Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕАГИРУЮЩИХ ПОТОКОВ
NUMERICAL SIMULATIONOF REACTIVE FLOW
Elaine S. Oran, Ph. D.
Jay P. Boris, Ph. D.
Naval Research LaboratoryWashington
ELSEVIER
New York-Amsterdam-London
Оран, Дж. Борис
Численное моделирование реагирующих потоков
Перевод с английского под редакцией д-ра техн, наук В. Л. Зимонта - и д-ра физ.-мат. наук П. И. Чушкина
Ctev.s-d ЧуfoRfteeCtev.s-d ЧуfoRfteeМосква «Мир» 1990
Ctev.s-d ЧуfoRftee
Ctev.s-d ЧуfoRftee
ББК 22.19
0 63
УДК 519.6
Переводчики*. В. И. Головичев (гл. 1—3, 12, 13), Ю. Е. Маркачев (гл. 5—7), Л. В. Шуршалов (гл. 4, 8—11)
Оран Э., Борис Дж.
0 63 Численное моделирование реагирующих потоков: Пер. с англ. — М.: Мир, 1990. — 660 с., ил.
ISBN 5-03-001460-8
Книга специалистов из США, посвященная методам расчетов химически реагирующих потоков в различных технических устройствах. Рассмотрены случаи до- и сверхзвуковых течений, однофазные и многофазные системы, детонация, моделирование турбулентного горения.
Для специалистов, аспирантов и студентов в различных областях прикладной математики, авиационной, ракетно-космической техники, энергомашиностроения и химической технологии.
ББК 22.19ББК 22.19л 1602120000—363
ББК 22.19
ББК 22.19
0 041(01)—9027—90
Редакция литературы по новой технике и космическим исследованиям
Издание осуществлено за счет Центрального аэрогидродинамическогоинститута им. Н. Е. Жуковского
ISBN 5-03-001460-8 (русск.)ISBN 0-444-01251-6 (англ.)ISBN 5-03-001460-8 (русск.)ISBN 0-444-01251-6 (англ.)© 1987 by Elsevier Science Publishing Co., Inc.
ISBN 5-03-001460-8 (русск.)
ISBN 0-444-01251-6 (англ.)
ISBN 5-03-001460-8 (русск.)
ISBN 0-444-01251-6 (англ.)
© перевод на русский язык, В. И. Головичев, Ю. Е. Маркачев, Л. В. Шуршалов, 1990
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
В целом ряде областей науки и техники рассматриваются течения газовой среды, в которой происходят различные химические реакции. Движения химически реагирующих сред исследуются в аэродинамике больших скоростей, физике плазмы, астрофизике, теории горения, газодинамике лазеров, химической технологии, при изучении рабочих процессов в реактивных силовых установках и двигателях внутреннего сгорания. Такие течения описываются сложной системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, которая учитывает взаимодействие потока газа и химических процессов.
Незаменимым эффективным методом теоретического исследования течений химически реагирующих сред является численное моделирование. Этот подход в настоящее время интенсивно развивается во многих странах: строятся усовершенствованные модели, конструируются новые численные алгоритмы, проводятся разнообразные вычислительные эксперименты.
Предлагаемая книга посвящена актуальной проблеме численного моделирования течений жидкости или газа с происходящими химическими реакциями. Ее авторами являются известные американские специалисты Элейн Оран и Джей Борис, сотрудники Военно-морской лаборатории в Вашингтоне. Они длительное время ведут исследования по данной проблеме и внесли значительный вклад в ее разработку. Глубокое зна-ние теоретической стороны предмета и большой накопленный опыт практических расчетов позволили авторам написать этот обширный труд, ставший фактически первой специальной монографией в мировой литературе по рассматриваемой теме.
Материал, содержащийся в книге, можно разделить на три части. Четыре первые главы являются вводными. В них обсуждаются основы численного моделирования, используемые уравнения и общие вопросы построения вычислительных алгоритмов.
В центральной части книги, составляющей примерно половину всего ее объема, непосредственно проводится решение задачи о течениях реагирующей среды. Здесь представлены разнообразные вычислительные методы для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений жесткого типа, описывающих скорости химических реакций, уравнения диффузии.
уравнения конвекции и системы газодинамических уравнений в основном для невязкого случая. Приводится целый ряд конечноразностных алгоритмов явного и неявного вида в эйлеровых и лагранжевых переменных. Основное внимание авторы уделяют эффективному методу расчета переноса с коррекцией потоков, разработкой которого они занимаются. Наряду с детальным и широким обсуждением конечно-разностных методов рассматриваются, правда лишь кратко, и другие подходы, в частности, спектральный метод и метод конечных элементов.
Авторы освещают также вопросы, возникающие при практическом проведении численного решения задач и относящиеся к построению расчетных сеток, реализации граничных условий, анализу ошибок, расчету поверхностей раздела сред и сильных разрывов.
В двух заключительных главах книги рассматривается численное моделирование таких сложных физических процессов, как турбулентность, излучение, движение многофазной среды и т. п. Здесь представлены некоторые результаты расчетов конкретных задач, таких, как отражение ударной волны, структура фронтов горения, распространение детонации и движение капли в потоке.
Такое распределение материала по трем частям монографии, отличающимся своим характером, представляется удобным для читателей, имеющих разную степень подготовки и разные профессиональные интересы.
Достоинство этой книги состоит в том, что при представлении различных вычислительных алгоритмов авторы указывают на их яреимущества и недостатки, возможные ограничения, вычислительные затраты при реализации. В ряде случаев численные решения, полученные разными методами, сравниваются между собой или с имеющимися аналитическими решениями. Авторы останавливаются также на перспективных разработках в области численного моделирования течений с химическими реакциями.
Данный труд задуман авторами как монография по вычислительной гидрогазодинамике, поэтому он не перегружен математическими подробностями. Этот труд не содержит углубленного изложения теории физико-химических явлений, поэтому рассматриваемые здесь модели не обсуждаются с точки зрения соответствующих наук. Монография включает ряд оригинальных результатов авторов и большое количество результатов, полученных другими исследователями и опубликованных во многих периодических изданиях. Таким образом, читателю предоставляется в концентрированной форме достаточно полная информация о состоянии, последних достижениях и направлениях развития в области численного моделирования течений химически реагирующих сред. ,
Значительный объем книги, связанный с детализацией и обсуждением характеристик различных подходов к вычислительным проблемам и моделированию, не позволил авторам, к сожалению, поместить конкретные программы или хотя бы их фрагменты, используемые при расчетах реагирующих течений. Кроме того, в книге не нашли должного освещения некоторые довольно распространенные методы, например метод характеристик, с помощью которого было выполнено много расчетов течений с физико-химическими превращениями.
Разделы, относящиеся к конкретным приложениям численных методов (последние две главы), особенно к наиболее сложным вопросам — турбулентности и турбулентному горению, многофазным системам и т. п.— рассмотрены без детального изложения физических моделей и особенностей численных решений. Тем не менее приведенные данные вместе с подробной библиографией дают представление о состоянии зарубежных (главным образом американских) исследований в этой области.
Имея в виду интересы советских специалистов, редакторы сочли возможным дать дополнительный список отечественной литературы (помимо упомянутой в книге), относящейся к рассматриваемой тематике, включающий работы как по численным методам, так и исследованиям по процессам горения и физическим моделям. Дополнительная библиография содержит и руководства общего характера, что может оказаться полезным для читателей, лишь приступающих к исследованиям по численному моделированию реагирующих течений.
При переводе книги устранены замеченные неточности и опечатки и по просьбе авторов внесены некоторые небольшие поправки. Перевод книги выполнен коллективом специалистов: введение, гл. 1—3, 12 и 13 перевел В. И. Головичев, гл. 5—7 — Ю. Е. Маркачев, гл. 4, 8—11—Л. В. Шуршалов. Редактирование гл. 1—3, 12, 13 выполнено В. Л. Зимонтом, гл. 4—И— П. И. Чушкиным.
В заключение еще раз подчеркнем, что данная монография, посвященная численному моделированию течений реагирующих сред, не имеет аналогов. Охваченный материал достаточно полно отражает современное состояние этой проблемы. Издание этой книги на русском языке окажется весьма полезным для ученых, ведущих исследования в механике жидкости и газа, физике, химии, а также для специалистов, занимающихся приложениями в соответствующих областях техники.
В. Л. Зимонт, П. И. Чушкин
ВВЕДЕНИЕ
Численное моделирование может быть использовано для предсказания и изучения поведения сложных физических систем. Для того чтобы дать количественно правильные предсказания, моделирование должно описать как отдельные процессы, действующие в системе, так и их взаимодействие. После того как модель построена и опробована, ее можно использовать для интерпретации измерений и наблюдений, оценки новых идей, распространения теоретических моделей на область новых режимных параметров; она может также оказаться полезной при инженерном проектировании и количественной проверке существующих теорий.
Возможно самым важным применением численных моделей является проверка точности и полноты нашего понимания физической системы путем сравнения результатов расчетов с экспериментальными данными. Если моделирование определенного круга явлений и эксперимент достаточно точны, то расхождения между ними указывают на наличие неучтенных в данной модели эффектов. Моделирование может иногда заменять эксперимент, но обычно моделирование и эксперимент дополняют друг друга. Эксперименты зачастую необходимо интерпретировать посредством моделирования, а моделирование следует проверять экспериментом.
Совместное использование теории, моделирования и эксперимента для изучения сложных систем представляет собой относительно новый исследовательский подход. Экспериментальные наблюдения и приближенные теоретические модели предлагают законы, которым, как мы полагаем, должна подчиняться физическая система. Мы проверяем выполнение этих законов посредством описания процессов, вносящих вклад в количественную модель, получения количественных предсказаний и сравнения этих предсказаний с результатами определенной серии экспериментов.
Поскольку даже наипростейшие эксперименты зачастую оказываются сложными, то описывающие их модельные уравнения обычно не имеют аналитических решений и должны решаться численно. Сегодня большая часть научных программ, таких, как синтез, аэродинамика и исследование турбулентности, включают
координирование результатов эксперимента и моделирования. Эксперименты дают значения исходных величин для моделирования, а также данные, с помощью которых могут быть проверены предсказания и модели, на которых они основаны.
Цель этой книги состоит в ознакомлении с методами конструирования, использования и интерпретации численного моделирования химически реагирующих течений. Построение численного моделирования означает принятие решения на каждом шаге. Эти решения влияют на последующую форму и использование моделей. Например, для того чтобы сформулировать численные модели для процессов, которые встречаются в реальной системе, мы должны решить, какой алгоритм использовать, каким образом объединять алгоритмы и как получать и интерпретировать результаты. Для того чтобы понять важные моменты, которые включают в себя эти решения, нам необходимо выявить ограничения и пределы использования развиваемых моделей.
Техника вычислений, описываемая здесь, используется для многомерных задач с реалистическими граничными условиями и многими взаимодействующими химическими компонентами. Данные методы могут применяться для моделирования реагирующих течений в теории горения, физике частично ионизованной плазмы, газодинамических лазеров и многофазных и магнитогидродинамических течений. Поскольку многие из этих физических процессов подобны, описанные в данной книге численные методы относятся непосредственно ко всем указанным областям.
Характерные примеры, которые мы используем для иллюстрации методов, взяты из динамики горения и включают в себя взаимодействие между несколькими процессами, одновременно происходящими в широком диапазоне масштабов времени и пространства. Высвобождение химической энергии при горении порождает градиенты давления, температуры и плотности. Эти градиенты, в свою очередь, являются источниками процессов в жидкости, которые приводят к переносу массы, импульса и энергии. Сильное взаимодействие между химией и динамикой жидкости весьма усложняет моделирование реагирующих течений. Эта книга не является учебником по физике и химии горения. Она описывает подходы к подробному численному моделированию, которое может быть использовано в качестве инструмента для изучения горения.
Для понимания излагаемого материала необходимо знание основных законов химии и динамики жидкости и их взаимодействий. Полезно, конечно, и некоторое знакомство с основами численных методов. Для читателей, которым довелось писать и отлаживать простые программы для интегрирования дифференциальных уравнений, чтение этой книги не составит большого труда.
Главы в книге можно разделить на три группы:
Вводный курс по моделированию и численному моделированию— гл. 1—4.
Более сложные задачи численного моделирования процессов в реагирующих течениях — гл. 5—И.
Моделирующий комплекс для реагирующих течений — гл. 12 и 13.
Далее приведены характеристики каждой из этих групп.
Вводный курс по моделированию и численному моделированию
Главы 1—4 являются основой для материала, представленного в остальной части книги. В этих главах
обсуждаются понятия и терминология, используемые в книге. В гл. 1 описывается построение физических и численных моделей. В этой главе приведен обзор методов численного моделирования и вводятся основные понятия;
определяются задачи исследования реагирующих течений в рамках общего контекста численного моделирования. В гл. 2 описываются уравнения сохранения массы, импульса, энергии и химических компонентов, а также некоторые проблемы, возникающие при их решении. В гл. 2 описаны отдельные процессы в реагирующих течениях и их привязка к определенным членам в дифференциальных уравнениях. Обсуждаются физические и математические предположения, заложенные в этой модели. Эта глава заканчивается общим обсуждением методов вычислений и ограничения разрешимости, с которыми мы встречаемся, когда пытаемся решить эти уравнения;
анализируются ограничения и противоречивость требований при конструировании и использовании компьютерных моделей. В гл. 3 перечислены источники ошибок при численном моделировании и оцениваются необходимые затраты и компромиссы для их преодоления. Определяются процедуры, которые необходимо выполнять на каждом этапе развития и использования моделирования как с точки зрения имеющихся вычислительных и человеческих ресурсов, так и специфических требований решаемой задачи. В гл. 3 также описаны элементы эффективного подхода к моделированию;
содержится введение в численный анализ и вопросы вычислительной физики, которые важны для моделирования реагирующих течений. В гл. 4 объясняются основные конечно-разностные подходы, используемые при численном интегрировании уравнений реагирующих течений. Простые тестовые задачи приводят к обыкновенным дифференциальным уравнениям, представляющим локальные процессы, такие, как химическая кинетика, равновесные процессы, а также к дифференциальным урав-
нениям в частных производных для диффузии, конвекции и волновых явлений.
Более сложные задачи численного моделирования
Главы вводного курса представляют рассматриваемые задачи и показывают связи между ними. В гл. 5—11 эти задачи обсуждаются более глубоко и детально. Здесь представлены процессы, которые могут быть нелинейными, многофазными, где требуются неоднородные сетки, которые могут перемещаться со временем, и решается много связанных уравнений.
В гл. 5 описывается спектр алгоритмов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, а также характерных применений к реагирующим течениям. В гл. 6 рассмотрены аппроксимации уравнений и принципы выбора сетки, соответствующие пространственным и геометрическим особенностям задачи. В гл. 7 описано решение диффузионных уравнений, которые представляют многокомпонентную диффузию, теплопроводность и перенос излучения. В гл. 8 приведены методы решения для единичного уравнения неразрывности, а гл. 9 и 10 описывают эйлеровы и лагранжевы методы решения для связанных уравнений неразрывности. Наконец, в гл. И обсуждается численная реализация граничных условий и алгоритмов для матричной алгебры.
Моделирующий комплекс реагирующих течений
Главы 12 и 13 связывают воедино идейный и практический подходы. Они основаны на материале гл. 1—4 и отдельных глав, посвященных усложненным методам. В гл. 12 приведен обзор проблем моделирования турбулентности, многофазных течений и переноса излучения. Каждая из этих тем заслуживает многих томов, и данный материал представляет собой всего лишь введение, которое показывает способы применения численных методов, описанных ранее в этой книге. В гл. 13 рассказано о конструировании нескольких вычислительных программ разного типа для расчета задач с реагирующими потоками и представлены примеры и вычисления, выполненные с помощью этих программ.
***
Эта книга может рассматриваться как дополнение к некоторым другим книгам по горению и реагирующим течениям. В частности, поведение пламен и детонация рассматриваются в следующих изданиях:
Lewis В., von Elbe G., Combustion, Flames and Explosions of
Gases, Academic Press, New York, 1961. [Имеется перевод: Льюис Б., Эльбе Г. Горение, пламя и взрывы в газах.— М.: Мир, 1968,—592 с.]
Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. 2-е изд.— М.: Наука, 1966.— 686 с.
Williams F. A., Combustion Theory, 2nd ed., Benjamin Cummings Menlo Park, CA, 1985. [Имеется перевод 1-го изд.: Вильямс Ф. А. Теория горения.— М.: Наука, 1971.— 615 с.]
Зельдович Я. Б., Баренблатт Г. И., Либрович В. Б., Махви- ладзе Г. М. Математическая теория горения и взрыва.— М.: Наука, 1980,—478 с.
Glassman I., Combustion, Academic Press, New York, 1977.
Fickett W., Davis W. C., Detonation, University of California Press, Berkeley, 1979.
Gaydon A. G., Wolfhard H. G., Flames, Chapman and Hall, London, 1979.
Toong T.-Y., Combustion Dynamics: Dynamics of Chemically Reacting Fluids, McGraw-Hill, New York, 1983.
Strehlow R. A., Combustion Fundamentals, McGraw-Hill, New York, 1984.
Smith K, Thomson R. M., Computer Modeling of Gas Lasers, Plenum Press, New York, 1978. [Имеется перевод: Смит К., Томсон Р. Численное моделирование газовых лазеров.— М.: Мир, 1981,—515 с.]
Rosher D. Е., Transport Processes in Chemically Reacting Flow Systems, Butterworths, Boston, 1986.
Kuo К. K., Principles of Combustion, Wiley, New York, 1986.
Материал в этой книге также дополняет книги по вычислительной динамике жидкости и вычислительной физике, например:
Richtmyer R. D., Morton К. W., Difference Methods for InitialValue Problems, Interscience, New York, 1967. [Имеется перевод: Рихтмайер P., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач.—М.: Мир, 1972,—418 с.]
Potter D., Computational Physics, Wiley, New York, 1973. [Имеется перевод: Поттер Д. Вычислительные методы в физике.— М.: Мир, 1975,—392 с.]
Roache Р. J., Computational Fluid Dynamics, Hermosa Publishers, Albuquerque, New Mexico, 1982. [Имеется перевод: Роуч П. Вычислительная гидродинамика. — М.: Мир, 1980. — 616 с.]
Chow C.-Y., An Introduction to Computational Fluid Mechanics, Wiley, New York, 1979.
Finite-Difference Techniques for Vectorized Fluid Dynamic Calculations, D. L. Book (ed.), Springer-Verlag, New York, 1981.
Anderson D. A., Tannehill J. C., Pletcher R. H„ Colputational Fluid Mechanics and Heat Transfer, McGraw-Hill, New York, 1984.
Благодарности
Многие помогли нам в различных аспектах. Мы хотели бы поблагодарить Пола Либби, Роджера Стрелоу, Говарда Палмера, Стивена Залесака, Дэвида Файфа, К. Каласаната, Джима Дальбурга, Пеймена Гиви, С. Ричарда Гардера, Гопала Пат- нейка, Дэвида Бука, Теодора Янга, Мартина Фриттса, Мела Байера, Джейса Нунзиата, Темгана Буркса, Шмуэля Эйдельмана за их технический вклад и комментарии.
Мы признательны Дэниелу Орану, Майклу Френклаху, Кейсу Элингсфорсу, Юдит Карпен, Дугласу Ландусеру, Мартину Рабиновичу, Балтеру Шаубу, Рафату Гиргису, Фернандо Гринстейну, Марку Эмери, Дж. Мишелю Пикону и Сэму Ламбракосу за подробные комментарии по отдельным разделам книги.
Мы благодарим Антони Леонарда за разрешение использовать материал из его обзора по динамике вихрей, Роберта Мэя — за разрешение использовать материал из его обзора по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Кеннеса Куо, Мела Баера и Джасе Нунсиато — за разрешение использовать их материал по многофазным течениям.
Мы благодарим Мартина Фритца, Марка Эмери, Памелу Барр, Роберта Гелинаса, Рафата Гиргиса, Фернандо Гринстейна, Джеймса Хаймана, Роберта Но, Амеда Гопейма, Ральфа Меткалфе, Роберта Зигеля и Дэвида Гарвина за разрешение использовать их иллюстрации.
Мы благодарим Фреда Реттменмайера и Мазрин Лонг за их редакторскую помощь и Агнесу Грин за художественное оформление издания.
Имеется несколько спонсоров и спонсорных агентств, чья поддержка позволила выполнить эту работу. Мы хотели бы поблагодарить Тимоти Коффек и Вильяма Эллиса из Военно-морской лаборатории, Ричарда Миллера, Роберта Юнкера, Кейса Эл- лингсфорса и Роберта Уайтхеда из Оффиса Военно-морских исследований, Джулиан Тишкофф из Отдела военно-воздушных сил по научным исследованиям, Сесил Марек, Курта Сакстедте- ра, Диксона Батлера и Ховарда Росса из NASA и Георга Ульриха и Карла Фица из Агентства по атомной энергии.
Кроме того, мы хотели бы поблагодарить Герберта Рабина, Альберта Шиндлера, Фреда Заальфельда, Гомера Кархарта, Фреда Уильямса и Дени Боган за их поддержку и помощь в течение всего времени работы над нашей программой.
Особенно мы хотели бы поблагодарить Дарлен Миллер, Франсин Розенберг и Нэнси Чиатти за текущую помощь во время написания книги. Мы благодарим Франсин Розенберг и Элизабет Голд за их помощь в программировании уравнений некоторых глав. Мы особенно благодарим Франсин Розенберг, Тео-
дору Янг и Роберта Скотта за предоставление и поддержку на должном уровне той техники, которую мы использовали.
Мы благодарим Нормана Чигира и Владимира Хлавачека за усилия, затраченные ими для того, чтобы убедить нас написать эту книгу. .
Мы благодарим Дональда Кнута, который создал систему ТЕХ, хотя никто из нас не знает его лично. Система ТЕХ позволила нам фактически видеть книгу при ее написании, контролировать ее окончательный вариант и позволила избежать работы с гранками.
Мы хотели бы поблагодарить Пола А. Бориса за его научную поддержку в течение многих лет.
Мы признательны Дэниелу Орану, Элизабет Борис, Дэвиду Борису, Полу Борису, Карен Кларк, Минерве Оран, Герману Сурику, Дорис Лютерман, Мэрси Доктер и Ионе Браун за их помощь, поддержку и терпение в течение долгих лет работы над книгой.
Наконец, мы хотели бы поблагодарить Мариан Бейс из издательства Elsevier, которая постоянно поддерживала нас и с кем было прекрасно работать в течение всего процесса написания этой книги.
АББРЕВИАТУРЫ НАЗВАНИИ МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ
ADI—метод чередующихся направлений (гл. 11 [60]) ADINC — лагранжев алгоритм расчета адиабатических и несжимаемых течений (гл. 10 [5])
BIC—FCT — метод FCT с учетом возможности распространения звука (гл. 9 [42])
CHEMEQ — гибридный метод, использующий метод SAIM (гл. 5 [73, 74])
FCT — алгоритм расчета переноса с коррекцией потоков (гл. 8 [3, 56])
FFT — алгоритм быстрого преобразования Фурье
GAP —метод сеток и частиц (гл. 10 [34])
ICCG — неполный итерационный метод Холецкого и метод сопряженных градиентов (гл. 11 [44, 52]) ICE — неявный эйлеровский метод расчета непрерывных течений (гл. 9 [19])
МАС —метод маркеров в ячейках (гл. 10 [25])
MLG — метод монотонной лагранжевой сетки (гл. 10 [6, 30])
PAF — метод «частица—сила» (гл. 6 [23])
PIC —метод частиц в ячейках (гл. 10 [16])
PPM — кусочно-параболический метод (гл. 8 [61, 62]) RICE—расширение метода ICE на реагирующие среды (гл. 9 [42])
SAIM — селективный асимптотический метод интегрирования, применяемый в методе CHEMEQ
SIMPLE — полунеявный метод расчета уравнений, связанных через давление (гл. 9 [41])
SLIC—метод расчета поверхности раздела с линейным представлением (гл. 11 [53])
SOR — метод последовательной верхней релаксации (гл. 11)
SUPERBEE—нелинейный монотонный метод второго порядка точности с ограничивающей поток процедурой (гл.9 [51])
TVD—метод наименьшей полной вариации (гл. 8 [2])
VOF — метод, аналогичный SLIC, но с произвольным наклоном отрезков (гл. 11 [38])
VSAIM—версия метода CHEMEQ для реагирующих течений (гл. 11)
ОБЗОР ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
1-1. Некоторые комментарии по терминологии
Термины «модель» и «моделирование» часто употребляются в этой книге. Эти слова представляются достаточно легкими для понимания и использования в обычных разговорах, но их техническое использование туманно и неточно. Для различных исследователей и исследовательских сообществ эти слова обозначают разные вещи.
Атаковать эту техническую вавилонскую башню посредством строгих определений представляется вредным и не очень продуктивным. Вместо этого мы обсудим некоторые нюансы ключевых терминов, используемых в книге, и пытаемся использовать их последовательно.
То, что мы обычно подразумеваем под моделированием, имеет более широкое значение, чем то, что мы понимаем под термином «численный эксперимент». При численных экспериментах делается попытка имитировать динамическое поведение системы и предсказывать или рассчитывать последующие события. Термин «моделирование» обычно используется в более широком и более статичном смысле: модель может представлять динамическое явление в своей целостности без определения ее эволюции. Модель может быть формулой, количественным отношением, собранием эмпирических данных, уравнением или даже его эквивалентной аналоговой схемой.
Целью моделирования не является создание точной копии системы. Вместо этого модель пытается воспроизвести некоторые основные свойства системы. Так как при разработке модели были сделаны приближения, понятно, что она является несовершенным представлением системы. Следовательно, модель не справедлива на некоторых режимах и количественно не точна почти везде. Численный эксперимент использует модели для конкретного выбора физических параметров, начальных и граничных условий. Повсюду в литературе, однако, термины «моделирование» и «численный эксперимент» используются как почти «эквивалентные», а иногда и вовсе заменяют друг друга.
Термины «численный» и «вычислительный» часто взаимоза- менимы, хотя они имеют несколько различные значения. Численный анализ — это, в основном, теоретический предмет, чье главное практическое приложение состоит в решении задач на компьютере, но он не является целиком вычислительным. Вы-
числительная работа в численном эксперименте не является целиком численной. Например, расчеты реагирующего течения включают интерактивные системы программирования, обработку текстов, организацию данных, графику и т. п. Здесь мы рассматриваем модели и алгоритмы как вычислительные, когда они описывают, как проблема разделена на части, представлена и обработана для использования в компьютере. Мы называем процедуры, методы и алгоритмы численными, когда они касаются вычисления чисел или количественных расчетов формул и уравнений.
Алгоритм — это не модель, и он не обязательно численный. Алгоритм есть процедура решения, используемая для реализации модели. Не каждая модель имеет алгоритм, связанный с нею. Иногда просто нет алгоритма для реализации модели. Эта книга является рабочим алгоритмом по реализации* уравнений химически реагирующего течения на ЭВМ. В ней также содержится много численных алгоритмов решения модельных уравнений.
Численный эксперимент не решает непосредственно уравнения, составляющие математическую модель. Слова «проводить» и «интегрировать» являются более подходящими в контексте численного эксперимента, чем термин «решать». Мы решаем систему дискретных алгебраических уравнений (вычислительная модель), проводим вычислительный эксперимент во времени. Система алгебраических уравнений выводится из исходной системы уравнений в частных производных. Точные алгоритмы заменили различные математические члены, их взаимодействие и тем самым лежащие в основе физические явления.
По мере улучшения численных и вычислительных методов численный эксперимент становится более точным. Память и быстродействие компьютеров быстро увеличиваются и соответственно расширяется область того, что можно легко рассчитывать. Численный эксперимент более не является тайным искусством, ограниченным несколькими лабораториями с большими компьютерами. Этот инструмент доступен большинству ученых и инженеров. Данная книга объясняет, как использовать такую широко распространенную и быстро совершенствующуюся технологию для решения сложных задач реагирующего течения.
1-2. Три типа физических моделей
Детальные модели
Детальные, или фундаментальные модели описывают свойства или поведение системы, начиная с такого числа основных физических допущений (первых принципов), какое только является возможным. Задачи, которые можно рассматривать с по-
мощью детальных моделей, немногочисленны. Такие модели, однако, могут быть предельно подробны и точны для явлений, которые они описывают. Они часто применяются для получения констант или другой информации для использования в более общих, но менее строгих расчетах. Они сосредоточиваются обычно на одном изолированном типе процесса или взаимодействия. Например, квантовомеханические расчеты поверхности потенциальной энергии для молекул или поперечного сечения кинетической реакции являются фундаментальными моделями, дающими информацию о путях химической реакции. Линия выбора первых принципов достаточно гибкая и зависит от конкретной проблемы.
Важной целью детального моделирования является развитие вычислительных моделей с хорошо установленными диапазонами их применимости. Вообще говоря, чем шире такой диапазон, тем модель оказывается более общей и дорогой для использования.
Феноменологические модели
Феноменологические, или эмпирические модели должны использоваться, когда масштабы физических процессов слишком малы для разрешения в одном расчете. В этих ситуациях обычный метод состоит в предположении или выводе макроскопической и осредненной модели маломасштабных процессов. Подобные модели, отраженные в макроскопических уравнениях, обычно являются феноменологическими. Например, в детальных моделях пламен, рассматриваемых далее в этой книге, константы химических реакций, коэффициенты диффузионного переноса и уравнения состояния не могут быть определены одновременно с конвективным течением. Эти три типа моделей представляют процессы молекулярного взаимодействия, осредненные по распределениям частиц для получения континуального описания жидкости. Соответствующие коэффициенты в уравнениях для осредненных величин представляют процессы, происходящие на масштабе, слишком малом для разрешения его в расчетах течений.
Часто точные формы слагаемых в макроскопических уравнениях неизвестны, либо они слишком сложны для расчета, либо невозможно найти для них численное выражение. В таких случаях следует использовать простые приближенные формы. Приближенная форма обычно обоснована физически и содержит входные данные, полученные из эксперимента или более фундаментальных теорий или расчетов. Несколько моделей турбулентности, обсужденных в гл. 12, являются примерами феноменологии, в которых сложные взаимодействия моделируются уравнениями в физически обоснованных формах. Эти модели далее со-
вершенствуются путем уточнения коэффициентов в соответствии с данными, полученными из эксперимента и специальных подробных расчетов. Другие примеры связаны с моделью выделения энергии в химически реагирующих системах или параметрической моделью образования сажи. Феноменологическая модель основывается на качественном понимании конкретной физической ситуации и должна быть согласована с более фундаментальной теорией или экспериментом.
Феноменологические модели начинаются обычно с простой теории моделируемого явления. Эта теория проста, потому что она содержит грубые приближения. Часто при выводе феноменологической модели используются общие принципы и условия сохранения. Эти принципы не требуют детальных сведений о физических или химических механизмах. Например, решения Римана уравнений Ренкина—Гюгонио дают простые соотношения, описывающие газодинамические разрывы. Эти решения требуют знания только условий выше и ниже разрыва по потоку, а никаких данных о структуре разрыва в данной модели не содержится— подобные данные здесь вовсе не требуются. Для получения информации о самом разрыве необходимо намного более трудоемкое тщательно разрешаемое локальное интегрирование фундаментальных уравнений.
Эмпирические модели
Эмпирические модели создаются либо посредством подгонки данных к соответствующей математической формуле, либо данные используются непосредственно в табличной форме. Отметим тот важный момент, что данные обычно получены экспериментально. Часто на такие данные оказывают влияние посторонние эффекты, которых не ожидали и которые являются нежелательными, вытекающие, например, из воздействия измерительных приборов на объект исследования или погрешностей измерительных приборов. Предостережение, которое следует сделать относительно этих моделей, состоит в том, что их можно использовать для интерполяции, но не для экстраполяции. Это верно как по отношению к диапазону физических параметров, в котором модель справедлива, так и конкретным физическим ситуациям, в которых модель используется. Скорости химических реакций — обычно константы эмпирических моделей. Уравнения состояния нередко представлены экспериментальными данными в табличной форме. Другими примерами эмпирических подходов являются составления, например, таблиц значений скорости диффузии дыма в камере, скорости распространения пламени в здании или скорости выделения химической энергии в турбулентном диффузионном пламени.
1-3. Уровни моделирования
Выражение «огрубление», использованное в книге [3], означает, что микроскопические процессы статистически осредняют- ся, или огрубляются на макроскопическом уровне. Огрубление уменьшает число степеней свободы, необходимых для описания поведения системы. Огрубленное поведение системы следует относительно простым законам, аппроксимирующим статистическое поведение микроскопически сложных физических систем. Например, динамика столкновений миллионов молекул на микроскопическом уровне может использоваться для вывода уровней сплошной среды. Так как огрубление применяется к физическим системам, феноменологические модели маломасштабных процессов должны быть точно представлены на больших масштабах. Огрубление, используемое для описания некоторых процессов, обсуждается в гл. 2.
В детальной вычислительной модели отдельные процессы представлены и рассчитаны с точностью, требуемой для описания поведения системы, в которой одновременно протекает несколько процессов. Частные модели, составляющие детальную модель, могут быть фундаментальными, феноменологическими или эмпирическими. Детальные модели часто объединяют эти различные типы составляющих для представления широкого диапазона временных и пространственных масштабов отдельных физических процессов. Важно понять, что квалификация модели как «детальной» есть вещь условная. Модель является более или менее детальной в зависимости от количества и степени эмпиричности учитываемых в ней эффектов.
В этой книге мы интересовались детальным численным моделированием реагирующих течений, в которых динамика жидкости, химия и диффузионный перенос играют важную роль. Рассмотрим, например, модель одномерного реагирующего течения для описания распространения ламинарного пламени. Конвекция описывается очень точными уравнениями, которые с большой точностью решаются численными методами, и может рассматриваться как фундаментальная модель одномерного конвективного переноса. Уравнения химических реакций соответствуют феноменологическим моделям, если коэффициенты скоростей взяты из фундаментальных расчетов, которые представлены в аналитической форме, и такие уравнения соответствуют эмпирическим моделям, если они согласованы с экспериментальными данными. Уравнение состояния может быть представлено таблицей экспериментальных данных. Константы диффузии можно оценить на основе разумных предположений, экспериментальных данных или теоретических исследований. Детальная модель пламени может стать более феноменологической или менее детальной, если
систему уравнений для скоростей реакций заменить более короткой, менее полной системой. Важно оценить уровень детальности, желанный для разрабатываемой модели, и затем решить, что необходимо для получения этого приближения при решении конкретной задачи.
1-4. Связь между теорией и экспериментом
Детальный численный эксперимент есть способ построения решений математической модели конкретной физической системы. Он является инструментом для изучения физических систем, связывающим теоретический анализ и лабораторный эксперимент. Детальное численное моделирование имеет некоторые преимущества и недостатки в сравнении с обеими формами исследования.
Численное моделирование (численный эксперимент)
Детальное численное моделирование — это не теория. Это даже не единственное теоретическое решение. В отличие от аналитической теории оно не дает уравнений, связывающих физические переменные друг с другом и с параметрами задачи. Напротив, любое численное моделирование является единичным численным экспериментом, выполняемым с определенным набором геометрических, физических, начальных и граничных условий. Численное моделирование может выявить нечто новое и неожиданное, когда модель достаточно сложна, почти так же, как лабораторный эксперимент позволяет открыть что-то неизвестное в окружающем нас мире. Наиболее привлекательной чертой численного моделирования является то, что для того, чтобы делать открытия, не требуется теоретической проницательности.
Численное моделирование и физический эксперимент содержат сходные типы погрешностей. Оба включают сложные взаимодействия, некоторые из которых не связаны с изучаемой проблемой. В численном моделировании некоторые из ложных взаимодействий связаны с техническими дефектами в программе и подобны экспериментальным погрешностям, таким, как утечки или неконтролируемые источники внешней энергии. Погрешности тарировки в эксперименте подобны неточностям вводимых констант или частным моделям в детальном моделировании.
При некорректной тарировке экспериментальная аппаратура может работать хорошо, но интерпретация данных может оказаться неверной. По той же самой причине результаты числен-
кого моделирования оказываются не верными, если выбраны ошибочные значения констант ведущих химических реакций, даже если расчеты количественно точны в контексте конкретно решаемой задачи. Например, рассмотрим эксперимент, в котором водород и кислород смешиваются и реагируют. В зависимости от диапазона давления и плотности, наличия добавок и т. п. доминируют различные реакции. Для получения физически точных результатов численное моделирование должно включать корректный химический механизм для имитации естественного пути поведения системы. Обычно трудно установить, какие допущения или некорректности в расчетах привели к тому, что численный эксперимент не согласуется с физическим.
Численный и лабораторный эксперименты выигрывают от сосредоточения внимания на конкретных механизмах и взаимодействиях. Например, геометрические усложнения, такие, как введение многомерности или ограничивающих стенок, усложняют и численное моделирование, и эксперимент. Многое в фундаментальных взаимодействиях может быть понято путем предельно возможной идеализации и упрощения задачи. Проницательность в конструировании систем для численного анализа, включающих такие упрощения, требует набора иных качеств и навыков, чем для математического анализа.
Численное моделирование и развитие теории
Хотя численное моделирование не позволяет получать непосредственно аналитические выражения, типичные для теории, оно обладает той же степенью гибкости. Эта гибкость состоит в способности оценить важность физического эффекта путем его включения или выключения из рассмотрения, и также изменения степени его воздействия или функциональной формы. Эта возможность непосредственного выделения взаимодействий является важным преимуществом, которое численное моделирование имеет по сравнению с экспериментом. Таким образом, эксперимент не всегда является наилучшим исследовательским инструментом для исследований.
Численный эксперимент может использоваться для проверки области применимости теоретических приближений. Когда линейная теория становится несправедливой, природа соответствующих погрешностей может быть изучена в численном эксперименте. Последний может быть использован для изучения нелинейной эволюции неустойчивостей Кельвина—Гельмгольца и Рэлея—Тейлора. Теории турбулентного перехода, турбулентных пограничных слоев и нелинейной динамики случайных процес-
сов являются другими примерами, где численное моделирование может использоваться для проверки и развития теории.
Обратная ситуация также справедлива: теория играет решающую роль в проверке справедливости численной модели. Сравнения с точным решением в аналитической форме дают наиболее ценные контрольные точки для вычислительной модели. Путем отбрасывания членов, которые не включены в теоретическое рассмотрение, точность и погрешности различных частей численной модели могут быть оценены до того, как программа будет использоваться в более сложных физических ситуациях, в которых трудно обнаружить ошибки.
Численное моделирование сближает теорию и эксперимент
Так как результаты, полученные при детальном моделировании, могут быть более исчерпывающими, чем при аналитических расчетах, детальные модели могут использоваться для сближения теории и эксперимента. В частности, эффективный прием состоит в использовании детальных вычислительных моделей для тарировки феноменологических моделей конкретных процессов и взаимодействий. Такие феноменологические модели могут затем использоваться в детальной модели для расширения диапазона ее справедливости или эффективности разрешения. Предлагаемые физические закономерности могут быть проверены путем включения основных процессов, которые они описывают, в численную модель и сравнения результатов численного и физического экспериментов. Использование детальных имитационных моделей для тарировки количественного представления основных физических процессов является, возможно, наиболее важным и фундаментальным их приложением.
Диагностика в численном и физическом экспериментах
Наиболее трудоемкой частью численного эксперимента, так же, как и в лабораторном эксперименте, зачастую оказываются разработка и проверка методов диагностики. Длительные расчеты неизменно требуют анализа большого количества графической или текстовой выходной информации. Диагностика обычно включает обработку результатов, например, взятие интегралов от одних величин, суммирования или вычитания других и т. п. Эта диагностика сама по себе является вычислительной программой, позволяющей связать дискретные переменные моделирова-
ния с величинами, которые легче интерпретировать или сравнивать с теорией или экспериментом.
В то время как диагностика при численном моделировании является источником возможных погрешностей, проблемы, связанные с экспериментальной диагностикой, оказываются более трудными. Диагностика численного эксперимента может производиться вне связи с основными вычислениями, тогда как лабораторные измерения обычно вносят возмущения в эксперимент. Зонды могут изменить локальное течение, вызвать нежелательные поверхностные реакции, а также поглощать тепло из среды. Этой проблемы не существует в численном эксперименте. С другой стороны, при численных экспериментах можно, как говорится, утонуть в числах.
1-5. Тирания чисел
Детальная модель численного эксперимента — это вычислительная программа которая выполняется на ЭВМ. Моделирование связано с интегрированием или «продвижением» приближенных нестационарных уравнений модели от момента времени t к другому моменту t^-M. Величина А/ называется шагом по времени, и она значительно меньше наименьшего характерного времени, которое необходимо разрешить в вычислениях. Численное моделирование определяет, таким образом, изменение состояния системы в дискретной временной последовательности. Здесь предполагается, что состояние системы в любой момент времени в течение шага по времени может быть выведено интерполяцией между состоянием системы в начале и конце этого шага.
Обычно требуются десятки или сотни тысяч чисел для задания состояния системы в любой конкретный момент времени. Рассмотрим детонацию, распространяющуюся в газофазной реагирующей среде. Если проблема является двумерной, для 1%-ного пространственного разрешения поля течения и всех присутствующих химических компонентов требуется приблизительно 100X100 точек в пространстве. В случае детальной схемы химических реакций для разбавленной водород-кислородной смеси используется приблизительно 10 компонентов в дополнение к газодинамическим переменным, таким, как плотность газа, импульс и энергия. Таким образом, по меньшей мере 140 000 чисел требуется для задания состояния этой системы в любой момент времени.
Основная проблема численного моделирования состоит в том, как обращаться с таким количеством чисел. Мы не можем за-
помнить все данные для каждого временного слоя, даже если бы мы захотели это сделать. По этой причине предпочтительны алгоритмы, которые продвигают систему на временной шаг с минимумом информации, требуемой с предыдущих шагов. В этой книге выдвигаются на первый план алгоритмы, которые требуют информацию только с предыдущего шага по времени. Даже при непрерывно падающей стоимости компьютерной памяти время, необходимое для запоминания, вычисления и передачи всех этих чисел, явно затрудняет крупномасштабное моделирование.
Тирания чисел, являющаяся бедствием детального моделирования реагирующих течений, затрудняет также диагностику физико-химических явлений в таких расчетах. Для представления всех чисел, связанных с одной из многих переменных, описывающих один временной шаг, требуется распечатка приблизительно 10 000 чисел на 10 страницах при выводе строк через один интервал. Если одновременно выводится решение для сравнения, то потребуется 20 страниц. Графическое и более развитое математическое обеспечение диагностики — необходимый инструмент для интерпретации результатов — сложно само по себе. Разработка, применение или использование графического диагностического обеспечения столь же трудоемкие и дорогостоящие, как и сам численный эксперимент. Способы использования некоторых типов графической обработки результатов сделаются более очевидными из примеров, представленных в последующих главах.
В дополнение к оперированию большим числом данных детальный численный эксперимент требует большого количества компьютерного времени. По этой причине численное моделирование обычно проводится порциями по несколько сотен или тысяч временных шагов. Программа должна обеспечивать «сброс» и запоминание всей информации, описывающей конкретное состояние системы в заданные моменты времени. Расчеты далее должны осуществляться с учетом этих данных в качестве начальных. При повторном старте важно иметь возможность изменения параметров или способов диагностики математической модели.
1-6. Содержание книги
Несколько тем проходит через эту книгу. Они составляют путеводитель для проведения численного моделирования реагирующих течений. Здесь представлено несколько полезных точек зрения и несколько эмпирических правил, которые мы разработали после многочисленных детальных численных экспериментов в этой области.
Выбор типа и уровня моделирования
Мы уже говорили о различии между моделированием, основанном на феноменологии и эмпирических законах, и моделированием, исходящим из первых принципов. Мы ввели идею огрубления, которая помогает определить уровень для каждого составляющего процесса в полной модели. Оптимальная комбинация моделирующих приближений зависит во многом от имеющихся ресурсов и характера требуемых решений, а также от параметров исследуемой системы.
Построение модульных вычислительных моделей
В модульном подходе явление в системе разделяется на несколько отдельных физических процессов. Модели могут быть построены так, чтобы каждый процесс аккуратно рассчитывался и выверялся независимо от остальных. Получившиеся алгоритмы затем объединяются для изучения механизмов и взаимодействий в реагирующих течениях. В дополнение к разумной организации подхода к общей проблеме это позволяет использовать наилучшие алгоритмы в каждом конкретном случае.
Оценка точности и эффективности численных методов
В данной книге мы оцениваем многие численные методы с той точки зрения, что они могут дать для расчетов реагирующих течений, а чего не могут. Мы пытаемся объяснить их сильные и слабые места, обращая внимание на точность, простоту использования и гибкость. Численный эксперимент находится в стадии развития. Могущество, обеспечиваемое доступностью новейших и самых разных вычислительных возможностей, огромно. В настоящее время скорость совершенствования хороших алгоритмов сравнима со скоростью увеличения вычислительных возможностей и доступности ЭВМ. Когда цель состоит в решении конкретного типа задач реагирующего течения, лучший метод для использования — это тот, который хорошо тестирован и отлажен. Однако мы пытаемся также дать представление о более сложных подходах и указать некоторые области, где возможно существенное развитие методов вычислений.
Проверка вычислительной модели
При разработке вычислительных моделей важно сравнивать упрощенные аналитические решения с результатами численного эксперимента. Этот контроль должен проводиться с каждым про*
цессом при его программировании, а также с совокупностью процессов, когда это возможно. Чрезвычайно важно проводить проверки в процессе разработки модели и повторять их после каждого значительного ее изменения.
Эмпирические правила вычислений
Несколько полезных опытных правил проведения численного моделирования реагирующих течений получено на основе опыта расчетов в различных областях физики, химии и техники. Они вытекают из здравого смысла и опыта работы в условиях компромисса, требуемого для нахождения оптимальных алгоритмов для каждого из важных физических процессов и их связи друг с другом. Эти правила являются ценным руководством для быстрого прогресса и предостережением о трудностях, которые могут возникнуть. Мы обсуждаем их далее и суммируем в последней главе.
ПРОБЛЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯРЕАГИРУЮЩИХ ТЕЧЕНИЙ
Моделирование газофазных реагирующих течений основано на общепринятой системе нестационарных связанных уравнений в частных производных, выражающих законы сохранения массы, импульса и энергии. Эти связанные уравнения описывают конвективное движение жидкости, химические реакции между основными компонентами и процессы диффузионного переноса, такие, как теплопроводность, вязкость и диффузию. Многие виды задач приводятся к подобным простым на вид уравнениям, дополненным различными начальными и граничными условиями.
Материал представлен в этой главе в очень сжатой форме и мало подходит для первоначального ознакомления с предметом. Наша цель состоит прежде всего в обзоре этих уравнений для введения системы обозначений, используемых в этой книге, а затем в установлении связи каждого члена в уравнении с физическим процессом, существенным для реагирующих течений. Глава может быть использована в качестве справочника при более детальных обсуждениях численных методов в последующих главах. Наиболее целесообразно сначала лишь просмотреть эту главу, а затем вернуться к ней перед чтением гл. 13.
2-1. Уравнения сохранения для реагирующего течения
2-1.1. Нестационарные уравнения сохранения
Уравнения, используемые для моделирования газофазных реагирующих течений, являются континуальными нестационарными уравнениями для массовой плотности р, плотности частиц химических компонентов ^п^, плотности импульса pv и плотности энергии Е. Эти уравнения можно представить в виде
^ = -V-(pv),(2-1.1)
85L = _^.^niv)-^.(nivdiHQi-Linh i = lN„ (2-1.2)
^--^ (pvv) - V • P + £ PA,(2-1.3)
^-=_v.(£v)-v(v-P)-v-(q+q,)+
+ v-Sm/a,. + Svdz -т^.(2-1.4)
Таблица 2-1. Обозначения, используемые в гл. 2
Символ
Определение
at cs Cpi Di к
E g h, hm
Внешняя сила на единицу массы, м/с2
Скорость звука, м/с
Теплоемкость компонента, м2/(с2-К)
Коэффициент бинарной диффузии для компонентов i и 6, м2/с
Плотность полной энергии, Дж/м3
Ускорение силы тяжести, равное 9,8067 м/с2
Удельная энтальпия компонента i, Дж/кг
Удельная теплота образования компонента ц Дж/кг, вычисленная при температуре То
I kf kr кв KiT Li m M Ui N Ns P
Единичный тензор (безразмерный)
Коэффициент скорости прямой реакции (см. разд. 2-2.3)
Коэффициент скорости обратной реакции (см. разд. 2-2.3)
Постоянная Больцмана, равная 1,3805-10“23 Дж-К-1
Коэффициент термодиффузии компонента г, м-1 Химическая скорость расхода компонента i, с**1 Масса компонента, кг
Число Маха, см. уравнение (2-2.1)
Плотность компонента 1, м-3
Полная плотность, м-3
Число химических компонентов
Скалярное давление, Па
P q Qr
Qi
R
Тензор давления, Па
Тепловой поток, Дж/(м2-с)
Радиационный тепловой поток, Дж/(м2-с)
Скорость химического производства компонента /, моль/(м3-с)
Универсальная газовая постоянная, равная
8,3144 Дж • моль-1 • К-1
s S
T
V
Ndi V
Удельная энтропия, Дж/К
Площадь поверхности, м2
Температура, К
Скорость жидкости, м/с
Диффузионная скорость компонента 1, м/с
Объем, м3
8 T г X X H V Ф Ф p T (0
Удельная внутренняя энергия, Дж/кг
Отношение теплоемкостей cPlcv
Циркуляция, м2/с
Коэффициент объемной вязкости, Па-с
Коэффициент теплопроводности, кг-м/(К-с3); длина волны, и
Коэффициент сдвиговой вязкости, Па-с
Частота, Гц
Потенциал скорости, м2/с
Функция тока, м2/с
Массовая плотность, кг/см3
Тензор вязких напряжений, Па
Завихренность, с”1
Продолжение
Символ
Определение
т
Верхние индексы
Операция транспонирования матрицы
i, L К / г
Нижние индексы
Отдельные компоненты
Величина, связанная с излучением
Табл. 2-1 содержит сводку обозначений величин, используемых в этих уравнениях, а также в дополнительных уравнениях, приведенных в данной главе.
Первое слагаемое в правой части каждого из уравнений (2-1.1) — (2-1.4) описывает конвективные газодинамические эффекты. Оставшиеся слагаемые соответствуют источникам, стокам, взаимодействию, внешней силе и столкновительному переносу, которые управляют динамикой жидкости. Тензор давления, тепловой поток, полная плотность и плотность энергии, используемые в этих уравнениях определяются следующим образом:
P^W T)I + (|p„,-x}(V-v)I-p^(Vv)Wv)^ (2-1.5) q (N, Т) =—Х,ДТ + S п^^ + ^ S Klvdh(2-1.6)
N^^nb(2-1.7)
f^ypvv + pe.(2-1.8)
В дополнение требуются уравнения состояния, определяющие зависимость давления Р и удельной внутренней энергии е от N и Т:
Р = !Ж Т), г = !ДМ, ту(2-1.9)
В большинстве случаев в этой книге мы рассматриваем газофазные реагирующие течения при плотностях, где уравнение состояния для давления есть уравнение состояния идеального газа:
P = NkBT = pRT.(2-1.10)
Уравнение для внутренней энергии может быть рассмотрено с помощью соотношения
которое связывает энтальпии (А,) с теплоемкостями {ср,}, причем внутренняя энергия связана с энтальпиями равенством
ре = 5рД—Р.(2-1.12)
Внешние силы т^ в уравнениях (2-1.3) и (2-1.4) могут быть различными для разных компонентов. В случае силы тяжести ускорения а, одинаковы для всех компонентов
az = g,(2-1.13)
где g— ускорение силы тяжести. Тогда, если уравнение (2-1.4) переписано как уравнение для внутренней энергии е, то слагаемое с внешней силой может быть опущено (см., например, книги [1, 17]). Силовые члены остаются, однако, в уравнении импульса (2-1.3). Дополнительными усложнениями, связанными с электрическими и магнитными силами, пренебрегалось, так как рассматривались газы незаряженных частиц.
Члены химического производства и расхода массы {QJ и {Л/} в уравнении (2-1.2) могут быть записаны в форме
<2/ = 5 кь /»/ + S ku jk^ + S к^, jkin,nknt, (2-1.14) 1j, кj, к, I '
Li = krl-V'21 hrt, jn, + S krt, 1кп,пк,(2-1.15)
где У и кг— коэффициенты химических скоростей прямой и обратной реакций. Эти коэффициенты могут быть функциями температуры и давления.
Набор диффузионных скоростей компонентов {v^/} находится путем обращения матричного уравнения
Gz-E^^-v^).(2-1.16)
Источниковые члены {G,} в уравнении (2-1.16) определены как °.-v(5-)-("t)^—<2"м7>
Диффузионные скорости удовлетворяют условию
5p,vdz = O.(2-1.18)
i
В таком случае отсутствует суммарный массовый ноток, возникающий из-за взаимной диффузии компонентов, так как полный массовый поток определен как pv.
Уравнения (2-1.1) — (2-1.18)—уравнения реагирующего течения для нейтральных газов. При обсуждении проблем моделирования турбулентности и многофазного течения используются другие формы уравнений.
2-1.2. Континуальное представление
Реагирующая среда состоит из молекул и атомов; те в свою очередь состоят из «элементарных» частиц. Взаимодействия этих частиц определяют процессы, которые мы хотим моделировать. Приведенные выше уравнения реагирующего течения не предсказывают поведение отдельных частиц. Предполагается, что среда является сплошной макроскопической жидкостью. Приближение континуума основывается на процессах статистического осреднения маломасштабных явлений.
Естественный процесс, в котором маломасштабные явления осреднены для построения глобальной величины или закона взаимодействия, назван Хофштадтером [8] «кусочным». Например, полное, детальное знание кварков и «очарованной» хромодинамики не является (к счастью) необходимым для понимания многих аспектов строения и динамики элементарных частиц. Физики-ядерщики часто работают даже на более макроскопическом уровне, рассматривая протоны и нейтроны, потому что физика субэлементарных частиц может быть «кусочной» на уровне ядер- ной физики для всех типов столкновений, кроме самых высокоэнергетических. Делая несколько шагов далее, физико-химики могут рассматривать сложные ядра и электроны, «кусочные» протонные и нейтронные системы, которые составляют ядра. В проблемах реагирующего течения мы обычно используем еще более «кусочные» жидкости или непрерывные распределения ядер и электронов, из которых созданы отдельные химические компоненты. Хофштадтер [8] следующим образом описал связи, возникающие между различными уровнями «огрубления»:
«Хотя всегда существует некоторый «зазор» между различными описаниями, химик не может полностью позволить себе игнорировать относительно более фундаментальный уровень физики, а биолог— химии, поскольку отсутствует резкая граница при переходе от одного уровня к другому. Вот почему человек может обладать интуитивным пониманием других людей, не зная модели кварков, структуры ядер, природы электронных орбит, химической связи, структуры протеинов, органелл в клетке, методов межклеточной связи, физиологии различных органов в человеческом теле или сложных взаимодействий между органами. Все, что нужно человеку — это «кусочная» модель работы самого высокого уровня и, как мы все знаем, такие модели являются реалистичными и успешными...»
«Кусочная» модель больше не имеет способности точного предсказания.
«Короче, при использовании «кусочных» моделей высокого уровня мы жертвуем детерминизмом ради простоты... «Кусочная» модель определяет «пространство», в котором ожидается данное поведение, и специфицирует вероятности его выпадения в различных частях этого пространства...»
Обратимся к уравнениям реагирующего течения (2-1.1) — (2-1.18). Невозможно рассматривать аспекты микроскопического взаимодействия, используя приближение континуума. Тем не менее, можно учесть некоторые макроскопические следствия атомных и молекулярных явлений в модели жидкости. Химические реакции, межкомпонентная молекулярная диффузия, теплопроводность, зависимость энтальпий и давления от температуры — примеры учета микроскопических процессов в макроскопических моделях, вытекающих из «огрубления» микроскопической физики.
В гл. 4 обсуждаются некоторые фундаментальные аспекты конечно-разностных методов решения уравнения (2-1.1) — (2-1.18). Эти методы состоят в разделении времени и пространства на дискретные интервалы и, далее, в определении дискретных переменных, аппроксимирующих непрерывные функции. Этот процесс переводит уравнения в форму, пригодную для численного решения. Мы ожидаем, что соответствующие численные решения сходятся и тем лучше представляют непрерывные переменные, чем меньше размер дискретных интервалов. Проблемы, которые возникают из-за наличия пределов достижимой разрешаемости, детально обсуждаются в гл. 3 и 6.
Даже если бы практические вычислительные ограничения были удалены и было возможно сколь угодно хорошее разрешение, непрерывные переменные все равно были бы представлены в компьютере дискретным набором различных действительных чисел конечной точности. Отметим здесь некоторый парадокс: газодинамические уравнения были получены вначале для упрощения именно дискретных уравнений динамики отдельных частиц. Сейчас мы должны переформулировать проблему континуума для решения уравнений для конечных объемов материи. Тем не менее, новая система уравнений значительно меньше и ее проще решать, чем исходные уравнения динамики частиц.
2-13. Физические явления, представленные в уравнениях
Четыре основных типа процессов представлены в уравнениях реагирующей жидкости. Первые два (химические реакции и диффузионный перенос) связаны с атомной и молекулярной природой вещества, оставшиеся два процесса (конвекция и волновые свойства) определяются коллективными явлениями.
Химические реакции (или химическая кинетика), представленные здесь членами производства и расхода массы Qi и Litli.
Они представляют собой пример «локального» явления, которое не зависит от пространственных градиентов. Другими при- 3—245
мерами локальных явлений являются фазовые изменения, внешние источники, такие, как лазерный и искровой нагрев, и стоки, такие, как радиационные потери в оптически тонком слое. Макроскопическая форма этих эффектов, использованная в уравнениях континуума, следует из процессов осреднения микроскопических эффектов.
Диффузия (или диффузионный перенос), представленная в общей форме как VK, где У может быть равно niNdiy pV • v или q.
Два последних члена в правой части выражения (2-1.5) описывают диффузионные эффекты вязкости. Последние члены в правой части формулы (2-1.6) описывают изменение энергии из-за молекулярной диффузии и химических реакций. Заметим, что диффузионные скорости компонентов {v^} в уравнении (2-1.2) появляются также в выражении (2-1.6) и вносят вклад в процесс диффузии тепла.
Конвекция (или конвективный перенос), описывающая изменение величин, характеризующих жидкость, в пространстве, а также процессы взаимного проникновения ячеек жидкости друг в друга и изменения плотности при сжатии.
Эти эффекты представлены в уравнениях потоками величин, сохраняющихся при пересечении поверхностей, разделяющих объемы жидкости, т. е. V-vX, где X— есть р, п^ Е, pv или Р.
Конвекция есть континуальное понятие, которое предполагает, что такие величины, как плотность, скорость и энергия являются гладкими функциями координат. Газодинамические переменные определены как средние по распределениям частиц, так что для описания локального состояния вещества оказываются необходимыми лишь несколько степеней свободы.
Волновые и колебательные движения, которые неявно содержатся в уравнениях реагирующего течения вместе с уравнениями неразрывности.
Важное положение, касающееся волноподобного движения, состоит в том, что энергия не переносится движением жидкости или частиц. Она передается от одного элемента жидкости к другому посредством волн, причем этот процесс может происходить быстрее, чем конвективный перенос энергии непосредственно жидкостью. Основными рассматриваемыми типами волн являются ударные волны, в которых имеет место скачкообразное изменение плотности и давления жидкости. Другими типами волн, описываемых уравнениями реагирующего течения, являются гравитационные волны и волны химических реакций.
Полная система уравнений реагирующего течения с трудом поддается решению, и многие научные школы изучают проблемы решения подсистем этих уравнений для частных приложений. Например, в гидродинамических приложениях исключаются химические реакции и даже уравнение для энергии, а также предполагается, что течение является несжимаемым (V-v = 0). Аэродинамические проблемы часто связаны с нестационарными нереагирующими течениями при обтекании искривленных поверхностей. Исследования в области химической кинетики часто основываются на рассмотрении химических реакций без учета эффектов конвекции и диффузионного переноса. Задачи химической технологии связаны с решениями комбинаций уравнений химической кинетики и диффузионного переноса. Система связанных уравнений может быть также использована для описания ламинарных и турбулентных течений, явлений дефлаграции и детонации. Уравнения и техника решения, описанные в этой книге, применимы к таким системам и ко многим другим типам реагирующих течений.
2-1.4. Граничные и начальные условия
Частное решение уравнений реагирующего течения определяется начальными условиями, набором химических компонентов и их газодинамическими, термофизическими и химическими свойствами и граничными условиями, которые описывают геометрию системы и обмен массой, импульсом и энергией между системой и ее окружением. Граничные и начальные условия отбирают те решения из многочисленных семейств возможных решений, которые применимы к частным изучаемым задачам. Физическая и численная реализация этих условий также влияет на используемую технику решения.
Часто трудно сформулировать граничные условия таким образом, чтобы они были простыми для расчетов и физически адекватными. Вход и выход потока, свободные поверхности, поверхности раздела жидкостей, течения вблизи твердых тел требуют различных аналитических представлений. Соответствующие численные модели также различны. Иногда наложение физически точных граничных условий приводит к тому, что оказывается невозможным использовать некоторые методы решения. Мы вернемся к обсуждению граничных условий в гл. И.
Сформулировать начальные условия оказывается проще, чем задать граничные условия, потому что начальные условия вводятся лишь в начале вычислений, а граничные условия налагают ограничения на вычисления на каждом временном слое. Отметим, что задание всех необходимых химико-кинетических данных, 3е
уравнений состояния и коэффициентов, определяющих теплопе- ренос для каждого компонента в системе, может требовать больших затрат времени и являться источником больших ошибок.
2-2. Обсуждение уравнений сохранения
В этом разделе мы рассмотрим важные положения, связанные с четырьмя основными типами процессов, имеющих место в уравнениях сохранения реагирующего течения. Здесь не содержится вывода этих уравнений, а вводятся терминология и обозначения, используемые далее в книге. Кроме того, мы попытаемся сформулировать допущения, предполагаемые при формулировке этих уравнений, и пределы их применимости.
2-2.1. Уравнения динамики жидкости
Рассмотрим однокомпонентную подсистему (2-1.1) — (2-1.18), описывающую течение, в котором отсутствуют химические реакции и нет внешних сил. Эти уравнения имеют вид
$- — V(pv),(2-2.1)
^ = _v.(pvv)-vP,(2-2.2)
P$- = -PV-(ev)-P(W)-Vq,(2-2.3)
где
q = _^T.(2-2.4)
Мы заменили уравнение (2-1.4) эквивалентным уравнением для скорости изменения плотности внутренней энергии. Тензор давления определен соотношением
. Р = Р(У, Т)Ц-т, (2-2.5) где тензор вязких напряжений определен как
т=~И [vV + (Vv)^ + (У р—х) (V • V) I. (2-2.6)
Уравнения (2-2.1) — (2-2.6) —стандартные уравнения, обсуждаемые в большинстве книг по газовой динамике. Слагаемые, определяющие локальные изменения во времени физических величин, разделяются на две части: члены конвективного переноса и упрощенные источниковые члены, и слагаемые диффузионного переноса.
Уравнения (2-2.1) — (2-2.6) описывают поведение массовой плотности, импульса, внутренней энергии как функций координат и времени. Потоки этих величин через поверхность элемент
тарного объема обычно выражены через градиенты. Уравнение (2-2.1) есть уравнение непрерывности массовой плотности, а уравнение (2-2.2)—это уравнение Навье—Стокса. Иногда систему уравнений (2-2.1) — (2-2.3) называют уравнениями Навье— Стокса. Уравнения Эйлера получаются из уравнения (2-2.2) путем задания х и ц равными нулю. Уравнения (2-1.1) — (2-1.3) также называются уравнениями Эйлера, когда все члены диффузионного переноса полагаются равными нулю.
Тензор давления в уравнении (2-2.5) состоит из двух частей, одна из которых связана со сжатием, а другая с вязкой диссипацией. Обычно величиной х пренебрегается, кроме тех случаев, когда изучаются структура ударных волн и затухание акустических волн. В других случаях эффекты, связанные с х, несущественны и соответствующие слагаемые в уравнениях не учитываются.
Когда средняя длина свободного пробега частицы (среднее расстояние, пройденное частицей между столкновениями) мала по сравнению с макроскопическими размерами системы, данная система ведет себя как непрерывная среда. Такие величины, как плотность, скорость и энергия, хорошо определены в каждой точке. Используя такое условие малости длины свободного пробега, уравнения динамики жидкости можно строго вывести из уравнения Больцмана. Уравнения динамики жидкости сводятся к уравнениям Навье—Стокса, которые содержат выражения для векторов потоков массы, импульса и энергии. Коэффициенты переноса определяются далее в терминах векторов потоков. Системы, где уравнения гидродинамики не применимы, включают, например, сильно разреженные газы, для которых размер емкости имеет тот же порядок величины, что и длина свободного пробега, а также область вблизи фронта ударной волны, где имеет место резкое изменение параметров на очень коротких расстояниях. Для турбулентных течений уравнения считаются справедливыми, так как наименьший характерный масштаб турбулентных пульсаций обычно больше длины свободного пробега.
Завихренность о определяется выражением
to = vxv. (2-2.7)
Завихренность является векторной величиной, описывающей локальное вращение жидкости. Она удовлетворяет эволюционному уравнению, которое может быть выведено из уравнений (2-2.1) и (2-2.2) с использованием выражения (2-2.7):
5 + OT.v-^.W + Se^El. (2-2.8)
Суммарная циркуляция определяется для данной площади как интеграл от скорости жидкости
V=^v-dr = ^sto.dS,(2-2.9)
где S — замкнутая поверхность. Эволюция суммарной циркуляции определяется формулой
5= С Г (vpx v-P) j dS(2-2.10)
dt JsL p2 JL\ '
путем интегрирования источникового члена завихренности по площади S. Когда 0 = 0, локальное вращение в жидкости отсутствует. В этом случае течение полностью описывается потенциалом скорости ф, причем
¥ = ?ф.(2-2.11)
Если течение, описываемое уравнением (2-2.8), является также несжимаемым, т. е. Vv = 0, то
V-v = V^ = 0(2-2.12)
и потенциал ф определяется уравнением Лапласа. Этот тип движения называется потенциальным течением.
В общем случае векторное поле скорости v(r, t) может быть представлено как сумма трех членов
v = V X ^ + ?ф + ?Ф^.(2-2.13)
Векторная функция тока ф для вращательной компоненты удовлетворяет соотношению
VX(VX^) = to,(2-2.14)
а сжимаемая компонента
?-Гф = V-v,(2-2.15)
вообще говоря, не равна нулю. Третий член Vфp есть частное потенциальное решение для скорости, которое может быть добавлено к слагаемым, связанным с вращением и сжатием, в уравнении (2-2.12) и для которого вихрь и дивергенция равны нулю. Это частное решение обычно выбирается для адаптации к заданным граничным условиям составного решения для v, определяемого уравнением (2-2.13).
Режимы течения жидкости обычно классифицируются в соответствии с отношением скорости течения к скорости звука, т. е. скорости распространения малых возмущений давления в жидкости. Выражение для скорости звука может быть выведено из Уравнений неразрывности и Навье—Стокса путем анализа ста-
(2-2.16)(2-2.16)
(2-2.16)
(2-2.16)
Таблица 2-2. Числа Маха, характеризующие режимы течения
Режим течения
Диапазон числа МахаХарактеристика■
Несжимаемое
М<0,4Нет сжатия; плотность
и давление постоянны
Дозвуковое
0,4<М<1Сжатие становится важ
ным
Трансзвуковое
М~ 1Существуют слабые скач
ки уплотнения
Сверхзвуковое
1<М<3Существуютсильные
ударные волны
Гиперзвуковое
М^ЗСуществуют очень силь
ные ударные волны, большая часть энер* гии — кинетическая энергия
ционарного невязкого течения. Скорость звука cs равна
где производная берется при постоянной энтропии (см., например, книгу [9]). Для идеального газа это выражение сводится к формуле
(2-2.17)
Число Маха М течения
(2-2.18)(2-2.18)М = | v|/cs
(2-2.18)
(2-2.18)
определяется с помощью выражения (2-2.17) для скорости звука. Различные режимы течения, характеризуемые значением числа Маха, приведены в табл. 2-2.
2-2.2. Уравнения состояния
Уравнение состояния идеального газа (2-1.10) справедливо для невзаимодействующих частиц исчезающе малого размера и хорошо применимо для разреженных газов. Тем не менее, оно оказывается не вполне справедливым даже для газов при атмосферном давлении. Были предложены более сложные уравнения состояния, связанные с разложением в ряд относительно PV[NkB, где коэффициенты разложения определены посредством теоретических расчетов или экспериментов. Если межмолекулярные силы известны, уравнение состояния можно вывести теоретически.
В общем описании динамики жидкости (и реагирующих течений) необходимы уравнения состояния для давления
P = P(V, Т)(2-2.19)
и внутренней энергии
8 = 8 (V, Т).(2-2.20)
Подробные статистико-механические выводы и обсуждения различных форм уравнений состояния даны Гиршфельдером, Кертисом и Бердом [7]. Другим практическим руководством является работа Рейда, Праузница и Шервуда [13]. Большинство аналитических форм уравнений состояния может быть включено в уравнения динамики жидкости и численно решено вместе с ними. Часто, однако (и, как правило, для конденсированных фаз), уравнения состояния представлены в виде табличных данных, полученных экспериментально или в результате сложных дорогостоящих расчетов.
2-2.3. Уравнения кинетики химических реакций
В кинетике горения обычно рассматриваются мономолеку- лярные, бимолекулярные и тримолекулярные реакции между химическими компонентами. Эти три случая обычно записываются в форме уравнений
а^Ь-^с,(2-2.21а)
a-Vb^c-Vd,(2-2.216)
кГ
a + b + m^± с + m,(2-2.21в)
кг
где а, Ь, с, d, m обозначают характерные химические компоненты, У и кг — соответственно скорости прямой и обратной реакций.
Уравнения (2-1.2) являются нестационарными уравнениями сохранения для Ns молярных плотностей химических компонентов. Эти величины сохраняются в том смысле, что изменение общего числа частиц в области имеет место только в результате конвективного переноса через границу области. Скорости химического производства {Qz} и расхода {L^ в уравнении (2-1.2) не сохраняются, так как параметры отдельных компонентов изменяются в химических реакциях. Если интересоваться только из-
менением из-за химических реакций, то уравнение (2-1.2) приобретает вид
^L = Q.-nlLl, 1=1,..., Ns- (2-2.22)
Эти соотношения представляют собой систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Как {Q/}, так и {!/} являются линейными комбинациями произведений плотностей {nJ, умноженных на константы скоростей. Их характерные формы даны уравнениями (2-1.4) — (2-1.15). Константы скоростей прямой и обратной реакций могут быть сложными функциями температуры и давления. Эти выражения для скоростей, обычно встречающиеся в кинетике горения, имеют аррениусовскую или модифицированную аррениусовскую форму, т. е.
Ае-с/т или АТве-с/т (2-2.23)
соответственно. Справедливость этих формул зависит от наличия больцмановского распределения для вращательных и электрон» ных состояний молекул, участвующих в реакции. Когда эти формулы не применимы, можно использовать иные формулы или таблицы значений как функции температуры и давления. Иногда индивидуальные колебательные или вращательные состояния следует рассматривать раздельно, как это имеет место в приложениях атмосферной, солнечной и лазерной химии. Основные проблемы в численном решении обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка обсуждаются в гл. 4. Решение системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящих от температуры, обсуждается в гл. 5.
Когда уравнение (2-2.22) связано с уравнениями состояния (2-1.9) — (2-1.12), температура может быть определена из алгебраического уравнения, выражающего условие сохранения энергии. Когда эти термофизические свойства известны, часто можно решить обыкновенное дифференциальное уравнение, которое описывает изменение температуры из-за химических реакций. Этот случай обычно реализуется в задачах атмосферной химии, в которых колебательные или электронные состояния молекул не находятся в равновесии. .
Когда химические реакции приблизительно термонейтральны, т. е. когда поглощается или производится химическими реакциями малое количество энергии или когда реагенты сильно разбавлены, существует ограниченная обратная связь между динамикой и химией жидкости. Тогда основное влияние химии на динамику жидкости осуществляемся посредством изменения молярной плотности, которое вызывает изменение давления. Предположение о термонейтральности справедливо в первом прибли-
жении, когда мы связываем либо химию ионов земной ионосферы с нейтральным ветровым движением, либо плотность тяжелых ионов с движением объемной плазмы в солнечной атмосфере. Однако, когда реакции эндо- или экзотермичны, как при горении, или когда существенна ионизация, как в лазерной плазме, сильная связь между химией и динамикой жидкости должна обязательно учитываться.
2-2.4. Уравнения диффузионного переноса
Тензор давления Р и вектор теплового потока q представляют пространственные потоки импульса и энергии. Существует также вектор массового потока piVdi. Эти потоки записываются через коэффициенты переноса и градиенты массовой плотности, скорости и температуры. Такие соотношения справедливы, когда условия слабо отличаются от равновесных, так что основные функции распределения частиц являются почти максвелловскими и изменения средних свойств жидкости на длине свободного пробега малы. Когда градиенты достаточно малы, потоки могут аппроксимироваться первыми производными от плотности, скорости и температуры.
Процессы диффузионного переноса выражают перенос массы, импульса или энергии благодаря градиентам концентрации, скорости и температуры. Коэффициенты переноса и градиенты, с которыми они связаны, даны в табл. 2-3.
Таблица 2-3. Коэффициенты переноса и градиенты
Процесс
Коэффи
циентГрадиенты
Молекулярная (обычная, бинарная) диффузия Вязкость
Теплопроводность Термодиффузия
Пц^AidNV ^ТЛР
ЦVv
XmV7, VP
K,T^T
Вязкость определяет передачу импульса при наличии градиента скорости. Теплопроводность и термодиффузия определяют соответственно перенос энергии и поток при наличии градиента температуры. Подробные описания свойств диффузионного переноса даны Гиршфельдером, Кертисом и Бердом [71, Чепменом и Каулингом [3] и Рейдом, Праузницем и Шервудом [13]. Вопросы, связанные с горением, обсуждаются Стрелоу [16].
В гл. 7 даны выражения для коэффициентов переноса для газов, используемых при расчетах горения, и новый метод решения матричного уравнения для многокомпонентных скоростей диффузии.(
2-2.5. Уравнения радиационного переноса
Уравнение (2-1.4) включает эффект переноса энергии излучением, обусловленный членом V«qr. В дополнение к вкладу в вектор теплового потока q излучение оказывает влияние на тензор давления и внутреннюю энергию. Для газофазных пламен и детонации эти дополнительные вклады обычно малы и ими пре- небрегается в уравнениях (2-1.3) и (2-1.4).
В общем случае член, представляющий поток излучения в уравнении (2-1.4), может быть представлен в виде
^.qr = RB-RAl(2-2.24)
где Re — скорость испускания излучения в единице объема, Ra — аналогичная скорость поглощения. Обычно скорости поглощения пропорциональны плотностям поглощающих компонентов. Радиационный перенос может быть описан для отдельных областей длины волны в тех случаях, когда важны отдельные атомные переходы и, следовательно, отдельные спектральные линии. В этих случаях поток должен рассчитываться как интеграл от спектрального потока по длине волны Я
q,(r)=$;W)^.(2-2.25)
В общем случае qx определяется коэффициентами поглощения излучения веществом av(T, р).
Существуют два случая, которые могут быть рассмотрены непосредственно. Первый имеет место в непрозрачной среде, которая существует в горячих газах в камерах сгорания автомобильных двигателей. О газах в таких системах говорят как об оптически плотной среде. Поглощение в ней настолько интенсивно, что фотоны проходят между поглощениями очень короткое расстояние. Излучение при этом находится в локальном термодинамическом равновесии с веществом. Для таких случаев можно определить среднюю длину свободного пробега фотона, создающего радиационное поле, и процесс затем может быть описан в форме диффузии. Другой предел осуществляется в некоторых слабосветящихся пламенах, когда вещество в основном прозрачное. При наличии слабого поглощения член Ra в уравнении (2-2.24) мал и излучательный член Re преобладает. В этой ситуации часто говорят об оптически тонкой среде.
Учет переноса излучения в численной модели и более детальное обсуждение соответствующих членов даны в гл. 12. Ссылки на физику этих процессов содержатся в работах Зельдовича и Райзера [18], Рибики и Лайтмана [14], Зигеля и Хауэлла [15] и Д. и Б. Михаласов [12].
2-2.6. Характеристические траектории
Рассмотрим идеальное одномерное плоское изэнтропическое сжимаемое течение со скоростью жидкости и и скоростью звука cS) определенной выражением (2-2.16). Информация из любой точки течения распространяется в соответствии с уравнениями ^ = и,% = v±cs.(2-2.26, 2-2.27)
Уравнение (2-2.26) определяет траекторию Со, вдоль которой энтропия s постоянна. Более того, когда s постоянно в потоке, инварианты Римана
^±=У±1^-(2-2.28)
постоянны вдоль траекторий С±, определенных уравнением (2-2.28) [4, 9]. Траектории С± соответствуют прямым и обратным звуковым волнам, распространяющимся относительно потока. Траектория Со соответствует движению частицы. Изменения в энтропии переносятся в соответствии с адиабатическим уравнением
£ + "S"°-(2-2.29)
Уравнения (2-2.16) и (2-2.26) — (2-2.29) полностью описывают течения, в которых энтропия постоянна при движении жидкости. Течения описываются движением вдоль характеристических траекторий или характеристик, обозначенных выше С± и Со. Произвольное малое возмущение может быть записано как суперпозиция возмущений, распространяющихся в соответствии с этими тремя законами. Основные идеи метода характеристик детально рассмотрены Курантом и Фридрихсом [4] и Курантом и Гильбертом [5]; их обзор содержится в книге Липмана и Рош- ко [10].
В неизэнтропических течениях могут существовать два типа разрывов, или поверхностей раздела между различными состояниями одной среды. Первый есть контактный разрыв, на котором и давление, и нормальная скорость непрерывны. Другим типом разрыва является ударная волна, на которой все зависимые переменные терпят разрыв. Контактный разрыв распростра-
няется со скоростью жидкости и вдоль Со. Ударные волны распространяются со скоростью us, которая единственным образом определяется скачкообразным изменением р, v и Р. В пределе очень слабых ударных волн траектория скачка, переходящего в акустическое возмущение, совпадает с одной из траекторий С±.
2-2.7. Классификация уравнений в частных производных
Общие одномерные дифференциальные уравнения второго порядка, обсуждаемые до сих пор, могут быть записаны в форме
"S+^+cS+^+'is+fp+e-0. <2-2-з°)
где р может представлять любую из неизвестных переменных. Это уравнение классифицируется как гиперболическое, параболическое или эллиптическое в зависимости от того, является ли дискриминант
О = ЬЦх, t)—ia(x, t)c(x, 0 (2-2.31) положительным, равным нулю или отрицательным (см., например, книги [2, 10]), а именно:
№—4ас > 0 (гиперболическое),
№—4аи = 0 (параболическое), (2-2.32) 62—4ас < 0 (эллиптическое).
Когда функции dt b, с, d, е, f или g зависят не только от координат и времени, но и от переменной р, уравнение (2-2.30) нелинейно. Из-за того, что коэффициенты могут изменяться во времени и пространстве, тип уравнений также может изменяться в соответствии с конкретным положением в пространстве и времени. Эти определения обобщены для многомерного случая Карнаханом и др. [2].
Табл. 2-4 содержит несколько примеров такой классификации, извлеченной как из уравнений реагирующего течения, так и из уравнений в частных производных из смежных областей физики. В этих примерах отсутствуют перекрестные производные, поэтому b^x, t) равно нулю. Таким образом, для гиперболических уравнений функции а^х, I) и с^х, t) должны иметь противоположный знак. Этим условиям удовлетворяет волновое уравнение. В эллиптических уравнениях имеются обычно две пространственные производные. Здесь а^х, у) и с^х, у) имеют одинаковый знак.
Для гиперболических уравнений характеристики действительны (см., например книгу [11]) и скорость распространения сигнала конечна. В параболических уравнениях, таких, как диффу-
Таблица 2-4. Классификация уравнений
Тип уравнения
УравнениеНазвание
Гиперболическое
„1d2pп
V Р ™ с ^20 Волновое уравнение
Эллиптическое
v2p=0Уравнение Лапласа
>
72-ф=§Уравнение Пуассона
Параболическое
91 др
V Р —~ = 0Уравнение диффузии
>
2m
V2P + "^ (Е — Щр = 0 Уравнение Шредингера
зионное, скорость распространения не определена, а характеристики комплексные. В эллиптических уравнениях имеет место бесконечная скорость распространения возмущений. Решение в любой момент времени связано с решением у границ в тот же момент времени. Уравнение Пуассона — пример эллиптического уравнения.
2-2.8. Безразмерные переменные
Для большинства задач горения трудно либо невозможно получить аналитические решения основных уравнений. Когда теория не может дать явное решение, а требуется изучить общие свойства системы, часто полезно сравнить геометрически подобные системы. Например, рассмотрим две системы, в которых размеры, условия течения и даже вид жидкости могут отличаться. В некоторых случаях оказывается, что системы ведут себя как подобные. Методы такого размерностного анализа используются, когда переменные известны, а уравнения — нет. Методы инспекционного анализа основных уравнений используются, естественно, когда известны уравнения. Эти методы ведут к множеству безразмерных чисел, которые являются отношениями параметров систем. С осторожностью и оглядкой на используемые основные допущения системы могут характеризоваться значениями этих безразмерных чисел. Более детальное обсуждение содержится в работе Бродкея [1].
В качестве примера рассмотрим уравнение сохранения импульса (2-1.3). Конкретное течение может характеризоваться длиной /, временем течения t, скоростью течения и и внешней силой pg. Рассмотрим другое течение с геометрическими подобными границами, которое характеризуется параметрами V, К
и и'. Еслй\ эти течения подобны, можно написать систему соотношений вида /=С1/', t=C2t' и т. д., и заменить переменные в уравнении (Ц-1.3) переменными со штрихом. Приравнивая далее коэффициенты в обоих уравнениях, выявляют число связей. Например, пусть
fop = ре = const. (2-2.33)
Величина /ир/р должна быть одной и той же в обеих системах. Это безразмерное отношение называется числом Рейнольдса и определяет отношение инерционных и вязких сил. Запишем еще одну безразмерную комбинацию
Это равенство определяет число Эйлера, являющееся отношением давления к инерционным силам. Выражение в скобках в правой части уравнения (2-2.34) справедливо для случая идеального газа. Это определение показывает, что число Ей-1 равно показателю адиабаты, умноженному на квадрат числа Маха. Если в системе действует сила тяжести, то f = pg и можно получить еще одну безразмерную величину
»t2
T^-Fr,(2-2.35)
которая называется числом Фруда. Число Фруда есть отношение кинетической энергии и потенциальной энергии тяготения.
Уравнения движения для двух жидкостей будут одинаковыми, если числа Рейнольдса, Маха, Фруда и показатели адиабаты будут равны. Исследование уравнения неразрывности не создает каких-либо новых безразмерных чисел, но из уравнения для энергии можно получить число Пекле Ре, которое является отношением тепла, переданного посредством конвекции, к теплу, переданному посредством теплопроводности:
^- = Ре,(2-2.36)
а также число Прандтля Рг, равное отношению кинематической вязкости к теплопроводности:
^ = Рг, '(2-2.37)
и число Бринкмана Вг, равное отношению тепла, локально произведенного вязкой диссипацией, к теплу, переданному посредством теплопроводности:
-Й = Вг.(2-2.38)
Рассматривая молекулярную диффузию, мы можем определить число Пекле тепломассопереноса Pe,s, равное /отношению конвективно и диффузионно переданных количеств тепла:
^- = Pe,s,(2-2.39)
и число Шмидта Sc, равное отношению параметров диффузии импульса и диффузии массы:
-£- = Sc.(2-2.40)
pDikv '
Эти и другие безразмерные отношения определены в табл. 2-5.
Таблица 2-5. Безразмерные числа
Название
Символ
Определение1)
Характеристика
Число Атвуда
А
Ap/(pi + P2>
Разность плотностей, отнесенная к суммарной плотности '
Число Бринкмана
Вг
^ЦХ
Тепло вязкой диссипации, отнесенное к теплу теплопроводности
Капиллярность
Ср
ри/a
Вязкая сила, отнесенная к силе поверхностного натяжения
Проницаемость
Сг
цХ/о/рСр
Отношение параметров диффузии и поверхностного натяжения
Число Дамкёлера
Dai
Rd/v
Скорость химической реакции, отнесенная к скорости конвекции
>
Da2
RtPID
Скорость химической реакции, отнесенная к скорости диффузии
>
Da3
Ql/phv
Химическое тепло, отнесенное к теплу конвекции
>
Da<
Ql/XT
Химическое тепло, отнесенное к теплу теплопроводности
>
Das
QlfpDh
Химическое тепло, отнесенное к теплу диффузии
Число Эйлера
Eu
P/pv»
Давление, отнесенное к инерционной силе
Коэффициент сопротивления
CD
Сила сопротивления, отнесенная к инерционной силе
Число Фруда
Fr
v2/lg
Кинетическая энергия, отнесенная к энергии тяготения
Число Грасгофа
Gr
gp4^TI^
Подъемная сила, отнесенная к вязкой.силе
Число Карловица
К
(UcHdvIdn
Множитель растяжения (критерий увеличения площади фронта пламени)
\
\
Проблемы моделирования реагирующих течений4^
Продолжение
Название
Символ
Определение’)
Характеристика
Число Кнудсена
Кп
6/Z
Время конвекции, отнесенное к времени столкновения
Число Льюиса
Le
X/pDtjCp
Энергия, переносимая теплопроводностью, отнесенная к энергии, переносимой диффузией
Число Маха
М
v/cs
Величина, характеризующая влияние сжимаемости
Число Ньютона
Nt
F]p1W
Внешняя сила, отнесенная к инерционной силе
Число Нуссельта
Nu
aUX
Общее перенесенное тепло^ отнесенное к теплу, перенесенному за счет теплопроводности
Число Пекле
Ре
*olpcPIX
Конвективно перенесенное тепло, отнесенное к теплу, перенесенному за счет теплопроводности
»
Ре, s
vl/Dij
Конвективно перенесенное тепло, отнесенное к теплу, перенесенному за счет мас- сопереноса
Число Пуазейля
Ро
!Ap!\vu
Сила давления, отнесенная к силе вязкости
Число Прандтля
Рг
cppJX
Отношение коэффициента: вязкости к коэффициенту теплопроводности
Число Рейнольдса
Re
lup/p.
Инерционная сила, отнесенная к силе вязкости
Число Ричардсона
Ri
gU^V
Отношение эффектов плавучести и вертикального сдвига
Число Россби
Ro
ol^l sin A
Инерционная сила, отнесенная к силе Кориолиса
Число Шмидта
Sc
p.lpDu
Отношение импульса, перенесенного за счет вязкости^ к импульсу, перенесенному за счет диффузионного мас- сопереноса
Число Стентона
St
afpvcp
Потерянное тепло, отнесенное к конвективно перенесенному теплу
Число Стокса
S
p/pvZ2
Скорость вязкого затухания, отнесенная к частоте колебаний
Число Струхала
Sr
vZ/y
Колебательная скорость, отнесенная к скорости конвективного течения
Число Вебера
W
p/y2/a
Инерционная сила, отнесенная к силе поверхностного натяжения
Число Зельдовича
4—245
z
а,ев/(1+а')
Энергия активации, отне- сенная к тепловой энергии
Продолжение
*) Обозначения:
ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении, м2/(К-с2);
F — внешняя сила, кг-м/с2;
g — ускорение силы тяжести, м/с2;
I — масштаб длины, радиус, см;
Q — ЯИ^Я^, кг/с-3;
i
Ri — PJn^L^ с-1 (см. табл. 2-1);
Т — температура, К;
и — характерная скорость течения, м/с;
а — коэффициент в ньютоновском законе теплопередачи М^ТД/х) =аАГ, кг/(с-3-/();
а' — Q/(cpTQ), где То — температура несгоревшего газа;
— коэффициент расширения;
— средняя длина свободного пробега, м;
-га — EJkTb> где Ть — температура сгоревшего газа;
А — разность двух величин;
Л — широта положения на поверхности Земли;
М — коэффициент вязкости, Па-с;
v — частота, Гц;
& — угловая скорость вращения твердого тела, рад/с;
р — массовая плотность, кг/см3:
о — коэффициент поверхностного натяжения, кг/с2.
Характеристика системы (или набора подобных систем) с помощью безразмерных чисел зачастую оказывается полезной. Например, можно оценить с помощью числа Рейнольдса, является ли течение неустойчивым к сдвиговым возмущениям. Распад капли можно оценить вычислением числа Вебера. Но безразмерные числа могут иногда и вводить в заблуждение, потому что течение обычно характеризуется многими комплексами, которые могут изменяться во времени. Например, число Рейнольдса, рассчитанное в некотором положении и в некоторое время, может быть одним и тем же для двух систем. При этом вывод об устойчивости течения, основанный на числе Рейнольдса, может оказаться неверным из-за зависящего от времени влияния химических реакций и последующего выделения энергии. Даже если число Вебера, характеризующее распад капли, в идеализированном случае может иметь одно значение, наличие сильного сдвига в потоке приведет к образованию капель много меньшего радиуса, чем предсказывается распадом. Безразмерные числа следует использовать с осторожностью лишь как общее руководство к описанию поведения системы.
2-2.9. Поиск входных данных
Таблица 2-6 суммирует уравнения (2-1.1) — (2-1.18) в терминах физических процессов и требуемой входной информации. Наличие хороших входных данных для уравнений столь же важно, как и использование хороших численных алгоритмов для их решения. Часто эти значения так же трудно определить, как и построить вычислительную модель. Входные данные — это обычно наименее точная часть данных для расчетов. Процессы кон-
Таблица 2-6. Процесс в уравнениях сохранения
Процесс
Входные данныеГлава
Химическая кинетика
Компоненты и реакции, энталь-5
пии, теплоты образования
Молекулярная диффузия
Коэффициенты молекулярной7
диффузии
Термодиффузия Вязкость Теплоперенос
Коэффициенты термодиффузии7
Коэффициенты вязкости7
Коэффициенты теплопроводно-7
сти
Конвективный перенос
Граничные и начальные уело-8—11
вия
векции и диффузии обычно вычисляются с точностью до нескольких процентов. Коэффициенты переноса и коэффициенты скоростей реакций редко известны с точностью, меньшей десяти процентов. •
Рассмотрим, например, скорости прямых и обратных химических реакций, упомянутые в уравнениях (2-1.14) и (2-1.15). Рис. 2-1 обобщает предсказанное значение константы скорости одной химической реакции как функцию года ее измерения. Видно, что числа, вводимые в модель, должны быть тщательно исследованы, и необходимо тестирование на чувствительность решений к входным данным.
В гл. 5 обсуждается использование анализа чувствительности для определения того, как выбор входных параметров влияет на результаты расчетов.
2-3. Динамика жидкости при наличии химических реакций
2-3.1. Механизмы обратной связи и взаимодействия
Динамика жидкости и химическая кинетика взаимодействуют несколькими основными способами, которые оказывают наиболее существенное влияние на реагирующие течения. Конвективное течение вынуждает малый элемент объема перемещаться из одного положения в другое, проникать в соседние элементы жидкости и изменять плотность в ответ на изменения условий течения вдоль его пути. Каждый из этих трех эффектов конвекции по-разному взаимодействует с химическими реакциями, происходящими в системе.
Уравнение (2-2.13) показывает, что поле скорости имеет три отдельные составляющие. Потенциальная составляющая этого поля характеризуется нулевыми ротором и дивергенцией. Таким
Рис. 2-1. Константа скорости реакции HO + O3->HO2+O2 гидроксильного радикала и озона при температуре 300 К как функция года ее измерения. Измерения отмечены точками, кружками, крестиками и горизонтальными черточками. Стрелки выше или ниже черточек указывают на эксперименты, которые дают верхнюю и нижнюю границы. (Рисунок предоставлен доктором Давидом Гар- вицом из Национального бюро стандартов NBS.)
образом она представляет лишь адвективные течения, свободные от вращения и сжатия. В одномерных задачах адвекция включает движение с постоянной скоростью. В многомерном случае потенциал скорости возникает при решении уравнения Лапласа (2-2.12) с соответствующими граничными условиями. В потенциальном течении отсутствуют звуковые волны, ударные волны, вихри и турбулентность.
Так как в потенциальном течении соседние элементы жидкости остаются таковыми по всей длине течения, основное влияние потока на химические реакции состоит в пространственном смещении области реакции, связанной с элементом жидкости.
Хотя это и кажется простым, вычислительные проблемы, связанные с попыткой представить непрерывное движение жидкости по дискретной пространственной области, были наиболее сложными в вычислительной динамике жидкости на протяжении десятилетий. В гл. 6, 8—10 обсуждаются методы аккуратного представления движения жидкости.
Когда завихренность не равна нулю, в течении имеются градиенты, нормальные к локальному направлению движения жид-
кости. Такие вращательные или сдвиговые движения позволяют объему жидкости перемещаться и конвективно перемешиваться с другим объемом, а также могут разделять два первоначально близких элемента. Сдвиг в локальном течении также увеличивает градиенты величин, связанных с отдельными компонентами, и ускоряет молекулярное перемешивание. Естественным следствием крупномасштабного вращения в потоке является турбулентное перемешивание, которое сближает далеко отстоящие элементы жидкости и позволяет им смешиваться и химически реагировать. Таким образом, завихренность увеличивает химическую реакционную способность. Завихренность может влиять на химические реакции в предварительно перемешанной смеси путем смешения горячей прореагировавшей жидкости с холодной непрореагировавшей. Тогда повышение температуры, так же как и введение промежуточных реагирующих компонентов, увеличивает скорость химической реакции. Численные методы, построенные для анализа сильно завихренных течений, обсуждаются в гл. 8—10.
Когда течение является безвихревым, но дивергенция не равна нулю, т. е. когда VXv = 0, но V-v^O, имеются градиенты скорости в направлении движения, ведущие к сжатиям или разрежениям. Сжатие обычно ускоряет химические реакции, а расширение замедляет их. При этом возможен эффект разгона, когда более высокие плотности увеличивают скорость химических реакций, которые, в свою очередь, еще быстрее увеличивают давление.
Движение жидкости, возникающее непосредственно из-за локальных расширений, может быть бурным, но оно уменьшает амплитуду при удалении от источника и прекращается, когда тепловыделение завершается. Непрямое влияние расширения имеет более долгоживущий характер и может оказаться более важным. Завершившись, расширение оставляет порции горячего прореагировавшего газа среди непрореагировавших топлива и окислителя. Градиенты температуры и плотности замораживаются в жидкости и движутся вместе с ней. Внутренние градиенты плотности взаимодействуют с внешним градиентом давления, создавая дополнительную завихренность. Это пассивное влияние химической кинетики на течение генерирует завихренность относительно медленно, но ее суммарное влияние может быть намного значительнее влияния долгоживущих вихрей, генерируемых непосредственно в процессе расширения. Хотя вихри имеют скорости, которые составляют всего несколько процентов от порождающих их скоростей расширения, они сохраняются долгое время после завершения расширения. В отличие от прямого расширения эти вращательные течения способствуют смешению.
Все виды процессов, представленных в уравнениях (2-1.1) —
(2-1.18), а именно, химическая кинетика, диффузионный перенос, конвекция и волновые явления могут взаимодействовать друг с другом. До сих пор мы явно рассмотрели взаимодействие конвекции и тепловыделения вследствие химических реакций. Может быть, наиболее важными из оставшихся являются взаимодействия между молекулярной диффузией и химической кинетикой, и молекулярной диффузией и конвекцией. Вращательная компонента течения генерирует завихренность и вынуждает элементы жидкости взаимно проникать друг в друга. Этот процесс увеличивает площадь поверхности раздела между различными средами и посредством сдвига течения и растяжения вихрей увеличивает значения градиентов. Таким образом, диффузионный перенос всех типов ускоряется вращательной компонентой скорости. Сильное влияние молекулярной диффузии на конвекцию осуществляется неявно посредством эффектов тепловыделения в результате смешения топлива и окислителя. Прямые взаимодействия между молекулярной диффузией и химической кинетикой существуют потому, что они изменяют природу компонентов, присутствующих в элементе жидкости. Молекулярная диффузия осуществляет это путем подачи нового вещества в объем, а химическая кинетика — путем химических трансформаций. Имеет место также изменение температуры, связанное с этими процессами: молекулярная диффузия влияет путем движения холодного и горячего вещества из одной области в другую* а химическая кинетика — путем освобождения или поглощения энергии. Взаимодействия этих процессов особенно важны в пламенах.
2-3.2. Три задачи реагирующих течений
Опишем три задачи реагирующих течений, содержащие большинство взаимодействий и процессов, которые мы будем рассматривать: 1) распространение газофазной детонации* 2) ламинарное газофазное перемешанное пламя и 3) многофазное реагирующее течение с каплями топлива. Эти примеры весьма идеализированных реагирующих течений использовались для того, чтобы показать, каким образом физические процессы, описываемые уравнениями (2-1.1) — (2-1.18), взаимодействуют в задачах горения. Так как в следующих главах излагаются соответствующие численные методы, то задачи подобного типа будут использованы в качестве примеров их приложения.
Распространение газофазной детонации
Рассмотрим плоскую одномерную детонацию, распространяющуюся в открытом пространстве, наполненном горючим материалом. До прохождения детонационной волны вещества
Рис. 2-2. Схема структуры распространяющейся детонации: а — плоская одномерная детонация состоит из ударной волны, сопровождаемой зоной реакции с последующей областью полностью прореагировавшего вещества; б — многомерная детонация, состоящая из взаимодействующих ударных волн.
является однородным по составу, давлению и температуре. Детонация есть сверхзвуковая волновая структура, состоящая из лидирующей ударной волны, сопровождаемой зоной реакции, и областью сгоревшего газа. Ударная волна нагревает и сжимает невозмущенную реагирующую смесь, проходя через нее. Повышение температуры активизирует химические реакции, и на некотором расстоянии за ударной волной происходит выделение тепла. Тепловыделение порождает волны давления, некоторые из которых распространяются вперед и ускоряют ударную волну. Распространяющаяся динамически равновесная конфигурация является следствием равновесия между ударным нагревом, сжатием и выделением энергии за ударной волной. Такая простая одномерная картина качественно проиллюстрирована на рис. 2-2, а. При детонации выделение энергии происходит столь быстро, что молекулярная диффузия и теплопроводность не влияют на перенос энергии. Скорость детонации зависит только от количества энергии в веществе, а также от температуры и давления газа. Влиянием стенок или тепловых источников и стоков пренебрегается. Такая идеализированная картина детонации содержит основные взаимодействия конвекции и химических реакций с энерговыделением.
В многомерной газофазной детонации течение является значительно более сложным. Детонационный фронт часто состоит из пересекающихся ударных волн с изменением их относительной ориентации со временем. Эти ударные волны сопровождаются реакционными зонами и областями сгоревшего вещества, которые также изменяют со временем форму и размер.
Идеализированная двумерная конфигурация показана на рис. 2-2, б. Вращательные течения, исключенные из одномерной картины, имеют место за фронтами лидирующих ударных волн, потому что сдвиговые течения и завихренность генерируются у линий скольжения за множественными взаимодействующими скачками. При их движении в пространстве пересечения лидирующих ударных волн, называемые тройными точками, образуют структуры, часто носящие название детонационных ячеек. В реальных детонациях могут оказаться существенными эффекты неоднородности реагирующего вещества, присутствие стенок, препятствий и пограничных слоев. Великолепный обзор структуры и теории таких ячеек дали Стрелоу [16] и Фикетт и Девис [6].
Основными процессами, которые необходимо моделировать численно для расчета распространяющейся детонации, являются конвекция, включающая эффекты сжимаемости, и химические реакции, ведущие к выделению энергии. Точный двумерный расчет, учитывающий оба эти процесса, может дать численную модель детонационной структуры. Техника моделирования сверхзвуковых течений обсуждается в гл. 8 и 9. Основная трудность, встречающаяся в этой задаче, состоит в том, чтобы избежать численных ошибок, которые ведут к «размазыванию» разрешаемой структуры. Приближением, позволяющим' избежать этих ошибок, является использование алгоритмов, сохраняющих консервативные свойства уравнения неразрывности. Методы моделирования выделения энергии в химических реакциях обсуждаются в гл. 5. В дополнение к стоящим особняком методам интегрирования связанных систем обыкновенных дифференциальных уравнений будут обсуждаться более феноменологические подходы, которые можно эффективно использовать для расчета реагирующего течения. Расчеты химической кинетики составляют наиболее дорогостоящую часть вычислений. Исследование в области численных методов для обыкновенных дифференциальных уравнений еще не привело к созданию быстрых эффективных алгоритмов, связанных с динамикой жидкости. Для сравнения отметим, что точные алгоритмы учета конвекции относительно недороги. Описание одномерных и двумерных моделей детонации дано в гл. 13.
Распространение ламинарного перемешанного пламени
Распространение ламинарного пламени в перемешанном газе объединяет эффекты конвективного переноса, теплопроводности и молекулярной диффузии с химической кинетикой и тепловыделением. Кроме того, могут быть очень важными такие процессы^ как потери тепла на стенках или вследствие из-
Рис. 2-3. Схема структуры распространяющегося ламинарного пламени. Пламя движется слева направо, оставляя за собой сгоревшие, прореагировавшие газы. Сплошной линией показан профиль температуры, штриховой линией — профиль плотности.
лучения. Из-за большого числа физических процессов, требуемых для описания пламени, необходимо учитывать значительно большее число потенциально важных взаимодействий.
Рассмотрим идеализированный одномерный фронт пламени, движущийся по реакционноспособному перемешанному газу, и пренебрежем наличием стенок и радиационными потерями. Фронт пламени определяется значительными градиентами температуры и плотностей компонентов и отделяет высокотемпературную область с низкой плотностью от низкотемпературной области с высокой плотностью. В отличие от фронта ударной волны, который характеризуется скачками давления, температуры и плотности, давление поперек фронта пламени постоянно. Эта ситуация качественно иллюстрируется на рис. 2-3. Энергия, выделившаяся в окрестности фронта пламени, вызывает конвективное расширение. Химические реакции создают источник неустойчивых промежуточных компонентов, которые могут диффундировать в область перед фронтом. Вещество перед фронтом нагревается за счет теплопроводности. Скорость пламени, структура фронта и физический механизм распространения определяются относительной величиной взаимодействий между всеми наиболее важными, определяющими процессами.
В одномерном течении конвекция слагается из сжатия и адвекции. В случае двух или трех измерений важно вращение, порождаемое генерацией завихренности. Если вращательные течения взаимодействуют с фронтом пламени, то площади поверхности раздела увеличиваются, что влияет на диффузионный перенос. Дополнительные взаимодействия между процессами, обсуждавшимися в разд. 2-3.1, имеют место, когда поток имеет вращательную компоненту, и эти взаимодействия могут быть чрезвычайно важными в многомерном пламени.
Численное моделирование пламени требует как алгоритмов для всех существенных процессов, так и алгоритмов для их связи. Существуют две важные проблемы. Одна состоит в разрешении конвективного течения без излишних численных ошибок, которые могут маскировать процессы физической диффузии. Как это делается, описано в гл. 10 и 11. Другая проблема — обращение матричного уравнения при нахождении диффузионной скорости для каждого компонента. Подробный пример одномерной численной модели пламени дан в гл. 13.
Многофазные течения с каплями
Когда жидкие топливные капли инжектируются в массу горячего окисляющего газа, многофазные процессы становятся важными в отличие от случая идеализированных схем газофазного пламени и детонации. Капли движутся с основным течением и взаимодействуют с ним, так что течение и капли изменяют свое состояние во времени. В общем случае капли подвержены всем изменяющимся условиям в основной жидкости: сдвигу, турбулентности и градиентам температуры и плотности. Несущий газовый поток возмущает форму и температуру капли и изменяет картину течения в капле за счет вязких эффектов. Когда окружающее течение является горячим, капли испаряются, становятся меньше, производя новые газы, которые диффундируют в поток. При смешении топлива с окислителем вокруг капли в движущемся газе может формироваться пламя. Капли возмущают течение основной массы газа, влияя на структуру потока и изменяя состав при испарении. Такие чрезвычайно сложные проблемы многофазного течения важны для широкого круга приложений от автомобильных до ракетных двигателей.
Основные уравнения многофазного реагирующего течения более сложные, чем уравнения (2-1.1) — (2-1.18). Жидкости существуют в различных фазах, а физико-химические процессы на поверхности раздела играют важную роль. Учет физических взаимодействий одной или двух капель с основным потоком является трудной вычислительной проблемой, к которой
обратились совсем недавно. Должны быть рассмотрены модели таких физических эффектов, как испарение, межфазное сопротивление, поверхностное натяжение и пограничные слои. Если отдельные капли не разрешены, недостаточно предположить, что все в элементарном объеме перемешано и однородно: некоторая доля вещества должна быть в конденсированной фазе, которая смешана с окружающим газом не до молекулярного уровня. Вычислительные модели оказываются весьма сложными, требуется много феноменологических приближений для представления всех процессов. Специфические проблемы моделирования многофазных течений обсуждаются в гл. 12.
МОДЕЛИ И ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
Начиная с гл. 4 и далее в этой книге в основном рассматриваются численные алгоритмы. Мы опишем численные представления различных членов в уравнениях реагирующего течения и алгоритмы, используемые для реализации этих численных представлений. Рассмотрены также вопросы оптимизации алгоритмов и образования из них модулей для численного моделирования. Степень полезности использования численного эксперимента зависит от того, насколько сильно он подвержен влиянию исследовательского и программного окружения и конкретных моделей и алгоритмов. Следовательно, разумно обсудить процесс разработки и использования методов численного эксперимента до того, как будут рассмотрены детали алгоритмов.
Существуют три основные стадии в разработке и использовании численного эксперимента:
Уточнение математической и вычислительной модели. Отбор и постановка задачи моделирования.
Выбор вычислительного представления.
Построение модели численного эксперимента.
Выбор алгоритмов решения.
Оптимизация алгоритмов модели.
Реализация и тестирование модели на ЭВМ.
Применение модели численного эксперимента.
Проведение детальных расчетов.
Анализ и интерпретация результатов.
Оптимизация суммарного процесса путем эффективного использования времени.
В этой главе приведен общий обзор первых двух стадий и несколько предложений по третьей стадии. Большая часть предлагаемого здесь материала может быть изучена только опытным путем в процессе преодоления трудностей. Наша цель состоит в том, чтобы объяснить некоторые детали и возможности.
3-1. Развитие моделей численного эксперимента
3-1.1. Научная постановка проблем моделирования
Первым шагом в развитии численного эксперимента является такая постановка научных вопросов, которая может эффективно ответить на вопросы, стоящие перед моделированием. Например, мы хотим узнать, насколько опасно использовать искровое зажигание вблизи вентиля баллона с пропаном. Или более научным языком, насколько вероятно, что выходящий из вентиля горючий газ воспламенится или сдетонирует? Чтобы помочь ответить на этот вопрос, мы зададим близкие, но более конкретные вопросы о минимальных энергиях воспламенения, пределах воспламенения и детонации и скоростях пламени в газовых смесях пропана, разбавленного различными количествами воздуха. Численный эксперимент может дать ответы на эти конкретные вопросы и таким образом предоставить информацию, которая помогает решить общую проблему безопасного обращения с баллонами этого газа.
Трудный основополагающий вопрос состоит в том, чему мы намерены научиться из численного эксперимента, изучая реальную систему. Имеется два аспекта этого основного вопроса.
Во-первых, то, чему мы намерены научиться, динамично изменяется в процессе изучения. Мы начали процесс решения задачи с ограниченным знанием и ожидаем, что в начале зададим неверные вопросы или, может быть, правильные вопросы, но в неверной перспективе. Предвзятое мнение всегда затрудняет процесс выбора проблемы.
Во-вторых, ограничения, налагаемые вычислительными средствами, всегда влияют на изучаемую проблему. Наилучший путь быстрого решения задачи состоит в том, чтобы осознать ограничения существующих средств моделирования и работать в этих условиях. С другой стороны, необходимо иметь время, опыт и ресурсы, чтобы предпринять дорогостоящий исследовательский проект.
Часто ответы на поставленные вопросы включают моделирование взаимодействия между несколькими физическими процессами, как изменяющегося параметра модели. Например,, мы можем спросить, как изменяется минимальная энергия воспламенения смеси из 10% воздуха и 90% пропана при добавлении малого количества этана. Для ответа на этот вопрос вычислительная программа, реализующая модель, должна представить взаимодействующие эффекты (химические реакции и динамику жидкости) на должном уровне точности для всех режимов (давления и температуры), где они важны, и для
всего диапазона модельных параметров (например, процентное содержание этана в смеси). Сосредоточившись на подробностях физических взаимодействий, предположительно наиболее важных, можно рассматривать менее существенные аспекты реальной системы в модели более идеализированно или, может быть, не включать их в рассмотрение вообще.
Ясно и точно определив, какая информация необходима для решения конкретной задачи, можно значительно облегчить планирование численного эксперимента. Основная задача исследования может использоваться для организации численного эксперимента и помочь в определений того, какие модели, алгоритмы и диагностические разработки необходимы. Слишком много вычислительных проектов начинается с целью разработки модели общего назначения, способной к точному прогнозу в широком диапазоне параметров, но без конкретной задуманной цели. Когда цель исследовательского проекта столь расплывчата, слишком мало информации добывается по сравнению с затраченными усилиями.
Свойства реальной системы и важные технические результаты должны использоваться для выбора представительного стандартного примера численного моделирования. Стандартный 'Пример должен быть максимально идеализированным, но по-прежнему тесно связанным с конкретной задачей. Например, стандартный случай для проблемы газовой безопасности может заключаться в следующем: как изменяется минимальная энергия воспламенения, когда в воздух добавляется смесь из 97% метана и 3% этана? В частности, какая энергия воспламенения требуется, если смесь метана в воздухе является стехиометрической при нормальном давлении и температуре 25 °C, а тепло подводится с заданной скоростью и равномерно распределяется в сфере заданного радиуса. Этот стандартный случай должен давать ответы в физических единицах, соответствующих наиболее подходящим экспериментальным или аналитическим результатам.
К моменту завершения численного моделирования стандартного случая численная модель включает необходимые физические процессы и проверку численных результатов. Результаты для стандартного случая можно сравнить с результатами последующих численных экспериментов, в которых изменялись различные параметры системы. Например, чувствительность энергии воспламенения к давлению может проверяться путем изменения начального давления и повторения численных экспериментов. Чувствительность к типу горючего газа может быть исследована путем оценки изменения энергии воспламенения при увеличении процентного содержания высших углеводоро- .дов. Когда новые или модифицированные алгоритмы вводятся
в численную модель, известный стандартный случай дает основу для оценки потенциальных улучшений и обобщений. Например, мог использоваться новый алгоритм численного интегрирования, а результаты сравнивались со стандартным случаем как с точкой отсчета.
Конкретная задача и стандартный случай, выбранный из нее,, не должны точно моделировать реальную систему, чтобы оказаться полезными. Обычно лучше решить несколько отличающуюся задачу хорошо, чем сделать плохой расчет в точности’ для данной задачи. Пренебрегая многими составляющими сложной системы и сосредоточившись на нескольких взаимодействиях, мы можем сформулировать вычислительную задачу, решения которой помогают нам понять реальную систему. Например, численный эксперимент не должен воспроизводить сложную геометрию области, в которую пропан истекает из баллона. Мы могли бы рассчитывать энергию воспламенения в плоской или сферической геометриях для ограничения решений. Если, однако, основной эффект связан с геометрией, то расчеты: должны быть многомерными.
3-1.2. Выбор вычислительного представления
Построение математических и вычислительных моделей
В главе 2 мы упомянули важность упрощения теоретических моделей физических систем. Статистическая природа многих обычных физических взаимодействий придает смысл относительно крупномасштабным осредненным величинам, таким, как плотность и температура. Огрубленные модели полезны, потому что непрактично решать сложную задачу на микроскопическом уровне. Применимость выбора конкретного уровня осреднения зависит от точности экспериментальных данных или типа необходимой информации.
Так как программы численного моделирования предназначены для решения системы уравнений, описывающих огрубленные модели, то в них должно отражаться это естественное огрубление. Наиболее прямым путем огрубления вычислительной программы является разделение ее на вычислительные модули, которые соответствуют естественным математическим и физическим огрублениям. Мы рекомендовали разработку вычислительных алгоритмов, которые описывали огрубленные части основополагающих физических процессов отдельно, а потому соединяли эти отдельные алгоритмы для создания полной вычислительной модели. Таким способом легче заменить какую- либо модель более детальной, если это необходимо.
Влияние представления на решение
Представление физической системы в форме уравнений, используемая дискретизация и любые дополнительные условия требуются для описания задачи. Так как уравнения модели должны быть дискретизированы для численного моделирования, такое представление является исходным для описания пространства и времени. Это может означать, например, рассмотрение движущихся пакетов или интерпретацию объемных элементов, фиксированных в пространстве.
Способы, посредством которых на результаты численного эксперимента могут оказывать влияние различные представления, зачастую удивительны. Подобное удивление возникает, например, когда мы автоматически принимаем какое-либо математическое или численное представление, а потом забываем допущения, которым нужно удовлетворить при его использовании. Так как представление устанавливает границы применимости модели, то оно влияет на решение как прямо, так и косвенно. Например, модель реагирующего течения может предсказывать температурное поле с физически разумным значением в каждой вычислительной ячейке. Однако, если представление не включает временные изменения, результаты могут ввести в заблуждение при наличии быстрых переходных процессов. Определение представления вычислительной модели для полной системы уравнений и для отдельных физических моделей есть следующий важный шаг после выбора задачи для решения.
Уравнения Навье — Стокса, например, являются разумной отправной точкой для расчета энергии воспламенения смесей горючих газов, обсуждавшихся ранее. Применение этой модели означает, что изменение физических осредненных переменных на длине свободного пробега должно быть малым, так чтобы потоки массы, импульса и энергии могли быть связаны с первыми производными от плотности, скорости и температуры. После того как это представление выбрано, возможность фундаментального описания процессов с большими градиентами на средней длине свободного пробега исключается. Такая огрубленная модель не может предсказать детальную структуру ударной волны, ширина которой определяется вязким членом в уравнениях Навье — Стокса или нефизичным сглаживающим влиянием выбранного численного алгоритма.
Большинство макроскопических следствий атомных и молекулярных явлений можно включить в модель жидкости. Присутствие членов, описывающих микроскопические процессы в макроскопических представлениях может успокоить нас мыс-
лью, что у нас есть достаточно подробное представление модели, пригодное для прогнозов.
При вычислении энергий воспламенения для смеси газов молекулярная диффузия является одним из макроскопически непрерывных процессов, который должен быть рассмотрен (гл. 4 и 7). На микроскопическом уровне случайные блуждания переносят более легкие горячие компоненты за фронт пламени и тем самым готовят смесь к воспламенению. Если используется стандартная форма представления молекулярной диффузии второй производной, то предполагается, что справедливо представление сплошной среды. Если случайное блуждание не точно представляется уравнением диффузии, процесс воспламенения представлен неадекватно.
Важная часть описания этого процесса заключается в значениях коэффициентов эффективной молекулярной диффузии. Так как коэффициенты диффузии в широких диапазонах давления и температуры, требуемых для систем с горением, трудно измерить, часто используются расчетные или экстраполированные значения. Если, например, рассматриваются полярные молекулы, а предполагаемый закон силового взаимодействия не учитывает этого, то значение коэффициента диффузии может оказаться неправильным, а диффузионный процесс — представленным неадекватно.
В качестве другого примера того, как представление может повлиять на решение, рассмотрим статистическую модель турбулентности, описывающую осредненные свойства турбулентной струи. Такая модель обычно содержит коэффициенты, которые улучшают соответствие с экспериментальными данными. Эта модель может хорошо предсказывать глобальные величины, которые близки к полученным в условиях, использовавшихся для определения параметров модели. Эта модель, однако, не может предсказать локальные значения величин или такие явления, как образование и разрушение когерентных структур (см. гл. 12). Эта модель не может сказать нам ничего нового и фундаментального о турбулентности. Столь же опасно использовать ее вне пределов области подобранных параметров, как и соединять с моделями других физических процессов. Эти ограничения ясны, хотя имеется тенденция считать модели лучшими, чем они есть.
Наконец, представление химии процессов упрощенными параметрами может быть получено из детального химико-кинетического механизма, учитывающего много элементарных реакций между многими химическими компонентами. Этот аппроксимационный феноменологический подход может рассчитывать (но не предсказывать в действительности) времена химической индукции, скорости выделения энергии и равновес- 5—245
ные условия при данных начальных температурах и давлениях. Он интерполирует известные результаты в областях, где было основание для его использования. В областях, где подход не проверялся, решениям, как правило, доверять не следует, даже если значения, даваемые моделью, разумны.
Эти примеры иллюстрируют то, как представление влияет на справедливость получаемых решений. При разработке модели и принятии решения она может быть использована для решения конкретной проблемы, причем важно иметь в виду, что численный эксперимент не может корректно описывать эффекты, если ведущие физические процессы представлены неадекватно. Следует помнить, какие физические процессы и взаимодействия были аппроксимированы (или удалены) в уравнениях, чтобы важнейший процесс не был выброшен. Это очевидный совет, пренебрежение которым чревато серьезными и неожиданными последствиями.
3-2. Предельные факторы и ограничения
Уравнения сохранения реагирующего течения включают представления химической кинетики, термо- и молекулярной диффузии, конвективного переноса и некоторых других физических процессов. При выводе этой модели в макроскопическом, континуальном представлении имели место значительные огрубления физико-химических явлений. Это приводит к дополнительным ограничениям, неявно присутствующим в модели.
Для численного интегрирования математической модели следует дискретизировать уравнения по времени и пространству. Это дает согласованное расчетное представление. Пространство разделено на конечные объемные элементы, называемые вычислительными ячейками. Время разделено на конечные интервалы, называемые временными шагами. Приближенное численное решение в каждой вычислительной ячейке изменяется в течение каждого временного шага. В пределе малых временных шагов и вычислительных ячеек численное решение должно приближаться к решению исходных уравнений континуума. Важно быть уверенным, что расчеты, реализованные на ЭВМ, приближаются к корректным непрерывным пределам.
На практике мы редко можем приблизиться к непрерывному пределу так близко, как хотелось бы. Точность и область справедливости численных экспериментов определяется количественными ограничениями на число вычислительных ячеек и шаг по времени, а также точностью и устойчивостью численных методов. Эти ограничивающие факторы пространственного разрешения и точности вычислений реализуются непосредственно через ограниченные возможности вычислительной тех-
ники, такие, как ограниченность компьютерной памяти, скорости обработки, точности представления данных и возможности их хранения.
Другой тип ограничения при расчетах определяется высокой стоимостью решения сложных проблем. Это зачастую связано с ограничениями математического обеспечения. Возникающие вследствие сложности и точности ограничения переплетаются и оказываются зачастую неразличимыми. Физическая и геометрическая сложность задачи также могут повышать стоимость вычислений, препятствуя их реализации. Затраты, связанные со сложностью, слагаются из затрат на персонал, стоимости компьютеров и времени, расходуемого на разработку и поддержание необходимого математического обеспечения, а не из собственно стоимости работы вычислительной машины. Сложность приводит к большим моделям с особыми случаями программирования и тестирования. Это означает большие возможности для погрешности, а также большее количество начальных данных, которые необходимо найти и проверить. При этом уменьшается эффективность использования вычислительной техники, а программы проходят медленнее, чем при численном моделировании простых идеализированных задач.
Можно выделить три типа ограничений на точность, налагаемых вычислительной техникой: временные, пространственные и вычислительные. Можно идентифицировать три типа расходов, связанных со сложностью проблемы: физические, геометрические и вычислительные. Ниже мы обсудим эти ограничения более детально и покажем, как использовать феноменологические подходы, чтобы попытаться обойти некоторые из таких ограничений.
3-2.1. Ограничения точности
Ограничения временной точности
Ограничения временной точности вытекают из попытки представить сильно различающиеся временные масштабы одновременно. Важные временные масштабы в задачах горения и детонации могут отличаться на десять и более порядков величины. Если эти временные масштабы могут быть разрешены численными методами, то получение желаемой точности численного эксперимента не обязательно является ограничением. Расчеты для большего количества шагов по времени более продолжительные, но не приводят к превышению требований к объему памяти компьютера. Вычислительные затраты, однако, 5 е
могут при этом быстро возрастать, что связано с конечной скоростью .работы ЭВМ.
Если мы хотим моделировать процессы с характерным временем изменения более коротким, чем допустимый шаг по времени, то уравнения, описывающие такие явления, обычно называют «жесткими». Звуковые волны являются жесткими по отношению к временным шагам, подходящим для моделирования пламени. Уравнения, описывающие многие химические реакции, жесткие по отношению к конвекции, диффузии и даже по отношению к характеристическим временам, связанным со скоростью звука в веществе. Жесткость является иногда практическим ограничением на шаг по времени, но может быть также внутренним свойством некоторых типов уравнений. Два различных модельных приближения — общий неявный подход и асимптотическое приближение с временным расщеплением были разработаны для учета явлений с временной жесткостью. Эти два подхода обсуждаются более детально в гл. 4 и в последующих главах.
Ограничения пространственной точности
Ограничения возникают также при необходимости разрешения широкого диапазона пространственных масштабов. В континуальных представлениях точность повышается с более тонким разрешением в пространстве и времени. Если мы хотим аккуратно рассчитывать поведение малых структур в потоке, необходимо иметь, как минимум, три или четыре вычислительные ячейки, покрывающие структуру. Если имеют место резкие градиенты, то обычно требуется больше ячеек. Структуры, которые не разрешены в достаточной мере, называются численно размытыми (см. гл. 4). Из-за того, что вычислительные ячейки имеют конечный размер, точно не определено, как в ячейке распределены некоторые величины. Эта неопределенность уменьшается при увеличении пространственного разрешения. Заданная точность требует также определенного расположения узлов.
Для разрешения крутых градиентов на фронте одномерного распространяющегося пламени вычислительные ячейки должны иметь размер от 10~3 до 10-2 см. С другой стороны, для адекватного моделирования конвективного процесса они могут иметь размер от 1 до 10 см. Относительный множитель 103 означает, что проблема пространственного разрешения не исчезнет путем увеличения массивов данных; компьютер сам по себе просто не пригоден для проведения более чем одномерных расчетов с разрешением 10-3 см.
Требования адекватного пространственного разрешения могут быть более строгими, чем для временного разрешения, так как для того, чтобы поддерживать устойчивое точное решение, выбор временного шага связан с размером вычислительных ячеек. Удвоение степени пространственного разрешения в одномерном расчете обычно требует четырехкратного увеличения времени интегрирования до заданного временного интервала. Один множитель, равный двум, появляется из-за дополнительных ячеек, другой — из-за вдвое меньшего шага по времени, требуемого для интегрирования уравнений при наличии малых ячеек. Удвоение степени разрешения в случае двух измерений потребует увеличения объема вычислений в восемь раз для достижения того же физического времени. В трехмерном случае этот множитель будет равен шестнадцати. Таким образом, алгоритмы, которые дают точные решения на грубых сетках, обладают чрезвычайной ценностью.
Когда пространственные масштабы, которые необходимо разрешить, сильно различаются, можно использовать методы построения адаптивных сеток для пространственного разрешения в областях, где это необходимо (гл. 6). Еще более трудная проблема встречается в турбулентных течениях, в которых может быть важен очень большой диапазон пространственных масштабов во всем поле течения. В общем случае ведутся поиски численных методов максимальной точности с минимальным числом узлов сетки. Однако даже при использовании лучших алгоритмов требуются аппроксимации и феноменологии для представления явлений, которые существуют на подсеточных масштабах.
Вычислительные ограничения точности
Пределы вычислительной техники вытекают из попытки представить непрерывные функции элементами, дискретными в пространстве и времени. Для реализации на ЭВМ мы вынуждены использовать действительные числа конечной точности для описания свойств этих элементов жидкости. Современные цифровые вычислительные машины работают с действительными числами конечной точности. Вычислительные ограничения точности связаны прямо или косвенно с точностью вычислительной техники. Даже если представление каждого числа может быть справедливо до шестого, десятого или шестнадцатого знака, возникнет процесс накопления ошибок округления. Например, 32-разрядные числа с плавающей запятой точны до нескольких миллионных. Расчеты на протяжении многих тысяч шагов по времени часто демонстрируют накопление ошибок
округления в третьем десятичном порядке для 32-разрядных чисел. Другие типы проблем возникают в арифметических операциях, таких, как «потеря порядка» и «переполнение», когда произведение двух чисел слишком мало или слишком велико для представления на ЭВМ.
Алгоритмы, использованные для реализации математических уравнений, также ограничены по точности. Оценка точности и эффективности алгоритмов — важная тема этой книги. Порядок точности алгоритма определяется наибольшей степенью разложения по параметру, сохраняемой в методе решения (гл. 4). Когда погрешность на шаге по времени растет неограниченно, алгоритм неустойчив. Ограничения вычислительной точности вытекают из ошибок округления и связанных с ними проблемами численной устойчивости. Когда округление и свойства неустойчивости объединены с ограничениями вычислительных машин, точность может уменьшиться еще больше. Например, когда говорят, что алгоритм имеет «второй порядок точности», это означает, что увеличение пространственного и временного разрешения в два раза приводит к четырехкратному уменьшению погрешности. Однако эффективный порядок точности будет ниже из-за ограничений на представление чисел. Хотя принято рассматривать численную устойчивость как свойство алгоритма, она может взаимодействовать с погрешностями округления. Ошибки округления неблагоприятно влияют на устойчивость алгоритма особенно в тех случаях, когда во имя экономии выбирают временной шаг и размер ячейки с минимальным запасом устойчивости. На практике должны быть выбраны алгоритмы, устойчивые вне зависимости от 32-разряд- ной и 64-разрядной длины машинного числа.
По мере того как компьютеры становятся быстрее и точнее, появляются медленно растущие численные погрешности, с новыми причудливыми свойствами, которые не проявлялись ранее в расчетах с коротким числом или на грубой сетке. Такие относительно слабые влияния погрешностей решения, неустойчивостей алгоритма, ошибок представления числа и взаимодействий между ними либо подавлялись ранее в грубых расчетах, либо не появлялись потому, что вычисления не продолжались достаточно долго. Примером такого влияния являются ошибки округления в длительных расчетах с использованием численного представления 32-разрядным числом с плавающей запятой. Однобитные ошибки малы и не приводят к последствиям после 100 шагов по времени, но доминируют в решении после 100 000 шагов. Использование суперкомпьютеров, допускающих различие в 100 порядков величины между наибольшим и наименьшим разрешаемыми пространственными масштабами, делает такие режимы расчетов потенциально возможными.
3-2.2. Цена сложности
Цена физической сложности
Одним из следствий физической сложности является увеличение компьютерного времени. Например, при рассмотрении процесса горения система обычно состоит из многих взаимодействующих веществ. Системы связанных уравнений, которые описывают их поведение, необходимо решать одновременно, для того чтобы проследить их эволюцию. Сложные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих реакции, и большие матрицы, описывающие процесс многокомпонентной диффузии, весьма трудоемки для решения на ЭВМ. Для численного моделирования такого уровня детализации требуются расчетные времена на порядки большие, чем необходимо для идеализированной, эмпирической или феноменологической моделей.
Еще одно последствие физической сложности состоит в увеличении персонифицированного времени, требуемого для сбора вводных данных, а также для отладки более сложных численных алгоритмов. Время разработки математического обеспечения может расти как квадрат числа важных физических процессов, так как взаимодействия между моделями могут порождать трудности, даже если отдельные модули будут работать корректно. Эту сложность можно рассматривать как ограничение на математическое обеспечение.
Часто точность входных данных не достаточна для уровня точности, желательного для моделирования. На рис. 2-1 показан типичный пример, в котором приведена скорость химической реакции ОН + О3->НО2 + О2 при 300 К как функция года измерения. Мы с удивлением и огорчением обнаруживаем, что использование этой реакции в кинетических механизмах до 1970 г. давало неопределенность ее скорости в пять порядков величины. Аналогичные «страшные сказки» можно рассказать о термохимических данных, даже если эти данные в целом более точны (частное сообщение, Д. Гарвин, Национальное Бюро Стандартов).
Несколько уроков следует из рис. 2-1. Один из них состоит в том, что если все входные данные имеют большие неточности, точность и уровень детализации, требуемые для моделирования, могут быть недостижимы. Можно проводить менее дорогостоящие вычисления с меньшим разрешением. Если только часть данных плохо известна, численное моделирование должно использоваться совместно с относительно более точными эмпирическими данными, чтобы оказать помощь в определении неопределенности входных параметров.
Цена геометрической сложности
Реальные системы часто имеют усложненные геометрии. Пространственные, временные и вычислительные проблемы, связанные с моделированием более сложной геометрии, в принципе, могут быть решены на большем, более производительном компьютере. Здесь мы снова встречаемся с затратами на математическое обеспечение и личного времени, которые возникают из-за необходимости представить, программировать и проверить эту сложную геометрию. Эти затраты не снижаются улучшением компьютеров.
Программирование системы со сложной геометрией требует значительно больше времени, чем системы с простой геометрией и, что более существенно, программы могут работать неправильно. Даже если программа работает должным образом, она требует больше времени для достижения необходимых результатов и больше памяти ЭВМ, а ее вывод труднее интерпретировать. Когда математическое обеспечение имеет сложную структуру, оно легко теряет работоспособность.
Геометрическая сложность часто требует увеличенной размерности и более сложных граничных условий. Например, экспериментальные зонды в реагирующем течении действуют как препятствия, и их влияние часто должно моделироваться. В отсутствие зонда, отверстий или выпускного клапана адекватной может быть одно- или двумерная модель. Усложнения реальной геометрии вынуждают рассматривать задачи реагирующего течения в двух или трех измерениях. Таким образом, существенная часть экспериментальной и вычислительной изобретательности нередко направлена на поиск важной задачи меньшей размерности.
Одномерные модели часто используются несмотря на то, что пренебрежение двумя пространственными направлениями дает ограниченную картину физического процесса. Идеализированные системы горения, такие, как перемешанное ламинарное пламя или плоская детонационная волна, могут быть точно смоделированы в одном измерении. Практические системы, включая пламена и детонации, обычно влекут за собою многомерные эффекты: рост пограничного слоя, образование вихрей, отрывных течений, внутренние источники и стоки. Такие системы требуют по меньшей мере двумерного рассмотрения динамики жидкости. Даже при использовании параллельных суперкомпьютеров шестого поколения двумерная детальная модель будет лимитироваться требованиями к компьютерному времени и памяти. Здесь вновь затраты трансформируются в ограничения точности.
Проблема, которая нередко сопровождает увеличившуюся сложность границ и большую размерность, состоит в том, что излюбленный алгоритм больше не работает. Когда необходимо учесть влияние отверстий и выступов на поверхности, ограничивающей течение, некоторые алгоритмы, идеальные в других случаях, оказываются недостаточно гибкими для учета необычных граничных условий или не обобщаются на многомерный случай. Замена хороших алгоритмов на менее точные, но более общие, есть основная цена, которую приходится платить за геометрическую сложность. Этот компромисс — основное соображение в построении моделей численного эксперимента.
Цена вычислительной сложности
Вычислительная сложность является результатом включения в численную модель сложных физических и геометрических проблем. Возрастает сложность алгоритмов, возрастают и размеры вычислительных моделей. Увеличивается не только стоимость компьютерного времени, но и эксплуатационные расходы на разработку, поддержание и проведение численного эксперимента. Кроме того, численные проблемы при проведении вычислений встречаются более часто, потому что имеется больше мест, где могут быть ошибки, и имеется больше причин для их возникновения. Когда численная модель увеличивается и усложняется, становится труднее проверять ее и модифицировать. В этом случае математическое обеспечение оказывается серьезным ограничением. Здесь единственным разумным путем является разработка модульного подхода к построению моделей с большим числом тестовых задач.
3-2.3. Использование феноменологических моделей
Список затрат и ограничений, встречающихся при разработке и применении численного моделирования, весьма значителен. Чтобы справиться с подобными проблемами мы можем улучшить численные алгоритмы и другое математическое обеспечение, а также использовать преимущества более мощных, более точных и более «дружественных» компьютеров. За несколько последних десятилетий улучшение алгоритмов внесло в возможности моделирования вклад по крайней мере не меньший, чем развитие вычислительной техники. Математическое обеспечение и вычислительная техника вместе увеличили наши возможности на порядки величины. Ранние одномерные газодинамические расчеты выполнялись с сорока или пятьюдесятью вычислительными ячейками. Такие задачи сейчас могут быть решены в трех измерениях, а за время выполнения ста-
рых одномерных расчетов могут быть проведены вычисления, на четыре или пять порядков величины большие по объему.
Другой путь разрешения проблем, связанных с ограничениями и затратами, состоит в выделении дорогостоящих процессов и замене их при моделировании упрощенными феноменологическими моделями. Как обсуждалось в гл. 1, эти феноменологические подходы являются специализированными, физически обоснованными, приближенными моделями с параметрами, которые оцениваются и согласуются с экспериментом, или с детальными, но более ограниченными моделями. Например, сложный механизм химических реакций включает большое число химических веществ и сотни реакций, которые их связывают. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений дает временные изменения индивидуальных химических компонентов и термодинамических величин, таких, как температура и давление. Использование сложного химического механизма в многомерной динамике жидкости теоретически возможно, но требует чрезвычайно больших затрат. Альтернативный подход состоит в использовании детального механизма для расчета как функций начальных температур и давлений, лишь таких величин, как температура и давление. Такая таблица чисел образует основу недорогой в вычислительном отношении феноменологии для использования ее в многомерных моделях динамики жидкости. Чем более точным является лежащее в основе теоретическое описание, тем меньше размеры таблицы и шире диапазон справедливости модели.
Всегда есть тенденция переоценивать прогностические возможности феноменологии. Явления не могут быть предсказаны, если ведущие процессы не разрешены достаточно точно во времени, пространстве или вычислительной модели. Если один из ведущих физико-химических процессов рассматривается при моделировании с помощью феноменологической модели, то полное моделирование не может быть точнее феноменологии, даже если другие эффекты описаны более детальными моделями. Например, представление скоростей элементарных химических реакций в аррениусовской форме кажется фундаментальным, но оно предполагает, что имеется больцмановское распределение для электронных и колебательных состояний молекул. Однако поскольку неравновесные реакции не описываются этим формализмом, вычислительная модель, основанная на больцмановском распределении, вряд ли пригодна для описания слабого равновесия в газах, а также реакций, протекающих при высокой плотности во взрывных материалах.
На рис. 3-1 схематично показано, какие уровни детального моделирования применяются на практике для сложных многомерных задач реагирующих течений в топливно-окислительных
Химия>
Рис. 3-1. Диаграмма, показывающая, что может быть рассчитано в настоящее время путем последовательного введения в модель новых феноменологий.
системах. Рассматриваются два «измерения» сложности: сложная химическая кинетика и лональные многофазные эффекты в веществе вдоль горизонтальной оси и ограниченно разрешенные процессы динамики жидкости на вертикальной оси. Каждая ось размечена в соответствии со степенью трудности от ЛЕГКО до ТРУДНО. Например, легкая задача на горизонтальной оси может включать несколько связанных химических реакций между несколькими веществами. Трудная задача включает сотни реакций между десятками химических компонентов. Справа от вертикальной штриховой линии отмечены еще более трудные проблемы. На этой диаграмме в качестве наиболее сложных проблем локальной химической кинетики представлены задачи, связанные с локальными многофазными свойствами пылей, аэрозолей и других гетерогенных явлений. Эти типы процессов и взаимодействий обычно требуют феноменологического подхода для включения в численную модель динамики жидкости.
Наиболее легкая задача динамики жидкости, отражаемая на вертикальной оси, связана с расчетом одномерной ударной волны. Трудная проблема может включать нестационарную
многомерную динамику жидкости, где потенциальная и вихревая компоненты поля течения взаимодействуют между собой. Очень трудной задачей динамики жидкости является моделирование турбулентности. В общем случае для представления турбулентности необходим феноменологический подход, как это указано высоко на вертикальной оси над штриховой горизонтальной линией.
Область МОЖНО РЕШИТЬ, указанная на рисунке, включает задачи либо с несложной динамикой жидкости, либо несложной химической кинетикой, так что вычислительные усилия могут быть сконцентрированы на более трудном аспекте проблемы. Сегодня детальное моделирование химических и гидродинамических процессов возможно лишь для некоторых задач с единственным трудным аспектом в предположении, что другие аспекты достаточно легкие. Область МОЖНО БЫЛО БЫ РЕШИТЬ является расширением области МОЖНО РЕШИТЬ. Если в наличии имеются достаточные вычислительные ресурсы и расчеты направлены на то, чтобы ответить на несколько частных целенаправленных вопросов, область МОЖНО БЫЛО БЫ РЕШИТЬ может быть численно смоделирована. Для этого не требуется новой технологии, а необходимо лишь от десяти до сорока часов суперкомпьютерного времени вместо полутора — двух часов для расчетов из области МОЖНО РЕШИТЬ.
Следующая область помечена ОДНА ФЕНОМЕНОЛОГИЯ для указания, что трудности общей задачи слишком велики для полного разрешения одновременно всех важных физикохимических и гидродинамических процессов. Здесь по меньшей мере один аспект должен рассматриваться феноменологически. Феноменологическая составляющая может включать такие величины, как времена индукции, скорости выделения энергии или скорости пламени, которые должны быть связаны с остальными моделями.
Внешняя область рис. 3-1 обозначена ВСЕ ФЕНОМЕНОЛОГИИ. Динамика жидкости и химическая кинетика проблемы в этом случае столь трудны, что детальное решение ни одной из них не является практичным. В этом случае должны быть построены взаимодействующие феноменологии. В такую категорию попадает турбулентное реагирующее течение. В качестве предупреждения заметим, что если одна феноменология имеет подозрительное представление, то взаимодействие между двумя феноменологиями подозрительно вдвое.
Рассмотрим, например, построение модели взаимодействующей волновой структуры на фронте распространяющейся газофазной детонации. Физика этого процесса кратко обсуждалась й разд. 2-3.2. В настоящее время мы имеем детальные кинети-
ческие механизму для некоторых газов, таких, как водородкислородные и метанжислородные смеси, чьи параметры достаточно хорошо изучены для разработки практически пригодных кинетических моделей реакций. С использованием детального кинетического механизма и модели динамики сжимаемой жидкости трехмерные задачи для водород-кислородной смеси можно отнести к области МОЖНО БЫЛО БЫ РЕШИТЬ и провести расчеты с максимальными затратами компьютерного времени, так как необходимо передавать много информации в процессе вычислений в компьютерную память и из нее. Двумерный численный эксперимент для водород-кислородной смеси попадает в область МОЖНО РЕШИТЬ. Аналогичные двумерные расчеты метанжислородной системы можно отнести к области МОЖНО БЫЛО БЫ РЕШИТЬ, потому что кинетический механизм реакций окисления метана более сложен и требует больших вычислительных затрат. Использование менее детальных химических моделей позволяет лучше разрешать динамику жидкости и переводит расчеты в область ОДНА ФЕНОМЕНОЛОГИЯ. В этом примере феноменологический подход для водорода не сложнее, чем для метана, и так как он уже разработан, двумерные расчеты находятся в области МОЖНО РЕШИТЬ.
Преимуществом феноменологических подходов в химической кинетике является то, что мы в принципе знаем, как учитывать эти процессы в расчетах. Хотя известны не все входные скорости химических реакций и удельные теплоемкости, необходимые для конкретных реакций, у нас есть уверенность в уравнениях и в том, что они согласуются с численной моделью. Это помогает в развитии обоснованных феноменологических подходов и оценке аналитических моделей с неизвестными входными параметрами. В области моделирования турбулентности наша позиция намного слабее в отношении того, что мы знаем и как использовать это знание. Мы предполагаем, что эффекты турбулентности заложены в уравнениях сохранения, но различные ограничения и вычислительные затраты не позволяют разрешать эти эффекты в детальном численном эксперименте. Эта проблема решается путем использования феноменологических подходов и согласования соответствующих констант с результатами экспериментов и другими расчетами. Турбулентность, пыли и аэрозоли представляют такие объекты, которые более чем трудно моделировать с помощью первых принципов. До того, как мы приступаем к моделированию многомасштабных многофазных явлений в реагирующем потоке, аналогичному моделированию явлений при ламинарном газофазном горении, следует разработать новые физические представления и адекватные численные методы.
3-3. Разработка и тестирование модели
В главах 1 и 2 описано много процедур, используемых при разработке и проведении численного моделирования сложных нестационарных реагирующих гидродинамических систем. Было указано, что численная реализация физических процессов является постоянно изменяющейся процедурой с множеством компромиссов. Эти компромиссы включают все аспекты процесса моделирования и требуют априорных выборов с важными последствиями. Знания, необходимые для оптимизации численного эксперимента, требуют понимания всего процесса, а такое понимание достигается только в физическом эксперименте.
Почти каждое решение при разработке численной модели связано с оценкой компромиссов. Например, вычислительное представление следует выбирать с учетом различий имеющихся алгоритмов. В свою очередь, выбор алгоритма производится с учетом типа техники программирования, которая будет наилучшей для данной вычислительной системы. Вывод соответствующего представления является непосредственным, если мы знаем, что для рассмотрения некоторых процессов и взаимодействий существует хороший алгоритм. Наличие компьютера с векторным процессором может принести мало пользы, если выбранное представление или алгоритм включают много операций, которые не могут быть векторизованы. Имея это ввиду, отметим, что легко векторизуемый алгоритм может дать пятикратную экономию машинного времени, даже если потребует в два раза больше операторов и времени программирования по сравнению с конкурирующим скалярным алгоритмом.
3-3.1. Компромиссы при выборе и оптимизации моделей
Для понимания компромиссов при построении моделей численного эксперимента рассмотрим некоторые желаемые качества математической модели реагирующего течения. Следует выбрать представления, алгоритмы и проверочные процедуры для оптимизации определенных величин.
Идеальная вычислительная модель является:
вычислительно быстрой и эффективной;
экономной в отношении компьютерной памяти и требований к вводу и выводу;
точной в математическом и физическом отношениях;
надежной в диапазоне условий ее справедливости;
гибкой и легко изменяемой;
быстрой в достижении полезных результатов;
.7) хорошо документированной.
К сожалению, эти желаемые качества находятся в конфликте друг с другом. Бели алгоритм очень быстрый, он редко бывает точным. Если алгоритм быстрый и точный, то область его применимости часто не соответствует рассматриваемой проблеме. Если алгоритм применим для широкого диапазона задач, он может потребовать слишком много компьютерной памяти или оказаться жестким в отношении изменения граничных условий. Наиболее точные алгоритмы для моделирования важных физических эффектов часто ограничены численной неустойчивостью, так что вычислительные модули, использующие их, не являются достаточно надежными. Эти ограничения и вычислительные затраты являются выражениями «космической теоремы сохранения», которая гласит: «нет бесплатного обеда» или «невозможно получить что-то из ничего».
Процесс правильного выбора для оптимизации модели и ее производительности включает оценку относительной важности перечисленных выше качеств. Эти оценки зависят от характеристик конкретной проблемы, а также от способностей и знаний тех, кто производит вычисления. В качестве примера конфликтной ситуации рассмотрим компромиссы между компьютерными быстродействием и памятью. В гидродинамических вычислениях можно пересчитывать давление из уравнения состояния всякий раз, когда оно используется на шаге по времени или рассчитать его один раз и запомнить. Выбор зависит от обстоятельств. Ответ может отличаться для одно- или трехмерной модели, так как относительные веса скорости и памяти для этих двух случаев различны. Память нередко более важна в трехмерных расчетах. Ограничения памяти мало существенны в одномерных задачах. С другой стороны, если численные расчеты не согласованы с объемом памяти ЭВМ, то расчетные значения запоминаются на внешних устройствах и вводятся в память основного компьютера по частям. Ограничивающим фактором в этом случае является время вычисления и передачи информации. В этом случае вновь может оказаться дороже платить за запоминание информации в трехмерных моделях, чем за повторное вычисление.
Остановимся подробнее на компромиссе между алгоритмами. Нередко хороший одномерный алгоритм динамики жидкости нелегко обобщается на два или три измерения. Если Центральная проблема является двумерной, следует использовать более медленный, но более общий одномерный алгоритм в предварительной одномерной модели с учетом того, что итоговая модель будет двумерной. Выбор алгоритма также зависит от того, являются ли течения дозвуковыми или сверхзвуковыми. Лучшие алгоритмы для конвективного переноса в пламенах позволяют использовать значительно больший шаг по
времени, чем требуемый для детонации, даже если каждый такой шаг требует больше вычислительного времени. Таким образом, может оказаться наилучшим разработать вначале модель с более коротким шагом и более дорогостоящим методом, пригодным для течений с ударными волнами, если мы хотим в конечном итоге моделировать переход пламени в детонацию. Аналогично, если мы заинтересованы в решении системы уравнений для сложного механизма химических реакций, то выбираемый алгоритм зависит от того, будут ли расчеты связаны с динамикой жидкости. Как обсуждается в гл. 5, единичные случаи требуют более трудоемких, более точных методов. Компромиссы при выборе алгоритмов составляют значительную часть материала гл. 5—11.
3-3.2. Этапы в разработке численной модели
До того, как мы приступим к программированию численной модели, необходимо принять основные решения по следующим вопросам:
отбору уровня моделирования, согласованного с задачей, вычислительными ресурсами и имеющимся опытом;
выбору подходящего идеализированного стандартного случая, который выражает наиболее важные физические эффекты и дает возможность последующих обобщений;
разработке математической модели, включающей стандартный случай и предполагаемые отклонения.
При разработке программ следующие этапы образуют основной список шагов, существенных для детального моделирования реагирующих течений:
Шаг 1. Напишите управляющую программу численного эксперимента, которая передает управление или вызывает подпрограммы для независимого расчета каждого физического процесса. Для начала это могут быть вызовы пустых подпрограмм, которые просто возвращают управление программе-монитору. Каждая такая подпрограмма в конце концов будет решать уравнения для одного из моделируемых физических процессов. Программа-монитор с вызовом подпрограмм-пустышек становится как бы планом численной модели. Этот план будет выполнен, когда каждая пустая подпрограмма заменяется подпрограммой, которая действительно производит вычисления. Логика управляющей программы, запоминаемые данные, средства реализации повторного расчета и диагностики результатов могут быть разработаны на этом этапе.
Шаг 2. Составьте рабочий список всех физических и химических переменных, параметров, управляющих величин и индексов. Определите необходимый объем компьютерной памя-
ти как функцию размерностей массивов переменных. Физические переменные включают такие величины, как массу, импульс^ энергию и плотности компонентов, температуры и давления как функции координат. Управляющие переменные включают логические величины, которые, например, разрешают функционирование тех или иных процессов в модели и управляют вводом- выводом. Этот список используется для оценки программных требований к объему памяти. Оценки, естественно, возрастают по мере замены пустых подпрограмм заполненными.
Шаг 3. Выбирайте представления данных для запоминания всех переменных задачи. В результате строятся COMMON- блоки модели и планируются структуры данных для численной реализации. Должна быть разработана схематическая диаграмма вычислительной цепочки. Она будет далее основным руководством при разработке и позднее при объяснении модели.
Шаг 4. Произведите выбор разумных начальных условий либо для тестовой задачи, либо для стандартного случая, либо* для предварительной точки отсчета. Эти данные являются идеальными для проверки диагностических средств, если точно известны значения, выводимые на печать или графопостроитель. Обычно необходимо, чтобы пустые модули использовались для каких-либо искусственных вычислений, чтобы тестировать работу начального варианта диагностики.
Шаг 5. Напишите подпрограммы инициализации, которые будут вызываться управляющей программой. Эти подпрограммы заполняют все переменные и массивы данных начальными условиями для первого стандартного случая. Конструктивным критерием здесь могут быть простота и гибкость. Так как инициализация выполняется только один раз, ее эффективность не является важным фактором.
Шаг 6. Тестируйте программу с подпрограммами-пустышками, инициализатором и диагностикой до тех пор, пока логический порядок процессов на шаге по времени не будет правильным, а диагностическая печать не будет давать корректные цифры в требуемых местах. В течение этой фазы существенно использовать известные данные и изменять эти данные. Ничто так не приводит в замешательство, как некорректные диагностические процедуры, чьи недостатки интерпретируются как погрешности в алгоритмах численного моделирования. На этом этапе было бы нелишним разработать средства вывода, а также возможности повторного расчета с предшествующими выводными данными.
Шаг 7. Начинайте независимую реализацию физических и химических алгоритмов, когда работает лишь один из них. Не позволяйте двум процессам взаимодействовать до того, как 6—245
каждый из них не будет тестирован отдельно. На этой стадии становятся очевидными многие из алгоритмических компромиссов, обсужденных выше. Каждый моделируемый процесс должен быть надежно проверен, чтобы можно было быть уверенным в его поведении. Использование численного эксперимента для воспроизводства аналитических решений является лучшим путем для проверки численной модели, так как эти решения дают детальные профили для сравнения.
Шаг 8. После тестирования отдельных модулей проверяются взаимодействия между ними проведением вычислений, где они включаются парами. Когда имеется много возможных взаимодействий, необходимо большое количество тестов. Вновь следует проверить предельные случаи и провести сравнения с теоретическими моделями. На этапах 7 и 8 полезно модифицировать модель простыми способами, например, временными изменениями коэффициента диффузии и газовой постоянной, чтобы сравнения с теоретическими тестовыми задачами были ^справедливыми.
Шаг 9. Включить все вместе ... и надеяться.
3-3.3. Пример: численное моделирование распространяющегося ламинарного пламени
Здесь описаны оптимизации и основные компромиссы, использованные при разработке численной модели типичного перемешанного ламинарного пламени. Ограничения разрешения и сложности задачи переводятся в стоимость непрактично высоких в этом случае требований к машинному времени. Этот идеализированный анализ проливает свет на тот факт, что численные методы «грубой силы» часто требуют слишком много компьютерного времени даже для идеализированной задачи. Хорошие численные методы необходимы именно для того, чтобы сделать моделирование хотя бы возможным, если и не вполне практичным.
Сформулируем задачу. Замкнутая труба длиной 1 м содержит однородную горючую газовую смесь. Подожженное на одном конце пламя распространяется вдоль трубы со средней скоростью 100 см/с до полного сгорания реагентов. Полный процесс протекает около одной секунды. Если пламя является ламинарным и потерями в стенке и другими эффектами пограничного слоя можно пренебречь, то одномерное описание изменения параметров вдоль трубы может оказаться адекватным. Горящий газ можно описать схемой химических реакций, которая включает несколько десятков компонентов, и вероятно, сотни химических скоростей. Численный эксперимент определяет изменение таких свойств, как температура, плотности компо-
Таблица 3-1. Характерные пространственные и временные масштабы в задаче о распространении пламени. Средняя скорость пламени составляет 100 см/с
Временной масштаб
Характерное значение, с
Пространственный масштаб
Характерное значение, см
(а) Скорость звука (пре
IO”9
(а) Разрешение в пла
IO*3
дел Куранта)
мени
(б) Химические реакции
10-е
(б) Зона пламени
10-2
(в) Время прохода зву
10~3
(в) Диффузионный мас
io-1
ка
штаб
(г) Время прохода пла
1
(г) Конвективный мас
10
мени
штаб
(д) Размер системы
100
нентов и положение фронта пламени как функций времени после инициирования смеси.
Мы хотим знать эти величины с точностью до 1%. Таким образом, 100 ячеек шириной 1 см и 100 шагов по времени длиной 10“3 с должно быть в принципе достаточно для разрешения проблемы. К сожалению, это ожидание оказывается довольно наивным. Физико-химические процессы покрывают временные масштабы, изменяющиеся на девять порядков величины, а пространственные масштабы — на пять порядков, как это показано в табл. 3-1. Рис. 3-2 переводит информацию из- табл. 3-1 в графическую диаграмму зависимости пространственного масштаба от временного при моделировании. Так как пространственный и временной масштабы являются логарифмическими, площадь на этой диаграмме пропорциональна логарифму стоимости вычислений.
Звуковая волна проходит через систему за время окола Ю-3 с, т. е. на три порядка величины быстрее, чем пламя или поток жидкости. Таким образом, шаг по времени около 10—6 с требуется для разрешения звуковых волн в 1-см ячейках. Предполагая, что ширина пламени составляет приблизительно 10-2 см и что сетка с пространственным интервалом 10-3 см необходима для разрешения крутых градиентов плотности и температуры, требуется шаг по времени около 10-9 с для разрешения* звуковых волн. Шаг по времени для разрешения химических процессов обычно равен 10-6 с и не представляет проблемы по сравнению с ограничением на шаг по времени, связанным со скоростью звука. Для оценки времени, требуемого для такого- расчета, нужно перемножить три числа:
число сеточных узлов в расчете,
число временных шагов,
среднее время, необходимое для интегрирования в каж* 6е
Время, с
Фис. 3-2. Время, требуемое для прямого расчета пламени, распространяющегося вниз в закрытой однометровой трубе, может быть рассчитано из сопоставления площадей большого и малого квадратов. Когда звуковые волны разрешаются на однородной сетке, расчеты могут потребовать 3000 лет. Нам бы хотелось провести расчеты за 100 с. Знаками (а) — (д) вдоль осей отмечены масштабы, приведенные в табл. 3-1.
дом узле сетки для каждого шага по времени на конкретно используемом компьютере.
Третье число обычно равно 10-3 с суперкомпьютерного времени на один узел сетки на временной шаг. Эта оценка включает решение химических и гидродинамических уравнений с соответствующими диффузионными членами и основывается на задаче водород-кислородного пламени, оптимизированной на ЭВМ с производительностью 50 миллионов операций с плавающей запятой в секунду (мегафлопс). На рис. 3-2 площадь, покрываемая численным экспериментом, равна числу узлов, умноженному на число шагов в вычислениях.
Расчеты методом грубой силы с временным шагом 10-9 си с числом ячеек 105 (длина каждой ячейки 10~3 см) требуют 1014 шагоузлов для завершения моделирования. Может потребоваться около 3000 лет компьютерного времени для численного моделирования одномерного пламени с разрешением всех пространственных и временных масштабов, приведенных в табл. 3-1. Это неприемлемо. В идеале такой простой расчет
должен занять 100 с компьютерного времени и 103 шагов по времени для 100 узлов сетки. Для решения задачи в такой постановке требуется фантастически быстрый компьютер! Необходимы алгоритмы с тонким разрешением во времени и пространстве лишь в тех случаях, когда это требуется. Далее, представление задачи должно быть оптимизировано с учетом наших знаний о физике и химии процессов.
Первый шаг к тому, чтобы сделать задачу выполнимой, состоит в осознании того, что фронт пламени движется много медленнее, чем звуковая волна. Это означает, что давление в трубе практически неизменно в пространстве. Из-за того, что труба закрыта, давление монотонно возрастает во времени по мере расходования реагентов. Химические процессы у фронта пламени определяют скорость его распространения. Однако длина шага пи времени 10~9 с определяется скоростью звука. Так как давление должно увеличиваться в замкнутом объеме, мы не можем исключить интегральный макроскопический эффект звуковых волн, которые переносят информацию о давлении через систему. Характерные скорости фронта и жидкости, определяемые пламенем, являются дозвуковыми. Если мы найдем подходящий алгоритм, то сможем избежать разрешения в расчетах столь коротких временных масштабов. Для этого следует решать уравнения для давления вместо уравнения для энергии неявным методом, который не содержит ограничений числа Маха на временном слое. Подробности неявных методов обсуждаются в гл. 4, 9 и 10.
Используя алгоритм на неоднородной сетке, неявный по давлению, можно увеличить шаг по времени для конвекции и распространения пламени на три порядка величины, потому что скорости, которые должны быть разрешены, на три порядка величины меньше скорости звука. Число узлов-шагов при интегрировании уменьшается соответственно с 1014 до 1011 и время вычислений снижается с 3000 лет до 3 лет.
Три года — это все же нереальное время продолжительности расчета. Следующий прием для дальнейшего уменьшения времени состоит в исключении излишних узлов сетки при использовании алгоритма, адаптирующего сетку к решению. Построение адаптивных сеток — область вычислительной физики, быстро развивающаяся последние несколько лет. Она основывается на помещении близко расположенных узлов только в областях сетки, где они необходимы. Адаптивные сетки особенно распространены в одномерном моделировании; работы по построению" многомерных адаптивных сеток также развиваются, но они намного труднее. Этот вопрос рассматривается в гл. 6.
Уменьшение требований к объему компьютерной памяти на
порядки величины и ко времени расчета тестовой задачи может быть достигнуто путем постановки малых ячеек только вблизи фронта пламени. Предположим, что использовались 100 ячеек длиной 1 см для представления решения задачи вне пламени, а область, окружающая пламя, покрыта мелкой сеткой из 100 дополнительных ячеек длиной 10-3 см. Шаг по времени теперь определяется скоростью пламени в самой короткой ячейке, но общее число требуемых узлов равно 200 вместо 105. Эта экономия в 500 раз для узлов уменьшает время до 2-Ю8 узлов-шагов, или приблизительно до двух дней. Компромиссы по уменьшению стоимости увеличивают программную сложность, связанную с трактовкой неравномерных сеток, потерей точности из-за погрешности конечно-разностных алгоритмов на неравномерной сетке и необходимостью разработать алгоритмы, которые передвигают область подробной сетки так, чтобы охватить область пламени в любой момент времени.
В заключение мы рассмотрим экономию вычислительных затрат, полученную путем использования техники построений адаптивных сеток, называемой прерывистое подсеточное погружение. Идея состоит в том, что используется тот же самый прием с шагом по времени, который был только что использован с шагом по пространству. Детальная численная модель для определения скорости и структуры фронта пламени периодически погружается в макроскопические вычисления, которые вне фронта требуют только 1-см разрешения. Параметры основного течения (такие, как давление и температура несгоревших газов), определяют граничные условия для области фронта пламени шириной 10-1 см. Реакция детальной модели фронта пламени на эти изменяющиеся граничные условия определяет выделение энергии в течении каждого из больших, равных 10-1 с шагов по времени. Если особое внимание уделено определению медленно изменяющихся, макроскопических свойств- тонкой зоны пламени, расчеты низкой степени разрешения определяют эволюцию положения фронта с одним процентом требуемой точности.
Предположим, что 100 узлов достаточно для разрешения изменений в зоне пламени в течение короткого периода времени, когда ведутся расчеты модели детального фронта пламени. В течение этого расчета фронту пламени требуется передвинуться лишь на долю одной грубой 1-см ячейки, так что пересечение 10 мелких зон потребует 100 шагов по времени. Этого 10-с расчета достаточно для определения скорости пламени и условий для сгоревшего газа, используемых в расчетах на грубой сетке. Предполагается, что такой расчет следует выполнить только однажды, когда пламя проходит через каждую большую ячейку. Таким образом, требуется 100+100X10 с= 1100 с
вычислительного времени для всего численного моделирования.
Этот пример показывает важность выбора правильного набора алгоритмов для конкретного типа задачи. Плата за недооценку проблем на этой фазе построения модели может быть серьезной. Этот пример также подчеркивает ценность адаптивных сеток.
Большая часть затрат на детальное численное моделирование реагирующего течения связана с интегрированием жестких обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих химическую кинетику. При моделировании детонации и пламени с детальными химическими механизмами динамика жидкости1 и диффузионный перенос потребуют от 10 до 20% машинного времени. Химическая кинетика для реалистически обоснованного механизма потребляет остальное время. Большая доля этого времени тратится на вычисление температурной зависимости скоростей реакций.
3-3.4. Тестирование программ и моделей
Резюмируя все вышесказанное, мы рекомендовали найти наиболее существенные стороны данной задачи, для того чтобы подобрать вычислительное представление, потом выбрать конкретный стандартный случай для реализации модели и затем воспользоваться вариациями стандартного случая для тестирования модели. Важно постоянно проходить через процесс тестирования. Это дает возможность оценить части модели до того, как они будут собраны в полной модели. Тестирование позволит также получить решения для прямого сравнения либо с экспериментальными данными, либо с аналитическими теориями. При сравнении расчетов с данными эксперимента тесты являются хорошим средством «тренировки» модулей в вычислительной модели. При сравнении расчетов с аналитическими теориями часто возможно предсказать результаты теории, а затем перенести вычисления в область, где теория не справедлива. Этот процесс позволяет понять, как работает компьютерная модель, и оценить вычислительные затраты для полученного решения.
После того как модель разработана, необходимо убедиться, что физические процессы представлены корректно и что модель по возможности свободна от ошибок. Здесь очень велика роль интуиции и знания о поведении физических процессов. Материал, представленный ниже, — это не организованная методология, а набор советов и подсказок, как проверять модель.
Избегайте программирования в безразмерных параметрах
Это звучит противоположно тому, чему учат студентов на теоретических занятиях. Выбрав систему стандартных единиц и сохраняя переменные программ в этих единицах, можно сэкономить большое количество времени на написание, отладку и интерпретацию сложных расчетов реагирующих течений с многими взаимодействующими физическими процессами. Необычайно трудно отладить программу, когда все переменные имеют значения порядка единицы. Много ошибок «второго порядка» можно избежать или значительно легче найти, если единицы, измеренные в программе, прямо связаны с реальной системой. Спорно и то, как и какую пользу можно извлечь из масштабирования, когда имеет место много взаимодействующих процессов на многих временных масштабах. Работа в реальных единицах, присущих решаемой задаче, помогает развить интуитивные знания о системе и упрощает общение с экспериментаторами.
Промежуточные контрольные точки
Основной целью является точное, информативное численное моделирование стандартного случая. Для достижения этой цели должно быть проведено большое число небольших контрольных вычислений, каждое из которых адресовано конкретному физическому или вычислительному вопросу и по мере сочетания которых возникает полное моделирование стандартного случая. Иногда полезно выбрать промежуточные контрольные точки с характерными размерами или отношениями системных параметров, которые отличаются от стандартного случая. Например, когда характерные временные и пространственные масштабы изменяются в широких пределах, контрольные вычисления в задаче с малым диапазоном масштабов требуют немного временных шагов для получения решения и его проверки. Это уменьшает стоимость вычислений на этапах разработки и тестирования и быстрее подводит проект к состоянию, где надежно и адекватно моделируется сложная проблема с высоким разрешением.
Возможно также разработать и проверить численную модель задач с меньшей, чем в стандартном случае, размерностью. Это требует меньшего машинного времени и объема памяти, а решения могут анализироваться более тщательно, чем в эквивалентных двух- или трехмерных задачах. Однако важно быть убежденным, что тестированные методы будут легко и эффективно обобщаться на случай размерности, большей единицы. Тестовые задачи должны быть значимыми с точ-
ки зрения как решения конкретной проблемы, так и проверки реализации вычислительной модели.
Когда контрольные расчеты успешно завершены, копия всей вычислительной программы вместе с результатами заносится для сохранности в отдельный файл. Советы по документированию обсуждаются ниже в разд. 3-4.
Держите программу в чистоте
Имеется тенденция не удалять неиспользуемые части вычислительной программы, а «включать» их в модели путем «комментирования»1) или обхода с помощью операторов GOTO. Оставляя эти части в программе, мы замедляем вычислительный процесс в целом из-за редактирования при печати. Излишние операторы могут оказать воздействие на задачу, если они -случайно выпадают из области комментария. Проще и надежнее выбросить ненужные или ошибочные операторы, а при необходимости вставить их вновь.
Изменяйте модель медленно и систематически
Чрезвычайно важно не делать слишком много изменений за один раз, когда модель обновляется или модифицируется. Лучше выполнить несколько отдельных независимых тестов, которые могут сравниваться друг с другом и со стандартным случаем. Даже когда новые идеи или компоненты кажутся логически независимыми, они часто не бывают таковыми на деле. Поэтому отделяйте тесты не только для того, чтобы уменьшить полное время разработки, но также и для увеличения уверенности в модели. Вставлять три или четыре теста в один запуск программы, даже если они являются типичными и выглядят независимыми — значит создавать возможность .затруднений и конфликтной ситуации.
Внутренне документируйте модель
Внутреннее документирование модели — важный аспект ее изменения и развития. Этому вопросу посвящен разд. 3-4.2. Каждый испытывает затруднения, когда вспоминает, что делал шесть месяцев или год тому назад. Хотя вставка комментариев в программу и кажется напрасной тратой времени, вы будете вознаграждены, если будете поступать таким образом.
!) Строка с литерой «с» в первой позиции воспринимается компилятором как комментарий и не обрабатывается. — Прим, перев.
Даже если вы пишите программу для себя и не ожидаете, что другие воспользуются ею, вы извлечете выгоду, если будете вести подробную внутреннюю документацию.
Интерактивный или пакетный режимы
Использование интерактивного или пакетного режимов проведения вычислений — это часть вопроса о том, как лучше использовать ваше личное или машинное время. Многое при разработке предварительной модели и тестировании лучше делать в интерактивном режиме. По мере развития проекта, однако, наступает момент, когда тесты требуют значительного компьютерного времени для завершения. Диалоговая отладка может требовать слишком много времени, но не приводить к документально подтверждаемому прогрессу. Коллеги также могут быть раздражены большим количеством высокоприоритетного времени, требуемого для вычислений, которые становятся все продолжительнее.
Начиная с этого момента интерактивные шансы лучше использовать не для проведения расчетов, а для редактирования, сопоставления различных пакетных тестов и проверки результатов расчетов после их завершения. Отладочные расчеты для типичного одночасового численного эксперимента требуют пять или десять минут для проверки сделанных изменений. За пять минут могут быть запланированы и переданы четыре различных пакетных теста. Тогда оставшиеся тридцать, минут (пока пакеты обрабатываются) могут быть использованы для размышлений, программирования и т. п.
Поддерживайте здоровый скептицизм
Никогда не верьте результатам своих вычислений. Всегда ищите ошибки, ограничения, неестественные правила, неточный ввод и места, где алгоритм перестает работать. Ничто не работает, пока вы не проверили это и, вероятно, не работает даже после проверки. Этот скептицизм помогает избежать затруднительных ситуаций, которые имеют место, когда приходится применять физические рассуждения для нахождения грубой ошибки.
3-4. Эффективно используйте время
Разработка и тестирование вычислительных программ, просмотр результатов, обдумывание вывода и планирование следующего этапа проекта — все это требует времени. Имеет смысл делать все с максимально возможной скоростью и эф-
фективностью. Здесь мы обсудим четыре аспекта эффективного использования времени:
Делайте часть работы параллельно.
Документируйте весь процесс.
Используйте то, что делают другие.
Начинайте все сначала без потери лишнего времени.
