного на рис. 3.2. Маятник колеблется только в одной плоскости и имеет демпфирующие лопатки, прикрепленные к грузику и к точке В на нити подвеса. Массу лопатки в точке В можно сделать пренебрежимо малой, так что уравнения движения точки В, смещение которой равно Xi, и точки С, смещение которой равно

не определенным (например, из-за

не определенным (например, из-за

х2, примут следующий вид:

mg \хх(1х — (х2 — ххХЦ + \ххх = О,тх2+Х2х2 ±mg (х2 — xx)/Z2=О.

Здесь Xi и 2v2 определяют вязкое лобовое сопротивление амортизирующих лопаток в точках В и С. Если исключить %i из этих уравнений, то движение грузика будет определяться уравнением третьего порядка•

^"{"(^зЧ”^) -^2 4“ (t02 "Ь^з^) -^"H ^Т^З-^З = 0\> в котором

^^М + ^Х ^^^э ^=rngих-у1^\х1х1^ и ^ = \21т.

Существует три соответствующих значения р, которые подчиняются уравнению -

Р3 + (шз + ш4> ^ + (ш2 + ^З^) Р + ^^ = 0.(3.7)

Еще одно действительное решение описывает быстро затухающий переходный процесс, который мы здесь не рассматриваем.

Колебательные решения последнего уравнения удобно обсуждать в два этапа, приняв сначала ^2 = 0. Это позволит учесть действие только демпфирующей лопатки в точке В, а р в этом случае должно следовать в комплексной плоскости вдоль траектории:

Р3 + ^ + ^Р + ^з = 0.(3.8)

Затухание, связанное с <o3, проявляется в двух слагаемых этого уравнения, которые, разумеется, нельзя рассматривать как независимые. Рассматриваемая jD-траектория, подобно траектории простой гармонической колебательной системы, определяется одним параметром, хотя ее форма заметно изменяется под действием со3. Теперь ситуации, в которых могут наблюдаться колебания без потерь, возникают уже дважды. В первом случае (о3 очень велико (нет почти никакого затухания в точке В) и маятник колеблется как простой маятник, подвешенный в точке А (при этом p=±icoi). Во втором случае при <о3 = О (очень сильное затухание) в формуле (3.8) значение имеют только второй и четвертый члены; тогда р = = ±i(o2, маятник колеблется с подвесом в точке В и вновь без декремента. Траекторию между этими двумя точками можно найти, решая (3.8) для области значений со3 или используя графическое построение, основанное на преобразовании (3.8) к виду

р2 4- Ц w3

В каждой точке на траектории, т. е. для каждого значения со3, обе части уравнения должны иметь одинаковый аргумент (значение 9, при котором комплексное число представляется как аею, причем а — действительное число). На комплексной плоскости с началом координат в точке О (рис. 3.3) точки М и Л/- отображают соответственно (—coi2) и (—о)22). Выберем точку X на перпендикуляре к MN, проведенном через середину этого отрезка, и начертим окружность Ci с центром в X так, чтобы она проходила через М и N; да-

лее начертим окружность С2 с центром в начале координат и с тем же радиусом, пересекающую действительную ось в точке Q. Проведем отрезок QR, равный MN, и

Рис. 3 3 Графическое построение решения уравнения (3 8)Рис. 3 3 Графическое построение решения уравнения (3 8)кальное изображение ниже оси.кальное изображение ниже оси.продолжим OR до пересечения с Ci в точках Si и S2. Тогда Si и S2 — это точки на /^-траектории* между М и N. Другие точки можно найти, сдвигая центр X в разных направлениях; получаемая при этом полная р2-траектория, проходящая выше действительной оси, показана штриховой линией. Чтобы завершить создание диаграммы, остается добавить ее зер- Каждому значению р2 соответст

Рис. 3 3 Графическое построение решения уравнения (3 8)

Рис. 3 3 Графическое построение решения уравнения (3 8)

кальное изображение ниже оси.

кальное изображение ниже оси.

вуют два значения р, простая петля для р2 становится двойной петлей для р, симметричной относительно как действительной, так и мнимой осей (рис. 3.4).

На рис. 3.4 показаны несколько траекторий, соответствующих различным положениям демпфирующей лопатки на маятнике. За

метим, что все траектории пересекают мнимую ось по нормали. Полная длина маятника равна Zi + /2; следовательно, значения coi были постоянными, а изменялись Z2 и ш2. В отличие от маятника, у которого демпфируется только грузик и чья траектория, подобная траектории на рис. 3.1, имеет одну критическую точку — точку пересечения с отрицательной действительной осью,— эта система либо не имеет ни одной критической точки (если Zi<8/2), либо имеет две. Такое отличие связано, очевидно, со способностью маятника колебаться без демпфирования, когда точка В заторможена с помощью очень вязкого амортизатора (конечно, если положение точки не совпадает с грузиком).

Когда действуют оба демпфирующих механизма с независимо изменяющимися Zi и Z2, то значения р могут занимать некоторую область, границы которой установлены следующим образом. Преобразуем (3.7) двумя различными способами:

0)3 (l2 + w4/? + o,i) + /)(7,2 + to4/7 + w2> = 01 t3-7')

(Р3 + шз^2 + + шз) = 0. (3.7") Обращение в нуль каждого выражения в скобках определяет траекторию, причем в качестве параметра выступают о>4 в (3.7х) и <о3 в (3.7"). Полученные траектории показаны на рис. 3.5. Когда о)3=О и изменяется со4, то р следует вдоль траектории С2, когда же значе-

Доказал ель ст во. По построению треугольники NMX и ROQ являются конгруэнтными Поэтому QOR = NXM = 2NSM, где S— любая точка на Ci Аргументом Si является QOR, поэтому если Si представляет р2, то аргументом р станет xkQOR, т. е. NSXM. Однако если Si представляет р2, то AfS^^ + iOi2 и yVS[ = ^2 + о)22. Следовательно, аргументом (p24-Wi2)/(p24-o)22) является угол NS\M, который также является аргументом р Таким образом, можно найти такое действительное значение «з, при котором (3 9) удовлетворяется этим значением р.

ние (Оз становится очень большим, то в (3.7х) доминирует скобка, определяющая Ci, и поэтому р-траекторией здесь является С\. Теперь можно отметить, что так как Сх и С2 не пересекаются, то не существует такого промежуточного значения (о3, которое позволило бы любой точке на С] или С2 удовлетворять (3.7х). По мере изменения сод от 0 до оо при (о4 постоянной р-траектория смещается от С2 к Сь не пересекая их. Аналогично, когда 0)4 изменяется между О и оо при о)з постоянной, р смещается от С3 к С4, не пересекая их. Таким образом, доступной для р является заштрихованная область, ограниченная этими кривыми. Следует, в частности, отметить, что, каким бы путем ни возрастали Zi и Х2 от нуля, р-траектория должна отходить от оси по нормали, что вытекает из приведенного выше общего доказательства .

Рис. 3.4. Решения уравнения (3.8) для четырех различных положений точки В на рис. 3.2:

/ — демпфирующая лопатка вблизи верх- чей части; 2 и 3 — лопатка в более низких положениях; 4 — лопатка располагается настолько низко, что возможно критическое затухание, причем траектория состоит из двух петель, соединенных меж- цу собой отрезками прямой, совпадающей : действительной осью Стрелки показы- зают направление движения вдоль траектории по мере возрастания затухания

Рис. 3 5. Область, в которую попадают решения уравнения (3 8), когда (Оз и (о4 положительны

Комплексно-сопряженные решения (на рисунке они не показаны) образуют фигуру, являющуюся зеркальным изображением первой области относительно действительной оси. Дуги окружности Ci и С2 с радиусами (Oi и 0)2 описываются параметрически уравнениями р2+(о4р + (о21 2=0 (0<(о4<°°); Сз описывается уравнением рз+ЮэР^б^р+со^ГОз^ (0<й)з<°°) и представляет собой не что иное, как одну из траекторий на рис 3 3; С4 описывается уравнением р + (Оз = 0 (0<соз<°°)

КОМПЛЕКСНАЯ ЧАСТОТА; ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Если колебательные системы со слабым демпфированием интересуют вас больше, чем системы с сильным демпфированием или пе- редемпфированные системы, то в качестве стандартной формы решения более удобно взять ei(0* или e-i(0*, а не ept; другими словами, нужно ввести новую переменную (комплексную угловую частоту), определяемую соотношением ±ico=p. Действительные значения со описывают недемпфированные колебания, а комплексные — затухающие или нарастающие колебания. Для выбора знака не существует какого-то правила. Он выбирается по соглашению, поскольку р и р* в решении уравнений с действительными переменными всегда встречаются вместе. Если рх = р' Vip" и Р2=Р\* = Р/—V', то для со получаем выражения следующего вида:

^х — р" ~^р\ ^2= — р"~^Р' = —если ш = р\

о)1=-^-[-i^^ <о2 = У, + 1>' = — (Up если — \кй = р.

Для затухающих колебаний р' отрица-

Рис. 3 6. Связь между р 4 со. В соответствии с принятым правилом р-траек- тория может быть отображена на (о-плоскости в виде или В, или СРис. 3 6. Связь между р 4 со. В соответствии с принятым правилом р-траек- тория может быть отображена на (о-плоскости в виде или В, или Стельно, поэтому мнимая часть со положительна в случае а) и отрицательна в случае б). Действительная часть со имеет разные знаки как в а), так и в б), и когда говорят о числовых значениях со, действительную часть обычно считают положительной.

Рис. 3 6. Связь между р 4 со. В соответствии с принятым правилом р-траек- тория может быть отображена на (о-плоскости в виде или В, или С

Рис. 3 6. Связь между р 4 со. В соответствии с принятым правилом р-траек- тория может быть отображена на (о-плоскости в виде или В, или С

В соответствии с этими соглашениями возникают отличия в представлениях траекторий на комплексной плоскости. Так, если принято соглашение а), то траектория на p-плоскости преобразуется в траекторию на со-плоскости посредством умножения р на —i, т. е. вращением диаграммы на л/2 по часовой стрелке. Если же принято соглашение б), то диаграмму следует повернуть против часовой стрел

ки. Кроме того, должен быть изменен знак действительной части со, т. е. диаграмма должна быть отражена относительно мнимой оси. Эти случаи показаны на рис. 3.6. Соглашение а) принято в электротехнике, б)—в физике, что вытекает из привычных представлений, принятых в электротехнике, с одной стороны, и в квантовой механике — с другой. Кроме того, инженеры-электрики во избежание путаницы с обозначением тока мнимую единицу У —1 обозначают не i, a j. Инженер, подставляя пробное колебательное решение, например, в (2.23), использует е^, а физик — e~i(D*. В дальнейшем мы будем рассматривать обе области и соблюдать, насколько возможно, общепринятые правила,

придерживаясь в то же время как нормы физического соглашения.

Читатель может считать, что символ j эквивалентен —i и оба они являются квадратными корнями из —1. Однако при этом следует помнить, что когда используется j, то затухающие колебания представляются точками в верхней половине комплексной со-плоскости, а при использовании i они попадают в нижнюю половину.

Комплексную частоту со можно разбить на действительную и мнимую части, записав ее либо в виде со7—W\ либо в виде co7 + jco77, где знаки выбраны так, что положительные значения со77 представляют затухающие колебания. Ранее в (2.2) уже отмечалось, что так как та= 1/<о77 и те= 1/(2<о7/), то добротность Q = 1/20)7(077. Медленно затухающие колебания с большими Q описываются комплексными значениями со с очень малыми аргументами (arctgX X (со77со7) ^ 1); однако если to"lto'=\ и вектор, представляющий со, лежит под углом л/4 к действительной оси, то в течение одного цикла амплитуда уменьшится в е2л раз, т. е. в 535 раз. Поэтому значительная часть комплексной области соответствует такому сильному затуханию, что колебательный характер системы едва заметен.

ДИАГРАММА КОЛЕБАНИЙ

Типичное решение (3.5) для недодемпфированных колебаний, в котором два члена являются комплексно-сопряженными, можно переписать, используя в качестве аргумента частоту:

^Де-110^^*6^*^ или £ — Ле]'(0/-|-Д*е“^°Ч

Так как второй член в каждом случае является комплексно-сопряженным по отношению к первому, будем считать это само собой разумеющимся фактом. Таким образом, когда говорят, что колебание физической системы описывается выражением Де-1(0?, то предполагают, что смысл имеет только действительная часть:

^ = Де-1ш7

что означает

; = Re [ Де~Н = V^e-1^ + Д *elw*q.

И амплитуда, и фаза колебаний содержатся в комплексной амплитуде Д, однако следует помнить, что физическое и электротехническое соглашения приводят к разной интерпретации. Если Д = ае1ф и а — действительная величина, то, согласно физическому соглашению ^ = Re[6ze-i((D/-(p)], это соответствует колебаниям с максимальным положительным смещением при tot—ср = О, т. е. в момент времени ср/со, причем колебания с большими значениями ср отстают относительно колебаний с меньшими ср. И наоборот, согласно электротехническому соглашению колебания вида Де^ф подразумевают, что g = Re[czei(G)?+(p)] и фаза ср является опережающей.

Возможность описания колебаний с помощью простой комплексной экспоненты приводит к полезному диаграммному представлению, основанному на использовании комплексной плоскости, однако в совершенно другой интерпретации. В предыдущих рассуждениях точка на комплексной плоскости представляла собой комп-

лексную частоту — теперь же мы используем эту точку для чтобы представить фазу и амплитуду самого колебания. Ес имеет вид Ae~Vtot или ае-^-4^ где со — действительное число (i бание с постоянной амплитудой) , то соответствующую точк плоскости можно найти, построив вектор длиной |Л| (т. е. а начала координат под углом (со/—ср) относительно положител горизонтальной оси в направлении по часовой стрелке. С тече времени вектор вращается по часовой стрелке с угловой скоро со, а его проекция на действительную ось совершает гармоничс

Рис. 3 7. Диаграмма колебаний для напряжений в электрической цепи в ветствии с физическим и электрическим условиями

Направление вращения таково, что ток i, который имеет ту же фазу, что и напряже] на резисторе, опережает по фазе напряжение на генераторе V

движение с амплитудой |Л|. Различные колебательные систе] одинаковой частотой со и разными фазовыми углами ср изобрая в виде векторов, образующих различные углы с горизонтал осью и вращающихся совместно с одинаковой угловой скорое При описании поведения различных частей сложной системы пример, электрической цепи), имеющих разные амплитуды и 4 но одинаковую частоту, обычно обращают внимание только н; носительные фазы, т. е. на углы между разными векторами, на их абсолютные ориентации. Для представления любого г бания на диаграмме необходимо знать лишь комплексную ам туду Л, которую изображают в виде заданного вектора длине образующего в направлении против часовой стрелки угол ср < ризонтальной осью. Здесь предполагается, что e-iw* исключен рассмотрения.

Такое сферическое представление называют диаграммой г баний (или векторной диаграммой — общепринятой терминол здесь нет). Она изображена на рис. 3.7, где в упрощенном показан также один из основных вариантов использования диаграммы для описания результата суперпозиции нескольким лебаний с помощью простого процесса векторного сложения. 1

включить сюда отброшенный ранее сомножитель e-i(uf, то каждый вектор должен вращаться с угловой скоростью со, однако, хотя все слагаемые имеют одинаковую частоту, все векторы будут вращаться вместе, сохраняя результирующий вектор постоянным и вращающимся с такой же угловой скоростью. Это приведет к появлению (в качестве действительной части) колебания, которое по- прежнему является гармоническим. Если же компоненты отличаются по частоте, то пространственное расположение векторов изменяется так, что они начинают вращаться друг относительно друга и результирующее смещение осциллирует несинусоидальным образом. Примеры таких колебаний мы обсудим в следующей главе.

ТЕОРИЯ ЦЕПЕЙ

Применявшиеся для анализа электрических цепей диаграммы колебаний (рис. 3.7) были в основном вытеснены алгебраическим анализом. Этот анализ достаточно хорошо известен, и поэтому мы упомянем о нем лишь очень кратко. Записать импеданс конденсатора в виде 1/(/соС) и импеданс индукционной катушки как jcoL — это значит получить те же соотношения между э. д. с. и током, которые выражают диаграммы колебаний. Обе величины связаны дифференциальными уравнениями, которые описывают поведение элементов цепи:

CV = 1 (для конденсатора),Li = V (для катушки индуктивности).

Если V и I носят колебательный характер и могут быть представлены в виде V^tot и te^, то, для того чтобы получить фазовые и амплитудные соотношения для элементов цепей, необходимо только заменить каждое дифференцирование по времени на множитель jco:

*^CV = ц Z = Vll=\l(]^C),]^Li = V, Z = V!i=\^L.

Эта замена справедлива как для комплексных, так и для действительных (о, однако при этом следует отметить, что, хотя в случае омического сопротивления V и I остаются в фазе, квадратурное соотношение для конденсатора или катушки индуктивности нарушается; касательная к логарифмической спирали (см. сноску в § 3.4) уже не будет нормалью к радиусу-вектору.

Чтобы увидеть, как теория цепей может заменить дифференциальные уравнения, рассмотрим цепь с резонансом напряжений (рис. 2.1, в, воспроизведенный на рис. 3.8, а). Если эта цепь разорвана, например, в точках XX и импеданс Z между этими точками вычислен, то можно найти комплексную частоту со при 7 = 0. На этой частоте ток может протекать в цепи, не создавая разности потенциалов между точками XX, т. е. эти точки можно соединить. Таким образом, мы показали, что цепь обеспечивает свободное ко-

лебания на любой частоте, которые сводят к нулю ее импеданс. В этом случае

j(o£-}-/? = l/(j шС) = 0 или Aw2—j/?ц>-^ 1/^ = 0,

т. e. мы получаем тот же результат, что и из (2.22), если d/d/ заменить на j(o. Следует отметить, что так как полный импеданс всей цепи при резонансе равен нулю, то импедансы, а следовательно, и

Рис. 3.8. Резонансные цепи:Рис. 3.8. Резонансные цепи:а — резонанс напряжений в случае, когда источник питания подключен между точками XX; б — резонанс токов, в — случай б в обобщенном видеа — резонанс напряжений в случае, когда источник питания подключен между точками XX; б — резонанс токов, в — случай б в обобщенном виде

Рис. 3.8. Резонансные цепи:

Рис. 3.8. Резонансные цепи:

а — резонанс напряжений в случае, когда источник питания подключен между точками XX; б — резонанс токов, в — случай б в обобщенном виде

а — резонанс напряжений в случае, когда источник питания подключен между точками XX; б — резонанс токов, в — случай б в обобщенном виде

R2R2Рис. 3 9 Эквивалентная цепь для маятника, показанного на рис. 3 2Рис. 3 9 Эквивалентная цепь для маятника, показанного на рис. 3 2

R2

R2

Рис. 3 9 Эквивалентная цепь для маятника, показанного на рис. 3 2

Рис. 3 9 Эквивалентная цепь для маятника, показанного на рис. 3 2

значения полной проводимости вдоль двух путей между любыми двумя точками, скажем УУ, должны быть равны по модулю и противоположны по знаку. Когда к точкам УУ приложена некоторая э. д. с., то результирующая полная проводимость, которая определяет ток, при резонансе равна нулю. Поэтому резонансное условие можно записать, если использовать цепь с резонансом токов, показанную на рис. 3.8, б или в более общем виде на рис. 3.8, в. Если точки УУ

не соединены с внешним источником, то единственным видом возможных колебаний э. д. с. должны быть такие, которые обеспечивают нулевой суммарный ток, втекающий в У или вытекающий из У. Это условие выполняется, когда Zx =—Z2.

Такой метод можно с успехом применить и в более простом случае, например для показанного на рис. 3.2 маятника, свойства которого смоделированы в цепи, представленной на рис. 3.9. Если /?ь которое аналогично Хь мало, то эта цепь ведет себя как соединенные последовательно L, Сх и R2; если Rx велико, то цепь подобна соединенным последовательно L, Сх, С^ и /?2. Если значение 7?i изменяется от 0 до оо, то резонансная частота пробегает все значения— от низких до самых высоких, а затухание проходит через максимум. Теперь мы разорвем цепь в точках XX и вычислим ее

импеданс, который приравняем к нулю для того, чтобы определить резонансные значения:

l/(j4~ j wL 4“ ^2~h( V^i 4“ j юС2)-1 = 0

или

~ jw3 — w2 (^3 4" co4) + /C0 (w2 + CO3CO4) 4" ^З = 0,

где coi2= 1/(LCJ; g)22= (Ci + C2)/(LCjC2) ; соз= l/(C2/?i),004 =

= R2IL. Полученное уравнение полностью совпадает с (3.7), только р здесь заменено на jo).

РАБОТА И МОЩНОСТЬ

До тех пор, пока сложение является единственной операцией с комплексными экспонентами, никаких серьезных проблем не возникает, так как действительная часть суммы комплексных чисел равна сумме отдельных действительных частей. Однако в случае других алгебраических операций необходимо помнить, что значение имеет только действительная часть, а в более общем случае имеет смысл выделить действительную часть в самом начале, еще до того как будет выполнена какая-либо другая операция. Есть, однако, ряд преобразований, которые, зная соответствующие правила, можно осуществить и с комплексными числами; среди этих преобразований наиболее важным является умножение. Предположим, что сила F0cos (со^ + Ф1) действует на тело, которое имеет компоненту скорости, параллельную силе и равную u0cos ((о/ + ср2), при этом и сила, и скорость имеют одинаковую частоту, но разные начальные фазы. Темп, в котором сила совершает работу, т. е. мощность Р, определяется произведением силы на скорость:

Р=FQvQ cos (со/ 4- cp^ cos (со/ 4- ф2) = 1/2 РОЧ)О [ cos (2со/ 4. ф! 4- ф2) 4

+ COS (<?! —<р2>].(3.10)

Первое слагаемое в квадратных скобках соответствует колебаниям с частотой 2(о около среднего значения, равного нулю. Оно представляет собой энергию, которая попеременно то вводится в тело, то выводится из него; второе слагаемое представляет собой постоянно передаваемую долю энергии, которая может иметь любой знак в зависимости от фазового сдвига ф1—ф2. Для средней передаваемой энергии имеет значение только второе слагаемое:

Р = v2 F^o cos (Ф! — ф2).(3.11)

На языке комплексного представления F выражают в виде (Рое-1(Р1)е1ш' и v в виде (д,е^2)е’!ш/, где амплитуды заключены в скобках. Поскольку действительная сила равна 1/2(Е4-Е*) и действительная скорость V2(y4-y*), получаем

Р = 1/4(р-4Р*)(^4-^*) =

= x/2Re [Ft^/7^*] или V2 Re [F^i-F*^].(3.12)

Каждое слагаемое в скобках аналогично соответствующему слагаемому в (3.10), поэтому, например, среднюю передаваемую мощность можно найти из следующих выражений:

P = V2 Re[^*] или P = i/2Re[P^].(3.13)

ВОЛНЫ

Во многих с помощьюВо многих с помощьюсистемах колебания лучше всего могут быть описаны стоячих волн, образованных в результате' отражения

Во многих с помощью

Во многих с помощью

и суперпозиции бегущих волн. Представление с использованием комплексных чисел, полученное для простых колебательных систем, легко распространить и на случай волнового движения. Если среда линейна относительно своих свойств и однородна, все ее части подобны друг другу, а если она остается неизменной во времени, то трансляционная инвариантность имеет место как по временным, так и по пространственным координатам. Тогда все формы волны могут быть получены из экспоненциальных функций, которые, однако, теперь будут функциями как временных, так и пространственных координат. В определенной степени этот факт заслоняется тем характерным обстоятельством, что в учебной литературе обычно обсуждают почти исключительно так называемое волновое уравнение, как будто, кроме него, нет бесконечного числа дифференциальных и интегральных уравнений с волноподобными решениями. Это частное уравнение имеет одномерную форму

52^0x252^0x2(3.14)(3.14)

52^

0x2

52^

0x2

(3.14)

(3.14)

и описывает зависимость от х и t физической величины g, которая может быть, например, поперечным смещением натянутой струны, продольным смещением воздуха в тромбоне или электрическим полем между двумя параллельными проволоками. Оказывается, общее решение этого уравнения имеет очень простой вид:

= /1 (^ — М + /2 (^ + (3.15)

где fi и f2— произвольные функции; на них накладывают только общие требования непрерывности и дифференцируемости, которые делают уравнение (3.14) имеющим смысл при подстановке данных функций. Если присутствует только fi, то уравнение описывает смещение системы, движущейся без изменения своей формы со скоростью и0 в направлении возрастания х; это связано с тем, что одновременное увеличение t на /0 и х на ио^о оставляет аргумент неизменным. Если в момент времени t смещение по х составляло £, то такое же смещение будет получено в точке x + zVo в момент времени / + /0. Функция f2 представляет собой возмущение, распространяющееся в противоположном направлении с той же скоростью, что и возмущение f\. Функции f\ и f2 являются при этом независимыми величинами, которые могут не взаимодействовать друг с другом, словно каждая из них существует сама по себе.

Это явление представляет собой наиболее важный пример недиспергирующей волны, особенно если учесть, что именно такой является, в частности, электромагнитная волна в свободном пространстве. Однако волны, распространяющиеся в реальных веществах, имеют тенденцию к диспергированию, в результате чего форма возмущения изменяется в процессе распространения так, что простое волновое уравнение становится уже непригодным. Более общее линейное уравнение можно построить по аналогии с (3.1). Если поведение в любой точке определяется тем, что на самом деле происходит в ней или в ее окрестности в определенный момент времени, то линейную суперпозицию всех воздействий можно представить в виде интегрального уравнения движения

J J Цх\ W <х’ -х, /' —/)d х'й t'=Q,

специальным типом которого может быть уравнение в частных производных, включающее производные, отличающиеся от тех, что представлены в (3.14); это могут быть смешанные производные типа дп^тУ ^dxndtmY По аналогии с (3.14), такие уравнения имеют экспоненциальные решения, и наиболее общее решение можно выразить как сумму экспонент. Типичная гармоническая компонента может быть записана (применяя физическое соглашение) в виде

(3.16)

где волновое число к и частота со могут быть в общем случае комплексными, а А является постоянной, которая также может быть комплексной. После подстановки этого выражения в дифференциальное уравнение в частных производных такое же преобразование, как и в случае уравнения осциллятора, приводит к алгебраическому уравнению. Так как

д^/дх = 1 кАе1^х~ш^ = i к;, d^[dt= — iwAe' ^х-и^ _ — 1^, то в общем случае

dn^ldxndtm=A\ Ж — x^W(3.17)

Если так же преобразовать (3.14), то довольно просто получить —^2^ + (о2^/у02=0, откуда

^=±(0/^.(3.18)

При каждой выбранной частоте (получаемой, например, для действительных со, если какую-либо точку натянутой струны привести в непрерывное синусоидальное движение) волна распространяется со скоростью и=т(к, поскольку именно такое соотношение должно связывать величины хи/, для того чтобы аргумент кх—со/ оставался постоянным. В этом случае y = u0 = const, т. е. любые синусоидальные волны, какими бы ни были их угловые частоты со или

65653 Пиппард А.

65

65

длины волн 2л/&, движутся с одинаковой скоростью, что является частным случаем свойства недиспергируемости, согласно которому все возмущения движутся в среде без изменений.

В общем же случае подстановка (3.16) в уравнение, содержащее несколько производных, приводит к более сложному алгебраическому соотношению между к и со. Уравнение м-й степени генерирует полином той же степени по со и к, и приравнивание к нулю этого полинома дает дисперсионную кривую, т. е. зависимость йот со. Простой пример представляют собой волны изгиба упругого стержня, боковое смещение g которого описывается дифференциальным уравнением (у нас нет возможности приводить здесь его вывод; см. [2])

д^дх^ + аЖ^=0, (3.19)

где а — постоянная. После подстановки выражения (3.16) в (3.19) дисперсионное уравнение принимает следующий вид: й4=а4со2, откуда

к = ± а^^ или к = ± i ад>Ж (3.20)

Два действительных решения ^а^'г показывают, что при данной частоте синусоидальные волны распространяются в обоих направлениях с одинаковой скоростью, волны же с более высокой частотой движутся быстрее ^D = tolk^^^, при этом длина волны изменяется пропорционально <о_,/2, а не 1/со, как в случае недиспергирующих волн. Кроме того, имеются нераспространяющиеся возмущения, потому что мнимые выражения для к дают решения в виде е—1ш/е±а/шх^ в КОТОрЫХ амплитуда колебаний нарастает или уменьшается экспоненциально вдоль стержня, в то время как каждая часть колеблется в фазе. В этой системе произвольное возмущение быстро меняет свою конфигурацию и только синусоидальная волна продолжает двигаться, сохраняя форму.

Как и при простых колебаниях, комплексные волноподобные решения, когда они описывают действительные возмущения, можно объединять, однако теперь у нас возникают дополнительные возможности. Так как g в (3.16) является решением уравнения с действительными коэффициентами, то решением является £*; таким образом, если решение определяет (со, к), то аналогичный результат дает и (—со*, —к*). Более того, если волны могут распространяться, сохраняя форму, в обоих направлениях, то (со, —й) и (—со*, к*) также являются решениями. Эквивалентность обоих направлений, не обязательная в случае волн, распространяющихся во вращающемся теле или в магнитном поле, проявляется в дифференциальном уравнении в виде четных частных производных д2/дх2, д^дх4 и т. д., которые не изменяются при замене х на —х. Поэтому в дисперсионных уравнениях присутствуют только четные степени к. Если среда свободна от потерь, то со и к могут быть действительными и действительные возмущения можно описать посредством четырех решений (±<о, ±&)- Таким образом, мы можем построить

объекты

ei (^±шо_^е-1 (^г±й>о = 2 cos (kx±ш/)(бегущие волны), (3.21) ei(*x + <oO _|_e! (A-T-coO _|_e-i(£.r4-ci>O-|-e-i ^х-тЦ _

= 4 cos kx cos oV (стоячие волны) (3.22)

или в более общем случае парциальные стоячие волны, которые являются комбинацией волн, бегущих в обоих направлениях, но имеющих разные амплитуды.

Если среда обладает большими потерями, то со и к не могут быть действительными одновременно; иногда одна из этих величин действительна, а другая — комплексна. В более сложных случаях обе величины могут быть комплексными, но рассматривать такие примеры нет необходимости. Следует лишь понять, что дисперсионное соотношение определяет либо со, либо к через посредство друг друга, и поэтому вопрос о том, какую из этих величин нужно выбирать действительной, остается открытым. Если колебательная система с постоянной амплитудой генерирует волну в длинной струне, то очевидно, что со необходимо брать действительным, чтобы постоянным по амплитуде было временное изменение по е1^-^). В результате к становится комплексным (скажем, имеет вид kr -V\k"^, изменение при к" положительном вдоль струны принимает форму экспоненциального ослабления и еХкх превращается в е1 ^е-^. В волне, бегущей в противоположном направлении с постоянной со, знаки обеих частей к обращены, так что амплитуда вдоль струны по-прежнему ослабляется в направлении распространения.

Однако описанные выше правила не действуют в случае свободного колебания стоячей волны. Полуволновой участок минимальной моды колебаний струны (см. рис. 2.15) можно построить согласно (3.22), если потери отсутствуют и граничное условие £ = 0 на обоих концах струны удовлетворяется при условии, что в этих точках кх= ±л/2. Физически это представляет собой волну, бегущую вперед и назад и отражающуюся на концах с обращением фазы, так что падающая и отраженная волны в сумме дают на концах всегда нулевое смещение. При условии, что двойная длина является точным кратным длины волны, разрыва непрерывности не возникает ни в одной точке и волновое уравнение удовлетворяется. Однако при наличии затухания амплитуда бегущей волны после каждого прохождения по струне уменьшается, а на концах суммарное смещение равно нулю, т. е. разрыв непрерывности становится неизбежным. Граничные условия могут фактически удовлетворяться только в том случае, когда к действительно и со комплексно. Это естественно, поскольку такая стоячая волна и должна затухать в отсутствие подпитки от внешнего источника энергии. Если записать со в виде со7—ico" и взять действительное значение к, то урав-

нение (3.22) можно переписать в виде суммы четырех комплексных компонент:

е1 (^х-соО -l-e1 (-^"<«>0 ^ 0i (—£.г + а)*О | е1 (fevf + co^Z) _= 2 cos Ъс(е~* ш/4-е* оУ*/) = 4е~оГ/ cos kx cos w'/.

Векторная диаграмма также оказывается здесь полезной как наглядное изображение различных комбинаций, и мы снова можем не сохранять в ней сопряженные комплексные функции. Волнам, движущимся в противоположных направлениях, условимся припи-

Рис. 3.10. Изменение амплитуды и интенсивности в парциальной стоячей волне на расстоянии, равном половине длины волны

Амплитуда определяется выражением |ehx + 0.6е-1Аж|, а интенсивность — квадратом этого выражения, т. е. [.36+ + 1,20 cos 2&х. Минимум амплитудной кривой выглядит острее, чем максимум

сывать одинаковые со и противоположные по знаку к. Бегущие волны с амплитудой Л описываются при этом выражением A^±-kx-tot>> и изображаются одним вектором Aevkx или Ле-*^ в соответствии с направлением движения. Этот вектор определяет амплитуду и фазу (при /=0) колебания в точке х. В среде без потерь колебания в разных точках представляют векторами равной длины, но направленными в разные стороны. Это позволяет графически изобразить бегущую волну как колебания точек с нарастающим сдвигом по фазе. Парциальную стоячую волну можно выразить как Ae^kx-tot^-V- ^_B^"kx-ti>t\ где Л и В могут быть комплексными и изображены как сумма двух векторов: Аехкх+Ве-Хкх. По мере продвижения вдоль прямой и с ростом х вектор длиной А поворачивается по часовой стрелке, а вектор длиной В— против часовой стрелки, так что в некоторой точке значение результирующей величины максимально (|Л | 4-1В|), а через полуволну — минимально (|Л | — |6|). Каждая точка колеблется синусоидально, однако амплитуда меняется в зависимости от положения. В случае полной стоячей волны, когда | Л | = |В|, возникают узлы, расстояние между которыми равно полуволне; в этих узлах колебания отсутствуют. Можно сразу же записать изменение амплитуды в зависимости от положения для случая парциальной стоячей волны. Если х измеряется от точки с максимальной амплитудой, где векторы выстроены в одну линию, то в любом другом месте они наклонены друг относительно друга под углом 2кх и решение соответствующего треугольника даст результирующую амплитуду R;

17? |2 = | Л|2 + |В|2+ 2[ЛЦВ|СО52^.(3.23)

Это и есть интенсивность, т. е. квадрат амплитуды, которая изменяется в зависимости от положения как синусоида, наложенная на

постоянный средний уровень. На графике интенсивности максимумы и минимумы имеют одинаковую форму, а на графиках амплитуды минимумы выглядят острее максимумов, превращаясь в точки заострения, когда |А| = |В| и стоячая волна является полной (рис. 3.10).

ЦИРКУЛЯРНАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ

В заключение отметим еще одно применение алгебры комплексных чисел — при описании циркулярно поляризованной волны или колебания. Если конец натянутой струны движется по окружности с постоянной угловой скоростью co, то вдоль струны распространяется циркулярно поляризованное возмущение. В любой момент времени струна принимает спиральную форму, и с течением времени вся эта спираль перемещается вдоль струны с волновой скоростью. Наблюдатель, следящий за движением одной из точек, видит, что она движется по кругу. Так как возмущение является чисто поперечным, то в любой точке оно может быть представлено двумерным вектором, который является как раз наиболее подходящим объектом для описания с помощью комплексного числа. При выборе системы координат мы берем в качестве действительной плоскости любую плоскость, содержащую направление распространения волны (например, в случае горизонтальной струны можно выбрать горизонтальную плоскость, в которой находится струна); в каждой точке х струны мы изображаем поперечную плоскость, перпендикулярную струне, пересечение которой с действительной плоскостью определяет действительную ось. Тогда е1Ах представляет собой единичный вектор, лежащий в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, и вращающийся в этой плоскости с изменением х, в результате его конец описывает спираль. Если смотреть вдоль оси х, мы увидим вектор, вращающийся против часовой стрелки при возрастании х; это левосторонний винт. Аналогичным образом ervkx описывает правосторонний винт. Распространение волны описывается выражением e^kx-tot\ которое можно рассматривать либо как вращение спирали в целом по часовой стрелке без трансляции (результат умножения везде на e-Vtot), либо как трансляцию спирали в целом со скоростью со/^ без вращения (так как при изменении х и I, когда xlt=^lk, аргумент функции не изменяется). Эквивалентность обоих описаний является всего лишь способом констатации того факта, что спираль является еще одной самоподобной кривой, поскольку она описывается экспоненциальной функцией.

Такая форма записи представляет особую ценность для циркулярно поляризованных поперечных электромагнитных волн, где векторы электрического и магнитного полей могут быть выражены в виде комплексных чисел. Следует отметить, что применение комплексного числа к поперечным волнам нужно рассматривать как физически оправданный прием описания, так как рассматриваемое смещение является двухкомпонентным вектором. С другой сторо-

ны, первоначальное применение сводилось к удобному представлению скалярного смещения, для которого комплексное число содержит слишком большую информацию; поэтому здесь нужна была только действительная часть. Векторную интерпретацию не следует ограничивать только циркулярной поляризацией, поскольку плоскополяризованную волну можно разложить на две циркулярно поляризованные волны с противоположными знаками вращения, движущиеся в одном направлении:

Ле1 (^х-ш0 _|_ Ле-1 (^-®о=2Л cos(£x —со/).

Это выражение описывает бегущую волну с амплитудой Л, которая в общем случае является комплексной и везде одинаковой; поэтому эта волна плоскополяризована, а плоскость поляризации определяется аргументом величины Л.

4 РЯД И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

СУПЕРПОЗИЦИЯ ВОЛНЫ;

РЯД ФУРЬЕ

Теория ряда Фурье и интеграла Фурье широко используется в математике и физике, и поэтому нет недостатка в пособиях, к которым может обратиться студент, чтобы при желании разобраться в деталях [1]. Ни одно из приложений теории, рассматриваемых в этой книге, не требует глубокого знания математических методов,

Рис. 4.1. Последовательные этапы Фурье-синтеза пилообразной функции, которая показана в виде жирной линии

Кривая 1 соответствует первому слагаемому, 2— первым двум, 3— первым трем и 4— пер, вым четырем слагаемым уравнения (4.1)

однако сама идея разложения произвольных функций в ряд по синусоидам настолько плодотворна, что имеет смысл потратить некоторое время на усвоение ее основных положений. Это поможет в дальнейшем использовать этот метод анализа как для качественного, так и для количественного описания явлений. Мы сконцентрируем свое внимание на приложениях методов Фурье-анализа к проблемам теории колебаний, используя формальную математику в объеме, достаточном для того, чтобы наши доказательства были понятны. В основном мы ограничимся обсуждением функций одной переменной (типа зависимости смещения колебательной системы от времени). После того как этот материал будет усвоен, анализ можно легко расширить и на случай функции нескольких переменных.

Периодические функции с формой волны, отличной от синусоидальной, можно построить, суммируя основную синусоиду с другими, образующими гармонический ряд, т. е. имеющими частоты, кратные основной частоте. На рис. 4.1 показаны результаты сум-

мирования ряда Фурье с постепенно увеличивающимся числом членов:

У = 0,363 sin X + V2 sin 2х +0,404 sin 3x + V4 sin 4x+ ... =

I Г1 sin (1,21 ./л

=— 1——— sin fix.(4.1)

/2 = 1

По мере увеличения числа слагаемых форма волны, очевидно, приближается к зигзагообразной кривой, представляемой полным рядом (4.1). Некоторые свойства этой функции нетрудно получить из (4.1). Так как sin пх является нечетной функцией, то и переменная у должна быть нечетной функцией, т. е. у^—х) =—у(х); период, очевидно, равен 2л, так как 2л является наименьшей величиной, которую можно прибавить к х, оставляя неизменным sin пх для всех целых значений п. При всех значениях х, лежащих между л/2 и Зл/2, полного обращения у еще не достигается, однако резкий скачок при х=0 можно определить без особого труда. Такой скачок вызывается первым слагаемым в (4.1); как это происходит, можно увидеть, рассмотрев более простой ряд:

у =— sin пх.(4.2)

п=\

Когда х очень мало, имеем пх^пх по крайней мере для значений п, приближающихся к 1/х, и каждое слагаемое (4.2) вносит свой вклад в значение у. Если оборвать ряд на некотором N, то х всегда можно выбрать настолько малым, чтобы вышеуказанное приближение выполнялось; следовательно, укороченный ряд приводит к возникновению в начале координат градиента со значением, равным N; этот градиент стремится к бесконечности при N-^oo.

Из рис. 4.1 можно увидеть, что кривая стремится выйти за пределы огибающей сразу после крутого возрастания вблизи начала координат. Это свойство обязательно сопровождает представление разрывной функции рядом Фурье, оно сохраняется независимо от числа используемых членов разложения, хотя выбросы и располагаются при этом во все более узкой области вблизи скачка. Указанное свойство можно проиллюстрировать с помощью (4.2). Укороченный ряд

N

Уы = V — sin пх(4.3)

п=1

N

имеет максимум, когда йуы/йх=0, т. е. когда ^ cos/zx = 0. В свою /2 = 1

N

очередь, ^ cos пх является действительной частью геометриче- /2=1

N

ского ряда ^ ej п\ сумма членов которого равна eix(l—ehVx)/(l— /2 = 1

—eLx). Наименьшее значение х, при котором действительная часть обращается в нуль, равно nJN. Подставив его в (4.3), обнаружим,

N

что уы увеличивается до максимума, равного ^[l/(/z sin (л/г/Др)]- п = 1

Когда ^->oo, сумму можно заменить интегралом; положив nn[N = = 2, ПОЛУЧИМ

Умакс- С—dz = 1,179.л/2.(4.4)

J 2

О

После максимума значения у осциллируют с уменьшенной амплитудой вблизи л/2. Поскольку эти осцилляции ограничены диапазоном изменения х, стремящегося к нулю как 1/W, и поскольку их амплитуды остаются конечными, они не имеют практического значения, и этот математический курьез (так называемое явление Гиббса) далее обсуждаться больше не будет.

Случай, показанный на рис. 4.1, есть не что иное, как пример представления функции рядом Фурье. Эта функция в данном случае имеет следующий вид:

у(х) = п/2 — х. когда 0«<х«<л/2;

(4.5) у(х) — 0,когда л/2<х<л;

кроме того, у (—х) =у{х).

В общем случае, когда функция является периодической и #(х + 2л) =у (х), а других свойств симметрии нет, ряд должен содержать как синусы, так и косинусы:

у(х) = А0^ j^ Ancos пх^- ^ Вге$\ппх, (4.6)/2 = 1/2 = 1

где Ло— среднее значение у. На рис. 4.2, а приведен пример такого- ряда:

у = sin х + Vs cos 2х + Vs sin 4x.

Эта функция, разумеется, является периодической, однако она не имеет ни одной точки симметрии или антисимметрии.

Если у — комплексная переменная, то Лп и Вп также должны быть комплексными. Введя новые коэффициенты

an = T/2(An4-i Вп), a_n = 1l2<An — i Вп\(4.7)

(4.6) можно переписать в более компактной и в целом более удобной форме:

УМ= 2 ап^пх-(4.8)

/2 =— оо

Мы получили разложение Фурье функции, период которой равен 2л.

Для периодического колебания £(/) с периодом 70, которое обладает свойством g(/+^o) = £(0> выражение (4.8) принимает вид:

W = 2(4.9)

где (Оо = 2л/Го* — основная частота*. Если |(/)—действительная наблюдаемая величина, то Дп и Вп также действительны, однако в общем случае ап является комплексной величиной, хотя из (4.7) и следует, что а_п = ап*. Для того чтобы определить £(/) полностью, необходимо найти только а0, среднее значение g и значения ап при положительных п. Мы назовем &i амплитудой основной гармоники и ап— амплитудой п-й гармоники (т. е. основной мы назвали первую гармонику, как это и принято в современной практике; в литературе имеются и другие определения).

Теперь, когда стало ясно, что функция у(х) представляется рядом Фурье (4.8), можно легко определить ап. Поскольку

2г2п

4 [l/(x)e-|mxdx= — V ^а„е'^-т^ dx=am1 (4.10) 2л J2л J

о^—”0

при суммировании в результате интегрирования по одному периоду колебаний останется единственное слагаемое — слагаемое с п=т. Установить точные условия применимости разложения в ряд Фурье нельзя, не используя некоторые тонкие математические приемы, однако здесь нет необходимости обсуждать эти вопросы. Достаточно заметить, что физически наблюдаемые периодические величины (они повсюду конечны и непрерывны, а если даже они и разрывны, то в конечном числе точек цикла) могут всегда быть разложены в ряд Фурье, например, по формулам (4.8) или (4.9). Можно проверить, подставив (4.5) в (4.10), что ряд (4.1) представляет собой именно то, что подразумевалось с самого начала.

БИЕНИЯ И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ ЯВЛЕНИЯ

Рассмотрим теперь суперпозицию синусоид, которые не образуют гармонического ряда, но имеют довольно близкие частоты. Два колебания с одинаковыми амплитудами дают хорошо известную картину биений, показанную на рис. 4.2, б, где отношение частот выбрано равным 5 : 4. В общем случае для частот соi и (о2

cos 4- cos о)2/=2 cos + 0)2 / cos 0)1 ~~ -t.22

Здесь первый косинус представляет быстрое колебание со средней частотой V2 (coi 4-со2)» а второй — медленную модуляцию амплиту-

* В тех случаях, когда из контекста, как в данном случае, ясно, что колебание имеет постоянную амплитуду и со является действительной величиной, штрих над со' мы будем опускать.

ды с максимумами, которые появляются при 7г (ом—(02)/=ял, т. е. на частоте | coi—02I. В том случае, когда амплитуды обеих компонент отличаются, глубина модуляции уменьшается, но сохраняется частота биений. На рис. 4.2, в показан результат сложения двух колебаний:

у = sin 4х 4 2/5 sin 5х.

Эту комбинацию полезно представить в более наглядном виде как мнимую часть комплексной диаграммы (рис. 4.3), на которой один вектор единичной длины вращается с угловой скоростью в

4 усл. ед., в то время как другой вектор длиной 2/5,

связанный с первым, вращается со скоростью 5 усл. ед. Так как второй вектор поворачивается относительно первого на 1 усл. ед., это обстоятельство и определяет частоту появления максимумов по амплитуде каждый раз, когда векторы на мгновение выстраиваются в одну линию.

Рис. 4.2. Примеры функций:

а — sin x + Vs cos 2x+Vs sin 4x;

6 — sin 4x+sin 5x. Стрелки показывают нерегулярность следования пиков. Имеется дополнительный полупериод, когда огибающая проходит через нуль; в — sin 4х+2/5 sin 5х. Огибающая не падает до нуля, и промежутки между пиками выглядят более упорядоченными, хотя нерегулярности еще заметны; г —sin 4х+*/б (sin Зх+sin 5х). Кривая похожа на в, но с регулярными промежутками; д — cos 4х+'/5 (sin Зх+sin 5х). Частотная модуляция при почти постоянной амплитуде; е — sin 6х+2/5 sin 11х.

Огибающая имеет изломы

Если обе частоты близки, модуль результирующего вектора за каждый оборот почти не меняется. В этом случае можно придать некоторый смысл определению мгновенной частоты как скорости изменения фазового угла результирующего вектора. Если более сильная компонента ахе,-Хи>^ имеет более низкую частоту, то в то мгновение, когда обе компоненты выстраиваются в линию, образуя максимальный результирующий вектор, оба колебания объединяются и сообщают концевой точке максимальную угловую скорость. Линейная скорость концевой точки равна анщ + ^сог (значения «1 и а2 берутся действительными и положительными), а ее угловая скорость

Д1ш1 + я2ш2 । a2(w2 —^0^макс— — — 11'

я 1 т Л2Л1 т л2

Аналогично можно показать, что при минимальной амплитуде

#i(Oi — Д7Ю}До ((Do — (Oi)

"мин =^ = "1•

Д1 — ЯД^1 — ^2

Изменение мгновенной частоты прослеживается на рис. 4.2, в по нерегулярным промежуткам между нулевыми точками. Этот эффект наиболее заметен, когда ai = a2, потому что при этом, как легко можно увидеть на рис. 4.2, б, нули в картине биений являются точками обращения фазы, а (оМпн мгновенно падает до —оо.

Мгновенная частота не меняется, если картина биений — это результат модуляции преобладающей компоненты (.несуьцей) симметрично расположенными боковыми полосами. На рис. 4.2, г в качестве примера изображена функция

z/=sin 4x + V5(sin Зх-[-sin 5х).

Из векторной диаграммы на рис. 4.4 видно, что две боковые полосы объединяются, при этом амплитуда изменяется, а фазовый угол несущей остается неизменным.

Если теперь фаза несущей увеличивается на л/2, то функция преобразуется к виду

z/ = cos4x4-1/5(sin 3x-[-sin 5x)

и результирующее колебание станет таким, как показано на рис. 4.2, 5: оно претерпит малое изменение в амплитуде, но превратится в частотно-модулированное. Векторная диаграмма на рис. 4.5 показывает, как это происходит: две боковые полосы объединяются под прямым углом к несущей и значительно изменяют ее фазу при очень незначительных изменениях амплитуды. Легко вычислить диапазон изменения частоты, когда боковые полосы слабы; однако в более общем случае, представляющем интерес для передачи частотно-модулированных радиосигналов, требуется более детальный анализ, которым мы здесь заниматься не будем.

И наконец, к весьма любопытным явлениям, заслуживающим особого изучения и вызывающим даже определенное замёшатель-

ство, можно отнести суперпозицию нескольких синусоид. Колебания двух частот, отличающихся приблизительно в два раза, при наложении дают остроконечную картину биений, показанную на рис. 4.2, е, на котором изображена функция

y = sin 6x-j-2/5sin Xlx.

Если бы частоты находились в отношении 2 : 1, а фазы колебаний были бы таковы, что их положительные пики складывались, тогда отрицательные пики имели бы противоположный знак. Это приводило бы к смещению огибающей вверх, как показано в точке А на диаграмме. Из-за отклонения от точного отношения частот 2 : 1 возникает момент, как, например, в точке В, когда относительные фазы обращаются и огибающая смещается вниз. Следует заметить, что «локальное среднее» значение у не колеблется с частотой биений— это может произойти только тогда, когда у содержит компоненту с частотой биений. В точке А, где огибающая смещена вверх, положительные пики сужены, а отрицательные пики сглажены настолько, что они почти раздваиваются; эти искажения компенсируют сдвиг огибающей и поддерживают среднее значение у на нулевом уровне.

ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

Сложим теперь большое число синусоид с равными амплитудами и сдвигами по частоте, перекрывающими не очень большой частотный диапазон. Результат сложения легче всего оценить с помощью диаграммы колебаний. В простейшем случае компоненты подгоняют так, чтобы все они в некоторый момент времени находились в фазе (рис. 4.6, а). В последующие моменты времени наблюдается нарастающее изменение фазы при переходе от одной компоненты к другой (рис. 4.6, б). Таким образом, если /г-я компонента равна ае-1^”8)', где е— разность частот между соседними компонентами, то результирующая амплитуда составляет

а e-i(co+/2^) t = a е-м v е—\nv = a е—1^

Это выражение представляет собой тот же геометрический ряд, который мы уже встречали в другом контексте. Присутствие e-itof указывает на то, что если мы всегда будем рисовать первый вектор в одном и том же направлении, в данном случае горизонтальном, то можно считать, что вся диаграмма будет вращаться с угловой скоростью со. Мгновенный результирующий вектор является замыкающим, и из диаграммы видно, что он имеет ту же фазу, что и центральная компонента, поэтому он вращается с угловой скоростью со + УгМе. Результирующий вектор колеблется с этой средней частотой и имеет амплитуду, которая модулируется в соответствии с изменением во времени длины замыкающего вектора. В случае сложения всего двух компонент возникает синусоидальная модуляция, что видно из простой картины биений на рис. 4.2, б. При на-

линии трех компонент условие равенства фаз воспроизводится регулярно через такие интервалы времени 7, что е7=2л, однако между каждой парой основных максимумов имеется дополнительный максимум с амплитудой, равной Vs амплитуды основного максимума (см. рис. 4.3, в). Аналогичным образом, в случае четырех компонент появляются два дополнительных максимума (рис. 4.6, г). Если число компонент увеличить до А и расстояние между соседними частотами уменьшить настолько, чтобы размер общего час-

Рис. 4.6. Сложение нескольких синусоид с равной амплитудой и равностоящими частотами:

а—все синусоиды синфазны, б — в несколько более поздний момент времени при наличии постоянной разности фаз между компонентами, в — вспомогательный максимум с тремя компонентами, фазы которых равны О, л и 2л; г—вспомогательный максимум с четырьмя компонентами, фазы которых кратны 133°, д — построение непрерывного спектра, е—результирующий спектр, полученный из д согласно (4 12)

тотного диапазона А/е сохранялся постоянным, то основные максимумы раздвинутся еще сильнее (7=2л/е~А), однако число дополнительных максимумов увеличится до N—2, а расстояние между ними останется почти постоянным. Если N увеличивать до бесконечности, то форма огибающей вблизи каждого основного максимума будет быстро приближаться к предельному случаю, который можно найти, заменив дугой окружности многоугольники на рис. 4.6. Если частоты компонент в этом спектре, по форме напоминающем шляпу-цилиндр, располагаются в диапазоне соо4- 1-/гАсо„ то длина дуги остается постоянной вблизи £0, в то время как ее угловой размер (2ср на рис. 4.6, д) меняется как Асо-Л Радиус дуги равен §0/(2ф), и замыкающий вектор задается через Е, при этом

$/50 = sin cp/cp = sin С/г^-О/СМ0^). (4.12)

Полученный результат, изображенный на рис. 4.6, е, хорошо известен в теории дифракции Фраунгофера, и, действительно, теория интерференционной картины для N равноотстоящих щелей при 78

N—2 дополнительных максимумах между основными максимумами является точно такой же, как теория, рассматриваемая здесь. Для дифракционной картины в случае отверстия конечных размеров эта теория в пределе приводит к выражению, подобному (4.12).

Можно легко получить аналитический вывод формулы для непрерывного распределения компонент. Все компоненты, лежащие в бесконечно малом диапазоне частот между со и co + dio, имеют одинаковую фазу <о/, они объединяются, причем суммарная амплитуда составляет часть dco/Aco от результирующего максимума g0, возникающего тогда, когда все компоненты совпадают по фазе. Поэтому их вклад составляет god(oe-lw7Ao), а сумма по всем компонентам имеет следующий вид:

<Оо4-1/2Да)

6= —^—Сe-itoZ d <о = %е-1®^ sin C/t^^iCIt^^Y (4.13)

Део J

со0—1/2Д®

Это выражение совпадает с (4.12), отличаясь лишь множителем, описывающим вращение диаграммы со средней частотой соо. Этот множитель включен в формулу (4.13), которая задает среднюю осцилляцию в форме $oe-1<0°^ модулируемую функцией sin ср/<р (рис. 4.6, е).

Проведенный нами результат, выраженный в конечном итоге соотношением (4.13), можно сразу же обобщить. Пусть синусоидальные компоненты составляют непрерывный диапазон частот (т. е. пусть —оо<(о<оо) с амплитудами и фазами, описываемыми комплексной переменной f (со),— это означает, что в бесконечно малом диапазоне dco при наложении компонент результирующая имеет вид f (co)e~1(O/d(o. Такая результирующая всех компонент меняется во времени по закону £(/), при этом

S(0 = J /(u))e-i^d(o.(4.14)

/i(-P)= JUOe'^d/- f/i(-P)= JUOe'^d/- fФункция £(/) является интегральным преобразованием Фурье функции f(<o). Преобразования Фурье обладают свойством взаимности: если £ является Фурье-образом Д то (с некоторыми небольшими изменениями) и / является Фурье-образом g. Чтобы быть точнее, введем, использовав соотношение (4.14), функцию fi(—р), т. е. Фурье-образ g(/), выраженный через третью переменную —р:

/i(-P)= JUOe'^d/- f

/i(-P)= JUOe'^d/- f

/ (^е1^-®^ d со d/.(4.15)

Проинтегрируем (4.15) по /, сначала взяв пределы ±Т и устремив их затем в бесконечность. В результате получим

Л(-Я-2 f[/(.)d«limr-i!^^lj.

I т-^« L Р — “J J

Выражение в квадратных скобках имеет вид функции sin ф/ф. Как и функция, изображенная на рис. 4.6, е, она имеет максимум Т при ю = р и спадает до нуля, когда \р—(о|=л7. Если Т-^оо, то площадь под кривой остается постоянной и равной л, а ширина кривой уменьшается до нуля. При условии, что f(co) является непрерывной функцией (подобно почти всем физическим переменным), ее изменение в диапазоне р±л7 становится пренебрежимо малым; таким образом, мы можем записать

Л( —^) = 2л/(/?), или с учетом (4.15)

v

Чтобы выразить этот результат в общепринятых обозначениях, переобозначим £(/) в g^t) и заменим р на со. Тогда если

g(/)= J /(со)е~/ш'do),(4.16)

то

/(ш) = ——- [ g(Oelm<d/.Z Л V

Существует несколько эквивалентных разновидностей теоремы о преобразовании Фурье, из них данный вид можно выбрать в качестве стандартного. Поскольку, если пользоваться математическим языком, со и t являются только символами переменных, они могут заменять друг друга, не изменяя существа теоремы, т. е.

/(/)=—^— f(4.17)

2л J

или

/*(/)=—!_ J^*(<o)e~i“-vdu))(4.18)

причем выражение (4.18) отличается от уравнения (4.16) только множителем 1/(2л)..*

Отсюда следует, что если /(со) является частотным спектром (форма которого напоминает шляпу-цилиндр), который генерирует g(t) и огибающую вида sin ф/ф, то §((0), т. е. спектр вида sin ф/ф, генерирует f(Z), т. е. огибающую с формой, аналогичной /(со), или цуг волн с постоянной амплитудой, но конечной длиной. Проверим это утверждение с помощью точного расчета, начав со спектра с центром в соо, все компоненты которого находятся в фазе в момент времени / = 0 и амплитуды в котором распределены со-

гласно sin[/0(o)—cdo)]/ (cd—coo), где /0 является постоянной, определяющей ширину спектрального распределения. Тогда, подставив /о (со—<оо) вместо ф, получим из (4.14) следующую результирующую амплитуду:

g (0= f _£MM^OL e-i^ d«) =JО) — (Oq

Поскольку 8Шф/ф является четной функцией, при оценке интеграла необходимо учесть только четную часть выражения e-i(p^/z^ т. е. cos (ф///0). Далее,

sin ф cos (ср///0) = V2 {sin [(1 + //z^o)ф] + sin [(1 — ///0) ф]}.(4.19)

Таким образом,

g№ = — e-1^-— +— d<p,

2\ фф /

где щ = 1+///о и «2=1—-///о. Теперь

”I л, если «>0,

(sin ссф/ф)Пф = ^

Joo[ — л, если a <0.

Для /, при которых знаки для «1 и а2 противоположны, два вклада в g^t) взаимно уничтожаются, поэтому gt^ принимает ненулевое значение только тогда, когда значения t лежат между +/0 и —/о:

g(O = л e~i<e< если —/0</</0.(4.20)

Мы получили ограниченный цуг с постоянной амплитудой, как и предсказывает теорема Фурье.

Длина этого цуга определяется частотным диапазоном его компонент; центральный пик частотного спектра ограничен нулями, когда /‘о (со—(оо) = ±л, поэтому он имеет ширину 2л/^0, при этом длина цуга осцилляций равна 2Z0. Обозначив эти величины Асо и At, получим, что

А(оД/_ 4 л(4.21)

независимо от выбора /0. Такой же результат следует из первоначального интегрирования спектра шириной Асо, которое дает цуг осцилляцией (4.12) с центральным пиком длиной 4л/Асо. Легко понять качественные соображения, определяющие этот результат. Пусть суммируется набор синусоид с частотами в ограниченном диапазоне шириной Асо. Пусть в некоторый момент времени они оказываются в фазе и образуют максимум. Тогда, для того чтобы

крайние компоненты расфазировались на 1 рад, должно пройти время 1/Асо; спустя еще некоторое время они дадут результирующую, намного меньшую их максимального значения. Поскольку, как сразу же следует из фазоамплитудной диаграммы, амплитуда симметрична относительно синфазной точки, общая длина цуга должна намного превышать 2/Ао), т. е. А<оА/>2. Совершенно очевидно, что в любой момент времени, когда нулевые значения, при которых удобно находить Асо и А/, отсутствуют, значение величины AcoAf должно зависеть от принятого определения каждого из сомножителей, однако тесная связь между Асо и А/ тем не менее неизбежна, так как всегда существует небольшая неточность в числовых измерениях. Одним из частных случаев может быть такой, когда средняя частота в (4.20) берется равной нулю. Тогда импульс с постоянной шириной во временном интервале между +/0 и —/о можно разложить на Фурье-компоненты с центром в со = 0 и с амплитудным распределением sin (Zoco)/co, которое имеет центральные нули при ±л//0. По мере того как длина импульса уменьшается, ширина спектра увеличивается до тех пор, пока в пределе мгновенный импульс мы не сможем описать как созданный однородным спектром; все частоты будут представлены одинаково и сфазиро- ваны так, чтобы их можно было суммировать в один и только один момент времени — во все другие моменты времени они взаимно уничтожаются. Из второго уравнения в (4.16) можно сразу же увидеть, что если импульс, определенный как J g^At^ остается по

стоянным при некотором значении Р, когда g^ сжимается в бесконечно малый временной интервал при /=0, то /(оо) принимает предельное постоянное значение Р/(2л).

В приведенных примерах компоненты были сфазированы так, чтобы в некоторый момент времени возникал максимально возможный результирующий вектор. Обычно это является результатом оптимального синтеза данного набора компонент, если цель заключается в генерации наиболее короткого цуга осцилляций. Рассмотрим, например, гауссов спектр компонент с амплитудой, изменяющейся как ехр[—/о2(со—соо)2] и спадающей до значения 1/е от максимального уровня на частотах со0+1/^о- Если эти компоненты объединены так, что они становятся синфазными в момент времени / = 0, то результирующая имеет следующий вид:

g^ = ^ e^-^'e-'^d»».(4.22)

Экспоненты в подынтегральном выражении можно объединить и преобразовать следующим образом:

g/о (со — о)0)2 -(- to)/ =

= [ /0 (Ш - Шо) +1/2 i t№ + i «V + 1 Wo •

Если z определить как /0(<i)—©о) + xkxt[t^ то (4.22) принимает вид

^ (/)=е— /<z ^° е—i<0°* J e~22d27/0 =

= [^)v7/0]e-V4'2/^ е-1^.(4.23)

Мы получили цуг осцилляций со средней частотогй соо и огибающей, которая, как и спектральные распределения, также является гауссовой. Если в качестве величины, определяющей Део и Д/, взять ширину на высоте 1/е, то Д(о = 2//0, Д^=4^0 и

До)Д/ = 8.(4.24)

Числовое значение ДсоД/ зависит, как уже отмечалось, от вида f (со) и от точности определения Део и Nt, которые имеют здесь более общий смысл, чем обычно. В общем случае в качестве Део выбирают среднеквадратичное отклонение распределения по интенсивности в частотном спектре. Если амплитудное распределение имеет вид f (со), то средняя частота со определяется уравнением

а ширина Део — уравнением

(М2 = у (w — w)2//*dio///*d<0.

В случае гауссова распределения /(<о)=ехр[—/о2(<о—о)0)2] оценка интеграла показывает, что со = (о0, а Дсо= 1/( ^2/0), т. е. составляет только XU той ширины, которая определена в тексте. Из таких же соображений следует, что Nt должно быть равно /о и (4.24) принимает вид

ДсоД/ = 72.(4.25)

В волновой механике Шредингера частице с энергией Е сопоставляется связанная с ней волна, частота которой равна ^ = ЕИг. Для описания частицы, проходящей через некоторую точку в течение времени Nt, необходимо связать с ней волновой цуг продолжительностью не более Nt. Этот цуг представляет собой комбинацию синусоидальных волн, лежащих в частотном диапазоне Д(о~1/ДЛ Это предполагает соответственно неопределенность в значении энергии частицы согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга

ft.(4.26)

Соотношение (4.25) между шириной огибающей и шириной спектрального диапазона представляет собой наилучший возмож-

яый вариант. Если ни в какой момент времени компоненты не находятся в фазе, огибающая становится шире. Это можно показать, задав в момент времени Z=0 фазу, которая изменяется как Р2(оо—coo)2. Следует отметить, что фазовый сдвиг, пропорциональный первой степени со—соо, только перемещает пик во времени, но не исключает сложения в фазе всех компонент в некоторый момент времени; квадратичный сдвиг, однако, препятствует развитию этого эффекта. Мы получаем соотношение следующего вида:

(/)= J ецо^+32(w—о>0)2] d

Оно допускает применение той же процедуры, которая использовалась ранее при оценке (4.22), с заменой Z02 на /o2 + ip2. В результате

arе */4^2/^о + ^2) е~ —

\ 'о + i З2 /'

\ ^о + ^2 /

Эта огибающая остается гауссовой, как и в (4.23), однако амплитуда в центре уменьшается, а локальная частота уже не является постоянной и равной везде ооо, поэтому огибающая становится шире. Новое значение М равно (^о2 + Р4/^о2),/2; отсюда ясно, что при данном выборе частотного диапазона, определяемого значением /0, самая узкая огибающая возникает в результате фазирования всех компонент вместе, что приводит к р->0.

В этом примере огибающая продолжает оставаться симметричной, однако в общем случае, когда компоненты не могут быть сфа- зированы все вместе, возникает несимметричная огибающая. Важным случаем является огибающая, которая равна нулю вплоть до некоторого момента времени, взятого нами в качестве начала отсчета t, а затем резко возрастает с последующим спадом по экспоненте:

д-(/)= Ме^,Ш< когда Z>0’(4.27)

I 0, когда /<0.

Подставив такое g^ во второе уравнение (4.16), сразу получим следующее спектральное распределение:

/ (<о) =—!— Г e-(a-U)/ d / = l/^2л (a — i д)],(4.28)

2л J■

где Д = ю—о)о. Амплитуда |f (со) | изменяется как (а2 + А2)-1/2 и аргумент— как arctg (A/а). Смысл последнего соотношения заключается в том, что, поскольку компоненты, находящиеся между со и oo + doo, имеют вид f (о))е_1СОМоо, аргумент функции f (со) является фазой этих

компонент в момент времени / = 0. Эти функции показаны на рис. 4.7; спектр, представленный функцией /(со) в распределении (4.28), называют лоренцевым. Мы встретимся с этим преобразовакомпонент в момент времени / = 0. Эти функции показаны на рис. 4.7; спектр, представленный функцией /(со) в распределении (4.28), называют лоренцевым. Мы встретимся с этим преобразованием еще в нескольких других случаях, потому что оно является центральным элементом математического анализа резонансных систем (см. § 5.3; 6.1).

компонент в момент времени / = 0. Эти функции показаны на рис. 4.7; спектр, представленный функцией /(со) в распределении (4.28), называют лоренцевым. Мы встретимся с этим преобразова

компонент в момент времени / = 0. Эти функции показаны на рис. 4.7; спектр, представленный функцией /(со) в распределении (4.28), называют лоренцевым. Мы встретимся с этим преобразова

Заключительный пример в этом разделе посвящен применению рассмотренных выше идей к процессу распространения волн . Предположим, что в бесконечной одномерной среде в момент времени / = 0 к точке х = 0 приложен, например, импульс, возникающий в результате удара молоточка по фортепьянной струне. Если, как в данном случае, волны не диспергируют, то пучность, созданная таким импульсом, будет распространяться в неизменной форме в обоих направлениях, в случае же диспергирующих волн возмущение изменит свою форму. Тогда можно, в частности, спросить: что же должно наблюдаться на очень большом расстоянии, когда вероятность изменения фазовых соотношений для волн велика? Формальное решение может быть записано сразу:

g^x. й = а j'

~°° (4.29)

Рис. 4.7. Экспоненциально затухающее колебание и его Фурье-преобразование:а — график соответствует (4 27), т. е.—Im |g| = е—а^ sin G)of, б — амплитуда /(«) согласно (4.28); в — фаза f(w)Рис. 4.7. Экспоненциально затухающее колебание и его Фурье-преобразование:а — график соответствует (4 27), т. е.—Im |g| = е—а^ sin G)of, б — амплитуда /(«) согласно (4.28); в — фаза f(w)где (о = со(^). Это решение представляет собой суперпозицию гармонических волн со всевозможными волновыми числами. Вследствие однородности спектра амплитуд и отсутствия фазовых изменений в зависимости от частоты всюду при / = 0 смещение g(x, 0)->0

Рис. 4.7. Экспоненциально затухающее колебание и его Фурье-преобразование:

а — график соответствует (4 27), т. е.

—Im |g| = е—а^ sin G)of, б — амплитуда /(«) согласно (4.28); в — фаза f(w)

Рис. 4.7. Экспоненциально затухающее колебание и его Фурье-преобразование:

а — график соответствует (4 27), т. е.

—Im |g| = е—а^ sin G)of, б — амплитуда /(«) согласно (4.28); в — фаза f(w)

(здесь g(xs 0) = а i е^Л^х),за исключением начала координат,

где эта величина бесконечна; протинтегрированное смещение J g(x, 0)dx конечно и равно 2ла. Поэтому (4.29) представляет собой выражение, которое верно описывает начальные условия и образование волновых движений, являющихся корректными решениями уравнения движения среды, если используется правильный закон дисперсии со(^).

Рис. 4.8. Дисперсионная кривая о (&) для волновой системыРис. 4.8. Дисперсионная кривая о (&) для волновой системыРис. 4 9 Спираль КорнюРис. 4 9 Спираль Корню

Рис. 4.8. Дисперсионная кривая о (&) для волновой системы

Рис. 4.8. Дисперсионная кривая о (&) для волновой системы

Рис. 4 9 Спираль Корню

Рис. 4 9 Спираль Корню

Чтобы увидеть, что произойдет на большом расстоянии X, для интегрирования (4.29) можно использовать диаграмму колебаний при условии, что

g(X, t) = a j e'^-^d к

и что эту операцию можно представить в виде векторного сложения по методу последовательного соединения бесчисленного множества векторов, типичным из которых является вектор ae^kx-tot'>dk. Здесь:

a d к = й s — длина элементарного вектора,

(4.30)

кХ — ^1 = ^~ фаза элементарного вектора.

Заметим, что, поскольку в этом сложении участвует большое число колебаний разных частот, в выражении для фазы сохраняется вращение e~iuZ. Диаграмма колебаний изменяет свою форму и непрерывно вращается, однако мы будем изображать ее в некоторый выбранный момент времени t.

На рис. 4.8 приведена типичная зависимость со от к для диспергирующей среды. Найдем точку (^i, oi), в которой наклон касательной равен ХЦ\ <р является постоянной для этой касательной. Начнем вычерчивать диаграмму колебаний с векторов, которые

отображают точки вблизи (^i, coi). Если дисперсионная кривая имеет форму прямой линии, то все векторы должны иметь одинаковую фазу и сама диаграмма колебаний также должна быть прямой линией с очень большим результирующим вектором. Такое возможно в случае недиспергирующей среды, когда & = со/у и у является постоянной. Если X и / таковы, что ХЦ=с, то результирующий вектор очень велик (он равен нулю в другом случае, когда импульс проходит через точку Л-в момент времени Х/у). Однако вследствие дисперсии диаграмма колебаний сворачивается и принимает форму, которая легко выводится математически при больших значениях X. Смысл отрезка бсо, показанного на рис. 4.8, состоит в том, что вектор, связанный с указанной точкой на кривой, имеет фазу, которая отличается на бсо •/ от фазы точки, находящейся на прямой линии. Когда X велико, t также велико и малость отрезка бсо свидетельствует о разности фаз, равной большому числу, умноженному на 2л. В этом случае, как станет вскоре ясно, можно учитывать только вклады на ближайшей окрестности кх, предполагая, что бсо—(^—кху. Следовательно, учитывая (4.30), можносде- лать вывод, что диаграмма колебаний имеет следующие свойства:

Ф—ф1—(6—&i)2, бф— (к—&i)d&, где ф1 — фаза вектора, обусловленного к г,

s = a(k—кх), или ds — йк.

Кривизна диаграммы колебаний в любой точке равна бф/ds, и, следовательно, она пропорциональна s, т. е. расстоянию, измеренному вдоль кривой от точки, которая соответствует кх. Кривую с такими свойствами называют спиралью Корню (рис. 4.9); она хорошо известна в теории дифракции Френеля, где ее выводят, исходя из аналогичных рассуждений [2]. Так как при большом значении X спираль делает много витков и подходит близко к своим концевым точкам (когда квадратичное приближение к бсо еще сохраняет свою силу), дальнейшее точное описание поведения бсо теряет смысл.

Детальный анализ этой спирали можно найти в других книгах, здесь же нам потребуется знать всего лишь два факта: замыкающий вектор PQ располагается под углом л/4 к центральному вектору; длина его такая же, как и длина кривой между точками R и 5, где касательные параллельны замыкающему вектору. Из постоянства угла между PQ и центральным вектором следует, что, когда диаграмма вращается, результирующий вектор вращается с той же угловой скоростью coi, что и центральный вектор. Наблюдатель, находящийся в точке X, видит результирующее колебание, частота которого coi со временем постепенно изменяется, принимая только те значения, при которых dco/d^=X/Z. Градиент dco/dfe равен групповой скорости волны и; отсюда ясно, что правило для расчета изменяющейся частоты, которую воспринимает наблюдатель, заключается в том, что частота со появляется через такое время после начала импульса, которое требуется частице, движущейся со скоростью и (to), чтобы достичь наблюдателя. Для определения амплитуды на рис. 4.8 нужно найти точки R' и S', соответствующие точ-

кам 7? и S на рис. 4.9, где /6со = л/4, при этом R' и S' должны быть разнесены на Ай. Результирующая амплитуда в этом случае та же самая, что и в случае, когда все вклады в пределах Ай суммируются по фазе и все вклады за пределами Ай игнорируются. Из (4.30) следует, что |g(X, 0 | = аЛк.

Распространение магнитоионных волн в верхней атмосфере может служить иллюстрацией этого явления [3]. Удары молний, скажем, в южном полушарии порождают электромагнитный импульс, который через ионизованные верхние слои атмосферы распространяется вдоль магнитного поля Земли, поднимаясь высоко над экватором перед тем, как спуститься в нижние слои в северном полушарии. Магнитоионная волна подчиняется дисперсионному закону где коэффициенты пропорциональности зависят от плотности ионов и других параметров. Как следствие, групповая скорость и пропорциональна со1/2, причем такое большое расстояние более высокие частоты проходят быстрее и прибывают в конечную точку первыми. Радиоантенна, соединенная непосредственно с усилителем звуковых частот и громкоговорителем, сигнализирует о прибытии диспергированного импульса резким завыванием (свистящий атмо- сферик), которое перекрывает звуковой диапазон частот на время порядка 1 с.

С другой стороны, волны на глубокой воде подчиняются дисперсионному закону к^т2, из которого следует, что ц~1/со или м~л1/2, где %— длина волны, равная 2л/й [4]. Если локальный шторм создаст где-то в открытом океане водяной вал, то наблюдатель, находящийся на далеком берегу, обнаружит этот факт по прибытии цуга регулярных длинноволновых бурунов, на смену которым через некоторое время, когда к берегу приблизятся более медленные компоненты штормового вала, придут волны, более короткие и обычно менее регулярные.

ШУМ

Обратимся теперь к предельному случаю, когда суммируется множество синусоид, имеющих случайные соотношения между фазами. Это происходит, в частности, когда мы слышим шум уличного движения или воспринимаем другие явления, которые можно назвать шумовыми. Описание шума имеет большое значение в теории систем связи, а также в более общем случае, когда детектируемые полезные сигналы настолько слабы, что при необходимом усилении они искажаются нерегулярными флуктуациями, неразрывно связанными с механизмом того или иного физического явления [5]. Математическое описание случайных шумов связано с преодолением значительных трудностей, которые исключают проведение здесь систематического анализа. Материал, рассмотренный ниже, является лишь основой для последующих приложений, не претендуя на строгость изложения.

Диаграмма колебаний, которая представляет все индивидуальные компоненты в любой момент времени, состоит из большого чис-

ла векторов разной длины, расположенных случайным образом. Сумму этих векторов можно найти, расположив их последовательно, как показано на рис. 4.10. Каждый вектор со временем вращается со своей характеристической частотой. Если все векторы вращаются с одинаковой частотой, то без изменения формы вращается

картина в целом и векторная сумма представляет собой синусоиду с постоянной амплитудой. Если компоненты попадают в узкий диа

пазон частот, то результирующий вектор вращается на частоте,

Рис 4 10 Сложение векторов, представляющих колебания со случайными амплитудами и фазамиРис 4 10 Сложение векторов, представляющих колебания со случайными амплитудами и фазамиблизкой к средней, и смещение меняется примерно по синусоидальному закону— мы говорим «примерно», поскольку амплитуда медленно изменяется по мере того, как постепенно изменяет форму диаграмма колебаний. При расширении частотного диапазона амплитудные изменения становятся более быстрыми. На достаточно большом отрезке времени можно предположить, что относительные фазы пробегают через все возможные комбинации, и мож-

Рис 4 10 Сложение векторов, представляющих колебания со случайными амплитудами и фазами

Рис 4 10 Сложение векторов, представляющих колебания со случайными амплитудами и фазами

но задаться вопросом, чему равна средняя амплитуда и как часто результирующий вектор имеет какую- либо другую заданную амплитуду.

Однако, особенно в тех случаях, когда частотный диапазон настолько широк, что синусоидальный характер результирующего вектора теряет всякий смысл, более удобно, оказывается, отбросить понятие амплитуды колебаний и вместо этого рассматривать среднеквадратичное смещение, которое мы будем называть средней интенсивностью <1>. При переходе к действительным числам каждая компонента в форме я cos (<о/ + ф) имеет мгновенную интенсивность /(/) = a2cos2 (о)/ + ф), а поскольку среднее значение cos2 9 равно V2, то <1> = Ч2а2. Для набора наложенных друг на

друга синусоид мы можем записать аналогичное выражение для мгновенной амплитуды:

/ =со§(°^ + ?/)]2==2^ cos2+ ч^/) Г

+22 a^j cos W-V^f) cos (ш^ + ?/)-(4.31)

Когда число компонент очень велико и, таким образом, фазовые углы фг равномерно распределены в диапазоне от 0 до 2л, среднее значение cos2 (coz^ + ф,) равно 72 и двойное суммирование исчезает, потому что если мы выберем определенное значение I и выполним сперва суммирование по /, то величина a, cos (ац^+фг) останется постоянной, в то время как fljCos (со^Ч-ф^) пробежит всю совокупность значений, среди которых положительные и отрицательные встречаются равновероятно. Следовательно,

</>=1/22^(4-32)

что можно также записать как xkN<a2> или ^</z>, если выра- i

зить <h> как среднее значение произведения az2cos2 (со/^ + фг). Этот результат хорошо известен: сфазированные случайным образом колебания следует объединять посредством сложения интенсивностей. В частности, N совпавших по фазе одинаковых колебаний дают среднеквадратичное смещение, которое в Nx^ раз превышает аналогичную величину для одного колебания.

Если энергия связана с колеблющейся величиной, например, с амплитудой колебания тока в катушке индуктивности или натяжением струны, то (4.32) можно интерпретировать так: полная энергия системы равна сумме энергий отдельных компонент. Этот важный результат применим не только к Фурье-компонентам со случайными фазами. Он обусловливается тем, что любые две компоненты с разными частотами, как бы они ни были сфазированы в некоторый момент, по ходу времени пробегают все возможные разности фаз одинаково относительно друг друга. По этой причине среднее по времени значение /, как показывает (4.31), не содержит вклада от двойного суммирования. При наличии непрерывного спектра частот можно выбрать те частоты, которые лежат в диапазоне dco и определяют /odco как V2 а/ Для компонент, находя

щихся в пределах dco. Определенная таким образом величина 1^ является спектральной интенсивностью, или спектром мощности, и представляет собой энергию, приходящуюся на единичный диапазон частот .

Следует подчеркнуть, что результат, выраженный соотношением (4.32), представляет собой среднее на большом интервале времени, когда диаграмма колебаний может принимать любые возможные конфигурации. Отсюда не следует, что'если мы образуем среднюю величину / на малом временном интервале, ее значение будет более или менее одним и тем же в любой момент времени. Возьмем случай большого числа компонент, лежащих в узком частотном диапазоне, так что результирующий вектор является квази- синусоидальным, но имеет переменную амплитуду. На этом примере легко понять смысл кратковременного среднего, которое может быть получено на интервале в несколько циклов колебаний, недостаточно большом для того, чтобы картина изменилась заметным образом. В течение длительного периода времени кратковременное среднее изменяется, однако, несмотря на то что оно флуктуирует около среднего значения, определяемого выражением (4.32), это кратковременное среднее не остается вблизи указанного значения; наоборот, мы находим, что флуктуации сравнимы с самим средним значением и не уменьшаются, когда объединяется большое число колебаний. .

При определении диапазона флуктуаций нет необходимости ограничиваться этим специальным случаем. Когда частотный диапазон узок, диаграмма колебаний, показанная на рис. 4.10, медленно изменяет свою форму в масштабе времени, соответствующем вращению каждого вектора. Когда же частотный диапазон достаточно широк, то изменения частоты вращения и формы происходят со сравнимыми скоростями. Однако в обоих случаях возможный для диаграммы набор конфигураций сохраняется неизменным, и в течение длительного срока вероятность данного результирующего смещения не зависит от того, является ли поведение квазисинусои- дальным или же оно полностью лишено периодического характера.

Определение этой вероятности сводится к нахождению решения следующей задачи: пусть нам дана диаграмма колебаний, состоящая из N векторов не обязательно равной длины, которые соединены последовательно и имеют случайные фазы. Чему будет равна вероятность получить результирующий вектор определенной длины? Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем представить себе процедуру, которая заключается в многократном изображении диаграммы. Используя один и тот же набор длин векторов, но вводя различные фазовые углы и отмечая каждый раз точкой полученный результат, мы получим в конце концов картину, состоящую из набора точек, причем плотность р(г) будет меняться в зависимости от расстояния до начала координат. Тогда вероятность, что при любом выборе фазовых углов результирующий вектор лежит между г и r + dr, можно записать как Ртйг, что соответствует доле точек, находящихся в кольце между г и r + dr:

Prdr = rp(r)dr Г гр (г) dr. (4.33) I о

Чтобы найти вид функций р и Рт, зададим вопрос, что произойдет с р, если к N добавить еще один вектор длиной а, имеющий опять произвольный фазовый угол. Очевидно, что каждая точка нашей картины сдвинется в некоторую точку на окружности радиуса а с центром в ее начальном положении, причем все точки переместятся в разных направлениях. Радиус этой окружности мал по сравнению со всей шкалой распределения, если N велико, поскольку средний радиус этого распределения в №2 раз превышает длину среднего вектора. В любой области, где p = const, после добавления нового вектора практически ничего не меняется, поскольку для каждой точки, которая попадает на линию, проведенную в плоскости, всегда найдется другая точка, которая попадет на эту линию с противоположного направления. Однако там, где значение р за-< дается вектором grad р и линия проведена по нормали к gradp, наблюдается избыток точек, которые попадают на эту линию при переходе из области с более высокой в область с более низкой плотностью. Поэтому мы можем ввести вектор потока V, который описывает число точек, попадающих на линию единичной длины:

V=-D gradp.(4.34)

Смысл постоянной D мы рассмотрим позже. Уравнение (4.34) совпадает с уравнением, которое выражает закон диффузии Фика, а движение точек по мере увеличения N является точным аналогом броуновского движения или диффузии молекул в растворе, возникающих под действием случайного теплового возбуждения.

Изменение V от точки к точке характеризует возрастание или уменьшение плотности точек в соответствии с уравнением непрерывности

divV= -d^dN.(4.35)

Объединяя (4.34) и (4.35), получаем диффузионное уравнение

D div grad р = D^^ = dpjdN,(4.36)

решение которого p(r, N^ характеризует распределение данного числа точек в зависимости от N. Поскольку при N=0 все точки обязательно лежат в начале координат, мы ищем решение, которое имеет соответствующую начальную форму, и получаем ответ, который хорошо известен из теории диффузии:

(4.37}

где С — постоянная, зависящая от числа точек на нашей картине, т. е. от числа попыток с различным выбором фазовых углов. Типичное множество точек показано на рис. 4.11. По мере увеличения N радиальная шкала увеличивается пропорционально №2 (поскольку r^N является единственной комбинацией, содержащей г), а шкала плотности уменьшается пропорционально 1AV, чтобы скомпенсировать занимаемую точками площадь, которая растет пропорционально N.

Поскольку каждая точка на рис. 4.11 представляет собой замыкающий вектор на комплексной диаграмме колебаний, все распределение следует спроецировать на реальную ось, чтобы придать ему физический смысл. В результате вероятность P^d^ наблюдения смещения между g и £ + d£ становится пропорциональной числу точек в полосе шириной dg, расположенной параллельно оси т]. Ин-

Рис. 4.11. Каждая точка изображает результирующий вектор, возникающий в результате сложения многих векторов с различным случайным выбором фаз Каждый раз суммируется одинаковое количество векторовРис. 4.11. Каждая точка изображает результирующий вектор, возникающий в результате сложения многих векторов с различным случайным выбором фаз Каждый раз суммируется одинаковое количество векторов

Рис. 4.11. Каждая точка изображает результирующий вектор, возникающий в результате сложения многих векторов с различным случайным выбором фаз Каждый раз суммируется одинаковое количество векторов

Рис. 4.11. Каждая точка изображает результирующий вектор, возникающий в результате сложения многих векторов с различным случайным выбором фаз Каждый раз суммируется одинаковое количество векторов

тегрирование уравнения (4.37) по т] выполняется легко, так как г2=^2 + ц и переменные разделяются; нет даже необходимости выполнять интегрирование по т]-координате, поскольку в результате будет получена постоянная. Для данного значения N можно записать

(4,38)

Отсюда для средней интенсивности имеем

</>=<^>= j P^=2DN.(4.39)

что нетрудно получить после частичного интегрирования знаменателя с применением соотношения

е~22 d г = [г е~22] -j-2е~22 d г = [г е~22] -j-2г2 е-22 dz,г2 е-22 dz,

е~22 d г = [г е~22] -j-2

е~22 d г = [г е~22] -j-2

г2 е-22 dz,

г2 е-22 dz,

где выражение в квадратных скобках равно нулю. Теперь мы знаем из (4.32), что </> = xkNa\ так что мы должны приписать D значение хксР. С учетом этого уравнения (4.38) можно переписать в следующей форме:

PB = e-v2E7</>^< I >У^ (4.40)

где нормирующему знаменателю приписано такое значение, которое обеспечивает условие: J P^d$=l. Вид (гауссов) зависимости Р^ показан на рис. 4.12.

В качестве меры степени изменения, которое испытывает результирующий вектор, мы можем использовать стандартное отклонение о величины / от ее среднего значения:

а = <(/—</>)2> = J (;2-</»2p£dS = 2</>2.

При этом неважно, сколько колебаний объединяются, поскольку изменения интенсивности сравнимы со средним значением.

Случайный шум легко наблюдать, присоединив выход усилителя с высоким коэффициентом усиления к осциллографу, потому что шум всегда присутствует в электронных цепях и его можно усилить до любого желаемого уровня. Если усилитель имеет очень широкую полосу пропускания, то шум на выходе полностью лишен синусоидального характера и характеристическое время, в течение которого амплитуда может существенно измениться, определяется наиболее высокой частотой, которая проходит через усилитель. Типичная запись такого шума (так называемая «трава»), изображенная на рис. 4.13, а, была получена с помощью фильтра пропускания низких частот, который ограничивает частотный диапазон на уровне практически ниже 10 кГц. Этот рисунок можно сравнить с рис. 4.13, б, который был получен с применением узкополосного фильтра, пропускающего только частоты в диапазоне 13,6— 13,9 кГц. Квазисинусоидальный характер второй записи очевиден, равно как и наблюдаемые большие изменения амплитуды, которые являются неизбежными, когда происходит объединение случайных колебаний. Из второй записи видно, что 1 мс является разумной мерой времени, которое требуется, чтобы произошло значительное изменение амплитуды. За это время крайние компоненты, расстояние между которыми по частоте равно 300 Гц, изменяют свою относительную фазу примерно на 2 рад, сдвигаясь относительно среднего значения на 1 рад каждая. Это вполне правдоподобная цифра для таких изменений направления векторов на диаграмме случайных колебаний, которые могут значительно изменить ее результирующий вектор. Поэтому в связи с трудностью точного обоснования мы примем эту цифру как эмпирическую.

Тот же процесс лежит в основе совершенно другого явления — образования гранулированной структуры (спекла) при рассеянии

лазерного луча на шероховатой поверхности, например из белого картона [6]. Именно эта поверхность с шероховатостью, характеризуемой размерами в несколько длин волн, обеспечивает элемент случайности, только теперь в пространстве, а не во времени. Останавливаясь на этой особенности, следует подчеркнуть, что рассеянный свет имеет тот же характер, что и свет, создаваемый мириадами точечных источников в облучаемой зоне, где каждый источ-

Рис. 4 13. Случайный шум:

а — после фильтра низких частот, когда остаются только компоненты с частотами ниже 10 кГц; б — после полосового фильтра, когда остаются только компоненты в диапазоне 13,6—13,9 кГц (запись выполнена Р Mole)

ник испускает одну и ту же частоту и колеблется с точно определенной, но случайной фазой по отношению к остальным источникам . Когда глаз наблюдателя фиксируется на поверхности, свет

от каждого точечного источника фиксируется в точке (или, по крайней мере, на очень небольшой площади) сетчатки глаза и любой отдельный рецептор глаза получает свет от большого числа источников, которые сконцентрированы на шероховатой поверхности. Реакция рецептора определяется векторной суммой всех вкладов, и на некоторые рецепторы может воздействовать такая комбинация векторов, которая даст после суммирования довольно большой результирующий вектор, в то время как другие комбинации, хотя и будут состоять из такого же числа вкладов, дадут результирующий вектор гораздо меньшей длины. Распределение результирующих векторов, наблюдаемое с помощью рецепторов глаза, подчиняется формуле (4.40), что и объясняет гранулированную структуру освещенной поверхности.

До тех пор пока глаз наблюдателя находится в состоянии покоя, картина остается неподвижной, потому что фазовая когерентность лазерного луча удивительно высока и картина случайных фаз, определяемая жесткой шероховатой поверхностью, не изменяется. Однако, как только глаз начинается двигаться, фазовые соотношения на сетчатке глаза меняются и картина начинает мерцать. При объяснении этого явления на основе реакции индивидуальных рецепторов глаза предполагается, что каждый точечный источник фокусируется в некоторой точке на сетчатке, однако это условие не является необходимым. В действительности, если перед глазом поместить фольгу с отверстием очень малого диаметра (скажем, 0,02 см), то дифракция на отверстии приведет к тому, что каждая точка источника будет освещать довольно значительную площадь сетчатки. На любой отдельный рецептор станут воздействовать более слабые сигналы от существенно большего числа источников, но это не изменит широкого разброса в картине распределения интенсивности на различных участках сетчатки. Этот эффект, однако, увеличивает масштаб гранулированной структуры, потому что те соседние рецепторы, которые лежат в пределах дифракционного круга, получаемого от отверстия в фольге, воспринимают почти одинаковый набор элементарных вкладов с одинаковыми фазовыми соотношениями и результирующий вектор соответственно остается почти тем же самым.

Рассмотренный выше эксперимент мы настоятельно рекомендуем проделать каждому читателю, который имеет доступ к маломощному лазеру непрерывного действия. Для тех, кто не имеет такой возможности, вполне достаточно познакомиться с фотографиями, показанными на рис. 4.14; подпись к рисунку объясняет, как они были получены. В этом случае линза не применялась и отверстие в фольге можно было рассматривать как набор случайно сфазированных точечных источников, каждый из которых освещал всю фотопластинку. Из предыдущего примера легко понять, что относительные фазы многих вкладов в любой отдельной точке можно значительно изменить, сдвигаясь достаточно далеко вдоль фотопластинки так, чтобы разность длин путей от двух сторон отверстия приблизилась к трети или половине длины волны. Везде в

пределах этого радиуса результирующее освещение должно иметь приблизительно постоянную интенсивность. Пространственные изменения в фазовых соотношениях здесь точно соответствуют временным изменениям, когда объединяются колебания со слегка отличающимися частотами. Уменьшение диаметра отверстия в фольге эквивалентно сужению частотного диапазона и, таким образом, выделению только медленных изменений амплитуды квазисинусо- идальных колебаний.

Лун лазераЛун лазераРассеиватель ^Фольга с отверстиями ФотопластинкаРассеиватель ^Фольга с отверстиями Фотопластинка

Лун лазера

Лун лазера

Рассеиватель ^Фольга с отверстиями Фотопластинка

Рассеиватель ^Фольга с отверстиями Фотопластинка

Рис. 4 14. Установка для фотографирования гранулированной структуры лазек ного излучения

Рассеиватель представляет собой короткий полиэтиленовый стержень, завернутый в алюминиевую фольгу. Три фотоснимка, уменьшенные здесь в 3/2 раза, сняты при диаметрах d отверстия в фольге; а — 0,25 см; 6 — 0,05 см, в — 0,013 см

Дадим более полную количественную оценку рассмотренного явления. Для этого предположим, что d— диаметр отверстия в фольге, a D— расстояние от фольги до фотопластинки. Тогда из элементарных геометрических соображений следует, что перемещение на расстояние DX,d вдоль фотопластинки даст дополнительную разность хода X между лучами от противоположных краев отверстия в фольге. Учитывая, что отверстие круглое, а не квадратное, и заменяя его квадратом со стороной 0,8б/ (на основании известных соотношений для ширины дифракционной картины), мы получаем, что расстояния, на которые необходимо сместиться вдоль фотопластинки, чтобы фазы крайних лучей по отношению к центральному лучу изменились на 1 рад, должны составлять 0,01, 0,05 и 0,2 см. Масштаб наблюдаемых пятен примерно в три раза больше, однако это может происходить потому, что глаз воспринимает основные пики и провалы в интенсивности, между которыми нахо- 4 Пиппард А.97

дится богатая, но незаметная структура типа той, которая четко видна на рис. 4.13, б.

Распределение (4.40) существенно отличается от распределения, получаемого в результате колебания с постоянной амплитудой, потому что если g = Xcos<o/, то доля времени, проведенного между £ и g + d^, определяется выражением

Ре d $ = d $/[л (^2 _ ^y(4.41)

В данном случае при двух предельных значениях ±.Х образуются два бесконечных пика, что заметно отличается от плавного уменьшения Р^ до нуля. Даже в том случае, когда случайные компоненты выбираются из узкого частотного диапазона так, что результирующее колебание представляет собой квазисинусоидальную осцилляцию с медленно меняющейся амплитудой X^ty изменение X в широких пределах приводит к полному сглаживанию пиков в (4.41). Действительное распределение амплитуд в этом случае можно вывести с помощью рис. 4.11. Любой выбор фазовых углов между различными компонентами, приводящий к одной точке на общей картине распределения, остается обычно неизменным в течение нескольких циклов, так что эта точка вращается почти по окружности, радиус которой представляет собой мгновенное значение X. Всю диаграмму можно интерпретировать (после разбиения на кольца) как картину, на которой отображена относительная вероятность различных значений X*.

РхАХ ^Х^Х^АХ.

В нормированной форме и после подстановки р из (4.37)

Рх d X = X е-v^v</> d Xl< I >,(4.42)

где Рх = 0, когда Х=0, причем Рх возрастает до максимума при Х= ^<1>У^. Теперь можно показать, что распределение (4.42), как утверждалось выше, действительно сглаживает пики в распределении (4.41), преобразуя их к гауссову виду. Вероятность найти g в данном диапазоне, когда все возможные значения X взвешены согласно (4.42), определяется выражением

Pad;=d$ ( Р\РхйХ =

_ d $ р X e-V2/X2<z> d X

“ Л</> Д’

которое легко интегрируется, если вместо X2—с2 подставить г2.

В результате мы получим ожидаемое соотношение, т. е. (4.40).

Другой вариант формулы (4.42) можно записать, используя Pjdl — вероятность того, что интенсивность квазисинусоидального колебания лежит между / и / + d/, где 1=у2Х2. Если интенсивность находится в этом диапазоне, то X должно лежать между (2/)v- и

(2/),/2 + d//(2/),/2. Подставив в (4.42) (2/)’\ мы увидим, что Pi имеет простую экспоненциальную форму:

Pi d I = e-z/<z> d IКI >.(4.43)

Этот результат характерен для квазисинусоидальных колебаний, для которых можно определить мгновенную амплитуду .

Весь диапазон изменений интенсивности квазисинусоидальных колебаний, выраженный уравнением (4.43), можно наблюдать только с помощью приборов, которые имеют адекватное временное разрешение, позволяющее реагировать за отрезки времени, малые по сравнению с временем, характерным для изменений интенсивности. Это время мы определили эмпирически как 2/А<о, когда все Фурье- компоненты лежат в интервале Асо. Однако довольно часто регистрирующий прибор реагирует только на более длительное возбуждение. Так, например, спектрометр может выбрать очень узкую полосу Асо, однако интенсивность света в этой полосе может оказаться такой, что потребуется время экспонирования, намного превышающее 2/Асо. В этом случае при разрешающей силе, равной 106 (такой разрешающей силой обладает исключительно высококачественный спектрометр), получаем, что Асо равна произведению 10-6 на частоту исследуемого света (со^5-1015 с-1). При Асо~5-109 значительные флуктуации интенсивности наблюдаются в пределах 10~9 с и любой обычный фотографический процесс зарегистрирует интенсивность, усредненную по многим таким флуктуациям. Следовательно, значение зарегистрированной интенсивности будет лежать очень близко к среднему значению </>. Нелегко определить точно, насколько близки эти величины. Можно лишь примерно оценить возможный результат, потому что если время усреднения прибора (т. е. время фотоэкспозиции) равно 7, то мы можем представить его разделенным на п интервалов шириной 2/Асо каждый, причем n = vl2T/Асо. Каждый такой интервал достаточно узок для того, чтобы средняя интенсивность везде оставалась постоянной, но имеет достаточную длину для того, чтобы наблюдалась очень слабая корреляция средних интенсивностей в последовательных интервалах. Таким образом, мы зарегистрировали то, что приближенно можно описать как п независимых значений величины /,

характер изменения которой задается уравнением (4.43). Стандартное отклонение / сравнимо с самой величиной </> и в соответствии с теорией многократных измерений можно ожидать, что п независимых величин будут иметь среднее значение со стандартным отклонением, уменьшенным в /г1^ раз. Таким образом, усреднение прибора должно уменьшить флуктуации зарегистрированного сигнала до уровня (^ТАсо)-72 амплитуды самого сигнала. При фотоэкспозиции длительностью в 1 с на каждое зерно фотопластинки будет воздействовать одинаковая средняя интенсивность (с точностью выше 10-4), так что статистические флуктуации интенсивности будут совершенно незначительными по сравнению с другими источниками неоднородностей, в особенности с зернистостью фотопластинки.

БЕЛЫЙ ШУМ

Примеры, рассмотренные только что, содержали квазисинусои- дальную результирующую случайных колебаний, выбранных из узкого частотного диапазона Асо. Обратимся теперь к противоположному крайнему случаю, когда Aco-^оо и компоненты распределены равномерно по всему частотному диапазону, при этом их фазы не- скоррелированы. Это и есть спектр, известный как «белый шум», по аналогии с белым светом, который также в идеальном случае включает все частоты. В белом шуме отсутствует корреляция между смещениями, наблюдаемыми в любые два момента времени, как бы близки они ни были. Это обусловлено тем, что для любого выбора временного интервала М частотный диапазон, превышающий 1/А^, бесконечно шире любого диапазона, меньшего 1/А^, и подавляющее большинство компонент за время М испытывает относительные фазовые изменения. Смещение флуктуирует в соответствии с распределением (4.40), однако оно пробегает возможный диапазон с бесконечно большой скоростью.

Не следует предполагать, что это и есть описание наблюдаемого явления. В каждой физической ситуации спектральный диапазон конечен: иногда из-за процессов поглощения или из-за дефектов прибора, которые исключают более высокие частоты, но всегда — вследствие квантования. В качестве специфического примера укажем на электрон, ускоренный в рентгеновской трубке, который, взаимодействуя с мишенью, тормозится, испуская короткий импульс электромагнитного излучения. Как бы мы ни пытались укоротить этот импульс за счет возможно более быстрого торможения, в непрерывном спектре рентгеновского излучения никогда не появится компонента с частотой выше Е/й, где Е — кинетическая энергия электрона и й— постоянная Планка. Квант рентгеновского излучения Йео никогда не сможет унести с собой энергии больше, чем то ее количество, которое имел электрон.

Наличие этой предельной частоты дало возможность развить один из прецизионных методов измерения фундаментальных констант. Пусть рентгеновский спектрометр настроен на регистрацию

Рис. 4.15. Интенсивность рентгеновских лучей после брэгговского отражения на 14° от кристалла NaCl как функция энергии электронов в рентгеновской трубке [8]Рис. 4.15. Интенсивность рентгеновских лучей после брэгговского отражения на 14° от кристалла NaCl как функция энергии электронов в рентгеновской трубке [8]рентгеновских лучей, имеющих длину волны X и испытавших брэгговское отражение. Выясняется (рис. 4.15), что эти лучи можно наблюдать только после того, как ускоряющее напряжение достигнет определенного критического значения 1/с. При этом электроны с энергией eVc испускают рентгеновские лучи с максимальной частотой eV^h. Соответственно минимальная длина волны л равна 2 л ей/(еУс), где с — скорость света. Если размеры единичной ячейки кристалла известны настолько хорошо, что можно выполнить надежные абсолютные измерения длины волны, такой эксперимент позволяет определить значение отношения hie. Это отношение сопоставляют с результатами других экспериментов, где измеряют различные комбинации фундаментальных констант и таким образом определяют каждую из них отдельно. В последние годы отношение Ме чаще определяют с помощью эффекта Джозефсона в сверхпроводниках, однако наблюдения рентгеновских эффектов не потеряли своего значения, потому что здесь ясно видно, как осуществляется квантовый контроль над высокочастотной частью спектра.

Рис. 4.15. Интенсивность рентгеновских лучей после брэгговского отражения на 14° от кристалла NaCl как функция энергии электронов в рентгеновской трубке [8]

Рис. 4.15. Интенсивность рентгеновских лучей после брэгговского отражения на 14° от кристалла NaCl как функция энергии электронов в рентгеновской трубке [8]

Все это становится очевидным только в непосредственной близости от порога. Для того чтобы наблюдать этот эффект, необходимо знать, что мы увидим, если случайную последовательность импульсов, вызванных электронами после столкновения с мишенью, разделить спектрометром на отдельные Фурье-компоненты. Сначала это будет длинная последовательность из NT^ идентичных импульсов, которые случайно распределены во временном интервале 70. Эта последовательность может повторяться неограниченно долго, так что в результате мы получим ряд Фурье. Затем, как мы предполагаем, Т увеличится до бесконечности, а средняя частота появления импульсов N останется постоянной. Одиночный импульс Р в этой последовательности, имеющий форму 6-функции, генерирует линейчатый спектр с линиями равной амплитуды Р;Т0 (импульс, усредненный по интервалу), расстояние между которыми равно 6со = 2л/Го. Если импульс не слишком острый, то амплитуда линий меняется с изменением частоты и мы будем представлять ее отношением /(со)/70, значение которого, по предположению, изменяется относительно медленно. Из (4.16) легко увидеть, что для импульса вида g^O выражение f (со) принимает форму j g(t)^tof d/, которая зависит от То. Линии в узкой полосе Асо, число которых равно ГоАсо/(2л), объединяются и образуют квазипериодическое колебание со средней интенсивностью (2/f*fT^ >< (Т0До)/(2л)).

Если сложить вместе вклады в интенсивность от всех других импульсов, то для спектральной интенсивности мы получим

MM = (2//*/^) X (Г0Дс»/(2л)) X NT^Nff*^. (4.44)

Хотя величина То 'исчезла из аргумента, ее присутствие все-таки подразумевается в том смысле, что она должна быть достаточно большой для того, чтобы в интервале Асо уместилось большое число линий, т. е. должно выполняться условие А<о^>1/Го. При Т0->оо это требование удовлетворяется автоматически и lto представляет собой интенсивность непрерывного спектра.

Для частного случая острого импульса, когда g^f)=P&(t—/0), мы имеем /(и)) = Ре1ш'°, а постоянная спектральная интенсивность (без ограничения по частоте)

/(о = дгр2/Ле (4.45)

Именно ее мы хотим сравнить с наблюдаемым спектральным распределением, однако при этом важно понять, что /ы— величина, не обязательно совершенно просто появляющаяся в результате измерений. В кристаллическом спектрометре угол брэгговского отражения пропорционален длине волны рентгеновского излучения, и когда рентгеновские лучи собираются вместе, то те из них, которые находятся в некотором узком угловом диапазоне, соответствующем определенному интервалу длин волн АХ, регистрируются вместе. При изменении угла отражения величина АХ остается практически постоянной и именно изменение ДАХ (т. е. интенсивности в диапазоне длин волн АХ) является наиболее точньЬд приближением к необработанному выходному сигналу прибора, представляемому обычно как результат экспериментального наблюдения. Хотя Ito может и не зависеть от со, величина К от X зависит, потому что со = 2лс/Х и Асо= —2лсАХ/Х2. Энергия в узкой полосе Асо, равная NP^Ntoln, согласно (4.45), размазана по диапазону длин волн Х2Асо/(2лс), так что

I^cNPH^

и эта величина быстро возрастает в случае коротких длин волн. В эксперименте с очень тонкими мишенями большинство падающих электронов либо проходят насквозь, либо излучают только один квант. В этом случае все излучение обусловлено электронами с одинаковой начальной энергией, что создает оптимальные условия для сравнения с теорией. Было найдено, что К изменяется как 1/Х2 вплоть до квантового порога, и классическая модель дает необычайно точное описание средней спектральной интенсивности на низких частотах, которые не исключаются даже при условии, что излучение имеет форму квантов.

В этом примере спектр белого шума возникает под действием случайной последовательности более или менее одинаковых импульсов, при анализе отклика прибора на входной белый шум часто бывает удобно предполагать, что этот входной сигнал имеет

форму именно такой последовательности импульсов. С другой стороны, это обстоятельство невозможно обосновать достаточно точно, потому что если мы возьмем Фурье-образ последовательности импульсов и произвольно изменим фазы, то этот Фурье-образ наверняка будет трансформироваться обратно уже не в последовательность импульсов, а в случайный сигнал с непрерывным спектром. На самом же деле в спектре импульсов всегда сохраняется некоторый остаточный порядок и может оказаться, что игнорирование этого порядка приведет к искажению результатов анализа.

В качестве конкретного примера рассмотрим отклик слабо- демпфированной резонансной системы на последовательность случайных импульсов, например маятника, по которому ударяют через случайно распределенные интервалы времени. При каждом таком ударе возникает затухающий цуг колебаний, причем ясно, что отдельные импульсы могут быть выделены тогда, когда расстояние между ними по времени превышает время затухания колебаний. С другой стороны, если импульсы появляются столь часто, что отклик прибора в любой момент времени представляет собой суммарный эффект от воздействия многих импульсов, то во флуктуациях колеблющейся амплитуды трудно обнаружить какую-либо особенность, которая отражала бы среднюю частоту следования импульсов.

Наконец, в предельном случае, когда частота повторения импульсов превышает даже резонансную частоту и количество импульсов, поступающих на вход в течение одного цикла, велико, точный характер входного шума никакой роли, конечно, уже не играет. Выразим это утверждение через Фурье-образ входного сигнала, заменив непрерывный сигнал шума, который не состоит из отдельных импульсов, последовательностью импульсов, сформированную следующим образом: разделим сигнал на отрезки случайной длины и проинтегрируем по каждому отрезку. Так мы получим значение импульсов, которые можно поместить в центре каждого отрезка и заменить ими исходный сигнал. Возьмем теперь Фурье-образ исходного сигнала и заменяющую его последовательность импульсов. Очевидно, при этом любые компоненты, период которых включает большое число импульсов, ничем не должны отличаться друг от друга.

Отсюда становится ясным, насколько обоснованно при анализе отклика прибора на белый шум мы представляли его в виде последовательности импульсов со средней частотой повторения более высокой, чем любая частота, на которую может реагировать этот прибор. Здесь не имеет большого значения детализация характера импульсной последовательности. Можно предположить, что между идентичными импульсами и импульсами со случайными амплитудами и знаками возникнут некоторые различия. Однако на низких частотах это будет не так (за исключением, разумеется, нулевой частоты, где идентичные импульсы суммируются и дают результирующую, отличную от нуля). Тот, кто сомневается в этом, может представить себе случайные импульсы, рассортированные по их

различным амплитудам и рассматриваемые как множество случайных последовательностей идентичных импульсов. Так как каждая последовательность дает низкочастотный спектр, который является чисто шумовым, то сумма всех последовательностей также дает шумовой спектр.

АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ

Мы дали определение Ito применительно к понятию спектра шумов, где эта величина имеет особое значение. Однако Ito можно использовать и для описания спектральных функций, которые идеально скоррелированы по фазе, являясь Фурье-образами гладких функций, зависящих от времени. Действительно, поскольку многие спектрометры и относящиеся к ним приборы реагируют на интенсивность излучения без учета фазы, свойства Ito заслуживают обсуждения и в более широком контексте, чем просто проблема шума. Прежде всего как характерный пример можно назвать лорен- цевский спектр, описанный уравнением (4.28) и имеющий спектральную интенсивность

/ю=2//*= 1/(2л2(а2 + А2)). (4.46)

Если пользоваться только 7Ю, а не f, то вся информация о фазах окажется отброшенной и уравнение (4.46) будет выполняться уже не только для экспоненциально затухающего колебания (4.27), но и для бесчисленного множества других временных последовательностей, которые появляются в результате произвольных фазовых изменений компонент. Это обстоятельство не имеет значения, когда спектр нескоррелирован по фазе и является выходным сигналом источника шумов или какого-то другого эквивалентного генератора, так что Ito содержит всю полезную информацию, которую можно использовать. При этом можно задать следующий вопрос: что можно сказать о временной последовательности смещения, если известна только величина /о? Очевидно, полностью задать g(t) невозможно, однако в Ito содержится интересная информация, а именно автокорреляционная функция, для определения которой мы свяжем ее с Ito.

Если £(/) является произвольной функцией — в общем случае она может быть и комплексной, — то автокорреляционную функцию можно определить так:

VW = <g(t)g* <t—x»Kgg*>=

= \g Wg4t — xW! ^g (t) g* (0 d t. (4.47)

Интеграл здесь берется по всему диапазону t или по всему периоду, если g^ является периодической функцией. Общий смысл Г(т) ясен из ее определения и названия — она является мерой того, как два значения g^V разделенные временем т, связаны друг с другом в среднем.

В одном крайнем случае, когда ^(/) является строго периодической функцией (не обязательно синусоидальной), так что g^t—nx\^=g^ для всех целых значений п, имеем Г(лт1) = 1; более того, Г(т) является периодической функцией по т с периодом ть поскольку g^t—т—HTi)=g(f—т), а значит, Г(т + ^Т1) =Г(т).

В другом крайнем случае, когда g^ представляет собой последовательность типа белого шума, величины g, разделенные интервалом т, почти не связаны, какой бы малой ни была т, а Г(т) =0 при условии, что т=И=0. Заслуживают внимания и такие свойства этой функции:

Г(0) = 1;

Г(—т)=Г*(т). Если g(f) и, следовательно, Г(т) —действительные функции, то Г(—т)=Г(т);

g(t) =ae~itot и а — комплексная постоянная, то

2к/о>/ 2к/со

Г(т) = J e-lu>t eVto^^ dt d/=e-iarc.о/о

В этом случае амплитуда и фаза g^, описанные с помощью а, исчезают из функции Г(т), которая фиксирует только периодичность. Уже здесь можно увидеть, почему функция Г(т) может быть полезной, когда отсутствует фазовая информация;

согласно обозначениям (4.16), определим следующее Фурье- преобразование:

у(ю) = —!— С r(t)eia)Tdr=— С Г(т)со5сотdu), (4.48) 2л Jл J

— соо

если g— действительная функция. Тогда

Г(г) = (' у (.»)е-'ш^ш = 2 I" у (<»)cos wtd»),(4.49)

ОО6

если£(/) —действительная функция;

запишем g(t) в виде Фурье-суммы:

Тогда, согласно (4.47),

г (г) = 2 a, e-i0V 22 »i

После умножения сумм в числителе и знаменателе все члены становятся периодическими с частотами с)г—coj и. равными нулю при усреднении, за исключением случая i = j. Следовательно,

Г (г) = ^ а^* e-lti)^T / 5—cos 10 Д j 2 ^^ ’

если g^t) —действительная функция. Когда мы переходим от суммы дискретных частот к непрерывному спектру, данный частотный диапазон dco даст в сумму вклад 2гагаг*, который равен просто 1/2^©dco, где со ограничено положительными значениями. Следова- ч эльно, >

Г(г) = j /(oCos^rdw / j /„dw, (4.50) 6 /6

и из (4.49) мы имеем

Yt^)^1^^^ j 7todto.

За исключением нормирующего коэффициента, который обеспечивает Г(0) = 1, величина у(со), т. е. Фурье-образ Г(т), в точности равна функции спектральной интенсивности. И наоборот, как следует из (4.50), Г(т) является Фурье-образом 7 (со). Полученное утверждение носит название теоремы Винера — Хинчина, теорема дает точное выражение для информации, содержащейся в спектральной плотности, когда вся информация о фазе отсутствует.

В случае сигнала белого шума Ц = const во всем частотном диапазоне и формула (4.50), как уже отмечалось, показывает, что Г(т) =0 для всех т, кроме т = 0. Однако если спектр с постоянной интенсивностью обрезан на некоторой предельной частоте соо, то

/ _ f А» когда

01 | 0 во всех других случаях,

и у (со) = 1 / (2о)0) до тех пор, пока со<со0; при этом из (4.50) следует, что

Г(т) =С cos cot d ш —(4.51)

ш0^о13

(сравните полученную формулу с (4.13)). Эти смещения довольно сильно скоррелированы во временных интервалах, меньших л/соо, однако вне таких интервалов они вряд ли скоррелированы вообще — этот результат, разумеется, не противоречит соотношению неопределенностей (см. § 4.3).

Форма 7(со), похожая на шляпу-цилиндр и приводящая к автокорреляционной функции (4.51), встречается, вероятно, очень редко. Более распространенной является квазислучайная функция времени, автокорреляция которой спадает по экспоненте

Г(т)=е-|Т|/Тс,(4.52)

так что за пределами интервала тс (т. е. времени корреляции) информация о более раннем поведения этой функции в основном теряется. Тогда из (4.48) следует, что

у (о))= —!— f е т/Тс cos cot d т=тс/л (1 +U)2rc).

Спектр интенсивности /о пропорционален у (со), однако коэффициент пропорциональности остается неопределенным из-за наличия Г(т). Поэтому мы имеем

/ш-/ш(0)/(1 + <«2Гс), (4.53)

где 7to (0) = const. Интенсивность в спектре начинает быстро спадать на частотах выше 1/тс, однако порог не столь резок, как в предыдущем примере. Оба примера показывают, что из-за отсутствия частот, превышающих со0, произвольно быстрого изменения смещения не происходит — результат неудивительный. И действительно, наш анализ добавляет очень мало к тому, что можно было бы понять после некоторого размышления относительно оценки изменений, вызываемых наличием шума, имеющего определенные спектральные свойства. Тем не менее автокорреляционная функция имеет широкое применение как количественный инструмент исследования физических проблем; в дальнейшем мы обсудим несколько примеров ее использования (см. § 5.2, 8.6, 11.9).

5в СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУРЬЕ-ОБРАЗОВ [1]

Преобразования Фурье играют большую роль во многих областях науки, иногда даже не связанных с колебаниями в нашем понимании этого слова. Это привело к широкой разработке численных методов преобразования входного сигнала в частотный спектр . В частности, один из этих методов — быстрое преобразование Фурье — представляет собой достаточно оригинальную и тонкую в математическом смысле процедуру. Мы не ставим, однако, перед особой такой цели — углубляться в проблемы математического или численного анализа. Как физиков нас интересуют не только эти проблемы сами по себе, но и масштабы реализуемых в настоящее время вычислительных операций, которые были немыслимы в эпоху ручных калькуляторов. Сейчас длинные числовые последовательности уже можно преобразовывать таким образом, чтобы выявить их периодические свойства. С этой целью разработаны специальные устройства, в которых используются автоматическая запись данных и средства анализа, заменившие прежнюю трудоемкую ручную обработку.

Ряд интересных особенностей связан с характером входных данных, которые обычно принимают форму конечной последовательности дискретных чисел, например смещение через равные временные интервалы вместо непрерывной зависимости от времени. Конечность длины ленты с информацией на входе ЭВМ не имеет значения, если преобразуемая функция является периодической. Выбирают один период (или целое число периодов, если существуют небольшие вариации или экспериментальный разброс и если необходимо провести анализ усредненной формы волны), после этого ряд Фурье может быть вычислен непосредственно из уравнения (4.10). Выразим все величины через время и частоту, приняв период колебаний равным То, тогда основная частота (оо = 2л/7о. Пусть входные данные состоят из ^ значений функции F^t), при этом типичное значение F (nTQ/N) =Fn, где п пробегает ряд значений от 0 до N—1. Если бы функция F (/) была непрерывной, то мы (прене-

брегая постоянными множителями) в соответствии с (4.10) должны были бы записать амплитуду m-й гармоники:

2г/со0

ат = f py^nw d t.b

Однако, поскольку известны только дискретные значения F(t), интеграл заменяется суммированием: п-е входное значение Fn должно наблюдаться в момент времени nT^N или ^unj(Л/<оо); следовательно, 7V-1

п = 0

7V-1,_,_

= ? и п cos \тП — 1гп sin \тп .(5.1)

п=0 L4х

Эта последняя форма приемлема для обсчета на ЭВМ, на которой предпочтительнее оперировать с действительными числами.

Уточним, что же следует из формулы (5.1): ^n/N представляет собой единичный угол, который получают после разбиения окружности на N равных частей, а любой выбор целых чисел тип дает один из наборов по N углов в каждом. Таблица косинусов и синусов этих углов, состоящая из 2N чисел, образует базовый набор множителей для N значений Fn. Вычисление действительной части ит включает умножение каждого значения Fn на соответствующее значение косинуса и суммирование полученных при этом чисел. При вычислении другого коэффициента число т заменяют, скажем на т', что означает изменение порядка, в котором множители используют для вычисления последовательных значений Fn. Совершенно очевидно, что этот же процесс применим и к мнимой части ат, но теперь уже с использованием в качестве множителей соответствующих значений синусов. В результате вычисление каждого .значения ат сводится к 2N умножениям и завершающему сложению. Таким образом, при достаточно большом времени вычислений можно построить длинную последовательность чисел ат, начиная с о0, т. е. среднего значения F, и кончая очень высокими гармониками.

Однако существует предел, который возникает вследствие дискретного характера входных данных, потому что если мы записываем (5.1) в форме* amW, то аргументы косинуса и синуса равны (jn^N^2unlN = 2mnu!N -V2nu. Поскольку величина 2/гл не имеет значения для аргумента, множители в am^N появляются в том же порядке, что и в ат. Поэтому ат — периодическая функция т, повторяющаяся в точности через каждые N значений. Вся информация о Фурье-образе F, определяемом с помощью N дискретных точек, содержится в амплитудах N гармоник.

Причину этого явления можно легко продемонстрировать на простом примере, изображенном на рис. 5.1. Точки на этом рисунке

Рис. 5.1. Смещения, представленные черными точками, можно интерпретировать как синусоиду с помощью бесконечного числа способов, два из которых показаны на рисункеРис. 5.1. Смещения, представленные черными точками, можно интерпретировать как синусоиду с помощью бесконечного числа способов, два из которых показаны на рисункесываемой N величинами засываемой N величинами запредставляют возможный набор входных значений для случая Л'= 4. Через эти точки нетрудно провести (если нам известны только эти точки) как кривую с большей длиной волны, т. е. cos (мл/2), так и кривую с меньшей длиной волны, т. е. cos (5пл/2), аргументы которых отличаются на 2/гл. Без промежуточных исходных точек невозможно сказать, насколько нерегулярна истинная функция F, и поэтому у нас нет критерия, чтобы отдать предпочтение какой- либо из кривых (или, другими словами, какой-либо из величин: cos (9пл/2), cos (13пл/2) и т. д.), за исключением лишь того, что кривая с большей длиной волны осуществляет свою ограниченную задачу с гораздо более высокой эффективностью. Далее, для описания N исходных точек необходимо не более N компонент Фурье, поэтому следует брать как можно меньшие значения т, пробегающие от +72^ до —'kN. Если на входе используются действительные числа> то am=ctm*, так что из входных данных можно извлечь всего лишь 'kN комплексных коэффициентов. Наиболее высокой гармоникой, которую можно определить для волновой формы, опи- один цикл, является 72^-я гармоника

Рис. 5.1. Смещения, представленные черными точками, можно интерпретировать как синусоиду с помощью бесконечного числа способов, два из которых показаны на рисунке

Рис. 5.1. Смещения, представленные черными точками, можно интерпретировать как синусоиду с помощью бесконечного числа способов, два из которых показаны на рисунке

сываемой N величинами за

сываемой N величинами за

с периодом, равным двойному интервалу между исходными точками. Для полного определения каждой гармоники требуются как ее амплитуда, так и фаза, поэтому 'kN гармоник потребуют для своего описания N чисел и использования всех входных данных.

Другим важным практическим моментом является время обработки данных на ЭВМ. Для вычисления каждого Фурье-коэффициента необходимо выполнить 2N операций умножения. С учетом 'kN доступных коэффициентов для получения всей возможной информации, которая содержится в данных, общее число операций умножения составит N2. ЭВМ, которая затрачивает менее 1 мкс на каждое умножение, может обрабатывать за минуту тысячи исходных данных (не исключено, что и десятки тысяч), поэтому если ЭВМ сможет запомнить и затем быстро извлечь все входные сведения, то в соответствующие детальные спектральные распределения может быть преобразован очень большой исходный массив данных в виде последовательности результатов наблюдений. Однако при работе с такими большими числами значительные преимущества можно получить, используя более эффективные программы и, в частности, быстрое преобразование Фурье, которое требует только N In N операций для обработки N исходных точек. Экономия полезного рабочего времени ЭВМ, составляющего величину порядка In (N/N), дает существенный выигрыш — примерно в 100 раз при N =1000.

