MEMOIRS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETYNUMBER 81, pp 1-®

LECTURES ONHAMILTONIAN SYSTEMSby

Jflrgen K. MoserCburant Institute of Methemitlcal Science, New York1MB

DIB ORUNDLEHRPNDEE MATHEMATlECHEN WISSENSCHAFTENIN K1NZELDARSTELLUNGEN

•AND 187

C. L. Siegel «J. K. MoserLECTURES ONCETI PQTIAf MFfHAMTPQ

S8M0

Springer Verleg Berlin Heidelberg New YorkМП

ВИВЛИОТЕКА СВОРНИКА «МАТЕМАТИКА»

КХ МОЗЕР

ЛЕКЦИИО ГАМИЛЬТОНОВЫХ

СИСТЕМАХ

Перевод е в*вле<егого

Ю. G ОСИПОВА И Л Д. ПУСТЫЛЬНИКОВА

Под редакцией

В. М. АЛЕКСЕЕВА

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»МОСКВА 1973

УДК 517.9; Ml 1; 531.011

Автор американский математик Ю Мозер внес значительный вклад в теорию гамильтоновых систем Книга посвящена исследованию поведения гамильтоно пых систем в окрестности положения равновесия При ведено подробное доказательство фундаментальной теоремы о существования инвариантных кривых и ее при ложения Наряду с общей теорией много примеров конкретных систем

Кинга представляет интерес как для математиков, тик и для специалистов по механике Она будет по- лезча орваодамтыям лошрантам и студентам -ewe- шнх курсов университетов и пединститутов

Редакция литературы по математическим наукам

© Перевод не русский язык, «Мир», 1973

0223 030041 (01)-73

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Теория гамильтоновых систем, в особенности качественная их теория, интенсивно развивалась в последние годы Наиболее существенные ее достижения связаны с работами А. Н. Колмогорова, В. И Арнольда и Ю. Мозера, в которых для систем, близких к интегрируемым, было доказано существование квазнпериодиче- ских движений, заполняющих инвариантные торы. Теория Колмогорова — Арнольда — Мозера (КАМ-теория) получила широкую известность, в то же время доста точно популярного изложения доказательств основных ее-результатов, равно как и изложения всего круга относящихся сюда идей, понятий и фактов, пока, по-ви- димому, не существует.

Предлагаемая вниманию читателей книга отчасти восполняет этот пробел Здесь представлены многие идеи КАМ теории, и притом в той простейшей ситуации, когда существенные черты теории выступают наиболее отчетливо и не затемняются многомерностью и осложняющими картину вырождениями

В книге объединены переводы двух работ Ю Мазера

Часть 1 является переводом его «Лекций о гамильтоновых системах* (Lectures on Hamiltonian systems, Memoires of American Mathematical Society, № 81, 1968, 1—60), давших название и всей книге Большая их часть посвящена изучению аналитических гамильто новых систем с двумя степенями свободы вблизи состояния равновесия» Рассмотрен вопрос о приведении к нормальной форме в смысле Дж Биркгофа, обсуждаются проблемы сходимости соотвектвующих формальных рядов и устойчивости равновесного решения Последняя лекция поснящена приложениям к построению тороидальных магнитных поверхностей в теории плазмы.

Вся эта часть написана прозрачно; автор сознательно опускает трудные доказательства там, где это

помогает пониманию существа дела. Несомненно, можно рекомендовать эти лекции Мозера для первого ознакомления с предметом.

Среди теорем, доказательство которых опущено, наиболее важной является теорема о существовании инвариантной кривой — центральная теорема КАМ-теории в случае двух степеней свободы. Ес доказательство чн- celestial mehanics, Springer-Vcrlag, Berlin, Heidelberg, иностранной литературы выпустило в свет перевод «Лекций по небесной механике» известного математика Карла Людвига Зигеля, выполненный с немецкого издания 1955 г В 1971 г, появилось новое, английское издание, па титульном листе которого указаны фамилии уже двух авторов* С. L Siegel, J. К Moser, Lectures on celestial mechanics, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1971 Оно значительно дополнено по сравнению с первым. Прежде всего в него включено изложение результатов К Зигеля по теории тройного соударения в задаче трех тел, опубликованных еще в 1941 г., но не слишком известных (это § 12 иЧЗ гл. I). Далее, во второй главе добавлено доказательство сходимости преобразования к нормальной форме для отображения, сохраняющего площадь в окрестности гиперболической неподвижной 1очки (§ 23) Основные изменения касаются главы Ш В § 26 дапо новое, более простое доказательство теоремы Зигеля о конформном отображении, относящейся к так называемой теоретикофункциональной проблеме центра (ср русское изд., § 23, 24) Наконец, § 32—36 (написанные Ю Мозером) органически связаны с материалом части 1 данной книги. Здесь доказаны теорема о существовании инвариантной кривой (для аналитического отображения) и теорема об устойчивости положения равновесия гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в общем эллиптическом случае, а также даньгприложения к существованию квазипериодических движений Поэтому представилось целесообразным включить перевод этих параграфов в настоящую книгу в виде части 2.

(Заметим, что материал остальных добавлений, сделанных в английском издании, частично уже освещен в переведенных на русский язык статьях: К Зигель.

Упрощенное доказательство одной теоремы Мозера, Математика, 5 2 (1961), 157—160: Ю. Мозер, Быстро схо дящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения, У МН, 23 (1968), № 4, 179—238.)

Перевод части 1 выполнен КХ С. Осиновым, перевод части 2 — Л Д. Пустыльниковым.

В добавлении, написанном молодым московским математиком Н. Н. Нехорошевым, изложены некоторые новые результаты, непосредственно примыкающие к тематике книги и относящиеся к оценке скорости изменения адиабатических инвариантов в гамильтоновых системах.

Я выражаю признательность А Д. Брюно, который обратил мое внимание на неточности в доказательстве теоремы об устойчивости в части 1 и любезно ознакомил меня с относящимися сюда материалами

В части 2 при переводе произведены несущественные отклонения от оригинала, с тем Чтобы сделать эту часть во возможности независимой от остальных частей книги К, Зигеля и Ю. Мозера. Несколько фраз опущено в пункте ж лекции 2 (часть I), что оговорено в соответствующем примечании. Разумеется, за эти отклонения я несу полную ответственность.

М, Алексеев

ЧАСТЬ 1

ЛЕКЦИИО ГАМИЛЬТОНОВЫХСИСТЕМАХ

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая работа возникла на основе четырех лекций по теории гамильтоновых систем, прочитанных автором в университете Джона Пэрдью (Лафайет, штат Индиана) Я попытался осветить в них круг проблем, связанных, с одной стороны, с устойчивостью, а с другой—с существованием интегралов и квазипериодиче- ских решений. Эта проблемы служили объектом пристального внимания в течение долгого времени, но прогресс здесь был достигнут только в последние десять лет благодаря работам А. Н Колмогорова, В И. Арнольда н других авторов. Проблемы, о которых идет речь, носят весьма глубокий характер и появляются в теории гамильтоновых систем в тамых различных формах Мы будем заниматься преимущественно нзучс нисм гамильтоновых систем вблизи положения равновесия, поскольку в этой ситуации интересующие нас моменты проявляются наиболее просто и отчетливо

В качестве исходного примера рассмотрим проблему устойчивости ла!ранжевых решений задачи трех тел. Пусть ль, уь — координаты материальной точки массы ть (А ™ I, 2; 3) на плоскости Принимая гравитационную постоянную равной единице, мы можем записать уравнения движения в виде

_ dU где

Как хорошо известно, при любом соотношении масс, мы получим частное решение задачи трех тел, если поместим эти материальные точки в вершинах правильного треугольника, равномерно вращающегося вокруг центра масс с некоторой угловой скоростью а. Значение а при этом находится из уравнения

^«Mi + mj + mg,

где г — длина стороны правильного треугольника. Это решение было найдено Лагранжей Естественно поста вить «опрос о его устойчивости, тем более ^что реально существуют системы, например Солнце, Юпитер и любая из малых планет троянской группы, образующие при близительно такую же конфигурацию Эту проблему, разумеется, необходимо тщательно сформулировать, по скольку ясно, что сколь угодно близко к начальным усдрвням данного лагранжева решения найдутся начальные условия другого лагранжева решения с другой угловой скоростью Эти два решения удаляются друг от друга на конечное расстояние, и потому нет устой чивости в обычном смысле Указанную трудность мож но, конечно, обойти, рассматривая лишь решения с фиксированной угловой скоростью, но и в такой формулировке проблема не решена полностью

Однако ее упрощенный вариант, относящийся к ограниченной задаче трех тел, удалось решить; далее он будет рассмотрен во всех деталях. Чтобы сформули- -ровать ограниченную задачу, мы начнем с общей задачи трех тел и примем, что одна из масс, скажем т3, стремится к нулю Если в дифференциальных урав нениях движения перейти к пределу при /п3-*0,тоурав нения, относящиеся к первым двум материальным точ кам (планетам), не будут содержать координат третьей Движение этих планет будет таким же, как в задаче двух тел, и мы предположим, что эти материальные точки движутся по окружностям Задача заключается в том, чтобы описать движение третьего тела (плане тоида). Дифференциальные уравнения для него получаются делением соответствующих уравнений общей задачи трех тел на ш» и предельным переходом при т»-*0 Считая единицы измерения выбранными так, что mi + mg=l и угловая скорость планет равна 1, мы можем записать уравнения движения для т& во вращающейся системе координат, в которой планеты покоятся, в виде

x-2g«vxt

где

К 2 р» + Р1 •

Здесь p = «i и рк — расстояние между точкой нулевой массы и точкой массы тк.

Мы имеем, таким образом, систему дифференциальных уравнений в четырехмерном фазовом пространстве. Эта система имеет пять хорошо известных положений равновесия, обычно обозначаемых через Lb L,. , L6 Каждая из двух точек Ц и Lb образует с планетами тх и «з правильный треугольник. Остальные три точки, коллинеарные с mi, m^ мы рассматривать не будем, поскольку соответствующие решения неустойчивы Но для Ц, L5 уже давно известно, чти если р достаточно мало, а именно р(1 — р) <4?> т0 линеаризованные уравнения имеют только ограниченные решения. Это указывает на возможность устойчивого равновесия. Остается, однако, сомнение, не могут ли разрушить устойчивость нелинейные эффекты? Мы покажем, что фактически устойчивость нелинейной системы гаранта рована для всех значений р, удовлетворяющих указан ному выше условию, за исключением, быть может, трех Подобные же результаты были получены В И Арноль дом [1] и А М. Леонтовичем [16), только у них исключается счетное число значений р Три исключительных значения были определены м ром и м-сс Дспри [8] ’)-

В первой лекции мы рассмотрим поведение гамильтоновых систем около положения равновесия с форм аль вой точки зрения. Большинство относящихся сюда результатов восходит к Дж. Биркгофу [5] Этими во просами заинтересовались вновь благодаря работам Контопулоса [6] и [7], который искал и нашел «третий интеграл» в системе, описывающей модель галак тики2).

Соответствующий численный расчет, проведенный Хе- ноном и Хейлесом [15], подтвердил существование такого интеграла Как показал в недавней работе [13]

*) См также 17*1 — Прим ред.

Густансон, эти вопросы тесно связаны с построением нормальных форм, его результаты будут изложены.

Во второй лекции изучается вопрос о сходимости возникающих рядов. К сожалению, эти ряды, вообще говоря, расходятся, па что указал Зигель [29], [30] Мы приводим конкретный пример, где расходимость рядов, о которых идет речь, может быть доказана. Сюда же включены результаты из недавних работ Рюссмана [26—28]

В третьей лекции исследуется устойчивость равновесных решений для случая двух степеней свободы: полученные результаты применяются затем к ограниченной задаче трех тел Приводимые здесь рассуждения основаны на теореме автора, устанавливающей существование инвариантных кривых у отображений, сохраняющих площадь [22]

Наконец, в четвертой лекции дано ионое приложение только что упомянутой теоремы к физической проблеме ■магнитного удержания Задача состоит и том, чтобы построить магнитное поле без вихрей и источников с тороидальными магнитными поверхностями, причем требуется, чтобы эти поверхности не разрушались при малых возмущениях поля Мы обобщаем здесь некоторые результаты Фолкнера [9]. Кроме того интереса, который эта задача представляет для физики плазмы, на наш выбор повлияло еще и желание показать на типичном и важном примере, как применяется метод усреднения.

ЛЕКЦИЯ 1

ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ ВБЛИЗИ ТОЧКИ РАВНОВЕСИЯ. ФОРМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

а. Нашим отправным пунктом будет изучение автономных гамильтоновых дифференциальных уравнений вблизи точки равновесия, поскольку большинство типичных задач возникает уже в этом простейшем случае. В частности, нас будут интересовать вопросы устойчивости и задача о существовании интегралов и периодических решений

Рассматриваемою гамильтонову систему запишем в векторном виде

w «-пи»

/ О 1\

где ш=(®„ .w^J, /—( j q) и через Hw обозначен градиент Н

Без ограничения общности можно считать, что точка равновесия находится в начале координат, так что градиент Н при ш = 0 обращается в нуль Предполагая, что Н является вещественно аналитической функцией, представим се степенным рядом от wb ., Wgn, начинающимся с членов 2-го порядка В силу автономности системы (1) Я является интегралом движения Интересная задача о существовании других интегралов у рассматриваемой системы, функционально "независимых от Я, имеет длинную историю Этим вопросом занимался еще Пуанкаре (ему принадлежит теорема о несуществовании однозначных интегралов), ею также занимался Зигель (29), РФ Относящиеся сюда численные и аналитические исследования Контопулоса, проведенные недавно, позволят, быть может, взглянуть на этот тонкий вопрос но новому

Мы начнем с двух основных результатов* теоремы Ляпунова о существовании периодических решений и теоремы Биркгофа о существовании нормальной формы Затем перейдем к вопросу о сходимости рядов, задающих преобразование к нормальной форме и некоторым последним результатам Густавсона [13] о нормальной форме в резонансном случае

61 Периодические решения, теорема, Ляпунова. Весьма важную роль в наших дальнейших рассуждениях будет играть линеаризованная система дифференциальных уравнений, которая определяется квадратичной частью Н» гамильтониана. Будем предполагать, что эта линеаризованная система имеет только ограниченные-решения, и более того, потребуем, чтобы собствен**. ные значения матрицы / ^—^~—) были чисто мнимы и притом различны Как хорошо известно, в этом сл^ чае можно найти такое линейное каноническое прео*

разование координат, что Н4 в новых координатах приобретает вид

V1

где , = »v, yv = wv+n при v = I> 2, .... л. Это соответствует приведению матрицы к диагональному виду при помощи симплектической матрицы *) В новых координатах решение линеаризованного уравнения выглядит очень просто:

Я» 4" ip V = ^v^ * •

Стоит заметить, что все эти решения ограничены независимо от того, определена ли положительно Я2 или нет, поскольку о» вещественны (и различны, как мы предположили).

Чтобы получить информацию о нелинейной системе, мы сначала попытаемся найти дЛя нее аналоги периодических решений

*t + <У1 ■ с^-'М, Xv+^v^O ДЛЯ v>L

так называемых «нормальных мод*. Если воспользоваться геометрическим языком, то можно сказать, что эти решения заполняют двумерную плоскость хь ух Хорошо известен результат Ляпунова, согласно которому у нелинейной системы существует двумерное мио гообраэне х» = ф»(хь у,), д^ = ф,(хь ^) (v=2, ..., л), заполненное периодическими решениями. Посредством канонического преобразования

х»*М6. П), fr—«e&ll (*—<«)

мы переведем это многообразие в координатную плоскость |ь ць Это означает, что для преобразованного гамильтониана Г(£,1|) — Н(х,у) выполняются условия

^“^v^0 п₽и ^=^=0, v=2, .. , п. Другими словами, инвариантное многообразие определяется теперь соотношением £v = i)v — О (v = 2, .,, n).

Теперь мы можем сформулировать теорему Ляпунова

Теорема 1 (А. М Ляпунов) Если при всех v ^s I отношение ^ не является целым, то существует каноническое преобразование, обратимое в окрестности «1 = 0, которое приводит гамильтониан к виду

r-o^+^+od®'!8)’

еде ©' = (&ь. • •Лп,П2,...»ч«), д ф является функцией единственной переменной p=E2 + itf

Доказательство этой теоремы можно найти в [31] От читателя потребуются, о.-шако, некоторые дополнительные усилия, чтобы установить каноничность приводящего преобразования, доказательство которой там опущено1)

Теорема Ляпунова утверждает, гаким образом, что на многообразии а/ -= 0 рассматриваемая система приводится к гамильтоновой системе с одной степенью свободы, а умен ио

Si —2ФрЛн

f][ = — 2ФР£Ь

которая обладает только периодическими решениями

«14-иь = се » ,заполняющими все это многообразие, т с найденныерешения составляют искомое семейство Функция р,разумеется, постоянна на любом решении этой системы,т. е является «интегралом движения» Полезно за-

метить, что частота «1 заменяется здесь функцией 2ФР, которая, вообще говоря, зависит от р.

Эта теорема применима к целому ряду задач, в частности к изучению периодических решений вблизи точек равновесия L*. Ls в ограниченной задаче трех тел при достаточно малом параметре р

С алгебраической точки зрения интересно отметить, что функция Ф инвариантна при канонических преоб разеваниях Если обозначить через /1 криволинейный интеграл

вычисленный вдоль периодических решений с периодами, близкими к —•> то точный период -^ оказывается инвариантно определенной функцией от Л—2лр. В частности, коэффициенты а(, 0, у. разложения

Ф—£р + ₽рЧ yp3+ ...

являются каноническими инвариантами, которые будут играть важную роль в дальнейшем

в. Квазипернодическне решения, теорема Бнркгофа. Изложенные выше результаты относятся только лишь к некоторым периодическим решениям, к «нормальным модам», в то время как можно попытаться получить информацию обо всех решениях вблизи точки равновесия, что приводит к теореме Бнркгофа, к ней мы сейчас и перейдем Чтобы избежать принципиальных трудностей, связанных со сходимостью, все степенные ряды, с которыми нам придется иметь дело, включая и те, которые задают преобразования координат

х=и&, п) = §+ .. , р = о(§,п) — п+ -, условимся считать формальными степенными рядами, т е заботиться об их сходимости мы не будем Формальное преобразование будем называть каноническим, села

оно задается производящей функцией

V(x, 10=2^ + -о

также являющейся формальным рядом, с помощью формул

Теорема 2 (Дж, Биркгоф (б))- £м® собственные числа аь .... а, рационально независимы, то сди^ест- вдет формальное каноническое преобразование (4), которое переводит И (х, у) в формальный гамильтониан

Г-Г(р„ ..., рЛ), являющийся степенным рядом от pv=^ + r£.

Доказательство этой теоремы мы приводить не будем Она, однадо, содержится в более общей теореме 3 следующего пункта, которая будет доказана

Теорема Биркгофа может рассматриваться как обобщение теоремы Ляпунова если бы все ряды, о котбрых идет речь, сходились, то система

t+Ч - % - «X=-«T,v (р) (В,+Ч)

полностью интегрировалась бы и ее решения давались бы формулой

8,+Ль=г,е_шЧ

а решения исходной системы имели бы вид

х = «(6,11), У=о(6, ч)»

где §, ^—тригонометрические выражения (5). Координаты xv, следовательно, представлялись бы тригонометрическими рядами вида

З^ЧАГД

где вектор / = (/ь ,,,, /п) имеет целочисленные компоненты, а скобки (,) означают скалярное произведение. Еслц подобный ряд сходится, то его сумма именуется

лазииериодической функцией Квазипериодическая аункция — это функция почта периодическая, характеризующаяся тем, что ее частоты имеют конечное число •оразующих, здесь ГРр ...» ГР||

Заметим, что если бы ряды для pv = S + 16 сходи* „ись, то эти выражения были бы интегралами лвиже ния; в общем же случае мы можем говорить только формальных интегралах Ряд G^x.y) ”« называем юрмальным интегралом, если формальный степенной пяд -^-0, иначе

SGxvHyv-G^Hxv = VG»m

равен нулю тождественно. Таким образом, выразив pv лерез х, у, мы нолучим п формальных интегралов Ясно, что эти интыралы независимы (в формальном же смы рае) друг от друга, но гамильтониан Г от них зависит, Жбо представляется в виде формального ряда от рь Ра» , рп

Все эти утверждения имели бы содержательный характер, если бы преобразование к нормальной форме выражалось сходящимися рядами Однако, как теперь Известно, эти ряды сходятся только в исключительных Случаях, а в большинстве случаев (в смысле категорий W») они расходятся Это обстоятельство обязано — вреди прочего—своим происхождением наличию так называемых малых знаменателей 2 /А=0"1аХ которые входят в коэффициенты и, v Другое слабое мс- ето—нереалистнчяость предположения о рациональной Независимости а? Отметим контраст между этим предположением и предположением теоремы Ляпунова об отличии от нуля только выражений /lOi — av для v>l Как следствие эти выражения оказываются отделенными от нуля и сходимость обеспечена В теореме 2 выражения (/, а), как было предположено, отличны от нуля при j^b, но тем не менее они подходят к нулю про- dвольно близко (если п ^2). Более того, н этой

ситуации значения (/, а) образуют плотное множество на вещественной оси

Как и в предыдущем случае, можно показать, что нормальная форма Г инвариантна при канонических преобразованиях и что любое каноническое преобразование, переводящее одну «нормальную форму» в другую, с гамильтонианом Г = Г(£ц) имеет вид

^={vcos^ + n,sin*v

*k= - К,sln *,„ + Ъа»*^,

где ф — формальный степенной ряд от Р»** Е? "Ь Ч»* Это в точности те ‘канонические преобразования, которые сохраняют pv— ^ + л£ и, следовательно, Т — Г. Ясно, что они образуют коммутативную группу; это обстоятельство является центральным фактом в доказательстве инвариантности Г

г. Резонансный случай. Недавно Коятопулос [6] при изучении галактических моделей рассмотрел некоторый класс задач, в которых допускаются резонансы. -Числен ные исследования, в особенности те, которые были проведены Хеноиом и Хейлесом [15], определенно указывали на то, что может существовать нетривиальный интеграл, отличный от рассмотренных ранее Это представляется на первый взгляд весьма удивительным; но, как показал Густавсон ПЯ можно дать простое формальное построение этого интеграла *)

Хенон и Хейлес рассматривали гамильтониан

(9 я-Цй+й+^+^+М^-^^}

с двумя одинаковыми частотами «i = «а = L Здесь метод, использованный нами выше, разумеется, неприменим, однако можно найти другую нормальную форму для гамильтониана, для которой соответствующий интеграл может быть вычислен сравнительно просто

Ч Другой подход к исследозанию таких интегралов осуществлен недавно в [14].

Мы начнем, следуя Руставсону, с более общей ситуации и попытаемся построить нормальную форму для произвольного гамильтониана

«■=12 «,(4+4)+ ••••

*-[

Рассмотрим все целочисленные векторы /, для которых

а«> = о.

Они образуют модуль /, размерность которого мы обозначим через г. Для рационально независимых а, например, г = О

Помимо членов, входящих в старую нормальную форму, в новую войдут и другие Переходя к комплексным переменным $v = Ev d’J'Hv, £v = b —^*» разложим Г по произведениям

tT-Д №

Говорят, что Г имеет нормальную форму, если ее разложение содержит только члены № с k — leJ, что равносильно требованию

ОГ = 0,

где D = 2 ®v(^-^ —4v а|;)» То, что эти условия эквивалентны, очевидно, так как

О(£‘Е')=/Да,й,-ит

т с /(а, к —1\ являются собственными числами дифференциальною оператора О, действующего на формальных степенных рядах.

Теорема З1). Если модуль 1 определяется усло

вием (7), то существует формальное каноническое

‘) См [19], а также [13]

преобразование (4), такое, что гамильтониан Н(х,у) преобразуется к нормальной форме, т. е. справедливо равенство

DF—0.

Доказательство Мы попытаемся найти такую производящую функцию V(x;7]), чтобы преобразование, определяемое ею посредством уравнений £ = У*^. переводило Н(х,у^ в Г&ч), другими слонами, мы попытаемся решить уравнение

Н^^-Г^п)

относительно W и Г. Для этого мы сравним коэффициенты при соответствующих членах разложений, рассматривая х, ц как независимые величины.

Допустим, что разложение V начинается с 2 ХуТ^, т. е. линейная часть искомого преобразования есть просто тождественное отображение Тогда функция W имеет вид

ir=S^v+w+ ... +^+ ....

где ПРИ— однородный полином степени $ от X, q

Выбор UP^-S-Mv основан на том, что № уже имеет нормальную форму Мы можем продолжить по индукции, считая первый шаг сделанным Пусть W^, .. , IPX*—1) уже определены таким образом, что ПЧ .. , П1*^ имеют требуемую форму. Приравнивая члены иорядка за (8), мы получим уравнение

DV^4-rw—Р^>(х,1»;

°=2 <Цх'-э^-1ь-1^

для 1ГИ(х, я), где РИ(х, ц) есть однородный полином степени s, а его коэффициенты выражаются через коэффициенты Я и через коэффициенты полиномов

...» ^-О, которые уже определены.

Выразим переменные х и q, входящие в уравнение (9), через комплексные переменные1)

U=x»+ft|»; ^=^ —;тк и вспомним, что

D№ = i(«. к-ЬА1.

Любой однородный полином, скажем Р, можно разбить на две части Р = PN 4- PR1 где Рк содержит все члены Р нормального вида, т о те, которые допускались в нормальной форме, тогда как Pr содержит оставшиеся члены Ясно, что это разбиение единственно и мы имеем DPn — Q Отметим, что (-ЙИ^н^ DW для любого V, поэтому уравнение (9) приводит к системе

ВТ®=18,

Первое уравнение разрешимо относительно W, поскольку Рц содержится в образе Р, а второе определяет требуемое П4, т. е такое, что ОГ^ = 0 Этим индукция, а следовательно, и доказательство заканчиваются

При J = (0) эта теорема совпадает с теоремой Бирк- гофа, которая тем самым в ней содержится

Заметим, снова опуская вопрос о сходимости, что можно построить п — г независимых интегралов вида

0-21Ш + О» ГДС V-L/.

Действительно,

4 c=i Vs-V4=2i v-c^-v^

и если Г мы ныразим через С» L то общий член с ^J1 будет умножаться на 2i(y, ^ — t)tTT№ h — lel. Следовательно, если мы выберем у±У, то G будет формальным интегралом. Так как / имеет размерность г, мы можем найти п — f линейно независимых векторов у и, следовательно, п — r функционально независимых интегралов, что мы и хотели показать

Для гамильтониана (6) эти интегралы были вычислены Густавсоиом, его результаты очень хорошо согласуются с результатами Хенона и Хейлеса, по крайней мере для величин энергии, не превышающих-^-. В примере у нас л ■ 2, г * 1, /: /1 + /2 = О, и чтобы получить второй интеграл, мы можем положить yi =^2= 1, что дает

О”(8 + ^ + (М + т@.

Если Н преобразовано к нормальной форме Г, то ЗГ-^ + пт + ^+^Ч •••

начинается с тех же самых членов, что и О, и выражение 2Г— G дает нам, вообще говоря, еще один интеграл Возможно, конечно, что этот интеграл зависит от G; так бы и случилось, если бы Г было степенным рядом от G Прямые вычисления показывают, однако, что это не так

Заметим, что коэффициенты Г, вообще говоря, не инвариантны относительно канонических преобразований Это происходит из-за того, что преобразования нор мальвой формы в себя не образуют коммутативную группу.

д. Численные результаты Для того чтобы представить свои численные результаты графически, Хенон и Хейлес заменили некоторым стандартным образом четырехмерный поток двумерным отображением Исполь зуя сохранение Н вдоль траекторий, они ограничились рассмотрением движений на трехмерном многообразии п = Е, где L > 0 На этой иэоэнергетической гиперповерхности была выделена двумерная поверхность xt=0 и отмечались последовательные точки, в которых част-

ное решение пересекает эту поверхность.

Если исключить рь используя уравнение

(Ю) «Ч^+й+?+*Э+^--Й-*.

и положить Xj = 0, то в качестве координат на двумерной поверхности можно использовать х^ у^ Так как р{>0, на эти координаты налагается О1раничение

vW + ^-l^<£-

В этой области, которая при малых значениях Е представляет собой овал, Хенон и Хейлес отметили последовательные точки попадания решения на секущую поверхность (рис V—4'). Оказалось, что для малых значений Е эти точки имеют тенденцию группироваться в семейство кривых на плоскости *) При возрастании же Е эта структура довольно внезапно начинает распадаться (см рис 3', 4")

Наличие структуры семейства кривых, наблюдаемое при малых значениях Е, отчетливо указывает на суще ствование интеграла А именно, если G —интеграл, то последовательный ряд точек пересечения принадлежит множеству G = const, которое представляет собой кривую на плоскости. Используя найденный выше фор мальный интеграл, Густавсен вычислил соответствую- Шее семейство кривых; Он отбросил члены выше 8 го порядка и использовал этот приближенный интеграл для вычислений, иллюстрируемых рисунками 1"—4". Сравнение пар рисунков демонстрирует превосходное совпадение только при Е^-~, тогда как при Е» ^ и Е у у Хенона и Хейлеса кривые распадаются, что.

Рис. Г. Результаты непосред-ственного интегрирования нов£ = а04167.

Рис. Г Линии уровня формального интеграла мри 5=0,04167.

Рис. 2*. Результаты вепосред ствепного ^итерирования при

Рис. 3’ Линии уровня формального интеграла при Е ■= О125.Рис. 3’ Линии уровня формального интеграла при Е ■= О125.Рис. 4* Линии уровня формального интеграла при £=0.16667.Рис. 4* Линии уровня формального интеграла при £=0.16667.

Рис. 3’ Линии уровня формального интеграла при Е ■= О125.

Рис. 3’ Линии уровня формального интеграла при Е ■= О125.

Рис. 4* Линии уровня формального интеграла при £=0.16667.

Рис. 4* Линии уровня формального интеграла при £=0.16667.

'нс 3'. Результаты неппсред тгвенпого интегрирования при

Рйс. 4'. Результаты неиосред ствеяного интегрирования при Ь-0.10667.