3-4.1. Разделяйте время между заданиями
Последовательная формулировка численной модели без размышлений над следующим и предыдущим этапами может дорого вам обойтись. Это верно также для тестирования и применения изменяющейся численной модели. Время лучше всего разделить между несколькими аспектами проекта, часть из которых требуют глубокого размышления, другие решаются сразу. Искусство состоит в том, чтобы занять себя в «мертвый сезон». Для выполнения этой задачи делайте несколько дел параллельно, так чтобы всегда было продвижение в одном из аспектов проблемы.
Например, пока программы обрабатываются или работает графопостроитель, полезно планировать следующую стадию работы. Может быть, аналитические оценки необходимы, чтобы определить точные параметры для следующего случая. Может быть, следует прочитать книгу или журнальную статью. Можно модифицировать, разрабатывать пли тестировать алгоритмы или новые физико-химические модели в дополнение к полной модели в то время, как ведутся конкретные расчеты. Даже (когда компьютер работает медленно, может не хватить времени для понимания основополагающих результатов в течение прогона вычислительных программ.
3-4.2. Документируйте и возвращайтесь к результатам моделирования
Запись этапов исследования и составление отчетов о выполненной работе выполняются отнюдь не всегда, хотя большинство из нас согласятся, что исследование должно вестись именно таким способом. Под давлением обстоятельств легко забыть документировать то, что было сделано. Стремление увидеть результаты следующего улучшения программы также является хорошим извинением для задержки документации. Хотелось бы в связи с этим отметить, что отсутствие документации может замедлить прогресс из-за прекращения ведения записей и анализа. Мы успокаиваем себя, думая, что помним все важные аспекты проделанной работы. Иногда это действитель-
но так. Мы также говорим себе, что запишем все позже, когда продвинемся дальше. И это тоже иногда делаем, но не всегда.
Эти -комментарии призывают готовить документацию на любом уровне, в самой программе или при описании результатов вычислений. Плохая или недостаточная документация может отнять в дальнейшем много времени у вас и у ваших коллег. Документирование расчетов, алгоритмов, программ и результатов может сберечь много часов или дней в будущем за счет минут или часов, когда вы еще все помните. Документация концентрирует ваши мысли и позволяет легче понять то, что было сделано. Это особенно важно, когда вы пытаетесь повторить прежние результаты и решить следующую задачу, которая основана на предыдущей работе. Записная книжка, которую вы регулярно вели при разработке и тестировании модели, хранит отметки о том, что работало, где возникали проблемы и чего удалось достичь. Сюда следует занести и результаты проверок отдельных модулей и наборов модулей. Выходные файлы этих тестов также следует занести в комментарий, пометить датами и озаглавить для простоты идентификации. Отмечайте и объясняйте причину замены одного алгоритма другим.
Важной частью ведения документации в период разработки и проверки модели является документирование самой вычислительной программы. Это следует сделать, не жалея времени, пока вы еще помните, как работает программа. Когда комментарии в программе опущены, становится трудно найти даже тривиальные ошибки. Внутренняя документация приносит и дополнительные выгоды. Когда модель завершена, сбор внутренней документации дает первый грубый набросок, необходимый для документирования самой вычислительной программы.
Входные и выходные данные численной модели также должны быть документированы. Каждый дамп-файл, который содержит все переменные для повторения вычислений с промежуточного шага по времени, должен иметь внутреннюю метку, чтобы при чтении можно было установить, что это за данные. Такие метки должны генерироваться автоматически, когда программа выполняется на компьютере. Эта запись помечает все выходные файлы.
Всегда трудно решить, что следует хранить, а без чего можно обойтись. С постепенной заменой вывода на принтер или графопостроитель, записью в файлы на гибких или жестких дисках появляется возможность хранить больше бесполезной выводной информации, а забыть, что там записано, становится легче. Без хорошей системы хранения файлов и записной книжки трудно найти необходимые данные быстро и на-
дежно. Очень полезен осторожный выбор мнемонических имен файлов и способов их проверки.
В результате записная книжка проекта должна включать, стандартную модель и численные расчеты, сопровождающие ее. Вывод должен быть помечен датой и описаниями, связывающими его с соответствующими входными данными. Хорошим способом документирования результатов является генерация фигур или графов прохождения задачи. Каждая фигура должна быть выбрана для суммирования некоторого результата, аспекта или концепции проекта. Каждую из этих обобщающих, фигур следует сопроводить подробным текстом, состоящим^ как правило, из нескольких сотен слов. В дополнение к отчетам о разработке, доступным в любое время, в технические* отчеты могут быть включены фигуры и сопровождающие тексты. Эта процедура подобна собиранию внутренней документации вычислительной программы для составления документа,, описывающего вычислительную модель.
Одной из самых первых фигур, помещенных в проекте численного моделирования, должна быть схема, объясняющая вычислительную сетку. Она должна показывать положения границ сетки, геометрию задачи, индексы и границы вычислительной области. Она может также показывать геометрические положения, где определены осредненные физические переменные^ и указать использованные типы граничных условий. Эта фигура как бы устанавливает «сцену» для результатов, представленных в табличной или графической форме, и будет использоваться всякий раз для объяснения модели и результатов другим пользователям.
3-4.3. Совместная работа
Основная численная модель обычно разрабатывается иг программируется в самом начале проекта. Ее физико-химическая основа время от времени меняется или обновляется каждые несколько месяцев или лет. В численных экспериментах,, так же, как в лабораторных, существенная, а иногда и преобладающая доля усилий тратится на развитие новой диагностики, использовании ее, а также на анализ ее результатов. Основная численная модель оказывается окруженной набором: специальных программ, больших, чем основная модель. Эти специализированные утилиты используют основные переменные- моделирования для создания, например, графической интерпретации вывода и вычисления интегралов и производных от различных величин, используемых для диагностики.
Объединение усилий с другими пользователями того же- самого или аналогичного компьютера может уменьшить уси-
лия по созданию и отладке этих утилит. Математическое обеспечение, полученное таким путем, редко бывает тем, что требуется, но оно нередко может быть изменено ценой небольших затрат времени. Иногда необходимо написать программу для ликвидации несогласованное™ между численной моделью и диагностическим программным обеспечением.
Если вы разрабатываете математическое обеспечение для себя, и в особенности, если кто-то еще может использовать его, важно сделать программу, реализующую численную модель, которая имеет следующие свойства:
Ясная и хорошая документированность. Ясная программа может быть понята и быстро и точно модифицирована. В продолжающихся исследованиях для программиста-разработчика важно быстро разобраться в программе, которую он не видел год или два.
Простота. В простой программе труднее сделать ошибку и ее легче модифицировать, чем сложную. Простота и ясность помогают сделать программу более гибкой. Гибкость не является необходимым качеством, так как программу необходимо использовать только для одного типа вычислений. Однако гибкость весьма желательна.
Быстрота. Делать программу быстрой экономически выгодно. Из этого следует гибкость, так как часть вычислительной эффективности может быть направлена на увеличение точности. Быстрая программа выгодна при более продолжительных расчетах с лучшим разрешением.
Точность. Компромисс между скоростью и точностью всегда является одним из наиболее трудных для программистов-вычислителей. Почти все усилия в области численного анализа направлены на попытку достичь обеих этих целей. Изменения в основных алгоритмах чаще дают повышение точности и скорости, чем использование специальных вычислительных уловок или смена языков программирования.
Устойчивость. Устойчивая программа хорошо работает в широком спектре входных данных, и существует лишь несколько специальных случаев, которые она нс может одолеть. Как правило, устойчивая программа надежно дает корректные результаты.
О структурном программировании и стиле программирования написано довольно много. Простые и ясные обсуждения вопросов можно найти в книгах Ледгарда [5] и Кернигана и Плаужера [4]. Дополнительно мы рекомендуем книги Хиггинса [2], Хьюджеса и др. [3] и Ван Тасселя [6]. Приведем здесь несколько общих рекомендаций, взятых и из этих работ, но, в основном, следующих из нашего опыта (см., например, работу
[1]). Научное программирование есть искусство, являющееся очень трудным делом и требующее особого таланта. Рекомендации, следовательно, более уместны, чем строгие стандарты,, разработанные для документирования.
3-4.4. Общие указания по программированию
Пишите ясно. Избегайте программистских уловок ради поддержания ясности. Если они все-таки имеются, то их следует внутренне документировать. Вычислительная программа, реализующая численную модель, должна легко читаться.
Ясностьчастичноозначаетчитабельность.Читабельностьмо жетвходитьвомногихформахиобразцахтакчтолучшийиедин ственныйсоветкоторыймыможемдатьсостоитвтомчтобызас тавитьпрограммунапоминатьточтобольшинствуизнаскажет сябольшечемпростотипомвизуальнойпередачиинформации, английскуюпрозу.Такимпутемлегчевосприниматьпрограмм нуюинформацию.Существуетбезсомнениямногопутейпред ставитьпрограммныеоператорывяснойичитабельнойформе. Ксожалениюмногиепрограммистыделаютэтоприблизитель нотаккакэтогголучаетсянодляфортраноподобныхтекстов.
Четкостьвдействительностиестьтолькоразвитиеэтогозолото гоправила.
Вставляйте пробелы в операторы программы. Вставляйте пробелы после запятых, между именами переменных, после имен подпрограмм, вокруг знаков « + » и «—», а также между операторами типа GOTO. Пустые линии делают программу аккуратнее и легче читаемой. Все это можно рассматривать как любезности, оказанные следующему программисту (чаще всего вы сами -им и окажетесь!).
Хорошее комментирование помогает сделать программу яснее. Комментарии и операторы программы должны быть согласованы, и комментарии должны добавляться для обзора ин! формации или новой интерпретации, которая не очевидна при ; чтении операторов программы. Комментарии должны также напомнить читателю основную цель конкретной части программы, а также любые скрытые подробности. Для простоты чтения делайте абзац из комментариев так, чтобы программа выглядела как очерк с комментариями в виде заголовков.
План программы может быть почти так же полезен, как комментарии, помогающие объяснить, что было сделано. Можно форматировать и структурировать программу для того, чтобы помочь читателю найти:
структуру обработки программы, включая циклы проверки IF и общие блоки;
структуру данных — операторы, задающие размерности
переменных, описания переменных, операторы DATA для присвоения переменным начальных значений и операторы назначения, изменяющие значения переменных;
другие части составных структур — концы циклов, метки операторов перехода GO ТО и операторы формата, соответствующие инструкциям READ и WRITE (ввода и вывода).
Существует много хороших концепций плана программы. После выбора стиля необходимо обеспечить простоту поиска и просмотра структур. Программа становится яснее и ошибки в ней легче искать, если она следует определенной логике. Это означает, что ветвления и проверки условных операторов не должны передавать управление предшествующим операторам за исключением случаев абсолютной необходимости. Когда такая обратная передача управления полезна, необходим объясняющий это комментарий. Некоторые авторы предлагают исключить все операторы GOTO, и это хотя и экстремальная, но последовательная позиция. Никакие «заплаты» не смогут улучшить плохо структурированную программу. Не бойтесь полностью переписывать части программы. Время, потерянное на это, обычно экономит намного больше времени за счет того, что удается избежать ошибок и путаницы в дальнейшем. Помечайте данные ввода, вывода и используемые по умолчанию, подбирайте имена переменных и грамматические конструкции, имеющие смысловое значение в английском языке и в выбранном языке программирования. Выбирайте имена переменных так, чтобы их было трудно спутать с другими, и выбирайте представление данных, упрощающее программу. Не избегайте использования длинных описательных имен. Использование подпрограмм и библиотечных функций уменьшает мастшабы того, что должно быть понято одновременно.
Разрывайте программу в местах расположения логических операторов. Старайтесь использовать обычные операции на внешнем уровне, начиная каждую новую строку. Используйте короткие конструкции, если они достаточны, но не сокращайте комментарии или идентификаторы переменных. Как и в английском языке, нс смешивайте несколько мыслей в одной строке или операторе программы. Целесообразно использовать в программе ясный язык и простые алгебраические операции.
Имеется несколько мест в программе, где выгодно быть многословным. Никогда не повредит использование скобок, чтобы избежать двусмысленности или смешения различных типов арифметических операций, что может вызвать непонимание между программистом и компьютером. Если логические выра- жения в программе трудны для понимания, стоит потратить время на их преобразование, даже если более разборчивый формат длиннее.
Имеется несколько мест, где выгодно быть лаконичным. Вы не должны все по слогам прочитывать компьютеру. Он часто может делать работу лучше, чем вы сами. Например, выгодно избегать временных переменных и несущественных разветвлений. Избегайте операторов IF с несколькими назначениями. Логическое выражение, часто заменяющее условное ветвление, обычно компилируется эффективнее и может нередко привести к ускорению программы путем исключения объясняющего комментария.
Наиболее скучные и, следовательно, плохо написанные части программ — это структуры данных ввода и вывода. Имеется вводный контроль для проверки чтения данных в программе, так что плохой ввод можно идентифицировать, определить его место или прекратить обработку программы. В частности, если алгоритм имеет диапазон, в котором он справедлив, ввод следует контролировать, чтобы быть уверенным, что этот диапазон не превышается. Распечатайте объяснения, когда данные подозрительны. Однородный входной формат позволяет легко читать данные. Программа должна повторить все входные данные в аккуратном, хорошо документированном формате, который может быть выделен и использован для документирования моделирования.
Отладка облегчается при использовании хорошей техники программирования. Например, все переменные должны быть инициализированы до использования. Константам могут быть присвоены начальные значения операторами в программе, тогда как переменные должны быть инициализированы вводом или выполняемыми операторами. Когда для изменения значений по умолчанию (например, NAMELIST в Фортране) используется свободная форма ввода, оба значения по умолчанию и текущее значение должны быть напечатаны и идентифицированы. Будьте осторожны в описании правильных путей разветвлений и в тех случаях, когда выходы из цикла на один и тот же оператор имеют место как из тела цикла, так и из его конца. Не сравнивайте числа с плавающей запятой в строгих равенствах, так как 10,0X0,1 не равно в точности 1,0 в машинном представлении.
Ведите расчеты по программе вручную, используя различные входные числа. Это может быть чрезвычайно полезно для нахождения логических и синтаксических ошибок. Это иногда помогает как ничто другое. Хитрость здесь состоит в попытке сделать то, для чего запрограммирован компьютер, но не обязательно то, что вы хотите. Мы называем это «играть в компьютер». Конкретное преимущество игры в компьютер состоит в том, что он стимулирует анализ того, что в действительности написано в программе и что конкретно делает алгоритм.
После того как модель должным образом понята компьютером и программистом и действует как предполагалось, будет полезно рассмотреть способы ускорения вычислений. Возможно векторизовать части программы, если компьютер имеет такие возможности. Можно также найти другие способы организовать части программы, так чтобы они обрабатывались эффективно. Привычки к разработке хороших программных структур и внутренней документации столь же важны при разработке математического обеспечения для других, как и при программировании для себя. Однако существуют дополнительные обстоятельства, когда кто-то еще собирается использовать программу. Одним из примеров является общее соглашение о названии переменных. То, что является очевидным для одного человека, может быть непостижимо для другого. Следовательно, необходимы словари переменных, управляющих параметров, аргументов подпрограмм и логических сегментов программы для новых пользователей, причем они могут оказать большую помощь автору-разработчику программы.
3-4.5. Не бойтесь возможности все начать сначала
В процессе разработки, тестирования и использования модели численного моделирования происходят изменения в -понимании проблемы и, следовательно, того, что мы хотим от модели. Численный эксперимент проводится для расширения нашего понимания конкретного типа задачи. По мере эволюции нашего понимания, естественно, изменяется спецификация работы, которую следует выполнить. Важно быть гибким и не бояться пересмотреть и осмыслить вновь то, что делается. Лучше изменить алгоритм или структуры как можно раньше, чтобы сэкономить значительно больше усилий позднее.
Вопрос о повторном начале — это уже другой уровень. Он возникает позднее в жизни численной модели. После некоторого использования большая численная модель становится смесью, частично написанной тем, кто вначале хотел решить проблему, частично теми, кто принял модель и сделал в ней для своего случая изменения, и частично другими программистами, несвязанными с проектом, которые разрабатывали математическое обеспечение, адаптированное и введенное в структуру программы. Модель растет по мере добавления новых частей. В конце концов модель вырастает до размеров, когда она оказывается не ясной, не простой и не быстрой, и уже более быстрые, более точные и более устойчивые алгоритмы используются для моделирования различных процессов.
В конце концов мы подходим к решительному моменту. Пытаетесь ли вы заменить старые алгоритмы новыми или начинае-
те все сначала и переписываете программу? Ответ зависит от того, насколько громоздкой становится программа. Если она совершенно новая (может быть, ей всего несколько лет), то замена старых алгоритмов и «косметический ремонт» может оказаться наилучшим способом. Но никогда не бойтесь начать все сначала. Это хорошая возможность отбросить неиспользуемые части программы, улучшить алгоритмы и структуры данных и подготовить модель для использования новых конфигураций и специальных возможностей новейших компьютеров. Можно дать и общий совет: продолжайте адаптировать и чистить программу до тех пор, пока необходимость очень больших изменений не вынудит переписать ее.
ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХ
В этой главе представлены и проанализированы некоторые простые конечно-разностные методы, применяемые при моделировании четырех основных процессов в течениях реагирующей среды: химических реакций, диффузии, конвекции и распространения волн. Представленный здесь материал является обзором и кратким экскурсом по методам решения идеализированных форм уравнений, описывающих эти процессы, и подготавливает более детальные обсуждения, проводимые в гл. 5—11.
В табл. 4-1 приведено математическое описание упомянутых четырех процессов и указываются места книги, где для них обсуждаются численные решения. В этой главе порознь анализируются четыре соответствующие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, причем расширяется и проясняется обсуждение, первоначально представленное в работе [3]. Для расчета каждого процесса выбираются несколько простых методов и выводятся общие критерии точности и устойчивости численного решения. Такой подход выявляет многие вычислительные трудности, которые также имеют место в сложных задачах, где взаимодействуют между собой несколько процессов. При этом выясняются сильные и слабые стороны некоторых классических методов решения. В процессе обсуждения оцениваются главные вычислительные и алгоритмические вопросы, которые возникают при численном моделировании каждого процесса.
4-1. Введение в теорию конечно-разностных методов
4-1.1. Дискретизация по времени и по пространственной координате
Вычислительные машины обычно имеют конечный объем памяти, разделенной на отдельные слова-ячейки с данными, представляемыми числами с плавающей запятой. Такая структура памяти вынуждает представлять непрерывные гидродинамические переменные в расчетной области посредством конечного числа дискретных действительных значений. В типичном случае
Таблица 4-1. Уравнения, описывающие отдельные физические эффекты в течениях реагирующей среды
др
» -vp + s
01
atдх»
др _ _ d(pv)
dtдх
Локальные процессы:Раздел 4-1
источники, стоки, взаимосвя- Глава 5 занные химические реакции
Диффузионные процессы:Раздел 4-3
молекулярная диффузия, Глава 7 теплопроводность, термодиффузия
Конвективные процессы:Раздел 4-4
адвекция, сжатие, вращение Главы 8, 9, 10
д2Р, д«р
дР°№ дх»
Волны и колебания:Раздел 4-5
звуковые волны, гравитаци- Глава 10 онные волны, разные колебания
пространственная область разбивается на расчетные ячейки, которые называются также жидкими элементами, или зонами. Здесь обычно применяется термин ячейки, хотя иногда используются все три термина, заменяя друг друга. Ячейки представляют собой некоторые объемы, определяемые так называемой расчетной сеткой, или границами раздела ячеек. Дискретные значения переменных в этих ячейках обычно вычисляются в определенный момент времени. Поскольку компьютерное представление оперирует с дискретными числами, а не с непрерывными переменными, то при численном решении временные зависимости также представляются на дискретных интервалах. Эти интервалы, называемые шагами по времени, обеспечивают удобное описание приращения времени, на которое продвигается численное решение.
Пусть требуется рассчитывать решения для непрерывной зависимой переменной р(х, f), где х является пространственной координатой, a t представляет время. Функция р (х, /) будет аппроксимироваться с помощью рассчитываемых дискретных значений в ячейках в моменты времени, определяемые последовательностью дискретных шагов по времени. Выбор буквы р для обозначения переменной функции сделан намеренно для того, чтобы напомнить читателю, что в общем случае нашей целью исследования является численное моделирование изменяющихся в пространстве таких физических величин, как массовая плотность, плотность импульса, плотность энергии или концентрации химических компонентов. Переменные р и х могут быть скалярными или векторными.
Всюду в книге индексом / обозначается /-я расчетная ячейка. Последовательность соседних расчетных ячеек обозначается индексами /—1, /, /+1,..., а границы, разделяющие эти ячейки,
отмечаются индексами /—1/2, /+1/2,.... Величина р,п представляет собой значение р в центре ячейки с координатой х, в момент времени tn. Эта величина ру является значением непрерывной переменной р в ячейке; обычно это некоторая величина р(х, 0> осредненная по объему расчетной ячейки. Координатах/ отмечает положение /-й ячейки. Величины {xy+i/2} обозначаю! положения границ раздела между соответствующими ячейками с координатами Xj и х/+ь Размер ячейки определяется формулой
АХу = Ху+1/2Я/-1/2.(4-1.1)
Буква / для обозначения индексов применяется вместо буквы i для того, чтобы не возникло путаницы в обозначении индекса ячейки и мнимой единицы / = У—1. В этой главе мнимая единица i появляется в разложениях Фурье, применяемых при анализе конечно-разностных алгоритмов. Используется также буква к для обозначения волнового числа (измеряемого в см-1) в пространственной з^исимости гармоник Фурье ехр(/&х). В многомерных случаях ячейки отмечаются индексами /, /, к соответственно для трех пространственных направлений. Поскольку в этой книге анализ Фурье редко используется в многомерных случаях, то это не вызовет путаницы.
Верхний индекс п в обозначении, например, р" указывает значение переменной, вычисленной в момент времени tn. Таким образом, последовательные моменты времени обозначаются верхними индексами . .., п—1, п, п+1,... . Верхние индексы п—1/2 или п+1/2 отмечают моменты времени, соответствующие половинам шага по времени. Когда записываются алгоритмы для продвижения решения уравнения на шаг по времени, то иногда верхний индекс 0 используется для значения переменной в предыдущий («старый») момент времени п—1, а п обозначает «новый» момент времени. Шаг -по времени обычно обозначается АЛ В более общих алгоритмах, описываемых в последующих главах, М может изменяться со временем, так что
^ = 1п — 1п"г.(4-1.2)
Часто, как, например, в гл. 5, для обозначения интервала интегрирования принимается символ h. Такое обозначение общепринято в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, где h может представлять собой приращение любой независимой переменной.
Имеются различные способы интерпретации дискретизированных переменных на языке аппроксимируемых непрерывных физических величин. Рассмотрим, например, координату ху, отмечающую положение /-й ячейки. В зависимости от того, какой смысл вкладывается в обозначение Ху, это может быть: , координата геометрического центра ячейки,
координата центра масс ячейки,
координата некоторой частной точки внутри ячейки, где из каких-то соображений известно значение р/.
Рассмотрим теперь р/п— значение р в ячейке при х=х}\ Это может быть:
значение р(х,/) в некоторой частной точке х/ в момент времени t\
характерное значение р(х, /) вблизи определенной точки Xj в момент времени tn,
среднее значение непрерывного решения в объеме, заключен- ■ ном между границами ячейки, в момент времени tn, среднее значение р по времени между значениями при ^-ш и /п+1/2 в Ячейче с координатой х^
-среднее значение р по пространству и по времени, коэффициенты при базисных функциях в линейном разложении по ним зависимой переменной р(х, /).
Каждое из этих представлений обладает особыми свойствами и соответствует различным алгоритмам решения, причем одни из них аппроксимируют некоторые ситуации лучше, чем другие представления.
Во всех случаях решение представляется лишь конечным числом дискретных значений и каждое значение определено лишь с ограниченной точностью. Это означает, что при численном решении часть информации, касающейся решаемой непрерывной задачи, неизбежно теряется. В результате в расчете возникает некоторая неопределенность, проистекающая из дискретизации. Источником неопределенности является потеря информации о детальной структуре решения в пределах дискретных пространственных ячеек и временных шагов. Эта проблема имеет место во всех случаях, когда для представления непрерывных распределений используется конечное число значений.
Рассмотрим непрерывную независимую переменную г, определенную в ограниченной области
21^г^г2,(4-1.3)
где z представляет собой либо пространственную, либо временную переменную. Поскольку функция р определена всюду в непрерывной области [zb 22], набор дискретных значений {р/} дает неполное описание р(г). На рис. 4-1 показаны два возможных вида функции р(г), имеющих одинаковое осредненное представление, отвечающее значениям в расчетных ячейках. Из этого рисунка видно, что включение большего числа значений в последовательность {р/} дает лучшее представление функции. Когда используется меньшее число точек, теряется больше информации о функции р. Выбор конечного дискретного представления р описывает только длинноволновые свойства функции р.
5
Рис. 4-1. Два типа функции p(z): а — гладкая функция р(2) мало изменяется в пределах шага дискретизации Аг,; б — р имеет существенную структуру в пределах шага Az/ и дискретные значения р несут в себе мало информации.
Если х представляет собой время, то, как видно, выбор определенного временного шага есть то же самое, что и выбор некоторого фильтра, который устраняет высокочастотный шум. Если х— пространственная переменная, то за счет выбора определенной пространственной сетки эффективно отфильтровываются коротковолновые компоненты решения.
4-1.2. Конечно-разностное представление производных по времени и по пространству
Элементарное определение производной от непрерывной функции р по аргументу х выражается формулой
*(2)^ ц P(z+Az)—p(z) и p(z)-p(z—Az)„ j ..
^zAz—>0Д2-^0
В теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных предел рассматривается при стремлении интервала Дг к нулю. В конечно-разностных выражениях для производных предел не берется, поскольку отсутствует континуум значений, по которому можно было бы устремлять приращение к нулю. Размер шага Дг должен оставаться конечным. Производная аппроксимируется на расчетной сетке с использованием дискретных значений {р/} и {Дг,}. Например, один из способов конечно-разностной аппроксимации производной дается формулой первого порядка точности с разностями «вперед»
lim(415)
Az->o?/+1—г/
Обычно предполагается, что численное решение приближается к точному решению по мере того, как значения {Аг/} уменьшаются.
др дг
Py+i — Р;Первый (разности вперед)
Дг
Ру — РУ-1Первый (разности назад)
Дг
Py+i"" Ру—iВторой (центральные разно-
' " 2Дгсти)
д2р
Ру+1 —* 2ру + Pj-iВторой (центральные разно-
^сти)
Таблица 4-2. Простые конечно-разностные формулы для производных
Производная
Формула
Порядок точности
В табл. 4-2 приведено несколько наиболее простых конечноразностных формул для производных. Они могут использоваться при дискретизации уравнений из табл. 4-1. Когда решения гладкие, обычно верно утверждение, что решение более высокого порядка является более точным решением. Заметим, что повышение порядка точности означает расширение количества переменных, входящих в конечно-разностные формулы. Таким образом, более высокий порядок обычно влечет за собой увеличение объема вычислительной работы. Например, в алгоритмах первого порядка при вычислении производных используются значения р/ и либо р/+ь либо р/-ь В алгоритмах второго порядка берутся оба значения р/-ц и р/-Ь и т. д. Когда искомые реше-
ния не гладкие и имеют тонкую структуру, применение методов высокого порядка может давать в действительности менее точные результаты, чем дают методы низкого порядка. Это связано с тем, что аппроксимация производных более высокого порядка требует информации из более удаленных узловых точек расчетной сетки.
В этой главе и, как правило, во всей книге упор делается на конечно-разностные методы, сконструированные на основе формул, подобных приведенным в табл. 4-2. В последующих главах обсуждаются другие общие типы методов, такие как метод конечных элементов и спектральный метод.
4-1.3. Качественные свойства численных алгоритмов
Каждый из четырех процессов, представленных в табл. 4-1, имеет важные качественные физические свойства, вытекающие из вида уравнений, которые требуется решать. Эти свойства перечислены в табл. 4-3. Численные решения этих уравнений должны отражать эти качественные свойства. Большая польза достигается, когда численные алгоритмы отражают эти свойства. Первые четыре качественные физические свойства (консервативность, причинность, положительность и обратимость) являются свойствами физической системы и их непрерывного математического представления. Пятое свойство — точность — является количественным требованием к численному решению модельных уравнений, а не к физической системе.
Сначала рассмотрим свойство консервативности. Законы сохранения выражаются в виде интегралов от непрерывных гидродинамических функций. Эти интегралы остаются постоянными независимо от происходящих флуктуаций и деталей течения. Обычно в законе сохранения скорость изменения интеграла по
Таблица 4-3. Желательные свойства численных алгоритмов
Свойство
Комментарий
Консервативность
Причинность
Обратимость Положительность
Точность
Относится к массе, импульсу, энергии, количеству частиц компонентов и к другим сохраняющимся величинам
Следствие конечной скорости распространения или конечного времени передачи информации Важна для распространения волн и конвекции Важна для всех процессов, кроме распространения волн
" Алгоритм должен давать количественно правильные результаты, должен обеспечивать сходимость и устойчивость решения
некоторому конечному объему приравнивается интегралу от потока некоторой величины, нормального к поверхности, ограничивающей этот объем. Все уравнения, представленные в табл. 4-1, выражают собой такие законы сохранения. Законы сохранения могут быть записаны в потоковой форме, поскольку они отражают локальные свойства системы — они выводятся как интегралы уравнений в частных производных.
Например, пусть р представляет собой массовую плотность. Локальное условие сохранения массы означает, что плотность р изменяется благодаря потокам вещества, втекающим и вытекающим через поверхность, окружающую некоторый данный объем пространства. Поскольку любой поток, покидающий одну ячейку через ее границу, входит в соседнюю ячейку, то эта формулировка дает как локальное, так и глобальное сохранение массы.
Локальные законы сохранения могут использоваться для построения конечно-разностных алгоритмов, в которых сохраняются некоторые суммы моделируемых физических величин. Эти суммы являются конечно-разностными аналогами интегралов сохранения. Требование, чтобы алгоритм сохранял некоторую определенную величину и локально, и глобально, накладывает условие, в силу которого численный алгоритм правильно отражает физические законы. Если не требовать выполнения законов сохранения, то ошибки аппроксимации и округления могут неограниченно расти, приводя к непредсказуемому поведению даже очень простых систем. Многие алгоритмы, обсуждаемые в этой и последующих главах, обладают свойством консервативности. Если отказываются от строгой консервативности алгоритма, то требуют чего-то другого в качестве компенсации. Например, в разд. 4-2 обсуждаются асимптотические алгоритмы, в которых не выполняются строго свойства консервативности, но которые дают точные результаты для очень больших моментов времени. Когда закон сохранения физической системы не «встроен» в вычислительный алгоритм, то степень фактического выполнения в алгоритме условия сохранения определенной величины служит мерой его точности.
В силу физических причин скорость, с которой вещество и энергия могут передаваться в физической системе, ограничена. Более того, вещество или энергия, переходя из одной области в другую, должны проходить через все промежуточные области. Это утверждение, называемое свойством причинности, имеет важное значение при выборе метода решения. Например, неявные алгоритмы, обсуждаемые в этой главе, связывают решение в одном месте пространства с решением в удаленных местах пространства. Таким образом, в них численная информация на каждом шаге по времени передается на расстояние, охваты-
вающее много расчетных ячеек. Иногда возникает проблема из-за того, что скорость передачи численной информации слишком велика. Например, вещество перед фронтом газодинамической ударной волны физически не должно знать о том, что ударная волна приближается. В неявных алгоритмах могут возникать нефизичные предвестники ударной волны в невозмущен- ной области, т. е. еще не подвергавшейся влиянию ударной волны.
Свойство положительности означает, что некоторые величины, такие, как массовая плотность, которые вначале положительны всюду, не могут стать отрицательными. Это свойство присуще любой величине, описываемой уравнениями переноса или диффузии. Величины, описываемые волновым уравнением, могут изменять знак. Требование одновременного выполнения условий положительности и консервативности приносит много пользы при расчете конвективных процессов, представленных в третьей строке табл. 4-1. В результате выполнения этого требования появились монотонные алгоритмы, которые подробно обсуждаются в гл. 8.
Свойство обратимости означает, что уравнение является инвариантным относительно преобразования t-*-—t. Выполнение свойства обратимости важно при расчете распространения волн и конвекции, но оно фактически не имеет места для процессов диффузии или химической кинетики. В вычислительном смысле обратимость означает, что если в момент времени 1п расчет остановить и сделать шаг по времени отрицательным, то решение вернется назад к своему значению в момент времени 1°. На практике условия обратимости не так легко добиться, даже когда алгоритм специально строится, чтобы быть обратимым. Это происходит из-за нелинейных членов в уравнениях, подвижности сетки и других усложняющих эффектов.
Свойство точности обусловливается точностью вычислений на ЭВМ, численной сходимостью к решению и устойчивостью алгоритма. Считается, что алгоритм сходится, если при последовательном уменьшении шагов Ах и А/ получается все более точный ответ. Чтобы быть полезным, метод не всегда должен быть сходящимся. Примером этого могут служить асимптотические методы, применяемые вблизи равновесных условий или при решении жестких уравнений. Численное приближенное решение в асимптотических методах не обязательно улучшается при уменьшении размера шага. Эти методы обсуждаются ниже в разд. 4-2 и гл. 5. Алгоритм считается устойчивым, если небольшая ошибка на любой стадии расчета приводит к небольшой дополнительной ошибке в решении. Все полезные численные алгоритмы должны быть устойчивыми, по крайней мере при тех режимах, при которых они используются.
4-1.4. Методы анализа точности
Для оценки численного алгоритма требуется выработать критерии точности. Это означает, что необходимо количественно выразить степень того, как много информации теряется, когда непрерывная функция представляется дискретным набором значений. Практический метод определения точности алгоритма состоит в выборе некоторой идеализированной, аналитически решаемой линейной задачи, обычно описываемой уравнениями с постоянными коэффициентами. Затем точное решение сравнивается с решением, полученным при помощи конкретного конечно-разностного алгоритма.
Сравнения точного решения и конечно-разностных решений для обыкновенных дифференциальных уравнений обычно осуществляется путем сравнения последовательных коэффициентов разложения двух решений в степенные ряды. Предположим, например, что р является экспоненциальной функцией
р (z) = e?z = 1 + (yz) + у (yz)8 + у (yz)8 + ..., (4-1.6) а разложение p(z), полученное из конечно-разностного алгоритма, имеет вид
р (/Az) = 1 + (y/Az) +1 (y/Az)8 +| (v/Az)8 + ... . (4-1.7)
В этом случае говорят, что конечно-разностное решение имеет второй порядок точности по Az и имеет ошибку третьего порядка (7/Az)3/12.
Поскольку конечно-разностные алгоритмы для нелокальных процессов, перечисленных в табл. 4-1, включают в себя как пространственные, так и временные производные, их точность часто оценивается путем сравнения точного решения для единственной фурье-гармоники с той же самой фурье-гармоникой, вычисленной с помощью конкретного конечно-разностного метода. В линейной задаче каждая гармоника может рассматриваться независимо и анализироваться отдельно. Тогда для задач, описываемых уравнениями в частных производных, применим тот же самый аналитический подход, что и для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Дискретное разложение в бесконечный ряд Фурье непрерывной функции p(z) с периодическими граничными условиями представляется в виде
p(z) = 5 p(ji>)e<8«te/(z.-z,)f (4-1.8) k=-a> ,
где k— целое число. Коэффициенты дискретного фурье-преобра-
зования р(&) в (4-1.8) определяются фурье-интегралом 5
ру^ = —1—^ p(^^Unkz^*-^dz.(4-1.9)
Разлагая дискретные сеточные значения {р/} в конечный ряд Фурье, получим
j
Р/ = 2 Р W е-(4-1.10)
где коэффициенты дискретного преобразования Фурье р(^) теперь определяются суммой, а не интегралом:
j
9(k)^^^^-iinkHJ.(4-1.11)
/=1
Как видно из формулы (4-1.10), лишь конечное число дискретных длин волн может быть представлено на конечной сетке. Представление функции набором {pj} является лишь длинноволновой аппроксимацией непрерывной функции р(г), так как более короткие длины волн отбрасываются и соответствующие структуры в решении не могут быть разрешены. Подобный анализ проводится в этой и последующих главах для того, чтобы показать сильное влияние конечно-разностных аппроксимаций на явления с различными длинами волн.
Когда ряд Фурье используется для анализа конкретного алгоритма, полезно для каждого волнового числа к решения ввести понятие множителя перехода
(4-1.12)
Множитель перехода является отношением ^-й фурье-гармоники на новом временном шаге к ее значению на предыдущем шаге. В разд. 4-3.4 на примере процесса диффузии показывается, что множитель перехода А^ является мерой того, насколько амплитуда моды к затухает на временном шаге. Чтобы происходило сглаживание некоторого градиента, модуль множителя перехода | Л | должен быть меньше единицы. В общем случае А (к) является комплексным числом, которое может быть записано в виде
A (k) = Ar (&) + iA! (^) = | Л (6) | е^ W, (4-1.13) где <р(&) является фазовым сдвигом моды к, связанным с одним шагом по времени.
Отдельные фурье-гармоники являются удобными пробными функциями, поскольку с дискретным разложением в ряд Фурье
можно манипулировать аналитически почти также легко, как и с непрерывными интегралами Фурье. Таким образом, относительно просто увидеть соответствие между непрерывной переменной и ее дискретным представлением. Такое соответствие удобно для анализа, но оно может также ввести в заблуждение. В силу глобального характера синусоидальных базисных функций в разложении Фурье могут возникать проблемы при попытках представления физических свойств причинности и положительности. Например, среда перед ударной волной в газе физически не может быть возмущена до тех пор, пока ударная волна фактически не достигнет соответствующего места, поскольку ударная волна имеет большую скорость, чем любая другая характеристическая скорость в среде. При фурье-представлении
ударных волн возникают численные предвестники, распространяющиеся впереди ударной волны.
4-1.5. Типы конечно-разностных ошибок
Наихудшими ошибками из всех являются ошибки в программе. Много часов вычислительной работы и горы бумаги были потрачены на иногда тщетные поиски технических дефектов программы. Чтобы избежать путаницы и не винить в плохом качестве решения применяемый алгоритм, а не ошибку в программе, полезно уметь распознавать типы вычислительных ошибок, которые связаны с алгоритмами и уметь минимизировать их. Четыре типа ошибок, возникающих при использовании конечноразностных алгоритмов, перечислены в табл. 4-4 с указанием источника каждой ошибки и свойств решения, на которые она влияет.
Локальные ошибки имеют место во всех алгоритмах для любого из процессов, представленных в табл. 4-1. Их источниками являются ограниченная длина слова в ЭВМ и ошибки из-за сбоя компьютера. Они также возникают в виде локальных ошибок дискретизации производных по времени. Некоторые эффекты, связанные с ошибками округления, обсуждаются в гл. 5. Обсуждение этого типа ошибок проводится часто во многих местах этой книги.
Когда представляются пространственные производные, появляются ошибки в фазе и амплитуде множителя перехода А^ для каждой фурье-моды. Ошибки в амплитуде при решении волнового уравнения и уравнения переноса возникают в том случае, когда |Л |=#1, и они приводят либо к слишком большому сглаживанию решения, что создает численную диффузию, либо к слишком большому росту решения, что часто вызывает численную неустойчивость. Когда |Л|<1, имеет место численная диффузия, или численное затухание решения. Когда |Д|>1, полу-
Таблица 4-4. Типы сеточных ошибок
Тип ошибки
Свойства, на ко-
торые влияетИсточник ошибки
ошибка
Локальная ошибка
КонсервативностьКонечная разрядностьЭВМ(ошиб-
Обратимостьки округления)
ПоложительностьОшибки аппроксимации(производ-
Точностьных по времени)
Сбои ЭВМ
Ошибка в амплитуде
КонсервативностьОшибки аппроксимации(пространст-
Обратимостьвенных производных)
ПоложительностьЧисленная неустойчивость
ПричинностьЧисленная диффузия
Фазовые ошибки
ТочностьОшибки округления
ПричинностьОшибки аппроксимации (пространст-
Положительность венных производных)
ТочностьЧисленная дисперсия
Ошибки Гиббса
Ошибки округления
ПричинностьКонечность сетки
Положительность Сеточная неопределенность
ТочностьОшибки округления
чается численная неустойчивость. Ошибки в амплитуде при решении уравнения диффузии, уравнения переноса и волнового уравнения влияют на выполнение всех желательных свойств решения, перечисленных в табл. 4-4. Это проиллюстрировано на рис. 4-2, а, где первоначально локализованная величина р распространяется вширь для моментов времени Л</2<^з, а ее пиковое значение и градиенты уменьшаются со временем. Численный процесс, в котором амплитуды коротковолновых мод уменьшаются быстрее, чем амплитуды длинноволновых мод, часто называется численной диффузией и его можно представлять себе как нефизичное затухание. В противном случае, когда кривые на рисунке рассматриваются в обратной последовательности <1>^2>^з> система является численно неустойчивой.
Дисперсия представляет собой физическое явление, в котором волны с различными длинами распространяются в среде с различными скоростями. Например, разложение в спектр луча белого света в призме происходит благодаря дисперсии. Многие виды волн обладают дисперсионными свойствами. Конвекция таким свойством не обладает. Дисперсия, возникающая вследствие дискретной аппроксимации пространственных производных, представляет собой численную ошибку, называемую фазовой ошибкой, или численной дисперсией. Эти ошибки имеют место при решении волнового уравнения и уравнения переноса, но их нет в случае уравнений, описывающих локальные процессы, например для уравнения диффузии. Фазовые ошибки могут не-
Рис. 4-2. Схематическое изображение трех типов численных ошибок:
а —ошибки в амплитуде. В случае Л<Л<Л вид функции р не должен изменяться со временем, сохраняя форму, соответствующую моменту времени tx. Численная диффузия приводит к размазыванию профиля р. В случае t^<t2<tY. функция р должна сохранять форму, соответствующую моменту времени /3, но численная неустойчивость приводит к росту функции р;
б — фазовые (дисперсионные) ошибки, вызывающие смещение профиля решения от положения, указываемого штриховыми линиями;
в — ошибки Гиббса (численная сеточная неопределенность), вызываемые использованием дискретного представления непрерывной функции.
благоприятно влиять на свойства причинности, положительности и точности. Они вызывают ложную рябь в решении, что иллюстрирует рис. 4-2, 6.
Локализованное количество массы в потоке или локализованный акустический импульс должны распространяться как некое целое на большое расстояние. Хотя профиль решения содержит в себе много мод, фазы всех этих мод в отсутствие численной дисперсии связаны между собой таким образом, что пики и градиенты в профиле остаются хорошо определенными и крутыми. Численная дисперсия, подобно численной диффузии, обычно наиболее сильно влияет на короткие длины волн. Для самых коротких длин волн, которые могут быть представлены в решении (соответствующих примерно длинам двух ячеек), изменения фазы проявляют себя как ошибки в амплитуде и возмущения с такими длинами волн не могут даже распространяться. При этом зоны резких градиентов порождают рябь, как это показано на рис. 4-2,6 для крутого профиля плотности, распространяющегося вправо.
Фазовые ошибки не всегда проявляют себя в виде численной дисперсии. Например, если все моды имеют одну и ту же фазовую ошибку, волна или локализованный профиль будут просто двигаться с первоначальной скоростью. При этом не возникает никакой дисперсии. Однако в отличие от численной диффузии численная дисперсия не является самоограничивающейся. При численной диффузии ошибки ограничены по величине, поскольку здесь коротковолновые моды исчезают. Ошибки дисперсии, напротив, могут линейно расти со временем, так как максимальные значения фаз различных мод непрерывно растут. Таким образом, дисперсионные ошибки являются наиболее коварным типом ошибок. Поскольку амплитуды отдельных мод остаются ограниченными, то отсутствует четко определенный момент, после которого решение становится неудовлетворительным.
Четвертый тип конечно-разностной ошибки — это ошибка Гиббса, или явление Гиббса. Она очень похожа на дисперсионную ошибку (ср. рис. 4-2,6 и в). Ошибки Гиббса возникают при решении волнового уравнения и уравнения переноса из-за того, что более высокие гармоники непрерывного решения не включаются в численное решение. Ошибки Гиббса ограничены по амплитуде. Их появление обусловлено проблемой, неотъемлемо связанной с представлением непрерывной функции на дискретной сетке. Их невозможно исключить из решения даже при идеальных фазовых и амплитудных свойствах алгоритма. В расчетах ошибки Гиббса проявляют себя как нефизичные выбросы решения, наиболее сильно выраженные вблизи разрывов и зон больших градиентов. Они появляются в том случае, когда кру-
той профиль от своего начального положения проходит часть длины расчетной ячейки. Иногда кажется, что этих ошибок как будто нет, когда представляется, что они временно исчезают в расчете. Один из наихудших аспектов, связанных с ошибками Гиббса, заключается в том, что они накладывают ограничение на возможную точность расчета конвекции дискретными методами. Это ограничение возникает из-за присущей дискретному представлению неопределенности, а не из-за свойств алгоритма решения.
На рис. 4-2, в показана ошибка Гиббса, возникающая при расчете перемещения квадратной волны, имеющей высоту р=1 и ширину в 20 расчетных ячеек. Перенос квадратной волны рассчитывается методом, в котором отсутствуют фазовые ошибки и ошибки в амплитуде, а имеются только ошибки Гиббса. Примером такого метода служит спектральный метод, обсуждаемый в гл. 8. Точками на рисунке обозначены известные значения плотности в узлах сетки. С использованием 100 гармоник Фурье наинизшего порядка получена сплошная кривая, представляющая собой наиболее гладкое непрерывное решение, проходящее через все известные значения. Когда профиль смещается на половину расчетной ячейки, ошибки Гиббса проявляют себя как извивы между узловыми точками. Возникающие нефизичные флуктуации в типичных случаях составляют 10... 15 % от высоты первоначального разрыва.
4-2. Локальные процессы и кинетика химических реакций
4-2.1. Явные и неявные методы решения -
Первый процесс, представленный в табл. 4-1, описывается уравнением вида .
# = W + S, (4-2.1) где р является одной из гидродинамических переменных, такой, как массовая плотность или плотности частиц химических компонентов. Это идеализированное обыкновенное дифференциальное уравнение описывает пространственно локализованные процессы, т. е. локальные источники и стоки массы, импульса или энергии, которые могут быть функциями как пространственной координаты, так и времени, т. е.
- S = S(x, /). (4-2.2) Локальные процессы могут также описываться линейным выражением, представленным в правой части уравнения (4-2.1)
т(х, Ор(х. 0- (4-2.3)
Здесь у — коэффициент экспоненциального роста или затухания в зависимости от того, (положителен он или отрицателен.
Локальные процессы охватывают процессы затухания, равновесные химические реакции, диссипативные эффекты, а также эффекты их взаимного влияния. Обобщения уравнения (4-2.1) также описывают взаимосвязи между различными эволюционными уравнениями. Примером взаимосвязанных локальных процессов может служить сопротивление частиц, которое описывается соответствующими членами в уравнениях импульсов для многофазных сред. Если р представляет собой вектор, имеющий две компоненты, отвечающие электронной и ионной температуре, то обобщение уравнения (4-2.1) описывает процесс установления теплового равновесия, идущий со скоростью у (которая здесь отрицательна). Если р является вектором, описывающим компоненты, участвующие в химических реакциях, то уравнение (4-2.1) обобщается на систему кинетических уравнений для скоростей химических реакций, и в этом случае у представляет собой тензор второго ранга.
Теперь рассмотрим простейший случай — интегрирование одного обыкновенного дифференциального уравнения (4-2.1) с постоянными значениями у и S. Это уравнение имеет аналитическое решение, которое мы непосредственно сравним с численными решениями, полученными при помощи некоторого явного алгоритма, неявного алгоритма и асимптотического метода. Решение для каждого из алгоритмов, описываемое ниже, можно получить в аналитической форме. Будет показано, что наиболее точным и наиболее эффективным в смысле вычислительных затрат алгоритмом в рамках данного рассмотрения является гибридный алгоритм, состоящий из явного (или центрированного) метода и асимптотического метода. Явный метод используется тогда, когда ограничение на шаг по времени из соображений устойчивости не является слишком сильным (нормальные уравнения). Асимптотический метод используется в том случае, когда шаг по времени, требуемый для устойчивости явного алгоритма, становится слишком малым для практических расчетов (жесткие уравнения).
В случае постоянных у и S уравнение (4-2.1) имеет решение
Р(О=[р(О) + |]е^-| (4-2.4)
как для положительных, так и отрицательных значений у. Когда 4 положительное, решение, очевидно, экспоненциально растет от своего начального значения р(0), хотя вначале оно может уменьшаться и изменять знак. Когда 7 отрицательное, решение экспоненциально затухает до своего асимптотического значения —S/7.
Уравнение (4-2.1) является в действительности обыкновенным дифференциальным уравнением, хотя оно было записано в обозначениях для частной производной для возможности распространения на многомерные течения реагирующих сред. Уравнение (4-2.1) можно аппроксимировать простой конечно-разностной формулой
= S + у [9р- + (1 -9) р-1],(4-2.5)
где
р" = р(иА/),(4-2.6)
а М представляет собой постоянный конечно-разностный шаг по времени. Численные значения р получаются только в дискретные моменты времени tn=nM. Параметр 9, определяющий степень неявности схемы, изменяется в диапазоне от 0 до 1 и определяет, как вычисляется правая часть уравнения (4-2.5): с использованием р(пА/) в новый момент времени (9 = 1, полностью неявная схема), с использованием р((и—1)А0 в старый момент времени (9=0, полностью явная схема) или с использованием промежуточного значения р (полунеявная схема).
Конечно-разностное уравнение (4-2.5) может быть формально решено относительно р" через начальное значение плотности р(0). Это решение имеет вид
Р" = [Р (0) +1] Е (ТД0 —£. (4-2.7)
Оно формально сходно с решением (4-2.4). Здесь Е^М^ является определенной конечно-разностной аппроксимацией экспоненциальной функции ехр(уД/). Для конкретной схемы (4-2.5) эта аппроксимация имеет вид
£(yД0^£(yД0^1 + (1— 0)уД/1— ОуД/1 + (1— 0)уД/1— ОуД/(4-2.8)(4-2.8)
£(yД0^
£(yД0^
1 + (1— 0)уД/1— ОуД/
1 + (1— 0)уД/1— ОуД/
(4-2.8)
(4-2.8)
Аппроксимация наиболее высокого порядка для экспоненты ет< получается при 9 = 1/2, хотя это и не есть наиболее точная аппроксимация. Для любого значения у можно подобрать такое 9, которое делает данную аппроксимацию точной. Это особое значение 9* называется интегрирующим коэффициентом и выражается следующим образом:
(4-2.9)(4-2.9)9»_ eVAZ —уД<—1yA/(evAZ—1) "
(4-2.9)
(4-2.9)
Выражение (4-2.8) при 9=1/2 можно разложить в ряд вида
Е (yAf)« 1 + уД/ + .1 (?Д/)? + ^ (уД/)8 + ... .(4-2.10)
Здесь Е точно представляет экспоненту вплоть до членов второго порядка по ^А/ с погрешностью третьего порядка —(^А03/12. Когда уА/ стремится к нулю, 0* стремится к 1/2.
На рис. 4-3 показаны эти решения для случая затухающего процесса при у<0 и 5 = 0. От начального значения р(0) решение должно асимптотически приближаться к нулю. Эти решения описывают устойчивое затухание, которое характерно для большинства взаимосвязанных процессов и химических реакций. На трех рисунках показаны результаты численного интегрирования с использованием шагов по времени, равных —у/2, —у, —2/7. Характерное время затухания равно I7I-1. Четыре решения, показанные для каждого выбора временного шага, отмечены буквами Е для явной схемы (0 = 0), С — для центрированной схемы (0=1/2), / — для полностью неявной схемы (0=1) и Т— для теоретического (аналитического) решения.
вычислительномУсловие жестко-вычислительномУсловие жестко-Когда величина —уД^ меньше единицы, как на рис. 4-3, а, решение, полученное по явной схеме, никогда не изменяет знак. Все численные решения качественно воспроизводят поведение затухающей экспоненциальной функции и являются численно устойчивыми. Решение по центрированной схеме (С) почти неотличимо от точного теоретического решения. Решение по явной схеме ^Е) идет ниже точного решения (Г) примерно на столько же, насколько решение по неявной схеме (/) идет выше его. К сожалению, выполнение условия [ylA^l на каждом шаге
вычислительном
Условие жестко-
вычислительном
Условие жестко-
по времени может быть обременительным в смысле, когда уравнения являются жесткими. сти в данном случае означает, что
(4-2.11)по центрирован-(4-2.11)по центрирован-—ТР 1
(4-2.11)
по центрирован-
(4-2.11)
по центрирован-
(^)
Когда ^М = — 1, как на рис. 4-3,6, решение
нои схеме все еще очень хорошо аппроксимирует точное решение, хотя решение по неявной схеме оказывается заметно менее точным, чем при меньшем временном шаге. Решение по явной схеме ведет себя довольно своеобразно: за один шаг по времени р уменьшается до нуля, а затем так и остается нулевым. Асимптотическое значение р = 0 достигается при этом слишком рано. Все эти численные решения устойчивы и ведут себя физически разумно.
На рис. 4-3, а шаг по времени увеличен до значения уА/ = = —2. Решение по явной схеме ведет себя при этом весьма странно, осциллируя с фиксированной амплитудой около асимптотического значения р = 0. Такая ситуация соответствует границе области классической математической устойчивости для решения по явной схеме. Как видно из рис. 4-3, б, решение по явной схеме некорректное, даже когда шаг М в два раза меньше, т. е. М = —1/7. Для А/, превосходящих —1/*у, рассчитанное
Номер шага по времени
Номер шага по времени 6
Рис. 4-3. Решения для локального скалярного процесса при различных значениях параметрауАЛ Обозначения Т, Е, С и / отмечают, соответственно, аналитическое (точное) решение и решения, полученные по явной, центрированной и неявной схемам.
по явной схеме значение р становится отрицательным и меняет знак на каждом шаге по времени. Это происходит из-за того, что функция £(yAZ), аппроксимирующая ехр(^), становится отрицательной.
При решении систем уравнений для реальных задач обычно не допустимо математически устойчивое, но физически неприемлемое поведение решения, показанное на рис. 4-3, в. Например, расчеты кинетики химических реакций проявляют «взрывную» неустойчивость, когда плотности частиц компонентов становятся отрицательными. Важное эмпирическое правило в вычислительной физике состоит в том, что в расчетах шаг по времени должен всегда выбираться по крайней мере в два раза меньшим, чем это требуется по наиболее строгому математическому условию устойчивости. Другими словами, практическая устойчивость, обеспечивающая получение качественно правильного, физичного поведения решения, оказывается с точки зрения вычислительных требований по крайней мере вдвое более дорогостоящей, чем математическая устойчивость. Если не брать шаг по времени существенно меньшим, чем это следует из оценки устойчивости, то это часто может оказаться источником ошибок в расчетах.
Когда 7Д/=—2, решение по центрированной схеме еще ведет себя приемлемо, но достигает предельного значения р = 0 слишком рано и до того, как начинается неустойчивость в виде появления отрицательных значений р. Решение по неявной схеме ведет себя физически правильно и устойчиво, хотя оно затухает недостаточно быстро. Такая гарантированная устойчивость является привлекательной чертой неявного метода. К сожалению, ошибка в решении по неявной схеме по отношению к быстро затухающей теоретической кривой растет даже сильнее, чем в случаях, представленных на предыдущих двух рисунках. Эта потенциально большая ошибка в скорости релаксации для жестких уравнений, рассчитанной по неявной схеме, представляет собой скрытое «жало». Практическое условие устойчивости для шага по времени в явном методе дает также эффективное условие для точности неявного метода.
4-2.2. Асимптотические решения
Имеется много случаев, когда вследствие затухающей природы экспоненциальной релаксации большие относительные ошибки становятся все менее важными из-за того, что решение приближается к правильному равновесному значению. В то же время есть физически неустойчивые случаи, когда эти же самые ошибки более важны. В сложных системах, описываемых большим числом взаимосвязанных уравнений, неявный алгоритм также начинает приводить к большим вычислительным за-
тратам из-за того, что знак деления в выражении (4-2.8) в этом случае превращается в операцию обращения матрицы. По этим причинам продолжаются разработки методов, приводящих к меньшим вычислительным затратам при рассмотрении случая |у|А/^>1. В асимптотических разложениях математическая точность достигается при больших значениях 1^1 А^. Таким образом, этот случай явно отличается от только что описанных методов, основанных на разложении в ряд Тейлора и сходящихся наилучшим образом, когда | у | А/ мало.
Пусть как у, так и S зависят от времени. Изменения этих величин вносят нелинейность в задачу и приводят к возникновению в задаче нескольких временных масштабов в случае нескольких переменных. Эти обстоятельства не являются здесь главными, но на них делается упор при более детальном рассмотрении в гл. 5. Здесь также предполагается, что затухание величины р до своего предельного значения происходит быстро, но скорость приближения меняется по мере изменения у(£) и 5(0.
При выводе численной асимптотической аппроксимации уравнения (4-2.1) сначала для получения первого приближения р правая часть этого уравнения полагается равной нулю, а затем производная dp/dt определяется итерациями на основе предыдущих приближений. Например, рассмотрим уравнение (4-2.1) в момент времени п
T»p» = _S" + ^|".(4-2.12)
Асимптотическое решение первого порядка
(4-2.13)
получается из предположения о том, что производная dpfdt пренебрежимо мала по сравнению с другими членами. Включение производной по времени от р в уравнение (4-2.13) дает следующее приближение. Указанная производная может аппроксимироваться с использованием только что полученного решения более низкого порядка
др 1 /5»S”-*\ ~
д/ | ~ Д^ \ у" уп~1 ) ~
<4-214)
Таким образом, приближение следующего порядка для р можно записать в виде
/S" S"-*\
Заметим, что в уравнении (4-2.12) производная dp/dt вычисляется строго в момент времени п, в то время как в уравнении (4-2.14) она определена в момент времени п—1/2. Такое фазовое смещение по времени, с которым производная может вычисляться, представляется характерной чертой асимптотических численных аппроксимаций. Часто это означает, что асимптотические аппроксимации более низкого порядка являются более точными, чем аппроксимации более высоких порядков.
Разложение типа (4-2.15) справедливо, только когда |у | А^ велико. Например, имеем
<2)Р"~-4^ + т-^’ Iv|A/ = 2;(4-2.16)
On Qn—1
+|T|A/ = 1;(4-2.17)
с^рл^-з 5,4.2^, |у|Л/=1/2.(4-2.18)
По мере уменьшения 1^1 А/ величина Wp" в ^-м приближении определяется главным образом неправильно вычисляемой производной по времени.
Главный выигрыш в отношении скорости и точности решения достигается за счет применения асимптотического метода в сочетании с методом другого типа и переключении от одного метода к другому при величине временного шага, требуемого для достижения оптимальной точности. В частности, асимптотический метод применяется, когда уравнения являются жесткими и при расчете другими методами требуются чрезвычайно мелкие шаги по времени. Затем, когда уравнения не являются жесткими, происходит переключение на другой метод для достижения высокой точности. В простой задаче, проиллюстрированной на рис. 4-3, асимптотическая формула дает окончательный результат р = 0. Поскольку явная и центрированная формулы неустойчивы, соответственно, при А^2>1/|yI и А^2>2/|yI> то асимптотическая формула должна применяться в тех случаях, когда Д^ превышает эти значения.
Максимальная ошибка, получающаяся при использовании явной или центрированной формул для нормальных уравнений и асимптотической формулы для жестких уравнений, имеет место при переходных значениях ДА При комбинации явного метода с асимптотическим методом наинизшего порядка максимальная ошибка равна е-1 при переходном значении М= 1/|yI- Комбинация центрированной схемы с асимптотическим методом дает ошибку е-2 при переходном значении Д/=2/|у|.
Поскольку неявная схема устойчива, точка перехода может быть взята при любом значении ДА Полезно установить, в каком случае неявная и асимптотическая формулы дают наиболее
точные результаты. Из выражения (4-2.8) следует, что ошибка, даваемая неявной формулой (при 0=1) за один шаг по времени, получается следующим способом:
Ошибка неявной формулы = Решение по неявной схеме —— Точное решение = y^m—е^м-(4-2.19)
Соответствующая ошибка при использовании асимптотической формулы равна
—е^,(4-2.20)
поскольку асимптотическое решение наинизшего порядка есть нуль. Величины этих ошибок совпадают, когда —уД^ 1,679. Для временных шагов, меньших А^ — 1,679/у, неявная формула более точна. Для больших шагов большую точность имеет асимптотическая формула. Комбинация неявной и асимптотической формул имеет наибольшую ошибку е-1’679. Поскольку наибольшая ошибка комбинации центрированной и асимптотической формул меньше, чем ошибка по неявной формуле, то в действительности нет смысла применять полностью неявный метод.
Представленный выше материал вводит понятия о неявных, явных, центрированных и асимптотических методах. Эти понятия будут существенно расширены и обобщены в гл. 5, где приведен обзор методов решения систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Асимптотические методы хорошо подходят для решения в области жесткости уравнений, но они не столь хороши для описания последующих быстрых изменений. Эти методы наиболее полезны в тех случаях, когда они применяются к уравнениям гидродинамики. Асимптотические методы также полезны при анализе поведения звуковых волн, когда они рассматриваются как жесткие явления. Этот вопрос будет обсуждаться в гл. 9 в связи с описанием алгоритма расчета медленных течений.
4-3. Распространение диффузии
4-3.1. Уравнение диффузии
Диффузия — второй процесс, представленный в табл. 4-1,— является нелокальным процессом, при котором функции изменяются как во времени, так и в пространстве. Общее многомерное уравнение диффузии имеет вид
^р(х, 0 = V-D(x, t, p)vp(x, о,(4-3.1)
где р и х являются векторами. В одномерном случае это уравнение упрощается и сводится к одному уравнению диффузии с постоянными коэффициентами
5?^ t) = D-^p(x, 0, (4-3.2)
где коэффициент диффузии D предполагается не зависящим от времени и координат. По аналогии с уравнением (4-1.1) в правую часть уравнений (4-3.1) и (4-3.2) может быть добавлен ис- точниковый член вида S(x, /), изменяющийся во времени и пространстве. Этот дополнительный член здесь также полагается равным нулю, поэтому стационарным решением уравнения (4-3.2) является постоянное значение р», определяемое из условия сохранения в расчетной области.
Диффузионный поток
Fx=-D9^ (4-3.3)
пропорционален градиенту гидродинамической переменной р(х, /). Знак у этого потока такой, что большие значения р стремятся уменьшаться по мере того, как диффузия распространяется в области с малыми значениями р.
Имеются два случая решения с очень большими градиентами, для которых соотношение (4-3.3) не является хорошим представлением для диффузионного процесса. В первом случае заметные изменения происходят на расстояниях лишь в несколько свободных длин пробега молекул. Такие большие изменения имеют место в том случае, когда дискретный случайный процесс представляется непрерывным диффузионным членом.
Второй случай встречается при очень низких плотностях, когда градиенты могут казаться малыми, но изменения очень велики по отношению к локальным значениям плотности. Если поток величины р, определяемый по соотношению (4-3.3), разделить на значение р в точке с координатой х, то характерная скорость распространения диффузии окажется равной
vc = x/2t, (4-3.4)
что является курьезным результатом, который будет обсуждаться далее в гл. 7. Для любого конечного момента времени скорость распространения диффузии становится сколь угодно большой на расстояниях, достаточно удаленных от начального положения источника р. Это означает, что частицы в хвостовых частях распределений, определяемых уравнением диффузии, двигаются слишком быстро по сравнению со скоростями случайного блуждания частиц, которые уравнение должно представлять. Эти аномальные случаи вновь рассматриваются в гл. 7, где об-
суждаются способы для их коррекции, называемые ограничителями потоков.
4-3.2. Аналитическое решение:
затухание периодической функции
Для оценки численных методов расчета рассмотрим идеализированную задачу, для которой имеется аналитическое решение уравнения (4-3.2). Так же как в случае упрощенных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, обсуждавшихся в разд. 4-1, эта задача позволяет сравнить «точный» результат с расчетами, проведенными при помощи приближенных конечно-разностных алгоритмов. В этом случае также оказывается возможным провести аналитическое сравнение фазовых и амплитудных ошибок для различных алгоритмов.
Рассмотрим затухание со временем периодического синусоидального профиля р(х, /), который вначале имел амплитуду р(х, 0). Пространственная структура решения сохраняет свою форму, поскольку синусы и косинусы являются собственными функциями уравнения (4-3.2), но амплитуда решения изменяется со временем. Далее решение будем искать в виде комплексной экспоненциальной функции
р (х, 0 = Р (^) (cos kx + i sin kx),(4-3.5)
которая подставляется в уравнение (4-3.2). Часть функции р, описывающая изменение со временем и обозначенная здесь как р(0> может быть найдена, если предположить, что волновое число к постоянно.
Полное аналитическое решение имеет вид
р (х, О==Рое"№/е^.(4-3.6)
Оно демонстрирует экспоненциальное затухание со временем синусоидальных и косинусоидальных пространственных распределений. Поскольку зависящий от времени коэффициент ехр(—Dk2t) принимает действительные значения, диффузионный оператор не оказывает воздействия на фазу каждой гармоники. Синусоидальные и косинусоидальные компоненты решения остаются разделенными. Каждая фурье-гармоника профиля затухает таким образом, что полное количество р сохраняется.
i Условие сохранения имеет вид
2л/Л
4 j Р(х, 0^=0,(4-3.7)
.о
где функция р(х, /) интегрируется на интервале, равном одной
длине волны. Для соотношения (4-3.6) это условие сохранения также означает, что решение, которое вначале имело всюду действительные значения р(0), остается действительным и в последующие моменты времени. Это свойство нулевого сдвига фаз накладывает требование, чтобы у алгоритма, применяемого для представления пространственной производной, выполнялось некоторое условие симметрии. Поскольку временная зависимость решения имеет вид действительной экспоненты, то знак амплитуды затухающей волны не может измениться и для разумного решения должно выполняться условие положительности.
Таким образом, любой численный алгоритм для уравнения диффузии должен воспроизводить следующие фундаментальные качественные свойства:
Полный интеграл от р(х, /) должен сохраняться.
Амплитуда решения |р(0 | должна затухать монотонно.
Не должно быть фазовых ошибок, вносимых алгоритмом (таких, которые могли бы возникать в случае асимметричных форм записи производной).
Должно выполняться условие положительности решения.
4-3.3. Явное и неявное решения
Одна из простых конечно-разностных форм записи уравнения (4-3.2) имеет вид
^-^т^Ш-зр-Г^Ш(4-3.8)
Эта запись подобна уравнению (4-2.5), которое применялось при аппроксимации уравнения для локальных процессов. Аналогично представляется и производная по времени. При вычислении пространственной производной берется доля 0 от значений {р} в новый момент времени tn и доля (1—0) от значений {р} в начале временного шага 1п-х. Снова выбираются три характерных значения 0 из диапазона О<0^1. Когда 0 = 0, метод является явным, обозначается буквой £ и в нем новые значения р зависят только от предыдущих значений р. Явный алгоритм в вычислительном смысле наиболее прост в применении, поскольку новые значения р не связаны друг с другом. Когда 0=1/2, получающийся алгоритм называется центрированным и обозначается буквой С. Центрированный алгоритм имеет более высокий математический порядок точности, чем алгоритмы, у которых 0 не равно 1/2. Наконец, выбор 0=1 соответствует наиболее устойчивому, полностью неявному алгоритму, обозначаемому буквой /.
Как и при аналитическом решении, которое дается формулами (4-3.5) и (4-3.6), предположим, что р имеет в начале синусоидальное пространственное распределение, записываемое в виде ехр(//?х). Для каждой отдельной моды по уравнению (4-3.8) получаем
ри (&)—р"-1 (6)ри (&)—р"-1 (6)мм— (М? (1 — cos кМ р" (^— ^^ (1 — cos Мх) р"-1 ^ку— (М? (1 — cos кМ р" (^— ^^ (1 — cos Мх) р"-1 ^ку(4-3.9)(4-3.9)
ри (&)—р"-1 (6)
ри (&)—р"-1 (6)
м
м
— (М? (1 — cos кМ р" (^— ^^ (1 — cos Мх) р"-1 ^ку
— (М? (1 — cos кМ р" (^— ^^ (1 — cos Мх) р"-1 ^ку
(4-3.9)
(4-3.9)
Значения р(&) как в новый, так и в старый моменты времени (п и п—1) появляются в обеих частях этого уравнения. Однако уравнение (4-3.9) может быть разрешено относительно рп^ через значения в предыдущий момент времени р"-1^), поскольку каждый раз рассматривается лишь одна гармоника к. В общем случае уравнение (4-3.8) может быть решено при помощи алгоритма обращения трехдиагональной матрицы.
С помощью множителя перехода Л для одного временного шага, определенного соотношением (4-1.12), конечно-разностное решение уравнения (4-3.9) можно записать в виде
AFD^ =AFD^ =2D м/А -Го- (1—0) (1 —cos(Ах)2 2D м/А -Го- (1—0) (1 —cos(Ах)2 2D М n1'-^--^-0(1-cos Mx)j2D М n1'-^--^-0(1-cos Mx)j(4-3.10)(4-3.10)
AFD^ =
AFD^ =
2D м
/А -Го- (1—0) (1 —cos
(Ах)2
2D м
/А -Го- (1—0) (1 —cos
(Ах)2
2D М n1'
-^--^-0(1-cos Mx)j
2D М n1'
-^--^-0(1-cos Mx)j
(4-3.10)
(4-3.10)
Здесь индекс FD указывает, что это конечно-разностное решение. На временном интервале А^ аналитическое решение (4-3.6) дает для множителя перехода выражение
ATW = ^Y = e‘№M- (4"ЗЛ1)
Здесь индекс Т отмечает теоретическое или точное решение для поставленной выше тестовой задачи о синусоидальной волне. Амплитуда каждой моды затухает экспоненциально со скоростью Dk2. .
Теперь желательно определить диапазон волновых чисел и шагов А/, в которых отдельные численные алгоритмы работают хорошо. Чтобы это сделать, сравним решения, полученные по трем численным алгоритмам Е, С, I (соответственно 0 = 0; 1/2 и 1) с теоретическим значением множителя перехода, вычисленным по формуле (4-3.11) для тех же условий. Полезно ввести два безразмерных параметра
|3 = 2DA//(Ax)2 и kNx.
Здесь р является мерой соотношения размера шага по времени и характерного времени диффузии на масштабе длины, равном
Дх. Другой параметр кАх является волновым числом гармоники, рассматриваемым в единицах размера ячейки. Значения кАх изменяются в диапазоне от 0 до л (две ячейки на длину волны), а 0 в общем случае принимает значения от нуля до бесконечности.
Величина А для трех конечно-разностных алгоритмов, определяемая формулой (4-3.10), и точная теоретическая величина, соответствующая формуле (4-3.11), могут быть переписаны, соответственно, в виде
дро/м П-ФП—9)(1—cosfeAx)]1^(4-3 12)
'[1 + 00(1 — cosfeAx)]1^’' " "
AT^ = e-^4!».(4-3.13)
Теоретическая величина, определяемая по формуле (4-3.13), является корном степени 1/0 от выражения (4-3.11), и она дает множитель перехода за единицу времени, а не за один временной шаг. Показатель степени 1/0 введен в формулу (4-3.12) для того, чтобы можно было сравнивать различные решения в фиксированные моменты времени, несмотря на то, что использовались различные шаги по времени. Точное теоретическое решение сравнивается с приближенными решениями на рис. 4-4.
На рис. 4.4 показана величина А как функция kAx для различных значений 0. Правые кромки каждого из рисунков 4-4, а—в соответствуют наиболее короткой длине волны, которая может быть представлена в численном решении (две ячейки на длину волны). Левые кромки рисунков соответствуют предельному случаю при бесконечной длине волны. Точки, в которых решение отражается от горизонтальной оси, где А = 0, указывают на то место коротковолнового спектра, где амплитуда моды меняет знак вследствие того, что временной шаг слишком велик. Это происходит раньше всего для решения Е, когда 0=1, а затем для решения С при р= 1,5. При значениях к Ах, больших, чем значение в точке отражения кривых, соответствующие алгоритмы дают отрицательные значения положительной величины р. Таким образом, эти точки отражения дают практический, если не математический предел численной устойчивости. На рисунке, соответствующем значению 0=1,5, коротковолновая часть спектра, рассчитанная при помощи явного алгоритма, неустойчива: амплитуда превосходит единицу и знак решения неправильный. При АДх^2л/3 центрированный алгоритм практически, хотя и не абсолютно, неустойчив. Амплитуды решения для этих коротких длин волн быстро уменьшаются от одного временного шага к следующему шагу, что является правильным, но знак решения при этом осциллирует.
Наилучший метод решения уравнения диффузии зависит от
Рис. 4-4. Множитель перехода А для уравнения диффузии как функция ^Ах для различных значений параметра p=2vAf/(Ax)2. Решения, отмеченные буквами Г, Е, С и I получены, соответственно, по теоретическому (аналитическому), явному, центрированному и неявному алгоритмам.
того, какое значение имеет коэффициент диффузии и от величины допустимого шага по времени при заданном размере ячейки. Выражение (4-3.12) должно совпадать с точным результатом (4-3.13) при подходящем выборе 0. Найти единственный интегрирующий коэффициент, как это имело место для уравнения (4-2.5), невозможно, так как каждая гармоника, описы- 9—245
вающая пространственное изменение решения, требует своего значения 0*(А^). Однако в предельном случае при больших длинах волн зависимость 6* от номера пространственной моды исчезает и тогда
е* ^ (Зр—1)/6|3. (4-3.14)
Когда безразмерный шаг по времени р мал, величина 0*, определяемая формулой (4-3.14), становится отрицательной. Это означает, что для значений р^1/3 наиболее точным будет решение по явному алгоритму. При таком режиме никакой разумный алгоритм не дает точного ответа, так как точное решение не получается при значениях 0 между 0 и 1. Это означает, что не существует такого режима, в котором полностью неявный алгоритм является наиболее точным, и в тех случаях, когда явный алгоритм устойчив для всех длин волн, он обычно является наиболее точным для больших длин волн.
Ясно, что явный алгоритм является наиболее быстрым и наиболее точным в тех случаях, когда можно выбрать достаточно малый шаг по времени. Когда требуются большие шаги повремени, следует использовать частично неявный алгоритм с значением 0, выбираемым в соответствии с формулой (4-3.14). Для длин волн, меньших размера четырех ячеек, необходимо добавлять в схему дополнительное сильное демпфирование, чтобы обеспечить положительность построенного алгоритма. Для явных алгоритмов в гл. 7 предлагаются ограничители потоков, которые также обеспечивают положительность и устойчивость решения.
4-3.4. Вычислительные затраты для неявных методов
Как показывают все эти сравнения, неявный алгоритм устойчив и дает физически разумные результаты для коротких длин волн, несмотря на то, что он ни при каких условиях не является наиболее точным алгоритмом. Условие сохранения р строго выполняется, поскольку уравнение (4-3.8) может быть записано в форме сохранения потоков. Для режимов, в которых другие алгоритмы также устойчивы, неявный алгоритм несколько менее точен, но это не должно являться большим ограничением. Коротковолновая часть решения, в которой численные ошибки являются наибольшими, затухает быстро, и решение со временем становится более гладким. Все эти рассуждения указывают на то, что неявные алгоритмы расчета диффузии могут применяться на практике?
Однако использование частично или полностью неявных алгоритмов имеет недостатки. Трудности возникают, когда приходится иметь дело с более, чем одним пространственным изме-
рением, с нелинейными эффектами в случае взаимосвязанных уравнений диффузии и с зависимостью коэффициентов переноса от пространственных координат. Неявное решение многомерных уравнений диффузии приводит к необходимости обращения больших, хотя и разреженных, матриц. Соответствующие методы обсуждаются в гл. 11. Когда уравнения линейные, обращение матриц проводится непосредственно, хотя и требует больших вычислительных затрат. Когда уравнения нелинейные, функциональная форма коэффициентов является сложной и требуется итерирование при получении линеаризованных матричных решений. При этом вычислительные затраты могут быть очень большими. В предельном случае очень быстрой диффузии можно использовать асимптотическое решение, но это также ведет к операциям с большими матрицами. Так же, как в обсуждавшемся выше случае для локальных процессов, асимптотическое решение может быть более точным, чем решение с помощью неявного алгоритма, но при этом может не обеспечиваться консервативность решения.
4-3.5. Физическая диффузия и численная диффузия
Численная диффузия, являющаяся главным источником ошибок в конечно-разностных алгоритмах, имеет ту же самую форму и такой же характер действия, как и физическая диффузия. На рис. 4-2, а показано уменьшение амплитуды величины p(x, t) из-за численной диффузии. Три кривые на этом рисунке одинаково хорошо соответствуют аналитическому решению (4-3.6) при эволюции профиля от точечного источника для трех последовательных моментов времени. По мере того как амплитуда профиля уменьшается, он расширяется. Как при численной диффузии, так и при физической диффузии амплитуда гармоник решения изменяется, а фаза остается неизменной.
Для завершения аналогии между численной диффузией и диффузией, описываемой уравнениями (4-3.2) и решением (4-3.6), предположим, что в этих уравнениях направление изменения времени изменено на противоположное. На рис. 4-2, а это соответствует графикам с последовательностью времени Л>^>/з. Решение при этом ведет себя так, как • проявляют себя многие сильные численные неустойчивости при моделировании. Когда соответствующие алгоритмы становятся неустойчивыми, то можно проанализировать их поведение и показать, что в этом случае имело место изменение знака у диффузионного члена. Спровоцировать такое поведение можно, взяв достаточно большой шаг по времени. Распределение Гаусса в «анти- диффузионном» уравнении с обращенным временем становится все более заостренным. По мере того как профиль становится
уже, его высота увеличивается, пока он не станет сингулярным в некоторый конечный момент времени. Уравнение диффузии с обращенным временем и математически, и физически неустойчиво. Особенность решения в виде 6-функции, которая имеет место при /=0, является типичным проявлением этого свойства.
Поскольку диффузия сглаживает профили, то в процессе эволюции решения теряются детали начальных условий и любые флуктуации, добавляющиеся в последующем за счет ошибок аппроксимации и ошибок округления. За конечное время коротковолновые ошибки в численном решении исчезают. Таким образом, в процессе интегрирования методы решения с численной диффузией становятся более точными в абсолютном смысле. Неточности и неустойчивости обычно проявляют себя максимальным образом в коротковолновых характеристиках решения, где большие относительные ошибки эффективно маскируются в процессе общего затухания решения.
Выражения диффузионные эффекты и диссипативные эффекты часто используются как эквивалентные. Как диффузия, так и диссипация в термодинамическом смысле подразумевают, что энтропия возрастает. Однако понятие «диссипативный» имеет и другой смысл, который не приложим к диффузии. Характеристика системы как диссипативной подразумевает, что она необратима и в ней есть потери. Процессы этого типа обычно неконсервативны. Диффузия, однако, является термодинамически необратимой (т. е. энтропия возрастает, например, в процессе диффузионного смешения двух сред), но полностью консервативной в том смысле, что полное количество величины р остается тем же самым, в то время как распределение ее по пространству изменяется.
4-4. Конвективный перенос
4-4.1. Гидродинамические течения: адвекция и сжатие
Уравнение сохранения, представленное в качестве третьего случая в табл. 4-1, описывает сжатие, вращение и перемещение (адвекцию) жидкой среды. Сочетание этих трех эффектов составляет процесс конвекции, т. е. непрерывного гидродинамического течения. В идеальном одномерном случае уравнение
^Р(^, 0 = — 37 р (я. О (4-4.1)
описывает конвекцию (перенос) величины р(х, О со скоростью течения v(x, О- Сведение задачи к одномерной исключает вращение, но допускает как адвекцию, так и сжатие.
Корректное решение уравнения сохранения составляет важную и трудную задачу вычислительной гидродинамики. Гид-
родинамические процессы описываются системой уравнений сохранения: одним скалярным уравнением сохранения для массовой плотности р; одним векторным уравнением сохранения для одной, двух или трех компонент вектора плотности импульса pv и одним скалярным уравнением сохранения для плотности энергии Е. Материал этого раздела является исходным для рассмотрения более сложных методов решения систем многомерных уравнений сохранения.
Одномерное уравнение неразрывности (4-4.1) записано в декартовых координатах в консервативной форме. Оно может быть также записано в форме Лагранжа
+ (4-4 21 dt^ dx” dt — 9 дх ' к44-2)
Два члена, стоящие в левой части уравнения (4-4.2), представляют собой, соответственно, эйлерову производную по времени и адвективную производную по пространству. Вместе они образуют лагранжеву производную по времени dpfdt, которая описывает скорость изменения переменной величины р в системе координат, которая движется с локальной скоростью жидкости. Такое представление является полезным, поскольку лагранжева производная отлична от нуля только тогда, когда есть сжатие т. е. имеется отличный от нуля член сдр/дх. Адвекция и вращение явно не участвуют в лагранжевом представлении.
Член, описывающий сжатие, также включает в себя и обратный эффект — разрежение. Этот член содержит пространственную производную от скорости dvfdx и линейно зависит от переносимой величины р. Поэтому суммарный эффект от сжатия является в действительности локальным, поскольку отсутствует градиент р. Если трактовать dvldx как известную величину в уравнении (4-4.2), то сжатие можно рассматривать как один из локальных процессов, обсуждавшихся в разд. 4-2. Чтобы упростить обсуждение адвекции в этом разделе исключим эффект сжимаемости, предполагая, что скорость постоянна, т. е. ди/дх=0. Это позволяет использовать анализ Фурье при изучении процесса адвекции, в котором коротковолновые компоненты фазовой ошибки становятся исключительно важными.
Вид уравнения (4-4.2) предполагает применение таких чио-. ленных алгоритмов решения уравнения сохранения, в которых - используются преимущества лагранжевой системы координат, движущейся вместе с жидкостью. В лагранжевом представлении частицы жидкости (ячейки) в дискретной модели имеют границы, изменяющиеся со временем и движущиеся с локальной скоростью жидкости. Эти границы ячеек определены таким^ образом, что конвективные потоки в ячейку или из нее равны нулю. Таким образом, масса лагранжевой жидкой частицы
сохраняется постоянной. В лагранжевой системе координат конвективные производные, создающие трудности и являющиеся источником численной диффузии, не входят в уравнения.
На первый взгляд лагранжев подход кажется идеальным способом для исключения главных ошибок, связанных с адвекцией. К сожалению, многомерные лагранжевы гидродинамические алгоритмы более сложны, чем эйлеровы алгоритмы, поскольку подвижная сетка сильно искажается в процессе развития течения. Точки, находившиеся вначале рядом, могут удалиться одна от другой на большое расстояние. Чтобы провести расчет по лагранжеву алгоритму дальше, чем на несколько временных шагов, расчетная сетка должна перестраиваться или изменять свою связность. Таким образом, проблема геометрии искажаемой лагранжевой сетки становится одной из составных частей задачи, что делает расчет трудным и требующим больших вычислительных затрат. Другое усложнение задачи заключается в том, что оказывается невозможно рассматривать все уравнения течения сжимаемой реагирующей среды в одной и той же лагранжевой системе координат. Из-за сложностей, связанных с лагранжевым представлением, в этой книге основное внимание уделяется эйлеровым методам, которые представляются наиболее эффективными для решения многомерных задач. Лагранжевы методы расчета имеют большие потенциальные возможности, многие из которых пока еще не использованы. Они активно разрабатываются в вычислительной гидродинамике и их обсуждение проводится ниже в гл. 10.
Так же как в случае уравнения для локальных процессов и уравнения диффузии, рассмотренных выше в разд. 4-2 и 4-3, главные ошибки в представлении процесса адвекции происходят из-за дискретного описания непрерывных переменных* При моделировании конвекции в процессе дискретизации возникают фазовые ошибки, ошибки в амплитуде и ошибки Гиббса. Поэтому решение уравнений сохранения сочетает в себе трудности моделирования диффузионных процессов, описанных выше, и волновых процессов, рассматриваемых ниже в разд. 4-5. Совершенный метод расчета конвекции должен обеспечивать перенос величины р с правильной скоростью, поддерживать правильные значения амплитуды и давать правильные положения и значения больших градиентов.
4-4.2. Тестовая задача о распространении квадратной волны
На рис. 4-5 показано одно приложение уравнения сохранения, очень полезное для тестирования численных методов решения. Некоторое количество вещества (облако) инжектируется в окружающий" газ и переносится вместе с ним. Положение
Рис. 4-5. Схематическое изображение тестовой задачи о квадратной волне, (а) Облако газа движется с постоянной скоростью без диффузии, (б) Распределение плотности вдоль линии, проходящей через центр облака, в начальный момент времени t\. (в) Распределение плотности вдоль линии, проходящей через центр облака, в более поздний момент времени /2.
и форма облака изображены на рис. 4-5, а для моментов времени Л и ^2. В одномерном представлении распределение плотности в облаке может быть смоделировано квадратной волной, как это показано на рис. 4-5,6 и в, если выполнены следующие условия:
облако вначале занимает некоторую конечную область;
среда считается несжимаемой, поэтому плотности двух веществ примерно постоянны;
в основном отсутствует диффузия, поэтому вещества не перемешиваются.
На рис. 4-5,6 и в показаны одномерные распределения плотности вдоль линии, проходящей через центр облака по направлению течения среды. Постоянная скорость течения переносит облако на расстояние, примерно равное двум его размерам, за время /2—Л. Резкая кромка у распределения плотности представляет собой в действительности узкую зону смешения на границе облака, в которой состав смеси быстро изменяется от
почти чистого вещества облака, переходя через тонкую область с примерно равной концентрацией двух веществ, к гораздо большей области почти чистого вещества окружающей среды.
Распространение квадратного профиля плотности, расположенного в зоне между х=0 и 10 см при / = 0, является хорошей тестовой задачей при расчете конвекции. Это строгий тест, поскольку в решении присутствуют все длины волн в разложении Фурье и для поддержания правильной формы профиля важное значение имеет правильное соотношение между фазами всех гармоник. Поскольку скорость и постоянна, профиль р(х) в точном решении перемещается в пространстве без искажения и «квадратная волна» р при t=t% будет иметь центр в точке х2 = ^2, как показано на рис. 4-5, в.
Многие конечно-разностные методы были исследованы на решении уравнения (4-4.2). Были рассмотрены многие методы— от явного алгоритма «донорской ячейки» первого поряд-' ка точности до ряда методов второго порядка точности, таких, как метод Лакса — Вендрова, алгоритм «чехарда» (см., например, книги Роуча [5], Поттера [4], Андерсона и др. [1]), а также нелинейных монтонных методов более высокого порядка. Ниже рассматриваются несколько из этих методов в приложении к тестовой задаче о распространении квадратной волны. Основательное обсуждение этого вопроса содержится в гл. 8.
4-4.3. Явное и неявное решения
Когда ди/дх=0, уравнение (4-4.2) сводится к следующему одномерному уравнению адвекции:
^Р(^. /) = —v^p(x, 0-(4-4.3)
Это уравнение линейное по р и содержит первые производные как по координате, так и по времени. Несмотря на ту очевидную разницу, что пространственная производная имеет первый порядок, а не второй, это уравнение выглядит довольно похожим на уравнение диффузии. Похожие конечно-разностные аппроксимации используются здесь для исследования уравнения адвекции.
Пусть, как и выше, Ах обозначает размер ячейки, а М есть фиксированный шаг по времени. Величина pjn определяется здесь как среднее значение р в ячейке / в момент времени 1п = пМ. На интервале Ах и промежутке времени М эта величина может быть представлена в виде
Ху + Дх/2
j р(х, пМ^.(4-4.4)
Лу-Дх/2
При этом представлении сохраняется сумма
JJ. пМ
£р?Дх= ^р^Дх-)- j v р +— Р (^i—^) ] dt,
/= 1/= 1(n- 1) А/
(4-4.5)
которая заменяет собой соответствующий сохраняющийся интеграл. Последние два члена в правой части уравнения (4-4.5) представляют собой потоки р через границы расчетной области при Х1/2^Дх/2 и х7+1/2= (/+1/2) Дх.
При представлении адвективного члена для производных первого порядка по .координате используются центральные разности. Так же как в выражениях (4-2.5) и (4-3.8), конечно-разностная аппроксимация для уравнения (4-4.3) имеет вид
п п-1 г / п п \ ( п-1 п-1\"
ez_=^=_v e^i±^^+(i-e)i£^^^ ; (4.4.6) А/ l 2Дх 1 v 7 2Ах J v
где 0 вновь является параметром, характеризующим степень неявности схемы. Для явного алгоритма (£) имеем 0 = 0, для центрированного алгоритма (С) —0=1/2 и для полностью неявного алгоритма (/)—0=1. Эти значения 0 представляют особый интерес, поскольку явные алгоритмы здесь опять являются наиболее легкими в реализации и требуют наименьших вычислительных затрат, центрированные по времени алгоритмы обычно имеют наилучший порядок точности, а неявные алгоритмы являются численно наиболее устойчивыми.
Уравнение (4-4.6) можно записать проще, если составить комбинацию шага по времени, размера ячейки и скорости течения и получить один безразмерный параметр
<4-4-7)
Здесь е представляет собой число ячеек размером Дх, которое жидкость проходит за один шаг по времени ДЛ Значение е обычно должно быть меньшим единицы, поскольку в конечноразностных формулах используется информация только из соседних ячеек. С введением 8 уравнение (4-4.6) принимает вид
PH-^(P^+i-PZ-i)= Р/’1 -^e^-p^l). (4-4.8)
В этом уравнении значения р на новом временном слое п (левая часть уравнения) выражаются через значения р в предыдущий момент времени п—1 (правая часть уравнения). Уравнение (4-4.8) содержит значения рл в трех различных точках при любом 0>О, поэтому в результате получается система линей-
ных уравнений с трехдиагональной матрицей, которая должна решаться на каждом шаге по времени. В случае 0 = 0, эта процедура сводится к простому явному алгебраическому выражению, определяющему р" через рп-1. Когда такая система линейных уравнений с трехдиагональной матрицей должна решаться на каждом шаге по времени, это может потребовать значительных вычислительных затрат.
На рис. 4-6 сведены вместе результаты решения различными методами тестовой задачи о распространении квадратной волны для уравнения (4-4.3). Формулировка задачи представлена на рис. 4-5, в расчетах берется Дх=1 см. Верхний график дает точное решение тестовой задачи для четырех различных моментов времени. Следует заметить, что кромки квадратной волны не вполне вертикальные. Это отражает тот факт, что переменные {р7} определяются лишь дискретным набором чисел.
В тестовой задаче была взята равномерная сетка по пространству, состоящая из 100 ячеек, расположенных от х = 0до 100 см. В начальный момент времени принято, что р=1 в первых десяти ячейках и р = 0 во всех остальных ячейках. Использовались периодические граничные условия, так что вещество, вытекающее из сотой ячейки через границу х= 100 см вновь входит в расчетную область с той же самой скоростью и плотностью через границу первой ячейки при х = 0 см. Скорость течения постоянная и равна 1 см/с. При фиксированном шаге по времени Д^=0,2 с жидкость проходит 0,2 ячейки за один шаг по времени, т. е. 8 = 0,2. При / = 0 численное и точное решения совпадают благодаря выбору начальных условий. Численное решение уравнения (4-4.8) для более поздних времен показано на рис. 4-6, а—в точками.
На рис. 4-6, а приведено решение уравнения (4-4.8), рассчитанное явным алгоритмом с 0 = 0 после 100 шагов по времени. К сожалению, этот простой, не требующий больших вычислительных затрат алгоритм дает ужасающе плохие результаты. Появляются большие осцилляции, которые усиливаются со временем. Кроме того, из-за периодических граничных условий, ошибки, распространяющиеся назад, появляются на правой далекой части сетки. Полученный результат мало похож на точное решение и численно неустойчив. Независимо от того, насколько малым выбирается шаг по времени, расчет конвекции по такого рода разностной схеме будет неустойчивым.
Решение, рассчитанное с помощью центрированного алгоритма, построено на рис. 4-6,6. Поскольку этот алгоритм симметричен по времени, он дает несколько лучшие результаты, чем явный алгоритм. Амплитуды различных мод не увеличиваются и не уменьшаются со временем. Хотя этот результат получен для линейной задачи, он отражает весьма желательное свойст-
Номер шага 1002 50400
х, см
Рис. 4-6. Решения тестовой задачи о распространении квадратной волны, полученные шестью различными численными алгоритмами:
точное решение задачи о квадратной волне на разностной сетке, описанной в тексте книги; а —явный алгоритм, через 100 шагов по времени; б — центрированный алгоритм, через 100 шагов по времени; в — полностью неявный алгоритм, через 100 и 250 шагов по времени. Вычислительный «шум» в правой части графика является частью решения через 100 шагов по времени. Через 250 шагов по времени этот шум из-за периодических граничных условий входит в расчетную область и взаимодействует с основной частью решения. Это порождает зазубрины у профиля; г — метод донорской ячейки, через 100, 250 и 400 шагов по времени; и — метод Лакса — Вендрова, через 100. 250 и 400 шагов по времени; е — метод расчета переноса с коррекцией потоков через 100, 250, и 400 шагов по времени (этот метод обсуждается в гл.8 и 9).
во алгоритма. Центрированный алгоритм также имеет более высокий порядок точности, чем явный или полностью неявный алгоритмы. Вместе с тем, профиль решения, рассчитанный по этому алгоритму даже отдаленно не напоминает точный профиль, причем имеются большие нефизичные положительные и отрицательные значения плотности р в тех местах, где она должна обращаться в нуль. Ошибки решения, рассчитанного центрированным алгоритмом, являются комбинацией ошибок Гиббса и фазовых ошибок, которые постоянно растут со временем.
Решение, представленное на рис. 4-6, в, было получено при помощи неявного алгоритма. Оно имеет большие фазовые ошибки, чем в случае центрированного алгоритма, но выглядит несколько более гладким. Вычисление всех пространственных разностей в новый момент времени tn вносит численное затухание в решение. Это затухание как будто частично компенсирует фазовые ошибки. Ни явный, ни центрированный, ни полностью неявный алгоритмы не являются реально пригодными для решения поставленной задачи, как это видно из больших различий между точным и рассчитанными решениями.
Графики, представленные на рис. 4-6, г и д, были рассчитаны при помощи двух других явных линейных алгоритмов, являющихся устойчивыми. Для расчета графика 4-6, г применялся алгоритм с односторонними разностями (также называемый алгоритмом «с производными по ветру», или алгоритмом донорской ячейки), который имеет только первый порядок точности. График на рис. 4-6, д получен с помощью алгоритма Лакса — Вендрова, имеющего второй порядок точности. Оба эти алгоритма являются общеупотребительными и оба дают, как это видно из графиков, весьма ограниченные результаты.
В методе донорской ячейки плотность р в новый момент времени tn вычисляется по формуле
РТ-РГЧ^-^Н^-Х. (4-4.9)
Заметим, что пространственная производная аппроксимируется здесь по двум значениям р, одно из которых расположено вверх по потоку по отношению к сеточной точке /. Отсюда происходит название «донорская ячейка»: при вычислении пространственной производной используется значение р, связанное с частицей жидкости, которая передается потоком в /-ю ячейку. Когда скорость течения отрицательная и направлена справа налево, потоки в донорскую ячейку должны вычисляться с использованием значений р в /-й и (/+1)-й ячейках. В этом случае в момент времени tn жидкость приходит в г-ю ячейку из (/+ 1)-й ячейки. Поскольку производная вычисляется не по центральным
разностям, а по значениям только из двух ячеек, то данный алгоритм имеет лишь первый порядок по пространству.
Такая линейная интерполяция в уравнении (4-4.9) приводит к очень сильной численной диффузии, которая затеняет дисперсионные ошибки. Первоначально крутые кромки у распределения плотности, которые должны распространяться, оставаясь крутыми, быстро сглаживаются. Через 500 шагов по времени более половины вещества, содержавшегося в квадратной волне, покинуло ее благодаря численной диффузии. Этот процесс происходит несмотря на то, что квадратная волна занимает область из 10 расчетных ячеек. Во многих трехмерных расчетах, встречающихся на практике, на имеющихся компьютерах допускается сетка из 20X20X20 ячеек. В этом случае эффект численной диффузии может быть выражен даже более сильно, чем в иллюстративном примере, представленном на рис. 4-6, г.
На рис. 4-6, д показано решение тестовой задачи о квадратной волне, выполненное методом Лакса — Вендрова. Одним из способов построения этого алгоритма является разложение р(х, /) в ряд Тейлора по времени с точностью до членов второго порядка
р(х, /")«р(х, /"-Ч + А^Д-р(х, t"-^ A^W"^^, 1п-г\
(4-4.10)
для того чтобы вычислить значения р в момент времени /л = ^-1+А^ при заданных значениях {р/} в момент времени tn-Y. Следующий шаг состоит в замене первой и второй производных по времени через производные по координате с помощью уравнения (4-4.3) и записью их через конечные разности. Тогда производные, входящие в разложение (4-4.10), принимают вид
(p/+i—рМ)/4.4 ц\
z^z (р/+1~2р/ 1+p/-l)/АД |
где и — постоянная величина. Подстановка выражений (4-4.11) и (4-4.12) в разложение (4-4.10) дает
р/ = РГ —I-(р"«-p"=D +482(Р/+11 -2рГ + P/-i). (4-4.13)
Это есть простейшая форма метода Лакса — Вендрова.
Результаты, полученные по двум рассмотренным алгоритмам первого порядка точности и представленные на рис. 4-6, в и г, подвержены сильной численной диффузии. Результаты, по-
лученные методом Лакса — Вендрова, имеющим второй порядок точности, показывают, что гораздо меньше вещества, первоначально находившегося в квадратной волне при ^=0, теряется в более поздние времена из-за численной диффузии. Более того, здесь ошибки в амплитуде оказываются достаточно малыми и поэтому можно видеть дисперсионные ошибки, появляющиеся вначале для самых коротких длин волн и похоже на ошибки Гиббса. Последние появляются в виде численной ряби преимущественно в хвостовой части квадратной волны и приводят к нефизичным значениям р<0. Явно выраженные выбросы в решении в сторону занижения и завышения создают столь же серьезные проблемы, какие возникают при избыточной численной диффузии.
На рис. 4-6, е показаны результаты решения той же задачи, полученные методом расчета переноса с коррекцией потоков FCT, который будет обсуждаться в гл. 8 и 9. Этот существенно нелинейный алгоритм специально разработан для исключения нефизичной ряби в решении, возникающей из-за явления Гиббса и численной диффузии. Нелинейные монотонные методы, одним из примеров которых является метод ЕСТ, минимизирует фазовые и амплитудные ошибки и в то же время сохраняют свойства положительности и консервативности решения.
4-4.4. Фазовые и амплитудные ошибки в общепринятых методах
Фазовые и амплитудные ошибки для пяти линейных алгоритмов расчета конвекции, описываемых ниже, можно анализировать, рассматривая множитель перехода A^kNxY определяемый соотношениями (4-1.12) и (4-1.13). Для конкретного алгоритма множитель перехода А находится путем подстановки функции, в виде которой ищется решение
р? = р"(£)е1^ (4-4.14)
в уравнение, определяющее данный алгоритм, собирания членов, содержащих рп^ и р^Цк), и построения отношения А (&).
Для уравнения диффузии мнимая часть множителя перехода равна нулю, что означает отсутствие фазового сдвига для данной гармоники с номером к. Существование превалирующего направления течения при конвекции приводит, однако, к тому, что мнимая часть Ai не может быть равной нулю. Подставляя выражение (4-4.14) в уравнение (4-4.3) и аналитически вычисляя пространственные производные, получим
Ат <к\х^ = £-^х. (4-4.15)
Этот теоретический множитель перехода Ат имеет единичную амплитуду, \что согласуется с тем, что профиль, распространяясь в пространстве, не увеличивается и не уменьшается в размерах. Из формулы (4-4.15) можно также получить точное выражение для фазового сдвига ср7:
(4-4.16)(4-4.16)<р7 = — гк^х.
(4-4.16)
(4-4.16)
Множитель перехода для пяти линейных алгоритмов, рассматривавшихся выше, определяется путем подстановки функции (4-4.14) в уравнения (4-4.8), (4-4.9) и (4-4.13), в результате чего получим следующий набор решений.
Решение по явному методу (4-4.8) при 0 = 0:
ДЕ (£Ах) =1-18 sin ^k^xY(4-4.17)
Решение по центрированному методу (4-4.8) при 0=1/2: ■Ас (^х) = rT+'o+^i •(4-4.18)
''1 +» (е/2) sin (Ш)х '
Решение по полностью неявному методу (4-4.8) при 6=1:
А1 (k^x) = г-4-ттт-г .(4-4.1 9)
v 71 -t- is sin (^Ax)47
Решение по методу донорской ячейки первого порядка точности:
ADc (kkx) = 1 — 8+8 cos (feAx) — ie sin (feAx).(4-4.20)
Решение по методу Лакса — Вендрова второго порядка точности:
ALW (feAx) = 1 —s2 (1 —cos ^Ax)—18 sin (Mx).(4-4.21)
Выражение для множителя перехода в явном алгоритме имеет единицу в знаменателе. Поскольку модуль числителя больше единицы, то этот алгоритм неустойчив. Удивительно, насколько плохими оказались результаты, представленные на рис. 4-6, а, даже при весьма малой величине множителя перехода У1+е2^ 1,02. В частично и полностью неявных алгоритмах, в которых требуется обращение трехдиагональных матриц, знаменатель у множителя перехода обычно больше единицы, что противодействует неустойчивости, вызываемой числителем.
На рис. 4-7 для всех пяти алгоритмов расчета конвекции показаны модуль множителя перехода |Л(^)| и отношение <ря(й) фазы множителя перехода для каждого алгоритма к фазе для точного решения как функции ^Ах. Следует обратить внимание на изменения масштабов по вертикальной оси для графиков |Л (£) |. Горизонтальные оси на графиках |Л| представляют собой точное решение. Надо также обратить внима-
Рис. 4-7. Амплитуда и фаза множителя перехода для пяти алгоритмов расчета конвекции, описанных в тексте книги; а — явный алгоритм; б — центрированный алгоритм; в — полностью неявный алгоритм; г — метод донорской ячейки; д — метод Лакса—Вендрова. Точки на горизонтальной оси для решения (6) показывают, что в этом случае |Л| = 1 для всех значений координаты.
ние на то, ^ак ошибки в фазе увеличиваются с увеличением к\х. х
Как видней из рис. 4-2 и 4-3, комбинация фазовых и амплитудных ошибок делает настоятельно необходимым решение проблемы получения численного решения для конвекции на эйлеровой сетке. Фазовые ошибки растут линейно со временем
и вызывают нарастающие отклонения от правильного решения. Амплитудные ошибки при конвективном процессе, в отличие от того, что имело место при процессе диффузии, также стремятся расти, а не уменьшаться.
4-5. Волны и колебания
4-5.1. Волны, возникающие вследствие взаимосвязи уравнений сохранения
Четвертый и последний процесс, представленный в табл. 4-U представляет собой процесс распространения волн. В одномерном случае линейная волна для скалярной переменной р описывается волновым уравнением второго порядка
(4-5.1)(4-5.1)д2Р 7.2 ^Р_^2 w дх^ *
(4-5.1)
(4-5.1)
Здесь vw — фазовая скорость волны, т. е. скорость с которой распространяется профиль волны.
др St ди dtдр St ди dtУравнение (4-5.1) не присутствует явно в полной системе уравнений реагирующей среды, но возникает из взаимодействия двух уравнений сохранения первого порядка посредством слагаемого, описывающего их взаимодействие (например, градиента давления или силы тяжести). Если v(x, t) представляет собой скорость жидкости, то одна из возможных систем уравнений первого порядка, которые приводят к волновому уравнению, имеет вид.
др St ди dt
др St ди dt
(4-б.2а)
(4-5.26)
Полная система уравнений сохранения для реагирующей среды позволяет рассмотреть несколько типов волн в зависимости от того, какие выбираются члены уравнений для того, чтобы составить комбинацию из двух производных по времени и по координате. Звуковые волны изучают на основе связанных уравнений энергии и импульса, гравитационные волны — на основе взаимодействующих уравнений сохранения массы и импульса. Другие типы волн обусловлены конвекцией или возбуж*
даются объемными силами, возникающими при конвективном переносе по искривленным траекториям. Каждый тип волн имеет собственную зависимость частоты от длины волны (спектр), эти волны могут распространяться по ряду направлений и обычно сопровождаются переносом энергии.
Все волны обладают некоторыми общими физическими и математическими свойствами. Эти свойства частично являются той основой, на которой разрабатываются полезные алгоритмы решения соответствующих задач. Одним из важных свойств большинства волн является сохранение энергии. Другое свойство состоит в том, что полное смещение среды в волне обычно весьма мало. Амплитуды переменных р и и либо меняют знак, либо осциллируют около некоторых средних значений. Таким образом, положительность решения не является важным свойством волновых уравнений, хотя оно может выполняться для исходных уравнений сохранения.
Наличие производной второго порядка по координате делает волновое уравнение похожим на уравнение диффузии, обсуждавшееся в разд. 4-3. Поскольку волновое уравнение имеет второй порядок также и по времени, оно обратимо, если только в уравнении не присутствуют члены, описывающие диссипативные процессы. Следовательно, в алгоритмах для волнового уравнения не должно быть диссипации амплитуды решения. Выполнение условия обратимости решения в алгоритме гарантирует, что моды не затухают, когда алгоритм устойчив. Поскольку волны часто распространяются на очень большие расстояния без существенного затухания, алгоритм, применяемый для расчета их поведения, должен давать минимальное численное затухание. Это подразумевает, что наилучшие из подобных алгоритмов являются почти неустойчивыми или могут быть легко переведены в неустойчивое состояние за счет малых ошибок аппроксимации, дополнительных нецентрированных членов или нелинейных эффектов, которые не появляются при линейном анализе устойчивости.
Уравнения (4-5.1) или (4-5.2а и б) имеют периодические решения вида
Р (х, О = Р (6) е‘кх e~iat,5 _
и (х, f) = v (6) е'йж e-<®,,\• )
где р(£) и и(&)—комплексные величины, к — волновое число, отвечающее направлению х. Это действительная величина, которая с длиной волны моды связана соотношением Х = 2л/&. Символ to обозначает угловую частоту волны в лабораторной системе отсчета. Подстановка формул (4-5.3) в уравнения (4-5.2) дает аналитическое решение
to = vwk.(4-5.4)
В этом решёдии частота волны линейно увеличивается с ростом волнового числа к.
В случае звуковых волн трехмерное поле скоростей можно описывать одним скалярным волновым уравнением для потенциала скорости
у = 7ф (4-5.5)
в предположении, что флуктуации давления, скорости и плотности достаточно малы, так что справедливо линейное приближение. В этом случае переменная р в уравнении (4-5.1) заменяется на <р, а величина dw совпадает со скоростью звука cs = ИЖ ,
Только в случае, когда скорость uw постоянна, волновое уравнение может быть записано в виде (4-5.1). В более общем случае скорость uw стоит под знаком одной или обеих пространственных производных. Это обобщение существенно меняет характер распространения волны, поскольку ее амплитуда может теперь изменяться вместе с изменением uw по пространству и по времени. В этом разделе анализируется частный случай, в котором скорость волны не зависит от пространственных координат и времени, а также от локальных значений p(x, t) и v(x, ty Такой случай является достаточно сложным. Ниже описываются явный и неявный обратимые алгоритмы для расчета распространения волн.
4-5.2. Явный алгоритм «чехарда» на разнесенной сетке
Простая конечно-разностная аппроксимация уравнений (4-5.2) имеет вид
П п-1/ /г-1/2П-112ktw \ AxП п-1/ /г-1/2П-112ktw \ AxЛ+1/2„7-1/2У/-1/2 V/-1/2Л+1/2„7-1/2У/-1/2 V/-1/2AZAZ(tpwДх(tpwДх(4-5.6a)(4-5.66)(4-5.6a)(4-5.66)
П п-1/ /г-1/2П-112
ktw \ Ax
П п-1/ /г-1/2П-112
ktw \ Ax
Л+1/2„7-1/2
У/-1/2 V/-1/2
Л+1/2„7-1/2
У/-1/2 V/-1/2
AZ
AZ
(tpwДх
(tpwДх
(4-5.6a)
(4-5.66)
(4-5.6a)
(4-5.66)
Переменная p определена в центрах ячеек в старый и новый моменты времени. Скорость и определена на границах ячеек и в моменты времени, промежуточные по отношению к моментам времени, в которые определена плотность р. На рис. 4-8 показана диаграмма сетки для этого алгоритма. Поскольку существует симметрия между сетками для переменных и и р, то не совсем правильно представлять одну из сеток как ячейки, а другую как границы ячеек или наоборот. Такие сетки называются разнесенными сетками.
J|| kxТАхЪ^хПространственная координатаJ|| kxТАхЪ^хПространственная координатаООоо
J|| kxТАхЪ^х
Пространственная координата
J|| kxТАхЪ^х
Пространственная координата
О
О
о
о
Рис. 4-8. Диаграмма, показывающая связь переменных р и и в алгоритме «чехарда» на разнесенной сетке для решения волновых уравнений.
Разностная схема (4-5.6) называется явным алгоритмом «чехарда» на разнесенной сетке, поскольку обе переменные «перепрыгивают» одна через другую при продвижении решения по времени, как это было показано на рис. 4-8. Поскольку новые значения р зависят только от старых значений р и известных значений с и не зависят друг от друга, то данный алгоритм является явным и очень эффективным в вычислительном смысле. Кроме того, в этом случае не требуются большие вычислительные затраты, связанные с решением неявных уравнений, в которых новые значения переменных связаны между собой.
Алгоритм «чехарда» на разнесенных сетках обратим по времени, как это видно из рассмотрения уравнений (4-5.6) и рис. 4-8. На любом этапе интегрирования знак у шага по времени может быть изменен на обратный, причем точные значения переменных в предыдущий момент времени восстанавливаются при обратном расчете этим алгоритмом. Такое свойство алгоритма «чехарда» является полезным, поскольку отражает свойство обратимости непрерывной волны, описываемой уравнениями (4-5.1) и (4-5.2). Благодаря свойству обратимости алгоритм «чехарда» сохраняет точные значения амплитуд мод, до тех пор пока он численно устойчив.
Использование выражений (4-5.3) с обозначениями
Xj = ^x, xi + lj2 = U+l/2^x,= tn+ll2 = (n+l/2)MU
и подстановка их в уравнения (4-5.6) приводит к следующему численному дисперсионному уравнению:
sin ( -у- 1 = 8 sin ( — L(4-5.8)
Уравнение (4-5.8) дает численно определяемую частоту волны сое как функцию волнового числа к и других параметров явного вычислительного алгоритма. Здесь безразмерный шаг по времени е определяется формулой
e = uw^t/^x.(4-5.9)
Уравнение (4-5.8) можно формально разрешить относительно частоты
co£=-^-arcsin е sin ( — j .(4-5.10)
Соотношения (4-5.8) или (4-5.10) определяют границы устойчивости и точности для алгоритма «чехарда». При фиксированном значении 8<1 алгоритм сходится при пространственном шаге Ах, стремящемся к нулю, поскольку величина ^Е приближается к теоретическому значению со, определяемому формулой (4-5.4). До тех пор пока 8 меньше единицы, т. е. до тех пор пока реальная волна проходит за шаг по времени расстояние, меньшее размера одной ячейки, аргумент функции arcsin в формуле (4-5.10) никогда не может превзойти единицу. Это означает, что всегда можно найти действительную величину численной частоты сое (имеющей нулевую мнимую часть) и полагать, что алгоритм численно устойчив, несмотря на то, что эта частота количественно определена с некоторой ошибкой.
Численное дисперсионное уравнение приближается к точному аналитическому соотношению (4-5.4), когда длина волны равна многим длинам расчетных ячеек, т. е. когда &Ах<С1. При конечных значениях к\х численное и точное дисперсионные соотношения различаются. Точное решение дает одну и ту же фазовую скорость для всех волн, в то время как в конечноразностном решении каждая фурье-гармоника распространяется со своей фазовой скоростью. Хотя полученные в расчете волны не затухают, они распространяются с неправильной фазовой скоростью. Так же как в случае одного уравнения сохранения, эта ошибка носит название дисперсии.
Численное решение становится неточным, когда (&Ах)/2 начинает составлять заметную долю от единицы. Наибольшие дисперсионные ошибки имеют место для коротких длин волн.
Рис. 4-9. Дисперсионные кривые при решении волновых уравнений с использованием явного (£) и неявного (/) алгоритмов «чехарда» и точная теоретическая дисперсионная кривая (Т). Графики приведены для четырех значений параметра /\х.Рис. 4-9. Дисперсионные кривые при решении волновых уравнений с использованием явного (£) и неявного (/) алгоритмов «чехарда» и точная теоретическая дисперсионная кривая (Т). Графики приведены для четырех значений параметра /\х.
Рис. 4-9. Дисперсионные кривые при решении волновых уравнений с использованием явного (£) и неявного (/) алгоритмов «чехарда» и точная теоретическая дисперсионная кривая (Т). Графики приведены для четырех значений параметра /\х.
Рис. 4-9. Дисперсионные кривые при решении волновых уравнений с использованием явного (£) и неявного (/) алгоритмов «чехарда» и точная теоретическая дисперсионная кривая (Т). Графики приведены для четырех значений параметра /\х.
В этом случае функции синуса, стоящие в обеих частях выражения (4-5.8), вызывают отличия численного дисперсного соотношения от теоретического выражения (4-5.4). Неточность становится ясно видной к тому моменту, времени, когда к\х приближается к значению л/4, т. е. когда на длину волны приходится восемь расчетных ячеек. Большинство мод в решении, однако, имеют более короткие длины волн, чем длина восьми расчетных ячеек. Таким образом, ошибка в численной частоте заметна даже тогда, когда шаг по времени (и, следовательно, е) очень мал. Поскольку дисперсионные ошибки происходят из-за конечно-разностного представления пространственных производных, то не удивительно, что уменьшение шага по времени не помогает преодолеть их.
На рис. 4-9 показаны дисперсионные уравнения для явного алгоритма «чехарда» (£), для точного теоретического результата (Г) и для неявного алгоритма (Z), рассматриваемого ниже.
Кривые показывают зависимость величины toMle = tokxlvw от к\х. З^съ теоретическая кривая представляет собой прямую линию.
Четыре графика соответствуют четырем различным значениям е, охватывая диапазон от численной устойчивости до численной неустойчивости для явного алгоритма. На границе устойчивости для явного алгоритма Е (е=1) теоретическое и рассчитанное по явному алгоритму дисперсионные уравнения совпадают точно. На рис. 4-9,6 это показывает диагональная прямая, отмеченная буквами Т и Е. Точный результат достигается на пределе устойчивости из-за того, что при этом скорость волны равна скорости прохождения одной пространственной ячейки за один шаг по времени. Это особая ситуация, которая хорошо представляется в алгоритме «чехарда».
Два нижних графика на рис. 4-9 соответствуют случаям, когда е больше единицы за счет выбора большего шага по времени, чем требует предел устойчивости коротковолновых мод для явного алгоритма. Здесь имеется максимальное значение &Ах/2, при котором этот алгоритм становится численно неустойчивым. На двух нижних графиках при &Ax/2 = arcsin (1/е) величина е sin (йАх/2) равняется единице. При более коротких длинах волн моды становятся численно неустойчивыми, как на это указывает окончание кривой Е. По мере увеличения шага по времени все меньше мод являются численно устойчивыми, а моды, остающиеся устойчивыми, имеют большие длины волн.
4-5.3. Обратимый неявный алгоритм
На ритма мулах:На ритма мулах:рис. 4-9 также представлены кривые для неявного алго- (/), основанного на следующих конечно-разностных фор-
На ритма мулах:
На ритма мулах:
Г ( п п \п-^
(4-5.1 la)(4-5.116)(4-5.1 la)(4-5.116)Л^П-1 !XWw W+1/2— ^/—1/2/ | W+1/2 — ^J—1/2
(4-5.1 la)
(4-5.116)
(4-5.1 la)
(4-5.116)
iН ”2 L АхАх
A/yw (p/+iР/) i (p/+i—Р/ )^/+1/2У/+1/2-— д^ i д^•
Расчетная сетка здесь разнесена по пространству, но не по времени. Новые значения р и у теперь определяются одновременно на одном и том же шаге по времени. Этот алгоритм является обратимым, поскольку правые части уравнений вычисляются как центрированные по времени средние от пространственных производных. Свойство обратимости, хотя и требует больших вычислительных затрат, гарантирует, что амплитуды индивидуальных мод в расчете сохраняются.
Поскольку в неявном алгоритме приходится проводить обращение матрицы, то он требует на каждом шаге по времени больших вычислительных затрат, чем явный алгоритм. Чтобы уви-
деть, какую форму имеет матрица конечно-разностного уравнения, подставим уравнение (4-5.116) в уравнение (4-5.11а) и исключим значение и в новый момент времени. В результате получим
р2 о2
р?—V (РМ1 - 2Р/ + р"-*) = Р/+ Ч-Ш - 2рГ + р?И) -
(4-5.12)
Это равенство есть конечно-разностная аппроксимация второго порядка точности для уравнения (4-5.1). В левую часть уравнения (4-5.12) входят значения р в трех соседних ячейках в новый момент времени. Это уравнение обычно решается при помощи •алгоритма обращения трехдиагональной матрицы. Соответствующая дополнительная работа аналогична той, которая возникает при обсуждавшемся выше решении уравнения диффузии и уравнения конвекции с помощью неявного метода. В случае двух- и трехмерного течения вычислительные трудности гораздо больше, поскольку алгебраические конечно-разностные уравнения связаны со всеми направлениями. Трехдиагональная матрица в уравнении (4-5.12) становится в двумерном случае пятидиагональной, а в трехмерном случае — семидиагональной матрицей.
Подстановка в уравнения (4-5.11) или в уравнение (4-5.12) решения в виде осциллирующих функций (4-5.3) дает следующее численное дисперсионное уравнение для обратимого неявного алгоритма:
о)/=: Aarctg|8Sin (4.5.13)
Выражение (4-5.13) имеет тот же вид, что и выражение (4-5.10), с той лишь разницей, что арксинус заменяется здесь на арктангенс. Это изменение гарантирует, что неявный метод будет всегда численно устойчив, поскольку действительное значение о всегда может быть найдено независимо от значений kkx и е. Рис. 4-9 показывагт, что значения со/ всегда расположены ниже как теоретических значений, так и значений, отвечающих явному алгоритму, когда последний является устойчивым. Следовательно, вновь явный алгоритм всюду является более точным, чем неявный алгоритм, когда явный алгоритм устойчив.
4-5.4. Обратимость, устойчивость и точность
Проведение фактической проверки обратимости алгоритма при расчетах является решающим тестом для вычислительной программы. Почти все программные ошибки, несогласованности в определении переменных, ошибки при построении сетки или неправильность конечно-разностных формул нарушают точное вы-
полнение свойства обратимости. Одной из самых лучших проверок номинально обратимых компонентов модели является следующая процедура: проведение расчета на большое число шагов по времени, затем остановка его, изменение знака у А/ и обратный расчет задачи до начального состояния.
Свойство обратимости алгоритма отнюдь не означает, что он обязательно точный. Пока явный обратимый алгоритм устойчив, он более точен, чем соответствующий неявный алгоритм. Обычно алгоритмы становятся неточными еще до того, как достигается граница устойчивости. Пока 8^1, т. е. пока волна проходит за шаг по времени расстояние, меньшее размера одной расчетной ячейки, всегда, при любом выборе кАх можно найти действительное значение со и, таким образом, решение будет устойчивым. При е>1, получается, что величина sin(coAf/2) должна быть больше единицы для мод со значениями ^Дх/2, близкими к л/2. Эти моды неустойчивы, поскольку для удовлетворения дисперсионного уравнения требуются комплексные значения со. Обычно проведение расчетов с наибольшим шагом по времени, отвечающим условию устойчивости, приводит к катастрофическим последствиям. Нелинейные эффекты, переменность параметров задачи по пространству и переменный размер ячеек сетки — все эти факторы стремятся воздействовать на практический предел устойчивости, который оказывается примерно в два раза более ограничивающим, чем математический предел.
При очень большом е почти все волны проходят за шаг по времени расстояние, превосходящее длину расчетной ячейки, и, таким образом, являются неустойчивыми при интегрировании по явной схеме. Это видно из рис. 4-9, г. Если 8^>1, то наибольшее волновое число ^тах, соответствующее устойчивости явного алгоритма, удовлетворяет соотношению
^^5-^1<1, (4-5.14)
л максимальное значение, которое может иметь частота coz» определенная по неявному алгоритму, равно
(отах = л/Д/. (4-5.15)
Для длин волн с ^>^тах, где ^тах определяется формулой (4-5.14), аргумент, стоящий под знаком арктангенса в дисперсионном уравнении (4-5.13) для неявного алгоритма, является, величиной порядка единицы. Ошибки в частоте волн и, следовательно, в фазовых скоростях мод имеют, таким образом, тот же порядок величины. Для волновых уравнений, так же как для уравнения диффузии и уравнения конвекции, условия устойчивости для явного метода обычно являются условиями, обеспечивающими точность решения для устойчивых, полностью неявных
методов. Если шаг по времени очень велик по сравнению с тем, который обеспечивал бы устойчивость явного алгоритма, то лишь волны в системе, имеющие наибольшую длину, адекватно рассчитываются по неявному алгоритму. Следовательно, необходима большая осторожность при использовании неявных алгоритмов. Сама по себе устойчивость неявного алгоритма не означает, что расчет по нему будет точным даже для больших длин волн.
Для уравнения диффузии не возникало необходимости рассматривать фазы различных мод. Здесь важными величинами были амплитуды волн. В случае же волнового уравнения вопросы точности решения фокусируются на фазах. В двух алгоритмах, обсуждаемых здесь, амплитуды мод обеспечиваются постоянными самой конструкцией алгоритмов. Коротковолновые моды, дающие наибольшую ошибку, не затухают, как это имеет место при диффузии. Применение обратимого центрированного неявного алгоритма с большим шагом по времени, чем это требуется из условия устойчивости для явного алгоритма, должно проводиться с осторожностью. Если в дополнение к волновым процессам в системе имеются физическое затухание или диффузия, то коротковолновые моды затухают. Не было бы проблемы, если бы амплитуды становились достаточно малыми до того, как возрастающие фазовые ошибки приводили к разрушению решения. Если, однако, волны затухают слабо, то коротковолновые моды могут создавать достаточно большие трудности, чтобы возникла необходимость воспользоваться методом Фурье, или спектральным методом, который минимизирует как фазовые, так и амплитудные ошибки (хотя ошибки Гиббса при этом все еще требуют специального рассмотрения).
Асимптотические методы для расчета распространения волн сформулировать труднее, чем для расчета локальных эффектов. Примерами таких методов служат приближенный метод Венцеля—Крамерса—Бриллюена и различные методы с введением многих временных масштабов. Асимптотические методы могли бы рассматриваться при решении волнового уравнения, если: было бы возможно провести осреднение быстрых осцилляций и: извлечь квадратичные по осциллирующим величинам члены, растущие со временем. Средние значения осциллирующих величин при этом равны нулю.
4-6. Взаимодействия
4-6.1. Трудности при расчете членов, описывающих взаимодействия
При моделировании течений реагирующих сред возникает больше трудностей, чем в идеализированных задачах, рассматриваемых в этой главе. Модели должны правильно описывать
Таблица 4-5. Взаимодействия и вызываемые ими эффекты
Взаимодействующие процессы
Некоторые вызываемые эффекты
Химические реакции/диффузия
Распространение ламинарного пламе
Химические реакции/конвекция
ни, коррозия
Всплывание пламени, турбулентное горение
Диффузия/конвекция
Молекулярное смешение в турбулентности, двойная диффузионная
Химические реакции/распространение волн
неустойчивость
Химическая акустическая неустойчивость, переход от дефлаграции к де
Диффузия/распространение волн
тонации
Затухание высокочастотных звуковых волн
Конвекция/распространение волн
Ударные волны, возбуждение турбулентного шума
взаимодействия основных химических и физических процессов, представленных в табл. 4-1, и в тех случаях, когда эти взаимодействия не описываются в данной упрощенной форме. Изредка задача сводится к решению системы уравнений, в которой все члены имеют один и тот же вид, как это имеет место при решении нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений химической кинетики. Чаще необходимо решать уравнения разного вида, которые описывают взаимодействие различных фи- .зических процессов, как, например, при моделировании распространения пламени или детонации. Большое число интересных физических эффектов и многие вычислительные трудности возникают из-за парных взаимодействий процессов, перечисленных в табл. 4-5. Эти шесть типов взаимодействий дают хорошую стартовую позицию для рассмотрения того, каким образом связать алгоритмы, описывающие несколько процессов. Если имеется N процессов, связанных между собой, то между ними происходит N(N—1)/2 взаимодействий, которые должны быть опробованы и независимо проверены в расчетах.
Несколько методов были разработаны для решения систем нестационарных, нелинейных, взаимосвязанных дифференциальных уравнений в частных производных. Главными из них являются глобально-неявный метод, называемый также блочно-неявным методом, и метод дробных шагов, называемый также -методом расщепления шага по времени. Другие общие методы расчета взаимодействий, такие, как метод прямых и метод конечных элементов, также применяются в этом случае. Каждый из этих методов базируется на особой, отличной от других идеологии, хотя все они имеют некоторые общие элементы. Эти под-
ходы часто комбинируются в «гибридные» алгоритмы, в которых разные методы используются для расчета различных взаимодействий. Для общего ознакомления с подобными подходами к рассмотрению большого числа временных масштабов мы рекомендуем книгу под редакцией Брэкбилла и Коэна [2].
Малые ошибки при моделировании процесса конвекции могут приводить к большим ошибкам во всем расчете. Рассмотрим, например, моделирование химических реакций, происходящих за фронтом ударной волны. Ударная волна нагревает горючую смесь, а повышенные температура и давление инициируют химические реакции. Для некоторых смесей ошибка даже в не- сколько процентов в рассчитанной температуре за фронтом ударной волны может приводить к изменению на порядок величины очень чувствительных скоростей химических реакций. Это, в свою очередь, может приводить к большим изменениям во времени задержки, после которого начинается значительное выделение энергии. В более общем плане можно отметить, что у каждого из взаимодействий, перечисленных в табл. 4-5, имеются области в пространстве параметров задачи, в которых одни переменные очень чувствительны к небольшим ошибкам при расчете других переменных.
4-6.2. Глобально-неявный метод расчета взаимодействий.
Нелинейная система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая течение реагирующей среды, может быть представлена в виде
•^-р(х, /) = G(p, Vp, Wp, х, 0, (4-6.1) где р — вектор, каждая компонента которого является функцией времени t и радиус-вектора х. В глобально-неявном методе эти уравнения решаются при помощи полностью неявных конечноразностных формул, поскольку они имеют превосходные харак- геристики устойчивости. Это означает, что правая часть уравнения (4-6.1) формально вычисляется с использован1ием информа- |ции в новый момент времени. Чтобы сделать это, нелинейные члены в G должны быть локально линеаризованы около известных решений на предыдущем временном шаге. Такой метод является прямым обобщением неявных алгоритмов, представленных ранее в этой главе, на случай, когда одновременно рассматриваются члены нескольких типов.
Чтобы более ясно увидеть, как работает глобально-неявный: метод, запишем уравнение (4-6.1) в следующем виде:
р"(х, о—р"-‘(х, _Q„(pn> Vpn> VVp„, х tny (4-6.2))
Еще проще это уравнение можно переписать в форме
ря^р^ + Д/С”, (4-6.3)
где аргументы х и t опущены. Предполагается, что изменения р за шаг по времени малы, т. е. шаг Ы выбирается достаточно малым.
Трудность использования уравнения (4-6.3) для нахождения новых значений {р} заключается в неявной зависимости G от новых (неизвестных) значений р. Если величины р за шаг по времени меняются мало, естественно предположить, что изменения G также малы. В этом случае можно разложить функции G" в ряд Тейлора с точностью до членов первого порядка
G» = G«-1 + Ap^^. (4-6.4)
Если р — вектор некоторых переменных, то якобиан dGn-xfdp является тензором. Он вычисляется с использованием известных значений р и поэтому рассчитывается явным образом. Определяя Др как изменение р при переходе от старого к новому моменту времени
Др" = р"— р"’1 = Д/G", (4-6.5)
можно скомбинировать формулы (4-6.4) и (4-6.5) и получить, линеаризированную глобально-неявную аппроксимацию для новых значений р
Ap^A/G"-1^!—А/^^р\ (4-6.6)
где I — единичная матрица. В результате этой процедуры получается неявное матричное уравнение, обычно требующее обращения большой эволюционной матрицы:
— (Д/) dG"-1/dp.
Чтобы применять такой подход, следует использовать линейные конечно-разностные аппроксимации для конвективных производных. Это обычно предотвращает использование более точных нелинейных методов. Рассмотрение строгой сходимости требует итерационного обращения матриц на каждом шаге повремени. В одномерных задачах обычно имеет место блочная трехдиагональная матрица из М физических переменных в Nx сеточных точках. В этом случае на каждой итерации для каждого шага по времени должно проводиться обращение матрицы, размерностью MNXXMNX. Блоки на диагонали или по соседству с ней имеют размерность МхМ, так что матрица в целом весьма разреженная. Тем не менее, очень большое количество вычислительной работы идет на продвижение расчета на один шаг
по времени. При этом методе в двумерном случае матрицы имеют размерность MNxNyxMNxNyf а в трехмерном случае — MN XN yNzxMNxN yNZi где Ny и Nz представляют собой число сеточных точек по направлениям у и z.
Когда рассматривается только процесс конвекции, неявные методы требуют относительно небольших вычислительных затрат. Здесь возможно скомбинировать уравнения и получить одно неявное эллиптическое уравнение, которое часто гораздо легче решить, чем общее уравнение (4-6.6). В глобально-неявных алгоритмах для обеспечения положительности решения требуется введение численного демпфирования (или диффузии) первого порядка. Поскольку уравнения линеаризованы, то необходимы итерации, чтобы включить в них нелинейные члены, которые полностью или частично определяются неявным образом.
В общем случае степень точности расчета конвекции по неявному эйлерову алгоритму эквивалентна точности, получаемой при помощи монотонного алгоритма с вдвое меньшим числом сеточных точек по каждому пространственному направлению. Таким образом, если невозможно воспользоваться монотонными алгоритмами расчета переноса, то пр(и применении глобально-неявного метода потребуется в двумерном случае в четыре раза, а в трехмерном случае — в восемь раз больший объем вычислительной работы.
В сложных задачах химической кинетики при отсутствии пространственных изменений величин число М есть число гидродинамических переменных, т. е. плотностей частиц компонентов и температуры в рассматриваемом однородном объеме. Метод Гира, обсуждаемый в гл. 5, являет собой пример глобально-неявного подхода для интегрирования системы взаимосвязанных обыкновенных дифференциальных уравнений.
4-6.3. Расчет взаимодействий методом расщепления шага ло времени, или методом дробных шагов
Вторым методом расчета взаимодействий является метод дробных шагов, иначе называемый методом расщепления шага по времени. В нем индивидуальные процессы рассчитываются независимо, а изменения, получающиеся в результате расчета отдельных частных процессов увязываются между собой (складываются). Отдельные процессы и взаимодействия между ними могут исследоваться аналитическими, асимптотическими, неявными, явными и другими методами. Преимущество этого подхода состоит в том, что в нем обходятся многие, требующие больших вычислительных затрат операции с матрицами и допускается использование наилучших методов для расчета членов каждого типа. Точный способ, посредством которого связываются
различные процессы, зависит от индивидуальных особенностей применяемых алгоритмов.
Метод дробных шагов детально описан в книге Яненко [6]. Качественный критерий справедливости этого подхода заключается в том, что величины физических переменных для любого отдельного процесса не должны изменяться слишком сильно за шаг по времени. Выше на это требование также указывалось в связи с глобально-неявными алгоритмами. Запишем уравнение (4-6.1) в форме, пригодной для метода расщепления шага по времени:
-^-р(х, 0 = С1 + °2 + Сз+• • •+GM,(4-6.7)
где правая часть G представлена в виде суммы составляющих процессов
6 = 61 + G2 + G3 + •. • + G^.(4-6.8)
Каждая из функций {GJ вносит свой вклад в полное изменение р за шаг по времени. Таким образом, имеем
Ap^-A/G?*1,
Арг-1 = Д^"1,. ~
Ар^ = А/С^.
Например, функции Gin-1 могли бы описывать химическую кинетику, О2П-1 — процессы диффузии, G3n-1 — процессы теплопроводности и т. д.
Решение для нового значения р" находится суммированием всех этих частных вкладов м
р» = рП-1+ 2 Др"-1.(4-6.10)
т = 1
Если процессы моделируются независимо, то это соотношение дает простой способ объединения результатов. Признавая, что в обращении с этим методом следует проявлять некоторую осторожность, тем не менее заметим, что, как правило, результаты оказываются весьма хорошими. Подобный подход является достаточно общим и применяется в большей части этой книги. Era точная реализация в нескольких программах описана в гл. 13.
Если изменения в р, вносимые каждым отдельным процессом G/, малы, то для каждого индивидуального процесса можно применять устойчивые явные алгоритмы. Однако временной шаг^ требуемый для того, чтобы удовлетворить всем отдельным условиям устойчивости для явных алгоритмов, может быть недопустимо малым. Поскольку в методе расщепления шага по време
яи удается избежать большого числа операций с матрицами, то часто представляется не очень обременительным проводить расчет по времени по явной схеме, даже если при этом требуется малый шаг по времени. Обычно в методе дробных шагов оказывается очень ценной возможность увеличить эффективный шаг по времени, используемый в расчете.
4-6.4. Достоинства и недостатки методов расчета взаимодействий
Выбор метода расчета взаимодействий физических процессов также определяет всю структуру самой модели явления. Важно понимать достоинства и недостатки двух распространенных методов— глобально-неявного метода и метода дробных шагов — в самом начале осуществления моделирования. Рассмотрим для каждого подхода вопросы устойчивости, точности и простоты применения.
Номинально глобально-неявный формализм подходит для решения почти любой системы взаимосвязанных дифференциальных уравнений в частных производных. Этот метод максимизирует нагрузку на ресурсы ЭВМ и минимизирует нагрузку на исследователя, проводящего моделирование. Получение устойчивых решений обеспечивается добавлением в систему численного демпфирования, которое сглаживает распределения функций. Однако из-за этого демпфирования часто трудно понять, правилен ли полученный результат. Относительно легко получить устойчивые решения, но в то же время они могут быть неверными. Сходимость численных решений должна проверяться лутем увеличения пространственного и временного разрешений, что в многомерных случаях приводит к особенно большим вычислительным затратам.
Метод расщепления шага по времени накладывает меньше ограничений на ресурсы ЭВМ, но требует от исследователя больших усилий. Устойчивость этого алгоритма не гарантирована. Она зависит от отдельных критериев устойчивости для каждого из алгоритмов и от особенностей их взаимосвязи. При применении метода расщепления шага по времени часто легко видеть, что полученный результат неверен, поскольку в этом случае решение деградирует катастрофическим образом. Например, при расчетах конвекции получающиеся значения плотностей, по смыслу задачи являющиеся положительными, могут стать отрицательными. Сходимость решения обычно проверяется путем увеличения пространственного и временного разрешения. Если, однако, в некоторых частях программы используются асимптотические методы, то может возникнуть ситуация, при которой уменьшение временного шага делает результат менее точным.
Этот недостаток модели обычно бывает очевиден при расчетах методом дробных шагов. Например, когда «отказывает» асимптотический расчет задачи химической кинетики, то перестает выполняться закон сохранения массы.
Главное преимущество метода расщепления шага по времени состоит в том, что он позволяет создавать алгоритм моделирования по модульному принципу. Каждый модуль может быть запрограммирован с использованием наилучшего метода расчета для данного процесса. Различные кандидаты на роль таких методов более детально рассматриваются в гл. 5—И. Если появляется новый метод, он часто может быть введен в полный алгоритм без изменения программы реализации метода расщепления шага по времени в целом. Таким образом, все расчеты конвекции, диффузии, уравнений состояния и кинетики химических реакций проводятся в отдельных подпрограммах. При этом требуется особое внимание при отладке взаимосвязей между программными модулями.
Аргументы за и против применения глобально-неявных методов или методов расщепления шага по времени примерно равноценны в отношении точности получаемого решения. Если существенный временной масштаб не разрешается, то никакой метод решения не сможет дать детальную информацию о характеристиках явления, происходящих на таком отрезке времени. Аналогично, для точного расчета пространственных градиентов следует использовать достаточно большое число сеточных точек при любом способе проведения вычислений. Положительной чертой метода дробных шагов является потенциально простая возможность введения монотонных алгоритмов расчета конвекции.
Тот факт, что методы расщепления шага по времени требуют от исследователя больших усилий, уравновешивается тем обстоятельством, что получающиеся в результате алгоритмы обычно более быстрые, чем те, которые дают глобально-неявные методы. Часто сокращение расчетного времени оказывается значительным. Например, решение системы уравнений химической кинетики для М компонентов требует обращения матриц из Л1ХЛ4 элементов при числе арифметических операций порядка М3. Другие методы, например, асимптотические методы интегрирования, требуют от М до М2 операций.
Целесообразно упомянуть здесь некоторые другие общие методы, такие, как метод прямых и метод конечных элементов. Метод прямых основан на идее разделения пространственной и временной частей задачи независимо от рассматриваемого процесса или нелинейности уравнений. Полная система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных здесь сводится к системе жестких обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящих от времени, которые могут быть решены одним
из стандартных методов, обсуждаемых в гл. 5. Метод прямых оказывается более подходящим, чем глобально-неявные методы, когда уравнения сильно нелинейные. В нем, однако, не допускается использование монотонных алгоритмов расчета конвекции (хотя в настоящее время проводятся некоторые исследования по созданию гибридных алгоритмов), и его не так просто реализовать в неодномерных случаях. Для хорошего представления ударных волн и вообще больших градиентов метод прямых требует примерно вдвое более точного пространственного разрешения, чем лучшие монотонные методы.
Методы конечных элементов основаны на другой идее, хотя у них есть некоторые общие черты как с методом прямых, так и с глобально-неявными методами. Метод конечных элементов находит «наилучшее» решение путем минимизации ошибок. Благодаря этому методы конечных элементов очень привлекательны, несмотря на то, что вычислительные затраты в них сравнимы или даже могут превосходить затраты в глобально-неявных методах. Одной из дополнительных особенностей методов конечных элементов является то, что расположение сеточных точек, так же, как и значения зависимых переменных в этих точках, можно изменять в процессе минимизации ошибок. Эти дополнительные возможности и способности алгоритма обсуждаются в гл. 6 при описании адаптивных сеток.
Во всей этой книге мы делаем упор на методе расщепления шага по времени, поскольку он более гибкий, т. е. допускает использование различных алгоритмов при расчете процессов каждого типа. В последней главе этой книги описаны способы применения метода расщепления шага по времени к расчету распространения пламени и детонации.
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯ:ХИМИЧЕСКАЯ КИНЕТИКАИ ДРУГИЕ ЛОКАЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Алгоритмы для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первоначально были разработаны для решения этих уравнений в некоторых частных случаях. Например, Бэшфорт и Адамс [3] разработали свой метод для исследований капиллярных явлений. Один из первых алгоритмов, успешно справляющийся с трудностями интегрирования жестких ОДУ, был предложен Кертисом и Гиршфельдером [22] для исследований в области химической кинетики. Десять лет спустя Кертис и Гиршфельдер выявили проблему жесткости в ОДУ, а Дальквист [23] указал на численную неустойчивость как на причину затруднений и ввел основные определения и понятия, которые все еще полезны при классификации и оценке алгоритмов. С тех пор развитие и тестирование методов численного интегрирования систем ОДУ стало областью активных исследований. В последнее время усилиями математиков-прикладников численное решение ОДУ поставлено на твердый теоретический фундамент и достигнуто понимание ограничений, накладываемых требованиями устойчивости, сходимости и точности.
В настоящем изложении первоочередной интерес представляет решение систем ОДУ, описывающих химические реакции в сложных реагирующих течениях. Взаимосвязанные нелинейные ОДУ первого порядка для таких химически реагирующих течений были сведены в систему уравнений (2-1.2). Часть этих уравнений, описывающая химическую кинетику, была выделена и представлена уравнением (2-2.22), описывающим образование и исчезновение реагирующего компонента
-^^-пД, 1 = 1, Ns. (5-0.1)
Здесь {nJ — концентрация компонента, {QJ и {nzLJ — члены, описывающие, соответственно, образование и исчезновение i-ro компонента, {Q,} и {LZJ являются функциями {nJ, что обусловливает нелинейную связь между различными компонентами.
Уравнения такого вида кроме химической кинетики описывают также и многие другие локальные явления. ОДУ появляются при решении зависящих от времени уравнений в частных произ- 11*
водных методом прямых, спектральным методом и методами разложения в ряды. В этих случаях пространственные производные сводятся к алгебраическим соотношениям, оставляя необходимым интегрирование ОДУ по времени. ОДУ описывают также движения снарядов и орбитальных тел, динамику популяций, распространение тепла, электрические цепи, локальное тепловое равновесие, внешние силы, обмен импульсом в многофазных течениях, распад радиоактивного вещества, процессы преобразования энергетических уровней и компонент в атомной, молекулярной и ядерной физике. Таким образом, существует много применений для методов и алгоритмов, описанных в этой главе.
Необходимы эффективные и точные алгоритмы решения уравнений (5-0.1), которые могут быть использованы для решения взаимосвязанных систем ОДУ, когда они интегрируются отдельно и в случаях, когда такое интегрирование оказывается частью расчета реагирующего течения, где происходит взаимодействие многих физических процессов. Как будет показано ниже, эти два типа приложений зачастую требуют различных подходов.
Решение уравнений химической кинетики является, вообще говоря, наиболее дорогостоящей частью процесса моделирования реагирующего течения. При моделировании пламени и детонации интегрирование уравнений химической кинетики может занимать на порядок величины больше времени, чем решение уравнений с членами, описывающими конвективный и диффузионный перенос. Стоимость расчета непосредственно определяется числом компонент, числом реакций, протекающих между ними, и числом пространственных ячеек в вычислительной модели. Стоимость расчета также сильно зависит и от конкретного вида выражений {QJ и ^L^. Когда в них входят экспоненты или дробные степени, что обычно имеет место в выражениях для констант скоростей химических реакций, то вычисления становятся еще более дорогостоящими. Другая проблема возникает, когда размер шага, требуемый для получения точного решения, становится недопустимо малым.
Следует порекомендовать ряд книг и статей по численному решению ОДУ, где материал излагается более детально, чем он представлен в настоящей книге. В их число входят учебные пособия, такие, как книги Мак-Калла [53], Карнахана, Лютера и Уилкса [15] и Ралстона [62], в которых изложены элементарные основы численного интегрирования классических ОДУ. Среди более продвинутых учебных пособий находятся монографии Гира [33] и Лемберта [49], в которых дается обзор методов решения жестких уравнений. Рекомендуется также статья Шам- пайна и др. [64], в которой приводится практическая оценка методов решения нежестких ОДУ, и обзорная статья Бьюи и др. [10], в которой описываются последние достижения в области
численного решения ОДУ. В особенности рекомендуется последняя обзорная статья Мэя и Нойя [55], которые дают ясный обзор, предназначенный для исследователя, которому приходится решать системы ОДУ. Часть материала этой главы, да и сама идеология представления этого материала во многом основаны на этой статье.
Поскольку основной интерес к ОДУ вызван необходимостью описывать химическую кинетику в реагирующих течениях, нами используются обозначения, отличающиеся от обычно употребляемых в книгах и статьях по ОДУ. Когда будут обсуждаться общие свойства ОДУ, то рассматривается эволюция величины у(/), а независимую переменную, вместо х, будем обозначать /, чтобы подчеркнуть изменение величины у^ во времени. При переходе непосредственно к задачам химической кинетики в качестве зависимых переменных будем рассматривать величины {/2/(0} — концентрации химических компонентов в момент времени t.;
5-1. Определения и свойства
5-1.1. Задача с начальными значениями
Нелинейное ОДУ первого порядка можно записать в виде ^Г = Ж У),Ук^ = У»,(5-1.1)
где независимая переменная / возрастает, начиная с некоторого значения 0- Аналогичная система связанных ОДУ может быть записана в векторном виде
^ = ЧЛ У),У(/о) = Уо.(5-1.2)
Такие задачи носят название задач с начальными условиями (или задач Коши для ОДУ). Задавая начальные условия уо, требуется проинтегрировать систему в направлении возрастания времени с целью определения величин у(/) в более поздние времена. Уравнения вида
^ = f(y). У(и = Уо(5-1.3)
при отсутствии функциональной зависимости от t в правой части называются автономными системами ОДУ. Любая система уравнений вида (5-1.2) может быть приведена к автономной форме добавлением к системе еще одного уравнения для t. Общее решение уравнений (5-1.1) или (5-1.2) представляет собой семейство кривых, а начальные условия отбирают частное решение из этого семейства.
Один из способов численного решения систем ОДУ состоит в том, чтобы для представления изменений функции использовать разложения в ряды по базисным функциям. Вектор у(^) разлагается в ряд по функциям, зависящим от времени t, а коэффициенты при каждом члене ряда выбираются таким образом, чтобы сумма членов, представляющих у (0, удовлетворяла начальному условию уо. Если коэффициенты разложения выбраны подходящим образом, то вычисление этих разложений в последующие моменты времени t даст приближенное решение. Распространенным методом разложения является использование ряда Тейлора для представления у(^+АО через у (О - В данном случае возникают трудности, связанные с тем, что разложения могут быть экстраполированы вперед только на некоторый конечный временной интервал, прежде чем они станут безнадежно неточными; кроме того, данный метод дает не очень хорошие результаты для жестких уравнений.
В этой главе внимание будет сконцентрировано на конечноразностных методах решения ОДУ, когда интервал времени, на котором следует проинтегрировать уравнения, разбивают на дискретный набор значений {/л}, где п = 0, 1, ..., N. Интервалы, или шаги по времени между различными значениями tn обозначаются как VM, где
hn^tn—tn_v(5-1.4)
Точное решение уравнения (5-1.1) в n-й момент времени tn обозначается как у (tn). Решение, полученное с помощью конечно-разностного метода, обозначим уп. Необходимо знать, каким образом по заданному уп определить значение упл-\ на последующем шаге с наибольшей точностью и эффективностью. Нижними индексами отмечаются разные шаги по времени, поскольку в этой главе не будут рассматриваться пространственные изменения или сетки, для которых обычно используются нижние индексы; кроме того, нижние индексы нельзя будет спутать с иногда используемыми показателями степени.
5-1.2. Точность, сходимость и устойчивость
Алгоритм решения скалярного ОДУ можно записать в виде Ул+^Уп + М- (X, {z/z}, {5LL •••)’<5"L5)
где i=0, 1, ..., «+1 указывают на различные дискретные шаги, на которых было вычислено решение. Численная схема, согласно которой происходит продвижение вперед решения уп, изображается функцией S". Наиболее полезные численные схемы зависят по крайней мере от нескольких предыдущих значений у,, 1=п, п—1, п—2
Рис. 5-1. Типы ошибок на конечно-разностном шаге по времени. Точное решение, полученное интегрированием при начальном условии у (to), обозначено y(t). Точное решение, начинающееся со значения, равного приближенному численному решению уп в момент времени tn, обозначено y*(t). Глобальная ошибка аппроксимации обозначена Еп, локальная ошибка аппроксимации обозначена Тп. Локальная ошибка обозначена через 1п.
При выполнении такой процедуры могут возникнуть разного рода ошибки, часть которых показана на рис. 5-1. Верхняя кривая на рис. 5-1 представляет собой точное решение «/(/) в виде функции от / на интервале (tn, tn+\). Величины y(tn) и у(/п-н) —точные значения решения в моменты времени tn и /п+ь полученные с использованием точного начального значения уо, заданного в момент времени /о- Нижняя сплошная кривая y*(t)— точное решение уравнения, полученное с использованием уп, численно рассчитанного значения в момент времени tn и принятого в качестве начального значения для последующего интегрирования. Поскольку уп может существенно отклониться от точного решения у(tn), то в точном решении y*(tn+i) также появится систематическая ошибка, как это показано на рис. 5-1. Пунктирной кривой, соединяющей уп и yn+i, построено численное решение, полученное с помощью уравнения (5-1.5) при использовании соответствующей функции ^". Это численное решение также проходит через точное начальное значение уо, поскольку численное решение было вычислено именно при этом начальном значении.
Величина Е на рис. 5-1 называется глобальной ошибкой аппроксимации в момент времени tn и определяется равенством
Е„^УМ-У„. (5-1.6)
Величина Еп есть разность между точным решением в момент времени tn, полученным при первоначально заданных начальных условиях, и текущим приближенным численным решением. В момент времени ^+i, как показано на рис. 5-1, глобальная ошибка имеет величину Епн-
Локальная ошибка аппроксимации Tn-v\ определяется равенством
TnA-i^yV^—y^t^—h^ = En+i—En. (5-1.7)
Эта ошибка является оценкой величины, на которую конечноразностное приближенное решение, полученное с использованием уравнения (5-1.5), отклоняется от аналитического решения у (0- Глобальная ошибка аппроксимации представляет собой сумму локальных ошибок аппроксимации, сделанных на каждом шаге.
Наконец, существует еще локальная ошибка U, представляющая собой ошибку, связанную с использованием конкретного алгоритма, на одном шаге в предположении, что в качестве начальных условий используются значения зависимой переменной на предыдущем шаге
1п+1= У* (^»+i) Уп+1* (5-1.8)
Локальная ошибка аппроксимации Тп приближенно равна локальной ошибке 1п, поскольку У^^У*^У Хотя на практике точное решение неизвестно, эти различные виды ошибок важны, так как дают понятие о возникновении и распространении ошибок в процессе интегрирования. Во многих ситуациях ошибка, накопленная на протяжении многих шагов, намного более важна, чем ошибка, сделанная на любом отдельном шаге.
Ошибки также вносятся из-за округления чисел, принятого в конкретной вычислительной процедуре. Глобальная ошибка аппроксимации уменьшается при уменьшении 1г на фиксированном интервале интегрирования, а максимальная ошибка округления увеличивается. Это обстоятельство проиллюстрировано на рис. 5-2. Ошибка округления может существенно сказаться на значении глобальной ошибки в случае, когда необходимо использовать очень малые шаги по времени. Таким образом, существует оптимальный размер шага, показанный на рис. 5-2 как Amin, при котором ошибки аппроксимации и округления сравнимы.
Порядок точности метода определяется выражением меры ошибки через степени размера шага К. Говорят, что речь идет о методе порядка р, если глобальная ошибка аппроксимации ве-
Рис. 5-2. Схематическое изображение зависимости ошибки округления и ошибки аппроксимации от шага по времени.
дет себя как O(hp) для р>0. Метод порядка р имеет локальную ошибку аппроксимации, ведущую себя в общем как O(hp^xy Глобальная ошибка аппроксимации отличается от локальной ошибки аппроксимации на множитель й-1, когда ошибки накапливаются пропорционально числу шагов, что часто и происходит. Обычно используются методы высокого порядка точности, так как они и сходятся быстрее, и более точные. Однако имеется много задач, для которых использование метода низкого порядка (пусть с меньшим размером шага) является наилучшим выбором. Метод более низкого порядка, локальная ошибка аппроксимации которого от шага к шагу меняет знак, вследствие чего ошибка уменьшается, глобально может быть более точным, чем метод высокого порядка, ошибка аппроксимации которого постепенно накапливается.
Как устойчивость, так и сходимость имеют дело с поведением численного решения в пределе, когда размер шага h стремится к нулю. Численный метод сходится, если
Уп-^УМ, 6]
при h 0 и у^^-^уо.
Говорят, что метод неустойчив, если ошибка, появляющаяся на некоторой стадии вычисления, становится неограниченной, г. е. суммарная глобальная ошибка постоянно растет, вместо того чтобы уменьшаться. Заметим, что численное решение может
быть неустойчивым и в то же время оказаться относительно точным, если точное решение также неопределенно растет.
Метод может быть также устойчивым, но не сходящимся к точному решению. Например, метод
У„ = Уп-ъ «=1, 2, .
не сходится, если только не выполняется равенство ^ = 0, но является устойчивым. Однако сходящийся метод заведомо является устойчивым.
Одним из разумных методов контроля глобальной ошибки является контроль этой ошибки на каждом шаге. Стратегия обычно заключается в выборе точного устойчивого метода, который позволяет вести расчет с приемлемым размером шага. В общем, контроль размера шага представляет собой механизм, используемый для поддержания достаточно малыми локальных ошибок в процессе счета. Альтернативная стратегия заключается в изменении порядка или даже типа метода в процессе интегрирования в зависимости от поведения ^“(/, у).
В течение относительно коротких, но важных периодов в развитии многих реагирующих течений быстро растут флуктуации газодинамических функций, свойств переноса, химических параметров или их комбинаций. Обычно такие периоды неустойчивого роста малы, поскольку большинство физических неустойчивостей разрушает систему, которая их вызывает. Тем не менее понимание особенностей численного моделирования во время этих периодов роста может потребовать временного переосмысления понятий устойчивости и сходимости. Так как относительные ошибки измеряются на постоянно растущем масштабе, слабо неустойчивый алгоритм может быть достаточно точным в физически неустойчивой среде. И наоборот, в системе, быстро релаксирующей к равновесию, сходящийся алгоритм может оказаться неустойчивым из-за увеличивающихся относительных ошибок, даже если абсолютные ошибки при этом уменьшаются.
В гл. 4 были введены понятия устойчивости на примере линейной тестовой задачи, описываемой уравнением (4-2.1). Если численный метод неустойчив для такой простой задачи, то он должен считаться по крайней мере ненадежным и для более сложных задач. Большинство ОДУ также могут быть локально линеаризованы разложением в ряд Тейлора с точностью до первой производной. Для малых интервалов времени в окрестности tn значения f(y) будут близки к f(yn) и можно воспользоваться разложением функции f(y) в ряд Тейлора в окрестности у~уп.
f(y) = M + [(У^'Ш f + • • • •(5-1.9)
Подставляя это разложение в уравнение (5-1.2), получим
f +'] “ Л'У+е<У-)’ <6'110>
что представляет собой расширенный векторный вариант линейной задачи, рассмотренной в гл. 4. Слагаемое в квадратных скобках в правой части уравнения (5-1.10) определяет постоянную векторную функцию g(yn), которая может быть включена в анализ, приведенный в гл. 4. Эта функция сдвигает нулевую точку для переменных {у}. При рассмотрении достаточно малых интервалов времени интеграл приближенного уравнения (5-1.10) может быть как угодно близок к точному решению.
В этом линейном случае Л представляет собой матрицу Якоби J размерностью NxN, элементы которой равны
=(5-1.11)
dyj 'v '
где N — число независимых переменных в автономной системе уравнений. Для скалярного случая или для каждого из собственных векторов матричной задачи, представленной уравнением (5-1.10), можно записать
(yn+i—y^ = rW(yn—у^,(5-1.12)
иг — функция ХА, зависящая от конкретного метода.
В случае, когда действительная часть X отрицательна, у»» является пределом, к которому стремится у при t-^oo. Когда действительная часть X положительна, так что задача становится неустойчивой, у»» является пределом, к которому стремится у при —оо. Предельное значение уоо неопределено в случае, когда r^Xh) тождественно равно единице. Функция г (ХА) определяет приближение к аналитическому решению
г (ХА) = ехЧ0 (А^+1),(5-1.14)
где р— порядок метода. Итак, численный метод дает аналитическое экспоненциальное решение плюс локальную ошибку порядка Ар+1. Локальная ошибка и ошибки аппроксимации ограничены и затухают, если
|г(ХА)|<1.(5-1.15)
Абсолютная устойчивость реализуется при выполнении условия
| г(ХА)}< 1.(5-1.16)
Область в комплексной плоскости ХА, где выполняется неравенство (5-1.16), называется областью абсолютной устойчивости.
5-1.3. Неявные и явные решения
Алгоритм решения уравнений (5-1.1) или (5-1.2) называется явным, если функция #" не содержит в себе переменную упл-\, и неявным — в противном случае. Неявные методы обычно более устойчивы и несколько менее точны, чем устойчивые явные методы, и оказываются более дорогими при реализации. Они обычно требуют проведения итераций, причем каждый шаг итерационного процесса по стоимости может сравниться со стоимостью реализации явного метода. Однако, когда решение меняется медленно, неявные методы допускают использование больших размеров шага, что могло бы сделать явный алгоритм неустойчивым. Таким образом, неявные методы особенно полезны при решении жестких ОДУ.
5-1.4. Жесткие обыкновенные дифференциальные уравнения
На практике ОДУ являются жесткими, когда численная устойчивость, а не точность, диктует выбор размера шага. Рассмотрим два связанных уравнения, например представленные в виде (5-1.2), которые имеют решение
У1(/) = + е-^ + е^Ч1, 1 m у2(/) = —e-2000^+e-2f+1 Ч
У этого решения существует два зависящих от времени компонента. Один быстрый, описываемый экспонентой ехр(—2000/), затухает за время / = 0,01. Другой медленный, описываемый экспонентой ехр(—2/), затухает за время /=10. В дальнейшем происходит выход на стационарное решение yi=y2=l. Для точного численного интегрирования необходимо использовать малый размер шага на протяжении /<0,01, поскольку решение здесь изменяется быстро и алгоритм должен разрешать такое изменение. После прохождения этого быстрого участка было бы полезно, однако, иметь возможность брать большой размер шага.
К сожалению, для критерия устойчивости безразлично, являются ли важными или нет неустойчивые компоненты решения, поэтому многие методы требуют использования малого размера шага на протяжении всей области интегрирования. Даже если численное решение сходится при стремлении h->0, шаг Л должен быть недопустимо малым. В рассмотренном примере требуется размер шага Л^5-10-4 с на протяжении всей области интегрирования; следовательно, потребуется сделать 20000 шагов для продвижения решения на 10 с реального времени. Таким образом, рассмотренная система является практически и математически жесткой. Часто шаг h должен быть столь малым по уело-
вию устойчивости, что ошибки округления становятся критическими.
Жесткость в данном случае связана с наличием в решении широкого диапазона временных масштабов. Это обстоятельство приводит к иному, более строгому определению жесткости [50]: система уравнений вида
y = Jy,(5-1.18)
где J — матрица Якоби, является жесткой, если
^(ХуХО, / = 1, N, max | gt (Ху) I min 19t (MI
где ^ (X) обозначает действительную часть X. Это определение жесткости не применимо, когда независимые моды системы неустойчивы.
Уравнение (5-1.18) является математически жестким, если J имеет хотя бы одно собственное значение, действительная часть которого отрицательная и ее модуль превосходит обратные характерные временные масштабы изменения решения. Система является жесткой, если решения ее содержат нестационарные компоненты, затухающие быстро по сравнению с характерным масштабом интегрирования [21, 33]. В практических расчетах система является жесткой, если размер шага, который следовало бы взять, основываясь на стоимости или времени счета, слишком велик для получения точного результата. Таким образом, с точки зрения практики жесткость связана с величиной минимального размера шага, который можно допустить, исходя из требующегося расчетного времени в конкретном приложении при выбранном методе решения.
Жесткими могут быть как система взаимосвязанных уравнений, так и отдельное уравнение [33]. Рассмотрим уравнение
=(5-1.20)
где Х<0, |Х|>>1 и F^— гладкая, медленно изменяющаяся функция. Это уравнение имеет аналитическое решение
.y = Vyo-F^eKt + F(t\(5-1.21)
С ростом времени модуль отрицательного показателя Xt скоро становится настолько большим, что первый член в этом решении становится пренебрежимо малым по сравнению со вторым членом. Тем не менее именно величина X определяет шаг по времени. Сравним это решение с выражением (5-1.10). Здесь опять
постоянный член не нулевой, а связан с частным неоднородным решением уравнения, но устойчивость и жесткость определяются однородным решением. Для данного численного метода решения уравнения (5-1.20) локальная ошибка аппроксимации определяется шагом А, а устойчивость зависит от величины Lh, даже если решение (5-1.21) исчезающе мало. Ясно, что такая ситуация неприемлема. В разд. 5-3 будут рассмотрены специальные методы численного решения жестких уравнений.
5-2. Обзор классических методов решения
В этом разделе описываются общеупотребительные классические методы численного решения ОДУ. Заметим, что хотя эти методы и не являются непосредственно полезными для расчета химической кинетики при моделировании реагирующих течений, они обеспечивают основу, необходимую для понимания методов, пригодных для решения жестких уравнений. Кроме того, алгоритмы, описанные здесь, полезны и в других приложениях.
5-2.1. Одношаговые методы
В одношаговом методе значение уп-н в момент времени ^+i вычисляется только по известным величинам A, tn и уп. Используется информация о решении лишь на самом последнем шаге. В двумерных и трехмерных расчетах в каждом узле сетки рассчитывается ограниченное число газодинамических величин, но может вычисляться много химических компонент. Плотность каждой химической компоненты должна быть определена интегрированием и храниться в памяти ЭВМ для каждого узла сетки на каждом слое по времени. Следовательно, для больших расчетов реагирующих течений имеет смысл выбрать одношаговые методы, поскольку они требуют хранения в памяти компьютера минимального количества информации. Если бы была необходимость в хранении дополнительных значений этих переменных для предыдущих шагов по времени, то требования к памяти возросли бы весьма существенно. Даже когда нет ограничений, связанных с памятью ЭВМ, из-за наличия нелокальных и газодинамических изменений в расчете ясно, что экстраполяция величин плотностей компонент была бы ненадежной, если они не обновляются с учетом газодинамических изменений. Таким образом, в основном в больших расчетах реагирующих течений используются одношаговые методы.
Обобщенный одношаговый метод может быть получен из уравнения (5-1.5) и записан в виде
Уп*1 = УпА-к^^п, у„, h\(5-2.
Аппроксимация производной ^ может быть получена как из разложения в ряд Тейлора во крестности tn
y„^ = yn^h ++,(5-2.2)
так и из аппроксимации функции ^ в интегральной формуле
Уп^Уп^г^1^^' y^df- <5"2-3)
В этом случае аппроксимации ^ обычно берутся в полиномиальной или экспоненциальной форме.
Простейшим одношаговым методом является явный метод, полученный с привлечением членов первого порядка в разложении в ряд Тейлора, называемый также явным методом Эйлера*.
Уп^-У^МУ», Уп)-(5-2.4)
Методы, полученные из разложения в ряд Тейлора с учетом членов более высокого порядка, могут быть записаны аналогичным образом, исходя из уравнения (5-2.2). Появляющиеся здесь производные высших порядков обычно находятся путем дифференцирования уравнений (5-1.1) — (5-1.3) в аналитическом виде и подстановкой полученных выражений вместо производных в ряде Тейлора.
Методы Рунге—Кутта являются эффективными, легко программируемыми, одношаговыми методами, которые обычно обеспечивают точность высокого порядка при меньших затратах, чем методы, полученные из разложения в ряд Тейлора. Эти преимущества методов Рунге—Кутта достигаются за счет вычисления функции /(/, у) в более чем одной точке в окрестности (tn, Уп) вместо вычисления высших производных. Функция ^“ при этом выражается как взвешенное среднее первых производных, полученных численно в точках, лежащих в интервале (^, ^+i).
В общем случае /^-этапный метод Рунге—Кутта имеет следующий вид:
/я\
кг = / ( tn + hari yn + h^ brsks г = 1, 2, ..., R, (5-2.5а) \S= 1/
где г обозначает номер этапа, а величина yn-v\ вычисляется по формуле
R
Уп*1 = Уn + h. %crkr.(5-2.56)
r= 1
Коэффициенты {ar}, {^rs}, {с,} являются постоянными, причем
R
2сг=1.(5-2.6)
Имеется также ряд других ограничений на эти коэффициенты. Уравнения (5-2.5) дают явные алгоритмы Рунге—Кутта, когда все к величин, используемых как аргументы в /, вычисляются на предыдущем шаге, т. е. когда brs = 0 для всех s^r. В противном случае уравнения (5-2.5) дают неявные алгоритмы Рунге— Кутта. Многие возможные алгоритмы, вытекающие из уравнений (5-2.5), достаточно детально обсуждаются в работах Гира [33] и Мэя и Нойя [55]. Поскольку большинство ОДУ, описывающих химические реакции, являются жесткими, а явные методы к решению жестких уравнений не применимы, то здесь представлено лишь несколько явных алгоритмов Рунге — Кутта.
В табл. 5-1 приведены четыре алгоритма Рунге—Кутта. Первые два из них имеют второй порядок точности, последние два являются алгоритмами четвертого порядка точности. Первый алгоритм представляет собой явный двухэтапный модифицированный метод Эйлера (/? = 2), где а2= 1/2, &2i = 1/2, «2=1, все другие константы равны нулю. Модифицированный метод Эйлера называют иногда правилом средней точки и модифицированным правилом средней точки. Улучшенный метод Эйлера также представляет собой явный двухэтапный метод, но в данном случае «2=1, &2i = l, ^1 = ^2= 1/2, все остальные константы равны нулю. *
Точность второго порядка получается в методе Эйлера вычислением производной / в центре интервала Цп, tn^\Y В модифицированном методе Эйлера уравнение (5-2.4) используется для вычисления с первым порядком точности нового значения у на полушаге при ^+/г/2. Среднее значение производной является здесь величиной, центрированной на шаге. В улучшенном методе Эйлера берется среднее между старым и новым значениями производной, причем последняя вычисляется с первым порядком точности в конце шага.
Двухэтапный модифицированный метод Эйлера является основой для интегрирования со вторым порядком точности по времени в методе Лакса—Вендрова и в методе с коррекцией потоков переноса (ЕСТ), описанном в гл. 8 и 9. Он используется в этих алгоритмах в силу того, что его легко программировать и он требует только двух вычислений производной на одном шаге по времени. Улучшенный метод Эйлера также обладает этими свойствами, но при этом требует дополнительный объем памяти, так как коэффициент кх используется здесь дважды и, следовательно, на его место в памяти ЭВМ не может быть записано значение коэффициента к^ как это возможно в модифицированном методе Эйлера. В расчетах сложных реагирующих течений с множеством расчетных ячеек быстрота счета появляется вследствие возможности быстрого и эффективного изменения размера шага, а не из-за использования высокого порядка и несколько
Таблица 5-1. Алгоритмы интегрирования Рунге — Кутта
Модифицированный метод Эйлера O(h2)
kt=UU Уп)
/11\
&2=f [ 6г + h, уп +^^i I
Уп+1=Уп+Нк2
Улучшенный метод Эйлера О (К2)
ki = Ktn, уп)
k2=Htn+h, Уп+hki)
Уп-н=Уп+ — ^(^1+^2)
Классический метод Рунге — Кутта O(/i4)
kr=-HU Уп)
^2=f+ ^ ti,yn+ ^^^j
ka=f ^ 6г + ”^~ И, уп+ ~^~ ^2^
^=RtnA-h, yn+hkz)
h
Уп+1=Уп+ ~7~ [&1+2&2+2&3+&4] о
Метод Рунге — Кутта — Гилла O(/i4)
ki—Ktm Уп)
(11 г
^2=f I tn + 2 ^’ y^ 2/
^3 = f ( tn + "Т" h, Уп+ ( — — +/1^1+ fl —
^4 = t ^tn"\-h, Уп— '1/2" ^^2+ ^ + "1/2" ) ^^3)
Упл-\=Угг+ £ ^1+2 ^1 —j^2+2^1 + -у^
большего шага. Когда решение быстро изменяет свой характер, метод, который может быстро скорректировать шаг по времени с минимально возможным числом вычислений производной функции, обычно является предпочтительным.