Большие числа не часто наблюдаются при записи и анализе периодических явлений, и наличие 1000 Фурье-коэффициентоз

обеспечило бы гораздо лучшее описание волновой формы, чем это обычно требуется. Другое дело, когда необходимо исследовать скрытые периодические эффекты в длинных последовательностях данных (например, в сводке погоды за столетие). Количество таких данных иногда бывает очень велико, как, например, на выходе интерферометра Майкельсона, используемого в качестве спектрометра (его описание будет дано ниже). В этих условиях необходимо помнить, что на практике мы вынуждены ограничивать число членов бесконечной последовательности, внося в результаты определенные искажения. Простая операция заключается в том, что N точек рассматривают как один цикл периодического колебания, и в этом предположении отыскивают N Фурье-коэффициентов. Однако при этом любая интенсивная компонента с периодом, который не умещается в одном цикле, превращается из непрерывной синусоиды в синусоиду с дискретным изменением фазы через каждые N точек. Фурье-образ такой деформированной синусоиды содержит сопутствующие компоненты, лежащие вблизи ее основного периода, поэтому при интерпретации преобразования не следует придавать значения появлению в вычислениях побочных результатов. Этой проблеме следовало бы уделить больше внимания, однако здесь, помимо констатации самого факта, нет необходимости вдаваться глубоко в детали.

УХО И ГЛАЗ.

ОПТИЧЕСКИЕ СПЕКТРОМЕТРЫ

Существует множество устройств (помимо ЭВМ), которые осуществляют регистрацию и анализ временных последовательностей сигналов: например, граммофонный диск или магнитная лента, преобразующие электрические сигналы, поступающие от микрофона, в постоянные, воспроизводимые формы записи. Эти сигналы можно фиксировать выборочно через определенные интервалы времени и затем хранить в дискретной форме . При желании мы .можем перенести на перфоленту запись симфонии. Если для наших целей достаточно частоты до 104 Гц, то амплитуду сигнала следует записывать через интервалы в 10-4 с, так что запись симфонии Гайдна потребует более 107 элементов в форме чисел, скажем, по 10 двоичных разрядов в каждом (210 = 1024, и это число шагов при регистрации амплитуды в любой момент времени не является избыточным, если требуется адекватно воспроизвести очень громкие и очень тихие пассажи). Эту запись музыкального произведения мы вводим в ЭВМ и получаем Фурье-образ, наиболее высокочастотные компоненты которого говорят нам больше о скрипках и -флейтах, чем о контрабасах и фаготах, в то время как наиболее низкие частоты (меньше 20 Гц) к музыке отношения вообще не имеют, так как они не воспринимаются ухом. В полученном

Фурье-образе должна, как мы надеемся, наблюдаться заметная периодичность амплитуды как функции частоты с резким выделением тех частот, которые соответствуют нотам определенной гаммы.

Далее, для того чтобы выделить произвольно одну ноту вблизи частоты 440 Гц, которая соответствует ля первой октавы, амплитуда варьируется очень сложным и характерным путем, потому что именно биение этих близких частот определяет в любой момент .времени громкость звучания указанной ноты. Например, если различные музыкальные пассажи исполняются в различных ключах, то данная нота может появляться более часто в одном ключе, чем в других, и этот факт регистрируется в спектре по наличию двух компонент с приблизительно одинаковой амплитудой, отстоящих на 10-3 Гц друг от друга. Можно заметить, что изменение по фазе одной из этих компонент приводит к появлению указанной ноты во время исполнения неверного пассажа. Аналогичным образом, наиболее ярко выраженная особенность музыки, ее пульс, или, выражаясь более тонко, ритм, проявляется в Фурье-образе в виде фазовых корреляций между компонентами, которые отличаются на величины порядка 1 Гц; их очень трудно выделить из спектра, но они становятся сразу же очевидными даже для тех, кто полностью лишен музыкального слуха.

Вполне понятно, что подход на основе преобразования Фурье не имеет никакого отношения к музыке как таковой. Во время получасового музыкального концерта и после его окончания мы никогда не станем заниматься оценкой сложности его Фурье-образа, Ухо является замечательным инструментом по своей способности различать две ноты с почти одинаковой частотой, однако степень разрешения составляет в лучшем случае несколько десятых долей герц, а не 10-3 Гц, о которых говорилось выше. В то же время мы можем улавливать неожиданные изменения в звуке и, таким образом, слушать музыку (и все остальное) как временную последовательность событий. В действительности ухо занимает промежуточное положение между магнитной лентой или диском, которые непосредственно не реагируют на звуковое давление, и акустическим спектрографом, который выделяет синусоидальные компоненты, В идеальном случае магнитофон вообще «не принимает во внимание» спектр частот, но отличает один момент времени от другого. Что касается спектрографа, то с его помощью можно отличать одну частоту от другой, однако нельзя указать момент времени, когда появилась данная частота. Действительно, спектрограф этого* сделать не может, потому что синусоидальный цуг конечной длины А/ состоит из частот, находящихся в диапазоне 1/А/, и, чтобы получить хорошее разрешение по частоте, необходимо проанализировать соответствующую длинную последовательность колебаний, Ухо, очень чувствительное по отношению к внезапно возникающим шумам вроде ударного эффекта каждой ноты, сыгранной на фортепьяно, должно платить за это ограниченной разрешающей ’способностью по частоте. . , : < .

Понимая это обстоятельство, следует быть осторожным и не переоценивать при рассмотрении частных случаев аспекты, связанные со спектральным анализом. Как уже отмечалось, наиболее ясно выраженная частота при исполнении музыкальных произведений определяется ритмом, который не может проявиться при разложении в ряд Фурье временной последовательности смещений (например, значений амплитуды напряжения для сигнала с микрофона), но ритм обнаруживает себя, если регистрируется уровень мгновенной акустической мощности без разрешения по частоте. Можно привести другой пример: когда по нерву передается информация в виде набора импульсов, то именно частота появления импульсов в течение короткого интервала времени и служит показателем интенсивности сигнала.

Понятие мгновенной частоты представляет для нас большую ценность, чем та частота, которую мы обозначили ю и получили из анализа длинной записи (см. § 4.2). Мгновенную частоту можна определить по отношению к интервалу времени между последовательными опознавательными метками на входном сигнале. Это может быть короткий электрический импульс на нервном окончании или резкое нарастание уровня акустической мощности каждый раз, когда раздается удар барабана. Даже в случае синусоидальных колебаний или любых других с четко выраженной формой волны мгновенную частоту можно определить как интервал между точками, и, которых смещение равно нулю. И действительно на этом принципе- работают многие электронные частотомеры . Частотно-модулиро- ванная несущая волна описывается в рамках этих представлений е помощью графика зависимости мгновенной частоты от времени. Этот график в нормальной частотно-модулированной линии связи: дает также зависимость акустического смещения от времени, которую необходимо извлечь из несущей волны и подать на громкоговоритель. Поэтому такая зависимость имеет гораздо большую практическую значимость, чем Фурье-анализ модулированной несущей волны. Однако ясно, что понятие мгновенной частоты потеряет всякий смысл, если сигнал усложнится и не будет опознавательных меток. Следовательно, если мы имеем дело с музыкой или речью, то и Фурье-анализ, и мгновенная частота дают лишь слабое* представление о том, какую информацию несет сигнал. Поэтому, чтобы продвинуться вперед, необходимо изобрести такие дескриптивные устройства, которые были бы сконструированы с учетом характерных особенностей уха — достаточно хорошей разрешающей способности как по частоте, так и по времени, а также способности мозга к распознаванию образов, что до сих пор не поддается пониманию.

По сравнению с ухом глаз является плохим анализатором спектра, Глаз воспринимает электромагнитные колебания на частотах от 4,5-ДО14 до 8,0-1014 Гц, и только очень восприимчивый наблюдатель может с уверенностью различить изменения частоты на уровне 1%> Таким образом, мы можем принять, что интервал Асо^ ^3-1013, в то время как разрешающая способность глаза по вре-

мени достигает, вероятно, 10-2 с (это обнаруживается при наблюдении довольно слабого мерцания, вызванного колебаниями напряжения в осветительной сети переменного тока). Произведение ЛсоЛ/^З-Ю11 намного превосходит теоретический нижний предел, равный или примерно равный 1. Однако имеется и компенсация — нервная система, связанная с глазом, выполняет гораздо более важную задачу — анализировать направленные изменения и интерпретировать их как некоторые формирования. Это свойство осталось совершенно неразвитым в случае уха.

В оптических измерениях до недавнего времени не учитывались факторы, связанные с принципом неопределенности, — это происходило вследствие уже упоминавшихся в гл. 4 (см. § 4.6) ограничений, которые вносят наши обычные приборы на одновременное разрешение по времени и по частоте. Ситуация изменилась с открытием лазера, однако мы ограничимся здесь лишь основной проблемой традиционной спектроскопии, а именно анализом того, что является в действительности непрерывным источником излучения, не когерентного по фазе, т. е. результатом независимой эмиссии света большим числом молекулярных систем. Вся информация была получена до сих пор в определенной области частот (или длин волн): изучались частоты различных спектральных линий и их профили, т. е. разброс частоты вокруг каждой дискретной линии, причем почти без всяких выводов о том, что происходит при этом в конкретном излучателе. С помощью приборов регистрировалась непрерывная временная последовательность, которая преобразовывалась в спектр мощности Ito или в какой-либо другой, из которого можно затем без особых затруднений получить 7Ш.

Начнем с обсуждения двух приборов, существенно отличающихся по принципу действия. Речь идет о дифракционной решетке и интерферометре Майкельсона, которые используют в качестве спектрометров в спектроскопии {2]. Решетка разделяет Фурье-компоненты входных данных на множество каналов; интерферометр Майкельсона обеспечивает коэффициент автокорреляции, который затем обрабатывается на ЭВМ, в результате чего получается спектр мощности. Считая, что общие принципы проектирования и использования этих приборов известны достаточно хорошо, перейдем к сравнению методов обработки, которой подвергается в этих приборах входной сигнал. Пусть он приходит в форме временной последовательности F^t), представляющей собой, например, изменение напряженности электрического поля в электромагнитной волне. Каждый штрих дифракционной решетки рассеивает падающую волну в широком угловом растворе. Зрительная труба, расположенная под определенным углом 0 к направлению падающей волны, собирает и смешивает рассеянные волны, однако при этом возникает задержка по времени т между волнами от последовательно расположенных штрихов решетки (если свет падает нормально на решетки с периодом d, то дополнительное расстояние, которое проходят последовательные парциальные волны, составляет dsinQ,

так что T=dsin0/c). Поэтому выходной сигнал зрительной трубы, W—1

если решетка имеет N штрихов, имеет следующий вид: ^ F ^ -у пх). п=0

Таким образом, мы получили быстро меняющуюся функцию при условии, что F (/) состоит из компонент с частотами оптического диапазона. При этом глаз (или болометр, или другой детектор) регистрирует только среднеквадратичное значение F или же, что вполне возможно, какое-то другое среднее значение. Если N велико, то после суммирования останутся только те Фурье-коэффициенты, для которых т является целым кратным периода кол^ания, так что в каждом направлении наблюдения определенные частоты и их гармоники регистрируются в почти чистом виде. Степень этой чистоты определяется значением N. Таким образом, по мере увеличения N чистота регистрации становится пропорционально выше. Это можно легко понять, представив себе, что одиночный импульс, падающий на решетку, излучается в направлении 9 как последовательность из N равноотстоящих импульсов с интервалом т между ними. Эта бесконечная последовательность импульсов имеет спектр, состоящий из резко выделенных частот, которые являются кратными основной частоте 2л/т. Конечная последовательность из nN циклов п-и гармоники представляется слегка уширенной полосой частот с амплитудным распределением типа sin ф/ф вокруг центрального максимума и расстоянием между нулями Асо = = 4л/(Aft), что следует из (4.21). Относительное уширение, которое в результате равно Асо/со = 2/(Nn), очень мало, когда N~ — 104ч-105.

Величина Nn берется в качестве меры разрешающей способности решетки. Это значит, что с помощью решетки невозможно выделить в спектральной функции структуру, более тонкую по частоте, чем ^I^NnY Такое явление можно представить себе как результат процесса размазывания, который превращает каждую четкую линию в профиль вида sin ф/ф, или же (что приводит к тому же результату) мы можем объяснить это явление, используя для этих целей автокорреляционный коэффициент функции F^ (см. также § 4.6). Если F^ имеет какую-либо тенденцию к повторению через интервалы времени, превышающие Nt, то в наблюдаемом спектре мы не найдем ничего из того, что было сказано выше, поскольку решетка не может наложить друг на друга две части F(t), разделенные таким длинным интервалом. Однако эти длительные корреляции возникают из структуры спектра мощности, включающего разности частот, меньше 2^l(Nny В результате мы опять приходим к тому же критерию для разрешения тонкой структуры в спектре.

Если с помощью решетки осуществляется наложение N реплик F(/) с увеличивающимися задержками по времени, то в интерферометре Майкельсона используются только две реплики, возникающие при отражении входной волны от двух зеркал и объединении выходной информации в детекторе (который, как мы считаем, име-

ет квадратичную характеристику). Задержку пи времени т между репликами изменяют, передвигая одно из зеркал параллельно самому себе с помощью прецизионных салазок и ведущего винта. Если мы обозначим S(r) выходной сигнал детектора, то

S(r) = <[F(/) + F(/-r)P> = <2F2> + <2F(O^-r)> =]= 2<^>[1-Г(т)].

Рис 5.2. Спектроскопия преобразований Фурье в далеком инфракрасном диапа- ' зоне (субмпллпметровые волны)

На вход спектрометра попадал солнечный свет такого состава, который характерен для высокогорья, при этом из спектра было отфильтровано все, за исключением очень длинных волн. Изменение выходного сигнала детектора S в зависимости от разности хода б показано на а; спектр, полученный после преобразования Фурье, — на б Буквой со обозначена величина, обратная длине волны Запись перекрывает диапазон длин волн от 3 мм слева до 0,3 мм справа На рисунке отмечены некоторые линии поглощения кислорода и водяного пара, содержащихся в земной атмосфере Большая часть других отличительных особенностей носит реальный характер, однако многие из них пока еще не идентифицированы (но данным В II Martin. Е Pnplett)

Таким образом, если зеркало перемещать непрерывно и изменять при этом т с постоянной скоростью, то на выходе детектора можно получить запись автокорреляционной функции входной информации, умноженной на постоянный коэффициент (см. также § 4.6). Поэтому преобразование Фурье, выполненное автоматически для записи S(t), сделанной на перфоленте, дает непосредственно спектр мощности источника.

Показанный на рис. 5.2 пример иллюстрирует исключительные возможности этого метода в субмиллиметровом диапазоне длин волн, где крайняя слабость излучения имеющихся в нашем распо-

ряжении источников, даже Солнца, не позволяет использовать обычные методы спектроскопии. Разрешение здесь не очень высокое — только первые 2 см разности хода вносят заметные изменения в S; однако в принципе, особенно на более коротких длинах волн, можно достичь очень высокого разрешения. Если т изменяется между нулем и некоторым максимальным значением то, то Г(т) определено в этом диапазоне и, как показывают рассуждения, приведенные в последнем параграфе, можно разрешить тонкую струк- гуру с разностью частот порядка 2л/то- Относительная разность частот, которую можно разрешить, равна 2л/(сото), что соответствует обратному значению числа длин волн, укладывающихся в разности хода, возникающей за счет движения зеркала. Мы можем взять это число длин волн в качестве меры разрешающей силы и непосредственно сравнить с соответствующим значением для дифракционной решетки, которое равно разности хода, выраженной в длинах волн, для волновых цугов от противоположных концов. Таким образом, ширину решетки необходимо сравнить с двойным перемещением зеркала, которое может достигать десятков сантиметров. Для того чтобы изготовить для такого зеркала направляющие салазки, которые на базе в десятки сантиметров должны иметь оптический класс обработки, требуется высокое мастерство, однако даже эта проблема выглядит тривиальной по сравнению с юстировкой высококачественной решетки столь большого размера.

Смещение на 10 см даст разность хода в 20 см или около 5-105 длин волн видимого света. Если во время прохождения света через прибор на выходе детектора через одинаковые интервалы зарегистрированы N величин, то Фурье-образ функции Г(т) должен иметь в качестве максимальной частоты 72/У-ю гармонику колебания с периодом то, т. е. (оМакс = яА^/то- Другими словами, чтобы использовать этот прибор вплоть до определенной частоты, нам необходимо иметь такое число исходных точек, которое в два раза превышает разрешающую силу на этой частоте, скажем 106 точек в рассмотренном примере. Если имеющаяся в наличии ЭВМ не справится с обработкой такого объема данных, то о)максТо следует уменьшить либо за счет перемещения зеркала на то же расстояние и записи выходной информации через более длинные интервалы времени, либо посредством записи с теми же интервалами, что и раньше, но с уменьшением общего смещения. В первом случае исключается высокочастотный участок спектра, а во втором ухудшается разрешение тонкой структуры.

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ. ФУНКЦИИ ОТКЛИКА

В акустике классическим прибором для проведения спектрального анализа был резонатор Гельмгольца, описанный выше (см. § 2.3). Резонансные колебания воздуха в полости этого прибора происходят, когда падающий звук содержит Фурье-компоненту вблизи ее

характеристической частоты. Ухо слышит такую ноту значительно усиленной, тогда как другие ноты подавляются. В наше время гораздо проще регистрировать звук с помощью микрофона, превращающего изменения давления в изменения электрического напряжения, после чего запись можно либо проанализировать на ЭВМ, либо пропустить сигнал напряжения через набор параллельных резонансных цепей, записывая выходной сигнал каждой из них отдельно так, чтобы получить непрерывную запись интенсивности различных компонент исходного звукового сигнала.

Резонатор Гельмгольца и резонансная электрическая цепь являются примерами линейных преобразователей (см. также § 2.7). Мы уже обсуждали выше, что именно составляет суть линейного преобразования с параметрами, которые не зависят от времени. Оно может включать в себя умножение на константу (этим свойством обладают линейные усилители и аттенюаторы), дифференцирование (/?С-цепи), задержку по времени (за счет генерации волны на входе линии передачи и ее регистрации на выходе) и другие виды преобразований или их всевозможные комбинации. Ограничение на линейность в преобразователе свидетельствует о наличии суперпозиции: два сигнала, складываясь и попадая затем в преобразователь, дают на выходе сигнал, который может быть получен, если каждый из входных сигналов ввести раздельно и лишь затем просуммировать. И наоборот, можно представить, что сложная входная информация разлагается на Фурье-компоненты, каждая из которых преобразуется независимо; вследствие независимости от времени синусоидальная входная информация появится на выходе в виде синусоиды с той же частотой. Поэтому преобразователь можно характеризовать не с помощью процессов или их комбинаций (умножение, задержка и т. д.), которые данный преобразователь осуществляет, а тем, что он делает с каждым Фурье-коэффициентом. Типичная синусоида, имеющая на входе преобразователя вид Ле-к0/, где со — действительное число, появляется на выходе с амплитудой, которая умножена на коэффициент, зависящий от частоты и имеющий другую фазу. Другими словами, Ае™^1 преобразуется в % (со) Ле-к0<, где /(со) —передаточная функция, представляющая собой комплексную функцию частоты. Совершенно очевидно, что так как каждую временную последовательность на входе можно разложить на ее Фурье-коэффициенты, то задание х(<о) полностью определяет действие преобразователя: если входной сигнал

go(O = ( /0»)e-i<ofdw, то выходной сигнал

= ( /(-)/(-)е-,ш'd^.

Точно так же как требование действительного характера сигнала на входе означает, что f(—со) =/*(со), для входного сигнала должно соблюдаться соотношение %(—(o)f(—со) =%*(со)/*(ш), поэтому

(5.2)(5.2)Z( —U)) = 7* (U)).

(5.2)

(5.2)

Важный специальный случай возникает, когда входной сигнал So (О в момент времени / = 0 представляет собой одиночный импульс Р; при этом /(со) = Р/(2л) не зависит от частоты (см. § 4.3) и

g"i(z)=—Т- [ xWe-'^di».

2Л J

Импульсный отклик h(t) преобразователя представляет собой выходной сигнал gi(/), возникающий под действием входного сигнала в виде единичного импульса (Р=1), приложенного в момент времени / = 0. Эта функция равна коэффициенту 1/(2л), умноженному на Фурье-образ передаточной функции:

А (/) = —?— С х (ш) е-1^ d о>.(5.3)

И наоборот, согласно (см. § 4.3) теореме (4.16),

Х(^)= J h^^^ At.Х(^)= J h^^^ At.(5.4)(5.4)

Х(^)= J h^^^ At.

Х(^)= J h^^^ At.

(5.4)

(5.4)

Это можно понять как следствие суперпозиции, если мы вычисляем отклик преобразователя на входную синусоиду e4uf посредством разбиения входного сигнала на ряд импульсов, каждый из которых имеет соответствующий отклик. Тогда в интервале времени между /0 и /о + d^o входной сигнал эквивалентен импульсу e-ia)fod/0, так что после интегрирования по всем импульсам, являющимся компонентами входной синусоиды, мы получим выходной сигнал в форме

giW= J hV— /0)е-,ю<"d/0.

Если г = /—/0, то это выражение преобразуется к следующему виду:

С h (2)ei(0Zd2:.

Но если входной сигнал имеет синусоидальную форму, то Si (О = х((о)е-ко<, откуда непосредственно вытекает (5.4).

Следует отметить, что, поскольку х(а>) и ^W связаны однозначно, импульсный отклик столь же хорошо описывает свойства преобразователя, как и передаточная функция, причем зачастую

первый даже более удобен. Когда входной сигнал go (О имеет произвольную форму и требуется найти выходной сигнал, только что приведенные соображения, включая разбиение на последовательность импульсов, дадут результат

^(0= J gotfoW-^oW.(5.5>

и может оказаться, что проще оценить интеграл непосредственно,, чем находить спектр go^), умножать его на /(<о) и вычислять Фурье-образ результирующей. Формулу (5.5) можно считать сверткой go по Л, применение теоремы о свертке дает нам еще один путь для нахождения последующих результатов.

Специфическим примером импульсного отклика является реакция простого гармонического осциллятора на импульс. Рассмотрим, например, покоящийся маятник, который получил резкий толчок в момент времени / = 0. Возникающее в результате этого толчка затухающее колебание описывается уравнением (2.28), которое,, напомним, применимо только при положительных значениях / (см. §2.5):

/z(О=^0sin ш7-е (/>0).(5.6)

Тогда из (5.4) имеем

^(о))= [ A0sinco' /.e-'/Ta+,ti)' d/ = о

= ^hol\^,2 — ^A- V^a) — 2 i 0)/га].(5.7)

Это выражение дает амплитуду стационарных колебаний, возникающих под действием периодической силы (см. § 4.3); оно имеет характерную резонансную особенность при соЧа^Е Если со находится вблизи о/, знаменатель в формуле (5.7) мал, а отклик соответственно возрастает, достигая максимума ^’Ai^oTa при резонансе, когда со2 = оз'2 + 1/та2. По мере увеличения та амплитуда максимума растет и частотный диапазон, в котором отклик сравним с этим максимумом, становится более узким. Все эти вопросы будут рассмотрены .нами более подробно в следующей главе. Здесь мы лишь отметим, что причину универсального характера резонансной реакции, описываемой уравнением (5.7), следует искать в простоте импульсного отклика, имеющего вид затухающей синусоидальной осцилляции. Подобным образом ведут себя после удара очень многие системы, и все они в силу необходимости должны иметь совершенно одинаковый резонансный характер. Само собой разумеется, что все эти рассуждения представляют собой лишь еще один способ объяснить тот факт, что в выборе поведения простых линейных систем с одной собственной частотой наши возможности очень ог- раЕничены.*

ПРИЧИННОСТЬ

Значительный интерес вызывает одно обстоятельство, которое вытекает из соотношения (5.3) между передаточной функцией /(со) и импульсным откликом h(ty Если бы нам нужно было выбрать некоторую произвольную форму х(со), удовлетворяющую только условию вещественности (5.2), и оценить h^, мы должны были бы в общем случае прийти к функции, занимающей весь диапазон положительных и отрицательных значений I. В этом, однако, отсутствует физический смысл, так как пассивный преобразователь не •ожидает заранее прибытия импульса и любая действительная функция h^ должна быть тождественно равна нулю для всех отрицательных значений t. Только что рассмотренный нами маятник является типичным тому примером. Поэтому должны существовать некоторые ограничения на форму функции /(со), генерируемой любым реальным преобразователем. Эти ограничения являются не очень жесткими, потому что, хотя мы и требуем, чтобы функция h^ была равна нулю в отрицательном диапазоне изменения /, у нас нет никаких физических аргументов в пользу того, что ее поведение должно быть как-то ограничено в области ^>0, и поэтому функция % (со) может быть представлена большим числом различных функций.

Вероятно, наиболее простой подход к существу проблемы заключается в том, чтобы выяснить, как преобразователь будет реагировать на осциллирующий входной сигнал, который увеличивается или уменьшается экспоненциально во времени и описывается выражением AerXtot с комплексным со. Расширение области определения %(со) на случай комплексных частот происходит без особых затруднений, поэтому выходной сигнал можно записать в виде х(со) Ле-1^, имеющем ту же экспоненциальную зависимость от времени, что и входной сигнал. Теперь рассмотрим случай, когда мнимая часть (о положительна и входной сигнал нарастает во времени. Выходной сигнал в любой момент времени можно рассматривать как суммарный результат импульсных откликов от всех предыдущих значений входного сигнала. Поскольку при отсчете времени в прошлое входной сигнал уменьшается по экспоненциальному закону и поскольку импульсный отклик конечен, не существует условий, при которых суммарный результат импульсных откликов мог бы расходиться вообще. Поэтому функция % (со) конечна при всех значениях со, лежащих в верхней полуплоскости, где 1ш[со]>О. С другой стороны, если 1ш[со]<О, то реакция преобразователя в любой момент является суммарным результатом последовательности импульсных откликов, генерируемых входным сигналом, который нарастает по экспоненте тем больше, чем дальше назад мы оглядываемся в прошлое.

Если импульсный отклик не затухает достаточно быстро, то существует очень заметная вероятность того, что наибольшие вклады в конечный результат дадут те импульсы, которые появились раньше других; если же искать этот результат посредством интегрирования назад по направлению к —оо, то нельзя быть уверенным в сходимости интеграла. Действительно, только очень немногие преобразователи не имеют сингулярностей по % (со) в нижней полуплоскости, т. е. не имеют локализованных значений со, при которых х становится бесконечным. Это связано с тем, что в теории комплексного переменного имеется общая теорема (теорема Лиувилля), которая гласит, что постоянной может быть равна только та функция, которая регулярна (т. е. непрерывна и дифференцируема) везде на комплексной плоскости [3]. Преобразователь с х = = const обеспечивает выходной сигнал, который точно пропорционален входному сигналу, так что импульсный вход дает мгновенный импульсный выход, т. е. Л(/)=а6(/). Лишь наиболее простые и идеализированные преобразователи наподобие сетей из идеальных резисторов обладают этим свойством, поэтому можно ожидать, что все реальные преобразователи должны иметь сингулярности в нижней полуплоскости, но не иметь их в верхней.

Однако на этом этапе мы не заинтересованы в исследовании отклонений в поведении функции /(со), поскольку именно ее регулярность в верхней полуплоскости является характерным отражением того, что традиционно называется причинностью, т. е. того факта, что физические эффекты никогда не предшествуют тому импульсу, который их вызвал. Выводы, содержащиеся в последнем параграфе, показывают, что регулярность х в верхней полуплоскости является наблюдаемым следствием причинности. При этом легко заметить, что верно также и обратное утверждение, т. е. если х — регулярная функция, то причинность удовлетворяется. Это связано с тем, что точно также как импульсный отклик (который не является d-функцией, стремящейся к нулю для всех ^>0) должен генерировать хотя бы одну сингулярность по х в нижней полуплоскости, так и соответствующая функция, которая не стремится к нулю при всех /<0, должна генерировать хотя бы одну сингулярность в верхней полуплоскости. Поэтому отсутствие сингулярностей в верхней полуплоскости гарантирует стремление к нулю импульсного отклика при всех Z<0.

В итоге ограничения, налагаемые причинностью на действительную частотную характеристику линейного преобразователя» можно выразить через такое возможное поведение xt^) вдоль действительной оси, которое обеспечивает регулярность х в верхней полуплоскости. Мы будем предполагать, что х конечна для всех действительных значений со и стремится к нулю при <о->оо. Первое предположение не обязательно верно при со = 0 (например» в некоторых цепях, содержащих сверхпроводящие элементы) или при ненулевом действительном значении со, если преобразователь содержит идеальный резонирующий элемент без потерь. Однако эти случаи являются настолько специфическими, что нет никакой 122

необходимости в проведении анализа более тонкого, чем тот, который используется в подавляющем большинстве случаев. Что каса

Рис. 5 3. Контур для интегрирования в комплексной плоскостиРис. 5 3. Контур для интегрирования в комплексной плоскостиется второго предположения, связанного с поведением при со-^оо, то его необходимо помнить при использовании теоремы, которую мы собираемся здесь вывести, потому что если это предположение не удовлетворено, то рассматриваемые интегралы могут расходиться и в результате теорема превратится в бессмыслицу. Однако и в этой ситуации исключительные случаи редки, и возникают они обычно, когда реальная физическая система заменяется упрощенной моделью, предельное поведение которой достаточно тщательно н рассматривалось.

Рис. 5 3. Контур для интегрирования в комплексной плоскости

Рис. 5 3. Контур для интегрирования в комплексной плоскости

Если функция /(со) регулярна везде в верхней полуплоскости, то это верно и для 7 (со) / (со—о)о), где соо — действительная постоянная (за исключением простого полюса при соо, где эта функция становится

бесконечной). Поэтому интеграл по контуру С (рис. 5.3), содержащему бесконечно малую полуокружность для обхода полюса, согласно теореме Коши, должен обратиться в нуль:

ф J M— у со = Q,г0

Если, как предполагается, отношение % (со) падает до нуля быстрее, чем о)-1, то большую полуокружность можно расширить до бесконечного радиуса, не получая при этом вклада в криволинейный интеграл. Вклад от действительной оси можно разделить на вклад от полуокружности С при соо и остатка в виде Р ^ [/ (^Ж^ — — а>0)] d о), где Р перед знаком интеграла указывает, что интеграл берется в смысле главного значения (мы интегрируем от —оо до о0—е и от (Оо + е до оо, после чего устремляем е->0). Тогда

р Г _XM_dto+ Гd <0 = 0.

J О) 0)0J , О) 0)0

Интеграл по полуокружности С' берется с учетом, что x(w)= const при (о = со0; подставляя (о = (оо + ^е*6, где r = const, и интегрируя по 6 от л до 0, получим следующий результат:

р 7 —х и .=j

Joo

Наконец, выражая функцию /(со) через ее действительную и мнимую части, т. е. x = x/ + ix//, и разделяя на действительную и мнимую части уравнение, находим, что

Х'>0) =—Р (—р f(5.8)

Л J о) — о)0Л J о) — 0)0

Вероятно, более удобную форму, включающую интегрирование только по области положительных частот, можно получить, применив условие действительности (5.2) в виде //(—со) =х/((0) и х"(—®) = —x"(w). Тогда'

у"(»0)=2^ргхЧ^;р?.(5.9)

Л J „2 —ш2Л 6’<о2 —ш2

Это и есть соотношения Крамерса — Кр они г а, которые показывают, что для полного определения мнимой части для всех действительных частот вполне достаточно знать действительную часть x(w) и наоборот [4] (см. также § 11.9). Эти два соотношения являются не независимыми, а альтернативными формами одного и того же ограничения на %, которое налагает на эту функцию причинность. Легко заметить, что если /, равная x7 + ix77, РегУ~ лярна в верхней полуплоскости, то это же верно и для ix, равного —Х^ + ^Х'- Далее, если справедливо первое уравнение из (5.8), то справедливо и уравнение, полученное заменой х" слева на х7 и заменой х7 справа на —х^ в результате мы получим второе уравнение из (5.8). Здесь можно спросить: содержит ли (5.8) полное описание ограничений, налагаемых причинностью, или же существует более сильное утверждение? Ответ заключается в том, что для любого разумного выбора х7 на действительной оси (под словом «разумный» мы подразумеваем непрерывный, дифференцируемый, а также такой, который дает возможность сходиться интегралам Крамерса — Кронига) существует одна и только одна функция, которая простирается по всей комплексной плоскости, имеет действительную часть на действительной оси, равную хЛ и является регулярной в верхней полуплоскости. Это означает, что причинность не накладывает ограничений на форму х7» однако она разрешает только одну зависимость х77 для данного вида х7, а именно ту, которая следует из (5.8), — это и есть наиболее сильное утверждение, которое мы можем сделать. Можно, пожалуй, испытать что-то вроде удовлетворения от того, каким образом, задав полностью одну половину импульсного отклика (устремляя его к нулю при /<0), мы находим, что избавились от половины наших возможностей по выбору х(<°)> Для которой разрешается задавать либо действительную, либо мнимую части *, но не обе одновременно.

Для иллюстрации соотношений Крамерса — Кронига рассмотрим резонансный отклик (5.7), основную форму которого можно, заменив переменные, записать в следующем виде:

Х(ш)= V[(l — “2) — 1М,(5.10)

где р — положительная постоянная, причем р<С 1. Тогда

7'(ш)=. /"(«)=•(5.11)

Л V 7 (I _ ш2)2_1- £2Ш2 ’ Л V 7 (I — 0Д)2 4- pu)2 V

Рис. 5.4 Действительная (хЭ и мнимая (х") части функции отклика резонансного преобразователя, используемые для иллюстрации соотношений Крамерса — КронигаРис. 5.4 Действительная (хЭ и мнимая (х") части функции отклика резонансного преобразователя, используемые для иллюстрации соотношений Крамерса — Кронига

Рис. 5.4 Действительная (хЭ и мнимая (х") части функции отклика резонансного преобразователя, используемые для иллюстрации соотношений Крамерса — Кронига

Рис. 5.4 Действительная (хЭ и мнимая (х") части функции отклика резонансного преобразователя, используемые для иллюстрации соотношений Крамерса — Кронига

Эти две функции показаны на рис. 5.4. Во-первых, мы замечаем, что соотношение (5.10) удовлетворяет основной формулировке принципа причинности, заключающейся в том, что полюса %(□)), в которых знаменатель равен нулю, появляются при со = х/2[(4—р2)1/2— —i|3] и располагаются в нижней полуплоскости. К сожалению, формальная проверка (5.8) включает громоздкое интегрирование, однако качественно справедливость этих уравнений можно понять из рисунка, по которому, вероятно, лучше всего представить, что же происходит в действительности. При оценке второго уравнения в- (5.8) следует отметить, что j d <о/(о) — wo) = O, поэтому константаг добавленная к х7/(со) в числителе, никакого различия не вносит. Следовательно, мы можем записать, что

Х'^о)^ л

и требование о необходимости брать главную часть теряет силу, поскольку подынтегральное выражение остается конечным, даже если знаменатель равен нулю. Сдвиг горизонтальной оси, приводящий к тому, что она проходит через кривую X/z(«) при (о = соо (к чему, собственно, и сводится прием зануления знаменателя), показан штриховой линией на рис. 5.4, б. Из рисунка ясно видно, что сразу же, как только со становится больше «о, и числитель и знаменатель оказываются положительными; если же о) несколько меньше оо, то оба они отрицательны. И в том, и в другом случаях подынтегральное выражение положительно во всем диапазоне, где оно максимально, и %7(о)) является соответственно положительной

функцией. С ^другой стороны, если бы мы выбрали величину соо после пика х , то подынтегральное выражение было бы в основном отрицательным. В результате возникает кривая, показанная на рис. 5.4, а, которую, очевидно, можно получить в еще более точном виде, выполнив интегрирование.

Теперь, обсудив соотношения Крамерса — Кронига, следует признать, что они имеют все-таки довольно ограниченную область

применения. Имеются случаи, когда очень трудно измерить функции х' или ^ и когда перенос информации от одной из них на другую необходимо осуществить путем интегрирования уравнений (5.9) на ЭВМ. Интегралы, однако, сходятся очень медленно, и в результате информация, скажем, по х7 оказывается разбросанной по очень широкому частотному диапазону. Более того, экспериментальные ошибки для х7 могут привести к аномалиям по х77, что мо- ткет ввести в заблуждение исследователя, который начнет искать глубокий физический смысл там, где в действительности ничего интересного нет. Если х7 и х77 могут быть определены, но будет существовать определенный предел точности их измерения (как, например, в некоторых исследованиях оптических свойств твердых тел) [5], то соотношения (5.9) могут оказаться полезными для проверки совместимости полученных результатов, что даст возможность критически оценить полученные экспериментальные данные. Однако вопрос об описании этой теории в гораздо большей степени связан с самим ее существованием, чем с применением. Качественная идея причинности, которая заключается в упорядочении причин и эффектов во времени, настолько фундаментальна для физической вселенной, что поиск количественных следствий этой идеи всегда остается крайне важной задачей. В этом смысле соотношения Крамерса — Кронига выражают некую общую истину, которая не зависит от специальных моделей. По своим отличительным особенностям соотношения Крамерса — Кронига подобны законам термодинамики и требуют к себе внимания даже тогда, когда в отличие от термодинамики их практическое значение невелико.

Однако один специальный случай заслуживает краткого рассмотрения. Если в (5.8) соо = 0, то второе уравнение свяжет действительную часть х при нулевой частоте с логарифмическим интегралом мнимой части:

Х'(0)= — f d«)=—!— С хД^Оим).

В резонансной^ системе функция х"^) ограничена довольно узким диапазоном по со, и этот интеграл можно вычислить, исходя из экспериментально измеренных потерь. Сложная система может иметь много пиков потерь, однако если они разнесены по частоте достаточно далеко друг от друга, так, чтобы их можно было разрешить, то каждому пику можно приписать некоторый независимый вклад в магнитную восприимчивость на нулевой частоте. Эта идея была эффективно использована при определении вклада парамагнетизма электронного спина ^парамагнетизма Паули) в магнитную восприимчивость металла. В типичном металле наблюдают большое число различных вкладов из разных источников, которые нельзя разделить только посредством измерения статической восприимчивости. Это обстоятельство было причиной многолетних затруднений, поскольку вклад парамагнетизма Паули имеет потен-

циально важное значение при проверке теории электрон-электрон* кого взаимодействия в металлах. Если электроны вообще не взаи* модействуют между собой, то степень взаимодействия однозначно связана с теплоемкостью электронов, которую можно измерить непосредственно — отклонения от этой связи должны дать количест* венную оценку силы взаимодействия.

Далее, в магнитном поле порядка 1—2 Тл электронные спины должны давать линию поглощения в микроволновом диапазоне, и логарифмический интеграл интенсивности этой линии даст оценку парамагнетизма Паули независимо от любого другого механизма» Во многих изоляторах эта линия очень узка. В большинстве металлов она настолько широка, что исчезает в фоне, который обусловлен другими механизмами потерь, и только в натрии она выделяется так резко, что может быть измерена. К счастью, так как эта линия поглощения не имеет стандартного резонансного профиля,, теория Крамерса — Кронига не зависит от какой-либо специальной модели и ее можно применить даже в случае, когда тонкие детали формы линии известны не полностью. Результатом многолетних исследований этой технически сложной проблемы явилось твердо установленное значение парамагнитной восприимчивости Паули в натрии. Оказалось, что она существенно отличается от той, которую можно ожидать, если не учитывать взаимодействие электронов. Однако это отличие не столь велико, чтобы оказались несостоятельными теории поведения металлов, при построении которых в качестве первого приближения это взаимодействие не учитывалось [6].

РЕЗОНАНСНЫЕ ФИЛЬТРЫ.

ЗВУКОВОЙ СПЕКТРОГРАФ

Возвращаясь к экспериментальным проблемам, поставим вопрос о том, какую информацию о структуре сложного входного сигнала можно получить, пропуская его через резонансный фильтр, т. е. через преобразователь, импульсный отклик которого представляет собой затухающее колебание, описываемое уравнением (5.6), а передаточная функция является функцией с острым пиком (5.7). Формальное решение уже было записано в форме (5.5) и применено к чисто синусоидальному входному сигналу для того, чтобы показать, насколько мал выходной сигнал, пока частота достаточно далека от резонансного значения соо- Если соЧа велико, то действительная и мнимая части знаменателя в уравнении (5.7) равны, когда частота находится на расстоянии 1/та от резонанса, при этом выходная мощность, пропорциональная %/*, уменьшена до половины своего максимального значения. Поэтому мы можем взять величину 2/та в качестве удобной меры ширины полосы частот преобразователя,, и эта величина является обратной для постоянной времени спада интенсивности импульсного отклика данного прибора.

Когда на вход такого преобразователя подается произвольный сигнал ^(О, т0 в интервале от ^0 до ^o + d/o на входе возникает импульс STo (^о) d^o, инициирующий на выходе затухающее колебание, которое к моменту времени t уменьшится в ^-^-^^д раз. Такой же сигнал в момент времени t можно было бы получить на выходе резонансного преобразователя, свободного от потерь, если бы входной сигнал был уменьшен во столько же раз.

Рис 5 5. Сигнал Л, поступающий на вход демпфированного резонансного преобразователя с импульсным откликом В, появляется в момент времени / = 0 в той же форме, что и затухающий сигнал Д', поступающий на вход идеального преобразователя В'

Эти два эквивалентных процесса показаны на рис. 5.5. Здесь реальная временная последовательность, подаваемая на вход реального преобразователя, заменена на временную последовательность с экспоненциальным ослаблением, которая подается на вход идеального преобразователя с 1/та = 0. Идеальный преобразователь, возбужденный в самом начале чистой синусоидой, на сигнал, который соответствует точной настройке входа, реагирует несравнимо сильнее, чем на любой другой (это следует из (5.7)). Поэтому отклик в момент времени t можно получить, формируя Фурье-образ входного сигнала (рис. 5.5, б) и выделяя амплитуду компоненты вблизи соо, т. е. на частоте преобразователя.

С этой точки зрения становятся ясными характерные особенности преобразователя. Во-первых, даже если входной сигнал и является чистой синусоидой, экспоненциальное ослабление приводит к разбросу его частотного спектра в диапазоне порядка соо±1/та, что следует из уравнения (4.27) или из фактически эквивалентного анализа, приводящего к (5.7). Спектральный анализ несинусоидального входного сигнала невозможно выполнить с более высоким разрешением, чем указано выше. Во-вторых, выходной сигнал в любой момент времени t связан не с содержанием спектра именно в этот момент (если такое утверждение имеет какой-либо смысл), а со средним по интервалу порядка та до начала наблюдения. Таким образом, анализ с помощью резонансного преобразо- 128

вателя имеет точно такие же ограничения, которые выражены принципом неопределенности, т. е. соотношением AcoA^l (см. §4.3).

Другой метод исследования этого же эффекта учитывает, что так как реальный преобразователь реагирует только на те входные частотные компоненты, которые находятся в пределах диапазона, приближенно описываемого выражением соо± 1/та, то мы можем исключить из входного сигнала все частоты, кроме этой узкой полосы. Если это выполнено, тогда то, что сначала могло быть зубчатой функцией, сведется к некоторой более сглаженной функции, потому что результирующая амплитуда всех компонент в частотном диапазоне 1/та не может существенно изменяться за время, меньшее та. При этом «отфильтрованный» входной сигнал будет приблизительно синусоидальным со средней частотой й)0, но ^го амплитуда и фаза будут флуктуировать медленно, фактически примерно с той скоростью, с которой преобразователь реагирует на сигнал. Именно эти флуктуации амплитуды проявляются как вариации выходного сигнала и интерпретируются как амплитудные флуктуации компонент на частоте соо.

Теперь становится ясно, что если мы хотим знать, как изменяется во времени спектральное содержание сигнала, то нам следует ограничить разрешение по частоте таким образом, чтобы можно было выполнить любое требование по регистрации неожиданных изменений. Например, при анализе речи, когда произношение обычного слова может занять 7з с и может содержать несколько различных шумов, возникающих при чередовании гласных и согласных звуков, нам может понадобиться временное разрешение не хуже Vso с. В этом случае мы не можем обеспечить разрешение лучше, чем Асо ^50 с-1 или Av ^8 Гц. Однако даже при таких условиях мы можем осуществить достаточно детальный анализ. Исключив все частоты выше диапазона от 0 до 3000 Гц, в котором находится большинство основных звуков человеческой речи, мы можем разделить этот диапазон на 300 отдельных полос и записать изменения амплитуды в каждой полосе с соответствующим разрешением по времени. Если же сама мысль об обработке столь большого числа частотных каналов покажется нам нереальной, мы можем сократить число полос до 30 и позволим себе такую роскошь, как временное разрешение в 4 мс, что, вероятно, меньше, чем может различить ухо.

Один из звуковых спектрографов, применяемый для анализа речи, разделяет диапазон от 80 до 8000 Гц на 500 каналов и записывает сигналы в каждом канале поочередно. Короткая запись речи ускоряется и подается на вход фильтра, полоса пропускания которого регулируется в пределах примерно до 45 Гц, и изменение во времени выходного сигнала записывается как горизонтальная линия с изменяющейся степенью почернения. Одна и та же запись пропускается через фильтр снова и снова, причем полоса пропускания медленно сдвигается в сторону более высоких частот, так что линия записи смещается вверх по мере повышения частоты.

Типичный результат воспроизведен на рис 5 6, который показывает, как выглядит в записи заглавие этой книги, произнесенное на южноанглийском диалекте Наиболее отли штельными особенностями этой записи являются широкополосный шипящий шум, энергия которого сконцентрирована на высоких частотах, характерных для звуков [z] и [s] в слове physics, и более широкого звука [J] в конце слова vibration Все чистые гласные звуки имеют относительно короткое звучание, однако два дифтонга [а!] и [el] (первый соответствует букве Т и второй — ‘а’ в слове vibration) ', ясно показывают изменение качества звучания в процессе произношения Многие другие примеры можно найти в работе [7].

Частота, кГцЧастота, кГц6-Ц-2 -6-Ц-2 -д_0д_011

Частота, кГц

Частота, кГц

6-

Ц-

2 -

6-

Ц-

2 -

д_

0

д_

0

1

1

Рис. 5 6 Звуковая спектрофотограмма, полученная с помощью анализатора спектра (Kay Sona-Graph, model 7029А) Объяснения приведены в тексте. (По данным Cambridge University Department of Linguistics)

Чистые гласные произносятся с концентрацией энергии в определенных полосах частот, характерных для данных гласных звуков (формант). В нормальной речи голосовые связки испускают довольно нерегулярную последовательность импульсов со средней частотой, которая ниже у мужчин, чем у женщин. Эта последовательность флуктуирует, когда голос произносит звук с ударением, и высота звука растет в моменты риторического подъема или эмоционального напряжения. Полости носа, рта и глотки настраиваются за счет изменения формы губ, языка и других органов речи, в результате чего возникает селективная реакция на определенные частоты в богатом спектре выходного сигнала голосовых связок и именно эти частоты образуют затем гласный звук. В случае чисто исполненной ноты нерегулярная последовательность импульсов ограничивается по частоте так, что выходной сигнал, созданный голосовыми связками, представляет собой довольно чистый тон,

* Английское слово vibration в обозначениях Международной фонетической транскрипции произносится как [vaibrei Jn].-—Прим. ред.

обогащенный гармониками; соответствующие гармоники отоирают- ся вокальными полостями так, что нота приобретает характер гласного звука.

Голоса типа сопрано или баса исполняют один и тот же гласный звук на совершенно разных основных частотах за счет отбора разных гармоник Например, первый гласный звук в слове father отличается наличием сильной форманты вблизи 900 Гц. Бас, поющий это слово на уровне звука ля-бемоль, расположенного на Vio ниже среднего С (до первой октавы), т. е вблизи 100 Гц, выделяет девятую гармонику. Контральто, исполняя то же слово на октаву вышё,

8)

Рис. 5.7. Волновые формы гласной ‘а’ в слове father

Гласная исполнена на ноте ля-бемоль (104 Гц) обычным баритоном (а) и на две октавы выше (416 Гц) фальцетом (б) Сильно выделяющаяся частота, которая придает этой гласной ее характерное звучание, соответствует девятой гармонике (а), т е 936 Гц, и лучшему приближению к этой гармонике (б), т. е второй гармонике с частотой 832 Гц Обе записи имеют длительность 20 мс Здесь и на рис 5 8 основной период в каждой записи указан прямой линией под записью

выделяет четвертую и (или) пятую гармонику, в то время как сопрано (еще на октаву выше, т е около 400 Гц) сделает то же самое со второй гармоникой, хотя более высокие компоненты могут возникать почти без сдвига и гласный звук прекрасно различим во всех случаях

Рассмотренные нами вопросы проиллюстрированы на рис. 5.7. Основные периоды отличаются здесь в четыре раза, однако сильно выделяющиеся гармоники (девятая — для баритона и вторая — для фальцета) по частоте отличаются незначительно. Несколько записанных циклов, которые приводятся на рисунке, очень мало говорят о таких исключительно важных характеристиках голоса, как атака (начальная стадия пения устойчивой ноты), изменения высоты тона (вибрато) и окраска тона (его гармоническое содержание). Для изучения этих характеристик требуется звуковой спектрограф, и примеры, включая анализ самой верхней ноты, исполненной Карузо, можно найти в цитированной выше книге [7].

Анализ речи с помощью звукового спектрографа является примером интересного приложения к более общим фонетическим исследованиям, однако здесь мы этим анализом заниматься не сможем. Давайте обратимся к несколько более простому объекту, а именно к форме волны, генерируемой музыкальными инструментами, для которых звуковой спектрограф обычно является слишком сложным прибором, потому что мы прежде всего заинтересованы в получении ноты определенной высоты с периодической, но обычно несинусоидальной, формой волны. Осциллографические записи^ показанные на рис. 5.8, типичны для многих подобных исследований, в которых изучалась связь тембра инструментов с формой волны; их Фурье-анализ гораздо более прост по сравнению с анализом речи.

В следующем томе мы обсудим механизм генерации звуков в некоторых инструментах. Здесь же мы дадим лишь общее описание и подчеркнем некоторые интересующие нас детали, рассмотрение которых может быть проведено путем сравнения волновых форм, генерируемых фаготом, гитарой и колокольчиком. Первые два инструмента характеризуются периодичностью, которая отсутствует у колокольчика, и поэтому не случайно то, что только они используются при исполнении современной музыки, которая основана на гармоний объединенных тонов *. Это вызвано тем, что базовые интервалы, на которых основана диатоническая шкала, связаны между собой простыми отношениями (2 — для октавы, 3/2 — для пятого и 5/4— для третьего мажорного аккорда), и обертоны (гармоники), содержащиеся в периодической волновой форме, дают звуки, которые на октаву, полторы октавы и т. д. выше основной гармоники и которые не создают дисгармонии с нотами, исполняемыми на других инструментах. Ухо может без особых затруднений распознавать гармоническое содержание исполняемого звука. Большинство слушателе?! фактически не замечает обертоны, когда какой-либо духовой инструмент играет одну ноту, — в их ушах, в их сознании то, что они получают на входе, интерпретируется как одна нота, однако нота с определенным качеством звучания (тембром). Звук трех гобоев, исполняющих мажорную триаду (до, ми, соль), обычно воспринимается как эти три ноты, а не как исключительно сложная смесь основных гармоник с десятью или двенадцатью обертонами, различимыми для каждой ноты. Однако тренированный слушатель может услышать отдельные составные части, и здесь следует напомнить, что в анализе качестве тона, включая открытие природы гласных звуков, был достигнут значительный

Гармоническое содержание музыки, исполняемой на колокольчиках, литаврах и других ударных инструментах, включая ксилофоны, проясняется либо в негармоническом контексте, либо за счет аккомпанемента обычных инструментов при условии, что громкость не достигает максимальных значений, имеющих разрушительные последствия. Слух англичанина, привыкшего к суровой красоте смены звучания, находит, что карильон (набор колоколов), исполняющий гармоническую музыку, звучит гротескно вследствие несовместимости колокольного тембра с логикой диатонической гармонии.

прогресс еще до изобретения осциллографа. Так, Гельмгольц применял акустические резонаторы, хотя Белл и Паже полагались на свои уши.

5)

г)

Рис. 5.8. Примеры волн:

а — фагот, исполняющий ноту соль первой октавы (100 Гц), б — фагот, исполняющий ноту соль второй октавы (400 Гц), в—гитара примерно через 0,5 с после щипка струны .ми второй октавы (338 Гц); г — ручной колокольчик примерно через 0,5 с после удара. Первые две записи показывают волны, хорошо воспроизводящиеся от цикла к циклу и дающие чисто гармонический ряд Звучание гитары немного отличается от идеального случая и характеризуется небольшими отклонениями от гармонического ряда. Для колокольчика же характерна волна, нарастающая во времени; Фурье-анализ этой записи дает основные компоненты с частотами 2,120 и 4,355 кГц, их отношение значительно отличается от 2 (ср. с рис. 4 2, е)

Теперь мы должны обратить внимание на одно важное отличие между разными типами музыкальных инструментов. Хотя как гитара (или фортепиано), так и духовой инструмент генерируют волновые формы, которые сохраняют свой характер на протяжении

многих циклов и поэтому состоят из строго гармонических наборов частот, все же гитара приобрела это качество несколько случайным образом, в то время как для духового инструмента оно является вполне естественным. Струна, подобно колокольчику, может генерировать независимые гармонические колебания с многочисленными различными модами; в тот момент, когда струна подвергается действию удара или щипка, многие из этих мод возбуждаются. Вследствие того что скорость волны вдоль струны не зависит от частоты и волна является одномерной, эти моды имеют частоты, которые являются почти точными кратными основной частоты. С другой стороны, колокольчик, не обладающий простотой конструкции однородной струны, дает звуки, гораздо более богатые по нецелым кратным. Периодичность нот, исполняемых на гитаре или фортепиано, обусловлена тем, что в этих инструментах могут существовать только те колебания, которые, объединяясь, дают периодическую результирующую. В трубе духового инструмента акустические колебания воздуха возбуждаются за счет периодических выдохов через язычок или губы; обратная реакция акустических колебаний позволяет синхронизировать частоту колебаний язычка с резонансной частотой трубы. Когда эта синхронизация является полной, то движение язычка становится строго периодическим, хотя и далеко же синусоидальным, и он может возбуждать акустические колебания с более высокой частотой, если одна или несколько более высоких резонансных мод трубы лежат близко к гармонике, соответствующей частоте колебаний язычка. Однако если инструмент сконструирован настолько плохо, что его более высокие моды сильно отличаются от частот, кратных частоте колебаний язычка, тогда эти моды возбуждаться не будут, а извлекаемый звук будет периодичным, но с меньшей примесью высших гармоник. Эти «расстроенные» моды никак не могут нарушить периодичности, которая контролируется язычком, хотя они и могут затруднить привязку колебаний язычка к акустической моде (в качестве предельного случая можно указать на изобретенный Беней- дом [8] так называемый «немой рожок», на котором играть практически невозможно).

Язычок служит примером нелинейного осциллятора, форма собственных колебаний которого несинусоидальна. Это не мешает выполнить формальное разложение Фурье, его колебаний на основную частоту и гармоники, потому что это разложение представляет собой просто математическую процедуру, применимую к любой периодической функции. Разложение, однако, не связано с рассматриваемым физическим процессом; ничто не может возбудить любое из этих синусоидальных колебаний изолированно таким же образом, как это делается в случае фортепьянной струны, когда последняя возбуждается громким пением при поднятом демпфере.

СМЕШИВАНИЕ И КОМБИНАЦИОННЫЕ ТОНЫ

В духовом инструменте в момент генерации звука протекает нелинейный процесс; возникающие при этом колебания претерпевают изменения в трубе, которая действует как линейный преобразователь. При обратном процессе независимые колебания линейной системы проходят через нелинейный преобразователь, причем форма волны искажается так, что генерируются новые Фурье-компоненты, частоты которых являются комбинациями первоначальных частот.

Рис. 5 9. Простой однополупериодный выпрямитель без сглаживания Синусоидальное напряжение генератора V приводит к пульсирующему току i

Простейшим практически важным примером является выпрямитель, который в идеальном случае передает неизменными все положительные входные сигналы и блокирует все отрицательные. При синусоидальном напряжении, приложенном к выпрямителю и резистору, соединенным последовательно, волна тока состоит из синусоидальных петель, чередующихся с пустыми промежутками, как показано на рис. 5.9. Среднее значение тока при этом уже не равно нулю, и Фурье-анализ показывает, как видно из диаграммы, что в данном случае получен полный набор гармоник. Если на выходе форма волны имеет вид

( cos «V, когда — л/2 <^у <^ л/2,

I 0 в остальных случаях,

то, согласно (4.10) (см. § 4.1), //z-я Фурье-амплитуда составляет

I 77/2

i cosxe-imA'dх.

2л J

-77/2

Это приводит к следующему разложению:

I г I22

у = — 1 -jл cos wt -]cos 2u)/— cos 4(и/ —

л 23I э

— 2 2 (-l^cos/n^A^2-!)!.(5.12)

m—чешоеJ

Более привычная схема выпрямителя содержит конденсатор, показанный на рис. 5.10, где также изображена форма тока, про-

ходящего через резистор. В течение нарастающей положительной части цикла диод-выпрямитель пропускает ток через резистор и одновременно заряжает конденсатор до такого состояния, когда напряжение на нем сравнивается с входным напряжением (предполагается, что при этом диод-выпрямитель имеет нулевое сопротивление). Через некоторое время после прохождения пика в точке Р приложенное напряжение начинает спадать с той же скоростью, с которой конденсатор разряжается через резистор, если эти

Рис. 5.10. Сглаженное однополупериодное выпрямление

два элемента изолированы от входа; разрядная кривая PQ имеет форму экспоненты ехр (—*^/т) с t = RC, она проведена в виде касательной к синусоиде в точке Р. До тех пор пока не достигнута точка Р, для обеспечения синусоидальной кривой напряжения требуется ток в прямом направлении через диод-выпрямитель. Однако после точки Р синусоида спадает быстрее экспоненты и удовлетворяется условие изоляции конденсатора и резистора от входа, при этом диод-выпрямитель имеет обратное напряжение смещения. В точке Q к диоду-выпрямителю снова прикладывается прямое напряжение смещения, поэтому жирная кривая показывает изменение напряжения на резисторе и, следовательно, тока через резистор. Если за счет выбора конденсатора достаточно большой емкости постоянная времени т окажется значительно больше, чем период колебания, то кривая выходного напряжения будет почти плоской и содержание интенсивных гармоник, выраженное уравнением (5.12), будет в значительной степени подавлено.

Значительно лучшие результаты получаются при использовании двухполупериодной выпрямительной цепи, показанной на рис. 5.11. Когда напряжение в точке X положительно, ток не может проходить через Л и С и течет через R в направлении, указанном стрелкой; когда же напряжение положительно в точке У, то ток блоки-

руется в В и D, но протекает через R в том же направлении, что и раньше. Входное напряжение имеет форму двух полуволн, при наличии конденсатора выходное напряжение становится более плоским, чем в случае однополупериодного выпрямителя, показанного на рис. 5.10.

Если выпрямитель должен быть сильноточным, то емкостное сглаживание может оказаться непрактичным и для уменьшения пульсаций более выгодно использовать трехфазный источник пе-

Рис 5 12 Несглаженное трехфазное выпрямление

Пульсирующие выходные напряжения, обозначенные цифрами 1, 2 и 3, перекрываются и дают постоянный ток с наложенными на него пульсациями

ременного тока. Питающая сеть в этом случае состоит из нейтрали и трех линий переменного напряжения, которые сдвинуты по фазе на 120° относительно друг друга (рис. 5.12, а). Если каждое напряжение выпрямляется в однополупериоднои цепи и выходные сигналы складываются, то результирующая форма волны (рис. 5.12, б) представляет собой суперпозицию трех форм волны тока, подобных той, что показана на рис. 5.9. Еще лучше использовать двухпо- лупериодную выпрямительную цепь для каждой фазы, при этом происходит сложение шести выходных напряжений, сдвинутых по фазе на 60°, а применение соответствующих фазопеременных цепей позволяет продолжить этот процесс и увеличить число равномерно сдвинутых по фазе выходных напряжений до 12 и выше.

Если выразить однофазную форму волны в виде ряда Фурье:

У=

то сложение N идентичных волн с фазовым сдвигом ^n/N приведет к исключению всех членов, для которых п не является кратным N. Это непосредственно следует из диаграммы колебаний для любой Фурье-компоненты, которая представляет собой замкнутый многоугольник с N сторонами и нулевым результирующим вектором, если м^тМ, или же прямую линию, если n = mN. В результате на выходе вышеупомянутого 12-фазного выпрямителя в случае, если питание подается непосредственно через активную нагрузку без емкостного сглаживания, возникает волна, Фурье-компоненты которой можно выписать из разложения (5.12):

*99

-|^у cos (12 u)/)-[-^ cos (24u)/)-U ... .

Полученный результат очень близок к пульсирующей волне на выходе двухнолупериодного выпрямителя с частотой, в 12 раз превышающей рабочую частоту источника питания, причем эта волна наложена на гораздо больший постоянный ток.

Рис. 5.13 Характеристика выпрямителяРис. 5.13 Характеристика выпрямителяМы рассмотрели здесь идеальные выпрямители, на выходе которых волны имеют структуру, не зависящую от входной амплитуды и пропорциональную входному напряжению. В этом смысле выпрямители приобретают некоторые свойства линейной цепи, однако сходство носит случайный характер, поскольку при наличии на входе более чем одной синусоиды выходной сигнал не равен сумме сигналов, если каждую синусоиду подать на вход изолированно. Здесь нет необходимости останавливаться на этом более подробно, однако нечто более ценное можно узнать, анализируя менее идеальный выпрямитель, который, например, лишь слегка нелинеен. Реальный выпрямляющий элемент (например, полупроводниковый! р-п- персход) имеет характеристику, подобную изображенной на рис. 5.13. Когда напряжение велико и имеет положительный

Рис. 5.13 Характеристика выпрямителя

Рис. 5.13 Характеристика выпрямителя

знак, р-/?-переход легко пропускает ток. Если же напряжение велико, но знак его отрицателен, ток мал настолько, что ^-/г-переход можно считать запертым. Поэтому при больших напряжениях р-п- переход хорошо аппроксимирует идеальный выпрямитель. Однако при малых напряжениях характеристика имеет очень небольшой изгиб; можно легко показать, что в этом случае средний постоянный ток пропорционален квадрату приложенного напряжения. Для того чтобы условие квадратичного выпрямления было выполнено, напряжение должно быть настолько малым, что вольт-амперную характеристику можно адекватно представить с помощью квадратичной формы

i=aVy^.(5.13)

/ = аУ Д-уУ3/ = аУ Д-уУ3(5.15)(5.15)Подставляя сюда К=У0со5(о/ (заметьте, что, поскольку система нелинейна, мы должны избегать использования комплексного представления), находим, что

/ = аУ Д-уУ3

/ = аУ Д-уУ3

(5.15)

(5.15)

при входном напряжении V0cosmt обеспечит выходной сигнал i = aVQCosw£^W^cosM==(aVQ-^ ^уЕ^ cosco/4- 74 yV^ cos Зш/, в котором имеются только нечетные гармоники и отсутствуют слагаемые, постоянные во времени.

Если в нелинейную цепь подаются две разные частоты, происходит смешивание и генерируются другие частоты. Так, если в (5.13) подставить V^ 14 cos ом/т V2 cos ^, то выходной ток

I = 7г /(^i "Г ^^"F^i cos wxt -(- ctl/2 cos <>V +

4-31/2 cos2u)1/-[-jl/| cos2o)2/-7 72 3 1/11/2 COS (^|—co2) 14~

4- 72 3 ^1^2cos (ioi -l-0^) ^(5.16)

Здесь в дополнение к слагаемым вида (5.14), которые появляются отдельно для каждой входной компоненты, выходной сигнал содержит в последних двух слагаемых комбинированные частоты, которые возникают за счет смешивания входных частот и имеют амплитуды, определяемые величиной VW2, и частоты, равные сумме и разности входных частот. Тот же самый входной сигнал при подстановке в (5.15) не дает, конечно, никаких постоянных во времени слагаемых, но зато обеспечивает богатый набор частот —coi, (02, Зон и Зо)2 от каждой компоненты отдельно и o)i±2co2, 2o>i±(O2 за счет смешивания. Здесь отсутствуют чисто суммарные или разностные компоненты, для получения которых требуется выпрямляющая характеристика.

В общем случае, если характеристику можно выразить в виде степенного ряда

z = aI/4-3I/2 + Yl/3+>..(5.17)

и входной сигнал имеет вид 14 cos o)i^+ Е2 cos 0)2/ + ..., то выходной сигнал может содержать только такие комбинированные частоты, которые имеют вид zzicoi Т/22СО2 +.., где п.— целые числа и сумма |^i+^2 + ---| представляет собой одну из экспонент степенного ряда (5.17) или же одну из экспонент, уменьшенную на четное число.

Довольно простым практическим примером смешивания, который тоже может найти полезные применения, является подача трех сигналов на полупроводниковый диод, выходной сигнал которого после усиления подается на громкоговоритель. Два из этих сигналов являются выходными сигналами триодного генератора с частотой 109 Гц, который может обеспечить очень чистые и стабилизированные по частоте синусоиды, а третий является выходным сигналом генератора прямоугольных импульсов с частотой 105 Гц [9]. Если частота одного из триодных генераторов постоянна, а частота другого медленно перестраивается, то когда разность частот (01—ото близка к одной из гармоник о)3 прямоугольного импульса, обогащенного гармониками, зазвучит нота. То, что мы услышим, соответствует частоте ом- oj2 — Що3; по мере изменения о)2 слышна сначала очень высокая нота, тон которой постепенно снижается и

уходит за пределы слышимости, а затем снова повышается, достигая частоты, находящейся опять за пределами слышимости. Последовательные положения настроечного элемента, при которых нота проходит через нулевую частоту, обеспечивают калибровочные точки для перестраиваемого генератора — они расположены через равные промежутки по соз. Можно получить до 50 точек, соответствующих разности (01—0)2, значение которой изменяется в диапазоне ±25 юз.

Разностный гон можно обнаружить и непосредственно, если прослушивать одновременно два звуковых сигнала высокой интенсивности. Если мы хотим продемонстрировать этот эффект, являющийся свойством человеческого уха, усиленные выходные сигналы дв>х генераторов целесообразно воспроизводить с помощью автономных громкоговорителей так, чтобы нелинейные эффекты в громкоговорителях не могли привести к образованию разностного тона. Если голова помещена между двумя громкоговорителями, то две ноты, достаточно близкие по высокой звуковой частоте (в несколько килогерц), сопровождаются более низкой нотой, которая очень быстро то появляется, то исчезает по ходу перестройки одного из звуковых генераторов в пределах относительно узкого диапазона. Уровень звука, необходимый для того, чтобы услышать разностный тон, может оказаться чрезмерно громким, особенно если слушатель не имеет хорошего (или необычно тонкого) слуха. Можно услышать не только простой разностный тон — генерируются и другие комбинации, наподобие 2coi—а>2, поэтому совершенно очевидно, что слуховой аппарат человека обладает выпрямительной характеристикой и соответствующей реакцией на слагаемые более высоких порядков, играющие существенную роль при высоких интенсивностях звучания.

Несколько менее ясен эффект, который, возможно, связан с предыдущим явлением и используется для получения очень низких нот на церковном органе, 32-футовые трубы которого не умещают*v 2

ся в отведенном для него пространстве. Трубы длиной по 16 иЮ — футов звучат вместе, соответственно на октаву и на октаву с квин- тор выше желаемой ноты. Таким образом, если требуется получить частоту оу генерируют частоты 2ю и Зоу и слушателю кажется, что от слушит разностную частоту о). Это явление называют эффектом акустического баса, и его происхождение иногда объясняют вышеуказанным свойством нелинейности уха. Однако такое объяснение малоубедительно, поскольку амплитуда должна зависеть, согласно (5.16), от произведения амплитуд двух компонент, так что слушатели, находящиеся в разных концах здания, слышат различную интенсивность разностного тона относительно двух исходных тонов. Нельзя исключить и физиологическое происхождение этого явления— возможно, что мозг, получая сигналы двух низких нот (потому что этот эффект проявляется, по-видимому, только для очень низких нот) с частотами Зю и 2ю, интерпретирует их как звуки, генерируемые на еще более низкой основной частоте ю. Если про- 140

щолжить эту идею дальше, звуковая иллюзия может возникать под действием идеальной настройки двух составные частей так, что их волновые формы точно повторяются с базовой частотой повторения. Это возможно, и служит причиной обычной практики связывания двух органных труб вместе, так как хорошо известно, что две органные трубы, как и другие осцилляторы с внешним возбуждением, могут, находясь вблизи, влиять друг на друга (этот нелинейный эффект будет рассмотрен' более детально в гл. 12) и их частоты изменяются так, что образуют простое числовое отношение, даже если первоначально эти трубы и были настроены не вполне идеально. С другой стороны, возможно и еще одно объяснение: вследствие механического взаимодействия две соединенные вместе трубы, которые возбуждаются воздухом изнутри, могут через посредство какого-то неизвестного выпрямляющего эффекта действительно генерировать реальный разностный тон.

Нелинейная генерация комбинированных тонов является тем механизмом, который лежит в основе супергетеродинного принципа детектирования радиосигналов. Звуковая информация, передаваемая в виде амплитудной модуляции несущей высокой частоты, равной, скажем, 1 МГц, усиливается и детектируется в два этапа. Сперва входной сигнал, который, по предположению, очень слаб, смешивается в нелинейном устройстве с гораздо более мощным сигналом локального генератора, который имеет постоянную амплитуду и отличается по частоте от несущей. С помощью квадратичного детектора типа того, что описывается вторым слагаемым в уравнении (5.13) (линейное слагаемое не имеет никакого отношения к процессу смешивания), входной сигнал, состоящий из инф- формационного сигнала f^coscoit и сигнала гетеродина A cos ^t, преобразуется в сигнал p[f (/) соь (щ/Н-Д cos о)2^]2, который содержит наряду с другими слагаемое р/’^Д cos((oi— (02)^. Информация, содержащаяся в /(/), преобразовалась в более низкую разностную частоту (находящуюся выше предела слышимости), которую можно выбрать удобной для усиления. Одновременно амплитуда информационного сигнала умножена на произведение рД, значение которого можно сделать гораздо больше единицы за счет соответствующего выбора амплитуды югеродипа. Таким образом, очень слабый сигнал существенно усиливается еще до поступления на вход обычного усилителя: при наличии хорошего гетеродина, который обеспечивает выходной сигнал, почти свободный от случайных отклонений, этот процесс обеспечит высокое качество передаваемой информации. После усиления выходной сигнал выпрямляется и информация появляется в виде вариаций сигнала, наложенных не па несущую частоту, а способных возбуждать непосредственно громкоговоритель или магнитофон.

Смешивание модулированных радиоволн происходит иногда при их отражении от ионосферы [10]. Над районом расположения мощного передатчика интенсивность радиоволн может быть настолько большой, что электронам передается часть избыточной кинетической энергии, сравнимой с их тепловой энергией. В результате отражаю-

щие свойства ионосферы слегка изменяются и радиоволны от второго удаленного передатчика после отражения от этой области могут модулироваться, изменяясь синхронно с ростом и спадом интенсивности ближнего передатчика. Так как эта вариация интенсивности представляет собой сигнал, переносимый амплитудно-модулирован- ной волной, то слушатель, который настроился на второй передатчик, может удивиться, услышав программу первого передатчика, врывающуюся в программу передач второго, даже если оба передатчика имеют совершенно разные несущие частоты. Это и есть эффект взаимодействия волн, который иногда называют люксембургским эффектом по названию первой передающей радиостанции, которая оказалась достаточно мощным источником подобной нелинейности.

ГАРМОНИЧЕСКАЯ КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА

С ВНЕШНИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ

Простой гармонический осциллятор, возбуждаемый силой, которая изменяется во времени по синусоидальному закону, — это центральная тема при обсуждении колебательных систем. Выступая в качестве модели для большого числа реальных систем, простой гармонический осциллятор объединяет в себе самые разнообразные физические проблемы. По этой причине имеет смысл потратить некоторое время на анализ такого осциллятора с различных точек зрения, даже если формальное решение уравнения движения и содержит все то полезное, что можно сказать по поводу его характеристик. И действительно, если бы мы интересовались только физическими системами, которые смоделированы таким же образом, как и простой гармонический осциллятор, то такого анализа вполне было бы достаточно на все случаи жизни. Однако реальные системы обычно являются только некоторым приближением к идеальному случаю, и полезными могут оказаться те альтернативные подходы, которые позволяют оценить поведение полуинтуитивным способом, зачастую достаточно точным для того, чтобы не прибегать к математическому анализу. Читатель, который добрался до этого места, должен быть знаком с наиболее элементарными методами анализа, иначе могут возникнуть подозрения, что мы подходим к решению проблемы косвенным путем, используя аргументы, которые были уже частично разработаны ранее. В свое время нами будут введены и другие методы описания поставленной задачи.

ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ, ПОДАТЛИВОСТЬ, ВОСПРИИМЧИВОСТЬ, ПОЛНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ, ИМПЕДАНС

Основы этого подхода были заложены в гл.'5 (см. § 5.3), где было введено понятие о передаточной функции /(со). Там речь шла о линейном преобразователе, на г.ход которого подавался синусоидальный сигнал Ле1о)* и на выходе которого возникал сигнал /(со) Ле-Ко'. Точно такой же подход можно применить и к механической системе или электрической цепи, интерпретируя сигнал Ле^0^ как осциллирующую вынуждающую силу и выходной сигнал как реакцию некоторой части системы, например, смещения или скорости одной из механических компонент, заряда конденсатора или же тока в одном из участков цепи. Функцию /(о) называют податливостью, если она связывает механическое смещение с силой, восприимчивостью, если она связывает электрическую или магнитную поляризацию с напряженностью поля, и полной проводимостью, если она связывает ток

с э. д. с. И наоборот, входным сигналом возмущения может быть ток, а выходным — э. д. с., тогда зависящее от частоты соотношение между этими двумя величинами называют импедансом, который является электрическим аналогом того, что в упругих механических системах называют модулем упругости. Мы не пытаемся определять с высокой точностью каждую из этих величин, потому что существенным является не их точный смысл, а только близкая аналогия между ними, которая позволяет результаты анализа /(со), лишь слегка их модифицировав, перенести на новые условия задачи.

В простой резонансной системе, где достаточно только одной переменной для описания реакции на возбуждающую силу, действующую на входной сигнал, характер функции /(со) определяется импульсным откликом. Обычно этот отклик имеет вид затухающей синусоиды, определяемой формулой (5.6), которая приводит (см. § 5.3) к выражению (5.7) для /(со). Для иллюстрации рассмотрим несколько примеров, выбирая в качестве входного сигнала возмущение любой формы, не приводящее к бесконечному отклику. Так, в случае простого маятника функция /(со), определяемая уравнением (5.7), удобна для описания соотношения между смещением, взятым в качестве выходного сигнала, и силой — в качестве входного, но не наоборот. Это связано с тем, что сила ^(z), имеющая конечное значение и приложенная в течение короткого интервала времени бг, приводит к конечности начальной скорости и фактически к нулевому смещению. С другой стороны, импульсно возбуждаемое смещение £(z) в течение времени б/ потребовало бы бесконечной силы (т. е. бесконечного импульса в направлении вперед для мгновенного смещения маятника на расстояние ^; после этого потребуется обратный импульс для остановки маятника в этом положении; спустя время Ы этот же процесс необходимо осуществить в обратном направлении).

Непосредственно после воздействия импульсной силы, которая, по предположению, имеет единичное значение, грузик маятника массой пг находится в начале координат, двигаясь при этом со скоростью \]т. Тогда последующее движение описывается уравнением (5.6), в котором в значение начальной скорости вносится необходимая поправка путем подстановки соответствующего значения /z0. В результате мы получим

h (t) = (m co')-1 sin w7-e_a)'7,(6.1}

где />0 и 1/та заменена на со". В результате из (5.7) следует, что-

Х(^) = — XmYY(6.2)

Для резонансного значения знаменателя, который циклически повторяется, можно записать, что с учетом полеченного в § 2.5 соотношения (2.24)

у = 0)2 t»/^0)'/2 -j- 2 i (0%) = (1)2 (UQ -|- 2 i (l)"u).(6.3)

Величину Y можно выразить также через две комплексные частоты, характеризующие затухающее колебание (6.1). Если

21 = о/ — Но" и 22 ——2^ =—ш'— т0

Г = (<0 — о^^ — 22).Г = (<0 — о^^ — 22).(6.4)(6.4)

Г = (<0 — о^^ — 22).

Г = (<0 — о^^ — 22).

(6.4)

(6.4)

Отклик маятника на осциллирующую силу Fervtot определяется следующим выражением:

(6.5)(6.5);(0 = Х (и^Ле-1™^ — Fe-'^AmYY

(6.5)

(6.5)

Рис. 6.1. Последовательная резонансная цепьРис. 6.1. Последовательная резонансная цепьЕсли to" мало (слабое затухание), то /(со) имеет высокий пик амплитудой i/^c/'com), когда со находится в непосредственной близости от собственной частоты соо. Мы не станем больше обсуждать форму кривой % (со), а приведем сначала другие примеры.

Рис. 6.1. Последовательная резонансная цепь

Рис. 6.1. Последовательная резонансная цепь

Последовательную резонансную цепь (рис. 6.1) можно возбудить импульсным способом, подсоединив батарею к зажимам Л и В на время 6/ и закоротив их сразу же по истечении времени 6Л Конечный ток, возбужденный пос-

ле присоединения батареи, может осциллировать в замкнутой це

пи, затухая по экспоненте по мере того, как электрическая энергия рассеивается в резисторе. Обычно не принято рассматривать ток как возбуждающую силу, приложенную на вход, а э. д. с. между выводами АВ — как результирующий выходной сигнал, поскольку для быстрого ввода тока в индуктивный элемент требуется бесконечная э.д. с. Перед тем как сделать заключение, что %(<о) в (6.2) описывает связь осциллирующего тока с осциллирующей э.д.с., мы. должны убедиться, что импульсный отклик имеет вид (6.1). Однако на самом деле оказывается, что это не так. В начальный момент времени после присоединения батареи вся э.д.с. V расходуется на1 то, чтобы заставить ток протекать через индукционный элемент СО’ скоростью VJL. Через время 6/ ток равен VMIL, и если V6L является единичным импульсом, то начальное значение отклика по току равно й(0) = 1/Л. Падение напряжения на конденсаторе невелико, поскольку заряд A(0)6Z или MIL, который протекал до этого момента времени, можно сделать бесконечно малым, устремляя Ы к нулю и увеличивая одновременно V таким образом, чтобы произведение V6Z имело единичное значение.

Сразу же после закорачивания выводов АВ э. д. с. в цепи равна нулю. Таким образом, если сопротивление мало, то э. д. с. между выводами резистора (т. е. R/L) и равная ей и противоположная по знаку э. д. с. между выводами индукционного элемента малы и устремляются к нулю при уменьшении R. В результате начальный отклик по току //(/) почти не изменяется, оставаясь равным \,L, что согласуется скорее с косинусоидальной, чем с синусоидальной формой ИЦУ соответствующей уравнению (6.1).

Точную форму Л(/) легко вывести, если заметить, что заряд конденсатора д(/) полностью аналогичен смещению маятника. В частности, начиная с нуля он должен быть синусоидальной функцией времени, при этом начальная скорость изменения 1/Л, определяемая начальным значением тока, задает значение коэффициента лропорциональности. Таким образом,

q(t)=^,L')-1 sin со'/, (6.6) и для отклика по току мы получаем

К (/) = ^(/) = (w'A)-1 е-^'^' cos а)7 — а)" sin о)7). (6.7) Эю затухающее синусоидальное колебание, но с начальной фазой, отличающейся от фазы, определяемой уравнением (6.1).

Согласно формуле (6.7) с учетом (5.4) (см. § 5.3), полная проводимость цепи

7 (o)) = i о)/(А-У). (6.8)

Это выражение отличается по фазе от (6.2), так как числитель здесь умножен на —ico; в остальное же они совпадают по форме, и если со" мало, то наблюдается острый пик при собственной частоте ыо- Причина появления множителя —ico заключается, очевидно, в юм, что этот множитель отображает операцию дифференцирования по времени, с помощью которой из отклика (6.6) мы получаем отклик (6.7).

Параллельный резонансный контур, представленный на рис. 6.2, можно рассматривать аналогичным образом, если поменять ролями э. д. с. и ток. Мы нс можем здесь рассматривать э. д. с. в качестве вынуждающей силы, поскольку после присоединения батареи к зажимам через конденсатор сразу же потечет бесконечный ток. С другой стороны, импульсно возбужденный единичный ток наведет на обкладках конденсатора единичный заряд и создаст на зажимах э. д. с. V=\>C. После окончания инжекции заряда, когда цепь размыкается, V по мере разрядки конденсатора через индукционный элемент осциллирует, при этом наличие резистора с достаточно большим значением R приводит к медленному затуханию, а импульсный отклик имеет примерно косинусоидальную форму. И снова, по аналогии с (6.7), это производная синусоподобного отклика, так как нетрудно заметить, что V тоже определяется выражением Ldi/dT и что по окончании импульса ток через индукционный элемент прекратится. В этом случае после необходимых изменений в (6.8) мы имеем

Z(o>) = i Ш/(СГ) (6.9) и /(со) теперь является импедансом цепи. Как мы вскоре увидим, близкое соответствие между последовательными и параллельными резонансными цепями становится вполне очевидным, если проанализировать их с помощью обычного метода анализа цепей.

Перед тем как перейти к этому анализу, рассмотрим слегка измененную параллельную резонансную цепь (рис. 6.3), где диссипа-

тиьный элемент обеспечивается небольшим сопротивлением, вклю

ченным последовательно с индукционным элементом вместо большого параллельного сопротивления. Импульсный отклик, связы

вающий выходную э. д. с. с входным импульсом тока, здесь почти.

О ВРис 6 2 Параллель-О ВРис 6 2 Параллель-Рис. 6 3 Па-Рис. 6 3 Па-раллельная резонансная цепь (вариант рис.6 2)раллельная резонансная цепь (вариант рис.6 2)ная резонансная цепьная резонансная цепьтакой же, как и для цепи, показанной на рис. 6.2, однако имеет небольшой фазовый сдвиг. Это обусловлено тем, что V не равно LAI) At из-за дополнительного вклада Ri от резистора. Для получения точной формы отклика нам легче учесть, что по окончании импульса ток разрядки конденсатора не протекает через L, поэтому с самого начала dV/dZ = O.

О В

Рис 6 2 Параллель-

О В

Рис 6 2 Параллель-

Рис. 6 3 Па-

Рис. 6 3 Па-

раллельная резонансная цепь (вариант рис.

6 2)

раллельная резонансная цепь (вариант рис.

6 2)

ная резонансная цепь

ная резонансная цепь

В таком случае V скорее интеграл, чем производная от синусоподобного отклика. Функцию V (Z) несложно привести к виду, обладающе-

му этим свойством и содержащему необходимые для этого поправ

ки:

V (О^о/С)-^-40"* («>' cossin u>7).

Отсюда получаем уравнение X (u))=( -2u)" + i (о')/(СГ).(6.10)

Оно отличается от (6.9) наличием слагаемого —2со" в числителе, вносящем небольшое изменение в случае острого резонанса (со^^со"). Как и в цепи, показанной на рис. 6.2, /(о)) является здесь импедансом.

Выражения (6.8) — (6.10) можно вывести гораздо более простым способом с помощью анализа цепей. Например, импеданс последовательной резонансной цепи (см. рис. 6.1) равен 7?+jcoA— —]7((оС), в результате полная проводимость принимает следующий вид: x=irv^lywgy\(6.11)

Чтобы сравнить полученное выражение с (6.8), необходимо идентифицировать coo и о/' с параметрами цепи. Свободные колебания в цепи были проанализированы в гл. 2, и из (2.24) следует, что

о/2 = 1/(ZC) -1/4 RW И О)" = i/2 R[L.

Если подставить эти величины в (6.8), то отсюда сразу получаем (6.11) (следует помнить, что j =—i).

Точно так же обстоит дело и с параллельной резонансной цепью. Близкая связь между формулами для х Для цепей, показанных на

рис. 6.1 и 6.2, объясняется с помощью анализа цепей. Указанное об

стоятельство связано с тем, что в первом случае используют импеданс в виде суммы трех компонент — одной действительной (У?), одной положительной мнимой (joA) и одной отрицательной мнимой (—j'/((oC); во втором случае сумма трех аналогичных компонент — 1//?, j/(u)C) и j/(coA)— дает полную проводимость. Таким обра

зом, с точки зрения импульсного отклика между последовательны

ми и параллельнымиС Вми и параллельнымиС ВРис 6 4 Последовательная резонансная цепь с промежуточными выводами на индуктивности (секции /) и сопротивлении (секция г)Рис 6 4 Последовательная резонансная цепь с промежуточными выводами на индуктивности (секции /) и сопротивлении (секция г)цепями большого различия не существует. Для каждой из них функция /(со) имеет характерный резонансный пик, и они отличаются только физическим смыслом /, т- е- тем, что мы назвали выше надлежащим выбором входных и выходных параметров.

ми и параллельными

С В

ми и параллельными

С В

Рис 6 4 Последовательная резонансная цепь с промежуточными выводами на индуктивности (секции /) и сопротивлении (секция г)

Рис 6 4 Последовательная резонансная цепь с промежуточными выводами на индуктивности (секции /) и сопротивлении (секция г)

Обобщая, можно сказать, что небольшое различие между уравнениями (6.9) и (6.10) и большое различие между (6.9), (6.10), с гдной стороны, и (6.2)—с другой, носят скорее случайный, чем принципиальный характер. Семейство кривых /(со), включающее вышеупомянутые кривые в качестве специальных случаев, можно получить из экспоненциально затухающего колебания, ха

рактерного для простой линейной колебательной системы, если начать колебание с произвольной фазы в цикле. Для простой формы h^ в простых системах мы можем

записать уравнение

h (0 = A e-(0"z cos (о// — 6),(6.12)

которое дает

/[((о) = А [ —о/ sin 6-7 1 (^-Н t0") cos6]/K.(6.13)

Специальные случаи, которые мы анализировали, согласуются € этой общей формой при соответствующем выборе Л и 9. Для (6.2) Л=1(то/) и 0 = л/2; для А= ^'^''2УЧ и 9 = = —arctgtco'Vo/); для (6.19) А= ((о/2+<о//2) ^^(со'С) и 9 = arc(g(coz7«7. Нетрудно придумать цепь, соответствующую любому другому значению 9. Например, на рис. 6.4 выходное напряжение ^ных между выводами СО определяется не только единственно током через г и не только скоростью изменения тока через Z, а тем и другим вместе. Изменяя отношение Z/r, можно изменить фазу выходного напряжения относительно фазы осциллирующего тока, который возникает после подачи импульсно возбуждаемого входного сигнала на зажимы А и В.

Работу этой пепи следует проанализировать более детально для того, чтобы выяснить один вопрос, который до сих пор не возникал в связи с приведенными выше примерами. Наиболее общий отклик простой системы на какой-нибудь импульс может содержать не только затухающую осциллирующую функцию (6.12), но и мгновенный отклик на сам импульс. Таким образом, если импульсная э. д. с. приложена между выводами АВ, то она появляется в цепи только

между выводами индукционного элемента L и доля I/L содержится в выходном отклике, который при единичном входном импульсе имеет следующий вид:

К (1) = (ЦЬ) Ы^-rq-^lq.

где q— отклик по току цепи, определяемой уравнением (6.7). Поэтому

h (t)=QlL) Ъ (Z) + (o/Z,)-1[(г — 2«/7) cos ш7 —-

—— sin о)7].

В Фурье-образ функции hV) входит теперь величина //Л, не зависящая от частоты. В результате соответствующего вычисления получаем передаточную функцию

%(ю) = -^-(^ + 1‘г),

которая имеет ту же форму, что и функция, полученная непосредственно из анализа цепи:

, vг -f- jo)Z

у ((!)) = .

v R + jw£ — j/(u)C)

Отсюда можно видеть, что даже после дополнительного усложнения прямого отклика на импульс наиболее общая форма отклика простой линейной системы определяется все-таки очень небольшим числом параметров — амплитудами прямого и запаздывающего откликов, а также фазой, частотой и временем затухания. Эти параметры можно смоделировать с помощью простой цепи, например такой, какая изображена на рис. 6.4. В этом случае для проведения необходимого анализа все примеры, относящиеся к указанному общему типу, — электрические, магнитные, механические, акустические и т. д.— можно заменить на соответствующую цепь-аналог. Преимущество такого приема заключается в том, что предыдущее знакомство с техникой анализа пмпедансов позволяет получать конечные результаты более экономным способом, если существует такая цепь-аналог, параметры которой корректно связаны с параметрами реальной системы.

Посмотрев на уравнение движения некоторой массы, находящейся на стр\ не,

(6.14)(6.14)(6.15)(6.15)П1г-^\2-^-^2: = Р cos wt

(6.14)

(6.14)

(6.15)

(6.15)

и уравнение для последовательной резонансной цепи

Lq-\-Rq-Vq/C = V coso7,

можно довольно легко увидеть, что масса и индуктивность образуют пару эквивалентных параметров, точно так же как коэффициент затухания К и сопротивление, постоянная пружины ц и обратное зна-

пенис емкости, сила и э. т с Это нс так легко сделать, скажем, в случае резонатора Гельмюльца, особенно не имея достаточной практики. По это;! причине мы нс собираемся делать особого ударения на технике моделирования неэлектрических систем с помощью цепей, хотя она и небесполезна при анализе сложных систем. Однако, is сущности, эта техника есть не что иное, как практический инструмент анализа, а не средство выявления физической сущности систем; как таковая, она должна быть освоена, когда того требуют профессиональные интересы, а не возведена в некий самодовлеющий принцип. Гораздо более важным, с точки зрения физического смысла. является то, что похожие черты поведения простых систем являются не случайными, а возникающими из необходимых ограничений на форму импульсного отклика.

ФОРМА РЕЗОНАНСНОЙ КРИВОЙ

Хотя выше мы уже уделили определенное внимание аналогии, которая существует между различными системами, представляют интерес и значительные вариации, связанные с влиянием фазы 9, введенной в (6.12). Это станет особенно понятным, когда мы рассмотрим форму резонансного отклика /(со). Для начала нам следует предположить, что параметр затухания ю" должен быть мал. Такое условие приводит к узкому, высокому резонансному пику и демонстрирует сущность явления в сто наиболее ясной форме. Если со" мало, то мы будем рассматривать прежде всего такой случай, когда о очень близко к соо. В результате разность щ—Q, (см. (6.4)) оказывается малой, а разность со—Q2— достаточно большой для того,чтобы быть представленной с достаточной точностью посредством 2о)о- В том же приближении мы можем заменить со на соо во всех точках, за исключением тех, в которых появляется разность со—too. Тогда различные виды % (со), которые мы уже встречали выше, можно объединить в рамках упрощенного представления (6.13):

у(ш) — 72 A [i cos 9 — (sin G-p^Q-1 cos 6)]/((о — 2Д (6.16)

где, согласно (2.2), Q заменяет V2 oZ/o". Когда Q достаточно велико для того, чтобы соответствующее слагаемое стало пренебрежимо малым, мы приходим к следующему результату*: если h^ = = Ке[аеЧО1Д где />0 и а обычно является комплексной величиной и имеет вид Лею, то

Х(°Л^ !/2i а/^ — 21)(6.17)

или

^Ле^б+^Дсо-^).

х Часто применяемое упрощение импеданса последовательной резонансной цепи включает такую же степень приближения В выражении RVAwL—1/(мС) записывают (о как Qi+б, тогда до первого порядка по 6 импеданс равен 2jLd, т. е 2jL((o—QJ. Подобные линейные приближения можно, разумеется, применять и в случае других резонансных систем (см. § 12 1).

Рис. 6 5. Графическое построение для отклика резонансной системы (например, для смещения маятника)Рис. 6 5. Графическое построение для отклика резонансной системы (например, для смещения маятника)1XI*1XI*а)а)Рис. 6 6 Графики зависимостей от со:о — действительной и мнимой частей х, полученных из рис. 6.5; б — XX* Для резонансногоРис. 6 6 Графики зависимостей от со:о — действительной и мнимой частей х, полученных из рис. 6.5; б — XX* Для резонансного

Рис. 6 5. Графическое построение для отклика резонансной системы (например, для смещения маятника)

Рис. 6 5. Графическое построение для отклика резонансной системы (например, для смещения маятника)

1XI*

1XI*

а)

а)

Рис. 6 6 Графики зависимостей от со:

о — действительной и мнимой частей х, полученных из рис. 6.5; б — XX* Для резонансного

Рис. 6 6 Графики зависимостей от со:

о — действительной и мнимой частей х, полученных из рис. 6.5; б — XX* Для резонансного

Все наиболее важные характерные особенности резонансного отклика содержатся в уравнении (6.17), которое представляет собой -функцию Лоренца, уже встречавшуюся нам в (4.28) в качестве Фурье-образа затухающей экспоненты (см. § 4.3). Дополнительный фазовый множитель в (6.17) заставляет нас выйти за рамки обсуждения, которое было приведено ранее в гл. 4.

Форму %, по всей видимости, лучше всего оценивать графически: 1/х изменяется как (со—Q])e-i(e+;T/2), и если 0 = л/2 (как для маятника), то 1/x^Qj—со можно представить (рис. 6.5) в виде вектора LN, проведенного между со--точкой на дейстщиельной оси — и Qi, равной со'— —ico". По мере изменения частоты точка L, представляющая со, движется плавно вдоль действительной оси и знаменатель изменяется симметрично относительно своего минимального значения при со = = (о'. Длина отрезка NP (без учета константы) есть не что иное, как l/(Qi—со), но из-за неправильной фазы в результате возникает величина l/(Qj*—со). Однако если начертить окружность на диаметре, соединяющем со0 и Q]*, то вектор Р*М*

правильно представляет изменение l/(Qi—со) по модулю и фазовому углу.

Изменения действительно и мнимой частей x(w) показаны на рис. 6.6, а, который фактически совпадает с рис. 5.4; х и х" равны по модулю, когда |со—co'l^co". Вэтой точке интенсивность (или мощность) отклика, пропорциональная квадрату амплитуды P'NV, уменьшена до половины своего значения в пике. Ширина

резонанса Асо определяется как разность по частоте между этими точками, т. е. 2со" или co7Q. Добротность Q столь же существенна при описании вынужденных колебаний, как и при описании затухания свооодных колебаний. Более того, этот частный результат не зависит от фазового угла 9, поскольку отклик по мощности Р примерно равен /Х^- Таким образом, из (6.17) следует, что

р («)=р^ - го (о, - о*)== Pc/[(w _ 0/)2+ш"2]. (6.18)

Рис. 6 7 Графическое построение для отклика резонансной системы, отличающееся от рис 6 5 тем, что фаза резонансной реакции изменена:%'=0 для со,, х" максимальна для w2, X' максимальна ДЛЯ (OjРис. 6 7 Графическое построение для отклика резонансной системы, отличающееся от рис 6 5 тем, что фаза резонансной реакции изменена:%'=0 для со,, х" максимальна для w2, X' максимальна ДЛЯ (OjРис 6 8 Действительная и мнимая части х, полученные из рис.6.7Горизонтальная шкала расширена по сравнению с рис 6 6 для того, чтобы показать асимметрию кривыхРис 6 8 Действительная и мнимая части х, полученные из рис.6.7Горизонтальная шкала расширена по сравнению с рис 6 6 для того, чтобы показать асимметрию кривых

Рис. 6 7 Графическое построение для отклика резонансной системы, отличающееся от рис 6 5 тем, что фаза резонансной реакции изменена:

%'=0 для со,, х" максимальна для w2, X' максимальна ДЛЯ (Oj

Рис. 6 7 Графическое построение для отклика резонансной системы, отличающееся от рис 6 5 тем, что фаза резонансной реакции изменена:

%'=0 для со,, х" максимальна для w2, X' максимальна ДЛЯ (Oj

Рис 6 8 Действительная и мнимая части х, полученные из рис.

6.7

Горизонтальная шкала расширена по сравнению с рис 6 6 для того, чтобы показать асимметрию кривых

Рис 6 8 Действительная и мнимая части х, полученные из рис.

6.7

Горизонтальная шкала расширена по сравнению с рис 6 6 для того, чтобы показать асимметрию кривых

Рис. 6 9 Изменение фазы х ПРИ Ре* зонансе Штриховые линии являются асимптотами, отстоящими др} г от друга на 180°Рис. 6 9 Изменение фазы х ПРИ Ре* зонансе Штриховые линии являются асимптотами, отстоящими др} г от друга на 180°ке (о2, причем обе точки лежат новится очевидно, что фазовыйке (о2, причем обе точки лежат новится очевидно, что фазовый

Рис. 6 9 Изменение фазы х ПРИ Ре* зонансе Штриховые линии являются асимптотами, отстоящими др} г от друга на 180°

Рис. 6 9 Изменение фазы х ПРИ Ре* зонансе Штриховые линии являются асимптотами, отстоящими др} г от друга на 180°

ке (о2, причем обе точки лежат новится очевидно, что фазовый

ке (о2, причем обе точки лежат новится очевидно, что фазовый

Однако действительная и мнимая части /(со) находятся в силь- ной зависимости от фазового угла 9. При 9 = 0 (как и в случае отклика по току (6.8) для последовательной резонансной цепи) действительная и мнимая части на рис. 6.6 меняются местами (исключая знак). Горизонтальная линия на рис. 6.5 должна иметь, вообще говоря, наклон под углом 9—л/2, как показано на рис. 6.7, однако Re[/] и Im[x] определены здесь относительно горизонтальной действительной оси. Эти кривые становятся теперь заметно более асимметричными (рис. 6.8); Re{%] проходит через нуль в точке (О] и Im[x] имеет максимум в точ- ниже со7. Из этой диаграммы ста- угол между входным и выходным

сигналами изменяется в зависимости от частоты одинаково для всех 9, за исключением того, что весь диапазон, который всегда равен л, пробегает ряд значений, лежащих между 9 + л/2 и 9—л/2, согласно

уравнению, выведенному из (6.17):

arg х = 64-л/2 —arctgf— V(6.19)

\ О) — ^' /

Эта функция, показанная на рис. 6.9, вместе с уравнением (6.18) полностью определяет форму / (со).

Можно дать физическую интерпретацию диаграммы 6.5, с тем чтобы выявить изменения по фазе и амплитуде в пределах резонансного пика. Для большей простоты рассмотрим специальный случай, когда некая масса расположена .на струне, которая демпфируется вязкой жидкостью. Обращая постановку задачи и спраши-

ВА Ускорение Смещение

'Скорость

°А

tРис. 6 10. Векторные

Е0)диаграммы сил, необ

ходимых для поддер- /\ жания колебаний:

-xL/А а ” мгновенное смеще-

г ние Л и ускорение В для

^свободной колебательной

-*——U* растетсистемы без потерь; б —

направления смещения, 2)скорости и ускорения

для диаграммы а; в, г — см. по тексту

гая, какая сила потребуется для того, чтобы обеспечить определенную амплитуду движения (вместо вопроса — какая амплитуда 6}дет наблюдаться в результате действия определенной силы), мы можем разложить возбуждающую силу на составные части, каждая из которых реализует отдельную функцию. Рассмотрим, во- первых, недемпфированную колебательную систему, которая, будучи представлена самой себе, должна колебаться с постоянной амплитудой и собственной частотой о)О= (рМ)1/2. Этот случай иллюстрирует диаграмма колебаний на рис. 6.10, а; вектор А, вращающийся с угловой скоростью о)0> изображает перемещение массы, при этом сила, необходимая для ускорения данной массы, обеспечивается пружиной (она показана с помощью противоположно направленного вектора В).

Однако если мы хотим, чтобы вектор А вращался с другой скоростью, которая соответствует частоте колебаний массы, отличающейся от ее собственной частоты, то силу действия пружины следует дополнить еще одной совпадающей по фазе силой, которая увеличивает вектор А, когда требуется увеличить частоту (вектор С на рис. 1.10, в). Если теперь ввести вязкое демпфирование, то на массу начнет действовать еще одна сила, направленная противоположно скорости (вектор D). Чтобы обеспечить постоянную амплитуду колебаний, эта сила должна быть уравновешена силой внешнего воздействия, которая должна содержать компоненту Е =—D. Тогда требуемая внешняя сила равна векторной сумме силы С,

изменяющей частоту и меняющейся по модулю при прохождении через резонанс, и силы Е, практически не зависящей от частоты вблизи узкого резонанса. Окончательный результат показан на рис. 6.10, г, где конец результирующего вектора силы F движется вдоль горизонтачьной линии и сила, которая требуется для того, чтобы обеспечить минимум данной амплитуды в резонансе, изобра жается вектором N. В конце низкочастотного участка вектор F располагается параллельно смещению А, необходимому для растягивания пружины. В конце высокочастотного участка вектор F располагается параллельно ускорению, которое требуется сообщить пружине, поскольку сама пружина не может обеспечить столь быстрого колебания. Отсюда виано, что, исходя только из чисто физических соображении, мы смогли получить форму знаменателя в уравнении (6.17), т. е. линии Л V на рис. 6.5.

Полезно также рассмотреть и энергетический баланс. Силу С, дополняющую действие пружины, можно рассматривать как силу,, дающую вклад в потенциальную энергию колебательной системы, которая превращается два раза за один цикл в кинетическую энергию. Таким образом, С обусловливает мощность колебаний, описываемую (см. § 3.6) первым членом в (3.10). С другой стороны, сила Е, совпадающая по фазе со скоростью, все время добавляет энергию в колебательную систему, где эта энергия рассеивается в виде теплоты. Процесс рассеивания описывается вторым слагаемым (3.10) или уравнением (3.13). С этой точки зрения можно легко увидеть, как поведет себя резонансная система с небольшим демпфированием в условиях существования нелинейного темпфирования, например под действием сил зрения. Как и раньше, сила С необходима здесь для того, чтобы поддерживать строго синусоидальное движение, однако демпфирующая сила теперь уже не представляется действительной частью вращающегося вектора постоянной длины. Такая внешняя сила Е, которая передает мощность, достаточную для обеспечения среднего уровня диссипации, компенсирует среднюю силу сопротивления среды, однако она слишком велика в одних фазах колебания и слишком мала — в других. При этом имеется в виду, что если мы возбуждаем колебательную систему с помощью строго синусоидальной силы, то эта система не может совершать строго синусоидальных колебаний, потому что неском- пенсированпая часть силы приводит к колебательному движению, происходящему па некоторой гармонике основной частоты. Однако- в системе с небольшим демпфированием силы сопротивления среды малы по сравнению с силой натяжения пружины, так что нс- скомпенсированная часть нс сможет возбуждать колебания большой амплитуды, особенно на частоте, столь далекой от собственного резонанса. Поэтому в хорошем приближении мы можем пренебречь генерацией гармоник и будем предполагать, что синусоидальные колебания требуют синусоидальных сил, которые определяются сдвигом частоты относительно резонанса и средней диссипацией.

Рассмотрим более детально конкретный пример, когда сила трения / постоянна (см. § 2.5). В этом случае при амплитуде, равной

5о. работа за один цикл составит 4/д0. Используя постоянную силы ВЯЗКОГО сопротивления Л, МЫ получим, ЧТО 4/£0 = ЛЛ(Оо^02. Поэтому зависимость X от амплитуды имеет вид 4/7(л(о0^о) —это величина, обратно пропорциональная £0. При изменении £0 соответствующим образом изменяется сила С, она находится в фазе с ускорением, а сила Е останется постоянной. Сила F определяется теперь не выражением, пригодным для случая вязкого затухания, т. е.

.р9=^пр.^^у^где = г/2\рп,

а следующим уравнением:

52 = 4^2^2 ^ _ ^2^ 4у/( л2^2и)2 Д)].

Таким образом, в случае действия сил трения отклик на действие силы, имеющей постоянную амплитуду, но изменяющуюся частоту, подобен отклику недемпфированной колебательной системы:

^G=(/?2 — 16/2^2)V2/(2/;z(D0(a)0 — со)).

Единственным существенным отличием является то, что сила F должна быть достаточно большой для преодоления трения. Не следует также забывать, что если F всего лишь немного превышает требуемое для этой цели значение, то предположение о слабом демпфировании вряд ли будет выполнимо. Полезно сравнить этот приближенный результат, полученный столь простым путем, с результатом точного анализа, т. е. гораздо более сложного расчета. Точный результат

е* Ге-9 Дф2-^)2 /^хул

/7?{(0q— 0)2) I(О4\2(0

сводится к приближенному решению, когда значение со близко к (о0.

Колебательные системы с фрикционным демпфированием встречаются не часто, однако аэродинамическое демпфирование является определенно нелинейным во многих реальных системах, в частности в случае колеблющихся струн. При низких скоростях демпфирующая сила является вязкой и пропорциональна скорости, а при высоких скоростях она изменяется как квадрат скорости. В последнем случае мы имеем

~/72_.2((О_(<)о)2^^

где р = const. Амплитуда в резонансе изменяется как Е1/2, а вдали от резонанса (где она контролируется скорее постоянной пружины или инерцией, чем потерями) —как F. С увеличением силы внешнего воздействия эффективное значение Q в резонансе уменьшается.

РЕЗОНАНСНЫЕ МАКСИМУМЫ С НИЗКОИ ДОБРОТНОСТЬЮ

Если слагаемое, связанное с демпфированием, не мало, то приближение (6.17) становится непригодным и необходимо использовать полный резонансный знаменатель У, в который входят обе соб-

ственные частоты Qi и Q2. Чтобы привлечь внимание к единственному пункту, который был опущен в случае приближения с высокой добротностью Q, следует заметить, что отклик на нулевой частоте определяется в равной степени частотами Qi и П2, которые располагаются на равных расстояниях от начала координат. Истинный отклик оказывается в два раза больше, чем величина, полученная в приближении с высокой добротностью Q. Мы рассмотрим только два специальных случая резонансов с низкой добротностью Q, когда отклик по смешению Хсм(ы) задается уравнением (6.2), а его «производная по времени» Хск(ьз), т. е. отклик по скорости или току, — соотношением (6.8). С помощью (6.3) эти два отклика выражаются через отклик по смещению на нулевой частоте Хсм(О), который мы запишем как хо*

Zc М = — woXoAw2 — шо + 2 *(6-2°)

Zck = — i "Zcm = i “’«’oZoA0’2 — “o+2 *«’"«’)•(6.21)

Отклик по мощности приобретают следующий вид:

Рем = ХсмХ^ = ^zg/[(‘«2 - ^)2 + 4«>"М,(6.22)

Рек = ХскХ^’ЧХ^^М)2 + 4«>"2и)2].(6.23)

Эти выражения для отклика по мощности, хотя и выведенные для входного сигнала, представленного в комплексной форме, справедливы и тогда, когда этот сигнал выражается через действительные числа. Независимо от того, выражен ли входной сигнал как aoe-itoi или а0 cos <о/, а отклик — как а^-’^+Ф) или а\ со5((о/+Ф), Рем и Рск представляются в виде (^i/ao)2.

Максимум Рем имеет место на частоте (оСм (амплитудный резонанс), определяемой по формуле ^см = ^о — 2^"2, которая преобразуется с помощью уравнения (2.27) к следующему виду:

«’см =~ юо (1 - VQ4 • •.(6.24)

С другой стороны, резонанс скоростей, т. е. точка, в которой Рск достигает максимума, наблюдается всегда при собственной частоте соо недемпфированных колебаний независимо от того, насколько мала может быть Q. Причину этого явления можно обнаружить из анализа последовательной резонансной цепи (см. рис. 6.1); амплитуда импеданса минимальна, когда L и С при <о0 сокращаются и остается только R. Из уравнения (6.24) видно, что расстояние между частотами амплитудного резонанса и резонанса скоростей обычно намного меньше ширины резонанса wo/Q, и в отдельных редких случаях целесообразно проводить различие между ними.

Подстановка соСм вместо со в (6.22) дает максимальное значение Р см«

(^см)макс = Х§(Р+1А4<Ж(6.25)

По сравнению с откликом па постоянную действующую силу смещение увеличивается на множитель, почти равный Q. Аналогичным образом подстановка соо вместо о» в (6.2) дает пиковый отклик по скорости, который оказывается почти пропорциональным Q (а не Q, умноженному на отклик при нулевой частоте, поскольку Хск(0)->0):

(^скХмакс = UJoXo (Q2 + ’А)-

Разумеется, именно это свойство делает настраиваемые цепи полезными в радиоприемниках и других устройствах. Такие цепи чувствительны в узкой полосе частот, они ведут себя так, как будто индуктивность и емкость, которые в нормальном режиме ограничивают высокочастотный ток, полностью отсутствуют. Сами по себе эти цепи не обладают усилительной способностью — они просто предотвращают блокировку сигнала слишком большим импедансом.

Этот вопрос станет яснее, если рассмотреть, как происходит генерация осциллирующего магнитного поля при пропускании переменного тока через соленоид, представленный в виде последовательно включенных L и R. На частоте электрической сети источник сравнительно низкого напряжения способен обеспечить очень большой ток, поскольку сопротивление генератора и фидера можно сделать очень малым. В этом случае удобно подключить последовательно с обмоткой конденсатор, превратив соленоид в последовательную' резонансную цепь (здесь мы пренебрегаем экономическими соображениями— на частоте сети конденсатор фактически может оказаться слишком большим и дорогим, а потому непрактичным). Импеданс обмотки уменьшится с )wL-\-R до R, а ток увеличится в (1 A-m?L?/R2) 1/2 раз, что приблизительно равно Q. Напряжение на обмотке соответственно возрастает и станет примерно в Q раз больше, чем приложенное напряжение. Такое же напряжение, но с противоположной фазой, возникает между выводами конденсатора, который должен быть достаточно прочным, чтобы выдержать это напряжение.

С другой стороны, в качестве источника можно использовать мощный генератор, который обеспечивает высокое напряжение, на имеет значительное выходное сопротивление, так что даже в режиме короткого замыкания через него протекает небольшой ток. В этом случае соленоид должен иметь много витков с соответствующими большими значениями L и R и рабочий режим можна оптимизировать, используя параллельную резонансную цепь, показанную на рис. 6.3. В резонансе импеданс является резистивным и равен L/(CR), т. е. он примерно в Q2 раз больше, чем R. Генератор обеспечивает очень малый ток, когда Q велико, поэтому его собственное сопротивление играет меньшую роль. Однако, если в резонансной цепи протекает ток t, напряжение между ее выводами будет равно Q2Ri. Это напряжение создает в обмотке ток Q2Rij ^RA-^toL), который приблизительно в Q раз больше, чем входной ток от генератора. Если управляющим элементом является

внутреннее сопротивление генератора, ограничивающее ток на его выходе, то параллельная резопансая цепь улучшит режим в Q раз; это значение может превышать 100 для медной обмотки при комнатной температуре.

Необходимо, наконец, отметить следующее. Когда потери в резонансной системе уменьшены настолько, что пик сужается, то это сужение в большей степени обусловлено увеличением ампли-

Рис. 6 11 Значения /см и Хек для колебательной системы, добротность которой Q меняется в зависимости от демпфирующего члена Приведены кривые для трех значений Q: 0,87; 3; 10

зуды пика, чем обрезанием крыльев резонансной кривой. Этот факт очевиден из уравнений (6.22) и (6.23), знаменатели которых можно уменьшить только снижая со". В качестве иллюстрации на рис. 6.11 изображены резонансные пики для одной и той же системы, но при различных значениях добротности Q, которая изменяется в зависимости от потерь. На этом рисунке показано также, почему разность между откликами по смещению на нулевой и бесконечной частотах равна хс и определяется силовой константой (или ее эквивалентом), но ни в коем случае не потерями. Это обстоятельство связано с теорией оптических свойств материалов (в особенности с аномальной дисперсией), которую мы будем рассматривать в § 7.8.

РЕАКЦИЯ В ПЕРЕХОДНОМ РЕЖИМЕ

При построении теории колебательных систем с внешним возбуждением мы сознательно уклонялись от решения уравнения движения и будем и дальше действовать в этом же духе, поскольку, как мы уже подробно показывали ранее, импульсный отклик содержит полное решение. Тем не менее было бы желательно привести также и формальное решение, потому что часто оно обеспечивает наи- 158

более тщательный анализ проблемы. Формулы (6.14) и (6.15) представляют собой типичные уравнения движения для резонансных систем с внешним возбуждением под действием синусоидальных сил, и в качестве обобщенного для всех таких систем мы можем взять уравнение вида

^ + AH«)o; = /oe-ia,<.(6.26)

Стандартная теорема формулируется следующим образом: общее решение уравнения этого типа, в котором левая часть является линейной функцией g, а правая — функцией одного лишь времени при отсутствующем g, представляет собой сумму любого решения уравнения (6.26) и общего решения уравнения, образованного посредством замены правой части на нуль, т. е. уравнения (2.23). Как удовлетворить этим требованиям, мы знаем из предыдущего анализа. Будем искать решение уравнения (6.26), заменив £ на Ае~Х(М. Мы получим стационарное решение, аналогичное (6.5):

£ = /0e-i<o7( — о)2 —iu)^-j-co2)= _,

Это решение необходимо дополнить общим решением уравнения (2.23), которое можно записать как сумму двух экспонент:

£:= Be-i L)^4-Ce^i<?2'= е~1/2^7^е-1ш,/4~ С*6'^) „

где, как и в (2.24), в случае подкритического затухания, о/ = = (соо2—1/4^) i/2« Общее решение уравнения (6.26) принимает следующий вид:

£ = -/oe-^Vr + e-v^^^e-’^^-j-Ce to'f). (6.27)

Если начало отсчета t выбрано так, что действующая сила равна /о cos со/, ю действительная часть (6.27) является решением, имеющим глубокий физический смысл.

Первое слагаемое в (6.27) представляет собой стационарное решение, а второе описывает затухающий переходный процесс, который возникает, когда осциллирующая сила приложена в начальный момент или же она изменяется по модулю. Сосуществование стационарных и переходных осцилляций необходимо рассматривать как следствие линейности системы, которая аддитивно реагирует на две приложенные силы так, как будто каждая из них действует независимо. В конкретном примере одна из сил может быть равна нулю и переходный режим представляет собой форму свободной осцилляции, т. е. реакцию на нулевую силу. Частота свободной осцилляции со' в переходном режиме обычно не равна приложенной частоте io, поэтому под совместным воздействием обоих слагаемых возникают биения и происходит периодическая модуляция выходного сигнала, которая, однако, становится менее выраженной по мере затухания переходного процесса и в конце концов вырождается в стационарное вынужденное колебание.

Пусть сила /0 cos mt в момент времени / = 0 прикладывается к колебательной системе, находящейся в состоянии покоя (£(0)=О

и g(0)-^0 сразу же после того, как приложена сила). Нам нужно найти g— действительное и удовлетворяющее этим начальным условиям. Разложив все экспоненты на их тригонометрические компоненты и уточнив постоянные интегрирования, мы получим следующее общее выражение для действительных значений g:

(<Х)2 — ton) COS со/ — со^ sint.

;= — /p^-Va*^ coso)7-j-ye~ /aft/sin ^t.

* (0)2 — 0)2)2 H- 0)2^2

Теперь P и у легко определить из условия, что g и g равны нулю в начальный момент. Окончательный результат имеет следующий вид:

(о)2 — coq) cos uV — wk sin wt^ /о9I

(to 2 — ^g)^ 4“ 0)2^2

9-}- 0)f..

(w2 — ш^) COS to't — к Sin to't

+ /oe-’^«—(6.28)

(to2 — tog) 2 —}- 0)2^2

ИЛИ

£ = — ;0[cos(o)/4-e) —e1^ COS (^'t + s)],(6.29)

здесь tge = (o6/((o2—щ02) и g0=/0/[ (co2—coo2) + co2^2] v2 являются приближениями, которые справедливы для умеренно острого пика, воз- бу?кденного на частоте вблизи резонанса, где V2 (со2 + о02) /coz можно заменить на со. При увеличении со до соо значение е изменяется от л до 0 (g0 следует брать при этом положительным).

Форма выражения (6.29) отчетливо проявляется в записях смещения очень слабо затухающего маятника, возбужденного постоянной осциллирующей силой (рис. 6.12). Если со и со' отличаются значительно, оба слагаемых дают быстрые биения и результирующее колебание имеет амплитуду, лежащую между сооЦ+е-1/2^) и щ0(1—е-1№). Однако только в случае, показанном на рис. 6.12, г, затухание становится вполне очевидным. По мере приближения к резонансу огибающие сходятся с одинаковой скоростью, так что биения становятся все менее заметными. Точно в резонансе, когда о) = <оЛ. амплитуд! следует за нижней огибающей, стремясь по экспоненте к ее значению в стационарном режиме. В этих условиях "tge = 4Q, так что для острого резонанса е~ 72л, и процесс нарастания хорошо аппроксимируется формулой

$= ^° -(1—е-1/2^) sinto0/^ -Zp— sin е)0/,(6.30)

UJq&2u)q

Рис 6 12 Запись смещения жесткого связанного маятника под действием осциллирующей силы:

а — на некотором расстоянии от резонанса, б—вблизи резонанса, в—в резонансе Для каждой диаграммы амплитуда силы одинакова, заметьте, что начальная скорость нарастания в каждом случае одна и та же В случае г маятник демпфирован наиболее сильно масляным амортизатором — так удобнее наблюдать затухание переходного сигнала и приближение к станционарному состоянию, шкала здесь отличается от шкал других рисунков

•у VdeuuHU 9

когда xhkt<C\. Сначала амплитуда растет как ^W/coo независимо от к. Затухание не влияет на начальную стадию возрастания резонансной амплитуды, а лишь определяет, сколько времени продолжается это возрастание. Если затухание отсутствует, то амплитуда в резонансе увеличивается линейно без ограничения. Вне резонанса амплитуда осциллирует в синусоидальном режиме, возвращаясь периодически в нуль, так как когда в (6.29) ^ = 0, то

5 = 2 £0 sin <» t sin А/, (6.31) где <ю> = 1/2(о)т(о/) иА = 1/2|о)/—со|. Это выражение представляет собой не что иное, как биение двух колебаний с одинаковыми амплитудами.

Все эти результаты, разумеется, можно получить из импульсного отклика. Это можно проследить для особенно интересного случая очень слабо затухающей системы, если использовать при этом те же приближения, что и при выводе (6.17). Пусть сила Re[/oe-"if0t], где fo — комплексная величина, приложена в момент /=0 и пусть функция отклика равна Re [ае~12Д. Тогда (см. § 5.3), согласно (5.5), в момент времени t отклик примет следующий вид:

5 (/)=— J (/ое-1ш^ +/*eJ (ае-121 е12X1 ^-^)) d/0>

где пределы интегрирования определяются началом возбуждения и равенством нулю A(Z) при КО. В таком приближении слагаемыми, быстро осциллирующими по си-г Qi и со—Qi v, можно пренебречь. Это приведет к следующему результату:

$ (О ^ i/2 Re [i /о» (е-‘ш< — е~‘r-V)/(w — й^].

В частности, в течение короткого времени после начала процесса, пока (со—Qi)Z< 1,

ексо-^)^ i^i^ —Q^z1 и UO~72Re[/o^e-!^], (6.32) что эквивалентно результату, полученному в (6.30), когда а равно своему точному значению i/coo.

Рассмотрим теперь проблему переходного режима с точки зрения диаграммы колебаний. Для этого построим методом векторного сложения результирующий вектор всех импульсных откликов, возбуждаемых путем последовательного приращения приложенной силы ^КК Во-первых, мы пренебрежем потерями в резонаторе, так что решение уравнения

;'4-о)%=/0е-,ю<

должно состоять из приращений, причем каждое из них представляет собой такое колебание, которое было бы возбуждено в покоящейся системе, если бы она испытала действие приложенной силы

в течение некоторого единичного интервала времени 6Zq. Поэтому мы ищем решение уравнения

для Z>/0 при £ = £^-0 непосредственно перед /0- Интегрируя по временному интервалу 6/0, мы видим, что £ остается равным нулю, в то время как ^ увеличивается скачком до /о6"-1^0^* Общая форма последующих колебаний дается в виде

^ = Ле-1ш°' + Se‘ ш°7

причем Л и В необходимо выбрать так, чтобы удовлетворялись начальные условия. Тогда

^^ i ^05/0 Jgl (со0—со) /q — i wq! g i (coq + o)) ^oЧ-* ^o^j.

2co0

Первое слагаемое, содержащее в своей амплитуде ^^0-^1<>^ медленно изменяет фазу в зависимости от Zo, если со и <о0 очень близки; поэтому последующие приращения могут накапливаться, образуя значительный по модулю результирующий вектор. В противоположность этому второе слагаемое определяется выражением е-к^о-^'о и является быстро осциллирующим. При возбуждении резонанса второе слагаемое никогда не бывает слишком большим и им можно пренебречь по сравнению с первым. Поэтому мы можем записать

§ £ f^^ gi (coq—со) t0A-x/^ I к g—i co0^2(O0

Это выражение представляется на диаграмме колебаний элементом в виде короткой линии, длина которой

^ = 72/о^о/мо(6.33)

и которая лежит под углом ф к действительной оси, причем

? = (шо — ш) zo + V2 л.(6.34)

Как обычно, общее вращение кривой, представленное множителем e-ioV, Прц построении диаграмм колебаний не учитывается.

Разные интервалы 6/0 в различные моменты времени /0 добавляют дополнительные элементы к кривой, форма которой ф(^) определяется параметрически через Zo с помощью уравнений (6.33) и (6.34). В данном случае кривая имеет форму окружности, поскольку

d<p/ds = 2u)0(a)0 — ю)//0

и равна константе; йф/ds—это кривизна, обратное значение которой /о/(2юо(соо—со)) равно радиусу окружности.

С течением времени начиная с точки А (рис. 6.13, а) длина дуги постепенно увеличивается в направлении против часовой стрел-

ки, если со<coo- В результате в соответствии с (G.34) при /о = О первый вектор имеет фазу л/2. Результирующий вектор АВ повторяет поведение амплитуды, описываемое соотношением (G.31), т. е. выражением 2^о sin А?, максимальное значение которого равно 2g0 = =/о/(coo (coo —со)), если coo I ю заменено на 2ооо. Это как раз и есть диаметр окружности. Промежуток времени между двумя последовательными нулями л/А представляет собой период вращения точки В по окружности 2л/ф.