конечно, с результатами Густанеона не согласуется. Это расхождение представляет собой недвусмысленное указание на расходимость рядов, фтурируюших в рассуждениях Мы вернемся к вопросу о сходимости и расходимости этих рядов в следующей главе

Тем не менее, несмотря на предположительную расходимость, формальный интеграл отражает действи тельную ситуацию с большой степенью точности Это явление очень похоже на использование расходящихся рядов для получения асимптотики. К Примеру, функция

1^ = \-^Тх«. *<0,О

имеет формальное тейлоровское разложение 2 и!^, которое, понятно, расходится, но весьма полезно для численных оценок интеграла

Однако у этой аналогии есть дефект* упомянутая функция f(x) корректно определена, независимо от своего разложения в ряд, в то время как интеграл G существовать пе обязан Другими словами, наши ряды аппроксимируют, возможно, несугцествуюшМ интеграл!

е, Мы упомянем о другом подходе к построению нормальной формы Вместо процедуры исключения нерезонансных членов, основанной на использовании линеа ри зоваиного уравнения (что дает в конце концов нормальную форму), можно использовать нелинейную аппроксимацию системы Малые знаменатели оказываются тогда ле числами, а полиномами, что приводит к разложениям по рациональным функциям, Такаи процедура намечена в [20] и проведена Глиммом в [11].

ЛЕКЦИЯ 2

СХОДИМОСТЬ РАСХОДИМОСТЬ,НЕСУЩЕСТВОВАНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

а. 5ыше упоминалось, что .ряды, существование которых утверждает теорема Биркгофа, вообще говоря, расходятся, т. е. их радиус сходимости равен 0. Точный

результат в этом направлении был получен К. Зигелем [29] Мы сформулируем его теорему для случая с двумя степенями свободы, не приводя сложного дока- зателыхва

Снова рассмотрим гамильтониан видя

0) н-Х^+^+я®^,»)* ...

V-1 и обозначим общий член ряда через

Поедположим, что этот ряд сходится, т. е его коэффициенты допускают оценку вида

f С*г клгл’*'*п'; 161=6! + ^.

Далее мы будем считать М = 1 и А = I, т. е.

кмКЬ

заменяя в случае необходимости / на Mt, а (х,у) на А-‘(х, у)

Рассмотрим теперь множество 6 всех степенных ри дов 11, коэффициенты которых удовлетворяют неравенству (2) Мы хотим показать, что гамильтонианы с ир- ра1щопалы1ым отношением ~*, для которых'преобразование Биркгофа расходится, в некотором смысле плотны В 6. Для этой цели нам придется ввести в 6 топологию Окрестностью в ® степенного ряда с коэффициентами Йй будем называть множество степенных рядов с коэф фициентами см, удовлетворяющими неравенствам

км-?мК*м при всех й, /,

Для некоторой последовательности положительных чисел ед;, }бывающих сколь угодно быстро с возрастанием

Теорема 4 (К Зигель [29]), S любой окрестности (3) в ® найдется гамильтониан с иррациональным

отношением ^, для которого преобразование Биркгофа расходится, т. в. гамильтонианы, соответствующие расходящемуся случаю, плотны.

Эта теорема показывает, что вопрос о сходимости преобразования Биркгофа не может быть решен, если гамильтониан известен лишь с определенной степенью точности, так что вопрос этот физического смысла не имеет.

Между прочим, в некотором смысле и гамильтонианы, для которых преобразование Биркгофа сходится» тоже плотны в ®. Если мы отбросим в рядах, задающих преобразование Биркгофа, старшие члены, сохранив только члены до порядка N, а затем подправим коэффициенты данного гамильтониана при старших членах, то получим тривиально сходящееся преобразование Биркгофа для модифицированного гамильтониана. Иными словами, если мы введем другую топологию в ©, рассматривая в качестве окрестностей ряда с коэффициентами см все ряды с.коэффициентами Сщ, удовлетворяющими неравенствам

1^-сЛ1|<в для |А| + |/|<#, для некоторых е>0 и .V^3, то множество гамильтонианов, соответствующих сходящемуся преобразованию Биркгофа, окажется плотным в ® Эта топология, конечно, много слабее введенной ранее

Ситуация несколько напоминает ту, которая возникает при изучении распределения рациональных и иррациональных чисел на вещественной оси И рациональные и иррациональные числа плотны на ней, и, следовательно, не имеет смысла говорить об иррациональности числа, если оно известно только с некоторой погрешностью, как это бывает в любых физических приложениях.

Хотя и те и другие числа образуют плотные множества, мы можем все-таки сказать, что множество иррациональных чисел более богато, чем множество рациональных К примеру, рациональные числа образуют всего лишь счетное множество, в то время как

мощность иррациональных чисел рапна мощности континуума. Другая характеристика распределения точек множества в топологическом пространстве связана с понятием бэровской категории О множестве говорят, что оно первой категории, если его можно представить в виде объединения не более чем счетной совокупности нигде не плотных множеств. Не вдаваясь в подробности, мы упомянем лишь х> несколько разочаровывающем результате Зигеля [30]. который гласит, что гамильто ннаны, соответствующие сходящимся преобразованиям Биркгофа, образуют множество первой категории в смысле Бэра (в топологии (3)), т. е. представляют собой исключительный случай

б. Существует тесная связь между сходимостью преобразования Биркгофа и существованием аналитических интегралов, которую мы вкратце опишем. В случае сходящегося преобразования Биркгофа, очевидно, существует п независимых аналитических интегралов, начинающихся с квадратичных членов. В Самом деле, достаточно преобразовать гамильтониан к нормальной форме, чтобы убедиться, что функции pv = y + f$ являются интегралами движения. Возвращаясь к прежним координатам, мы обнаружим, что эта интегралы

Р, = Шу + — являются независимыми аналитическими функциями. разложения которых начинаются с квадратичных членов.

В случае двух степеней свободы1) этот очевидный результат можно обратить, что и было сделано Рюсс- маном8). Он предположил, что система с гамильтонианом Н допускает интеграл

(О О-5М4+Ю+

') При п > 2 обращение потребовало бы существования нескольких интегралов в инволюцйи Это обобщение вряд ли представляет интерес

*) Аналогичное утверждение в несколько отличной ситуации доказал в 1966 г. В К Мельников [4] — Прим, ред.

такой, что

ai₽2 —aaPi^O.

Теорема 5 (Рюссман [27]). Если гамильтонова система имеет аналитический интеграл (4), удовлетворяющий условию (5), го преобразование Биркгофа сходится

Все эго объясняет, почему (следуя Биркгофу) мы называем «интегрируемым* случай, когда преобразование Биркгофа сходится.

в. В предшествующих результатах предполагалось, что собственные числа а* рационально независимы Возможно, что в резонансном случае, т. е при рациональном ~, если п = 2, преобразование к нормальной форме (см. теорему 3) сходится. К этой мысли можно прийти, заметив, что в конструкции преобразования теоремы 3 знаменатели (/, а) = /i«j 4- /»аа отделены от О, поскольку члены, соответствующие (/,«) = 0, в нормальную форму не входят Иными словами, в эром случае пет никаких малых знаменателей! Однако ниже, но ходу дела, мы приведем (см пункт е) пример, показывающий, что эти надежды не оправданы и что мы можем встретиться с расходимостью даже в случае отсутствия малых знаменателей!

Пример, который мы хотим привести сейчас, относится не к системам дифференциальных уравнений, а к отображению плоскости в себя, похожему на то, которое мы рассмотрели в связи с численными результатами Хе нона и Хейлеса. Однако между системами дифференциальных уравнений в окрестности точки равновесия и отображениями в окрестности неподвижной точки существует тесная связь. Она будет пояснена в третьей лекции Здесь же мы хотим только сформулировать теоремы об отображениях, аналогичные уже приводившимся теоремам о дифференциальных уравнениях Эти результаты восходят к Дж Биркгофу [4].

Для простоты мы ограничимся рассмотрением аналитических отображений л, у плоскости в окрестности

неподвижной точки, которая, как мы будем предполагать, находится в начале координат Запишем рассматриваемое 01 обряжение в координатной форме

( Х1=Цх, у) = ох + 6у +

I 91 =-gU, у) = сх + dy + ...,

где f, g — вещественно аналитические функции от х, у. Предположение о гамильтоновом характере дифференциальных уравнений в случае отображений (при л = 2) соответствует предположению о том, что сохраняется элемент площади dx dy, т е что

<б)4г^ ~ *•

t?(r, s)

Поведение решений дифференциальных уравнений в течение длительного промежутка времени соответствует здесь поведению образов точки при итерациях Мк =- = М*-1 е М отображения М К примеру, устойчивость в случае отображений означает, что точки, близкие к не подвижной, при всех итерациях остаются в заранее заданной окрестности

В рассматриваемом круге вопросов решающую роль играет линеаризованное отображение, определяемое матрицей /а V d)‘

Булем Предполагать, чти итерации этой матрицы ограни чены т с что ее собственные числа лежат па единичной окружности

l^e*ia.

Обычно мы будем требовать также, чтобы ^^±1 В подходящих координатах мы можем записать рассматриваемое отображение в виде

( *i-“*cosa — уьша+ ... = Цх, у), I Ui = xsina +^cosa+ ... =^g(х, у)

г. Можно попытаться найти систему координат, в котовой отображение приняло бы нормальную форму.

Ю, Мозер

подобно тому как это было сделано для дифференциального уравнения Такая нормальная форма действительно существует и тоже была построена Дж Биркгофом в [4]; здесь, как и прежде, вопрос о сходимости мы не затрагиваем.

Теорема 6 Если -^- иррационально» то существуют формальные степенные ряды

x«u(g,11)=»$ + a2(^n)+ ...:

y^D(g,4)=n + v2(§,1l) + ....

приводящие отображение (8) к нормальной форме

(9)(10)(9)(10)(£1 = £ COS Ф — 7] SH1Ф, Т)! = § sin Ф + Т] соаФ,

(9)

(10)

(9)

(10)

®=<x+№+rf)+...

является формальным степенным рядом от одной переменкой р = g2 + qa При атом и, о могут быть выбраны так, чтобы якобиан д^*^ тождественно равнялся I.

Другими словами, в новых координатах отображение представляет собой поворот на угол, зависящий от радиуса К^ + ч2* Выражение р = 62 + ц8 инвариантно при отображении, т с является эквивалентом формаль ного интеграла Сходимость рядов «, о снова не может быть гарантирована, поскольку в выражения для коэффициентов «ио входят малые знаменатели X* —X То что эти ряды, вообще говоря, расходятся, показал Рюссман I26J

д Вопрос о существовании ряда G, остающегося инвариантным при отображении М — будем называть его для краткости интегралом, — тесно связан с вопросом интерполируем ости существует ли для данного отображения М, сохраняющего площадь, такое семейство отображений М1, что

M°=id, М^М и

Если такая интерполяция между тождественным отображением и отображением М возможна, то можно показать, что семейство М1 порождается сдвигом по траекториям некоторой системы уравнений Гамильтона

(И) ^ = Яу(х, у); у = — НЛ(х, у)

В этом случае М1 представляет собой отображение, ко торое переводит (х(0). у(0)) в точку (я(0, У (Oh являющуюся значением в момент / решения уравнений (11) с начальными условиями (х(0), у(0)) Но система (11) имеет первый интеграл Я, являющийся, следовательно, и интегралом отображения М

Оказывается, что справедливо и обратное если наше отображение обладает интегралом, то интерполяция М* существует и нормальная форма сходится Таким образом, условие интерполируемое™ на самом деле эквивалентно услонию существования интеграла. Этого утверждения мы доказывать не будем, но из примера, кото рый мы приведем ниже (см пункт е), будет видно, что интеграл может не существовать, а следовательно, может не существовать и интерполяция

Однако мы сейчас покажем, что если требованием сходимости пренебречь, то всегда можно найти формальный интеграл G *) Под последним мы подразумеваем фор мальный степенной ряд О^х,^ (отличный от константы), коэффициенты которою совпадают с коэффициентами ряда <?(f(x,y), g(x,y^ Будет показано также, что в классе формальных отображений разрешима и проблема интерполяции

При иррациональных -^ такой интеграл был уже найден, это p«g2 + q2 Интерполяция, очевидно, дается формулами

|, = g cos (^Ф) — *| sin (/Ф), t|f = | sin (/Ф) + Л cos (ГФ)

Поэтому мы переходим к случаю с рациональным Л- । т- е ^7 = 4 иля ^Ч “ 1 у ч-й итерации Mq

’) Аналогичный результат для неавтономных гамильтоновых систем получен в [I7J

линейная часть — тождественное отображение:

(12)(12)Уд^у +Уд^у += Цх,у\— g(x> У).= Цх,у\— g(x> У).

(12)

(12)

Уд^у +

Уд^у +

= Цх,у\

— g(x> У).

= Цх,у\

— g(x> У).

Попытаемся построить ряды ф(х,^). ^(x.lA таким образом, чтобы отображение порожденное сдвигом по траекториям системы хравнений

^ = ф(х, у) = ф8 + ф3Ч

Г-" ^(х, у)=ф2 + 1Рз + ...

на время t — q, совпадало с Мч Как мы увидим, этого можно достичь методом сравнения коэффициентов Если мы разложим решения дифференциальных уравнений по степеням координат начальной точки, которые снова обозначим через х, у, то получим ряды

X(0=*+^(X,y) + ...»ИО—у+^(*»у) + ..,

коэффициенты которых зависят от времени t

Члены порядка А в этом разложении будут зависеть ТОЛЬКО от ф?. Фз, . .1 ф*„ фг, ф»,, фл, точнее они бу

дут иметь вид

/фй } члены, зависящие от фз, .., Фд-i, ф2Фд-ь /ф6 Ь члены, зависящие от фзф*_ь ф8, . , Фь-р Таким образом, если мы будем действовать по индукции и рассматривать ф2, . , фд-ъ ф2,, ф*-1 как уже из

вестные, то найдем ф*, фь полагая указанные выражения при t = q равными Д, g* Этим доказательство завер- ш.зстся Мы, однако, получили несколько больше, чем собирались помимо существования рядов ф, ф, чами доказано, что f и g определяют их однозначно Ясно что ряды ф, ф имеют вещестенные коэффициенты, поскольку тем же свойством обладают f и g Докажем теперь что сохранение площади преобразованием (12) имеет следствием тождество

<*о -Й + ^-о-

В самом деле если через ВЦ, х, у) обозначить якобиан отображения Ц^у)*-» (я(0»У(0). задаваемого рядами (13), то

^-О«,х,»)-=т(ЛГ,У)О(<,х,у), 0(0, *,#)=.!,

где т(г, у) ж= фх 4-ф,, и Х = х(0, Ув=уЦ) Если теперь т не равно тождественно нулю, то найдется первый ненулевой член

т ^=Tt (х, у) + , , где т& ^ 0 (А > 1);

согласно (13),

Т(Л, У)-Т,(х.у)+

Ясно, что в уравнении (15) правая часть начинается С членов порядка ^А, откуда В имесг влд D=1J- + />* + ... , Для членов порядка к мы находим из (15)

ТГ°‘— т е

а следовательно, якобиан М1

Это противоречит предположению, что якобиан (12) ра вен тождественно единице

Из (14) следует, что существует формальный степенной ряд НЦс, у), для которого

Ф = ^у. ф = Нх>

так что М* порождается системой (II) (при t = q), где Я —найденный формальный степенной ряд. Таким образом, Н — искомый инте-рал отображения ЛР

Конечно, Н(Р), Н(МР), , Н^М^Р^ могли бы различаться между собой, т с Н могло бы не быть интегралом отображения М Но оказывается (как будет выяснено в приложении к этой главе), что в действи тельности Я автоматически является ннта ралом и

для М Более того, поток

Л^М*

(где Л‘"есть отображение х-\-iyr->V^x + iy^ Аве»") является искомой ишерполяцией самого М Это связано с тонким вопросом о нахождении корня q й степени из отображения, если его линейная часть известна

Еще раз подчеркнем, что интерполяция нами построена всего лишь в классе формальных рядов Хотя в случае рационального ^^"^ эти ряды и не содержат малых знаменателей, можно привести пример (н мы его приведем), когда они расходятся Более тою, их расходимость — общая ситуация

е. В качестве примера, где нет сходящихся интегралом, мы рассмотрим полиномиальное отображение (см. Мозер [21])

Xj = (х + У3) cos а — у sin а,

У i = (x + у3) sin a + у cos a. '

Когда a несоизмеримо с 2л, можно ввести формальные координаты Е, и. Для которых выражение V + л2 сохра няется Будучи записано в этих координатах, наше ото бражение примет вид (9), где угол "

q>=a-|(|»44ft+ ...

постоянен на каждой окружности р = £2 + q2, но ме няется вместе с изменением р. Если бы этот ряд сходился в какой-нибудь окрестности начала, то можно было бы найти рациональное число^ , такое, что

для некоторых §, q с E2 + q2, меньшим радиуса сходи мости. Это означало бы, что целая окружность Е2 + q2 = = р (с подходящим р) состояла бы из неподвижных точек отображения МЧ Мы увидим, однако, что при любом q оюбражение М2’ имеет не более конечного чис-

ла (<32«) неподвижных точек, что противоречит предположению о сходимости ).

В самом деле, координаты неподвижных точек ЛК удовлетворяют условиям х2» * х; у2д — у Для дальнейших рассуждений удобно заменить их на эквивалентные.

Xq^X-l» Vq^V-^

где (х^, у^ — образ точки (ж, у) при М * Система (16) состоит из двух полиномиальных уравнений, а потому, согласно теореме Безу [33], имеет не более конечного числа корней, если только уравнения, ее составляющие, не содержат общего множителя Мы покажем сейчас, что в нашем случае это может быть гарантировано при sin а ^ О

С этой целью заметим, что отображение АН, обратное к М, также полиномиально:

х»1 = хсоз о + у sina 4- (xsin а — у cos a)3, у„х = — х sin a + у cos a.

Полиномиально, следовательно, и М-ч Можно вычислить члены высшего порядка полиномов xq — x_q, УЧ-У-Ч*

Р^а^о&ау^ — a„(xsina— у cos a)3*, Q — a, sin ay8*.

Очевидно, они общих множителей не имеют (при sina^O), откуда вытекает, что х, — х q и yq — у ч взаимно просты Этим доказательство расходимости в нашем примере, когда -^ иррационально, завершается,

В действительности наши рассуждения применимы и в случае рационального -^-, где мы тоже можем но-

строить аналогичную нормальную форму (см ниже при* ложепие, а) Преобразование, приводящее к нормальной форме, малых знаменателей не содержит и все же, как можно показать, оно расходится

ж. Добавление*) Упомянем, что в этом году Рюэль и Хенон (25] опубликовали работу о полиномиальной отображении, весьма похожем на приведенное выше Их исследования, в основном, численные, они сравни вают интеграл, полученный из преобразования Бирк* гофа, с результатами непосредственных вычислений 'Авторы находят согласование превосходным, но крайней мере вблити неподвижной точки.

Рюссман [28] доказал сходимость преобразования к нормальной форме в особом случае, когда преобразо ванный гамильтониан зависит только от одной переменной р-=Д av(^ + ^)‘

[А Д Брюно [5*] подробно изучил сходимость и расходимость рядов, задающих преобразование, приводящее аналитическую систему дифференциальных уравнений к нормальной форме в окрестности положения равновесия, а также структуру самой нормальной формы. Гамильтоновы системы рассмотрены н этой статье в § 12 (см так же [6*]) Там же можно найти много исторических и ли тературных ссылок В конце статьи автор специально останавливается на проблеме устойчивости положения равновесия для гамильтоновой системы с двумя степе нями свободы, в частности указывая на пробел в доказательстве теоремы 7 Применительно к задачам небесной механики затрагиваемые в этой лекции вопросы рассматриваются также в [1*] Добиалено редактором перевода ]

приложрнир

В этом приложении будут детально рассмотрены утверждения, высказанные в конце пункта д Мы нач

9 Коней этого пункта при переводе oilmen в связи с некоторой неточностью, в нем присутствующей тем более что в уточненном виде Мозер повторяет ту же мысль во 2 й части (см стр 118) — Прим ред

нем с юго замечания, что даже если А’ =» I, то все еще можно ввести координаты (по-прежнему обозначаемые нами черо* х, у) в которых отображение М притшмаст нормальную форму Мы подразумеваем под этим, что в них оно имеет вид х -i- iy -= zi -*х(г,г), где степенной ряд х содержит только члены 2*2^, удовлетворяющие условию

v - р — 1 = kq, к — целое

Существование этой нормальной формы является анало гом результата Густавсопа для случая отображения

Имеется интересная характеристика отображений, приведенных к нормальной форме Именно, справедлива следующая лемма

Лемма 1 Отображение М имеет нормальную форму тогда и только тогда, когда оно коммутирует с поворотом Л (определенным в пункте д лекции 2), т е

МоЛ^ЛоМ1)

Доказательство. Если отображение М выразить через функцию x^z,z^,to уравнение (1) превратится в

x(Xz Az) = Ах (г, 2)

Для общего члена 2^2* ряда х уравнение (2) сводится к VW^AzV.

Таким образом, если А’= 1. то (2) удовлетворяется в точности тогда, когда

v — р — 1 = ^, k — целое,

а если А не является корнем из единицы, то в точности тогда, когда

V—ц—1=0

В обоих случаях для выполнения уравнения (2) необходимо и достаточно, чтобы М имело нормальную форму, что и доказывает лемму 1

Из этой леммы непосредственно следует, что отображения М, которые коммутируют с поворотом» а следовательно имеют нормальную форму, образуют группу ®,

') Это аналог уравнения ОГ *= 0 из лекции I,

в. Поскольку отображения в нормальной форме об разуют группу, то ясно, что вместе с М и любая его итерация, в частности Af*. имеет нормальную форму От сюда мы можем вывести, что гамильтониан Н, порождающий М9 при сдвиге вдоль траекторий на время t—qw также имеет некоторую нормальную форму; именно, Н (z, 2) Содержит только члены вида z^z11, где

v — ц = kq, к — целое

Это утверждение имеет важное следствие гамильтониан Н является интегралом преобразования поворота Л, т е

H(Xzt i^—H^ z).

Эго тривиальным образом вытекает из того факта, что Н (z, z) содержит только члены вида z^z*1, где v — р = = kq, А —целое Мы отметим, не доказывая этого, что ноток М1, порождаемый И, также имеет нормальную форму

г» Наши основные результаты в значительной мерс являются следствием следующей теоремы

Теорема S. Если отображение М имеет нормальную форму, то М = А^ Мх — Мх«А (здесь А есть поворот на угол а, а М* определяется как поток, порождаемый гамильтонианом Н)

Теорема S доказывается с помощью леммы, относя щейся к задаче нахождения корня q й степени из отображения линейная часть которого известна Мы сформулируем наш результат следующим образом

Лемма 2 Уравнение Мч = JV, если X известно и Мс$,т е имеет нормальную форму, определяет М е е ® однозначно

Доказательство леммы будет дано ниже

Теорема S вытекает отсюда немедленно В самом деле, из леммы 1 следует, что

(AoMi)< = (AlioA)« = M«.

А поскольку q е итерации, как и линейные части, отображений ЛсЛ!1 и М совпадают, то по лемме 2

М «я Л о М1 «я Af1 о Л.

Теперь мы почти готовы доказать, что II является интегралом для М или что все величины ЩР), Н(МР), , 1ЦМ^Р) совпадают

Для этого достаточно заметить просто, что, как было упомянуто выше, Н является интегралом для А, т е.

Я (Кг, Кг)=Я(г, г).

Таким образом, поскольку М^ЛРоЛ, а Н — интеграл и для Л и для ЛГ, Н является интегралом и для са мого М

Доказатнльстно леммы 2 Рассмотрим отображение Л1, определяемое рядом

г, = Кг + ... 4- f А (г, г) + .., и пронаблюдаем, что произойдет с членом К при итерациях этого отображения Итак,

z2=Mta+ ... +/*+ . .) + f*(Kz. М + ... =

= ^ + ... 4 Xf^z, X) + fk(>a, &г)+ .... и вообще

*«=*++X’-7.(2,« + X’-3f.(b,fe)+ ...

... +h(K’''z. V"'z)+ . ..

где мы выделяем только те члены, в которые входит /* Для нахождения Д мы должны решить уравнение вида

1**7.(г, г) + Х'-^(Хг, й) + ...

где fit. определяется из У и членов М меньшего порядка. Если мы теперь положим

М?. 9= Z^.

то левая часть (3) приведется к виду

v S fc c^W* [1 . V-11-14- Л2^’” 4

Сумма в скобках равна

— x»<v в -•>

— _ ХУ-Й_1 о при v — ц — 1 4= kq {к — целое),

q 4- 0при v — ц — 1 — kq.

Итак, мы видим, что с^ однозначно определяется тогда и только тогда, когда

v — ц — 1 = kq,

т е в точности тогда, когда отображение М имев! нормальную форму Этим доказательство леммы 2 заканчивается

д. Поскольку М =* А о М.1 = М1 и д, мы видим чго ASM' определяет требуемую интерполяцию М Мы напомним далее, что отображения М, удовлетворяющие условию

М о Л = Л о М,

образуют группу (9 Таким образом, указанная интерполяция остается в группе © преобразований, коммутирующих с поворотом Л.

ЛЕКЦИЯ 3

УСТОЙЧИВОСТЬ

Мы возвратимся к исследованию гамильтоновых систем вблизи точки равновесия и попытаемся найти для них критерий устойчивости Интуитивно устойчивость означает, что все решения, начинающиеся доста точно близко к точке равновесия, будут осга ia i ься вбли зи нее в гечеинс всего будущего времени К примеру, из устойчивости точек равновесия L* и £5 буде1 вытекать, что асюроиды, находящиеся в начальный момент достаточно близко (в фазовом пространстве) к точке £4,

всегда будут оставаться около нее и, в частности, никогда не столкнутся с большими телами

Точное определение устойчивости восходит к Ляпунову точка равновесия, скажем w = 0, называется устойчивой (относительно данной системы дифферен циальных уравнений w = F(w^, если тля любой данной окрестности |ф| <е (г > 0) точки ш -= 0 существует (меньшая) окрестность |а>| <6(е). такая, что все ре шения, у которых |ш(0)| <б(е), продолжают оставаться у е-окрестности при всех / > О

Ясно, что это понятие весьма важно для приложений, поскольку в случае устойчивости можно предсказывать приблизительно положение решения в любой момечт. если его положение в начальный момент известно Легко видеть, что между понятиями устой ihbocth и непрерывности существует аналогия Устойчивость означает но существу равномерную непрерывность при всех / > 0 зависимости орбиты от начальных данных В то время как стандартные теоремы о непрерывной зависимости от на чальных данных устанавливают такую устойчивость для конечного промежутка времени, нас здесь будет интере совать более трудная задача для случая бесконечного промежу гка

Найти критерий устойчивости — значит найти уело вие, которое может быть проверено путем вычислений; им может служить, например, условие выраженное в терминах конечною числа коэффициентов тейлоровского разложения гамильтониана Мы видели в предыдущей главе, что такою критерия для интегрируемости не существует, поскольку последняя зависит от иррациональности некоторых величич и, кроме того, от бесконечного числа коэффициентов тейлоровского разложения Замечателен факт, что вопрос об устойчивости можег быть сведен к вопросу о выполнении конечного числа нора венств Это и составляет предмет данной главы

Простейшим и наиболее широко известным критерием устойчивости является следующий если квадратичная часть гамильтониана положительно (или отрицательно) определена, то точка равновесия устойчива В самом деле, если № положительно определена, то

существуют положительные константы а, 6, такие, чт<

Следовательно, при достаточно малом |w| мы имеем

^-1 к;Р< Z7 <26| аур при |ф|<г.

Если, далее. |ю(0)| <б(в), то //<266® при / = 0 Нс в силу того что Н является интегралом, мы имеем

■£|Ш(0Р<Ж2Ю»,

ИЛИ_

iwMKa}/ |i

Таким образом, можно взять М8)-!]/^ приО<е<г; устойчивость точки равновесия w = О установлена

Существует общая уверенность в том, что это условие является также а, необходимым, по крайней мере для практических целей В самом деле, для систем с га мильтопианом Я = Т^ 4- Я (л), где кинетическая энергия Т является положительно определенной формой от переменных у, а потенциальная энергия Я —функцией от переменных х, это действительно так Но уже в ограниченной задаче трех тел квадратичная часть гамиль тониана Н не является положительно определенной, а устойчивость получить мы можем Ограниченная задача трех тел имеет дело с движением частицы во вращаю щейся системе, и иоэтому ее гамильтониан не может быть представлен в виде Т 4- U.

Н оставшейся части этой главы мы будем рассматривать системы с двумя степенями свободы и будем предполагать, как и прежде, что

2

//-£ ^« + ^) + Я™ + ... .

v=«l

Как мы только что видели (в пункте б), устойчивость заведомо имеет место, если ai«2>0, поскольку тогда квадратичная часть Н знакоопределена Инс интересует.

таким образом, случай оиае < 0 (с которым мы сталкиваемся при изучении ограниченной задачи трех тел)

Если си«2 < 0, то, как мы увидим, устойчивость зависит от нелинейных инвариантов системы Для того чтобы выразить условие устойчивости в доступном виде, воспользуемся результатами, полученными при изучении нормальной формы Чтобы обойти тонкий вопрос о сходимости, мы построим преобразование, приводящее га мильтояиан к нормальной форме только в членах порядка, меньшего или равного 4 Такое преобразование может быть найдено, если /iat 4"/газ ^ 0 при 0 < |А | 4- -ь 1/21 <4 или если

О l^l^f "Р" АУ=1, 2, 3,4

Мы можем предположить теперь, что

H-^^-^+^^-RA+o,,

v=iV |и*1

где Л,»х$4-Уу и, через О5 обозначен степенной ряд, содержащий члены порядка, не меньшего 5.