Наиболее часто используемыми методами Рунге—Кутта являются явные методы четвертого порядка, представленные в табл. 5-1. Последним в этой таблице приведен алгоритм Рунге—г
12—245
Таблица 5-2. Вычислительная схема метода Гилла
Этап 1, заданы (^, уп, q^ h)
31
91 = ^4+ — (Ml—2^4)— —Ml
1
Wi=y„+ — (Mi—2g4)
Этап 2
/1^2=fl ^ + — h, Wi/1/1^2=fl ^ + — h, Wi/1q2=q\+3q2=q\+3(hk2—qi)(hk2—qi)1/21/2
/1
^2=fl ^ + — h, Wi
/1
/1
^2=fl ^ + — h, Wi
/1
q2=q\+3
q2=q\+3
(hk2—qi)
(hk2—qi)
1
/2
1
/2
W2=Wx+ ( 1
Этап 3
/1
&3=f I tn + — h, w2
^з—^г+З! 1 +^з—^г+З! 1 +/2/2зз
^з—^г+З! 1 +
^з—^г+З! 1 +
/2
/2
з
з
^3=^2+1 +
^4 = f(^+^ ^з) 1^4 = f(^+^ ^з) 1Этап 4
^4 = f(^+^ ^з) 1
^4 = f(^+^ ^з) 1
^4 = ^з+ — №—2^3) — —^4
</л+1 = ^з+ т (hk^q^
Кутта—Гилла [36, 55], который мы считаем особенно полезным. Вычислительная схема алгоритма Рунге—Кутта—Гилла дана в табл. 5-2. В этом методе используется один дополнительный вектор q, который вычисляется вместе с зависимыми переменными у. Этот вектор, контролирующий ошибки, первоначально равен нулю, но затем меняется от шага к шагу, отражая накопление ошибки в вычислениях.
В неявных методах Рунге—Кутта по крайней мере один из коэффициентов brs отличен от нуля при s^r, так что по крайней мере одна из величин кг должна быть найдена неявно. Эти не-
явные методы Рунге—Кутта требуют итерационных процедур, но являются чрезвычайно точными и устойчивыми. Они применимы также и к жестким ОДУ, что обсуждается в следующем разделе.
5-2^2. Линейные многошаговые методы
В общем случае линейный многошаговый метод с к шагами может быть записан в следующем виде:
Уп+к = кМп*к + 2 м—a^jY(5-2.7)
/ = 0
Обычно для вычисления уп-н нам необходимо знать набор величин на предыдущих шагах
(^п, y»Y Vn-i, Уп-iY • • •.(5-2.8)
вычисленных в точках, расположенных на расстоянии h друг от друга. Таким образом, должны храниться в памяти ЭВМ результаты на нескольких предыдущих шагах. Методы Адамса, явные методы Адамса—Бэшфорта, неявные методы Адамса— Мултона—все они являются линейными многошаговыми методами. Примеры этих методов вплоть до к = 4 приведеныв табл. 5-3,
Таблица 5-3. Методы Адамса
Метод Адамса — Бэшфорта (явный) ynA-‘V = Un"VM^
Уп + 2 = Уп+1 + —^' (3/л+1—/л) h
Уп + 3 = УпЛ-2+ ~^~ (23^+2—16/л-н4"5М h ,
yn-Y4 = yn+3"V" " 2^ (35fn+3 59/^4-24-37/^4-1—9fn)
Метод Адамса — Мултона (неявный)
Уп+1=Уп+ "^ (Ьл-гИп)
Уп+2 = Уп+1+ ~^~ (fn+l+Sfn+l—fn)
Уп+з=Уп+2+ ~^~ (9/п+з4-19/4+2—5fn-n4-fn)
УпЛ-4 = Уп+з+ у20 (251fn + 44-546fn+3—264f„+2-106f„+1-19f„)
Метод Адамса — Бэшфорта при ^=1 является тем же самым, что и метод Эйлера первого порядка. Метод Адамса—Мултона при ^=1 называется методом трапеций, так как он представляет собой квадратурную формулу трапеций. Эти методы являются методами типа предиктор-корректор, поскольку они используют метод меньшего порядка для получения предварительных результатов до тех пор, пока не будет сделано достаточного количества шагов по времени, чтобы выполнить полную многошаговую процедуру.
На практике методы типа предиктор-корректор успешно конкурируют с методами Рунге—Кутта. При одинаковых вычислительных затратах методы типа предиктор-корректор можно обычно сделать более точными, но методы Рунге—Кутта в общем требуют меньших объемов памяти и являются самостартующи- ми, так как им необходимо для начала интегрирования лишь данных с одного временного слоя. Методы типа предиктор-корректор часто используют одношаговый метод для накопления достаточного количества значений в предыдущие моменты времени, чтобы провести интегрирование на рассчитываемом шаге. В методах Рунге — Кутта легко изменить размер шага. Эти методы предпочтительны для расчетов с низкими требованиями к точности, когда вычисление производных не является дорогостоящей операцией.
Линейные многошаговые методы обычно не применяются для решения ОДУ, представляющих собой составную часть больших задач о реагирующем течении. Это связано с тем, что они требуют хранения значений у на более чем одном из предыдущих шагов по времени, которые должны были бы обновляться из-за других процессов. Если же используется расщепление на шаге по времени при комбинировании решений, связанных с различными физическими процессами, а также если химические процессы должны рассчитываться несколько раз на шаге по времени, принятом для расчета газодинамического или диффузионного процессов, и, наконец, если ОДУ не являются жесткими, то многошаговые методы можно применять.
5-2.3. Методы экстраполяции
В этих методах уравнения интегрируются несколько раз с помощью метода более низкого порядка, а затем более точное решение более высокого порядка находится экстраполяцией до предельного нулевого шага по времени приближенных решений, уточняемых при дроблении шага. Весь интервал Н делится сначала на No интервалов размера Но, затем на Ni интервалов размера Н\, далее на ^2 интервалов размера Н^ и так далее.
В методе Эйлера—Ромберга решение уравнения (5-1.2) по-
Таблица 5-4. Коэффициенты Эйлера — Ромберга
Номер итерации
Размер шага
ho
Го0
1
йо/2
Уо1
У1°
2
йо/22
Го2
У1
у2°
3
йо/23
Уо3
У12
У21 Уз°
лучается с помощью следующей итерационной процедуры. Метод Эйлера применяется повторно, но каждое интегрирование на том же самом интервале производится в два раза чаще с шагом по времени, равным половине шага, используемого при предыдущем интегрировании. Затем проводится экстраполяция до к = 0 с использованием результатов интегрирования возрастающей точности, проведенных с уменьшающимся размером шага к. Метод Эйлера—Ромберга является самостартующим и по эффективности и точности конкурирует с лучшими методами типа предиктор-корректор. Выбор размера шага здесь достаточно произвольный, так как в этом методе размер шага последовательно уменьшается вдвое до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность на каждом шаге.
При заданном размере шага ко и заданных (^ Уп) в методе приближенно вычисляется yn-v\ и создается таблица величин, показанная в табл. 5-4. Процедура начинается с вычисления начального приближения для yn-v\ (обозначенного Уо° в табл. 5-4) с помощью метода Эйлера, используя полный размер шага ко. Затем, уменьшая ко вдвое и проводя два шага интегрирования до достижения ко, получают значение Уо1.
nwnw(5-2.9)(5-2.9)Интерполяционная часть процедуры основана на формуле линейной интерполяции
nw
nw
(5-2.9)
(5-2.9)
hfc hk + m
Здесь принято линейное по /г выражение, так как метод Эйлера является методом лишь первого порядка точности. Можно было бы использовать квадратичную формулу интерполяции с четными степенями h, если бы лежащий в основе метод был методом второго порядка. Наилучшее приближенное численное решение находится по этой формуле экстраполяцией до /г=0, что дает
П =(5-2.Ю)
После того как с использованием метода Эйлера с шагом Ло/2* вычислено Уо*, выражение (5-2.10) используется для опре-
деления величин, заполняющих каждую строку табл. 5-4. Интегрирование и определение величин Утй продолжаются до тех пор, пока экстраполированное решение не сойдется согласно критерию
(5-2.11)
где е — заданная малая величина. Детальное описание вычислительной процедуры дано Мак-Калла [53]. Использование подобной процедуры с методом более высокого порядка, чем метод Эйлера, позволяет получить экстраполированное решение, которое сходится намного быстрее.
Методы экстраполяции оптимальны, когда вычисление производной функции является относительно дорогостоящим делом, а также когда шаг по времени при заданной точности изменяется значительно в процессе вычисления, уравнения не являются жесткими или когда требуется высокая точность. Эти методы часто основываются на анализе Невилла [57], который был развит Грэггом [38]. Одним из обобщений метода полиномиальной экстраполяции, описанного выше, является метод экстраполяции рациональными функциями [11, 12], который соответствует экстраполяции до й = 0 с использованием рациональных функций от полиномов. Классические методы экстраполяции работают недостаточно хорошо для жестких уравнений, за исключением последнего обобщения для жестких уравнений, который предложил Дьюфлхард [26].
5-2.4. Методы интегрирования «чехарда»
Алгоритм «чехарда» представляет собой явный метод интегрирования второго порядка. Он также обратим во времени; это свойство особенно полезно при интегрировании систем ОДУ, обладающих подобной обратимостью. В основном этот метод используется для динамических систем, представленных взаимосвязанными дифференциальными уравнениями первого порядка, а не для систем химической кинетики. Поскольку уравнения, описывающие колебания и волны, обратимы по времени, алгоритм «чехарда» позволяет точно отразить это физическое свойство. Волны распространяются без роста или затухания. Хотя фазовые ошибки и могут присутствовать, амплитуда каждой гармоники решения остается единичной на протяжении всего процесса интегрирования методом «чехарда».
В методе «чехарда» используются центрированные производные по времени, что гарантирует по крайней мере точность второго порядка. Обратимость достигается за счет применения сдвинутых на полшага сеток при дискретизации динамических переменных по времени. Вычислительную процедуру иллюстрирует диаграмма, представляющая собой линию времени (см. рис. 5-3).
У^Уг
Uh —•+•h
Уп *htn*i/i - Уп*\
А Гл
Ул-1/2 ^hFn - ^л + 1/2
Уп^/г
(5-2.14)(5-2.15)(5-2.14)(5-2.15)Yn+i/2 — ^п-ш + ЙЕ ( у„,Yn+i/2 — ^п-ш + ЙЕ ( у„,^Л-1/2 +^П + 1/2^Л-1/2 +^П + 1/2Yn+i^Yn + Af (Yn+1/2,Yn+i^Yn + Af (Yn+1/2,Уп + Уп + 12Уп + Уп + 12, ^n+i/2^*(5-2.17), ^n+i/2^*(5-2.17)
(5-2.14)
(5-2.15)
(5-2.14)
(5-2.15)
Yn+i/2 — ^п-ш + ЙЕ ( у„,
Yn+i/2 — ^п-ш + ЙЕ ( у„,
^Л-1/2 +^П + 1/2
^Л-1/2 +^П + 1/2
Yn+i^Yn + Af (Yn+1/2,
Yn+i^Yn + Af (Yn+1/2,
Уп + Уп + 12
Уп + Уп + 12
, ^n+i/2^*(5-2.17)
, ^n+i/2^*(5-2.17)
Рис. 5-3. Диаграмма на оси времени, иллюстрирующая метод интегрирования «Чехарда» на смещенной сетке.
Здесь изображены два набора переменных уп и Yn+i/2. На рисунке вертикальные отметки сверху линии времени указывают дискретные времена tn-\, tn, tn-v\, ..., в которых определяется вектор ^п. Вектор Ул+1/2 определяется в моменты, указанные отметками снизу оси времени. Дискретизация Y проводится в узлах, сдвинутых по времени на половину шага й/2 относительно узлов, используемых при дискретизации у.
Пусть надо проинтегрировать систему уравнений
(5-2.12)
(5-2.13)
Так как производная от уп зависит от переменной Yn+i/2, а производная от Yn+i/2 зависит от ^п, то центрированную производную для каждой из переменных всегда можно вычислить явно, используя только что обновленные величины для другого набора переменных. Для уравнений (5-2.12) и (5-2.13) алгоритм «чехарда» второго порядка имеет вид
Yn+i/2— Yn_lz/2 ЙЕ (у„, tn\Уи+1= Уп + Й1 (Yn+1/2, 61+1/2),
где ^+1/2 = ^+й/2. Поскольку данный алгоритм обратим, оба этих уравнения могут быть одинаково хорошо решены относительно Уп и затем относительно Yn-1/2 при пошаговой реализации алгоритма в обратном порядке. Тогда при интегрировании в обратном направлении можно возвратиться к своим начальным условиям.
Алгоритмы типа «чехарда» можно обобщить для учета неявной зависимости переменных:
Форма записи уравнений (5-2.16) и (5-2.17) подобна форме модифицированного метода Эйлера в том, что производные функций вычисляются в центре шага, используя усредненные зави-
симые переменные. Если неявная зависимость от Yn+i/2 и уп-н в уравнениях может быть обращена аналитически, алгоритм будет обратимым. Если неявные уравнения должны итерироваться, то присущая алгоритму обратимость теряется до тех пор, пока итерации не сойдутся полностью.
Альтернативная форма неявного алгоритма, основанная на улучшенном методе Эйлера, может быть более простой при обращении
¥„+1/2-|Р(у„, Y„+1/2, U = Yn-1/2 + 4F(y„, Yn-i/2, Q, (5-2.18)
Уп+i ^(Yn+i^, Уи + ii ^п+ 1/2) = У« + ^ ^ (^ п +1/2» Уrn ^/1+1/2)-
(5-2.19)
Возможны также обратимые обобщения этого метода на более высокий порядок. Методы «чехарда», как и все описанные до сих пор классические методы, не подходят для решения жестких уравнений. Неявные алгоритмы «чехарда» могут быть при известных обстоятельствах применимы для решения жестких уравнений, но на сегодняшний день это не сделано. Важным свойством неявного алгоритма «чехарда» является то, что он более устойчивый, чем явный алгоритм «чехарда».
Одной из основных областей применимости алгоритма «чехарда» являются расчеты орбит и динамики частиц, где вектора положения х=у зависят от скоростей v=Y, а скорости зависят от силы, которая является функцией только мгновенных положений частиц. Эта область применения была описана Хокни [45]. Примеры применения алгоритмов «чехарда» в расчетах как классической динамики частиц, так и в полуклассических квантовомеханических расчетах дана в работе Пейджа и др. [58]. Неявные обобщения алгоритма «чехарда» полезны при расчетах динамики орбит, когда в выражении для силы существует зависимость от скорости, как это имеет место при учете релятивистских поправок и магнитных полей [7, 13].
5-3. Некоторые подходы к решению жестких уравнений
Жесткость в обыкновенных дифференциальных уравнениях связана с основной вычислительной проблемой — наличием широкого диапазона временных масштабов, влияющих на динамику системы. Система является математически жесткой, когда матрица Якоби имеет собственные значения, величины которых различаются во много раз (см. уравнение (5-1.18)). Это означает, что по крайней мере два независимых однородных решения изменяются во времени с сильно несоизмеримыми скоростями.
Допустим, например, что имеется различие на четыре порядка по величине между наибольшим и наименьшим собственными значениями. Если поведение более быстро изменяющейся моды может быть разрешено, скажем, за десять шагов на протяжении характерного времени, то потребуется 105 шагов для интегрирования на протяжении характерного времени более медленной моды. .
Рассмотрим задачи, в которых наибольшие собственные значения соответствуют быстро релаксирующим модам, так что их действительный вклад в эволюцию составного решения пренебрежимо мал. В таких задачах может случиться так, что шаг по времени должен быть очень мал при удовлетворении условий устойчивости для этих мод. Хотя этот случай является математически жестким, в методе интегрирования можно было бы брать большой шаг по времени, если бы высокочастотные моды рассчитывались устойчиво. Когда мы используем такой алгоритм, математически жесткая задача не будет практически жесткой. Нет необходимости разрешать высокочастотные моды, так как важны только их осредненные эффекты. Жесткие задачи, встречающиеся в физике и в реагирующих течениях, бывают обычно именно такого типа.
В некоторых случаях большие собственные значения матрицы Якоби оказываются положительными, так что высокочастотные моды возрастают, а не затухают. Эти физически неустойчивые ситуации приводят к изменениям на малых временных масштабах, которые должны быть аккуратно разрешены для определения составного решения. Такие задачи являются жесткими как математически, так и практически. К счастью, наиболее жесткие моды обычно не являются возрастающими. Когда же они являются возрастающими, эти сильно неустойчивые состояния быстро насыщаются и их рост стабилизируется.
По мере того как система нелинейных ОДУ эволюционирует, ее матрица Якоби также изменяется. Это приводит к изменяющимся характеристикам жесткости в системе по мере того, как быстрые неустойчивые неустановившиеся режимы затухают. Как только период быстрого роста завершается, наиболее жесткие моды проявляются как демпфирующие решения в окрестности нового, или квазистатического равновесия. Исключение имеет место, когда высокочастотные колебания присутствуют в течение длительного времени. Тогда составное решение быстро меняется почти всюду и почти все время. В этих случаях жесткие моды являются существенно незатухающими и их собственные значения имеют нулевую действительную часть.
Задачи с жесткими уравнениями вынуждают нас искать методы, которые не ограничивают размер шага по соображениям устойчивости и могут приемлемым образом учитывать сущест-
венно разные масштабы. Эта необходимость в надежном решении жестких уравнений привела к развитию неклассических методов для повышения точности расчетов, которые преодолевают препятствия, обусловленные требованиями устойчивости.
Кертис и Гиршфельдер [22] предложили специальные многошаговые схемы, которые дают приемлемое решение жестких ОДУ. У этих методов нет серьезного ограничения на размер шага, налагаемого требованием устойчивости и присущего более традиционным многошаговым методам и методам Рунге— Кутта. Далквист [23] предложил правило трапеций и экстраполяцию в качестве приемлемого метода интегрирования жестких уравнений. Обзорные работы по методам решения жестких уравнений опубликовали Купер [17], Бьюрел и др. [6], Зайнфельд и др. [63], Джелинас [34], Энрайт и Халл [29] и в самое последнее время — Мэй и Ной [55], Бьюи и др. [10]. Радхакришнан [61] недавно провел сравнение ряда таких методов.
5-3.1. Устойчивость и жесткие ОДУ
При численном решении системы уравнений размер шага следует выбирать в соответствии с двумя критериями:
Неустойчивые моды с ^(Х/)>0, если они дают существенный вклад в составное решение, должны быть представлены точно вне зависимости от присущих им временных масштабов.
Величины hX^ для всех /, для которых ^(Х/)<0, должны быть внутри области абсолютной расчетной устойчивости.
Если второе условие определяет размер шага К, то система является жесткой. Ниже мы обсудим некоторые аспекты устойчивости для жестких систем уравнений. Это важно, поскольку смягченные условия устойчивости могут позволить получить решение с лучшей точностью, особенно когда присутствуют растущие моды.
Неявный метод, например неявный метод Эйлера
Уп+1 = Уп + Л/(«/»+ь ^+1).(5-3.1)
если применить его к тестовой задаче вида
^ = W),(5-3.2)
может быть устойчивым с множителем возрастания ошибки, сделанной на одном шаге (1—hXVx- Если 52 (X) меньше нуля, то множитель возрастания ошибки будет меньше единицы. Эта задача является примером A-устойчивости, определение которой дал Далквист [23]. Численный метод является Д-устойчивым, если при применении к уравнению (5-3.2) при комплексном X с отрицательной действительной частью ошибка, обусловленная
Рис. 5-4. Области абсолютной устойчивости в плоскости (/i, X) для различных алгоритмов: а — Л-устойчивых; б — жестко устойчивых; в — Л (а)-устойчивых; а — Ло-устойчивых алгоритмов.Рис. 5-4. Области абсолютной устойчивости в плоскости (/i, X) для различных алгоритмов: а — Л-устойчивых; б — жестко устойчивых; в — Л (а)-устойчивых; а — Ло-устойчивых алгоритмов.гг
Рис. 5-4. Области абсолютной устойчивости в плоскости (/i, X) для различных алгоритмов: а — Л-устойчивых; б — жестко устойчивых; в — Л (а)-устойчивых; а — Ло-устойчивых алгоритмов.
Рис. 5-4. Области абсолютной устойчивости в плоскости (/i, X) для различных алгоритмов: а — Л-устойчивых; б — жестко устойчивых; в — Л (а)-устойчивых; а — Ло-устойчивых алгоритмов.
г
г
численной аппроксимацией, стремится к нулю при стремлении числа шагов по времени к бесконечности.
Это означает, что все физически затухающие моды также затухают численно, но не обязательно с точным значением скорости. Хотя при этом численное решение (для данной моды) может быть на порядки величины больше, чем физическое решение, ошибка будет стремиться к нулю, поскольку численное решение затухает до нуля. Условие Л-устойчивости ничего не говорит о точности определения растущих физических мод. При Л-устойчивости величины ИХ могут попадать в любое место отрицательной полуплоскости ИХ, т. е. в заштрихованную область, показанную на рис. 5-4, а. В этом случае и в случаях, когда все ^(Х/) меньше нуля, любые величины /г>0 лежат внутри области абсолютной устойчивости.
Поскольку Л-устойчивость является таким серьезным требованием, то трудно найти Л-устойчивые методы. Видлунд [72] предложил более слабый критерий устойчивости — А ^а-Уустойчивость. Метод является Л (а)-устойчивым, где а находится в диапазоне (0, л/2), если все численные решения уравнения dyldt=\y сходятся к нулю при стремлении числа шагов по времени с фиксированным К к бесконечности для всех | arg (—X) | < <сс, |А,|^0. Это означает, что область абсолютной устойчивости представляет собой клин, или для системы ОДУ — ряд клиньев в отрицательной полуплоскости НХ. Для иллюстрации этого на рис. 5-4, б изображены заштрихованные области.
Далквист [23] показал, что Л-устойчивый многошаговый метод не может быть выше второго порядка точности. Метод трапеций и неявный метод Эйлера, упомянутые выше, являются примерами Л-устойчивых методов. Для жестких ОДУ метод трапеций имеет то преимущество, что он строго Л-устойчив, но поскольку он имеет только второй порядок точности, то требует достаточно малых размеров шагов. Гир [33] дал сводку для классов методов, являющихся Л-устойчивыми. Они включают /^-этапные неявные методы Рунге—Кутта порядка 2R [28] и неявные методы, основанные на разложениях в ряд Тейлора. При наименьшем порядке эти методы сводятся к методу трапеций и неявному методу средней точки, описанному ниже.
Метод является жестко устойчивым [32], если он абсолютно устойчив к области /?1 комплексной плоскости ИХ при ^?(Х)^—а и точен в области /?2 при —a^^^hX) <.Ь, —cClm^hX) ^с, где Im обозначает мнимую часть, а, Ь, и с — положительные константы. Это положение отражено в виде заштрихованной области на рис. 5-4, б. Данный критерий является более ограничивающим, чем критерий Л (сс)-устойчивости. Гир показал, что существуют ^-шаговые методы порядка &, которые являются жестко устойчивыми при ^^6. Эти методы используются в тех частях пакета программ Гира для численного решения ОДУ, где применяются формулы дифференцирования назад.
Наиболее смягченным критерием устойчивости является критерий Ао-устойчивости [19], который применяется в случаях, когда область абсолютной устойчивости представляет собой всю отрицательную часть действительной оси. На рис. 5-4 показаны области устойчивости для рассмотренных четырех критериев: Л-устойчивости, жесткой устойчивости, Л (а)-устойчивости и Ло-устойчивости, которые перечислены здесь в порядке смягчения накладываемого ограничения. Нетрудно найти методы с менее ограничивающими критериями устойчивости, хотя они в общем требуют меньших размеров шага по времени.
5-3.2. Неявные методы для жестких ОДУ
Неявный многошаговый метод для жестких уравнений отличается от методов для нежестких уравнений. Рассмотрим линейный многошаговый метод, описанный системой уравнений типа уравнений (5-2.7) и представленный в виде
yn+A = W ^n+k^ У„+») + В*-1,(5-3.3)
где величина B^-i известна на ^-м шаге метода
Bji-i= 2 (W.+/, У„+/)—а/У»+А (5-3.4) /=0
Когда уравнения не являются жесткими, можно применять прямую итерацию
УЖ^^лН^^ У^) + В^$,(5-3.5)
где т— номер итерации. Вычисляем В^-ь задаем начальное приближенное значение y°n+& и далее вычисляем последовательные значения ^п^ь т. е. у^, У^» • • • Д° сходимости итераций.
Такой прямой подход не работает для жестких уравнений, которые для сходимости требуют, чтобы й<1/| Av I Р&- Поскольку якобиан
lA/l-J-^-^maxIM<5"3-6>
в. этом случае будет очень большим, то и шаг должен бы быть очень маленьким. Проблему жесткости следует решать, используя метод Ньютона для решения уравнения (5-3.3). При решении методом Ньютона уравнения
F(y) = O,(5-3.7)
имеем
y(/»+i) = yto)_F(y<'”>).j-i(y('”>)( m = 0, 1 (5-3.8)
Отсюда получаем матричное уравнение
УЖ1’ = уж - №-^ ttn+k, У^)] X
X [1-й₽й-|-(/п+ъ у^)]"1, m = 0, 1, 2, ...,(5-3.9)
где 1 — единичная матрица. Итерационный процесс требует хорошего начального приближения у^ . В общем уравнение (5-3.9) решается в таком виде, когда оно умножается на матрицу I—h^k-- в правой части, поскольку в этом случае можно восполь-
зоваться преимуществом, предоставляемым разреженностью матрицы Якоби при нахождении решения.
5-3.3. Методы для решения жестких уравнений
Теперь перейдем к изложению ряда более часто используемых алгоритмов для решения жестких ОДУ. Другие методы рассматриваются в обзорной статье Мэя и Ноя [55].
Методы, в которых используются формулы дифференцирования назад
Эти методы наиболее часто применяются для решения жестких уравнений и детально описаны Гиром [33]. Они представляют собой линейные многошаговые методы, записанные в виде уравнения (5-2.7) при Р/ = 0:
^-1
Уп+к = ^kf n-v-k S ^jUn-vj»(5-3.10)
/=0
где ссо^О и Р^^О и порядок метода равен числу шагов к. Для порядков от первого по шестой эти методы являются жестко устойчивыми. Здесь методом первого порядка является обратный метод Эйлера. Этот метод, так же, как и методы второго и третьего порядков, абсолютно устойчив в правой полуплоскости вблизи начала координат. Методы более высокого порядка не являюся абсолютно устойчивыми в области левой полуплоскости вблизи мнимой оси и могут давать плохие результаты для системы, обладающей собственным значением, лежащим вблизи мнимой оси. В таком случае они или приводят к затуханию решения, которое должно возрастать по величине, или позволяют решению расти, в то время как оно должно затухать. В табл. 5-5 приведены величины коэффициентов в этих формулах. Гир [33] использовал эти формулы в программе DIFSUB, которая обсуждается в разд. 5-4.
Таблица 5-5. Значения коэффициентов, используемых в методе дифференцирования назад
к
Ра°”
1
2 3
4
5
6
1—11
2/31/3—4/31
6/11—2/119/11—18/111
12/253/25 —16/2536/25 —48/251
60/137 —12/13775/137 —200/137 300/137—300/1371
600/14710/147 —72/147225/147—400/147 450/147—360/147 1
Экспоненциальные методы
Неявные методы для жестких уравнений (см., например, работу [55]) могут быть получены методом интерполирующей кривой [49]. В этом методе выбирается форма интерполирующей функции со свободными параметрами, которые определяются требованием, чтобы интерполирующая кривая удовлетворяла некоторым условиям, накладываемым на приближенное решение и его производные. Например, при интерполяции по времени можно выбрать двухпараметрическую полиномиальную функцию вида
I (/) = А + В1(5-3.11)
и потребовать, чтобы /(/) удовлетворяло следующим ограничениям:
Ц^ = Уп,Ц^ = у„+1(5-3.12)
на интервале [О, НА = [^, ^+iL Это дает метод Эйлера
Уп*1 = Уп + М».(5-3.13)
Другие ограничения и другие формы интерполирующих функций приводят к другим рассмотренным ранее явным и неявным методам.
Кенешиа [46] предложил использовать экспоненциальные функции для аппроксимации решения в режиме равновесия жестких ОДУ, описывающих химическую кинетику. В дальнейшем Линигер и Уиллоугби [52], Брендон [9], Бебкок и др. [1], Пратт и Радхакришнан [59] распространили подход подгонки кривой, рассматривая экспоненциальные интерполирующие функции. Этот подход основан на идее о том, что точные решения жестких линейных ОДУ ведут себя подобно затухающим экспоненциальным функциям. Поскольку экспонента плохо аппроксимируется полиномами, когда размер шага больше, чем характерная длина затухания, использование экспоненциальных аппроксимаций должно позволить получение численного решения с существенно большими шагами по времени. Например, рассмотрим трехпараметрическую экспоненциальную интерполирующую формулу
/(^) = Д+Ве2<,(5-3.14)
где должны быть определены А, В и Z. Условия (5-3.12) определяют А и В через Z
А = уп—^, В = К,(5-3.15)
что дает
У п+1" Уп^г ^f п^ ^ j.(5-3.16)?
Существует ряд способов выбора параметра Z:
2=Гп/и2=Гп/и 1 / fn I fn+1 А2 \ fnfn + 1 / 1 / fn I fn+1 А2 \ fnfn + 1 /явный способ;явный способ;неявный способ;неявный способ,явный способ;явный способ;неявный способ;неявный способ,(5-3.17)(5-3.17)
2=Гп/и
2=Гп/и
1 / fn I fn+1 А
2 \ fnfn + 1 /
1 / fn I fn+1 А
2 \ fnfn + 1 /
явный способ;
явный способ;
неявный способ;
неявный способ,
явный способ;
явный способ;
неявный способ;
неявный способ,
(5-3.17)
(5-3.17)
где f'=d2y!dt2.
Другим полезным подходом для неявного решения уравнений является экспоненциальная интерполяция в методе трапеций [1, 9]
y„+i = t/„ + W»+i + (l-0)M.(5-3.18)
где 9 — параметр неявности, записываемый через Z:
Zh + 1 —exp (Z/i) ’Zh + 1 —exp (Z/i) ’(5-3.19)(5-3.19)
Zh + 1 —exp (Z/i) ’
Zh + 1 —exp (Z/i) ’
(5-3.19)
(5-3.19)
Метод трапеций с экпоненциальной интерполирующей функцией является Д-устойчивым. Он также эквивалентен методу с полиномиальной интерполяцией по крайней мере второго порядка и максимально до шестого—восьмого порядка. Тестовые расчеты, проведенные Радхакришнаном [61], показали, что экспоненциальные методы для жестких ОДУ могут быть по крайней мере сравнимы по скорости и точности с методами, использующими формулы дифференцирования назад.
Асимптотические методы
В гл. 4 был изложен асимптотический метод, примененный к одному ОДУ. Оказывается, что такие методы имеют определенное преимущество по сравнению с явными и даже неявными методами из-за большей точности на больших шагах по времени. Такой подход для решения жестких ОДУ был развит Янгом и Борисом [73] и Янгом [74], чьи методы исходят из асимптотического разложения второго порядка. Чтобы понять этот подход, перепишем уравнение (2-2.22) в виде
5 = <2(/)-yWT-1W = /(y, tY (5-3.20)
Здесь величина т(0, являющаяся обратной величиной по отношению к скорости убывания компоненты L^, представляет собой время релаксации, показывающее, как быстро переменная у достигает равновесного состояния. Для простоты здесь опущен нижний индекс I у величины у или, что эквивалентно, векторное обозначение, указывающее на то, что рассматривается система
уравнений. Соображения, приведенные ниже, применимы равным образом к связанной системе уравнений, представляющей многие реагирующие компоненты.
При асимптотическом подходе жесткие уравнения, характеризующиеся достаточно малой величиной т, представляют в виде
Уп+i Уп _ Qzi+i + Q п Уп+г^Уп(5-3 2 П
h2тп+1+т„*' * 7
Вычислительная проблема здесь состоит в том, что Qn+i и t^+i также являются неявными функциями yn-v\. Формальное решение уравнения (5-3.21) для уп-н имеет вид
Уп (т«+14-тп —Л) + т($«+1+$п) (т«+1 + тп) ^+i =-хтт•(5-3.22)
тп+1 + т„ + /1v 7
Это выражение используется в качестве корректора, а выражение
„ ^о(2то—/i) + 2/iQ0t0/г п оо\
= (b-d.2d)
используется в качестве предиктора.
Этот метод дает наилучшие результаты, когда решение изменяется медленно, причем быстро релаксирующие моды находятся близко к своему асимптотическому состоянию, но временные константы являются недопустимо малыми. Это имеет место, когда величины Q и у/т велики, но приблизительно равны. Данный метод жестко устойчивый и стремится демпфировать малые осцилляции, вызываемые очень малыми временными константами. Одна из проблем асимптотического метода состоит в том, что он не обязательно сохраняет у. Так как консервативность не может быть гарантирована всюду, ее выполнение становится удобной проверкой на точность. Были разработаны различные подходы, гарантирующие консервативность, но они, в общем, не вполне удовлетворительные. В случае, когда важно точное выполнение условия консервативности, этот метод не следует применять.
Асимптотические методы очень быстрые и умеренно точные. Их главными преимуществами является то, что: 1) они не требуют вычисления или использования матрицы Якоби или любых матричных операций; 2) они являются самостартующими, требуя только начальных значений на одном шаге по времени; 3) они могут применяться совместно с легко реализуемыми методиками оценки размера шага и 4) для уравнений, которые не являются жесткими, их можно комбинировать с простым явным алгоритмом такими способами, которые позволяют параллельную обработку уравнений. Эти свойства делают асимптотические методы удобными для комбинации с алгоритмами расчета процессов 13—245
конвекции и диффузии. Такой подход реализован в обсуждаемой ниже программе CHEMEQ.
Неявные методы экстраполяции
Поскольку явные методы экстраполяции решают жесткие ОДУ не намного лучше, чем другие явные методы, были развиты неявные методы экстраполяции. Простейшим из них является неявный или «обратный» метод Эйлера, представленный уравнением (5-3.1) и записанный здесь в векторном виде
Уп+1 = Уп + М(уп+1).(5-3.24)
Так как эта формула неявная, то требуется итерационное численное решение системы алгебраических уравнений. Для жестких уравнений мы проводим итерации по методу Ньютона в такой форме:
(5-3.25)(5-3.25)(I — AJ).у^:п = Уп + М (У^), m = 0, 1, .. ■,f (У)=* (у)—J У,
(5-3.25)
(5-3.25)
причем J вычисляется при {у} = {у4- Этот метод устойчив во всей левой полуплоскости, что желательно, но он также устойчив и в правой полуплоскости, т. е. обладает свойством сверхустойчивости. Последнее означает, что возрастающие аналитические решения могут быть аппроксимированы убывающими численными решениями.
Другие основные алгоритмы для неявных методов экстраполяции включают неявный метод трапеции:
yn+i=yn + 4[f(yn) + f(yn+i)J(5-3.26)
и неявное правило средней точки [23, 24, 51]:
(5-3.27)
Эти методы имеют асимптотическое разложение и оба являются Л (сс)-устойчивыми. Однако ни один из неявных методов экстраполяции не может успешно конкурировать с методами, которые используют формулы дифференцирования назад.
Бейдер и Дьюфлхард [2] предложили другой экстраполяционный подход, использующий полунеявное правило средней точки. Чтобы обеспечить приемлемое применение метода экстраполяции к жестким ОДУ, они скомбинировали его с алгоритмами контроля порядка и размера шага. Термин «полунеявный» в этом контексте означает, что здесь используется только одна итерация по Ньютону на каждом шаге по времени. Этот подход реализован в программе LARKIN, описываемой ниже. В общем данные методы представляются многообещающими, но пока не подходят для решения ОДУ, встречающихся при расчете реагирующих течений.
5-3.4. Некоторые важные проблемы
В последнее время были приложены значительные усилия в развитии методов численного решения жестких ОДУ. Эти усилия стимулируются рядом применений, особенно к решению задач химической кинетики, которые нас здесь интересуют. Несколько важных вопросов возникло при разработке эффективных точных алгоритмов.
Первый важный вопрос, связанный с управлением размером шага, привел к созданию многих методик для оценки размера шага. Управление размером шага является решающим моментом во всех методах, за исключением тех, в которых используются шаги постоянного размера или шаги, которые являются фиксированными долями шагов, использованных на предыдущем участке расчета. В идеале следует брать наибольший размер шага, соответствующий требуемой точности. Для нежестких уравнений это не слишком трудная задача. Однако для жестких уравнений, если не используются неявные или асимптотические методы, требуемый размер шага может быть так мал, что доминирующее влияние на результаты расчета окажет ошибка округления.
Даже когда метод, применяемый для решения системы жестких уравнений, является Л-устойчивым, результаты расчета могут иметь большие ошибки, если размер шага велик, так как при этом точность расчета градиентов может быть мала. Одно из преимуществ использования менее устойчивого метода (например, такого, который жестко устойчив) состоит в том, что он может быть неустойчивым для большого размера шага, тем самым предупреждая, что размер шага слишком велик для получения хорошей точности.
Второй вопрос связан с расчетом матрицы Якоби. Решение большого матричного уравнения является дорогостоящей процедурой, так как обращение матрицы требует около М3 операций, где М— размер матрицы. Ключевым моментом в получении эффективного алгоритма является экономия машинного времени за счет максимально длительного использования ранее вычисленной матрицы Якоби. Перевычисление якобиана является дорогостоящей операцией; плохая скорость сходимости является сигналом для необходимого перевычисления якобиана и декомпозиции полученной новой матрицы.
Третий вопрос касается необходимой точности решения. Для задач о реагирующем течении, где химическая кинетика связана с газодинамикой, численное решение почти никогда не выходит на равновесный режим, если уравнения столь жесткие, что ошибки округления превышают точность вычисления малых разностей. Неизбежные флуктуации температуры и давления приводят к небольшим отклонениям от равновесия, что, вообще 13е
говоря, позволяет использовать менее дорогостоящие методы. Вопрос об алгоритмах для совместного расчета задач газовой динамики и химической кинетики обсуждается в гл. 13.
5-4. Пакеты интегрирования
Многие из классических методов, описанных в разд. 5-2, обеспечивают консервативность при расчете зависимых переменных в пределах численных ошибок округления, но эти алгоритмы в общем не подходят для решения жестких уравнений. Большинство алгоритмов, обсуждавшихся в разд. 5-3 и предназначенных для интегрирования жестких уравнений, являются неявными, и решение с их помощью может оказаться дорогостоящим. Затраты при использовании метода в общем варьируют в соответствии со сложностью системы уравнений. Если предстоит обращение полного якобиана, то затраты при использовании метода пропорциональны М3 (где М— размерность вектора у), в противном же случае затраты пропорциональны М или М2.
Вообще говоря, существуют два класса методов для решения систем ОДУ, часть уравнений которых являются жесткими:
Методы, которые интегрируют идентично все дифференциальные уравнения, как жесткие, так и нежесткие.
Гибридные методы, которые отбирают жесткие уравнения и интегрируют их с помощью неявного или асимптотического алгоритма. Остальные уравнения решаются более быстрым, но менее устойчивым классическим алгоритмом.
С помощью гибридных методов пытаются использовать преимущества, связанные со знанием структуры рассматриваемой системы ОДУ. Это обычно происходит за счет потери строгой консервативности, которую трудно гарантировать, когда для разных подсистем уравнений применяются разные формулы. Пакеты интегрирования ОДУ, описываемые ниже, включают методы обоих типов. В гибридных методах необходимо рассмотреть две важные проблемы. Первая проблема состоит в установлении критерия для определения того, какой метод следует использовать для каждого уравнения. Это требует определения того, какие уравнения являются жесткими на каждом шаге. Вторая проблема состоит в определении момента, когда в процессе интегрирования необходимо сменить метод. Изменение шага по времени может перевести некоторые уравнения из разряда нежестких в разряд жестких. Необходимо также учитывать степень некон- сервативности, которую можно позволить, чтобы сказать заранее, какой дисбаланс в массе или в частицах может быть допущен в решении. Гибридные методы достаточно быстрые, но поскольку после многих шагов может произойти нарушение консерватив*
Химическая кинетика и другие локальные явления 197 ности, то полученное с их помощью решение зачастую следует проверить независимо.
Здесь обсуждаются некоторые из используемых в настоящее время пакетов программ для численного решения систем ОДУ, часть из которых или же все уравнения являются жесткими. Для задач, имеющих дело с системой ОДУ умеренной размерности, удовлетворительные результаты дает, в общем, любой из методов, описанных ниже. Для задач о реагирующем течении мы рекомендуем гибридный асимптотический метод.
5-4.1. Программы, основанные на методе Гира
Программа DIFSUB, предназначенная для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, часть которых могут быть жесткими, была написана на алгоритмическом языке Фортран Гиром [32, 33]. В программе DIFSUB все уравнения рассматриваются либо как жесткие, либо как нежесткие, поэтому применяется один и тот же метод для всех уравнений системы. Жесткие уравнения решаются с помощью метода, использующего формулы дифференцирования назад различного порядка и описанного в разд. 5-3. Нежесткие уравнения решаются методом предиктор-корректор Адамса различного порядка, описанным в разд. 5-2. Программа DIFSUB была переработана Хинд- маршем [41], в результате чего был создан пакет программ численного решения ОДУ GEAR, но эта версия пакета была пригодна для решения только нежестких или достаточно малых систем жестких уравнений вследствие того, что здесь рассматривалась полная форма якобиана размерности М.ХМ. Последующие варианты пакета, включающие программы GEARB, GEARS и GEARBI [42—44], были созданы для решения больших жестких систем ОДУ, якобиан которых обладает разреженной структурой или для которых матрица, хорошо аппроксимирующая якобиан, является разреженной.
Самая последняя и наиболее легко доступная версия программ серии GEAR была использована в собранном Хиндмаршем [40] пакете программ ODEPACK. В этих программах для решения нормальных нежестких уравнений используется неявная формула Адамса—Мултона
У^ + йЗЖ-И,-.), К^<12, (5-4.1) /=0
где к — порядок точности, коэффициенты 0/ зависят только от к и их сумма равна единице. Уравнение (5-4.1) неявное, так как 0о больше нуля. При неявном решении величину у в последующий момент времени находят посредством итерационного процесса вида
yr^y^i+zW,., УТН^Шк-ь Уп-tY (5-4.2)
Начальное значение уп(0) вычисляется по аналогичной явной формуле. Заметим, что здесь не требуется матричных операций.
Жесткие уравнения решаются с помощью соотношения к
Уп^ «чУп-1 + ЬМ^п, y„) = a„ + W (tn, у„), /=1
Ро > О, 1<&^5.(5-4.3)
Как и в приведенных выше формулах для нежестких уравнений, формулы более высокого порядка могут быть использованы только после того, как будет получено решение на нескольких предыдущих шагах того же самого размера. Поскольку уравнения жесткие, численное решение их с помощью итерационного процесса, аналогичного вышеописанному, не сходится при умеренных размерах шага. Поэтому используется модифицированный итерационный процесс Ньютона
Р^У^-У^-У^^МП. (5-4.4)
где Р — матрица, аппроксимирующая якобиан:
Р^ I—AP0J.(5-4.5)
Начальное приближение такого итерационного процесса находят по аналогичной явной формуле. Эта форма итерационной процедуры отличается от классического итерационного процесса Ньютона. Якобиан вычисляется только при найденном начальном приближении уо и только на шагах, где необходимо проводить его перевычисление, основываясь на таком критерии, как плохая скорость сходимости. Поэтому одно и то же значение Р используется на всех итерациях на каждом отдельном шаге и на протяжении нескольких шагов. В больших жестких системах часто можно воспользоваться преимуществом разреженности матрицы.
Пакет ODEPACK состоит из ряда солверов ОДУ. Солвер LSODE работает с жесткими или нежесткими уравнениями. Помимо решения уравнений с полным якобианом, он допускает возможность решений с различными аппроксимациями якобиана и является более гибким, чем исходные солверы серии GEAR. Солвер LSODA представляет собой вариант солвера LSODE, в котором проводится автоматическое переключение жесткого и нежесткого методов. Эта версия хорошо подходит для решения задач, характер которых меняется в процессе решения. Солвер LSODI специально сконструирован для решения ОДУ, записанных в неявном виде
А (Л уМ(^, у) = ё(Л у).
(5-4.6)
Эта форма пригодна для решения уравнений в частных производных методом прямых, который приводит к системе ОДУ вида (5-4.6).
5-4.2. Асимптотический метод интегрирования:
CHEMEQ и VSAIM
Селективный асимптотический метод интегрирования SAIM был создан специально для использования в задачах моделирования реагирующих течений, где химические реакции должны быть описаны в каждой пространственной ячейке. В этих случаях основными факторами являются необходимый объем памяти и расчетное время. Это метод, однако, также широко применяется для задач, записываемых в виде системы ОДУ. Метод SAIM реализован Янгом и Борисом [73, 74] в гибридном интеграторе CHEMEQ, который решает нежесткие уравнения явным методом Эйлера, а для жестких уравнений использует асимптотический метод, обсуждавшийся в разд. 5-3. Версия этой же самой программы VSOIM, созданной специально для моделей реагирующего течения, векторизует процедуру решения на ряде расчетных ячеек. В программу встроен модуль предварительной обработки уравнений химической кинетики, который читает уравнения химической кинетики, записанные в их обычных символических обозначениях, и формирует программу на алгоритмическом языке Фортран для автоматического вычисления производных. Программные интерфейсы, подобные такому модулю предварительной обработки уравнений химической кинетики, являются ценным дополнением ко всем программам моделирования реагирующих течений.
Специальная часть программы определяет критерии выбора начального размера шага и идентифицирует жесткие уравнения. Начальный размер шага определяется по формуле
A' = emJ "^-43. (5-4.7)
Здесь е — масштабный множитель, обычно такой же, как и в критерии сходимости, индекс i указывает на начальное значение каждой компоненты вектора у. Если этот размер шага больше, чем заданное значение т/, то уравнение считается жестким и интегрируется по асимптотическому методу. Уравнения, которые считаются жесткими в начале, рассматриваются как жесткие на протяжении всего шага интегрирования. На каждом шаге делается небольшое фиксированное число итераций и в зависимости от того, достигается ли сходимость, определяется как следует изменить размер следующего шага. Когда решение не сходится, лучше резко уменьшить размер шага (в два или три раза). Когда
же сходимость достигается, то увеличивать размер шага следует только на 5... 10%. В течение интегрирования на нескольких последовательных шагах в качестве пробного размера шага для следующего цикла интегрирования берется соответственно измененный размер шага из сошедшегося цикла интегрирования, а не размер шага, полученный с помощью стартовой формулы (5-4.7).
Данный метод оказывается, вообще говоря, эффективным точным и устойчивым. Он является самостартующим, требующим для начала вычислений на текущем временном шаге данные только с предыдущего временного шага. Метод не использует якобиан и поэтому не требует выполнения матричных операций или операций обращения матриц. Однако этому методу не присуще свойство консервативности. Консервативность контролируется регулированием критерия сходимости или регулированием критерия выбора, какое из уравнений следует рассматривать как жесткое. В гл. 4 упоминалось, что асимптотический метод может в действительности быть более точным для больших временных шагов. Таким образом, следует тщательно управлять размером шага для гарантии сходимости и точного выполнения свойства консервативности. Наибольшая проблема в этом методе — интегрирование очень жестких уравнений в режиме, близком к равновесному. В этом режиме слагаемые в уравнениях, связанные с образованием и исчезновением вещества, почти точно взаимно вычитаются. В методе CHEMEQ такая ситуация может привести к большим флуктуациям в вычислении производных.
5-4.3. Метод экспоненциальной подгонки CREK1D
Программа CREK1D (см., например, работу Пратта и Радхакришнана [59]) предназначена для решения нестационарных задач химической кинетики и, в частности, задач кинетики горения. Она основана на методе трапеций с экспоненциальной интерполяцией, описанной в разд. 5-3. В программе реализован алгоритм типа предиктор-корректор в сочетании с механизмом автоматического выбора размера шага. При заданной допустимой ошибке программа выбирает в качестве сходящегося итерационного процесса или метод Ньютона—Якоби, или метод Ньютона. При низких требованиях к точности эта программа успешно конкурирует с программой LSODE, и немного проигрывает ей, когда требуется повышенная точность.
В данной программе автоматизирована процедура принятия решения о том, решать ли неявные уравнения с помощью итерационного процесса Ньютона—Рафсона или с помощью итерационного процесса Ньютона—Якоби (который не требует вычисления якобиана). Критериями здесь служат точность, скорость сходимости и суммарное время счета. Итерационный процесс
Ньютона—Рафсона имеет квадратичную скорость сходимости, но для гарантии этой сходимости необходимо частое обновление якобиана и его обращение.
В программе CREK1D итерационный процесс Ньютона—Якоби используется в течение ранней стадии интегрирования химических уравнений, включающей время химической индукции и начальную стадию тепловыделения. На протяжении этого времени, когда для устойчивости требуются малые размеры шага, такая организация итераций уменьшает вычислительную работу. Во время поздней стадии тепловыделения и в области равновесия предпочтительным является итерационный процесс Ньютона—Рафсона, так как он обладает лучшими свойствами сходимости и допускает использование больших размеров шага. Для идентификации каждого режима выполняется тест, основанный на анализе различия между прямой и обратной реакциями.
5-4.4. Полунеявные методы экстраполяции
METAN1 и METAS1
Метод полиномиальной экстраполяции, использующий полу- неявное правило средней точки и описанный в разд. 5-3, был реализован в двух интеграторах: программе METAN1 и другой версии этой же программы METAS1, ориентированной на обработку разреженных матриц. Идея состоит в применении экстраполяции Ричардсона по А2 с повторным интегрированием на базовом интервале Н. В процессе эстраполяции строится таблица полиномов, подобная описанной в разд. 5-2.
Интегратор METAS1 введен в состав ориентированного на пользователя пакета LARKIN, предназначенного для решения больших систем жестких уравнений химической кинетики. При заданных химических уравнениях и константах скоростей химических реакций пакет LARKIN, с помощью входящих в него алгоритмов, генерирует правые части решаемых в дальнейшем ОДУ и их якобиан, далее проводит интегрирование и организует вывод значений концентраций химических компонент в заданные моменты времени. Дьюфлхард и др. [25] показали, что LARKIN, а значит и METAS1, дают качественно сравнимые результаты с методом Гира, использующим неявные многошаговые формулы дифференцирования назад.
5-4.5. Метод Крегеля
Метод Крегеля (или К-метод) и пакет математического обеспечения, в котором реализован этот метод, описан Коффи и др. [16]. Базовый метод основан на неявном линейном многошаговом алгоритме третьего порядка точности типа предик-
тор-корректор. Будучи таковым, он сталкивается со стандартными трудностями обращения с матрицей Якоби. Пусть, например, необходимо найти решение уравнения
Й-уНМ-Н. (5-4.8)
Основное нововведение в интеграторе Крегеля как раз и представляет собой метод решения этого уравнения. Вообще говоря, матрица Якоби должна вычисляться на каждом шаге. Однако интегратор пытается уменьшить размер матрицы путем нахождения приемлемых аппроксимаций для величин некоторых разностных векторов dn. Тогда для каждого значения d, которое может быть определено, из матрицы могут быть вычеркнуты строка и столбец.
Сначала рассмотрим приближенное выражение
Это приближенное выражение является приемлемым при малом размере шага, таком, как в начале интегрирования, так что
Wo 2 ^'’M^K.J(5-4.10)
и тогда внедиагональными элементами можно пренебречь. Далее, когда шаг h очень велик, уравнение для уп может быть слабо связано с другими уравнениями, т. е. выполняется неравенство
|^й4,а>|2 •w./l.(5-4.il)
Наконец, при любой величине h, значения предиктора и корректора могут быть близкими, так что
\У^,к—Уп.к\«^«ап,к.(5-4.12)
Сокращенная система решается с помощью стандартных методов матричной декомпозиции, так что остается лишь проблема определения того, какие из систем уравнений могут быть достаточно точно решены с использованием выражения (5-4.9). Это делается с помощью контроля членов, описывающих ошибки, как показано Коффи и др. [16].
5-5. Анализ чувствительности
Особенна важна чувствительность поведения системы ОДУ по отношению к неопределенностям во входных параметрах, таких, как константы скоростей химических реакций или на-
чальные условия. Константы скоростей химических реакций, например, часто представляются в виде полуэмпирических формул, полученных из экспериментов или фундаментальных расчетов. Они могут сильно зависеть от температуры и давления. Их значения часто не известны достаточно хорошо, что иллюстрирует рис. 2-1. Понимание неопределенностей в этих параметрах и того, как эти неопределенности влияют на механизм реакций, важно при определении достоверности модели реакций.
Сложность многих предложенных механизмов химических реакций делает дорогостоящим и сложным делом оценку того, как неопределенности в константах скоростей химических реакций влияют на рассчитанные величины концентраций и температур. Насколько сильно влияние неопределенностей в константах скоростей химических реакций или начальных условий на результат расчета? На чем следует сосредоточить внимание, чтобы улучшить точность или уменьшить сложность механизма химических реакций? Насколько чувствительны решения к неопределенностям в параметрах, входящих в уравнения?
Были развиты два класса методов оценки влияния неопределенностей. Локальные, или детерминированные методы дают информацию о том, как неопределенность в одном параметре, например ku влияет на рассчитанные значения какой-либо одной из зависимых переменных, например уь Глобальные, или стохастические методы учитывают влияние параметров, одновременно изменяющихся в некотором диапазоне значений. Мерой чувствительности, следующей из такого глобального метода, является усредненное влияние неопределенностей.
О методах анализа чувствительности был написан ряд обзоров. Рекомендуем обзоры Тилдена и др. [68] и Рабица и др. [60]. Ниже будут описаны лишь некоторые из принципов, лежащих в основе этих методов, а детальное описание можно найти в указанной литературе.
5-5.1. Локальные методы анализа чувствительности
Перепишем уравнение (5-1.1) в виде
# = f(y, к). у(О) = уо,(5-5.1)
где у(<) —вектор решения, состоящий из N концентраций компонент, к — вектор, состоящий из М входных параметров, таких, как константы скоростей химических реакций и энергии активации. Такая форма уравнений подчеркивает функциональ-
У&к)У&к)ОбластьОбластьРис. 5-5. Схематическое изображение поверхности, соответствующей решению yi\t, к), показывающее область неопределенности в двух параметрах кх и к2 (Джелинас и Вейк [25]).Рис. 5-5. Схематическое изображение поверхности, соответствующей решению yi\t, к), показывающее область неопределенности в двух параметрах кх и к2 (Джелинас и Вейк [25]).
У&к)
У&к)
Область
Область
Рис. 5-5. Схематическое изображение поверхности, соответствующей решению yi\t, к), показывающее область неопределенности в двух параметрах кх и к2 (Джелинас и Вейк [25]).
Рис. 5-5. Схематическое изображение поверхности, соответствующей решению yi\t, к), показывающее область неопределенности в двух параметрах кх и к2 (Джелинас и Вейк [25]).
ную зависимость у(/) от параметра к. Обычно имеются оценочное значение £/ и значения неопределенностей, относящихся к каждой величине kj.
Если рассматривать только малые отклонения kj от kj, то для оценки г//(/, k) =^/(Z, k+Ak) можно использовать отрезок ряда Тейлора ,
т
Мг,-.1Мг,-.1(5-5.2)(5-5.2)у At, ^=уА1Л^^5у1^1/=i orj
Мг,-.
1
Мг,-.
1
(5-5.2)
(5-5.2)
Матрица коэффициентов чувствительности первого порядка определяется следующим образом:
Когда рассматривается изменение у, в зависимости от kj, все остальные параметры ki при W=i фиксируются. Локальный анализ чувствительности состоит в вычислении и интерпретации этих коэффициентов чувствительности.
На рис. 5-5, где схематически изображена поверхность ре-
шения yi^k), показана область неопределенности в двух параметрах ^i и^2 [35]. Оценочные значения параметров обозначим через ^i и к2. Предполагаемые верхний и нижний пределы отклонения образуют область неопределенности в плоскости &ь ^2 дающей в результате диапазон неопределенности для величины уи Коэффициенты чувствительности ^j, вычисленные при кх и к2, представляют собой тангенсы углов касательных к поверхности в точке Q в двух координатных направлениях.
Существует несколько методов для вычисления коэффициентов чувствительности первого порядка. Простейшим является конечно-разностный «лобовой» подход. Он состоит в независимом изменении каждого параметра и в вычислении отклонения уи возникающего в результате небольшого изменения к, в начале и на протяжении всего интегрирования:
Ду; (/, к) = У,. (/, К, kj + ^kj; . .., кт) —
^/. к\(5-5.4)
Величины yt получаются при интегрировании уравнений (5-5.1). Такой способ определения {Ду/(/, к)} зависит от конкретной задачи, выбранной для интегрирования, и, следовательно, не может привести к каким-либо общим заключениям относительно чувствительности. Подобный подход может быть использован при произвольных отклонениях kk^ и не ограничен малыми отклонениями в неопределенностях. Он приводит к следующим выражениям для коэффициентов чувствительности первого порядка:
р,е/=Д^,к) .(55 5)
Это наиболее прямой подход в определении влияния со стороны изменений параметра и он же, конечно, является простейшим и наиболее часто применяемым.
Альтернативные локальные методы включают в себя так называемое «прямое решение», где сами коэффициенты чувствительности рассматриваются как динамические переменные [27]. Дифференциальные уравнения для векторов коэффициентов чувствительности первого порядка могут быть получены с помощью уравнений
dp/
^ЬРДО + МО, Р/(0) = 0.(5-5.6)
Эти уравнения представляют собой систему, состоящую из М
векторных ОДУ размерностью N, где J — матрица Якоби размерностью NxN
(5-5.7)
Величины {Р/} и {Ь/} представляют собой ^-мерные векторы, так что ^j= ^ть .. .^nj) и b/= (dfi/dkj,.. .,dfN/dkj). Можно было бы решать уравнения (5-5.6) непосредственно совместно с уравнениями (5-5.1). Это равносильно ЛГкратному решению 2N уравнений. С другой стороны, можно решать уравнения (5-5.1), чтобы получить у(/, к) и затем интерполировать величины у(/,к) для использования в матрице J. Данные подходы обсуждаются в работе Тилдена и др. [68]. Решение этих уравнений дает систематическую информацию о важности малых отклонений к в данной конкретной задаче, но полученные результаты не обязательно будут справедливы для больших неопределенностей или для других задач.
Другой локальный метод использует функцию Грина. Этот метод, как было показано Крамером и др. [47, 48], более эффективен, чем прямое решение уравнений (5-5.6), когда имеется больше параметров, чувствительность которых надо определить, чем зависимых переменных. Решение уравнений (5-5.6) можно записать в виде
Ру (О = f V, 0) Р/ (0) + $ ^ (/, т) by (т) dr, (5-5.8) где if определяется уравнением
^^ + ^(/, t)J(t) = 0, *(/, 0 = 1. (5-5.9)
Для использования этого подхода были развиты эффективные численные методы, включающие рекуррентные соотношения по времени [47, 48, 60].
5-5.2. Глобальные методы анализа чувствительности
Вновь обратимся к рис. 5-5. При малых отклонениях относительно оценочных значений параметров касательная плоскость в точке Q мало отличается от фактической поверхности решения. Коэффициенты чувствительности в точке Q не содержат информации о поведении поверхности вдали от Q, ничего не говорят они и о полном диапазоне изменения yt в области неопределенности параметров.
Как было видно, наиболее прямой метод анализа чувствительности уравнений (5-5.1) состоит в повторном интегрировании ОДУ с разными значениями параметров. Это позволяет построить поверхность решения в пространстве параметров с
систематически изменяемыми величинами этих параметров [8]. Однако этот метод становится громоздким и дорогостоящим с ростом числа компонент и параметров. Когда стоимость такого «лобового» метода становится чрезмерной, могут быть использованы альтернативные глобальные методы.
Глобальные методы вычисляют усредненные чувствительности, которые характеризуют количественно влияния одновременных больших отклонений параметров к. Такая мера глобальной чувствительности качественно отличается от меры, связанной с коэффициентами локальной чувствительности, рассмотренными выше. Она основана на предположении о том, что неопределенность к, может быть выражена через функцию плотности вероятности рУ1 для переменной уь Эти чувствительности могут быть использованы для оценки статистических свойств системы, таких, как ожидаемое значение
<Ш W> = С min • • • Qin P«i (^ k) Pl №) p^ ^ ...dkdki... dkM,
(5-5.10)
где Vpi^i)^ — функции распределения вероятностей, зависящие от V^iY Анализ чувствительности при этом включает в себя вычисление функций р. Предположим, что известны распределения вероятностей двух параметров Pi(^i) и £2(^2). Тогда может быть вычислено распределение вероятностей для у^ Вне зависимости от того, даны или нет распределения вероятностей для кх и ^2, поверхность решения для yt можно построить путем систематического выбора пробных точек в плоскости (^i, к^ и решении системы уравнений, определяющих y(t; кг, к^. Этот подход иллюстрирует рис. 5-6 [35]. Анализ глобальной чувствительности требует расчета пробных точек во всем диапазоне неопределенности параметров.
Костанца и Зайнфельд [18] развили стохастический метод, основанный на функции распределения вероятности. Для изложения содержания этого метода сначала перепишем уравнение (5-5.1) в виде
^ = F(x, 0, х(О) = хо, (5-5.11)
где х — (вектор, N+M компонент которого состоят из N концентраций компонент у и М параметров к. Тогда Fi^x, /) = =fi(y, 0 ПРИ t= !,•.•> Л^иЛ+2у = 0 при t=l,..., М. Если предположить, что неопределенности в к, включая неопределенности в начальных условиях, могут быть представлены распределением вероятности, то начальные условия хо окажутся слу-
ОбластьОбластьр(к^)р(к^)
Область
Область
р(к^)
р(к^)
Рис. 5-6. Схематическое изображение поверхности, соответствующей решению угУ, к), показывающее применение функции распределения вероятности для нахождения коэффициентов чувствительности (Джелинас и Вейк [25]).
чайными переменными с распределением вероятности ро(хо) при i = N+V ..., N+M.
Пусть р(х, t) есть распределение вероятности х(/)- Тогда
<g(х(0)> = \dxp(x, t)g(x).(5-5.12)
Костанца и Зайнфельд [18] показали, что р(х, Q удовлетворяет уравнению
^i^+VyTpCy, Of (у. 0) = 0, р(у, О)=Ро(у). (5-5.13)
Таким образом, задавая р0(у) =Ро(хо, к) и систему ОДУ, можно решить уравнение (5-5.13) относительно р(у, I). Если известна функция р(х, t), то может быть исследована соответствующая ей поверхность в пространстве х при фиксированном L
Существует, однако, трудность в случае больших N+M, и поэтому полезно исследовать сокращенные распределения вероятностей, полученные путем интегрирования р на подмножестве компонент х.
Для определения ро иногда не имеется достаточной информации о начальном состоянии или параметрах, но имеются оценочные значения параметров и оценка их диапазона неопределенности. Тогда 'каждый параметр может быть выбран из своего диапазона для оценки диапазона изменения у(/). Это приводит к процедурам распознавания образа: методам Монте- Карло [66]; методам поиска по образцу [65] и фурье-методам [20, 54]. Эти методы разным способом выбирают отдельные пробные точки. Вообще говоря, фурье-методы требуют существенно меньшего числа пробных точек, чем методы Монте-Карло, но при интерпретации результатов фурье-анализов чувствительности возникает больше проблем.
5-5.3. Основные соображения по анализу чувствительности
Методы анализа чувствительности могут выявить соотношения между переменными и номинальными константами в системе. Если система уравнений предоставлена кому-то, кто слабо чувствует важность параметров, управляющих системой, то анализ чувствительности является способом помочь пониманию этой системы. Когда исследуемая система достаточно хорошо изучена, то непосредственное варьирование выбранных параметров и проведение повторных расчетов может быть наилучшим и, конечно, простейшим способом действий.
Хотя результаты анализа чувствительности могут быть самой оптимальной информацией, эта информация является дорогостоящей. Прямые методы, локальные методы и глобальные методы являются дорогостоящими. В случае больших систем жестких уравнений варьирование даже только одного параметра может быть чрезвычайно трудоемким делом. В локальных -методах может быть упущена важная информация об изменениях в больших областях, в то время как в глобальных методах также могут возникнуть трудности при интерпретации результатов.
Хотя знание функций распределения вероятности дает полную возможность получить любую информацию о системе, это чрезвычайно дорого реализовать на практике. Поэтому большинство встречающихся на практике методов пытаются извлечь более ограниченную информацию, достигая вычислительной эффективности за счет игнорирования других сторон. Очень важно разобраться в преимуществах каждой методологии анализа чувствительности до того, как ее использовать.
Возможно, наиболее популярными методами являются «лобовой» метод и метод с использованием функции Грина. «Лобовые» методы часто комбинируются с более разумными способами извлечения информации. Например, в методе, описанном Миллером и Френклахом [56] и Френклах-ом [31], расчеты химической кинетики сочетаются с эмпирическими методами оптимизации. Для проведения серии последовательных моделирований выбираются точки в пространстве параметров. Полученные результаты используются для построения интерполирующей гиперповерхности в пространстве параметров, которая и содержит искомую информацию. Этот метод был применен при исследовании ряда систем и представляется обнадеживающим. Метод с использованием функции Грина также легко доступен исследователям и, возможно, является наиболее экономичным методом для больших систем, когда приемлемым оказывается локальный анализ чувствительности.
5-6. Расчеты химической кинетики
Уравнения (5-0.1) описывают эволюцию во времени ряда химических компонентов в однородном, предварительно перемешанном объеме. Эти уравнения могут быть решены в рамках физически приемлемых ограничений, таких, как постоянная температура, постоянное давление или постоянный объем. Из всех решений {/1/(0) можно взять ряд величин, которые можно непосредственно сравнивать с имеющимися экспериментальными данными. Среди этих величин времена химической индукции, скорости выделения энергии, интенсивности излучения возбужденных состояний реагирующих компонентов и характеристики, относящиеся к процессу в целом, например, энергия активации всего процесса и полное выделение энергии.
В предыдущих разделах этой главы рассматривались системы ОДУ общего вида и относительно мало говорилось именно о химической кинетике. Далее будут рассмотрены некоторые из проблем, возникающих при моделировании химической кинетики в реагирующих течениях.
5-6.1. Химическая кинетика в реагирующих течениях
Решение сложных кинетических уравнений совместно с проведением газодинамического расчета сильно отличается от раздельного решения системы уравнений химической кинетики. Во-первых, при расчете реагирующего течения уравнения химической кинетики должны быть проинтегрированы на многих шагах по времени с попутным расчетом нелокальных диффузионных и конвективных членов в уравнениях. Формулы интег-
рирования могут использоваться только на относительно коротких интервалах (между моментами времени, когда обновляются газодинамические переменные. Тогда преимущество имеют одношаговые самостартующие алгоритмы с низкими вычислительными затратами при возобновляющемся интегрировании.
Во-вторых, требуемое большое число расчетных ячеек (вероятно, десятки или сотни тысяч в многомерной области) обычно не дает возможности хранить дополнительную информацию о всех компонентах в каждой ячейке между шагами по времени. Так как у методов высокого порядка требуется большое время счета для организации старта и повторных стартов, здесь предпочтительно использование быстрых и гибких методов невысокого порядка.
В-третьих, ошибки при расчете газовой динамики редко оказываются меньшими нескольких процентов, так что, вероятно, нет необходимости рассчитывать химические процессы с очень высокой точностью. Константы скоростей химических реакций в лучшем случае известны довольно неточно. Именно поэтому целесообразно использовать методы низкого порядка, а не усложненные методы высокого порядка.
В-четвертых, программы расчета реагирующих течений довольно часто изменяются. Поэтому обычно предпочтительнее применять более общий метод интегрирования, а не узко специализированный, разработанный для определенного набора скоростей реакций.
Наконец, расчеты многомерных реагирующих течений обычно трудоемки даже при использовании самых быстрых методов, так что лучше всего избегать вычисления трансцендентных функций, часто появляющихся в выражениях для скоростей химических реакций. Всякий раз, когда аппроксимируется аналитическое решение, следует выбирать аппроксимацию полиномами или рациональными функциями либо пользоваться таблично заданной функцией.
5-6.2. Решение уравнения для температуры
Когда происходит выделение химической энергии, вместе с уравнением (5-0.1) необходимо решать уравнение, описывающее изменение температуры. Это уравнение не присутствует явным образом среди системы уравнений сохранения, но его можно вывести из уравнения энергии с помощью соотношения, связывающего внутреннюю энергию с температурой:
е = 1кТ, (5-6.1)
где f — число степеней свободы. В каждой химической реак- 14е
ции, происходящей в условиях локального термодинамического равновесия, выделяется или расходуется известное количество энергии. Поэтому скорость изменения температуры во времени тесно связана с кинетическими уравнениями для индивидуальных компонент, так же, как и с газодинамическими эффектами.
Иначе говоря, при этих условиях можно использовать следующее выражение:
е = Н(Т, {ггу})—Р. (5-6.2)
где Н — энтальпия системы. Если известна величина энтальпии, то можно найти выражение для dTIdt. Выражение для производной температуры включает в себя все производные \дпз!д1\ а также производные вида \dh^dt\ которые можно выразить через температуру Т. Расчет температуры при таком подходе обычно оказывается дорогостоящей вычислительной процедурой.
Точное выражение для энтальпии включает в себя также сложные суммы по возбужденным состояниям молекул. Когда каждый из компонентов находится в локальном термодинамическом равновесии, индивидуальные этальпии hj(T) могут быть определены в виде функции от температуры и аппроксимированы полиномами. Это было сделано Сталлом и Профетом для таблиц JANAF [67] и в работе Гордона и Мак-Брайда [37].
При использовании протабулированных величин энтальпий {^/(^)) и теплот образования {Ао/(Т)} (см. гл. 2) часто можно полностью избежать утомительного интегрирования уравнения для температуры. Допустим, что в процессе расчета химической кинетики на каждом шаге по времени суммарная внутренняя энергия системы не изменяется, а может только перераспределяться между химическими состояниями. Тогда для получения нового значения температуры, соответствующего новым вычисленным значениям плотностей частиц, уравнение (5-6.2) может быть решено итерациями. Простое итерирование по Ньютону — Ра феону, как это описано Карнаханом и др. [15], обычно оказывается достаточно хорошим для решения уравнения (5-6.2) для температуры. Используемая в общем процессе численного моделирования, такая итерационная процедура сходится за одну-две итерации на один шаг по времени, когда основные переменные имеют относительно малые изменения за один временной шаг.
5-6.3. Приложения к химической кинетике
По мере получения более достоверных значений констант скоростей элементарных химических реакций целесообразно
строить детальные химические механизмы, учитывающие сложные промежуточные реакции в глобальном механизме реакций. Например, рассмотрим глобальный механизм реакции метана и кислорода
СН4 + 2О2 — СО2 + 2Н2О.
Она описывает глобальный процесс окисления метана с образованием углекислого газа и воды. В действительности, однако, этот процесс происходит как последовательность элементарных реакций, включающих выделение водорода из метана с образованием метилового радикала, реакцию метилового радикала с молекулярным кислородом и, наконец, образование двуокиси углерода и воды.
В течение ряда лет были построены механизмы химических реакций, состоящие из элементарных химических реакций все возрастающего уровня сложности. Для метана недавно опубликованные механизмы Вестбрука и Драйера [70] и Френкла- ха и Борнсайда [30] состоят примерно из 150 прямых реакций. Недавно предложенные механизмы химических реакций образования сажи включают приблизительно 500 реакций.
Несколько стадий разработки необходимы для построения такого механизма химических реакций. Во-первых, должен быть сформирован набор элементарных химических реакций для глобального механизма. Эти механизмы конструируют, рассматривая возможные пути развития реакции или наборы путей реакций и выбирая наилучшие из имеющихся наборы констант скоростей элементарных химических реакций. Обычно эта выборочная работа делается квалифицированным химиком, ясно представляющим, какие пути реакций, по всей вероятности, важны, а какие нет. Эту работу можно провести также, выписывая все возможные пути реакций и используя далее совместно собственный опыт, численный анализ и интуицию для исключения некоторых из них.
После того как предложен определяющий набор элементарных химических реакций, необходимо подобрать соответствующие значения констант скоростей химических реакций. Как обсуждалось в гл. 2, эти константы, как правило, берутся из эксперимента или расчетов. Часто в дополнение к скоростям химических реакций необходимо знание теплот образования химических компонентов и их теплоемкостей как функций от температуры. Предлагаемые механизмы химических реакций следует также подвергнуть анализу, чтобы для данной температуры и давления оценить, какие реакции можно исключить из общей схемы или для каких из них измерения должны быть проведены более тщательно.
Затем производится интегрирование систем ОДУ, описыва-
ющих построенные механизмы реакций, и результаты численных расчетов сравниваются с имеющимися экспериментальными данными. В лучших случаях такие данные известны в широком диапазоне температур и давлений. Здесь имеют место неопределенности при выборе реакций, включаемых в механизм, а также при выборе коэффициентов скоростей реакций и в экспериментальных данных, используемых для проверки разработанного механизма реакций. Наличие таких неопределенностей требует использования физической интуиции и численного моделирования, чтобы проанализировать последствия, обусловленные принятыми значениями констант скоростей реакций, и -сопоставить выбранные пути химических реакций. Чтобы определить, требуются ли более точные данные, целесообразно провести анализ чувствительности. Все функции для скоростей реакций и энтальпий должны быть представлены численно непрерывными выражениями, а эти выражения нельзя использовать вне пределов их применимости. Для разработки и проверки механизма реакций может потребоваться несколько лет.
Несмотря на эти проблемы, был разработан ряд полных механизмов химических реакций. Например, имеются необходимые данные и результаты исследования для горения водорода (Берк и Оран [14]), собраны данные и тестовые расчеты для кинетики метана (Френклах и Борнсайд [30]). Вестбрук 1и Драйер [70] провели обсуждение и исследование констант скоростей, необходимых для моделирования химии горения углеводородов, а Варнатц [69] сделал обзор констант скоростей химических реакций в системе С/Н/О. Константы скоростей химических реакций для системы водород — кислород были собраны и проанализированы в работе Болча [4, 5]. Кроме того, в Национальном бюро стандартов (США) имеются обширные таблицы констант скоростей химических реакций, собранные, например, в работах Хэмпсона [39] и Уэстли [71].
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ, РАЗРЕШЕНИЕ И СЕТКИ
Выбор численного представления так же важен, как и выбор математической модели для описания системы или выбор алгоритма реализации модели. В этой главе мы возвратимся к проблемам представления непрерывной физической переменной дискретным набором вычисляемых величин. Рассматриваются эйлерово и лагранжево описания и обсуждается различие между ними. Выбор как численных алгоритмов, так и методов построения сетки ограничены этим выбором описания. Обсуждаются идеи построения переменных и адаптивных сеток и показывается, каким образом локализованные улучшения в разрешении позволяют существенно повысить точность. Возможно, эту главу следовало бы перечитать после ознакомления с гл. 10.
6-1. Представление конвективных течений
В гл. 2 было рассказано о некоторых физических сложностях, возникающих при моделировании конвекции, а в гл. 4 были представлены некоторые из простых конечно-разностных схем, пригодных для численного моделирования конвекции. В этой главе будет снова рассмотрена трудная численная проблема дискретного представления и решения уравнений переноса.
6-1.1. Почему трудно моделировать конвекцию
Расчет переноса некоторой величины р из одного места в другое обычно требует от численных методов большего, чем расчет эффектов локальных процессов, диффузионных эффектов или волновых и колебательных явлений. Такое положение остается справедливым даже тогда, когда все переменные плавно меняются и хорошо разрешены при некоторой численной дискретизации.
Одна из проблем состоит в том, что конвекция, естественно, не сглаживает флуктуации и градиенты и, таким образом, лишена сглаживающего свойства диффузии и релаксации, имею-
щего место в локальных процессах. В действительности конвекция может вызвать противоположный эффект. Сдвиг, например, приводит к появлению деформации в жидкости (растяжению), которая может усилить градиенты и привести с течением времени к существенно более мелкомасштабной структуре. Конвекция не только не демпфирует коротковолновые компоненты структуры течения, но может даже увеличить их амплитуды. Таким образом, коротковолновые компоненты, так же, как и длинноволновые, должны рассчитываться относительно точно.
Конвекция должна удовлетворять требованиям причинности, положительности, консервативности и обратимости во времени. Поэтому эти качественные свойства должны быть встроены в численные алгоритмы моделирования конвекции. Как фазы, так и амплитуды мод должны интегрироваться точно. Когда течение несжимаемо и, следовательно, звуковые волны распространяются очень быстро по сравнению с характерными скоростями течения, отдельные элементы жидкости становятся сильно связанными. Коррелирование этих движений на больших расстояниях приводит к новым численным проблемам.
Требования к качеству алгоритмов расчета конвекции подчеркиваются вековой (секулярной) природой фазовых ошибок. Эти ошибки появляются, когда некоторая структура течения, образованная набором волновых компонент с разной длиной волны, переносится через дискретную расчетную область. Как было показано в гл. 4, ошибки в амплитуде у некоторой данной моды ограничены и стремятся уменьшиться, пока алгоритм и описываемая им физическая ситуация остаются устойчивыми. С другой стороны, фазовые ошибки могут неопределенно возрастать, так как они ограничены только условиями точности, а не условиями устойчивости. Расфазировка между разными гармониками, составляющими профиль течения, может стать важной при разрешении коротковолновых структур течения. Предположим, например, что наиболее длинноволновая и наиболее коротковолновая из существенных волновых компонент рассматриваемой структуры течения имеют фазовые скорости, отличающиеся не более чем на 3%. Тогда толщина расчетной структуры течения некорректно удвоится за время, в течение которого она переместится на расстояние, равное 1/0,03~30 ее первоначальным размерам. Более того, ее профиль значительно изменится и на нем могут появиться нефизичные завышенные или заниженные выбросы.
В гл. 4 был показан рассчитанный профиль решения, постоянно отклоняющийся от своего первоначального вида по мере того, как становились нескоррелированными малый и большой масштабы в вычисленном решении. Здесь также бы-
ло показано, что диффузия может уменьшить возрастающие фазовые ошибки, демпфируя коротковолновые составляющие. Часть литературы по численным методам посвящена разработке алгоритмов решения задач с конвекцией и диффузией, в которых можно воспользоваться преимуществом наличия физической диффузии для покрывания ошибок, возникающих в алгоритмах численного моделирования конвекции. К сожалению, величина диффузии, требуемая для покрывания вековых (накапливающихся) фазовых ошибок в численных алгоритмах конвекции, часто должна быть на порядки величины больше, чем физическая диффузия. На практике обычно желают сохранить как можно больше мелкомасштабной информации о течении. Одна из основных проблем вычислительной аэрогидродинамики состоит в том, как минимизировать такое чрезмерное сглаживание.
6-1.2. Уравнение сохранения массы
Основным уравнением, описывающим конвективное течение, является уравнение сохранения массы или уравнение неразрывности. Часто это уравнение записывают в консервативной форме
$ + V-pv = 0. (6-1.1)
Существуют, однако, и другие способы записи уравнения сохранения массы. В конвективной форме это уравнение имеет вид
± + v.VP-± — PV-v, (6-1.2)
где слагаемое v-VP описывает конвекцию, а слагаемое PV V — сжимаемость. Здесь полная производная dpldt представляет собой лагранжеву производную, т. е. скорость изменения плотности р в системе координат, движущейся со скоростью, равной локальной скорости жидкости. Интегральная форма записи уравнения сохранения массы такова:
-- ^pdV = — у pv-dA, (6-1.3) V А
где dV — элемент объема, dK — элемент площади поверхности. Уравнение (6-1.3) констатирует, что количество жидкости f pdV в объеме может измениться только вследствие переноса жидкости f pv-dA через границу этого объема.
Рассматриваемое уравнение сохранения массы описывает поведение непрерывного бесконечномерного вектора р, каждая компонента которого представляет собой точку в пространстве х, через которую протекает жидкость с плотностью р. Численные аппроксимации р есть не что иное, как проекции этого вектора на конечномерное подпространство. Когда численно аппроксимируют уравнение (6-1.1), то разрабатывают способ определения эквивалентного конечно-разностного решения для р в момент времени ^>1, основываясь на конечно- разностном решении для р в момент времени t. О проблеме представления непрерывной функции с помощью конечного числа степеней свободы было сказано в гл. 4, и эта проблема будет обсуждаться далее в разд. 6-2. Искусство изобретения численных методов как раз и состоит в создании алгоритмов, которые как можно точнее отслеживают эволюцию непрерывной функции во времени в интересующей области пространства.
Уравнение сохранения массы, записанное в форме (6-1.1) или (6-1.2), обладает рядом качественных физических свойств, которые также желательно иметь у соответствующих численных алгоритмов. Одним из этих свойств является причинность, которая означает, что вещество, находящееся в данный момент времени в данной точке, приходит туда, лишь покинув ранее другую точку и пройдя через все точки, лежащие между ними. Другим свойством является консервативность, которая означает, что суммарное количество вещества с плотностью р в замкнутой системе не меняется. В большинстве ситуаций физические свойства сохранения должны найти свое отражение в численном методе, в противном случае в решениях присутствует нефизичная неустойчивость или имеются неприемлемые вековые ошибки. Третьим свойством является положительность, т. е. если величина р была первоначально положительной, то она никогда не станет отрицательной под воздействием одной лишь конвекции. Хотя положительность часто так же важна, как и консервативность, не все методы моделирования уравнений сохранения обладают этим 'Свойством. Многие из банальных и досадных проблем, возникающих при решении .систем конвективных уравнений, имеют место вследствии того, что переносимая величина вследствие накопившихся расчетных ошибок становится отрицательной.
В качестве базиса для оценки дискретных представлений и алгоритмов, реализованных в этих представлениях, перечислим некоторые общие свойства, которым должны удовлетворять алгоритмы решения уравнения сохранения. К этим алгоритмам предъявляются следующие требования:
устойчивость во всех представляющих интерес случаях;
отражение физических свойств сохранения;
гарантия положительности определенных физических величин;
достаточная точность;
вычислительная эффективность;
широкая применимость, а не приспособленность только к конкретной задаче.
Алгоритмы, описанные в последующих главах, обсуждаются с учетом этих критериев.
6-1.3. Сравнение представлений Лагранжа и Эйлера
Перенос величины р определяется соответствующим уравнением сохранения массы, записанным в консервативной форме (см. уравнение (6-1.1)) или в лагранжевой форме (см. уравнение (6-1.2)). Заметим, что когда р представляет собой локально неизменную величину, правая часть уравнения (6-1.2) равняется нулю. Например, такой величиной может быть отношение числа атомов водорода к числу атомов кислорода или некоторая изменяющаяся во времени величина, характеризующая эволюцию поверхности раздела. Эйлерова производная dp/dt представляет собой скорость изменения величины р во времени в фиксированной точке системы координат. Лагранжева производная dpldt характеризует скорость изменения во времени величины р в элементе жидкости, движущемся вместе с жидкостью. Выбор между эйлеровой и лагранжевой системой координат является весьма важным делом.
При дискретном эйлеровом представлении узлы сетки по пространству фиксируются и жидкость движется через ячейки. Здесь искривленные поверхности раздела в течении не могут быть локализованы с точностью, большей размера одной ячейки, если не вводить дополнительные степени свободы в этом представлении. Наиболее часто встречающейся проблемой, возникающей при использовании эйлерова представления, является численная диффузия, в результате которой перенос вещества через ячейки происходит более быстро, чем любой физический процесс. В других случаях численная диффузия проявляется как преждевременное смешение жидкости на протяжении всей расчетной ячейки, в то время как физически смешение должно было бы только начаться на одной из сторон расчетной ячейки.
При лагранжевом представлении узлы сетки и расчетные ячейки движутся вместе с жидкостью так, что уравнение сохранения массы сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению для р в движущейся системе отсчета. Если р представляет собой плотность вещества, состоящего из многих
компонентов, то при движении с жидкостью индивидуально сохраняется каждый из компонентов плотности р/. В случае, когда учитывается возможность распространения звуковых волн и можно пренебречь неизэнтропическим нагревом или охлаждением, вдоль траекторий частиц жидкости сохраняется энтропия. С точки зрения численного моделирования в лагранжевом подходе имеются существенные упрощения и потенциальные преимущества. Уравнения для каждого индивидуального элемента проще, поверхности раздела могут отслеживаться автоматически. Эти преимущества, однако, уравновешиваются -соответствующими недостатками. Геометрия становится более сложной, поскольку элементы жидкости могут перекрывать друг друга. Компромисс, таким образом, состоит в выборе между точностью в сочетании с геометрической сложностью и вычислительной простотой при наличии численной диффузии.
Вследствие этого нет определенного ответа на вопрос, какое из представлений (эйлерово или лагранжево) лучше. Выбор каждого из них влечет за собой использование разных алгоритмов и разных процедур построения сетки. Оба представления будут широко обсуждаться в последующих главах этой книги.
6-2. Представление непрерывной переменной '
6-2.1. Сеточные представления
В сеточных представлениях на физическое пространство накладывается сетка и непрерывная гидродинамическая переменная р(х, /) представляется в виде линейной комбинации независимых базисных функций {р/(х, /)}
рМ= 2 Р/№)- (6-2.1)
/ = 1
Коэффициенты р/(/) являются лишь функциями времени, а базисные функции зависят только от пространственной переменной X.
Для того чтобы представить с высокой точностью даже достаточно хорошую непрерывную переменную, требуется, чтобы число базисных функций стремилось к бесконечности. Чтобы сделать представление вычислимым, число дискретных степеней свободы, т. е. число коэффициентов {р/} должно быть конечным. Такая дискретизация часто выполняется привязыванием каждой из базисных функций к соответствующей ячейке расчетной сетки. Чтобы такая связь была разумной, базисные функции {f/(x)} должны быть приемлемым образом локализо*
ваны в пространстве — каждая базисная функция около одной из ячеек. Как только подобную связь в представлении устанавливают, нефизическая величина (размер ячейки) будет влиять на численное решение вне зависимости от формального порядка точности последующих алгоритмов. Если с каждой ячейкой связана более чем одна степень свободы, так что пространственные изменения внутри ячейки могут быть до некоторой степени разрешены, то влияние размера ячейки может быть уменьшено, но не устранено полностью. Существуют целые классы разложений, которые последовательно более делокализованы в том смысле, что они используют больше величин -из удаленных ячеек. Полностью делокализованные или глобальные разложения, на которых основаны спектральные методы, целесообразны в ситуациях, где полезно связать всю расчетную область. Промежуточные представления, называемые спектральными элементами, имеют ряд степеней свободы, связанных с отдельными участками переменной формы в расчетной области.
При эйлеровом подходе используется линейное разложение для описания пространственных изменений непрерывных переменных во всей рассматриваемой области. Эти разложения обычно привязываются к фиксированной эйлеровой сетке, а на гидродинамические переменные смотрят как на переносимые или передвигаемые от ячейки к ячейке величины посредством потоков этих переменных.
При лагранжевом подходе отслеживается движение ряда узлов, которые перемещаются вместе с потоком жидкости. Это упрощает уравнения, разделяя задачу на геометрическую часть, где отслеживается относительное расположение узлов, и физическую часть, где вычисляется изменение во времени физических параметров жидкости в каждом узле. Движущиеся узлы группируются так, что локальные градиенты и физические параметры в этих узлах могли бы аппроксимироваться точнее. Связывая эти узлы вместе некоторым разумным образом, учитывающим их местоположение, получаем сетку другого рода, а именно лагранжеву сетку. В лагранжевых представлениях течение само определяет структуру сетки. Лагранжевы представления обычно рассматриваются как локальные разложения.
Конечные разности наиболее часто используются для создания алгоритмов решения как при эйлеровом, так и при лагранжевом представлениях. Как было сказано в гл. 4, значения физических переменных, характеризующих малые элементы жидкости, определяются на пространственно-временной дискретной сетке. Эти величины вычисляются в конце шага по времени, исходя из их значений в начале временного шага, аа
Граница j-\/ZJ+t/2Граница j-\/ZJ+t/2
Граница j-\/ZJ+t/2
Граница j-\/ZJ+t/2
•^прав - ^V+l/Z•^прав - ^V+l/Z^лев=»|/2 |ячейкал| $j I Ячейка j + 1
•^прав - ^V+l/Z
•^прав - ^V+l/Z
^-3/2.'Л7+ЗД
Ячейка с центром в
Рис. 6-1. Расчетная область типичной одномерной эйлеровой сетки.
возможно, и из значений на нескольких предыдущих шагах по времени. В каждой ячейке время обычно продвигается до одной и той же величины, тан что представляется обоснованным введение понятия временного слоя для всей пространственной сетки. Обычно численные аппроксимации временной и пространственных производных бывают совершенно различными.
Рассмотрим типичное эйлерово представление, состоящее из множества (/+1) точек {х/_]/2}, описывающих одномерную ограниченную пространственную область %лев<Х/-1/2<^прав. Эти точки упорядочены так, что образуют сетку, причем
Xj-1/2 < Xj+1/2>/ — 1, 2, J.(6-2.2)
Типичная эйлерова сетка, показанная на рис. 6-1, разбивает расчетную область на I ячеек с центрами в {xj, где
^/^ "^ (-*7 -1/2 Н--*74-1/2) •(6-2.3)
Размеры ячеек ^Дх^ определяются разностями
А^у = Х/+1/2Я/-!^*А^у = Х/+1/2Я/-!^*(6-2.4)(6-2.4)
А^у = Х/+1/2Я/-!^*
А^у = Х/+1/2Я/-!^*
(6-2.4)
(6-2.4)
Как можно видеть из рис. 6-1, первоначальное множество точек {х/+1/2} характеризует положения поверхностей раздела, ограничивающих дискретные расчетные ячейки.
Рассмотрим три простых дискретных представления на этой сетке. Первое представление определяет действительную величину р/, вычисленную с конечной точностью для каждой ячейки. Предположим, что эта величина представляет собой значение переменной на протяжении всей ячейки. При таком кусочно-постоянном представлении последовательность величин {р/} можно рассматривать как средние значения р(х) в каждой ячейке. Такая кусочно-постоянная численная аппроксимация непрерывной переменной р(х) имеет разрывы на грани-
це каждой ячейки. Тогда для массы М всей жидкости получаем
м= 22 Р/^у (6-2-5)
Такое представление р(х) схематически изображено на рис. 6-2, а. Базисная функция для такой аппроксимации имеет профиль прямоугольника с единичной высотой и шириной в одну ячейку. Эта функция показана на рис. 6-3, а. Приближенное значение интеграла от р(х) (площадь под штриховыми линиями на рис. 6-2, а) может быть вычислена в виде линейной комбинации локальных базисных функций рассмотренного типа. Такая аппроксимация непрерывной переменной не является, конечно, гладкой.
Ку сочно-линейная аппроксимация предполагает, что непрерывная переменная р(х) представляется набором ее дискретных значений на границах ячеек. Значения переменной внутри ячейки находятся затем с помощью линейной интерполяции между двумя соседними значениями на границе ячейки, а именно
p(x):=J£Ml£m^^(6-2.6)
для x/-i/2^x^Xj+i/2. Сохранение полной массы в этом случае выражается соотношением
Ах, . v‘ (Ax/+Ax/+i) Ах/ — Р1/2 2 г ^4 Р/ +1/22 Г PJ + 1/2 “2” •
(6-2.7)
Эти два представления для р(х) обладают одинаковым числом степеней свободы и в сущности одинаковыми интегральными формулами для подсчета полной массы. Очевидно, однако, что кусочно-линейная аппроксимация кривой, изображенной на рис. 6-2, б, более точна, чем кусочно-постоянная аппроксимация. Причина этого связана с шириной и, следовательно, относительной гладкостью используемых базисных функций. Базисная функция в случае кусочно-линейной аппроксимации имеет форму «шатра» или «крыши» с единичной высотой в месте соприкосновения двух смежных ячеек и затем линейным уменьшением до нуля у краев этих двух ячеек. Эта функция показана на рис. 6-3, б.
Рис. 6-2. Два представления гладкой функции: а — кусочно-постоянное; б — кусочно-линейное.
Рис. 6-3. Базисные функции для трех представлений: а — кусочно-постоянное; б — кусочно-линейное; в — кусочно-параболическое. Вертикальными штриховыми линиями отмечено положение характерной ширины трех локальных базисных функций.
На рис. 6-3, в .изображена одна из базисных функций при кусочно-параболической аппроксимации. Хотя представляется, что такое приближение является аппроксимацией более высокого порядка по сравнению с кусочно-постоянной и кусочнолинейной аппроксимациями, область пространственного определения этой базисной функции в действительности несколько меньше, чем в случае функции в форме шатра. Если обозначить через Xf2 квадрат размера области локализации базисной функции (В пространстве и воспользоваться этой величиной для определения эффективной ширины базисной функции
x2f(x)dx
,(6-2.8)
^ Hx)dx
то три локальные базисные функции, изображенные на рис. 6-3, имеют следующие эффективные ширины:
1/12, для кусочно-постоянной аппроксимации;
4 =4 =1/6, для кусочно-линейной аппроксимации; (6-2.9)
4 =
4 =
1/8, для кусочно-параболической аппроксимации.
Видно, что в действительности самой широкой является кусочно-линейная базисная функция. Кусочно-параболическая базисная функция не столь широка, поскольку в ее выражении с целью локализации опущены линейные члены. Такая избыточная локализованность в методах высокого порядка приводит фактически к снижению их математической точности и как следствие к относительно меньшему использованию в расчетах. Когда базисная функция строится с использованием как линейных, так и квадратичных членов, требуется привлечение информации от более чем одной или двух смежных ячеек для определения коэффициентов в выражении для базисной функции. Такие менее локализованные аппроксимации более высокого порядка будут детально рассмотрены в гл. 9 для решения уравнений сохранения с помощью спектральных методов или методов конечных элементов.
6-2.2. Разложение и спектральные представления
На практике р(х, /) представляется в виде конечной линейной суммы по базисным функциям {//(х)}, разложение по которым имеет вид (6-2.1). Зависящие от времени коэффициенты {p/W} в начальный момент времени определяются по заданному начальному профилю плотности и далее в последующие мо- 15—245
менты времени вычисляются в соответствии с используемым численным алгоритмом. Когда базисные функции локальны, как в трех рассмотренных выше случаях, каждый из зависящих от времени коэффициентов (общим числом /) может быть связан с локальным или со средним значением р в пределах ячейки. Локальное значение р в таком разложении умножается на соответствующую базисную функцию.
Представляется возможным также пользоваться разложениями, подобными разложению (6-2.1), с базисными функциями, основанными на даже менее локализованных собственных функциях, чем кусочно-постоянная и кусочно-линейная функции. В методах конечных элементов, обсуждаемых в гл. 9, применяются несколько менее локализованные базисные функции, связывающие неявным образом все ячейки. При этом информация со всей сетки участвует в вычислении производных и коэффициентов в разложении по базисным функциям. Чем более высокие производные состыковываются на границах элементов, тем сильнее возрастает ширина и гладкость эквивалентных базисных функций. С ростом ширины базисных функций представляется все менее обоснованным рассматривать коэффициенты разложения как значения р в сеточных точках или в дискретных узлах, а имеет смысл рассматривать их как определение некоторых расширенных степеней свободы.
Для построения кусочно-кубических сплайнов, например, используют различные кубические полиномы на разных интервалах сетки. Четыре коэффициента в таких кубических полиномах выбираются из условия, чтобы при стыковке сплайн-функ- ции на границах ячеек составная кривая была непрерывна вместе со своими первой и второй производными. Для выполнения этого требования вся задача в целом должна решаться неявно, связывая, таким образом вновь.информацию со всей сетки. Даже явная конечно-разностная формула третьего порядка точности обычно требует информации по крайней мере от четырех узлов сетки.
Утверждение о том, что лучше иметь точность высокого порядка, получаемую с использованием менее локализованных базисных функций, чем иметь точность низкого порядка, может быть доведено до своей логической крайности. Анализ, проведенный в гл. 4, выявил полезность применения разложений в ряды Фурье для представления и рассмотрения непрерывных функций. Разложение в ряд Фурье полностью нелокально. При таком разложении информация со всей пространственной сетки с одинаковым весом входит во все фурье-коэффициенты. Коэффициенты разложения представляют собой амплитуды фурье- гармоник, а базисными функциями являются тригонометрические функции. При представлении, основанном на разложениях
в ряд Фурье, удобно оперировать дискретной сеткой в к-про- странстве, или пространстве волновых чисел, а не в х-прост- ранстве, или в конфигурационном пространстве.
Поскольку фурье-гармоника представляет собой нечто среднее, содержащее информацию от всех областей пространства с одинаковыми весами, она является в некотором смысле противоположностью локальному значению физической переменной. Для исследования крупномасштабных коллективных явлений или других явлений, где можно предполагать, что информация распространяется повсюду практически с бесконечной скоростью, использование фурье-разложений является отличной методикой (см., например, работу [20] и ссылки на литературу в гл. 9). Однако акустические волны, фронты пламени, детонация представляют собой явления, распространяющиеся с конечной скоростью. Применение растянутых по пространству базисных функций в таких случаях позволяет численному решению в некоторой области реагировать на приближающийся разрыв прежде, чем разрыв появится физически. Такое неестественное следствие конечной ширины носителя базисных функций является нефизичным и часто приводит к неприемлемым результатам. Например, могут появиться нефи- зичные всплески на границе вверх по течению при решении газодинамической задачи с ударной волной методом конечных элементов или спектральным методом, поскольку в этих методах неявно связывается решение на всей сетке. Физическое время задержки в скорости распространения информации по среде будет в этом случае неверным.
Базисная функция с прямоугольным профилем при кусочнопостоянной аппроксимации — это лучшее приближение к дельта-функции, которое может быть достигнуто в случае дискретного эйлерова описания, хотя такая базисная функция и растянута на всю ячейку. Таким образом, резонно ожидать, что разрывное поведение решения было бы воспроизведено более правдоподобно с помощью методов и представлений с минимальной мгновенной передачей численной информации на большие расстояния за один шаг по времени. Можно также ожидать, что гладкое потенциальное течение или несжимаемые течения было бы лучше рассчитывать с помощью спектральных методов, поскольку при этом жидкость ведет себя как единое целое благодаря относительно быстрым акустическим волнам.
6-2.3. Представления в форме Лагранжа
Другой подход в проблеме представления непрерывной Функции состоит в выделении конечного числа элементов жидкости и рассмотрении их как отдельных сущностей. При таком лагранжевом подходе отслеживаются физические свойства 15*
движущегося элемента жидкости. Законы -сохранения в этом случае записываются для взаимодействующих элементов жидкости. Лагранжев подход охватывает широкий класс методов,, описывающих движение элементов жидкости и макрочастиц. В нонце шага по времени при расчете лагранжевым методом необходимо обновить не только физические переменные, но и координаты {х/} элементов жидкости или частиц в соответствии с уравнением
AXz(/) = vz(0. (6-2.10)
Теперь эти координаты являются степенями свободы решения, поскольку они изменяются на каждом шаге по времени. Для получения заданного пространственного разрешения при лагранжевом представлении имеются дополнительные по сравнению с эйлеровым представлением степени свободы, поскольку можно варьировать положения узлов так же, как зависимые переменные.
Рассмотрим теперь задачу о движении небольшого облака, перемещающегося по окружающей среде без диффузии. Предположим, что при двумерном моделировании облако представлено набором ячеек с массой mi, расположенных в точках хи Допустим также, что внутри облака имеется сдвиговое течение, так что по мере эволюции течения соседние ячейки деформируются и перемещаются. Однако жидкость не пересекает границ лагранжевой ячейки, так как предполагается, что эти границы движутся вместе с потоком. Спустя некоторое время может оказаться, что те лагранжевы узлы, которые были первоначально близкими, могут разойтись, а узлы, которые были первоначально удалены, сблизятся друг с другом. Когда в течении преобладают вращательные или сдвиговые движения, лагранжева сетка стремится перепутаться, и это вызывает необходимость в ее постоянной перестройке.
Для перестройки такой сетки требуется или процедура преобразования, при которой границы раздела ячеек сдвигаются относительно жидкости, или изменение связности сетки, позволяющее каждому лагранжеву узлу менять своих соседей по мере развития течения. Первая процедура обладает численной диффузией. Во второй процедуре не обязательно присутствует численная диффузия, и именно она была применена Фриттсом и Борисом [17] при создании динамически перестраивающейся треугольной сетки. Эти методы обсуждаются далее в разд. 6-4 при описании построения адаптивных сеток, а также в гл. 10, где приведены обширные литературные ссылки.
До сих пор при лагранжевом описании предполагалось, что поток состоит из элементов жидкости малых конечных
объемов, которые поступательно движутся, вращаются, растягиваются и взаимодействуют со своими соседями. Существуют, однако, другие способы интерпретации лагранжева описания. Одной из таких интерпретаций является представление течения в виде системы макрочастиц. Термин макрочастица иногда попользуется для обозначения конечных элементов или конеч^ ных объемов среды, когда допускается сосуществование двух или более из них в некоторой части пространства. Макрочастицы движутся с локальной скоростью жидкости, а локальное значение р определяется суперпозицией соответствующих частиц. Увеличивая число макрочастиц в моделируемом объеме, можно приближенно вычислить плотность в некоторой области, учитывая здесь Bice макрочастицы. Например, если р представляет собой плотность жидкости, то значение плотности в некоторой области может быть вычислено путем подсчета здесь всех частиц и учета их относительных масс. Заметим, что для моделирования течения используется существенно меньшее число макрочастиц, чем реальное число частиц в жидкости, поэтому их размер и масса должны быть намного больше. Существует множество алгоритмов, обладающих самыми разными сочетаниями хороших и плохих свойств. Они позволяют определить, как движутся эти макрочастицы, вычислить действующие на них силы, а также найти, зная параметры и местоположения всех макрочастиц, гидродинамические величины для реальной жидкости.
В рамках лагранжева описания для решения усложненных задач .аэрогидродинамики разработаны также варианты метода Монте-Карло (см., например, работы Берда [2, 3]) и подходы с использованием клеточных автоматов (см., например, работу [16]). Эти варианты представляют собой лагранжевы модели, ориентированные на использование частиц и битов информации способом, напоминающим использование элементов жидкости в обсуждаемых выше лагранжевых методах, но отличающимся подходом к макрочастицам. Однако, как только в описании течения появляется статистический аспект, при расчетах сложных течений реагирующей среды польза от такого метода уменьшается. Поэтому далее в этой главе методы, связанные с частицами, не рассматриваются, а вновь будут обсуждаться конечно-разностные методы с пространственными сетками и дискретными шагами по времени. Подходы, связанные с макрочастицами, обсуждаются далее в гл. 10.
6-2.4. Метод прямых
Метод прямых объединяет численное представление с алгоритмическим подходом, образуя в результате достаточно общую процедуру решения дифференциальных уравнений в част-
ных производных. Этот подход обсуждается в настоящем разделе, но равным образом его можно было бы рассмотреть в гл. 9 применительно к решению системы уравнений сохранения или при обсуждении общих методик решения связанных систем уравнений. В методе прямых временное и пространственное представление системы уравнений в частных производных разделяются и рассматриваются независимо. Подход, в котором зависимость от времени остается номинально непрерывной, носит название полуаналитического метода прямых. Такой метод впервые предложили Лисковец [30] и затем Хикс и Вэй [24], а впервые применил его к расчету структуры ламинарного пламени Бледьян [4]. Обзоры этого метода содержатся в работах Карвера [9] и Хаймена [25]. Ряд понятий, используемых здесь для описания метода прямых, определяется в гл. 8 и 9. Поэтому целесообразно изучать этот раздел, предварительно ознакомившись с гл. 9.
При разработке метода прямых вначале проводят пространственную дискретизацию системы уравнений сохранения вместе с соответствующими граничными условиями. Обычно здесь применяются конечно-разностные формулы с порядком аппроксимации выше второго. Затем выбирается подходящий алгоритм для интегрирования полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений по времени, так чтобы можно было воспользоваться существующими методами и пакетами численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Как характер дискретизации по пространству, так и метод интегрирования по времени должны быть выбраны с учетом вида численной диссипации, которую следует ввести. Как и в случае ряда ранее разработанных методов, которые обсуждаются в гл. 8, здесь необходимо включить члены с нефизичной диффузией (искусственная диссипация) для предотвращения неприемлемых завышающих и занижающих выбросов в решении при расчете скачков (см., например, работу [25]). Это является своего рода искусством, требующим значительных усилий для выбора того, когда и каким образом включать и выключать члены с искусственной диссипацией. Вряд ли существует какой-либо способ, позволяющий процедуры с нелинейными ограничениями на величину и производную потока включить в монотонные методы, сохраняющие положительность решения. Поэтому в методе прямых для достижения заданной точности требуется большее пространственное разрешение, чем для монотонных конвективных алгоритмов, описанных в гл. 8 и 9. Тем не менее этим методом получены хорошие результаты при решении многих одномерных задач. Метод прямых более простой, чем глобальные неявные конечно-разностные ме-
тоды, особенно в случае, когда решаемые уравнения сильно нелинейны, но при решении многомерных задач он встречает, как кажется, сравнимые или еще большие трудности.
Гелант [18] модифицировал метод прямых и для интегрирования по времени получающейся системы жестких ОДУ применял неявные многошаговые методы, не требующие явного вычисления и обращения якобиана. Им было проведено численное моделирование структуры озонно-кислородного пламени с использованием схемы интегрирования Гира (см. гл. 5). Хаймен [25] также рекомендует применять итерационный неявный многошаговый метод при проведении интегрирования по времени потенциально жестких уравнений. Представляется, что такой подход нормально работает в случае уравнений с умеренной жесткостью, возникающей из-за сильных пространственных градиентов и скачков, пока удовлетворяется модифицированное условие Куранта — Фридрихса— Леви, а скачки проходят менее ячейки за один шаг по времени [25]. Не ясно, насколько хорошо формализм метода прямых -преодолевает намного более сильные ограничения на шаг по времени в явных схемах в случае жесткой химии или действительно жесткой газовой динамики, например, в таком случае, когда надо устойчиво рассчитывать очень быстрые звуковые волны в почти несжимаемых течениях.
6-3. Разрешение и точность на сетке
Количественные меры оценки разрешения и точности алгоритма обычно основаны на применении этого алгоритма к решению идеализированных задач. Меры эти являются полезным ориентиром, но имеют меньшее значение, когда задачи усложняются из-за введения нерегулярной сетки, сложной геометрии и сложной картины течения. Вследствие всего этого сосредоточим внимание на более тонких и качественных свойствах алгоритмов, таких, как возможность гарантировать выполнение глобальных физических свойств: консервативность, положительность и причинность.
6-3.1, Ошибки, обусловленные сеточной аппроксимацией
В табл. 4-4 приведены четыре типа ошибок, имеющих место при конечно-разностном моделировании: локальные ошибки, амплитудные ошибки, фазовые ошибки и ошибки вследствие эффекта Гиббса. Три последних типа ошибок являются нелокальными и обусловлены выбором описания, дискретизацией или алгоритмом вычисления производной. Полезно снова
взглянуть на эти типы ошибок в свете дополнительной информации, представленной в этой главе.
Обычно наибольшие ошибки при численном моделировании реагирующих течений появляются из-за дискретизации по пространству. Таким образом, локальные ошибки, включающие в себя ошибки округления, ошибки аппроксимации и ошибки из-за невыполнения условия консервативности в решениях локальных явлений, не относятся непосредственно к настоящему обсуждению ошибок, обусловленных построением сетки и разрешением по пространству. Некоторые аспекты возникновения локальных ошибок были детально рассмотреные в гл. 5.
Локальные ошибки, однако, могут быть важны косвенно вследствие их связи с пространственными изменениями. Например, локальные ошибки могли бы быть важны, когда результаты решения химических уравнений сильно влияют на общий поток энергии в системе. Другой пример проявления влияния локальных ошибок заключается в наличии хаотических локальных ошибок округления в плотности, вызывающих хаотические волны в давлении и, в конечном итоге, в скорости. Если среда практически несжимаемая, то возникновение этих волн напоминает непрерывную генерацию достаточно сильных звуковых волн.
Часто производные приближенно вычисляются как разности величин, приписанных к соседним ячейкам. Когда эти величины примерно равны, то ошибки округления увеличиваются, поскольку при этом разности физических величин близки к нулю. Хотелось бы иметь гарантию, что в численных алгоритмах ошибки округления не превзойдут ошибок аппроксимации. Для обеспечения этого ошибки округления должны быть на несколько порядков величины меньше, чем точность, требуемая от различных алгоритмов. Эти требования сводятся к необходимости получения численного решения с точностью до семи значащих цифр при десятичном представлении реальных чисел. Практически это означает, что 32-битных чисел в представлении с плавающей запятой обычно вполне достаточно для подавления эффектов, вызванных ошибками округления, хотя и следует позаботиться об оценке ошибок в каждой конкретной задаче.
Как показано в гл. 4, преобразования Фурье являются полезными средствами при анализе алгоритмов для вычисления нелокальных производных на однородных пространственных сетках. Как вследствие ошибок аппроксимации в приближенных выражениях производных, так и конечности сетки для каждой фурье-гармоники возникают ошибки в фазе и амплитуде комплексного коэффициента усиления гармоники А (&). Амплитудные ошибки важны при моделировании диффузии, кон-
векции и при решении волнового уравнения. Фазовые ошибки имеют место в решениях при расчете переноса и в решениях волнового уравнения, но они отсутствуют при расчете локальных процессов и в решениях уравнений диффузии.
Как показано в гл. 4, амплитудные ошибки приводят к слишком сильному сглаживанию решения, что называется численной диффузией, или к появлению слишком больших градиентов, что называется численной неустойчивостью. Поскольку численная неустойчивость может быть гибельна для решения, важно гарантировать, чтобы используемый алгоритм был всегда устойчивым. На практике это обычно означает, что в уравнение вводится некоторая численная диффузия.
Улучшенное разрешение может уменьшить численную диффузию, но увеличивает объем вычислений. В двумерном случае улучшение пространственного разрешения вдвое в каждом направлении увеличивает в восемь раз необходимое для расчетов время, поскольку шаг по времени также должен быть пропорционально уменьшен. Таким образом, алгоритм первого порядка точности с амплитудными ошибками, пропорциональными 8 = иА//Дх, становится всего лишь в два раза более точным при восьмикратном увеличении вычислительных затрат. Подобное сопоставление для трехмерных задач еще менее благоприятное. Вследствие этого рекомендуются алгоритмы, обеспечивающие амплитудные ошибки на уровне второго или меньшего порядка величины как по размеру ячейки, так и по временному шагу.
Когда физическая диффузия велика, она может покрывать численную диффузию. Если известен эффективный коэффициент численной диффузии, то присутствие физической диффузии можно хорошо использовать. Если, например, физическая диффузия достаточно велика, то могут быть адекватным образом использованы алгоритмы низкого порядка, предназначенные для расчета конвекции. По этой причине в литературе по вычислительной аэрогидродинамике объединенное конвективнодиффузионное уравнение часто рассматривается как единое целое. Напомним, однако, что алгоритм, сконструированный с использованием такого благоприятного обстоятельства, скорее всего будет плохо работать в ситуациях, где физическая диффузия относительно мала.
Фазовые ошибки являются нефизичной формой дисперсии, при -которой вследствие вычислительных ошибок гармоники с разной длиной волны перемещаются с различными скоростями. Многие типы физических волн имеют закон дисперсии, отличный от линейного, но идеальная конвекция и длинноволновые звуковые колебания, свойства которых мы желаем воспроизвести, таковыми не являются. Фазовые ошибки могут неблагопри-*
ятным образом влиять на причинность, положительность и точность. Особое значение они имеют в алгоритмах расчета конвекции, поскольку здесь они непрерывно накапливаются и могут превзойти некоторый допустимый уровень.
В общем, трудно с помощью нелокальных разложений описывать перемещение во времени резких градиентов или мелкомасштабных структур. Основная проблема здесь состоит в том, что гармоники с наиболее короткими длинами волн, ответственные за области решения, где градиенты велики, подвержены также и наиболее сильным фазовым ошибкам. Применение нелокального разложения требует использования многих базисных функций и гарантии того, что вклады всех этих функций соответствующим образом согласованы по фазе, так чтобы получить в результате их сложения резкий переходной участок с гладкими областями по обе стороны от него. Если не обеспечивается надлежащая согласованность фаз гармоник при их суперпозиции, то решение быстро портится.
В гл. 9 обсуждаются несколько методов решения уравнений сохранения. Сравнение ряда методов показывает, что вычисление фазовых ошибок при конвекции с точностью четвертого порядка дает, по-видимому, существенное улучшение по отношению к методу второго порядка точности. Когда фазовые ошибки являются ошибками четвертого порядка малости, то, как показывает практика, они уже не вызывают постоянного размывания переносимого профиля решения.
Последний тип ошибок, рассматриваемый в этом разделе, это ошибки, обусловленные эффектом Гиббса, присутствующим при решении волнового уравнения или уравнения конвекции. Эти ошибки очень похожи на дисперсионные ошибки, но имеют иной источник. Они обусловлены собственно не конкретным видом алгоритма, а самой дискретной природой представления решения. Таким образом, эти ошибки нельзя устранить улучшением фазовых и амплитудных свойств численного алгоритма.
Ошибки Гиббса имеют свое начало в очень коротковолновых гармониках, длина волны которых меньше размера двух ячеек, так что они не вовлечены в представление непрерывной переменной. Следовательно, структура непрерывных решений внутри каждой ячейки не может быть разрешена. Такие неразрешенные пространственные изменения дают внутренне присущую ошибку, связанную с представлением непрерывной функции на дискретной сетке. В численном моделировании ошибки Гиббса проявляются как завышающие или занижающие выбросы в решении, которые больше вблизи резких градиентов и разрывов и становятся видимыми, как только резкий профиль проходит часть ячейки от своего начального положения.
Ошибки Гиббса устанавливают границу возможной точности при дискретной аппроксимации. Такие ошибки в случае эйлерова описания течения могут быть уменьшены только за счет улучшения разрешения. При лагранжевом способе описания ошибки Гиббса подавляются движением узлов за счет введения дополнительных степеней свободы и применением более громоздких алгоритмов.
При численном представлении разрыва должен быть установлен баланс между числом степеней свободы, используемых для описания разрыва, и точностью, с которой рассчитывается каждая степень свободы. Мы установили, что лучшие результаты в целом получаются с помощью методов промежуточного порядка, имеющих достаточно локализованные базисные функции и дающих фазовые ошибки четвертого или более высокого порядка малости. По-видимому, во многих ситуациях являются приемлемыми остаточные амплитудные ошибки второго порядка малости, но фазовые ошибки накапливаются со временем и поэтому должны оставаться малыми.
6-3.2. Разрешение и точность
Часто на одной и той же сетке используются кусочно-постоянная и кусочно-линейная аппроксимации, показанные на рис. 6-2. В каждом из этих случаев непрерывная функция разлагается в ряд по хорошо локализованным базисным функциям. В обоих случаях число степеней свободы почти одно и то же, а разрешение, по существу, идентично. Тем не менее, представляется, что кусочно-линейная аппроксимация лучше, поскольку аппроксимирующая функция всюду непрерывна, хотя ее производные не являются непрерывными. Используя аппроксимирующие выражения с близкой разрешающей способностью и точностью, но по-разному интерпретируя представление, возможно получить более точную аппроксимацию.
Вообще говоря, методы более высокого порядка лучше, чем методы более низкого порядка. Существует, однако, некоторый момент, начиная с которого дополнительная работа по расчету решения методом более высокого порядка с обеспечением его устойчивости фактически не приносит соответствующего улучшения точности. Методами более высокого порядка можно только получить лучшие решения на расстояниях, превышающих длину нескольких ячеек. С помощью интерполяции (вне зависимости от того, насколько высок ее порядок) нельзя воспроизвести неразрешаемые изменения решения внутри расчетной ячейки. Это является фундаментальным ограничением, накладываемым разрешающей способностью конкретной аппроксимации. Оно не зависит от порядка точности, вида раз-
ложения или применяемого алгоритма. Обсуждавшиеся выше ошибки Гиббса проистекают из этого фундаментального вычислительного ограничения.
Представление временных и пространственных изменений можно оптимизировать разными способами в зависимости от конкретной задачи. Будь то величины, взятые в отдельной точке, величины усредненные по объему, или фурье-коэффициен- ты — цель состоит в хорошей аппроксимации конкретной функции с минимальным числом степеней свободы. Когда реальная функция является в целом гладкой, за исключением, быть может, лишь нескольких участков с резкими скачками, оптимальная аппроксимация очень отличается от случая, когда функция имеет колебательную структуру, охватывающую несколько пространственных масштабов.
6-3.3. Введение в многомерные сетки
Построение подходящей сетки в двух или трех измерениях часто является трудной задачей. Часть трудностей возникает из-за геометрической сложности расчетной области, часть же трудностей возникает из-за того, что сама структура течения в многомерном случае обычно более сложная, чем в одномерном случае.
В последние годы в ряде публикаций внимание было сосредоточено на методах построения сеток, так как с помощью разумного построения сетки можно достичь большего, чем с помощью перехода к алгоритмам интегрирования более высокого порядка. Организация многомерных сеток становится важным фактором при решении больших задач численного моделирования. В этом случае из-за большого числа расчетных ячеек, необходимых для хорошего разрешения, может сказаться ограниченность компьютерной памяти. Высокое разрешение обычно не требуется во всей расчетной области, а формулы низкого порядка в общем являются более эффективными и, кроме того, более удобными для программирования и использования.
На рис. 6-4 и 6-5 показано несколько наиболее часто используемых типов построения многомерных эйлеровых и лагранжевых сеток. Картина течения, которую хотят представить с помощью этих сеток, содержит две области, разделенные искривленной поверхностью. Такая поверхность раздела могла бы быть, например, границей между нефтью и водой, поверхностью океана, перемещающимся тонким фронтом пламени или областью с большими градиентами на границе облака. Хотя физическая картина течения одинакова во всех двенадцати случаях, представленные на каждом из рисунков двумерные сетки последовательно усложняются.
Рис. 6-4. Шесть примеров эйлеровых сеток: а — регулярная прямоугольная сетка; б — прямоугольная адаптивная сетка; в — регулярная треугольная сетка; г — треугольная сетка с локальным измельчением; д — прямоугольная сетка с вложенной мелкой сеткой; е — ортогональная сетка с вложенной мелкой сеткой.
Простейшими из многомерных сеток являются .однородные эйлеровы сетки, показанные на рис. 6-4, а и в. На этих рисунках расчетные ячейки представляют собой, соответственно, прямоугольники и треугольники. Размер ячейки может изменяться по каждому из координатных направлений, как показано на рис. 6-4, б. Прямые линии, проведенные с переменным шагом в направлении осей координат, в многомерном случае все еще определяют локально ортогональную сетку, для которой могут быть использованы стандартные методы решения. Те же самые методы фактически могут применяться для криволинейных сеток, которые являются локально ортогональны-
Рис. 6-5. Шесть примеров лагранжевых сеток: а — свободно-лагранжевая «не сетка»; б — лагранжевая четырехугольная сетка; в — лагранжевая трехугольная сетка; г — лагранжевая сетка с измельчением; е — монотонная лагранжевая сетка.Рис. 6-5. Шесть примеров лагранжевых сеток: а — свободно-лагранжевая «не сетка»; б — лагранжевая четырехугольная сетка; в — лагранжевая трехугольная сетка; г — лагранжевая сетка с измельчением; е — монотонная лагранжевая сетка.
Рис. 6-5. Шесть примеров лагранжевых сеток: а — свободно-лагранжевая «не сетка»; б — лагранжевая четырехугольная сетка; в — лагранжевая трехугольная сетка; г — лагранжевая сетка с измельчением; е — монотонная лагранжевая сетка.
Рис. 6-5. Шесть примеров лагранжевых сеток: а — свободно-лагранжевая «не сетка»; б — лагранжевая четырехугольная сетка; в — лагранжевая трехугольная сетка; г — лагранжевая сетка с измельчением; е — монотонная лагранжевая сетка.
ми, как показано на рис. 6-4. В такой ортогональной сетке введена область повышенной разрешающей способности, примыкающая к каждой стороне поверхности раздела и сопряженная с более грубой ортогональной сеткой. Такой способ построения переменной, или адаптивной сетки, может быть очень эффективным. Он, например, сейчас имеет большое значение в аэродинамических расчетах с фиксированной геометрией. Измельчение сетки вдоль поверхности является также полезным приемом при расчете пограничных слоев, примыкающих к гладко изменяющейся поверхности.
На рис. 6-4, г—е показаны сетки с улучшенной разрешаю-
щей способностью в окрестности поверхности раздела. Ограничиваясь измельчением сетки в локальных областях, можно повысить разрешение на сетке в целом, при этом чрезмерно не увеличивая суммарное число расчетных ячеек. На рис. 6-4, г и д приведены сетки, у которых границы мелких ячеек нс привязаны к поверхности раздела, как это сделано у сетки, изображенной на рис. 6-4, е. В большинстве случаев решения, полученные с использованием ортогональных сеток общего вида с дополнительными ячейками вдоль поверхности раздела, являются более точными, но и применение их требует больших объемов вычислений. Поэтому, если сетка в процессе решения формируется только один раз, то такая процедура может быть весьма полезной, но если сетку приходится перестраивать на каждом шаге по времени, то такая процедура может оказаться чрезмерно дорогостоящим предприятием.
Сетки, изображенные на рис. 6-4, б, г, 5, относительно несложно изменить в процессе решения. Однако сетка, приведенная на рис. 6-4, б, образованная всюду ортогональными прямыми линиями, возможно, является простейшей с точки зрения ее построения и модификации. Измельчение сетки может быть произведено лишь там, где это требуется, а поскольку сетка образуется прямыми линиями, то и логика построения алгоритма, и конечно-разностные формулы на ней проще, чем на других адаптивных эйлеровых сетках. Платой за достижение точности здесь служит необходимость распространять зоны с измельченной сеткой, если уж они где-либо понадобились, через всю расчетную область вплоть до границ в каждом пространственном направлении.
Лагранжевы ячейки изменяются по мере развития течения. Значит, как только при вращательном или сдвиговом течениях элементы жидкости оказываются в спутанном состоянии, геометрия сетки может быстро и сильно исказиться. Единственной реально эффективной процедурой, устраняющей такие искажения, является перестроение переместившихся узлов в новую сетку, что неизбежно приводит к изменению связности сетки. Для такой перестройки трудно разработать надежный и эффективный алгоритм. Тем не менее, такого рода процедуры имеют и некоторые преимущества, для реализации которых были приложены значительные усилия в разработке перестраиваемых, адаптивных лагранжевых сеток. В числе ранних разработок Харлоу [23] был предложен алгоритм РАЕ (метод «частица и сила»). В 1970-е гг. эти идеи были распространены на сетки, образованные треугольниками [11], на МГД-алгорит- мы на таких треугольных сетках [8] и на адаптивные треугольные сетки [17]. В течение того же периода были развиты методы, использующие сетки Вороного (ом., например,
статью ИИ), в которых расчетная ячейка сформирована из линий, связывающих центры тяжести треугольников. Эти и родственные методы более детально обсуждаются в гл. 11.
Сетки с произвольной связностью изменяются в соответствии с картиной течения в процессе расчета. За последние несколько лет был достигнут значительный прогресс в расчетах на эйлеровых и лагранжевых сетках. Самые последние достижения в области лагранжевых сеток подытожены в трудах конференции под редакцией Кроули и др. [12J. Область приложения включает в себя сейчас конечно-разностный и конечноэлементный расчеты неустойчивостей в классической гидродинамике, моделирование процессов в токомаках и других установках с высокотемпературной плазмой, расчеты теплопроводности, взаимодействия волн в жидкости с сооружениями, деформаций при ударе, колебаний и распада капель, решение гидродинамических задач как для сжимаемой, так и несжимаемой жидкости. В гл. 13 описывается расчет сложных структур скачков в области с чрезвычайно сложной геометрией с использованием эйлерова описания течения на сетках с произвольной связностью.
Идеальная свободная лагранжева сетка, которая в действительности является «не сеткой», показана на рис. 6-5, а. Эта сетка свободна в том смысле, что ее представление не подразумевает какой-либо конкретной связи между узлами. В эту общую категорию попадают сетки, используемые при рассмотрении динамики вихрей. Плата за устранение сетки состоит здесь в необходимости вычисления всех попарных взаимодействий узлов вместо учета взаимодействий только между соседними узлами.
В лагранжевых методах в двумерном случае сейчас применяются четырехугольные, треугольные и смешанные сетки, в трехмерном случае — тетраэдральные сетки; сетки Вороного используются как в двумерном, так и в трехмерном случаях. Среди лагранжевых методов существуют также методы без сеток. В дополнение к сказанному, отметим, что границы ячеек могут и не быть ортогональными. Таким образом, многие из конечно-разностных операторов, которые хотелось бы представить на этих сетках, становятся более сложными и трудоемкими в исполнении.
На рис. 6-5, бив показаны стандартные лагранжевы сетки, состоящие, ооответственно, из четырехугольных и треугольных ячеек. У четырехугольной сетки в центральной части видны снижающие точность искажения, где поверхность раздела оказывается в спутанном состоянии, что обычно характерно для вращательного течения. Преимущество треугольной сетки состоит в том, что узлы могут быть соединены по-новому с це*
лью образования более хорошей сетки всякий раз, когда треугольники становятся -или слишком вытянутыми, или слишком сжатыми. В этом случае нс наступает спутывание или «перехлестывание» сетки, что случается с четырехугольными лагранжевыми сетками.
На рис. 6-5,г показана лагранжева треугольная сетка, которая локально была измельчена путем деления ячеек. Плата за такое тонко сфокусированное высокое разрешение состоит в необходимости работы с алгоритмами, плохо поддающимися векторизации при распараллеливании вычислений на многопроцессорных компьютерах. Относительная вычислительная неэффективность подобных алгоритмов в общем компенсируется очень малым числом зон с измельченной сеткой, необходимых для достижения отличного разрешения.
В монотонной лагранжевой сетке объединены некоторые из лучших черт, присущих лагранжеву и эйлерову описаниям [6]. Такая сетка обладает глобальной структурой с регулярной нумерацией узлов, характерной для эйлеровых сеток, и способностью отслеживать движения поверхностей раздела и узлов, присущей лагранжевой сетке. Эта потенциально полезная идея обсуждается далее в гл. 10.
6-4. Методы построения адаптивной сетки
В методах построения адаптивной сетки стремятся сгустить расчетные ячейки в областях, где в течении появляется сложная структура, и оставить сетку грубой там, где структура более простая. Вследствие огромных потенциальных возможностей, которые предоставляют адаптивные сетки для уменьшения стоимости вычислений при сохранении требуемого уровня точности, такие сетки находятся в центре внимания в вычислительной физике. На эту тему существует не так уж много л.и- тературы общего характера. Рекомендуем книги Томпсона и др. [42] и Кроули и др. [12], обзорную статью Эйземана [15] и недавние статьи Ленера и др. [31, 32]. Поскольку вся эта область пребывает в стадии бурного развития, следует предостеречь читателя от слепого заимствования любых, за исключением лишь очень простых и ясных методов без предварительной оценки сопутствующих трудностей.
6-4.1. Разбиение сетки на зоны улучшенного разрешения
Часто необходимо разрешать разрывы или локализованные большие градиенты в расчетной области, однако нет возможности брать достаточно мелкую сетку для разрешения этих особенностей на всем пути их следования по расчетной облас* 16—245
ти. Более того, такое высокое разрешение во всей области и не требуется. В этих случаях используются алгоритмы построения адаптивной сетки, в которых -малые расчетные ячейки размещаются только в областях больших градиентов.
Методы построения сеток с локальным измельчением для расчета стационарных пограничных слоев применялись уже давно. В качестве раннего примера сошлемся на работу Митчелла и Томпсона [36]. Для многих нестационарных задач гидрогазодинамики с фиксированной, но усложненной геометрией границы, адаптивные сетки используются для получения точных решений при умеренном числе узлов. Такие задачи возникают, например, при численном моделировании внутренних течений в автомобильных, воздушно-реактивных и ракетных двигателях, а также внешних аэродинамических течений. Применение адаптивной сетки также необходимо при численном моделировании водоема, когда береговая линия водоема должна быть представлена с предписанной точностью.
При простейшем применении адаптивной сетки изначально строятся сетки с переменным расстоянием между узлами, которые потом на протяжении всего расчета сохраняются неизменными. Они адаптируются к границам расчетной области и усредненным параметрам течения. Когда области течения, требующие повышенной точности, локализованы и движутся относительно границ, следует применять алгоритмы, которые изменяют сетку в процессе расчета для сохранения разрешения там, где это необходимо. Это делается, например, при моделировании распространения скачков или фронтов пламени и при моделировании движения в жидкости плотных капель или пузырьков. Обычно в каждой конкретной задаче нетрудно приближенно указать место, где следует измельчить сетку. Для этого существует ряд хороших ай Кос критериев, которые обычно достаточно просто запрограммировать.
Рассмотрим расчет нестационарного пламени или детонации, которые требуют процедуры построения адаптивной сетки. Критерий для сгущения мелких ячеек обычно связан с градиентом локальной температуры или градиентом концентрации компонентов. Можно оценить изменения переменных, а также их первых и вторых производных, чтобы определить необходимое разрешение, после чего может быть изменен размер ячейки с целью минимизации суммарной ошибки. Среди примеров таких расчетов можно указать расчеты детонации Оран и др. [39, 40] и Кайласаната и др. [28], расчеты пламени Марголиса [34], Двайера и др. [14] и Кайласаната и др. [26, 27].
В настоящее время для размещения узлов адаптивных сеток разрабатываются более общие методики, основанные на вариационной конечно-элементной формулировке. Например,
может быть сформулирован вариационный 'принцип для минимизации ошибки, определенной для решаемой системы дифференциальных уравнений. Джелинас и др. [19] применили этот подход в сочетании с методом конечных элементов и получили обнадеживающие результаты. Они используют в качестве вариационного принципа минимизацию меры глобальной ошибки, решения и решают одномерные задачи с исключительными разрешением и точностью. Распространение их метода на двумерный случай, где берутся сетки с треугольными ячейками, требует существенно большей разработки, прежде чем его, можно будет применять с достаточной простотой и эффективностью. В общем случае методы конечных элементов с адаптивными сетками, которые используют вариационный принцип для определения положения узлов сетки, сложны и дороги для произвольно связанных многомерных сеток. Вспомогательные вычисления, которые следует проделывать всякий раз, когда изменяется сетка, становятся более трудоемкими, чем собственно расчет искомых переменных. Винклер и др. [43] и Майелес и др. [35] достигли, однако, значительного прогресса с помощью одномерного метода очень высокого разрешения в задачах радиационной газодинамики. Они перемещают имеющиеся зоны с мелкими ячейками так, чтобы изменения решения рас* пределялись как можно равномернее по ячейкам. Ленер и др. [31, 32] также разработали общие методы построения сеток для двумерных и трехмерных нестационарных газодинамических течений с движущимися скачками, используя опять конечно-элементный подход. Местоположение областей измельчения сетки в их методе определяется важными ad hoc параметрами и структурой течения. Их стратегия заключается в добавлении ячеек по мерс надобности впереди перемещающейся структуры течения и устранении их в областях, где пространственные градиенты уменьшаются.
6-4.2. Построение эйлеровой адаптивной сетки
Для расчетов с эйлеровым описанием течения существуют простые эффективные алгоритмы построения адаптивной сетки, которые используют непрерывное скользящее перестроение сетки, при котором и поверхности раздела ячеек, и жидкость движутся одновременно. Основная идея состоит в повышении разрешения там, где это необходимо, что достигается перемещением зон с мелкими ячейками из соседних областей, где высокое разрешение не требуется.
На рис. 6-6 показано скользящее перестроение сетки, в котором область с большим градиентом, например ударная волна или пламя, движется по расчетной области с сеткой, состоя-
Ы I II II—IьЫ I II II—IьГраницы ячеек скользящей многозональной эйлеровой сеткиГраницы ячеек скользящей многозональной эйлеровой сеткиI111 Зоны с крупной сеткойI111 Зоны с крупной сеткой1I-Переходнаяобласть1I-Переходнаяобласть4—1-4—И-Ц—I4—1-4—И-Ц—I|3оны I с мелкой сеткой I|3оны I с мелкой сеткой I
Ы I II II—Iь
Ы I II II—Iь
Границы ячеек скользящей многозональной эйлеровой сетки
Границы ячеек скользящей многозональной эйлеровой сетки
I11
1 Зоны с крупной сеткой
I11
1 Зоны с крупной сеткой
1I-
Переходнаяобласть
1I-
Переходнаяобласть
4—1-4—И-Ц—I
4—1-4—И-Ц—I
|3оны I с мелкой сеткой I
|3оны I с мелкой сеткой I
Движущаяся ударная волнаили большой градиент
Рис. 6-6. Схема скользящего перестроения эйлеровой сетки для построения адаптивной сетки, предназначенной для расчета перемещающегося непрерывного профиля некоторого параметра жидкости с большим градиентом.
щей из двенадцати ячеек и тринадцати поверхностей раздела. Сгущение ячеек в зоне с большими градиентами позволяет поддерживать более высокое разрешение при меньшем числе ячеек. На показанных последовательных рисунках зона с большим градиентом всегда окружена ячейками, которые мельче средней ячейки в два раза. Следовательно, при равномерном разбиении всей расчетной области потребовалось бы двадцать четыре таких ячейки вместо двенадцати, соответственно удвоилась бы и стоимость расчета. Часто используют ячейки в зонах с высоким разрешением, размер которых составляет от одной десятой до одной двадцатой размера ячеек в зонах с низким разрешением, сберегая таким образом до порядка величины машинного времени.
На рис. 6-6 показана также переходная область между зонами сетки с низким и высоким разрешением. Размер ячеек сетки должен меняться постепенно. Резкие изменения разме-
Рис. 6-7. Схема индексирования при построении перестраивающейся скользящей многозональной сетки.
ров ячеек обычно уменьшают точность аппроксимации производных и, следовательно, уменьшают точность расчета нелокальных процессов. Другая проблема, связанная с большими изменениями размера ячеек, состоит в том, что распространяющиеся волны и флуктуации могут отражать эти изменения численно, что может привести к образованию других ложных эффектов. Отметим еще раз, что точность существенно улучшается при постепенном изменении размера ячеек; чем более постепенно такое изменение, тем больше точность. В общем не рекомендуется делать большее, чем 10...20%-ные изменения в размере для смежных ячеек.
В качестве примера размещения областей с более мелкой сеткой при нестационарном расчете рассмотрим построение сетки при численном моделировании скачка в течении реагирующего газа [38]. Здесь вводится ряд скользящих зон с мелкой сеткой. Рассмотрим, например, ситуацию, в которой скачок сначала догоняет контактный разрыв, а затем и передний скачок, как показано на рис. 6-7. Три зоны (одна из которых охватывает контактный разрыв, а две другие— соответствующие скачки) покрыты сеткой с мелкими равномерными ячейками, расположенными на малых расстояниях с каждой стороны от разрыва. В областях с однородным или близким к однородному течением берется сетка с крупными ячейками. На рис. 6-7 показано положение границ ячеек {xj как функция индекса ячейки. Расчетная область ограничена линиями Xl и Xr. Здесь
имеется семь зон, три из которых покрыты мелкой сеткой, а четыре зоны, окружающие эти три зоны, покрыты сеткой с ячейками умеренного размера. Ячейки умеренного размера должны изменять свой размер, когда быстрый скачок приближается к контактной поверхности и пересекает ее, а затем проходит передний скачок. Две зоны с крупной сеткой размещены между зонами с мелкой сеткой и границами системы. Размер мелких ячеек составляет одну треть от размера умеренных ячеек, длина которых в свою очередь равна одной третьей длины крупных ячеек. -
В принципе может быть любое число зон с мелкой сеткой, каждая из которых имеет свой собственный предпочтительный размер ячейки. Эти зоны могут расти, сокращаться, делиться, сращиваться в соответствии с эволюцией течения. Сетка с целом полностью определяется последовательностью пар индексов для границ зон {хг/г}, где х есть положение, а / — соответствующий индекс границы зоны, причем г=1,..,8. Средний размер ячейки в зоне {Ахг+1/2} определяется по формуле
(6-4.1)
где /1 = 1 и U=NX+1 отмечают границы физической сетки. Индексы для границ зон VA являются действительными (нецелыми и целыми) числами, так что граница между двумя зонами с разным разрешением может находиться как внутри ячейки^ так и на поверхности раздела ячеек. Если пары индексов для границ зон меняются непрерывно по мере эволюции течения, то зоны с мелкой сеткой могут перемещаться полностью адаптивным, управляемым образом.
Как показано на рис. 6-7, размеры ячеек в зонах с мелкой сеткой должны плавно переходить в размеры ячеек в зонах с крупной сеткой. Это делается с помощью численного сглаживания координат узлов первоначально принятой кусочно-однородной сетки, которое проводится в соответствии с соотношением
^ = 4 № + « + у х^)> 1 = 2. 3- • • •. Nx. (6-4-2)
где верхний индекс обозначает номер итерации. Сглаживание усредняет координаты узлов, но не должно допускать движения границ сетки в точках Xl и xr. Обычно значение т должно быть достаточно велико для того, чтобы растянуть ячейки у краев зон с мелкой сеткой, но не настолько велико, чтобы полностью ликвидировать все мелкие ячейки.
Если зона с мелкой сеткой включает в себя первоначальна
десять ячеек, то могут быть сделаны только три или четыре итерации сглаживающего алгоритма, прежде чем маленькие ячейки в центре зоны с мелкой сеткой растянутся до размера более крупных ячеек снаружи этой зоны. Тогда трех или четырех итераций вполне достаточно для изменения размера ячейки примерно в два раза. Бели зона с мелкой сеткой распространяется на двадцать ячеек, то могут быть сделаны восемь или девять итераций, причем в центре зоны все еще останется несколько однородных ячеек. Этого числа итераций обычно достаточно для изменения размера ячейки примерно в десять раз.
Иногда скорость изменения размеров ячеек бывает ограничена самой физической ситуацией. На скачке, распространяющемся из расчетной области с сеткой низкого разрешения в область с сеткой высокого разрешения, появляются нефизич- ные осцилляции, если размер ячейки изменяется быстрее, чем может расти физически крутизна самого скачка. Крутизна сильных скачков растет быстро, слабые же скачки должны пройти большое расстояние, прежде чем их крутизна существенно увеличится. Когда скачок распространяется по расчетной зоне с крупной сеткой, он имеет толщину порядка размера одной ячейки. Когда же скачок входит в зону с мелкой сеткой, то он занимает уже несколько ячеек. В таком случае увеличивается крутизна скачка, причем возникают осцилляции на скачке [7J. Эти нефизичные осцилляции могут быть подавлены за счет более медленного, чем физический рост крутизны скачка, изменения размера ячейки.
Здесь был дан рецепт построения гладкой сетки, но границы зон сетки еще не были определены. Когда скачок движется по расчетной области, зона с мелкой сеткой вводится так, чтобы она окружала скачок. При этом положение фронта скачка определяется областью, где имеется максимальное локальное ускорение, а именно
0-1 +1/20-1 +1/21 Pj^-P, PZ+1/2 Х^~Х11 Pj^-P, PZ+1/2 Х^~Х1(6-4.3)(6-4.3)
0-1 +1/2
0-1 +1/2
1 Pj^-P, PZ+1/2 Х^~Х1
1 Pj^-P, PZ+1/2 Х^~Х1
(6-4.3)
(6-4.3)
здесь Р — давление, х — координата, р — средняя плотность. Подобным образом можно отследить контактную поверхность по положению максимума градиента плотности в области, где имеется нулевой градиент давления.
Вокруг каждого физического разрыва следует разместить достаточное число мелких ячеек, для того чтобы сохранить однородную сетку вблизи области с большим градиентом. Это увеличивает точность расчета и устраняет локальные неустойчивости, обусловленные взаимодействием расположения ячеек
с крутизной градиентов. Описанная многозональная процедура построения адаптивной сетки может дать результаты, сравнимые с получаемыми при подходах, основанных на минимизации ошибки, при сравнимых минимальных размерах ячеек.
Скользящее перестроение эйлеровой сетки и другие процедуры адаптивного построения сетки могут встретиться с трудностями на границах раздела вещества. Разрешение можно увеличить там, где это необходимо, за счет перемещения дополнительных зон из соседних областей, где они не нужны. Однако, когда зона с мелкой сеткой подходит близко к поверхности раздела жидкости и твердого тела, ячейки из твердого тела нельзя переводить в жидкость без привлечения усложненной логики для предотвращения диффузионного взаимопроникновения жидкости и твердого тела. Для того чтобы частично обойти это ограничение на поверхностях раздела, Де Вор и др. [13] рассматривали несколько ячеек около поверхностей раздела как лагранжевые. Эти ячейки определяют поверхность раздела вещества, а остальные ячейки в каждой области различных жидкостей рассматриваются как эйлеровы, причем здесь проводится скользящее перестроение сетки для разрешения каждой из областей.
Описанную выше одномерную многозонную процедуру построения адаптивной сетки можно распространить на многомерный случай при использовании ортогональных прямоугольных сеток. При таком подходе, показанном на рис. 6-4, б, адаптивно изменяют сетку в одном направлении, не оказывая влияния на положение сеточных линий в другом направлении. Таким образом, разбиения сетки, например, по осям х и у могут изменяться независимо. На рис. 6-8 приведен другой пример расчета, использующий такую сетку при изучении отражения сильных скачков от гладких поверхностей. Сетка в направлении оси у фиксирована, зона с мелкими ячейками в направлении оси х будет двигаться вместе с перемещающейся ножкой Маха [5]. В дополнение к способности обеспечивать высокий порядок точности расчетов использование прямоугольных сеток дает еще и то важное преимущество, что алгоритмы могут быть существенно оптимизированы. Вследствие этих причин прямоугольные сетки широко используются несмотря на некоторые их недостатки.
Только что описанный подход имеет один главный недостаток. Мелкие ячейки размещаются вдоль всей расчетной области вне зависимости от того, нужны ли они на всем ее протяжении. Это означает, что мелкие ячейки, введенные в одном месте сетки для разрешения сложной структуры течения, приходится держать там, где течение может иметь простую структуру. Однако существует много задач, где наличие таких дополни-
Рис. 6-8. Изолинии плотности (а) и схема расчетной сетки для расчета отражения ударной волны от гладкой поверхности (б) [5].
тельных ячеек не требуется. В качестве примера на рис. 6-9 приведена сетка, использованная для разрешения структуры распространяющейся по трубе детонации [22, 29]. В этом случае структура течения простирается по всему диаметру трубы и движется по горизонтали за счет детонации.
Одним из интересных и полезных результатов при применении адаптивной сетки является сглаживание индуцируемых сеткой нерегулярностей высокого порядка малости, которые могут проявиться, например, как малые всплески вблизи косых скачков. Перемещая на каждом последующем шаге по времени противолежащие сеточные линии назад и вперед на расстояние примерно 15...25% размера ячейки, можно существенно уменьшить ошибки, возникающие вследствие дискретности сетки. Можно сказать, что при этом жидкость вводится в «замешательство» относительно того, где же все-таки находит-
Рис. 6-9. Изолинии давления, показывающие развитие и распространение (слева направо) двумерной детонации (а) [22] и примерный вид адаптивной сетки для такого типа расчетов, где показана приблизительно каждая восьмая сеточная линия (б) [29]. Стрелка указывает положение фронта.
ся сетка, и поэтому она не может с прежней легкостью нефи- зичным образом реагировать на присутствие сетки.
На рис. 6-10 показан еще один пример двумерной растянутой сетки, использованной при изучении неустойчивости Кельвина— Гельмгольца [21]. В этом случае сетка является стационарной. Мелкие ячейки сконцентрированы в сдвиговом слое, причем по мере удаления от сдвигового слоя они растягиваются. Сетка фиксирована, поскольку вся структура вдоль сдвигового слоя должна быть разрешена в одно и то же время. Структура течения зарождается вблизи начала сдвигового слоя у разделительной пластины и растет далее по мере движения вниз по потоку.
6,146,141111■eiiiuin н м ПН» I ^^HWHiiiiimiiiiHiiiiiiiiiiMiHitMaMMiiMi■шиш 11 f t т ф-г«. t a /?w lAitimmiiiiiiiiiiiiimiiiiiiiiiiiiMiiMee——■■шин i i i-•«.^•>Tiv#iu№iiiiiiiiiiii«iiimiiiiiimmm^■eiiiuin н м ПН» I ^^HWHiiiiimiiiiHiiiiiiiiiiMiHitMaMMiiMi■шиш 11 f t т ф-г«. t a /?w lAitimmiiiiiiiiiiiiimiiiiiiiiiiiiMiiMee——■■шин i i i-•«.^•>Tiv#iu№iiiiiiiiiiii«iiimiiiiiimmm^Х,см0,0Х,см0,011 /Л11 /Лwr—'—••wr—'—••■ieniimi ki -rA.T-\^^.»ii^v.r+ii«mHiiiimuiw»M«iiiiiii«iMk-w—■■uiiiii.i । i к4j i^t 14 * 11ц^шllllllllllllllllllf•llllllll■■i■■■■■■■■■■■■■■■■■■l■iiiiiiiif j ujf Aimi niiiiiiiiiiiiiiuiiimiiiiiiiiiiiiiiiiiiiH^^IIIIIIIIIHIHWjHlJinilllM■ieniimi ki -rA.T-\^^.»ii^v.r+ii«mHiiiimuiw»M«iiiiiii«iMk-w—■■uiiiii.i । i к4j i^t 14 * 11ц^шllllllllllllllllllf•llllllll■■i■■■■■■■■■■■■■■■■■■l■iiiiiiiif j ujf Aimi niiiiiiiiiiiiiiuiiimiiiiiiiiiiiiiiiiiiiH^^IIIIIIIIIHIHWjHlJinilllM19,419,40,02,0
6,14
6,14
11
11
■eiiiuin н м ПН» I ^^HWHiiiiimiiiiHiiiiiiiiiiMiHitMaMMiiMi
■шиш 11 f t т ф-г«. t a /?w lAitimmiiiiiiiiiiiiimiiiiiiiiiiiiMiiMee——
■■шин i i i-•«.^•>Tiv#iu№iiiiiiiiiiii«iiimiiiiiimmm^
■eiiiuin н м ПН» I ^^HWHiiiiimiiiiHiiiiiiiiiiMiHitMaMMiiMi
■шиш 11 f t т ф-г«. t a /?w lAitimmiiiiiiiiiiiiimiiiiiiiiiiiiMiiMee——
■■шин i i i-•«.^•>Tiv#iu№iiiiiiiiiiii«iiimiiiiiimmm^
Х,см
0,0
Х,см
0,0
11 /Л
11 /Л
wr—'—••
wr—'—••
■ieniimi ki -rA.T-\^^.»ii^v.r+ii«mHiiiimuiw»M«iiiiiii«iMk-w—
■■uiiiii.i । i к4j i^t 14 * 11ц^шllllllllllllllllllf•llllllll■■i■■■■■■■■■■■■■■■■■■l
■iiiiiiiif j ujf Aimi niiiiiiiiiiiiiiuiiimiiiiiiiiiiiiiiiiiiiH^^
IIIIIIIIIHIHWjHlJinilllM
■ieniimi ki -rA.T-\^^.»ii^v.r+ii«mHiiiimuiw»M«iiiiiii«iMk-w—
■■uiiiii.i । i к4j i^t 14 * 11ц^шllllllllllllllllllf•llllllll■■i■■■■■■■■■■■■■■■■■■l
■iiiiiiiif j ujf Aimi niiiiiiiiiiiiiiuiiimiiiiiiiiiiiiiiiiiiiH^^
IIIIIIIIIHIHWjHlJinilllM
19,4
19,4
Рис. 6-10. Расчет неустойчивости Кельвина — Гельмгольца в потоке за разделительной пластиной. Более быстрая жидкость поступает через нижнюю половину левой границы. Более медленная жидкость поступает через верхнюю половину левой границы, а — изолинии параметра перемешивания, определенного здесь как отношение плотности более быстрой жидкости к плотности более медленной жидкости; б — сетка, используемая в расчете [21].
6-4.3. Построение лагранжевой адаптивной сетки
Соблазнительно использовать скользящее перестроение сетки в эйлеровом расчете для организации лагранжева расчета. Существуют, однако, проблемы, которые появляются в эйлеровых расчетах, когда границы ячейки движутся точно со скоростью жидкости, как в лагранжевом расчете. Проблемы эти можно понять, заметив, что при эйлеровом подходе со скользящим перестроением сетки, движущейся со скоростью жидкости, существует некоторый поток, протекающий через границы ячеек. Масса в каждой ячейке не остается строго фиксированной даже тогда, когда скорости жидкости и границ ячейки номинально одинаковые. В результате жидкость может проникнуть в примыкающие ячейки, что вызывает появление медленно развивающейся неустойчивости, при которой чередующиеся ячейки расширяются и сжимаются. Чтобы устранить эту проблему,
Рис. 6-11. Схематическое изображение процедуры дискретного лагранжевого перестроения сетки: а — расщепление; б— сращивание.
Крэкстон и Маккрори [10] предложили методику, использующую вычисление интеграла для массы для определения движения границ ячейки.
Процедура построения адаптивной сетки в лагранжевом случае более сложна, чем в эйлеровом, поскольку сама лагранжева система отсчета обеспечивает некоторую естественную концентрацию сеточных узлов в областях сжатия жидкости. Существуют однако, важные ситуации, такие, как фронт пламени, где требуется высокое разрешение, а жидкость при этом расширяется. Возникает практическая проблема: как произвольным образом распределять сеточные узлы при лагранжевом расчете и все же сохранять желательное свойство отсутствия численной
диффузии. Процедуры перестроения сетки, используемые в эйлеровых расчетах, обладают численной диффузией, как это. обычно бывает при движении сетки по жидкости.
Для того чтобы избежать привнесения численной диффузии в лагранжев расчет при перестроении сетки, применяется метод, основанный на расщеплении и сращивании имеющихся ячеек. Эти две дискретные операции перестроения сетки в лагранжевом расчете схематически показаны для одномерных сеток на рис. 6-11. Когда эти операции проводятся в областях, где отсутствуют большие градиенты гидродинамических переменных, можно добавлять или изымать одну или более границ ячеек, не вызывая диффузии через любую из уже имеющихся границ ячеек. Потеря или прирост информации строго локализованы по месту (и во времени), где (и когда) происходит изменение конфигурации поверхности раздела, и полностью согласованы с изменениями в содержании информации, искомой в данном описании.
Отдельная ячейка может быть расщеплена путем помещения внутри нее между двумя имеющимися границами дополнительной разделяющей границы и приписывания переменным в двуя новых ячейках соответствующих значений в старой ячейке. Однако при этом не улучшается разрешение больших градиентов, поскольку не вводятся промежуточные, осредненные величины. В этом случае в образовавшихся ячейках остаются одинаковые гидродинамические величины. Более удовлетворительная составная операция перестроения сетки включает два расщепления и одно сращивание ячеек, как показано в левой части рис. 6-11. От смежных ячеек отщепляются некоторые фрагменты и затем они сращиваются, образуя меньшую ячейку с промежуточными значениями гидродинамических величин. Сращивание ячеек уменьшает разрешение и ускоряет проведение расчетов за счет уменьшения числа ячеек и допущения большего размера шага по времени. Оно также во многом оказывает тот же эффект, что и численная диффузия.
Расщепление и сращивание ячеек в расчете приводят к разрывному изменению числа ячеек и их границ. Можно ввести в программу некоторые критерии, чтобы расщепление и сращивание ячеек проводить автоматически, обеспечивая тем самым разрешение, необходимое в развивающемся течении. Однако логика такой программы сложна, так как по мере разделения или устранения ячеек меняется и число сеточных узлов и расположение в памяти компьютера данных, относящихся к рассматриваемой физической точке в пространстве. В одномерном случае, однако, это усложнение не слишком серьезно. Такой метод, например, был применен при изучении свойств возгорания и погасания пламени [26, 27, 38].
В расчетах пламени сетка должна быть измельчена до того, как зона больших градиентов войдет в ячейку, иначе в процессе интерполяции добавится численная диффузия. Условия, выбранные для проведения расщепления ячеек перед распространяющимся большим градиентом, и условия для сращивания ячеек после прохождения этого градиента определяют точность и вычислительные затраты для алгоритма в целом. Если расщепление ячеек осуществляется не слишком далеко впереди от приближающегося градиента, часть области, требующей высокого разрешения, переместится в область, где ячейки слишком велики. Если же расщепление ячеек проводится слишком далеко впереди от градиента и в слишком большой области, то тратится излишне большой объем вычислений. Когда сращивание ячеек осуществляется слишком быстро после прохождения градиента, большие градиенты размываются быстрее, чем при физической диффузии. Когда сращивание ячеек проводится слишком поздно, продвигающаяся вперед область большого градиента оставляет за собой все больше мелких ячеек и расчет постепенно замедляется, пока не будет остановлен. Мы рекомендуем на одном шаге по времени проводить только однократное расщепление или сращивание ячеек в данном месте.
Проблема в построении лагранжевой адаптивной сетки в многомерном случае состоит в том, что вращательные компоненты течения быстро искажают лагранжеву сетку до такого состояния, что расчет становится бессмысленным. Без применения какой-либо формы адаптивной сетки всего лишь несколько задач можно удовлетворительно решить с помощью многомерных лагранжевых сеток. Обычная практика состоит в применении интерполяционной процедуры перестроения сетки через каждые несколько временных циклов. Когда такое перестроение сетки осуществляется слишком часто, суммарный эффект может привнести столько же численной диффузии, что и в случае применения эйлерова алгоритма. Если перестроение сетки в процессе расчета проводить перемежающимся образом, то численная диффузия может быть уменьшена до уровня более низкого, чем получающийся в эйлеровом расчете. Однако, когда в сдвиговом течении возбуждаются коротковолновые компоненты, даже такое потенциальное улучшение может иметь ограниченное применение.
С искажениями в лагранжевой сетке можно справиться, используя в двумерном случае конечно-разностную сетку, составленную из треугольников, а в трехмерном случае — из тетраэдров. Такой тип построения сетки, показанный на рис. 6-5, в и г и описанный выше, был применен во многих расчетах методом конечных элементов и был приспособлен для метода конечных разностей Кроули [И] и Фриттсом и Борисом [17]. Существу-
ют две причины, по которым треугольные сетки имеют улучшенные характеристики. Во-первых, переменное число треугольников с вершинами в каждой узловой точке позволяет более гладко описать сложные формы. Во-вторых, поскольку число сторон треугольников, встречающихся в каждой узловой точке, не фиксировано, его можно менять в процессе расчета с помощью процедур автоматической перестройки сетки. Это может предотвратить серьезные локальные искажения сетки. Кроме того, существуют алгоритмы, которые можно использовать для выборочного расщепления или сращивания ячеек, чтобы изменять разрешения как в многомерном, так и одномерном случаях.
Использование лагранжевой треугольной сетки — это с точки зрения физики наиболее привлекательный подход, привносящий к тому же наименьшую численную диффузию из всех методик. Недостатки его связаны в основном со сложностью программы и тем фактом, что здесь арифметические операции зависят от таблицы связности узлов, произвольного порядка выборки и скалярной обработки величин. Заметим также, что по мере увеличения размерности задачи логика процедуры расщепления и сращивания ячеек и в целом логика перестроения сетки становится все более и более сложной. Интерполяции и преобразования, необходимые для сохранения всех консервативных величин, являются при этом не столь очевидными, поскольку сетка находится в движении. Треугольные сетки более детально описываются в гл. 10.
6-4.4. Вложенные сетки и многосеточный метод
До сих пор предполагалось, что в дискретном представлении используется единственная сетка, обладающая различным разрешением в разных областях, но все ячейки которой продвигаются с одним и тем же шагом по времени. Существует несколько способов смягчения такого ограничения на временной шаг.
Сначала рассмотрим некоторые из наиболее сложных сеток, изображенных на рис. 6-4 и 6-5, в которых локальные сетки с высоким разрешением вложены в сетку с низким разрешением в окрестности больших градиентов и поверхностей раздела. Один из общих подходов в этом случае — проведение интегрирования с меньшим временным шагом в областях с мелкой сеткой, используя в качестве граничных условий результаты на границах областей с меньшим разрешением. Когда решение в области с меньшим разрешением продвигается на один шаг по времени, решение в области с более высоким разрешением рассчитывается на протяжении нескольких временных шагов
для того, чтобы достичь того же временного уровня. Работу в области вложенных сеток продолжают, например, Бержер [1] и Томпсон и др. [42]. Основная вычислительная проблема состоит в стыковке этих разных сеток на границах их раздела. Также обычно трудно гарантировать консервативность на сетке с вложенной в нее другой сеткой. Здесь основной вопрос состоит в определении того, когда и какую область сетки следует продвигать при решении задачи.
Другая идея, которая изучается в настоящее время, состоит в чередующемся вложении адаптивной сетки. Этот подход в сильной степени зависит от того, существуют ли два различных пространственных масштаба. В чередующиеся моменты времени область с мелкой сеткой вкладывается в более крупную сетку и проводится расчет на протяжении нескольких шагов по времени, используя зоны с высоким разрешением. Например, расчет тонкой переходной области между двумя фазами мог бы быть вложен в расчет с большим масштабом и объединен с ним только после того, как произойдет релаксация к новому состоянию равновесия. Параметры, полученные в расчете на вложенной сетке, такие, как скорость выделения энергии и температура пламени, можно было бы потом использовать в расчете с меньшим разрешением в качестве Источниковых членов при подходящей феноменологической модели. Эти источниковые члены могли бы сохраняться неизменными в течение нескольких макроскопических шагов, пока не будет необходимости в обновлении расчета на вложенной сетке.
На вложенной сетке можно выполнить расчет, физически отличающийся от того, который проводится на более крупной сетке. Например, предположим, что берется только несколько больших ячеек для представления некоторой области, так что явления, описываемые на малых временных и пространственных масштабах, разрешаются неадекватно. Тогда расчет на вложенной сетке может разрешить меньшие масштабы и могут быть вычислены соответствующие средние величины для включения их в расчеты на крупной сетке.
Так как область, где требуется повышенное разрешение, рассчитывается только в течение малой доли времени, то следует разработать методику соединения и отсоединения этой части сетки в отношении крупной сетки. Эта проблема аналогична проблеме стыковки двух областей с разным пространственным разрешением. Более того, когда отсоединяется мелкая сетка, то требуется методика для представления разрыва в расчете с низким разрешением. Здесь необходим контроль за условиями на разрыве и условиями на поверхности раздела сред, которые не менее сложны, чем условия на разрыве для ударной волны. Эти требования зависят также и от задачи, поскольку, напри-
мер, условия на разрыве и законы сохранения для ударной волны отличны от соответствующих условий для фронта пламени.
Подход с чередующимися вложенными сетками привлекателен для систем, где велико различие в пространственных и временных масштабах. В таких случаях может оказаться невозможным в любом практическом расчете разрешить все масштабы, даже если все они важны в глобальном поведении системы. Такая модель, однако, не будет справедливой в ситуации, когда вложенные структуры с малым масштабом взаимодействуют с крупными структурами непосредственно, а не асимптотически.
Другой подход, основанный на упомянутом выше смягчении ограничения на размер шага по времени, состоит в том, чтобы допустить возможность изменения шага по времени так же, как и шага по пространству на протяжении всего расчета на всей сетке. Обычно, когда в расчете выбирается размер шага по времени, он не изменяется как функция положения узлов сетки. Таким образом, здесь четко определено понятие уровня времени. Однако в этом случае шаг по времени должен быть малым на всей сетке, если он мал в некоторой ее узловой точке. Основной выигрыш в объеме вычислений в случае интегрирования в каждой ячейке с различным шагом по времени состоит в уменьшении общего числа шагов по времени для всего расчета в целом. Таким образом, при расчете структуры пламени малые пространственные и временные ячейки могли бы быть сконцентрированы только вдоль распространяющегося фронта пламени. Такое более равноправное рассмотрение времени и пространства естественно для некоторых модификаций метода конечных элементов. Теоретически его можно было бы применить и в конечно-разностных методах.
• В качестве примера укажем применение изменяющейся сетки, образованной треугольниками в х—/-пространстве. Здесь переменная связность сетки могла бы быть использована как при построении поверхностей раздела ячейки, так и в случае сильно различающихся временных шагов в смежных ячейках. Такой подход мог бы включить в себя многое из идей и алгоритмов, разработанных для численного моделирования релятивистских жидкостей и плазмы; он, несомненно, будет осуществлен в свое время. Важно отметить, что математическое обеспечение таких расчетов будет еще более сложным, чем при расчётах на адаптивных лагранжевых треугольных сетках.
ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ПЕРЕНОСА
Термин диффузионный перенос охватывает явления молекулярной диффузии, вязкости, теплопроводности, термодиффузии и переноса излучения. Эти явления описываются некоторыми частями уравнений (2-1.1)—(2-1.18), а именно
—(7-0.1)
= _ V-6P,(7-0.2)
# = -V.(6q + qr).(7-0.3)
В каждое из этих уравнений входит дивергенция потока некоторой величины, связанной, хотя бы и неявно, с некоторым локальным градиентом. В этих выражениях опущены конвективные члены, для того чтобы сосредоточиться только на процессах диффузионного переноса.
В уравнении (7-0.1) величина vat равна скорости диффузии некоторого химического компонента и
Vdi = vi—v,(7-0.4)
где v — скорость жидкости, осредненная по всем компонентам, a {vj —скорость t-ro компонента в той же системе отсчета.
Скорости диффузии {v^} находятся из решения матричного уравнения
где источниковые члены {GJ определяются выражениями
G- -v № - (у—-г) ¥-^г ¥ •<7-°-6>
Уравнение (7-0.1) описывает диффузию, хотя внешне напо'- минает уравнение, описывающее конвекцию, так как определяемые уравнениями (7-0.5) и (7-0.6) потоки величин линейны по пространственным градиентам. Скорости диффузии определяют-
ся в соответствии с суммарным импульсом многокомпонентной смеси и таким образом подчинены условию, что суммарный импульс компонентов смеси равняется нулю
Ns
2р^ = 0.(7-0.7)
1= 1
Это условие является дополнительной связью, необходимой для устранения особенности, возникающей при решении уравнения (7-0.5).
В уравнении (7-0.2) дивергенция берется от тензора давления Р, за вычетом локального диагонального вклада P(N, Г)1, т. е.
6P=(fpm-fe)(V-v)I-pm[(W) + (Vvf]. (7-0.8)
Это диффузионные вязкие члены, в которых цт и к умножены на градиент скорости.
Уравнение (7-0.3) определяет диффузию тепла, обусловленную градиентами температуры и давления. Вычитание конвективного потока энергии нулевого порядка дает
Sq (TV, Т) = - x„ VT + 5+ P 2 Khdi. (7-0.9)
Величина qr в уравнении (7-0.3) обозначает поток тепла, обусловленный излучением.
В этой главе описываются методы решения уравнений диффузионного переноса и трудности, связанные с этими методами. Кроме того, представлены формулы для коэффициентов диффузии, пригодные для использования в задачах горения. Перенос излучения рассматривается в гл. 12, где основное внимание также уделяется диффузионному приближению.
7-1. Уравнение диффузии
7-1.1. Природа диффузионных явлений
Диффузия является макроскопическим эффектом, возникающим вследствие микроскопического теплового движения частиц. Частицы движутся в произвольных направлениях, сталкиваются и вследствие многократных соударений случайно изменяют Озою скорость, причем усредненное по случайным блужданиям значение скорости почти всех частиц близко к средней скорости Жидкости v. Электромагнитное излучение также может повторно поглощаться и переизлучаться в процессе взаимодействия с 17*
молекулами. Таким образом, излучение также участвует в стохастических процессах при прохождении через вещество. Такие случайные движения относительно среднего потока размывают градиенты, перемешивают вещества на поверхностях раздела, создают движение в жидкости и переносят массу, импульс и энергию. Таким образом, несмотря на то, что суммарный поток массы может отсутствовать, диффузионные процессы приводят к макроскопическому переносу.
Обобщенное описание рассматриваемых здесь диффузионных явлений осуществляется посредством дифференциального уравнения в частных производных второго порядка
С(р, X, D^- = 4-D(p, X, 0vp + S(x, t\ (7-1.1) где р представляет собой обобщенную гидродинамическую величину. Коэффициенты С и D могут быть как постоянными, так и зависящими от переменных, описывающих систему. В случае, когда р обозначает температуру, коэффициент С совпадает с удельной теплоемкостью. Если р обозначает импульс, то С совпадает с плотностью, которая связывает скорость с плотностью импульса. Для уравнений, описывающих диффузию химических компонентов, р представляет собой совокупность плотностей химических компонентов — векторную величину размерности Ns в каждой точке пространства. В этом случае коэффициент диффузии D является тензором, а уравнение (7-1.1) принимает вид
| = V-D(p,x, 0VP- (7-1.2)
Вообще говоря, D является функцией р и, кроме того, зависит от координат и времени.
Уравнение диффузии представляет собой простую макроскопическую модель сложной динамики многих тел, которая хорошо описывает многие различные микроскопические явления однотипными макроскопическими уравнениями. К этим явлениям относятся: диффузия частиц в газах и жидкостях, диффузия импульса в газах и жидкостях, диффузия тепловой энергии в газах, жидкостях и твердых телах, перенос излучения в оптически толстых средах, турбулентный перенос на больших пространственных масштабах, а также осреднение повторяющихся наблюдений и численное сглаживание сеточных величин. В каждом из этих случаев уравнение диффузии возникает как результат усредненного описания взаимодействия многих степеней свободы. Такое усреднение сводит сложные физические процессы, происходящие на малых пространственных и временных масштабах, в одну более простую макроскопическую мо<
дель. Однако макроскопическое статистическое описание несовершенно вследствие потери информации. Разделение микроскопических и макроскопических масштабов никогда не может быть полным, и эффекты микроскопической физики более высокого порядка всегда распространяются на макроскопически осредненные уравнения, описывающие поведение жидкости. В диффузионном приближении такими эффектами пренебрегают, но они могут оказывать большое влияние на течение.