При наличии затухания мы должны предположить, что каждый векторный элемент обладает начальной длиной, которая определя-

'ется уравнением (6.33) и

а)5)а)5)Рис 6 13 Диаграммы колебаний для резонансной системы с внешним возбуждениемРис 6 13 Диаграммы колебаний для резонансной системы с внешним возбуждениемуменьшается экспоненциально с течением времени. Полученная при этом диаграмма колебаний имеет вид логарифмической спирали. Например, на рис. 6.13, б показано, как могла бы выглядеть диаграмма после того, как точка В совершит 2,5 оборота, хотя после большого числа оборотов начало кривой попадает в начало координат и с этого момента результирующая амплитуда АВ остает

а)5)

а)5)

Рис 6 13 Диаграммы колебаний для резонансной системы с внешним возбуждением

Рис 6 13 Диаграммы колебаний для резонансной системы с внешним возбуждением

ся постоянной по мере того, как точка В движется по окружности. Такие диаграммы дают за

тухающую картину биений, обусловленную переходным процессом, их можно строить без особого труда, чтобы получить правильный результат (6.28). Однако только истинный энтузиаст в области диаграмм колебаний может заявить, что этот метод является бо

лее простым, чем аналитическое решение соответствующего уравнения. С другой стороны, если суть проблемы в том, что аналитическое решение становится слишком трудоемким, диаграмма колебаний может доказать свою ценность, представляя в наглядной форме наиболее важные особенности решения.

Для иллюстрации этой мысли рассмотрим отклик резонансной системы на плавно меняющийся тон, например па осциллирующую силу с постоянной амплитудой, но постепенно изменяющейся частотой, которую можно выразить в следующем виде:

f =^^-Ы’ДР^ + сооО,

Фаза приложенной силы равна ^гВ^ + сооЛ Если мгновенную частоту определить как скорость изменения фазы, то в этом случае она равна р^+соо, т. е. эта частота возрастает со временем линейно и совпадает с собственной частотой системы при / = 0. Если эта сила приложена к резонансной системе без потерь, то диаграмма колебаний уже не является круговой, потому что, хотя уравнение (6.33) и остается справедливым (поскольку амплитуда постоянна), сла-

гаемое (оо/ в (6.34)гаемое (оо/ в (6.34)теперь нужно заменить натеперь нужно заменить на72 Р^о2 п-cWo- В ре72 Р^о2 п-cWo- В результате имеемзультате имеем? = — Д^о + Д^-

гаемое (оо/ в (6.34)

гаемое (оо/ в (6.34)

теперь нужно заменить на

теперь нужно заменить на

72 Р^о2 п-cWo- В ре

72 Р^о2 п-cWo- В ре

зультате имеем

зультате имеем

Отсюда следует, что

(6.36)(6.36)d®/ds = ^0 = 2o)03 //0.

(6.36)

(6.36)

Теперь диаграмма колебаний изображается линией, имеющей кривизну, пропорциональную расстоянию, которое измерено вдоль нее. При прохождении через начало координат (s = 0) кривизна становится равной нулю, поскольку она изменяет знак, — здесь возникает точка перегиба. Если продолжать движение вдоль кривой, постепенное нарастание кривизны приведет к тому, что кривая

(6.35)(6.35)Рис 6 14 Изменение во времени амплитуды отклика на плавно меняющуюся силу для резонатора, свободного от потерь График проходит через резонансную частоту, когда / = 0Рис 6 14 Изменение во времени амплитуды отклика на плавно меняющуюся силу для резонатора, свободного от потерь График проходит через резонансную частоту, когда / = 0начнет завиваться в спираль вплоть до предельной точки на каждом конце. Фактически уравнение (6.36) определяет спираль Корню, которую мы уже встречали (см. рис. 4.14). Последующее обсуждение будет относиться к диаграмме такого типа (см. также § 4.4).

(6.35)

(6.35)

Рис 6 14 Изменение во времени амплитуды отклика на плавно меняющуюся силу для резонатора, свободного от потерь График проходит через резонансную частоту, когда / = 0

Рис 6 14 Изменение во времени амплитуды отклика на плавно меняющуюся силу для резонатора, свободного от потерь График проходит через резонансную частоту, когда / = 0

координат достигается,координат достигается,В этом примере со спиралью начало

координат достигается,

координат достигается,

когда / = 0, и все части слева от начала координат обеспечиваются за счет более ранних откликов на плавно меняющийся тон. Поэто

му амплитуда отклика равна длине вектора от точки Р до некоторой точки на спирали, а эта точка движется с постоянной скоростью вдоль спирали по направлению к Q. Вначале амплитуда нарастает плавно, а фаза изменяется довольно быстро. Это отражает тот факт, что мгновенная частота отклика не равна соо; в некоторой точке на спирали вблизи Р касательная всегда почти нормальна к вектору, проведенному из Р, поэтому фаза отклика изменяется с той же самой скоростью, что и фаза приложенной силы. Таким образом, перед тем как достшпуть резонанса, система начнет повторять колебания приложенной силы, однако с малой амплитудой и с отставанием по фазе на л/2. Когда плавно меняющийся тон

проходит через резонанс, отклик резко возрастает и после этого осциллирует по амплитуде и фазе, однако теперь он остается близким по фазе к предельной фазе, изображаемой как PQ, т. е. система колеблется па своей собственной частоте и последующее возбуждение вне резонанса может создавать только небольшие дополнительные осцилляции, которые вызывают биение частоты основного колебания. Изменение амплитуды во времени показано на рис. 6.14.

Значение предельной амплитуды такое же, как было бы в случае, когда сила ioe""vto°li настроенная в резонанс, приложена в тече-

ние времени, необходимого для того, чтобы точка продвинулась по спирали от R и S, т. е. чтобы плавно меняющийся тон сдвинулся по фазе относительно свободной колебательной системы от л/4 до нуля и от нуля назад к л/4. Так как фазовая погрешность равна h^^t2» такое время составляет (2л/|3)1/2. За это время, согласно (6.30), амплитуда увеличится от нуля до /оСАл/р) 1/2/сос. Это и есть та амплитуда, при которой возбуждается резонатор, свободный от потерь.

Если резонатор имеет потери, то левая часть спирали стягивается по мере продвижения точки В вдоль кривой и конечная точка Л следует за В на соответствующем расстоянии. Математические выкладки содержат интегралы Френеля с комплексными аргументами, которые доступны в форме таблиц, но вряд ли проясняют суть дела. В данном случае физический характер протекающих процессов вполне очевиден и без утомительной работы с числами. Если плавно меняющийся тон сдвигает частоту достаточно быстро для того, чтобы пройти через среднюю область 7?S за время, гораздо меньшее времени затухания, то нарастание процесса протекает почти так же, как это изображено на рис. 6.14. После резонанса отклик осциллирует по амплитуде, постепенно затухающей с собственным временем затухания резонатора. С другой стороны, если плавное изменение тона происходит настолько медленно, что на каждой частоте времени достаточно для затухания переходных процессов, то амплитуда изменяется, следуя резонасной кривой, изображенной на рис. 6.11. Числовой расчет может оказаться полезным только между этими предельными случаями, однако даже в таких условиях можно, по всей вероятности, узнать больше и быстрее из набросков диаграмм колебаний, чем из длительных поисков в книгах и таблицах.

После проведенного нами обсуждения переходных процессов может создаться впечатление, что в импульсном отклике содержится больше информации, чем, скажем, в стационарном отклике на осциллирующее возмущение. На самом же деле, как ясно следует (см. § 5.3) из (5.3) и (5.4), эти отклики эквивалентны. Стационарный отклик не является ни в коем случае приближением, которое нужно корректировать за счет добавления переходного процесса. Возьмем конкретный пример, когда сигнал foe-ia)r включается в момент ^ = 0, н тот факт, чго он не существовал в течение всего рассматриваемого промежутка времени, неизбежно означает, что этот сигнал не является чистой синусоидой, а имеет определенный узкий Фурье-спектр. Каждая Фурье-компонента, скажем, на частоте coj является действительно чистой и возбуждает отклик, значение которого определяется функцией x(coi), т. е. синусоидальной податливостью на той же частоте. После этого кропотливые вычисления позволяют суммировать отклики по всему диапазону спектра и показать, что результирующий отклик является итогом постепенного нарастания вплоть до предельного стационарного режима колебаний. Так как Фурье-образ приложенного сигнала является единственным, если сигнал длится до бесконечности и амплитуда его постоянна, то мы можем предположить, что он принимает следующий 166

вид:

go(t) = /oe-<‘lto+^t,

при Z>0. Здесь X мало и в конце концов может даже обратиться в нуль. Тогда из (4.16) следует, что

f= —-— ( е—ш1)+х]1 d / =—.

2л .)2л [1^ — 0)!) +X]

о

Это соотношение можно применить к преобразователю с податливостью x(coi). В результате выходным сигналом будет Фурье-образ произведения х(^1)/(ом), т. е.

2л J i (ю — wj) + л

Для системы, процессы в которой определяются уравнением (6.26), x(o)i) принимает вид —1/[(coi—Qi) (coi—Q2)] в соответствии с (6.2) и (6.4), когда m=l; Qi^co'—ico", Q2 = —о/—io/'. Тогда

, (/)_ -i/o Г

12л J (о)! - Й) (оЦ - ЙО (Ш1 - й2)’

где Q-=(o—iX. Этот интеграл легче всего оценить путем интегрирования по контуру, проходящему вдоль действительной оси и возвращающемуся через полуокружность на бесконечности. Существуют три простых полюса при Q, Qj и Q2, лежащие ниже действительной оси. При Z<0 полуокружность должна лежать в положительной полуплоскости, чтобы избежать расходимости e-itiJ^ при —ioo. Полуокружность не дает никакого вклада в интеграл, и подынтегральное выражение регулярно внутри контура. Следовательно, giZ = O для всех отрицательных t. С другой стороны, для положительных t контур должен лежать в отрицательной полуплоскости и включать три полюса, вклады которых в интеграл дают ненулевое значение:

81 (А=-/о81 (А=-/оp-i2^p-i2^1

81 (А=-/о

81 (А=-/о

(Q_Q1)(Q_Q2)1(О, _ й) (2j _ й2)* (й2_й) (22-2])

Для системы с высокой добротностью Q, возбужденной вблизи резонанса, разность Q—Qi намного меньше, чем Q—Q2 или Qi—Q2, поэтому без особой ошибки последним членом можно пренебречь. Когда Х->0, то Q становится равной со, т. е. частоте внешнего воздействия. Первое слагаемое представляет собой в этом случае стационарную реакцию в том же самом виде, что и в (6.5); второе соответствует переходному процессу и имеет частоты и декремент свободных колебаний, а также амплитуду, которые приводят к уничтожению первого слагаемого (с помощью третьего слагаемого, ко-

торым мы пренебрегли) при / = 0. Таким образом, мы видим, что одинаковый результат можно получить тремя способами: с помощью данного метода, с применением импульсного отклика и, наконец, посредством прямого решения дифференциального уравнения. По-другому, разумеется, и быть не могло.

Перед тем как покончить с вопросом о поведении системы в переходном режиме, следует сделать одно небольшое замечание. В последней главе при обсуждении идеи причинности мы отметили, что резонансная система, возбужденная затухающей осциллирующей силой, частота которой совпадает с одной из собственных (комплексных) частот Q, должна иметь бесконечную амплитуду отклика (см. § 5.4). На любой другой частоте (включая более быстро затухающие колебания) стационарный отклик, выраженный через х((о), конечен. Поэтому можно было бы предположить, что х(м) обеспечивает удовлетворительное описание предельного стационарного отклика по всем диапазонам частот, за исключением резонансных. В некотором смысле это заключение справедливо, елнако оно не имеет никакого значения до тех пор, пока не достигнуто стационарное состояние. В частности х(о) Дает совершенно неадекватное описание поведения системы при всех со, отрицательная мнимая часть которых превышает соответствующую часть Q. Это связано с тем, что если мы представим себе осциллирующую силу, включенную в некоторый момент времени и возбуждающую переходные процессы, а также затухающий «стационарный» отклик, который выражен через х(<°)> то переходные процессы затухают менее быстро, чем стационарный отклик, когда 1ш[—ю] > >Im[—Q], Чем дольше мы б)дем ждать, тем дальше мы будем удаляться от стационарного состояния — поведение системы, в конце концов, зависит от того, каким именно способом была впервые включена сила и возбуждены затем переходные процессы. Пренебрежение переходными режимами (к чему физики имеют склонность, интересуясь часто только стационарным откликом) может, очевидно, привести в этой ситуации к полностью ошибочным заключениям. Однако это обстоятельство не имеет отношения к применимости соотношений Крамерса— Кронига (см. § 5.4). Независимо от того факта, что они представляют собой математическую теорему и выполняются как таковые, даже если они и не применяются в какой-либо физической задаче, соотношения Крамерса — Кронига связаны с поведением х(0)) только в такой области изменения о, в которой переходными процессами можно пренебречь, если мы готовы подождать достаточно долго. Эти соотношения не только математически обоснованы, но и полезны для физических исследований.

ОТКЛИК РЕЗОНАНСНОЙ СИСТЕМЫ НА ШУМ

Пусть последовательная резонансная цепь с высокой добротностью Q возбуждается флуктуирующей в случайном режиме э. д. с., источник которой имеет пренебрежимо малое сопротивление, и

пусть флуктуации возникают с частотой, значительно превышающей резонансную. Тогда, как уже говорилось в гл. 4 (см. § 4.5), мы можем заменить входной сигнал случайной последовательностью близко расположенных импульсов, которые можно взять равными, но имеющими одинаковую вероятность быть положительными или отрицательными, когда, по предположению, средняя э. д. с. становится равной нулю. Преимущество работы с импульсами заключается в том, что отклик системы нам уже известен. Каждый импульс возбуждает затухающее колебание, и случайный характер их появления на входе позволяет выразить средний эффект импульсной последовательности через сумму интенсивностей этих импульсов. Если каждый импульс имеет амплитуду ±Р = J Vdty где интеграл берется по импульсу, то интенсивность отклика по току через промежуток времени I равна половине квадрата амплитуды осцилляции в (6.7):.

</2> = 1/2 Р2 е-2^7Л2,(6.37)

если со^Сю' и мы пренебрегаем вторым слагаемым. Средняя интенсивность нахотится посредством сложения всех подобных (6.37) вкладов от ранее появившихся на входе импульсов. Пусть среднее число импульсов, появляющихся за единичное время, равно N. Тогда результирующая интенсивность имеет вид

<Р> = f e-2“"z d t = ДД1£_ ,(6.38)

2£2 J2Z.2v ’

0

где те= l/(2o)z/) —время затухания по энергии. Полученное соотношение предполагает, что все импульсы, которые попадают в интервал тР. должны давать вклад при начальной их интенсивности Р2/(2Р2); оставшейся частью пренебрегают.

Разумеется, можно вывести этот же результат, определяя отклик резонансной цепи на Фурье-компоненты источника белого шума и используя функцию отклика по мощности Р(К из (6.23). Она представляет собой соответствующий отклик по току, выраженный через мощность, для последовательной резонансной цепи, восприимчивость которой на нулевой частоте равна емкости, т. е. хо = С. Согласно (4.45) (см. § 4.5), спектральная интенсивность шума от флуктуаций напряжения, обусловленная последовательностью импульсов, определяется как

/ш (напряжение) = Л^Р2/л.

Отклик цепи выражается формулой

ЛДток) = ^Р2/(лРск).

После ее интегрирования по всем положительным частотам по-

лучимлучимO)2o)qC2 d(0O)2o)qC2 d(0NP24C2ЛNP24C2ЛГ x2d x

лучим

лучим

O)2o)qC2 d(0

O)2o)qC2 d(0

NP24C2

Л

NP24C2

Л

J (x2 — 1)2 + e2x2

0

(х2 — 1) + £2х2(х2 — 1) + £2х2х2 d х(х2 — 1)2 + е2Х2х2 d х(х2 — 1)2 + е2Х2dx(х- 1/х)2 + е2dx(х- 1/х)2 + е2(6.39)(6.39)d (V*)(X - 1/х)2 + е2d (V*)(X - 1/х)2 + е2J (г._ 1/г.)2 + е2ОJ (г._ 1/г.)2 + е2О(6.40)(6.40)где e = 2g/7coo. Определим теперь, чему равен интеграл в последнем выражении. Заметим, что

(х2 — 1) + £2х2

(х2 — 1) + £2х2

х2 d х

(х2 — 1)2 + е2Х2

х2 d х

(х2 — 1)2 + е2Х2

dx

(х- 1/х)2 + е2

dx

(х- 1/х)2 + е2

(6.39)

(6.39)

d (V*)

(X - 1/х)2 + е2

d (V*)

(X - 1/х)2 + е2

J (г._ 1/г.)2 + е2

О

J (г._ 1/г.)2 + е2

О

(6.40)

(6.40)

если вместо 1/х записать г. Так как два интеграла в левой части (6.39) и (6.40) в результате оказываются равными, каждый из них равен половине их суммы, т. е.

х2 d х(х2 — 1)2 + £2х2х2 d х(х2 — 1)2 + £2х2d (х — I /х)

х2 d х(х2 — 1)2 + £2х2

х2 d х(х2 — 1)2 + £2х2

(х—1/х)2 4-е2—

(6.41)

С учетом полученного результата, а также принимая во внимание, что те=1/(2(о") и соо2= 1/(LC), имеем

< /2 > V4 NPWpi^ = i/2 NP4jL\

что совпадает с (6.38).

При проверке простого вывода формулы (6.38) мы фактически вышли за его границы, так как во втором случае отсутствует ограничение на резонансные пени с высокой добротностью. Такое ограничение в импульсном подходе, очевидно, было необходимым из-за требования, чтобы все фазы осиллирующего отклика были равновероятно наложены друг на друга в любой момент времени. Однако это неверно, если затухание велико в течение одного цикла, хотя при этом и возбуждается тот же самый среднеквадратичный ток. Естественно, характер отклика при этом будет другим. Для точно настроенной цепи эффективны только те шумовые компоненты, которые очень близки к шо, и отклик является квазисинусоидальным. Однако в случае системы с низким значением Q или передемпфированной системы наличие широкого спектра, дающего вклад в отклик, обес-

лечит уничтожение всех следов периодичности. Тем не менее значение <12> остается тем же самым, и этот результат кажется удивительным, но только на первый взгляд, потому что он полностью подтверждается экспериментом.

Классические эксперименты в этой области были выполнены не с цепями, а с легкими лопатками и катушками гальванометров, которые были подвешены на крутильных проволоках и испытывали броуновское движение в результате случайной бомбардировки газовыми молекулами. Таким образом, здесь мы имеем явную реализацию резонансной системы, которая подвергается воздействию шума в форме последовательности импульсов, поэтому этот специфический случай имеет смысл исследовать более детально. В примере, который мы выбрали, давление газа настолько низкое, что каждая молекула ведет себя независимо при подлете к лопатке из глубины газового объема и отлете от нее после удара. При этом отсутствует коллективное движение газа, которое могло бы дать вклад в силы, воздействующие на лопатку, — здесь имеет место только случайная бомбардировка отдельными молекулами, среднюю скорость которых нетрудно вычислить. Возьмем для удобства плоскую лопатку и рассмотрим элемент площадью сЫ па расстоянии г от оси подвеса (крутильной проволоки). Если в единичном объеме имеется п молекул, доля которых, равная f(y)dy, имеет компоненту скорости, нормальную к поверхности лопатки и лежащую между у и y + dy, то в каждую сторону элемента за единичное время ударяется nuf^d-jdA молекул, при этом предполагается, что они упруго отскакивают от лопатки. Тогда при каждом столкновении лопатке сообщается угловой момент 2myr, который заставляет первоначально покоящуюся лопатку осциллировать с энергией 2т2и2г2(1> где / — момент инерции лопатки. Молекулы, бомбардирующие лопатку в разных точках, сообщают ей дополнительные порции энергии, и среднее приращение энергии <А£> мы можем определить как взвешенное среднее:

<^Е> = 2т2<^> <г2> К1<и>Х (6.42)

в котором <jy3>/O> = ^ ^3/ (^) d v/ j’ vf (у) d у и сред- 6 о

невзвешенное значение у2 выражено с учетом того, что более быстрые молекулы испытывают более частые столкновения с лопаткой. Здесь </2> = [ г2йА'1А -- 1сометрическая характеристика лопатки, А — площадь лопатки (только одной ее стороны).

Используя основные положения, которые привели нас к выводу (6.38), можно утверждать, что средняя колебательная энергия лопатки <Е> равна величине <^Е>, умноженной на число столкновений, происходящих за время те, т. е. в течение собственного времени затухания колебательной энергии лопатки. Поскольку число соударений за единичное время, приходящееся на обе стороны лопатки площадью А, равно n<v>A, мы имеем

<£> = 2/zzzz2<y3> А <г2> те/Л (6.43)

Теперь необходимо вычислить те. Предположим, что колебания затухают только под действием газа. Когда лопатка поворачивается с угловой скоростью *0 = (о, ее передняя сторона испытывает большее число соударений при более высокой относительной скорости;) этот разностный эффект приводит к появлению замедляющей силы! Элемент 6Л, движущийся со скоростью гм, испытывает 72(^ + гсо) XI Х/(у)6?6Л ударов по лицевой поверхности, каждый из которых сообщает угловой момент Чт^и + гсо)г. Для тыльной стороны ситуация аналогична, но с другим знаком по г. Поэтому полный угловой момент, сообщаемый этими молекулами лопатке за единичное время, £d G = 2птг f (v) d d Л [(^ф- ли)2 — (у — г^У\ = %п mr2d>4)/ (^) d v d Л.

Полученное выражение представляет собой тормозящий момент, возникающий под действием столкновений. Интегрируя по всей площади лопатки и всем столкновениям, мы должны помнить, что лопатку бомбардируют только те молекулы, которые движутся по направлению к ней, поэтому если <□> определяется как со/ ~ оо~оо

^vf(v)dv \/Vu)d-u , то ^7(^)6^ = — <зГ>*

о/ L 6 J о2

Следовательно,

N=G;^ = ^nrri<<3j^> A <Е^>-(6.44)

Здесь Л — параметр затухания, который появляется в уравнении свободного движения, когда оно записано в форме /6 + Л0 + ц0 = 0. По аналогии с подобными уравнениями мы видим, что те = //Л. Таким образом, из (6.43) и (6.44) получаем

<Е> = Ч^т <^>1<т)>.(6.45)

Поскольку Ци) является функцией распределения для одной компоненты скорости молекулы,11 , откуда сле

дует, чю m<u3>/<^> ^У^Т и

<Е> = к^Т.(6.46)

Это и есть результат, который вытекает из теормы о равномерном распределении энергии по степеням свободы (см. § 4.4), потому что осциллирующая лопатка имеет две степени свободы с квадратичными выражениями для энергии: Е= Уг/^Ч^/гцО2, а средняя энергия, связанная с каждой степенью свободы, должна составлять V2^bT. Именно доминирующая роль теоремы Больцмана подтверждает необходимость того, что средняя энергия не должна зависеть от степени затухания, как было найдено ранее для <12> в последовательной резонансной цепи, с которой мы начали этот параграф. Кроме того, из этого следует, что формула (6.46) не является каким-то специальным результатом, который применим только в том случае, когда удары молекул о лопатку не зависят друг от друга. На самом деле естественным следствием является то, что

связь между случайно распределенными ударами молекул и вязким сопротивлением среды, обнаруженная в этом детальном расчете, должна в действительности носить более общий характер и применяться, например, к более плотным газам и жидкостям, даже если взаимодействие между молекулами и устраняет элементарное предположение о юм, что случайно распределенные силы возникают только в результате некоррелированных соударений.

Чтобы увидеть, что представляет собой общее соотношение, видоизменим ход наших предыдущих рассуждений. Если угловой момент 6L сообщается покоящейся лопатке импульсно, то при этом передается кинетическая энергия 6Е = V2 (6/J2/A Поэтому мы можем использовать (6.42) и (6.44) для определения среднего значения импульсного крутящею момента:

<^ЬУ> = 4т2 <ч№>1<и> = 2k^TK[N,

где N ~-n<D>A—число ударов но лопатке за единичное время. Примем во внимание соотношение (4.44), которое дает связь между спектральной интенсивностью источника белого шума, с одной стороны, и частотой и величиной случайно распределенных импульсов, моделирующих источник белого шума, — с другой. Поэтому для случайно распределенного крутящего момента, возникающего под действием окружающей среды, мы можем записать

/« (крутящий мoмeнт) = ^ (^)2/л = 2^в7А/л. (6.47)

В таком представлении, как и предполагалось после обсуждения теоремы Больцмана, все детали процесса, связанные с взаимодействием молекул, исчезли, и интенсивность шума теперь определяется только параметром затухания и температурой.

Выражение (6.47) для случайно распределенного крутящего момента можно применить к заторможенной лопатке независимо от ее добротности Q — здесь нет необходимости вдаваться в подробности, которые носят точно такой же характер, как и в нашем анализе последовательной резонансной цепи. Естественно (мы только что убедились, что это так и есть), средняя энергия лопатки всегда равна к^Т. Кроме того, мы знаем, что эту энергию можно разделить на потенциальную и кинетическую энергии, каждая из которых в среднем равна хкквТ. Таким образом,

/ш(угловое смещение) = /ш(крутящий моментЖ^см»

/«(угловая скорость) = /ш(крутящий момент)Х^Ск>

где /ы (крутящий момент) выражается уравнением (6.47), РСм и РСК— уравнениями (6.22) и (6.23), в которых роль хо играет 1/ц. Интегрирование по частоте дает среднеквадратичное угловое смещение и угловую скорость, для чего требуются интегралы, которые мы уже оценили в (6.41). В конце концов, мы получаем полное подтверждение теоремы о равномерном распределении энергии по степеням свободы:

1/2 ц < 92 > = 1/2 f<^> = 1/2 квТ.

Экспериментальное изучение этих проблем впервые было предпринято Герлахом и Капплером [1], использовавшим тонкие посеребренные лопатки из слюды на очень тонких подвесах в виде нитей из кварцевого стекла с последующим фотографированием медленного закручивания подвеса в результате броуновского движения. Несмотря на трудности, связанные с блужданием нулевой точки подвеса, Капплеру удалось измерить среднеквадратичное угловое

Рис. 6.15. Записи броуновского движения катушки гальванометра [2] 5

а — катушка короткозамкнута и сильно передемпфирована; б — катушка разомкнута и ледодемпфирована; в — катушка с критическим демпфированием. Эти кривые можно сравнить с рис. 4 13, из которого видно, как шум зависит от ширины полосы частот

смещение и, следовательно, среднюю потенциальную энергию на протяжении 100 ч наблюдения. Это измерение дало значение постоянной Больцмана кв с отклонением в пределах ~ 1 % от принятого значения. Позднее Джоунс и Маккомби [2] применили гальванометр с подвижной катушкой и фотоэлектрическим усилением очень малых угловых смещений. Они изменяли затухание с помощью резистора, включенного в цепь катушки (Капплер изменял давление воздуха), и следили за изменениями в характере движения в зависимости от Q. На рис. 6.15 приведены некоторые их результаты, ясно показывающие переход от квазипериодического к апериодическому движению но мере изменения Q (см. рис. 4.13, на котором наблюдается полностью аналогичное поведение). Подобно Капплеру, они обнаружили, что амплитуда находится в согласии с теоремой Больцмана.

Один из вопросов, представляющий некоторый интерес в связи с этим исследованием, заслуживает краткого отступления от основной темы. Когда изменяется внешнее сопротивление, затухание гальванометра определяется двумя отличающимися друг от друга вкладами — их обеспечивают воздух и резистор. Однако броуновское движение сохраняет одну и ту же среднюю энергию. Это озна- 174

чает, что белый шум резистора, связанный с его демпфирующим действием, определяется с помощью той же самой формулы (6.47), которая выведена для воздуха. Чтобы сделать наши рассуждения более точными, нам необходимо ввести параметры подвижной катушки. Если она имеет п витков, каждый площадью Д, и находится в магнитном поле В\ то она испытывает действие пары сил az, когда через нее течет ток z, причем а^пАВ'. Демпфирующий эффект возникает вследствие индукции — при повороте катушки со скоростью 8 магнитный поток через нее изменяется со скоростью аб и наводит ток аО//?, где R — сопротивление цепи катушки, состоящей из самой катушки и внешнего резистора, присоединенного между ее выводами. Наведенный ток создает пару сил а20/7?, приложенную к катушке и являющуюся демпфирующим слагаемым, который уже упоминался в гл. 2. Таким образом, а2//? действует как параметр затухания аналогично Л. Исходя из уравнения (6.47), мы можем сделать заключение, что спектр мощности введенного извне случайно распределенного крутящего момента определяется соотношением

/о(крутящий момент) = 2^вГа2/( л/?).

Этот момент возникает под действием тока в цепи, поэтому, разделив это выражение на а2, мы получим спектральную интенсивность шумового потока:

/ш(ток) = 2^в7/(л7?).(6.48)

Если мы считаем, что этот ток генерируется источником флуктуационного напряжения, который включен последовательно с гальванометром и внешним резистором, то (6.48) можно умножить на R2:

/ш (напряжение) = 2^^в7/л.(6.49)

Чтобы придать полученному соотношению общепринятый вид, определяющий средневкадратичное шумовое напряжение <V2> в полосе шириной р (в герцах), т. е. Асо^2лр, мы запишем

<V2>lR=AMY(6.50)

С другой стороны, мы можем говорить о шумовом токе в замкнутой цепи:

R<i^>=Ak^.(6.51)

Этот шум называют тепловым [3], он возникает вследствие броуновского движения тех электронов в проводнике, которые при соударении с ионной решеткой, возбужденной за счет нагревания (механизм возникновения сопротивления), получают случайно распределенные импульсы. Суммарный результат этих соударений в замкнутом контуре проявляется в том, что иногда в том или ином направлении возникает усредненный электронный дрейф, т. е. возникает флуктуационный ток, что следует из (6.48). Можно было бы достаточно легко вывести эти формулы непосредственно

из теории броуновского движения, однако мы не станем отклоняться столь далеко от нашей основной темы. Для достижения намеченных нами целей вполне достаточно осознать, что случайные столкновения имитируют эффект включения последовательно с резистивной цепью некоторого идеального источника флуктуационного напряжения, описываемого выражением (6.49). Это верно для всех цепей, в которые можно включить резистор. Цепь, которая содержит много резисторов, можно рассматривать как имею4 щую соответствующие источники шумового напряжения, включен^ ные последовательно с каждым резистором. Эти источники нескор- релированы по своим шумовым спектрам, поэтому среднеквадратичные флуктуации тока или потенциала в любой точке цепи можно найти, суммируя отдельные среднеквадратичные вклады от каждого источника шумов.

Можно предположить, что броуновский подход к случайным электронным, движениям позволит обнаружить зависимость шумового напряжения от таких характеристик модели, как динамика движения электронов, возможная степень корреляции их движений за счет кулоновского взаимодействия и т. д. Однако уравнение (6.50) исключает все эти надежды. По аналогии с действием окружающей среды на лопатку, выраженным уравнением (6.47), тепловой шум представляет собой равновесный эффект. Подобно мно- шм другим равновесным процессам, его значение определяется обобщенными макроскопическими параметрами, в результате отдельные детали не проявляются даже независимо от того, являются ли носителями электроны или ионы. Микроскопические соображения, которые, в частности, были использованы в упомянутых выше примерах, играют свою роль в определении реальных значений флуктуаций и удельного сопротивления, но при условии, что одно из них однозначно связано с другим.

Существует, однако, и другой случай, достаточно далекий от термодинамического равновесия, когда микроскопическая информация определяется шумом; мы имеем в виду дробовой эффект. Термоэлектронный эмиттер (например, накаленная вольфрамовая нить) в простом вакуумном диоде не может создать ток больший, чем тот, который испускает нить. При низком напряжении между коллектором (анодом) и эмиттером (катодом) в вакуумном промежутке накапливается пространственный заряд и электроны» находящиеся в газообразном облаке пространственного заряда, могут вернуться в нить после столкновения с ней. Однако достаточно высокое напряжение предотвращает накопление пространственного заряда, поэтому каждый электрон, покидающирг катод, движется строго к аноду. Ток насыщения при этом состоит из случайно распределенного потока электронов. Интересно выяснить, как электроны возбуждают резонансную цепь, связанную с анодом (рис. 6.16). Закономерен вопрос: когда возникает импульс под действием электрона — в момент, когда электрон покидает катод» или в момент, когда он попадает на анод? Анализ изменений потенциала при движении заряженной частицы с одной обкладки

конденсатора на другую показывает, что этот импульс является

не узким, а распределенным по всему времени полета, которое в. обычном случае равно 1СМ с. Если это время намного меньше периода колебаний резонансного тока, то заданный выше вопрос

несуществен и можно считать, что каждый электрон генерирует }зкий импульс.

Теперь можно непосредственно применить метод импульсного отклика. Электрон, покидающий катод и достигающий анода, создает почти мгновенно разность потенциалов е(С между обкладкамш конденсатора, при этом ток в цепи отсутствует. Если добротность а высока, то колебания напряжения начинаются с этой* амплитуды и затухают со временем затухания по энергии, равным xe=L/R. За этот

Рис. 6 16. Резонансная цепь, возбуждаемая дробовым шумом насыщенного термоэлектронного диодаРис. 6 16. Резонансная цепь, возбуждаемая дробовым шумом насыщенного термоэлектронного диода<1/2><1/2>Li е^"Re 2С2Li е^"Re 2С2Lei Qei2RC2 —2u)0C2Lei Qei2RC2 —2u)0C2(6.52)(6.52)промежуток времени на анод прибывают JLi/ {Re) электронов (z— средний ток). Следовательно, среднеквадратичное напряжение между обкладками конденсатора можно записать в форме

Рис. 6 16. Резонансная цепь, возбуждаемая дробовым шумом насыщенного термоэлектронного диода

Рис. 6 16. Резонансная цепь, возбуждаемая дробовым шумом насыщенного термоэлектронного диода

<1/2>

<1/2>

Li е^

"Re 2С2

Li е^

"Re 2С2

Lei Qei2RC2 —2u)0C2

Lei Qei2RC2 —2u)0C2

(6.52)

(6.52)

Халл и Уильямс [4], которые в 1925 г. тщательно исследовали дробовой эффект, использовали разонансную цепь с добротностью Q=100 на частоте 725 кГц при С = 600 пФ. При термоэлектронном токе 20 мА ожидаемое значение <У2> было равно примерно 10-7 В2, что дает осциллирующее напряжение порядка 7з мВ. Этого напряжения было достаточно для проведения точных измерений даже с применением довольно примитивной электроники того времени. Свидетельством экспериментального мастерства и настойчивости авторов является то, что полученная ими оценка заряда электрона содержала ошибку, равную всего лишь 1%.

2RkT/яМСУ Д- 0)26’2^2^ '2RkT/яМСУ Д- 0)26’2^2^ 'Сравним дробовой шум (6.52) с тепловым шумом, генерируемым самой цепью. Источник напряжения, спектральная интенсивность которого задается уравнением (6.49), при включении последовательно с L, С и R обеспечивает между обкладками конденсатора флуктуационное напряжение

2RkT/я

МСУ Д- 0)26’2^2^ '

2RkT/я

МСУ Д- 0)26’2^2^ '

/ш(напряжение на конденсаторе) =

Проинтегрировав по частоте и использовав еще раз (6.41), мы обнаружим — и это не будет для нас неожиданностью, — что среднеквадратичное напряжение равно квТ]С. Это еще один пример применения теоремы Больцмана. Энергия V2 CV2, запасенная в конденсаторе, является квадратичной функцией, ее среднее значение равно V2 квТ. В случае конденсатора, который использовали Халл и Уильямс, тепловой шум при комнатной температуре равен

<у2>=Ю-11 В2, т. е. уровень его мощности в 104 раз меньше уровня дробового шума.

Полученные выше результаты порождают большое число ин- j тересных физических проблем. Почему, например, дробовой шум, ( мощность которого здесь так велика, не оказывает никакого влияния на тепловой шум и как изменится уровень шума в эксперименте Халла и Уильямса, если напряжение увеличить на диоде 'так, чтобы исчез эффект пространственного заряда? Все это, однако, находится вне нашего поля зрения, и мы должны вернуться к вопросам, которые являются центральными при изучении колебаний.

волны И РЕЗОНАТОРЫ

Простые резонаторы, которые были до сих пор основным предметом нашего обсуждения, имели только одну резонансную моду. Кроме того, они возбуждались внешними источниками, откликом которых на производимый ими эффект можно было пренебречь» Теперь мы продолжим рассмотрение в двух направлениях. Во-первых, в качестве резонатора может быть использована струна, труба, линия передачи или волновод, т. е., вообще говоря, любая среда, в которой могут распространяться механические, акустические или электромагнитные волны. Следовательно, в таком резонаторе можно возбудить несколько различных мод колебаний (см. § 2.4, посвященный колебаниям струны). Во-вторых, резонатор такого типа, как указано выше, или даже несколько более простой может быть помещен в некоторую среду, пригодную для распространения волн, при этом он возбуждается внешней волной и, реагируя на возбуждение, сам излучает вторичные волны. Мы ограничимся в основном обсуждением одномерных систем, отложив анализ резонансных мод двух- и трехмерных систем до следующего тома. Правда, одну из трехмерных задач мы затронем при изучении отклика резонансной системы малых размеров на плоскую волну.

ОДНОМЕРНЫЕ ВОЛНЫ.

ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ И ВОЛНОВАЯ ПРОВОДИМОСТЬ

Для анализа процессов отражения и прохождения волн по одномерным линиям передачи разработан и хорошо развит математический аппарат. Его применение в инженерных расчетах и при исследовании всякого рода задач, но только наиболее элементарных, приводит к прекрасным результатам [1]. Однако, поскольку применение этих математических методов очень подробно рассматривается в многочисленных учебниках, а для нас представляет интерес в первую очередь построение физической картины поведения элементарных систем, мы не будем вникать в эти вопросы] более глубоко, чем это необходимо. Очень скоро нам станет ясно, что на данной стадии достаточно использовать лишь ограниченный объем математических выкладок. Понятие характеристического волнового сопротивления является полезным в двух отношениях: оно существенно помогает при описании реакции волны на препятствие (какое количество энергии передается, отражается и поглощается) и позволяет свести набор различных систем к одной

близкой аналогии — в результате одни и те же методы можно применять ко всем системам из этого набора.

Проще всего это можно показать с помощью двухпроводной линии передачи, в которой волна распространяется в виде, показанном на рис. 7.1. С точки зрения уравнений Максвелла, это волна, бегущая в направлении 2 и изображаемая в виде совокупной картины двух полей:

Е' = Е'0(х,в = В'0’(л, у") е1 ^г~^.(7.1)

Рис. 7 1 Конфигурация электрического (сплошные линии) и магнитного (штриховые линии) полей в линиях передачи.а—двухпроводная, б — коаксиальная линии передачи В обоих случаях волна распространяется в направлении от читателяРис. 7 1 Конфигурация электрического (сплошные линии) и магнитного (штриховые линии) полей в линиях передачи.а—двухпроводная, б — коаксиальная линии передачи В обоих случаях волна распространяется в направлении от читателяСкорость распространения ю/k этих полей равна с, т. е. скорости света в свободном пространстве, если проводники находятся в вакууме, а не внутри диэлектрика. Конфигурация поля зависит от взаимного расположения проводников, поскольку вектор Ех повсюду должен быть перпендикулярным, а вектор В' — касательным к ним. И на самом

Рис. 7 1 Конфигурация электрического (сплошные линии) и магнитного (штриховые линии) полей в линиях передачи

.а—двухпроводная, б — коаксиальная линии передачи В обоих случаях волна распространяется в направлении от читателя

Рис. 7 1 Конфигурация электрического (сплошные линии) и магнитного (штриховые линии) полей в линиях передачи

.а—двухпроводная, б — коаксиальная линии передачи В обоих случаях волна распространяется в направлении от читателя

деле решение уравнений Максвелла показывает, что для любой системы проводников постоянного сечения, свободных от потерь, одним из примеров которой является двухпроводная линия, векторы Ех и В' везде взаимно перпендикулярны и совпадают по фазе при постоянном отношении Е'/В'=с.

Рис. 7 2 Электрические и магнитные поля в парциальной стоячей волне Обозначения Еп' и Во' относятся к волне, распространяющейся в плоскость рисунка, а Ех' и Вх' — в обратном направлении

В частности, то же самое выполняется и для коаксиальной линии, показанной на рис. 7.1,6. Если смотреть вдоль направления распространения волны, то для того, чтобы перейти от направления Е' к направлению В', необходимо осуществить поворот по часовой стрелке (т. е. В/Хс = Е/). Это означает, что когда волны распространяются вдоль линии передачи в обоих направлениях, в частности при частичном или полном отражении от препятствия, то в тех точках, где электрические поля каждой волны находятся в фазе, магнитные поля находятся в противофазе, и наоборот (рис. 7.2). Таким образом, если использовать существующую форму записи, когда напряженность электрического поля меняется

вдоль некоторой линии, параллельной проводникам, согласно уравнению

Е' = E'Q cos(^Z — кЕ)-\-Е'х cos (о/4- kz\(7.2)

то магнитное поле изменяется как

В = —— cos (со/ — kz^—— cos (со/4- кг\ (7-3)

сс

Й fv 4

Падающая Отраженная

Рис. 7.3. Схематическое изображение тока и электрического поля в линии пере-дачи:

<zz — плоскости А и В отстоят друг от друга на расстоянии dz, а 6Е' = (дЕ'/dz)6z, 61= = (dijdz)6z, б — сотношение между знаками напряжении и токов в волнах, падающих на импеданс оконечной нагрузки Z и отраженных от него

Оба поля' формируют картину парциальной стоячей волны, описанной в § 3.7. Однако в данном случае максимумы и минимумы поменялись местами. Максимумы Е' приходятся на точки кг = пк. В этих точках Е7 = ± (Е./Н-Е/) cos tot, тогда как cB^E^Eq— —Е/) cos tot. Вместе с тем в точках кг= ^пЕх!^ л уже сВ7 имеет амплитуду Е^ЕЕ/, а Е' — амплитуду Е^—Е\. В максимумах и минимумах колебания Е7 и В7 совпадают по фазе, а в остальных точках наблюдается некоторая разность фаз. Отношение Е'!В' имеет в общем случае комплексный вид и меняется вдоль линии передачи; его значение в любой точке часто называют импедансом.

Можно подойти к понятию импеданса с другой точки зрения, взяв за отправные параметры токи в проводниках и э.д. с., возникающую между проводниками. При таком подходе мы будем очень близки к той трактовке идеи импеданса, которая используется при описании цепей переменного тока. Линии напряженности электрического поля, оканчивающиеся на поверхности этих проводников, требуют наличия поверхностного заряда плотностью ^Е7, и магнитное поле не может проникать внутрь проводников только при условии существования поверхностного тока с плотностью В'(р,0. Если в проводниках, по которым течет ток, заряд, приходящийся на единичную длину, равен Eq и возникающая при этом э.д. с. равна V (э.д. с. между проводниками V=E/-dl берется вдоль линии, лежащей в плоскости, нормальной к проводникам), то емкость на единичную длину С определяется уравнением q = cV. В результате между плоскостями А и В проводники имеют заряд ECV6z (рис. 7.3, а). Если токи Ei протекают так, как показано на этом рисунке, то магнитный поток проходит через контур, ограниченный

проводниками и плоскостями А и В. Можно записать этот поток как Ыбг, где L — индуктивность на единичную длину. Применив к этому элементарному контуру закон электромагнитной индукции Фарадея, получим

Ldt[dt = —dVldz.(7.4)

Из закона сохранения заряда далее следует, что

CdV (dt = — di/dz.(7.5)

В результате имеем

дЧ7^-ЬСдАфР = 0.

ТЛла получим уравнение волнового движения со скоростью с = = (LC)-^2. Прямое вычисление L и С показывает, что с = (еоЦо)-1/2, т. е. представляет собой скорость света.

Однако в настоящее время нас больше интересует связь между V и I, которая следует из (7.4) и (7.5). Если, как в случае бегущей волны, отношение V/i везде постоянно, то

Z^Vll = (^lCYn- = Lc.(7.6)

Поскольку Е' и В' в рассматриваемой картине поля совпадают по фазе, такая же связь должна существовать и для V и L Это значит, что Zo является активным сопротивлением, если, как мы предположили, здесь отсутствуют диссипативные процессы. Волновое сопротивление цепи, т. е. Zo, наиболее просто интерпретируется через поток энергии, связанный с волной. Когда, например, на рис. 7.3, а волна перемещается слева направо, наблюдатель, находящийся в плоскости А, видит, что ток t поступает через один проводник и выходит через другой при наличии э.д. с. V между ними. Если заменить линию справа от А на резистор Zo, включенный между проводниками, то произведение V2 VI будет представлять среднюю скорость выделения теплоты на резисторе. С другой стороны, если линия простирается до бесконечности, то выделение теплоты отсутствует, однако сохраняется средний поток энергии V2 VI, который, пересекая плоскость А, распространяется вдоль линии передачи вместе с волной.

Если линию передачи разорвать в плоскости А и часть, находящуюся справа от А, заменить резистором Zo, то отражения волны не произойдет, так как напряжение и ток в бегущей волне идеально согласованы с сопротивлением резистора. В этом случае говорят, что линия имеет согласованную нагрузку. Однако в общем случае сопротивление Z, которое закорачивает линию, вызывает отражение волны. Пусть волна с единичной амплитудой (Е=1) падает на Z и пусть возникает отраженная волна с амплитудой г. Конфигурации напряжения и тока в каждой волне в месте расположения Z показаны на рис. 7.3,6 Вертикальными линиями показаны напряжения, а горизонтальными — соответствующие токи в одном из проводников (в каком именно, значения не имеет). Как 182

и в случае рассмотренных ранее полей Ег и В', токи вычитаются, если напряжения складываются; однако мы здесь не предполагаем, что г положительно или даже действительно, поэтому диаграмма служит нам только для напоминания о смене знака. Результирующая э.д. с. между выводами Z равна 1+г, и ток равен (1—r)IZQ. Следовательно, г имеет такое значение, при котором Z=[(l + Н-г)/(1—г)] Яо, т. е.

Если Z не является активным сопротивлением, г — комплексная величина, указывающая на изменение фазы при отражении. Из (7.7) следуют два интересных вывода: если Z = 0 (короткое замыкание), то г— — 1 и э.д. с. в обеих волнах компенсируются в точке замыкания; если же Z = oo (разомкнутая цепь), то г=1 и компенсируются токи.

По мере движения волны вдоль линии в сторону от нагрузки амплитуды и фазы V и г изменяются так, что кажущийся импеданс между проводниками меняется в зависимости от периода полуволны. Что касается применений общей формулы, то здесь рассматривать их мы не будем. Однако вывод этой формулы настолько легок, что все-таки мы его проведем, а затем уделим внимание лишь специальным случаям, которые имеют непосредственное отношение к нашей теме. При перемещении от нагрузки к источнику на расстояние г оказывается, что ток и э.д. с. падающей волны имеют опережение по фазе, равное kz, тогда как ток и э.д.с. отраженной волны запаздывают на столько же. Э.д.с. теперь равно не 1+г, a e-Vlz+rei,lz, а ток — соответственно ^-Vkz—r^k^IZ^. Следовательно, длина z линии, нагруженной сопротивлением Z, ведет себя как импеданс Z'. С помощью (7.7) получаем

Z’ _ е-1^ + re1^ = Z — i Zo tg fezg.

Zo e-i^_rei^ Zo — i Z tg fez ’' ‘ '

или

Z Z + j ZQtg kzдч

Zo ^o + J ^ ^

если Z соответствует общепринятым для электрических цепей обозначениям. В частности, для короткозамкнутой линии (Z = 0)

Z'=jZotg^,(7.10)

а для разомкнутой линии (Z = oo)

-jZoctg Az.(7.11)

В обоих случаях кажущийся импеданс является мнимым, как и должно быть в отсутствие механизма потерь. Короткий участок (Аг<л/2) короткозамкнутой линии является индуктивным, в то

время как короткий участок разомкнутой линии имеет емкостный характер. Если длина линии передачи равна четверти длины волны (£г = л/2), то короткозамкнутая линия ведет себя как разомкнутая, и наоборот.

Если некоторый импеданс подключен либо последовательно, либо параллельно к бесконечной линии, не содержащей других элементов (рис. 7.4), то падающая волна частично отражается и частично проходит. В случае последовательного включения и Z и

1 7 | "|Рис. 7.4. Импеданс Z, включенный

=Iпоследовательно в бесконечную

‘*линию передачи (а), кажется на-

мблюдателю слева равным Z + Zo;

~Т~ 71полная проводимость 4, подсоеди-

I д I=I д з-д I венная параллельно (б), представ-

I1 ляется тому же наблюдателю как 5)д+л0 .

участок линии справа от Z ведут себя как импеданс Zo, включенный последовательно с Z. Поэтому для волны, падающей слева, коэффициент отражения можно получить, подставив в (7.7) Z04-Z вместо Z:

r = Z/(Z+2Z0).(7.12)

Для волны единичной амплитуды, падающей на препятствие, ток через Z + Zo равен (1—r^lZ^ в результате э.д. с. между выводами Zo составит

/=l-r = 2Z0/(Z+2Z0).(7.13)

Это и есть амплитуда проходящей волны. Если препятствие не рассеивает волну, то Z— величина чисто мнимая (например, равная JX), а отраженная и проходящая составляющие интенсивности падающей волны выражаются следующими соотношениями:

rr^X^Z^-X^X t^ = 4Z^^Z^^\ гг* + ^*=1. (7.14)

Закон сохранения энергии, конечно, должен выполняться и в том месте, где подключено Z, отраженная и проходящая волны должны быть сдвинуты по фазе на 90°, что следует из уравнений (7.12) и (7.13), причем г должна иметь мнимый, a t— действительный числитель.

Для препятствия с полной проводимостью А, которое подключено параллельно линии, получают очень похожие результаты:

г=~АКА + 2Д0), /=1 + г = 2Л0/(А + 2Д0).(7.15)

Соотношения /=1±г в (7.13) и (7.15) допускают очень простую физическую интерпретацию. Чтобы легче понять ее, рассмотрим случай, когда препятствие подключено параллельно. Слева от препятствия распространяются как падающие, так и отраженные волны, а справа — только проходящая волна. Амплитуды и фазы этих

волн должны быть подогнаны так, чтобы на препятствии не возникал скачок э. д. с. Таким образом, возникают два типа бегущих волн, удовлетворяющих требованию непрерывности: 1) волны, которые проходят через препятствие без изменений и отражений; 2) одинаковые волны, которые излучаются в обоих направлениях от препятствия и при совпадении фаз — на препятствии. Каждая из них в отдельности не удовлетворяет всем граничным условиям, однако комбинации двух волн таким условиям удовлетворяет. В результате образуется бегущая волна, которая движется слева направо, имеет единичную амплитуду на препятствии и «излучает» вторичную волну с амплитудой г на препятствии. При этом падающая и отраженная волны описываются вполне корректно, тогда как проходящая волна представляет собой сумму этих двух волн и имеет амплитуду 1+г, как того требует соотношение (7.15).

Этот вывод является общим для любого сосредоточенного препятствия, т. е. такого, которое занимает настолько малую долю длины волны, что поле не может заметным образом измениться в его пределах (или в случае последовательно включенного препятствия последнее должно быть настолько коротким, чтобы токи, входящие в него и выходящие из него, были одинаковыми). В особом случае для препятствия, свободного от потерь, требование гг* + //* = 1 в дополнение к соотношению 1=1^г означает, что векторная диаграмма для г и t образует две стороны прямоугольного треугольника с единичной гипотенузой.

Далее в этой главе (см. § 7.6) будут упоминаться препятствия в форме преобразователей, размеры которых сравнимы с длиной полны и которые могут связывать линии передачи с разными Zo. Если эти линии свободны от потерь, мы можем вывести все, что нам необходимо знать о них, из закона сохранения энергии. Рассмотрим преобразователь без потерь, к которому присоединены две линии с волновыми сопротивлениями Zo и Z^ (рис. 7.5, а) и который определяет также два коэффициента отражения и два коэффициента передачи через э.д. с., связанные с соответствующими

Рис. 7.5. Плоскости Хх и Х2 расположены таким образом, что все коэффициенты отражения и передачи — действительные величины:а — схема преобразователя; б — волна единичной амплитуды падает слева; в — та же волна падает справа, г — падающие волны имеют амплитуды Ах иДаРис. 7.5. Плоскости Хх и Х2 расположены таким образом, что все коэффициенты отражения и передачи — действительные величины:а — схема преобразователя; б — волна единичной амплитуды падает слева; в — та же волна падает справа, г — падающие волны имеют амплитуды Ах иДагх = г2 и ^2= — atvгх = г2 и ^2= — atv(7.17)(7.17)

Рис. 7.5. Плоскости Хх и Х2 расположены таким образом, что все коэффициенты отражения и передачи — действительные величины:

а — схема преобразователя; б — волна единичной амплитуды падает слева; в — та же волна падает справа, г — падающие волны имеют амплитуды Ах и

Да

Рис. 7.5. Плоскости Хх и Х2 расположены таким образом, что все коэффициенты отражения и передачи — действительные величины:

а — схема преобразователя; б — волна единичной амплитуды падает слева; в — та же волна падает справа, г — падающие волны имеют амплитуды Ах и

Да

гх = г2 и ^2= — atv

гх = г2 и ^2= — atv

(7.17)

(7.17)

двумя волнами (рис. 7.5,6—г). Две плоскости Хх и Х2 выбраны так, что падающая и отраженная волны на них совпадают по фазе, а Г\ и г2 действительны и положительны; однако мы ничего не знаем о фазах tx и 72. Так как отношение V’2/Z0 представляет собой поток энергии в бегущей волне, то отсутствие диссипации в преобразователе означает, что

\—r\=atxt^ 1-r^t^a,(7.16)

где a=Z0IZ0'. Пусть теперь волны с амплитудами Л1 и Л2 падают так, как показано на рис. 7.5, г, и пусть они дают в результате исходящие волны 7?! и ^2. Тогда, поскольку 7?! можно рассматривать как отраженную часть Ах плюс проходящую часть Л2, мы имеем

RX = r 1-^1 +^2*

Аналогично,

Т?2 = гИз + ^Лр

Однако закон сохранения энергии требует, чтобы

RXR^ZO + R2R^ZQ = Л, Л \iZ. + Л2Л ^Z'

для всех Л1 и Л2.

Следовательно, подставив вместо 7?i и Т?2 значения Ах и Л2 и приравняв нулю коэффициенты при Л1Л1*, Л2Л2* и АХА2*> мы вновь получим соотношения (7.16) и, кроме того, соотношение

Г1^ = (2Г2/1.

Эти уравнения удовлетворяются только в том случае, когда

Это все, что требует закон сохранения энергии, и этого вполне достаточно для осуществления большинства наших целей. Однако можно пойти еще дальше, вспомнив теорему взаимности Рэлея — Карсона [2]: «Пусть два проводника в электрической цепи (которые не обязательно малы по сравнению с длиной волны и которые могут содержать радиационные связи) выбраны произвольно и пусть подключение генератора осциллирующего напряжения к одному из них приводит к возникновению тока в другом. Тогда при подключении этого же генератора ко второму проводнику в первом возникнет такой же ток; т. е. если э. д. с. Ve-itot в первом проводнике создает ток Л^Уе-’6^ во втором, где Л]2 в общем случае — величина комплексная, то Л12=Л21»-

Эта теорема является весьма мощным следствием общего принципа взаимности фундаментальных законов (например, законов Кулона и Ампера), который можно проследить, обратившись к основным свойствам пространства-времени, отвечающим за третий закон Ньютона, который является самым первым законом взаимности. Теорема Рэлея — Карсона, конечно, справедлива только в случае линейных систем, для которых можно определить полную проводимость Л12 и Л2Ь

Иллюстрацией применения теоремы к нашей задаче является рис. 7.6. Во-первых, линия передачи замкнута здесь накоротко справа в плоскости Х2 и э. д. с. в плоскости Хх возникает за счет инжекции волны

Xi „2Xi „2Рис 7 6. Линия передачи (та же, что и на рис. 7.5) замкнута накоротко в плоскости Х2Рис 7 6. Линия передачи (та же, что и на рис. 7.5) замкнута накоротко в плоскости Х2единичной амплитуды. Пусть амплитуды падающей и отраженной волн в плоскости Х2, как показано на рисунке, равны ±В. Тогда R состоит из отраженной и проходящей волн: R = rx—t2B и В = —r2B-Vtx. Следовательно, В=71/(1+г2) и R = rx— —^2/(1+Г2). Э.д. с. в плоскости Хх равна 1+В, и ток в плоскости Х2 равен 2B!Zq. Таким образом,

Xi „2

Xi „2

Рис 7 6. Линия передачи (та же, что и на рис. 7.5) замкнута накоротко в плоскости Х2

Рис 7 6. Линия передачи (та же, что и на рис. 7.5) замкнута накоротко в плоскости Х2

Л12Л12(1 + И) О + г2) — Zi/2(1 + И) О + г2) — Zi/22Zi /Zo

Л12

Л12

(1 + И) О + г2) — Zi/2

(1 + И) О + г2) — Zi/2

Теперь мы повторим этот расчет для случая, когда короткое замыкание осуществлено в плоскости Хх, а входной является плоскость Х2. За счет простой перестановки нижних индексов 1 и 2 и замены Zoz на Zo мы получим выражение для Л2ь Так как знаменатель не меняется, то теорема Рэлея — Карсона требует, чтобы tJZ^ = t2IZ^ т. е.

(7.18)(7.18)t2=atv

(7.18)

(7.18)

Следует отметить, что в этом выводе не используется закон сохранения энергии, и поэтому соотношение (7.18) справедливо как для преобразователер! с потерями, так и без потерь. Однако в общем случае гх^г2 можно, в частности, сделать так, чтобы волна, падающая справа, отражалась, а волна, падающая слева, поглощалась. Но в отсутствие потерь выполняются как условие (7.17), так и условие (7.18), так что tx и /2 должны быть чисто мнимыми величинами, как уже было доказано для случая сосредоточенного препятствия. Отсюда следует, что свободный от потерь преобразователь для удобства расчета можно заменить сосредоточенным препятствием, например конденсатором, включенным параллельно линии передачи с присоединенными к нему с обеих сторон отрезками линии, длина которых достаточна для обеспечения необходимых фаз отражения и прохождения. Эта модель в общем случае не работает в широком диапазоне частот, потому что форма эквивалентного препятствия является функцией частоты.

АНАЛОГИ ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

Как уже отмечалось, волновое характеристическое сопротивление имеет определенную ценность как обобщающее понятие, которое позволяет дать описание многих типов волнового движения в рамках единых математических представлений. Чтобы рассчитать поведение какой-нибудь одномерной волны, мы должны знать ее закон дисперсии, т. е. связь между к и со, а также характеристики отраженной волны, обусловленной данным препятствием (существуют и другие трудности, но их можно проанализировать в рамках того же самого метода и рассмотреть в качестве примеров), В каждом отдельном случае можно найти аналоги э. д. с. и тока, которые позволяют воспользоваться практически в неизменном виде уже полученными нами результатами типа (7.9). Найти такие аналоги — это значит найти переменные поля: а) произведение которых, подобно VI, дает мощность, б) которые совпадают по фазе в случае неослабленной бегущей волны и в) относительные знаки которых обращаются, когда направление их распространения меняется на обратное. Ниже приведены некоторые примеры подобных аналогов.

Струна, по которой распространяются поперечные волны со скоростью ct = (Т(рУ где Т — натяжение и р — масса, приходящаяся на единичную длину.

Если поперечное смещение равно g то поперечная компонента натяжение составляет ТдУдг^кТ^. Если взять эту величину в качестве аналога V, то в качестве аналога i необходимо использовать поперечную компоненту скорости— ^d^dt^ или icog (знак задается условием, что Zo должно быть положительным и VI представляет собой поток энергии в направлении распространения волны). Отсюда

Z0 = i кТЩ\^=Т1Щ = ?щ. (7.19)

Звуковые волны, распространяющиеся со скоростью ci = = (К/р)1/-°, где К — объемный модуль упругости и р — плотность. Сначала мы рассмотрим волны в цилиндрической трубе с площадью поперечного сечения S, пренебрегая сопротивлением, обусловленным наличием стенок. Если теперь g представляет собой продольное смещение среды и р— локальное избыточное давление^ то сила, создаваемая волной, которая воздействует на поперечное сечение трубы, равна pS, а скорость среды — d^ldt. Скорость переноса энергии в положительном направлении запишем как pSd^IdL Именно эта величина и будет аналогом VI. Очевидно, можно по- разному определить переменные через V и I, однако удобно рассматривать р как эквивалент V, a Sd^/dt— как эквивалент I. Тогда, поскольку градиент давления др]дг отвечает за ускорение среды согласно уравнению

dp/dz= — рд^/дР или i kp=\^dlldt, мы имеем, что

Z о=p!{Sdydt) = ^cx(S. (7.20)

Поперечное сечение трубы можно представить в виде некоторого набора малых элементов — как будто труба превращена в несколько труб меньшего диаметра, выстроенных вплотную друг к другу в одном направлении, причем в каждой из них волны распространяются с одинаковыми амплитудами и фазами. В этом случае элемент единичной площади определяет систему с волновым сопротивлением

Z0 = pcP (7.21)

Плоские электромагнитные волны в свободном пространстве. Теперь, как и в случае звуковой волны, мы можем ввести характеристическое сопротивление или волновую проводимость, приходящиеся на единичную площадь. Для этого возьмем в качестве аналога V. Тогда, поскольку вектор Пойнтинга УгЕ'ХВ'/цо представляет собой средний поток энергии, приходящийся на единичную площадь, и поскольку Е7 и В7 располагаются под прямым углом друг к другу, в качестве аналога I вполне логично выбрать- В7/цо- Следовательно,

^о = ^7^' = ^=--377 Ом. (7.22)’

Если волна ограничена параллельными проводниками, как, например, в линии передачи, показанной на рис. 7.1, можно считать, что различные элементы систем с плоской волной подключены последовательно или параллельно в зависимости от того, как они выстроены — вдоль Е7 или вдоль В7. Однако, поскольку в такой системе выражение ^E'lB' везде принимает одинаковое значение, мы можем отвлечься от прежней модели, представив себе электроды, форма которых точно повторяет поперечное сечение линии передачи и которые прикреплены к листу из однородного резистивного материала, причем каждый квадрат этого листа имеет между противоположными сторонами сопротивление 377 Ом. Сопротивление между электродами такой ль^.ш равно Zo. Теперь ясно, что линию передачи можно нагрузить согласованно, присоединив такой лист между ее концами, чтобы ток, который протекает в листе, всюду на поверхности листа был согласован со значениями Е7 и Bz в бегущей волне.

Выражения, полученные для Zo, сходны между собой, потому что в каждом отдельном случае скорость волны умножается на плотность или ее аналог. Мы уже видели ранее, что масса и индуктивность являются аналогами для колебательных систем, и появление величины цо, представляющей собой удельную индуктивность свободного пространства, только подчеркивает это совпадение. Нет необходимости детально анализировать использование Zo для систем, отличающихся от электрических; вполне достаточно рассмотреть лишь один пример. Предположим, что струна висит вертикально под действием силы натяжения Т, которая обеспечивается? массой М, погруженной в вязкую жидкость. Зададим себе вопрос: какая часть энергии поперечной волны, перемещающейся по струне, отражается такой массой? Для ответа на него необходимо опре-

делить импеданс массы, выраженный через те же величины, которые использовались при определении Zo, т. е. через отношение приложенной силы к скорости, при условии, что масса колеблется с частотой со. Если смещение массы имеет амплитуду £0 и скорость мы записываем как — icogc, то ускорение равно —icov и в результате

F = № — iioAf'y,

где л — постоянная вязкого сопротивления. Тогда

Z =F/v = л — i о>Л4

я из (7.7) и (7.19) получаем

r = (X~ pet — iwvW)/(X + pet — 1(оЛ1).

Если натяжение обеспечивается легкой пружиной и масса М заменена легкой лопаткой, то слагаемым icoAl можно пренебречь. В этом случае можно, подбирая X = pft, нагрузить линию согласованно, т. -е. так, что все волновые движения будут поглощаться в жидкости без отражения.

РЕЗОНАНСНЫЕ ЛИНИИ

Линия передачи, короткозамкнутая с обоих концов, может резонировать на любой частоте, при которой вдоль линии передачи укладывается целое число полуволн стоячей волны, причем нули (узлы э. д. с.) располагаются на концах линии. В отсутствие дисперсии резонансные частоты образуют гармонический ряд. То же самое верно и для разомкнутой линии, однако здесь на концах располагаются пучности. В линии, разомкнутой на одном конце и короткозамкнутой на другом, должно укладываться полуцелое число полуволн, так что на одном конце линии находится узел, а на другом — пучность. Если длина линии равна /, то резонансные частоты определяются следующим образом:

kl = nn. w = nnc!l (оба конца разомкнуты);

kl = nn. ^ = nncll (оба конца короткозамкнуты);

kl = (n — V2) л, ^ = ^гг— y[^kc!1 (один конец разомкнут, один конец короткозамкнут).

Аналогичные правила применяют и к акустическим резонаторам, выполненным в форме трубок постоянного сечения. Если оба конца трубки закрыты или открыты, то ^ = пис]1 и на концах трубки возникают в первом случае пучности, а во втором — узлы давления. При одном открытом конце и другом — закрытом, как и в случае линии передачи. ю=Цп—V2) ис[1. Основная частота такого резонатора равна половинам основных частот для других случаев; этот факт был использован при конструировании органных труб с глубоким тоном, предназначавшихся для установки в

церковных хорах ограниченных размеров. Однако при такой конструкции возникают только нечетные кратные основной гармоники и тон теряет богатство окраски.

Эти общие замечания несколько упрощают суть дела. Для создания идеальной короткозамкнутой или разомкнутой цепи обычно требуется вводить концевые поправки, а резонатор начинает вести себя так, будто его длина слегка превышает его истинные размеры. В случае акустического резонатора, выполненного в виде трубки однородного сечения с открытыми концами, вблизи концов трубки воздух колеблется снаружи почти с той же самой амплитудой, что

Рис. 7.7. Замкнутые линии передачи с последовательным (а) и параллельным (б) возбуждением и их эквивалентные цепиРис. 7.7. Замкнутые линии передачи с последовательным (а) и параллельным (б) возбуждением и их эквивалентные цепиРис. 7.8. Источник тока, присоединенный к замкнутой линии. Показано, как сдвигается узел э. д. с. при прохождении через резонансРис. 7.8. Источник тока, присоединенный к замкнутой линии. Показано, как сдвигается узел э. д. с. при прохождении через резонанс

Рис. 7.7. Замкнутые линии передачи с последовательным (а) и параллельным (б) возбуждением и их эквивалентные цепи

Рис. 7.7. Замкнутые линии передачи с последовательным (а) и параллельным (б) возбуждением и их эквивалентные цепи

Рис. 7.8. Источник тока, присоединенный к замкнутой линии. Показано, как сдвигается узел э. д. с. при прохождении через резонанс

Рис. 7.8. Источник тока, присоединенный к замкнутой линии. Показано, как сдвигается узел э. д. с. при прохождении через резонанс

и воздух внутри трубки, поэтому необходимо удалиться на один- два радиуса от ее конца, прежде чем воздушный поток расширится до такой степени, что скорость существенно уменьшится. Для того чтобы обеспечить требуемое ускорение воздуха снаружи, давление на конце трубки должно немного осциллировать, поэтому кажущееся местоположение узла давления лежит за пределами трубки. Однако до тех пор, пока концевая поправка приводит только к увеличению длины трубки / на определенное постоянное значение А/, гармонический ряд лишь смещается вниз по частоте без нарушения простого числового отношения частот. Это обычно происходит тогда, когда поперечные размеры трубки намного меньше ее длины. Когда же длина волны уменьшается настолько, что становится сравнимой с поперечными размерами трубки, концевая поправка резко изменяется. Поэтому для многих целей ею можно пренебречь или рассматривать как эмпирическую добавку к /; здесь мы будем использовать именно этот подход. Однако мы еще вернемся к этому вопросу при обсуждении излучения мощности из* открытого конца резонатора.

Этот тип резонансной линии можно рассматривать как последовательный или параллельный резонансный контур в зависимости от способа возбуждения. На рис. 7.7 две секции линии передачи^ расположенные по обе сторозы от точки возбуждения, можно заменить реактивными сопротивлениями, после чего характер про-

дессов становится очевидным. Цепь на рис. 7.7, а, возбуждаемая от источника осциллирующего тока, имеет резонанс на таких частотах, при которых э.д. с. падает до нуля, а в случае, показанном на рис. 1Л,б. осциллирующая э д. с. не может заставить ток протекать в резонансе через цепь. Условие резонанса здесь заключается в том, что реактивные сопротивления каждой секции должны быть равны и противоположны по знаку. Если длины секции равны /, и /2, то, согласно (7.10),

tg klx = — tg к1ъ или к^Ц-^ЦУ—п^, т. е. мы, естественно, получаем то же условие резонанса, что и ранее.

Существенная простота резонансного отклика наиболее ярко видна при рассмотрении картины стоячих волн, возникающих в случае, когда резонатор линии передачи возбуждается источником тока на разомкнутом конце (рис. 7.8). Изменение значения э.д. с. показано для частот вблизи основной резонансной частоты (Оо- Картина тока с пучностями на концах остается, по существу, неизменной, однако, когда узел э.д. с. проходит через точку возбуждения, входной импеданс пересекает нуль как линейная функция частоты и это обстоятельство отражает сущность резонанса в системе с высокой добротностью Q. Если волна испытывает затухание и в результате со является действительной величиной (для стационарного возбуждения) и к— мнимой, то стоячую волну можно представить себе как бегущую волну, полностью отраженную от дальнего конца и потерявшую часть своей начальной амплитуды к моменту возвращения. В результате входная э д. с. в резонансе проходит через ненулевое значение. Для того чтобы э. д. с. проходила через нуль, входная волна должна иметь амплитуду, уменьшающуюся со временем и согласованную с затуханием отраженной волны. Отсюда видно, что истинная резонансная частота должна быть комплексной в такой степени, которая требуется для описания собственного декремента резонатора в режиме свободных колебаний.

Регулярная структура гармонического ряда разрушается за счет дисперсии, потому что арифметический ряд волновых чисел, как того требуют граничные условиях, не приводит к арифметическому ряду частот до тех пор, пока скорость не становится постоянной. Для строгого рассмотрения этого вопроса необходимо исследовать граничные условия, а также закон дисперсии. Например (см. § 3.7), закон, выраженный уравнением (3.20), возникает из уравнения четвертого порядка (3.19), и резонансы стержня конечной длины следует, очевидно, искать, налагая четыре граничных условия, причем по два, а не по одному на каждом конце, как в случае струны или линии передачи. Однако подобными исследованиями мы заниматься не будем.

Легче разобраться с негармоническим рядом, который возникает, когда резонансная линия нагружена в одной точке. Это явление можно продемонстрировать на фортепьяно, вводя и выводя тонкий короткий гвоздь, пропущенный между тремя струнами, на- 192

Рис 7 9 Замкнутая линия передачи с сосредоточенным конденсатором, включенным параллельно, и возбуж-Рис 7 9 Замкнутая линия передачи с сосредоточенным конденсатором, включенным параллельно, и возбуж-дением в точках присоединения конденсатора (о); график для определения резонансов (б); конденсатор, замененный участком линии передачи (у) Линия возбуждения не показанадругу, если обе стороны 1Х и /2дением в точках присоединения конденсатора (о); график для определения резонансов (б); конденсатор, замененный участком линии передачи (у) Линия возбуждения не показанадругу, если обе стороны 1Х и /2

Рис 7 9 Замкнутая линия передачи с сосредоточенным конденсатором, включенным параллельно, и возбуж-

Рис 7 9 Замкнутая линия передачи с сосредоточенным конденсатором, включенным параллельно, и возбуж-

дением в точках присоединения конденсатора (о); график для определения резонансов (б); конденсатор, замененный участком линии передачи (у) Линия возбуждения не показана

другу, если обе стороны 1Х и /2

дением в точках присоединения конденсатора (о); график для определения резонансов (б); конденсатор, замененный участком линии передачи (у) Линия возбуждения не показана

другу, если обе стороны 1Х и /2

пример такими, которые используются для получения каждой из верхних звуковых частот. Основная гармоника при этом понижается (возможно, на полутон), однако совершенно отчетливо слышен странный тембр и его изменение каждый раз, когда гвоздь при

перемещении вдоль струн занимает различные положения. Качественно можно легко понять, почему разрушается гармонический ряд. Некоторые гармоники дают колебания струны с узлом вблизи гвоздя или непосредственно на нем, поэтому введение гвоздя вряд ли изменяет картину колебания в целом. Однако те гармоники, у которых пучность приходится на гвоздь, оказываются нагруженными, и это приводит к понижению высоты тона.

Чтобы разобраться в этом более детально, рассмотрим резонатор линии передачи, нагруженный конденсатором, как показано на рис. 7.9, а, и представим себе, что он возбужден в точке подсоединения нагрузки. Полная входная проводимость, согласно уравнению (7.10), составляет А= — jA>(ctg «i + ctg A/2)+j«)C, и из резонансного условия Л=0 следует, что

ctg^ + ctg^ — wCZo- (7.23)

Левая часть этого уравнения изображена графически на рис. 7.9, б, где показаны бесконечные разрывы, возникающие в тех случаях, когда ^/i или ^/2 кратны л. Два разрыва находятся близко друг к

одновременно находятся почти в резонансе; в этом случае конденсатор располагается рядом с узлом. Нули распределены равномерно, отмечая те значения к, при которых резонирует ненагруженная линия. Нагруженная же линия резонирует там, где кривые пересекаются линией coCZo, поэтому сразу видно, что некоторые резонансы сдвинуты больше, чем другие, при этом наименьшие сдвиги наблюдаются для резонансов, по обе стороны которых располагаются разрывы.

На диаграмме также показан эффект нагрузки линии, когда используется не конденсатор, а короткая разомкнутая линия

(рис. 7.9, в), которая сама может резонировать. Левая часть уравнения (7.23) теперь равна произведению — Zo на полную проводимость нагрузки, т. е.— ctg^/з. Бесконечные разрывы приводят к избыточным резонансам, потому что (см. случаи, отмеченные кружками на рис. 7.9,6) там, где ctg kl6 имеет разрыв, существуют два пересечения с одной и той же ветвью левой части уравнения (7.23) • Таким образом, полное число резонансных мод сохраняется, те из них, которые первоначально присутствовали в ненагруженной линии, сдвигаются и к ним добавляются резонансы нагрузки. Сложность рассмотрения даже такого простого примера достаточна для того, чтобы разубедить в необходимости общего анализа линий передачи, нагруженных более чем в одной точке, однако, к счастью, основные характеристики поведения таких линий нам уже ясны.

КЛАПАНЫ В ДЕРЕВЯННЫХ ДУХОВЫХ ИНСТРУМЕНТАХ

Частным случаем нагрузки являются клапаны в деревянных духовых инструментах, которые используют для изменения высоты тона. Любые реальные инструменты, даже такие простейшие, как старинная флейта или свисток, для физика представляются сложными устройствами из-за действия мундштука в процессе возбуждения колебаний. Кроме того, диаметр внутреннего канала инструмента редко бывает постоянным, в каждом инструменте для получения желаемого качества звучания приходится эмпирическим путем подбирать сечения. Чтобы выявить основные характеристики клапанов, удобнее использовать измерения, сделанные с помощью трубки однородного сечения. То, о чем пойдет речь ниже, является иллюстративным, а не строго научным вкладом в акустику; фактически все эксперименты, описанные на последующих страницах, включая изготовление резонаторов, были проведены в течение одного дня, и их может с таким же успехом выполнить любой читатель на инструменте собственной конструкции, если он имеет доступ к обычным лабораторным приборам.

Для изучения резонансов мы использовали латунную трубку длиной 1 м, диаметром 35 мм и толщиной стенки 1,7 мм. Небольшой громкоговоритель, возбуждаемый генератором переменной частоты, располагался на расстоянии 20 мм от одного из концов трубки, это возбуждение наблюдалось посредством прослушивания на другом конце. При этом оказалось, что можно легко услышать резонансы и настроить генератор на пик реакции в пределах ±2 Гц. После нескольких повторений каждого измерения резонансную частоту можно указать с точностью 1 Гц. Несколько первых резонансов были найдены на следующих частотах (цифры в скобках указывают последовательные величины, кратные 169): 167(169), 338(338), 507(507), 676(676), 843(845), 1016(1014).

Для того чтобы быть уверенным в существовании любого отклонения от строго гармонического ряда, необходимо этот вопрос исследовать более тщательно. В указанном диапазоне концевая

Лиаметр отверстия, смЛиаметр отверстия, смРис. 7 10 Влияние размера отверстия на резонансную частоту трубки с открытым концомРис. 7 10 Влияние размера отверстия на резонансную частоту трубки с открытым концомкоррекция, как мы видим, не зависит существенно от частоты. То, что такая коррекция необходима, показывает повторение эксперимента с трубкой половинной длины, для которой резонансные частоты равны 328, 660, 992 и т. д. Эти частоты заметно ниже четных гармоник для более длинной трубки. Если добавить к длине каждой трубки по 25 мм, то отношение их длин, равное 1,95, соответствует среднему отношению частот соответствующих гармоник. Это не дает точного значения концевой поправки, однако полученное таким образом значение является вполне приемлемым. Более точные измерения показывают, что к каждому концу трубки необходимо добавить 0,6г, где г — радиус трубки, т. е. в нашем конкретном случае добавка составит 21 мм.

Лиаметр отверстия, см

Лиаметр отверстия, см

Рис. 7 10 Влияние размера отверстия на резонансную частоту трубки с открытым концом

Рис. 7 10 Влияние размера отверстия на резонансную частоту трубки с открытым концом

Коэффициент 0,6 подобран эмпирически и применяется только в случае, когда трубка не имеет фланцев. Для такой трубки теоретический анализ затруднен из-за наличия сложного обратного потока воздуха снаружи. Вместе с тем трубка с большим плоским фланцем на конце, хотя и создает некоторые дополнительные проблемы, является вполне доступным

объектом для изучения. Такую трубку исследовал Рэлей [3], который принял корректирующий коэффициент равным 0,82. Если сделать упрощающее предположение о том, что картина воздушного потока снаружи трубки в точности повторяет подобную картину снаружи отверстия в тонком плоском листе (см. обсуждение резонаторов Гельмгольца в § 2.3), то коэффициент оказывается равным л/4, что очень близко к результату, полученному Рэлеем. Это обстоятельство имеет отношение к следующей части нашего эксперимента — к ней мы сейчас и обратимся.

Эффект малых отверстий показан на рис. 7.10. Отверстия были просверлены на определенном расстоянии от одного конца трубки, равном четверти ее длины, т. е. в том месте, где находится пучность давления второй гармоники и где эффект максимален. Хорошо видно, что очень маленькое отверстие может вызвать значительное изменение резонансной частоты, о чем знает каждый, кто играл на флейте и не сразу научился плотно закрывать пальцами каждое отверстие. Жирная кривая на рис. 7.10 показывает теоретический результат, полученный без всяких подгоночных параметров следующим образом. Отверстие радиуса г, если пренебречь толщиной стенки, должно вести себя как идеальная трубка длинорй V2 лг, а мы только что видели, что длинная трубка с фланцем на конце имеет тот же самый коэффициент для концевой поправки, поэтому в качестве эффективной длины для уверенности можно взять величину ]/2 лг + ^, где / — толщина стенки. Если волновые проводимости основной трубки радиуса г0 и отверстия соответственно равны До и Д0г2/г02, то, согласно (7.10), полная проводимость отверстия вы-

разится следующей формулой:

Лгв = — j (Aor^ro) ctg [ к U— лг + / ^2,

L \ 2/ Jзх>кгqг

причем это приближение вполне оправдано, поскольку эффективная длина намного меньше длины волны. Тогда условие резонанса (7.23) принимает следующую форму:

ctg W^ctg кЦ=.(7.24)

Л,кГq Г -р Л

Когда г = 0 (отверстие отсутствует), то к (Zi + /2) = 2л. При наличии отверстия й/1 = 3/2л и kl2=xl2n, в результате ctgkl\ = ctgkl2 = 0. Таким образом, для малых изменений к уравнение (7.24) принимает следующий вид:

Если пренебречь толщиной стенки, то ^к и, следовательно, Лео пропорциональны радиусу отверстия. Для отверстий большого радиуса это приближение не выполняется, так как единственное, что может сделать даже самое эффективное отверстие, — это сдвинуть открытый конец в направлении отверстия, при этом длина части трубки, расположенной за отверстием, становится неэффективной и частота повышается (Zj + Z2)//i раз, 1. е. для нашего случая в 4/з раза.

На первый взгляд кажется несколько удивительным, что отверстие диаметром 7 мм в трубке, диаметр которой в пять раз больше, дает столь сильный эффект. В деревянных духовых инструментах отверстия бывают несколько больше, однако толщина стенки у этих инструментов также увеличена, поэтому отверстия не полностью шунтируют участок трубки расположенный за ними по длине трубки. Это объясняет, почему тонкая настройка осуществляется в результате различных комбинаций открытых и закрытых отверстий, причем ближайшее к мундштуку открытое отверстие всегда является основным элементом настройки.

Завершая рассмотрение наших экспериментов, мы покажем с помощью рис. 7.11, как меняются резонансные частоты под действием боковой вспомогательной трубки переменной длины. Боковая трубка, закрытая масляной пробкой, разомкнута, и ее полная проводимость равна /Ло (r2/r02) tg£Z3, где Z3— реальная длина трубки плюс концевая поправка в месте соединения с основной трубой. Штриховые горизонтальные линии на графике показывают невозмущенные резонансы этой трубы. Основной резонанс боковой трубки показан кривой, проходящей через эти горизонтальные линии. Соединение резонаторов приводит в месте стыка к характерному эффекту, с которым мы встретимся еще несколько раз ниже — при каждом пересечении линии разрываются и соединяются снова в разных местах. Так, в частности, можно считать, что кривая АВС

Рис. 7.11. Влияние боковой трубки на резонансную частоту трубы с открытым концом*Рис. 7.11. Влияние боковой трубки на резонансную частоту трубы с открытым концом*

Рис. 7.11. Влияние боковой трубки на резонансную частоту трубы с открытым концом*

Рис. 7.11. Влияние боковой трубки на резонансную частоту трубы с открытым концом*

описывает вблизи А резонанс основной трубы по его третьей гармонике, который слегка возмущен присутствием боковой трубки; на участке В — резонанс боковой трубки, который слегка возмущен из-за наличия основнойt трубы, и вблизи С—резонанс основной трубы по его второй гармонике. Таким образом, здесь возникает непрерывный переход от резонанса к резонансу по мере изменения длины /3. Хорошо видно, что на большей части участка В экспери-

а — схема эксперимента, б — сдвиг некоторых резонансов в зависимости от длины боковой трубки, АВС — теоретическая кривая; горизонтальные штриховые линии обозначают резонансы основной трубы при /з=0, штриховая кривая линия соответствует резонансу изолированной боковой трубки

ментальные точки отсутствуют. Это связано с тем, что дальний конец основной трубы возбуждается настолько слабо, что становится почти невозможно выделить резонанс, слушая звучание трубки в этом месте. Эта картина подтверждается, и ее можно выразить количественно, используя рис. 7.9,6. По мере увеличения /3 происходит сжатие штриховой кривой по горизонтальной шкале и разрыв непрерывно смещается по направлению к началу координат, тогда как сплошные кривые остаются неизменными. Одни резонансы сдвигаются сильно, другие — слабее. Для тех из них, которые имеют узел давления в точке, где находится соединение с боковой трубкой, связь отсутствует, и кривые на рис. 7.10 пересекаются, не оказывая взаимного влияния. Четвертая гармоника в данном эксперименте находится очень близко к такому резонансу, который характеризуется на рис. 7.9, б ветвью, проходящей почти вертикально между двумя очень близко расположенными разрывами. По мере изменения /3 частота фактически не изменяется. Наконец, отметим, что кривая АВС на рис. 7.11 построена теоретически и вновь без подгоночных параметров. При этом теория здесь вполне удовлетворительно подтверждается экспериментальными данными.

ИЗЛУЧЕНИЕ ИЗ ОТКРЫТОГО КОНЦА АКУСТИЧЕСКОГО РЕЗОНАТОРА

Рассмотрение концевой поправки для акустического резонатора с открытым концом, выполненное в рамках рэлеевского анализа, является неполным, потому что оно исходит из предположения об отсутствии излучения мощности в форме, волны. Рэлеевское решение волнового уравнения было вполне корректным, однако само уравнение представляло собой некоторое приближение. Давление звукового поля подчиняется волновому уравнению

\2р =—— д2р[дР= — к2р

с2

Рис 7 12 Двумерный безвихревой поток, вытекающий между двумя параллельными пластинами. Линии тока очерчивают границы равных потоков между ними [4]Рис 7 12 Двумерный безвихревой поток, вытекающий между двумя параллельными пластинами. Линии тока очерчивают границы равных потоков между ними [4]равномерно распределилсяравномерно распределилсядля гармонической волны. Если область, в которой существует возмущение (например, на расстоянии в несколько радиусов трубки за ее концом), намного меньше длины волны, то правая сторона этого уравнения оказывается настолько меньше декартовых компонент оператора, находящегося слева, что это волновое уравнение разумно заменить уравнением Лапласа V2p = 0. Последнее исключает поле излучения и заставляет колебаться в фазе все внешние области, при этом картина потока имеет точно ту же форму, что и безвихревой поток невязкой несжимаемой жидкости, который также подчиняется уравнению Лапласа.

Рис 7 12 Двумерный безвихревой поток, вытекающий между двумя параллельными пластинами. Линии тока очерчивают границы равных потоков между ними [4]

Рис 7 12 Двумерный безвихревой поток, вытекающий между двумя параллельными пластинами. Линии тока очерчивают границы равных потоков между ними [4]

равномерно распределился

равномерно распределился

Двумерный пример такого потока приведен на рис. 7.12. Из него видно, насколько мал тот путь, который необходимо пройти жидкости, чтобы поток в свободном пространстве. То же самое

происходит и в трех измерениях, где скорость потока становится в течение короткого времени чисто радиальной, изотропной и уменьшающейся на больших расстояниях как 1/г2. Несостоятельность уравнения Лапласа становится очевидной только на расстояниях, сравнимых с длиной волны, и если выходное отверстие имеет небольшой диаметр, мы можем предположить, что на таком расстоянии поток становится идеально изотропным. Поэтому при рассмотрении волнового уравнения мы можем ограничиться сферически- симметричными решениями. На этой стадии, несомненно, можно продолжить анализ чисто математически, записав волновое уравнение в сферических координатах. Однако мы поступим иначе и попытаемся вывести требуемое выражение непосредственно из основных физических представлений, поскольку в процессе вывода будут получены некоторые другие полезные соотношения.

Рассмотрим сферически-симметричное радиальное смещение | (г, t) объемного элемента, который определяется телесным углом dQ и сферами с радиусами г и r+dr. Внутренняя поверхность перемещается от г к r+g, а внешняя — к r+dr+^+(d§/dr)dr. Исходный объем r2dQdr становится равным (r+£)2dQ (l+di/dr)dr при относительном расширении 2g/r+dg/dr для первого порядка по £. Если объемный модуль упругости среды равен К, то давление в этой точке

p^-K^lr^d^r^^(7-25)

Г2 or

В результате сила, действующая на единичный объем среды, равна —grad pt т. е. в данном случае — это радиальная сила, равная —dpfdr. Следовательно, уравнение движения примет следующий вид:

?d4/dt2= -др/дг.(7.26)

Из (7.25) с учетом (7.26) имеемi

^Р_ К3/9 дЧ cz а/2 др \

сД2г2dr\ dt2/ г2дг\ дг /

где с^ = К1р. Для колебательного движения

(7'27)

и решение этого уравнения, которое описывает убегающую сферическую волну, имеет следующий вид:

(7.28)

Радиальное смещение g, соответствующее этому изменению давления, находим из (7.26), и для радиальной скорости у = ico^ получаем

(7.29)

Полученное решение отличается от решения уравнения Лапласа наличием множителя e'kr, который описывает зависимость фазы от расстояния, а также наличием дополнительного слагаемого —\kr. На расстоянии от центра, намного меньшем длины волны, где kr^X, скорость у изменяется как 1/г2 (несжимаемый поток), однако на больших расстояниях второе слагаемое становится преобладающим и у, как и в случае волнового движения, изменяется по закону ^krlr. Теперь мы можем рассчитать величины, характеризующие свойства трубки с открытым концом как излучателя звука. Для этого, рассмотрев поведение потока вблизи трубки, определим величину а через параметры движения в выходном отверстии и, рассмотрев поведение потока на большом расстоянии,

найдем поток энергии. В том случае, если излучение окажется слабым, можно предположить, что стоячие волны в трубке идеальны и что они состоят из бегущих волн, распространяющихся в обо- мх направлениях и имеющих амплитуду давления р0. Связанные с этими волнами колебания скорости имеют амплитуду ро/(ро)- Сразу же за концом трубки в пучности скорости они складываются, образуя осциллирующий поток ф по всему выходному отверстию площадью S:

® = ^dS = 2SJo0/(pc1).(7.30)

Этот поток должен соответствовать потоку в ближнем поле, который описывается уравнением (7.29) и который мы предполагаем изотропным в пределах телесного угла Q (4л — для полного потока излучения, 2л — для выходного отверстия с фланцем). Следовательно,

^ = 28 р^,^с ) = \ ай]^^

т. е.

а=— 2л 8рйк!9..(7.31)

На больших расстояниях давление с амплитудой \а\/г и скорость с амплитудой £|а|/(сорг) осциллируют в фазе и обеспечивают средний поток энергии, приходящийся на единичную площадь, равный хкк\ а^](сорг2). Тогда мощность Р, излучаемая в полный телесный угол, составит

Рk\a\W-^ = ^S4^KtcxQ.Y(7.32)

Этот результат можно выразить в более удобной форме через радиационное сопротивление выходного отверстия. Если линия с волновым сопротивлением Zo нагружена сопротивлением R, которое намного меньше Z^ то уравнение (7.7) показывает, что г2, т. е. доля отраженной мощности, равна приближенно 1—^RIZ^ в результате резистор поглощает мощность, равную ^RIZq. Мы приписываем R такое значение, при котором ^R]Zq можно определить как долю мощности, поступающую к выходному отверстию и излучаемую наружу. Так как мощность, переносимая бегущей волной, равна хкрЖ, то

р 12S2k2p22Z,

—— =-= k2S;Q,(7.33)

Zo 4 PC|2P5

поскольку, согласно (7.20), Z0=pci/S.

В описанных выше экспериментах площадь поперечного сечения трубки составляла около 10-3 м2 и на частоте второй гармоники длина волны была близка к 1 м, в результате к^б и доля мощности, излучаемой в полный телесный угол, составляла около 1,3%. Если главной причиной диссипации являются эти радиационные потери, значение Q для резонанса можно оценить, заметив, 200

что волна, отраженная в прямом и обратном направлениях на этой частоте, испытывает потери энергии порядка 1,3% при прохождении каждого участка размером в длину волны, а амплитуда этой волны уменьшится в е раз на расстоянии, равном примерно 80 длинам волн или 500 рад. Поэтому излучение ограничит добротность Q значением 500. Если дело обстоит именно так, то вязкое сопротивление вблизи стенок трубки создает еще более мощный источник диссипации.

Развитие теории этого эффекта, несмотря на всю его очевидность, увело бы нас далеко в сторону, поэтому здесь мы просто отметим результат расчета: если вязкость газа равна г] и радиус трубки равен г0, то добротность Q, которую дает один только этот источник потерь, равна (3/2 юр^У^Го, что составляет около 250 в нашем примере. Указанные два источника потерь, действуя вместе, ограничивают Q значением порядка 170; оно достаточно велико, чтобы объяснить, почему даже с помощью такого довольно грубого способа, как прямое прослушивание, удается определять резонансные частоты в пределах точности 1 Гц.

Трудности, связанные с концевой поправкой и излучением, возникают и в случае электромагнитных систем, однако при этом! нужно отметить довольно существенные различия в деталях. Электромагнитные волны в отличие от звуковых не могут распространяться в металлических трубках, диаметр сечения которых мал по сравнению с длиной волны. Граничные условия, которым должны удовлетворять электрические и магнитные поля, не допускают существования волн постоянной амплитуды по всему поперечному сечению, Типичные передающие системы для длинных волн имеют по крайней мере два проводника, подобно двухпроводным и коаксиальным линиям, изображенным на рис. 7.1. Вблизи конца такой линии силовые линии искажены и выходят, изгибаясь, за плоскости, перпендикулярные направлению распространения волн (рис. 7.13). Когда длина волны намного превышает поперечные размеры передающей системы, силовые линии принимают ту же форму, что и линии в заряженном конденсаторе с такой же геометрией. На практике определение концевой поправки полностью аналогично процессу, описанному ранее для акустического резонатора. Наличие граничных условий приводит к ряду трудностей, и, по-видимому, не существует сколько-нибудь систематического анализа решений для определения электромагнитной концевой поправки. Конечно, на практике нетрудно экспериментально определить собственную частоту резонатора и, таким образом, измерить концевую поправку прямым способом — ее вычисление было бы упражнением в прикладной математике, которое, однако, вряд ли является оправданным, несмотря на полезность полученных результатов.

В длинной коаксиальной линии со стоячей волной через каждые четверть цикла картина чисто электрического поля сменяется картиной чисто магнитного поля. Это является электромагнитным аналогом обмена между потенциальной и кинетической энергиями,

наблюдаемого в механической колебательной системе. При этом узлы одного поля совпадают с пучностями другого. Если на какой- то момент пренебречь концевыми поправками, то в разомкнутой цепи магнитное поле должно отсутствовать, потому что такое поле требует существования продольных токов в проводниках. Что касается электрического поля, то здесь нет никаких оговорок, поэтому конфигурации полей выглядят так, как показано на рис. 7.14;

Рис. 7.13. Искривление силовых линий на конце передающей системы:а—двухпроводная линия передачи; б — коаксиальная линияРис. 7.13. Искривление силовых линий на конце передающей системы:а—двухпроводная линия передачи; б — коаксиальная линияРис. 7.14. Магнитное поле и ток, а также электрическое поле и плотность поверхностного заряда в границах одной полуволны (границы отмечены штриховыми линиями) для стоячей волны в длинной линии передачиРис. 7.14. Магнитное поле и ток, а также электрическое поле и плотность поверхностного заряда в границах одной полуволны (границы отмечены штриховыми линиями) для стоячей волны в длинной линии передачи

Рис. 7.13. Искривление силовых линий на конце передающей системы:

а—двухпроводная линия передачи; б — коаксиальная линия

Рис. 7.13. Искривление силовых линий на конце передающей системы:

а—двухпроводная линия передачи; б — коаксиальная линия

Рис. 7.14. Магнитное поле и ток, а также электрическое поле и плотность поверхностного заряда в границах одной полуволны (границы отмечены штриховыми линиями) для стоячей волны в длинной линии передачи

Рис. 7.14. Магнитное поле и ток, а также электрическое поле и плотность поверхностного заряда в границах одной полуволны (границы отмечены штриховыми линиями) для стоячей волны в длинной линии передачи

Рис. 7.16. Силовые линии электрического (сплошные линии) и магнитного (штриховые линии) полей в поперечной плоскости круглого волноводаВдоль волновода распространяется волна с модой ТЕп (а) и TMoi (б)Рис. 7.16. Силовые линии электрического (сплошные линии) и магнитного (штриховые линии) полей в поперечной плоскости круглого волноводаВдоль волновода распространяется волна с модой ТЕп (а) и TMoi (б)

Рис. 7.16. Силовые линии электрического (сплошные линии) и магнитного (штриховые линии) полей в поперечной плоскости круглого волновода

Вдоль волновода распространяется волна с модой ТЕп (а) и TMoi (б)

Рис. 7.16. Силовые линии электрического (сплошные линии) и магнитного (штриховые линии) полей в поперечной плоскости круглого волновода

Вдоль волновода распространяется волна с модой ТЕп (а) и TMoi (б)

Рис. 7.15. Силовые линии, ток и плотность заряда в случае короткого внутреннего проводника коаксиальной линии (иллюстрация необходимости введения концевой коррекции)

плотность заряда на поверхности проводников следует распределению £х, а ток — распределению В'. Концевая поправка возникает вследствие избыточной концентрации электрических силовых линий и, следовательно, избыточной концентрации поверхностного заряда вблизи концов (рис. 7.15). В процессе колебаний избыточный заряд должен быть попеременно то добавлен, то удален током, который не уменьшается нигде до нуля как синусоида, а остается довольно большим почти до самого конца линии. Поэтому области, находящиеся за пределами короткого внутреннего про-

водника, аппроксимируются несколько большими длинами волн и резонансная частота соответственно уменьшается. Например, было найдено, что резонатор подобной конфигурации с внешним и внутренним диаметрами 14 и 1 мм и внутренним проводником длиной 13 мм имеет основной резонанс, который соответствует длине волны в свободном пространстве, равной 32 мм, а не 26 мм; концевая поправка достигла при этом 1,5 мм для каждого конца линии.

Рис. 7.17. Силовые линии электрического (сплошные линии) и магнитного (штриховые линии) полей в поперечной плоскости прямоугольного волноводаНапряженность электрического поля изменяется синусоидально вдоль большего размера, как показано внизуРис. 7.17. Силовые линии электрического (сплошные линии) и магнитного (штриховые линии) полей в поперечной плоскости прямоугольного волноводаНапряженность электрического поля изменяется синусоидально вдоль большего размера, как показано внизуДля внешнего проводника, удлиненного подобным образом, излучение невозможно, пока длина волны не уменьшится до такой степени, что бегущие волны будут переносить только лишь внешний проводник (режим работы волновода) [1]. В трубке, длина которой намного превышает длину волны, возможно множество различных волноводных мод, каждая из которых имеет свою собственную критическую длину волны в свободном пространстве Лкр. Существование лкр позволяет нам сделать вывод, что исследуемая мода не может распространяться на частоте, меньшей с/Хкр. В круглом волноводе наиболее легко распространяется мода ТЕц (рис. 7.16, а), для которой Хкр в 3,41 раза превышает радиус трубки. По соображениям симметрии это не единственная мода, которая возбуждается в идеально сцентрированной коаксиальной линии. Для коак

Рис. 7.17. Силовые линии электрического (сплошные линии) и магнитного (штриховые линии) полей в поперечной плоскости прямоугольного волновода

Напряженность электрического поля изменяется синусоидально вдоль большего размера, как показано внизу

Рис. 7.17. Силовые линии электрического (сплошные линии) и магнитного (штриховые линии) полей в поперечной плоскости прямоугольного волновода

Напряженность электрического поля изменяется синусоидально вдоль большего размера, как показано внизу

сиальной моды Е'(—г) =—Е'(г), тогда как для моды ТЕц имеем Е'(—г) = Е7(г). Самая низкая мода, которую можно возбудить в коаксиальной линии, — это TMoi (рис. 7.16, б). Она имеет аксиальную симметрию и радиальное электрическое поле, совпадающее с соответствующим полем коаксиальной линии. Критическая длина волны для этой моды в 2,61 раза больше радиуса, поэтому ее нельзя возбудить за пределами внутреннего проводника в упоминавшейся выше трубке радиусом 7 мм на резонансной частоте, соответствующей Хкр=32 мм. Такой резонатор свободен от радиационных потерь до тех пор, пока Хкр не уменьшится до 18 мм (или 25 мм, если резонатор антисимметричен и в нем возбуждается мода ТЕц).

У нас нет необходимости углубляться далее в теорию и практику волноводов, поскольку нам достаточно лишь знать, что они являются одномерными устройствами, которые обеспечивают передачу волн и к которым применим анализ, развитый в начале этой главы. Эти волноводы можно использовать в качестве основы при рассмотрении таких резонаторов, в которых оба конца закрыты металлическими пластинками, действующими как короткозамыкающие перемычки. Если размеры открытых волноводов сравнимы с длиной волны, они сильно излучают, поэтому их нельзя применять в качестве резонаторов с высокой добротностью Q. Наиболее распрост-

раненным типом волновода являются прямоугольные, работающие в своей самой низшей моде ТЕю. Картина поля в таком волноводе изображена на рис. 7.17. Критическая длина волны равна удвоенной ширине волновода, измеренной в направлении, перпендикулярном Е'. Простота механической конструкции волноводов для сантиметровых волн (скажем, л<20 см) делает естественным их применение для иллюстрации различных устройств, в которых резонаторы взаимодействуют с волнами.

РЕЗОНАТОРЫ, ПОДСОЕДИНЕННЫЕ К ЛИНИЯМ ПЕРЕДАЧ

Типичные устройства такого типа показаны схематически на рис. 7.18. В каждом отдельном случае предполагается, что входная линия передачи, располагающаяся слева, содержит согласованный

Рис. 7.18. Резонансные цепи, связанные с линиями передачи, и их волноводные эквиваленты. Диафрагма с отверстием, расположенная в волноводе, позволяет реализовать частичное пропускание и частичное отражение волны, а также служит для связи резонансной полости с волноводом:

а, б — линия, нагруженная резонатором, в, г — проходной резонатор; О, е — боковое ответвление, нагруженное резонатором

аттенюатор, в результате волна, отраженная в резонаторе наружу, исчезает без всяких следов. Аналогично, в случаях в—е, где справа имеются выходные линии передачи, предполагается, что они также согласованы. Три устройства — б, г и е— сравниваются с устройствами а, в и д, причем первые три являются волноводами, в которых резонансная секция ограничена диафрагмами со сквозными отверстиями для связи, тогда как вторые три содержат резонансные цепи с сосредоточенными параметрами. Между ними нет больших различий, за исключением того, что цепи с сосредоточенными параметрами имеют только одну резонансную частоту. Нас интересуют их чисто внешние свойства и то влияние, которое они оказывают на форму резонанса. Указания на различия, связанные с методами возбуждения и детектирования волн, можно получить, например, из импульсного отклика. В частности, в варианте в начальный импульс обеспечивает кольцевой ток в резонаторе, а то, что возникает в выходной линии, представляет собой просто затухающее колебание. Это устройство имеет характеристики, аналогичные тем, которые обсуждались в § 6.1. С другой стороны, в слу-

чае а имеется отраженный импульс, за которым следует генерация, тогда как в случае д наблюдается прямой импульс, а также последующий импульс и генерация.

Вместо импульсного отклика мы используем здесь общепринятый подход, основой которого является отклик на входной сигнал с одной частотой. Трудности, связанные с анализом импульсного отклика, особенно заметны в линиях передачи для резонаторов, имеющих большое число резонансов на частотах выше основной, которой, по предположению, мы и интересуемся. Вместо возбуж

дения в синусоидальном режиме можно представить себе, что в ре- [

зонаторе импульс отражается в [

прямом и обратном' направлени- J ях, испуская при каждом отраже- j I нии небольшую долю своей энер- I гии. В целом импульс испытывает 1

при отражении нарастающее ИС- Рис. 7.19 Обозначения, используемые кажение, поэтому ВЫХОДНОЙ сиг- ПРИ анализе проходного резонатора нал представляет собой последовательность импульсов с постепенно изменяющейся формой. В принципе, Фурье-анализ этого выходного сигнала позволил бы нам получить все резонансы за один прием, однако в данной ситуа

ции игра не стоит свеч.

Рассмотрим сначала простейшие случаи виг, где выходной сигнал вызван только возбуждением резонатора и не смешан с какой-либо частью входного сигнала. Представляя резонатор в виде участка линии передачи, связанного с помощью преобразователей, свободных от потерь, с входной и выходной линиями передачи, мы, по аналогии с рис. 7.5, будем измерять амплитуды в тех точках, где коэффициенты отражения являются действительными, а коэффициенты пропускания, как мы уже теперь знаем, — мнимыми величинами. Пусть эти коэффициенты равны гх и i/i для левого соединения и r2, i^2 — Для правого, при этом ri2 + /i2 = r22 + /22=' 1. Волна с амплитудой Л (I + V28) e-i0 (рис. 7.19), берущая начало с внутренней стороны левого соединения, после отражения в другом конце имеет амплитуду г2(1— V2eMe-10, при этом множитель (l±V2e) учитывает затухание, вызванное неидеальностью проводников, диэлектриков и т. п., a ei0 выражает изменение фазы вдоль резонатора (здесь 0 = ^/, если I — длина резонатора). Теперь, исходя из тех же соображений, которые использовались при анализе рис. 7.6, мы будем считать, что волна, поступающая от левого соединения внутрь резонатора, состоит из отраженной части волны, которая проходит справа, и передаваемой части падающей волны единичной амплитуды, т. е.

Л (1Ч- 1/2s)el^ = r1r2(l — 72-) л е=е i

Отсюда определим

А = iJM( 1 + 72О е-=6 - г1Г2 (1 - V2O е19 ],(7.34)

7‘ = i/2A

Если мы ограничимся только резонаторами с высокой добротностью Q, то е<С1 и ri,2^1—V2 ^2i,2- В результате

• Т^ — /^e^/11 — (1 — а)е216],

где a = e+V2 (^i2 + ^22). Пик n-го резонанса возникает, когда 9 = шт и знаменатель становится очень малой величиной, равной а. При этом даже небольшого изменения 9 достаточно, чтобы знаменатель существенно возрос, в результате мы получаем в хорошем приближении выражение

+ Z1/2/(a-2iA9), (7.35)

которое, как и ожидалось, имеет стандартную форму Лоренца (см. § 4.3). Если для измерения мощности, переданной через резонатор, использовать квадратичный детектор, то

7’7* = /'1^[а2 + 4(Д9)2]. (7.36)

Величина ТТ* уменьшается до своего половинного значения в пике при A9=±V2«. Для пересечения пика на уровне половинной мощности требуется относительное изменение по 9 (и, следовательно, по частоте) на а/(/гл), поэтому

Q = /гл/a. (7.37)

Это и есть тот результат, который мы рассчитывали получить с учетом собственного декремента стоячей волны, возбужденной в резонаторе. При однократном прохождении через резонатор в обоих направлениях бегущая волна теряет долю е своей амплитуды и долю 2е своей энергии за счет затухания, а также долю /12 + /22 в линиях связи, что в целом составляет 2a. Поскольку за время этого «путешествия» опережение по фазе составит 2/гл рад, потери, приходящиеся на 1 рад, равны 1/Q = а/(лгл).

Существует также связь между пропусканием через резонатор и вкладом в ширину, который дают потери на связи. Согласно (7.35), амплитудный коэффициент пропускания £ (т. е. значение |7| в резонаторе) равен t\tol^. Мы определяем Qo как добротность Q ненагруженного резонатора, т. е. Qo = nк|г, когда связь с внешними цепями пренебрежимо мала. Отсюда непосредственно следует, что

Q/Qo + 1/2(^2+WC=1. (7.38).

Поэтому если диафрагмы связи систематически изменяются таким образом, что отношение /;//2 остается постоянным (это можно сделать проще всего, добившись, чтобы отверстия в диафрагмах были строго одинакового размера), то Q изменяется линейно в зависимости от £. Экстраполируя линию к £ = 0, можно определить значение Q, обусловленное только потерями в резонаторе.

Резонаторы, показанные на рис. 7.20, сконструированы так, чтобы /1 и /2 могли систематически изменяться, в то время как их отношение остается постоянным. В обоих случаях в качестве ре- 206

Рис. 7.21. График зависимости добротности Q от коэффициента передачи £ при изменяющейся связиРис. 7.21. График зависимости добротности Q от коэффициента передачи £ при изменяющейся связиРис. 7.20. Два примера резонансных проводников, связанных в проходном варианте с коаксиальными линиямиВ обоих случаях полная длина проводников немного меньше половины длины волны в свободном пространстве на резонансной частоте. Связь изменяется за счет подъема или опускания проводниковРис. 7.20. Два примера резонансных проводников, связанных в проходном варианте с коаксиальными линиямиВ обоих случаях полная длина проводников немного меньше половины длины волны в свободном пространстве на резонансной частоте. Связь изменяется за счет подъема или опускания проводников

Рис. 7.21. График зависимости добротности Q от коэффициента передачи £ при изменяющейся связи

Рис. 7.21. График зависимости добротности Q от коэффициента передачи £ при изменяющейся связи

Рис. 7.20. Два примера резонансных проводников, связанных в проходном варианте с коаксиальными линиями

В обоих случаях полная длина проводников немного меньше половины длины волны в свободном пространстве на резонансной частоте. Связь изменяется за счет подъема или опускания проводников

Рис. 7.20. Два примера резонансных проводников, связанных в проходном варианте с коаксиальными линиями

В обоих случаях полная длина проводников немного меньше половины длины волны в свободном пространстве на резонансной частоте. Связь изменяется за счет подъема или опускания проводников

зонансных элементов используются проводники. Шпилька на рис. 7.20, а образует двухпроводную линию передачи, открытую снизу, короткозамкнутую сверху и имеющую магнитную связь с внешней коаксиальной линией, причем эта связь может изменяться посредством вертикального смещения шпильки. Аналогичным образом регулируется и коаксиальный резонатор, показанный на рис. 7.20,6, однако здесь связь является электрической.

Эта кривая, полученная с помощью резонатора, показанного на рис. 7.20, а, иллюстрирует небольшое отклонение от линейности при слабой связи, что вызвано прямой связью между петлями. В более совершенной конструкции этот недостаток легко исключить

Пример проверки уравнения (7.38) показан на рис. 7.21. Два только что рассмотренных нами резонатора использовались при очень низких температурах для изучения поверхностного сопротивления сверхпроводников на сверхвысоких частотах, когда образец (подвижная проволока) был охлажден ниже своей температуры сверхпроводящего перехода, в результате чего его сопротивление быстро уменьшилось, а добротность Q увеличилась до очень большого значения [5]. Связь регулировалась так, чтобы доля передаваемой мощности оставалась в резонансе постоянной, этим поддерживались постоянными £, а следовательно, и Q/Qo- Поэтому вариации измеренного значения Q давали без корректировки относительные значения Qo при разных температурах. Вероятно, следует в скобках заметить, что эти резонаторы, основные проводники в которых имеют форму тонких проволок, были спроектированы так, чтобы эффект резистивных потерь был максимальным, что крайне желательно, поскольку на сверхвысоких частотах сопротивление сверхпроводников очень мало. Несмотря на это, были зарегистрированы Q>5-106. В других экспериментах, целью кото-

рых было получение максимальных значений Q с помощью резонансных полостей со сверхпроводящими стенками, удалось достигнуть добротностей, значительно превышающих 1010 [6].

Одно из следствий уравнения (7.38) заключается в том, что если отсутствуют заметные внутренние потери, то добротность Q определяется исключительно только связью £ = 2/(^//2 +^2/71) и равна единице, когда tx = t2- Однако это верно только для преобразователей, свободных от потерь. Если связь с внешними цепями осу-

Рис. 7.22. Резонансная длина линии передачи, ограниченной небольшими шунтирующими сопротивлениями, которая моделирует интерферометр Фабри — ПероРис. 7.22. Резонансная длина линии передачи, ограниченной небольшими шунтирующими сопротивлениями, которая моделирует интерферометр Фабри — Пероществляется через преобразователи с потерями, то передаваемая мощность существенно уменьшается. Рассмотрим, например, линию, резонансный элемент которой ограничен с помощью двух одина, ковых небольших шунтирующих резисторов, включенных параллельно * линии (рис. 7.22). Из (7.7) мы имеем, что амплитуда отраженной (или вторично излученной) волны равна 2у—1, если уС1, и поэтому амплитуда проходящей волны должна быть равна 2у. Теперь величины г и t обе являются действительными, а не

Рис. 7.22. Резонансная длина линии передачи, ограниченной небольшими шунтирующими сопротивлениями, которая моделирует интерферометр Фабри — Перо

Рис. 7.22. Резонансная длина линии передачи, ограниченной небольшими шунтирующими сопротивлениями, которая моделирует интерферометр Фабри — Перо

одной мнимой и другой действительной величинами, как это было ранее. Вычисление можно выполнить таким же способом, каким получено выражение (7.35), и ответ будет, по существу, одним и тем же, за исключением лишь того, что мы не сможем больше брать г2 + /2=1. Значение Q все еще определяется внутренними потерями и потерями при отражении, поэтому если мы напишем a=ie + ^2, то при этом следует помнить, что f2 — это не отраженная мощность, т. е. не 1—г2, а величина, включающая в себя как потери преобразователя, так и мощность в выходной линии передачи. С другой стороны, произведение 1x4^ в числителе (7.36) относится непосредственно к мощности, поступающей в линию передачи, и исключает все то, что потеряно в резисторах. Для данного значения г и, следовательно, а числитель в (7.36) равен (1—г2)2 для преобразователей, свободных от потерь, и (1—г)4 для резисторов, которые используются как преобразователи. Последняя величина меньше предыдущей в V4(l—И2 раз, если г близко к единице, что означает очень существенное уменьшение передаваемой интенсивности, когда преобразователь поглощает почти все, что в идеальном случае он должен был передать.

Это обстоятельство создает реальную проблему при конструировании отражающих покрытий для оптических интерферометров. Интерферометр Фабри — Перо, в котором кольцевые полосы наблюдаются при прохождении света после многократных отражений между двумя оптическими пластинками, является инструментом, в основе действия которого лежат те же правила, которые были нами рассмотрены выше [7]. Высокая добротность Q достигается в данном случае за счет использования промежутка между оптическими пластинками (преобразователями), равного большому

числу длин волн (возможно, 104—105). При столь значительном значении п в (7.37) величина а не обязательно должна быть очень малой, чтобы обеспечить разрешение, которое дает, скажем, Q=106. Однако если с помощью резистивного покрытия, например тонкой металлической пленки, получено а, равное 7ю, то результирующее

пропускание в резонансе, измеренное по центрам ярких интерференционных полос, составит всего лишь 71воо от мощности падаю

щей волны. Хорошее приближение для отражающих без потерь покрытий можно обеспечить посредством наложения слоев с толщиной примерно в четверть длины волны из прозрачных материалов с чередующимися высокими и низкими коэффициентами преломления. Таким способом можно обеспечить отражение на уровне 99%, причем почти вся оставшаяся мощность ~ 1 % будет передаваться без поглощения.

Так как высокая добротность интерферометра Фабри — Перо обычно достигается за счет большого п, а не за счет приближающейся к идеальной отражающей способности, то резонансные моды располагаются близко друг от друга и их отклики перекрываются. Возвращаясь не к приближению (7.35), а к (7.34), и подставляя 8=0 и г1 = г2=г, мы имеем

А = i //(е-19 — г2 е19),

откуда

АА * = t2K 1 + г4 — 2г2 cos 29).

Рис. 7.23. Геометрический способ определения изменения передаваемой интенсивности в зависимостиРис. 7.23. Геометрический способ определения изменения передаваемой интенсивности в зависимостиот частоты для устройства, показанного на рис. 7 22, согласно уравнению (7.39)от частоты для устройства, показанного на рис. 7 22, согласно уравнению (7.39)(7.39)(7.39)Знаменатель здесь, как показано на рис. 7.23, представляется геометрически в виде квадрата расстояния D между точкой Р, движущейся по окружности радиуса г2, и фиксированной точкой О, лежащей на единичном расстоянии от центра окружности. Различие между этим резонансом и резонансом Лоренца заключается в том, что в последнем случае окружность заменяется касательной к ней в ближайшей точке. Если г2 близко к единице, это различие становится пренебрежимо малым, за исключением области вдали от пика, где отклик является относительно слабым. Кривая зависимость (7.39) для не слишком малого значения 1—г2 показана на рис. 7.24. В случае низкой отражающей способности кривая становится близкой к синусоиде. При этом возможность разрешить резонансы остается всегда, однако контраст между максимумами и минимумами ослаблен.

Рис. 7.23. Геометрический способ определения изменения передаваемой интенсивности в зависимости

Рис. 7.23. Геометрический способ определения изменения передаваемой интенсивности в зависимости

от частоты для устройства, показанного на рис. 7 22, согласно уравнению (7.39)

от частоты для устройства, показанного на рис. 7 22, согласно уравнению (7.39)

(7.39)

(7.39)

Мы говорим здесь о резонансах, потому что именно на «резонансном» языке было начато обсуждение, однако вскоре мы увидим, что изменения интенсивности обычно описываются с использованием понятия интерференционных полос. Выявить логическую связь между этими двумя подходами довольно несложно, если

использовать то, что покажется на первый взгляд искусственным приемом. В оптическом интерферометре 9 изменяется за счет изменения не частоты, а угла падения плоской волны на пластинки. Искусственный прием заключается в том, что волна, падающая под некоторым углом к оси, рассматривается как волна, бегущая вдоль оси и имеющая фазу, которая изменяется в поперечном направлении по отношению к ее волновому фронту. Представим себе, что плоская волна, описываемая уравнением g = ez(k-r—со/), движется вдоль оси 2:

Длина резонатораДлина резонатораРис. 7.24. Форма кривой передаваемой интенсивности, полученной из уравнения (7.39) и рис. 7.23 при г2 = 1/2Рис. 7.24. Форма кривой передаваемой интенсивности, полученной из уравнения (7.39) и рис. 7.23 при г2 = 1/2Рис. 7.25. Падающая наклонно плоская волнаИллюстрация понятия «продольной длины волны» Х1 и «поперечной длины волны» XtРис. 7.25. Падающая наклонно плоская волнаИллюстрация понятия «продольной длины волны» Х1 и «поперечной длины волны» Xt

Длина резонатора

Длина резонатора

Рис. 7.24. Форма кривой передаваемой интенсивности, полученной из уравнения (7.39) и рис. 7.23 при г2 = 1/2

Рис. 7.24. Форма кривой передаваемой интенсивности, полученной из уравнения (7.39) и рис. 7.23 при г2 = 1/2

Рис. 7.25. Падающая наклонно плоская волна

Иллюстрация понятия «продольной длины волны» Х1 и «поперечной длины волны» Xt

Рис. 7.25. Падающая наклонно плоская волна

Иллюстрация понятия «продольной длины волны» Х1 и «поперечной длины волны» Xt

причем ее волновой фронт модулируется в соответствии с изменением величины

$0 (X, У)=е,№^+Й»у\(7.40)

Полезность этого приема зависит от того, насколько отражающие поверхности, которые являются плоскими и лежащими в плоскости (х, у), не вызывают изменений в форме go (х, у); при отражении только движение вдоль оси z претерпевает изменение, поэтому в рамки нашего исследования одномерных систем можно ввести и наклонные волны. Это соображение иллюстрируется рис. 7.25. Истинная длина волны здесь равна X, однако «продольная длина волны», измеренная вдоль г, больше: Х1=Х5есф. Изменение фазы в плоскости (х, у) определяется «поперечной длиной волны»: Х< = Х cosec ср. Изменение ф в случае волны с данной частотой не изменяет ее реальной скорости, однако скорость этой волны вдоль z имеет большее значение и равно с cosec ф. По этой причине (другими словами, потому что фаза ф в (7.39) равна kj,, где / — это расстояние между пластинками) 9 может изменяться за счет изменения ф, а не со. Следовательно, рис. 7.24 выражает также зависимость интенсивности от угла, когда монохроматический свет падает на интерферометр со всех направлений.

В заключение отметим, что один из способов обеспечить всестороннее (диффузное) освещение — это разместить вблизи интерферометра монохроматический источник больших размеров (пламя, разрядную трубку и т. п.). Поскольку каждая точка источника является независимым излучателем, амплитудное распределение в плоскости (х, у) описывается функцией ^ (х, z/) е-16)\ фаза которой случайна, сколь бы однородно?! ни была интенсивность источника»

Рис. 7.26. Фотография кольцевых полос Фабри — Перо, полученных с помощью поверхностей с высокой отражающей способностью Экспериментальное подтверждение того, что пики пропускания являются очень узкими [8]

Следствием такого случайного характера фазы является то, что если мы подвергнем Фурье-анализу пространственное изменение амплитуды, то получим некоторый однородный спектр. В этом случае функции ;0=^с'^^^^'^ являются нечем иным, как базисными функциями этого преобразования Фурье, и поэтому можно ожидать, что все k<s kL появятся с одинаковой интенсивностью.

Глаз или фотокамера, сфокусированные на бесконечность, канализируют каждую Фурье-компоненту в различные точки на сетчатке глаза или фотопластинке и отображают в одном-единствен- ном изображении отклик, показанный на рис. 7.24, в виде набора интерференционных колец. Рис. 7.26 как раз и представляет собой такую фотографию, которая получена с помощью пары пластинок с исключительно высококачественным покрытием, обеспечивающим очень резкие и яркие полосы. Даже если объяснение появления

этих кольцевых полос и вызывает какие-то сомнения, то убедительным подтверждением повышенной их резкости является тот факт, что чередующиеся кольца образованы двумя разными спектральными линиями. Синусоидальные полосы, которые получают с помощью интерферометра Майкельсона, не могут дать такого разрешения: две синусоиды при наложении друг на друга дают в результате одну синусоиду.

Обратимся теперь еще к одному простейшему устройству, показанному на рис. 7.18, а (или б), в котором отклик резонатора обнаруживается по изменениям амплитуды или мощности отраженной волны. Здесь нет необходимости останавливаться на рассмотрении технических деталей, связанных с выделением отраженной доли из падающей волны,— достаточно знать, что для этой цели используют приборы, имеющиеся в продаже. Анализ случая б можно взять непосредственно из анализа случая г, результаты которого выражены соотношением (7.34). Используя те же приближения, которые привели нас к (7.35) и которые применимы для случая резонаторов с высокой добротностью Q, мы получаем, что

А ^ i //(а — 2 i ДО),

где a = e+V2/2, и теперь имеется только одна внешняя цепь, которая дает потери на связи. Эту величину А можно также взять, не внося особых погрешностей, в качестве амплитуды волны, падающей на преобразователь изнутри; в результате получим

/? = г4ЛМ^ 1— /2/(a-2i ДО). (7.41)

На большом расстоянии от резонанса имеет место практически полное отражение от преобразователя, и резонанс обнаруживается как спад в значении отраженной мощности. В самом центре резонанса, когда А0 = О,

А*мин = 1 — /2/«.

Если величину Vs /2 принять равной г, в результате чего резонансная ширина в равной степени свяжется как с внутренней дисси нацией, так и с потерями на связь, то /?Мин = 0. При более сильной или более слабой связи отраженная мощность не падает до нуля, однако в остальном форма резонанса остается той же самой. Измерения с помощью квадратичного детектора дают следующее выражение для выходной мощности:

RR* = 1 - 2;/2/[a2_j_4 (Д0)2|,

т. е. получаем резонанс Лоренца, вычитаемый из константы (единицы), как показано на рис. 7.27.