Теорема 7 (В И Арнольд [1]) Если детерминант из коэффициентов гамильтониана (3)

(

Pn 012 «А

Р12 р22 «2 I - - (Pl «2 - 2Pl АЯ2 Ч р22«1) «I «20 /

не равен нулю, то точка х = у = 0 является устойчивой точкой равновесия системы, определяемой этим гамильтонианом

г Прежде чем перейти к изложению идеи доказательства, мы укажем на то, что условие (2), также как и условие D -^0» к принципе допускает проверку Прак тичсски эта проверка включает в себя вычисление av, pVjl как функций коэффициентов при членах 2, 3, 4-го порядка гамильтониана, что может оказаться делом весьма затруднительным Для ограниченной задачи трех тел эти вычисления были проделаны м ром и м сс Дейри

-30-30

-30

-30

в 1966 г вслед за Л М Леонтовичем [16], который еще в 1962 г доказал устойчивость точек L*, L$ с точностью до наличия некоторых исключительных значе ний, которые не были указаны конкретно

Хорошо известно что для достаточно малых g, а именно таких, что 0 < ц(1 — и) < ^ те при 0 < g <С < gi ^ 0 0385 линеаризованная в £4 система устойчива Частоты аь «2 оказываются корнями уравнения а4 — а? + (-^-)р (1 — р)—0. Гамильтониан может быть преобразован к виду (1), где aj, аг имеют противопо ложные знаки* Дспри нашли для детерминанта D еле дующее выражение

1 36 —* 5410^2 4" 641а4а*

8 (I — 4а|«5(4 — 25afc$ ’

Этот детерминант, рассматриваемый как функция от g, изображается следующим графиком

Рис 5 Условие устойчивости для гамильтониана, имеющего нормальную форму в членах порядка ^4

-53 -

Отсюда видно, что интервал 0 < р < gt содержит единственное исключительное значение ge = 00l09, 1де D

обращается и нуль, кроме того, следует исключить два других значения pg, р3 при которых нарушается условие (2) 1) Для случая системы, состоящей из Солнца и Юпитера, величина р~ 0 000954 оказывается гораздо меньшей всех этих критических значений, и устойчи вость. следовательно, гарантирована

д Две геометрические теоремы. Мы пере\рдим к из ложению двух геометрических теорем, существенных для последующего Они относятся к отображениям плоского кольца, сохраняющим площадь Мы уже знакомы с тем, как связаны такие огображения с дифференциальными уравнениями Как проводится редукция к такому ото бражению в ситуации, возникающей при доказательстве теоремы 7. мы увидим позднее

Для описания плоского кольца мы воспользуемся полярными координатами квадратом радиуса Я = ха + у3 и полярным уыим 0 Кольцо при этом зададим неравенствами 1 < ^<<2 Элемент площади в таких координатах имеет вид

dx^«=ld#d9

Рассмотрим сначала отображение Mq простого вида, которое мы будем называть «закручивающим»

Ri = R П| = 0 + у(^):

оно, понятно сохраняет элемент площади и концентр и ческие окружности переводит в себя Каждая из этих окружностей поворачивается иа угол у(/?), который, вообще говоря, зависит от радиуса Основным предпо ложением в дальнейшем будет то, что ^(R^ непостоянен, точнее, что

A"0 п₽н *<*<*•

Свойства этого отображения очевидны Всякая окружность Я = const, для которой з^^-^* состоит из

неподвижных точек отображения Mq. Всякая окруж ность, у которой у и 2л несоизмеримы, плотно покры вается образами при итерациях jWo (^ — 1, 2, ...) любой точки этой окружности

Главной нашей задачей будет изучение отображения близкою к закручивающему отображению Мо Мы

рассмотрим, таким образом, отображение Мй

I Rt-R-^R»^

w I O^O + vW + eg^e.B),

где /* g предполагаются периодичными по в С перио дом 2л Это отображение определено в кольце 1 С R ^ ^ 2, но отображать ею в себя Не обязано

Теорема 8 (Пуанкаре- Дж Виркгоф) Пусть ^{R) ^0, и пусть М* сохраняет площадь при всех а в том смысле, что

для'любой замкнутой кривой С,для'любой замкнутой кривой С,J Rd& = J Rd6 с мес

для'любой замкнутой кривой С,

для'любой замкнутой кривой С,

ционального числа ^, лежащегоционального числа ^, лежащегоТогда для любого ра- между ^^- и -^->

ционального числа ^, лежащего

ционального числа ^, лежащего

существует 2q неподвижных точек отображения Mb удовлетворяющих условиям

Rq = R, 69 = 6 + 2лр, при условии, что е достаточно мало

Эта теорема на самом деле есть очень простой вариант знаменитой и гораздо более глубокой теоремы Пуанкаре и Дж Биркгофа о неподвижной точке, в ко торой никаких условий малости нс налагается В том же виде, как она сформулирована выше, теорема 8 почти непосредственно получается из теоремы о неявной функции В самом деле, ясно, что q я итерация Л1В имеет вид

/?^₽ + О(е), ov=e+<?v W+ о(а),

и — по теореме о неявной функции — для достаточно малого е существует единственное R = F(9, е), такое, что

09 = 0 + ^Р

1 рафик /? = А(0, е) нречставляет собой звездообразную кривую С, точки которой при отображении М9 смешаются вдоль радиусов поскольку 9Ч и 0 отличаются друг от друга на целое кратное 2л’) Из того, что М, а следовательно, и М9 сохраняют площадь J R dO, вы-

с

текаст, что кривая С и ее образ №С пересекутся по крайней мере дважды Найденные точки пересечения являются, очевидно, неподвижными точками М? Остальные неподвижные точки М9 moi уз быть получены из этих двух путем последовательного приме -епия к ним отображения М Понятно, что если М9Р -- Р, то тем же свойством обладают и МР, , М9-1Р Доказательство теоремы 8 этим заканчивается

Стоит заметить, что в то прсмя как при е = 0 у М* имеется целый континуум неподвижных точек, при е > О мы можем гарантировать наличие юлько конечного чис ла их И действительно, можно продемонстрировать на примерах, аналогичных приведенным в предыдущих лекциях, что кривая — геометрическое место неподвижных точек распадается, вообще говоря, в конечное множе ство неподвижных точек

Теперь мы обратимся к вопросу о том, что случится при возмущении с окружностями R = const, у когорых Л^Р иррационально Это г вопрос решает следующая теорема, которая здесь доказываться не будет2)

Теорема 9 (Мозер [22]) Нупь у'(Я) =/=0, « пусть всякая кривая С, охватывающая окружность R = 1, пс ресекиется со своим образом МС. Функции / и g предполагаются достаточно гладкими В этих предположениях при достаточно малых е существует инвариантная

’) Лия краткости мы пишем иногда Я вместо Ме

’) Аналитический вариант теоремы 9 вместе с доказательством приведен во второй части книги, см стр 78 —Прим ред.

крикам Г, охватывающая окружность Л?=1 Точнее, для любого числа to, лежащего между у(1) и у(2). несоизмеримого с 2 л и удовлетворяющего неравенствам

при всех целых р, q существует при достаточно малых в гладка я замкнутая кривая

(7)(7)R=F^» в), О = ф |- G (ф, в),

(7)

(7)

где Г, G периодичны по ф с периодом 2л. инвариантная относительно отображения М8 Образ точки, лежащей на кривой С и определяемой параметром ф, может быть получен из (7) заменой ф на ф + ш

На самом деле эта теорема устанавливает существо вание не только одной, а бесконечной совокупности ин вариантных кривых Значение этою результата состоит в том что ограничиваются образы при всех итерациях Если точка лежит между двумя инвариантными кривыми указанного выше тина то и все ее образы лежат между ними, иначе говоря, нами найдено внутри кольца 1 ^ /? С 2 кольцо, отображающееся на себя Важность этого результата для вопросов усюйчивости очевидна, поскольку им указывается область, в которой должны оставаться решения в продолжение всего будущего времени

Заметим (эю будет полезно для последующих приложений), что условие ня пересечение кривых в теореме 9 заведомо выполнено, если площадь J RdQ сохраняется Именно если С — кривая, охватывающая окружность R -- 1, го и ее образ МС охватывает эгу окруж ность Если крнные С и МС нс пересекаются, то одна лежит внутри другой и площади ^dO и J R dO совпа-

С МС датВ не могут .

Для последующих приложений нам понадобится так же следующее обобщение предыдущей теоремы если

отображение (6) заменить на Ri — R-WHR, 0, е),

' }0,—O + a + e^W + e^t/?, О, е),

где О С р < а, то утверждение теоремы осгается справедливым Здесь существенно то, что зозмущаютий член мал по сравнению с «закручивающим» вру(^)

е. Доказательство теоремы 7 Мы возвращаемся к системе дифференциальных ура шений, определяемой гамильтонианом (3) При замене х, у на е'*л, е~*у гамильтониан Н^х, у) заменится на

/ = 8*"2Н (ех, еу) —

vv и

а дифференциальные уравнения приобретут вид

^v ~ 2F6v =-О (е3),

./2\

0V = - 2Frv = — ^av + e2 S( Pvu^ii j 1" О (r3),

Изоэнер1егнчсские поверхности F = const некомпактны / = 0 определяет трехмерную поверхность, проходящую через точку равновесия х — у = 0 (см рис.6),

Рис &

Мы сосредоточим наше внимание из поверхностях постоянной эпер1ии

F — c, где |с|<-^-.

Наша цель—показать, что решения не могут уйти далеко ни на одной из этих изоэнергетнческих поверхностей Принимая /?1 = /?, 91 = е, 62 за независимые пере менные, выразим через них Ra при помощи (И) и получим, что

*,=©(«. е, ад—^.(к —|;)+о(в=).

Это выражение положительно» согласно (11), при до-статочно малых в, если R = Rx заключено в пределах1<Д<2.

(С учетом того, что переменные растянуты в s4 раз, это соответствует неравенству в2 < х2+yf < 2Л)

Легко убедиться в том, что на поверхности F = с эти уравнения приобретают вид

(13')^ = фе» 357 ” ~ ф*’

где Ф определено равенством (12).

Система (13) по прежнему гамильтонова, имеет одну степень свободы но не автономна. Для того чтобы исключить независимую переменную, мы рассмотрим отображение М из плоскости О2 = 0 в плоскость 0g = 2л, определяемое сдвигом по траекториям системы (13). К этому отображению, которое, согласно теореме Лиувилля, сохраняет площадь J R^, мы применим теорему 9. Ситуация, имеющая здесь место, может быть проиллюстрирована рисунком 7

Для приближенного определения отображения М проинтегрируем систему (13) с точностью до членов О (а8). Поскольку Fe = O(ea), то Я(2я)= R(0)+О(е3) Отображение М таким образом, лается формулами

(U)(U)/?(2л) = 1?(0) + О(ея)

(U)

(U)

9 (2я) - 9 (0) + 2я -^- + О (е»)=

*9,0>+2«1,+.|(М,+Ы,1 +°W-

Подставляя сюда #3 = ф(#, 0,9g), получаем 0(2п) = 0(0Н2л^- +

®2

а,в?

где D — детерминант, участвующий в формулировке теоремы 7 Как видно отсюда, наше отображение — отображение типа (8), и к нему, следовательно применима теорема 9 Условие уг У- О эквивалентно условию D N= О, которое, по предположению теоремы 7, выполнено. Это позволяет утверждать, что между окружностями R = 1 и R = 2 существует инвариантная кривая Г Как легко видеть, всякое решение, проходящее в момент 6g = 0 через точку, лежащую внутри кривой Г, за пределы последней никогда пс выходит

Желая убедиться в том, что положение равновесия действительно устойчиво, рассмотрим следующий

рисунок, где изображена область

IFK-^. 1<Я1<2,

в которой для каждого значения F можно указать инвариантную кривую Г1):

Рис 8

Напомним, что ^v = b~2(^ + уу. Согласно определе нию устойчивости, нам требуется доказать, что решения не могут покинуть заранее заданной окрестности

S^ + ^df,

если их начальные значения заключен»! в некоторой 6 = 6(п) окрестности С этой целью е и б выберем достаточно малыми ₽ так, чтобы область (15) (слГ рис 8) целиком попадала в окрестность (16), а 6 так, чтобы в шаре радиуса б с цен i ром н начале координат выполнилось неравенство F < -1^1. 1 огда инвариантные кривые Г препятствуют уходу решений, начинающихся

') Дальнейшее рассуждение основано на существовании при одно* и том ме е инвариантных кривых на всех изоэнергетнческнх поверхностях в области ()5) Это подразумевает равномерность малости 8, обеспечивающей по геореме 9 существование таких кривых, что ниоткуда не вытекает В связи с этим см [5*], стр ’234 и далее Аккуратное расчуждеппе проведено в § 4 второй части (см в частности стр. 110—113) —Прим ред»

в 6 шаре и лежащих на изоэнергетических поверхностях F .= с, из области ^ < 2 Таким образом, решения вынуждены оставаться в области

ИК^1. «.<2

н покинуть q шара поэтому не могут Этим устойчи

вость положения равновесия, а следовательно, и теорема 7 доказаны.

е. Смысл условия D ^ 0 можно уяснить из (14) Так как FR1Y Fr. представляют собой частоты решений аппроксимирующей системы, условие D ^ 0 эквивалентно тому, что отношение частот FRJFRt на поверхности F = с меняется при изменении R, иначе говоря, эквивалентно условию

ЛЕКЦИЯ 4ЛЕКЦИЯ 4

ЛЕКЦИЯ 4

ЛЕКЦИЯ 4

УСТОЙЧИВОСТЬ МАГНИТНЫХ БУТЫЛОК

а. Напоследок мы рассмотрим еще один пример использования методов, развитых выше, именно задачу о нахождении магнитного поля с замкнутыми магнитными поверхностями, играющую определенную роль в физике плазмы Для создания так называемых магнитных бутылок важно уметь строить магнитные поля, силовые линии которых образуют поверхности, скажем двумерные тороидальные поверхности в трехмерном пространстве Ясно, что при этом силовые линии, проходящие через точки, внутренние по отношению к та ким поверхностям, будут содержаться внутри их целиком. Поскольку под воздействием магнитного поля заряженные частицы осуществляют, грубо говоря, спиралеобразное движение вдоль силовых линий, последние можно рассматривать в качестве первого приближения для траектории так называемого «направляющего центра» (guiding center), движущегося по оси этой

спирали. Интересующие нас вопросы устойчивости весьма существенно связаны поэтому с вопросом об удержами заряженных частиц. Конечно, изучение движения отдельных частиц для целей физики плазмы явно недостаточно, поскольку пренебрегать взаимодействием между отдельными частицами и самостягиваю- щими силами (pressure forces), создаваемыми всей совокупностью частиц в целом, недопустимо. Тем не менее, полностью сознавая грубость нашего приближения, мы ограничимся случаем единственной частицы, моделируя притом траектории движения магнитными силовыми линиями)

Движение вдоль силовых линий магнитного поля В = В (л) = (Bi, Вь В^ описывается уравнением

х = В(х),

где х — (хь** *з). В силу уравнений Максвелла, rotS = 0, div 5 = 0.

Первое из этих соотношений означает, что поле В(х) может быть представлено как градиент скалярного потенциала ф(х), второе —что потенциал ф(х) гармоничен

01 Дф=§£М

Дифференциальное уравнение движения может быть записано при этом в виде

x = gradv

Хорошо известно, по крайней мере для однозначных функций ф, ограниченных сверху и стремящихся к —со при |лг|—>оо, что каждое решение этого уравнения стремится к одной из точек равновесия Точка равновесия устойчива, если ф имеет в ней локальный максимум. Это обусловлено тем обстоятельством, что ф возрастает вдоль всякого решения, так как

Гармоническая функция, однако, внутри области определения максимумов иметь нс может, и, следовательно, построить магнитное поле, обладающее устойчивым решением, используя только однозначные потенциалы ф, нельзя

Рассмотрим цилиндрические координаты г, 0, z, где x=rcosO, y=rsin0.

Функция ф = 9 является гармонической, если подста вить ос в уравнение (2), то решения последнего будут окружностями, параллельными плоскости х, у, с центрами, лежащими на оси г Ясно, что всякая такая окружность представляет собой устойчивое1) решение

Рис. 9.

Для практических целен, однако, этого недостаточно, так как потенциал <р не может быть воспроизведен с абсолютной точностью, а, как мы увидим, сколь угодно малые изменения ф могут привести к неустойчивости. Мы сформулируем пашу задачу следующим образом требуется найти потенциал ф, близкий к 0, для которого окружность г = I, z = 0 является решением уравнения (2) и которую объемлет тор 7, обладающий тем свойством, что векторы магнитного поля касательны к нему, т е образованный магнитными силовыми линиями Гакой тор называется магнитной поверхностью.

Всякая силовая линия, проходящая через внутреннюю точку этого тора, содержится внутри его целиком. Главное требование, однако, состоит в гом, чтобы такая картина сохранялась при любых малых изменениях ф, т е чтобы погрешности значений ф существенным образом на нее не влияли Иначе говоря, мы хотим удостовериться в существовании магнитной поверхности Г', близкой к Т, при замене потенциала ф ча потенциал ф', близкий к ф

б. Решение этой задачи мы начнем с поиска потенциала ф, близкого к фо — 6, магнитной силовой линией которого является окружность г=1, z = 0 и для которого выполнялся бы критерий устойчивости этой зам кнутой орбиты В переменных

Ы=Г— 1г 0 = 2 И О

орбита, о которой идет речь, задается условием u=v= = О В дифференциальных уравнениях

f=Vn

2 = фг,

6 —-^- Фе

мы исключим время, заменив его на угол 6; тогда

(3)

4» —(! + «)’_ Л -ф,ф

Л (1 + иУ ..

[-25— То*₽

В качестве ф мы возьмем гармоническую функцию, первые производные которой по переменным п, v обращаются в нуль при и = о = О (Из этого вытекает что окружность г=1, z = 0 будет магнитной силовой ли нией) В разложении ф но степеням и, у мы получим

Ф = 0 — ф2 (0, и, и) -7 ,

где ф» обозначает однородный полином степени к от и, о, коэффициенты которого периодически с периодом 2л зависят от 0.

Условие того, что ф = ф— 9 гармонична, т е является решением уравнения (1), выглядит так

Ф«8 + Ф» + Т^Т^ + (1^й)г *ее=0

Предполагая, что ф начинается с членов порядка m ^ 2 4>a=*m(6, м, о)+ .... мы видим, чти

ди» т до2 ’

т е фт гармонична по и, и в, таким образом, может быть представлена как действительная часть некоторой аналитической функции от переменной ^ = и 4* iv

Фт—КеМЭ)^).

Теорема 10 Если среднее

2Я■^[p^dOО

не обращается в нуль, то окружность и =- о = 0 пред ставляет собой неустойчивое решение системы у ранне ний (3).

доказательство. Сделаем замену переменных

й = и — f (0, и, о),

б = р — g (0, и, о),

такую, чтобы член фт заменился бы своим средним значением. (Но этой причине в подобных ситуациях говорят о «методе усреднения») Считая /, g однородными полиномами степени m — 1, периодичными по 0 е не риодом 2л. выразим наши уравнения в новых перемен вых*

de ” de ае + Unu

^v ^фт 0g > q do — dv se + m*

где под От следует понимать сумму членов порядка m и выше Таким образом, если мы положим

2^ J ^т^9 = [lpmL* о

ТО функция фт ~(фт] ОКЗЖРТСЯ ПрОИЗВОДНОЙ ПО О ОТ некоторой периодической функции V = V (6. и, о) Если в качестве f и r взять частные производные от Т:

то дифференциальные уравнения примут вид

W = ^^ + 0«

Здесь для удобства записи опущена тильда По тем же соображениям мы перейдем к комплексным обозначениям и запишем уравнения в виде

4г=2 dF^ + °m’

где w = и + /о, -^ = д' (-^ +г -^г) • Подставляя сюда

[ фт] = Re (со/”) = — cw” + ±сФт, где с ^ О,

получим

^- — тс®””1 + От

Чтобы доказать неустойчивость решения w » 0, введем в рассмотрение комплексную величину cwm = W, которая удовлетворяет уравнению

IF = m’| ао«-' F + 02т-ь

Упростим это уравнение, отбросив малый член Ош-Н новое уравнение будет иметь интеграл Im W Что представляют из себя решения упрощенного уравнения.

видно из следующего рисунки, где изображены линии уровня Im V при m = 3

Рис. 10

Из выполнения при достаточно малых |w| неравенства

Re ^ — тЧ cw”^ Р + О^ >-^| ear”-1 Р следует, что ReV монотонно возрастает; это указывает на неустойчивость решения w = 0.

в Для того чтобы обеспечить устойчивость решения w — 0, мы вынуждены потребовать обращения в нуль среднего

Мы потребуем даже большего, а именно выполнения условия^

[ф]—±./^0=0

о

и покажем, что уж тогда w — 0 окажется устойчивымf Более точное утверждение составляет содержание

теоремы 11 Для ее формулировки нам понадобится функция

¥(в, «,е) = J W,a, »)<ге'=-Ке(Р(е)еИ+ ...,

которая, cot.iacuo (4), имеет период 2л по 0

Теорема 11 Решение w = 0 систеиы (3) устойчиво, если ф = ф —0 удовлетворяет условию (4), /и>3 и периодическая функция Р(6), заданная формулой (5), ограничивает область ненулевой площади

2я

Л—_LIm Г Ppde^O

К примеру, q> = 0 4-Re(ceinew"e)+ .. дает устойчивую орбиту, если с Ф в, т > 3 и л ^ О

доказательство Снова применяя метод усреднения к уравнению (3), с использованием преобразования

W = ЕУ — 2 (1 + uf У^,мы получим дифференциальное уравнение

Ж = - 4 С*'-*» + ^Л) + ^-Г

Здесь первый член в слагаемом 4Фвя=Уа« + У,„ имеет порядок m — I, поскольку Ут гармонична по я, v и, следовательно,

Ф1Ы«;11,ф 9=3 ^2т—2

может быть присоединено к остаточному члену К по* лушвшсмуся уравнению мы еще раз применим метод усреднения, в результате чего в подходящих координатах w «= и + to оно примет вид

^—^Г^’Ме+о^-г

Используя (5). можно вычислить здесь правую часты - 4[V,^,.] - - m’ (m - DI ® l’””2’® l^'PI + 0a„_2 =

—im*(m— DAIel’^^ie + O»,-,

и переписать дифференциальное уравнение следующим образом*

«= Шй + Озт-Ъ

где

Я = т2Л|п»|2(т"п.

Отбрасывая малый добавочный член OSm 5, мы придадим этому уравнению гамильтонов вид, Н, а следовательно, и |w| превратятся при этом в константы движения Если бы указанный член вовсе отсутствовал, то поверхности |tv| = const явились бы искомыми магнитными поверхностями

Принимая, однако, во внимание и этот член, мы докажем устойчивость решения ш = 0 для всей системы в целом Стремясь использовать для этой цели теорему 9. мы изучим отображение, которое переводит начальные значения ш(0) в значения ш(2п). Магнитная поверхность будет пересекаться с плоскостью 6 — 0 (mod 2л) по кривой, инвариантной относительно этого отображения. Обратно, всякая инвариантная кривая порождает магнитную поверхность — последнюю образуют решения, проходящие через всевозможные Точки этой кривой Нам достаточно, таким образом, построить инвариантную кривую отображения, охватывающую точку w = 0.

Разлагая решение уравнения (6) в ряд по начальным значениям ty(O) = tv, мы найдем, что

w (2л) — wete i»I2 °”-2’ + Одм-а,

где в — 2лт2(т— 1)А ч^О Легко видеть, что наше отображение, если не обращать внимания на 6гт_8, является «закручивающим» Для придания ему надлежащего вида растянем переменные, полагая

к» = вю\

Ю. Mosep

где w' заключено в кольце 1 <|w'|^ 2 Тогда при ма лых положительных е имеем

w' (2л)= wete21т~^а 1 w*>2^"^ + О (в9*-3)

Такие отображения уже изучались выше (лекция 3, формула (8)). Здесь

p==2(mL 2); o = 2m-3, у = л1 ^ Г^"^-

Таким образом, если нам удастся показать, что рассматриваемое отображение об падает свойством пересечения замкнутых кривых, то существование январи антных кривых в кольце

в < | да К 2в при достаточно малых в будет гарантироваться теоремой 9 н доказательство теоремы 11 будет закончено Проверкой выполнения условия пересечения мы сейчас и займемся

г. Свойство пересечения. Мы покажем прежде всего, что отображение, введенное выше, сохраняет элемент площади

11 + Фа

— <рв du du = -^^2-du du, где и, о — первоначальные координаты Чтобы убе диться в этом, воспользуемся тем, что поток, определяемый дифференциальным уравнением (2), имеет ну левую дивергенцию н, следовательно, сохраняет элемент объема г dQ du dol)

Рассмотрим окрестность Do точки to = 0 в плоскости 8 — 0 и решения, проходящие через ее точки От резки этих решений лежащие между плоскостями 0=0 и 0 = 2л. заполняют некоторую трехмерную область Й Той частью ее границы, которая лежит в плоскости 0 = 0, является Do, ту часть, которая лежит в плоско сти 9 * 2л, мы обозначим через Dan Через Й( обозначим область, в которую Q перейдет но истечении времени f Понятно, Я и й< имеют одинаковые объемы.

При малых t множества Я и fir совпадают почти полностью, именно с точностью до милых цилиндрических множеств возле плоскостей 9 = 0 и 0 — 2л Поскольку объем И/ не зависит от /, мы имеем

откуда следует, что элемент площади rd du do = у <ffl du do сохраняется, что мы и хотели доказать

При различных преобразованиях, которые мы использовали выше элемент площади переходит в элемент

Q (м, о) du do, где Q >■ 0 вблизи точки и = о =- О, так как якобианы наших преобразований при w = 0 были отличны от нуля

Отсюда ясно, что кривая С, охватывающая ш — О, и ее образ должны пересекаться, поскольку в противном случае площади

J J Q(u, и) du do, ими охватываемые, совпасть не могут Условие пересечения, требуемое теоремой 9, следовательно, выполнено и доказательство теоремы 11 тем самым завершено.

д Мы доказали на самом деле больше, чем утвер ждает теорема 11 Мы установили не тотьйо то, что круговая орбита w = 0 устойчива, но и построили гладкий инвариантный тор в области

c^bCIwKcb,

где с > 0 и в достаточно мало.

Заметим, что устойчивость решения ш = 0 возможна только в том случае, когда среднее от фт есть точный нуль, а, следовательно, малейшие изменения ф могут повлечь за собой неустойчивость Мы сейчас, однако, покажем, что при малых гармонических возмущениях Ф магнитные поверхности, построенные выше, не 3*

разрушаются В самом деле, если мы зафиксируем в и область (7). в которой найден инвариантный тор, то при небольшом изменении <р отображение сохраняет все требуемые свойства Это означает, конечно, что возмущение ф должно быть малым даже в сравнении с выбранным в Спойство пересечений будет выполняться, поскольку <р останется гармонической функцией. Таким образом, теорема 9 снова лает инвариантную поверхность, которая будет непрерывно зависеть от возмущения.

Стоит задуматься над тем. как может существовать инвариантная поверхность, содержащая внутри себя неустойчивую замкнутую орбиту, поскольку в высказанном выше утверждении мы допускали возмущения ф, средние которых не обязательно в точности равны нулю, что, как было показано, влечет аа собой неустойчивость Чтобы уяснить себе возникающую ситуацию, мы рассмотрим отображение, у которого т, скажем, равно трем Мы видели, что при [фт1^0 оно изображается рисунком 10 Однако при [ф]»0 это отображение является «закручивающим» отображением Ясно, что если [фш] мало, то рисунок 10 годится только в непосредственной окрестности со — 0, в то время как на большем расстоянии доминирует «закручивающее» отображение Более подробный анализ данной ситуации приводит к следующему рисунку

Рис. 1L

Хотя Г и является инвариантной кривой этого отображения, неподвижная точка w—О неустойчива по Ляпунову. Траектории дифференциального уравнения, если они'начинаются внутри инвариантного тора, его не покидают, но решению w » 0 тем не менее ничто не мешает быть неустойчивым. Предостережение* рисунок, приведенный выше, изображает только модельный случай, а вовсе не типичную ситуацию. Асимптотические кривые, исходящие из w = 0, вообще говоря, не обязаны «срастаться» так, как изображено на рисунке.

Мы видели, что магнитную поверхность можно создать, выдержав среднее значение ф достаточно малым и сделав величину А из теоремы 11 отличной от нуля. Потенциалы, создаваемые в тороидальных устройствах для удержания плазмы, имеют в точности такой же тип, хотя те соображения, которые определили их первоначальный выбор, отличны от изложенных здесь Пам удалось показать, что даже если потенциал ф выбран лишь приблизительно таким же, -как описанный выше, то и тогда существуют кольцеобразные магнитные поверхности.

е. Приведенные выше результаты, касающиеся магнитных поверхностей, обобщают результаты Фолкнера [9] По поводу других подходов к задаче и относящихся сюда численных результатов мы отсылаем читателя к статье Гибсона и Тейлора [10], а также к работе Грэда [12] Обычно в литературе по «адиабатическим инвариантам» довольствуются формальными рядами, что позволяет предвычислять орбиты лишь на конечные промежутки времени вперед В противоположность этому вышеприведенные результаты позволяют получить адиабатические инварианты, сохраняющиеся в продолжение всего бесконечного времени. На эту возможность указал В. И Арнольд в работе [2]

Ч выражаю благодарность Мартину Брауну за его «олинць в подготовке постоянней рукописи

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

В II Арнотьд Об устойчивости положения равновесия га миль четкой системы обыкновенных дифференциальных уравнений в общем э-пиитическом случае ДАН, 137 (1961), К» 2 255—26?.