Не удивительно, что математические формулы, которые описывают диффузию как континуальный процесс, отказывают при некоторых режимах. Это их свойство может оказаться весьма коварным, так как математическое решение кажется развивающимся разумным путем, однако ответ получается неверным. Решения, рассчитываемые по уравнению диффузии как некоторой физической модели, не воспроизводят действительное поведение физической системы.
Нет ничего удивительного в том, что математическое описание молекулярной диффузии не пригодно на масштабах, сравнимых со средней длиной свободного пробега. Ошибки при таком описании становятся малыми только в тех случаях, когда характерные размеры изменения газодинамических величин значительно превышают среднюю длину свободного пробега. Более удивительным является тот факт, что уравнение диффузии также не пригодно и на больших расстояниях и конечных временах.
Для того чтобы понять природу ошибок, внутренне присущих модели уравнения диффузии, рассмотрим тестовую задачу с 6-функцией, аналитическое решение которой охватывает все длины волн и масштабы времени и, таким образом, может быть изучено в различных предельных случаях.
7-1.2. Тестовая задача с 6-функцией
Пусть в момент времени /=/0 в точке х = х0 «сосредоточена» некоторая величина, распределенная в пространстве в следующие моменты времени />^0 с плотностью р(х, ^). Эта величина под действием диффузии размазывается со временем, и значение р в точке х = х0 убывает. Полный интеграл от р по всему пространству не изменяется со временем. Предположим, что источники величины р отсутствуют и что D— постоянная величина как во времени, так и в пространстве. Решение для р(х, О в более поздние моменты времени представляет собой кривую Каусса: .
р (х, /) = р(/)ехр[—Л2 (/)%?], (7-1.3) причем ее характерная полуширина А”1 (/) и амплитуда
p(Z) изменяются со временем. Подставляя это выражение в уравнение (7-1.2), получим два уравнения, которым должны удовлетворять к и р:
^(04^(0 = —2^4(0^,'(7"L4)
^p^ = -№WD9<tY(7-1.5)
Решение этих двух уравнений можно найти в аналитической форме, в результате чего для р(х, /) получим
Рк<)-Р(М^«р[-Щ(^_],(7-1.6)
причем характеристическое волновое число k(t) изменяется во времени по закону
Л!«=«(ГЧГ-<7"к7>
Момент времени ^>^о представляет собой время, при котором плотность в точке х=0 равна р(Л).
Аналитическое решение для р в случае d пространственных измерений (d=l, 2 или 3) имеет вид
р(х, A-pJ-^Ye-^Hx-x,,?.(7-1.8)
\ У л /
Это решение соответствует начальному распределению в виде 6-функции, так как предел выражения (7-1.8) при /, стремящемся к to, является одним из определений сингулярной 6-функции Дирака
6 (х—х0)= lim (-^=-Уе*^(х-х°)2.(7-1.9)
к^« \ У л /
Для всех моментов времени t>t0 решение представляется кривой Гаусса и удовлетворяет условию сохранения величины р, поскольку интеграл по всему объему от р (х, t) постоянен во времени. Вырождающиеся со временем кривые Гаусса показаны на рис. 7-1.
В момент времени t = to решение сингулярно и величина к2^ согласно уравнению (7-1.7) является бесконечной. В этом случае р(х, f0) является 6-функцией, причем
Ро= $ dxp(x, /0),(7-1.10)
где ро — величина, характеризующая интегральное значение величины р, сосредоточенной в начальный момент to в точке хо.
Рис. 7-1. Затухающее гауссово решение при D=1 см2/с. Площадь под каждой кривой имеет одну и ту же величину.
Волновое число к хорошо определено во все моменты времени, ч большие /о- Распределение р, когда t только немногим больше /о, все еще сильно локализовано, по существу напоминая 6-функцию, но при этом все значения р конечны.
Даже для более сложных и распределенных начальных условий решение со временем асимптотически стремится к кривой Гаусса. Выражение (7-1.8) имеет широкий диапазон применения для случаев с постоянным коэффициентом диффузии. Когда начальное распределение со структурой р(х, /0) локализовано в некоторой пространственной области, оно может быть представлено суперпозицией 6-функций. Так как уравнение диффузии линейное, то решение для каждой такой компоненты в виде 6-функции в последующие моменты времени дается выражением (7-1.3) или (7-1.8). Полное решение также приближается к Кривой Гаусса, когда \]k(t) становится больше, чем величина Lo, характеризующая размер области начального распределения источников в виде 6-функций. Для случая начального распределения р(х, /0), локализованного на отрезке [Ло, —Ло], решение уравнения (7-1.2) имеет вид
Р(Х, 0= f dxop(xo, tJ^\V^Hx-x^ (7-1.11) Ч\ V л /
причем
Ро= $ dxop(xo, t0\ (7-1.12)
По истечении достаточно большого времени величина к^Ц становится меньше единицы, и каждый элемент полного решения, отвечающий каждой 6-функции, расширяется до тех пор, пока область начального распределения не перекроется всеми этими элементами. Решение (7-1.11) для р(х, f) стремится при этом к гауссову решению с начальной величиной ро, размещенной в центре масс начального распределения источников р(хо, /о). Так как к^ уменьшается с увеличением времени, то для любого расстояния |х| всегда существует конечное время tx, после которого А|х|<1/2, причем
^ = ^0 + ^- (7-1.13)
Для времен, меньших tx> диффузия не достаточно размывает начальное распределение Для того, чтобы устранить влияние начальных условий. Однако после того как прошло время tX) появляется расширяющаяся оболочка, охватывающая область источников. Распределение р(х, /) внутри этой охватывающей оболочки существенно не отличается от распределения, отвечающего одиночному составному гауссовому источнику, в котором эквивалентное количество ро размещено в центре масс начального распределения. Вне этой оболочки решение экспоненциально мало, но здесь возможны большие различия между решением с сосредоточенным источником и гауссовым решением со многими источниками при некотором начальном распределении плотности.
Важный момент здесь состоит в том, что решение диффузионной задачи с первоначально распределенным источником выходит на решение, отклонения которого от соответствующего гауссова решения быстро уменьшаются в любой точке. Эти отклонения относительно велики только в экспоненциально малой хвостовой части решения, где уравнение диффузии в любом случае не срабатывает. На рис. 7-2 в графическом виде показана эволюция такой суперпозиции решений. Три 6-функции размещены первоначально в точках х=—1; 0; 1 см, причем количество р в центральном гауссовом профиле в два раза превышает соответствующее количество р в двух других профилях. Точное решение с распределенным источником и одиночное составное гауссово решение приведены в последующие времена, с тем чтобы показать слияние этих двух гауссовых кривых. В нижней части рисунка показано отличие гауссова решения с одиночным
РР321321III ' । ;^*—Распределенный ill ; ‘ । источникIII ' । ;^*—Распределенный ill ; ‘ । источник■^ । V I V । \i—L_j—।।|। 1 I ।■^ । V I V । \i—L_j—।।|। 1 I ।1с1сL.. i„. । । |L.. i„. । । |
Р
Р
3
2
1
3
2
1
III ' । ;^*—Распределенный ill ; ‘ । источник
III ' । ;^*—Распределенный ill ; ‘ । источник
■^ । V I V । \i—L_j—।।|। 1 I ।
■^ । V I V । \i—L_j—।।|। 1 I ।
1с
1с
L.. i„. । । |
L.. i„. । । |
^ис. 7.2. Решение с источником в виде трех 6-функций в момент времени 1Д6 с (а); решение с источником в виде трех 6-функций и решение с эквивалентным составным источником в виде одной 6-функции в момент времени 1 с (5); оба этих решения по истечении 16 с идентичны в масштабе рисунка (в); отличие между этими двумя решениями в несколько моментов времени (в).
сосредоточенным источником от решения при суперпозиции трех гауссовых решений.
Существуют некоторые важные численные последствия этих тенденций приближения решения диффундирующей системы с распределенным источником к гауссову решению. Если ошибки в решении стремятся с ростом времени к уменьшению в процессе вычислений, решение становится более точным, а не наоборот. Коротковолновые составляющие решения диффундируют наиболее быстро и их амплитуды быстро стремятся к нулю, если нет источников коротковолновых структур. Это свойство является полезным, поскольку численное моделирование при конечных пространственных сетках обычно обладает самыми худшими ошибками именно при расчете коротковолновых компонент. Если физическая диффузия достаточно велика, то она фактически уменьшает непрерывно появляющиеся коротковолновые ошибки, порожденные численными аппроксимациями с конечным разрешением.
7-1.3. Нарушение решения в случае коротких и длинных волн
В гл. 4 диффузионный поток был определен выражением — Z) VP,(7-1.14)
т. е. он пропорционален градиенту гидродинамической величины р(х, /). На расстоянии порядка нескольких длин свободного пробега этот градиент относительно невелик и, следовательно, поток, рассчитываемый по уравнению (7-1.14), дает слишком гладкое решение. Уравнение диффузии выводится в предположении макроскопического осреднения по многим частицам и, таким образом, нет ничего удивительного в том, что подобное описание не пригодно на малых масштабах длин. Поэтому, часто является привлекательным поиск поправок более высокого порядка в рамках сплошной среды к уравнению диффузии при этих малых масштабах. Однако, если эти поправки не содержат источник с высокочастотной компонентой, то они не смогут передать качественное поведение процесса случайного блуждания при малых масштабах.
Другой случай, когда уравнение диффузии отказывается работать— это поведение решения вдали от источников колебаний на относительно больших временах после того, как источники были включены. Рассмотрим величину р от одиночного источника, диффундирующую в пространстве. Любое количество величины р, появляющееся в точке на расстоянии х, достигает этой точки, последовательно проходя в течение конечного времени через все промежуточные точки. Средняя скорость диффузион-
ного переноса vD может быть вычислена по формуле, описывающей гауссово решение для 6-функции:
V^Х~Х°Dр2(/-/0)‘V^Х~Х°Dр2(/-/0)‘(7-1.15)(7-1.15)
V^Х~Х°
Dр2(/-/0)‘
V^Х~Х°
Dр2(/-/0)‘
(7-1.15)
(7-1.15)
Таким образом, при больших длинах волн скорость распространения не зависит от константы диффузии! Это макроскопическое следствие того факта, что тепловая скорость, которая связана со скоростью распространения диффузии, не зависит от средней длины свободного пробега. Следовательно, скорость диффузии постоянна. Этот результат курьезен, поскольку уравнение (7-1.15) указывает на то, что для любого конечного промежутка времени скорость диффузионного переноса становится произвольно большой для |х—х0|->оо. Экспоненциально малая хвостовая часть решения, которую линейное уравнение диффузии производит на больших расстояниях, действительно движет - 1 ся слишком быстро для случайного блуждания частиц. На это указывает поведение решения на рис. 7-2, г на больших расстояниях.
Соблазнительно попытаться идентифицировать это сверхбыстрое диффузионное движение с очень быстрыми частицами, принадлежащими к хвостовой части теплового распределения частиц по скоростям, но такое объяснение не является коррект- ь ным. В этом случае некоторые из сверхбыстрых частиц должны были бы превысить скорость света на расстоянии х, достаточно удаленном от х0. Расстояние между молекулами воздуха при стандартных температуре и давлении составляет около 3 нм, а средняя длина свободного пробега таких молекул равна приблизительно 100 нм. Частицы испытывают около 5-109 столкновений в секунду. За время одного столкновения, равное 2 • 10-10 с, частицы, принадлежащие непрерывному гауссову распределению и движущиеся со скоростью света, пройдут расстояние 12 см от места расположения источника. Однако они при этом движутся «медленно»; они должны были бы перемещаться со средней скоростью 6-Ю10 см/с, чтобы попасть туда! Такое нефизичное поведение аналитического решения имеет место в связи с тем, что хвостовая часть гауссова распределения становится намного больше, чем то, что может быть представлено разлетом дискретных частиц неким непрерывным образом.
7*1.4. Численная диффузия и неустойчивость
Численную диффузию вызывают ошибки, возникающие как от конечно-разностной аппроксимации в применяемых алгоритмах, так и от дискретной природы описания. В вычислительном
процессе численная диффузия ведет себя подобно физической диффузии на характерных масштабах в несколько ячеек и больше, но происхождение этой диффузии не физическое. Таким образом, результаты, неправильные количественно, могут казаться приемлемыми. Термин численная диффузия способствует дополнительному ошибочному восприятию. Назвав численной диффузией нежелательное явление избыточного численного демпфирования, мы наделяем его некоторым статусом законности, которого оно не заслуживает.
Существует неизбежная неопределенность относительно того, где в расчетной ячейке в действительности находится жидкость, и эта неопределенность сама по себе служит основным источником численной диффузии. Средняя плотность в ячейке конечного объема не содержит информации относительно распределения плотности внутри ячейки. Учет этой неопределенности особенно важен при решении уравнения сохранения массы и обсуждается далее в гл. 8.
Численная неустойчивость часто проявляется в рассчитанном решении таким образом, как если бы диффузионное уравнение решалось в обратном направлении или как если бы один из коэффициентов диффузии вдруг стал отрицательным. Слишком большой шаг по времени или слишком большое значение пространственной производной может изменить знак демпфирующего члена в множителе перехода численного алгоритма. Такие ошибки быстро возрастают, начиная с момента их возникновения. Решение в виде гладко изменяющейся функции начинает покрываться мелкой рябью, быстро превращающейся в пилообразные колебания решения. Так как коротковолновые компоненты решения нарастают наиболее быстро, местоположение самого большого пика в решении обычно служит хорошим указателем того места, где впервые происходит нарушение условия устойчивости. В последующие моменты времени, вследствие конечности разрешения и нелинейных взаимодействий в модели в целом пилообразные волны распространяются по всему решению от места своего возникновения.
7-2. Интегрирование уравнения диффузии
7-2.1. Одномерная конечно-разностная схема
В разделе 4-3 была проведена конечно-разностная аппроксимация оператора диффузии и решена задача диффузионного сглаживания периодической функции. Обсуждались явные, по- лунеявные и полностью неявные алгоритмы, было проведено сравнение результатов численного решения с соответствующим
Рис. 7-3. Схема трубы переменного поперечного сечения.
аналитическим решением. Все это было выполнено в предположении постоянного шага по времени, одномерной сетки с равномерно распределенными узлами и постоянного коэффициента диффузии. В этом разделе рассматривается диффузия в одномерном приближении с переменным коэффициентом диффузии на сетке с переменным размером ячейки.
Рассмотрим диффузию величины р(х, f) в трубе с поперечным сечением А(х), изменяющимся по х, как это изображено на рис. 7-3. Консервативное конечно-разностное уравнение диффузии на сетке с переменным размером ячейки и переменным коэффициентом диффузии имеет форму
Л Pi Р« _. Л П.Р/ + 1 Р/
Л; ^++ х. + 1_х.
-А^В^, ^-Р;-1 +ЛД, i=l, 2, .... N. (7-2.1)
Здесь {Л,}—объемы i-x ячеек, {Л+н/г}—площади поверхностей раздела ячеек, {£>1+1/2}—коэффициенты диффузии, определенные на границах ячеек. Величины {SJ — члены типа источника или стока, описывающие эффекты химических реакций. Черточки над символами р в правой части равенства указывают на то, что для улучшения порядка точности интегрирования по време- ; ни можно взять среднее по времени значение, получая в результате центрированную, полунеявную или полностью неявную схемы. В уравнении (7-2.1) координаты границ ячеек обозначены Vxi+1/2^, гДе i—0, 1,...., N. Левая граница расчетной области соответствует xi/2, правая граница соответствует xx+i/2.
Такая аппроксимация уравнения диффузии сохраняет суммарное количество величины р. Диффузионный поток определен на границе ячейки так, что точное количество р, покидающее одну ячейку, автоматически добавляется к соседней ячейке. Выполнение сохранения величины р можно показать, просуммиро-
вав уравнение (7-2.1) по всем ячейкам, что дает
N • N_
2 Л/рр= 2 ^р^^д/ [^4^+1/2^+1/2 (vp)^— i= 1i=l
^V2D1/2(Vp)l] + SS/-(7-2.2)
Таким образом, количество р в расчетной области в данный момент времени равно количеству р в предыдущий момент времени плюс количество, которое приходит с границ области, минус количество, которое уходит через границы области, плюс суммарное количество от всех Источниковых членов.
7-2.2. Решение неявных уравнений
с помощью обращения трехдиагональной матрицы
Когда р в уравнении (7-2.1) заменено на рп-ь конечно-разностная формула становится явной и решение относительно pft получается непосредственным образом. Значения р в новый момент времени являются функцией трех значений р в предыдущий момент времени. Влияния локального изменения распространяются при этом на одну ячейку за один шаг по времени.
Когда выражение для р включает также какие-то значения рп помимо рп-1, то алгоритм по крайней мере частично становится неявным. Например, если выражение
р.-ерр + и-О)??"1(7-2.3)
подставить в уравнение (7-2.1), то уравнение может быть переписано в матричном виде
М-р" = s°.(7-2.4)
Здесь М — трехдиагональная матрица коэффициентов, s°— вектор, состоящий из неоднородных и Источниковых членов, причем рп — вектор, компонентами которого являются все значения {pj в новый момент времени:
м;./=^+е(В1+1+в/_1), м/1/+1 = -9В,.+1,
s?=(1—6) в,.^ + [^—(1 -в) (В;+1+bz_t)] рГ1+
+ (l-9)B,.+1py + SJ.,(7-2.5)
где
о ^i-l/2^i-l/2 D^i+1/2^1 + 1/2,7 П дх
в1-=^=5^-’ в‘«=•(7"2'6)
Заметим, что коэффициенты, представляющие удельные теплоемкости С (р, х, t) в уравнении (7-1.1), могут быть включены в Az, если они в течение шага по времени постоянны.
7-2.3. Большие изменения Ах и D
Преимущества и проблемы, связанные с применением сеток, разделенных на зоны с ячейками переменного размера, были обсуждены в гл. 6. Причиной для рассмотрения таких сеток служит то обстоятельство, что они улучшают разрешение там, где существуют значительные изменения в поле течения, и уменьшают вычислительные затраты при наличии только медленных изменений.
Применение сеток с ячейками переменного размера вызывает ряд проблем. Например, использование неравномерной сетки, что допустимо для уравнения (7-2.1), не гарантирует автоматически точность в случае, когда размеры соседних ячеек значительно изменяются. Порядок точности алгоритма при этом зачастую уменьшается и ошибка аппроксимации возрастает.
Существуют практические способы использования неравномерной сетки или быстро изменяющихся коэффициентов диффузии, позволяющие все же поддерживать достаточную точность. Один из способов состоит в соблюдении малой скорости изменения размеров ячеек, так что ошибки аппроксимации оказываются малыми. Допустимая величина изменения размера от ячейки к ячейке меняется в зависимости от конкретной физической задачи и численного алгоритма. Иногда возможно разместить ячейки так, чтобы гарантировать аппроксимацию пространственных производных с произвольным порядком точности. Часто, однако, это непрактично, особенно в том случае, когда требуется высокое разрешение для отслеживания областей течения с большими градиентами. Выработанное на практике правило построения неравномерных_ сеток состоит в том, чтобы допускать не более чем 10...15%-ное изменение размера от ячейки к ячейке.
На рис. 7-4 показаны несколько смежных ячеек, в которых значения плотности, обозначенные точками с абсциссами в центрах ячеек, и коэффициенты диффузии, кусочно-постоянные внутри ячейки, значительно изменяются от ячейки к ячейке. Размеры соседних ячеек также сильно различаются. Такие ситуации обычно имеют место на внутренних поверностях раздела. Примером служит поверхность раздела между относительно холодной жидкой каплей и теплым окружающим воздухом, когда теплопроводность изменяется скачком при пересечении поверхности. Такие ситуации встречаются даже в однофазной
Рис. 7-4. Изменения коэффициента диффузии от ячейки к ячейке (а) и значения переменной р в центрах ячеек (отмечены индексами ..., I—1, I, /4-1,...) и на границах ячеек (отмечены индексами ..., /—Vs, Ц-Чз. —) (б).
среде вблизи зон резких градиентов, где размеры ячеек и нелинейные коэффициенты диффузии изменяются быстро.
Как показано на рис. 7-4, численные значения величин по разные стороны границы ячейки существенно различны. Выбирая средние значения коэффициентов диффузии {£>1+1/2} на границе ячейки, следует учитывать разрывы в этих величинах. Суть искусственного приема при выборе таких средних коэффициентов диффузии состоит в определении некоторого вспомогательного значения р на границе ячейки, обозначенного на рисунке р*+н/2- Это значение обеспечивает то, что поток F_, который достигает границы ячейки слева, точно соответствует пото-
ку F^ который достигает этой границы справа. Такое условие сопряжения потоков гарантирует, что среднее значение р на границе раздела ячеек будет физически правильным. Условие равенства F-v=F- определяет величину p*z+i/2, причем
р Д. ( Р/+1~Pf+l/2 X rx р Д / Pf+l/2—Р/ X гх \^+i—хицъ /\ ^+1/2—^7
(7-2.7)
Множители Лг+1/2 в равенстве F+=F_ сокращаются, и уравнение (7-2.7) можно решить относительно p*i+i/2, что дает
._ pz+1D,+i ( х(+1/2-х,) + рА (^+i -^+1/2).„ „ R.
D/+1(^+1/2-^)+Dz(x/+1-xz+1/2)•
Заметим, что размеры ячеек и коэффициенты диффузии могут изменяться в широких пределах, причем такое взвешенное среднее значение p*t+i/2, заключенное между рг-ц и р», является приемлемым.
Выбирая такое вспомогательное значение p*i+i/2, можно определить на границе ячейки средний коэффициент диффузии, в который войдет информация о {р*г+1/г}. Подставляя выражение (7-2.8) в уравнение (7-2.7) и приравнивая последнее потоку ^1+1/2, получим
Fi4 1/2 = A i + TjtPi + 1/2 ("“^“) = F* —
^i+i/ 2^/Р/+1 (р /'+1 pz)/79
D( +1 ^х- + х^ х/) + D; (х; +1 х^+xj 2)
Средние на границе ячейки коэффициенты диффузии {П/+1/2} определяются по уравнению (7-2.9):
(7-2.10)
Такие значения {£^+1/2} гарантируют при решении уравнения (7-2.1) наименьшие из возможных несоответствий в потоках на всех границах раздела ячеек. Заметим, что подобная формулировка позволяет избежать использования вспомогательных значений {p*z+i/2}, поэтому для неявных уравнений (7-2.1) можно использовать программы решения линейных уравнений с трехдиагональной матрицей. Такой прием с сопряжением потоков полезен во многих случаях, включая расчет нелинейной Диффузии и конвекции. Эта идея несколько раз используется в настоящей книге.
7-3. Нелинейные эффекты и сильная диффузия
7-3.1. Эффекты нелинейной диффузии
Нелинейность препятствует быстрому и точному решению уравнения диффузии. Такая нелинейность существует, если, например, коэффициент диффузии Z)(p, х, t) в уравнении (7-1.1) зависит от текущих значений р. Важный пример нелинейного уравнения диффузии следует из уравнения (7-0.3), рассматриваемого как уравнение для температуры Т. Коэффициент теплопроводности Х(7) обычно возрастает с ростом температуры по крайней мере как 71/2. Поэтому уравнение нелинейной теплопроводности часто записывается в виде
di дх х ' дх дх 1/2 дх 3 дх\ дх / ' 1
Здесь оказалось возможным явную зависимость коэффициента диффузии от температуры ввести непосредственно в оператор градиента. Коэффициент Х1/2 измеряется в К~1/2-м2-с-1.
Тепловой поток зависит от температуры нелинейно. Коэффициент теплопроводности с температурной степенной зависимостью с показателем степени 1/2 или 3/4 является типичным при газофазном горении и важен при расчете пламени. Если показатель степени меньше единицы, то такая нелинейность считается слабой, но и в этом случае роль теплопроводности растет с ростом температуры. Электронная теплопроводность в сильно ионизованной плазме пропорциональна Г3/2, а перенос излучения пропорционален примерно Т4. Вообще говоря, если Х(Т) является монотонно возрастающей функцией от Г, то температурная зависимость может быть введена непосредственно в оператор градиента. Это помогает в решении уравнения (7-3.1) по неявным и консервативным алгоритмам.
Уравнение (7-3.1) обладает интересным и поучительным аналитическим решением в виде отдельного движущегося профиля температуры фиксированной формы. Предположим, что профиль температуры может быть выражен в виде Т^х—Vt), где V— постоянная скорость. Тогда производная Т по времени, входящая в уравнение (7.3.1), равна
%- = — V^L (7-3.2) dt дх х '
В этом случае остается решить обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка по х для профиля температуры
(7-3.3)(7-3.3)dT2 Хш дЧ^
(7-3.3)
(7-3.3)
dx~3 V dx1 ‘
Первый интеграл этого уравнения содержит постоянную инте-
грирования. Приравнивая эту постоянную величине Too, равной температуре в области набегающей нелинейной тепловой волны далеко вверх по потоку, находим
(7-3.4).
Это уравнение можно проинтегрировать аналитически и получить
хТ (х)
где Тг—температура в точке xv Записывая в явном виде интеграл в правой части равенства (7-3.5), имеем
Х_Х1=[-2 (Гт —ГЛ)+Ут; X
у in ^тл-ут; утч-ут; 1„ 3 6.
Ул+Ут. ^т-Ут^ ]' V ■ )
На рис. 7-5 показано решение уравнения (7-3.1), вычисленное по формуле (7-3.6) при 7=5 см/с в начальный момент времени /о = О и в нескольких последующих моментах времени. Это решение представляет собою профиль температуры фиксированной формы, движущийся слева направо. Влияние нелинейности в коэффициенте диффузии значительно в том случае, когда тепло подводится в холодную среду, т. е. когда температура Too мала. Градиент температуры увеличивается с ростом температуры. Это поддерживает тепловой поток относительнопостоянным, за исключением тех областей, где вещество нагревается наиболее быстро. Такое решение подразумевает отсутствие движения в жидкости при изменении температуры, так что для газа постановка данной задачи нереалистична. Впрочем, выписанное решение могло бы представить распространение тепловой волны в твердом теле в ограниченном диапазоне температур, исключающем фазовые изменения.
Дифференциальное уравнение, аналогичное уравнению (7-3.4), можно проинтегрировать аналитически для широкого класса веществ с нелинейной теплопроводностью, зависящей от температуры по степенному закону
Х(Т) = ХаТа.(7-3.7)
В предельном случае, когда тепло диффундирует в холодную среду при Тоо = 0, решение имеет вид
Т(х)= [-^(xf-x) + T?]1/a.(7-3.8)
Рис. 7-5. Температура как функция расстояния для решения (7-3.6) задачи о фронте теплопроводности при V=5 см/с. Сплошные кривые — решение для Т<х> = 300 К, рассчитанное в последовательные моменты времени. Штриховые кривые представляют решения в момент времени ^=0 при Тоо = 0, 100 и 200 К.
Это решение достигает значения
Т\ в точке %! и проходит через значение
™ А, ^«7?(7-3.9)
Т = 0 в точке х0 = ^ +v
расположенной на конечном расстоянии от точки хь Вблизи точки хо температура стремится к нулю как (х—х0)1/а. Когда а меньше единицы, например а=1/2, как в решении (7.-3.6), передняя часть профиля температуры в этом предельном решении гладко, с нулевой производной спадает до нуля на конечном расстоянии. Решение при этом не сингулярное, а имеет бесконечную производную только в том случае, когда Т стремится к бесконечности.
Когда а больше единицы, наклон температурного фронта становится бесконечным в точке х=х0 и волна теплопроводности перемещается подобно ударной волне. Температура за фронтом должна иметь очень резкий градиент, так как относительно холодная среда перед распространяющейся волной обладает относительно низкой теплопроводностью. Такие сильно нелинейные уравнения диффузии появляются в некоторых моделях турбулентного переноса и турбулентного смешения, где они
Рис. 7-6. Температура как функция расстояния для решения (7-3.10) задачи о фронте теплопроводности при У=5 см/с и а=2. Сплошные кривые — решение при Та» = 300 К, рассчитанное в последовательные моменты времени. Штриховые кривые представляют решения в момент времени ^=0 при Тоо=0, 100 и 200 К. Заштрихованная площадь указывает область решения, требующую хорошего численного разрешения при численном решении уравнения.
описывают нулевую суммарную конвекцию в областях течения жидкости с нулевой завихренностью.
Когда начальная температура среды имеет ненулевую величину, то производная не обращается в бесконечность, а уравнения диффузии не нарушаются. Когда Тоо>0, то вместо бесконечной производной в точке Хо появляется очень тонкая переходная область, в которой профиль температуры гладко спадает до нуля, причем он имеет нижнюю экспоненциально малую область, простирающуюся до бесконечности. Такое поведение отвечает сильно нелинейному случаю. Когда а = 2, решение, аналогичное решению (7-3.6), имеет вид
x-Xi = - ^-+ 7. (7- 7J + Шп (^^7) ] • (7-3.10)
На рис. 7-6 показано решение (7-3.10) для У = 5 см/с при Xi=0, 71=2500 К и параметре Хг, выбранном так, что предельное решение при Т«> = 0 достигает нуля на расстоянии 6 см. Такие простые решения для нелинейной теплопроводности тесно связаны с профилями температуры в пламенах и слоях, где происходит абляция.
Наличие такого аналитического решения обеспечивает идеальную тестовую задачу для проверки алгоритмов расчета диффузии, поскольку точно известны и профиль температуры, и скорость его распространения. Если численный алгоритм обладает свойством консервативности, то приближенно рассчитанный профиль будет распространяться с правильной скоростью. Форма профиля при значениях 7, близких к Too, в общем наиболее чувствительна к используемым алгоритмам и сеткам.
Когда теплопроводность сильно нелинейная, например, когда а>1 и Тоо = 0, градиент температуры становится большим, чтобы поддерживать тепловой поток приблизительно постоянным. Скорость, с которой распространяется подобная скачку тепловая волна, определяется скоростью подвода тепла на границе, а в этом упрощенном случае — величиной Ха. Как видно из рис. 7-5 и 7-6, решение при стремлении 7 к Too имеет намного большую кривизну, когда нелинейность сильная (а>1), чем когда она слабая (а<1). Таким образом, случай а>1 является наиболее строгим тестом для алгоритмов расчета нелинейной теплопроводности. Адекватное пространственное разрешение в точке изгиба решений с конечным Too является особенно важным для получения точных численных решений. Эта область заштрихована на рис. 7-6.
7-3.2. Численные методы расчета нелинейной диффузии
Дискретизация дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих диффузию, может быть осложнена функциональным видом коэффициентов диффузии. Однако, если временной шаг достаточно мал, то изменения в значениях {pj в ячейках малы и нелинейные члены в коэффициентах диффузии изменяются не очень быстро, чтобы представлять основную трудность. Тогда нелинейные члены можно вычислить через известные величины в предыдущий момент времени tn-\ и ошибки при этом будут невелики. Одна или две итерации для перевычисления нелинейных коэффициентов с использованием последовательно улучшаемых новых значений переменных обычно существенно улучшают точность. Однако, когда шаг по времени велик, такая простая итерация не обязательно сходится. Даже когда она сходится, сходимость может быть очень медленной. При еще больших временных шагах этот способ расчета приводит к неустойчивости и численное решение может существенно изменяться на одном шаге по времени.
Когда задача расчета диффузии сильно нелинейная, часто необходимо применять неявные алгоритмы. Например, при коэффициенте теплопроводности, зависящем от температуры по степенному закону, полностью неявная трехточечная разностная
]п, (7-3.11)]п, (7-3.11)схема для определения температуры на новом слое по времени записывается в виде
]п
, (7-3.11)
]п
, (7-3.11)
ptiрп-i ^ г j.a+1ра+1 ра+1ра+1Д? a+l L △^Ах2
где все члены, заключенные в квадратные скобки в правой части равенства, вычисляются на новом слое по времени. Алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей применить непосредственно для нахождения новых значений температуры ^гп^ сложно из-за наличия нелинейных членов в правой части.
Для решения уравнений (7-3.11) можно использовать сходящийся с квадратичной скоростью итерационный процесс. Последовательность решений Т^т\ где т обозначает номер итерации, получается при замене текущих наилучших приближенных значений ^Тг^Л искомых величин {Лп} на новом временном слое на следующие величины:
T^i^T^ + MT1, i=l, Nc. (7-3.12)
Подстановка в уравнение (7-3.11) выражения (7-3.12) вместо искомых значений 7? дает
"Т—т Ю АТ'Ж-З ТГУ ^+ТГУ АТШ =
= 7£-^+Л^[(Г№^
(7-3.13)
При такой линеаризации новые коррекции М^ можно определить, применяя алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов. Каждая итерация в такой форме является консервативной и, таким образом, все решение в целом является консервативным.
Выражение (7-2.10) представляет собой формулу для определения соответствующих средних значений коэффициентов диффузии на границах ячеек по заданным значениям этих величин в центрах ячеек. Расчет нелинейной диффузии становится сложной задачей, когда коэффициенты диффузии очень сильно изменяются от ячейки к ячейке, поэтому представляется естественным применить этот прием сопряжения потоков для расчета нелинейной диффузии. Когда коэффициент диффузии представлен в легко интегрируемом виде, как,, например, в случае, описываемом формулой (7-3.7), или когда диффузионный поток может быть записан в более общем виде
D (p)vp = VG(p), (7-3.14)
процедура сопряжения потоков сводится к линейной интерполяции G(p) на границе раздела ячеек. Это имеет место из-за того, что эффективный коэффициент диффузии будет постоянным, если D (р) вносится под знак градиента.
Обычно функциональная зависимость реальных нелинейных коэффициентов диффузии не столь проста, как предполагаемая в выражении (7-3.7). Допустим, что коэффициент теплопроводности имеет некую функциональную зависимость Х(р, Т). Если зависимость X от Т можно внести под знак градиента, то процедура сопряжения потоков может быть применена к зависимости X от р, которая находится вне знака градиента. Даже когда зависимость X для всех переменных может быть привнесена под знак градиента, как это сделано в формуле (7-3.14), процедура сопряжения потоков дает среднее значение коэффициента диффузии, определяющее потоки на границе раздела ячеек, которое следует брать, когда размеры ячеек изменяются.
7-3.3. Асимптотические методы расчета быстрой диффузии
Когда коэффициент диффузии всюду велик или конвекция относительно медленная, члены, описывающие источники и стоки в уравнении (7-1.1), являются доминирующими, и уравнение (7-1.1) становится эллиптическим уравнением вида
V-D(p, х, /)Vp =— S. (7-3.15)
В результате получается, по существу, та же самая структура матрицы решения, если в этом уравнении сохранить производную по времени. В пределе большого шага по времени конечноразностная аппроксимация производной по времени не является дорогостоящей с точки зрения вычисления, и наличие ее усиливает диагональное преобладание в разреженной матрице коэффициентов получающегося уравнения.
Когда D велико и S конечно, градиент р должен быстро стать малым, с тем чтобы выполнилось равенство левой и правой частей уравнения (7-3.15). В пределе при быстрой диффузии, когда источниками можно пренебречь, р становится приблизительно постоянным. Когда источниковый член значителен, р совершает небольшие отклонения относительно некоторого постоянного значения. В пределе при быстрой теплопроводности имеет место изотермическая система, температура которой может быть определена, исходя из требования глобального сохранения энергии.
Когда источниковые члены изменяются медленно по сравнению со скоростью, с которой диффузия может перемещать р по системе, необходимо решать эллиптическое или параболи-
ческое уравнение. В одномерном случае получающееся уравнение с трехдиагональной матрицей коэффициентов решается непосредственно. В многомерном случае для упрощения процедуры решения могут быть использованы медленные изменения в решении. Пересчет изменяющегося коэффициента диффузии в течение шага по времени может не понадобиться, если он зависит от медленно изменяющегося решения. Нелинейные величины могут быть вычислены в начале цикла, сводя тем самым потенциально нелинейное эллиптическое уравнение к линейному уравнению с известными, но переменными коэффициентами.
7-3.4. Ограничители потока
Использование формулы с ограничителем потока является альтернативным подходом к решению параболического или эллиптического уравнений, обсуждавшихся выше. Идея ограничения потока состоит в том, чтобы искусственно уменьшить поток до такой величины, которая не является настолько большой, чтобы опорожнить какие-либо ячейки за один временной шаг. Это эквивалентно локальному уменьшению шага по времени до величины, меньшей, чем дает предел устойчивости явной схемы. Поскольку коэффициент диффузии предположительно велик там, где применяются ограничители потока, диффузия является все еще быстрой и градиенты в решении достаточно малы, хотя и не так малы, как было бы при допущении полных диффузионных потоков.
Рассматриваемые таким образом ограничители потока являются полезным искусственным приемом, допускающим расчеты с большим шагом по времени в явных схемах, чем в противном случае было бы позволено условиями численной устой- чивости. Если кое-где на сетке требуется очень тонкое разрешение в силу причин, отличных от необходимости разрешать диффузионные члены, то ограничители потоков помогают избежать выполнения условия устойчивости по диффузии, которое потребовало бы чрезвычайно малых шагов по времени. Формулы для ограничителей потока столь же естестественно возникают из физики явления, сколь и из требований численного расчета.
В разд. 7-1.3 было показано, по какому закону скорость диффузии стремится к бесконечности на расстоянии, достаточно удаленном от центра расширяющейся кривой Гаусса. Если диффундирует какая-нибудь физическая величина, например тепло или плотность вещества, то наибольшая из возможных средняя скорость диффузии приблизительно равна тепловой скорости, соответствующей распределению частиц в рассмат-
риваемой точке. Таким образом, поток не может быть больше хнцн для одного из химических компонентов ^mNkBTvthl(^—1) для энергии, где у^ — локальная тепловая скорость. В действительности предельный поток еще меньше, так как не все частицы одновременно могут перемещаться с тепловой скоростью в одном и том же направлении. Практически предельная скорость диффузии составляет не более нескольких процентов от тепловой скорости.
Использование ограничителей потока при расчете диффузии особенно важно в случае почти бесстолкновительной плазмы с большими градиентами температуры и газодинамических скачков с толщиной, сравнимой со средней длиной свободного пробега. В случае плазмы горячие частицы обладают большей средней длиной свободного пробега, чем холодные, и, таким образом, прежде чем наступит термализация, горячие частицы смогут перенести массу и тепло на большое расстояние в холодную среду. Однако вследствие больших значений локальных градиентов классическое рассмотрение диффузионного потока в рамках концепции сплошной среды дает слишком большое значение для величины потока. В случае скачка горячие частицы за скачком переносят массу, импульс и энергию вперед в область невоэмущенной скачком среды. Если скачок рассматривается как профиль с разрывом, то диффузионный поток без введения ограничителя потока вновь может быть слишком велик.
7-4. Многомерные алгоритмы
7-4.1. Неявные, явные и центрированные алгоритмы
Расчет теплопроводности хорошо иллюстрирует те обобщения, которые необходимы для решения многомерных задач диффузии. Рассмотрим систему, в которой скорость жидкости равна нулю, или предположим, что процесс теплопроводности рассчитывается независимо от других физических процессов. Тогда диффузия тепла описывается уравнением
^С^т, X, 0Т(х, t) = ^(T, X, 0VT+S(T, X, t^ (7-4.1)
где С(Т, хД)—удельная теплоемкость. Член S^T, х, t) вновь представляет источники или стоки температуры или энергии, а Х(Т, х, t) является коэффициентом теплопроводности.
Когда функции С, X или S зависят от температуры, как указано в уравнении (7-4.1), задача становится нелинейной, однако обобщение методик, изложенных в разд. 7-3, можно распространить на применяемые здесь алгоритмы.
Рис. 7-7. Локальные двумерные конечно-разностные шаблоны: а — пятиточеч- .ный шаблон; б — девятиточечный шаблон.Рис. 7-7. Локальные двумерные конечно-разностные шаблоны: а — пятиточеч- .ный шаблон; б — девятиточечный шаблон.
Рис. 7-7. Локальные двумерные конечно-разностные шаблоны: а — пятиточеч- .ный шаблон; б — девятиточечный шаблон.
Рис. 7-7. Локальные двумерные конечно-разностные шаблоны: а — пятиточеч- .ный шаблон; б — девятиточечный шаблон.
Когда X и С постоянны, a S равно нулю, приведенное в гл. 4 одномерное решение легко обобщается на случай двух измерений. Пусть распределение температуры всюду представляет собой постоянную величину ТСр с наложенной на нее синусоидальной флуктуацией. Предположим, что решение в последующие моменты времени будет иметь вид
Т(х, у, t)^T^ + ^a^x^Q-rt,(7-4.2)
где ДТ0 — амплитуда флуктуации температуры в момент времени ^ = 0. Подстановка уравнения (7-4.2) в уравнение (7-4.1) дает
Г = £(^ + ^),(7-4.3)
следовательно, скорость затухания разных мод пропорциональна квадрату волнового числа.
Хотя существует много конечно-разностных аппроксимаций уравнения (7-4.1), здесь для этой цели использован двумерный пятиточечный шаблон, изображенный на рис. 7-7, а. В этом случае
Г Т^- I ^х^ Fn I ^и^ рпр pn-i IДХ// rx"V Mij+
+ 4 F1 +F-"
где
Г X — ^ + 1/2, / I “ТТ^1-1/2, / ~дТ I, (7-4.46)
\» + 1/2,/ ууу
^ = Ai,/+l/2 — ) —Ai, /_1/2( -дТ ■ (/“4.4В)
На рис. 7-7, б показан девятиточечный шаблон, который также можно использовать. Дополнительные степени свободы, имеющиеся в девятиточечных разностных формулах, могут применяться для увеличения точности, когда размеры ячеек и коэффициенты диффузии изменяются в пространстве.
Уравнения (7-4.4) гарантируют сохранение энергии, когда коэффициент диффузии изменяется по сетке. Сетка может быть разбита на ячейки неравномерно как по оси х, так и по оси у, однако предполагается, что линии сетки образуют ортогональную систему координат. Размеры ячеек, центрированные относительно ячеек или относительно границ раздела ячеек, определяются так же, как и прежде:
^xt+liaj = xHij—хи, kx^xu-i^j—Xi-^j; (7-4.5а)
^У1, i^il2=ytj+i—Уц^ ^Уц = У1, /+1/2 yi,i-ii^- (7-4.56)
Параметры неявности 9Х и 0^ могут быть различными и, более того, они могут изменяться от ячейки к ячейке. Уравнения (7-4.4) являются непосредственным обобщением уравнений (7-2.1) и обладают в целом точностью второго порядка, когда 9х = 9у=1{2 и сетка равномерна по обоим направлениям. Трехмерное конечно-разностное уравнение также может быть записано как простое обобщение уравнений (7-4.4). -
Далее будем следовать в основном той же самой процедуре, что и в гл. 4: предположим, что Т первоначально имеет синусоидальное распределение по пространству, соответствующее представленному выше теоретическому решению. Предположим также, что X является постоянной величиной в пространствен во времени и что размеры расчетных ячеек Ах и Ду постоянны. В результате получим двумерный аналог уравнения (4-3.9), связывающий возмущение температуры в последующий момент времени с возмущением температуры в предыдущий момент времени:
(7-4.6)(7-4.7а)(7-4.76)(7-4.6)(7-4.7а)(7-4.76)дт»=дт-1
(7-4.6)
(7-4.7а)
(7-4.76)
(7-4.6)
(7-4.7а)
(7-4.76)
1+(%Д//2С)[0Х+0у^]
Определим здесь величины
/^2 О ^ — COS ^х Ах)
^2 о l-cos(^Ay)
^=2—в—
как конечно-разностные аппроксимации непрерывных волновых чисел кх и ку. Для больших длин волн, где пространственные изменения разрешены хорошо, К по существу совпадает с к. В уравнение (7-4.6) входит двумерный аналог одномерного множителя -перехода из уравнения (4-3.10). В двумерном случае явный (0 = 0), центрированный (0=1/2) и неявный (0=1) алгоритмы ведут себя так же, как и в одномерном случае.
Основываясь на поведении одномерных методов и на численном множителе перехода в двумерном случае, представляющем собой отношение kTnIMn-x в уравнении (7-4.6), можно сделать вывод, что полностью неявный алгоритм ведет себя наилучшим образом. В частности, он ведет себя физически устойчиво при всех длинах волн. Для решения многомерной задачи с быстрой диффузией естественно начать с предположения, что наилучшим подходом будет обобщение полностью неявного алгоритма. В принципе это легко сделать и, как показано выше, дисперсионное соотношение для этого случая известно. К сожалению, в действительности решение неявной системы связанных двумерных разностных уравнений намного сложнее с вычислительной точки зрения. Однако, если может быть решена неявная система, то могут быть также решены и системы, получающиеся при применении полунеявных алгоритмов.
Поскольку конечно-разностный шаблон связывает вместе неявным образом значения температуры более чем в одном направлении, матрица, которую предстоит обратить, больше не является трехдиагональной. В двумерном случае прямое решение уравнений (7-4.4) включает обращение разреженного массива размерностью NXNyxNXNу и требует около Nx2Ny2 арифметических операций. Зачастую это слишком трудоемко при расчете реагирующих течений. Эффективное обращение таких больших разреженных матриц, особенно в общем случае переменных коэффициентов диффузии и переменных размеров ячеек, является дорогостоящей операцией. Поэтому необходимо или допустить использование приближенного способа обращения матриц, или применить итерационный алгоритм для нахождения новых значений температур, удовлетворяющих уравнениям (7-4.4). Более полное обсуждение методов решения параболических и эллиптических задач содержится в разд. 11-3, куда и отсылается заинтересованный читатель.
7-4.2. Неявный метод чередующихся направлений и методы расщепления по направлениям
Уравнения с трехдиагональными матрицами коэффициентов могут быть решены быстро и легко существующими методами (ом. разд. 11-3). Возникает естественный вопрос, можно ли использовать алгоритм решения уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов для решения многомерной задачи попеременным применением его по различным пространственным направлениям. Такой подход приводит к неявным алгоритмам чередующихся направлений ADI. Кратко опишем применение алгоритма ADI к рассматриваемой здесь задаче расчета диффузии.
Для применения метода ADI к описанной выше идеализированной задаче расчета теплопроводности необходимо совершить два шага. Первый шаг заключается в разрешении записанных неявным образом производных в направлении х, используя вычисленные явным образом в предыдущий момент .времени конечно-разностные аппроксимации в направлении у. Этот шаг включает решение Ny независимых систем с трехдиагональной матрицей, каждая из которых содержит Nx уравнений. На следующем «чередующемся» шаге в явном виде рассчитываются конечно-разностные аппроксимации в направлении х, а производные в направлении у разрешаются неявным образом. Этот шаг включает в себя решение Nx систем уравнений с трехдиагональной матрицей. Заметим, что существует некоторая асимметрия в рассмотрении различных направлений. Один из полунеявных путей частичного устранения этой асимметрии состоит в использовании величин в предыдущий момент времени tn-x и последующем усреднении двух промежуточных результатов.
Полезным упражнением представляется запись уравнений, описывающих эти два подхода на основе уравнений (7-4.4), и далее выведение дисперсионных соотношений для обоих алгоритмов. Затем следует провести сравнение этих дисперсионных соотношений друг с другом и с дисперсионным соотношением для полностью неявного алгоритма, которое получается в результате непосредственного решения системы уравнений с разреженной матрицей.
7-5. Решение для скоростей диффузии компонентов
Стоимость расчета реагирующего течения возрастает пропорционально количеству реагирующих компонентов. Если бы эта стоимость была просто пропорциональна числу компонентов Ns в каждой расчетной ячейке, то задача легко бы подда-
валась решению. Однако всякий раз, когда должна обращаться матрица размерностью NSXNS, число арифметических операций и, следовательно, стоимость расчета растут пропорционально Ns3 для каждой ячейки.
Вычисление скоростей диффузии компонентов {v^z} требует решения уравнений (7-0.5) и (7-0.6), подчиненных условию (7-0.7). Вновь встает проблема высокой стоимости вычислений: при дорогостоящем, но прямом обращении матрицы.
7-5.1. Приближенный закон диффузии Фика
Для уменьшения стоимости расчета коэффициента диффузии обычно применяют приближенный закон диффузии Фика, так что имеет смысл разобраться в допущениях, принятых при формулировке этого закона, и связанных с ним ограничениях. Рассмотрим идеализированную одномерную задачу, в которой температура и давление постоянны, отсутствуют внешние силы, нет химических реакций, скорость жидкости равна нулю,, но плотности компонентов могут изменяться в пространстве. Уравнение неразрывности для -компонентов сводится к следующему:
а усредненная по частицам скорость w определяется выраже
w =w =нием
w =
w =
(7-5.2)
где N= 'Sni — суммарная плотность частиц. Тогда
что можно показать, просуммировав уравнение (7-5.1) по всем г 1и заметив, что dN/dt = 0 в соответствии со сделанными выше допущениями. С учетом уравнения (7-5.3) видим, что
»М=Ш^.(7-5.4)
дхдхх '
Можно переписать уравнение (7-5.1) в форме
dnz, дп^д, . дшщ _ dnj, RV
dtдх ‘ дх дх ‘X • У
С использованием определения до согласно уравнению (7-5.2) уравнение (7-5.5) примет вид
гn51
Эх niXA^ij—-fl-)V4i -w^-dx‘"(7-5.6)
L /= 1J '
Согласно приближенному закону Фика скорость диффузии может быть связана с коэффициентом бинарной диффузии Da посредством выражения для потока массы [6]
nitHiUdtnitHiUdtN1 РN1 РNsNs(7-5.7)(7-5.7)
nitHiUdt
nitHiUdt
N1 Р
N1 Р
Ns
Ns
(7-5.7)
(7-5.7)
В конечном итоге получается уравнение, объединяющее уравнения (7-5.6) и (7-5.7) и имеющее следующий вид:
Ns Ns ..
dnv д V V cniNдпь /уХ дтц c Ox
dt dx ~ \ 3 NJ R dx x ' ox x k=\ /=1yr
Это уравнение представляет собой обобщение на многокомпонентный случай второго закона диффузии Фика; более подробно оно обсуждается в монографии Гцршфельдера и др. [6].
В предельном случае только двух компонентов пх и п2 уравнение (7-5.8) сводится к следующим уравнениям:
^"Тх0^-^^(7-5'9а)
=(7-5.96)
Сложение этих уравнений дает
.^d^L = ^ = о,(7-5.10)
что согласуется со сделанными выше предположениями о постоянстве температуры и давления.
Уравнение типа,
(7-5.11)(7-5.11)ЭС___ д_ п дСdt ~~ dxL Эх'
(7-5.11)
(7-5.11)
где С — концентрация, обычно называется законом диффузии Фика или просто диффузией Фика. Заметим, что в этом уравнении отсутствует член с первой производной по х от концентрации, присутствующий в уравнениях (7-5.9), а сделанные выше допущения о постоянстве температуры, давления и т. п. могут в действительности не выполняться в практических приложениях. . ,
7-5.2. Эффективный итерационный алгоритм
Поскольку непосредственное обращение матриц <в уравнениях (7-0.5) — (7-0.7) для нахождения скоростей диффузии требует около Ns3 арифметических операций на ячейку, необходим более эффективный метод в случае, когда в смеси присутствуют более четырех или пяти компонентов. Наиболее эффективный из известных авторам алгоритм требует порядка Ns2 арифметических операций и основан на специально выбираемом начальном приближении [7]. Для понимания процедуры перепишем сначала уравнения (7-0.5) и (7-0.6) в виде
Ns
G(=HWlk(vdk-vdi),(7-5.12)
Gi=^^-Xi^-Yl^'(7"513)
Здесь {^а} и {У/} являются функциями коэффициентов переноса; векторное обозначение опущено, поскольку каждое из направлений можно рассматривать независимо.
Просуммировав все эти уравнения по всем компонентам, найдем, что
Ns
2^ = 0.(7-5.14)
к=1
Так как сумма величин Gt равна нулю, то матрица W, определенная уравнениями (7-5.12) и (7-0.5), является вырожденной и все Ns различных скоростей диффузии не могут быть независимыми. Необходимым дополнительным соотношением является условие (7-0.7), которое принимает форму равенства
Ns
^,. = 0.(7-5.15)
Если для уравнения (7-5.12) известен частный набор решений {vsdi}, то к ним можно прибавить любое постоянное значение скорости и получить еще одно решение {ура;+6у^} для i=l,.. ,,NS. Неопределенная пока постоянная величина бУа может быть использована для реализации условия (7-5.15).
Пусть коэффициент диффузии Du описывает диффузию компонента i на фоне, представленном суммой всех других компонентов. Тогда прекрасным начальным приближением для i-й скорости диффузии у°а/ служит
Л — р(N—пбщ Ui-(Лэ.1b)
Члены более высокого порядка 'малости появляются как поправки к начальному приближению для скорости диффузии
ydi^dtA-^.(7-5.17)
Уравнения для {6^id} получаются при подстановке уравнения (7-5.17) в уравнение (7-5.12), в результате чего получим
мм
6С{ = 5 AikGk = 2 Wik^dk-^, M = NS. (7-5.18) k=\k=l
Коэффициенты диффузии {Dz-5} в уравнении (7-5.16) определяются из соотношений
N—n, ^ Dik(7-5.19)
и элементы матрицы А определяются выражениями
Atb = f 6ik +(1 _ 6,,).(7-5.20)
Уравнение (7-5.18) определяет систему линейных алгебраических уравнений, которую можно разрешить относительно {6у^}; это уравнение в основном совпадает с исходным уравнением (7-5.12). Однако правая часть уравнения (7-5.18) при суммировании по i обращается в нуль. Легко видеть, что выбор Atk не единственный. К каждой строке матрицы А можно добавить произвольную константу в соответствии с преобразованием
Alk = Aik-Cb(7-5.21)
при котором не изменяется уравнение (7-5.18), совместное с уравнением (7-5.15). Добавление таких констант оставляет {6^} неизменными величинами. Таким образом, общий вид полного решения является следующим:
= ^ (N-n^ [^ + А^ + АнА1к+...]Ок. (7-5.22)
Матрица в квадратных скобках представляет собой формальное разложение матрицы [I—А]-1.
При численном решении уравнения (7-5.22) не следует производить указанных матричных умножений. Так как величины {GJ известны, то сначала проводится умножение сомножителей. Каждый новый добавляемый член, содержащий более высокую степень элементов А, получается умножением вектора, а не матрицы, что приводит к вычислительным затратам порядка Ns2. На практике удобно положить Cz=0 в уравнении <7-5.21) и ограничить разложение в ряд, входящее в уравнение (7-5.22), членом Л2. По крайней мере, необходимо учесть пер-
вый поправочный член Д/^, чтобы получить правильный знак для всех диффузионных потоков. Учет квадратичного члена иногда значительно увеличивает точность, а в дальнейшей итерации, вообще говоря, нет необходимости. Оставшиеся ошибки не превышают нескольких процентов.
Этот алгоритм быстро сходится, поскольку начальное приближение выбрано в виде (7-5.16) и (7-5.19). Наличие множителя (р{—р)/р в уравнении (7-5.22) является весьма важным. Когда имеются только два компонента, так что N = гиЛ-П2, то этот множитель равен —рг/р, как и требуется для того, чтобы получить точный результат для двух компонентов. Заметим, что оборвав разложение в ряд в уравнении (7-5.22) на члене б/^, не получим диффузии Фика. Эффективный коэффициент диффузии отличается от коэффициента диффузии Фика множителем (р—р/)/р. Диффузия Фика может даже не давать правильного знака для диффузионного потока.
7-6. Вычисление коэффициентов диффузионного переноса
Цель настоящего раздела состоит в том, чтобы привести полезные формулы и ссылки на литературу, необходимые при вычислении коэффициентов переноса в нейтральных газах. Большая часть фундаментальных исследований в этой области была проделана в работах Чепмена и Каулинга [1] и Гирш- фельдера, Кертиса и Берда [6]. Материал, представленный ниже, основан на этих исследованиях, расширяет или использует их. Пиконе и Оран [12], Кайласанат и др. [8], Диксон-Льюис [3] опубликовали более поздние обзоры материала, относящегося к рассматриваемому в настоящем разделе.
Вначале представим и обсудим стандартные формулы расчета коэффициентов диффузионного переноса. Затем в качестве примера опишем вычисление коэффициентов диффузионного переноса, необходимых для расчета характеристик пламени при горении водорода. Эти коэффициенты используются в расчетах пламени, представленных в разд. 13-3.
7-6.1. Теплопроводность
Для расчета многокомпонентных реагирующих течений необходимо иметь значение коэффициента теплопроводности Хт, отвечающего смеси нейтральных газов, и значение коэффициента теплопроводности h для i-ro газового компонента.
Мэсон и Саксена [10] дали чрезвычайно полезное уравнение для расчета коэффициента теплопроводности смеси:
^=Е^Г1 + ^гЕ ад/ЯЛ (7-6.1)
i L ^v П-1 k^bi J
где ^tk определяется выражением
Если ,молекула компонента i является одноатомной, то Xi° совпадает с коэффициентом теплопроводности компонента L Если молекула компонента i является многоатомной, то Х? совпадает с коэффициентом теплопроводности газа, внутренние степени свободы которого считают «замороженными». Величины {/и,} — атомные массы различных компонентов.
Коэффициент теплопроводности Xi беспримесного многоатомного газа можно оценить, умножив Xi° на множитель Эйкена Ег [5]:
Х; = Е;Х°и (7-6.3) где £,=0,115+0,354-^, (7-6.4)
Cpt — удельная теплоемкость при постоянном давлении. Величины {Xz0} могут быть вычислены по формуле
8,322-10» / 7X1/2 8,322-10» / 7X1/2(7-6.5)(7-6.5)
8,322-10» / 7X1/2
8,322-10» / 7X1/2
(7-6.5)
(7-6.5)
Здесь Oi —диаметр сечения столкновений. Величина й,,(2’2)* есть момент от интеграла столкновений, отнесенный к соответствующему значению для модели твердых сфер. Он является функцией приведенной температуры Ti*
Tt = kBTl6h (7-6.6)
где Rilke — параметр потенциала, кв — постоянная Больцмана. Величина Ri и az—постоянные, входящие в выражение для функции потенциала межмолекулярного взаимодействия, описывающего взаимодействие между молекулами i-ro сорта. В этой формулировке интеграл столкновений вычислялся с помощью потенциала межмолекулярного взаимодействия Леннарда— Джонса, который обсуждается в конце этого раздела. Таблицы значений Qzz(2,2)* для потенциала Леннарда—Джонса 6/12 приведены в книге Гиршфельдера, Кертиса и Берда [6], а для более общих потенциалов Леннарда — Джонса — в работе Клейна и др. [9].
Выражение (7-6.5) для {Xz0} весьма точное для неполярных молекул и, вероятно, приемлемо для полярных молекул. Источник неопределенности лежит в определении множителя Эйкена, который представляет собой среднее по микроскопическим состояниям. При выводе Ei предполагается, что все состояния имеют одинаковые коэффициенты диффузии и не допускается
искажение функции распределения электронной плотности вследствие вращательных переходов. Однако эти факторы могут оказаться существенными даже при комнатной температуре для полярных молекул [4, 5].
7-6.2. Обыкновенная (молекулярная, бинарная) диффузия
Величина Dik представляет коэффициент обыкновенной диффузии пары компонентов i и к для двухкомпонентного газа. Хотя этот коэффициент, строго говоря, не равен коэффициенту диффузии компонентов I и к в смеси, состоящей из многих компонентов, предположим, что с требуемой точностью они равны. Обсуждение различия между бинарным и многокомпонентным коэффициентами диффузии смотрите в книге Гиршфельдера, Кертиса и Берда [6].
Для некоторых бинарных смесей разбавленных газов Масон и Марреро [11] дают полуэмпирическое выражение, описывающее изменение D;k в широком диапазоне температур
Dik = ^—. (7-6.7)
Когда коэффициенты Aik и Bih неизвестны, коэффициент диффузии Dik можно оценить по формуле
(7-6.8)(7-6.8)D.2,628-10-3 Г Тз^ -Ь/п») р/»
(7-6.8)
(7-6.8)
ikPcWU* L ^mimk J
Величина Qz^O.o* является моментом от интеграла столкновений частиц сорта i и к, отнесенным к соответствующему значению для модели твердых сфер, и является функцией приведенной температуры
T*lk = kBT^ik. (7-6.9)
(7-6.10)(7-6.10)(7-6.11)(7-6.11)Вновь требуется определение таких параметров, как диаметры сечения соударений Oik и параметры потенциала ei^ для молекул сортов i и к. В большинстве случаев значения oik и eik не известны, и обычно их приближенно вычисляют следующим образом:
(7-6.10)
(7-6.10)
(7-6.11)
(7-6.11)
^.к = ^чУ,г-
Для вычисления кинетических коэффициентов вновь требуются значения параметров потенциала Леннарда — Джонса, таблицы которых приведены в книге Гиршфельдера, Кертиса и Берда [6] и работе Клейна и др. [9].
7-6.3. Термодиффузия
Термодиффузия является эффектом второго поряда малости, важным лишь в тех случаях, когда существует большая разница в атомных массах участвующих в процессе компонентов. Термодиффузионное отношение KiT представляет собой меру относительной значимости термодиффузии по отношению к обычной диффузии. Термодиффузионное отношение может быть записано в следующем виде [1]:
V №к-~5)\П[тгак— пкткаЛ1
Ki(7"6J2)
Величина сц есть вклад t-ro компонента в теплопроводность смеси (в предположении, что внутренние степени свободы заморожены):
^ = ^ [1 +£ П^Г- (7-бЛ3)
Здесь величина ср^ определяется выражением (7-6.2), a Cik* есть отношение моментов от интеграла столкновений
Clk = ^W^*.(7-6.14)
Выражение для KiT было выведено в предположении, что либо газы в смеси являются одноатомными, либо внутренние степени свободы молекул газа заморожены. Чепмен и Каулинг [1], однако, высказали предположение, что внутренние степени свободы молекул газа оказывают (меньшее влияние на термодиффузионное отношение, чем на теплопроводность.
7-6.4. Вязкость
В уравнении (7-0.8) появляются два коэффициента вязкости — коэффициент объемной вязкости к и коэффициент сдвиговой вязкости р. Объемная вязкость, как правило, не существенна и в данной книге вовсе не учитывается. Коэффициент сдвиговой вязкости более важен. В газах и газовых смесях коэффициент сдвиговой вязкости также относительно мал. Наиболее важный эффект, к которому он приводит, состоит в образовании пограничного слоя вблизи поверхности раздела веществ (или состояний). Во многих расчетах диффузионный эффект, обусловленный вязкостью, перекрывается численной диффузией. Однако для расчета пограничных слоев на основе уравнений газодинамики возникает необходимость разрешать эффекты физической вязкости вблизи поверхности раздела или границы.
Наиболее удобное выражение для коэффициента вязкости газовой смеси было дано Уилки [14]:
/2 V , -1/2 V , -1(7-6.15)(7-6.15)
/2 V , -1
/2 V , -1
(7-6.15)
(7-6.15)
Здесь суммирование проводится по всем компонентам смеси и р,/ — коэффициент вязкости i-ro компонента. С точностью до величин первого порядка
Ф<» =Ф<» =[l-K/n,/^)]1/2[l-K/n,/^)]1/2(7-6.16)(7-6.16)
Ф<» =
Ф<» =
[l-K/n,/^)]1/2
[l-K/n,/^)]1/2
(7-6.16)
(7-6.16)
Коэффициенты вязкости ц, могут быть приближенно определены по формуле, приведенной Гиршфельдером, Кертисом и Бердом [6]:
(7-6.17)(7-6.17)_ 2,67-Ю-8^"т,Т
(7-6.17)
(7-6.17)
^'—а(Й<2-2>*
где величины ц, измеряются в кг/(м-с). Если Q(2-2)*~l, то выражение (7-6.16) может быть сведено к следующему:
^“ll+^/m*)]1/2 •^“ll+^/m*)]1/2 •(7-6.18)(7-6.18)
^“ll+^/m*)]1/2 •
^“ll+^/m*)]1/2 •
(7-6.18)
(7-6.18)
Формула (7-6.15) отличается от формулы, приведенной в книге Гиршфельдера, Кертиса и Берда [6] тем, что в нее входят коэффициенты вязкости отдельных компонентов вместо коэффициентов бинарной диффузии.
7-6.5. Диффузионный перенос при горении водорода
В механизм горения водорода вовлечено восемь реагирующих компонентов: Н2, О2, О, Н, ОН, НО2, Н2О2, Н2О, а также нейтральные компоненты, например N2 или Аг. Здесь приведены коэффициенты диффузионного переноса для компонентов, участвующих в процессе горения водорода в кислороде, для иллюстрации типичных значений этих величин. Приведенные ниже коэффициенты, применяемые при численном моделировании ламинарных пламен, описаны в гл. 13.
Для вычисления коэффициента теплопроводности, коэффициентов бинарной диффузии и термодиффузионных отношений необходимо знать моменты от интеграла столкновений QtU)*, Q(i,2)*? Q(2,2)*. эти величины зависят от потенциала межмолекулярного взаимодействия; для обычно используемых потенциалов Леннарда — Джонса 6-12 они протабулированы. За-
видимость потенциала от расстояния г между молекулами для данного потенциала имеет вид
ФИ=4«[(^)“-(^У].(7-6.19)
Здесь е — глубина потенциальной ямы, т. е. максимальная энергия притяжения, о — диаметр сечения столкновений при низких энергиях. Этот потенциал хорошо описывает взаимодействие неполярных молекул и может быть приближенно пригодным для полярных молекул в ограниченном диапазоне г. Значения моментов й для этого потенциала сведены в таблицы (см., например, книгу Гиршфельдера, Кертиса и Берда [6] и работу Клейна и др. [9]).
Таблица 7-1. Параметры потенциала
Леннарда — Джонса 6-12
Компонент
8/^в
огХ1010, м
Н
37
3,5
О
106,7
3,05
Н2
59,7
2,827
ОН
79,8
3,147
Н2О
260,0
2,8
Оо
106,7
3,467
НО2
106,7
3,467
Н2О2
289,3
4,196
n2
71,4
3,798 *
Существует некоторая неопределенность в значениях величин а и е. В табл. 7-1 приведены значения этих величин, используемые для расчета потенциала межмолекулярного взаимодействия для компонентов, участвующих в горении водорода. За исключением величин а и е для Н2О, указанные величины были заимствованы из работы Свела [13]. Так как молекула воды является полярной молекулой, то потенциал Леннарда — Джонса плохо описывает взаимодействие молекул и более подходящим оказывается потенциал типа потенциала Штокмайера. Мы предполагали, однако, что потенциал Леннарда — Джонса справедлив для молекул воды, но при этом для сие брались значения, данные Диксоном-Льюисом [2], которые являются некоторыми приближениями к значениям о и 8, вычисленным с помощью потенциала Леннарда — Джонса. Было также использовано значение величины а для атомарного водорода, приведенное Диксоном-Льюисом [2].
Коэффициенты обычной диффузии вычислялись по формуле (7-6.7), где значения Aik и Bik приведены в работе Мэсона и Марреро [11]. Однако для многих пар компонентов в рассматриваемой системе необходимые данные отсутствуют. Для этих пар коэффициенты диффузии могут быть оценены с помощью выражения (7-6.8), если заметить, что когда две пары компонентов t, к и /, т имеют одинаковые значения моментов Qt1»1)*,
Таблица 7-2. Значения параметров Д^ХЮ”17, используемых для определения коэффициентов Dik=AikTEtHN~x
Компонент
о
Н2
ОН
н2о
о2
НО2
Н2О2
Ng
н
6,30
8,29
6,30
6,70
6,70
6,70
4,43
6,10
О
3,61
1,22
2,73
0,97
0,97
1,57
0,97
Н2
3,49
6,41
3,06
3,06
4,02
2,84
он
2,73
1,16
0,969
1,57
0,969
Н2О
2,04
2,04
1,57
1,89
02,
0,87
1,14
0,83-
но2
1,14
0,82
Н2О2
1,14
Таблица 7-3. Значения параметров В^ХЮ, используемых для определения коэффициентов Du=AikTBikN-x
Компонент о £ Н2Ц ОН Н2ОДО2НО2Н2О2
Na
Н7,28 7,28 7,28 7,287,327,327,28
О7,32 7,74 6,327,747,746,32
Н27,32 6,327,327,326,32
ОН6,327,247,746,32
Н2О6,326,326,32
О27,246,32
НО26,32
Н2О2
7,32
7,74
7,38
7,74
6,32
7,24
7,24
6,32
Таблица 7-4. Параметры интеграла столкновений для Н—N2
Т, К
7*. кB<'-D*Ц1.2Гс*к
300
500
1000
2000
3000
5,8370,764580,817400,9354
9,7280,703870,745700,9439
19,4560,632150,666960,9478
38,9120,567890,598860,9483
58,3680,533090,562330,9480
их коэффициенты диффузии связаны следующим соотношением:
(7-6.20) Dim G^k L т^ J
и Gtk вычисляется по формуле (7-6.10). При этой процедуре, однако, изменяется только не зависящий от температуры коэффициент Aik. Когда значения QO.o* очень сильно различаются для двух пар компонентов, температурная зависимость и, следовательно, коэффициент Bik также должны быть модифицированы. Значения Aik и В,к для всех пар компонентов, участвующих в горении водорода, приведены в таблицах 7-2 и 7-3. Применение формулы (7-6.7) вместо формулы (7-6.8) позволяет избежать использования таблиц для вычисления интегралов столкновений для каждой пары компонентов при каждой температуре.
Для термодиффузионного отношения (7-6.12) предполагалось, что отношение величин Cik* равно единице. Хотя моменты i20.i)* и qua* отличны от единицы и изменяются с температурой, их отношение близко к единице и слабо зависит от температуры. Моменты от интегралов столкновений и их отношение в диапазоне температур от 300 до 3000 К для пары Н—N2 приведены в табл. 7-4.
УРАВНЕНИЕ СОХРАНЕНИЯ: ЭЙЛЕРОВЫ МЕТОДЫ
Решение системы взаимосвязанных многомерных уравнений сохранения
# + V-f(p) = O(8-0.1)
является основополагающим моментом при моделировании течений реагирующей среды. Такая система уравнений часто называется системой уравнений, выражающих законы сохранения. В гл. 4 было дано описание и анализ простых методов решения одномерного варианта этого уравнения
(8-0.2)
когда функция f является скаляром
/ = pv.(8-0.3)
На рис. 4.6 показаны типичные результаты решения тестовой задачи — движущегося разрыва функции р(х, /). Это решение было получено пятью конечно-разностными методами. Первые три метода — простейший явный, с центральными разностями и полностью неявный — являются разумным первоначальным подходом к решению задачи, но дают очень плохие результаты. Возникают большие ошибки в амплитуде и фазе, которые быстро делают решения непригодными. Четвертый использовавшийся метод — метод донорской ячейки первого порядка точности. Его очевидный недостаток состоит в том, что он приводит к исключительно сильной диффузии решения. Последний из рассмотренных алгоритмов (метод Лакса — Вендрова) дает меньшую диффузию, чем метод донорской ячейки, но он также приводит к ошибкам в фазе, которые вызывают нефизические осцилляции решения.
В этой главе мы сосредоточим внимание на эйлеровых методах решения уравнения сохранения. Эти методы обычно устой-
чивы, если используется условие Куранта — Фридрихса — Леви [15], которое ограничивает шаг по времени М:
Д/<Дх/|У|.(8-0.4)
Здесь |У| представляет собой наибольшую характеристическую скорость в системе, причем считается, что Дх постоянно'. Хотя существует много неявных методов, не имеющих такого ограничения на Д^, не очевидно, что они пригодны для решения гиперболических уравнений, описывающих течение жидкости, поскольку информация вычислительного характера распространяется по сетке гораздо быстрее, чем может распространяться физическое возмущение. Иногда на каждом шаге* по времени требуется решать сложное матричное уравнение. По этим причинам явные эйлеровы методы применяются чаще всего и их легче всего программировать. В этой главе в основном рассматривается скалярное уравнение сохранения, одномерное или неодномерное, имеющее общий вид
^- + V-f = O.(8-0.5)
Нас интересует, насколько хорошо различные алгоритмы решения уравнений сохранения представляют распространяющийся разрыв. Интерес к этому вопросу в значительной степени возникает из необходимости решения задач с ударными волнами или с большими градиентами концентраций веществ при использовании системы уравнений, выражающих законы сохранения. Ударные волны и решение такой системы уравнений обсуждаются в гл. 9.
8-1. Методы Лакса — Вен дрова
Начнем с описания класса консервативных конечно-разностных методов, называемых методами Лакса—«Вендрова и первоначально изученных Лаксом и Вендровым [34, 35]. Этот класс включает в себя одношаговый метод Лакса — Вендрова и ряд двухшаговых методов. Один из таких двухшаговых методов — метод Мак-Кормака [39, 40] — широко используется в аэродинамических расчетах. Вообще говоря, эти методы пригодны, когда функции, описывающие распространяющиеся возмущения, достаточно гладкие. Трудности возникают, когда в решении имеются большие градиенты, требующие добавления в уравнения диффузионных членов, чтобы избежать больших осцилляций и численной неустойчивости. Хорошей литературой общего характера по рассматриваемому вопросу являются книги Рихт- майера и Мортона [47], Роуча [48] и Поттера [45].
8-1.1. Основной одношаговый метод
В гл. 4 простой метод Лакса — Вендрова применялся для решения задачи о движущейся ступеньке или о так называемой «квадратной волне». Класс методов Лакса — Вендрова основан на разложении в ряд Тейлора по времени функции р
р (х, ^”+1) = р(х, /") + А/-^-р(х, /") +
+ 4(А/)2^Р(х, /") + 0((А03).(8-1.1)
Изменим теперь обозначения и перепишем разложение в ряд для скалярной функции р следующим образом:
Р"+1 (х) = рП (х) + А/ А р» (Х) +1 (д02 ^. р» (х) + о ((АО8), (8-1.2)
где через р"+1(х) обозначено p(x,tn+1). Далее необходимо выразить dpfdt и <52р/д/2, через производные по пространственным координатам, используя уравнение (8-0.5).
В одномерном случае имеем
< —£«Р>(8-1.3)
и соответственно
d/2 dt \ dx ) dx dt dx \ Ox J dx dx*'
где
%- = —A^-, A = 5L(8-1.5; 8-1.6)
dtdx’ dp''
Например, в уравнении сохранения для массовой плотности / = ру, А = у, др _ д(ри)д2р _ д / дрр\/ci 7ч
dx ’ dt% " dx\U дх )*V ’
В неодномерном случае эти соотношения имеют форму
=(8-1.8)
В одномерном случае разностная аппроксимация Лакса—Вендг рова для выражения (8-1.2) принимает вид
P'^P’-^+tW^^(8-1.10)
где
jL Л — ^ — f / h±2~lLЛ • h—h-i \ /Qi 1 ал дх Л дх ~ Дх +^Х (6-1.12)
Л,±1/2 = А(Д; + Лг±1).(8-1.13)
8-1.2. Двухшаговый метод Рихтмайера
Как можно понять из рассмотрения одномерного случая, переход к конечным разностям в двумерных уравнениях будет еще более сложным при использовании одношаговых методов. Эти трудности обсуждались Эмери [18]. Однако имеется вариант метода Лакса — Вендрова, который легко программируется в одномерном случае и обобщается на случай двух и трех независимых пространственных переменных.
Рихтмайер [46] показал, что методы Лакса — Вендрова могут быть записаны в виде двухшаговых процедур, в которых на первом шаге используется метод Лакса, а на втором шаге — схема «чехарда». В одномерном случае двухшаговый метод Лакса— Вендрова записывается в виде
Р"+1 = 4" р'+1 + РZ -1]"—А / [ ^' * ^ ] ", Для нечетных I;
р^+2 = р?—2Д/Г"^^т^Г ’ для четных 1- (8-1.14)
Здесь, как и выше, индекс п указывает, что величины в скобках вычисляются в дискретный момент времени tn. Первый шаг дает предварительные результаты. Члены {f^1} на втором шаге вычисляются по значениям {р^1} на первом шаге. Подстановка
результатов, полученных на первом шаге, в выражения для второго шага восстанавливает одношаговый метод Лакса — Вендрова для линейного уравнения сохранения при постоянной скорости и. Более обычная форма использования уравнения (8-1.14) имеет вид
n+l/2_J_r I А£Г fi + ^ — fi 1"Pi+i/2 — 2 LPf+i^PzJ 2 [ Дх ’
p^+i = p^ —Д/p^+i = p^ —Д/tj + lfl Л’- 1/2kxtj + lfl Л’- 1/2kxП + 1/2П + 1/2
p^+i = p^ —Д/
p^+i = p^ —Д/
tj + lfl Л’- 1/2kx
tj + lfl Л’- 1/2kx
П + 1/2
П + 1/2
В этой форме значения на полушаге по времени {р^Д2} вычисляются на разнесенной сетке, а затем используются для вычисления производных по центральным разностям и определения {р^1} на первоначальной сетке.
Этот двухшаговый метод обобщается на неодномерный случай довольно легко. В двумерном случае
P?+i/22, /= *2" ^Zi Р/+1’ /1”
А/ Г Ux^i+l, / (Lk J . (/j/)njj2^Jj^^1П
2 [ \x "*2Az/J ’
P?,+j+v2 = "2" [Рл / + Рь /+1]”
AZ Г-(AOmj^^i/^^I (^b/' + i — (fykj lrt
2 [2Ax"* ky J ’
n+lЛ/ Г ^^*+1/2, j (^1-1/2, jx^y^i,/ +1/2 ^fyk +
pi, i = Pi, iJ .
(8-1.16)
Значения на полушаге по времени в первых двух уравнениях могут быть определены, например, следующим образом:
=/(р?г.'а)-/ (-j-tpr^+pn1?)), (вал?) или иначе
№ = 4 [/ (Р"+1,а) + f (РЙПЬ1(8-1.18)
где функция / с индексами или без индексов обозначает функцию от величины в круглых скобках. Эмери [18] показал, что в двумерном случае этот метод примерно в четыре раза быстрее, чем одношаговый метод Лакса — Вендрова. Ряд модификаций основного двухшагового метода описан в книге Роуча [48]. Там же приведен список литературы. В частности, Готтлиб и Тур- кель [23] построили такой метод четвертого порядка точности по пространственным переменным, а Залесак [66] при помощи другого подхода распространил его на случай произвольного порядка точности.
8-1.3. Метод Мак-Кормака
Основная форма двухшагового метода Мак-Кормака [39] для одномерного случая имеет вид
Идея здесь заключается в том, чтобы использовать разности в направлении вперед по потоку в качестве предиктора для получения предварительных значений р*, и разности в направлении назад по потоку — для получения значения на следующем временном слое. Последовательное вычисление разностей сначала «вперед», потом «назад» дает результаты, отличающиеся от того случая, когда разности вычисляются в последовательности сначала «назад», потом «вперед». При этом для движущихся разрывов результаты получаются лучше, чем по двухшаговому алгоритму Лакса — Вендрова.
Метод Мак-Кормака может использоваться в духе методов Рихтмайера для нахождения предварительных значений на полушаге по времени, а затем для нахождения окончательных значений на целом временном шаге. В то же время он может использоваться для расчета сразу двух временных шагов, когда в качестве значений на первом шаге берутся предварительные величины, а в качестве значений на следующем шаге берутся окончательные величины. В случае постоянной скорости течения для линейной задачи этот метод сводится к двухшаговому методу Лакса — Вендрова, который описывается формулами (8-1.15). Следовательно, результаты расчетов методом Лакса — Вендрова, представленные на рис. 4-6, показывают также, как метод Мак-Кормака работает в случае простой тестовой задачи о распространении волны.
Существует много разных способов обобщения метода МакКормака на двумерный случай. Например, шаги вперед и назад могут выполняться различным образом по направлениям х и у. Процесс может быть также цикличным на двух или четырех полных временных шагах. Детально этот вопрос изложен МакКормаком [40], а вывод формул дан Катлером и Ломексом [32].
8-1.4. Искусственная диффузия *
Методы второго порядка точности, такие, как метод Лакса — Вендрова и метод Мак-Кормака, обладают лишь малой диффузией, но имеют большую дисперсию и чувствительны к нелинейной неустойчивости. Как мы видели в гл. 4, в областях больших градиентов могут возникать нефизические осцилляции. Эти численные пульсации часто приводят к отрицательным значениям заведомо положительных величин. В некоторых задачах такое положение может быть допустимым, в других же задачах, особенно в таких, где рассматривается несколько взаимосвязанных физических процессов, решения становятся неприемлемыми.
Традиционный подход к этой проблеме состоит в том, что в алгоритм вводится дополнительная диффузия, которая подав-
ляет нефизичные осцилляции в области больших градиентов. В лучшем случае такой способ является компромиссом, поскольку при демпфировании осцилляций численная диффузия размазывает ударные волны и другие разрывы на большее число расчетных ячеек. Если осцилляции подавляются полностью, решение получается с такой же численной диффузией, какая имеет место в случае линейных методов первого порядка. С другой стороны, если 'осцилляции не подавляются полностью, то выигрыш оказывается небольшим по сравнению со стандартными методами высокого порядка.
Впервые методы с искусственной вязкостью были предложены фон Нейманом и Рихтмайером [60]. Они рассматривали задачу о распространении ударной волны, описываемой системой уравнений, выражающих законы сохранения. В этом подходе дополнительная вязкость вводится в уравнения импульса и энергии. Эту вязкость пытаются подобрать таким образом, чтобы подавлялись коротковолновые осцилляции и в то же время не оказывалось большого влияния на длинноволновые возмущения. Мы не будем рассматривать здесь методов с искусственной вязкостью, поскольку необходимость в них отпала в результате развития монотонных методов. Детальное изложение методов с искусственной вязкостью содержится в книгах Рихтмай- ера и Мортона [47] и Поттера [45]. Мы особенно рекомендуем книгу Поттера в качестве хорошего введения в данный предмет.
8-2. Положительность и устойчивость решения
Точное представление решений в областях с большими градиентами является важным требованием в большинстве задач, которые приходится решать. В особенности это важно для течений реагирующей среды, когда аккуратно должны представляться градиенты у фронтов детонации, фронтов горения и поверхностей раздела различных веществ в многофазных течениях. Скорость распространения пламени зависит от значений градиентов концентраций веществ, причем это справедливо и в отношении локальных профилей энерговыделения. Если ячейки в эйлеровых расчетах не очень мелкие, непрерывное перемещение жидкости через эйлерову сетку порождает значительную численную диффузию, которая возникает как следствие требований того, чтобы перемещающиеся профили оставались устойчивыми и в то же время гарантировались свойства положительности решения.
На рис. 8-1 показано, как численная диффузия проявляет себя в алгоритме первого порядка точности — методе донорской ячейки из гл. 4, в котором производные представляются разностями вверх по потоку. Разрыв, расположенный в положении 20—245
Рис. 8-1. Результаты расчета распространения разрыва при помощи сильно диффузионного алгоритма донорской ячейки. Штриховой линией показан профиль для точного решения, сплошной линией — профиль численного решения, соответствующие начальному распределению при ^=0.
х = 0 при / = 0, движется с постоянной скооостью слева направо. Скорость и, шаг по времени М и размер расчетной ячейки Ах выбраны таким образом, что уА//Дх=1/3. Это означает, что при точном счете разрыв за один шаг по времени проходит расстояние, равное одной трети длины ячейки.
Решение, полученное по алгоритму донорской ячейки и показанное на рис. 8-1 сплошной линией, рассчитано по конечноразностной формуле
рг==р?-^(р?-р?-1).рг==р?-^(р?-р?-1).(8-2.1)(8-2.1)
рг==р?-^(р?-р?-1).
рг==р?-^(р?-р?-1).
(8-2.1)
(8-2.1)
Если величины {pj положительны в некоторый момент времени
t=nM и в каждой ячейке выполнено условие
1^10.(8-2-2>
то новые значения плотности {р/п+1} в момент времени /=(/г+ + 1)А/ будут также положительны. Цена за эту гарантированную положительность решения очень велика, так как при этом происходит нефизическое размазывание разрыва, который точно должен быть расположен при x=ct.
В примере, показанном на рис. 8-1, начальный разрыв разрушается. Этот процесс напоминает физическую диффузию, но здесь он возникает лишь как следствие вычислительного алгоритма. Численная диффузия появляется из-за того, что вещество, которое только что вошло в ячейку и должно еще оставаться вблизи ее левой границы, размазывается по всей ячейке, когда параметры перенесенной жидкости пересчитываются обратно на эйлерову сетку. Для исключения этой диффузии требуется применение аппроксимаций более высокого порядка для конвективных производных.
Теперь рассмотрим явную трехточечную конечно-разностную формулу для перехода за шаг по времени от {р^} к {р^+1}:
рГ =+ ь^ 4- с,^+1.(8-2.3)
Эта общая формула включает в себя метод донорской ячейки и другие обычные алгоритмы более высокого порядка точности. Как и прежде, Ах и М считаются постоянными. Уравнение (8-2.3) может быть переписано в форме, гарантирующей консервативность
p"+i = р? — у [ег+1/2 (р?+1 + р?)—ez_ 1/2 (р? + p^J] +
+ [v<+1/2 (p"+i—Р")—vz-1/2 (р? — р^)],(8-2.4)
где e£+1/2suz+i/2-^-,(8-2.5)
a {V/+1/2} представляют собой безразмерные коэффициенты численной диффузии, которые появляются как следствие включения соседних точек разностной сетки. Консервативность величины р в уравнении (8-2.4) также накладывает условие на коэффициенты сц, bi и ci в соотношении (8-2.3):
«z+i + bz + cz-i=l.(8-2.6)
Положительность значений (pzn+1) для всевозможных положительных распределений (pz") требует, чтобы {а,}, {6/} и {с,} были положительными для всех i.
20*
Согласование соответствующих членов в уравнениях (8-2.4) si (8-2.3) дает следующие соотношения:
, 1
ai = Vi- !/2 +£f- !/2,
Ь[= 1*2* 6/ + 1/2 +"2" et” 1/2 Vt+ 1/2 Vl- 1/2 >(8-2.7)
1 С£ = Vt'+ !/22 6i+ 1/2 •
Если значения {V/+1/2} положительны и достаточно велики, то тогда обеспечивается положительность всех {р/п+1}. Условия положительности решения, вытекающие из соотношений (8-2.7), для всех i имеют вид
I ei+ 1/21 ^ 1/2,l>vlt№>l|ei+1„|.<8-2-8>
Таким образом, условия положительности решения (8-2.8), когда они выполняются, непосредственно добавляют численную диффузию в уравнениях для схемы, описывающей конвективный перенос:
Р?+1 = Р? + vi+ 1/2 (р?+1—Р?)—v,-_ 1/2 (р? — p^.J +
+ Конвективные члены.(8-2.9)
Такая численная диффузия первого порядка быстро размазывает строгий разрыв. Если алгоримты используются при v,+i/2< < V21 sz-h/2 |, то условие положительности не обязательно нарушается, однако оно не может быть больше гарантировано. Практически же условия положительности почти всегда нарушаются при наличии сильных ударных волн и разрывов, если не выполнены неравенства (8-2.8). Тем не менее численная диффузия, определяемая условиями (8-2.8), неприемлема. Коэффициент диффузии {vz+i/2} не может быть равен нулю, поскольку явная трехточечная формула (8-2.4) подчинена требованиям вычислительной устойчивости. Конечно-разностные методы с порядком точности выше первого, такие, как методы Лакса — Вендрова, уменьшают численную диффузию, но жертвуют гарантированной положительностью решения. Это положение представляет собой дилемму, для решения которой требуется определенный метод.
Для исследования проблемы устойчивости и положительности решения проведем анализ устойчивости способом, использованным в гл. 4. Рассмотрим решение в виде функции р^-р^,(8-2.10)
где^ = ^х=^^-э i=/=T(8-2.11)
Подстановка такого решения в выражение (8-2.4) дает
Ро+1 = р? [1 —2v(l —cosP)—is sin Р],(8-2.12)
где введены обозначения
v={v<+1/2}, е={е(+1/2}.(8-2.13)
Точное аналитическое решение этой линейной задачи имеет -ВИД
Р?+1|тоЧное = Р?е-^д'.(8-2.14)
Следовательно, разница между точным решением и решением (8-2.12) представляет собой численную ошибку, возникающую ла каждом временном шаге.
Множитель перехода был определен как
Д^р^/Р?-(8-2.15)
Алгоритм всегда линейно устойчив, если выполняется условие |Д|а<1.(8-2.16)
Из уравнения (8-2.12) следует выражение для множителя пере-хода:
| Д р = 1 _ (4v—2е2) (1 — cos р) + (4v2—е2) (1 — cos р)2, (8-2.17) которое должно быть меньше единицы для всех допустимых значений р между Ойл. Вообще, условие v>V2e2 для линейного алгоритма для конвективных членов обеспечивает устойчивость по отношению к возмущению, описываемому любой фурье-гармоникой, при условии, что шаг М выбирается таким, что |е|^1. Это условие устойчивости налагает на е меньшие ограничения, чем условие положительности 1е|^1/2. Когда v>l/2, имеются комбинации е и р такие, что |А|2>1, например, е = 0 и р=л. Таким образом, диапазон допустимых значений коэффициента диффузии довольно жестко ограничен неравенствами
l^v^/Jel^’M2.(8-2.18)
Даже минимальная численная диффузия при v=1/2e2, требуемая для линейной устойчивости, может оказаться большой по сравнению с физическими диффузионными эффектами, такими, как теплопроводность, молекулярная диффузия или вязкость. На рис. 8-2 показано численное решение для нескольких первых временных шагов для той же самой тестовой задачи, что и на рис. 8-1, но с использованием значения коэффициента диффузии v = V2e2, а не значения v=V2e, требуемого для положительности. Размазывание профиля лишь на одну треть больше. чем в предыдущем случае на рис. 8-1, в котором положи-
Рис. 8-2. Результаты расчета распространения разрыва при помощи алгоритма с диффузией, достаточной для поддержания устойчивости, но недостаточной для того, чтобы скрыть эффекты дисперсии. Следует отметить возрастающий нефизичный выброс в численном решении и распространяющийся численный предвестник в моменты времени после ^=0.
тельность гарантировалась линейной формулой, но численный предвестник все еще опережает на две ячейки точное положение разрыва. Более того, завышение численных значений функции в области между х = 0 и x = kx на рис. 8-2 является следствием недостаточного демпфирования решения. Утрата монотонности, на которую указывает это завышение, может оказаться столь же неприемлемой, как и нарушение положительности решения. Здесь в решении для функции р появляется новый нефизический максимум. Когда алгоритм расчета конвекции является устойчивым, но не обеспечивает положительности решения, численная диффузия оказывается недостаточно боль-
той, чтобы скрыть численную дисперсию или явление Гиббса, и поэтому решение больше не обязательно сохраняет монотонность. В численное решение вносится новая рябь, т. е. новые максимумы и минимумы.
3-3. Метод расчета переноса с коррекцией потоков
Как видно из вышеприведенного обсуждения, требования положительности и устойчивости решения кажутся взаимно исключающими. Для разрешения этой дилеммы были разработаны нелинейные монотонные методы. В этих методах используется стабилизирующая диффузия с коэффициентом v=V282 в тех случаях, когда нет опасности нарушения монотонности, и увеличенное значение v, приближающееся к v= V21 в |, когда требуется обеспечить сохранение монотонности решения. На одном и том же шаге по времени применяются различные критерии в различных местах разностной сетки в зависимости от локальных профилей физического решения. Зависимость коэффициентов локального сглаживания v от решения делает весь .алгоритм нелинейным. -
Чтобы предотвратить появление отрицательных значений р, которые могут возникать из-за ошибок дисперсии или ошибок Гиббса, на каждом шаге по времени должна добавляться минимальная величина численной диффузии, обеспечивающая положительность и устойчивость решения. Запишем этот минимальный коэффициент диффузии в виде
v^VJsKc + hl), 0<с<1-|е|, (8-3.1) где с — управляющий множитель, контролирующий количество избыточной диффузии (сверх необходимой из-за ограничения по устойчивости), которое надо добавить, чтобы обеспечить положительность решения. В окрестности сильных разрывов полагаем с«1 — |е|, а в областях гладкости решения вдали от локальных максимумов и минимумов принимаем с«0.
Монотонные алгоритмы являются надежным, работоспособ; ным средством для расчета конвекции. Первым таким методом, определенно обеспечивающим монотонность и положительность решения, явился алгоритм расчета переноса с коррекцией потоков (метод FCT), разработанный Борисом и Буком [3, 5, 6]. Сразу же вслед за этим последовали работы Ван Леера [57, 58] и Хартена [28, 29]. Имеется также ряд других монотонных методов, некоторые из которых описываются ниже. Обзор литературы по этим методам дают Вудворд и Колелла [61], Баер и Гросс [2] и Род [51].
8-3.1. Основная идея метода расчета переноса с коррекцией потоков
Перепишем теперь явную трехточечную аппроксимацию (8-2.3)^таким образом, чтобы определить предварительное значение р через значения р° на предыдущем шаге по времени:
Pi = й,Р®-1 + biPt + C/p’+v(8-3.2}
Соотношение (8-2.6) вновь должно выполняться для обеспечения консервативности, и, следовательно, все коэффициенты {«/}, {6/} и {с,} должны быть больше или равны нулю, чтобы гарантировать положительность решения.
Уравнение (8-3.2) в консервативной форме принимает следующий вид:
Pi = Piу [е‘+ 1/2 (Pi+1 + Pi)е<- 1/2 (PiPi-1)] +
+ [v,+ 1/2 (P?+l — Pi) — Vi- 1/2 (Pz?—Pi-1)] =
= Pi a7"[A'-1/2 А+1/г]-(8-3.3)
Здесь значения переменных на границе ячеек с индексом Н-1/2 представляют собой средние из значений в ячейках i+1 и I, а значения с индексом I—1/2 — средние из значений в ячейках i и i—1. В каждой i-й ячейке величина р, отличается от р(° за счет втекающих и вытекающих потоков переменной р, обозначенных fi+i/2- Эти потоки последовательно добавляются и вычитаются при прохождении всего массива плотностей р,°, так что консервативность по р выполняется благодаря аппроксимационной конструкции данной процедуры. Таким образом, суммирование всех предварительных значений плотности дает сумму значений плотности на предыдущем шаге по времени. Выражения, содержащие члены с ег±1/2, называются конвективными потоками.
Сравнивая уравнения (8-3.3) и (8-3.2), получим условия, связывающие а, 6 и с с е и v, в основном такого же типа, что и соотношения (8-2.7). В уравнении (8-3.3) величины {v,+i/2} представляют собой безразмерные коэффициенты диффузии, включенные в это уравнение для обеспечения положительности предварительных значений {pi}. Условие положительности для предварительных величин {р,} определяется формулами (8-2.8).
После того как ограничение, следующее из уравнения (8-3.2), выполнено, остаются все еще неопределенными два из трех коэффициентов в выражении (8-3.3). Один из этих двух наборов коэффициентов должен обеспечивать точное представ-
ление членов, описывающих потоки массы. При этом
8f+ 1/2 1/2 "д^Г» (8-3.4)
где У/+1/2 — скорость жидкости, вычисленная на границах ячеек. Другой набор коэффициентов {vz+1/2} выбирается таким образом, чтобы выполнялись условия положительности и устойчивости.
Для обеспечения положительности предварительные значения рг должны быть подвержены сильной диффузии. Если в условиях (8-2.8) Vt+i/2 = V2|8z+i/2|, то будем иметь диффузионный алгоритм донорской ячейки. Для устранения этой сильной диффузии проводится коррекция на дополнительной антидиффузи- снной стадии в алгоритме расчета новых значений {р/*}:
Р? = Р/— Pi+ 1/2 (Pz+i —Pz) + Pi-1/2 (Pz — Pz-i)- (8-3.5)
Здесь {^^+1/2} — положительные антидиффузионные коэффициенты. Антидиффузия уменьшает сильную диффузию, вызываемую условиями (8-2.8), но в то же время вновь создает возможность появления отрицательных значений плотности и нефизических завышений (выбросов) в новых рассчитанных распределениях. Если значения {^/+1/2} слишком велики, новое решение {р/"} будет неустойчивым.
Чтобы получить алгоритм, сохраняющий свойство положительности, модифицируем антидиффузионные потоки в уравнении (8-3.5) способом, который назовем коррекцией потоков. На антидиффузионные потоки
/z+i/2 = ^+1/2 (Pz+i Pz), (8-3.6)
входящие в уравнение (8-3.5), накладывается описанное ниже ограничение, которое обеспечивает положительность и устойчивость решения.
При линейной коррекции наибольшие значения коэффициентов антидиффузии {рл-1/2}, которые еще гарантируют положительность решения, составляют
№+1/2 ^ ^+1/2 V21 ^z+ 1/21* (8-3.7)
Однако этого недостаточно. Чтобы уменьшить остаточную диффузию (v—ц) еще больше, коррекция потоков должна быть нелинейной, зависящей от действительного распределения плотности {р/}.
Идея, лежащая в основе нелинейной формулы коррекции потока, состоит в следующем. Предположим, что в некоторой точке сетки i плотность р/ становится равной нулю, в то время как в соседних точках она является положительной. Тогда вто-
рая производная в окрестности этой точки будет положительной и любая антидиффузия будет принуждать это минимальное нулевое значение плотности превратиться в отрицательное. Поскольку это физически непозволительно, то антидиффузион- ные потоки должны быть ограничены настолько, чтобы минимумы в распределении не становились глубже при проведении антидиффузионной стадии, определяемой уравнением (8-3.5). Поскольку уравнение сохранения является линейным, мы могли бы равным образом решать его относительно {—р,"}. Значит, мы также должны требовать, чтобы антидиффузия не увеличивала максимумов в распределении. Эти два условия образуют основу метода FCT и являются сутью других монотонных методов. Антидиффузионная стадия не должна создавать новых максимумов и минимумов в решении и не должна усиливать уже существующие экстремумы.
Эта качественная идея нелинейной фильтрации может быть выражена количественно. Новые окончательные значения {pt”} определяются по формуле
Р? = Р,—П^ + П-^,(8-3-8)
где скорректированные потоки {fcz+i/2} удовлетворяют условию /i+i/2 = S-max{0, min[S.(p/+2—pf+1), |/^1/2|, S.(p,— p,._,)]}.
(8-3.9)
Здесь |S| = 1 и sign S = sign (pz+i—pz). Чтобы увидеть, к чему приводит эта формула коррекции потока, предположим, что (pw—pz)>0. Тогда из формулы (8-3.9) следует либо равенство /<+1/2 = min [(pz+2—р/+1), Pi+i/2(P/.-ip1-), (р,— Pz-O], (8-3.01) либо fcz+i/2 = 0 в зависимости от того, что больше. Нескорректированный антидиффузионный поток fadz+i/2, определяемый формулой (8-3.6), всегда стремится уменьшить pz" и увеличить p"z+i- Формула, ограничивающая поток, гарантирует, что скорректированный поток не может уменьшить значение pz" по сравнению с p"z-i, что порождало бы новый минимум, или увеличить значение p"z+i по сравнению с p"z+2, что создавало бы новый максимум. Формула (8-3.9) сконструирована таким образом, чтобы учесть все возможные случаи знаков и наклонов у распределений.
Итак, алгоритм FCT состоит из четырех следующих последовательных стадий:
Расчет pz по уравнению (8-3.3) с учетом переноса и диффузии. Здесь удовлетворяется условие vz+i/2>V2|ez+i/2|, чтобы обеспечить монотонность. Добавление любого дополнительного источникового члена, например, —VP.
Расчет нескорректированных антидиффузионных потоков по формуле (8-3.6).
Коррекция или наложение ограничения на эти потоки с помощью формулы (8-3.9) для обеспечения монотонности.
Релизация по уравнению (8-3.8) указанной антидиффузи- онной коррекции.
Стадии 3 и 4 являются новыми элементами, введенными в методе FCT. Имеется много модификаций этого подхода, которые акцентируют внимание на различных свойствах решения. Некоторые из них были рассмотрены Борисом и Буком [6] и позднее Залесаком [64, 65].
8-3.2. Программа LCPFCT
Обсудим теперь программу LCPFCT [7] для решения уравнения сохранения, оформленную в виде подпрограммы на Фортране. Она представляет собой современную версию программы ETBFCT [4] и может быть предоставлена пользователям по их просьбе. По этой программе проводится явное решение общего одномерного уравнения сохранения
^—-^Т (r-pv) (г’-'О,) + C,^D„ (8-3.11) что дает возможность использовать переменную и подвижную сетку. В уравнение включены дополнительные источники D^ D2 и D^. Наконец, допустимы различные одномерные виды геометрии пространства: а=1—декартова или плоская геометрия, а = 2 — цилиндрическая геометрия, а = 3— сферическая геометрия.
Поскольку от алгоритма требуется решение более сложной задачи, его описание будет неизбежно более сложным, чем описание алгоритма для расчета конвективного переноса, приведенное в гл. 4. Удивительно, что применение этого алгоритма требует лишь в два или три раза больше затрат времени расчета на ЭВМ.
На рис. 8-3 показана геометрия одномерной задачи, в которой движение жидкости происходит в трубе. Переменная г обозначает длину, измеряемую вдоль трубы. Скорость жидкости по направлению г обозначается uL Точки на границах между расчетными ячейками являются узловыми точками конечно-разностной сетки. Положение этих точек в начале расчетного шага по времени обозначается через {r°«+i/2}, где /=0, 1, ..., N. В конце шага по времени М эти точки имеют координаты {r"i+i/2}, где
^"+1/2 = Г?+1/2 4" ^f+1/2 ^» (8-3.12)
Рис. 8-3. Геометрия сетки, используемая в программе LCPFCT.
и величины {иг(+1/2} являются скоростями перемещения границ между ячейками. На рис. 8-3 обозначены также объемы ячеек {Л,} и площади граней между соседними ячейками {Л(+1/2}. Граничные площадки между ячейками предполагаются перпендикулярными к направлениям вдоль трубы и, следовательно, к направлению скоростей жидкости {у^+1/2}. Изменение полного количества переносимой величины в ячейке представляет собой алгебраическую сумму потоков этой величины, входящих в ячейку и выходящих из нее через ее границы. Объемы ячеек {Л,} и площади {Лг+1/2}, которые ограничивают их, должны рассчитываться последовательно, используя новое и старое положение сетки.
Координаты центров ячеек обозначены {п0’"} и связаны с координатами их границ соотношениями
^^yt^ + ^iU 1=1, 2,..., А. (8-3.13)
Верхние индексы 0 и п указывают на старое и новое положение сетки в начале и в конце временного шага. Координаты центров расчетных ячеек можно также рассчитывать по координатам границ ячеек как некоторые средние с весами, причем в общем случае они используются только для расчета диффу-
зионных членов, добавляемых к уравнению (8-3.11). Крайние граничные значения r\i^’n и ^+i/20,n должны задаваться пользователем. Например, они могут быть положениями ограничивающих стенок. Задавая Г\^ как функцию времени и придавая соответствующее движение прилегающим узлам сетки, можно» моделировать движение поршня или влияние гибких стенок резервуара.
Чтобы рассчитать конвективный перенос, необходимо знать, поток жидкости через границу ячейки при ее движении из положения г°/+1/2 в положение ^+1/2 в течение шага по времени. Скорости жидкости предполагаются известными в центрах ячеек, а скорости на их границах определяются по формуле
vLi/2 = y(^+i + < i=l, 2, .... ЛГ-1.(8-ЗЛ4>
Здесь можно использовать и другие формулы осреднения с весами, но данная формула работает достаточно хорошо для всех трех геометрий.
Поскольку на границах необходимо знать потоки из любой ячейки в соседнюю, определим
A^i+i/2= ^Lt-1/2 ^f+i/2> i== 1, 2, .N 1.(8-3.15>
Значения Aui/2 и Аи^+1/2 на крайних границах вычисляются через координаты п/г0»" и rNW2°’n и значения скоростей vfi/s и у^+1/2 в двух этих крайних точках. Эти скорости должны быть заданы в рамках постановки задачи, поскольку для их определения требуется информация, лежащая за пределами расчетной области. Тогда
Аи1/2 = ^/2 (г" 2 Г1/2)/А/,~ ~ lfi
Д^+1/2 = ^+1/2Wv + 1/2TN-H/^fM.
Для расчета потока необходимо также знать значение плотности на границах ячеек. Оно вычисляется следующим образом:
p?+i/3=y[p?+i + pa. 1=1, 2, .... ^-l.(8-3.17).
Здесь также можно использовать более сложные формулы осреднения с весами. Так же как в случае со скоростями, необходимо знать значения плотности в граничных точках /=1/2 и jV+1/2. Расчет плотностей в приграничных ячейках 0 и ^+l, лежащих за пределами расчетной области, проводится по таким формулам:
р0 = Ллр1 + Р^, P^+l = ^вPn + Ря- (8-3.18^
Величины LB и Rb являются мультипликативными множителями, используемыми при постановке левого и правого граничных условий, a pL и рд представляют собой соответствующие аддитивные константы. По этим формулам несколько раз проводится пересчет с использованием текущих значений р. Таким образом, значения pi—р0 и p^v+i—p^ можно определить на крайних левой и правой границах счетной области, а из соотношения (8-3.17) получается
Рш= ^ (^ + Дв) Pi + "2 Pl>
,!(8-3.19)
Pw+1/2 — "2 0 + Rb) Рм + у PR-
Используя эти определения, можно записать конвективную часть уравнения сохранения в виде
MPi = Мр1х/2 A^i+ i/2 +
+ AM-i/2^t-1/21/2, i = l, 2, ..., N. (8-3.20)
В слагаемом Лг°рЛ в левой части этого выражения еще не учтены сжатие или расширение ячейки, которые изменяют ее объем от величины Л/° до ЛА В это уравнение еще не введены источники и в него следует включить диффузионную и антидиф- фузионную части, обусловленные коррекцией потоков.
Теперь добавим в уравнение (8-3.20) источники из уравнения (8-3.11), что дает
= Л?р; + 1 МА и 1/2 фг, ,+1 + D.,j -
— у ktAt_ 1/2 фх, / + Dlt 1-1)А"~^^Сг1 i (Л1 + 1/2 + At- 2/2) х
Х(О2,;+1-О211_1) + А/Л?/)з,/, 1 = 2, N-L (8-3.21)
Величины в крайних ячейках i=l и N рассчитываются с использованием значений D на правой и левой границах DR и DL, определяемых из постановки задачи. Эти значения подставляются на место средних значений на границе ячеек. В это уравнение можно легко включить и другие источники, хотя и трех имеющихся источников в уравнении (8-3.11) достаточно для рассмотрения многих важных задач гидродинамики.
Диффузионная стадия алгоритма FCT включает также сжатие
л?р;=МрТ+vi+ г/1м+1/2 (р”+1— р”)—
i=L2,(8-3.22)
Величины {р,} являются величинами, определенными с учетом переноса и диффузии на стадии 1 предыдущего раздела. Коэффициенты диффузии {vi+i/2} могут быть выбраны так, чтобы
уменьшить фазовые ошибки со второго до четвертого порядка. Величины {vz+1/2} умножаются на объемы {Лж/2}, которые в уравнении (8-3.22) определяются так:
Л<+1/2=1(Л?+1 + Л?), 1=1, 2,ЛГ-1.(8-3.23}
Эти объемы при крайних границах расчетной области определяются следующим образом:
Ai/2 = Л", A/v+1/2 = А%.(8.3.24)
Расчеты конвективного переноса, дополнительных источников, сжатия и диффузии разбиты на две стадии, описываемые, соответственно, уравнениями (8-3.20)—(8-3.21) и (8-3.22), поскольку для расчета антидиффузионных потоков требуется использовать величины {pz7}. Если рассчитывать антидиффузионный поток, используя величины {pz}, т. е. после того, как диффузия добавлена, то алгоритм будет иметь остаточную диффузию в случае, когда применяется лагранжева сетка (т. е. v^v8), и в особом случае, когда как сетка, так и жидкость неизменны. Поэтому для расчета нескорректированных антидиффузионных потоков используются величины {pz7}, рассчитанные с учетом конвективного переноса, но без диффузии, т. е.
/f+i/2^1+1/2А1+!/2 [p/+iр7],1 = 0, 1, . N. (8-3.25)
Антидиффузионные члены записаны таким образом, чтобы в случае, когда сетка лагранжева и члены {Avz+1/2} в уравнении (8-3.20) отсутствуют, выполнялось равенство
Л^ = Л?р9.(8-3.26)
Подстановка уравнений (8-3.20) и (8-3.21) в уравнение (8-3.22) в случае лагранжевой сетки и отсутствия источников дает XfPi=X^+^i+ 1/2Az+ 1/2 (po+1_pO)-vz, 1/2AZ- 1/2 (P?-p?-J, (8-3.27) поскольку pz7=pz°- Антидиффузия в применении к уравнению (8-3.27) приводит к соотношению
А”р” = Azp9 + (vt + !/2 Pi+ 1/2)Az+ ^2 (pz+1—pz)
—(vf-1/2 — Pt- 1/2) Az_ !/2 (pz p^i).(8-3.28)
Когда сетка лагранжева, требуемое равенство (8-3.26) достигается, если
^+1/2 — Pi+ 1/2-(8-3.29)
Борис и Бук [6] показали, что выбор коэффициентов в виде
Vl - 1/2 = у + у 8Z+l/2>Pl+1/2—'gу 8Z + l/2(8-3.30)
уменьшает до четвертого порядка относительные фазовые ошибки при расчете конвективного переноса на локально однородной сетке. При определении
■®/ + 1/2 -— Ац. г/2 ^У/+ 1/2 "у■®/ + 1/2 -— Ац. г/2 ^У/+ 1/2 "у1 "IA?+J’1 "IA?+J’1 = 0, 1, ..., N (8-3.31)1 = 0, 1, ..., N (8-3.31)
■®/ + 1/2 -— Ац. г/2 ^У/+ 1/2 "у
■®/ + 1/2 -— Ац. г/2 ^У/+ 1/2 "у
1 "I
A?+J’
1 "I
A?+J’
1 = 0, 1, ..., N (8-3.31)
1 = 0, 1, ..., N (8-3.31)
коэффициенты диффузии и антидиффузии равны в лагранжевом случае, и соотношения (8-3.30) удовлетворяются для той области движения жидкости, которая соответствует переносу вещества через движущиеся границы.
Как и выше в формуле (8-3.9), величины {Sz+1/2} могут быть определены как имеющие знак разности [pi+i—р,] и модуль, равный единице. Используя выражение (8-3.25) для {fadi+i/2} в качестве нескорректированных антидиффузионных потоков и уравнение /8-3.22) для {р(}, для антидиффузионного потока с коррекцией получаем
Л+1/2 = Si+1/2 • max {0, min [| ^ш |,
Si* 1/2^"+! (Р/ + 2 P/ + l)> Si + 1/2Л" (р(-P/-1)]}, /= 1, 2N1.
(8-3.32)
При коррекции потоков через крайние границы fc 1/2 и ^+1/2 член min [..., ..., ...] в (8-3.32) содержит только две компоненты. Коррекции, соответствующие конечным разностям, выходящим за пределы границ расчетной области, просто выпадают из расчета.
Далее новые окончательные значения {р;"} рассчитываются по выражению (8-3.8), где скорректированные потоки {/с»+1/г} надо заменить на (fadi+i/2). Окончательное значение плотности в новый момент времени равно
Р? = Р — 4г и^ш-П-шА-(8-3.33)
Выше использовалось несколько переменных, связанных с геометрией течения, которые еще должны быть определены.
Элементарные объемы в начале и в конце шага по времени в случае декартовой, цилиндрической и сферической геометрий выражаются очевидным образом:
[г?+"/2—Н-1/2],декартова система;
Л?-" = .Л?-" = .л [(г®+1/2)2—(r?-i/2)2]»цилиндрическая система;
Л?-" = .
Л?-" = .
4
у л [(r^i/2)3—(f(Li/2)3]> сферическая система.
Соответствующие площади граней между соседними ячейками равны:
At^ 1/2 =
(
1,декартова система;
n l/f+1/2 4" г?+1/2],цилиндрическая система;
4л[(г»+1;2)= + г?+1/2Г?+1/2 + (г?+1/2Г], сферическая система.
Выражения для этих площадей граней центрированы по времени и по пространству. Хотя возможны и другие центрированные формулы, данные определения, в частности, обеспечивают выполнение условия, что плотность остается неизменной, когда жидкость находится в покое, а сетка произвольным образом перестраивается. Если величины LB и RB равны единице, такая перестройка может приводить даже к втеканию или вытеканию жидкости из системы, но плотность при этом будет оставаться постоянной.
В работе Бориса и др. [7] показано, как использовать алгоритм ЕСТ, а также приводятся результаты типичных расчетов и обсуждается его применение в случае течений с периодической геометрией и для произвольных криволинейных координат. Алгоритм ЕСТ легко векторизуется для конвейерного или параллельного процессоров, требуя около 30 операций с плавающей запятой для расчета одного уравнения сохранения на одном шаге по времени и на одно пространственное направление. В гл. 9 будет показано, как этот алгоритм можно обобщить на многомерный случай, используя методы расщепления, и как его можно использовать для систем взаимосвязанных уравнений, выражающих законы сохранения.
8-4. Обобщение Залесака
Залесак [64] разработал обобщенный альтернативный вариант метода ЕСТ, который имеет ряд особенно полезных черт. Одним из важных результатов этого исследования является указание на то, как могут быть модифицированы ранее написанные программы, использующие немонотонные методы, для того чтобы обеспечить монотонность. Поскольку этот подход не связан с зависимостью от пространственного направления, алгоритм может быть перенесен целиком на многомерный случай, так что здесь разрешаются проблемы, имеющие место в программе LCPFCT из-за расщепления по направлениям. Обобщение За- лесаком метода ЕСТ имеет некоторые черты, аналогичные гибридной схеме, предложенной Хартеном и Цвасом [27].
Залесак показал, что алгоритм ЕСТ можно представить как шесть последовательных операций в каждой точке L
Расчет потока переноса fh+wi по некоторому методу низкого порядка, гарантирующему монотонность результатов. Коэффициент диффузии при этом должен быть не меньше, чем ’/2 | 8 |.
Расчет потока переноса fHi-w2 по некоторому методу высокого порядка. Этот поток математически более точен, но может приводить к физически неприемлемым осцилляциям в решении.
Расчет обновленного решения низкого порядка, учитывающего перенос и диффузию:
Р^ — PZ Д^. [/f+1/2/f-l/2] •
Определение антидиффузионного потока, который представляет собой часть монотонного потока переноса, на который надо наложить ограничение, прежде чем производить коррекцию значений плотности {р^^}, найденных на шаге 3:
fad fL
+— / Z+l/2! i+U2'
Наложение ограничения на антидиффузионные потоки Vfad4-i/2^ таким образом, чтобы величины рп, рассчитываемые на шаге 6, были свободны от выбросов в сторону завышения или занижения, которых не имеется у величин ^pddY В этом случае
/z+i/2 = Cz+i/2/f+i/2>О^^+х/г^!-
Использование скорректированных антидиффузионных потоков для получения новых значений ptn по формуле
Здесь решающим шагом является шаг 5. Без шага 5, т. с. при fci^/2=fadw/2> расчет {pz^} сводится к маршевому по времени методу более высокого порядка без коррекции для обеспечения требуемой монотонности. Данный прием, реализуемый на шаге 5, годится для целого ряда методов, например, для обсуждавшегося в разд. 8-1 метода Мак-Кормака, в котором потоки также могут быть скорректированы. Метод ЕСТ, описанный в разд. 8-3, эффективен в вычислительном смысле, поскольку в нем алгоритмы высокого и низкого порядков отличаются только за счет диффузии, добавляемой к алгоритму низкого порядка.
Данная формулировка метода ЕСТ легко обобщается на многомерный случай. Рассмотрим двумерное скалярное уравнение сохранения
(8-4.1)(8-4.1)т+^-°.
(8-4.1)
(8-4.1)
в котором р и f являются функциями X, у И t a f= (fx, fy). В конечно-разностной форме имеем
Р?. / — Pz, /^~ [(/x)l+ 1/2, /(fxV-l/2, j-\-(fy)i, /+ 1/2 (fyK /-1/2])
(8-4.2)
где p и f определены в точках {x,, yj в моменты времени t° и V\ a Atj — двумерный элемент площади, центрированный в узле сетки (г, /). Теперь имеются два набора потоков переноса fx и fy. Алгоритм ЕСТ выполняется по шагам, аналогично описанным выше.
Расчет потоков переноса (fx)Lw/2,/ и (f^) ^z, /4-1/2 по монотонному алгоритму низкого порядка.
Расчет потоков переноса (b^i-n^j и (fi/)^,/+1/2 по методу высокого порядка.
Расчет обновленного решения низкого порядка, учитывающего перенос и диффузию
P^/=Pz, /Д~.Шх)1-Щ2, /(Zx)f-l/2, i + U^i, / + 1/2(fy)h J-I/2L
Определение компонент вектора нескорректированных ан- тидиффузионных потоков
(8-4.3)(8-4.3)f 1+1/2, j (/x)l4-l/2, / (/x)f+l/2, /,f^j+1(2 = (fy^Lj+m Vy^L /+1/2*
(8-4.3)
(8-4.3)
Наложение ограничения на антидиффузионные потоки таким образом, чтобы далее на шаге 6 при расчете {p^z,/} не было выбросов в сторону завышения или занижения, которых не имеется у {pr/d}, определенных на шаге 3:
fc п .fad/Z + 1/2.J Ul+l/2, 1/Z + l/2, Jfc ._Г.., fad./i,/ + 1/2— ^1,/ + 1/2/Z./ + 1/2fc п .fad/Z + 1/2.J Ul+l/2, 1/Z + l/2, Jfc ._Г.., fad./i,/ + 1/2— ^1,/ + 1/2/Z./ + 1/20<Cn0<Cn0^C(,0^C(,1/2.1/2./<1,/<1,/+1/2/+1/2<1,<1,(8-4.4)(8-4.4)
fc п .fad
/Z + 1/2.J Ul+l/2, 1/Z + l/2, J
fc ._Г.., fad.
/i,/ + 1/2— ^1,/ + 1/2/Z./ + 1/2
fc п .fad
/Z + 1/2.J Ul+l/2, 1/Z + l/2, J
fc ._Г.., fad.
/i,/ + 1/2— ^1,/ + 1/2/Z./ + 1/2
0<Cn
0<Cn
0^C(,
0^C(,
1/2.
1/2.
/<1,
/<1,
/+1/2
/+1/2
<1,
<1,
(8-4.4)
(8-4.4)
где множители С рассчитываются как описано ниже.
Использование скорректированных антидиффузионных потоков для получения новых значений р”,,/ по формуле
j + n^-fti^]. (8-4.5)
Вновь, за исключением шага 5, этот алгоритм непосредственен и ясен.
Мы хотим ограничить антидиффузионные потоки fadi+\/2,i и fadi,j+v2 за счет выбора корректирующих множителей {С+1/2,/} и {С(,/+1/2} таким образом, чтобы комбинация четырех потоков lcmf2,b fci,i+i/2, fci-i/2,i, fci,j-i/2, действующих вместе 21*
в уравнении (8-4.5), не позволяла величинам {р”/,/} превзойти некоторое максимальное значение {pt,/max} или оказаться меньше некоторого минимального значения {pz,/min}.
Чтобы численно реализовать это требование, определим шесть величин. Сначала определим такие величины:
Ptj = Сумма антидиффузионных потоков, входящих
вв(8-4.6)(8-4.7)(8-4.8)(8-4.6)(8-4.7)(8-4.8)ячейку (i, /) = тах(0, /Д/2, z)—min (О, f^jH + max(0, f^^)—min(0, ^/+1/2), Ф/МрПх-р")4-,/.
в
в
(8-4.6)
(8-4.7)
(8-4.8)
(8-4.6)
(8-4.7)
(8-4.8)
_ ( min(l, Qti/Pti). Pt.j>0;
Ki,i t 0.Pti = O-
Поскольку требуется, чтобы pi,/max^pi,/<d, т0 все ТРИ приведенные выше величины должны быть неотрицательными. Величина Ri,j+ представляет собой наименьшее ограничение сверху для коэффициента, на который следует умножить все антидиф- фузионные потоки, идущие в ячейку (i, /), чтобы гарантировать отсутствие нефизических завышенных выбросов решения в точке (i, /).
Таким же образом определяются аналогичные величины:
Pi,j — Сумма антидиффузионных потоков, выходящих
из ячейки (I, /) = max(0, /^1/2(/)—min(0, /^1|2,/) +
+ тах(0, /?5+1/2)—min(0, /?dz_1,2),(8-4*9)
ОГл=k^M-OAuj,(8-4.10)
J min (1, Q(;z/P(;z), P(;z>0;
^-\о,Рь/ = 0.(8"41
Вновь, с учетом требования pz,/mln^pi,/<d, величина R-t,j представляет собой наименьшее ограничение сверху для коэффициента, на который следует умножить все антидиффузионные потоки, выходящие из ячейки (i, /), чтобы гарантировать отсутствие нефизических заниженных выбросов решения в точке (i, /).
Наконец, очевидно, что все антидиффузионные потоки направлены из одной ячейки в соседнюю с ней. Следовательно, процесс наложения ограничений на потоки надо применять при заниженных выбросах для антидиффузионных потоков, выходящих из ячейки, и при завышенных выбросах для антидиффузионных потоков, идущих в ячейку. Чтобы гарантировать отсутствие как завышающих, так и занижающих выбросов решения,
надо брать минимальные значения корректирующих коэффициентов
fmin^by, R7%iY
J min (^z+i, RLjV min^,., R?a^,
tad
/i+1/2, j
fad1- .
IU /2, / fad 1 i, j+1,2 fad
li, /+Ч2
^0;
<0,
>0;
<0.
(8-4.12)
(8-4.13)
Залесак также предлагает принимать условие /Й1/2, / — 0»
(8-4.14)
если одновременно выполняется неравенство fuip» i (pf+i, i—P^/) < 0
(8-4.15)
и одно из следующих условий:
tad . (Jd .A
/i+1/2, J \Pt+2, I Pi+1,
^1/2./«-Р^-1,/)<
Аналогично следует положить fadл
.- i, i ♦ 1/2
<o, :o.
(8-4.16)
(8-4.17)
(8-4.18)
если одновременно выполняется неравенство
(8-4.19)
и одно из условий
^d/ + l/a (Pfd/ + aP/J + i)
<o,
<o.
(8-4.20)
(8-4.21)
Далее требуется выбрать величины р™х и р”Чп, входящие в соотношения (8-4.7) и (8-4.10). Хороший выбор, предложенный Залесаком, заключается в следующем:
р“/ = тах(р« ., р,".),(8-4.22)
Р^х = тах(р"_1>/, р",., р?+1>/, р“,._1, р?/+1),(8-4.23)
p»z = min(p» ., р^.),(8-4.24)
P™/n = min(р^_ъz, р^, р»+1/, р^..^ рь/+1).(8-4.25)
Условия (8-4.14) — (8-4.21) дают малый эффект, но если такое улучшение применяется, оно должно проводиться до использования соотношений (8-4.3)—(8-4.13). Заметим, что наш выбор p,j;max и p17min распространяется на оба координатных направления.
При этом выборе для верхнего и нижнего ограничений на величину pijn используются значения на предыдущем шаге по времени. Имеется много других возможных путей для выбора величин pz/max и pz/min. Ограничение для потоков, описанное здесь, допускает любое физически обоснованное ограничение сверху и снизу для величины pijn и вносит дополнительную гибкость, отсутствовавшую у первоначального ограничения для потоков в программе LCPFCT, описанного в разд. 8-3.2.
8-5. Разрешимость и ограничения на число Рейнольдса
Безразмерное число Рейнольдса
Re = ^ (8-5.1)
определяется как отношение времени вязкого диффузионного распада некоторой структуры течения, имеющей характерный размер L, ко времени протекания жидкости через эту структуру. Поскольку течение жидкости часто содержит много характерных масштабов, то выбор величин, входящих в определение числа Рейнольдса, может быть несколько неопределенным.
Обычно число Рейнольдса является показателем, позволяющим сделать качественные суждения о течении, например, является ли действие вязких сил доминирующим или может ли возникнуть турбулентное течение. В качестве примера, когда значение числа Рейнольдса могло бы ввести в заблуждение, укажем на течения, в которых имеются большие скорости, но нет их изменений, или локальных градиентов в поле течения. Тогда локально в жидкости коротковолновая структура будет отсутствовать и жидкость будет вести себя так, как если бы число Рейнольдса было очень мало. Длинноволновые компонен- г1ы потока демпфируются слабо, поскольку вязкость мала, и течение сохраняется достаточно долго таким, что коротковолновые компоненты либо исчезают, либо не появляются вовсе.
Из этих рассуждений следует, что сложное течение может характеризоваться несколькими различными числами Рейнольдса. В частности, можно было бы вычислить два числа Рейнольдса — по одному для коротковолновых структур и длинноволновых структур. Поскольку большинство течений, представляющих интерес, имеет сложный характер, этот способ рассмотрения раздельных чисел Рейнольдса никогда не будет однозначным, но его можно использовать при качественном рассмотрении.
Вопросы разрешимости и численной диффузии при моделировании конвективных течений на эйлеровой сетке тесно переплетаются. Обычно течение имеет структуру, обладающую одно-
временно многими различными пространственными масштабами. В каждом приложении часто возникают разногласия по поводу того, насколько хорошо должны разрешаться различные масштабы в каждой части расчетной области. В некоторых случаях можно разрешить определенный диапазон интересующих масштабов и не беспокоиться о других. В других случаях у течения имеются важные структуры, имеющие любые пространственные масштабы, которые мы могли бы позволить себе численно моделировать.
Наименее подверженное вязкому разрушению течение с самым слабым вязким демпфированием, которое способен описать простой эйлеров метод, можно характеризовать числом Рейнольдса, вычисленным так, как если бы численная диффузия была в действительности физической диффузией. Такое число Рейнольдса можно вычислить, используя характеристику диссипации, даваемую формулой (8-3.1), и множитель перехода, определяемый выражением (8-2.17). Тогда
|Л 1— 21 е|с(1 — cosР) — 82 [(с + е)2-1](1— cos₽)2^
[1 — | 8 [ с(1 —cos Р)]2.(8-5.2)
Здесь множитель с, определяющий ограничение на величину потока, равняется единице, когда используется метод первого порядка, и обращается в нуль, когда результирующая диффузия алгоритма равна нулю. Множитель перехода может быть также идентифицирован со скоростью экспоненциального затухания численно рассчитанного решения
Л ^ е^м ^ (1 - ТА/).(8-5.3)
Из соотношений (8-5.2) и (8-5.3) следует, что
уА/ ^ | 81 с (1 —cosP) у | 81 cfe2(Ax)2. (8-5.4)
Характерным линейным масштабом возмущения является L~\lk, а характерное время затухания равно 1/у. Величина с представляет собой среднюю долю линейного демпфирования, используемого в алгоритме расчета сложного течения, в соответствии с формулой (8-3.1), гарантирующей положительность решения.
Обозначая через Re^ эффективное диссипативное число Рейнольдса, обусловленное численной диффузией, имеем
Rend^-^-^^.(8-5.5)
(Л/у) сДх''
Это число Рейнольдса не зависит от значения шага по времени. Соотношение (8-5.5) определяет сеточное число Рейнольд-
са для уравнений Эйлера. В грубом приближении оно равно величине 2/с, умноженной на число расчетных ячеек, взятых внутри структурной области течения с характерной длиной L.
Существует общее неправильное представление о том, что наибольшее число Рейнольдса, при котором течение может быть рассчитано эйлеровым методом, в грубом приближении равно удвоенному числу ячеек, взятых в рассматриваемой системе. Этот критерий основан на линейном условии положительности, когда е=1. Он не пригоден для нелинейных монотонных методов, таких, как метод ЕСТ, в которых множитель с, определяющий ограничение значения потока, меняется локально от ячейки к ячейке. Монотонные методы требуют меньшей полной диссипации и, следовательно, являются потенциально более точными для моделирования течения с большими числами Рейнольдса, чем линейные методы. Если среднее значение с равно 10-1, то течения с числом Рейнольдса, равным 2ХЮ3, могут быть представлены на сетке, в которой имеется 100 ячеек по каждому направлению. Фактически, множитель с обычно уменьшается в процессе расчета. Это происходит из-за того, что коротковолновые структуры имеют тенденцию к сглаживанию. В процессе нелинейной коррекции потоков достигается баланс между физическим возникновением и численным разрушением этих структур.
Когда коротковолновые возмущения не являются доминирующими, длинноволновые возмущения могут быть рассчитаны с существенно меньшей диссипацией, чем это следует из обычного предельного условия Re^~2L/Ax на сеточное число Рейнольдса при использовании монотонного метода, такого, как метод ЕСТ. В этих случаях положительность решения не является главной проблемой и достаточно использовать очень малые значения с. Даже в тех случаях, когда коротковолновые возмущения имеют большую амплитуду, нелинейные монотонные алгоритмы позволяют рассчитывать распространение длинноволновых возмущений при относительно высоких числах Рейнольдса. Сильное сглаживание действует только в малой области и, следовательно, прилагается преимущественно к коротковолновым возмущениям.
Обычно требуется несколько чисел Рейнольдса для описания течения на расчетной сетке. При этом сеточное число Рейнольдса можно связать с разрешимостью, а другое число Рейнольдса связывается с численным подавлением длинноволновых возмущений. Полезно представлять себе, что длинноволновое число Рейнольдса описывает вязкое или численное демпфирование крупномасштабных структур, а коротковолновое число Рейнольдса описывает степень численного демпфирования, требуемого для уменьшения ошибок округления, вычислительного
«шума» и турбулентного каскадного процесса, происходящих из-за наиболее коротковолновых возмущений, которые могут играть соответствующую роль. Такое коротковолновое численное сглаживание не оказывает заметного влияния на длинноволновые возмущения, если фазовые ошибки для промежуточных и длинноволновых возмущений достаточно малы. Более длинноволновые, медленно затухающие возмущения могут быть эффективно и точно рассчитаны в течениях с значительно большими числами Рейнольдса, чем обычное вычислительное сеточное число Рейнольдса. Коротковолновые структуры сохраняются при расчетах в течение конечного промежутка времени. Эти структуры сильно демпфируются, но они не являются доминирующими и при их численном сглаживании вследствие его нелинейности длинноволновые структуры не демпфируются в такой же степени.
8-6. Методы, гарантирующие монотонность
Результаты обсуждения свойства монотонности могут быть суммированы в утверждении, впервые доказанном Годуновым [26]: не существует линейных методов второго или более высоких порядков, которые бы гарантировали монотонность. Методы первого порядка, такие, как метод Лакса или метод донорской ячейки, гарантируют положительность, но являются сильно диффузионными. Линейные методы второго порядка, такие, как методы Лакса — Вендрова или Мак-Кормака, менее диффузион- ны, но чувствительны к нелинейным неустойчивостям и в них могут возникать нефизические осцилляции в областях с большими градиентами. Усиленная консервативность схемы также может приводить к тому, что определенная положительная величина становится отрицательной.
Введение диффузии в алгоритм является одним из традиционных подходов для подавления нежелательных осцилляций в областях больших градиентов. Такой подход является компромиссным. В метод добавляется численная диссипация, так что ударные волны и разрывы размазываются на слишком больших расстояниях, которые могут быть разрешены на практически применяемой расчетной сетке. Если осцилляции подавляются полностью, решение проявляет такую же значительную диффузию, как в линейных методах первого порядка. С другой стороны, если осцилляции подавляются не полностью, то и выигрыш оказывается небольшим. В этом заключается фундаментальная дилемма линейных методов.
8-6.1, Классификация монотонных методов
Как было показано в разд. 8-3, один из ответов на эту дилемму состоит в использовании нелинейных методов. Один из таких нелинейных монотонных методов — метод коррекции потоков переноса — уже обсуждался довольно подробно. Здесь мы дадим краткое изложение основных черт других подходов, применяемых для обеспечения монотонности. Фундаментальным свойством, общим для этих методов, является то, что они используют ограничение потоков или коррекцию потоков, пытаясь поддержать высокую разрешающую способность алгоритма без появления нежелательных осцилляций, присущих более классическим методам. Указанным ограничивающим или корректирующим процедурам можно дать различные физические и математические интерпретации. Монотонные методы можно разделить на три категории:
Линейные гибридные методы.
Методы, основанные на алгоритме Годунова.
Методы наименьшей полной вариации (TVD). Обсуждение первых двух категорий проведено Вудвордом и Колеллой [61J. Третью категорию применяли Баер и Гросс [2]. Изложение некоторых свойств избранных методов дали Вудворд и Колелла [61] и Род [51].
Линейные гибридные методы
При линейной гибридизации результаты, получаемые по методам высокого и низкого порядков комбинируются так, чтобы использовать сильные стороны каждого из них. В областях гладкости используются исключительно линейные методы высокого порядка, обеспечивающие высокую точность. Вблизи областей больших градиентов и экстремумов в распределениях функций результаты, полученные методами низкого порядка и высокого порядка, усредняются в такой степени, какая является достаточной для поддержания положительности и монотонности решения. Хотя метод FCT не был первоначально отнесен к этой категории методов, Залесак [64] показал, что он может трактоваться как гибридный метод. В настоящее время имеется ряд численных методов, основанных на принципе гибридизации. Кроме метода ЕСТ в эту категорию входят методы Хартена [28], Чепмена [И] и Форестера [20]. Залесак показал, что переключения, применяемые для осуществления гибридизации двух линейных методов, сводятся к нелинейным формулам, накладывающим ограничения на поток и аналогичным, применяемым в методе ЕСТ.
Методы Годунова
Метод Годунова [26] был развит для решения задач, в которых каждый разрыв, возникающий между ячейками с кусочнопостоянными параметрами, рассматривается как решение задачи Римана. Такой произвольный разрыв распадается в общем случае на контактный разрыв, волну разрежения и ударную волну. Для расчета переноса при этом используется метод первого порядка точности, но в то же время локальная задача Римана решается точно. Мы вернемся к этому методу в гл. 9.
Включение информации, получаемой из задачи Римана, в решение полной задачи позволяет рассчитывать ударные волны существенно точнее, чем по классическим методам. Важный момент в методе Годунова заключается в склеивании разрывных решений, вместо того чтобы склеивать гладкие решения с малой амплитудой. Эти разрывные решения дают приемлемую аппроксимацию для соответствующих гладких решений и оказываются намного лучшими при аппроксимации решений с разрывами. Главным недостатком метода Годунова является свойственное ему сглаживание первого порядка для схемы, лежащей в основе метода.
Методы более высокого порядка, основанные на схеме Годунова, были развиты Ван Леером [57, 58]. Например, программа MUSCL включает в себя программу решения задачи Римана, но в случаях, когда имеется только линейная адвекция, как, например, в тестовой задаче о распространении квадратной волны, эта программа сводится к линейной гибридной схеме, дающей результаты, очень сходные с получаемыми по методу FCT второго порядка точности. Среди тех, кто внес важный вклад в развитие метода Годунова, кроме Ван Леера надо назвать Роэ [49, 50] и Вудворда и Колеллу [61, 62]. Примером данного подхода является метод PPM, или кусочно-параболический метод, который разработали Вудворд и Колелла.
Методы наименьшей полной вариации
Методы TVD представляют собой попытку поставить на более строгий математический фундамент монотонные методы с коррекцией потоков, применяемые для решения систем гиперболических уравнений. В неполный список исследователей, внесших вклад в эти усилия, входят Хартен [29], Девис [16], Ии и др. [63], Свеби [53] и Чакраварси и Ошер [8, 9]. Многие из методов TVD используют решение задачи Римана и по этому признаку могут быть отнесены к группе методов Годунова. Метод, развитый в работе Девиса, аналогичен методу линейной гибридизации.
У методов TVD имеются важные черты, весьма подобные тем, которые имеют место в двух упомянутых выше классах монотонных методов. Это подобие до некоторой степени затемнено различиями в терминологии и формализме. Залесак [67] проделал большую работу, чтобы выявить основные идеи и ограничивающие поток процедуры, проводимые в большинстве из методов TVD, и систематически сравнил их с рядом методов Годунова и методов линейной гибридизации.
8-6.2. Тестовые расчеты монотонными методами
В гл. 4 было приведено несколько примеров расчетов распространения квадратной волны с постоянной скоростью с целью проверки различных простых алгоритмов. Возвратимся к этой задаче и добавим два новых линейных теста: задачу о распространении резкого гауссова профиля и задачу о распространении профиля в форме полукупола. Эти тесты важны по ряду причин. Расчет распространения гауссова профиля продемонстрирует эффекты обрезания решения, а расчеты распространения профиля в форме полукупола — эффекты образования плато у решения.
Тестовая задача формулируется следующим образом.
Квадратная волна. Квадратная волна занимает вначале пространство в 20 ячеек. Она распространяется со скоростью, соответствующей числу Куранта, равному 0,2, т. е.
уА//Дх = 0,2.
Анализируется форма профиля после 800 шагов. Максимальное значение плотности р равно 2,0, а минимальное значение 0,5. Эта стандартная тестовая задача, которую рассматривали, например, Борис [3] и Борис и Бук [5].
Гауссов профиль имеет полуширину, равную 2Дх. Для этого профиля задается скорость, соответствующая числу Куранта, равному 0,1. Анализируется профиль, полученный после 600 шагов. Максимальное значение р равно 1,6, а минимальное 0,1. Эта стандартная тестовая задача, которую использовал Форестер [20].
Профиль в форме полукупола занимает пространство объемом 30 ячеек. Скорость этого профиля соответствует числу Куранта 0,1. Результаты анализируются после 600 шагов. Максимальное значение р равно 1,6, минимальное 0,1. Эта тестовая задача предложена Мак-Дональдом (см., например, работу [41]).
На рис. 8-4 и 8-5 показаны результаты расчетов распространения трех этих профилей, полученные с использованием различных монотонных алгоритмов. Точное решение изображено тонкой сплошной линией, расчетные данные представлены черны-
ми точками. В этих расчетах использовались следующие методы.
) 1. Метод ЕСТ второго порядка (Залесак [65]).
2. Метод ЕСТ четвертого порядка, аналогичный программе LCPFCT (Залесак [65]).
Метод ЕСТ шестнадцатого порядка (Залесак [65]).
Метод PPM (Колелла и Вудворд [12]).
Метод TVD—HI—RES (Хартен [29]).
Метод MUSCL (Ван Леер [58]).
Метод ETVD (или ENO), иначе «существенный» метод TVD (Чакраварси и др. [10]).
Метод SUPERBEE (Роэ [50]).
Результаты, показанные на этих рисунках, очень похожи. Наблюдается несколько большая диффузия в расчетах по методам HI—RES и ETVD. Численное решение по алгоритму ЕСТ второго порядка обнаруживает дисперсное фазовое запаздывание, которое замедляет коротковолновые возмущения. В методе ЕСТ четвертого порядка такой проблемы не возникает. В задаче с гауссовым профилем методы ЕСТ высокого порядка дают несколько лучшие результаты, чем другие методы, но различие в результатах не слишком велико. Ключевым моментом для такого высокого качества численных результатов является применение в методе некоторой формы нелинейной процедуры ограничения потоков, Все эти монотонные методы дают большое улучшение результатов по сравнению с классическими методами.
При использовании методов, обладающих меньшей диффузией, в задаче о распространении профиля в форме полукупола появляется проблема образования плато в численном решении. Этот эффект заметен на правой или левой половинах вершины купола, где численное решение имеет тенденцию образовать плато вместо того, чтобы гладко спадать. Этот эффект явно виден в решениях, полученных методами PPM, SUPERBEE и методом ЕСТ низкого порядка. Выборочное добавление диффузии ликвидирует этот эффект, но тогда обычно решение оказывается в большей степени подверженным диффузии, как это имеет место для методов HI—RES, MUSCL и метода ETVD второго порядка. Гауссов профиль в наименьшей степени срезается в алгоритмах ЕСТ четвертого и шестнадцатого порядков, а из других методов более близкие к ним результаты дают методы PPM и SUPERBEE.
8-6.3. Замечания о монотонных методах
Ключевыми моментами для получения точных решений являются обеспечение консервативности, положительности и использование ограничений, корректирующих потоки, для минимизации численной диффузии. Увеличение точности расчета фаз
методами, порядок которых выше четвертого, дает небольщ^е преимущества, хотя улучшения, достигаемые при переходе от второго порядка к четвертому, значительны. Вычислительные затраты растут быстро с ростом порядка метода, а выигрыш при этом пропорционально меньше. Формальный высокий порядок дает преимущества в линейных конвективных задачах, но неясно, будет ли это иметь большое значение в нелинейных задачах, в неодномерных задачах или при применении сеток, переменных по пространству.
Включение в алгоритм вычислительного модуля для решения задачи Римана связан с большими затратами. Использование дополнительных знаний о газодинамических свойствах течений, описываемых системой уравнений сохранения и лежащих в основах алгоритмов, может улучшить и действительно улучшает решения при больших числах Маха. Однако вычислительный модуль для решения задачи Римана оказывается мало полезным в тех случаях, когда структура течения заранее неизвестна или когда течение дозвуковое. Много копий ломается по поводу того, какой алгоритм лучше. На почве сравнений монотонных алгоритмов выросло целое направление исследований. За последние 15 лет было достигнуто известное продвижение в этом направлении и возникло некоторое формальное понимание того, почему класс монотонных методов работает так хорошо. Выше было показано, что даже наилучшие монотонные алгоритмы несовершенны, хотя они намного лучше линейных алгоритмов, обсуждавшихся в гл. 4. Эти монотонные методы дают единственный практический способ решения многих трудных задач о конвективных течениях, в которых несколько процессов взаимосвязаны друг с другом.
8-7. Спектральный метод и метод конечных элементов
Как метод конечных элементов, так и спектральный метод используют для решения уравнений динамики жидкости непрерывные разложения. В обоих методах для искомых функций, описывающих движение жидкости, проводится линейное разложение по системе базисных функций. Коэффициенты разложения определяются с помощью интегрирования по времени сложной системы взаимосвязанных и как правило нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Для метода конечных элементов базисными функциями обычно являются многочлены, локализованные на нескольких расчетных ячейках. Напротив, в спектральных методах используются глобальные базисные функции.
Основные сведения по методу конечных элементов содержатся в работах Стрэнга и Фикса [52], Зинкевича [68] и Зинкеви-
Метод FCT 2-го порядка точностиМетод FCT 2-го порядка точностиРРРРРРРРРис. 8-4. Расчеты линейногоРис. 8-4. Расчеты линейногопереноса. (С разрешения С. Залесака.)переноса. (С разрешения С. Залесака.)
Метод FCT 2-го порядка точности
Метод FCT 2-го порядка точности
Р
Р
Р
Р
Р
Р
Р
Р
Рис. 8-4. Расчеты линейного
Рис. 8-4. Расчеты линейного
переноса. (С разрешения С. Залесака.)
переноса. (С разрешения С. Залесака.)
ча и Моргана [69]. Спектральные методы описываются в работах Крейсса и Олигера [31] и Готтлиба и Орзага [24], в которых освещается принципиальная сторона метода и приводятся некоторые приложения. Книга под редакцией Войгта и др. [59] представляет собой сборник статей по современной теории и приложениям этих методов. Методика, обеспечивающая со-
Метод HI-RESМетод HI-RESРРРРРРРРхххРис. 8-5. Расчеты линейного переноса. (С разрешения С. Залесака.)хххРис. 8-5. Расчеты линейного переноса. (С разрешения С. Залесака.)
Метод HI-RES
Метод HI-RES
Р
Р
Р
Р
Р
Р
Р
Р
ххх
Рис. 8-5. Расчеты линейного переноса. (С разрешения С. Залесака.)
ххх
Рис. 8-5. Расчеты линейного переноса. (С разрешения С. Залесака.)
хранение монотонности и положительности решения, была применена к методу конечных элементов Ленером и др. [37], а к спектральным методам — Борисом и Буком [6], Тейлором и др.
и Залесаком [65].
В этом разделе дается краткий обзор некоторых свойств этих двух методов, освещаются их сходные черты и различия.
\
Нц один из них не будет обсуждаться столь детально, как эта делалось при описании конечно-разностных методов. Применение спектральных методов к задачам о течении реагирующих сред встречает некоторые трудности. Эти трудности станут ясно видными из обсуждения, которое приведено ниже. Методы конечных элементов выглядят многообещающими, в особенности при применении адаптивных сеток для расчета течений сжимаемой среды. Однако практическое программирование этого метода оказывается сложным и требует значительных усилий. Оба рассматриваемых метода в настоящее время активно разрабатываются, и можно надеяться, что некоторые из этих трудностей будут преодолены.
8-7.1. Непрерывные представления
В методе конечных элементов и спектральном методе используются три основных приближенных подхода: метод Галёркина,. т-метод и метод коллокаций. Для того чтобы понять, как эти приближенные подходы определяются и чем различаются, рассмотрим задачу с начальными данными для уравнения
^§^ = ^(х, 0[«(х. ПУШх, ty (8-7.1)
Здесь S' — некоторый, вообще говоря, нелинейный оператор. Для целей данного рассмотрения и может быть одной из величин, описываемых уравнением сохранения, например р, ру или Е, а $ может быть оператором пространственного дифференцирования в уравнении сохранения, обсуждавшемся в разд. 8-1.
Предположим, что граничные условия на концах интервала [х_, х+] имеют вид
В±м(х, 0 = 0,х = х^,,(8-7.2)
где В+ — линейный оператор. Зададим начальные условия
и(х, О) = мо(х).(8-7.3)
Функция и аппроксимируется линейной комбинацией из N базисных функций {у«(х)}, каждая из которых удовлетворяет граничному условию (8-7.2):
N
и(х, 0= 2 ««(ОМ*).(8-7.4)
п= 1
Если функции {уп(х)}, по которым проводится разложение, образуют ортонормальную систему, то коэффициенты разложения {««(/)} удовлетворяют условию
*+
а„ (/) = J f п W и (х, /) w (х) dx,(8-7.5)
Х_
где w (х) — весовая функция, предполагаемая здесь равной еди- лице. Из уравнения (8-7.1) получаем уравнения, описывающие изменение во времени этих коэффициентов:
«п=^ = Е j ^Sx)m^dxA-x\nW, (8-7.6) т — 1 х_
где {т|«}—коэффициенты разложения свободного члена в уравнении (8-7.1), которые выбираются таким образом, чтобы выполнялось равенство
Ж 0=2пп(0^«.(8-7.7)
п- 1
Уравнение (8-7.6) для ап оказывается столь простым вследствие того, что предполагается ортонормальность функций {гм} и что операторы в граничных условиях 6+ не изменяются со временем. В более общем случае необходимо решать одновременно N линейных уравнений
N ( х +х+^
2 \ат $ UnU^Vm^dx- J x)n^Sum^dx\ =у х_х_)
N х +
= 2 Чт $ vnvmdx, п = 1, 2, .... N. (8-7.8) W=1 X-
Совокупность соотношений (8-7.4) и (8-7.8) образует приближенный метод Галёркина. Обзор приложений методов Галёрки- на дан Флетчером [19].
Приближенный т-метод Ланцоша [33] также использует представление (8-7.4), но при этом функции иДх) не обязательно должны удовлетворять граничным условиям. Вместо этого имеется два дополнительных условия
N
2 a„S±u„(x) = 0.(8-7.9)
п= 1
Решение находится из этих двух уравнений и первых N—2 уравнений (8-7.8) или (8-7.6).
В методах коллокаций выбираются N точек ^х^ на интервале [х_, х+], таких, что
х_ < Xi < ... < xN < х+.(8-7.10)
Эти точки коллокаций являются фактически сеточными точками метода. Решение м(х) уравнения (8-7.1) аппроксимируется
представлением (8-7.4) таким образом, чтобы коэффициенты ап удовлетворяли условиям
^атУт^ = икхп\(8-7.11).
т= 1
Например, если точки {*4 равномерно распределены между х_ и %+, а функции {^4 представляют собой синусы и косинусы, то соотношения (8-7.11) являются дискретным преобразованием Фурье. Затем в соответствии с методами коллокаций необходимо подставить разложение (8-7.4) в уравнение (8-7.1) и получить систему из N уравнений для коэффициентов VanY записывая уравнение (8-7.1) в точках \хпу Отличительной чертой этого метода является то, что уравнение сохранения удовлетворяется точно только в сеточных точках.
Заметим, что во всех трех этих методах мы еще строго не определили вид функций {^4 и не оговорили процедуру проведения интегрирования по времени. В любом случае в этих методах уравнение (8-7.1) сводится к системе обыкновенных диф- фёренциальных уравнений.
8-7.2. Спектральные методы
В спектральных методах физические величины записываются в виде линейной суперпозиции системы базисных функций от независимых переменных, как это делалось в представлении (8-7.4). Базисные функции выбираются такими, чтобы упростить вычисление коэффициентов разложений. Например, эти функции должны быть аналитическими и ортогональными, должны иметь некоторую связь с физическими процессами рассматриваемыми в задаче, и в некоторых случаях должны удовлетворять граничным условиям.
Спектральные методы и методы конечных элементов могут быть основаны на любом из трех описанных выше приближенных подходов, используемых в методе Галёркина, т-методе или методе коллокаций. В зависимости от принятого подхода, выбора базисных функций и порядка аппроксимаций возможен ряд различных спектральных методов. Все три типа спектральных методов могут быть непосредственным образом обобщены на многомерный случай. Производная по времени обычно представляется в конечно-разностном виде, а интегрирование по времени проводится по явным или неявным формулам. Здесь наиболее популярным явным методом интегрирования по времени является метод «чехарда», хотя применяется также и метод Рунге — Кутта. Вопросы, связанные с конечно-разностным представлением производных по времени, обсуждаются в работе Готтлиба и Орзага [24].
В связи со спектральными методами часто обсуждаются так называемые ошибки, обусловленные неразличимостью. Очень ясное рассмотрение этих ошибок имеется в книге Роуча [48]. Самый коротковолновый компонент разложения и^х, ^), который может быть представлен на расчетной сетке, имеет длину волны Х = 2Ах. Поскольку обычно больший интерес представляет достижение высокой точности для длинноволновых компонентов решения, то это отсечение коротковолновых возмущений могло бы показаться не очень важным. Однако коротковолновые возмущения оказываются существенными, если они взаимодействуют с длинноволновыми возмущениями. Во многих задачах, представляющих интерес, спектральные компоненты решения и взаимодействуют таким образом, что у длинноволновых компонент появляется энергия, которая в нормальных условиях должна была бы принадлежать гораздо более коротким, неразрешимым на сетке компонентам. На грубой сетке эти неучитываемые коротковолновые компоненты могут появляться в виде длинноволновых ошибок, обусловленных неразличимостью, и в последующем выступать в таком качестве в расчетах.
Когда используется приближенный подход Галёркина, метод обычно называется спектральным или полностью спектральным. Базисные функции применяемых систем обычно ортонормальны. Когда они не являются таковыми, интегралы должны вычисляться численно. Если базисные функции ортонормальны и оператор 2? линейный, то нет необходимости обращать матрицу для нахождения {ал}- Если оператор 2? нелинейный, то для некоторых ортонормальных базисов имеются исключительно быстрые процедуры свертки, для которых расчет нелинейных членов не требует больших затрат. Такие базисы включают, например, ряды Фурье и Чебышева, для которых существуют быстрые преобразования Фурье и действительные преобразования по косинусам. В спектральных методах, основанных на методе Галёркина и на т-методе, ошибки, обусловленные неразличимостью, не появляются. В методах Галёркина отбрасываются члены с посторонними частотами, связанные с нелинейными членами. Это исключает ошибки, обусловленные неразличимостью, за счет устранения ложных частот из спектра пространственных зависимостей.
Псевдоспектральный метод использует точки коллокации {х/}, выбираемые так, чтобы сделать расчет для уравнений (8-7.6) наиболее эффективным. Например, если ряды Фурье применяются в качестве базиса, то точки {xj равномерно распределяются по пространству. Если же используются полиномы Чебышева, то точки \х^ отвечают корням этих многочленов. В случае двух этих представлений нет необходимости обращать матрицу, даже когда оператор S7 нелинейный. Однако псевдо-
спектральные методы допускают ошибки, обусловленные неразличимостью, которые должны отфильтровываться независимо. Эти ошибки невелики и ими можно пренебречь во многих случаях, когда в расчетах присутствует достаточная диссипация. Псевдоспектральный метод в сочетании с подходящей фильтрацией ошибок, обусловленных неразличимостью, дает в основном такие же результаты, как и спектральный метод.
Чтобы спектральные методы могли конкурировать с конечно-разностными методами, требуются очень эффективные алгоритмы для выполнения преобразования (8-7.5) и обратного преобразования (8-7.4). Обе эти операции обычно требуют N2 операций, где N— число базисных функций. К счастью, в фурье- анализе имеются методы преобразований, требующие меньшее число операций, чем N2. Примером такого метода является быстрое преобразование Фурье (преобразование FFT), которое требует ^log^ операций, а не N2 (Кули и Тьюки [13]; Кули, Левис и Уэлс [14]; Темпертон [55]).
Рассмотрим приложение спектральных методов к системе двумерных уравнений Эйлера или Навье — Стокса для несжимаемой жидкости (Готтлиб и Орзаг [24]). Эти уравнения часто записываются в переменных вихрь—функция тока. Трудности при решении этих уравнений возникают из-за нелинейных членов в операторе 2? в уравнении (8-7.6). Ключевым моментом является использование быстрого преобразования Фурье для расчета производной ди/дх, где теперь и означает вихрь со, и решение уравнения, записанного в консервативной форме, в координатном пространстве. Для комплексных экспоненциальных базисных функций имеем
^х _" Ита«ехР\Г^Г • (8-7.12) п= I
Решение затем получается интегрированием по пространству в точках коллокации.
Методы Галёркина привлекательны тем, что они консервативны и не имеют ошибок, обусловленных неразличимостью. Метод Галёркина формально ставит условие, состоящее в том, чтобы ошибки аппроксимирующей функции были ортогональны к функциям, по которым проводится разложение. Однако т-ме- тод и метод Галёркина обычно требуют в два раза большей вычислительной работы по сравнению с методами коллокации. Орзаг [43] показал, что псевдоспектральные методы могут быть примерно столь же точными, как и методы Галёркина, при гораздо меньших затратах.
В целом псевдоспектральные методы имеют несколько преимуществ над методами Галёркина. Они требуют меньшего
числа быстрых преобразований Фурье (FFT) на шаг по времени или такого же числа, но на более мелкой сетке; они проще, и в них возникает меньше трудностей при реализации сложных граничных условий. Однако методы Галёркина не имеют ошибок, обусловленных неразличимостью, и, когда рассматриваются волновые числа, легко и точно выдают спектры для диагностических интерпретаций. Даже тогда, когда применяется быстрое преобразование Фурье, при спектральном расчете более 80% требуемого времени тратится на проведение преобразований, и стоимость расчета может стать чрезмерной в случае сложных нелинейных физических задач.
Когда в задаче имеются периодические граничные условия, базис должен быть образован из комплексных функций Фурье. Однако если синусоидальные функции применяются в задачах без периодических граничных условий, результаты расчетов могут быть относительно плохими во всей области (Готтлиб и Орзаг [24]). Это становится понятным ввиду глобальной природы спектральных методов. В них для расчета производных используются все точки, поэтому ошибка в одном месте немедленно чувствуется во всей расчетной области. Для непериодических граничных условий система базисных функций должна состоять, например, из полиномов Чебышева или полиномов Лежандра (Готтлиб и Орзаг [24]). Полиномы Чебышева полезны не только потому, что они допускают различные граничные условия, но и потому, что с ними преобразование FFT (в частности, действительные преобразования по косинусам) может использоваться очень эффективно.
Спектральные методы лучше всего применять для задач либо с квадратными, либо с круговыми границами. Если границы имеют другую форму, можно использовать процедуры конформного отображения (Орзаг [44]). В принципе, это не трудно сделать, но каждое изменение в формулировке задачи, которое приводит к изменению граничных условий или топологии расчетной области, требует перепрограммирования уравнений и изменения вида используемого представления функций (Готтлиб и Орзаг [24]).
До тех пор пока отсутствуют большие градиенты, при использовании спектральных методов требуется меньшее разрешение, чем при конечно-разностных методах, поскольку первые имеют в известном смысле бесконечный порядок точности. Таким образом, по эффективности спектральные методы сравнимы, а иногда и превосходят конечно-разностные методы при расчете несжимаемых течений. Однако спектральные методы не гарантируют положительности решения, которую обеспечивают монотонные конечно-разностные алгоритмы. Следовательно, они не так хороши для расчета движущихся разрывов, таких, как
ударные фронты и разрушающиеся внутренние волны. Было предпринято несколько попыток для введения в спектральные методы монотонности за счет процедур, ограничивающих потоки; примером этого служат первые усилия Бориса и Бука [6], Тейлора и др. [54], Залесака [65] и Мак-Дональда и др. [41].
Недавно были сделаны попытки распространить спектральные методы на расчет течений сжимаемой среды, начиная с работы Готтлиба и Орзага [24] и недавних работ Готтлиба и др. [25] и Хуссаини и Занга [30]. У спектральных методов имеется фундаментальная трудность. Эти методы являются существенно глобальными, так что вся расчетная область мгновенно чувствует то, что происходит в какой-либо ее части. Это означает, что такие локальные явления, как ударные волны, будут реагировать на то, что происходит вне конуса Маха, что физически нереально. Та же самая проблема с ударными волнами присуща неявным методам, но в случае спектральных методов она имеет место как для неявных, так и для явных алгоритмов. Двумя примерами, иллюстрирующими эту проблему, служат ударные волны с большими осцилляциями из-за явлений Гиббса и возникновение предвестников в среде, идущих впереди ударной волны. Возможные средства для преодоления трудностей заключаются в отфильтровывании нежелательной информации, переносимой из области вблизи разрыва, или в выделении ударной волны.
Спектральные методы стали очень популярны с развитием техники быстрых преобразований. Они широко используются при численном прогнозе погоды и при моделировании турбулентных течений. Эти методы являются лучшими для идеализированных течений, описываемых уравнениями лишь с несколькими нелинейными членами, когда гладко меняющиеся решения должны быть очень точными. Для идеализированных задач с ударными волнами можно подобрать такой способ отфильтровывания, что расчеты оказываются удовлетворительными. Однако для сложных задач с разрывами и сильными ударными волнами спектральные методы не являются оптимальными.
8-7.3. Методы конечных элементов
Методы конечных элементов используются уже много лет для решения сложных практических задач в строительной технике. Позднее они стали представлять интерес и для математиков, которые сформулировали их свойства, используя терминологию, применяемую для широких классов аппроксимаций. С тех пор методы конечных элементов были модифицированы для решения различных задач гидродинамики и теплопередачи, а совсем недавно были применены к задачам нестационарной гидродинамики. Здесь представляет интерес приложение этих методов к ре-
шению систем уравнений сохранения. Детальное изложение методов конечных элементов содержится в монографиях Стрэнга и Фикса [52] и Зинкевича [68]. Недавно вышедшая книга Зинкевича и Моргана [69] дает введение к использованию метода конечных элементов для решения дифференциальных уравнений в частных производных. Новые сборники статей, проливающие свет на самые последние варианты метода конечных элементов для задач гидродинамики, принадлежат Аргирису и др. [1] и Галлахеру и др. [21].
Применяются два подхода в методах конечных элементов для решения дифференциальных уравнений в частных производных. Первый подход — глобальный. Независимая переменная и разлагается в ряд по всей области [х_, %+], как это сделано в выражении (8-7.4), где N — число функций, по которым проводится разложение. Один из обычных способов выбора базисных функций ип, называемых «шатровыми» или «крышечными» функциями, имеет вид
М*) = <М*) = <x—xn_t Хп — Хп_х ' Хп + 1 — Х Хп + 1—Хп ’о,x—xn_t Хп — Хп_х ' Хп + 1 — Х Хп + 1—Хп ’о,^П - 1 ^ X ^ ^п^П - 1 ^ X ^ ^пв других случаях,в других случаях,(8-7.13)(8-7.13)
М*) = <
М*) = <
x—xn_t Хп — Хп_х ' Хп + 1 — Х Хп + 1—Хп ’
о,
x—xn_t Хп — Хп_х ' Хп + 1 — Х Хп + 1—Хп ’
о,
^П - 1 ^ X ^ ^п
^П - 1 ^ X ^ ^п
в других случаях,
в других случаях,
(8-7.13)
(8-7.13)
где точки {хп} удовлетворяют условиям (8-7.10). В этом выражении каждая функция ип представляется двумя прямыми линиями. Одна из этих прямых имеет положительный наклон между узлами Xn-i и хп, а другая прямая имеет отрицательный наклон между узлами хп и xn+i. Область между двумя соседними узлами называется элементом. Формулы (8-7.13) определяют функцию формы, которая охватывает подобласть [xn-i, xn+iL Эта кусочно-линейная функция формы отлична от нуля на протяжении двух элементов и равна нулю в других местах, как это обсуждалось в гл. 6.
Функции ип можно выбрать многими способами. Однако число функций, необходимых для такого разложения, как (8-7.4), связано со степенью полинома, условиями гладкости и непрерывности, налагаемыми в узлах, и числом элементов в расчетной области.-
Второй подход — локальный. Каждый элемент представляется полиномом
(8.7J4) i= 1
так что теперь коэффициент аед относится к коэффициенту f-ro члена полинома для элемента е. В глобальном представлении
непрерывность в узлах была заложена в выбранные функции. В локальном представлении дополнительные ограничения обеспечивают надлежащую степень непрерывности функции формы в узлах.
Следующий шаг в алгоритме метода конечных элементов несколько отличается от того, что было описано выше для спектральных методов. Здесь определяется функция ошибки или функция невязки Ru как мера того, насколько принятое разложение в ряд не удовлетворяет исходному уравнению (8-7.1). Тогда
/) = ^~^М-/. (8-7.15)
Затем требуется, чтобы выполнялись условия
^^идх = 0, 1=1, 2, ..., N, (8-7.16) х„
где {^/}—система взаимно независимых весовых функций. Из выражения (8-7.4) для и и условий (8-7.16) следует система взаимосвязанных обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющая вид:
С-а + К-а —g = 0. (8-7.17)
Матрицы С, К и вектор g составлены из интегралов по всей области [х_, х+], если используются глобальные функции, и по подобласти, если используются локальные функции. Элементы матриц равны
Clm = \wlNmd£X1 Klm = —\wl2Nmd^, gt = —^fwtd£i. (8-7.18)
Такой подход называется методом взвешенных невязок. Функции ^w^ могут выбираться рядом способов. Выбор Wi = ui дает метод Галёркина. Если взять Wi = 6(x—Xi), то получается точечный метод коллокаций. Применение весовых функций в виде Wi = xl-X приводит к так называемому методу моментов. Каждый из этих методов имеет свои сильные и слабые стороны.
Если расчет по времени проводится по явным конечно-разностным формулам, то на каждом шаге по времени необходимо решать линейную задачу обращения матрицы. Когда расчет по времени проводится по неявным формулам, то возникают дополнительные проблемы. Затраты времени ЭВМ на обращение больших матриц на каждом шаге по времени часто оказываются чрезмерно большими, хотя в некоторых подходах эту трудность удается обойти (Ленер [36]; Ленер и др. [37]).
Методы конечных элементов для многомерных задач требуют большой оперативной памяти ЭВМ. Затраты на расчет
функций, связанных с геометрией, и функций формы для каждой переносимой физической переменной часто оказываются чрезмерными. Поскольку эти переменные обычно хранятся в памяти, то это требует хранения десятков величин в расчете на один узел в двумерных задачах и намного большего числа величин в трехмерном случае.
Методы конечных элементов имеют и некоторые преимущества, компенсирующие их недостатки. Эти методы относительно просто обобщаются на многомерные задачи с несколькими зависимыми переменными. В частности, форма расчетной области не обязательно должна быть регулярной, поэтому метод конечных элементов хорошо пригоден для задач с нерегулярными границами. Часто преимущества дает использование треугольных элементов. Расчетная область также может изменяться со временем, что позволяет улучшать разрешение на сетке в той области, где это требуется.
Особо укажем на два новых варианта метода конечных элементов для решения нестационарных задач гидродинамики. Это метод подвижных конечных элементов (см., например, Миллер и Миллер [41]; Джелинас и др. [22]; Демери и др. [17]) и метод, разработанный Ленером и др. [38J. Оба этих варианта являются методами Галёркина, использующими «шатровые» функции, которые являются (или могут быть сделаны) многомерными. Однако в этих двух подходах имеются определенные коренные различия.
В методе Ленера и др. расчет по времени ведется с помощью явной схемы второго порядка точности Лакса—Вендрова. Этот метод распространен на ячейки, меняющиеся со временем. Здесь степенями свободы являются значения зависимых переменных и в узлах. Вводятся дополнительные промежуточные узлы в области перед распространяющимися градиентами и структурами в соответствии с известными свойствами эволюционирующей системы. Данный метод представляется довольно простым. В нем сочетаются точность и гибкость сетки, свойственные конечным элементам, с некоторыми потенциально удобными чертами конечно-разностных методов.
В методе подвижных конечных элементов положения узлов также считаются неизвестными. При такой гибкости формирование невязки с весами дает взаимосвязанные обыкновенные дифференциальные уравнения для и и для положений узлов. В двумерном случае, например, обыкновенные дифференциальные уравнения содержат й, х и у. Получающиеся в результате уравнения являются жесткими и всегда неявными. Вычислительные затраты, следовательно, могут быть значительными. Однако в дополнение к значениям и этот метод также определяет «наилучшие» положения узлов при заданном их числе. В соответ-
Рис. 8-6. Расчет конечно-элементным вариантом метода FCT дифракции ударной волны на двух препятствиях сложной формы. (С разрешения Р. Ленера.)
ствии с этим узлы стремятся переместиться в те области, где функция и резко меняется. Таким образом, задачи с распространяющимися поверхностями могут быть более эффективно решены такими методами, даже если требуется относительно большое число операций в расчете на каждый узел, поскольку число узлов может быть минимизировано.
Интересным является вопрос о том, могут ли конечно-разностные методы быть представлены как особый случай метода взвешенных невязок с локально определенными функциями формы. В некоторых случаях простые конечно-разностные методы и
методы конечных элементов приводят к одним и тем же алгоритмам. Ответ на этот вопрос — «вообще говоря, да» (см., например, работу [69]), однако требуются некоторые усилия для доказательства этого в каждом конкретном случае. Конечноразностные формулы могут интерпретироваться как частный случай метода взвешенных невязок, в которых весами являются дельта-функции Wi = b(x—Xi), а функция формы представляет производную таким же образом, как конечно-разностный оператор.
Методы конечных элементов не применялись для гидродинамических расчетов столь же широко, как конечно-разностные или спектральные методы. В общем случае число операций на один узел в методе конечных элементов превышает число операций на одну ячейку в конечно-разностных методах или в методе конечных объемов, поэтому, чтобы быть конкурентно способными, методы конечных элементов должны быть более точными. Недавние разработки Ленера и др. [37], которые включили монотонный алгоритм FCT в метод конечных элементов, сделали последний сопоставимым с конечно-разностными методами. Для этого варианта метода конечных элементов на рис. 8-6 показан типичный пример расчета задачи о взаимодействии ударной волны с объектом неправильной формы. Недостатком этого метода является большой объем требуемой памяти ЭВМ на один узел сетки. Этот вопрос становится серьезным, когда память ЭВМ невелика. Однако методы конечных элементов точные, относительно быстрые и допускают применение очень гибких адаптивных сеток. Обобщение этих методов на трехмерный случай представляется простым и потенциально возможным.
СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ СОХРАНЕНИЯДЛЯ БЫСТЫХ И МЕДЛЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ
В гл. 8 был описан ряд способов численного решения одного уравнения сохранения, а здесь будет рассмотрено решение системы взаимосвязанных гидродинамических уравнений сохранения. В этой главе обсуждаются методы решения уравнений, записанных в форме Эйлера, а в гл. 10 рассмотрены методы решения уравнений, записанных в форме Лагранжа.
В табл. 2-2 приведены пять режимов для скорости течения, которые характеризуют различное поведение жидкости. Таковыми режимами течения, в порядке возрастания числа Маха, являются: несжимаемый, дозвуковой, трансзвуковой, сверхзвуковой и гиперзвуковой режимы. Границы между этими режимами весьма размыты и определяются лишь началом или прекращением определенных физических явлений. Каждый из режимов имеет особые черты, которые позволяют использовать определенные процедуры и алгоритмы получения решения с большей эффективностью, чем другие.
В данной главе описываются методы решения задач о течениях при двух режимах, которые составлены из режимов, приведенных в табл. 2-2. Здесь рассматриваются медленные течения,. в которых скорости дозвуковые и меньше, и быстрые течения,. в которых скорости дозвуковые и больше.
9-1. Система уравнений сохранения
9-1.1. Уравнение движения несжимаемой и сжимаемой жидкости
Для двумерных и трехмерных течений несжимаемой жидкости уравнение сохранения массы имеет вид
^ + V.Vp = 0(9-1.1)
при выполнении условия несжимаемости
Изменение скорости жидкости описывается уравнением р[-^ + (у-^¥] + ^ = 0-(9"L3)
Уравнения (9-1.2) и (9-1.3) можно заменить эквивалентной
•системой уравнений динамики вихря
<о = VXV, v = ухф, 6i = — у2ф, dtoldt—N X (V х <») = — V X (VP/p).
(9-1.4) (9-1.5) (9-1.6) (9-1.7)
Здесь if— векторная функция тока (divif = O), ю— вектор вихря. В двумерном случае как функция тока, так и вихрь являются скалярными величинами и уравнения (9-1.5)— (9-1.7) принимают вид
V =— ZXV4, Ф = Фг,(9-1.8)
ю =— ?2ф,(о = ю2,(9-1.9)
a©/^ + V-(Vto) = —vx(VP/p),(9-1.10)
где z — единичный вектор, направленный по оси z. Давление Р находится из эллиптического уравнения
V f-vPW4-A(V2)-VAV = O,(9-1.11)
\ р /2
полученного из уравнения (9-1.3) посредством применения операции дивергенции с использованием условия (9-1.2). Заметим, что для двумерных течений несжимаемой жидкости с постоянной плотностью
(9-1.12)(9-1.12)^(о до . *. — гх
(9-1.12)
(9-1.12)
^^^ + ¥'^ = 0.
Как система основных уравнений, так и система уравнений динамики вихря включают в себя уравнения конвективного типа (9-1.1), (9-1.3), (9-1.7) и (9-1.10). Кроме того, система уравнений динамики вихря содержит уравнения типа уравнения Пуассона (9-1.6), (9-1.9) и (9-1.11), численное решение которых обсуждается в гл. 11.
Для течений сжимаемой жидкости уравнение (9-1.1) заменяется на уравнение
^ + V.VP + PV'V = O,^ + V.VP + PV'V = O,(9-1.13)(9-1.13)
^ + V.VP + PV'V = O,
^ + V.VP + PV'V = O,
(9-1.13)
(9-1.13)
а уравнение (9-1.2) заменяется либо на уравнение для давления
при изэнтропическом течении
^- + V.vP + y^V-V = 0,(9-1.14)
либо на уравнение для энергии Е
^+V.(V(P + £)) = 0.(9-1.15)
Для идеального газа
^g^pP,(9-1.16)
где е — плотность внутренней энергии молекул газа.
Если V-V#=0, то скорость жидкости можно представить в виде суммы вкладов от векторного (ф) и скалярного (ф) потенциалов
V = VX^+ 7ф.(9-1.17)
Эта связь аналогична уравнению (2-2.13), обсуждавшемуся в гл. 2, за исключением того, что здесь опущено частное решение фр. Как ф, так и ф удовлетворяют уравнениям Пуассона. Функция источника в уравнении Пуассона для ф может быть записана в виде
o = V-V.(9-1.18)
Функция о удовлетворяет конвективному уравнению
^-+V-(Vo) = o2-lA(P) + VAV + v(^V/’), (9-1.19)
которое получается из уравнения (9-1.3) посредством применения операции дивергенции. Для течений сжимаемой жидкости использование уравнений в переменных со, а обычно не дает преимуществ.
Как уравнение (9-1.14), так и уравнение (9-1.15) являются уравнениями конвективного типа и могут быть решены одинаковыми методами. В то же время между этими уравнениями есть важное физическое различие. Уравнение (9-1.14) можно применять только для описания течений без ударных волн, т. е. изэнтропических течений. Использование уравнения сохранения энергии (9-1.15) приводит к дополнительной трудности — необходимости определять давление Р из соотношения (9-1.16) с учетом уравнения состояния. Когда кинетическая энергия значительно превосходит внутреннюю энергию, т. е. когда Р<^Е, в результате вычисления разности больших чисел из-за небольших ошибок округления в расчете могут возникать отрицательные давления.. Отрицательные давления можно устранить за счет использова-
ния изэнтропического уравнения для давления, что обеспечивает ограничение на давление снизу. Однако это требует дополнительного решения уравнения неразрывности.
5-1.2. Интегрирование по времени
Коренной вопрос при конечно-разностных решениях состоит в том, какой метод использовать для интегрирования уравнений по времени. Главным в этом вопросе является то, какой метод — явный или неявный — следует выбрать в конкретном случае. Рассмотрим эволюционную схему общего вида
p»+i = (1 - 0) Fe (р") + 9F( (p"+1), (9-1.20) где р вычисляется в новый момент времени t^1 через значения в предыдущий момент времени V\ а ^ и Fi являются функциями р. Величина 0 представляет собой параметр, характеризующий явность или неявность схемы. При 0 = 0 схема для решения получается явной, при 0=1—неявной, а значение 0 = 1/2 соответствует центрированной по времени или полунеявной схеме. В худшем случае неявные методы требуют на каждом шаге по времени решения сложных матричных уравнений. В лучшем случае задача сводится к решению системы уравнений с трехдиагональной матрицей. Хотя расчетные затраты на шаг по времени могут быть очень большими по сравнению с явными методами, преимущество неявных методов заключается в их способности оставаться численно устойчивыми при существенно больших временных шагах.
Выбор для расчета неявного или явного метода зависит от ответа на два вопроса, касающихся решения рассматриваемой задачи:
Каковы важные временные масштабы, которые необходимо разрешить?
В каком отношении находятся временной шаг, который мы хотим взять, к предельному шагу, обеспечивающему устойчивость алгоритма?
Предположим, что требуется разрешить некоторую структуру течения в задаче переноса, а эта структура заметно изменяется за промежуток времени т. Очевидно, что никакие расчеты с шагом А/»т не могут аккуратно описать детальные изменения этой структуры. Это положение совершенно аналогично случаю пространственной расчетной ячейки конечного размера, когда •структура не может быть разрешена на слишком грубой сетке. Если временной масштаб т меньше, чем шаг по времени, требуемый условием Куранта, необходимо использовать явный метод. В то же время, если т больше, чем шаг по времени, требуемый условием Куранта, что имеет место в случае, когда исследуемая
структура изменяется достаточно медленно, то целесообразно применять неявный метод, но с ограничением Д/<т.
Рассмотрим такую ситуацию, когда процессы, которые требуется разрешить, не представляют собой самые быстро протекающие явления в данной задаче. Например, рассмотрим течение расширяющегося газа, получающееся в результате истечения воздуха из свистка. Скорость течения невелика, так что маломасштабные высокоскоростные колебания звука слабо влияют на более медленно протекающие процессы. Это тот случай, когда хотелось бы использовать неявный метод, поскольку скорость звука в потоке почти на два порядка величины больше скорости газа. Действительно, нет необходимости разрешать звуковые волны, поскольку неучет их не оказывает серьезного влияния на точность расчета более медленного течения.
К сожалению, это последнее утверждение содержит определенную трудность для задачи. Главная трудность при использовании неявных алгоритмов для расчета переноса заключается в том, что они стремятся сильно подавить высокочастотные возмущения, которые не могут быть адекватно разрешены. В результате звуковая энергия может нефизично проявиться как тепловая энергия газа вблизи свистка. Центрированный по времени метод или близкие к центрированному методы позволяют основной части звуковой энергии уноситься прочь в виде звуковых волн без нагрева воздуха. Следовательно, выбор метода сильно зависит от специфики рассматриваемой задачи.
9-1.3. Расчет быстрых и медленных течений
Моделирование процессов горения требует описания как течений с дозвуковыми скоростями (в случае распространения пламени), так и течений со сверхзвуковыми скоростями (в случае распространения ударных и детонационных волн). Наилучшим из всех возможных подходов был бы такой, когда оба этих режима течения с учетом химической кинетики и эффектов диффузионного переноса рассчитывались бы единым алгоритмом, охватывающим все процессы. В поисках такого алгоритма для одномерных и неодномерных задач была проделана большая работа. Все методы, разработанные для этого случая, являются неявными. Они включают, например, метод RICE (Райвард и др., [49]) и неявный метод Мак-Кормака [30], которые будут обсуждаться в разд. 9-3. Возможность рассчитывать посредством единого алгоритма как быстрые, так и медленные течения достается обычно дорогой ценой. Эта цена выражается большим числом операций на шаг по времени, которые часто затрачиваются на многократное решение большого количества сложных матричных уравнений.
При попытках сконструировать такие единые методы возникают коренные противоречия. Чтобы метод был экономичным при расчете медленных течений, он должен рассчитывать звуковые волны неявным образом. Это обычно достигается за счет решения уравнения для давления вместо уравнения энергии, при котором для устойчивости требуется зачастую введение искусственной вязкости. Таким образом, для того чтобы получить возможность брать большой шаг по времени, когда скорости течения малы, приходится использовать плохое пространственное разрешение, при котором ударные фронты в быстром течении становятся излишне широкими.
Неявный алгоритм может создавать некоторую опасность при расчете сверхзвуковых течений, поскольку здесь могут возникать предвестники вычислительного происхождения, распространяющиеся впереди ударной волны с существенно бесконечной скоростью. Лучшие явные методы для сверхзвуковых течений используют численные алгоритмы и модели для расчета ударных волн, приводящие к подавлению волн в дозвуковых течениях. В результате избыточное численное демпфирование, которое стабилизирует нелинейные явления в сверхзвуковых течениях, проявляет себя в форме быстрого подавления возмущений в случаях, когда скорость течения мала по сравнению со скоростью звука.
Обычно рекомендуют использовать различные методы для очень медленных и очень быстрых течений. Такие методы несколько ограничены в своей общности, зато они имеют преимущества в точности, быстроте и простоте по сравнению с существующими глобальными или составными неявными алгоритмами. По этой причине в оставшейся части этой главы два типа течения — медленные течения и быстрые течения — будут обсуждаться раздельно.
9-2. Методы расчета быстрых течений
Характерные скорости для быстрых течений изменяются в диапазоне от больших дозвуковых скоростей до скоростей, намного превосходящих скорость звука. Как показано в табл. 2-2, такие скорости соответствуют дозвуковым, трансзвуковым, сверхзвуковым и гиперзвуковым течениям.
В режиме дозвукового течения отсутствуют ударные волны, но могут оказаться существенными эффекты сжимаемости среды. Этот граничный режим для некоторых задач может рассчитываться неявными методами для медленных течений, которые описываются в разд. 9-3. Для других задач должны рассматриваться решения взаимосвязанных уравнений сохранения с пол-
ным разрешением звуковых волн. Например, при моделировании акустических взаимодействий вихрей в дозвуковых камерах сгорания необходимо разрешение звуковых волн.
В трансзвуковом режиме конечная величина скорости звука и эффекты сжимаемости становятся важными и начинают играть главную роль при приближении скорости течения к скорости звука. Вблизи числа Маха равного единице, решающим фактором становится геометрия течения, в зависимости от малых изменений которой могут возникать или не возникать ударные волны. Трансзвуковые задачи представляют особый интерес для авиационной и ракетной техники.
Для сверхзвукового режима течения обычно характерно присутствие сильных ударных волн, часто со сложным взаимодействием различных структур течения. При численном моделировании ударные волны должны быть хорошо локализованы, а изменения величин при переходе через ударные фронты следует рассчитывать достаточно точно. Здесь приходится выбирать между работой по программированию, имеющей специальной целью разрешение контактных разрывов, и работой, затрачиваемой на проведение расчетов с высокой степенью разрешения. В последние десять лет было достигнуто положение, когда уменьшился интерес к разработке алгоритмов для расчета сверхзвуковых течений. Наиболее выгодный путь для существенного улучшения результатов расчетов заключается в применении адаптивных сеток, а не в попытках усовершенствовать алгоритмы расчета уравнений Эйлера.
Поскольку скорость жидкости при гиперзвуковом режиме может намного превосходить скорость звука, точный расчет температуры и обеспечение локального сохранения энергии могут оказаться трудным делом. Расчет тепловой энергии по схеме с сохранением полной энергии требует вычисления разности между величинами плотности полной энергии и плотности кинетической энергии, которые почти равны. В результате возможны большие ошибки при вычитании больших чисел. Эти ошибки накапливаются при высоких температурах, сопровождающих гиперзвуковые течения. Задачи о входе в атмосферу космических аппаратов, например, соответствуют этому гиперзвуковому режиму.
Во всех сверхзвуковых течениях условия Куранта—Фридрих- са—Леви (CFL) (см. гл. 8) ограничивают расчетный шаг по времени и пространственный размер ячейки в соответствии с формулой '
(9-2.1)(9-2.1)^,1< —
(9-2.1)
(9-2.1)
Ал: [max А/ ’
где cs — скорость звука. Это условие для звуковых волн подобно 23*
ограничению на прохождение потоком вещества одной ячейки расчетной сетки за шаг по времени. Когда имеется сильная ударная волна, скорость звука обычно становится сравнимой со скоростью течения. Для такого режима обычно эффективны явные эйлеровы методы. Использование неявного метода, как правило, не имеет очевидных преимуществ. Однако неявный метод мог бы быть полезным для того, чтобы обойти ограничение, требующее малого шага по времени, налагаемое, например, необходимостью брать очень мелкую сетку для разрешения пограничного слоя, возникающего в какой-то части расчетной области. Принятие эйлерова или лагранжева подхода при рассмотрении сверхзвукового режима зависит во многих случаях от продолжительности неустановившегося процесса. Когда расчет заканчивается после того, как быстро текущая жидкость или звуковые волны пройдут всю область один или два раза (такая ситуация имеет место при расчете многих задач о взрыве, детонации и ударных волнах), лагранжева сетка может оказаться не слишком сильно искаженной и, таким образом, она окажется подходящей для отслеживания границ раздела между разными веществами. В настоящее время почти все расчеты входа космических аппаратов в атмосферу проводятся таким образом, что расчеты «выходят» на стационарное решение уравнений Навье—Стокса на фиксированных или адаптирующихся эйлеровых сетках. Некоторые усилия также прилагаются для развития моделей, основанных на рассмотрении динамики лагранжевых частиц, для режима течения разреженного газа, когда длина свободного пробега частиц сравнима с размерами тела.
Чтобы понять неопределенность, присущую лагранжевым методам при расчете течений сжимаемой среды, рассмотрим уравнение энергии (9-1.15),которое показывает,что эффективная скорость, с которой энергия переносится, равна ¥* = ([Р+^]/^) V. В некоторых областях течения скорость V* может достигать величины у¥. Хотя лагранжевы ячейки перемещаются вместе с жидкостью, количества энергии и импульса, пересекающие эту движущуюся сетку, оказываются почти такими же, какие были бы в случае фиксированной сетки. По этой причине для расчета сверхзвуковых течений рекомендуются эйлеровы методы.
В методах выделения ударных волн делается попытка точнее представить движение фронта ударной волны, которая обычно имеет намного меньшую толщину, чем размер одной ячейки. Например, в газе толщина ударной волны может составлять 5... 10 нм, в то время как размер расчетной ячейки может достигать нескольких сантиметров. Вследствие такого существенного различия в масштабах распространение ударных волн должно рассматриваться специальными способами, некоторые из которых описываются в этом разделе.
9-2.1. Методы Лакса — Вендрова
В гл. 4 простой метод Лакса—Вендрова использован при решении задачи о распространении квадратной волны. В гл. 8 этот метод распространен на решение одного одномерного уравнения сохранения общего вида. Теперь будет показано, каким образом можно решать систему взаимосвязанных уравнений сохранения (Лакс и Вендров [25, 26]), которые моделируют течение сжимаемой среды с ударными волнами.
Одномерные уравнения газовой динамики могут быть записаны в векторной форме
т + й1 <“) = ”-Р-2-2)
В этом уравнении величины и и f являются следующими векторами:
/р\/ pv \
u = l ри 1, f = l Л + ру2 I.(9-2.3)
\Е /\у(Е +Р)/
В методе Лакса—Вендрова используется разложение в ряд Тейлора по времени, как и в выражении (8-1.2), а именно
<9'2-4)
причем
д2п _ 5 df _ d dt _ d(»du\_d(»dt\ m 9 к\ dZ2 “ dt dx “ Ox dt — dx dt ; dx dx ) * Vy-2^)
Здесь A(u) —матрица, составленная из производных от f(u) по и, т. е. матрица с элементами
(9-2.6)
Записывая частные производные в конечно-разностном виде, получим схему для расчета U/n+1:
uri=u?_^(f?+i_fr_i) +
(9-2.7)
г«еa^x/2=a(4u?+x+Iu?)-(9-2-8)
Уравнения (9-2.7) и (9-2.8) являются обобщением уравнений (8-1.10) — (8-1.13) на случай системы взаимосвязанных одномерных уравнений сохранения.
Рихтмайер показал, что эти методы могут быть записаны в двухшаговой форме, в которой первый шаг представляет собой метод Лакса первого порядка, а второй шаг — центрированный метод «чехарда» (разд. 8-1.2). Обобщение уравнения (8-1.15)
имеет вид
U«+l/21+ 1/2U«+l/21+ 1/21А/ Г-?№, + “?]-2-11А/ Г-?№, + “?]-2-1ахах| «П+1/2«Л + 1/2un + = и? — А Л -^LL_^^- 11 L Дх| «П+1/2«Л + 1/2un + = и? — А Л -^LL_^^- 11 L Дх(9-2.9)(9-2.9)
U«+l/21+ 1/2
U«+l/21+ 1/2
1А/ Г
-?№, + “?]-2-1
1А/ Г
-?№, + “?]-2-1
ах
ах
| «П+1/2«Л + 1/2
un + = и? — А Л -^LL_^^- 11 L Дх
| «П+1/2«Л + 1/2
un + = и? — А Л -^LL_^^- 11 L Дх
(9-2.9)
(9-2.9)
где значения V^V/^ на втором шаге вычисляются по значениям {и^Д2} на первом шаге.
Этот двухшаговый метод может быть также обобщен на неодномерный случай. Рассмотрим такое обобщение уравнений (9-2.2) на двумерный случай, когда уравнения газовой динамики имеют вид
-^-^-^-L(u) + ^L(u) = 0,(9-2.10)
at дх х х ' оу у хх '
где использованы обозначения
/ Р \/ Р^ \/ Р^
РМ f = Р + И2/Р \ f = Р^хР^у/Р\ риу ’ Х \ Р^РУу/Р ’ У \ ^ + (Р^)2/Р\Е/\pvx(E + P)/p/\pvy(E + Р)/р
(9-2.11)
Двухшаговый метод Лакса—Веыдрова может быть записан в форме, где сначала проводятся два одномерных полушага по методу Лакса, продвигающих решение до момента времени /л+1/2, а затем делается полный шаг по схеме «чехарда»:
а/ Та/ Тu^/=t[u^+i^
а/ Т
а/ Т
। ^^'+1/2,/ + 1(^\+i/2, /-1
Ах *2ау
^^^и‘^+и‘’^п-
дней " 2 _un + i = unдней " 2 _un + i = un(fy)/,/+l-(fy)/,/ln(fy)/,/+l-(fy)/,/ln2Ах2АхАуАу
дней " 2 _
un + i = un
дней " 2 _
un + i = un
(fy)/,/+l-(fy)/,/ln
(fy)/,/+l-(fy)/,/ln
2Ах
2Ах
Ау
Ау
—А/—А/i (fx)i-l/2, / | (1у)(, /+1/2 (Mi,/-1/21rt +1 /z
—А/
—А/
Ax ^ Al/ J
( -2.12)
Значения потоков на полушаге по времени могут быть вычислены аналогично формулам (8-1.17) и (8-1.18).
В приведенной форме метод Лакса—Вендрова имеет второй порядок точности. Он дает хорошие результаты для гладких течений при отсутствии резких градиентов и разрывов. Иногда этот метод может использоваться и при наличии разрывов, если не требуется хорошее пространственное разрешение и высокая точность в области разрыва. В общем случае, когда разрывы присутствуют, необходимо добавлять в уравнения искусственную вязкость, как это кратко обсуждалось в конце разд. 8-1. Искусственную вязкость в данный метод вводили Рихтмайер и Мортон [48] и Поттер [43]. Наша общая точка зрения заключается в том, что в настоящее время существуют лучшие способы расчета таких течений.
9-2.2. Метод FCT для систем уравнений сохранения
В разд. 8-3 описаны монотонные FCT алгоритмы для интегрирования одного уравнения сохранения. Теперь распространим этот подход на расчет систем одномерных уравнений сохранения. Данное рассмотрение также применимо к другим одномерным монотонным алгоритмам для решения уравнений сохранения. Будем решать одновременно три уравнения газовой динамики
^. = _v.(pv),(9-2.13)
^ = — (V-pV)V-VP,(9-2.14)
-^ = -V(£V)-V(P-V).(9-2.15)
Рассмотрение ограничивается здесь одномерным случаем, но в конце раздела описывается, как можно скомбинировать несколько одномерных расчетов, чтобы провести монотонный расчет неодномерной задачи. Решение этой системы уравнений лучше всего проводить, определяя сначала величину шага по времени, затем интегрируя от предыдущего момента времени t° на половину временного шага до /°+А?/2 и далее проводя интегрирование от момента времени t° на полный шаг по времени до t°+M. Расчет на полшага по времени используется для вычисления центрированных пространственных производных и потоков. Предположим, что значения всех газодинамических переменных известны в центре ячейки при 1°. Тогда процедура интегрирования проводится следующим образом:
Расчет на полшага по времени для нахождения центрированных по времени величин с первым порядком точности.
Расчет величин {и;0} и {Р;0} по старым значениям {р.0}, {pz%°} И {^°}.
Продвижение величины {рг0} и получение {р?/2}-
Расчет величины VP0— источникового члена в уравнении импульса.
Продвижение величины {pz°uz0} и получение {р?/2У?/2}.
Расчет величины V • (Р°и°) — источникового члена в уравнении энергии.
Продвижение величины {Е\0} и получение ^Е^2У
Расчет на полный шаг по времени для нахождения величин в конце шага по времени со вторым порядком точности.
Расчет величин {у?/2} и {Л1/2}, используя предварительные значения {pz1/2}, {pz1/2U/1/2} и {Е?/2}.
Продвижение величины {pz0} и получение {pz1}.
Расчет VP1/2 — источникового члена в уравнении импульса.
Продвижение величины {pz°Vz0} и получение {pz1^1}.
Расчет V-P1/2v1/2 — источникового члена в уравнении энергии.
Продвижение величины {Ez0} и получение {£?}.
Расчет следующего шага по времени от Iх до t2 по описанной выше процедуре.
Такое двухшаговое интегрирование по времени со вторым порядком точности существенно повышает точность расчетов.
Часто к уравнениям (9-2.13) — (9-2.15) добавляются уравнения для химических компонентов
^ = -V-(nzV), 1 = 1,(9-2.16)
В общем случае выявлено, что нет необходимости расщеплять шаг по времени для этих переменных, если при расчете продвижения величин Vli°^ и получения {м^} используются значения скоростей на полушаге по времени. После расчета газодинамических переменных на полшага по времени и на полный шаг плотности частиц рассчитываются сразу на полный шаг по времени с использованием значений скоростей {vz1/2} в центре временного шага.
Даже при проведении только что изложенной процедуры расщепления шага по времени остаются некоторые неточности в решении системы уравнений сохранения. Не полностью исключаются фазовые ошибки. Предметом некоторой озабоченности является также вопрос о синхронизации потоков, так чтобы формула коррекции потоков работала согласованно для трех рассмат-
риваемых уравнений. Поскольку монотонные методы являются нелинейными, величина коррекции потоков будет различной для разных переменных. Так как скачок в импульсе может вести к небольшому численному скачку в энергии в окрестности ударной волны, то все еще остается возможность появления выбросов (занижение или завышение) в решении. Имеется много приемов, зависящих от конкретных постановок задачи, служащих для исключения этих остающихся количественных ошибок и неточностей. Один из простых приемов, который зачастую применяется, заключается в том, чтобы использовать меньший временной шаг. Другой прием состоит во введении ограничения снизу (если такое ограничение известно) на такие величины, как давление. Указанные неточности в синхронизации потоков наиболее существенны при расчете течений химически реагирующих сред при больших энерговыделениях.
Один из подходов к проблеме, вызываемой несинхронизацией потоков, состоит в попытке использования более сложных способов ограничения потоков. Когда обсуждался одномерный метод для одного уравнения сохранения, то для единственной переменной р был описан способ ограничения потока. Теперь появляется свобода накладывать ограничения на потоки для р, ри и Е независимо и различным образом. Различные комбинации ограничивающих потоки процедур могут помочь в решении проблемы синхронизации. Ограничение и синхронизация потоков обсуждались в работах [17, 63], а также недавно в работе [29]. Вопрос о том, как ограничивать переменные величины для системы уравнений, является предметом оживленных дискуссий, что обещает дальнейшее улучшение метода. Заметим, что в методах, которые включают в себя в качестве элемента решение задачи Римана, не возникает проблемы синхронизации потоков.
9-2.3. Многомерные расчеты
с помощью расщепления временного шага
Можно составить комбинацию программ решения одномерных уравнений сохранения, подобных программе LCPFCT (разд. 8-3), чтобы сконструировать программу решения многомерных задач путем расщепления шага по времени для нескольких координатных направлений. Такой подход прост, когда можно построить ортогональную сетку, в которой физические границы располагаются вдоль участков сеточных линий. На рис. 9-1 схематически показан пример осесимметричной камеры, в которую вещество втекает через сопло с центральным телом. Здесь расчетная сетка ортогональная и образована линиями г = const и г = const. На рис. 9-1 показана область высокого разрешения, образованная сеточными линиями вдоль направлений г и г, сгу-
Твердая стенка
ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ,
Втекающий —поток I Наилучшее । разрешениеВтекающий —поток I Наилучшее । разрешениеWAZ/ZaWAZ/ZaГру вая сеткаГру вая сеткаМелкаясеткаМелкаясеткаГрубаясеткаГрубаясетка-(♦Мелкая*!сетка-(♦Мелкая*!сеткаВытекающийВытекающийОсь •симметрииОсь •симметрии
Втекающий —поток I Наилучшее । разрешение
Втекающий —поток I Наилучшее । разрешение
WAZ/Za
WAZ/Za
Гру вая сетка
Гру вая сетка
Мелкаясетка
Мелкаясетка
Грубаясетка
Грубаясетка
-(♦Мелкая*!сетка
-(♦Мелкая*!сетка
Вытекающий
Вытекающий
Ось •симметрии
Ось •симметрии
Рис. 9-1. Схема расчетной сетки, использовавшейся при расчете двумерной осесимметричной задачи.
щенными в окрестности углового излома кромки входного отверстия. В этой области возникают наименьшие по масштабу и наиболее быстро изменяющиеся движения жидкости, которые требуют наилучшего пространственного разрешения и определяют шаг по времени для всего расчета. Расщепление шага по времени можно также применять для других систем координат, таких, как х, у, г, z и обобщенные криволинейные ортогональные координаты g, г].
Двумерные уравнения, описывающие осесимметричные течения идеального газа в координатах г, z, имеют вид
др 0 /\\
=(риари.), di дг w г dr' *
дриг д х, х Id, \ дР
dt ~ дг ХРуА)—~ дг— "э7>
^ = _±1(ру У )_12(грУ У )-^(9"2Л7)
dt дгГ дг МРи2иг) дг,
Давление и энергия по-прежнему связаны соотношением
£ = 8 + 2.р(у2 + у2).(9.2Д8)
Правые части уравнений (9-2.17) разделяются на осевые и радиальные. При такой форме каждого из четырех уравнений осевые и радиальные производные в дивергентных и градиентных членах разделяются на части, которые могут обрабатываться последовательно по общей одномерной схеме решения одномерного уравнения сохранения.
Каждый ряд ячеек в осевом направлении рассчитывается при помощи одномерного модуля, разработанного для решения системы четырех уравнений сохранения, в промежутке времени от t до t-Y-M. Расщепленные уравнения по осевой координате записываются в общей форме уравнения (8-3.11):
(РУД ~(р^л)»
(9-2.19)(9-2.19)dt dz vr dt dz r zn dpuzd , x dP
(9-2.19)
(9-2.19)
dtdz w z z'dz
dt ” dz^Ey^ dz^Pu^e
В данном случае показатель а, фигурирующий в уравнении (8-3.11), положен равным единице, как и в случаях плоской геометрии. Поскольку градиенты и потоки в осевом направлении рассматриваются вместе, то одномерное интегрирование связывает те ячейки, которые влияют друг на друга через осевые компоненты переноса.
Далее следует учесть изменения, обусловленные производными по радиальному направлению. Это осуществляется на втором шаге расщепления путем интегрирования одномерных уравнений вдоль каждого радиального столбца ячеек. Соответствующие уравнения имеют вид
др1 d , х
dt ~ — дАг^иг\
dpur1 д /\ ЭР
81^ ^"^ю)
dtгdrx r z rn
dE1d , - .1d,Dx
dtrdr lrEu^rdrVPyrY
Здесь показатель а, фигурирующий в уравнении (8-3.11), полагается равным двум, как в случае цилиндрической симметрии. Здесь вновь конвективные и источниковые члены записаны в форме уравнения (8-3.11). Интегрирования по осевому и по радиальному направлениям попеременно чередуются. Каждая пара последовательных интегрирований составляет продвижение решения по времени на один полный шаг. Таким образом, данный единый высокоэффективный алгоритм для достаточно общего уравнения сохранения может быть использован для построения многомерного метода решения уравнений газодинамики.
Имеются очевидные ограничения при применении этого метода расщепления. Шаг по времени должен быть достаточно ма-
лым, так чтобы различные составляющие потоков существенно не изменяли значений функций в ячейке за шаг по времени. Желательно, чтобы все члены, стоящие справа в уравнениях (9-2.20), рассчитывались одновременно. Их последовательный расчет приводит к некоторой ошибке. Можно показать, что метод дробных шагов, используемый здесь, имеет второй порядок точности лишь тогда, когда шаг по времени мал и изменяется достаточно медленно. Выбор направления, в котором интегрирование производится в первую очередь,— это дело вкуса. Чтобы избежать влияния увлечения каким-либо направлением, можно осреднять результаты по двум таким расчетам на каждом временном шаге. Это дорогое, но эффективное решение проблемы.
9-2.4. Задача Римана и методы, использующие ее решение
Решение одномерной задачи Римана описывает распад плоского разрыва, разделяющего области жидкости с различными, но пространственно однородными параметрами. Решения одномерных уравнений Эйлера в этом случае могут описывать ударные волны, контактные разрывы и волны разрежения. Разрыв между двумя областями может быть в давлении или плотности (ситуация, стандартная для задачи с ударной диафрагмой), но может представлять также поверхность раздела двух веществ, контактную поверхность или волну разрежения. На фронте ударной волны разрывны плотность, энергия, давление и скорость. На контактном разрыве плотность и энергия терпят разрыв, а давление и скорость непрерывны. Для этих разрывов из законов сохранения получаются в аналитическом виде условия на скачках. Эти условия могут использоваться для того, чтобы определить, как разрыв развивается во времени. Даже для уравнения состояния идеального газа соответствующая задача является нелинейной и для получения ее решения требуется проводить итерации. Хорошее описание задачи Римана и ее использования в расчетах процессов переноса дали Ван-Леер [57] и Роэ [50].
Годунов [16] был первым, кто ввел аналитическое решение задачи Римана в конечно-разностный метод для повышения точности расчетов вблизи разрыва (см. также работу Рихтмайера и Мортона [48]). Его основная идея заключается в том, чтобы решать задачу Римана последовательно для каждой ячейки или для каждой области в течении, а затем эти локальные аналитические решения соединить вместе. Первоначально данный метод был разработан для решения задач с ударными волнами и с его помощью были получены весьма воодушевляющие результаты. Обычно этот монотонный метод имеет первый порядок точности и, поскольку в нем рассчитываются переносимые потоки сразу
Границане подверженная Граница
раздела ячеек Воздействию возмущений раздела ячеек
Рис. 9-2. Решения задачи Римана на границах расчетной ячейки.
для всех трех газодинамических уравнений, то он не допускает нефизичного уменьшения энтропии.
В своей основе метод Годунова является двухшаговым. Сначала решается задача Римана и находятся вспомогательные ве- дичины, а затем используется метод первого порядка точности для получения результатов на выбранной, обычно неподвижной сетке. На первом этапе предполагается, что решение вначале кусочно-постоянное в каждой расчетной ячейке. Тогда решается задача Римана для разрывов на границах каждой ячейки и определяется, куда переместятся ударные волны, контактные разрывы и волны разрежения за время М. На рис. 9-2 показаны две границы ячейки, расположенной вдоль горизонтальной оси, а время откладывается по вертикальной оси. В момент времени / на границах ячейки имеются разрывы, которые, распадаясь, распространяют вовне возмущения, зависящие от времени. Для этого метода важно, что волны, образовавшиеся в результате распада на границе ячейки, не попадают на другую границу этой ячейки. Это обеспечивается за счет выбора достаточно малого шага по времени М по существу из такого же условия на временной шаг, какое применяется в явном конечно-разностном методе. Таким образом, для каждой ячейки такие условия известны точно. Указанный вычислительный процесс дает вспомогательные значения и и Р, которые затем используются на следующем этапе алгоритма.
Со времени появления статьи Годунова решение задачи Римана широко применяется для точного расчета потоков на границах ячеек. В частности, в гл. 8 уже отмечалось использование задачи Римана в ряде монотонных методов высокого порядка точности для расчета сильных разрывов и более точного расчета процесса переноса. Например, в методе PPM задача Римана рассматривается в комбинации с алгоритмом расчета переноса четвертого порядка точности [12]. В этом методе функция в каждой расчетной ячейке предполагается кусочно-параболической, а не кусочно-постоянной. Это, естественно, делает решение задачи
Римана более точным, но и более громоздким даже при использовании имеющихся быстрых, векторизованных, итеративных подпрограмм. Подпрограммы для решения задачи Римана также включены в метод MUSCL [57], методы TVD (см., например, работу [56]) и метод SUPERBEE [51]. Эти методы кратко были описаны в разд. 8-6.
Методы, использующие конечные разности, расписанные против потока, относятся к односторонним алгоритмам, в которых предполагается дискретизация уравнения с учетом направления движения жидкости. Алгоритм донорской ячейки, введенный в разд. 4-4 для решения задачи о переносе квадратной волны, является таким односторонним методом. В этих методах были предложены две модели для определения взаимодействия между расчетными ячейками. Одна из них называется моделью разностного расщепления потоков (см., например, работы [37, 50]). В ней соседние ячейки взаимодействуют через посредство дискретных волн конечной амплитуды. Параметры этих волн, такие, как их скорость распространения и амплитуда, определяются путем решения задачи Римана для разрыва на границе ячейки. Численный метод, различающий влияние волн, распространяющихся в прямом и обратном направлениях, называется методом разностного расщепления потоков. Во втором методе соседние ячейки взаимодействуют через посредство смешивающихся псевдо-частиц, которые входят в каждую ячейку и выходят из нее, имея заданное распределение скоростей. Численный метод, различающий влияние частиц, движущихся в прямом и в обратном направлениях, называется методом векторного расщепления потоков (Сандерс и Прендергаст [53]; Стегер и Уорминг [55]). Оба рассмотренных подхода излагают в своих работах Ван-Леер [58], Роэ [52] и Хартен и др. [18]. Разностное расщепление потоков, основанное на решении задачи Римана, обычно реализуется в методах, использующих это решение Римана, которые обсуждались в этой главе. Векторное расщепление потоков применяется в неявных методах, которые описываются в разд. 9-3.
Подходы, основанные на методе Годунова, относятся к более сложным монотонным методам. Главными проблемами в этих методах являются большие затраты на решение задачи Римана, ориентация разрывов по отношению к сетке в многомерных случаях и обобщение на системы координат, отличные от декартовой. В последних двух случаях аналитическое решение задачи Римана не существует, поэтому здесь должны вводиться дополнительные (иногда нефизичные) приближения. Для сведения рассматриваемой задачи к локально решаемой задаче Римана необходимо произвести ее расщепление по времени:
df df? df*
^^ + ~^ + ё(Ь- (9-2.21)
Здесь dfxRldt и dfyRldt представляют собой слагаемые, вносящие вклад в отдельные решаемые одномерные задачи Римана, соответственно, в направлении осей х и у. Последнее слагаемое g^f) должно учитывать все эффекты, не представленные в локальных задачах Римана. Этот член включает в себя эффекты, которые обусловлены геометрией пространства; они имеют место даже в случаях одномерной цилиндрической и сферической симметрий.
Методы, использующие решение задачи Римана, могут приводить к большим вычислительным затратам, хотя они работают хорошо даже при расчете течений с большими числами Маха. Общее аналитическое решение этой частной специализированной задачи определенно представляет большой интерес, но приносит мало пользы для улучшения точности какого-либо алгоритма, применяемого к более общим задачам. Естественно, хотя это бывает и неоправданно, уделять много внимания той части задачи Римана, которую можно решить аналитически, например определению членов dfxR!dt и df^ldt, и в то же время уделять мало внимания поправочному члену g(f), который может быть столь же важен для решения задачи в целом. Таким образом, многие методы, которые отлично проявляют себя при решении частной одномерной тестовой задачи Римана, не могут с уверенностью быть применены для расчета более сложных течений. Заметим, что Роэ [51] вводит, например, приближенное решение задачи Римана, которое требует меньших вычислительных затрат бс^ явных негативных эффектов. Значительные усилия были потрачены на преобразование уравнений к локальным координатным системам, в которых задача Римана имеет решение [13], но при этом под вопросом остаются вычислительные затраты и глобальная консервативность решения.
Имеется определенный вопрос по поводу применимости методов, основанных на решении нелинейной задачи Римана. Он связан с важностью сохранения энергии при расчете течений химически реагирующей среды. В некоторых методах, основанных на решении задачи Римана, возникают трудности с точным выполнением глобальных законов сохранения массы, импульса или энергии. Это имеет место в методе Глимма, который будет рассмотрен ниже, и в алгоритмах, в которых вместо консервативных переменных р, pV и Е берутся производные величины, такие, как температура и энтропия.
9-2.5. Сравнение нескольких методов
Для того чтобы сравнить различные методы, рассмотрим одномерную задачу о разрыве диафрагмы. Эта довольно стандартная тестовая задача стала привлекать особое внимание после обзора, сделанного Содом [54]. Стоит сослаться также на обзор
Рис. 9-3. Тестовая задача Римана: а — начальное состояние, б — решение для некоторого момента времени, характеризующее распределение плотности р.Рис. 9-3. Тестовая задача Римана: а — начальное состояние, б — решение для некоторого момента времени, характеризующее распределение плотности р.бб
Рис. 9-3. Тестовая задача Римана: а — начальное состояние, б — решение для некоторого момента времени, характеризующее распределение плотности р.
Рис. 9-3. Тестовая задача Римана: а — начальное состояние, б — решение для некоторого момента времени, характеризующее распределение плотности р.
б
б
Ниттмана [34], который рассматривал задачу о взаимодействии ударной волны с контактным разрывом для тестирования трех методов: метода донорской ячейки, одного из вариантов метода FCT второго порядка точности и метода расщепления потоков.
Начальные условия для тестовой задачи о разрыве диафрагмы представлены на рис. 9-3,а, а общий вид решения спустя короткий промежуток времени показан на рис. 9-3,6. В представленных ниже расчетах использовались 100 равномерно распределенных по пространству ячеек и фиксированный шаг по времени, выбранный так, чтобы число Куранта равнялось 0,5, т. е.
|с5 + у |Л//Дх = 0,5. (9-2.22)
Прежде чем описывать результаты, отметим некоторые моменты, касающиеся оценки алгоритмов. Следует подчеркнуть, что «идеального» метода не существует. Различные методы проявляют себя разным образом в зависимости от специфики тестовых задач. Обычным является представление алгоритмов таким образом, чтобы показать их лучшие свойства. Например, если какому-либо методу отдается предпочтение, на первый план выдвигается тестовая задача, в которой он работает наилучшим образом. Следовательно, от читателя требуется критическое восприятие выводов, следующих из расчета одной или даже нескольких тестовых задач.
На рис. 9-4—9-7 показаны результаты применения четырех методов для решения указанной тестовой задачи о разрыве диафрагмы. _
44Рис. 9-4. Применение метода Лакса — Вендрова (метода Мак-Кормака) к тестовой задаче Римана. (С разрешения С. Залесака.)Рис. 9-4. Применение метода Лакса — Вендрова (метода Мак-Кормака) к тестовой задаче Римана. (С разрешения С. Залесака.)
4
4
Рис. 9-4. Применение метода Лакса — Вендрова (метода Мак-Кормака) к тестовой задаче Римана. (С разрешения С. Залесака.)
Рис. 9-4. Применение метода Лакса — Вендрова (метода Мак-Кормака) к тестовой задаче Римана. (С разрешения С. Залесака.)
Метод Лакса—Вендрова (рис. 9-4). Этот алгоритм описан в разд. 9-2.1 и используется без искусственной вязкости. Применение этого метода к линейной задаче переноса было проиллюстрировано на рис. 4-6. В этом случае данный метод совпадает со стандартным вариантом алгоритма Мак-Кормака.
Метод LCPFCT (рис. 9-5). Этот нелинейный монотонный алгоритм расчета переноса с коррекцией потоков описан в разд. 8-3. Он имеет четвертый порядок точности по фазе и второй порядок точности по времени. Применение его к линейной задаче переноса было проиллюстрировано на рис. 4-6 и 8-4. Здесь дополнительная синхронизация потоков не предпринималась.
Метод Годунова (рис. 9-6). Это линейный монотонный метод первого порядка точности.
4—245
Рис. 9-5. Применение метода LCPFCT — варианта метода расчета с коррекцией потоков четвертого порядка точности — к тестовой задаче Римана. (С разрешения С. Залесака.)Рис. 9-5. Применение метода LCPFCT — варианта метода расчета с коррекцией потоков четвертого порядка точности — к тестовой задаче Римана. (С разрешения С. Залесака.)
Рис. 9-5. Применение метода LCPFCT — варианта метода расчета с коррекцией потоков четвертого порядка точности — к тестовой задаче Римана. (С разрешения С. Залесака.)
Рис. 9-5. Применение метода LCPFCT — варианта метода расчета с коррекцией потоков четвертого порядка точности — к тестовой задаче Римана. (С разрешения С. Залесака.)
Метод SUPERBEE (рис. 9-7). Этот алгоритм разработан Роэ [51]. Он включает в себя подпрограмму приближенного решения задачи Римана.
На каждом из рисунков 9-4—9-7 показаны распределения давления, плотности, скорости и температуры через 63 временных шага после разрыва диафрагмы, когда головной ударный скачок проходит вниз по потоку 25 ячеек. На каждом графике теоретическое решение этой задачи Римана изображено сплошной линией, а расчетные данные показаны точками. Представленные результаты соответствуют очень короткому промежутку времени, .прошедшему после разрыва диафрагмы, так что ударная волна м контактная поверхность отстоят друг от друга всего лишь на
Рис. 9-6. Применение метода Годунова к тестовой задаче Римана. (С разрешения С. Залесака.)
восемь или девять ячеек. В тестовых расчетах, соответствующих большим временам, оба нелинейных монотонных метода привели бы к еще большему улучшению результатов по сравнению с методами Лакса—Вендрова и Годунова.
Метод Лакса—Вендрова, для которого результаты расчета представлены на рис. 9-4, был запрограммирован без введения искусственной вязкости. Отсутствие демпфирования первого порядка приводит к большим нефизическим флуктуациям газодинамических переменных почти на всех разрывах. Численное решение по методу Лакса—Вендрова имеет неприемлемо большие осцилляции на контактном разрыве, где скорость и давление должны быть постоянными и непрерывными. Однако, поскольку данный метод имеет второй порядок точности, положения разры-
Рис. 9-7. Применение метода SUPERBEE к тестовой задаче Римана. (С разрешения С. Залесака.)
вов довольно хорошо локализуются, а решение в зоне волны разрежения весьма близко к теоретическому.
Методы, которые явно используют физические и аналитические свойства поведения рассчитываемой взаимосвязанной системы уравнений, вообще говоря, оказывается лучше, чем методы, не учитывающие этого. Метод расчета переноса с коррекцией потоков четвертого порядка точности, результаты расчетов по которому приведены на рис. 9-5, в основном совпадает с методом Лакса—Вендрова, но в нем налагается физическое условие положительности решения. Это дополнительное важное физическое условие, непосредственно включенное в данный метод, заметно улучшает решение. Завышенные и заниженные выбросы в решении оказываются минимальными, хотя имеется менее чем 4%-ная
случайная ошибка в температурном пике за ударным фронтом (источником которой являются начальные случайные ошибки). Температура и скорость являются производными величинами, поэтому монотонная коррекция потоков не действует непосредственно на них. В работе [29] предложено проводить синхронизацию потоков таким образом, чтобы нелинейно ограничить решение и за счет этого уменьшить эти ошибки. Ошибки также исчезают в расчетах для длительных времен.
Методы, основанные на решении задачи Римана, используют .дополнительную информацию о фактическом решении этой конкретной тестовой задачи и дают отличные результаты при ее решении. При решении тестовой задачи Римана особенно хорошо проявляет себя метод Годунова, несмотря на то, что он имеет лишь первый порядок точности. Если же его использовать для решения линейной задачи переноса, результаты которой были показаны на рис. 4-6, этот метод работал бы так же, как метод донорской ячейки, который здесь дал на самом деле не очень хорошие результаты. В расчетах по методу Годунова, в противоположность расчетам по методу Лакса—Вендрова, показанным яа рис. 9-4, отсутствуют большие осцилляции, поскольку метод Годунова является монотонным. Численная диффузия оказывается чрезмерной в области контактного разрыва и ударного фронта. При расчете той же тестовой задачи при длительных временах метод Годунова демонстрирует заметно большее размазывание в зоне контактного разрыва и волны разрежения. Однако диффузия в области ударного фронта ограничивается естественной тенденцией ударных волн к укручению фронта, и она может быть несколько уменьшена, если расчет проводить при большем числе Куранта. При числе Куранта, равном 0,9, получается достаточно точное представление ударного фронта.
В последнем примере, показанном на рис. 9-7, применялся метод SUPERBEE [51], который включает в себя решение задачи Римана и является нелинейным монотонным методом второго порядка точности с ограничивающей потоки процедурой. Качество полученного решения превосходное. Контактный разрыв разрешается лучше, чем на рис. 9-5. Этот метод сконструирован так, что он аккуратно решает задачу Римана, вследствие чего удалось достичь прекрасных результатов. Однако для чисто конвективной задачи этот метод дает менее хорошие результаты, чем монотонный метод четвертого порядка точности. Кроме того, он не обобщается на многомерный случай или на подвижные сетки и требует значительного объема вычислений на один шаг по времени.
Алгоритмы с высоким порядком аппроксимации пространственной производной дают преимущество при решении любой чисто конвективной задачи. Включение в метод подпрограммы
решения задачи Римана дает преимущество при решении задачи Римана. Однако использование простого нелинейного монотонного метода приносит хорошие результаты в обоих этих случаях.
9-2.6. Несколько других методов
Характеристические методы
Понятие характеристик было введено в гл. 2. Характеристические методы, или методы с выделением ударных волн для решения задач о течениях сжимаемой среды основаны на идее моделирования произвольного течения в виде совокупности областей изэнтропического течения, разделенных разрывами. Имеется много хороших обзоров по этим методам, например, обзор Липмана и Рошко [27] и сравнительно недавнее обсуждение Андерсона и др. [2]. Методы характеристик были исключительно популярны во времена, когда компьютеры обладали малыми быстродействием и памятью, так что даже при одномерных расчетах получалось плохое разрешение. Эти методы максимально используют ограниченные данные о решении, применявшиеся в таком представлении, но в конечном счете они были заменены на более гибкие, менее сложные и требующие меньших вычислительных затрат конечно-разностные методы. Характеристические методы, описываемые кратко ниже, не применимы для расчета течений несжимаемой среды, в которой скорость звука бесконечно велика. Для таких случаев характеристические методы преобразуются в алгоритмы, очень сходные с методами квазичастиц, описываемыми в гл. 11.
В характеристическом методе необходимо различать шесть различных типов расчетных точек в течении (см., например, работу [21]): внутренние точки в изэнтропических областях, точки, принадлежащие к границам рассматриваемой системы, точки на свободных поверхностях, точки на контактных разрывах, точки на одиночной ударной волне и точки на пересекающихся ударных волнах. Этим точкам приписываются координатные значения х и t. Поскольку время, вообще говоря, меняется от одной расчетной точки к другой расчетной точке, то в классических методах характеристик не рассматриваются дискретные временные слои. Для расчета газодинамических величин в новой расчетной точке на пересечении двух характеристик, проходящих через две известные точки, требуется знать лишь физические величины в этих известных точках. Таким образом, в памяти ЭВМ необходимо хранить только такое количество информации, которое эквивалентно описанию одного временного слоя в конечно-разностной схеме. В действительности, некоторые характеристиче-
ские схемы используют интерполяцию на сетку из точек, лежащих на одном и том же прежде рассчитанном временном слое t. Это позволяет вести «маршевый» расчет от одного временного слоя к другому.
Характеристические методы часто могут быть сформулированы таким образом, чтобы использовать преимущества, следующие из физического содержания конкретной системы уравнений. Например, уравнения бездиссипативной магнитной гидродинамики (см., например, Куликовский и Любимов [24]) и уравнения идеальной сжимаемой жидкости (Моретти и Аббетт [32]) могут быть записаны в характеристической форме и решены методом характеристик. Решения методом характеристик для этого типа задач часто бывают отличными по качеству, поскольку разрывы, естественным образом возникающие в этих физических системах, прослеживаются индивидуально и точно. В характеристических методах также относительно легко обеспечить выполнение законов сохранения и свойства положительности решения.
С другой стороны, характеристические методы не могут быть использованы в самом общем случае. Присутствие даже одного диффузионного члена в основных уравнениях делает невозможным использование характеристических методов, поскольку характеристики в такой модели не существуют. Диффузия также приводит к смешению сред из областей с разными значениями энтропии и вследствие этого требует намного большего числа степеней свободы для представления гладкого изменения распределения. Другой недостаток характеристических методов заключается в том, что они довольно сложны и относительно неэффективны при расчете сложных и многомерных течений. Особые предосторожности необходимы для описания ударной волны, которая формируется из опрокидывающейся волны сжатия, а также для описания ударной волны, догоняющей другую ударную волну, или контактного разрыва, образующегося при столкновении двух ударных волн. Во всех подобных случаях разрывы должны вводиться в расчет или исключаться из расчета. Усложнение логики характеристического метода быстро увеличивается с увеличением числа присутствующих разрывов, и его преимущества будут подавлены трудностями учета всех специальных случаев, которые при этом могут возникнуть (Хоскин [21]).
В случае двух пространственных переменных характеристики представляют собой плоские кривые, пересекающиеся в движущихся точках в пространстве х, у, t. В трехмерном случае характеристики представляют собой поверхности, пересекающиеся вдоль движущихся кривых линий. Таким образом, в случае трех измерений метод характеристик становится еще более сложным, а за характеристиками становится все труднее следить в процессе развития течения во времени.
Метод случайного выбора
В методе случайного выбора, или методе Глимма [15], а также в более поздних его вариантах (Сод [54], Чорин [10, 11]) предпринимается попытка обойти как диффузию, присущую эйлеровым алгоритмам донорской ячейки, так и потенциальную* сложность отслеживания характеристик в многомерном случае. В этих методах не устанавливается точное местоположение разрывов в течении, но точно моделируется величина скачка в разрывах. Здесь в решении бывает известна точная величина скачков при переходе от одной области к другой, но не известно точно, где скачки находятся. Это прямо противоположно более стандартным процедурам, в которых положение характеристик рассчитывается точно, а затем используются приближенные значения интенсивности разрывов для интерполяции на сетке, лежащей на прежде рассчитанном слое. Такое изменение подхода вызывается желанием хорошо представлять такие поверхности^ как контактные разрывы или поверхности раздела реагирующих компонентов.
Цена, которую приходится платить за точное знание интенсивности ударных волн и других разрывов, состоит в неточном знании их положения. Случайный или псевдослучайный способы, которыми назначаются параметры жидкости на пространственной сетке, приводят к таким же ошибкам, которые встречаются в более стандартных, но диффузионных методах. При этом не удается гарантировать глобального сохранения массы, импульса и энергии. Представляется, что здесь действует некая утонченная форма принципа неопределенности. Различные типы ошибок могут быть уменьшены за счет друг друга, но все они не уменьшаются одновременно. Эта неопределенность есть просто другая форма выражения неизбежно конечного разрешения при расчетах на ЭВМ.
9-3. Методы для расчета медленных течений
Режим медленного течения определяется здесь как такой, в котором скорости течения много меньше скорости звука и. следовательно, число Маха много меньше единицы. Такие течения являются дозвуковыми, а иногда и несжимаемыми. Любые сжатия или разрежения, которые имеют место, возникают в результате медленного нагрева или охлаждения при практически постоянном давлении.
Распространение пламени представляет собой пример такого течения. Зона реакции захватывает горючие газы достаточно медленно, так что давление остается в основном постоянным при переходе через фронт пламени. В то же время при таком перехо-
де плотность может изменить свою величину в четыре — десять раз вследствие тепловыделения за счет химических реакций. При распространении пламени нельзя игнорировать ни изменение плотности, ни действительные перемещения жидкости, связанные с расширением. Многие отличные численные методы испытывают трудности при описании расширения и сжатия в этом режиме, в то время как они дают устойчиво хорошие результаты при расчетах распространения быстрых звуковых волн.
При расчетах дозвуковых течений вопрос, определяющий выбор алгоритма интегрирования по времени, связан с тем, рассматриваются ли звуковые волны явно, неявно или асимптотически. Явные алгоритмы вне зависимости от того, насколько хороша их вычислительная эффективность, становятся дорогостоящими, если максимальная скорость течения всюду в расчетной области оказывается меньше 10% скорости звука. Неявные методы обычно включают в себя требующее больших затрат итерационное решение эллиптического уравнения. Затраты на такие дополнительные расчеты могут достигать затрат при расчете явным алгоритмом для пяти или десяти шагов по времени и могут требовать намного большей вычислительной памяти. Альтернативные подходы включают в себя асимптотические методы расчета медленных течений и методы, которые аналитически учитывают разные масштабы величин, входящих в уравнения движения жидкости.
В несжимаемых течениях имеются вихревая и потенциальная компоненты поля скоростей, в то время как компонента, связанная со сжимаемостью среды, тождественно равна нулю. Это означает, что объем жидкости, втекающей в систему, совпадает с объемом вытекающей жидкости. Плотность жидкости не обязательно должна быть постоянной по пространству в несжимаемом течении, но часто она предполагается постоянной. Когда плотность не всюду постоянна, она сохраняется постоянной в лагранжевом смысле для каждого движущегося элемента жидкости. Задачи о течениях несжимаемой жидкости часто решаются в переменных вихрь — функция тока, так же, как и в основных гидродинамических переменных.
Когда задачи динамики несжимаемой жидкости рассматриваются в основных гидродинамических переменных, возникает необходимость решать уравнение Пуассона для давления. В такой постановке на каждом шаге по времени решение неявно связывает значения переменных на всей сетке, причем такое решение будет устойчивым и не разрешает звуковых волн. Правильное распределение давления обеспечивает выполнение того условия, что производная по времени от V-V остается равной нулю. В рамках эйлерова подхода имеется ряд путей создания неявных алгоритмов. Некоторые из них будут обсуждаться ниже.
В гл. 10 будут рассмотрены также лагранжевы методы, пригодные для расчета дозвуковых течений и течений несжимаемой жидкости.
9-3.1. Методы расчета медленных течений
К методам расчета медленных течений относятся асимптотические методы, явные и неявные методы, а также методы для решения систем уравнений сохранения при малых скоростях течения. К этим методам принадлежат алгоритмы, которые разработали Ремшоу и Трепп [44], Джонс и Борис [22, 23], Рем и Баум [45], Рем и др. [46] и Паолуччи [38]. Алгоритм Джонса и Бориса используется ниже в качестве основы для объяснения общей идеи.
Этот алгоритм был разработан для применения при моделировании многомерных течений с распространением пламени, В этих течениях скорость звука велика по сравнению со скоростью жидкости, а давление в основном постоянно. В данном методе решаются уравнения для плотностей:
^. + v.(pV) = 0,(9-3.1)
^ + v.(p.V) = -V(p/Vw) + Pf-p/Z,., t = l,...,^, (9-3.2) уравнение для вихря,
^ = Vx(VX«)-Vx№+Vx(-^^),(9-3.3)
уравнения для потенциала скорости и функции тока,
72ф = 7.у,(9-3.4)
VX(VX^) = VXV = to,(9-3.5)
и изэнтропическое уравнение для давления с источниками ^+v.vp = -yPv-v+^| + at1Ot |хим
W-l)[v-q-V.(V.vvV) + SW^ (9-3.6)
В этих уравнениях учтены эффекты вязкости, теплопроводности, представленные вектором теплового потока q, термохимии, записанные через энтальпии {/ij, и химические реакции, выраженные через члены, описывающие образование {Л} и убывание {Д} компонентов. Слагаемое ^dPIdt^^ возникает из-за изменения энтальпий вследствие химических реакций. Оно по-
является при преобразовании уравнения для энергии в уравнение для давления.
Уравнение (9-3.6) можно разрешить относительно дивергенции скорости, сохраняя в нем члены низшего порядка, описывающие флуктуации давления:
?PrV~(^L-^)44T-l)[r-9-V^VVV) + ^
(9-3.7)
Это нулевое приближение для величины V-V, в котором прене- брегается членом V-VP и проводится осреднение производных по времени. Для некоторых типов самосогласованных задач гидродинамики бывает необходимо решать уравнение (9-3.7) не только с нулевым, но и с первым порядком точности по флуктуациям давления, чтобы воспроизвести процесс образования вихрей.
Интересные особенности течения выражает первый член в правой части уравнения (9-3.7), описывающий среднее изменение давления в системе при добавлении энергии извне или при сжатии. Суммарное добавление тепла в систему благодаря химическим реакциям, вязкости, теплопроводности или внешним источникам приводит к изменениям во времени среднего давления. В замкнутом сосуде этот осредненный нагрев не ведет к изменению суммарной дивергенции скорости и, следовательно, соответствующий член вычитается из уравнения (9-3.7) для получения правильного значения V • V.
Решение этих уравнений для медленных течений уже не включает в себя звуковые волны и, следовательно, в такой постановке не могут рассматриваться ударные волны. Однако в решении еще учитываются такие процессы, как теплопроводность, сжатие и разрежение, поскольку они развиваются медленно по сравнению со временем прохождения звуковых волн через систему. Должны также быть решены два уравнения эллиптического типа — одно для ср и другое для ф. При сохранении для давления в уравнении (9-3.7) только членов низшего порядка по отношению к временным масштабам давление не может изменяться в пространстве, но оно может изменяться глобально в системе за характерное время выделения энергии. Для давления можно рассчитать поправки более высокого порядка, используя поле скоростей более низкого порядка в качестве источникового члена в уравнениях, но при этом требуется решение дополнительных уравнений эллиптического типа.
Метод данного типа имеет важное преимущество, состоящее в том, что способ, которым уравнения (9-3.1)— (9-3.3) интегрируются по времени, точно не определен, поэтому для решения
этих уравнений можно выбрать любой метод. Например, можно использовать и эйлеровы, и лагранжевы конечно-разностные методы. Джонс и Борис применяли здесь алгоритм ЕСТ, описанный в разд. 9-2.
Рассматриваемый алгоритм реализуется на разнесенных сетках. Например, в уравнении для плотности значения р определяются в сеточных узлах, а V — в промежуточных точках. Затем величина V-V рассчитывается в тех же самых точках, что и р. При определении решения для V через функцию тока ф и потенциал скорости ср разностные схемы также просты, если ф и ф определяются в подходящих точках. Когда требуется знать потоки массы, например, при расчете скоростей диффузии, единственными величинами, которые приходится осреднять, являются массовые плотности в центрах ячеек. При использовании таких разнесенных сеток в расчетах выполняется второй порядок точности по пространству при постоянной или медленно изменяющейся сетке.
Величинами, определяемыми в узлах сетки, являются V-V, со, р, pz, Т, Р и ф. Функция тока ф и скорость V определяются в промежуточных точках. Интегрирование уравнений по времени проводится методом, использующим центрированные значения. Общая процедура расчета одного шага по времени выглядит следующим образом:
Рассчитываются значения Р, р, {pj, о, V-V, Т, ф и ф в новый момент времени tn, основываясь на соответствующих значениях в момент времени t°.
Находятся источниковые члены в уравнениях (9-3.1) — (9-3.5), используя центрированные значения в момент времени
Проводится интегрирование от 1° до tQ+M уравнений (9-3.1) — (9-3.5), используя источниковые члены, определенные в центральных точках по времени и по пространству.
Итерируются результаты, полученные на стадиях 2 и 3, до тех пор пока решение не сойдется.
Проводится интегрирование от t° до t°+M уравнений для других переменных, которые описывают кинетику химических реакций.
Ремшоу и Трепп [44] интересовались решением задачи о многофазном течении, в которой требовалось определить в расчете поверхность раздела между жидкостью и газом. Их алгоритм подобен алгоритму для расчета медленных течений, представленному выше, с одним важным отличием. Эти авторы вывели выражение для дивергенции скорости, но не отделили от него члены, описывающие звуковые волны в системе. Поскольку такое отделение не было произведено, ими использовалась неявная формулировка уравнений для плотности и импульса, которая
Уравнения сохранения для быстрых и медленных течений 381 исключала возможность применения алгоритма расчета переноса, обеспечивающего положительность решения.
Рем и Баум [45] и Рем и др. [46] вывели иерархическую- систему уравнений, описывающую медленные течения с общей точки зрения. Они предложили систематическую процедуру разложения решения в ряд, где допускаются только такие эффекты сжатия, которые вызываются асимптотическими изменениями плотности при больших временах, получающимися в результате локального нагрева (охлаждения). Первый член в разложении величины V-V представляет собой выражение, определяемое уравнением (9-3.7). Первоначально в 1978 г. эти авторы вывели свою систему уравнений в основных газодинамических переменных, а позднее в 1982 г. вывели систему уравнений в переменных вихрь — функция тока. Паолуччи [38] проанализировал физические допущения, используемые в методах расчета медленных течений, дал оценку различных членов в гидродинамических уравнениях и обсудил соотношение между уравнениями для медленно текущей жидкости и другими приближенными уравнениями гидродинамики.
Асимптотический подход к расчету медленных течений хорошо работает тогда, когда акустические флуктуации не оказывают существенного влияния на течение жидкости, т. е. для дозвуковых течений с постоянным давлением, в которых дивергенция скорости через уравнение энергии связана прямо пропорционально с тепловыделнием. Общность и легкость применения такого алгоритма делает его привлекательным.
Приближенные уравнения, описывающие медленные течения, перестают работать, когда кинетическая энергия становится сравнимой с внутренней энергией. Поскольку уравнения базируются на асимптотическом разложении в ряд, звуковые волны отсутствуют даже при использовании уравнений высокого порядка. Таким образом, решения высоких порядков в этой модели не могут непрерывным образом переходить в решения уравнений газовой динамики, описывающие акустические эффекты или эффекты сжимаемости.
Во многих задачах об абляции или о распространении пламени важными являются изменения давления, связанные со звуковыми волнами, несмотря на то, что распределения величин в. жидкости сами по себе изменяются медленно. В этих задачах к чрезвычайно большим вычислительным затратам приводила бы попытка с помощью явного алгоритма интегрирования получить разрешение во временном масштабе, соответствующем скорости звука. В то же время приближенные уравнения для медленного течения с постоянным давлением здесь не справедливы. Кроме того, в атмосферных течениях, в турбулентных течениях реагирующих систем, при неустойчивости Рэлея—Тейлора малые-
флуктуации давления, взаимодействуя с локальными градиентами плотностей, приводят к возникновению завихренности. В этих случаях проведение акустических расчетов по неявной схеме допустимо до тех пор, пока отсутствуют ударные волны.
9-3.2. Неявный алгоритм расчета переноса с коррекцией потоков
В тех случаях, когда алгоритм расчета медленных течений оказывается слишком ограничительным, полезны некоторые формы неявных подходов. Например, может возникнуть необходимость аккуратного расчета длинноволновых звуковых волн без сильного ограничения шага по времени, требуемого коротковолновыми возмущениями. В то же время исключительно полезно сохранить преимущества нелинейного монотонного метода.
Неявный вариант метода FCT, называемый BIC—FCT [42], снимает ограничение на шаг по времени, налагаемое величиной скорости звука, за счет введения дополнительного неявного уравнения эллиптического типа. Этот метод основан на исследовании, проведенном Казулли и Гринспаном [9], которые показали, что нет необходимости все члены в уравнениях газовой динамики рассчитывать неявным образом для того, чтобы пользоваться большими шагами по времени, чем это разрешается условием устойчивости для явных схем. Лишь два члена, которые определяют ограничение, связанное с численной устойчивостью, должны быть взаимосвязаны и рассчитаны неявным образом.
В методе BIC—FCT проводится решение уравнений газовой динамики для сжимаемой среды, записанных в консервативной форме для переменных: массовая плотность р, плотность импульса pV и плотность полной энергии Е, где
E^e + lpV2.(9-3.8)
Используется следующее уравнение состояния:
Р = ^—1)8.(9-3.9)
Алгоритм включает два этапа. Первый из них представляет собой явный предиктор, который определяет предварительные новые величины р, V из следующих разностных уравнений:
ir^L = _ V • р° V»,(9-3.10)
= — V • p»V°V° - VP°.(9-3.11)
Здесь тильдой отмечены значения в новый момент времени, полученные на этапе предиктора. Индексы 0 и п используются для
обозначения величин, соответственно, в предшествующий и новый моменты времени. В уравнениях (9-3.10) и (9-3.11) фиксированы только разностные формулы по времени, но не по пространству. Таким образом, вместо модуля ЕСТ, который здесь применяется, можно было бы использовать любой другой алгоритм расчета переноса. Неявная форма уравнений для плотностей импульса и энергии имеет вид
p2X2zz£Y! = — v • p°v°v»- v [9Pn + (1 -9) р°], (9-3.12)
En7tE° = — V • (Р° + Р0) [9V" + (1 - 9) V0].(9-3.13>
рпул—роуоА?EU) — EWМрпул—роуоА?EU) — EWМПри 0=1 алгоритм становится полностью неявным и система уравнений переходит в исследованную Казулли и Гринспаном:
рпул—роуоА?
EU) — EW
М
рпул—роуоА?
EU) — EW
М
(9-3.14>(9-3.14>V-P°V°V0 —VP”,
(9-3.14>
(9-3.14>
V.(£° + p°) V«.
Эту систему неявных уравнений можно свести к одному скалярному уравнению путем исключения Nn из уравнений (9-3.11) и (9-3.12). Тогда получим
p"v д7^ V = — V9(P"-P«) = — V6P. (9-3.15).
Величина 6Р, описывающая неявную коррекцию давления, представляет собой дополнительное давление, которое требуется для изменения импульса жидкости от значений pV, определяемых на явном этапе предиктора, к конечным неявно скорректированным, значениям pnV". Поскольку эта коррекция касается звуковых волн (которые в этом алгоритме рассчитываются неправильно на этапе явного монотонного предиктора), а не расчета переноса, то при этом нет влияния со стороны FCT-алгоритма.
Новое значение скорости находим из уравнения (9-3.15), где полагаем р"=р, так что
¥» = —^-V6P + V.(9-3.16>
Р
Скорректированное уравнение для энергии получается из уравнения состояния (9-3.9) с постоянным у
+(9-3.17)
где 9 связано с выражением для бР. Величину бР находим после подстановки выражений (9-3.16) и (9-3.17) в уравнение (9-3.13)
с учетом формул (9-3.8), откуда получаем
рУ2_роуо26Р/Е» + Р»\ .
2Ы +\ р )^№
—9? • (£° + Р°) V—(1 — 9)у • (£° + Р°) V».(9-3.18)
Чтобы упростить уравнение (9-3.18), Патнейк вводит явно определяемый корректор для плотности энергии Е:
^р- =— у • (£° + Pe) (9V + (1 — 9) V0).(9-3.19)
Это позволяет переписать уравнение (9-3.18) в виде
(^-20)
и получить скалярное эллиптическое уравнение для 6Р. Заметим, что два уравнения, в которые входят неявные члены, теперь сведены к одному уравнению (9-3.20). Правая часть уравнения (9-3.20) вычисляется явно с учетом выражения (9-3.19). После того как эллиптическое уравнение для 6Р решено, величины импульса и энергии подправляют, используя уравнения (9-3.15) и (9-3.17). Из формы уравнений (9-3.15) и (9-3.11) видно, что импульс в алгоритме локально сохраняется. Более того, так как неявная коррекция проявляется в виде слагаемого с градиентом от скаляра 6Р, использование монотонного метода для расчета переноса и неявного этапа для акустических волн не влияет на локальное сохранение и перенос вихрей.
.Процедура нахождения решения
Приведенная выше форма системы уравнений не предписывает конкретного вида разностного представления пространственных производных, но требует, чтобы эти производные вычислялись на временном уровне, указанном верхним индексом. Это создает известную свободу выбора разностной схемы для расчета подобных членов. Здесь на этапе предиктора уравнения (9-3.10), (9-3.11) и (9-3.19) интегрируются при помощи метода FCT четвертого порядка точности для надежного расчета больших градиентов концентраций компонентов и завихренности.
Каждый временной шаг разделяется на три этапа:
Явный предиктор. Плотность, импульс и энергия рассчитываются с помощью метода FCT явным образом в соответствии с уравнениями (9-3.10) и (9-3.11). Это позволяет найти промежуточные величины р, pV и Ё. Значение V вычисляется по формуле pV/p. Затем найденные значения V и метод FCT используются для явного получения коррекции переносимой энергии Е, 'Определенной уравнением (9-3.19).
Решается уравнение (9-3.20) для 6Р. В одномерном случае это требует решения системы линейных уравнений с трехдиагональной матрицей. В случае двух измерений приходится решать эллиптическое уравнение.
Проводится коррекция импульса и энергии с помощью неявных уравнений (9-3.15) и (9-3.17) или (9-3.13), соответственно, для изменения давления 6Р и энергии Е. Эти скорректированные значения и значение плотности, полученное явным образом на первом этапе, служат начальными данными для следующего временного шага. Указанные три этапа повторяются на каждом шаге по времени. Производные в разностном уравнении для давления (9-3.20) аппроксимируются центральными разностями. Все физические величины рассчитываются в центрах ячеек, а значения тех же величин на границах ячеек получаются осреднением.
Когда метод BIC—FCT применяется в двумерном случае, то используется та же самая трехэтапная процедура [42]. Вместо процедуры расчета на полушаге и целом шаге требуется описанное в разд. 9-2.2 и 9-2.3 расщепление на одном временном шаге по двум пространственным направлениям. Однако, чтобы метод работал, уравнение для коррекции давления должно решаться в двумерном варианте, и его решение на каждом шаге по времени требует значительных вычислительных затрат. В одномерном случае конечно-разностная форма уравнения для давления при использовании стандартных методов обращения трехдиагональных матриц может быть эффективно решена за O(AQ операций, где N обозначает число сеточных точек. В двумерном случае важно иметь эффективную программу для решения эллиптического уравнения, предпочтительно такую, которая не ограничена особым типом задач с особыми граничными условиями. Методы решения линейных уравнений с трехдиагональными матрицами и эллиптических уравнений кратко описаны в разд. 11-3.
В табл. 9-1 показано, сколько машинного времени требуют двумерные расчеты одного временного шага при использовании методов BIC—FCT и LCPFCT. Обе программы были составлены в полностью оптимальной форме для ЭВМ CRAY ХМР-12. Важно указать, что вычислительные затраты на неявный расчет одного шага по времени оказались примерно такими же, как и для явного расчета одного шага по времени. Как было сказано в разд. 9-2, расчеты по явным формулам требуют на каждом шаге по времени двух процедур — предиктора на полушаге по времени и корректора на целом шаге. Метод BIC—FCT не дробит временной шаг, но вместо этого требуется одно обращение матрицы. Если оно производится достаточно эффективно, то выполнение его вместе с вспомогательными вычислениями требует прибли- 25—245
Таблица 9-1. Время расчета на ЭВМ CRAY ХМР-12 шага по времени в методах BIC—FCT и LCPFCT (время измеряется в миллисекундах)
СеткаСеткаМетод BIC—FCTявный этапэллиптический этапостальной расчетполное времявремя расчета одного узла]), мксМетод LCPFCTвремя расчета одного узла1), мксМетод BIC—FCTявный этапэллиптический этапостальной расчетполное времявремя расчета одного узла]), мксМетод LCPFCTвремя расчета одного узла1), мкс20X2040X4080X806,817,054,13,88,422,52,75,917,113,331,393,733,319,614,613,633,9108,134,021,216,920X2040X4080X806,817,054,13,88,422,52,75,917,113,331,393,733,319,614,613,633,9108,134,021,216,9
Сетка
Сетка
Метод BIC—FCT
явный этап
эллиптический этап
остальной расчет
полное время
время расчета одного узла]), мкс
Метод LCPFCT
время расчета одного узла1), мкс
Метод BIC—FCT
явный этап
эллиптический этап
остальной расчет
полное время
время расчета одного узла]), мкс
Метод LCPFCT
время расчета одного узла1), мкс
20X20
40X40
80X80
6,8
17,0
54,1
3,8
8,4
22,5
2,7
5,9
17,1
13,3
31,3
93,7
33,3
19,6
14,6
13,6
33,9
108,1
34,0
21,2
16,9
20X20
40X40
80X80
6,8
17,0
54,1
3,8
8,4
22,5
2,7
5,9
17,1
13,3
31,3
93,7
33,3
19,6
14,6
13,6
33,9
108,1
34,0
21,2
16,9
’) На одном шаге по времени.
зительно столько же машинного времени, сколько идет на расчет полушага по времени по явной схеме FCT.
Некоторые обилие замечания
Метод BIC—FCT имеет более широкую область применения, чем расчеты медленных течений; он пригоден как единственный точный метод в диапазоне от почти несжимаемых до дозвуковых течений. Представляется также, что этот метод легче и лучше применять и для более быстрых течений, поскольку он позволяет рассчитывать акустические моды. Как показал Патнейк, когда временной шаг уменьшается до предела, определяемого для явной схемы скоростью звука, данный алгоритм позволяет приемлемым образом решать задачу Римана, обсуждавшуюся в разд. 9-2.
Параметр 0, определяющий степень неявности схемы, играет важную роль в тех случаях, когда звуковые волны и колебания давления существенны. Патнейк показал, что затухание пренебрежимо мало для длинноволновых возмущений при таких временных шагах, когда 6 = 0,5 и число Куранта, вычисленное по скорости звука, не превосходит значения 2. Дисперсия и затухание становятся существенными для чисел Куранта, превышающих значение 5, вне зависимости от значения 0. Когда звуковые волны не существенны, параметр 0 можно положить равным единице.
9-3.3. Несколько неявных алгоритмов
Описанные выше метод расчета медленных течений и неявный вариант метода FCT являются лишь примерами многочисленных подходов к решению уравнений гидродинамики в режиме
медленного течения. Методы расчета медленных течений фактически являются асимптотическими методами, а неявный метод FCT является неявным лишь в том смысле, что только два решающих члена в уравнениях рассчитываются неявно. Однако большинство методов, применяемых в настоящее время для расчета режимов медленного течения, являются полностью неявными. Здесь целесообразно описать несколько таких методов. Мы рекомендуем для более детального ознакомления книгу Андерсона и др. [2], содержащую обширные ссылки по блочно-неявным методам, а также статью Вестбрука [60], в которой излагаются основы методов ICE и RICE.
Блочно-неявные методы
Блочно-неявные методы разрабатывали Линдемус и Киллин [28], Мак-Дональд и Брайли [31], Бим и Уорминг [3, 4], Уор- минг и Бим [59] и Брайли и Мак-Дональд [5—7] для расчета нестационарных уравнений Эйлера и Навье—Стокса, описывающих течения сжимаемой жидкости. Обычно эти методы имеют первый и второй порядок точности по времени и являются весьма устойчивыми. Здесь будет кратко описан метод Бима и Уор- минга.
Исходными для метода Бима и Уорминга являются уравнения сохранения массы, импульса и энергии, записанные в матричной форме через векторную переменную и, как это делалось в случае алгоритма Лакса—Вендрова в разд. 9-1.1. Здесь будут сохранены вязкие члены, входящие в уравнения Навье—Стокса. Эволюция вектора решения и со временем определяется формулой
+ (щ;) ^ А""1и + О [ (0,-1-е,) (ДО2 + (АО»] . (9-3.21)
Соответствующий выбор 01 и 02 приводит к стандартным разностным методам. Например, при 61 = 02 = 0 получается явный метод Эйлера первого порядка точности. Значения 01 = 1 и 02 = 0 дают неявный метод Эйлера также первого порядка точности по времени. Чаще всего используются значения 01 = 1, 02=1/2, которые соответствуют трехточечному неявному методу с односторонними разностными производными назад, имеющему второй порядок точности по времени.
Процедура получения разностных формул заключается в применении уравнения (8-3.21) к выраженимя для и и в линеаризации нелинейных членов. Например, получаются выражения вида
A”fy = AxA»u + О [(AZ)2], (9-3.22)
где Ху определяется так же, как в разд. 9-2, А — матрица Якоби. В результате получается система уравнений с блочно-трехдиагональной матрицей, которая решается методами ADI, обсуждаемыми в разд. 11-3.
Обаяши и Фуджии [35] разработали блочно-неявный метод для решения многомерных уравнений Навье—Стокса, используя метод векторного расщепления потоков, описанный в разд. 9-2. Они разделили потоки на составляющие, идущие влево и вправо, и каждую из этих составляющих рассчитывали неявным образом. В результате по соответствующим направлениям получаются уравнения с бидиагональными матрицами вместо трех- или пятидиагональных матриц, как в обычном случае. Для различных пространственных направлений вновь применяются методы ADI. Рассмотренный метод имеет первый порядок точности. В этом методе монотонная коррекция не предпринималась, хотя приемы, упрощающие расчеты по неявным формулам, были бы, вообще говоря, полезны.
Неявные методы с решением задачи Римана
Несколько явных методов, включающих в качестве элемента решение задачи Римана, были переработаны в неявные. К таковым относятся метод MUSCL, обобщенный Малдером и Ван- Леером [33], метод PPM, обобщенный Фрикселлом и др. [14] и неявный TVD метод Ии и Хартена [61] и Ии и др. [62]. Эти методы устойчивы и имеют первый или второй порядок точности. Неявные методы TVD были применены к расчету задач об установившихся течениях. Метод, описанный Фрикселлом, особенно интересен тем, что в нем возможен плавный переход от явных к неявным формулам, как это имеет место в методе BIC—ЕСТ. Эти новые методы здесь детально не обсуждаются. Для заинтересованного читателя ссылки были приведены выше.
Неявный метод Мак-Кормака
Явный метод Мак-Кормака имеет два шага — предиктор и корректор. Неявная версия этого алгоритма может быть представлена как имеющая два этапа, хотя при фактическом программировании метода они могут быть скомбинированы в один (Мак-Кормак [30]; см. также Андерсон и др. [2]). Первый этап представляет собой явный метод Мак-Кормака. Второй неявный этап имеет целью снять ограничения, связанные с устойчивостью. Получающиеся в результате уравнения имеют верхнюю или нижнюю блочные бидиагональные матрицы и поэтому решение здесь получается легче, чем в случае трехдиагональной матрицы. Метод является безусловно устойчивым и имеет второй порядок
точности по времени и по пространству. Окончательное решение зависит от величины шага по времени At При практической реализации с этим связаны некоторые проблемы. Однако, если М выбрать достаточно малым, то метод оказывается сходящимся.
Методы ICE и RICE
Неявный эйлеров метод для расчета непрерывных течений (ICE), который разработали Харлоу и Эмсден [19], служит основой ряда методов, развиваемых главным образом в Лос- Аламосской Национальной лаборатории. Последние включают в себя метод RICE [49], являющийся обобщением метода ICE для расчета течений реагирующих сред [8] и процессов горения [60]. Другим обобщением явилась комбинация метода ICE с произвольным методом Лагранжа—Эйлера (ALE) [20], названная методом ICED—ALE [1]. В настоящее время применяется несколько других вариантов метода ICE.
В первоначальном варианте метода ICE уравнения неразрывности и импульса рассматриваются совместно и решаются одновременно с использованием уравнения состояния для связи изменяющихся со временем давления и плотности жидкости. После того как эти уравнения решены по неявной схеме, уравнение сохранения энергии решается по явной схеме независимо от уравнений сохранения массы и импульса. Здесь предполагается, что изменения давления в жидкости в каждой расчетной ячейке определяются главным образом изменениями плотности, в то время как изменения давления, происходящие вследствие изменений внутренней энергии, температуры или за счет других физических процессов, относительно малы. Это может быть справедливо для задач, в которых скорости передачи энергии и энерговыделения невелики. Если изменение внутренней энергии мало, то окончательная поправка к давлению, получающаяся из решения уравнения энергии, также будет мала. Тогда изменения давления, определяемые изменениями плотности и используемые при решении уравнений течения жидкости, оказываются хорошим приближением при вычислении этих величин.
Однако данное предположение не всегда справедливо. Анализ, проведенный Казулли и Гринспаном [9], показывает, что скорее должны совместно рассматриваться уравнения для энергии и импульса, а не уравнения для плотности и импульса. Плотность внутренней энергии может изменяться в результате быстрого энерговыделения в жидкости. В некоторых случаях метод ICE может быть соответствующим образом видоизменен для решения таких задач. Например, Ремшоу и Трепп [44] использовали уравнение энергии, рассчитываемое явным образом по времени, для определения изменений давления на шаге по времени,
обусловленных обменом энергией в двухфазных течениях. О’Роурк и Бракко [36] использовали уравнение для скорости энерговыделения при химической реакции, рассчитываемого явно по времени, для расчета изменений давления в задачах о течении реагирующей среды.
В большинстве задач для процессов горения расчеты гидродинамических величин реагирующей жидкости усложняются тем обстоятельством, что быстрые экзотермические химические реакции происходят в отдельных частях того объема, в котором рассматривается процесс горения. Поскольку соответствующие члены в уравнениях сохранения, определяющие потоки массы и импульса, при неявной формулировке зависят от того, насколько точно рассчитывается изменение давления со временем, то важно все эффекты, которые существенно влияют на давление, включить во взаимосвязанные уравнения гидродинамики, представляемые в неявной форме. Отметим, что именно по этой причине первоначальный метод ICE приводил к систематическим ошибкам.
Вестбрук [60] описал обобщение метода, которое исключает такие ошибки и поэтому позволяет применять рассматриваемый метод к более общим проблемам горения. В данном обобщении учитывается зависимость давления от других величин помимо изменений плотности и добавляются операторы, также отделенные от уравнений для плотности и импульса, чтобы учесть уравнения химической кинетики и переноса химических компонентов.
Метод SIMPLE
Полунеявный метод для расчета уравнений, завязанных через давление (SIMPLE), разработали Патанкар и Сполдинг [41]. Он пригоден для расчета дозвуковых течений и течений несжимаемой жидкости и относительно прост в использовании. Работа Андерсона и др. [2] рекомендуется для более детального ознакомления с этим методом по сравнению с тем, что представлено ниже. Более детальные обсуждения приведены также в книге Патанкара [39]. Указанный метод, сильно уступая имеющимся наиболее точным методам, в то же время очень часто применяется в инженерных расчетах задач о течениях реагирующих сред.
Метод основан на проведении серии этапов типа предиктор — корректор. Вначале определяются предварительные величины Р° и V0, а затем корректирующие члены Р' и Vх, так что
р = ро + р^ V = V° + V'. (9-3.23)
Поправки к скорости связаны с Р' через уравнение импульсов
V'- — АхР\ (9-3.24)
где Л равняется приращению времени, деленному на плотность. Комбинируя эти два соотношения и подставляя их в уравнение неразрывности, получим
V2P' = ^-V-V0.(9-3.25)
Это уравнение затем решается относительно Р\
Обновленные величины, которые используются на новом этапе предиктора в следующей итерации, вычисляются по конечноразностным формулам
.р = ро + р^
^х^^х 2Дх ^t+1*7^1-1» /)»(9-3.26)
= ^У 2Д^ ь 7+17-1^
Процедура нахождения решения включает следующие этапы:
Задается некоторое распределение Р° на сетке.
Решаются уравнения импульсов и находится V0.
Решается уравнение для VP' и находится Р'.
В соответствии с уравнением (9-3.26) проводится коррекция давления.
Найденные на предыдущем этапе предиктора значения Р° и V0 заменяются на новые значения Р и V, и вся процедура повторяется, начиная с шага 2, до тех пор, пока процесс нахождения решения не сойдется.
При использовании этого алгоритма в том виде, как он здесь представлен, часто возникают трудности со сходимостью решения, в особенности тогда, когда рассматриваются сложные течения реагирующей среды. В методе SIMPLER, символ R в названии которого обозначает «исправленный», сделана попытка устранить этот недостаток за счет введения релаксационного параметра в выражение для давления
p_p'_vapP\(9-3.27)
Величина V рассчитывается таким же образом, как в методе SIMPLE, а значения Р' могут быть приближены к правильной величине в зависимости от выбора релаксационного параметра [40]. Возможности этих методов в отношении надежного расчета градиентов сильно ограничены.
9-3.4. Лагранжевы методы
В этой главе затрагивалась главным образом гидродинамическая сторона рассматриваемых алгоритмов и обычно игнорировался вопрос о сетке, на которой эти алгоритмы реализуются.
Хотя имеется возможность использовать ряд этих алгоритмов в рамках лагранжева подхода, здесь основное внимание было уделено приложениям с эйлеровым представлением. Тем не менее в общем случае большинство из описанных алгоритмов можно применять на произвольной сетке.
Алгоритмы, описанные в следующей главе, предназначены для решения той же самой системы гидродинамических уравнений, которая приведена в разд. 9-1, но разработаны в рамках лагранжева подхода. В одномерном и особенно многомерном случаях лагранжевы алгоритмы расчета переноса тесно связаны с геометрией задачи и движением сетки. Очень часто, как это будет видно в разд. 10-2, фактически невозможно разделить их. Три метода из тех, что будут представлены в следующей главе, можно было бы привести в данном разделе, посвященном методам расчета медленных течений. К ним относятся одномерный метод ADINC (разд. 10.-), метод с произвольной связностью треугольной сетки (разд. 10-2) и методы, учитывающие динамику вихрей (разд. 10-4). Методы квазичастиц, изложенные в разд. 10-3, пригодны главным образом для расчета сжимаемых течений. Метод «монотонной лагранжевой сетки» (разд. 10-5) представляет собой другую конструкцию при использовании лагранжевых данных, которая имеет потенциальные возможности использоваться в лагранжевых методах расчета уравнений гидродинамики.
ЛАГРАНЖЕВЫ МЕТОДЫ
На первый взгляд кажется, что методы, использующие подход Лагранжа, имеют значительные преимущества перед методами, использующими эйлерово представление. Их важнейшее преимущество состоит в исключении численной диффузии при решении уравнения неразрывности. В системе координат, движущейся с местной скоростью V, адвективные члены непосредственно не появляются в уравнениях. При записи в лагранжевой форме одного уравнения неразрывности
$=%+v-^=-^-v (ю-o.i)
приводящий к трудностям адвективный член не приходится дифференцировать, и уравнение оказывается проще. Это лагранжево уравнение сохранения еще более упрощается, когда жидкость несжимаема, т. е. V • V = 0.
Таким образом, лагранжева формулировка уравнений гидродинамики привлекательна для численных расчетов. Каждый отдельный элемент жидкости эволюционирует через посредство локальных взаимодействий с изменяющимися окружающими элементами и под воздействием внешних сил. Здесь отсутствует нефизичная численная диффузия, возникающая при протекании жидкости через границы расчетных ячеек. Кроме того, траектории элементов жидкости сами по себе создают визуализацию течения. Лагранжевы методы естественно использовать при рассмотрении задач гидродинамики со свободными поверхностями, поверхностями раздела сред и другими четкими границами.
На практике при численном моделировании лагранжевы методы обычно ограничены «хорошо ведущими себя» течениями. При сдвиговых и отрывных течениях или даже при течениях с большими возмущениями возникают сильные искажения лагранжевой сетки вследствие того, что в процессе расчета узловые точки лагранжевой сетки могут удаляться достаточно далеко от ближайших к ним соседних точек. Когда дифференциальные операторы аппроксимируются конечно-разностными операторами на сильно искаженной сетке, представление производных становится неточным. Можно вернуть утраченную точность за счет
проведения интерполяции физических величин на новую, более регулярную сетку, но такая интерполяция приводит в расчете вновь к нежелательной численной диффузии.
Другая трудность возникает, когда лагранжевы методы применяются для расчета течений сжимаемой среды. Уравнение энергии запишем в простой форме:
^ = -V(£V)-V(PV),^ = -V(£V)-V(PV),(10-0.2)(10-0.2)
^ = -V(£V)-V(PV),
^ = -V(£V)-V(PV),
(10-0.2)
(10-0.2)
где для идеального газа
(10-0.3)
Введение новой скорости
(10-0.4)
совпадающей по направлению с V, приводит уравнение (10-0.2)
к виду
(10-0.5)(10-0.5)^ = _V.(£V*).
(10-0.5)
(10-0.5)
Оно имеет тот же вид, что и уравнение сохранения массы (10-0.1), но в этом уравнении скорость ¥*=£¥. Сетка, двигающаяся со скоростью ¥, является лагранжевой для плотности, но не является таковой для энергии, и, соответственно, сетка, двигающаяся со скоростью V*, является лагранжевой для энергии, но не для плотности. Хотя лагранжева сетка движется вместе с жидкостью, имеет место существенный перенос импульса и энергии через сетку, как и в случае, когда сетка неподвижна. Таким образом, эти величины подвергаются численной диффузии даже в случае лагранжевой сетки. Уравнения, описывающие течения сжимаемой реагирующей среды, обычно решаются одновременно, поэтому не всегда возможно полностью избежать некоторых моментов эйлерова подхода в таких задачах.
В этой главе обсуждается ряд методов, использующих лагранжев подход. Вначале описываются одномерные и двумерные конечно-разностные методы применительно к уравнениям (9-1.1) — (9-1.3), записанных в обычных гидродинамических переменных. Далее рассматриваются метод квазичастиц и метод динамики вихрей. Оба эти метода основаны на введении движущихся моделирующих частиц. В динамике вихрей используются
выражения (9-1.4) — (9-1.6) для вектора вихря и скорости. Глава завершается кратким описанием основных идей, на которых строится монотонная лагранжева сетка, являющаяся потенциально полезной структурой данных при лагранжевом представлении.
10-1. Одномерный лагранжев метод
Здесь описывается лагранжев алгоритм расчета адиабатических и несжимаемых течений ADINC [5], предназначенный для решения уравнений сохранения массы, импульса и энергии в общем случае одномерных течений газа. Неадиабатические процессы учитываются добавлением к основному модулю специальных модулей, использующих расщепление шагов по времени. Первоначальной целью была разработка очень точного алгоритма расчета переноса без численной диффузии для моделирования нестационарного распространения одномерного пламени (см., например, работы [28, 29]). Однако данный алгоритм расчета переноса не ограничен задачами горения и применяется к задачам управляемого термоядерного синтеза [5, 12].
В некоторых системах представляющие интерес физические процессы мало изменяются за время, которое требуется звуковым волнам для того, чтобы пройти всю систему. Тем не менее, здесь имеют место существенные сжатия и расширения, которые делают предположение о несжимаемости среды неверным. Для этого класса задач требуется рассчитывать звуковые волны неявным образом, как это обсуждалось в гл. 9. В других системах необходимо сохранять довольно резкие границы раздела между областями с различными веществами или различными температурами, причем жидкости взаимодействуют через такие границы. Эти случаи требуют лагранжева описания, так чтобы точное положение границы раздела было известно в любой момент времени. В эйлеровых расчетах такая граница оказывается размазанной на несколько ячеек из-за численной диффузии. В некоторых задачах нефизичное размазывание зон больших градиентов может быть терпимо, в других, таких, как распространение пламени, оно не приемлемо.
В неявном лагранжевом алгоритме ADINC решаются обе эти проблемы. В нем допускается использование уравнения состояния общего вида и сложные граничные условия. Рассчитываются акустические волны большой амплитуды, а неидеальные эффекты могут быть учтены с помощью модулей, использующих расщепление шага по времени. В гл. 13 описывается одномерная модель ламинарного пламени, в которой используется метод ADINC.
10-1.1. Основные уравнения
В одномерном случае плотность, импульс и энергия удовлетворяют следующей системе уравнений в форме Лагранжа:
| = _pV.V,(10-1.1)
£ = °>(10-1.2)
dV
P^-VP.(10-1.3)
Здесь уравнение энергии исключено посредством использования условия изэнтропичности. В этой ограниченной системе уравнений гидродинамики не учитываются эффекты вязкого нагревания при ударных волнах. Уравнение (10-1.2) показывает, что энтропия s постоянна в каждом элементе жидкости, ограниченном лагранжевыми границами раздела. Неизэнтропические процессы, такие, как нагревание за счет внешних источников, теплопроводность или химическое выделение энергии, могут быть дополнительно учтены с помощью модулей, использующих расщепление шага по времени, как это показано в гл. 13.
Предполагается, что уравнение состояния для каждой расчетной ячейки имеет вид
р(Р, s, ...) = PcW/sYh.(10-1.4)
Когда рс = 0, уравнение (10-1.4) справедливо для адиабатического сжатия и расширения идеального газа; обычно показатель у заключен в диапазоне 1,2^у^1,7. При рс=#0 это уравнение состояния адекватно описывает средне сжимаемую жидкость. Например, для воды рс=1 г/см3 и s = 2,5-10n см/с2. Таким образом, при такой грубой модели давление в 25 ГПа (2,5- 10й дин/см2) создает значительное сжатие. Уравнение (10-1.4) может быть заменено на более сложные уравнения состояния для твердых тел и жидкостей. На шаге по времени величины рс, у и s считаются постоянными и учитывается только изменение р в зависимости от Р. Вместо обычного подхода, в котором Р находится через р, в алгоритме ADINC величина р вычисляется по заданному Р, а температура в расчетах не участвует. Значение плотности, найденное из уравнения состояния, сравнивается со значением плотности, полученным из уравнения (10-1.1). Разность этих значений принудительно сводится к нулю за счет изменения положений границ расчетных ячеек, осуществляемого при помощи квадратично сходящегося итерационного процесса.
Уравнение состояния берется в форме р(Р, s, ...) по двум причинам. Во-первых, плотность для жидких и твердых тел яв-
ляется гораздо менее чувствительной функцией давления, чем давление как функция плотности. В итерационном процессе естественно ожидать некоторых конечных ошибок в значениях давления и плотности. При использовании уравнения состояния в форме Р(р, s,...) ошибки в плотности приводят к большим флуктуациям в давлении. Для газов и плазмы две эти формы уравнения состояния имеют примерно одинаковую точность. Во-вторых, данный алгоритм может использоваться для отслеживания поверхностей раздела, например, между газом и твердым телом. На таких поверхностях давление непрерывно, а плотность изменяется скачком. Следовательно, конечные разности по давлению в вычислительном смысле более точны, чем математически эквивалентные им разности по плотности.
Л dP урРЛ dP урРВ алгоритме ADINC используется квадратично сходящийся итерационный процесс решения уравнений (10-1.1) — (10-1.3), который дает улучшенное приближение для давления. В итерациях используется производная dN.]dP
Л dP урР
Л dP урР
(10-1.5)
где Л — объем расчетной ячейки.
Чтобы окончательно представить систему уравнений, требуется задать систему координат для рассчитываемого течения. Алгоритм ADINC позволяет использовать четыре типа координат: декартовы, цилиндрические, сферические и координаты, основанные на степенных функциях, или «сопловые» координаты. На рис. 10-1 показан общий вид одномерной расчетной области с переменной площадью поперечного сечения А (г). Объем области находится по формуле
Л(г)= А (г') dr'.rLЛ(г)= А (г') dr'.rL(10-1.6)(10-1.6)
Л(г)= А (г') dr'.
rL
Л(г)= А (г') dr'.
rL
(10-1.6)
(10-1.6)
10-1.2. Вычислительный алгоритм
Типичная расчетная область для алгоритма ADINC, показанная на рис. 10-1, состоит из N ячеек, имеющих объемы {Az}, i=2,3,..., Лг+1 и ограниченных поверхностями раздела с площадью {A,}, i = 1,..., ^+1. Поверхности раздела расположены в точках {г,}, i=l,...,А+1, причем Ai=A(ri), где А(г) — функция, определяемая выбором системы координат. Объемы ячеек Л=Л(г;)—Л(гг-1) являются разностями объемных интегралов (10-1.6) при двух значениях координат границ ячейки. Положения центров ячеек, расположенных между г,—i и л,
Рис. 10-1. Общий вид одномерной области с переменной площадью поперечного сечения А (г) для лагранжева алгоритма ADINC.Рис. 10-1. Общий вид одномерной области с переменной площадью поперечного сечения А (г) для лагранжева алгоритма ADINC.
Рис. 10-1. Общий вид одномерной области с переменной площадью поперечного сечения А (г) для лагранжева алгоритма ADINC.
Рис. 10-1. Общий вид одномерной области с переменной площадью поперечного сечения А (г) для лагранжева алгоритма ADINC.
могут быть определены по формуле
^=^5^'.(10-17)
Первая физическая ячейка в расчетной области соответствует номеру t = 2 и лежит между границами с координатами ri и г2. Последняя физическая ячейка соответствует номеру i = = ^+l и лежит между границами с координатами rN и ^+ь Поверхность с номером 1 является левой границей при ri = r£, а поверхность с номером Af+l является правой границей при rN^ = rR. Все эти границы раздела ячеек являются лагранжевыми и, следовательно, скорости этих границ {yj и их положения {rj должны алгоритмом продвигаться по времени в соответствии с изменением значений давления и плотности в ячейках. Скорость на левой границе v£=vi, а скорость на правой границе v^=v^+i. Положения внутренних границ ячеек и их скорости определяются интегрированием от момента времени / до момента времени £+Д/, а их значения на границах рассм-ат- риваемой системы являются заданными.
Координаты границ ячеек {rj удовлетворяют уравнению
^ = Уй(10-1.8)
которое в дискретной форме записывается следующим образом:
(10-1.9)(10-1.9)г? = г?+А/ [ег9? + (1 — ег) у"] •
(10-1.9)
(10-1.9)
Верхний индекс п отмечает переменные в новый момент времени t-\-M, а верхний индекс 0 — переменные в предыдущий момент времени t. Значение параметра ег характеризует степень явности схемы для расчета положений границ ячеек и заключено в диапазоне 0<8г<1. Когда ег<1, схема неявная. При 8г=1/2 схема центрированная по времени и номинально наиболее точная. Для того чтобы брать большие шаги по времени, необходимо использовать значения ег<1/2, при которых алгоритм будет устойчивым. При ег = 0 схема полностью неявная. Это наиболее устойчивый алгоритм, но он имеет только первый порядок точности. Параметр ег можно изменять от ячейки к ячейке и от шага к шагу по времени.
Уравнение импульса (10-1.3) для определения скорости границ ячеек дает
du, dF =du, dF =гр. яч. iгр. яч. i(10-1.10)(10-1.10)
du, dF =
du, dF =
гр. яч. i
гр. яч. i
(10-1.10)
(10-1.10)
где плотность и градиент давления должны вычисляться на границах ячеек. Проводя дискретизацию, получим
и" =^ ——(Р?+1—Р*()— тЦ^^-^Рм—PiY (10-1.11)
1 <pAr>/ + 1/2v 1+117<pAr>z+1/2v u v 7
Здесь ev — параметр, характеризующий степень явности схемы для скорости границ ячеек. Он имеет те же свойства, что и вг. Хотя ev и 8г могут различаться, обычно используются их равные значения. Осредненная масса, приписываемая к границе ячеек и обозначаемая <pAr>z+i/2, определяется как среднее и по пространству, и по времени. При таком определении среднего <рАг>ж/2 дискретизация уравнения (10-1.11) нечувствительна к вычислительным ошибкам, возникающим при больших разрывах плотности, которые могут иметь место на границах раздела сред.
На рис. 10-2 показаны две ячейки с номерами I и t+1, между которыми находится поверхность раздела с номером L Значения давления Pi и Рщ определяются, как показано, в центрах ячеек с координатами Ri и Ri-н, а значения плотности pi и p/+i предполагаются постоянными в соответствующих ячейках. Поскольку значения р, и pz+i различаются, использование линейной аппроксимации для вычисления градиента давления на интервале от Ri до Rw означает, что локальное ускорение для жидкостей, находящихся справа и слева от границы раздела ячеек i, будет различным. Если среде позволить двигаться с такими различными ускорениями, то области жидкости справа и слева от границы раздела ячеек будут либо набегать друг на друга, либо удаляться друг от друга за короткий промежуток времени. Чтобы предотвратить такую ситуацию, для 4-й
(/+1)-я ячейка(/+1)-я ячейка/-я ячейка/-я ячейкаРис. 10-2. Граница раздела i между Лй иРис. 10-2. Граница раздела i между Лй и(<+1)-й ячейками. На диаграмме
(/+1)-я ячейка
(/+1)-я ячейка
/-я ячейка
/-я ячейка
Рис. 10-2. Граница раздела i между Лй и
Рис. 10-2. Граница раздела i между Лй и
схематично показан алгоритм расчета ускорения на этой границе, используемый в одномерном методе ADINC.
поверхности раздела вводится фиктивное давление Pt*, которое определяет профиль давления, состоящий из двух прямых линий, и при котором ускорение жидкости на границе раздела ячеек, вычисленное слева, равняется ускорению, вычисленному справа. Такая величина давления находится по формуле
(10-1.12)
+ ч
где
Используя корректную дискретизацию осреднения величины <рДг>ж/2, можно исключить из дальнейшего рассмотрения значения давления {Л*} на поверхностях раздела. Осреднение, которое обеспечивает такую стыковку ускорений, представляется формулой
< р Ar >t + v 2 = р,.+i (R,+i—г,) 4- р,. (г,—Rt)(10-1.14)
и определяет пространственную часть среднего.
В формуле (10-1.14) еще должно быть проведено соответствующее осреднение по времени. В методе ADINC оно выполняется следующим образом:
<рДг\+ i/2^[pf+1(^+i-^) + p?(r?-^)],(10-1.15)
где индекс р указывает на самое последнее проитер-ированное приближенное значение при расчете нового значения переменной, в данном случае pin. Верхний индекс h отмечает точное значение среднего на «полушаге по времени», причем
rh^^^A-r^ R^^RHR^. (10-1.16)
Возможно, это не самый лучший способ осреднения. Свободу выбора, остающуюся в этой части расчета, можно было бы использовать для дальнейшего улучшения точности схемы. Однако пока еще в расчетах не обнаружено каких-либо трудностей, возникающих вследствие данного конкретного выбора способа осреднения.
Приведем теперь вывод разностного уравнения для Р^ имеющего трехдиагональную матрицу. Уравнение импульсов- (10-1.11) может быть представлено в упрощенном виде
^-^-^(Р^-РУ), i=i,...,N (10-1.17)
(10-1.18)(10-1.18)за счет введения вспомогательных величин
(10-1.18)
(10-1.18)
О __1 Sy)
1 “ <р Дг>/ + 1/2 *
Новое значение объема ячейки Ап/,ур.с, рассчитанное по уравнению состояния с использованием нового значения давления, должно равняться новому значению объема ячейки Л^,г, рассчитанному по уравнениям гидродинамики и определяющемуся смещением границы ячейки вследствие этих новых неявно связанных с ним значений давления. В результате проведения последовательных итераций, отмечаемых индексом р, разность
ДЛ^Лрур.с(Рр, s,-, .. .)-Af,r({rf})(10-1.19)
должна стремиться к нулю. При стремлении Р? к Pin изменяются оба члена в формуле (10-1.19). Величина г,р сходится к Tin как функция давления в соответствии с уравнениями (10-1.17) и (10-1.9). Алгоритм Ньютона — Рафсона, дающий квадратичную сходимость итераций, применяется для получения искомого решения в момент времени /+Д/, т. е.
...) = Л?,г({г?}). (10-1.20)
Разность между значением NPi.t, которое известно на каждой итерации, и искомым значением Anz,r=Az,yp.c=Ai" можно записать через площади поверхностей раздела между ячейками и искомые новые значения скорости этих лагранжевых по-
верхностей раздела. Тогда
Л?-Л^(1-8г)А/[А?(о?^^(10-1.21)
Такое же рассмотрение, но с использованием уравнения состояния, дает
Л?-Л? ур.с« (Р^-РП |£ |^ с.(10-1.22)
•Обозначая
dt = — (1 — er) AM?, df = — (1 — ег) АМ?_Ь (10-1.23) лз формулы (10-1.21) получим
Л?-Л? r« dr ^-^Hdr ^-v^,).(10-1.24)
Приравнивая Л? в соотношениях (10-1.22) и (10.1.24), будем иметь
/SAH^-Pn^ ур. с~-dt (ИМ М-г-^). (10-1.25) 'Обозначим
c^pt(Ю-1.26)
Тогда уравнение (10-1.25) примет вид
р" |"ур. = + dtVt-dT^-x~ с,.(10-1.27)
Таким образом, получено неявное линейное уравнение с трехдиагональной матрицей. Оно должно решаться для новых значений давления {А"}. Для исключения {уМ через VP^ ‘используется уравнение (10-1.17). В результате уравнение (10-1.27) принимает вид
-Р"^\91, ур. С + d‘- ta”^ ^1-^-dr [az-^-i^-^-DW, •
(10-1.28)
Уравнение (10-1.28) представляет собой основное разностное уравнение с трехдиагональной матрицей, которое решается в алгоритме ADINC. Для его решения необходимо проведение итераций, поскольку уравнения (10-1.24) и (10-1.22) являются лишь приближенными равенствами. Итерации квадратично сходятся, поскольку на каждом шаге итераций пренебрегается только членами второго порядка малости.
При интегрировании уравнений гидродинамики в этом алгоритме предполагается, что движение каждой границы разде-
ла ячеек происходит в полном соответствии с лагранжевым* уравнением (10-1.8). Следовательно, изменение плотности на шаге по времени определяется просто изменением объема ячейки в соответствии с уравнением сохранения массы
р^А? = ^Mi = р°А?. (10-1.29>
В случае, когда требуется определить изменение во времени плотностей частиц отдельных компонентов, они также находятся с помощью соотношения (10-1.29).
10-1.3. Некоторые общие замечания
Точность и устойчивость данного лагранжева алгоритма основаны на предположении о том, что координаты границ раздела ячеек {rz} монотонно увеличиваются с ростом номера i ш что площади этих поверхностей раздела {А} положительны. Самый большой потенциальный источник неустойчивости в методе ADINC заключается в нефизмчном пересечении границ, ячеек. Это может произойти при больших шагах по времени, несмотря на то, что приведенный выше неявный алгоритм номинально устойчив для звуковых волн при произвольном шаге по времени.
Чтобы предотвратить пересечение границ ячеек, должно* дополнительно выполняться условие Куранта для скоростей течения {у,}, несмотря на то, что |у |<С(7^/р)1/2 всюду в газе. Если скорости {у^} становятся достаточно большими, то соседние границы {rj могут пересекаться, даже если первоначально выбранный шаг по времени должен был бы не допускать этого. Максимальный шаг по времени ограничен неравенством
А/< — min^-j-^y^^ , |у.|+б )) , i = 2,...,N. (10-1.30)
Здесь 6 — очень малое число, добавляемое к |у^| для предотвращения деления на нуль в уравнении (10-1.30). Это соотношение дает заниженные величины, так что обычно можно использовать большие шаги по времени.
Изменения координат границ ячеек рассчитываются с использованием в уравнении (10-1.9) средних значений скорости, вычисленных по ее новым и старым значениям. Поскольку шаг по времени должен определяться в начале цикла, то может случиться так, что для {у,0} он будет малым или равным нулю, в то время как для ^Vin^ он может быть большим. Обычно задаваемый пользователем максимальный шаг по времени удовлетворяет требуемому ограничению.
Пакет программ для выполнения алгоритма ADINC разработан таким образом, что его можно применять как. многие 26*
пакеты программ для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Программа сама выбирает шаг по времени и число итераций на каждом шаге таким образом, чтобы максимально увеличить скорость расчета и обеспечить нужную точность. Используя приведенный выше алгоритм для определения временного шага, программа ADINC циклически решает гидродинамические уравнения так часто, как это необходимо для проведения интегрирования на всем заданном интервале времени.
Для нахождения новых значений давления на каждом временном шаге (или подцикле) в программе ADINC осуществля- •ется сходящееся итерационное решение соответствующих уравнений с трехдиагональной матрицей. Применяемый критерий .сходимости для каждой ячейки имеет вид
1-^—^-L < 10“9 ^тэх (10-1.31) r max т /итт
тде Ртах — наибольшее давление в рассчитываемой системе, .Almax и Almin—максимальная и минимальная массы ячеек в ^системе. Условие (10-1.31) имеет эвристический характер, но работает хорошо. При использовании вышеприведенного условия для шага по времени сходимость по VPtn^ часто достигается за две итерации и почти всегда за три или четыре итерации. .Максимальное число итераций не превышает шести и обычно шри этом обеспечивается двойная точность.
Метод ADINC применялся для решения ряда одномерных задач о дозвуковых течениях. Благодаря применению лагранжева подхода этот метод должен быть более точным, чем эйлеров метод BIC—ЕСТ, описанный в гл. 9. Однако, метод BIC— ЕСТ позволяет рассчитывать ударные волны при малых шагах по времени, он обеспечивает сохранение энергии и может быть легко обобщен на неодномерный случай. Как далее будет показано, это невозможно реализовать для полностью лагранжева алгоритма, такого, как ADINC.
10-2. Сетки с произвольно связанными треугольными ячейками
В этом разделе описывается гидродинамический метод, основанный на использовании лагранжевой сетки с треугольными ячейками, кратко упоминавшейся в гл. 6 и применявшийся для решения двумерных уравнений, описывающих течения несжимаемой жидкости. Важной чертой этого метода является наличие произвольной связности или свободной лагранжевой сетки, что позволяет нерегулярно связанной сетке изменять свою связность в ходе расчета. Описанные в этом разделе алгоритмы
разработали Фриттс и Борис [17] и Файф и др. [20]. В книге под редакцией Фриттса и др. [19] суммируются результаты применения ряда методов со свободными лагранжевыми сетками и связанные с этим проблемы. Хотя описанный здесь метод служит для расчета течений несжимаемой жидкости, в него могут быть также включены основные принципы алгоритма расчета медленных течений, описанного в гл. 9. В таком случае этот двумерный лагранжев метод будет пригоден для расчета дозвуковых течений, в которых звуковые волны не должны представляться явным образом.
10-2.1. Сетка с треугольными ячейками
Рассмотрим двумерную область, разделенную сеткой на треугольные ячейки. На рис. 10-3 показана часть этой сетки, включающая поверхность раздела между жидкостью типа I и жидкостью типа II. На рис. 10-3, а вершины Vi, V2 и Уз треугольной ячейки с номером / связаны сторонами Si, S2 и S3. Направление обхода каждой треугольной ячейки, соответствующее увеличению индексов у вершин и сторон, соответствует движению против часовой стрелки. Ось z считается направленной перпендикулярно плоскости страницы. Так как ячейки сетки могут быть связаны нерегулярным образом, то в каждой вершине может сходиться произвольное число треугольников.
Определим ячейку, окружающую некоторую вершину так, как это показано на рис. 10-3, б в виде заштрихованной области вокруг вершины V3. Ячейки, центрированные в вершинах, или околовершинные ячейки, ограничены отрезками прямых (медиан), соединяющих центры тяжести каждого треугольника, расположенного около данной вершины, со средними точками двух сторон треугольника, идущих в эту вершину. При таком определении околовершинной ячейки площадь треугольника разделяется на три равные части при каждой из его вершин. Это обеспечивает простой способ вычисления конечно-разностных операторов. При других определениях, вообще говоря, требуются дополнительные расчеты для нахождения узловых точек околовершинной ячейки, что ведет к большим затратам при вычислении величин в ячейках.
Альтернативное определение околовершинной ячейки получается путем деления сторон каждого треугольника на две равные части. Перпендикуляры, восстановленные из середин сторон треугольников, пересекаются в точке, являющейся центром описанной окружности, проходящей через три вершины треугольника. Затем околовершинная ячейка конструируется как и прежде, но в качестве ее узловых точек вместо центров тяжести треугольников берутся центры описанных окружное-
Жидкость I
а
Рис. 10-3. Часть двумерной расчетной области, составленной из треугольных ячеек: а — граница раздела между веществами I и II показана линией со штриховкой слева. Типичная треугольная ячейка отмечена буквой /, ее вершины обозначены буквами V, а стороны — буквами S; б — заштрихованная область представляет собой околовершинную ячейку Г3. Она образуется отрезками прямых, соединяющих центры тяжести каждой треугольной ячейки со средними точками сторон двух прилегающих треугольников, связанных с этой вершиной. Такое же построение проводится для каждого треугольника около данной вершины.
тей. При таком определении околовершинной ячейки площадь треугольника делится таким образом, что часть площади, связанная с каждой его вершиной, содержит все точки треугольника, лежащие ближе к данной вершине, чем к двум другим. Такое определение интуитивно кажется разумным, поскольку ближе всего расположенное к вершине вещество связывается
вместе как часть околовершинной ячейки. Недостатком его является то, что узловая точка (центр описанной окружности) может оказаться вне самого треугольника.
Выше определенные околовершинные ячейки образуют сетку Вороного, если каждая такая ячейка -содержит все точки в области, которые лежат ближе к ее центральной вершине, чем к любой другой вершине сетки. При 'применении метода изменения связности сетки, который будет представлен ниже, надлежащая связность сетки автоматически приводит к центрированной сетке Вороного [18]. В этом случае сетка с треугольными ячейками является двойником сетки Вороного. И то, и другое определение околовершинной ячейки использует одну и ту же связность сетки и одни и те же вершины в своих вычислительных шаблонах.
10-2.2. Конечные разности на сетке с треугольными ячейками
Конечно-разностная аппроксимация производных на сетке с треугольными ячейками выводится из выражений для интегралов от градиента скалярной функции f и от дивергенции и ротора векторного поля V. В двумерном случае для декартовых координат имеют место выражения
^fdA=^ fdlxz, (10-2.1) А С
^•VdA=^V. (dlxz), (10-2.2) А С
$ ^xMdA = z^(V.d\\ (10-2.3) А С
где А — область, ограниченная кривой С, dl — вектор, направленный по касательной к контуру С и связанный с обходом этого контура против часовой стрелки, и z — единичный вектор, направленный по оси z. С помощью этих определений, используемых в консервативном методе конечных объемов, определения пространственных производных, приведенные ниже, были также обобщены на двумерный осесимметричный случай [14].
Величина, определяемая внутри треугольной ячейки, предполагается кусочно-постоянной в ней и имеющей разрывы на сторонах треугольника. Величина, определяемая в вершине треугольной ячейки, распространяется на треугольник кусочнолинейным образом и, следовательно, всюду непрерывна. При вычислении производной, определяемой внутри треугольной ячейки, стороны треугольника образуют кривую С, фигурирую-
Шую в интегралах (10-2.1) — (10-2.3). Интегралы по площади аппроксимируются как произведение площади треугольника на среднее значение производной в треугольнике. Контурные интегралы аппроксимируются с помощью правила трапеции, применяемого вдоль каждой стороны треугольника. Например, градиент скалярной функции /, определенной в вершинах треугольной ячейки, есть величина (V))/, определенная внутри треугольной ячейки и выражающаяся формулой
Aj (V/)/ = ^ h (г,- -1—г,-+х) х (10-2.4) i U)
Здесь г=(х,, у<)—вектор, составленный из координат i-й вершины, А, — площадь /-го треугольника, а сумма ^щ) берется по всем вершинам i для /-го треугольника. В представленном ниже тексте индекс i обозначает величины, определенные в вершинах треугольных ячеек, а индекс / обозначает величины, определенные внутри этих ячеек.
Для вычисления производной в вершине треугольной ячейки в качестве площади А используется площадь околовершинной ячейки. Интегралы по площади, стоящие в левых частях формул (10-2.1) — (10-2.3), аппроксимируются значением площади околовершинной ячейки, умноженным на значение производной в вершине. Контурный интеграл аппроксимируется с использованием значений функций в каждом треугольнике и соответствующего вектора длины в каждом треугольнике. Например, ротор векторного поля V в вершине с выражается формулой
Ас (V X V)c = 1^ | Vl +1/2 • (r/+1—rj] z. (10-2.5)
Здесь Лс= 7з2/(сИ/ — площадь околовершинной ячейки с, ^-Кс> — сумма по всем треугольникам, окружающим вершину с, Vw/a — значение вектора V в треугольнике, имеющем вершины с, I, i+1. Аналогично дивергенция вектора V в вершине с аппроксимируется выражением
Ав (V • V), = 1S V<+1/2 • [(г;+1-г;) х 2]. (10-2.6)
i (С)
10-2.3. Уравнения течения невязкой несжимаемой жидкости
Уравнения гидродинамики для невязкой несжимаемой жидкости в форме Лагранжа имеют вид
(10-2.8)(10-2.8)(10-2.9)(10-2.9)V-V = 0,
(10-2.8)
(10-2.8)
(10-2.9)
(10-2.9)
В двумерном случае предполагается, что плотность жидкости р, давление Р и скорость V являются функциями х, у и t. Величина fe равна внешним силам, приложенным к жидкости, например, силе тяжести. Уравнение (10-2.8), выражающее собой условие несжимаемости жидкости, исключает присутствие в системе звуковых волн.
Разумный выбор того, какие из физических переменных р, V и Р должны определяться в вершинах треугольных ячеек и какие — внутри треугольных ячеек, обеспечивает сохранение консервативных свойств системы. В течениях невязкой несжимаемой жидкости должна сохраняться завихренность. В численных расчетах это реализуется, если сохраняется циркуляция— интеграл по площади от вихря. Циркуляция определяется формулой (2-2.9). Завихренность будет сохраняться в том случае, если площадь каждого жидкого элемента будет вычисляться точно. Определение скоростей как величин внутри треугольных ячеек позволяет легко удовлетворить требованию сохранения циркуляции, а приписывание плотностей к самим треугольным ячейкам и давлений — к их вершинам позволяет сохранять площадь ячеек при вершинах. Такой выбор позволяет также использовать стороны треугольных ячеек в качестве линий раздела между различными веществами или фазовыми состояниями.
Вычисление скоростей проводится при помощи обратимого алгоритма с расщеплением шага по времени. Сначала рассчитываются скорости в треугольной ячейке на полушаге по времени по формуле
v)/-=v?-^-(vP);+^t„v)/-=v?-^-(vP);+^t„(10-2.10)(10-2.10)
v)/-=v?-^-(vP);+^t„
v)/-=v?-^-(vP);+^t„
(10-2.10)
(10-2.10)
где верхний индекс 0 отмечает величины, относящиеся к предыдущему шагу по времени. Начальное приближение для нового значения скорости в треугольной ячейке берется равным вычисленному выше значению
Уу» (0) = у1/2.
Затем проводятся итерации по схеме
(10-2.11)(10-2.11)V*/2-W = ^(V^ + V?-<»-“),
(10-2.11)
(10-2.11)
уI^- w = R ((х»}( |xn, (fe)}) vi/2>(10-2.13)
у». to = yV2'W_^L(VP)^-^ + ^-. fe,(10-2.14)
где k — номер итерации, R — матрица преобразования, которое появляется здесь из требования сохранения циркуляции (оно будет обсуждаться ниже). Значение скорости в вершине ¥;"'<») в формуле (10-2.11) получается по значениям Njn-w, определенным на предыдущей итерации, как среднее с весами, пропорциональными площадям ячеек:
2
117 V"
.(10-2.15)
2/(0^
Здесь Wj = 9jpjAj, 6/ — выраженный в радианах угол при г-вер- шине, деленный на л.
Значения давлений Ц\пА^ в уравнении (10-2.14) находятся из условия, что новые значения скоростей {У,”^)} должны отвечать нулевой дивергенции на новом шаге по времени, т. е. удовлетворять уравнению (10-2.8). Из уравнения (10-2.14) с учетом условия V-¥/”»<*> = 0 получается уравнение Пуассона для давления
fv-#(VP)^ *Л( = ^п' ^-Ч^'^-Цг^-^Л . (10-2.16)
Оба слагаемых в правой части этого уравнения легко вычисляются, поскольку дивергенция рассчитывается по величинам, определенным внутри треугольных ячеек. Следует обратить внимание на две особенности уравнения Пуассона (10-2.16). Во-первых, оно выводится, как и в непрерывном случае, из соотношения V2(p = V-V(p. Во-вторых, член, стоящий в левой части уравнения, в случае однородных жидкостей и регулярных сеток приводит к обычным шаблонам второго порядка точности для лапласиана.
10-2.4. Сохранение циркуляции
Подход, который здесь приводится в общих чертах, в основном совпадает с методом контрольного объема, использующим интегральную формулировку 'при выводе разностных формул. Уравнение (10-2.13), которое обеспечивает сохранение циркуляции в объемах ячеек при вершинах, является следствием такого подхода. Это уравнение отражает тот факт, что скорости внутри треугольных ячеек должны изменяться при вращении и растяжении сетки таким образом, чтобы сохранялась геометрическая совместимость. Преобразование R получается из рас-
смотрения циркуляции около каждой вершины. Поскольку скорости внутри треугольных ячеек постоянны, циркуляция, определяемая по границе ячейки при вершине, может быть рассчитана по формуле (10-2.5). Условие сохранения завихренности соответствует введению оператора R, который обеспечивает сохранение значения циркуляции около каждой вершины, когда лагранжево движение вершин вызывает изменение сетки.
Сохранение циркуляции требует, чтобы на каждом шаге по времени проводилась коррекция скоростей внутри треугольных ячеек {Vf+1/2}, так чтобы для каждой вершины с имело место равенство
2 Vj^-^^-rrw) =2 V,421/2.(r?+1-r?). (10-2.17) i (с) i (с
Так как это уравнение линейно относительно неизвестных {У^/зх^)}, изменение скоростей внутри треугольных ячеек можно получить из рассмотрения изменения, вызванного движением лишь одной вершины с, имеющей координату rc1/2>(fe), и суммирования полученного выражения по всем вершинам. Разумно предположить, что оператор поворота должен изменять скорости только в тех треугольных ячейках, у которых с является общей вершиной. Окончательно требуемое изменение скорости внутри треугольной ячейки при переходе от Vbvi^2^ к Vi+i/21/2’w выражается формулой
2ХДг?;<%дп, (&)2ХДг?;<%дп, (&)Гу,/2, — У*/2 , 1 Дгп’ ^ \ */ + 1/2*1+1/2/ ^ГСГу,/2, — У*/2 , 1 Дгп’ ^ \ */ + 1/2*1+1/2/ ^ГС
2ХДг?;<%дп, (&)
2ХДг?;<%дп, (&)
Гу,/2, — У*/2 , 1 Дгп’ ^ \ */ + 1/2*1+1/2/ ^ГС
Гу,/2, — У*/2 , 1 Дгп’ ^ \ */ + 1/2*1+1/2/ ^ГС
(10-2.18)
задавать незадавать негде Arf+i/2 = -y(ri+1—п). Величины b и с можно
задавать не
задавать не
сколькими различными способами. Например, если требуется сохранить значение дивергенции около вершины с, то следует ПОЛОЖИТЬ Сж/2= 1П+1—Г/| и 6 = 0.
Алгоритм в целом определяет обратимым образом изменения во времени положения вершин и значения скоростей при сохранении правильного значения циркуляции около каждой внутренней вершины. Преобразование R, задаваемое формулой (10-2.18), обратимо во времени, следовательно, уравнения (10-2.10) — (10-2.14) также обратимы. Рассмотренный подход уникален для лагранжевых методов, которые обычно либо полностью игнорируют требование сохранения циркуляции, либо сохраняют циркуляцию в итерационном процессе, проводимом
одновременно с итерациями по давлению. При данном подходе циркуляция сохраняется точно, независимо от того, итерируются ли давления и новые значения скорости для получения их окончательных значений. Такой подход делает лагранжев метод с треугольными ячейками эквивалентным методу динамики вихрей (изложенному в разд. 10-4), в котором около N2 суммирований скоростей проводится вместо приблизительно ^In^ решений уравнений Пуассона на лагранжевой сетке, определяемой положениями вихрей.
10-2.5. Вязкие течения
Уравнение (10-2.9) при учете вязкости принимает такой вид:
Р^+ТР = 1е + ^2У.(10-2.19)
Обусловленный вязкостью дополнительный член в этом уравнении импульсов дискретизируется таким же образом, как и другие члены. Поскольку скорость является величиной, определяемой внутри треугольной ячейки, вязкость требует, чтобы дискретный оператор градиента определялся в вершинах треугольника, а дискретный оператор дивергенции определялся внутри треугольной ячейки. Тогда имеем
4№ = ЙАн/, (r/+x-r,)xz,(10-2.20)
i (О
диверген-диверген-Aj ^ • V)/= у Б V/ • l(r1+i-n-i) Xz]. (10-2.21) t (/)
диверген-
диверген-
Лапласиан получается путем применения операции ции к градиенту.
Конечно-разностные уравнения (10-2.10) и (10-2.14) видоизменяются для учета дополнительного вязкого члена в уравнении импульсов и приобретают вид
v?1 - Ч " (VP)) + " f, +^' (V’V»,(10-2.22)
zpyzpy
yn, <*) = vi/2^)_^(vP)„>(*> + ^fe+^(v2^^^(10-2.23)
Эти уравнения являются неявными относительно скоростей и поэтому должны решаться итерациями.
10-2.6. Сохранение площадей околовершинных ячеек
Уравнения (10-2.10) — (10-2.14) неявны относительно скоростей внутри треугольных ячеек {V/"}. Поскольку эти уравнения! следует решать методом итераций, чтобы получить поле скоростей, отвечающее нулевой дивергенции, то обычно имеет' место ошибка невязки. Кроме того, скорости в вершинах получаются из скоростей внутри треугольных ячеек, отвечающих, нулевой дивергенции. На практике это приводит к тому, что* площади ячеек при вершинах не могут сохраняться точно, даже если дивергенция скорости равна нулю. Кроме того, по мере развития течения во времени стороны треугольных ячеек, неизбежно искажаются, даже если на каждом шаге по времени стороны треугольников предполагаются прямолинейными. При этом площадь у любой построенной околовершинной: ячейки не будет равна площади, которая получилась бы в результате «точного» учета искажения сторон треугольников. Однако, поскольку известно требуемое значение этой площади, то* можно итерациями скорректировать известную ошибку. Такая операция коррекции проводится в конце каждого шага по времени по мере того, как смещаются положения вершин. Оператор вращения, сохраняющий ротор, гарантирует, что эта коррекция не изменит циркуляции вокруг каждой вершины из-за ошибок вычислений. В то же время по-прежнему циркуляция может свободно изменяться в соответствии с физическими процессами.
Чтобы увеличить или уменьшить площадь околовершинной ячейки, площади окружающих треугольных ячеек должны увеличиваться или уменьшаться. Для изменения на величину ДЛ/ площади Л/ для /-го треугольника, имеющего координату вершины п, каждую вершину п надо сместить на величину
гГв — rz = Д rz = djz х (rz _ г—rz+j).(10-2.24)
Вершины смещаются в направлении, перпендикулярном противоположной стороне треугольника на расстояние, предписываемое множителем d^ который определяет увеличение или: уменьшение площади треугольной ячейки. Если dj положительно, площадь треугольной ячейки увеличивается. Используя векторное определение площади треугольника, получим
2^Aj = 2Afв—2Aj =
= [(г"+1—Г?ов) X (ВД—г?ов)] г +
+ [(r, + i—r,)x(rz —
= [(rz+1 — r;) X (Дг; _ f—Д r;+,)] • z +
+ [(Ar,+1 — Ar;) X (rz _ j — г,- + 0] • Z +
+ [Arz+!—Аг,) х (А г{ _ ,—Аг,+,)] • z =
= ^d^-6Ajd^(10-2.25)
где р2 — сумма квадратов сторон треугольника. Разрешая эти квадратное относительно множителя dj уравнение, получим
—Р4+484/ДЛ/
d/ =—^— •(10-2.26)
Знак перед квадратным корнем выбран так, чтобы множитель dj имел тот же знак, что и АЛ/.
Изменение площади треугольной ячейки АЛ/, обеспечивающее сохранение площадей околовершинных ячеек, находится из соотношения
==(10-2.27)
кп 1 im 1
Здесь суммирование проводится по трем вершинам треугольника, Ai — текущая площадь околовершинной ячейки i, Atc — первоначальная или «точная» площадь околовершинной ячейки I. Изменение площадей околовершинных ячеек распределяется по каждому прилегающему треугольнику, в соответствии с вкладом соответствующего треугольника в площадь этой око- .ловершинной ячейки.
Хотя такая коррекция площади имеет небольшой вычислительный эффект, возможность изменения треугольных ячеек целесообразна при моделировании других физических процессов. В задачах о течениях сжимаемой среды с медленным энерговыделением этот алгоритм воспроизводит требуемое расширение околовершинных ячеек.
10-2.7. Перестройка сетки
В неодномерных расчетах с использованием лагранжевых методов сетка может очень сильно искажаться. Если сетку не перестроить, расчеты на искаженной сетке дают очень большую погрешность и в конце концов станут неустойчивыми. Эта проблема решается изменением связности вершин, когда локальные искажения сетки уменьшаются за счет 'введения новых и уничтожения старых вершин. Имеется много способов формулировки алгоритма изменения связности. Один из путей, который здесь используется, основан на решении уравнения Пуассона для давления. Поскольку это уравнение решается итерациями, желательно, чтобы итерации сходились настолько быстро, насколько это возможно.
Рис. 10-4. Автоматическое изменение связности вершин в соответствии с усло^ виями, которые накладываются на углы треугольников, показанных на этих, двух фигурах.Рис. 10-4. Автоматическое изменение связности вершин в соответствии с усло^ виями, которые накладываются на углы треугольников, показанных на этих, двух фигурах.
Рис. 10-4. Автоматическое изменение связности вершин в соответствии с усло^ виями, которые накладываются на углы треугольников, показанных на этих, двух фигурах.
Рис. 10-4. Автоматическое изменение связности вершин в соответствии с усло^ виями, которые накладываются на углы треугольников, показанных на этих, двух фигурах.
Алгоритм изменения связности выбирается таким образом,, чтобы обеспечить положительность внедиагональных элементов: в конечно-разностной записи уравнения Пуассона. Внедиагональный коэффициент, связывающий вершину / с вершиной /,. имеет вид
a = l(ctg9- + ctg0+). (10-2.28)*
Здесь 6+ и О- — углы, расположенные напротив прямой, соединяющей вершину / с вершиной I, как это показано на рис. 10-4г а. Для треугольников с положительным значением площади 9+ и 0~ заключены между 0° и 180°. Таким образом, коэффициент а, определяемый по (10-2.28), отрицателен только тогда,, когда 0+ + 0~>18О°, поскольку
(10-2.29)(10-2.29)sin (0+ + О-)2 sin 0+ sin 0~
(10-2.29)
(10-2.29)
Если 0+ + 0~ больше 180°, то связность узлов сетки изменяется так, как показано на рис. 10-4,6. Новые углы 0'+ и 0,_ в сумме будут меньше 180°, поскольку сумма внутренних углов четырехугольника (0+-г0- + 0,++0,“) должна равняться 360°. Такой алгоритм изменения связности в первую очередь исключает большие углы в треугольных ячейках, поскольку при перестройке сетки выбирается диагональ, разделяющая наибольшие противоположные углы ячеек.
Алгоритм добавления в сетку новых вершин треугольных ячеек необходимо применять в тех местах, где в течении естественным образом исчерпываются вершины ячеек, где развивается новая структура течения, а также на поверхностях раз-
Рис. 10-5. Процедура устранения вершины 4.
дела веществ, которые не должны вновь связываться. При добавлении вершин легко достигается удовлетворение консервативных свойств. Вершина, добавляемая в центральной точке треугольника, делит этот треугольник на три треугольника меньшего размера. Вершина, добавляемая в середине стороны треугольника, делит два прилегающих треугольника на четыре меньших треугольника. Если значения скоростей в новых треугольных ячейках принимаются такими же, как скорости в разделяемых треугольниках, то все законы сохранения будут выполнены. Поскольку алгоритм изменения связаности также консервативен, последовательное изменение связности у других вершин гарантирует улучшение разрешения как единственный эффект при добавлении вершин.
Процедура устранения вершин треугольных ячеек не столь проста. Изменение связности может использоваться для окружения любой внутренней вершины большим треугольником. ’Хотя некоторые из ограничений на углы ячеек могут не удовлетворяться при полном окружении вершины, это не существенно, так -как эта вершина затем устраняется. Новому большему треугольнику приписывается скорость, которая представляет собой сумму значений скоростей в предыдущих треугольных ячейках с весами, пропорциональными их площадям, т. е.
АУ i — ^У "V AjVj -у АУк.(10-2.30)
Такая замена перераспределяет циркуляцию с соответствующей потерей локального разрешения. На рис. 10-5 показаны треугольные ячейки до и после устранения вершины. Если Хп представляет собой завихренность около вершины 4 до того, 'как эта вершина была устранена, то тогда завихренность около каждой из других трех вершин увеличивается на величины V» 'определяемые формулами
^ = АДп/Аи ^ = А^п/Аи ^ = A^JAV (10-2.31)
Завихренность при этом сохраняется, поскольку
^i + ^2 + ?з = ^п, Д- + А7- + А к — А v
Полная завихренность сохраняется, но она перераспределяется при устранении вершины треугольной ячейки. Такая процедура, следовательно, обладает сглаживающими, или диффузионными свойствами.
10-2.8. Некоторые общие замечания
Неодномерные лагранжевы алгоритмы не являются простыми для программирования или использования. Логика алгоритмов перестройки сетки в данном случае или перепланировки сетки (как это называется в других методах) является основной частью лагранжева алгоритма и она весьма сложна. Многие из алгоритмов, кажущиеся очевидными, требуют больших затрат времени для своей наилучшей реализации. Эти алгоритмы были включены как модули в пакет программ SPLISH и применялись при численном решении задач различных типов, таких, как течения около препятствий [35], течение при неустойчивости Рэлея — Тейлора [15], течение Куэтта и вихревое течение Тейлора [14]. Далее в гл. 13 будет рассмотрено конкретное приложение пакета программ SPLISH к расчету деформации и разрушения капли в многофазном течении.
10-3. Методы квазичастиц
Методы квазичастиц предназначены для решения задач переноса путем моделирования (с некоторой степенью приближения) поведения частиц, составляющих жидкость. Коллективное, непрерывное поведение жидкости получается как некое среднее по всем квазичастицам. Конечно, таких квазичастиц существенно меньше, чем реальных частиц в системе. В типичных случаях галактика, состоящая из 1011 звезд, моделируется 105 квазичастицами, а 1 см3 воды, состоящий из примерно 1022 частиц, моделируется 106 квазичастицами.
Если для большого числа N квазичастиц (далее они будут называться частицами) заданы их начальные положения (х/(0)} при ^ = 0, то их положения в более поздний момент времени t могут быть найдены путем интегрирования (лагранжевых) уравнений траекторий частиц
dx#
^ = ^AtY (10-3.1)
где скорость V/ каждой /-й квазичастицы находится интегрированием уравнения, выражающего собой закон действующих сил:
ОУ/V-f/tM. №).<)■ОУ/V-f/tM. №).<)■(10-3.2)(10-3.2)
ОУ/
V-f/tM. №).<)■
ОУ/
V-f/tM. №).<)■
(10-3.2)
(10-3.2)
Здесь «сила» f/, действующая на /-ю частицу, может зависеть от положений и скоростей всех других частиц. Массовая плотность жидкости IB точке i находится суммированием масс т, всех частиц /, расположенных в этой точке или вблизи нее
Р (xz) = ( 2 т£ ^J—х-)) • (10-3.3)
Плотность импульса жидкости находится аналогичным суммированием импульсов частиц
pV (X,) = ( 2 m/V/6 (Х/—х;) у (10-3.4)
Угловые скобки обозначают некоторую процедуру осреднения, которая сглаживает дискретность представления. Обычно это некоторая форма взвешивания по частицам конечного размера, расположенным в нескольких ячейках; при этом веса пропорциональны площадям или объемам ячеек.
Когда число квазичастиц становится очень большим и при этом используется закон дальнего взаимодействия частиц, становится практически -нецелесообразным проводить прямой расчет сил взаимодействия. В этом случае вводится потенциал Ф, через который выражаются действующие на частицу силы:
f/ = _vv(xy). (10-3.5)
Этот потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона, связывающему источниковые члены, такие, как масса, и соответствующие да льнодействующие потенциальные поля ф. Такое поле ср находится методами, которые будут обсуждаться в разд. 11-3. Уравнения (10-3.1) и (10-3.2) являются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Большое число методов их решения было описано в гл. 5.
Каждая квазичастица имеет скорость, зависящую от положения в любой момент времени, т. е. имеется поле скоростей
V/ = v(x/(0, ty (10-3.6)
как это имеет место в случае переноса завихренности, рассматриваемого здесь; квазичастицы при этом не могут проходить одна сквозь другую. Если они все же проходят одна сквозь другую, то это происходит вследствие ошибок, возникающих из-за конечности временных шагов или из-за особенностей функции v(x, t). Данная модель подходит лишь для равновесных столкновительных жидкостей.
Условие несжимаемости V-V=0 трудно реализовать точно в моделях квазичастиц. В реальных жидкостях свойство несжимаемости фактически появляется только как статистическое
понятие. Поскольку число квазичастиц в модели намного меньше реального числа частиц в жидкости, то статистические флуктуации около постоянного значения плотности могут быть весьма большими. Когда несколько квазичастиц могут занимать примерно одно и то же положение в пространстве и, кроме того, они имеют значительные и различные скорости, то эта модель может использоваться для описания бесстолкновительных систем, таких, как плазма или звезды в самогравитирую- щих системах. Обзоры методов бесстолкновительных квазичастиц проводили Бердселл и Фасс [3], Лангдон и Лазински [31], Бердселл и Лангдон [4], и, кроме того, такие обзоры имеются в трудах 4-й конференции по численному моделированию плазмы под редакцией Бориса и Шенни [7]. Первоначальные алгоритмы такого рода берут начало из работ Хокни [26, 27] и Бу- немана [8].
Несколько первых из разработанных методов столкнови- тельных квазичастиц включают метод частиц в ячейках (PIC) [16], метод маркеров в ячейках (МАС) [25], метод сеток и частиц (GAP) [34] и метод VORTEX [11]. Во всех этих методах используется конечно-разностная сетка для получения определенных непрерывных величин, таких, как давление, и в то же время используются осредненные по частицам значения массы, импульса и энергии для сохранения лагранжева характера течения.
Например, в методе PIC [24] применяется прямоугольная эйлерова сетка. Средние значения скорости, плотности, внутренней энергии и давления определяются в каждой расчетной ячейке. На первом этапе расчета частицы считаются неподвижными. В расчетной ячейке i плотность ра< компонента а вычисляется как масса одной частицы та, умноженная на число частиц сорта а в даной ячейке и деленная на объем этой ячейки. Затем давление рассчитывается через парциальные давления Pai, полученные по значениям pai- с помощью соответствующего уравнения состояния. После этого уравнения (9-1.3) и (9-1.15) или аналогичное уравнение для плотности внутренней энергии е решаются без адвективных членов для получения промежуточных значений V и Е (или е) в сеточных точках. Разностные уравнения используются в форме, обеспечивающей сохранение импульса и энергии. Значение энергии получается при помощи средней величины скорости, вычисленной по ее предыдущему и промежуточному значениям и используемой в уравнении энергии в слагаемом, описывающем сжатие. Далее на втором этапе частицы двигаются как лагранжевы, имея промежуточные скорости, взвешенные по площади. Некоторые из частиц пересекают границы других ячеек и при этом переносят массу, импульс и энергию из одной ячейки в другую. В результате
получаются новые значения скоростей, плотностей энергии и массовых плотностей.
В методе PIC, так же, как и в других методах квазичастиц, возникают трудности, связанные с появлением «зернистости», когда число частиц данного сорта в расчетной ячейке становится малым. Кроме того, разностная схема в переменных Эйлера (В методе PIC неустойчива. Метод работает только _за счет того, что в расчете имеется эффективная вязкость ^Угр^Ах, связанная с частицами, пересекающими сеточные границы. Это эффективно соответствует сглаживанию первого порядка, как в методе донорской ячейки. Вблизи застойных областей, где скорость V приближается к нулю, расчеты по методу PIC становятся неточными. Имеются также задачи, связанные с сильными расширениями и слабыми ударными волнами, в которых требуется введение дополнительной искусственной вязкости.
Метод МАС [25] является в основном эйлеровым конечноразностным методом, в котором частицы-маркеры пассивно переносятся рассчитываемым независимо полем течения. Маркеры участвуют в динамике процесса только для определения свободных поверхностей или поверхностей раздела. Метод МАС широко применяется в задачах о поверхностных волнах* В гл. 11 он будет вновь обсуждаться при рассмотрении отслеживания поверхностей раздела.
Метод GAP [34] отличается от метода PIC тем, что в нем частицы переносят гидродинамические характеристики жидкости, включая удельный объем. Осреднение с весами, пропорциональными площади, используется при определении давления и плотности в сеточных точках, а затем и для расчета по этим величинам сил, действующих на частицы. В методе GAP могут рассчитываться ударные волны любой интенсивности без необходимости введения искусственной вязкости, и, кроме того, он имеет лучшие разрешение и характеристики устойчивости, чем метод PIC.
В общем методы квазичастиц устойчивы и консервативны. Для них можно обеспечить свойство положительности решения, а также придать им достаточную общность и гибкость. К их недостаткам относятся довольно невысокие эффективность и точность. Поскольку статические свойства и, следовательно, гладкость получаемых решений зависят от числа квазичастиц, которые используются при расчетах, многие интересные приложения оказываются недоступными для метода частиц. Например, при этом трехмерные задачи требуют обычно чрезмерно больших объемов вычислений.
10-4. Методы динамики вихрей
Методы динамики вихрей основаны на уравнениях несжимаемой жидкости (9-1.4) — (9.1.6) в переменных вихрь — функция тока. Они являются альтернативным лагранжевым представлением по отношению к обычной формулировке задачи в переменных давление — скорость. В динамике вихрей течение моделируется посредством замены непрерывного вихревого поля большим количеством дискретных вихревых частиц с последующим рассмотрением развития такой дискретной системы на основе лагранжева подхода. Локальные скорости рассчитываются по уравнению, в котором дискретная завихренность учитывается как источниковый член. В результате получается система обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих изменение во времени положений дискретных вихрей. Отличные обзоры этих методов даны Леонардом [32, 33]. На них базируется значительная часть обсуждения методов динамики вихрей, представленного здесь.
10-4.1. Методы точечных вихрей
Впервые метод вихрей был предложен Розенхедом [36]. Он рассматривал зависящее от времени поведение двумерной вихревой пелены, которая аппроксимировалась движением системы точечных вихрей. Скалярное вихревое поле записывалось в виде суммы
®(г,/) = 2 r,-6(r-rz(/)),(10-4.1)
i=l
где 6 — двумерная дельта-функция Дирака. Векторы
г1 = кх;,У^(Ю-4.2)
определяют положения N сингулярных точечных вихрей, а через (Г/) обозначены циркуляции, или интенсивности каждого вихря, определяемые по формуле
Ts=^todS.(10-4.3)
Чтобы удовлетворить уравнению переноса вихрей в невязком случае
^- = ^ + (V’V)« = 0,(10-4.4)
эти дискретные вихри должны переноситься течением с сохранением циркуляции. Таким образом, скорость перемещения
каждого вихря равна скорости течения в той точке, где вихрь расположен, т. е.
-^• = V(r,.,/).(10-4.5)
Расчет уравнения для скоростей сводится к решению уравнения Пуассона
V2V = — vxcoz,(10-4.6)
где z — единичный вектор по оси г. Если в двумерном поле течения нет внутренних границ и жидкость покоится на бесконечности, то решение уравнения (10-4.6) может быть записано в виде интеграла Био — Савара. Затем, используя уравнение для вихря (10-4.1), находим векторы {г,} как решения следующей системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений:’
dti _1 у кп-г^хгг,
.(10-4.7)
Метод точечных вихрей неустойчив и обычно не сходится, хотя с его помощью может быть получено решение для некоторого конечного момента времени. Использование большего числа точечных вихрей меньшей интенсивности и более точных методов интегрирования не дает сходящегося решения. Наилучшие результаты получаются, когда берется всего несколько точечных вихрей и применяется сильно диффузионная схема интегрирования по времени. Проблема заключается в том, что использование точечных вихрей вместо непрерывного вихревого поля приводит к особенностям в решении за конечное время.
10-4.2. Метод вихрей с распределенной завихренностью в ядре и метод вихревых линий
Метод вихрей с распределенной завихренностью в ядре, или метод вихревого шарика, представляет собой попытку устранения трудностей, имеющих место в методе точечных вихрей. В этом методе вихри имеют ядро конечного размера и для вихря (в двумерном случае) используется выражение
N
<»(r,0=2r,Ti(r-rz(0).(10-4.8)
Здесь функция у/ представляет собой распределение завихренности в вихре, расположенном в точке п, и зависит от разности г—rz. Эта функция нормализуется таким образом, что
J?z(r)dr=l,(10-4.9)
А
где Л — площадь вихревого элемента. Кроме того, в зависимости от некоторого параметра а/ изменяется характерный радиус распределения для разных вихрей, так что распределение ^, имеет вид
7.(г-Г/) = ^-/(Л^1),(10-4.10)
т. е. используется одна и та же функция формы f для всех вихрей. Параметр d определяет характерные размеры ядра i-ro вихревого элемента. Использование такого определения ^i дает .более гладкое представление вихревого поля, а возникающие скорости в са-мом вихревом элементе и вблизи него будут теперь ограниченными.
Применялись различные типы функций, описывающих распределение завихренности в ядре. Одним из вариантов является функция Гаусса, которая тождественно удовлетворяет вязкой части уравнения переноса вихрей в случае вязкой жидкости. Параметр о может быть запрограммирован как величина, увеличивающаяся со временем в соответствии с хорошо известным автомодельным решением. Для получения постоянного значения скорости внутри вихревого ядра предполагалось, что функция у пропорциональна | г |—1 [9]. Было показано, что применение функции у, которая может иметь любой знак завихренности, позволяет увеличить точность расчета [22].
Имеется два способа расчета скорости в вихре с распределенной завихренностью в ядре. Один из них состоит в расчете поля скоростей в окрестности центра вихревого шарика по формуле
гдеG (а) = 2л $ / (?) г dz.(10-4.12)
о
Другой способ состоит в использовании средней по вихревому шарику скорости, взвешенной по величине завихренности:
2л|г,—г/ 2х '
/ = 1
где
н(| Г, — Г/1, О,., Ст/) 4= (2л)2 J $ dx dyf (х) / (у) J (| г, — гу |, а,х, о,у), о о
(10-4.14)
Г 1,x-Vt^b\
J(b,s,t) = < — arccos fs7"b ) > Is—N^^^s + ^;(10-4.15)
I 0,b^\s—t\.
Оба способа приводят к системам -нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Проблема точности расчетов по пространству в методе вихрей с распределенной завихренностью в ядре связана с предположением о неизменном во времени виде функции формы для вихревого элемента. Однако реальный жидкий элемент с фиксированной циркуляцией подвергается воздействию и искажается. Один из способов оценки точности этого приближения заключается в том, чтобы проверить, выполняются ли при этом интегральные условия для течения [32]. Например, для двумерного течения без внутренних границ и при отсутствии движения на бесконечности имеются условия, связанные с сохранением полной циркуляции и линейного импульса. Для невязкой жидкости имеются дополнительные условия, связанные с сохранением угловой компоненты импульса, полной кинетической энергии и тем предположением, что течение несжимаемое и завихренность в каждом вихревом элементе постоянна. Было обнаружено, что при использовании средней по вихревому элементу скорости, взвешенной по величине завихренности, эти условия удовлетворяются наилучшим образом, хотя данный подход при расчете требует больших объемов вычислений. Ядро с гауссовым распределением завихренности также дает второй порядок точности по а. Более высокий порядок точности можно получить за счет специального подбора распределения завихренности в ядре [23].
Важной проблемой является учет вязкости в этих методах. Эффекты вязкости в уравнении переноса вихря (10-4.4) связаны с членом p,V2(o, приводящим к диффузии вихря. Диффузия вихря моделируется допущением возможности для вихря с гауссовым- распределением завихренности в ядре увеличивать свои размеры в соответствии с уравнением
^ = 4v.(10-4.16)
Другой подход, предложенный Чориным [9], состоит в добав-
лении на каждом шаге по Бремени случайного блуждания с длиной шага, пропорциональной ^М)1/2.
Для учета процесса образования вихрей у граничных поверхностей предлагались различные способы. Один из путей — смоделировать этот эффект феноменологически, используя данные из экспериментов или из других расчетов. Другой подход заключается в создании вихрей на границе таким образом, ' чтобы обеспечить выполнение условия прилипания на поверхности. Вихри, созданные вблизи граничной поверхности, затем моделируют развитый пограничный слой. Для разрешения мелких масштабов вблизи пограничного слоя требуется большое число точечных вихрей, поэтому этот подход может приводить к большим вычислительным затратам. Другой подход состоит в использовании продолговатых вихревых элементов, которые отражают тот факт, что производные в направлении, параллельном поверхности, намного меньше производных по нормали к поверхности. Эта идея исходит из эйлеровых методов, в которых часто используются ячейки с большим отношением сторон вблизи твердых стенок.
Метод вихревых линий представляет собой обобщение на трехмерный случай метода вихрей с распределенной завихренностью в ядре. Предполагается, что вихревое поле представляется -системой из N вихревых линий. По аналогии с вышеприведенными уравнениями для невязкого течения циркуляция i-й вихревой линии определяется формулой
T^^toda, ■(10-4.17)
S •
где da = nda, а — площадь поверхности поперечного сечения i-й вихревой линии. Завихренность может быть записана в виде
N
ю0", 0 = 22 Г,-j у,-(г—r^s', t^^ds',(10-4.18)
где кривая П ($',£) описывает конфигурацию i-й вихревой линии в момент времени t, a s — параметр длины вдоль этой кривой. Нормировка функции у;, описывающей распределение завихренности, определяется условием (10-4.9), а радиус ядра i-й линии о. изменяется вдоль линии в зависимости от s. Поскольку система вихревых линий двигается как единое целое в соответствии с уравнением (10-4.18), необходимо выбирать некоторую среднюю скорость. Вновь для этого имеется несколько способов по аналогии с двумерными методами вихрей с распределенной завихренностью в ядре. Для учета вязких
эффектов, как и в двумерном случае, функция 41 может быть видоизменена, чтобы учитывать уплощение ядра, обусловленное вязкостью. Как указал Леонард [32], для малых чисел Рейнольдса (т. е. для больших v) этот подход должен работать хорошо. В случае больших чисел Рейнольдса кривая п может сильно искажаться в пространстве из-за больших градиентов скорости. Эти эффекты, связанные с турбулентностью, можно смоделировать введением приближения вихревой вязкости или при помощи более сложной модели.
Динамика контуров
В методе динамики контуров [37] области с кусочно-постоянной завихренностью окружаются контурами. Если завихренность в некоторой области постоянна в начальный момент времени, для невязкого течения она остается таковой во все времена. При этом все области деформируются под воздействием поля скоростей. В методе динамики контуров рассчитывается эволюция границ каждой вихревой области. Уравнение, описывающее эволюцию плоской кривой, очерчивающей вихревую область, может быть записано как линейный интеграл вдоль этой кривой.
Чтобы следить за подобными кривыми, Забуски и др. [37] вводят на них точки или узлы и наблюдают за этими точками. Когда у ограничивающих кривых возникают особенности, например точки возврата, или когда полная длина кривых увеличивается со временем, возникает необходимость перераспределять узловые точки вдоль кривых. В результате получается потеря мелкомасштабных характеристик течения, аналогичная потере тонкой структуры на более грубой сетке в конечно-разностных расчетах. Предполагается, что этот процесс не влияет существенно на крупномасштабные структуры.
10-4.4. Методы вихрей в ячейке
Расчет интегралов от скорости в методе вихрей с распределенной завихренностью в ядре и в методе вихревых линий требует выполнения O(^2) операций, когда имеется N вихревых элементов, т. е. двумерных вихревых шариков или трехмерных вихревых линий. Идея метода вихрей в ячейке заключается в том, что динамика вихрей рассчитывается в лагранжевых переменных (чтобы исключить численную диффузию), а уравнение Пуассона для скорости решается на сетке из М узловых точек. Такое решение уравнения Пуассона требует выполнения О(А11пЛ4) операций. Сеточные значения завихренности должны находиться по лагранжевому положению вих-
рей, а соответствующие скорости должны интерполироваться из ячеек, в которых расположены лагранжевы вихри. В результате полное число операций достигает М+ЛЛгъ/И. Таким образом, получается большой выигрыш, если значение М не оказывается слишком большим. В двумерном случае эта идея была реализована в методе «облако в ячейке» Кристиансеном [11], а в случае трех измерений — Куэ и др. [13].
10-4.5. Некоторые замечания по методам вихрей
Отличные обзоры методов вихрей были даны Леонардом [32, 33]. Поскольку вихри требуется вводить только в вихревой части течения, то при этом необходима лишь минимальная детализация описания поля течения. Однако число операций на шаг по времени составляет O^N2), что приводит к большим объемам вычислений. Использование лагранжева подхода исключает необходимость явного рассмотрения конвективных производных. Однако при этом возникают ошибки при моделировании гладких течений и трудно учитывать эффекты вязкости. Методы вихрей автоматически допускают моделирование мелкомасштабных структур за счет локальной концентрации вихревых элементов, но их часто приходится объединять в меньшее число больших вихрей, поскольку иначе потребовалось бы слишком большое число расчетных точек. В методах вихрей 'имеются способы учета граничных условий на бесконечности и для потока, вытекающего из системы, но в этих методах возникают трудности при рассмотрении условия прилипания на твердой стенке. Леонард также привел ссылки и описал ряд приложений методов вихрей, например, для моделирования турбулентности в несжимаемой жидкости и определенных течений с пограничным слоем.
Широко обсуждаемый в настоящее время вопрос касается приложения методов вихрей к расчету течений реагирующей среды, в частности процессов горения. Горение приводит к течению с изменяющейся плотностью даже в случае медленного распространения пламени. Следовательно, необходимо соответствующим образом моделировать процессы расширения, сжатия и распространения звуковых волн. Этого нельзя сделать в рамках -немодифицированного метода вихрей, так как этот метод годится в основном для несжимаемой жидкости. Для полного решения задачи горения необходимо вводить некоторую сетку и решать уравнение Пуассона для давления, как это делается в описанных выше методах вихрей в ячейке. Моделирование горения, при котором к расчету вихревого течения не добавляется такой второй этап, связанный с учетом сжимаемости, является в лучшем случае качественным. Одна-
ко методы динамики вихрей в комбинации с методом выделения поверхности для фронта пламени применялись для моделирования поведения пламени (см., например, работы [1, 2,
10-5. Монотонная лагранжева сетка
Гидродинамика в лагранжевом представлении имеет ряд общих проблем с динамикой нескольких тел. Например, в обоих случаях требуется непрерывно определять, какие точки являются ближайшими соседями среди большой системы узлов, которые часто представляются движущимися случайным образом. В обоих случаях требуется рассчитывать несколько различных типов взаимодействий. Оба подхода требуют больших вычислительных затрат, а программы необходимо оптимизировать. Здесь большие объемы вычислений возникают из-за того, что каждый узел в общем случае может взаимодействовать с любым из N—1 других узлов в системе. Такая ситуация носит название проблемы N2, поскольку при этом потенциально важны N2 взаимодействий между парами узлов.
В гл. 6 отмечалось, что оптимальный лагранжев метод фактически не имеет сетки, а использует лишь набор движущихся точек. Однако, как показало обсуждение методов вихрей в ячейке, некоторый род сетки необходим, чтобы разрешить проблему N2. В описываемом здесь методе узлы лагранжевой сетки хранятся в памяти ЭВМ таким образом, что требуются минимальные перетасовка и переиндексация данных для изменения сетки. Мы назвали такую структуру данных монотонной лагранжевой сеткой (MLG) [6, 30]. Этот метод применяется при расчетах взаимодействия элементарных частиц, структуризации баз данных и в гидродинамике.
Монотонная лагранжева сетка фактически представляет собой структуру данных при хранении координат и других характеристик, необходимых для описания N движущихся узлов. Эти N узлов могут, например, представлять элементы жидкости, элементарные частицы, капли или частицы пыли, которые требуется отслеживать при расчетах многофазного процесса горения. В массивах данных MLG отдельный узел имеет три пространственных координаты и три индекса. Данные, относящиеся к каждому узлу, хранятся в памяти на местах, указываемых этими индексами, и таким образом, чтобы узлы, близкие один к другому в реальном пространстве, были всегда расположены по соседству в массиве данных MLG. Это упрощает и убыстряет расчеты большинства взаимодействий и корреляций. Вычислительная программа, основанная на структуре данных MLG, не требует перебора N—1 возможных по-
Рис. 10-6. Пример двумерной монотонной лагранжевой сетки.
Рис. 10-7. Три монотонных лагранжевых сетки, проходящих через одну и ту же систему узлов.
ложений узлов, чтобы определить, какие узлы находятся вблизи некоторого заданного узла. Индексы соседних узлов определяются автоматически, поскольку в сетках MLG они меняются монотонно в зависимости от координат лагранжевых узлов по всем направлениям. В практических расчетах вычислительные затраты алгоритма определяются в основном расчетом взаимодействий узлов со своими ближайшими соседями, и, таким образом, требуемое для расчетов время пропорционально N.
На рис. 10-6 приведен пример небольшой двумерной сетки MLG (монотонной лагранжевой сетки). Поскольку порядок пространственных координат определяется естественным образом, то всегда возможно связать два сеточных индекса с системой случайно расположенных точек в двумерном пространстве. Показанная сетка MLG является одной из многих возмож-
ных сеток размерностью 4X4, связывающих 16 неравномерно расположенных узлов в двумерной области. Такую свободу выбора иллюстрирует рис. 10-7, на котором изображены три различные сетки MLG, проходящие через одну и ту же систему узлов.
Показанные двумерные сетки MLG удовлетворяют следующим ограничениям:
x<iJ^x(i+\J\ 1=1, N — 1; /=1, ..., N, (10-5.1а) y(i, П^уЦ, /+1), 1=1, ...» N; / = 1, ..., N — 1. (10-5.16) Узлам, имеющим нерегулярное пространственное положение, в сетках MLG приписываются регулярные индексы при монотонном соответствии между сеточными индексами и пространственными координатами уз^ов. На каждой сеточной линии по любому пространственному направлению индексы изменяются строго монотонно. Узлы, хранимые в памяти в соответствии с таким предписанием, удалены от соседних узлов, которые могут на них воздействовать, не более чем на два или три узла. Таким образом, при расчете градиентов, производных или силового воздействия необходимо рассматривать только часть возможных взаимодействий между узлами. Поскольку нет необходимости каждый раз разыскивать ближайших соседей, то требуемая логика и вычисления идеальны для методов, применяемых на параллельных или многопроцессорных ЭВМ.
При использовании сеток MLG для индексации координат и физических переменных, относящихся к некоторому узлу в памяти ЭВМ, соседство лагранжевых частиц может определяться принятым индексом Nc для максимального отклонения узлов, а не радиусом Rc области отсечения ближайших узлов. Величина Nc в сетках MLG является целочисленным аналогом радиуса Rc. Расчеты взаимодействий для некоторого конкретного узла проводятся только для тех узлов, чьи индексы отстоят от индексов рассматриваемого узла на величину, не превосходящую Nc. Таким образом, расчеты взаимодействий проводятся только между узлами, расположенными в небольшой смежной части памяти ЭВМ протяженностью 2NC. Хотя в результате рассчитываются взаимодействия с некоторыми отдаленными узлами, этот подход обеспечивает значительное уменьшение вычислительных затрат. Расчеты могут быть эффективно векторизованы, поскольку близлежащие узлы имеют индексы, близко расположенные в памяти ЭВМ.
Для построения монотонной лагранжевой сетки из случайным образом расположенных узлов можно применить алгоритм, требующий около ^ln^ операций. Монотонная лагран* жева сетка всегда может быть найдена для произвольных дан»
ных, хотя и не обязательно единственным образом. Кроме того, если движение узлов в реальном пространстве нарушает некоторые условия монотонности, то применяется другой алгоритм, требующий менее ^ln^ операций, для того чтобы итеративным образом поменять информацию о данных между соседними узлами и восстановить порядок, принятый в сетке MLG. Обменные операции продолжаются до тех пор, пока не будет найдена новая монотонная лагранжева сетка, удовлетворяющая условиям монотонности и любым дополнительным ограничениям, относящимся к специальным граничным условиям. Обменные итерации быстро сходятся даже при больших отклонениях от порядка, принятого в сетке MLG. Такой обмен является дискретной, локальной и обратимой операцией.
В настоящее время предпринимаются исследовательские усилия, для того чтобы структуры данных MLG и разработанные алгоритмы применить при решении задач гидродинамики сжимаемой и несжимаемой жидкости в переменных Лагранжа. Такой подход сочетает в себе черты как лагранжева, так и эйлерова представлений. Некоторые из узлов могут располагаться на границах раздела сред и двигаться вместе с ними, так что эти поверхности разрешаются как лагранжевы. В то же время сетка MLG имеет простую глобальную не изменяющуюся структуру, поэтому эффективность данного метода приближается к эффективности эйлеровых алгоритмов. Локальная структура сетки MLG не столь хороша, как в случае лагранжевых сеток с треугольными ячейками или сеток Вороного, описанных в гл. 6 и в разд. 10-2. В конечно-разностной сетке MLG требуется больше узлов (обычно на один или два порядка величины), чтобы получить ту же точность, что и в случае с локально адаптирующейся лагранжевой сеткой с треугольными ячейками. Однако потенциальное преимущество монотонных лагранжевых сеток состоит в возможности параллельных вычислений, которую он допускает.
АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА ГРАНИЦ,ПОВЕРХНОСТЕЙ раздела и решенияМАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
Постановка адекватных граничных условий при моделировании течений в неограниченных областях пространства или при расчете пограничных слоев вблизи стенок является практически важной и технически сложной проблемой, таящей в себе большие опасности, связанные с появлением теоретических и программистских ошибок. Возникает необходимость определения правильных граничных условий, их численной реализации и соответствия между граничными условиями и описанием физической системы внутри расчетной области. Хотя не всегда необходимо полностью понимать существо решения при моделировании течения внутри расчетной области, постановка реалистичных граничных условий требует определенного понимания важных явлений, происходящих внутри и вне расчетной области, и того, как эти решения взаимодействуют.
Поверхности раздела являются внутренними границами, имеющими свою структуру и возможность перемещения вместе с жидкостью. Наличие поверхностей раздела сильно усложняет моделирование течения. На таких поверхностях имеют место дополнительные физические процессы, например, поверхностное натяжение, испарение, конденсация или каталитические поверхностные реакции, которые не происходят во внутренних частях поля течения, и они должны учитываться при расчете. Часто поведение поверхности раздела приходится моделировать феноменологически как часть более общей глобальной задачи. Это имеет место в тех случаях, когда производные по нормали и по касательной к поверхности раздела различаются на порядки величины. Например, ударная волна может иметь радиус кривизны, достигающий сантиметров или метров, но ее толщина может не превосходить нескольких микрометров. Слой, в котором происходит плавление и сублимация льда, имеет толщину, измеряемую долями миллиметра. Толщина зоны горения в типичных случаях не превышает одного миллиметра. Во всех подобных случаях поверхность раздела может рассматриваться как разрыв на микроскопических масштабах длины.
В этой главе обсуждаются также вопросы, касающиеся решения матричных уравнений, возникающих в конечно-разностных методах. Рассматривается решение определенных типов систем алгебраических уравнений. Такие системы появляются естественным образом в численных методах решения, описанных в предыдущих главах. Поскольку затрагиваемые вопросы могли бы послужить предметом отдельной книги, то здесь приведены лишь краткие обсуждения и предложения. Для детального ознакомления с ними следует обратиться к рекомендуемой литературе.
11-1. Граничные условия
Граничные условия необходимы при моделировании течений как в ограниченных, так и неограниченных областях. Когда рассматривается практически неограниченная система, то бесконечный объем должен представляться при помощи лишь ограниченного числа степеней свободы. В зависимости от физических особенностей системы граничные условия различаются очень сильно. В гиперболических системах, моделирующих явления переноса и акустики, волны распространяются с много большей скоростью, чем течет жидкость, по которой они распространяются. Эти волны переносят информацию по среде во всех направлениях и, таким образом, информация может как входить в расчетную область, так и покидать ее. В параболических системах поток информации имеет в общем односторонний характер и поэтому решение может изменяться преимущественно в одном направлении. Процесс диффузии характеризуется потоком только в одном направлении в каждой точке. Некоторые сверхзвуковые течения сжимаемой среды имеют все характеристики, направленные в одну сторону, и поэтому такие «односторонние, или направленные» уравнения течения могут интегрироваться вдоль линий тока.