При использовании устройств, показанных на рис. 7.18, б, е, форма резонанса становится менее привлекательной. Здесь нет необходимости анализировать общий случай, когда волна, прибывающая в место соединения по одному из трех волноводов, частично отражается и разделяется между двумя другими ответвлениями в

соответствии с их импедансами. Вместо этого мы предполагаем, что боковой волновод, нагруженный резонатором, имеет волновое сопротивление, равное удвоенному импедансу двух других ответвлений, которые одинаковы. Если все соединения располагаются последовательно, образуя кольцо, то волна, падающая из бокового волновода, встречает на своем пути сумму двух других волновых сопротивлений и не испытывает отражения, при этом ее мощность делится поровну. С другой стороны, волна, падающая из входной линии, встречается с тройным импедансом. Согласно (7.7), г=1/2, поэтому четверть входной мощности отражается, тогда как другая

Рис 7 27. Резонанс поглощения, наблюдаемый для отраженной волны в устройстве, показанном на рис 7.18, а или б

четверть проходит через систему, оставшаяся половина переходит в боковой волновод. Таким образом, передаваемая мощность делится пропорционально импедансам, как это происходит в случае последовательно включенных резисторов. Если падающая волна имеет единичную амплитуду, то волна, проходящая в боковой^волновод, имеет амплитуду, равную 1/У2, а отраженная — /?/У2 согласно (7.41). После разделения на две части в месте соединения волноводов амплитуда ^г^е145 поступает в выходную линию, при этом фазовый множитель ei(p вводится для того, чтобы учесть длину бокового волновода. Исходная волна, которая прошла мимо соединения, имеет амплитуду 1/2. Объединившись с волной из бокового волновода, она дает выходную амплитуду в следующей форме:

+ (7.42)

Поведение Т наиболее просто проследить на диаграмме. Во- первых, мы записываем R в виде, который может быть получен из (7.41):

R= 1 —СК 1 -2 i QM^oX (7.43)

где С=Р!а может принимать любое значение между 0 и 2. На диаграмме Аргана второе слагаемое уравнения (7.43) представляется окружностью диаметром С (сплошные окружности на рис. 7.28), при этом показаны как сильно (С>1), так и слабо (С<1) связанные случаи. Когда точка Р проходит быстро через В, т. е. через резонанс, то в отраженной амплитуде возникает характерный провал. Если боковой волновод нагружен резонатором, то из (7.42) видно, как R и единица складываются с разностью фаз, обусловленной длиной бокового волновода. Так как нас интересует только амплитуда 7, а не фаза, мы выпишем выражение Те-"^, для чего к R прибавим единичный вектор е™1ф, как того требует (7.43). Если

Рис. 7.28. Геометрический способ описания передаваемой амплитуды в устройстве, показанном на рис. 7.18, д или еРис. 7.28. Геометрический способ описания передаваемой амплитуды в устройстве, показанном на рис. 7.18, д или еQ на рис. 7.28 является точкой на единичной окружности, изображающей фактор —e-i(₽, то выходной сигнал |7| пропорционален длине вектора QP. Как видно из рис. 7.28, а, выходной сигнал |Г|, равный QA, располагается значительно ниже резонансной частоты и растет с ростом частоты, достигая пика, когда Р находится на стороне окружности, противоположной Q. Затем сигнал уменьшается и продолжает уменьшаться после резонансной точки В. На частоте, превышающей резонансную, он достигает минимума и затем возвращается к своему начальному значению. Этот искаженный резонанс напоминает случай, который мы исследовали в гл. 6 (см. рис. 6.8). Причина возникновения такого резонанса та же, что и в том случае: сложение стацио-

Рис. 7.28. Геометрический способ описания передаваемой амплитуды в устройстве, показанном на рис. 7.18, д или е

Рис. 7.28. Геометрический способ описания передаваемой амплитуды в устройстве, показанном на рис. 7.18, д или е

нарного сигнала с резонансным откликом, фаза которого изменяется при

образуя результирующий вектор, сильнообразуя результирующий вектор, сильнопрохождении резонанса, зависящий от относитель

образуя результирующий вектор, сильно

образуя результирующий вектор, сильно

ных фаз этих двух компонент в резонансе.

С помощью этих устройств можно получить симметричные отклики, если сделать так, чтобы Q лежало на линии АВ. Если Q совпадает с Л, выходной сигнал практически отсутствует, за исключением окрестностей резонанса. Это связано с тем, что, как мы усло

вились ранее, в случае идеально отражающего резонатора длина бокового волновода составляет XJ4 (или равна нечетному числу Л/4) и в месте соединения он действует как разомкнутая цепь, вызывая полное отражение входной волны. Если резонатор возбужден вблизи резонанса, барьер становится менее идеальным и та часть волны, которая проходит, пропорциональна АР, т. е. возникает резонанс Лоренца, как и в случае устройств, показанных на рис. 7.18, а, б. Если длину бокового волновода сделать равной нулю или целому числу полуволн, то это вызовет перемещение точки Q вниз по стороне окружности, противоположной А. Вне резонанса боковой волновод ведет себя теперь как непрерывная металличе

ская пластина, которая закрывает отверстие и позволяет волне проходить без отражения. Вблизи резонанса отклик, по существу, совпадает с Я в (7.41), имея резонансный провал в выходном сигнале. Это и есть конфигурация, которую обычно используют для абсорбционных волномеров. Простым способом измерения частоты является подсоединение калиброванного волновода с регулируемой длиной к боковой части линии передачи сверхвысокочастотной цепи. Так как добротность Q~104 достигается достаточно легко, таким способом в случае необходимости можно достичь точности из-

мерения частоты, равной по крайней мере 10-6. Настройка волномера осуществляется обычно перемещением отражающей нагрузки, расположенной в одном из концов полого резонатора, что создает ряд конструктивных проблем. Они достаточно подробно освещены в литературе, и здесь обсуждать их мы не будем [9].

ВОЗБУЖДЕНИЕ РЕЗОНАТОРА ПЛОСКОЙ ВОЛНОЙ

Для иллюстрации одной из простых моделей, описание которой превратилось в мощный и достаточно общий формализм, особенно важный в волновой механике при исследовании рассеяния частиц атомами и ядрами, рассмотрим резонатор Гельмгольца, находящийся в воздухе и возбужденный плоской звуковой волной [10]. Достоинство его заключается, во-первых, в том, что звуковая волна является скалярной волной, анализ которой выглядит значительно проще, чем анализ векторной электромагнитной волны, и, во-вторых, в доступности реальных резонаторов, размеры которых намного меньше их собственной длины волны. Этот анализ следует фактически по тому пути, по которому развивается (или развивалось) использование такого резонатора 'на практике.

Резонатор взаимодействует с плоской волной благодаря усиленному движению воздуха через отверстие вблизи резонанса. Если отверстие закрыто, то резонатор — не что иное, как небольшое пассивное препятствие, рассеивающее настолько небольшую долю звуковой волны, что ею можно пренебречь. Поэтому волновое поле может быть представлено как невозмущенная плоская волна, на которую накладывается любая волна, излученная из отверстия, — картина процесса совершенно аналогична поведению препятствия в линии передачи, рассмотренному нами ранее. Мы знаем, что в нашем примере осциллирующий поток воздуха из отверстия до того, как он пройдет расстояние порядка длины волны в сторону от резонатора, равномерно расширяется, превращаясь в изотропную радиальную пульсацию, поэтому сферически симметричная волна — единственный вид излучаемой волны. Это было бы не так, если бы размеры резонатора были сравнимы с длиной волны, и именно в этом случае применим более общий анализ, упоминавшийся выше. Однако этот анализ относится в большей степени к физике волнового движения, а не к колебательным системам, и мы не станем выходить за пределы простейшего случая, когда вторично излученная волна является изотропной. Тогда реакция резонатора определяется одним комплексным параметром, описывающим амплитуду и фазу вторично излученной волны относительно аналогичных параметров падающей плоской волны.

Рассмотрим задачу в два этапа. Во-первых, записав изменение давления в зависимости от положения и времени, когда сферическая и плоская волны наложены друг на друга, мы увидим, как относительная фаза и амплитуда влияют на поток энергии. Затем мы свяжем вторично излученную и падающую волны с изменениями

давления и скорости в окрестности самого резонатора Гельмгольца. .

Из рис. 7.29, а, на котором изображены фронты плоской и сферической волн, видно, насколько важно здесь соотношение фаз. Как показано, эти фронты находятся в противофазе в прямом направлении, поэтому амплитуда колебаний вблизи оси уменьшается. На рис. 7.29, б приведен график амплитуды на плоскости, отмечен-

Рис. 7.29. Сложение сферической и плоской волн:Рис. 7.29. Сложение сферической и плоской волн:

Рис. 7.29. Сложение сферической и плоской волн:

Рис. 7.29. Сложение сферической и плоской волн:

а — сферическая волна, наложенная в противофазе на плоскую волну в направлении впе-ред; б — изменение интенсивности в зависимости от фазы Р, если сферическая волна име-ет амплитуду в центре С, равную Чю амплитуды плоской волны; в — то же, в зависимостиот х2, где х измеряется от точки С

ной на диаграмме, в предположении, что амплитуда сферической волны составляет Ую от амплитуды плоской волны в центре. Если х обозначает расстояние от оси, а ф — поток энергии, приходящейся на единицу площади, то полный поток через плоскость равен ^<p-2nxdx или л^срб(х2). Действие рассеянной волны проще, о о

увидеть, изображая зависимость, квадрата амплитуды от х2, как это сделано на рис. 7.29, в. При этом оказывается, что при наличии такого правила фаз колебания потока вокруг среднего значения дают чередующиеся и равные положительные и отрицательные вклады в интеграл с нечетной половиной, введенной вначале. Таким образом, результирующий! эффект этих колебаний равен нулю, если их амплитуда устойчиво затухает с ростом х. С другой стороны, если гребни сферической волны располагаются со сдвигом на четверть волны после гребной плоской волны, то результирующая отрицательна и равна половине первой пучности. Именно таким является правило фаз в случае рассеивающего объекта с потерями. Если же амплитуда и фаза рассеянной волны уже выбраны, то можно вычислить как потери потока энергии в продол-

жающей свое движение бегущей волне, так и поток энергии в обратно рассеянной сферической волне.

Таким образом, полная диссипация энергии рассеивающим объектом определяется, по существу, как величина, необходимая для выполнения условия баланса энергии. Это означает, что для данного препятствия амплитуда и фаза рассеянной волны не являются произвольными. В частности, если препятствие свободно от потерь, то между амплитудой и фазой должно существовать единственное соотношение. Попытаемся придать нашим выводам количественную форму. Для этого удобно опять начать с вычисления потока энергии, направленного наружу через поверхность сферы радиуса г, центр которой находится на препятствии. Поток энергии можно вычислить, если известны выражения для полей давления и скорости, в частности радиальной скорости ирад, потому что поток энергии, приходящийся на единичную площадь сферы, составляет Ф= ^гИф^рад] (см. § 3.6).

Если воспользоваться полярными координатами, заданными на рис. 7.29, а, то изменение давления, создаваемое двумя волнами, можно записать в следующей форме:

р(г, 9,=—(7.44)

\ г )

где 2 = rcos6. Для второго члена в уравнении (7.44), т. е. для сферической волны, интегрирование уравнения (7.26) дает £ и, следовательно, скорость иСф, которая равна—icog:

^Ф=-^-(1 + 4—(7-45) * Zor \ кг )

Здесь ZQ = ^cx. Соответствующее выражение для плоской волны принимает следующую форму:

^л=(^о/^о)е1йг-(7-46)

Заметим, что член еч“\ согласно ранее принятому соглашению, был исключен из (7.45) и (7.46). Радиальная компонента скорости равна УСф + упл cos 9; таким образом,

Для вычисления полного потока Р через сферу радиуса г необходимо оценить ^ 2лг2ср sin 9 d 9:

6

_р_££о_ ^ei^-oldC,

где £ = cos 0. Первые два слагаемых описывают раздельные потоки для плоской и сферической волн, причем первое из них после интегрирования становится равным нулю; последние два слагаемых возникают вследствие одновременного присутствия обоих потоков. Прямое интегрирование дает следующий результат:

Р = ^аа * _ ^0 J m [а ]/А).

Из этого выражения видно, что если мощность вторично излученной волны мала, то поток энергии определяется вторым слагаемым и компонента радиальной волны должна быть сдвинута по фазе относительно падающей волны на 90°. Так как Р— это среднее значение потока, направленного наружу, то —Р— это энергия, поглощенная в рассеивателе:

^огл = —^ (Im [s] - ss*). (7.48)

Здесь s обозначена безразмерная амплитуда рассеянной волны ha]po. Так как поток энергии в падающей плоской волне равен хt^P^I^Qy то Рдогл равна мощности, поступающей через площадь волнового фронта ЛПОгл, где

Логл = 2Рпогл^о/^о= (Im [s ] — ss*)=

= -^-(1- I 2s-i | 2). (7.49)

Здесь Лпогл — сечение поглощения рассеивателя, определенное так, что его можно применять и к другим системам, отличающимся от рассматриваемого акустического резонатора, выбранного нами в качестве примера.

Если в рассеивателе нет потерь, но в то же время он не обязательно является слабым рассеивателем, равенство нулю уравнения (7.49) приводит к установлению связи между фазой и интенсивностью рассеяния, потому что если s записывается как aei(p, где a — действительное число, то условие РПогл = 0 подразумевает, что sin ср = а. Для того чтобы иметь всю информацию об основных параметрах небольшого рассеивателя, свободного от потерь, нам необходимо знать только ф(со). Слово небольшого необходимо вновь подчеркнуть, поскольку препятствия, размеры которых сравнимы с длиной волны, могут вторично излучать волны, не являющиеся сферически-симметричными. В этих условиях каждый тип волны, описываемый определенной сферической гармоникой, имеет свою характеристическую фазу рассеяния ср (со) и описание процесса рассеяния задается полным набором величин cps.

В случае резонатора Гельмгольца, который рассеивает только изотропную волну, мы должны определить связь величины s со свойствами реального рассеивателя. Возьмем идеализированный

резонатор, заменяя одно довольно большое отверстие на множество меньших отверстий, равномерно распределенных по сфере. Это даст возможность получить ту же самую резонансную частоту, однако при этом будет устранена представляющая неудобство разница между /?, т. е. радиусом резонатора, и R' — радиусом сферической оболочки, который несколько больше, чем /?; можно считать, что на этой сфере движение потока переходит в радиальное. В случае идеализированного резонатора R и R' совпадают. Отклик резонатора можно записать непосредственно исходя из (6.21), используя выражение для податливости на нулевой частоте. Приращение давления р непосредственно на внешней границе сферы приводит к изменению объема воздуха внутри резонатора: AV/V= = —р]К, где К — объемный модуль упругости; при этом радиальное смещение равно %/R =—р[^КУ Отсюда, принимая во внимание, что с^=К!р, получаем

Хо = £/Р= —VsW^i).

Из (6.21) следует, что отклик по скорости на частоте со имеет следующий вид:

Хек = ^!P = 4^ i ^о/?/[р^1 (^2 +1 Ха> — 0/5)],(7.50)

где too7— резонансная частота, определяемая с помощью этого специфического процесса возбуждения (причину появления этого замечания мы вскоре объясним). Демпфирующий член iXco, в котором Х=2(о,/, следует понимать как величину, которая описывает диссипативные эффекты внутри резонатора, но не радиационное затухание, так как Хек описывает отклик по скорости на осциллирующее давление, измеренное непосредственно на внешней границе и действующее только на то, что находится внутри резонатора.

Именно Хек обеспечивает возможность согласования вторично излученной волны с локальными условиями снаружи резонатора. Из (7.44) и (7.47) мы можем найти выражения для ирад и для радиуса R, разлагая затем показательные функции в степенной ряд по R и сохраняя только ведущие (~1//?2) и первые поправочные (~1//?) слагаемые. После усреднения по сфере мы имеем:

< ^Рал(^)>~ i ^/(Р^^2).(7-51)

< Р (/?) > ~ Р. + а (1 + i kR^R.(7.52)

Далее, а принимает такое значение, при котором <урад>/<^> = = Хск; после небольших преобразований мы находим, что

s=ka/pa= — Х'ш/[ш2— <о'о(1 — Va^^ + iCX + X^to], (7.53)

где Х'со = 73(00'W3.

Поправочный множитель к со0'2 можно объяснить довольно легко. В таком виде, как здесь, соо7 определяет резонансную частоту, если возбуждение происходит за счет осцилляций давления непосредственно в ближайшей внешней области. Однако свободный резонанс наблюдается на несколько более низкой частоте, поскольку

наружное поле локальных скоростей, убывающее как 1/г2, тоже дает вклад в кинетическую энергию, которая поэтому не полностью приписывается воздуху, находящемуся в пределах сферы радиуса R. Появившееся в знаменателе (7.53) выражение coo'2 (1—7з^2^2) является в действительности квадратом истинной резонансной частоты о)О. Различие между oV и о)О не имеет значения для определения V. Значение же имеет избыточное слагаемое в знаменателе, которое зависит от сохранения второго слагаемого в (7.52); именно к' становится причиной того, что даже резонатор без внутренних потерь не может быть никогда возбужден выше некоторого определенного предела, возникающего за счет конечной излучательной способности резонатора. Легко проверить, что если Х = 0, то знаменатель в (7.53) описывает резонатор, добротность Q которого контролируется скоростью диссипации, совпадающей со скоростью, выраженной формулой (7.32), где Q берется равным полному телесному углу, т. е. Q = 4n. Наряду с радиационными потерями этот резонатор реагирует на плоскую волну так же, как он бы реагировал на любое другое изменение внешнего давления. Можно заметить, что V, подобно X, не зависит от частоты со, но изменяется как оо2. Если бы мы могли смоделировать дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы, то радиационное слагаемое появилось бы не в первой производной смещения по времени, а в третьей.

Интересно продолжить рассмотрение этого вопроса, используя дифференциальные уравнения, описывающие свободные колебания резонатора. Для этого нам нужно знать соотношение между р и g непосредственно вне резонатора в предположении, что внешние источники отсутствуют, и поэтому все движение следует связывать со сферическими волнами, которые излучаются наружу. В этом случае произвольное изменение p(R) во времени можно выразить в виде ряда Фурье (или интеграла Фурье), каждая компонента которого описывает давление в точке R, вызванное сферической волной на этой частоте. Поэтому мы можем записать p(R, /) как значение р (г, /) в точке R, где

р (г, /) = 2е'06/-™/0

; г

Основная особенность этого приближения состоит в том, что мы можем в явной форме исключить сходящиеся волны типа (blr)e-^krA-tot\ Из (7.26) мы получаем величину, соответствующую Р(г, /):

Р Ur, 0=2 —— (1 — i Ауг) е1

в частности, смещение в точке R можно выразить следующим соотношением:

PU/?, 0= У а> (1-i U^e1^™/^Т R2

= p(JR, t)lR + p(R> Ofcv

(7.54)

Давление внутри резонатора равно —SK^JR, и дифференциал давления p(R, t)+3KyR отвечает за ускорение воздуха вблизи отверстий. Если полная масса этого воздуха равна 4л/?2Л4, где М — эффективная масса, приходящаяся на единичную площадь поверхности, то уравнение движения (если пренебречь локальной диссипацией) примет следующую форму:

MH3/\i/R-Vp(R, 0=0.

Исключая из этого уравнения и уравнения (7.54) величину р, мы имеем

+«>о;=О,(7.55)

где (о02 = Зда/?(1+т)], 4 = pR(M=43k22R2 и ko = toolcx.

Смысл у был уже отмечен в связи с анализом уравнения (7.53): эта величина дает поправку для резонансной частоты с учетом инерции газа, находящегося снаружи. Как и ожидалось, уравнение движения содержит слагаемое третьего порядка, однако парадоксальным оказывается то, что его знак вызывает скорее регенерацию, нежели диссипацию. Тем не менее это слагаемое компенсиру- ся на частоте соо диссипативным слагаемым первого порядка, и именно эта разность описывает обратный отклик излучаемой волны на ее источник, контролируя таким образом радиационные потери. Резонансная частота, полученная из (7.55), равна приблизительно coo (1—Vei^o3^3), что совпадает с величиной, которая обращает в нуль знаменатель в (7.53).

Подобный эффект возникает, когда ускоренный заряд излучает электромагнитные волны [11]. Порождаемое зарядом поле, если оно вычислено с необходимым приближением, включает в себя электрическое поле, действующее на сам заряд с силой 2/3е2г/с3, При этом уравнение движения заряженной массы, связанной упругой силой с фиксированным центром, имеет вид

—- 2/3е2х/е3 4- тх 4- у-х = 0,(7.56)

а собственная частота Q = co0—Vsi^oV/^c3). Здесь мнимая часть описывает потери радиационной мощности, которые для осциллирующего диполя, определяемого выражением p = poe-vQt, достигают значения Vscoo^o2/^3, т. е. классического результата для диполя Герца, который обычно получают из оценки потока энергии в дальнем радиационном поле. К сожалению, уравнение (7.56) имеет также экспоненциально возрастающее решение и поэтому не может в полной мере представлять собой уравнение движения. Здесь мы сталкиваемся с еще одним примером того, что простое перенесение физических понятий из области механических в область электромагнитных процессов неизбежно приводит к расходимости. Преодолеть эти трудности позволила квантовая электродинамика с ее новыми математическими представлениями.

После такого отступления мы возвратимся к акустическому резонатору. Для него уравнения (7.49) и (7.53) дают зависимость сечения поглощения от частоты следующего вида:

ДП0ГЛ=4л С?ХХ7[(<»2- шо)Ч а + VM (7.57)

В резонансе вторично излученная волна имеет максимальную амплитуду spe3=iX7(X+V) и

(Логл)рез = 4якХ7[^ + ^^^

Максимально возможное поглощение имеет место в случае, когда отверстия в резонаторе согласованы с внутренними потерями так, что к=Х\ Тогда

(^погл)макс = Л/Й2, ( 7.58)

Эта формула дает площадь круга радиуса 1/К, длина окружности которого равна одной длине волны, и это есть тот максимум, которого может достичь любой изотропный излучатель. Необходимость этого максимума неявно подразумевается в уравнении (7.49), потому что 12s—i| является существенно положительной величиной. Конечно, в результате получается довольно большое сечение поглощения; резонатор, описанный в гл. 2 и имеющий радиус 9 см и собственную частоту около 190 Гц (или длину волны 1,77 м), способен в принципе излучить всю энергию в форме плоской волны, которая проходит через окружность радиуса 28 см.

Процесс, который был только что проанализирован, имеет множество аналогов в различных областях физики. Волна де Бройля, определяющая поведение частицы в квантовой механике, является скалярной волной, ее частота со = Е/й для частицы с полной энергией Е. Типичным резонансным процессом является поглощение нейтронов ядрами [12]. Перед тем как в ядро попадает нейтрон, оно обычно находится в основном состоянии, обладая определенной энергией. Составное же ядро, которое образуется после слияния исходного ядра с нейтроном, имеет широкий спектр энергетических уровней. Если падающий нейтрон обладает энергией ДЕ, которая позволяет составному ядру перейти прямо в одно из стационарных состояний (рис. 7.30), то возникает квантово-механический эквивалент резонанса. Частота внутренних колебаний определяется разностью энергий между начальным и конечным состояниями, и если эта разность совпадает с нейтронной частотой, то волна снаружи ядра исчезает, а внутри ядра возникает «осцилляция». Экспериментально это наблюдается в виде пика в поперечном сечении захвата нейтронов ядром. Амплитуда Q этого пика определяется процессами, очень похожими на те, которые мы уже обсуждали выше. Естественная ширина резонанса, связанная с возможностью повторной спонтанной эмиссии нейтрона, — это аналог Х\ т. е. радиационного затухания. Однако возможно также, что составное ядро окажется в низшем состоянии, например испустив энергию в форме у-излучения, —это аналог X, т. е. внутренней дис-

сипации, потому что после этого процесса нейтрон будет захвачен навечно. Решение этой задачи, если точно следовать по тому пути^ который был использован выше, дает формулу Брейта — Вигнера для зависимости сечения поглощения от энергии:

^пЛ =^пЛ =(7.59)(7.59)лГлгГт

^пЛ =

^пЛ =

(7.59)

(7.59)

^г[(Е-£г)2 + 1/4(ГЛг + Гт)2]

Здесь onV соответствует ЛПОгл в уравнении (7.57); между другими величинами соответствие таково:

£ = о), Ег=ю0, 1\Г = Х', ГТ = Х.

Начальное состояниеНачальное состояниеКонечное состояние (составное ядро)Рис. 7 30. Образование возбужденного составного ядра при поглощении нейтрона с требуемой энергией ДЕКонечное состояние (составное ядро)Рис. 7 30. Образование возбужденного составного ядра при поглощении нейтрона с требуемой энергией ДЕРис. 7.31.Диполь, возбуждающий резонансную цепьРис. 7.31.Диполь, возбуждающий резонансную цепьПринципиальное различие связано с поведением рассматриваемых уравнений при значениях со или Е, стремящихся к нулю. В акустическом варианте поперечное сечение стремится к постоянной величине, тогда как для частиц оно увеличивается как 1/6, что для волны де Бройля соответствует \]ЕХН Указанное отличие возникает из-за того, что в противоположность акустической волне (со~&) волна де Бройля диспергирует (со~ ~&2). Это обстоятельство

Начальное состояние

Начальное состояние

Конечное состояние (составное ядро)

Рис. 7 30. Образование возбужденного составного ядра при поглощении нейтрона с требуемой энергией ДЕ

Конечное состояние (составное ядро)

Рис. 7 30. Образование возбужденного составного ядра при поглощении нейтрона с требуемой энергией ДЕ

Рис. 7.31.

Диполь, возбуждающий резонансную цепь

Рис. 7.31.

Диполь, возбуждающий резонансную цепь

чрезвычайно важно для поглощения нейтронов низких энергий (тепловых) в ядерных реакторах. Такие нейтроны имеют относительно большую длину волны де Бройля, и существует несколько видов атомных ядер (например, 135Хе) с сечением поглощения, которое в 106 раз превышает площадь поперечного сечения самого ядра [13]. Небольшая примесь таких ядер достаточна для того, чтобы существенно снизить эффективность реактора или даже не

дать ему возможности достичь критического состояния и войти в самоподдерживающийся режим работы.

Подобным образом ведет себя и электромагнитное излучение, если, конечно, пренебречь незначительными отличиями, которые возникают из-за поперечного характера этих волн. Диполь, питающий резонансный контур (рис. 7.31), имеет сечение поглощения,

которое зависит от направления и поляризации падающего излучения, однако среднее значение этого сечения по всем направлениям равно в максимуме V2n/^2, т. е. половине результата, полученного из уравнения (7.58). Множитель 72 можно рассматривать как следствие поляризации поперечных волн — антенна не может реагировать полностью на все виды поляризации. Если антенна имеет максимальное сечение для одной плоскости поляризации, то она

не реагирует на плоскость поляризации, расположенную под прямым углом к первой.

Выражение (7.58) применимо тогда, когда излучение, падающее на антенну со всех направлений, поляризовано оптимально, однако для случайного направления поляризации его следует умножить на V2. Это среднее сечение, равное 72я/^2, обеспечивается каждой радиоантенной, идеально согласованной со своим фидером,— это можно показать на основе термодинамических соображений, подобных тем, которые использовал Кирхгоф в своей теории излучения абсолютно черного тела [14]. Представьте себе две полости, каждая из которых имеет стенки с определенной температурой. Полости связаны на каждом конце с антенной с помощью согласованных линий передачи. Любая мощность, принятая антенной 1 из излучения абсолютно черного тела в полости 1, передается в антенну 2 и излучается без отражения в полость 2. Аналогичным образом в полость 1 поступает излучение, принятое антенной 2. Поскольку при одинаковой температуре передача мощности между полостями отсутствует, обе антенны должны принимать одинаковую мощность; эти соображения можно распространить на любую другую антенну, согласованную со своей линией передачи. С другой стороны, антенны облучаются изотропным излучением и то, что они принимают, определяется средним сечением поглощения, которое по этой причине должно быть одинаковым для всех согласованных антенн. Небольшие антенны имеют относительно небольшое поперечное сечение и принимают излучение в широком угловом диапазоне, большие антенны, предназначенные для приема только в узком диапазоне направлений, имеют соответственно большое сечение для тех направлений, по которым производится прием.

Если антенна принимает такую мощность, какая проходит через сферу радиуса 1/У2&, мы можем связать эту мощность с плотностью энергии излучения в полости. Рассмотрим частотный диапазон dco. Пусть М(Ос1(о равно энергии, приходящейся на единичный объем в этом диапазоне. Представим себе большую сферическую оболочку, лежащую между г и r + dr, с центром в точке расположения антенны. Из всей энергии внутри оболочки, равной в любой момент времени 4nr2wwdrd(o, только доля 1/(8&2г2) перемещается в таком направлении, которое позволит пройти ей через малую сферу, расположенную в центре. Следовательно, энергия, поглощенная из этой оболочки, равна 72n^a)drdco/k2, и так как в интервале dr/c из оболочки поступают разные вклады, то поглощенная мощность составит XU лси№йю11г2. Теперь, согласно закону излучения Планка,

uto=Wi\лс3(е в?) — 1)]

и, следовательно, поглощенная мощность

Р —т/(*вг) - 1)].

На низких частотах (йсо^С^в^) формулу Планка можно заменить законом Рэлея — Джинса, который дает следующее выражение:

Р = 1/2ДвГ d (d/л = W. (7.60)

где р — ширина полосы частот в герцах. Это выражение не случайно напоминает формулу (6.49) для тепловых шумов в резисторе (см. § 6.5) —достаточно повторить умозрительный термодинамический эксперимент, в котором одна из антенн заменена резистором, имеющим k=Z0 в качестве нагрузки линии передачи, а другая антенна отдает в этот резистор мощность со скоростью, определяемой уравнением (7.60). Этот процесс должен сопровождаться выделением одинаковой мощности в резисторе: генератор тепловых шумов, для которого < V>2 = 47?^BTp и который питает последовательно включенную линию передачи, действительно генерирует как раз нужную мощность. Эти соображения можно рассматривать как еще один вывод формулы для тепловых шумов или же как дополнительное подтверждение идеи о максимальном сечении поглощения и выявление тесной взаимосвязи различных физических подходов к решению нашей основной задачи.

АНОМАЛЬНАЯ ДИСПЕРСИЯ

Взаимодействие атома или молекулы с видимым светом — пример возбуждения волной, длина которой намного превышает размер возбужденной системы. Если частота возбуждения близка к частоте характеристической линии поглощения (например, линии из серии Лаймана, состоящей из ультрафиолетовых линий в спектре водорода или двух близко расположенных линий натриевого дублета), то показатель преломления и интенсивность поглощения меняются с частотой и эта зависимость хорошо согласуется с резонансной формулой. Подобно поглощению нейтронов, этот эффект является чисто квантовым, однако он имеет точную параллель в классической физике. Поэтому на данной стадии имеет смысл, не приводя детального обоснования, представить лишь квантово-механический результат, который подтверждает классическое описание, после чего мы кратко рассмотрим возможные следствия.

Если систему, занимающую квантовый уровень с энергией ек> возбуждать электромагнитным излучением с частотой со, то происходит возмущение этой системы, которая приобретает осциллирующий дипольный момент. Как для типичной квантово-механической системы, для изолированной системы значение этого момента точно определить нельзя; тем не менее среднее значение момента по многим идентичным системам являтся хорошо определимым, и именно это обстоятельство имеет существенное значение при наблюдении оптических свойств макроскопического образца, содержащего большое число идентичных копий интересующих нас атомных или молекулярных систем. При описании такого ансамбля допустимо говорить на классическом детерминистском языке, если

мы рассматриваем эволюцию средней поляризации. Кроме того, решение квантово-механической задачи показывает, что поляризация изменяется точно так, как если бы система была классическим гармоническим осциллятором.

Рассмотрим теперь частицу с массой т, которая несет заряд е, связанный упругой пружиной с фиксированным центром. Частица движется под влиянием изменяющегося электрического поля ЕДЦ, и ее движение описывается следующим уравнением:

тг-\-^ = еЕ.'^1\

Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение движения маятника, свободного от потерь, поэтому восприимчивость мы можем записать в виде, определенном уравнением (6.2) с со'^О (см. §6.1):

Х(Ш) = 1/[^(0>2—ш2)], где (Оо2 = цМ. Здесь % описывает амплитуду осциллирующего смещения,. вызванного действием осциллирующей силы единичной амплитуды, однако для наших целей более полезна атомная поляризуемость, т. е. амплитуда осциллирующего дипольного момента, возникающего под действием осциллирующего электрического поля единичной амплитуды. Так как сила равна еЕ/, а дипольный момент равен eZ, то атомная поляризуемость а = е2х или

а {^) = Е1[пг (^0— to2)].(7.61)

Это уравнение получено нами для классического осциллятора. Усредненное поведение изолированной квантово-механической системы можно смоделировать с помощью набора таких осцилляторов. Так, в случае системы, первоначально находившейся в энергетическом состоянии е^, возможность перехода в другое состояние с энергией ej приводит к добавлению в выражение для поляризуемости слагаемого в форме уравнения (7.61), при этом соо принимает такое значение, что квант /г(оо становится равным разности энергий |ej—е^ |. Резонанс, т. е. обращение в нуль знаменателя в уравнении (7.61), соответствует квантово-механической энергии, точно совпадающей с величиной, которая требуется для изменения общей энергии системы при переходе с уровня ек на уровень 8j. Если такой переход возможен, система становится сильно чувствительной к возбуждающему электрическому полю, тогда как на чуть отличающейся частоте она чувствительна в меньшей степени, хотя и подвержена действию возмущения . Однако здесь следует

вспомнить одну модификацию уравнения (7.61), когда различные уровни энергии по-разному связаны с начальным состоянием ек в том смысле, что данная напряженность Е/ может легко стимулировать переход на одни уровни энергии и лишь только очень слабо (вплоть до полного подавления) —переходы на другие уровни. По этой причине мы вводим для каждого перехода силу осциллятора j5к» записывая полную поляризуемость ^-го состояния как

е^ше^ш(7.62)(7.62)

е^

ш

е^

ш

(7.62)

(7.62)

По ходу рассмотрения следует отметить, что ^ / /fe = 1 в случае, когда все переходы происходят с участием только одного электрона, изменяющего свое энергетическое состояние; читатель легко может проверить, что это выражение характеризует отклик системы на узкий импульс Р для случая свободного электрона, движущегося с начальной скоростью Pirn. Силы осциллятора положительны, если система возбуждается в резонансе и поглощает квант энергии, совершая переход на более высокий уровень е^>е^; они отрицательны, если Ej<<Ek, и эффект резонансного облучения сводится в этом случае к выделению кванта энергии из системы. Это обращение знака имеет непосредственное отношение к работе мазеров и лазеров (см. § 11.5).

Получив в уравнении (7.62) общий результат, мы сконцентрируем теперь наше внимание на случае изолированной спектральной линии, для чего в (7.62) необходимо оставить только один член. Если, как в уравнении (7.61), резонансная частота равна соо, то каждая индивидуальная система реагирует на облучение на соседней частоте со точно так же, как реагирует резонатор Гельмгольца или настроенный диполь; если эта система попадает в режим колебаний, она излучает вторичную сферическую миниволну. В простом газе подобным образом ведет себя каждая молекула, и суперпозиция всех сферических миниволн и падающей плоской волны приводит к двум отдельным эффектам. В прямом направлении имеет место постоянное фазовое соотношение между миниволнами и плоской волной, в результате в любой точке все миниволны суммируются в одну результирующую волну, которая однозначно связана по фазе с плоской волной; другими словами, суперпозиция миниволн дает результирующую плоскую волну, которая объединяется с падающей волной и изменяет ее характеристики. Именно этим, исходя из чисто наглядных соображений, и можно объяснить, почему газ меняет скорость волны и что лежит в основе существования показателя преломления. С другой стороны, при переходе к любому другому не равному нулю углу относительно направления вперед миниволны прибывают в данную точку наблюдения с фазами, сильно зависящими от положения точки их возникновения. Случайно распределенные молекулы газа дают вклады в виде миниволн со случайными фазами, и интенсивность волны, рассеянной

под некоторым углом относительно направления вперед, равна сумме интенсивностей, обусловленных действием каждой молекулы отдельно. Интенсивность такого рассеяния обычно очень мала, хотя, например, рассеяние 10% солнечного светового излучения в процессе прохождения через земную атмосферу приводит к тому, что небо приобретает голубую окраску * [15]. Твердые тела и жидкости, в которых молекулы упорядочены сильнее, чем в газе, обычно рассеивают гораздо слабее, чем предсказывает этот механизм. Бо

Рис. 7.32. Изменение показателя преломления вблизи пика аномальной дисперсииРис. 7.32. Изменение показателя преломления вблизи пика аномальной дисперсиилее интенсивное рассеяние происходит на примесях или структурных дефектах.

Рис. 7.32. Изменение показателя преломления вблизи пика аномальной дисперсии

Рис. 7.32. Изменение показателя преломления вблизи пика аномальной дисперсии

Вывод выражения для расчета показателя преломления не требует суммирования миниволн, рассеянных в направлении вперед, хотя этот прием и лежит в основе одного из возможных подходов к задаче рассеяния. Го

раздо легче рассмотреть лишь объемную поляризуемость среды, равную ^a, если N — число молекул в единичном объеме. Диэлек-

трическая постоянная равна 1+Л^а/ео, показатель преломления п равен квадратному корню из этой величины. Для газа или любого

разряженного распределения рассеивающих центров обычно впол

не достаточно записать

Ш е= п — n^^N а1гй=f Ne^]\^rruQ^ — ш2)] (7.63) в окрестности линии поглощения силы осциллятора Д Записав это выражение, мы ввели п0, чтобы отобразить другие нерезонансные вклады в преломляющую способность, которую можно считать существенно постоянной вблизи (оо, где линия поглощения обнаруживает очень сильную дисперсию. Характеристическая кривая аномальной дисперсии, описываемая уравнением (7.63), показана на рис. 7.32.

Следует отметить, что по ходу этой кривой бп уменьшается от низкочастотного значения /We2/[2mE0(Oo2L которое представляет собой статическую поляризованность, до нуля при частотах, значительно превышающих о)О. Это может произойти только в том слу-

-: Характеристические частоты поглощения света азотом и кислородом находятся в ультрафиолетовом диапазоне, поэтому в уравнении (7 62) toih^w и а почти не зависят от частоты), т. е. воздух имеет довольно низкую диспергирующую способность в оптическом диапазоне) Осциллирующий диполь рассеивает с интенсивностью, пропорциональной четвертой степени частоты колебаний, так что голубой свет рассеивается гораздо сильнее красного. С этим эффектом связан цвет неба и покраснение заходящего солнца, которое наблюдается через толстый слой атмосферы. С другой стороны, рассеяние света облаками происходит с участием микропрепятствий водяных капелек, размеры которых превышают длину волны, при этом все цвета рассеиваются более или менее одинаково. Поэтому облака выглядят белыми, особенно при наблюдении сверху.

чае, когда где-то посередине имеет место поглощение, что непосредственно следует из второго соотношения Крамерса — Кронига (5.9). Приращение показателя преломления, которое можно рассматривать как зависящую от частоты комплексную величину bn'Vxbn", представляет собой линейную податливость, к которой применяется указанное выше соотношение. Мы видим, что

9 р2 С*

U'(0)-^'(oo) = — ^dto/a)— ^"dto, (7.64) Л JЛ(Ол J

о .о

т. е. получается вторая приближенная форма, пригодная для описания узкой линии поглощения, когда бп" можно взять равным нулю везде, за исключением ближайшей окрестности со0. Отсюда следует, что площадь под кривой поглощения равна произведению ^глюо на значение уменьшения показателя преломления при пересечении пика аномальной дисперсии. Этот результат не зависит от любого частного предположения, касающегося происхождения потерь, за исключением того, что система должна быть линейной; это является очень хорошим предположением при облучении светом с обычной интенсивностью. Если внутренние потери очень малы, как предполагалось при построении анализируемой здесь модели, то пик потерь узок и соответственно высок, поэтому кривую аномальной дисперсии (7.63) можно проследить до ближайшей окрестности юо, при этом наблюдаются значительные вариации в значениях п. В ряде статей, посвященых оптическим исследова- ям, подробно описаны оригинальные эксперименты, в которых изучалось это явление, поэтому здесь нет необходимости более детально анализировать данный вопрос [16].

Следует заметить, однако, что идеальное поведение, описываемое уравнением (7.63), должно нарушаться в частотном диапазоне, где наблюдаются значительные потери. Рассмотрим характерный пример. Движение молекул газа приводит к доплеровскому сдвигу резонансной частоты, и пик потерь, каким бы узким в чистом виде он ни был, размыкается, принимая гауссову форму, которая отражает гауссово распределение скоростей молекул в направлении, параллельном линии наблюдения. Одновременно прекращается нарастание бп' в направлении к ±оопо обеим сторонам резонанса и 6п/ становится непрерывной функцией, проходящей в резонансе через нуль, — это несколько напоминает поведение /' на рис. 5.4.

Эту часть изменения трудно наблюдать экспериментально из-за поглощения, что можно показать, исходя из следующих соображений. Если образец, возбуждаемый светом, имеет длину X и комплексное волновое число записывается как (п' + ш'Эйо, где &0— волновое число для той же частоты в свободном пространстве, то изменение фазы на длине X равно n'kQX, причем долю изменения фазы Ьп'-к^Х можно связать с пиком аномальной дисперсии. В то же самое время интенсивность делится на фактор ехр (26п"-&оХ),

который можно записать как ^. В результате изменение фазы ф, которое необходимо измерить, т. е. б^'-^о^, и потеря интенсивности А связаны уравнением

(7.65)

в котором, как мы видим, длина X отсутствует. Ограничения на ф носят внутренне обусловленный характер, и их нельзя исключить за счет изменения конструкции экспериментальной установки.

Определим теперь ширину Асо пика поглощения, используя замену реального пика на прямоугольник той же площади с той же высотой бп^акс и шириной Асо, которая, согласно (7.64), должна иметь следующее значение:

Au) = 1/2л:и)0[^лг' (0) — W (оо)]/(&/гмаК(Л(7.66)

На частоте, сдвинутой на V2AG) относительно центра пика, уравнение (7.63) начинает терять свою силу, и в этой точке 6п' едва ли может быть больше, чем величина, полученная из уравнения (7.63). С учетом (7.66) запишем это в виде следующего неравенства:

2 п

Ы < соЛо/г' (0)—Ьп' (оо)]/Дсо =йп^акс-~л

Следовательно, из уравнения (7.65) мы имеем

/ I ^макс 1ср <In

~ л В/г"

Тогда ф в области поглощения, где бл//~длМакс, значения, равного 1 рад, может достичь только за счет примерно двадцатикратного ослабления. Лучшие экспериментальные методики для изучения кривой аномальной дисперсии основаны на интерферометрии, и и измерение сдвига полос порядка 1/(2л) с любой точностью при наличии сильного ослабления является нелегкой задачей. Более удобно измерять форму и интенсивность пика поглощения, пропуская свет через ячейку и используя преобразование Крамерса — Кронига для оценки п' из этого эксперимента (см. § 5.4).

СИЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ СКОРОСТИ

СИЛЫ КОРИОЛИСА И ЛОРЕНЦА

В этой главе собраны вместе несколько разрозненные группы колебательных (лучше — периодических) систем, которые обладают одним общим свойством — необратимостью. Не просто отсутствием обратимости из-за диссипации энергии, а необратимостью, вызванной существованием зависящих от скорости сил, которые сами по себе не вызывают рассеяния энергии. Объединение таких систем в одну группу, возможно, и не очень существенно. Поэтому читатель, который не сочтет это важным, вероятно, ничего не упустит. Тем не менее такие системы имеют значение и представляют интерес сами по себе. Поэтому настоящая глава (как и многие другие в этой книге) может рассматриваться как обзор явлений, только приближенно укладывающихся в точные рамки. Эти явления представляют интерес для тех исследователей, которые захотят оценить все разнообразие колебательных явлений. Для физика раздел, посвященный ядерному магнитному резонансу, естественно, может показаться наиболее важным, однако он является и наиболее трудным и может быть опущен читателем без опасения потерять нить последовательных рассуждений.

Рассматриваемые в этой главе силы, зависящие от скорости, не являются диссипативными силами трения или сопротивления, от- ветствеными за ее слагаемое к^ в уравнении движения, аналогичном уравнению (2.23) (см. § 2.5). К ним в некоторой степени относятся недиссипативные силы Кориолиса и Лоренца. Первые проявляются, когда динамические процессы рассматривают во вращающихся системах отсчета; вторые — когда заряженная частица движется в магнитном поле [1].

И те и другие силы направлены перпендикулярно касательной к траектории в любой точке. Эти силы не совершают работу, но тем не менее существенно влияют на характер траектории. Силы Кориолиса и силы Лоренца описываются идентичными выражениями.

Силы Кориолиса: уравнение движения для частицы массы т под действием внешней силы F во вращающейся с постоянной угловой скоростью £2 системе отсчета имеет вид

т r = F — 2/% [йх г] — иг [2Х[ЙХ< (8.1)

Второе слагаемое в правой части этого уравнения представляет собой силу Кориолиса, третье — центробежную силу.

Сила Лоренца: уравнение движения частицы массы т с зарядом е в магнитном поле индукции В имеет вид

z^r = F — е [Вхг]. (8.2)

В первое слагаемое правой части входит сила еЕ, с которой на частицу действует электрическое поле напряженности Е. Второе слагаемое представляет собой силу Лоренца *.

Идентичность выражений, описывающих рассматриваемые силы, означает, что при определенных условиях влияние однородного магнитного поля В на траекторию движения частицы такое же, как если бы мы рассматривали движение частицы в системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью Q — ^eB/m. Нет необходимости обсуждать, в чем состоят эти условия. Отметим лишь, что сила F должна быть центральной, а траектории — такими, чтобы г не принимало слишком больших значений. Это вытекает из теоремы Лармора [2].

Если в системе без потерь действуют силы Кориолиса или Лоренца, то она перестает быть обратимой. Чтобы пояснить это, заметим, что если сила F зависит лишь от положения, то уравнению движения

т г =F (г)

удовлетворяют два решения: г = г(/) и г = г(—/), поскольку время / входит в это уравнение лишь во второй степени (см. § 2.2). Это означает, что уравнение движения допускает возможность перемещения частицы вдоль определенной траектории как в одном направлении, так и в противоположном, если она начала свое движение в конечной точке с такой же по модулю, но противоположно направленной начальной скоростью. Когда же движение описывается уравнениями типа (8.1) или (8.2), изменение знака t на противоположный приводит к изменению знака слагаемых, содержащих г, т. е. к изменению направления действия сил Кориолиса и Лоренца на противоположное. Ускорение г не будет определяться теперь лишь вектором г и траектории будут различными в зависимости от направления движения. Конечно, на характер движения простейшего вибратора, совершающего движение вдоль прямой линии, рассматриваемые силы влияния не оказывают, итобы обнаружить его в наиболее простой форме, колебательной системе следует предоставить две степени свободы.

Примером может служить маятник Фуко. Пусть в невращаю- щейся системе отсчета конический маятник колеблется по кругу с постоянной угловой скоростью toQ = llgY*2 (по направлению часовой стрелки или против нее). Если поместить этот маятник на Се-

х В этой и иногда в других главах символами В и Е будут обозначаться соответствующие величины, относящиеся к постоянно приложенным полям, которые могут быть сильными; символами Ь, В' и Е' — соответствующие величины для слабых полей, налагаемых на сильные.

верном полюсе, то наблюдателю, находящемуся на Земле , будет казаться, что маятник движется с угловой скоростью

tol,2 = ± % — ^»

где Q — угловая (отрицательная) скорость вращения Земли, а положительный знак соответствует движению маятника по часовой стрелке. Значения угловых скоростей coi и 0)2, соответствующих различным направлениям вращения, не одинаковы по модулю и противоположны по знаку. Правда в этом простейшем случае вид траекторий движения маятника одинаков, но это чистая случайность.

Для описания кругового движения удобно использовать комплексные величины, подобно тому, как это делалось в гл. 3 (см. § 3.8). Смещение груза маятника определяется комплексным числом г, и действительная, и мнимая части которого имеют свой смысл. Так, выражением r = ae-Vtot описывается движение по окружности радиуса а в направлении часовой стрелки (если со>О), а обе устойчивые моды маятника могут быть представлены в виде Gxe-\^A-to0)t и ^^цд-соо )t# Если они возбуждаются одинаково (ах = = а2 = а), то их суперпозиция дает типичную линейную прецессию маятника Фуко:

г = а е1 <2+^)z _|_ а ei(2—со0)^ _ 2^ е’2f cos со0/.

Груз маятника совершает колебания с собственной частотой too почти в плоскости, а плоскость качаний непрерывно вращается с угловой скоростью —Q. Причем период этого вращения на полюсе равен продолжительности земных суток, а в точке, широта которой 0, он в cosec 0 раз больше, поскольку модуль силы Кориолиса зависит от sin 0. Вследствие этой прецессии линейное движение маятника не является нормальной модой; нормальные моды — это движения по кругу. Заметим, что при отсутствии силы Кориолиса оба круговых движения так же связаны друг с другом, как линейные колебания во взаимно перпендикулярных плоскостях, называемые нормальными модами. Эти две моды являются вырожденными, т. е. имеют равные частоты, и любая их линейная комбинация порождает устойчивые колебания той же частоты. Вращение, вызываемое эффектом Кориолиса, снимает это вырождение, а с ним и всю неоднозначность в определении нормальных мод.

Если система, нормальные моды которой имеют круговую поляризацию, подвергается действию силы, колеблющейся вдоль неподвижной линии, то для определения отклика такой системы вынуждающую силу следует представить в виде двух вращающих сил постоянной величины. Если Fq— комплексное число, то Fq cos (g)/ + e) представляет собой осциллирующую силу, действующую вдоль направления, которое является аргументом Fo. Величина Л) cos (g>/ + e) разделяется на две компоненты:

Fo COS (oj/-j-e) = Al с'ш/-]-Д^е^'ш-,

где Ль^/гЛ)^8 и Лд = 72^ое-*е. Компоненты AL и ARl ответственные за левое и правое вращения, одинаковы по модулю О/г^о!) и имеют противоположные по знаку аргументы. Если система отвечает на действие вращающей силы собственным синхронным вращением, то для описания амплитуды и фазы отклика можно ввести вспомогательную величину х- Тогда XlAl^1 и xr^r^-1011 — Две вращательные компоненты смещения. Если % — действительное число, то это означает, что сила и смещение вращаются вместе и работа при этом не совершается. Наличие мнимой части % означает появление компоненты смещения, перпендикулярной направлению силы. Если смещение отстает от силы, то энергия постоянно передается в систему.

Когда круговые моды вырождены, значения xl и хя равны между собой, но, поскольку смещение отстает по фазе от силы на один и тот же угол для обоих направлений вращения, их аргументы противоположны: xl = Xr*- Тогда focoso/ (Eq— действительная величина) вызывает отклик:

Г= xhXiF0 е-1ш< + Ч^кРд е1 <

Если xr представить в виде XR = XeVpi то

г = х^о cos ^t — ?)•

Эта величина представляет собой линейное отклонение, отстающее от вынуждающей силы на фазовый угол ф. В этом случае xr и xl имеют тот же физический смысл, что и величина, обратная жесткости для линейного движения.

Для невырожденных круговых мод xl и xr не являются комплексно-сопряженными величинами, и в общем виде отклик на линейную силу представляет собой эллиптическое движение, которое является суперпозицией двух круговых движений с различными амплитудами и равными, но противоположно направленными скоростями. В большинстве примеров, рассматриваемых в этой главе, обе моды столь сильно отличаются друг от друга, что в любой момент времени преобладает только одна из них. Тогда результатом линейного возбуждения является круговое движение. В таких случаях мы будем считать само собой разумеющимся, что систему проще возбуждать постоянной по направлению осциллирующей силой, хотя можно исследовать и отклик на вращающие силы, поскольку результирующее поведение идентично.

ВРАЩЕНИЕ [3]

Великолепной иллюстрацией действия сил Кориолиса является маятник Фуко. В качестве другого примера, носящего более драматический характер и приводящего к опасным последствиям, рассмотрим поведение колебательной системы, приведенной во вращение с частотой, превышающей частоту ее собственных колебаний. Такая система может начать раскачиваться и даже разрушиться, причинив вред и окружающим телам. Начнем с простейшего опыта.

рассмотрим небольшое тело, подвешенное на рояльной струне (рис. 8.1). Верхний конец струны закреплен на валу двигателя постоянного тока, ось вращения которого вертикальна. Размеры системы, приведенные в подписи к рисунку, позволяют провести небольшой эксперимент, однако исследователю следует соблюдать осторожность и помещать перед собой защитный экран, поскольку тело при случайной неосторожности может начать перемещаться^ большой скоростью в горизонтальном направлении. Это произойдет, когда частота вращения вала двигателя, медленно возрастая,

Рис 8.1. Опыт, иллюстрирующий явление раскачки колебаний при вращении упругой струны

Латунный цилиндр диаметром 1,27 см ('/г дюйма) и высотой 1,90 см РА дюйма), припаянный мягким припоем к стальной проволоке диаметром 0,05 см (0,02 дюйма) и длиной 10,16 см (14 дюйма), удобен для проведения эксперимента. Следует обратить внимание на предупреждение, сделанное в тексте

достигнет критического значения, равного частоте собственных колебаний системы, составляющей несколько герц. Однако если струну до тех пор, пока эта частота не будет достигнута, несколько придерживать, обеспечивая тем самым небольшое затухание, то в этом случае тело будет продолжать вращаться без заметного горизонтального отклонения.

Поведение описанной системы легко поддается исследованию и в лабораторной системе отсчета, и в системе отсчета, вращающейся вместе с валом двигателя. В обоих случаях горизонтальное смещение удобно представлять в комплексной форме. Начнем с лабораторной системы отсчета. Пусть в начальный момент при неподвижном вале двигателя струна имеет небольшое отклонение от вертикальной оси и тело находится на расстоянии г0 от нее. При смещении тела в соседнее положение г на него действует линейная возвращающая сила, обязанная своим происхождением упругости струны. Эта сила равна ц(г0—г) и направлена в сторону исходного положения тела. Поэтому уравнение движения имеет вид

т г 4- ji (г — г^=0.(8.3)

Его решение

г — г0= A e-ia,o^_j_^ei^ представляет собой сумму двух вращений в противоположных направлениях с одинаковой частотой о)0, равной ^тук

Пусть теперь вал двигателя вращается с частотой Q. Тогда исходное положение тела изменяется со временем по закону roe~iQt и уравнение движения (8.3) принимает вид

mr-y ^r = y-rQ e-i2'.(8.4)

Это уравнение описывает незатухающее гармоническое движение вокруг исходного положения, не совпадающего с первоначальным положением г0, происходящее под действием вращающейся возвращающей силы, которая возникла из-за случайного первоначального отклонения г0. Стационарное решение уравнения (8.4) представляет собой вращение тела вокруг первоначального положения с угловой скоростью Q:

r = roe-i2V(l-e2/u)o). (8.5)

Рис 8 2. Первые три моды вращающейся проволоки с незакрепленным нижним конРис 8 2. Первые три моды вращающейся проволоки с незакрепленным нижним концомцомРезонансный характер знаменателя этого уравнения приводит к увеличению отклонения тела от первоначального положения. При приближении частоты Q к о)0 любое отклонение г0 возрастает до такого значения, что линейная аппроксимация в уравнении (8.5) теряет смысл. Однако более вероятно, что, когда струна растянется свыше предела упругости, возникнут дополнительные трудности. Они обусловлены тем, что потери, сопровождающие пластические деформации, могут вызвать появление неустойчивости. Отклонение г растет до тех пор, пока струна не расположится горизонтально или пока не произойдет ее обрыв. Позднее мы еще вернемся к неустойчивостям, связанным с потерями. Здесь же рассмотрим системы без потерь, для которых из

Рис 8 2. Первые три моды вращающейся проволоки с незакрепленным нижним кон

Рис 8 2. Первые три моды вращающейся проволоки с незакрепленным нижним кон

цом

цом

уравнения (8.5) следует, что, как только критическая частота соо превышается, смещение вновь уменьшается до разумных значений. Процесс раскачки колебаний полностью аналогичен возбуждению резонансной системы скользящим тоном, рассмотренному в гл. 6. Даже если частота Q значительно превысит юо, частота вращения тела останется той же: юо, т. е. критической (см. § 6.5).

Струна и тело в опыте, приведенном на рис. 8.1, могут быть заменены отрезком проволоки (а именно 30-сантиметровым отрезком медной проволоки 24-го калибра, полученной вытягиванием). В отличие от предыдущего примера эта колебательная система имеет уже не одну резонансную моду, а несколько (рис. 8.2), каждая из которых характеризуется своей собственной частотой соо. Эти моды, хотя и не являются синусоидальными, представляют собой подходящий набор основных функций ряда Фурье, описывающего первоначальную форму проволоки. Типичный член этого ряда имеет на

чальную амплитуду а^ которая вследствие вращения становится равной аг/(1—Q2/co2oO - Резонансная раскачка проволоки может произойти теперь вблизи любой из собственных частот. Легко показать, что в промежутках между резонансами проволока вращается стабильно. Для этого достаточно только придержать рукой нижний конец проволоки в тот момент, когда частота вращения проходит значение основной резонансной частоты, и отпустить его до достижения следующей резонансной частоты. Это удается сде-

лать, поскольку резонансные частоты хорошо отделены друг от друга.

Еще проще погрузить нижние несколько сантиметров проволоки в сосуд с водой. Это приведет к появлению демпфирующего слагаемого в уравнении движения, наличие затухания не позволит амплитуде неограниченно возрастать вблизи резонансных частот. Если теперь проследить за поведением проволоки при медленном увеличении Q, можно увидеть, как поочередно возникают резонансные режимы, а затем, когда резонансная частота пройдена, устанавливается обычный режим вращения, вплоть до возникновения следующей, более высокой моды. Если использовать очень тонкую проволоку, то можно наблюдать несколько резонансов, хотя широкий разброс частот затрудняет наблюдение последовательности большого числа резонансов.

Если демпфирующее устройство заставить вращаться вместе с валом двигателя, вместо того чтобы оставить его неподвижным в лабораторной системе отсчета, то поведение проволоки будет совсем иным. На всех частотах, превышающих самую нижнюю резонансную частоту, движение проволоки перестает быть устойчивым и резонанс неизбежен. Поведение проволоки теперь удобно рассматривать во вращающейся системе отсчета, в которой уравнение движения принимает вид

тг = ^(г^ — г)4-2 i m^r-\-m^?r — \r (8.6)

Первое слагаемое в правой части, заимствованное из уравнения (8.3), представляет собой упругую возвращающую силу. Второе и третье — силу Кориолиса и центробежную силу из уравнения (8.1), выраженные в комплексной форме. Последнее слагаемое определяет затухание, вызванное вязкостью жидкости. Этот демпфирующий член пропорционален скорости относительно вращающейся системы отсчета. Если положить г и г равными нулю, можно получить стационарное решение. Оно аналогично решению (8.5), но не имеет экспоненциального множителя. Чтобы установить, является ли это решение устойчивым, мы должны рассмотреть колебательные моды. Для этого можно положить г0 равным нулю. Подставив тривиальное решение еЧ(й{, мы сразу получим

<»24-(2Q-|-i Л:) «> 4-(Q2_ ш2)=о, (8.7)

где к = Х,т. Сумма двух корней —(2Q + Z&) лежит ниже действительной оси, а произведение корней (Q2—(оо2) действительно и отрицательно до тех пор, пока Q<(i)0. Один из корней должен находиться в третьем квадранте, а другой — в четвертом. Поэтому они оба имеют отрицательную мнимую часть, что вызывает движение выведенного из равновесия тела по спирали, сходящейся к исходному положению. Стационарное решение оказывается устойчивым, когда й<о)о. Однако, когда Q>coo, произведение корней действительно и положительно. Следовательно, один из них должен лежать выше действительной оси, а другой — ниже. Первый корень описывает

расходящееся спиральное движение, т. е. равновесие становится неустойчивым.

Это легко продемонстрировать с помощью устройства, изображенного на рис. 8.1, если использовать надетую на проволоку и хорошо подогнанную полихлорвиниловую втулку. Пластической деформации втулки при изгибе оказывается достаточно, чтобы вызвать неустойчивость. Однако при частотах, больших соо, первоначально хорошо отцентрированная втулка постепенно смещается и вращается по окружности, радиус которой все время возрастает. Этот этап начинается внезапно, чему, вероятно, способствуют дополнительные потери, вызванные неупругой деформацией проволоки. Поскольку вращающееся устройство обладает собственным механизмом диссипации, описанная неустойчивость является, в принципе, случайной. Об этом следует всегда помнить.

Возвращаясь к теоретическому анализу, заметим, что переход от устойчивого движения к неустойчивому происходит при том значении угловой скорости, при котором возвращающая упругая и центробежная силы, зависящие от г, уравновешивают друг друга. Вместе обе силы характеризуются потенциальной энергией, которая описывается параболической функцией, вогнутой при низких скоростях и выпуклой — при высоких. При отсутствии потерь тело, двигаясь по окружности под действием силы Кориолиса, удерживается на орбите даже на куполе этой функции. При наличии потерь тело вынуждено переместиться на орбиты с меньшей энергией, т. е. внутрь, если Q<coo, и наружу, если Q><oo. Наблюдение этого явления в лабораторной системе отсчета содержит некоторую таинственность, привлекающую к себе внимание. Эффект может быть продемонстрирован с помощью простого конического маятника, совершающего колебания в сосуде с жидкостью. Если жидкость заставить вращаться медленнее, чем вращается груз маятника, то он будет испытывать действие задерживающей силы. Груз будет при этом двигаться по окружности, радиус которой уменьшается. Нить маятника будет стремится занять вертикальное положение. Но если жидкость вращается быстрее груза, то она подталкивает груз, что приводит к увеличению радиуса орбиты. В точности то же самое происходит в рассмотренных выше примерах.

В лабораторной системе отсчета с вращающейся вязкой жидкостью уравнение движения, соответствующее уравнению (8.6), при го = О имеет вид

mr= — ^г — X (г4-i Qr),

так как r + iQr представляет собой скорость груза маятника относительно жидкости. Таким образом, собственные частоты системы определяются уравнением

О)2 4“ 1 ^ (^ й) (Од = О,

которое можно записать в виде

(о>+ V2i A^Goo-W + iS^(о>+ V2i A^Goo-W + iS^(8.8)(8.8)

(о>+ V2i A^Goo-W + iS^

(о>+ V2i A^Goo-W + iS^

(8.8)

(8.8)

Изменение со в зависимости Q легко можно найти. Если со + 721^ записать как x + iy, то, приравнивая действительные и мнимые части в уравнении (8.8), получим

Л2_у2 = и)2_1/4^21 (8.9)

Это уравнение равнобочной гиперболы, представленной на рис. 8.3,

где Q — точка пересечения осей х и у; асимптоты гиперболы пере

Рис. 8.3. Решение уравнения (8.8)Рис. 8.3. Решение уравнения (8.8)секаются в jO4Ke —72^- Приравнивая в уравнении (8.8) мнимые части, получим соотношение xy=x№k. Из него совместно с (8.9) следует, что если уравнению (8.8) удовлетворяют значения (х\ y')f то ему так же удовлетворяют (—х\ —у7). Так что оба значения <оо Для любого Q лежат на прямой, проходящей через точку Q (например это точки А и А7). Оба решения оказываются симметричными относительно мнимой оси только при Q = 0. Это условие должно быть

Рис. 8.3. Решение уравнения (8.8)

Рис. 8.3. Решение уравнения (8.8)

выполнено, если комбинация двух поляризованных по кругу нормальных мод дает линейно поляризованную моду. До тех пор

пока Q<(0o, оба решения лежат ниже действительной оси и соответствуют затухающим модам. Но с возрастанием значений Q выше со точка А переходит в положительную полуплоскость и появля

ется экспоненциально возрастающая мода.

ГИРОМАЯТНИК

Гиромаятник — это пример системы с круговыми нормальными модами, не являющимися обратимыми во времени копиями друг друга. Этот пример не очень важен сам по себе, но его легко вос-

Рис. 8.4. Гиромаятник

Латунный маховик диаметром 12 см и толщиной 1 см вращается с частотой около 3000 об/мин С помощью такого маятника можно получить хорошие результаты Недеформируемый стержень, удерживающий мотор, подвешен с помощью гибкого соединения, используемою в радиоприемниках Стальная проволока, проходящая в центре, служит для удержания мотора и маховика Маховик находится приблизительно на 25 см ниже гибкого подвеса Справа приведены обозначения, использованные в тексте Предупреждение это потенциально опасный эксперимент Маховик должен быть без трещин, хорошо сбалансирован и надежно закреплен на валу двигателя, который, в свою очередь, должен быть прочным (диаметром около 0,64 см (*/4 дюйма))

произвести практически, и он занимателен настолько, что имеет смысл сконструировать такое устройство. Обсуждение закономерностей колебаний гиромаятника послужит введением в следующий раздел, где будет рассмотрено поведение намагниченного гироскопического волчка, представляющее интерес с точки зрения физики. Гироскопический маятник, показанный на рис. 8.4, представляет

собой быстро вращающееся маховое колесо, ось которого жестко связана с коротким маятником и может качаться в любом направлении. Для малых горизонтальных смещений, описываемых комп

лексным числом г, уравнение движения можно вывести, рассмотрев

Рис. 8.5. Типичная траектория гиромаятника, начавшего движение из отклоненного положения без начальной скоростиРис. 8.5. Типичная траектория гиромаятника, начавшего движение из отклоненного положения без начальной скоростигоризонтальные компоненты углового момента относительно точки подвеса, положение которой, в свою очередь, меняется под действием вращающего момента imgr (здесь т— суммарная масса маховика и двигателя). Угловой момент складывается из двух величин: 1) Lr[l — горизонтальной компоненты углового момента маховика L и 2)—imlf — углового момента всего подвешенного груза при качаниях маятника. Предполагается, что выполнено условие r<cL Поэтому линейное приближение для описания движения маятника является вполне обоснованным. Следовательно, если пренебречь потерями, то

Рис. 8.5. Типичная траектория гиромаятника, начавшего движение из отклоненного положения без начальной скорости

Рис. 8.5. Типичная траектория гиромаятника, начавшего движение из отклоненного положения без начальной скорости

—^— (Lrll—\ mlr) = imgr,

r-|-2i iogr 4*^ = 0,r-|-2i iogr 4*^ = 0,(8.10)(8.10)отсюда

r-|-2i iogr 4*^ = 0,

r-|-2i iogr 4*^ = 0,

(8.10)

(8.10)

где o)o= (gfl)и cog=L/(2m/2). Характеристические частоты, определяемые уравнением (8.10), принимают значения

со1,2 — ^g + G»o + <og) (8.11)

Если L положительно (что соответствует вращению маховика по часовой стрелке, если смотреть снизу), то быстрая мода с частотой сов определяемая положительным знаком в (8.11), соответствует движению по часовой стрелке, а медленная — с частотой со2— движению против часовой стрелки.

Если отклонить маятник от положения равновесия и предоставить самому себе, то он будет совершать угловое петлеобразное движение, являющееся результатом сложения обеих мод, возбужденных одновременно. На рис. 8.5 представлена траектория гиромаятника, рассчитанная для таких параметров, при которых о)о = -=2o)g. Обе частоты в выражении (8.11) относятся как (Кб-Н!) : ^5- 1), что составляет приблизительно 2,6. Предполагается, что маятник начал двигаться из точки, соответствующей максимальному отклонению. Поэтому амплитуды обеих мод обратно пропорциональны их частотам; так что если моды совпадают по фазе, то их линейные скорости сокращаются. В этом случае на один полный оборот системы приходится п острых сопряжений траектории. Нетрудно показать, что п=\—coi/co2. В рассматриваемом случае эта величина составляет 3,6. Можно заметить, что в остриях траектории маятник не имеет орбитального углового момента, а в других точ-

ках траектории его угловой момент противоположен по знаку собственному моменту маховика. Это означает, что угловой момент относительно вертикальной оси сохраняется, поскольку изменение наклона оси маховика должно быть скомпенсировано соответствующим изменением в орбитальном движении. В противоположность этому любая орбита простого маятника характеризуется постоянством орбитального углового момента. Это возможно лишь когда обе круговые моды имеют равные, но противоположные по знаку частоты.

Другим различием между гиромаятником и простым маятником является то, что потенциальная и кинетическая энергии в круговых модах больше не равны друг другу. Так как V^^«zmgr^ll и Г1)2 = = Уг^со2!^2, то

^1,2/^ = а)Ц 2/^0-

Это выражение принимает более простой вид, если ввести величину п— число сопряжений (вершин) траектории:

1^ — 1 в быстрой мэде, №-1) в медленной моде.

В только что рассмотренном примере, где п = 3,6, имеется существенная разница в распределении кинетической энергии. Это приводит к большому различию в скорости затухания для обеих мод.

Если маятник закреплен так, что в точке подвеса имеется трение (движется с затуханием), то быстрая мода затухает гораздо» скорее медленной. Это можно легко продемонстрировать: если маятник запустить по эпициклоидальной орбите, а точку его подвеса поднять руками, то острые вершины траектории почти сразу же исчезнут и маятник начнет медленно двигаться по круговой орбите.

ГИРОМАГНИТНЫЙ ВОЛЧОК [4]

Мы переходим к рассмотрению системы, которую труднее воспроизвести в лабораторных условиях, но которая имеет большое теоретическое значение, поскольку позволяет в представлениях ньютоновской механики смоделировать процессы, происходящие при ядерном магнитном резонансе. При рассмотрении аномальной дисперсии мы уже встречались с одним типичным квантово-механическим процессом, который оказалось возможным заменить эквивалентной классической моделью. Теперь мы приводим второй такой пример. Мы просим читателя поверить на этой стадии рассмотрения, что эта эквивалентность может быть строго установлена. Ну а если это так, это сразу дает нам большое преимущество — теперь мы можем осмысливать явления на языке классических понятий. Это очень важно, потому что многие существенные результаты мы способны интуитивно воспринимать в классическом приближении^ тогда как с квантовой точки зрения они остаются для нас всего лишь математическими следствиями довольно сложного анализа.

Это служит оправданием для обсуждения некоторых тонкостей механики гироскопа, обладающего постоянным магнитным моментом ц1, параллельным его угловому моменту L. В этом параграфе вместо комплексной формы записи уравнений мы применим векторную .

В постоянном магнитном поле В вращающий момент и, следовательно, скорость изменения углового момента, равны [цХВ]. Это

Рис 8 6 Обозначения, использованные для описания гиромагнитного волчкаРис 8 6 Обозначения, использованные для описания гиромагнитного волчкаРис. 8.7. Траектории L в системе отсчета, вращающейся вместе с вектором bРис. 8.7. Траектории L в системе отсчета, вращающейся вместе с вектором b

Рис 8 6 Обозначения, использованные для описания гиромагнитного волчка

Рис 8 6 Обозначения, использованные для описания гиромагнитного волчка

Рис. 8.7. Траектории L в системе отсчета, вращающейся вместе с вектором b

Рис. 8.7. Траектории L в системе отсчета, вращающейся вместе с вектором b

приводит к прецессии оси гироскопа вокруг направления вектора В с такой угловой скоростью £2, что результирующее изменение углового момента [£2ХЦ равно [цХВ]. Если обозначить через у скалярное гиромагнитное отношение p/L, то

£2= —уВ. (8.12)

Этот результат показывает, что скорость прецессии одинакова для всех ориентаций оси. Для атомного ядра в заданном энергетическом состоянии (например, в основном состоянии с минимальной энергией) у определено однозначно этим состоянием, поэтому отношение Q/B является характерным свойством ядра. Величину у можно определить экспериментально, нарушая прецессионное движение с помощью слабого дополнительного магнитного поля, вращающегося с угловой скоростью, близкой к £2. Таким образом, можно обнаружить результирующие магнитные эффекты, поскольку при резонансе ориентация оси систематически изменяется. Векторная диаграмма описываемого явления представлена на рис. 8.6.

* В СССР магнитный момент принято обозначать рт — Прим ред

Вектор L прецессирует вокруг вектора В с угловой скоростью S2, а дополнительное поле b вращается вокруг этого же вектора В с угловой скоростью (О.

Поведение этой системы удобно рассмотреть с точки зрения наблюдателя, находящегося в системе отсчета, вращающейся вместе с вектором Ь. В этой системе поле b неподвижно. Любой вектор А, неподвижный в лабораторной системе отсчета, вращается относительно описанного наблюдателя с угловой скоростью —со. Воспринимаемая же скорость определяется векторным произведением [—соХА]. Это справедливо в случае постоянства вектора А; в общем случае следует учитывать скорость изменения вектора А в лабораторной системе отсчета. Таким образом, наблюдателю кажется, что вектор L, непрерывно прецессирующий с угловой скоростью —у(В + Ь) вокруг вектора, являющегося результирующим векторов В и Ь, изменяется со скоростью

L= - у [(В +b) X L] — [со X L ]= -[(А + уЬ) X L], (8.13) где А = со—О отвечает за степень несовпадения скорости вращения поля b со скоростью прецессии.

Во вращающейся системе отсчета А + yb не меняется. Для наблюдателя, находящегося в этой системе, вектор L совершает прецессию вокруг направления, совпадающего с результирующим вектором, как показано на рис. 8.7. Поскольку векторы А и b взаимно перпендикулярны, на них действует поле (А2+у262) ,/2/у, а угловая скорость прецессии составляет (А2 + у262) X Обозначим угловую скорость прецессии %. В лабораторной системе отсчета она представляет собой медленное возмущение основной прецессии. В случае, изображенном на рис. 8.7, а, когда конус, описываемый вектором L, не включает в себя направление вектора В, вектор L не охватывает своим вращением вертикальную ось и в лабораторной системе отсчета средняя скорость прецессии составляет со. Однако момент то остает от Ь, то опережает его, поэтому наложенное поле b попеременно то передает энергию гироскопу, то отбирает ее у него. Это отражается в периодическом изменении угла между векторами ц и В, поскольку в то время, как кинетическая энергия не зависит от ориентации, потенциальная энергия имеет «магнитное» слагаемое (—цВ).

Случай, представленный на рис. 8.7, а, соответствует либо достаточно сильному полю Ь, либо полю, хорошо настроенному по частоте. Направление вектора L близко к оптимальному направлению А + yb, при котором скорость прецессии становится синхронной. Однако в случае, показанном на рис. 8.7,6, вектор L оказывается достаточно далеко от вектора А + yb и конус, описываемый вектором L, охватывает вертикальную ось. Средняя скорость прецессии теперь оказывается ближе к Q, чем к со. Наконец, в случае, представленном на рис. 8.7,в, вращение вектора b в точности совпадает с направлением скорости прецессии, так что А = 0; наклонное движение оси становится симметричным относительно горизонтальной плоскости и происходит со скоростью уХ

Отклик системы на поле b может быть описан либо через изменение продольной компоненты вектора ц, параллельной вектору Ь, либо через изменение поперечной компоненты. Однако такой подход не дает полностью независимой информации из-за сохранения энергии: компонента ц, перпендикулярная одновременно векторам В и Ь, определяет скорость потока энергии к гироскопу или -от него и, следовательно, скорость изменения угла наклона плоскости орбиты и продольной составляющей вектора ц.

Остановимся на поперечной составляющей р, которая вращается приблизительно со скоростью О' и возбуждает колебания в любом контуре, ось которого перпендикулярна направлению В. Особый интерес представляет тот случай, когда момент ц при / = 0 параллелен вектору В, так что конус, по которому прецессирует вектор ц во вращающейся системе отсчета, имеет вид, представленный на рис. 8.8, а. Проекция вектора ц на поперечную плоскость движется по эллипсу с частотой х (рис. 8.8,6). Параллельная и перпендикулярная вектору b компоненты совершают гармонические колебания возле не равного нулю среднего значения, являющегося центром эллипса. Геометрические соображения подсказывают, что эти компоненты меняются в соответствии со следующими выражениями:

Р v = р,siп 6 cos 6(1— cos /О,

""(8.14)

Р^ = Р cos 6 sin 7^

где 9 — угол наклона оси конуса к поперечной плоскости, a tg9 = = А/(у6). Это справедливо во вращающейся системе отсчета. В лабораторной системе отсчета (индексы в этом случае мы обозначим заглавными буквами)

р^^р^ cos и)/-[-р^ sin со/ и ру = ру COS to /—р^, sin to/. Поэтому

Рх = р cos 6 [sin 6 cos <')/ (1 — cos //)-[- sin wt sin хЛ»

(8.15) pr = p cos 0 [cos to/ sin //— sin 6 sin ш/ (1 — cos xO].

Из рис. 8.8, б легко понять, что означают эти выражения. Наблюдатель в лабораторной системе отсчета видит ц/ вращающимся вокруг направления вектора В с возмущенной частотой со, которая очень близка к частоте Q. В то же время его модуль меняется более медленно с периодом 2л/х, поскольку ц# вращается по эллиптической траектории. Когда у6<СД, т. е. 0 приближается к л/2, эллипс переходит в маленькую окружность и поперечная компонента pt совершает гармонические колебания:

p.z = 2y6p. sin (^xO/^ + yW72 ~ ^- sin

Так как эта компонента вращается, то соответствующие компоненты в лабораторной системе отсчета изменяются следующим обра-

3OM3

M=-^-sin (u>-f- 1/2Х>^

о А(8.16)

Р-У =COS (to + V2X) f-

Эти уравнения следовало бы сопоставить с уравнениями (6.31) и рис. 6.12, б (см. § 6.5). Поведение рассматриваемой системы почти в точности совпадает с поведением гармонического вибратора с

Рис. 8.8. Частный случай траекторий, показанных на рис. 8.7, когда L и ц проходят через направление ВНа рисунке б показана траектория ц.^ компоненты вектора ц в плоскости, перпендикулярной вектору В во вращающейся системе отсчетаРис. 8.8. Частный случай траекторий, показанных на рис. 8.7, когда L и ц проходят через направление ВНа рисунке б показана траектория ц.^ компоненты вектора ц в плоскости, перпендикулярной вектору В во вращающейся системе отсчета

Рис. 8.8. Частный случай траекторий, показанных на рис. 8.7, когда L и ц проходят через направление В

На рисунке б показана траектория ц.^ компоненты вектора ц в плоскости, перпендикулярной вектору В во вращающейся системе отсчета

Рис. 8.8. Частный случай траекторий, показанных на рис. 8.7, когда L и ц проходят через направление В

На рисунке б показана траектория ц.^ компоненты вектора ц в плоскости, перпендикулярной вектору В во вращающейся системе отсчета

малыми потерями, возбужденного вблизи резонанса, и представляет собой биения, обусловленные суперпозицией стационарного отклика и нестационарного возбуждения.

В соотношениях (8.16) частота биений определяется отклонением частоты возмущающего поля b от резонансного значения и слабо зависит от амплитуды Ь. Это справедливо только когда у^^Д. Однако приближение частоты возмущающего поля к резонансной и при нарушении этого неравенства картина имеет иной характер. Круговая траектория ц# становится явно эллиптической и переходит при резонансе, когда 9 = 0, в прямую линию. При этом круговая орбита лежит в вертикальной плоскости (рис. 8.8, а). Ось гироскопа в лабораторной системе отсчета, первоначально параллельная В, начинает прецессировать по непрерывно расширяющемуся конусу, переходит в поперечную плоскость и в конце концов принимает направление, противоположное направлению вектора В. Затем процесс повторяется в обратном направлении, и так происходит до тех пор, пока поддерживается резонансное возмущение.

Несколько случаев, соответствующих постоянному значению b и переменным значениям А, проходящим через резонансные, приведены на рис. 8.9. На нем показана лишь огибающая колебаний на частоте со, т. е. амплитуда цт. Четко прослеживается насыщение колебаний. Причина этого очевидна: цт никогда не может превысить ц. По мере приближения к насыщению нелинейность системы проявляется также в том, что частота биений не стремится к нулю

при резонансе, а лишь достигает минимального значения ^Ь. Напротив, в соответствии с рис. 6.12 при приближении к резонансу огибающая становится явно не синусоидальной.

Этот тип нелинейного вибратора существенно отличается от встречающихся до сих пор тем, что он изохронен, но обладает насыщением. В этом смысле поведение не имеет ничего общего с по-

Рис 8 9. Огибающие, показывающие эволюцию компоненты Ц в плоскости, перпендикулярной В (в начальный момент, при / = 0 и РИВ)

Амплитуда b все время остается постоянной, но А меняется Числа, указанные вблизи соответствующих кривых, представляют собой значения отношения Д/(у6) Значение амплитуды огибающей, равное 1, означает, что ц лежит в поперечной плоскости При отсутствии диссипативных эффектов и т п. кривые повторяют друг друга

ведением частицы в параболическом потенциальном поле, которое возможно и изохронно, но не имеет насыщения. Различие можно проиллюстрировать откликом на скользящий тон. В гл. 6 было показано, что гармонический вибратор, возбужденный постоянным по амплитуде сигналом, частота которого линейно меняется со временем (оз = о)о-грО, после прохождения резонанса совершает колебания с амплитудой, пропорциональной р_,/2. Для гиромагнитного волчка это выражается в изменении наклона оси относительно направления В. При быстром применении частоты изменение наклона невелико и пропорционально р_1/2. Это является линейным приближением в уравнении гироскопа и вынуждает его в точности следовать теории гармонического вибратора. Но если (3 достаточно мало для того, чтобы предсказываемое изменение вышло за рамки линейного приближения, то ситуация несомненно нуждается в пересмотре (например, когда кинетическая энергия превышает максимально допустимое для волчка значение).

Однако и в этом случае поведение системы нетрудно понять. Вместо того чтобы поддерживать частоту В постоянной, как это делалось ранее, зафиксируем теперь со, а В будем медленно изменять от значений, значительно превышающих резонансное, до значений, существенно меньших резонансного.* Это совершенно эквивалентно тому, что было сделано раньше, и является известным приемом (адиабатный переход) при рассмотрении явления ядерного магнитного резонанса *.

Термин «адиабатный» используется в термодинамике и квантовой механике в существенно разных смыслах В данном случае мы будем подразумевать, что параметры физической системы (в частности, В) изменяются столь медленно, что система плавно эволюционирует с течением времени В этом смысле противоречия в квантово-механическом и термодинамическом трактовании термина «адиабатный» нет Однако в квантовой механике предполагается, что система изолирована от случайных процессов, например соударений Термодинамика не требует введения таких ограничений, тем более что они нередко приводят к неадибатности процесса

Во вращающейся системе отсчета рассматриваемая ситуация в некоторый момент времени аналогична той, что показана на рис. 8.8, а. Пусть теперь В внезапно изменится на малую величину бВ, достаточную для изменения ориентации А + yb, без какого-либо немедленного изменения направления L. Если при этом L находится где-нибудь в верхней половине конуса, ось которого А + yb, то снижение оси означает, что L начинает описывать более широкий конус. Напротив, если L окажется в нижней части конуса, то конус сужается. Если изменение В можно представить в виде совокупности большого числа маленьких приращений в течение времени, за которое происходит много циклов прецессии, в первом приближении изменения угла конуса не происходит — ось просто следует за направлением А + yb. Изменения второго порядка для угла конуса можно сделать сколь угодно малыми, если менять В достаточно медленно. Такой адиабатный процесс приводит к тому, что компонента М, паралеллельная В, просто меняет знак на противоположный, когда В проходит через резонансное значение, и А + yb меняет свое положение из направленного вертикально вверх на направленное вниз.

ЯДЕРНЫЙ МАГНИТНЫЙ РЕЗОНАНС

В этом параграфе не делается попытки дать систематический обзор явлений, связанных с ядерным магнитным резонансом в твердых, жидких и газообразных телах. Мы остановимся лишь на некоторых чертах, которые проясняют свойства этой довольно специфической колебательной системы.

Придерживаясь классической модели, представим себе порцию воды, как некий образец с большой плотностью протонов (7-1028 на кубический метр)—ядер атомов водорода — и отбросим все остальное. Каждый протон ведет себя подобно магнитному волчку с угловым моментом £ = 72^ = 0,527• 10-34 Дж-с и магнитным моментом

1,41 • 10-26 Дж/Тл. Значение у составляет 2,75 • 108 Тл-1 • с-1. Это означает, что в поле с индукцией 1 Тл частота прецессии составляет Угу/л, или 42,6 МГц. Если бы все протоны прецессировали независимо друг от друга, то они имели одну и ту же угловую скорость Q. Тогда в системе отсчета, вращающейся с этой угловой скоростью, полное распределение моментов могло бы быть представлено стационарной совокупностью точек на поверхности сферы единичного радиуса; каждая точка определяется концом вектора, проведенного из центра.

Пусть эта идеализированная система подвергается возмущению полем Ь, вращающимся с угловой скоростью со, тогда наблюдатель, вращающийся вместе с полем Ь, увидит каждую точку движущейся окружности с той же угловой скоростью А + yb и вокруг той же наклонной оси, что и на рис. 8.7. Поэтому все распределение точек поворачивается как одно целое вокруг этой оси и любой результирующий момент М всего ансамбля поворачивается вместе с ним. Это дает возможность рассчитать отклик системы на возмущение.

Предположим, что приложено только поле В и системе предоставляется достаточно много времени, чтобы прийти в состояние термодинамического равновесия. Так как энергия момента, направленного вдоль В, в ^В раз меньше энергии того момента, который направлен против В, то термодинамическому равновесию соответствует небольшой избыток первой из них. Привлекая в этом месте квантово-механические представления, скорее для простоты, чем по необходимости, отметим, что для протона разрешены только параллельные и антипараллельные состояния. В соответствии с распределением Больцмана они заполнены так, что N\ из N моментов направлены вдоль вектора В, a N2— в противоположную сторону, где

7V1 = A^e^/(eY + e-^)>N2=Ne-xKexA"^.

Здесь Х=^ВЦк^Т).

Полный результирующий момент М вследствие разницы в этих двух заполнениях составляет (если ^<<1)

Л1 = ^ th X — N^2BK№.(8.17)

В поле с индукцией 1 Тл при комнатной температуре величина 3,5-10-6, так что лишь очень малая часть результирующего момента направлена вдоль по полю, а все остальное ориентировано беспорядочно. Тем не менее этой малой части оказывается достаточно для того, чтобы при соответствующем возмущении получить хороший сигнал.

Один из методов обнаружения М состоит в том, чтобы приложить поле b при резонансной частоте ровно на такое время (л/(2у6)), которое необходимо для возбуждения каждого момента, и, следовательно, вызвать поворот М на л/2 вокруг b во вращающейся системе отсчета. Немедленно после этого момент М оказывается направленным не вдоль В, а в поперечной плоскости. Он будет оставаться в ней до тех пор, пока не прецессирует (в лабораторной системе отсчета) с угловой скоростью Q. В любом охватывающем образец контуре, ось которого лежит в поперечной плоскости, индуцируются электромагнитные колебания с частотой Q. Если бы приложенное поле было идеально однородным, а нуклоны— совершенно свободными от возмущающих взаимодействий, то колебания продолжались бы сколь угодно долго. Однако в реальном случае они затухают или вследствие неоднородности поля, которая вынуждает различно расположенные нуклоны прецессировать с различными скоростями, или, если неоднородность поля сведена к минимуму, из-за взаимодействия нуклонов друг с другом. Это приводит к тому, что нуклоны все равно прецессируют с различными скоростями. Этот метод аналогичен методу определения функции импульсного отклика вибратора.

С другой стороны, ансамбль спинов может быть возбужден с помощью катушки, генерирующей непрерывно колеблющееся маг-

нитное поле, перпендикулярное полю В, а отклик системе может быть обнаружен с помощью такой же катушки, расположенной перпендикулярно первой. Это устройство, предложенное Блохом, позволило избежать поглощения сигнала, индуцированного спиновым моментом, поскольку входная и выходная катушки не имеют магнитной связи. Резонансный отклик, который может быть просле-

Гис. 8.10 Два протона (ориентации их магнитных моментов показаны стрелками в кружочках) создают (каждый) в точках нахождения другого протона магнитные поля (показанные пунктирной линией), что приводит к возникновению сил F и моментов сил G

Рис. 8.11. Пример предельно острых протонных резонансов на частоте 200 МГц в магнитном поле порядка 4,7 Тл

Весь спектр занимает полосу 10 Гц, а линии имеют ширину 0,04 Гц на середине пика (Q ~ 5 109). Спектр был получен с помощью спектрометра WP 200 («Брукер Спектроспин Ltd.») Объектом исследования служил разбавленный раствор ортодихлорбензола С6Н4С12 в дейтерированном ацетоне (CD,t)2CO, из-за отсутствия водорода растворитель не вносит дополнительных резонансов в этом диапазоне частот

жен путем изменения частоты на входе, связан с импульсным откликом обычным соотношением при условии, что амплитуда возбуждения достаточно мала, чтобы не нарушить линейность.

Проблема взаимодействия ядер нуждается в некотором обсуждении, поскольку представляет интерес с физической точки зрения. Этот вопрос весьма тонкий, и более подробные сведения читатель найдет в специальной литературе. На первый взгляд кажется, что изолированный от всего ансамбль ядер не может изменить свой полный момент М за счет взаимодействия ядер друг с другом, потому что полный угловой момент, связанный с их спинами, должен сохраняться постоянным. Однако это заблуждение. Взаимодействие между двумя магнитными моментами не является центральным и сообщает угловой момент поступательным степеням свободы.

Типичный пример показан на рис. 8.10. Оба момента подвергаются действию направленного по часовой стрелке закручивающего

момента. Их сумма компенсируется равными, но направленными против часовой стрелки закручивающими моментами сил, которые испытывает один магнитный момент в неоднородном магнитном поле другого. Поэтому для молекулы, содержащей, подобно молекуле воды, два протона, возможен обмен спиновыми угловыми моментами при вращении молекулы как целого. Поскольку при соударениях происходит постоянный обмен поступательными движениями, прецессирующий момент ансамбля рассеивается во вращение всего объема в целом. Взаимодействия между протонами в молекуле являются доминирующим рассеивающим процессом в воде. Однако столько же существенно и взаимодействие между соседними молекулами.

Каким бы ни был этот механизм в деталях, ясно, что точки, описывающие отдельные моменты, будут блуждать по поверхности единичной сферы произвольно, подобно диффузионному движению. Так что созданное неравновесное распределение постепенно перейдет в равновесное. В некоторых случаях, один из которых будет вскоре рассмотрен подробно, есть основания ожидать, что затухание поперечного момента должно происходить по экспоненте, но это не является общим правилом.

Описанный процесс, при котором упорядоченный ансамбль спинов релаксирует к термодинамическому равновесию, протекает медленно по сравнению с прецессией, потому что магнитное поле, действующее в молекуле воды на один протон со стороны другого, составляет только около 1 Тл и является чрезвычайно слабым возмущением основного поля В. Поэтому обычно отклик представляет собой длинную серию колебаний и резонансный пик соответственно узок. При оптимальных условиях наблюдают значения Q, превышающие 109 (рис. 8.11).

Рассмотрим некоторые детали этого вопроса и установим с самого начала различие между релаксационными процессами, которые сохраняют компоненту М, параллельную В, и которые не сохраняют ее. Если ансамбль поляризован так, что М не совпадает с В по направлению, то отдельные моменты могут перемещаться вдоль линий широты (по отношению к В как к полярной оси) и поперечная компонента убывает, в то время как продольная компонента остается постоянной. Это не вызывает изменений в поляризационной энергии (М-В), в то время как релаксация продольной компоненты гребует обмена энергией между спинами и всей жидкостью в целом.

Допустим, что обмен энергией возможен, когда угловой спиновый момент превращается в угловой молекулярный момент. Этот процесс сильно зависит от скорости, с которой молекула вращается в данный момент времени. Молекулу будем считать твердым телом, с которым связаны протоны. В своем вращении они не ограничены ничем, а лишь взаимодействием между собой. Пока молекула под действием соударений с соседними молекулами беспорядочно кружится, спины протонов или сохраняют свое направление или

прецессируют в каком-нибудь магнитном поле, не затрагивающем общего молекулярного движения .

Предположим теперь, что взаимодействие между спинами приводит к появлению углового момента 6L, который должен передаваться молекуле в тот момент времени, когда ее угловая скорость составляет (От. Сопровождающий этот процесс энергетический обмен (com-dL) происходит за счет поляризационной энергии — единственно доступного источника, поскольку энергия взаимодействий слишком мала. Поэтому ((om-6L) = В • 6ц). Но 6ц = у6Ь и £2 = уВ, так что (6ц-(£2—(от))=0. Изменение спинового момента может происходить только в плоскости, перпендикулярной £2—ют. У медленно вращающихся молекул, при которых (Om^CQ, это изменение почти полностью ограничено плоскостью, поперечной по отношению к В. Поперечная релаксация происходит значительно быстрее продольной. Это имеет место в вязких жидкостях. Однако в невязких жидкостях сот может значительно превышать £2, и тогда каких-либо серьезных ограничений для направления 6ц нет. Более подробное обоснование этого будет приведено ниже, мы покажем, что возрастание скорости беспорядочного движения не приводит к увеличению скорости релаксации. Напротив, оба типа релаксации затормаживаются, но поперечная — в большей степени, чем продольная. Таким образом, они оказываются соизмеримыми, в то время как значение Q может стать весьма большим, о чем мы упоминали.

В ранней стадии исследования ядерного магнитного резонанса Блох указывал на возможность существования поперечной и продольной релаксаций, происходящих с различными скоростями. В свою формулировку уравнений движения для полного момента М он ввел два характерных времени релаксации: Тх— время продольной релаксации, описывающее равновесное состояние, в котором меняется компонента М, параллельная полю В, и Т2— время поперечной релаксации, описывающее диффузионное затухание поперечной компоненты. Введение двух времен релаксации было эвристическим и выразило основную мысль наиболее простым образом, без претензий на точное описание какой-либо реальной ситуации. Все же это оказалось полезным для описания многих явлений.

Запишем уравнения Блоха в комплексной форме, обозначая Mi (действительную величину) компоненту, паралелльную М, а М2 (комплексную величину) — модуль и направление поперечной компоненты. Комплексное число b представляет собой поле, вращающееся в поперечной плоскости. Правда, в таких обозначениях запись векторного произведения [МхВ] выглядит весьма неуклюже, но зато достаточно просто. Запишем окончательные уравнения Блоха, а затем займемся их рассмотрением:

Мг + Y Im Vm^\ + (Мг - М^]ТХ = 0, (8.18) М^хч^В — М^А-М^Т^О. (8.19)

Если ^ = 0, то эти уравнения описывают экспоненциальную релаксацию намагниченности к равновесному значению Л10 в постоянном поле В. В соответствии с уравнением (8.18), Мх возвращается к значению Мо в течение времени релаксации Л, а из уравнения (8.19) следует, что М2 прецессирует с угловой скоростью Q (равной уВ), убывая до нуля в течение времени релаксации Т2. Возмущающими величинами, содержащими 6, являются компоненты векторного произведения [МхВ]. Они показывают, как меняется Мх вследствие взаимодействия М2 с Ь2 и как меняется М2 из-за взаимодействия Мх с Ь.

Если b вращается с угловой скоростью со, то мы можем записать его в виде Ь'е-^1, считая Ь' действительной величиной, и искать такое стационарное решение, при котором Мх постоянно, а М2 меняется как (M^ + i/Vl7^)^"^^ Подставляя это подобранное решение,, находим

Мх = М^чЬТхМ№ (8.18)),(8.20)

(l-UT^O^-tyH^-iyAf^'T^ (из (8.19)),(8.21)

где, как и раньше, Д = со—Q. Если Мх взять из уравнения (8.20), подставить в (8.21) и разделить действительные и мнимые части, то решение примет вид

- УИ 2/Д72= МЧ=у^'Л^о/( 1 + Д2^2 + ^Ь,гТхТ^.(8.22)

Амплитуда момента в поперечной плоскости

| Мг | = (Л^ЧМ2Л,/,=т£Т2М0(1 + Д271),/7(1+^^^

(8.23)

Нет необходимости описывать технические подробности, использованные для записи характера отклика системы на постоянно колеблющееся поле Ь, поскольку они приводятся в специальной литературе. Мы рассмотрим только наиболее важные физические процессы, определяющие характер отклика. До тех пор пока ^Ь'^; (ТхТ2)-'\ последнее слагаемое в знаменателе пренебрежимо мало ’ и поведение системы представляет собой линейный резонансный отклик со значениями Q порядка 72ЙЛ- М2 отстает от b на величину arctg (Д72). Это приводит к тому, что весь ансамбль спинов непрерывно получает энергию, чтобы с помощью релаксационного механизма рассеивать ее в теплоту. При резонансе диссипация достигает максимального значения, а отставание по фазе становится равным л/2. Вводимая мощность №рез составляет при этом ^М^Ь". Если не считать Ь' малой величиной, то из (8.22) получаем

^рез = чЧЛ\МЖ 1 + WaTxT2)(8.24)

и в этом состоянии в соответствии с (8.20) Мх переходит из своего равновесного значения Л40 в Мо—6Л11, где

Шх Mq=nVTxT2I<\^-^VTxT2Y(8.25)

Это изменение в Мх приводит к тому, что энергия ансамбля увеличивается в ВбМх раз. Если она непрерывно рассеивается вовне (т. е. передается молекулярному движению) со скоростью B6MJTX> то сопоставление соотношения (8.24) и (8.25) позволяет заключить, что ансамбль ядер теряет столько же энергии, сколько и приобретает, как и должно быть в стационарном состоянии.

Рассеивание энергии ограничивается насыщением системы, которое проявляется в величине Ь/2 в знаменателе выражения (8.22). Какой бы большой ни была величина Ь\ 1^Рез не может превысить значения MqB[Tx> когда Мх стремится к нулю. Амплитуда отклика,, определяемая в (8.23) величиной |А42|, достигает максимального значения при резонансе, когда у2/?'2 ТХТ2 = 1. Это максимальное значение составляет хЬМ^^Т2]Тху1ч Оно довольно велико, когда величины Тх и Т2 оказываются одного порядка, что справедливо для многих жидкостей. Однако в твердых телах Т2, как правило, значительно меньше, чем Л, и сигнал соответственно является слабым.

Как уже отмечалось, в подвижных жидкостях Тх и Т2 могут достигать больших значений. Поэтому оказываются возможными резонансы с очень большими Q. Экспериментальная кривая, приведенная на рис. 8.11, имеет пики шириной 0,04 Гц при частоте 200 Мгц, что соответствует значениям Q^5-109. Если время затухания составляет несколько секунд, то систематическое прохождение спектра является очень медленным процессом. Но данным можно получить быстрее, если использовать импульсный отклик, который является суперпозицией затухающих колебаний на каждой из присутствующих частот. Информация для приведенного здесь спектра была получена с помощью единственного снимка с импульсным откликом, записанным в течение 109 с. Далее в спектрометр поступала информация от других образцов. Ответная функция подвергалась Фурье-анализу с помощью компьютера в соответствии с принципом, установленным в (5.4) (см. § 5.3). Тонкая структура спектра обусловлена тем, что различные ядра водорода в молекуле ортодихлорбензола имеют связанные в пары магнитные моменты (это типичное квантово-механическое свойство, проявляющееся в том, что объединение в пары приводит к дискретности линий).

Весь диапазон спектрального распределения, часть которого приведена здесь, занимает полосу, меньшую 100 Гц. Частоты в различных интервалах отличаются самое большее в 2-Ю6 раз. Импульсный отклик поэтому представляет собой практически чистые колебания на частоте 200 МГц, огибающая которых представляет собой медленные, но сложные биения с характерным временным масштабом 10 мс, убывающие с постоянной времени около 8 с. Необходимо только записать изменения амплитуды и фазы основного колебания в такие промежутки времени, в которые удается выявить модуляцию огибающей. Для этого достаточно иметь примерно Ю4 точек. Для определения фазы используется эталонный генератор (мы не будем касаться деталей его электронной схемы), стабильность которого должна быть такой, чтобы за 109 с не проис-

ходило заметного изменения фазы. Этого не очень просто, но вполне возможно достигнуть при современном уровне техники.

Для того чтобы линии не испытали уширения вследствие прецессии протонов с различными частотами в разных участках исследуемого образца, для эксперимента можно применять сверхпроводящий соленоид. Его следует спроектировать и сконструировать так, чтобы однородность магнитного поля с индукцией 4,7 Тл на длине 5 мм выдерживалась с относительной точностью 2-Ю-10. В действительности такую степень однородности получить очень трудно. В частности, для достижения этого результата используют вращение образца вокруг оси, параллельной полю, с частотой около 30 Гц. В первом приближении каждый протон испытывает действие силового поля на ось вращения. При его вращении малая периодическая флуктуация приводит к частотной модуляции отклика. Но до тех пор, пока модуляция достаточно мала и не вызывает смещения фазы более чем, например, на 1 рад, боковые частоты, вызванные модуляцией, относительно слабы. Несмотря на то что эти боковые частоты приводят к возникновению линий, отстающих от главного резонанса на частоту вращения, их интенсивность незначительна, если только выполняется описанный критерий. Его суть состоит в том, что как только неоднородность магнитного поля становится достаточной для расширения линии на частоту вращения, это вращение может свести на нет влияние градиента поля. Тогда можно не учитывать существования боковых частот. Однако этим способом нельзя совершить чуда, а можно лишь улучшить то, что и без этого достаточно хорошо.

ФИЗИЧЕСКИИ МЕХАНИЗМ РЕЛАКСАЦИИ

Теперь мы попытаемся оценить времена релаксации Тх и Т2 Для относительно простого случая невязкой жидкости, такой, как вода. Сначала, однако, приведем некоторые вспомогательные соображения и лишь затем перейдем к детальному рассмотрению процесса.

Мы будем рассматривать только взаимодействие между двумя протонами, входящими в одну и ту же молекулу воды. Молекула находится в состоянии непрерывного беспорядочного вращения, составляющего часть ее теплового движения. Характерная частота этого вращения, вероятно, составляет 1012 с-1, что значительно больше резонансной частоты. В этом беспорядочном движении направления спинов не являются строго ориентированными по отношению к молекуле, но они остаются почти постоянными в лабораторной системе отсчета, поскольку медленные изменения ориентаций, претерпеваемые каждым спином, обусловлены возмущающим полем другого протона молекулы. Так как направление линии, соединяющей протоны, меняется быстро и неравномерно, возмущающее поле тоже испытывает быстрые и беспорядочные флуктуации. Фурье-анали- лиз дает непрерывный спектр, в котором только компоненты

низших частот обладают временем, достаточным, чтобы вызвать заметную прецессию спина.

Точка на поверхности сферы единичного радиуса, определяющая положение оси спина одного протона, беспорядочно блуждает вследствие возмущения, а точки, изображающие все протоны данного ансамбля, ведут себя статистически, как если бы они совершали диффузионное движение с коэффициентом диффузии D. Если каждая точка блуждает независимо, то общий поток всех точек описывается вектором —D grad п, где п— число точек, приходящихся на единичную площадь и зависящее от положения выбранной площадки.

Поляризованное распределение точек на сфере, подобное тому, которое описывает результирующий магнитный момент М, становится вследствие этого диффузионного процесса равномерным; в дальнейшем будет показано, что если систему предоставить саму себе, то М затухает как e-t?T, где T=\]D.

Вычисление D происходит в три этапа. Для этого используют соображения, изложенные в предыдущих главах: а)—движение частицы, перемещавшейся прямолинейно с почти случайной средней скоростью и (/), определяется (см. § 4.4) коэффициентом диффузии, равным ^’глЛДО), где /ДО)—низкочастотный предел спектра интенсивности и; б)—сам спектр интенсивности будет выведен из автокоррляционной функции беспорядочного движения молекул (см. § 4.6), дополненной в) пояснительным вычислением силы магнитного взаимодействия между двумя протонами.

Вывод из этого анализа состоит в том, что когда беспорядочное движение происходит гораздо быстрее прецессионного, то

Т\ = Т2= 160л2а6/(9^у4^тс),(8.26)

где а — расстояние между протонами в молекуле, тс — время корреляции хаотического движения, время, за которое исчезает информация о предшествующей ориентации молекулы. Для воды « = 0,15 нм, тс = 2-1012 с, в то время как для протона у = 2,675-108 Тл-1 с-1 :‘. Для приведенных выше параметров молекулы воды значения Тл и Т2 приблизительно равны 10 с. Экспериментальное значение при комнатной температуре составляет 3,6 с. Различие можно легко объяснить приближенным значением тс и пренебрежением взаимодействием между протонами в различных молекулах.

* Время корреляции может быть установлено независимо от частотного изменения диэлектрической постоянной. В медленно осциллирующем электрическом поле, таком, что (отс<^1, электрические диполи молекулы воды успевают следовать за изменениями поля и е велико Но при о)тс^>1 они уже не успевают сделать этого и е становится гораздо меньшим Сходство величины 1/тс и средней угловой скорости беспорядочного движения является случайным совпадением и означает только то, что молекула воды может повернуться на значительный угол, прежде чем соударения усреднят ее движение. В вязкой жидкости этого совпадения не произошло бы

Анализ приведенных вспомогательных соображений начнем с п. III. Пусть положение точки на сфере определяется полярными углами (9, ф). Рассмотрим ту компоненту Л41 вектора намагниченности, которая параллельна полярной оси. Переменная ф не имеет отношения к All. Единственное, что нас интересует, — это средняя концентрация на линии широты, определяемой углом 0. Диффузионный поток через эту линию, длина которой составляет 2л sin 0, равен 2л sin0Z)d/z/dO. Поскольку число точек остается постоянным, изменение этой величины в зависимости от 0 определяет скорость, с которой меняется пл

sin 6= D sin 9.(8.27)

dtd6 \_ d6 /v 1

Если из обеих частей изъять sin 0, то это равенство превратится в уравнение линейной диффузии. Присутствие множителя sin 0 отражает геометрию сферической поверхности. Намагниченность определяется уравнением

АГ1 = 2л[1 п sin 6 cos 9 d 9.(8.28)

б

Таким образом, интегрируя по частям, получаем

=2лрь С —sin 9 cos 9d 9=2лУр» С —-—fsin9—” ) cos 9 d9 = d t J d tJ de \ dO

оо

= 2л£)р, f sin29 ---n- d9.

JdO

o

Дальнейшее интегрирование по частям сводит интеграл к виду

— ^ 2п sin 9 cos 9 d9.

б

Поэтому из соотношения (8.28) получаем

d7M1/d/=-2£)Al1.

Следовательно,

Мх=М^^!т.(8.29)

где Т — 1/(2/)). Это и есть тот результат, о котором говорилось в п. III.

Чтобы связать D с флуктуациями скорости (см. п. IV, а)), для краткости рассмотрим распределение точек, плотность которых меняется только в одном обозначенном s направлении. Тогда диффу- дионное движение подчиняется уравнению

dn/dt = Dd2n!ds2.

Распространение первоначального распределения точек происходит в соответствии с уравнением (см. § 4.4)

n ~ e-s2Aw6/Z'A,

а среднеквадратичное отклонение точки в момент времени t

О2(/)> = [ s2/f(s, О ds /^(s,0 As = <2Dt.(8.30)

о/ 0

Этот результат применим и к движению вдоль линии на поверхности сферы. В любом случае при вычислении D мы имеем дело только с малыми смещениями и кривизна не играет значения.

Займемся теперь вычислением <^s2> в терминах спектра скоростей. Если s(Z)—случайная действительная функция со спектром интенсивности 7^ то компоненты в узком интервале дсо в совокупности приводят к почти периодическим колебаниям s, имеющим вид (2/0,610)1/2 cos ((и/ + (р), где ср—случайная фаза. Проинтегрировав, получим выражение для колебательного смещения в узкой полосе, обусловленного компонентами:

8s (Z) = (2/to8co)1A [sin (coZ-j-cp)— sin cp]/a.

Константу интегрирования выбираем такой, чтобы 6s(0)=0. Тогда можно записать

8s(0 = 2(2/C08w),/2 sin (i/2u)/) Re [e1 <‘/2 «>'+?)]/y).

Эту величину можно интерпретировать как действительную часть вектора, фаза которого принимает случайные значения, а модуль равен 2(2/fd6(o)1/2sin(i/2coZ)/co. Суммирование всех подобных вкладов при различных значениях бсо для получения усредненного результата достигается добавлением квадратов, с тем чтобы результирующий! вектор имел длину R2, где

R2W = 8/ш sin^V^Odio/u)2.о

Так как R представляет собой длину вектора на диаграмме колебаний, только действительная часть которого имеет физический смысл, то получаем

<s2W> = 1/2-^2W = 4 J /ю Sin2(l/2^)d<»/<o2.(8.31)

о

Присутствие множителя sin2(1/2coZ)/(o2 показывает, что этот ин- тергал определен при значениях (o^2n/Z. Если L слабо меняется на низких частотах и спадает на более высоких частотах, то вычисление интеграла (8.31) может оказаться трудоемкой процедурой, когда Z мало. Для более продолжительных времен эта процедура упрощается, так как вместо 7to можно взять низкочастотный

предел ЛДО). Физически это означает, что память о предшествовавшем движении сохраняется на некоторое время (значение которого обратно частоте, при которой Iw начинает спадать) и что в течение этого промежутка времени движение точек на сфере не является беспорядочным. Но если рассматривать движение в пределах более длительного интервала, то кратковременная память становится несущественной по сравнению с беспорядочным движением. В вязкой жидкости ориентация молекулы может оставаться ощутимо неизменной на время, в течение которого парные взаимодействия приводят к систематическим смещениям спинов на большие углы. Это осложняет нашу, в основном диффузионную, модель процесса. С другой стороны, в воде сочетание быстрого хаотического движения и частых соударений приводит к тому, что упорядоченный дрейф постоянно нарушается и его можно не учитывать. Поэтому исходя из (8.31) можно записать

<52(0> = л/0) (0)/.

Зависимость <s2> от I имеет тот же вид, что и в (8.30). Это позволяет сразу определить D;

/Э^лЛдО),(8.32)

что отмечалось в п. IV, а).

Итак, мы установили, что точки совершают диффузиоонное движение с почти случайной скоростью, компонента которой в одном направлении s описывается спектром интенсивности /ы; его мы можем теперь оценить (см. п. IV, б)). Ясно, что в течение времени меньшего, чем то, которое необходимо молекуле, чтобы повернуться на значительный угол, взаимодействие между протонами остается постоянным и у не изменится. Поэтому память сохраняется в течение времени корреляции гс, т. е. времени, за которое молекула успевает хаотически сместиться достаточно далеко, чтобы забыть, где она была раньше. Мы предполагаем, что автокорреляционная функция ар1умента s убывает с некоторым характеристическим временем тс (вероятно, убывание происходит по экспоненциальному закону, но вид закона убывания не столько уже существен). Этот случай уже обсуждался в гл. 4, где было показано (см. (4.6)), что

/ш=/ш(0)/(1+о)2Т2).

Проинтегрировав по всем положительным частотам, получаем

<= ^ /ш J со = i/2 я/ш (0)/тс.

о

Значение <s2> зависит только от силы взаимодействия между диполями. Последствия укорочения тс проявляются при распространении /со на более широкий диапазон частот, а следовательно, при уменьшении значений Iw на низких частотах, которые существенны в диффузионном процессе. В этом состоит причина особой остро-

ты резонанса в подвижных жидкостях. Как следует из соотношений (8.29) и (8.32),

Т= 1/(2<S*2>TC).Т= 1/(2<S*2>TC).(8.33)(8.33)Завершит паше рассмотрение, за исключением и. IV, в), оценка <s2> через параметры магнитного поля, которым один протон воздействует на другой. Мы проведем расчет в декартовой системеЗавершит паше рассмотрение, за исключением и. IV, в), оценка <s2> через параметры магнитного поля, которым один протон воздействует на другой. Мы проведем расчет в декартовой системекоординат для величины и^ — //-компоненты единичного радиуса. Пусть ориентация одного протона (протон 1 на рис. 8.12) определяет ось 2, а ориентация другого (протон 2) произвольна. Допустим, что протон 2 может занимать любое положение на сфере радиуса а (это фиксированное расстояние между протонами в молекуле), а спин в поле протона 2 может быть ориентирован произвольно. Установим диапазон значений моментов, определяющих воздействие одного протона на другой, с заданной ориентацией. Поле в точке 1, создаваемое протоном, расположенным в точке 2, имеет х-компоненту (единственно важную для вычисления :Вх = -^- Г -^- (I* + ЪУ + ^z)^1.4я L #5a3 Jкоординат для величины и^ — //-компоненты единичного радиуса. Пусть ориентация одного протона (протон 1 на рис. 8.12) определяет ось 2, а ориентация другого (протон 2) произвольна. Допустим, что протон 2 может занимать любое положение на сфере радиуса а (это фиксированное расстояние между протонами в молекуле), а спин в поле протона 2 может быть ориентирован произвольно. Установим диапазон значений моментов, определяющих воздействие одного протона на другой, с заданной ориентацией. Поле в точке 1, создаваемое протоном, расположенным в точке 2, имеет х-компоненту (единственно важную для вычисления :Вх = -^- Г -^- (I* + ЪУ + ^z)^1.4я L #5a3 Jскорости на сферескорости на сфереРис. 8.12. Обозначения, использованные при вычислении обоРис. 8.12. Обозначения, использованные при вычислении обоюдных вращающихЗдесь Цх, т/, z—компоненты ДИПОЛЬНОГО МО- моментов двух маг- мента протона, расположенного в точке 2. Тог- нитных диполей да //-компонента вращающего момента ц, действующего на диполь в точке /, равна цВх. Именно эта компонента момента заставляет точку, представляющую в точке 1 диполь, двигаться по сфере единичного радиуса со скоростью иу=ц^х/Л:юдных вращающихЗдесь Цх, т/, z—компоненты ДИПОЛЬНОГО МО- моментов двух маг- мента протона, расположенного в точке 2. Тог- нитных диполей да //-компонента вращающего момента ц, действующего на диполь в точке /, равна цВх. Именно эта компонента момента заставляет точку, представляющую в точке 1 диполь, двигаться по сфере единичного радиуса со скоростью иу=ц^х/Л:^1 = “tFC-V" (^+м + нгг)^1-(8-34)|CL J^1 = “tFC-V" (^+м + нгг)^1-(8-34)|CL J

Т= 1/(2<S*2>TC).

Т= 1/(2<S*2>TC).

(8.33)

(8.33)

Завершит паше рассмотрение, за исключением и. IV, в), оценка <s2> через параметры магнитного поля, которым один протон воздействует на другой. Мы проведем расчет в декартовой системе

Завершит паше рассмотрение, за исключением и. IV, в), оценка <s2> через параметры магнитного поля, которым один протон воздействует на другой. Мы проведем расчет в декартовой системе

координат для величины и^ — //-компоненты единичного радиуса. Пусть ориентация одного протона (протон 1 на рис. 8.12) определяет ось 2, а ориентация другого (протон 2) произвольна. Допустим, что протон 2 может занимать любое положение на сфере радиуса а (это фиксированное расстояние между протонами в молекуле), а спин в поле протона 2 может быть ориентирован произвольно. Установим диапазон значений моментов, определяющих воздействие одного протона на другой, с заданной ориентацией. Поле в точке 1, создаваемое протоном, расположенным в точке 2, имеет х-компоненту (единственно важную для вычисления :

Вх = -^- Г -^- (I* + ЪУ + ^z)^1.

4я L #5a3 J

координат для величины и^ — //-компоненты единичного радиуса. Пусть ориентация одного протона (протон 1 на рис. 8.12) определяет ось 2, а ориентация другого (протон 2) произвольна. Допустим, что протон 2 может занимать любое положение на сфере радиуса а (это фиксированное расстояние между протонами в молекуле), а спин в поле протона 2 может быть ориентирован произвольно. Установим диапазон значений моментов, определяющих воздействие одного протона на другой, с заданной ориентацией. Поле в точке 1, создаваемое протоном, расположенным в точке 2, имеет х-компоненту (единственно важную для вычисления :

Вх = -^- Г -^- (I* + ЪУ + ^z)^1.

4я L #5a3 J

скорости на сфере

скорости на сфере

Рис. 8.12. Обозначения, использованные при вычислении обо

Рис. 8.12. Обозначения, использованные при вычислении обо

юдных вращающих

Здесь Цх, т/, z—компоненты ДИПОЛЬНОГО МО- моментов двух маг- мента протона, расположенного в точке 2. Тог- нитных диполей да //-компонента вращающего момента ц, действующего на диполь в точке /, равна цВх. Именно эта компонента момента заставляет точку, представляющую в точке 1 диполь, двигаться по сфере единичного радиуса со скоростью иу=ц^х/Л:

юдных вращающих

Здесь Цх, т/, z—компоненты ДИПОЛЬНОГО МО- моментов двух маг- мента протона, расположенного в точке 2. Тог- нитных диполей да //-компонента вращающего момента ц, действующего на диполь в точке /, равна цВх. Именно эта компонента момента заставляет точку, представляющую в точке 1 диполь, двигаться по сфере единичного радиуса со скоростью иу=ц^х/Л:

^1 = “tFC-V" (^+м + нгг)^1-(8-34)

|CL J

^1 = “tFC-V" (^+м + нгг)^1-(8-34)

|CL J

линии сводится к тому, что с помощью записи uy = T)ij\-V'u1J2 все движение приписывается протону, находящемуся в точке 1. Точно так же движение протона, находящегося в точке 2, мы учтем, рассматривая движение протона, находящегося в точке 1. Внешне это выглядит как двойной учет, но это не так. Предположим сначала, что корреляции нет. В этом случае оба спина блуждают независимо, каждый со своим спектром скоростей, описываемым уравнением (8.34), усредненным по всем возможным положениям второго спина. Затем учтем, что положительная корреляция, выраженная уравнением (8.35), усиливает блуждание каждого. Подставляя (8.35) в (8.34), мы убеждаемся, что изменение полного момента описывается верно, без отказа от модели независимого движения. Это служит основанием для того, чтобы уу представить как у^ + у^:

Уу= д Ту Vx^—z^-Yv-u^yA-^zXzX. (8.36)

Каждый диполь ансамбля, ориентированный аналогично тому, что расположен в точке 1, совершает вдоль оси 2 быстрое колебательное движение уу, в то время как хаотическое движение молекулы приводит к вращению точки 2 по сфере радиуса а с центром в точке 1. Среднее значение yv при этом оказывается равным нулю, поскольку <х> -= <у> ^<z> =0, а <х2> = <у2> = <г2> = 7зЯ2- Для описания колебательной скорости используем <уу2>, усредняя не только по х, у и z, но и по всем ориентациям диполя, находящегося в точке 2, полагая <^х> = <цу2> = <ц22> = 7зц2. Таким образом, мы получим среднеквадративное значение уу для диполей, направленных вдоль оси 2:

ТбйздЖЛТбйздЖЛ[ о2 (х2 - г2)2 > + <ii2 w> + 4<^2>V[ о2 (х2 - г2)2 > + <ii2 w> + 4<^2>V

ТбйздЖЛ

ТбйздЖЛ

[ о2 (х2 - г2)2 > + <ii2 w> + 4<^2>V

[ о2 (х2 - г2)2 > + <ii2 w> + 4<^2>V

Если взять средние значения всех величин, то получим

^У2 У^У2 У9№4 80л2д6£2 ’9№4 80л2д6£2 ’(8.37)(8.37)

^У2 У

^У2 У

9№4 80л2д6£2 ’

9№4 80л2д6£2 ’

(8.37)

(8.37)

так как <х4> <z4> 75tz4 и <х2у2> = <x2z2> = Vi5«4- Используя соотношение (8.33), окончательно имеем

Т = 40n2#6Z,2/(9u2|j^160л2аб/(9р-5Й274тс),

как и следует из (8.26), поскольку р = у^ и £ = 72^ для протона.

Различий в вычислении величин 7. и Т2 нет. Если тс много меньше периода прецессии, то наблюдатель, находящийся как в лабораторной системе отсчета, так и в системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью прецессии, едва ли заметит какую-либо разницу в быстром колебательном взаимодействии между протонами и -ем более не заметит разницы между диффузионными движениями в направлениях, параллельных или перпендикулярных В. С другой стороны, если хаотическое движение происходит мед-

лсныо, то вращающийся наблюдатель увидит, что в его системе отсчета оба протона имеют одну и ту же ориентацию спинов, в то время как линия, их соединяющая, вращается вокруг В со скоростью Й, только угол по отношению к направлению В медленно меняется. Прежде чем рассматривать вращательное движение, разумно выполнить усреднение вращающего момента за один период. Сделав это (мы опускаем очевидные подробности) и внеся изменения в направлении обоих спинов, мы получим, как и ожидалось, что изменений в компоненте спина, параллельной В, нет, так как диффузионное движение ограничивается поперечной плоскостью*. Это означает, например, что с ростом тс при увеличении вязкости Т^ и Т2 убывают вместе в соответствии с уравнением (8.26). Но когда Qtc приближается к единице и достигает больших значений, Т2 продолжает убывать, в то время как Тх снова возрастает. В жидкостях с высокой вязкостью резонансная кривая получается не очень острой, посколько определяется коротким Т2, в то время как равновесная скорость, определяемая продолжительным Л, остается медленной. Сочетание этих двух эффектов делает трудным выявление резонансной кривой, поскольку во избежание насыщения системы мы можем применять только слабые поля.

На этом мы заканчиваем обсуждение ядерного магнитного резонанса как явления, представляющего собой яркий пример физического резонансного процесса, который необратим и не строго линеен, но тем не менее поддается точному анализу. Возвратимся вновь к обзору сил, зависящих от скорости, и к обсуждению тех явлений, которые они вызывают в резонансных системах.

ЦИКЛОТРОННЫЙ РЕЗОНАНС

В простейшем случае сила Лоренца проявляется при движении свободной заряженной частицы в однородном магнитном поле. Ее не возникает при движении частицы вдоль направления В, но частица, движущаяся в поперечной плоскости под действием силы Лоренца, описывает окружность. Поэтому полное движение частицы в ма1нитном поле происходит по спирали. Мы не будем рассматривать движение вдоль направления поля, а сконцентрируем внимание на поперечной плоскости. Если частица имеет поперечную компоненту скорости и движется по окружности радиуса г, то

Это один из тех случаев, когда квантово-механическая точка зрения приводит к более легкому интуитивному пониманию процесса. Энергетические уровни протона отделены друг от друга на h Q, и переходы между ними могут происходить только в том случае, если возмущающее поле содержит компоненту с частотой, приблизительно равной Q. Когда Qtc^>1, спектр возмущающего взаимодействия спадает на частоте ~ 1/тс, которая гораздо меньше Q. Следовательно, переходы, которые являются квантовым описанием изменений в компоненте спина, параллельной В, прекращаются. С другой стороны, движение вокруг поперечной плоскости не сопровождается энергетическими изменениями. Оно приводит только к нарушению фаз волновых функций и контролируется нулевой гармоникой возмущения, т е. величиной /^(0), как предполагалось в выводе соотношения (8 26).