Malta знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике У МП, 18 (1963), № 6, 91—192

М Artin В Mazur. On periodic points, Ann Math, 81 (1965), 82—99 [Русский перевод. Математика» 11 5 (1967), 3—20]

G D Birkhoff, Surface transformations and their dynamical applications Acta Math. 43 (1920). 1—119

Dynamical systems AMS 1927 revised edition 1966 Русский перевод Г Д Биркгоф Динамические системы изд I е Гостехиздат М — Л, 1941

Cr Contopoulos On the existence of a th;rd integral of motion, Astronomical / 68(1963) 1—14

G Cortoponlos, M Moutsoulas, Resonance cases and small divisors m я third in’egral of motion И Astronomical J, 70 (1965), Ko 10 817—835

A Deprit A Deprit Bartholomy Stability of the tnanguler La grangian points Astronomical J, 72 (1967). Ke 2 173—179

J. E Faulkner The existence oT closed magnetic surfaces. J Math Phys 7 (1966), № 10, 1771—1775.

A OihMMi I В Taylor Single particle motion in toroidal stel

* larator fields U К A E. A Research Group Culham Labcrato ry Abingdon Berkshire, 1967

J Ohmm. Formal stability of Hamiltonian systems Comm Pure A ppi Math 17 (1964), Nb 4 509—526

H. G*ad. To-oidc’ containment of a plasma. Phys of Fluids 10 (1967), 137-154

F Gustavson. On const-ucting formal integrals of a llatrilto- nian system near an equilibrium point, Astronomical J 71 (1966) 670 686

R J Hastie J В Taylor F A Haas, Adiabatic Invariants and the equilibrium of magnetically trapped particle* Annals of Physics 41 (1967) № 2 302-338

M Hbnon C Hei les, The applicability of the third integral of motion some numerical experiments Astronomical J. 60 (1964), 73—79

A M Леонтович, Об устойчивости лагранжевых лериоцических решений ограниченной задачи трех тел. ДАН, 143 (1962) К> 3 525-528

В McNamara К J Whitman Invariants of nearly periodic Ha miltonian systems UK A E. A Research Group Culham La boratorv Abingdon Berkshire 1956

J Mo&cr Stau litdtbverhahen kanonischer Differentia1g1eicumgs system? Nachr Ahad Wlss GSttingen, Mach Phys Kt Ha (1955). № 6 Я7 120

— —— New aspects in the theory of stability of Hamiltonian systems, Comm Pure A ppi Math., 11 (1951), 81—114

On the elimination of the Irrationality and Birkhoff a concep^of complete stability Bol Sue Mat Mexicans (1961),

— — — On the integrability of area preserving Cremona mappings near a^ elliptic fixed point Bol Soc Mat Mexicans (1961), [221On invariant curves of area preserving mappings of an annulus, Nachr Akad Wiss Gottingen, Malli Phys KI Ila (1962); № 1, 1—20, [Русский перевод Математика, 6 Б (1962), Si—67.1

[231 Th G Northrop, The adiabatic motion of charged particles, tn« terscience Tracts on Physics and Astronomy, 21, Inter science. 1963.

A. Olluneren Theory of stellar orbits in the galaxy Annual Re view of Astronomy and Astrophysics, 8 (1965), 113—134

J Roels M Нёпоп, Recherche des courbes invariants d une trans* formation punctuelle plane conservant les a res, Bull Astr. (ser 3), 2 (1967), 267-285

H. Kussman, Ober die Exlstenz einer Normalform Inhaltstreuer eiliptischer Transformationen, Math. Ann. 137 (1959), 64—77

—Uber das Verhahen analytischer Hamillonscher Diffe rentialgleichungcn in dor NShe einer Gkidtgewichtslosung Math. Ann, 154 (1964) 285-300.

——— Ober die Nonnalform analytischer Harniltonscher Diffe* rentialgleichungen in der NShe einer Gkichgewichtslosung, Math Ann. 169 (1967), 55—72.

C L. Siegel, On the integrals of canon cal systems, Ann Math., 42 (1941), 806—822 [Русский перевод Математика, 5 2 (1961), [30]—uber die Existent einer Norn alform analytischer Ha miltonscher Differentialgiekhungen in der Nahc einer Gleichge* wichtslosung. Math. Ann., 128 (1954), 144—170 [Русский перевод* Математика, 5 2 (1961), 129—155]’

Vorlesungen uber Hiinmelsmechanik, Springer Vcrlag, 1957 |Русский перевод Зигель К, Лекции ио небесной механике, ИЛ, М, 1959.1

Л. Спнцер, Физика полностью ионизованного газа, «Мнр>, М,

В. Л Ван дер Варден. Современная алгебра, т 2, Гостехиздат, М—Л 1947

ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ ПРИ ПЕРЕВОДЕ

R Barrar, On the nonexistence of transformations to normal form In celestial mechanics Period Orbits, Stabil and Resonances, Dordrecht <1970), 228- 230

[2*J J, Roels, Families Of periodic solutions neir a Hamiltonian equilibrium when the ratio of two eigenvalues is 3 J Diff Eqs, 10 (1971), № 3. 431-447

3*]—— —An extension to resuiiaiit cases of Liapunov’s iheurem

onceming the periodic solutions near a Hamiltonian equilibrium, i ОЩ. Eqs 9 (1971). № 2, 300—324

В К Мельников О поведении траекторий одного класса Дина Н J юческнх систем Чате* сб 73 (115) № 4, 535—563 № *1 * Д Брюно Аналитическая форма дифференпнальныа урав* Р> J зпий, Труды ММО, §§ !—8 25 (1971), 119-262 §§ 9-12 26 11972), 199-239

г»*1 * ^ Брюно. Нормальная форма нелинейных колебаний. Труды 1 етой международной конференции по нелинейным колебаниям (Киев, 25 августа —4 сентября 1969 г). Изд Института мате» taimen АН УССР Киев 1970, т I

-е. А П Маркеев, Об устойчивости канонической системы с двумя 17 * с е пеням и свободы при наличии резонанса, ПММ 32 (1968), К, 4 766—772

^ ^ Маркеев, Об устойчивости треугольных точек либрации ™ 1 круговой ^ограниченной задаче трех тел, ПММ, 83 (1909), J Williamson ■) On the algebraic problem concerning the normal l" J forms of linear dynamical systems, Amer J Math, 58 (1936), ,V$ I, 141—163

-*i J Williamson, On the normal forms of linear canonical trans» П^ 1 formations in dynamics, Amee. 1 Math, 69 (1937), № 3, 599—617

<#1 J Williamson, An algebraic problem Involving the mvolutory П1 J integrals of linear dynamical systems, Amer J Math, 62 (1940), Ns 4, 8Ш—911

. M Braun, On the applicability of the third integral of motion, (I? I j DiH Eqs, 13 (1973), № 2, 300-318.

"«) Из большого цикла статей Дж Вильямсона опубликованного . L<er / Math в 1936—1940 гг, мы приводим здесь три, наиболее в^^ас тематике книги Остальные статьи посвящены родственным б^^раическим вопросам и без труда могут быть отысканы заинте* Данным читателем — Прим рео

ЧАСТЬ 2

из книги

К. ЗИГЕЛЯ И Ю. МОЗЕРА«ЛЕКЦИИ ПО НЕБЕСНОЙМЕХАНИКЕ»

В предыдущем параграфе8) было показано, что эллиптическая неподвижная точка преобразования, сохраняющего площадь, не обязана быть устойчивой. В самом деле, мы построили противоречащие примеры для любого собственного значения Л, являющегося корнем из единицы.

Однако теперь мы хотим показать, что эти примеры в действительности представляют собой исключение Как было замечено выше, возможный критерий устойчивости нельзя выразить только в терминах собственных значений К ц линеаризованного преобразования, следует иметь в виду также и нелинейные члены Ввиду сказанного в § 23s), где шла речь о формальной нор мальвой форме, мы можем предположить, что наше отображение имеет вид

' fi = г cos со — s sin о 4- Oyv2, s — г sin со + s cos co 4- O2/+2, »=2

где симнол O2/+2 обозначает сходящийся ряд по степеням г, s с членами порядка >2t + 2 Более» точно если к АЛ ...» А.2,+2 V= 1. то всегда можно посредством со храияюшей площадь аналитической замены привести наше отображение к указанному виду

Прежде чем получить ограничения на А=е'¥', мы выразим наш критерий устойчивости в терминах коэффициентов уо» Уь.'» присутствующих в нормальной форме (I). Цель этого и следующего параграфов доказать, что если по крайней мере один из коэффициентов

!) В скобках указаны номера параграфов в английском изда нии книги К Зигеля и Ю Мозера

®) § 29 стр 274 Подобные ссылки здесь и далее относятся к пара!рафям и странидам русского перевода книги К Зшел* ПН — Прим. ред.

уь Y2, ♦♦.» yi не равен нулю, то начало координат устойчиво относительно отображении (1) Из этого, ко нечно, следует, что для сохраняющего площадь отображения, у которого X, X2, • ♦•, Pt+S -^ J и у< т^О —первый не обращающийся в нуль коэффициент в нормальной форме, начало координат является устойчивой неподвижной точкой, ибо свойство устойчивости сохраняется относительно аналитического преобразования координат Между прочим, именно при этих предположениях мы доказали в § 24 *) теорему Биркгофа о не подвижной точке

Если X ле является корнем из единицы, то из этого результата следует устойчивость всякий раз, когда формальная нормальная форма ие линейна т е не все коэффициенты уь Vs» обращаются в нуль В этом случае следуя Биркгофу, мы говорим о неподвижной точке общего эллиптического типа, альтернативный случай является, очевидно, исключительным Мы можем поэтому сказать, что неподвижная точка общего эт- липтического чипа всегда устойчива Для последующих применений важно заметить, что для фиксированного / приходится исключать только конечное число корней из единицы и, следовательно, в конкретных примерах нужно проверять только конечное число условий 1 Га пример, если Х3^!. Х4^! и у» ¥ 0, то отображение устойчиво

Доказательство устойчивости в указанных условиях будет основано на теореме о существовании замкнутых инвариантных кривых, которая и составит содержание этого параграфа В каждой окрестности неподвижной точки О мы построим замкнутые инвариантные кривые, окружающие О, области, ограниченные этими кривыми, являются инвариантными окрестностями точки О Таким образом, будет показано, что каждая окрестность неподвижной точки О содержит инварианпую окрестность этой точки, а это как мы уже видели в § 252), обеспечивает устойчивость

1) § 22 с~р 200 — Прим ред *) §23, стр 221 —При* ред

Если пренебречь добавочными членами Оане в (I), то ясно, что такими инвариантными кривыми являются концентрические окружности, заданные равенством г8 4- s8 = const Наша задача — показать» что некоторые из этих кривых, у которых ш/2л иррационально, могут быть продеформированы в инвариантные кривые и для самого отображения (I). Для успешной реализации этого подхода решающим обстоятельством оказывается изменение угла поворота в зависимости от изменения радиуса (г-!-^3 кривой, а это в свою очередь гарантируется предположением yi¥*0

После этих предварительных замечаний мы сформулируем и докажем теорему о существовании таких инвариантных кривых в несколько более простой ситуации и вернемся к доказательству устойчивости отображения (1) в § 3 Пусть г, в обозначают полярные координаты на плоскости Рассмотрим отображение

01 = 0 Ч-<х(гХ г^г

кольца Л* 0 < по < г < бо в себя

Это отображение оставляет инвариантной каждую окружность с центром в начале координат, поворачивая ее на угол а (г), который, как мы предполагаем, увеличивается вместе с г, так что а (г) —монотонно возрастающая функция Мы будем называть такое отображение закручивающим и будем изучать отображение М:

...ге,=е+«(г)+/(е,г),

uI п=г+^(е, г),

близкое к закручивающему. Здесь предполагается, что a. L g—вещественно-аналитические1) функции, имеющие период 2л по 0 Для возмущенного отображения (2) мы хотим построить инвариантную кривую вида г-=ф(0)^Ф(б + 2л) Ясно, что одного условия малости f и g будет для этого недостаточно, в чем можно

убедиться, беря в качестве g маленькую цоложитель ную константу В этом случае при применении отображения (2) г всегда возрастает и замкнутой инвариантной кривой не существует. Вместо того чтобы требовать, что отображение сохраняет площадь, мы будем предполагать, что М обладает следующим свойством пересечения любая кривая Г. г = ф(6)=-ф(0-|-2л) всегда пересекается со своим образом МГ При этом предполо женин, а также при условии, что в кольце оо с т ^ ^о производная а'(г)^0, a f и g малы, мы докажем существование в том же кольце инвариантной кривой Заметим, что М не обязано отображать кольцо в себя

Чтобы упростить ситуацию, сделаем преобразование, превращающее а (г) в линейную функцию Для этого полагаем у=«2^1, где у—|а(6е)—а(0о) |>0 и х—0. В новых переменных наше преобразование примет вид

+ w + «У

U 1ив0 + <(*#^

где f и g вещественно-аналитические периодические мо х с периодом 2л функции, отличные, вообще говоря, от соответствующих функций в (2) Переменная у изменяется в интервале а ^ у ^ b длины b — а = 1, в то время как параметр у измеряет длину интервала, в котором меняется угол а(г). Мы можем предположить, что у ^ 1, так как этого всегда можно добиться соответствующим ' ограничением нашего первоначального кольца Поэтому будем считать, что а (г) меняется на интервале длины <1,

Вещественно аналитические функции f, g могут быть продолжены в комплексную область ®, которую мы можем выбрать в виде

©:|Imx|<re; ^еЯ/,

где ®' — комплексная окрестность отрезка а ^ у ^ Ь. Кроме того, мы по прежнему предполагаем, что каждая кривая у = <р(х) = ф(х-|-2л) пересекается со своим образом относительно отображения (3), а также считаем выполненным неравенство О <С го^ L

При этих предположениях справедлива следующая теорема *)

Для каждого положительного е существует положительное б, зависящее от е и ф но не зависящее от у, такое, что если в области ф

1/1 -I^Kyd,

то отображение М вида (3) имеет инвариантную кривую

* = $ + «($), $г = т

где и, и — вещественно-аналитические в комплексной области |Im||<-~ функции, имеющие период 2л

Более того, параметризация кривой (5) может быть выбрана так, чтобы индуцированное на этой кривой отображение имело вид

6» = S I ю,

где <й — несоизмеримая с 2л константе, и чтобы функции щ v удовлетворяли неравенству

|«Н |v — Y“‘w| < е

Прежде чем обратиться к доказательству этой тео ремы, которое будет проведено в этом и следующем на раграфах, покажем, что можно построить формальные степенные ряды, определяющие инвариантную кривую, предполагая, что функции /, g в (3) аналитически зави сит от параметра X Пусть

/ = S Л (х, у), g -= $ Х^х (к, у), потребуем, чтобы свойство пересечения выпо щялось при '!.ействительных л, достаточно малых по абсолютной величине, и попытаемся определить функции и — = м(£ ?.), и —и(£,?.) в (5) при помощи разложения в степенные ряды Дополнительное требование о характере индуцированного отображения на кривой (5)

) Ср теорему на сгр 51 да!1 ой книги Прим ред

означает, что

*1 = £ + « -1- и (£ + ф, X), ух = и (£ + <в, X), и приводит к функциональным уравнениям

«(ё+®, А) = « +у»—«> + ;(£ + «, о, X), о(£-Ь«», Л)-=и+ g(£ + «, о, А)

для и» v. Полагая

И -Sx’i,®, и = ®у"' + 5|Х”Ма.

мы получаем для «п, р„ уравнения

МЕ + ®)-МЕ)-уМЕ)=Л,(Е). , _. 9.

где

Fa (Е) - la (L OY-1), Gn (б) - g№ (Ь «у-1) зависят только от членов ft, gi, «ь о< с индексами / < л, которые мы можем рассматривать как уже известные Мы ищем решения «„, ип периода 2л, предполагая, что Gn, Fn имеют тот же самый период и веществен но-a на литичны Ясно, что такое решение может сущестновать только если среднее значение Gn равно нулю; выполнение этого условия, как мы покажем вскоре, есть след ствис свойства пересечения. Предполагая на время, что это так, мы приступаем к решению написанных выше уравнений, используя разложения в ряды Фурье Не обращай внимание на индекс п, мы обозначаем коэффи циенты Фурье функций un. v«> F^ Gn через й*, ofc, Fki Gk (fe = 0, ±1, ±2,) и получаем для них уравнения~

е^ак — gk — ^ц=Гк,

e^^fe-tik =Gk.

Из второго уравнения находим

при условии что знаменатели не обращаются в нуль, что будет вынолдсноЛ если ш/2л иррационально, При k = 0 правая честь Go есть среднее значение функции GR, которое по предположению равно 0, так что второе уравнение не налагает никаких ограничений на выбор и0, в то время как первое уравнение требует, чтобы мы взяли

б0 = —P0Y .

Наконец, из первого уравнения находим коэффициенты Фурье функции Мп,

а х2о остается произвольным Полученные таким образом ряды Фурье функций цп, ип будут действительными при действительных значениях аргументов

Эти формальные ряды Фурье на самом деле оказываются сходящимися в itom случае, когда знаменатели е*** — 1 не приближаются к нулю слишком быстро. При условии аналитичности F„, Оя сходимость будет обеспечена, если потребовать, чтобы <о/2л удовлетворяло такому же арифметическому условию, как число а в «тео ретнко функциональной проблеме центра»1) В самом деле, в этом случае | в1 — 11 2 мажорируется степенью й, в то время как коэффициенты Фурье аналитических функций убывают экспоненциально, так что ряды Фурье для и«, оя будут сходиться н их суммы будут вещественно аналитическими Мы придадим этому более точный смысл, когда перейдем непосредственно к доказательству сходимости Пока же по указанным выше соображениям будем считать ш/2л иррациональ ным и, более того, удовлетворяющим приведенному далее арифметическому условию (6).

Покажем теперь, что среднее значение -^ J G„ d^ о действительно обращается в нуль при всех я >0 Прсд-

положим, что это не так, и пусть я — наименьший индекс, для которого величина 2~ J G№d^ = m отлична от 0.

Заменив g на g — mV1, мы будем иметь вместо Gn новую функцию Gn — m со средним значением 0, а тогда можно построить усеченные ряды

й = 2 ^1Ц1 « = ^У1 + 3 ^«»

так, что члены порядка <д будут удовлетворять нашим предыдущим уравнениям Геометрически это означает, что кривая

я-Ч + й&Я')» «-“З^^ отображается в кривую

*1=64-s+ve+f <61-2. 9, у-5+«+й(Е+®, х)+о(х”+‘), »,=9(L XJ+gft+й, 9, X) =9 ($+«., X)+mX“+O(X”+1).

Если первоначальная кривая и се образ пересекаются при всех действительных X, то должны существовать значения парамеров g, §', такие, что

6+й (6 У = V+“ (V. У + О (х"+1),5(6, У = 9 К', У + т>? + О(Х"+')

Первое из этих уравнений, однако, приводит к тому, чго V = 6 + О(ХП+*), а тогда из второго следует равенство т = 0, которое противоречит нашему предположению.

Подводя итог сказанному, мы приходим к выводу, что если выбрать число <о/2л удовлетворяющим арифметическому условию и потребовать выполнения свойства пересечения для нашего отображения, то мы получим формальные степенные ряды, определяющие инвариантную кривую К сожалению в общем случае .ходимость этих рядов для «, у проверить не удается, нам придется поэтому поступить по-другому.

Приступим теперь непосредственно к доказательству теоремы, которое мы сначала проведем для случая у = 1 в основе этого доказательства лежит быстро сходящаяся итерационная схема, предложенная Колмогоровым в родственной ситуации и уже примененная нами к более простой задаче в § 26) Эта схема представ ляет собой последовательность преобразований коордн нат, которые упрощают данное отображение Применительно к рассматриваемой ситуации мы попытаемся по строить последовательность отображений, все более близких к закручивающему отображению х-*л + у, у-»у, за счет уменьшения добавочных членов / и g в (3) Это будет достигнуто с помощью бесконечной последовательности замен координат, причем области определения этих координат будут круговыми кольцами, стягивающимися к искомой кривой

Прежде всего для 0 < s0 < j выберем ш в интервале a -f so< a < b -s0 так, чтобы удовлетворить бесконечному числу мера венств

№) |£«-₽1>-£ о. «=;.2,...)

Здесь со — положительная константа Для р^2 существование таких щ и сс доказано в конце § 25а) С этого момента зафиксируем ы и с0

Основной шаг итерационной схемы содержится в лемме, которая приведена ниже Вместе с тем важную роль будут играть оценки различных величин в ком

плексной плоскости Отображение (3) мы будем рас сматривать в комплексной области

$1 | Imx|<r> |у —т|<л.

предполагая, что в пей

И1 + 1яК*

Здесь г, s, d -положительные кочетянты, удовлетво ряющис некоторым ограничениям, приведенным ниже Внутри 91 будет рассмотрена меньшая область

8 I Im £ | < р, In — ©Ко,

где 0 < р < г, 0 < о < $, и три промежуточные области

| Im х | < г =^ г — v;

«(V4(v= 1,2,3)

|у — а|<5м=5^v,

такие, что

Мы предполагаем, что

0<г<1, 0<&<з<^, d<f’ и требуем, чтобы

(П)Л-Сз(г-₽)-’*+,>4<±.

где с» — положительная константа, которая опреде ляется ниже и зависит только от со и показателя р в (6). В дальнейшем через сх, сз, , с6 обозначаются некоторые положительные константы, точные значения которых мы указывать не будем, предполагая, однако, что опи зависят ТОЛЬКО ОТ Со м

Теперь мы в состоянии сформулировать нашу лемму

При выполнении описанных выше предположений для отображения М, задаваемого формулами (3) с 7=1, существует преобразование координат U вида

х^-|4 «6, п), у = т\ | у£, п),

где a, v — вещественно-аналитические в № функции периода 2л по £, такое, что преобразованное отображение IMMU имеет вид

61=6 + п4-ф(6, *0, л^п+Ф^. П),

причем ф, ф— вещественно-аналитические функции, определенные в области 53, еде они удовлетворяют оценке

04 IVI+1 ♦ I < С,{ (Г - р)” (4 + «О + ("T"/ d } при х = 2р + 3

Более точно U отображает 55 в Я^, М преобразует <Р) в № и U-1 преобразует ф№ в ШЧ так что отображение U~lMU полностью определено в 53 Более того, в Ж1) функции и, v удовлетворяют неравенству

| я |-Ц о К 6s,

еде 6 — величина, определенная в (II).

Откладывая доказательство леммы до следующего параграфа, используем ее теперь для доказательства теоремы о существовании инвариантной кривой Для достижения цели эта леммаГ будет применяться последовательно бесконечное число раз, начиная с данного отображения (3), обозначаемого теперь через М0 = Л4, и ограниченной области

Яо: |1шх|<Го; |у —ю!<«ь

которая при достаточно малом а® содержится в- области Я>, определенной в (4).

Согласно предположению,

lfl + l8Tl<5,

где б может быть выбрано достаточно малым; в соответствии с обозначениями леммы полагаем б — </о Преобразуя по лемме отображение Яо С помощью замены координат U = (/», мы получаем отображение ЛЬ = s= U^M^q, определенное в области

Ир | ImxKn; |у-ш|<«ь .

где Г], Sj соответствуют параметрам р, о в формули ровке леммы. Применяя лемму к новому отображению Мь мы получаем другую замену координат Ui и преобразованное отображение М2 — U7vMUt. Поступая таким образом и далее, мы приходим к последовательности отображений

м.+.-и^м.и, («=о, 1,...),

области определения ЯпЧ которых задаются, как и область Я, неравенствами (7), если заменить в них г, s на fn-ri, sn1i Нам придется проверить, конечно, что эта последовательность преобразований корректно определена и что Мп все менее отличается от закручивающего отображения. Для этого мы фиксируем величины гп, sn, dn (n — 0, 1,. ), полагая

гп = -^-(1+-^г), sn = dn. d»+i =ruM^7+t<f«»

где с? > 2 — подходящим образом выбранная константа. Таким образом, гп образуют убывающую последовательность, сходящуюся к положительному числу Го/2, и все рассматриваемые функции будут аналитичны по £ ири |Im^|<-^ . Последовательность dn сходится к О при условии, что d0 выбрано достаточно малым В самом деле, последовательность еп = г^*^ <«+^д удовлетворяет условию

^я+l —еп

и поэтому сходится к нулю, если положить 0 ^ Со < 1 или 0 < d6 < г^с^1в.

Чтобы показать, что отображение Мп корректно определено в %п и удовлетворяет там подходящей оценке, воспользуемся индукцией Предполагая, что М« определено в Яй и удовлетворяет там оценке

lfl + lffl<^.

мы проверим соответствующие утверждения для Мп+ь Для этого применим лемму, полагая r = rn, s = sm

<1==с1та1 р-гНь п»=зпн. Прежде всего необходимо проверить, конечно, выполнение неравенств (10), (11). Неравенство За < s следует из

(^)Т—^-=с7Ч<еГ,<|.

а так как dn стремится к 0 быстрее экспоненты, в то время как

Г Р — г» г д4 1 ■= f 0^

убывает только экспоненциально, то и нся средняя це почка неравенств в (10) будет выполняться при достаточно малом do Ясно также, что последнее неравенство из (10) может быть удовлетворено, если положить под ходящее ограничение па do, в то время как для 0 = 0П в (11) мы имеем

0«"^з(г» — Гя+0 2,1 2dn ,

#и эта величина также может быть сделана меньше у, если выбрать do малым Таким образом, существует по ложительная константа d* -= d* (го, Со, р), такая, что при do < d* 'выполняются неравенства (10), (И), и лемм а Применима Она доставляет нам замену Uni прсобра вуюшую 18 — $nri в 91 = 9U и преобразованное ою бражспие Мп*\ ^=U»'m»Ur, определенное в 9tnH Более того, согласно лемме Мп+| может быть представ лоно в виде (13), а из (14) мы получаем оценку

1Ф1 т IОI < С«{ (г. - г„! t)"”(^ + d?) + (^1)= d„ } _ = с. { (г„ - г,, tye5 (1 + d^ + (■^L)T d»+i}.

которая в силу (17), (18) сводится к

| ФI +1 ф I < г,{ 2х «+V*-1 (1 + d?) + (-^L) ’ } <Ui < < J 2W Г' (1 + 4) + й’ к+ь

Так как последовательность dn ограничена, то коэффициент при rfn+i в последнем неравенстве может быть сделан меньше 1, если константу с^ выбрать большой.

Отсюда

I ф |-И Ф I < 4* + 1Г

чем индукция и завершается

Так как Ок отображает область Я*^ в Яд (6 = 0, I, 2, ). то преобразование У« = tW V» корректно определено в %n+i й, очевидно, переводит Mq в

Кроме того, если мы выразим Va в виде

*=£ I Рп^, л), у—n + ^U. л), то рп> Ча будут аналитическими функциями в области 9tn+i Эта последняя стягивается к области

IlmtlC-^, Щ-в|=0,

поскольку sn—*0, ra-*r^

Покажем, что последовательности p»(5,e>), ^я(^ю) сходятся к аналитическим по § в области | Im 1 < ~ функциям при Л —* ОО,

В самом деле, из равенства Vn=Vn-it/n следует, что~

Рп = tin + Р„_, (5 + ит 71 + Уп\

Чп = х>пА- Чп-х (£ + »«, П + О„),

где функции «И1 »п соответствуют отображению Ua так же, как функции п, о в равенстве (12) —отображению U, и, следовательно,

РяваЛ + ««-1+ •♦. +«о,^ = Уя+0л-1+ • ♦• 4-Vo.

В членах последних двух сумм не указаны аргументы, хотя они различны, ио для доказательства сходимости это не существенно, так как можно оценить верхние грани модулей |яп|, |о№] в Ип+1 А именно

из (15) следует, что

1М + 1^1<<ЬА»<у^

и это приводит к равномерной сходимости функций jP«, q^ п области | Im £] < г0/2 при т| = о. Пределы функций рп и q^ которые мы обозначаем .через «(6) и о(§)—ф соответственно, являются вещественно-аналитическими функциями при |1т||<го/2^ имеют период 2л по &

В силу неравенства зя+1 < у аА получаем

I Рп I +1 Ча I < У 2 Su < -~ 2 —— $0 < So;

_з

выберем теперь do —So настолько малым, чтобы выполнялось неравенство «о<в Таким образом, существует положительное б « б(в,го,Со,ф) < d*, такое, что для do <6

|п|+1п — ш|< е

при IJmSKy0, что и утверждалось в теореме. Это 8 может быть использовано в качестве константы, ограничивающей величину |/| + |g|

Чтобы Проверить, что к ($), О (§)—искомые функции, описывающие инвариантную кривую, перейдем к пределу в соотношении

при п->оо. Так как de+1->0, то МЛ+1 сходится к закручивающему отображению & — 6 + ц, t]i = t] + ф, в то время как сходимость Vn мы только что установили. Следовательно, в пределе получаем соотношения

6 + ®+«a + ®) = §4-»(9 + »a) + f(E + «, О), »(§ + ®) = о(§) + я(^ + й, v),

которые в точности и означают, что кривая (5) инва риантна относительно М» и что индуцированное на ней отображение имеет вид

Ij^ + ^t + Q.

Этим и завершается доказательство нашей теоремы о существовании инвариантной кривой и случае у — 1, если не считать леммы, которая будет доказана в следующем параграфе.

$ 2(33) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ

Чтобы доказать лемму, которой мы пользовались в предыдушем параграфе, мы должны построить преобразование U, вид которого указан в (1; 12) *), и вывести требуемые оценки Выбор U мотивирован желанием преобразовать отображение М вида (1,3) в закручивающее отображение 61 = 6 + ч» 41 — 4» как легко проверить, это эквивалентно тому, что функции а, о в (1,12) удовлетворяют функциональным уравне-

М£ + п. 4) = « + » + /(£ + «, n+v), 0(6 +4» 4) = 0 + 5(8 + », 4+»)-

Эти уравнения, однако, нелинейны и в явном виде ве решаются Поэтому мы заменим их линейными уравнениями

(»«+», ч)-»», lO-oft. ^“/«.п).

U I ”№ + «>, ч)— eft, Т>—gft, Ч)—8*М.

которые вскоре решим и используем для определения U. Здесь ^ обозначает среднее значение 2л

(2л)”1 J 5(8, 4)^8, которое мы вычли из правой части о

второго уравнения для того, чтобы оно стало разрешимым. Конечно, после такого упрощения отображение LMMU больше уже не будет закручивающим, но аппроксимирует его достаточно хорошо, так что имеет место оценка (1; 14).

Изучение системы (1) немедленно приводит к разностному уравнению

w (х+ со) — w (х) ■= h Vx\

9 Самвел (а; 6) обозначает формулу b из параграфа о.

где функции w, h предполагаются аналитическими при |!mx|<r и имеющими период 2п по х Это уравнение, очевидно, только тогда имеет решение ш, когда среднее значение И* функции h обращается в нуль При этих предположениях мы решаем (2) посредством разложения в ряд Фурье Подставляя

к-= У1 h^**, w= 2 w^**,

получаем из (2) соотношение

ч

после чего нужно только проверить сходимость ряда для w Так как с» удовлетворяет условию (1,6)» то знаменатели etk№ — 1 не обращаются в нуль при 0 и даже допускают оценку

|«‘“—11=2 jsin-^-|>4A>|ft Г*.