Поскольку граничные условия обычно разрабатываются для конкретных задач, то литература, посвященная границам расчетной области, относительно бедна по сравнению с библиографией по численным методам, применяемым для расчета внутренней области. Методы постановки граничных условий в конечно-разностных задачах обсуждаются в работах [59, 43] и в обзорной статье [63]. Общие проблемы постановки граничных условий рассматриваются в работе [55]. Мы особенно рекомендуем вводную статью [6] и труды симпозиума по процедурам для численных граничных условий [45], где собраны и изложены некоторые недавние работы по граничным условиям в вычислительной гидродинамике.
Имеется несколько способов реализации граничных условий в численных моделях.
Разложение непрерывных гидродинамических переменных в линейную комбинацию по некоторым функциям, в каждую из которых «встроены» граничные условия, так что любая такая комбинация автоматически удовлетворяет граничным условиям. Хотя разложения в ряды используются во многих методах, такой подход не может применяться систематически для большинства задач или для большинства процедур численного нахождения решений.
Разработка специальных конечно-разностных формул для граничных ячеек. Подобные выражения соответствуют формулам, применяемым во внутренней части сетки, и используют дополнительные соотношения для представления сеточных переменных вне расчетной области.
Разработка способов экстраполяции изнутри расчетной области во внешние к расчетной области ячейки. При такой экстраполяции расчетная сетка продолжается на конечное расстояние за пределы границы. Граничные ячейки затем рассчитываются так же, как и внутренние; при этом формулы, аналогичные используемым в предыдущем методе, могут применяться к нахождению величин во внешних ячейках.
Разработка аналитических зависимостей для граничных переменных. Здесь основой является использование информации о поведении системы при удалении на бесконечность.
Из этих методов легче всего реализовать применение внешних граничных ячеек. На рис. 11-1 показана двумерная однородная сетка с границей расчетной области, очерченной утолщенными прямыми. Сетка имеет Nx ячеек по направлению х на интервале от Xl до xr и Ny ячеек по направлению у на интервале от ув до у?. Два ряда ячеек, изображенные штриховыми линиями и окружающие расчетную сетку, называются внешними граничными ячейками или фиктивными ячейками. Задавая подходящие значения переменных в этих ячейках, можно добиться, чтобы элементы жидкости внутри области удовлетворяли внешним граничным условиям таким образом, как если бы внешней границы не было вовсе. Обычно требуется всего один или два слоя фиктивных ячеек. Когда значения переменных, задаваемые в фиктивных ячейках, хранятся в памяти в тех же массивах, как и переменные во внутренних ячейках, расчеты могут проводиться на всей сетке по одной и той же системе конечноразностных уравнений.
Применение специальных конечно-разностных формул вблизи границ или фиктивных ячеек для задания граничных значений часто является делом предпочтения. Обычно возможно задать значения в фиктивных ячейках таким образом, что это
Рис. 11-1. Двумерная расчетная область с двумя рядами фиктивных ячеек. Значения переменных должны задаваться в этих ячейках при моделировании различных граничных условий.
будет эквивалентно применению специальных формул на границах. Верно и обратное, т. е. специальные формулы могут быть написаны так, чтобы включать значения в фиктивных ячейках. Какой из этих подходов использовать, определяется принятой численной моделью, сложностью задачи, объемом оперативной памяти ЭВМ, спецификой применяемых численных алгоритмов и личным вкусом исследователя.
Для уменьшения объема дополнительной памяти, требуемой в трехмерных задачах, иногда используется только один ряд фиктивных ячеек в каждый момент времени. Например, сетка из 20X20X20 ячеек требует 8000 ячеек памяти на каждую переменную. Если эта сетка расширяется на два ряда фиктивных ячеек по каждому направлению, то получается сетка из 24X24X24 ячеек, что почти вдвое больше, но это не приводит к улучшению разрешения! Поскольку фиктивные ячейки дают столь удобное представление граничных условий, то полезно иметь дополнительный объем оперативной памяти. Так как в настоящее время объем оперативной памяти у персональных компьютеров и у суперкомпьютеров увеличивается, то дополнительное двойное увеличение потребности в памяти не является столь существенным, как это было в прошлом.
11-1.1. Граничные условия для ограниченных областей
Идеальная симметрия или условия без границы
Самый простой способ точного и согласованного учета граничных условий состоит в том, чтобы исключить их. Это может «быть сделано в областях, где на границах существуют условия симметрии. Точки на границах могут рассматриваться как внутренние за счет введения фиктивных ячеек, значения в которых точно равны симметричным им значениям во внутренних точках. В этих случаях введение фиктивных ячеек упрощает программирование, так как одни и те же разностные формулы применяются во всех ячейках, независимо от того, расположены они вблизи границы или нет.
Условия симметрии часто могут иметь место как во внутренней части течения, так и на границе. Система может обладать плоскостью симметрии или осью, как, например, при цилиндрически симметричных течениях. Часто плоскость симметрии име- •ет место в трехмерных системах, как в случае столкновения двух одинаковых, но противоположно направленных струй. Обнаружение простой симметрии и отражение этого факта в граничных условиях может быть очень важным для успеха моделирования.
На рис. 11-2 показана правая граница и несколько прилегающих к ней ячеек для двух одномерных сеток. Граница сетки заштрихована и обозначает твердую стенку или поверхность, на которой происходит зеркальное отображение системы. Несколько фиктивных ячеек показаны за пределами границы. На верхнем рисунке изображена граница симметрии, проходящая по внешней поверхности последней внутренней ячейки. В таком случае граница называется ячеечно-поверхностной границей. На нижнем рисунке показан случай ячеечно-центральной границы, в котором плоскость симметрии проходит через центр последней внутренней ячейки. Аналогичные структуры можно было бы представить для левой границы области и нескольких первых внутренних ячеек сетки. На рис. 11-2 также показаны два различных дискретных представления: кусочно-постоянное представление на верхнем рисунке и кусочно-линейное — на пижнем рисунке.
Выбор одной из двух возможностей, показанных на рис. 11-2, является обычно делом вкуса. Когда граница сетки проходит через центры ячеек, естественным является кусочно-линейное дискретное представление, поскольку дискретные значения гидродинамических переменных могут интерпретироваться как определенные значения в этих точках. При такой интерпретации условия сохранения, записанные в виде суммы (6-2.7), всегда имеют еще одно отличное от других слагаемое, соответствую-
Рис. 11-2. Различные представления симметричных граничных условий при помощи фиктивных ячеек. Расчетная область расположена слева от заштрихованной области, а фиктивные ячейки справа. S(x)—симметричная функция, А(х)—антисимметричная функция. Нулевые значения S(x) и А (я) расположены на оси х.
<i — кусочно-постоянное дискретное представление с границей, проходящей по поверхности ячейки; б — кусочно-линейное дискретное представление с границей, проходящей через центр ячейки.
щее половине ячейки у границы. При помещении плоскости симметрии в известное положение центра ячейки не возникает неопределенности относительно ее местоположения. Последняя полуячейка, которая участвует при представлении уравнения сохранения массы в виде суммы, оказывается естественной при таком моделировании границы.
Когда границы сетки совпадают с границами ячеек, естест-
венно использовать кусочно-постоянное дискретное представление, несмотря на то, что при этом имеются явные разрывы на границах между ячейками. В этом представлении граничные ячейки являются целыми, как и внутренние ячейки, поэтому расчетная область естественным образом оканчивается на краю, а не в середине последней ячейки. Потоки на границе входят и выходят из системы через поверхность ячейки, для которой должны быть известны значения переменных и площадь этой поверхности. Условия сохранения обеспечиваются соотношениями между потоками на этих граничных поверхностях ячеек.
При кусочно-линейном дискретном представлении положения границ ячеек обычно определяются интерполяцией по положениям центров ячеек. Когда положения центров ячеек и их границы постоянно смещаются, обеспечение согласованности этих интерполяций делает алгоритм и его программирование более сложным. Кусочно-линейное построение выглядит более гладким, что является главным преимуществом, когда требуется продемонстрировать результаты. Действительно, большинство графических процедур интерпретируют заданную функцию как набор значений в определенных сеточных точках с линейной аппроксимацией в промежутках между этими точками. Получающиеся контуры кривых выглядят относительно гладкими. На поверхностях раздела ячеек в неодномерных случаях при построении графиков возникают слабые разрывы в направлениях кривых, но не в значениях величин. Кусочно-постоянные дискретизации часто представляются графически таким образом, как если бы они были кусочно-линейными. Кусочно-постоянное построение идеально подходит для представления решения в виде цветных графиков, в которых каждая прямоугольная ячейка окрашивается некоторым цветом в зависимости от значения переменной. .
На каждой из двух частей рис. 11-2 показаны две функции S(x) и Л(х). Функция S (х) симметрична, а Л(х) антисиммет рична по отношению к граничной плоскости. В дополнение к функциям Л(х) и S(x) рассмотрим также периодическую функцию Р(х). Периодические граничные условия являются вариантом условий симметрии, в которых некоторые внутренние значения используются для задания значений в фиктивных граничных ячейках. Например, в периодической системе значения переменных в ячейке ^+l равны значениям переменных в ячейке 1. Периодические граничные условия возникают в циклических системах (например, для решетки лопаток в турбине), а также в цилиндрических или сферических системах. Такие периодические течения относительно легко рассчитываются численно.
Обычно предполагается, что фиктивные ячейки имеют такой
Таблица 11-1. Значения в фиктивных ячейках1) для различных граничных условий: 5 — симметричных, А — антисимметричных, Р — периодических
Левая границаЛевая границаПравая граница
Левая граница
Левая граница
Границы, проходящие по поверхности ячейки
Sg=So=Si
Sg = SN + i=SN
Sgg=S—\=Si
Sgg = S]Y + 2 — S/v — i
Ag=Ao ——Ai
Agr=Ayv+i=—Ayv
Ag5=A-i =—Аг
Agg = An+2 =Ayv-l
Pg = Po = P^
Pg = PN + l = Pl
Pgg=P -\ — Pn — \
Pgg — PN+ 2 —P2
Границы, проходящие через центр ячейки
S g = So = S 2
Sg = Szv 4-1 =Syy-l
^gg = ^—1 —5s
Sgg = SN-\-2 — $N-2
Ag=Ao = —Аг
Ag=A^+i = —Ayv-i
Agg=A-i=—A3
A55 = AyV4-2 =Ajy —2
А,=0
Ajv = O
Pg = P q = Pn-\
Pg = PN + 1 = P2
Pgg — P—l” P N—2
P gg = PN + 2 = Ps
P1 = PN
Pn = Pi
’) Индексом g отмечаются значения в первой фиктивной ячейке, а индексом gg — значения во второй фиктивной ячейке.
же размер, как и соответствующие ячейки вблизи границы во внутренней части области. В табл. 11-1 перечислены простые формулы для значений функций в фиктивных ячейках для случаев симметричных, антисимметричных и периодических функций как для ячеечно-поверхностных границ, так и для ячеечноцентральных границ. Содержание этой таблицы показывает отличия в этих двух представлениях. Для ячеечно-центральной границы два полуячеечных граничных элемента имеют одинаковые значения переменных. Таким образом имеются связи между значениями переменных во внутренних и в фиктивных ячейках. В случае периодической функции значения переменной во внешней ячейке, находящейся непосредственно у левой границы, совпадают со значениями во внутренней ячейке, находящейся непосредственно у правой границы.
Несколько более общая формула, включающая в себя симметричные и периодические условия, записывается в виде
где fgn — значение функции Цх) в фиктивной ячейке на временном шаге л, fnsc — текущее значение f в симметричной ячейке (sc) внутри области, fnpc— периодическое значение / в ячейке на временном шаге л, b и р— граничные множители, с — аддитивная константа. Все случаи, представленные в табл. 11-1, могут быть получены при с = 0 и задания множителям b и р подходящих комбинаций из +1, 0 и —1. Соотношение (11-1.1) допускает также более сложные и более реалистичные граничные условия, включая описываемые ниже условия для выходящего из области и входящего в нее потоков.
Когда в течении имеется идеальная стенка, а у скорости — нормальная и тангенциальная компоненты, значения физических переменных в фиктивных ячейках могут быть найдены по значениям в близлежащих внутренних ячейках. Это важно для течений в ограниченных областях, описываемых уравнениями Эйлера, и для течений вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса, когда пограничные слои аппроксимируются за счет введения дополнительной феноменологии. На такой стенке должны задаваться как симметричные, так и антисимметричные граничные условия. Условие наинизшего порядка — это условие симметрии, так как плотность, температура и давление имеют нулевую производную на стенке. Касательная компонента скорости в случае условий скольжения симметрична, а нормальная компонента антисимметрична. Значения переменных в фиктивных ячейках для течения со стенкой даны в табл. 11-2.
Иногда значения физических переменных на границе нельзя непосредственно определить из конечно-разностных уравнений и условий симметрии. Часто необходимо получать видоизмененные формулы для значений переменных на границе, в которых учитывается информация, поступающая из внутренней области. В этом случае возможно моделирование более сложных физических ситуаций, таких, как вязкие и турбулентные пограничные слои. При экстраполяции обычно используются односторонние формулы.
Граничные условия при расчете диффузии, или граничные условия с потоками на краю области
Процесс диффузии является одним из самых простых нелокальных явлений, которые могут точно моделироваться. Соответственно и постановка граничных словий для задач диффузии обычно несложная. Например, рассмотрим конечно-разностную формулу для расчета диффузии, приведенную в гл. 4:
[Р;„ - 2Р;+р;_,]+[pS - 2рГ+Р,Ч],
А/ (Ах)2 -
Таблица 11-2. Условия скольжения на изолированной твердой стенке1)
Граница, проходящая по поверхностиГраница, проходящая через центр
ячейкиячейки
Плотность, температура и давление
Рг — р$ Tg=Ts Pg = Ps
Pg=P»
Tg=Ts Pg = Ps
Рстенки, Т'стенки, ^стенки (вычисляются)
Тангенциальная скорость
У11£=УП$
'yiig=ylls
^стенки (вычисляется)
Нормальная скорость
y_Lg = — Vj_s
у±£ =— y±s
У 1 стенки = 0
Плотность частиц для компонентов
^<>g = ^i,s
tli, стенки (вычисляется)
’) Индексом s отмечены значения, берущиеся в симметричной ячейке.
где 6 — параметр, определяющий степень неявности схемы. Новые значения pi" и рлгл должны быть определены через значения в фиктивных ячейках. Эти значения можно использовать для управления потоком массы, входящим в расчетную область или выходящим из нее в течение шага по времени, обычно посредством задания градиента плотности р на границах.
В некоторых случаях внешнее значение p”w+i в фиктивной ячейке известно на любом шаге по времени п. Такая ситуация имеет место, когда система, описываемая уравнением теплопроводности, ограничена стенкой, имеющей постоянную температуру. Использование известных значений на границе позволяет продвинуть решение уравнения (11-1.2) от шага п—1 к шагу/г.
Иногда бывает известен поток некоторой величины, подвергающейся диффузии, и, следовательно, градиент этой величины задается на границе. В этом случае граничное значение р"лг и значение в фиктивной ячейке рлг изменяются таким образом, что градиент
G" = (Pw+i — Pn)/^xG" = (Pw+i — Pn)/^x(11-1.3)(11-1.3)
G" = (Pw+i — Pn)/^x
G" = (Pw+i — Pn)/^x
(11-1.3)
(11-1.3)
остается фиксированным. Уравнение (11-1.2) при этом можно решить численно, поскольку pVn легко исключить из уравнения (11-1.2) с помощью соотношения (11-1.3).
Пограничные слои и феноменологический подход при рассмотрении граничных поверхностей
При численном моделировании часто вводятся границы, моделирующие поверхности раздела между различными фазами или средами. Твердый сосуд, наполненный газом, может считаться химически инертным, термически изолированным, абсолютно жестким идеально гладким. Если такие допущения приемлемы, то можно применять упрощенные алгоритмы, использующие свойства симметрии и фиктивные ячейки, как это указывалось выше. Однако многие явления зависят от неидеальной природы границ.
Анализ численных методов для расчета пограничных слоев и феноменологического рассмотрения поверхностей мог бы занять несколько книг, причем его можно было бы расширить, включив феноменологический подход на подсеточном уровне для представления других физических свойств, обычно не учитываемых при моделировании. Например, каталитические реакции на стенках и тепловые пограничные слои могут моделироваться феноменологически. В другом примере, когда теплопередача от стенки или к ней достаточно велика, могут происходить процессы конденсации, испарения или абляции.
Для разработки феноменологических подходов при рассмотрении поверхностей требуется удовлетворять уравнениям сохранения на таких границах и при переходе через них. Это означает, что потоки массы, импульса и энергии, а также энтальпии, которые входят в расчетную область или покидают ее через границы, должны равняться потокам, направленным во внешнее пространство. Причинные связи и законы сохранения обеспечивают полезные ограничения в этих задачах. Например, если тепловой пограничный слой образуется в газе вблизи холодной металлической стенки, то тепловая энергия, передающаяся от последней внутренней ячейки к стенке, не должна превосходить запаса тепловой энергии в этой ячейке. Если масштабы длин, на которых происходят изменения температуры, разрешаются в газе и могут быть оценены в металлической стенке, то применим простой приближенный расчет обмена энергией между внутренними ячейками и внешним пространством. В заключение этого раздела излагается феноменологический подход при рассмотрении поверхностей, который включает в себя модели для пространственных и временных изменений в тепловом пограничном слое.
Если происходят каталитические поверхностные реакции, соответствующее граничное условие должно учитывать количество реагента, который подходит к границе, и рассчитать вероятность прохождения каждой возможной реакции. В случае, когда сетка у стенки очень мелкая, так что разрешаются масштабы длин, на которых происходит процесс молекулярной диффузии, расчет взаимодействия со стенкой относительно прост. Однако, когда ячейки слишком велики, реагирующие компоненты оказываются распространенными по всему объему последних ячеек, несмотря на то что в действительности они сконцентрированы вблизи стенки. Если происходящие реакции зависят от объемной плотности этих реагентов, то в модели скорости реакции будут недооцениваться вблизи стенки и сильно переоцениваеться в одной-двух ячейках, отстоящих от стенки. Тогда поверхностные эффекты будут проявлять себя как объемные, что ведет к неправильным вычисленным значениям скоростей реакции.
Аналогичный эффект возникает в течениях вязкой жидкости. При обычном макроскопическом рассмотрении ' уравнений Навье — Стокса предполагается выполнение на стенке условия прилипания, которое означает, что тангенциальная и нормальная компоненты скорости на стенке обращаются в нуль. На микроскопическом уровне предполагается, что молекулы, отражающиеся от твердой стенки, теряют всякую информацию о своем коллективном движении в момент, когда они соударяются со стенкой. Следовательно, они имеют равную вероятность рассеяния как вперед, так и назад по отношению к потоку жидкости вдали от стенки. Вблизи стенки образуется тонкий ламинарный пограничный слой. С макроскопической точки зрения этот пограничный слой развивается на очень малом пространственном масштабе, для разрешения которого требуются большие вычислительные затраты. Здесь вновь часто используется феноменология на подсеточном уровне, чтобы удовлетворить физическим условиям на твердой поверхности. Когда расчетные ячейки большие по размеру, дефицит в тангенциальной компоненте импульса, возникающий из-за присутствия пограничного слоя, мал даже в ячейках поблизости от стенки, так что при этом замедляется очень небольшое количество жидкости. Однако, в действительности, некоторое количество жидкости движется при почти нулевой скорости, как это видно на рис. 11-3.
Нормальная компонента скорости должна обращаться в нуль на стенке как на макроскопическом, так и на микроскопическом уровне. Это условие легко удовлетворяется в большинстве постановок задач механики сплошной среды и оно обеспечивает необходимое и достаточное, условие для решения урав-
Рис. 11-3. Схема сетки, в которой физический пограничный слой существенно меньше размера расчетной ячейки, прилегающей к стенке.
нения Пуассона. Дополнительное условие обращения в нуль тангенциальной компоненты является усложняющим фактором, возникающим из-за неоднородного вклада в поток несжимаемой жидкости, вызываемого завихренностью. В постановке задач динамики вихрей возникает обратная трудность. Становится трудно обеспечить нулевое значение нормальной скорости, так как возникающие при численном расчете вихревые зоны отрываются от границы.
В основных гидродинамических переменных правильная величина сопротивления или «дефицита импульса» должна отниматься от жидкости вблизи границы, чтобы скорость на стенке обращалась в нуль. Относительно малый размер ячеек по нормали к стенке требуется для того, чтобы разрешить пограничный слой. Малые размеры ячеек налагают сильные ограничения на шаг по времени, если уравнения интегрируются по явной схеме. В таких моделях скорость на стенке строго равняется нулю, а дефицит импульса передается благодаря вязкой диффузии от пограничного слоя во внешний поток вдали от стенки.
11-1.2. Граничные условия для неограниченных областей
Моделирование течений в неограниченном пространстве Тре* бует бесконечную область представлять в виде конечной расчетной области. В этом случае через посредство граничных условий информация должна передаваться во все окружающее внешнее пространство и получаться из него, надлежащим образом поглощая любые сигналы, выходящие из расчетной области. Густафсон и Крейсс [34] показали, что системы, взаимосвязан-
ные с внешней областью, могут строго рассчитываться на ограниченной области только в том случае, когда переменные и ко* эффициенты в задаче принимают постоянные значения на бесконечности. Когда упрощающие условия о постоянстве коэффициентов не выполнены, то всегда требуются некоторые приближенные подходы и будет иметь место предел точности решения^ не связанный с методами решения, применяемыми во внутренней части области.
Один из подходов состоит в том, чтобы отобразить бесконечную область в конечную при помощи аналитического преобразования независимых пространственных переменных. Трудности такого подхода связаны с тем, что при этом компоненты возмущений с конечными длинами волн не разрешаются надлежащим образом вблизи краев сетки в преобразованных переменных. Пространственное разрешение сетки становится непригодным7 для передачи информации на представляющих интерес длинах волн (см., например, работу [32]). Другой подход заключается в том, чтобы обрезать моделируемую область на конечном расстоянии и аналитически смоделировать влияние внешней части на границах. Более короткие длины волн могут теперь распространяться вплоть до границ, но они частично отражаются от границ нефизичным образом, если для них отсутствует точное аналитическое условие.
Мы рекомендуем комбинацию этих двух подходов. Прежде- всего, ячейки должны прогрессивно увеличивать свой размер при удалении от центральной, представляющей наибольший интерес области, тем самым «отодвигая» вычислительные проблемы подальше. Это показано для ряда случаев на рис. 6-4 и 6-5, на которых верхняя и нижняя границы могут рассматриваться как оконная рама, очерчивающая часть бесконечной области. Растягивая ячейки вблизи краев или, что эквивалентно, уменьшая их только в зонах, представляющих интерес, можно сделать расчетную область весьма большой без соответствующего увеличения объема требуемой памяти. Тогда граница расчетной области отодвигается на большое расстояние. Ошибки из-за отсутствия информации о решении во внешней области при этом все еще возникают, но они мало влияют на решение в целом, да и то лишь после некоторого времени задержки,, необходимого для того, чтобы возмущения от граничных условий, поставленных в расчете, достигли центральной зоны.
Растяжение ячеек должно ограничиваться 10...20% длины ячейки по любому направлению, для того чтобы контролировать неточности, возникающие из-за изменения размеров ячеек. Некоторые из методик построения сеток, показанных на рис. 6-4,. 6-5, допускают такое постепенное изменение размеров ячеек- Когда применяемые методы не позволяют растягивать ячейки^
должны создаваться специальные формулы, связывающие решения на грубой и на мелкой сетках на их общих границах. Такие внутренние границы, которые могут изменяться вместе с развитием решения, представляют главную трудность, связанную с использованием адаптивных вложенных сеток.
В задачах с открытой границей могут применяться аналитические или феноменологические модели для аппроксимаций значений моделируемых переменных за пределами расчетной области. Это осуществляется посредством использования рассчитанных значений переменных вблизи границ области и дополнительной информации о поведении решения во внешней части пространства. При этом потенциально неустойчивая численная экстраполяция за пределы расчетной области заменяется на более устойчивую интерполяцию.
Во многих случаях поведение системы тесно связано с окружающим ее внешним пространством. Эта связь часто проявляется в виде сохраняющихся интегралов по дискретной области, которые зависят от взаимодействий с частями жидкости во внешней части к этой области. В других случаях это означает, что значение некоторой важной физической величины внутри системы известно заранее, а не определяется в результате моделирования. Например, горение на открытом воздухе происходит в основном при постоянном давлении, поэтому значение давления на бесконечности дает условие для динамики процесса. Быстрота расширения небольшого объема горючей смеси газов при горении определяется скоростью экзотермических химических реакций. Плотность при этом уменьшается столь же быстро, как возрастает температура, с тем чтобы давление поддерживалось в основном постоянным. Имеется условие для потоков, идущих внутрь расчетной области и во внешнюю к ней часть пространства, и это условие представляет собой обратную связь с внешним пространством, которая должна учитываться, если требуется получить качественно правильные результаты.
В неограниченных системах постановка граничных условий для волн и для процесса переноса более трудна, чем для диффузии. Поскольку часто волны при своем распространении затухают слабо, нельзя надеяться, что ошибки на границах будут размываться за счет диффузионного сглаживания, как это имеет место в диффузионных процессах. Наиболее трудными для реализации граничными условиями всегда являются условия непрерывности, описывающие втекание и вытекание жидкости из расчетной области при наличии наложенного волнового поля. Сложность течения жидкости в основном объясняется тем, что коэффициенты в уравнениях меняются со временем, а аналитического решения не существует.
Условия непрерывности, или условия, учитывающие втекание — вытекание потока
Исследования, основанные на характеристическом анализе и волновых свойствах течений, проводились рядом авторов. Было показано, что многие характеристики, касающиеся некоторых границ и определенных типов течения, могут быть установлены независимо. В частности, можно рекомендовать статьи [55, 58, 66]. Бесконечно малые изменения при развитии жидкой системы могут быть локально разделены и отнесены к нескольким хорошо определенным характеристикам, являющимся в общем обычными волнами локально линеаризованной системы. В газовой динамике в одномерном случае имеется три типа характеристик: линия тока, или линия постоянства энтропии, вдоль которой распространяются изменения плотности и температуры, и звуковые характеристики, вдоль которых распространяются вправо и влево акустические возмущения. Представление решения вблизи границы в характеристической форме позволяет ту его часть, которая соответствует движению из расчетной области, проэкстраполировать по данным из внутренней части области, а ту часть решения, которая соответствует движению в расчетную область, определить по внешним условиям. В несжимаемой жидкости энтропия вдоль линии тока сохраняется, а вихрь становится другой сохраняющейся характеристической величиной.
Трудность в реализации граничных условий для вытекающей части жидкости состоит в нефизическом отражении характеристик течения, выходящего из расчетной области, и распространении их назад в расчетную область. Во всех, за исключением простейших линейных, задачах постановка граничных условий может быть только приближенной, поскольку входящие и выходящие волны и пульсации перестают быть локально различимыми в нелинейных уравнениях гидродинамики. В монотонных алгоритмах расчета переноса (гл. 8) гидродинамические величины за пределами системы в фиктивных ячейках получаются экстраполяцией по значениям этих величин внутри расчетной области непосредственно вблизи границы. В двух- и трехмерных течениях такая экстраполяция должна производиться вдоль линий тока, что является лучшим приближенным способом постановки граничных условий на основе анализа характеристик.
Такая экстраполяция в линейных конвективных алгоритмах, в которых не обеспечивается выполнение свойства положительности, часто оказывается неустойчивой. Одним из главных преимуществ монотонных методов является их способность вести расчеты устойчиво и достаточно точно, используя соответствующие упрощающие положения из теории характеристик. Однако
Таблица 11-3. Интерполяция параметров течения за пределы границы сетки
Граница, проходящая по поверхности ячейки или через ее центр1)
Плотность, температура и давление
Pg=&p$+Cp,
где Ь = \—А//т, ср=рооЛ//т, т — время релаксации граничных условий к значениям на большом удалении от границы
Т 6=ЬТ 8-\~Ст
Pg = ЬР 8~^Ср
Для дозвуковых течений возможно использование различных значений т для температуры, плотности и давления
Тангенциальная скорость
^Hs=у Ils
Нормальная скорость
y±g=y±s (знак сохраняется при экстраполяции за пределы границы)
Плотность частиц компонентов
- niig = bniiS+Cn."
!) Индексом g отмечаются величины в фиктивной ячейке, а индексом s — величины б симметричной ей ячейке внутри расчетной области для выбранного конкретного типа расчетной сетки.
разделение возмущения в жидкости на его характеристические составляющие и экстраполяция каждой из них в фиктивные ячейки дает более устойчивые приближенные условия для выходящего потока при применении любого, за исключением наиболее утонченного конвективного алгоритма.
В табл. 11-3 приведены граничные условия для жидкости, вытекающей за пределы расчетной области конечного размера. При применении монотонного метода эти формулы для величин в фиктивных ячейках учитывают условие непрерывности течения вблизи границы. При экстраполяции самого низкого порядка для получения значений в фиктивных ячейках используются значения во внутренней ячейке, прилегающей к границе, т. е. здесь 6 = 1 и т=оо. При следующей более высокой по порядку линейной экстраполяции в фиктивных ячейках используются две внутренние ячейки, прилегающие к границе. Значения переменных на бесконечности или на очень больших расстояниях (например, значение роо) несут информацию из внешнего пространства в расчетную область. Без соответствующих величин при т=оо в результате моделирования не могут получиться асимптотические значения давления, что ведет к нарастающим «ошибкам, называемым вековыми ошибками.
В качестве примера укажем, что для расчета неустойчивого сдвигового течения, возникающего в результате втекания в камеру быстрой плоской струи жидкости вдоль тонкой разделительной пластины, использовалась сетка, изображенная на рис. 6-10,6. Неустойчивость приводит к образованию вихревых структур, показанных на рис. 6-10, а. Они вызываются флуктуациями давления у передней кромки пластины, расположенной на горизонтальной оси на расстоянии 2 см от левой границы. В этой системе на условия втекания и вытекания оказывают обратное влияние эффекты, происходящие внутри расчетной области (см., например, работу [31]). В граничных условиях используются фиктивные ячейки для экстраполяции давления до значения в среде, окружающей выходящий поток. Давлению на входе разрешается изменяться при сохранении условия симметрии с нулевой производной (при предположении о дозвуковой скорости входящего потока), для того чтобы отражать назад в систему акустические возмущения, возникающие в области вниз по потоку. Несмотря на то, что давление на входе слабо меняется, два гидродинамических параметра для входящей жидкости могут быть точно заданы в одномерном случае — обычно это энтропия газа и поток массы. Обширные расчеты Гринстейна показали, что результаты получаются значительно более точными, если часть самой разделительной пластины включается в расчетную область.
Граничные условия, учитывающие излучение волн
Если перенос вещества на границах в основном отсутствует, но задача имеет решения в форме волн, которые излучаются, или распространяются из интересующей локальной области в нерассчитываемое внешнее пространство, то граничные условия должны моделировать это излучение. Если такие условия заданы неправильно, то вновь волны нефизично отражаются от границ расчетной области и проявляют себя в расчете в виде энергии, принесенной из бесконечности. Это обстоятельство по меньшей мере запутывает то, что происходит внутри сеточной области, и может приводить к неправильным заключениям или серьезно ухудшать ожидаемую точность расчета.
В линейных задачах иногда удается аналитически выделить на границе входящие и выходящие волновые пакеты. Когда это можно сделать, неотражающие граничные условия, иногда называемые граничными условиями, учитывающими излучение волн, могут быть сформулированы в предположении об обращении в нуль амплитуд входящих волновых пакетов и аналитической экстраполяции выходящих волн. Однако этот процесс сильно отличается от локального характеристического анализа, 29—245
обсуждавшегося выше. Определение волновых компонент обычно включает фурье-анализ или другой эквивалентный нелокальный анализ, проводимый вдоль всей границы и для ячеек глубиной в два-три слоя. Фактически решения с выходящими волнами на бесконечности встраиваются в используемую модель, причем детальное разрешение индивидуальных масштабов не требуется. Эти внешние решения должны быть «состыкованы» с моделируемыми внутренними решениями на границах расчетной области. Например, «стыковка» на некотором постоянном радиусе сферических гармоник с выходящими решениями, которые рассчитываются численно внутри области, ограниченной этим радиусом, позволяет выбрать ограничивающую сферу вблизи рассчитываемого поля.
В цилиндрических координатах на окружности может быть проведено сращивание с решениями для выходящих волн в виде функций Бесселя. В каналах или для полупространства могут быть использованы решения для плоских волн в декартовых координатах.
Почти во всех случаях дальнее поле линеаризуется, поэтому индивидуальные компоненты распространяющегося вовне акустического или электромагнитного излучения могут аддитивно комбинироваться. Если функциональная форма асимптотического разложения известна, можно вывести дифференциальные соотношения, которым удовлетворяет любая функция, имеющая искомую форму. Эти соотношения затем используются в качестве граничных условий для стыковки рассчитанного решения с асимптотическим разложением, справедливым на бесконечности. Эти граничные условия, учитывающие излучение волн, становятся все более точными по мере того, как производится стыковка решения со все большим числом членов внешнего разложения и границы все более удаляются от источника волн, так что их амплитуды становятся малыми.
Другой подход предложен в работах [25, 26J, в которых построен псевдодифференциальный оператор для точного устранения выходящих волн. Этот псевдодифференциальный оператор представляет собой глобальный граничный оператор. Чтобы вывести локальные граничные условия, авторы разлагают псевдодифференциальные операторы по отклонениям направления распространения волны от некоторого предпочтительного направления. Таким образом, они строят локальные граничные условия для поглощения волн во все возрастающей полосе около заданного направления распространения.
В качестве более эффективного, но обычно1 менее общего альтернативного подхода может создаваться искусственная диссипативная область, охватывающая первые несколько слоев ячеек, прилегающих к границе. В случае, когда имеет место те-
чение жидкости, эта область часто называется вязкой зоной Рэлея. Когда волновое возмущение попадает в такую диссипативную зону, оно входит в среду с усиливающимся по мере приближения к границе затуханием и поглощается здесь при минимальном отражении. Поскольку коэффициент отражения сигналов не обращается в нуль точно из-за градиента коэффициента затухания, оптимально поглощающая граница получается в том случае, когда коэффициент затухания на границе меняется достаточно постепенно в пространстве. Тогда волны поглощаются раньше, чем становится ощутимой нефизично отраженная компонента волн.
Такой способ подавления возмущений применялся при расчете электромагнитных волн, звуковых волн и гравитационных волн, хотя он не годится для расчета переноса вещества. Этот способ особенно просто применять, поскольку он может добавляться к модели, построенной при помощи более идеализированных методов. При таком подходе возмущения с различными длинами волн могут рассматриваться различным образом, но обычно можно добиться того, чтобы максимальное затухание относилось к выходящим возмущениям с наибольшими длинами волн. Хотя поглощение не является полным, четырех или пяти ячеек часто бывает достаточно, чтобы уменьшить амплитуду ложно отраженной волны более, чем на порядок величины. Десяти ячеек обычно достаточно, чтобы обеспечить 98...99%-ное поглощение.
Тепловой пограничный слой
Определение феноменологических граничных условий при моделировании теплового пограничного слоя является трудной задачей, которая возникает во многих течениях реагирующей среды и которая обычно не рассматривается на должном физическом уровне. Здесь эта проблема служит в качестве примера связи феноменологического условия на границе и моделируемого явления для представления сложных процессов относительно простыми средствами.
Рассмотрим в химически реагирующей газовой среде ударную волну, отражающуюся от гладкой холодной металлической стенки. Вскоре после отражения ударной волны скорость жидкости вблизи стенки вновь практически обращается в нуль. Ударная волна нагревает газ и сжимает его вблизи стенки. Температура стенки начинает расти, а температура газа вблизи стенки падает. Вся энергия, отбираемая от газа и передаваемая стенке, вначале приводит к образованию тонкого пограничного слоя у стенки, а позднее — широкой диффузионной зоны. Поскольку теплоемкость газа значительно меньше, чем теплоем- 29»
Рис. 11-4. Профиль температуры для двух ния сильной ударной волны от холодной б — t=t2.Рис. 11-4. Профиль температуры для двух ния сильной ударной волны от холодной б — t=t2.моментов времени после отраже- металлической стенки: а — t=t\;моментов времени после отраже- металлической стенки: а — t=t\;
Рис. 11-4. Профиль температуры для двух ния сильной ударной волны от холодной б — t=t2.
Рис. 11-4. Профиль температуры для двух ния сильной ударной волны от холодной б — t=t2.
моментов времени после отраже- металлической стенки: а — t=t\;
моментов времени после отраже- металлической стенки: а — t=t\;
кость металла, то газ претерпевает большие изменения температуры, чем металл.
Нас главным образом интересуют граничные условия для газа, а не детали поведения температуры в металле как функции времени и расстояния. Для формулировки подходящей феноменологической модели, описывающей поведение температуры в металле при известной ее эволюции во времени на поверхности стенки, необходимо сделать ряд предположений. Здесь предполагается, что стенка абсолютно твердая, а ее теплопроводность и теплоемкость имеют конечные значения.
На рис. 11-4 показаны профили температуры в окрестности стенки для двух моментов времени после того, как ударная волна отразилась от стенки. Обращенная к газу поверхность стенки соответствует координате х = 0, а температура на ней обозна-
чается Tw(0- Значения температуры в двух ячейках, ближайших к стенке, обозначаются Tn и Tn-i. Эти значения рассчитываются в дискретные моменты времени и должны быть связаны с изменением температуры стенки. В более поздние моменты времени волна разрежения может подойти к стенке и уменьшить температуру газа до значений, меньших пиковых значений температуры на стенке. Это приводит к образованию сложного температурного профиля в стенке, как это показано на рис. 11-4,6. Возникает поток энергии из стенки, вновь подогревающий газ, на что указывает положительный наклон профилей температуры при значениях Tn и TN-\.
Правильное решение для температуры в стенке представляет собой сложное, зависящее от времени распределение, для нахождения которого потребовалось бы детальное моделирование. Однако первым шагом при конструировании подходящей феноменологической модели является предположение о форме пространственного распределения температуры в стенке с несколькими свободными параметрами, подбираемыми таким образом, чтобы обеспечить сохранение энергии и передачу ее от газа с такой же скоростью, с какой она передается в стенке. Выбирая профиль температуры в форме кривой Гаусса, как это показано на рис. 11-4, будем иметь следующие свободные параметры: xm(t)—расстояние от стенки до максимума гауссова профиля; i(Z)—обратная величина характерной полуширины кривой Гаусса, Tw(t)—температура на стенке, Тео — температура стенки вдали от поверхности. Тогда принятая функциональная зависимость температуры в стенке имеет вид
Пх, /) = Т„+Тт(/)ехр[-^(я-^(0)2], (Н-1.4) где T^t^T^-T^e^ (1Ы.5
ч^=_к^хт^. (П-1.6)
Здесь функция t](Q положительна, когда 7’w>7’W) т. е. когда максимум гауссова профиля находится в газе. Когда же функция т](/) отрицательна, максимум гауссова профиля находится внутри стенки, как это показано на рис. 11-4,6.
Внутри стенки и в газе температура удовлетворяет следующим уравнениям:
^>0. (11-1.7а)
Здесь Т указывает на изменение температуры газа, вызываемые процессами в самом газе, такими, как конвекция и выделение химической энергии. Теплоемкости вошли в коэффициенты
температуропроводности Xn и X™ (которые в системе единиц СГС имеют размерность см2/с).
Условие сохранения энергии внутри стенки дает связь T№^ и ЦГ). Энергия, поступающая в стенку из газа, выражается в виде интеграла
OD
E(O = j[T« t>-T^dx'= ^^ -(И-1.8)
О
где величина ^(ц), определяемая как интеграл вероятности ошибки, дается формулой
(11-1.9) о
Второе соотношение, связывающее TWi k и ц, получается путем приравнивания потоков, определяемых уравнениями (11-1.7), и потока XVT на поверхности стенки, т. е.
Для левой части уравнения (11-1.10), относящейся к газу, записывается конечно-разностная аппроксимация, а для вычисления правой части используется аналитическая зависимость (11-1.4). В результате получаем
Z?"^ = — (^^kh.(11-1.11)
В случае, когда начальное распределение температуры в стенке описывается половиной гауссова профиля с т| = 0, а температура газа меняется таким образом, что поддерживается нулевой градиент температуры на поверхности стенки, то решение в стенке должно эволюционировать в соответствии с точным гауссовым затухающим профилем. В этом случае поведение обратной величины характерной полуширины гауссова профиля ЦГ) имеет вид
k^-V^t-t.Y(11-1.12)
Здесь t0 представляет собой момент времени, в который гауссов профиль был вырожденным. В общем случае требуется подобрать среднее модельное значение k^tY которое сводится к искомому результату (11-1.12), когда вся энергия передается мгновенно. Один из способов добиться этого заключается в выборе подходящего значения t0, которое осредняется по изменяющемуся со временем подводу энергии и в наибольшей степени
Алгоритмы расчета границ и решения матричных уравнений 455 учитывает самые последние изменения полной энергии. Например, возможен следующий выбор величины t^.
с f\dm\sr„d(,
МП-—,•(11-1.13)
- 00
Легко проверить, что эта формула дает правильное значение в случае, когда подвод энергии описывается дельта-функцией.
Имеется другой предельный случай, для которого известно феноменологическое поведение решения. Когда подвод энергии происходит по экспоненциальному закону в соответствии с формулой
|■^•|«eг<,(11-1.14)
то и распределение температуры должно стать экспоненциальным с характерным параметром ширины к, который не меняется со временем. Параметр к связан с показателем Г, определяющим скорость экспоненциального подвода энергии, соотношением
к = УЖ».(11-1.15)
Использование в выражении (11-1.13) четвертой степени скорости подвода энергии обеспечивает выполнение условия, что параметр к будет возникать при вычислении интегралов. Для него получается такое выражение
к= / (r + lr)/^,(11-1.16)
которое согласуется с теоретическим результатом в случае, когда переменный нагрев происходит быстро по сравнению с длительностью «времени инерционности» т. Свободный параметр т включен в выражение (11-1.13) для того, чтобы определение /0 при вычислении к^ в наибольшей степени учитывало подвод энергии, происходящий в моменты времени, близкие к t.
Можно ожидать, что по мере увеличения переменной скорости нагрева решение все больше приближается к экспоненциальному и такая модель становится весьма точной. Когда скорость нагрева уменьшается, экспоненциальное решение становится менее пригодным, а модель постепенно переходит к осреднен- ному затухающему гауссову профилю, который вновь эволюционирует в соответствии с аналитическим решением.
Только что описанная модель является всего лишь феноме-
нологической со свободными параметрами, несмотря на то, что в ней учитываются некоторые ограничения (свойство сохранения, непрерывность и два предельных случая). Возможны дальнейшие усовершенствования этой модели. Выбираемое для моделирования значение т должно быть сравнимым со временем инерционности, ожидаемым согласно решению для теплового процесса во внутренней области. При реализации этой модели значение температуры газа в ячейке TN может быть рассчитано в промежутке времени от / до / + Д^ по соотношению (11-1.11). При этом все другие гидродинамические переменные определяются неявно. Энергию в каждый момент времени определяют, вычисляя поток, который идет от газа к стенке, и увеличивая накапливаемый интеграл энергии E^t) на соответствующую величину. Затем при помощи формул (11-1.8) и (11-1.13) все параметры могут быть определены в новый момент времени Z+At Интегралы, входящие в формулу (11-1.13), накапливаются в результате учета обмена энергией между газом и стенкой на каждом шаге по времени. Неявный метод получения решения требует проведения итераций при решении возникающих трансцендентных уравнений. Это не -создает проблемы, поскольку речь идет только о границе, и такие особенности касаются только нескольких переменных, причем требуются существенно менее жесткие условия устойчивости, чем используемые в численной модели для газа.
11-2. Поверхности раздела и разрывы
Поверхность раздела^ является внутренней границей, разделяющей две различные среды или два различных состояния одной среды. Мы различаем здесь два типа поверхностей раздела. Пассивная (неразрешаемая) поверхность раздела инертна в том смысле, что она является лишь линией (или контуром), которая моделирует физическое поведение разрыва и двигается вместе с жидкостью. Активная (разрешаемая) поверхность раздела имеет толщину и свои собственные параметры, отличающиеся от параметров окружающей среды, причем она не переносится простым образом с локальной скоростью течения.
Не всегда ясно, является ли поверхность раздела активной или пассивной, и это зависит от того, насколько точное представление для нее выбирается. Примером пассивной поверхности раздела может служить граница между твердым инертным телом и обтекающим его газом. Однако эта же самая поверхность раздела может быть активной при динамических расче-
!) Здесь иногда под поверхностью раздела подразумеваются как контактный разрыв, так и ударная волна. — Прим. ред.
тах на молекулярном уровне, касающихся взаимодействия между молекулами твердой поверхности и молекулами газа, соударяющимися с ней.
Расчеты разрешаемых активных поверхностей раздела называются расчетами с улавливанием поверхностей раздела^. Здесь мы собираемся определять параметры таких поверхностей раздела при помощи детальных моделей для отдельных физических процессов. При этом осуществляется адекватное численное разрешение и применяются точные численные методы. Разрешение поверхности раздела является существенной стороной расчета. При моделировании пассивных поверхностей раздела прибегают к процедуре, которая называется отслеживанием по-, верхности раздела^, когда используются специальные алгоритм мы для представления этих поверхностей и точного определения их положения в пространстве. Имеется четыре общих метода для численного отслеживания поверхностей раздела: методы, использующие подвижные сетки; методы отслеживания поверх? ностей; методы отслеживания объемов и градиентные методы. В работах [42, 47] дан обзор некоторых из этих методов, а в работе [38] представлено полезное введение в эти методы.
11-2.1. Численное разрешение активных поверхностей раздела
Единственный способ улавливания в расчете активных поверхностей раздела состоит в моделировании управляющих физических процессов и адекватном разрешении этих поверхностей раздела. Методы измельчения сетки, подобные обсуждавшимся в гл. 6, могут применяться для получения необходимого разрешения. Здесь будет приведено несколько примеров численного разрешения и улавливания активных поверхностей раздела.
Сначала рассмотрим ламинарный фронт пламени, двигающийся по смеси водорода и кислорода, как это показано на рис. 11-5 [56]. Программа, по которой были рассчитаны эти графики, описана в разд. 13-3. В ней детально учитываются химические реакции, процессы теплопроводности, молекулярной диффузии и конвекции с достаточным разрешением, для того чтобы моделировать детальную структуру фронта пламени. Отдельные процессы должны быть смоделированы и рассчитаны с большой точностью, чтобы получить количественно правильные Данные о фронте пламени. Для этого требуются также точные
!) В отечественной литературе такие расчеты обычно называют расчетами с размазыванием поверхности раздела. — Прим. ред.
Рис. 11.5. Расчет химической структуры пламени, распространяющегося в смеси водорода и кислорода [56].
входные данные о скоростях химических реакций и различных коэффициентах диффузии. В этом примере около поверхности раздела, в данном случае фронта пламени, требуется гораздо большее разрешение, чем где-либо в другом месте системы.
Теперь рассмотрим расчет распространения по сетке ударного фронта. Реальная структура ударной волны имеет масштаб в несколько средних длин свободного пробега молекул, что на несколько порядков меньше того, что может быть разрешено при макроскопических гидродинамических расчетах. Тем не менее большинство алгоритмов, применяемых для моделирования ударных волн, являются алгоритмами, улавливающими скачки. Численная диффузия, ограничители потоков или искусственная вязкость играют в макроскопическом масштабе ту же роль, какую играет молекулярная вязкость на микроскопическом уровне. Обычно требуется по меньшей мере несколько ячеек для представления профиля скачка. Ударная волна улавливается в том смысле, что реальный физический ударный раз-
Рис. 11-7. Расчет абляции вещества пластиковой мишени, облучаемой лазером. За счет небольших возмущений плотности у поверхности раздела возникает неустойчивость Рэлея — Тейлора. Представлены результаты расчетов для возмущений с двумя различными длинами волн [24].
рыв будет расположен вблизи средней точки зоны больших численных градиентов. Ударная волна не моделируется столь детально, как описанный выше фронт пламени, но в то же время консервативная форма уравнений обычно обеспечивает выполнение условия на скачке при переходе через ударный фронт. Кроме того, это глобальное свойство удовлетворения условий на скачке гарантирует, что ударные волны и контактные разрывы двигаются по жидкости или вместе с жидкостью с правильной локальной скоростью. На рис. 9-4—9-7 показаны уловленные ударные волны при решении тестовой задачи Римана четырьмя различными методами.
Другим примером расчета разрешаемой активной поверхности раздела является расчет структуры детонационного фронта, распространяющегося в жидком нитрометане, показанного на
рис. 11-6 [33]. Этот расчет был выполнен при помощи двумерной детонационной модели, описанной в разд. 13-2. Входными данными в этой модели являются уравнение состояния нитрометана и модель химических реакций, включающая времена задержки химических реакций и времена выделения энергии. В окрестности детонационного фронта требуется очень высокое разрешение для расчета сложного взаимодействия структуры ударного фронта с зоной реакции, следующей за распространяющимся скачком.
В качестве последнего примера рассматривается поверхность раздела в реагирующем потоке другого рода. Это абляционный слой, возникающий вследствие поступления энергии при облучении лазером твердой мишени. Пример такого расчета представлен на рис. 11-7, приведенном в работе [24]. Разрешаемая поверхность раздела представляет собой отходящую поверхность твердой мишени, расположенной слева на двух приведенных рисунках. Когда энергия лазерного излучения выделяется на поверхности мишени, то образуется слой плазмы, имеющей высокое давление. Поверхность мишени становится нестабильной из-за того, что возникает неустойчивость Рэлея — Тейлора в результате ускоренного движения в этом слое с высоким давлением и низкой плотностью. Этот род неустойчивости обычно анализируется на примере рассмотрения взаимодействия тяжелой жидкости, расположенной над легкой жидкостью. Модели FAST2D, на основе которых проведены расчеты, описаны ниже в разд. 13-2. Отличительной особенностью этих моделей является то, что здесь алгоритмы учитывают сильную электронную теплопроводность и обратное тормозное излучение. Два приведенных рисунка показывают нелинейную эволюцию возмущений с двумя различными длинами волн на поверхности раздела.
11-2.2. Методы, использующие подвижные сетки
Методы, использующие подвижные сетки, подстраивают сетку таким образом, чтобы поверхность раздела всегда совладала с хорошо определенными границами ячеек. Совпадение границы между двумя различными жидкостями с границами ячеек позволяет контролировать численное размазывание, которое может иметь место на поверхности раздела при ее движении. Имеется несколько способов реализации этой идеи. Один из них заключается в сохранении сетки из деформированных четырехугольников. Другой подход состоит в применении обобщенных ортогональных сеток, которые подстраиваются под форму поверхности раздела. Еще один способ заключается в применении лагранжева представления с треугольными ячейками. Можно было бы попытаться использовать комбинированные методы, в кото-
\
рых применяется ограниченная лагранжева сетка для представления движения поверхности раздела по прямоугольной эйлеровой сетке, на которой решается гидродинамическая задача в целом.
Все эти способы имеют свои преимущества и недостатки. Общее их преимущество очевидно — это потенциально хорошее представление поверхности раздела. Однако использование подвижной сетки с четырехугольными ячейками может породить проблемы в случаях, когда в течении происходит сильное искажение сетки, как это показано на рис. 11-8. Для устранения этого недостатка требуется введение некоторой новой сетки и интерполирование физических переменных на эту сетку. Такая интерполяция вновь вносит в расчет численную диффузию. В некоторых методах, использующих сетки с треугольными ячейками, нет этой проблемы, но вместо этого возникают значительные трудности, связанные со сложностью программирования и с требуемым объемом оперативной памяти ЭВМ.
Комбинирование эйлеровой сетки с накладываемой на нее лагранжевой сеткой дает многосторонность представления поверхности раздела на адаптирующейся сетке, причем сохраняются удобства прямоугольной сетки для расчета гидродинамических уравнений. В программе CEL [54] поверхность раздела представляется рядом прямолинейных отрезков. Например, изолированный объем жидкости ограничивается некоторым нерегулярным многоугольником. Расчет одного шага по времени осуществляется в несколько этапов. Сначала определяется, каким образом по эйлеровой сетке смещаются лагранжевы сетки, определяющие поверхности раздела. Затем проводятся гидродинамические расчеты для различных жидкостей на эйлеровой сетке с использованием новых рассчитанных положений лагранжевых поверхностей раздела. Наконец, поля скоростей и давлений, полученные при расчете на эйлеровой сетке, используются для определения положений лагранжевых границ в начале нового шага по времени. На рис. 11-9 показана начальная комбинированная эйлерово-лагранжева сетка для тестовой задачи с несколькими поверхностями раздела. Хотя в методах, использующих комбинированные эйлерово-лагранжевы сетки, различные жидкости изолируются одна от другой, проблема с сильным искажением лагранжевых сеток все еще остается. Кроме того, в этом методе требуется хранить информацию, относящуюся и к эйлеровой, и к лагранжевой сеткам, а также требуются довольно большие вычислительные затраты для логического представления и расчета прямых и обратных интерполяций между двумя типами расчетных сеток.
Полностью лагранжев метод кажется наиболее естественным для отслеживания большого числа поверхностей раздела.
абб
га
Рис. 11-8. Расчет неустойчивости Рэлея —- Тейлора на лагранжевой четырехугольной сетке для случая, когда тяжелая жидкость расположена над легкой жадностью. Небольшие возмущения у поверхности раздела в начале расчета приводят к неустойчивости. Стрелками на рисунках г и д отмечено положение поверхности раздела у правого и левого краев рисунков. После момента времени, к которому относится рисунок д, расчет не может быть продолжен, так как сеточные линии пересеклись. Для продолжения расчетов следует провести некоторую перестройку сетки.
(С разрешения М. Фриттса.)
Рис. 11-9. Возможный начальный вид комбинированной эйлерово-лагранжевой сетки для задачи с большим числом поверхностей раздела [54].
Рис. 11-10. Начальный вид лагранжевой сетки, составленной из треугольников, для расчета сдвигового течения (а). Скорость жидкости в верхней части рисунка равна и, а в нижней части равна —и. Показано возможное искажение сетки по истечении некоторого времени (б). После этого может быть изменена связность сеточных узлов и сетка снова может быть преобразована к виду а.
В гл. 10 была введена лагражева сетка с треугольными ячейками, предназначенная для того, чтобы обойти трудности, связанные с ячейками прямоугольной формы. Когда плоская область разделена на четырехугольные ячейки, связь сеточных точек оказывается негибкой; каждая вершина является общей для четырех четырехугольников. Когда плоская область делится на треугольники, любая вершина может быть общей для любого числа треугольников. Таким образом, проблему с искажением сетки можно обойти без диффузии путем локальной перестройки сетки. Например, вытянутые ячейки, возникающие в
r=S,00 ■ 10 "4о
О1,0
f = 1,34 • 10 jc
1,0
О1,0
Рис. 11-11. Развитие неустойчивости Рэлея — Тейлора при расчете на лагранжевой сетке с изменяющейся связностью (С разрешения М. Фриттса.)
о
сдвиговом течении жидкости, можно заменить на более симметричные, как показано на рис. 11-10.
На рис. 11-11 показаны результаты расчета неустойчивости Рэлея — Тейлора на границе раздела двух жидкостей; здесь применялся лагранжев алгоритм, описанный в разд. 10-2. В начальном состоянии тяжелая жидкость расположена сверху легкой жидкости. При задании малого возмущения на поверхности раздела между жидкостями эта поверхность становится неустойчивой и тяжелая жидкость стремится проникнуть в легкую жидкость. К моменту времени, отмеченному на последнем рисунке, тяжелая жидкость уже значительно проникла в легкую и идет интенсивный процесс их перемешивания. Для поддержания хорошего разрешения поверхности раздела по мере того, как она скручивается и образуются изолированные пятна одной жидкости внутри другой, добавлялся ряд новых ячеек. Поверхность раздела между жидкостями представляется рядом связанных сторон треугольников, так что граница составляется из
прямолинейных отрезков. В пределах заданного разрешения допускаются минимальная и максимальная длина сторон треугольников, поэтому поверхность раздела может быть достаточно хорошо представлена, несмотря на то, что она строится из* отрезков прямых.
11-2.3. Методы отслеживания поверхностей
В методах отслеживания поверхностей последние представляются совокупностью кривых, проходящих через точки, лежащие на поверхности раздела. На каждом шаге по времени эти точки переносятся вместе с потоком жидкости, а последовательность, в которой они связаны, при этом сохраняется. Эти точки могут также двигаться таким образом, чтобы моделировать другие процессы, отличающиеся от простого переноса, такие, как химические реакции, фазовые переходы или абляция. Методы отслеживания поверхностей применялись в работах [18, 30]. Отметим, что описанные в разд. 10-4 методы динамики контуров и контурных интегралов для определенных типов гидродинамических задач, близко связаны с рассматриваемыми здесь алгоритмами отслеживания поверхностей.
В простом варианте методов отслеживания поверхностей для двумерного случая точки на таких поверхностях представляют собой последовательности высот над некоторыми заданными линиями отсчета, как это показано на рис. 11-12, а. Здесь изображены две кривые, ограничивающие сверху и снизу некоторую область жидкости. Этот подход не пригоден в случаях,, когда кривая становится многозначной или не простирается че-
Рис. 11-12. Представление поверхности раздела при помощи последовательности высот над некоторой линией отсчета (а) и при помощи ряда точек, параметром для которых служит расстояние вдоль поверхности (б) [42].
30—245
рез всю рассматриваемую область. Однако эта трудность может быть преодолена, если точки представляются параметрическим образом, как это показано на рис. 11-12,6. Такая формулировка более сложная, но в ней могут представляться тонкие детали формы поверхностей раздела при использовании достаточного количества точек. Интересной особенностью методов отслеживания поверхностей является то, что они могут разрешать такие детали поверхностей раздела, которые по размеру меньше размера ячеек эйлеровой сетки, на которую эти кривые наложены. Естественно, за получение такой дополнительной информации приходится платить, и шаг по времени ограничивается тем, насколько большие изменения могут быть допущены на каждом шаге при самом меньшем масштабе пространственного разрешения.
Имеются еще две существенные трудности в методах отслеживания поверхностей. Во-первых, трудно иметь дело со сливающимися поверхностями раздела или присоединять часть поверхности раздела к самой себе. В этом случае необходимо обнаруживать места пересечения поверхностей, изменять порядок расположения точек на поверхности раздела (что может потребовать значительного усложнения программирования) и, возможно, отслеживать дополнительные поверхности раздела. Во- вторых, расчетные точки могут сгруппироваться на одном участке поверхности раздела, уходя с других участков, где получается недостаточное разрешение. Для получения хорошей точности следует ограничить расстояние между соседними точками до величины, меньшей минимального локального размера сетки [38J. Размер поверхностей раздела обычно непрерывно увеличивается в сложных течениях. Следовательно, необходимо автоматически добавлять точки вдоль поверхности. Напротив, точки следует удалять, когда их становится слишком много. Когда целесообразно добавлять или удалять точки, каковы наилучший способ введения новых точек и наилучший способ представления контуров и обращения с контурами с изменяющейся длиной — ответы на эти вопросы представляют важные аспекты вычислительной процедуры.
Развитие методов отслеживания поверхностей продолжается. Но здесь все еще остаются проблемы изменения топологии областей от односвязных к многосвязным, проблемы соединяющихся фронтов, исключения вырождающихся фронтов и образования новых поверхностей раздела. Описанные методы обычно применялись в одно- и двумерных расчетах поверхностей раздела, которые не взаимодействуют. Сложность точного определения поверхностей раздела и их расчета в случае трехмерных взаимодействий делает отслеживание трехмерных поверхностей раздела областью, требующей основательной разработки.
11-2.4. Методы отслеживания объемов
В отличие от методов отслеживания поверхностей, в которых информация о поверхности раздела хранится в памяти на каждом шаге по времени, в методах отслеживания объемов проводится реконструкция поверхности раздела тогда, когда это требуется. Реконструкция выполняется поячеечно и она основана на положении маркера в пределах ячейки или на некоторой другой, связанной с объемом и возрастающей переменной. В то время как в методах отслеживания поверхностей последние представляются непрерывной кривой, поверхность раздела, образующаяся при отслеживании объемов, состоит из набора не связанных между собой отрезков прямых, расположенных в ячейках, содержащих участки поверхности раздела.
В первых методах отслеживания объемов применялись частицы-маркеры, причем плотность частиц в каждой ячейке соответствовала плотности вещества. Этот метод, впервые предложенный Харлоу [36], был назван методом частиц в ячейке,, или методом PIC. В методе маркеров в ячейке, или в методе МАС [37, 65], частицы являются метками или частицами-маркерами без массы.
В качестве примера рассмотрим характерные черты метода PIC, реализованного в работе [2] на эйлеровой сетке, в которой скорость, внутренняя энергия и полная масса определяются в центрах ячеек. Различные жидкости представляются лагранжевыми точками, или частицами-маркерами, обладающими массой, которые двигаются через эйлерову сетку. Частицы-маркеры имеют постоянную массу, удельную внутреннюю энергию и регистрируемое положение в сеточной области, которое обновляется в соответствии с локальной скоростью в ячейке. Масса,, импульс и удельная внутренняя энергия частицы переносятся из данной ячейки в соседнюю, когда частица-маркер пересекает границу ячейки. Ячейки, в которых находятся частицы-маркеры для двух жидкостей, содержат поверхность раздела. Поскольку поверхность раздела может быть локально реконструирована в. любой момент времени, то проблемы, связанные с взаимодействием поверхностей раздела и сильными деформациями жидкой среды, уменьшаются и поэтому метод PIC можно обобщать на. любое число жидкостей.
В отличие от методов отслеживания поверхностей, в методах, использующих частицы-маркеры, не могут быть воспроизведены детали поверхностей раздела, меньшие по размерам,, чем размеры ячейки. В этих методах также велики затраты времени и требуются значительные объемы памяти ЭВМ, потому что обычно в них необходим больший объем информации в рас- 30®
чете на одну эйлерову ячейку. Так же как в методах отслеживания поверхностей, частицы могут собираться в некоторой части сеточной области, что приводит к плохому разрешению течения в других частях области. Когда число частиц-маркеров недостаточно, возникают неприемлемые статистические флуктуации, вызывающие слишком большие изменения характеристик, связанных с частицами-маркерами, накапливаемыми в ячейке.
Теперь многие методы отслеживания объемов для реконструкции поверхности раздела используют показатель, представляющий собой долю объема ячейки, занятую одним из веществ. Если эта доля равна нулю для данной ячейки, то здесь поверхность раздела отсутствует. В противоположном случае, когда эта доля равна единице, ячейка целиком занята данным веществом и вновь здесь нет поверхности раздела. Поверхность раздела проходит через те ячейки, в которых указанный показатель заключен между нулем и единицей. Такое представление поверхности раздела, как и в методе градиентов, который изла- тается ниже, позволяет оптимальным образом использовать память ЭВМ.
Метод расчета поверхности раздела с простым линейным представлением, или метод SLIC был впервые предложен в работе [53]. Каждая ячейка здесь разделяется горизонтальной или вертикальной линией таким образом, что получающиеся части объема равняются долям объема, определяемым по маркерам. Ориентация разделяющей линии выбирается таким образом, чтобы жидкости одинакового сорта в соседних ячейках 'были, если это возможно, расположены смежно. Ориентация выбирается также из того соображения, чтобы линии, разделяющие ячейки, располагались по нормали к преимущественному направлению течения. Это уменьшает численную диффузию за ючет того, что вся жидкость одного сорта переходит через границу ячейки в область, занятую подобной ей жидкостью, прежде чем другой сорт жидкости сможет поступить в ячейку, содержащую до этого жидкость одного сорта. В методе предполагается расщепление временного шага, поэтому его обобщение на случай двух и трех измерений несложно. В двумерном случае поверхность раздела строится ячейка за ячейкой до расчета переноса в направлении оси х. После интегрирования по направлению х поверхность раздела вновь реконструируется и проводится интегрирование по координате у. Прямолинейные отрезки, нормальные к направлению течения, получающиеся при расчетах по направлению х и у, приводят к различному представлению поверхности раздела. Чтобы исключить предпочтительность какого-либо направления, порядок интегрирования ио направлениям х и у меняется на каждом шаге по вре-
Рис. 11-13. Вид поверхности раздела (точное решение) (а), представление по-
абб
Рис. 11-14. Вид поверхности раздела (точное решение) (а), представление поверхности в методе SLIC при расчете в направлении оси х (б) и в направлении оси у (в) [53]
Рис. 11-15. Вид поверхности раздела (точное решение) (а), поверхности раздела при расчете конвекции, реконструированные по методу SLIC [19] (б) и по методу VOF [5] (в).
мени. Примеры представления поверхностей раздела в методе SLIC приведены на рис. 11-13, 11-14.
Разрешение первоначального метода SLIC было улучшено [19] путем введения угловых построений в дополнение к горизонтальным и вертикальным отрезкам при изображении поверхности раздела, используя то же самое представление о долях объема ячейки. Пример поверхности раздела, рассчитанной таким усовершенствованным методом SLIC, показан на рис. 11-15,6. Метод динамики вихрей, описанный в разд. 10-4, использовался для расчета вихревого поля [19]. По вихревому полю определяется поле скоростей, которое затем служит для расчета переноса поверхности раздела. Перенос рассчитывается тем же способом расщепления временного шага, как и в первоначальном методе SLIC.
Для моделирования распространения пламени, т. е. при активной эволюции распространяющейся поверхности раздела, в работе [19] применяется алгоритм, основанный на принципе Гюйгенса. Задается ряд различных направлений, и поверхность раздела распространяется с известной скоростью отдельно по каждому направлению. При этом запоминаются представляющие интерес воздействия на доли объемов при расчете по каждому направлению. Окончательное положение поверхности раздела представляет собой положение, которое соответствует наибольшему увеличению объема сгоревшего вещества для каждой ячейки. Были выбраны восемь направлений при значениях углов ai=^—1)^/4, Z=L • •, 8. Расчет распространения вдоль каждого направления проводился при помощи того же процесса расщепления временного шага, который используется при расчете переноса. При непосредственной реализации этой идеи возможна ситуация, при которой окружности будут превращаться в восьмиугольники. Эту проблему, возникающую из-за преимущественного распространения по восьми направлениям, можно обойти разными способами. Например, за счет использования случайного выбора углов, определяющих направление распространения. При исследовании горения такой способ построения и переноса поверхностей раздела и соответствующая схема расчета распространения применялись в работах [28, 62].
В методе VOF, предложенном в работе [38], поверхности раздела также представляются отрезком прямой линии, но этот отрезок может иметь любой наклон. Для каждой ячейки численно определяются производные от объемной доли (возрастающей переменной) по направлениям х и у. Если значение производной по направлению х меньше соответствующего значения по направлению у, то поверхность раздела в этом случае в большей степени горизонтальна и ее наклон определяется значением производной по направлению х. Поверхность раздела.
расположенная в большей степени вертикально, имеет наклон, соответствующий значению производной по направлению у. Если наклон ловерхности раздела определяется производной по направлению х, то знак производной по направлению у определяет, находится ли жидкость выше (положительный знак) или ниже (отрицательный знак) поверхности раздела. Для поверхности, расположенной в большей степени вертикально, знак производной по направлению х определяет, расположена ли отмеченная маркерами жидкость справа (положительный знак) или слева (отрицательный знак) от поверхности раздела. При задании наклона поверхности раздела и информации о том, с какой стороны от нее расположена жидкость, положение поверхности раздела в пределах ячейки полностью определяется. Эти расчеты проводятся для каждой ячейки, в которой доля занятого объема заключена между нулем и единицей. В работе [38] при расчете производных брались значения доли объема жидкости, осредненные по нескольким ячейкам.
В других реализациях метода VOF используются центральные разности [5]. Точность метода VOF зависит от его способности аккуратно рассчитывать перенос объемной доли через сетку без ее размазывания вследствие численной диффузии. В работе [38] предложен метод «донора — акцептора», в котором гарантируется, что только определенная часть жидкости переносится в ячейку или из ячейки, содержащей поверхность раздела. Этот способ помогает избежать процедуры осреднения по ячейкам, которая приводит к численной диффузии.
При изучении задач о горении в работе [5] применялись оба метода, метод VOF и метод SLIC в варианте [19], объединенные в метод, названный SLIC — VOF. Метод SLIC используется для нахождения и расчета переноса поверхностей раздела, а метод VOF — для определения направления нормали и получения более гладкой поверхности раздела при распространении пламени. На рис. 11-15 показано, как методы SLIC и VOF аппроксимируют одну и ту же искривленную поверхность. В случае двумерной задачи распространения пламени комбинированный метод SLIC — VOF работает в следующей последовательности. Сначала проводится интегрирование по направлению х и поверхность раздела строится методом SLIC, затем проводится интегрирование по направлению у и поверхность раздела строится методом SLIC, далее рассматривается распространение фронта пламени по направлению х и поверхность раздела строится методом VOF, наконец рассчитывается распространение фронта пламени по направлению у и поверхность раздела строится методом VOF. Поверхности раздела реконструируются после каждого расчета переноса и распространения. На каждом полном шаге по времени порядок интегрирова-
ния по направлениям х и у поочередно меняется, но расчет переноса всегда предшествует расчету горения. Как и в варианте [19], скорости течения рассчитываются по вихревому полю. Скорость распространения пламени по направлениям х и у получается как сумма скорости течения и скорости распространения пламени по нормали к поверхности раздела, определенной методом VOF.
Детальный анализ недостатков методом SLIC приведен в работе [5]. Не останавливаясь на подробностях, можно сказать, что здесь искривленная поверхность раздела может либо выглаживаться, либо становиться зазубренной. Характер искажения зависит от значения числа Куранта в течении и геометрии поверхности раздела. В некоторых случаях такое искажение появляется, когда поверхность раздела первый раз пересекает границу ячейки, а затем оно не увеличивается. В других случаях искажение поверхности раздела может продолжать расти. Включение модели для распространяющихся фронтов химических реакций очевидно уменьшает это искажение, поскольку при расчете распространения такого фронта за один шаг коротковолновые искажения сглаживаются.
11-2.5. Метод градиентов
В методе градиентов [47] точное положение поверхности раздела в пределах ячейки не определяется, но поверхность раздела представляется в виде зоны с относительно непрерывным градиентом, охватывающей несколько ячеек. Разрешение поверхности раздела в тех же рамках, что требуются для расчета процесса переноса, уменьшает требования к памяти ЭВМ, а также затраты на отслеживание поверхностей раздела. Метод градиентов применялся к расчету фронтов пламени [47]. Этот метод может быть также полезен для расчета других типов поверхностей раздела. Ниже дано краткое описание процедуры отслеживания фронта пламени с помощью метода градиентов, учитывая его потенциальную полезность для моделирования течений реагирующей среды.
Для системы газов, реагирующих с образованием продукта реакции с плотностью частиц пр, должно решаться уравнение вида
-^ + V-(V^) = ^, (11-2.1)
где tip — плотность частиц продукта реакции, V — средняя скорость движения этих частиц, w — функция источника, описывающая образование этого продукта. Левая часть этого урав-
нения может быть решена любым методом, разработанным для решения уравнений сохранения. Источник в правой части добавляется при расчете переноса при помощи методов расщепления временного шага таким образом, чтобы управлять скоростью нарастания горения. Требование сохранения реагентов и продуктов реакции позволяет рассчитать количество энергии, выделяемой в каждой ячейке.
Фронты реакций определяются как зоны, в которых градиент ^пр достаточно большой. Интеграл от градиента по зоне реакции от ее фронта до задней границы, равный скачку величины Пр при пересечении фронта пламени, известен. Выбор скорости локального энерговыделения пропорционально локальному градиенту гарантирует правильное полное энерговыделение вдоль искривленного фронта. Количество вновь образованного продукта реакции равно
A^ = |V^|Z, (11-2.2)
гдеА^р представляет скачок величины пР) al — расстояние, которое фронт проходит по своим локальным нормалям в течение рассматриваемого промежутка времени. Направление нормали к фронту реакции совпадает с направлением градиента. Скорость фронта совпадает с локальной скоростью распространения пламени. Следовательно, величина I определяется формулой
1-UjM, (11-2.3)
где V/ — известная локальная скорость распространения пламени, нормальная к поверхности раздела. Количество продукта реакции, образовавшееся в единице объема за промежуток времени А/, равно
wM = Nnp = V/ А/1 ^пр |. (11-2.4)
В расчете требуется определить величину |V^P|. В работе [47] установлено, что односторонняя максимальная разность, используемая при вычислении градиента, хотя она и соответствует только первому порядку точности, но дает наилучшие результаты. Кроме того, имеются несколько тестов, касающихся градиента и значений пр, которые должны проводиться в окрестности поверхности раздела, для того чтобы убедиться в правильности вычисленного значения градиента. Наконец, требуется некоторая модификация расчета в случае неоднородного поля давления. Скорость распространения пламени V/ становится функцией координат, а рассматриваемые плотности частиц должны быть увязаны с характерной температурой. Пример расчета градиентным методом двух круговой формы фрон-
Рис. 11-16. Результаты расчета методом градиентов двух пересекающихся фронтов пламени. Последовательные контуры, распространяющиеся из центра, соответствуют последовательным моментам времени. (С разрешения К. Лески.)
тов пламени, которые расширяются и объединяются друг с другом, показан на рис. 11-16; этот расчет проводился на конечноразностной сетке из 40X40 ячеек.
Градиентный метод обладает несколькими положительными свойствами. В нем слияние поверхностей раздела рассчитывается относительно легко. Возможность добавления других поверхностей раздела и устранение в конечном счете ослабевающих поверхностей раздела естественным образом присутствуют в этом методе. Поскольку в этом методе ненужны никакие дополнительные переменные, то и требования к памяти ЭВМ оказываются умеренными. При реализации этот алгоритм полностью векторизуется. Наконец, его легко обобщить на трехмерный случай.
Плата за эту гибкость метода состоит в том, что в расчетах остается неизвестным точное положение поверхности раздела. Метод градиентов гарантирует, что количество прореагировавшего вещества в зоне большого градиента, вычисленного на макроскопической сетке, определяется правильно. Этот метод хорошо работает для тех типов задач, для которых он был предназначен, например для расчета фронтов пламени, распространяющихся по полю течения сложной структуры. Однако он не подходит для моделирования таких течений, когда требуется строгое разграничение двух веществ или определение кривизны поверхности раздела на масштабах длины, сравнимых или меньших размеров разностной ячейки. Примером задачи, для решения которой метод градиентов непригоден, является рас-
чет динамики небольшой капли, для которой важно очень точно знать кривизну поверхности, чтобы учесть эффекты, связанные с поверхностным натяжением. Метод мог бы определять положение поверхностей раздела достаточно точно, если бы имел дополнительную информацию о кривизне фронта пламени, и был бы также полезен при описании процесса испарения с поверхности капли и распространения испарившегося материала в окружающем газе.
Для применения градиентного метода значения градиентов должны оставаться весьма большими, а граница раздела должна распространяться по жидкости. Поскольку градиенты должны быть хорошо разрешены и локализованы, то для расчета рекомендуется один из надежных монотонных методов, описанных в гл. 8 и 9.
11-3. Элементы алгебры матриц в приложении к конечно-разностным уравнениям
Численное решение уравнений, описывающих течения реагирующей среды, часто приводит к системе матричных алгебраических уравнений. Возникающие матрицы обычно разреженные, это означает, что большинство внедиагональных элементов матрицы равно нулю. Применение общих методов обращения матриц почти никогда не требуется и не рекомендуется при решении уравнений с разреженными матрицами. Большинство общих алгоритмов обращения матриц требует порядка Nc3 операций, где Nc — число расчетных ячеек в задаче. В многомерных расчетах значение Nc очень велико и составляет обычно 104... 106. Учитывая тот факт, что матрицы разреженные, можно использовать алгоритмы, требующие около Nc2 операций. В некоторых задачах оказывается возможным применить алгоритмы обращения матриц, требующие Nc\nNc или даже Nc операций. Далее буква N служит для обозначения размерности вектора, что совпадает с обозначением Nc для рассматриваемых здесь случаев (и, следовательно, обозначения N и Nc взаимозаменяемые).
В этом разделе излагаются методы решения матричных уравнений, возникающих при расчетах параболических уравнений, описывающих гидродинамические течения и теплопередачу в реагирующих средах. Мы не проводим детального разбора этих методов, описываемых в множестве книг, написанных на самом разном уровне. Хорошими общими работами по данному вопросу, которые могут отсутствовать в списках литературы по численным методам в линейной алгебре, являются книги [4, 40, 57, 61].
11-3.1. Постановка задачи
Во многих дискретных представлениях уравнений, описывающих течения реагирующей среды, уравнения в частных производных сводятся к конечной системе линейных алгебраических уравнений. В явных методах такие уравнения обычно вырождаются в соотношения между диагональными матрицами. Однако в неявных методах зачастую требуется обращение матриц.
В общем случае система линейных алгебраических уравнений связывает вектор неизвестных и с известным вектором Источниковых членов s через посредство матрицы М, т. е.
М u = s.(11-3.1)
Для случая N уравнений и N неизвестных матрица М является квадратной. В типичных задачах N представляет собой число расчетных ячеек Nc при дискретизации пространственной области непрерывного течения жидкости.
Для иллюстрации обратимся к одномерному уравнению диффузии, рассмотренному в разд. 4-3:
^-=D^--Vs.(11-3.2)
Для равномерной сетки по пространству с размером ячейки, равным А, и постоянным коэффициентом диффузии D уравнение (11-3.2) (см. уравнение (4-3.8)) можно записать в следующем разностном виде:
f4^=^[p/+i-2P/+P/-i]"+[p/+i-2py+p/_1?-1+sr
(11-3.3)
Здесь индексы / для каждой из Nc величин в расчетных ячейках и величины в квадратных скобках вычисляются либо для данного момента времени, отмечаемого индексом п, либо для предыдущего момента времени, отмечаемого индексом п—1. Уравнение (11-3.3) относительно новых значений (р/"} можно записать в символьной форме
М".р" = М"-1.р"-1+$"-1,(11-3.4)
где Мп и Мп-1 являются трехдиагональными матрицами. Общий вид трехдиагональной матрицы показан на рис. 11-17. Здесь лишь элементы, расположенные на диагонали матрицы, и соседние с ними элементы отличны от нуля. В периодической одномерной задаче для уравнения вида (11-3.3) угловые элементы матрицы X и X' также не равны нулю.
Рис. 11-17. Общий вид трехдиагональной матрицы. Наклонные сплошные линии указывают ненулевые коэффициенты, а незаполненные места соответствуют нулевым коэффициентам. Элементы х и х' равны нулю, если задача не является периодической.
Одномерное уравнение Пуассона
S = -sW(11.3.5)1
также сводится к трехдиагональной матрице. Фактически любое уравнение, которое можно записать в виде
(11-3.6),
где р(х)—неизвестная функция, fW, g(x), h(x) и s(x)—известные функции х, сводится к уравнению с трехдиагональной матрицей, если используются разностные алгоритмы, в которых связываются лишь ближайшие расчетные ячейки.
В двумерном случае уравнение (11-3.2) принимает вид
+(Н-з.?).
Простая конечно-разностная аппроксимация этого уравнения при Д = ДЖ = ДУ имеет вид
~1’м1' = "^"№‘+1-У—^p^y+pi-i,/)+(p,-,/ + i 2р/1/ + р1]у_1)]',+ + 5^[(Pz+1,-2Pz,/+P<-1J+(Pz^^^
(П-3.8).
Теперь матрицы М и Мп-1 не являются трехдиагональными, они принимают пятидиагональную форму, схематично показанную на рис. 11-18. Четыре ряда внедиагональных коэффициентов расположены нс непосредственно у диагонали, хотя матрица по-прежнему является разреженной. В действительности,.
Рис. 11-18. Общий вид пятидиагональной матрицы. Наклонные сплошные линии указывают ненулевые коэффициенты, а незаполненные места соответствуют нулевым значениям коэффициентов матрицы М.
уравнения в частных производных довольно общего вида могут быть аппроксимированы в такой форме, если для их конечноразностной аппроксимации можно взять пятиточечный шаблон, изображенный на рис. 7-7, а. Уравнение (11-3.1) охватывает все эти случаи, а также неявно содержит важную структуру, которая обычно может использоваться для оптимизации численной процедуры решения.
11-3.2. Точное решение матричного уравнения
Формально уравнение (11-3.1) имеет решение
u = M~1s, (11-3.9)
где матрица М-1 является обратной по отношению к матрице М и имеет NXN элементов. Практический интерес представляют матрицы очень большой размерности. Двумерная задача на сетке из 100X100 ячеек приводит к матрицам размерностью 104, содержащим в общей сложности 108 элементов. В этом случае нельзя непосредственно использовать правило Крамера.
Матрицы, получаемые в конечно-разностных алгоритмах, обычно обладают специальными свойствами. При решении уравнений может оказаться ценной возможность использования преимуществ, вытекающих из этих свойств. Хотя размерность матриц часто очень велика, они обычно сильно разреженные. Это связано с тем, что ближайшие ячейки взаимодействуют непо-
средственно, а отдаленные ячейки — лишь опосредованно. Для разреженных матриц имеются относительно быстрые итерационные методы, дающие приемлемое решение. Однако, как и во всех итерационных подходах, скорость сходимости и особые случаи определяют, насколько эффективно в действительности работает данный метод.
Точное решение уравнения (11-3.1) путем нахождения матрицы М-1 без использования каких-либо специальных свойств- матрицы М требует около N3 операций и, следовательно, больших объемов вычислений. Большинство общих методов, которые попадают в эту категорию, основаны на методе исключения. Гаусса. Основная идея метода исключения Гаусса лучше всего видна, когда уравнение (11-3.1) записано в тензорной форме
Sm^-^s,-, t=l, ...,NC.(11-3.10)'
С помощью первого уравнения можно выразить их через остальные N—1 неизвестных. Затем, используя это выражение, последовательно исключаем их из остальных N—1 уравнений, умножая каждое из них на mxxlmix и вычитая их из первого уравнения. Это приводит к частично сокращенной системе линейных уравнений
Шц^! 4~ Щ12^2 4“ • • • 4“ 1Т1^^и^у = Si,
^22^2 4“ • • • 4“^2Л^^№^2»
^32^2 4- • • • 4-= s3,(1 1-3. 11)
Щд^г 4- • • • 4~^лгмМдг— s^.
Таким же образом исключаются все другие неизвестные из последовательно уменьшающихся в размерах систем уравнений. В конечном результате -получается система уравнений с верхней треугольной матрицей, т. е. содержащей отличные от нуля элементы только выше диагонали:
^им14" ^12^2 4" ^1з^з 4" • • • 4" ^1^^ = si>
^22^2 4~ ^23^3 4“ • • • 4" ^2N^N = $2,
^зз^з 4“ • • • 4“ tTl^N^N ” ^з,(11-3.12)
tnNN ^N — S N •
Такая процедура требует в несколько раз больше, чем N3 операций для исключения всех элементов, расположенных ниже диагонали. Особое внимание должно уделяться контролю ошибок, которые могут возникнуть из-за большого различия элементов матрицы.
Численный процесс, который завершает решение, называется обратной подстановкой. Сначала из последнего уравнения (11-3.12) вычисляется uN> затем определяется Un-i, и так далее до их. Это требует около № операций.
Поскольку метод исключения Гаусса требует приблизительно ^3 операций, то его нецелесообразно многократно применять при моделировании эволюционирующих течений. Поэтому для того, чтобы число операций уменьшилось по крайней мере до значения №. должны быть найдены другие алгоритмы, которые учитывают специфические свойства разреженных матриц или соотношения между ее элементами. Для этой цели разработаны как быстрые прямые методы, так и быстрые итерационные методы. Здесь термин «быстрые» обычно означает требование примерно ^ln^ операций для системы размерностью N.
11-3.3. Трехдиагональные матрицы
Будем решать систему уравнений трехдиагональной формы, fкоторая может быть записана в виде
a/M/-i + Р/^/ +Y/^y+i” Sy, (11-3.13)
..при 1<J<<N и с подходящими граничными условиями для их и uN. Здесь задачи обычно являются одномерными, причем, например, N = NC=NX. Желательно иметь соотношение, которое при заданном и^ дает и^х. Во всех легко решаемых трехдиагональных системах величины и0 и Un-h в уравнениях (11-3.13) заменяются известными значениями и в приграничных ячейках 1, 2 и N—1, N. Например, для определения и0 и un-h в уравнениях (11-3.13) могут использоваться соотношения
и0 = s0 + aout + pou2 + 40uN, (11-3.14) tijv+i = sN+ x + Oy+^и^ + рдг+iUN_ t -{- у v+ jUjy. (11-3.15)
:К.огда коэффициенты ajv+i и у0 отличны от нуля, соотношения (11-3.14) и (11-3.15) соответствуют периодическим граничным условиям и в этом случае можно применять метод исключения Гаусса.
Один, по существу скалярный компьютерный метод решения уравнений с трехдиагональной матрицей (11-3.13) сводится к рекуррентным соотношениям1). Возьмем и^\ такое, что
Uj+i^XjUj-Vyj. (11-3.16)
и Этот метод в отечественной литературе называют методом прогонки.— Шрим. ред.
(11-3.17)(11-3.17)Подстановка этой связи в уравнения (11-3.13) приводит к следующей связи:
(11-3.17)
(11-3.17)
UjV^/+ Р/ “/-1 + ?/*/+ Р/ *
Приравнивая коэффициенты в соотношениях вида (11-3.16) и (11-3.17), получим
7-1W+P/’ ^ W+P/7-1W+P/’ ^ W+P/(11-3.18)(11-3.18)
7-1W+P/’ ^ W+P/
7-1W+P/’ ^ W+P/
(11-3.18)
(11-3.18)
для всех значений ^х^ и (z/j).
Вычислительная процедура заключается в том, что начиная с j=N до /=1 определяются значения Xj и yj. Затем, используя соотношение (11-3.16) для всех / от 1 до N, находим все значения Uj. В результате получается легко программируемая процедура с двумя рекуррентными соотношениями, представляющая собой в основном такой же алгоритм, какой получается в методе исключения Гаусса. Этот алгоритм обладает обычно хорошей точностью, он устойчивый и требует около N операций, что является минимальной величиной для числа операций. Данный алгоритм непросто векторизовать или преобразовать для параллельных вычислений, если в задаче одновременно не решаются ряд подобных, но отдельных систем с трехдиагональными матрицами.
Алгоритмы свертки для решения уравнений с трехдиагональными матрицами, требующие N In N операций, все весьма похожи один на другой и несколько более сложные, чем алгоритм скалярной прогонки. Уравнения, связывающие и}- с w7+i и Uj_x для четных /, используются для исключения Uj из уравнений, соответствующих нечетным /, что вдвое уменьшает число уравнений. Новые составные коэффициенты теперь связывают оставшиеся неизвестные. Эта новая система уравнений остается по-прежнему трехдиагональной и, следовательно, вновь может быть свернута. Когда последовательно свертываемая система станет достаточно компактной, применяется скалярная прогонка для завершения решения этой небольшой системы. Используя теперь уже известную половину переменных при нечетных / на каждой стадии обратного процесса, можно найти неизвестные при четных /. Алгоритмы для всех этих случаев и соответствующие тестовые задачи собраны в работе [10]. Поскольку распараллеливание алгоритмов становится все более важным, то станут стандартными алгоритмы циклической редукции или его варианты с числом операций около N In N, которые могут быть приспособлены для параллельных вычислений.
11-3.4. Прямое решение уравнения Пуассона
Простейший случай многомерной задачи с разреженной матрицей, имеющей пятидиагональный вид, возникает при локальной пятиточечной аппроксимации уравнения Пуассона на прямоугольной сетке. Даже когда ячейки не одинаковы по размеру и форме, регулярная структура разреженной матрицы сохраняется до тех пор, пока сетка остается топологически прямоугольной и каждый узел окружен четырьмя ячейками. Используя то обстоятельство, что ненулевые элементы матрицы локализованы в диагональном и в соседних блоках, такая структура шаблона 'позволяет уменьшить число операций до O^N2), поскольку большинство блоков матрицы целиком нулевые. Однако желательно было бы иметь алгоритм для обращения двумерного пятиточечного оператора Пуассона за O^lnAf) операций, где N=Nc=NxXNy— число различных искомых значений потенциала. Для сетки из 100X100 ячеек решение с числом операций O^NlnN) уменьшает время расчета примерно в 15 раз.
Эллиптические уравнения общего вида в двумерном и трехмерном случаях трудны для решения и требуют больших вычислительных затрат, в особенности, когда антисимметричные перекрестные члены сравнимы по величине с симметричными членами. Симметрия вторых производных в операторе
^=^+^ <п-3-19)
делает возможным использовать для решения несколько прямых быстрых алгоритмов, которые не применимы в общем случае. Благодаря этой симметрии, собственные функции оператора (11-3.19) могут быть представлены в виде произведения отдельных собственных функций вдоль каждого из сеточных направлений. В результате получается, что многомерные задачи можно иногда свести к ряду одномерных задач, каждая из которых имеет трехдиагональную матрицу. В следующих параграфах кратко описываются некоторые прямые методы.
Существует ряд хорошо опробованных пакетов программ для решения многомерных эллиптических уравнений и уравнения Пуассона. Прежде чем писать свою собственную программу, стоит заглянуть в библиотеку стандартных программ для используемой вычислительной системы или узнать, что имеется в наличии в нескольких главных вычислительных центрах. Можно воспользоваться также рядом частных библиотек математического обеспечения. Журнал Computer Physics Communications (который публикуется издательством North Holland) занимается документированием и распространением математик
ческого обеспечения такого рода. Опубликован также отчет [10], содержащий алгоритмы и программы ряда оптимизированных трехдиагональных методов.
Кратный анализ Фурье
В этом методе проводится полный анализ Фурье по каждому пространственному измерению [40, 11]. В двумерном случае здесь требуется около Nc In Nc арифметических операций, и метод может быть реализован с одинаковым числом операций как в виде ряда одномерных преобразований Фурье, так и одного двумерного преобразования. Одной из привлекательных черт этого метода является возможность применять стандартные, доведенные до совершенства алгоритмы быстрого преобразования Фурье (FFT). Алгоритм FFT является одним из наиболее изученных численных алгоритмов и его обычно одним из первых оптимизируют для любой новой вычислительной системы. Когда во многих случаях двойные гармоники Фурье для потенциала ф являются также собственными функциями для двухточечного разностного оператора градиента и трех- и пятиточечных разностных операторов для вторых производных, преобразование Фурье зачастую может быть осуществлено непосредственно через конечно-разностные операторы. За счет этого происходит декомпозиция задачи, которая теперь сводится к решению большого числа простых уравнений для отдельных гармоник.
Алгоритмы кратного анализа Фурье требуют около Nc\nNc операций, когда взят подходящий размер системы. Эти алгоритмы могут использоваться для решения трехмерных задач. Обычно алгоритмы FFT легко применимы, когда число ячеек в системе представляет собой степень двух. Они также эффективны для всех систем, длины которых могут быть выражены в виде произведения небольших целых простых чисел. Поскольку эти алгоритмы применяются в спектральных и псевдоспектраль- ных методах (гл. 9), то наилучшим местом, где можно узнать, как пользоваться алгоритмом FFT в неидеальных ситуациях, является соответствующая литература. Чтобы алгоритмы FFT можно было относительно просто применять, требуется использовать однородную по пространству сетку и необходимо, чтобы коэффициенты в эллиптических уравнениях или в уравнениях Пуассона были постоянными. Строго периодические, симметричные (отражающие) и антисимметричные граничные условия также легко реализуются в этом алгоритме.
Число операций при использовании алгоритмов FFT по одному направлению равно N In А, что несколько больше, чем число операций O(W) для трехдиагональных алгоритмов, но 31*
почти такое же, как в алгоритмах свертки или циклической редукции, которые также требуют около Л7 In Л7 операций. Алгоритмы преобразования Фурье, когда их можно использовать^, обычно более точные, поскольку в каждой гармонике содержится информация из всех точек расчетной сетки. Ошибки высокого порядка, вносимые конечно-разностными операторами для производных в каком-либо месте расчета, например при разностном представлении потенциала скорости для получения самой скорости, могут быть скорректированы за счет подбора амплитуды гармоник. В работе [9] эти вопросы рассматривались в приложении к моделированию процессов в плазме.
Анализ Фурье для расцепленных трехдиагональных систем
Этот гибридный метод включает в себя анализ Фурье по каждому пространственному направлению для расщепления гармоник Фурье. Он приводит к уравнению с трехдиагональными матрицами по поперечным направлениям для каждой из гармоник. Этот подход был предложен в работе [40], в которой применялся метод циклической редукции (свертки) к трехдиагональным уравнениям. В двумерном случае это требует около NxNy In NxNy арифметических операций. Это очень быстрый метод и он применим в случае осевой симметрии или более сложной пространственной геометрии, так как анализ Фурье здесь проводится только по одному направлению.
В одном варианте рассматриваемого метода используется алгоритм скалярной прогонки для отдельных трехдиагональных уравнений. При этом возможна векторизация расчетов, так как одновременно решается ряд трехдиагональных систем одинаковой размерности. В трехмерном случае такие гибридные методы могут применяться в случае, когда преобразования Фурье по двум направлениям могут расщепить систему на ряд одномерных уравнений с трехдиагональными матрицами.
Двойная циклическая редукция
В этом методе, предложенном в работе [17], проводится циклическая редукция по каждому пространственному измерению. Когда коэффициенты уравнений по каждому из двух пространственных направлений постоянны, с помощью некоторого аналитического метода исключается половина элементов в каждом ряду при использовании основных пятиточечных разностных формул для исключения чередующихся переменных из уравнений. Хотя циклическая редукция может применяться к трехдиагональным матрицам с коэффициентами довольно общего вида, необходимость проведения редукции одновременно
Алгоритмы расчета границ и решения матричных уравнений 485 по двум направлениям значительно ограничивает вид коэффициентов.
Циклическая редукция повторяется до тех пор, пока размерность матрицы не уменьшится до такого значения, чтобы решить уравнения непосредственно. Ограничения на сетку и на граничные условия в основном те же, что и требующиеся для удобного применения преобразований Фурье. Однако оптимизированная программа может давать более быстрый результат, так как метод циклической редукции несколько более эффективен, чем преобразования Фурье. При проведении коррекций более высокого порядка для конечно-разностных операций в методе двойной циклической редукции отсутствует гибкость, свойственная алгоритмам FFT вследствие модификации коэффициентов Фурье.
11-3.5. Итерационное решение эллиптических уравнений
В нескольких специальных случаях прямое решение полностью эллиптической системы уравнений возможно с числом операций около Nc\nNc, где Nc равно числу ячеек NxXNy в двумерном случае и NxXNyXNz— в трехмерном случае. В этих специальных случаях, однако, не допускаются коэффициенты общего вида, которые появляются, например, при переменной прямоугольной сетке, при коэффициенте диффузии, зависящем от температуры, или при переменной скорости звука. Здесь требуется по крайней мере около Nc2 операций для решения уравнений (11-3.1) при помощи метода исключения Гаусса или другого эквивалентного метода. При больших матрицах, представляющих интерес в данном случае, такое число операций неприемлемо. Это особенно нетерпимо в нестационарных задачах, в которых матричные уравнения должны решаться на каждом шаге по времени. Здесь рассматриваются итерационные методы, которые применяются тогда, когда прямые методы не могут быть применены. Дополнительный материал и обобщение нижеследующего обсуждения можно найти в книгах [57, 64].
Приближенные итерационные методы начинают расчет с предположительного начального значения и, которое обозначим ц(°). После р итераций получается значение и^, которое должно быть уточненным приближением к решению. Итерационная формула имеет вид
u^+^P-u^ + c, (11-3.20)
где Р — итерационная матрица, связанная с М-1, а вектор с связан с s и предыдущими приближениями. Вектор каждого следующего уточненного приближения и(р+1) может быть получен явным образом из п(р). Все описываемые ниже методы
w .се
&У
Ал s
Рис. 11-19. Схема, показывающая некоторую узловую точку расчетной сетки, окруженную с севера, юга, востока и запада другими точками, обозначенными соответственно п, s, е и w.
укладываются в эту схему за исключением последнего — неявного метода переменных направлений, который представляет собой неявную двухшаговую итерационную процедуру. Вычислительные вопросы связаны с тем, как много итераций требуется и какова наилучшая форма матрицы Р. Простое проведение операции умножения матриц, как это подразумевается в формуле (11-3.20), требует О (Л/с2) операций на одну итерацию. Важно, чтобы вычисление произведения P-uW требовало меньшего числа операций, чем O(WC2) при подходящем выборе Р.
Проиллюстрируем теперь итерационные методы на примере решения уравнения Пуассона. Запишем его в более наглядном виде
Uc—J («» + «» + “е + ««,) = 4 SC^ = WC, (11-3.21) где точка (t, /) расчетной сетки отмечена индексом с, а окружающие ее точки отмечены индексом п, s, е, w и расположены соответственно сверху, снизу, справа и слева от нее, как это показано на рис. 11-19. Для итерационных процедур, применяемых к уравнению (11-3.21), можно записать
ы<Р+1) = (! _ю) ы(р> + ^ю ^w + „(Р> + ы(р> + ы<р>) + toWc) (11.3.22) где со — подбираемый параметр релаксации. Для сходимости в двумерном случае требуется, чтобы O^co^l. Когда со равно нулю, новая итерация повторяет значение предыдущей. Когда со больше единицы, решение ухудшается по сравнению с предыдущей итерацией.
Оказалось более удобным употреблять другое обозначение, более физичное и более подходящее для качественного программирования, чем обычное матричное обозначение или обозначения п, s, е и w, приведенные на рис. 11-19. Например, когда рассматривается массив величин в ячейках, такой, как {p/j}, для значений в ячейках плотности вещества р(х, у) в двумерном случае или {Е/^}—для значений в ячейке плотности энергии Е^х, у, 2) в трехмерном случае, первый индекс i в наших обозначениях монотонно увеличивается с ростом х, второй индекс / монотонно увеличивается с ростом у и третий индекс к монотонно увеличивается с ростом г. В двумерном случае это обозначение является противоположным по отношению к обычному матричному обозначению, в котором второй индекс изменяется по горизонтали вдоль строк, отмеченных первым индексом. В данном физичном обозначении второй индекс увеличивается в направлении вверх, так что существо индекса / и переменной у оказывается одинаковым, в то время как в матричном обозначении индекс, отмечающий строки, увеличивается в направлении вниз. Такое обозначение гарантирует, что соседние по координате х величины хранятся в памяти по-соседству. Это более непосредственно совпадает с обычным обозначением на машинном языке.
Метод итераций Якоби
Этому методу соответствует значение ю = 1 в уравнении (11-3.22), что эквивалентно осреднению значений в четырех соседних узлах для нахождения следующего приближения в некотором узле при решении уравнения Лапласа. Данный метод сходится медленно и не находит широкого применения.
Метод итераций Гаусса — Зайделя
Особенность этого метода заключается в том, что каждый элемента^1) находится последовательно. Например, когда при решении уравнения Пуассона доходит очередь до расчета узла с. уже имеются рассчитанные значения us^w и и^х\ которые могут использоваться как уточненные значения в итерационной формуле. Если со = 1, то имеем
и*?*" = 4 W + и^ + и^ + «Г”) + Wc. (11-3.23)
Данный метод намного быстрее метода Якоби. В действительности он является единственным подходящим методом для скалярных компьютерных расчетов, поскольку один шаг вычислений должен быть завершен прежде, чем можно начать другой шаг, т. е. и^^1* зависит от мю<р+1).
Метод последовательной верхней релаксации (метод SOR)
В этом методе используется тот же подход, что и в методе Гаусса — Зайделя, но при этом оптимизируется значение о. Например, при решении уравнения Пуассона с большими значениями Nx и Nv наилучшее значение со, обозначаемое шъэ равно
«>, = —(11-3.24)
1 + V 1 Р/и
(11-3.25)(11-3.26)(11-3.25)(11-3.26)1 л . 1 лгде^„ = тсо5 ^- + -СО8^-.
(11-3.25)
(11-3.26)
(11-3.25)
(11-3.26)
Следовательно, для юъ получаем выражение 2
1 + лИ 1/(2^)+1/(2^)
которое в пределе при бесконечно мелкой сетке дает значение (Об = 2. Этот метод сходится быстрее, чем описанные до сих пор методы. Однако его сходимость все еще медленная на начальной стадии итерационного процесса, поскольку за одну итерацию ошибка может распространяться от какой-либо ячейки лишь на одну ячейку. Более того, ошибка на начальной стадии может даже возрастать от шага к шагу.
Вариантом этого подхода является двойной, или циклический итерационный процесс. В нем используется то обстоятельство, что переменные в четных узлах непосредственно связаны только с переменными в нечетных узлах и наоборот. Идея состоит в том, чтобы сначала уточнить значения всех переменных в четных узлах, а затем использовать эти значения для нахождения переменных в нечетных узлах. Иногда этот подход называется «шахматным порядком» по аналогии с черными и белыми клетками на шахматной доске (см., например, работу [1J). Этот итерационный процесс также обобщается на случай трех измерений.
Конечно, алгоритм SOR является простейшим. Часто полезно применять алгоритм SOR для тестирования различных частей составной модели при разработке отдельных этапов больших сложных моделей. Однако расплатой за концептуальную и программистскую простоту данного метода являются медленная сходимость и, соответственно, большие затраты машинного времени.
Для нахождения лучшего начального приближения п(0) в методе SOR можно использовать экстраполяцию по значениям на двух предыдущих шагах по времени. Такая экстраполяция обычно дает лучшие результаты, чем можно было бы ожидать, так
как она наиболее точна для длинноволновых возмущений, когда итерационная процедура обеспечивает наиболее медленную сходимость. Относительно большие ошибки, вносимые экстраполяцией в коротковолновые компоненты решения, затухают быстро, в то время как начальная ошибка в длинноволновых компонентах часто на порядки величины меньше. Результатом с точки зрения продвижения от одного шага по времени к другому является то, что исходная ошибка в начальном приближении оказывается гораздо меньшей и обычно требуется намного меньше итераций для достижения заданной точности.
Циклический метод Чебышева
Этот метод подобен предыдущему за исключением того, что на ранней стадии процесса сходимость улучшается за счет изменения параметра m от шага к шагу и использования специфической последовательности {со^}. При решении уравнения Пуассона предлагается принять условия
®(0> = 1,
®(1) =7,
ю(/» = *,
1—
где цт определяется формулой (11-3.25). Заметим, что параметр ю увеличивается на каждом шаге и в пределе о>(оо) = = <0б, где <06 дается формулой (11-3.24).
Неявный метод чередующихся направлений (ADI)
В этом методе проводятся последовательные итерационные неявные шаги по каждому пространственному направлению. Каждый шаг включает в себя решение линейной трехдиагональной системы. Для уравнения Пуассона в двумерном случае метод может быть записан в виде соотношений
ы(р+ 1/2)_ыW = 1[(и„ — 2ис + и$УР + 1^ + <Ще — 2“с + “w)*^]»
(11-3.28)
и(ер+и—и(ср+1/2) = -^wc [(ип—2ис + и^+Ч») + (ие — 2ис + uwyp* *>].
Можно показать, что асимптотическая скорость сходимости этого метода такая же, как метода SOR или метода Чебышева;
Обобщения данного метода на трехмерный случай описаны в [60].
Неявно-блочный метод, применяемый в рамках метода чередующихся направлений, является одним из способов расчета дозвуковых неодномерных течений (см., например, разд. 9-3, а также работы [7, 8, 14—16, 48, 50]). В этом методе расчеты проводятся неявным образом по одному направлению путем решения трехдиагональной системы с использованием гидродинамических величин, определенных по другому направлению явным образом через значения физических переменных на предыдущем шаге по времени или на предыдущей итерации. Затем направления меняются местами и процедура ADI повторяется. Для того чтобы аккуратно взаимоувязать расчеты в целом, требуется несколько итераций. Учет химических реакций и молекулярной диффузии усложняет применение этого метода из-за того, что матрицы, образующие каждый блок, могут стать чрезмерно большими.
Чтобы уменьшить число операций все вышеописанные итерационные методы учитывают структуру конечно-разностной сетки и свойство разреженности матриц. Каждая итерация требует около Nc операций, но для того, чтобы охватить информацией всю сетку, необходимо по крайней мере max(jVx, Ny, Nz) итераций. В двумерном случае хорошее приближенное решение получается за O(WC3/2) операций, а в случае трех измерений— за O(?/c4/3) операций, хотя величина Nc сама по себе обычно очень велика. Несмотря на то что такое число операций меньше, чем O(2VC2), все же лучше воспользоваться процедура' ми, для которых число операций приблизительно равно ЛЦпУУс.
Неполный итерационный метод Холецкого и метод сопряженных градиентов (ICCG)
Метод Холецкого является одной из форм метода исключения Гаусса для симметричных линейных систем. Метод сопряженных градиентов является итерационным методом, использующим последовательные приближения для нахождения окончательного решения. Эти два метода часто применяются вместе, образуя комбинацию неполного метода Холецкого с методом сопряженных градиентов, или метод ICCG, для решения систем линейных уравнений в физических задачах, в которых матрицы являются положительно определенными и почти симметричными. Хорошее изложение метода ICCG дано в работах [44, 52].
Итерационный метод сопряженных градиентов включает в себя последовательные приближения, каждое из которых проектирует решение на прогрессивно увеличивающееся подпрост-
ранство векторного пространства, к которому принадлежит решение. На каждой последовательной итерации ищется коррекция предыдущей итерации в направлении, ортогональном подпространству для самого последнего приближения. Этот поиск продолжается до тех пор, пока не будет обследовано все векторное пространство. Когда матрица симметрична и положительно определена, сходимость к точному решению обеспечивается за Nc итераций. К сожалению, значение Nc весьма велико, а когда матрица не симметрична, сходимость метода не гарантирована.
Методы сопряженных градиентов часто улучшаются за счет некоторого рода «предварительного обусловливания» матрицы. Если сходимость требуется лишь к некоторому конечному значению, то матрицу возможно предварительно обусловить таким образом, что решение будет сходиться за конечное число итераций, значительно меньшее Nc. Неполный метод Холецкого является одним из способов достижения этого результата.
Метод ICCG наиболее удобен в тех физических задачах, в которых матрица является почти симметричной. Это особенно характерно для задач, где вязкость и диффузия являются доминирующими эффектами. Сюда относятся медленные течения вязкой жидкости, задачи магнитной гидродинамики, в которых доминируют сопротивление или вязкость, уравнения Фоккера — Планка, в которых интеграл столкновений можно представить в диффузионной форме. Данный метод особенно удобен для решения уравнения Пуассона с помощью алгоритма SPLISH, описанного в гл. 10, в котором матрица имеет большую размерность и симметрична.
Излагаемый ниже многосеточный метод и метод ICCG в настоящее время применяются как альтернативные по отношению к более простым, но относительно более громоздким итерационным методам SOR и ADI. По мере того как эти методы будут отлажены и исчерпывающе испытаны, они приблизятся к матричным методам по своей общедоступности и легкости реализации. Эти методы также подобны процедурам обращения матриц в том отношении, что для них требуется относительно большой объем памяти. Здесь часто требуется память в двадцать — пятьдесят раз большая, чем число ячеек в конечноразностной сетке при решении двух- и трехмерных задач. '
Итерационные многосеточные методы
В течение последних десяти лет предпринимаются значительные усилия в развитии многосеточных методов для решения многих типов вычислительных задач. Общие принципы этих методов одинаково хорошо приложимы к конечно-разностным
и к конечно-элементным подходам при решении уравнений в частных производных. Для ознакомления с этими вопросами рекомендуется книга [35] и статьи [12, 13]. Основная идея многосеточного метода была первоначально предложена Федоренко [27].
Суть подхода многосеточного метода заключается в проведении некоторой дискретизации расчетной области и введении последовательности менее подробных, возможно вложенных, вспомогательных сеток в этой области. Решения на этих менее подробных и требующих меньших объемов вычислений сетках могут использоваться для приближенного построения истинного решения на самой подробной сетке. Решение на любой сетке можно улучшить за счет комбинированного проведения релаксационных итераций на этой сетке, которые сглаживают мелкомасштабные ошибки, и корректирующих итераций на менее подробной сетке, уменьшающих ошибки, возникающие на грубой сетке. Менее подробные сетки имеют намного меньшее число неизвестных сеточных значений и поэтому требуют существенно меньших вычислительных затрат, чем итерации на самой подробной сетке. Конечным результатом может быть существенное сокращение требуемого числа операций до ~Nc\nNc.
Здесь наибольший интерес представляют многосеточные алгоритмы для решения эллиптических задач. Они предложены и изучены в ряде работ, например, [4, 12, 22]. В работе [22] предложен эффективный многосеточный алгоритм для решения эллиптических задач, который был впоследствии преобразован в векторизованную форму для реализации на высокоскоростных ЭВМ [21].
Предположим, что имеется эллиптическое уравнение, которое требуется решить в плоскости х, у на сетке из Nc = NxX XNV ячеек с равномерным пространственным шагом h по каждому направлению. В результате конечно-разностного представления дифференциальных уравнений и задания граничных условий задача сводится к решению матричного уравнения
MA.uA = se, (11-3.29)
где МЛ— матрица коэффициентов, uh — искомое решение, s'*— неоднородный вектор функций источников. Можно было бы пытаться решать уравнение (11-3.29) прямым методом, например, методом исключения Гаусса или итерационным методом, например, методом Гаусса — Зайделя. В прямых методах для нахождения Nc неизвестных в уравнении (11-3.29) требуется О(^2) операций. Для больших задач это слишком большие объемы вычислений. Для итерационных методов число операций в расчете на одну итерацию пропорционально числу неиз-
вестных. Однако из-за медленного сглаживания ошибок, возникающих в решении на грубой сетке, требуется большое число итераций для получения точного результата, и вновь число операций будет очень велико, поскольку велик коэффициент при Nc. Многосеточные методы сочетают в себе свойства прямых и итерационных методов. Таким образом, они имеют преимущества с точки зрения уменьшения вычислительных затрат, требуемых прямыми методами за счет сокращения числа неизвестных, и быстрого уменьшения мелкомасштабных ошибок при решении итерационными методами.
Опишем теперь основные элементы многосеточного алгоритма для решения эллиптических задач. Будем считать число N четным и наложим на прямоугольную область две равномерные сетки: одну с числом ячеек NxXNy и пространственным шагом h и другую — с числом ячеек -yNxX-^-Ny и шагом 2h. Уравнение (11-3.29) записано для мелкой сетки, а для грубой сетки оно примет вид
M^.u^^s2». (11-3.30)
Сначала решается уравнение (11-3.30) с помощью прямого метода. Поскольку число неизвестных на этой сетке примерно в четыре раза меньше, чем на мелкой сетке, то такой расчет потребует вычислительных затрат, примерно в восемь раз меньших. Затем это решение интерполируется на мелкую сетку. Полученное в результате решение содержит мелкомасштабные ошибки, возникающие из-за отсутствия информации о поведении решения на мелких масштабах, и, кроме того, содержит ошибки, возникшие при интерполяции. Поэтому для такого решения проводится небольшое число релаксационных итераций, чтобы сгладить мелкомасштабные ошибки. В результате получается первое приближение и^1). Можно улучшить это приближение и найти uh<2> путем решения корректирующей задачи, рассматривающей вектор невязки. Этот этап требует перестройки решения, при которой величины с мелкой сетки проектируются на грубую сетку обычно при помощи суммирования и осреднения этих величин.
Этот процесс описывает двухуровневый, двухцикличный алгоритм. Его можно было бы продолжить за счет введения дополнительного набора грубых сеток с пространственными шагами 4/t, 8/i и т. д. либо за счет введения дополнительных корректирующих циклов или того и другого одновременно. В результате получается алгоритм, требующий около Nc In Nc операций. Различные многоуровневые алгоритмы предложены в работах {12, 23].
11-3.6. Выводы
Преобразование уравнений в частных производных, описывающих течения реагирующей среды, в конечную систему алгебраических соотношений приводит к системе уравнений, которую можно представить, преобразовать и анализировать в матричной форме. В некоторых случаях, в частности при явных формулировках, эти уравнения можно решать прямыми методами с минимальными вычислительными затратами. Однако очень часто для получения решения необходимы неявные алгоритмы. При применении неявных алгоритмов к нестационарным задачам на каждом шаге по времени должны решаться различные эллиптические уравнения.
Итерационные методы, например методы SOR и ADI, являются полезными и легко программируются, но они требуют больших объемов вычислений по сравнению с более быстрым прямым методом нахождения решения. Методы ADI занимают промежуточное положение по сложности между полностью неявными матричными методами и явными методами SOR. Одной из привлекательных черт методов непосредственного решения больших матричных уравнений, требующих больших объемов вычислений, является возможность пользоваться хорошо опробованными, документированными и оптимизированными пакетами прикладных программ, которые выполняют эту работу.
Быстрые прямые методы подробно исследовались в работах [40, 41] и они являются весьма привлекательными. Для этих методов требуемое число операций с плавающей запятой при многомерных расчетах достигает O(NC In Nc). Когда коэффициенты в конечно-разностных уравнениях постоянны по любому направлению, т. е. при периодических или отражающих граничных условиях в декартовой системе координат или в азимутальном направлении в цилиндрической системе координат, то можно применять методы преобразования Фурье или методы циклической редукции (свертки), для того чтобы разбить решение на меньшие отдельные части и, таким образом, снизить эффективную размерность задачи. Когда задача сводится к одномерной, существуют прямые методы решения с помощью быстрого трехдиагонального алгоритма, который также требует O^NcXnNc) операций.
Когда коэффициенты в эллиптических уравнениях являются переменными в силу физических или геометрических причин, то матрица размерностью NCXNC является вначале очень разреженной, но затем быстро заполняется. Прямое решение при этом все еще возможно, но оно обычно требует гораздо больших объемов вычислений с числом операций около O(Afc3) или
O(Afc2). В этих случаях для ускорения нахождения решения обычно применяется некоторая форма итераций, использующая приближенную процедуру обращения матрицы. Метод ICCG и многосеточный метод и ряд их вариантов требуют ~Nc\nNc операций, как и быстрые прямые методы, но обычно в этом случае коэффициент в оценке числа операций имеет большую величину. Эффективность этих итерационных алгоритмов при достижении нужной точности выше, чем у методов, основанных на итерационных алгоритмах ADI или SOR, но все же в некоторых ситуациях они требуют большего числа итераций. Прямой метод [49], основанный на технике устранения ошибок, использовался в трудных задачах моделирования погоды. К сожалению, эффективные прямые методы [17, 40] не получили обобщения для эллиптических задач с коэффициентами общего вида на прямоугольных сетках.
ТРУДНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
Три проблемы затронуты в этой главе: турбулентность, радиационный перенос и многофазные течения. Они чрезвычайно сложные в большинстве физических задач, и каждая из них заслуживает многотомного обсуждения. Уравнения, обычно используемые для представления этих явлений, являются развитием или обобщением уравнений газофазной многокомпонентной диффузии, приведенных в гл. 2. Здесь мы кратко опишем некоторые из наиболее общих и полезных моделей и сошлемся на предыдущие главы, описывая соответствующие численные методы и алгоритмы.
12-1. Турбулентность
Турбулентность рассматривается как одна из важнейших теоретических и вычислительных проблем динамики жидкости. Если бы было возможно решить полную систему нестационарных трехмерных уравнений динамики жидкости для плотности,, импульса и энергии в достаточно большом интервале времени и пространственных масштабов, то турбулентность естественным образом проявилась бы в их решении. Из-за того что диапазон важнейших параметров непрерывный и широкий, отсутствует ясный путь разделения этих масштабов. Моделирующие приближения турбулентных течений в общем случае оказываются неадекватными, если они ограничены малым диапазоном масштабов или если они предполагают, что существенные большие и малые масштабы сильно разделены.
Начнем этот раздел описанием детального моделирования, когда пытаются разрешить нестационарную структуру турбулентных течений. К сожалению, даже самых мощных компьютеров оказывается недостаточно для решения большинства проблем турбулентных течений на основе уравнений гидродинамики или хотя бы на основе фундаментальной системы уравнений, описывающей усредненные характеристики. В некоторых идеализированных течениях для малых чисел Рейнольдса моделирование способно разрешить весь диапазон масштабов вплоть до колмогоровского масштаба, т. е. наименьшего масштаба, на
котором турбулентные структуры диссипируют в тепло. При. высоких числах Рейнольдса или для менее идеализированных течений в деталях могут быть рассчитаны только большие масштабы, а малые масштабы следует моделировать феноменологически.
Развито много приближений для моделирования турбулентности. Статистические теории делят решение на осредненное по времени течение и компоненты, флуктуирующие во времени. Эти модели в общем случае включают системы уравнений сохранения с несколькими дополнительными членами, которые определяются флуктуациями в системе. Для замыкания системы, уравнений строятся модели, постулирующие связи этих дополнительных членов с неизвестными величинами. После этого- уравнения могут быть решены с помощью техники, описанной в- предыдущих главах. Вводя больше феноменологии, можно перейти от моделей нереагирующего несжимаемого течения к. сильно сжимаемым турбулентным течениям с химическими реакциями, причем в этом случае вопрос о справедливости таких приближений является еще более открытым.
12-1.1. Детальное моделирование турбулентности
Термин прямое моделирование относится к вычислениям,, в которых полный диапазон необходимых масштабов разрешен, вплоть до колмогоровского масштаба. Его основная идея состоит в использовании мощных ЭВМ для разрешения нестационарного поведения сложных турбулентных или переходных течений. Вычислительная область должна быть достаточно большой, чтобы включать наибольшие масштабы, а расстояние между узлами сетки выбирается достаточно малым, чтобы разрешить наименьшие из представляющих интерес масштабов. Ограничения скорости и памяти компьютера приводят к тому, что прямое моделирование может быть проведено для ограниченного класса течений при низких числах Рейнольдса с идеализированной конфигурацией. Например, возможно прямое моделирование на сетках 128X128X128 для чисел Рейнольдса порядка нескольких сотен, и нет сомнения, что эти числа будут постоянно увеличиваться в будущем. Такие расчеты будут проводиться все чаще по мере того, как будут доступны компьютеры с очень большой памятью.
Встречающиеся на практике геометрически сложные течения имеют широкий диапазон определяющих пространственных масштабов. Из-за этого часто предполагается, что течение можно разделить на две части. Первая часть содержит большие масштабы и сильно зависит от граничных условий. Вторая часть содержит малые масштабы и моделируется с использова-
:нием подсеточных моделей турбулентности. Предполагается, что большие масштабы, определяющие течение, несут значительную часть турбулентной энергии. Малые масштабы удовлетворяют заданным законам затухания. Этим явно предполагается, что нет когерентных маломасштабных источников турбулентности или завихренности, которые имеют обратную связь с большими масштабами. Используя подсеточную модель, мы можем ограничиться рассмотрением масштабов, значительно больших колмогоровского. Моделирование, которое таким способом различает масштабы, называют моделированием крупных вихрей.
Будем называть моделирование крупных вихрей и прямое моделирование детальным моделированием турбулентных течений.
Три нестационарных численных приближения используются для детального моделирования турбулентных и переходных течений: спектральные, конечно-разностные методы и методы вихревой динамики. Иногда в расчетах используется комбинация этих методов. Моделируемые задачи включают эволюцию и затухание однородной турбулентности, турбулентное течение в канале, эволюцию слоев смешения в сдвиговых течениях и течение за препятствиями. Завершим обсуждение несколькими примерами детального моделирования эволюции слоя смешения у поверхности раздела в сдвиговых течениях. Такие течения часто встречаются в природе, и их эффекты наблюдаются на пространственных и временных масштабах от сантиметров до мегапарсеков. Они наблюдаются и в галактиках, инжектирующих вещество с образованием астрофизических струй, и в двигателях внутреннего сгорания, когда поток горючего вещества входит в область более медленного или быстрого течения.
Было проведено моделирование плоских сдвиговых течений с временной или пространственной эволюцией. На рис. 12-1 качественно показаны различия этих типов течений. В обеих ситуациях два потока движутся с различными скоростями со сдвигом у общей границы раздела. В течении с пространственной эволюцией вихревые структуры образуются и растут путем слияния друг с другом при перемещении от их точки образования. В течениях с временной эволюцией два параллельных потока с одинаковой скоростью движутся в противоположных направлениях, а граничные условия в направлении сдвигового течения (в направлении потока) являются периодическими.
Нет явно выраженной связи между течениями, развивающимися во времени и в пространстве, но они имеют определенное сходство. Хотя естественные течения обычно являются пространственно эволюционирующими, рассчитывать легче течения с временной эволюцией, потому что при этом вычисления не тре-
Рис. 12-1. Схема сдвиговых слоев: а — сдвиговый слой, эволюционирующий во времени с условиями периодичности на левой и правой границах; б— сдвиговый слой, эволюционирующий в пространстве с условиями входа потока на левой границе и выхода — на правой. Профили скорости поперек сдвигового слоя указаны горизонтальными линиями со стрелками.
буют входных граничных условий. Предполагается, что временная эволюция течения с периодическими граничными условиями адекватно описывает некоторые важные физические свойства естественного потока. Расчеты двумерных сдвиговых течений, описанные ниже, используют спектральный метод, разработанный для анализа трехмерных несжимаемых течений с временной эволюцией, метод вихревой динамики для расчета двумерных несжимаемых течений с пространственной эволюцией и конечно-разностный метод численного анализа сжимаемого асимметричного течения в области более сложной ограниченной геометрии. Райли и Меткалф [65] провели двух- и трехмерные моделирования временной эволюции плоского слоя смешения псевдоспектральным методом (см. разд. 8-7). Они решили уравнения Навье — Стокса с довольно большой кинематической вязкостью. Число Рейнольдса поддерживалось достаточно низким, так что можно было разрешать полный диапазон масштабов, включая колмогоровский, без обращения к подсеточной модели.
На рис. 12-2 показана эволюция контуров завихренности в трехмерных расчетах, в которых задавались спектр начальной энергии и среднее поле течения. В этих условиях развивался слой турбулентного смешения. В направлении по потоку из начального спектра развивались крупномасштабные структуры. 32*
Рис. 12-2. Расчет эволюционирующего во времени сдвигового слоя с использованием псевдоспектрального метода, показывающий распределения завихренности в продольном и поперечном направлениях [65].
Однако в поперечном направлении структуры не столь явно выражены. Дополнительные расчеты показывают результаты периодического воздействия на эту систему. Совсем недавняя работа Меткалфа и др. [52] описывает образование в трехмерном течении реброподобных структур в поперечном направлении.
Расчеты динамики вихрей
Двух- и трехмерные расчеты слоев смешения с использованием методов вихревой динамики были представлены, например, Актоном [1], Ашурстом [4], Арефом и Сиггиа [3] и Дуэтом и Леонаром [10]. На рис. 12-3 представлены некоторые из результатов моделирования влияния вынуждающей силы, при-
Шаг 562Шаг 562Время 34,0Время 34,0Шаг 591Шаг 591Время 34,5Время 34,5Шаг 621Шаг 621Время 35,0Время 35,0Шаг 612Шаг 612Время 35,5Время 35,5Рис. 12-3. Расчет двумерного сдвигового слоя, эволюционирующего в пространстве, с использованием алгоритма вихревой динамики [24, 25].Рис. 12-3. Расчет двумерного сдвигового слоя, эволюционирующего в пространстве, с использованием алгоритма вихревой динамики [24, 25].
Шаг 562
Шаг 562
Время 34,0
Время 34,0
Шаг 591
Шаг 591
Время 34,5
Время 34,5
Шаг 621
Шаг 621
Время 35,0
Время 35,0
Шаг 612
Шаг 612
Время 35,5
Время 35,5
Рис. 12-3. Расчет двумерного сдвигового слоя, эволюционирующего в пространстве, с использованием алгоритма вихревой динамики [24, 25].
Рис. 12-3. Расчет двумерного сдвигового слоя, эволюционирующего в пространстве, с использованием алгоритма вихревой динамики [24, 25].
ложенной к ограниченным двумерным разделенным потокам, на развитие структур и скорость вовлечения вниз по течению. На этих рисунках показано поле завихренности для различных моментов времени. Каждый вихревой элемент представлялся кружком, а его скорость по отношению к средней скорости показана вектором, исходящим из центра кружка. В течении наблюдается образование вихрей и их последующее спаривание. Подобно обычным спектральным методам, методы вихревой динамики не учитывают звуковые волны и предназначены для несжимаемых течений. Они наиболее пригодны к течениям жидкости с малыми скоростями и постоянной плотностью, для которых влияние сжимаемости существенно меньше, чем для газов.
Конечно-разностные вычисления
Расчеты двух- и трехмерных слоев смешения с использованием конечно-разностных методов были проведены, например, Мансуром и др. [51J, Гатски и Лю [22J, Найтом и Мюрреем
* 50 м/с* 50 м/сВходВход8,8 Л8,8 ЛШаг
* 50 м/с
* 50 м/с
Вход
Вход
8,8 Л
8,8 Л
31000
32000
33000
34000
35000
36000
37000
38000
39000
40000
41000
42000
43000
5,8 Л5,8 ЛРис. 12-4. Вверху*, схема течения, рассчитанного Кайласанатом и др. [38]. Течение является осесимметричным, ось симметрии проходит через центр. Внизу*. расчетные мгновенные линии тока в области, заштрихованной на схеме. Линии, пересекающие линии тока, связывают центры вихревых структур.
5,8 Л
5,8 Л
[41], Девисом и Моором [11] и Гринстейном и др. [30]. На рис. 12-4 опишем более сложное сжимаемое течение, рассчитанное Кайласанатом и др. [38]. Здесь газ истекает из длинного цилиндрического входного канала в камеру большего диаметра. Течение, выходящее из большей камеры, заперто, т. е. оно становится звуковым на выходе из сопла. На рисунке показана схема камеры и мгновенные линии тока течения в заштрихованной области. Линии, проходящие через центры вихрей и проведенные между картинами изолиний, показывают эволюцию вихревых структур. Поле течения периодично с циклом 6000 шагов по времени, что соответствует низкочастотной моде, связанной с акустическим резонансом во входной трубе.
Реагирующие течения
Выше были приведены примеры нереагирующих течений. Недавно такие вычисления были распространены на реагирующие течения. Например, Кайласанат и др. [38] представили конечно-разностные расчеты химически реагирующих течений в осесимметричной геометрии, показанной на рис. 12-4 (см. разд. 13-2). Методы вихревой динамики, использованные при описании слоев смешения и струй, излагаются, например, в работах Гониема и др. [23, 25]. Химически реагирующие течения в плоских слоях смешения, развивающиеся во времени, моделировались с использованием спектральных методов Мак-Мурти и др. [54] и Гиви и др. [27]. Эти расчеты, находясь сейчас в начальной стадии развития, обещают превратиться в весьма полезный инструмент для изучения проблем горения.
12-1.2. Идеальная модель турбулентности
Рассмотрим сейчас свойства, которыми должна обладать идеальная подсеточная модель турбулентности. Понимание вычислительных следствий этих свойств может оказать нам помощь при получении информации о природе реальной турбулентности из детальных расчетов и при построении практических феноменологических моделей для использования при моделировании турбулентных течений.
В этом обсуждении «макроскопическими» процессами называют те, которые могут быть разрешены на расчетной сетке. «Микроскопические», или «подсеточные» явления существуют на масштабах, слишком малых для разрешения, но могут иметь макроскопические следствия. По необходимости вычислительные модели турбулентности часто предполагают, что подсеточные явления можно выделить из макроскопического течения.
Масштабирование
Разделение на макроскопические и подсеточные масштабы является искусственным. В общем случае важные физические явления существуют во всем спектре волновых чисел от /(=0 до K=Kaiss, т. е. до такого значения волнового числа, при превышении которого спектр пульсаций определяется вязким затуханием. Спектры макроскопических и подсеточных масштабов должны, следовательно, гладко переходить друг в друга при Кеей — волновом числе, связанном с размером ячейки сетки. Если Кеей изменяется (когда, например, численное разрешение уменьшается или увеличивается вдвое), предсказания модели турбулентности, связанные с макроскопическими уравнениями течения, должны остаться прежними.
Лагранжево описание
Идеальная подсеточная модель, вероятно, может быть построена в рамках лагранжевой модели динамики жидкости, связанной с макроскопическим течением. Такое построение гарантирует, что смещение, индуцированное турбулентностью, и молекулярное смешение не будут затенены численной диффузией. Используя лагранжево представление, можно будет также минимизировать возможность влияния на локальные турбулентные флуктуации численных погрешностей усечения.
Законченная трехмерная и даже хорошая двумерная лагранжевы модели для требующихся типов расчетов все еще не созданы. Другим приближением является такая формулировка подсеточной феноменологии турбулентности в эйлеровском представлении, чтобы ее основные параметры могли переноситься по сетке с лагранжевыми элементами жидкости.
Возникновение турбулентности и явления перехода
Модель турбулентности должна быть в состоянии предсказывать возникновение турбулентности в начально ламинарном течении. Из-за того что несогласованные по фазе случайные флуктуации подсеточного движения могут действовать как «пусковой механизм» макроскопической неустойчивости, в макроскопических уравнениях требуется случайный источниковый член в области, где имеет место подсеточная активность. Этот источниковый член должен появиться в дополнении к осред- ненному диффузионному эффекту, обсуждаемому ниже.
Плотность, температура и градиенты скорости, разрешаемые при моделировании, вызывают неустойчивости макроскопической динамики жидкости, которые, в свою очередь, инициируют
подсеточную турбулентность. Эти макроскопические величины определяют энергию, поддерживающую подсеточную турбулентность. Учет возможности изменений плотности в нестационарном течении существен, так как они являются источником завихренности.
Связь между макроскопической и подсеточной областями
Турбулентность оказывает влияние на макроскопические уравнения посредством феноменологических членов, представляющих осреднение по микроскопической динамике. Для описания таких членов вводятся коэффициенты вихревой вязкости, диффузии и усредненная скорость тепловыделения, причем эти члены могут проявиться как источники в уравнениях макроскопического течения. Предполагается, что модифицированные уравнения Навье — Стокса учитывают подсеточную турбулентность.
Для корректности модели турбулентности, кроме определения таких феноменологических членов, требуется использование информации о крупномасштабном движении. Для описания передачи энергии от малых масштабов, где имеет место смешение и последующие химические реакции, к макроскопическому течению необходим механизм обратной связи.
Сложные реакции и течения
Модель турбулентности должна быть способной учесть эффекты химической кинетики, плавучести, капель конденсации и других процессов, которые могут оказаться важными на макроскопических и микроскопических масштабах. Подсеточные модели представляются необходимыми для учета взаимодействий большинства физических процессов. Если имеет место задержка развития вихревых каскадов на масштабах, соответствующих коротковолновой части спектра, то модель должна быть в состоянии представить такую задержку. Это позволяет описать «взрывы» турбулентности и другие явления, связанные с перемежаемостью турбулентности.
Экономия
Практически бесконечное число степеней свободы на подсеточном масштабе должно быть представлено конечным числом переменных. Для того чтобы модель была работоспособной, важно хранить в памяти ряд подсеточных переменных в каждой вычислительной ячейке. Однако из-за того, что число подсеточных переменных конечно, любая подсеточная модель внутренне не полна.
12-1.3. Осредненные турбулентные уравнения Навье —Стокса
Обзор таких моделей был дан Рейнольдсом [64]. Рекомендуем также описания, данные Куо [42], а также недавний выпуск «Assesment of Current Capabilities and Future Direction in Computational Fluid Dynamics» (National Academy Press, Washington, DC, 1986). Существует большое число статистических приближений для турбулентных реагирующих течений. Они описаны в книге [47] и обобщены в обзорных статьях Либби и Вильямса [48], Джонса и Уайтлоу [37] и Ферцигера [18].
Классический подход к моделированию турбулентности основывается «а статистической трактовке флуктуаций в стационарном или медленно изменяющемся течении. Основные переменные разбиваются на две части: осредненную по времени часть течения и флуктуирующую часть, представляющую отклонения от этого среднего течения. При этом физические величины в соответствии с допущением Рейнольдса записывают в виде
/(х,0 = Г(х) + Г(х,0,(12-1.1)-
где / является одной из величин v, Р, р, п^ Т или Е. Черта над величиной указывает на осреднение по времени
- Нт(12-1.2)
Величины со штрихом определяют флуктуирующую часть, удовлетворяющую условию:
7 = 0.(12-1.3)
Подставляя переменные, записанные в виде суммы средней и флуктуирующей части, как в формуле (12-1.1), в уравнения для плотности и импульса для однокомпонентной несжимаемой жидкости, получим уравнения для осредненной плотности
^ + v.pv = 0(12-1.4)
и осредненного импульса
^-(pv) + V-(pvv) = —VP + V- (т—pvV).(12-1.5)
Для сжимаемого течения р'=0 и р постоянно. Это и есть осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье — Стокса. Заметим, что эти уравнения имеют ту же общую форму, как и представленные в гл. 2, но в них имеется дополнительный член напряжений Рейнольдса
pv'v' = р (v—v) (v—v).
(12-1.6)
Существует очевидная непоследовательность в уравнениях (12-1.4) и (12-1.5), так как величины р и v определены как осредненные по времени, хотя они представлены в уравнениях временными производными. Это очевидное несоответствие может бысть устранено,, если осредненная и флуктуирующая компоненты переменной J и f изменяются на различных временных масштабах. Тогда временное осреднение в уравнении (12-1.2) распространяется на интервал, который велик по рравнению с интервалом быстрого турбулентного изменения f\ но мал по сравнению с характерным временем изменения /. Как обсуждалось ранее, этот вид разделения в турбулентных течениях не может быть строго обоснован.
Для сжимаемых течений р'^0 и появляется дополнительный член в уравнении для осредненной плотности
^ + ^•^+^•77=0.(12-1.7)
Трудности, связанные с моделированием такого рода дополнительных членов, ведут к осреднению Фавра, в котором определяются величины, осредненные по массе:
,v = pv/p.(12-1.8)
Скорость может быть записана в виде
v (г, /) = v(r) + v'(r, /),(12-1.9)
где v' — флуктуация скорости. Такая формулировка упрощает итоговое уравнение путем исключения дополнительного члена и сведения его к стандартной форме безысточникового уравнения неразрывности. Осредненные по Фавру уравнения Навье — Стокса для плотности и импульса принимают вид
^ + V-(pv) = 0,(12-1.10)
^ (Pv) + V • (pvv) = — VP + V • (т—pvV), (12-1.11) а в качестве уравнения для энергии, записанного для энтальпии %, имеем
37 (рй) + V • (ph v) = -^- + v • VP + v'-VP +
+ V-(—q—pftV) + T-Vv'.(12-1.12)
Эти уравнения имеют ту же форму, что и осредненные по времени уравнения для случая несжимаемой жидкости, но напряжения Рейнольдса включают теперь также изменение плотности.
Для замыкания системы турбулентно осредненных уравнений требуются подсеточные модели для неопределенных турбулент-
ных величин, таких, как напряжения Рейнольдса и турбулентные потоки тепла в уравнениях (12-1.10)—(12-1.12). Это делается с помощью моделей турбулентного масштаба.
Модели турбулентности
Модель турбулентного масштаба или модель турбулентности, дает описание связей между турбулентными величинами, фигурирующими в осредненных уравнениях, и другими переменными или параметрами, которые являются известными или легко вычисляются. Эта связь обычно реализуется в виде комбинации алгебраических или дифференциальных уравнений, связывающих турбулентные параметры с осредненными переменными. Для замыкания системы уравнений напряжения Рейнольдса часто моделируются как функция масштаба турбулентной скорости q, турбулентной вязкости vy и турбулентного масштаба длины /, где vr зависит от q и I. Такие модели напряжений Рейнольдса называют алгебраическими, одно- и двух- либо трехпараметрическими, или моделями уравнений для напряжений (см. например, работу [64]).
В алгебраических моделях решается дифференциальное уравнение в частных производных, подобное уравнению (12-1.5) для поля средней скорости, и используется локальная алгебраическая модель для связи определяющихся флуктуациями величин со средним течением. Модели этого типа работают достаточно хорошо для простых квазистационарных течений, где подгоночные константы хорошо подобраны. Однако такие модели не пригодны для задач, где средние условия резко меняются или когда имеется значительная область течения, подверженная турбулентному переносу. Они обычно предполагают, что турбулентность равновесна при локальных средних условиях. Алгебраические модели явно не рассматривают предысторию турбулентности.
Модели с одним уравнением добавляют дифференциальное уравнение в частных производных для масштаба турбулентной скорости. Модели с двумя уравнениями добавляют еще одно уравнение для турбулентного масштаба длины. Дополнительные уравнения описывают эволюцию величин, которые требуются для расчета тензора напряжений в уравнениях среднего течения. Эти модели, которые могут быть описаны как модели эволюции масштаба, связывают турбулентный перенос с комбинацией локальных особенностей среднего течения и одним или двумя скалярными параметрами турбулентности. Такие эволюционные модели явно учитывают предысторию турбулентных масштабов. Однако они являются равновесными моделями, предполагающими, что среднее поле и турбулентные параметры
находятся в локальном равновесии. Эволюционные модели дают обычно разумные первые приближения турбулентности в простых отрывных течениях или течениях с постепенным изменением граничных условий. Они не пригодны для течений с быстрым вращением, большими градиентами плотности и значительным выделением энергии вследствие химических реакций.
Модели, исходящие непосредственно из уравнений, называются также эволюционными моделями переноса и содержат уравнения в частных производных для всех компонент тензора турбулентных напряжений, фигурирующих в осредненных уравнениях Навье — Стокса. Уравнения для напряжений получаются, из исходных уравнений Навье — Стокса. По крайней мере еще4 одно дополнительное уравнение выводится для параметра, дающего информацию о турбулентном масштабе длины. В этих уравнениях используются локальные алгебраические соотношения для описания корреляционных функций высокого порядка. Например, модели переноса напряжений Рейнольдса, в которых напряжения становятся зависимыми переменными системы уравнений в частных производных, являются моделями такого типа. Они требуют больших вычислительных затрат, а их использование не обязательно дает ответы, существенно лучшие, чем в случае более простых алгебраических или скалярных эволюционных моделей. Более того, модели уравнений для напряжений становятся еще более сложными для сжимаемых реагирующих течений.
Осредненные уравнения турбулентности независимо от их окончательной формы могут быть решены численными методами, описанными ранее в этой книге. Они часто решаются в ситуациях, когда среднее течение почти стационарно. Часта детали макроскопического течения плохо разрешаются, так как кажущаяся турбулентная вязкость настолько велика, что маскирует эти масштабы. В таких случаях физические эффекты турбулентности подавляются сильным влиянием численной диффузии (схемной вязкости).
При определении среднего по времени течения в каждой точке и рассмотрении флуктуаций относительно средних значений возникает вопрос о том, что значит иметь нестационарные уравнения. Как отмечалось ранее, это означает, хотя и не вполне корректно, использование многомасштабного временного приближения.
Модели турбулентности в реагирующих течениях
Одним из подходов к построению моделей турбулентных реагирующих течений является обобщение различных статистических концепций турбулентного осреднения, описанных выше.
Введение химических реакций и тепловыделения означает рассмотрение полной системы уравнений реагирующего течения, приведенных в гл. 2. В дополнение к флуктуациям скорости теперь имеют место флуктуации полной плотности, температуры и плотностей отдельных компонентов. Так как система уравнений содержит члены для корреляций дополнительных переменных, для замыкания уравнений необходимо моделировать большее число членов. В большинстве прямых моделей высшие моменты моделируются по аналогии с методами, используемыми для описания нереагирующих течений с постоянной плотностью жидкости.
Одна из проблем, связанная с этими подходами, состоит в том, что они игнорируют влияние перемежаемости, которая имеет место, например, в турбулентных пламенах. Использование распределения плотности вероятности (РПВ) вводит формализм, позволяющий моделировать влияние перемежаемости. Например, рассмотрим функцию Р^г. х, /), определенную так, что P^i, х, t)dvi есть вероятность того, что г-я компонента скорости находится в интервале dut при фиксированных значениях х и 4. Существуют также совместные РПВ, например Р(р, щ, х, Z), где Р (р, v,) duidp есть вероятность того, что скорость и плотность имеют соответственно значения в интервале dut в окрестности Ui и dp в окрестности р при фиксированных х и I. РПВ нормализовано так, что
X, №=1. (12-1.13)
Значение осредненной переменной Vt получается посредством интегрирования
х, t')dui = Vi(x, t). (12-1.14)
Предполагаемые формы РПВ основаны на физических соображениях или получены из эксперимента. Например, РПВ может иметь дельта-функции на своих краях, представляя чистые среды, которые существуют по обеим сторонам изогнутой поверхности раздела, и непрерывную часть, которая может быть плоской, гауссовой или обладать другими формами. Можно получить эволюционные уравнения для РПВ, напоминающие уравнения сохранения. Подобно моделям переноса напряжений этот подход также требует моделирования различных членов для замыкания уравнений. Имеется несколько решений для РПВ одиночной скалярной величины, полученных конечно-разностными методами, а совсем недавно были получены решения для совместных РПВ методом Монте-Карло. Более формальный подход, включающий выводы уравнений для эволюции РПВ, описан -О’Брайеном [58]. Мы рекомендуем недавнюю обзорную статью
Поупа [63] для углубленного обсуждения РПВ и их применений в горении.
Использование РПВ решает часть проблем статистических, приближений, использующих непосредственное осреднение Фавра. Однако одной из проблем в теории для РПВ является трудность экспериментального определения осредненных по массе- величин и, следовательно, сложность проверки модели.
12-1.4. Подсеточные модели турбулентности
Если турбулентное течение имеет заметную временную вариацию после того, как распознаваемые турбулентные флуктуации осреднены, то истинного стационарного течения не существует. Тогда следует разработать локальные модели, связывающие маломасштабную турбулентность с тем, что происходит или недавно происходило с близкими элементами жидкости. Такие модели называют моделями подсеточной турбулентности. По определению, они должны работать в задачах как со статистическими стационарными состояниями,' так и в ситуациях, в; которых макроскопическое течение быстро меняется.
Основная идея подсеточного моделирования состоит в феноменологическом представлении макроскопических эффектов: течения жидкости, существующего на неразрешенных пространственных масштабах. Обычно это означает представление размеров и масштабов длины, меньших размеров вычислительной' ячейки. Это также может означать представление событий в; измерении, которое детально не моделируется, как представление турбулентного конвективного переноса во втором или третьем направлении. Тем не менее, временное осреднение макроскопического течения, принятое в моделях статистической турбулентности, не требуется. Недавняя подборка статей под редакцией Двойера и др. [13] содержит обзор различных подходов; к подсеточному моделированию.
Конвективные члены в уравнениях сохранения порождают интервал масштабов, ограниченных колмогоровским масштабом,, связанным с молекулярной диффузией. Когда число Рейнольдса велико, все масштабы численно разрешить невозможно и необходимо ввести обрезание масштабов выше колмогоровского, определяемое сеткой. Различные численные алгоритмы по-разному трактуют решение на этом масштабе. Некоторые алгоритмы допускают порождение энергии на малых масштабах, что делает методы неустойчивыми или, по крайней мере, результаты не физичными. Например, Квак и др. [44] показал, что если турбулентная энергия нефизично захвачена на малом разрешимом масштабе, а не идет по каскаду до колмогоровского мае-
«штаба, то скорость передачи энергии от больших масштабов слишком велика. Другие алгоритмы рассеивают турбулентную энергию на малых масштабах в тепло. Они, таким образом, имитируют действительный физический процесс, но на неверном масштабе и часто неверно количественно. Важной проблемой в шодсеточном моделировании турбулентности является способ удаления энергии на численно разрешаемом масштабе с правильной скоростью.
Один из подходов к подсеточному моделированию турбулент- ;ности состоит в фильтрации малых масштабов, включая несколько наименьших из разрешенных масштабов. Масштабы, ниже срезанного, моделируются под сеточной моделью. Такая процедура фильтрации имеет преимущество в удалении осцилляций, вызываемых во многих методах явлением Гиббса, обсуждавшемся в гл. 4. Несколько видов фильтров было предложено для .немонотонных алгоритмов, которые, естественно, работают у маломасштабного порога. Сюда включены гауссовы фильтры [44, 51, 57, 73] и фильтр Леонара [46].
Важно также корректно связать модель малых масштабов *с крупномасштабными вычислениями [12, 70]. Существующие модели учитывают некогерентную обратную связь от малых ■масштабов к большим через диффузионноподобные члены, стремящиеся сгладить влияние коротких масштабов. Большинство развитых в настоящее время подсеточных моделей турбулентности направлено на представление малых масштабов, неразрешаемых в расчетах нереагирующих турбулентных течений постоянной плотности. Модели подобного типа были впервые .предложены Смагоринским [76] и Лилли [49]. Эти и другие предложения были обобщены в обзорах Херринга [33], Фер- щигера [16, 17] и Рогалло и Моина [66].
Расчеты при спектральных методах должны фильтроваться, ;когда вязкость слишком мала, чтобы предотвратить нефизическое порождение энергии на малых масштабах. Спектральные методы сами по себе не содержат диссипацию на коротких длинах волн сразу же за порогом обрезания, определяемого разложением в ряд. Они должны сопрягаться с подсеточной моделью на заранее назначенном пороге, так как не обеспечивают надлежащей подсеточной обратной связи к большим масштабам.
Нелинейные монотонные алгоритмы, такие, как ЕСТ (см. гл. 8 и 9), являются сами по себе фильтрами. Условия монотонности есть физически обоснованный фильтр, предотвращающий нефизичное развитие коротковолновых флуктуаций на сеточном масштабе. Такие алгоритмы рассеивают неразрешенную маломасштабную энергию в тепло и не создают нефизическую обратную связь к коротким, но разрешимым масштабам.
До настоящего времени физически важной когерентной обратной связи коротких масштабов с большими было уделено мало внимания. Сделано допущение, что удержание информации о подсеточной фазе не важно для крупномасштабной динамики. Здесь имеется неразрешенный вопрос о связи коротковолновых движений с длинноволновой компонентой. Эти движения в среднем равны нулю, но мгновенное влияние на длинноволновую компоненту в системе может быть важным и явиться источником длинноволновых возмущений. Проблема обсуждалась ранее Фоксом и Лилли [19] и Херрингом [32]. В отличие от некогерентной части спектра, обсуждавшейся ранее, это явление не описывается членом диффузионного типа и напоминает скорее случайные флуктуации на больших масштабах, вызываемые малыми масштабами. Фокс и Лилли предложили ввести случайные флуктуации, которые воздействуют на большие масштабы.
Другой подход к подсеточному моделированию, касающийся проблемы обратной связи от малых пространственных масштабов к большим, состоит в использовании теории ренормализо- ванных групп — метода, развитого вначале в статистической механике. Этот подход предполагает систематическое устранение влияния малых масштабов и замену их среднего влияния на большие масштабы эффективной турбулентной вязкостью. Для описания этого метода рекомендуем обзоры Мак-Комба [53] и Херринга [34] и недавние статьи Яхота и Орцага [81, 82].
12-1.5. Проблемы моделирования турбулентности в реагирующем течении
Посвященный турбулентности раздел завершается обсуждением физических, а не численных проблем, которое расширяет и уточняет рассмотрение динамики жидкости и химических реакций, данное в разд. 2-3. Цель состоит в представлении связанной картины турбулентного реагирующего течения в качестве путеводителя при создании будущей модели. В частности, подчеркнем, что проявления турбулентности в реагирующем и нереагирующем потоках различны.
Динамика неустойчивостей в жидкости и генерация турбулентности
Многие гидродинамические неустойчивости являются причиной возникновения турбулентности. На каждом масштабе имеет место быстрое возрастание коротковолновых колебаний в жидкости в результате изменений фонового течения на этом мас- 33—245
штабе. Когда значения фоновых переменных находятся вблизи порога, скорости роста возмущений очень низкие, а раскачиваются в основном длинноволновые колебания. Как только основное течение переходит в неустойчивый режим, максимальные скорости роста наиболее неустойчивых мод увеличиваются и неустойчивость распространяется в широкой полосе спектра. Турбулентное порождение все более неупорядоченной завихренности есть результат нелинейной эволюции этих неустойчивостей, внутренне присущее явлению перехода.
Два вида неустойчивости обычно обсуждаются при описании эволюции турбулентности — неустойчивости Рэлея — Тейлора и Кельвина — Гельмгольца. Неустойчивость Рэлея — Тейлора вызывается ускорением тяжелой жидкости в легкой среде, имеющим результатом порождение по мере роста неустойчивости грубо выстроенных нитевидных вихревых пар противоположного знака. Это может иметь место, например, в течениях при наличии плавучести или когда звуковые или ударные волны взаимодействуют с пламенами и градиентами плотности. Неустойчивости Тейлора, генерируемые вращением, имеют такой же характер. Неустойчивость Кельвина — Гельмгольца существует в сдвиговом слое между потоками с различными скоростями. Она ответственна за начальное образование когерентных структур в экспериментах с разделительной пластиной и струями и имеет тенденцию превратить поверхности завихренности в приблизительно параллельные вихревые нити того же знака.
Существование градиентов плотности составляет одно из важнейших свойств реагирующих течений, которое обычно не рассматривалось классическими моделями нереагирующей турбулентности. Градиенты плотности порождают завихренность путем взаимодействия с окружающими градиентами или флуктуациями в поле давления. Это член VpXVP в уравнении (9-1.7) для завихренности. Когда массовая плотность постоянна, все эффекты, потенциально зависящие от источникового члена завихренности в уравнении (2-2.8), отсутствуют.
В нереагирующей турбулентности спектр завихренности определяется макроскопическими масштабами, для промежуточных и коротких длин волн имеется каскадное распределение из-за неустойчивости и растяжения вихрей, а короткие длины волн в спектре диссипируются за счет вязкости. Существует также обратное влияние коротковолновых флуктуаций на более длинноволновые. При горении локализованное выделение тепла в смешанных пакетах топлива и окислителя вызывает сильное, но скоротечное расширение реагирующих газов. Получившаяся область низкой плотности имеет масштабы длины, типичные для процесса горения, и взаимодействуют с градиентами давления, генерируя новую завихренность в потоке на тех же характерных
масштабах. Завихренность на этих масштабах особенно эффективна для смешения, и можно ожидать, что здесь возникает самовоздействие завихренности. Процесс горения, в свою очередь, ускоряется до тех пор, пока имеются топливо и окислитель. Из-за того, что спектр турбулентности, как сейчас полагают, энергетически определяется как на коротких длинах волн, так и на длинных, в спектре могут сформироваться плато или даже пики, изменяя обычное понятие каскада, подобия и даже характер моделирования.
Существуют активная, пассивная и локальная роли турбулентного смешения, которое активизуется расширением жидкости в химически реагирующих течениях. Эти роли могут быть поняты качественно, исходя из локального действия неустойчивости Рэлея — Тейлора. Активная роль связана с тем, что объем газа находится в состоянии расширения из-за тепловыделения в химических реакциях. Зависящее от времени ускорение, сопровождающее это расширение, влияет на окружающее течение. Область сильных градиентов плотности подвержена неустойчивости Рэлея — Тейлора в процессе этого ускорения, и завихренность генерируется по мере выделения энергии. Градиент плотности, чей характерный масштаб сравним с расстоянием, проходимым жидкостью при расширении, резко возрастает вследствие расширения. Быстрое расширение индуцирует сохраняющиеся вихревые нити, изменяющие характерное время смешения. Соответствующее индуцированное смешение возрастает со скоростью, составляющей лишь 3% от скорости расширения, но продолжается долгое время. Расширение и соответствующая скорость относятся к существенно переходным эффектам, длящимся лишь короткое время.
Пассивная роль расширения потенциально даже более важна, чем активная. В пассивной роли расширение влияет на турбулентное смешение скорее через градиенты плотности, чем градиенты давления, которые ведут к генерации завихренности. Рассмотрим вихрь жидкости, вращающийся с угловой частотой Q. Ускорение жидкости равно rQ2 на радиусе г. Объемы меньшей плотности в этом вихре, ранее сформированные химической реакцией, неустойчивы по отношению к модам Рэлея — Тейлора в жидкости, для которой локальное центробежное ускорение противоположно градиенту плотности. Из-за того, что активная генерация завихренности ограничена временем фазы расширения, резонно ожидать, что окажется большим значение завихренности, порожденной пассивным взаимодействием градиентов плотности с крупномасштабными вихрями. Длительность периода вращения вихря составляет несколько времен роста моды Рэлея — Тейлора, когда ее длина становится сравнимой с радиусом вихря.
Расширение, вызываемое выделением энергии, оказывает также локальное влияние на взаимодействие между химической кинетикой и динамикой жидкости. Изменения плотности, температуры и состава, возникающие из-за наличия химической реакции, даже при постоянном давлении могут изменить динамику жидкости посредством процессов диффузионного переноса и изменения в уравнении состояния.
Динамика реагирующих поверхностей раздела
В реагирующем турбулентном течении микроскопическое молекулярное смешение зависит от движения и искривления лагранжевых поверхностей раздела, которые разделяют реагирующие компоненты. Хотелось бы понимать и иметь возможность предсказывать поведение этих поверхностей, а именно их перемещение и растяжение при движении среды. Так как топливо и окислитель диффундируют друг в друга на молекулярном уровне, эти поверхности продолжают располагаться по нормали к самым большим градиентам плотности компонентов. Быстрое увеличение площади реагирующей поверхности из-за турбулентности ускоряет молекулярное смешение и потенциально ускоряет реакцию. Эта ситуация показана условно на рис. 12-5. Вверху слева изображен куб жидкости со стороной 1 см в момент времени / = 0. Поверхность раздела между реагирующими компонентами А и В делит куб пополам. Последующие изгиб и растяжение реагирующей поверхности управляются распределением завихренности в локальном поле скорости.
Скорость движения жидкости на реагирующей поверхности имеет компоненту, нормальную к поверхности, которая может изменять полную площадь, и компоненту, параллельную поверхности, которая площади не изменяет. Эта ситуация показана на рис. 12-6. Обе компоненты важны и дополняют друг друга в процессе турбулентного смешения. Компонента, нормальная к поверхности, вызывает взаимное проникновение объемов жидкости с обеих сторон поверхности (процесс, называемый вовлечением). Когда близкие точки на поверхности разделяются, так что поверхность растягивается, жидкость на противоположных сторонах поверхности приближается к ней, причем ее течение остается потенциальным. Возрастают градиенты плотностей компонентов и температуры, нормальные к поверхности. Это, в свою очередь, увеличивает диффузионное взаимное проникновение реагентов. Процесс растяжения поверхности зависит от вовлеченного вещества. За счет увеличения действительной площади реакционной поверхности увеличивается и объемная реакционная способность. Растяжение и взаимное проникнове-
Рис. 12.5. Вверху: три стадии начальной деформации реагирующей поверхности раздела между жидкостями А и В. При Z=0 поверхность, разделяющая жидкости А и В, показана как плоскость в трехмерном объеме жидкости. В более поздние моменты t\ и Z2 поверхность последовательно деформируется в результате лагранжева движения точек поверхности. Маленькие стрелки показывают локальное направление потока. Внизу: два различных примера увеличения площади реагирующей поверхности раздела. Когда важна молекулярная диффузия и спектр турбулентной скорости развивается на коротких длинах волн, поверхность является относительно плоской и шероховатой (справа). Когда диффузия мала, а спектр скорости развит в области больших длин волн, поверхность становится более выпуклой (слева).
ние обычно существуют совместно, но для ясности они отдельно иллюстрируются на этом рисунке.
Если в турбулентном спектре доминируют короткие длины волн, то вначале гладкая поверхность становится морщинистой на этих длинах и лишь затем происходит крупномасштабный изгиб (рис. 12-5). Из-за того, что масштаб длины турбулентного спектра близок к длинам молекулярного смешения, эффективный объем, в котором происходит ускоренное смешение, много меньше, чем объем, вычисленный по известной площади растянутой поверхности. Соседние складки поверхности, которые приближаются на длину молекулярной диффузии друг к другу, стремятся слиться. Малые складки поверхности быстро сглажи-
РастяжениеРастяжениеРис. 12-6. Взаимное проникновение двух веществ А и В, вызываемое местной динамикой реагирующей поверхности раздела.Рис. 12-6. Взаимное проникновение двух веществ А и В, вызываемое местной динамикой реагирующей поверхности раздела.
Растяжение
Растяжение
Рис. 12-6. Взаимное проникновение двух веществ А и В, вызываемое местной динамикой реагирующей поверхности раздела.
Рис. 12-6. Взаимное проникновение двух веществ А и В, вызываемое местной динамикой реагирующей поверхности раздела.
ваются за счет диффузии, так что один из эффектов молекулярной диффузии состоит в ограничении скорости конвективного роста площади реагирующей поверхности.
В противоположном случае, также представленном на рис. 12-5, доминирующие длины волн велики по сравнению с длиной молекулярного смешения. Поверхность характеризуется относительно гладкими длинноволновыми выпуклостями, которые могут заполнить большой объем, прежде чем реализуется какой-нибудь из общих, выше описанных эффектов взаимодействия. Фактически площадь идеальной лагранжевой поверхности в поле изотропной однородной турбулентной скорости может, вероятно, увеличиваться способом, представляемым с помощью фракталов (см., например, работы [28, 50]). Молекулярное смешение существует вдоль изгибов, имеющих масштабы, большие, чем диффузионная длина. В конце концов, однако, происходит перекрытие эффективно смешанного объема, когда поверхность делается более изогнутой. Таким образом, молекулярно смешанный объем вновь ограничен, хотя идеальная реагирующая поверхность стремится к бесконечности.
Детальная химическая кинетика
Третьим усложняющим аспектом проблемы смешения реагирующего течения является энергия, выделяемая химическими
реакциями. Существенно одномерные профили концентраций топлива, окислителя и других реагентов по нормали к реагирующей поверхности изменяются не только из-за конвекции и молекулярной диффузии, но также из-за химических реакций. Выделение энергии в газовых потоках ускоряет расширение и, если течение существенно экзотермично, может индуцировать плавучесть. Так химическая кинетика реализует обратную связь с гидродинамикой.
В некоторых случаях суммарная скорость реакции контролируется диффузией горячего топлива и окислителя через область расширения горячих продуктов и реагентов. В других случаях топливо и окислитель смешиваются конвективно, а затем молекулярно, прежде чем происходит нагрев и воспламенение. В последних ситуациях воспламенение может инициироваться быстро движущимся фронтом пламени, который перемещается скорее параллельно реакционноспособной поверхности раздела, чем по нормали к ней. Ситуация значительно усложняется растяжением пламени, которое может погасить реакцию задолго до того, как смешаются реагенты и горячие продукты. Здесь химическая кинетика с конечными скоростями играет важнейшую роль, поскольку она определяет скорость пламени.
12-1.6. Заключительные замечания
Турбулентность является трудно моделируемым процессом, и в еще большей степени это касается реагирующей турбулентности. Однако мы должы оставаться неустрашимыми в наших попытках понять и смоделировать турбулентные явления. Когда предмет сложен, всегда ценно поискать новые идеи и потенциально полезные концепции. Подходы, включающие фракталы, странные аттракторы, хаос и клеточные автоматы, все больше рассматриваются как возможные помощники в интерпретации турбулентных течений. Как и в вычислительной динамике жидкости, общие законы сохранения позволяют получить полезные принципы и ограничения, которые могут позволить избежать необходимости разрешать многие детали турбулентного смешения.
12-2. Радиационный перенос
Электронные, атомные и молекулярные движения, связанные с внутренней энергией, заставляют вещества постоянно испускать и поглощать электромагнитное излучение. Излучение испускается в широком спектре — от радиоволн до жесткого космического рентгеновского излучения. Оно является важным механизмом переноса энергии во многих реагирующих течениях от крупномасштабных пожаров до малоразмерных пламен. На-
пример, излучение может вызвать воспламенение далеко отстоящих предметов вследствие явления, называемого вспышкой, когда излучение из области горения нагревает поверхность удаленного предмета вплоть до его спонтанного возгорания. Излучение может оказаться существенным в камерах сгорания двигателей, где температура достигает двух-трех тысяч кельвинов. Когда имеет место сажеобразование, частицы сажи испускают и поглощают излучение. Излучение от сажистого пламени может выносить значительное количество энергии и существенно изменять плавучесть горячих продуктов. Другие приложения, в которых перенос энергии излучением существен, включают гиперзвуковые ударные слои, ракетные двигатели и плотные плазменные системы, имеющиеся на Солнце или в установках ядерного синтеза.
Поток испускаемого излучения чувствителен к температуре вещества и обычно становится более важным при увеличении температуры. Количество переданной от одного тела к другому энергии излучения зависит от разности их абсолютных температур, возведенных в четвертую степень в соответствии с законом Стефана — Больцмана. Это сильно отличает радиационный перенос от энергообмена при конвекции или теплопроводности, которые обычно зависят лишь от разности температур.
Другим важным отличием переноса излучения от конвекции и теплопроводности является то, что энергия фотонов может переноситься как в вакууме, так и в материальной среде, в то время как при конвекции и теплопроводности энергия переносится непосредственно веществом. Математическое выражение этого свойства радиационного переноса описывается интегральным уравнением.
В этой главе вводятся некоторые понятия, которые полезны в большинстве элементарных моделей радиационного переноса. Сначала мы рассмотрим физическую основу переноса излучения, описав величины, входящие в уравнение радиационного переноса. Из этого уравнения можно вывести выражение для потока излучения qT, введенного в уравнения (2-1.4) и (7-0.3). Затем обсудим несколько предельных случаев радиационного переноса. Так как этих предельных случаев обычно не достаточно для моделирования нестационарных реагирующих течений, будут обсуждены более полезные подходы, такие, как диффузионное приближение и различные приближения Эддингтона. Для более подробных выводов и объяснений рекомендуются книги Зельдовича и Райзера [83], Озисика [60], Рыбики и Лайтмена [68], Зигеля и Хауэлла [74], Михаласа и Михаласа [55] и Калкофена [39]. Эта глава является вводной и может служить руководством к простому моделированию радиационного переноса в реагирующих течениях.
А ги
Ю22
Л,нм 10V
Космические лучи
Аннигиляция
у-излучение
Рентгеновское излучение Т i Видимое
Ультрафиолет (0,4...0,7мкм)
^Фиоле-1 товое ▼ Т Красное к.* 1Ближнее инфракрасное
Тепловое _|_(0,7...25мкм)
1 дальнее инфракрасное (25.,,1000 мкм)
Электронный^] улар I
I Синхротронное I излучение
Вращательные переходы в газах и колебания решетки в твердых телах
Электронные .переходы
-- Торможение частиц высоких энергий Радиоактивный распад
УКВ и радиоволны
г
Короткие радиоволны
Усиление колебании в электронных устройствах
Длинные радиоволны
L
Рис. 12-7. Спектр электромагнитного излучения: а — тип излучения;* б — механизм генерации. (На основе рисунка из книги [74].)
12-2.1. Физические основы радиационного переноса
Тепловое излучение является следствием электронных, колебательных и вращательных переходов в атомах и молекулах газов, молекулярных колебаний в жидкостях и твердых телах, переходов между связанными состояниями электронов в твердых телах и синхротронного излучения. Длины волн излучения приведены на рис. 12-7.
Излучение электронных переходов в атомных системах, молекулах, ионах или в электрон-ионной плазме излучается и поглощается так же, как оно передается в газовой среде. Когда
СвободныесостоянияСвободныесостоянияE^ ЕйЕзЕгE^ ЕйЕзЕгСвязанные состоянияСвязанные состоянияа bа b
Свободныесостояния
Свободныесостояния
E^ Ей
Ез
Ег
E^ Ей
Ез
Ег
Связанные состояния
Связанные состояния
а b
а b
Ех
Рис. 12-8. Схема энергетических состояний и переходов в атоме, ионе и электроне. Энергетические уровни обозначены как Ei, t=l, 2, ..., /, где Ei— уровень ионизации: а — связанно-связанное поглощение, b — связанно-связанное излучение, с — связанно-свободное поглощение, d— связанно-свободное излучение, е — свободно-свободное поглощение, f — свободно-свободное излучение. (На основе рисунка из книги [74].)
атом (или ион) взаимодействует с фотоном, последний поглощается, оставляя атом в возбужденном состоянии. Впоследствии атом может возвратиться в исходное или другое состояние, испустив другой фотон. Эта релаксация может быть как спонтанной, таки стимулированной прохождением другого фотона той же энергии. Электронные переходы обычно делятся на три типа: связанно-связанные, свободно-связанные и свободно-свободные, как показано на рис. 12-8.
В связанно-связанных переходах (й-6) фотон, взаимодействуя с атомной системой, может возбуждать переход от одного связанного уровня к другому. Например, фотон может быть поглощен, а система возбуждена в более высокое энергетическое состояние. Так как атомные системы имеют дискретные энергетические уровни, b-Ь-переходы порождают линейные спектры (спектр становится полосчатым, когда система имеет также вращательные или колебательные моды, которые уширяют линию перехода).
В свободно-связанных переходах (b-f) взаимодействие фотона со связанной системой электрон — атом приводит к тому,
что система имеет слишком много энергии, чтобы удержать электрон, вследствие чего имеет место фотоионизация. Электрон излучает, а избыточная энергия переходит в кинетическую энергию электрона. В результате обратного процесса, т. е. захвата электрона атомом, происходит испускание фотона. Этот тип процессов порождает непрерывные спектры поглощения и излучения, а направления частиц и фотонов до и после перехода определяются сохранением импульса и энергии.
В свободно-свободных переходах (f-f) свободный электрон может или испустить фотон без потери его кинетической энергии и остаться свободным, или он может поглотить фотон и увеличить свою кинетическую энергию. Такое излучение называется тормозным и порождает непрерывные спектры излучения и поглощения.
Эти основные атомные процессы вносят вклад в поглощение и излучение при прохождении излучения через вещество. Скорости атомных радиационных процессов используются так же, как и скорости химических реакций при описании химической кинетики. Данные по скоростям радиационных переходов, коэффициентам излучения, поглощения и рассеяния являются фундаментальными входными данными, определяющими спектры излучения и поглощения, и являются входными данными к уравнению радиационного переноса, приведенному ниже. Определение этих входных величин составляет значительную часть сложностей, связанных с решением проблем переноса излучения.
В реагирующих системах нас часто интересует состояние локального термодинамического равновесия. Это означает, что радиационное поле может быть описано локальными переменными, такими, как состав, температура и давление. Проходя расстояния, сравнимые с характерными размерами неоднородности температуры или плотности в радиационном поле, фотоны многократно поглощаются и переизлучаются. Когда излучение находится в тепловом равновесии, его называют тепловым излучением.
12-2.2. Уравнение радиационного переноса
Фундаментальной величиной радиационного переноса является спектральная интенсивность A(Q), т. е. излученная энергия, переносимая в единицу времени через единицу поверхности по нормали к направлению Q(6, ф) в единичном телесном угле, построенном вокруг Q, и приходящаяся на единичный интервал длин волны в окрестности значения X. (Например, в СИ спектральная интенсивность измеряется в Дж/(с-м3-ср).) Соответствующая геометрия показана на рис. 12-9. Спектральная
Рис. 12-9. Геометрия, использованная для определения спектральной интенсивности. (На основе рисунка из книги [74].)