центростремительное ускорение m^lr, обусловленное силой Лоренца еВи, таково, что

г = mvl(eB)=р!(еВ).(8.38)

где р—импульс частицы. Это равенство, записанное для импульса, оказывается справедливым даже при очень больших значениях скорости, когда существенно релятивистское изменение массы. Однако до тех пор, пока и^с и гп не меняется, из соотношения (8.38) следует, что угловая скорость и/r не зависит от у и составляет

^ = еВ1га.(8.39)

Это уравнение определяет циклотронную частоту сос.

Таким образом, мы имеем систему, которая, несмотря на то что является двумерной, обладает лишь одной собственной частотой, так как уравнение движения в комплексной форме имеет вид

mr-\-\eBr=0(8.40)

с общим решением

г^Го + Де-1^

где г0 и Л — постоянные величины. Произвольность расположения центра орбиты г0 можно было бы рассматривать как вторую степень свободы, обычно приводящую к существованию второй нормальной моды. Однако здесь вторая мода имеет нулевую частоту.

В циклотроне частица не подвергается действию однородной ускоряющей силы; сила прилагается лишь на маленьком участке большой орбиты [5], что вносит дополнительные осложнения, на которых мы сейчас останавливаться не станем. Вместо этого рассмотрим поведение электронов в полупроводнике, где радиусы электронных орбит в умеренных полях (скажем, около 1 Тл) имеют весьма малые значения, меньшие 10"7 м. Вследствие этого осциллирующее электрическое поле, воздействующее на вещество, практически однородно на протяжении всей траектории любой частицы. Если использовать чистый холодный полупроводник, защищенный от света, то концентрация электронов может быть сделана настолько низкой, что их смещения, вызванные электрическим полем, приводят к пренебрежимо малому возмущающему действию на это ноле. Болес того, электроны могут несколько раз пробегать по своим орбитам, не испытывая столкновений с примесными включениями или другими неоднородностями решетки. Все это создает условия для возникновения резонанса. При отсутствии столкновений уравнение движения принимает вид, подобный уравнению (8.40) с добавлением вращающегося поля (пли одной вращательной компоненты линейно колеблющегося поля):

тг Д-\еВг=еЕ e-ito'тг Д-\еВг=еЕ e-ito'(8.41)(8.41)

тг Д-\еВг=еЕ e-ito'

тг Д-\еВг=еЕ e-ito'

(8.41)

(8.41)

со стационарным решением

; = I/e-1^, (8.42) где V — ieE/ ^ni^w—сос)). Скорость всегда перпендикулярна направлению Е, как и должно быть в системе с малыми потерями, подразумеваемой здесь. При (о--=-сое знаменатель обращается в нуль и амплитуда отклика неограниченно возрастает.

Для учета влияния соударений мы, как и обычно, предполагаем случайность этих процессов: произвольный электрон в любой момент времени с вероятностью с^/т может продолжать движение без соударений в течение времени, превышающего t. Это следует из предположения, что вероятность испытать столкновение в последующий интервал dZ для электрона всегда составляет dZ/т независимо от того, что было с электроном в предыдущие моменты времени. Далее будем полагать, что после соударения все направления возможного движения электрона являются равновероятными. Применим теперь метод импульсного отклика для всего ансамбля электронов. Реакцию электронов на вращающееся поле Ее~кй( определим, считая, что поле действует только в течение промежутка времени от t до Z + dZ. Если какой-нибудь типичный электрон до появления поля имел скорость uoeie, то сразу же после окончания действия поля его скорость станет уое*° + (еЕе~^/1п) dZ. Теперь электрон движется по своей циклотронной орбите, и в более поздний момент времени Zo (при условии, что он не претерпевал соударений) его скорость

-и (/0) = 1^ в + (е£'е-' “>)d /] e-i .

Чтобы распространить этот результат на весь ансамбль электронов, двигавшихся произвольно до включения поля, мы должны выполнить усреднение по всем значениям 9 и умножить результат на е(«-^о)/т это позволит учесть только те электроны, которые не испытали соударений до момента времени Zo. Те же электроны, которые подвергались случайному рассеянию вследствие соударений, будут впоследствии обладать нулевой средней скоростью. Они не внесут никакого вклада в среднюю скорость электронов в момент времени Zo, которая составляет

К^^Н^е"1^1'”^'1 </“'о) dZ.

Для того чтобы перейти теперь к значению средней скорости в момент времени Zo с учетом того, что вращающееся поле действовало в течение всего времени, предшествующего значению Zo, необходимо просто проинтегрировать Д<у> от —оо до Zo:

<v(t0)> = -^e-'^l + i^-^jT], (8.43)

Столкновения приводят к появлению обычного лоренцова отклика с Q=x)^c^. Различие в фазах Е и <и> показывает, что соударения допускают поглощение энергии электронами. Резонанс обусловливает не только изменение диэлектрической постоянной полу-

проводника, но и приводит к диэлектрическим потерям. Это явление может быть обнаружено экспериментально, если поместить образец в микроволновой резонатор, возбужденный на собственной резонансной частоте, и изменять приложенное поле до тех пор, пока <ос не пройдет через значение, равное собственной частоте резонатора

[6]. Дополнительные потери снижают уровень отклика резонатора. Таким образом, можно графически исследовать явление циклотрон- резонанса не путем изменения частоты возбуждения со при не-

ного

ее

!

5"

Рис

изменной величине (ос, а, наоборот, при постоянном значении со и переменном сос, как это делается при исследовании ядерного магнитного резонаса. Из соотношения (8.43) ясно, что это только техническое различие. Графическая иллюстрация процесса представлена на рис. 8.13. Появление нескольких резонансов указывает,

00,1 ОД ОД О/ <

Магнитное поле, Тл

8 13 Циклотронный резонанс в

германии при температуре 4 К и ча-стоте 24 ГГц [7]

нов и орбиты дырок можно

। что электроны в полупроводнике 0,5 не ведут себя как свободные частицы. Некоторые (дырки) проходят орбиты в противоположном ’ направлении, как будто они являются положительно заряженными. Разумеется, орбиты электро- распознать, если вместо линейно

поляризованных микроволн применить поляризованные по кругу. Каждый резонанс будет виден только при определенном направлении поляризации. Технически это выполнить труднее, хотя такой метод весьма привлекателен с точки зрения диагностики. Каждая группа электронов или дырок в этом случае имеет собственную частоту, как если бы каждая частица имела свою собственную характеристическую массу, отличающуюся от массы свободного электрона. Узнав, какова эта эффективная масса, свойственная каждой из групп, и как она меняется с ориентацией магнитного поля, мы получим числовую информацию, которую можно сопоставить с квантово-механическими результатами расчета динамического поведения электрона в полупроводнике. В свою очередь, так можно проверить справедливость приближений и теоретических построений. И действительно, исследование циклотронного резонанса оказало большую помощь в развитии физики полупроводников.

8.8. ГЕЛИКОНЫ

Последним в нашем обзоре любопытных колебательных систем мы рассмотрим пример, тоже связанный с проявлением лоренцовой силы, обнаруживаемый через эффект Холла [8]. Свободная заряженная частица под действием однородных электрического и магнитного полей, перпендикулярных друг другу, движется по спирали, ось

которой параллельна В. В направлении, перпендикулярном обоим полям, она совершает дрейф с постоянной скоростью EjB. Следовательно, в металле ансамбль свободных электронов с концентрацией п при отсутствии соударений должен совершить дрейф с этой скоростью как единое целое, обусловливая этим ток плотностью пеЕ№. Применяя комплексную форму описания движения в плоскости, перпендикулярной направлению В, мы сможем записать

=JlE = \nelB,(8.44)

так как если Е — действительная величина, а плотность тока J — чисто мнимая, то и проводимость в поперечной плоскости тоже мнимая велиична (а^ — проводимость Холла — компонента, перпендикулярная вектору Е в поперечной плоскости). В реальном металле постоянно1 происходят соударения, приводящие к переходам электронов с одних орбит на другие. Это приводит к устойчивому дрейфу осей орбит в направлении Е. В этом случае проводимость в поперечной плоскости становится комплексной величиной. Но в чистых одновалентных и трехвалентных металлах (Си, А1) при низких температурах и в сильных магнитных полях мнимая часть (холловская) может в подавляющем большинстве случаев преобладать над действительной. Угол Холла (угол между векторами J и Е) при этом будет отличаться от 90° (идеальный случай) менее чем па Г. Отвлечемся теперь от микроскопической интерпретации и перейдем к описанию распространения волн в металле через макроскопические параметры комплексной проводимости.

Нас будет интересовать распространение бегущей электромагнитной волны вдоль направления В. Когда В = 0, электромагнитные волны не могут проникнуть в металл и отражаются, проникая только в тонкий поверностный слой (скин-эффект) [9]. Поэтому мы должны прежде всего понять, каким образом магнитное поле так меняет ситуацию, что проникновение волны в металл оказывается возможным. Основное условие распространения волны состоит в том, чтобы угол Холла был большим. Поэтому начнем с идеального случая, когда столкновения электронов отсутствуют и угол Холла равен 90е. Как уже отмечалось, при этом а± — чисто мнимая величина. В свете ранее приведенных в этой главе примеров не покажутся удивительными следующие предпосылки: волна имеет круговую поляризацию, векторы полей Е' и В' волны постоянны по амплитуде и вращаются вокруг оси г (рис. 8.14). На рис. 8.14 показаны бегущие в свободном пространстве волны, которые распространяются либо от наблюдателя, либо к нему. В обоих случаях направление круговой поляризации выбрано таким, что неподвижный наблюдатель, смотрящий в направлении вектора В, видит Е' и В' вращающимися по часовой стрелке. Тогда для обеих волн ток смещения, записанный в комплексной форме

Jd = г^дЕ',dt= — i сое Е',направлен под утлом л/2 к Е' (в отсчете по часовой стрелке). Пред-положим теперь, что волна распространяется через металл с иде-

альной холловской проводимостью. Тогда Е7 возбуждает ток од_Е', т. е. Е' параллельно Jd, и полный ток равен —i((oeo—s)E7 или —iweeoE'. Эффективная диэлектрическая проницаемость среды постоянна и составляет

8= 1 — S/(CO£0).

Мнимый характер о± ГФИ идеальном эффекте Холла позволяет электронам вносить свой вклад в действительную диэлектрическую проницаемость. Совсем иначе обстоит дело, когда магнитное

поле отсутствует и о±— действительная величина. Тогда s является мнимой величиной и эффективная диэлектрическая постоянная подавляется своей мнимой компонентой. Скорость волны, пропорциональная е-1/2, является комплексной величиной и описывает сильно затухающую волну. Это и есть скин-эффект. Однако когда s является действительной и отрицательной величиной, как для электронов, при идеальном эффекте Холла,добавочное слагаемое в е раз увеличивает диэлектрическую постоянную от среднего значения до больших действительных и положительных значений. Это приводит к уменьшению скорости распространения волны в (1—s/(co8o))’/2 раз без затухания. Диэлектрический вклад электронов для металлов в обычных условиях столь огромен, что можно пренебрегать током смещения в свободном пространстве, записывая

е= — s/(o)£0) = ne/(o)s0e),(8.45)

(О2/ ^ = 0^^ =

Следовательно,

№ = — ^s,(8.46)

что является законом дисперсии для геликонной (магнитно-ионной) волны [10]. Только при одном направлении круговой поляризации

волна может распространяться в обе стороны, а именно при том, когда &2 положительно. При другом направлении с положительным s волновое число является чисто мнимым. Это соответствует поверхностному возбуждению, сопровождающему полное отражение,

при попытке ввести неправильную волну в среду.

Рис 8 15. Устройство для обнаружения геликонов, состоящее из скрещенных катушек и прямоугольного металлического кристаллаРис 8 15. Устройство для обнаружения геликонов, состоящее из скрещенных катушек и прямоугольного металлического кристаллаСкорость волны меняется как <о1/2. Это следует учитывать в типичном случае алюминия, помещенного в поле 3 Тл. В сильных полях алюминий ведет себя так, будто концентрация п такова, что на один атом приходится одна дырка, т. е. s положительно, a n = 6-10-28 м-1. Следовательно, s=3,2-109 Ом-1м-1. При частоте 1 Гц (для волны, поляризованной в противоположную сторону так, что со отрицательно) е в соответствии с (8.45) составляет 0,5Х X 1020. Это огромное значение диэлектрической постоянной приводит к тому, что скорость распространения волны оказывается равной 0,042 с! Другим следствием является то, что отношение Е'/В', т. е. волновое сопротивление, оказывается в е,/2 раз меньшим, чем для волны

Рис 8 15. Устройство для обнаружения геликонов, состоящее из скрещенных катушек и прямоугольного металлического кристалла

Рис 8 15. Устройство для обнаружения геликонов, состоящее из скрещенных катушек и прямоугольного металлического кристалла

в вакууме.

Из-за очень малой скорости волны оказывается возможным возбуждение низкочастотных стоячих волн в совсем малых объемах вещества. Для плоской алюминиевой пластинки толщина 2,1 см в поле 3 Тл, перпендикулярном пластинке, является полуволновой при частоте 1 Гц, при этой частоте возникает главный резонанс. Конфигурация поля стоячей волны показана на рис. 8.14. Вследст

вие того что волновое сопротивление ниже, чем импеданс во внешнем свободном пространстве, пластина ведет себя как линия передачи с открытым контуром и на ее поверхности возникают узлы В7. Когда в некоторый момент происходит суперпозиция двух бегущих волн, результирующее поле Е7 повсюду направлено одинаково. Его амплитуда меняется в зависимости от координаты по синусоидальному закону так же, как и в плоскополяризованной электромагнитной волне в свободном пространстве. Аналогично меняется поле В7, однако его пучности совпадают с узлами поля Е7, а узлы — с пучностями. Тем не менее В7 и Е7 скорее параллельны, чем перпенди

кулярны, и их амплитуды с течением времени не осциллируют подобно тому, как это происходит в плоской стоячей волне. Эти поля вращаются вокруг В, сохраняя амплитуду постоянной по модулю. Конфигурация В7 сообщает образцу, как целому, магнитный момент, перпендикулярный В и вращающийся с резонансной частотой.

Геликонная стоячая волна может быть легко обнаружена по индуктивному эффекту этого момента. Экспериментальное устройство, изображенное на рис. 8.15, в принципе аналогично ядерному индукционному устройству Блоха. В нем предусмотрены две взаимно перпендикулярные катушки: одна — для возбуждения геликонов, а другая— для их обнаружения. Меняя частоту в широких пределах,

можно в соответствии с дисперсионным уравнением (8.46) выявить серию резонансов на частотах, пропорциональных квадратам целых чисел. В описываемом устройстве нечетные гармоники сильны, а четные — слабы (или совсем отсутствуют), так как полный магнитный момент обращается в нуль при наличии в образце четного числа пучностей волны с чередующимся направлением намагниченности стоячей волны. Разумеется, резонансы не являются идеально острыми, поскольку столкновения электронов приводят к тому, что Цд_ имеет действительную компоненту. Дисперсионная связь является комплексной и, как отмечалось в гл. 3, в свободно колеблющейся стоячей волне к должно быть действительным. Тогда из (8.46) следует, что фазовый угол у со равен по модулю фазовому углу ц±, но имеет противоположный знак. Поэтому естественный декремент свободных геликонных колебаний, или, что эквивалентно, ширина резонанса, является мерой отношения со^/м7 и, следовательно, о^Чсл.'—тангенс угла Холла. Это делает геликон полезным инструментом при изучении проводимости металлов в сильных магнитных полях. Преимущество данного метода по сравнению с обычными методами заключается в том, что к исследуемому образцу не нужно присоединять электрические контакты [11].

Решить уравнения поля для стоячей волны в плоскопараллельной пластине с неограниченной боковой поверхностью достаточно просто. Но для реального образца — пластины, тела или любого иного объекта конечной протяженности — возникают очень большие математические трудности. Решение этой задачи оказывается сложным для цилиндра или сферы с известными граничными условиями. Однако нет необходимости обсуждать, в чем состоят эти трудности и как их преодолевать. Для наших целей достаточно описать в общих чертах характер поля при основном резонансе на сфере (рис. 8.16). Поперечный магнитный момент создается круговыми токами, которые вместе с порождаемым ими моментом, как целым, испытывают вращательное движение вокруг направления В. Если сфера подвергается действию вращающегося поля Ь, лежащего в перпендикулярной В плоскости, то результирующий магнитный момент вращается вместе с Ь, но отставая по фазе (так что в сферу идет непрерывный поток энергии, преобразуемый в теплоту элек-' тронным рассеиванием). Магнитная восприимчивость %, определяемая как цоМ/fe, в общем случае является комплексной величиной. Зависимость этой величины от частоты имеет типичный резонансный всплеск на частоте основной моды, а также, разумеется, всплески на всех резонансах более высоких порядков, присущих сфере.

Характер изменения / при частотах, чуть меньших первой резонансной частоты, схематически показан на рис. 8.17. Мы предполагали, что рассеяние электронов вследствие столкновений пренебрежимо мало, поэтому х— чисто действительная величина. Заметим, что, когда оз направлено в сторону, противоположную вращению ге-

ликона, х стремится к пределу —3/2V, где V— объем сферы. При таком значении х магнитное поле в сферу совершенно не проникает. Однако при очень низких скоростях, как положительных, так и отрицательных, индуцированные токи столь слабы, что приложенное поле проникает почти полностью; вращение этого однородного поля внутри сферы индуцирует очень простые по форме токи, циркулирующие вокруг экваториальной оси параллельно Ь. Их сила пропор-

Рис 8 16 Линии тока и результирующий магнитный момент в низшей геликонной моде для сферы Весь образец вращается вокруг В с геликонной резонансной частотойРис 8 16 Линии тока и результирующий магнитный момент в низшей геликонной моде для сферы Весь образец вращается вокруг В с геликонной резонансной частотойРис 8 17. Магнитная восприимчивость сферы в окрестности первого геликонного резонансаРис 8 17. Магнитная восприимчивость сферы в окрестности первого геликонного резонанса

Рис 8 16 Линии тока и результирующий магнитный момент в низшей геликонной моде для сферы Весь образец вращается вокруг В с геликонной резонансной частотой

Рис 8 16 Линии тока и результирующий магнитный момент в низшей геликонной моде для сферы Весь образец вращается вокруг В с геликонной резонансной частотой

Рис 8 17. Магнитная восприимчивость сферы в окрестности первого геликонного резонанса

Рис 8 17. Магнитная восприимчивость сферы в окрестности первого геликонного резонанса

циональна расстоянию от оси. Полагая радиус сферы равным а, запишем окончательный результат:

= x^Vk^.(8.47)

Здесь к, взятое из соотношения (8.46), является волновым числом геликона с частотой со.

Вычисление х в этом низкочастотном пределе не столь сложно, как при резонансе, и соотношение (8.47) становится практически ценным при сочетании колебаний геликона с механическим движением, когда резонансную частоту можно сделать сколь угодно низкой. Представим себе сферу, установленную на гибком кронштейне (рис. 8.18). Взаимодействие геликонового момента М с сильным полем В прогибает кронштейн и приводит к повороту сферы на малый угол вокруг оси, перпендикулярной и М, и В (поперечное смещение сферы не играет роли, поскольку никакие токи при невращательном движении проводника в однородном магнитном поле не индуцируют). В то время как М вращается вокруг В с угловой скоростью со, ось прогиба вращается вместе с ним и ориентация сферы непрерывно меняется так, что ее диаметр, который первоначально вертикален, начинает описывать конус с малым углом при вершине я с вертикальной осью. Если С—модуль кручения, то половина

угла при вершине конуса равна 9 = МВ,С. На рис. 8.19, а диаметр показан пунктирной линией, смещенной на угол 0 от вертикали. С точки зрения наблюдателя, связанного со сферой, это выглядит так, будто поле В наклонено на угол —0 и описывает конус при вращении М. Это эквивалентно тому, что устойчивое вертикальное поле В как бы дополнено полем Ь, равным В0 и вращающимся в

Рис. 8 18. Сфера, подвешенная на гибком кронштейне, для демонстрации мягкого геликонного резонансаРис. 8 18. Сфера, подвешенная на гибком кронштейне, для демонстрации мягкого геликонного резонансаРис 8 19. Взаимодействие В и М приводит к изгибу кронштейна (см. рис 8 18) ик наклону первоначально вертикального диаметра сферы (а) Для наблюдателя, находящегося на сфере, это эквивалентно наклону В относительно вертикальной оси (б). В этом случае при вращении М вокруг В вектор В вращается вокруг вертикальной осиРис 8 19. Взаимодействие В и М приводит к изгибу кронштейна (см. рис 8 18) ик наклону первоначально вертикального диаметра сферы (а) Для наблюдателя, находящегося на сфере, это эквивалентно наклону В относительно вертикальной оси (б). В этом случае при вращении М вокруг В вектор В вращается вокруг вертикальной оси

Рис. 8 18. Сфера, подвешенная на гибком кронштейне, для демонстрации мягкого геликонного резонанса

Рис. 8 18. Сфера, подвешенная на гибком кронштейне, для демонстрации мягкого геликонного резонанса

Рис 8 19. Взаимодействие В и М приводит к изгибу кронштейна (см. рис 8 18) ик наклону первоначально вертикального диаметра сферы (а) Для наблюдателя, находящегося на сфере, это эквивалентно наклону В относительно вертикальной оси (б). В этом случае при вращении М вокруг В вектор В вращается вокруг вертикальной оси

Рис 8 19. Взаимодействие В и М приводит к изгибу кронштейна (см. рис 8 18) ик наклону первоначально вертикального диаметра сферы (а) Для наблюдателя, находящегося на сфере, это эквивалентно наклону В относительно вертикальной оси (б). В этом случае при вращении М вокруг В вектор В вращается вокруг вертикальной оси

поперечной плоскости. Такое поле приводит к возникновению момента М=хВ6. Если система отклонена и может совершать свободные колебания, то она и совершает их таким образом, что момент, индуцированный ее движением, и момент, ответственный за прогиб кронштейна, одинаковы: М=хВ0 и 0 = МВ/С. Отсюда

Т = С/В\ (8.48)

Собственной частотой является та, при которой % принимает это заданное значение. Если кронштейн настолько слаб, что % не может достигать значений, при которых применимо соотношение (8.47), то

со = SCl^BWa^iY (8.49)

Когда В велико, оз изменяется как 1/В2 и при достаточно малом С период вращения может быть сделан сколько угодно длительным. С алюминиевой сферой радиуса 1 см на гибком проволочном кронштейне можно достичь длительности периода, превышающей 3 мин. Декремент затухания за один цикл не зависит от прочности кронштейна, если электронное рассеяние является единственным существенным фактором в общем рассеянии системы. Это следует

из соотношения (8.48), так как % и, следовательно, co(Tj_ (а это следует из (8.47)) должны быть действительными, точно так же, как и для жестко закрепленной сферы.

Частота меняется как 1/В2 только при достаточно сильном В. В очень слабых полях прочность кронштейна достаточна для того, чтобы противостоять магнитному моменту, и в соответствии с (8.46) и (8.44) м~В. Это жесткий режим геликона в противоположность мягкому режиму, для которого применимо соотношение (8.49). Между ними со имеет максимум, однако точное вычисление % не было доведено до той стадии, при которой полное изменение В можно учесть и сопоставить с результатами эксперимента.

Возможно, было бы заманчиво представить и качание сферы, и качание линий циркулирующего тока аналогами прецессирующего гироскопа. Но такая аналогия оказывается необоснованной. С геликоном не связан имеющий смысл поперечный угловой момент. Гироскоп же подвержен действию результирующего крутящего момента, он прецессирует так, что скорость изменения углового момента равна скорости изменения вращающего момента. В эксперименте с мягким геликоном сфера не подвергается действию вращающего момента, обусловленного МВ и уравновешиваемого прогибом кронштейна. Поэтому сходство является скорее зрительным, чем физически обусловленным.

ВЫНУЖДЕННЫЕ АНГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ;

СУБГАРМОНИКИ; УСТОЙЧИВОСТЬ

В линейных системах с параметрами, не зависящими от времени, как это было показано ранее, существуют четко определенные нормальные моды, суперпозиция которых позволяет синтезировать движение системы в целом. Отклик системы на воздействие меняющихся во времени сил может быть выражен через отклики на каждую отдельную Фурье-компоненту силы. Для нелинейных систем это перестает быть справедливым, так как применять суперпозицию для синтезирования отклика здесь нельзя. Каждая ангармоническая система по-разному реагирует на одно и то же возмущение. Даже в тех случаях, когда удается определить отклик, он не остается неизменным при возрастании силы. Реакция на воздействие синусоидальной силы в общем случае не является гармонической, так как с изменением амплитуды силы изменяется форма волны. Существует весьма мало общих утверждений, которые можно было бы сделать относительно характера отклика. Нельзя даже утверждать, что основная частота колебаний вибратора совпадает с частотой приложенной силы. Отклик может возникнуть на субгармонической частоте, т. е. на частоте, выражаемой рациональной дробью* частоты вынуждающей силы. Наконец, отклик может оказаться асинхронным и хаотическим. Но даже тогда, когда отклик упорядочен и в нем преобладают колебания на основной или субгармонических частотах, любое бесконечно малое изменение частоты приложенной силы может полностью изменить характер отклика.

Задачи, связанные с асинхронностью и неустойчивостью откликов, привлекали внимание математиков. Проведены обширные исследования, посвященные систематизации, диагностике и классификации патологических состояний [1], Трудно дать точную оценку этим работам, поскольку цели математиков могут отличаться от целей физиков и техников. Чистая математика не занимается практическими приложениями. Но при обсуждении нелинейных колебаний ( поскольку этот вопрос относится к физике) можно ожидать,, что математические результаты так или иначе приведут к практическому выводу. Эти практические результаты находятся за пределами поля деятельности математиков, первоначальный интерес которых был вызван структурными особенностями, лежащими в основе большого разнообразия систем, но лежащими так глубоко,, что топологические и другие методы, пригодные для их изучения, оказываются неприемлемыми для выяснения подробностей в каком-либо частном случае. Контраст с гармоническими системами поразителен. Здесь методы элементарной математики, пригодные в;

специальных случаях, оказываются полезными и для развития общей теории (если не выявляется чего-то более утонченного). Все эта привело к тому, что гармонические системы давно перестали интересовать чистых математиков.

С другой стороны, ангармонические системы насыщены математическими аспектами. Это приводит к тому, что рядовому практику— физику или технику — приходится сталкиваться с большими трудностями, если он хочет извлечь полезные сведения из специальной литературы. Будем надеяться, что систематизация случаев возникновения неустойчивости и критическое объединение явлений в закономерную систему со временем приведут к такой количественной оценке их роли, которая сможет стать фундаментальной основой научной картины мира [2]. Появление в последнее время популярных статей, рассматривающих теорию катастроф, указывает на серьезное желание со стороны математиков отбросить традиционный редукционный метод, обеспечивший мощь физической науки. Похоже, что в призрачном мире неустойчивостей и противоречивых явлений они ищут новые конструктивные подходы, чтобы облегчить описание всего явления в целом, а не описания собрания отдельных, поддающихся анализу фрагментов. Эта программа претенциозна, но даже в случае частичного успеха она будет иметь далеко идущие последствия. Однако никакая революция не является успешной до тех пор, пока ее достижения не закреплены, и было бы преждевременно верить в успех осуществления изложенного проекта.

Вся эта преамбула — наше извинение за попытку уклониться от систематизированного отчета о том, что достигнуто на сегодняшний день. Вместо того чтобы приводить такой отчет, мы продемонстрируем некоторые характерные черты ангармонических систем на примере систем, устойчивости которых можно достичь без особого труда и которые мы можем детально проанализировать. Так читатель яснее представит сложности, с которыми приходится сталкиваться при изучении реальных систем. В то же время следует сознавать, что полное решение для каждого отдельного случая можно- получить лишь в результате длительных и утомительных вычислений. Пройдя через все это, читатель перестает полагаться только на математику и приобретает должное уважение к опыту и наблюдениям.

СЛАБОАНГАРМОНИЧНЫЕ ВИБРАТОРЫ

Примером слабоангармоничного вибратора, в котором возвращающая сила пропорциональна скорее sin 9, чем смещению 9, является маятник. Резонансная частота здесь убывает с амплитудой, и отклик системы на воздействие вынуждающей силы с постоянной амплитудой и меняющейся частотой отличается от лоренцевой формы резонанса. Как бы прост ни был маятник, он не является удобным объектом для демонстрации ангармоничности в лабораторных условиях хотя бы потому, что период его колебаний весьма

продолжителен и наблюдения затягиваются до невыносимой степени.

Гораздо более удобным примером является натянутая проволока, совершающая поперечные колебания. Натяжение почти неизбежно увеличивается с ростом отклонения. В результате увеличи-

Рис. 9.1. Устройство для изучения колебаний натянутой проволоки

Массивный горизонтальный брусок (стержень Л) подвешен на нитях. Ось, к которой прикреплены нити, пронизывает брусок на расстоянии, равном Уз его длины. Стержень служит для натяжения проволоки W. Ее нижний конец закреплен с помощью двух пружин S (это позволяет разделить две поперечные моды и предотвращает паразитное возбуждение). Электромагнитный возбудитель создает осциллирующую силу F, которая действует или в поперечном (сплошная стрелка), или в продольном (пунктирная стрелка; см гл. 10) направлениях Такой подвес стержня Л обеспечивает одинаковость его инерционных свойств для обоих направлений F. Рисунок выполнен без соблюдения масштаба В проведенных экспериментах стержень Л имел длину около 25 см, а проволока W — около 150 см

ваются и частота, и амплитуда. По-разному закрепляя концы нити, можно варьировать степень ангармоничности такой системы. Устройство с такими свойствами показано на рис. 9.1. Оно более сложно, чем это необходимо, так как предназначено для двоякой цели. В этой главе мы рассмотрим отклик такой системы на воздействие поперечной силы, приложенной на конце бруска. В следующей главе обсудим вопрос, связанный с реакцией этой системы на продольную возбуждающую силу. Приведенное устройство допускает применение обоих типов возбуждения без внесения дополнительных изменений в его конструкцию. Электромагнитный возбудитель действует на сравнительно массивный стержень так, что амплитуда его колебаний практически не зависит от движения нити даже при резонансе. С хорошей степенью точности можно считать, что амплитуда на конце нити не зависит от частоты. Соображение, высказанное в связи с рис. 7.8, свидетельствует, что отклик системы имел бы нормальную лоренцеву форму, если бы, как уже отмечалось ранее, не существовало изменений натяжения и нелинейного затухания на больших скоростях.

Частота, ГцЧастота, ГцРис. 9 2 Амплитуда колебаний центра проволоки как функция частоты Верхняя кривая получена при значениях силы в 10 раз больших, чем нижняяРис. 9 2 Амплитуда колебаний центра проволоки как функция частоты Верхняя кривая получена при значениях силы в 10 раз больших, чем нижняящениях потенциальную энергию можно записать какщениях потенциальную энергию можно записать как(9.2)(9.2)

Частота, Гц

Частота, Гц

Рис. 9 2 Амплитуда колебаний центра проволоки как функция частоты Верхняя кривая получена при значениях силы в 10 раз больших, чем нижняя

Рис. 9 2 Амплитуда колебаний центра проволоки как функция частоты Верхняя кривая получена при значениях силы в 10 раз больших, чем нижняя

щениях потенциальную энергию можно записать как

щениях потенциальную энергию можно записать как

(9.2)

(9.2)

На рис. 9.2 приведены типичные отклики для основной моды (с единственной полуволновой пучностью) на двух различных уровнях возбуждения. Изменение собственной частоты при изменении

амплитуды отчетливо проявляется в наклоне вершин кривых в сто рону более высоких частот. Этот эффект столь заметен при силь

ном возбуждении, что в узком диапазоне частот 26,6—26,7 Гц амплитуда изменятся в три раза. Оставив на время этот новый эффект (хотя он-то и представляет наибольший интерес), задумаемся над тем, соответствует ли асимметрия ожидавшемуся значению.

Полное решение задачи о колебаниях струны с учетом нелинейности является очень сложным, поскольку уже нельзя предполагать, что струна имеет синусоидальную форму; приходится учитывать, что в этом случае форма существенно

меняется в течение одного цикла. Однако строгое исследование, которое было бы почти правильным, начинается с допу-

щения о том, что струна осцил

лирует как простой вибратор с нелинейной силой. При малых сме

(9.1)(9.1)v^^a+M

(9.1)

(9.1)

где поправочное слагаемое pg2 симметрично относительно положительного и отрицательного смещений. В соответствии с уравнением (9.1) сила зависит от смещения по закону

Основной результат для периода колебаний, вытекающий из (2.11), показывает, что если амплитуда колебаний составляет g0, а полная энергия Е = V2pg02(l + Р£о2), то

Т = ^Т^ л j dШ20 (1 + ^2) - ;2 (1 + ^2)]V=}.

При Р —0 для всех go Т=Т^ и мы получаем первую поправку к 70 с помощью разложения Тейлора:

^a0)^70 + 3(dr/d8)i3==0.

Выполняя дифференцирование под знаком интеграла при постоянном g0 и полагая затем (3 равным нулю, получим

(d 7’/d8)3=0= - Л/ | л (^ -^ dV(;2 _ ^ = _ з/4 ;27о.

о

Следовательно,

Т Со) = 7о(1-3/4^ + •••)•(9.3)

Поскольку pg02 является единственным безразмерным параметром в задаче, не существует другого слагаемого с go2, которое мы могли бы упустить, считая параметром разложения (3, а не go2. В соответствии с уравнениями (9.2) и (9.3) получаем, что если сила, постоянная при максимальной амплитуде go, возросла в дробное число раз f, то период уменьшился, а частота увеличилась в 3/8f раза.

В эксперименте, который привел к результатам, показанным на рис. 9.2, проволока была фактически нерастяжимой, а масса груза

Рис 9 3 Кривая, подобная той, что приведена на рис 92Ее получили с помощью установки, показанной па рис. 9.1, но со смещенными для увеличения асим- ме.пии резонанса пружинамиРис 9 3 Кривая, подобная той, что приведена на рис 92Ее получили с помощью установки, показанной па рис. 9.1, но со смещенными для увеличения асим- ме.пии резонанса пружинамина верхнем конце — достаточно большой, чтобы можно было пренебрегать влиянием проволоки на него. Поэтому при смещении проволоки происходило растяжение пружин на нижнем ее конце. Прямые измерения показали, что когда амплитуда колебаний составляла 17,5 мм, натяжение пружины возрастало на 5%. При этом можно было ожидать, что частота увеличится на 3/8 от этого

Рис 9 3 Кривая, подобная той, что приведена на рис 92

Ее получили с помощью установки, показанной па рис. 9.1, но со смещенными для увеличения асим- ме.пии резонанса пружинами

Рис 9 3 Кривая, подобная той, что приведена на рис 92

Ее получили с помощью установки, показанной па рис. 9.1, но со смещенными для увеличения асим- ме.пии резонанса пружинами

значения, т. е. на 1,9%. Возможно, это несколько превышает наблюдавшееся изменение,

однако находится в допустимых пределах ввиду приближенности теории и неточности измерений. Эффект можно усилить, передвигая пружины и прочнее закрепляя проволоку на нижнем конце. Результат показан на рис. 9.3, на котором ясно видны неустойчивость

и гистерезис.

Но даже и в этом случае сдвиг частоты в пике все еще составляет только 4%, а форма колебаний остается близкой к синусоидальной. Поэтому разумным оказывается предположение, что если бы частоту возмущающей силы изменять, проходя резонансное значение и подправляя ее на каждой стадии для поддержания постоянной амплитуды колебаний, то изменение силы с частотой было бы таким же, как и для линейной резонансной системы (см. рис. 6.10, г). Переводя это на язык эксперимента, можно сказать, что если сила постоянна, то нелинейность слабо влияет на ширину резонансного пика отклика на любом уровне. Так, например, лоренцев пик все еще сохраняет вид (6.18):

Р (to) = ^о/К" — ш')2 + м"2],

но теперь о/ является функцией Р (например, о/=(о0'(1-|-3/4рР), если P = V> а период меняется в соответствии с (9.3)). В действительности пики на рис. 9.2, вероятно, не являются лоренцевыми, так как ширина нижнего пика составляет только 3А ширины верхнего на уровне, соответствующем половине амплитуды. Добавки, учитывающие потери из-за сопротивления воздуха, возрастают гораздо быстрее, чем если бы действовало такое трение. Эффективная добротность Q становится соответственно меньшей при больших амплитудах. При выполнении эксперимента дополнительные потери проявляются очень отчетливо: проволока громко гудит при сильных возбуждениях.

Мы дошли, наконец, до многозначного характера отклика. Сразу же видно, что участок АС кривой, показанный пунктиром, воспроизвести нельзя. В точках этого участка небольшое смещение вверх, т. е. увеличение амплитуды при постоянной частоте, приводит к смещению точки внутрь резонансной кривой, так как необходимая для поддержания этой амплитуды сила оказывается меньшей, чем для точек, расположенных на линии. Следовательно, амплитуда должна возрастать. Рост амплитуды продолжается до тех пор, пока не окажется достигнутой верхняя ветка резонансной кривой. Аналогичные рассуждения приводят к тому, что если точка смещается вниз, то она должна снижаться, пока не достигнет нижней ветки. С другой стороны, любая точка, расположенная не на пунктирной части кривой, описывает устойчивый отклик, так как при малых отклонениях наблюдается возвращение на линию. Теперь нетрудно понять, почему кривая отклика имеет различный характер в зависимости от того, увеличивается или уменьшается частота, и почему возникают скачки на границах участков, соответствующих устойчивым режимам.

Если мы движемся вдоль линии, приведенной на рис. 9.3, в направлении увеличения частоты, то скачок амплитуды от А до В занимает несколько секунд (что является естественным временем затухания любых переходных колебаний проволоки) и сопровождается значительными биениями. Напротив, при движении в обратном направлении переход амплитуды от С до D является более монотонным, хотя занимает примерно то же время. Поскольку система является нелинейной, ее поведение не совсем верно рассматривать как совокупность нестационарных возбуждений и вынужденных колебаний на частоте возбуждения. Тем не менее такой подход позволяет качественно объяснить разницу в поведении системы при возрастании или убывании частоты. Для большинства значений амплитуды на линии АВ вынуждающая частота отличается от собственной (представленной на рисунке в виде линии R") на значение сравнимое или большее, чем ширина резонанса. На рис. 6.12 было показано, как под действием этого условия возрастают биения при неустойчивом возбуждении. С другой стороны, отрезок CD пересекает линию R и проходит в основном вблизи нее на большей части своей длины. Это приводит к тому, что период биения настолько велик, что биений мы не наблюдаем.

Рис 9 4. Громкоговоритель L расположен на подставке диффузором вверх К центру конуса - диффузора с помощью пружины S (пластины) прижат легкий штырь РРис 9 4. Громкоговоритель L расположен на подставке диффузором вверх К центру конуса - диффузора с помощью пружины S (пластины) прижат легкий штырь РШтырьШтырьВремяВремяРис 9 5 Графическая иллюстрация поведения штыря в устройстве, изображенном на рис 9 4 Частота субгармоники отличается от частоты возбуждения на октавуРис 9 5 Графическая иллюстрация поведения штыря в устройстве, изображенном на рис 9 4 Частота субгармоники отличается от частоты возбуждения на октаву

Рис 9 4. Громкоговоритель L расположен на подставке диффузором вверх К центру конуса - диффузора с помощью пружины S (пластины) прижат легкий штырь Р

Рис 9 4. Громкоговоритель L расположен на подставке диффузором вверх К центру конуса - диффузора с помощью пружины S (пластины) прижат легкий штырь Р

Штырь

Штырь

Время

Время

Рис 9 5 Графическая иллюстрация поведения штыря в устройстве, изображенном на рис 9 4 Частота субгармоники отличается от частоты возбуждения на октаву

Рис 9 5 Графическая иллюстрация поведения штыря в устройстве, изображенном на рис 9 4 Частота субгармоники отличается от частоты возбуждения на октаву

ПРИМЕР СУБГАРМОНИЧЕСКОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ

Если к диффузору небольшого громкоговорителя, лежащего на подставке, с помощью пружины слегка прижать достаточно легкий штырь (рис. 9.4) и с помощью генератора возбудить колебания диффузора с частотой, например, 400 Гц, то ускорения, которое приобретает штырь, оказывается достаточно для его отрыва от

диффузора на некоторое время в течение периода колебаний. Если критическая амплитуда превышена, излучаемый звук внезапно становится громче и грубее. При увеличении возбуждения наступает момент, когда (возможно, после беспорядочного шума) громкое звучание возникает на частотах более низких, чем частота возбуждения (на октаву ниже и даже на частотах, в 12, 15 раз более низких). При этом штырь подскакивает настолько высоко, что возвращается вниз лишь после двух, трех, четырех и более периодов колебаний генератора. Каждая субгармоника устойчива в ограниченных пределах возбуждения и обычно отделена от следующей субгармоники

так, что звучащая нота спадает дискретными ступенями, повторяя гармонические серии в обратном порядке.

Упрощенная картина процесса показана на рис. 9.5. Предполагается, что диффузор громкоговорителя достаточно тяжел и подскакивающий штырь не нарушает его простого гармонического движения. Соприкосновение штыря с диффузором происходит один раз за два периода, т. е. во время каждого второго цикла колебаний диффузора. Поэтому отклик представляет собой субгармонику, отличающуюся по частоте на октаву. Фаза, соответствующая моменту соприкосновения штыря и диффузора, такова, что движение диффузора вверх компенсирует неупругий характер взаимодействия, а скорости штыря перед соприкосновением и после него одинаковы. Траектория, показанная пунктирной линией, очевидно, не является устойчивой, так как если соприкосновение чуть-чуть задержалось, то оно произойдет уже при большей скорости подъема

диффузора. В этом случае штырь поднимется на большую высоту и при следующем соприкосновении задержится еще больше. Иначе обстоит дело со сплошной кривой. Для нее если и произойдет задержка соприкосновения на одном из циклов, то в дальнейшем произойдет коррекция и восстановление фазы. Однако не следует спешить с предположениями об устойчивости, так как слишком большая коррекция может привести к тому, что фаза удара начнет колебаться между опережением и отставанием со все возрастающей амплитудой. Поэтому устойчивость необходимо рассматривать с величайшей тщательностью. Поскольку эта проблема возникает часто, мы прервемся на этой стадии и расскажем о довольно общих тестах на устойчивость. К рассмотренному выше примеру мы вернемся позднее, они станут иллюстрациями этих тестов.

ПОВЕДЕНИЕ ПРОСТЫХ СИСТЕМ ВБЛИЗИ РАВНОВЕСИЯ

Простые системы, с которыми мы до сих пор встречались в этой книге, в большинстве случаев описывались дифференциальными уравнениями второго порядка, причем не обязательно линейными. Общее решение подобного уравнения содержит две произвольные постоянные. Поэтому любое частное решение может быть точно определено значениями этих констант, или, что то же самое, значениями двух физических переменных для некоторого состояния. Таким образом, поведение свободного гармонического вибратора полностью определено, если в некоторый момент времени известны скорость и смещение. Мы сосредоточим внимание именно на таких системах, не раскрывая поначалу смысла тех двух переменных, которые определяют состояние системы. Обозначим их как х и у. Когда мы говорим, что точно установленные значения х и у для некоторого момента времени определяют последующее поведение системы, мы полагаем, что это поведение однозначно определено траекторией на плоскости ху, проходящей через заданные точки (х, у). Обычно различные траектории не пересекаются, хотя возможны одна или несколько особых точек, в которых траектории сходятся. По-видимому, такие точки должны соответствовать устойчивому равновесию системы, тогда как точки, из которых траектории расходятся, видимо, соответствуют неустойчивому равновесию. Возможны и другие особенности этих точек, и наша первая задача — дать их описание. Для двухпараметрических систем таких возможных случаев может быть лишь пять.

Если (х0, У о) является точкой равновесия (не обязательно устойчивого), то система, оказавшаяся в точности в этом состоянии, может оставаться в нем сколь угодно долго, если она не подвергается внешнему возмущению. Но при сдвиге в соседнюю точку в общем случае система не окажется в равновесии и с течением времени х и у должны меняться. Поскольку ^=?/ = 0 в (хо, у^. мы можем ожидать, что разложение в ряд Тейлора для х и у в окрестностй (х0, у^ начнется с линейных членов:

Л = «з^ Н~ ^4^, (9.4)

Рис. 9 6. Области, в которых решения уравнений (9 4) имеют различные типы устойчивости или неустойчивостиРис. 9 6. Области, в которых решения уравнений (9 4) имеют различные типы устойчивости или неустойчивостиоткудаоткуда(9.6)(9.6)

Рис. 9 6. Области, в которых решения уравнений (9 4) имеют различные типы устойчивости или неустойчивости

Рис. 9 6. Области, в которых решения уравнений (9 4) имеют различные типы устойчивости или неустойчивости

откуда

откуда

(9.6)

(9.6)

где ^ = х—Хо и v\ = y—у0. Если § и Y] не слишком велики, то обычно бывает достаточно закончить на этом разложение в ряд в этой точке. Поведение в случае малых смещений вблизи (х0, Уо) линеаризовано. Возможные траектории определяются уравнениями (9.4), которые могут быть сведены к двум идентичным дифференциальным уравнениям, описывающим изменения во времени величин g и г):

— (ai + а4>; + («1«4 — а2а3); = О,

Л — («1 + «4) Л + («1«4 — а2«з) П = 0.

Эти уравнения представляют собой не что иное, как уравнения гармонического осциллятора (2.23) с к =— (ai + ct4) и соо2 = («1«4—«2«з)* Здесь, однако, нет физических требований на то, чтобы или к, или ш02 было положительным. Обозначим Т величину ai + cq, чтобы показать, что это след a-матрицы, связывающей (g, ц) и (с, ц). Величину ccicq— —«2«зобозначим D, подчеркивая,что D — определитель этой матрицы. Тогда

;-Г;' + ^ = 0. (9.5) Аналогичное выражение получим и ДЛЯ 1].

Пять режимов для решений уравнений (9.5) показаны на рис. 9.6. Два устойчивых режима зани

мают квадрант, в котором D положительно, а Т отрицательно. Соот

ветственно два неустойчивых режима занимают квадрант, в котором и D, и Т положительны. Последний неустойчивый режим соответствует полупространству, в котором D отрицательно. Критерии для различных режимов вытекают из экспоненциальных решений уравнений (9.5). Если £ = goe^, то

p2__Tp^-D=0sр=1ЬДТ±^-4ОУ^\.

Фокальная устойчивость: /)>0, Т<_0 и P<AD. Решения являются комплексными, что приводит к тому, что ^ и т] совершают затухающие колебания. Так как относительные амплитуда и фаза 1 и т] определяются не только Т и D, но зависят и от а, то в общем случае траектория — скручивающаяся к началу эллиптическая спираль. Этому случаю соответствует гармонический вибратор со слабым затуханием.

Фокальная неустойчивость: /)>0, Т>0 и Т2<4О. Картина аналогична предыдущей, но колебания являются возрастающими и эллиптическая спираль раскручивается из начала. Примером такой системы является гармонический вибратор с положительной обратной связью или каким-нибудь иным механизмом, восполняющим потери из-за трения.

Узловая устойчивость: /)>0, Г<0 и 72>4Z). Решения являются действительными, так что колебания становятся апериодическими с экспоненциальным убыванием g и г|. Траектории сходятся в узле не по спирали. Мы вскоре рассмотрим форму этих траекторий более подробно. Примером такой колебательной системы является гармонический вибратор с сильным затуханием.

- Узловая неустойчивость:/) > О, 7>0 и Г2>4/). Картина аналогична предыдущему случаю, но траектории расходятся из узла. Примером такой системы может служить вибратор с сильной положительной обратной связью.

Седлообразная неустойчивость: /)<0. Решения являются действительными, одно значение р положительно, а другое — отрицательно. Положительное решение гарантирует неустойчивость; траектории обходят начальную точку и имеют приблизительно гиперболическую форму. Примером такой системы является вибратор с отрицательной постоянной силой, например мяч, установленный на вершине горы (а не в долине). Никакое затухание энергии не может предотвратить его скатывания вниз.

Общий характер только что рассмотренных траекторий (скручивающаяся или раскручивающаяся спираль, не спираль, гипербола) не нарушается при вращении или изменении масштаба осей, и, конечно, оба параметра Т и D являются инвариантами при подобных преобразованиях координат. Это обстоятельство полезно использовать для того, чтобы уточнить форму траекторий путем такого преобразования координат, при котором уравнения (9.4) принимают простейший вид. При повороте координатных осей угол ср с последующим увеличением масштаба вдоль одной оси в у и уменьшением вдоль другой оси в то же число раз новые переменные X и Y останутся связанными линейно:

X = ^Х + з2К, Y= %Х + %Y.(9.7)

гдегде

где

где

(9.8)(9.8)p1 = at cos2? — (а2 + аз) cos ? sin ? + а4 sin2?,32= —[«2 COS2 ? -|- («1 “^Э C0S ? Sin ? —а3 sin2?].

(9.8)

(9.8)

З3 = у [a3 cos2? + (a1 — а4) cos ? sin ? — а2 sin2?],p4=ct4 cos2? + (a2 + a3) cos? sin ? + ai sin2?.

Ясно, что ф можно всегда выбрать таким, чтобы р! = р4. Требование к выбору таково, чтобы сделать tg2ф равным («1—a4)/(a2—ct3). Далее, если только р2 или р3 обратятся в нуль, то у можно выбрать таким, что р3—±р2 (поскольку у может иметь любой знак, знаки р2 и р3 не играют роли). Тогда уравнения (9.7) могут прийти к следующему виду.

Случай а: р3 = —р2; T=2pi и D = Pi2+P22;

^ = 3^ + 3^; Г=-32АГ + 81Г.(9.9)

Случай б\ р3 =—р2; T=2Pi и D = Pi2—р22;

X = \Х + 32У; Y = М' + 3,г.(9.10)

Обсудим оба случая в отдельности.

Случай а: Т2 всегда меньше 4D, и поведение системы соответст^ вует либо фокальной устойчивости, либо фокальной неустойчивости. Если X и У являются составляющими радиуса-вектора R, то (поскольку R2=X2-\-Y2) из соотношений (9.9) следует, что

-^(Д2)=2ХХ-^2УУ = ТЯ2.(9.11)

Далее, если запишем tg6= У/Х, Tosec29d9/d/ = (XK — YX^X2=— — r^R2lX2. Поэтому d0/dZ=—р2.

Типичная точка движется по спирали постоянного шага, причем радиус-вектор возрастает или убывает в соответствии с соотношением (9.11) экспоненциально, одновременно вращаясь с постоянной скоростью —р2. Для того чтобы спираль была скручивающейся, Т должно быть меньше нуля. Все это находится в согласии с тем, что мы уже знаем о затухающих гармонических колебаниях. Общая форма траектории в этом случае — спираль с постоянным шагом, которая деформируется в эллиптическую в результате изменения масштабов по любым двум ортогональным направлениям.

Случай б: удобно произвести дальнейший поворот осей на л/4, записывая Х= (ц+^)/к 2 и ¥=Ци—и)/]/ 2. Тогда уравнения (9.10) принимают вид

^ = (3! —32)^, ^ = (?i + ?2)^«(9-12)

Эти уравнения, показывающие, что и и и изменяются независимо и экспоненциально, определяют неспиральную траекторию; устойчивость возможна только если Pi—р2 и Pi + p2 одновременно отрицательны. Тогда Pi2—р22 (и, следовательно, £)) должны быть положительными, а Pi (и, следовательно, Т)—отрицательными. Это случай узловой устойчивости. В выбранной системе координат из решения (9.12) следует, что

==(9.13)

где Л — произвольная постоянная, а у>0. В первоначальной системе координат каждое значение у определяет семейство подобных алгебраических кривых, которые могут иметь любую ориентацию, и описывает релаксацию к равновесию системы с сильным затуханием. Когда pi—р2 и Р1+Р2 одновременно положительны, траектории имеют ту же самую форму, но направление движения противоположно. Это случай узловой неустойчивости.

Наконец, рассмотрим вариант, когда Pi—р2 и Р1 + Р2 имеют противоположные знаки, т. е. когда Pi лежит между ±^2 и Z)<0. Тогда у в (9.13) отрицательно и траектории обходят начало координат. Если Pi = 0, то они представляют собой гиперболы, асимптоты которых пересекаются под прямым углом. При не равных нулю значениях Pi траектории не являются гиперболами, но имеют ортогональные асимптоты. Обратное преобразование в исходную систему координат не обязательно сохраняет эту ортогональность.

Проведенный выше анализ был выполнен в предположении, что отклонения от равновесия достаточно малы и могут быть описаны линейными уравнениями (9.4). Это справедливо во всех случаях, кроме одного — когда рассматриваемая точка лежит на линии, разделяющей области фокальной устойчивости и фокальной неустойчивости, т. е. на горизонтальной оси (рис. 9.6). Иллюстрацией поведения такой точки может служить пример колебательного контура с положительной обратной связью. Когда обратная связь такова, что полные потери на сопротивлении в точности скомпенсированы (Q = oo), в контуре могут происходить колебания с любой амплитудой в пределах между устойчивостью и неустойчивостью, но только до тех пор, пока все строго линейно. Однако довольно часто обратная связь не так сильна при больших амплитудах, поскольку усилитель переходит в режим насыщения. Сильные колебания вызывают затухание, большее того, которое может скомпенсировать обратная связь. Следовательно, система должна находиться в безразличном равновесии, если учитывать только линейные величины, но на самом деле это только так кажется. В действительности система находится в устойчивом равновесии. Предполагая, что большое затухание можно учесть при разложении в степенной ряд таким образом, что малые затухания присутствуют во всех амплитудах, получим, что осцилляции тока спадают до нуля, хотя и не по экспоненциальному закону, так как эффективная постоянная времени неуклонно возрастает по мере приближения к равновесию.

Предположим теперь, что произошло небольшое увеличение обратной связи и в соответствии с линейной теорией система стала неустойчивой. Амплитуда колебаний теперь растет, но возможен случай, когда более быстрый рост нелинейных потерь скомпенсирует линейное приращение, тогда амплитуда сначала стремится к насыщению, а затем остается постоянной. Рассматриваемая точка совершает в плоскости ху ограниченное замкнутое движение вблизи состояния неустойчивого равновесия. Дальнейшее увеличение положительной обратной связи приводит к расширению ограниченного замкнутого движения и, вероятно, к изменению его формы таким

образом, что колебания становятся несинусоидальными. Возможно, что и сам предельный цикл может стать неустойчивым, так что эта мода колебаний перейдет в нечто совершенно иное. Однако такой случай сильно выходит за рамки рассматриваемой в настоящий момент задачи — она характеризуется почти линейным режимом, предельный цикл близок к эллиптическому, а форма волны близка к синусоидальной.

Альтернативной формой поведения вдоль линии неограниченного Q является превращение по мере роста амплитуды полных потерь из положительных в отрицательные. Тогда вдоль этой линии система неустойчива, хотя возрастание не является экспоненциальным. Вначале оно происходит более медленно, а затем более быстро. При чуть меньшей обратной связи малые линейные потери гарантируют устойчивость. Однако это справедливо только для малых амплитуд — ими в основном определяются нелинейные приращения. В этом случае равновесие является метастабильным: оно устойчиво при малых смещениях и неустойчиво — при больших.

ПРИМЕРЫ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

Поскольку задача, сформулированная в линеаризованных уравнениях первого порядка (9.4), оказалась сводимой к дифференциальному уравнению второго порядка для простого вибратора, уместно указать, как поведение вибратора можно описать с помощью уравнений первого порядка. Для этого за координаты примем смещение и скорость х и у ( = х). Тогда, если ц— коэффициент упругости, а X— постоянная вязкого затухания, для частицы с массой т имеем (как в (2.31))

х=ч) и ^ = — ^х/т — Ху.

Подставляя g в (9.4) как х, а т] как у, получим:

«! = 0, a2=l, «3= — pV^> a^= —klm.

Следовательно, T=—Xlm, D = \k!m. В обозначениях, принятых в (2.23), Т=—к и D = wQ2. Идентичность соотношений (2.23) и (9.5) сразу становится заметной.

Нет необходимости продолжать обсуждение фокальной и узловой неустойчивостей — им соответствует поведение гармонического вибратора при отсутствии затухания и при очень сильном затухании. Колебание может быть представлено траекторией на фазовой хи-плоскости, которой, как мы покажем, очень удобно пользоваться для описания нелинейных вибраторов. Общий характер траектории, разумеется, таков же, как показано на рис. 9.6. Для воспроизведения неустойчивых траекторий нужен источник энергии. Обычно им является какое-либо внешнее устройство, например блок питания усилителя в колебательном контуре. Однако это может быть и внутренний источник, тогда возрастание неустойчивости сопровождается превращением запасенной энергии в кинетическую энергию 284

колебаний или в теплоту . Если источник энергии действует так, что к становится отрицательным, то возникают спонтанные колебания (фокальная неустойчивость) или узловая неустойчивость. Подробнее это будет обсуждаться в гл. 11. Седлообразная неустойчивость часто встречается в природе в системах без вмешательства внешних источников энергии. К этому типу относятся разрушения структуры, вызывающие превращение потенциальной энергии в ки

обогатим наши рассуждения, еслиобогатим наши рассуждения, если(1)5)6)(1)5)6)Рис 9 7. Стержень Эйлера:Рис 9 7. Стержень Эйлера:а — докритическая нагрузка, б—сверхкри-тическая нагрузка, в—обозначения, ис-пользованные при анализе в текстеа — докритическая нагрузка, б—сверхкри-тическая нагрузка, в—обозначения, ис-пользованные при анализе в текстенетическую. Мы не очень сильно к седлообразным неустойчивостям отнесем и фазовые переходы, например спонтанные изменения кристаллической структуры. Эти вопросы, строго говоря, не входят в рамки книги о колебаниях, но ввиду их важности мы отведем им немного места.

обогатим наши рассуждения, если

обогатим наши рассуждения, если

(1)5)6)

(1)5)6)

Рис 9 7. Стержень Эйлера:

Рис 9 7. Стержень Эйлера:

а — докритическая нагрузка, б—сверхкри-тическая нагрузка, в—обозначения, ис-пользованные при анализе в тексте

а — докритическая нагрузка, б—сверхкри-тическая нагрузка, в—обозначения, ис-пользованные при анализе в тексте

Стержень Эйлера, показанный на рис. 9.7, является классическим примером системы, в которой коэффициент упруго-

сти ц может меняться от положительных до отрицательных значений. Это позволяет найти критическую точку, в которой ц становится равным нулю и устойчивость исчезает. Первоначально прямая упругая пластинка остается вертикальной до тех пор, пока грузна ней не слишком велик. Однако при превышении некоторого критического значения массы груза система становится неустойчивой. Если отклонить груз, то он будет продолжать двигаться в сторону от вертикали, поскольку уменьшения потенциальной энергии по мере снижения груза более чем достаточно, чтобы совершать работу против сил упругости, возникающих при деформации пластины. Излишек энергии в этом случае приводит к росту кинетической энергии, что, в свою очередь, приводит к еще большему отклонению груза от положения равновесия. Составление уравнения движения груза сводится к определению горизонтальной составляющей возвращающей силы при смещении груза. Используя обозначения^ приведенные на рис. 9.7, в, заметим, что кривизна в какой-либо точке пластины при малых смещениях составляет d2z//dx2. Чтобы создать такую кривизну пластины, необходим вращающий момент /?d2z//dx2, где R— жесткость стержня на изгиб, величина постоянная для однородной по сечению пластины. Таким образом, форма стержня описывается уравнением

(9.14)(9.14)/?d2z//dx2 = Mg (yQ — у) 4- F (I — x)

(9.14)

(9.14)

с общим решением

у = у^_уР ^1 — x^Mg^-yA cos^-j-S sin^x, где q2=Mg!R, а А и В — постоянные. При х=0 значения y=dyfdx обращаются в нуль. Поэтому А = —Fl](Mg)—у^ и B = FI (Mgq). Полагая х=е, у=у$, мы найдем у^ и коэффициент упругости:

^=Р1Уо = М^1\Х?,д1Кд1— 1)],(9.15)

где (ор= ^g)iy?2 представляет собой частицу простого маятника длиной /. Критической массой Мс является такое значение массы груза, при котором ц обращается в нуль, a gl становится равным л/2. Следовательно,

Mc = 44^RKgl2Y

Поведение такой системы легко наблюдать на примере прямой стальной полосы, на свободном конце которой расположен груз подходящей массы, закрепляемый винтом. При увеличении длины свободного конца можно заметить, что частота собственных колебаний неуклонно уменьшается, несмотря на то что состоянию равновесия соответствует вертикальное положение полосы. Но после достижения такого положения груза, при котором ц=0, вертикальное положение полосы становится неустойчивым и появляются два новых положения равновесия с каждой стороны от вертикали. Если полоса является идеально упругой, то форма полосы при этих равновесных положениях может быть найдена путем переписывания дифференциального уравнения (9.14) с F=0 и точным учетом кривизны с заменой линейного приближения на d2yjdx2.

Возможно, мы поступаем несколько академично, уделяя так много внимания этой задаче прикладной математики, поскольку большинство материалов при малых деформациях являются хрупкими или пластичными. Если стержень очень тонкий по сравнению со своей длиной, то после превышения критической нагрузки он вообще может рассыпаться на отдельные кусочки [3]. Такой исход не противоречит теории упругости, с помощью которой в пределах применимости закона Гука можно успешно предсказывать критическую массу. Просто не следует полагать, что последующие события можно предсказать с помощью линеаризованной модели. Это, однако, отступление. Отметим, что точка неустойчивости является особой точкой физического поведения в смысле нарушения в ней непрерывности независимо от того, выполняется ли вне ее закон Гука или нет .

Невозможно предсказать, что происходит при прохождении критической точки, даже экстраполируя свойства системы малыми шагами. Поэтому графическое изображение положения равновесия как функции нагрузки представляется раздвоенным (рис. 9.8). Симметрия относительно вертикали выдерживается, но только в том смысле, что положения, допустимые при равновесии, образуют симметричное распределение. Между тем, что разрешено, и тем, что

Рис. 9 8 Бифуркация (раздвоение) решения задачи о стержне Эйлера в критической точкеРис. 9 8 Бифуркация (раздвоение) решения задачи о стержне Эйлера в критической точкеРис. 9 9. Другая форма бифуркации с разрывами и гистерезисамиРис. 9 9. Другая форма бифуркации с разрывами и гистерезисами

Рис. 9 8 Бифуркация (раздвоение) решения задачи о стержне Эйлера в критической точке

Рис. 9 8 Бифуркация (раздвоение) решения задачи о стержне Эйлера в критической точке

Рис. 9 9. Другая форма бифуркации с разрывами и гистерезисами

Рис. 9 9. Другая форма бифуркации с разрывами и гистерезисами

фактически случается, симметрия теряется, поскольку выбор между двумя равновероятными и совершенно одинаковыми поведениями системы может оказаться абсолютно случайным. Результат будет или произвольным, или определенным внешними условиями; но какой выбор ни будет сделан, симметрия окажется нарушенной. Очевидно, что критическая точка препятствует экстраполяции, поскольку даже если z/0— непрерывная функция нагрузки, то ее производная таковой не является.

При других критических явлениях от у0 даже не требуется непрерывности. Гипотетическая кривая, приведенная на рис. 9.9, имеет вполне допустимую форму, которая явилась бы результатом внезапного скачка у0 при критической нагрузке. Колеблющаяся струна, которую мы обсуждали в начале главы, проявляет в точности такую же неустойчивость с гистерезисом, подобным показанному на рис. 9.9. Вряд ли эта неустойчивость является структурной. Более яркой иллюстрацией описываемого явления может послужить простой опыт с рулеткой. Из скрученного состояния она при разматывании переходит в довольно упругую ленту благодаря тому, что в поперечном сечении она имеет слегка искривленную форму. Положим эту ленту на стол вогнутостью вверх. Если ее плавно передвигать так, чтобы со стола свисала часть ленты, то в какой-то момент, совершенно внезапно, выступавший за край стола участок резко переломится и займет вертикальное положение. Если затем ленту двигать в обратном направлении, то свисающий участок длительное время будет занимать вялое вертикальное положение и лишь позднее лента внезапно распрямится и вновь займет горизонтальное положение. Переходы из горизонтального положения в вертикальное хорошо заметны, и гистерезис выявляется отчетливо.

Детальный анализ этого явления представляет собой трудную за

дачу.

Мы же рассмотрим еще один простой пример с короткой веревочной лестницей, изображенной на рис. 9.10. На графике показана зависимость вращающего момента, необходимого для закручивания лестницы на определенный угол, от угла, а также зависимость этого момента от предыдущего состояния. Читателю предлагается самостоятельно убедиться в справедливости этого графика.

Другим примером неустойчивости, приводящей

Рис 9.11. Зависимость частоты колебаний стержня Эйлера от массы грузаРис 9.11. Зависимость частоты колебаний стержня Эйлера от массы грузаРис. 9.10. Две параллельные нити, разделенные стержнями, расположенными на одинаковом расстоянии, удерживаются в натянутом состоянииНижний стержень повернут на угол 6 относительно вертикальной оси. На графике показана зависимость вращающего момента G от угла 0Рис. 9.10. Две параллельные нити, разделенные стержнями, расположенными на одинаковом расстоянии, удерживаются в натянутом состоянииНижний стержень повернут на угол 6 относительно вертикальной оси. На графике показана зависимость вращающего момента G от угла 0в конце концов к ограничению непрерывности, являются изотермы Ван-дер-Ваальса для реальных газов, имеющие перегиб при температурах ниже критической. То обстоятельство, что эта

Рис 9.11. Зависимость частоты колебаний стержня Эйлера от массы груза

Рис 9.11. Зависимость частоты колебаний стержня Эйлера от массы груза

Рис. 9.10. Две параллельные нити, разделенные стержнями, расположенными на одинаковом расстоянии, удерживаются в натянутом состоянии

Нижний стержень повернут на угол 6 относительно вертикальной оси. На графике показана зависимость вращающего момента G от угла 0

Рис. 9.10. Две параллельные нити, разделенные стержнями, расположенными на одинаковом расстоянии, удерживаются в натянутом состоянии

Нижний стержень повернут на угол 6 относительно вертикальной оси. На графике показана зависимость вращающего момента G от угла 0

Модель фазового перехода первого рода может быть принята как доказательство неустойчивости, позволяет сделать вывод, что изучение неустойчивостей не должно сводиться к рассмотрению элементарных динамических систем, а должно быть расширено для включений явлений из всех разделов знаний.

Возвращаясь к рис. 9.10, можно заметить, что с ростом G график зависимости G от 0 становится горизонтальным в точке неустойчивости. При малых изменениях 0 вблизи этой точки отсутствуют изменения G, так что дифференциальный модуль кручения при малых изменениях смещения проходит через нулевое значение в критической точке. Аналогичное явление мы наблюдаем и для стержня Эйлера, для которого ц проходит через нуль при критической нагрузке. Особый характер явления вытекает, естественно, не из математического поведения ц, а из того, что интересные с точки зрения физики величины описываются частотой со0^ц1/2. Зависимость coo от нагрузки на стержне, вытекающая из (9.15), показана на

рис. 9.11. Так как вблизи критической нагрузки р пропорционально разности Мс—М, то р1/2 стремится к нулю с вертикальной касательной, что служит еще одной иллюстрацией невозможности дальнейшей экстраполяции. Линейный спад до нуля модуля упругости или иного, эквивалентного ему параметра является прямым диагностическим признаком приближения неустойчивости.

На рис. 9.12 показано, как частота одной из мод колебаний решетки титаната стронция (вызываемой неупругими соударениями

Рис. 9 12 Характеристическая частота одной из колебательных мод в титанате стронция:со2 убывает линейно до нуля при уменьшении температуры ниже точки структурного превращения при 35 К (R. A Cowley [4])Рис. 9 12 Характеристическая частота одной из колебательных мод в титанате стронция:со2 убывает линейно до нуля при уменьшении температуры ниже точки структурного превращения при 35 К (R. A Cowley [4])Рис. 9.13. Обратная магнитная восприимчивость р/х никеля вблизи его ферромагнитной точки Кюри 358°С (Р. Weiss and R. Forrer [5])Рис. 9.13. Обратная магнитная восприимчивость р/х никеля вблизи его ферромагнитной точки Кюри 358°С (Р. Weiss and R. Forrer [5])

Рис. 9 12 Характеристическая частота одной из колебательных мод в титанате стронция:

со2 убывает линейно до нуля при уменьшении температуры ниже точки структурного превращения при 35 К (R. A Cowley [4])

Рис. 9 12 Характеристическая частота одной из колебательных мод в титанате стронция:

со2 убывает линейно до нуля при уменьшении температуры ниже точки структурного превращения при 35 К (R. A Cowley [4])

Рис. 9.13. Обратная магнитная восприимчивость р/х никеля вблизи его ферромагнитной точки Кюри 358°С (Р. Weiss and R. Forrer [5])

Рис. 9.13. Обратная магнитная восприимчивость р/х никеля вблизи его ферромагнитной точки Кюри 358°С (Р. Weiss and R. Forrer [5])

нейтронов) убывает с уменьшением температуры, а на рис. 9.13 показан спад до нуля величины, обратной магнитной восприимчивости никеля. Экстраполяция до нуля в каждом случае приводит к значениям, близким к тем, которые определяются при прямых измерениях температуры фазового перехода, сопровождающегося изменениями в кристаллической симметрии и в других неструктурных особенностях. В титанате стронция меняется кристаллическая структура, титанат бария становится ферроэлектриком, никель — ферромагнетиком. Свойства в новых фазовых состояниях при температурах ниже критической нельзя предсказать путем экстраполяции свойств при более высоких температурах. Продолжение обсуждения этих приложений увело бы нас слишком далеко в сторону, но прежде, чем оставить эту тему, следует предостеречь от проведения слишком близких аналогий между фазовыми переходами и стати* стическими неустойчивостями. Вблизи критической температуры этих и многих других материалов, которым свойственна фазовая неустойчивость, линейность приближения к нулю нарушается, как

28928910 Пиппард А.

289

289

нуля в критической точке.нуля в критической точке.Рис. 9 14. Зависимости квадрата параметра порядка ф в LaA103 (крестики) и в SrT; О3 (точки) от приведенной температуры t = T]TCl где Тс—температура перехода; Ф~ (1—tyh непосредственно перед Тс (Muller and W. BerlingcrРис. 9 14. Зависимости квадрата параметра порядка ф в LaA103 (крестики) и в SrT; О3 (точки) от приведенной температуры t = T]TCl где Тс—температура перехода; Ф~ (1—tyh непосредственно перед Тс (Muller and W. Berlingcr

нуля в критической точке.

нуля в критической точке.

Рис. 9 14. Зависимости квадрата параметра порядка ф в LaA103 (крестики) и в SrT; О3 (точки) от приведенной температуры t = T]TCl где Тс—температура перехода; Ф~ (1—tyh непосредственно перед Тс (Muller and W. Berlingcr

Рис. 9 14. Зависимости квадрата параметра порядка ф в LaA103 (крестики) и в SrT; О3 (точки) от приведенной температуры t = T]TCl где Тс—температура перехода; Ф~ (1—tyh непосредственно перед Тс (Muller and W. Berlingcr

ясно показано на рис. 9.13. Параметр порядка, используемый для описания структурных изменений в твердом теле, является переменной, которая, как можно ожидать, ведет себя так же, как частота в наших простейших примерах; ее квадрат линейно спадает до из рис. 9.14 следует, что для двух различных материалов на самых последних этапах перед переходом линейно спадает куб этой величины. Неудивительно, что реальное вещество, состоящее из огромного числа молекулярных образований, не может быть в точности смоделировано динамической системой, состоящей из малого числа элементов. Изучение реальных критических точек— чрезвычайно трудная задача. Оно не может быть проведено здесь.

Заканчивая эту серию примеров, иллюстрирующих теорию устойчивости простых систем, заметим, что аналогичным образом может быть исследовано и динамическое равновесие. Например, движение свободно вращающегося твердого тела подчиняется уравнениям Эйлера [7]:

L^x^Uy—IzV^y^z. (9.16)

[yWy = Uz L^^Z^Xi(9-17)

1 z^z^Ux—^^yt(9.18)

где Ix, ly, Iz — главные моменты инерции, расположенные в порядке убывания величины; составляющие со являются мгновенными угловыми скоростями в системе координат, закрепленной с телом. Существуют стационарные решения, представляющие собой динамический аналог статического равновесия, когда со направлено вдоль любой из осей, а со = О. Однако исследование уравнений показывает, что вращение вокруг оси у (промежуточной оси инерции) является неустойчивым. Если со направлен вдоль этой оси, то co.v и <oz оказываются гораздо меньшими, чем (Оу, и из уравнения (9.17) следует, что в первом порядке этих малых компонент соу не меняется. Следовательно, уравнения (9.16) и (9.18) образуют систему того же вида, что и уравнения (9.4) с сох=^ и g)z=t]. Здесь ai и а4 обращаются в нуль, в то время как а2 = Цу—h)^y4x, а а3= Цх—1у^у]1х. Если 1у имеет значение между 1Х и /z, то a2a3 положительно, a D отрицательно. Движение соответствует седлообразной неустойчивости. С другой стороны, тот же анализ, проведенный для движения вокруг осей, для которых / имеет наибольшее и наименьшее значе-

ния, дает положительное значение для D, в то время как Т=0. Движение является колебательным, без декремента затухания. Действительно, ось вращения движется в эллиптическом конусе возле оси х или оси z так, что (Оу и (oz (или сох) колеблются синусоидально с фазовым сдвигом на 90°.

ВОЗВРАЩЕНИЕ К СЛАБОАНГАРМОНИЧЕСКОМУ ВИБРАТОРУ

Попробуем использовать наш критерий устойчивости для проверки физически интуитивно ясной картины переключения мод в колеблющейся струне. В качестве модели возьмем груз, совершающий колебания по гармоническому закону (см. § 9.1). Допустим, что частота слабо зависит от амплитуды: со (хо) = соо+Y^o2, т. е. что дело обстоит так, как если бы коэффициент упругости, усредненный за период, был равен АП(о02 (1+2ух02/соо) - Если приложенная сила F, изменяющаяся с частотой (01, в некоторый момент отстает по фазе от смещения на ф, то синфазная компонента Всозф приведет к такому уменьшению возвращающей силы, что мгновенная скорсть колебаний становится равной (оо+у-^о2—F cos ф/(2т(ооХо). Сдвинутая по фазе на л/2 компонента В5Шф увеличивает слагаемое, описывающее затухание. Его амплитуда принимается равной Л(ооХо- Поэтому уравнения, определяющие ф и хо, принимают вид

Ф = 0)0 + ^x2 — F cos ^l^m^Xo — ^^ — k-^x^ — B coscp/x0; (9.19)

х0= — V2 ^-^о 11 + ^ sin V/t^o^l/^^ — Ax0 — В sin у, (9.20)

где A = (oi—(Оо, А = х[^1т и В = хкР]^т^.,

Установившиеся колебания будут получены, если положить ф и х равными нулю. Для этого случая введем обозначения ф = Ф и х0 = Х. Тогда

sin Ф = — АХ]В и cos Ф = ( — ДА" 4-уХ"3)/В.(9.21)

Возведем в квадрат и сложим эти уравнения. Тогда получим кубическое уравнение относительно X2, которое позволяет получить три различных значения амплитуды (как и следует из рис. 9.3):

у2АГб - 2Д уХ^ 4- (Л2 + Д2) X2 - В2=0.(9.22)

Исследуем устойчивость состояния (Ф, X). Для этого положим Ф = Ф+£ и х0 = Х+ц. Тогда дифференцирование соотношений (9.19) и (9.20) приводит линеаризованные уравнения к виду

^ = 27^13-1-51] cos Ф/Х24~В£ sin Ф/А^а^ + о^1!,т]= — Лц — 5$ cos Ф = а3£ + а4т1.

Коэффициенты а выражены здесь только через X (с учетом соотношений (9.21)):

аг= — Л; а2=^Х — ^]Х^ а3= ДА" — уА"3, а4= —Л.

10*291

След матрицы r=ai+«4=—2Л всегда отрицателен, что может приводить только к устойчивости. Однако определитель

D=aia4 - a2a3= 3 у2Х4 - 4Д уХ2 + Л2 + А2

может оказаться и отрицательным. Критическим значением Д, при котором данное решение становится неустойчивым, является то, при котором D становится равным нулю. Дифференцированием уравнения (9.22) легко убедиться, что это происходит при том значении А, при котором касательная к соответствующей кривой Х(Д) становится вертикальной. Это, разумеется, тот же самый критерий, который мы считали достоверным, когда обсуждали рис. 9.3.

Неустойчивость ангармонического вибратора под действием слишком большой силы накладывает ограничения на пренебрежение ангармоничностью. До тех пор пока наклон резонансной кривой не превышает наклона линии, представляющей изменение собственной частоты при изменении амплитуды (пунктирная линия на рис. 9.3), отклик определен однозначно и гармоническая аппроксимация может считаться оправданной. Потери в системе, обусловленные расширением отклика, увеличивают возможности применения гармонического приближения. Однако при заданной амплитуде резонансная кривая может быть сделана сколь угодно крутой вследствие уменьшения потерь. Поэтому в принципе всегда имеется возможность достижения режима неустойчивости, какой бы малой ни была амплитуда. Из этого следует, что идеальный вибратор без потерь может дать однозначный отклик на все частоты только в том случае, когда постоянная силы оказывается действительно строго постоянной, поскольку самое малое отступление приводит к неустойчивости. Гармонический вибратор представляет собой идеализацию, хотя на практике, как уже отмечалось, наличие потерь в механизмах приводит к ограничениям его применения.

На этой стадии нашего изложения больше нет необходимости в приведении примеров использования критерия устойчивости для систем, поведение которых описывается уравнениями (9.4). О них еще пойдет речь в гл. 12 (см. § 12.6; 12.7; 12.9).

УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ

С БОЛЕЕ ЧЕМ ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Для описания состояний систем более сложных, чем только что рассмотренные, может потребоваться более двух переменных. Однако вблизи равновесного положения линеаризованные уравнения движения могут оказаться похожими на уравнения (9.4)

£1 = ац^ + а12£2 + • • •,

или в общем виде для Гй координаты

= ^аиУ

Если подставить подобранное решение ^г = Ъо^р^ то эти уравнения сведутся к линейным алгебраическим уравнениям

Hl

Число этих уравнений равно числу независимых переменных, и, поскольку в них отсутствуют постоянные слагаемые, система совместна только тогда, когда определитель, составленный из коэффициентов, равен нулю. Таким образом, возможными значениями для р являются те, которые удовлетворяют уравнению

«11“Р«12•••

«21«22 —Р * • •

Это уравнение после перемножения соответствующих величин должно преобразовываться в уравнение, порядок которого относительно р совпадает с числом независимых переменных п. Система может иметь п независимых мод, которые являются колебательными, если р комплексно. Только в случае, когда действительная часть всех р отрицательна или равна нулю, система может избежать неустойчивости, так как при "положительных значениях действительной части р любая мода представляет собой нарастающее разрушение. Критериями устойчивости являются такие правила, которые по совокупности коэффициентов «zj позволяют определить отсутствие нарастающих мод. Общее решение этой алгебраической задачи было выполнено Руфом, а в модифицированной форме — Гурвицем [8]. Здесь достаточно указать на суть общей проблемы и на существование решения, поэтому мы не будем рассматривать какие- либо иные примеры, в которых присутствуют более чем две переменные. Подробные сведения приводятся в доступных учебниках.

ИСПЫТАНИЯ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫМИ ВЫБОРКАМИ [СТРОБОСКОПИЧЕСКИЙ МЕТОД) [9]

Вращающееся твердое тело, как и простой вибратор, представляет собой систему, за координатами которой можно вести непрерывное наблюдение и поведение которой можно легко описать с помощью траектории на подходящей фазовой плоскости. Правда, в случае более сложного поведения многие подробности учесть уже будет трудно. Проследить, как развиваются события — к устойчивым состояниям или от них,— можно, регистрируя координаты через регулярные промежутки времени. Это особенно эффективно при исследовании устойчивости динамической системы, движение которой является периодическим или хотя бы приблизительно периодическим, а также при исследовании систем, которые приводятся в дви-

жение периодической силой. В этих случаях можно проводить замеры в одни и те же для каждого периода моменты времени и не беспокоиться о том, что происходит между моментами регистрации. Именно так мы и поступали, предполагая, что субгармонический генератор в устройстве, показанном на рис. 9.4, не может быть устойчивым в одной из своих конфигураций. Аналогично, если поведение осциллятора описывается замкнутой траекторией на фазовой плоскости, то устойчивость его периодического движения можно исследовать, смещая его со стационарного цикла и отмечая каждое последующее прохождение линии, пересекающей траекторию. В этом случае состояние определяется одним-единственным параметром, скажем у, и устойчивость зависит от связи между уп и z/n+i- Мы покажем, что если сконцентрировать внимание исключительно на дискретных замерах, то в обстоятельном теоретическом анализе нельзя избежать рассмотрения промежуточных состояний системы потому, что только следуя по траектории непрерывно от уи к yn+i можно установить, как они связаны. Представление результатов подобного анализа в достаточно удобном виде позволяет перечислить возможные типы поведения. Специфический пример очень сложной траектории, которую можно свести к простой с помощью дискретных замеров, приведен на рис. 10.6.

Проиллюстрируем сказанное выше на примере системы, описываемой одним параметром, эволюция которой полностью определена зависимостью любого значения уплл от предыдущего значения уп, а именно зависимостью yn_^x = F ^уп). Мы не станем ограничивать обсуждение частным типом упомянутого приложения', для которого зависимость F является монотонной из-за условия отсутствия пересечений траекторий на фазовой плоскости. Гораздо большее разнообразие возможно в биологическом мире, например ежегодная популяция насекомых, которые рождаются, вырастают и умирают в течение единственного сезона. Популяция у^х в (п+1)-м году, таким образом, полностью является продолжением предыдущей популяции уП) и если (очень сомнительное предположение) можно пренебречь случайными нарушениями (например, вызываемыми погодой), то можно надеяться, что yn+x = F(Уп). Для малых уп можно ожидать, что Уп-н^Уп, потому что едва ли особи смогут выжить, предоставив нам возможность рассмотреть их экологию. Но для более плотных популяций уп может достигать насыщения ^Уп-н~Уп). Возможна и альтернатива: эмидимические заболевания или другие случайности роста могут вызвать опустошения, в результате чего F будет убывать при больших значениях уп.

На рис. 9.15 представлены различные интересные случаи. Равновесное поведение возможно только при уп-н = уп, т. е. на пересечении линии, описывающей F, с прямой, тангенс угла наклона которой равен единице. Пронумерованные точки соответствуют последовательным значениям у в окрестности пересечения. Если тангенс угла наклона касательной к линии F на пересечении больше единицы, то точка неустойчива и расходимость от линии монотонна. Если тангенс угла наклона положителен, но меньше единицы, то точка

устойчива с монотонной сходимостью. Это одномерные аналоги узловой устойчивости и узловой неустойчивости. Если тангенс угла наклона меньше нуля, но больше —1, то это колебательная (аналог фокальной) устойчивость. При значениях, меньших —1, реализуется колебательная неустойчивость. Амплитуда колебаний растет до тех пор, пока не окажутся достигнутыми такие две точки на линии F, которые симметричны относительно прямой, тангенс угла накло-

Рис. 9.15. Возможные зависимости уп+\ от уп (сплошные кривые)

Устойчивое значение возможно на пересечении этих кривых с линией у n + Y=yn, показанной пунктиром. Последовательные значения /, 2, 3, приведенные здесь, показывают, что точки А и D являются неустойчивыми, тогда как В и С устойчивы. Крестики на кривой, проходящей через точку D, являются зеркальными отражениями относительно линии, проходящей под углом 45°. Они соответствуют возможному (не обязательно устойчивому) альтернативному стационарному решению

на которой равен единице. Тогда решение может стать стационарным с противоположными значениями у, соответствующими каждой из этих точек. Однако нет гарантии, что это стационарное решение само по себе устойчиво. Если отрицательный тангенс угла наклона касательной на пересечении слишком велик, то устойчивым может оказаться поведение системы из 4, 8 точек или более. Любопытно то, что в этом случае периодического решения может не оказаться и у будет пробегать наугад через все точки на ограниченных отрезках кривой. Поскольку у нас нет возможности разобрать случаи, в которых тангенс угла наклона на пересечении отрицателен, мы не станем дальше углубляться в рассмотрение этого патологического поведения, которое возбудило некоторый интерес среди математиков [10].

Большой интерес представляет исследование систем, описываемых двумя параметрами. Поведение устройства, показанного на рис. 9.4, может определяться скоростью стержня в момент контакта с диффузором и фазой колебаний этого диффузора в этот же момент времени. Если эти две величины заданы, то определение момента следующего контакта является динамической задачей. Как

и прежде, в обычных обозначениях мы будем описывать малое отклонение от стационарного динамического поведения двумя параметрами g и т). В стационарном случае при каждом измерении они оказываются равными нулю. Мы ожидаем, что поведение системы в этом случае близко к линейному:

^+1 = «1^+«2Пп, Пл+^Лз^+а^-

(9.23)(9.23)С помощью таких же преобразований, что и раньше (см. § 9.3), эти соотношения можно записать, применяя только два коэффициента:

(9.23)

(9.23)

Xnti = bxXn^b2Vn, Yn+l=±b2Xn + bxYn.(9.24)

Несмотря на сходство с равенствами а / .(9.7) при Pi = p4 и р3= + Р2, критерии

/у^оцая t устойчивости, однако, оказываются неустойчивость разными. Мы вновь выделим два слу

чая, соответствующие различным знакам во втором из уравнений (9.24) (отметим, что знак 62 не имеет значения, оба знака могут возникнуть в процессе выполнения преобразований).

^ Узловая ' ^неустойчивость^ Узловая ' ^неустойчивостьСлучай а — отрицательный знак,. Положим b\ = s cos 0, b2 = s sin 0, где s2 = bi2-V-b22 = D. Тогда уравнения (9.24) принимают вид t

^ Узловая ' ^неустойчивость

^ Узловая ' ^неустойчивость

Xn+x=s(Xn cos 6 + К„ sin 9);

TnH=s^n cos 9 — Xn sin 9).

Рис. 9.16. Области, в которых решения уравнений (9.23) имеют различный характер. Тре-Рис. 9.16. Области, в которых решения уравнений (9.23) имеют различный характер. Тре-Это означает, что (Хп+Ь Уп-ц) получены из (Хп, Уп) поворотом вектора (Хп,Это означает, что (Хп+Ь Уп-ц) получены из (Хп, Уп) поворотом вектора (Хп,IV1 реилпчпош ларакюр. i pcX

Рис. 9.16. Области, в которых решения уравнений (9.23) имеют различный характер. Тре-

Рис. 9.16. Области, в которых решения уравнений (9.23) имеют различный характер. Тре-

Это означает, что (Хп+Ь Уп-ц) получены из (Хп, Уп) поворотом вектора (Хп,

Это означает, что (Хп+Ь Уп-ц) получены из (Хп, Уп) поворотом вектора (Хп,

угольник определяет границыУп) на угол 0 и умножением его дли-

области устойчивых решений ны на s. Поэтому последующие точки

лежат на равных угловых приращени

ях вдоль спирали с постоянным шагом, которая скручивается, если 5< 1, и раскручивается, если s> 1. Это дискретные аналоги фокальной устойчивости и фокальной неустойчивости.

Случай б — положительный знак. Как и прежде, повернем оси на л/4, чтобы получить соотношения, аналогичные уравнениям (9.12):

ия+1=(61 —62)«„, ■y„+1 = (61 + Z>2)'U„.

Каждая координата развивается по геометрической прогрессии, и мы различаем три возможных режима поведения:

узловая устойчивость — схождение, когда |&i—62| и P1 + &2I меньше единицы;

узловая неустойчивость — расхождение вдоль таких же траекторий, когда |6i—62| и l^i+^l больше единицы;

седлообразная неустойчивость, когда одна из величин, |/ь—62| или |&i + b2L больше, а другая — меньше единицы.

Поскольку определитель D и след Т для я-матрицы не меняются при использованных преобразованиях координат, описанные выше критерии удобно выразить через эти величины:

В = ахал — а2аъ = Ь\ + 6|,(9,25)

T=ax-Ya^=2bv(9,26)

Поэтому &22=±(^12—В^ = ±^ф—4Z)). Верхний знак относится к случаю б. Все точки внутри параболы 7'2 = 4£) относятся к случаю а, а вне ее — к случаю б. На прямой 7=1+£), являющейся внешней касательной к параболе, 622=(1—&i)2, что следует из соотношений (9.25) и (9.26). Поскольку знак Ь2 не играет роли, мы выбираем положительный корень, так что 614-62=1 на этой линии. Аналогично, на прямой Т = —(14-0)—Ьх—Ь2 =— 1. Теперь легко распределить различные области на плоскости DT в соответствии с устойчивостью поведения, как это сделано на рис. 9.16. Критерий устойчивости достаточно прост: точка ф, 7) должна лежать в треугольнике с вершинами в точках (—1,0) и (1, ±2).

Теперь мы можем обсудить устойчивость субгармоники, генерируемой подскакивающим стержнем.

ВОЗВРАЩЕНИЕ К СУБГАРМОНИЧЕСКОМУ ГЕНЕРАТОРУ

Дадим количественное описание модели, представленной на рис. 9.4. Для этого предположим, что пружина оказывает на стержень постоянное давление, благодаря чему он приобретает постоянное ускорение f, когда отскакивает от диффузора. Обозначим е коэффициент восстановления при ударе. Если стержень приближается к диффузору со скоростью V, направленной вниз, когда диффузор движется вверх со скоростью и, то относительная скорость после столкновения равна е(У + и). Таким образом, стержень должен двигаться вверх со скоростью eV+U+s)^- Так как в периодическом решении эта скорость должна быть равна V, то

^1/ = (1-е)/(1+г).(9.27)

Если вертикальное положение диффузора г описывается выражением ^0 sin со/ и столкновение происходит в момент времени /0, то

ч) = сог0 cos о)/о.(9.28)

Более того, для /г-й субгармоники интервал времени между столкновениями 2V/f должен быть равен 2лл/(о. Следовательно, фаза в момент столкновения определяется уравнением

cos ш/0=.(9.29)

(022*01 4- е

Это уравнение имеет два альтернативных решения (см. рис. 9.5). И хотя мы уже знаем, что одно из них неустойчиво, подвергнем оба решения испытанию на устойчивость.

Пусть двумя произвольными параметрами, характеризующими периодическое решение, являются У и t^ так что слабовозмущенное решение соответствует стержню, приближающемуся к диффузору со скоростью У + 6У в момент времени /0 + бЛ При первом из рассматриваемых столкновений, когда эти параметры равны 6У1 и 6^, скорость диффузора не равна и, как это следует из (9.28), а составляет у + биь где

8^ = —ш2^ sin w/g-S/p

Следовательно, стержень отскакивает со скоростью У+бУ/, где

81/' — e8V\ — (1 -j- е) со2г0 sin ю/0 • 8/р(9.30)

Если бы диффузор был на той же самой высоте, что и возвращающийся стержень, в момент времени /о + 2л/г/со + б/2, то бУг было бы таким же, как и б У/. Но диффузор поднялся на большую высоту 6г = со2оcos(о/с-(б^г—б/i) и скорость в момент встречи поэтому уменьшилась на fftz/V. Следовательно,

81/2=£&У1 — (1 + £) ^z0 sin ю/0- 8^ — f^z^ cos (о/д^о/з — б^)/!/. (9.31)

Далее, после столкновения стержень подскакивает со скоростью У+бУ/, определяемой соотношением (9.30), и следующее столкновение произойдет на время 2л/г/со + б/2—б/i позднее. При этом направленная вниз скорость стержня равна У+6У2, поскольку в течение всего промежутка между столкновениями он двигался равноускоренно. Следовательно, 2У4-6У1/+6У2=/(2лп/а)+б/2—б/i), откуда,

8У; = /(8/2 —8^) —81/2.

Исключив 6У/ из (9.30), получим

е8У । -|- 8У2 3=3 У^/2 ~Ц( 1 "4” £) ^2^о sin ^^о — /\ fj^i* (9.32)

Перегруппировав (9.31) и (9.32) с помощью соотношений (9.27) и (9.28), получим

(Z^2) = ^l (/^1) ”h#2$ Ур

81/ 2=^з (,/*8/1) —J— ^48!/ р

где*

ах = 1 — (1 -|-е)2В; а2=е(14-е); а3= —£(1 4-е) 5; я4=е2. (9.33)

Здесь В обозначено отношение со2го sin w/o/f. Задача теперь сформулируется так же, как в (9.23). Заменив fbt на g и б У на т], получим, что все коэффициенты а безразмерны. Из (9.29) следует, что

B*=^zyp—(\-е)2л2^2/(14-8)2.(9.34)

Положительные и отрицательные значения В определяют оба возможных решения, которые показаны на рис. 9.5.

При изменении амплитуды колебаний диффузора В меняется, тогда как е остается постоянным. Все а являются функциями одного параметра, так что точка на плоскости DT, определяющая поведение, прочерчивает линию, в данном случае — вертикальную прямую D = s\ как это следует из соотношений (9.33). Так как Т = = 1+е2—(1 + е)$В и В может принимать любое значение, мы приходим к следующим выводам:

из уравнения (9.34) вытекает, что для того, чтобы n-я субгармоника имела какой-нибудь шанс оказаться возбужденной, должно выполняться условие со220//^(1—е)л/г/(1+е);

при критическом значении г0 имеем В = 0, а Т=1+е2=1+2). Система находится в безразличном равновесии на верхней границе между узловой устойчивостью и седлообразной неустойчивостью (рис. 9.16).

С ростом 20 в зависимости от знака В значения Т либо возрастают при отрицательных В и возникает неустойчивость (пунктирная кривая на рис. 9.5), либо же при положительных В и постоянном D значения Т убывают. Это приводит сначала к узловой, а затем к фокальной устойчивости. Дальнейшее увеличение В приводит к кратковременной узловой устойчивости, уступающей место седлообразной неустойчивости. Верхний предел В, который может обеспечить устойчивость, определяется неравенством

0<5<2(1+е2)/(1+г)2.

Другой вид этого неравенства может быть получен, если уравнение (9.34) записать в переменных, характеризующих диапазон амплитуд колебаний диффузора, при которых можно возбудить n-ю субгармонику:

у—Л/г </„//<-—лл 1+Г~ •(9-35)

1 4- е14-е L \ I — е2 ял / J

Здесь fo = <o22o — максимальное ускорение диффузора.

Диапазоны для различных субгармоник в принципе могут перекрываться. Например, если 8=0,8, то основное возбуждение (п=1) может произойти при значениях \^W лежащих в пределах 0,35— 1,07; для второй гармоники эти пределы составляют 0,2—1,23; для третьей —1,05—1,45; для четвертой —1,40—1,72; для пятой 1,75—2,01. Первые четыре диапазона перекрываются, но с остальными этого не происходит. При несколько меньших значениях 8 пе* рекрытия нет. В то же время при е, близком к единице, несколько субгармоник могут оказаться устойчивыми при одном и том же значении 20. Следует также заметить, что устойчивое подскакивающее движение возможно даже при fo<f, а если бы стержень был предоставлен самому себе, то он стал бы двигаться вместе с диффузором, не отрываясь от него. Поэтому различные моды отклика можно возбуждать, задавая разные начальные условия.

Однако сразу же не может не возникнуть несколько вопросов (что указывает на поверхностный характер проведенного нами ана-

лиза этого элементарного примера). Во-первых, если одновременно

может возникнуть несколько гармоник, то от чего же зависит, какая из них будет возбуждена в действительности? Во-вторых, поскольку 20 изменялось так, чтобы субгармоника переставала быть устойчивой, то как отреагирует на это система, особенно если нет другой устойчивой субгармоники, на которую могло бы произойти переключение? И наконец, могут ли существовать другие формы отклика, пусть частично гармонические? Могут ли возникнуть интегральные субгармоники с более

Рис. 9.17. Многократные столкновения в эксперименте, изображенном на рис. 9 4Рис. 9.17. Многократные столкновения в эксперименте, изображенном на рис. 9 4чем одним соударением в течение одного цикла движения диффузора?

Рис. 9.17. Многократные столкновения в эксперименте, изображенном на рис. 9 4

Рис. 9.17. Многократные столкновения в эксперименте, изображенном на рис. 9 4

Отвечая сначала на последний вопрос, заметим, что, несомненно, возможны другие модели поведения системы. Исследования с помощью стробоскопа — устройства, изображенного на рис. 9.4, подтверждают это. Кроме того, они показывают,

пая выше модель процессовпая выше модель процессовчто столкновения, вызывающие подскок стержня, оказывают существенное воздействие на характер движения диффузора. Поэтому приведение слишком близка к действительно

пая выше модель процессов

пая выше модель процессов

сти. Более того, за один период движения диффузора может произойти два соударения, а при малых г возможны даже многократные соударения. В схематичной форме это показано на рис. 9.17. Стержень (линия со стрелками) подскакивает так, что поднимающийся диффузор (синусоида) вновь догоняет его. Однако, когда ускорение диффузора превышает Д стержень окончательно отрывается и в пределах данного периода больше не сталкивается с диффузором. Огибающая волны, полученная с помощью микрофона, расположенного вблизи громкоговорителя, подтверждает сложный характер поведения и наличие большого числа всплесков; разрывы непрерывности указывают на многократность соударений.

Несмотря на это, тщательный подбор амплитуды позволяет длительное время выдерживать заданный режим поведения системы. Несомненно, существует возможность устойчивого фиксирования поведения стержня на низшей субгармонике громкоговорителя. 1В то же время очевидно, что большая часть таких связанных режимов весьма сложна и что число их велико. Необходимы обширный поиск и исследования, чтобы убедиться в возможности реализации всех режимов. Но результаты этого поиска все равно оказались бы неполными, поскольку почти наверняка существуют

апериодические режимы даже при тех значениях 20, при которых возможно устойчивое периодическое движение. Теперь понятно, что процедура испытания на устойчивость приносит ограниченную пользу, если нужна полная картина пройсходящего. По-видимому, для прослеживания траектории даже применение компьютера не приведет к быстрому успеху. Причиной этого является то, что ис-

пытания на устойчивость — лишь последняя и притом простейшая стадия критической проверки всего, что было получено ценой тяжелой работы. Как это часто бывает, рассмотренная частная система сама по себе не представляет большого интереса и не стимулирует проведения детального исследования. Достаточным будет, чтобы читатель согласился с таким утверждением: если выйти за рамки гармонических процессов, то даже наиболее простые случаи могут оказаться чрезвычайно сложными.

ЦИКЛОТРОН И ОДИН из типов ЦИКЛОТРОННОГО РЕЗОНАНСА

Характерной чертой только что обсужденной задачи является независимость прилагаемой силы от координаты осциллирующей системы, что имело место во всех до сих пор рассматривавшихся случаях вынужденных механических колебаний. Уравнение движения имеет вид

Здесь вместо простой функции F^ в правой части написана функция F^ /). Такой замены достаточно для того, чтобы создать почти неограниченные возможности усложнения поведения. Если возвращающая сила f(£) пропорциональна g и свободное движение является гармоническим, то возможные типы решений строго ограничены, так как система не способна подгонять свою частоту к частоте возбуждения из-за изменения амплитуды, а устойчивое возбуждение обычно требует точной синхронизации частоты с собственной частотой.

Примером такой системы является циклотрон. Сила действует только в то время, когда частица пробегает короткие участки своей орбиты. Частица пересекает зазор между двумя дуантами в моменты, когда фаза осциллирующего поля такова, что происходит ускорение частицы. Ускорение происходит и при каждом последую-' щем пересечении частицей зазора: дважды за один период обращения, если электромагнитная сила изменяется с циклотронной частотой. В этом случае локализация ускоряющей силы диктуется техническими удобствами. Ускорение происходит, если электрическое поле равномерно распределено по орбите, как в случае полупроводникового циклотронного резонанса. Существенная разница возникает в случае, когда по каким-нибудь причинам желательно создать возбуждение на более высоких частотах. Дело в том, что в случае дуантного устройства нечетная гармоника циклотронной частоты тоже ускоряла бы частицы. Неважно, что за то время, пока частицы находятся внутри дуантов изолированно от электрических полей, происходит несколько периодов изменения электродвижущей силы, точка остается той же, что и на рис. 9.5; если синусоида подвергается замерам в дискретных областях, равноудаленных друг от друга (в данном случае на л/о)с), то она часто остается неопределенной до величины, кратной 2(ос, которая прибавляется или вычитается.

Рис. 9 18. Движение электронов при циклотронном резонансе [11]. Заштрихованная площадь изображает скин-слой, в котором заключено высокочастотное электрическое полеРис. 9 18. Движение электронов при циклотронном резонансе [11]. Заштрихованная площадь изображает скин-слой, в котором заключено высокочастотное электрическое полеХотя возбуждение на гармонике с циклотронной частотой не типично для ускорителя частиц, нечто похожее имеет место в устройстве, используемом для изучения циклотронного резонанса электронов проводимости в металлах. Впервые оно было предложено Азбелем и Канером [11]. В отличие от чистых полупроводников скин-эффект в металлах препятствует проникновению высокочастотного поля глубоко внутрь. В чистом металле при низких темпе- кратурах длина свободного пробега электронов между столкновениями велика и соответственно проводимость высока. Поле микроволновой частоты (например, 1010 Гц) проникает в металл немногим более чем на 10~7 м, что гораздо меньше длины свободного пробега, а также меньше радиуса типичной циклотронной орбиты электрона. Когда прикладывается магнитное поле, параллельное поверхности, некоторые электроны начинают двигаться по спиральным орбитам, проходящим вблизи поверхности (рис. 9.18), и испытывают действие микроволнового поля лишь на малой части орбиты. Если последовательные вхождения в поверхностный слой происходят в одной и той же фазе микроволнового поля, то взаимодействие электронов с полем усиливается; если же каждый выход электронов из слоя происходит в про

Рис. 9 18. Движение электронов при циклотронном резонансе [11]. Заштрихованная площадь изображает скин-слой, в котором заключено высокочастотное электрическое поле

Рис. 9 18. Движение электронов при циклотронном резонансе [11]. Заштрихованная площадь изображает скин-слой, в котором заключено высокочастотное электрическое поле

тивофазе, взаимодействие ослабляется. С изменением магнитного поля (и, следовательно, с изменением (ос) эффективная проводимость металлов меняется. Это определяет флуктуации поверхностного сопротивления.

Количественную оценку можно выполнить, если считать, что каждый вход в поверхностный слой приводит к возникновению импульса PeVtot, передаваемого полент электрону. Мы примем за меру отклик электрона на единственный такой импульс. Если бы можно было пренебречь резонансными эффектами, то сумма таких индивидуальных откликов и была бы поверхностным током. В действительности такие же импульсы и с той же разностью фаз 0 между последовательными импульсами каждый электрон получал и в прошлом. Поэтому усредненный отклик таков, как если бы он был откликом на один импульс P'e^S где P'e^^Pe^t-V-aPe^1-9^ + а2Ре№1~2()} +. .. и 0 = 2л(1—со/сое), а— вероятность того, что электрон пролетит по циклотронной орбите, не испытав соударений. Если т — среднее время между двумя столкновениями, то а = е“’2л/(<ОсТ) Выполняя дифференцирование, получим, что

Р 7Р=(1-ае-1в)-1.(9.36)

Подобный резонансный знаменатель уже встречался при обсуждении резонаторной линии передачи (см. гл. 7). Когда длина свободного пробега велика (т^>2л/<ос) настолько, что а очень близко к единице, Р' при каждом прохождении 0 через ноль имеет острые 302

пики, следующие через равномерные интервалы 1/сос, в соответствии с изменениями магнитного поля. Можно считать, что электроны откликаются интегральными субгармоническими сериями на прилагаемое осциллирующее поле.

На рис. 9.19 представлена экспериментальная кривая, полученная при наблюдении такого резонанса. По поводу характера этой кривой необходимо сделать ряд замечаний. В реальных металлах

Рис. 9.19. Циклотронный резонанс в очень чистом* монокристалле вольфрама на частоте 35 ГГц (W. М. Walsh [12])

различные группы электронов имеют разные циклотронные частоты (точнее, имеется непрерывный спектр <ос) и колебания их проводимостей большей частью гасят друг друга. Только доминирующие группы обнаруживают себя. Это приводит к появлению сравнительно малых колебаний на фоне устойчивой частоты. Для лучшего выявления этого эффекта обычно регистрируют производную. Например, поверхностное сопротивление (действительная часть поверхностного импеданса Z, который для микроволновых полей на поверхности металла имеет значение ^Е^В^ меняется при изменении В, вызывая изменение Q и соответственно отклик резонатора, в котором роль одной из стенок играет исследуемый образец. Малое периодическое изменение В вызывает на выходе колебания с амплитудой, пропорциональной производной выходного сигнала по В. Этот сигнал регистрируют, усиливают и принимают за меру d7?/dB производной поверхностного сопротивления испытуемого образца. С помощью такой процедуры удается отфильтровать медленные изменения фона, что упрощает регистрацию оставшихся колебаний.

Очевидно, что приведенная на рис. 9.19 кривая больше напоминает последовательность низших Q-резонансов (см. рис. 7.24), чем поведение дифференциала функции. Чтобы понять, почему это так, следует признать, что в условиях эксперимента Z пропорционально (—со2//су) V», так как длина свободного пробега электронов I очень велика. Здесь а — проводимость. Это аномальный скин-эффект [13].

Если изменения о, выраженные в (9.36), накладываются на обширный устойчивый фон, то Z определяется так:

Z ~ [ -1 - а/(1 - ae-j 8)]~"/. ~ (- 1 )-*/• [ 1 +1/3 аК 1 - ae-i«)],

где а, являющееся мерой амплитуды колебаний а, много меньше единицы. По мере изменения 9 значения а)(Д—ae-i6) пробегают полную окружность, хотя и не равномерно (см. рис. 7.23, который

Рис. 9 20. Циклотронный резонанс

При изменении В точка, представляющая Z, описывает окружность (на рисунке она сильно увеличена). При а=0,9 метки соответствуют последовательным значениям равных инкрементов АВ, на один полный оборот приходится ПО инкрементов, и большая часть траектории описывается малой частью цикла. На оси абсцисс ка> отложены значения действительной части Z, б, в — изменения R и dRjdB в зависимости от АВ

иллюстрирует аналогичную задачу). На рис. 9.20 изображена типичная траектория Z с отмеченными через равные интервалы точками 0. Именно положение центра окружности на прямой, проходящей под углом 60°, а не на оси (что вызвано присутствием сомножителя (—1),/з в Z), определяет характерную форму изменения R и d/?/d0, которая аналогична изменению d/?/dB. И все же теоретическая кривая повторяет экспериментальную только приблизительно. Расхождения объясняются не столь важными тонкостями эксперимента или не полностью учтенными в нашей грубой модели особенностями поведения электронов в реальных металлах. Дальнейшие уточнения, сколь бы значительными они ни были, мало что добавят в нашей оценке явления резонанса.

УСЛОВИЯ ГЕНЕРАЦИИ СУБГАРМОНИК

Когда на диссипативную систему действует периодическая сила, поддержание периодического движения зависит от устойчивого притока энергии, которая компенсирует потери. Синусоидально изменяющаяся сила может совершать работу только в том случае,

если объект, на который она действует, имеет в своем движении Фурье-компоненту той же частоты, что и сила. В рассмотренных выше примерах — стержня, подбрасываемого колеблющимся диффузором, и циклотронного резонанса — прилагаемая сила была

периодической и ее частота определялась движением объекта, к ко

торому она была приложена. Именно поэтому в результирующем

движении присутствовала компонента с частотой, равной частоте

приложенной силы, даже несмотря на то (например, при цикло

тронном резонансе), что и вариации электрического поля, и орбитальное движение были гармоническими на различных частотах. Однако когда на движущееся тело все

Рис. 9.21. Мяч катается между двумя стенками, расположенными на концах плоскости, которая периодически наклоняетсяРис. 9.21. Мяч катается между двумя стенками, расположенными на концах плоскости, которая периодически наклоняетсявремя действует гармоническая сила, оно может откликаться на субгармонической частоте, так как в его собственном движении имеется Фурье-компонента, синхронизированная с приложенной силой. Слабоангармонические вибраторы (маятник, колеблющаяся струна) с малым содержанием нечетных гармоник на основной частоте могут, в принципе, совершать колебания с частотой этой основной моды, если приложенная сила имеет 3-, 5-

Рис. 9.21. Мяч катается между двумя стенками, расположенными на концах плоскости, которая периодически наклоняется

Рис. 9.21. Мяч катается между двумя стенками, расположенными на концах плоскости, которая периодически наклоняется

кратную частоту и т. д. Но это слабый

эффект, и сохранение энергии не является гарантией устойчивости. Подобную систему трудно анализировать, но суть процесса можно

проиллюстрировать с помощью весьма надуманного примера, в котором эффект ярко выражен, а анализ достаточно прост.

Рассмотрим мяч, катающийся без трения по горизонтальной плоскости. На концах плоскости расположены вертикальные стенки. После удара об одну из стенок мяч отскакивает и движется в сторону другой. Ударившись о нее, он возвращается к первой и т. д. Периодически наклоняя плоскость, как показано на рис. 9.21, можно добиться того, что на мяч будет действовать периодическая сила. Можно ли заставить мяч двигаться с частотой вынуждающей силы или с частотой ее субгармоники? Энергетические соображения определенно допускают такую возможность, какой бы ни была частота вынуждающей силы. Мяч имеет скорость V, и следует предположить, что ее период является субгармоникой частоты вынуждающей силы. Если удар мяча является упругим, то изменение его

скорости со временем — это прямоугольная волна со значениями ±У, содержащая в своем разложении Фурье все нечетные гармоники. Поэтому, в принципе, когда движение синхронизовано с одной из субгармоник вынуждающей силы, может совершаться работа. Даже если удары не являются упругими, существует возможность поддержания периодического отклика.

Выясним некоторые возможные случаи периодических откликов, а затем подвергнем их испытанию на устойчивость. Пусть мяч, имеющий массу т, находится в области —Х<х<Х и все время подвергается действию силы FcosgV. Тогда, за исключением мо-

ментов соударений со стенками, уравнение движения мяча имеет вид„

mx=F cos tot с общим решением х= —F toStot]^mto^-\-4)t-\-x^ где v и %о постоянны в течение любого интервала движения между соударениями. В безразмерной форме

z= — cos 0+у9 + ^,(9.37)

где z=m^xlF\ 9=wt; у=тш!Р\ с=т^х^Р\ —Z<z<Z,Z=

= т^х1Р.

Анализ очень упростится, если рассматривать решения, соответствующие нечетным субгармоникам. По всей вероятности, существует множество и других устойчивых решений, но их мы отыскивать не станем. Выберем те частные решения, для которых один цикл движения без столкновений со стенками происходит за время пк1^, т. е. за V2n периодов. Поскольку п нечетно, мяч достигает точки Z, когда фаза в точности противоположна той, при которой он покинул точку —Z, хотя за время этого движения могло пройти один или несколько полных периодов колебаний плоскости. Если коэффициент восстановления при ударе таков, что в точке

Z мяч отскакивает с такой же скоростью, которую он имел, покидая точку —Z, то мяч может совершить в противоположном направлении такое же движение, как и при перемещении от —Z до Z. Это двойное движение может повторяться неопределенно долго, если оно устойчиво против малых возмущений.

Пусть фаза колебаний равна 0О в момент покидания точки —Z и 0о + пл в момент прибытия в точку Z. Тогда из соотношения (9.37) следует, что

Z = cos 90 + хк ^у.(9.38)

Безразмерная скорость d^/d0 в момент покидания точки —Z равна sin0o + y, а в момент прихода в точку Z она составляет —sin 0о + у. Если первая в е раз больше последней, то

У=sin 60.(9.39)

Уравнения (9.38) и (9.39) определяют значения величин 0О и у, необходимые для возбуждения синхронного движения на n-й субгармонике. Физический смысл становится ясным'из рис. 9.22. Когда

9 = пл, dz/d9 = z/ и удар является абсолютно упругим (е=1), то точки А и В становятся конечными точками пробега для третьей субгармоники при таком подобранном значении у, для которого расстояние между Л и В по вертикали оказывается равным 2Z. Аналогично, С и D тоже являются возможными конечными точками для той же субгармоники при е=1. Необходимо помнить об обеих возможностях. Когда е<1, конечные точки должны быть сдвинуты так, чтобы начальная скорость составляла е-ю часть конечной скорости. Тогда А7 и В7 (при —л+А) и 2л+А или С7 и D' (при —А' и Зл—А7) станут возможными конечными точками.

Чтобы исследовать устойчивость двух возможных решений, рассмотрим мяч, покидающий точку —Z при фазе, равной 90 + 69, с такой скоростью, при которой у имеет значение y-V^y. Значение с также изменится, но мы исключим эту величину из рассмотрения» Влияние перечисленных вариаций на положение мяча проясняется, если продифференцировать уравнение (9.37);

5z = (sin 9 +y)s^i + ^i + Sr- (9.40) Так как эти возмущения характеризуют изменения при описании движения в точке —Z, то дг = 9 при 9=6о, т. е.

0 = (sin 90 4-у)591 -|-905у 4“^« (9.41)

При следующем соударении, когда z=Z, будем считать, что 9 = = 90 + ^л + 692. Аналогичные рассуждения приводят к соотношению

0=( — sin бо^у^^о^пл^-^с. (9.42)

Исключая с из соотношений (9.41) и (9.42), получим

592=[— п^у^^у-\-srn в^Щку — sin 90). (9.43)

Это первое уравнение, которое связывает вариации в начале второго пробега с вариациями в начале первого. Получим другое уравнение. Для этого заметим, что скорость, которая имела значение sin9 + y, стала равной cos9-69 + 6y и что в момент прибытия в точку Z, когда 9 = 9о+^л+б92, 6у перед ударом равно —cos 9о-692 + 6у1. После удара значение вариации уже зависит от е и определяется таким модифицированным значением у, для которого

cos 90 • 592 4" ^У2=8 (— Cos ^о * ^2 4“ ^У1)* (9.44) Это и есть второе уравнение, которое совместно с уравнением (9.43) определяет я-матрицу, связывающую (бу2, 692) с (буь 691). Подставив у из уравнения (9.39), получим

ах = ^ — В; а2=—С; а3=гВ/С\ а^ = г^ (9.45) где В = 72^л(1—e2)ctg90 и С=е(14-е) cos 90.

Эта ^-матрица весьма напоминает соотношения (9.33). В частности, D = ^ независимо от 0О. При изменении приложенной силы, а следовательно, при изменении Z и 0О, траектория на плоскости DT вновь становится вертикальной линией (см. рис. 9.16). Поскольку 7 = 2е—В, границы устойчивости 7= ±(1+0) определяются равенством

2s —^/глП — s2)ctg 60= ± (1+&2),

отсюда

1 о1 —е(21 4* е \л

ctg 90=—— ,или —— .(9.46)

пл 14-е\Нч1 — е /

Рис. 9.23. Условия, необходимые для возбуждения основного отклика и третьей субгармоники в устройстве, показанном нарис. 9.21Рис. 9.23. Условия, необходимые для возбуждения основного отклика и третьей субгармоники в устройстве, показанном нарис. 9.21Этим уравнениям удовлетворяют четыре значения 60, но только два из них являются допустимыми, так как из (9.39) следует, что 90 должно находиться в третьем или четвертом квадранте.

Рис. 9.23. Условия, необходимые для возбуждения основного отклика и третьей субгармоники в устройстве, показанном на

рис. 9.21

Рис. 9.23. Условия, необходимые для возбуждения основного отклика и третьей субгармоники в устройстве, показанном на

рис. 9.21

Интерпретировать изложенное для определения условий, которым должна удовлетворять сила F, можно, исключив У и Z из уравнений (9.38) и (9.39) и перейдя к ctg 0О, поскольку именно эта величина содержит нужную информацию. В этом случае просто выполнить количественную оценку. Некоторые типичные результаты показаны на рис. 9.23. В отличие от случая стержня, ударявшегося о колеблющийся диффузор, здесь субгармоники проявляются скорее при слабых, нежели чем при сильных возбуждениях. Объяс

няется это тем, что в последнем примере частота растет с энергией, тогда как в случае стержня она убывала. Форма верхнего предела основного возбуждения следует из того, что у (как вытекает из расчетов по формулам (9.46) и (9.39)) становится меньше единицы, когда е мало. Скорость может теперь стать отрицательной, и необходимо проверить, не вышли ли мы за пределы +Z. Эта дополнительная особенность уничтожает всю устойчивость, если она имела место.

Из рис. 9.23 видно, что третья гармоника устойчива только внутри довольно узкого интервала значений силы, особенно если е<^1. Слишком большое значение силы приводит к уничтожению устойчивости, правда, не по энергетическим соображениям. Следствием это- является возможность субгармонического возбуждения систем, ангармоничность которых не столь велика, как в данном примере. При меньших коэффициентах разложения Фурье для скорости заданная

амплитуда отклика (и потери на расстояние) требует большей силы для пополнения рассеиваемой энергии. Если сила превышает предел устойчивости, то субгармонического возбуждения не произойдет, даже если энергетически оно представляется возможным. Поэтому при любом заданном на период рассеянии мы можем рассчитывать, что существует некоторая критическая степень ангармоничности, допускающая появление субгармоник. Эта критическая ангармоничность тем больше, чем большие потери возможны в системе. Вот и все, что мы можем уверенно сказать. Раскрытие пределов субгармоничного режима — это другой вопрос, и здесь мы не будем им заниматься.

] О ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ

Давно известно, что резонансную систему можно привести в состояние колебательного движения, если периодически изменять ее параметры. Обстоятельное исследование этого вопроса было проделано Рэлеем [1]. Он обратился к аналогиям среди существенно отличающихся друг от друга физических процессов, например между взаимными возмущениями орбит планет, периоды обращений которых вокруг Солнца находятся в почти целочисленном отношении, и распространением волн в периодических слоистых средах. Последнее явление в настоящее время очень интересует физиков, так как служит основой для изучения брэгговского отражения рентгеновских лучей и движения электронов в твердом теле. Однако суть этих аналогий состоит только в том, что различные явления описываются одним и тем же типом дифференциальных уравнений. Такой же тип дифференциальных уравнений встречается в теории колебаний эллиптических мембран. Вряд ли можно рассчитывать, что решение любой из перечисленных задач добавить хоть что-то для интуитивного понимания другой. Эти задачи сложны сами по себе, и есть смысл сформулировать их на языке математики. Приведенные примеры имеют и самостоятельное значение, так как открывают новые аспекты разнообразия колебательных явлений в природе. Одновременно они представляют интерес с точки зрения технических применений для параметрических усилителей. Об этом вскользь будет упомянуто в конце настоящей главы.

Вероятно, проще всего продемонстрировать параметрическое возбуждение с помощью простого маятника, длина нити которого слегка изменяется периодически с частотой, равной удвоенному значению собственной частоты. Если амплитуда периодических изменений длины нити слишком мала, то ничего особенного не произойдет, за исключением того, что груз маятника может совершать колебания в вертикальном направлении. При больших вариациях длины нити маятник начинает раскачиваться и амплитуда его колебаний возрастает экспоненциально. Устройство для демонстрации этого явления показано на рис. 10.1. Маятник представляет собой латунный грузик массой около 100 г, подвешенный на тонкой стальной проволоке. Проволока пропущена через маленькое отверстие в пластине А и с помощью петли подвешена к эксцентрической шпильке на колесе С. При вращении колеса с частотой примерно 1 об/с происходит периодическое изменение длины маятника с такой же частотой. Условия для параметрического возбуждения достигаются такой подгонкой длины маятника, при которой период

Рис 10 1. Схематическое изображение маятника с параметрическим возбуждением (на рисунке масштаб не соблюден)Рис 10 1. Схематическое изображение маятника с параметрическим возбуждением (на рисунке масштаб не соблюден)его колебаний становится вдвое больше, чем период вращения колеса С. Эксперимент становится более наглядным, если нить слегка оттянуть в сторону с помощью легкой веревки, прикрепленной в точке В. Проволока при этом оказывается прижатой к грани отверстия в пластине Л, что позволяет довольно точно фиксировать длину маятника и обеспечивает возможность колебаний как в плоскости чертежа, так и в перпендикулярной ему плоскости с существенно различными частотами. Поэтому возбуждается лишь одна мода.

Рис 10 1. Схематическое изображение маятника с параметрическим возбуждением (на рисунке масштаб не соблюден)

Рис 10 1. Схематическое изображение маятника с параметрическим возбуждением (на рисунке масштаб не соблюден)

Для демонстрации явления используют колебания маятника в плоскости, перпендикулярной чертежу (отверстие в пластине Л играет роль эффективной точки подвеса). Это именно те колебания, частоту которых, перемещая груз вдоль проволоки, тщательно подбирают в точности равной половине частоты вращения колеса. Мотор должен вращаться с постоянной частотой (например, синхронно с переменным током). Целесообразно к оси колеса С прикрепить рычажок, который может ударять по металлической пластинке один раз за период обращения колеса. Это позволяет одновременно использовать и слух, и зрение и легко обнаруживать даже малые нарушения синхронности между вращением колеса и колебаниями маятника.

Эксцентрическую шпильку, к которой крепится проволока, первоначально следует установить в центре колеса С, чтобы при его вращении не происходило изменения длины маятника. Частоты при этом кажутся подогнанными. Затем шрифт нужно передвинуть, например на расстояние 5 мм от центра, и привести колесо во вращение при неподвижном маятнике. Вскоре маятник начнет раскачиваться со все возрастающей амплитудой. Ее рост ограничен только нарушениями синхронности: при больших значениях амплитуды колебаний происходит заметное увеличение их периода. При меньшей амплитуде возбуждения рост амплитуды колебаний оказывается менее быстрым; если подгонка частот в системе сделана хорошо, то скорость роста амплитуды колебаний (соответствующая величине, обратной числу колебаний с удвоенной амплитудой) линейно зависит от амплитуды возбуждения. Еще раз подчеркнем, что подгонка должна быть тщательной; практически трудно получить точки, лежащие на одной прямой, при слабых возбуждениях, когда скорость роста амплитуды мала. Причина этого выяснится в ходе дальнейшего изложения, когда будет проведен математический анализ явления. Если вариации длины маятника недостаточно для обеспечения роста амплитуды, то параметрическое возбуждение приводит только к изменению скорости затухания любого уже имеющегося колебания. Существует некоторое критическое возбужде-

ние, при котором колебания происходят с постоянной амплитудой. Воспроизвести его практически невозможно, но пусть читатель все же попытается сделать это. Такая попытка поможет ему глубже изучить физические процессы, претерпев личные неудачи (а это, в свою очередь, полезнее, чем поверить написанному в книге).