С другой стороны, так как h -вещественно аналитическая функция, то ее коэффициенты Фурье hk экспоненциально убывают. Действительно,

4 = ^ J A(x)e-<**dx,

где интеграл берется по пути lmx = r\ 0^Rex^2n, и, согласно теореме Коши, не зависит от г' при jr'^r. Если |А|<Л при |lmxl<r, то

|Ле|<^,

и устремляя ^ к ±г, мы получаем оценку

lAH^Ka-'*^.

В силу (3), (4) сходимость ряда Фурье для ю при |Imx|<r становится очевидной Кроме того, в более узкой полосе |1шх|-<р (0 < р < г) мы имеем неравенство

1° А=1

приводящее к оценке

|®|<q/C(r -р)-* 1 (]Imx|<p).

Решение, которое мы построили, было гормализо- вано так чтобы его среднее значение равнялось нулю, ясно, что уравнение (2) определяет решение w с точ йЪстью до аддитивной постоянной Последнее утверждение имеет место даже в классе непрерывных функций Действительно, уравнение ы(х + <») — ю(х) — 0 при во дит к тому, что ш(А<й)«= w(0) для всех целых к, и так как множество чисел к® по mod 2л всюду плотно, то непрерывное решение однородного уравнения есть константа Обозначим нормализованное решение уравнения (2) со средним значением нуль через w — Lh, тогда найденная выше оценка примет вид

ЩК^КСг — р)^”1 (|Imx|<p, 0<р<г).

Эти утверждения могут быть распространены на разностное уравнение

w U + ®, у) - ог(А gl = h (А у) — Л’ (у), в котором у присутствует в качестве параметра В этом случае мы опять имеем единственное решение w со средним значением нуль, обозначаемое через Lh, и оценка для него выводится очевидным образом

Чтобы решить уравнения (1). мы начинаем со вто рого уравнения, решение которою представляется в виде

f(b л)в9’(п) + ^ с произвольным средним значением п*(л)

Для того чтобы первое уравнение было разрешимо, полагаем — и* = /* Отсюда t* f* + Lg, и в каче стве решения первого уравнения мы получаем функцию

Таким образом, решения (1) даю юн формулами

и=-1Н ^е, v^-r + Lg

Найденные функции мы используем для определения U при помощи (1,12).

Заметим, что и, о — вещественно аналитические функции, имеющие период 2л по £, и остается проверить требуемую оценку (1,16) для u, о, равно как и оценку (1,14) для соответствующих функций ф, ф

оценкуоценкуСохраняя предположения и обозначения предыдущего параграфа, мы имеем в области % неравенство 1Л + |£1<^, т»к что. последовательно применяя (5) с г — '~р иг^- вместо р, получим из (6)

оценку

оценку

I й 1+1 ° 1<£а(г—рГш“Ч (|Im^|<r—^р. 1ч—®I<s)

с константой с2, зависящей только от с0. и Используя оценку Коши для производных й, о в области V1», опре- деденпой в (1; 9), имеем

l«tl+lnl<«s(r—рГ^'Чi«nl+l»«.t<:ek«r—p)-*-e-f-

где с^> с2, здесь мы также использовали, что 3<r<s С помощью этой константы Сз определяем

0=с3{г — р)"*’2-^

| l«l + |ol<6s, ® I 1««1+1ее1<ет47<М«я1+1=11<е.| l«l + |ol<6s, ® I 1««1+1ее1<ет47<М«я1+1=11<е.так же, как в (1,11), и, используя (1,10), переписываем предыдущие неравенства, справедливые в 9№, в виде

| l«l + |ol<6s, ® I 1««1+1ее1<ет47<М«я1+1=11<е.

| l«l + |ol<6s, ® I 1««1+1ее1<ет47<М«я1+1=11<е.

Первое неравенство в (7) совпадает с (1,15), откуда также следует, что U отображает 99 в Я® В самом деле, если ]Imd<p, |ч — ®}<а, то для точки (х,р)—образа точки (§,4) — имеем оценку

I Im х 1 < р + 6s, | р — о 1 < о + 6а,

и для доказательства того, что (х, у) лежит в №, при* дется только проверить, что

0s<^i-. 9t< —

Эти же неравенства сразу следуют из (1; 10) при условии, что 6<-§-. Аналогично^ чтобы проверить, что М Отображает ИЮ в Я№, мы, используя (1,3), (1,9), находим, что

Пт х, | < г0’ 4-| 1т у 1 + d < г0’ 4- s°) 4 d,

19i — <» I < я® 4 d, так что остается только проверить неравенства s» + d<^-, d<l^-.

Второе из них является очевидным следствием (1; 10); в свою очередь из него, используя снова (1; 10), мы получаем

,* + d-»—^^ + <i<s<-^, что и требовалось

Наконец, мы покажем, что Е^1 определено в области ЦЮ и отображает ее в ИМ Другими словами, предположив, что (х у)е Ж2), мы должны построить решение (6»ч) уравнения (1; 12) в Ш(> Для этой цели используем обычную итерационную схему; определяем ^, ц* по индукции, начиная с go = Я, Ш — У и полагая

L+i—x-nCgfc, ш)» Ш+1 = у — vfa, ш), (A=0, 1, ...).

Мы должны показать, что (£*,ш) остается в #Ю Для 6 = 0 это очевидно; предполагая, что это утверждение будет верно для (gv,K|v) с v^6, находим из (7), что

I Ba+i — Bt I 41 Ш+1 — ШI < 6 (| g* — gt-i 141Ш “" Ш-i I)

(6=1,2,...) и, следовательно,

Ib+i-^l+lns+i-yK^dU+i—Ы41ш+1“Ш1Х

По предположению В < ~, а значит последняя величина меньше, чем ^. Как и раньше, проверяются неравенства

8 Г — р S — вГ-’

которые гарантируют, чго (|й«ьЛ*-ч)е И^>

Таким образом, все итерации (^,лл) остаются в 8(0, и так как 0 < 1, то они сходятся в той же области к решению (Е, л) Ясно, что это решение единственно, и наше утверждение о том, что U~x отображает 8<2) в 8<*L доказано

Теперь перейдем к основной части леммы — а именно к проверке оценки (1,14)

Здесь мы будем уже существенно использовать свойство пересечения, а именно при доказательстве того, что добавочный член g*, введенный в (1), достаточно мал и не влияет на соответствующую оценку

Напомним, что отображение (1,13), которое мы обозначаем« символически через N, задается формулой N—U^MU, и уравнение UN = MU в подробной записи имеет вид

6 + л + ф + “1=6 + » + т| + » + /(6 + и, л + о), П+t + »т = Л4 e + gG + ti, л + о).

где «, = «(§ кл4-ф, Л4”Ф). oi-^o(64-л + ф, л4-ф).

Упрощая эти выражения, приходим к уравнениям Ф = « — «f -F v -F f (^ + «, Л 4- у), Ф = о-М 5(14-«/л4-о),

которые неявно определяют функции ф, ф в области ®, Учитывая уравнения (1), определяющие и, о, мы полу чаем равенства

(8)(8)Ф=я(£4-®. л) — «14-/(64-и. л + 0 — 7(5. л), Ф = и(§4-ю,л) — М-£(14-“,л4- и) —

(8)

(8)

— g (с л) т-g* (л),

на которых основываем наши оценки Предполагается, конечно, что переменные (£, ц) меняются в 53 и поэтому удовлетворяют неравенствам (1,8)

Вклад функций и, о в правые части уравнений системы (8) может быть оценен при помощи теоремы о среднем значении, а именно

!«(§ + <», П) — “1 К»ир|иЕ|([т)—coH(p])+sup| wn|| ф К

<07^-1 И-е|+е(|ф1 + 1*1).

где верхние грани частных производных и. о берутся в W1*, а последнее неравенство следует из (7) Точно такая же конечная оценка получается для соответствующего вклада функции о Вспоминая, что |ЛЧ 1^1 <^ в Я, мы можем, используя неравенства Коши, оценить по модулю производные функций f. g в W3) величиной 2 ~, так что, применяя опять теорему о среднем зна чении и оценку^?), получим неравенство

1/6+«, ч+») -f«. n)i<2-i(|B|+|o|)<2erf

и такую же оценку для соответс-вующего вклада функции g Неприятное среднее значение g*(n) аппроксимируем линейной функцией

А (Ч) = 8* («О + gj (о) (т) — to).

которую мы оценим позднее, используя свойство перс сечения Из (8) и предыдущих оценок теперь имеем

|ф1 + 1ф-Л)<20(|Ф| + |ф-й|) + 2е|й| +

+ 2е TZ71 л - “ I+«и+1 е* - л I.

Так как 28 < g < I, то можно исключить |у|+ + |ф — Л| из правой части и, вспоминая, что ]т| — — <о| < а < s, переписать это неравенство в виде IVl+l^-AKe.loT^s + eiAI + ed + lff*-»!}.

Для того чтобы получить предварительные оценки функций Л (л) и | д* — й L заметим, что при | ц — ю | < s будет | g* (ч) | < d и поэтому, согласно неравенству Коши, Я^ (и) | < d/s, в то время как при ]Ч"<»1<» будет I ^nn I ^ ^^s ” °)2- Следовательно, используя неравенство Зо < s, имеем при | ц — ю | < о

|*(4)[<d + p<2<i И

I g* - A l<4sup|g^| < (^р < sfSp.

Комбинируя эти оценки с предыдущими, мы теперь получим неравенство

|<р14Ч'|1-А1<с«{е74?$ + 2(И + (М + з(|р} = “«.{■^(s’+Sfr-pM+S^pp ^{тР^^ + ОгМ’

которое с учетом соотношения (1, 11) для 9 преобразуется к виду ‘

1ф1 + 1Ф-й|<

< с,р(г-рГ*'3р + £) + $*d^Q, где правая часть неравенства является также определением Q

Предварительная оценка длях|й| константой 2d, однако, недостаточна для достижения необходимой малости остаточного члена, и чтобы получить лучшую оценку, мы используем свойство пересечения, которым обладают преобразования М и N — U~lMU В силу этого свойства каждая кривая ц = const пересекается со своим образом относительно преобразования N; в точке пересечения ni^il или ф = 0, так что для каждого Действительного т| в кольце |т| —ш| <а существует действительное 6 = 5о(т|), такое, что ф(5о(п).п) = ° Применяя (9) в такой точке (Ь(п)»Ч)*

мы находим, что

I й (т]) I < Q (<0 — О<1|<© + (Г)

Следовательно, пола1ая в определении h. сначала i| = ш, а затем устремляя ц к ш + а, мы получим соответственно неравенства |£*(ш) ] < Q и

|$*(<»Н я* <«)a|^Q, так что

|g>)o|<2Q,

Отсюда мы заключаем, что для комплексного т] в круге |т) — <х>| < о выполняется оценка

|А(* l^l^(«)l + |ff»|K-«>l<3Q, из которой, согласно (9), следует, что

IФI +1 $ 1 < 4Q,

Это приводит к оценке (1,14) с константой Се = = 4с5<Сз+1) и завершает доказательство леммы, а следовательно, и теоремы о существовании инвариантной кривой для случая у = 1

Доказательство теоремы для общего случая 0< < у < 1 проводится точно таким же путем Однако при этом приходится следить та тем, как у входит в различные оценки Прежде всего, чтобы найти «о в интервале

А ау < <о < бу

длины у, нужно модифицировать неравенство (1;6) Если, для примера, этот интервал содержит целое число р, то неравенство (1,6) исключает все ы, находящиеся на расстоянии меньшем 2лс0 от 2лр, а если к тому же у < 2лС(ь то весь интервал Л будет исключен Поэтому мы заменяем (1,6) неравенством

<10>1й’-',|>¥^-

где Cq — положительная константа, не зависящая от у. Покажем, что при р > 1 и достаточно малом с0 в любом интервале длины у существует число е>, обладающее

Л Ю М.КРП

свойством (10) Для этого рассмотрим дополнительное множество 2 тех ш в А, в которых (10) нарушается по крайней мере для одной пары целых чисел р, q с q ^ 1 Чтобы оценить лебегову меру 2, мы зафиксируем q и рассмотрим все р, для которых интервал

пересекает А Так как длина А —число у С L то ясно, что при достаточно малом с0 будет самое большее q 4-1 таких целых р, так что мера 2 может быть оценена величиной

т(9 < 2 (q + 1) 2V-^ < <W> 2 ^Г-

которая может быть сделана меньше чем у=т(Д), если выбрать с0 достаточно малым Следовательно, множество А —2 не пусто и в А существуют ю, обладающие свойством (10). После замены (1,6) на (10) нам придется заменить (5) на

\Lh ^W-^''

и (6) на

v^-^TA-Lg.

Однако, если мы введем /о = У1Л gb = y^lg, Lo«y£, то эти соотношения могут быть ныражены в форме

«=»Vo + ^$8<h

v ” fo 4“ ^oSo, не содержащей у Проведенное выше доказательство со всеми оценками переносится на этот случай, если мы заменим функции f, g на у-1/* Y-1g и аналогично функции ф, ф на у’ф, у-'ф Условие |/| + |s|<6 для у = 1 тогда, конечно, придется заменить условием 1Л4-|^|<уб для 0<у<1 После этого доказательство легко распространяется на общий случай.

В заключение мы заметим, что если отображение (1,3) зависит непрерывно от действительного параметра X, 1 с если i = t(x,y.k), g = g(^y,X), у =

= У (М ^ 0 —непрерывные функции от X, например при |Х|^ L то инвариантная кривая также непрерывно за висит от Л Это следует просто из того факта, что наши приближения будут сходиться равномерно относительно X Это наблюдение окажется полезным в последующих параграфах, в которых мы применяем теорему существования к вопросам устойчивости Доказательство, данное в этом и предыдущем параграфах, является переложением на аналитический случай содержания ра боты [1], где аналогичная теорема доказана для отображений, имеющих только конечное число производных •)

| 8 (34) ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОБЛЕМЕ УСТОЙЧИВОСТИ

Как мы указывали уже в § 1, теорема о существовании инвариантных кривых может быть применена к проблеме устойчивости эллиптической неподвижной точки, к которой мы теперь возвращаемся Рассмотрим сохраняющее площадь отображение окрестности неподвижной точки общего эллиптического типа, которое в подходящих координатах может быть выражено в виде

I U1 aanCOSW—OSinw+O2tt2>

I Oi—«sin» + осоз® f О2/+2> где,

® = Vo + vH^+o8) . V/> 0 (/>0)и Oa+a — степенные ряды по и, о, содержащие толькочлены порядка >2( + 2. Мы покажем, что для любогодостаточно малого е > О проколотый диск0<^+02<B2содержит инвариантную кривую, окружающую непо-движную точку и = и =* 0 Для этой цели введем по-лярные координаты х, у с помощью равенств1i

u = еу у совх, о = еу21 sinx.

’) Необходимое лис по прояаволпых писгепенно понижалось от 333 (как у Мозера в [I]) до 5 (Н Rossmann, Uber invariantc Kurven differenziertba-en Abbildungen eines Kreisringes (Kleine Nenner D, Nachr Ahad Wiss Gottingen, Math Phys KI, He (1970), 24b К Л7—105) —Прим ped.

Легко проверить, что отображение в этих координатах принимает форму

*t — х + Yo + Ni^U + О (в«+'), ух»уА-о^.

Остаточные члены являются здесь вещественно-аналитическими функциями от х, у при 0 < у < 1, имеющими период 2л по х Ограничивая у на замкнутый интервал, принадлежащий отрезку [0,1]. мы можем теперь применить теорему § 1, полагая у = у/е” и заменяя у «» у+YoV^1

Соответствующие остаточные члены оцениваются следующим образом

J1L+L1L —ок”4,1) _ 0 /е)v чл" "

и могут быть сделаны сколь угодно малыми за счет вы бора е даже в том случае, когда они рассматриваются в подходящей комплексной области, содержащей ука заяное вещественное кольцо Наконец, свойство перо сечения следует из сохранения площади рассматриваемым отображением; действительно, если бы замкнутая кривая у = ф (аг) при вещественных х, у не пересекала бы кривую, являющуюся ее образом, то две области, ограниченные этими кривыми, имели бы разные пло щади Таким образом, из теоремы существования мы заключаем, что для каждого достаточно малого е > 0 проколотый диск 0 < и2 + о2 < е2 содержит инвариантную кривую Г, окружающую неподвижную точку и = *z р « о, и это в свою очередь доказывает устойчивость отображения (1) в этой точке приведенные выше аргументы доказывают суще ствование последовательности инвариантных кривых, сходящихся к неподвижной точке Нетрудно показать, что в окрестности неподвижной точки существует не счетное множество таких кривых В самом деле, изложенная в предыдущих двух параграфах конструкция позволяет получить инвариантную кривую для каждого о. удовлетворяющего неравенствам (2,10) В то же время по каждой такой кривой число го однозначно

определяется равенством

Пт Нт 14г^и(^^.=ю

Здесь Xh — угловая координата А й итерации М*Р произвольной точки Р на кривой, a «(g)— та же функция, что и в (1;5) Кроме того, никакие две из этих кривых нс могут пересекаться, так как в противном случае итерации М“Р точки Р. принадлежащей их пересечению, должны были бы лежать всюду плотно на обеих кривых, а потому кривые должны были бы совпасть Таким образом, кривые, соответствующие различным значениям е>, различны, и так как множество допустимых значений для и есть канторово множество положительной меры, то множество инвариантных кривых, конечно, несчетно В действительности можно показать, что на плоскости эти кривые образуют множество положительной меры, дополнение которого в круге иа + иа<г2 имеет меру о(лга) Слеюватслыю, мы можем сказать, что большинство точек вблизи неподвижной точки принадлежит множествх инвариантных кривых

Для того чтобы отчетливо представить ситуацию геометрически, рассмотрим отображение (1) без добавочного члена О»+я Оно оставляет инвариантной каждую из концентрических окружностей в8 + о8 = const, и если мы оставим только те окружности, для которых ш ее у0 + у, («з у2р удовлетворяет условиям

| -^ q - р| > vi W+«2У <мг*

при всех целых р, q с q > 1, то получим канторово множество ® кривых, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с нашим множеством инвариантных кривых полного отображения (1) Другими словами, если мы умножим добавочные члены в (1) на малый параметр т, то кривые, принадлежащие канторову множеству ®, сохраняются, по крайней мере при ма лых т, оставаясь инвариантными кривыми с тем же самым числом вращения В областях, дополнительных к на тему канторову множеству инвариантных кривых, пове-

Денис, однако, совсем другое, и инвариантные кривые здесь разрушаются при малых возмущениях системы, соответствующей т — О В самом деле, мы увидим далее, что при возмущении системы эги области не могут, вообще говоря, быть заполненными однопараметрическими семействами инвариантных кривых

Чтобы помять, что происходит в этом дополнительном множестве, рассмотрим кривые, для которых ю/2л рационально, например равно plq При т —О эти кри вые состоят из неподвижных точек q й итерации нашего отображения При малом возмущении, однако, от этой кривой из неподвижных точек, вообще говоря, сохраняется лишь конечное множество неподвижных точек, и мы можем сказать, что эти кривые разрушаются при возмущении Ниже мы проиллюстрируем эту ситуацию примером Некоторые из этих неподвижных точек, существование которых следует из теоремы Биркгофа1), будут общего эллиптического типа; в этом случае они в свою очередь обладают окрестностями, значительная часть которых покрыта инвариантными кривыми, кото рые окружают различные неподвижные точки Это приводит к иерархии неподвижных точек и инвариантных кривых. Таким образом, геометрия расположения инвариантных кривых вблизи эллиптической неподвижной точки имеет запутанный характер

Области, дополнительные к канторову множеству, вообще говоря, содержат также гиперболические непо движныс точки, которые еще больше усложняют глобальную картину Возможно, что эти так называемые области неустойчивости содержат открытые множества, в которых итерации отдельной точки плотны Впрочем, о поведении отображения в этих областях мало что известно

Может показаться удивительным, что инвариантные кривые мтут быть получены с помощью сходящегося итерационного процесса,' в то время как преобразова вне к нормальной форме, вообще говоря, расходится, особенно если учесть что конструкция инвариантных

*) § 22 стр 209, ср также теорему 8 на стр 50 данной книщ — Ярим рв^

кривых также основана на технике преобразований Ответ на этот кажущийся парадокс прост и состоит в том, что при изучении нормальной формы ') мы строили разложения в ряды около фиксированной неподвижной точки и интересовались сходимостью в некоторой окрестности этой точки, в то время как построение инвариантной кривой связано с разложением вблизи соответствующей невозмущенной кривой.

Мы теперь дадим простой пример, который иллюстрирует некоторые из предыдущих выводов и в котором преобразование к нормальной форме действительно расходятся, в то время как инвариантные кривые существуют В качестве М возьмем простое полиномиальное отображение

^1 ^x-f-y^cosa —.ysina,

Pi — (я + Р3) sina + р cos a, которое, как легко видеть, при sin 2a N- 0 преобразуется к виду (1) с /=1, Yo = ®> Yj = ~"|e Таким образом, согласно нашему предыдущему результату существует бесконечно много инвариантных кривых, окружающих начало координат, которое является поэтому устойчивой неподвижной точкой отображения С другой сто роны, как будет сейчас показано, при а несоизмеримом с 2л преобразование к нормальной форме расходится Если предположить, что это преобразование сходится, то существует окрестность начала координат, покрытая однопараметрическим семейством инвариантных кривых, которые являются образами концентрических окружно стен £2 + ч2 в const Далее, если Ри — неподвижная точка итерации УИЙ при некотором ^>1, то, как ясно из природы нормальной формы, вся кривая, проходят щая через Р^ состоит из неподвижных точек преобразования Al*, и так как угол вращения Yd+Yi(6s + + ч2) + не постоянен, то такие неподвижные точки существуют в любой окрестности начала Таким образом если бы преобразование к нормальной форме схо лилось, ю су шествовало бы бесконечно мною А, для

| 21, см также в части 1 стр 33 и далее — Прим рев

которых AfA имеет континуум неподвижных точек, и можно было бы выбрать такое k четным Мы покажем, однако, что число неподвижных точек Mh конечно, в действительности не больше 3\ и это противоречие докажет наше утверждение.

Заметим, что обратное отображение Л1-1 снова по линомиально— факт, который верен для любого сохраняющего площадь отображения При любом целом А обозначим через (xh,y^ образ точки (х,у) при отображении МА, так что неподвижная точка преобразования Mh удовлетворяет уравнениям Хъ = х, ди — У- Если А = 2# ^ 2 четно, то мы можем заменить эти два уравнения эквивалентными

^-х^ = 0, yv-y_,~0.

Применим теперь теорему Безу, которая утверждает, что если два полинома от х, у не имеют общего множители, то они имеют только конечное число общих корней, не превышающее произведения их степеней Лежо проверить, что в нашем примере полиномы xq — x_q, yq--y-q имеют степень 3», и их старшие члены будут соответственно

aq {cos ау^ — (х sin а — у cos а)3*}, aq sin ау3’, где

а,=(sinа)"*0, 0=3 + 3* + ...8*"'.

Таким образом, они не имеют общего множителя, и мы заключаем, что отображение М2» имеет самое боль шее З2» = 3А неподвижных точек

Этот пример показывает, что ответ на вопрос о сходимости зависит не от теоретико-числовых свойств собственных значений, а скорее от природы нелинейных членов Это сильно отличается от того что было нами получено для конформного отображения в § 25, где устойчивость, также как и сходимость преобразования к нормальной форме полностью определялись линейной частью отображения 1).

Имеется в виду «теоретике функциональная проблема центра», § 23; см также подстрочное примечание ‘) на стр 82 —Прим рсд

Теорема, изложенная в предыдущих двух парагра фах, имеет многочисленные применения к гамильтоновым системам с двумя степенями свободы—в особенности к вопросу об устойчивости периодических решений Как мы видели ’)♦ задача об изоэнергетической устойчивости такой периодической орбиты может быть сведена к вопросу об устойчивости неподвижной точки некоторого двумерного отображения, сохраняющего плошалъ В качестве применения мы еще раз вернемся к много раз обсуждавшейся ограниченной задаче трех тел

В § 21s) мы построили при малых значениях массы р. семейство решений ограниченной задачи трех тел, которые при р»0 представляют собой круговые орбиты

ж, — г cos М» Xt^r sin (erf), г3(о + I)3 =• 1.

Это семейство замкнутых орбит параметризовано частотой о, которая соответствует энергии Легко проверить, что на любой поверхности постоянной энергии существуют ровно две орбиты подобного типа, одна с о + 1 > 0 и другая с ш 4-1 < 0 Исследуем сначала изоэнергетическую устойчивость этих решений при малых значениях р Для этого нам придется рассмотреть связанное с ними сохраняющее площадь отображение, которое мы уже изучали в конце § 24 s) в связи

*) См $ 29 стр 273 Под «изоэнергетической устойчивостью» по пинается устойчивость относительно возмущений, не меняющих ана чения константы энергии т е устойчивость на фиксированной изо- энергетичесхой поверхности -Прим ред

1) § 19 -Прим ред

•) § 22 Линейная часть отображения, о котором идет речь, имеет в подходящих координатах вид

. 2Я

, =со|—х+—

0' = —(«+Пао-^-хЧ cos-^-y + ...

При построении семейства периодических решении были сделаны презло тожения о ^ 0 - I, -2 в-/=-^ (g= ± 1, ± 2, , )• Если

с применением теоремы Биркгофа о неподвижной точке к этой проблеме Решающую роль здесь играет то, что условия устойчивости выражаются в терминах конеч ного числа неравенств

А.*тМ (ft-121 + 2), Vi¥-0

при некотором 1">1 Так как X, уь у& . — непрерывные (на самом деле даже аналитические) функции р, при условии что Xs ^ 1, то достаточно проверить эти условия при ц = 0. В этом случае в предположениях ю — 3g-1, 4g-’, 0 (g = ±1, ±2, ..«) мы получили, что

,.2яЗл

'=*• Vo ——.

и поэтому, если выполнено условие

(2)«^f. |. О (g=± 1, ±2, ...),

то рассматриваемые решения являются изоэяергетиче- ски устойчивыми при Ini^lto^} На самом дело при тех же самых условиях имеет место даже полная устойчивость, .что теперь и будет доказано

Если ми проведем конструкцию сохраняющего площадь отображения вблизи периодической орбиты, сохранив энергию как независимое переменное, обозначаемое через ar, то придем к уравнениям вида

«I = Р^и, о, ®, р), vx = G(u, и, ш, р), ar^ar.

последнее из которых попросту выражает закон сохра нения энергии Линия и — v = 0 состоит из неподвиж ных точек, устойчивость которых при этом отображении приводит к орбитальной устойчивости соответствующих им периодических решений Чтобы доказать устойчи вость неподвижной точки Ро~=(0»0,о#о), мы построим

еще выполнено предположение ш#-^-, ~ lg =- ± I, * 2,,..) (упоминаемое в тексте как (2431)),то налицо эллиптический случай, причем X* чМ № “ t 2. 3. 4) Формула для уь приведенная в тек сте взята из статьи J Moser Periodische Losungen des restrien* gierten Dreikorpcr problems die sich erst nech xielen UmlSufen schlic flen Math Ann, 126 (1953) 325—335 Ясно что все условия на о, упомянутые выше, сводятся к условию (2) приведенному в тексту далее —При* ред,

в любой заданной окрестности U точки р0 инвариантную ее окрестность 5 при помощи следующего рассуждения В U можно найти инвариантную кривую, которую мы записываем в виде

и2 + ой = /?(6)» ty = o?o.

где 0 = arctgy/u Так как наше отображение зависит аналитически, а следовательно, и непрерывно от параметра w, то в действительности можно найти семейство таких кривых

u’+oWM, которые зависят непрерывно от w и поэтому остаются в U, если |ш— w0]<d при достаточно малом положи тельном б. По тогда неравенства

и2 4 »2 < R (6, w), | w — Wo | < б определяют инвариантную окрестность ® точки ро, содержащуюся в U, и таким образом ро — устойчивая пе подвижная точка Это показывает, что при условиях (2) наши периодические решения ограниченной задачи трех тел устойчивы при достаточно малом значении пара метра ц

Как мы упоминали в § 311). при ю = З/g, где g - делое число, не делящееся на 3, Леви Чивита доказал, что соответствующие орбиты на самом дело пеустой чины Таким образом, лишь случай ш — Mg остается пе рассмотренным Впрочем, если о» = Mg и g нечетно — случай, к которому непосредственно наш результат нс применим, то можно в действительности доказать устойчивость при достаточно малом р

Выразим в других терминах найденные условия устойчивости Пусть vi -частота обращения тел Рь Р8 но их орбитам, которую мы более не предполагаем равной единице При ц = 0 точка Pg нулевой массы движется по круговой орбите с частотой va относительно неподвижной системы координат Частота м, введенная выше, дается тогда формулой

(0 = ^-1 V,

*) § 29, стр 274 — Прим рвд

и наше условие (2) эквивалентно условию

о) ч*!- ip-?i<4'

где р, ^ —взаимно простые целые числа Изображая одноиараметрическое семейство периодических орбит в виде семейства замкнутых кривых, которые покрывают плоскость подобно семейству концентрических круговых орбит при р, = 0, мы получаем устойчивые орбиты, выделяя из этого семейства те решения, которые соответствуют (3).