интенсивность зависит от свойств вещества системы, таких, как температура, давление и молярная плотность различных компонентов. Ниже мы будем записывать эту величину как к» где индекс X указывает на зависимость от длины волны. Явная зависимость от локальных свойств вещества опускается для того, чтобы упростить представление и обсуждение материала.
Полная интенсивность в направлении Q определяется как интеграл по всем длинам волн
7(Q) = $”/x(Q)dL(12-2.1)
Осредненная по направлению средняя интенсивность равна
7(Х) = ^Го" ^^О2'2'2)
Интенсивность является функцией свойств всей среды в целом и определяется тем, сколько излучения входит в среду со стенок или извне, сколько поглощается, излучается или рассеивается средой до того, как оно достигает малого объема, и сколько поглотится или излучится в этом объеме. Уравнение радиационного переноса описывает поведение спектральной интенсивности к- В общем случае это уравнение сохранения, зависящее от времени:
T^V-^=WX.(12-2.3)
Независимой переменной s измеряется расстояние вдоль луча
четырехчетырех(12-2.4)(12-2.4)в направлении Q. Источниковый член Wx состоит из слагаемых
четырех
четырех
(12-2.4)
(12-2.4)
^Х = ^излуч ^поглощ 4“ Гусил. расе ^зат. расе*
Обычно требуется стационарное решение уравнений (12-2.3), так как излучение, характеризуемое скоростью распространения света с, приходит к равновесию быстрее, чем другие процессы. Радиационный масштаб времени для задач механики жидкости много меньше, чем соответствующие масштабы других процессов за исключением случаев очень высоких энергий. Радиационное поле быстро согласуется с изменениями физических условий в любом месте среды. Тем самым обосновываются пренебрежение явным изменением A(Q) от времени и интерпретация радиационного поля как элемента последовательности квазистацио- нарных состояний.
Обсудим природу Источниковых членов Wx.
Уменьшение к вследствие поглощения фотонов вдоль луча дается общим поглощением
^поглощ =(12-2.5)
где ax(s)—коэффициент поглощения, м-1. Как следует из уравнения (12-2.5), ax(s) определяет поглощение и индуцированное излучение, каждое из которых пропорционально спектральной интенсивности по лучу. Полное поглощение может быть как положительным, так и отрицательным. Когда преобладает индуцированное излучение, ах есть коэффициент усиления, описывающий экспоненциальный рост спектральной интенсивности вдоль луча.
Увеличение к вследствие самопроизвольного излучения, дающего вклад вдоль оптического пути, равно
^излуч =ax(s) hb(s).(12-2.6)
Предполагается, что излучение находится в локальном термодинамическом равновесии, так что кь в уравнении (12-2.6) является функцией Планка
<12'2'7)
где h — постоянная Планка. Функция 7хь описывает спектральную интенсивность излучения черного тела, интенсивность излучения в вакуумном объеме, стенки которого находятся при постоянной температуре. Закон Стефана — Больцмана утверждает, что интенсивность излучения черного тела, проинтегрированная по всем длинам волн, пропорциональна Т4:
Ib^ = ^JKbWX = ^TS(12-2.8)
где а = 5,67 • 10-8 Вт - м~2- К“4 — постоянная Стефана — Больцмана.
Затухание за счет рассеяния на луче есть
^зат.расс^М^М*),(12-2.9)
где Ox(s)—коэффициент рассеяния, м-1. Излучение, рассеянное из объема, пропорционально интенсивности, как и при поглощении. Коэффициент рассеяния ок(Т(s), P(s)) равен обратной длине свободного пробега фотона с длиной волны X вдоль оптического пути s. Коэффициент рассеяния описывает упругое и неупругое рассеяние и может быть как изотропным, так и анизотропным.
Усиление интенсивности за счет излучения, рассеянного на луче вдоль s, равно
^.Pacc = ^f k(s, QJO(X,fi, ^dQh(12-2.10)
где функция Ф есть фазовая функция, определенная как интенсивность, рассеянная в некотором направлении, отнесенная к интенсивности изотропного рассеяния. Общее уравнение радиационного переноса в квазистационарном пределе имеет вид
^- = — ахк (s)—охк (s) + ахкь (s) +
+ ^ГоЯ/х(5’ Й/)Ф(Х’ Й’ Й/МЙ/ (12-2.11) и является интегро-дифференциальным уравнением первого порядка. Из него следует, что излучение вдоль пути s затухает за счет поглощения и рассеяния и усиливается за счет спонтанного и вынужденного излучения (включенного в суммарный коэффициент поглощения ах и радиационного рассеяния с других направлений..
Обе величины щ и ах являются функциями длины волны, химического состава, температуры и давления и, вообще говоря, направления движения фотона. Эти величины определяют коэффициент затухания
К^ах+ох.(12-2.12)
Оптическая толщина слоя вещества Тх($) является мерой ослабления излучения на данной длине оптического пути:
тЛ(8)^ ^Kx^ds'.(12-2.13)
Обычно оптическая толщина измеряется относительно характер-
ных масштабов длин, в основном связанных с градиентами гидродинамических величин. Когда Tx(s)»l, среда является оптически толстой. Среднее расстояние проникновения каждого фотона мало по сравнению с характерными расстояниями в среде. Когда Tb(s)<cl, среда является оптически тонкой. Непрозрачность среды, являющаяся локальной функцией состава, температуры, давления и длины волны, определяется сотношением
(12-2.14)(12-2.14)^Х = ах (s)/p (s)
(12-2.14)
(12-2.14)
и измеряется в м2-г-1.
12-2.3. Поток энергии излучения
В главё 2 был введен радиационный поток
(12-2.15)
который появился далее в уравнении (7-0.3). Соответствующий член в уравнении (7-0.3) связывает радиационный перенос с другими физико-химическими процессами в уравнениях сохранения.
Поток излученной энергии, проходящий через элемент площади dA, определяется суммой интенсивностей по всем направлениям
(12-2.16)(12-2.16)qr(s) = Vo1^^' s)n(fi)dQ,
(12-2.16)
(12-2.16)
где n — единичный вектор, соответствующий направлению луча И и нормальный к поверхности dA. Используя преобразования dlx _ dlx dx dlx dy dlx dz dlx. dlx . dlx /19 9 17x
ds — dx ds^ dy ds ' dz ds~ dx dy у dz
где ax, o^, o^—направляющие косинусы Q, получим
V • qr = 4л J” (ax (s) кь—[«x(s) + ок (s)] к W +
(12-2.18)(12-2.18)а» (s) С4 л—
(12-2.18)
(12-2.18)
Здесь
Ф(Х, Q) = ax(Q)/<a>,Ф(Х, Q) = ax(Q)/<a>,(12-2.19)(12-2.20)(12-2.19)(12-2.20)
Ф(Х, Q) = ax(Q)/<a>,
Ф(Х, Q) = ax(Q)/<a>,
(12-2.19)
(12-2.20)
(12-2.19)
(12-2.20)
где IК — средняя интенсивность, определяемая выражением (12-2.2).
Уравнения (12-2.11) и (12-2.18) представляются достаточно прозрачными, но имеются два основных типа трудностей, связанных с их решением. Первая состоит в определении коэффициентов поглощения и рассеяния, которые требуют детального знания атомных и молекулярных свойств среды. Вторая связана с огромным количеством вычислений, требующихся для численного решения уравнений, так как каждое направление следует рассматривать отдельно. Далее предполагая локальное термодинамическое равновесие, трудно найти распределение А, которое связано с уравнением для энергии и температурой.
12-2.4. Некоторые важные предельные случаи
Рассмотрим сначала интеграл от Aklds из уравнения (12-2.11) для определения A(s)
S
sг s
k^KxbAs'^"k'K>dS'' ds', (12-2.21)
где Кх, определяемое выражением (12-2.12), может изменяться вдоль оптического пути. Сравнивая это уравнение с уравнением (12-2.11), можно видеть, что A(s) зависит от функции. Планка кь, т. е. зависит от локальной температуры и локально рассеянного излучения. Для нахождения температуры необходимо решить уравнение для энергии. Поток излученной энергии qT, используемый в уравнении, включает интеграл от к по всем значениям Q и X.
Любое практически приемлемое вычисление должно избегать решения полных уравнений радиационного переноса, связанных с уравнением энергии. Для этого необходимо рассмотреть предельные случаи плотной или тонкой среды и использовать целый арсенал ухищрений и аппроксимаций для упрощения уравнений. Рассмотрим сначала предельные случаи.
Приближение прозрачного газа
Когда непрозрачность мала, среда является оптически тонкой. Экспоненциальные множители в уравнении переноса (12-2.21) стремятся к единице и
k (s) = к (0) + $s0 Кхк (s') ds-.(12-2.22)
Из этого уравнения видно, что затухание вдоль оптического пути s в среде очень мало. Излучение, вошедшее в среду при s = 0, сохраняет интенсивность почти неизменной.
Если коэффициент затухания Кх велик, оптическая толщина
мала и интеграл в уравнении (12-2.22) становится мал по сравнению с Д(0). Тогда имеем равенство
Л(8) = Л(0),(12-2.23))
которое представляет собой выражение приближения абсолютно прозрачной среды. Интенсивность падающего излучения не- изменяется, когда оно проходит через среду. Локальный энергетический баланс не изменяется и уравнения переноса легка решить.
Излучательное приближение' '
В этом приближении среда является оптически тонкой и небольшое количество излучения приходит от границ. Следовательно, энергия, спонтанно излученная из каждого малого объема газа, проходит через систему без значительного затухания.. Тогда имеем
к (s) = к (0) + Js0 ах (s') кь (S') as'.(12-2.24)
Холодная среда с малым рассеянием
Радиация, излученная и рассеянная средой в луче вдоль s,^ пренебрежима по сравнению с радиацией, идущей от границ или внешних источников. Тогда локальная интенсивность есть ослабленная интенсивность падающего потока
S
s
. .(12-2.25)
Этот предел важен в задачах горения, когда холодная невос- пламенившаяся газовая смесь с заметным поглотителем, таким,, как частицы дыма, близка к области сильного излучения.
12-2.5. Более общие подходы
Существуют другие, более общие подходы, представляющие- более фундаментальные модели. Мы кратко опишем их здесь, до того, как перейдем к объяснению таких полезных аппроксимаций, как диффузионное приближение и приближение Эддингтона. В дифференциальном приближении уравнения радиационного переноса аппроксимируются иерархией уравнений для моментов. Обычно используются три первых момента, имеющих конкретный физический смысл, что напоминает прием, используемый в динамике жидкости. Первый момент представляет 34—245
плотность радиационной энергии, второй момент — поток радиационной энергии и третий — тензор радиационных напряжений. Общий способ замыкания этих уравнений сводится к аппроксимации Эддингтона, обсуждаемой более детально ниже.
Подходы к радиационному переносу, использующие методы Монте-Карло, развиты достаточно хорошо. Другие подходы включают замену экспоненциальных интегралов приближенными степенными функциями, избегая вероятностных методов, а также используя 5п-метод. Для углубленного изучения этих методов мы рекомендуем книги Михаласа и Михаласа [55] и Зигеля и Хауэлла [74].
Работа, состоящая в прямом решении многомерных уравнений радиационного переноса, вполне выполнима, но чрезмерно велика по объему. Существует проблема определения необходимых коэффициентов для различных процессов излучения и поглощения. Они являются, как правило, функциями длины волны и локальных свойств вещества. Иногда они представлены в табличной форме, но часто должны экстраполироваться или рассчитываться на основе более фундаментального анализа. Спектр обычно делится на полосы длин волн, и уравнения преобразуются к наборам уравнений, каждый из которых справедлив для полосы длин волн шириной АХ. Далее, в пространстве выделяется конечное число направлений, так чтобы фотоны, двигающиеся в разных направлениях, могли учитываться раздельно. Результатом является очень сложная система связанных конечно-разностных уравнений, которая может быть решена стандартными методами, описанными в предыдущих главах этой книги. Неявные методы обычно подходят лучше, так как учитывают нелокальный характер связей.
Полная система уравнений радиационного переноса обычно не рассматривается, а привлекаются приближенные подходы. Как уже было показано, различные аппроксимации справедливы в различных предельных физических условиях. Два наиболее общих подхода к радиационному переносу состоят в использовании диффузионного приближения и приближения прозрачной среды, так как они относительно просты в использовании. В обоих случаях интенсивность излучения является локальной величиной, а не определяется глобальными свойствами системы.
Во многих системах предпочтительное поглощение на некоторых частотах означает, что фотоны из других спектральных линий имеют большую длину пробега и, следовательно, больше возможности покинуть среду. В других системах радиационное охлаждение заставляет некоторые атомы иметь эффективные температуры, отличные от эффективных температур других атомов. В таких более сложных ситуациях различные части спектра должны учитываться по-разному. Для корректного моделиро-
вания этих задач необходимы некоторые формы многомерного многогруппового анализа.
Диффузионные приближения являются простейшими в использовании, но требуют, по крайней мере, приблизительной локальной изотропности радиационного поля. Приближение Эддингтона использует диффузионную модель для учета малой линейной анизотропности в двух направлениях интегрирования. Даже необходимость раздельного учета различных полос длин волн в радиационном поле не создает сколько-нибудь больших трудностей с вычислительной точки зрения в предположении, что существует изотропность в каждой полосе.
12-2.6, Радиационное диффузионное приближение
Подобно многим другим физическим явлениям сочетание малой длины свободного пробега фотона с многократным поглощением и переизлучением приводит к стохастическому поведению, макроскопическим представлением которого является диффузионный оператор наинизшего порядка. Диффузионное приближение основано на допущении, что длина оптического нути достаточно велика, температурные градиенты достаточно малы и что^локальное значение спектральной интенсивности зависит лишь от локального излучения. Это приводит к упрощенной, но очень полезной аппроксимации полной системы уравнений. Основной результат был впервые выведен Росселандом [67]:
4' = -3^V7-.(12-2.26)
Это выражение следует из связи потока энергии с локальным температурным градиентом и дает диффузионный поток излучения, осредненный по всем длинам волн в предположении локального распределения в форме функции излучения черного тела.
Величина ад (измеряемая в м-1) есть коэффициент поглощения Росселанда, равный осредненному значению суммы коэффициентов поглощения и рассеяния ах и gk при использовании в качестве весовой функции спектрального распределения черного тела Ьъ(Т)\
aR = С" dX / Г _^_(12-2.27)
Jo дТ /Jo дТ а-х + ^х
где а — постоянная Стефана — Больцмана. Средняя длина свободного пробега фотонов, соответствующая ад, называется средней длиной свободного пробега Росселанда
^=1/а^.(12-2.28)
После определения qT уравнение сохранения энергии может 34е
Л5ыть решено стандартными численными методами. Скорость изменения плотности энергии вещества равна —VqT.
Существует много вариантов диффузионного приближения, описание которых может быть найдено у Зигеля и Хауэлла [74]. Например, приближения Шустера — Шварцшильда [71, 72]; и Милна — Эддингтона [14, 56] являются диффузионноподобными и обычно использовались в астрофизических приложениях. Оба эти приближения предполагают, что существует два выделенных направления распространения и что интенсивность в одном направлении может иметь другое значение, чем интенсивность в другом. Теоретические подходы в этих двух случаях, однако, оказываются различными, когда реализуется подобная анизотропия.
12-2.7. Приближение переменной Эддингтона
Рассмотрим ситуацию, в которой локальная радиационная температура Тт значительно отличается от локальной температуры вещества 7, но передача энергии между веществом и полем излучения относительно мала. В этом случае оба температурные распределения являются в значительной степени максвелловскими, но с различными температурами. Однако всегда имеется взаимодействие, стремящееся выровнять температуры. В этом случае модель, полезная для вычислений, следует из трактовки радиационного поля в терминах лишь плотности энергии Ег, связанной с Тт соотношением:
Тг=(сЕг/4о)^. (12-2.29)
Здесь а — постоянная Стефана — Больцмана, с — скорость света (Ет измеряется в Дж/м3). Полная энергия в системе должна сохраняться, но энергия жидкости Е (х, t) и энергия излучения Ет локально переходят друг в друга.
Плотность радиационной энергии удовлетворяет скалярному уравнению переноса
у ^Г = V -М УеЕ^-КДЕг-Еьь\ (12-2.30) где рассеяние трактуется как в градиентном диффузионном приближении, использующем среднюю длину пробега Росселанда. Поглощение и излучение определяются осредненной планков- ской непрозрачностью Кр, м-1 посредством второго слагаемого в правой части уравнения. Величина /£ есть безразмерный переменный множитель Эддингтона, обсуждаемый ниже. Непрозрачность зависит от состава и температуры среды и, в общем случае, от длины волны фотона. Здесь Кр есть обратная величина средней длины свободного пробега в оптически тонкой среде, которая определяется выражением
Рис. 12-10. Изменение множителя Эддингтона }е от поглощательных свойств среды. '
Кр = ^Kxkb^dXl^Ixb^dk (12-2.31)
Па аналогии с уравнением (12-2.29) плотность энергии черного тела, появившаяся в уравнении (12-2.30), определена как
Еьъ = ^Т^с.(12-2.32)
КоЛа действительная плотность энергии излучения локально превосходит плотность излучения черного тела Еьь, вычисленную при температуре жидкости Г, плотность радиационной энергии уменьшается во времени из-за того, что среда поглощает излучение быстрее, чем испускает.
Левая часть уравнения (12-2.30), характеризующая скорость изменения плотности энергии излучения, обычно очень малая величина по сравнению с каждым членом в правой части, и в уравнении (12-2.30) ею обычно можно пренебречь. Возможность пренебрежения нестационарностью связана с тем, что скорость света велика по сравнению с другими скоростями задачи. Переменный множитель Эддингтона /Б изменяется от единицы для оптически тонкой среды до одной трети для оптически толстой среды, что схематически показано на рис. 12-10. Переменный множитель позволяет аппроксимировать локальный радиационный поток в областях от оптически толстой до оптически тонкой среды. В общем случае множитель Эддингтона может быть рассчитан из детального решения уравнений радиационного переноса. Однако для упрощения вычислений он часто аппроксимируется формулой, определенной из геометрии задачи и отношения радиационного потока к плотности энергии излучения, например
/5=^4.^,(12-2.33)
где L— масштаб длины поля излучения, определенный из отношения
L-^fE\^Er\lEr.(12-2.34)
Так как множитель fE входит в определение L, то для его нахождения необходимо решить квадратное уравнение, следующее из соотношений (12-2.33) и (12-2.34). Это является особой частью аппроксимации. Переменный множитель Эддингтона Ее может быть внесен под знак градиента в выражении (12-2.34), как это использовано в уравнении (12-2.30). Когда fE вносится под знак градиента, масштаб длины радиационного поля должен быть определен с использованием значений fE и VET с предыдущего временного шага.
Когда радиационное поле стремится к стационарному состоянию, диффузионноподобный член в уравнении (12-2.30) уравновешивает излучательный источниковый член, и левая часть уравнения (12-2.30) обращается в нуль. Радиационное поле тесно связано с граничными условиями и пространственным изменением температурного поля жидкости через плотность энергии черного тела. Это эллиптическое уравнение может быть решено стандартными методами, как это обсуждалось в гл. И, хотя в многомерном случае они оказываются дорогостоящими.
Плотность энергии жидкости удовлетворяет уравнению
+ V • Ev + V • Pv- V • Х^Т = сКР (Er—Ebb\ (12-2.35)
где Хт—коэффициент теплопроводности смеси, описанный в гл. 2. Скорость света теперь находится в качестве сомножителя в членах излучения и поглощения. Это означает, что если даже плотность радиационной энергии много меньше, чем плотность энергии среды, то энергия среды может заметно изменяться излучением, потому что скорость света велика.
Эта связанная система двух уравнений для энергии сохраняет полную энергию, как это можно видеть с помощью умножения уравнения (12-2.30) справа и слева на с и сложения его с уравнением (12-2.35). Изменение плотности энергии среды и, следовательно, температуры имеет обратное влияние на уравнение (12.2.30) через температурное изменение плотности энергии черного тела и среднее значение длины Росселанда Хн(7), что делает систему уравнений жесткой. Эта потенциальная жесткость связанных уравнений усложняет их численное решение, хотя методы, описанные в предшествующих главах, вполне пригодны, по крайней мере в принципе, для решения этих уравнений.
Приближение переменной Эддингтона сводится к диффузионной модели, если ЕЪъ и Ет почти равны. В этом случае эллипти-
ческий член в уравнении (12.2.30) может быть записан с Еъъ^П вместо Ег. Подставляя этот результат в правую часть уравнения (12-2.35), находим
^+V-Ev + V-Pv-V-^VT = VM (у^4) • (12-2.36)
Сравнивая уравнение (12-2.36) с уравнением Росселанда (12-2.30) можно видеть, что модель переменной Эддингтона сводится к диффузионной модели в пределе оптически толстого слоя, когда /б =1/3.
В предельном случае оптически тонкой среды иногда необходимо ограничить радиационный поток. Такой предел гарантирует, что значение потока излучения ограничено значением свободно распространяющегося потока сЕт. Физически поток не может превосходить это значение, но это случается в диффузионной модели, что уже обсуждалось в гл. 7. Погрешность в этом случае происходит потому, что система находится в таком режиме, что диффузионные приближения не справедливы.
Вычислительная проблема становится более серьезной, когда спектральная интенсивность заметно изменяется с направлением. Это существует, например, там, где осуществляется переход от оптически толстой к оптически тонкой среде. На границе плотной излучающей области радиационное распределение изменяется от изотропного к существенно однонаправленному от источника. Точное описание этих явлений представляет собой серьезную вычислительную проблему. Очень часто метод переменной Эддингтона находится в полном согласии с уровнем приближения задачи. Когда это не так, геометрическая сложность вновь требует полной нелокальной трактовки радиационного поля. В действительности до сих пор нет полностью удовлетворительного практического способа решения полной нелокальной проблемы радиационного переноса.
12-3. Многофазные течения
Многофазные течения существенны для широкого круга задач, включающих поведение взвешенной зерновой или угольной пыли, капель и аэрозолей, горение топлива, образование кокса, сажи и дыма, суспензии и пузырьки в жидкостях, дождь и процессы осаждения. Существуют отличительные характеристики во всех этих задачах, которые делают невозможным единый подход к многофазному моделированию. В результате образовалось много не связанных научных групщ каждая из которых использует собственные формулировки и приближения.
Численно рассматривать многофазные системы каким-либо детальным способом, напоминающим наши трактовки газофаз-
ных систем, — совершенно немыслимое дело. В результате для упрощения проблем многофазности было исследовано много уровней и типов вычислительных моделей. Один из подходов состоит в упрощении уравнений, основанных на хорошо понятных предположениях о системе. Тем не менее, даже написать полностью согласованную систему уравнений очень трудно. Другой подход состоит в «пересадке» важных физических свойств системы на простые модели динамики жидкости в обычном стиле использования феноменологий. Такое приближение может упустить из вида важные условия взаимодействия. В общем случае решение о том, что рассматривать на основе первых принципов, а что представлять с помощью упрощающей феноменологии, часто не очевидно.
к Имеется большое число великолепных обзоров основных уравнений и приближений, используемых в многофазных течениях. Ишии [36] и Су {78, 79] обобщили работы по многофазным течениям и представили уравнения для' многокомпонентной жидкости. Фаес [15] опубликовал всесторонний обзор состояния проблемы моделирования струй и связанных многофазных сред. Мы также рекомендуем обзор проблем многофазного течения Куо [42]. Смутом [77] описано моделирование горения угля; Халил [40] описал модели горелок и камер сгорания; Олемил- лер [59] дал описание тлеющего горения. Труды конференции NATO по многофазным системам под редакцией Алпера [2] обсуждают многие области практических проблем. Статья Стюарта и Вендрофа [80] описывает двухфазные задачи с обсуждением численных методов.
Материал, представленный в этом параграфе, не является полным обзором по моделированию многофазных течений. Данная тема слишком многогранна и сложна и могла бы составить содержание целой книги. Вместо этого мы представляем обзор с классификацией и обсуждением моделей, показывающих, каким образом методы, описанные в предшествующих главах, можно использовать для многофазных течений. Уравнения многофазного реагирующего течения составлены из членов, напоминающих описанные ранее. Однако уравнения теперь содержат новые члены, описывающие взаимодействие между фазами, и добавлены новые феноменологии, чтобы описать именно многофазные процессы.
12-3.1. Межфазные взаимодействия
Имеются четыре основных типа различий в свойствах сосуществующих фаз:
Химические различия. Из-за того, что химические реакции между различными фазами изменяют соотношения между чис-
лами молекул разных фаз в любой точке и момент времени, часто необходимо обращаться с фазами и компонентами по отдельности. Сложность, связанная с использованием многокомпонентных уравнений, может оказаться чрезмерной. Мы уже имели дело с этой проблемой в многокомпонентных газофазных течениях, где эта связь описывалась с помощью членов, связанных с производством и потерями компонентов.
Тепловые различия. Различные фазы могут иметь разные температуры, даже если они могут занимать один и тот же макроскопический элемент жидкости. Это имеет место потому, что релаксация скорости может происходить значительно быстрее релаксации тепла. Если каждая фаза или компонент должны быть описаны различной температурой, число уравнений, которые нужно решить, увеличивается. Когда имеется разность температур между фазами, необходимы члены взаимодействия, описывающие перенос энергии. Иногда решить уравнения с взаимодействующими температурами достаточно трудно. Эти члены обычно пропорциональны Tt—Т^ где индексы i и / относятся к различным фазам или компонентам среды.
Динамические различия. Иногда необходимо описать каждую фазу ее собственным средним полем скорости. Это вводит новые обменные члены, пропорциональные Nt—vj. Мы вновь имеем дело с проблемой, аналогичной в некоторой степени той, в которой мы рассматривали различные скорости компонентов в гл. 2 и 7. Здесь могут быть также явления, возникающие из-за различающихся ускорений капель или частиц в жидкости. Эффективная масса частицы оказывается больше ее действительной массы, потому что необходимо затрачивать дополнительные усилия на вытеснение газовой среды, когда частица или капля ускоряется в ней.
Пространственное разделение. Иногда нам нужно рассмотреть пространственное распределение различных фаз. При наличии различных фаз в одной области мы не всегда можем предположить, что они полностью проникают друг в друга и занимают один и тот же объем. Этой проблемы нет в многокомпонентных газах, которые взаимно проникают полностью. Когда пространственное разделение между фазами не рассматривается полностью в модели, может оказаться необходимым рассмотреть, какая доля объема занята каждым веществом. Более фундаментальное, но менее общее приближение состоит в выявлении пространственного разделения и рассмотрении поверхностей раздела веществ, уже обсуждавшимся в гл. 11.
Для формулировки модели многофазного течения необходимо рассмотреть характер взаимодействий между фазами. Полезно знать заранеее, являются ли справедливыми допущения о динамическом и температурном равновесии. Помочь определить это
может оценка так называемого уровня столкновительности между фазами. Когда течение является полностью столкнови- тельным, все фазы движутся вместе и единое макроскопическое поле скорости адекватно описывает движение. Это упрощение, называемое одножидкостной моделью, используется часто даже в тех случаях, когда оно, строго говоря, не справедливо, потому что рассмотрение только одного поля течения сильно снижает стоимость вычислений. Следующий уровень приближения рассматривает малые отличия скоростей отдельных фаз от осредненной скорости течения. Различные скорости позволяют более полно трактовать взаимное проникновение без необходимости учитывать множество конвективных скоростей компонентов.
Использование локального термодинамического равновесия для каждого из бесстолкновительно проникающих компонентов привлекательно, но может оказаться несправедливым. В бесстолкновительных или почти бесстолкновительных системах использование модели с непрерывной плотностью импульса открыто для обсуждения. В почти бесстолкновительных случаях делается приближение, называемое многожидкостным. Каждая фаза имеет собственное поле скорости. Факт, что столкновения не имеют места, означает, что локальное термодинамическое равновесие реализуется редко. В моделях частиц, в противоположность моделям жидкости, часто необходимо представлять чисто бесстолкновительную среду во всей ее сложности.
Трудности неизбежно возникают при попытке иметь дело с ситуациями, промежуточными по отношению к предельным случаям. Взаимодействие между частицами пыли и окружающим газом может быть заметным, и движения обоих веществ могут быть сильно коррелированными, однако полного увлечения частиц в общем случае может и не быть. Когда эта связь существенна, уравнения, описывающие сохранение импульса каждой фазы, являются жесткими в математическом смысле. Временные константы затухания различных скоростей могут быть короче шагов по времени, а различия скоростей могут быть не существенными.
Одножидкостные модели
В самом грубом приближении различные фазы рассматриваются как одна жидкость, свойства которой определяются свойствами различных фаз. Все фазы течения предполагаются сильно взаимодействующими и движущимися с одной скоростью. Течения, содержащие очень малые капли или частицы, могут часто рассматриваться таким же образом. Подобная модель^ однако, не подходит для описания дождя, потому что относи-
тельное движение между воздухом и водой является существенным. Рассматриваемая модель может быть использована для описания распространения детонации по однородной смеси.
Когда фазы находятся в тепловом и динамическом равновесии, применимы приближения однотемпературной и односкоростной модели жидкости. Отдельные фазы ведут себя подобно отдельным химическим компонентам. Предполагается, что точные положения отдельных частиц в макроскопическом объеме не важны. Осреднение этой информации ведет к локально однородной модели низкого разрешения.
Более адекватным обобщением часто является увеличение сложности модели посредством учета различия температур разных фаз. Двухтемпературные и многотемпературные модели более сложны, чем однотемпературные, но они справедливы в широком диапазоне условий в многофазных течениях. Такое обобщение ведет к появлению связующих членов между двумя уравнениями для энергии, пропорциональными Тх—Т2.
Двухжидкостные модели
Простейшие модификации одножидкостной модели предполагают, что различные фазы движутся с одной средней скоростью. Различие скоростей различных фаз часто достаточно мало, и можно предположить, что все фазы движутся с единой скоростью, определяемой объемной конвекцией. Однако это различие может быть достаточно большим, чтобы быть заметным Источниковым членом при наличии сжатия или расширения системы или при описании осаждения более тяжелых частиц. Она также может привести к существенным возмущениям импульса в ускоряющихся течениях, в которых различные фазы не приходят к механическому равновесию так же быстро, как изменяются свойства основного течения.
При решении уравнений конвекции для различных фаз можно использовать различие между уравнениями для импульса каждой фазы с целью описания различных движений. Например, введение двух уравнений для импульса может позволить рассчитать, каким образом сила тяжести определяет выпадение песка во время песчаной бури. Общее допущение состоит в том, что все вещество одной фазы ведет себя одинаковым образом. Например, все частицы в твердой фазе ведут себя как частицы одного типа или размера. Однако при действии силы тяжести всегда существует различие скоростей, так как более тяжелые частицы не имеют тенденции осаждаться из газа или жидкости при предельной скорости. Если газ движется вверх, частицы не движутся вверх так же быстро, как и окружающий газ.
Во вращающемся течении более тяжелые фазы мигрируют во внешнюю часть потока.
Уравнения, описывающие этот тип течения, обычно записывают в терминах дрейфовых скоростей составных частей относительно среднего течения. Часто разность скоростей может быть оценена достаточно грубо. Полностью самосогласованные расчеты по двухжидкостным моделям должны проводиться в случаях, когда разность скоростей может быть сравнима с самой скоростью.
Наличие членов, описывающих взаимодействие в уравнениях для импульса, приводит к появлению соответствующих членов в уравнениях для энергии. Когда допускается различие температур, должно быть определено разделение энергии между фазами. Как и в случае с отдельными химическими компонентами, все возможные члены переноса во всех уравнениях взаимодействуют, создавая дополнительные неизвестные величины, для которых должны быть разработаны обоснованные феноменологические выражения.
Многожидкостные модели
В многофазных течениях, таких, как пыль в воздухе или угольные фрагменты в воде или воздухе, частицы различных размеров движутся с различными скоростями и реагируют, быстрее или медленнее, на изменения в потоке. Каждая область жидкости характеризуется распределением частиц или капель по размерам и параметрам. Модели для многожидкостных многофазных течений существуют в том смысле, что можно записать уравнения для описания системы. На практике использование этих уравнений связано с значительными вычислительными затратами, и решать их более трудно, чем реализовать самые сложные одно- или двухжидкостные модели.
В широком диапазоне размеров частиц в одно и то же время возможны различные проявления двухфазности. Малые частицы имеют тенденцию быстро увлекаться течением жидкости, частицы большего размера ускоряются медленнее. Таким образом, относительная концентрация больших и малых частиц изменяется во времени, когда основное течение тормозится или ускоряется.
Иногда представляется привлекательной возможность рассмотрения случайного выбора типичных лагранжевых частиц или капель в сплошном основном течении для представления эффектов полного распределения. Такие гибридные модели учитывают больше физических эффектов, чем полностью непрерывные приближения, но они становятся чрезмерно дорогостоящими, так как трудно моделировать количество частиц, доста-
точное для получения статистически гладких, почти непрерывных взаимодействий в уравнениях гидродинамики.
12-3.2. Уравнения многофазных течений
Многофазное течение является существенно неравновесным? процессом. Обычно предполагают, что каждая фаза находится в локальном термодинамическом равновесии, но различные фа?- зы не обязательно находятся в равновесии друг с другом. Для замыкания системы уравнений необходимо определить скорости передачи массы, импульса и энергии между фазами.
Система уравнений многофазного течения была выведена иу законов сохранения массы, импульса и энергии сплошной сре^ ды. Основным смущающим моментом является сейчас отсутствие единой системы уравнений и допущений, справедливых для любых случаев. Опишем несколько математических моделей для иллюстрации общего вида и демонстрации некоторых трудностей.
Уравнения Стюарта и Вендрофа
Начнем с обобщения двухжидкостных уравнений, приведенных ^тюартом и Вендрофом [80]. Система уравнений может быть записана для каждой фазы, обозначенной здесь индексом it
^£ + ^.aiPivi = rb(12-3.1>
+ V • («zP.VzVz) + V (а;Л) = mz - fz,(12-3.2)
^ + V • («z^zVz) + Pi % + P^ • (ow) + V • q, = Lb (12-3.3)
Эти уравнения подобны уравнениям для многокомпонентных газовых течений, данных в гл. 2. Здесь {Г/}, {mJ, {fj, {ЛJ — члены межфазного взаимодействия. Величины {1\} — члены, массопереноса, представляющие скорость образования гй фазы. Влияние переноса массы на уравнение для импульса определяется членом тг-, который пропорционален Гг. Воздействие* внешних сил учитывается в уравнении для импульса с помощью* членов ^гУ Например, сопротивление трения описывается выражением
fz = Xzy(v,—v/).(12-3.4)-
Члены энергетической связи {L,} имеют форму
L, = ^Tz + 2 ^ (Vi-^ + 2^7 (T—TjX(12-3.5)
где Xij и иц — коэффициенты связи.
Из-за наличия новых членов взаимодействия вводится новая переменная аг-. Физическое значение этой величины в любом уравнении, описывающем ее поведение, зависит от конкретной задачи. Стюарт и Вендроф интересовались стратифицированными и пузырьковыми течениями. Для стратифицированных течений величина аг- может быть высотой над поверхностью. Для пузырьковых течений аг- может быть объемной долей. Параметры, характеризующие смесь, имеют тогда вид
Pm = Sa,Pz. P»v„ = 2a/P,vz. (12-3.6, 12-3.7) it
Заметим, что скалярное давление Р часто предполагается юдинаковым в различных фазах, хотя вязкости р,; в выражении для тензора давления Р^ могут быть разными. Если имеет место поверхностное натяжение, давления различных фаз не равны, как это указывается величинами Pt в уравнениях (12-3.1) — (12-3.3). Давление равновесия и законы сохранения позволяют определить значения различных входных коэффициентов, но большая часть основного физического содержания задачи заключена в выборе параметров взаимодействия.
Формулировка Су
Qy [78, 79] сформулировал математическую модель, основанную на системе уравнений движения для средних величин, таких, как плотность, импульс и энергия (рт, ртут и £т) смеси, где индекс т указывает на величину, характеризующую смесь. Эти глобальные уравнения очень похожи на уравнения для плотности, импульса и энергии, приведенные в гл. 2:
^ = -Т-рЛ.(12-3.8)
= - V • (P„vmvj- V • Ри + U(12-3.9)
^ = -V.£mvm-V4vm-PJ-V-qffl + f^(12-3.10)
Здесь f^ и fEm характеризуют воздействие внешних сил. Существуют связи между различными переменными, такими, как плотность, импульс и удельные теплоемкости
pm = XPz,(12-3.11)
L
Р,Л = 2р^',(12-3.12)
i
Pi^vn^^ PiCvh(12-3.13)
i
которые мы можем использовать для нахождения системы уравнений для d(piUi)!dt и dEildt и таких величин, как ц™ и Тт. Эти уравнения незначительно отличаются от предложенных Стюартом и Вендрофом. Уравнения для импульса содержат такие члены, как ¥г-—vm в дополнение к Vt—Vj. Основополагающей идеей этого подхода является развитие многокомпонентного подхода к газовым системам, описанного в гл. 2.
Уравнения Куо для смеси газа с частицами
Куо [42] представил систему двухжидкостных уравнений для описания горения твердых частиц в горячем потоке газа, движущемся в канале. Эти уравнения иллюстрируют некоторые неизбежные сложности, которые возникают при попытке реалистического описания многофазных течений. Куо вывел систему уравнений сохранения массы, импульса и энергии, учитывая потоки газа и частиц, входящих и выходящих из объема. Система предполагалась состоящей из газовой и дисперсной фаз, чье поведение может быть описано в рамках приближения сплошной среды. В последующих уравнениях опущено взаимодействие жидкости с ограничивающими стенками, включенное в более общие уравнения в работах Куо [42] и Куо и др. [43]. В этих работах содержится детальное описание модели и ее приложений.
Относительная пористость ф вещества определялась как отношение не занятого веществом объема внутри тела к полному объему
(12-3.14)
Рр ’
где Пр — плотность частиц, trip— масса частицы, рр — массовая плотность частиц. В дополнение определим ks как
===(12-3.15>
связанную с 5ь — поверхностью горения сферической частицы радиуса гр. Используя эти определения, можно получить одномерные уравнения механики жидкости для плотности газа и макрочастиц:
£(РФ) ^(РФУ fe(12-3.16а)
at + дхKsVPVbv '
It [Р, (1 -Ф)] + ^ [РД1 -Ф) ^] = - ^РЛ-(12-3.166)
Здесь уь—скорость горения, т. е. скорость, с которой сокращается размер частицы, vg—скорость газа.
Уравнения сохранения импульса для газа и частиц имею вид
d(pq>Vg) д(рфУ2) 9Рд
=+ ksppybup-ksDv + (т^<р), (12-3.17а)
J [рР (1 — ф) ир] + ^ [рР (1 — ф) и2р] = ^ [тр (1 — Ф)] - ksppubup + ksDt.
(12-3.176)
Здесь DT — сопротивление, связанное с относительной скоростью между газом и частицами, Dt=Dy + Dp— полное сопротивление, где Dp — сопротивление, связанное с градиентом пористости. Величина тр — есть внутригранулярное напряжение, тжх— нормальное напряжение в ^-направлении. Тензор вязких напряжений равен тензору давления за вычетом скалярного давления.
Уравнения сохранения энергии для газа и частиц запишем в следующей форме:
^ (р<рЕ) + ^ (pcpEUg) + ^ PVg<(> = ksppub Qif + -^ )—kjit (Г— Tps] —
—ksDTup—P^—^(<?Ф) + ^(тхху2ф), (12-3.18a)
dTp ~oFdTp ~oFd^TpUp") apd^^rTp^d^TpUp") apd^^rTp^dx r dr^dx r dr^(12-3.186)(12-3.186)
dTp ~oF
dTp ~oF
d^TpUp") apd^^rTp^
d^TpUp") apd^^rTp^
dx r dr^
dx r dr^
(12-3.186)
(12-3.186)
Здесь TpS — поверхностная температура частицы, й/— энтальпия газа при температуре пламени, hf — коэффициент переноса полной энтальпии между газом и частицей, q— тепловой поток, ар — коэффициент температуропроводности, равный X/ (рср).
Для плотного газа Куо предложил использовать уравнение состояния Нобеля — Абеля, которое имеет вид
Р^ — b^=RT. (12-3.19)
Твердые частицы имели постоянную плотность
pjP = const, (12-3.20) из чего следует, что дисперсная фаза является несжимаемой и, таким образом, данную модель нельзя использовать при рассмотрении высоких давлений или ударных волн.
Для завершения постановки задачи необходимо лишь найти выражения для внутригранулярного напряжения тр, коэффициента сопротивления IX и соотношения для скорости горения для получения величины иъ. Иногда эти данные можно получить из литературы, иногда следует сделать их оценку или даже принять какие-то значения в качестве первоначальных. Пример использования этих уравнений содержится в работе Чена и др. [9], применивших их к задачам внутренней баллистики.
12-3.3. Струйные и капельные модели
Диспергирование струи и горение в горячем турбулентном потоке окислителя является примером сложного многофазного течения. Современные обзоры состояния данной задачи представлены Ло [45], Сириньяно [75] и Фаесом [15].
Фаес [15] установил наличие трех категорий струйных моделей: локально однородного течения LHF, модели раздельного течения SF и модели, учитывающие процесс развития капли DLH. В моделях LHF газовая и жидкая фазы, по предположению, находятся в динамическом и термодинамическом равновесии, так что фазы имеют одинаковые скорости и температуры. Лишь струя, состоящая из очень малых капель, может быть с достаточной точностью представлена в этом предельном случае. В моделях SF учитывается влияние конечных скоростей переноса между фазами. Это в действительности обширная категория моделей, включающая широкий спектр задач: от подходов, в которых макрочастицы рассматриваются как лагранжевы частицы в непрерывном фоне, до полных моделей многофазных многожидкостных сплошных сред, таких, как модели, основанные на показанных выше типах уравнений. Модели типа DLH разработаны для детального описания отдельных капель и расчета их поведения в различных средах. Модели DLH, например, обеспечивают входными данными феноменологические модели LHF и SF. Это осуществляется посредством обоснования вводимых величин либо суммирования по ансамблю капель для оценки среднего обмена массой, импульсом и энергией.
Модели LHF отличаются от уравнений однородных газофазных реагирующих течений гл. 2 главным образом интерпретацией составных уравнений состояния и обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих кинетику реакций. Различие между ними состоит в том, что уравнение состояния является теперь составным уравнением состояния для различных веществ и оно не всегда имеет столь простой вид, как в гл. 2. Фазы перекрываются в одном и том же макроскопическом объеме, даже если они занимают различные области с поверхностями раздела на микроскопическом уровне. Эти частицы и капли, занимающие относительно небольшие объемы, не изменяют существенно давление в газе, в котором они взвешены. Частицы, увлеченные локально однородным потоком, могут заметно утяжелить его и, тем самым, значительно повлиять на его теплоемкость. Далее, локальные уравнения реакций описывают испарение и конденсацию на феноменологическом уровне наряду с объемными и поверхностно-каталитическими реакциями.
Фаес установил наличие нескольких типов SF-моделей:
Модель источника частиц в ячейке, или модель дискретной
капли. В моделях дискретной капли используется конечное число групп частиц для представления полной струи. Движение этих представительных частей струи отслеживается с использованием лагранжева формализма для групп капель. Эйлерова формулировка используется для решения основных уравнений газовой фазы, в которую погружены группы капель. Влияние капель на газовую фазу учитывается введением соответствующих Источниковых и стоковых членов в газофазные уравнения.
Модель непрерывных капель. В ней вводится функция распределения fj (г, х, v, /), которая используется для вычисления статистического распределения температуры, концентрации капель и других величин. Величина f/ есть число частиц химического компонента / в диапазоне размеров dr в окрестности г, в диапазоне dx около х, со скоростями в диапазоне dv около скорости v в момент времени t. Уравнения для Уз^ решаются совместно с уравнениями сохранения газовой фазы для получения свойств аэрозоля. Влияние капель на газовую фазу вновь учитывается посредством Источниковых и стоковых членов в уравнениях газовой фазы.
Модель сплошной среды. Движение капель и газа рассматривается как движение взаимно проникающих континуумов. Формулировка сплошной среды, как было показано ранее, используется для моделирования задачи. Уравнения для обеих фаз при этом очень похожи, хотя поведение на микроскопическом уровне может быть совершенно разным.
Такие модели описаны детально Фаесом [15] и вновь обобщены Куо [42]. Они содержат полезные представления и изредка количественные оценки, однако их возможности априорного предсказания ограничены. Причина этого состоит в том, что число уравнений и их усложнение даже в концептуально простейших моделях препятствует получению быстрого и точного решения. В усложненной системе уравнений Куо, которые рассматривались выше, имеется большое число неизвестных входных параметров, требующих обоснованных феноменологических соотношений для нестационарных случаев. Необходимо существенное развитие аэрозольных моделей и обретение навыков работы с ними, прежде чем такие многофазные модели сделаются подходящим инструментом проектирования или станут относительно простыми в использовании.
В общем случае невозможно последовательно моделировать все важные аспекты микро- и макроскопической физики. Возможно либо точное рассмотрение макроскопических многожидкостных уравнений, либо точная трактовка динамики небольшого числа частиц. Одна из крайностей состоит в детальном рассмотрении основного течения, но при феноменологическом описании взаимодействия частиц с потоком. Другая крайность —
Рис. 12-11. Сетка (а) и распределения массовой доли в расчетах двух капель (б), выполненных Патнейком [61]. Радиус капли равен а. Изолинии массовой доли отстоят дуг от друга на величину 0,1.
детально описывать динамику одной или двух частиц в предполагаемом поле течения газа или жидкости. Первый случай уже обсуждался. Моделирование второго типа, которое включает модели DLH, может быть весьма затруднено из-за требуемого уровня разрешения.
Трудности, присущие расчетам, используемым в моделях локально однородного или раздельного течений и в моделях с учетом предыстории капли, связаны с проблемами по отслеживанию поверхностей раздела, обсуждавшимися в гл. 11. В случае моделей LHF и SF, как и в случае определения поверхности раздела, феноменологический подход используется для представления многих деталей не описываемых взаимодействий. В случае модели DLH, когда предметом основного интереса является поверхность раздела, цель расчета состоит в точном моделировании этой поверхности и описании явлений на ней с использованием уравнений сохранения.
Недавно появились новые подходы в модели DLH. Патнейк [61], Патнейк и др. [62] и Сириньяно и др [75] рассматривали 35е
капли как уменьшающиеся сферы, ответственные за передачу массы за счет испарения, импульса — из-за сопротивления трения и тепла — за счет теплопроводности к окружающему газу. На рис. 2-11 показаны результаты типичного расчета, в котором две капли моделировали с использованием двух перекрывающихся ортогональных сеток. Окружающий воздух имеет температуру 1000 К, а капли в начальный момент имели комнатную температуру. Окружающий воздух движется слева направо. Во время, указанное на рисунке, пары топлива от первой капли достигли второй капли. Поскольку, однако, вторая капля находится вне следа первой, гидродинамическое их взаимодействие очень слабое. Вторая капля чувствует только изменение внешних условий. При взаимодействии с воздухом поверхности капель рассматривались как некая общая единая поверхность.
Патнейк и Сириньяно использовали метод ADI для учета конвекции и метод SOR для учета давления. Расчеты имеют первый порядок точности по времени и второй по пространству.
Иной подход представлен расчетами Файфа и др. [20], описанными в разд. 13-4. Эти примеры показывают результаты применения лагранжева приближения на перестраиваемой треугольной сетке для изучения деформации и распада капель из-за столкновений и сдвига. Этот подход в моделировании подчеркивает динамический характер поведения капли, используя расчет внутреннего и внешнего течений. Принципиально важные расчеты можно было бы выполнить на основе сочетания физических моделей в подходе Патнейка и Сириньяно с моделями Файфа и др.
12-3.4. Модель перехода дефлаграции в детонацию
В пористых взрывчатых веществах или топливе горение часто возникает как дозвуковой процесс, который позднее ускоряется и переходит в детонацию. Фундаментальное экспериментальное наблюдение этого явления было проведено Гриффитсом и Крукоком [29] с использованием брусков гранулированного взрывчатого вещества НМХ, в котором наблюдалась детонация в области, удаленной от места инициирования горения. Позднее было обнаружено, что взрывчатое вещество было сильно сжато в области перед волной медленного горения [8, 69].
Наблюдаемый ими переход горения в детонацию (ПГД) является сложным процессом горения, который имеет четыре режима: 1) горение, определяемое теплопроводностью; 2) горение с конвекцией; 3) образование волн сжатия и ударных волн; 4) детонация. Здесь мы использовали работу Баера и Нанзиато [5] и Баера и др. [6, 7] как пример модели сжима-
емой среды, используемой для изучения ПГД в пористом слое взрывчатого вещества (ВВ), состав которого определяется формулой C2H15N10COCI2O6. Когда взрывчатое вещество термически поджигается, оно быстро реагирует и процесс переходит в детонацию.
При формулировке модели этой системы рассматриваются две сжимаемые непрерывные фазы (твердая фаза и горячие газовые продукты горения), не находящиеся в термодинамическом равновесии. Таким образом, каждая фаза имела собственное давление, плотность, температуру и энтропию, причем объемная доля каждой фазы рассматривалась как независимая переменная. Основные уравнения для плотности, импульса и энергии имеют вид
^(ф«Рд) + ^(фаРЛ) = ^,(12-3.21)
5 (фаРЛх) + ^ (фаРа^а + фЛ) = ™а,(12-3.22)
^(фаРа^вН^ ((фаР^а + фаЛМ + 9а) = ^-(12-3.23)
Здесь индекс а указывает конкретную фазу, т. е. a-g для газа и as для^ твердого тела. фа— объемная доля компонента a, qa— тепловой поток, а еа — внутренняя энергия. Полная энергия каждой фазы определяется выражением
£о = еа + 4^.(12-3.24)
Все величины для межфазного взаимодействия обозначены верхним индексом « + » и подобраны таким образом, чтобы обеспечивать законы сохранения между обеими фазами.
Из-за того, что фазы не находятся в равновесии, для каждой фазы следует использовать различные уравнения состояния при определении PS) es, Pg и Tg. Величины межфазного взаимодействия были взяты в виде
с^ — с^аР^(12-3.25)
mt = -m* = Pg^-f + c:y$,(12-3.26)
р+ = — р*=(Р ^£— Л и — (Р — R ^дФ$ । М ct \
-ЦТ,-Т,) + Е^,(12-3.27)
где /—множитель сопротивления и 0,—внутригранулярное напряжение. Тепловой поток для каждой фазы определяется выражением
Рис. 12-12. Расчетные изменения во времени объемной доли твердой фазы (а) и давления (б) в газе и твердом теле в процессе горения пористого В В [7]. Цифрами вблизи кривых указано время в миллисекундах.
(12-3.28)(12-3.28), дТаОа =.™ а дх
(12-3.28)
(12-3.28)
Уравнение для объемной доли твердой фазы учитывает разность давлений и горение и имеет вид
^+^=^(Р-Р+-,О2-3-29)
dt 1 $ дх цс ' 5 е 1 " 1 р5 *
причем имеется следующая связь объемных долей фаз:
Ф,= 1-Ф,.(12-3.30)
В этом описании используются экспериментально определенное внутригранулярное напряжение р5 и вязкость вещества рс, связанная с изменением объема, вызванного различиями давлений.
Для замыкания модели необходимо описание процесса горения, задающее изменение количества твердой фазы в процессе горения. Закон горения постулировался в форме:
^^P^t*(12-3.31)
где F определено как функция ф%, причем принималось, что горение начинается лишь после достижения температурой смеси, определенной как объемная средневзвешенная величина, значения температуры воспламенения.
Баер и др. [5—7] дают более подробные объяснения, таблицы постоянных, выражения для уравнений состояния и описыва-
ют, как различные параметры в этих уравнениях выведены из экспериментальных данных. Используя эту систему уравнений, они провели расчеты воспламенения, горения и последующего перехода в детонацию ВВ. Одномерные расчеты были выполнены с использованием метода прямых (см., например, работу Хаймена [35]) и одномерного модуля FCT (гл. 9). Двумерные расчеты использовали для конвекции метод FCT, объединенный с другими алгоритмами для дополнительных физических процессов с помощью принципа расщепления на временном слое. Многочисленные тесты были представлены в работе Гросса и Баера [31].
На рис. 12-12 показана эволюция <ps и давления в газовой и твердой фазе при одномерном моделировании. Распространение пламени сначала вынуждается конвекцией горячего газа, который проникает в нереагирующее вещество. Быстрое увеличение давления вызывает образование волны сжатия, которая затрудняет течение газа. На рис. 12-12, а показано развитие волны сжатия в процессе горения. Распространяющееся пламя сжимает и нагревает обе фазы и образует фронт ударной волны, который в конце концов догоняет волну сжатия, переходя к детонации. На рис. 12-12,6 показано, что возмущение давления, распространяющееся в твердой фазе, опережает возмущение давления, распространяющееся по газу на последних стадиях перехода в детонацию.
На рис. 12-13 показаны результаты сравнения вычислений и экспериментов для трех значений ф°5 соответствующих начальным плотностям 1,2; 1,4 и 1,6 г/см3. Траектория фронта
Рис. 12-13. Сравнение расчетов (сплошные кривые) и экспериментальных данных (точки) для изменений во времени фронта горения твердого ВВ при трех значениях начальной плотности: 1—1,2 г/см3; 2—1,4 г/см3; 3—1,6 г/см3.
Рис. 12-14. Распределения полного давления и объемной доли твердой фазы в процессе горения ограниченного прямоугольного гранулированного слоя ВВ.
горения определялась с помощью высокоскоростных искровых фотографий и сравнивалась с рассчитанным положением фронта горения. Развитие пламени от дефлаграции к детонации предсказано достаточно хорошо. Были выделены два различных механизма распространения пламени (благодаря конвекции и сжатию), которые характеризуются быстрым переходом от одного к другому.
На рис. 12-14 показано обобщение этой работы на двумерный случай [7]. Контуры полного давления и объемной доли твердой фазы показаны для случая возникновения цилиндрического фронта пламени в прямоугольном слое ВВ. Как и в одномерных вычислениях, развивается быстрая волна дефлаграции, обусловленная конвективным теплопереносом. Формируются различные волны давления в газовой и твердой фазах, создавая цилиндрическую волну сжатия перед фронтом реакции. Быстрое увеличение давления в газе в сочетании с большим сопротивлением приводит к образованию ударной волны. Ударная волна ускоряется до детонационной волны раньше, чем волна горения начнет взаимодействовать с твердыми границами. Когда реагирующая волна достигает этих границ, возникает более сложная структура ударной волны, состоящая из ножки Маха, отраженной волны, и искривляющихся внутрь зоны реакции и ударного фронта. <
12-3.5. Фундаментальные модели
Методы молекулярной динамики и Монте-Карло не рассматривались в этой книге. Эти методы, однако, являются потенциально ценными для моделирования на основе фундаментальных уравнений таких типов многофазных процессов, которые имеют место при коагуляции или на границах раздела между фазами. Они могут использоваться для развития и обоснования феноменологических подходов в макроскопических моделях LHF и SF.
Такие расчеты проводятся на уровне частиц и не используют приближения континуума. Необходимо определить взаимодействия между различными типами частиц, обычно в терминах силового закона, а также начальные условия для частиц, такие, как масса, импульс и энергетическое состояние. Далее изучается коллективное взаимодействие большого количества таких частиц. В случае задач горения можно представить применение этих методов для изучения коагуляции частиц, поверхностных реакций или детонации в кристаллических решетках. В первом и втором случаях следует задать правила для слипания частиц Друг с другом и реакций между ними. Во втором и третьем случаях мы можем использовать свойства модели конечного чис-
ла частиц для установления модели кристаллической решетки, а затем исследовать, как волны и частицы распространяются и взаимодействуют с решеткой.
Эти многочастичные подходы дают ценную информацию, необходимую в более макроскопических моделях, но их применение — дело весьма трудное и требующее больших вычислительных затрат. В настоящее время разрабатываются новые методы ускорения подобных расчетов, однако не похоже, что они займут место макроскопических моделей многофазной жидкости.
12-3.6. Моделирование многофазных течений
Системы уравнений, приведенные выше для моделирования многофазных течений, по крайней мерс так же трудно решить, как и систему уравнений, выведенную в гл. 2 для газовых смесей. Сложнейшее поведение многофазных течений вынуждает вводить много допущений в уравнения, которые могут быть проверены лишь сравнением расчетных результатов с тщательно поставленными и контролируемыми экспериментами.
При оценке химических процессов важны поверхностные реакции, а их поведение может заметно отличаться от объемных оценок скоростей. Необходимо разработать подсеточные модели для учета распространения фронтов реакции через области, где эффекты диффузии на неразрешаемых пространственных масштабах управляют макроскопическим поведением системы. Наличие материальных и термодинамических поверхностей раздела, движущихся с потоком, означает, что следует рассмотреть пограничные слои и масштабы частицы и, если можно, обеспечить их разрешение при расчетах. Из-за их сложности эти проблемы не могут быть смоделированы столь детально, как более идеализированные реагирующие течения. Например, здесь можно менее детально представить меньшее количество масштабов, а также рассматривать меньшее количество компонентов, потому что эти модели требуют большего числа степеней свободы для описания и моделирования состояния составной среды. Больший диапазон размеров масштабов должен быть скорее представлен феноменологически, чем смоделирован детально.
Поведение многофазных течений на макроскопическом уровне иногда весьма сильно отличается от поведения подобных им, на первый взгляд, однородных систем. Не предсказуемое интуицией поведение этих течений вытекает из взаимодействий различных локальных, диффузионных, конвективных и колебательных явлений в потоке. Этого следовало ожидать, потому что данные уравнения более сложные и предоставляют множество различных вариантов реакции из-за возможности новых взаимодействий.
Рассмотрим, например, локально однородную пыль инертных частиц, взвешенных в реакционноспособном газе. Ударная волна, проходящая через чистый газ, может быть в состоянии поджечь его, но та же самая ударная волна может оказаться не в состоянии зажечь многофазную суспензию. Процесс объемного воспламенения в основном определяется влиянием частиц, которые охлаждают газ после прохождения ударной волны. Если частицы велики, газ может воспламениться, так как площадь поверхности макрочастиц относительно мала. Если та же самая масса пыли образована меньшими частицами, пыль может «заморозить» химические реакции до истечения времени химической индукции. Если же масса пыли достаточно мала, то газ воспламеняется вновь.
Акустические волны в многофазной среде также могут оказывать интересное воздействие. Из-за того, что газы в отличие от жидкости и частиц легко сжимаемы, коллективное поведение, иногда называемое медленным звуком, может возникнуть из-за дополнительных степеней свободы, связанных с различной сжимаемостью двух сред. Пузырьковая пена в жидкости, например, может быть намного плотнее воздуха и иметь почти такую же сжимаемость. Газ в пузырьках и между каплями сжимается в результате повышения давления почти так же, как если бы. жидкая с^аза отсутствовала, но эффективная массовая плотность составного материала при этом много больше, чем у воздуха. Таким образом, звуковые волны в многофазной системё- распространяются намного медленнее, чем в воздухе.
Несмотря на разнообразие возможных новых явлений, уравнения многофазного течения в общем случае содержат члены,, которые имеют прежний, ранее рассмотренный вид. Поэтому мы можем использовать для решения систем уравнений методы, обсуждавшиеся в предыдущих главах. Они включают, в частности, конвективный алгоритм (гл. 8, 9 и 10), диффузионный алгоритм (гл. 7), химический алгоритм (гл. 5), а также построение различных сеток, представлений, информацию о границе и поверхностях раздела (гл. 6 и 11).
МОДЕЛИ УДАРНЫХ ВОЛН, ПЛАМЕН И ДЕТОНАЦИЙ
В этой главе представлены полные модели реагирующего течения, разработанные на основе методов, которые были рассмотрены в предшествующих главах этой книги. При описании структуры типичной вычислительной программы особое внимание уделено методам, с помощью которых объединяются алгоритмы, представляющие отдельные процессы. Хотя для этой цели используются некоторые специфические модели, взятые в качестве примеров, способ связывания процессов является общим. Даны примеры реагирующих и инертных дозвуковых и сверхзвуковых течений в эйлеровском и лагранжевом представлениях, что может быть сделано для модели любого типа.
Описанные вычислительные программы не являются «черными ящиками». Они представляют собой специализированные наборы относительно независимых модулей математического обеспечения, каждый из которых связан с конкретным физическим вкладом в уравнения сохранения. Эти модули могут быть построены, перестроены и оперативно изменяться в соответствии с требованиями пользователей. Этот подход к построению комплекса программ отражает гибкость алгоритмов и методов. Отдельные модули являются скорее предметом постоянной модификации, чем полностью интегрированными имитационными моделями. Благодаря этой модульной структуре алгоритмы для отдельных вкладов в уравнения могут быть модернизированы, а новые физические процессы можно учесть при минимальном вмешательстве в структуру программы.
13-1. Одномерные сверхзвуковые реагирующие течения
В этом разделе группа численных моделей, носящих коллективное название RSHOCK, используется для иллюстрации конструирования программ для решения задач ударных волн и детонации с подробными моделями химической кинетики. Простейшие модели, описанные в этой главе, связывают только два взаимодействующих физических процесса (конвекцию и химические реакции) с уравнением состояния идеального газа или уравнением, определенным эмпирически. На этом примере показано, каким образом модели отдельных процессов связы-
ваются вместе и какие проблемы возникают при технической реализации подобной связи. Отдельные алгоритмы, использованные для этих процессов, были описаны в предыдущих главах.
13-1.1. Структура моделей RSHOCK
Модели RSHOCK являются одномерными, нестационарными, сжимаемыми, явными и эйлеров!ским1и, разработанными вначале для газофазных течений.
Эти модели использовались для различных приложений, включая описания течений в ударных трубах, изучение перехода ударных волн в детонацию, исследование химико-акустического взаимодействия. Некоторые приложения описаны Оран и др. [47-49], Оран и Борисом [45, 46] и Кайласанатом и Оран [28]. Многомерные версии, описанные в следующем разделе, использовались для изучения структуры распространяющейся детонации [34, 50], структуры ударной волны [1] и расчетов прохождения ударных волн через разрывы плотности [53]. Модель RSHOCK для конденсированной фазы была разработана Гиргисом и Оран [24] и использовалась для изучения детонации в жидком нитрометане [25, 26]. Другие версии, включающие модель радиационного переноса и отдельные уравнения для ионной и электронной температуры, использовались для моделирования солнечной короны (см., например, работы [37, 38, 44, 51], инерционного термоядерного синтеза (см., например, работы [19, 20]) и взаимодействия ионных пучков с веществами [8]. В этой главе мы остановимся на приложениях к горению.
RSHOCK объединяет оптимизированные модули для различных физических процессов посредством расщепления на шаге по времени. Здесь используются следующие методы и алгоритмы:
Метод FCT для решения уравнения неразрывности [3], описанный в гл. 8 и 9.
Метод адаптивных сеток, использующий автоматическое перестроение, обсуждавшееся в гл. 6. Использование его совместно с методом FCT описано в гл. 8.
Алгоритм CHEMEQ для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, обсуждавшийся в гл. 5.
Полиномиальное представление энтальпий как функций температуры для уравнения состояния, описанное в гл. 5.
Технику' расщепления шага по времени для объединения различных физических и химических процессов, рассмотренную в гл. 4.
Основное преимущество расщепления шага по времени сос
тоит в возможноститоит в возможностииспользования монотонного знакополо-
тоит в возможности
тоит в возможности
жительного алгоритма для конвекции. Если расчеты проводятся в течение многих тысяч временных шагов, то важно обеспечить минимальное влияние численной диффузии. В случае, когда конвекция сочетается с химическими реакциями и энерговыделением, численные методы должны обеспечить необходимое разрешение при наличии больших градиентов. В конце шага конвективного переноса ошибки усечения обычно приводят к несогласованности между рассчитанными величинами. Например, сумма сеточных плотностей отдельных компонентов, каждая из которых независимо переносится методом FCT, не обязательно равна значению, полученному при расчете конвекции общей плотности. Это может иметь место, даже если общие законы сохранения по отдельности выполняются. Важно, чтобы эти значения были согласованы локально. Когда различие между полной плотностью и суммой плотностей компонентов существенно, плотности компонентов должны быть ренормализованы для согласования с общей плотностью. Новые давление и температура рассчитываются с использованием уравнения состояния из сохраняющейся полной энергии и плотностей компонентов. Новая скорость рассчитывается из сохраняющихся общей плотности и импульса.
С использованием метода ЕСТ вычислительная сетка может быть изменена на каждом временном шаге. Это дает возможность растягивать и сжимать ячейки, обеспечивая высокое разрешение там, где это необходимо. Движение границ ячеек управляется определенным заранее критерием, основанным на значениях локальных градиентов. Идея состоит в концентрации мелкоразмерных ячеек в областях больших значений градиентов и возможности их перемещения вместе с движущимися градиентами. Различные численные индикаторы используются для определения местоположения и отслеживания градиентов. Например, градиент плотности ОН указывает на начало химической реакции. Градиент давления может указывать на фронт ударной волны или детонации.
Гибридный алгоритм CHEMEQ, обсуждавшийся детально в гл. 5, использован для решения связанных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих химические взаимодействия. В модели RSHOCK используются специальные, зависящие от типа компьютера векторизованные версии модулей для параллельных вычислений каждой вычислительной ячейки и отдельных химических компонентов. Важным свойством CHEMEQ является самостартующий характер алгоритма. Он может быть запущен вновь в начале каждого' полного шага по времени А/ без потери времени на загрузку. Когда алгоритм загружается в течение временного шага, он использует последние значения температур и плотностей компо-
центов и поэтому не приводит к переполнению памяти ЭВМ. Он требует относительно меньших вычислительных затрат, так как не содержит операций обращения матрицы — важное качество, когда возникает необходимость интегрировать кинетические уравнения в тысячах вычислительных ячеек.
Значение шага по времени в CHEMEQ определяется внутренней процедурой. Если он оказывается много меньше величины А/, требуемой для конвекции, то повторное интегрирование химических уравнений реализуется во внутреннем цикле до тех пор, пока не достигается полный конвективный шаг по времени. Точность контролируется априорными параметрами сходимости в согласии с критерием жесткости, шагом по времени и степенью выполнения законов сохранения. Процедура временного расщепления и внутренний цикл предполагают, что химические реакции можно отделить от других процессов на длине шага по времени для конвекции М. Адекватность этого допущения была проверена расчетама с двумя различными значениями А/ и сравнением их результатов.
На каждом внутреннем цикле интегрирования уравнений кинетики может изменяться температура. Таким образом, в дополнение к решению уравнений для компонентов необходимо решать алгебраическое уравнение для температуры. Модель RSHQCK обращает для этого степенную форму уравнения состояния методом Ньютона — Рафсона, как описывалось в гл. 5.
Имеется несколько ситуаций, когда удобная форма уравнения состояния не существует. Такое может быть, например, при высоких температурах, где могут отсутствовать справочные значения энтальпий отдельных веществ. Это типично для атмосферной и лазерной химии, где часто рассматриваются жидкости, для описания состояния которых требуется ввести несколько разных температур. В этих случаях следует рассмотреть другое обыкновенное дифференциальное уравнение для описания поведения температуры (см., например, работу [39]). Такая версия RSHOCK здесь не обсуждается.
Даже при использовании различных ухищрений интегрирование химических уравнений оказывается наиболее дорогостоящей частью моделирования. До настоящего времени методы уменьшения затрат на интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений были ограничены необходимостью значительного увеличения объема памяти. Например, можно использовать процедуры опроса табличных данных вместо непрерывных вычислений скоростей реакций с дорогостоящими экспонентами. Такие таблицы требуют, однако, обширной компьютерной памяти даже для скромных химических систем.
Большинство методов интегрирования жестких обыкновенных дифференциальных уравнений не являются строго консер-
вативными. Если число атомов элемента в системе, рассчитанное до вызова подпрограммы химической реакции, не равно тому же числу после расчета реакций, то это свидетельствует о нарушении закона сохранения. Заведомо нефизичное расхождение этих данных указывает на неточность метода интегрирования. Поэтому степень расхождения должна контролироваться, так что может оказаться необходимым ужесточить критерий сходимости.
13-1.2. Расщепление шага по времени
Последовательность вычислений в моделях RSHOCK представлена в табл. 13-1. Рассматривается разбиение задачи на некоторое число промежуточных шагов, каждый из которых связан с различным физическим процессом. На полном временном шаге М необходимо:
Оценить значение At, основанное на критерии Куранта (см. гл. 8 и 9). Если температурное изменение из-за выделения химической энергии на предыдущем временном слое превосходит заданную величину, то следует уменьшить А/, даже если алгоритмы расчета конвекции устойчивы.
Определить значения энергии, которые вкладываются в каждой точке вычислительной области вследствие внешних воздействий на систему в течение шага At Это требуется при использовании таких дополнительных источников зажигания, как лазер, искра или горячая стенка. Подобные источники изменяют температуру или химический состав в заданных областях системы. Если вклад их энергии очень велик или происходит очень быстро, то может возникнуть необходимость в уменьшении М.
Рассчитать влияние конвективного переноса. Этот дробный шаг может также включать движение сетки. На его протяжении могут изменяться плотности, скорости, энергии и давления. Полиномиальные уравнения для энтальпий используются для нахождения давлений и температур.
Проинтегрировать химические реакции на шаге М. В некоторых точках сетки обычно требуется организация внутреннего цикла. Это должно делаться автоматически в подпрограммах интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
Обновить все переменные в конце полного временного шага, убедившись, что плотности, энергии, давления и температуры согласованы с независимыми переменными, известными в этот момент времени.
Члены уравнений, описывающие конвекцию, рассчитываются на полном временном интервале. Далее значения переменных
Таблица 13-1. Последовательность вычислений в моделях RSHOCK
Задать начальные данные переменным (Метка Q) Определить Д/, так что tn=t°+M
Вклад внешней энергии
Определяется задачей, например, щ(х) ^х^(х) и т. д. (Переменные помечены верхним индексом «1») 2. Конвективный перенос
Сдвинуть сетку для обеспечения разрешения (Переменные помечены верхним индексом «!'>) Перенести переменные с индексом «Г» от t к /+Д/: р/р^(х)р<2>(х), и(Р)(х) -*u^4xY
£^Р) (х) -> Е^(х), Р(Р) (х) -> Р^ (х), Т^ (х) Т^ (х), {л/Р) (х)} -> Vniw (х)}, у(Р) (х) -> ^2ЧХ) (Переменные помечены верхним индексом «2»)
Химические реакции
Перенести переменные, помеченные индексом «2», от t до f+Afr ^w(х)}-*{«/(»>(х)}, Л^х) -*Т<3>(х), £<2>(х) -*£<3>(х), pW(x) -* р<3> (х), v<2>(x) -* v<3>(x), £<2>(x) ->£<»> (x)■
(Переменные помечены верхним индексом <3>)
Модифицировать переменные р(3) (х) = р (х), и<3> (х) = v(х), £<3>(х)=£(х), Т(3)(х)=Т(х), Р<3>(х)=Р(х), ^Чх^-^т^, iwW=y(*)
Начать новый шаг по времени (возвратиться к метке Q в начале таблицы)
обновляются. Начальные значения для интегрирования уравнений кинетики являются величинами, обновленными после конвективного этапа. Итоговые величины на заключительном временном слое получены в конце этапа химических реакций.
Расщепление шага по времени становится более точным, когда этот шаг делается меньше. Шаг по времени в больших расчетах должен быть достаточно малым, чтобы результаты имели приемлемую точность Точность обычно ограничивается процессом, требующим наибольших вычислительных затрат. Если это не так, стоимость вычислений может быть снижена без 36—245
уменьшения суммарной точности моделирования путем снижения точности наиболее дорогостоящей части расчетов.
Существуют способы оценки необходимых шагов по времени для каждого физического процесса, но нет уверенности в правильном определении значения шага по времени для системы в целом, когда оказываются взаимосвязанными несколько про- дессов. Характер взаимодействия часто позволяет сделать суммарный шаг больше минимального шага, требуемого одним из составных процессов. Это имеет место в RSHOCK, где скорости жестких химических реакций часто требуют временного шага, .более короткого, чем конвективный. Конвективный критерий используется для определения А/, а затем на временном интервале организуется внутренний цикл для расчета химической кинетики. Трудности возникают для медленных течений и медленных химических процессов, но в случае быстрых звуковых волн такая процедура должна быть обратной.
Могут возникнуть другие ситуации, в которых общий шаг до времени будет меньшим, чем оцененный на основании отдельных процессов. Нелинейная связь между процессами может потребовать меньшего шага, если две «жесткие» реакции конкурируют на примерно одинаковом временном масштабе. Обычно уменьшение вдвое шага по времени решает эту проблему.
В идеальном случае порядок следования алгоритмов конвекции и химических реакций не имеет значения. Независимость ют порядка дробных шагов в расщеплении шага по времени также является хорошим тестом точности и сходимости. Преимущество предварительного расчета конвекции состоит в том, что на конвективном шаге обычно модифицируется сетка. Это означает, что в конце шага по времени химические переменные могут быть рассчитаны и скорректированы на той же сетке, *что и газодинамические переменные.
Трудность возникает также при расчетах связи химического энерговыделения с динамикой жидкости, когда газодинамические переменные имеют нефизичные осцилляции. Осцилляции предварительно рассчитанных величин часто ведут к соответствующим ошибкам в температуре. Из-за того, что скорости химических реакций экспоненциально зависят от температуры, нефизичные погрешности могут привести к тому, что расчетное выделение энергии будет происходить быстрее или медленнее, чем это должно быть. Обратное влияние этого процесса на конвекцию влечет за собой разгон или затухание химических реакций и нефизичные скорости распространения пламени или детонации. Моделирование конвективных процессов при химическом энерговыделении должно быть более точным, чем это обычно требуется в чисто конвективных расчетах.
Точность газодинамических переменных в реагирующих областях должна контролироваться даже при использовании монотонных схем четвертого или более высокого порядка. Нарушение газодинамических вычислений путем постоянных модификаций предельных значений энергии, импульса или плотности,, которые можно осуществлять на временном слое, является,, вообще говоря, не очень хорошим способом. Лучше ограничить температуру, используемую на этапе учета химической кинетики. Для этого следует использовать в химической подпрограмме температуру, которая является взвешенным средним между локальной температурой, вычисленной в каждой расчетной ячейке, и значением температуры в окружающих ячейках:
т71/-1+271/ + Т/ + 1
,' chem, i —4.(13-1.1)
Этот прием обычно подходит для ограничения температуры сверху. Он полезен как для химии, так и для конвекции с точки зрения ограничения температуры снизу. Например, можно положить Tmin = 250 К. Дополнительный прием состоит в переносе- энтропии жидкости вместе с энергией и концентрациями химических компонентов. В этом случае можно предотвратить падение температуры ниже ее значения для адиабатического сжатия, ^определяемого локальными значениями плотности и энтропии.
В противоположность конвекции, где критерий точности необходимо ужесточить в условиях тепловыделения, было обнаружено, что требования сходимости для химической кинетики могут быть несколько ослаблены в реагирующих течениях. Критерий сходимости для обыкновенных дифференциальных уравнений е = 0,001 (гл. 5) дает приемлемые результаты, когда уравнения интегрируются раздельно. Когда они связаны с конвекцией, дающей возможность расширения или разрежения в полях плотностей, температур и давлений, приемлемый результат получается при е = 0,01. Это было проверено неоднократно при расчете и пламен, и детонаций. Преимущества, вытекающие из уменьшения е, следуют из природы алгоритмов CHEMEQ, которые лучше работают в условиях, слабо отличающихся от равновесных. Динамика жидкости с разрежением и сжатием гарантирует по крайней мере малые отклонения от химического равновесия. Примеры, описанные ниже, взяты из серий расчетов ударных волн, фронтов химических реакций и детонации в смесях водорода с кислородом. Эти примеры иллюстрируют типичные возможности моделей RSHOCK.
Расчеты отраженной ударной волны.
Моделирование экспериментов по отраженным ударным волнам было выполнено для изучения процесса инициирования детонации ударной волной [46, 49]. В качестве примера рассмотрим гомогенную смесь водорода, кислорода и аргона с отношением компонентов 2:1:7, которая вначале находится при атмосферной температуре и давлении. Ударная волна движется по системе влево (рис. 13-1, а), поднимает температуру и давление и инициирует однородное дозвуковое течение позади ■ударной волны. Температура за первичной ударной волной недостаточно высокая для инициирования быстрых реакций. Далее
Мелкая сеткаМелкая сетка, Мелкаясетка, МелкаясеткаГрувая сеткаГрувая сетка
Мелкая сетка
Мелкая сетка
, Мелкаясетка
, Мелкаясетка
Грувая сетка
Грувая сетка
ПадающаяволнаПадающаяволнаМелкаясеткаМелкаясетка। Мелкая) Грувая сетка сетка►Отраженная волна। Мелкая) Грувая сетка сетка►Отраженная волна
Падающаяволна
Падающаяволна
Мелкаясетка
Мелкаясетка
। Мелкая) Грувая сетка сетка
►Отраженная волна
। Мелкая) Грувая сетка сетка
►Отраженная волна
ббМелкаяМелкая
б
б
Мелкая
Мелкая
в
Рис. 13-1. Схема задачи об отраженной ударной волне: а —падающая волна распространяется по направлению к стенке; б — отраженная волна распространяется в обратном направлении; в — волна реакции распространяется от стенки в ударно сжатой смеси.
ударная волна отражается от твердой стенки, и отраженный скачок движется направо по предварительно сжатой среде (рис. 13-1,6). Г аз за отраженной ударной волной сильнее нагревается ею, а среда за скачком остается в покое. Температура теперь достаточно высокая для существенного увеличения скорости химических реакций. Воспламенение происходит около стенки, где дважды сжатый газ нагревается особенно долго. Через некоторое время развивается реакционная волна у стенки и распространяется через газ (рис. 13-1,в).
На рис. 13-1 показано также положение узлов движущейся неоднородной сетки, используемой в задаче. Имеются две области с мелкой сеткой. В начале расчета одна из областей окружает падающую волну и движется с нею влево. Другая область с подробной сеткой посажена у отражающей стенки. Через некоторое время падающая ударная волна отражается от стенки и движется направо, захватив с собой одну область с мелкой сеткой. В конце концов у стенки инициируются реакции энерговыделения. После того, как это случится, используется вторая область с подробной сеткой для разрешения реакционной волны, которая движется с волной при ее распространении вправо. Если волна реакции захватывает фронт ударной волны, обе сеточные области сливаются и их исполь-
Рйс. 13-2. Пространственно-временная эволюция нескольких существенных волн при моделировании отраженной ударной волны [49].
Рис. 13-3. Волна реакции, распространяющаяся по ударно сжатой области, рассчитанная в задаче об отраженной ударной волне [,49].
зуют для разрешения движения детонационной волны. Движение области вокруг ударной волны согласуется с градиентом давления. Движение области у стенки определяется изменением молярной плотности ОН. '
В расчетах использовался детальный механизм химических реакций горения водорода в кислороде, включающий восемь реагирующих компонентов: Нг, Ог, Н, О, ОН, НОг, НгОг, Н2О и нейтральный компонент Аг. Использовалось около пятидесяти элементарных реакций [49]. В типичных расчетах рассматривалось 150...200 вычислительных ячеек, многие из которых использовались для разрешения больших градиентов.
На рис. 13-2 для разных моментов времени показаны положения фронта ударной волны, волны реакции, слившейся детонационной волны и контактного разрыва, образовавшегося при слиянии отраженной ударной волны и волны реакции. Волна
реакции вначале движется медленно, а потом ускоряется до детонации. После прохождения фронта отраженной волны она тормозится по отношению к лабораторной системе координат, так как набегающее течение более не нагревается за время до прихода реакционного фронта. Контактный разрыв, образовавшийся при слиянии реакционной и ударной волн, движется более медленно со скоростью жидкости. На рис. 13-3 показаны профили температуры и давления в волне реакции до ее слияния с отраженной волной. Волна реакции напоминает детонацию, распространяющуюся в сжатой смеси.
Инициирование детонаций горячим очагом ,
Для изучения воспламенения за ударной волной модель RSHOCK была перестроена для моделирования процесса в ударной трубе. Здесь происходит разрыв диафрагмы, вследствие чего генерируется распространяющаяся ударная волна [28]. В этом моделировании диафрагма вначале отделяет область, содержащую реакционноспособную смесь водорода и кислорода, от области сильно сжатого гелия. Моделирование начинается без диафрагмы, но с разрывом в параметрах среды для имитации диафрагмы. Таким способом генерируется ударная волна, которая распространяется по смеси водорода и кислорода. Температура и давление за первичной волной достаточно высокие для воспламенения газа. Спустя некоторое время после начала распространения ударной волны около контактной поверхности возникает волна реакции. Как и в случае расчетов отраженной волны, описанных выше, волна реакции распространяется вперед по сжатому веществу и в конце концов сливается с фронтом ударной волны от разрушающейся диафрагмы, вызывая переход к детонации.
На рис. 13-4 показана общая форма профиля температуры после разрыва диафрагмы, но до воспламенения. Как и в задаче с отраженной ударной волной в трубе, использовалась комбинация неоднородных и движущихся сеток для разрешения контактного разрыва, волны реакции и фронта ударной волны. Область с подробной сеткой располагалась на контактном разрыве и удерживалась здесь в течение всего расчета. Движение этой области соответствовало скорости контактного разрыва, т. е. скорости среды. Здесь сетка была почти лагранжевой. Вторая область с мелкой сеткой поддерживалась у контактного разрыва в сжатой области до начала распространения волны реакции. Эта область далее перемещалась вместе с волной реакции в сжатом газе. Третья область с мелкой сеткой двигалась с фронтом ударной волны, сливаясь в конце концов со
„ fФронт
Контактнаяударной
Разрежение поверхностьволны Неподвижный газ
INI I IIIIIIIIIIH1111
ЭкспоненциальноеМелкаяМелкаяЭкспоненциальное
сжатиесеткасеткарастяжение
Рис. 13-4. Идеализированный профиль температуры в задаче о разрывающейся диафрагме. Отмечены области, где использовались грубая и мелкая сетки.
второй областью. Такая усложненная сеточная процедура позволила получить весьма хорошее разрешение.
Одна серия таких расчетов была выполнена для смеси водорода и кислорода в диапазоне температуры и давления характеризующем «слабое воспламенение». В этом режиме время химической индукции очень чувствительно к малым изменениям температуры и давления, так что процесс воспламенения оказывался не столь ламинарным, как ожидалось. Из-за того, что относительно малые флуктуации фоновых величин могут инициировать или ускорять химические реакции, горячие точки и воспламенение имеют место в областях за фронтом ударной волны вблизи от контактного разрыва. Ударная волна вначале движется с почти постоянной скоростью, так что температура и давление сжатой смеси достигают почти постоянных значений. Химические реакции в нагретом газе вначале имеют место вблизи контактной поверхности, где температура достаточно высока в течение продолжительного времени. Эти реакции порождают малые возмущения давления, которые движутся вперед со скоростью, равной сумме скорости звука и скорости среды за ударной волной. Когда возмущения давления достигают ударной волны, они слабо ускоряют ударную волну, создавая новое приращение температуры газа за скачком. Малое увеличение температуры увеличивает скорость тепловыделения. Этот процесс показан на рис. 13-5 в последовательности профилей температуры.
Нерегулярная структура, которая образуется за ударной волной перед воспламенением, представлена на рис. 13-6, где можно видеть отчетливые пики на профилях молярной доли ОН
в задаче о разрывающейся диа-
Давление, МПа
Рис. 13-7. Профили температуры и давления на поздних стадиях расчета в за даче о разрывающейся диафрагме [28].
Рис. 13-8. Временная эволюция существенных волн в решении задачи о разрывающейся диафрагме [28]. Кружки представляют время и место образоваРис. 13-8. Временная эволюция существенных волн в решении задачи о разрывающейся диафрагме [28]. Кружки представляют время и место образования центра реакции.ния центра реакции.
Рис. 13-8. Временная эволюция существенных волн в решении задачи о разрывающейся диафрагме [28]. Кружки представляют время и место образова
Рис. 13-8. Временная эволюция существенных волн в решении задачи о разрывающейся диафрагме [28]. Кружки представляют время и место образова
ния центра реакции.
ния центра реакции.
и температуры, обычно увеличивающиеся по направлению к ударному фронту. На рисунке можно видеть три центра реакции. Температура в одном из них, ближайшем к волновому фронту, в конце концов повышается настолько, что возникает волна реакции. На рис. 13-7 показана последовательная эволюция горячего очага и переход к детонации. На рис. 13-8 суммированы результаты расчета и показаны пространственно-временные положения точек образования центров реакции.
13-2. Многомерные сжимаемые реагирующие течения
FAST2D — собирательное название нестационарных, двумерных, сжимаемых эйлеровских программ, которые используют расщепленный по времени и по пространству алгоритм FCT. Пространственное расщепление было описано в разд, 9-2 в свя-
зи с осесимметричной г—z-геометрией. Переход к другим геометриям осуществляется путем переключений в подпрограммах FCT. Одномерные модели, описанные выше, использовали детальные механизмы химических процессов. В двумерных моделях, рассматриваемых здесь, химические реакции и энерговыделение упрощены для уменьшения стоимости вычислений.
Приложения к дозвуковым течениям включают расчеты слияния вихрей и смешения в осесимметричных сдвиговых слоях, представленные Гринстейном и др. [22, 23], и расчеты акусти- ческо-вихревых взаимодействий в камере сгорания реактивного двигателя, выполненные Кайласанатом и др. [33, 35, 36]. Приложения к сверхзвуковым течениям включают исследования инициирования и структуры распространяющейся детонации, проведенные Оран и др. [50], Пиконом и Борисом [52], Кайласанатом и др. [34] и Гиргисом и др. [23, 25], исследования взаимодействия ударной волны с пузырьками Пикона и др. [53, 54], а также расчеты внутренней баллистики, выполненные Эдвардсом [9] и Борисом и др. [4].
Программы FAST2D и трехмерная версия FAST3D использовались для изучения лабораторной плазмы, физики ионосферы, Солнца и астрофизических проблем. Например, Залесак и др. [60, 61] использовали подобные модели для расчетов экваториального расширения и эволюции бариевых облаков, инжектируемых в земную атмосферу, а Лайон и др. [42, 43] моделировали динамику геомагнитных хвостов и геомагнитной бури. Шевалье и Гарднер [5] изучили взрыв сверхновой в галактическом диске, Дальбург и Др. [6]—двумерную конденсационную неустойчивость в солнечной короне. Эмери и др. [11, 12] использовали аналогичные модели для моделирования плотной полностью ионизованной плазмы, генерируемой мощными лазерами.
Модели, которые мы описываем ниже, учитывают эффекты гравитации и теплопроводности и имеют феноменологическую модель энергювыделения для представления химических реакций. Общее описание FAST2D предполагает, что читатель уже прочел разд. 13-1, описывающий эквивалентные одномерные модели.
13-2.1. Структура и связи в FAST2D
Модели FAST2D сконструированы посредством взаимоувязывания большого числа оптимизированных процедур для различных физических процессов с помощью метода расщепления шага по времени. Его алгоритмы включают:
Метод корректировки потоков FCT, который в этой модели используется с расщеплением по пространству в двух ортогональных направлениях.
Граничные условия, представляющие вход потока, выход, сверхзвукового потока, запертое и сверхзвуковое течения и граничные условия закрытых границ.
Методы адаптации сеток для движения сетки от одного момента времени к другому в соответствии с учитываемыми физическими критериями или измельчения сетки в области, где требуется повышенное разрешение.
Неявные модули теплопроводности для задач, в которых конвекция не определяет энергоперенос. '
Параметрическая модель индукции для описания химических реакций и тепловыделения.
Уравнение состояния.
Вклад гравитации, учитываемой в виде внешней силы.
Метод расщепления шага по времени для связи различных физико-химических процессов, как это показано в гл. 4.
Порядок рабочих операций в FAST2D приведен в табл. 13-2.
Таблица 13-2. Схема FAST2D
Инициировать переменные: /п=/°+Д£.
(Метка Q). Определить М
Вклад внешней энергии: зависит от задачи
Адаптация сетки: движение сетки, необходимое для поддержания раз-
решения
Конвекция в первом направлении: описано в разд. 9-2
Конвекция во втором направлении: описано в разд. 9-2
Гравитация: как описано в тексте
Изменение химической энергии: влияние энерговыделения и химической трансформации
Обновить переменные
Начать новый шаг по времени (перейти к строке с меткой Q на данной схеме
Жесткие термические условия
Использование алгоритма явного интегрирования по времени ограничивает временной шаг отрезком времени, за которое звуковые колебания проходят самую малую ячейку. В нормальных реагирующих течениях это обычно означает, что физическая диффузия и теплопроводность могут точно интегрироваться с использованием явного алгоритма. Существуют, однако, ситуации, в которых скорость звука — не самая большая характерная скорость в системе, и возникает необходимость проинтегрировать модель для нескольких времен прохождения звука. Модели FAST2D прилагались к плазменным системам с весьма большой степенью ионизации атомов, связанной с высокой температурой. Когда теплопроводность определяется движением свободных электронов, тепловая скорость которых намного*
-больше скорости звука, необходим неявный учет теплопроводности. Кроме того, коэффициент электронной теплопроводности изменяется как 75/2 и, таким образом, его зависимость от температуры является более нелинейной, чем зависимость 73/2, рассмотренная в гл. 7. Алгоритмы для нелинейной теплопроводности и многомерной диффузии детально описаны в разд. 7-3 и 7-4.
Эмери и др. [11] и Дальбург и др. [6] рассматривали дву- .мерную динамику устойчивости слоев, аблируемых лазерным воздействием. В этих задачах температура изменяется на десять электрон-вольт на расстоянии в несколько микрометров. На рис. 11-7 показаны контуры массовой плотности для тонкой плиты пластика, нагреваемой лазерным лучом высокой интенсивности справа. В слое развивается волнистая поверхность из-за неустойчивости Рэлея — Тейлора, а форма поверхности •сильно зависит от длины волны ряби. В этих расчетах уравнение теплопроводности интегрировалось неявно в направлении падающего луча. Компоненты в направлении у рассматривались явно. Такое упрощение вместо неявного учета двух направлений работает хорошо, потому что наибольшие градиенты были 'Именно в х-направлении, а размеры ячеек в «/-направлении были в пять — десять раз больше наименьших размеров ячеек в .х-направлении.
.Уравнение состояния
Не смотря на то, что использование корректного уравнения .состояния в многомерных расчетах является дорогостоящим, иногда необходимо прибегать к этому для получения адекватных количественных результатов. Для газофазных проблем полное уравнение состояния обычно требует итераций для определения соответствующих переменных, что увеличивает стоимость расчета. Многомерные вычисления, включающие полные •уравнения состояния для взрывчатого вещества, были описаны в разд. 12-3. Ниже приведены расчеты с использованием сложного уравнения состояния для жидкого нитрометана [23, 25].
Для газовой фазы удобно рассчитывать уравнения состояния, используя степенные разложения энтальпии компонентов :(см. гл. 5.) Когда это оказывается слишком дорогим, можно использовать более простые аппроксимации. Если химических реакций нет или они особенно простые, модель одной справочной таблицы Р (р, Е) может оказаться адекватной. При этом температуру можно определить из закона идеального газа. Когда образуются или расходуются в химических реакциях различные компоненты, такое приближение не работает, так как энтальпийные функции и, следовательно, уравнения состояния отличаются для разных компонентов. Когда концентрации раз-
личных компонентов независимо изменяются в пространстве, уравнение состояния зависит не только от плотности внутренней энергии, но также и от плотностей компонентов.
Предполагая, что каждый компонент имеет различное значение энтальпии hi и теплоты образования hoi, можно рассчитать температуру или энерговыделение как функции молярных плотностей компонентов. В свою очередь это может использоваться для расчета изменения давления и затем нового значения давления.
Химическая кинетика
Детальная химическая модель может быть включена в FAST2D аналогично тому, как это описывалось для RSHOCK. Однако это делается редко. Интегрирование полных уравнений кинетики обычно является наиболее дорогостоящей частью расчета, и лишь в самых крайних случаях это допустимо в многомерных случаях. Кроме того, полная схема реакций часпу известна недостаточно хорошо, чтобы этим вообще стоило заниматься. По этой причине химические реакции и выделение энергии часто аппроксимируются простейшими моделями.
Полезная феноменология химических процессов состоит в использовании модели параметра индукции, использованной в писанных расчетах Оран и др. [50]. Форма модели, описанная Гиргисом и др. [23, 25], рассматривает двухшаговую модель воспламенения горючей смеси1). Первый шаг использует химический период индукции, в течение которого
Топливо-]-Окислитель —* Радикалы.(13-2.1)<
На втором шаге
Топливо + Окислитель + Радикалы —> Образовавшийся продукт.
(13-2.2>
Когда концентрация радикалов низка, они производятся на этапе 1 намного быстрее, чем расходуются на этапе 2. В течение этого периода быстро возрастает количество радикалов, оставаясь относительно малым. При этом температура изменяется незначительно, и количество образовавшегося продукта пренебрежимо мало. Скорость реакции на шаге 1 может быть выражена через период индукции то (Л р). Одним из способов получения входных данных для то (Г, р) является интегрирована полной системы детальных уравнений кинетики; другой способ
!) Ранее аналогичная модель была предложена в работе: Левин В. А.,. Коробейников В. П. Сильный взрыв горючей смеси газов. — Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1969 г., № 6, с. 48—51. — Прим, перев.
состоит в извлечении их из экспериментальных результатов. Период индукции завершается, когда на шаге 2 появляется заметное количество продукта.
Обозначим через f долю периода индукции, истекшего за время t, так что функция f удовлетворяет уравнению
где f (х,0) = 0. Скорость на этапе 2 полагают равной нулю до тех пор, пока / не превысит единицы. Эта зависимость дает удобный способ осреднения, если температура и плотность изменяются в течение периода химической индукции. Уравнения (13-2.3) автоматически сводится к точному определению времени задержки воспламенения, когда плотность и температура постоянны.
После истечения времени индукции топливо и окислитель расходуются в соответствии с выражением'
jtN = — NA ехр(— E!RT\(13-2.4)
где N — плотность топлива. В этой модели f может интерпретироваться как доля критической концентрации радикалов. Когда модель используется в движущейся системе, производная dldt в уравнениях (13-2.3) и (13-2.4) обозначает полную производную. Величина / должна переноситься конвекцией вместе с жидкостью. Несколько примеров расчета детонации с использованием этой модели описано ниже.
Учет тяготения
. Существуют два различных способа учета воздействия силы тяжести. Один из них использует идею потенциальной энергии тяготения. Тогда уравнение сохранения энергии строится из расчета расширенного определения плотности энергии
Е* = ~ ри2 + е + ф (х, t\(13-2.5)
Например, гравитационный потенциал может быть записан как <р = р£Й для случая не слишком больших изменений высоты Н. В более общем случае гравитационный потенциал определяется как
<р(х, /) = —Р(х, oSx0g(x)-dx,(13-2.6)
где g (х) — вектор поля тяготения, а х0 — положение, относительно которого гравитационный потенциал полагают равным нулю.
Уравнение сохранения энергии записывается в прежней форме с новым определением плотности энергии:
^ = — V-fv—V-Pv.(13-2.7)
Форма уравнения не изменилась, но изменилось определение полной сохраняющейся энергии. Сила pg должна быть добавлена в уравнение для импульса.
Проблема, возникающая при реализации этого приближения, состоит в накоплении ошибок из-за использования разностей больших чисел. Когда система охватывает много значений гравитационных масштабов, потенциальная энергия тяготения в уравнении энергии может превышать внутреннюю и кинетическую энергии во много раз. В таком случае трудно точно рассчитать температуру.
Второй подход состоит в интегрировании уравнения для суммы внутренней и кинетической энергий без члена потенциальной энергии в уравнении (13-2.5). Большие значения приведенных высот могут быть представительны потому, что расчеты являются строго локальными. Тем не менее, изменения импульса и кинетической энергии из-за гравитационного ускорения должны быть согласованы. Один из способов удовлетворить этому состоит в расщеплении гравитационных членов в уравнениях импульса и энергии на временном шаге и учитывать их согласованным образом. Пусть р°, v° и £° — соответственно массовая плотность, скорость и плотность энергии после этапа расчета без учета тяготения. Обновления значения этих величин с учетом гравитационных эффектов могут быть определены из соотношений
Р" = Р°,(13-2.8)
ро (V”—v°) = p°gAZ,(13-2.9)
£п_Е»= lpO(vn.v»_v».vo)(13-2.10)
Температура и давление непосредственноне зависят от силы
тяжести.
Расщепление шага по времени в случае двух измерений
Когда для сведения многомерной задачи к последовательности одномерных используется пространственное расщепление, немедленно возникает вопрос, в каком направлении следует интегрировать сначала? Какой бы выбор ни был сделан, ошибок в процедуре решения из-за асимметрии не избежать. Когда эти ошибки становятся существенными, приходится искать пу-
37—245
ти их исключения. Один из них состоит в двухкратном расчете конвекции со сменой направления и осреднением. Будем называть величины в начале полушага конвективного переноса «старыми». Тогда процедура состоит из следующих операций:
Начиная со старых значений, интегрируем в х-направле- нии, а потом в //-направлении. Старые значения остаются неизменными, а новые записываются в память.
Начиная со старых значений, интегрируем в //-направлении, а затем в х-направлении. Вновь сохраняются старые и записываются в память новые значения.
Осредняем по двум новым результатам и заменяем старые переменные системы осредненными значениями.
Такой подход дает очень хорошие результаты, но требует слишком больших вычислительных затрат. Другое приближение состоит в использовании строго многомерных версий ЕСТ, описанных в гл. 9.
13-2.2. Некоторые примеры
Тесты граничных условий и сходимости
Много труда было потрачено на проверку граничных условий и сходимости в ЕА5Т2В-моделях. Борис и др. [4] описали тесты граничных условий для сверхзвуковых и дозвуковых течений, а Гринстейн и др. [22] разработали тесты граничных условий и сходимости в дозвуковых течениях. В дополнение к этому Кайласанат и др. [35, 36] описали проверку сходимости в дозвуковых и запертых течениях, а Гиргис и др. [25] и Эдвардс [9] представили тесты сходимости в сверхзвуковых течениях. Здесь мы рассматриваем несколько тестов, представляющих интерес именно для случая реагирующих течений.
Рис. 13-9 иллюстрирует расчеты Бориса и др. [4] для ударной волны, возникающей в цилиндре с твердыми стенками конечной толщины и расширяющейся затем в свободном пространстве. Это может, например, моделировать орудийный выстрел. Расчеты, представленные на рис. 13-9, а, использовали равномерную сетку с числом узлов 40x40 и осью симметрии, располагающейся слева, и граничными условиями выхода потока (разд. 11-1) на верхней и правой границах расчетной области. На рис. 13-9,6 показана та же задача, но на сетке 80X80, где нижние 40X40 узлов те же самые, что и в расчете на сетке 40X40. Рис. 13-9, в представляет результаты аналогичных вычислений в еще большей области на сетке 150X300. Все результаты соответствуют двухсотому шагу по времени.
В каждом из этих случаев приближенные условия выхода потока, использованные на наружных границах меньшей сетки,
Рис. 13-9. Проверка выходных граничных условий в расчетах ударной волны, выходящей из ствола: а — сетка 40X40; б — сетка 80X80; в — сетка 150X300. Размер вычислительной ячейки в каждом расчете не менялся [4].
описанной в табл. 11-3, могут сравниваться во времени с «точным» решением на большей сетке. Решение на большей сетке включает все подробности расширяющейся первичной ударной волны, которая еще не достигает границы большей сетки. Следовательно, ошибки граничных условий в решении на большей сетке еще не смогли повлиять на решение. Во всех трех расчетах получены практически одинаковые значения величин вдоль верхней и правой сторон стенок. Это замечательное совпадение, поскольку при моделировании на сетке 40X40 несколько волн, отраженных от верхней границы, имели время к двухсотому шагу распространиться вверх и вниз по длине системы.
Эдвардс [9] использовал весьма сходную геометрию при изучении орудийных выстрелов. Примеры его тестов на сходимость разрешения показаны на рис. 13-10. Ось симметрии находится внизу каждого рисунка, а дополнительный «взрывной экран» рассматривается как непроницаемая область посреди правой части области. На нижнем рисунке показаны контуры давления в расчетах на сетке, использующей 60X35 ячеек. На 37*
Рис. 13-10. Распределения давления в расчете орудийного выстрела. Расчет, представленный на рисунке а, имеет втрое лучшее разрешение, чем для рисунка б. (Рисунок любезно предоставлен Г. Эдвардсом из Fluid Gravity, Ltd, Англия.)
рис. 13-10, а представлены результаты расчетов с втрое большим пространственным разрешением, чем на рис. 13-10,6. В случае расчетов с мелкой сеткой удалось разрешить не только сильные ударные волны, но и другие элементы структуры.
Дозвуковые течения
Смешение и последующее горение в геометрии типа сдвигового слоя важны в практических приложениях. В разд. 12-1.1 на первый план выдвигались расчеты, показывающие развитие завихренности в подобных слоях смешения. На рис. 13-11 [22] показаны контуры завихренности и параметра песмешанности R в расчетах, в которых быстрый поток входит слева ниже границы, а поток меньшей скорости — справа выше границы. Параметр смешанности определяется отношением
R-N^N^N^(13-2.11)
Рис. 13-11. Распределения завихренности и смешиваемости (см. текст) в расчете плоского слоя смешения двух потоков воздуха [22]. Скорость потока, находящегося внизу, больше скорости верхнего потока.
где Nf — плотность быстрого потока, a Nsi — плотность медленного потока. Сетка, использованная для этих расчетов, показана на рис. 6-9.
Кайласанат и др. [33, 35, 36] использовали версию FAST2D для изучения взаимодействий между вихревыми структурами и акустикой в камере сгорания реактивного двигателя. Расчеты инертного потока в ограниченном осесимметричном канале были приведены на рис. 12-4, а сетка представлена на рис. 9-1. На рис. 12-4 показана дозвуковая, слабо подогретая, но нереагирующая смесь водорода и воздуха, входящая в камеру, 38—245
Время, мкс ТемператураВремя, мкс ТемператураРис. 13-12. Расчет реагирующего течения, инициируемого в холодном потоке,, аналогичного показанному на рис. 12-4. Мгновенные линии тока и профили температуры соответствуют случаю осесимметричной камеры сгорания [36].Рис. 13-12. Расчет реагирующего течения, инициируемого в холодном потоке,, аналогичного показанному на рис. 12-4. Мгновенные линии тока и профили температуры соответствуют случаю осесимметричной камеры сгорания [36].
Время, мкс Температура
Время, мкс Температура
Рис. 13-12. Расчет реагирующего течения, инициируемого в холодном потоке,, аналогичного показанному на рис. 12-4. Мгновенные линии тока и профили температуры соответствуют случаю осесимметричной камеры сгорания [36].
Рис. 13-12. Расчет реагирующего течения, инициируемого в холодном потоке,, аналогичного показанному на рис. 12-4. Мгновенные линии тока и профили температуры соответствуют случаю осесимметричной камеры сгорания [36].
Смесь стремилась к квазипериодической структуре по мере того, как вихри спаривались, сливались и возбуждались в сопле» Температура до воспламенения была существенно однородной.
На рис. 13-12 показано вначале нереагирующее течение, •содержащее водород и кислород, поджигаемое в малой области у входа в камеру на 160 000-м временном шаге. Химические ре-
акции и тепловыделение рассчитывались в соответствии с моделью параметра индукции. Мгновенные линии тока и профили температуры на рис. 13-12 показывают фронт пламени, двигающийся в камере вниз по потоку. Квазистационарный режим течения устанавливался в конце концов с повторными осцилляциями большой амплитуды. Фронт горения отмечался на температурных профилях либо линиями высокой температуры, либо темными линиями, образованными близко расположенными контурами. В некоторый момент времени скручивание сдвигового слоя заставляет фронт реакции изогнуться вниз и поглотить холодную смесь, которая затем загорается. Пока реакция продвигается вниз по потоку, новый вихрь образуется около ступеньки между 175 000-м и 180 000-м шагами по времени. Это способствует смешению сгоревших газов с входящей смесью и действует как источник зажигания. Длительность цикла составляет 25 000 шагов по времени или 3,463 мс.
Распространяющиеся детонации
Модели типа FAST2D полезны для изучения многомерной динамики взрывов и детонаций. Особый интерес представляет структура фронтов детонации, кратко описанная в гл. 2. Детонационный фронт, показанный схематично на рис. 2-2, образован двумя пересекающимися ударными волнами. Пересечения,, называемые тройными точками, движутся и очерчивают ромбовидные структуры, называемые детонационными ячейками. Размер и структура картины детонационных ячеек зависит от конкретного вещества и начальной температуры и давления.
На рис. 6-9 показаны контуры плотности и температуры и: схемы сетки, используемой Кайласанатом и др. [34] для расчета детонаций, распространяющихся в канале, заполненном! смесью водорода, кислорода и аргона. Эти расчеты были выполнены в плоской геометрии с использованием скользящей эйлеровской перестройки сетки (гл. 6) и сохранением подробной сетки на детонационном фронте в процессе вычислений.. Из контуров на этом рисунке можно выделить структуру тройных точек, для того чтобы наблюдать образование детонационных ячеек. На рис. 13-13 показана последовательность контуров*, плотности, полученная в результате такого расчета. Линии со» стрелками указывают направление движения тройных точек.. На рис. 13-14 показана последовательность их следов, полученная в расчетах для каналов трех разных размеров. Самый1 большой канал (шириной 9 см) демонстрирует характерный: образец детонационных ячеек.
На рис. 13-15 показаны области распространения реакции ж распределения температуры для детонации, распространяющей- 38е
Рис. 13-13. Распределения плотности для семи шагов по времени при моделировании распространяющейся детонации в 60%-ной водород-кислородной смеси, разбавленной аргоном в канале шириной 5 см [33, 34]. Линии со стрелками указывают направление движения тройных точек.
Рис. 13-14. Рассчитанные траектории движения тройных точек в той же смеси, что и на рис. 13-13 [33, 34]: а — канал шириной 5 см; б — 7 см; в — 9 см.
ся в той же смеси в очень узком канале. Темная область справа представляет собой холодное, непрореагировавшее вещество перед распространяющейся детонацией. Светлая область слева есть полностью прореагировавший материал, в котором энерговыделение завершилось. Особой чертой этих расчетов является образование полостей несгоревшего газа на детонационных фронтах, впервые замеченных при моделировании Пиконом, Оран и Борисом и представленных Оран и др. [50]. Эти полости могут быть обрезаны, когда поперечные волны стал-
Рис. 13-15. Распространение реакции и температурные распределения на трех временных шагах расчета распространяющейся в очень узком канале детонации в 60%-ной водород-кислородной смеси, разбавленной аргоном. Детонация распространяется слева направо. (На основе работы Оран и др. [50].)
киваются со стенкой или другими поперечными волнами. Заметим также, что температуры в этих полостях более низкие, чем в окружающем газе. Непрореагировавшие полости последовательно сгорают и выделяют энергию, но их образование забирает энергию от распространяющейся детонации. Эти полости могут обусловить прекращение детонации.
Недавно Гиргис и др. [25, 26] изучили детонации в жидком нитрометане, используя корректное уравнение состояния и модель параметра индукции, основанную на экспериментальных данных. Имитации были инициированы возмущением стационарной одномерной детонации в области реагирования в центре зоны индукции, как показано на 200-м шаге по времени на рис. 13-16. Когда ударная волна, образованная полостью, достигает детонационного фронта, образуются две поперечные
Шаг 200300400500600
Рис. 13-16. Распределения давления при типичном инициировании многомерной структуры детонации в жидком нитрометане [25].
волны, как это иллюстрируют контуры давления на шагах по времени 400, 500 и 600. На этом рисунке также показаны детали взаимодействия между ударной волной, генерируемой энергией в области, и задней стенкой. После нескольких столкновений со стенками канала поперечные волны приобретают структуру, типичную для фронта детонации.
На рис. 13-17 показана последовательность контуров давления за распространяющимся детонационным фронтом. Любопытная черта этих контуров состоит в том, что их структура является очень нерегулярной в сравнении с водород-кислородной детонацией в присутствии аргона. Детонационная ячейка является, в общем случае, очень нерегулярной. Гиргис и др. [25] показали, что посредством изменения температурной зависимости времени индукции структура может быть сделана очень регулярной, как показано на рис. 13-18. Этот рисунок получен в серии исследований, проведенных для выделения факторов, влияющих на регулярность структуры детонационных ячеек.
13-3. Одномерные дозвуковые реагирующие течения
Конвективный перенос, теплопроводность, молекулярная диффузия, химическая кинетика, выделение энергии, радиационный перенос и, возможно, другие источники и стоки энергии
Рис. 13-17. Распределения давления для детонации, распространяющейся в жидком нитрометане [25]. Сплошные линии — траектории основных тройных точек. Пунктирные линии — траектории вторичных тройных точек.
Шаг1700 2100 2400 2600 2900 3300 3600 3900 4200 4500
Время, мкс 14.03 17,45 19,88 21,49 23,93 27,31 29,80 32,37 35,04 37,70
Рис. 13-18. Распределения давления для детонации, распространяющейся в жидком нитрометане [25]. Слабые тройные точки на рис. 13-17 исчезают при подборе времени индукции.
или вещества важны в газофазных пламенах. В качестве обзора физики и химии пламен рекомендуем книги Льюиса и Эльбе [41], Гейдона и Вольфхарда [21], Стрелоу [55] и Вильямса [57].
В этом параграфе описывается FLAME1D — система одномерных нестационарных лагранжевых моделей для дозвуковых реагирующих течений. Они были использованы для разнообразных исследований ламинарных пламен, включая расчеты их инициирования [45], минимальных энергий воспламенения и объемов потухания [32], а также скоростей горения [31]. Сравнение расчетов с аналитическими результатами и экспериментальными данными подтвердило справедливость моделей. Обзор моделей FLAME 1D и некоторых их приложений дано Кай- ласанатом и др. [32]. В книге Варнаца и Петерса [56] обобщены особенности различных стационарных и нестационарных одномерных моделей пламен, включая FLAME 1D.
Если в модели RSHOCK добавить процессы диффузионного переноса, они, в принципе, могли бы использоваться для описания пламен, так же как и ударных волн и детонаций. Однако такой подход не является наилучшим по нескольким причинам. Во-первых, RSHOCK-модель потребует большего разрешения для расчета пламени, чем FLAME ID-модель, так как последняя является лагранжевой и не имеет численной диффузии на этапе конвективного переноса. Во-вторых, временной шаг в модели RSHOCK определяется условием Куранта, основанном на размере ячейки и скорости звука в веществе. Неявный метод в FLAME1D допускает больший шаг по времени. Таким образом, экономится большое количество компьютерного времени^ когда характерные скорости являются дозвуковыми, а размеры ячеек малы^
13-3.1. Структура моделей FLAME1D
Модели FLAME1D объединяют следующие алгоритмы:
ADINC — неявный лагранжев метод решения конвективных слагаемых уравнений сохранения [2], обсуждавшийся в гл. 10.
Лагранжев метод перестройки сетки путем расщепления и слияния ячеек для поддержания точности в выбранных областях, обсуждавшийся в гл. 6 и 10.
DFLUX— алгоритм для определения диффузионных потоков [27], обсуждавшийся в гл. 7.
SPRED — консервативный разностный алгоритм учета диффузионного члена, обсуждавшийся в гл. 7.
CHEMEQ — метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений, обсуждавшийся в гл. 5.
Таблица 13-3. Схема FLAME ID
Инициировать переменные
(Метка QY Определение А/
Рассматривает все учитываемые физические процессы>
Перестройка сетки для улучшения разрешения'
Добавить или выбросить ячейки
Вклад внешней энергии
Изменяется в зависимости от задачи
Все переменные пометим индексом «1»
Вычисление APi
Химические реакции
Интегрирование от t до t-vM
Обновление только {яДх)}
Вычисление АРг
Расчет коэффициентов диффузионного переноса Xm(xY {Ei}(x)]f DiT(x)
Теплопроводность
Интегрирование от t до t-VM
Вычисление ДР3
Переменные не обновляются
Обычная диффузия и термодиффузия
Интегрирование от t до /+Д/
Обновление только {«Д^)}
Вычисление АР4
Конвективный перенос
Расчет входных данных для ADINC с использованием нового давления P«=P°+SAPZ
i
Интегрирование от t до t-VM
Обновление всех переменных: р(х), P(xY T^xY E^xY {ntixYY у(х)
Начало нового шага по времени (переход на строку с меткой Q в начале текста)
Полиномиальное представление энтальпий как функций температуры для уравнения состояния, обсуждавшееся в разд. 5.
Метод расщепления по времени, представляющий модификацию описанного выше алгоритма для -сверхзвуковых течений.
В табл. 13-3 приведена структура этих программ. Первым очевидным признаком является то, что в модель FLAME 1D включено больше физических процессов, чем в RSHOCK и FAST2D. Теплопроводность, обычная диффузия и термодиффузия рассматриваются в дополнение к конвекции, химическим реакциям и тепловыделению. Набор из трех диффузионных процессов представляет собой минимум, необходимый для количественного описания ламинарных пламен. Другие варианты модели, включающие вязкость и радиационный перенос, здесь не обсуждаются.
Член, представляющий теплопроводность, дифференцируется в консервативной форме и разрешается явно. Шаг по времени, требуемый для учета теплопроводности и диффузии компонентов, может оказаться неприемлемым, когда включается в рас-
смотрение такой легкий, относительно быстро движущийся компонент, как водород. Если бы вся программа использовала временной интервал, определяемый быстрой диффузией, стоимость расчетов была бы чрезмерной. Требуемый диффузионный шаг может оказаться меньше временного интервала, определяемого условием Куранта. Для того чтобы обойти эту трудность, величины {у^} определяются во внутреннем цикле, аналогично тому, как это применялось на химическом шаге интегрирования в RSHOCK и FAST2D.
Суммарный шаг по времени А/ больше не может выбираться на основе конвективного шага, определенного в ADINC. Этот шаг, как правило, слишком велик для точного разрешения других физических процессов. Действительное требование, предъявляемое к ADINC, состоит в том, чтобы вычислительные ячейки не пересекались. Шаг по времени должен выбираться путем анализа требований устойчивости и точности для всех процессов, учитываемых в модели, и представлять собой наименьший из них. Это не означает использование столь малого шага по времени, как для жестких обыкновенных дифференциальных уравнений, что требуется для учета химии внутреннего цикла, уже обсуждавшегося в разд. 13-1.
В принципе, многие процессы, включая модель турбулентности и переноса излучения, могут быть рассчитаны неявными методами или организацией внутреннего цикла, с использованием больших шагов по времени.
Фронт пламени распространяется со скоростью, определяемой различными (процессами конвективного и диффузионного переноса. Эта граница раздела не движется со скоростью среды. Когда фронт пламени движется через несгоревшую газовую помесь, в его окрестности имеет место расширение, так как выделяется энергия. Таким образом, лагранжева сетка имеет тенденцию к расширению, тогда как здесь должно быть максимальное разрешение. Решение проблемы состоит в использовании процедуры перестройки сетки путем требующегося расщепления или слияния ячеек. Добавление или удаление ячеек в областях больших градиентов температуры требует интерполяции значений для малых ячеек или их объединения для больших. Если интерполяция не очень точная, процесс является диффузионным. Перестройка сетки хорошо работает только в областях, где нет существенных событий и, фактически, в ней нет нужды. Решение проблемы состоит в том, чтобы перестраивать сетку до и после фронта пламени. Ячейки расщепляются перед фронтом и сливаются за ним. Такой прием можно применять, поскольку направление распространения пламени известно.
Закрытые граничные условия моделировались путем требования нулевой скорости на стенке. В этом случае пламя рас-
пространяется в замкнутом объеме и давление возрастает со временем. Для изучения неограниченных пламен необходим алгоритм для моделирования открытой границы. Один из подходов состоит в увеличении размера вычислительных ячеек по мере того, как они отодвигаются от пламени. Таким образом, расчетная область становится очень большой без соответствующего увеличения памяти ЭВМ. Растяжение ячейки должно быть постепенным, чтобы ограничить неточности, возникающие в результате изменения размера ячейки. Построение адаптивной сетки оказывается важным, поскольку разрешение в области фронта должно увеличиваться для поддержания точности, когда фронт пламени движется к большим ячейкам.
Во втором подходе открытия граница определяется из условия существенно постоянного давления. Движение последней граничной ячейки на открытом конце системы дает возможность давлению в каждой ячейке в конце шага по времени релаксировать адиабатически к предыдущему давлению. Это осуществляется путем расчета изменения объема каждой ячейки Ус с использованием выражения
vc(t+A9=^(0(^)Vv, (13-3.1)
где Рп— давление, рассчитанное перед конвективным шагом, что будет обсуждаться ниже. Величина Р°— давление в начале шага по времени. Изменения объема всех ячеек вызывают изменение положения открытой границы. Положение открытой границы и скорость жидкости в последней ячейке (которая равна скорости движения открытой границы) затем используется в качестве входных данных в ADINC.
13-3.2. Расщепление шага по времени
Порядок дробных шагов, как показано в табл. 13-3, существен. Перестройка сетки, определение шага по времени и вклада энергии должно осуществляться в таком порядке. Для связи этих эффектов конвекция должна учитываться последней. Процессы диффузионного переноса и химии могут учитываться в любом порядке.
Расщепление по времени, используемое здесь, может показаться подобным используемому в RSHOCK, но оно принципиально отличается от него. Главное отличие возникает, когда химическая кинетика и звуковые волны являются жесткими в математическом смысле. Приближение FLAME 1D позволяет расширению и диффузии переносить давление от фронта пламени на временных масштабах, характерных для скорости звука. Таким образом, давление остается существенно постоянным.
если шаг по времени больше, чем время прохождения звука через ячейку. После каждого полушага на этапе расщепления рассчитываются изменения давления, которые имели бы место, если бы конкретный физический процесс был изолирован. Эти условные изменения давления добавляются к старому давлению перед конвективным этапом определения нового давления в ADINC.
Первый процесс — вклад внешней энергии. Любое изменение {/zj, которое этот процесс вызывает на шаге М, используется для обновления этих величин. Кроме того, любое изменение давления в этом процессе запоминается как ДРь Другие переменные в результате этого процесса не изменялись.
В конце химического полушага тепловыделение преобразуется в эффективное повышение давления при постоянном объеме, так как объемы ячеек остаются неизменными на этапе кинетических расчетов. Из-за выделения энергии температура и давление рассчитываются на основе теплот образований и молярных плотностей различных компонентов, как это описано в гл. 5. Кроме {/zz} другие переменные не корректируются на этой стадии. Температура остается постоянной на химическом полушаге.
В заключение шаг конвективного переноса используется для корректировки всех переменных. Необходимо быть уверенным, что все переменные полностью согласованы друг с другом путем ренормализации, описанной в разд. 13-1. Отношения плотностей компонентов используются такими, какие были получены на химической стадии шага по времени.
13-33. Некоторые примеры
Примеры этого параграфа взяты из исследований ламинарных перемешанных водород-кислородных пламен, разбавленных азотом. Схема химических реакций была той же, что использовалась в примерах RSHOCK в разд. 13-1. Коэффициенты диффузионного переноса и термофизические свойства описаны в гл. 7.
Модели FLAME 1D были использованы для изучения воспламенения при сферической геометрии. На рис. 13-19, представляющем результаты одного из расчетов, показана эволюция температурного профиля после инициирования пламени. Пламя инициировалось локализованным горячим очагом, заданным гауссовым распределением температуры, центрированным в начале координат. Определенное заранее количество энергии (4 мДж) вкладывалось равномерно на интервале времени 10^4с в начале координат в области радиусом 0,1 см. Расчеты вначале включали 50 вычислительных ячеек, а лагранжев механизм пе-
Рис. 13-19. Температурные профили в последовательные моменты времени при сферически симметричном воспламенении смеси водорода, кислорода и азота, представленных в отношении 2 : 1 : 10. Смесь воспламенена подводом 4 МДж внешней энергии в области радиусом 0,1 см за 10-4 с [31]. Цифрами вблизи кривых указано время в секундах.
рестройки сетки путем расщепления-слияния использовался по необходимости. Открытая граница имитировала очень большую систему. Резкое возрастание температуры за фронтом пламени показывает влияние начальных условий. На рис. 13-20 можно видеть распределения плотностей компонентов для последнего профиля на рис. 13-19 и фрагмент области вокруг фронта пламени.
Даже после завершения периода ввода энергии температура в центре увеличивается из-за продолжающегося тепловыделения в процессе горения. В конце концов температура вблизи центра спадает, а вдали от него увеличивается из-за диффузионного переноса. К моменту времени 4,5 мс температурное распределение приближается к форме, специфичной для распространяющегося пламени. Когда вкладываемая энергия уменьши-
Рис. 13-20. Профили плотностей компонентов в распространяющемся пламени в смеси водорода и кислорода (а) и детали фронта пламени (б) [45].
ется до 3 мДж, температурное распределение не развивается в профиль, типичный для стационарно распространяющегося пламени. В случае 3 мДж градиент на фронте пламени уменьшается и оно затухает. Таким образом, значение вкладываемой энергии 3 мДж находится ниже порога воспламенения.
Повторными вычислениями с переменным количеством вкладываемой энергии может быть получена минимальная для конкретного радиуса оЧага энергия воспламенения. Обобщение большого числа расчетов с различными значениями радиуса области ввода энергии показано на рис. 13-21. Например, было получено распространяющееся пламя, когда энергия 3,8 мДж вводилась в сфере радиусом 0,1 см. Однако, когда то же количество энергии подводилось к сфере меньшего радиуса, скорость выделения энергии была недостаточной для компенсации скорости диффузионных потерь энергии, и, следовательно, воспламенение не имело места. Радиус 0,1 см является для этой конкретной смеси «радиусом потухания». Для радиусов, больших 0,11 см, минимальная энергия воспламенения быстро увеличивается с увеличением радиуса. Следовательно, для изучаемой системы энергия около 3,7 мДж является абсолютно минимальной энергией. Эти наблюдения находятся в качественном согласии с экспериментами по искровому зажиганию, описан-
Рис. 13-21. Минимальная энергия воспламенения как функция радиуса и для смеси, представленной на рис. 13-19 [31].
ными Льюисом и Эльбе [41]. Количественные сравнения затруднены, потому что состав смеси и времена вклада энергии были различными. Кроме того, мы не знаем, как учитывать потери на электродах.
Когда ядро воспламенения превращается в распространяющееся стационарное пламя, можно рассчитать скорости лами- нарнога пламени и скорости горения. Если в центр сферы вкладывается достаточно энергии, а вычисления проводятся достаточно долго, распределение температуры приобретает типичный для пламени профиль. Для определения скорости горения и скорости пламени требуется критерий для определения положения фронта и соответствующего значения используемой скорости пламени. Скорость горения тогда может быть записана в виде разности
уь= у/—^fluids (13-3.2)
где и/ — скорость движения пламени, у fluid — скорость в несгоревшей смеси впереди пламени.
Эти критерии иногда могут быть нечеткими, как можно видеть из рис. 13-22, показывающего профили скорости среды и температуры в плоском и сферическом пламенах, распространяющихся в смеси с одними и теми же температурой, давлением и стехиометрией. Для плоских пламен на рис. 13-22, а или для любых тонких пламен нечеткость не столь велика, так как скорость жидкости перед пламенем постоянна. Однако, когда пламя имеет конечную толщину и искривлено, как это имеет место для сферического пламени на рис. 13-22,5, критерии ока-
Тис. 13-22. Профили скорости течения и температуры в смеси водорода, кислорода и азота в отношении 2: 1 : 4: а — для плоского пламени; б— для сферического пламени [29].
Время, мкс аВремя, мкс аРис. 13-23. Скорость У^ максимальная скорость ЖИДКОСТИ Umax и скорость жидкости при 300 К (Узоо) как функции времени в сферически распространяющихся пламенах в смесях водорода, кислорода и азота в отношениях: а — 2:1:4; 6 — 2; 1 :7; в — 2: 1 : 13 [29].Рис. 13-23. Скорость У^ максимальная скорость ЖИДКОСТИ Umax и скорость жидкости при 300 К (Узоо) как функции времени в сферически распространяющихся пламенах в смесях водорода, кислорода и азота в отношениях: а — 2:1:4; 6 — 2; 1 :7; в — 2: 1 : 13 [29].
Время, мкс а
Время, мкс а
Рис. 13-23. Скорость У^ максимальная скорость ЖИДКОСТИ Umax и скорость жидкости при 300 К (Узоо) как функции времени в сферически распространяющихся пламенах в смесях водорода, кислорода и азота в отношениях: а — 2:1:4; 6 — 2; 1 :7; в — 2: 1 : 13 [29].
Рис. 13-23. Скорость У^ максимальная скорость ЖИДКОСТИ Umax и скорость жидкости при 300 К (Узоо) как функции времени в сферически распространяющихся пламенах в смесях водорода, кислорода и азота в отношениях: а — 2:1:4; 6 — 2; 1 :7; в — 2: 1 : 13 [29].
зываются неоднозначными. Скорость среды достигает максимума в пламени, а потом уменьшается перед фронтом из-за влияния сферического расширения. Для определения скорости горения мы обычно используем две относительные скорости. Первая — максимальная скорость среды в системе Umax, а вторая есть скорость несгоревших газов, соответствующая первому положению перед пламенем при температуре 300 К. Нижняя оценка г^ равна и<—Утах, а верхняя оценка соответствует и/— Узоо. Для плоских пламен обе оценки идентичны.
С помощью FLAME1D было изучено влияние кривизны и разбавления на водород-кислородные пламена. Несколько примеров показано на рис. 13-23. Эти результаты получены в серии расчетов для сферической геометрии, для которых степень разбавления азотом постоянно увеличивалась. В конце концов на рис. 13-23,в стационарное распространение пламени не достигалось. Аналогичные результаты были получены для плоских пламен.
13-4. Двумерная лагранжева модель
Использование лагранжевых моделей в численных экспериментах в общем случае ограничено течениями «с хорошим поведением». Сдвиг, отрыв потока или даже движение с большой амплитудой производят значительную деформацию сетки. Эти деформации возникают потому, что узлы сетки сдвигаются так далеко, что их ближайшие соседи изменяются в процессе вычислений. Когда дифференциальные операторы рассчитаны на сильно деформированной сетке, их аппроксимации обычно становятся неточными. Попытка поддерживать точность путем перестройки сетки и интерполяции физических величин на сетку лучшей структуры приводит к возникновению численной диффузии. Трудности применения стандартных лагранжевых методов часто перевешивают выгоды от отсутствия в них численной диффузии.
Здесь мы представим более детальную информацию о структуре и использовании лагранжевой программы SPLISH, описанной в гл. 10. Этот метод позволяет избежать сеточной путаницы путем динамической перестройки сеточных треугольников. Метод впервые был детально описан Фриттсом и Борисом [16J. Он был применен к большому числу проблем разных типов, включая расчеты нелинейных волн [13, 15], неустойчивостей Кельвина — Гельмгольца [14], неустойчивостей Рэлея — Тейлора [12], течений Куэтта и вихревых течений Тейлора [10], и совсем недавно к течениям вне и вокруг капель [17, 18]. Ниже описана структура вычислительной программы SPLISH,
а далее представлен алгоритм для поверхностного натяжения. В разд. 10-2 содержится необходимая преамбула к обоим обсуждениям.
13-4.1. Структура программы SPLISH
Различные части программы SPLISH более тесно связаны, чем свободный набор алгоритмов и модулей, описанный ранее в этой главе. Имеется пять основных частей SPLISH:
Инициализация переменных, таких, как положения вершин, скорости и давления.
Расчет эволюции динамики жидкости, описанный в гл. 10 и набросанный в общих чертах ниже.
Расчет сил поверхностного натяжения.
Подгонка связей между вершинами, добавление и убирание вершин для получения оптимальной сетки.
Подготовка табличного и графического вывода.
Таблица 13-4 показывает порядок операций и служит общей схемой обсуждения. Заметим, что переменные, определенные
Таблица 13.4. Схема программы SPLISH
Инициализация сетки и переменных
(/Четка Q) Определение А/
Основывается на критерии движения сетки tn—tn-x-Vkt
Динамика жидкости:
Рассчитать скорости на полушаге
Вычислить у/л“1/2
Оценить Ntn и Рип
Итерационно найти ху", vtn, Pvn
Рассчитать новые положения хУ"
Применить алгоритм ошибки: гарантировать сохранение массы
Применить алгоритм вращения: гарантировать сохранение циркуляции
Рассчитать новые силы поверхностного натяжения
Обновить РУп
Обновить Ntn
Закрыть цикл, если нет изменений в хУ”, Ntn и Р^
Перестроение сетки:
а. Перестройка связей для оптимального решения уравнения Пуассона б. Итерации для оптимизации сетки
Устранить малые треугольники
Добавить по необходимости вершины
Устранить по необходимости короткие линии
Добавить по необходимости вершины на поверхности раздела
Перестройка связей для оптимального решения уравнения Пуассона
Итерировать до стабилизации сетки
Начать новый шаг по времени (переход на строку с меткой Q в начале текста)
как величины в центре треугольника, иногда назывались треугольными величинами, помеченными индексом t, или вершинными величинами, помеченными индексом и.
Первый этап расчета состоит в определении шага по времени М. В настоящее время М определен с использованием того критерия, что никакая вершина не может проходить через любые противоположные стороны треугольника в конце шага по времени. Это условие рассчитывалось через скорости вершин {vr}. Из-за неявного характера алгоритма мог использоваться шаг по времени, больший, чем определяемый пределом Куранта. Больший шаг по времени был приемлем даже для простых переносных течений, где вершины остаются в тех же самых общих отношениях друг к другу в течение шага и в перестройке сетки нет необходимости.
Второй этап состоит в расчете динамики жидкости. Первая операция — интегрирование скоростей на временной полушаг вперед:
^-Ч» = v?-1 + ^ [V"-^-1-^(V"-1 • V""1)V?-1 + f 1]. (13-4.1)
Здесь f — внешняя сила. Заметим, что оператор V зависит от положений вершин сетки и, следовательно, изменяется на каждом шаге. В расчете VPy для определения полушагового значения скорости vzn-I/2, центрированной в треугольнике, учитывается сила поверхностного натяжения. Взятие градиента от вершинных величин, например Рг, порождает величину (VPr)b центрированную в треугольнике. Обычно ее записывают как VP^ опуская индекс t. Значения новых скоростей и давлений Vtn и Р^ оцениваются следующим образом. На первой итерации устанавливается v<n, равное ¥;п-1/2, а Р^ равное Руп-1, полагается равным давлению в начале шага по времени. Оцененные значения новой скорости и давления, используемые для начала итераций, обозначаются, соответственно, NtWiU и Ptw*n.
В итерационном процессе последовательно определяются улучшенные значения новых положений вершин, скоростей и давлений. Для определения новых положений вершин сначала интерполяцией вычисляется {Vy<°)>n} из значений новых величин, центрированных в треугольнике. Затем рассчитывается центрированная в вершине скорость на полушаге {vv(^’”-I/2} из соотношения
vW^-Vi^l^'^ + v"-1), (13-4.2)
где {v,,”-1} — значения в начале шага по времени. Верхний индекс «6» указывает номер итерации. Новые положения верши-
(13-4.3)(13-4.3)ны рассчитываются из соотношения х^)," = х5”1 +A/v^,,n-1/2.
(13-4.3)
(13-4.3)
Далее применяются алгоритмы погрешности и вращения. Сто- рона треугольника не может оставаться прямой на протяжении одного шага по времени в поле конвективного течения общего вида. Прямые линии в соответствии с положениями вершин, образующих новый треугольник, дают значение массы у вершины, слабо отличающиеся от того, которое могут дать искривленные стороны старых треугольников. Алгоритм погрешности согласует значение вершин таким образом, что новые прямые стороны треугольника дают такие же вершинные массы, какие существуют в реальном течении.
Алгоритм вращения изменяет полушаговые скорости для обеспечения точного сохранения циркуляции потока в численных расчетах. При вращении сетки происходит вращение скоростей в треугольниках. В частности, сохранение циркуляции гарантируется решением
^Х^)-”-1/^^(13-4.4)
где vt^* ^-v2.
Силы поверхностного натяжения используются для расчета новых значений {Py(k)n} из равенства
^№,п.1^№.пр№>.п=2_^, „,'(»). "-1/2.(13-4.5)
В заключение рассчитываются новые значения скоростей из соотношения
v»). п _ yW. "-Vz + 2 ^_ [-V(A). «/>(*>. п_ ^(к), п. ^W, n) V(A-U, п _|_ fj,
(13-4.6)
которое использует в правой части последние оценки новых скоростей.
Глобальные итерации, описанные в пункте 1 в табл. 13-4, продолжаются, пока не исчезнут заметные изменения в вычис- ленных> значениях новых скоростей и давлений от итерации к итерации. Обычно для этого достаточно трех итераций.
Последняя важная часть программы связана с перестройкой треугольной сетки. После расчета динамики жидкости устанавливаются новые связи между вершинами, часть их добавляется или убирается по необходимости для оптимизации локальной структуры сетки. Одна из целей конструкции новой сетки состоит в поддержании равносторонней формы треугольников. В результате при решении уравнения Пуассона возникает матрица
с диагональным преобладанием, что обеспечивает более высокую скорость сходимости. Раздел программы по перестройке сетки также является итерационным и продолжается вплоть до стабилизации сетки.
13-4.2. Поверхностное натяжение
Поверхностное натяжение на поверхности раздела между двумя средами зависит от кривизны поверхности. Обычное математическое представление поверхностного натяжения переводится в конечно-разностную форму подгонкой вершин к материальной границе раздела с использованием параметрической функции. Дифференцирование этой функции дает оценку локальной кривизны. После того как кривизна поверхности раздела определена, рассчитывается сила поверхностного натяжения и используется для ускорения вершин поверхности раздела.
Традиционный рецепт приложения сил к вершинам поверхности раздела не подходит для SPLISH по двум причинам. Во-первых, вершины на поверхности раздела должны быть ускорены силами поверхностного натяжения, рассчитанными непосредственно в вершинах. Так как в SPLISH скорости центрированы в треугольниках, поле скорости отзывается на эти ускорения на полшага позднее, если нс делаются повторные вычисления. В результате давление внутри капли будет не согласовано с давлением, найденным из формулы поверхностного натяжения. Во-вторых, поскольку силы, определяющиеся градиентом давления и поверхностным натяжением, не рассчитываются единообразно, численные несоответствия могут возрастать с каждым временным шагом.
Обе проблемы исключаются, когда в качестве источника сил используется потенциал сил поверхностного натяжения. Сила поверхностного натяжения определена как градиент потенциала, присутствующего только на поверхностях раздела. В таком подходе силы, связанные с градиентом давления, рассчитываются тем же способом и на той же сетке, что и силы, выводимые из потенциала поверхностного натяжения. Следовательно, они оказываются динамически подобными. Скачок давления на поверхности раздела точно уравновешивается силами поверхностного натяжения.
Алгоритмы расчета поверхностного натяжения реализуются непосредственно. Силы поверхностного натяжения учитываются с помощью формулы Лапласа для скачка давления на границе раздела [40]:
p._po = a/Ri (13-4.7\ где Pi — давление «внутри» границы раздела, Ро—давление 39—245
«снаружи» ее, о— коэффициент поверхностного натяжения, связанный с двумя средами, образующими поверхность раздела, /? — радиус кривизны поверхности. Радиус кривизны положителен в точках на границе раздела, где поверхность капли выпуклая (сфера выпукла всюду), и отрицателен, когда поверхность вогнутая. Эти скачки давления учитываются в уравнении Пуассона для давления. Среднее давление (Л+Ро)/2 вычисляется в вершинах поверхности раздела. Из среднего давления и скачка давления в SPLISH рассчитывается градиент давления с центром в треугольниках по обе стороны поверхности. Этот градиент давления используется в уравнении импульса.
Радиус кривизны вычисляется из параметрического кубического сплайна для интерполяции между вершинами межфазной поверхности. Параметрический интерполянт, используемый в SPLISH, генерирует дважды дифференцируемые периодические сплайновые интерполянты r(s) = (x(s), y(s)) [7]. Этот сплайн используется также для перестройки сетки. Когда для реализации алгоритма перестройки сетки необходимо рассечь пополам треугольник, ограничивающий фазовую поверхность между двумя средами, новая вершина добавляется в сплайновый интерполянт между вершинами, а не вдоль прямой стороны треугольника, связывающей их.
13-4.3. Течение внутри и вокруг капель
Расчеты, описанные ниже, взяты из работ Фриттса и др. [17] и Файфа и др. [18]. Алгоритмы для поверхностного натяжения и вязкости, описанные выше, были вначале разработаны для изучения деформации и дробления капель благодаря сдвигу в основном потоке и из-за столкновений между каплями.
Течение около капли
Первая из задач состоит в моделировании несжимаемого невязкого течения около капли, плотность которой лишь вдвое превышает плотность основной жидкости. Процедура построения сетки ставит каплю в центр вычислительной области и позволяет использовать различные разрешения внутри и снаружи капли. Дополнительные подпрограммы вызывают основной поток импульсом давления на левой границе в течение первого» полушага по времени или линейным увеличением скорости течения от нуля, если начальное возмущение вызывает слишком сильный переходной процесс. Для всех более поздних времен граничные условия на левой и правой границах являются периодическими. Граничные условия твердых стенок были зада-
-вяов imdoioM ‘иолиявэ иннчвиэ и вин9жoиdox иивяьох иэнВве и gdHtfsddn Хужэи иэихвжэ онэвяовэХдо эинэьэх 99HH9dxXHg 'О1ИНЭЬЭХ WOH4B9BBBdBH *HHH9BHEdH<BH 9 99 ВВ1ШИВИИЖЭ ‘ИИПВвХя -dHtiad вное BoxgXEBdgo иэвпвя be уинэвэииня ииВвхэ H9HHBd вц ‘ИЯХЭЭ H0H4B0xX9dx И ИВНВЯ ВИ1Ю1ВО96 ВНВЕВЯОП fg-gj 'OHd ВЦ
•MhBVBE rood
-axHsdEX wHHHOH'nBdxoHowaB чтив онвекяэ 9HH9mgdsBd aogXdx ончвэхиэонхо ‘ививя эня ннвекяэ HHHmdga вхох ‘яояинчволХ -adx HHHmd99 оячвох мнвевяои ививя udxXug "Ф2-£1 яоянХэ -nd ей wofld9n вн онвевяоп явя ‘ggg ввэиь ojgtogo ей яояинчволХ
-gdi gg вн 43BBBHHpEBd лнэиои иннчввьвн я ивнвя чхэввдд
•OHBdUBH вяэвэ ВЭКЭЙ!
-Лжияя ‘9Я010П MOHHBHOdHH'nHHH ОНЭЧВХцКИ Я ЧВЭНВЯ XHH09hHd -ВнивиТт woVBd инньэнояээд BH9BHBio‘n'9dn ‘woEBdgo ииявх ‘вьвВ -Bg -ихэввдо ИОНЧВЭХИВЭИЬНЯ xв'пинвdл И9НЖИН И H9HXd9fl вн ни
•хвВнХяээ a Kwada хмваневяЛ nd-фи^ -aoHHH4irojAadx Hnmdaa винэжмгои киваневяХ иепвя adiXae ияьох 'аияэ -ahaSOHdau иинэ1гавЛпвн-х а киаовэЛ anHhHHBdj ’oaBdna BHairaBdnBH винаьэх олоаоноф qiaodoay "[zi] винажихвн ojoaxooHxdaaon w ихэояева виз ииахэхХ» -io ndu ививя донховпояеин BYBUOBd и иипвwdoфa'Ir aHHBaodHBatfow "tS-£l "эи<|•хвВнХяээ a Kwada хмваневяЛ nd-фи^ -aoHHH4irojAadx Hnmdaa винэжмгои киваневяХ иепвя adiXae ияьох 'аияэ -ahaSOHdau иинэ1гавЛпвн-х а киаовэЛ anHhHHBdj ’oaBdna BHairaBdnBH винаьэх олоаоноф qiaodoay "[zi] винажихвн ojoaxooHxdaaon w ихэояева виз ииахэхХ» -io ndu ививя донховпояеин BYBUOBd и иипвwdoфa'Ir aHHBaodHBatfow "tS-£l "эи<|
•хвВнХяээ a Kwada хмваневяЛ nd
-фи^ -aoHHH4irojAadx Hnmdaa винэжмгои киваневяХ иепвя adiXae ияьох 'аияэ -ahaSOHdau иинэ1гавЛпвн-х а киаовэЛ anHhHHBdj ’oaBdna BHairaBdnBH винаьэх олоаоноф qiaodoay "[zi] винажихвн ojoaxooHxdaaon w ихэояева виз ииахэхХ» -io ndu ививя донховпояеин BYBUOBd и иипвwdoфa'Ir aHHBaodHBatfow "tS-£l "эи<|
•хвВнХяээ a Kwada хмваневяЛ nd
-фи^ -aoHHH4irojAadx Hnmdaa винэжмгои киваневяХ иепвя adiXae ияьох 'аияэ -ahaSOHdau иинэ1гавЛпвн-х а киаовэЛ anHhHHBdj ’oaBdna BHairaBdnBH винаьэх олоаоноф qiaodoay "[zi] винажихвн ojoaxooHxdaaon w ихэояева виз ииахэхХ» -io ndu ививя донховпояеин BYBUOBd и иипвwdoфa'Ir aHHBaodHBatfow "tS-£l "эи<|
ео9ео9gHUBHOiair и нэиввп ‘нвоа xHHdBBX иваво^
ео9
ео9
лизуется вокруг вершины и дна капли, а также зоны рециркуляции. Выпуклости, образовавшиеся у вершины и дна деформированной капли, переносятся конвекцией вокруг зоны рециркуляции сдвиговым течением, которое наиболее интенсивно в этих областях. В конце концов, как видно на рисунке, капля вытягивается в тонкий слой, покрывающий зону рециркуляции. Тонкая продолговатая капля затем рассыпается на мелкие части, образующиеся сначала с тыльной части капли, а затем в более ламинарной части потока за фронтом.
Изучение движения отдельных вершин треугольников показывает, что течение является совершенно гладким все время, несмотря на искаженную форму капли. Вычитание среднего течения оставляет большой стационарный двойной вихрь. В сферической геометрии эта зона рециркуляции образует вихревое кольцо, а утоньшающаяся капля покрывает фрагменты кольца в радиальном и азимутальном направлениях.
Очевидной особенностью этих вычислений является отсутствие симметрии относительно центральной линии в поздние моменты времени, даже если начальные условия симметричны. Эта асимметрия следует из комбинации двух свойств алгоритма. Во-первых, это минимальное разрешение, допускаемое вычислениями и определяемое заданием минимальной длины стороны треугольника, которая сохраняется в расчетах. Если сторона треугольника становится короче, он исключается в процедуре перестройки сетки. Во-вторых, перестроение сетки является локальной, а не глобальной операцией. Перестройка в одной точке не зависела от перестройки на некотором расстоянии от нее. В результате эти треугольники добавлялись или удалялись отличающимися способами в различных точках сетки, что ограничивалось только условиями, налагаемыми на сторону треугольника. Перестройка в одном месте вносит изменения во всю сетку. Перестроение в предполагаемых симметричных точках может отличаться в зависимости от порядка операций. Однако асимметрия является менее явной, когда сетка становится более подробной, что свидетельствует о сходимости.
Важной величиной, контролируемой в этих расчетах, является масса капли. Если шаг по времени очень мал или используется неэффективное разрешение, то масса меняется в процессе расчета. Когда погрешность определения массы отклоняется от заданного значения, расчеты становятся несправедливыми и их следует повторить с лучшим разрешением.
Рассмотрим далее вынужденное течение жидкости, представляющее собой быстрый поток воздуха вокруг вначале покоящейся капли керосина. В табл. 13-5 даны физические параметры капли и основного потока. Общее число используемых вершин равно 309, причем 12 из них представляли границу раздела
8201,30,031,8-IO-31,8-IO"5100 и 1200,012520008201,30,031,8-IO-31,8-IO"5100 и 1200,01252000Таблица 13.5. Расчетные параметры капли
820
1,3
0,03
1,8-IO-3
1,8-IO"5
100 и 120
0,0
125
2000
820
1,3
0,03
1,8-IO-3
1,8-IO"5
100 и 120
0,0
125
2000
Плотность керосина, кг/м3
Плотность воздуха, кг/м3 Поверхностное натяжение, Н/м Коэффициент вязкости керосина, Па-с Коэффициент вязкости воздуха, Па-с Скорость воздуха, м/с
Начальная скорость капли, м/с Радиус капли, мкм Число Рейнольдса
капли. Начальное течение являлось стационарным потенциальным течением вокруг периодического ряда цилиндров. Как и в первом примере, граничные условия на боковых границах расчетной области были периодическими, а верхняя и нижняя границы рассматривались как отражающие стенки. Вначале капля является строго сферической и покоится в основном потоке, обеспечивая гладкое начальное поле для расчетов. Такое начало процесса описывает ситуацию, в которой течение быстро ускоряется до своего конечного значения до того, как произойдут заметные изменения в его структуре, и до того, как капля приобретет заметную скорость. Рассматриваются относительно высокоскоростные течения при достаточно высоких числах Рейнольдса. Большая разность плотностей керосина и воздуха делает расчеты более трудными и дорогостоящими, чем расчеты при отношении плотностей 2:1, показанные на рис. 13-24. Из-за того что уравнение Пуассона имеет множитель 1/р в матрице коэффициентов, матричное уравнение хуже обусловлено и требует большего числа итераций при решении.
На рис. 13-25 показана эволюция траекторий вершин для серии расчетов. Траектории строились путем запоминания пяти последних положений каждого вихря и наиболее позднее помечалось звездочкой для указания направления. На рисунке показано внутреннее и внешнее поля течения. На четвертом рисунке при / = 3,5-10-6 с показана пара вихрей, вращающихся в противоположных направлениях, что ясно указывает на развитие зоны рециркуляции. Зона продолжает развиваться в процессе вычислений, хотя иногда пара вихрей не столь очевидна на траекториях из-за удаления или добавления вершин, что нарушает непрерывность траекторий. На последнем рисунке видно, что другая пара вихрей образуется возле капли, а начальная пара слилась.
Деформации на наветренной стороне капли ясно видны на седьмом рисунке. Эти деформации возникают из-за увеличения кривизны, а также вследствие того, что линии тока внешнего течения сгущены присоединенным следом. Внутренние скорос-
О0,1
Рис. 13-25. Траектории течения при обтекании капли керосина с учетом поверхностного натяжения и вязкости [17]. Скорость основного потока равна 120 м/с, число Рейнольдса Re=2000. Цифры вверху рисунков указывают время в секундах.
ти малы по сравнению со скоростями внешнего потока и не могут быть отмечены траекториями. Заметен лишь слабый намек на внутреннюю рециркуляцию, если рассматривать положения вершин в различные моменты времени.
На рис. 13-26 показана сетка во времена расчета, соответствующие показанным на рис. 13-25. В процессе вычислений осуществлялось добавление и удаление значительного числа вершин. Добавление узлов, однако, наиболее заметно в следе капли и вокруг ее фазовой поверхности. В начале вычислений имелось 300 вершин, в конце — 450.
Как показано на рис. 13-26, вычислительная сетка нуждается в дальнейшем увеличении степени разрешения, потому что
Рис. 13-26. Сетка, соответствующая траекториям, показанным на рис. 13-25 [17]. Цифры вверху рисунков указывают время в секундах.
возмущения не могут быть разрешены в пределах, накладываемых на минимальную сторону треугольника, обычно выбираемую в таких вычислениях. О недостаточном разрешении в расчетах свидетельствует то, что гребень на поверхности волны охватывается лишь одним треугольником, что не позволяет установить связь между поверхностью жидкости и внутренней областью капли.
Капля в сдвиговом течении
Важная проблема разбиения на ячейки состоит в том, чтобы установить, как капля разрушается сдвиговыми силами. Для численного эксперимента моделировалась капля в сдвиговом течении. Начальное течение задавалось как vx = {у—yd)G для точек вне капли и их = 0 для точек внутри нее. Параметр уд
Рис. 13-27. Деформация и распад капли керосина в течении с сильным сдвигом. Цифры вверху рисунков указывают время в секундах. (Рисунок любезно предоставлен Д. Е. Файфом.)Рис. 13-27. Деформация и распад капли керосина в течении с сильным сдвигом. Цифры вверху рисунков указывают время в секундах. (Рисунок любезно предоставлен Д. Е. Файфом.)
Рис. 13-27. Деформация и распад капли керосина в течении с сильным сдвигом. Цифры вверху рисунков указывают время в секундах. (Рисунок любезно предоставлен Д. Е. Файфом.)
Рис. 13-27. Деформация и распад капли керосина в течении с сильным сдвигом. Цифры вверху рисунков указывают время в секундах. (Рисунок любезно предоставлен Д. Е. Файфом.)
есть координата центра кашли, G задает величину сдвига. В начальный момент времени //-компонента скорости всюду равна нулю.
Воздействие сдвигового течения на каплю керосина в горячем воздухе представлено на трех рисунках на рис. 13-27 для 6 = 5-103 с-1. Для плотности воздуха использовалось значение 1,3 кг/м3. Относительные физические параметры были теми же, что в табл. 13-5. Капля вначале является круглой, но вскоре становится вытянутой в направлении сдвига и со временем вытягивается все больше. При этом с поверхности большой капли срывались очень малые капельки, однако вследствие их малости они в расчетах не учитывались. На последнем рисунке 13-27 уже заметные небольшие капли отходят от обоих концов вытянутой капли. Иногда кажется, что малые капли движутся
против течения основного сдвигового слоя из-за того, что вверху слева и внизу справа у поверхности большой капли образуется зона рециркуляции.
13-5. Эмпирические правила
, Суммируем некоторые из важных уроков, полученных в результате построения и использования сложных численных моделей для расчета реагирующих течений.
Выбор математической и вычислительной модели
Перед началом работы над вычислительной моделью представьте себе как можно яснее объект, который изучается. Важно поставить научные вопросы таким образом, чтобы на них можно было дать эффективный ответ в численном эксперименте.
Поищите новый подход, если уже существующий подходящий метод требует значительных улучшений.
Детально разберитесь в ограничениях возможностей численного моделирования и используйте эти сведения в своей работе. Здесь имеются в виду ограничения разработанных методов, компьютеров, личных способностей и времени, в течение которого работа должна быть выполнена.
Физическое явление не может моделироваться, если существенные процессы не учитываются в вычислительной модели и не разрешаются в численном эксперименте.
Выбирайте представление, которое позволяет сделать обобщение для будущих приложений. Если модель не может быть адаптирована к более реалистичным граничным условиям или ее невозможно распространить на более высокую размерность, то ее можно считать недостаточно гибкой, даже если она имеет другие преимущества.
Не пытайтесь программировать сложные многофакторные модели реагирующих течений в безразмерных единицах. Безразмерные единицы работают хорошо в малых, идеализированных программах для одного явления. Когда программа, написанная для безразмерных величин, применяется к сложным реагирующим течениям, ошибки неизбежны. Трудно отладить сложную программу, когда все числа, используемые в расчетах, правильные или неправильные, имеют порядок единицы. Анализ размерностей всегда может быть выполнен на размерных результатах. '
Построение модели численного эксперимента
Относительно разрешения следует иметь в виду три правила:
важно и может быть критическим адекватное разрешение в области большого градиента;
параметры не должны изменяться на шаге по времени более, чем на 10...15%;
быстрые, жесткие явления либо следует рассматривать в условиях, близких к динамическому равновесию, в которых прямое и обратное почти уравновешивают друг друга, либо они должны разрешаться на малых временных шагах.
Скромные улучшения точности и разрешения требуют большого увеличения вычислительной мощности. Не надейтесь, что несколько более мощный компьютер существенно изменит воз- • можности вычислений.
Три правила необходимо иметь в виду при построении вычислительных алгоритмов для представления различных процессов в расчетах реагирующих течений:
алгоритмы должны сохранять положительность плотностей массы и энергии, если реальные физические величины положительны. Отрицательные температуры и плотности обычно дают нефизичные результаты в механизмах химических реакций, построенных с учетом положительной определенности этих величин;
алгоритмы, сохраняющие энергию, важны в расчетах / ударных волн и пламен;
алгоритмы конвекции должны минимизировать численную диффузию в нефизичные флуктуации.
Следите за чистотой программы. Убрать ненужные или ошибочные операторы лучше, чем держать их в программе. В противном случае возможны противоречивые результаты и всякий раз при модификации программы напрасно теряется время. Документируйте модель в программе. Не документируйте лишь то, что программа не делает, комментируя неиспользуемые операторы.
Изменяйте модель медленно и систематически, всегда переходя от одной известной ситуации к другой. Тестируйте и проверяйте модификации перед добавкой новых изменений. Сделав .слишком много изменений за один раз, можно потерять значительно больше времени при отладке.
Если программа или модуль устарели, выбрасывайте их и начинайте их разрабатывать заново.
Используйте известные физические свойства как средство контроля численных решений. Такие основные свойства, как симметрия, сохранение, положительность, причинность и обратимость, следует использовать при малейшей возможности.
( 3. Использование моделей численного эксперимента
Суждение об истинности в сложных вычислениях базируется на степени надежности модели и результатов сравнения теоретических и экспериментальных ситуаций, где ответы известны. Затрата времени и усилий окупает себя правильными результатами.
Всегда помогает документирование вычислений непосредственно после их выполнения. Объяснения должны быть достаточно полными для того, чтобы немедленно вспомнить о ваших намерениях и результатах.
Будьте уверены, что шаг по времени достаточно мал, чтобы результаты были приемлемо точны. Практическая устойчивость алгоритмов обычно требует размера шага, в два раза меньшего по сравнению с определяемым самым строгим математическим условием устойчивости для рассматриваемых процессов и взаимодействий.
Наиболее дорогой вычислительный процесс должен также лимитировать точность. Если это не так, стоимость расчетов может быть уменьшена без уменьшения общей точности моделирования путем уменьшения избыточной точности при расчете по наиболее дорогостоящей части алгоритма.
Распечатка результатов расчета реагирующих течений с четырьмя, пятью и даже шестью значащими цифрами обычно вводит в заблуждение, так как основные вводные данные неизвестны даже с 10%-ной точностью.
Десять получасовых расчетов обычно намного ценнее, чем один пятичасовой расчет.
Расчеты обычно занимают приблизительно час на любой вычислительной системе. Это скорее психологический результат, чем следствие ограничения мощности вычислительной техники или эффективности программы. Более короткие расчеты имеют меньшее разрешение или проводятся для меньшего числа шагов по времени. Более продолжительные расчеты задерживают других пользователей и имеют риск • потери большого числа компьютерного времени, если что-нибудь будет неверно.
Расходы на персонал в три-четыре раза больше стоимости вычислений. Это может помочь в определении общей экономической эффективности работы. " .
Всегда есть противоречие между тем, что вы хотите сделать, и тем, что вы можете получить. Для получения лучших результатов необходимо понимать неизбежность компромисса и уважать ограничения модели и вычислительной системы.
Поддерживайте здоровый скептицизм. Ничто не работает, если оно хорошо не проверено, и, вероятно, не заработает даже после этого.
ЛИТЕРАТУРА
К главе 1
Anderssen R. S., de Hoog F. R., The Nature of Numerical Processes, Math. ScL, 8, 115—141, 1983.
Box G. E. P., Hunter W. G., Hunter J. S., Statistics for Experimenters, Wiley,
New York, 1978.<
. Hofstadter D. R., Godel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, Basic Books, New York, 1979.
К главе 2
Brodkey R. S., The Phenomena of Fluid Motions, Addison-Wesley, Reading, MA, 1967.
Carnahan B., Luther H. A., Wilkes J. O., Applied Numerical Methods, Wiley New York, 1969.
Chapman S., Cowling T. G., The Mathematical Theory of Non-Uniform Gases, 3rd Edition, Cambridge University Press, Cambridge 1970. [Имеется перевод: Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов.— М.: ИИ Л, 1960. — 510 с.]
Courant R., Friedrichs К. О., Supersonic Flow and Shock Waves, Interscience, New York, 1948. [Имеется перевод: Курант P., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. — М.: ИИЛ, 1950. — 426 с.]
Courant R., Hilbert D., Methods of Mathematical Physics, Vol. II, Interscience, New York, 1962. [Имеется перевод 1-го изд.: Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, Т. 2. — М. — Л.: Гостехиздат, 1951. —544 с.]
Fickett W., Davis W. С., Detonation, University of California Press, Berkeley, CA, 1979. [Имеется перевод: Гиршфельдер Дж., Кертис Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. — М.: ИИЛ, 1961. — 929 с.]
Hirschfelder J. О., Curtiss С. F., Bird R. В., Molecular Theory of Gases and Liquids, Wiley, New York, 1964.
Hofstadler D. R., Godel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, Basic Books, New York, 1979.
Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. Гидродинамика. — M.: Наука, 1986.— 733 c.
Liepmann H. W., Roshko A., Elements of Gasdynamics, Wiley, New York, 1957. [Имеется перевод: Липман Г. В., Рошко А. Элементы газовой динамики. — М.: ИИЛ, I960. —518 с.]
Mathews J., Walker R. L., Mathematical Methods of Physics, Benjamin, New York, 1965. [Имеется перевод: Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы физики. — М.: Атомиздат, 1972. — 392 с.]
Mihalas D., Mihalas В. W., Foundations of Radiation Hydrodynamics Oxford University Press, New York, 1984.
Reid R. C., Prausnitz J. M., Sherwood T. K-, The Properties of Gases and Liquids, McGraw-Hill, New York, 1977.
Rybicki G. В., Lightman A. P., Radiative Processes in Astrophysics, Wiley, New York, 1979.
Siegel R., Howell J. R., Thermal Radiation Heat Transfer, Hemisphere, Washington, D. C., 1981.
Strehlow R. A., Combustion Fundamentals, McGraw-Hill, New York, 1984.
Williams F. A., Combustion Theory, Benjamin Cummings, Menlo Park, CA, 1985. [Имеется перевод 1-го изд.: Вильямс Ф. А. Теория горения. — М.: Наука, 1971. —615 с.
Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. 2-е изд. — М.: Наука, 1966.— 686 с.
К главе 3
Boris J. Р., Winsor N. К., Vectorized Computation of Reactive Flow, in Parallel Computation, G. Rodrigue (Ed.), pp. 173—215, Academic Press, New York, 1982.
Higgins D. A., Program Design and Construction, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1979.
Hughes С. E., Pfleeger С. P., Rose L. L., Advanced Programming Techniques, Wiley, New York, 1978. [Имеется перевод: Хьюз Ч., Пфигер Ч., Роуз Л» Методы программирования: Курс по основам фортрана. — М.: Мир, 1981.— 331 с.]
Kernighan В. W., Plauger Р. J., Elements of Programming Style, McGraw- Hill, New York, 1974. [Имеется перевод: Керниган Б., Поджер Ф. Элементы стиля программирования. — М.: Радио и связь, 1984.— 158 с.]
Ledgard Н. F., Programming Proverbs for FORTRAN Programmers, Hayden, Rochelle Park, NJ, 1975.
Van Tassel D., Program Style, Design, Efficiency and Debugging and Testing, 2nd, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1978. [Имеется перевод: Ван Tec- сел Д. Стиль, разработка, эффективность, отладка и испытание программ. — М.: Мир, 1985. —332 с.]
К главе 4
Anderson D. A., Tannehill J. С., Pletcher R. Н., Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer, New York, McGraw-Hill, 1984.
Brackbill J. U., Cohen В. I., Multiple Time Scales, New York, Academic Press, 1985.
Oran E. S., Boris J. P., Detailed Modelling of Combustion Systems, Prog» Ener. Comb. Sci., 7, 1—72 (1981).
Potter D., Computational Physics, New York, Wiley, 1973. [Имеется перевод: Поттер Д. Вычислительные методы в физике. — М.: Мир, 1975. — 392 с.]
Roache Р. J., Computational Fluid Dynamics, Albuquerque, NM, Hermosa, 1982. [Имеется перевод: Рруч П. Вычислительная гидродинамика. — М.: Мир, 1980. —616 с.]
Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. — Новосибирск: Наука, 1967.— 195 с.
К главе 5
Babcock Р. D., Stutzman L. F., Brandon D. М., Jr., Improvements in a Single-Step Integration Algorithm, Simulation, 33, 1—10 (1979).
Bader G., Deuflhard P., A Semi-Implicit Mid-Point Rule for Stiff-Systems of Ordinary Differential Equations, Numer. Math., 41, 373—398 (1983).
\Bashforth F., Adams J. C., An Attempt to Test the Theories of Capillary Action by Comparing the Theoretical and Measured Forms of Drops of Fluid. ^Vith an Explanation of the Method of Integration Employed in Constructing the Tables which Give the Theoretical Forms of Such Drops, University Press, Cambridge, 1983.
B^ulch D. L., Drysdale D. D., Horne D. G., Lloyd A. C., Evaluated Kinetic Data for High Temperature Reactions, Butterworth, London, 1972.
Baulch D. L., Duxbury J., Grant S. J., Montague D. C., Evaluated Kinetic Data for High Temperature Reactions, J. Phys. Ghent. Ref. Data, 10, Supplement No. 1 (1981).
Bjurel G., Dahlquist G., Lindberg B., Linde S., Oden L., Survey of Stiff Ordinary Differential Equations, Report NA 70.11, Department of Information Processing, Royal Institute of Technology, Stockholm, 1970.
Boris J. P., Relativistic Plazma Zimulation — Optimization of a Hybrid Code, in: Numerical Simulation of Plazmas, J. P. Boris & R. A. Shanny (eds.), Naval Research Laboratory, Washington, DC, 3—67, 1971.
Bbx G. E. P., Hunter W. G., Hunter J. S., Statistics for Experimenters, Wiley, New York, 1978.
Brandon D. M., Jr., A New Single-Step Implicit Integration Algorithm with А-stability and Improved Accuracy, Simulation, 23, 17—29 (1974).
Bui T. D., Oppenheim A. K., Pratt D. T., Recent Advances in Methods for Numerical Solution of ODE Initial Value Problems, J. Comput. Appl. Math., 11,283—296 (1984).
Bulirsch R., Stoer J., Fehlerabschatzungen und Extrapolation mit rationalen Funktionen bei Verfahren vom Richardson-Typus, Numer. Math., 6, 413— 427 (1964).
Bulirsch R., Stoer J., Numerical Treatment of Ordinary Differential Equations by Extrapolation Methods, Numer. Math., 8, 1—13 (1966).
Buneman 0., Time-Reversible Difference Procedures, /. Comput. Phys., 1, 517—535 (1967).
Burks T. L., Oran E. S., A Computational Study of the Chemical Kinetics of Hydrogen Combustion, NRL Memorandum Report 4446, Naval Research Laboratory, Washington, DC [AD A094384], 1981.
Carnahan B., Luther H. A., Wilkes J. O., Applied Numerical Methods, Wiley, New York, 1969.
Coffee T. P., Heimerl J. M., Kregel M. D., A Numerical Method to Integrate Stiff Systems of Ordinary Differential Equations, Technical Report ARBRL- TR-02206, U. S. Army Ballistic Research Laboratory, Aberdeen, MD. [AD A080988], 1980.
Cooper G. J., The Numerical Solution of Stiff Differential Equations, FEBS Lett., 2, S22—S29 (Supplement) (1969).
Costanza V., Seinfeld J. H., Stochastic Sensitivity Analysis in Chemical Kinetics, J. Chern. Phys., 74, 3852—3858 (1981).
Cryer C. W., A New Class of Highly-Stable Methods: А-Stable Methods, BIT, 13, 153—159 (1973).
Cukier R. I., Fortuin С. M., Shuler К. E., Petschek A. G., Schaibly J. H., Study of the Sensitivity of Coupled Reaction Systems to Uncertainties in Rate Coefficients. I. Theory, J. Chern. Phys., 59, 3873—3878 (1973).
Curtis A. R., Solution of Large, Stiff Initial Value Problems — The State of the Art, in: Numerical Software — Needs and Availability, D. Jacobs (ed.), Academic Press, New York, 257—278, 1978.
Curtis C. F., Hirschfelder J. O., Integration of Stiff Equations, Proc. Nat. Acad. ScL, 38, 235—243 (1952).
Dahlquist G. G., A Special Stability Problem for Linear Multistep Methods, BIT, 3, 27—43 (1963).
Dahlquist G. G., Lindberg B., On Some Implicit One-Step Methods for Stiff
Differential Equations, Technical Report TRITA-NA-7302, Royal Institute of Technology, Stockholm, 1973./
Deuflhard P., Bader G. Nowak U., Larkin — A Software Package for the Numerical Simulation of Large Systems Arising in Chemical Reaction Kinetics, in: Modelling of Chemical Reaction Systems, К- H. Ebert, P. Deufjhard, W. Jager (eds.), Springer-Verlag, New York, 1981.
Deuflhard P., Recent Progress in Extrapolation Methods for Ordinary Differential Equations, SIAM 30th Anniversary Meeting, Stanford, CA, July, 1982.
Dickinson R. P., Gelinas R. J., Sensitivity Analysis of Ordinary Differential Equation Systems. /. Comput. Phys., 21, 123—143 (1976).'
Ehle B. L., On Pade Approximations to the Exponential Function and А-Stable Methods for the Numerical Solution of Initial Value Problems, Research Report No. CSRR 2010, Department of Applied Analysis and Computer Science, University of Waterloo, 1969.
Enright W. H., Hull T. E., Comparing Numerical Methods for the Solution of Stiff System of ODEs Arising in Chemistry, in: Numerical Methods for Differential Systems, L. Lapidus, W. E. Schiesser (eds.), Academic, New York, 45—66, 1976.
Frenklach M., Bornside D. E., Shock-Initiated Ignition in Methane-Propane Mixtures, Combust. Flame, 56, 1—27 (1984).
Frenklach M., Modeling, in: Combustion Chemistry, W. C. Gardner (ed.), Springer-Verlag, New York, 423—453, 1984.
Gear C. W., The Automatic Integration of Stiff Ordinary Differential Equations, in: Information Processing 68, Proceedings of the IFIP Congress, A. J. H. Morrell (ed.), 1968, North-Holland, Amsterdam (Netherlands), 187— 193, 1969.
Gear C. W., Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1971.
Gelinas R. J., Stiff Systems of Kinetics Equations — A Practitioner’s View, L Comput. Phys., 9, 222—236 (1972).
Gelinas R. J., Vajk J. P., Systematic Sensitivity Analysis of Air Quality Simulation Models, Science Applications Inc., Pleasanton, CA. (PB80-112162], 1978.
Gill S., A Process for the Step-by-Step Integration of Differential Equations in an Automatic Digital Computing Machine, Proc. Cambridge Philos. Soc., 47, 96—108 (1951).