Для объяснения механизма, с помощью которого поддерживаются колебания маятника, рассмотрим энергию, поставляемую мотором, вращающим колесо С. Натяжение нити Т не постоянно: оно всегда чуть больше mg при вертикальном положении груза и чуть меньше mg при задержке груза в момент максимального отклонения. Поэтому Т пробегает два цикла изменений в течение каждого полного периода колебаний маятника. Если колесо движется так, что направленная вверх скорость шпильки и меняется синфазно с колебаниями Т, то энергия передается маятнику все время. Для достижения этого оптимального условия вертикальное смещение а, определяющее уменьшение эффективной длины маятника, должно отставать по фазе от Т на л/2.

Оценим условия спонтанных колебаний количественно. Для этого обозначим / длину маятника при угловом смещении, равном 9. Ускорение груза /92, направленное в сторону исходного положения, определяется разностью Т и радиальной составляющей веса груза mg cos 9 . Используя разложение cos 9, для малых амплитуд можно приближенно записать

Т — mg (1 — т/2 ^=m№.

Подставляя 9о cosco/ вместо 9 и —a)90sin(o/ вместо 9, получим

Т = mg (1 + V4 02 — 3/4 02 cos 2w/).

В этом соотношении нас интересует только последнее колебательное слагаемое —^mg 9о2 cos 2<оЛ Вертикальное смещение нити по закону —a0sin2co/ приводит к возникновению направленной вверх скорости —2а0 со cos 2соЛ Результирующее значение мгновенной подводимой мощности 7и составляет 3/2 mga^Q^- cos 2со/. Эта величина всегда положительна. Ее среднее значение равно ^kmga^^2. Энергия колеблющегося маятника составляет £ = ЧътРы2^2. Поэтому уравнение, определяющее рост энергии, принимает вид

Е = £[%;.

где

т;=2/3//(^)-

Рост происходит экспоненциально с постоянной времени те', и систему можно охарактеризовать отрицательной добротностью —Q', связанной с те' обычным соотношением

Q'=<=2/3/M.(10.1)

Здесь Q'— число радиан, за которое происходит увеличение энергии колебаний в е раз.

Конечно, каждый реальный маятник испытывает внутреннее трение, которое, если оно линейно, описывается добротностью Q, свойственной данной системе. Случайные колебания возникают, если Q>Q\ Это означает, что выигрыш за счет параметрического процесса превышает потери на рассеяние. Поэтому критическое значение амплитуды ас для параметрического возбуждения можно получить, подставив Q'=Q в соотношение (10.1):

(Ю.2)(Ю.2)ас — 2/з //Q.

(Ю.2)

(Ю.2)

Описанное устройство (рис. 10.1)) имеет следующие параметры: Q~2500: /~1 м. Это соответствует значению ас, чуть меньшему Уз мм. Если а0 значительно превышает это значение, то рассеянием

ции натянутой нити для низшей модыции натянутой нити для низшей модырушка, с помощью которой можно демонстрировать параметрическое возбуждениерушка, с помощью которой можно демонстрировать параметрическое возбуждение

ции натянутой нити для низшей моды

ции натянутой нити для низшей моды

рушка, с помощью которой можно демонстрировать параметрическое возбуждение

рушка, с помощью которой можно демонстрировать параметрическое возбуждение

без особого ущерба можно пренебречь. Колебания возрастают экспоненциально до уровня, ограниченного главным образом значением Q'. Экспериментально установлено, что при / = 0,84 м и а0 = = 8,5 мм амплитуда увеличилась в четыре раза, а энергия — в шесть раз за 33 колебания. Поэтому 9' = 33-2л/1п 16 = Q' = 75. В соответствии же с соотношением (10.1) Q должно быть равно 66 или 68, если такие значения Q вообще могут существовать. Большое значение Q' означает слабое замедление роста, возможно связанное с ошибкой измерений. Но скорее оно связано с несовершенством настройки параметрического возбуждения. Вскоре мы более подробно вернемся к вопросу о настройке.

Существует множество аналогичных примеров параметрического возбуждения, поскольку для большинства колебательных систем можно найти силу (или эквивалентную ей величину), совершающую колебания с удвоенной частотой, которая может обеспечивать приток энергии в систему.

Простейший пример — игрушка, показанная на рис. 10.2. Она представляет собой диск, подвешенный на веревочной петле. С помощью петли можно вызывать вращение диска как по, так и против часовой стрелки, если тянуть за петлю дважды за один цикл, который включает в себя множество поворотов как в одну, так и в другую сторону. Система является в высшей степени ангармонической, но параметрическое возбуждение от этого не зависит. Оно

даже не нарушается из-за изменений периода вращения, поскольку искусный экспериментатор может довести частоту воздействия на петлю до необходимого значения. В последующих примерах системы более близки к гармоническим, а в последнем система просто является гармонической.

LLРис. 10.4. Резонансный контур с параметрическим возбуждениемРис. 10.4. Резонансный контур с параметрическим возбуждениемНить, совершающая поперечные колебания (рис. 10.3), служит источником возникновения переменной продольной компоненты силы в точке крепления S. Эта компонента зависит от конфигурации нити (А, В, С или любой другой). Если натяжение постоянно, то продольная составляющая силы в точке S меняется по закону Т cos 9. Более вероятно, правда, что натяжение возрастает с отклонением нити от горизонтального положения и с избытком компенсирует убывание, обусловленное множителем cos 0. Но это не устраняет основного свойства продольной компоненты, а именно того, что частота ее колебаний вдвое выше собственной частоты колебаний нити. Продольное движение в точке S с этой частотой может обеспечить

L

L

Рис. 10.4. Резонансный контур с параметрическим возбуждением

Рис. 10.4. Резонансный контур с параметрическим возбуждением

достаточную мощность, необходимую для параметрического возбуждения поперечных колебаний. К этому примеру мы еще вернемся более подробно.

Если в контуре, показанном на рис. 10.4, происходят колебания силы тока и емкость С меняется (например, из-за периодического изменения расстояния между пластинами) с удвоенной резонансной частотой, то в контур может поставляться энергия. Это объясняется тем, что сила притяжения между пластинами, составляющая для единичной площади xj2%Ef2> где Е'— напряженность электрического поля, достигает максимального значения дважды за каждый период колебаний силы тока, когда сила тока проходит иерез нулевые значения при максимальных значениях заряда на обкладках конденсатора (при «положительном» и «отрицательном» максимумах). Если же изменить расстояние между обкладками при нулевом заряде на них, то направление процесса передачи энергии изменится на обратное.

ПОДРОБНЫЙ АНАЛИЗ СИСТЕМ С ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ

Несмотря на то что с энергетических позиций можно правильно оценить условия, необходимые для параметрического возбуждения, для полного и всестороннего исследования все же более предпочтителен прямой анализ. Уравнение движения для контура, приведенного на рис. 10.4, легко записать, но не так легко решить. Пусть расстояние между пластинами конденсатора меняется по закону l + Pcos2Q/ (причем р много меньше единицы). Тогда емкость конденсатора меняется по закону Со(1+ Р cos 2QZ)-1. Заряд на пла-

стинах конденсатора удовлетворяет уравнению

Lq л- Rq+q (1 + ? cos 2 2/)/С0=0, (10.3) которое является линейным, но в отличие от систем с фиксированными параметрами имеет один, зависящий от времени коэффициент. В соответствии с принципом суперпозиции комбинация двух независимых решений уравнения (10.3) определяет все возможные решения. Однако инвариантность оказывается утраченной. Решение не остается справедливым при произвольном смещении по оси времени. Оно справедливо только для смещений, кратных л/й.

Общее поведение уравнения (10.3) нелегко проследить, используя лишь схематические наброски решения; это под силу только опытному специалисту. Поэтому начнем с упрощенного варианта, считая, что расстояние между пластинами меняется дискретно, ступеньками, составляя поочередно (1±р)-ю часть от среднего значения расстояния. Пусть эти изменения происходят каждую четверть периода, соответствующего резонансной частоте. Далее, положим /? = 0, что позволит записать уравнение (10.3) в укороченном виде:

5+°>оЦ1±₽)=О. (10.4)

Если Р = 0, то на фазовой плоскости gu мы получим окружность (у = <ооЮ- Если все же Р^0, то собственная частота возрастает до значения соо(1 + р)1/2 при увеличении расстояния между пластинами и убывает до значения соо(1 — р)'/2 ПРИ его уменьшении. В этом случае траектории представляют собой эллипсы с большой осью, расположенной вдоль оси и в первом случае и вдоль оси §— во втором. На рис. 10.5 представлены траектории при изменении знака с плюса на минус: в момент, когда ^ = 0 (рис. 10.5, а), и в момент, когда у = 0 (рис. 10.5,6). В первом случае отклик экспоненциально возрастает, а во втором — убывает. В общем случае, если движение началось из произвольной точки на плоскости, поведение представляет собой совокупность обоих откликов с преобладанием в конечном счете возрастающей моды, показанной на рис. 10.5, а.

Если подойти к задаче с позиций испытания на устойчивость (как это делалось в предыдущей главе) и выполнять измерения значений § и и только один раз за период, то можно обнаружить, что решение в виде совокупности двух экспонент обнаруживает черты седлообразной неустойчивости. Если ввести в контур достаточно большое сопротивление, то параметрическое возбуждение окажется неспособным поддерживать колебания и поведение системы должно описываться двумя убывающими экспонентами, подобными тем, которые свойственны узловой устойчивости. Другой способ прекращения колебаний (даже если сопротивление недостаточно велико) состоит в том, чтобы в идеально настроенную систему ввести расстройку в возбуждении. При малых изменениях частоты возбуждения система остается внутри области седлообразной неустойчивости, так как отклик ограничен по фазе возбуждения в точности на половинной частоте. С увеличением расстройки достигается точка,

на которой фазовое ограничение поддерживаться не может. Если здесь правомерна аналогия с другими системами, то на этой стадии можно ожидать перехода к узловой, а затем к фокальной устойчивостям. Для упрощенной модели это можно проиллюстрировать на рисунке, опуская детальный анализ, так как он требует сложных

Рис. 10.5. Траектории на фазовой плоскости при возрастании и убывании расстояния между пластинами конденсатора дважды в течение одного периода (в схеме, приведенной на рис. 10.4)

Колебания сдвинуты по фазе так, что обеспечивается а — максимальное усиление, б — максимальное затухание Знаки « + » и «—» показывают, в каких квадрантах расстояние растет или уменьшается; в — промежуточное значение сдвига фаз (усиление слабее, чем в случае а), г—колебания имеют установившуюся амплитуду Существует две моды — медленная (сплошная линия) и быстрая (пунктирная линия), д — изменение выигрыша (отношения амплитуд при последовательном возбуждении) На окружности фазы мод заперты относительно возбуждения, вне области ВВ' они не заперты и их средний выигрыш не зависит от возбуждения

выкладок. Если частота изменения емкости не равна в точности 2со0, то колебания могут сами подстроиться до синхронизма с помощью изменения фазы, как показано на рис. 10.5, в. Но скорость возрастания или убывания колебаний при этом уменьшается. При отсутствии потерь расстройка может быть доведена до такой степени, что устойчивой окажется лишь одна из показанных на рис. 10.5, г мод. Переключение мод происходит при фазовых углах, сдвинутых на л/4 по сравнению со случаями, показанными на рис. 10.5, а, б. Для того чтобы получить траекторию, соответствующую внешней розетке, скорость переключения должна быть меньше 2 о)0; для траектории, соответствующей внутренней розетке (подобной подушке), она должна быть больше 2со0.‘Легко подсчитать

время, необходимое для осуществления одного цикла траекторий, и показать, что пределы настройки для возбуждения составляют 2соо(1 ±2р/л). Усиление за один цикл в зависимости от частоты возбуждения меняется так, как показано на рис. 10.5,5 (он выполнен с учетом небольшой диссипации). Между А и А' существует усиленная мода и система неустойчива. В узких пределах между АВ и А'В' существует узловая устойчивость колебаний. Разность фаз между колебаниями и возбуждением при этом не меняется. Поэтому однократные в течение каждого периода измерения не дают никакой информации о характере колебаний (кроме той, что существует две моды с экспоненциально убывающими амплитудами). За пределами В и В' фазовая запертость прекращается и однократные замеры позволяют установить убывание колебаний, т. е. фокальную устойчивость. Было бы ошибкой уделять много внимания различия между узловой и фокальной устойчивостями. На языке математики оба типа критических точек — А и В — выражены достаточно ясно. Исследователю гораздо важнее установить различие между устойчивостью и неустойчивостью, чем точно выяснять, к какому типу относится устойчивость.

Общие черты, выявляемые описываемой моделью, подтверждаются при детальном расчете поведения системы в случае изменения емкости по синусоидальному закону. Поскольку в конце концов нам придется сопоставлять вычисления и их результаты с результатами измерений, полученных для маятника, то проанализируем именно этот случай, а не случай контура с переменной емкостью. Один и тот же метод применим в обоих случаях, и общее поведение решений имеет много сходного. Уравнение движения маятника с переменной длиной нити составить легко. Если длина меняется по закону / = /0(1 + р cos 2Q/) и отклонение 9 мало, что тангенциальная сила, действующая на груз, составляет —mg^—А/9, где X— коэффициент вязкого трения. Та часть груза, положение которой определяется величинами / и 9, имеет тангенциальную компоненту ускорения, равную /9 + 2/9. Поэтому уравнение движения принимает вид

так (1 + ? cos 2 S/) 9 —- 4лтаpZ0 sin 22/ • 6 +

-4-XZ0 (1 + 3 cos 220 9 + mg^ = 0. (19.5)

Наш анализ можно ограничить рассмотрением систем с малыми потерями и с не слишком сильным возбуждением, сохранив при этом все существенное в результатах. Это позволит пренебречь величинами второго порядка малости, а именно Ар. Если записать 9 как у^е-'^1^ то слагаемое, отвечающее за потери, станет пренебрежимо малым и уравнение движения упростится:

у (1 + ? cos 22/) — 4?2yS sin 22/+«>о у=0, (10.6) где too2 = gllo. Для сравнения приведем здесь уравнение (10.3), которое после аналогичных преобразований примет вид

у + ^оУ (1 + ? cos 22/) = 0. (10.7)

Уравнения (10.6) и (10.7) линейны и имеют переменные коэффициенты, являющиеся периодическими функциями от t с периодом л/й. Общее свойство таких уравнений ^теорема Флокета [2]) состоит в том, что их решения можно записать в виде е^Ф(/), где р— постоянная (возможно, комплексная), a P(t) —периодическая функция с периодом л/й, т. е. обладающая свойством Р(/ + л/й) = P(t). Как уравнения второго порядка, данные уравнению имеют два независимых решения. Разложив P^t) в ряд Фурье, запишем

у = ^ An^P^w е(ю.8)

п= — ОО

Подставив это разложение в уравнение (10.6) и записав тригонометрические величины в экспоненциальной форме, получим

- ^Ап (р+2nQ) (е2 i _ е-21 =0 + ®Un | е21 =0.

Это уравнение содержит коэффициент e2in% где п принимает все целочисленные значения. Однако если выбрать какое-нибудь частное значение п, умножить его на е-2тш и проинтегрировать по одному периоду л/Й, то исчезнут все коэффициенты, за исключением одного выбранного e2inQt. Отсюда следует, что коэффициент при каждом слагаемом е21'пШ должен по отдельности обращаться в ноль. Следовательно, для всех п

[(p + S/zQja —<«?] Лп4-*/2-1(^ + 2«2)2-422](Ля_1 + Л„+1) = 0. (10.9)

Решение рекуррентного соотношения, содержащего три коэффициента, обычно является затруднительным, и уравнение (10.9) не является исключением. Для полноты обсуждения читателю следует ознакомиться с работами, посвященными уравнениям Матье, примером которых является уравнение (10.7) [3]. Здесь же достаточно рассмотреть случай, когда р<^1; тогда уравнение удается упростить. Если произвольно зафиксировать отношение двух коэффициентов, например отношение Л1/Л0, то все остальные коэффициенты можно вычислить последовательно, многократно применяя уравнение (10.9). При больших | тт | различием между шо2 и 4Й2 в квадратных скобках можно пренебречь, а уравнение (10.9) приближенно записать следующим образом:

Л^/ЖчМнМ.(10.10)

В тех случаях, когда коэффициенты Лп изменяются в соответствии с геометрической прогрессией Лп+1 =—сАп, уравнение (10.10) удовлетворяется. Если при этом р^1, то с имеет значения, равные 318

либо V2P, либо 2/р. Хотя и можно установить то исходное значение отношения Л1/Ло, которое определяет стремление Лп при п-^ + оо к ряду, сходящемуся к нулю, и для которого с=Ч2$, однако, вообще говоря, нельзя ожидать, что такой выбор обеспечивает сходимость при п->-—оо. Для сходимости в обоих случаях должно быть правильно подобрано значение р. Если этого удается каким-то образом достигнуть для случая, когда (3 мало, то сходимость оказывается очень быстрой и во внимание надо принимать только несколько значений Ап. Физически это означает, что почти синусоидальные колебания может совершать только слегка возбуждаемый маятник без затухания — это могут быть колебания с возрастающей или убывающей амплитудой, могут возникнуть биения между свободными и вынужденными колебательными модами, но эти колебания свободны от тех нерегулярностей в форме волны, которые- указывали бы на присутствие высших членов разложения Фурье.

С учетом этого обратим внимание на поведение уравнения (10.9) при малом п. Например, если п =— 1, то

[(/,-2й)2_ю2] Л_1 + 1/2В[/’-22)2-422](Л_2+Ло)=О.(10.11)

Если возбуждение настроено на частоту, очень близкую к значению удвоенной собственной частоты co0~Q, и, если р~№0~й, то коэффициент А-х значительно меньше, чем (Л-2+Л0). Поэтому, несмотря на малость р мы можем рассчитывать на заметное значение коэффициента А-х. С другой стороны, положив в уравнении (10.9) п = = —2, получим, что коэффициент Л_2 значительно меньше, чем 1/2(Л-1+Л_3), и в уравнении (9.11) им можно пренебречь без большого ущерба. Аналогично, положив п=\, получим, что Ах и последующие коэффициенты не очень велики и в решении доминируют Ло и А-х. Если все остальные коэффициенты обречены на исчезание, то интерес представляют только два уравнения типа (10.9), а именно те, которые получаются при п =— 1 и п = 0:

[(^-2й)2-<о^] Л^Н-1/^^-2й)2-4Й2]Ло=О(10.12)

И

[^2-0)2] Лo+1/2И/2-4^2]Л_1 = O.(10.13)

Теперь понятно, почему недопустимы произвольные значения р. Совместно уравнения (10.12) и (10.13) требуют, чтобы

[р2-“о] [(/>-222-^] =

= 2_82[^2_422][(/7_222_4й2].(10.14)

Это квадратное уравнение выглядит менее устрашающим, если заметить, что выражения в каждой квадратной скобке в правой его части очень близки к —3Q2, а если р, со0 и Q примерно одинаковы, то можно заменить (р2—соо2) на 2соо(р—со0), а [(р—2Q2)—соо2] на 2Q(2Q—р—со0). Введем величины А =

= (Q—(Оо)Лоо для оценки предела, при котором параметрическое возбуждение не настроено в точности на 2соо, и е=(р—со0)/<оо для оценки относительного изменения частоты, вызванного параметрическим возбуждением. Сделав это и другие аналогичные приближения и подставив новые переменные, придем к более ясному выражению, определяющему поведение системы:

е(2Д—г) = Дс,(10.15)

где ДС = 3/4Р — решение этого уравнения е = Л±(Д2—Дс2)'/2, или

P = Q ± и>0(Д2_д2)*А(10.16)

Если возбуждение настроено идеально (Q = coo и Д = 0), то

р=^ + i о)0Дс(10.17)

и общее решение представляет собой суперпозицию колебаний, соответствующих обоим значениям р. Из уравнения (10.13) при тех же допущениях, которые были сделаны для уравнения (10.15), следует, что Д _i/Д 0 = е/Ас = i, если в уравнении (10.17) взят положительный знак, и Д_/До=—i, если взят отрицательный знак. Характер колебаний вытекает из соотношения (10.8):

у=А^^с1 (ei2' + ie~i29;

До следует выбрать таким, чтобы у было действительным, т. е. коэффициент До должен быть действительной постоянной времени е±1л'4 . Следовательно,

у = С еТшоАс' cos (8/ + ^л).(10.18)

Сразу становится ясным физический смысл: маятник, длина которого изменяется по закону /0(l + pcos 2QZ), укорачивается быстро, когда QZ = n/4, 5Х/4 и т. д. Если в уравнении (10.18) взять нижние знаки, то они соответствуют тем моментам, когда у становится равным нулю и натяжение максимально. Если взять верхние знаки, это значит, что у достигает пикового значения, а натяжение минимально. В первом случае, как и ожидалось, происходит рост колебаний, во втором — их затухание. Все это, разумеется, происходит в дополнение к естественному затуханию ^-МЧ”1 , которое мы завуалировали заменой переменных, приводящей к соотношению (10.6). Общее выражение для колебаний маятника принимает вид

^^ = Сг ^-Vl^u^t cos (Q/_ 1дл)_^_

+ C2e-(V^-^cv coscaz + V^).(10.19)

Здесь к = К!т, a G и С2— произвольные действительные постоянные.

Два независимых решения представляют собой колебания, запертые в различных фазах возбуждения: второе — так, что энергия поступает и препятствует естественному затуханию, а первое — так, что происходит увеличение естественного затухания. Тем не менее

первоначально маятник мог быть отклоненным, это и определяет значения постоянных Ci и С2. Через достаточно продолжительный интервал времени поведение системы определяет второе слагаемое в уравнении (10.19). Если р превышает критическое значение 2/з^/о)о, т. е. 2/3Q, то второе слагаемое описывает возрастающие колебания. Такой же результат мы получили в самом начале из энергетических соображений.

Термин «запертый», использованный в последнем образце, возможно, не вполне правомочен, поскольку при А = 0 маятник не стремится к изменению фазы по отношению к возбуждению. Вопрос о запирании приобретает смысл только в тех случаях, когда мы пытаемся возбудить колебания маятника с частотой, отличающейся от 2о)О. Как следует из уравнения (10.16), решение уравнения (10.17), если расстройка не слишком велика (точнее, если ] А | < | Ас |), модифицируется при А = 0 в мнимой части только заменой Ас на (Ас2—А2)72. Общее решение, аналогичное соотношению (10.19), можно получить без труда таким же путем:

9(/)=С!еа^ cos(2/ —Y) + ^2e0t2Z cos(2/ + v), (10.20) где ai,2 = — У^+МАс2—A2),/2 и tg2y= (Ac2/A2—1),/2. Колебания все еще заперты с возбуждением, но лишь при таких значениях фаз, которые соответствуют оптимальным условиям для передачи энергии маятнику или от него. Изменения в естественном декременте затухания являются соответственно меньшими. Это согласуется с простой картиной, представленной на рис. 10.5. Усиление возникает только тогда, когда возбуждение существенно превышает значение, соответствующее состоянию идеальной настройки. Критическое значение р соответствует 2/3( 1 + 4A2Q2)VVQ, а не 2/3Q. Теперь понятно, сколь тщательно нужно настраивать систему, чтобы получить количественное согласие между теорией и экспериментом. У ранее упомянутого маятника, для которого Q~2500, параметрическое возбуждение должно быть настроено так, что |А| <1/5000, если мы хотим, чтобы измеренная критическая амплитуда спонтанных колебаний была в пределах V 2 от теоретического минимума. Проведенный анализ объясняет также, почему трудно запустить систему так, чтобы скорость роста была линейной функцией возбуждения: «1 и «2 линейны внутри Ас (и, следовательно, внутри р) только в том случае, если возбуждение настроено идеально.

Если амплитуда возбуждения поддерживается постоянной, а частоту монотонно расстраивают, то система проходит две критические точки. Первая соответствует переходу от седлообразной неустойчивости к узловой устойчивости. Когда соо(Ас2—A2),/2<V2£ (т . е. А2>[Ас2—1/(4Q2)], выигрыш, обусловленный параметрическим возбуждением, слишком мал, чтобы компенсировать внутренние потери. Вторая критическая точка соответствует случаю, когда А достигает значения Ас и, как вытекает из уравнения (10.16), р становится действительным. Вместо того чтобы отклику быть запертым по частоте и расти экспоненциально по амплитуде (или

32132111 Пиппард А.

321

321

убывать аналогичным образом), наступает нарушение запертости и, несмотря на собственные потери, амплитуда не меняется. Это соответствует переходу от узловой устойчивости к фокальной. Поведение системы при А, превышающем Дс, требует разъяснения, потому что это не просто случайная суперпозиция двух колебательных мод: требование действительности у обеспечивает существование обеих мод в четко выраженном соотношении.

Определим сначала величины б = соо(А2—Ас2),/2 и Х=А/АС + + (А2/Лс2—1)1/2 и заметим, что Д/Ас—(А2/Ас2—1)^=1/Х. Из соотношений (10.13) и (10.16) следует, что p = Q±6, а Л-1/Л0 = Х для положительного знака и Л-1/Ло = 1/Х для отрицательного. Тогда общее решение принимает вид

у = До е'м (е'2< + X е-12<) + До е~'“ (е12Z + -^ е~'2Z),

в котором Л(/ и А^— произвольные комплексные постоянные. Для того чтобы записать у в наиболее общей действительной форме, следует объединить первое слагаемое в первой скобке со вторым слагаемым во второй скобке, а два других слагаемых взять как вторую пару:

у = [До е1 <2+8)' + (До/ДГ) е-1 <2+ 5>'J + [До е1 <2-8)' +

+ АГДое-“2-8х].

Если теперь положить Л0'=Се^ и А^ = ХСе~^, где С и £—произвольные действительные постоянные, то у становится действительным с требуемой добавкой двух независимых переменных:

y = C{cos[(2 + B)/ + C] + ^cos[(2-^-^(10.21)

а следовательно,

6= С e-W{cos [(2 + В) t + С] + X cos [(2- В) t - Ц}. (10.22)

Требование действительности у и 0 предотвращает возникновение только какой-нибудь одной колебательной моды. Характерный отклик (10.22) состоит из двух синусоидальных биений с экспоненциальным затуханием. Выражение в скобках, имеющее период биений Ч^^, в свою очередь, описывает колебания между двумя последовательными максимумами, а отношение максимума к минимуму составляет (Х+1)/(Х—1). Вследствие этого амплитуда может убывать и не по экспоненциальному закону. Могут иметь место периодические подъемы и спады, которые накладываются на общий спад. Это естественное следствие неспособности возбуждения запереть маятник в точности на половине его частоты: с течением времени фаза колебаний маятника постепенно дрейфует относительно возбуждения, которое параметрически то усиливает, то ослабляет колебания, однако без существенного вмешательства в общий ход затухания.

На первый взгляд может показаться, что биения, имеющие продолжительный период, являются относительно простым приближением к положению равновесия, соответствующим фокальной устойчивости. Однако следует помнить, что характеристические параметры, например 9 и 9, не измеряются непрерывно. Их регистрируют через определенные интервалы, определяемые периодом возбуждения. Все, что происходит между моментами регистрации, выявляется как биения. В моменты наблюдений отмечаются устойчивые возрастания дискретных значений 9 и 9 возле сходящейся эллиптической спирали. Это является непосредственным следствием теоремы Флоке и нашло свое отражение в соотношении (19.8). Соответствующие значения у (и, следовательно, 9), полученные через интервалы л/Q, представляют собой геометрическую прогрессию с основанием eiJl?/Q для каждого значения. Тем не менее им недостает интересной структуры, описываемой рядом Фурье. Разумеется, существует два значения р, но непосредственная замена пл№ на t в уравнении (19.21) позволяет увидеть, что обе величины в скобках осциллируют, как (—l)n cos (n^S/Q±t), с той же частотой, отличаясь только по амплитуде и фазе. Они образуют ряд точек, ровно укладывающихся вблизи простой синусоиды. То же самое получается на 9 и 9, и в результате, как отмечалось ранее, появляется ряд точек, окружающих спираль. Эта система с ее по виду более сложным поведением хорошо соответствует формалистике, изложенной в предыдущей главе. Пример показан на рис. 10.6.

В эксперименте, иллюстрирующем проведенные выше рассуждения, маятник (см. рис. 10.1) был подвергнут модификации. Латунный груз были заменен на пластмассовый, который, являясь более легким, позволял получать меньшие значения Q для системы. Маятник не имел необходимой для точной настройки длины при относительно малой амплитуде возбуждения а0, равной 3,9 мм р = 4,7-10~3 или Дс = 3,5- 10-3). После запуска его колебания менялись так, как показано на рис. 10.7, а. Логарифмическая зависимость, приведенная на рис. 10.7,6, позволяет выявить устойчивые биения, наложенные на экспоненциальный спад, что соответствует, как и можно было ожидать, соотношению (10.20) с естественным затуханием при отсутствии параметрического возбуждения. Чтобы показать, насколько хорошо эта кривая согласуется с уравнением (10.22), используем ее для оценки некоторых параметров. Поскольку маятник совершает 103 колебания в течение одного периода биений, отношение 6/соо составляет 1/206. А так как оно равно (А2—Ас2)1/2 и Ас = 3,5-10-3, то (А2/А2с—1)1/2 = 1,39, а А/Ас= 1,71. Следовательно, Х = 3,1, а отношение максимума в эксперименте должно составлять 4,1/2,1, т. е. 1,95. Прямые линии на рис. 10.7, б приведены для того, чтобы изобразить это отношение. Сопоставление теоретических и экспериментальных значений не оставляет сомнений, что теория в основном соответствует эксперименту.

Напротив, если амплитуда возбуждения возрастала сверх критического значения и маятник запускался в неблагоприятной фазе, 11- 323

Рис. 10 7. Изменение амплитуды колебаний маятника (см. рис. 10.1), когда возбуждение расстроено до такой степени, что фазовое запирание оказывается невозможнымРис. 10 7. Изменение амплитуды колебаний маятника (см. рис. 10.1), когда возбуждение расстроено до такой степени, что фазовое запирание оказывается невозможнымРис. 10 6. Траектория для типичного решения уравнения (10.21) на фазовой плоскостиРезультаты измерений, выполненных при одной и той же фазе последовательных периодов возбуждения, образуют эллипс, отмеченный темными точкамиРис. 10 6. Траектория для типичного решения уравнения (10.21) на фазовой плоскостиРезультаты измерений, выполненных при одной и той же фазе последовательных периодов возбуждения, образуют эллипс, отмеченный темными точками

Рис. 10 7. Изменение амплитуды колебаний маятника (см. рис. 10.1), когда возбуждение расстроено до такой степени, что фазовое запирание оказывается невозможным

Рис. 10 7. Изменение амплитуды колебаний маятника (см. рис. 10.1), когда возбуждение расстроено до такой степени, что фазовое запирание оказывается невозможным

Рис. 10 6. Траектория для типичного решения уравнения (10.21) на фазовой плоскости

Результаты измерений, выполненных при одной и той же фазе последовательных периодов возбуждения, образуют эллипс, отмеченный темными точками

Рис. 10 6. Траектория для типичного решения уравнения (10.21) на фазовой плоскости

Результаты измерений, выполненных при одной и той же фазе последовательных периодов возбуждения, образуют эллипс, отмеченный темными точками

амплитуда сначала убывала, а затем снова начинала расти (рис. 10.8). Это происходило без дополнительного наложения колебаний, поскольку теперь обе моды были заперты с возбуждением. Асимметрия кривой очевидна. В начальных стадиях возбуждение, определяемое первым слагаемым в выражении (10.20), способст

вует естественному затуха* нию, а спад более крутой, чем последующий подъем, определяемый вторым слагаемым, в котором естественному затуханию частично противостоит параметрическое усиление.

Вернемся в последний раз к простому маятнику: отодвинем нить, привязывающую его в точке В (см. рис. 10.1), и превратим его, таким образом, в конический маятник. Затем заставим маятник совершать колебания по круговой орбите. Натяжение нити в этом случае остается неизменным и дополнительная энергия, обусловленная изменением его длины, маятнику не сообщается. Более того, теперь нет тангенциальных сил, действующих на груз, и при отсутствии трения угловой момент должен оставаться постоянным. Было бы заманчиво считать, что в движении маятника не произойдет изменений. Но это не так. При подъеме груза маятнику сообщается энергия, которая затем еще раз отображается при его снижении. Если этот процесс настроен на частоту, близкую к значению, равному удвоенной орбитальной частоте, то происходит прогрессирую-

щая деформация орбиты. Круговое движение можно рассматривать как два линейных гармонических колебания. Одно — такой фазой, чтобы вызывать экспоненциальный рост, а другое — экспоненциальный спад. В конце концов, движение окажется почти пол

ностью ограниченным плоскостью, для которой фаза имеет значе

Рис. 10.8. То же самое, что и рис. 10.7, но с увеличенным возбуждением, при котором возможно фазовое запирание и параметрическое усилениеРис. 10.8. То же самое, что и рис. 10.7, но с увеличенным возбуждением, при котором возможно фазовое запирание и параметрическое усилениение, наиболее благоприятное для возрастания колебаний. Поскольку это означает разделение двух слагаемых в уравнении (10.20), которые не обязательно сдвинуты по фазе на л/2, оба линейных колебания не смогут происходить ни во взаимно перпендикулярных направлениях, ни синфазно. Нам не нужно точно определять, какая комбинация необходима

Рис. 10.8. То же самое, что и рис. 10.7, но с увеличенным возбуждением, при котором возможно фазовое запирание и параметрическое усиление

Рис. 10.8. То же самое, что и рис. 10.7, но с увеличенным возбуждением, при котором возможно фазовое запирание и параметрическое усиление

для получения кругового движения, так как угловой момент, интересующий нас, от этого не зависит. Начнем

с двух линейных колебаний

с амплитудами А и В, происходящих под углом 0 друг к другу. Рассматривая горизонтальную плоскость как комплексную

плоскость, запишем смещение, соответствующее сумме двух движений, следующим образом:

(10.23)(10.23)r= A cos «)/-|-5е16 cos(0)/ + ?)-

(10.23)

(10.23)

Здесь ф— разность фаз между колебаниями. Угловая скорость является мнимой частью иу* и равна АВ со sin 0 sin ф. Пусть первое слагаемое в уравнении (10.23) растет как еа\ а второе — убывает по аналогичному закону. (Заметим, что если 6 = 0, то сц = —аг в уравнении (10.20)). Тогда Im[rr*] не изменяется. Это означает, что угловая скорость сохраняется. Что же касается полной энергии, которая пропорциональна (;'г*+уу*/о)2) , то при оценке оказывается, что она меняется как созф- cos0 + ch2aZ, если t считать равным нулю в тот момент, когда А = В. Равенство нулю производной ch 2aZ при / = 0 означает, что возбуждение не меняет мгновенно энергию маятника, движущегося по круговой орбите. Однако при превращении орбиты в эллиптическую происходит устойчивый рост энергии. Наблюдения подтверждают этот вывод. Поскольку маятник совершает медленные колебания, наблюдать за ним легко, хотя обширную информацию получать таким образом утомительно.

Более быстрые колебания могут происходить в системе, показанной на рис. 10.3. Здесь легко осуществить параметрическое возбуждение путем изменения натяжения, если воспользоваться устройством, показанным на рис. 9.1. Электромагнитный возбудитель теперь следует установить так, чтобы обеспечить продольную силу,

действующую на нить. Хотя в этом случае не очень просто (по сравнению с маятником) количественно проверить теорию, такое устройство оказывается очень удобным для демонстрации того, как процесс параметрического возбуждения ограничен нелинейностью. Начавшись, колебания линейной системы должны продолжаться и неограниченно возрастать экспоненциально, как следует, например, из соотношений (10.19) и (10.20). Однако в реальной системе всегда возникает насыщение, потому что либо возбудитель не сможет

Рис. 10.9. Параметрическое возбуждение нити в устройстве, показанном на рис. 9.1Рис. 10.9. Параметрическое возбуждение нити в устройстве, показанном на рис. 9.1Рис. 10.10. Иллюстрация объяснения характера зависимости, приведенной на рис. 10.9Рис. 10.10. Иллюстрация объяснения характера зависимости, приведенной на рис. 10.9

Рис. 10.9. Параметрическое возбуждение нити в устройстве, показанном на рис. 9.1

Рис. 10.9. Параметрическое возбуждение нити в устройстве, показанном на рис. 9.1

Рис. 10.10. Иллюстрация объяснения характера зависимости, приведенной на рис. 10.9

Рис. 10.10. Иллюстрация объяснения характера зависимости, приведенной на рис. 10.9

развить неограниченную мощность, либо еще до того, как этот предел будет достигнут, та или иная нелинейность сведет скорость роста к нулю. Эксперимент, который будет описан ниже, иллюстрирует роль, которую играют при колебаниях нити возрастающие потери на сопротивление воздуха и сдвиг резонансной частоты при увеличении амплитуды.

Возбудитель обеспечивает интенсивные колебания стержня, частота которых медленно возрастает. Параметрическое возбуждение начинается на строго определенной частоте и через 1—2 с (время естественного затухания для нити) амплитуда стабилизируется. При дальнейшем росте частоты амплитуда возрастает (рис. 10.9). Рост продолжается до тех пор, пока колебания внезапно не прекращаются, после чего нить успокаивается. При уменьшении частоты с нитью ничего не происходит (если только она не очень сильно дергается) вплоть до значений, значительно меньших частоты, при которой произошел срыв колебаний. Затем спонтанно вновь возникают колебания и при дальнейшем уменьшении частоты повторяется полученная ранее зависимость (рис. 10.9). При более слабом возбуждении получается аналогичная кривая, только в уменьшенном масштабе.

Объяснение формы кривой вытекает из ангармонического поведения системы, которое обсуждалось в гл. 9 (см. рис. 9.2). Увеличение натяжения по мере смещения нити является доминирующим механизмом параметрического возбуждения. Оно легко превосходит соответствующее cos 0 уменьшение продольной составляющей натяжения в точке возбуждения. Тем не менее движение является почти гармоническим и можно предположить, что линейная теория нуждается только в такой модификации, при которой можно допустить возможность небольшого изменения соо при изменении амплитуды. Расстройка Аь при которой колебания не возрастают и не убывают, равна [Ас2—l/(4Qp2. Она не зависит от амплитуды возбуждения, если возбуждение поддерживается неизменным (т. е. если Ас фиксировано) и если Q не меняется. Поэтому на рис. 10.10 приведены две кривые, отстоящие по частоте от резонансного значения на ±Ai; они поясняют условия, при которых могут возникнуть колебания с постоянной амплитудой. Права линия неустойчива, поскольку малое увеличение амплитуды приводит систему в состояние, при котором амплитуда возрастает еще больше. Если бы этим исчерпывалось все, что связано с ростом частоты, то ничего не менялось бы вплоть до достижения такого значения coi, при котором параметрическое возбуждение становится эффективным. При дальнейшем возрастании частоты амплитуда росла бы в соответ- стви с кривой А и причин для внезапного срыва колебаний, показанного на рис. 10.9, не было бы. Этот срыв обусловлен уменьшением Q при больших амплитудах (это уже обсуждалось в гл. 9), которое уменьшает критическую расстройку и сближает линии А и В (пунктир на рис. 10.9). Теперь становится понятным характер зависимости, приведенной на рис. 10.9.

Если приведенные рассуждения верны, то наблюдаемая частота (53,5 Гц), на которой происходит срыв колебаний, должна быть очень близкой к удвоенной собственной частоте колебаний нити при амплитуде 30 мм. При меньших амплитудах эта частота равна 50,9 Гц. Предполагая, что изменение собственной частоты должно быть пропорционально квадрату амплитуды, получим, что при амплитуде 17,5 мм частота должна составлять 0,44 Гц. Все это очень близко к тому, что следует из рис. 9.2.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УСИЛИТЕЛИ [4]

Периодические изменения параметров одного из элементов контура, например емкости, вызывают нарушения имеющихся колебаний, порождая суммарные и разностные частоты, которые могут возбудить отклик в контуре, настроенном соответствующим образом. Именно этот эффект используют в параметрических усилителях, в частности в микроволновом диапазоне частот. Последние используют в искусственных спутниках связи и в радиоастрономии. Сигналы, поступающие в эти устройства, очень слабы и легко могут быть подавлены шумами, возникающими на первой ступени усиления. На этой ступени необходимо умеренное усиление при мини-

Рис. 10.11. Токи различных частот в контуре параметрического усилителяРис. 10.11. Токи различных частот в контуре параметрического усилителямальном уровне шумов. Тогда в дальнейшем мощность сигнала будет превышать уровень шумов обычных усилителей и можно будет избежать опасности потери полезной информации. Достоинство параметрических усилителей состоит в том, что элементы их контуров могут быть охлаждены до таких температур, при которых джонсоновский шум мал, и в том, что в них нет элементов, генерирующих дробовой шум. В настоящее время точно установлено, сколь мал может быть шум и как его уменьшить, поэтому нет необходимости углубляться в детали физических процессов, лежащих в основе работы варикапа— переменного конденсатора, являющегося сердцем параметрического усилителя [5]. Достаточно заметить, что его емкость зависит от обеднения слоя, находящегося на границе р- и п-обл астей полупроводникового р-п-вентиля. Если к вентилю приложено обратное напряжение, через него протекает очень маленький ток, так как между областями материалов р-типа и n-типа образуется тонкий слой, из которого приложенным полем фактически удалены свободные электроны. Именно этот слой играет роль диэлектрика конденсатора, толщина ко

Рис. 10.11. Токи различных частот в контуре параметрического усилителя

Рис. 10.11. Токи различных частот в контуре параметрического усилителя

торого может изменяться при изменении приложенного поля. Если варикап, представляющий собой тонкую пластинку из полупроводника, помещен в микроволновой резонатор, настроенный так, что электрическое поле направлено вдоль пластинки, его емкость может настраиваться (накачиваться) на резонасную частоту резонатора. Глубина модуляции может управляться подбором мощности накачки.

В схеме, приведенной на рис. 10.11, предполагается, что входной контур в левой части схемы является резонансным либо развязанным от показанной схемы с помощью фильтров. Его импеданс имеет ограниченную величину на всех частотах, кроме частоты 0)1. В то же время пассивный контур в правой части имеет резонансную частоту, приблизительно равную 0)2. Комбинация с частотой o)i (входная частота) или с частотой о)3 (частота накачки) никакого влияния на него не оказывает. Пусть токи и емкость меняются в соответствии с уравнениями

ц=ах cos ^V + ^i)» h = ac2 cos (^ + ^2),

1 /С = [ 1 + ? cos (о)3/ + ?3)]/С0.(10.24)

Ток, протекающий через конденсатор, определяется разностью ц—U. Интегрируя эту величину, можно найти заряд и, следовательно, разность потенциалов на конденсаторе:

C0[V = [ 1 + Р cos («)3/ + ?з)]• [— sin (о^ + у^—^- sin (<о2/ + о2)] =

=—sin (to^ + Vi) —— sin W + ?z) + ^ {sin [О^ + юз) ^ + Yi +

(tilw2Zo^

■р^з] — sin [(wi — соз)^ 4~?1 — ?з!I(sin [(^“F^з)* + ?2 +

+ ?3]-sin [К-^зН + ?2-?з]}.(10.25)

Это соотношение содержит частоты coi, (02 и их комбинации с частотой (Оз, например (0^(03, со2±соз. Когда пассивный контур настроен так, что о)2 = о)з—(01, в выражении для разности потенциалов V присутствуют четыре различные частоты: on, 0)2, 2(oi + o)2, 2(o2 + o)i. В хорошо настроенных пассивных контурах не возникает токов только с двумя последними значениями частоты *. В самом деле, единственными величинами, характеризующими каждый контур в отдельности, являются следующие:

^0^1 = —sin (ш^Ц-?!)—^ sin (ш^ + уз — срз) (контур 1); (10.26)

Cov2=—— sir. (lo^-f-'^H—sin (v>2^ + ?3—?i) (контур2). (10.27) оз22ooi

В пассивном контуре ток i2 возникает только под действием разности потенциалов V2. Если активное и реактивное сопротивления контура равны Rs и Х2 соответственно, то

V2=^2cos(oV + (p2) —Jf2(22sin (^ + ?2>-(10.28)

Поскольку соотношения (10.27) и (10.28) должны быть идентичными, амплитуда и фаза тока U принимают такие значения, что

-^- sin ?=<0^2; -^1-cos ср=^-(1-0)^2).(10.29)

2^22^2оз2

где ф = фз—ф2—Фь Если пассивный контур с варикапом, емкость которого имеет среднее значение, в точности настроен на резонансную частоту, то Х2—1/(сооС0) =0. Поэтому cos ф = 0 и

я2/&1 =^ ЭД^^о^г)*(10.30)

Вне резонанса a2/ai имеет меньшее значение, и из соотношений (10.29) неожиданно следует, что заметный отклик возникает только в том случае, если пассивный контур настроен так, что значение 0)3—o)i (или (01 + 0)3) находится внутри резонансного пика.

Оценим входной импеданс контура на частоте оь Для этого заметим, что при резонансе в пассивном контуре выражение (10.26) (единственный случай, который мы рассмотрим) с учетом (10.30) принимает вид

C0V 1 = — sin («V + ср,) — -^- cos (ю,/ 4-ф,)= oji

= — sin (ш^ + ф^^ cos (<0,^4- V1). (014cOiu32Cq/<2

л При настройке пассивного контура на частоту o)2 = coi+o)3 возникает аналогичная ситуация и мы будем рассматривать этот случай в отдельности.

Первое слагаемое сдвинуто по фазе на л/2 относительно входного тока а\ sin (<oi/+<Pi) и представляет собой реактивную часть входного импеданса. Ее можно свести на нет, добавив последовательно реактивное сопротивление с противоположным знаком. В этом и состоит суть настройки входного контура на резонанс. Если это сделано, то сопротивление контура становится отрицательным:

/?вх= ~ ^/(^l^^)-/?вх= ~ ^/(^l^^)-(10.31)(10.31)

/?вх= ~ ^/(^l^^)-

/?вх= ~ ^/(^l^^)-

(10.31)

(10.31)

Рис. 10.12. Эквивалентная схема настроенного параметрического усилителя, питающегося от линии передач с импедансом R1 •Рис. 10.12. Эквивалентная схема настроенного параметрического усилителя, питающегося от линии передач с импедансом R1 •

Рис. 10.12. Эквивалентная схема настроенного параметрического усилителя, питающегося от линии передач с импедансом R1 •

Рис. 10.12. Эквивалентная схема настроенного параметрического усилителя, питающегося от линии передач с импедансом R1 •

Наличие отрицательного сопротивления допускает возможность появления сигнала с напряжением, превышающим напряжение входного сигнала. В контуре, приведенном на рис. 10.12, при входном напряжении VBX, получаемом от источника с сопротивлением 7?i (т. е. от линии передачи с импедансом J?i), возникает ток VBX/(^i+^вх)- Поэтому разность потенциалов на конденсаторе Ei на частоте cdi имеет амплитуду Vbx7?bx/(^i+^bX). Усиление напряжения составляет 7?вх/№ +^вх) • Эта величина может достигать значений, близких, например, к 10. Вы

игрыш по мощности при этом составляет 20 дБ, если значение отношения |/?вх|/^?1 приближается к 10/11. Если |/?вх| превышает 7?i, то в контуре даже при отсутствии входного сигнала возникают спонтанные колебания. Он перестает быть устойчивым. Это еще один тип параметрического возбуждения осциллятора с двумя резонансными системами, возбуждаемыми одновременно на частоте, равной сумме (или разности) частот. Естественно, что в усилителях следует избегать подобного возбуждения. Чем точнее можно управлять мощностью накачки, тем ближе можно удерживать (3 вблизи критического значения, при котором возникает неустойчивость. Соответственно тем большего усиления можно достигнуть.

Усиления сигнала можно также добиться на частоте (о2- Напряжение на R2 составляет 7?2^2=Р^1/(2со1С0) (это следует из соотношения (10.30)) при хорошо настроенном пассивном контуре. Следовательно,

V^V^^Co^H-^)].

Это и есть коэффициент усиления напряжения в последнем случае. Для сравнения обоих случаев заметим, что

и р подбирают таким, чтобы —RBX было очень близкое к 7?ь Следовательно,

^2/^1 ~ b’bA^/O’hAd)]72.

Что именно выгоднее использовать для следующей ступени усиления, V2 или Vi—технический вопрос, который следует решать в каждом конкретном случае. Проведенный выше анализ не содержит каких-либо рекомендаций на этот счет.

Разработка параметрических усилителей продвинулась значительно дальше того, чего можно достигнуть, используя приведенные сведения. Эти усилители применяются в устройствах, использующих распространение волн. Параметрическая накачка позволяет достигнуть существенного усиления волны в процессе ее распространения. Но здесь мы уже сильно забегаем вперед.

1 1 # ГЕНЕРАТОРЫ НЕЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

В этой главе мы рассмотрим только простейшие системы с установившимися колебаниями, которые в гл. 2 были определены как устройства с отрицательным сопротивлением, генераторы с обратной связью и релаксационные генераторы (см. § 2.6). Мы попытаемся поточнее описать и дать классификацию различных типов генераторов, хотя, как известно, часто бывает трудно установить четкие границы. Одновременно на основе анализа ряда конкретных примеров мы постараемся выяснить: какие условия необходимы для существования спонтанных колебаний? Как амплитуда колебаний ограничена нелинейностью? что определяет окончательную форму колебаний? Нет необходимости заниматься выяснением основных условий существования колебаний. Эта важная проблема хорошо изучена. Более полное рассмотрение, которого она заслуживает, можно найти в специальной литературе.

Как уже отмечалось в гл. 2 и в других местах, резонансная система, описываемая уравнением второго порядка типа (2.23), совершает спонтанные колебания, если к отрицательно. Источник энергии необходим для компенсации неизбежных потерь энергии, связанных с диссипативными эффектами. Среди множества способов поступления энергии в колеблющуюся систему, по-видимому, наиболее известным является обратная связь. Поэтому начнем с общего принципа обратной связи, обращая особое внимание на то влияние, которое обратная связь может оказывать на поведение резонансной системы, а не только на процесс возникновения в ней спонтанных колебаний. Изложение будет вестись с применением электротехнических терминов, которые используются при рассмотрении подавляющего большинства прикладных вопросов.

11.1. ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ СВЯЗИ

Сформулированный кратко принцип обратной связи состоит в том, что сигнал, идущий от системы, подвергается некоторым воздействиям (например, усилению или фильтрации) и, возвращаясь в сис- тему, накладывается на первоначальный сигнал, тем самым влияя на формирование последующего сигнала. В этом смысле обратная связь создает непрерывную циклически действующую систему. Однако эта точка зрения не всегда оказывается пригодной и в достаточной мере обоснованной. Обычно ею пользуются применительно к электрическому контуру или к механической системе (эта концепция находит успешное применение даже в экономической и со- 332

циальной системах). Эти системы содержат множество взаимодействующих элементов, однозначно определяющих их поведение. Представление о том, что события происходят в такой последовательности: формирование сигнала, его преобразование и возвращение обратно в систему, — основывается на «необратимом» характере работы усилителя, в котором выходной сигнал зависит от входного, а не наоборот. Естественно проследить этот процесс во времени. Это может оказаться полезным, если процесс вносит временную

о—♦1|•—о д о »—I Zj I—#—о

JLИсточник]пх

Источник]ИОбратнаяОбратная

У У связьсвязь

О*Г>г>г\jо g оi]о

°1°

ВходоППлВыход

Н^,х

О1Lо

Рис. 11.1. Напряжение на резисторе в резонансном контуре усиливается и используется как напряжение обратной связи, поступая через другой резистор (а); б — обобщение случая а; в — эквивалентная схема усилителя

задержку. Однако преимущество такого способа обычно незначительно; нам еще представится небольшая возможность обсудить некоторые вопросы с этой точки зрения.

Рассмотрим пассивный ЛС/?-контур, модифицированным таким образом, что э.д. с. между любыми двумя точками можно считать входным сигналом, а э.д. с., получаемую после усиления между любыми другими двумя точками,—э.д. с. обратной связи. В схеме, показанной на рис. 11.1, а, обратная связь осуществляется посредством резисторов. Входную цепь и цепь обратной связи представим в более общем виде (рис. 11.1, б). На рис. 11.1, в показана эквивалентная схема усилителя, в которой предполагается, что во входную цепь поступает э.д. с. е, а в выходной цепи возбуждается э.д. с. Ле. При этом предполагается, что входное сопротивление RBx достаточно велико, чтобы предотвратить возникновение значительного выходного тока. Сопротивление /?вых тоже выбирается много большим импеданса цепи, так что ток в цепи обратной связи Ле//?Вых = = ge оказывается пропорциональным входному напряжению. Кроме того, предполагается, что входной и выходной каскады изолированы друг от друга таким образом, что существует возможность изменения знака g посредством изменения полярности подключения входной цепи. Это вполне осуществимо с помощью современных технических средств, однако несколько непривычно и требует обоснования в каждом практическом примере. В самом деле, некоторые трудности, с которыми конструкторы сталкивались еще в период создания электронных ламп, возникали именно при проектирова-

нии электрической связи между каскадами. Мы, однако, занимаемся основные теоретическим принципом обратной связи и поэтому не будем касаться практических вопросов. Вернемся же к ним мы позднее, когда будем иметь более ясное представление об особенностях поведения, обусловленных режимами работы и теми ограничениями, которые накладывает практическое применение.

Проанализируем контур, показанный на рис. 11.1,6. Для этого предположим, что токи ц и f2 имеют комплексную частоту со. Если 2) (со)—импеданс цепи между точками Л и В, то i2=5^ib и дополнительное напряжение, возникающее на сопротивлении, обусловленное током /2, равно gZxZ2ix. Следовательно, обратная связь приводит к добавлению еще одного слагаемого в уравнение для контура. Так как при отсутствии обратной связи собственная частота такова, что Z# = Z1+Z2 + Z3 стремится к нулю, то при наличии обратной связи уравнение принимает следующий вид:

Zt-gZ1Z2=0. (11.1)

В контуре, показанном на рис. 11.1, в, дополнительное сопротивление носит активный характер gRxR2. В усилителе, выполненном, так, что g отрицательно, дополнительное сопротивление положительно и резонансные свойства контура оказываются подавленными (отрицательная обратная связь). Однако, изменив полярность подключения, можно сделать g положительным (положительная обратная связь); Rx и R2 можно подобрать такими, что полное сопротивление контура станет отрицательным и в нем возникнут спонтанные колебания. Их амплитуда возрастает по экспоненциальному закону до тех пор, пока в результате насыщения усилителя эффективное значение g не уменьшится, препятствуя дальнейшему росту амплитуды. Системам такого типа посвящена большая часть настоящей главы.

Прежде чем приступать к рассмотрению таким систем, следует отметить, что положительную и отрицательную обратные связи можно осуществить и другими способами. Например, в качестве Zx можно взять конденсатор, а обратную связь осуществить с помощью резистора. В этом случае Zx = l/(jcoCi), а дополнительное сопротивление носит реактивный характер и равно Ci/(g/?2). Резонансная частота теперь в большей степени, чем Q, подвержена непосредственному влиянию рассматриваемых параметров.

Пожалуй, одним из первых остроумных изобретений, основанных на этом типе обратной связи и показывающих, как коэффициент возвращающей силы в резонансной системе может влиять на выигрыш, является гальванометрический усилитель, разработанный и сконструированный Голлом [1] (рис. 11.2, в). Свет, отраженный от зеркала гальванометра, фокусируется на фотоэлементе, который включен в цепь тиратрона, работающего непосредственно в цепи переменного тока без выпрямления. Подробности работы этой очень экономичной схемы мы опускаем. Интересующийся читатель может разобраться в них самостоятельно или выяснить их, выполнив необходимые расчеты. Достаточно отметить, что тиратрон не

пропускает ток до тех пор, пока фотоэлемент не освещен. Но как только свет попадает на фотоэлемент, через него начинает протекать ток и потенциалы между сеткой и анодом распределяются так, что в тиратроне возникают мощные импульсы тока в каждый период. Эти импульсы сглаживаются и поступают на вход гальванометра одним из способов, показанных на рис. 11.2, а, б . В схеме»

Рис. 11.2. Два возможных способа осуществления обратной связи в гальвано- метрическом усилителе (а и б). Ток, возникший во входной цепи, вызывает отклонение стрелки гальванометра, в выходной цепи появляется ток обратной связи. Он измеряется амперметром А и пропорционален входному току; в — схема тиратронного усилителя (D. S. Goll [1])Рис. 11.2. Два возможных способа осуществления обратной связи в гальвано- метрическом усилителе (а и б). Ток, возникший во входной цепи, вызывает отклонение стрелки гальванометра, в выходной цепи появляется ток обратной связи. Он измеряется амперметром А и пропорционален входному току; в — схема тиратронного усилителя (D. S. Goll [1])

Рис. 11.2. Два возможных способа осуществления обратной связи в гальвано- метрическом усилителе (а и б). Ток, возникший во входной цепи, вызывает отклонение стрелки гальванометра, в выходной цепи появляется ток обратной связи. Он измеряется амперметром А и пропорционален входному току; в — схема тиратронного усилителя (D. S. Goll [1])

Рис. 11.2. Два возможных способа осуществления обратной связи в гальвано- метрическом усилителе (а и б). Ток, возникший во входной цепи, вызывает отклонение стрелки гальванометра, в выходной цепи появляется ток обратной связи. Он измеряется амперметром А и пропорционален входному току; в — схема тиратронного усилителя (D. S. Goll [1])

приведенной на рис. 11.2, а, ток обратной связи if создает разность потенциалов на резисторе R1, которая накладывается на разность потенциалов в цепи гальванометра. В результате входная разность потенциалов для данного входного тока значительно увеличивается, а цепь имеет большое входное сопротивление. На рис. 11.2,6 ток обратной связи через гальванометр G направлен противоположно входному току, уменьшая разность потенциалов на гальванометре. Во столько же раз уменьшается входное сопротивление.

Каждая схема имеет свои достоинства и применяется в соответствующих случаях: первая — там, где требуется чувствительный вольтметр, вторая — когда необходим амперметр. При более подробном рассмотрении работы этой схемы мы увидим, что ток об

ратной связи, являющийся усиленным входным током, в точности пропорционален последнему. Это позволяет измерять его с высокой степенью точности. Однако эти тонкости, подчеркивающие практическую ценность прибора, сейчас несущественны. Мы рассмотрим лишь, как обратная связь влияет на динамику поведения подвешенной пружины — механического аналога резонансного контура. Дальше станет ясно, что изменения, вносимые обратной связью приносят большую пользу. Описываемый прибор действительно является редким примером изобретения, практически не имеющего недостатков.

Для количественных оценок введем коэффициент усиления а, представляющий собой отношение тока обратной связи к току, протекающему через гальванометр. Он может достигать значений порядка 105. Рассматривая схему, показанную на рис. 11.2,6, отметим, что ток /Вх и ток обратной связи гСв сопровождаются током 1\ протекающим в цепи обратной связи. Воспользовавшись законом Кирхгофа, для данного контура получим

(G + /?2 + А^) V + °кх + ^св = 0.

Кроме того, ток, протекающий через гальванометр, равен fBx—Г; следовательно,

кв = ^ ^кх )•

Исключая из этих уравнений V, получим

(/?2 + ^з)“ + ^ ') кв'

\а /

или(П-2)

*«=^Вх. где р=1 + /?3//?2,

если а достаточно велико, чтобы последним слагаемым в правой части можно было бы пренебречь.

Это уравнение выражает важный результат, который и делает принцип обратной связи столь привлекательным. При очень большом коэффициенте усиления а можно выбрать р столь большим,, что в пределах точности измерений отношения г'свЛвх не будет зависеть от а. Тогда исчезает необходимость беспокоиться о стабильной работе усилителя, так как небольшой входной ток Ux увеличивается в р раз, а постоянство р зависит только от стабильности параметров резисторов. Ток обратной связи tCB может быть измерен или зарегистрирован с помощью сравнительно грубого прибора. Гальванометрический усилитель Голла позволяет непосредственно- регистрировать на ленте самописца токи, значительно меньшие 1 мкА. С точки зрения современной электроники это не кажется, большим достижением, однако следует отдать должное экономичности, которая достигается с помощью простого фотоэлемента и тиратрона, даже без блока питания. Кроме того, более высокая чувствительность по току сопровождается существенным уменьшением

входного сопротивления. Из соотношения (11.2) следует, что ток через гальванометр равен гсв/а или piBX/a; следовательно, входное сопротивление равно отношению |3G/a, которое может быть во много раз меньше сопротивления гальванометра.

Отсутствие зависимости а от IcbIUx легко объяснить. При очень большом усилении малейшее отклонение зеркала гальванометра вызывает гигантский ток в цепи обратной связи, который возвращает зеркало к нулевому положению. Находясь в этом положении, зеркало отклоняется значительно меньше, чем оно отклонилось бы,, если бы не было обратной связи. Ток обратной связи при этом таков, что после разветвления в участки цепи, содержащие R2 и R3-VG (основная часть тока идет через резистор R^, ток через гальванометр практически не идет. Учитывая все это, можно понять, почему динамические свойства системы тоже в значительной степени испытывают воздействие обратной связи. Ток обратной связи создает сильный вращающий момент при отклонении зеркала от положения равновесия и, следовательно, увеличивает вращающий момент в нити подвеса. Поэтому период (т. е. время, необходимое для возвращения подвеса в положение равновесия после прохождения импульса тока) уменьшается. Этим достигается еще одно замечательное преимущество описываемого прибора.

Проанализируем сказанное с помощью уравнения движения зеркала гальванометра. Свободное движение описывается уравнением типа (2.29). Когда ток I протекает через подвешенную рамку,, в нем появляется еще одно слагаемое:

/ё + (Х0 + Л//?)9 +p,9 = S^ (11-3) где S — чувствительность по току, определяемая значением постоянного отклонения, которое вызывается единичным током . Из определения коэффициента усиления а следует, что отклонение гальванометра Si приводит к возникновению тока обратной связи ai. Таким образом, общее соотношение между отклонением и током обратной связи приобретает вид

<св=а9/5.

Следовательно, 1 = кх—a0/(pS). Подставив это соотношение в (11.3), получим модифицированное уравнение движения:

^64" (^о4~ AjR^ 9-|- р» (14"a/?) § = Sp4BX.

Это подтверждает качественную аналогию между обратной связью и модулем кручения. Собственная частота увеличивается в (1+а/р),/2 раз, а декремент уменьшается каждый период. Условие для критического затухания имеет вид

^о 4~ AIR^ 2 [р,/ (14~ ct/3)]

так что 7? может быть небольшим и при этом затухания, превышающего критическое, не будет. Это позволяет использовать прибор для измерений малых токов в цепях с низким сопротивлением и достичь значительного преимущества по сравнению с таким гальванометром, в котором высокая чувствительность обеспечивается дорогой ценой — за счет его большого внутреннего сопротивления.

ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

И СПОНТАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Оставшаяся часть настоящей главы в основном посвящена рассмотрению генераторов незатухающих колебаний, работающих в режиме установившихся колебаний. Как уже отмечалось, это уводит нас из области линейных процессов. Поэтому вначале удобно обсудить ту часть вопроса, которая касается собственно линейной теории. Скажем, критический режим, когда система переходит из устойчивого состояния в состояние со спонтанным ростом амплитуды из-за малых изменений параметров обратной связи (но амплитуда все еще соответствует линии, разделяющей области фокальной устойчивости и фокальной неустойчивости на рис. 9.6.). В простейших случаях (например, как в контуре, показанном на рис. 11.1, a) g не зависит от частоты и поведение системы может быть определено сразу же. Соотношение (11.1) принимает хорошо знакомый вид:

у ^ + R (1 - gRxR2/R) + 1/(/^С) = 0.(11.4)

Критическим значением g является RI^R\R2^, когда второе слагаемое в приведенном соотношении стремится к нулю. Ситуация перестает быть столь очевидной, когда g является функцией (комплексной) частоты. Это происходит в случае усилителей, где учет собственных емкостей, времени пробега электронов и т. д. приводит к уменьшению коэффициента усиления на высоких частотах, а также вносит зависящие от частоты фазовые сдвиги. Даже если представить g в виде полинома по со, соотношение (11.4) может превратиться в алгебраическое уравнение высокого порядка с большим числом корней, любой из которых, обладающий положительной мнимой частью, может оказаться ответственным за возрастание спонтанных колебаний. А это влечет за собой нарушение устойчивости. Аналогичная проблема возникает тогда, когда g— постоянная, но контур, содержащий обратную связь, оказывается более сложным, чем тот, что показан на рис. 11.1, а, т. е. если в контуре имеется ряд разветвлений и система описывается уравнением вы- ского порядка. Решение этой задачи путем использования критериев Раута— Гурвица является одним из первых достижений в теории устойчивости. Однако, каким бы способом ни была решена задача, такой подход не может служить универсальным методом, поскольку в общем случае изменение g при изменении частоты не может быть представлено в виде полинома.

К счастью, существует другой метод, более тесно связанный с экспериментом, когда с функцией g(co) оперируют, как с известной

функцией, измеренной или рассчитанной. При этом не предполагается знание какого-либо аналитического выражения для g. Этот метод был разработан Найквистом [2]. Детально обосновывая правдоподобность этого метода, мы не будем заниматься ни его строгим доказательством, ни увеличением числа примеров, иллюстрирующих его применение.

Понятие о коэффициенте усиления, которое играет ключевую роль в теореме Найквиста, можно ввести, воспользовавшись схемой, приведенной на рис. 11.1,6, в которой е (э.д. с. на участке ZJ является входным сигналом для усилителя, выходной сигнал которого служит источником тока U. Разомкнув точки АВ, подадим на вход усилителя э.д. с. от внешнего источника г. Если сопротивление /?ш велико, выходной ток gs разветвляется между участками цепи Z2 и Zi+Z2 так, что э.д. с. на участке Zx составляет g‘eZ1Z2/(Zi+Z2 + Z3). Коэффициент усиления G схемы, определяемый как отношение значений э.д. с. на выходе и на входе при разомкнутой цепи, равен

gZ^Z^RZ^ Д- Z2+ Z3).

Для одного или нескольких значений со (в общем случае — комплексных) коэффициент усиления равен единице и контур может быть замкнут без изменения токов и напряжений в каких-либо его участках. Эти значения со являются собственными частотами контура с обратной связью; действительно, приравнивая g‘Z1Z2(Zi +Z2 + Z3) единице, легко получить соотношение (11.1).

Не касаясь комплексных частот, рассмотрим траекторию коэффициента усиления на диаграмме Арганда, когда со принимает все действительные значения от —оо до +оо. В частном случае, когда Zx и Z2— активные сопротивления и Zt( = Zi+Z2+Z3) =jcoL+^+ + l/(jcoC) является импедансом резонансного контура, представленного на рис. 11.1, а, коэффициент усиления

G W=gRiRd\j^L-VR-V 1/(/шС)].

Если g— величина действительная и не зависящая от со, то траектория G представляет собой окружность, в которой точки 0 и gRxRsJR лежат на противоположных концах диаметра (рис. 11.3). При определенном значении g траектория проходит через точку U, которая соответствует действительному значению G, равному единице. В контуре становится возможным возникновение колебаний с действительной частотой со. Это соответствует нейтральному состоянию, промежуточному между устойчивостью и неустойчивостью. Это условие совпадает с тем, что мы получили из соотношения (11.4): g = R/ (RXR2) • При меньших значениях g контур устойчив, при больших — неустойчив и началу неустойчивости соответствует окружность, расширяющаяся от точки U.

Очевидно, существует много других контуров с обратной связью, для которых траектории коэффициентов усиления не являются окружностями (особенно в том случае, если g— сложная функция частоты) и для которых можно применить то же самое доказательство. Контур устойчив, как это и должно быть, если g очень мало, а траектория коэффициента усиления G расположена вблизи начала координат. Затем, если g постепенно увеличивается так, что траектория расширяется, наступает момент, когда она проходит через точку U и система оказывается в нейтральном равновесии, соответ-

Рис. 11 3. Коэффициент усиления (диаграмма Найквиста) для контура, представленного на рис

11.1, а

С ростом g и радиуса круга контур сначала устойчив, затем нейтрален и наконец становится неустойчивым. С — точка, соответствующая значению G = 1

ствующем одной моде колебаний. Небольшое увеличение g приводит к возникновению неустойчивости, в тот же момент точка G = 1 оказывается внутри области, ограниченной траекторией. Хотя это рассуждение нельзя рассматривать как доказательство теоремы Найквиста, оно подтверждает, что контур с обратной связью является устойчивым, если точка U находится вне области, ограниченной траекторией G.

Эта аргументация подтверждает следующее утверждение: если точку U траектории коэффициента усиления окружают п раз, то существует п различных неустойчивых мод. Каждое увеличение значения п происходит тогда, когда траектория проходит через точку U, позволяя новой моде проходить через нейтральную область. Конечно, это можно наблюдать только тогда, когда путем соответствующего выбора начальных условий предотвращено возрастание уже существующих неустойчивых мод. В случае контура, показанного на рис. 11.1, а, коэффициент усиления пробегает по окружности дважды, пока со изменяется от —оо до +оо. Это согласуется с тем, что существуют два решения уравнения движения Qi и Q2. Действительно ли они различны, если учесть, что Q2 =—^i*,— вот в чем вопрос. Однако если допустить, что частота со принимает как положительные, так и отрицательные значения, то при определении связи между числом витков траекторий, окружающих точку U, и количеством неустойчивых мод последние должны рассматриваться независимо.

При практическом использовании теоремы Найквиста время от времени возникают затруднения, например когда система неустойчива в отсутствие обратной связи и становится устойчивой именно благодаря ей. Кроме того, может случиться, что система, устойчивая при малом g, становится неустойчивой при увеличении g, но затем, при очень больших g, вновь становится устойчивой. В этом 340

случае первое критическое значение g отмечает вхождение точки U во внутреннюю область траектории, а второе — ее выход из этой области. Каждый особый случай служит для проверки и обстоятельного подтверждения общности теории.

На этом мы оставим общие вопросы и вернемся к частным примерам автоколебательных систем, причем в наибольшей степени нас будет интересовать стадия установившихся колебаний, а не исследование начальной неустойчивости. Как будет видно, начальная неустойчивость обычно представляет собой тривиальный вопрос с простыми примерами, которые мы рассмотрим. В то же время рассмотрение установившихся режимов представляет собой трудную задачу.

ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ, ОБУСЛОВЛЕННОЕ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ; ГЕНЕРАТОРЫ КЛАССА С

Идея, вытекающая из соотношения (11.1), получила практическое применение в начале истории электроники, когда были изобретены

на использованиина использованииУУАнодная обратная связьАнодная обратная связьтриодные генераторы, работа которых основана принципа обратной связи [3]. Триод (а еще более — пентод) очень близок к идеальному усилителю, — введенному без доказательства в предыдущем параграфе. В нем " при невысоких частотах напряже- — ние, приложенное к сетке, вызывает изменение анодного тока, а входной и выходной импедансы достаточно велики, что позволяет успешно наблюдать поведение колебательной системы. Величи- т

на использовании

на использовании

У

У

Анодная обратная связь

Анодная обратная связь

Рис 11 4. Четыре простые схемы ге-нераторов, представляющих собойусилители на триодах с обратнойсвязьюРис 11 4. Четыре простые схемы ге-нераторов, представляющих собойусилители на триодах с обратнойсвязьюной g в данном случае является крутизна вольт-амперной характеристики триода, определяемая как изменение выходного тока, вызванное единичным изменением сеточного напряжения. Несколько типичных схем простых

Рис 11 4. Четыре простые схемы ге-нераторов, представляющих собойусилители на триодах с обратнойсвязью

Рис 11 4. Четыре простые схемы ге-нераторов, представляющих собойусилители на триодах с обратнойсвязью

генераторов приведено на рис.

Из них удалены различные элементы, несущественные для понимания принципов работы схем.

Конденсатор С', резистор R' и катушка U в схеме Колпитца (рис. 11.4,6) необходимы для обеспечения нормальных режимов работы сетки и катода, которые должны иметь связь по постоянному току с остальными элементами цепи. Именно поэтому в схеме создается необходимое распределение потенциалов. В то же время

переменная составляющая тока должна поступать в соответствующие участки цепи. Поэтому емкость С должна быть достаточно

большой, чтобы импеданс на частоте генерации колебаний был невелик, в то же время R' и U должны обладать значительным сопротивлением ^RC'^X^ и L'C^ 1/со2). Тогда эти элементы не будут оказывать существенного влияния на характер колебаний.

В схемах Хартли и Мейснера (рис. 11.4, а, в) оба элемента Z] и Z2 являются индуктивными, так что gZ}Z2 имеет действительное значение и оказывается порядка со2. В схеме Колпитца gZ\Z2 также действительно, но имеет значение порядка со-2. В обоих случаях уравнения относительно со оказываются уравнениями третьего порядка. Поэтому дифференциальное уравнение для системы резонансных контуров в схеме Мейснера должно быть дополнено слагаемым типа Gq, где G = gMxM2:

Gq^Lq-YRq-YqlC^.

Если искать решение в виде epf, то

Gp3^-Lp2-\-Rp-V- \/С = 0.(11.5)

Аналогичное уравнение получается для схемы Хартли, но в уравнении для схемы Колпитца появляется новое слагаемое:

Lp^-VRp^pfC-VG^O,(11.6)

где G'=g! ^СхС2у В уравнениях (11.5) и (11.6) величины G и G' положительны. Если все коэффициенты положительны, a R мало, то уравнения имеют по одному действительному и по два комплексных корня, что легко проверить, решив их. Действительный корень отрицателен и, следовательно, не представляет для нас интереса. Однако если G и G' достаточно велики, то два других корня определяют возрастающие колебания. Критическое условие для возникновения спонтанных колебаний состоит в том, что р должно быть чисто мнимым, т. е. p=±jcoo, где со02=1/(^С), и G = 7?/coo2, или G' = Rw02. Для больших значений G или G' влияние обратной связи должно приводить к отрицательному сопротивлению, превышающему R.

Схема с анодно-сеточной обратной связью (рис. 11.4, г) отличается от рассмотренных схем тем, что в ней входная цепь имеет конденсатор, а обратная связь осуществляется через катушку индуктивности. Импульсная э. д. с. на входе равна q]C, а э.д. с. обратной связи составляет gMq]C. Для обратной связи можно выбрать любой знак (так же, как и в схеме Мейснера), но она должна компенсировать по переменной составляющей действие резистора:

LqA-^R-gMicVqA-qic=o.(11.7)

Это самый простой случай из представленных на рис. 11.4, в нем обратная связь обеспечивается чисто омическим слагаемым любого знака, не зависящим от частоты и, в сущности, неограниченным. Как и в других генераторах, при критическом значении обратной

Рис. 11.5. Анодно-сеточная характеристика (жирная линия)—зависимость анодного тока ia от напряжения на сетке ид (а):Тонкая линия соответствует упрощенной характеристике, используемой для аппроксимации. Пунктирные линии соответствуют координатным осям, смещенным так, чтобы начало координат совпало с рабочей точкой на характеристике; б—производная характеристики и ее аппроксимацияРис. 11.5. Анодно-сеточная характеристика (жирная линия)—зависимость анодного тока ia от напряжения на сетке ид (а):Тонкая линия соответствует упрощенной характеристике, используемой для аппроксимации. Пунктирные линии соответствуют координатным осям, смещенным так, чтобы начало координат совпало с рабочей точкой на характеристике; б—производная характеристики и ее аппроксимация

Рис. 11.5. Анодно-сеточная характеристика (жирная линия)—зависимость анодного тока ia от напряжения на сетке ид (а):

Тонкая линия соответствует упрощенной характеристике, используемой для аппроксимации. Пунктирные линии соответствуют координатным осям, смещенным так, чтобы начало координат совпало с рабочей точкой на характеристике; б—производная характеристики и ее аппроксимация

Рис. 11.5. Анодно-сеточная характеристика (жирная линия)—зависимость анодного тока ia от напряжения на сетке ид (а):

Тонкая линия соответствует упрощенной характеристике, используемой для аппроксимации. Пунктирные линии соответствуют координатным осям, смещенным так, чтобы начало координат совпало с рабочей точкой на характеристике; б—производная характеристики и ее аппроксимация

связи для возникновения начальных колебаний частота должна быть в точности равна соо. При очень сильной обратной связи фокальная неустойчивость может перейти в узловую.

Принимая во внимание простоту этого генератора, мы исполь

зуем его для иллюстрации влияния насыщения усилителя на ограничение амплитуды колебаний. Ког

да амплитуда невелика, усилитель «откликается» линейно, но анодный ток, определяемый скоростью поступления электронов, не может ни стать отрицательным, ни превысить

значение, определяемое скоростью,/

эмиссии с катода. Типичная харак-i

теристика и ее аппроксимация, удобная для обсуждения режима

насыщения, представлены на рис. 11.5. Постоянный ток сеточного смещения не представляет интереса для анализа. Для того чтобы рассмотреть колебательные эффекты, начало координат расположим в рабочей точке характеристики. Тогда анодный ток можно записать как функцию потенциала сетки:

1а = к^\

где ia^g) =gVg, если ug невелико. Вместо уравнения (11.7) воспользуемся уравнением для заряда q. Оно имеет теперь следующий вид (поскольку vg=q!C):

LC'b_-VRCV-\--u-=MAial^=M-^-ve. (11.8)

6d 6

На рис. 11.5,6 представлены графики производной dta/dvg в виде кривой, имеющей форму «макушки шляпы», и производной функции, используемой для аппроксимации.

Используя аппроксимирующую характеристику, можно легко уяснить, что происходит. Если М превысит значение, критическое для возникновения начальных колебаний, то ничто не препятствует их росту до тех пор, пока амплитуда не превысит допустимое для нормального усиления значение. Рост амплитуды будет продолжаться и дальше, ио усилитель перестанет работать в течение части периода и скорость роста амплитуды начнет уменьшаться. Уменьшение продолжается до тех пор, пока не будет достигнуто устойчивое состояние, когда подводимая энергия и ее потери не окажутся уравновешенными. Это предельный режим, который в общем виде уже был введен в гл. 9.

Если М значительно превышает критическое значение, то конечная амплитуда может существенно превысить пределы области, усиления. Тогда в течение большей части периода dia/dug = O и, как следует из уравнения (11.8), в контуре происходят свободные колебания. Если только присущее контуру значение Q велико^ то в результате омических потерь форма колебаний лишь незначительно отличается от синусоидальной. Эти синусоидальные участки граничат с участками, лежащими в пределах области усиления. Последние могут быть участками возрастающей синусоиды или^ если коэффициент усиления очень велик, участками экспоненты. Но поскольку они составляют лишь незначительную часть, их характер- в точности установить трудно — они очень близки к прямым линиям. Таким образом, хотя один период состоит из участков, отличающихся друг от друга с математической точки зрения, для наблюдателя различия между формой колебаний и чистой синусоидой несущественны. В течение определенного промежутка времени в каждом периоде небольшая часть энергии теряется, а за оставшийся промежуток происходит восстановление запаса энергии. Амплитуду в стадии установившихся колебаний можно рассчитать, предположив, что эти процессы уравновешивают друг друга.

С другой стороны, можно подсчитать эффективное усиление на частоте колебаний и найти, при каком значении амплитуды оно достаточно для того, чтобы скомпенсировать омические потери. Для этого предположим, что на сетку подается синусоидальный сигнал ygoCOscoZ, анодный ток ограничен насыщением и, следовательно, индуцированная э.д. с. содержит гармоники с частотой со. Но онит как мы предполагаем, оказывают пренебрежимо малое влияние на ток в контуре, поскольку их частота весьма далека от резонансной. Эффективная крутизна характеристики gen при таком предположении определяется амплитудой основной компоненты анодного тока.

Если аппроксимирующая характеристика предполагается симметричной относительно рабочей точки, то анодный ток равен ^UgoCOswZ до тех пор, пока он меньше gusat, и gUsat в обратном случае. Основную компоненту преобразования Фурье легко рассчитать и нет необходимости приводить здесь подробности вычислений:

о

ge» = g — [sin-^Ud + tr2— D’A/r2] (Ц.9) Л

при г>1 (здесь г обозначено отношение t>go/asat). Эта зависимость представлена графически на рис. 11.6. Более реальная аппроксимирующая характеристика дала бы плавную кривую, но ограничения при больших г оказались бы такими же, так как они являются следствием прямоугольности формы волны с амплитудой ±gySat> основная компонента которой имеет амплитуду 4gusat/n;

geu — Ag^r) при гЭ 1- (11.10)

Колебания возрастают до тех пор, пока geu = RCIM (как следует из уравнения (11.7)), т. е. до тех пор, пока существует достаточно сильная обратная связь, для того чтобы можно было использовать (11.10):

4)^=4gM4)^KKRCY (11.11)

Получим аналогичный результат из энергетических соображений. Для этого заметим, что э. д. с. обратной связи равна Mgvg, если ug изменяется от —usat до + usat, и что в этом узком интервале ток в резонансном контуре близок к своему максимальному значе-

Рис. 11.6. Эффективное усиление для синусоидальной волны, ограниченной прямоугольной характеристикойРис. 11.6. Эффективное усиление для синусоидальной волны, ограниченной прямоугольной характеристикойнию, равному io = toOUgOC., Каждый короткий импульс мощности вносит энергию Mgi0J v^dt, т. е. 2Afgi0vsat. В течение каждого периода поступает два импульса. Энергия, рассеиваемая на сопротивлении за один период, составляет TiRioltoo и равна энергии, поступающей в систему, если выполняется соотношение (11.1). О генераторе, который возбуждается посредством коротких импульсов мощности, говорят,

Рис. 11.6. Эффективное усиление для синусоидальной волны, ограниченной прямоугольной характеристикой

Рис. 11.6. Эффективное усиление для синусоидальной волны, ограниченной прямоугольной характеристикой

что он работает как генератор класса С. Историческое происхождение такой терминологии связано с классификацией ламповых усилителей и не имеет отношения к нашему обсуждению. Достоинством, присущим этому типу генераторов, является частотная устойчивость, обусловленная минимальным влиянием резонансного контура. Как будет показано в следующем параграфе, работа спускового механизма маятниковых часов основана на том же принципе, хотя и несколько отличается в деталях.

Интересно выяснить, как в генераторе достигается окончательное значение амплитуды. Если обратная связь достаточно сильна, то можно без труда продолжить теоретический вывод. Достаточно заметить, что потери энергии на сопротивлении пропорциональны квадрату амплитуды, хотя вводимая мощность пропорциональна ее первой степени. Если обозначить у амплитуду колебаний ug в любой момент времени, то из закона сохранения энергии вытекает дифференциальное уравнение относительно у.

(11.12)(11.12)-^ (z/2) = (‘ug0y—t/2)/te.

(11.12)

(11.12)

Выбор значений постоянных определяется условиями задачи: если обратная связь отсутствует, то первое слагаемое в правой части уравнения равно нулю, а те — постоянная времени диссипации энергии в свободном колебательном контуре. При наличии обратной связи постоянная амплитуда ug0 в соотношении (11.11) должна об-

(11.13)(11.13)ращать правую часть в нуль. Решение уравнения (11.12) имеет вид

(11.13)

(11.13)

у = ^ — А^ we = ^g0-Ae '/Та.

Отсюда видно, что приближение к конечной амплитуде определя

ется постоянной только обратная в виде (11.11)*.ется постоянной только обратная в виде (11.11)*.времени свободного резонансного контура, если связь достаточно сильна и можно представить Jo0 Более сильная обратная связь увеличивает конеч-

ется постоянной только обратная в виде (11.11)*.

ется постоянной только обратная в виде (11.11)*.

а)а)Рис. 11.7. Операционный усилитель:Рис. 11.7. Операционный усилитель:а — схематическое изображение основной части устройства; б — то же, с цепью обратной связи для ограничения и стабилизации усиленияа — схематическое изображение основной части устройства; б — то же, с цепью обратной связи для ограничения и стабилизации усиленияную амплитуду и ускоряет рост начальных колебаний, но не изменяет масштаб времени на последних стадиях. Резонатор с большим Q, используемый в качестве основного элемента генератора класса С, столь же нечувствителен к кратковременным возмущениям, как и при работе без нагрузки. Этот вопрос будет более подробно рассмотрен в нас-

а)

а)

Рис. 11.7. Операционный усилитель:

Рис. 11.7. Операционный усилитель:

а — схематическое изображение основной части устройства; б — то же, с цепью обратной связи для ограничения и стабилизации усиления

а — схематическое изображение основной части устройства; б — то же, с цепью обратной связи для ограничения и стабилизации усиления

тоящей главе позднее при обсуждении эффектов, связанных с шумами, и в следующей главе, когда будет обсуждаться вопрос о том, сколь быстро колебательные сигналы различных частот могут вызвать синхронизм генератора.

Хотя мы рассмотрели работу генератора на ламповом триоде, было бы более целесообразно для экспериментальной проверки теории рассмотреть цепь с транзистором или, еще лучше, с операционным усилителем [4]. В последнем случае его можно рассматривать как «черный ящик» с определенными характеристиками. Для низких частот достаточно учесть характеристики, соответствующие постоянному току. В усилителе, показанном на рис. 11.7, а, выходное напряжение определяется разностью потенциалов между двумя входными точками: uBbix = f(V+—V_). Входной импеданс очень велик, а выходной — очень мал; ток, необходимый для поддержания Увых при наличии нагрузки, подводится через заземленный проводник (который обычно на схемах не показывают). Пока УВых не слишком близко к подводимому напряжению (например, в пределах ±10 В), усилитель является линейным с максимальным коэффициентом усиления, достигающим 105. Таким образом, когда | У+—V—| <10 4, усилитель работает в линейном режиме, но при более высокой разности потенциалов на входе происходит насыщение. Обычно большого усиления не требуется, но, с другой стороны,

из-за использования обратной связи коэффициент усиления снижается до разумных пределов. Его значение очень просто определить так же, как и в случае с гальванометрическим усилителем. В нашем случае (рис. 11.7, б) ясно, что наличие делителя из резисторов в цепи приводит к следующей связи между V- и Евых:

К_=УВЫХ/?, где р=(/?1+/?2)//?2.

Рис. 11.8. Характеристика, полученная для устройства, схема которого показана на рис. 11.7, б при 7^1 = 5000 Ом, R2 = = 100 ОмРис. 11.8. Характеристика, полученная для устройства, схема которого показана на рис. 11.7, б при 7^1 = 5000 Ом, R2 = = 100 ОмРис. 11.9. Генератор с обратной связью (см. рис. 11.4, генератор с анодно-сеточной обратной связью), использованный для проверки теорииРис. 11.9. Генератор с обратной связью (см. рис. 11.4, генератор с анодно-сеточной обратной связью), использованный для проверки теории

Рис. 11.8. Характеристика, полученная для устройства, схема которого показана на рис. 11.7, б при 7^1 = 5000 Ом, R2 = = 100 Ом

Рис. 11.8. Характеристика, полученная для устройства, схема которого показана на рис. 11.7, б при 7^1 = 5000 Ом, R2 = = 100 Ом

Рис. 11.9. Генератор с обратной связью (см. рис. 11.4, генератор с анодно-сеточной обратной связью), использованный для проверки теории

Рис. 11.9. Генератор с обратной связью (см. рис. 11.4, генератор с анодно-сеточной обратной связью), использованный для проверки теории

В линейном приближении УВых = ^(^+—V_), где Л^Ю5. Эти два уравнения показывают, что У_ = У^№/ А-\- 1),

^Вь,х = ^+/(РМ + 1)^₽И+ при ₽<А

Если значение, выбранное для р, много меньше 105, то коэффициент усиления равен р и определяется параметрами резисторов, будучи совершенно независимым от А. Усиление, таким образом, является линейным до тех пор, пока в процессе насыщения эффективное значение А не уменьшится до значений, приближающихся к р. Теперь V+ окажется порядка 10/(рЕ), что значительно больше, чем при отсутствии обратной связи, поскольку обратная связь вынуждает V- меняться почти в точности так же, как и У+. На рис. 11.8 приведена характеристика, полученная в результате измерений. Тангенс угла ее наклона равен 50,5, тогда как ожидаемое значение составляло 51. Резкий перегиб подтверждает сходство эксперимента и теории, развитой на основе аппроксимирующей характеристики, приведенной на рис. 11.5.

Схема генератора приведена на рис. 11.9. Поскольку усилитель представляет собой источник напряжения с низким импедансом, в цепь, для того чтобы ток через L2 был пропорционален разности потенциалов на конденсаторе резонансного контура, включен резистор с сопротивлением R3 (равным 104 Ом, что значительно превышает соА2). Отношение р//?3 играет ту же роль, что и g в (11.7), а

отрицательное сопротивление равно рЛ1/(7?3С) или (/?i+^2) Mf (RzR^C) при Л4Л1<ср. Для устранения возможных нелинейных искажений в ферритовых сердечниках индуктивные элементы L1 и L2 первоначально были выполнены, как простые медные катушки— обмотки электромагнита. Они были неказистыми и весьма

Рис. 11.10. Осциллограммы колебаний в устройстве, схема которого показана на рис. 11.9 начиная с момента подключения в цепь усилителя ^aY Поведение декремента свободного резонансного контура при отключенном усилителе (б) Кривые расположены так, чтобы подчеркнуть сходство постоянных времени декремента (б) и выхода колебаний на устойчивый режим (а)

больших размеров, но имели важное достоинство; сочетание высокой индуктивности (Li = 69 мГн) при низком сопротивлении (5,2 Ом на рабочей частоте) обеспечивало хорошое значение Q, поэтому при столь низкой частоте (581 Гц) усилитель работал почти с такой же характеристикой, что и на постоянном токе. Две катушки были расположены так, чтобы получить значение М, при котором колебания возникают при g = 3,78-10~4 Ом-1. Если теория верна, то это соответствует значению /И = 15 мГн. Значение g затем увеличивалось до 50-10~4 Ом™1 и производилась регистрация спонтанных возрастающих колебаний (рис. 11.10, а). На этом рисунке приводится изменение разности потенциалов на обкладках конденсатора. Только первые несколько периодов в достаточной степени соответствуют характеристике линейного усилителя и поэтому являются пригодными для определения скорости экспоненциального роста. Для сопоставления эксперимента с теорией заметим, что в действительности, если только Q не очень мало (см. (2.27)), от-

носительное изменение амплитуды за один период является линейной функцией сопротивления и, следовательно, g. Изменение g от О до 3,8-104 приводит к уменьшению декремента от значения, соответствующего свободным колебаниям, до нуля. Для 12 периодов (а столько и нужно, чтобы можно было считать колебания свободными) для кривой, показанной на рис. 11.10,6, декремент составляет 2,2.

Кривая, приведенная на рис. 11.10, а, не очень подходит для определения прироста за первые несколько периодов. Она больше соответствует значению указанного множителя, равного 2,0 за один период (а не 2,2). Но потребуется более тщательное исследование,, чтобы определить, действительно ли это небольшое различие существует или нет. Несомненно, что более существенного разногласия здесь нет.

Возвращаясь к режиму, близкому к насыщению, непосредственно из рис. 11.10 видим, что постоянная времени, определяющая время достижения максимальной амплитуды, очень близка к постоянной времени свободного затухания — обе кривые могут быть расположены так, что их огибающие оказываются «параллельными». Это подтверждает соотношение (11.13), так же как и последующая несложная проверка значения амплитуды в установившемся режиме. Амплитуда напряжения на конденсаторе превышает 3 В по крайней мере в течение 15 периодов, что необходимо для наступления насыщения усилителя, напряжение на выходе которого имеет почти прямоугольную форму, очень быстро меняясь от положительных значений до отрицательных. В то же время колебания в резонансном контуре оказываются почти в точности синусоидальными. Это справедливо для генератора класса С. Амплитуда основной компоненты на выходе в 4/л раз больше амплитуды прямоугольной волны. Измерения с помощью осциллографа показали,, что прямоугольная волна имеет амплитуду в 3,1 раза большую, чем амплитуда синусоидальной волны на входе; при этом эффективное значение р на основной частоте составляло 3,95, т. е. gen = = 3,95-10~4 Ом-1. Так как при этом амплитуда колебаний поддерживается постоянной, то это значение должно быть тем же, что и при более низком уровне усиления, когда усилитель работает в линейном режиме. Соответствующее значение, равное 3,78-10-4 Ом-1^ уже приводилось. Достаточно точное совпадение еще раз показывает, что теория является по меньшей мере очень хорошим приближением. Поэтому мы можем быть вполне удовлетворены, потому что генератор, в сущности, является простым прибором.

Дальнейшее подтверждение этому можно получить, если исследовать случай, когда сопротивление Rs уменьшено настолько, что импеданс участка цепи, содержащего R3 и L2, имеет существенную реактивную составляющую. В линейной области усиления импеданс резонансного контура, равный —B/(R3 + jco£3) вместо —BJR3 (где В = (Rx + /?2)M/(R2C), больше не является чисто омическим. Кроме отрицательного сопротивления, равного —BR^I Ц^А-^-Ь^, появляется реактивное сопротивление ]'со^з5/(/?32Н-со2Л22), которое ДО-

бавляется к индуктивному сопротивлению и понижает (хотя и незначительно, если М не слишком велико) резонансную частоту. Критическое условие, при котором колебания становятся незатухающими, теперь имеет вид

BRMH^ = R.BRMH^ = R.(11.14)(11.14)

BRMH^ = R.

BRMH^ = R.

(11.14)

(11.14)

^/U)2=l+F//?3>^/U)2=l+F//?3>Рис 11 И. Поведение генератора, собранного по схеме на "рис. 119, сопротивление /?з в котором уменьшено для обеспечения существенного индуктивного вклада в обратную связь:Граница раздела между колебательным и неколебательным режимами представляет собой гиперболу, асимптоты которой — вертикальная линия и линия А. Цифры у критической линии указывают значения частотРис 11 И. Поведение генератора, собранного по схеме на "рис. 119, сопротивление /?з в котором уменьшено для обеспечения существенного индуктивного вклада в обратную связь:Граница раздела между колебательным и неколебательным режимами представляет собой гиперболу, асимптоты которой — вертикальная линия и линия А. Цифры у критической линии указывают значения частот

^/U)2=l+F//?3>

^/U)2=l+F//?3>

Рис 11 И. Поведение генератора, собранного по схеме на "рис. 119, сопротивление /?з в котором уменьшено для обеспечения существенного индуктивного вклада в обратную связь:

Граница раздела между колебательным и неколебательным режимами представляет собой гиперболу, асимптоты которой — вертикальная линия и линия А. Цифры у критической линии указывают значения частот

Рис 11 И. Поведение генератора, собранного по схеме на "рис. 119, сопротивление /?з в котором уменьшено для обеспечения существенного индуктивного вклада в обратную связь:

Граница раздела между колебательным и неколебательным режимами представляет собой гиперболу, асимптоты которой — вертикальная линия и линия А. Цифры у критической линии указывают значения частот

Если В таково, что это условие выполняется, дополнительная индуктивность составляет L2R/R3. Следовательно,

(11.15)

где E=LzRILx, a то— предельная частота для большого R^. Это легко проверить с помощью контура, использованного в предшествующих измерениях. При данном режиме работы генератора Lb L^ и R таковы, что Е отличается не более чем на 1 % от значения, характеризующего изменение частоты.

Если частота со предполагается постоянной, то условие (1М4) предсказывает гиперболический характер изменения критического значения В в зависимости от R3. Обе асимптоты, определяемые уравнениями B = RR3 и В = 0, проходят через начало координат. Проверка этого утверждения потребовала значительного уменьшения М, такого, чтобы была обеспечена подходящая рабочая область коэффициента усиления. Была получена кривая, форма кото

рой совпала с ожидаемой. Она показана на рис. 11.11. В частности, как и предполагалось, линия D, построенная графически, проходит очень близко от начала координат. Колебательный режим соответствует внутренней части гиперболы. При уменьшении Яз от больших значений коэффициент усиления остается постоянным. Колебания начинаются при одном критическом значении и исчезают при другом. Изменение частоты в зависимости от 7?3, как это подтверждается указанными вблизи критической линии значениями, хорошо согласуется с соотношением (11.15).

МАЯТНИКОВЫЕ ЧАСЫ

КАК НЕЛИНЕЙНЫЙ ГЕНЕРАТОР КЛАССА С

Традиционные, давно известные маятниковые часы обладают типичными чертами генератора класса С. Маятник — резонансный элемент часов — возбуждается только в течение небольшого про

Рис. 11.12. Храповое устройство (ударно-возвратный механизм) [6]Рис. 11.12. Храповое устройство (ударно-возвратный механизм) [6]межутка времени в каждом периоде. Этот промежуток более или менее совпадает с моментом, когда скорость маятника максимальна, что необходимо для оказания минимального влияния на частоту собственных колебаний маятника. В более современных конструкциях часовых механизмов (например, в хронометрах [5]) возбуждение происходит гораздо реже, примерно дважды в минуту, и соответственно отсчитывае

Рис. 11.12. Храповое устройство (ударно-возвратный механизм) [6]

Рис. 11.12. Храповое устройство (ударно-возвратный механизм) [6]

мое часами время не зависит от возмущающих воздействий, за исключением тех, которые непосредственно влияют на период маятника. Здесь мы рассмотрим самый старый тип механизма,

управляющего ходом часов, — ударно-возвратный механизм Хука. Он показан на рис. 11.12. Часы XVIII столетия, принадлежащие

автору и имеющие очень похожий регулятор хода, позволили получить экспериментальные данные и сопоставить их с теорией, которая будет теперь изложена.

Качание маятника вызывает движение собачки храпового коле

сика в одну и в другую сторону, тогда как колесико в механизме часов, легко вращающееся по часовой стрелке под действием гирь, с помощью зубчатого механизма оказывает небольшое давление то на один, то на другой толкатель собачки. На рисунке показан тог момент, когда маятник только что отклонился достаточно далеко вправо и колесико освободилось от правого толкателя. Оно продвинулось немного вперед и остановилось под действием левого толкателя. Дальнейшее отклонение маятника вправо вызывает

небольшое движение колеса в обратном направлении (это и есть «храп», от которого произошло название храпового механизма). Но когда маятник движется вновь к центру, колесико продолжает движение вперед по часовой стрелке и воздействует на маятник. При движении маятника влево левый толкатель освобождается от зацепления с зубчиками колеса и процесс повторяется с правым толкателем, на который теперь действует колесико.

Существует определенное минимальное значение амплитуды колебаний маятника. Оно необходимо для возбуждения часового механизма, устроенного так, что, если эта амплитуда превышена (трением пренебрегаем), к нему в течение каждого периода поступает одно и то же количество энергии независимо от значения амплитуды. При определенном угле отклонения маятника один толкатель освобождается, а другой вступает во взаимодействие с колесиком; при отклонении маятника в обратную сторону процесс повторяется в обратном направлении. В промежутке между этими моментами колесико совершает вполне определенное движение «вперед». При большем значении угла отклонения маятника колесико несколько отскакивает назад. То количество энергии, которое передается при этом от маятника колесику, вновь возвращается маятнику во время его движения в обратном направлении. Работа, которая совершена при этом, однозначно определяется движением колесика «вперед» за время между двумя соприкосновениями с толкателями. Если бы часовой механизм не имел этой особенности, т. е. если бы он был сделан настолько идеально, что колесико двигалось бы в момент переключения толкателей храповика, то скорость передачи энергии от колесика к маятнику определялась бы просто действием тангенциальной силы со стороны колесика на маятник и представляла бы собой тангенциальную скорость.

В деталях этот генератор незатухающих колебаний значительно отличается от генератора, показанного на рис. 11.9, поскольку для его возбуждения требуется определенная амплитуда колебаний. После возбуждения он работает автоматически и сам ограничивает рост амплитуды, так как энергия, подводимая за цикл, не возрастает, хотя потери на трение растут. Следующее различие связано с диссипацией, которая определяется главным образом трением в храповике. Поэтому движение маятника тормозится под действием силы фактически постоянной, а не пропорциональной скорости. В чистом виде это проявляется при амплитуде, слишком малой для возбуждения часового механизма, — колебания затухают линейно, а не экспоненциально (ср. с рис. 2.22). Поэтому описываемое устройство часов с маятником полезно рассмотреть как колебательную систему, в которой энергия, сообщаемая за одно колебание, постоянна, а энергия диссипации пропорциональна амплитуде а. Поскольку энергия пропорциональна а2, дифференциальное уравнение, определяющее изменение амплитуды в зависимости от числа колебаний, имеет вид

(11.16)(11.16)айа,йп = е — \а.

(11.16)

(11.16)

где 8 — энергия, сообщаемая часовому механизму, а Хй — потери на трение. Общее решение имеет вид

(11.17)(11.17)п— — а/\ — (е/Х2) In (s — Ха) 4- const.

(11.17)

(11.17)

Выбирая постоянную интегрирования равной (е/Х2) Ine, мы подсчитаем п, исходя из того, что в начальной точке а = 0. Предельное значение а при п-^оо равно е/Х. Это следствие предположения о логарифмическом затухании. Если положить 1 = аХ/е, а А = е/Х2, то соотношение (11.7) приобретет вид

^=-ln(l-/)-/J (11.18)

Рис. 11.13. Поведение маятникового часового механизма при переходе к устойчивому режимуРис. 11.13. Поведение маятникового часового механизма при переходе к устойчивому режимугью стрелки, закрепленной нагью стрелки, закрепленной наГрафик этой функции показан на рис. 11.13. Следует, однако, помнить, что быстрого возрастания вначале не наблюдается, поскольку храповой механизм не работает при малых амплитудах. Экспериментальные точки были получены, когда вес гирь в часах был увеличен в полтора раза, для того чтобы сделать конечную амплитуду значительно большей, чем та, на которую рассчитаны часы. Таким образом был обеспечен более широкий диапазон для наблюдений. Амплитуда записывалась на бумажной ленте с пом<

Рис. 11.13. Поведение маятникового часового механизма при переходе к устойчивому режиму

Рис. 11.13. Поведение маятникового часового механизма при переходе к устойчивому режиму

гью стрелки, закрепленной на

гью стрелки, закрепленной на

маятнике. ‘ ■

Для того чтобы экспериментальные точки соответствовали теоретической кривой, N следовало взять равным 150, а прёдельноё значение амплитуды а на ленте — равным 20,3 см. Отсюда получено, что Х = 0,136. Если этим значением воспользоваться и при малых амплитудах, когда храповое устройство не работает, а уравнение движения при 8 = 0 имеет вид (11.16), то получим линейное затухание амплитуды, которая уменьшается в 0,136 раза за одно колебание. Это значение меньше полученного экспериментально и составившего 0,160. Однако это совпадение можно считать достаточно хорошим для того, чтобы убедиться, что важнейшие особен

ности движения описываемого механизма маятниковых часов соответствуют простой модели, удовлетворяющей уравнению (11.16). При столь грубом эксперименте и не следует надеяться на точное совпадение. Кроме несовершенства наблюдений при теоретическом построении предполагалось, что механизм часов не имеет каких- либо специфических особенностей, а это маловероятно — ведь часы проработали много лет. Любая эксцентричность в механизме вызывает периодическое изменение энергии, поступающей к маятнику с периодом, равным 1 мин. Безусловно, это влияет на результаты

эксперимента.

ДРУГИЕ ПРИМЕРЫ ГЕНЕРАТОРОВ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ

Схема с омической обратной связью. Детальный анализ генератора класса С понадобился нам для того, чтобы пояснить возникновение отрицательного сопротивления и описать конечную стадию колебаний. В этом параграфе приведен обзор устройств, в которых характерным признаком отрицательного сопротивления или чего-то идентичного может являться неустойчивость колебаний. Конечная же стадия колебания в этих устройствах может значительно отличаться. Следует принять во внимание, что такие устройства представляют собой лишь малую часть из огромного числа существующих в настоящее время генераторов и что предлагаемый читателю набор в значительной степени определялся прихотью автора. Объединяет эти устройства то, что в них входят резонансные системы. Так что, как и для генераторов класса С, условием возникновения колебаний является следующее: потери должны быть чем-то скомпенсированы. В контурах должно существовать отрицательное сопротивление, в механической колебательной системе потери на вязкое трение должны быть чем-то восполнены, в электромагнитном генераторе с резонатором диэлектрические потери должны быть возмещены усилением и т. д. Мы рассмотрим примеры, относящиеся к каждому типу из перечисленных колебательных систем, пояснив вначале механизм усиления. Затем перейдем к нелинейным эффектам, которые определяют приближение к стадии устойчивых колебаний. Раньше мимоходом мы удачно избавились от рассмотрения некоторых эффектов, связанных с насыщением, когда сама колебательная система была не очень важна. Однако все же вопрос, связанный с насыщением контура с отрицательным сопротивлением, является важным; ему будет посвящен отдельный параграф.

В цепи обратной связи генератора, представленного на рис. 11.9, напряжение, снимаемое с конденсатора и поступающее после усиления через катушку индуктивности, является напряжением обратной связи. Именно поэтому достаточно легко обеспечивается возникновение отрицательного сопротивления, когда сигнал снимается с резистора и подается вновь через резистор. При этом дополнительное слагаемое gZxZ2 в уравнении (11.1) становится действительным, если действительны Zx и Z2. Простая цепь, обладающая этим свойством, показана на рис. 11.14, а. На том же рис. 11.14, в приведены две вольт-амперные характеристики. Легко показать, что при небольших токах, когда усилитель работает в линейном режиме, сопротивление между точками А и В равно —RtR^Rs- Поведение контура после насыщения зависит от параметров входящих в него элементов. Если сопротивления велики и через усилитель протекает не слишком большой ток, потенциал в точке В достигает насыщения. С этого момента любой ток изменяет потенциал в точке А относительно земли, оставляя неизменным потенциал в точке В. Крутизна характеристики в этом случае определяется сопротивлением R3. При более низких значениях сопротивления контура ток,

необходимый для насыщения усилителя, достаточен, чтобы изменить режим работы цепи. В этом случае положительный тангенс угла наклона определяется не только с сопротивлениями. Дальше, когда мы приступим к обсуждению влияния этого тангенса в стадии установившихся колебаний, мы сможем рассматривать его как эмпирический параметр. Если колебательный контур соединен по-

Рис. 11.14. Устройства с отрицательным сопротивлением на основе операционного усилителя.а — с последовательным резонансным контуром, б — с параллельным резонансным котуром, в — два типа характеристик устройстваРис. 11.14. Устройства с отрицательным сопротивлением на основе операционного усилителя.а — с последовательным резонансным контуром, б — с параллельным резонансным котуром, в — два типа характеристик устройства

Рис. 11.14. Устройства с отрицательным сопротивлением на основе операционного усилителя.

а — с последовательным резонансным контуром, б — с параллельным резонансным котуром, в — два типа характеристик устройства

Рис. 11.14. Устройства с отрицательным сопротивлением на основе операционного усилителя.

а — с последовательным резонансным контуром, б — с параллельным резонансным котуром, в — два типа характеристик устройства

следовательно (рис. 11.14, а) и числовое значение отрицательного сопротивления увеличено, спонтанные колебания возникают вследствие компенсации сопротивления контура R. Этот вопрос не требует дальнейшего обсуждения.

Можно ожидать, что подобная цепь с отрицательным сопротивлением может использоваться и в параллельном контуре (рис. 11.14, б), который при резонансе имеет высокое сопротивление между точками Д и В, приблизительно равное ^L^IR. Отрицательное сопротивление, меньшее w2L2IR, должно приводить к возникновению колебаний. Но система фактически всегда оказывается неустойчивой, и сразу же после ее включения происходит скачок в такую точку, как точка X на рис. 11.14, в, где отношение V/Ч равно по модулю и противоположно по знаку сопротивлению R. Таким образом, через L, R и отрицательное сопротивление течет постоянный ток. Этот вывод, к которому нельзя прийти на основе элементарного анализа контура, заслуживает некоторого внимания.

Вместо реальной схемы рассмотрим случай, когда между точками А и В подключено не зависящее от частоты отрицательное

Рпс 11 15 Схематическое изображение ступенчатой формы отклика (а^ и его импульсная форма (б) — производная зависимости, показанной на а для устройства, представленного на рис 11 14, а. Постоянный ток в цепи возникает в момент / = 0Рпс 11 15 Схематическое изображение ступенчатой формы отклика (а^ и его импульсная форма (б) — производная зависимости, показанной на а для устройства, представленного на рис 11 14, а. Постоянный ток в цепи возникает в момент / = 0

Рпс 11 15 Схематическое изображение ступенчатой формы отклика (а^ и его импульсная форма (б) — производная зависимости, показанной на а для устройства, представленного на рис 11 14, а. Постоянный ток в цепи возникает в момент / = 0

Рпс 11 15 Схематическое изображение ступенчатой формы отклика (а^ и его импульсная форма (б) — производная зависимости, показанной на а для устройства, представленного на рис 11 14, а. Постоянный ток в цепи возникает в момент / = 0

сопротивление —R'. Поскольку между точками А и В есть напряжение, но нет результирующего тока, протекающего от одной точки к другой, сумма трех проводимостей при параллельном соединении должна быть равна нулю: l/(7?+j^A)+joC—\jR'=O, т. е.

LC^-UCR-L/R^-(\-Rm (11.19)

Если отбросить два слагаемых, содержащих R' (т. е. положить R'=oo)> то это уравнение преобразуется в уравнение обычного резонансного контура. Ясно, что при уменьшении R' при малом значении R (Q^>1 при отсутствии R') ничего существенного не происходит до тех пор, пока R'<L\(RC). А L/(RC) очень близко к t^UIR, когда второе слагаемое, определяющее затухание, изменяет знак, и, следовательно, можно ожидать, как отмечалось ранее, что колебания возрастут. В действительности же этого не происходит, а ошибочное предположение о росте колебаний является следствием пренебрежения изменением отрицательного сопротивления с изменением частоты^ возникающего из-за задержки времени (порядка 104 с) между появлением тока в контуре и достижением стационарного напряжения на всех внутренних участках цепи усилителя.

Предположим, что в момент време-, ни / = 0 при разомкнутом резонансном контуре на участке цепи АВ появился ток. По-видимому, в самом начале

большая часть тока пойдет через сопротивления R3, R2 и R1 и возникает положительная разность потенциалов. И только тогда, когда усилитель отреагирует, разность потенциалов изменит знак. Ступенчатая функция отклика, следовательно, имеет форму, несколько напоминающую кривую, представленную на рис. 11.15, а. Ее точная форма не очень существенна; важно лишь, что она пересекает горизонтальную ось. Соответственно отклик на короткий импульс тока, прошедший в момент / = 0, представляет собой производную этой функции: мгновенный положительный всплеск типа 6-функции и последующий спад в области отрицательных значений.

Поскольку наклон кривой, показанной на рис. 11.15, а отрицателен, интеграл от отрицательной части кривой, изображенной на рис. 11.15, б больше, чем 6-функция. Импеданс на частоте со может быть получен преобразователем Фурье исходя из отклика напря-

жения на короткий импульс тока. Так как мы собираемся продемонстрировать экспоненциальную неустойчивость, рассмотрим отклик контура на экспоненциально возрастающий ток вида foepf, где р— действительная и положительная величина. Поскольку напряжение в любой момент времени определяется суммой откликов на’ прошедшие ранее импульсы тока, импеданс Z(p) находится из V'(t) интегрированием (преобразование Лапласа)'.

О

Рис. 11.16. Зависимость импеданса устройства с отрицательным сопротивлением от рРис. 11.16. Зависимость импеданса устройства с отрицательным сопротивлением от рРис. 11.17. Графическое решение уравнения (11.20):/ — изменение левой части в зависимости от р; 2 — изменение правой частиРис. 11.17. Графическое решение уравнения (11.20):/ — изменение левой части в зависимости от р; 2 — изменение правой части

Рис. 11.16. Зависимость импеданса устройства с отрицательным сопротивлением от р

Рис. 11.16. Зависимость импеданса устройства с отрицательным сопротивлением от р

Рис. 11.17. Графическое решение уравнения (11.20):

/ — изменение левой части в зависимости от р; 2 — изменение правой части

Рис. 11.17. Графическое решение уравнения (11.20):

/ — изменение левой части в зависимости от р; 2 — изменение правой части

Вместо того чтобы иметь постоянное отрицательное значение для всех р, что является следствием пренебрежения переходными свойствами усилителя, Z(p) оказывается отрицательным лишь тогда, когда р достаточно мало и отрицательный хвост V'(t) при больших t преобладает над положительной 6-функцией. При увеличении pZ(p) переходит через ноль и становится положительным (рис. 11.16).

Применим этот результат к параллельному резонансному контуру, показанному на рис. 11.14, б. Если он обладает экспоненциальной неустойчивостью, то должно существовать положительное значение р, при котором полная проводимость равна нулю. При действительном р импеданс катушки индуктивности равен pL, а конденсатора—ЩрС). Следовательно, уравнение (11.19) можно записать в виде

РС= - VZ (р). (11.20)

Левая часть соотношения (11.20) имеет минимальное значение, приблизительно равное ^(LlCy1^ (рис. 11.17). Если бы Z(p) было отрицательно и имело одно и то же значение для всех р (такое же, как при р = 0), то положительная часть горизонтальной оси, представляющая правую часть (11.20), не обязательно пересекалась бы с кривой, соответствующей левой части (11.20). Но на самом деле Z(p) имеет нулевое значение. Это приводит к пересечению кривых. Следовательно, контур всегда является неустойчивым.

Последовательная же схема (см. рис. 11.14, а) подчиняется условию, что нулю равна сумма импедансов, а не проводимостей; ^(р) здесь не принимает бесконечно больших значений.

Можно спросить, почему в основу приведенных рассуждений положен отклик напряжения на ступенчатое изменение тока, а не наоборот — отклик тока на ступенчатое изменение напряжения. Ответ прост: контур является устойчивым по отношению к напряжению, по отношению к току он неустойчив, а функция отклика не определена. Для создания постоянного тока, значение которого не зависит от поведения нагрузки, необходим высоковольтный источник напряжения, который последовательно соединен с резистором, обладающим высоким сопротивлением. Как только сопротивление этого резистора начнет превышать отрицательное сопротивление нагрузки, протекающий ток примет свое единственное значение. Но для создания постоянного напряжения на нагрузке необходимо, чтобы последовательно соединенное сопротивление было очень мало. В этом случае отрицательное сопротивление нагрузки будет вызывать возрастание тока до тех пор, пока нелинейность не приведет к устойчивой форме.

Туннельный диод [7]. Среди физических устройств, обладающих свойством вести себя, как устройства с отрицательным сопротивлением, наиболее простым, вероятно, является туннельный диод. Его действие обусловлено специфическим видом вольт-амперной характеристики. В отличие от диода Ганна и разрядной трубки, отрицательные сопротивления которых возникают вследствие пространственного расширения из-за сложных изменений во внутренней структуре (из-за движения доменов в обратном поле в диоде тока), в туннельном диоде все гораздо проще. К сожалению, его работа может стать понятной только лишь в свете основного курса физики твердого тела, и здесь было бы неуместным попытаться дать компетентное объяснение. Отошлем читателя к литературе, список которой приведен в конце книги, оправдывая тем самым сильно сокращенное и упрощенное описание, данное ниже петитом.

В полупроводниках, таких, как германий, электроны могут двигаться свободно только в том случае, если их энергия равна определенным значениям в пределах одного уровня из целого, разделенных энергетическими интервалами — запрещенными зонами энергии. Кроме того, на каждом уровне может находиться только определенное число электронов В химически чистом германии число имеющихся электронов точно соответствует тому, которое необходимо для заполнения всех уровней, образующих зону, называемую валентной Выше этих уровней, неподалеку от них, находятся уровни, образующие зону проводимости. В заполненной зоне число электронов, движущихся в одном направлении, в точности равно числу электронов, движущихся в обратном направлении. Поэтому электроны этой зоны не могут обеспечить проводимость. Вообще, единственная причина, по которой чистый германий проводит ток, состоит в том, что небольшое число термически возбужденных электронов переходит в зону проводимости. Если в химически чистый германий добавить достаточное количество (~0,1%) примеси, обладающей донорной проводимостью (Sb, As), с валентностью более высокой, чем у германия, то дополнительные электроны займут самые низкие уровни в валентной зоне германия. Схематически это показано на рис 11 18. С другой стороны, если добавляется примесь, обладающая акцепторной проводимостью (Ga, In), то валентная зона истощается.

Если в тонкую пластинку германия, с одной стороны, ввести донорную примесь, а с другой — акцепторную, то между ними может образоваться очень тонкий слой — барьер, преодолеть который электроны могут (хотя и с трудом) р процессе квантово-механического туннельного эффекта. В области перехода может возникнуть небольшая разность потенциалов, и в пластинке германия, предоставленной самой себе, устанавливается такая разность потенциалов, при которой самые высокие энергетические уровни соответствуют одинаковым значениям энергии, как это показано на рис. 11.18. Если теперь приложить внешнюю разность потенциалов, изменив поле в области перехода и увеличив энергию

Рис. 11.18. Разрешенные и запрещенные уровни в полупроводниках п- и p-типа с очень высокими концентрациями примесейЕсли разрешенные уровни соответствуют тем, которые обозначены пунктирной линией, то может происходить обмен электронами через туннельный барьер. Более высокая концентрация электронов в /г-типе приводит к тому, что некоторые из них перескакивают в разрешенную зону С, тогда как в p-области некоторые уровни в разрешенной зоне В оказываются незаполненнымиРис. 11.18. Разрешенные и запрещенные уровни в полупроводниках п- и p-типа с очень высокими концентрациями примесейЕсли разрешенные уровни соответствуют тем, которые обозначены пунктирной линией, то может происходить обмен электронами через туннельный барьер. Более высокая концентрация электронов в /г-типе приводит к тому, что некоторые из них перескакивают в разрешенную зону С, тогда как в p-области некоторые уровни в разрешенной зоне В оказываются незаполненнымиРис. 11 19. Типичная вольт- амперная характеристика туннельного диодаРис. 11 19. Типичная вольт- амперная характеристика туннельного диода

Рис. 11.18. Разрешенные и запрещенные уровни в полупроводниках п- и p-типа с очень высокими концентрациями примесей

Если разрешенные уровни соответствуют тем, которые обозначены пунктирной линией, то может происходить обмен электронами через туннельный барьер. Более высокая концентрация электронов в /г-типе приводит к тому, что некоторые из них перескакивают в разрешенную зону С, тогда как в p-области некоторые уровни в разрешенной зоне В оказываются незаполненными

Рис. 11.18. Разрешенные и запрещенные уровни в полупроводниках п- и p-типа с очень высокими концентрациями примесей

Если разрешенные уровни соответствуют тем, которые обозначены пунктирной линией, то может происходить обмен электронами через туннельный барьер. Более высокая концентрация электронов в /г-типе приводит к тому, что некоторые из них перескакивают в разрешенную зону С, тогда как в p-области некоторые уровни в разрешенной зоне В оказываются незаполненными

Рис. 11 19. Типичная вольт- амперная характеристика туннельного диода

Рис. 11 19. Типичная вольт- амперная характеристика туннельного диода

электронов в n-веществе по сравнению с энергией в p-веществе, то электроны смогут переходить через барьер из п- в p-область, отыскивая свободные уровни с той же энергией. В результате этого процесса возникает обыкновенный ток. Однако если разность потенциалов увеличивается дальше, то, когда заполненная часть в зоне проводимости п вещества окажется напротив запрещенной зоны р вещества, будет достигнуто состояние, при котором туннельный процесс прекратится, поскольку исчезнет механизм, отвечающий за то, чтобы электроны, проходя барьер, теряли энергию и таким образом попадали в валентную зону р-ве- щества Это является причиной, уменьшения тока при увеличении разности потенциалов Характеристика туннельного диода приведена на рис 11 19. Из-за наличия термически возбужденных электронов, которые могут проходить в уровни проводимости по обе стороны, ток не уменьшается до нуля и вновь возрастает при дальнейшем увеличении разности потенциалов.

Почти вся информация, необходимая для понимания работы туннельного диода как элемента цепи, содержится в его характеристике (рис. 11.19). В отличие от контура с отрицательным сопротивлением, показанного на рис. 11.14, у которого напряжение V является однозначной функцией тока I, здесь ток I является однозначной функцией напряжения V. Для того чтобы рабочая точка

LLРис. 11.20. Туннельный диод, смещение на который подается через резистор для того, чтобы рабочая точка находилась в области с отрицательным сопротивлением. На схеме кроме резистора показаны индуктивность соединительных проводов и собственная емкость диодаРис. 11.20. Туннельный диод, смещение на который подается через резистор для того, чтобы рабочая точка находилась в области с отрицательным сопротивлением. На схеме кроме резистора показаны индуктивность соединительных проводов и собственная емкость диодаоказалась в области, соответствующей отрицательному сопротивлению, на туннельный диод необходимо подавать постоянное смещение. В схеме, показанной на рис. 11.20, отрицательное сопротивление подключено параллельно резонансному контуру. Такая схема обеспечивает смещение и подходит для возбуждения колебаний. Она не обладает неустойчивостью, характерной для контура. С точки зрения предшествующего обсуждения это не очевидно, и функцию отклика диода необходимо исследовать дополнительно.

L

L

Рис. 11.20. Туннельный диод, смещение на который подается через резистор для того, чтобы рабочая точка находилась в области с отрицательным сопротивлением. На схеме кроме резистора показаны индуктивность соединительных проводов и собственная емкость диода

Рис. 11.20. Туннельный диод, смещение на который подается через резистор для того, чтобы рабочая точка находилась в области с отрицательным сопротивлением. На схеме кроме резистора показаны индуктивность соединительных проводов и собственная емкость диода

Рис. 11.21. Эквивалентная схема туннельного диода при небольших отклонениях от рабочей точки

Важно отметить, что диод имеет собственную емкость; падение потенциала происходит вдоль очень тонкого слоя с толщиной порядка 10~7 м, через который, как показано выше, проходят электроны. Этот слой ведет себя как плоский конденсатор с отрицательной утечкой, т. е. как конденсатор с параллельно подключенным к нему отрицательным сопротивлением. Кроме того, провода, соединяющие диод с остальной частью цепи, имеют определенную индуктивность. Эквивалентная схема диода вблизи рабочей точки показана на рис. 11.21. Сам же диод не показан, поскольку он нужен только для определения рабочей точки, где отношение dV/dz равно 7?d; на рисунке R— сопротивление диода и других участков внешней цепи, L — индуктивность соединительных проводов. Этот контур такой же, как и тот, который был описан уравнением (11.19). Он является устойчивым в частотно-независимом приближении при условии, что если сопротивление /?d отрицательно, то |7?d|>^ и |L/7?d| <CR. Небольшая индуктивность проводов устраняет спонтанные колебания, которые возникают при невыполнении последнего условия. Смысл первого условия становится ясным, если положить L = 0. В этом случае цепь состоит из конденсатора, соединенного параллельно с двумя резисторами, один из которых имеет положительное, а другой — отрицательное сопротивление. Постоянная времени такой цепи зависит от того сопротивления, модуль которого меньше; для того чтобы контур был устойчив, должно преобладать положительное сопротивление.