Закончим это обсуждение интересным применением к движению астероидов Астероидами называются ма лые планеты, которые в большом числе движутся преимущественно между Марсом и Юпитером и образуют приблизительно кольцо вокруг Солнца Если пренебречь влиянием всех планет кроме Юпитера, то движение астероидов может быть рассмотрено на основе ограниченной задачи трех тел, где в качестве Р) берется Юпитер, в качестве Ps—Солнце и в качестве Ра —астероид, .массой которого мы полностью пренебрегаем Предполагая, что большинство астероидов движется вблизи круговых периодических орбит в той же самой плоскости, что Солнце и Юпитер, мы можем попытаться применить описанный выше критерий Для большинства ич наблюдаемых астероидов отношение частоты V» их обращения по орбите к частоте Юпитера vi лежит в интервале

4 2 *

В этом интервале значения ^- = у, у, у, у нс удовлетворяют нашему критерию, я около них и в самом деле астероиды встречаются особенно редко Что же касается ^=7, то в распределении астероидов здесь можно указать менее резко выраженный «люк», хотя соответствующая периодическая орбита устойчива Эти ^люки» в распределении астероидов, которые были замечены еще в 1866 году Кирквудом, видимо обуслов лены, таким образом, неустойчивостью, вызываемой

Юпитером, если не принимать во внимание исключитель ное значение у. Конечно, эта интерпретация имеет только качественный характер и не позволяет дать какое-нибудь предсказание о ширине этих промежутков Кроме того, мы не проверили также, будет ли параметр р ) достаточно мал Тем не менее критерий дает нам правильное отношение частот для большинства названных промежутков)

§ 4(36) УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСНЫХ РЕШЕНИЙ

В качестве другого применения результата § 1 мы рассмотрим проблему устойчивости положения равновесия гамильтоновой системы с двумя степенями свободы Мы будем предполагать, что соответствующая линеаризованная система устойчива, и даже более того, что ее собственные значения ±ЛЬ ±Х2 чисто мнимы и различны С помощью подходящего линейного преобразования функция Гамильтона при этих предположениях может быть преобразована к виду Н = На + На + ..., где

И1 = к\Х\У\ + А>!№4/2>

и условия вещественности из § 15) принимают форму Ук = ик (А = I, 2) Здесь следует различать два существенно разных случая Первый случай квадратичная форма Иа положительно или отрицательно определена, и тогда устойчивость следует непосредственно из теоремы

Дирихле1) Второй случай форма //3 неопрсделсиа, другими словами, 0 лежит между А, и Аз на мнимой оси, и вопрос об устойчивости нельзя разрешить только с по мощью линейных членов дифференциальных уравнений Это тот случай, к которому мы теперь возвращаемся

Предполагая, что WL^—pjq lp,q = 1 2 3. 4), мы можем найти координаты (по-прежнему обозначаемые через хк1 ук), в которых гамильтониан принимает вид

я **^ + ^4-

+ 4(и11»? + 2ц)^1®а+|у»3 + Я54-

где Wh = хкук и pju действительны, и условия веществен пости задаются в виде ук =* ix^. Покажем теперь, что при дополнительном предположении

^ ^ РцА| — Зр^А^ А2 “г ^22^1 ^ О* которое эквивалентно требованию, чтобы полином

Я< = 4"{ ^И®? + 21*12Ю1®2 + 1*22®2 }

не делился на На = M^i + XaWa, положение равновесия является устойчивым решением соответствующей гамиль тоновой системы Этот результат принадлежит Лрноль ду m

При доказательстве мы можем предположить, что |Ai | > |Хз| и 1m А3 > 0 > Im Хь Чтобы установить устой чивость, достаточно доказать, что любое решение описан ной выше системы с начальными данными из области |xi|2 + |хг|2 < е8 останется в любой момент времени в области к|2+1^Р< с2е8, где c — SV — М^з ив — достаточно малое положительное число Здесь мы допускаем только решения которые удовлетворяют условиям вещественности у л — ixh (6=1, 2), так что w» —Лх*Р иЯг-|ЧИ12- |М1хзР '

Доказательство будет проведено методом от противного А именно предположим, что приведенное выше утверждение неверно Тогда можно найти решение, для

1) См стр 45 а б — Прим ред

которого величина г (0 = УТхДО F +1 *2 (О F такова что г(0) <е и г(т) = се для некоторого вещественного т Удобно увеличить масштаб, заменив хь Ук переменными 8-1хА, ^Ук (£= 1. 2), в которых система дифференциальных уравнений остается канонической, а новый га мильтониан приводится к виду

Н (х, у, в) = Я2 (х, у) + в2Я4 (х, у) + в^Яв (х, у) + .. , где Н*(х» у) — те же самые однородные полиномы сте пени V, которые входила в гамильтониан (1) Наше предположение тогда заключается в том, что существует ре шепие новой системы, удовлетворяющее условию г(0)<1, в то время как для некоторого действительного т г(т)= с При этом утверждается, что при достаточно малом значении в это предположение приводит к противоречию

Имея это в виду, произведем редукцию рассматриваемой проблемы, заменив систему дифференциальных уравнений отображением, к которому применима теорема из § 1 Заметим сначала, что функция Я(х, р, е) постоянна вдоль рассматриваемого нами решения Ее значение мы обозначим через h Чтобы оценить эту величину, полагаем ( = 0и учтя неравенства |Ai|>|Aa| и r(0)< 1, находим, что

IA J < 11 Л, | |х, Р — | ^ ||*2 Р14- с^ < | >., Ц- с,в» с А] х, |

при достаточно малом в Здесь с\ и позднее с8, с3| с4| с8 обозначают положительные константы, которые не зависят от в и фиксированного нами частного решения С другой стороны, полагая / = т, мы имеем

1Х11|хн3~|А2Лх2р>-1АНс^>-2|А1|, если в достаточно мало Вспоминая, что при t — т

Ix.P + lx.^c2—^'.

исключим |x2|s из последних двух соотношений Эго дает мам неравенство

(j^l + |A?|)|x|F>JX2^-2UJ-7]AH (/-т),

Теперь из неравенства |М| + |XaJ-^2]Ai| мы наконец, получаем

|х,Р>|>3 (< = т).

Отсюда следует, что для решения, о котором идет речь, функция |xt(O |8 принимает все значения р в интервале 1 ^р^З, а значит и в интервале 2<1р-<3

Далее, на поверхности постоянной энергии Н — h при IЛI < у f Ai i рассмотрим множество Q, определенное неравенством 2^|xi|8^3 и условиями вещественности Уа = ixh (А = 1, 2) Поскольку | Я | < -|| Л11, мы имеем на этом трехмерном множестве оценку IMW^lMlx.f-^M-c^

>^|Хг1-с1в=>1|Х| I,

из которой следует, что |х2|>у.

Аналогично показывается, что величина |хг| также ограничена в (2 и сверху. Следовательно, в Q можно определить аргумент 9 = Imlog'Xs с точностью до целого кратного 2я, и мы обозначаем через S двумерную поверхность в Й, определенную сравнением 0 as 0 (mod 2л) Точки в 5 параметризованы действительными и мнимыми частями х>, а вторая координата х3 = |хг| определяется как неявная фу нкция из соотношения Н = к На осно вании оценки

es-Im-^ — Im-^-^ImAs — c^^-ll^l, которая выполняется при достаточно малом е > 0, мы видим, что любое решение нашей системы, расположен ное в Й, в течение промежутка времени >Зл/|Х3| по крайней мере один раз трансверсально пересекает S

Определим теперь отображение S, которое переводит точку на X в ближайшую по времени точку пересечения вещественного решения, начинающегося в этой точке, с поверхностью 2, всяким раз когда такое пересечение

существует Если fo<A — два последовательных момента времени, при которых такое решение пересекает 2, то 0 < <i — /0 < Зл|Ха|. Далее,

Из этого неравенства мы заключаем, что при 0 < б < < у для любого б существует е6 > 0, такое, что для О < в < а отображение 5 корректно определено при 2 + б< |xj|2-<3 —б и что

-б<|х1(#1)|8-1х1(/о)Р<б.

Вспомним теперь, что для решения, существование которого предполагалось, значения ^i(/)|a покрывают интервал 2 ^ р ^ 3, и поэтому всякое кольцо а < <|х1|а<6 в 2, у которого Ь — а ^ б, содержит по крайней мере одно пересечение этого решения с 2 Это приводит к тому, что такое пересечение решения с 2 в области 2^|х,|2^ 2-|-б отображается, некоторой итерацией S или S 1 в точку области 3 — б С |*i|2<3, что, очевидно, невозможно если существуют замкнутые кривые, инвариантные относительно S в кольце 2 4-б < <|х1|8<3 —б Таким образом, наше доказательство будет сразу же завершено, как только мы покажем существование такой инвариантной кривой.

Сведя утверждение об устойчивости к существованию инвариантной кривой для описанного выше отображения S в кольце 2 + б^|х1|а^З —б, проверим те перь предположения, необходимые для применения теоремы существования из § 1 Прежде всего из результатов § 22 *) мы видим, что S сохраняет интеграл площади

взятый вдоль замкнутой кривой, и поэтому удовлетво рястся требуемое свойство пересечения Таким образом,

остается только проверить, что S хорошо аппроксимируется закручивающим отображением, и так как оценки нужно проводить в комплексной окрестности кольца, то мы начинаем с продолжения вещественного многообразия S в комплексную область Эго многообразие было определено в Q условиями H = h и 0^0 (mod2л), причем последнее можно заменить условием 93 = 1x3, которое в сочетании с условием вещественности у8 ~- = ixi приводит к тому, что х2— вещественное Из за кона сохранения энергии

Я —А.1*1Р1 + ^2У2 + е2^+ ... = Л

и равенства уг -- ixi получаем

/M“-Mi^ Ь А-Ю(еР);

рассматривая Xiyi в комплексной области

2<|x1f<3, 2<|^р<3, l^-UJOxJ,

мы можем из уравнения (3) выразить х8 как аналитическую функцию других переменных. х8 = ф(хь^|,Л,е) В самом деле, так как

IMi^~A|>2|A:|-!A|>|ajI/2,

то при малом а правая часть (3) отделена от 0, а так как последнее соотношение в (4) имеет следствием ие равенство 1шх1у1>-0, то существует однозначная ветвь квадратного корня из — AfX^i -j- й, определенная во всей области (4) Таким образом, при малых значе ниях в функция ф определена к области (4), и в соответствии с определением 5 мы выбираем такую ветвь, которая положительна, когда yt = ixb h = R Комплексное продолжение 5С области 2 определяем теперь с помощью аналитических уравнений рз - ixb х2 = = ф(хь^Же) с комплексными переменными xb yh меняющимися в пределах области (4)

Комплексное продолжение отображения 5 получается при помощи сдвига вдоль траектории комплекс ного решения нашей системы, выходящей из точки на 5с, до следующей точки ее пересечения с L* Чтобы аппроксимировать это отображение, мы заменим Я(х,у,е) функцией Н* = Нз^-^Н^ которая зависит только от

Фк = ХнУк (6=1» 2), обозначив поверхность, соответ ствующую 2, через 2*, а соответствующее отображение, определенное на X*, через S* Для построения отобра жения S* нужно решить систему дифференциальных уравнений

^-н;^»;^. е»—»;»—н;^ »-!,»

Ее решения имеют вид

*» (0 - ** (0) е"1’*,у, (/) - yt (0) е~Ш"‘,

где в качестве аргументов в II» h берутся ®i(0), «^(О) Выбирая начальные значения так, чтобы выполнялось условие р2 = ix2, определим Т как функцию этих начальных значений, такую, что Т близко к 2л/|Х2| и ^2 s = ixa при t = Т Ясно, что для этого необходимо, чтобы

Я«,Г = 2зи

Искомое отображение, таким образом, задается формулами

хЛП^х^е^ yi{T)^yi{Q)e «, где

П®1*2 + в2 (Р12»| + Р22®0

последнее выражение после исключения ws с помощью интеграла энераии Н* = h приобретает вид

е - 2л (-^ + -4 (М + (иЛ - ц^,) Л)) + О W,I *2*2)

где D — величина, определенная в (2) Следовательно, комплексное продолжение S* задается равенствами

р, (f) = хг (0) е’«+₽*> ’°’» <°> + О (р^ I Ух U) = У1 (0) е-<о-^t0)»' ^ + О («’), где

«=2л[^. + ^-(М1-|1Я11)Ау р-^^О.

Наконец мы в состоянии применить теорему Суще ствовання из § 1. Так как Я(х,у,т) и Н* отличаются только членами третьего порядка, то легко проверить, что S также имеет форму (5) и при sri (0) = е Jri (0), 2 С|Л1(0) р ^ 3 удовлетворяет необходимым предположениям теоремы Таким образом, мы заключаем, что кольцо 2 + fl^|jr1|2^3 — 5 содержит замкнутые кри вые, инвариантные относительно S Этим и завершается доказательство устойчивости положения равновесия, удовлетворяющего условию (2).*

Можно было бы надеяться получить аналогичный результат об устойчивости при условии, что квадратичная форма pl)wj4-2p12wln>a-|-p^w2 невырождена, т е НпНп^Нп ^ 0 Эта надежда, однако, не оправдывается, как показывает следующий пример Возвращаясь к общему случаю п степеней свободы, возьмем вектор g = (#ь g»»> Rn) с неотрицательными целыми коор

динатами, удовлетворяющий условию I g I^S 8ь^^ и многочлен

А«МЛ !=»1

где Хд чисто мнимы, р« действительны и

^ Kkgk = 0, *21 UwgkSi =” о.

Обозначая произведение

через г*, мы покажем, что для системы с гамильтонианом

Н = Н* (w) + х8 4- су®, wfe = xkyk, c*W подчиненной условиям вещественности Ук = 1хк <к« ■ 1, ., п), положение равновесия неустойчиво.

Чтобы это сделать, заметим, что

■.

4 ^ + «/) - (^ - ^ 2 н*.»я*-

я будем искать решения, которые удовлетворяют соотношениям

Wk = igll$? (6 = 1, . , ft), ^ — — су8 для некоторой положительной скалярной функции р = = р(0 Учитывая (6) и (7). заключаем, что если эти соотношения выполняются в начальный момент вре мени, то они будут выполняться и при всех /, для которых решение существует, если только р удовлетворяет дифференциальному уравнению

p = <zpUi-i, a = ±Vg8

Здесь знак а зависит от начальных условий и может быть обращен, если заменить хк, ук на тх^, %у^ где т1*1 = — 1 В любом случае эти решения стремятся к положению равновесия как при I —*+<», так и при t—> и положение равновесия, таким образом, не устойчиво по отношению к прошлому и будущему

Ясно, что в этом примере отсутствие устойчивости связано с рациональной зависимостью собственных значений Xh , Х„ Здесь интересно заметить, что члены четвертого порядка Рл/ш^ нс влияют на ситуацию, как это было в случае потока с двумя степенями свободы в окрестности периодического решения Легко видеть, что условия (6) совместимы с предположением, что матрица (рА1) невырождена Для примера, если п = 2 и

Н* — (XjiV! + ^2)(1 + 6|Wi + Ма).

то второе условие в (6) удовлетворяется одновременно с первым, в то время как Рц^а ™ Ц?2 ^ °» если б^а^б^ Здесь, конечно, нарушается условие (2),

Критерий устойчивости можно легко обобщить на случай, когда члены четвертого порядка не удовлетво ряют условию (2), но аналогичное условие невырожденности выполнено для членов шесюго или более высокого порядка. Важно только, чтобы функция H»jHe, нс была бы постоянна на поверхности Я* = О, где Н* — функция переменных wh w^, полученная отбрасыванием членов достаточно высокого порядка у гамильтониана после того как он приведен к нормальной форме Если отношение ^Xf1 иррационально, то это условие невы рожденности может быть сформулировано очень просто В самом деле» с помощью результатов § 30’) мы можем тогда ввести формальным каноническим преоб разованием новые переменные £ь Ль ^ Па так, чтобы гамильтониан ^(х,^) превратился в степенной ряд К = К(ь>ъ сое) от произведений wi^giiit. cos - Ьца В терминах этой нормальной формы условие невырожденности требует, чтобы Л(®ь®2) не делилось на Х|Ш] + Х2Ш2, или другими словами, чтобы функция Л(—X2®hXi®i) не была тождественным нулем При этом условии проверяется, что K<JKl01 не постоянно на множестве, определяемом уравнением Xi®i + Х2ю2 = 0, и на основании предыдущих рассуждений мы имеем устойчивое положение равновесия

Закончим этот параграф применением наших результатов к лагранжевым решениям ограниченной задачи трех тел Эти решения, которые мы изучали применительно к общей задаче трех тел, сохраняют свое значение также и для ограниченного случая Мы пред полагаем, что PIt Р» - частицы масс р, 1 — р соответ ственно и рассматриваем движение точки Ра нулевой массы во вращающейся системе координат, в которой Pi. Ра неподвижны При этих условиях уравнения для координат (хьх8) точки Ра имеют гамильтонов вид*)

^к^Нуу $4 = — НХк (^””1»2),

) § 28, стр 258 См также теорему 2 на стр 18 первой части — Прим ред

§ 22, стр 217 в уравнения на стр 12 этой книги —Прим ред

ГДе

Я |(»1 + $ + *!»! - *1»1 - F(*P «^

F - ™ 1 ”ц - 4* _ .

Кбг+вТ+ЭУ(л, + ц - 1)? + х*

Эта система имеет положения равновесия в точках

^1 = "^ Ц» Яд “= ±2 " ’

которые образуют равносторонние треугольники с точками (—р,0), (1 —р,0), задающими положения тел Ра, Pi соответственно Собственные значения X линеаризованной системы являются корнями уравнения четвертого порядка

!* + >.’-I -f-Hd-H)”».

которое получается из (18. 4)‘) при mj =* р. т2» = I — р, т3 = 0 и имеет две пары чисто мнимых корней, если

|>(1-|.)<+

Несложный подсчет показывает, однако, что квадратичная часть Н2 гамильтониана знакопеременна, и поэтому, чтобы решить вопрос об устойчивости, приходится принимать в расчет члены более высокого порядка

Если исключить те значения ц, для которых k\q — Кзр — 0 при |р| + |?К4, то гамильтониан можно принести к виду (I), причем величина D в (2) равна

1 Э6-541Х^ + 644Х^

8 (1-4ОД)(4~25Х^)

н обращается в нуль только для исключительных значений ро в интересующем нас интервале 0<ц<цн где 14=-^^! — ~/69} — наименьший из корней уравнения 27ц (1 — р)=1. Значения р, для которых М — — ХгР = О при |р 1 + | q К 4. легко определяются. Если

мы выберем | М > I ^а L Я > 0, то 1 ^ q < р и ограничение lpl + l$l<4 приводит к двум случаям (р, ^) = *=(2,1), (3,1) Вследствие равенства Л1+Ла = —1 это соответствует условию Й = — ^ . —^. которое имеет место при

u=P,=10 - jrfi®3). =?(> -тг^)- Таким образом, если исключить эти три значения р0, Из, рэ из интервала 0 < р < рь то мы имеем устойчивость. К исследованию лагранжевых решений теорему Арнольда применил А М Леонтович (2), который, впрочем, проверил только, что D не обращается в нуль тождественно по р В явном виде D и исключительные значения р вычислили Депри [З]1).

§ 5(36). КВАЗИ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ И СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

До сих пор мы использовали инвариантные кривые, найденные в предыдущих параграфах, только для исследования устойчивости Однако в действительности можно дать и весьма точное описание качественных свойств соответствующих орбит В то время как испод вижные точки отображения, связанного с потоком, со ответствуют периодическим движениям, точки па инвариантных кривых, как будет показано ниже, соответствуют решениям, принадлежащим к специальному классу почти-периодических решений, а именно к так называв мым квазипериодическим движениям Значение этих решений было осознано уже Нолем. Сейчас мы переходим к изучению таких решений и к обобщению результатов предыдущих параграфов на случай многих степеней свободы

Мы будем называть комплексную функцию /(0 чвазипериодической, если она может быть представлена эядом Фурье специального вида

/(0-=е S t Я», »/(‘|в,+ *W*-

где Ль ,.., As пробегают все целые числа и коэффициенты экспоненциально убывают с ростом |А| = = |А|| + . . + |AJ. Для упрощения записи мы вводим векторы к = (ДJ, , А,), ш = (йь .., юл) вместе с их скалярным произведением (А, со) = 5 6*®v и соответственно обозначаем коэффициенты через а* Действительные числа ©в ..., <о4 можно предполагать рационально независимыми, так как иначе их количество можно было бы уменьшить Вещественная квазиперио- дическая функция /(f) характеризуется соотношениями а-*— Ли

С каждой квазипериодической функцией /(/) указанного вида мы связываем соответствующую функцию

F(6b е,) = 2а*е‘*°>

s переменных, где 6=(9ь .... 0л) Функция F(0) имеет период 2л по каждому переменному и является вещественной, если а ц « 5» Более того, согласно нашему предположению об экспоненциальном убывании коэф фициентов, функция F(0) вещественно аналитическая. Функция f(t) получается из F(0) заменой 0 на <of Обратно, каждая вещественно аналитическая функция ?(0) периода 2л по своим переменным порождает вещественную квязипериодическую функцию f(0, если 6 опять заменить на of Чтобы убедиться в этом, следует только показать, что коэффициенты Фурье

ЗЯ 2Я

а»™(2лГ'^ ... JF(0)e-‘<« »de, ... de,

убывают экспоненциально с ростом |й| Так так F(0)— вещественно-аналитическая и периодическая функция, то она определена при комплексных значениях 0V в области |Im6v|^p для достаточно малою р>0 и ограничена там по абсолютной величине константой М Так как по теореме Коши в качестве пути интегрирования в указанном выше интеграле может быть взят путь 0V = Ху ± ip. О ^ Ху ^ 2л (v = 1, . ., S), ТО, выбирая

знак перед i равным знаку —к^ если Av * 0, и произвольно, если Av = 0, мы получаем, что

1а* К Me-’»

Это доказывает экспоненциальное убывание а*, в то время как вещественность F приводит к тому, что

2л $л

a* = (2n)“sJ ... J F(e)e«**de, ... de, = a_*. Q О

Определенный таким способом класс квазиперноди ческих функций будет обозначаться через Q(®). Он представляет собой подкласс класса почти-периодиче- ских функций, введенных Бором £13, более узкий в двух отношениях- во-первых, частоты являются линейными комбинациями с целыми коэффициентами только конечного числа частот »ь , ©8> тогда как в теории Бора в качестве частот допускается любое счетное множество действительных чисел, во-вторых, требуется, чтобы коэффициенты ак экспоненциально убывали с ростом |А|, что делает НО» тав ж^ как и F(6), вещественно-аналитическими функциями, тогда как почти- периодические функции Бора просто ограничены и непрерывны Этот более узкий класс О(ю) весьма удобен, однако, применительно к нелинейным задачам небесной механики

Класс функций Cl(w) зависит, очевидно, от выбора чисел «>ь . , юл Болес точно он определяется решеткой, порожденной числами wi, .... ш8, так как &(®) не меняется, если вектор ® заменен на вектор w^Uw, где {/ — целочисленная матрица с определителем ±1 Ясно, что требование рациональной независимости «1, .... ш„ сохраняется при таком преобразовании Ясно также, что всякая квазипериодическая функция из Q(w) может быть равномерно аппроксимирована в П(ш) конечном тригонометрической суммой, дл^ чего можно просто обрезать ряд Фурье данной функции /(/), опуская члены с |A|^.V при достаточно большом натуральном N Вследствие экспоненциального убывания коэффициентов Фурье полученные таким способом три-

тонометрические суммы будут равномерно сходиться к ио.

С каждой квазипернодической функцией f(0 мы также связываем среднее значение

гг= Hm^ J Hhdi

Чтобы доказать существование этого предела, заметим, что для тригонометрического полинома из &(<а) он за ведомо существует и равен

2Л2Я

во—(2л)-8 J .. [ F(0)^ ... dO,. оо

Для произвольной же квазиперяодяческой функция /(Ое&(ю) существование указанного предела следует из возможности аппроксимировать f(t) такими триго неметрическими полиномами /х(/)гО(ю) для которых sup|/(0 — fy(t) | — Ё№*0 при А-*оо В самом деле, вычитая константу из Д мы можем предположить что коэффициент «о, соответствующий постоянному члену, равен нулю, и это же предположение тогда будет вы полнено для тригонометрического полинома fK, полученного из /(f) отбрасыванием высших гармоник. Для данного б > 0 возьмем ^ столь большим чтобы выпол мялись неравенства pv < 6/2 в, следовательно,

I оО I

Так как f^=— 0, то мы можем найти такое Ть, чтобы второй член в написанном выше неравенстве был мень ше, чем 6/2, при Т > Тв, и поэтому

UpJ< |+} = 6(Г>Г6)

Это показывает, что предел левой части при Т-*ад существует и равен Q

Прежде чем исследовать значение квазипернодиче- ских функций для нелинейных гамильтоновых систем, мы рассмотрим простейшее линейное уравнение

d-fn

содержащее квазипсриодическую функцию f (О из й(ю). Если функция /(О в действительности периодическая, то любое решение этого уравнения есть сумма линейной функции 1*1 и периодической функции того же самого периода, что и f(l), так что решение будет периодическим, если f* = 0. Предполагая теперь, что f есть квазипериодическая функция из О(ш) и имеет среднее значение Г = 0, мы исследуем, лежат ли также решения написанного выше уравнения в О(ш). Ответ на этот вопрос, вообще говоря отрицательный, но если потребовать, чтобы при некоторых положительных константах с, ц частоты (й,®) удовлетворяли неравенствам

1(4, е)|><-‘ |4 Г"

для всех целых А ^ О, то ответ будет утвердительный.

Для доказательства этого предположим, что функция /(Л снопа представлена как £(©/), а неизвестное решение у(0 как У («О Тогда функция У(0) должна удовлетворять уравнению в частных производных

to 2e-<—F(e)

Мы предполагаем здесь, что обе функции У(0), F(6) вещественно аналитичны и имеют период 2 л по 61, ..., 9в и, кроме того, что среднее значение F(6) равно 0 В этом случае уравнение (4) легко решается С помощью разложения в ряды Фурье В Самом деле, если положить

F(6)«^akef«%

то решение У(6) уравнения (4) со средним значением 0 имеет вид

так как oo = 0 В силу (2), (3), коэффициенты Ьк» е-ЦЬ^гок эксноненциальпо убывают, в то время как вещественность функция ^(О) приводит к тому, что б* * —Ь-*, так что написанный выше ряд представляет вещественно аналитическую функцию У(0) Таким об- базом y(i) = У (to/) — решение уравнения у = f (/) в 1(e). Ясно, что общее решение отличается от только что построенного только аддитивной константой.

Решение уравнения (4) в действительности будет принадлежать Qfw) при более слабых ограничениях на малые знаменатели (Л, и), чем неравенство (3) Однако если на эти частоты не наложить вообще никаких ограничений, то соответствующее решение может быть даже неограниченным Чтобы привести такой пример, возьмем число 6 > 1 и построим положительное иррациональное число а, удовлетворяющее неравенствам

I >va — Zv | < b'**

для бесконечного числа положительных целых Л», L, (v= 1, 2, . ). Такое число а может быть легко построено при помощи разложения в непрерывную цепную дробь. Выбирая число а так, чтобы выполнялись неравенства 1 < 0“+’ < Ь, мы полагаем

f (О = ^2 j а~*-;Чб/ sin ^а — /) /,

где iu< есть 1, если Ла — / > О, и — 1, если Ла — / < 0. Ясно, что функция /(/) принадлежит &(mb ©2)> где »i = a, «>2—1, н имеет среднее значение 0. Тем не менее функция

<Ю-У f(s)ds— ^ e-^IAa-ZC'Cl-MS^o-flO 6*л -1

даже не ограпичеиа, и поэтому, конечно, не является квазипериодической. В самом деле, полагая \ = =|Л*а — /v| и /у*®-^. мы имеем

неравенству S |ф®у| < М. мы полагаем р =— Де м ^,

где Гю!| = тах| <ov |, и постараемся доказать, что в области |Im6v|<p, О^с^ 1 функция G(0;a) должна удовлетворять оценке р + ttcoll [ Irn G | < б Отсюда, конечно, вытекают существование и аналитичность решения в этой области Проверим теперь эту оценку Так как<р — вещественно аиалитичсскаяфункция, то

ф(6, о) — ф(0, о) и поэтому |^lmOl-4|^e-^h

=у IФ (6 + <»G; о) — ф(0 + ®6, о |<

<Atmax|(ImOv4-6)v ImG)|<Af (p + |I®||’ImGf),

до тех пор пока оценка р + ЦшЦ| Im G| < 6 остается в силе Предположим, что эта оценка выполняется не во всем интервале 0 < о ^ 1 Так как она, конечно, справедлива при а — 0, то в этом случае должно существовать наименьшее число 0< о* < 1, для которого гпах| Im G|=^j^- (<у = оге),

в то время как при 0 < о < а* имеет место указанное выше дифференциальное неравенство Из теоремы Сравнения мы получаем тогда, что

|ImG'>ft(o) (0<о<о‘),

Где Л (о) —решение уравнения

dl-^^ + l1®"*)- А(0)-0.

Так как

Л(о'^Тм й*и*-1)<-^|)- W-

что противоречит выбору п* Этим установлена сира ведлнвость нашей оценки, и мы заключаем, что решение 6(0; v) уравнения (6) существует для 0^п^1. не ществснно аналитично и в силу теоремы единственности имеет период 2л по 0v Легко проверяется, что G •= = 6(0, 1) — решение нашего первоначального у ранне ния (5) Таким o6paaov, g(v).-= 6(ют, 1) принадлежит Ct(cO, и утверждение о виде обратной функции доказано

Мы заканчиваем эти предварительные замечании применением последнего результата к нелинейному скалярному дифференциальному уравнению

где функция f принадлежит О (со) и удовлетворяет неравенству |Нт) |^ 6 > 0,для всех т Докажем, что любое решение этого уравнения имеет вил т = at 4*^(0» где а ‘ — среднее значение функции f”1 и g принадлежит ^а<й) В самом деле, обратная функция t= ^(т) удовлетворяет уравнению

и поэтому, как было замечено выше, имеет вид t = а'*т + А(т),

причем функция й(т) принадлежит Ctfco), если выполняется условие (3) Следовательно, согласно доказанному нами утверждению об обратной функции, т(0 имеет указанный вид

Теперь мы обратимся к построению квач и периодических решений гамильтоновых систем, начав с неавтономных систем с одной степенью свободы, затем перейдем к системам с двумя и более степенями свободы и закончим некоторыми применениями к задаче трех тел Сначала рассмотрим систему

. дН . дН

№ х=-а8"-

в которой гамильтониан Н ~ iJ(t, х,у, е) имеет период 2л по независимому переменному t и скаляру х и

1/ И 1П М<УЫ»ГЬ

вещественно аналитичен по всем четырем своим аргументам, причем у меняется в вещественном интервале а < у < Ь, а параметр в— в окрестности точки в = 0. Наиболее существенное дополнительное предположение состоит в Том, что при 8 = 0 гамильтониан

Я(/,^у;0)=Я°(у)

не зависит от I, х и удовлетворяет условию

-^*0 <«<»<»)

Покажем, что при этих условиях написанная выше система обладает при достаточно малых |s| решениями вида

,т { *•= Од + F(0; в), y = G(e;a),

W 1е=(е1.4х6,-=#, о,=О/р9,(0),

где функции F, G вещественно-аналитичны по переменным 6 и е и имеют период 2л по 6Ь 0х, в то время как число а — иррационально Другими словами, х—а/, у—квазипериодические функции, принадлежащие классу &(!,«) Несмотря на то что сама функция x(f) не является квазипериодической, мы будем называть эти решения квазипериодическими из класса G(l, а). В самом деле, так как х —угловая переменная, то естественно в этой ситуации называть решение хМ» 9(f) квазипериодическим из класса ^(соьиг), если для любой вещественно аналитической функции f(f,x,y) периода 2л по I и х функция f(t х(/),у(/)) принадлежит К &(<01, tig)

Существование таких квазипернодических решений легко устанавливается ори помощи теоремы существования из § 1. Для этого мы построим сохраняющее площадь преобразование, отображающее начальные значения х(0), у(0) решения при t = 0 в значения х(2л), у (2л) при t = 2я. Это отображение определено в замкнутом интервале а+6^у^6—д при достаточно малом 6, вещественно аналитично в нем и имеет вид

* (2л> - * (0) + 2пЯ" (»(0» + О (е),

»(2я)=»(0)+О(8}.