Gordon S., McBride B. J., Computer Program for Calculation of Complex Chemical Equilibrium Compositions, Rocket Performance, Incident and Reflected Shocks, and Chapman-Jouguet Detonations, NASA SP-273, National Aeronautics and Space Administration, Washington, DC. [N78-177243], 1976.
Gragg W. B., On Extrapolation Algorithms for Ordinary Initial Value Problems, SIAM J. Numer. Anal., 2, 384—403 (1965).
Hampson R. F., Chemical Kinetic and Photochemical Data Sheets for Atmospheric Reactions, Report No. FAA/EE-80-17, Department of Transportation, Washington, DC [AD H091631], 1980.
\ Hindmarsh A. C., ODEPACK, A Systematized Collection of ODE Solvers^ vin Numerical Methods for Scientific Computation, R. S. Stepleman, ed., North-Holland, New York, 55—64, 1983. См. также Lawrence Livermore National Laboratory Report, UCRL-88007, 1982.
Hindmarsh A. C., GEAR: Ordinary Differential Equation System Solver, LLNL Report UCID-30001, Rev. 3, Lawrence Livermore National Laboratories, Livermore, CA, 1974.
Hindmarsh A. C., Preliminary Documentation of GEARB: Solution of ODE Systems with Block-Iterative Treatment of the Jacobian, LLNL Report
UCID-30149, Lawrence Livermore National Laboratories, Livermore, CA. [UCID-30130], 1976.
Hipdmarsh A. C., Preliminary Documentation of GEARBI: Solution of Implicit Systems of Ordinary Differential Equations with Banded Jacobian,. Lawrence Livermore National Laboratories, Livermore, CA, 1976.
Hindmarsh A. C., GEARB: Solution of Ordinary Differential Equations Having Banded Jacobian, LLNL Report UCID-30059, Rev. 2, Lawrence- Livermore National Laboratories, Livermore, CA, 1977.
Hockney R. W., A Fast Direct Solution of Poisson’s Equation Using Fourier Analysis, /. Ass. Comput. Mach., 12, 95—113 (1965).
Keneshea T. J., A Technique for Solving the General Reaction-Rate Equations- in the Atmosphere, AFCRL-67-0221, Air Force Cambridge Research Laboratories, Hanscom Field, MA. [AD 654010], 1967.
Kramer M. A., Rabitz H., Calo J. M., Kee R. J., Sensitivity Analysis in Chemical Kinetics: Recent Developments and Computational Comparisons, Int. J. Chem. Kin., 16, 559—578 (1984).
Kramer M. A., Kee R. J., Rabitz H., CHEMSEN: A Computer Code for Sensitivity Analysis of Elementary Chemical Reaction Models, Sandia Report SAND-82-8230, Sandia National Laboratories, Albuquerque, NM, 1984.
Lambert J. D., Computational Methods in Ordinary Differential Equations,. Wiley, New York, 1973.
Lambert J. D., Stiffness, in; Computational Techniques for Ordinary Differential Equations, I. Gladwell, D. K- Sayers (eds.), Academic, New York,. 19—46, 1980.
Lindberg В., IMPEX2 — A Procedure for Solution of Systems of Stiff Differential Equations, Technical Report TRITA-NA-7303, Royal Institute of Technology, Stockholm, 1973.
Liniger W., Willoughby R. A., Efficient Integration Methods for Stiff Systems of Ordinary Differential Equations, SIAM J. Num. Anal., 7, 47—66» (1970).
McCalla T. R., Introduction to Numerical Methods and FORTRAN Programming, Wiley, New York, 1967.
McRae G. J., Tilden J. W., Seinfeld J. H., Global Sensitivity Analysis — A Computational Implementation of the Fourier Amplitude Sensitivity Test (FAST), Comp, and, Chem. Eng., 6, 15—25 (1982).
May R., Noye J., The Numerical Solution of Ordinary Differential Equations: Initial Value Problems, in; Computational Techniques for Differential Equations, J. Noye (ed.), North-Holland, New York, 1—94, 1984.
Miller D., Frenklach M., Sensitivity Analysis and Parameter Estimation in Dynamic Modeling of Chemical Kinetics, Int. J. Chem. Kin., 15, 677—696j (1983).
Neville E. H., Iterative Interpolation, J. Ind. Math. Soc., 20, 87—120(1934).
Page M., Oran E., Miller D., Wyatt R., Rabitz H., Waite B., A Comparison of Quantum, Classical and Semiclassical Descriptions of a Model, Collinear^. Inelastic Collision of Two Diatomic Molecules, J. Chem. Phys., 83, 5635— 5646 (1985).
Pratt D. T., Radhakrishnan K., CREK1D: A Computer Code for Transient^ Gas-Phase Combustion Kinetics, NASA Technical Memorandum 83806, National Aeronautics and Space Administration, Washington, DC. [N85-10068/' /3/ХАВ], 1984.
Rabitz H.. Kramer M., Dacol D., Sensitivity Analysis in Chemical Kinetics,. Ann. Rev, Phys. Chem., 34, 419—461 (1983).
Radhakrishnan K-, A Comparison of the Efficiency of Numerical Methods^ for Integrating Chemical Kinetic Rate Equations, Proceedings of the JANAF Propulsion Meeting, New Orleans; см. также NASA Technical Memorandums
83590, National Aeronautics and Space Administration, Washington^ DC. [N85-21162/1/XAB], 1984.
Ralston A., A First Course in Numerical Analysis, McGraw-Hill, New York, 1978.
Seinfeld J. H., Lapidus L., Hwang M., Review of Numerical Integration Techniques for Stiff Ordinary Differential Equations, / & EC Fund., 9, 266— 275 (1970).
Shampine L. F., Watts H. A., Davenport S. M., Solving Nonstiff Ordinary Differential Equations — The State of the Art, SIAM Rev., 18, 376—411 (1976).
Sobol I. M., On the Systematic Search in a Hypercube, SIAM J. Numer. Anal., 16, 790—793 (1979).
Stolarski R. S., Butler D. M., Rundel R. D., Uncertainty Propagation in a Stratospheric Model, 2. Monte Carlo Analysis of Imprecisions due to Reaction Rates, /. Geophys. Res., 83, 3074—3078 (1978).
Stull D. R., Prophet H., JANAF Thermochemical Tables, 2nd ed., National Standard Reference Data Series, U. S. National Bureau of Standards, No. 37, Gaithersburg, MD. Government Printing Office, Washington, DC, 1971.
Tilden J. W., Costanza V., McRae G. J., Seinfeld J. H., Sensitivity Analysis of Chemically Reacting Systems, in: Modelling of Chemical Reaction Systems, К. H. Ebert, P. Deuflhard, W. Jager (eds.), Springer-Verlag, New York, 69—91, 1981.
Warnatz J., Rate Coefficients in the C/H/O System, in: Combustion Chemistry, W. C. Gardiner (ed.), Springer-Verlag, New York, 173—197, 1984.
Westbrook С. K-, Dryer F. L, Chemical Kinetic Modeling of Hydrocarbon Combustion, Prog. Energy Combust. Sci., 10, 1—57 (1984).
Westley F., Tables of Experimental Rate Constants for Chemical Reactions Occurring in Combustion (1971—1977), Report NBSIR-81-2254, National Bureau of Standards, Washington, DC. [PB81-205429], 1981.
Widlund О. B., A Note on Unconditionally Stable Linear Multistep Methods, BIT, 7, 65—70 (1967).
Young T. R., Boris J. P., A Numerical Technique for Solving Stiff Ordinary Differential Equations Associated with the Chemical Kinetics of ReactiveFlow Problems, J. Phys. Chern., 81, 2424—2427 (1977).
Young T. R., CHEMEQ — Subroutine for Solving Stiff Ordinary Differential Equations, NRL Memorandum Report 4091, Naval Research Laboratory, Wash., DC. [AD A083545], 1979.
К главе 6"
Berger M. J., Jameson A., An Adaptive Multigrid Method for the Euler Equations, in: Ninth International Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics, Soubbaramayer, J. P. Boujot (eds.), Springer-Verlag, New York, 92—97, 1985.
Bird G. A., Molecular Gas Dynamics, Clarendon Press, Oxford, 1976.
Bird G. A., Definition of Mean Free Path for Real Gases, Phys. Fluids, 26, 3222—3223 (1983).
Bledjian L., Computation of Time Dependent Laminar Flame Structure, Combust. Flame, 20, 5—17 U973).
Book D., Boris J., Kuhl AC, Oran E., Picone M., Zalesak S., Simulation of Complex Shock Reflection from Wedges in Inert and Reactive Gaseous Mixture, in: Seventh International Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics, W. C. Reynolds, R. W. MacCormack (eds.), Springer-Verlag, New York, 84—90, 1981.
Boris J. P., A Vectorized ‘Nearest-Neighbors’ Algorithm of Order N Using A Monotonic Logical Grid, J. Comp. Phys., 66, 1—20 (1986).
BoHs J. P., Book D. L., Flux-Corrected Transport I: SHASTA — A Fluid Transport Algorithm that Works, J. Comp. Phys., 11, 38—69 (1973).
Brackbill J. U., Numerical MagnetoHydrodynamics for High-Beta Plasmas^ Methods in Compal. Phys., 16, 1—41 (1976).
Carver M. B., The Choice of Algorithms in Automated Method of Lines Solution of Partial Differential Equations, in: Numerical Methods in Differential Equations, L. Lapidus, W. Schiesser (eds.), Academic Press, New York, 243—265, 1976.
Craxton R. S., McCrory R. L., A Simple Rezoning Technique for Use with the Flux-Corrected Transport Algorithm, J. Comp. Phys., 33, 432—449 (1979).
Crowley W. P., FLAG: A Free-Lagrange Method for Numerically Simulating Hydrodynamic Flows in Two Dimensions, in: Second International Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics, M. Holt (ed.), SpringerVerlag, New York, 37—43, 1971.
Crowley W. P., Fritts M. J., Trease H. (eds.), The Free Lagrange Methods Lecture Notes in Physics, Vol. 238, Springer-Verlag, New York, 1985.
DeVore C. R., Gardner J. H., Boris J. P., Mosher D., Hydrodynamic Simulations of Light Ion Beam-Matter Interactions: Ablative Acceleration of Thin Foils, Laser Particle and Beams, 2, 227—243 (1984).
Dwyer H. A., Kee R. J., Sanders B. R., Calculation of a Complex Combustion Wave with Adaptive Grids, Prog. Astro. Aero., 76, 172—183 (1979).
Eiseman P. R., Grid Generation for Fluid Mechanics Computations, Ann. Rev. Fluid Meeh., 17, 487—522 (1985).
Frisch U., Hasslacher B., Pomeau Y., A Lattice Gas Automation for the Navier-Stokes Equation, Phys. Rev. Lett., 56, 1505—1508 (1986).
Fritts M. J., Boris J. P., The Lagrangian Solution of Transient Problems in Hydrodynamics Using a Triangular Mesh, /. Comp. Phys., 31, 173—215 (1979).-
Galant S., An Improved Method of Lines to Compute Time Dependent Laminar Flame Structure, Eighteenth Symposium (International) on Combustion, PP. 1451—1459, The Combustion Institute, Pittsburgh, PA, 1981.
Gelinas R. J., Doss S. K-, Miller K., The Moving Finite Element Method: Applications to General Partial Differential Equations with Multiple Large Gradients, J. Comp. Phys., 40, 202—249 (1981).
Gottlieb D., Orszag S. A., Numerical Analysis of Spectral Methods: Theory and Applications, SIAM, Philadelphia, 1977.
Grinstein F. F., Oran E. S., Boris J. P., Numerical Simulations of Asymmetric Mixing in Planar Shear Flows, J. Fluid Meeh., 165, 201—220 (1986).
Guirguis R., Oran E. S., Kailasanath K., Numerical Simulations of the Cellular Structure of Detonations in Liquid Nitromethane — Regularity of Cell Structure, Combust. Flame, 65, 339—366 (1986).
Harlow F. H., Theory of the Correspondence Between Fluid Dynamics and* Particle-and-Force Models, Report LA-2806, Los Alamos National Laboratory, Los Alamos, NM, 1962.
Hicks J. S., Wei J., Numerical Solution of Parabolic Partial Differential Equations with Two-Point Boundary Conditions by the Methods of Lines, J. Assoc. Comp. Meeh., 14, 549—562 (1967).
Hyman J. M., A Method of Lines Approach to the Numerical Solution of Conservation Laws, LANL Report LA-UR 79—837, Los Alamos National Laboratory, Los Alamos, NM, 1979.
Kailasanath K., Oran E. S., Boris J. P., Young T. R., Time-Dependent Simulation of Flames in Hydrogen-Oxygen-Nitrogen Mixtures, in: Numerical Methods in Laminar Flame Propagation, N. Peters, J. Warnatz (eds.), Friedr. Wieweg, Wiesbaden, West Germany, 152—166, 1982.
Kailasanath K., Oran E. S., Boris J. P., A Theoretical Study of the Ignition of Premixed Gases, Combust. Flame, 47, 173—190 (1982).
Kailasanath К., Oran Е. S., Ignition of Flamelets behind Incident Shock Waves and the Transition to Detonation, Combust. ScL Tech., 34, 345—362 (1983).
Kailasanath K., Oran E. S., Boris J. P., Young R. R., Determination of Detonation Cell Size and the Role of Transverse Waves in Two-Dimensional Detonations, Combust. Flame, 61, 199—209 (1985).
Лисковец О. А. Методы прямых. — Дифференциальные уравнения, 1965, т. 1, с. 1662—1678.
. Lohner R., Morgan К., Zienkiewicz О. С., An Adaptive Finite Element Procedure for Compressible High Speed Flows, Comp. Methods App. Meeh. Eng., 51, 441—465 (1985).
. Lohner R., Morgan K-, Peraire J., Vahdati M., Finite Element Flux-Corrected Transport (FEM-FCT) for the Euler and Navier-Stokes Equations, Int. J. Num. Meth. Fluids, 7, 1093—1109 (1987).
Lohner R., Morgan K., Vahdati M., Boris J. P., Book D. L., FEM-FCT: Combining Unstructured Grids with High Resolution, J. Comp. Phys, (в печати).-
Margolis S. B., Time Dependent Solution of a Premixed Laminar Flame, J. Comp. Phys., 27, 410—427 (1978).
Mihalas D., Winkler K.-H. A., Norman .M. L., Adaptive-Mesh Radiation Hydrodynamics — II. The Radiation and Fluid Equations in Relativistic Flows, J. Quant. Spec. Rad. Trans., 31, 479—490 (1984).
Mitchell A. R., Thomson J. Y., Finite Difference Methods of Solution of the Von Mises Boundary Layer Equation with Special Reference to Conditions Near a Singularity, Z. Angew. Math. Phys., 9, 26—37 (1958).
Oran E. S., Young T. R., Boris J. P., Application of Time-Dependent Numerical Methods to the Description of Reactive Shocks, Seventeenth Symposium (International) on Combustion, The Combustion Institute, Pittsburgh, PA, 43—53, 1978.
Oran E. S., Boris J. P., Theoretical and Computational Approach to Modelling Flame Ignition, Prog. Astro Aero., 76, 154—171 (1981).
Oran E. S., Young T. R., Boris J. P., Cohen A. Weak and Strong Ignition, I. Numerical Simulations of Shock Tube Experiments, Combust. Flame, 48, 135—148 (1982).
Oran E. S., Young T. R., Boris J. P., Picone J. M., Edwards D. H., A Study of Detonation Structure: The Formation of Unreacted Pockets, Nineteenth Symposium (International) on Combustion, The Combustion Institute, Pittsburgh, PA, 573—582, 1982.
Peskin C. S., Numerical Analysis of Blood Flow in the Heart, /. Comp. Phys., 25, 220—252 (1977).
Thompson J. F., Warsi Z. U. A., Mastin C. W., Numerical Grid Generation — Foundations and Applications, Elsevier, Science Publishing Co., New York, 1985.
Winkler K-H. A., Norman M. L., Mihalas D., Adaptive-Mesh Radiation Hydrodynamics — I. The Radiation Transport Equation in a Completely Adaptive Coordinate System, J. Quant. Spec. Rad. Trans., 31, 473—478 (1984).
К главе 7
Chapman S., Cowling T. G., The Mathematical Theory of Nonuniform Gases, Cambridge University Press, Cambridge, 1952. [Имеется перевод: Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. — М/. ИИЛ, I960. —510 с.]
. Dixon-Lewis G., Mechanism of Inhibition of Hydrogen-Air by Hydrogen Bromide and Its Relevance to the General Problem of Flame Inhibition, «Combust. Elame, 36, 1—14 ,(1979).
Dixon-Lewis G., Computer Modeling of Combustion Reactions in Flowing Systems with Transport in; Combustion Chemistry, W. C. Gardiner, Jr. (ed.), Springer-Verlag, New York, 21—126 (1984).
Hirschfelder J. 0., Heat Conductivity in Polyatomic Electronically Excited or Chemically Reacting Mixtures, 6th Symposium (International) on Combustion, The Combustion Institute, Pittsburgh, PA, 351—366, 1957.
Hirschfelder J. O., Heat Transfer in Chemically Reacting Mixtures, L, /. Chem. Phys., 26, 274—282 (1957).
Hirschfelder J. O., Curtiss C. F., Bird R. B., Molecular Theory of Gases and Liquids, Wiley, New York, 1954. {Имеется перевод: Гиршфельдер Дж., Кертис Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. — М.: ИИЛ, 1961. —929 с.]
Jones W. W., Boris J. Р., An Algorithm for Multispecies Diffusion Fluxes, Comp. Chern., 5, 139—146 (1981).
Kailasanath K., Oran E. S., Boris J. P., A One-Dimensional Time-Dependent Model for Flame Initiation, Propagation and Quenching, NRL Memorandum Report No. 4910, Naval Research Laboratory, Washington, DC, 1982.
Klein M., Hanley H. J. M., Smith F. J., Holland P., Tables of Collision Integrals and Second Virial Coefficients for the (m, 6, 8) Intermolecular Potential Function, National Standard Reference Data Series, National Bureau of Standards, No. 47, Gaithersberg, MD, 1974.
Mason E. A., Saxena S. C., Approximate Formula for the Thermal Conductivity of Gas Mixtures, Phys. Fluids, 1, 361—369 (1958).
Mason E. A., Marrero T. R., Gaseous Diffusion Coefficients, J. Phys. Chem. Reference Data, 1, 3—118 (1972).
Picone J. M., Oran E. S., Approximate Equations for Transport Coefficients of Multicomponent Mixtures of Neutral Gases, NRL Memorandum Report No. 4384, Naval Research Laboratory, Washington, DC, 1980.
Svehla R. A., Estimated Viscosities and Thermal Conductivities of Gases at High Temperatures, Technical Report No. R-132, NASA, Washington, DC, 1962.
Wilke C. R., A Viscosity Equation for Gas Mixtures, J. Chem. Phys., 18, 517—519 (1950).
К главе 8
Argyris J. H., Hughes T. J. R., Oden J. T. (eds.), Comp. Math. Appl. Meeh. Eng., 45, 1—362 (1984).
Baer M R., Gross R. J. A Two-Dimensional Flux-Corrected Transport Solver for Convectively Dominated Flows, SAND85-0613, Sandia National Laboratories, Albuquerque, NM, 1986.
Boris J. P., A Fluid Transport Algorithm that Works, in; Computing as a Language of Physics, International Atomic Energy Agency, Vienna, 171— 189, 1971.
Boris J. P., Flux-Corrected Transport Modules for Generalized Continuity Equations, NRL Memorandum Report 3237, Naval Research' Laboratory, Washington, DC, 1976.
Boris J. P., Book D. L., Flux-Corrected Transport I: SHASTA — A Fluid Transport Algorithm that Works, J. Comp. Phys., 11, 38—69 (1973).
Boris J. P., Book D. L., Solution of the Continuity Equation by the Method of Flux-Corrected Transport, Methods in Computational Physics, 16, 85— 129 (1976).
Boris J. P., Gardner J. H., Oran E. S., Guirguis R. H., Patnaik G., LCPFCT— Flux-Corrected Transport for Generalized Continuity Equations, NRL Memorandum Report, Naval Research Laboratory, Washington, DC, 1987.
Chakravarthy S. R., Osher S., A New Class of High Accuracy TVD Schemes for Hyperbolic Conservation Laws, AIAA Paper No. 85-0363, AIAA, New York, 1985.
Chakravarthy S. R., Osher S., Application of a NeXv Class of High Accuracy TVD Schemes to the Navier—Stokes Equations, AIAA Paper No. 85-0165, AIAA, New York, 1985.
Chakravarthy S. R., Harten A., Osher S., Essentially Non-Oscillatory Shock- Capturing Schemes of Arbitrarily-High Accuracy, AIAA Paper No. 86-0399, AIAA 24th Aerospace Sciences Meeting, AIAA, New York, 1986.
Chapman M., FRAM — Nonlinear Damping Algorithms for the Continuity for Gas-Dynamical Simulations, J. Comp. Phys., 44, 84—103 (1981).
Colella P., Woodward P. R., The Piecewise Parabolic Method (PPM) for Gas-Dynamical Simulations, /. Comp. Phys., 54, 174—201 (1984).
Cooley J. W., Tukey J. W., An Algorithm for the Machine Calculation of Complex Fourier Series, Math. Comp., 19, 297—301 (1965).
Cooley J. W., Lewis P. A. W., Welch P. D., The Fast Fourier Transform Algorithm: Programming Considerations in the Calculation of Sine, Cosine and Laplace Transforms, J. Sound Vib., 12, 315—337 (1970).
Courant R., Friedrichs К. O., Lewy H., Uber die partiellen Differenzenglei- chungen der mathematischen Physik, Math. Ann., 100, 32—74 (1928). See translation in IBM Journal, March, 215—234 (1967).
Davis S. F., TVD Finite Difference Schemes and Artificial Viscosity, I CASE Report No. 84-20, NASA, Langley Research Center, Hampton, VA, 1984.
Djomehri M. J., Doss S. K-, Gelinas R. J., Miller K., Applications of the Moving Finite Element Method for Systems in 2-D, J. Comp. Phys, (в печати).
Emery A. F., An Evaluation of Several Differencing Methods for Inviscid Fluid Flow Problems, J. Comp. Phys., 2, 306—331 (1968).
Fletcher C., The Galerkin Method and Burgers* Equation, in: Computational Techniques for Differential Equations, J. Noye (ed.), North Holland, New York, 355—476, 1984.
Forester С. K., Higher Order Monotonic Convective Difference Schemes, J. Comp. Phys., 23, 1—22 (1977).
Gallagher R. H., Carey G. F., Oden J. T., Zienkiewicz О. C. (eds.), Finite Elements in Fluids, New York, Wiley, 1985.
Gelinas R. J., Doss S. K., Miller K., The Moving Finite Element Method: Applications to General Partial Differential Equations with Multiple Large Gradients, J. Comp. Phys., 40, 202—249 (1981).
Gottlieb D., Turkel E., Dissipative Two-Four Methods for Time Dependent Problems, Math. Comp., 30, 703—723 (1976).
Gottlieb D., Orszag S. A., Numerical Analysis of Spectral Methods: Theory and Applications, Philadelphia PA: SIAM, 1977.
Gottlieb D., Hussaini M. Y., Orszag S. A., in: Spectral Methods for Partial Differential Equations, Voigt R. G., Gottlieb D., Hussaini M. Y. (eds.), Philadelphia PA: SIAM, 1—55, 1984.
Годунов С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики. — Матем. сб., М., 1959, 47, с. 271—306.
Harten A., Zwas G., Self-Adjusting Hybrid Schemes for Shock Computations, /. Comp. Phys., 6, 568—583 (1972).
Harten A., The Method of Artificial Compression, CIMS Rept. COO-3077-50, Courant Institute, New York University, New York, 1974.
Harten A., High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws., I. Comp. Phys., 49, p. 357—393 (1983).
Hussaini M. Y., Zang T. A., in: Spectral Methods for Partial Differential Equations, Voigt R. G., Gottlieb D., Hussaini M. Y. (eds.), Philadelphia PA: SIAM, 119—140, 1984.
Kreiss H., Oliger J., Methods for the Approximate Solution of Time Depen-
dent Problems, Global Atmospheric Research Programme (GARP) Publication Series No. 10, World Meteorological Organization and International Council of Scientific Unions, World Meteorological Organization, Geneva, Switzerland, 1973.
Kutler P., Lomax H., The Computation of Supersonic Flow Fields about Wing-Body Combination by ‘Shock Capturing’ Finite Difference Techniques, in: Proceedings of the Second International Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics, Holt M. (ed.), Lecture Notes in Physics, vol. 8, 24—29, New York, Springer-Verlag, 1971.
Lanczos C., Applied Analysis, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1956.
Lax P. D., Wendroff B., Systems of Conservation Laws, Comm. Pure Appt. Math. 13, 217—237 (1960).
Lax P. D., Wendroff B., Difference Schemes for Hyperbolic Equations with High Order of Accuracy, Comm. Pure Appt. Math., 17, 381—398 (1964).
Lohner R., An Adaptive Finite Element Scheme for Transient Problems in CFD, Comp. Meth. Appt. Meeh. Eng., 61, 323—338 (1987).
Lohner R., Morgan K., Vahdati M., Boris J. P., Book D. L., FEM-FCT Combining Unstructured Grids with High Resolution, I. Comp. Phys, (в печати).
Lohner R., Morgan K., Zienkiewicz О. C., An Adaptive Finite Element Procedure for Compressible High Speed Flows, Comp. Meth. Appl. Meeh. Eng., 51, 441—465 (1985).
MacCormack R. W., The Effect of Viscosity in Hypervelocity Impact Cratering, AIAA Paper No. 69-352, New York, AIAA, 1969.
MacCormak R. W., Numerical Solution of the Interaction of a Shock Wave with a Laminar Boundary Layer, in: Proceedings of the Second International Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics, Lecture Notes in Physics, Holt M. (ed.), vol. 8, p. 151—163, New York, Springer-Verlag, 1971.
McDonald В. E., Ambrosiano J., Zalesak S., The Pseudospectral Flux Correction (PSF) Method for Scalar Hyperbolic Problems, in: Proceeding of the Eleventh International Association for Mathematics and Computers in Simulation World Congress, Vichnevetsky R. (ed.), vol. 1. p. 67—70, New Brunswick, NJ, Rutgers University Press, 1985.
Miller K., Miller R., Moving Finite Elements, Part I, SIAM J. of Num. Anal., 18, 1019—1032 (1981).
Orszag S. A., Comparison of Pseudospectral and Spectral Approximations, Stud. App. Math., 51, 253—259 (1972).
Orszag S. A., Spectral Methods for Problems in Complex Geometries, J. Comp. Phys., 37, 70—92 (1980).
Potter D.. Computational Physics, New York, Wiley, 1973. [Имеется перевод: Поттер Д. Вычислительные методы в физике. — М.: Мир, 1975.— 392 с.]
Richtmyer R. D., A Survey of Difference Methods for Nonsteady Fluid Dynamics, NCAR Technical Note 63—2, Boulder, CO, 1963.
Richtmyer R. D., Morton K. W., Difference Methods for Initial-Value Problems, New York, Interscience, 1967. ^Имеется перевод: Рихтмайер P., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач — М.: Мир, 1972.]
Roache Р. J., Computational Fluid Dynamics, Albuquerque, NM, Hermosa Publishers, 1982. [Имеется перевод: Роуч П. Вычислительная гидродинамика.— М.: Мир, 1980.]
Roe Р. L., Approximate Riemann Solvers, Parameter Vectors and Difference Schemes, J. Comp. Phys., 43, 357—372 (1981).
Roe P. L., Some Contributions to the Modelling of Discontinuous Flows, Lectures in Applied Mathematics, 22, 163—193 (1985).
Rood R. B., Numerical Advection Algorithms and their Role in Atmospheric Transport and Chemistry Models, Ree. Geophys., 25, 71—100 (1987).
Strang F., Fix G., An Analysis of the Finite Element Method, Englewood Cliffs, NJ, Prentice-Hall, 1973.
Sweby P. K-, High Resolution Schemes using Flux Limiters for Hyperbolic. Conservation Laws, SIAM J. Numer. Anal., 21, 995—1011 (1984).
Taylor T. D., Myers R. B., Albert J. H., Pseudo-Spectral Calculations of Shock Waves, Rerefaction Waves and Contact Surfaces, Comp. Fluids, 4,. 469—473 (1981).
Temperton C. J., Self-Sorting Mixed-Radix Fast Fourier Transforms, J. Comp.. Phys., 52, 1—23 (1983).
Turkel E., Numerical Methods for Large-Scale Time-Dependent Partial Differential Equations, in: Computational Fluid Dynamics 2, Kollman W. (ed.)„ Washington, DC, Hemisphere Publishing Co., 127—262, 1980.
Van Leer B., Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme. I. The Quest of Monotonicity, in: Lecture Notes in Physics, Cabannes H., Temam R. (eds.), 18, 163—168, Berlin: Springer-Verlag, 1973.
Van Leer B., Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme. V. A Second Order Sequal to Godunov’s Method, J. Comp. Phys., 32, 101— 136 (1979).
Voigt R. G., Gottlieb D., Hussaini M. Y. (eds.), Spectral Methods for Partial Differential Equations, Philadelphia, PA, SIAM, 1984.
Von Neumann J., Richtmyer R. D., A Method for the Numerical Calculation of Hydrodynamic Shocks, J. Appl. Phys., 21, 232—257 (1950).
Woodward P., Colella P., The Numerical Simulation of Two-Dimensional Fluid Flow with Strong Shocks, J. Comp. Phys., 54, 115—173 (1984).
Woodward P., Colella P., The Piecewise Parabolic Method (PPM) for Gas- Dynamical Simulations, I. Comp. Phys., 54, 174—201 (1984).
Yee H. C., Warming R. F., Harten A., Implicit Total Variation Diminishing (TVD) Schemes for Steady-State Calculations, AIAA Paper No. 83-1902^ New York, AIAA, 1983.
Zalesak S. T., Fully Multidimensional Flux-Corrected Transport Algorithms for Fluids, J. Comp. Phys., 31, 335—362 (1979).
Zalesak S. T., Very High Order and Pseudospectral Flux-Corrected Transport (FCT) Algorithms for Conservation Laws, in: Advances in Computer Methods for Partial Differential Equations, Vichnevetsky R„ Stepleman R. S. (eds.), vol. IV, 126—134, International Association for Mathematics and Computers in Simulation (IMACS), Rutgers University, New Brunswick, NJ^ 1981.
Zalesak S. T., A Physical Interpretation of the Richtmyer Two-Step Lax— Wendroff Scheme, and Its Generalization to Higher Spatial Order, in: Advances in Computer Methods for Partial Differential Equations, Vichnevetsky R.. Stepleman R. S. (eds.), vol. V, 491—496. International Association for Mathematics and Computers in Simulation (IMACS), Rutgers Universityr New Brunswick, NJ, 1984.
Zalesak S. T.. A Preliminary Comparison of Modern Shock-Capturing Schemes: Linear Advection, in: Advances in Computer Methods for Partial Differential Equations, VI, Vichnevetsky R., Stepleman R. S. (eds.), IMACS,. Rutgers University, New Brunswick, NJ, 15—22, 1987.
Zienkiewicz О. C., The Finite Element Method, New York, McGraw-Hill; 1977.
Zienkiewicz О. C., Morgan K., Finite Elements and Approximation, New York, Wiley, 1983.
К главе 9_
Amsden A. A., Hirt C. W., YAQUI: An Arbitrary Lagrangian—Eulerian Computer Program for Fluid Flows at All Speeds, Report La-5100, Los Alamos Scientific Laboratory, Los Alamos, NM, 1973.
Anderson D. A., Tannehill J. C., Pletcher R. H., Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer, Washington, DC, Hemisphere Pub. Corp., 1984.
Beam R. M., Warming R. F., An Implicit Factored Scheme for the Compressible Navier—Stokes Equations, AIAA L, 16, 393—401 (1978).
Beam R. M., Warming R. F., An Implicit Finite-Difference Algorithm for Hyperbolic Systems in Conservation-Law Form, J. Comp. Phys., 22, 87— 110 (1976).
Briley W. R., McDonald H., Solution of the Three-Dimensional Compressible Navier—Stokes Equations by an Implicit Technique, in: Proceedings Fourth International Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics, Richt- myer R. D. (ed.), 105—110, New York, Springer-Verlag, 1975.
Briley W. R., McDonald H., Solution of the Multi-Dimensional Compressible Navier—Stokes Equations by a Generalized Implicit Method, J. Comp. Phys., 24, 372—397 (1977).
Briley W. R., McDonald H., On the Structure and Use of Linearized Block Implicit Schemes, J. Comp. Phys., 34, 54—73 (1980).
Butler T. D., O’Rourke J., A Numerical Method for Two-Dimensional Unsteady Reacting Flows, in: Sixteenth Symposium (International) on Combustion, 1503—1515, Pittsburgh, PA, The Combustion Institute, 1976.
Casulli V., Greenspan D., Pressure Method for the Numerical Solution of Transient, Compressible Fluid Flows, Int. J. Num. Methods Fluids, 4, 1001 — 1012 (1984).
Chorin A. J., Random Choice Solution of Hyperbolic Systems, J. Comp. Phys., 22, 517—534 (1976).
Chorin A. J., Random Choice Methods with Applications to Reacting Gas Flows, /. Comp. Phys., 25, 253—273 (1977).
Colella P., Woodward P. R., The Piecewise Parabolic Method (PPM) for Gas-Dynamical Simulations, J. Comp. Phys., 54, 174—201 (1984).
Eidelman S., Local Cell Orientation Method, AIAA J., 24, 530—531 (1986).
Fryxell B. A., Woodward P. R., Colella P., Winkler К -H., An Implicit-Explicit Hybrid Method for Lagrangian Hydrodynamics, J. Comp. Phys., 63, 283— 310 (1986).
Glimm J., Solutions in the Large for Nonlinear Hyperbolic Systems of Equations, Comm. Pure Appl. Math., 18, 697—715 (1965).
Годунов С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики. — Матем. сб., М., 1959, 47, с. 271—ЗП6.
Harten A., Zwas G., Self-Adjusting Hybrid Schemes for Shock*Computations, J. Comp. Phys., 9, 568—583 (1972).
Harten A., Lax P. D., van Leer B., On Upstream Differencing and Godunov- Type Schemes for Hyperbolic Conservation Laws, SIAM Rev., 25, 35—61 (1983).
Harlow F. H., Amsden A. A., A Numerical Fluid Dynamics Method for All Flow Speeds, J. Comp. Phys., 8, 197—214 (1971).
Hirt C. W„ Amsden A. A., Cook J. L., An Arbitrary Lagrangian—Eulerian Computing Method for All Flow Speeds, J. Comp. Phys., 14, 227—254 (1974).
Hoskin N. E., Solution by Characteristics of the Equations of One-Dimensional Unsteady Flow, in: Methods in Computational Physics, Alder B., Fernbach S., Rotenberg M. (eds.), vol. 3, 265—293, New York, Academic Press, 1964. {Имеется перевод: Хоскин H. Э. Метод характеристик для решения уравнений одномерного неустановившегося течения. — Вычислительные методы в гидродинамике. Под ред. Олдера Б., Фернбаха С., Ротенберга М., М., Мир, 1967, с. 264—291.]
Jones W. W., Boris J. Р., Flame and Reactive Jet Studies Using a Self- Consistent Two-Dimensional Hydrocode, J. Phys. Chern., 81, 2532—2534 (1977).
Jones W. W., Boris J. P., FLAME — A Siow-Flow Combustion Model, NRL Memorandum Report 3970, Washington, DC, 1979.
Куликовский А. Г., Любимов Г. А. Магнитная гидродинамика. — M„ Физматгиз, 1962.
Lax Р. D., Wendroff В., Systems of Conservation Laws, Comm. Pure AppL Math., 13, 217—237 (1960).
Lax P. D., Wendroff B., Difference Schemes for Hyperbolic Equations with High Order of Accuracy, Comm. Pure Appt. Math., 17, 381—398 (1964).
Liepmann H. W., Roshko A., Elements of Gasdynamics, New York, Wiley, 1957. [Имеется перевод: Липман Г. В., Рошко А. Элементы газовой динамики.— М.: ИЛЛ, 1960. — 518 с.]
Lindemuth I., Killeen J., Alternating Direction Implicit Techniques for Two Dimensional Magnetohydrodynamics Calculations, /. Comp. Phys., 13, 181— 208 (1973).
Lohner R., Morgan K., Vahdati M., Boris J. P., Book D. L., FEM-FCT: Combining High Resolution with Unstructured Grids, I. Comp. Phys. (в печати).
MacCormack R. W., A Numerical Method for Solving the Equations of Compressible Viscous Flow, AIAA Paper 81-0110, New York,'NY, AIAA, 1981.
McDonald H., Briley W. R., Three-Dimensional Supersonic Flow of a Viscous or Inviscid Gas, J. Comp. Phys., 19, 150—178 (1975).
Moretti G., Abbett M., A Time-Dependent Computational Method for Blunt Body Flows, AIAA L, 4, 2136—2141 (1966).
Mulder W. A., van Leer B., Experiments with Implicit Upwind Methods for the Euler Equations, J. Comp. Phys., 59, 232—246 (1985).
Nittman J., Donor Cell, FCT-SHASTA and Flux Splitting Method: Three Finite Difference Techniques Applied to Astrophysical Shock-Cloud Interactions, in\ Numerical Methods for Fluid Dynamics, Morton K. W., Baines M. J. (eds.), 497—517, New York, Academic Press, 1982.
Obayashi S., Fujii K., Computation of Three-Dimensional Viscous Transonic Flows with the LU Factored Scheme, AIAA 7th Computational Fluid Dynamic Conference, 192—202, New York, AIAA, 1985.'
O’Rourke P. J., Bracco F. V., Two Scaling Transformations for Numerical Computation of Multidimensional Unsteady Laminar Flames, J. Comp. Phys., 33, 185—203 (1979).
Osher S., Numerical Solutions of Singular Perturbation Problems and Hyperbolic Systems of Conservation Laws, in; Mathematical Studies, Axelsson O., Frank L. S., van der Sluis A. (eds.), 47, 179—204, New York, North- Holland, 1981.
Paolucci S., On the Filtering of Sound from the Navier—Stokes Equations, Sandia Report SAND82-8257, Albuquerque, NM, Sandia National Laboratories, 1982.
Patankar S. V., Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Washington, DC, Hemisphere, 1980. [Имеется перевод: Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. — М.: Энергоатомиздат, 1984. — 150 с.]
Patankar S. V., A Calculation Procedure for Two-Dimensional Elliptic Situations, Numer. Heat Transfer, 4, 409—425 (1981).
Patankar S. V., Spalding D. B., A Calculation Procedure for Heat, Mass and Momentum Transfer in Three-Dimensional Parabolic Flows, Int. I. Heat Mass Transfer, 15, 1787—1806 (1972).
Patnaik G., Guirguis R. H., Boris J. P., Oran E. S., A Barley Implicit Correction for Flux-Corrected Transport, J. Compt. Phys., 71, 1—20 (1987).
Potter D., Computational Physics, New York, Wiley, 1973. [Имеется перевод: Поттер Д. Вычислительные методы в физике. — М.: Мир, 1975. — 392 с.]
Ramshaw J. D., Trapp J. A., A Numerical Technique for Low-Speed Homo-
geneous Two-Phase Flow with Sharp Interfaces, J. Comp. Phys., 21, 438— 453 (1976).
Rehm R. G., Baum H. R., The Equations of Motion for Thermally Driven, Buoyant Flows, J. Res. NBS, 83, 297—308 (1978).
Rehm R. C., Baum H. R., Darcy P. D., Buoyant Convection Computed in a Vorticity, Stream-Function Formulation, J. Res. NBS, 87, 165—185 (1982).
Richtmyer R. D., A Survey of Difference Methods for Nonsteady Fluid Dynamics, NCAR Technical Note 63-2, Boulder, CO, 1963.
Richtmyer R. D., Morton K. W., Difference Methods for Initial-Value Problems, New York, Interscience, 1967. ([Имеется перевод: Рихтмайер P„ Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. — М.: Мир, 1972.]
Rivard W. С., Farmer О. A., Butler Т. D., RICE: A Computer Program for Multi-Component Chemically Reactive Flows at All Speeds, Los Alamos Scientific Laboratory Report LA-5812, Los Alamos, NM, Los Alamos Scientific Laboratory, 1975.
Roe P. L., Approximate Riemann Solvers, Parameter Vectors and Difference Schemes, J. Comp. Phys., 43, 357—372 (1981).
Roe P. L., Some Contributions to the Modelling of Discontinuous Flows, Leet. Appt. Math., 22, 163—193 (1985).
Roe P. L., Caracteristic-Based Schemes for the Euler Equations, Ann. Reo. Fluid Meeh., 18, 337—365 (1986).
Sanders R. H., Prendergast К. H., On the Origin of the 3 Kiloparsec Arm, Astro. J., 188, 489—500 (1974).
Sod G. A., A Survey of Several Finite Difference Methods of Systems of Nonlinear Hyperbolic Conservation Laws, J. Comp. Phys., 27, 1—31 (1978).
Steger J. L., Warming R. F., Flux-Vector Splitting of the Inviscid Gas Dynamic Equations with Applications to Finite-Difference Methods, J. Comp. Phys., 40, 263—293 (1981).
Sweby P. K-, High Resolution Schemes Using Flux Limiters for Hyperbolic Conservation Laws, SIAM J. Numer. Anal.. 21, 995—1011 (1984).
van Leer B., Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme. V. A Second-Order Sequel to Godunov’s Method, I. Comp. Phys., 32, 191—136 (1979).
van Leer B., Flux-Vector Splitting for the Euler Equations, in*. Eighth International Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics, Lecture Notes in Physics, Krause E. (ed.), 170, 507—512, New York, Springer-Verlag, 1982.
Warming R. F., Beam R. M., On the Construction and Application of Implicit Factored Schemes for Conservation Laws, Symposium on Computational Fluid Dynamics, SIAM-AMS Proceedings, 11, 89—129, Philadelphia, SIAM, 1977.
Westbrook С. K., A Generalized ICE Method for Chemically Reactive Flows in Combustion Systems, J. Comp. Phys., 29. 67—80 (1978).
Yee H. C., Harten A., Implicit TVD Schemes for Hyperbolic Conservation Laws in Curvilinear Coordinates, AIAA 7th Computational Fluid Dynamics Conference, 228—241, New York, AIAA, 1985.
Yee H. C., Warming R. F., Harten A., Implicit Total Variation Diminishing (TVD) Schemes for Steady-State Calculations, J. Comp. Phys., 57, 327— 360 (1985).
Жмакин А. И., Фурсенко А. А. Об одном классе монотонных разностных схем сквозного счета. — Л.: Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе АН СССР, 1979.
К главе 10
Ashurst W. Т., Barr Р. К., Stochastic Calculation of Laminar Wrinkled Flame Propagation via Vortex Dynamics, Comb. ScL Tech., 34, 227—25S (1983).
Barr P. K., Ashurst W. T., An Interface Scheme for Turbulent Flame Propagation, Sandia Report SAND82-8773, Albuquerque, NM, Sandia National Laboratories, 1984.
Birdsall С. K., Fuss D., Clouds-in-Clouds, Clouds-in-Cells Physics for ManyBody Plasma Simulation, J. Comp. Phys., 3, 494—511 (1969).
Birdsall С. K., Langdon A. B., Plasma Physics via Computer Simulation» New York, McGraw-Hill, 1985.
Boris J. P., ADINC: An Implicit Lagrangian Hydrodynamics Code, NRL Memorandum Report No. 4022, Washington, DC, Naval Research Laboratory» 1979.
Boris J. P., A Vectorized «Near Neighbors» Algorithm of Order N Using a Monotonic Logical Grid, J. Comp. Phys., 66, 1—20 (1986).
Boris J. P., Shanny R. A. (eds.), Proceedings of the Fourth Conference orr Numerical Simulation of Plasmas, Washington, DC, U.S. GPO, 1970.
Buneman 0., Time-Reversible Difference Procedures, J. Comp. Phys., 1, 517—535 (1967).
Chorin A. J., Numerical Study of Slightly Viscous Flow, /. Fluid Meeh., 51y 785—796 (1973).
Chorin A. J., Bernard P. S., Discretization of a Vortex Sheet, with an Example of Roll-up, J. Comp. Phys., 13, 423—429 (1973).
Christiansen J. P., Numerical Simulation of Hydrodynamics by the Method of Point Vortices, J. Comp. Phys., 13, 363—379 (1973).
Cooper A., Pierre J. M„ Turchi P. J., Boris J. P., Burton R. L„ Modeling of LINUS-Type Stabilized Liner Implosions, in*. Megagauss Physics and Technology, Turchi P. J. (ed.), 447—460, New York, Plenum, 1980.
CouSt B., Buneman O., Leonard A., Simulation of Three-Dimensional Incompressible Flows with a Vortex-in-Cell Method, I. Comp. Phys., 39, 305—328 (1981).
Emery M. H., Fritts M. J., Shockley R. C., Lagrangian Simulation of Taylor— Couette Flow, NRL Memorandum Report No. 4569, Washington, DC, Naval Research Laboratory, 1981.
Emery M. H., Bodner S. E., Boris J. P., Colombant D. G., Cooper A. L.» Fritts M. J., Stability and Symmetry in Inertial Confinement Fusion, NRL Memorandum Report No. 4947, Washington, DC, Naval Research Laboratory» 1982.
Evans M. W., Harlow F. H., The Particle-in-Cell Method for Hydrodynamic Calculations, LASL Report No. LA-2139, Los Alamos, NM, Los Alamos National Laboratory, 1957.
Fritts M. J., Boris J. P., The Lagrangian Solution of Transient Problems in Hydrodynamics Using a Triangular Mesh, J. Comp. Phys., 31., 173—2IS (1979).
Fritts M. J., Numerical Approximations on Distorted Lagrangian Grids, in*. Advances in Computer Methods for Partial Differential Equations — III, Vichnevetsky R., Stepleman R. S. (eds.), Proceedings of the Third IMACS International Symposium on Computer Methods for Partial Differential Equations, 137—142, New Brunswick, NJ, IMACS, 1979.
Fritts M. J., Crowley W. P., Trease H. (eds.), The Free-Lagrange Method» New York, Springer-Verlag, 1985.-
Fyfe D. E., Oran E. S., Fritts M. J., Surface Tension and Viscosity with Lagrangian Hydrodynamics on a Triangular Mesh, J. Comp.. Phys, (в печати) .
Ghoneim A. F., Effect of Large Scale Structures on Turbulent Flame Propagation, Comb. Flame, 64, 321—336 (1986).
Hald О. H., Convergence of Vortex Methods for Euler’s Equations, II, SIAM L Numer. Anal., 16, 726—755 (1979).
Hald О. H., Del Prete V. M., Convergence of Vortex Methods for Euler’s Equations, Math. Comput., 32, 791—809 (1978).
Harlow F. H., The Particle-in-Cell Computing Method for Fluid Dynamics^ in: Methods in Computational Physics, Alder B., Fernbach S., Rotenberg M. (eds.), 3, 319—343, New York, Academic Press, 1964. [Имеется перевод: Харлоу Ф. X. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики. — Вычислительные методы в гидродинамике. Под ред. Олдера Б., Фернбаха С., Ротенберга М., М., Мир, 1967, с. 316—342.]
Harlow F. Н., Welch J. F., Numerical Calculation of Time-Dependent Viscous Incompressible Flow of Fluid with Free Surface, Phys. Fluids, 8, 2182— 2189 (1965).
Hockney R. W., A Fast Direct Solution of Poisson’s Equation Using Fourier Analysis, J. Comm. Assoc. Comp. Meeh., 12, 95—113 (1965).
Hockney R. W., Further Computer Experimentation on Anomalous Diffusion, SUIPR Report No. 202, Institute for Plasma Research, Stanford, CS, Stanford University, 1966.
Kailasanath K., Oran E. S., Boris J. P., Young T. R., Time-Dependent Simulation of Flames in Hydrogen-Oxygen-Nitrogen Mixtures, in: Numerical Methods in Laminar Flame Propagation, Peters N., Warnatz J. (eds.), 152— 166, West Germany, Wiesbaden, Friedr., Wieweg; 1982.
Kailasanath K., Oran E. S., Boris J. P., A Theoretical Study of the Ignition of Premixed Gases, Comb. Flame, 47, 173—190 (1982).
Lambrakos S., Boris J. P.. Geometric Properties of the Monotonic Lagrangian Grid Algorithm for Near Neighbors Calculations', J. Comp. Phys., 73, 183— 202 (1987).
Langdon A. B., Lasinski B. J., Electromagnetic and Relativistic PlasmaSimulation Models, in: Methods in Computational Physics, Alder B., Fernbach S., Killeen J. (eds.), 16, 327—366, New York, Academic Press, 1976.
Leonard A., Vortex Methods for Flow Simulation, J. Comp. Phys., 37, 389— 395 (1980).
Leonard A., Computing Three-Dimensional Incompressible Flows with Vortex Elements, Ann. Rev. Fluid Meeh., 17, 523—559 (1985).
Marder В. M., GAP — A PIC-Type Fluid Code, Math. Comp., 24, 434—436^ (1975).
Miner E. W., Fritts M. J., Griffin О. M., Ramberg S. E., Free Surface Wave Motions and Interactions, Int. J. Num. Meth. Fluids, 3, 399—424 (1983).
Rosenhead L., The Formation of Vortices from a Surface of Discontinuity,. Proc. Roy. Soc. London, A134, 170—192 (1931).
Zabusky N. J., Hughes M. H., Roberts К. V., Contour Dynamics for the- Euler Equations in Two Dimensions, J. Comp. Phys., 30, 96—106 (1979).
К главе 11
Adams L. M., Jordan H. F., Is SOR Color-Blind?, ICASE Report No. 84-14, Hampton, VA, NASA Langley Research Cbnter, 1984.
Amsden A. A., The Particle-in-Cell Method for the Calculation of the Dynamics of Compressible Fluids, LA-3466, Eos Alamos, NM, Los Alamos Scientific Laboratory, 1966.
Anderson D. A., Tannehill J. C, Pletcher R. H., Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer, Washington, DC, Hemisphere Pub. Corp., 1984.
Bank R. E., Dupont T., An Optimal" Order Process for Solving Elliptic Finite; Element Equations, Math. Comp., 36, 35—51 (1981).
Barr Р. К., Ashurst W. Т., An Interface Scheme for Turbulent Flame Propagation, SAND82-8773, Livermore, CA, Sandia National Laboratory, 1984.
Bayliss A., Turkel E., Far Field Boundary Conditions for Compressible Flows, In: Numerical Boundary Condition Procedures, Kutler P. (ed.), NASA Conference Publication 2201, Moffett Field, CA, NASA Ames Research Center, 1982.■
Beam R. M., Warming R. F., An Implicit Finite-Difference Algorithm for Hyperbolic Systems in Conservation-Law Form, /. Comp. Phys., 22, 87— . 110 (1976).
Beam R. M., Warming R. F., An Implicit Scheme for the Compressible Navier—Stokes Equations, AIAA I., 16, 393—402 (1978).
Birdsall С. K., Langdon A. B., Plasma Physics via Computer Simulation, New York, McGraw-Hill, 1985.
Boris J. P., Vectorized Tridiagonal Solvers, NRL Memorandum Report No. 3408, Washington, DC, Naval Research Laboratory, 1976.
Boris J. P., Roberts К. V., The Optimization of Particle Calculations in Two and Three Dimensions, J. Comp. Phys., 4, 552—571 (1969).
Brandt A., Multi-Level Adaptive Solutions to Boundary-Value Problems, Math. Comp., 31, 333—390 (1977).
Brandt A., Multigrid Solvers on Parallel Computers, in: Elliptic Problem Solvers, Shultz M. H. (ed.), 39—83, New York, Academic Press, 1981.
Briley W. R., McDonald H., Solution of the Three-Dimensional Compressible Navier—Stokes Equations by an Implicit Technique, in: Proceedings Fourth International Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics, Richt- myer R. D. (ed.), 105—110, Uew York, Springer-Verlag, 1975.
Briley W. R., McDonald H., Solution of the Multi-Dimensional Compressible Navier—Stokes Equations by a Generalized Implicit Method, J. Comp. Phys., 24, 372—397 (1977).
Briley W. R., McDonald H., On the Structure and Use of Linearized Block 'Implicit Schemes, J. Comp. Phys., 34, 54—73 (1980).
Buneman O., A Compact Non-Iterative Poisson Solver, Stanford University Institute for Plasma Research, Report No. 294, Palo Alto, CA, Stanford University, 1969.
Chern I.-L., Glimm J., McBryan O., Plohr B., Yaniv S., Front Tracking for Gas Dynamics, I. Comp. Phys., 62, 83—110 (1986).
Chorin A. J., Flame Advection and Propagation Algorithms, J. Comp. Phys., 35, 1—11 (1980).
Chorin A. J., Curvature and Solidification, /. Comp. Phys., 58, 472—490 (1985).
DeVore C. R., Vectorization and Implementation of an Efficient Multigrid Algorithm for the Solution of Elliptic Partial Differential Equations, NRL Memorandum Report No. 5504, Washington, DC, Naval Research Laboratory, 1984.
Douglas С. C., Multi-Grid Algorithms with Applications to Elliptic Boundary-Value Problems, SIAM J. Numer. Anal., 21, 236—254 (1984).
Douglas С. C., Multi-Grid Algorithms for Elliptic Boundary-Value Problems, Yale University Technical Report No. 223, New Haven, CT, Yale University, 1982.
Emery M. H., Gardner J. H., Boris J. P., Nonlinear Aspects of Hydrodynamic Instabilities in Laser Ablation, Appl. Phys. Lett., 41, 808—810 (1982).
Engquist B., Majda A., Absorbing Boundary Conditions for the Numerical Simulation of Waves, Math. Comp., 31, 629—651 (1977).
Engquist B., Majda A., Radiation Boundary Conditions for Acoustic and Elastic Wave Calculations, Comm. Pure Appl. Math., 32, 312—358 (1979).
Федоренко P. П. Релаксационный метод решения разностных эллиптических уравнений. — Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1961, 1, с. 922— 927.
Ghoniem A. F., Chorin A. J., Oppenheim A. K., Numerical Modeling of Turbulent Combustion in Premixed Gases, Eighteenth Symposium (International) on Combustion, 1375—1383, Pittsburgh, PA, The Combustion Institute, 1981.
Ghoniem A. F., Chen D. Y., Oppenheim A. K., Formation and Inflammation of a Turbulent Jet, AIAA J., 24, 224—229 (1986).
Glimm J., Lindquist B., McBryan O., Plohr B., Yaniv S., Front Tracking for Petroleum Reservoir Simulation, Proceedings of the Seventh SPE Symposium on Petroleum Reservoir Simulation, SPE-12238, p. 41—49, Dallas, TX, Society of Petroleum Engineers, 1983.
Grinstein F. F., Oran E. S., Boris J. F., Numerical Simulations of Asymmetric Mixing in Planar Shear Flows, J. Fluid, Meeh., 165, 201—220 (1986).
Grosch С. E., Orszag S. A., Numerical Solution of Problems in Unbounded Regions: Coordinate Transformations, J. Comp. Phys., 25, 273—295 (1977).
Guirguis R., Oran E. S., Kailasanath K., Numerical Simulations of the Cellular Structure of Detonations in Liquid Nitromethane—Regularity of the Cell Structure, Comb. Flame, 65, 339—365 (1986).
Gustafsson B., Kreiss H.-О., Boundary Conditions for Time Dependent Problems with an Artificial Boundary, I. Comp. Phys., 30, 333—351 (1979).
Hackbusch W., Trottenberg U. (eds.), Multigrid Methods, Lecture Notes in Mathematics, Nr. 960, New York, Springer-Verlag, 1983.
Harlow F. H., A Machine Calculation Method for Hydrodynamic Problems, LAMS-1956, Los Alamos, NM, Los Alamos Scientific Laboratory, 1955.
Harlow F. H., Welch J. F., Numerical Calculation of Time-Dependent Viscous Incompressible Flow of Fluid with Free Surface, Phys. Fluids, 8, 2182—2189 (1965).
Hirt C. W., Nichols B. D., Volume of Fluid (VOF) Method for the Dynamics of Free Boundaries, J. Comp. Phys., 39, 201—225 (1981).
Hockney R. W., The Potential Calculation and Some Applications, in*. Methods' in Computational Physics, Alder B., Fernbach S., Rotenberg M. (eds.), 9, 135—211, New York, Academic Press, 1970.
Hockney R. W., Eastwood J. W., Computer Simulation Using Particles, New York, McGraw-Hill, 1981.
Hyman J. M., Numerical Methods for Tracking Interfaces, Physica 12D; 396—407 (1984).
Hyman J. M., A Method of Lines Approach to the Numerical Solution of Conservation Laws, in*. Third IMACS International Symposium on Computer Methods for Partial Differential Equations, Vichnevetski R., Stepleman R. S. (eds.), 313—321, New Brunswick, NJ, IMACS, Rutgers University, 1979.
Kershaw D. S., The Incomplete Cholesky — Conjugate Gradient Method for the Solution of Systems of Linear Equations, J. Comp. Phys., 26, 43—65 (1978).
Kutler P. (ed.), Numerical Boundary Condition Procedures, NASA Conference Publication 2201, Moffett Field, CA, NASA Ames Research Center, 1982.
Laskey K. J., Oran E. S., Boris J. P., Approaches to Resolving and Tracking Interfaces and Discontinuities, NRL Memorandum Report No. 5999, Washington, DC, Naval Research Laboratory, 1987.
Laskey K. J., Oran E. S., Boris J. P., The Gradient Method for Interfacing Tracking, /. Comp. Phys, (в печати).
Lindemuth I., Killeen J., Alternating Direction Implicit Techniques for Two- Dimensional Magnetohydrodynamic Calculations, J. Comp. Phys., 13, 181 — 208 (1973).
Madala R. V., An Efficient Direct Solver for Separable and Non-Separable Elliptic Equations, Monthly Weather Rev., 106, 1735—1741 (1978).
McDonald H., Combustion Modelling in Two and Three Dimensions: Some Numerical Considerations, Prog. Energy Comb., Set., 5, 97—122 (1979).
McDonald Н., Briley W. R., Three-Dimensional Supersonic Flow of a Viscous or Inviscis Gas, J. Comp. Phys., 19, 150—178 (1975).
Meijerink J. A., van der Vorst H. A., An Iterative Solution Method for Linear Systems of wich the Coefficient Matrix is a Symmetric M-Matrix, Math. Comp., 31, 148—162 (1977).
Noh W. F., Woodward P., SLIC (Simple Line Interface Method), Proceedings of the Fifth International Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics, in; Lecture Notes in Physics, van de Vooren A. I., Zandbergen P. J. (eds.), 59, 330—340, New York, Springer-Verlag, 1976.
Noh W. F., CEL: A Time-Dependent, Two-Space-Dimensional, Coupled Eulerian—Lagrange Code, in; Methods in Computational Physics, Alder B., Fern- bach S., Rotenberg M. (eds.), 3, 117—179, New York, Academic Press, 1964. [Имеется перевод: Hox В. Ф. СЭЛ — совместный эйлерово-лагранжев метод для расчета нестационарных двумерных задач. — Вычислительные методы в гидродинамике. Под ред. Олдера Б., Фернбаха С., Ротенберга М., М., Мир, 1967, с. 128—184.]
Oliger J., Sundstrom A., Theoretical and Practical Aspects of Some Initial Boundary Value Problems in Fluid Dynamics, SIAM J. Appt. Math., 35, 419—446 (1978).
Oran E. S., Boris J. P., Theoretical and Computational Approach to Modeling Flame Ignition, in; Combustion in Reactive Systems, Bowen J. R., Manson N., Oppenheim A. K., Soloukhin R. I. (eds.), 76, 154—171, Progress in Astronautics and Aeronautics, New York, AIAA, 1981.
Potter D., Computational Physics, New York, Wiley, 1973.
Pulliam T. H., Characteristic Boundary Conditions for the Euler Equations, in; Numerical Boundary Condition Procedures, Kutler P. (ed.), NASA Conference Publications 2201, Moffett Field, CA, NASA Ames Research Center, 1982
Ramshaw J. D., Dukowicz J. K., APACHE: A Generalized-Mesh Eulerian Computer Code for Multicomponent Chemically Reactive Flows, Report LA-7427, Los Alamos, NM, Los Alamos Scientific Laboratory, 1979.
-59. Richtmyer R. D., Morton K. W., Difference Methods for Initial-Value Problems, New York, Interscience, 1967. [Имеется перевод: Рихтмайер P., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. — М.: Мир, 1972.]
<60. Roache Р. J., Computational Fluid Dynamics, Albuquerque, NM, Hermosa Publishers, 1982. [Имеется перевод: Роуч П. Вычислительная гидродинамика.— М.: Мир, 1980.]
Sethian J., Turbulent Combustion in Open and Closed Vessels, J. Comp Phys., 54, 425—452 (1984).
Turkel E., Numerical Method for Large-Scale Time-Dependent Partial Differential Equations, in; Computational Fluid Dynamics, Kollman W. (ed.), 2, 127—262, Washington, DC, Hemisphere, 1980.
Varga R. S., Matrix Iterative Analysis, Englewood Cliffs, NJ, Prentice-Hall, 1962.
Welch J. E., Harlow F. H., Shannon J. P., Daly B. J., The MAC Method A Computing Technique for Solving Viscous, Incompressible, Transient Fluid Flow Problems Involving Free Surfaces, LA-3425, Los Alamos, NM, Los Alamos Scientific'Laboratory, 1966.
*55. Yee H. C., Numerical Approximation of Boundary Conditions with Applications to Inviscid Equations of Gas Dynamics, NASA Technical Memorandum 81265, Moffett Field, CA, NASA Ames Research Center, 1981.
К главе 12
Acton E., The Modelling of Large Eddies in a Two-Dimensional Shear Layer, J. Fluid Meeh., 76, 561—592 (1976).
Alper E. (ed;), Mass Transfer with .Chemical Reaction in Multiphase Sys-
terns, Volumes I and II, NATO ASI Series E, Applied Sciences, No. 72 and 73, Nijhoff, Boston, 1983.
Aref H., Siggia E. D., Vortex Dynamics of the Two-Dimensional Turbulent Shear Layer, J. Fluid Meeh., 100, 705—737 (1980).
Ashurst W. T., Numerical Simulation of Turbulent Mixing Layers via Vortex Dynamics, in; Turbulent Shear Flows I, F. Durst, В. E. Launder, F. W. Schmit, J, H. Whitelaw (eds.), Springer-Verlag, New York, 402—413, 1979.
Baer M. R., Nunziato J. W., A Two-Phase Mixture Theory for the Deflagration to Detonation Transition (DDT) in Reactiv Granular Materials, Int. J. Multiphase Flow, 12(6), 861—889 (1986).
Baer M. R., Gross R. J., Nunziato J. W., Igel E. A., An Experimental and Theoretical Study of Deflagration-to-Detonation Transition (DDT) in the Granular Explosive, CP, Comb. Flame, 65, 15—30 (1986).
Baer M. R., Brenner R. E., Gross R. J., Nunziato J. W., Modeling and Computation of Deflagration-to-Detonation Transition (DDT) in Reactive Granular Materials, Leet. Appl. Math. 24, 479—498 (1986).
Bernecker R., Sandusky H., Clairmont A., Jr., Deflagration-to-Detonation Studies of Porous Charges in Plastic Tubes, Proceedings of the Seventh Symposium (International) on Detonation, pp. 119—138, Report No. NSWC-MP-82-334, Naval Surface Weapons Center, Silver Spring, MD, (AD-A126 667), 1981.
Chen D. Y., Yang V., Kuo К. K., Boundary Condition Specification for Mobile Granular Propellant Bed Combustion Processes, AIAA J., 19, 1429— 1437 (1981).
Couet B., Leonard A., Mixing Layer Simulation by an Improved ThreeDimensional Vortex-in-Cell Algorithm, in; Proceedings of the Seventh International Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics, W. C. Reynolds, R. W. MacCormack (eds.), Springer-Verlag, New York, 125—131, 1981.
Davis R. W., Moore E. F., A Numerical Study of Vortex Merging in Mixing Layers, Phys. Fluids, 28, 1626—1635 (1985).
Deardorff J. W., A Numerical Study of Three-Dipensional Turbulent Channel Flow at Large Reynolds Numbers, J. Fluid Meeh., 41, 453—480 (1970).
Dwoyer D. L., Hussaini M. Y., Voight R. G. (eds.), Theoretical Approaches to Turbulence, Springer, New York, 1985.
Eddington A. S., The Internal Constitution of the Stars, Dover, New York, 1959.
Faeth G. M., Evaporation and Combustion of Sprays, Prog. Energy Comb. Sei., 9, 1—76 (1983).
Ferziger J. H., Large-Eddy Numerical Simulations of Turbulent Flows, AIAA J., 15, 1261—1267 (1977).
Ferziger J. H., Higher-Level Simulations of Turbulent Flows, Report No. TF-16, Department of Mechanical Engineering, Stanford University, Palo Alto, CA, 1981.
Ferziger J. H., Simulation of Incompressible Turbulent Flows, J. Comp. Phys., 69, 1—48 (1987).
Fox D. G., Lilly D. K., Numerical Simulation of Turbulent Flows, Reu. Geophys. Space Phys., 10, 51—72 (1972).
Fyfe D. E., Oran E. S., Fritts M. E., Surface Tension and Viscosity with Lagrangian Hydrodynamics on a Triangular Mesh, /. Comp. Phys, (в печати).
Gardner J. H., Bodner S. E., High-Efficiency Targets for High-Gain Inertial Confinement Fusion, Phys. Fluids, 29, 2672—2678 (1986).
Gatski T. B., Liu J. T. C., On the Interaction between Large-Scale Structure and Fine-Grained Turbulence in a Free Shear Flow, III, A Numerical Solution, Philos. Trans. R. Soc. London, A 293, 473—509 (1980).
Shoniem A. F., Chorin A. J., Oppenheim A. K., Numerical Modeling of Turbulent Combustion in Premixed Gases, 18th Symposium (International) on Combustion, The Combustion Institute, Pittsburgh, PA, 1375—1383, 1981.
Ghoniem A. F., Chen D. Y., Oppenheim A. K., Formation and Inflammation of a Turbulent Jet, AIAA J., 24, 224—229 (1986).
Ghoniem A. F., Ng К. K., Effect of Harmonic Modulation on Rates of Entrainment in a Confined Shear Layer, AIAA Paper AIAA-86-0056, AIAA, NY, 1986.
Ghoniem A. F., Ng К. K-, Numerical Study of the Dynamics of Forced Shear Layer, Phys. Fluids, 30, 706—721 (1987).
Givi P., Jou W.-H., Metcalfe R. W., Flame Extinction in a Temporally Developing Mixing Layer, Proceedings of the 21st Symposium (International) on Combustion, The Combustion Institute, Pittsburgh, PA, 1987.
Gouldin F. C., An Application of Fractals to Modeling Premixed Turbulent Flames, Proceedings of the 21st Symposium (International) on Combustion,. The Combustion Institute, Pittsburgh, PA, 1987.
Griffiths N., Groocock J. M., Burning to Detonation of Solid Explosives, J. Chern. Soc. London, 814, 4154—4162 (1960).
Grinstein F. F., Oran E. S., Boris J. P., Numerical Simulations of Asymmetric Mixing in Planar Shear Flows, J. Fluid Meeh., 165, 201—220 (1986).
Gross R. J., Baer M. R., A Study of Numerical Solution Methods for Two- Phase Flowe, SAND-84-1633, Sandia National Laboratories, Albuquerque, NM (DE86012265/XAB), (1986).
Herring J. R., Statistical Turbulence Theory and Turbulence Phenomenology, Proceedings of the Langley Working Conference on Free Turbulent Shear Flows, NASA SP 321, Langley Research Center, VA, 41—66, 1973.
Herring J. R., Subgrid Scale Modeling — An Introduction and Overview, in: Turbulent Shear Flows, F. Durst, В. E. Launder, F. W. Schmit, J. H. Whitelaw (eds.), Springer-Verlag, New York, 347—352, 1979.
Herring J. R., An Introduction and Overview of Various Theoretical Approaches to Turbulence, in: Theoretical Approaches to Turbulence, D. Dwoyer, M. Hussaini, R. Voigt (eds.), Springer, New York, 73—90, 1985.
Hyman J. M., A Method of Lines Approach to the Numerical Solution of Conservation Laws, Los Alamos Report 79-837, Los Alamos National Laboratories, Los Alamos, NM (La-UR-79-837), 1979.
Ishii M., Thermo-Fluid Dynamic Theory of Two-Phase Flows, Eyrolles, Paris, 1975.
Jones W. P., Whitelaw J. H., Calculation Methods for Reacting Turbulent Flows: A Review, Comb. Flame, 48, 1—26 (1982).
Kailasanath K., Gardner J., Boris J., Oran E., Acoustic-Vortex Interactions in an Idealized Ramjet Combustor, Proceedings of the 22nd JANNAF Combustion Meeting, Chemical Propulsion Information Agency, John Hopkins University, Applied Physics Laboratory, Laurel, MD, 1986.
Kalkofen W. (ed.), Methods in Radiative Transfer, Cambridge University Press, Cambridge, New York, 1984.
Khalil E. E., Modelling of Furnaces and Combustors, Abacus Press, Kent, 1982.
Knight D. D., Murray В. T., Theoretical Investigation of Interaction and Coalescence of Large Scale Structures in the Turnbulent Mixing Layer, in: The Role of Coherent Structures in Modelling Turbulence and Mixing, J. Jininez (ed.), 62—91, Springer-Verlag, New York, 1980.
Kuo К. K., Principles of Combustion, Wiley, New York, 1986.
Kuo К. K., Koo J. H., Davis T. R., Coates G. R., Transient Combustion in Gas-Permeable Propellants, Acta Astro., 3, 573—591 (1976).
Kwak D., Reynolds W. C., Ferziger J. H., Three-Diamensional Time-Depen dent Computation of Turbulent Flow, Report No. SU-TF-5, Department of
Mechanical Engineering, Stanford University, Palo Alto, CA (NASA-CR- 143347) (N75-30477/4), 1975.
Law С. K„ Recent Advances in Droplet Vaporization and Combustion, Prog. Ener. Comb. Sci., 8, 171—202 (1982).
Leonard A., Energy Cascade in Large-Eddy Simulations of Turbulent Fluid Flows, Advances in Geophysics, 18A, 237—248, 1974.
Libby P. A., Williams F. A. (esd.), Turbulent Reacting Flows, Springer-Ver- lag, New York, 1980.
Libby P. A., Williams F. A., Some Implications of Recent Theoretical Studies in Turbulent Combustion, AIAA L, 19, 261—274 (1981).
Lilly D. K., On the Application of the Eddy Viscosity Concept in the Inertial Subrange of Turbulence, NCAR Manuscript 123, National Center for Atmospheric Research, Boulder, CO, 1966.
Mandelbrot В. B., The Fractal Geometry of Nature, Freeman, San Francisco, 1983.
Mansour N. N., Ferziger J. H., Reynolds W. C., Large-Eddy Simulation of a Turbulent Mixing Layer, Report TF-11, Department of Mechanical Engineering, Stanford University, Stanford, CA (NASA-CR-156575) (N78- 22027/4), 1978.
Metcalfe R. W., Orszag S. A., Brached В. E., Riley J. R., Secondary Instability of a Temporally Growing Mixing Layer, I. Fluid Meeh., 184, 207—243, 1987.
McComb W. D., Renormalization Group Methods Applied to the Numerical Simulation of Fluid Turbulence, in: Theoretical Approaches to Turbulence, D. L. Dwoyer, M. Y. Hussaini, R. G. Voight (eds.), Springer, New York, 187—208, 1985.
McMurtry P. A., Jou W.-H., Riley J. J., Metcalfe R. W., Effects of Heat Release on the Large-scale Structure in Turbulent Mixing Layers, /. Fluid Meeh., 199, 297—332 (1989).
Mihalas D., Mihalas B. W., Foundations of Radiation Hydrodynamics, Oxford University Press, New York, 1984.
Milne F. A., Thermodynamics of the Stars, Handbuch der Astrophysik, 3, 65—255, Springer, Berlin, 1930.
Moin P., Kim J., Numerical Investigation of Turbulent Channel Flow, /. Fluid Meeh., 118, 341—377 (1982).
O’Brien E. E., The Probability Density Function (pdf) Approach to Reacting Turbulent Flows, in: Turbulent Reacting Flows, P. A. Libby, F. A. Williams (eds.), Springer-Verlag, New York, 185—218, 1980.
Ohlemiller J. T., Modelling of Smoldering Combustion Propagation, Prog. Energy Comb. Sci., 11, 277—310 (1985). Also U. S. National Bureau of Standards Report NBSIR-84/2895, (PB84-236389), 1984.
Ozisik M. N., Radiative Transfer and Interactions with Conduction and Convection, Wiley, New York, 1973.
Patnaik G., A Numerical (Solution of Droplet Vaporization with Convection, Ph. D. Thesis, Carnegie-Mellon University, Pittsburgh, PA, University Microfilm, Ann Arbor, MI (AAD86-16517), 1986.
Patnaik G., Sirignano W. A., Dwyer H. A., Sanders B. R., A Numerical Technique for the Solution of a Vaporizing Fuel Droplet, in: Dynamics of Reactive Systems, II, Modeling and Heterogeneous Combustion, J. R. Bowen, J.-C. Leyer, R. I. Soloukhin (eds.), Prog. Astro. Aero., 105, 253—266 (1986).
Pope S. B., PDS Methods for Turbulent Reactive Flows, Prog. Energy Comb. Set, П, 119—192 (1985).
Reynolds W. C., Computation of Turbulent Flows, Ann. Rev. Fluid Meeh., 8, 183—208 (1976).
Riley J. J., Metcalfe R. W., Direct Numerical Simulation of a Perturbed, Turbulent Mixing Layer, ALAA Paper No. 80-0274, AIAA, New York,' 1980.
Rogallo R. S., Moin P., Numerical Simulation of Turbulent Flows, Ann. Rev. Fluid Meeh., 16, 99—137 (1984).
Rosseland S., Theoretical Astrophysics Atomic Theory and the Analysis of Stellar Atmospheres and Envelopes, Clarendon Press, Oxford, 1936.
Rybicki G. B., Lightman A. P., Radiative Processes in Astrophysics, Wiley, New York, 1979.
Sandusky H. W., Compressive Ignition and Burning in Porous Beds of Energetic Materials, Proceedings of the 3rd JANNAF Propulsion Systems Hazards Meeting, 1, 249—257, Chemical Propulsion Information Agency Publication (CPIA), Laurel, MD, 1983.
Schumann U., Subgrid Scale Model for Finite Difference Simulations of Turbulent Flows in Plane Channels and Annuli, J. Computat. Phys., 18, 376—404 (1975).
Schuster A., Radiation through a Foggy Atmosphere, Astrophys. J., 122, 488—497 (1905).
Schwarzschild K., Equilibrium of the Sun’s Atmosphere, Ges. Wiss. Gottingen, Nachr., Math-Phys. Klasse, 1, 41—53 (1906).
Shaanan S., Ferziger J. H., Reynolds W. C., Numerical Simulation of Turbulence in the Presence of Shear, Rep. TF-6, Department of Mechanical Engineering, Stanford University, Palo Alto, CA (N75-30476/6), 1975.
Siegel R., Howell J. R., Thermal Radiation Heat Transfer, Hemisphere Publishing Corporation, New York, 1981.
Sirignano W. A., Fuel Droplet Vaporization and Spray Combustion, Prog. Energy Comb. Sci., 9, 291—322 (1983).
Smagorinsky J., General Circulation Experiments with the Primitive Equations, I, The Basic Experiment, Mon. Weather Rev., 91, 99—164 (1963).
Smoot L. D., Modeling of Coal-Combustion Processes, Prog. Energy Comb. Sci., 10, 229—272 (1984).
Soo S. L., Fluid Dynamics of Multiphase Systems, Blaisdell, Waltham, MA, 1967.
Soo S. L., Development of Dynamics of Multiphase Flow, I nt, J. Sci. Eng., 1, 13—29 (1984).
Stewart H. B., Wendroff B., Two-Phase Flows: Models and Methods, I. Comp. Phys., 56, 363—409 (1984).
Yakhot V., Orszag S. A., Renormalization-Group Analysis of Turbulence, Phys. Rev. Lett., 57, 1722—1724 (1986).
Yakhot V., Orzag S. A., Renormalization Goup Analysis of Turbulence, I, Basic Theory, J. Sci. Comp., 1, 3—51 (1987).
Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. 2-е изд. — М.: Наука, 1966. — 686 с.
К главе 13
Book D., Boris J., Kuhl A., Picone M., Oran E., Zalesak S., Simulation of Complex Shock Reflections from Wedges in Inert and Reactive Mixtures, in: Proceedings of the 7th International Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics, W. C. Reynolds, R. W. MacCormack (eds.), Springer, New York, 84—90, 1981.
Boris J. P., ADINC: An Implicit Lagrangian Hydrodynamics Code, NRL Memorandum Report 4022, Naval Research Laboratory, Washington, DC, 1979.
Boris J. P., Book D. L., Solution of the Continuity Equation by the Method of Flux-Corrected Transport, Methods in Computational Physics, 16, 85—129 (1976).
Boris J. P., Oran E. S., Fritts M. J., Oswald C., Time-Dependent, Compressible Simulations of Shear Flows: Tests of Outflow Boundary Conditions, NRL
Memorandum Report 5249, Naval Research Laboratory, Washington, DC, 1983.
Chevalier R. A., Gardner J. H., The Evolution of Supernova Remnants, II, Models of an Explosion in a Plane-Stretched Medium, Astrophys. L, 192, 457—463 (1974).
Dahlburg R. B., DeVore C. R., Picone J. M., Mariska J. T., Karpen J. T., Nonlinear Evolution of Radiation-Driven Thermally Unstable Fluids, Astrophys. L, 315, 385—487 (1987).
de Boor C., A Practical Guide to Splines, Springer, New York, 316—322, 1978.
DeVore C. R., Gardner J. H., Boris J. P., Mosher D„ Hydrodynamic Simulations of Light Ion Beam — Matter Interactions: Ablative Acceleration of Thin Foils. Laser and Particle Beams, 2, 227—243 (1984).
Edwards D. G., Fluid Gravity (Eng.) Ltd., Surrey, England, 1986 (private communication).
Emery M. H., Fritts M. J., Shockley R. C., Lagrangian Simulation of Taylor— Couette Flow, NRL Memorandum Report 4569, Naval Research Laboratory, Washington, DC, 1981.
Emery M. E., Gardner J. H., Boris J. P., Nonlinear Aspects of Hydrodynamic Instabilities in Laser Ablation, Appt. Phys. Lett., 41, 808—810 (1982).
Emery M. H., Bodner S. E., Boris J. P., Colombant D. G., Cooper A. L., Fritts M. J., Herbst M. J., Stability and Symmetry in Inertial Confinement Fusion, NRL Memorandum Report 4947, Naval Research Laboratory, Washington, DC, 1982.
Fritts M. J., A Numerical Study of Free-Surface Waves, SAIC Report SAI-76-528-WA, Science Applications International, Inc., McLean, VA, 1976.
Fritts M. J., Lagrangian Simulations of the Kelvin—Helmholtz Instability, SAIC Report SAI-76-632-WA, Science Applications International, Inc., McLean, VA, 1976.
Fritts M. J., Boris J. P., Transient Free Surface Hydrodynamics, in\ Second- International Conference on Numerical Ship Hydrolynamics, J. V. Wehausen and N. Salvesen (eds.), University Extension Publications, Berkeley, pp. 319— 328, 1977.
Fritts M. J., Boris J. P., The Lagrangian Solution of Transient Problems in Hydrodynamics Using a Triangular Mesh, J. Comp. Phys., 31, 173—215 (1979).
Fritts M. J., Fyfe D. Е.» Oran E. S., Numerical Simulations of Fuel Droplet Flows Using a Lagrangian Triangular Mesh, NRL Memorandum Report 5408, Naval Research Laboratory, Washington, DC, 1984.
Fyfe D. E., Oran E. S., Fritts M. J., Surface Tension and Viscosity with Lagrangian Hydrodynamics on a Triangular Mesh, /. Comp. Phys, (в печати).
Gargner J. H., Bodner S. E., Wavelength Scaling for Reactor-Size LaserFusion Targets, Phys. Rev. Lett., 47, 1137—1140 (1981).
Gardner J. H., Bodner S. E., High Efficiency Targets for High-Gain Inertial Confinement Fusion, Phys. Fluids, 29, 2672—2678 (1984).
Gaydon A. G., Wolfhard H. G., Flames, Chapman and Hall, London, 1979.
Grinstein F. F., Oran E. S., Boris J. P., Numerical Simulations of Asymmetric Mixing in Planar Shear Flows, J. Fluid Meeh., 165, 201—220 (1986).
Grinstein F. F., Oran E. S., Boris J. P., Direct Numerical Simulation of Axisymmetric Jets, AIAA L, 25, 92—97 (1987).
Guirguis R., Oran E., Reactive Shock Phenomena in Condensed Materials: Formulation of the Problem and Method of Solution, NRL Memorandum Report 5228, Naval Research Laboratory, Washington, DC, 1983.
Guirguis R., Oran E. S., Kailasanath K., Numerical Simulations of the Cellular Structure of Detonations in Liquid Nitromethane — Regularity of the Cell Structure, Comb. Flame, 65, 339—366 (1986).
Guirguis R., Oran E. S., Kailasanath K., The Effect of Energy Release on the Regularity of Detonation Cells in Liquid Nitromethane, Proceedings of the 21th Symposium (International) on Combustion, The Combustion Institute, Pittsburgh, PA (в печати).
Jones W. W., Boris J. P., An Algorithm for Multispecies Diffusion Fluxes, Comp. Chern., 5, 139—146 (1981).
Kailasanath K-, Oran E. S., Ignition of Flameless behind Incident Shock Waves and the Transition to Detonation, Comb. Sci. Tech., 34, 345—362 (1983).
Kailasanath K-, Oran E. S., Effects of Curvature and Dilution on Unsteady Flame Propagation, in: Dynamics of Reactive Systems, I, Flames and Configurations, J. R. Bowen, J.-C. Leyer, R. I. Soloukhin (eds.), Prog. Astro. Aero., 105, 167—179 (1986).
Kailasanath K-, Oran E. S., Boris J. P., A theoretical Study of the Ignition of Premixed Gases, Comb. Flame, 47, 190—193 (1982).
Kailasanath K., Oran E. S., Boris J. P., Time-Dependent Simulation of Flames in Hydrogen-Oxygen-Nitrogen Mixtures, in: Proceedings of the GAMM- Workshop on Numerical Methods in Laminar Flame Propagation, J. Warnatz, N. Peters (eds.), Vieweg, Wiesbaden, 152—166, 1982.
Kailasanath K., Oran E. S., Boris J. P., A One-Dimensional Time-Dependent Model for Flame Initiation, Propagation and Quenching, NRL Memorandum Report 4910, Naval Research Laboratory, Washington, DC, 1982.
Kailasanath K-, Gardner J., Boris J., Oran E., Acoustic-Vortex Interactions in an Idealized Ramjet Combustor, Proceedings of the 22nd JANNAF Combustion Meeting, Chemical Propulsion Information Agency (CPIA). John Hopkins University, Applied Physics Laboratory, Laurel, MD, 1985.
Kailasanath K., Oran E. S., Boris J. P., Determination of Detonation Cell Size and the Role of Transverse Waves in Two-Dimensional Detonations, Comb. Flame, 61, 199—209 (1985).
Kailasanath K-, Gardner J. H., Boris J. P., Oran E. S., Interactions between Acoustics and Vortex Structures in a Central Dump Combustor, Paper No. AIAA-86-1609, AIAA, New York, 1986.
Kailasanath K., Gardner J., Boris J., Oran E., Effect of Energy Release on High-Speed Flows in an Axisymmetric Combuster, AIAA-89-0385 (27th Aerospace Science Meeting), New York, 1989.
Karpen J. T., Oran E. S., Boris J. P., Breuckner G. T., The Dynamics of Accelerating Coronal Bullets, Astrophys. J., 261, 375—386 (1982).
Karpen J. T., Oran E. S., Boris J. P., Detailed Studies of the Dynamics and Energetics of Coronal Bullets, Astrophys. L, 287, 396—403 (1984).
Lample M., AH W., Joyce G., Hui B., Picone J. M., Hubbard R., Fernsler R., Slinker S., Beam Propagation Studies at NRL, July 1983 — June 1984, Volume 2, NRL Memorandum Report 5412, Naval Research Laboratory, Washington, DC, 1984.
Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. Гидродинамика. — M.: Наука, 1986. — 733 c.
Lewis B., von Elbe G., Combustion, Flames and Explosions of Gases, Academic Press, New York, 1961. [Имеется перевод: Льюис Б., Эльбе Г. Горение, пламя и взрывы в газах. — М.: Мир, 1968. — 592 с.]
Lyon J. G., Brecht S. Н., Huba J. D., Fedder J. A., Palmadesso P. J., Computer Simulation of a Geomagnetic Substorm, Phys. Lett., 46, 1038—1041 (1981).
Lyon J. G., Fedder J. A., Huba J. D., The Effect of Different Resistivity Models on Magnetotail Dynamics, J. Geophys. Res., 91, 8057—8064 (1986).
Mariska J. T., Boris J. P., Oran E. S., Doschek G. A., Young T. R., Solar Transition Region Response to Variations in the Heating Rate, Astrophys. L, 255, 783—796 (1982).
Oran E., Boris J. P., Theoretical and Computational Approach to Modeling
Flame Ignition, in: Combustion in Reactive Systems, J. R. Bowen and A. K. Oppenheim (eds.), Prog. Astro. Aero., 76, 154—171 (1981).
Oran E. S., Boris J. P., Weak and Strong Ignition: II, Sensitivity of the Hydrogen-Oxygen System, Comb. Flame, 48, 149—161 (1982).
Oran E., Young T. R., Boris J. P., Application of Time-Dependent Numerical Methods to the Description of Reactive Shocks, Proceedings of the 17th Symposium (International) on Combustion, The Combustion Institute, Pittsburgh, PA, 43—54, 1979.
Oran E., Boris J. P., Young T. R., Picone J. M., Numerical Simulations of Detonations in Hydrogen-Air and Methane-Air Mixtures, Proceedings of the 18th Symposium (International) on Combustion, The Combustion Institute, Pittsburgh, PA, 1641—1649, 1981.
Oran E., Young T. R., Boris J. P., Cohen A., Weak and Strong Ignition: I, Numerical Simulation of Shock Tube Experiments, Comb. Flame, 48, 135— 148 (1982).
Oran E., Young T. R., Boris J. P., Picone J. M., Edwards D. H., A Study of Detonation Structure: The Formation of Unreactel Gas Pickets, Proceedings of the 19th Symposium (International) on Combustion, The Combustion Institute, Pittsburgh, PA, 573—582, 1982.
Oran E. S., Mariska J. T., Boris J. P., The Condensational Instability in the Solar Transition Region and Corona, Astrophys. J., 254, 349—360 (1982).
Picone J. M., Boris J. P., Vorticity Generation by Asymmetric Energy Deposition in a Gaseous Medium, Phys. Fluids, 26, 365—382 (1983).
Picone J. M., Oran E. S., Boris J. P., Young T. R., Jr., Theory of Vorticity Generation by Shock Wave and Flame Interactions, in: Dynamics of Shock Waves, Explosions, and Detonations, J. R. Bowen, N. Manson, A. K. Oppenheim, and R. I. Soloukhin (eds.), Prog. Aero, and Astro., 94, 429—448 (1984).
Picone J. M., Boris J. P., Oran E. S., Ahearne R., Rotational Motion Generated by Shock Propagation through a Non-Uniform Gas, in: Proceedings of the 15th International Symposium on Shock Waves and Shock Tubes, D. Bershader and R. Hanson (eds.), Stanford University Press, Palo Alto, CA, 523—529, 1986.
Strehlow R. A., Combustion Fundamentals, McGraw-Hill, New York, 1984.
Warnatz J., Peters N. (eds.), Proceedings of the GAMM-Workshop on Numerical Methods in Laminar Flame Propagation, Vieweg, Wiesbaden, 1982.
Williams F. A., Combustion Theory, Second Edition, Benjamin Cummings, Menlo Park, CA, 1985. [Имеется перевод 1-го изд.: Вильямс Ф. А. Теория горения. — М.: Наука, 1971. —615 с.]
Young Т. R., Boris J. Р., A Numerical Technique for Solving Stiff Ordinary Differential Equations Associated with the Chemical Kinetics of Reactive- Flow Problems, L Phys. Chern., 81, 2424—2427 (1977).
Young T. R., CHEMEQ — Subroutine for Solving Stiff Ordinary Differential Equations, NRL Memorandum Report 4091, Naval Research Laboratory, Washington, DC (AD A083545), 1979.
Zalesak S. T., Ossakow S. L, Chaturvedi P. K-, Non-linear Equatorial Spread-F: The Effect of Neutral Winds and Background Pedersen Conductivity, J. Geophys. Res., 87, 151—166 (1982).
Zalesak S. T., Chaturvedi P. K-, Ossakow S. L., Fedder J. A., Finite Temperature Effects on the Evolution of Ionospheric Barium Clouds in the Presence of a Conducting Background Ionosphere I, The Simplest Case: Incompressible Background Ionosphere, Equipotential Magnetic Field Lines, and an Altitude-Invariant Neutral Wind, J. Geophys. Res., 90, 4299—4310 (1985).
Дополнительная литература^
Авдуевский В. С., Ашратов Э. А., Иванов А. В., Пирумов У. Г. Сверхзвуковые изобарические струи газа. — М.: Машиностроение, 1985. — 248 с.
Агафонов В. П., Вертушкин В. К., Гладков А. А., Полянский О. Ю. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике. — М.: Машиностроение, 1972. — 344 с.
Г Алексеев Б. В., Гришин А. М. Физическая газодинамика реагирующих сред.— М.: Высшая школа, 1985. — 464 с.
Бабенко К. И. Основы численного анализа. — М.: Наука, 1986. — 744 с.
Баев В. К., Головичев В. И., Ясаков В. А. Двумерные турбулентные течения реагирующих газов. — Новосибирск: Наука, 1976. — 264 с.
Баев В. К., Головичев В. И., Третьяков П. К., Гаранин А. Ф., Константиновский В. А., Ясаков В. А. Горение в сверхзвуковом потоке. — Новосибирск: Наука, 1984. — 302 с.
Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — М.: Наука, 1987. — 600 с.
Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред. — М.: Наука, 1984. —519 с.
Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Метод крупных частиц в газовой динамике.— М.: Наука, 1982. — 391 с.
Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. — М.: Физматгиз, 1962, ч. 1, 464 с.; 1962, ч. 2, 639 с.
Виленский Т. В., Хзмалян Д. М. Динамика горения пылевидного топлива. — Энергия, 1978. — 245 с.
Воеводин А. Ф., Шугрин С. М. Численные методы расчета одномерных систем.— Новосибирск: Наука, 1981. — 206 с.
Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1977.— 303 с.
Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984.— 318 с.
Войцеховский Б. В., Митрофанов В. В., Топчиян М. Е. Структура фронта детонации в газах. — Новосибирск: Изд-во Сибирск. отд. АН СССР, 1963.— 168 с.
Волков Е. А. Численные методы. — М.: Наука, 1987. — 248 с.
Ворожцов Е. В., Яненко Н. Н. Методы локализации особенностей при численном решении задач газодинамики. — Новосибирск: Наука, 1985.— 224 с.
Годунов С. К. Решение систем линейных уравнений. — Новосибирск: Наука, 1980. — 176 с.
Годунов С. В., Забродин А. В., Иванов М. Я., Крайко А. Н., Прокопов Г. П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. — М.: Наука, 1976. —400 с.
Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. Введение в теорию. — М.: Наука, 1977. — 439 с.
Гришин А. М., Фомин В. М. Сопряженные и нестационарные задачи механики реагирующих сред. — М.: Наука, 1984. — 318 с.
Денисов Ю. Н. Газодинамика детонационных структур. — М.: Машиностроение, 1989. — 176 с.
" Димитров В. И. Простая кинетика. — Новосибирск: Наука, 1982. — 381 с.
Жуков А. И. Применение метода характеристик к численному решению одномерных задач газовой динамики. — В кн.: Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, М., Наука, 1960, т. 58, 150 с.
О Составлено редакторами перевода.
Г Зверев И. Н., Смирнов Н. Н. Газодинамика горения. — М.: Изд. МГУ, 1987. — 307 с.
Зельдович Я. Б., Компанеец А. Ф. Теория детонации. — М.: Гостехиздат, 1955. —268 с.
Иевлев В. М. Турбулентное движение высокотемпературных сплошных сред. — М.: Наука, 1975. — 256 с.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — М.: Наука, 1984.— 294 с.
Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978. — 512 с.
Ковеня В. М., Яненко Н. Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. — Новосибирск: Наука, 1981. — 304 с.
Компанеец В. 3., Овсянников А. А., Полак Л. С. Химические реакции в турбулентных потоках газа и плазмы. — М.: Наука, 1979. — 240 с.
Нестационарные взаимодействия ударных и детонационных волн в газах. Сб. статей/Под ред. В. П. Коробейникова. — М.: Наука, 1986. — 206 с.
Коробейников В. П. Задачи теории точечного взрыва. — М.: Наука, 1985.— 400 с.
Кузнецов В. Р., Сабельников В. А. Турбулентность и горение. — М.: Наука, 1986. —287 с.
Лапин Ю. В., Стрелец М. X. Внутренние течения газовых смесей. — М.: Наука, 1989. —368 с.
Магомедов К. М., Холодов А. С. Сеточно-характеристические численные методы. — М.: Наука, 1988. — 288 с.
Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. 3-е изд. — М.: Наука, 1989. —312 с.
Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. — М.: Наука, 1981. —416 с.
Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. — М.: Наука, 1978.— 336 с.
Пилюгин Н. Н., Тирский Г. А. Динамика ионизированного и излучающего газа. — М/. Изд. МГУ, 1989. — 309 с.
Пирумов У. Г. Обратные задачи теории сопла. — М.: Машиностроение, 1988.— 240 с.
' Полак Л. С., Гольденберг М. Я., Левицкий А. А. Вычислительные методы в химической кинетике. — М.: Наука, 1984. — 280 с.
Ракитский Ю. В., Устинов С. М., Черноруцкий И. Г. Численные методы решения жестких систем. — М.: Наука, 1979. — 208 с.
Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. — М.: Наука, 1968. — 592 с.
' Рычков А. Д. Математическое моделирование газодинамических процессов в каналах и соплах. — Новосибирск: Наука, 1988. — 224 с.
Салтанов Г. А. Неравновесные и нестационарные процессы в газодинамике однофазных и двухфазных сред. — М.: Наука, 1979. — 286 с.
Самарский А. А. Введение в численные методы. 2-е изд. — М.: Наука, 1987.— 288 с.
Самарский А. А. Теория разностных схем. 2-е изд. — М.: Наука, 1983.— 616 с.
Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. — М.: Наука, 1973. —415 с.
Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. — М.: Наука, 1989. — 432 о.
Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978. —591 с.
Самарский А. А., Попов Ю. Г. Разностные методы решения задач газовой динамики.— М.: Наука, 1980.— 352 с.
Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. 9-е изд. — М.: Нау^ ка, 1981. —447 с.
Солоухин Р. И. Ударные волны и детонация в газах. — М.: Физматгиз, 1963.— 175 с.
Станюкович К- П. Неустановившиеся движения сплошной среды. 2-е изд. — М.: Наука, 1971. —854 с.
Фадеев Д. К., Фадеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. — М.: Физматгиз, 1960. — 656 с.
Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. 3-е изд. — М.: Наука, 1987. — 502 с.
\/Четверушкин Б. Н. Математическое моделирование задач динамики излучающего газа. — М.: Наука, 1985. — 304 с.
Чушкин П. И. Методы характеристик для пространственных сверхзвуковых течений. — М.: Вычислительный центр АН СССР, 1968.— 122 с.
ГЩелкин К. И., Трошин Я. К. Газодинамика горения. — М.: Изд. АН СССР, 1963. —255 с.
Щетинков Е. С. Физика горения газов. — М.: Наука, 1965. — 739 с.
Яненко Н. Н., Солоухин Р. И., Папырин А. Н., Фомин В. М. Сверхзвуковые двухфазные течения в условиях скоростной неравновесности частиц. — Новосибирск: Наука, 1980. — 160 с.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
II 1111 111 11111II 1111 111 11111Абляция 381, 442, 459
II 1111 111 11111
II 1111 111 11111
Абляционный слой 460
Автомат клеточный 229, 519
Автономная система 171
Адамса метод предиктор — корректор 197
Адамса методы 179, 179
Адамса — Ьэшфорта методы 179, 197
Адамса — Молтона методы 179, 197
Адвекция (перенос) 52, 101, 132—134, 468
Адвективные течения 52
Адиабатическое уравнение 44
Акустика 581
Акустики явления 433
возмущения 447, 449
— взаимодействия вихрей 355
— волны 227, 384. См. также Звуковые волны
поглощение и затухание 20
Акустический импульс 113
— резонанс 503
Алгоритм 17, 56
— Ао-устойчивый 187, 188
— гибридный 116, 156
— глобально-неявный 159, 161, 354
— диффузионный 282—286
— для расчета течений несжимаемой жидкости (ADINC) 404, 405
— донорской ячейки 140, 143, 144, 366
— изменения связности 414, 415
— классический 196
— консервативный 274
— Лакса — Вендрова, см. Лакса — Вендрова алгоритм
— Мак-Кормака 369
— Монте-Карло 510
— монотонный 158, 311
— нелинейный 158
— неявный 127, 130, 137, 143, 144р, 152— 154, 156, 171, 184, 196, 268, 270, 274 , 354, 382, 386
— обратимый 146, 151—152, 154
— переменных направлений, неявный
(ADI) 286, 388, 494, 548
Ньютона — Рафсона 401
полностью неявный 137, 299
полунеявный 268, 352
предиктор-корректор 200
прямой 205
расчета медленных течений 123, 382, 405 — переноса с коррекцией потоков (FCT) 142, 176
расщепления шага по времени 160
Рунге — Кутта 175, 176
свертки 481
скалярный 78
с односторонними разностями 140, 366
— «с производными по ветру» 140
— Тейлора 175
центрированный 118—120, 126, 128, 129, 137, 139, 140, 143, 144
— циклической редукции 484
— «чехарда» 147—151
эйлеров см. Эйлеров алгоритм
явный 116, 127, 137, 144, 147, 154, 172, 182, 268, 377
—«чехарда» на разнесенной сетке 147—151, 182—184
— ADI, см. Алгоритм переменных направлений, неявный
ADINC (адиабатические и несжимаемые течения) 392, 395—404, 588
неустойчивость 403
— DFLUX 588
— MLG 427—431
— SPRED 588
Амплитуда 131, 144, 154, 182, 261
— мод 154
— ошибки 112, 125, 142—145, 154, 232, 233, 299
Анализ размерностей 46
Аппроксимация 70, 107, 132, 232, 267
— асимптотическая 122
— ошибки 69, 70, 107, 112, 271, 351
глобальные 167, 167
— — локальные 167, 168, 173
Аррениуса форма 41, 74
модифицированная 41
Атвуда число (А) 48
А-устойчивость 186, 187, 188, 192
— алгоритмы 187, 188
А(а) устойчивость 187, 188
Аэрозоли 75, 77, 535
Баллистика внутренняя 572
— энергия 30, 43, 351
плотность 29, 36
Бесселя функция 450
Бима метод 387
Био — Саварра интеграл 422
Больцмана постоянная 29, 292
— распределение 41, 74
— уравнение 37
Бринкмана число (Вг) 47, 48т
Буря геомагнитная 572
Быстродействие компьютера 79
Быстрое преобразование Фурье (FFT) 341,
342
Быстрые течения 349
расчет 353
методы 354—376
случайного выбора 376
характеристические 374, 375
Вебера число (W) 49, 50
Вектор плотности импульса 35 Векторизация расчетов 241, 484 Величины на полушаге 303 — определенные в вершинах треугольных ячеек 408, 409
Венцеля — Крамерса — Бриллюэна приближенный метод 154
Вершина(ы) 405, 408
— добавление 415
— связи 598
— скорость 410
— устранение 416
Взаимодействия 30, 154—162
— волн в жидкости 240
— достоинства и недостатки методов расчета 160—162
— расчет глобально-неявным методом 156—158, 160
методом расщепления шага по времени или методом дробных шагов 158— 160
Взрывы 356
— сверхновой 572
Вихрь(и) 52, 72, 4 98, 515, 583
— динамика 240, 350, 392, 394, 420—427, 470, 500
— диффузия 424
— зона 444
— перенос 421
— уравнение 378
— функция тока 377
— ядро 422, 426
Водород 77, 212, 214, 458, 566, 582, 586
— диффузионный перенос 295—298
Возбуждение турбулентного шума 155
Волна(ы) 34, 35, 101, 145—154, 155, 182, 215, 432
— акустические (звуковые) 44, 52, 68, 83, 84, 101, 123, 145, 146, 227, 232, 353, 380, 384, 395, 451
взаимодействие 145
затухание 155
скорость 38, 44, 68, 83, 85, 354, 356, 377, 378
— внутренние 343
— возникающие вследствие взаимосвязи уравнений сохранения 145—147
— гравитационные 34, 101, 145, 451
— граничные условия, учитывающие передачу волн 449—451
— квадратная 115, 301, 332, 333, 357, 366
— плоские 450
— поперечная 584
— разрежения 364
— распространение 100, 145, 147
— скорость 149
— тепловая 278
— ударная 34, 37, 45, 52, 55, 80, 108, 111, ,4 55, 155, 243, 249р, 256, 300, 305, 308, 329, 331, 343, 351, 354, 357, 365, 368, 370, 374, 376, 382, 420, 432, 451, 452, 459, 548, 553
задача о разрыве диафрагмы 367
метод выделения 343
■отраженная 564—567
*переход в детонацию 557
расчет 564
— уравнения 45, 46т, 108, 145, 147, 153, 154, 233
дисперсионное 150
неявный алгоритм 151, 152
обратимость 146
устойчивость, точность 152—154
ошибки в амплитуде 112
явный алгоритм «чехарда» на разнесенной сетке 147—151
— химической реакции 34
— явления 54
Вороного сетка 239, 240, 407, 431
двойник 407
Воспламенение (возгорание) 61, 253
— порог воспламенения 62, 594
— пределы 61
Вращение 58, 101, 132, 133
Времена химической индукции 65, 210 Время — масштабы 352
— изменение направления течения 131
— интегрирование уравнений 352, 353
—ошибки дискретизации производных 111
— расчета 72, 82, 85, 467
— центрированная по времени схема для решения 352
Временной шаг (шаг по времени) 25, 66, 69, 70, 101, 102, 104, НО, 118, 123, 126, 128, 130, 138, 151, 158, 232, 256, 257, 311, 315
безразмерный 149
расщепление шага по времени 155, 158—160, 161, 360, 470, 557, 573, 589, 591, 592
в двумерных случаях 577, 578
методы 395
многомерные расчеты 361— 364
фиксированный 136
явной схемы 281
Втекание — вытекание потока 447—449
Вход в атмосферу 355
Входные параметры 202
поиск 50, 51
точность 71
Выбросы в решении в сторону завышения 114, 142, 230, 310, 313, 323, 324, 361, 372 занижения 114, 142, 230, 322, 323, 324, 361, 372
Выход потока 35, 440
Вычисления параллельные 241, 430
Вязкость 36, 42, 51, 294, 295, 305, 424, 499, 606
— диссипация 37, 47, 48
— затухание 49, 326
— зона 451
— искусственная 304, 305, 354, 359, 371, 420
— кинематическая 47
— коэффициент 29, 51
— —объемной вязкости 29, 294
сдвиговой вязкости 29, 294
— нагрев 396
— напряжение 544
тензор 29
— турбулентная 508
Газ
— постоянная 29
— идеальный 39, 47, 351, 394
уравнение состояния 30
— нейтральный 31
— разреженный 356
— смесь с частицами 542—544
Галеркина методы 337—341, 346
Гармоники 114, 182
— волновые числа 128
— фазы 136
— Фурье см. Фг/рье-гармоники
Гаусса — Зайделя итерации 487
Гаусса метод исключения 479—481, 485, 492
— кривая 261, 262
— распределение 131, 453, 454
— решение 263, 267
— фильтры 512
Геометрия (система координат)
— декартова 315, 321, 366, 397
— периодическая 321
— плоская 315, 363
— степенная 397
— сферическая 315, 321, 397
— цилиндрическая 315, 321, 397
Гиббса ошибки 112—115, 134, 142, 154, 231, 235, 236, 311
— явление 234, 311, 343, 512
Гибкость 78, 94
Гилла метод 178
Гиперболические системы 331, 433
— уравнения 45, 46, 300
характеристики 45
Гира метод 158, 231
— пакеты программ 188
Глимма метод см. Метод случайного выбора
Глобальные аппроксимации
— методы 203
неявные 155, 354
— ошибки 170
аппроксимации 167, 168
— разложения 221
Годунова методы 331, 365, 366, 369, 371, 3 73
Горение 543
— топлива 535
— турбулентное 155т
— скорость 597
Градиент (ы) 35, 53, 57, 68, 83, 114, 195, 215, 233, 241—243, 247, 255, 258, 260, 271, 282, 300, 305, 326, 330, 342, 359, 407
— сопряженные 490
Граница внутренняя 432, 445, 456
— нерегулярная 346
— открытая 446
— перенос (поток) через границу 320, 438 — ячеечно-поверхностная 436, 437, 439, 448 — ячеечно-центральная 436, 437, 439, 441, 448
Грасгофа число (Gr) 48
Грина функция 206, 209
Группа моделей RSHOCK 556, 557—560, 562, 588, 590
Гюйгенса принцип 470
Давление 156
— коррекция 383
— тензор 30, 36, 37, 42, 544
дивергенция 259
— уравнение 354, 378
изэнтропическое 352
— флуктуации 147
Дамкелера число (Dal, Da2, Da3, Da4, Da5) 48
Данные ввода 97
— структура 395, 428
Двигатели 242
Дельта-функция 132, 261—266
Детонация 35, 54—56, 61, 72, 155, 227, 242, 249, 305, 353, 356, 459, 460, 551, 572
— инициирование горячим очагом 567—571
— моделирование 164
— полости несгоревшего газа 584
— пределы 61
— распространяющаяся 583—583
— скорость 55
— структура 56
— ячейки 583
Диагностика 25
— в экспериментах 23, 24
Дивергенция 53, 350, 351, 379, 380
— тензора напряжений 259
Динамика
— газа 447
— контуров 426, 465
— популяций 164
— разреженного газа 356
— частиц 33, 184
лагранжева 356
Дискретизация 33, 64. 66, 100—104, 134, 218, 230, 231, 267, 366, 399, 436
— Лакса — Вендрова 346
— ошибки 103
— представление 220—231
Дисперсия 112, 310, 311
численная 112, 114, 142, 149, 152, 311
Диссипация 115, 132, 146
— искусственная 230, 450
Дифференцирование назад 197
для жестких обыкновенных дифференциальных уравнений 192
— методы 194
— многошаговое 201
формулы 190
Диффузия 34, 43, 49т 65, 68, 71, 100, 109, 145, 161, 215, 233, 319, 375, 517, 518
алгоритмы расчета, многомерные 282— 286
ADI 286
неявные, явные и центрированные 282—285
— асимптотические методы для сильной диффузии 280, 281
— вихря 424
— искусственная 304, 305
— коэффициент 42, 65, 129, 259, 268, 272, 275, 278, 279, 281, 284, 285, 290, 293, 297, 312, 318, 476
бинарный 287, 295
средний па границе ячейки 273
— многокомпонентная 293
— молекулярная 33, 34. 42, 51, 54, 56, 65, 101, 258
— нелинейные эффекты 274—282
— обычная (молекулярная, бинарная) 293—295, 589
— остаточная 313, 319
— перенос 28, 34, 35, 37, 42, 49, 54, 58, 87, 164, 258, 259, 353
коэффициенты 18, 291—298
при горении водорода 295—298
скорость 124
уравнения 42, 43
— поток 124, 269, 282, 322, 588
граничные условия 440. 441
— скорость 29, 31, 34, 258, 267, 281, 286— 291, 380
алгоритм расчета итерационный 288— 291
тепловая см. Термодиффузия
уравнение 46, 65, 123—125, 132, 134, 136, 142, 146, 153, 154, 259—268, 476
многомерное 123
ошибки в амплитуде 112
— физическая 233
— Фика второй закон (обобщение на многокомпонентный случай) 288
— численная 111, 112, 131, 134, 142, 158, 219, 220, 233, 254. 267, 294, 305, 307, 310, 326. 329, 334. 373 394, 458, 468, 558
Длина волны 29, 43, ПО, 130, 150
компоненты (коротковолновой) 216
Документирование 89, 91—93, 95
Доля объема ячейки, занятая одним из веществ 468
Достоинства и недостатки методов расчета взаимодействий 160—162
Жесткость 68, 231
— обыкновенных дифференциальных уравнений 163, 172—174, 199
неявные методы решения 188,
189
— подходы к решению уравнений 184—195
— устойчивость 193, 195
Жидкость 37
— гидродинамика 30, 40, 51—59, 76, 80, 132—134, 318, 343, 393, 402, 468
уравнения 36—39
несжимаемой жидкости 431
— жидкие элементы или зоны 101, 228
— модели двухжидкостные 539, 540
многожидкостные 540
одножидкостные 538, 539
— поверхности раздела 35
— скорость 29, 4 5, 85, 250, 351, 355
— уравнения движения 36
Завихренность 29, 37, 53, 54, 276, 409, 410, 422—425, 500, 501, 515
Задачи параболические 285
— с конвекцией и диффузией 217
— эллиптические 285
Закон горения 550
Залесака обобщение 321—326
Затраты вычислительные 71—73, 148, 271, 286, 334, 480
из-за сложности 71—73
Затухание (демпфирование) 115, 130, 132, 140, 146, 154, 182, 185, 268
— время 327
— вязкий распад 326
— звуковых волн 155
— осцилляций 193
— периодической функции 125, 126
— скорость 327
— численное демпфирование 112, 146, 158, 268, 328
— экспоненциальное 125, 126
Зона рециркуляции 609
Излучение 57
— диффузионное-приближение 529—531
— перенос 259, 519, 520, 529, 530
диффузионное приближение 531
модель 557
поток см. Поток излучения
уранение 523—526
физические основы 520—523
приближение переменной Эддингтона 522535
— поток 43. См. также Поток излучения
— радиационная газодинамика 243
— рассеяние 526
— синхротронное 520
— скорость испускания 43
— тензор напряжений 529
— тепловое 520—523
— черного тела 525, 532, 533
— электромагнитное 259, 521
Импульс 115
— дефицит 444
— плотность 101, 133
уравнение 28
— поток 42
— сохранение 367, 543
— уравнение 145, 549
Индекс для максимального отклонения узлов 430
Индексы 102
Инициирование детонации горячим очагом 567—571
Интенсивность полная 523
— спектральная 523, 524, 525
— средняя 524, 527
Интерполяция 181, 209, 235, 448
— экспоненциальные функции 191
Ионный пучок 557
Искривленные траектории 146
Испарение 59
Испускание 522
— индуцированное 525
— самопроизвольное 525
Источник(и) 30, 72, 101, 115, 318, 319
— член(ы) 124, 258
Капиллярность (Ср) 48 — явления 163
Капля (и) 54, 58, 240, 242, 535, 544—5481 602—609
— в сдвиговом течении 607—609 — распад 50 Карловитца число (К) 48
Квадратная волна 115, 142, 301, 332, 357. 366
тестовая задача о распространении1 квадратной волны 134—136
Кельвина — Гельмгольца неустойчивость 22» 250, 251, 597
К-метод см. Крегеля метод Кнудсена число (Кп) 49 Колебания (осцилляции) 101, 138, 145— 154, 240, 304, 305, 343, 520
— затухание 193 — частота 48 — явления 215 Коллокации — метод 337—339, 341, 345 — точки 341
Колмогоровский масштаб 496, 498, 511 Компоненты — диффузионные скорости 31 — преобразование 164 уравнения 28, 360 — участвующие в химических реакция» — химические 28, 33, 34, 68, 71, 75, 80, 82» 83, 101, 155, 212, 269, 377, 589
Компромиссы 78—80 Конвекция — масштабы 83 — перенос 20, 23, 34, 49. 51, 56, 66, 100, 108, 134, 145, 153, 162, 218, 233, 258, 394, 453, 558 явное и неявное решения 136—142 гидродинамические течения: адвекция- и сжатие 132—134 задача о распространении квадратной волны 134—136
фазовые и амплитудные ошибки 142— 145
— поток 133, 312
— производные 134, 157
— процессы 101 — скорость 48 — химические реакции 51 Конденсация 442 Конечные разности 221 аппроксимация производной 104—106 методы 33, 106, 299 явные 307 ошибки 111—115 представления 230 расписанные против потока 366 решение 109 формулы для производных 105 — элементы 243 методы 155, 162, 226, 257, 336, 343—34» подвижных элементов 346
решение 227
Консервативность (сохранение) 106, 106т, 142, 146, 193, 232, 255, 280, 284, 307, 311, 334, 375, 436
— законы 106, 107, 228, 364, 442, 559
— интегралы 106, 107, 126, 137
— требования 216
— ошибки, влияющие на консервативность 112
— полной массы 223
— свойства 56
— уравнения 36—51, 77, 382
массы 394
реагирующего течения 28—36
— условия сохранения, записанные в виде суммы 436, 437
— форма 133, 217, 312, 341
— циркуляции 410—412
Коррозия 155
Коэффициент (ы)
— антидиффузионные 131, 313, 314, 320
— бинарной диффузии 29, 295
— в ньютоновском законе теплопередачи 50
— интегрирующий 117
— поглощения 25, 482, 484, 488
Крамера правило 478
Крегеля метод 201, 202
Куранта предел 599
— условие 352, 560, 588
— число 332, 368, 373, 386, 472
Куранта — Фридрихса — Леви условие (CFL) 231, 355
Куэтта течение 597
Лагранжа подход 221, 228, 356
— производная 133, 217, 219
— ячейки 228, 239
Лагранжа — Эйлера представление 219, 220
Лазеры 572
Лакса — Вендрова алгоритм 136, 139—141, 143, 144, 176, 300—305, 329, 369, 373
искусственная диффузия 304, 305
Мак-Кормака метод 303, 304
-одномерный двухшаговый 302, 303
порядок точности 358, 359
Рихтмайера методы 302, 303
система взаимосвязанных уравнений сохранения 357—359
Лакса метод 329, 358
Лапласа уравнение 38, 46, 52
Лежандра полиномы 342
Ленард а-Джонса потенциалы 292, 296
Линия скольжения 56
Логика перестроения сетки 255
Лопатки турбины 438
Льюиса число (Le) 49
Мак-Кормака метод 303, 304, 322, 329, 369
неявный 353, 388
Макрочастицы 228, 229
Максвелла распределение 42, 532
Масса 29
— осредненная, приписываемая к границе ячеек 399
— плотность 29, 36, 101, 115, 133
поток 31
— сохранение 367
уравнение 395
центр масс 103
Масштаб длины 50
Масштабирование 504
Матрица
— алгебра матриц 475—495
— бидиагональная 388
— матричные решения 131
уравнения 157, 353
— обращение 121, 151, 157
итерационное 157
— пятидиагональная 388, 478
— разреженная 131, 201, 285
— трехдиагональная 157, 388
Маха конус 343
— ножка 248
— число (М) 29, 47, 49, 334, 349, 367, 376
характеризующее режимы течения 39
Метан 62, 77, 212
— кинетика 213
Метод(ы)
— асимптотические 108, 116, 120—123, 154
для решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений 192, 193
— блочно-неявный 155, 387, 388
— вероятностные 529
взвешенных невязок 345
вихрей в ячейке 426
с распределенной завихренностью в ядре 422—425
гибридные 196, 484
линейные 330
Гира и основанные на нем программы 197—198
— градиентов 457, 472—475
детерминированные 203
донора-акцептора 471
дробных шагов 160
интегрирования, селективный асимптотический 198
«чехарда» 136, 182—184, 302, 339, 358
границы устойчивости и точности 149
на разнесенной сетке, 147—151
неявные 183
явные 182
интерполирующей кривой 190
— использующие подвижные сетки 457, 460—465
решение задачи Римана 364—367
— квазичастиц 374, 392, 394, 417—420
— контурных интегралов 465
— кусочно-параболический (PPM) 331, 333, 365, 388
— лагранжевы 134, 378, 380, 393
двумерные 597
динамики вихрей 420
квазичастиц 417
монотонная сетка 427
— линейные гибридные 330
— маркеров в ячейке (МАС) 419, 420, 467
— многосеточные 255—257, 491
— многошаговые 186, 231
— моментов 345
Монте-Карло 208, 229, 510, 529, 553
наименьшей полной вариации (TVD)
331-333, 366, 388
вариант метода FCT (BIC—FCT) 382, 385, 388, 404
метод 85, 343, 352, 366, 395, 476
вычислительные затраты 131
переменных направлений 486
с решением задачи Римана 388
эйлеров метод для расчета непрерыв
ных течений (ICE) 387, 389
оптимизации 209
поиска по образцу 208
полунеявный для расчета уравнений, связанных через давление 390, 391
— последовательной верхней релаксации
(SOR) 488, 489, 494
— прямых 155, 162, 164, 229—231
полуаналитический 229—231
— псевдоспектральный 340, 483, 500
— расчета быстрых течений 354—376
поверхности раздела с простым линейным представлением (SLIC) 469—471 — селективный асимптотический интегрирования 198
— сеток и частиц (GAP) 419, 420
— случайного выбора 376— самостартующие 180, 181, 199— типа предиктора-корректора 180,— случайного выбора 376— самостартующие 180, 181, 199— типа предиктора-корректора 180,181,181,200, 390
— случайного выбора 376
— самостартующие 180, 181, 199
— типа предиктора-корректора 180,
— случайного выбора 376
— самостартующие 180, 181, 199
— типа предиктора-корректора 180,
181,
181,
линейные многошаговые 201
— точечных вихрей 421, 422
— трапеции 155, 179, 188
— ~™ неявный 194
с экспоненциальной интерполяцией 192, 200
— характеристик 44, 374, 375
— частиц в ячейках (PIC) 419, 420, 467
— «частица и сила» (РАЕ) 239
— экспоненциальной подгонки (CREK1D) 200, 201
— ALE 389
— CHEMEQ 193, 198—200, 557—559, 588
— CREK1D 200, 201
— ETVD 333
— ЕСТ см. Перенос с коррекцией потоков
— GAP см. Метод сеток и частиц
— HI—RES 333
— ICE 287, 389
— ICED—ALE 389
— MAC см. Метод маркеров в ячейке
— METAS1 201
— MUSCL 331, 333, 366, 388
PIC см. Метод частиц в ячейках
PPM см. Метод кусочно-параболический
— RICE 353, 387, 389
— SAIM см. Метод селективный асимптотический интегрирования
SIMPLE см. Метод полунеявный для расчета уравнений, завязанных через давление
— SIMPLER 391
SLIC см. Метод расчета поверхности раздела с простым линейным представ-
лением— SOR см. Метод ней релаксации— SUPERBEE 333, — TVD см. Метод риации— VOF 469, 471— VORTEX 419лением— SOR см. Метод ней релаксации— SUPERBEE 333, — TVD см. Метод риации— VOF 469, 471— VORTEX 419последовательной верх-
лением
— SOR см. Метод ней релаксации
— SUPERBEE 333, — TVD см. Метод риации
— VOF 469, 471
— VORTEX 419
лением
— SOR см. Метод ней релаксации
— SUPERBEE 333, — TVD см. Метод риации
— VOF 469, 471
— VORTEX 419
366, 370, 373
наименьшей полной ва-
— VSIAM 198—200
Методика для оценки размера шага 194, 195
Многочлен(ы) Лежандра 342
— Чебышева 342
Множитель перехода ПО, 143, 144, 268, 28b, 309, 327
для уравнения диффузии 128, 129
— растяжения 48
Модель (и) 17—19, 60
— детальные 17, 18
дискретной капли 545
индукции параметрическая 578, ь/о
источника частиц в ячейке 545
локально однородного течения (LHM 544—546
— модульные 26
непрерывных капель 545
— раздельного течения (SF) 544, 545
— сплошной среды 546
— турбулентности 18, 508, ьинт,вгти„
учитывающая процесс развития капл (DLH) 544
— численная (вычислительная) 61—66, 78— 90
— феноменологические 18, 19, 71
— эмпирические 19
— DLH см. Модель, учитывающая процесс развития капли
— FAST2D 460, 571, 575, 578, 581, 589
— LHF см. Модели локально однородного течения
Моделирование 16, 17, 60
— крупных вихрей 498
— течений реагирующей среды 28
— численное 21, 22
Модуль предварительной обработки уравнений химической кинетики 199
Монотонность 311, 321, 322, 329—334
— алгоритм 108, 158, 311
расчета переноса (конвекции) 162, 447
— метод 305, 328, 334, 382
классификация 330
нелинейный 136, 311—315
тесты 332, 333
Монте-Карло методы 208, 229, 510, 529, 553
Навье — Стокса уравнения 36—39, 64, 341» 356, 387, 388, 443, 499, 505
осредненные по Рейнольдсу 506
по Фавру 507
осредненные турбулентные 506—
508
Нагревание 396
Напряжение
— внутригранулярное 543, 550
— межгранулярное 543
— тензор вязких напряжений 29
— эволюционные модели 509
Нелинейность 131
Нелокальные процессы 109, 123
— разложения 221
Необратимость 132
Неопределенность 103, 204, 206, 207, 268, 292
— принцип 376
Непрозрачность 526
— среда 43
Несжимаемость 395, 418
— жидкость 240
— среда 232
Неустойчивость 70, 112, 120, 132, 143, 163, 169, 240, 251, 414, 449, 513—516
— двойная диффузионная 155
— Кельвина — Гельмгольца 22, 250, 251, 514, 597
— Рэлея — Тейлора см. Рэлея — Тейлора неустойчивость
— химическая акустическая 155
— численная 112, 112, 268, 300
Неявная формула 123
— параметр, характеризующий неявность схемы 137, 352, 440
Нитрометан 459, 557, 574, 586, 587
Нобеля — Абеля уравнение состояния 544
Нуссельта число (N) 49
Ньютона итерации 194, 198
— метод 189
— число (Nt) 49
Ньютона — Рафсона алгоритм 212, 401
Ньютона — Якоби итерации 200
Образование плато 332 333
Обратимость 106, 108, 148, 151—154, 182, 183, 411
— ошибки, влияющие на обратимость 112
Обрезание решения 332
Объемы, методы отлеживания 457, 467—
472
— элементарные 320
Ограничения 66—77
— точности 67—70
Округление 168, 169, 232
— ошибки 69, 70, 112, 132, 172, 195, 232
— точность 195
Операция транспонирования матрицы 30
Осаждение 535
Осреднение статистическое 32
Отношения (числа) безразмерные 48, 50
Отображение конформное 342
Отфильтровывание 341, 343
— нелинейная фильтрация 314
Ошибка(и) (погрешности) 108, 167
— в амплитуде 112, 125, 142—145, 154, 232, 233, 299
— вековые (секулярные) 118, 217, 448
— влияющие на причинность 112
на точность 112
— конечно-разностные 111 — 115
— минимизация 162, 242, 243
неявного метода 123
неявной формулы 123
обусловленные неразличимостью 340— 342
сеточной аппроксимацией 231—235
округления см. Округление, ошибки
при использовании асимптотической формулы 123
— сеточные 112
тарировки 21
численная 70
экспериментальные 21
Пакет программ ODEPACK 197, 198
интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений 195—202
Память вычислительная (ЭВМ) 67, 72, 79, 85, 174, 345, 430, 435, 467, 468
Параметр.
— безразмерный 46—50, 88
— потенциала 292, 293
— смешанности 580
характеризующий степень явности схемы 137, 352, 399, 440
Пекле число (Ре) 48, 49
Переменные непрерывные 102
— основные 381, 444
— консервативные 367
Перемешивание молекулярное 53, 516
Перенос 28 см. также Адвекция
— вихрей 421
— диффузионный 28, 34, 37, 42, 49, 54, 58, 87, 164, 258, 353
— излучения уравнение 523—526
— с коррекцией потоков (FCT) 139, 176, 311—321, 314, 321—326, 328, 330, 331, 368— 370, 372, 380, 512, 550, 557, 558, 571, 572
алгоритм расчета 142
для системы уравнений сохранения 359—361
конечно-элементный вариант метода 347
неявный алгоритм расчета 382— 384, 386
порядок метода 333
чисто неявный вариант метода
FCT (BIC—FCT) 382, 385, 386
конвективный см. Конвекция, перенос
коэффициенты и градиенты 42
модели переноса напряжений Рейнольдса 509
с коррекцией потоков (FCT) 139, 311, 314, 321—326, 328, 330, 331, 368—370, 372, 380, 512, 550, 557, 558, 571, 572
скорость распространения диффузии 124
турбулентный 260, 276
эволюционные модели 509
Перестройка (построение) сеток 463
— переменных 215
— фиктивные ячейки 434—439, 441, 448, 449
эйлеровы и лагранжевы 236
Переход дефлаграции в детонацию (DDTX 155, 548—553
Плавучесть 49, 520
Плазма 520, 572
Пламя 20, 54, 58, 65, 68, 72, 84, 155, 162^ 227, 242, 243, 251, 253, 256, 274, 305, 376, 378, 381, 457, 458, 470, 472, 519, 551, 583, 588
время прохода 83
детальные модели 3
— зона 83
— ламинарное 155
в предварительно перемешанном газет 56—58
— моделирование 164
— поднимающееся 155
— разрешение 83
— распространение 56, 82—87
— скорости 57, 83т, 86
— слабо светящееся 43
— фронт 57
Планка постоянная 525'
— функция 525
Плотность 134, 140
— импульса 101, 133
— сетка для расчета 147
— уравнения 378
сохранения 28, 359, 362
— флуктуации 147
— частиц 115
— энергии 101
внутренней 36
Поверхности
— контактные 246, 364, 370
— раздела 44, 58, 222, 236, 238, 243, 253^ 255, 260, 305, 364, 380. 393, 397, 432, 456— 475 см. также Границы внутренние
активные 456—460
значения на границах 317, 439, 441
осредненная масса, приписываемая к границе ячеек 399
— отслеживание 457
пассивные 456
площади граней между ячейками 316, 321
разрешение 457
слияние 466
улавливание 457
Погасание пламени 253
Поглощение 43, 523, 525, 526
— коэффициенты 43, 525, 527, 531
— полное 525
Подстановка обратная 480
Пожары 519
Полная энергия 355
Положительность 106, 111, 130, 142, 146, 219, 231, 233, 305—311, 313, 327, 329, 330^ 336, 375
выполнение условия 126
ошибки, влияющие на положительность 112
— условие 312
Полукупол 332, 333
Пористость 543
взрывчатое вещество 550
слой 548
Порог воспламенения 594
Порядок точности 70, 226, 233, 235, 249, 329, 330, 334, 342, 364, 365, 368, 372, 373, 379^ 384
метода Лакса 358, 359
Построение (применение) адаптивных сеток 69, 85, 215, 228, 238, 241—257, 348, 355, 557, 573
— Лагранжа 250—255
Потенциал векторный 351
Поток(и) 258, 273, 288, 312, 317, 446, 453
антидиффузионный 313, 314, 319, 320, 322—324
векторное расщепление потоков 366, 388
— вектор 37
диффузионный см. Диффузия, поток
— излучения 43, 259, 520, 527—529. См. также Излучение, поток
— конвективный 133, 312
коррекция 313—315, 328, 330, 361
нелинейная 313
множитель, определяющий ограничение на величину потока 327, 328
— на границе 320, 438
— ограничения 230, 313, 315, 330, 333, 361, 373
— ограничители потоков 125, 247
— переноса 322, 323
— разностное расщепление потоков 366
— расщепление потоков 366, 368
— синхронизация потоков 360, 361, 369, 373
— сопряжение потоков 280
— тепловой 378
— энергии излучения 527
Правило средней точки 176
модифицированное 176
неявное 186, 194
полунеявное 194
Прандтля число (Рг) 47, 49
Предварительные значения 313
Предиктор явный 384
Представление (описание) в виде рядов и спектральное 64—66
— вычислительное 60, 215
— дискретное 103
— конвекции 215—220
— лагранжево 215, 227—229, 235
— лагранжево-эйлерово 219, 220
— непрерывное 337—339
— сеточное 220—225, 231—235
— Фурье 226
— химии процессов 65
— эйлерово 215, 228
Преобразования по косинусам действительные 340
Приближение переменной Эддингтона 532—535
Приближение прозрачного газа 530, 588
— абсолютно прозрачной среды 528
Применение сдвинутых сеток 182
Принцип вариационный 242
Причинность 106, 107, 111, 218, 231, 234
— ошибки, влияющие на причинность 112
Пробой 519
Проверка операторов IF 95, 96
Прогонка 484
Программа пустая 81
— ясность 95
— CEL 461, 463
— DIFSUB 190, 197
— GEARB 197
— GEARBI 197
— GEARS 197
— LARKIN 194, 201
— LCPFCT 315—321, 326, 361, 370, 385, 386
— SPLISH 417, 598—601, 602
Программирование
— общие указания 95—98
— ошибки 111, 152
— стиль 94
— структурное 94
Производная 109, 172
— вычисляемая по центральным разностям
— конечно-разностная 105
аппроксимация 104—106
— первые 136
Проницаемость (Gr) 48
Процесс (ы)
— взаимодействующие 155
— двойной итерационный 488
Пуазейля число (Ро) 49
Пуассона уравнение 46, 351, 377, 410, 412,
414, 418, 421, 426, 443, 477, 482—485, 602
Пузыри 242, 535, 572
Пыль 75, 77
Равновесие локальное термодинамическое 43
Радикал метила 212
Радиоволны 519
Радиус потухания 594
— отсечения ближайших узлов 430
Разбиение сетки на зоны 241—243
переменное 215
перестройка сеток 463
фиктивные ячейки 434—439, 441, 448, 449
эйлерово и лагранжево 236
Разложение (я) в степенные ряды 109
— коэффициенты 339
— и спектральные представления 225—227 .
Разности 105, 304
— «вперед» 105
— «назад» 105
— формулы 190, 197
Разрежение 53, 133, 364, 372
— волна 331, 364, 372
Разрешение (разрешимость) 67—70, 82, 160, 228, 233, 238, 248, 254, 256, 266, 271, 281, 326—329, 354, 355, 359, 420
— активных поверхностей раздела 457—460
— временное 69, 160
— на сетке 231—241
— ограничения и затраты 74
— пространственное 69, 160
— улучшение за счет разбиения сетки на зоны 241—243
Разрыв(ы) 44, 115, 227, 256, 300, 305, 306— 308, 310, 329, 331, 342, 359, 364, 371, 372, 374, 376, 456—475
— диафрагмы 367, 370
— контактный 44, 245, 355, 364, 368, 371, 376
— плоский 364
Распределение плотности вероятности (РПВ) 510
— черного тела 531
Распространение тепла 164
Рассеяние 525
— коэффициент 525, 526, 531
— неупругое 526
— упругое 526
Расчет взаимодействий методом дробных шагов 158, 160
— с помощью расщепления временного шага 361—364
— с учетом диффузии 314
— сетка 101
— вычислительные ячейки 66, 101
— динамики орбит 184
трехмерные 141
Расщепление 252
Реакции
— бимолекулярные 40
— зоны 55
— каталитические 442
— поверхностные 442, 443
— фронты 473
— химические термонейтральные 41
— элементарные 212
— эндотермические 42
Рейнольдса напряжения 506
модели переноса 509
- число (Re) 47, 49, 50, 326—329, 440, 497, 499
сеточное 328
эффективное диссипативное 328
Релаксация 215
— время 192
— Гаусса — Зайделя 492
Ренкина — Гюгонио соотношения 19
Решение задачи Римана 331, 334, 367, 370, 373, 374
вычислительный модуль 331, 334, 367, 370, 373, 374
неявные методы 388
уравнений Ренкина — Гюгонио 19
— уравнений с трехдиагональной матрицей 404
— эллиптических уравнений, итерационное 485—495
Римана задача 331, 364—367, 369, 370, 374, 386
— инварианты 44
Рихтмайера метод 302, 303
Ричардсона число (Ri) 49
— экстраполяция 201
Россби число (Ro) 49
Росселанда средний коэффициент поглощения 531
— средняя длина свободного пробега 531, 532
Рунге — Кутта алгоритм 175—178, 180, 186, 339
классический 177
неявный 178
R-этапный 176, 188
Рэлея вязкая зона 451
Рэлея — Тейлора неустойчивость 22, 381, 460, 462, 464, 514, 515, 574
Сажа 519
— образование 213
Сбои ЭВМ 112
Сверхустойчивость 194
Сводка обозначений 29, 30
Свойства многофазных сред 75
— разреженных матриц 480
Сдвиг 31, 39
— вязкость 294
коэффициент 29, 294
— движение 53
— слой 250, 609
с временной эволюцией 498, 499, 500
с пространственной эволюцией 498, 499
— течения 228, 239, 393, 498, 499
капля в сдвиговом течении 607—609
Сетка 83, 221
— адаптивная 162
вложенная 446
эйлерова 243—250
построение 69, 85, 215, 228, 238, 241—
257, 348, 355, 557, 5 73
Лагранжа 250—255
— вложенная и многосеточные методы 255257
— Вороного 239, 240, 407, 431
— диаграмма сетки 148
— дискретная 114
— дискретные сеточные значения НО
— изменение связности 134
— лагранжева 134, 221, 228, 236, 239, 255, 319, 356, 392, 461, 463, 590
— многомерная 236—241
— ортогональная 238, 239
— ошибки при построении сетки 152
сеточные 112
— переменная 315
по пространству 271
связность 257
— перестройка сетки 134, 228, 414—416
— подвижная 315, 457, 460—465
— произвольной связности 240, 392
— равномерная 84, 138
— разнесенная 148, 151, 303, 380
— разрешение и точность на сетке 235, 236
— расчетная 220
599, 600, 604
с треугольными ячейками 239, 288, 431, 599, 600, 604
адаптивные 239
для расчета вязких течений 412
конечные разности 407, 408
перестраиваемая 548
произвольной связности 405— 407
сохранение площадей околовер- шинных ячеек 412—414
циркуляции 410—412
— связаность 240, 407
произвольная 240, 392
сеточная неопределенность 112
— сеточные представления 220—225
ошибки, обусловленные сеточной аппроксимацией 231—235
— тетраэдральная 240
— треугольная перестраиваемая 414—416
— чередующееся вложение 255
— четырехугольная см. Четырехугольная сетка
— численная, сеточная неопределенность
Сжатие 34, 37, 53, 58, 101, 132-134, 319, 379-
Сжимаемость 49, 56, 354
Сила(ы)
— внешняя 28, 29, 31, 164, 409
— вязкая 48, 49
— инерционная 47—49
— Кориолиса 49
— магнитная 31
— межмолекулярные 39
— тяжести 47
— электрическая 31
Симметрия
— граничные условия 436—439
с нулевой производной 449
— идеальная 436—440
Синтез термоядерный инерционный 557
Синхронизация потоков 360, 361, 369, 373
Синхротронное излучение 520
Система(ы) взаимосвязанных уравнений 120
— моделей FLAME1D 588—591
— уравнений сохранения 359—361
с трехдиагональной матрицей 385
Скорость(и) 37
— горения 597
— градиент 42
— детонации 55
— диффузии 29
— жидкости 29
— компоненты, нормальные 443
— нормальная 441, 448
— потенциал 29, 38, 52, 147, 380
— сетки для скорости 147
— тангенциальная 441, 448
— флуктуации 147
— химических реакций 202, 203
константы (коэффициенты) 18, 19, 29, 31, 51, 202, 203
для гидроксильного радикала и озона 52
программа формирования 199
— химического производства компонента 29, 40
расхода компонента 29
Сложности 82
— вычислительные 73
— геометрические 72, 73, 220
— физические 67, 71
— цена 71—73
Слой пограничный 56, 59, 72, 356, 427, 442— 444, 451—456
-Смешение (перемешивание) конвективное 53
— молекулярное 53, 516
— слои 497—505
— турбулентное 53, 276, 519
Солвер LSODE 198
— LSODI 198
Сопло 361
Сопротивление 444, 543, 544, 549
— коэффициент волнового сопротивления (С) 49
— межфазное 59
— сила 48
члены, описывающие сопротивление частиц 116
Сплайн кубический 602
Сращивание 252, 254. См. также Ячейка, сращивание
Среда
оптически плотная 43
—тонкая 43
Стенки 55, 56
ограничивающие 317
потери на стенках 57
Стентона число (St) 49
Стефана — Больцмана закон 520, 525
постоянная 525, 531, 532
Сток(и) 30, 55, 72, 101, 115
Стокса число (S) 49
Столкновения
время 49
интеграл 292—294, 297
диаметр сечения 292, 293 295
Струхаля число (Sr) 49
Струя(и) 536, 544—548
жидкости 449
Суперкомпьютеры (суперЭВМ) 70, 84
параллельные 72
Схемы «чехарда» 136. 182—184, 302. 339, 358
границы устойчивости и точности 149
—на разнесенной сетке 147—151
неявные 183
явные 182
— полунеявные 352
'Сходимость 108, 160, 163, 200, 291, 404, 479, 578
для обыкновенных дифференциальных уравнений 166—171, 172—174
Таблица связности узлов 255
Тау-метод 337—341
Тейлора вихревое течение 597
ряд 121, 141, 157, 170, 175, 188, 203, 357
разложение 301
Т'емпература 29, 116, 156. 158
градиент 42
— приведенная 292
— уравнение для температуры 211, 212, 260
"Теория
— численное моделирование и развитие теории 22, 23
— связь с экспериментом 21—24
Тепловыделение 56, 589
Теплоемкость 29, 50, 213
— удельная 50, 292
отношение 29
Теплопередача 49, 343
Теплопроводность 28, 33, 42, 49, 51, 57, 101, 159, 240, 258, 275—278, 280, 282, 286, 291 — 294, 309, 378, 379, 396, 573, 574, 589
— тепловая волна 278
— коэффициенты 29, 274, 292
— нелинейная 574
— фронт 276, 277
— электронная 274
Теплота(ы) образования 51, 212, 213
— удельная 29
Термодиффузия 42, 51, 66, 101, 258, 293, 294, 589
— коэффициенты 29, 51
Тетраэдры 254
Течение(я)
— адиабатическое и несжимаемое (ADINC) 395-404
— атмосферное 381
— аэродинамические 242
безвихревое 53
быстрые см. Быстрые течения
вблизи твердых тел 35
— визуализация 393
— в канале 498
— вращательные 53, 239, 240, 254, 377
— вязкой жидкости 412, 440
— гиперзвуковое 39, 349, 355
— двухфазные 390
— дозвуковое 39, 79, 354, 376, 381, 404, 556, 578, 580
— запертые 578
— изэнтропическое 352
— конвективные 18
— Куэтта 597
— ламинарное 35
— медленные 349
алгоритм расчета 123, 382, 405
методы для расчета 376—392
асимптотические 377
лагранжевы 391—392
неявные алгоритмы 386—391
с коррекцией потоков 382—
386
расчет 353
уравнения 378, 379
— многофазные 30, 54, 58, 77, 163, 305, 380, 535, 540
реагирующие 58
— модель, локально однородная 544—546
— невязкое 408, 409
— невязкой жидкости 408, 409
— несжимаемой жидкости 39, 227, 342, 349— 352, 374, 377, 393, 408, 424, 447
— отрывные 72
— полностью столкновительное 537
— потенциальное 38, 377
моделирование 28
динамикажидкостипри наличии химических реакций 51—59
уравнениясохранения28—51
уравнения, для нейтрального газа 30
уравнения сохранения 36—51
— режимы, характеризуемые числами Маха 39
— сверхзвуковое 39, 56, 79, 354, 355, 433, 556, 572
одномерное 556—571
— эйлеровы методы расчета 356
группа моделей RSHOCK 556—560
-расщепление шага по време-
ни 560—563
— с временной эволюцией 498—500
— с пространственной эволюцией 498, 499 — сжимаемой жидкости (среды) 343, 349— 352, 357, 375, 392, 394, 433
— скорость 138
— трансзвуковые 349, 355
— турбулентные 35, 37
Токамак 240
Точки тройные 56, 583, 587
Точность 61, 66, 68, 94, 105, 106, 108, 109, 120, 121, 130, 131, 152—154, 163, 180, 181, 186, 195, 219, 220, 231, 232, 242, 244, 330, 346, 359, 403 — анализ 109—111 — временная 67, 68 — входных данных 71 — конечная 33 — критерии 100, 109 — на сетке 231—241 — обыкновенных дифференциальных уравнений 166—171 порядок точности 168, 169 — ограничения 67—70 — ошибки, влияющей на точность 112 — порядок 342 — расчета фаз 334 Траектория(и) — уравнения траекторий частиц 417 — характеристические 44, 45 Треугольник(и) 254, 406—408 — величина, определяемая внутри треугольной ячейки 407—410, 412
— скорости в треугольной ячейке 410, 412 Турбулентность 31, 52, 65, 76, 77, 326, 427, 496—519
— возникновение 504
— вязкость 508
— генерация 513—516
— детальное моделирование 497—503
— каскадный процесс 329 — масштабы 504 — модели 18 подсеточные 498, 505, 511—513 с одним уравнением 508 статистические 497, 498 эволюция масштаба 508 — молекулярное смешение 155 — однородная 498 — подсеточная 505
— смешение (перемешивание) 53, 276, 516, 518
Тяготение (гравитация) 31, 4 7, 14 5, 573, 576, 577
— ускорение 31
Углеводороды 214
Угловая скорость вращения твердого тела 50
— частота 146
Удар 240
Узел 345—347, 428
Формата метод 387
Уравнение(я)
— адиабатическое 44
— Больцмана 37
— взаимосвязанные 120
— волновое 46, 108
— в частных производных 107, 155. 163, 260, 344
классификация 45, 46
— гиперболические 300
— двухжидкостные 541, 542
— дифференциальные в частных производных 107, 155, 163, 260, 344
обыкновенные 41, 56, 74, 102, 105, 109,
116, 123, 125, 155, 158, 163, 231, 334, 339, 424, 557, 588
— диффузии см. Диффузия, уравнение
— для вихря 378, 472
давления 354, 378
при изэнтропическом течении 351, 352
медленных течений 378, 379
многокомпонентной жидкости 536 плотности 378, 507.
химических компонентов 360
— жесткие 108, 116, 118 — импульса
для многофазных сред 116
— континуума 34, 66
— Лапласа 38, 46, 52
— матричное 158, 353
— многофазных течений 540—548
Навье — Стокса см. Навье — Стокса уравнения
— нелинейные 161
неразрывности см. Уравнение сохранения
неявные 148
эллиптические 158
обыкновенные дифференциальные 41, 56, 74, 102, 105, 109, 116, 123, 125, 155, 158, 163—165, 231, 334, 339, 424, 557, 588
анализ чувствительности 202—209 жесткость 184—195
классические методы 164, 174
линейные многошаговые 179,
180
одношаговые 174—178 экстраполяции 180—182
определения и свойства 165—174 пакеты интегрирования 195—202
порядок точности 163 основные 350, 377
— параболические 280, 281
— Пуассона см. Пуассона уравнение
— радиационного переноса 523—527
— Ренкина — Гюгонио 19
— состояния 18, 36, 40, 161, 382, 396, 397, 549, 550, 573, 574, 575
для разреженного газа 39
идеального газа 30
Нобеля — Абеля 544
— сохранения (неразрывности) 36, 133, 268, 315, 344, 507, 557
в декартовых координатах 133
для конвективного течения 217—219
интегрирование по времени 145—147 лагранжевы методы 393—431
Лакса — Вендрова методы 300—305
метод расчета переноса с коррекцией потока 311—321
Залесака обобщение 321-326
многомерные 133
монотонность 329—334
положительность и устойчивость решения, 305—311
разрешимость и ограничения на число Рейнольдса 326—329
система 133, 300, 349
спектральный метод и метод конечных элементов 334—348
течений несжимаемой и сжимаемой жидкости 349—352
эйлеровы методы 299—348
с пятидиагональной матрицей 152
семидиагональной матрицей 152
трехдиагональной матрицей 401, 402, 404, 484
течения жидкости многокомпонентной 536
траектории 417
— эволюционные 116
— энергии см. Энергия, уравнение
— Эйлера см. Эйлера уравнения
Ускорение силы тяжести 29, 31
Условие (я) без границы 436--440
— граничные 35, 38, 51, 52, 72, 86, 255, 337— 339, 432, 433—456, 578, 590
антисимметричные 438—440
для излучения 449—451
для неограниченных областей 444— 456
для ограниченных областей 436—444
— —непрерывности или условия, учитывающие втекание — вытекание потока 447—449
периодические 109, 138, 438, 439
при расчете диффузии или граничные условия с потоками на краю области 440, 441
учитывающие излучение или передачу волн 449—451
— на скачках 364
— непрерывности 447—449
— прилипания 443
— симметрии с нулевой производной 449
— скольжения 439, 440
— CFL см. Куранта — Фридрихса — Леви условие " Установление теплового равновесия 116
Устойчивость 70, 108, 120, 122, 130, 137, 146, 149, 154, 160, 163, 218, 281, 308—311, 313, 352, 354, 403
— абсолютная 171
область 171
— анализ 146
— граница 151
— для обыкновенных дифференциальных уравнений 166—171
жестких 186—188
— критерии 100
— линейная 309
— предел 151
— условия 216
— численная (вычислительная) 151, 308
Фавра осреднение 507
Фаза(ы) 144, 154
— взаимодействия межфазные 536—540, 549
— гармоник 136
— изменения 34
— ошибка 112, 114, 125, 126, 133, 134, 140, 142—145, 154, 217, 231, 232, 299, 360
— —дисперсии 113
при конвекции 320
— сдвиг ПО, 142
— скорость 145, 153
— точность 334
— функция 526
Феноменология 69, 73—77
— модели 18, 19, 71
— подход при рассмотрении граничных поверхностей 442—444
Физика Солнца 572
Фика второй закон диффузии, обобщение на многокомпонентный случай 228
Фика приближенный закон диффузии 287, 288
Фильтр 104, 512
Флуктуации 132, 147
Формула интегрирования для массы 223
Формула явная 198
Фортран 197, 199, 315
Фотоионизация 522
Фотоны, поглощение 43
Фруда число (Fr) 47, 48
Функция(и)
— базисные 111, 166, 220, 223, 225, 235, 266, 334, 3 37, 341, 344
— весовые 345
— невязки 345
— ошибки 345
— по которым проводится разложение 166, 220—227, 235, 341, 344, 434. См. также Базисные функции
— распределения вероятностей 207, 208
— тока 29
— формы 345, 346, 348
Фурье-анализ 133, 484
для расщепленных трехдиагональных систем 484
кратный 483
чувствительности см. Фурье метод
— быстрое преобразование (FFT) 483
— гармоники 109, НО, 115, 125, 149, 227, 232, 484
— интеграл ПО
— коэффициенты 227
— метод 154
— мода 111
— представление 226, 227
— преобразование 109, ПО, 232, 341, 494
быстрое 341, 342
— разложение 102, 136, 226, 340
— ряд 109, ПО, 340
Хаос 519
Характеристики 44, 374, 376
— метод 44, 374, 375
Холецкого метод неполный 490
Холодная среда 529
Цепи электрические 164
Циркуляция 29, 38, 413, 424 — сохранение 410—412
Частицы жидкости (ячейки) 133
Частицы-маркеры 467
Частота 29, 50, 149
Чебышева метод циклический 489
— полиномы 340, 342
— ряд 340
Четырехугольники 460
Чувствительность 62
— анализ в обыкновенных дифференциальных уравнениях 202. 209, 213
линейные методы 209
прямые методы 209
— коэффициенты 204—206
— методы глобальные 206—209
локальные 203—206, 209
Шаблон
— девятиточечный 283
— конечно-разностный 283
— пятиточечный 283, 478
Шмидта число (Sc) 48, 49
Шредингера уравнение 46 Шум высокочастотный 104 — вычислительный 328, 329 — турбулентный 155
Эддингтона переменная 532—535
— приближение 520, 529, 530, 532—535
Эйкена множитель 292
Эйлера уравнение 37, 341, 364, 387, 440
— число (Ей) 47, 48
Эйлера — Лагранжа метод произвольный (ALE) 389
Эйлера — Ромберга метод 181
Эйлера алгоритм 254, 355
— подход 356
Эйлера сетка (и) 145, 221, 222, 237, 240, 241, 307, 326, 356, 419, 461, 466, 467
адаптивная 243—250
— производная по времени 133
Эйлера представление (описание 215, 228, 431, 556
— скользящее перестроение сетки 224, 245, 248
Эйлера —Лагранжа представление (описание) 219, 220
Эйлера методы 134, 175, 176, 180, 181, 199, 305, 349, 377, 380, 393. См. также Уравнение сохранения, эйлеровы методы
модифицированный 176, 177
неявные 193, 356, 387
для расчета непрерывных течений (ICE) 389
обратный 190, 193
трапеций 188
улучшенный 176, 177
явные 300, 356, 387
Экзотермический процесс 42
Эксперименты
— диагностика 23, 24
— погрешности 21
— связь с теорией 21—24
Экстраполяция 434, 440, 446, 448
— методы 180—182
дЛЯ решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений 193, 194
полиномиальная 182, 201
полунеявные METAN1 и METAS1 201
рациональными функциями 182
Ричардсона 201
Элементы 344
— треугольные 346
Элементы алгебры матриц 475—495
Энергия 115
— активации 203. 210
— воспламенения 61, 62
— кинетическая 48, 351, 355
— плотность 29, 30. 101
— — внутренняя 36
— —уравнение 28
— поверхностная потенциальная 18
— полная 355
— порог воспламенения 594
— поток 42, 146
— состояния 522
— сохранение 146, 367, 404, 453
уравнение 30, 351, 360, 363, 394, 396, 544, 577
— тепловая 355
— тепловыделение 54, 55, 56, 65, 210, 305, 379, 396, 4 53
— тяготения 48
потенциальная 577
— уравнение 36, 146, 356, 507, 549
Энтальпия 31, 33, 51, 211, 378, 557, 589
— удельная 29
Энтропия 44, 132, 220, 365, 396
— линии постоянства 447
— удельная 29
Эффективность 90—99, 420
— численных методов 26
Явления коллективные 33
Якобиан (матрица Якоби) 157, 171, 173, 184, 185, 193, 195, 197, 198, 200, 201
— разреженность 189
Якоби итерации 487
Якоби — Ньютона итерации 200
Ячейка (и) 101—103, 114, 147, 149, 150
— донорская 136, 139, 299, 306, 373, 376
— границы ячеек 101, 133, 222, 223, 312, 317.
См. также Граница раздела
— детонационная 583
— значение в центре 102
— модель источника частиц 545
— объем 316, 397
— околовершинная или ячейка, центрированная в вершине 405, 406
— положения границ раздела 102
— расщепление 252, 254, 255, 588
— размер 70, 102, 128, 136, 137, 221, 222, 233, 246, 247
переменный 153
— решение задачи Римана на границах ячейки 365, 366
— сеточное число Рейнольдса 328
— сращивание 252, 254, 255, 588
— центр ячейки 102, 316
— фиктивные 435
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редакторов перевода 5
Введение 8
Аббревиатуры названий методов иалгоритмов15
Глава 1. Обзор численного моделирования16
1-1. Некоторые комментарии по терминологии16
1-2. Три типа физических моделей17
1-3. Уровни моделирования20
1-4. Связь между теорией и экспериментом21
1-5. Тирания чисел24
1-6. Содержание книги25
Глава 2. Проблемы моделирования реагирующих течений... .28
2-1. Уравнения сохранения для реагирующего течения....28
2-1.1. Нестационарные уравнения сохранения28
2-1.2. Континуальное представление32
2-1.3. Физические явления, представленные в уравнениях ..33
2-1.4. Граничные и начальные условия35
2-2. Обсуждение уравнений сохранения36
2-2.1. Уравнениядинамики жидкости36
2-2.2. Уравнениясостояния39
2-2.3. Уравнениякинетики химических реакций40
2-2.4. Уравнениядиффузионного переноса42
2-2.5. Уравнениярадиационного переноса43
2-2.6. Характеристические траектории44
2-2.7. Классификация уравнений в частных производных..45
2-2.8. Безразмерные переменные46
2-2.9. Поиск входных данных50
2-3. Динамика жидкости при наличии химическихреакций..51
2-3.1. Механизмы обратной связи и взаимодействия...51
2-3.2. Три задачи реагирующих течений54
Глава 3. Модели и численный эксперимент60
3-1. Развитие моделей численного эксперимента61
3-1.1. Научная постановка проблем моделирования ...61
3-1.2. Выбор вычислительногопредставления63
3-2. Предельные факторы и ограничения66
3-2.1. Ограничения точности67
3-2.2. Цена сложности71
3-2.3. Использование феноменологических моделей ....73
3-3. Разработка и тестирование модели78
3-3.1. Компромиссы при выборе и оптимизации моделей..78
,3-3.2. Этапы в разработке численной модели80
3-3.3. Пример: численное моделирование распространяющегося ламинарного пламени 82
3-3.4. Тестирование программ имоделей87
3-4. Эффективно используйте время90
3-4.1. Разделяйте время между заданиями91
3-4.2. Документируйте и возвращайтесь к результатам моделирования 91
3-4.3. Совместная работа93
3-4.4. Общие указания по программированию95
у 3-4.5. Не бойтесь возможности все начать сначала....98
Глава 4. Общие замечания о численныхметодах100
4-1. Введение в теорию конечно-разностных методов....100
4-1.1. Дискретизация по времени и по пространственной координате 100
4-1.2. Конечно-разностное представление производных по времени и по пространству104
4-1.3. Качественные свойства численныхалгоритов...106
4-1.4. Методы анализа точности109
4-1.5. Типы конечно-разностных ошибок111
4-2. Локальные процессы и кинетика химическихреакций...115
4-2.1. Явные и неявные методырешения115
4-2.2. Асимптотические решения120
4-3. Распространение диффузии123
4-3.1. Уравнение диффузии123
4-3.2. Аналитическое решение: затухание периодической функции 125
4-3.3. Явное и неявное решения126
4-3.4. Вычислительные затраты для неявных методов ...130
4-3.5. Физическая диффузия и численная диффузия ...131
4-4. Конвективный перенос132
4-4.1. Гидродинамические течения: адвекция и сжатие..132
4-4.2. Тестовая задача о распространении квадратной волны 134
4-4.3. Явное и неявное решения136
4-4.4. Фазовые и амплитудные ошибки в общепринятых методах 142
4-5. Волны и колебания145
4-5.1. Волны, возникающие вследствие взаимосвязи уравнений сохранения145
4-5.2. Явный алгоритм «чехарда» на разнесенной сетке ..147
4-5.3. Обратимый неявный алгоритм151
4-5.4. Обратимость, устойчивость и точность152
4-6. Взаимодействия154
4-6.1. Трудности при расчете членов, описывающих взаимодействия 154
4-6.2. Глобально-неявный метод расчета взаимодействий..156
4-6.3. Расчет взаимодействий методом расщепления шага по вре- , мени, или методом дробных шагов158
4-6.4. Достоинства и недостатки методов расчета взаимодействий160
Глава 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения: химическая кинетика и другие локальные явления 163
5-1. Определения и свойства165
5-1.1. Задача с начальными значениями165
5-1.2. Точность, сходимость и устойчивость166
5-1.3. Неявные и явные решения172
5-1.4. Жесткие обыкновенные дифференциальные уравнения 172
5-2. Обзор классических методов решения174
5-2.1. Одношаговые методы174
5-2.2. Линейные многошаговыеметоды179
5-2.3. Методы экстраполяции189
5-2.4. Методы интегрирования«чехарда»182
5-3. Некоторые подходы к решению жестких уравнений ...184
5-3.1. Устойчивость и жесткие ОДУ186
5-3.2. Неявные методы для жестких ОДУ189
5-3.3. Методы для решения жестких уравнений199
5-3.4. Некоторые важные проблемы195
5-4. Пакеты интегрирования196
5-4.1. Программы, основанные на методе Гира197
5-4.2. Асимптотический метод интегрирования: CHEMEQ и VSAIM199
5-4.3. Метод экспоненциальной подгонки CREK1D ....209
5-4.4. Полунеявные методы экстраполяции METAN1 и METAS1 201
5-4.5. Метод Крегеля201
5-5. Анализ чувствительности202
5-5.1. Локальные методы анализа чувствительности...203
5-5.2. Глобальные методы анализа чувствительности...206
5-5.3. Основные соображения по анализу чувствительности 209
5-6. Расчеты химической кинетики210
5-6.1. Химическая кинетика в реагирующих течениях...210
5-6.2. Решение уравнения для температуры211
5-6.3. Приложения к химической кинетике212
Глава 6. Представления, разрешение и сетки215
6-1. Представление конвективных течений215
6-1.1. Почему трудно моделировать конвекцию215
6-1.2. Уравнение сохранения массы217
6-1.3. Сравнение представлений Лагранжа и Эйлера ...219
6-2. Представление непрерывной переменной220
6-2.1. Сеточные представления220
6-2.2. Разложение и спектральные представления ....225
6-2.3. Представления в форме Лагранжа227
6-2.4. Метод прямых229
6-3. Разрешение и точность на сетке231
6-3.1. Ошибки, обусловленные сеточной аппроксимацией..231
6-3.2. Разрешение и точность235
6-3.3. Введение в многомерные сетки236
6-4. Методы построения адаптивной сетки241
6-4.1. Разбиение сетки на зоны для улучшения разрешения 241
6-4.2. Построение эйлеровой адаптивной сетки243
6-4.3. Построение лагранжевой адаптивной сетки ....251
6-4.4. Вложенные сетки и многосеточный метод255
Глава 7. Процессы диффузионного переноса258
7-1. Уравнение диффузии259
7-1.1. Природа диффузионных явлений259
7-1.2. Тестовая задача с 6-функцией261
7-1.3. Нарушение решения в случае коротких и длинных волн 266
7-1.4. Численная диффузия и неустойчивость267
7-2. Интегрирование уравнения диффузии268
7-2.1. Одномерная конечно-разностная схема268
7-2.2. Решение неявных уравнений с помощью обращения трехдиагональной матрицы270
7-2.3. Большие изменения Ах и D271
Нелинейные эффекты и сильная диффузия274
7-3.1. Эффекты нелинейнойдиффузии274
7-3.2. Численные методы расчета нелинейной диффузии ..278
7-3.3. Асимптотические методырасчета быстрой диффузии 280
7-3.4. Ограничители потока281
7-4. Многомерные алгоритмы282
7-4.1. Неявные, явные и центрированные алгоритмы...282
7-4.2. Неявный метод чередующихся направлений и методы расщепления по направлениям286
7-5. Решение для скоростей диффузии компонентов ....286
7-5.1. Приближенный закон диффузии Фика287
7-5.2. Эффективный итерационный алгоритм289
7-6. Вычисление коэффициентов диффузионного переноса...291
7-6.1. Теплопроводность291
7-6.2. Обыкновенная (молекулярная, бинарная)диффузия293
7-6.3. Термодиффузия294
7-6.4. Вязкость294
7-6.5. Диффузионный перенос при горении водорода...295
Глава 8. Уравнение сохранения: эйлеровы методы299
8-1. Методы Лакса — Вендрова300
8-1.1.Основной одношаговый метод301
8-1.2.Двухшаговый метод Рихтмайера302
8-1.3.Метод Мак-Кормака303
8-1.4.Искусственная диффузия304
8-2. Положительность и устойчивость решения305
8-3. Метод расчета переноса с коррекцией потоков ....311
8-3.1. Основная идея метода расчета переноса с коррекцией потоков 312
8-3.2. Программа LCPFCT315
8-4. Обобщение Залесака321
8-5. Разрешимость и ограничения на число Рейнольдса...326
8-6. Методы, гарантирующие монотонность329
8-6.1. Классификация монотонных методов330
8-6.2. Тестовые расчеты монотонными методами ....332
8-6.3. Замечания о монотонных методах333
8-7. Спектральный метод и метод конечных элементов ....334
8-7.1. Непрерывные представления337
8-7.2. Спектральные методы339
8-7.3. Методы конечных элементов343
Глава 9. Система уравнений сохранения для быстрых и медленных течений 349
9-1. Система уравнений сохранения349
9-1.1. Уравнения движения несжимаемойи сжимаемой жидкости 349
9-Ь27 Интегрирование по времени352
9-1.3. Расчет быстрых и медленных течений353
9-2. Методы расчета быстрых течений354
9-2.1. Методы Лакса — Вендрова357
9-2.2. Метод FCT для систем уравнений сохранения ...359
9-2.3. Многомерные расчеты с помощью расщепления времено- го шага361
9-2.4. Задача Римана и методы, использующиееерешение364
9-2.5. Сравнение нескольких методов367
9-2.6. Несколько других методов374
9-3. Методы для расчета медленных течений376
9-3.1. Методы расчета медленных течений378
9-3.2. Неявный алгоритм расчета переносаскоррекцией потоков382
9-3.3. Несколько неявных алгоритмов386
9-3.4. Лагранжевы методы391
Глава10. Лагранжевы методы393
10-1. Одномерный лагранжев метод395
10-1.1.Основные уравнения396
10-1.2.Вычислительный алгоритм397
10-1.3.Некоторые общие замечания403
10-2. Сеткис произвольно связанными треугольными ячейками 404
10-2.1. Сетка с треугольными ячейками405
10-2.2. Конечные разности на сетке с треугольнымиячейками407
10-2.3. Уравнения течения невязкой несжимаемойжидкости408
10-2.4. Сохранение циркуляции410
10-2.5. Вязкие течения412
10-2.6. Сохранение площадей околовершинных ячеек. . .413
10-2.7. Перестройка сетки414
10-2.8. Некоторые общие замечания417
10-3. Методы квазичастиц417
10-4. Методы динамики вихрей421
10-4.1. Методы точечных вихрей421
10-4.2. Метод вихрей с распределенной завихренностью в ядре и метод вихревых линий422
10-4.3. Динамика контуров426
10-4.4. Методы вихрей в ячейке426
10-4.5. Некоторые замечания по методам вихрей....427
10-5. Монотонная лагранжева сетка428
Глава 11. Алгоритмы расчета границ, поверхностей раздела и решения матричных уравнений432
11-1. Граничные условия433
11-1.1. Граничные условия для ограниченныхобластей..436
11-1.2. Граничные условия для неограниченныхобластей444
11-2. Поверхности раздела и разрывы456
11-2.1. Численное разрешение активных поверхностей раздела457
11-2.2. Методы, использующие подвижные сетки....466
11-2.3. Методы отслеживания поверхностей465
11-2.4. Методы отслеживания объемов467
11-2.5. Метод градиентов472
11-3. Элементы алгебры матриц в приложении к конечно-разностным уравнениям475
11-3.1. Постановка задачи476
11-3.2. Точное решение матричного уравнения478
11-3.3. Трехдиагональные матрицы480
11-3.4. Прямое решение уравнения Пуассона482
11-3.5. Итерационное решение эллиптическихуравнений..485
11-3.6. Выводы\.494
Глава 12. Трудные проблемы496
12-1. Турбулентность496
12-1.1.Детальное моделирование турбулентности....497
12-1.2.Идеальная модель турбулентности503
12-1.3.Осредненные турбулентные уравненияНавье — Стокса506
12-1.4.Подсеточные модели турбулентности511
12-1.5. Проблемы моделирования турбулентности в реагирующем течении513
12-1.6.Заключительные замечания519
12-2. Радиационный перенос519
12-2.1. Физические основы радиационного переноса..521
12-2.2. Уравнение радиационного переноса 523^
12-2.3, Поток энергии излучения527
12-2.4. Некоторые важные предельные случаи528
12-2.5. Более общие подходы529
12-2.6. Радиационное диффузионное приближение ....531
12-2.7. Приближение переменной Эддингтона532
12-3. Многофазные течения535
12-3.1. Межфазные взаимодействия 536>
12-3.2. Уравнения многофазных течений541
12-3.3. Струйные и капельные модели545
12-3.4. Модель перехода дефлаграции в детонацию ...548'
12-3.5. Фундаментальные модели553
12-3.6. Моделирование многофазных течений554
Глава 13. Модели ударных волн пламен и детонаций556
13-1. Одномерные сверхзвуковые реагирующие течения....556*
13-1.1. Структура моделей RSHOCK557
13-1.2. Расщепление шага по времени560
13-2. Многомерные сжимаемые реагирующие течения...571
13-2.1. Структура и связи в FAST2D572
13-2.2. Некоторые примеры573
13-3. Одномерные дозвуковые реагирующие течения....586-
13-3.1. Структура моделей FLAME 1D 588^
13-3.2. Расщепление шага по времени591
13-3.3. Некоторые примеры592
13-4. Двумерная лагранжева модель597
13-4.1. Структура программы SPLISH 598-
13-4.2. Поверхностное натяжение601
13-4.3. Течение внутри и вокруг капель602
13-5. Эмпирические правила609
Литература613
Дополнительная литература 640*
Предметный указатель . 643;
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим ,присылась по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2, изд-во «Мир».
Элейн Оран, Джей Борис
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕРЕАГИРУЮЩИХ ПОТОКОВ
Заведующий редакцией В. И. ПропойСтарший научный редактор А. Ю. КирийМладший научный редактор Л. Л. СавиноваХудожник Т. А. БучагенкоХудожественные редакторы
Н. И. Иванов, А. В. СтраховаТехнические редакторы
Т. А. Мирошина, И. И. Володина
И Б № 7375
Сдано в набор 23.04.90. Подписано к печати 25.09.90. Формат 60X90V16. Бумага кн.-журн. Печать высокая. Гарнитура Литературная. Объем 20,75 бум. л. Усл. печ. л. 41,5. Усл. кр.-отт. 41,5. Уч.-изд. л. 42,61. Изд. № 7/7143. Тираж 3400 экз.
Зак. 245. Цена 3 р. 40 к.
Издательство «Мир»
В/О «Совэкспорткнига» Государственногокомитета СССР по печати.
129820, ГСП, Москва, 1-й Рижский пер., 2.
Московская типография № 11Государственного комитета СССР по печати.113105, Москва, Нагатинская ул., д. 1.
Издательство «Мир»
предполагает выпустить в 1991 г.книгу:
Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен:
В 2-х кн.: Пер. с англ./Гебхарт Б., Джалурия И., Магаджан Р.,Саммакиа Б. — М.: Мир, 1991. — 74 л.: ил.— (В пер.): 8 р. 20 к.за комплект, 5000 экз.
Монография известных американских ученых, содержащая богатейшую информацию общего и специального характера, накопленную в теории свободноконвективных течений и явлений переноса за последние годы. В книге описаны как классические подходы, так и современные методы анализа инженерных проблем.
Для преподавателей, аспирантов и студентов, а также для научных работников и инженеров, специализирующихся в новой технике, электронике, химической технологии, энергетике, строительстве, геофизике и астрофизике.