Кажется, ничто не мешает, создав в контуре низкое сопротивление и индуктивность, подать на диод ступенчатое напряжение и найти отклик тока, который не должен изменяться со временем. Первоначально, когда увеличения напряжения смещения еще недостаточно для возбуждения ступенчатой функции, положительный возрастающий ток изменяет заряд конденсатора. Однако, когда этот ток уменьшается, возрастает влияние отрицательного сопротивления и в конце концов приращение тока становится отрицательным. Следовательно, зависимость тока i от напряжения V по форме аналогична той, что показана на рис. 11.15, а. Соответственно А^р) — это проводимость, которая ведет себя хорошо и остается конечной для всех действительных положительных значений р (см. § 11.9). Таким образом, если диод соединен с контуром параллельно, отсутствует опасность возникновения экспоненциальной неустойчивости.

Туннельный диод может быть использован для генерации низкочастотных колебаний, но он является более чувствительным устройством, чем транзисторный усилитель. Его истинная ценность заключается в способности работать на частотах более высоких, чем теу на которых работает транзисторный усилитель. Однако в последнее время туннельный диод вытесняется другими устройствами, в частности диодом Ганна. Последний слишком сложен для того, чтобы его можно было описать как обычный элемент с отрицательным сопротивлением, хотя в конечном счете наличие отрицательного сопротивления является его характерной чертой.

Механические аналоги отрицательного и нелинейного сопротивлений. Построение Льенарда. Явление вращения, рассмотренное в § 8.2, позволяет получить пример резонансной системы совершенно иной природы, чем электрические цепи, рассмотренные в предыдущих параграфах. Уравнение колебаний этой системы должно иметь затухающее слагаемое с противоположным знаком. Такие простые механические примеры, как те, что мы приводили ранее, встречаются редко. Чаще встречаются примеры спонтанных механических колебаний, которые легко интерпретируются как процессы с обратной связью с вынуждающей силой, сдвинутой по фазе так, что происходит рост амплитуды. Как мы уже видели (в частности, для генератора класса С), различие между этими двумя толкованиями, заключающееся главным образом в математической формулировке, нс так просто установить. Последующие примеры представляют собой довольно ясные случаи отрицательного сопротивления, осложненные нелинейностями. Перед тем как обсудить их, необходимо сделать некоторые предварительные замечания в связи с полезным графическим методом, предложенным Льенардом [8].

Рассмотрим стандартное уравнение вида (2.23) для обычного вибратора и выберем такую единицу времени, чтобы собственная частота вибратора была равна единице (g)0= 1) - Тогда

Н^(0 + В = 0. (11.21)

Было показано, что диссипативную силу —к^) следует рассматривать зависящей от скорости по закону более сложному, чем простая

пропорциональность. Используя переменные £ и у, где у = £, уравнение (12.21) можно переписать в виде

d ^/d $ = - [а + к (^)]/^.(11.22)

Наклон траектории в каждой точке на плоскости £у (фазовой плоскости) определяется с помощью уравнения (11.22) и может

Рис. 11.22. Построение Льенарда для определения касательной Т в точке Р траектории, описываемой точкой, удовлетворяющей уравнению (11.22) на фазовой плоскости (а). Нахождение центра кривизны С траектории S на фазовой плоскости (6) и построение, использованное для этого (в)

быть очень легко найден графически (см. рис. 11.22, а). Кривая К представляет собой зависимость к^и); для определения касательной к траектории в некоторой точке Р проведем горизонтальную линию, пересекающую кривую К в точке Q. Из точки Q опустим перпендикуляр до пересечения с осью g в точке N. Тогда отрезок Г, проведенный перпендикулярно прямой NP, и есть касательная к траектории в точке Р.- Доказательство этого следует из того, что |PQ|=£ + /^), а । QVV1| =у

Это доказательство можно расширить, чтобы определить не только наклон, но и кривизну, не зная которой нельзя представить траекторию как последовательность дуг окружностей. Построение точки С — центра кривизны траектории S в точке Р — показано на рис. 11.22, б. Проведем отрезки PQ, QN и NS так же, как и раньше. Построим нормаль к отрезку PN в точке Р (т. е. касательную к траектории S) и касательную к кривой К в точке Q и найдем точку их пересечения G. Соединяя точки G и N, пересечем отрезок QP в точке F, продлив его, если это необходимо. Тогда точка С лежит на

пересечении отрезка PN и вертикальной линии, проведенной из точки F вниз.

Доказательство: на рис. 11.22, в показаны две соседние точки Р и Р' на траектории S', соединенные соответственно с точками Q и N; С — это .точка пересечения отрезков PN и P'N' в пределе при Р'-^Р. Требуется доказать, что FC— вертикальный отрезок. Отрезок GL—касательная к кривой К в точке Q; GM — касательная к кривой S' в точке Р. Поскольку AEQ'Q и ДНР'Р соответственно подобны ANLQ и ANMP с одним и тем же коэффициентом подобия, то |W'|/|//P'| = ^L|/|W| = I^Q /|FP|. Но в пределе при Р'-^Р имеем | C7V|/| СР\ = \NN'\f\HP' . Следовательно, | CN | : : |СР| = [FQI/lfPl, а отрезок FC параллелен отрезку QN, т. е. вертикален.

Воспользовавшись угольником с прямым углом и бумагой в клетку, которая поможет быстрее найти точки Q и N, можно за очень короткое время определить точку С и, следовательно, нарисовать короткую дугу траектории S, проходящей через точку Р. Траектория, построенная таким способом, более достоверна, чем определенная исключительно на основе касательных, найденных методом Льенарда.

Кроме наглядности этот метод построения ценен еще и тем, что позволяет выявить некоторые характерные точки, которые показывают, почему траектории имеют данную форму. Читатель без особого труда может доказать следующие утверждения:

в точке пересечения с осью g траектория S перпендикулярна этой оси, а центр кривизны С является точкой пересечения кривой К с осью g;

в точке пересечения с кривой К траектория S горизонтальна и центр кривизны находится на пересечении перпендикуляра, опущенного из этой точки, с осью g;

точка С лежит на оси g, если касательная к кривой К в соответствующей точке вертикальна;

если касательные к кривым К и S в соответствующих точках пересекаются на оси g, траектория S имеет нулевую кривизну. Если они пересекаются на перпендикуляре между осью g и линией PQ, то траектория S— вогнутая, в противном случае — выпуклая.

Применим графическое построение к нескольким примерам, начиная с самых простых. Для гармонического вибратора без потерь 6=0 кривая К совпадает с осью и, а точка N всегда находится в начале координат. Траектория представляет собой окружность с центром в начале координат. Если £~и и 0<6<2и, то траектория— сходящаяся спираль (рис. 11.23, а) (фокальная устойчивость). Схождение спирали обусловлено тем, что она должна пересекать кривую К горизонтально, а ось g — вертикально. Наоборот, если k~ v и k<0, то спираль раскручивается (рис. 11.23, б) (фокальная неустойчивость). Однако если 6>2и, то колебания вибратора затухают очень быстро (узловая устойчивость). На рис. И.23,в показана траектория, соответствующая такому случаю, когда система была выведена из состояния покоя воздействием импульса (как

баллистический гальванометр). Конечно, эти случаи легко поддаются аналитическому исследованию; ценность же графического построения выявляется тогда, когда к не пропорционально и.

Рис. 11.23 Траектории для случая, когда в соотношении (11.21) k~v; а — затухающие колебания при 0<&< <2и, б — возрастающие колебания при —2и<£<0, в — сверхподавленный отклик при&>2аРис. 11.23 Траектории для случая, когда в соотношении (11.21) k~v; а — затухающие колебания при 0<&< <2и, б — возрастающие колебания при —2и<£<0, в — сверхподавленный отклик при&>2а

Рис. 11.23 Траектории для случая, когда в соотношении (11.21) k~v; а — затухающие колебания при 0<&< <2и, б — возрастающие колебания при —2и<£<0, в — сверхподавленный отклик при

&>2а

Рис. 11.23 Траектории для случая, когда в соотношении (11.21) k~v; а — затухающие колебания при 0<&< <2и, б — возрастающие колебания при —2и<£<0, в — сверхподавленный отклик при

&>2а

В системе, показанной на рис. могут возникнуть, если сила тренияВ системе, показанной на рис. могут возникнуть, если сила трения11.24, спонтанные колебания изменяется при возрастании11.24, спонтанные колебания изменяется при возрастании

В системе, показанной на рис. могут возникнуть, если сила трения

В системе, показанной на рис. могут возникнуть, если сила трения

11.24, спонтанные колебания изменяется при возрастании

11.24, спонтанные колебания изменяется при возрастании

5)5)Рис. 11 24. Тело массой М находится на движущемся приводном ремне и удерживается пружиной (а) Траектории для случая, когда сила трения убывает с ростом скорости (б)Рис. 11 24. Тело массой М находится на движущемся приводном ремне и удерживается пружиной (а) Траектории для случая, когда сила трения убывает с ростом скорости (б)Рис. 1125. Траектории для скачкообразных колебаний с периодическими остановками: а — при отсутствии иных эффектов, обусловливающих затухание; б—при наличии дополнительного вязкого затуханияРис. 1125. Траектории для скачкообразных колебаний с периодическими остановками: а — при отсутствии иных эффектов, обусловливающих затухание; б—при наличии дополнительного вязкого затухания

5)

5)

Рис. 11 24. Тело массой М находится на движущемся приводном ремне и удерживается пружиной (а) Траектории для случая, когда сила трения убывает с ростом скорости (б)

Рис. 11 24. Тело массой М находится на движущемся приводном ремне и удерживается пружиной (а) Траектории для случая, когда сила трения убывает с ростом скорости (б)

Рис. 1125. Траектории для скачкообразных колебаний с периодическими остановками: а — при отсутствии иных эффектов, обусловливающих затухание; б—при наличии дополнительного вязкого затухания

Рис. 1125. Траектории для скачкообразных колебаний с периодическими остановками: а — при отсутствии иных эффектов, обусловливающих затухание; б—при наличии дополнительного вязкого затухания

скорости скольжения. На рис. 11.24, б скорость движения приводного ремня обозначена и0- Если у<и0, то тело массой М движется вперед, т. е. ^<0, а при и>ио оно движется в обратном направлении; сила трения уменьшается с ростом |и—v0|. В W— точке пересечения кривой К с осью g — находится точка неустойчивого равновесия, возникающего в том случае, когда пружина растянута настолько, что сила упругости в точности уравновешивает силу тре-

ния, соответствующую скорости скольжения Vq. Наклон кривой К на рис. 11.24,6 показывает, что колебания растут до тех пор, пока в некоторый момент тело М не достигнет скорости у0. Траектория не может пересечь горизонтальной части кривой К, т. е. тело М не может двигаться быстрее, чем приводной ремень.

Для траектории, продолженной выше точки и0, построение Лье- нарда дает отрицательное значение тангенса угла наклона (пунктирна рис. 11.24,6). Но поскольку и положительно и § должно возрастать, движение на этой части траектории происходит (как показано стрелкой) к горизонтальной части кривой К, а не от нее. Конечно,

Рис. 11.26. Форма волны скачкообразных колебаний с периодическими остановками, соответствующая случаю, показанному на рис. 11.25, аРис. 11.26. Форма волны скачкообразных колебаний с периодическими остановками, соответствующая случаю, показанному на рис. 11.25, аРис. 11 27. Проводящий цилиндр в? горизонтальном магнитном поле подвешен на проволоке, прикрепленной к равномерно вращающемуся подвесуРис. 11 27. Проводящий цилиндр в? горизонтальном магнитном поле подвешен на проволоке, прикрепленной к равномерно вращающемуся подвесу

Рис. 11.26. Форма волны скачкообразных колебаний с периодическими остановками, соответствующая случаю, показанному на рис. 11.25, а

Рис. 11.26. Форма волны скачкообразных колебаний с периодическими остановками, соответствующая случаю, показанному на рис. 11.25, а

Рис. 11 27. Проводящий цилиндр в? горизонтальном магнитном поле подвешен на проволоке, прикрепленной к равномерно вращающемуся подвесу

Рис. 11 27. Проводящий цилиндр в? горизонтальном магнитном поле подвешен на проволоке, прикрепленной к равномерно вращающемуся подвесу

в действительности траектория следует вдоль кривой К, причем сила трения, если тело М движется с той же скоростью, что и приводной ремень, возрастает до тех пор, пока не достигнет своего максимального значения. С этого момента при каждом колебании траектория будет регулярно повторяться. Предельное расположение последнего витка спирали на рис. 11.24, б обозначено С.

Более общим процессом такого типа являются скачкообразные колебания с периодическими остановками, возникающие в случае, когда сила трения скольжения хотя и в достаточной степени постоянна, но все же не такова, чтобы могло начаться скольжение [9]. Реальные примеры этого явления упоминаются в § 2.6. Траектория на фазовой плоскости показана на рис. 11.25, а. В идеальной системе небольшие колебания около точки W происходят без усиления и без потерь. Но если начальное значение амплитуды велико и достигает значения у0, то амплитуда остается постоянной, несмотря на дополнительные диссипативные эффекты (если они не слишком велики). Например, если на тело М кроме силы трения ремня действует дополнительное вязкое трение, то кривая К приобретает форму, представленную на рис. 11.25, б. В этом случае колебания с малой амплитудой затухают, но колебания, имеющие большую амплитуду, могут сохраниться под действием дополнительного толчка от приводного ремня, не имеющего уступов.

Если пренебречь вязким трением, то легко определить форму колебаний £(/), поскольку она представляет собой чистую синусоиду, прерываемую прямыми отрезками. На рис. 11.26 синусоида сме-

щена вверх относительно начала координат на g0. Это сделано для того, чтобы сила упругости пружины уравновешивала силу вязкого трения. Амплитуда колебаний такова, что в точке ^, которая соответствует трению скольжения, наклон | как раз равен скорости движения приводного ремня. Участок АВ, где синусоида имеет максимальный наклон, заменен прямой линией. Ясно, что период определенных таким образом колебаний немного увеличивается. Это в равной степени вытекает и из рис. 11.25, а. Действительно, движение на участке АВ проис-

Рис. 11.29. Траектории на фазовой плоскости для устройства, показанного на рис. 11.27:а — затухающие колебания при £<йт; б — вынужденные колебания при й>йтРис. 11.29. Траектории на фазовой плоскости для устройства, показанного на рис. 11.27:а — затухающие колебания при £<йт; б — вынужденные колебания при й>йтРис. 11.28. Зависимость вращательного момента G, возникающего из-за вихревых токов, от угловой скорости вращения подвеса QРис. 11.28. Зависимость вращательного момента G, возникающего из-за вихревых токов, от угловой скорости вращения подвеса Qходит с несколько меньшей скоростью и, чем по дуге окружности, соединяющей эти точки.

Рис. 11.29. Траектории на фазовой плоскости для устройства, показанного на рис. 11.27:

а — затухающие колебания при £<йт; б — вынужденные колебания при й>йт

Рис. 11.29. Траектории на фазовой плоскости для устройства, показанного на рис. 11.27:

а — затухающие колебания при £<йт; б — вынужденные колебания при й>йт

Рис. 11.28. Зависимость вращательного момента G, возникающего из-за вихревых токов, от угловой скорости вращения подвеса Q

Рис. 11.28. Зависимость вращательного момента G, возникающего из-за вихревых токов, от угловой скорости вращения подвеса Q

Совершенно другой случай отрицательного сопротивления можно наблюдать, когда металлический образец, подвешенный на упругой проволоке, вращается в поперечном магнитном поле (рис. 11.27). Если брусок поворачивается медленно, то при движении в магнитном поле В в нем возникают вихревые токи, которые создают в образце магнитный момент М, направленный перпендикулярно вектору В. В результате взаимодействия М с В вращение замедляется и проволока закручивается. При увеличении угловой скорости И вращения подвеса момент М и сила торможения вначале пропорциональны Q. Образец ведет себя так, как будто он погружен в вязкую среду.

Это удивительно сильный эффект. Только очень медленно удается повернуть рукой образец диаметром 5 см, расположенный поперек поля хорошего электромагнита. При более высоких значениях угловой скорости Q магнитное поле вихревых токов становится настолько сильным, что вызывает заметное уменьшение поля внутри образца и М уже не возрастает пропорционально Q. Торможение возрастает, достигая максимума, при определенном значении скорости Q, а при больших скоростях Q оно уменьшается (рис. 11.28). При очень высоких угловых скоростях магнитное поле сосредотачивается в очень тонком слое на поверхности образца, не проникая в него. Это то же самое, что и хорошо известный скин- 366

эффект в металлах, обнаруживающийся здесь в несколько ином аспекте.

До тех пор пока G(Q) зависит исключительно от Q (предупреждаем, что это чересчур оптимистическое предположение), уравнение вращательного движения мы можем записать в виде, аналогичном (11.21). Пусть ф — угол закручивания упругой проволоки. Предположим также, что угловая скорость Qo крутильного подвеса постоянна. Тогда Qo + £ — угловая скорость образца и

/=+С?'(Ц)+=)-^ = 0,

где / — момент инерции образца, ц— модуль кручения проволоки.

Если за единичное время принять (Т/р)1^ и обозначить j как у, то это уравнение преобразуется в уравнение вида (11.22), где

k^=G (S0-)-U/p-.

Рис. 11.30. Несинусоидальные колебания проводящего цилиндра при сильном затухании:а — на траектории показано построение, с помощью которого получают форму огибающей волны (6)Рис. 11.30. Несинусоидальные колебания проводящего цилиндра при сильном затухании:а — на траектории показано построение, с помощью которого получают форму огибающей волны (6)Можно, так же как и прежде, построить траекторию на фазовой плоскости. На рис. 11.29 видно, что колебания затухают, до тех пор пока угловая скорость Qo остается меньшей, чем Qm, при которой G имеет максимальное значение, но если Q0>Qm, то колебания возрастают до некоторого предела. Если проволока обла-

Рис. 11.30. Несинусоидальные колебания проводящего цилиндра при сильном затухании:

а — на траектории показано построение, с помощью которого получают форму огибающей волны (6)

Рис. 11.30. Несинусоидальные колебания проводящего цилиндра при сильном затухании:

а — на траектории показано построение, с помощью которого получают форму огибающей волны (6)

дает невысоким модулем кручения, то масштаб времени велик и соответственно велика угловая скорость Qm. Тем не менее Qm^p72, в то время как 6(Qm) ^р-1. Поэтому ослабление подвеса приводит к тому, что кривая К разворачивается горизонтально и соответственно искажается форма колебаний.

Такой же эффект возникает при усилении магнитного поля. Пример приведен на рис. 11.30. Этот случай заслуживает сравнения с рис. 11.23, в. Если у>0, образец поворачивается быстрее, чем подвес, и тормозящий вращающий момент относительно мал — движение почти свободное. Однако как только скорость образца уменьшается и начинается движение в обратном направлении, образец попадает в область угловых скоростей, при которых вращающий момент быстро изменяется в соответствии со скоростью вращения, создавая условия для сверхбыстрого затухания. Траектория сжимает кривую К до тех пор, пока образец не приобретет достаточную скорость и не исчезнут условия, обеспечивающие максимальность вращающего момента. Тогда он вновь начнет поворачиваться более свободно.

Для того чтобы перейти от траекторий на фазовой плоскости к графику зависимости £ от времени, можно использовать простое графическое построение, показанное на рис. 11.30. Разделим траекторию на равные дуги длины s. Типичная дуга расположена между точками Sn и Sn+ь В центре каждой дуги выполним построение Льенарда. Отрезок QN является ^-компонентой скорости движения характерной точки по траектории, поэтому длина отрезка PN равна значению этой скорости. Следовательно, время, необходимое для прохождения дуги длиной s, равно sf\PN\. Таким спо-

Время, с

Рис. 11.31. Экспериментальные результаты, полученные при вращении проводящего цилиндра (неопубликованные результаты Р. Мартела)

•собом можно найти интервал между каждой парой точек Sn и, следовательно, построить огибающую волны (рис. 11.30, б). Следует подчеркнуть, что это построение, как и построение самой траектории, выполняется качественно. Для того чтобы выполнить его в точном количественном соотношении, необходимы большое внимание и опыт. Ценность графического построения заключается в том, что оно дает возможность интуитивно понять работу различных устройств и предсказать возможные формы решения уравнения движения. Если нужна не приблизительная, а точная форма волны, то лучше численно проинтегрировать уравнение движения с помощью компьютера.

Вернемся к физической системе. Эксперимент показывает, что в действительности форма волны не совсем такая, как показано на рис. 11.30, б. Колебания, показанные на рис. 11.31, зарегистрированы при вращении цилиндра из химически чистой меди, охлажденного в жидком гелии. Этот цилиндр имел такую высокую проводимость, что при медленном вращении в нем появлялись весьма значительные вихревые токи, а максимальный вращающий момент возникал при частоте, равной всего лишь 1/10 об/с. До тех пор пока частота Q не слишком превосходит значение Qm> колебания, имевшие весьма небольшую амплитуду, близки к синусоидальным. Но при более сильных колебаниях сверхзатухающие области А, расположенные между участками с довольно свободным движением В, уменьшаются и угол наклона становится противоположным по сравнению с соответствующими участками на кривой, приведенной на рис. 11.30, б. Предположение о том, что G определяется исключительно Q, является фактически необоснованным. Для того чтобы изменился характер вихревых токов, нужен большой интервал времени (^>1/Qm), и, если в течение этого интервала образец повора-

чивается на большой угол, вихревые токи и их магнитный момент вращаются вместе с образцом, вызывая всевозможные изменения во вращающем моменте. Следовательно, в любой момент времени G определяется не мгновенным значением угловой скорости Q, а зависит от всей предыдущей истории. В этом случае, движение определяется не нелинейным дифференциальным, а нелинейным интегральным уравнением, настолько сложным, что усилия, применяемые для расчета, оправдываются лишь в том случае, если решение необходимо для важных целей. Поскольку нас это не интересу-

Рис. 11.32. Качающийся лоток управляется водяным потоком

Алюминиевый лоток, сделанный из тонкой полоски длиной около 60 см, со стороной около 4 см, вполне подходит для экспериментов. Перегородка, уплотненная с помощью сырой резины, вставлена в запилы, -совпадающие с осью вращения. Грузик V/ может быть использован для изменения частоты колебаний. Поведение системы можно изучать через зазор под закрепленной или незакрепленной перегородкой

ет, мы уклонимся от более полного объяснения этих замечаний. Пример с образцом, вращающимся в магнитном поле, был приведен отчасти для того, чтобы показать, как применять построение Льенарда, отчасти для иллюстрации сложной математической задачи, вытекающей из простого физического эксперимента. Нелинейные интегродифференциальные уравнения настолько сложны, что из-за возникающих математических трудностей иногда не хочется думать и о физической сути.

Именно таким является следующий пример, который нам следовало бы рассмотреть. Пример относится к теории музыкальных инструментов, таких, как скрипка, деревянные и медные духовые инструменты. В них возбуждение звука вызывает нелинейное зависящее от времени взаимодействие между смычком, язычком или губами (с одной стороны) и струнами или акустическим резонатором (с другой стороны). То же самое можно сказать о человеческом голосе — кто возьмется утверждать, что это несущественные колебательные системы? Вспомним теперь, что проблемы классической математической физики далеко не исчерпаны. Ну, а если так все же иногда кажется, то причина этого лежит скорее всего в несовершенстве математического аппарата, а не в возможности природы поставить новые задачи.

Краткого упоминания заслуживают (хотя они и не представляют ничего замечательного) две другие колебательные системы, легко воспроизводимые экспериментально. Они станут прелюдией к гораздо более значительному устройству: микроволновому квантовому генератору — мазеру, эксперименты с которым, к сожалению, читатель не может воспроизвести самостоятельно.

Лоток, на который падает струйка воды (рис. 11.32), управляющая его положением, заслуживает нашего внимания, поскольку

позволяет обнаружить весьма любопытные вещи. Его точные размеры едва ли имеют значение. Если вес грузика W мал, то период колебаний достаточно велик. Тонкая струя воды служит для возбуждения колебаний лотка, амплитуда которых быстро возрастает. Причина этого проста: когда один конец лотка находится внизу, вода собирается около перегородки с другой стороны и стекает вниз после прохождения лотком горизонтального положения при движении в обратном направлении. При медленном движении лотка времени вполне достаточно, чтобы вода достигла конца лотка, прежде чем сам лоток опустится в самую нижнюю точку. Энергия от воды передается лотку. При этом осуществляется та же самая связь, что раньше выполнялась угловой скоростью. Если грузик достаточно тяжелый, то колебания становятся довольно быстрыми и лоток может начать подниматься прежде, чем вода достигнет его конца. В этом случае максимальный вращающий момент действует против угловой скорости, вызывая затухание колебаний. Это особенно хорошо видно в случае, когда амплитуда колебаний мала и вода движется по лотку медленно. При больших амплитудах может оказаться, что времени достаточно для того, чтобы вода вылилась из лотка, прежде чем он начнет подниматься вверх.

Таким способом колебания могут затухать при малых амплитудах и поддерживаться при больших. Это, конечно, сильно нелинейная система; изменение со временем вращающего момента, возникающее вследствие действия воды, не является в ней для амплитуды единственным решающим фактором, но оно происходит быстрее, когда амплитуда возрастает. Заслуга создателя этой системы состоит именно в том, что перегородка может двигаться и закрывать конец лотка. Это позволяет, создавая весьма незначительные изменения, наблюдать совершенно удивительное поведение системы, причем интерпретация некоторых типов поведения представляет значительные трудности.

Акустические вибраторы, управляемые за счет тепловой энергии, встречаются часто. Почти каждому стеклодуву попадалась стеклянная трубка, которая самопроизвольно гудела, когда один ее конец герметически запаивали. Рэлей в своей теории звука [10] рассматривает несколько связанных с этим примеров, включая и открытый Рийке в 1859 г. Его просто воспроизвести. Это большая вертикальная трубка, открытая с обоих концов и возбуждаемая для получения звукового тона с помощью нагретого газа, располагающегося на расстоянии около четверти длины трубы от ее основания. Для того чтобы понять что происходит, мы должны сначала исследовать диссипативные эффекты, а затем посмотреть, как нагретый газ изменяет их знак. Весьма существенный механизм потерь возникает при колебаниях температуры вибрирующего газового столба, который подвергается почти адиабатным сжатиям и расширениям. Сами по себе эти колебания не вызывают диссипации. Однако если они приводят к передаче теплоты стенкам резонатора или к тепловому контакту других тел с воздухом, то возникает разность фаз между колебаниями давления и объема воздуха, которая, как

Рис. 11.34. Колебания в трубе Рийке:Рис. 11.34. Колебания в трубе Рийке:а — зависимости от времени АР и АТ; б — скорость частиц в нижней половине трубы, в—высота частиц h, полученная в результате интегрирования их скоростиа — зависимости от времени АР и АТ; б — скорость частиц в нижней половине трубы, в—высота частиц h, полученная в результате интегрирования их скоростиРис 11.33. Приращение давления АР в газе после небольшого скачкообразного изменения объема при / = 0 (а) и соответствующая импульсная функция отклика (б)Рис 11.33. Приращение давления АР в газе после небольшого скачкообразного изменения объема при / = 0 (а) и соответствующая импульсная функция отклика (б)

Рис. 11.34. Колебания в трубе Рийке:

Рис. 11.34. Колебания в трубе Рийке:

а — зависимости от времени АР и АТ; б — скорость частиц в нижней половине трубы, в—высота частиц h, полученная в результате интегрирования их скорости

а — зависимости от времени АР и АТ; б — скорость частиц в нижней половине трубы, в—высота частиц h, полученная в результате интегрирования их скорости

Рис 11.33. Приращение давления АР в газе после небольшого скачкообразного изменения объема при / = 0 (а) и соответствующая импульсная функция отклика (б)

Рис 11.33. Приращение давления АР в газе после небольшого скачкообразного изменения объема при / = 0 (а) и соответствующая импульсная функция отклика (б)

следствие, приводит к рассеянию акустической энергии в результа

те нагревания воздуха.

Этот вопрос станет, вероятно, более понятным, если рассмотреть его с точки зрения ступенчатой функции отклика давления на мгновенное небольшое уменьшение объема. Соответствующая функция показана на рис. 11.33, а. В момент времени Z = 0 газ адиабатно сжимается на AV, из

меняя свой объем. Мгновенный отклик давления определяется из уравнения адиабаты PVT = const, откуда kPdP=—yAV/V. Если бы не было передачи теплоты стенкам или другим телам, давление должно было бы оставаться равным ДР0. Однако если газ может охлаждаться до температуры окружающей среды, то последующее

изменение ДР— это убывание (не обязательно экспоненциальное) до значения ДРоо, соответствующего изотермическому сжатию: ДР0=уАРоо. Производная этой функции, показанная на рис. 11.33,6, представляет собой импульсную функцию отклика, которая кроме мгновенной компоненты при / = 0 имеет запаздывающую часть. Из § 5.3 должно быть ясно, что чувствительность (сжимаемость) % (со), получаемая отсюда с помощью преобразования Фурье, — в общем случае комплексная величина с диссипацией, как с неизбежным следствием. Для того чтобы получить обратный результат, газ должен приобретать теплоту, а не терять ее, если он нагрет, и терять

теплоту, если он холодный. Посмотрим, как это достигается в случае нагретого газа.

Пусть газ в трубке колеблется на основной резонасной частоте, тогда все его части испытывают колебания давления в одной и той же фазе. Наибольшую амплитуду колебания имеют в центре трубы. У открытых концов флуктуаций давления нет, за исключением возмущений, вносимых самими концами трубки. Воздух, создающий флуктуации внутри трубки, двигаясь в обоих направлениях, имеет наибольшую скорость на концах трубы и совсем не движется в самом ее центре, за исключением устойчивого направленного вверх конвективного потока от нагретого газа. Та часть газа, которая находится в области, где существенны колебания и давления и объема, занимает примерно четвертую часть всей высоты трубы. Покажем теперь графически, как изменяются со временем различные параметры вблизи от газа (рис. 11.34). На рис. 11.34, а показаны флуктуации давления АР (разности между атмосферным давлением и давлением внутри трубы). С флуктуациями давления совпадают флуктуации температуры АТ, поскольку при адиабатных сжатиях температура и давление изменяются одинаково. Кривая на рис. 11.34, б представляет собой вертикально направленную скорость и, состоящую из синусоидальных флуктуаций, наложенных на равномерное конвекционное движение. Фаза флуктуирующей компоненты легко определяется из того фактора, что она должна быть максимальной в момент, когда давление увеличивается наиболее быстро (например, в точке Л).

Проинтегрировав кривую на рис. 11.34, б, мы можем приблизительно нарисовать изменение во времени высоты h элементарного объема воздуха. Ясно, что оно должно быть синусоидальным, наложенным на линейно возрастающую (из-за конвекции) функцию (рис. 11.34, в). Аналогично ведут себя различные объемы воздуха, перемещаемые вертикально. Видно, что в каждом периоде есть определенная часть (нарисованная более ярко), в течение которой объем воздуха поднимается на такую высоту, где он еще не был.

Первое прохождение воздуха через нагретый газ происходит в течение одного из этих периодов. Если после этого воздух опускается вниз через нагретый газ и вновь поднимается, ничего существенного не происходит, поскольку за это время газ не успевает заметно охладиться. Именно первое прохождение является важным и определяет тот момент, когда газ получает значительное количество теплоты. Как показывают графики, этот отрезок времени обычно невелик и предшествует пику температурной флуктуации. Конечно, он не совпадает с той частью периода, когда воздух охлаждается в результате адиабатного расширения. Теплота запасается тогда, когда температура максимальна. Следовательно, имеются все условия, необходимые для того, чтобы направление диссипативного процесса изменилось.

В свете этой аргументации можно понять, почему в трубе возникают спонтанные колебания. Если бы газ был помещен в верхней половине трубки, как показал Рэлей, он передавал бы теплоту в 372

течение «холодной» части цикла и спонтанные колебания не возникали бы. Это предположение подтверждается на опыте.

Мазер [11]. Часто считают, что работу мазера можно понять только с квантово-механических позиций. Это преувеличение. Процессы, квантовое описание которых раскрывает принцип действия мазера, могут быть одинаково хорошо описаны как с классической, так и с квантово-механической точки зрения. Тем не менее попытка обосновать развитие теории мазеров исключительно на одних классических идеях не представляла бы большой ценности, поэтому мы вынуждены отложить полное описание мазера до второго тома. Это, однако, не означает, что качественное обсуждение исключается, ведь оно требует усилий не больше чем изложение самых общих идей квантовой физики. Эти усилия вполне себя оправдывают, если принять во внимание большое значение мазеров и их оптических двойников — лазеров — в современной физике.

Первый мазер, изобретенный Таунсендом [12], состоял из микроволнового объемного резонатора. Через вакуумный резонатор пропускают пучок возбужденных молекул аммония, в результате чего в резонаторе возникают спонтанные колебания с частотой около 2,5 ГГц. Возбужденные молекулы отделяют от невозбужденных с помощью электростатической линзы. Мы не будем тратить время на теорию этого разделения и его практическую реализацию. Достаточно отметить, что возбуждение молекул обеспечивает резонатор диэлектрическим заполнителем с отрицательными диэлектрическими потерями, достаточными (несмотря на весьма небольшое число присутствующих молекул) для того, чтобы превысить омические потери на стенках и т. д. При таком механизме колебания в резонаторе, в сущности, подчиняются стандартному дифференциальному уравнению для резонансной системы, в котором слагаемое, определяющее потери, имеет обратный знак. Больше по этому поводу сказать нечего. Поэтому мы сосредоточим внимание на том, почему возбужденные молекулы вносят отрицательные потери.

С этой целью рассмотрим, каким образом обычный процесс диэлектрических потерь описывается с точки зрения квантовой механики. В сущности, поскольку энергия колебаний в резонаторе квантована в единицах й<о, диэлектрические потери определяются необратимым переносом квантов от осциллирующего поля к молекулам. Первоначально молекулы находятся в некотором квантовом состоянии. В результате поглощения кванта энергии Асо они могут перейти в более высокое состояние. Проходя через резонатор, молекулы могут совершить этот переход в состояние с более высокой энергией, после чего они покинут резонатор, унося с собой свою дополнительную энергию . Существует и обратный процесс (и в

этом состоит суть работы мазера): молекулы, находящиеся в более высоком энергетическом состоянии под действием осциллирующего поля, могут перейти в более низкое состояние и передать энергию полю, если они покинут резонатор прежде, чем вновь произойдет возбуждение. Для того чтобы это произошло, недостаточно пропускать через резонатор неразделенный пучок молекул аммония, поскольку в условиях теплового равновесия при комнатной температуре число молекул, находящихся в каждом из двух состояний, примерно одинаково, а разность энергий между состояниями /гео много меньше к^Т. Однако из распределения Больцмана следует, излишек молекул в более низком энергетическом состоянии, определяемый отношением /го)/(^в7), что не превышает 1%. Так что в целом поток газа должен иметь небольшие отрицательные потери, а не наоборот. Именно разделение возбужденных молекул создает пучок, способный поддерживать колебания.

Следует отметить, что механизм отрицательных потерь в отличие от отрицательного сопротивления чрезвычайно чувствителен к частоте. Собственная частота резонатора должна лежать очень близко к частоте kE]h (где Д£— уровень разделения), лишь в этом случае квант энергии /гео вызовет реальные переходы. Вот какой результат можно получить с помощью простого вывода, который сам по себе не может служить доказательством, но фактически может быть полностью подтвержден обстоятельным квантово-механическим анализом.

С точки зрения молекулы аммония, пролетающей через резонатор, поле излучения воздействует только в течение промежутка времени M=Llv, где L — длина резонатора, и — скорость молекулы. Соответственно молекула испытывает осциллирующее возбуждение со стороны не одной определенной частоты, а набора частот, лежащих в узкой области Дсо~4л/Д^ (ср. с (4.21)). Для того чтобы процесс имел место, частота резонатора должна быть согласована с собственной частотой возбуждения молекул аммония в пределах этой области. Если же поле, воздействующее на молекулу, не содержит собственной частоты молекул аммония, то переходы не происходят. Так как обычно М~ 10-4 с, то Део не превышает 105 с-1, т. е. эта величина в миллион раз меньше, чем сама частота со.

Подобное описание работы мазера, изложенное с точки зрения квантовых переходов, не затрагивает вопроса о диэлектрическом отклике совокупности молекул (что можно было бы назвать классическим описанием среды) как диэлектрика, в котором поляризация так сдвинута по фазе относительно возбуждающего электрического поля, что диэлектрик отдает энергию, а не поглощает ее. В обычном диэлектрике с потерями колебательная поляризован- ность отстает по фазе от поля. Но в мазере следует предположить, что она опережает поле. Квантово-механический расчет подтверждает это и дает возможность получить более точную оценку.

Молекула аммония в каждом из двух своих стационарных состояний не имеет дипольного момента. Но под воздействием элек-

55трического поля в резонаторе она настраивается на синхронизм с ним. Ее момент, сдвинутый по фазе относительно поля на л/2, постоянно растет, отставая от поля, если молекула находится в более низком стационарном состоянии, и опережая его — в более высоком энергетическом состоянии. В слабом поле скорость роста постоянна и пропорциональна напряженности поля. Эффективная диэлектрическая проницаемость может быть определена, если молекула покидает резонатор в линейном режиме, т. е. если диэлектрический отклик, усредненный по времени ее пребывания в резонато-

5

5

Рис 1135. Зависимость среднего эффективного значения S" для молекул аммония, движущихся с заданной скоростью через микроволновой резонатор, от напряженности осциллирующего поля ^ В реальном случае широкий разброс скоростей молекул приводит к сглаживанию колебательного хвоста, так что кривая стремится к асимптотам, показанным пунктирными линиями

ре, является линейной величиной. В более сильных полях дипольный момент успевает достигнуть своего максимального значения и даже начинает уменьшаться, поскольку абсолютно синхронизованное поле заставляет его непрерывно совершать возвратно-поступательное движение между двумя стационарными состояниями. Значение дипольного момента увеличивается и уменьшается, иногда отставая, иногда опережая поле. Такое слишком живое описание вряд ли понравится физику-теоретику. Но оно дает хорошее представление об обычном поведении большого числа молекул, даже если каждая молекула в отдельности не может быть описана в классических подробностях.

При очень большой напряженности поля в резонаторе молекула совершает так много переходов, что может выйти из резонатора в любом состоянии. Тогда каждая возбужденная молекула в среднем передает резонатору энергию, равную хкШ.

Если мы определим эффективную (мнимую) диэлектрическую проницаемость так, что скорость потерь энергии равна Vse^2, где S— амплитуда колебаний поля, то тот факт, что энергетический коэффициент усиления достигает насыщения, означает, что г" отрицательно и при высоких значениях напряженности поля уменьшается по закону 1/^2. График, показывающий зависимость б" от ^, приведен на рис. 11.35. Пунктирные линии представляют собой нижнюю и верхнюю асимптоты поля. Реальная кривая растет или убывает приблизительно в два раза быстрее или медленнее. При этом ^ таково, что каждая молекула может совершить полный переход. В действительности, конечно, амплитуда возрастает до тех пор, пока при некотором значении б" количество подводимой энергии не становится равным количеству рассеиваемой энергии.

На этом мы прервем описание мазера и вернемся к нему лишь когда настанет время для квантово-механического анализа. Однако уже сейчас можно отметить, что этот анализ установит необычайно тесное соответствие между двухуровневой квантово-механической системой и гиромагнитным волчком, описанным в § 8.4 в качестве модели протонного резонанса (протон в магнитном поле представляет собой двухуровневую систему). Действительно, объяснение роста колебаний диполя до максимума и последующее их уменьшение— это просто объяснение способа изменения со временем поперечной компоненты момента волчка, конус прецессии которого расширяется и сужается под влиянием возмущающего поля на частоте прецессии.

НАСЫЩЕНИЕ ОСЦИЛЛЯТОРОВ ' С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ

Устойчивый режим колебаний в мазере наступает тогда, когда источник энергии начинает в точности восполнять потери, которые в любом случае очень невелики. Компенсирующий прирост дают молекулы, имеющие дипольные моменты, колебания которых опережают колебания электрического поля. На всем протяжении периода колебания «работают» как механизм потерь (сопротивление стенок, рассеяние полезной энергии), так и механизм усиления (диэлектрического), причем каждый сводит на нет влияние другого. Это создает в резонаторе очень хорошее приближение к идеальному состоянию без потерь. Возникают чисто синусоидальные колебания. Колебания в генераторе класса С с индуктивной обратной связью тоже очень близки к синусоидальным, но они не настолько близки к идеальным, как в мазере, потому что такой генератор является «свободным» осциллятором с затуханием в течение большей части периода колебаний. Но в определенный момент каждого периода происходит толчок, необходимый для поддержания постоянной амплитуды.

Достижение устойчивого состояния в этих двух случаях происходит различными путями. Мы уже рассмотрели генератор класса С и теперь сравним его с резонансным контуром с высоким Q, работающим с использованием слабонелинейного отрицательного сопротивления. Такой контур является подходящей моделью мазера. Предположим, что выражение для разности потенциалов на отрицательном сопротивлении содержит положительное слагаемое с третьей степенью. Тогда токи, текущие через отрицательное сопротивление и линейное положительное сопротивление, вместе создадут разность потенциалов, удовлетворяющую уравнению

I/^-aZ + 3/Л (11.23)

где а и р малы настолько, что колебания вырастают очень медленно и в равной степени достигают устойчивой амплитуды. Предположим, что волна является чисто синусоидальной, и рассчитаем

среднюю скорость диссипации. Пусть ток определяется выражением Iq sin tot, а диссипация за один период составляет Д£, где

\Е = А: ^ ( — aZ0 sin tot + ?Zo sin3 tot) Zo sin tot d t = о

= (2л/и>) (-1/2aZ20 + ^^^ (11.24)

Установившееся значение тока Zo, при котором Д£ стремится к нулю, равно (4/з«/Р) */2. Если ток Zo увеличивается на 6Z0, то энергия колебаний возрастает на £Zo6Zo, а диссипация за один период — на (d/dZ0) ДЕ-61О, т. е. на 2naZ06Zo/(o. Следовательно, амплитуда приближается к своему стационарному значению со скоростью, которая может быть представлена в виде функции Q от toL/a такой же, как и Q в начальной стадии.

Это противоположно тому, что происходит в осцилляторе класса С, который при приближении к устойчивому состоянию имеет то же самое значение Q, что и резонансный контур без обратной связи, тогда как Q для начальных стадий может быть безусловно весьма малым, если усилитель достаточно мощный.

Обсуждавшиеся ранее генераторы с отрицательным сопротивлением имеют еще одно отличие. В этих осцилляторах, как и в осцилляторах класса С, колебания тока могут быстро возрастать. Но когда они приближаются к устойчивому состоянию, то могут подвергаться влиянию сопротивления, изменяющегося от больших отрицательных значений при малых амплитудах до больших положительных значений при больших амплитудах. Усиление за один период при малых амплитудах и декремент при больших в этом случае таковы, что совершенно не реально надеяться на близость формы волны к синусоиде. Не будем пытаться анализировать скорость приближения к устойчивому состоянию, а сосредоточим наше внимание на форме колебания в самом устойчивом состоянии. Мы уделяем этому пристальное внимание в связи с тем, что это подведет нас к важному классу релаксационных осцилляторов.

В поведении туннельного диода, подключенного в параллельный резонансный контур, и последовательного резонансного контура, показанного на рис. 11.14, а, существует много общего, поэтому мы рассмотрим лишь последний. Итак, рассмотрим общую задачу для последовательного резонансного контура, состоящего из катушки индуктивности, конденсатора и нелинейного резистора, падение потенциала на котором определяется не зависящей от времени произвольной функцией тока V(Z). Дифференциальное уравнение, определяющее заряд на конденсаторе, имеет вид

Lq-VV^Hq/C = 0. (11.25)

Положим B, = q (LfC)x?2, т=1ЦЬС)х^, v = dZ)/dx=Lq и &(и) = = ^LCY,2V^оЩ. Тогда уравнение (11.25) приобретает вид уравнения (11.21) и может быть исследовано теми же методами.

На рис. 11.36 показано построение Льенарда для нелинейной характеристики, соответствующей в общих чертах контуру с отрицательной обратной связью, характеристика которого приведена на рис. 11.14. Амплитуда колебаний в этом контуре вначале резко возрастает и затем быстро достигает устойчивого значения. Быстрый рост означает, что значение Q для режима с отрицательным сопротивлением невелико. Фактически, когда V=Rq, наклон dkldv

Рис 11 36. Построение для установившихся колебаний в резонансном контуре с отрицательным сопротивлением (рис 11.14, а), когда обратная связь не слишком сильна и колебания близки к синусоидальнымРис 11 36. Построение для установившихся колебаний в резонансном контуре с отрицательным сопротивлением (рис 11.14, а), когда обратная связь не слишком сильна и колебания близки к синусоидальнымРис. 1137. То же, что и на рис 11 36, но с сильной обратной связью (а); образование спрямленной формы волны тока (б)Рис. 1137. То же, что и на рис 11 36, но с сильной обратной связью (а); образование спрямленной формы волны тока (б)

Рис 11 36. Построение для установившихся колебаний в резонансном контуре с отрицательным сопротивлением (рис 11.14, а), когда обратная связь не слишком сильна и колебания близки к синусоидальным

Рис 11 36. Построение для установившихся колебаний в резонансном контуре с отрицательным сопротивлением (рис 11.14, а), когда обратная связь не слишком сильна и колебания близки к синусоидальным

Рис. 1137. То же, что и на рис 11 36, но с сильной обратной связью (а); образование спрямленной формы волны тока (б)

Рис. 1137. То же, что и на рис 11 36, но с сильной обратной связью (а); образование спрямленной формы волны тока (б)

как раз равен R^CJLy^ или 1/Q, если Q не слишком мало (ср. с (2.27)). Выбранное здесь значение Q очень близко к единице и соответствует увеличению амплитуды в ел/2 раз, т. е. в 4,8 раза за каждый полупериод.

Описанная раньше графическая процедура может быть использована для построения формы волны колебаний. В этом частном случае очень трудно показать окончательную форму колебаний, поскольку она лишь слегка отличается от синусоидальной. Это соответствует выбору к (и) такому, что его производная достаточно мала повсюду и контур остается колебательным. Как мы уже видели, при небольших амплитудах Q^ — 1, тогда как при больших амплитудах, где характеристика тоже является прямой линией, но с несколько большим градиентом, значение Q соответственно несколько меньше, но положительно.

То, что эта линейная часть характеристики при больших значениях и не проходит через начало координат, не мешает определить Q, поскольку с помощью замены переменных уравнение контура может быть преобразовано к стандартному линейному уравнению.

Если положить V(q) = Vo-VRq, то уравнение (11.25) принимает вид

Ц\А-^к + ^1/С = 0, где qx = q-\-CV^ (11.26)

До тех пор пока |7?| <2 (L/C) ^^ т. е. пока |d^/du|<2, решения уравнения (11.26) описывают колебания около смещенного среднего значения —CV0 (смещение имеет место только для q, a q совершает колебания вблизи нулевого значения). Но если L уменьшается настолько, что наклон кривой к (и) возрастает до больших положительных и отрицательных значений, то траектория очень сильно сжимает кривую К. Поэтому ее форма становится более угловатой, так же как и форма волны колебаний т.ока у (рис. 11.37).

Общий вид формы волны следует из решений уравнения (11.26). В случае сильного затухания обе постоянные времени (экспоненциального роста и затухания колебаний) соответственно равны L/R и RC. Если R отрицательно, то обе экспоненты положительны и та, которая возрастает быстрее, определяет рост колебаний. Поэтому та часть периода, где ток невелик, определяется более короткой постоянной времени L/R. Напротив, если R положительно, то скорость затухания ограничивается самым медленным процессом и та часть периода, где ток велик, определяется большей постоянной времени RC. Если на характеристике много точек изломов, к которым q/C релаксирует экспоненциально, —Ео может оказаться значительно меньше V. Тогда соответствующая часть периода очень близка к линейной. Если катушка индуктивности отсутствует, быстрое прохождение тока через нулевое значение ограничивается только откликом усилителя или паразитными индуктивностями. В этом случае в контуре, показанном на рис. 11.38, возникают колебания с огибающей, очень похожей на форму волны колебаний мультивибратора. Она очень богата гармониками. Усилитель насыщается при пересечении АВ, а затухание определяется постоянной времени цепи конденсатора С, соединенного последовательно с резистором Rs. Постоянная времени определяется средним наклоном этой части характеристики. С хорошим приближением характеристика может быть заменена тремя прямыми линиями. Тогда продолжительность интервала АВ, который соответствует половине периода, равна RSC In (^A'i. Если отношение zVh намного превышает единицу, то период колебаний может оказаться существенно меньшим постоянной времени RSC.

До тех пор пока в контуре имеется катушка индуктивности L, фазовая траектория является непрерывной кривой (см. рис. 11.37, а) и вольт-амперная характеристика пробегается дважды в течение каждого периода при движении в одну и другую стороны. Чем меньше L, тем меньше время, необходимое для того, чтобы отрицательное сопротивление привело к устойчивости. До тех пор пока L = 0, переходы от D к А и от В к С происходят мгновенно (пунктирные линии на рис. 11.38). При прохождении АВ ток разряжает конденсатор и V уменьшается, но после прохождения точки В любая попытка попасть в область отрицательного сопротивления сры-

вается, поскольку положительный ток должен продолжать уменьшать V. Это возможно из-за наличия индуктивности, которая поддерживает потенциал на конденсаторе близким к тому, что необ-

Рис. 11.38. Цепь, представленная на рис. 11.14, а, с исключенной индуктивностью (а). Огибающая волны, идентичная форме колебаний мультивибратора (б). Вольт-амперная характеристика (в)Рис. 11.38. Цепь, представленная на рис. 11.14, а, с исключенной индуктивностью (а). Огибающая волны, идентичная форме колебаний мультивибратора (б). Вольт-амперная характеристика (в)ходим для удержания точки на характеристике. Но если L мало, это должно происходить в результате очень быстрого изменения тока. Если индуктивность L отсутствует, у точки нет иного выбора, кроме как «прыгнуть» на другую ветвь характеристики, где значения V и / также соответствуют параметрам контура. Мы обстоятельно рассмотрели этот довод, чтобы показать, что прыжок типичной точки — идеализация того, что происходит в действительности, фактически же это непрерывный, но очень быстрый процесс. Подобное поведение мы обнаружим при анализе следующего устройства — мультивибратора.

Рис. 11.38. Цепь, представленная на рис. 11.14, а, с исключенной индуктивностью (а). Огибающая волны, идентичная форме колебаний мультивибратора (б). Вольт-амперная характеристика (в)

Рис. 11.38. Цепь, представленная на рис. 11.14, а, с исключенной индуктивностью (а). Огибающая волны, идентичная форме колебаний мультивибратора (б). Вольт-амперная характеристика (в)

МУЛЬТИВИБРАТОР [13]

Мультивибратор — одна из классических схем, изобретенных на заре эпохи термоэлектронных ламп, — до сих пор используется в модернизованных вариантах как генератор очень остроугольных импульсов. В следующей главе (см. § 12.8) будет показано, что мультивибратор может быть синхронизован с более высокочастотным генератором. Это позволяет использовать его как делитель частоты. С небольшими изменениями мультивибратор, работающий в автоколебательном режиме, может быть превращен в генератор, работающий в ждущем режиме, — контур с двумя устойчивыми состояниями, смена которых может происходить очень быстро. Такие схемы находят применение в логических устройствах. Режимы работы мультивибраторов рассматриваются во многих учебниках полуинтуитивным способом; таким же способом пользуются и инженеры. При анализе любой используемой на практике схемы, особенно с нелинейными элементами, возникают такие математические трудности, что нельзя не отнестись с уважением к тем, кто понимает, как будет работать выбранная схема, и может, варьируя

ее параметрами, выбирать необходимые режимы работы. Непосвященному читателю это порой не под силу. Именно для него и приводится здесь теория работы мультивибратора.

Мультивибратор (рис. 11.39) представляет собой двухкаскадный усилитель с 7?С-связью. Выход одного каскада подключен ко входу другого. Если бы можно было закоротить конденсаторы, не нарушив работы всей схемы, мы получили бы устройство с поло-

Рис. 11.39. Одна из ранних схем мультивибратора (а) и современная транзисторная схема (б)Резисторы в схеме (а) подсоединены к заземленному проводнику. С таким же успехом их можно подсоединить к токонесущему проводнику, как это сделано на схеме (б). Исследование схемы а оказывается чуть более простым, чем схемы бРис. 11.39. Одна из ранних схем мультивибратора (а) и современная транзисторная схема (б)Резисторы в схеме (а) подсоединены к заземленному проводнику. С таким же успехом их можно подсоединить к токонесущему проводнику, как это сделано на схеме (б). Исследование схемы а оказывается чуть более простым, чем схемы бРис. 11.40. Эпюры напряжения на сетках (точки А и В) и на анодах (точки X и У) в схеме мультивибратора(рис. 11.39, а)Рис. 11.40. Эпюры напряжения на сетках (точки А и В) и на анодах (точки X и У) в схеме мультивибратора(рис. 11.39, а)

Рис. 11.39. Одна из ранних схем мультивибратора (а) и современная транзисторная схема (б)

Резисторы в схеме (а) подсоединены к заземленному проводнику. С таким же успехом их можно подсоединить к токонесущему проводнику, как это сделано на схеме (б). Исследование схемы а оказывается чуть более простым, чем схемы б

Рис. 11.39. Одна из ранних схем мультивибратора (а) и современная транзисторная схема (б)

Резисторы в схеме (а) подсоединены к заземленному проводнику. С таким же успехом их можно подсоединить к токонесущему проводнику, как это сделано на схеме (б). Исследование схемы а оказывается чуть более простым, чем схемы б

Рис. 11.40. Эпюры напряжения на сетках (точки А и В) и на анодах (точки X и У) в схеме мультивибратора

(рис. 11.39, а)

Рис. 11.40. Эпюры напряжения на сетках (точки А и В) и на анодах (точки X и У) в схеме мультивибратора

(рис. 11.39, а)

жительной обратной связью. На рисунке показаны два варианта схемы мультивибратора: более старый — на ламповых триодах, а современный — на транзисторах. Колебания, возникающие при замыкании цепи питания, имеют вид чередующихся импульсов. Изменение потенциалов в различных точках схемы показано на рис. 11.40. Почти все время оба усилительных каскада работают за пределами линейной области, поэтому их внутренние параметры не особенно важны. Результаты, которые получают для транзисторной и для ламповой схем, очень похожи друг на друга. Мы возьмем за основу ламповую схему просто потому, что соединение резисторов R с заземленным проводником привычнее, чем их соединение с положительным полюсом цепи. Мы предположим, что ток, идущий через каждую лампу, определяется исключительно напряжением на сетке и не зависит от анодного напряжения. Это сильное упрощение, но оно не имеет принципиального значения. Нам доста-

точно знать, что в усилителе существует область усиления и что при большом отрицательном входном напряжении возникает запирание, а при большом положительном — насыщение. Правда, в последнем случае электроны быстро движутся к сетке, что приводит к возникновению положительного смещения. Но в данный момент нас это не интересует.

Начнем с вывода дифференциальных уравнений для тока и покажем, что, к сожалению, они оказываются уравнениями высокого порядка. Затем обсудим некоторые специальные случаи для объяснения процессов, происходящих в контуре.

Рис. 11.41. Эквивалентная схема одного Рис 11 42 Зависимость тока г и про- усилительного каскада, входящего в со- взводной p^d/’/dV от напряжения став мультивибратора, приводится дляна сетке V

пояснения использованных обозначений Предполагается, что в точке В ток отсутствует

Эквивалентная схема левого каскада мультивибратора представлена на рис. 11.41. Конденсатор С^ введен из-за наличия межэлектродных емкостей в лампе. Позднее станет ясно, что забывать об их существовании не следует, а то, что наша модель неточна, не столь существенно. Как отмечалось выше, предполагается, что ток 1Х определяется исключительно напряжением на сетке Vi и не зависит от анодного напряжения V^:

(11.27)*

Уравнение непрерывности для тока в точке X имеет вид

Ч + С1Гх + (Йх-1/0)//?1 + ^2//?=О.(11.28Г

Условие непрерывности для тока через R и С позволяет записать

C<V2-VxHV2?R=0.(11.29)

Исключая Vx из уравнений (11.28) и (11.29) и используя (11.27). получаем

tt^гН-1'' [^2 + ^ (^i) ^1] Н~^2 — 0,(11.30)

где t=RC; t\=R\Cx; t^t + ti+^iC; ^^(Vi) =r7?idii/dVb где ц — дифференциальный коэффициент усиления лампы с сопротивлениями R1 и R, подключенными параллельно анодной цепи (он равен изменению потенциала анода при единичном изменении потенциала

сетки). В пентодах ц в обычной рабочей области может быть много больше единицы, но вне рабочей области. Он падает до нуля. Типичная анодно-сеточная характеристика лампы и соответствующая ей зависимость ц показаны на рис. 11.42.

Для первого каскада можно записать аналогичное условие:

(11.31)(11.31)tt^ +1' [У + И (У2)У2] + ^=0.

(11.31)

(11.31)

Уравнения (11.30) и (11.31) совместно дают нелинейное уравнение четвертого порядка относительно У1 или У2. К счастью, один или два частных случая позволяют получить всю необходимую информацию, и нет нужды в полном решении этих уравнений. Прежде всего рассмотрим режим работы вблизи точки равновесия при У1 = У2=0, предполагая, что p = const. Тогда уравнения (11.30) и (11.31) становятся линейными. Их анализ показывает, что решения можно найти, положив У2=±Уь

Поскольку таким образом определяются четыре независимых решения, общее решение представляет собой их линейную комбинацию. Каждое независимое решение содержит экспоненциальный множитель е^, в котором р удовлетворяет уравнению

^т^ + т' (1 + р») р-У 1 = 0. (11.32)

Положительный знак соответствует случаю У2=Уь а отрицательный— случаю У2 =— Уь Четыре значения р имеют следующий вид:

РР12tit:12tit:— t' + цт' ± [(1 ± р.Яг^+^Тз]72— t' + цт' ± [(1 ± р.Яг^+^Тз]72(11.33)(11.33)

Р

Р

1

2tit:

1

2tit:

— t' + цт' ± [(1 ± р.Яг^+^Тз]72

— t' + цт' ± [(1 ± р.Яг^+^Тз]72

(11.33)

(11.33)

Пока т велико, р все время положительно и действительно. Это гарантирует неустойчивость равновесного состояния. Любое смещение возрастает экспоненциально с постоянной времени Ti/ц. Это справедливо для положительного знака в (11.32) и соответствует изменениям с противоположными знаками У2 и Уь Если Сх — маленькая емкость и постоянная времени л достаточно мала, наличие р, приводит к более быстрому отклонению. Если пренебречь емкостью Сь то мы не получим разрывного скачка из равновесного состояния. Это эквивалентно предположению, что ti = 0, что приводит к потере обоих решений. Но если п = 0 в (11.32), то доминирующее положительное значение р имеет порядок l/(pV). Отметив это, будем считать л столь продолжительным, сколь это нужно, а затем пренебрежем этой величиной.

В сущности, внезапное нарушение равновесия приводит к скачку к совершенно другим значениям У1 и У2, лежащим далеко за пределами линейного режима усиления. Для того чтобы понять, что при этом происходит, рассмотрим специальный случай, не слишком далекий от физической реальности, когда ц(У)—четная

функция аргумента, т. е. ц(—V)=p(V). Это позволяет значениям Vi и V2 все время оставаться равными по модулю и противоположными по знаку и сводит задачу к легко определяемым количественным соотношениям. Поскольку теперь уравнение (11.31) имеет вид, приемлемый как для Vi, так и для V2, перепишем его в виде

ту + т' [ 1 - р, (И)] Vlx + V/x = 0. (11.34)

Это уравнение гармонического вибратора, в котором слагаемое с вязким затуханием зависит от смещения (т. е. от V). Для малых смещений оно имеет большое по модулю отрицательное значение, для больших смещений — положительное значение, меньшее по модулю. Можно сразу же представить, как ведет себя такая система. Если ее вывести из нулевого положения, то под действием силы порядка цУ система будет продолжать удаляться от начального положения до тех пор, пока ц не снизится до 1. Движение будет продолжаться до тех пор, пока кинетическая энергия не рассеется или не перейдет в потенциальную. При движении в обратном направлении скорость ограничена более продолжительной постоянной времени в решении уравнения (11.34), равной т'[1—p(V)] при условии, что Ti очень мало. В течение длительного времени постоянная времени приблизительно равна V, поскольку ц~0. Однако как только смещение достигнет такого значения, что ц снова начнет возрастать, ускоренное движение будет продолжаться до тех пор, пока не возникнет очень быстрого обратного смещения; это произойдет, когда ц примет значение, равное 1. После этого движение будет вновь определяться более короткой постоянной времени. Нечто подобное, но с противоположными знаками теперь начнет происходить в течение недолгого времени перед тем, как будет достигнуто устойчивое состояние, при котором Vi и V2 поочередно отклоняются от соответствующих положительных и отрицательных значений.

Если пренебречь ть то все произойдет вне области, в которой р>1. Каждый раз, когда система достигает границ этой области, она мгновенно попадает в дальнюю точку на противоположной стороне, из которой релаксирует обратно, пока вновь не достигнет критической точки. В этой модели прослеживается характерная особенность работы мультивибратора и нам придется несколько позднее согласиться с таким утверждением.

Учитывая сказанное выше, заметим, что все существенное происходит в то время, когда один усилитель заперт, а другой находится в состоянии насыщения. Пренебрежем ть но не будем предполагать четности функции ц(У), т. е. не будем требовать, чтобы Vi и V2 были противоположными. Тот факт, что эта модель требует мгновенных скачков Vi и У2, говорит о том, что должны существовать различные пары значений (Vi, V2), соответствующие одинаковым зарядам на конденсаторах С. Пусть заряд левого конденсатора равен 9ь а правого — ^2. Для того чтобы qx имело заданное зна-

чение, для (11.28) должно выполняться условие Vx=V2+Cqb которое можно записать в виде’

V2 Wi (VO/x^F^q^.(11.35)

при замене qx на q2.при замене qx на q2.Постоянная q2Постоянная q2Область крата тс к ахОбласть крата тс к ахРис. 11.43. Типичные кривые постоянных значений qi и q2Если точка Р лежит в области, определяемой уравнением цСУ^Щ У2) = 1, кривые касаются в этой точкеРис. 11.43. Типичные кривые постоянных значений qi и q2Если точка Р лежит в области, определяемой уравнением цСУ^Щ У2) = 1, кривые касаются в этой точкеПостоянная qTПостоянная qT^Это уравнение определяет семейство кривых постоянных значений qx на плоскости VX) У2, идентичных характеристикам усилителя, показанным на рис. 11.42, но с обратным знаком. Аналогичное семейство кривых постоян Два типа кривых приведены на рис. 11.43. Все остальные получают путем смещения любой из кривых 71 = const или q2= = const. Кривые, пересекающиеся в начале координат, а также в ^ и N\ иллюстрируют две возможности, возникающие после включения схемы. В точке О система неустойчива и может перейти в N или N' совершенно случайным образом. Далее колебания будут происходить уже известным

при замене qx на q2.

при замене qx на q2.

Постоянная q2

Постоянная q2

Область крата тс к ах

Область крата тс к ах

Рис. 11.43. Типичные кривые постоянных значений qi и q2

Если точка Р лежит в области, определяемой уравнением цСУ^Щ У2) = 1, кривые касаются в этой точке

Рис. 11.43. Типичные кривые постоянных значений qi и q2

Если точка Р лежит в области, определяемой уравнением цСУ^Щ У2) = 1, кривые касаются в этой точке

Постоянная qT

Постоянная qT

способом. Подробности этого процесса становятся понятными, если рассмотреть две другие кривые, которые соприкасаются в точке Р и пересекаются в точке Q. Условие касания вытекает из соотношения (11.35), которое показывает, что наклон касательной dV2/dVi к кривой ^i = const равен —ц(У1). Аналогично, для кривой q2 = = const он составляет —ц(Уг). Для того чтобы в данной точке (Уь У2) кривые имели одинаковый наклон касательных, необходимо, чтобы выполнялось условие

(11.36)(11.36)щУ^щ!/^) — 1.

(11.36)

(11.36)

Так записывается обобщенный вид критического условия р=1, которое было выведено для симметричной характеристики усилителя. Точки, удовлетворяющие условию (11.36), определяют область критических точек для данной задачи. Из соотношений (11.30) и (11.31), пренебрегая ть легко показать, что все траектории на плоскости проходят через эту область. Более того, У1 и У2 могут двигаться вдоль общей касательной к кривым ^ = const в точке Р, не приводя к изменениям qx и q2. Следовательно, выбранная точка приходит в критическую область с бесконечной скоростью (если учитывать емкость Сх, то скорость будет конечной) и дальше двигаться не может. Поэтому она немедленно «прыгает» в точку Q. Это в точности соответствует процессу, показанному на рис. 11.38.

Теперь мы должны принять во внимание фактор, которым до сих пор пренебрегали. В точке Q напряжение У2 имеет большое

положительное значение и потенциал сетки второй лампы V2 быстро понижается (до значения VB; см. рис. 11.39 и 11.40). Когда это происходит, анодный ток немного уменьшается от значения, соответствующего насыщению, и потенциал точки Y несколько понижается. Результаты этих изменений приведены на рис. 11.40 и 11.44. Начальная стадия QR (с началом в точке Q) представляет собой быстрое уменьшение положительного потенциала сетки V2. При

Рис 11 44 Схематическое представление цикла работы мультивибратораПунктирной линией представлены возможные спонтанные скачки из точки Р в точку Q и из точки S в точку ТРис 11 44 Схематическое представление цикла работы мультивибратораПунктирной линией представлены возможные спонтанные скачки из точки Р в точку Q и из точки S в точку Тэтом потенциал Vi меняется незначительно, поскольку ограничен постоянной времени т', определяющей разряд правого конденсатора через резисторы R и R1. На участке /?3 разряд происходит медленно, и только вблизи точки 3, которая лежит в критической области, процесс ускоряется. Из точки 3 происходит прыжок в точку Т, которая является зеркальным отображением точки Q относительно линии, проходящей под углом 45°. Падение положительного потенциала сетки Vi и последующий медленный разряд конденсатора соответствуют отрезкам TU и UP. Наконец, скачок из Р в Q завершает цикл. Его продолжительность в значительной

Рис 11 44 Схематическое представление цикла работы мультивибратора

Пунктирной линией представлены возможные спонтанные скачки из точки Р в точку Q и из точки S в точку Т

Рис 11 44 Схематическое представление цикла работы мультивибратора

Пунктирной линией представлены возможные спонтанные скачки из точки Р в точку Q и из точки S в точку Т

степени определяется временем, затрачиваемым на движение вдоль участков 7?S и UP.

Теперь понятно, что чередующиеся насыщения каждого усилителя происходят автоматически и не зависят от флуктуаций, как подразумевалось при некоторых оценках. Режим работы, при котором происходят все процессы, отличается от режима работы обычного двухкаскадного усилителя, в котором коэффициент усиления превышает 1. В поведении схемы, изображенной на рис. 11.38, имеется много общего с поведением только что описанного мультивибратора. Поэтому теперь мультивибратором можно назвать как описанное ранее устройство (см. рис. 11.38), так и более простой вариант, приведенный в этом параграфе.

РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ

Работа мультивибратора, приведенного на рис. 11.38, удивительно похожа на поведение линейного контура, представленного на рис. 2.27, в котором газонаполненная трубка служит автоматическим переключателем, обеспечивая стремление /?С-цепочки к состоянию устойчивого равновесия. Более симметричный в своей работе мультивибратор имеет два каскада, работающих в противофазе. Следовательно, у него есть два устойчивых состояния, из которых он

релаксирует экспоненциально (как /?С-цепь), не достигая устойчивого равновесного состояния из-за быстрого переключения. Таково типичное поведение осциллятора, неточно названного релаксационным (примеры таких осцилляторов были приведены в гл. 2, сюда относится и рассмотренный в § 11.5 пример скачкообразных колебаний с периодическими остановками). В последнем случае система обладает собственной частотой колебаний и, строго говоря, не может быть отнесена к релаксационным осцилляторам, если под релаксацией понимать экспоненциальное или квазиэкспоненциаль- ное возвращение к положению равновесия.

Однако более значительным является тот факт, что сила, поддерживающая колебания, возникает при быстром изменении физических параметров и что эти изменения вызваны самой системой, а не внешним воздействием. Это и является фундаментальным свойством (если таковое может быть определено) рассматриваемого типа осцилляторов.

Релаксационные осцилляторы очень широко распространены вне физических лабораторий. Замечательным примером являются гейзеры Исландии, Новой Зеландии и Йеллоустонского парка [14]. Мы не будем здесь вдаваться в детали главным образом потому, что нет единого объяснения и мнения о том, как они работают. Действительно, по-видимому, механизмы работы разных гейзеров различны, но существует простая модель, применимая во многих случаях.

В основе этой модели лежит особенность, характерная для всех гейзеров, — заполненная водой камера, связанная с поверхностью трубкой и постоянно нагреваемая в результате действия вулкана. Вода в камере может быть нагретой до температуры, значительно превышающей 100°С, без кипения (на глубине 20 м от поверхности земли температура кипения воды равна 134°С). Прежде чем вода в камере получит достаточное для кипения количество теплоты, в трубке, где температура может быть лишь немного меньше, чем в камере, а давление значительно меньше, на некотором расстоянии от верхнего конца развивается неустойчивость. Кипение, начавшееся в трубке, приводит к выбросу лежащих выше слоев воды, так что гидростатическое давление над камерой уменьшается. Теперь вода кипит там катастрофически, выбрасывая большое количество воды и пара на значительную высоту (особенно если конец трубки, находящийся в камере, расположен гораздо ниже, чем потолок камеры, и, прежде чем давление упадет, выбрасывается много воды). В конце извержения поверхностные или подземные воды текут обратно в камеру и охлаждают ее так, что пар конденсируется и камера заполняется почти полностью. Процесс нагревания начинается снова, и через какое-то время происходит новое извержение. Из этого описания ясно, что извержение гейзера — релаксационный процесс, подобный процессу в контуре с синхронизацией, но протекающий гораздо более нерегулярно.

Среди большого числа гейзеров только «Старый служака» в Йеллоустонском парке извергается в заранее предсказанный момент.

Однако, возможно, это в большей степени легенда, а не факт. Период и интенсивность извержения большинства гейзеров непостоянны. Этому не следует удивляться, поскольку процесс извержения гейзера значительно более сложен, чем работа элементарного электрического контура, и точный результат должен зависеть именно от того, где произойдет первоначальное закипание и сколько будет выброшено воды. После этого на каждой следующей стадии существует обширный простор для изменения этих условий.

В ситуациях действительно сложных нерегулярность процесса скорее правило, чем исключение, поскольку резонансная система стабилизации частоты здесь отсутствует и процесс находится во власти посторонних воздействий. Это, в частности, справедливо для колебательных процессов в биологических системах (биение сердца, менструальный цикл), многие из которых можно анализировать на основе общей модели релаксационных колебаний.

Возьмем, например, кладку яиц домашней птицы. Здесь ясно проявляется периодичность процесса развития яиц и появления птенцов и наблюдается непостоянство в периоде кладки и размерах яиц, вызванное настолько обширным рядом причин, что мы не в силах привести их. В этой связи нам не поможет даже изучение веса утиных яиц, которое показывает, как несоответствие между собственным периодом кладки и ритмом дневного освещения приводит к систематическим изменениям веса и периодическому появлению дней, когда утки не несутся [15]. Моделью этого процесса может служить релаксационный генератор, управляемый периодическим сигналом с частотой, отличной от собственной частоты генератора (см. § 12.8). Не каждый такой генератор может быть возбужден на собственной частоте, и даже те, которые могут быть заперты по частоте, ведут себя по-разному. Утка, которая день за днем в течение нескольких дней продолжает нести все более легкие яйца, а затем после короткого перерыва вновь начинает цикл, имеет собственный период гораздо больший, чем сутки. Ее поведение не может быть проконтролировано. .

Это привело нас на порог новой, более важной темы, касающейся взаимного влияния колебательных систем. К нему мы обратимся в следующей главе. Однако есть еще один момент, связанны?! с шумами, возникающими в колебательных системах, который целесообразно рассмотреть в настоящей главе. Самым простым примером, демонстрирующим характерные особенности этого явления, является воздействие шумов напряжения на фазу и амплитуду колебаний в генераторах класса С.

ВЛИЯНИЕ ШУМОВ НА ОСЦИЛЛЯТОРЫ КЛАССА С

Если пренебречь шумом Джонсона и другими случайными помехами, то поведение осциллятора класса С сводится к регулярным колебаниям с постоянной амплитудой, определяемой, например, максимальным зарядом на конденсаторе q^. Импульсная э. д. с. Р, приложенная к контуру, обеспечивает дополнительный ток, равный

PIL, который через четверть периода создает на конденсаторе дополнительный заряд д^РЦ^оЦ. Если этот импульс приходит в тот момент, когда значение тока максимально, то он изменяет амплитуду колебаний, но не влияет на их фазу. Затем амплитуда релаксирует к своему постоянному значению с характерной постоянной времени, равной 2Q/co0 (см. рис. 11.10, а).

Если же импульс напряжения действует в тот момент, когда ток равен нулю, то он добавляет к колебаниям небольшую составляющую, сдвинутую по фазе на л/2, изменяя тем самым фазу, но не влияя на амплитуду. Первоначальная фаза после этого не восстанавливается. С этого момента колебания происходят так, как если бы ничего и не произошло. Следовательно, шум, рассматриваемый как последовательность случайных импульсов, возникающих при всех фазах колебаний, вызывает флуктуации амплитуды около ее среднего значения и нерегулярный дрейф фазы. Частотный спектр недолго остается острым. Как мы увидим, при идеальных условиях этот результат предельно мал и не может отвечать за флуктуации частоты, свойственные типичным колебательным системам, которые встречаются на практике. Эти флуктуации вызываются изменениями параметров контура и обусловлены колебаниями температуры или различными процессами старения (износа). Тем не менее проблема шума заслуживает анализа хотя бы только для того, чтобы убедиться, как мал описываемый эффект.

На диаграмме колебаний вектор, соответствующий q^ при от- -сутствии шума должен вращаться с постоянной угловой скоростью (о0. Импульс напряжения Р добавляет к нему вектор Р/(соо£), направленный параллельно мнимой оси. В системе отсчета, вращающейся вместе с q^ новый вектор может быть направлен произвольно в зависимости от фазы тока в момент появления импульса. Следовательно, случайная последовательность импульсов приводит к совокупности случайно ориентированных векторов, результирующий вектор которых удовлетворяет распределению вероятностей Гаусса, определяемому соотношением (4.37). Если в данный момент мы забудем о тенденции релаксации амплитуды к равновесным значениям, то конец вектора можно представить q0 как источник множества точек, диффундирующих из расширяющейся круговой площадки. Этой моделью описывается путь развития распреде- (ления вероятности амплитуды колебаний со временем. Вводя формально коэффициент диффузии D для этого процесса (подобный, iho не тождественный коэффициенту D в выражении (4.37)), получим закон нормальной диффузии для плотности точек на плоскости р:

£>V2P = P. (11.37)

Его решение через время / имеет вид

Z--ie-fW^ (11.38)

где г измеряется от конца первоначального вектора qQ.

Из выражения (11.38) можно определить значение среднеквадратичного смещения:

(г2) = f r3p(r)dr / ^ rp(r)d r = ^DL(11.39)

6/ о

Если за единичное время пройдет N импульсов, то векторная сумма Nt случайных векторов длины PI^L) определяется соотношением

<r^=NtP^^Ly.

с помощью которого из (4.45) можно найти коэффициент диффузии:

D = ^NPN^Pp = V4 л/ш W)2.(11 ЛО)

Здесь /со — спектральная плотность белого шума напряжения.

Определив коэффициент диффузии, приступим к решению нашей задачи, начиная с флуктуаций амплитуды. Поскольку амплитуда стремится релаксировать к значению q0, множество точек, представляющих возможные векторные суммы, спустя длительный промежуток времени будут лежать близко к окружности радиуса qQ и фазовая информация окажется потерянной. Радиальное распределение может быть установлено на основании тех же самых предпосылок, которые используются при описании процесса выпадения осадка в теории Броуна. Точка с радиусом-вектором qo-Vy не просто блуждает в результате действия случайных процессов, но и стремится вернуться обратно к окружности радиуса q0. Радиальная скорость при экспоненциальной релаксации должна быть пропорциональна у так, что у =— xktooy!Q. Для релаксационного процесса, лишенного шумов (см. рис. 11.10), это приводит к постоянной времени 2Q/coo. Если, кроме того, множество точек имеет плотность р(ук поток на единичной длине в этом случае равен V2M0W/Q. Этот поток направлен противоположно диффузионному потоку, равному —Ddpfdy. Равновесное распределение соответствует балансу этих двух потоков:

Ddp/dy= —4wy/Q.

Следовательно.

О -— ^ -<поу2 '4Q D,

Амплитуда имеет распределение Гаусса со средним значением q^. С учетом (11.40) можно записать

<(Д?о)2> = W ='2QDK = y.^QUl№Y (11.41)*

Это соотношение можно представить как зависимость от энергии <е>, которой обладает осциллятор с той же амплитудой:

= (7г (А?о)2)/С=74nQ/JOU2C) = y^UR.(11.42)

поскольку cdq2= 1/(LC) и Q = to0LIR. Для того чтобы оценить <е>, предположим, что шумы в резонансном контуре существуют только из-за резистора R, обусловливающего джонсоновский шум напряжения, его интенсивность /м в соответствии с (6.49) равна ^квТ!п. Тогда

^=^^7. (11.43)

Джонсоновский шум дает вклад не больший, чем вклад от случайного элемента, а амплитуда его такая же, как и в невозбужденном контуре. В действительности этот вклад еще больше, поскольку устройство с отрицательным сопротивлением тоже вносит свой вклад — он, вероятно, велик, но все же не настолько, чтобы <е> заметно возросла. В колебательном контуре при амплитуде напряжения 5 В и емкости конденсатора ОД мкФ запасается энергия колебаний примерно 1 мкДж, что в 1014 раз больше значения <е>, вытекающего из (11.43).

Будем считать амплитуду д0 постоянной. В свете нашего анализа дрейфа фазы, возникающего из-за шумов, это несомненно хорошая аппроксимация. Диффузия множества точек вдоль окружности радиуса ^0— одномерный процесс, определяемый тем же самым коэффициентом D. Если s^ — расстояние, пройденное за время t вследствие дрейфа и измеренное по дуге окружности, то

<$2>=2£/=72лЛ^/^^

Дрейф фазы.6, соответствующий s, составляет s/q^. Следовательно, (62)=1/2л/ш//(о^0)2. (11.44)

Для того чтобы этот результат можно было использовать в дальнейшем, с помощью соотношения (11.41) выразим /ш через <(МоУ>:

(11.45)

Определим отсюда, при каком значении соо/ среднеквадратичный дрейф фазы составит 1 рад. Из (11.45) следует, что это произойдет при toOt=Qf<^qolqo)2'> (при Q=100 и для приведенных выше значений возможно это при о)О^ 1016). Никакой реальный осциллятор не приближается к такой частотной устойчивости. Достоверным считается значение 1012 для верхнего предела устойчивости. По-ви- димому, справедливо следующее утверждение: маловероятно, что тепловые шумы играют роль ограничивающего фактора при точных измерениях времени для осцилляторов, обладающих значительно меньшей энергией колебаний.

Поэтому дальнейшее обсуждение этого вопроса может быть, пожалуй, чисто теоретическим. Однако стоит еще раз сформулировать последний вывод для иллюстрации применения автокорреляционной функции (см. § 4.6). Колебания на выходе осциллятора имеют вид доехр[—i (соо^—9)], где 0 — фазовый угол, изменяющийся случайно. Обозначим 0(т) множество возможных значений 0 в

момент времени т. Оно удовлетворяет распределению Гаусса вблизи нуля и среднеквадратичным значениям <92(т)>, пропорциональным т, как в соотношении (11.44). Следовательно, автокорреляционная функция Г (т) в соответствии с (4.47) имеет вид

(exp i 9(t)) exp( — iu)0T) или (cos 9(r)) ехр( —ho0t),

поскольку положительные и отрицательные значения 9(т) в равной степени вероятны. Если вероятность того, что 9(т) принимает определенное значение, пропорциональна ехр[—7202/<92(т) >], то среднее значение cos9(t) легко определить как ехр[--72<02(т) >р\ Таким образом,

Г(т)=е-|т|/(т-Лю°т), (11.46)

где tc=2Q/[(Oo< (Ago/^o)2^], что следует из соотношения (11.45).

^Преобразование Фурье для Г(т) дает спектральную плотность колебаний на выходе осциллятора лоренцевой формы:

Л» Vt^ + C03— ^Тс].

Влияние шумов приводит к расширению на выходе узкой частоты в полосу шириной около 2/тс или (o0<(A^o)7Q. Это отличается от (11.45) с точки зрения устойчивости по частоте, но смысл, конечно, сохраняется.

Упражнение. В этой главе применяется своеобразный подход к некоторым задачам. Используйте диаграмму Найквиста для контуров, приведенных на рис. 11.14, размыкая цепь на положительном входе усилителя, для определения коэффициента усиления G(co) (см. § 11.2 и 11.5). При этом следует помнить, что Л(со) уменьшается с ростом со и что соотношения Крамера — Кронига требуют, чтобы А было комплексным (см. § 5.4). Последовательная и параллельная схемы, приведенные на рис. 11.14, а, б, приводят к существенно разным диаграммам Найквиста. Постарайтесь использовать этот подход для генератора на туннельном диоде (см. § 11.5) и для мультивибратора (см. §11.7). В последнем случае следует пренебречь емкостью Ci в (11.28), но учесть влияние межэлектродных емкостей на уменьшение ц на больших частотах (истолковывая эту величину как комплексную).

* Читатель, воспользовавшись теми же самыми процедурами (но для диффузии на окружности, а не через сферу), которыми мы пользовались при выводе соотношения (8.29), непосредственно из уравнения диффузии может аналогичным образом вывести выражение для Г(т).

СВЯЗАННЫЕ ВИБРАТОРЫ

Не так уж сложно описать резонасную систему, находящуюся под действием осциллирующей силы, особенно если источником силы является какой-либо простой двигатель, не подверженный действию возбуждаемого им отклика, и если сама система пассивна и линейна. Этому посвящена гл. 6. Сложнее справиться с нелинейными пассивными системами, о которых говорилось в гл. 9.

Если же простой двигатель подвергается влиянию отклика, то возникают дополнительные трудности; некоторые из них рассмотрены в этой главе. Как и следует ожидать, наименее сложными являются линейные системы, и мы начнем с рассмотрения поведения двух связанных резонасных систем. Можно считать, что каждая из них является вынуждающей для другой и что возмущения одной, вызванные реакцией другой, взаимны. Примеры уже приводились раньше — связанные маятники, обсуждавшиеся в гл. 2, а также связанные резонансные линии, описанные в гл. 7. В обоих случаях мы отметили очень общее свойство подобных систем, а именно: даже если до связывания настроены они на одну и ту же частоту, то после связывания они на этой частоте не колеблются, а имеют резонансы на частотах, которые прогрессивно отдаляются от собственной частоты по мере усиления связи.

Возможно, рассмотрев этот вопрос, логичнее было бы перейти к связыванию пассивных нелинейных вибраторов, однако они так сложны, что мы рассмотрим их отдельно. Не так уж трудно получить полезные результаты для описания поведения автоколебательных осцилляторов, если они возмущаются либо введением постоянного сигнала, либо связыванием с подобным же осциллятором. Их существенное отличие от пассивных резонансных систем состоит в том, что для них имеет место феномен Гюйгенса — запирание частот входного сигнала и системы. Это приводит к характерному для данной степени связи поведению системы. Существуют также и другие достойные исследования специфические черты, которые выявляются при связывании автоколебательной системы с пассивной резонансной системой. Эти черты особенно интересны, если осциллятором является мультивибратор или что-либо подобное с существенно несинусоидальной формой волны. Тогда некоторые аспекты поведения весьма напоминают случай джозефсоновского соединения сверхпроводников — колебания заперты по частоте пассивным резонансным контуром. Мы закончим главу кратким рассмотрением этого явления.

Если это линейная катушка,Если это линейная катушка,Рис. 12.1. Связанные пассивные вибраторы:а — два резонансных контура, связанных посредством £, б — д — типы £с, обладающие обратимыми свойствами; е — необратимая (гираторная) связь, ж — альтернативная форма связиРис. 12.1. Связанные пассивные вибраторы:а — два резонансных контура, связанных посредством £, б — д — типы £с, обладающие обратимыми свойствами; е — необратимая (гираторная) связь, ж — альтернативная форма связи(12.2)(12.2)(12.3)(12.3)

Если это линейная катушка,

Если это линейная катушка,

Рис. 12.1. Связанные пассивные вибраторы:

а — два резонансных контура, связанных посредством £, б — д — типы £с, обладающие обратимыми свойствами; е — необратимая (гираторная) связь, ж — альтернативная форма связи

Рис. 12.1. Связанные пассивные вибраторы:

а — два резонансных контура, связанных посредством £, б — д — типы £с, обладающие обратимыми свойствами; е — необратимая (гираторная) связь, ж — альтернативная форма связи

(12.2)

(12.2)

(12.3)

(12.3)

СВЯЗАННЫЕ ПАССИВНЫЕ ВИБРАТОРЫ

Сначала рассмотрим общую картину расщепления мод в вибраторах, связанных посредством электрических контуров, а затем проведем аналогию с механическими и другими системами. Контур, изображенный на рис. 12.1, а, состоит из двух последовательных резонансных контуров, связанных с помощью четырехполюсника, некоторые возможные схемы которого приведены на рис. 12.1, б—е .

то э. д. с. на ее выходе в контурах 1 и 2 выражается формулами

V1 = Сц^1 + £12z2> ^ 2 = ^21Л + ^22^*2,

(12.1)

в которых все £— медленно изменяющиеся функции частоты со. За исключением гиратора на рис. 12.1, е, связь симметрична. Для симметричной связи £2i = £12, тогда как для гиратора £21 =—£12. Гиратор мы рассмотрим отдельно, сначала же сосредоточимся на симметричных связях. Импедансы £п и £22 можно включить в отдельные контуры совместно с другими элементами, и поэтому можно считать, что резонансная частота (01 контура 1 такова, что /(01Л1 +/?i + 1/ (/(01С1) +£ц ((01) =0; (01 в общем случае комплексно. Если добротность Q контура ве- ликд, как мы и будем полагать в наших рассуждениях, то импеданс контура при частоте Q, близкой к резонансной, почти равен 2jLx^—(01). Тогда уравнения для связанных контуров принимают вид

2jLx ($2 — оц) ц -|- £12/2— О»

^jL^ (2 — (о2) /2 -|“ ^21Л — о*

Возможные резонансные частоты Qi,2 являются решениями уравнения

(2 — 0)0(2 — ^ = к2,(12.4)

где k2 =—^12^21/(4Ai А2)•

Константа связи к действительна, если £i2 и £2i равны и являются чисто реактивными (рис. 12.1, б—г), и мнима, если они чисто омические (рис. 12.1, д). Уравнение (12.4) имеет два независимых решения {нормальные моды), и если систему правильно возбудить, то в ней возникают свободные колебания на любой из них. Однако в общем случае оба решения сосуществуют независимо, а наблюдающиеся изменения в частоте и амплитуде токов в двух контурах являются результатом линейного сложения двух мод.

Если в системе возбуждена нормальная мода, то в общем случае токи в двух контурах различны. Из равенств (12.2) и (12.3) видно, что

Ь'У1хкУч^ ==

= (2-«хУ*.(12.5)

Характер уравнения (12.5) показывает, что отклик контура удобнее описывать не токами, а координатами х1)2, определенными так что

Ьхи = х\; ьД=Хъ(12.6)

Иными словами, вместо тока в качестве подходящей координаты берется нечто пропорциональное квадратному корню из энергии, тогда различные значения L\ и Л2 не играют в дальнейшем роли в уравнениях, за исключением того, что с их помощью можно определить coj и со2. Переписав соотношения (12.2) — (12.5) с &i2, определенным как xkV^\^{L\L^4\ получим:

(2 — 0)0^ — Л12х2 = 0,(12.7)

(2 — (о2) х2— к2Ххх = 0,(12.8)

(2 - 0)0 (2 - <о2) = кх^х = к\(12.9 )

х?/Х2 = (Й — ю2)/(Й — “i).(12.10)

Эти уравнения служат основанием для последующих довольно пространных рассуждений, которые мы начнем с рассмотрения реактивно связанных систем без потерь. В этом случае соi и со2 действительны, действительны также все решения уравнения (12.9), полученные при положительном значении k2 (что соответствует нормальным модам незатухающих гармонических колебаний). Изменения частот нормальных мод при настройке обоих контуров лучше всего прослеживаются, если уравнение (12.9) переписать, введя величины <<о>= V2(^i+ <о2) и A(o = 1/2(coi—со2). Тогда

(2-(u)))2=^q_(Ao))2e(12.11)

Это равенство выявляет гиперболический характер зависимости Q от Асо (рис. 12.2). Если оба контура настроены так, что их средняя частота <со> постоянна, то прямые асимптоты гиперболы представляют собой собственные частоты несвязанных контуров. Они пересекаются в центре, а из гиперболы видно, как разделяются частоты двух нормальных мод. Эффект становится более явным при тщательной настройке контуров. Тогда Асо = О и Q = <co>±/l

Рис. 12.2. Разделение частот нормальных модРис. 12.2. Разделение частот нормальных модРис 12.3 Нормальные моды Координаты ^ и ^2 являются линейными комбинациями Х\ и ,v2 Переход от од:.и\ к другим эквивалентен повороту осейРис 12.3 Нормальные моды Координаты ^ и ^2 являются линейными комбинациями Х\ и ,v2 Переход от од:.и\ к другим эквивалентен повороту осей

Рис. 12.2. Разделение частот нормальных мод

Рис. 12.2. Разделение частот нормальных мод

Рис 12.3 Нормальные моды Координаты ^ и ^2 являются линейными комбинациями Х\ и ,v2 Переход от од:.и\ к другим эквивалентен повороту осей

Рис 12.3 Нормальные моды Координаты ^ и ^2 являются линейными комбинациями Х\ и ,v2 Переход от од:.и\ к другим эквивалентен повороту осей

Однако при Асо»^ нормальные моды обладают такими же частотами, что и в несвязанных контурах. Колебания на одной из них столь далеки от резонанса другой, что возникают слабый отклик и соответственно малые искажения первой.

Это положение становится более очевидным при рассмотрении графической интерпретации уравнения (12.10). При некотором значении Асо, Р и Q представляют нормальные моды Qi и Q2, а R и S— частоты со i и о)2 несвязанных контуров. Как это следует из равенства (12.10),

PSKPR) = (^i - ^№ - ^i)=^2.

Это отношение и есть отношение энергий колебаний в двух контурах для моды Qj. Энергия всегда больше в том контуре, собственная частота со которого ближе к Q. Сначала при движении вдоль верхней ветви гиперболы от отрицательных Асо к положительным g)2>o)i и верхняя мода сосредоточивает почти всю свою энергию в контуре 2. При Aw = 0 оба контура возбуждаются в равной степени. В конце концов, когда Асо становится положительным, энергия концентрируется в контуре 1, собственная частота которого теперь выше. Естественно, с нижней модой, для которой распределение энергии выражается отношением QRKQS"), таким же, как и PS/(PR), происходит прямо противоположное.

Относительная разность фаз токов задается уравнением (12.5). Если к положительно, как бывает при емкостной связи, то токи

находятся в фазе в верхней моде (Q>(Oi) и в противофазе — в нижней. Это видно из контура: если 1Х и f2 колеблются в одинаковых фазах, то конденсатор связи Сс на рис. 12.1, б заряжается и разряжается периодически и вводит дополнительную емкость последовательно с С1 в контуре 1 или с С2 в контуре 2. Поскольку суммарная емкость оказывается меньше, собственная частота возрастает. Этот эффект менее выражен или даже оказывается противоположным, если токи находятся в противофазе.

Однако при индуктивной связи (&<0), как видно из рис. 12.1, эффективная индуктивность возрастает, а частота уменьшается, если токи находятся в фазе. Существует веская энергетическая причина того, что в чисто нормальной моде токи находятся в фазе или противофазе; только в этом случае ток в одном контуре сдвинут по фазе на л/2 относительно э. д. с., возбужденной другим контуром, что исключает существование потока средней мощности из одного контура в другой. Так, например, при емкостной связи любой (какой бы то ни было) поток средней мощности является следствием тока /1, протекающего через Сс при э. д. с., равной f2/(jQCc), и равен нулю. '

Только что сделанный вывод о том, что Xi/%2 в одной моде совпадает с —х2)хх в другой, дает возможность изящно и' образно представить графически нормальные моды, поскольку если в качестве декартовых координат выбраны хх и х2, прямы. ортогональные линии представляются как x1 = cx2 и х2=—схх. Поэтому в плоскостях Х1Х2 на рис. 12.3 нормальные моды выглядят как гармонические колебания вдоль двух ортогональных линий ^ и g2. Определим направление этих линий. Для этого положим ^/Aco = tg 20. Тогда в соответствии с равенством (12.11) частоты нормальных мод выразятся так:

2 = (d + Дм sec 29.

Взяв для частоты Qi верхней моды знак плюс, определим (Qi—со2) : : (Qi—(01). Подставив полученное выражение в (12.10), получим, что x1/x2=ctg 0, где 0 — угол, показанный на рис. 12.3. Это справедливо для случая емкостной связи, когда знаки хх и х2 в верхней моде, представленной с помощью gi, совпадают. При изменении Ао) от больших отрицательных к большим положительным значениям 0 поворачивается от 90 до 0° и составляет 45°, когда Асо = О. При индуктивной связи процесс противоположен по знаку, 0 поворачивается в пределах от 0° до 90°, g2 является теперь верхней модой, а токи находятся в противофазе.

На рис. 12.4 показан простой эксперимент, демонстрирующий эти положения. Когда обе пластинки расположены под прямым углом (рис. 12.4, а) их колебания независимы. Какой бы ни была длина нижней пластинки, собственная частота верхней остается неизменной. Изменения частот нормальных мод показаны на рис. 12.4, б. В точке, где кривые пересекаются, даже в идеальном случае не должно быть связи и не должно быть разделения мод. С другой стороны, когда пластины соединены не под прямым углом,

Рис. 12.4. Простой эксперимент со связанными вибраторами:

а — установка, б — экспериментальные результаты Линии без точек характеризуют случай, когда пластины находятся почти под прямым углом друг к другу. Линии с точками соответствуют углу в 80°. Отрезки в кружочках отражают направления колебаний в различных точках вдоль кривых

изгиб одной вызывает изгибающий момент в другой и колебания становятся связанными. Следовательно, моды разделяются характерным «гиперболическим» образом, ненарушенные моды распределяются как асимптоты вдалеке от точки пересечения. С помощью калиброванной стробоскопической вспышки можно определить как частоты, так и направления колебаний нормальных мод. Возбудить в системе колебания и добиться, чтобы они происходили вдоль одной и той же линии, можно только по двум ортогональным направлениям *.

При отклонении в каком-либо другом направлении обе моды возбуждаются одновременно и, обладая слегка различными частотами, совершают биения (друг с другом). Конец пластины (в этом

случае) описывает развернутую фигурку Лиссажу с чередованием прямолинейного и эллиптического движений. Указатели в различных точках вдоль кривых на рис. 12.4, б показывают, как систематически вращаются направления нормальных мод. Если нижняя пластина короткая, направление моды верхней пластины то же, что и у нижней. По мере удлинения нижней пластины ее мода захватывает часть колебаний верхней пластины и в конце концов верхняя мода полностью составляется из колебаний верхней пластины.

Только что упомянутая фигура Лиссажу позволяет дать объяснение характерному обмену энергией между двумя маятниками, описанному в гл. 2. Эффект наиболее заметен при точной настройке обоих маятников. Однако нечто сходное происходит даже когда точной настройки нет. Рассмотрим систему, параметры которой обеспечивают ориентацию нормальных мод, подобную изображенной на рис. 12.3. Осциллятор 1 смещается в положение Х\ и отпускается; в этот момент %2=0. Это означает, что система запускается в точке А, в которой возбуждены обе нормальные моды: gi с амплитудой Х\ cos 6 и ^ с амплитудой Xi sin 9.

В каждой моде колебания совершаются независимо от другой и рассматриваемая точка вычерчивает фигуру Лиссажу, заключенную в прямоугольник АВА'В'. Время полного цикла биений составляет 2л/(Qi—Q2). Дальнейшее отклонение колебаний от линии АА' происходит через половину цикла биений после начала, когда точка колеблется вдоль ВВ'. Амплитуда колебаний Xi уменьшилась от ОА до ОС, а амплитуда колебаний х2 увеличилась от нуля до OD . Только если оба колебания настроены идеально до связывания, то ^i и £2 составляют угол в 45° и прямоугольник становится квадратом, углы которого образуют оси Xi и х2. В этом случае возможен полный перенос энергии от одного осциллятора к другому и обратно. Нужно заметить, что это не зависит от идентичности обоих осцилляторов, а зависит только от их хорошей настройки. Если они связаны слабо, то достаточно очень малой степени расстройки, чтобы ^i и ^2 сместились близко к осям Xi и х2. Тогда отклик исходного стационарного осциллятора периодически то возрастает, то уменьшается, однако амплитуда этих изменений столь мала, что второй осциллятор продолжает колебаться с постоянной амплитудой. Это является близкой аппроксимацией к случаю вибратора, возбужденного колебательной силой постоянной амплитуды.

ЭНЕРГИЯ И НОРМАЛЬНЫЕ МОДЫ

В дополнение к реактивной связи, приведенной на рис. 12.1, можно использовать изображенное на рис. 12.5 последовательное соедине-

L1L1ние индуктивности и емкости; Lc много меньше Lx или L2, а Сс много больше Ci или С2. Поэтому их совместный импеданс всегда мал и связь слаба. Для последующего изложения не важно, как расположена резонансная частота (ЛсСс)_1/2 импеданса связи по отношению к резонансным частотам отдельных контуров. Если qx и 72 — заряды на Сх и С2, то (71 + 72) —заряд на Сс, а токи через индуктивности определяются величинами qx и q2. В этом случае в любой

L1

L1

Рис 12 5 То же, что и на рис 12 1, а, только £с представляет собой последовательно соединенные индуктивность Lc и емкость Сс

момент времени энергию в контуре можно записать в виде £ = Ф + + 7. Здесь потенциальная энергия

Ф = V^/Сх + xl2qllC2 + V2 (7i + Я^Я^с =

= xl2q\lC + xl2q-ilC2-\-qxq2lCc,(12.12)

а кинетическая энергия

Т =V2^2<72+ V2+ кЯ1А"Я^ =

Lcqxq2.(12.13)

В этих выражениях 1/Ci,2 записано вместо \,СХ ,2+1/Сс, а Ех,2— вместо LX)2-VLC . Энергия является положительно-определенной квадратичной формой переменных 71, 72, 71 и q2. Если график Ф изобразить в плоскости 7172, то они образуют семейство подобных эллипсов с одинаковым отношением осей и одинаковой ориентацией по отношению к координатным осям. Поэтому в качестве примера можно рассмотреть один из них (так же обстоит дело и для графиков Т в плоскости 7172). Если наложить одну плоскость на другую таким образом, чтобы 7Д71, то окажется, что ориентации эллипсов не нуждаются в специальных связующих соотношениях. Теперь спросим: что определяет нормальные моды и в каких направлениях можно провести линию, изображающую синфазные колебания 71 и 72 с неизменной амплитудой?

Чтобы ответить на этот вопрос, прежде всего заметим, что из (12.12) следует

d^ldqx =qv!Cx + (qx + q^!Cc,(12.14)

а из (12.13)

dT[dqx = Lxqx-\-Lc (71 + 72)-

Таким образом,

!dq^ = Lxqx-YLc (71 + 72)-(12.15)

d t

Равенство (12.14) представляет собой сумму разностей потенциалов на конденсаторах в контуре 1, а равенство (12.15) есть сумма э. д. с. на индуктивностях того же контура. Следовательно,

(12.16)(12.17)(12.16)(12.17)дФ | d / дГ dqx d t \ dq\

(12.16)

(12.17)

(12.16)

(12.17)

Аналогично, для контура 2

Эти уравнения можно было получить формалистическим методом Лагранжа, с помощью которого поддаются анализу более сложные задачи в связанных колебательных системах. Однако в данном случае дифференцирование исходных соотношений выполняется столь просто, что мы предпочли этот путь. Введем теперь два вектора:

,/ дФ дФ \, ~/ дТ дТ \

grad Ф = |» и grad Т = —;— , —:— .

\ dqx dq^ )\ ^1 i

Это позволит свести (12.16) и (12.17) в одно уравнение:

grad Ф+ —(grad 7)=0.(12.18)

d tJ

Поскольку Ф не меняется вдоль любой линии Ф, grad Ф в любой точке не имеет компоненты, направленной по касательной к линии, проходящей через точку. Поэтому он направлен перпендикулярно к линии. Аналогично, grad Т везде перпендикулярен линии Т. Если рассматриваемая точка должна колебаться по прямой, проходящей через начало координат, и при этом все-таки подчиняться уравнению (12.18), то подобие 7-эллипсов означает, что grad Т остается постоянным в направлении вдоль линии и поэтому (d/dt) (grad 7) параллельно grad Т. Только вдоль таких линий, которые пересекают Ф- и 7-эллипсы под одинаковым углом таким об

Рис. 12.6. Нормальные моды для общего случая, когда линии Ф представляют собой эллипсы на плоскости qxqs. а линии Т — различные эллипсы на плоскости qxq2. Пунктирные линии, на которых нормали к эллипсам параллельны, определяют отношение q2,qx в каждой нормальной модеРис. 12.6. Нормальные моды для общего случая, когда линии Ф представляют собой эллипсы на плоскости qxqs. а линии Т — различные эллипсы на плоскости qxq2. Пунктирные линии, на которых нормали к эллипсам параллельны, определяют отношение q2,qx в каждой нормальной модесвязи для превращениясвязи для превращения

Рис. 12.6. Нормальные моды для общего случая, когда линии Ф представляют собой эллипсы на плоскости qxqs. а линии Т — различные эллипсы на плоскости qxq2. Пунктирные линии, на которых нормали к эллипсам параллельны, определяют отношение q2,qx в каждой нормальной моде

Рис. 12.6. Нормальные моды для общего случая, когда линии Ф представляют собой эллипсы на плоскости qxqs. а линии Т — различные эллипсы на плоскости qxq2. Пунктирные линии, на которых нормали к эллипсам параллельны, определяют отношение q2,qx в каждой нормальной моде

связи для превращения

связи для превращения

разом, чтобы grad Ф и grad Т (вообще не параллельные линии, изображающей траекторию) были параллельны друг другу, возможно удовлетворить уравнению (12.18). Пример возможных нормальных мод показан на рис. 12.6.

Если за переменные принять qx и ^2, то нормальные моды в общем случае не ортогональны. Однако если одна из них лежит вдоль

одной из осей, то всегда можно выполнить нормировку так, чтобы они были ортогональны. Сделать это не сложно, если либо Ф, либо Т не содержат перекрестных членов (71^2 или ^172). В этом случае оси одного из эллипсов направлены вдоль координатных осей и могут быть пронор-

дов каждой из мод в отдельности. Все же требования независимости Е от времени достаточно для обращения в ноль коэффициентов b и е. Фазовые постоянные дц и ф2 можно опустить. Поэтому после подстановки колебательных членов gi и g2 уравнение (12.19) принимает вид

Е= 72Л2 (a cos2 2^ + rf2i sin2 2^) +1 J^B^c cos2 22/ +

—|— /22 sin222/) -j- /^АВ [(Z? — ^) cos (2| -J— 22) t —j- ^b -j-eV cos (2^ — 22) / ].

Для выполнения требования независимости Е от времени первые две скобки, содержащие колебательные величины с частотами 2Q1 и 2Q2, должны быть равны постоянным, что достигается соответствующим выбором Qi и Q2, а третья скобка должна обратиться в ноль. Отсюда

a = d&t с=/Г^ и Ь=е = О.

Таким образом, частоты нормальных мод (они, разумеется, совпадают с теми, которые получены при анализе контура) определены через значения энергетических коэффициентов, а перекрестные слагаемые исключены. В заключение равенство (12.19) можно переписать, выразив его только через два коэффициента:

е=4,4 (s& + ф+v2/ (Qhi+ ©• (12-20>

Здесь d и / играют роль масс, индуктивностей и т. д., соответствующих каждой независимой моде, рассматриваемой как простой вибратор.

ПРИМЕРЫ СВЯЗАННЫХ ВИБРАТОРОВ

Общие черты поведения в последующих примерах очень схожи, и анализировать каждый в деталях нет надобности. Первые три различаются выражениями для их энергий и видом, принимаемым функциями Ф и Т согласно равенствам (12.12) и (12.13). Последние два примера находятся вне данной классификации.

Потенциальная связь: Ф содержит перекрестное слагаемое, а Т не содержит. Контур на рис. 12.1, а с емкостной связью, показанной на рис. 12.1, б, типичен. К подобным системам относятся и два маятника на ненатянутой нити (см. рис. 2.14), и пластиночный вибратор (см. рис. 12.4).

Кинетическая связь: Т содержит перекрестное слагаемое, а Ф не содержит. Контуры с индуктивной связью на рис. 12.1, в, г являются типичными примерами этого случая. Таким же является и контур, показанный на рис. 12.7, представляющий собой параллельный резонансный контур с параллельно присоединенным последовательным резонансным контуром. Если qx и ^2 — заряды на конденсаторах, то

Ф — ^^i/^i V2^2/C2)

Т =1 /2/_ 1 (qx -j- q^ + V2^2 = V2^ri + V2 (^i + ^2) ^2 + Lxqxq2.

Этот контур не отличается от стандартного (см. рис. 12.1, а), не имеющего собственной катушки с индуктивностью L1, действующей как катушка связи и емкость С1. В этом случае <oi2= l/(LiCi) = — 1/(Л1С1), со22= 1/(£i+L2) С2 и ^2= V4Z>i/L2. При слабой связи необходимо, чтобы L^Lx. Акустический резонатор, показанный на рис. 7.11, принадлежит к этому типу. Его боковая ветвь имеет характеристики последовательного резонансного контура, а длины

Рис. 12 8. Возбуждение резонансных колебаний тока в металлическом кольце (жирная линия) электрическим полем в круглом волноводе Периметр кольца составляет приблизительно одну длину волны в свободном пространствеРис. 12 8. Возбуждение резонансных колебаний тока в металлическом кольце (жирная линия) электрическим полем в круглом волноводе Периметр кольца составляет приблизительно одну длину волны в свободном пространствеРис 12 7. Связанные последовательный и параллельный резонансные контуры

Рис. 12 8. Возбуждение резонансных колебаний тока в металлическом кольце (жирная линия) электрическим полем в круглом волноводе Периметр кольца составляет приблизительно одну длину волны в свободном пространстве

Рис. 12 8. Возбуждение резонансных колебаний тока в металлическом кольце (жирная линия) электрическим полем в круглом волноводе Периметр кольца составляет приблизительно одну длину волны в свободном пространстве

главной трубы с каждой из сторон — эквивалентны параллельно соединенным L1 и С/. По мере того как точка связи приближается к узлу давления, Lx и Ci становятся меньше и связь слабеет. Расщепление резонансов в связи с этим экспериментом уже обсуждалось. Оно, безусловно, типично для связанных резонансных систем.

В достаточно большом для распространения обеих мод круглом волноводе, показанном на рис. 7.16, можно отфильтровать моду ТЕп и пропустить моду TMqi. Это достигается помещением металлического кольца, как показано на рис. 12.8. Когда периметр кольца составляет примерно одну длину волны, кольцо возбуждается модой ТЕН, которая отражается. Вторая мода токов в кольце не возбуждает и фактически не нарушается. Кольцо обладает ярко выраженными резонансными свойствами и действует только в узком диапазоне частот. Попытка ускорить фильтрацию помещением сразу за первым кольцом такого же другого кольца приводит к расщеплению резонанса магнитной (т. е. кинетической) связью, существенная часть микроволновой мощности, располагающаяся теперь между двумя пиками отражения, передается на собственной частоте каждого кольца в отдельности [1].

Потенциальная и кинетическая связь: и Ф и 7 содержат перекрестные члены. Под эту категорию подходит трехатомная линейная молекула, смоделированная из масс и пружин (рис. 12.9) и совершающая колебания вдоль своей оси. Если смещения атомов обозначить Х1, х2 и х3, то

Ф = 72^1 (-^1 — ^2)2 + 72^2 № — ^з)2,

Т = 72^1^1 + V2^2^2 + V^gXt

Рис. 12 9 Механическая модель линейной трехатомной молекулы, полученная с помощью тел, соединенных пружинами

Следует помнить, что центр масс трех атомов не совершает колебаний. Поэтому т1х14-^2х2+^з^з=0. Воспользовавшись этим для исключения х2, получим

т— 1I 1 m (aД_ "г1™3 г г7 — ТП^ I 1 -1I Х1 Ч«Tv^ 1 ЧI Хз ~JХ^Х^.т— 1I 1 m (aД_ "г1™3 г г7 — ТП^ I 1 -1I Х1 Ч«Tv^ 1 ЧI Хз ~JХ^Х^.2\ Ш2 }2\ Ш^ )Ш^2\ Ш2 }2\ Ш^ )Ш^

т— 1I 1 m (aД_ "г1™3 г г

7 — ТП^ I 1 -1I Х1 Ч«Tv^ 1 ЧI Хз ~JХ^Х^.

т— 1I 1 m (aД_ "г1™3 г г

7 — ТП^ I 1 -1I Х1 Ч«Tv^ 1 ЧI Хз ~JХ^Х^.

2\ Ш2 }2\ Ш^ )Ш^

2\ Ш2 }2\ Ш^ )Ш^

Эти выражения составляют основу для полного анализа, однако мы этим не воспользуемся. Обе моды можно увидеть на простом примере симметричной молекулы (например, СО2, где два атома кислорода массой М расположены по бокам атома углерода массой т, а жесткость пружины одинакова для каждой связи). В симметричной моде обе связи растягиваются или сжимаются в фазе и углеродный атом находится в равновесии. В антисимметричной моде оба атома кислорода движутся с одинаковыми скоростями в одном и том же направлении, в то время как атом углерода движется в противоположном со скоростью, в 2М1т раз большей. В последнем случае при заданном смещении атома кислорода возвращающая сила в \-V2Mlm раз больше, чем в первом, и поэтому отношение частот этих двух мод должно составлять (у+2М,тр\ т. е. 1,91. Спектроскопические измерения дают 1,75. Расхождение указывает на ограничения применимости модели, в которой простая пружина играет роль валентной связи [2]. Ошибка заключается не столько в предположении линейной зависимости силы, сколько в допущении, что жесткость пружины остается неизменной при симметричных и антисимметричных колебаниях. Однако при несимметричном смещении отклонения в распределении электронов при-

водят к меньшим, чем в других случаях, значениям потенциальной энергии и таким образом уменьшают жесткость пружины и резонансную частоту.

Гираторная связь: этот пример не вполне укладывается в рамки рассмотренных ранее примеров вследствие «необратимого» характера гиратора, для которого £21-=—£12- Рассмотрим только идеализированную модель без потерь, схематически изображенную на рис. 12.1, е. Для этого предположим, что единичный ток, протекающий от А к С, не создает разности потенциалов на участке Л С, но создает разность потенциалов G на участке BD; потенциал точки В положителен. В то же время единичный ток, протекающий от В и D, не создает разности потенциалов на участке BD, но создает разность потенциалов G на участке АС (потенциал точки С положителен).

Способность гиратора перенаправлять ток в заданном направлении (в данном случае по часовой стрелке) осуществляется только за счет обратимой во времени симметрии и требует либо магнитного поля, либо вращающейся рамки. С помощью эффекта Холла в полупроводниках в каком-либо элементе контура можно реализовать нечто весьма близкое по свойствам к идеальному гиратору. Уравнения (12.2) и (12.3) для контура сохраняют тот же вид, а поскольку £12——£21 = 6 (величина действительная), то и уравнение (12.4) остается без изменений, и №=G^I ^L\L<^ положительно, как при соответствующей реактивной связи. Расщепление нормальных мод происходит так, как показано на рис. 12.2. Однако суть теперь другая, потому что в данном случае (12.2) и (12.3) указывают на квадратичную связь между ц и и. На рис. 12.3 обе моды представляют собой эллипсы с большими осями, направленными соответственно вдоль %1 и х2 и противоположными направлениям вращения.

Иллюстрацией сказанного является маятник Фуко: сила Кориолиса обеспечивает гираторную связь между колебаниями маятника в двух ортогональных плоскостях. Идеально сконструированный маятник изотропен: все направления колебаний для него равноправны, g)! = co2 и нормальные моды являются круговыми с небольшим отличием частот для двух направлений вращения. Именно сочетание этих частот в равной пропорции приводит к обычному проявлению эффекта — медленной прецессии плоскости колебаний. Для гираторных систем это является аналогом способа обмена энергией во взаимно связанных системах. Несовершенство маятника Фуко заключается в том, что его эффективная длина неодинакова по различным направлениям качаний. Вследствие этого он ведет себя

подобно двум контурам с различными частотами coi и со2. Нормаль-» ные моды для него — эллиптические, и, когда колебания происходят в одной плоскости, биения приводят к превращению траектории в такой эллипс, у которого оси прецессируют совершенно иначе, чем у идеального маятника [4]. Вот почему при конструировании надежного маятника Фуко требуется большая тщательность.

Резистивная связь: если £с— резистор (как на рис. 12.1, д), то ^12 = ^21 =^с- Равенство (12.4) выполняется, но теперь &2 отрицательно. Отсюда следует, что Qi,2 лежит между coi и <о2, так как связь способствует скорее сближению мод, чем их расхождению. Однако при дифференцировании coi и (о2 нужно помнить, что Rc составляет часть контура, и поэтому в общем случае (неожиданного в этом нет) <оь со2, Qi и Q2 комплексны. Нет надобности отдельно останавливаться на резистивно связанных контурах без потерь, которые составляют особый случай в общей задаче связанных диссипативных колебательных систем.

СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОТЕРЯМИ

Определение нормальных мод связанных вибраторов, добротность Q которых велика, но не бесконечна, не требует распространения предшествовавшей теории за пределы нахождения решений уравнения (12.4) при комплексных coi и (о2. Переходя, как и раньше, к равенству (12.11), заметим, что для реактивной, резистивной или гираторной связи (хотя и не для произвольного их сочетания) й2 действительно, (Асо)2 в общем случае комплексна, но постоянна для эксперимента, в котором меняется только связь, a oi и со2 остаются фиксированными. Представив Q—<со> как u-Y-iu, получим

и^ - ^ = № + Re [(Au))2], (12.21)

2^ = 1111 [(Ao))2]. (12.22)

Постоянство правой части равенства (12.22) означает, что Q—<оо> лежит на гиперболе с прямоугольными асимптотами. Гипербола проходит через oi и (о2, которые являются решениями при /г2 = 0. Более сильная связь сдвигает решения дальше от этих точек. Оси и и и, как показано на рис. 12.10, служат асимптотами этой гиперболы. При любом действительном &2 частоты coi и со2 с частотами нормальных мод Qi и Q2 образуют параллелограмм. Для векторов Qi—coi и Qi—со2, как показано на рисунке, действительная ось является биссектрисой и произведение векторов поэтому действительно и положительно. В соответствии с уравнением (12.4) Qi и Q2 являются решениями для случая реактивной связи (&2>0). С другой стороны, любая точка Q на гиперболе, расположенная выше coi или ниже о)2, имеет Q—coi и Q—со2 с мнимой осью в качестве биссектрисы и соответствует резистивной связи (&2<0). Реактивная связь удаляет друг от друга действительные части частот нормаль; пых мод и сближает мнимые их части. Резистивная связь делает

точке \со>, имея одинаковуюточке \со>, имея одинаковуюРис. 12 10 Зависимость нормальных мод (Q! и Q2) от собственных частот в несвязанных вибраторах с потерями (о)! и со2), построенная на комплексной частотной плоскостиРис. 12 10 Зависимость нормальных мод (Q! и Q2) от собственных частот в несвязанных вибраторах с потерями (о)! и со2), построенная на комплексной частотной плоскостиобратное. В частном случае, когда добротность обоих контуров одинакова, oi и <о2 лежат на одинаковом расстоянии над действительной осью и гипербола вырождается в две прямые — вертикальную и горизонтальную, пересекающиеся в <<о>. При реактивной связи нормальные моды лежат на горизонтальной линии и имеют одинаковые Q независимо от степени этой связи. Такое же вырождение происходит в случае, когда coi и о)2 имеют одинаковые действительные части и лежат на вертикальной линии. По мере увеличения &2 они движутся друг к другу по вертикальной линии и сливаются в частоту, но различные до этой точки декременты. После этого частоты расходятся, а декременты остаются фиксированными на среднем значе* нии для несвязанных контуров.

точке \со>, имея одинаковую

точке \со>, имея одинаковую

Рис. 12 10 Зависимость нормальных мод (Q! и Q2) от собственных частот в несвязанных вибраторах с потерями (о)! и со2), построенная на комплексной частотной плоскости

Рис. 12 10 Зависимость нормальных мод (Q! и Q2) от собственных частот в несвязанных вибраторах с потерями (о)! и со2), построенная на комплексной частотной плоскости

При неравенстве мнимых частей Ш| и о)2 величина Q—coi не стремится к действительному значению, если только Q находится поблизости от (Оь Из равенства (12.5) вытекает^ что ц и г2, даже при реактивной связи, могут и не находиться (причем существенно) в фазе или в противофазе, как это было в цепях без потерь. Требование различия скоростей диссипации в обоих контурах (это необходимо для обеспечения устойчивого переноса энергии от контура с меньшими потерями к контуру с большими потерями) приводит к значительному сдвигу фаз> особенно при слабой связи. Отличие

выражений для отношения токов в обоих контурах вытекает из равенства (12.5). Если записать %! = сх2 для верхней моды с частотой Qi, то

с — Л/(2| ^д)— — ^/(22— ^2) — (^i — ^2)/&—= —(^2 — ^д)/^* (12.23)

Здесь комплексные числа (Qi—coi) и т. д. относятся к сторонам параллелограмма, показанного на рис. 12.10, а к положительно для емкостной связи и отрицательно для индуктивной. Далее,

сс*= | о^и^ । / । й1_(01 | _ | 2,-од | / | 22-ш2 | (12.24) представляет собой отношение длин сторон параллелограмма. В нижней моде х1 = с/х2, где

с' = - \]с.(12.25)

Только для контуров без потерь можно ожидать, что с действительно.

ИМПЕДАНСЫ И ФУНКЦИИ ИМПУЛЬСНЫХ ОТКЛИКОВ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ

Обсуждение влияния подводимой э.д.с. начнем с расчета входного импеданса связанных резонансных контуров, когда левый контур на рис. 12.1, а является открытым, а частота приложенной э.д.с. равна со. Уравнения для тока имеют вид, аналогичный соотношениям (12.2) и (12.3), за исключением того, что в правую часть равенства (12.2) добавлен источник V. Поскольку входной импеданс контура составляет Zxx = V]ix, в левой части соотношения (12.2) можно не добавлять —ZX\ к коэффициенту при 1Х) а переписать (12.4)} в виде

[(<0 — ю^ — ZuK‘2jL0\(to — to2)= A2.

Отсюда

Zu = -Ml— [((b _ Ш]) (M __ £2] =

co — O)2

= J^ (to-S^^-Q^.(12.26)

так как Qi и Q2 являются решениями уравнения (12.4). Аналогично, импеданс правого контура принимает вид

Z22=- 2jL1 (со-й^-йэ).(12.27)

[СО — 0)1

Третье соотношение системы следует записать для переносного импеданса ZX2 или Z2b определяющего э.д.с., которую необходимо создать в одном контуре для того, чтобы возбудить единичный ток в другом. Его можно получить из соотношения (12.26), заметив, что Zxx определяет э.д.с., необходимую для возбуждения единичного тока в таком же контуре, и что соотношение (12.3) определяет отношение токов. Тогда

Z12= - 2]Ц («> - ю2) Z1L= —^_. (ш - й^ (<» - Й2).(12.28 )

С21 Я2

Это выражение симметрично относительно обоих контуров, если £12= £21, что служит еще одной иллюстрацией теоремы о взаимности Рэлея — Карсона.