Согласно'(8), ffj имеет отличную от 0 производную, так что теорема § 1 применима и мы заключаем, что отображение имеет инвариантную замкнутую кривую xW^g + u^e), y(0)~oG,e), лежащую в пределах а + 8 < у(0) ^ Ь — б, причем на этой кривой отображение задается равенствами п ^(2л)=#^ + 2ла+п(6 + 2ла, в), 'у(2л) = п(Ы-2ла;8)

Иррациональное чйЬло а здесь играет ту же роль, что и число ^ в§1 и удовлетворяет условию (1.6)

Покажем теперь, что решения, у которых начальные данные лежат на этой инвариантной кривой, — кв'ази- исриодические из класса &(!,«). Если |е| достаточно мало, то эти решения останутся в области а < и < Ъ при 0С^С2л и, следовательно, при всех / Обозначая эти решения через

* = & + «(/,£; в), №«(^t^.

мы заметим, что и, о —вещественно аналитические функции по /, 5, в и имеют период 2л по 5. тогда как в силу (10)

и(2лД;в)=е + н(0Л + б>;8),

U 'o(2«4,e) = o(0,.g + B;e),

где о = 2ла

Более того, мы можем утверждать, что

(13) {(13) {«(f + 2л,£ — ф, «) — ©»«(/, 6; в), о (/ + 2я Д — ф; в) = и (/, 6: е).

(13) {

(13) {

В самом деле, если иЦЛх^У уЦД,^ в (И) заменить соответствующими левыми частями из (13), то полученные в результате функции снова явдяются решениями нашей системы, начальные данные которых, согласно (12), совпадают с начальными данными первоначальных решений Следовательно, по теореме единственности для дифференциальных уравнений совпадают и сами решения,откуда и вытекает (13).Таким

W

образом, функции

F (0, е) = «(0b 02 — aOt, е) — «Oj,

G (9, е) — V Оь 62 — aOi, в)

имеют период 2л по 9] Н2, и пользуясь ими, можно выразить решение (11) в форме (9) с (^ —/, 62 = — 5 + а/ Это завершает доказательство

Мы распространим предыдущий результат на авто помную гамильтонову систему

хк-Н^ У^-Пхь (6 = 1,2)

с двумя степенями свободы, где II (х, у, е) — веществен но аналитическая функция по переменным хь х2| y\t у* е периода 2л по xh х2> у = (уь у^ меняется в открытой области ©, а г — в некоторой окреп пости нуля Основ ное предположение в этом елхчае состоит в том, что

№(.8> = Н<х,у, 0)

не яаннсит от х и удовлетворяет условию

я^,(д’у- м^А+^W,)Vo

в © Рассмотрим теперь поверхность постоянной энергии II (х, у, е) = h, где h — такая константа, что множество, задаваемое равенством Н(х, у, 0) *- Z/°(#) — 6, пересекает © Утверждается, чго на такой изоэнерге тической поверхности существует решение х(/), У (О, которое является квазипериодическим в том смысле, что f(x(f).y(O) ква шпериод и ческа я функция для любой вещественно аналитической функции Kx.y), имеющей период 2л по хь х2

Этот резучьтат получается из предыдущего В силу (15) можно предположить, что функция Z/y, отделена от 0 в открытой подобласти ©'ст©, и выбирая об ласть ©', так же как и |е|, достаточно малыми, мы можем из уравнения il\x,y,e) = h найти У\ = = —К(Хь ха, t/а, в), тде К снова имеет период 2л по Xi, хг Более тою, так как в уравнении

*Х-Н8х

функция HVl отделена от 0, то мы можем из диффсрен циадьных уравнений исключить переменную / и использовать X] как независимое переменное Полученные в результате дифференциальные уравнения

d4dx - нЫ1

могут быть записаны в гамильтоновой форме

isdx$дК ^^ - ^^

dxt dpi * dxt дх4 *

что проверяется дифференцированием тождества Н(х , Хз, —К, Уг е) * Л Легко проверить также, что функция K(xi, х2, у3,0) — Х3М »б зависит от xh хг, причем в силу (15)

В соответствии с предыдущим результатом уравнение (17) имеет решение вида

f ^--е^Ч-^Св; в), ^ = 0(9, е),

' U^Xp O^aXt + flaCO),

где функции F, б —снова вещественно аналитические по 6ь 62, е и имеют период 2л по Оь 9г Таким образом, эти решения квазипериодически зависят от Х| Чтобы исследовать их зависимость от Д мы решаем уравнение (16), рассматривая его правую часть как известною квази периодическую функцию от Х| класса Ф(1,а) Так как функция Ну отделена от 0 и а удовлетворяет нс равенству (1,6), то, согласно нашим предварительным замечаниям, хх^ имеет вид

г. = Р(/-4) + /(/-4),

где / лежит в ®(р, ра)) и р-1 - среднее значение по Х| функции Ну,\ Комбинируя это с (18) и используя доказанное раньше утверждение а композиции

квазипериодических функций, мы, наконец, получаем

I ^<0 = ей + Л(в;е), уН0 = 6»(9,8) (fe = l,2),

Че^ю^+еио), ®,-р, ов-ар,

где функции F, G— вещественно-аналитические по 0Ь 02» £ и имеют период 2л по 0ь 02» тогда как отношение частот Ф[, е»2 иррационально Это завершает доказательство

Чтобы интерпретировать полученный результат геометрически, мы можем рассмотреть первую строчку из (19) как вложение двумерного тора в чегырехмерное фазовое пространство. Этот тор лежит на фиксированной поверхности постоянной энергии Н(х, y;e) = h н инвариантен относительно потока (14) в том смысле, что вектор (жь ха, уь д^— касательный к тору Следовательно, каждое решение системы (14) с начальными данными на этом торе остается на нем при всех дей ствнтельных t и система (14) индуцирует дифференциальное уравнение на торе. Согласно второй строчке из (19), это уравнение имеет вид 6*—®», и так как <й|/<оа иррационально, то любая орбита заполняет тор всюду плотпо

Эта утверждения можно обобщить на случай нескольких степеней свободы. Чтобы сформулировать со ответствующий результат, положим х = (xh .,., хп), У = (Уь • . Уп) Пусть Я(х,у, е)—вещественно-аналя- твческая по своим 2л-(-1 аргументам функция, имеющая период 2л по каждому из переменных

Таким образом, Н определена при всех действитель ных г, у меняется в п мерной области ф, а параметр к — в некоторой окрестности нуля. Кроме того, предполагается, что при в = 0 функция

Я(х,^,0) = Я0(у)

не зависит от х, так что при этом значении параметра соответствующая гамильтонова система упрощается

^«^^). 6к^д(»)=0^ = 1...мП),

Решение этой системы задается равенствами

Ч W = н\ <»)4 + Ч (0), У* = ofc

с любым вектором и = (оь .. , ип) из ©, а п уравнений у* = Uh (А = 1, ..., л) могут рассматриваться в качестве определения л-мерного тора, на котором дифференциальные уравнения имеют вид

Таким образом, если вектор о выбран так, чтоЯ^(о) рационально независимы, то решения плотны на этом торе

Наща цель —найти решения подобного типа при малых значениях е, и для этого мы сделаем дополнительное предположение о невырожденности гессиана (определителя матрицы вторых производных)

|^»»,|^0

Это предположение приводит к тому, что значения гра диента Н^^ заполняют с измененном у открытое л-мерное множество. В частности, константы иь , и„ могут быть выбраны так, чтобы числа о>» = H°Hfc (и) были рационально независимы и сверх того удовлетворяли бесконечному числу неравенств

|Si/»®»|>c|/r''

для всех- целых /* с | / Is 211 /* | > 0, где с, р — некоторые фиксированные положительные константы При этих предположениях мы утверждаем, что при малых значениях |е| существуют решения соответствующей гамильтоновой системы, которые имеют вид

<22)| 0,=®,<+е,(0),<6""1п)

где Fh, Gk— снова вещественно-аналитические функции периода 2л по 0ь .., 6П Эти решения квазнпериодичны

в том смысле, что для любой вещественно аналнтнче ской функции /(х.у) периода 2л по Xiхп функция /(л(0>¥(0) " квазипериодическая из класса &(©) Кроме того, можно показать, что эти квазипсриодиче- ские решения образуют множество положительной меры в фазовом пространстве Болес точно, если Й обозначает 2» мерное открытое множество точек (х,у), для которых уе®, и если 6 —заданная положительная констан,ра, то существует положительное ?oseo(6). такое, что для |е|< ео указанные выше квачипериодиче- скис решения в О заполняют замкнутое множество S, мера дополнения которого m(Q — 3)< бт(й) В этом смысле мы можем сказать, что большинство решений в Й — квазипериодичсские

нХч НЧ ^t 0нХч НЧ ^t 0(23)(23)^0,^0,Сформулированная теорема принадлежит Л Н Колмогорову и В И Арнольду [2—5] Полезно отметить, что условие иррациональности (21) налагается не на данную гамильтонову систему, а на вектор ©^(©b... ... ©я), выбранный в области изменения Я? Теорема утверждает существование квазиперяодическнх решений вЪ(ш), и в связи е этим условие (20), которое обеспечивает возможность контролировать частоты ©л = =Яу6(о)за счет выбора V, является решающим Имеется еще один вариант этой теоремы в котором (20) заменяется другим предположением Вместо требования, согласно которому частоты Я^ (6=1, ..,, п) пробегают открытое п мерное множество, можно потребовать, чтобы на фиксированной поверхности постоянной энергии Я°(у) = А отношения Hljii, (к = 2и) при Я^О заполняли (n— 1)-мерное множество Эго приводит к предположению

нХч НЧ ^t 0

нХч НЧ ^t 0

(23)

(23)

^0,

^0,

которое для п=2 па самом деле совпадает с (15) При этом предположении па заданной поверхности постоянной энергии существуют квазипериодичсские решения вида (22) с предписанными отношениями частот За

мстим что ли одно из условий (20), (23) не сводится к другому Для примера, при Н^(у) = у^ + Р(уа, ,у„) условие (20) нарушается, а (23) выполняется, если гессиан Р отличен от 0, с другой стороны, для п = 2 функция IIй (у) = log (yty2 ’) при положительных у и у2 удов летворяет (20), но не удовлетворяет (23)

Доказательство этих теорем основано на той же са мой быстро сходящейся итерационной схеме, которая использовалась в § 1 и здесь приводиться не будет Вместо этого мы, используя предположение (20), полу чим только формальное разложение ио степеням е для функций Fh(9, в), 0^(6; е) из (22), опуская показатель ство сходимости

Начнем с выбора вектора ® = (в>ь..,,®п). который лежит в области изменения Н^ (у) пои у s Ф и удов летворяет условию (21) Существование такого вектора доказывается при условии ц ^ л с помощью рассужде ний из теории меры, подобных проведенным в конце § 251) Можно считать, что /7^(0) =»®з (fc—I,... , п\ поскольку подходящим сдвигом координаты у этого всегда можно добиться Чтобы найти искомый инвариантный тор, мы построим каноническое преобразование, которое преобразует переменные (х,у) в (5.1)) и тор

’) § 23. стр 231 Ддя удобства читателей приведем эти рассуждения применительно к рассматриваемой ситуации Пусть об ласть DcK" имеет диаметр d и пусть D(c V) состоит из тех векторов ф * (tot,.... cin)<=D тля которых при |/| « Л'

Число целочисленных векторов / у которых | /1 ^ АГ. не ирсвосхо дит г^АГ” , а потому мера D(c, N)<—^_я^2—с» и ПРИ Р>лЧисло целочисленных векторов / у которых | /1 ^ АГ. не ирсвосхо дит г^АГ” , а потому мера D(c, N)<—^_я^2—с» и ПРИ Р>лПри фиксированном /, | /1 = АГ, это неравенство задает в R” по лосу толщины 2 т 8 соответствующая часть D (с, JV) содержится в параллелепипеде меры < ^^j^ ^МУ1-1,

Число целочисленных векторов / у которых | /1 ^ АГ. не ирсвосхо дит г^АГ” , а потому мера D(c, N)<—^_я^2—с» и ПРИ Р>л

Число целочисленных векторов / у которых | /1 ^ АГ. не ирсвосхо дит г^АГ” , а потому мера D(c, N)<—^_я^2—с» и ПРИ Р>л

Ю Мозер

в тор т] = О Л именно зададим искомое каноническое преобразование с помощью производящей функции *) S (л, п, е) равенствами

»,-$у Ц=$% (*=1л),

преднолагач, что 5(л, ip 0) = S^m^U- Чтобы обеспечить желаемую Периодичность мы потребуем, чтобы 3Жу S-^ — Xk имели период 2л по хь ... , х» Обозна чая преобразованный гамильтониан через Ф(Ьч;в)» имеем

Н (х, S,; е) = Ф (Sv tr в);

попытаемся определить функцию 5 так. чтобы

Ф(^0;е) = у(е), Фщ^.О, s)-®fe (6-1,.. ,п), где у не зависит от g. Если ато возможно, то преобразованные уравнения

обладают решениями

g*^o^ + g*(0), т|А—0 (6 = 1л)

Выражая эти решения в первоначальных координатах л, у и полагая 0* = $*, мы тогда получаем искомые квазипериодические решения (22) Таким образом, наша задача сводится к нахожде нию производящей функции 5(л,ц;®), для которой преобразованный гамильтониан Ф(£,»Ее) удовлетворяет (26). Для этой цели достаточно рассматривать только

мера множества D(c)« U О (с, N) ае превосходит Лс, где константа Л не зависит от е

Множество тех векторов ш е D, для которых при любом с нарушается хотя бы одно ив неравенств (21). содержится в пересечении всех Р(с), а потому его мера < Ла при любом с, т с равна О — При* ред

') 1 е изд, § 3. — Прим, ред.

линейные функции по q видя

S (х, ч, в) = а» (х, е) 4- S (х* + а* (х, е)) чь

где ак (х, е), (k = 1,, я) имеет период 2л по хь . , хя,

в то время как Оо(х, в) — функция вида

*-2^4 M*;«X

й=»1

причем Ьо^х» е) имеет период 2л по Хь , хп, а ск не зависят от х, ч Каноническое преобразование, порождаемое такой функцией Sfx.q, е), можно легко описать

В самом деле, если 5 (х, q, 0) = 2 x*q*. то оно задается явными формулами

х = ц(£, е),0«<e) + V(8;i)l>

где и(§; е), о (5; в) — л-мерные векторы, У(^в) — матрица порядка пХп, причем «(§, е) — 6, п(|, в), К«, а) имеют период 2л по ^, . ,• ^«. Так как это преобразование каноническое, то матрица V-1 равна транспонированной к матрице uk\v а при 8 = 0 преобразование становится тождественным.

Чтобы определить функцию S(x,q, е) с указанными выше свойствами, мы разлагаем ее в степенной ряд по е и, используя (26), сравниваем коэффициенты в уравнении (25) Этим способом мы докажем существование такого степенного ряда и в то же самое время установим его единственность при дополнительной нормировке

S(x,q, 0) —2! Wte,

ft5«al = 0 (5 = 1п),

где звездочка обозначает среднее значение, взятое по переменным хь , хя

Для целого Х>0 обозначим коэффициенты при в* в 7/. Ф, S, у соответственно через Я\ Ф\ S\ yt и предположим, что 5°, .. , Sw, так же, как у0, .... у**\

уже определены, так что коэффициент при е°, .., е^1 в обоих частях (25). (26) согласованы и удовлетворяют соотношениям нормировки (28), (29) Для Х~1 это несомненно будет так, если мы начинаем с (28) и полагаем у0 =- //°(0) Проводя индукцию, мы сравниваем коэффициенты при е/ для Л > I в (25) и получаем

2( я?А (и) sift (х, П)—Ф* to т)=g (х, ф,

где ^(х.ц)—известная вещественно аналитическая функция периода 2л no xt, , хп Так как мы хотим, чтобы функция Ф удовлетворяла (26), то для коэффициентов при е* получаем соотношение

1 wj, (я) si, (*.*-?-»(*, ч)+о о ц R

Поэтому, выражая функцию ^ to л) в виде

Sx to и) — 2 скхк + fr to + 22 «а to Па и вводя обозначения

«>б = Я JA (0),Ом=Н^ (0),

я0 to = g to 0), gfe (х)=g^ to 0),

мы приходим к уравнениям (dfr + to о) — ^^ge,

дак + £Qik(bxt + q) = St (6= 1, n)

Необходимое условие для существования полиперио- дического решения Ь. ак системы (31), состоящее в том, что средние значения в обеих частях равны, приводит

к соотношениям

fc, <в) —Y^-go,

,2 ^«С, — g* (й “ 1, «.. n),

которые можно однозначно разрешить относительно сь ...» св и у\ так как в силу (20) матрица (ин) не- вырожлена. Уравнения (31) тогда приводятся к виду

дЬ = бп — Яз,

^®к ~ ^к ЭД ” ^У где

hk ” St — S &ikb4<

а эти уравнения в частных производных имеют в точ пости тот же вид. что и уравнение (4), рассмотренное в начале этого параграфа Так как правая часть имеет среднее значение 0, то эти уравнения имеют веществен- йо-аналитические решения Ъ, гцап периода 2л по *1, ♦ .. *«, и, более того, эти решения будут единственными, если потребовать, чтобы Ь* ^ а* = 0 (k = 1, ., м)

Таким образом, мы завершили ша” индукции и тем самым доказали существование разложения в формаль ные степенные ряды для функции S(t,v|;e)

В качестве простого применения полученных нами результатов рассмотрим ограниченную задачу трех тел Напомним, что эта задача описывается гамильтонианом

Eto, р; Ю*=4 (т- +т)+ № “ qvPa ~ F* где

Р(я, ц)=(1 -ц) ((?, + цу + ^-'А +

+ ц((^ + ц-1у + ^-'\

При р = 0 ояа сводится к задаче Кеплера во вращаю ■лейся системе координат, а эллиптическим орбитам со- «тветствуют прецессирующие эллипсы, Аналитически

эти решения могут быть записаны в форме qi + iq» = e-uPW»

где Р(0)—комплекснозначная функция периода 2л по 6, а частота а связана большой осью 2а третьим законом Кеплера (а + 1)аа8=1. Ясно, что для рацио нальных значений а эти решения — периодические, в то время как для иррациональных а они —квазипсриоди- ческие из класса Q(l,a). Наша цель —найти такие же квазипериоднчсские решения для малых значений ц, стремящиеся к описанным выше решениям при р—*0 Для этого удобно ввести так называемые переменные Делоне хь х2, yi, у2, в которых гамильтониан имеет период 2л по хь х4 и приводится к виду Я°(уьУ2) + 0(р), после чего мы применим наш предыдущий результат о существовании квазипериодических решений.

Чтобы ввести переменные Делоне [6], рассмотрим задачу Кеплера, описываемую гамильтонианом К = = (pH Рг) —(^i + ?3”/** При отрицательном значении К решения будут эллиптическими, с точностью до поворота они описываются формулами

qx = a (cos и — е),q8=aVl — ^sina,

где

_з

I — Ь = а2 (« —esina).

Здесь 2a>0 — большая ось эллипса, O^e^l—его эксцентриситет и Д = — (2a)-1. При 0^е<1 введем переменную Х| равенством

Xj = и — е sin и

Исключая и, мы можем выразить qk = <рА(*ь а, е) (А = = 1, 2) как периодические функции по Х[ с периодом 2л, используя которые, можно опять получить решение задачи Кеплера, если положить Xi = cr^t — to). Оставшиеся переменные хз, уь уз вводятся при помощи равенств

a = у^ уj V1 - ^=У»

так чтобы общее эллиптическое решение задачи Кеплера имело вид

(33) {(33) {91 ” *1 (X, У) = Ф1 cos Xg — <Pz sin х2,92 = Фз (*, р) = Ф1 sin х2 + Ф2 cos Х2,

(33) {

(33) {

где х2, yb pg — постоянные и х = У73 Эти уравнения служат также определением функций фь ф2 Дополним эти формулы, добавив соотношения

/>, = »,-» ^‘^(6 = 1,2),

и рассмотрим (33), (34) как преобразование координат *1, *2, у 1, у» в координаты qt» q% ри Pt Чтобы избежать орбит со столкновениями, а также круговых, на которых х» теряет смысл, мы траничивасмся случаем а > 0, 0 < е < 1, или

О < А < А

Можно проверить, что это преобразование каноническое и имеет период 2л по xh xg в то время как преобразованные дифференциальные уравнения определяются гамильтонианом К* — (2а)-1 = — у у?1. Мы ограничимся положительными значениями ух и разрешим yg принимать значения обоих знаков, так что

случай у$ > 0 соответствует при этом движению против часовой стрелки при возрастании времени, а случай У2 < 0 — движению по часовой стрелке Переменные хь Xg называются в астрономии соответственно средней аномалией и долготой перигелия

Применим теперь преобразование (33), (34) к огра ниченной задаче трех тел Чтобы избежать столкновений с телом массы р» мы требуем выполнения неравенства а(1 -f-e)< 1, или в переменных у и у» неравенства Pi < (2 — yy'k < 1 Таким обра <ом, мы ограничиваемся областью ф, в которой

0<|»,|<»1<(2-$"'А<1.

Эта обласп, имеет две компоненты, одна из которых со- отнотстпует движению по часовой стрелке, другая — движению против часовой стрелки Полезно интерпрети ровать величины 2а, е, связанные с #ь Ча через (32) как соответственно главную ось и эксцентриситет пеку лирующего эллипса Легко видеть, что гамильтониан E^p.q,^ приводили к виду

Як» ц)=ЯЧ»Н О (и), УМ —^ ~№.

где функция Н(х,у;^ аналитична в ® при достаточно малом р. Дополнительный член —уа н Н11^ обуглов лен равномерным вращением системы координат

Таким образом, вид функции Н^х у, и) позволяет применить к ной ниши предыдущие результаты, и так как №(y), очевидно, удовлетворяет условию (15)„то мы заключаем, что на каждой поверхности постоянной энергии Н(х,у р)~ А, такой, что множество H^^sah пересекает ®, существуют квазипериодическис решения с двумя частотами Эти решения могут рассматриваться как непрерывные продолжения прецессирующих эллиптических орбит, которые соотетствуют р = 0 Легко видеть, что они обладают следующим свойством |Уа(О — VhW | «С Ср, (6 = 1, 2), справедливым для всех действительных I, где с—константа, нс зависящая от t, р Другими словами, главная ось и эксцентриситет оску лирующего эллипса мало изменяются со временем, если р- достаточно мало, в частности» при всех I решения остаются ограниченными и вдоль них отсутствуют столкновения

Аналогичное утверждение имеет место для apyinx, возможно, не квазипериодических движений Болес точно, мы покажем, что для любого е > 0 и любого компактного подмножества ф( области ® существует положительное но = Цо(е, ©i), такое, что дчя y(0)e$Dj и 0< ц< ро

1^(/)-^(0)1<е (* = 1,2)

при всех t Это снова означает, что для решений, начинающихся н ®ь форма оскулирующего эллипса мало меняется со временем, если р мало

Чтобы доказать только что сформулированное утвер ждение, рассмотрим совокупность прямохготьников R, определенных неравенствами

Ipi —П1К®. 1^2 ЧтК^.

где Г] лежат в ®| в е выбрано настолько малым, что вес э1*й прямоугольники лежат в X, в то время как все ком плексные у\ у» удовлетворяющие (35), лежат в области аналитичности /7(х,у\ ц) при малом |ц| Мы утверждаем, что если 1] ^ 9(0). где х(О» У(0 некоторое решение рассматриваемой системы, то у (?) остается внутри со ответствующего R при всех f, при условии что р дос га точно мало Чтобы проверить это утверждение, мы заметим, что вдоль любого решения функции Н(х.у, ц) равна константе, которую обозначим через

h = fl (х (0), у (0); р) = Я0 (у (0)) + О (р).

Вдоль кривой Hn(y) = h в $> мы имеем °<>=^<‘.

так что если у, у* — две точки па этой кривой, то |^-^|<|у2“^|-

Подобным образом -для любых двух четырехмерных векторов к. у и ж\ у* на поверхности постоянной энергии Н (х, у, ц) = Н (х\ у*, р) — А

Ч-^^-^ + оСЮ,

где у и у* лежат в D.

Выбрав р настолько чалым, чтобы последний член в предыдущем неравенстве был но модулю меньше, чем |-, мы теперь предположим, что -q = у(0) и что наше решение уЦ) выходит из соответствующего прямоугольника R Пусть ^ — наименьшее положительное значе ние tt для которого у(0 лежит на границе R, тогда как при 0 < / < I* у(0 лежит внутри R Полагая у = y(t), у* = у (0) в (3G), имеем при 0 < i < I*

1У1 (О-Щ I < I Уя(<) — тк1+|<«

и, следовательно,

Другими словами, решение у^ может выйти из R только через стороны прямоугольника, которые параллельны оси ух Но, с другой стороны, этому выходу пре иятствует инвариантный тор, который мы построили ранее В самом деле, если применить наши предыдущие результаты к функции Я(х.у;ц), где вектор у привад лежит одному из прямоугольников /?+ или /?_, определяемых неравенствами

I ^1 — nt I < в, о < ± (^2 — ть) < -|.

то условие (15) удовлетворяется, и поэтому каждая из соответствующих областей в четырехмерном простран стве (х, у) содержит двумерный инвариантный тор, ко торый лежит на трехмерной поверхности постоянной энергии Н(х1д\^ = к Эти торы служат барьером для решения, и y»(t) не может продвинуться от уа=п к у2 = ^±-|-. Таким образом первое время выхода t* в действительности нс существует и yV^ должно оста ваться в Я, а поэтому и в Ф, для всех / > 0 Те же самые рассуждения, примененные к отрицательным f, теперь завершают доказательство

В этом доказательстве нам пришлось исключить орбиты с малым эксцентриситетом, но это было сделано только вследствие нашего выбора координат, ибо ре зультат § 3 об устойчивости периодических решений охватывает как раз этот случай. Решающим моментом в наших предыдущих рассуждениях был тот факт, что двумерные инвариантные торы образуют границу открытого множества на трехмерной поверхности постоян ной энергии Для задач с л степенями свободы, при п > 2 поверхность постоянной энергии имеет размерность 2л — 1, и поэтому для границы открытого множе ства требуется размерность 2л — 2, в то время как инвариантные торы, согласно теории, имеют только размерность л По этой причине не существует аналогичной теоремы об устойчивости для случая более' чем двух степеней свободы.

Наконец, в качестве задами с более чем двумя степенями свободы рассмотрим задачу трех тел Если огра ничиться плоским случаем, то исходная задача имеет шесть степеней свободы, но, принимая в расчет интегралы центра масс, мы можем свести ее к случаю четырех степеней свободы Предполагая, что две из масс, скажем mb mg, малы по сравнению с третьей, которую можно с помощью выбора единицы массы сделать равной 1, Арнольд [7] установил существование квазицерио- дических решений с четырьмя рационально независимыми частотами Более точно, предположим, что массы ть = аян № = 1, 2) зависят от единственного малого параметра р, где си, «1—фиксированные положительные константы, положение «планет» масс »i, mg отно сительно «солнца» массы mo — 1 будем задавать двумя векторами координат и двумя векторами скорости, по лучая, таким образом, восъмимерное фазовое пространство Для малых значений ц мы хотели бы получить решения, в которых планеты движутся но орбитам, близким к эллиптическим, по крайней мере на ограниченном интервале времени, и поэтому стоит описывать точки в фазовом пространстве геометрическими величинами, которые соответствуют оскулнрующим эллипсам. Обозначая через 2ай большую ось и через ек эксцентриситет соответствующего эллипса, мы рассмотрим открытое множество 2 вида

ск<ак<Ск, 0<е*<р № = 1,2)

в носьмимерном фазовом пространстве Утверждение Арнольда тогда заключается в том, что для данных констант «я, с*, Сд, удовлетворяющих неравенствам 0 < < ^ < Ct < с2 < Сг, и для данного к > 0 существует б = 6(e) > О, такое, что при 0 < р < б, 0 < р < 6 мио жество Q содержит замкнутое подмножество S со следующими свойствами любое решение, начинающееся в S, остается в S при всех действительных / и является квазинериодическим с четырьмя независимыми частотами, S есть объединение четырехмерных инвариантных торов, на' каждом из которых решения всюду плотны, а дополнение Й — S имеет лебегову меру т(Й- 3) < „<ет(Ы). В частности, ни одно из решений на

инвариантном множестве 3 никогда не приводит к столкновениям

Однако в отличие от ограниченной задачи трех тел здесь уже, вообще говоря, ничего нельзя сказать о поведении решений, начинающихся в дополнительном множестве О —S Например, в то время как для решений, лежащих в S, переменные аь а» остаются между двумя константами, которые отличаются на величину самое большее иорядка р, возможно, что среди решений, начинающихся в £2 — 3, могут существовать исключительные решения, для которых аь а$ изменяются на величины конечного порядка, и это в конце концов может привести к столкновению тел В самом деле, Арнольд [8] построил замечательный пример гамильтоновой системы с тремя степенями свободы, в которой явление такого типа имеет место

Причина различия в поведении решений в общей задаче трех тел и в ограниченной задаче трех тел состоит в том, что четырехмерные инвариантные торы не ограничивают открытые области на семимер» ой поверхности постоянной энергии В действительности можно было бы свести sty задачу к задаче с тремя степенями свободы, используя интеграл углового момента, но несоответствие в размерности все равно бы осталось О пове дении решений в течение длительного времени в допол нительном множестве как для задачи трех тел, так и для других систем с более чем двумя степенями свободы мало что изиестно1)'

Арнольд распространил эти результаты о квазипе риодических движениях для плоской задачи трех тел на общий трехмерный случай и даже для задачи N тел при А ^ 3 В принципе доказательства основаны на идеях, развитых в предыдущих параграфах, хотя при ходится сталкиваться с трудностями, которые обуслов лены вырождением системы при ц = 0, приводящим к нарушению условия (20), равно как и условия (23), Более того, некоторые из частот квазипернодических решений стремятся к 0 при ц —►О Эти трудности пре

]) Некоторую информацию об этом дают нпч1зшге результаты

одолеваются при помощи более тонкой аппроксимации; подробные доказательства см в [5, 7] Из недавних книг, в которых обсуждаются вопросы устойчивости, обратим внимание читателя на [9, 10}

СПИСОК ЛИТкРАТУРЫ

К § 2 (33)

J Moser On invariant curves of area preserving mappings of an annjlus, Nachr. Akad Wise Gottingen, math phys Ki (t%2), 1—10 [Русский перевод Математика, 6 5 (1962) 51—67]

К § 4 (35)

В И Арнольд, Об усгой швости. юложеяий равновесия ммиль тоновой системы обыкновенных -ифферелциальных уравнений в общем эллиптическом случае, ДАН 137 (1961) N> 2, 255— 257.