Переносный импеданс мал только вблизи резонансов, и это позволяет использовать связанные контуры в качестве удобных проходных устройств, действующих как простые полосовые фильтры. При этом обычно большее значение имеет Zy^ а не соотношение фаз между входной э.д.с. и вторичным током. Явное же выражение для |Zi2|, которое в общем виде можно получить из соотношения (12.28) с Qi и Й2, имеющими разные действительные и мнимые части, оказывается чрезвычайно громоздким. Гораздо большую информацию можно получить из графика. На рис. 12.11, а величины (со—Qi) и (со—Q2) представлены как векторы на комплексной плоскости. Поскольку Z12 пропорционально произведению длин этих

векторов, легко обнаружить, как оно меняется при перемещении со вдоль действительной оси. Очевидно, что, если мнимые части Qt и Q2 малы по сравнению с их разностью, минимум | Z121 достигается в двух точках, в которых со приближается к Qi иликП2 настолько, насколько это возможно. Это эквивалентно следующему утверждению: если моды разделены более чем на ширину своих резонансов, то в функции отклика они окажутся разделенными. С другой стороны, если Qi и Q2 ближе друг к другу, чем в действительной оси,

Рис. 12 11. Иллюстрация переносного импеданса связанных контуровРис. 12 11. Иллюстрация переносного импеданса связанных контуровто имеется только один-единственный минимум. Первый случай рассматривается как сверхсвязанный, последний — как недосвя- занный. Между ними находится состояние той критической связи, когда | Z12| имеет один плоский минимум. Для

Рис. 12 11. Иллюстрация переносного импеданса связанных контуров

Рис. 12 11. Иллюстрация переносного импеданса связанных контуров

двух контуров с одинаковыми Q и соответственно равноудаленными от действительной ост 121 и Q2 (рис. 12.11, б) критическая связь наступает при Im[Qi,2]= = 2(Qi—й2).Нарис. 12.12 показаны отклики тока |Д12| (= l/|Zii2|) на постоянную по амплитуде, но переменную по частоте э.д.с. для

этого случая, а также для типичных случаев недосвязи и сверхсвязи. Чтобы получить уравнение этих кривых, нужно за основу взять Re [Q] на комплексной плоскости, так что Qi,2=±a+/6, и записать о) как Re[Q]+^. Тогда

| ((о-й^о-йз) |

| Л12 I =—-—[и4 + 2 02-а2)и2 + (а2+&2)2)]-^. (12.29) I ^12 I

Критическая связь наступает, когда коэффициенты при и2 обращаются в нуль, т. с. когда Ь=а. Если рассматривать нормальные моды, возникающие в случае связи двух идентичных резонансных контуров, то в равенстве (12.4) o)2=coi, a Qi—Q2 = 2&. Тогда условие критической связи таково: ^ = V2Q/Q.

Полную переносную проводимость Л12 можно выразить с помощью равенства (12.28):

Д2=— 62;- [ 1/(<о- йр- 1/(0)-22)].(12.30)

Ток составляется из вкладов каждой моды независимо от приложенной э.д.с. Характер каждого вклада определяется равенством (6.17), т. е. он в точности такой же, как у простого осциллятора с острым резонансом. По причине, которая становится очевидной, если подумать об импульсном отклике, амплитуды во вторичном кон-

туре равны и противоположны по знаку. Импульсная э.д.с. вызывает мгновенный ток в первичном контуре, к которому она приложена. Однако во вторичном контуре либо нет немедленного отклика (если связь емкостная), либо отклик гораздо слабее (если связь индуктивная). В пределах слабой связи, которая подразумевается равенством (12.30), для приближенной формы резонансного откли

ка вторичный ток вначале можно считать равным нулю, каким бы ни был вид связи. А это означает, что оба затухающие нормальные колебания, вызванные импульсом, должны быть такими, что во вторичном контуре они начинаются при равных амплитудах и в противофазе.

Выразим сказанное коли

Рис. 12.12. Переносная (переходная) электропроводность идентичных связанных контуров недосвязанных (b=V2a), с критической связью (Ь = а) и сверхсвязанных (Ь=а/2)Рис. 12.12. Переносная (переходная) электропроводность идентичных связанных контуров недосвязанных (b=V2a), с критической связью (Ь = а) и сверхсвязанных (Ь=а/2)чественно. Для этого приложим импульсную э. д. с. единичного напряжения к контуру 1. Это немедленно вызовет в нем ток 1/Д но не вызовет тока

Рис. 12.12. Переносная (переходная) электропроводность идентичных связанных контуров недосвязанных (b=V2a), с критической связью (Ь = а) и сверхсвязанных (Ь=а/2)

Рис. 12.12. Переносная (переходная) электропроводность идентичных связанных контуров недосвязанных (b=V2a), с критической связью (Ь = а) и сверхсвязанных (Ь=а/2)

в контуре 2. Отклик на им

пульс для Xi имеет форму затухающих колебаний, вызванных каждой нормальной модой, с пока не определенными начальными ам

плитудами ах и а2*.

Их^=ах eJ 2i' 4-а2 ej^2/.

Из этого равенства, а также из равенства (12.25) следует, что соответствующий отклик контура 2 на введение э.д.с. в контур 1 имеет вид

Их^= —— ej2^ — а2с^^.с

hxx ^ = ах е^-^я^е1'22';hxx ^ = ах е^-^я^е1'22';(12.31)(12.31)Теперь не только Нх^ но и его производная при отключении обращаются в нуль, так как, до тех пор пока конденсатор связи не начнет заряжаться, нет э.д.с., которая могла бы «протолкнуть» ток через индуктивность вторичного контура. Как действительная, так и мнимая части /zi2 (0) должны обратиться в нуль, поэтому

hxx ^ = ах е^-^я^е1'22';

hxx ^ = ах е^-^я^е1'22';

(12.31)

(12.31)

В течение короткого времени, пока разница между Qi и Q2 не установится, йц(/) ведет себя как ах (1 + 1/с2) ej2A Это нужно согласовать с откликом контура 1, который как простой последова-

тельный резонансный контур с большим Q отвечает током с максимальным значением 1/Л и х с максимальным значением \)Uk. Следовательно, ai(l + l/^2) нужно приравнять к 1/Li'/2 и

ах—с^1 (1 + с^ а2= ^L? (1 + г2).Импульсные отклики тока можно получить, если в равенствах(12.31) выразить h\\ и h\2 через токи, помня, чтоinW = hn(h/L?1

Тогда,

+ т <12'32><12(0=-г(е^ - е^).(£^2) 2 (1+С2)

Из первой и четвертой форм записи равенства (12.23) следует, ЧТО с+1/^=(^1—^2)/^. Поэтому /12 можно привести к виду

Аг (ОАг (ОЛЛ(£1М'Л (21- й2)(£1М'Л (21- й2)(е^2^— е^2^).(е^2^— е^2^).

Аг (О

Аг (О

Л

Л

(£1М'Л (21- й2)

(£1М'Л (21- й2)

(е^2^— е^2^).

(е^2^— е^2^).

Отсюда, применив к каждому слагаемому в отдельности преобразование (5.4), можно получить Л12(со) в виде

Л12=1 V(“ - 21) - 1/(" - 22)].

(£^2)2 (Qi - е2)

Это выражение совпадает с выражением (12.30), так как /? = — 72j^i2/(^i^2)1/2. Из соотношения для 1п и 122 точно так же можно вывести выражения для Ли и Л22 и после небольших преобразований показать, что они в соответствии с равенствами (12.26) и (12.27) обратны Zn и Z22-

Эта аргументация изложена довольно подробно по двум причинам. Во-первых, мы увидели, что использовать нормальные моды в диссипативно связанных резонаторах нужно осторожно, даже если потери совсем малы, потому что комплексный характер с приводит к заметным сдвигам фаз в импульсных откликах, выражаемых равенствами (12.32). Во-вторых, некоторые мысли и результаты, полученные здесь, найдут немедленное приложение в следующем примере связанных систем, для которых описание через нормальные моды в нелинейных контурах и возможно, и полезно. Однако во избежание правдоподобных ошибок следует твердо придерживаться физических принципов.

СВЯЗАННЫЕ АКТИВНЫЕ

И ПАССИВНЫЕ ВИБРАТОРЫ [5]

Ничто в вышеизложенном анализе не мешает нам применить его к связанным контурам, один из которых имеет отрицательное сопротивление и, следовательно, coi для него имеет отрицательную мнимую часть. Тогда в параллелограмме, показанном на рис. 12.10, б)1 лежит ниже действительной оси. Однако если coi все же близки к этой оси, то для обеих мод можно найти настолько сильную постоянную связи, что они расположатся выше действительной оси. В этом случае контур устойчив и ведет себя, как и в любом из уже рассмотренных примеров. Если же одна из мод лежит все-таки ниже оси, то она экспоненциально растет до тех пор, пока насыщение усилителя не приведет к устойчивому состоянию вынужденных колебаний. При достаточно большом усилении обе нормальные моды вначале располагаются ниже оси и могут расти. Может случиться, что та мода, которая возбуждена сильнее, останется в устойчивом состоянии после наступления насыщения. С другой стороны, может оказаться, что из двух мод способна выжить только одна. Именно такую задачу рассмотрим в этом параграфе, взяв в качестве модели генератор класса С, рассмотренный в гл. 11. Резонансный контур содержит сопротивление, которое отрицательно при малых токах и положительно при больших; устойчивое состояние характеризуется таким током, при котором сопротивление равно нулю. Следует помнить, что сам контур имеет столь большое Q, что колебания синусоидальны и на гармонике своей собственной частоты в контуре не возникает заметного отклика. Поэтому мы интересуемся только усредненным откликом усилителя и обратной связью за период. Именно поэтому в модели и введено сопротивление, которое отличается от сопротивления пассивного резистора только тем, что оно является функцией амплитуды колебаний тока. Как только колебания установятся, сопротивление в активном контуре становится постоянным и несвязанным контурам так же, как это делалось при выводе соотношений (12.2) и (12.3), можно приписать две частоты <oi и (о2 (индекс 1 относится к активному контуру, а индекс 2 — к пассивному). Различие заключается в том, что нам заранее не известна мнимая часть соь Мы знаем только, что coi движется по вертикали к такой точке, при которой одна из двух нормальных мод (Qi или Q2) лежит на действительной оси, представляя собой устойчивые колебания.

Пример модификации рис. 12.10 представлен на рис. 12.13. Если (|)2 задана, a coi лежит на данной вертикальной линии, существует три различных решения для одного и того же действительного значения постоянной связи к2. Каждый параллелограмм изображен так, что горизонтальная ось является биссектрисой угла, через который она проходит. Поэтому произведение двух сторон, рассматриваемых как комплексные числа, действительно и, более того, одинаково. Так как отрицательное сопротивление зависит от тока, то каждое из этих решений существует на известном уровне возбуждения. Так,

например, для устойчивости колебаний на частоте Q2c необходимы большое отрицательное сопротивление и, следовательно, малый ток, в этом случае o/zi с достаточно велико. Однако подобное устройство вряд ли будет стабильным, так как при тех же самых параметрах контура возможна альтернативная мода Qlc, которая может расти и подавлять Q2c. По этой причине если бы контур с независимыми от тока сопротивлениями был пассивным, то колебания на частоте Q2c были бы, конечно, неустойчивыми. Однако это

Рис 12 13 Диаграммы трех возможных нормальных мод (в соответствии с рис 12 10) для пассивного резонансного контура с собственной частотой о)2 и для связанного с активным резонансным контуром, для которого (01 лежит на заданной вертикальной линии

В каждом параллелограмме одна вершина лежит на действительной оси, которая является биссектрисой соответствующего угла Кроме того, произведения сторон одинаковы для каждого параллелограмма

нельзя заявлять столь определенно, если отрицательное сопротивление зависит от тока. Тем не менее если в этом случае мода Q2c окажется подавленной ростом Qi с» то рост тока приводит coi к действительной оси и процесс может продолжаться до тех пор, пока возможна любая возрастающая мода. Если он дойдет до точки, в которой колебания в контуре совершаются при Qi а, то процесс становится устойчивым, потому что альтернативная мода Q2a является затухающей.

Продолжая анализ, мы покажем, что активный контур может быть устойчивым даже если альтернативная мода лежит ниже действительной оси. Наша задача состоит в том, чтобы установить, при каких условиях это возможно. Суть объяснения состоит в том, что любая тенденция к росту амплитуды альтернативной моды приводит к изменению отрицательного сопротивления, а вызванные этим изменения свойств контура подавляют возникший рост. Первым шагом в количественном обсуждении вопроса станет перечисление возможных стационарных решений независимо от того, устойчивы ли они или нет (стационарных потому, что они соответствуют постоянным сопротивлениям). Записав соотношение (12.4) с разделенными действительными и мнимыми частями coi и со2, получим, что действительное решение Q удовлетворяет уравнению

2 — (О! — у ац = Л2/( 2 — С«)2 — У с°2) =

= ^2(2—(П2-Р у U)2) / [( Q — O)2)2-|-U)2 ] .

Рис. 12.14. Решения Qa, ъ, с уравнения (12.33), полученные как пересечения резонансной кривой R с прямой линией L. На линии С решения представлены значениями Qa, ь, с—(о/, как ординатами от «[Рис. 12.14. Решения Qa, ъ, с уравнения (12.33), полученные как пересечения резонансной кривой R с прямой линией L. На линии С решения представлены значениями Qa, ь, с—(о/, как ординатами от «[

Рис. 12.14. Решения Qa, ъ, с уравнения (12.33), полученные как пересечения резонансной кривой R с прямой линией L. На линии С решения представлены значениями Qa, ь, с—(о/, как ординатами от «[

Рис. 12.14. Решения Qa, ъ, с уравнения (12.33), полученные как пересечения резонансной кривой R с прямой линией L. На линии С решения представлены значениями Qa, ь, с—(о/, как ординатами от «[

Ввиду того что только со/7 само подстраивается к обстоятельствам, действительная часть этого уравнения свободна от неопределенности:

(12.33)(12.33)(Q — ^1)/ Д2 = (Й — (О2) / [(й — ^2)2-|- 0)2 ] .

(12.33)

(12.33)

Решения — их одно или три — представлены на рис. 12.14 как пересечения прямой линии Л, представляющей левую сторону уравнения (12.33) с резонанс

ной кривой /?, представляющей правую. Для того чтобы были возможны три решения, со/ и со27 должны быть достаточно близки друг к другу или &2 должно быть достаточно большим. Результаты можно представить и в виде кривой С — в этом случае видно, как меняются возможные действительные значения Q в зависимости от o)2z—со/; при этом 62 остается постоянным, так как один из контуров настроен. При любом выборе со/ по отно-

шению к й)27 через со/ проведем линию L с градиентом 1/&2. Чтобы получить действительные решения (здесь они обозначены Qa, Q& и Qc), из точек пересечения опустим перпендикуляры. Отложим расстояния Qa—со/ и т. д. как ординаты над со/. Результирующей станет кривая С — она представляет искомое изменение Q—со/ при изменении со/. Если бы все эти решения были устойчивы, то при такой настройке пассивного контура, когда сог' меняется от значения намного большего со/ до значения намного меньшего, можно было бы ожидать, что частота колебаний системы сначала будет чуть меньше со/ (левая сторона кривой), по мере продвижения по нижней жирной кривой начнет устойчиво снижаться и в некоторой точке, где со2'<со/, резко «включит» моды таким образом, что от- тюда и далее Q хотя и будет превышать со/, но это превышение будет уменьшающейся неустойчиво величиной.

Если ход событий рассмотреть в обратном порядке, то продвижение совершалось бы по верхней жирной кривой и наблюдался бы гистерезис. Из экспериментальных кривых на рис. 12.15 ясно, что примерно так и происходит. В каждом случае связь была одинаковой, но для получения кривых b и с в контуры вводились дополнительные сопротивления. В случае с сопротивление достаточно велико для того, чтобы обеспечить тройное пересечение, так как максимальный наклон резонансной кривой R на рис. 12.14 существенно меньше 1/&2. На кривой b наблюдается четко выраженное «вклю-

чение» моды с узким гистерезисом. На кривой а гистерезис выражен сильнее, но вся его ширина, заключенная в С (см. рис. 12.14), не реализуется, поскольку «включение» происходит до того, как Q по-

Рис. 12 15 Частоты колебаний в связанных активном и пассивном контурах

Собственная частота пассивного контура изменялась путем изменения емкости С2

ворачивает к со/. Сам факт гистерезиса говорит о том, что линейворачивает к со/. Сам факт гистерезиса говорит о том, что линейная теория непригодна, так как ни при каких условиях не сущестная теория непригодна, так как ни при каких условиях не существует второго решения, для тивна (т. е. такого, как на рис. 12.13).

ворачивает к со/. Сам факт гистерезиса говорит о том, что линей

ворачивает к со/. Сам факт гистерезиса говорит о том, что линей

ная теория непригодна, так как ни при каких условиях не сущест

ная теория непригодна, так как ни при каких условиях не сущест

Преобразуем вышеприведенные рассуждения в геометрическую форму (впоследствии мы убедимся в удобстве графических представлений). Некоторые наши утверждения останутся недоказанными, однако метод координат позволяет очень легко их проверить.

Для удобства предположим, что пассивный контур с собственной частотой 0)2 остается неизменным, а активный подстраивается соответственно этому. Таким образом, со/ переменно, но &2 считается постоянным. Воз-

которого альтернативная мода диссипа-которого альтернативная мода диссипа-Рис. 12.16. Случай с зафиксированным значением щ2, противоположный представленному на рис 12 13Показана траектория Ыь соответствующая стационарным колебаниям, Q — точка, в которой ~ 0)2 — j&-7o)2"Рис. 12.16. Случай с зафиксированным значением щ2, противоположный представленному на рис 12 13Показана траектория Ыь соответствующая стационарным колебаниям, Q — точка, в которой ~ 0)2 — j&-7o)2"можные решения уравне

которого альтернативная мода диссипа-

которого альтернативная мода диссипа-

Рис. 12.16. Случай с зафиксированным значением щ2, противоположный представленному на рис 12 13

Показана траектория Ыь соответствующая стационарным колебаниям, Q — точка, в которой ~ 0)2 — j&-7o)2"

Рис. 12.16. Случай с зафиксированным значением щ2, противоположный представленному на рис 12 13

Показана траектория Ыь соответствующая стационарным колебаниям, Q — точка, в которой ~ 0)2 — j&-7o)2"

ния (12.33) (теперь содержащие и мнимые части) представлены на рис. 12.16. Это семейство параллелограммов, одна из вершин которых ((02) зафиксирована, вторая (QJ —лежит на действительной оси, третья (Q2) — на окружности диаметром к2/^» а четвер-

той вершиной является (Оь Все эти параллелограммы обладают требуемыми свойствами: действительная ось является биссектрисой (d2Qi и coiQi, а произведение сторон постоянно (и равно &2). За то время, что Q2 обходит окружность, о)] описывает кубическую траекторию *.

Интервал, обозначенный на рис. 12.14 и 12.16 как А(со/—о)/), является диапазоном той настройки, которая допускает три отдельных решения. Рисунок выполнен для значения ю/, лежащего на самом краю интервала, который, как можно показать, обладает нужным свойством: диагональ QiQ2 составляет прямой угол со сторо* НОЙ COiQ2.

Предположим теперь, что система совершает устойчивые колебания на чисто нормальной моде Qi, и зададимся вопросом: что будет, если добавить чуть-чуть от нормальной моды Q2? Если ток, обусловленный главной модой в активном контуре, обозначить г, то ток в пассивном контуре составит №(с**. Ток Z(1) принимает такое значение, что отрицательное сопротивление Ra в точности уравновешивает рассеяние, вызываемое положительными сопротивлениями R в каждом контуре:

(R^-Ra) I i^ I 2 + Я I im I ^cc^ = 0.

Отсюда

^fl=-/?[l+l/(^*)].(12.34)

Если бы Ra оставалось неизменным, то независимо от № в активном контуре возникал бы небольшой дополнительный ток 1^\ колеблющийся с частотой Q2 вспомогательной моды. Ею сопровождал бы ток —ci^ в пассивном контуре. Но если значение полного тока 11 в активном контуре меняется из-за появления вспомогательной моды на, скажем, би, то и Ra изменится на —sRa-6i\li\. Здесь s = d(ln | Ra | VdOn/^. Для полностью возбужденных генераторов класса С величина s принимает значение +1. Такое измене- ние сопротивления равноценно введению в активный контур источника, э.д.с. которого равна sRa6i\.

С учетом этого мы можем рассматривать связанные контуры как линейные системы с нормальными модами, развивающимися независимо. Однако появление новой э.д.с. приводит к возрастанию обеих мод. Поэтому изменения амплитуды и фазы отличаются от тех, что были бы в случае действительно линейной системы. Поскольку э.д.с. возбуждает каждую моду с примерно равными амплитудами, относительное воздействие на Z гораздо сильнее, чем на 1^\ и последним мы можем пренебречь, рассмотрев лишь альтернативную моду. Будем теперь считать № действительной величиной, а 1^ для любого момента — комплексной: ^+jr|.

Важно заметить, что контур обратной связи ведет себя как регулируемое сопротивление — он генерирует э.д.с., совпадающую по

* Заметьте, что линия, соединяющая Qt и со2, всегда проходит через (Ог*. Это позволяет легко построить траекторию оч

фазе с протекающим через него током. Таким образом, если приращение бй вызвано малым током 1^\ сдвинутым по фазе ф по отношению к то бй = й2)созф=£ и добавочная э.д.с. sRa^ находится в фазе с № (если т^Й1), то воздействие на фазу полного тока пренебрежимо мало). Значения амплитуды и фаза дополнительного вклада в ток № определяются функцией импульсного отклика. В соответствии с равенством (12.32) та часть й1(0, которая относится к моде Q2, составляет exp(jQ20/[^(l+c2)L а из равенства (6.32) следует, что э.д.с. sRa^, действуя в течение времени б/, приводит к изменению амплитуды й2) в этой моде в соответствии с уравнением

8/(2)=8/.

2Д (I + с2)

Следовательно,

Н 7 n = s/?^/[ 2Z (1 + ^)]=(^ + у^);,(12.35)

Это дополнительная поправка к линейной зависимости i^X наблюдаемой при вращении № вокруг У\ в случае когда ф=й2/—Qi и амплитуды под воздействием Q2Z/ изменяются экспоненциально. Поэтому уравнения для изменения й2) принимают окончательный вид:

? = — 2^ — (22 — 21) П + ^,

Ц = — 22ц -]- (й2 — 2^ 5-|”q^.

В обозначениях, принятых в гл. 9, уравнения запишутся в виде ^ = а^ + а2т]; ^ = а3$ + а4тг, где

ат= — 22 + ^i а2=—А; а3=АЦ-^; а4= — 22. (12.36)

Здесь A=Q/—Qi и p+j4=s7?a/[2A(l+c2)]=—s<o2z/[l + l/(cc^ +с2).

Эти соотношения получены с учетом равенства (12.34) и того, что ^'^^RIL. Далее, Г—ai+a4= — 2й2"+р и D = aia4—a2a3= = Q2"2+A2—p^+q^.

До тех пор пока 7<0, а D>0, альтернативная мода не может расти спонтанно и колебания на частоте Qi устойчивы. Неустойчивость возникает в отсутствии р и q при движении Q2/z вниз через действительную ось, когда Т становится положительным. На рис. 12.16 (01 в этом случае следует по той части траектории, которая изображена сплошной линией. В точке, где o)2z=g)iz, должно произойти включение обращенной моды. Наличие р (которое отрицательно), обусловленное нелинейностью, оттягивает возникновение неустойчивости, это позволяет coi переместиться за точку пересечения на рис. 12.16 и перейти в область, указанную на рис. 12.16 жирной пунктирной кривой. Т может стать положительным, прежде чем будет достигнут крайний предел со/. В этом случае со/

включает вертикальную моду, как показано на диаграмме. Этому случаю соответствует кривая а на рис. 12.15. С другой стороны, на кривой b вдоль жирного пунктирного участка неустойчивости нет и переключение моды происходит, когда со/ достигает края области, в которой существует три значения. Здесь нужно отметить, что переключение моды на рис. 12.16 показано в переменных, характеризующих поведение coi, которая сама непосредственно не измеряет

ся. Соответствующее поведение Qi— —со/ показано на рис. 12.14. Из рисунка видно, сколь далеко пассивный контур способен увести частоту активного контура.

В последнем параграфе считалось установленным, что критическим условием неустойчивости является равенство нулю скорее Г, чем D. Для последнего характерно быть положительным в отсутствие р и q и обычно, если не всегда, оставаться таковым в их присутствии, пока Т не достигнет нуля. Мы не будем приводить довольно громоздкие преобразования этих величин, выбирая в качестве переменных параметры системы. Геометрическая интерпретация to2 \ k2, Q2", А, р и q представлена на рис. 12.17. Из этой диаграммы для любого заданного случая можно

Рис. 12.17. Геометрическая интерпретация параметров системы уравнений (12.36):o2"=|BAZ|, fe2= | вм | -1 bqi , q2"= -|/?С|, А=|Л/?|, р = -$|ВМ|.|МС|/|ЛР|, <7=$|ВМ|-|ВМ|/|ЛР|Рис. 12.17. Геометрическая интерпретация параметров системы уравнений (12.36):o2"=|BAZ|, fe2= | вм | -1 bqi , q2"= -|/?С|, А=|Л/?|, р = -$|ВМ|.|МС|/|ЛР|, <7=$|ВМ|-|ВМ|/|ЛР|очень быстро установить критерий устойчивости. Если предположить, что переключение мод происходит при 7=0, т. е. при р= = 2Q2", из диаграммы можно с помощью элементарной геометрии получить критерий:

Рис. 12.17. Геометрическая интерпретация параметров системы уравнений (12.36):

o2"=|BAZ|, fe2= | вм | -1 bqi , q2"= -|/?С|, А=|Л/?|, р = -$|ВМ|.|МС|/|ЛР|, <7=$|ВМ|-|ВМ|/|ЛР|

Рис. 12.17. Геометрическая интерпретация параметров системы уравнений (12.36):

o2"=|BAZ|, fe2= | вм | -1 bqi , q2"= -|/?С|, А=|Л/?|, р = -$|ВМ|.|МС|/|ЛР|, <7=$|ВМ|-|ВМ|/|ЛР|

(12.37)(12.37)RURRS)=2/s.

(12.37)

(12.37)

Для осциллятора класса С это означает, что переключение мод происходит, когда S делит пополам RU, если только этого не происходит, прежде чем <oi достигнет конца жирных пунктирных линий на рис. 12.16. До тех пор пока связь достаточно слаба и неравенство не выполняется, наблюдается полный гистерезис

(кривая b на рис. 12.15). Для более сильной связи действует критерий (12.37) (кривая а). В заключение заметим, что при ^2<(о2// переход носит плавный характер (кривая с).

ФЕНОМЕН ГЮЙГЕНСА (ЗАХВАТ)

X. Гюйгенс, изобретатель маятникового храпового устройства, в 1665 г. писал отцу, что двое часов, смонтированных на общей массивной панели или на кронштейне, могут втянуть друг друга в синхронизм (в синхронное движение). Впоследствии это явление часто

упоминалось в связи со многими различными самовозбуждающими- ся системами, в том числе и с электронными контурами. Подобный биологический пример упоминался в гл. 11.

Для возникновения такого явления необходима некоторая критическая степень связи. Если связь слабее критической, то оба осциллятора колеблются на своих собственных частотах (возможно, слегка нарушенных) и обмениваются частью энергии на частоте биений.

Переход к состоянию «запертой частоты» резок и иногда сопровождается гистерезисом; прежде чем осцилляторы вновь начнут совершать свои собственные колебания, связь должна быть ослаблена до значения ощутимо меньшего, чем то, которое вызвало запирание. Возбуждение колебаний одного осциллятора другим может оказаться помехой при точных измерениях. Кольцевой лазер, где посредством зеркал обеспечивается циркуляция света и режим поддерживается усиливающим действием возбужденного газа, находящегося при низком давлении, представляет собой (из-за высокой чувствительности к вращению), в принципе, очень ценный навигационный прибор [6]. До тех пор пока рама, поддерживающая зеркала и газовые трубки, покоится, собственная частота одинакова для обоих направлений движения света. Однако вращение рамы приводит к возрастанию частоты одной моды и уменьшению частоты другой. В идеальном случае частота биений, которую можно определить, могла бы с большой точностью и чувствительностью служить мерой угловой скорости. К сожалению, из-за рассеяния света из одной моды в другую, а также из-за действия других причин происходит запирание моды друг на друга, становятся мало отличимыми их частоты и на низких частотах, т. е. как раз там, где прибор больше всего нужен как замена гироскопу, он отказывает. С другой стороны, явление «увлечения» можно практически использовать, например, для стабилизации частоты мультивибратора или для генерации гармоник и субгармоник на выходе первичных часов, которые могли бы иметь стандартную частоту кварца или цезия. Мы рассмотрим это в данной главе позднее, а предварительно проанализируем феномен Гюйгенса на осцилляторах класса С.

В принципе, метод, примененный в последнем параграфе, можно было бы распространить и на два активных осциллятора, однако для описания состояния с помощью величин, характеризующих нормальные моды, необходимо подгонять мнимые части, как и>1, так и (02, для того чтобы совместить их с токами в каждом контуре, что неудобно, поэтому нормальные моды мы использовать не будем, а отдадим предпочтение самим токам как переменным, описывающим состояние в любой момент. Для иллюстрации метода (а также потому, что, как выяснится дальше, задача достаточно сложна и надежды на получение полного решения нет) мы начнем с чего- нибудь попроще, что можно довести до конца, не затрачивая слишком больших усилий. Эта более простая задача интересна сама по себе. Она состоит в запирании осциллятора класса С с таким подводимым сигналом, частота и амплитуда которого фиксированы.

Как обычно, представим осциллятор в виде последовательного резонансного контура, в котором сопротивление имеет постоянное положительное значение 7? и отрицательное значение, обратно пропорциональное амплитуде колебаний тока. Полное сопротивление можно записать как 7?(1—to/O, гДе о— та амплитуда, при которой колебания в отсутствие возмущений устанавливаются на собственной частоте соо. Введем теперь в контур э.д.с. uejG)Z, где и (если оно действительно) в соответствии с равенством (6.32) вызывает переменный ток в фазе с у, возрастающий со скоростью Уг^/^. Если в. любой момент амплитуда и фаза колебаний тока составляют /е^'+ф), то изменение I и ср происходит в соответствии с уравнениями *

77= - '/з^ и - i^L + ^ cos 7^. (12.38)

—— = (и)0—о>) —72^ sin <?/(/-/). (12.39) d t

Первые слагаемые в этих двух уравнениях описывают поведение системы в отсутствие подводимого сигнала: амплитуда колебаний релаксирует к своему значению при равновесии 70 с постоянной времени 2£/Л в точности как пассивный контур; разность фаз развивается соответственно разности частот. Вторые слагаемые описывают воздействие введенных колебаний на амплитуду и фазу тех, что уже существуют. Эти уравнения являются базовыми. Исключить из них t можно, разделив уравнения друг на друга:

^у — у(у — Уо — ^^ , (12 40) d? гу — Sin<p

Здесь y=Rilv, yQ — Ri0/v и e = 2L((oo—со)/7?.

Найдем решения уравнения (12.40). Для этого построим на у—ф-диаграмме линии, вдоль которых числитель и знаменатель обращаются в нуль. На первой кривой, обозначенной 0, траектории горизонтальны, тогда как на последней, обозначенной оо, они вертикальны. Два примера, приведенные на рис. 12.18, отличаются друг от друга выбором е, так как искаженной оказывается только траектория оо. Они соответствуют слабой настройке (е велико) и более хорошей настройке (е мало). Амплитуда вводимого сигнала сохраняется постоянной. Только при достаточно малом е траектория оо поднимается настолько высоко, что пересекает траекторию 0 и обеспечивает возможность устойчивого решения, при котором ф-=0 и произошло запирание моды.

Там, где пересечения нет (рис. 12.18, а), имеется определенная траектория, обозначенная Р, которая входит в диаграмму и выходит из нее с одной и той же ординатой у и которая, несомненно, является периодической. При сдвиге фазы колебаний осциллятора относительно вводимого сигнала амплитуда из-за биений между свободными колебаниями и сигналом периодически изменяется. Если у0

4>^4>^

4>^

4>^

T^^U^Kl-yjyVT^^U^Kl-yjyV(12.41),(12.41),

T^^U^Kl-yjyV

T^^U^Kl-yjyV

(12.41),

(12.41),

Рис. 12.18. О- и oo-траектории и эскизы траекторий для решений уравнения (12.40): а— Уо=2, Е=1; б — t/0=2, 6=0,287; в — траектории в случае, когда F и S почти сливаются

мало (сильный возмущающий сигнал), модуляция биений может быть выражена сильно — на минимуме биений амплитуда колебаний падает почти до нуля.

Преобразовав и проинтегрировав уравнение (12.39), можно получить выражение для периода биений Тв в следующем виде:

Здесь у\ обозначена ордината sin ф/е траектории оо. Скорость перемещения ср не постоянна: она сильно уменьшается, когда траектория пролегает вблизи траектории оо и знаменатель в равенстве (12.41) становится мал. Это особенно заметно непосредственно перед на-

ступлением запирания: осциллятор как бы тянется к возмущающему сигналу, однако этот процесс прерывается, а затем повторяется на один период биений позднее.

Если траектории пересекаются (рис. 12.18, б), из хода кривой видно, что возникает седлообразная точка S, однако существует возможность стабильного запертого состояния (точка F). Исследуем это состояние. Обозначим У и У координаты F. Так как и числитель, и знаменатель равенства (12.40) в точке F становятся равными нулю, то

y-^-cos Ф=0 = гГ- sin Ф.(12.42)

Из этого следует, что

(Г-^Ч2^1,(12.43)

т. е.

У={Уо±[1 + е2(1-^о)],/2)/(1 + ^2).(12.44)

При положительном знаке решением является F, при отрицательном— S. При #0<1 и в случае, если траектория 0 спускается ниже оси, пересечение происходит при всех значениях е; однако при более слабых сигналах на входе, когда уо>1, решения уравнения (12.44) существуют только при 8>ес, где

£с = (^—1)-’/а.(12.45)

Для окрестности точки F запишем ср^^+б и у=¥-\-т\. Продифференцировав затем числитель и знаменатель равенства (12.40), получим линейное приближение в виде

d 4 _ _у 4 + 5 Sin ^ «3^ + «44 d£ет) + $ cos ЧТ «1£ + «24

Коэффициенты в этом выражении, как видно из равенства (12.42), имеют следующие значения:

а1=Уо — У» «2=£; «з= — £Г2, а4=—К.

Для того чтобы F было устойчивым решением, должны выполняться условия £>>0 и Т<0. Первое условие требует, чтобы V(l + 82) >f/o, а это, как видно из (12.44), обеспечивается F, если оно существует. Неравенство перестает выполняться в тот самый момент, когда траектории перестают пересекаться. Две пересекающиеся траектории, как мы здесь видим, не могут обеспечить на обоих пересечениях один и тот же тип устойчивости точки. Поэтому присутствие одной седлообразной точки гарантирует неседлообраз- ность второй . Такой случай показан на рис. 12.18, в. Следовательно, устойчивость F может быть определена только одним вторым

условием, требующим, чтобы ¥>х12уо (это, очевидно, выполнено в случае, показанном на рис. 12.18, б). Это условие может оказаться и не удовлетворенным, если t/o<l. Поскольку 8 можно сделать сколь угодно малым без «утраты» пересечения и добиться того, чтобы У было меньше ЧзУо, не составляет труда, F становится неустойчивым фокусом.

Рис 12 19 Кривая устойчивости, построенная на основании соотношения (12 40)Захват имеет место везде ниже линии Точки соответствуют экспериментальным значениям предела устойчивостиРис 12 19 Кривая устойчивости, построенная на основании соотношения (12 40)Захват имеет место везде ниже линии Точки соответствуют экспериментальным значениям предела устойчивостиНа рис. 12.19 критерий устойчивости проиллюстрирован графиком зависимости критических расстроек (е) от силы вводимого сигнала (l/z/о). Кривая А представляет собой график зависимости (12.45). Если 1/у0<1, то F существует только для точек, расположенных ниже этой кривой, и возможность запирания необходимо рассмотреть отдельно. Кривая В — гипербола е2= = 4/у02—1, на которой, как следует из равенства (12.43),У=х1^у^

Рис 12 19 Кривая устойчивости, построенная на основании соотношения (12 40)

Захват имеет место везде ниже линии Точки соответствуют экспериментальным значениям предела устойчивости

Рис 12 19 Кривая устойчивости, построенная на основании соотношения (12 40)

Захват имеет место везде ниже линии Точки соответствуют экспериментальным значениям предела устойчивости

К2,К2,в которойв которойКОЙКОЙВ верхней части В за точ-

К2,

К2,

в которой

в которой

КОЙ

КОЙ

запирание. Нижняя часть В,запирание. Нижняя часть В,она соприкасается с Д, седлообразная точка S либо не существует (1/г/о> 1), либо для нее не может выполняться равенство У=х(2у0 (в интервале 1/ У"2<\(у^< 1). По этой причине ясно, что указанная часть В относится исключительно к F и что только те точки, которые лежат ниже В, могут давать устойчивое показанная пунктиром, относится к

запирание. Нижняя часть В,

запирание. Нижняя часть В,

8, а не к F и не имеет отношения к нашему обсуждению. Таким образом, сплошная кривая является пределом устойчивости запертой моды. Экспериментальные точки были получены путем фиксирования уровня вводимого сигнала и расстройкой его частоты по отношению к (Оо (как в сторону больших, так и в сторону меньших значений) до тех пор, пока не нарушалось запирание, — этот момент легко фиксируется, так как на форме волны колебаний внезапно появляются сильные биения. Значение 8 выбиралось пропорциональным разности между верхней и нижней критической частотами. Коэффициент пропорциональности выбирался из соображений удобств. Никакой произвольной подгонки для \1у0 не требовалось, так как равенство (12.44) показывает, что, когда сигнал настроен на о)о и е обращается в ноль, амплитуда колебаний У возрастает до 1-й/0. Однако вдали от запирания у = у^ а измеряя, пик амплитуды, можно однозначно определить у^. Экспериментальные точки очень точно подтверждают теорию. Дальнейшим подтверждением служит то наблюдение, что при сильном вводимом сигнале амплитуда уменьшается до половины своего невозмущенного значения, т. е. У=х)2у0, как и следует из анализа устойчивости в момент прекращения запирания. При слабом сигнале этого не наблюдают.

Наконец, при сильном вводимом сигнале появляется гистерезис; запирание происходит при уменьшении е до значений более низких, чем в том случае, когда е вновь возрастает. Это означает, что при некоторых условиях периодическая (незамкнутая) траектория и устойчивый фокус могут оказаться на одной и той же диаграмме. Семейство рассчитанных траекторий подтверждает это. Рис. 12.20 соответствует случаю, когда е = 3,65, z/0=V2 (на рис. 12.19 он помечен крестиком, расположенным непосредственно под критической

Рис. 12.20. Траектории, рассчитанные по (12.40) при z/0=l/2 и е = 3,65 и соответствующие пересечению на рис 12 19

кривой В). Медленно сходящаяся траектория окружает фокус F, который явно устойчив. По мере удаления от F линейная аппроксимация нарушается. Сходимость замедляется, и L есть неустойчивая замкнутая траектория. Траектории, расположенные внутри L, сходятся, а вне — расходятся, разрываясь после нескольких оборотов вокруг F и постепенно приближаясь к устойчивой незамкнутой траектории. Эта траектория лежит на середине пути между Т\ и Т2. Ясно, что между двумя предельными формами поведения (с одной стороны, устойчивый фокус, в котором сходятся все траектории, а с другой стороны, неустойчивый фокус и устойчивые незамкнутые траектории) естественно ожидать существования переходного режима, в котором оба устойчивых режима сосуществуют и переключению от одного к другому должен сопутствовать гистерезис. То обстоятельство, что этого не наблюдается при малых амплитудах сигнала, объясняется, по всей вероятности, малой шириной гистерезиса. Даже в случае, соответствующей кривой А на рис. 12.19, когда запирание происходит, как только наступает пересечение

траекторий 0 и оо, нет достаточно очевидной причины, поясняющей, почему незамкнутые траектории одновременно становятся неустойчивыми. Похожую ситуацию мы встретим в следующем примере. Заметные различия в деталях между гистерезисным и негистерезисным запиранием на рис. 12.23 будут позже проиллюстрированы с помощью экспериментальных данных. Анализ только что рассмотренной системы показывает, что она имеет много общего с описанными ранее. Поэтому нет надобности давать объяснение последующим из- мерения?л в этом случае.'

Обратимся к самому феномену Гюйгенса, распространив рассуждения на два осциллятора класса С, связанных взаимной индуктивностью М таким образом, что каждый вносит возмущающий сигнал, стремящийся запереть другой. Сам сигнал при этом также оказывается возмущенным. Будем считать осцилляторы почти идентичными, за исключением того, что собственная частота осциллятора 2 чуть больше собственной частоты осциллятора /. Для любого момента токи в обоих контурах можно записать как /^^ и г2е^2 где ц и г2 действительны, а зависимости ф1 и ф2 от времени включают в себя как собственные частоты, так и возмущающие воздействия. Тогда с помощью тех же рассуждений, которые привели нас к равенствам (12.38) и (12.39), мы сможем написать уравнения для токов и фаз:

АД = - 4.R Цх - /о)Д - Re Vh^Mi^^^LY, (12.46) dZ

= - XhR Ui - lM - Re Г Y^Mix ei ^”^IL 1, (12.47) d tLJ

^o^i^lm [4o.W2ei<^-?'>№(12.48)

d t

ДД = ш2 —i/2Im [jwAl/!RLi^\.(12.49)

d t'

Здесь coi и o)2 — частоты несвязанных осцилляторов. Обозначим о)2—o)i = A; 12/Ч —р; <Р2—Ф1 = Ф; 2LA/(g)M) = е; о)Л1/7?=ц. Как и прежде, е есть мера расстройки осцилляторов, а ц—мера связи между ними.

В этих обозначениях вышенаписанные уравнения преобразуются к виду

dp/d /= — [(1 — 0) цЩ — р- (р Д- 1/р) sin 7],(12.50)

U.8

d cp/d/ = А [ 1 -|-(р — 1/р)/(з cos ср)].(12.51)

Присутствие i^k в уравнении (12.50) сводит число переменных задачи к двум, как это было в равенстве (12.40); р играет ту роль, которую прежде выполняло у. На этом этапе не стоит затрачивать усилия на обоснование сомнительной законности проделанной процедуры, тем более что к этому мы еще вернемся. Приемлемое и

обоснованное соображение состоит в том, что в течение периода биений, когда осцилляторы не заперты, запас энергии системы в целом не меняется, что позволяет приравнять полное рассеяние нулю:

R ( 1 — *оЛ*1) Л 4”^? (^ — ^0/^2) ^2 = 0.R ( 1 — *оЛ*1) Л 4”^? (^ — ^0/^2) ^2 = 0.Рис. 12.21. Траектории 0 и оо и эскизы траекторий для решений уравнения(12.52)Рис. 12.21. Траектории 0 и оо и эскизы траекторий для решений уравнения(12.52)

R ( 1 — *оЛ*1) Л 4”^? (^ — ^0/^2) ^2 = 0.

R ( 1 — *оЛ*1) Л 4”^? (^ — ^0/^2) ^2 = 0.

Рис. 12.21. Траектории 0 и оо и эскизы траекторий для решений уравнения

(12.52)

Рис. 12.21. Траектории 0 и оо и эскизы траекторий для решений уравнения

(12.52)

Отсюда lo!k= (1+р2)/ (1+р) - Подставляем это отношение в равенство (12.50), которое совместно с равенством (12.51) приведет к уравнению

(12.52)(12.52)d р 1 + Р2 (I — р)/(1 + р) — р. sin у dtp 16 4- (р — 1/р) COS ср

(12.52)

(12.52)

Подобно тому, как это делалось на рис. 12.18, чертим кривые нулевого и бесконечного градиента, которые либо пересекаются четыре раза, либо не пересекаются совсем. Рис. 12.21 представляет собой пример того, как пересекающиеся кривые допускают запирания либо в Fx, либо в ^2, но только не в Si и S2, являющихся седлообразными точками. Обе подвергающиеся запиранию моды, Fx и ^2, тесно связаны в том смысле, что существуют они при значениях ср, отличающихся на л, и при взаимно обратных значениях р. Если в равенстве (12.52) вместо р и ф подставить 1/р и ф+л, то оно останется неизменным *. Поэтому достаточно рассмотреть условия наступления лишь одного пересечения Fx и его устойчивость. С этого момента мы будем полагать р<1. Продолжаем, как и прежде: если V и Р— координаты FX) то

у, sin Ф = (1 —Р)/(1-{-Р) и cosT=-s/(P-1/Р). (12.53)

Рис. 12.22. Устойчивая кривая, рассчитанная из (12.52)Рис. 12.22. Устойчивая кривая, рассчитанная из (12.52)Она состоит из прямой, отмеченной как 1,272, и участка кривой вправо от А Цифры около линий представляют собой отношения 6/А, где 6 — разность двух частот, на которых захваченная система может осциллировать при заданной разности частот А, соответствуют^ контурам в несвязанном состоянииОна состоит из прямой, отмеченной как 1,272, и участка кривой вправо от А Цифры около линий представляют собой отношения 6/А, где 6 — разность двух частот, на которых захваченная система может осциллировать при заданной разности частот А, соответствуют^ контурам в несвязанном состоянии

Рис. 12.22. Устойчивая кривая, рассчитанная из (12.52)

Рис. 12.22. Устойчивая кривая, рассчитанная из (12.52)

Она состоит из прямой, отмеченной как 1,272, и участка кривой вправо от А Цифры около линий представляют собой отношения 6/А, где 6 — разность двух частот, на которых захваченная система может осциллировать при заданной разности частот А, соответствуют^ контурам в несвязанном состоянии

Она состоит из прямой, отмеченной как 1,272, и участка кривой вправо от А Цифры около линий представляют собой отношения 6/А, где 6 — разность двух частот, на которых захваченная система может осциллировать при заданной разности частот А, соответствуют^ контурам в несвязанном состоянии

Возведя эти соотношения в квадрат, сложив их для исключения Т и перегруппировав, получим

(Р - Р1ЯР - 1/Р1)2= ^2 [4^2 _ £2 ( 1 _ ^2)]^ 1 _ ^2)2.( 1 2.54 )

Здесь pi+l/pi = 2/(l—р2). Каждая величина, за исключением той, что стоит в квадратных скобках справа, существенно положительна. Отсюда следует, что условие существования Р состоит в том, чтобы величина в квадратных скобках была положительной. Если р^ 1, то это выполняется автоматически. Если р^1, то нужно,

чтобы

s2<.4p2/(l~p2). (12.55)

В тот самый момент, когда этот критерий перестает выполняться, каждый из фокусов ^1,2 совмещается со своей сопутствующей седлообразной точкой Si,2 при значениях р, равных Р1 И 1/р1.

Для исследования устойчивости Fy положим <р = Чг + ^ и р = Р + т] и с помощью равенства (12.53) получим линеаризованную запись для числителя и знаменателя равенства (12.52):

d _ a3g + a4G

d$ дк + д2Ч

Здесь ai=(l—PYIP, a2 = = ре(1+Р2)/[Р(1-Р2)], a3 = = — цеР(1+Р2)/(1— Р^ и а4= = —2(1+Р2)/(1+Р)2. Как и в

предыдущем примере, слияние F и S происходит в тот момент, когда кривые перестают пересекаться. Этот момент является одновременно моментом нарушения критерия устойчивости D>0. Поэтому этот критерий не отличается от (12.55) и нужно сосредоточить внимание на втором критерии 7j<0. Его можно переписать в виде

(Р+1/Р)2__2(Р4-1/Р)-4<0.(12.56)

Таким образом, P-VljP должно лежать между 2 (поскольку Р>0) и 1+ К5. Заметим, что пересечение нарушается, когда P=pi, т. е. когда Р4-1/Р=2/Ц—р2). До тех пор пока связь слаба настолько, что р2<72(3— Кб), запирание нарушается при исчезновении возможности решения не потому, что оно стало неустойчивым. Однако при больших р пересечение F при расстроенных контурах все-таки существует, но оно меняется от устойчивого фокуса к неустойчивому.

Условие запирания,

(12.57)(12.57)£2 = (р_ Ijpyt — ^p'h— МР'!^^

(12.57)

(12.57)

основанное на альтернативной версии равенства (12.54), представлено графически на рис. 12.22.

Каждое значение Р (или 1/Р) определяет прямую на графике,

для которого по оси абсцисс отложено 1/ц2, а по оси Огибающей этих прямых является гипербола е2= = 4ц2/(1—ц2), которая в соответствии с (12.55) определяет предельное условие для пересечения кривых. Но устойчивому запиранию соответствуют не все точки, рас-

положенные ниже щей, а лишь только рые одновременно воряют равенству

огибаю- те, кото- удовлет- (12.56),огибаю- те, кото- удовлет- (12.56),так как они лежат ниже линии, для которой Р4-1/Р= = 1+ /5, т. е. Р = 0,346. Каждая точка ниже огибающей лежит на двух прямых линиях, определенных различными значениями Р. Это объясняется тем, что F при данном выборе р и е всегда сопровождает S. Так как значение Р в неустойчивом чересечении S всегда меньше, чем в F, то для F можно ограничиться лишь кривыми

огибаю- те, кото- удовлет- (12.56),

огибаю- те, кото- удовлет- (12.56),

Параметры тогда какПараметры тогда какординат — 82.ординат — 82.вне изменения расстояния между ними Для кривых А, В и С частоты несвязанных осцилляторов составляют 556,0 и 556,7 Гц Кривая А представляет собой частоту биений (А' — то же. умноженную на 10). когда связь слишком слаба для захвата, В и С — две захваченные моды Частоты здесь определялись от среднего значения 556,4 Гц Для кривой D частоты несвязанных осцилляторов составляли 555,9 и 560,8 Гцвне изменения расстояния между ними Для кривых А, В и С частоты несвязанных осцилляторов составляют 556,0 и 556,7 Гц Кривая А представляет собой частоту биений (А' — то же. умноженную на 10). когда связь слишком слаба для захвата, В и С — две захваченные моды Частоты здесь определялись от среднего значения 556,4 Гц Для кривой D частоты несвязанных осцилляторов составляли 555,9 и 560,8 Гцконтуров остаются неизменными, связь между ними меняется вследст-контуров остаются неизменными, связь между ними меняется вследст-слева от точки касания с огибающей-слева от точки касания с огибающей-Это и сделано на рис. 12.22. С помощью этого рисунка можно определить частоту со, при которой происходит запирание осцилляторов. Она имеет значение dcpi/d£ в (12.48) или dcp2/d^ в (12.49) (обе эти величины одинаковы). Следовательно,

Параметры тогда как

Параметры тогда как

ординат — 82.

ординат — 82.

вне изменения расстояния между ними Для кривых А, В и С частоты несвязанных осцилляторов составляют 556,0 и 556,7 Гц Кривая А представляет собой частоту биений (А' — то же. умноженную на 10). когда связь слишком слаба для захвата, В и С — две захваченные моды Частоты здесь определялись от среднего значения 556,4 Гц Для кривой D частоты несвязанных осцилляторов составляли 555,9 и 560,8 Гц

вне изменения расстояния между ними Для кривых А, В и С частоты несвязанных осцилляторов составляют 556,0 и 556,7 Гц Кривая А представляет собой частоту биений (А' — то же. умноженную на 10). когда связь слишком слаба для захвата, В и С — две захваченные моды Частоты здесь определялись от среднего значения 556,4 Гц Для кривой D частоты несвязанных осцилляторов составляли 555,9 и 560,8 Гц

контуров остаются неизменными, связь между ними меняется вследст-

контуров остаются неизменными, связь между ними меняется вследст-

слева от точки касания с огибающей-

слева от точки касания с огибающей-

w = 72(d?i/d^ + d?2/dO=.<>> ± V2^;

ЗДеСЬ "\ СО ^ = ^2 (to 1 —|—С02) и

8=1/,(Р + 1/Р) cos Ф = А (1 + Р2)/( 1- РЧ,

что следует из равенства (12.53). Как и в случае реактивно связанных резонансных контуров, 6>Д и частота, при которой могут возникнуть устойчивые колебания, находится вне интервала между собственными частотами по той причине, что реактивная связь и понижает, и повышает их вместе.

Некоторые экспериментальные результаты показаны на рис. 12.23. Два осциллятора класса С с* катушками индуктивности

довольно большого радиуса (10 см) были расположены так, что пространство между ними и, следовательно, степень связи могли быть изменены-. При малой разности частот для захвата достаточно слабой связи. Приближение к критической точке в этом случае носит характер, показанный на кривой Л. При уменьшении расстояния частота биений падает; в конечном итоге в момент начала захвата касательная кривой вертикальна. С этого момента и далее еще большее увеличение связи приводит к все увеличивающемуся смещению частоты от среднего значения либо вдоль кривой В, либо вдоль кривой С в зависимости от того, произошел захват в верхней или нижней моде или нет. Следует заметить, что параметры (т. е. коэффициент усиления) обоих осцилляторов должны быть тщательно подогнаны, чтобы можно было с одинаковой надежностью получить либо реализовать кривую В либо кривую С. Если один из усилителей обладает большим усилением, он заставит систему запереться в моде, частота которой ближе к его собственной. Однако при тщательной подгонке осцилляторов любую из мод можно выделить, сдвигая катушки в фазе в течение периода биений.

Как и в предыдущем примере, до тех пор пока разница частот мала и критической точкой является та, в которой траектории 0 и оо пересекаются впервые, никаких признаков гистерезиса нет. При большей разности частот необходима более сильная связь и тогда возникает гистерезис (кривая Dy При уменьшении связи в тот момент, когда Т меняет знак и фокус F становится неустойчивым, захватывание нарушается фх) на рис. 12.13. Появление захвата ф2) при увеличении связи возникает в тот момент, когда незамкнутая периодическая траектория становится неустойчивой. Этот случай мы не проанализировали — он явно труднее того, о чем мы здесь говорили. Привлекает внимание тот факт, что при усилении связи происходит устойчивое возрастание частоты биений вдоль D. Грубого сравнения В и С достаточно для выявления того обстоятельства, что незапертые осцилляторы совершают биения на почти такой же частоте, как если бы они представляли собой пассивно связанные контуры. Здесь нет признаков притягивания, столь характерного для поведения слабосвязанных систем (кривая А на рис. 12.23).

Давайте теперь разберемся, были ли основания предполагать, в рассуждениях, которые привели к равенству (12.52), что энергетический запас контуров постоянен. Очевидно, что когда осцилляторы заперты, то это должно быть такое состояние, в котором полная энергия остается постоянной и справедливо описание соотношений между амплитудами и фазами через Р и W.

Однако это не обязательно верно для незамкнутых траекторий. Поэтому анализ стабильности, исходящей из предпосылок, что переход возможен только по сохраняющей энергию траектории, не обязательно справедлив. Так, например, если расстройка превращает устойчивый фокус F в неустойчивый и траектория становится медленно раскручивающейся спиралью, энергия может колебаться с частотой биений, т. е. с частотой обращения траектории вокруг F.

Этот факт почти наверняка внесет некоторые изменения в точное условие наступления неустойчивости. Как покажут последующие рассуждения, это обстоятельство становится весомым на левой части кривых, показанных на рис. 12.22. Для осциллятора класса С, в точности так же как и для пассивного резонансного контура, характерное время установления стационарного состояния составляет 2LIR, и мы должны ожидать возникновения колебаний энергии, если период траектории близок к этому времени или меньше его. В данном случае это происходит, если произведение ер, определяющее область, расположенную слева от линии, выходящей из начала координат под углом 45° (см. рис. 12.22), оказывается больше или порядка единицы.

С другой стороны, при нарушении запирания в правой части, когда D обращается в нуль после точки пересечения кривых, траектории, окружающие только что исчезнувшее F, пробегаются чрезвычайно медленно. Поэтому есть все основания ожидать, что условие обращения в нуль полной энергии относится теперь как к устойчивому, так и к только что наступавшему неустойчивому режимам и применение условия устойчивости (т. е. существования F) обосновано. Можно рискнуть, предположив, что границей области устойчивости на рис. 12.22 является вся часть гиперболической огибающей вверх до А, где она смыкается с ограничивающей прямой, и что по мере следования вдоль этой прямой предположение становится все более обоснованным, так как действительная граница опускается вследствие вступления в силу других причин неустойчивости. Более глубокое проникновение в суть происходящего требует несравненно больших усилий. Альтернативными приближениями являются: а) определить систему посредством трех параметров и, /2 и ф, а не двух, и рассмотреть условия устойчивости линеаризированной системы с тремя переменными ч с тремя критериями, которым они должны удовлетворять; б) распространить на данный случай методику, использованную для связанных активных и пассивных осцилляторов. Оба приближения привели бы к критериям возможно более точным, чем те, которые мы получили здесь, но мы уже упоминали раньше о некоторых своих сомнениях в оценке величин, облегчающих понимание использованного механизма. Мы предлагаем удовлетвориться таким рассмотрением вопроса, который вскрывает физическую суть происходящего, даже если это рассмотрение верно не во всех деталях.

Более простым примером феномена Гюйгенса могут служите /за активных осциллятора с резистивной связью, подобных тем, что изображены на рис. 12.1, д. Единственным отличием является то, что оба контура поддерживаются в режиме, соответствующем осцилляторам класса С. Уравнения имеют такой же вид, что и уравнения (12.46) — (12.49), с той лишь разницей, что jcoM заменено на Rc. Если под е понимать 2L\IRC, а под ц — отношение Rc/R, то

d f^d/^ — [(z0 —f^/p- —f2cos ф], (12.58)

d /2/d t=— [(i0 — iiHV- — ii cos у].(12.59)

6

d?/di = — [$ + (?+ 1/p)sin ?].(12.60)

Из уравнений (12.58) и (12.59) имеем

"4т ^2 — <l) =Л I “ ^ ~ 1^ ~ ^ - ^ C0S ^( 12.61 )

d tИ

Рис. 12 24 Траектории 0 и оо и пересекающиеся траектории для решений (12.62)Рис. 12 24 Траектории 0 и оо и пересекающиеся траектории для решений (12.62)Если происходит захват, то dfi/d/=di2/d^ = 0 и из равенств (12.58) и (12.59) следует, что i\ = i^- Как мы вскоре увидим, устойчивыми могут быть только те состояния, для которых cos ф отрицателен. Из равенства (12.61) совершенно очевидно, что в окрестности такого состояния всякое отступление разности i2—1\ от нуля исключается автоматически.

Рис. 12 24 Траектории 0 и оо и пересекающиеся траектории для решений (12.62)

Рис. 12 24 Траектории 0 и оо и пересекающиеся траектории для решений (12.62)

Поэтому, полагая при определении условий запирания i\ = i2> мы можем быть уверены в надежности вычислений больше, чем раньше. Обозначив f1 = f2=i, из равенств (12.58) и (12.60) получаем

d z = 1 zo~ 0 + ^ CQS?)z (12 62) d ф p. e + 2 sin cp

Типичные кривые нулевого и бесконечного градиента при ц<1 показаны на рис. 12.24. Дальнейшего анализа не требуется: S является седлообразной точкой, a N — устойчивым узлом, который всегда существует, если только е<2. Поэтому знаменатель может обратиться в нуль. Таким образом, осцилляторы запираются при А< <ZRdL и гистерезисное поведение невозможно, так как незамкнутые траектории, пересекающие диаграмму, могут существовать только в отсутствие траекторий оо.

Этот анализ подтверждается экспериментально. При слабой связи токи колеблются таким образом, что изменение их амплитуд похоже на биения. Колебания амплитуд в обоих контурах происходят в одинаковых фазах. Напротив, в реактивно связанных системах колебания совершаются в противофазе. При усилении связи период биений неограниченно возрастает, а когда он делается бесконечным, наступает запирание, нарушающееся, однако, без какого-либо признака гистерезиса при уменьшении связи. Если период биений продолжителен, возникают явные признаки нелинейности, поскольку огибающая, как показано на рис. 12.25, отчетливо отступает от си- 432

нусоидальной формы. Это не единичный пример: другая система, позволяющая наблюдать феномен-Гюйгенса, ведет себя подобным же образом. В рассматриваемом случае несвязанных осцилляторов их частоты относятся как 1 :41. Однако для связанных осциллятор

Рис. 12.25. Несинусоидальная огибающая биений для резистивно связанных осРис. 12.25. Несинусоидальная огибающая биений для резистивно связанных осцилляторов с неполным захватомцилляторов с неполным захватом

Рис. 12.25. Несинусоидальная огибающая биений для резистивно связанных ос

Рис. 12.25. Несинусоидальная огибающая биений для резистивно связанных ос

цилляторов с неполным захватом

цилляторов с неполным захватом

ров период биений составляет 67 циклов, а не 41. Это указывает, как и ожидалось для резистивной связи, на стремление обеих частот к среднему значению (в отличие от кривой D на рис. 12.23).

б)

Рис. 12.26 Феномен Гюйгенса для движения двух метрономов:

а, б — записи щелчков двух метрономов (здесь они показаны линиями различной высоты) В случае а рама, на которой были смонтированы метрономы, покоилась Колебания метрономов происходили независимо с разными частотами В случае б рама колебалась свободно и возникал захват Из в следует, что разность фаз между щелчками убывает к постоянному значению При этом имеет место приближение к случаю фокальной устойчивости

В заключение вернемся к самому Гюйгенсу и его наблюдениям явления захвата на часовых маятниках. Эффект можно без труда продемонстрировать, смонтировав механизмы, изъятые из двух мет-

рономов, на легкой раме, подвешенной на нитях таким образом, что ее качания могут связать колебания обоих механизмов. Перемещением подгоночных грузов частоту колебаний устанавливают примерно равной 100 циклам (200 щелчкам) в минуту. При этом наблюдается сильная связь. На рис. 12.26 приведена запись щелчков, которые регистрировались микрофоном. На рис. 12.26, а, б показано, как колеблются метрономы независимо друг от друга с разнг цей частот в 2,5% при закрепленной раме и как происходит запи ранне с постоянной разностью фаз в случае, когда рама может свободно качаться. Из рисунка ясно, что приближение к устойчивому состоянию само является колебательным процессом, как это и ожидалось для реактивной связи. Здесь возникает еще и дополнительная трудность, не связанная со спусковым механизмом: в процессе колебательного приближения к устойчивому состоянию амплитуда качаний становится большой, так происходит вплоть до углов +45°. Поэтому при детальном определении поведения системы следует учитывать связанные с этим изменения частоты.

ЧАСТОТНОЕ ЗАПИРАНИЕ МУЛЬТИВИБРАТОРА

Наиболее разительное отличие осциллятора класса С от релаксационного осциллятора проявляется в их откликах на синусоидальное возмущение. Первый откликается только на приблизительно синхронный сигнал и втягивается в синхронность. Второй может управляться сигналом, совпадающим с гармоникой его собственных колебаний. Возможно, в этих утверждениях различия несколько преувеличены, поскольку в действительности осциллятор класса С при достаточно мощном сигнале может оказаться запертым уже на третьей или пятой гармонике. Однако это пустяки по сравнению с тем, что может произойти с мультивибратором, если в возмущающий сигнал (частота которого в сотни раз больше собственной частоты) ввести небольшое колебание с частотой, в точности кратной собственной. Именно эта особенность определила место мультивибраторов среди других электронных устройств. Используя две-три ступени деления, можно преобразовать частоту эталонного источника (кварцевого осциллятора), составляющую несколько мегагерц, в частоту, близкую к частоте хода обычных часов.

Мультивибратор не просто чувствителен к гармоникам. Он тоже может быть запертым (хотя и довольно слабо) на частоте, составляющей рациональную дробь от введенной частоты. Пример, в котором видно, что частота мультивибратора при изменении вводимой частоты меняется чрезвычайно сложным образом, показан на рис. 12.27.

Детали приведенной зависимости во многом зависят от амплитуды возмущения, однако общие черты отклика выражены достаточно отчетливо. Нечетные гармоники воздействуют на мультивибратор сильнее, чем четные. Поэтому некоторые промежуточные запирания очевидны. Не очевидным на рисунке является то, что каждая точка на кривой, отмеченная хотя и на очень малом (1 Гц или ме-

дать строгую теорию, объясняющую, почему некоторые шаги являются длинными, а другие — короткими. Существенным недостатком такого подхода является отсутствие каких-либо объяснений слабости шагов, предшествующих фундаментальным выводам. Заметим, что это не означает, что рассматриваемая модель никуда не годится. Просто элементарная математика не может справиться с удивительно неулови-дать строгую теорию, объясняющую, почему некоторые шаги являются длинными, а другие — короткими. Существенным недостатком такого подхода является отсутствие каких-либо объяснений слабости шагов, предшествующих фундаментальным выводам. Заметим, что это не означает, что рассматриваемая модель никуда не годится. Просто элементарная математика не может справиться с удивительно неулови-В 6 од имя я частота, кГцВ 6 од имя я частота, кГцРис. 12.27. Мультивибратор, аналогичный показанному на рис. 11.38, захватываемый посредством синусоидального входного сигнала переменной частотыРис. 12.27. Мультивибратор, аналогичный показанному на рис. 11.38, захватываемый посредством синусоидального входного сигнала переменной частоты

дать строгую теорию, объясняющую, почему некоторые шаги являются длинными, а другие — короткими. Существенным недостатком такого подхода является отсутствие каких-либо объяснений слабости шагов, предшествующих фундаментальным выводам. Заметим, что это не означает, что рассматриваемая модель никуда не годится. Просто элементарная математика не может справиться с удивительно неулови-

дать строгую теорию, объясняющую, почему некоторые шаги являются длинными, а другие — короткими. Существенным недостатком такого подхода является отсутствие каких-либо объяснений слабости шагов, предшествующих фундаментальным выводам. Заметим, что это не означает, что рассматриваемая модель никуда не годится. Просто элементарная математика не может справиться с удивительно неулови-

В 6 од имя я частота, кГц

В 6 од имя я частота, кГц

Рис. 12.27. Мультивибратор, аналогичный показанному на рис. 11.38, захватываемый посредством синусоидального входного сигнала переменной частоты

Рис. 12.27. Мультивибратор, аналогичный показанному на рис. 11.38, захватываемый посредством синусоидального входного сигнала переменной частоты

нее) частотном интервале, соответствует запиранию. Несомненно, терпеливый поиск позволил бы обнаружить еще много подобных точек. Однако несмотря на очевидность, все-таки трудно убедить себя, что происходит какое-то запирание, хотя его следы можно обнаружить, например, в третьей гармонике, если увеличить амплитуду.

Сосредоточиваясь лишь на общих положениях, мы предложим несколько поверхностное обсуждение этих наблюдений, не пытаясь

i

| 1,0

| 0,8

мым явлением.

Начнем с рассмотрения уже упоминавшегося различия между осциллятором класса С и мультивибратором с точки зрения их отношения к несинхронному захвату. Нечувствительность одного и чувствительность другого к гармоническому возмущению легко понять количественно. Принятая нами модель осциллятора класса С в основном представляет собой находящийся в режиме свободных колебаний контур с большим значением Q, работа которого поддерживается в течение периода очень слабым импульсом. Введение сигнала, соответствующего третьей гармонике, может вызвать только искажение, очень слабое по сравнению с тем, что произведет сигнал на частоте, близкой к резонансной.

В противоположность этому мультивибратор не является резонансной системой, так как почти все время, подобно 7?С-контуру, он релаксирует к недосягаемой точке покоя (±V0 на рис. 12.28, а). При этом он постоянно переходит то в состояние 6, то в состояние D. Контур может быть идеализирован (на рис. 12.28, б устройч ство, обозначенное N, представляет собой схему с обратной связью и последовательно включенным сопротивлением (10Q на рис. 11.39)). Их совместная характеристика показана на рис. 12.28, а. Запирающая э.д.с. и может вводиться так, как показано на рис. 12.28, б. Если V0>AV, а I и V изменяются вдоль АВ vim.CD

время порядка т, и если у изменяетсявремя порядка т, и если у изменяетсяРис 12.28 Предполагаемая характеристика с отрицательным сопротивлением (а) устройства N, представляющего собой мультивибратор с вводимым синусоидальным сигналом (б)Рис 12.28 Предполагаемая характеристика с отрицательным сопротивлением (а) устройства N, представляющего собой мультивибратор с вводимым синусоидальным сигналом (б)со скоростью, очень близкой к постоянной, то V=±Vu/t, где постоянная времени t=RsC. Так происходит при у = 0. При введении сигнала немедленный отклик на внезапное изменение Ау проявляется в том, что в устройстве N возникает напряжение — Ау, так как разность потенциалов на емкости С не может измениться внезапно. Конденсатор С может откликнуться на возбуждение только через

время порядка т, и если у изменяется

время порядка т, и если у изменяется

Рис 12.28 Предполагаемая характеристика с отрицательным сопротивлением (а) устройства N, представляющего собой мультивибратор с вводимым синусоидальным сигналом (б)

Рис 12.28 Предполагаемая характеристика с отрицательным сопротивлением (а) устройства N, представляющего собой мультивибратор с вводимым синусоидальным сигналом (б)

по закону y0coscoZ, то при сотЗ>1 мы вправе пренебречь всем, за исключением начального эффекта. На устойчивое изменение V накладываются колебания—y0cos(o/: V = const ± У^[х—ч)й cos 0)/.

(12.63)

Здесь и далее верхний знак относится к передвижению вдоль АВ, а нижний — вдоль CD. Значение постоянной меняется при каждом переключении с одной ветви на другую. В дальнейшем мы увидим, что это не играет ро-

V\ устойчиво возрастающую

ли в рассуждениях.Целесообразно ввести переменнуюли в рассуждениях.Целесообразно ввести переменнуюс той же скоростью, что и | V| (т. е. V = | У |):

ли в рассуждениях.

Целесообразно ввести переменную

ли в рассуждениях.

Целесообразно ввести переменную

У’= A-\-V4h + т^ cos wt.(12.64)

Каждый раз, когда Vх достигает значения, кратного AV (рис. 12.28, а), знак производной меняется и одновременно меняется А, что необходимо для сохранения непрерывности Vх. Включение происходит в те последовательные моменты времени t0, tx и т. д., при которых

^У=(У^г1х — т^ cos oV^ — (VqI^x — ^о cos oV0),

△У = (^0/2/т+ 'Уо cos <^2) —(^(А/т-Н ^о cos ^i):

соответствующие моменты времени определяются подобными выражениями, но взятыми с противоположными знаками. Иллюстрацией этого процесса служит рис. 12.29, а, а фактическое изменение Vх показано на рис. 12.29, б. Каждый элемент АУ был смещен соответствующим подбором А таким образом, чтобы получить непрерывную кривую. Все это, однако, не столь важно, главное же состоит в том, что последовательные отрезки на синусоидах размещены так, чтобы можно было наблюдать систематические признаки, которыми сопровождается захват.

В этом примере не видно явной связи между средним значением частоты переключений и вводимой частотой со, хотя, возможно,

если бы диаграмма была продолжена, такая периодическая зависимость и была бы обнаружена.

а — каждый последующий сегмент, нарисованный жирной линией, имеет высоту по вертикали ДУ. Границы сегментов совмещены так, что конец предыдущего совпадает с началом последующего, б — сегменты соединены так, чтобы показать зависимость V' от времени, являющуюся решением (12,64), в —упрощенная форма синусоид, показанных на а (она использована для построения на рис. 12.31)

Гораздо легче показать, как возникает запирание в таком простом случае, когда переключение синхронизировано основной частотой вводимого сигнала. В этом случае переключение происходит

* Рис. 12 30. Синхронизация (захватывание) мультивибратора:

а— разные ф приводят к различным ДУ при заданной входной частоте со: б — жирная линия показывает значения ф и со после наступления синхронизации Она иллюстрирует также процессы вблизи двух фазовых миграций XX' и YY"

в одной и той же фазе каждый полупериод (рис. 12.30). Однако при данном выборе о) изменение V' в течение половины периода зависит от ф (ф определено как фаза введенного сигнала в момент переключения с D на Л).

Записав (12.64) при условии, что uq^AV:

дУ = л1/г/((1)Г) —2^ cos ср,

получим значение оз, обеспечивающее изменение У7 на АГ:

о) = лУо/[т (Д1/ -|-2^о cos ср)] — ^ (1^- cos ср).(12.65)

Здесь невозмущенная частота мультивибратора л^0/(тД1/) обозначена соь Существует ряд значений со, вне которых равенство (12.65) может быть удовлетворено соответствующим выбором ф (см. рис. 12.30, б). Однако не все значения ф представляют устойчивое запирание. Представьте себе, например, что систему запустили бы в точке А, когда частота и фаза введенного сигнала определяется точкой X. Так как X лежит выше кривой, то со слишком низка для синхронного переключения и В достигнется раньше, чем бу

дет пройдена половина периода. Следующее переключение произойдет при меньших значениях ф, и последовательность положений X мигрирует влево до тех пор, пока не достигнет кривой в точке, обозначенной для этого случая Xх. Эта точка, как и все точки на сплошной кривой (0<ф<л), представляет собой устойчивое запирание. Следовательно, как показывает равенство (12.65), запирание происходит, если со лежит внутри интервала

(1 -[- 2^0/Д IZ)—1 ^со/^ <(1 — 2<у0/Д1/)-1. '

Значительно труднее выяснить возможность запирания на другой, несобственной, частоте. Мы укажем только основные принципы подхода к этой задаче, оставив многие вопросы нерешенными. Будет легче, если, не меняя существенно характер рассуждений, заменить синусоидальный входной сигнал пилообразным (см. рис. 12.29, в). В этом случае траектория на рис. 12.29, б принимает вид последовательности линий, градиенты которых меняют знак на противоположный каждый раз, когда Vх, становится кратным АV, и каждый раз, когда t становится кратным л/со. Эти линии нетрудно изобразить, разделив плоскость V4 на прямоугольные ячейки, в которых градиенты принимают противоположные значения, обозначенные «+» и «—» на рис. 12.31. Здесь показаны два примера построения»

На рис. 12.31, а градиенты были выбраны так, что линия, начинаясь в О, проходит через эквивалентную точку Р спустя два периода t и три V' позднее. Мультивибратор колеблется на частоте, составляющей 3/2 входной частоты. Из того, что частоты цельнократны друг другу, однако, не следует, что частоты заперты. В этом частном случае они не заперты. Как показывает последующее рассуждение, они просто подогнаны до соответствия. Между двумя идентичными линиями ОР и ОХРХ) разделенными промежутком времени в один период, заключены пять других с той же периодичностью. Они получены построением из начальных точек О', О" и т. д. Все кривые, изображенные на рис. 12.31, а, имеют одинаковую форму, но смещены вдоль диагонали ячейки. В этом случае в каждом элементе сетки можно рисовать идентичные линии.

Из этого следует, что и промежуточные линии тоже имеют такую же периодичность. Единственный изображенный пример поясняет рассуждение. Пунктирная линия начинается снизу диаграммы, на середине расстояния между соседними линиями. Большая ее часть лежит между их параллельными участками. Единственное исключение наблюдается, когда одна из соседних линий проходит через пересечения сетки, но и это не нарушает расположения пунктирной линии на середине расстояния между соседними. Было бы иначе, если бы обе соседние кривые могли пройти по какую-либо одну сторону пересечения. Но это исключено, так как каждое пересечение уже лежит на какой-либо линии. Из этого следует, что для любой начальной точки периодичность траектории определяется той же частотой и что кривая, соответствующая рис. 12.31, б, представляет, собой просто горизонтальную линию, не имеющую особенностей запирания.

Такое рассуждение применимо для любого отношения частот п/т (п — периоды мультивибратора, т — входные периоды), если или п, или т — четные. В этом случае можно рисовать периодическую траекторию, проходящую через два различных типа пересечений (т. е. через О и Р, где градиент мал, или через Q, где он велик). По этой причине каждое пересечение лежит на идентичной траектории. В противоположность этому, если и п и т нечетны, то, как показано на рис. 12.31, б, имеются две различные траектории: та, что проходит через Р и S, периодична, тогда как та, что проходит через Т, не периодична. Не периодичны и промежуточные траектории.

Следовательно, периодичность при наперед заданных градиентах возникает тогда, когда со так зависит от ф, что обеспечены, как следует из рис. 12.30, б, необходимые условия для запирания. Из рис. 12.27 видно, что практически запирание происходит даже тогда, когда п или т четны. Этот эффект при п!т=<2 слабее, чем тогда, когда это отношение равно 1 или 3, поэтому можно предположить, что объяснением этого могут быть небольшие асимметрии в форме волны мультивибратора.

Вышеприведенное рассуждение хотя и иллюстрируется с помощью пилообразной волны, однако применимо к волне любой формы, не содержащей четных гармоник. В частности, в случае синусо-

идальной волны все очень похоже, а именно: запирания нет, если в отношении п/т либо п, либо т— четное, и (в принципе) запирание есть, если это отношение составляет любую другую рациональную дробь независимо от того, больше или меньше единицы эта дробь. Поэтому досадно, что условия субгармонического запирания столь иллюзорны, в то время как масса признаков свидетельствует, что оно должно наступать, когда входная частота больше частоты мультивибратора.

Казалось бы, в этом случае можно найти математическую формулу, выражающую ту особенность частот субгармоник, которую подметили для четных п или т. Но этой формулы мы не нашли; точнее, найденное оказалось неверным. Тщательное вычисление частот, необходимых для совпадения на третьей гармонике (т. е. при n/m = 3) для различных начальных значений ср, выявляет очень малые изменения частот. В принципе, субгармоническое запирание возможно, однако на практике оно, по-видимому, слишком слабо, чтобы его можно было уловить.

ЗАПИРАНИЕ В МУЛЬТИВИБРАТОРЕ

С РЕЗОНАНСНЫМ КОНТУРОМ

Анализ связанного пассивного резонансного контура с мультивибратором сходен с анализом связанного осциллятора класса С с резонансным контуром, хотя первый случай несколько проще. Осциллятор класса С действует на пассивный контур и сам испытывает обратное воздействие, которое может изменить как амплитуду, так и частоту его колебаний. Мультивибратор менее чувствителен — частота его может быть изменена, однако форма волны и амплитуда определяются усилением и не меняются. Если связь реактивна, например, за счет взаимной индуктивности, то ток мультивибратора, имеющий прямоугольную форму, индуцирует в пассивном контуре импульсную э.д.с. противоположного знака. Последний оказывается сильно возбужденным, если его собственная частота близка к частоте нечетной гармоники мультивибратора. Если же пассивный контур настроен не столь хорошо, то его отклик слабее, однако в конце концов этот отклик всегда приходит к синхронности с ближайшей нечетной гармоникой (мы предполагаем, что Q резонансного контура достаточно велико, а настройка достаточно точна для того, чтобы одна из гармоник преобладала). В этом случае мультивибратор всегда увлекается резонансным контуром и задача состоит в том, чтобы установить, на какой частоте система начнет осциллировать. Мы рассмотрим только основное запирание — когда собственные частоты мультивибратора coi и резонансного контура (02 близки друг к другу.

В соответствии с равенством (12.65) и с приводящими к нему рассуждениями на частоту мультивибратора воздействует только та компонента вводимой э.д.с., которая сдвинута по фазе на л/2 (ф = 0 или л) по отношению к основной частоте ц. Если ф=0, то частота уменьшается. В этом частном случае фазового соотноше-

ния э.д.с. опережает ток на л/2, как если бы была добавлена дополнительная индуктивность. Отклик мультивибратора оказывается качественно подобным отклику осциллятора класса С в том смысле, что дополнительная индуктивность понижает частоту, тогда как дополнительное сопротивление не играет роли, поскольку оно может быть компенсировано. Разумеется, в деталях есть множество различий. Так, при определении возможных частот устойчивых колебаний нужно помнить, что если ток мультивибратора колеблется, как мы предположим, в пределах ±4 при волне прямоугольной формы, то его основная компонента Фурье составляет ^1\!к. Поэтому импеданс на частоте со, задаваемый взаимной индуктивностью пассивного контура, составляет /(o2M2/[2L((o—<о2)]. Здесь со2, будучи комплексной, является реактивной компонентой э.д.с., которую нужно подставить в равенство (12.65) вместо иосозф и которая в 4й/л раз больше мнимой части. Таким образом, из (12.65) следует, что <о является возможной частотой, если

со — ю2

со — ^ = £2-^ »(12.66)

(ш — ш2/ + ш2

где k2=A^^\M2i\l (лАДУ).

Это в точности совпало с равенством (12.33), только смысл теперь изменился. Общая схема запирания, несомненно, должна походить на ту, что показана на рис. 12.14, однако все же не определена степень устойчивости в многочисленных ветвях. Подход с помощью величин, характеризующих нормальные моды, здесь неприменим ввиду значительной нелинейности поведения мультивибратора. Воспользуемся методикой, более схожей с той, что мы использовали для феномена Гюйгенса.

Предположим, что колебания в пассивном контуре не в точности синхронны с колебаниями мультивибратора и несколько отличны от их равновесного значения. Это даст возможность установить, имеется ли тенденция к равновесию или к его нарушению. Пусть частоты (действительные) мультивибратора и пассивного контура в произвольный момент составляют Qi и Q2, причем разность фаз ср определяется, как и раньше: ф = Н2—^ь Если г2— амплитуда колебаний тока в пассивном контуре, индуцированная э.д.с. в контуре мультивибратора составляет Н2ЛЕ2 и равенство (12.65) принимает вид

cos ?).(12.67)

В то же самое время в пассивном контуре возникает индуцированная э.д.с. 4QiAffi/n, опережающая ток f2 на хкк—ф. Поэтому отклик пассивного контура соответствует отклику на добавочный импеданс:

SZ = 3 j ^ХМ1Х е”1?/(л/2).

Мнимая часть 6Z меняет собственную частоту контура, а действительная часть меняет декремент так, что

Ъй2 = <02 1L COS ?>\л£<2 /

d/2/d/ = —/г^ + ^^Л^Дл/ззт ф)]/(2А).

После подстановки Д=со2—cor, X=X,2R/L, х= (ji^Ly^ (ДУцУ^ и к, определенного ранее, эти уравнения совместно с равенством (12.67) принимают вид

(12.68)(12.69)(12.70)(12.68)(12.69)(12.70)Ф = Д -[- k (х — l/x) cos ф.х= — \х — к sin ф.

(12.68)

(12.69)

(12.70)

(12.68)

(12.69)

(12.70)

Следовательно, d х — кх — к sin ф

d ф А + к (х — 1 /х) cos ф

Рис. 12.32. Траектории 0 и оо и эскизы траекторий для решений (12.70)Рис. 12.32. Траектории 0 и оо и эскизы траекторий для решений (12.70)При изменении А от отрицательных до положитель* пых значений траектория оо изменяет свой характер от зависимости, показанной сплошной линией, к зависимости, показанной пунктиром, Fx движется кПри изменении А от отрицательных до положитель* пых значений траектория оо изменяет свой характер от зависимости, показанной сплошной линией, к зависимости, показанной пунктиром, Fx движется кВ соответствии с (12.70) можно построить траектории того же типа, что показаны на рис. 12.18 и 12.21. На рис. 12.32 приведены примеры таких траекторий. В них всегда присутствует один устойчивый фокус (обозначенный на рисунках Fxy для которого х меньше единицы.

Рис. 12.32. Траектории 0 и оо и эскизы траекторий для решений (12.70)

Рис. 12.32. Траектории 0 и оо и эскизы траекторий для решений (12.70)

При изменении А от отрицательных до положитель* пых значений траектория оо изменяет свой характер от зависимости, показанной сплошной линией, к зависимости, показанной пунктиром, Fx движется к

При изменении А от отрицательных до положитель* пых значений траектория оо изменяет свой характер от зависимости, показанной сплошной линией, к зависимости, показанной пунктиром, Fx движется к

Fx, F 2 — к Р^ S — к SFx, F 2 — к Р^ S — к SПри изменении Д от отрицательных значений к положительным F\ смещается вверх до пересечения с линией х=1, в кон

Fx, F 2 — к Р^ S — к S

Fx, F 2 — к Р^ S — к S

це концов сливается с седлообразной точкой S и исчезает, оставляя F2 как единственное устойчивое решение. Это наводит на ассоциацию с кривой С на рис. 12.14, где жирные верхняя и нижняя кривые представляют Fx и F2, а тонкая кривая представляет S. Если F\ и F2 устойчивы вплоть до точки слияния с S, то достигается полное прохождение гистерезиса. Однако, как и в случае осцилляторов класса С, может оказаться, что Fx и F2 станут неустойчивыми прежде, чем эта точка будет достигнута.

Установим это тем же способом, что и раньше. Пересечение кривых происходит при х=Х и ср=Ф, что приводит к обращению в нуль равенств (12.68) и (12.69). Тогда

Д—-^—1Д¥)СО8Ф и ХХ= — Й51пФ. (12.71)

Представив в окрестности подобной точки (р=Ф+^ и х=Х+г], получим’

d Ч _ «38 + а4тд

d $ а^ + а2ч ’ где

(12.72)

Рис. 12.33. Экспериментальное наблюдение запирания мультивибратора с резо нансным контуромЛевая кривая получена при более сильной' связи, чем правая Частота мультивибратора! изменялась путем изменения емкостиРис. 12.33. Экспериментальное наблюдение запирания мультивибратора с резо нансным контуромЛевая кривая получена при более сильной' связи, чем правая Частота мультивибратора! изменялась путем изменения емкостиИсчезновение пересечения выше линии х=1 отмечено обращением в нуль определителя Р. Нам предстоит установить, происходит ли это по мере увеличения | А | до или после перехода Т от отрицательных значений к положительным и приводит ли это к превращению F в неустойчивый фокус. Другими словами, нам нужно найти такие Д и к, при которых D и Т обращаются в нуль одновременно. Значение к в этом случае определяет ту критическую связь, при которой полный гистерезис исчезает.

Рис. 12.33. Экспериментальное наблюдение запирания мультивибратора с резо нансным контуром

Левая кривая получена при более сильной' связи, чем правая Частота мультивибратора! изменялась путем изменения емкости

Рис. 12.33. Экспериментальное наблюдение запирания мультивибратора с резо нансным контуром

Левая кривая получена при более сильной' связи, чем правая Частота мультивибратора! изменялась путем изменения емкости

Из равенства (12.72) имеем: Т=0, если Х2=2, a D=0, если Х2(Х2—1)3=Д2(Х2+1). Это выполняется при Х2 = 2, если Д2 = = V3V. Остается только найти соответствующее значение к. В результате исключения W из равенства (12.71) получим уравнение для тех значений X2, которые соответствуют пересечениям:

Х2^6 _ (2хз 4- к^ X4 + (X2 + А2 + 2^2) ^2 - ^2=0.(12.73)

Подставив Д2=7з^2, получим

Х2А'6 - (2Х2 + к^ X4 + (4/3Х2 + 2к^ X2 - к2 = 0.(12.74 )

Это уравнение может иметь решением Х2=2 только если &2 = = 8Х2/3. При подстановке этого значения к2 в уравнение (12.74) последнее разлагается на нужные множители с ожидаемым двойным корнем при значении 2, указывающем на слияние F и S:

(%2_2)2(ЗХ2-2) = 0.

Из равенства (12.69) видно, что если к принимает большее значение, то траектория О на рис. 12.32 поднимается выше и соответственно этому значение X, при котором F и S сливаются, становится выше. Поэтому неустойчивость — наступает до достижения этой точки. Подобно осциллятору класса С, связанному с резонансным контуром, мультивибратор проходит полный цикл гистерезиса (см.

рис. 12.15, б) только в том случае, если связь относительно слаба. В тех случаях, когда &2>8V/3, наблюдается нечто более похожее на случай, показанный на рис. 12.15, а. С другой стороны, если Л<Х, то траектория О не достигает линии х=1 и возможным оказывается только одно решение. Это соответствует рис. 12.15, в. За исключением числовых деталей, обе системы имеют очень много общего. Примеры приведены на рис. 12.33. Приближение касательной к вертикали в точке неустойчивости отчетливо заметно в случае более слабой связи и полностью отсутствует в случае более сильной связи.

СВЕРХПРОВОДЯЩИЕ СЛАБЫЕ СВЯЗИ (СОЕДИНЕНИЯ ДЖОЗЕФСОНА) [7]

Между мультивибратором и квантово-механическим эффектом Джозефсона в сверхпроводниках дистанция огромного размера. Однако развитие событий в том и другом случае обнаруживает ряд достаточно общих черт, что оправдывает наш короткий обзор. С самого начала договоримся, что мы не будем исходить из основ теории, а используем лишь фундаментальное уравнение и рассмотрим подчиняющиеся ему механические модели. Посредством этих моделей и механической модели мультивибратора мы установим сходство поведения.

В металлическом образце, охлажденном до температуры более низкой, чем та, при которой наступает сверхпроводимость (не более нескольких кельвин), электроны, отвечающие за характерные свойства металла, имеют строго определенную энергию и находятся в единственно возможном изолированном квантовом состоянии. Волновая функция, описывающая это состояние, похожа на резонансную моду волны в объемном резонаторе. Хотя она и несравненно сложнее, однако аналогия достаточно удачна и мы ею воспользуемся. Если другой сверхпроводящий образец поместить поблизости от первого так, чтобы был возможен переход электронов через промежуточное пространство (за счет квантового туннельного эффекта, подобно туннельным диодам), то оба образца окажутся связанными, как два связанных объемных резонатора, между которыми возможен обмен энергией. В связанных объемных резонаторах, которые мы предполагаем настроенными на одну и ту же частоту в исходном состоянии, могут возникнуть устойчивые колебания только или в фазе, или в противофазе (эти фазовые соотношения характерны для нормальных мод). При этом ни на одной из нормальных мод не происходит обмена энергией между резонаторами. То же самое имеет место и для сверхпроводников: существуют две нормальные моды, в которых волновые функции колеблются либо в фазе, либо в противофазе. Это стационарные состояния. Когда система находится в любом из них, обмена электронами между образцами не происходит. Но если в резонаторах возникает некоторая разность фаз ф, не равная 0 или л, то возникает поток энергии, интенсивность

которого пропорциональна sin ф [8]. В обоих случаях максимум возможного тока при ф=±л/2 зависит от степени связи: чем плотнее приставлены друг к другу образцы, тем легче электронам «найти туннель» и тем больше ток Джозефсона.

Поразительно в этом явлении следующее: для того чтобы вызвать ток, не требуется разности потенциалов; ток может пройти сквозь тонкий слой вакуума или диэлектрика между образцами как через полностью безрезистивный участок. Однако, несмотря на чрезвычайно плотное смыкание образцов, максимальный ток, который может течь без разности потенциалов, очень мал. Типичной в этом смысле является оксидная пленка толщиной в 4 или 5 молекул. В этом случае плотность тока через соединение может достигать нескольких миллиампер на квадратный миллиметр. Что касается сверхпроводников, то их можно разделять более толстыми слоями вплоть до 10 мкм или больше (для металлов с нормальной электропроводностью), при этом ток Джозефсона, не испытывающий сопротивления, все еще будет сохраняться. Оксидные соединения изготовляются путем испарения пленки из сверхпроводника на подходящую (например, стекло) подложку, допускающую на короткое время окисление в воздухе. Затем поверх оксидного слоя накладывают другую сверхпроводящую пленку. Металлические соединения можно изготовить, напыляя, например, свинец на обе стороны прокатанной медной фольги. И те и другие ведут себя довольно сходно, за исключением некоторых динамических экспериментов, в которых, как мы убедимся, емкость между сверхпроводниками может играть важную роль в оксидной связи, а в металлической связи этой роли она не играет.

Устойчивый поток энергии от одного резонатора к другому и частиц — от одного сверхпроводника к другому продолжается до тех пор, пока разность фаз постоянна. В соединениях Джозефсона это возможно в тех случаях, когда разности потенциалов между обоими сверхпроводниками нет. В квантовой механике установлена фундаментальная связь энергии с частотой. Поэтому два идентичных во всем (за исключением электростатических потенциалов) сверхпроводящих образца тоже отличаются частотой своих волновых функций. Вследствие этого ф со временем меняется и ток колеблется с разностной частотой. Нечто очень похожее происходит с двумя резонансными объемными резонаторами. Мы можем предположить, что там происходит то же самое, что и при одинаковом возбуждении двух слабосвязанных резонаторов, резонансные частоты которых отличаются на баз. Устойчивое смещение разности фаз приводит к колебаниям потока энергии на частоте, равной разности частот. ,

Хотя и с натяжкой, но это явление можно объяснить с квантовой точки зрения: при переходе одного кванта электромагнитной энергии йсо энергия всей системы вследствие различия квантов энергии в обоих резонаторах должна измениться на б£'=йбсо, а частота ЬЕ/h, которую следует приписать процессу, составляет в точности бсо.

Данное рассуждение можно применить к сверхпроводимости, имея-в виду, что частицей (т. е. аналогом кванта /ш) в данном случае является электронная пара, поскольку в основном сверхпроводящем состоянии все электроны объединены в пары. Один-единст- венный электрон нельзя ни изъять, ни ввести. Если к сверхпроводникам приложить разность потенциалов V, то электронная пара, пересекая зазор, изменяет свою энергию на 2eV, а частота колебаний тока в зазоре составляет 2eV/h. Это тотчас приводит к джозеф- соновской формуле зависимости фазы от напряжения

^ = 2eVm.(12.75)

к которой следует добавить соотношение между фазой и током Джозефсона:

is=ij sin ср.(12.76)

Здесь ij — максимальное значение тока Джозефсона, возможного для данного соединения и определяемого природой и размерами соединения.

Применим эти уравнения к двум особым случаям: 1) соединение, в котором сверхпроводящие слои отделены друг от друга изолирующим слоем (SIS), и 2) соединение, в котором сверхпроводящие слои отделены друг от друга металлической фольгой, обладающей обычными проводящими свойствами (SNS).

Первый случай. Соединение SIS в дополнение к своим сверхпроводящим свойствам является также и конденсатором. Если емкость этого конденсатора обозначить С, то ток I, входящий в один сверхпроводник и покидающий другой, приводит к накоплению заряда на его обкладках со скоростью I—к, т. е.

CV — i — is.

Соответственно равенствам (12.75) и (12.76) можно написать

^- ^-\-ij sin ^ = и(12.77)

Что касается второго соединения (SNS), то промежуток между слоями сверхпроводников не обладает емкостью, вследствие чего заряд не может накапливаться внутри металла на границе раздела сверхпроводника и нормального металла. Однако если приложить разность потенциалов, то наряду с током Джозефсона потечет обычный ток проводимости. В случае соединения, имеющего омическое сопротивление R,

i = VIR_^

^ ^ ср sin ^ = i.(12.78)

Уравнения (12.77) и (12.78) описывают воздействие, которое оказывает на ср введение тока L Наблюдатель в лабораторной системе отсчета не может непосредственно наблюдать ср. Однако из

равенства (12.75) следует, что ф однозначно связано с разностью потенциалов, поэтому, измеряя зависимости V ^ и Д0> можно получить информацию, которую можно сравнить непосредственно с теоретическими предсказаниями.

Появление зшф в обоих уравнениях делает их нелинейными и поэтому трудно решаемыми в общем виде. По этой причине целесообразно использовать механические модели, подчиняющиеся тем же уравнениям. В этом случае математические выкладки можно заменять физической интуицией вплоть до того момента, когда потребуются точные решения и расчет станет во главу угла. На

Рис. 12.34 Механические аналоги джозефсоновских соединений (а, б) и мультивибратора (в)

рис. 12.34 показаны некоторые такие модели. Маятник (рис. 12.34, а), к которому можно прилагать момент Fa, подчиняется уравнению того же вида, что и (12.77): ml2 -^+mgl smq) = Fa. Если же этот маятник погрузить в столь вязкую жидкость, что начальное значение ср окажется пренебрежимо малым по сравнению с величиной Хф, описывающей затухание, то уравнение движения маятника примет вид уравнения (12.78):

Хф -Vmgl sin v = Fa.

Те же уравнения применимы к модели, напоминающей стиральную доску (рис. 12.34, б). Если х— расстояние, отмеряемое вниз по склону, а к— волновое число поверхности, то наклон меняется как 9—ccsin^x при 9 и а, много меньших единицы. Скатывающийся без трения мяч подчиняется уравнению

mx-\-ga sin kx=c;S.

Движение мяча в жидкости, вязкой настолько, что скорость движения мяча постоянна, описывается следующим уравнением:

\x-\-mga sin kx = mgB.

В этой модели роль ф выполняет кх. Максимальный наклон поверхности соответствует ij, а i соответствует 9.

С помощью этих моделей можно визуализировать решение уравнений (12.27) и (12.78) при различных условиях. Большее внимание мы уделим уравнению (12.78), которое несравненно легче истолковать. Все это делается несмотря на то, что устройства, использующие эффекты Джозефсона,— это системы SIS без затухания. Они подчиняются уравнению (12.77). При наложении постоянного тока I возможно решение ф = сопз1. Это означает, что чисто джозефсонов- ский ток без разности потенциалов течет до тех пор, пока Кзз. В наших моделях это соответствует тому, что момента Fa недостаточно, чтобы поднять маятник выше горизонтального положения, или тому, что наклон 9 меньше, чем ^а, и мяч может находиться в состоянии покоя в любой из впадин. Однако, если1>^, момент Fa толкает вращающийся маятник к крайнему положению. При большом затухании угловая скорость при движении вверх меньше, чем на пути вниз. Поэтому напряжение ф имеет колебательную компоненту, которая накладывается на устойчивое среднее значение. В этом случае уравнение (12.78) интегрируется непосредственно:

^=-^7 f d — ij sin у).

В частности, период Т одного цикла можно получить, установив пределы интегрирования от 0 до 2л. Он оказывается равным л/г/[е7?(/2—ij2)1/2]. Среднее значение ф составляет 2л/Т, а среднее значение напряжения получим из равенства (12.75):

Эта гиперболическая вольт-амперная характеристика показана на рис. 12.35, а.

Нечто чрезвычайно интересное происходит при добавлении к постоянному току переменного. В этом случае на графике появляется ряд ступеней, подобных тем, что показаны на рис. 12.35, б. Точный размер каждой ступени сложным образом зависит от силы переменного тока. Уравнение, которому подчиняется ф, следует из равенства (12.78):

^- ’pH-Zj sin ^ = iQ-Ylx sin

dcp/d x = /0 + /i sin x — /j sin cp,(12.79)

где x=wt, a I=2eRil (h^).

Сходство данной задачи с проблемой захвата мультивибратора становится очевидным, если изобразить решение уравнения (12.79)

в плоскости хф. Наклон траектории ф имеет пер .юдичность по х и ф, очень похожую на периодичность кривых на рис. 12.31. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, заменим sinx и з1пф прямоугольными волнами той же амплитуды. Это эквивалентно тому, что ток Джозефсона будет иметь заданные значения (положительное или отрицательное), а переменный ток имеет прямоугольную форму. В этом случае уравнение (12.79) можно записать в сокращенном виде:

dc?/d х=Ц ± Л ± /j,

Напряжение<V>Напряжение, нВНапряжение<V>Напряжение, нВРис 12 35 Вольт-амперные характеристики SNS соединений:Рис 12 35 Вольт-амперные характеристики SNS соединений:а прямоугольная сетка, которая делит плоскость (хф), обретает четыре различных типа ячеек, в каждой из которых градиент постоянен. Несмотря . на то что эта модель чуть ^ Li сложнее модели с простым изменением градиента, изображенной на рис.

Напряжение<V>Напряжение, нВ

Напряжение<V>Напряжение, нВ

Рис 12 35 Вольт-амперные характеристики SNS соединений:

Рис 12 35 Вольт-амперные характеристики SNS соединений:

она'в принципе не отличается от нее.

Сходство обеих задач можно иллюстрировать

а — без переменной составляющей; б— с переменной составляющей (неопубликованные измерения проф. Кларка) Частота вводимого тока составляет 260 кГц. Числа, указанные рядом с каждой ступенькой, представляют собой отношения «частоты ступеньки» 2eCV2>/ /7 к частоте вводимого сигналаа — без переменной составляющей; б— с переменной составляющей (неопубликованные измерения проф. Кларка) Частота вводимого тока составляет 260 кГц. Числа, указанные рядом с каждой ступенькой, представляют собой отношения «частоты ступеньки» 2eCV2>/ /7 к частоте вводимого сигналав вязкой жидкости внизв вязкой жидкости внизиначе, а именно сравнивая механическую модель соединения SNS (рис. 12.34, б) с механической моделью мультивибратора (рис. 12.34, в). В последней модели мяч катится

а — без переменной составляющей; б— с переменной составляющей (неопубликованные измерения проф. Кларка) Частота вводимого тока составляет 260 кГц. Числа, указанные рядом с каждой ступенькой, представляют собой отношения «частоты ступеньки» 2eCV2>/ /7 к частоте вводимого сигнала

а — без переменной составляющей; б— с переменной составляющей (неопубликованные измерения проф. Кларка) Частота вводимого тока составляет 260 кГц. Числа, указанные рядом с каждой ступенькой, представляют собой отношения «частоты ступеньки» 2eCV2>/ /7 к частоте вводимого сигнала

в вязкой жидкости вниз

в вязкой жидкости вниз

по каскаду наклонных желобов. Гори

зонтальное смещение здесь соответствует напряжению в мультивибраторе. При покачивании всего устройства движение ускоряется или замедляется. Читателю нетрудно заметить, что здесь тоже применимы уравнения, описывающие возмущенный мультивибра

тор.

Дополнительная сложность в случае, показанном на рис. 12.34, б, возникает при замене синусоидального бугра пилообразным. Это означает замену синусоидальных колебаний при малых углах 0 прямоугольными. Сложность состоит в чередовании четырех возможных наклонов. Если в модели, показанной на рис. 12.34, в, задать прямоугольное качание, то возможны только два наклона. Однако в обоих случаях средняя скорость зависит от соотношения фаз между положением мяча на ступеньке и возмущающим движением. Вследствие этого система наиболее устойчива, если п ступенек проходятся в течение т периодов возмущения. До тех пор пока п и tn неизменны, что возможно для вполне ощутимого интервала значений i0, в котором пит малы (точно при таком же условии мультивибратор можно вовлечь в основную или низкочастотную

моду в широком диапазоне входных частот), среднее значение ф остается постоянным относительно п^!т. В вольт-амперной характеристике при напряжении (n/m) (V2^/^) появляется ступенька. Можно ожидать захвата на целых и дробных гармониках. За счет дополнительного усложнения, обусловленного появлением четырех градиентов, в проблеме Джозефсона устраняется свойство симметрии, приводящее к исключению четных значений п и т,— все возможные целые дроби пригодны для захвата. То обстоятельство, что практически такие дроби реализуются не все, а только в ограниченном количестве, по-видимому, связано с тепловыми эффектами, так как джонсоновские и другие шумы способны нарушить слабую фазовую связь, сопровождающую захват на дробных гармониках при больших п и т. Как и в случае мультивибратора, субгармонического захвата не наблюдается.

Введение постояного тока в соединение SNS приводит к тому, что на среднее напряжение накладывается напряжение, колеблющееся на частоте 2е< Ю/А. Поэтому резонансный контур, подключенный к такому соединению, возбуждается, когда суммарное напряжение близко к значению <V>, и его отклик оказывает обратное воздействие, меняющее поведение ф. Можо предположить, что запирание связи и резонатора введет новые (возможно с гистерезисом) ступени в вольт-амперную характеристику аналогично частотному запиранию мультивибратора с резонансным контуром. К сожалению, этот эксперимент, по-видимому, не проделывался. Однако многие опубликованные результаты подтверждают, что поведение SIS-связи может при подключении к ней резонатора меняться самыми разнообразными способами. Анализ здесь несравненно труднее, чем в случае SNS-связи.

Присутствие второй производной в равенстве (12.77) фактически сводит на нет графический анализ. Поэтому дальше разбирать этот вопрос мы не будем. Выразим лишь надежду на то, что изучение классических систем поможет лучше понять квантово-механические задачи и что решение некоторых современных проблем потребует от нас не меньших усилий, чем в случае их классических эквивалентов. А это значит, что все направления исследований, которые разрабатывались физиками раньше, следует не отбрасывать, а, наоборот, всячески приветствовать и развивать.

ЛИТЕРАТУРА

ГЛАВА 2

С. Huygens, Horologium Oscillatorium (1673).

F. Hope-Jones, Electrical Timekeeping, 2nd edition (London: N. A. G. Press, 1940).

H. L. F. Helmholtz (trans. A. J. Ellis), The Sensations of Tone, p. 68 (London: Longmans, Green, 1875).

P. C. Wraight, 1971, Pril. Mag. 23, 1261.

D. G. Finchamand P. C. Wraight, 1972, J. Phys. A 5, 248.

F. Homann, 1936, Forsch. Geb. Ing. 7, 1.

ГЛАВА 3

Е. С. Titchmarsh, Introduction to the Theory of Fourier Integrals, p. 305 (Oxford: Clarendon Press, 1948).

P. M. Morse, Vibration and Sound, p. 114 (New York: McGraw-Hill, 1936).

ГЛАВА 4

К. F. Riley, Mathematical Methods for the Physical Sciences, chap. 8 (Cambridge University Frees, 1974)."

S. G. Lipson and H. Lipson, Optical Physics, p. 152 (Cambridge University Press, 1969).

K. G. Budden, Radio Waves in the Ionosphere, p. 256 (Cambridge University Press; 1961).

L. M. Milne-Thomson, Theoretical Hydrodynamics, 4th edition, chap. 14 (London. Macmillan, 1960).

J. L. Lawson and G. E. Uhlenbeck (editors), Threshold Signals, chap. 3 (New York: McGraw-Hill, 1950).

/. C. Dainty, The Statistics of Speckle Patterns, in Progress in Optics vol. 14, ed. E. Wolf (Amsterdam* North-Holland, 1977).

C. Kittel, Thermal Physics (New York: Wiley, 1969).

H. Feder, 1929, Ann. Phys. (Germany) 1, 497.

ГЛАВА 5

G A. Vanasse and H. Sakai, Fourier Spectroscopy, in Progress in Optics vol. 6, ed. E. Wolf (Amsterdam: North-Holland, 1967).

Ref. 4. 2, pp. 210 and 225.

Ref. 4. 1, chap 16. See also E. G. Phillips, Functions of a Complex Variable, p. 96 (Edinburgh Oliver and Boyd, 1940).

R. Kronig, 1926, J. Opt. Soc. Amer. 12, 527.

H. A. Kramers, 1927, Atti congr. fis. (Como) 545.

F. Abeles (editor) Optical Properties and Electronic Structure of Metals and Alloys Amsterdam. North-Holland, 1966).

RT.Schumacher and IF E. Vehse, 1963,J. Phys. Chern.Solids24,297.

R.K.Potter, G. A.Kopp and H. C. Green,Visible Speech(NewYork:Van

Nostrand, 1947).

A.H.Benade, 1973,Scientific American 229,24

A.B.Pippard, 1947,Proc. Roy. Soc. A. 191,370.

H. Bremmer, Encyclopaedia of Physics 16, 573 (Berlin* Springer, 1958).

ГЛАВА 6

E. Kappler, 1931, Ann Phys. (Germany) 11, 233. See also R. B. Barnes and

S. Silverman, 1934, Rex. Mod. Phys. 6, 162

R V. Jones and C. W. McCombie, 1952, Phil. Trans. Roy. Soc. A 244, 205.

/. B. Johnson, 1928, Phys. Rev. 32, 97. See also ref. 4.5, chap. 4.

A. IF. Hull and N. H. Williams, 1925, Phys. Rev. 25, 148.

ГЛАВА 7

В I. Bleaney and В Bleaney, Electricity and Magnetism, 3rd edition, chap. 9 (Oxford University Press, 1976).

Ref. 1, p. 72.

/. IF. Strutt, Baron Rayleigh, The Theory of Sound, vol. 2, p. 196 (New York: Dover, 1945).

H. Lamb, Hvdrodynamics, 6th edition, p. 74 (Cambridge University Press, 1924).*

A. B. Pippard Metallic Conduction at High Frequencies and Low Temperatures, in Advances in Electronics and Electronic Physics, \ol. 6, cd. L. Marton (New York: Academic Press, 1954).

P. H. Ceperley, I. Ben-Zvi, H. F. Glavish and S. S. Hanna, 1975, IEEE Trans. Nuc. Sci 22, 1153.

А Н. Cook, Interference of Electromagnetic Waves, chap. 6 (Oxford* Clarendon Press, 1971).

S. Tolansky, Introduction to Interferometry (London: Longmans, Green, 1955).

C. G. Montgomery (editor), Technique oi Microwave Measurements, p. 319 (New York* McGraw-Hill, 1947).

L. I. Schiff, Quantum Mechanics, 3rd edition, chap. 5 (New York: McGraw- Hill, 1968).

J D Jackson, Classical Electrodynamics, 2nd edition, chap. 17 (New York: Wiley, 1975).

A. E S. Green, Nuclear Physics, p. 454 (New York: McGraw-Hill, 1955).

D. J. Bennet, The Elements of Nuclear Power, p. 175 (London: Longmans, 1972).

A. B. Pippard, Elements of Classical Thermodynamics, p 78 (Cambridge University Press, 1966).

J W. Strutt, 1871, Phil. Mag. 41, 107.

S. A. Korff and G. Breit, 1932, Rev. Mod. Phys 4, 471.

ГЛАВА 8

A. В Pippard, Forces and Particles, pp. 33 and 233 (London* Macmillan, 1972).

Ref. 7.1, p. 750.,

S Timoshenko, Vibrat;on Problems in Engineering, 2nd edition, p. 222 and chap. 5 (London. Constable, 1937).

Ref. 7 1, chap 24.

E Segre, NuNei and Particles, p. 130 (Reading, Mass. Benjamin, 1965).

Ref. 7 1, p. 729.

G. Drcsselhaus, A. Kip and C Kittel, 1955, Phys. Rev. 98, 368.

N. IF Ashcroft and N. D Mermin, Solid State Physics, p 11 (New York; Holt, Rinehart and Winston, 1976).

Ref 7 1, p. 236.

R Bowers, C. Legendy and F. Rose, 1961, Phys. Rev Lett. 7, 339, See also ref. 4.3, chap. 5 and 6.

J. A. Delaney and A. B. Pippard, 1972, Rep. Prog. Phys. 35, 677.j

ГЛАВА 9

N. Minorsky, Non-linear oscillations (Huntington, NY Krieger, 1974). /. J. Stoker, Non-linear vibrations (New York: Interscience, 1950).

R. Thom, Structural Stability and Morphogenesis (Reading, Mass * Benjamin. 1975).

A. E. H. Love, Mathematical Theory of Elasticity, 4th edition, p. 401 (Cambridge University Press, 1927).

R. A. Cowley, 1964, Phys. Rev. 134, A981.

P Weiss and R Forrer, 1926, Ann. Phys (France) 5, 153

К A Muller and W. Berlinger, 1971, Phys. Rev. Lett. 26, 13.

Ref 8.1, p. 119.

P. H. Hammond, Feedback Theory and its Applications, p. 67, (London: English University Press, 1958).

Minorsky, Ref. 1, chap. 16.

R M. May, 1976, Nature 261, 459.

M. Ya. AzbeV and E. A Kaner, 1956, J Exp Theor. Phys 30, 81L W. M. Walsh, Resonances both Temporal and Spatial, in Solid State Physics (vol. 1 Electrons in Metals) ed. J F. Cochran and R. R. Haering (New York: Gordon and Breach, 1968).

W. M. Walsh, ref. 11, p. 158.

A. B. Pippard, 1947, Proc. Roy. Soc A 191, 385.

ГЛАВА 10

J W. Strutt, Baron Rayleigh, 1887, Phil. Mag. 24, 145.

E T. Whittaker and G. N Watson, Modern Analysis, 4th edition, p 412 (Cambridge University Press, 1927).

Ref. 2, chap. 19.

В. J. Robinson, 1961, Institute of Electrical Engineers Monograph 480 E.

T. H. Beeforth and H. J. Goldsmid, Physics of Solid State Devices, p. 48 (London: Pion, 1970).

ГЛАВА 11

D. C. Gall, 1942, J. Inst. Elec. Eng. 89, 434.

H. Nyquist, 1932, Bell Syst. Tech. 11, 126. See also ref. 9.8, p. 71.

A. Hund, Phenomena in High-frequency Systems, chap. 2 (New York. McGraw- Hill, 1936).

G. B. Clayton, Operational Amplifiers (London: Butterworths, 1971).

Ref. 2.2.

W. J. Gazeley, Clock and Watch Escapements, p. 23 (London: Heywood, 1956),

/. H. Simpson and R. S. Richards, Physical Principles and Applications of Junction Transistors, p. 176 (Oxford: Clarendon, 1962).

Ref. 10.5, p. 45.

A. Lienard, 1928, Rev. Gen. de LElectricite, 23, 901.

/. R. Bristow, 1946, Proc. Roy. Soc. A 189, 88.

Ref. 7.3, p. 232.

M. Sargent, M. O. Scully and W. E. Lamb, Laser Physics, chap. 5 (Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1974).

J. P. Gordon, H. Z. Zeiger and С. H. Townes, 1954, Phys. Rev. 95, 282.

H. Abraham and E. Bloch, 1919, Ann. Phys. (Germany) 12, 237.

Encyclopaedia Britannica, 15th edition — Macropaedia 8, 132; Geysers and Fumaroles (Chicago, 1974).

H. Kalmus, 1941, Hature, 148, 626.

ГЛАВА 12

Unpublished observation by Dr N. Elson.

P. J. Wheatley, Molecular Structure, 2nd edition, p. 66 (Oxford: Clarendon Press, 1968).

G. Hertzberg, Molecular Spectra and Molecular Structure, vol. 2, p. 215 (New’ York: Van Nostrand, 1945).

Ref 8.1, p. 37.

Minorshy, ref. 9.1, chap. 18.

Ref. 11.11, chap. 11.

/. R. Waldram, 1976, Rep. Prog. Phys. 39, 751.

B. D. Josephson, 1962, Phys. Lett. 1, 251.

Дополнительная литература

Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. M., 1981.

Бондарь Н. Г. Нелинейные стационарные колебания. Киев, 1974.

Бутенин Н. В , Неймарк Ю. И, Фуфаев Н А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М , 1976

Мандельштам Л. И Лекции по теории колебаний М , 1972.

Мигулин В. В и др. Основы теории колебаний. М., 1978.

Митропольский Ю. А Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний М., 1964

Моисеев Н. Н Асимптотические методы нелинейной механики М , 1969.

Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний. М , 1964.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Автокорреляция 104

Биения 74

Варикап 328

Волноводы 202

Волны магнитоионные 88, 266

— стоячие 67

Время корреляции 106, 255

Генератор класса С 341, 345

— релаксационный 47, 386

— .устойчивый режим 345, 348, 353,

-357

Гиратор 394, 406

Гиромаятник 239

Дисперсия 66, 225

Диссипация 36

Добротность 15, 155

Закон излучения Планка 224

— Рэлея — Джинса 225

Затухание критическое 39

— линейное 37

— нелинейное 38, 277

— фрикционное 41

Импеданс 144, 409

Интерферометр Майкельсона 114, 212

— Фабри — Перо 208

Колебания ангармонические 19, 21, 291

— аэродинамические 49

— вынужденные 45, 338

— изохронные 22, 25

— скачкообразные 48, 365

Контуры недосвязанные 411

— резонансные 144

— сверхсвязанные 411

— связанные 394, 411, 413

Лазер 46, 285, 420

Мазер 46, 373

Маятник конический 35, 232

— простой 13, 25, 54

— Фуко 232, 406

— циклоидальный Гюйгенса 25

Модуляция по частоте 76

Моды вырожденные 233

— нормальные 32, 233, 395

Мультивибратор 379, 380, 392, 434, 440

Отклик импульсный 119

— функции 117

Податливость 143

Поправка концевая 191, 195, 201

Постоянная времени 13, 14

Проводимость полная 143

Режим переходный 158, 226

Резонанс амплитудный 156

— скоростей 156

— Ферми 406

— циклотронный 261

электронов проводимости 302

— ядерный магнитный 247

Резонатор акустический 190

—, возбуждаемый волной 215

— Гельмгольца 28, 215

Связь обратная 46

Сила Кориолиса 231

— Лоренца 232, 261, 264

Система астабильная 48

— недодемпфированная 39

— передемпфированная 38

Скин-эффект 2^5, 366

— аномальный 303

Скорость групповая 87

Соотношения Крамерса — Кронига

124, 229, 392

Сопротивление волновое 179

— радиационное 200

Спектрограф звуковой 129

Спираль Корню 86, 165

Суперпозиция 17

Теорема Лармора 232

— Найквиста 339, 392

— Рэлея—Карсона 186,409

— Флокета 318

Тоны комбинированные 141

Уравнение Блоха 251

— волновое 65

— Матье 318

Усилитель гальванометрический 334

— операционный 346

— параметрический 327

Устойчивость, критерии 280, 293, 339

— узловая 281, 296

— фокальная 281, 296

Феномен Гюйгенса (захват) 419

Фигуры Лиссажу 33, 34, 399

Формант 130

Формула Брейта — Вигнера 223

Функция передаточная 118, 143

Фурье-анализ 71, 77, 108

Циклотрон 301

Частота комплексная 57

— мгновенная 113

— предельная 100

Часы маятниковые 27, 351

Шум белый 100

—, влияние на осциллятор 389

дробовой 177

— тепловой 175, 225>

Эффект Джозефсона 101, 444

люксембургский 142

— Холла 264, 406

Явление Гиббса 73

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора ,5

Предисловие 7

Введение. Обращение автора к читателю 8

ЧАСТЬ I. ПРОСТЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

Свободный осциллятор 13

. Введение. Особая роль гармонических осцилляторов 13

. Простые ангармонические колебательные системы 19

. Использование закона сохранения энергии для расчета частоты колебаний 28

Система с несколькимимодами колебаний 31

5.Диссипация .. . 36

Вынужденныеколебания 45

Применение комплексных переменных в линейных системах 50

1. Комплексные экспоненциальныерешения уравнений движения . . . .50

2. Комплексная р-плоскость 52

Комплексная частота; определения 57

Диаграмма колебаний 59

Теория цепей 61

6 Работа и мощность 63

Волны 64

Циркулярная поляризация:;69

Ряд и интеграл Фурье 71

Суперпозиция волны;рядФурье 71

Биения и связанныеснимявления 74

Интеграл Фурье 77

Шум 88

Белый шум 100

Автокорреляция 104

Спектральный анализ 108

Вычисление Фурье-образов [1] 108

Ухо и глаз. Оптические спектрометры 111

Линейные преобразователи. Функции отклика 117

5 4 Причинность 121

5 Резонансные фильтры. Звуковой спектрограф 127

Смешивание и комбинационные тоны 135

Гармоническая колебательная система с внешним возбуждением . . .143

1. Передаточная функция, податливость, восприимчивость, полная проводимость, импеданс 143

.2. Форма резонансной кривой 150

.3. Резонансные максимумы с низкойдобротностью 155

4. Реакция в переходном режиме 158

5. Отклик резонансной системы нашум 168

. Волны и резонаторы 179

Одномерные волны. Волновое сопротивление и волновая проводимость 179

Аналоги волнового сопротивления 188

Резонансные линии 190

Клапаны в деревянных духовых инструментах 194

Излучение из открытого конца акустического резонатора 198

Резонаторы, подсоединенные к линиям передач 204

Возбуждение резонатора плоской волной 215

Аномальная дисперсия 225

. Силы, зависящие от скорости 231

Силы Кориолиса и Лоренца 231

Вращение [3] 234

Гиромаятник 239

Гиромагнитный волчок [4] 241

Ядерный магнитный резонанс 247

Физический механизм релаксации 254

Циклотронный резонанс 261

Геликоны 264

. Вынужденные ангармонические колебания; субгармоники; устойчивость 272

Слабоангармоничные вибраторы 273

. Пример субгармонического возбуждения 278

Поведение простых систем вблизи равновесия 279

. Примеры неустойчивости 284

Возвращение к слабоангармоническому вибратору 291

Устойчивость системы с более чем двумя независимыми переменными 292

Испытания на устойчивость дискретными выборками (стробоскопиче- ский метод) [9] 293

8 Возвращение к субгармоническому генератору 297

9 9 Циклотрон и один из типов циклотронного резонанса 301

Условия генерации субгармоник 304

. Параметрическое возбуждение 310

Подробный анализ систем с параметрическим возбуждением314

10 2 Параметрические усилители [4] 327

. Генераторы незатухающих колебаний 332

Принцип обратной связи 332

11 2 Отрицательное сопротивление и спонтанные колебания 338

Отрицательное сопротивление, обусловленное обратной связью; генераторы класса С 341

.Маятниковые часы как нелинейный генератор класса С 351

Другие примеры генераторов с отрицательным сопротивлением . . .354

Насыщение осцилляторов с отрицательным сопротивлением 376

Мультивибратор [13] 380

11 8Релаксационные осцилляторы 386

Влияние шумов на осцилляторы класса С 388

. Связанные вибраторы 393

1Связанные пассивные вибраторы 394

2.Энергия и нормальные моды . . 399

3 Примеры связанныхвибраторов 403

4Связанные колебательные системы с потерями 407

5Импедансы и функции импульсных откликов для связанных контуров 409

6Связанные активные и пассивные вибраторы [5] 413

.7Феномен Гюйгенса (захват) 419

8Частотное запирание мультивибратора 434

12 9Запирание в мультивибраторе с резонансным контуром 440

12.10. Сверхпроводящие слабые связи (соединения Джозефсона) [7] . . .444

Литература 450

Предметный указатель:454

i = аI/Orcos ш/ -]- ЗУ2 cos2 = У2 ?^о + а^о cos 0)^ + V2 Р ^о cos

(5.14) Постоянный! ток равен 7г РУА и форма волны искажается за счет генерации второй гармоники, относительная амплитуда которой зависит от значения приложенного напряжения.

Выпрямляющее действие зависит, разумеется, от I- Е-характе- ристики, форма которой различна для положительного и отрицательного напряжений. Например, симметричная характеристика типа

* Другой подход состоит в том, что дважды за период анодный ток быстро меняется в пределах от —g^sat до +^uSat, создавая в резонансном контуре импульсную э. д. с., значение которой 2M^ysat не зависит от амплитуды колебаний. Контур откликается как свободный вибратор, управляемый последовательностью постоянных импульсов Это имеет место, если генератор работает в режиме С и длительность импульсов значительно меньше периода

* Возможно, смысл этого уравнения легче оценить в соответствующей механической системе: движущаяся прямолинейно масса обладает кинетической энергией Т=х12пгх2 и импульсом дГ!дх=пгх. Для двух масс тх и т2 с координатами Xi и х2 имеем Т = V2miXi2 + хкт2х22, что представляет собой при постоянном Т эллипс на плоскости Х|Х2 Векторы скорости (хь х2) и импульса (mix\, т2х2) имеют различные направления. Действительно, grad Т является вектором импульса Р, перпендикулярным к линии Т. Он параллелен скорости только на оси эллипса. Поведение тела, обладающего тензорной массой с главными значениями тх и т2, подчиняется аналогичному уравнению. Что касается grad Ф, то это в точности вектор —F, представляющий собой силы, действующие на каждую массу. Поэтому здесь имеет место общая проблема, над которой могут поразмыслить все желающие Она совпадает с задачей о сфере с тензорной массой, сфера катается в эллиптической чаше, причем (12 18) является уравнением движения P = F. Направления, вдоль которых сфера может осциллировать вперед и назад, не совпадают с главными плоскостями чаши Они ориентированы таким образом, что возвращающая сила, сама по себе не являющаяся радиальной, действует на тензорную массу, ускоряя ее не параллельно F, а в радиальном направлении.