А М Леонтович, Об устойчивост! татр а а жены ж герио 1ичгских решений в ограниченной задаче трех теп ПАН 143 ( 962), 528

[31 A Deprit, A. Deprit Baitulom£. Stability of the triangular Lagran gian points, Astron J, 72 (1967), 173—179

К § 5 (36)

[1J H Bohr, Fastper.odische Fanktioner Bcrlin 1932

[2j A H Колмогоров, О сохранении условно периодических движе ний при малом изменения функции Гамильтона ДАН 98 (1954), № 4, 527-530

—Обшая теория динамических систем и классическая ме ханнка, Международный математический конгресс в Листе? даме. Физматгиз. М, 1961 187—208

[41В И Арнольд, Малые знаменатели II Доказательство теоремы А Н Колмогорова о сохранении уели iho периодических движений при малом изменении функции Гамильтона У МН 18 (1963), №6. 21—86

[5]— Малые зиаменатета Ш Малые знаменатели и проб

лемы устойчивости движения в классическом и небесной механике У МН, 18 (1963), No 6, 91—192

[б| Н Poincar6, Les methodes nouvelles de la necatiiqje celeste vol 1, cha^ l^ Paris, 1892 [Русский перевод Избранные труды

[71 В И Арнольд О классической теории возмущений и проблеме устойчивости птанетных систем ДАН 145 (1962), 481—490

[81Неустойчивость динамических систем со многими степенями свободы. ДАН, 156 (1964). 9 12

*9] V I Arnold, A. Avez РгоЫётез ergodiques de la mecanlque classique Pans, 1967

10] S Sternberg, Celestial mechanics, vol I 11 New York, 1969,

ДОБАВЛЕНИЕ

МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХКАНОНИЧЕСКИХ ЗАМЕН ПЕРЕМЕННЫХ

Н Н Нехорошее

Колмогоровские трры и диффузия Арнольда. Рассмотрим систему с гамильтонианом L)

Н-Щ^гН^.УЪ(О

где у — ку\#и), х = (хь . , л».) —переменные «действие — угол», функция Нх имеет период 2л по угловым переменным x = (xh ,х»), a в<1 малый пара метр) Мы обсудим вопрос о поведении переменных действия у в такой системе Будет ли точка у(0, где х«), У (О — решение системы, вечно находиться вблизи начального положения у^ или будет уходить от нее как угодно далеко1 Если устойчивые решения существуют, то как много их? Неля есть неустойчивые решения, то какова скорость ухода от начального поло жения? Примером является наша солнечная система, и ответы на все эти вопросы были бы ответами на вопрос об устойчивости солнечной системы

Исследование поведения переменных у долго не поддавалось методам современной математики, пока не появились знаменитые работы А Н. Колмогорова, В И Арнольда и Ю Мозера В частности, ими доказано существование в фазовом пространстве множества, состоящего из п мерных инвариантных тород, близких к торам, выделяемым уравнениями ух = const, , уп *= = const Это множество называют колмогоровским Колмоюровское множество замкнуто и нигде не плотно, но мера дополнения к нему мала вместе с в Для систем с двумя степенями свободы (л«2) из этого результата следует устойчивость для всех начальных условий,

*) Все функции, рассматриваемые ниже предполагаются апалд тическими

т е вечная близость точки у(0 к точке у(0); подробнее см выше § 5. стр 144 и далее

Доказательство этой теоремы об устойчивости существенно использует топологические соображения и не может быть перенесено па случай п > 2 Поэтому во прос о поведении решений в дополнительном к колмого ровскому множестве при н^З оставался открытым В И Арнольд построил примеры систем, для части решений х(0, у (0 которых точка у(О как угодно далеко уходит от начального положения ^(0) (см. [I'D Этот эффект получил название диффузии Арнольда ([21) Средняя скорость ухода точки у (Л от у^ для построенных решений очень мала, точнее, она экспонен циально убывает при линейном убывании величины воз мущения е R связи с этим В И Арнольд высказал предположение, что и в общем случае при любых на чальных условиях средняя скорость ухода y(f) от у^ будет убывать быстрее, чем тюбая степень е Это предположение подтвердилось, и автору удалось доказать экспоненциальную оценку сверху скорости диффузии Арнольда А именно, доказано, что при всех начальных условиях х(0), у(0), точка yV) будет находиться вблизи у(0) в течение экспоненциально большого промежутка времени [О, TJ, г е

11»(0-у(0)|<е‘

при всех fe[0, Г), где

Г-«р№(=)

здесь а>0, 6>0.

Точная формулировка этого утверждения будет приведена ниже

Экспоненциальная оценка и условия крутизны. Оценка (2) доказана в предположении, чго функции //0 длн системы (1) удовлетворяет некоторым условиям, которые мы будем называть условиями крутизны. (Определение крутых функций см в заметке [31) Функция Но будет крутой в некоторой области, только если ’о область нс содержит критических точек этой функции, г с. тех точек, в которых градиент Н^ обращается

в нуль Можчо показать, что некрутые к окрестности некритической точки функции Нй бесконечно вырождены коэффициенты Тейлора разложения Но в этой точке удовлетворяют бесконечному числу независимых алгебраических уравнений

Отмстим, что можно привести примеры систем, та ких что Яс —некрутая функция с необр а тающим ся в нуль градиентом, дчя которых экспоненциальная оценка не выполнена Более того, в этих примерах для некого рых решений лс(/), уЩ точка уН) уходит от </(0) со скоростью е, т е для всех /

1у(0-у (0)11=е^

Существование систем, обладающих аналогичными ре шениями и таких, что градиент функции Н» обращается в нуль, очевидно.

Примерами крутых функций являются функции еле дующего вида

Определение Функцию Н» определенную в области и евклидова пространства Е”, назовем киазивы- пуклой jmmh для каждой точки у' с: G выполнены условия a) grad/fuk "АО, б) сужение квадратичной компоненты ^ -^^^ Ч< Л/ разложения функции Яо в этой точке на гиперплоскость V-^-ч^О касательную к поверх ногти уровня функции, знакоопределено, здесь ту = = ^. — у'. Термин еккативыпуклая» употреблен в связи с -см, что поверхности уровня таких функций выпуклы

Примером систем с квазинынуклой функцией Яо яв лястся солнечная система ■) В этом случае

’) Гамильтониан ситиечний сас-ечы имеет вид несколько более общий чем (1), а именно

H-H^*Bndxty, вП.

где с<>0— константы, следовательно, ф\нкция //0 выпукла, а значит, и квазиныпукла.

Для функций Но от двух переменных достаточным условием крутизны является отличие от нуля опреде лителя в формуле (5,23) па стр 136) Приведем два достаточных условия крутизны для функций от трех переменных

I Для всех точек области G определения функции Нй определи 1ель в (5,23) меньше нуля

II Для каждой точки yfc=G элит определитель больше нуля и следующая система

1=1 *

Xw^-0

не имеет решений кроме тривиального Hi = т]2 = t)a Заметим, что функция Но «общею положения» удовле творяет одному из этих условий в окрестности почти каждой точки

Аналогичные достаточные условия можно выписать для функций от любого числа переменных Однако с возрастанием п формулы становятся все более громоздкими

Новые канонические координаты. Основная идея как доказательства существования колмогоровского множества, так и доказательства экспоненциальной оценки диффузии Арнольда, состоит в построении новых канонических координат, в которых гамильтониан примет некоторый специальный вид

Если гамильтониан имеет вид // = Шу) то из уравнений Гамильтона легко следует, что траектории системы лежат на инвариантных п мерных торах, выделяемых уравнениями у = const Поэтому устойчивость

по переменным у была бы доказана, если бы удалось найти другие переменные «действие—угол» g, ц, близ кие к х, у и такие, что гамильтониан, выраженный через эти переменные, примет вид II = //(ц) К сожалению, такие координаты, вообще говоря, не существуют, так как через каждое открытое множество фазового пространства проходят траектории, не лежащие на л мер ных многообразиях

Суть доказательства существования колмогоровского множества состоит в следующем Обозначим всё фазовое пространство через F. Тогда можно построить бесконечную последовательность вложенных множеств

F — FozdFv=) ..^Ft^,

обладающих следующим рядом свойств Во первых, на каждом Fi существуют канонические координаты $4 цСО, близкие к координатам х, у и такие, что

где в некоторой комплексной окрестности F<

| /?№ К е^

и, следовательно, в силу неравенств Коши

ЮТ-|-2э£-|<Сб<<(3)

Во-вторых, множество F” = Q Ft не пусто и, более того, мера F\F* мала вместе с в С помощью неравен- лва (3), далее, доказывается, что Fw состоит целиком нз инвариантных «-мерных торов

Координаты 6<°>, ц® совпадают с исходными коорди- еатами х, у Координаты 54 qW по координатам ^-’^ ^-■) строятся однотипной для всех t = 1, 2, 3, заменой переменных Об этой замене, о ее «модификации» 1 о результатах, полученных на основе рассмотрения аких замен, и пойдет речь ниже В частности, оценка верху диффузии Арнольда получена на основе рас- мотрения композиции большого, нр конечного числе аких замен,

«Уничтожение» нерезонансных гармоник. Пусть

— разложение Нх в ряд Фурье, где f1Ii = Н — Но — «возмущение» Попытаемся подходящей канонической заменой уничтожить в возмущающей функции как можно большее число гармоник

Сделаем для этого каноническое преобразование с производящей функцией xq + в$ (х, q) Тогда

» = n + sS„ £--х+5я

Следуя [4'], представим гамильтониан Н в виде

Н(«,9)=Н.(Ч)4-8((gradН„V ^-) 4-(».)«) 4-Я. (4) где

М»- „^^Ме^, |*1- 21 *zI,

а остаточный член Я — ₽ (х, т)), содержит члены с а8, е3 и т. д., а также разность гНх — в(Нх^м Обозначив ®(^)=grad ЯоЦ, положим £=о<^^ S*(n)^, где

Sk =Sk =й»(ч)<*(ч). *) •й»(ч)<*(ч). *) •(5)(5)

Sk =

Sk =

й»(ч)

<*(ч). *) •

й»(ч)

<*(ч). *) •

(5)

(5)

Легко видеть, что в атом случае коэффициент при е в правой часта (4) будет равен fa(q), и можно надеяться, что остаток R будет много меньше е. Однако при этом приходится делить на «малые знаменатели» (м.й), которые могут равняться нулю По даже если выражения |(е>,й)| не равны нулю, а просто очень малы, то в нашей замене нет смысла, так как тогда максимум модуля функции S, а с ним и максимум остатка [/?], не удается оценить сверху малой величиной

Поэтому в доказательстве существования колмогоровского множества такое каноническое преобразование рассматривается лишь на «нерезонансном» множестве

X, у. |<®(у), Л)КХ|АГИ+1’, при всех |fe|<^.

Для точек этого множества удается получить упомянутую выше оценку

|Л|<^

(ср (3))

Замечание Число N можно взять равным ^ , где а>0 Поскольку рассматривается бесконечная последовательность таких замен, то е-*0 и, следовательно, N-*oo. Таким образом, в конечном счете используется условие |(ш(|;), А)|с ^|*|Чи+1) при всех к, которое неоднократно появлялось во второй части кни- 1И (§5)

Для исследования иоведения системы в любой точке фазового пространства поступим следующим образом Пусть Гп X U — произвольное открытое подмножество фазового пространства, где хеТ", yeU. Зададимся некоторым числом v > 0 и разделим все гармоники hkVy^^ младших порядков (|А|<^ на резонансные, т е такие, что

I (« (у), А) | < v

хотя бы при одном у er U, и на нерезонансные, т с, все остальные. Нерезонансные будем уничтожать, а резонанс ные трогать но будем, т о положим S = Ss»(4)e“'. где сумма берется лишь по нерезонансным векторам А, а функции S*(q) задаются формулой (5) Нетрудно показать тогда, что гамильтониан примет вид

Н-Н.Ж еЯ*Д G. Л) + Я*" К, ч), тле функция Н^, является суммой лишь резонансных гармоник А» (т]) е^, а | R |< ef+e, д > О

Лнало1ично уничтожаем нерезонансные гармоники в разложении остатка RV1 и получаем остаток Rta\ |/?(2)|< е1+26 и т. д. На самом деле удается обойтись хотя и большим, но конечным, иорядка ^*) , где п« > 0» числом таких замел. Таким образом, в несколько меньшем, чем Г" X V, множестве существуют канонические координаты *, т), такие, что

Н-И^ч^К^.Ч),(6)

HgradfllKexpf —(4)°*]’HgradfllKexpf —(4)°*]’(7)(7)где функция Ярее содержит лишь резонансные 1армо- ники, а

HgradfllKexpf —(4)°*]’

HgradfllKexpf —(4)°*]’

(7)

(7)

Б. Существование локальных «почти интегралов». В этом пункте будет доказано, что в окрестности каждого тора, выделяемого в фазовом пространстве уравнениями у = const, существуют функции, которые очень медленно, со скоростью

"р[-(Я1»

меняются вдоль решений системы (1) Эти «почти ипте* 1ралы» имеют «почти линейный» вид *-

2m/P/ + f(x,y *я‘‘(9)

где функция / мала вместе с е (/ ~ А >0 близко к нулю), a rttj —константы

Пусть у0 — произвольная точка, io «(уо) V- 0 Ясно, что тогда максимальное число лине. независимых целочисленных векторов Л, |^|С^, удовлетворяющих уравнению

<<о(уо), £) —О, не может быть равно л, но может принимать любые значения от 0 до л — 1 Пусть, к примеру, это число равно г, 0 ^ г ^ л — 1 Нетрудно понять, что в достаточно малой окрестности U точки у0 при достаточно малом v > 0 максимальное число линейно независимых векторов й, |А|^№, обладающих свойством

$ <<» (у), А> К v(10)

хотя бы при одном у е U, тоже равно г

На самом деле можно показать, что v достаточно выбрать рапным 1/JV в некоторой положите тиной степени, так чго и формулы (6) и (7) будут справедливы при гаком выборе v, и окрестность U будет не слишком малой.

Обозначим через X линейную оболочку векторов к, |А[<:#, удовлетворяющих условию (10) Обозначим через Zx множество целочисленных векторов к, принад лежащих X и таких, что |А|^^ Тогда из формул (6) и (7) получаем следующее утверждение

Основная лемма. В открытом подмножестве W с Т» х U фазового пространства существуют канонические координаты 5. t], такие, что

Н= з M(n>e“« + e.(11)

ke-ZN *

где градиент остатка R оценивается формулой (7)

Точная формулировка этой леммы будет приведена в конце дополнения

Иэ<ул»»ц|^у*й Гамильтона следует, что направление прнр/. oi> лора т], определяемого гармоникой AHv^n. э419?^т с направлением вектора к* Действительна

т|/--^-(АИч)е'“+ ..^-Ы-МИт^Л- .. ,

*1=1

Следовательно, для каждого решения 6(0» л(0 системы с гамильтонианом 25 АН^е^ точка ц(/) keZN

принадлежит r-мерной аффинной поверхности, получен ной из X сдвигом С другой стороны, скорость точки т)(0 системы с гамильтонианом R, будег, очевидно, не больше

II grad ^iu

Таким образом, из основной леммы вытекает важное

Следствие Пусть 6(0« т)(Л — произвольное решение системы с гамильтонианом (11). Тогда длина составляющей вектора ^(0 — скорости точки ц(<). — перпендикулярной к плоскости К оценивается сверху величиной (8)

Пусть плоскость X задается уравнениями

2тв/т|/=0, $ = 1,.,., п — г;

тогда перейдя к старым координатам х, у, получасы а —г «почти интегралов» вида (9)

Области «устойчивости» в резонансных множествах. Если точка ц(Онаходится в нерезонансном множестве. т е. если г = dim Л = О, то согласно следствию основной леммы скорость ц(0 этой точки оценивается сверху экспоненциально малой величиной (8) Нели же г^1, то движение точки ц(/) со скоростью, много большей, чем (8), возможно, но в этом случае Т) (0 движется почти параллельно плоскости X Отсюда, используя условия крутизны Яо» можно получить, что такое «быстрое» движение ц(0 может происходить лишь в ограниченной области малого вместе с е диаметра, что и доказывает оценку (2) диффузии Арнольда. Строгий вывод оценки (2) из следствия основной леммы сопряжен с некоторыми техническими сложностями, и мы не будем его давать Вместо этого докажем с помощью того же следствия более простое утверждение

Будем, как и раньше, рассматривать только такие точки у, для которых grad ZZo|y = ® (у) ^ 0

Определевне Точку д' назовем точкой максимальной кратности резонанса, если существуют п — 1 линейно независимых целочисленных векторов ^\ .. . , М"-11, таких, что

(«(yO.W^O, 1=1, ...,«-!. (12)

Исслед>ем поведение системы с гамильтонианом (1) в окрестности тора {х, д* у = у^, предполагая, что точка д' удовлетворяет уравнениям (12), где

| ^ |< Н = N (в) при всех Z=!> .... п—1.

Утверждение Пусть функция Но (см. (1)) для ассматриваемой системы квазивыпукла (см п 2) )бозначим еь-пкрестность точки д', где b -фиксированное число, 0 < b < 1, через V Рассмотрим любое ре- мение x(t),u(t) с началом в Т* X V, г е с х(0), у(0) е ^Т»Х^ Тогда о течение экспоненциально большого

промежутка времени [0, Г) т-^р^-*-)11]. ^>0,(13)

точка у(Ц будет находиться на малом (порядка в6) расстоянии от начального положения у (О)1)

Действительно, перейдем к координатам §, ц, опре- делечкым в окрестноеги TnXV, в которых гамильто пиан Н примет вид (11), где r = n— 1 При этом сначала доказывается, что гамильтониан Н приводится к виду

который и понадобится в дальнейшем, а затем как очевидное следствие получается (11) Здесь

Н'№ = 3 Л£(ч)е“‘k^N

— ограниченная функция, a Zw— множество целочисленных векторов А, принадлежащих линейной оболочке X векторов #'), . , At»-1) (см (12)) и таких, что |А|^ С N Обозначим через 5(0» л(0 новые координаты исследуемого решения х(0, g(t> Обозначим через Х(т)0), где -q», go—начальные условия, гиперплоскость в п мерном евклидовом пространстве Е”, проходящую че рея точку т|о и полученную сдвигом из X Из уравнений (12) видно, что вектор © (уЗ = grad Но I/ перпендикулярен гиперплоскости X С другой стороны, точка у» близка к у\ а координаты g, ц близки к координатам х, у Следовательно, точка Яо близка к точке / и, значит, угол между градиентом функции Но в точке q0 и гиперплоскостью > (цо) близок к прямому Так как по верх пости уровня квази выпуклых функций выпуклы, то отсюда получаем, что пересечение гиперплоскости Х(по) с поверхностью уровня функции Но (в Е”), проходящей через точку t|q, близко к малому, порядка еь, (п-2)-

') Интерес <о. что оценка (13) оказывается гораздо лучшей, чем опенка (2), справедливая для всего фазозого пространства В доказательстве существенно используется каазнаы пухлость функции По,

мерному эллипсоиду Следовательно, и проекции на 12я, П GL", пересечения множества /пХ?-(Ло) с поверх ностью уровня функции Я — Яо + вЯреч + R (в Тп х Е”),

Ряс. 22.

проходящей через точку go, Цо, имеет малый диаметр Так как гамильтониан Я — первый интеграл, то если бы точка т)(0 вечно принадлежала бы Я.(ло)» то она вечно принадлежала бы и этой проекции и, зчачит, вечно была бы вблизи точки т|© На самом деле т)(<) может двигаться и в направлении, перпендикулярном ЛЗД. но согласно следствию основной леммы скорость такого движения ограничена сверху экспоненциально малой величиной (8) Отсюда и получаем оценку (13)

Точные формулировки Пусть X подмножество евклидова пространства Будем обозначать через X — в множество точек, содержащихся в X 'вместе со своей е окрестностью

Будем предполагать, что гамильтониан Я имеет вид Я = Я0(у) | Н (х,у), где х и у — векторы п измерений, а функция Нх(х,д^ периодична ио ль , хп с периодом 2л Будем предполагать также, что функции Яо и Нх определены и аня литичны я комплексной области

f. Re у cz G, | Im у | < о, | Im х | < р,где G- некоторая область евклидова пространства Е”,6>0, р>0, и что эти функции принимают дсйстви-

тельные значения при действительных значениях аргументов

Теорема (оценка сверху диффузии Арнольда). Обозначим

X $уп^Пега4Я0|у||

через g и пусть #>0 Пусть Нй —крутая функция'). Положим

и предположим, что

М<М0,

еде М6 = М6^Но» б, р) > 0 — некоторая константа, не за- висящая ни от каких параметров функции Яь кроме б и р

Тогда для любого действительного решения системы с гамильтонианом Н, такого, что y^eG-d,

Iff (0 ~* У (°)И < ^ W* все* < ® (°> Л> где

а-мь, г—5д-«ф[(тг)*]!

здесь ja и b — положительные константы, зависящие лишь от функции Нй.

Замечание Для а и б можно получить следующие значения

а ~ 125 +Зя+14 ’6 = (125+ &+ 14) а ’

где для крутых функций Я® от я переменных

(причем для квазивыпуклых функций и только для них равенство достигается), а

а(Я0)>1

(причем для квазивыпуклых функций равенство достигается) .

') Тах как непосредственная проверка условий крутизны за труднительпа а некоторые важные дос*«точные условия перечислены а л 2. то определение крутых функций здесь не приведено.

Перейдем к формулировке основной леммы Будем предполагать, что гамильтониан Н задан в области F, где Н и F определены в начале данного пункта Введем обозначение

g = inf HgradZ/olyll;

* V^F

будем предполагать, что g > 0, Как и в теореме,

Будемдополнительно предполагать, что область F и некоторые фиксированные числа N и v > 0 таковы, что максимальное число линейно независимых целочисленных векторов к, таких, что |А|^ N и

Це^Х^Кт(14)

хотя бы при одном х. у^Р, равно г, где г —любое из чисел 0, 1,, п — 1 Обозначим линейную оболочку та

ких векторов через X (dimX = r) Обозначим все целочисленные векторы к, принадлежащие плоскости X и такие, что |Л|< .V, через Zy

Чтобы оценки, которые будут получены ниже, были лучшими, нужно брать как можно большее значение v Но можно показать, что при фиксированных АГ наибольшее значепие v, при котором справедливо условие (14), равно некоторой положительной степени 1/JV Поэтому, не уточняя показатель степени, положим

s=gKN-\(15)

где К > 0 и натуральное число £ — произвольны

Основная лемма (об уничтожении нерезонанс- ных гармоник) Пусть

М<Мй, где Л<о = М^Но, в, р) > 0 — некоторая константа, (Здесь а далее будем называть константами величины, зависящие лишь от Но, 8 и р)

Пусть выполнены условия (14) и (15), где N равно целой части числа

CNM" ^п+й ^

и пусть

Р = CSM »t-M«+i<,

где Сч > 0 и Ср > О - константы

Тоеда существует канонический диффеоморфизм

В |» т) -*г, у по) мнмсества области F на множество

F* Rc^gG — P, ’Im^]<o', |1тд;|<а',

где </>0 обладающий следующими свойствами:

шр^^ннле 5 Л б гипса к пзр^иеннм х, у, точнее sup ^"’(х, у) — (к, у)|<Р:

х geF*

в переменных 5, ij гамильтониан Н принимает вид н^н^, Ч)+я& л),

еде функция Н^ содержит только резонансные гармоники, т. е.

Н^-^Ь^г^.

а длина вектора градиента остатка К мала1.

Арнольд В. И 5. 10 12, 69.

ИО, 136. 148 150 151

Артая (Artin Е) 39

Бирхгоф (Brrkhoff G D) 12, 32.34

Боль (Bohl) 120

Браун (Braun М) 69

Брюно А Д 7, 40, 109

Вильямсон (Williamson J.) 15

Гибсон (Gibson А.) 60

Глимм (Giimm 1) 28

Трэд (Grad Н.) 69

Густавсен (Gustavson F) 13

14 20 24

Дспри (Depri A, Depri Barto 1ош6 А) 12, 48, 120

Контопулос^ (Contopo j1os G)

Леонтович А М 12, 48, 120

Мазур (Masur В.) 39

МаркеевА П 49

Мельников В К. 31

Мозер (Moser J К) 3—6, 40,

51, 73 74. 82 99. 106 150

Нехорошее Н Н 7, 148, 150

Пуанкаре (Poincare Н) 14

Рюссман ((Russman II) 13,31, 40,99

Рюэль (Roels J ) 40

Тейлор (Taylor J В) 69

8* 88* 8

8* 8

8* 8

Зигель (Siegel С L) 2, 6, 13, 14, 29,66, 73, 74 82

Кирквуд (Kirkwood) 108 Колмогоров А. Н 5 10, 136,

Фолкнер (Faulkner J Е) 9,69

Хейлес (Helles С) 13 25

Хенон (Нбпоп М) 13, 25,40

Вещественно аналитическая функция 77

Диффузия Арнольде 151

Задача трех тел 10 ограниченная 11 Закручивающее отображение

Изознергежпеская устойчивость 105

КАМ-теория 5

Квазивыпухлая функция 162

Квазипериодаческая функция

Колмогоровское множество 150

Крутая функция 151

Магнитная поверхность 59

Метод усреднения 61

Перемепные Делоне 142

Почти-периодическая функция

Бора 122

Свойство пересечения 77

Теорема Арнольда 47

— Бяркгефа 18

— Зигеля 29

— Ляпунова 16

— Пуанкаре— Биркгофа 50

— Рюсемана 92

Точка максимальной краткости

резонанса 159

Условия крутизны 151

Устойчивость 45

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие редактора перевода 5

Часть IЛЕКЦИЯ О ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМАХВведение 10

Лекция 1. Гамильтоновы системы вблизи точки равновесия. Формальный анализ 13

Лекция 2. Сходимость, расходимость, несуществование интегралов 28

Лекция 3. Устойчивость44

Лекция 4. Устойчивостьмагнитныхбутылок57

Список литературы .. , . 70

Литература, добавленная припереводе71

Часть 2

■8 КИНГИ К. ЭНГЕЛЯ И Ю. МОЗЕРА«ЛЕКЦИИ ПО НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ»

5 1(32).Существоваяне инвариантных кривых74

4 2(33).Доказательство леммы89

9 3(34).Применение к проблеме устойчивости99

5 4(351.Устойчивость равновесных решений109

I 5(36). Квазипермодическое движенце к системы с несколькими стелепямя свободы120

Списоклитературы149

150166166150166166Добавление. Н. Н. Нехорошее. Метод последовательвых канонических замен переменных

150

166

166

150

166

166

Именной указатель

Предметный указатель .. .

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!

Ваши замечания о содержании книги, ее оформлснни, качестве перевода и другие просим присылать по адресу 129820 Москва, И ПО ГСП,1 й Рижский пер, д. 2, издательство «Мир»

Ю Мозер

ЛЕКЦИИО ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМАХ

Редактор В И АвербухХудожник В. М. НовоселоваХудожественный редактор В И* ШаповаловТехничейсай редактор R. Н. ЛебедеваКорректор В. И Постнова

Сдано в забор 14/П 1®3 г.Подписано к печати 1VVIII 1973 гВун. тип. № 3 84X108*/»—2 63 бум. Л.Леч уел л 8,82 Уч. нал л 7,44 Изд № 1/7067Цена 87 КОП Зах 688

И 4ДАТЕЛЬСТВО «МИР» ,Моема, I А Рижский пер, 2

Ордена Трудового Красного ЗнамениЛенинградская типографам MS имени Евгении СоколовойСоюзполнграфпрома при Государств» ним комитетеСовета Министров СССР ГО де гам издательств,полиграфии и книжкой торговлиЛевкнград Л 52 Иамейловсний проспект, Зв

Поправка к стр 6

Вторую фразу и началэ третьей из вторэго абзаца следуетж гать так «Ее юказанчьство читатель нийяет в чтсти 2В 959 г Издательство»

•) См также [24]

II Н Нехорошева которые мы помещаем в Добавлении —Прим

II grad/? IK^expl-^)™^],

где Ср > О — константа.

Я хочу поблагодарить редактора перевода В М. Алексеева проемотревп’рго рукопись добавления и сделавшего ряд полезных замечаний

ЛИТЕРАТУРА

[ИВ И Арнольд, О неустойчивости динамических систем со многими степгчямл свободы, ДАН, 156 (1964), № I, 9—12.

[2'] Г М ЗаелапскиЙ, Б В Чириков, Стохастическая неустойчивость нетинейных колебаний, УФК 105 (1971), выл 1. 3—40

[39 И II Нехорошее, О поведении гамильтоновых систем, близких к интегрноуемым, Функц. анализ и его приложения, 5 (1971), вып 4 82—83

[49 В И Арнольд, Доказательство теоремы А Н Колмогорова о сохранении условно периодических движений при малом изменения функции Гамильтона, УМН, 18 (1963), вып. В, 13—40.